土木施設の劣化リスクの計量化手法*
Measuring Deterioration Risk of Infrastructure*

青木 一也**
By Kazuya AOKI**

１．はじめに後に潜んでいる要因をすべて特定することは不可能である．これは，劣化予測モデルの推計という取り組み

近年，土木施設のアセットマネジメントに関するが，これまで実施されてきた日常の維持管理業務のフ1),2)

ローの中で発生するデータを用いざるを得ないという研究が蓄積されその重要性の認識が強まっている．

特に土木施設の劣化予測モデルに関して，数多くの研

現実的な制約が存在するためである．土木施設の管理究事例が存在する．土木施設の将来時点における最適者は数多くの施設を同時に管理しなければならない．

な修繕計画を導出することは，アセットマネジメント

劣化予測モデルを推定する場合，土木施設の劣化過程の主要なアウトプットの一つであることから，土木施には以上のような不確実要因が多大に含まれており，設の将来時点の劣化のパフォーマンスを表現する劣化

将来時点における劣化状態を確定的に予測することは予測モデルが重要であることは言うまでもない．劣化

不可能である．本研究では，土木施設の将来の劣化状予測モデルは，ライフサイクル費用評価や最適補修戦態に関する不確実性を劣化リスクと定義し，確率を用

略を検討する際に，重要な役割を果たす．言い換えれいて不確実性の程度を表現することとする．筆者らはば，ライフサイクル費用評価や最適補修戦略分析の有

これまで，一貫して確率モデルを用いた土木施設の劣

効性は，劣化予測モデルの推計精度に大きく依存する．

化予測モデルの開発に取り組んできた．そこでは，土土木施設のアセットマネジメントで用いられる劣

木施設の劣化過程が，ある確率的規則性を有している

化予測モデルは，利用する場面と目的によって役割がことを仮定し，モニタリングによって獲得された実測異なる．劣化予測モデルが必要とされる局面として，データを用いて，その確率的現象が生起する確率(尤１）複数の同種の土木施設に対して最適な補修戦略を度)を最大にするような統計的劣化予測モデルを推定求めるマクロマネジメント，２）個々の施設に対してすることを目的としている．

劣化損傷のメカニズムを特定し具体的な対策案を検討

劣化予測モデルが，将来時点の土木施設の補修需するミクロマネジメントの２つが考えられる．本稿で要や劣化リスクの予測の役割を担う一方で，モニタリは，前者のマクロマネジメントで用いる劣化予測モデ

ングデータを用いた劣化予測モデルは，過去の土木施ルに焦点を絞る．マクロレベルでの劣化予測モデルは，設の劣化過程を再現していることに他ならない．自然モニタリングにより獲得された土木施設の劣化に関す界で長時間供用される土木施設の劣化過程にはその環るデータをもとに，土木技術者の経験や知識等のヒュ

境条件等の複雑な要因が関連している．そのほか施工

ーリスティクスを考慮しながら，劣化の速度と劣化に条件や材料特性，補修のあり方等の維持管理の技術水与える環境要因との関係を統計的推定により解明する

準によっても，土木施設の劣化過程，寿命長が決定さことを目的とする．しかし，維持管理の対象である土

れる場合も少なくない．技術水準は常に進展している

木施設は，複雑・多岐に亘る環境下にさらされており，ものもあれば，経験を有する技術者のリタイア等によ

さらに時とともに周囲の環境が変化していく．事前にって技術が後退する場合もありうる．ある期間に実施

予期しえぬ外的要因によって劣化が著しく早く進行すされたモニタリングによって獲得されたデータをもとる場合も想定される．また，日常管理において観測不に推計した劣化予測モデルは，その期間の技術水準を可能な要因が，劣化を支配している場合には，その背モデル化したものと一致する．現状の技術水準の枠組みを超えて継続的に土木施設の品質向上と土木技術の発展のための改善努力を続けることが本来のアセット*キーワーズ：土木施設維持管理，劣化予測，ｱｾｯﾄﾒﾄﾘｸｽ**正員 博士（工学） 株式会社パスコ 研究開発センター〒153-0043 東京都目黒区東山2-8-10 目黒ビル別館
TEL：03-3715-4011 FAX：03-6412-2833
e-mail:kazuya_aoki@pasco.co.jp

マネジメントの目的であろう．このような視点に立ったとき，筆者らの関心は，モニタリングデータから劣化予測モデルの真のパラメータを正確に推定する枠組
みを超え，劣化予測モデルの推定結果から継続的なシ1

ステム改善のための結果を追求することにシフトする．

長期計画（予算計画，補修戦略等の立案）筆者らが提案する劣化予測モデルは，単に戦略レベル

PLAN

中期計画（中期補修計画，補修箇所選択）の計画立案のためのインプット情報としての役割だけ
でなく，維持管理の行為を計量化し評価することで，DO【戦略レベル】
PLAN【戦術レベル】

次の土木施設の維持管理にフィードバックさせるため
PLANの評価ツールとして利用可能なものに発展させることSEEを志向している．

DO

SEE
SEE

アセットマネジメントにおいては，土木施設の劣

DO【維持補修レベル】

化状態に関するデータの生成プロセスが，土木施設の単年度計画（予算制約下での補修計画，施設レベルでの対策）

モニタリングスキームに依存していることに留意する

図－１ 階層的マネジメントサイクル

必要がある．対象とする土木施設の劣化過程を直接観測することが不可能であり，劣化過程あるいは補修・

マネジメントの全体構造は，マネジメントサイクルの更新過程の結果として生起する状態のみが観測可能な

時間的視野に着目し，戦略レベル（長期計画），戦術

場合が少なくない．このため，劣化予測モデルを推計レベル（中期計画），維持補修ベル（単年度計画）のする場合，観測データの生成メカニズムの特性を考慮

３つのレベルで構成される階層的マネジメントシステ

した劣化予測モデルの推定方法を開発することが必要

ムとして表現することができる（図－１）．

となる．本稿では，土木施設のモニタリングデータを

戦略レベルでは，管理する土木施設群全体の長期用いた統計学劣化予測モデルに関する研究成果を体系的な予算目標やサービス水準等を設定する．ここでは的に整理する．さらに，筆者等の研究成果3)-6)に基づ

土木施設群の最適補修戦略を決定するためのライフサ

いて，土木施設の様々なモニタリングデータの特性にイクル費用評価を行う．最適補修戦略は，施設群全体適合した劣化予測モデルの推計方法について言及する．

に対して一様に決定されるものではなく，管理状態やさらに，予防的補修によるモニタリングデータの欠損

供用条件等の特性に応じた補修戦略（予防的・事後的による推計結果のバイアスを補正する方法論7)や，モ補修の適用範囲等）が決定される．長期的な予算目標

ニタリングデータの蓄積が不十分な状況下において，や健全度目標等が戦略レベルでのアウトプットとして専門技術者の経験や知識に基づく主観的情報と，継続導出され，次のフェーズでのアクションの指針となる．

的に蓄積されるモニタリングデータを融合した形で劣戦術レベルは，戦略レベルにて導出されたアウトプッ

化予測モデルをベイズ更新する方法論8)-9)についてもトを用いて中期的に補修を実施すべき対象箇所が選定言及する．これら一連の研究により，マルコフ決定モされる．補修の優先順位は，損傷危険度の指標だけでデルを用いたライフサイクル費用評価，最適補修戦略

なく，施設の重要性や管理瑕疵に対するリスク等のの分析といったアセットマネジメント技術に関する研様々な指標により総合的に判断される．維持補修レベ

究が飛躍的に進展した10)-13)と考える．以下，２．で，ルでは，単年度の予算制約のもと，戦術レベルによっ

アセットマネジメントの全体像を整理し，これまでのて決定された優先順位に従って補修が実施される．但

研究成果の位置づけを明確にする．３．で，土木施設

し，補修実施の判断の際には，道路のネットワークとの劣化ハザードモデルを説明する．４．では，土木施しての機能や構造物のコンポーネントとしての性質を設のモニタリングデータの構造に適合した各種の劣化踏まえた補修のタイミングの同期化を考慮した優先順

ハザードモデルの推定方法について述べる．５．では，位の見直しが検討される．当該年度に実施された実績

ハザードモデルのベイズ更新について説明する．６．

は記録され，補修を実施した箇所は補修候補リストかでは，劣化ハザードモデルの応用技術として，補修行ら削除される．このように土木施設のアセットマネジ

為によるサンプルデータの欠損バイアスを除去するたメントでは，異なる意思決定レベルにおいて，必要とめの方法論を解説する．さらに，７．で，劣化予測モする情報や要求されるアウトプットが異なる．

デルのアセットマネジメントへの適用例を紹介する．
（２）劣化予測モデルの意義
２．本研究の基本的な考え方

土木施設の維持管理では，供用期間が長くなるとともに劣化が進行した施設に対して，その劣化の状態（１）アセットマネジメントの全体構造や要因を正確に把握し以後の劣化の進展速度や危険性

土木施設のモニタリングデータを用いた統計的劣を評価するとともに，適切な対策を施すことにより施化予測モデルの必要性を明確にするために，アセット

設の機能を回復させることが必要となる．この場合，

マネジメントの全体構造について整理する．アセット

施設の特定の材質や劣化要因別の劣化メカニズムをモ
2

デル化する劣化予測手法が重要な役割を果たす．これ

接的に表現し，ハザード関数のパラメータを推定するまで，力学的劣化メカニズムに着目した劣化予測モデ

方法論を開発した．

ルに関して，数多くの研究が蓄積されている 14)-19)．
一方，アセットマネジメントの戦略レベルにおけるラ（３）次世代のアセットマネジメント

イフサイクル費用評価や最適補修戦略を導出する場面

アセットマネジメントを実施するための土木施設

では，管理する土木施設全体の将来時点における劣化の点検データが徐々に蓄積されはじめている．点検デのパフォーマンスを表現するような劣化予測モデルがータが蓄積されることにより劣化予測が可能となる．

求められる．数多くの土木施設を同時に管理する場合，さらには劣化予測モデルを用いてライフサイクル費用

施設群全体の平均的な劣化速度を表現するような劣化評価や最適補修戦略を検討することができる．アセッ

予測モデルが必要となる．しかし，土木施設は現場でトマネジメントの第一歩は，長期的視野において予算直接施工され，過酷な環境下において長い年月供用さ計画を立案し目標とする管理レベルの決定，あるいはれ続ける．土木施設が供用される環境条件は複雑かつ新規の建設投資や耐震補強等とのバランスを検討する

変化を伴うものであり，それらの条件は施設個々で異ことである．これらの技術は，劣化予測モデルやライなっている．当然のことながら，施設ごとに，劣化過フサイクル費用評価，最適補修戦略分析手法に関する程も異なる特性を有している．施設群全体の平均的な研究成果の蓄積により，土木施設管理の各方面で実運

劣化速度を求める際には，モニタリングにより観測し用に向けた取り組みがスタートした段階にあると言えた施設の劣化状態に関する実測データを用いて，劣化る．これらの取り組みを，アセットマネジメントの過程の規則性を統計的手法により推定する方法が用い「第１フェーズ」と位置づけよう．今後，継続的にアられる．モニタリングデータは，実際の施設の劣化状

セットマネジメントシステムが運用されることにより，態を直接記述したものであるから，観測データの中に点検データや補修履歴に関するデータなど，より充実

劣化過程に関わる複雑な環境要因の影響が含まれていしたデータベースが構築され，劣化予測モデルの精度る．したがって，実測データに基づいて統計的手法にも向上するであろう．しかし,高精度の劣化予測モデより求めた劣化予測モデルは，施設の確率特性を考慮

ルが完成したとき，アセットマネジメントは目的を達した劣化パフォーマンスを再現する最良の方法である．

したといえるだろうか．この問いについては，土木施

モニタリングデータを用いた劣化予測モデルに関する設の継続的な点検の意義について考えたい．土木施設

20)のモニタリングの目的は，１）劣化が進行している施研究事例として，貝戸らの研究がある．貝戸らは，ニューヨーク市における橋梁の目視検査データを用い設を発見し，補修対策案を検討すること，２）数多くて，施設の劣化速度に着目した平均劣化曲線の算出方の施設の状態を同時にモニタリングすることによって法を提案した．さらに施設の健全度レーティング間の平均的な劣化傾向を把握することにあると考える．１

遷移をマルコフ推移確率行列で表現したマルコフ連鎖

番目の目的は明確であり，第１フェーズでの検討結果

モデルを用いた手法が提案された 21)-23)．これらの研に従った日々の維持管理業務の重要性を述べている．

究では，レーティング間の遷移に関するモニタリング

一方，２番目の目的こそが，先ほど問題提示した内容

データを数え上げ手法により集計的にマルコフ推移確に結びつく．点検による実測データを用いた劣化予測率を計算している．しかしながら，これら劣化予測モ

モデルは，これまでの施設の劣化傾向を評価すること

デルの統計学的な推定方法に関しては，予測結果の信に等しい．土木施設の劣化過程には多大な不確実要因

頼性に多くの課題が残されていた．一方，例えばが含まれている．つまり同種の土木施設であっても，

24)

Shin & Madanat は，ハザードモデルを用いた劣化予

劣化速度に固体誤差が多く含まれている．その要因と測モデルとして，道路舗装のひび割れ開始時刻を予測して，初期施工時の条件や環境条件，観測不可能な施するためのワイブル型劣化ハザードモデルを提案した．

設固有の特性が存在している．つまり，維持管理の技

ここでは，ひび割れ開始時刻に関する完全なデータを術水準に関する要因が多く含まれている．この維持管得ることができないという切断データの問題を考慮し理の技術水準は時間の経過とともに進展するものもあた推計方法を提案している．このように,ハザードモ

れば，後退するものもある．進展する技術については，

デルを用いた劣化予測モデルに関する研究はいくつか

その技術の適用の効果が認められれば広く導入するこの先行事例が存在するものの，アセットマネジメントとを検討すべきであろう．一方，後退する技術についの実用化に至るまでの研究成果の蓄積は乏しいのが実てはその要因を発見し，試験施工等を通じて新たな対情であった．ハザードモデルは多様な土木構造物の劣策を検討する必要がある．このように，長い期間供用化予測に適用の可能性が高いことから，筆者らの研究を続ける土木施設の管理にあたっては，土木施設個々

では，土木施設の劣化過程をハザードモデルにより直の，ある時間における損傷状態を観測することのほか，
3

現状の技術水準の適用による劣化の進行状況を時間的度と複数の損傷形態の２種類の状態変数を用いて劣化スケールで計測することが重要となる．刻々と変化すの進行過程を記述する階層型指数劣化ハザードモデル

る維持管理技術を取り巻く環境を計測するために，持を開発した 6)．

続的な点検が必要不可欠である．今後はアセットマネ

このような土木施設の劣化特性やモニタリングデ

ジメントの目的に応じたモニタリングスキームを開発

ータの構造特性に適合する各種の劣化予測モデルの推することも重要であり，これを戦略的モニタリングと計方法を開発した．各々のモデルの推定方法についてして維持管理業務のフローに位置づけられる．筆者ら以降の章で解説する．さらには，土木施設の補修行為が取り組んできた劣化リスクの計量化の研究は，アセによるモニタリングデータの欠損による推定バイアス

ットマネジメントにおける持続的な劣化パフォーマンが発生する問題についても取り組んだ 7)．劣化が進行

スの計量化手法として，”アセットメトリクス”といした施設より順次補修が行われた場合，相対的に劣化

うキーワードで体系的に整理し，持続的マネジメントが進行した状態のデータが欠損する．欠損したデータサイクルの進化の過程において学習機能を有するアセベースから劣化予測モデルをそのまま推定した場合，

ットマネジメントシステムの開発に向けた新たな研究

劣化速度を過大評価する恐れがある．このようなシス段階に移行したいと考えている．この学習機能を有す

テム的なデータ欠損メカニズムを考慮した劣化予測モ

るアセットマネジメントを第二フェーズ，つまり「次デルの推定方法については，劣化ハザードモデルの応世代のアセットマネジメント」と位置づけよう．

用技術として６．で紹介する．

（４）モニタリングデータの特性

３．劣化ハザードモデル

ハザードモデルは様々な土木施設の劣化過程を表現する有用なモデルであるが，このハザードモデルを（１）劣化ハザードモデルの定式化

土木施設の劣化予測に用いるにあたり留意すべき事項

土木施設の劣化過程を，ハザードモデルを用いてが存在する．第１に，土木施設の劣化状態を「故障の定式化する．ハザードモデルとその推計方法について有無」という２値データで表現が可能な場合，伝統的は，いくつかの文献 25),26)に詳しい．いま，土木施設の健全度 i (i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1) の寿命を確率変数 êi で表なハザードモデルを直接適用することが可能である．
しかし，土木施設の劣化状態に関するモニタリング情

す．但し，ここでの寿命とは，当該施設の健全度がiに留まる期間長と定義する．健全度 i の寿命が，確率密度関数 fi (êi ) ，分布関数 Fi (êi ) に従うと仮定する．

報は，あらかじめ設定された点検スキームによる時間軸上での施設の状態に関する情報である．このため，

但し，健全度 i の寿命 êi の定義域は [0; 1) である．分

土木施設の実際の劣化過程を直接観測することは不可能である．このように，モニタリングデータの不完全布関数の定義より性に起因する推定バイアスを克服する方法論を開発しFi (yi ) =た 3)．第２に，劣化の状態が２値状態ではなく，複数Z yifi (êi )dêi(1)0の健全度で表現される土木施設を取り扱う場合，健全度が順次悪化していく過程をモデル化する必要がある．
この問題に対して，健全度が逐次推移していくというが成立し，分布関数 Fi (yi ) は健全度が i となった初期
時点 yi = 0 (時刻úA ) からサンプル時間軸上のある時
点 yi (時刻 úiÄ1 + yi )までに健全度がi からi + 1 に変化方法論を開発した 4)．その上で，推定したハザードモ

した累積確率を表す．したがって，初期時点 yi = 0 からサンプル時点 yi 2 [0; 1) まで，健全度が i のまま推移する確率 F~i (yi ) は，時点 yi までに健全度が i から

デルのパラメータから健全度間の推移過程を表すマルi + 1 に変化する累積確率 Fi (yi ) を用いて推移関係を，隣接する２つの健全度間の推移過程を表す指数ハザードモデルを合成することにより表現する

コフ推移確率を推定することができる．第３に，土木
Probfêi ï yi g = F~i (yi ) = 1 Ä Fi (yi )施設の中には施設の劣化過程が過去の履歴に依存する特性を持つ場合が存在する．そのような施設を取り扱(2)進展速度に影響を及ぼす劣化予測モデルが必要となる．

と定義できる．ここで，施設の健全度が時点 yiまで状態 i で推移し，かつ期間[yi ; yi + Åyi ) 中に水準i + 1 に筆者らは，指数ハザードモデルを拡張した，時間依存進展する条件付き確率はう場合，供用開始時刻からの経過時間が施設の劣化の5)型の多段階ワイブル劣化ハザードモデルを開発した ．
第４に，道路舗装のひび割れ度の判定に代表されるよïi (yi )Åyi =fi (yi )ÅyiF~i (yi )(3)と表せる．いま，対象とする施設の健全度が時点 yiまでi の状態で推移し，かつ時点 yi で i + 1 に推移する確

うに，損傷形態が多様でかつその進行過程が複雑なケースが存在する．この問題に対しては，多段階の損傷
4

率密度 ïi (yi ) をハザード関数と呼ぶ．

健全度（２）指数ハザードモデル

パス1

i

ハザード関数がサンプル時間軸上の時刻 yiに依存せ

i+1

指数ハザード関数

パス4

i+2

(4)

ïi (yi ) = íi

パス2

パス3

ず，常に一定値 íi > 0(i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1) をとる場合，

Zが成立する．指数ハザード関数を用いることにより，
úA

劣化過程が過去の履歴に依存しないというマルコフ性を表現できる．さらに，指数ハザード関数を用いれば，健全度i の寿命がyi以上となる確率 F~i (yi ) は，
F~i (yi ) = exp(Äíi yi )

(5)

úi4

4
úi+1
úi3

úi2

úB

ú

図－２ 健全度の定期点検スキーム

健全度i の寿命がyi以上となる確率 F~i (yi ) は
î Z yiï
F~i (yi ) = exp Äïi (u)du0= exp(Äíi yiãi )と表現できる．

(10)と表される．すなわち，ワイブルハザードモデルが得られる．また，式(7)より，健全度i (i = 1; ÅÅÅ; I Ä 1)（３）ワイブルハザードモデルの寿命分布を表す確率密度関数 fi (êi ) は次式で示され土木施設の劣化過程がワイブルハザード関数に従うと仮定した場合，る．

ïi (yi ) = íi ãi yiãi Ä 1

fi (êi ) = íi ãi êiãi Ä 1 exp(Äíi êiãi )(6)が成立する． íi は健全度 i に固有の定数パラメータ，
ãi は劣化の加速度パラメータである． ãi > 1 の場合
は，初期時点からの使用時間yiが増加するにつれて加(11)４．劣化ハザードモデルの推計方法（１）マルコフ推移確率

速度的に劣化が進行することを表す．逆に， ãi < 1

土木施設の劣化過程を，マルコフ推移確率を用いが成立する場合は，初期劣化が進むものの，使用時間て表現する．土木施設の推移過程は不確実であり，将が経過するにつれて，劣化の進行の程度が小さくなる．
ãi = 1 の場合は，劣化の進行速度が使用時間に依存来生起する状態を確定的に予測できない．２つの時刻

しないことを意味し，指数ハザードモデルに帰着する．

フ推移確率で表現する．ここで,図－２に示した定期式(6)のワイブルハザード関数を用いることにより，点検スキームを用いてマルコフ推移確率を定義しよう．

土木施設の使用時間に依存する劣化過程を表現することが可能となる．ここで，式(2)の両辺を yi に関して

いま，ある施設の劣化予測を行う問題を考えよう．時
刻úA で観測した当該施設の健全度を，状態変数h(úA )を用いて表そう．状態変数 h(úA ) は時刻úA に測定した微分すれば，
dF~i (yi )= Äfi (yi )dyi

健全度であり，観測された健全度が i であればh(úA ) = i と表せる．マルコフ推移確率は，時刻 úA で(7)観測された健全度 h(úA ) = i を与件とし，将来時点（たとえば úB ) において健全度 h(úB ) = j が生起するを得る．この時，式(3)はdF~i (yi )dyifi (yi )=Ä
F~i (yi )F~ (yi )
ê
ë
d
(8)
=
Ä log F~i (yi )dyiと変形できる．ここで， F~i (0) = 1 Ä Fi (0) = 1 を考慮
ïi (yi ) =間における施設の健全度の不確実な推移状態をマルコ

条件付推移確率として定義される．すなわち，

Prob[h(úB ) = jjh(úA ) = i] = ôij

し，式(8)を積分すれば
Z yi
Ç
Éyi
ïi (u)du = Ä log F~i (u) 0 = Ä log F~i (yi ) (9)(12)と表せる．このような推移確率を健全度ペア (i; j) に対して求めれば，マルコフ推移確率行列0を得る．式(6)のワイブルハザード関数を用いれば，
5

がi Ä 1 からi に推移したと考える．ここで，カレンダ
ー時刻úiÄ1 を初期時点yi = 0 とする時間軸を導入する．
点検時刻 úA ， úB は，サンプル時間軸上の時点 yA ，

健全度
iÄ1

yB に一致する．指数ハザード関数を用いて，点検時

i

点 yA と yB の間に健全度がi からj (j ï i + 2) まで２つ以上変化する場合をとりあげよう．健全度 j の状態が

yA
i+1

yC

ô

継続する期間長の分布を表す確率密度関数をfj (yj ) ，分布関数を Fj (yj ) と表そう．健全度 j の状態に関する

yB

Z

úiÄ1

úA

úi

úB

ハザード関数を ïj (yj ) = íj と表す．期間[yA ; yB ) の間に，健全度が i から j に移行する事象が生起するためには，１）時点 yA から時点 sñi = yA + zñi 2 [yA ; yB ) ま
で健全度がi のまま推移し，２）時点sñi = yA + zñi におú

図－３ 劣化過程のモデル化

0

B
Ö =B
@

ô11
..
.
0

1

ÅÅÅ ô1J
.. C
..
C
.
. A
ÅÅÅ ôJJ

いて健全度がi からi+1 に推移し，３）時点
sñi = yA + zñi から時点 sñi+1 = sñi + zñi+1 (< yB ) まで健
全度 i + 1 が継続し，時点 sñi+1 において健全度が i + 2(13)に推移する．さらに，４）時点 sñjÄ1 (< yB ) に健全度
が j に推移し，時点 yB まで健全度 j が継続するというを得ることができる．マルコフ推移確率(12)は所与の２つの時点 úA ， úB の間において生じる健全度間の推事象が同時に生起しなければならない．以上の事象がzi ; zñi+1 ; ÅÅÅ; zñjÄ1
同時に生起する条件付き確率密度qj (ñjêi ï yA ) は，移確率を示したものであり，当然のことながら，対象とする時間間隔が異なれば推移確率の値は異なる．補qj (ñzi ; zñi+1 ; ÅÅÅ; zñjÄ 1 jêi ï yA )修がない限り常に劣化が進行するので，
ôij = 0 (i > j) が成立する．また，推移確率の定義よりPJ= gi (ñzi jêi ï yA )j=1 ôij = 1 が成立する．すなわち，マルコフ推9ôij ï 0>=ôij = 0 (i > jの時)>
PJ;
j=1 ôij = 1=

移確率に関して

jÄ
Y1
jÄ
Y1

m=i

=

(14)

m=i

(

jÄ
Y1

jÄ 1
X

fm (ñ
zm )F~jm=i+1

ím Åexp Ä
(

m=i

†

ZÄ

ím zñm Ä íj (Z Äím Åexp Äíj Z Ä

jÄ 1
X

m=i

jÄ 1
X

jÄ 1
X

zñm

m=i

)

)

zñm )

m=i

(ím Ä íj )ñ
zm

!

(15)

と表せる．以上の議論では， zñi ; ÅÅÅ; zñjÄ1 を固定していた．しかし，健全度 i (i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1) の寿命 êi はが成立しなければならない．状態 J はもっとも劣化し確率変数であり，zi ï 0; ÅÅÅ; zjÄ1 ï 0 (j î J) はた状態を表し，補修がない限りマルコフ連鎖における吸収状態となる．つまり， ôJJ = 1 が成立する．

(16)

なお，マルコフ推移確率は過去の劣化履歴とは独立して定義される．図－２において，点検時刻 úA に

0 î zi + zi+1 + ÅÅÅ+ zjÄ1 î Z

おいて健全度がi であることは点検結果から理解できる．しかし，点検時点 úA より遡って，どの時刻に健を満足する範囲の中で自由な値をとる．したがって，
点検時点 yA とyB の間で健全度がi からj (j ï i + 2) に推移するマルコフ推移確率 ôij は若干の計算により全度がi Ä 1 からi に推移したかはわからない．しかし，マルコフ推移確率モデルでは，健全度がi Ä 1 からi に推移した時刻に関わらず，点検時刻 úA から点検時刻

úB の間に推移する確率は時刻 úA における健全度のみ

ôij = Prob[h(yB ) = jjh(yA ) = i]Z Z Z ZÄ zi
Z ZÄ PjÄ 2 zm
m=i
=
ÅÅÅ
0

に依存するという性質（マルコフ性）を満足すると仮00

qj (zi ; ÅÅÅ; zjÄ 1 jêi ï yA )dzi ÅÅÅdzjÄ 1

定する．
=（２）多段階指数劣化ハザードモデルa) マルコフ推移確率の導出

j kÄ
X
Y1
k=i
4)

Y
ím
ím
exp(Äík Z)í Ä íkím+1 Ä ík
m=i m
jÄ 1

m=k

となる .但し，表記上の規則として，いま，土木施設の劣化過程を図－３に示すようにモデル化する．カレンダー時刻 úiÄ1 において，健全度
6(17)

( QkÄ 1ím Ä ík
Qm=i
jÄ 1
ím
ím

=1

m=k ím+1 Ä ík = 1(k = i の時）(k = jの時）ることを示す．マルコフ推移確率は指数ハザード関数(18)を用いて式(19)のように表すことができる．マルコフ推移確率には各健全度におけるハザード率
íik (i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1; k = 1; ÅÅÅ; K) が含まれるが，ハが成立すると考える．また， ôiJ に関してはマルコフ推移確率の条件より次式が成立する．
ôiJ (z) = 1 Ä

JÄ
X1
j=i

ザード率は施設の特性ベクトル x
ñk を用いて式(24)で表現できる．また，劣化推移確率はデータが観察された
点検間隔 Zñk にも依存する．このことを明示的に表す
た め 推 移 確 率 ôij を 目 視 点 検 に よ る 実 測 デ ー タñk ) と未知パラメータ å = (å1 ; ÅÅÅ; åJ Ä1 ) の関数(Zñk ; xôij (z) (i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1) (19)b) 多段階指数劣化ハザードモデルの推定方法

ñk : å) と表そう．いま， K 個の施設部として ôij (Zñk ; x

いま，同種の施設に関する K 個の定期点検データが得られたとする．点検サンプル k (k = 1; ÅÅÅ; K) に材の劣化現象が互いに独立であると仮定すれば，全点は，２個の連続する定期点検が実施されたカレンダー
時刻 úAk と úBk ，各点検で計測された部材の健全度のレーティング h(úAk ); h(úBk ) に関する情報が記述されてい検サンプルの劣化推移パターンの同時生起確率密度を表す対数尤度関数を
2
3
JÄ
J Y
K
Y1 Y
ñk
à
â
é
ij
5
ñk : å)ln[L(å)] = ln 4ôij (Zñk ; x

る．点検サンプルにより，点検間隔が異なっていても=さらに，２つの点検時刻における劣化推移パターン情k
報に基づいて，ダミー変数éij (i; j = 1; ÅÅÅ; J；k = 1;

ÅÅÅ; K) を

k
éij
=

(

1

h(úAk ) = i; h(úBk ) = jの時

0

それ以外の時

JÄ
J X
K
X1 X

i=1 j=i k=1

差し支えがない．以上の点検データに基づいて，点検
サンプル k の点検間隔を Z k = úBk Ä úAk と定義する．

i=1 j=i k=1ÇÉñk ln ôij (Zñk ; x
ñk : å)éij(23)

ñk , Zñk , xと表わせる 27),28)．点検データé
ñk はすべて確定ij値であり，対数尤度関数は未知パラメータ åの関数で(20)と定義する．さらに，施設の劣化速度に影響を及ぼす，
施設の構造特性や使用環境を表す特性ベクトルを
xk = (xk1 ; ÅÅÅ; xkM ) と表す．但し， xkm (m = 1; ÅÅÅ;M ) は施設サンプル k の m 番目の特性変数の観測値をある．ここで，対数尤度関数を最大にするようなパラメータ値 åの最尤推定値は^@ ln[L(å)]
(24)
= 0;
@åi;m
(i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1; m = 1; ÅÅÅ; M )^ = (å
^1;1 ; ÅÅÅ; å^JÄ1;M ) としを同時に満足するような åて与えられる．

表す．定期点検スキームの下で得られる点検サンプルk; Z k ; xk ) として整理できる．
k が有する情報は Ñk = (éij
一方，施設サンプル k = (k = 1; ÅÅÅ; K) の劣化過程
を指数ハザード関数（３）多段階ワイブル劣化ハザードモデルa) 時間依存的劣化状態確率の導出
つぎに施設の供用時間が劣化の進展速度に影響を及ぼすような土木施設の劣化予測モデル（多段階ワイ

ïki (yik ) = íik (i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1)

(21)

ブル劣化ハザードモデル）を定式化しよう．
初期時刻から，ある一定の使用時間 s を経過した時を用いて表現しよう．健全度 J はマルコフ連鎖の吸収状態であり ôJJ = 1 が成立するためハザード率は定義

刻における施設の劣化状態を時間依存的な状態確率で表現する．いま，時刻 ú0 で使用が開始されたある施設

されない．施設の劣化過程を特徴づけるハザード率
íik (i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1; k = 1; ÅÅÅ; K) は施設の特性ベクの劣化予測を行う問題を考えよう．初期時刻から使用
時間 s が経過したカレンダー時刻 ú= ú0 + s におけるトルに依存して変化すると考え，ハザード率 íik を特性ベクトル x

当該施設の健全度を，状態変数 h(s) を用いて表そう．
劣化過程は，使用開始時刻 ú0 から時間 s が経過した時

k を用いて刻において健全度 h(s) = i が生起する確率を用いて記íik = xk å0i(22)

述される．すなわち，と表そう．但し， åi = (åi;1 ; ÅÅÅ; åi;M ) は未知パラメ
ータ åi;m (m = 1; ÅÅÅ; M ) による行ベクトルである．

Prob[h(s) = ijh(0) = 1] = ôi (s)記号0は転置操作を表す．
点検サンプル k に関して獲得できる情報はkñk ; Zñk ; xñk ) である．記号「 ñ 」は実測値であÑ = (é
ij(25)と表せる．このような劣化状態確率を健全度
i (i = 1; ÅÅÅ; I) に対して定義すれば，時間依存的な劣化状態確率ベクトル7

01
ô1 (s)B.. CC
Ö (s) = B
. A@
ôI (s)

健全度

1

(26)

ô
iÄ1

を得ることができる．
時刻 ú0 に施設の使用が開始され（時刻 ú0 に健全度 1iが観測され），現在時刻 úの健全度が i であることが観測された場合を考えよう．この時，期間[ú0 ; ú] におi+1

いて健全度が 1 から健全度 i に推移する確率は ôi (s) で表される．但し，s = úÄ ú0 である．

j

êi

ô
ú0

・i = 1 の場合
まず， i = 1 の場合，すなわち，時刻 ú0 に施設の使用が開始され，現在時刻 úまで劣化が進展せず，健全

úiÄ 1

úA

úi

újÄ1

ú

úB

図－４ 初期時刻からの劣化過程と健全度の観測

ñ2 2 [ú1 ; ú) まで，する．３）時刻 ú1 から時刻 ú2 = ú1 + ê
健全度 2 が継続し，時刻 ú2 において健全度が 3 に推移

度が 1 に留まる場合を考える．この場合，劣化状態確率 ô1 (s) は，式(10)のワイブルハザードモデルより
ô1 (s) = F~1 (s) = exp(Äí1 sã1 )zi

yi

する．同様のプロセスを経たのちに，４）時刻ñiÄ 1 2 [úiÄ 2 ; ú) に健全度が i に推移し，
úiÄ1 = úiÄ 2 + ê
時刻 úまで健全度 i の状態に留まるという事象が同時(27)に生起しなければならない．以上の事象が同時に生起ñ1 ; ; ÅÅÅ; êñiÄ 1 ) はする確率密度qi (êと表される．
・i = 2 の場合
時刻 ú0 に施設の使用が開始され，時刻 ú1 2 [ú0 ; ú) に

ñ1 ; ÅÅÅ; êñiÄ1 ) =qi ( ê

健全度が 1 から 2 に推移し，現在時刻 úに健全度 2 が観

iÄ
Y1

m=1

ñm )F~i (s Ä
fm (ê

iÄ 1
X

m=1

ñm )
ê
(30)

但 し ， s = úÄ ú0 で あ る ． 以 上 で は ， 健 全 度
ñm を固定してきた．しかm (m = 1; ÅÅÅ; i Ä 1) の寿命 ê
し，確率変数êm (ï 0) は，測される場合を考えよう．このような事象が成立するのは，１）時刻 ú1 2 [ú0 ; ú) に，健全度が 1 から 2 に推移し，２）期間[ú1 ; ú] において，健全度が 2 に留まる場合である．健全度 1 の寿命が ê1 = ú1 Ä ú0 となる確率密度はワイブルハザードモデルを用いてf1 (ê1 ) と表

0 î ê1 + ê2 + ÅÅÅ+ êiÄ1 < s

される．ここで，健全度 1 の寿命 ê1 (ï 0) は確率変数であり，を満足する範囲の中で自由な値をとる．したがって，
使用開始時刻から時間 s が経過した時刻 ú= ú0 + s に
0 î ê1 < s

健全度i (i = 3; ÅÅÅ; I Ä 1) が観測される確率 ôi (s) は，
Z s Z sÄ ê1
Z sÄ PiÄ 2 êmm=1
ôi (s) =
ÅÅÅ
(31)

(28)

を満足する範囲の中で自由な値をとる．時刻 úに健全
度2 が観測される確率 ô2 (s) は，次式で表される．
Z s(29)
ô2 (s) =f1 (ê1 )F~ (s Ä ê1 )dê1

0

と表せる．

0

0

qi (ê1 ; ÅÅÅ; êiÄ 1 )dê1 ÅÅÅdêiÄ 1

0・3 î i < I の場合

・i = I の場合
健全度 I は劣化過程の吸収状態である．一度，健全する場合を考えよう．このような事象は，時刻
ú1 ; ÅÅÅ; úiÄ1 (ú0 î ú1 î ÅÅÅî úiÄ1 < ú) において健全度が１つずつ増加し，時刻 úiÄ1 から時刻 úまで健全度

度 I の状態に到達した場合，施設が更新されない限り
健全度 I の状態が継続する．劣化状態確率の定義より，が i の水準に留まる場合である．このような事象が生起するためには，図－４に示すように，１）時刻 ú0 か
ñ1 2 [ú0 ; ú) まで健全度が 1 のまま推ら時刻 ú1 = ú0 + ê

される．

初期時刻から現在時刻までに健全度が３以上変化

健全度 I の状態が観測される劣化状態確率は次式で表ôI (s) = 1 Ä移する．２）時刻 ú1 において健全度が 1 から 2 に推移
8

IÄ1
X

m=1

ôm (s)(32)b) 多段階ワイブル劣化ハザードモデルの推定方法

損傷度

検査サンプル k に関して獲得できるデータはkñk ; sñk ; x
ñk は h(ñsk ) = i の時にñk ) である．但し， éò = (é

0

1

2

3

ひび割れ
タイプ

1（縦）

1，それ以外の時に 0 の値を示すダミー変数ベクトルである．ハザード率は土木施設の特性ベクトル x
ñk を用いて式(24)で表現できる．また，劣化状態確率はデータが観察された使用時間 sñk にも依存する．このこsk ) を目視点検とを明示的に表すため劣化状態確率 ôi (ññk ) と未知パラメータベクトル
sk ; xによる実測データ(ñ2（横）ç = fã; åi (i = 1; ÅÅÅ; I Ä 1)g の 関 数 と し てñk : ç) と表そう．但し， ã = (ã1 ; ÅÅÅ; ãIÄ1 ) は
ôi (ñsk ; x3（面）注）図中の○は劣化状態を表している．劣化状態は損

未知パラメータ ãi (i = 1; ÅÅÅ; I Ä 1) による行ベクト

傷度 i(i = 0; 1; 2; 3) とひび割れタイプ j(j = 1; 2; 3)

ルである．
いま， K 個の土木施設の劣化現象が互いに独立での組 (i; j) として表現される．ひび割れ過程は劣化状
態(0; 0) から右方向へ移動するパターンで進行する．

あると仮定すれば，全検査サンプルの劣化状態の分布
パターンの同時生起確率密度を表す対数尤度関数を
" I K
#
YYà
ñk
âé
i
k
k
ñ : ç)ln[L(ç)] = ln
ôi (ñ
s ;x
=

I X
K
X

i=1 k=1ÇÉñk ln ôi (ññk : ç)é
sk ; xi

図－５ ひび割れ進行過程

Prob[h(úB ) = (l; r)jh(úA ) = (i; j)] = ôij;lr (34)i=1 k=1と表せる．このような推移確率を劣化状態ペア(ij; lr)(33)に対して求めれば，マルコフ推移確率行列01
ô00 ÅÅÅ ô0L
B .
.. C
..
C
.
Ö =B
.
. A
@ .
0 ÅÅÅ ôLLñk , sñk , xと表わせる．検査データ éñk はすべて確定値であり，対数尤度関数は未知パラメータベクトル çの関数である．なお，複数時刻の点検データを用いた推定についても同様の手法により可能である．推定方法の詳細については参考文献 5)を参照していただきたい．

(35)を定義できる．但し， 0 は0 要素行列，
ôil (i; l = 1; ÅÅÅ; L) はブロック行列であり，
ô00 = ô00;00（４）階層型指数劣化ハザードモデルa) マルコフ推移確率の導出

ô0l = ( ô00;l1 ÅÅÅ ô00;lR )01
ôi1;l1 ÅÅÅ ôi1;lR
B
C
..
..
..
C
ôil = B.
.
.
@AôiR;l1 ÅÅÅ ôiR;lR

これまでの議論では，土木施設の損傷形態が単一のものを取り扱っていた．しかし，損傷形態が複数定義され，当該施設の損傷度の進行とともに，損傷形態が変化する場合が存在する．例えば，道路舗装に発生するひび割れの状態は損傷度とひび割れ形態という２種類の離散的状態変数を用いて表現することができると表される．マルコフ推移確率(35)は所与の２つの時
刻 úA ， úB の間において生じる劣化状態間の推移確率（図－５参照）．ここでは，複数の損傷形態にわたりを示したものである．当然のことながら，対象とする

多段階に損傷度が進行するような階層的ネットワーク

点検間隔が異なれば，推移確率の値は異なる．補修がない限り常に劣化が進行するので， ôij;lr = 0 (i > l)型劣化過程を，多段階指数劣化ハザードモデルに，
multi-destination 型ハザードモデルを組み込んだ階層が成立する．また，推移確率の定義より
PL PR
l=i
r=1 ôij;lr = 1 が成立する．すなわち，マルコフ推移確率に関して9
ôij;lr ï 0>=型指数劣化ハザードモデルについて説明する．
２種類の状態変数を用いて，施設の損傷状態を，
損傷度i (i = 1; ÅÅÅ; L) と，損傷タイプj (j = 1; ÅÅÅ;R) のペア(i; j) で表そう．時刻úA で観測した損傷状態

ôij;lr = 0 (i > lの時)
>
PL PR
;
l=i
r=1 ôij;lr = 1

を，状態変数 h(úA ) = (i; j) を用いて表す．マルコフ
推 移 確 率 は ， 時 刻 úA で 観 測 さ れ た 劣 化 状 態(36)において劣化状態 h(úB ) = (l; r) が生起する条件付推が 成 立 し な け れ ば な ら な い ． 状 態(L; r) (r = 1; ÅÅÅ; R) は，補修のない限りマルコフ連鎖における吸収状態であり， ôLr;Lr = 1 が成立すると移確率として定義される．すなわち，

考える．

h(úA ) = (i; j) を与件とし，将来時刻（たとえば úB ）9

いま，劣化状態 (i; j) から，劣化状態 (i + 1; r) に推移する推移強度を öijr と表そう．この時，劣化状態

いて劣化状態が (i; j) であるという条件の下で，時刻úA から時刻 úA + zñij まで劣化状態が (i; j) に留まり，(i; j) から劣化状態(i + 1; r) (r = 1; ÅÅÅ; R) のいずれか

時刻úA + zñij で劣化状態が(i; j) から(i + 1; r) に推移すzij ) はる条件付き確率密度gijr (ñ１つに推移することにより，劣化状態 (i; j) は終了する．したがって，劣化状態 (i; j) が終了する推移強度
は
íij =

R
X

öijr

gijr (ñzij ) =

öijr expfÄíij (ñzij + úA )gexp(Äíij úA )= öijr exp(Äíij zñij )
=

(37)

r=1

と表せる．

öijr fij (ñzij + úA )~íijFij (úA )(40)と表せる．さらに，点検時刻 úA で劣化状態が (i; j) であり，かつ時刻úA + zñij において劣化状態が(i; j) から

b) 階層型ハザードモデルの定式化
時 刻 t = úA で 観 測 さ れ た 施 設 劣 化 状 態 を(i + 1; r) に変化し，かつ測定時刻 úB において劣化状

h(úA ) = (i; j)，t = úB で観測された施設の劣化状態

zij )態が(i + 1; r) と判定される条件付き確率密度 qijr (ñを h(úB ) = (l; r) とする．点検間隔 Z = úB Ä úA の間に劣化状態が (i; j) から (l; r) に推移する確率 ôij;lr (Z)はqijr (ñzij )を以下のように定式化できる．

= gijr (ñzij ) ÅF~i+1r (úB Ä zñij Ä úA )= öijr exp(Äíij zñij ) expfÄíi+1r (Z Ä zñij )g・(i; j) = (l; r) のとき= öijr exp(Äíi+1r Z) expfÄ(íij Ä íi+1r )ñ
zij g

本ケースでは，期間長 Z にわたり，劣化状態 (i; j)(41)が継続する．すなわち，推移確率は，式(5)より，

ôij;ij (Z) = exp(Äíij Z)と表せる．以上の議論では，劣化状態が (i; j) から(i + 1; r) に推移する時刻 sñi+1 = úA + zñij を固定していた．しかし，劣化状態 (i; j) の寿命 zij は確率変数であ(38)と表せる．但し， i = L の時は吸収状態であり，
ôLj;Lj (Z) = 1 が成立する．

り，zij は範囲[0; Z) の中で変化し得る．２つの点検時
刻 úA と úB の間で劣化状態が (i; j) から(i + 1; r) に推移
するマルコフ推移確率 ôij;i+1r は・l = i + 1 î L Ä 1 のとき
点検時刻 úA と úB の間に損傷度が i から i + 1 に推移

ôij;i+1r (Z) = Prob[h(úB ) = (i + 1; r)jh(úA ) = (i; j)]Z Z=
qijr (zij )dzij

する確率を求めよう．この時，推移回数は１回のみである．損傷形態として R 個のタイプを考える．劣化状態(i; j) の寿命がêij となる確率密度関数を

0

=

R
X

öijr exp(Äíij êij )öijr exp(Äíi+1r Z)

0expfÄ(íij Ä íi+1r )zij gdzijöijr=fÄ exp(Äíij Z) + exp(Äíi+1r Z)gíij Ä íi+1r

fij (êij ) = íij exp(Äíij êij )
=

Z Z

(39)

(42)

r=1

と表そう．ここに， öijr は，劣化状態(i; j) から，微小時間において劣化状態 (i + 1; r) に推移する強度（以と表せる．但し，上式において， íij と íi+1r の大小関係に関わらず ôij;i+1r > 0 が成立する．

下，推移強度と呼ぶ）を表す．２つの点検時刻に挟まれ た 期 間 [úA ; úB ) の 間 に ， 劣 化 状 態 が (i; j) か ら(i + 1; r) に移行するためには，１）時刻 úA から時刻

以下，損傷度がi からl までl Ä i 回変化する確率も同様の手順により定式化することができる 6)．

si+1 = úA + zij ; (zij 2 [0; Z)) まで劣化状態が (i; j) のまま推移し，２）時刻 si+1 = úA + zij において劣化状
態が (i; j) から (i + 1; r) に推移し，３）時刻 si+1 からc) 階層型指数劣化ハザードモデルの推定方法

時刻 úB まで，劣化状態 (i + 1; r) が継続しなければならない．定期測定では劣化状態が (i; j) から (i + 1; r)

ñk は h(úAk ) = (i; j) かつ h(úBk ) = (l; r)
ることを示す． éの時に 1，それ以外の時に 0 の値を示すダミー変数ベに推移した正確な時刻を把握できない．しかし，ここでは仮に，劣化状態の推移が時刻(úA + zñij ) 2 [úA ;úB ) に生起したと考えよう．この時，測定時刻 úA にお

クトルである．マルコフ推移確率は各劣化状態におけkる推移強度öijr (i = 0; ÅÅÅ; L Ä 1; j; r = 0; ÅÅÅ; R;

観測サンプル k に関して獲得できる情報はñk ; Zñk ; xñk ) である．記号「 ñ 」は実測値であò = (é
ñkk = 1; ÅÅÅ; K) を用いて表現されるが，推移強度は施10設固有の特性ベクトル x
ñk を用いて，ökijr = xk å0ijr

技術者情報，類似施設情報など
(43)

事前情報

事前情報

事前情報

+

+

+

点検データＡと表すことができる．また，推移確率はデータが観測された点検間隔 Zñk にも依存する．このことを明示的
ñk ) と未に表すため推移確率 ôij;lr を実測データ (Zñk ; x

点検データＡ

点検データＡ

点検データＢ

点検データＢ
点検データＣ

知パラメータ å = (å000 ; ÅÅÅ; åLÄ 1RR ) の関数として
ñk : å) と表そう．いま， K 個の施設の劣化
ôij;lr (Zñk ; x

推定結果Ａ

推定結果Ｂ

推定結果Ｃ

現象が互いに独立であると仮定すれば，全観測サンプ
注）点検データが追加された段階で劣化予測モデルを逐次更新していく．点検データがない初期には，技術者の経験情報などの事前情報に基づいて初期モデルを作成する．データの蓄積に伴い，劣化予測モデルに対する主観的な事前情報の影響は薄れていく．

ルの劣化推移パターンの同時生起確率密度を表す対数
尤度関数は次式で定義される．
ln L(å)
= ln

LÄ
R LÄ1
R Y
K
Y1 Y
YY

LÄ
R LÄ
R X
K
X1 X
X1 X

i=0 j=0 l=i r=0 k=1ñkâéñk : å) ij;lr
ôij;lr (Zñk ; x

図－６ ベイズ更新の概念図àâñk ln ôij;lr (Zñk ; x
ñk : å)éij;lr

i=0 j=0 l=i r=0 k=1=

à

ータが蓄積されていない段階で作成した初期モデルは，
あくまでも暫定的モデルであり，新しい点検データが(44)利用可能になった段階で劣化予測モデルを逐次更新しñk , Zñk , x
観測データ éñk はすべて確定値であり，対数ij;lrていく必要がある．ベイズ推計法を用いることにより，

尤度関数は未知パラメータ åの関数として表される．

このような初期モデルの暫定的な作成や，モデルの逐次更新の方法論を開発することが可能となる．さらに，

５．ハザードモデルのベイズ推計

データが蓄積されるに従って，初期モデルを推計する際に用いた経験的判断の影響力が次第に薄れていき，（１）ベイズ推計法の必要性

長期的には客観的データに基づいて推計した劣化予測

ベイズ統計学は，対象とする事象が生起する確率モデルに収束するという望ましい特性がある．さらに，を推定するにあたり，分析者が事前に保有している情

このようなモデルの更新過程において，モデルの信頼

報，知識，経験等を活用し，主観的に確率を決定する

性を統一的に評価するための分析的枠組みを提供する立場に立っている．ベイズ推計法では，事前情報を積という利点を有している．

極的に活用できるため，標本が少ない場合にも未知パ
ラメータの推計を行うことが可能であり，より多くの（２）事前主観情報とベイズ推計

未知パラメータをモデルに採用することも可能となる．

最尤推定法は，１）標本数が十分に多い場合，推また，標本の追加に対しても容易にモデルを更新でき定量が真の値に確率収束する（一致性），２）推定量るという優れた特徴を持っている．このような特性をの漸近的分散がクラメール・ラオの下限に等しい（漸有するベイズ統計学を，劣化予測モデルの推計に適用

近有効性）という優れた性質を有している 30)．しかするための基本的な考え方を図－６に示している．現し，現実のアセットマネジメントの場面では，過去に実のアセットマネジメントでは，過去の点検データの十分な点検が実施されておらず，限られた点検データ

蓄積が十分ではなく，技術者の経験的判断等に基づいしか入手できない場合が少なくない．このように限らて，劣化予測モデルを暫定的に設定せざるを得ない場

れたサンプルに基づいてハザードモデルを推計した場

合が少なくない．また，土木施設によっては，新しい合，最尤推定量が不偏性を満足せず，推定量に系統的技術や新製品の導入により，過去の劣化過程に関するなバイアスが生じる可能性がある．あるいは，点検実

情報がまったく蓄積されていない場合もあろう．この

績データがまったく存在せず，技術者の経験的情報にような場合，過去の類似の土木施設を対象として作成

基づいて，劣化ハザードモデルを特定化せざるを得なした劣化予測モデルを，初期モデルとして暫定的に用い場合もある．このような場合，限られた事前情報といることも１つの方法である．あるいは，技術者の経少ないデータに基づいて，ハザードモデルを推計する

験情報に基づいて，主観的に劣化予測モデルを設定せための方法論が必要となる．さらに，データが蓄積さざるを得ない場合もあろう．いずれの場合にせよ，デれるに従って，ハザードモデルの改良を試みることが必要となる．ベイズ推計法は事前情報を活用できるた11

とができるという利点がある．また，推計量の信頼域いる．代表的な MCMC 法として，ギブスサンプリング（Gibbs sampling）法，メトロポリス・ヘイスティ

について検討することにより，ハザードモデルによるングス（Metropolis-Hastings：MH と略す）法等が提推計精度や，モデル改良による信頼度の向上の効果も案されている 31)．この内，ギブスサンプリングはも検討することが可能であるという利点がある．

ともと画像復元のアルゴリズム 32)として知られていめ，標本が少ない場合でも比較的精度よく推計するこベイズ推計法では，パラメータの事前分布と，観たが，ベイズ推計法における事後分布推計に応用され測されたデータを用いて定義される尤度関数を用いて，た 33)．ギブスサンプリング法は，事後確率密度関数
ô(íjò) を直接求めることが難しい場合に，各パラメ

パラメータの事後分布を推計することになる．いま，尤度関数を L(íjò) と表そう． íは未知パラメータベク
トル， òは観測データを表す．ここで， íが確率変数

ータの条件付き事後確率密度関数を用いて，反復的にパラメータ íのサンプルを乱数発生させることにより，で，事前確率密度関数 ô(í) に従うと仮定しよう．この時，観測データ òを得たときに未知パラメータ íの事後分布からの標本サンプルを獲得する方法である．

事後確率密度関数 ô(íjò) はベイズの定理より，（４）ワイブル劣化ハザードモデルのベイズ推計

L(íjò)ô(í)ô(íjò) = R
L(íjò)ô(í)díÇ

伝統的な２値モデルのワイブル劣化ハザードモデ
ルのパラメータ íをベイズ推計ルールに基づき推計す(45)

る方法を解説する．新規に獲得したデータをñ (òñ ; ÅÅÅ; òñ ) と表そう．ここで，尤度関数を，ワò=1nと表すことができる．但し， Ç はパラメータ空間である．この時， ô(íjò) はô(íjò) / L(íjò)ô(í)

イブル劣化ハザードモデル(10),(11)を用いて定義すれ
ば，
ñ) =
L(íjò

(46)

m(ò) =

Zi=1ñññi : í)di ÅF~ (ññi : í)1Ä dif (ñyi ; xyi ; xñ= md expと表すことができる． / は比例を意味する．ここに，
分母

n
Y

n ê
nX
i=1

0

Ç

L(íjò)ô(í)díÄ exp(ñxi å )ñ
yim(47)

は， ô(íjò) の基準化定数あるいは事前予測分布と呼ぶ．ベイズ推計は，１）事前の経験情報などに基づき，
事前確率密度関数 ô(í) を設定する．２）新しく獲得したデータòに基づいて尤度関数 L(íjò) を定義する．

ñi å0 + dñi (m Ä 1) ln yñi
dñi x

ëo

(48)

となる．但し， dñはモニタリング期間中に寿命を迎え
Pn
た施設数 dñ= i=1 dñi を意味する．ワイブルハザード
モデルにおいて í= (m; å) が共に未知な場合，尤度関数(48)に対して，事前確率密度関数と事後確率密度関数の関数形が一致するような共役事前確率密度関数34)が存在しないことが知られている 35)．したがって，
ベイズ推計ルールにおいて，事前確率密度関数 ô(í)

さらに，３）ベイズの定理(45)に基づいて事前確率密度関数を修正し，パラメータ íに関する事後確率密度関数 ô(íjò) を得る．以上の手順を，以下ではベイズと事後確率密度関数 ô(íjò) の関数形が，互いに異ならざるを得ない．ここでは m , åの事前確率密度関数

推計ルールと呼ぶ．最尤推定法と異なり，未知パラメ
ータ íの確率分布が，事後分布として求まる点にベイが，それぞれベイズ統計学において標準的な事前確率

ズ推計法の特徴がある．

密度関数として用いられるガンマ分布，多次元正規分（３）マルコフ連鎖モンテカルロシミュレーション

布 に 従 う と 仮 定 し よ う ． す な わ ち ，m ò G(m0 ; î0 )，å ò NK (ñ0 ; Ü 0 ) である．但し，ガンマ分布 G(m0 ; î0 ) ， K 次元正規分布 NK (ñ0 ; Ü 0 ) の

一般にハザードモデルの基準化定数は，解析的に求めることが不可能であり，実務への適用上に限界が確率密度関数はあった．近年，マルコフ連鎖モンテカルロシミュレー

1
î0 m0 mm0 Ä 1 eÄ î0 m (49a)Ä(m0 )
1g(åjñ0 ; Ü 0 ) = p(2ô)K jÜ 0 j
n 1o
exp Ä (å Ä ñ0 )Ü 0 Ä 1 (å Ä ñ0 )0(49b)
2
f (mjm0 ; î0 ) =ション（MCMC）法 31)がベイズ統計学の分野に導入され，多重数値積分により基準化定数を求めなくても，効率的に事後分布を求めることが可能となった．その結果，ベイズ推計法の適用範囲は大幅に拡大したと考えることができる．すでに，MCMC 法を用いたベイズ推計法に関して，いくつかの研究 31)が蓄積されて12

で与えられる．但し， Ä(m0 ) はガンマ関数， ñ0 は
NK (ñ0 ; Ü 0 ) の初期期待値ベクトル， Ü 0 は初期分ñ) から乱数発生させる．
m(i + 1) をô(mjå(i); òñ) から乱数発生
å1 (i + 1) をô(å1 jm(i + 1); åÄ 1 (i); ò

散・共分散行列である．この時，事後確率密度関数ñ) は，式(46)より，
ô(íjò

させる．

åk (i + 1) をô(åk jm(i + 1); å1 (i + 1); ÅÅÅ; åkÄ 1 (i +ñ) / L(íjòñ)f (mjm0 ; î0 )g(åjñ0 ; Ü 0 )
ô(íjò
n ê
nX
ñ 1
m0 +dÄ
ñi å0
/m
exp
dñi x

ñ) から乱数発生させる．
1); åk+1 (i); ÅÅÅ; åK (i); òë

i=1(k = 2; ÅÅÅ; K Ä 1)ñ) から乱åK (i + 1) をô(åK jm(i + 1); åÄ K (i + 1); ò+dñi (m Ä 1) ln yñi Ä exp(ñxi å0 )ñyim Ä î0 mo
1(50)
Ä (å Ä ñ0 )Ü 0 Ä 1 (å Ä ñ0 )02

数発生させる．

step 3） ：十分大きな n に対して i ï n ならば íi+1 を記録する．
step 4） ： i = n な ら ば 計 算 終 了 ． i < n な ら ば
i = i + 1 として step 2 に戻る．

となる．この時，式(50)より， åを既知とした時の mñ) はの条件付き事後確率密度関数 ô(mjå; òñ)ô(mjå; ònê Xë^ 0Ä 1/ mm
exp(Ä^
î0 m) exp Äçi yñim (51)8Pn>
^ 0 = m0 + i=1 dñi< mPî^ 0 = î0 Ä ni=1 dñi ln yñi>:
çi = exp(ñxi å0 )

以上のギブスサンプリングにおいて，推移核ñ) をK(íi ; íi+1 jò

i=1ñ)K(íi ; íi+1 jòñ)= ô(m(i + 1)jå(i); òô(åj (i + 1)jm(i + 1);

j=1と表せる．つぎに， åから第 j (j = 1; ÅÅÅ; K) 番目の要素 åj を除いた未知パラメータベクトルを åÄ j と表
そう．この時， m と åÄ j を既知とした åj の条件付き
Äj ñ)は事後確率密度関数 ô(åj jm; å ; ò

1

jÄ 1

å (i + 1); ÅÅÅ; åñ)(i + 1); åj+1 (i); ÅÅÅ; åK (i); òñ)Åô(åK (i + 1)jm(i + 1); åÄ K (i + 1); ò

(53)

i

) は推移核と定義しよう．この時， í (i = 0; 1; ÅÅÅii+1 ñK(í ; í jò) を持つマルコフ連鎖である．さらに，
ñ) と表そう．十
このマルコフ連鎖の定常状態を ô(íjò分大きな n に対して，このようなマルコフ連鎖が定常ñ)ô(åj jm; åÄj ; ò
n
n ö
o
ê X
ë
jj
/ exp Ä(åj Ä ñ^ j0 )2 exp Äçi yñim
2
i=1
nP
8
(52)
n
j
j
j
1
ññ
>
ñ
^ = ñ0 + öjj>i
i=1 di x< 0oPKÄ k=1;6=j (åk Ä ñk0 )ökj>>:çi = exp(ñxi å0 )

状態に到達していると考えれば，ギブスサンプリングiで求めた í (i = n + 1; n + 2; ÅÅÅ; n) は，事後確率密ñ) からの標本サンプルと見なすことがで
度関数 ô(íjò
きる．これらの標本サンプルを用いて，パラメータí
の事後分布に関する各種の統計量を計算することがでと表せる．但し， ñj0 は事前分布を表す多次元正規分
布 NK (ñ0 ; Ü 0 ) の期待値ベクトル ñ0 の第j 要素であり，
ökj は分散・共分散行列の逆行列 Ü 0 Ä 1 の第 (k; j) 要素である．またKÄY1PK

k=1;6=j は，要素 1 から K のうち，要素j を除いたものの総和を意味する．この時，ギブスサ
ンプリング・アルゴリズムを以下のように整理できる．

きる．なお，ギブスサンプリングを行うためにはñ) ，K + 1 個の条件付き事後確率密度関数 ô(mjå; òÄjñ) (j = 1; ÅÅÅ; K) を求めることが必要とô(åj jm; å ; òなる．なお，式(51),(52)を m ， åj (j = 1; ÅÅÅ; K) の関
ñ)] ,ln[ô(åj jm; åÄj ; òñ)]
数とみなした時，ln[ô(mjå; ò(j = 1; ÅÅÅ; K) はいずれも凹関数である．このように

対数事後確率密度関数が凹関数となる場合，事後分布
から標本を効率的にサンプリングするために適応的棄

Step 1)0

却サンプリング 36)が有効である．なお推計方法の詳：初期パラメータ値 í = (m(0); å1 (0); ÅÅÅ;åK (0)) を与える．i = 0 とし，サンプル数n を設定する．
i+1

1

細及び適用事例については参考文献を参照していただ
きたい 8)．

K

step 2） ： í = (m(i + 1); å (i + 1); ÅÅÅ; å(i + 1)) を次のように発生する．

（５）マルコフ劣化ハザードモデルのベイズ推計
ワイブル劣化ハザードモデルを拡張し，多段階指13

数ハザードモデル（マルコフ劣化ハザードモデル）の健全度

ベイズ推計法について解説する．２時点間の目視検査

補修

データを用いて，マルコフ劣化ハザードモデルのパラ
メータベクトル åをベイズ推計ルールで推計する方法
ñ (òñ1 ; ÅÅÅò
ñK )を考える．新規に獲得したデータを ò=

1

パスA

パス C

パス B

と表そう．マルコフ劣化ハザードモデルのベイズ推計については，検査サンプル k に関して獲得できる情報
ñk = (éñk ; zñk ; xñk ) を想定している．このとき多段階はò
ij

指数ハザードモデルの尤度関数は，
ñ) =
L(åjò

jÄ1
Y

JY
Ä1 Y
J Y
K

j hÄ1
X
Y

ú

ílk
ík Ä íhk
i=1 j=1 k=1 h=i l=i l
f

ú0
(54)

ílk
ñk
exp(Äíhk zñk )géijkkí Ä íhl=h l+1úA
図－７ 補修によるサンプル欠損となる．さらに，ここでは， åi の事前確率密度関数mñ^me = ñe +が，標準的な事前確率密度関数として用いられる多次

/

JÄ
Y1

JÄ
J Y
K jÄ
Y1 Y
Y1

f

jÄ
Y1

i=1 j=1 k=1 l=i

1

j hÄ
X
Y1

1

1
ÜM
列Ü Ä
e の第 (h; m) 要素である．また， h=1;6=m は 1 から M までの要素のうち m を除いた要素の総和を意味ík Ä íhk
h=i l=i l

する．これらの条件付き確率度関数から標本を発生させ，その標本を用いパラメータ åの事後分布に関するñkík Ä íhk
l=h l+1JÄY1ílk

exp(Äíhk zñk géi j

各種の統計量を計算することができる．以後，同様に

1Å expfÄ (åi Ä ñi )Ü i Ä 1 (åi Ä ñi )0 g (55)2i=1

ギブスサンプリングにより事後確率密度関数からのパラメータの標本を算出することができる．推計方法のとなる．ここで， åから åe;m を除いた未知パラメー
Ä(e;m)

タベクトルを å

詳細及び適用事例については参考文献を参照していた
だきたい 9)．

Ä(e;m)と表すと，式(55)より， åを既知とした時の åe;m の条件付き事後確率密度関数ñ) は，
ô(åe;m jåÄ (e;m) ; òñ) /ô(åe;m jåÄ(e;m) ; ò
j hÄ
X
Y1
Å

e Y
J Y
K
Y

６．サンプル欠損バイアスを考慮したハザードモデル

ñk Ä é
ñké
k ij iefí（１）サンプル欠損バイアス

jÄ1
Y
1
1
ñk
exp(Äíhk zñk )géijkkkkí Ä íh l=h íl+1 Ä íh
h=i l=i l
i=1 j=e k=1

土木施設はその劣化により補修が行われる．補修行為によりモニタリングデータが欠損し劣化予測モデ
ルの推定結果にバイアスを生じる可能性がある．たと1
10ÅexpfÄ åe Ä ñe )Ü Äe (åe Ä ñe ) g
2
e Y
J Y
K
Y
ñ
ñ
k
k
/
fexp(åe;m xkm )éij Ä éie
j hÄ
X
Y1

i=1 j=e k=1

1

Å

jÄ1
Y

1

k
ík Ä íhk l=h íl+1Ä íhk
h=i l=i lömm2ÅexpfÄ e (åe;m Ä ñ
^m
e ) g

2

(åe;h Ä ñhe )öhmekと表せる．但し， éieは，検査サンプルk の事前レーテkィング d(úA ) = i とギブスサンプリングにおける事前
レーティング e が一致した場合に 1 を，そうでない時mに 0 となるダミー変数である． ñe は事前期待値ベク
トル ñe の第 m 要素であり， öhme は事前分散共分散行

g(åjñi ; Ü i )

iÄ 1

M
X

h=1;6=m元正規分布に従うと仮定する．すなわち，åi ò NM (ñi ; Ü i ) である．このとき，事後確率密度関ñ) は，数 ô(åjòñ) / L(åjò
ñ)
ô(åjò

úC

えば道路舗装の場合，個々の損傷箇所に対応した小さな区間のみを補修することは少なく，複数の損傷区間を同時に補修する．そのため，劣化が進行していない
比較的良好な状態の舗装も同時に補修される．図－７に示すような２つの舗装劣化のサンプルパスを考える．
時刻ú0 において補修が実施され良好な状態にあったそñk

exp(Äíhk zñk )géij

れぞれの舗装区間が，時間の経過と共に異なる供用性(56)

曲線に従った劣化が進行している様子を示す．サンプ
ルパス A では，測定時刻 úC まで補修が実施されず劣
14

ルの推定方法を，道路舗装を例に解説する．道路区間
k (k = 1; ÅÅÅ; K) に 対 し て ， 時 刻 úAk に 健 全 度
h(úAk ) = ik が，時刻 úBk = úAk + z k に健全度 h(úBk ) = j k35
30未満
30以上40未満
40以上50未満
50以上60未満
60以上70未満
70以上80未満
80以上90未満
90以上100未満
100以上

わだち掘れ量（ mm）

30
25
20

が観測されたと考える．ここに， z k は時刻 úAk から時
刻 úBk までの期間長であり，測定間隔を表す．また，期間[úAk ; úBk ] を観測期間，時刻 úAk に観測された健全度を事前健全度，時刻 úBk に観測された健全度を事後健15

全度と呼ぶこととする．さらに，道路舗装の劣化速度10に影響を及ぼす舗装材質や使用環境を表す道路特性を
xk = (xk1 ; ÅÅÅ; xkM ) と表す．いま，すべての道路区間

5とすべての隣接する測定時刻 úAk ， úBk のペアの集合に対して，舗装の健全度 h(úAk ); h(úBk ) と道路特性 x に関

0
0

5

10

15

20

25

30

経過時間（年）する合計 K 個の実測サンプルが獲得できたと考える．
ñk = (h(úñ k ); h(úñ k ); zñk ; xñk )実測サンプルk の情報を，ò
AB(k = 1; ÅÅÅ; K) と表そう．記号「 ñ 」は実測値である
ñ k) = ñik ，ことを示す．また，健全度の観測値を h(úAñ k) = ñh(új k と記述する．

図－８ 実測サンプルの分布化が進行した状態が観測されている．一方，サンプル
パス B では，時刻 úA において補修により健全度が回復している．仮に，サンプルパス B において時刻úA

B

測定間隔 z と道路特性 x を，それぞれ N; L 個の離散的なカテゴリー zn ; xl に分割しよう．その上で，各サに補修が実施されなければ，図中の破線で示した供用

ンプル属性(i; zn ; xl ) (i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1; n = 1; ÅÅÅ;N ; l = 1; ÅÅÅ; L) が出現する相対頻度を ñ(i; zn ; xl ) と表性曲線に従って劣化が進行し，測定時において劣化が進行した状態が観測される．しかし，時刻 úA において補修が実施されているために，測定時においてはサ
ンプル B が観測されず，時刻úA から新たに発生した

す．相対頻度分布は，舗装データベースから観測可能

サンプル C といった良好な状態の舗装区間のパフォであり，既知関数である．一方，サンプル母集団からサンプル (i; j; zn ; xl ) が抽出される同時確率（尤度）

ーマンスが観測されることとなる．このように，舗装

を f (i; j; zn ; xl : å) と表そう．但し， åは，未知パラの補修が実施されることにより，劣化が進行した状態

メータである．

に関する実測サンプルがシステム的に欠損し，点検に事前健全度が i であるサンプルの中で，劣化の進展

よって状態が良いサンプルが相対的に多く獲得される．

が早いサンプルに対して補修が実施される確率が大きくなると考え，事後健全度 j と対応してサンプル欠損

このような状態が良いサンプル集合を用いて劣化予測を推定すると，劣化確率を過小評価するという問題が率が決定されるようなサンプル欠損メカニズムを取り上げる．いま，サンプル集合 äを健全度ペア(i; j) (i î j) に着目して (J Ä 1)(J + 2)=2 個の排他的発生する．このように補修によりサンプルが欠損する
ために，劣化予測モデルの推定結果が歪められる問題
をサンプル欠損バイアスと呼ぶ．図－８は，実際の道
路舗装の観測データから，直近の補修時刻からの経過
時間と観測されたわだち掘れ量の関係を図示している．

なサンプル部分集合 äij (j = i; ÅÅÅ; J; i = 1; ÅÅÅ; JÄÄ1) に分割する．すなわち， äij \ äi0 j 0 = û ((ij) 6=
Ä1 J[j=i äij と(i0 j 0 )) であり，サンプル集合は ä = [Ji=1表現できる． ûは空集合を表す．その上で，各サンプ

この図に示すように，経過時間が６年以内のサンプル数は，比較的豊富に存在している．しかし，経過時間ル部分集合内で，サンプル欠損率が一定であると考えが６年以上になると急速にサンプル数が減少しており，る．事後健全度に関する情報が存在するサンプルに関経過時間が多くなるとサンプル欠損が増加する．また，しては，当該のサンプルがどのサンプル部分集合に属

経過時間に対して，健全度が多様に分布しており，経するかを識別することができる．観測期間中に予防補過時間と健全度の間に確定的な関係を見いだすことは修が実施されているサンプルは，どのサンプル部分集

困難である．本章では，補修によるデータ欠損に対す合にも属さず，当該サンプルは欠損することになる．
サンプル部分集合 äij のそれぞれに対して，状態変る補正を考慮するために，選択肢サンプリング法 37)39)

数 (zn ; xl ) が 同 時 に 生 起 す る 同 時 生 起 確 率 をQ(zn ; xl ji; j) と表そう．このような同時生起確率は，を用いた多段階指数ハザードモデルの推定方法を提案する．

サンプル部分集合ごとに定義される．言い換えれば，（２）サンプル欠損を考慮した最尤推定法

サンプル部分集合ごとにサンプル発生メカニズムが異

サンプル欠損を考慮した多段階指数ハザードモデ

なる．測定結果により得られたサンプルの内，サンプ
15

J

ル部分集合 äij に属するサンプル数を Nij と表そう．
1

サンプル集合 äi = [j=i äij に属するサンプルを対象としていることを断っておく．この時，理論的健全度~: å) は，
分布 Q(jjiñK

この時，実測サンプル ò= (ò ; ÅÅÅ; ò ) は，各サンプル部分集合 äij から，それぞれ Nij 個ずつランダムに抽出されたランダムサンプルと考えることができる．
PJÄ1 PJñ
但し， i=1
j=1 Nij = K である．サンプル欠損が~Q(jji: å) =と表すことができる．次に，サンプル部分集合 äij から確率(59)に従って実測サンプルがランダム抽出されñ (òñ ; ÅÅÅ; òññ)
ると考えよう．この時，測定データ ò=
1K一致する．さらに，サンプル部分集合ごとにサンプル抽出率が異なることになる．時刻 úB における理論的に対して，サンプル欠損バイアスを補正した修正対数

健全度分布は，事前健全度i に依存して変化する．事
前健全度 i ，測定間隔 zn と道路特性 xl を与件とした事

尤度関数は，
ñ; å) =
~òln L(

n=1 l=1i=1 j=iñk ln ôij (ññk : å)é
zk ; x
ij

k=1

(62)

と定義される．但し， Nij はサンプル部分集合 äij に
ñk は h(úñ k) = ñi，
属する実測サンプル数を表す． é
ij
A
k
ñ )=ñ
h(ú
j の時に 1，それ以外の時に 0 の値を示すダ

P~ (jji; zn ; xl : å)ó(zn ; xl ji)(57)(i = 1; ÅÅÅ; J Ä 1; j = 1; ÅÅÅ; J)

ñ
JÄ
J nX
K
X1 X

o
~
ÄNij ln Q(jji: å)

後健全度分布に関する条件付き確率密度関数
P~ (jji; zn ; xl : å) = ôij (zn ; xl : å) を用いれば，時刻úB = úA + zn における理論的健全度分布は，
N X
LXñl : å) (61)wn;lji ôij (ñzn ; xn=1 l=1

存在するため， Nij の総和は道路区間総数 K でなく，ñに補修が実施された道路区間を除いたサンプル数 K~Q(jji: å) =N X
L
X

B

ミー変数である．この修正尤度関数（62）を最尤推定と表される． ó(zn ; xl ji) は事前健全度が i であるサンプルの測定間隔 zn と道路特性 xl に関する周辺分布法により，サンプル欠損を考慮した多段階指数ハザードモデルを推定することができる．

ó(zn ; xl ji) は既知関数である．この時，同時確率f (i; j; zn ; xl : å) は次式で表される．

７．アセットマネジメントへの適用事例

f (i; j; zn ; xl : å)

土木施設の劣化予測モデルは，戦略レベルにおけ~= Q(jji: å)Q(zn ; xl ji; j : å)ñ(i)= P (jji; zn ; xl : å)ñ(i; zn ; xl )るアセットマネジメント戦略を検討する場合に用いら(58)

れる．ライフサイクル費用評価や最適補修戦略導出方
法は対象とする土木施設の特性によって様々10)-13)であ

但し， ñ(i) は事前健全度 i の相対頻度分布を表す．式(58)より以下の式が成立する．

るが，本章では，ワイブル劣化ハザードモデルを用いて劣化予測モデルを推定し，高速道路上のトンネル照Q(zn ; xl ji; j : å)P (jji; zn ; xl : å)ñ(i; zn ; xl )
=
~
Q(jji
: å)ñ(i)明システムの最適点検・更新政策を検討する方法論
11)を簡単に紹介する．

(59)

トンネル照明システムのアセットマネジメントにおいては，個々の照明ランプの取替え費用だけでなく，条件付き同時確率 Q(zn ; xl ji; j : å) は，サンプル部分
集合 äij から，実測サンプル (i; j; zn ; xl ) がランダム抽点検・更新業務を実施するために固定費用が発生する．

出される確率を表している．条件付き同時確率
Q(zn ; xl ji; j : å) を用いることにより，サンプル欠損

経済が発生する可能性もある．したがって，トンネル

バイアスを補正した修正対数尤度関数を定義すること新のタイミングを同期化することにより，これらの固ができる．ここで，理論的健全度分布(57)に含まれる
測定間隔zn と道路特性 xl に関する周辺分布ó(zn ; xl ji)

定費用を削減し，結果的にライフサイクル費用を低減

さらに，点検・更新業務により，道路混雑等の外部不照明システムを管理する場合，照明ランプの点検・更することが可能となる．点検・更新戦略として，１）を，質点 (i; zn ; xl ) に対して付与される経験的重み
wn;ljikwn;lji =k

定期点検の時間間隔と，２）照明ランプの最大使用時間長を考えることができる．定期点検の時間間隔を広k

げれば，点検・更新業務に付随して発生する固定費用#fk 2 äi ji = i; z = zn and x = xl g
#fk 2 äi jik = igを削減することができる．さらに，照明ランプの取替(60)え費用を削減することも可能となろう．一方で，点を用いて表現しよう．ここに， #fkjBg は条件 B が成立するサンプル数を意味する．但し， ik ; z k ; xk は，

検・更新間隔を広げれば，不点となる照明ランプの数が多くなり，不点リスクが増加する．照明ランプの最
16

1

70
d=1

照明種類

単位ライフサイクル費用（千円）

0.8

生存確率

60

昼間
夜間
深夜・非常
晴天-1
晴天-2
曇天-1
曇天-2

0.6

50

小

←

d→
大

40
小

30

←

m

→

大

20
d=24

10

0.4

費用・リスク曲線

0
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

ñ
不点管理限界U
0.2
0

5

10

15

20

図－１０ 費用－リスク曲線25

使用時間（日×100）

図－９ トンネル照明ランプの生存関数

界が 0.2 以上の場合，予算をわずかに削減しても，照明ランプの不点確率は大幅に増加することを示してい大使用時間長に関しても，同様のトレードオフの関係

る．以上のような分析結果に基づいて，トンネル照明が成立する．このように，定期点検間隔と最大使用時

システムの予算計画と点検・更新戦略を決定する際の間長は，ライフサイクル費用および不点リスクに関し有用な情報を得ることができる．なお，本章で紹介してトレードオフの関係が存在する．
まず,式(6)で定義される 2 値状態変数を取り扱うワた分析事例のほか，橋梁 10),13)，あるいは多段階ワイ

イブル劣化ハザードモデルを用いて，トンネル照明ラ象とした研究事例が報告されている．

ブル劣化ハザードモデルを用いた照明灯具 12)等を対ンプの劣化予測モデルを推定することができる．ここでは，トンネル照明の使用開始日と不点となった日が８．おわりに記録されている不点履歴データベースを用いて，図－９に示す生存関数を推計した．ワイブル劣化ハザード

本稿では，土木施設のモニタリングデータを用いモデルの説明変数として，１）照明用光源タイプ，

た統計的劣化予測モデルに関する研究成果を体系的に

２）照明種類別点灯時間を取り上げており，本図には，整理した．そのなかで，土木施設の劣化特性やモニタ

低圧ナトリウムランプの照明種類別生存関数を図示しリングデータの構造特性に適合する各種の劣化予測モている．この劣化予測モデルをインプット情報として，

デルの推計方法を紹介した．また,モニタリングデー

トンネル照明システムのライフサイクル費用と不点リタの蓄積が不十分な状況下において，主観情報と継続

スクの関係をマルコフ決定モデルを用いて分析した結的に蓄積されるモニタリングデータをもとに，劣化予果を，図－１０に示す．本図は，照明ランプ数
N = 100 としたときのトンネル照明システムのライ測モデルの精度を向上させるようなベイズ更新モデル

フサイクル費用（縦軸）と不点管理限界（横軸）の関モデルが予算計画や管理水準の決定等を検討するマク係を，費用-リスク曲線として表現したものである．

ロレベルでの検討のためのインプット情報としての役

ライフサイクル費用は，照明ランプの交換費用のほか，割のほか，持続的マネジメントサイクルの進化の過程

点検費用，交通規制費用等の固定費用を含んでいる．

において学習機能を有するアセットマネジメントシス

また，不点管理水準は所与の点検間隔と使用時間長をテムの開発に向けた新たな研究の要素技術として位置設定した場合の照明ランプが不点となる確率を
VaR(Value at Risk)で指標化したものである．同図に示づけられることを言及した．今後は，これらの研究成

すように，点検・更新区間および最大使用時間長を表対象とした実証分析を試みるとともに，持続的な土木

すパラメータが大きくなるほど，ライフサイクル費用

施設管理の支援を目的とした次世代アセットマネジメ

が小さくなるが，不点リスクが大きくなるというトレードオフの関係が見いだせる．不点管理限界を 0.1 以

ントシステムの開発のための技術開発に取り組んでい下に抑制しようとすれば，ライフサイクル費用が急速に増加する．一方，不点管理限界を 0.2 以上に増加さータを用いた推計結果の事例及びライフサイクル費用

せても，ライフサイクル費用の抑制にはそれほど貢献

ントへの適用事例については，講演時に発表させていしないことが理解できる．言い換えれば，不点確率限

ただきたい．

を紹介した．さらに，筆者らが提案している劣化予測

果の更なる適用範囲の拡大に向けて，各種土木施設をきたい．なお，本稿で紹介した劣化予測モデルの実デ評価や最適補修戦略導出モデル等，アセットマネジメ

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