超小型衛星搭載用紫外線望遠鏡の統計的な熱数学モデル最適化
2024/3/8 [Om3]東京工業大学
谷津研究室 早津 俊祐

目次
◼背景
◼研究目的
◼熱真空試験
◼試験結果解析手法
◼解析結果
◼まとめ

2

背景～中性子星連星合体の観測
中性子星連星合体

紫外線望遠鏡うみつばめ衛星

鏡筒(C)NASA

検出器◼ターゲットは重力波源である中性子星連星合体
CMOSセンサ◼合体直後の紫外線放射を観測することで重元素の起源を探査◼目標の限界等級を達成するため、CMOSセンサを軌道上で-20℃以下に冷却

3

軌道上でのCMOSセンサ温度を求めるには
1. 熱真空試験で熱平衡状態の各部の温度を実測
2. 平衡温度を再現する熱数学モデルを求める
3. 軌道上での温度をシミュレーション◼熱数学モデルとは➢物体間の熱の流れやすさを表す熱コンダクタンス（単位: W/K）
でパーツ間をつないだモデル
簡単な熱数学モデルの例

パーツ１
温度T1

CMOSセンサ
温度TCMOS
熱コンダクタンス𝐶1

発熱Q

熱コンダクタンス𝐶2

𝑄 = 𝐶1 (𝑇CMOS − 𝑇1 )+ 𝐶2 (𝑇CMOS − 𝑇2 )

パーツ2
温度T24

研究目的
これまで一般的に用いられてきた手法
熱真空試験

今回用いる手法
熱真空試験

今回開発
熱コンダクタンスを手動で調整

・非常に時間がかかる・精度が悪い・信頼性が評価できない

熱コンダクタンスを最適化を用いて自動で調整

熱数学モデル完成

熱数学モデル完成

軌道上温度シミュレーション

軌道上温度シミュレーション◼熱真空試験結果を用いて熱数学モデルを数学的に最適化して精度を向上させ、信頼性を評価できる手法を開発する◼作業時間の短縮し、衛星開発の効率化を図る

5熱真空試験方法◼検出器を真空槽に入れて平衡温度を測定◼内部機器を発熱させ、温度変化が±0.5℃/30minとなるまで待機
真空槽

熱回路概要
ヒータ

T1

フレキケーブル

FPGA基板
T6

MLI

治具

治具

T2

筐体

T3

T4

T7

CMOS基板T5

治具

CMOS熱パス治具

6

試験条件・結果◼発熱源を変えた4つの条件で試験➢できるだけ多くの平衡温度を取得し、データ点数を増やす

FPGA基板

フレキケーブル

治具

T2筐体
T7

T3T4FPGA基板

真空槽15℃

CMOS基板temp(℃)

ヒータ発熱

T1CMOS基板

T5 CMOS熱パス
治具 治具
time(s)7

熱数学モデル◼温度測定点をノードに持つ熱数学モデルを作成➢熱量𝑄, 温度𝑇は既知、 熱コンダクタンスを𝐶を調整

𝑄1 + 𝑄𝑟1 = 𝐶1 𝑇1 − 𝑇3 + 𝐶2 (𝑇1 − 𝑇2 )ヒータ発熱Q5

𝑄2 + 𝑄𝑟2 = 𝐶1 𝑇3 − 𝑇1 + 𝐶3 𝑇3 − 𝑇4 + 𝐶7 (𝑇3 − 𝑇5 )𝑄3 + 𝑄𝑟3 = 𝐶0 𝑇5 − 𝑇6 + 𝐶7 (𝑇5 − 𝑇3 )𝑄4 + 𝑄𝑟4 = 𝐶5 𝑇7 − 𝑇2 + 𝐶6 𝑇7 − 𝑇4 + 𝐶8 (𝑇7 − 𝑇8 )𝑄5 + 𝑄𝑟5 = 𝐶2 𝑇2 − 𝑇1 + 𝐶4 𝑇2 − 𝑇8 + 𝐶5 (𝑇2 − 𝑇7 )0 + 𝑄𝑟6 = 𝐶3 𝑇4 − 𝑇3 + 𝐶6 (𝑇4 − 𝑇7 )𝑄𝑖 : 内部機器発熱（実測）𝑄𝑟𝑖 : 輻射放熱（シミュレーション）

FPGA素子・基板発熱Q1

T1スペーサC2筐体治具間C4フレキケーブルC1T2T8CMOS基板発熱Q2筐体間C5T4

筐体治具間C8T7モータ基板発熱Q4スペーサC3T3筐体間C6
CMOS基板C7CMOSセンサ発熱Q3T5
CMOS熱パスC0T682(𝑇−𝑇)
𝑖𝑖_measure
2χ =෍
𝜎2

解析手法

𝑖

◼勾配降下法（レーベンバーグ・マーカート法）を用いてχ2 を最小化する
ヤコビ行列 𝐽 を計算

χ2

χ2 の曲面を近似
近似曲面の極小値にパラメータを移動

𝑎𝐶old

χ2 を小さくしたか?

𝐶newYes

𝐶更新式

𝑪𝐧𝐞𝐰 ≈ 𝑪𝐨𝐥𝐝 −No

𝜆を小さくする

𝐽𝑻𝐽+ 𝜆[𝐼]𝑎−𝟏𝐽 𝑻𝒓9

最適化実行結果
χ2 − χ2 minC0

χ2 min /d. o. f = 6.16
𝝌𝟐 𝐦𝐢𝐧 + 𝟐. 𝟕𝟎𝟔

change rate (%)

熱コンダクタンス

C0C1

C2C3値(W/K)

0.199+0.016−0.0180.00289+0.00569−0.00289

0.173+0.009−0.0060.130+0.047−0.030C4C5C6C7

C8

0.266+0.008−0.0090.125+0.032−0.025

6.00+
−5.30

0.0924+0.0149−0.01310.0162+0.0047−0.004310

解析結果◼温度の実測値と、熱コンダクタンス修正後のモデルによる温度の解析値の比較
403530温度(℃)

2520151050-5FPGA基板

筐体ZM
実測値

CMOS基板ブラケット

解析値

解析値-実測値

窒化アルミモータ

実測値と解析値の差は最大1.8℃

11他衛星との比較

12

まとめ◼紫外線望遠鏡の熱コンダクタンスを新たに開発した最適化手法を用いて最適化することができた◼熱コンダクタンスの90%信頼区間を求め、信頼性を評価することができた◼平衡温度の解析値と実測値の差を1.8℃以内に収めることができた◼修正作業時間を大幅に短縮できた◼今後の課題は最適化手法の検証と軌道上での温度実証

13

14

Appendix参考文献[1] Ignacio Torralbo et al., Acta Astronautica, Volume 144, March 2018,
Pages 305-319, Correlation of spacecraft thermal mathematicalmodels to reference data[2]Introduction to Thermal Desktop (NASA(.gov))
https://tfaws.nasa.gov/TFAWS03/software_training/thermal_desktop.pdf

15他の最適化アルゴリズムとの比較◼メリット➢輻射熱をシミュレーションで求めることで、最低2つの熱真空試験条件で最適化可能➢レーベンバーグ・マーカート法を用いることでパラメータの初期値が最適値から遠くても収束しやすい➢χ2 /d.o.fの値からモデルの優位性を判定できる➢90%信頼区間を出せる◼デメリット➢温度測定点から遠い部分の温度は分からない

16

輻射放熱𝑄𝑟𝑖 の計算方法◼RadCADの光線追跡を用いて計算
光線を放射

吸収

𝑗𝑖

𝐵𝑖𝑗 ：𝑖から出た光線の内𝑗に吸収される割合
左図の場合は1/12

反射Radk 𝑖𝑗 = 𝐴𝑖 𝑒𝑖 𝐵𝑖𝑗
𝑄𝑟𝑖 = 𝜎 ෍ Radk 𝑖𝑗 (𝑇𝑖4 − 𝑇𝑗4 )𝑗𝐴𝑖 ：𝑖の表面積𝑒𝑖 ：𝑖の赤外放射率
𝜎：シュテファン・ボルツマン定数17χ とヤコビ行列2◼χ2 を勾配探索を行うことで最小化する
2(𝑇−𝑇)
𝑖𝑖_measure2χ =෍𝜎2
◼熱数学モデルの行列表記

𝑖𝐾 𝑇 = 𝑄 → {𝑇} =コンダクタンス行列

温度ベクトル𝜎は熱電対の測定誤差0.5℃

発熱ベクトル𝐾 −1 {𝑄}

𝜕𝑇1
𝜕𝐶0
𝜕𝑇2
𝐽 =𝜕𝐶0χ𝟐 の勾配とラプラシアンを求めるのに便利◼ヤコビ行列𝜕𝜕𝜕
−1−1{𝑇} = − 𝐾
𝐾 𝐾+{𝑄}
𝜕𝐶𝑗
𝜕𝐶𝑗
𝜕𝐶𝑗⋯

𝜕𝑇1
𝜕𝐶1⋯⋱

⋯

⋯

𝜕𝑇𝑁
𝜕𝐶𝑛

18

ヤコビ行列による微分表記◼勾配2𝜕𝑇𝑗𝜕χ2∇χ == 2 ෍(𝑇𝑗 − 𝑇𝑗_measure )
𝜕𝐶𝑖
𝜕𝐶𝑖𝑗

𝑇1 − 𝑇1_measure⋮{𝑟} == 2[𝐽]𝑇 {𝑟}𝜕𝐶𝑖
𝑇𝑁 − 𝑇𝑁_measure
残差ベクトル𝜕χ2◼ラプラシアン
2 χ22𝑇𝜕𝜕𝑇𝜕𝑇𝜕
𝑖𝑖𝑖22𝑇 [𝐽]∇ χ ==2෍+2෍
𝑇−𝑇≈
2[𝐽]
𝑗𝑗_measure𝜕𝐶 2𝜕𝐶𝑗 𝜕𝐶𝑗𝜕𝐶𝑗 𝜕𝐶𝑘𝑖,𝑗𝑖,𝑗,𝑘

χ2 の凹凸の変化大きくないとして無視

19勾配探索手法◼レーベンバーグ・マーカート法

1. 更新前のコンダクタンス𝐶old の周りでテイラー展開してχ2 を2次関数で近似

χ2 𝐶new + 𝑎= χ2 𝐶o𝑙𝑑+ ∇χ2 𝐶o𝑙𝑑 𝑎 +2. 2次関数の極小値を求め、コンダクタンスを更新

1 2 2∇ χ 𝐶o𝑙𝑑 𝑎2 22χ

𝜕 2(χ 𝐶new + 𝑎 ) = ∇χ2 𝐶o𝑙𝑑 + ∇2 χ2 𝐶o𝑙𝑑 𝑎 = 0
𝜕𝑎𝑎 = −(∇2 χ2 𝐶o𝑙𝑑 )−1 ∇χ2 𝐶o𝑙𝑑 ≈ − 𝐽 𝑇 𝐽 −1 𝐽 𝑇 {𝑟}𝐶new ≈ 𝐶o𝑙𝑑 − 𝐽 𝑇 𝐽−1𝐽 𝑇 {𝑟} (ガウス・ニュートン法)

3. ガウス・ニュートン法と最急降下法を組み合わせる

𝐶old𝐶new𝐶

更新式

𝑪𝒏𝒆𝒘 ≈ 𝑪𝒐𝒍𝒅 −𝑎𝑱𝑻𝑱+ 𝝀𝑰−𝟏𝑱 𝑻 {𝒓}初期値付近では最急降下法、極小値付近ではガウス・ニュートン法を用いてすばやく収束

20