競合的劣化ハザードモデル：舗装ひび割れ
過程への適用林秀和1・貝戸清之2・熊田一彦3・小林潔司4
1学生会員

京都大学大学院工学研究科都市社会工学専攻 (〒 615-8540 京都市西京区京都大学桂)E-mail:hhide@psa.mbox.media.kyoto-u.ac.jp
2正会員 大阪大学大学院工学研究科グローバル若手研究者フロンティア研究拠点〒 565-0871 大阪府吹田市山田丘 2-1) E-mail:kaito@ga.eng.osaka-u.ac.jp
3正会員(株) 高速道路総合技術研究所道路研究部舗装研究室 (〒 194-8508 東京都町田市忠生 1-4-1)
E-mail:k.kumada.aa@ri-nexco.co.jp
4フェロー会員 京都大学経営管理大学院経営管理講座 (〒 606-8501 京都市左京区吉田本町)
E-mail:kkoba@psa.mbox.media.kyoto-u.ac.jp

土木施設の劣化状態は，複数の劣化事象によって規定されることが多い．土木施設の劣化評価においては，複数の劣化事象の中から，もっとも劣化が進展した事象が当該施設を代表する劣化事象として記録されることになる．本研究では，複数の劣化過程がそれぞれ独立にマルコフ過程に従い，その中でもっとも劣化が進展した劣化事象が代表的事象として選択されるメカニズムを競合的劣化ハザードモデルを用いて表現する．さらに，道路舗装のひび割れを，縦ひび割れ，横ひび割れ，面ひび割れに分類するとともに，それぞれのタイプのひび割れ過程を表すひびわれタイプ別供用性曲線を推定し，道路の構造特性，舗装特性，および交通条件等が，道路舗装のひび割れ過程に及ぼす影響について分析する．

Key Words : pavement, crack progression, competitive hazard model, asset management

1．はじめに現象が同時に生起するという特徴がある．このような複合的な劣化過程を，単一の劣化現象を対象としたハ

道路舗装の代表的な劣化現象として，わだち掘れ，ひザードモデルを用いて記述することには限界があった．

び割れ，非平坦性等の進行があげられる．これらの劣化

このような観点から，筆者等は，道路舗装に発生す現象の中でも，ひび割れは発生頻度が高いだけでなく，るひび割れの状態を損傷度とひび割れタイプという 2 種

ひび割れの進行過程は複雑であり，劣化メカニズムが類の離散的状態変数を用いて表現し，複数のタイプの十分に解明されていない．一般に，ひび割れは，道路

ひび割れ過程の進行を同時に考慮したような階層型指舗装の劣化メカニズムの相違により，縦ひび割れ，横数劣化ハザードモデルを提案している11) ．階層型指数

ひび割れ，面ひび割れ，ポットホール等に代表される劣化ハザードモデルを用いて，複数タイプのひび割れ

ように，多様な形態で発生する．さらに，ひび割れタ

現象間の推移過程をモデル化することにより，舗装構

イプにより，道路舗装の劣化メカニズムが異なる場合

造や道路環境がひび割れ発生に及ぼす影響を分析するが多い．道路舗装の維持補修計画を検討する上で，ひことが可能となった．階層型指数劣化ハザードモデル

び割れタイプに着目した道路舗装の劣化過程の時間管は，ひび割れタイプごとの劣化状態間の推移状態をマ理を行うことが重要である．

ルコフ推移確率で表現する．このため，ひび割れ発生

従来より，道路舗装の劣化過程に関して，数多くの過程全体としての進行速度管理のために有用な情報を研究1) Ä 4) が蓄積されている．これらの先行研究は，舗作成するが，各タイプのひび割れ発生メカニズムや進装の劣化過程を確定的な供用性曲線で表現しており，舗行管理に関しては十分な情報を作成できないという問装の劣化過程に介在する不確実性を十分に考慮できて題があった．

いない5) ．2. (1) において紹介するように，劣化過程

本研究では，路面性状調査結果に基づいて，ひび割の不確実性を考慮した供用性曲線に関する研究6) Ä 10) もれタイプごとの進行過程を表現する供用性曲線を推定進展している．これらの統計的劣化予測モデルは，単一する方法論を提案する．具体的には，個々のひび割れタの劣化現象を対象としたハザードモデルを用いて，劣イプごとに，それぞれの劣化メカニズムに従って，ひ化過程をモデル化するという特徴がある．しかし，舗び割れ過程が進行する．そのうち，路面性状調査では，

装の劣化過程は，劣化メカニズムが異なる多様な劣化対象となる道路区間の中で，もっでもっとも損傷が著し

1

い劣化過程に関する情報のみが観測される．本研究でイプという 2 つの異なる状態変数を用いて記述できる．

は，複数タイプのひび割れ過程間の競合関係を表現す

路線を構成する道路区間には，1ヶ所，もしくは複数個る競合的劣化ハザードモデルを提案するとともに，各所にひび割れが発生する．東・中・西日本高速道路株式

タイプのひび割れ過程を供用性曲線として個別に推定会社が管理する高速道路では，路面性状測定により，ひする方法論を提案する．競合的劣化ハザードモデルをび割れを観測した場合，もっとも損傷度の進展したひ用いることにより，タイプ別供用性曲線を推計する場

び割れに関する情報 (ひび割れのタイプと損傷度) が記合に発生するサンプル選択バイアスの問題を回避する

録される．あるひび割れに着目した場合，時間の経過とことが可能となる．さらに，実データを用いた分析にともに，ひび割れの損傷度は進行する．このようなひより，提案した方法論の有効性を実証的に検証する．以び割れの進行過程を，本研究ではひび割れ過程と呼ぶ．

下，2．で本研究の基本的な考え方を説明する．3．でしかし，時間の経過とともに，別のひび割れの損傷度がは，競合的劣化ハザードモデルを定式化する．4．で競進行したため，つぎの測定時点において，その区間を代合的劣化ハザードモデルの推計方法を提案する．さら表するひび割れのタイプが変化することも起こりえる．

に，5．で，実測データを用いた実証分析を通して提案

このような観点から，筆者等はひび割れの劣化事象を，手法の有効性を検証する．

ひび割れのタイプと，各タイプのひび割れの損傷度という 2 つの状態変数の組み合わせにより表現し，このよう2．本研究の基本的な考え方

な劣化事象の間の推移過程をマルコフ推移確率を用い(1) 従来の研究概要

段階指数劣化ハザードモデルに，multi destination 型て記述するような方法論を開発した11) ．そこでは，多統計的な劣化予測モデルは，多くの劣化サンプルか

ハザードモデルを組み込んだような階層型指数劣化ハ

ら，劣化過程の背後に存在する規則性をモデル化する

ザードモデルを提案し，ひび割れ過程を複数のひび割ことを目的とする．ハザードモデル12) ; 13) を用いた統計

れタイプにわたり多段階に損傷度が進行していくよう的劣化予測モデルがいくつか提案されている6) Ä 9) ．もな階層的ネットワーク型劣化過程として記述すること

ともと，ハザードモデルは，主に信頼性解析の分野にに成功している．1．でも言及したように，階層型指数

おいて施設や機械の寿命を予測するモデルとして開発

劣化ハザードモデルにより，複数タイプのひび割れ現されたが，現在では信頼性解析のみならず多くの分野

象を同時に考慮したような供用性曲線を推定することで適用事例が報告されている．

が可能となった．しかし，階層型指数劣化ハザードモ

アセットマネジメントの分野でも，例えば Shin and

デルは，劣化状態間の推移状態をマルコフ推移確率でMadanat6) は，道路舗装のひび割れ開始時刻を予測するためのワイブル劣化ハザードモデルを提案している．

表現するため，各タイプのひび割れ発生メカニズムやまた，青木等8) はトンネル照明を対象として，ワイブ限界があった．本研究では，このような階層型指数ハ

ル劣化ハザードモデルの有効性について実証的に検証

ザードモデルの問題点を克服するために，複数のひびしている．さらに，健全度が多段階で評価される土木

割れ過程が互いに競合し，その中でもっとも損傷が著施設の劣化予測問題を対象として，多段階指数劣化ハ

しいひび割れ過程が選択されるメカニズムを，競合的

ザードモデルを用いてマルコフ推移確率を推計する方

劣化ハザードモデルを用いて表現する．競合的劣化ハ法が提案されている7) ．マルコフ連鎖モデルは多段階のザードモデルを用いることにより，路面性状測定結果

離散的なデータを扱う場合には操作性に優れたモデル

から，各ひび割れタイプごとの供用性曲線を直接推定であることから，土木施設のマネジメント分野での適することが可能となる．

進行管理に関しては十分な情報を作成できないという用実績が多い．さらに，マルコフ連鎖モデルを拡張し，(2) ひび割れタイプとマネジメント課題

劣化過程が使用時間に依存するような非斉次マルコフ連鎖モデルが提案されている．また，多段階ワイブル

ひび割れが発生するメカニズムに関しては，依然と劣化ハザードモデルを用いて，非斉次マルコフ推移確して不明な点が少なくない．また，ひび割れのタイプ率を推定する方法も開発されている10) ．さらに，測定により，その発生メカニズムの違いが存在することがデータの蓄積に応じて，劣化ハザードモデルをベイズ

指摘されている．前稿において，ひび割れ発生過程に更新する方法論も提案されている14) ．ただし，これら関する既往研究を整理し，ひび割れタイプごとに舗装のモデルはいずれも単一の健全度指標を用いて劣化過マネジメント上の課題について言及している11) ．本稿

程を記述することを目的としており，複数の状態変数においても，読者の便宜を図るため，前稿との重複をで記述されるような劣化過程を対象としていない．

恐れず，ひび割れタイプに応じたマネジメント上の課
題について整理しておく．

ひび割れ状態は，ひび割れの損傷度とひび割れのタ

2

表-1

一般に，ひび割れにはアスファルトコンクリート層

損傷度

底面から発生するものと，表面から発生するものが存在する15) Ä 20) ．ひび割れは複数の原因が複合的に生起

i=0
i=1
i=2
i=3

した結果であるケースも多く，メカニズムの解明が困難な現象であると言える．舗装のアセットマネジメン

ひび割れ状態の表現方法
ひび割れタイプ
縦ひび割れ 横ひび割れ 面ひび割れ(0; 0)(1; 1)(1; 2)(1; 3)(2; 1)(2; 2)(2; 3)(3; 1)(3; 2)(3; 3)

トの視点に立てば，ひび割れのタイプにより補修方法
や補修費用が異なることが課題となる．中でも，縦ひび割れは，発生範囲が広範に及ぶために，大規模補修

ひび割れ発生頻度や，道路補修によるライフサイクルが必要となる場合が多い．一方，面ひび割れが発生し費用を予測することが可能となる．

た場合，ポットホールの発生等，管理瑕疵につながる可能性も想定されることから，早期に補修が実施される．

(3) ひび割れ進行過程

しかし，面ひび割れの補修は，局所的な工事で対処可

道路舗装のひび割れ状態を，ひび割れの程度の大き能な場合が少なくない．高速道路の舗装アセットマネ

さを表す損傷度と，舗装のひび割れタイプを表すひび割

ジメントにおけるライフサイクル費用を管理する上で，れタイプという 2 種類の離散変数を用いて表現する11) ．

タイプ別のひび割れ発生頻度，ひび割れの進行速度に

状態変数 i (i = 0; 1; ÅÅÅ; I) は損傷度を表し，i = 0 は関する管理情報を獲得することが重要な課題となる．

ひび割れが発生していない状況を，i = I はひび割れが高速道路における路面性状測定では，ある一定区間

もっとも進行した状態を意味する．損傷度が i = I に到

(例えば，100 メートル区間) ごとに，区間中に存在する
ひび割れの中で，もっとも劣化が進行した (損傷度の大達した場合には，直ちに道路舗装の補修が実施される．

きい) ひび割れの状態が報告される．当該区間の中に存表現する．本研究の適用事例では，ひび割れタイプとし在するすべてのひび割れに関する情報が報告されるわて，縦ひび割れ，横ひび割れ，面ひび割れという 3 つのけではない．道路舗装のアセットマネジメントを実施

タイプを取り上げている．ただし，l = 0 は，ひび割れ

する場合，わだち掘れ，平坦性，段差等の程度と併せが発生していない状態を表す．したがって，初期状態のて，道路区間の中でもっとも損傷度が大きいひび割れ

み (0; 0) で表現され，ひび割れが発生した段階で損傷度の状況に基づいて，道路舗装の補修を行うかどうかをは状態変数 i (i = 1; ÅÅÅ; I)，劣化状態は l (l = 1; ÅÅÅ; L)

検討することになる．このため，ひび割れに関する路を用いて定義される．以上の 2 種類の状態変数を用い面性状測定において，もっとも損傷度の大きい代表的て，舗装のひび割れ状態を，損傷度 i (i = 1; ÅÅÅ; I) と，

なひび割れの状態に着目することは，一定の合理性をひび割れタイプ l (l = 1; ÅÅÅ; L) のペア (i; l) で表そう．

有している．その結果，ある定期測定において，仮に以下，状態変数のペア (i; l) を劣化状態と呼ぶ．表-1 に「縦ひび割れ」とその損傷度が報告されたとしても，次は，本研究の適用事例で用いる劣化状態をリストアッの定期測定において，同一箇所のひび割れが選択されプしている．本適用事例では，状態変数 (i; l) の上限値

る保証はない．その時点において，もっとも損傷が激(I; L) は，(3; 3) に設定されている．

一方，ひび割れのタイプを状態変数 l (l = 0; ÅÅÅ; L) で

しいひび割れが選択され，その損傷度が報告されるこ舗装表面を一定の区画に分割するとともに，各区画とになる．このように路面性状測定では，同一のひび

ごとに，ひび割れの損傷度とひび割れタイプを定義す

割れの進行過程が追跡されるわけではなく，あくまでる．その場合，1 つの区画の中に複数のひび割れが存在

も区間を代表するひび割れのタイプとその損傷度が報する可能性も少なくない．その際，最も損傷度の大き告されることになる．

いひび割れに着目し，その区画の劣化状態を定義する．

前述したように，ひび割れのタイプと損傷度によっ

ここで，たとえば損傷度 i = 2，横ひび割れ l = 2 (すなて，道路補修の工法や方法が異なる．最適な道路補修

わち，劣化状態 (2; 2)) と判定されたある道路区画に着計画を決定するためには，各道路区間ごとに各タイプ

目する．この道路区画において，縦ひび割れや面ひび割のひび割れ発生頻度と，その進行速度を予測し，ライれが発生していても，損傷度が i = 1 である限り，そのフサイクル費用評価を行うことが必要となる．以上の区画の劣化状態の判定結果は (2; 2) である．さらに，あ問題意識の下に，本研究では，路面性状測定で獲得でる測定時点で，縦ひび割れ (l = 1) と横ひび割れ (l = 2)

きる各区間ごとの代表的なひび割れのタイプと，そのの損傷度がともに i = 1 である場合も考える．この場

損傷度に関する情報に基づいて，タイプ別ひび割れ過合，ひび割れのタイプにより，どちらが選択されるか

程の進行過程を記述した供用性曲線を推定する方法論というルールを設けておく必要がある．当該の高速道を提案する．このようなひび割れタイプ別供用性曲線

路の路面性状調査では，面ひび割れ，横ひび割れ，縦を作成することにより，将来時点におけるタイプ別のひび割れという順序で，ひび割れタイプが選択される

3

損傷度

0

1

2

3

0

ひび割れ
タイプ

úA

úB

t

1 (縦)

ã

2 (横)

å
3 (面)

損傷度

注) 実線は，縦ひび割れの供用性曲線を，1 点鎖線は，横ひび割れのサンプルパスを表している．調査時点úA ; úBにおいて，横ひび割れ過程を表すサンプルパスãが，実線より上側に位置すれば縦ひび割れが，サンプルパスå
が，下方に位置すれば横ひび割れが代表タイプとして選択される．

注) 図中の○は劣化状態を表している．劣化状態は損傷
度 i (i = 0; 1; 2; 3) とひび割れタイプ l (l = 1; 2; 3) の組(i; l) として表現される．ひび割れ過程は劣化状態 (0; 0)から，右方向へ移動するパターンで進行する．
図-1 ひび割れ進行過程

図-2 動的サンプル選択バイアス

ことになっている．したがって，同一の損傷度であれれば進行が速いひび割れのみが偏ってサンプリングさば，lの値が大きい方が，当該区間を代表するひび割れ

れ，進行度の遅いひび割れ (以下，隠れたタイプのひびと判定されると考える．図-1 は，劣化状態の進行過程割れと呼ぶ) に関する情報が不足するというサンプル選の事例を表現している．同図に示すように，各ひび割

択バイアスが発生する．さらに，このようなサンプル選

れタイプごとに，ひび割れが進行し，損傷度が増加し択バイアスが，時間の経過とともに変動するという動ていく．いま，時点úA において，3 つのタイプのひび割

的サンプル選択バイアスが発生する．このことを図-2れの状態 (i; l) が，それぞれ (2; 1); (2; 2); (1; 3) である場を用いて説明する．2 つの調査時点úA ; úB を考える．図合を考える．この時，先に言及したルールより，当該区中の実線は，例えば縦ひび割れの平均的な劣化曲線 (以間の劣化状態は (2; 2) と判定されることになる．それぞ

下，供用性曲線と呼ぶ) を表している．1 点鎖線は，横れのひび割れ過程において，状態 i = 3 は終局状態 (吸ひび割れのサンプルパスを表している．ひび割れ過程

収状態) である．このように，路面性状調査では，もっには，多くの不確実性が含まれるため，供用性曲線に

ともひび割れが進行した状態にあるひび割れのタイプ

沿ってひび割れが進行するとは限らない．ここで，議と損傷度のみが記録される．それ以外のタイプのひび論を簡単にするために，縦ひび割れに関しては，実線

割れも進行しているが，調査時点において，それより通りひび割れが進行すると考える．また，面ひび割れも損傷が進展しているひび割れが存在するために，たまたま記載されていないことも起こりえる．その結果，調査時点以降に，別のタイプのひび割れが進行し，つ過程を無視する．一方，横ひび割れに関しては，図の破線のように多くのひび割れ過程が考えられる．調査時点úA ; úB において，横ひび割れ過程を表すサンプルぎの調査時点で，当該区間を代表するひび割れのタイ

パス (例えば，サンプルパスã) が，実線より上側に位プが変化することも起こりえる．

置すれば，縦ひび割れがひび割れの代表タイプとして選択される．しかし，サンプルパスåのように，下方に(4) 動的サンプル選択バイアス

位置している場合，横ひび割れが代表タイプとして選

路面性状調査では，舗装のひび割れに関する劣化状択される．いずれのタイプのひび割れが代表値として態が記録されるが，もっとも損傷が進んだタイプのひ選択されるかは，各タイプのひび割れ過程の競合の結び割れに関する情報のみが記録され，それ以外のタイ

果として求まる．しかし，時間の経過により，ひび割れ

プのひび割れに関する情報は獲得できない．そのこと過程が進展していくため，ひび割れタイプ間の競合関に起因して，各タイプのひび割れ過程を個別に推計し係が時間とともに変化していく．その結果，隠れたタ

ようとすれば，推計結果のシステム的なバイアスが生

イプのひび割れに関する情報が，システム的に欠損す

まれるという代表値問題が発生する．すなわち，路面るというサンプル選択バイアスの生成メカニズムも時性状調査では，代表値のみが記録されるため，ともす

間とともに変化していく．したがって，路面性状調査

4ば，競合的推移確率行列0
ô00 (y; z)B..
BÖ (y; z) = @.
0

結果に基づいて，各ひび割れタイプの供用性曲線を求める場合，動的サンプル選択バイアスを考慮に入れた推計方法を開発することが必要となる．ここで，路面性状調査において，隠れたタイプのひび割れの損傷度に関する情報がまったく得られないわけではないこと

1ÅÅÅ ô0I (y; z)
C
..
..
C
.
.
A
ÅÅÅ ôII (y; z)(2)を定義できる．ただし，0は 0 要素行列，ôij (y; z) (i; j =0; ÅÅÅ; I) はブロック行列であり，に留意する必要がある．隠れたタイプのひび割れに関しても，「その損傷度は，代表タイプとして選択された
ひび割れの損傷度より大きくない」という部分的な情ô00 (y; z) = ô00;00 (y; z)

報を獲得することができる．本研究で提案する競合的

ô0j (y; z) = ( ô00;j1 (y; z) ÅÅÅ ô00;jL (y; z) )01
ôi1;j1 (y; z) ÅÅÅ ôi1;jL (y; z)
B
C
..
..
..
C
ôij (y; z) = B
.
.
.
@
A
ôiL;j1 (y; z) ÅÅÅ ôiL;jL (y; z)

劣化ハザードモデルを用いることにより，隠れたタイ
プのひび割れに関しても，上述のような部分情報を積極的に活用することにより，動的サンプル選択バイアスの問題を解消することが可能となる．その結果，路面性状調査により代表タイプのひび割れの記録のみをと表される．競合的推移確率 (2) は，連続する 2 つの時用いて，各タイプのひび割れ過程の供用性曲線を獲得

点 t，t + 1 の間において生じる劣化状態間の推移確率

することが可能となる．

を示したものである．当然のことながら，対象とする
測定間隔が異なれば，推移確率の値は変化する．補修がない限り常に劣化が進行するので，ôil;jm (y; z) =3．競合的劣化ハザードモデル

考える．サンプル時間軸上の点を時点と呼び，カレンダ

0 (i > j) が成立する．また，推移確率の定義より
PI PL
j=i
m=0 ôil;jm (y; z) = 1 が成立する．すなわち，競合的推移確率に関して9
ôil;jm (y; z) ï 0>=(3)
ôil;jm (y; z) = 0 (i > j の時)
>
PI PL
;
ô
(y;
z)
=
1
j=i
m=0 il;jm

ー時間軸上の時刻とは区別する．2 つの連続する時点 yとに関しては，補修のない限り，ôIm;Im (y; z) = 1 が成立

y + z を考える．2 つの時点間の時間間隔を z と表そう．2
つの時点間における舗装状態の不確実な推移状態を状態すると考える．

間推移確率で表現する．時点 yで測定したひび割れ状態(2) 多段階指数劣化ハザードモデル(1) 競合的推移確率
いま，カレンダー時間軸上の時刻ú0 を起点 y = 0 とするサンプル時間軸を考える．初期時刻ú0 において，舗装の補修が実施され，劣化状態が初期状態 (0; 0) に更新される．初期時刻を起点として，舗装の劣化が進展するとが成立しなければならない．状態 (I; m) (m = 1; ÅÅÅ; L)

を状態変数 h(y) = (i; l) (i = 0; ÅÅÅ; I; l = 0; ÅÅÅ; L) を用

競合的劣化ハザードモデルは，各道路区間においていて表そう．状態間推移確率は，時点 y で測定された劣化

複数のタイプのひび割れが相互に独立して発展するが，状態 h(y) = (i; l) を与件とし，つぎの時点 y +z においてその中で劣化状態が一番進展したタイプのひび割れが，劣化状態 h(y + z) = (j; m) (j = 0; ÅÅÅ; I; m = 0; ÅÅÅ; L)

当該区間を代表するひび割れとして選択されるメカニが選択される条件付確率 (以下，競合的推移確率と呼ズムを記述している．個々のタイプのひび割れ過程が，ぶ) を用いて定義できる．すなわち，

初期時点からの経過時間に依存しない斉次マルコフ過程に従う場合でも，複数の劣化過程の競合の結果としProb[h(y + z) = (j; m)jh(y) = (i; l)]Prob[h(y + z) = (j; m); h(y) = (i; l)]=Prob[h(y) = (i; l)]= ôil;jm (y; z)て観測されるひび割れ過程は斉次性を満足しない．本
節では，ある特定のタイプのひび割れ過程のみに着目
し，ひび割れ過程を多段階指数劣化ハザードモデルを(1)用いて表現する．競合的劣化ハザードモデルは，多段と表せる．競合的推移確率ôil;jm (y; z) は，推移確率が

階指数劣化ハザードモデルを用いて表現されるタイプ

定義される時間間隔 z だけでなく，初期時点からの経過

ごとのひび割れの進行過程のうち．もっとも劣化が進時間 yにも依存している．すなわち，代表タイプのひび

展したタイプのひび割れ過程のみが，代表的ひび割れ

割れのみを用いて定義される競合的推移確率には，2.

過程として選択されるメカニズムとして表現される．

(4) で言及したような動的システム選択バイアスが発生

各タイプごとのひび割れ過程を，多段階指数劣化ハザする．さらに，3. (4) で議論するように，競合的推移

ードモデル7) を用いて表現する．ここでは，読者の便宜

確率は，マルコフ性を満足していない．このような推を図るため，多段階指数劣化ハザードモデルを簡単に紹移確率をすべての劣化状態ペア (il; jm) に対して求めれ介しておく．いま，ひび割れタイプ l (l = 1; ÅÅÅ; L) の中

5

から 1 つのひび割れタイプ lÉのみに着目する．タイプ lÉ態 (i; lÉ) が継続した場合を考える．すなわち，時点úA

のひび割れ過程に着目すれば，ひび割れ過程の進展によ

における測定で，劣化状態が (i; lÉ) であることが判明

り，劣化状態は (0; 0) ! (1; lÉ) ! ÅÅÅ! (I; lÉ) と展開すしたとする．この時，時点úA で，劣化状態が (i; lÉ) でる．いま，劣化状態 (i; lÉ) から，劣化状態 (i +1; lÉ) に推あったという条件の下で，さらに時点úA から追加的に移する推移強度をíilÉ と表そう．ただし，初期状態 (0; 0)zilÉ (ï 0) 以上にわたって劣化状態 (i; lÉ) が継続する確率F~ilÉ (úA + zilÉ jêilÉ ï úA ) はから (1; lÉ) への推移強度はí0lÉ で表現される．劣化状態(i; lÉ) (i = 0; ÅÅÅ; I Ä1) の寿命を確率変数êilÉ で表す．劣化状態 (i; lÉ) の寿命êilÉ が，確率密度関数 filÉ (êilÉ )，分

F~ilÉ (úA + zilÉ jêilÉ ï úA )= ProbfêilÉ ï úA + zilÉ jêil ï úA g

布関数 FilÉ (êilÉ ) に従うと仮定する．時点 t における劣(10)と定義できる．確率F~ilÉ (zilÉ ) の定義より，
F~ilÉ (úA + zilÉ )ProbfêilÉ ï úA + zilÉ g(11)=
ProbfêilÉ ï úA g
F~ilÉ (úA )化状態が (i; lÉ) であり，そこから時間 zilÉ が経過した時
点 t + 1 で劣化状態 (i; lÉ) が終了する確率密度をハザード関数ïilÉ (zilÉ ) を用いて表現する．この時，ハザードが成立する．式 (8) より，上式の右辺はF~ilÉ (úA + zilÉ )expfÄíilÉ (úA + zilÉ )g=exp(ÄíilÉ úA )F~ilÉ (úA )関数は，供用時間 zilÉ まで劣化状態が (i; lÉ) のまま継続する生存確率F~ilÉ (zilÉ ) を用いて，

filÉ (zilÉ )ÅzilÉ
(4)
F~ilÉ (zilÉ )と表せる．すなわち，ハザード関数ïilÉ (zilÉ ) は，初期時
点から時間 zilÉ が経過するまで劣化状態 (i; lÉ) の状態が態が (i; lÉ) であり，次の測定時点úB = úA + z において継続したという条件の下で，微小期間 [zilÉ ; zilÉ + ÅzilÉ )も劣化状態が (i; lÉ) に留まる確率はïilÉ (zilÉ )ÅzilÉ == exp(ÄíilÉ zilÉ )(12)と変形できる．すなわち，測定時点úA において劣化状

É

中に劣化状態 (i; lÉ) が終了する条件付確率である．ハザ

plii (z) = Prob[h(úB ) = (i; lÉ)jh(úA ) = (i; lÉ)]ード関数が経過時間 zilÉ に依存せず，常に一定値íilÉ > 0= exp(ÄíilÉ z)

をとる場合，指数ハザード関数(13)と表される．ただし，z は 2 つの測定時点の間隔を表す．

ïilÉ (zilÉ ) = íilÉ(5)

つぎに，測定時点úA とúB = úA + z の間で，タイプ lÉのが成立する．指数ハザード関数 (5) を用いることにより，ひび割れの損傷度が i から j (> i) に推移する推移確率ÉÉ

plij (z) は，

タイプ l のひび割れ過程が過去の履歴に依存しないというマルコフ性を表現することが可能となる．式 (4) より，
dF~ilÉ (zilÉ )filÉ (zilÉ )dzilÉ=ÄïilÉ (zilÉ ) =F~ilÉ (zilÉ )F~ (zilÉ )
o
d n
(6)
Ä log F~ilÉ (zilÉ )=dzilÉと変形できる．ここで，F~ilÉ (0) = 1 Ä FilÉ (0) = 1 を考慮し，式 (6) を積分すれば
Z zilÉÇ
Éz ÉïilÉ (u)du = Ä log F~ilÉ (u) 0il

=

ímlÉ
É Ä í
í
klÉ
m=i ml
jÄ
Y1

m=k

(14)

と表すことができる7) ．ただし，表記上の規則として，( QkÄ 1ímlÉímlÉ Ä íklÉ
Qm=i
jÄ 1
ímlÉ

(7)

(k î i + 1 の時)=1m=k í(m+1)lÉ Ä íklÉ = 1(k ï j の時)Éが成立すると考える．また，pliI (z) に関してはマルコフ推移確率の条件より次式が成立する．
É

pliI (z) = 1 Ä

0

IÄ 1
X

É

plij (z) (i = 0; ÅÅÅ; I Ä 1) (15)

j=i

(8)

以上のように，タイプごとのひび割れ進展過程を表現と表される．すなわち，指数ハザードモデルが得られÉした推移確率 plij (z) (i = 0; ÅÅÅ; I Ä 1; j = 0; ÅÅÅ; I; lÉ =Éる．また，式 (8) より，劣化状態 (i; l ) の寿命分布を表0; ÅÅÅ; L) を，以下ではタイプ別マルコフ推移確率と呼ぶ．タイプ別マルコフ推移確率は，推移確率が定義さす確率密度関数 filÉ (zilÉ ) は次式で示される．

filÉ (zilÉ ) = íilÉ exp(ÄíilÉ zilÉ )ímlÉ
exp(ÄíklÉ z)
í(m+1)lÉ Ä íklÉ(i = 0; ÅÅÅ; I Ä 1; j = i + 1; ÅÅÅ; I)を得る．ハザード関数ïilÉ (zilÉ ) = íilÉ を用いれば，劣化状態 (i; lÉ) の寿命が zilÉ 以上となる確率F~ilÉ (zilÉ ) は
ö Z zilÉõ~FilÉ (zilÉ ) = exp ÄïilÉ (u)du= exp(ÄíilÉ zilÉ )

j kÄ
X
Y1
k=i

0

= Ä log F~ilÉ (zilÉ )Éplij (z) = Prob[h(úB ) = (j; lÉ)jh(úA ) = (i; lÉ)]

(9)

れる時間間隔 z のみに依存しており，斉次マルコフ推移

いま，サンプル時間軸上の時点úA = yとúB = y + z

確率になっている．

に測定が実施される場合を考える．さらに，時点ú1 (î

ハザード率íil を用いれば，タイプ l，損傷度 i のひび

ÉúA ) に劣化状態 (i; l ) に推移し，測定時点úA まで劣化状割れが発生した時点から，タイプ lのひび割れが進行

6

び割れ過程の損傷度 in (n 6= l) に関して，(
in î i (n = 1; ÅÅÅ; l Ä 1)

し，損傷度 i + 1 に進むまでの期待期間長 RM Di;l (i =1; ÅÅÅ; I Ä 1; l = 1; ÅÅÅ; L) は，
Z 1
Ä1
RM Dil =F~il (zjíil )dz = íilin < i (n = l + 1; ÅÅÅ; L)(16)が成立する．

0

このように競合的劣化ハザードモデルでは，一部のと表される．したがって，初期時点からタイプ lのひび

ひび割れ過程の情報のみが観測可能である．以上の点割れの損傷度が j (> 1) に推移するまでに要する平均的に留意しながら，競合的推移確率ôil;jm (y; z) (i; j =な経過時間 ETjl (j = 2; ÅÅÅ; I) は

ETjl =

j
X

Ä1
íil

(19)

0; ÅÅÅ; I; l; m = 0; ÅÅÅ; L) を，多段階指数劣化ハザードモデルで求めた各タイプのひび割れ過程における推移(17)

確率 (1),(14),(15) を用いて表現する．劣化状態 (i; l) か

i=1

ら，劣化状態 (i + 1; l) に推移する推移強度をíil と表そと表される．式 (17) を用いて，損傷度 j (j = 1; ÅÅÅ; I)う．ただし，初期状態 (0; 0) からは，劣化状態 (1; n) (n =1; ÅÅÅ; L) のいずれか 1 つに進展することができる．したと平均的な経過時間 ETj (x) の関係 (以下，供用性曲線と呼ぶ) を求めることができる．

がって，劣化状態 (0; 0) が終了する推移強度は(3) 競合的劣化ハザードモデルの導出

í00 =

L
X

í0n

(20)

n=1

以上では，ある特定のタイプ lÉのひび割れ過程に着と表せる．時点 t = úA で測定された道路の劣化状態を目し，その進展過程が多段階指数劣化ハザードモデルでh(úA ) = (i; l)，t = úB で測定された道路の劣化状態を表現されることを示した．つぎに，個々のタイプ n (n =h(úB ) = (j; m) とする．測定間隔 z = úB Ä úA の間に劣化状態が (i; l) から (j; m) に推移する確率ôil;jm (y; z)

1; ÅÅÅ; L) のひび割れ過程が各々独立に進行すると仮定する．その上で，最も劣化が進行したタイプのひび割

は，以下のように定式化できる．

れ過程のみが，記録に残されると考える．この時，複a) i = j = 0 のとき

数のタイプのひび割れ事象の中で，当該区間を代表す

初期状態 (0; 0) は，劣化状態 (1; n) (n = 1; ÅÅÅ; L) のるひび割れ事象を選択するルールを決定しておく必要がある．本研究では，複数のタイプのひび割れの中で，損傷度がもっとも大きいタイプのひび割れ事象を当該区間のひび割れとして代表させることとする．さらに，
複数のタイプのひび割れ事象が，同一の損傷度に位置している場合，舗装マネジメントを実施するうえで，より重要なタイプのひび割れタイプが選択されると考える．

内の，いずれか 1 つに推移すれば終了する．初期状態(0; 0) が終了する推移強度は，式 (20) で定義される．し
たがって，時点 t から，期間長 z にわたって，初期状態(0; 0) に止まる確率ô00;00 (y; z) は，†!
LXô00;00 (y; z) = exp Äí0;n z(21)n=1と定式化できる．すなわち，競合的推移確率ô00;00 (y; z)

ひび割れタイプを表す状態変数 n = 1; ÅÅÅ; L が，状態変数の値が大きくなるほど，管理上より深刻なひび割れタ

は，時点 t に依存せず，期間長 z のみに依存する．

イプとなるように序列化されていると考える．いま，着b) j 6= 0; l 6= m のとき目している道路区間において，タイプ n (n = 1; ÅÅÅ; L)

つぎに，j 6= 0 の場合をとりあげる．この場合，複数のひび割れの損傷度が，それぞれ in (n = 1; ÅÅÅ; L) でのタイプのひび割れ過程の中で，代表的なひび割れ事あると判明している．この場合，その区間の劣化状態

象のみが劣化事象 (i; l) として記録される．2 つの測定時として記録される劣化状態 (i; l) は，(
i = maxfin (n = 1; ÅÅÅ; L)g

点úA = y; úB = y + z において，劣化状態 (i; l); (j; m)

l = maxfnjin = i (n = 1; ÅÅÅ; L)gが観測され，異なるタイプのひび割れが記録された場合(18)に着目する．測定時点úA では，舗装の補修が実施されて (劣化状態が (0; 0) に回復して) から，時間 y が経過しとして定義できる．複数のタイプのひび割れが発生すている．時点 y で測定された劣化状態 h(y) = (i; l) を与る場合，当該の道路区間を代表するひび割れ事象は選件とし，つぎの時点 y + z において劣化状態 h(y + z) =択ルール (18) に従って選択されたタイプのひび割れの(j; m) (j = 1; ÅÅÅ; I; m = 1; ÅÅÅ; L) が選択される条件付みが記録される．すなわち，記録されなかったタイプ

確率 (以下，競合的推移確率と呼ぶ) は式 (1) で定義さのひび割れに関しては，真の損傷度に関する情報は獲れる．同式を再掲する．

得できず，そのタイプのひび割れが「代表的なひび割

ôil;jm (y; z)
Prob[h(y + z) = (j; m); h(y) = (i; l)]=Prob[h(y) = (i; l)]

れとして選択されなかった」という情報のみが獲得可能である．したがって，記録されなかったタイプ n のひ

7

(22)

上式の分子は，2 つの測定時点において，劣化状態を満足しなければならない．この時，事象 3 が生起する(i; l); (j; m) が同時に生起する確率を表している．こ

条件付確率は，れら 2 つの劣化状態が同時に生起するためには，1) 時

P3 (y; z) =点úA において，タイプ lのひび割れが代表 (劣化状態 i)
代表に選ばれないこと (事象 1) ，2) 時点úA において，タイプ m のひび割れが代表に選ばれず，時点úB に代表
プのひび割れが，2 つの時点において同時に代表に選ばれないこと (事象 3) ，という 3 つの排他的な事象が同時に生起しなければならない．
まず，事象 1 に着目する．時点úA において，タイプ lのひび割れが損傷度 i となる確率は pl0i (y) と表せる．さ
らに，時点úB において代表として選ばれないためには，

l > m の時

(23)

Prob[h(y + z) = (j; m); h(y) = (i; l)]
8
9
~in ~
jn
L
< Y
=
X
X
=
pn0s (y)pnst (z):;n=1;6=l;6=m s=0 t=s
8
98
9
~
~im
jl
<
= <X
=
X
m
pl0i (y)plit (z)pm(30)
0s (y)psj (z)
:
;:
;
s=0

t=i

~in
L
Y
X

pn0s (y) (31)と表せる．この時，測定時点úA = yにおいて，劣化状態

plit (z)(i; l) が観測された時に，時点úB = y + z において，劣化状態 (j; m) が観測される競合的推移確率ôil;jm (y; z) は，
8
9
~in ~
jn
L
< Y
=
X
X
ôil;jm (y; z) =pn0s (y)pnst (z):;n=1;6=l;6=m s=0 t=s
8
98
9
~
~im
jl
<X
= <X
=
m
plit (z)
pm
(y)p
(z)
0s
sj
:
;:
;

(24)

t=i

が，期間 z において，損傷度 i から t へ推移する確率であり，多段階指数劣化ハザードモデルを用いて，式(13),(14),(15) のように表現される．また，添え字~jl は
(
j
l<m
~jl =
(25)
j Ä1 l > m

s=0

t=i

8
~in
L
< Y
X

を意味する．

:

つぎに，事象 2 に着目する．時点úA において，タイ

n=1;6=l s=09Ä 1=
pn0s (y);(32)と表される．すなわち，競合的推移確率は，前回の補

プ m のひび割れの損傷度が代表値 i に選ばれないため

修時点からの経過時間 yにも依存することになる．

には，測定時点úA において，タイプ m 6= lの損傷度が(im î i l > m の時
(26)
im < i l < m の時c) j 6= 0; l = m のとき
劣化状態 (i; l); (j; m) が観測され，l = m が成立する場合を考える．このような場合が成立するためには，1)を満足しなければならない．その上で，時点úB におい時点úA = y において，タイプ lのひび割れの劣化状態 iて，タイプ m のひび割れが損傷度 j に推移する同時生起であり，時点úB = y + z において，1) タイプ lのひび割

確率はれ過程において，損傷度が i から j に推移すること (事象mpm
0s (y)psj (z)1') ，2) それ以外のタイプのひび割れが，代表に選ばれ(27)ないこと (事象 2') ，という 2 つの排他的な事象が同時

s=0

と表せる．

n に関する積であることを意味する．したがって，条件

n=1;6=l s=0と表される．ただし，plit (z) は，タイプ lのひび割れ

P2 (y; z) =n=1;6=l;6=m は，l と m 以外の

Prob[h(y) = (i; l)] = pl0i (y)

~

~im
X

Q

つぎに，条件付確率 (22) の分母を求める．時点úA におする確率は

P1 (y; z) = pl0i (y)と表される．ただし，記号

いて，劣化状態 (i; l) が代表値に選択される確率はを満足しなければならない．したがって，事象 1 が生起
jlX

pn0s (y)pnst (z) (29)付確率 (22) の分子は次式で表される．

値 (j; m) に選ばれること (事象 2) ，3) それ以外のタイi î jl < j~~in jnXX

n=1;6=l;6=m s=0 t=sに選ばれ，時点úB において，タイプ lのひび割れ過程がタイプ lの時点úB における損傷度 jl が(i î jl î j l < m の時LYに生起しなければならない．
まず，事象 1' に着目する．タイプ lのひび割れ過程に

最後に，事象 3 が生起する場合を取り上げる．事象 3は，２つの時点úA ，úB において，着目しているタイプ

おいて，時点úA において損傷度 i の状態から，時点úB

n の劣化パターンが，(in î iに損傷度 j に推移する確率は，多段階指数劣化ハザード

l > n の時

in < il < n の時

jn î jm > n の時

jn < jm < n の時(

モデル (13),(14),(15) を用いて

(28a)

P10 (y; z) = pl0j (y)plij (z)(33)と表される．つぎに，事象 2' が生起する場合を取り上(28b)げる．事象 2' は，時点úA において，タイプ l以外の劣化

8

パターンが，条件 (23),(26) を同時に満足する場合に成の経年的変化を，競合的推移確率行列を用いて追跡す

立する．この時，事象 2' が生起する条件付確率は，ることができない．しかし，個別のタイプ別ひび割れ

P20 (y; z) =

L
Y

~in ~
jn
X
X

過程に関する推移確率を用いれば，劣化状態の経年変

pn0s (y)pnst (z)(34)

化を求めることができる．

n=1;6=l s=0 t=s

いま，初期時点から y年経過した時点において劣化状と表される．一方，時点úA = yにおいて，h(y) = (i; l)態 (i; l) (i = 0; ÅÅÅ; I; l = 0; ÅÅÅ; L) が，代表的劣化状態が代表値に選ばれる確率 Prob[h(y) = (i; l)] はProb[h(y) = (i; l)] = pl0j (y)

~in
L
Y
X

として観測される確率 Pil (y) は
8
9
~il
<Y X
=
Pil (y) =pn0in (y) pl0i (y):;p0s (y) (35)n=1;6=l s=0と表せる．この時，測定時点úA において，劣化状態 (i; l)と表される．また，補修時点から y 年経過した時点で，が観測された時に，時点úB において，劣化状態 (j; l) がもっとも劣化が進展したタイプの損傷度が i となる確率観測される競合的推移確率ôil;jl (y; z) は，
8
9
~in ~
jn
L
< Y
=
X
X
ôil;jl (y; z) =pn0s (y)pnst (z) plij (z):;(以下，最大損傷度確率と呼ぶ) Pi (y) はPiÉ(y) =n=1;6=l s=0 t=s

8
~in
L
< Y
X
:

n=1;6=l s=09Ä 1=
pn0s (y);Pil (y)(40)となる．また，補修時点から損傷度が j に到達するまで(36)の期待寿命 ET (j) は

Z 1 X
jÄ 1
ET (j) =y
PiÉ(y)dy0

移確率ôil;jm (y; z) (i = 1; ÅÅÅ; I Ä 1; j = i; ÅÅÅ; I; l; m =1; ÅÅÅ; L) は，タイプ別マルコフ推移確率 plij (z) を用いて表現できる．すなわち，競合的推移確率ôil;jm (z) は，
タイプ別マルコフ推移確率 plij (z) に関する高次多項式

(41)

i=0

と表される．期待寿命 ET (j) を用いて，ひび割れ過程
全体の供用性曲線を求めることができる．

4．推計方法になっている．このため，競合的劣化ハザードモデルを推計する際に，単純な最尤法21) ; 22) を用いることがで(1) ＭＣＭＣ法

きないという問題が発生する．

伝統的なベイズ統計学23) では，共役な事前分布，事
後分布を用いて，統計モデルのパラメータを推計する(4) 非マルコフ性と状態分布予測

方法が採用される24) ．しかし，ハザードモデルの場合，以上で議論したように，タイプ別ひび割れ過程はマ

簡単な指数ハザードモデルを用いても，共役事前確率

ルコフ連鎖で表現されるが，タイプ別ひび割れ過程の分布が存在しないことが知られている25) ．共役事前確

競争関係を記述する競合的推移確率はマルコフ性を満率分布が存在しない場合，事後分布における基準化定

足しない．このことを示すために，サンプル時間軸上数を解析的に求めることは不可能であり，数値解析にで間隔 z で並ぶ 3 つの時点úA ; úB ; úC に着目する．時点間より多重積分を求めることが必要となる．このことが，の時間間隔を z とし，初期時点からの tA ; tB ; tC までの

ベイズ統計学をハザード解析へ適用する際に，大きな障

経過時間を，それぞれ yA ; yB ; yC と表す．競合的劣化過害になっていた．しかし，近年，MCMC 法24) がベイズ

程がマルコフ性を満足する場合，統計学の分野に導入され，多重数値積分により基準化定

Prob[h(yC ) = (j; m)jh(yA ) = (i; l)]数を求めなくても，効率的に事後分布を求めることが可= Prob[h(yC ) = (j; m)jh(yB ) = (k; n)]能となった．その結果，ベイズ推計法の適用範囲は大幅

Prob[h(yB ) = (k; n)jh(yA ) = (i; l)]に拡大したと考えることができる．すでに，MCMC 法(37)を用いたベイズ推計法に関して，いくつかの研究が蓄積を満足する．一方，競合的推移確率 (32),(36) の定義よされている24) ; 26) ．代表的な MCMC 法として，ギブス

り明らかなように，時間間隔 z だけでなく初期時点から

サンプリング (Gibbs sampling) 法，メトロポリス・ヘの経過時間 y にも依存するため，

ô

L
X
l=1

と表される．以上の議論より明らかなように，競合的推

il;jm

(39)

n6=l in =0(yA ; 2z) =

L
I X
X

il;kn

ô

イスティングス (Metropolis-Hastings：MH と略す) 法
kn;jm(yA ; z)ô等が提案されている24) ．すでに，貝戸等は MCMC 法(yB ; z)を用いて，マルコフ推移確率を効率的にベイズ推計す

k=1 n=1(38)

る方法を提案している14) ．しかし，競合的劣化ハザーが成立する保証はない．すなわち，競合的劣化過程はドモデルの推計では，後述するように，尤度関数が特マルコフ性を満足しない．このため，舗装の劣化状態

殊な形をしているため，通常の最尤法やベイズ推計法

927) Ä 28) を用いることが困難である．このようなことかある．

ら，本研究では通常の尤度関数ではなく，尤度関数の完備化29) Ä 32) を行うことにより，MCMC 法を用いて競(3) 完備化尤度関数の定式化

合的劣化ハザードモデルを推計する方法を提案する．

競合的劣化ハザードモデルでは，測定時点において「もっとも損傷が進展したタイプ」の損傷度のみが記録(2) 指数劣化ハザードモデルの特定化される．言い換えれば，測定結果に記載されないタイ

道路舗装のひび割れ状況に関する K 個の定期測定デー

プのひび割れの損傷度 (以下，観測されない損傷度と呼タが得られたと考える．測定サンプル k (k = 1; ÅÅÅ; K)ぶ) に関する情報が入手可能でない．競合的劣化ハザーには，2 個の連続する定期測定が実施されたサンプル時

ドモデルでは，観測されたひび割れタイプだけでなく，k= yk
間軸上の時点（前回から補修時点からの経過）úA

観測されないタイプのひび割れに関する推移確率も用kとúB
= y k + z k ，及び 2 つの測定時点において観測されいて，推移確率ôil;jm が表現される．

た道路舗装の劣化状態 h(y k ); h(y k + z k ) に関する情報ñ =K 個 の 道 路 区 間 で 観 測 さ れ た 測 定 デ ー タò
1
K
ñ
ñ
ñ)
(ò ; ÅÅÅ; ò ) が観測される同時生起確率 (尤度) L(å : ò
ñk : å) をは，競合的劣化ハザードモデルôil;jm (ñy k ; zñk ; xが記述されている．ただし，z k は 2 つの測定時点間の時間間隔である．さらに，2 つの測定時点における劣化状
k(i; j =
態の推移パターンに基づいて，ダミー変数éil;jm

0; ÅÅÅ; I; l; m = 0; ÅÅÅ; L；k = 1; ÅÅÅ; K) を
8k>
< 1 h(y ) = (i; l)kéil;jm =h(yk + z k ) = (j; m) の時>:
0 それ以外の時用いてñ)L(å : ò
(42)

L Y
I Y
L Y
K
IÄ1
YY

=

i=0 l=0 j=i m=0 k=1と定義する．つぎに，道路のひび割れ劣化速度に影響を及ぼす道路の構造特性や環境特性を表す特性ベクトルをxk = (xk1 ; ÅÅÅ; xkM ) と表す．ただし，xkm (m ==1; ÅÅÅ; M ) は道路区間サンプル kの m 番目の特性変数の2

i=0 l=0 j=i k=1

8
L
<
Y
6
4
:

測定値を表す．定期測定スキームの下で得られる測定
サンプル k が有する情報はòk = (ék ; y k ; z k ; xk ) として

m=0;6=lk
整理できる．ただし，ék = féil;jm: i; = 0; ÅÅÅ; I Ä

8
~
jl
<X

1; l; m = 0; ÅÅÅ; Lg はダミー変数ベクトルである．
3. (3) で議論したように，競合的劣化ハザードモデ:

ルは，多段階指数劣化ハザードモデルを用いて表現され

t=iに，3. (2) で述べたように，多段階指数劣化ハザードモ:

デルを用いれば，タイプ別マルコフ推移確率を求めることができる．道路区間サンプル k (k = 1; ÅÅÅ; K) に対して，ひび割れタイプ l (l = 1; ÅÅÅ; L) の損傷度別ハザー

2

ñk
âé
ñk : å) il;jm
y k ; zñk ; x
ôil;jm (ñ

3Ä 1
9é
8
ñk
~in
L < Y
L
= il;jmYX
67
pn0s (ñ
yk )
4
5
;
:
m=0

n=1;6=l s=0~

LY~in jnXX;:

n=1;6=l;6=m s=0 t=split (ñ
zk )

9é
8
ñk
~im
= il;jm <X

8
~in ~
jn
L
< Y
X
X

るタイプ別マルコフ推移確率を用いて表現できる．さらn=1;6=l s=0 t=s

s=0

9é
ñk
= il;jmpn0s (ñyk )pnst (ñ
zk )
;

3
9é
ñk
= il;jm7pmy k )pm
zk )
5
0s (ñ
sj (ñ
;

pn0s (ñy k )pnst (ñ
zk)

9é
ñk
= il;jl;ñkfplij (ñz k )géil;jl(44)

ñk : åil ) であで表される．ただし，plij (ñz k ) = plij (ñzk ; xk
ド率íil
(i = 0; ÅÅÅ; I Ä 1; l = 0; ÅÅÅ; L; k = 1; ÅÅÅ; K) をる．この時，パラメータ推定問題は，尤度関数 (44) を最

舗装特性xk = (xk1 ; ÅÅÅ; xkM ) を用いて，kíil= exp(xk å0il )

L Y
I Y
K
IÄ1
YY

à

大化するようなパラメータベクトルåを求める問題に帰(43)

着される．このように，尤度関数 (44) はマルコフ生起

1と表そう．ただし，åil = (åil; ÅÅÅ; åilM ) は未知パラメー

確率 plij (ñz k ) に関する高度の多項式となり，最尤法を用

m(m = 1; ÅÅÅ; M ) の行ベクトルである．記号 0 は転タåil

いて推定量を求めようとすれば極めて多くの零点解を

置操作を表す．ひび割タイプ lのマルコフ推移確率 plijkk

持つ非線形連立方程式を解かなければならない．このたは，測定間隔 z と道路区間特性x の関数として表現でめ，通常の最尤法を用いて，多段階指数劣化ハザードモ

きる．このことを明示的に表現するために，タイプ別

デルのパラメータを推計することは極めて困難となる．

マルコフ推移確率を plij (z k ; xk : åil ) と表現する．さらk
そこで，本研究では，測定時点úA
において，タイプ n のに，競合的推移確率ôil;jm は，タイプ別マルコフ推移確率

観測されない損傷度の実現値を，潜在変数 skn を用いて

plij (yk ; xk : åil ); pnij (z k ; xk : åil ) (n 6= l) を用いて表現できる．そこで，競合的推移確率をôil;jm (y k ; z k ; xk : å)kにおいて，道路区間 k
表現する．すなわち，測定時点úA

と表現する．ただし，å = (å01 ; ÅÅÅ; åil ; ÅÅÅ; åIÄ 1L ) でと表すことができる．ただし，i は，道路区間 k で観測のタイプ別ひび割れの損傷度はsk = (sk1 ; ÅÅÅ; i; ÅÅÅ; skL )10

されたひび割れ損傷度を表す．潜在変数の値域は(0 î skn î i n < lの時

0 î skn < i n > lの時

より，目標分布からランダムサンプリングを行う方法
である24) ．本研究ではパラメータベクトルåを酔歩過(45)

程 MH 法を用いてサンプリングする．酔歩過程 MH 法と定義される．観測されないタイプの損傷度に関すは推計されるパラメータをある確率密度に従って酔歩る情報は入手不可能であり，潜在変数ベクトルs =させながらサンプリングする方法で，その確率密度が(s1 ; ÅÅÅ; sK ) は観測不可能である．ここでは，かりに潜提案密度となる．本研究では各パラメータが独自に平在変数が測定できたと考え，議論を進める．潜在変数s

均 0 の正規分布に従って酔歩過程を行うと仮定する．すが観測可能な場合，尤度関数 (44) は

なわち，
m(t)

ñ)
~ å: ò
L(s;

åil
2

8
9é
ñk
L < Y
L
= il;jmY
6
7
pn0skn (ñ
yk )
4
5
:
;

IÄ
I Y
L Y
K
Y1 Y

=

m=0

i=0 l=0 j=i k=1

2

L
Y
6
4

m=0;6=l

8
~
jl
<X
:

t=i

8
L
< Y
:

3Ä 1

L
Y

n=1;6=l;6=m

8
~
jn
<X
:

t=sk
n

n=1;6=l(48)

である．ただし，t は標本サンプリング回数である．こできるパラメータであるが，効率的なサンプリングが9=行われるようなものを選択するのが望ましい．以下では，酔歩過程 MH 法を用いたパラメータベクトルåのサ;ンプリング手順を取りまとめる．なお，酔歩過程 MH

39éñk= il;jm noéñk
il;jm 7
pnskn j (ñplit (ñ
zk )
zk )
5
;
~
jn
X

ò N (0; (õilm )2 )m 2
) は，任意に設定することがこで，正規分布の分散 (õil

ñk
é
il;jm

pnskn t (ñzk )m(tÄ 1)Ä åil

法を用いた計算手順を図-3 に一括して整理している．

ａ) ステップ 1

初期値設定

m
提案分布 (48) の分散パラメータõil
の値を任意に設定

する．潜在変数の初期値s(0) = (s(1;0) ; ÅÅÅ; s(K;0) ) を設

9éñk
= il;jl n
oé
ñk
il;jl
pnskn t (ñ
zk )
zk )
(46)
plij (ñ
;
k

~
jn
X

(k;0)

定する．ただし，s(k;0) = (s1(k;0); ÅÅÅ; sL ) であり，潜在変数は制約条件 (45) を満足しなければならない．パ

n=1;6=l sk
n =0 t=snと表現できる．以上の操作を完備化 (completion) と言

ラメータ推定量の初期値å(0) を任意に設定する．これらう．完備化された尤度関数 (以下，完備化尤度関数の初期値の影響は，MCMC 法によるシミュレーションと呼ぶ) (46) は，通常の尤度関数 (44) より大幅に簡回数が蓄積されるにつれ，次第に薄れていく．サンプ

略化されていることが理解できる．ただし，完備化

リング回数 t を t = 1 とする．

尤度関数 (46) の中に含まれる潜在変数sは，本来測定ｂ) ステップ 2

潜在変数s(k;t) の標本抽出されない変数である．そこで，完備尤度関数 (46) を潜在変数s(k;tÄ 1) およびパラメータ推定量å(tÄ 1) を与用いて，潜在変数の確率分布を推計することを考え件として，新しい潜在変数s(k;t) を標本抽出する．そのる．完備尤度関数を展開することにより，潜在変数ために，パラメータ推定量å(tÄ 1) を与件として，ひび割sに関する全条件付事後分布 (full conditional poste-

れタイプ別マルコフ推移 plij (ñy k ) を定義する．そのうえ

rior distribution) を導出することができる．ここで，skÄ n = (s1 ; ÅÅÅ; sk1 ; ÅÅÅ; sknÄ 1 ; skn+1 ; ÅÅÅ; skL ; ÅÅÅ; sK ) とで，式 (47) を用いて，潜在変数s(k;t) を標本抽出する．

すれば，ベイズ法則より skn = s の全条件付事後確率

ハザードモデルのパラメータ標本を酔歩過程 MH 法より抽出する．ここで，パラメータベクトルå(tÄ 1) =ñ ågProbfskn = sjskÄ n ; ò:(4) MH 法

s=0ñk : å0s )pn (ñyk ; x= P~ 0sinn yk ; xñk : å0s )s=0 p0s (ñパラメータå(t) の標本抽出

各劣化タイプに対して定義される多段階指数劣化は，次式で表せる．

ñ)~ k = s; skÄ n ; å : òL(s= P~ ninñ)~ kn = s; skÄ n ; å : òL(sｃ) ステップ 3

1;(tÄ1)

M;(tÄ 1); ÅÅÅ; åIÄ 1L ) の各要素の添え字を再定義し，(å00(tÄ 1)(tÄ 1)(tÄ 1)å= (å1; ÅÅÅ; åJ) と書き換える．この時，酔歩過程 MH 法によるパラメータの標本抽出法は以下のように整理できる．

(47)

ステップ 3-1

更新された潜在変数ベクトルs(k;t) ，パラメータベクトルå(tÄ1) を与件とする．

ステップ 3-2

本研究では代表的な MCMC 法である MH 法24) を用

サンプリング回数 t，サブステップ q のパラメータベクトル

いて，パラメータåの標本サンプルを事後確率密度関数t;qÄ 1å(t;q) = (å1t;q ; ÅÅÅ; åqt;q ; åq+1
; ÅÅÅ; åJt;qÄ 1 )0 (49)から抽出する．MH 法では事後分布からのサンプリン
グが難しい場合に，これを近似するような分布 (提案分を定義する．また，サブステップ q での酔歩過程におけ布と呼ぶ) からサンプリングを行う．さらに，目標分布

るステップ幅ベクトルòtq = (0; ÅÅÅ; 0; òqt ; 0; ÅÅÅ; 0)0 (第 iと近似分布の差異を修正するステップを含めることに要素のみが値òqk をとる列ベクトル) を定義する．酔歩過11

ス テ ップ １ 初 期 値 設 置ｄ) ステップ 4(0)・パ ラメー タ 推 定 量 ： å・サ ン プ ル 数 ： t , tñ
・潜 在 変 数 : s (0)m・乱 数 正 規 分 布 の 分 散 : õilパラメータの更新以上で求めたパラメータ推定量の更新値å(t) を記録
する．t î tの場合，t = t + 1 として，ステップ 2 へ戻る．そうでない場合，アルゴリズムを終了する．

p lij ( yñk ) の 計 算

１）

なお，以上のアルゴリズムの初期段階においては，パ( k;t ) の 標 本 抽 出
s (k;t)ス テ ップ ２式 (13)， (14)，(15)å

ラメータの初期値設定の影響が残存している．このた(tÄ 1)め，シミュレーション回数 t が十分大きなtに到達する
2） sまでのパラメータ標本を除去することが望ましい．この 抽 出 式 (47)(k ;t)のため，MH 法で求めたå(t) (t = t + 1; t + 2; ÅÅÅ; t) をパラメータ標本と考える．以下では，これらの標本を

å(t) の 標 本 抽 出

ス テ ップ ３

用いて，パラメータベクトルåの事後分布に関する各種

òtq を 発 生 式 (50)１）

の統計量を定義する．

2） ã(t;q ) の 計 算 式 (51)u ò U (0 ; 1) の 発 生(t;q )3） å(5) 事後分布に関する統計量の(決 定å(t;q Ä 1) + òtqå(t;q Ä 1)

å(t;q ) =MCMC 法により得られた標本を用いて，パラメータベクトルåに関する統計的性質を分析できる．MCMC
ñ)法を用いた場合，パラメータの事後確率密度関数ô(åjòu î ã(t;q ) の 場 合
その他の場合を解析的な関数として表現することはできない．得られた標本を用いてノンパラメトリックに分布関数や密4） ス テ ップ の 終 了 判 定

q = L
ス テ ップ ４へYes

度関数を推定することとなる24) ．いま，MCMC 法で得q = q+1

Noられた標本をå(t) (t = 1; ÅÅÅ; t) と表そう．この内，最初のt個の標本は収束過程からの標本と考え，標本集合ス テ ップ ４へから除去する．その上で，パラメータの標本添字集合
を M = ft + 1; ÅÅÅ; tg と定義する．このとき，パラメー

ス テ ップ ４ ア ル ゴ リズ ム の 終 了 判 定・ å(t) の 記 録

t= t+1タåの同時確率分布関数 G(å) はt ï tñ

No

G(å) =

Yes
終了

(53)

と表すことができる．ただし，#få(t) î å; t 2 Mg は論理式å(t) î å; t 2 M が成立するサンプルの総数で

注) 図中の式番号は本文中のものと対応している．
図-3#få(t) î å; t 2 Mg
tÄtある．また，パラメータåの事後分布の期待値ベクトル~ (å)，分散・共分散行列Ü
~ (å) は，それぞれ
ê

酔歩過程 MH 法の推計手順~ (å) = (ê~(å1 ); ÅÅÅ; ê~(åJ ))0
ê
t
t
(t)
(t)
ê X
X
åJ ë 0å1; ÅÅÅ;
tÄt
tÄt
t=t+1
t=t+1
0
1
ÅÅÅ õ
~ (å1 åJ )
õ
~ 2 (å1 )B
C. . ..
~ (å) = B ..
C
Ü
. .
@ .
A
2
~ (åJ )õ~ (åJ å1 ) ÅÅÅ õ

程の各ステップ幅は平均が 0 の正規分布に従うと仮定し=ているので，

òqt ò N (0; (õq )2 )(50)が成立する．これらを与件として，以下を計算する．

#
ñ)~ (t) ; å(t;q) ; òL(s;1ã(t;q) = minñ)~ (t) ; å(t;qÄ 1) ; òL(s"õ~ 2 (åi ) =その他の場合iõ~ (åi åj )から，一様乱数 u ò U (0; 1) を発生させ，å(t;q) を以下

u î ã(t;q) の場合

t(t)X~(åi )g2
få Ä ê

t=t+1

区間 [0; 1] で定義される一様分布 U (0; 1)のルールに従い決定する．
(
å(t;q) + òtqå(t;q) =å(t;q)(54b)と表される．ただし，(51)

ただし，L~は完備化尤度関数である．

ステップ 3-3

(54a)

=

(t)
t
~(åi )gfå(t) Ä ê~(åj )gXfåi Ä ê
j

t=t+1

(52)

tÄt

tÄt

(55a)

(55b)

である．また，パラメータ標本を用いて，パラメータ

以上の手続きを q = 1 から q = L まで実施する．

åの信頼区間を定義できる．たとえば，パラメータåの12"100(1 Ä 2")% 信頼区間は，標本順序統計量å"j ; åj (j =1; ÅÅÅ; J)

表-2 ひび割れ劣化状態
劣化状態
物理的な意味0,0 (0)新設状態
1,1 (1)
縦ひび割れ (小規模)(中規模)
2,1 (2)(大規模)
3,1 (3)
1,2 (4)
横ひび割れ (小規模)(中規模)
2,2 (5)(大規模)
3,2 (6)
1,3 (7)
面ひび割れ (小規模)(中規模)
2,3 (8)(大規模)
3,3 (9)å"j = arg max
É
(

åj

(t)

#fåj î åjÉ; t 2 Mg
tÄt

î"

)

(56a)

)

(56b)

"

åj = arg min
ÉÉ
(

åj

(t)

#fåj ï åjÉÉ; t 2 Mg
tÄt

î"

"

を用いてå"j < åj < åj と定義できる．

注) 劣化状態の括弧内の数字は，路面性状測定時における評価結果を表している．

5．適用事例る損傷度評価が行われる．1 つのセクションに複数のひ(1) 適用事例の概要

び割れが存在する場合には，発見されたひび割れの中本研究で提案した競合的劣化ハザードモデルを，東で，もっとも進行したひび割れが選択され，当該セク

関東自動車道 (区間：湾岸市川 IC-潮来 IC) において過ションの代表的なひび割れとしてデータベースに記載

去 13 年間 (1992 年～2004 年) に実施された路面性状測される．このため，ある時点の路面性状測定時点と，次定結果に適用する．対象とするデータベースは，測定の測定時点の間に，セクションを代表するひび割れがデータと補修履歴データから構成されている．測定デー

変化し，データベースには異なるひび割れの情報が記

タは前稿11) で用いたものと同じであり，測定は 2 年，3載されることがある．本データベースから，直近の補年若しくは 11 年間隔で行われている．また，補修履歴

修履歴が存在し，かつ，過去 2 回以上路面性状測定が実データは，今回新たにデータベースに加えたデータで施された区間を抽出し，連続する 3 回の損傷度評価に基あり，対象区間における補修履歴を記載している．以づいて，劣化状態 (ひび割れのタイプと損傷度) の推移

下では，前稿11) と重複する部分も存在するが，データ状況に関するサンプルデータを作成した．ただし，測ベースの概略について紹介しておく．対象とする高速

定誤差などの理由により，損傷度が前回よりも回復し道路区間は全区間長が 74.5km であり，合計 11 個の部分ているサンプルはデータベースから削除した．その結区間により構成される．同区間では，大型車の利用が果，競合マルコフ劣化ハザードモデルの推計のために多く，中交通区間 (1 方向あたり 1 日 1,500 台以上 5,000

利用可能なサンプル数 K は合計 4; 180 個となった．

台未満) に分類される部分区間が多い．中には，超重(2) 劣化パターンの設定

交通区間 (1 方向あたり 1 日 10,000 台以上) に指定されている部分区間が 4 箇所存在している．また，舗装種別

適用事例では，ひび割れの劣化状態を表-2 に示す状態

はアスファルト舗装であり，車線構成は 8 区間 (湾岸市

変数を用いて表現する．測定時点úA の劣化状態を (i; l)，

川 IC～成田 IC) が片側 3 車線で，3 区間 (成田 IC～潮測定時点úB の劣化状態を (j; m) と表す．測定間隔を z

来 IC) が片側 2 車線である．同区間で実施された路面とする．劣化状態 (3; 3) は吸収状態でありô33;33 = 1

性状測定の結果は，ひび割れの状態を，0 から 9 までのが成立する．つぎに，測定時点úA における劣化状態が整数値 (レーティング) で評価している．これらのレー(2; l) (l = 1; 2; 3) である場合に着目する．この場合，測ティングは，3 つのひび割れのタイプ (縦ひび割れ・横定時点úA とúB の間における状態推移確率として 1) 劣化

ひび割れ・面ひび割れ) と各タイプに対する 3 つの損傷状態 (ô2l;2l ) に留まる場合，2) 損傷度 2 において他の度 (劣化の進行度) の組み合わせに対応している．本研

劣化状態に推移する場合 (ô2l;2m (m = l + 1; ÅÅÅ; 3)) ，究では，ひび割れの状態を，表-2 に示すようなひび割

3) 損傷度 2 から損傷度 3 に推移する場合 (ô2l;3m (m =れのタイプと，各タイプに対する損傷度の組み合わせ

1; 2; 3)) が考えられる．さらに，測定時点úA におけるにより表現した．同表には，路面性状測定における評

損傷度が i = 1 の場合，測定時点úA とúB の間における価結果との対応関係も示している．なお，本稿では大状態推移確率として 1) 劣化状態 (ô1l;1l ) に留まる場

規模な面ひび割れ (表中の劣化状態 (3; 3)) のみを競合的

合，2) 損傷度 1 において他の劣化状態に推移する場合

劣化過程の吸収状態と考える．

(ô1l;1m (m = l+1; ÅÅÅ; 3)) 3) 損傷度 1 から損傷度 2 に推高速道路における路面性状測定では，各路線の 100m

移する場合 (ô1l;2m (m = 1; 2; 3)) ，4) 損傷度 1 から損傷

を 1 セクションとして，セクション毎にひび割れに対す

度 3 に推移する場合 (ô1l;3m (m = 1; 2; 3)) が存在する．

13

最後に，時点úA における劣化状態が (0; 0) の場合，1) 損
劣化過程(i; l)(0,1)

傷度 0 に留まる場合 (ô00;00 ) ，2) 損傷度 0 から損傷度 1に推移する場合 (ô00;1m (m = 1; 2; 3)) ，3) 損傷度 0 から
損傷度 2 に推移する場合 (ô00;2m (m = 1; 2; 3)) ，4) 損傷
度 0 から損傷度 3 に推移する場合 (ô00;3m (m = 1; 2; 3))(1,1)

が存在する．各サンプルデータには，直近の補修時点と，(2,1)

連続した 2 つの測定時点における前の劣化状態 (i; l)，後の劣化状態 (j; m) に関するデータが記載されている．本(0,2)

研究では直近の補修時点と，連続する 2 つの測定時点の(1,2)

劣化状態の間の推移パターンのペアを 1 つのサンプルと(2,2)

して用いることとした．

(0,3)(3) 推計結果(1,3)

ひび割れの劣化状態は，表-2 に示したような 10 個の(2,3)

状態変数を用いて表現することができる．このうち，各ひび割れタイプの終局状態である (3,1)，(3,2)，(3,3) を除いた合計 7 つの劣化状態に対して，それぞれ劣化ハ化状態 (i; l) における劣化ハザードモデルは，
4
3 X
X

m k
å0n
xm

n=1 m=1
4
X
k
m k
=
åin
xm
íin
m=1

-5.551-2.488-1.611-5.343-2.390-3.707-4.533-1.978-6.434-

パラメータの推計結果
2
3
åil
åil

0.490
(10.108)
0.336(9.000)-1.112(6.957)
-

4
åil

1.781
(51.222)0.589(4.592)3.038(757.729)
1.542(56.284)3.893(110.347)-1.568(17.395)-

注) 括弧内は尤度比検定統計量を表している. また，吸収状態についてはハザード率が 0 となる．同表では，吸収状態のハザード率を記述していない．

ザードモデルを定義することができる．サンプル k の劣

k
í00
=

表-4
1
åil

(57a)

の最大値を 1 として基準化している．) をとりあげた．
ベイズ推計には推計パラメータの収束判定方法は存在するものの，パラメータの有意性を評価する簡便な指(57b)標が存在しないという問題がある．そこで，本研究で(i = 1; 2; n = 1; 2; 3; k = 1; ÅÅÅ; 4180)

は，説明変数の選定に際して，各説明変数の説明力をと表せる．このように劣化ハザードモデルを特定化す

尤度比検定統計量を用いて定量的な評価を行った．本

れば，7 つの劣化状態のそれぞれに対して推移強度が存

来，尤度比検定は最尤推計法において用いられる検定在する．したがって，合計 7 個の推移強度モデル (43) を法である．しかし，本研究で用いた酔歩過程 MH 法は，推計することが必要となる．推移強度モデルの説明変そのアルゴリズムが，最尤法で用いられるパターン法

数として，定数項，車種別交通量，舗装特性，道路構造

22) と類似している．そのため，酔歩過程 MH 法による特性，車線，勾配，気温等の自然条件等を考えること

発生サンプルから求めた尤度の平均値に対して，尤度ができる．しかし，本データベースでは，東関東自動比検定を行うこととした．当然のことながら，分析対

車道という単一路線を対象としているため，本来ひび象とする路線が異なれば，採用すべき説明変数も変わ

割れの進行に影響を及ぼす舗装特性，勾配，自然条件

りうる．その意味において，今回のケースで採用したに関する情報は，対象とするセクションごとに同一の説明変数を用いて推計した競合的劣化ハザードモデル

値をとる．このため，これらの変数は推移強度モデル

は，分析対象としてとりあげた対象区間においてのみの説明変数にとりあげられていない．むしろ，その効適用可能であることは言うまでもない．

果は定数項に集約的に表現されていると考えることが以上の説明変数を用いて，7 個の推移強度モデルのパできる．さらに，当該区間は区間内に成田空港用の IC

ラメータを推計した．さらに，各推移強度モデルごとを有しており，当 IC をはさんで交通量が大きく異なる．

に，説明変数の組み合わせを変化させ，競合マルコフ劣

具体的には，湾岸市川 IC から成田 IC(以下では成田以化ハザードモデル全体の推計精度を比較した．その際，西と呼ぶ) までの 1 車線あたりの平均大型自動車交通量
は約 3,300 台であるのに対して，成田 IC から潮来 IC(以説明変数の説明力を尤度比検定を用いて評価し，説明^ ) (m =力の乏しい説明変数を除外した．尤度比 R(å下では成田以東と呼ぶ) までの区間では約 1,000 台であ

1; ÅÅÅ; I) は次式で求めることができる．

Ämる．それと同時に，それぞれの区間によって舗装構造^ ) = 2fln L(å)^ Ä ln L(å
^ )g
R(å
Äm
Äm

も異なる．以上の状況を考慮して，競合的劣化ハザー(58)^ は，パラメータの平均値ベクトルå
^に
ここで，å
Äm
^
対して，第 m 要素åm を 0 に置換したベクトルである．

ドモデルの推計に用いる説明変数として，道路構造特性と道路区間，大型車交通量 (大型交通量は区間内で14

表-5 レーティング期待寿命k
劣化状態E[íil ] E[RM Dil
](年)
(0,1)
0.032
30.974
0.122
8.172
(1,1)
0.200
5.008
(2,1)
(0,2)
0.046
21.743
0.253
3.958
(1,2)
(2,2)
0.318
3.146
(0,3)
0.004
261.215
0.138
7.227
(1,3)
0.001
622.660(2,3)
注) 各劣化現象において損傷度 3 はマルコフ連鎖の吸収状態であり，ハザード率，期待寿命は定義されない．

^ )j ï 3:48 が成立する場合，有意水準 5%で帰無jR(åÄm仮説åm = 0 を棄却することができる．さらに，パラメータの推計結果の符号が解釈可能か否かを考慮して，

表-6 ひび割れタイプ別推移確率行列 (平均化操作後)ひび割れタイプ
縦ひび割れ
損傷度
0
1
2
3
0
0.968 0.030 0.002 0.000
0.0
0.885 0.104 0.011
1
0.0
0.0
0.819 0.181
2
0.0
0.0
0.0
1.0
3
ひび割れタイプ
横ひび割れ
00.955 0.040 0.005 0.001
0.0
0.777 0.190 0.033
1
0.0
0.0
0.728 0.272
2
0.0
0.0
0.0
1.0
3
ひび割れタイプ
面ひび割れ
00.996 0.004 0.000 0.000
1
0.0
0.871 0.129 0.000
0.0
0.0
0.998 0.002
2
0.0
0.0
0.0
1.0
3
注) 推移行列は，1 年間の間に生起する状態推移確率を示している．ここでは，平均操作を行い，当該路線の平
均的なひび割れ発生，推移確率を求めたものである．

最終的に説明変数の組み合わせを決定した．以上のプロセスを経て推計した結果を表-4 に示している．表中

0.03の括弧の中は尤度比を表す．説明変数 xk1 = 1 は恒常的

0.021
は定数項を表す．また，xk2 ，xk4 はに値 1 をとり，åin
(0 土工部の場合
k
x2 =1 橋梁部の場合(
0 成田以西の場合
xk4 =1 成田以東の場合

推移確率の増減値

0.01
0
0

20

30

-0.03

である．劣化状態 (i; l) = (2; 1)，(1; 3)，(2; 3) において

-0.04

40

50

ô13;13
ô13;21
ô13;22
ô13;23
ô21;21
ô21;22
ô21;23
ô21;31-0.02という値をとるダミー変数であり，xk3 は大型車交通量
は，推移強度モデルは定数項のみで構成される．以上

10

-0.01

-0.05

の推計結果より，ひび割れの発生には道路区間 (成田以経過年数(年)西，もしくは成田以東) が重要な影響を及ぼすことが理解できる．たとえば，í01 ，í11 に対する道路区間のパラ
44，å11が，それぞれ 1:781，0:589 であり，尤度
メータå01

比検定統計量も大きな値を示している．このことより，

注) 縦軸は各競合的推移確率の初年度からの変化量を表している．初年度の競合的推移確率は表-8 に示すとおりである．また，横軸は初期時点からの経過年数を表している．
図-4

成田以西では，成田以東に比べて縦ひび割れの進行が各推移確率の経年変化早いことが理解できる．同様に，横ひび割れに関しても，成田以西の方が進行が早いことが理解できる．これに対して，面ひび割れに関しては，í03 に対する道路

び割れと横ひび割れに関しては，損傷度が大きくなる

4
区間のパラメータå01
がÄ1:568 であり，成田以西の方がにつれて，ひび割れの進行速度が加速されることが理

進行が遅いことが理解できる．つぎに，大型自動車交

解できる．さらに，横ひび割れの方が，発生までの期

通量の影響についてみてみると，大型自動車交通量は，間長やひび割れが発生してからの期待寿命が短いとい

縦ひび割れが健全な状態から損傷度 1 の状態に進行する

う結果になっている．また，面ひび割れに関しては，ひ際には，進行を促進する影響を与えるものの，その他

び割れが健全な状態から損傷度 1 に進行するまでの期の劣化過程には有意な影響を与えない．さらに，縦ひ待寿命と，損傷度 2 から 3 に進行するまでのそれが，そび割れと横ひび割れとが健全な状態から損傷度 1 の状

れぞれ 261 年，622 年と，非常に長くなっている．これ態に進行する際には，構造特性 (土工部，もしくは橋梁

は，面ひび割れが代表値となっているサンプルが極め部) が劣化の速度に影響することが読み取れる．

て少ないことに起因する．分析対象とした道路区間に

つぎに，推計されたパラメータを用いて式 (57b) より

おいては，面ひび割れが発生する以前の段階で，道路各劣化状態のハザード率の期待値と期待寿命を算出し舗装の補修が実施されており，面ひび割れがほとんどた．その結果を，表-5 に示している．これより，縦ひ観察されていないと解釈する方が妥当である．

15

表-7 競合的推移確率行列の推計結果 (平均化操作後)
劣化状態
(0,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(0,0)
0.921 0.028 0.039 0.004 0.002 0.005 0.000 0.000 0.001 0.000
0.0
0.842 0.035 0.003 0.104 0.005 0.000 0.011 0.000 0.000
(1,1)
0.0
0.0
0.772 0.003 0.001 0.190 0.000 0.000 0.033 0.000
(1,2)
0.0
0.0
0.0
0.865 0.002 0.004 0.129 0.000 0.001 0.000
(1,3)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.814 0.004 0.000 0.181 0.001 0.000
(2,1)
(2,2)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.727 0.000 0.000 0.272 0.000
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.998 0.000 0.001 0.002
(2,3)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.999 0.001 0.000
(3,1)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1.000 0.000
(3,2)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1.0
(3,3)
注) 補修直後の 1 年間の間に生起する競合的推移確率を示している．ここでは，平均操作を行い，当該路線の平均的なひび割れ発生，推移確率を求めている．

(4) 分析結果

100%

競合的劣化ハザードモデルを用いて，競合的推移確率

(3,3)
(3,2)
(3,1)
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
(0,0)

90%

行列を求めよう．本研究で提案したハザードモデルは，

80%

説明変数の組み合わせごとにハザード率を定義できる．

70%

言い換えれば，道路特性別の競合的推移確率を推計す60%ることができる．さらに，競合的劣化ハザードモデルで

50%
40%

は非斉次の推移確率を用いているため，直近の補修時

30%点からの経過年数に応じて，より詳細な推移確率の推20%計が可能である．まず，すべての道路区間に対して平均10%化操作を施した平均的なハザード率を用いて，ひび割

0%1０

れタイプ別の劣化状態の推移確率を求めた．その結果

５6に示す推移確率はマルコフ性を満足している．さらに，以上で定義した平均的ハザード率と式 (21),(32),(36) を用いて求めた競合的推移確率行列を表-7 に示している．

１５
16

２０
21

２５
26

３０

経過年数(年)を表-6 に示している．ひび割れタイプ別の劣化過程は，多段階指数劣化ハザードモデルで表現されており，同表

１０11注) 括弧内の数字は劣化状態 (i; l) を表している．劣化状態 (3; 3) は吸収状態である．
図-5

劣化状態分布の経年変化

競合的推移確率はマルコフ性を満足しておらず，直近の補修時刻からの経過時間により推移確率行列が変化する．表-7 に例示した競合的推移確率は，補修時刻かともに劣化速度の速いタイプのひび割れが代表値としら最初の 1 年間において生起する競合的推移確率を表て選択される確率が増加する．しかし，このような動している．補修直後の 1 年間を対象としているため，比的サンプル選択バイアスは，経過時間とともに，ある較的軽微な損傷度間の推移確率が大きい値を示してい一定値に収束していくことが理解できる．

る．さらに，図-4 は，競合的推移確率の経年変化を示

つぎに，競合的推移確率行列を用いて，劣化状態分したものである．同図は，横軸に示す期間が経過した時

布の経年による推移状態を求めることとする．競合的点における 1 年間隔の推移確率と初年度からの 1 年間に推移確率行列はマルコフ性を満足しないため，劣化状

おける推移確率の差が，経過時間によってどのように態分布を求めるためには，初期時点を起点とするサン

変化するかを示している．したがって，同図において，

プル時間軸上で，初期時点の劣化状態 (0; 0) から，時点

同一のひび割れタイプ間の推移確率の変化量がほぼゼy における劣化状態 (i; l) に推移する確率 Pil (y) を直接求めることが必要となる．式 (39) を用いて，経過年数0 に近い値を示していることは，経過年数によらず推移
確率がほぼ一定の値を示していることを意味する（黄緑色）．しかし，同一の劣化状態に留まる推移確率の変y に対して，各劣化状態が生起する確率 Pil (y) を求めた
結果を図-5 に示している．同図において，縦縞は損傷

化量は，経過年数に伴って次第に減少し，定常状態に度 1，格子は損傷度 2，横縞は損傷度 3 の状態を表して収束している（青色）．一方，ひび割れタイプ間の推移いる．また，ひび割れタイプは下から順に縦ひび割れ，

確率の変化量は，時間とともに増加し，定常状態に収

横ひび割れ，面ひび割れとしている．同図より，以下の束する（桃色）．以上のことより，測定によって観測さような経験的事項を読み取ることができる．まず，劣化れる劣化状態には，2. (4) で言及したように，時間との速度に着目すると，健全なセクションの割合が 50%

16経過年数（年）
0

10

20

30

経過年数（年）
40

50

60

0

0

健
全
度

10

20

30

40

50

60

0

1

健
全
度

1

2

2

3

3
BMケース
交通量min土工
交通量max

橋梁
成田以西

BMケース

注) BM ケースは対象区間における平均的なセクションの供用性曲線を示している．また，交通量は大型交通量を示しており，区間内での最大値を 1 として基準化したものである．なお，交通量に関する感度分析は，成田以西の区間を対象に行っている．
図-6

土工

橋梁

成田以西

注) BM ケースは対象区間における平均的なセクションの供用性曲線を示している．また，交通量は大型交通量を示しており，区間内での最大値を 1 として基準化したものである．なお，横ひび割れに関しては，交通量に関する感度分析は行っていない．
図-7

縦ひび割れの供用性曲線 (競合)

横ひび割れの供用性曲線 (競合)になるのにかかる期間は約 9 年であり，30%になる期間

田以西の区間の中で観測された最大交通量と最小交通は約 16 年である．つぎに，各ひび割れタイプの割合に量を用いてハザード率を求め，それぞれのハザード率着目すると，損傷度 1 においては縦ひび割れと横ひび割に対応する供用性曲線を求めた結果も示している．これの割合はほぼ 1 対 1 であり，その他の損傷度においてれらの図より，以下の点が読み取れる．第 1 に，縦・横は横ひび割れの占める割合の方が大きくなっている．特ひび割れは，いずれも初期ひび割れが発生するまでにに，損傷度 3 の横ひび割れは，10 年が経過した辺りかは時間を要するものの，一旦ひび割れが発生するとひら急速に増加し，それ以上の劣化状態 (損傷度 3 の面ひび割れは加速度的に進行する．第 2 に，横ひび割れの方

び割れ) に推移していない．このことは，損傷度 3 の面が縦ひび割れよりも劣化速度が速い．例えば BM ケー

ひび割れが発生する前の段階で，舗装の補修が実施さスでは，健全な状態から損傷度 1 に劣化するまでに約れるため，損傷度 3 の横ひび割れが劣化過程の吸収状態

10 年，損傷度 3 に劣化するまでには 15 年程度の差があの役割を果たしていることを示している．また，全損る．第 3 に，両ひび割れタイプに共通して，土工部の方

傷度を通じて，セクションを代表するひび割れタイプ

が橋梁部より劣化速度が速い．具体的には，その差はとして面ひび割れがほとんど観測されていない．これそれぞれ約 18 年，約 8 年である．第 4 に，BM ケースのは，面ひび割れが生起する頻度自身が少ないこと，他

供用性曲線は比較的土工部の供用性曲線に近い形状をのひび割れタイプの劣化の進行が速いこと，および面示しているが，これは本研究の対象区間では土工部がひび割れが発生する前の段階で舗装の補修が実施され

約 8 割であったことに起因する．第 5 に，両ひび割れタることの３点に起因している．ここで，図-5 は最も劣イプにおいて成田以西の区間は BM ケースと比べて大化した劣化状態 (代表値) の経年変化を示したものであ幅に劣化速度が速くなっている．特に，この健康は横り，同図において代表値に選ばれる割合が小さい場合

ひび割れにおいて顕著であり，劣化が進行するにつれでも，実際にはその劣化状態が多数生起している可能て成田以西と BM ケースとの期待寿命の差が大きくなる．第 6 に，縦ひび割れにおいては交通量が劣化速度に性がある点に留意しなければならない．
つぎに，式 (17) を用いて，縦ひび割れと横ひび割れ

影響を与えており，交通量最大のセクションと交通量の供用性曲線を求めた．その結果を図-6，図-7 に示す．

最小のセクションでは，期待寿命に約 10 年の差がある．

同図には，対象区間全体の平均ハザード率を用いた供

つぎに，式 (41) を用いて，ひび割れ過程全体の供用

用性曲線 (BM ケースと呼ぶ) ，および土工部，橋梁部，性曲線を図-8 に示す．同図では，最も進行しているひ

成田以西の区間の平均ハザード率を用いて求めた供用

び割れタイプの損傷度を，サンプルを代表する損傷度と性曲線を併せて示している．さらに，図-6 には，交通して示している．このため，図-6，図-7 に示す供用性

量がひび割れ進行に及ぼす影響を分析するために，成曲線よりも，劣化の進行速度が速い供用性曲線が得られ

17

経過年数（年）
0

5

10

15

100%

20

(3,3)
(3,2)
(3,1)
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
(0,0)

90%

0

80%
70%
60%

健
全
度

1

50%
40%
30%

2

20%
10%
0%

3

０
1

BMケース
交通量0.4土工
交通量max

橋梁
成田以西

１０
11

１５
２０
16
21
経過年数(年)

２５
26

３０
31

注) 括弧内の数字は劣化状態 (i; l) を表している．劣化状態 (1; 3); (2; 3); (3; 3); (3; 1); (3; 2) は吸収状態である．

注) 括弧内の数字は劣化状態 (i; l) を表している．
図-8５6

ひび割れ過程全体を考慮した供用性曲線

図-9

劣化状態分布の経年変化 (階層型)
経過年数（年）

る．各道路特性ごとの供用性曲線の形状は，図-6，図-7

0

10

20

30

40

50

0

において確認した事項と同じ特性が読み取れる．各ひび割れ過程が競合する結果，ひび割れ全体の進行速度
は，各タイプ別のひび割れ進行速度よりも，かなりの健
全度

程度早いことがわかる．たとえば，劣化速度の速い横ひび割れと比べてみても，ひび割れ過程全体の劣化速

1

2

度は 2 倍近くになっている．さらに，劣化が始まってからの劣化の進行速度も，図-6，図-7 と比べて，より加速された結果となっている．

3
競合的モデル(5) 他のハザードモデルとの比較

多段階モデル

ひび割れ過程全体

注) BM ケースは対象区間における平均的なセクションの供用性曲線を示している．また，交通量は大型交通量を示しており，区間内での最大値を 1 として基準化したものである．

競合的劣化ハザードモデルの推計結果と，筆者等が提案した階層型指数劣化ハザードモデル，多段階指数
劣化ハザードモデルを用いた推計結果を比較し，競合

図-10

的劣化ハザードモデルの特性を明らかにする．階層型

縦ひび割れの供用性曲線 (多段階)

指数劣化ハザードモデルの詳細については参考文献に譲る．モデルの推計にあたっては，同一のデータベースを用いた．ただし，多段階指数ハザードモデルの推計に推計した競合的推移確率はマルコフ性を満足しない．競あたっては，各ひび割れタイプの損傷データのみを用

合的劣化ハザードモデルを用いた場合，タイプ別ひび

いて，モデルを推計している．図-9 に，階層型指数劣割れの進行過程の推計精度は向上するが，モデルの操化ハザードモデルを用いて求めた劣化状態分布の経年作性が高くないという難点がある．一方，階層型指数変化を示している．同図と図-5 を比較することにより，劣化ハザードモデルは，劣化過程をマルコフ連鎖モデ

損傷度別の状態分布には大きな差異がないが，個別のルを用いて近似することにより，操作性が向上するとひび割れに関しては状態分布に差異が見出せる．特に，いう利点がある．いずれのモデルが望ましいかは，分階層型指数劣化ハザードモデルを用いた場合，横ひび析対象とする問題のタイプに依存する．しかし，階層割れが出現確率が小さくなっている．すなわち，図-4型指数劣化ハザードモデルを用いた場合，ひび割れタに示したように，階層型指数劣化ハザードモデルを用

イプごとの劣化速度評価を行うことはできない．タイ

いた場合，動的サンプル選択バイアスにより，横ひび

プ別の評価を行うためには，競合的劣化ハザードモデ

割れの競合的推移確率が過小評価される危険性がある．

ルを用いることが必要となる．

3. (4) で言及したように，競合劣化ハザードモデルで次に，多段階指数劣化ハザードモデルを用いて求めた18

経過年数（年）
0

10

20

30

40

50

0

段階指数劣化ハザードモデルで表現するとともに，個々のタイプのひび割れの中でもっとも損傷度が大きいひび割れのみが観測される状況を競合的劣化ハザードモ
デルを用いて表現した．つぎに，道路舗装のひび割れ

健
全
度

1

に関する定期測定結果に基づいて，ハザードモデルを推計し，道路の構造特性，舗装特性，および交通条件が道路舗装のひび割れ過程に及ぼす影響について分析し2た．さらに，東関東自動車道におけるひび割れに関する測定結果に基づいて，ひび割れ進行過程に関する実3

証的な知見を得ることができた．今後，他の高速道路競合的モデル

多段階モデル

ひび割れ過程全体

デルの適用性を広げる努力が必要である．また，本研注) BM ケースは対象区間における平均的なセクションの供用性曲線を示している．また，交通量は大型交通量を示しており，区間内での最大値を 1 として基準化したものである．
図-11

路線を対象とした適用事例を蓄積することにより，モ究で提案した方法論は，道路舗装のひび割れ過程だけでなく，多元的な特性を持つ土木構造物の劣化過程の分析に幅広く適用可能である．本研究で提案した方法

横ひび割れの供用性曲線 (多段階)論に関して，今後以下のような研究課題が残されている．第 1 に，舗装の劣化状態に関する測定誤差の問題が考えられる．本研究の適用事例で用いたデータベー

縦ひび割れ，横ひび割れの供用性曲線を図-10，図-11

スは良好な測定精度を有しており，ハザードモデルのに示している．これらの図には，競合的劣化ハザード

推計にあたって測定誤差が問題となることはなかった．

モデルを用いて求めた各ひび割れタイプの供用性曲線

しかし，測定精度が十分でないようなデータベースをも示している．これら 2 つの図に示すように，多段階指用いてハザードモデルを推計するためには，測定誤差

数ハザードモデルを用いて作成した劣化期待値バスは，分布を考慮したような隠れマルコフ劣化モデルを開発

競合的劣化ハザードモデルを用いた場合よりも，よりすることが必要となる．第 2 に，損傷度が進展したセク

早く劣化が進行する結果となっている．多段階指数劣ションでは，舗装の補修が実施され，サンプルが欠損化ハザードモデルの推計で用いたデータベースは，各する可能性がある．特に，面ひび割れのハザード率のひび割れタイプに関して劣化の速いものを集めた代表

推計において，サンプル欠損の問題を解決することがサンプルで構成されている．そのため，代表サンプルの必要である．サンプル欠損による推計バイアスに対しみを用いた場合，期待寿命を過小評価する危険性があては，状態変数の出現確率と観測サンプル数の比を用る．一方，競合的劣化ハザードモデルでは，代表サンプ

いて尤度関数を修正することにより対処可能である9) ．

ルとして観測されないひび割れタイプの損傷度分布に最後に，本研究で推計したマルコフ推移行列を用いて，関する情報を推計に利用することが可能である．なお，

ひび割れ補修のために必要となるライフサイクル費用

同図には，すべてのひび割れが競合した結果，代表的を求めることが可能である．ひび割れ補修工法と計画

サンプルとして観測されるひび割れの損傷度データをが与えられれば，容易にライフサイクル費用を推計す用いて作成した供用性曲線も併記している．このようることができる．また，道路舗装のアセットマネジメに代表サンプルを用いて推計した供用性曲線は，多段ントを行う立場からは，わだち掘れ，平坦性，段差等，

階指数劣化ハザードモデルを用いて推計した供用性曲他の原因で発生する道路舗装の劣化事象の発生・進行線よりも，劣化が早く進行する結果となっている．こプロセスとの競合関係を考慮したライフサイクル費用のように代表値サンプルのみを用いて多段階指数劣化評価の方法論を開発することが必要である．

ハザードモデルを推計した場合，代表値サンプルのみ

なお，本研究の一部は文部科学省「若手研究者の自を用いてハザードモデルを推計したことによる，サン立的研究環境整備促進」事業によって大阪大学グロー

プル選択バイアスが発生することが理解できる．

バル若手研究者フロンティア研究拠点にて実施された．

6．おわりに

参考文献

本研究では，道路舗装のひび割れによる劣化状態を，
ひび割れタイプと損傷度という 2 つの状態変数で表現した．その上で，個々のタイプひび割れの進行過程を多191) 阿部頼政，飯野忠雄：わだち掘れ測定データの解析法に関する研究，土木学会論文集，No.478/V-21，pp.117-123,
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ザードモデルの推計，土木学会論文集，No.791/VI-67，
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サンプル欠損を考慮した舗装劣化予測モデル，土木学会
論文集 F，Vol.63，No.1，pp.1-15，2007.
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Bayesian inference in hidden Markov models throughthe reversible jump Markov chain Monte Carlo
method, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol.62, pp.57-75, 2000.
32) Celeux, G., Hurn, M. and Robert, C.P.: Computational and inferential diéculties with mixture posterior distributions, Journal of the American Statistical
Association, Vol.95, pp.957-970, 2000.
(2007.3.2 受付)

A COMPETITIVE DETERIORATION HAZARD MODEL: APPLYING FOR
PAVEMENT CRACKING PROCESSES
Hidekazu HAYASHI, Kiyoyuki KAITO, Kazuhiko KUMADA and Kiyoshi KOBAYASHIThe types of deterioration of public utilities are multiple. It is often the case that the type, whose levelsof deterioration are mostly progressed among others, is reported as a representative one in the inspections
operated in the real world. In this paper, the deterioration processes are supposed to be subject to Markov
processes, and the mechanisms that the representative types of the deterioration processes are selected
through the competitions among the undergoing processes are formulated by the competitive hazard model.
Moreover, the types of the cracks on the expressways are categorized into three types including lengthways,
side ways, and length-and-side ways cracks. Based upon the empirical dataset, the model is estimated toinvestigate the impacts of road structure, pavement characteristics, and highway environment upon heprogressions rates of cracks on pavement.

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