解 説
X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法
および放射光実験による検証
沖津康平
東京大学工学系研究科総合研究機構

要 旨〒1138656 東京都文京区弥生 21116

完全ないしは完全に近い結晶に入射した X 線の振る舞いは，動力学的回折理論（動力学理論）によって記述される。
入射し透過する X 線と，ひとつのブラッグ反射波のみが強いとする，2 波動力学理論には，100年に及ぶ蓄積があるが，3 つ以上の波が同時に強い多波（n 波）ケースの研究人口は少ない。筆者は，高木方程式（TT 方程式）を多波ケースに拡張し，数値解法を研究，X 線の偏光状態を制御した放射光実験により，その検証を行ってきた。エバル
トラウエの動力学理論（EL 理論）と TT 方程式が，多波ケースにおいてもフーリエ変換で記述される等価な関係にあることを示し，計算および実験の手法と結果について解説する。

故障，不具合といった意味の普通名詞である。分光結晶の1. はじめに回転によりエバルト球は伸縮するが，特定の光子エネル

完全結晶で回折される X 線の振る舞いを記述する理論
は動力学的回折理論（動力学理論）とよばれ， 1912 年にギーで H0, H1 以外の逆格子点がエバルト球の上に載ったときに，グリッチが発生する。

ラウエによって，結晶による X 線の回折現象が発見され

H0, H1, … , Hn－1 の逆格子点が同時にエバルト球上にあた直後の 1910 年代には，ダーウィン1,2) やエバルト3) らにり，n 個の波が同時に強いケースを n 波ケースとよぶこと

よって理論の基礎が与えられた。今日，最も広く用いられにする。エバルトラウエ理論が， n 波ケースに拡張されている動力学理論は，エバルトによってその基礎が与えらたのは，19671968年だった2023)。コレラによって数値解れ， 1931 年，ラウエが完成させた4) エバルトラウエ動力が初めて与えられたのは1974年のことである24)。

学理論（ E L 理論）である。ラウエによって与えられた

一方， T T 理論の n 波ケースへの拡張は，随分遅れ

動力学理論基本方程式4) に，入射 X 線とひとつの反射 Xた。偏光の取扱が厄介であるため， 1987 年，偏光を無視

線のみが強いとする 2 波近似を適用した， 2 波の E L 理

した 3 波ケースへの拡張が行われ25) ， 1998 年に偏光を考論が，多くの教科書に記述されている512)。

慮する 3 波ケースの方程式26) が初めて報告された。偏光

一方，1962年，高木によって発表された1316)高木トウの効果を考慮しての，n∈{3, 4, 6, 8, 12｝の n 波ケースへ

パンの式（ T T 理論， T T 方程式）は，結晶格子歪みをの拡張27) と，計算機による数値解法の開発，および 6 波

取り扱える理論として，当時黎明期にあった半導体産業かケースでの放射光によるピンホールトポグラフ実験結果とら，シリコン結晶の評価手段として広く受け入れられ，様の比較による検証2830) は 2003 年，筆者らによる報告が初々な結晶格子欠陥に対する， X 線トポグラフ図形の計算

めてとなった。以降，2012年までに n∈{3, 4, 5, 6, 8, 12｝

機シミュレーションが行われた17,18)。

の n 波ケースについて，計算機シミュレーションと実験

ひとつの反射面がブラッグの反射条件を満たすとき，逆空間では，逆格子原点 H0 とひとつの逆格子点 H1 がエバ―→
ルト球上に存在するが，H0H1 軸周りに結晶を回転させると， H0, H1 以外の逆格子点がエバルト球上に載るように―→できることは，容易に理解できる。H0H1 軸周りに結晶を―→回転させ，H0H1 による反射 X 線の強度を測定するスキャ

結果のよい一致を報告してきた31)。
2005 年に最初に報告したことであるが32) ， E L 理論とT T 理論の間には，フーリエ変換で記述される単純な関係があり，等価である。いずれもラウエによる動力学理論
基本方程式4) から導出されているので，当然なのであるが，このことが十分に認識されていなかったことが， T 

ンは， 1937 年レニンガー19) によって最初に報告されたこ

T 理論の n 波ケースへの拡張が遅れた主な原因ではないとから，レニンガースキャンとよばれる。

かと思われる。

また， X 線スペクトロスコピーにおいては，シリコン

本稿では，ラウエの動力学理論基本方程式から，まず n

やダイヤモンドが分光結晶として用いられるが，特定の光

波 EL 理論を導出し，これをフーリエ変換することで，n子エネルギーで X 線反射強度に不連続が見られることが波 T T 方程式を導出する。逆に n 波 T T 方程式をフーあり，グリッチ（glitch）とよばれている。「 glitch」は，

リエ変換して n 波 E L 理論を導出できることから， E L

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●61(C) 2020 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research理論と T T 理論が等価であること31,32) を，明示的に記述て，最も対称性が高い立方晶に対して n の値を検討するする。

と，n∈{3, 4, 5, 6, 8, 12｝となる。n 個以外の逆格子点はn 波の動力学的回折は， E L 理論と T T 方程式のどち

エバルト球表面から十分に遠いという近似を適用する。

らでも記述でき，数値解を求めることができる。そして，La0（ラウエ点）は，Hi（i∈{0, 1, …, n－1｝）からの距離

それぞれに，長所，短所がある。その事を理解した上で，が K （＝ 1 / l ）である点， Pli は， Hi を中心とする，半径これらを使い分けるべきだ，というのが筆者の見解である。

K の球面を近似する平面である。 Pl0 と Pl3 のみを描いて―→ある。ラウエ点は，のちに| La0Hi |≠K の場合にも適用で世界的に現在最も広く読まれている動力学理論の教科書
は，オーティエによる著書11)だと思われる。500ページ以きるよう理論を拡張するので，あえて La0 とする。

上の大著であるが，多波ケース（n 波ケース）に関する記

P1 は Pl0 上にあり，入射波の波数ベクトルの始点（終述は，わずか 24 ページである。多波ケースに特化して記点は H0）である。また，偏光因子 S と C を次のように定述した教科書としては，チャンによる 2004 年の著書33) が義する。

ある。ピンスカーの 1978 年の著書8) には，多波の E L 理e(j m)＝S (i,mj )si＋C (i,0,j m)e(i 0)＋C (i,1,j m)e(i 1).

論に関するやや詳しい記述がある。レビューとしては，ベ(4a)ッ カ ー ト と ヒ ュ マ ー に よ る も の34,35) ， コ レ ラ に よ る もの36,37)がある。

2.

したがって，

エバルトラウエ（EL)n 波理論の導出

次の式は，ラウエによって導出された，動力学理論基本

S (i,mj )＝si･e(j m),(4b)

C (i,0,j m)＝e(i 0)･e(j m),(4c)

C (i,1,j m)＝e(i 1)･e(j m).

(4d)方程式である。
式(2)の左辺と右辺に，それぞれ，式(3a)と(3b)を代入し
k 2i －K 2
k 2i∑xh －h [ j]⊥k .

i＝

i

j

( 1)

i

て次の式を得る。

j( 0) ( 0)i ei ＋ji(ki は， i 番目のブロッホ波の波数，波数ベクトルは， ki ＝＝

k0 ＋ hi である。 k0 は，前方回折波の波数ベクトル， hi は( 1) ( 1)i ei )[

K n－1∑ xh － h
2 j＝0 i j(0) (0)j ej ＋(1) (1)
j ej

] .
⊥ ki

(5)

散乱ベクトルである。 K (＝ 1 / l ）は，入射 X 線の真空における波数で，l は波長である。

iとj は， i 番目と j 番

目のブロッホ波の複素振幅ベクトルである。∑j は，j に関式(5)右辺に式(4a)を代入して e(i l) の項を比較することにより，する無限のサンメーションである。 xhi－hj は，電気分極率のフーリエ係数，[j ]⊥ki は，複素振幅ベクトル

j の kiに垂直な成分である。

ji

K
(l )
i ＝

n－ 1

1－1

∑ xh －h ∑ C (i,l,j m) (j m).
2
i

j

j＝ 0

ki＋ K2ki の近似を式(1)に適用して，次の式が得られ

る。

(6)

m ＝0

―→
P′
1P1 は， X 線入射側結晶表面の下向き単位法線ベクトルnz に平行で，次のように表されるものとする。

ji

i＝

K
∑xh －h [ j]⊥ki, where ji＝ki－K.
2 j i j

電気変位ベクトルi，( 2)j は，スカラー振幅の 1 次結合で次のように表すことができる。

―→
P′
1P1＝jnz.

(7)b(0) と b(1) は，X 線入射角の厳密な n 波条件からの角度のズレで，Fig. 1 を参照して，

i＝( 0 ) (0 )i ei ＋( 1) ( 1)i ei ,(3a)j＝(0) (0)j ej ＋( 1) ( 1)j ej .

(3b)―→
P1La0＝Kb(0)e(00)＋Kb(1)e(01).

(8)

si が ki 方向の単位ベクトルであるとき， si に垂直な単位

ji（＝ ki－ K ）は， si と ki－ Ki の内積をとることにより得―→―→られる。ここで，ki＝ P′
1Hi , Ki＝La0Hiである。式(7)と式ベクトル e(i 0) と e(i 1) は， si, e(i 0), e(i 1) が，右手直交系をな(8)の足し算と，si の内積をとって，式(4b)を代入すると，すように定義する。j についても同様である。
逆空間に作図した Fig. 1 を参照しながら，以下を記述する。 n 個の逆格子点が同一円上に存在する場合に限定し

62 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2―→ ―→ji＝si･(P′
1P1＋P1La0)＝jsi･nz＋Kb(0)si･e(00)＋Kb(1)si･e(01)解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

る。以降，固有ベクトルないしは，固有ベクトルを並べた行列を，花文字で表すこととする。A は 2n×2n の正方行列でその p 行 q 列目の要素 ap, q( p＝ 2i＋l＋ 1）は次のように与えられる。

a p , q＝K
xh －h C (i,l,j m)
2 cos Vi i j

－

(

)

d p , qK
S (i,00) b(0)＋S (i,10) b(1) .
cos Vi(13)

ここで， p ＝ 2i ＋ l ＋ 1, dp, q は，クロネッカーデルタである。式(12)は，2n 組の固有値 j と固有ベクトル D を持つ
固有値/固有ベクトル問題である。固有値 j が，ブロッホ
Geometry around the Laue point La0. Pl0 and Pl3 are planes
whose distance from H0 and H3 is K. Plh is a plane normal tonz (downward surface normal). The Laue point La0 andpoint P″
1 exist on Plh. Pli (i≠{0, 3}) were not drawn for simplicity. Lai and La′
i are points whose distance from Hi (i∈{0,
1, …, n－1}) is K. P′
1 is the initial point of wavevector of the
Bloch wave. P′
1, k that appears in equation (51) is the kth
numberd P′
1 i.e., the initial point of wavevector of the kth
numberd Bloch wave where k∈{1, 2, 3, …, 2n}.

Fig. 1波の波数ベクトルに制限を与え，固有ベクトルが振幅比を与える。
2 波の E L 理論も当然，式( 12 )のように記述されるが「固有値/固有ベクトル問題」という用語は一般に出てこな
い 。 2 波 E L 理 論に 関 する ，ほ ぼす べて の著 書に おいて，固有値の集合としての分散面の導出が記述されている。まず式(12)を，以下のように変形する。
(A－jE)D＝O.

＝j cos Vi＋Kb(0)S (i,00)＋Kb(1)S (i,10).

(14)

( 9)
O は，すべての成分がゼロの 2n 次元の列ベクトルである。

式(9)を式(6)左辺に代入すると，次の式が得られる。
det(A－jE)＝0.
(l )
i ＋K

j cos Vi(S b ＋S b )
(0 )
i, 0

n－ 1

＝

(0)

1

(1 )
i, 0

K
∑ xh －h ∑ C (i,l,j m)
2 j＝ 0 i j m ＝ 0

(1)

(l )
i

(m )
,
j

(15)

上の式( 15 )は，式( 14 )が D ＝ O 以外の解を持つための条(10)件である。2 波ケースの場合，s 偏光と p 偏光は，干渉し合うことなく別々に取り扱うことができる。さらに，ロー

ここで，i, j∈{0, 1, …, n－1},

レンツ点を定義することにより，式(2)の右辺から j＝i のn∈{3, 4, 5, 6, 8, 12},項を消去するのが一般的である。分散面の方程式(15)は，

l, m∈{0, 1}.

s 偏光と p 偏光に対して，それぞれ双曲線となる。このため，2 波 EL 理論は，近似解とはいえ解析的に解ける。

Vi は，si と nz のなす角である。さらに，式(10)の両辺を

cos Vi で割ることにより次の式が得られる。

本稿の記述においては，ローレンツ点の定義を行わない。
T T 方程式に j＝ i の項を残すと，任意形状の結晶に対応するという有利な点があるためである30) 。多波ケースに

j

(l )
i ＝－

＋

K
cos Vi(S b ＋S b )
(0)
i, 0

(0)

( 1)
i, 0

(1)

n－1
1
K
xhi－hj ∑ C (i,l,j m)∑
2 cos Vi j＝0m ＝0

おける分散面は， j に関しての 2n 次方程式となり，非常

(l )
i

( m)
.
j

に複雑になる。このこともまた，多波動力学理論の発展を(11)遅らせた要因のひとつである。
n 波 E L 理論の数値解を最初に与えたのはコレラ24) である。彼の手法は，ラウエ点を通る，中心 Hi，半径 K の式( 11 )は，行列とベクトルを用いて，次のように表され球の湾曲をも考慮するものであり，式(12)の固有値/固有る。

ベクトル問題を解くよりも，ブラッグ条件から大きく離れたところで，高い精度を持つものと考えられる。

jE D ＝A D .

(12)Fig. 1 には，H0, H1, H2, H3, H4, H5 からの距離が K（＝1/l ）のラウエ点（ La0）に加えて， Hi（ i∈{ 6, 7, … , 17 }）E は，2n×2n の単位行列である。D は，2n 次元の列ベクからの距離が K の Lai を描き加えてある。のちの §5.7 で( m)（ q ＝ 2 j ＋ m ＋ 1 ）であj示す Fig. 19のような18波ケースの計算に， Lai の定義が必トルで，その q 番目の要素は放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●63

要になる。
―→―→
Fig. 1 で La0Lai は， P′
1P1 に平行であり，式( 11 )の左辺
は， j

(l )
i から（ j ＋ j ′i)－dp, q K (0) (0)(1))－d(S i, 0 b′ ＋S (i,10) b′p, q j″i .
cos Vi(19)(l )
i （ただし i ＜ 6 のとき j ′i ＝0）に置き換える必要がある。式(12)の中の 2n×2n 行列の要

上の式(19)は，Fig. 19のように二重の円周上に逆格子点が素を表す式( 13 )は，次のように書き換えなければならな

存在しなくても，任意の個数の逆格子点が，エバルト球表

い。

面近傍に存在するケースについて，式( 12 )に代入して，解を求めることができる。
K
a p, q ＝
xh －h C (i,l,j m)
2 cos Vi i j

2.1

d p, q K－(S (i,00) b(0)＋S (i,10)b(1))－dp, q j′i , (16)cos Viwhere, j′i ＝0 for i＜6.

エバルトラウエ理論（ E L 理論）からの高木方程式（TT 理論）の導出

この節では，式( 10 )ないしは式( 11 )で記述される n 波
E L 理論から， n 波 T T 方程式を導出する。逆空間における積分と実空間における微分の順序の交換，積分とサン上の式(16)を成分に持つ 2n×2n（n＝18）の行列を作り，式(12)の固有値/固有ベクトル問題を解き，のちに §3.2 に記述する，式(46a)と式(47)から計算した回折プロファイ

メーションの順序の交換が，議論の骨子となる。
r を位置ベクトルだとして，動力学理論の解である全波

動場 DÃ (r)が，次のように表されるものとする。

ルを高速フーリエ変換して得られたのが， §5.7 で示す，
Fig. 18(b)である。

このことには重要な意味がある。筆者らの 2012 年の論

n －1 1―→DÃ (r)＝∑∑ e(i l ) D (i l )(r) exp (－i2pLa0Hi ･r),(20)

i ＝ 0 l＝ 0

文31) まで， T T 方程式の解を得るにあたり， n 個の逆格
子点がひとつの円周上になければならないという制限を設

以下の記述のため，位置ベクトル r が， si, e(i 0), e(i 1) の 1

けてきたが，これを取り払ったのである。

次結合として次のように表されるものとする。

さらに，Fig. 1 の Pl0 上の La0 でない場所に La′
0 を描き，
―→
＝ji″
La0′
Lai′
nz となるように，Pli 上に La′i（ i∈{ 0, 1, 2, … ,r＝sisi＋e (i 0)e(i 0)＋e (i 1)e(i 1).

(21)n－1）を定義する。この場合，n 波 EL 理論を記述する，
(l )
i によっ

偏光状態 l の i 番目の波は，ブロッホ波の振幅式(10)に相当する式は，次のようになる。

て次のように記述することができる。

j cos Vi(l )(0)＋S (1) b′(1))′＋K(S (i,00) b′
i
i, 0

(l )

′
i

―→
(l )
i (Dk) exp (－i2pP′
1 Hi ･ r )

(l)
＝－j″
′
i cos Vi
i

＋

1
K n－1
xhi－hj ∑ C (i,l,j m)∑
2 j＝ 0
m ＝0

(m)
′
,
j

＝

(17)

where, i, j∈{0, 1, …, n－1},(l )i (Dk) exp (－i2pDk･r)―→×exp (－i2pLa0Hi ･r),―→where Dk＝P′
1La0.

(22)

n は，エバルト球表面近傍の逆格子点の数，逆空間でフーリエ積分を行う際，これまでl, m∈{0, 1}.

―→(0)e(0) ＋ K b ′(1)e(1) である。右辺第 1 項を左辺
＝K b′
P1La0′00( l)i で表してきたブロッホ波の振幅を，これが Dk の関数であることを明示的に示すため，(l )i ( Dk ）と記述することにする。まに移さなかった理由については，式(33), (34)を導出した

た，後の記述のため，式(7)と式(8)から，Dk が次のよう後に記述する。式(11)に相当する式は，次のようになる。

に表されることを確認しておく。

(l )
j ′
i ＝－

＋

Dk＝j nz＋K b(0)e(00)＋K b(1)e(01).

K
(l )
(l )
(0)＋S (1) b′(1)) ′(S (i,00) b′
′
i
i, 0
i －j″
i
cos Vin－1
1K(m)xhi－hj ∑ C (i,l,j m) ′.
j∑
2 cos Vi j＝0
m ＝0

(18)

式(22)の(23)(l )i (Dk）は，どのような関数であっても構わない。例えば，入射 X 線の振幅が， Fig. 1 の Pl0 上の 1 点でのみゼロでない，ディラックのデルタ関数であれば平面波

また，式(16)を次の式で置き換えることになる。

入射，振幅も位相も変わらない一定値の場合は，実空間ではデルタ関数となるため球面波入射となる。

K
a p , q＝
xh －h C (i,l,j m)
2 cos Vi i j

式(20)右辺の振幅 D (i l )(r)と，i を j に，l を m に置き換えた振幅 D (j m)(r)は，ブロッホ波をコヒーレントに重ね合わせたものだと考えられるため，次のように表される。

64 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

D (i l )(r)

変形ができるので，式(26)と同じ形の次の式が得られる。

D.S.

f

(l )
i (Dk) exp＝

Dk(－i2pDk･r)dS.

(24a)

(

(24b)

D (j m)(r）
D.S.

f

(m)
(Dk) exp
j

＝

Dk

&
(l )
D′
i ( r)
&s i
D.S.

)

－i2pDk･r dS.

f[＝－ i2p((0)＋ (1) ′j cos Vi ＋ K S (i,00) b ′S i, 0 b (1)

D k′

×

(l )
′
) exp (－i2pDk′･r)dS.
i (Dk′

)]

(28)

D.S.

ここで，f
は，分散面全体にわたる積分である。分散
Dk dS
面と固有ベクトルは， 2n 組あるので，それらの番号を k(k∈{1, 2, …2n}）として，∑

2nk＝1 のサンメーションをとる

記述もあり得るが，式( 24a )，（ 24b )においては，のちのD.S.

式( 26)の D (i l)( r )が， n 個の逆格子点が同一円周上に存在―→する場合に， exp (－ i2p La0Hi ･ r) e(i l) の波を変調する振幅―→(l )なのに対して，式(28)の D′
i (r)は，exp (－i2pLa′
0H i ･ r)nの積分の中に∑k2＝
式変形の簡素化のため，f
1 のサン
Dk dS

e(i l) を変調する振幅であり，エバルト球表面近傍に存在す

メーションを含むものととして記述している。 D (i l ) ( r )と―→D (j m) ( r ）は ， それ ぞ れ， exp (－ i2p La0Hi ･ r ) e(i l ) と exp―→( － i2p La0Hj ･ r ) e(j m) の 波 を 変 調 す る 振 幅 で あ る 。 式

る逆格子点をすべて考慮する場合へと， T T 方程式の適用範囲をのちに一般化するために準備した。
式(10)を式(26)に代入して(21)，(23)を式(24a)に代入して，式(4b)の偏光因子を考慮すると，& (l )D i ( r)
&s s
D.S.

f

D (i l )(r)＝D.S. n－1f(l )i (Dk）

＝－ipK

Dk

Dk

{－i2p[(j cos V ＋K b S＋K b S)s ＋f (e , e )]}dS. (25)

×exp

(0)

i

( 1)

( 1)
i, 0

i

i

(0)
i

( 0)
i, 0

(1 )
i

×

1

∑ xh －h ∑ C (i,l,j m)
i

j

j＝ 0

m ＝0

(m)
(Dk) expj(－i2pDk･r)dS

n－ 1

1

j＝ 0

m ＝0

＝－ipK ∑ xhi－hj ∑ C (i,l,j m)
D.S.

ここで， fi ( e (i 0), e (i 1) ）は， e (i 0), e (i 1) の関数で， si に依存しf( m)(Dk) expj×

Dk(－i2pDk･r)dS. (29)ない項である。よって， &D (i l)(r)/&si は，次のように計算式(24b)を式(29)に代入すると，次の式が得られるされる。
& ( l)D i ( r)&si

& (l )D i ( r)
&s i

D.S.

f
f [
f[

＝

&
&s i

(l)
i (Dk) exp

Dk

(

)

D.S.

(－i2pDk･r)]dS＝－i2p
j cos V ＋K(S b ＋S b )]×(Dk) exp －i2pDk･r dS.
(26)
(
)
＝

&
&
si
Dk

(l )
i (Dk) exp(0 ) (0 )
i, 0

1

j＝ 0

m ＝0

(30)

where, i, j∈{0, 1, …, n－1},n∈{3, 4, 5, 6, 8, 12},

D.S.

i

n－ 1

＝－ipK ∑ xhi－hj ∑C (i,l,j m)D (j m)(r),－i2pDk･r dSl, m∈{0, 1}.

(1) (1)
i, 0

Dk

(l )
i

上の式(30)は，n 個の逆格子点が同一円周上にある場合に対する n 波 TT 方程式である。
と こ ろで ， 結 晶 が 完全 で あ る と き ， 電 気 分 極 率 は ，一方，式(23)の Dk の代わりに，Dk′を次のように定義すx(r)＝∑ixhi exp (－i2phi･r）のように，フーリエ級数で表る。

される。しかし，結晶に格子変位 u(r）があるとき，電気分極率は，近似的に x[r－u(r)］となり，次のように，変

―→
＝P′
Dk′
1La′
0

形されたフーリエ級数に展開される。

(0) (0)＋( 1) ( 1)＝jnz＋Kb′
e0
K b′
e0 .

(27)

x[r－u(r)］式( 24 ) , ( 25 )で， Dk, D (i l ) ( r ) ,(Dk),b (0 ) ,

(m)
(r),
D′
j

(l )
i ( Dk ) ,D (j m) ( r ) ,(l )( r) ,
b(1) をそれぞれ，Dk′
, D′
i

(m)
j

(l)

′
(Dk′
),
i

(m)
(0), b′(1) で置き換えても，同様な′(Dk′) , b′
j＝∑xhi exp {－i2phi･[r－u(r)]}i＝∑xhi exp [i2phi･u(r)] exp (－i2phi･r).

(31)

i

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●65したがって格子変位場 u(r）を持つ結晶の場合，電気分極

変形ができず，うまくいかない。式( 17 )の右辺第 1 項を率のフーリエ係数は位置ベクトル r の関数となり， xhi－hj

左辺に移すと，左辺は si ･ Dk ′i となるが，これを行わず，

exp [i2p(hi－hj)･u(r）］のように表される。よって式(30)

左辺を si･Dk′のままにしたのは，このためである。

は，格子変位を伴う結晶に対して次のように書き換えられさらに，式(31)を考慮して，

る。
&
(l )
D′
i ( r）&s i& (l )D i (r)&si(l )＝i2pj″( r)i cos Vi D′
i
n－1

n－ 1

＝－ipK ∑ xhi－hj exp [i2p(hi－hj)･u(r)]－ipK ∑ xhi－hj exp

j＝ 0

j＝ 0

1

[i2p(h －h )･u(r)]ij1×∑ C (i,l,j m) D (j m)(r).

(32)

m ＝0

(m)
×∑ C (i,l,j m) D′( r) .
j

(35)

m＝0

上の式( 32 )は， n 個の逆格子点がひとつの円周上に存在上の式( 35 )は，エバルト球近傍の逆格子点をすべて考慮する場合の，結晶格子変位を取り扱える n 波 T T 方程

し，結晶格子歪みを取り扱える n 波 TT 方程式である。

式29,31)にほかならない。

また，平面波入射条件の際に使いやすい方程式も導出し次に，エバルト球近傍の逆格子点をすべて考慮する場合の n 波 TT 方程式を導出する。

(l )
( m)
ておく。式( 34 )における D ′( r )， D ′( r ）は，それぞ
i
j
―→
―→
(l )
れ， exp (－ i2p La0′
Hi ･ r ) ei ， exp (－ i2p La0′
Hj ･ r ) e(j m) の1 の Pl0 上にある， 0 番目の「一般化されたラウエ点」で

(l )
(m)
( r ）， D ″( r ）は，それ波を変調する振幅である。 D ″
i
j
―→
―→
(l )
ぞれ， exp (－ i2p P1Hi ･ r ) ei と， exp (－ i2p P1Hj ･ r ) e(j m)ある。先に記述したように，0 番目と i 番目の「一般化さ―→れたラウエ点」を結ぶベクトルは La′
0La′
i ＝j″
i nz である。

次の式が成り立つことが理解できる。

La ′
0 は，式( 17 )を導出する直前に記述したように， Fig.

の波を変調する振幅であるとして， Fig. 1 を参照すると，（ Fig. 1 参照）。 n 個の逆格子点が同一円周上にある場合には，式( 10 )を式( 26 )に代入して式( 29 )を得たが，エバル
ト球近傍の逆格子点をすべて考慮できるようにするには，式( 17 )を式( 28 )に代入する必要がある。得られる式は，

･r
P La′
(－i2p―→)＝D″ (r)exp －i2pK( b′ e ＋b′ e )･r ,
[
]

(l )
( l)
(r)＝D″(r) expD′iii

次の通りである。

1

(l )

0

( 0) ( 0)0(1) (1)
0

(36a)
&
(l )
(r)
D′
i
&si

( m)
(m)(r) exp(r)＝D″
D′
j
j
D.S.

f

＝i2pj″
i cos Vi

(l )
′
(Dk′
) exp
i

Dk ′

D.S. n－1

f∑－ipK

D k′ j ＝ 0[－i2pDk′･r]dS

P La′･r .
(－i2p―→) (36b)10

式(36a)の偏微分 &/&si を計算すると，

1

xhi－hj ∑ C (i,l,j m)
m＝0

(m )
× D′
(Dk′
) exp
j

(

)

－i2pDk′･r d S

(33)

[

&
&
(l)
(l )
(r)
D′
D″
i (r)＝
i
&s i
&s i

( r)
＝i2pj″
i cos Vi D′
i
n－1

1

j＝ 0

m ＝0

(34)

1

0

(0) S(0)＋b′(1) S (1))－i2pK( b′
i, 0
i, 0
―→
(l )(r) exp (－i2pP La′
× D″i10 ･r). (37)

(l )

(m)
(r),
－ipK ∑ xhi－hj ∑ C (i,l,j m) D′j

P La′･r] exp (－i2p―→)

式(36)と式(37)を式(34)に代入して次の式を得る。

where, i, j∈{0, 1, …, n－1},
n は，エバルト球表面近傍の逆格子点の数，l, m∈{0, 1}.

―→
上 の 式 (33)，(34) を 導 出 す る に あ た り，Dk′′
La′
i ＝ P1iと
置 き，式 (24a) 右 辺 の 積 分 の 中 身 を

(l )

′
(Dk′
i
i) exp(－ i2pDk ′i ･ r ）とすると，一見計算が簡単なように思える。 しかし この 場合， 方程 式の対 称性保 存の ため ，式

&
(l )
( r)
D″
i
&s i
(l )
＝i2pj″( r)i cos Vi D″i(l )(0) S (0)＋b′(1)S (1))D″＋i2pK( b′
( r)
i, 0
i, 0
i
n－1

1

j＝ 0

m ＝0

(m)
(r).
－ipK ∑ xhi－hj ∑ C (i,l,j m) D″
j

(38)

(m )
( Dk ′jj ) exp (－ i2pDk ′
j･ r）

―→
―→
上の式(38)は，exp (－i2pP1Hi･r)e(i l), exp (－i2pP1Hj･r)とする必要があり，式( 33 )第 2 項から式( 34 )第 2 項への

(l )
(m)
( r ）および D ″( r ）に対e(j m) の波を変調する振幅 D ″ij( 24b )右辺の積分の中身を

66 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

して成り立つ n 波 TT 方程式である。上の式(38)を，波―→数ベクトル P1H0 の平面波入射の条件で解く場合，結晶入
(0 )

( 1)

射側表面で，D″(r）または D″(r）に，一定の値の境00
界条件を与えることになる。 Fig. 1 のように，結晶面下向

[

&
&s i

(l )
i (Dk) exp (－i2pDk･r)

]

n－ 1

＝－ipK ∑ xhi－hjj＝ 0

き単位法線ベクトル nz に対して垂直な単位ベクトル ex, ey

1

×∑ C (i,l,j m)を定義し，位置ベクトルを， r＝ xex＋yey＋ znz と記述する

m＝0

[

(m)
(Dk) exp (－i2pDk･r)j].

と，式(38)を解いて得られる波動場は，x, y に依存せず，

(42)

(l )
( m)
(z), D″( z ）と表される。まz のみの関数となり， D ″ij(l )(r)/&si は，次のようになる。
た，&D″i

一方，式( 42 )の左辺は，式( 25 )を導出したのと同じ手続
きで，次のようにも書ける。

(l )

(

(l )

)

( r)
(z)
&D ″
dD ″
i
i
＝ si ･
nz
&s i
dz
(l )

(z)
dD ″
i
＝cos Vi.
dz(39)

式( 39 )を式( 38 )に代入すると，次のような連立常微分方[(l )i (Dk) exp (－i2pDk ･r)

＝

&
(l )
i (Dk)

&
&s i

&s i

exp {－i2p[(j cos Vi＋Kb(0)S (i,00)＋Kb(1) S (i,10))si＋fi(e (i 0), e (i 1))]}＝－i2p(j cos Vi＋Kb(0) S (i,00)＋Kb(1) S (i,10))程式を得る。

(l )i (Dk) exp (－i2pDk･r).

×
d
(l )
(z）
D″
i
dz

(43)

式( 42 )と式( 43 )の右辺どうしを比較することにより，式(l )＝i2pj″
(z)
i D″
i
i2pK
＋
cos Vi]( 10 )と同じ式が得られる。 n 波 E L 理論と T T 方程式（n∈{3, 4, 5, 6, 8, 12｝）の等価性は，式(24)，式(25)で定(b′ S ＋b′ S )D″ (z)
(0 )

( 0)
i, 0

( 1)

(1)
i, 0

i

(l )

1
i pK n－ 1(m)－(z ) .
xhi－hj ∑ C (i,l,j m) D″
j∑cos Vi j＝0
m ＝0

義されるフーリエ変換で記述されることが証明された。
(40)

筆者が知る限り，EL 理論と TT 理論の等価性に関する記述は，オーティエの著書11) §11.3 で， 2 波理論についてわずかに言及されているのが，唯一のものである。

式(40)は，固有値/固有ベクトル問題に書き換えることができ，これを解くことにより解が得られる。このことからも，EL 理論が TT 理論と等価であることがわかるのだ

3. n 波動力学理論の数値解法
3.1 n 波高木方程式（TT 理論）の数値解法
Fig. 2(a )，2(b )を参照して， n＝ 6 のときの n 波 TT 方が，ここでは，詳しくは記述しない。

2.2 高木方程式（TT 理論）からのエバルトラウエ理論（EL 理論）の導出
この節では，式(10)ないしは式(11)で表される n 波 E
L 理論が n 波 T
T 方程式(30)から導出できることを示す。

平面波 X 線が結晶に入射し，分散面上の 2n 個のタイポ
イントを励起するとき，総波動場 Ã は，ブロッホ波のサ

程式( 30 )を数値的に解く際のアルゴリズムを説明する。
後に示す Fig. 12の計算機シミュレーション画像を得る場合の 手 法 に 例 を に し て 記 述 す る 。 Fig. 2 ( a ) の ベ ク ト ル―→―→
R (i 0)R(1) は， si に平行である。ベクトル R (i 0)R(1) の長さが|－ 1 /( x0K )| と比較して十分小さいとき，完全結晶に対する n 波 TT 方程式(30)は次の式で近似できる。

ンメーションとして次のように表される。
n－ 11

Ã ＝∑∑ e(i l )D (i l )(R (1))－D (i l )(R (i 0))―→|R (i 0) R (1)|(l )i (Dk) exp (－i2pDk･r)

n－ 1

i ＝ 0 l＝ 0

×exp

D (i l ) ( r ) ＝

La H ･r).
(－i2p―→
0i＝－ipK ∑ xhi－hj
(41)

―→
(l )
(m)
(r)＝
i ( Dk ) exp ( － i2p P1Hi ･ r ) , D j

j＝ 0

1

×∑ C (i,l,j m)
m＝0

D (j m)(R (i 0))＋D (j m)(R (1))
.
2

(44)

(m )
j

―→
(Dk) exp (－i2pP1Hj･r）のときでも D (i l)(r），D (j m)(r）は，上の式(44)は，2n 個の未知数 D (i l )(R (1))(i∈{0, 1, …, n－高木方程式(30)を満たすので，

1 } , l ∈ { 0, 1 ｝） を 持 つ 2n 連 立 1 次 方 程 式 で あ り ， LAPACK の ZGeTRF と ZGeTRS などを用い て，計算機で数値解を求めることができる。

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●67

状態が 1］のとき， Deven( i, l, nx, ny)＝ 1 を与え，それ以外の場合は Deven ( i, l, nx, ny )＝ 0 を，結晶表面の X 線入射点における境界条件として与える。結晶を十分に多くの層に分割して，上の層から下の層へと計算を実行してゆくが，表面から 1 層下の X 線振幅 Dodd( j, m, nx, ny）は，Fig. 2(a )に示すように Dodd ( i, l, nx － 0, ny － 0 ) , Dodd ( i, l, nx － 0, ny －2 ) , Dodd ( i, l, nx － 1, ny － 3 ) , Dodd ( i, l, nx － 3, ny － 3 ) , Dodd ( i,l, nx－3, ny－2), Dodd(i, l, nx－1, ny－0）から式(44)を解く

ことによって求められる。Fig. 2(b )のような「ボルマン n角錐（ピラミッド）」の外には波動場が存在しないので，計算はピラミッド内を末広がりにスキャンするように行う。

xhi－hj の値は，XOP version2.338)を用いて求めた。
一方，平面波入射条件に対応する常微分方程式( 40 )を解く場合の，式( 44 )に相当する差分方程式は，次のよう
になる。
(l )
(l )(z)(z＋Dz)－D″
D″
i
i
Dz

Fig. 2This ˆgure shows small hexagonal pyramids used when solving the TT equation (30) in a six-beam case whose results
are shown in Fig. 12 [reproduction of Fig. 1 in Okitsu et al.
(2012)31)].

[＝i2p j″i ＋K
cos Vi(b′ S ＋b′ S )]
( 0)

(0 )
i, 0

×

(l )
(l )
(z)＋D″( z ＋ D z)
D″
i
i
.
2

－

i pK n－ 1∑xh －hcos Vi j＝0 i j
1×∑ C (i,l,j m)
m＝0

(1)

( 1)
i, 0

(m)
(m)
(z)＋D″(z＋Dz)
D″
j
j
.
2

(45)

式( 45 )は，平面波 X 線入射，すべての反射がラウエケー
ス限定ではあるが，式( 44 )の解を求めるときのように体
積積分を行わないので，短時間で解を求めることができる。

3.2 n 波エバルト－ラウエ（EL）理論の数値解法
式( 12 )の行列 A に式( 13 )を代入し，例えば LAPACKの ZGeEV を用いて k 番目（ k ∈{ 1, 2, … , 2n ｝）の固有値
Fig. 3This ˆgure shows a top view of Fig. 2(b) [reproduction ofFig. 2 in Okitsu et al. (2012)31)].

jk と固有ベクトル Dk を求めることができる。
これにより，ブロッホ波を構成する波の波数ベクトルとq 番目の波（ q＝2j＋ m＋ 1）の振幅比が求められるわけであるが，次に， 2n 個のブロッホ波をどのような配合比でFig. 3 は ， Fig. 2 (b )を 上 か ら 見 た と こ ろ で あ る 。 こ の合成すれば，境界条件を満足するかを考慮する必要がある。

ケースでは， 0 0 0 前方回折波と 4̃ 0 4, 4̃ 2 6, 0 6 6, 2 6 4,

列ベクトル Dk の q 番目の要素 $q, k（＝$(j,mk)）を q 行 k

2 2 0 反射 X 線が同時に強い（ Fig. 12 参照）。 Fig. 3 の nx 方

列目の要素とする 2n × 2n 行列 D を作り，次のような方

向と ny 方向のなす角は 120 °である。 Fig. 2 (b )のベクトル―→
Rinc R (i 1) （ i ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5 ｝） は ， 0 0 0 前 方 回 折 波 と程式を立てる。

4̃ 0 4, 4̃ 2 6, 0 6 6, 2 6 4, 2 2 0 反射 X 線の波数ベクトルにDa(0)＝(1, 0, 0, …, 0, 0)T,

(46a)

平行である。 4 次元の配列 Deven ( i, l, nx, ny ）［ i ∈{ 0, 1, … ,Da(1)＝(0, 1, 0, …, 0, 0)T.

(46b)n 1 } , l ∈{ 0, 1 } , nx ∈{… , － 2, － 1, 0, 1, 2, …} , ny ∈{… ,－ 2, － 1, 0, 1, 2, …｝］を用意し，入射 X 線の偏光状態に上の式( 46a )と( 46b )は， l ( l ∈{ 0, 1 ｝）の偏光状態の X 線

応じて，（ i, l, nx, ny )＝( 0, 0, 0, 0 ）［入射 X 線の偏光状態を入射したときの入射側結晶表面での境界条件である。こが 0 ］または（ i, l, nx, ny )＝( 0, 1, 0, 0 ）［入射 X 線の偏光

れらの式を解くことにより，列ベクトル a(l ) の k 番目の68 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

要素 a(kl ) が求められる。これは，k 番目のブロッホ波の配(m)
ここで， ′(Dkx, Dky）を次のようにおく。
j

合比なので，l の偏光状態の入射 X 線に励起され，結晶裏(l, m)( exit ）j

面から出射する j 番目 m 偏光の X 線の振幅［＝(l)］は，次の式で求められる。
q (exit）( m)′(Dkx, Dky）
j
2n

′
′
＝∑ a (kl ) $(j,mk)(Dk) exp (－i2pj k′
Tz),

(51)

k＝ 1

(l, m)(exit)＝j―→′where, P′nz .
1 , k P″
1 ＝j′
k′

(l )
q (exit）
2n＝∑ a (kl) $(j,mk) exp
k ＝1[－i2pj T ]. (47)kzn
式(51)のサンメーション∑k2＝
1 は，式( 50 )右辺の積分の中に含ませていたものを，展開したものである。式( 51 )を式(50)に代入して，式(48)と式(49)を考慮すると，

ここで，Tz は結晶の厚さである。
式( 13 )の右辺第 2 項には，入射 X 線の，厳密な n 波条
件からの角度のズレを表すパラメーター b(0) と b(1) が含まれるので，|(l, m)(exit)|2(nz･sj)/(nz･s0）をとることにjより， j 番目の波に対して， Fig. 10 のような 2 次元の回折

D (j m)(xexit, yexit)
D.S. 2n

f∑

＝

Dk

―→
×exp (－i2pP″
1 La0 ･rexit)dS

強度曲線が得られる。（nz･sj)/(nz ･s0）は，0 番目と j 番目のビーム断面積の違いを考慮するための補正項，Fig. 10では，j＝0 である。

′
a (kl ) $(j,mk)(Dk) exp (－i2pj′
Tz)
k′

k ＝1

ff

＝

D kx

ラウエケースとブラッグケースが混在する場合について(m)′(Dkx, Dky)j

D ky

×exp [－i2p(Dkx xexit＋Dky yexit)]dDky dDkx.

は記述を省略するが，j 番目の波がブラッグケースになる(52)

場合 ，結晶 の裏 面での 振幅 の総和 がゼロ であ ると いう
(l )
(m )
n
∑k2＝
1 ak $j, k exp (－ i2pjkTz )＝ 0 の境界条件を与えるこ

上の式( 52 )は，標準的な 2 次元フーリエ変換である。すとになる。

なわち，ピンホールトポグラフの X 線振幅 D (j m)(xexit, yexit）

筆者らの 2019 年の論文39,40) では， n 波 E L 理論の解を高速フーリエ変換することによりピンホールトポグラフ図を得るべく高速フーリエ変換にかけるのは，式( 51 )で定
義される

(m)
′
(Dkx, Dky）である。
j

形を得ている。この手法は， Kohn & Khikhlukha41) および Kohn42)によって考案されたものであり，彼らは対称 6波ラウエケースについての計算機シミュレーションを報告している。筆者らはこの手法を，結晶が平行平板でない場

4. 実験
4.1 X 線移相子システム

合の非対称 8 波ラウエケース39)，n 個の逆格子点が同一円

4 波， 5 波， 6 波， 8 波ケースのピンホールトポグラフ

周上にない場合の 18 波ケース40) に拡張し，ピンホールトの実験は，SPring8 BL09XU のビームラインにおいて，ポグラフの X 線強度分布 | D(j m)( xexit, yexit )|2 を求めた。こ水冷式のダイヤモンドモノクロメーターで， 18.245 keV

こで，X 線の出射側表面の位置ベクトル rexit を，次のように単色化された X 線を用いて行われた。結晶に入射するに表すものとする。

X 線は「回転型四象限移相子システム｣29,31) で偏光状態をコントロールした。この偏光制御システム開発には，前段
rexit＝xexit ex＋yexit ey＋Tznz.

(48)

階があった。軸収差を補償する「二象限 X 線移相子シス
テム｣43)，軸収差と色収差の両方を補償する「四象限 X 線
移相子システム」である44,45)。これらは，筆者が考案，設また，Fig. 1 より，―→
P″
1La0 ＝Dkx ex＋Dky ey.

計し，手作りで製作した。評価実験は，上ヱ地とともに行(49)

い，良好な結果を得た。さらに発展させ，入射 X 線の光軸周りに回転させることにより任意の偏光状態を生成可能

高速フーリエ変換により求めるべき振幅 D(j m) ( xexit, yexit ）―→が exp (－ i2p La0Hj ･ r ) e(j m) の波を変調し，かつ振幅 (j m)にしたのが，Fig. 4，5 に示すシステムである。

(Dk）のコヒーレントな重ね合わせであることを考慮する

型 X 線移相子5458)と比較して一様な偏光状態の X 線を得と，次のように計算できる。

る手段として画期的なものであった。それでもなお，入射X 線 の 角 度 発散 と 波 長 広 が り に よ り 偏 光 状 態 に不 均 一―→
D(j m)(xexit, yexit) exp (－i2pLa0Hj ･rexit)
D.S.

f

＝

Dk

[
―→

(m)
(Dk) expj

透過型 X 線移相子4653) は，それ以前に検討された反射（収差）が残る，という問題があった。透過型 X 線移相子]を複数の象限への反射を与えるように重ねて用いることに(50)た移相子結晶の実効厚を稼げるため，高エネルギー領域で―→ ―→－i2p(P′
1 P″
1 ＋ P″
1 La0 )･rexit

×exp (－i2pLa0Hj ･rexit)dS.

より収差が補償され，より均一な偏光状態が得られる。ま放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●69

Fig. 4

Fig. 5

Schematic drawing of the `rotating four-quadrant phase retarder system' [reproduction of Fig. 3 in Okitsu et al.
(2006)29)].

Fig. 6

A schematic drawing of the goniometer on which the sample
crystal was mount (reproduction of Fig. 7 in Okitsu etal. (2006)29)).

Fig. 7[E(a)] and [S(a)] are experimentally obtained and computer-simulated three-beam X-ray pinhole topographs withan incidence of horizontal-linearly polarized X-rays whose
photon energy was 18.245 keV. [E(b)] and [S(b)] are 0 4 4
re‰ected X-ray images enlarged from [E(a)] and [S(a)],respectively [reproduction of Fig. 5 in Okitsu et al.
(2012)31)].

(Color online) Photograph of the `rotating four-quadrant
phase retarder system' [reproduction of Fig. 3(b) in Okitsu
et al. (2012)31)].

の偏光コントロールに特に有利となる。
Fig. 4 は，この移相子システムの模式図，Fig. 5 は，写真である。［1 0 0］方位の 4 枚のダイヤモンド結晶 PRn(n∈{1, 2, 3, 4 ｝）で構成されており，厚さはそれぞれ， 1.545,
2.198, 1.565, 2.633 mm で あ る 。 非 対 称 ラ ウ エ ケ ー ス ，
1 1 1 反射条件の近傍で用いた。偏光コントロールの詳細については，筆者らの2006年の論文29)に記述してある。
n ∈{ 3, 12, 18 ｝の n 波ケースの実験においては，移相子システムを使わず， 18.245 keV （ n ＝ 3 ）， 22.0 keV （ n∈{12, 18｝）に単色化された水平偏光の X 線を，そのまま結晶に入射した。

4.2 サンプルとして用いた結晶と方位調整
Fig. 6 は，筆者らの 2006 年の論文29) の Fig. 7 から転載したものである。 n ∈{ 3, 4, 5, 6, 8, 12, 18 ｝の n 波ケースに対して，［ 1 1̃ 1 ］方位，高純度高抵抗の FZ シリコン結晶を用 い た。 結 晶の 厚さ は ， 12 波 ， 18 波 ケー スで は 10.0mm，その他のケースでは9.6 mm であった。x, q, v, u の
4 軸ゴニオメーターにマウントされ，これらの軸の方位はFig. 6 に示したとおりである。0 0 0 前方回折波とふたつの70 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

反射 X 線を， PIN フォトダイオードでモニターし，それよるトポグラフは，入射 X 線の偏光状態が同じのとき非らが同時に最強になるように，ゴニオメーターの回転軸を常によく一致し，偏光状態に依存して大きく変化すること調整した。入射 X 線の下流側から，透過 X 線の光路と一がわかる。

致するようにレーザービームをセットし，結晶の X 線入(a)，(b)，(c)に対応する入射 X 線は，縦偏光と横偏光

射位置に鏡を置き， X 線の反射方向と完全に同じ方向にの振幅の絶対値の比率は変わらないが，位相差に違いがあ

レーザーを反射するよう，鏡の角度をゴニオメーターで調る。この位相差が，(a)，(b)，(c)のトポグラフ図形に大整した。鏡を載せたゴニオメーターの回転角は予め計算しきな差異をもたらしている。

ておくが，この計算無しで 15 × 15 mm 程度のダイオード
受光面に反射 X 線を捉えることは不可能である。

Fig. 10(a )，10(b ），10(c )は，ビーム下流方向から見て，それぞれの図の左上に示したように，水平からの傾きが，ビームサイズは， 25 × 25 mm のサイズに絞り，結晶後＋ 45 °
直線偏光，－ 45 °直線偏光，右ネジ円偏光の入射 X方に，結晶の出射側表面と平行になるようにイメージング線を仮定して， E L 理論により計算した前方回折波の強プレートを置き， n 個の前方回折および反射 X 線図形を度曲線である。Dv は，［2̃ 1̃ 1］軸周りの，Dq は，［0 1 1］

同時に撮影した。

軸周りの，厳密な 4 波条件からのズレ角である。
「6̃ 2̃ 4」，「6̃ 2 8」，「0 6 6」と記入した部分に，X 線透過強度の盛り

5. 実験と計算機シミュレーションの結果
5.1

3 波ケース

上がりが見られるが，これらは，それぞれの反射指数がブラッグ条件を満たしたことによる，ボルマン効果（異常透過)59)によるものである。それぞれの盛り上がりが交差し，Fig. 7 ［ E ( a )］， 7 ［ S ( a )］は， 0 0 0 前方回折波， 0 4 4と 4̃ 0 4 反射波のそれぞれ，実験と計算によるピンホール
トポグラフ図形である31)。Fig. 7［E(b)］，7［S(b)］は，
0 4 4 反射波を，それぞれ， Fig. 7 ［ E ( a )］， 7 ［ S ( a )］か

ら拡大して表示したものである。 Fig. 7 ［ S( b)］に矢印で示した細かいフリンジ［Fine Fringe Region（FFR(1)）］と（ FFR ( 2 )）， Y 字型のパターン［ `Y shaped'

BrightRegion （ YBR ）］が， Fig. 7［ E ( b )］にも見られ，シミュレーションと実験はよく一致している。

5.2

4 波ケース

Fig. 8［E(x)], 8［S(x)］（x∈{a, b, c｝）は，実験および計算で得られた 0 0 0 前方回折波， 6̃ 2̃ 4, 6̃ 2 8, 0 6 6 反射
波のトポグラフ図形である31)。(a)，(b)，(c)は，移相子システムによりコントロールされた入射 X 線の偏光状態
傾いた直が異なっており，下流から見て，水平から＋45°
線偏光，－45°
傾いた直線偏光，右ネジ円偏光である。
Fig. 9［ E (x)］， 9［ S ( x)］（ x ∈{a, b, c ｝）は，それぞれFig. 8［ E ( x)］， 8 ［ S (x)］の 6̃ 2 8 反射波を拡大したものである。細かいフリンジ［Fine Fringe Region（FFR(1)）］
は，Fig. 9［E(a)］，9［S(a)］のいずれにも観察される。
細かいフリンジ［ Fine Fringe Region （ FFR ( 2 )）］は，Fig. 9 ［ E ( x )］， Fig. 9 ［ S ( x )］（ x ∈{ a, b, c ｝）のいずれにも見られる。ナイフエッジのような鋭い線［ Knife Edge
Line（KEL）］はすべての図に見られるが，Fig. 9［E(a)］，9［S(a)］においてもっとも濃く，Fig. 9［E(b)］，9［S(b)］においてもっとも薄く，Fig. 9［E(c)］，9［S(c)］においては，その中間である。魚の骨のような模様［ Pattern
like Fish Born （ PFB ）］， ア ー チ 状 の ラ イ ン ［ ArchedLine （ AL ）］，明るい領域［ Bright Region （ BR ）］は，Fig. 9［E(a)］，9［S(a)］には観察されず，その他の図形では観察される。要は，計算機シミュレーションと実験に

Fig. 8[E(x)] and [S(x)] (x∈{a, b, c}) are experimentally obtained and computer-simulated four-beam X-ray pinhole
topographs with an incidence of ＋45°
-inclined-linearly,－45°-inclined-linearly and right-screwed-circularly polarized X-rays whose photon energy was 18.245 keV[reproduction of Fig. 6 in Okitsu et al. (2012)31)].

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●71

4 波条件を満たしたところでは，「Super Borrmann」と記

11［S(a)］の 5̃ 5 5 反射波のイメージを拡大したものであ入した，スーパーボルマン効果60)が見られる。「6̃ 2 8」のる31) 。 ナ イ フ エ ッ ジ の よ う な 鋭 い 線 ［ Knife Edge Line

盛り上がりは， Fig. 10(a )と比較して Fig. 10 (b )では小さく（ KEL ( 1 )と KEL ( 2 )）］，竪琴のようなパターン［ Harp-

なっており， Fig. 10 (c )は，両者の中間くらいになっていShaped Patten（ HpSP ）］が実験と計算機シミュレーショ

る。 18.245 keV の X 線に対する 6̃ 2 8 反射のブラッグ角ンの両方に見られる。

であり，p 偏光に対する偏光因子を計算
は，およそ39.64°

Fig. 11 ［ E ( b ) ］， 11 ［ S ( b ) ］ を 見 る と ， KEL ( 1 ) とすると， 0.186 程度の小さな値となる。 Fig. 10 (b )の－ 45 °KEL(2)の方向は，5̃ 5 5 反射波と 0 0 0 前方回折波のトポ

直線偏光は， 6̃ 2 8 反射に対してはほぼ p 偏光となり，グラフ像を結ぶ方向，および 5̃ 5 5 反射波と 3 3 3 反射波「6̃ 2 8」の盛り上がりが小さい理由が説明できる。また，のトポグラフ像を結ぶ方向に平行である。このことは，結Fig. 9 ［ S ( a )］， 9 ［ S ( b )］に記入した「 KEL 」の X 線強晶中で 5̃ 5 5 反射波と 0 0 0 前方回折波の間，および 5̃ 5 5

度が，入射 X 線の偏光状態に依存する理由も同様である。

反射波と 3 3 3 反射波の間に，エネルギーのやりとりがあることをうかがわせる。同様な鋭い線［ Knife Edge Line

5.3

5 波ケース（ KEL ）］は， 3, 4, 6, 8 波ケースのピンホールトポグラフ

筆者らの 2006年の論文29)Fig. 1 に示したように，立方晶の場合，5 個の逆格子点がひとつの円周上に存在する場合がある。
Fig. 11［E(a)］，11［S(a)］は，実験と計算機シミュレー

ションによる，5 波ピンホールトポグラフである31)。入射X 線の偏光状態は，移相子システムで横偏光を縦偏光に変換した。Fig. 11［E(b)］，11［S(b)］は，Fig. 11［E(a)］，Fig. 10
Fig. 9[E(x)] and [S(x)] (x∈{a, b, c}) are enlargements of 6̃ 2 8
re‰ected X-ray images in Fig. 8 [E(x)] and [S(x)][reproduction of Fig. 7 in Okitsu et al. (2012)31)].

72 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

(Color online) Transmittance of X-rays around the condition that 6̃ 2̃ 4, 6̃ 2 8 and 0 6 6 Laue re‰ected X-rays are
simultaneously strong. Dv and Dq are angular deviation
around [2̃ 1̃ 1] and [0 1 1] axes from the exact four-beamcondition.

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

Fig. 12Fig. 11[E(a)] and [S(a)] are experimentally obtained and computer-simulated ‰ve-beam X-ray pinhole topographs withan incidence of vertical-linearly polarized X-rays whose
photon energy was 18.245 keV. [E(b)] and [S(b)] are 5̃ 5 5
re‰ected X-ray images enlarged from [E(a)] and [S(a)][reproduction of Fig. 8 in Okitsu et al. (2012)31)].

[E(a)] and [S(a)] are experimentally obtained and computer-simulated six-beam X-ray pinhole topographs with anincidence of horizontal-linearly polarized X-rays with aphoton energy of 18.245 keV. [E(b)] and [S(b)] are 0 6 6
and 2 6 4 re‰ected X-ray images enlarged from [E(a)] and[S(a)] [reproduction of Fig. 9 in Okitsu et al. (2012)31)].

ホールトポグラフである31,39)。横偏光は，移相子システムを外したわけではなく，奇数象限と偶数象限への反射を与においても見られる。

える移相子がもたらす位相シフト量の符号を，逆転させる
ことにより得られている。

5.4

6 波ケース

Fig. 13［Sx(TT）］，13［Sx(EL）］は，横偏光（x＝h）

筆者らが， 2003年28)， 2006年29) ， 2011年30) に報告した

X 線と，縦偏光（ x＝ v） X 線の入射を仮定したときの T 

6 波ケースにおいては，トポグラフ図形は正 6 角形であっT 方程式を解くか（ TT simulation），EL 理論の解を高たが，この節で記述する 6 波ケースは，トポグラフ図形

速フーリエ変換して得られた（ E L & FFT simulation ）が正 6 角形ではない。

計算機シミュレーションによるトポグラフ図形である。実

Fig. 12は，水平偏光入射による実験と，これを仮定して験を行った際，また計算機シミュレーションで仮定した，行った計算機シミュレーションの結果である31) 。 Fig. 12結晶の形状と X 線ビームパスの関係は， Fig. 15 (a )の通り

［E(a)］，12［S(a)］の 0 6 6 と 2 6 4 反射波を拡大したのである。 EL & FFT シミュレーションは，Fig. 15(b ），15が， Fig. 12［ E(b )］， 12［ S(b)］である。ナイフエッジの(c )の配置を仮定して行われ，それぞれ，a2 と b2 の部分をような線［ Knife Edge Line （ KEL (1 ）），（ KEL ( 2 ））］お取り除き， Fig. 16 の（ a1）と（ b1）の部分を別々に計算しよびハート形のパターン［Hart-Shaped Pattern（HSP）］

た。Fig. 16(a1)，16( b1)をつなぎ合わせたのが，Fig. 14［Svが，実験と計算機シミュレーションの両方に見られる。

(EL）］である。

トポグラフ図形が正 6 角形の 6 波ケース2830) の場合にFig. 15 (b )と Fig. 15 (c )を比較すると，入射側表面の法線は，円錐状のエネルギーフローがあることを示唆するリン

ベクトルは，互いに直交する。 Fig. 15 (a )のような特殊なグ状のパターンが見られたが，Fig. 12のケースでは，これ形状の結晶に対しての，EL & FFT シミュレーションのは観察されなかった。

手法を検討する際，気づいたことであるが，正確な n 波
条件からの入射ズレ角によらず， X 線入射点で入射 X 線

5.5

8 波ケースの位相がそろっていること，それと，出射側表面の方位とFig. 13は， 8 波ピンホールトポグラフで，各々の図形のそこまでの距離だけが重要なのである。入射側表面の角度

反 射 指 数 は ， Fig. 13 ［ Sh ( T T ）］ に 示 し た と お り で あや形状に，高速フーリエ変換（ FFT ）により得られる解

る31,39)。

は依存しない。 FFT を行うにあたっての詳細は，筆者らFig. 13［ Ex ］（ x ∈{h, v }）は，横偏光（ x ＝ h ）と縦偏光（ x ＝ v ）の X 線を入射して得られた実験による 8 波ピンの2019年の論文39)に記述してある。
（x∈{h, v｝）
Fig. 14［Sx(TT）］，14［Ex］，14［Sx(EL）］

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●73

Fig. 13

[Sx(TT)], [Ex], and [Sx(EL)] (x∈{h, v}) are the TT simulated, experimentally obtained and E-L&FFT
simulated eight-beam pinhole topographs for horizontally (x＝h) and vertically (x＝v) polarized incident Xrays [reproduction of Fig. 5 in Okitsu et al. (2019)39)].

Fig. 14

Enlargements of the 0 0 0 forward-diŠracted images in Fig. 13 [reproduction of Fig. 6 in Okitsu et al.
(2019)39)].

は，Fig. 13［Sx(TT）］，13［Ex］，13［Sx(EL）］0 0 0 前
方回折波のトポグラフを拡大したものである。
実 験 に よ る Fig. 14 ［ Eh ］ に は ， 竪 琴 の よ う な 模 様

Fig. 14［ Sh(TT）］に見られるナイフエッジのような線［Knife Edge Line（KEL）］は，Fig. 14［Eh］，［Sh(EL）］には，見られない。
［Sh(TT）］を計算するにあたっては，［ Harp-Shaped Pattern （ HpSP ）］， Y 字 形 の 模 様 ［ `Y-

結晶の X 線入射側表面の 1 点でだけ，入射波がゼロでな

Shaped' Pattern（ YSP ）］，爪のような模様［ Nail-Shaped

い振幅を持つという，デルタ関数の境界条件を与えていPattern （ NSP ）］が見られる。これらの模様は， Fig. 14

る。これは，無限大の角度広がりを持った X 線が入射し［Sh(EL）］，14［Sh(TT）］にも見られる。

ている状況を仮定していることを意味する。 KEL は，非

74 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

Fig. 15

Geometry of the eight-beam pinhole topography. xc, yc, and zc drawn on the upper right corner are unit vectors in
the directions [2 1 1̃], [0 1 1], and [1 1̃ 1], respectively [reproduction of Fig. 1 in Okitsu et al. (2019)39)].

［Eh］，14［Sh(EL）］と比較して薄くなっている。
この 8 波ケースの場合，EL & FFT シミュレーションに要した時間は 24 コアの並列演算で，およそ 8 分， T T
シミュレーションと比較して，100倍程度高速だった。しかし，このことから， E L & FFT シミュレーションがT T シミュレーションと比較して無条件に優れているとは，必ずしも言えない。EL & FFT シミュレーションの計算時間は，結晶の厚さに依存せず，一定である。一方，
Fig. 16(a1) and ( b1) are computed separately under the assumption of vertically polarized incident X-rays. These ˆgures
have been computed by projecting intensities of the 0 0 0
forward-diŠracted X-rays on the exit planes a1 and b1 in
Fig. 15(a) on the imaging plate whose surface was normal
to the [1 0 0] direction. X-ray intensities of a2 and b2 in
Figs. 15(b) and 15(c) have been erased [reproduction ofFig. 8 in Okitsu et al. (2019)39)].

T T シミュレーションの所要時間は， n 角錐の「ボルマ

ンピラミッド」の中を 3 次元スキャンするため，結晶の厚さの 3 乗に比例する。結晶の厚さが 1/10の1.0 mm 程度になれば，TT シミュレーションは，EL & FFT シミュ
レーションより10倍速くなる。

5.6

12波ケース

筆者は，立方晶の結晶においてひとつの円周上に存在し常に細い線であり，これを実空間で合成するには，逆空間

うる逆格子点の数は，最大で 12 だと認識していた。しかにおいて波の進行方向から大きくズレた波の成分が必要でし，最近になって 16 個の逆格子点が円周上に存在しうるある。［ Sh (TT）］を計算する際には，これを満たす境界

ことを見いだした。これについては，計算機シミュレーシ

条件を与えている。［Eh］の像を得る実験では，入射 X 線

ョンを行ったが，実験を行っていないので，本稿では記述の角度広がりは有限である。［Sh (EL）］の計算では，高しない。

速フーリエ変換を有限な角度範囲で打ち切っている。このFig. 17［E(a)］，17［S(a）］は，実験と計算機シミュレー

ことが，［ Eh ］と［ Sh ( E L ）］に， KEL が見られない原

ションによる， 12 波ケースのピンホールトポグラフであ因であると考えられる。

る31) 。 22.0 keV に 単 色 化 さ れ た 放 射 光 を 水 平 偏 光 の ま

縦偏光で得られた Fig. 14［Ev］と，縦偏光入射を仮定しま，結晶に入射している。反射指数は，図に示したとおりて得られた Fig. 14 ［ Sv ( T T ）］， 14 ［ Sv ( E L ）］においてである。Fig. 17［E(b)］，17［S(b)］は，Fig. 17［E(a)］，も HpSP が見られるが，模様は， Fig. 14 ［ Sh ( T T ）］， 14

17［S(a)］の 2 4 2 反射波の画像を拡大したものである。

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●75

Fig. 17[E(a)] and [S(a)] are experimentally obtained and computer-simulated twelve-beam X-ray pinhole topographswith an incidence of horizontal-linearly polarized X-rays
whose photon energy was 22.0 keV. [E(b)] and [S(b)] are
2 4 2 re‰ected X-ray images enlarged from [E(a)] and [S(a)] [reproduction of Fig. 12 in Okitsu et al. (2012)31)].

計算機シミュレーションによる Fig. 17 ［ S ( b )］に見られる，明るい領域［ Very Bright Region （ VBR ）］， V 字Fig. 18(a) Experimentally obtained and (b) E-L&FFT simulated
18-beam pinhole topographs. (b) was obtained by the E-L&FFT simulation under an assumption of an incidence of
X-rays with a photon energy E＝21.98415 keV (DE＝E－E0＝－0.25 eV, where E0＝21.98440 keV) [reproduction ofFig. 3 in Okitsu et al. (2019)40)].

Fig. 19(Color online) Six reciprocal lattice nodes are on a red(smaller) circle in reciprocal space. Outside of this circle, ablack(larger) circle was observed on which twelve reciprocal lattice nodes were present. Q is the center of the red(smaller) circle [reproduction of Fig. 4 in Okitsu et al.
(2019)40)].

形の模様［`V-Shaped' Pattern （VSP ）］，中心に見える円状 の 模 様 ［ Central Circle （ CC ）］， U 字 形 の 模 様 ［ `UShaped' Pattern（USP）］などの模様は，実験によるトポ

グラフ Fig. 17［E(b)］においても認められる。

5.7

18波ケース

Fig. 18 (a )， 18 (b )は，それぞれ，放射光実験と E L &FFT シミュレーションにより得られた， 18波ケースのピ

ンホールトポグラフである40) 。 Fig. 18 (a )は， 22.0 keV の光子エネルギーで 6 波ケースを狙ったものであったが，外周にさらに 12個の X 線画像が得られた。これを検討したところ， Fig. 18 (b )に指数を示したように，エバルト球のごく近傍に 12 個の逆格子点が存在していたことがわかった。逆格子点の並びを逆空間に作図したのが，Fig. 19である。この図からわかるように，H0, H1, H2, H3, H4, H5 と，Hj （ j ∈{ 6, 7, … , 17 ｝）から La0 （ラウエ点）までの距離は，同じでない。このため，光子エネルギーのわずかな変化でシミュレーション画像は大きく変化する。 21.98415
keV の光子エネルギーを仮定したとき，実験結果をよく再現した。
式( 12)と式( 16)で記述される n 波 E L 理論は， §3.2にケースと同様，結晶の入射側表面の X 線がゼロでない振記述した手順で解を求めることができる。直接求められる幅を持つという，実空間でのデルタ関数の振幅をシミュのは，結晶を回転させたときの回折振幅であるが， 8 波

レートするには，正確な n 波条件からのズレ角に依存せ76 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

ず，X 線入射点で波の位相がそろっている必要がある。
Fig. 19を参照すると明らかだが，18波ケースにおいては，

密度は，この立体の体積に比例するため，概ね光子エネル
ギーの 3 乗に比例することになる。

Fig. 2(b )のような n 角錐の「ボルマンピラミッド」を定義

X 線光学素子のグリッチマップを参照して，エネル

できない。この故に18波ケースの計算を行うにあたって，

ギースキャン範囲にグリッチが存在しないよう，c の値をn 波 T T 理論が，全く無力かというとそうではない。式

予め調整しておくと，2 波近似が大きく破れることなく，( 40 )は平面波入射のケースに使えるので，これを差分方エネルギー掃引を行うことができる。 10 keV 程度以下の程式に置き換えた式( 45 )を解くことにより，平面波入射エネルギー領域では，これが行われている。しかし，高エの際の解を求めることができる。これを高速フーリエ変換

ネルギー領域では，エネルギーの 3 乗に比例して高密度することで，ピンホールトポグラフを計算することができとなるグリッチを避けることは困難になり， 20 keV 程度

る 。 い わ ば T T & FFT シ ミ ュ レ ー シ ョ ン が 可 能 で あ

以上では，スペクトロスコピーがほとんど不可能になってる。これについては，現在論文を準備中である。

しまう。第 3 世代の放射光のスペクトルは，高エネル
ギー側に伸びており，是非この領域を利用したいが，2 波

6. 終わりにの動力学理論のみが頼りでは，結晶光学素子の設計ができなくなってしまう。2 波近似が常に破れているような，高Fig. 20 は，シリコン 2 2 0 反射について計算したグリッエネルギー領域での X 線結晶光学素子の設計には，式チマップである。横軸は光子エネルギー（eV），縦軸（c）( 18 )の多波 E L 理論ないしは，式( 34 )の多波 T T 方程は，［ 1 1 0 ］軸周りに結晶を回転させた角度で， K000 ×式を用いた計算と，c の回転機構を備えたゴニオメーター

K220 が［ 0 0 1 ］方向に平行になるとき， c ＝ 0 である。

による，高度な結晶制御が不可欠になるであろう。

K000 と K220 は，それぞれ，透過波と 2 2 0 反射波の波数2 波近似が破れ，多波回折が無視できなくなるもう一つベクトルである。枠内の曲線はすべてグリッチで，これらのケースは，結晶の単位胞が大きく，逆格子点の密度そのは， 2 2 0 以外の逆格子点が，エバルト球表面に同時に存ものが大きくなる場合である。 1990 年代後半から，単結在することで，2 波近似が破れることにより発生する。

晶構造解析において，2 次元検出器の利用が一般化し，現モノクロメーターや，偏光子，検光子，移相子といった在なお，その高度化が進んでいる。低分子の有機物結晶のX 線結晶光学素子を設計するにあたって，グリッチの検場合でも数十個，タンパク質の結晶では，数百個から数千

討は非常に重要である。例えばシリコン 2 2 0 反射を用い

個の X 線回折スポットが，結晶を静止した場合でも，検て波長掃引を行う際， 2 2 0 以外のブラッグ条件を同時に出器に記録される。この状況を目の当たりにすると，2 波満たすエネルギーでは，2 波近似が破れてしまい，光学素近似が破れていないとは考えにくい。低分子結晶構造解析

子にグリッチ（不具合）が発生する。Fig. 20を見ると，グにおいてさえ，このことは，レニンガー効果19) としてよ

リッチの密度は，低エネルギー領域よりも高エネルギー領

く知られている61)。

域で 高いこ とが わかる 。光 子エネ ルギー を固 定し て，タンパク質結晶の場合，結晶構造解析完了後に評価され［2 2 0］軸周りにエバルト球を360°回転させると，逆空間

る R 因子が 10 を下回ることは稀である。 R 因子が 10 にリンゴのような形の立体ができる。この立体の中に存在まで下がっても，その定義式から考察すると，決定されたする逆格子点は，すべてグリッチの原因となる。グリッチ

分子構造から計算される X 線回折強度と，実測される回折強度との間には，加重平均をとって 20 にも及ぶ食い違いがあることになる。
まだ仮説の段階ではあるが，タンパク質結晶に対して R
因子が下がらないのは，2 波近似の破れが原因だ，と筆者
は考えている。同時に生じている多くの波を考慮する，式(18)ないしは式( 34)を用いて X 線回折強度を計算することにより，実測強度との食い違いが大きく軽減されるのではないだろうか。だとすれば，2 波理論に代わり，多波理
論により結晶構造解析を行う時代が，来るかも知れない。
加藤範夫の 1995 年の著書10) 第 5 章冒頭に，次のような記述がある。

Fig. 20(Color online) Glitch map (simultaneous re‰ection map)
for silicon 2 2 0 re‰ection. c (the ordinate) is rotation angle(°) aroud [1 1 0] axis. The abscissa is X-ray photon energy(eV). c is zero when K000×K220 is parallel to [0 0 1] direction. K000 and K220 are wave vectors of 0 0 0 transmitted and2 2 0 re‰ected X-rays.

「結晶回折の歴史を概観すると，動力学理論の骨格は，
ラ ウ エ ら の 回 折 現 象 発 見 の 直 後 ， ダ ー ウ ィ ン （ C. G.
Darwin; 1914 )やエワルト（ P. P. Ewald; 1917 )によって確立されている。ラウエの回折条件(2.30)やブラッグの式( 2.29 )に代表される運動学理論が安心して用いられたの

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●77

は，動力学理論による基礎づけがあったからである」。
筆者は， 2002 年に逝去した加藤を深く尊敬していた。

E L 理論が波を逆空間で記述するのに対して， T T 理

論は，実空間での振る舞いを記述する。これらの理論が等

彼は ，多波 ケー スの研 究に は全く 手を付 けな かっ た。

価であることを踏まえつつ，引き続き n 波動力学理論の1997 年，筆者は，その理由について，彼に訊ねたことが計算手法を検討してゆきたいと考えている。

ある。「ラウエケースとブラッグケースが混在したとき，解が得られなくなってしまうから｣62)との答えだった。当
時筆者は，すでにブラッグケースとラウエケースが混在す

謝辞
本研究は，文部科学省

科学技術振興調整費先導的研究る場合の 3 波ケースの計算機シミュレーション結果を得等の推進「アクティブ・ナノ計測基盤技術の確立」プロジていた。このことを告げると，加藤は「え」という表情

ェクトの一環として，また，東京大学大学院工学系研究科を見せた。

総合研究機構

動力学理論の裏付けがあったから 2 波近似の運動学理

ナノ工学研究センターにおいて，ナノテク

プラットホームプロジェクトの一環として行われた。

論が安心して使えた，ということは，それが破れているこ計算に用いたスーパーコンピューターは，東京大学物性とが明らかになれば，安心できないのではないだろうか。

研究所の `sumire', `kashiwa' および `sekirei'，東京工業大1949 年，リプスコムは63) ， 3 波ケースの X 線回折強度学の `TSUBAME 3.0' である。

プロファイルに結晶構造因子の位相情報が含まれているこ実験は，SPring8 BL09XU において，高輝度光科学研とを指摘した。n 波 E
L 理論の数値解を初めて報告した，究センター（JASRI）の承認（Proposal No. 2002A 0499

1974 年のコレラの論文24) では，これを引用し，研究の目

NMD3np, 2003B 0594NMnp, 2004A 0330ND3cnp,

的をタンパク質結晶の位相決定だとしている。以来 46 年

linebreak 2004B 0575ND3cnp）のもと行われた。

が経過したが，これは実現していない。

また予備実験は，物質構造科学研究所 Photon Factory

タンパク質結晶の位相決定は，2 波近似を前提として，

ARNE3A に お い て ， 放 射 光 共 同 利 用 実 験 審 査 委 員 会

重原子置換法や，アミノ酸のひとつであるメチオニンが持（PFPAC）の承認（Proposal No. 2003G 202, 2003G 203）

つ イ オウ を セ レ ンに 置 換 し て 行 う異 常 分 散 法64) を 用 いのもと行われた。

て，成功を収めてきている。それでもなお，イオウの異常実験は，高輝度光科学研究センターの今井康彦博士，依分散を利用する位相決定法が模索されるほど，ネイティブ

田芳卓博士，東京大学大学院新領域創成科学研究科の上ヱ

なタンパク質による位相決定は魅力的である。多波ケース

地義徳博士（現 株式会社リガク）の協力を得て行われたを用いた結晶構造解析が一般化すれば， X 線を照射中のことを明記し，感謝の意を表します。

結晶方位の検討から，エバルト球表面近傍に存在する逆格

本研究の意義を理解してくださり，励ましを頂いた，東子点の指数付けのみで，位相が決定できるようになるかも

京大学工学系研究科名誉教授，菊田惺志先生に深く感謝致

知れない。

します。

数百個もの反射 X 線が同時に強い状況で， 3 波ケース

参考文献

を実現するのは，ほぼ不可能である。しかし，Fig. 19に示したように，同一円周上にない 18 個の逆格子点がエバル
ト球表面，あるいはエバルト球表面近傍に存在する状況
が，式(18)の n 波 EL 理論で記述され，これの数値解をフーリエ変換することにより， Fig. 18 (b )が得られている。式( 17 )ないしは式( 18 )をフーリエ変換することにより，式(34)や式(38)で記述される， n 波 T T 方程式も導出されている。これらは，エバルト球表面近傍にある逆格

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

子点をすべて考慮して，数値解を求めることができる。
現在，100個程度の波が同時に強い状況で，式(18)の多波 E L 理論，および式( 34 )，式( 35 )の多波 T T 方程式

9)
10)
11)

の数値解を求めて， X 線反射強度を計算するプログラムを開発中である。重い計算になることが予想される。
計算機の能力は，演算速度，メモリー容量，ハードディ
スク容量のいずれにおいても，5 年でおよそ一桁のペース
で向上しつつある。さらに量子コンピューターが，そう遠くない将来，実用化されるだろう。こういった現況は，多波（n 波）動力学理論の今後を考えるにあたり，非常に重要である。

78 ● 放射光 March 2020 Vol.33 No.2

12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)

C. G. Darwin: Philos. Mag. 27, 315 (1914).
C. G. Darwin: Philos. Mag. 27, 675 (1914).
P. P. Ewald: Ann. Phys. 4. Folge 54, 519 (1917).
M. v. Laue: Ergeb. Exakten Naturwiss 10, 133 (1931).
三宅静雄“X 線の回折”（1969).
L. V. Az áaro., R. Kaplow, N. Kato, R. J. Weiss, A. J. C.
Wilson and R. A. Young: ``X-Ray DiŠraction'' (1974).
加藤範夫“回折と散乱”（1978).
Z. G. Pinsker: ``Dynamical Scattering of X-Rays in Crystals''(1978).
高良和武，菊田惺志“X 線回折技術”（1979).
加藤範夫
“X 線回折と構造評価”（1995).
A. Authier: ``Dynamical Theory of X-Ray DiŠraction,
Reprinted with Revisions 2004, 2005.'' (2005).
菊田惺志
“X 線散乱と放射光科学基礎編”（2011).
S. Takagi: Acta Cryst. 15, 1311 (1962).
S. Takagi: J. Phys. Soc. Jpn. 26, 1239 (1969).
高木佐知夫日本結晶学会誌 13, 248 (1971).
D. Taupin: Bull. Soc. Fr. Min áeral. Cristallogr. 87, 469(1964).
Y. Epelboin: Mater. Sci. Eng. 73, 1 (1985).
Y. Epelboin: Prog. Cryst. Growth Charact. 14, 465 (1987).
M. Renninger: Z. Phys. 106, 141 (1937).

解説 ■ X 線多波（n 波）動力学理論とその数値解法および放射光実験による検証

20)
21)
22)
23)
24)
25)
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39)
40)
41)
42)
43)
44)
45 )
46)
47)
48)

T. Joko and A. Fukuhara: J. Phys. Soc. Jpn. 22, 597 (1967).
G. Hildebrandt: Phys. Stat. Sol. 24, 245 (1967).
P. P. Ewald and Y. H áeno: Acta Cryst. A24, 5 (1968).
Y. H áeno and P. P. Ewald: Acta Cryst. A24, 16 (1968).
R. Colella: Acta Cryst. A30, 413 (1974).
G. Thorkildsen: Acta Cryst. A43, 361 (1987).
H. B. Larsen and G. Thorkildsen: Acta Cryst. A54, 129(1998).
K. Okitsu: Acta Cryst. A59, 235 (2003).
K. Okitsu, Y. Imai, Y. Ueji and Y. Yoda: Acta Cryst. A59,
311 (2003).
K. Okitsu, Y. Yoda, Y. Imai, Y. Ueji, Y. Urano and X.-W.
Zhang: Acta Cryst. A62, 237 (2006).
K. Okitsu, Y. Yoda, Y. Imai and Y. Ueji: Acta Cryst. A67,
550 (2011).
K. Okitsu, Y. Imai and Y. Yoda: ``Recent Advances in Crystallography'' ( 2012 ) p.67. http: // dx.doi.org / 10.5772 /
47846.
沖津康平X 線分析の進歩 36, 95 (2005).
S.-L. Chang: ``X-Ray Multiple-Wave DiŠraction, Theory andApplication'' (2004).
E. Weckert and K. H äummer: Acta Cryst. A53, 108 (1997).
E. Weckert and K. H äummer: Cryst. Res. Technol. 33, 653(1998).
R. Colella: Comments Cond. Mat. Phys. 17, 175 (1995).
R. Colella: Comments Cond. Mat. Phys. 17, 199 (1995).
M. S. del Rio and R. J. Dejus: Proc. SPIE 3448, 340 (1998).
K. Okitsu, Y. Imai, Y. Yoda and Y. Ueji: Acta Cryst. A75,474 (2019); https://doi.org/10.1107/S2053273319001499.
K. Okitsu, Y. Imai and Y. Yoda: Acta Cryst. A75, 482(2019); https://doi.org/10.1107/S2053273319002936.
V. G. Kohn and D. R. Khikhlykha: Acta Cryst. A72, 349(2016).
V. G. Kohn: Acta Cryst. A73, 30 (2017).
K. Okitsu, Y. Ueji, K. Sato and Y. Amemiya: J. SynchrotronRad. 8, 33 (2001).
K. Okitsu, Y. Ueji, K. Sato and Y. Amemiya: Acta Cryst.
A58, 146 (2002).
沖津康平，上ヱ地義徳，佐藤公法，雨宮慶幸日本放射光学会誌 16, 236 (2003).
K. Hirano, K. Izumi, T. Ishikawa, S. Annaka and S. Kikuta:
Jpn. J. Appl. Phys. 30, L407 (1991).
T. Ishikawa, K. Hirano and S. Kikuta: J. Appl. Cryst. 24,
982 (1991).
K. Hirano, T. Ishikawa, S. Koreeda, K. Fuchigami, K. Kanzaki and S. Kikuta: Jpn. J. Appl. Phys. 31, L1209 (1992).

49)
50)
51)
52)

53)

54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)

T. Ishikawa, K. Hirano, K. Kanzaki and S. Kikuta: Rev. Sci.
Instrum. 63, 1098 (1992).
K. Hirano, T. Ishikawa and S. Kikuta: Nucl. Instrum.
Methods Phys. Res. A 336, 343 (1993).
K. Hirano, T. Ishikawa and S. Kikuta: Rev. Sci. Instrum. 66,
1604 (1995).
C. Giles, C. Malgrange, J. Goulon, F. de Bergevin, C. Vettier, E. Dartyge, A. Fontaine, C. Giorgetti and S. Pizzini: J.
Appl. Cryst. 27, 232 (1994).
C. Giles, C. Malgrange, J. Goulon, F. de Bergevin, C. Vettier, A. Fontaine, E. Dartyge and S. Pizzini: Nucl. Instr. Meth.
A 349, 622 (1994).
M. Hart: Philos. Mag. B 38, 41 (1978).
S. Annaka, T. Suzuki and K. Onoue: Acta Cryst. A36, 151(1980).
S. Annaka: J. Phys. Soc. Jpn. 51, 1927 (1982).
J. A. Golovchenko, B. M. Kincaid, R. A. Lvesque, A. E.
Meixner and D. R. Kaplan: Phys. Rev. Lett. 57, 202 (1986).
D. M. Mills: Phys. Rev. B 36, 6178 (1987).
G. Borrmann: Z. Phys. 127, 297 (1950).
G. Borrmann and W. Hartwig: Z. Kryst. 121, 401 (1965).
大橋裕二
“X 線結晶構造解析”（2005).
加藤範夫私信（1997).
W. N. Lipscomb: Acta Cryst. 2, 193 (1949).
W. A. Hendrickson, A. P äahler, J. L. Smith, Y. Satow, E. A.
Merritt and R. P. Phizackerley: Proc. Natl. Acad. Sci. 86,
2190 (1989).

著者紹介
沖津康平
東京大学工学系研究科総合研究機構 助手
E-mail: okitsu＠soyak.t.u-tokyo.ac.jp
専門X 線回折物理学，X 線光学，X 線単結晶構造解析
［略歴］
1984 年，京都大学工学部金属加工学科卒
業， 1989 年，富山大学理学部物理学科修士課程修了， 1997 年，総合研究大学院大学放 射光 科学 専攻 修了 ，博 士（ 工学 ），1998年，東京大学工学部総合試験所助手，
2007 年，東京大学工学系研究科総合研究機構助手（現職）

放射光 March 2020 Vol.33 No.2 ●79X-ray n -beam dynamical diŠraction theories,
numerical method to solve them and experimental veriˆcation
Kouhei OKITSU

Abstract

Nano-Engineering Research Center, Institute of Engineering Innovation, Graduate
School of Engineering, The University of Tokyo, 21116 Yayoi, Bunkyo-ku, Tokyo1138656, Japan.

The behavior of X-rays when they are incident on a crystal can be described by the dynamical
diŠraction theories. Studies on them when the transmitted and one Bragg-re‰ected X-ray beams
are strong (two-beam case) have a history of one hundred years. However, the population ofresearchers on X-ray multiple-beam (n -beam) re‰ection is small. The present author has extend
the Takagi equation (TT theory) such as to be applicable to n -beam cases and developed the numerical method to solve it. They have been veriˆed by comparing the computer-simulations andexperimental results with the synchrotron X-rays whose polarization state was controlled. The equivalence between the Ewald-Laue and TT dynamical diŠraction theories is also described. The
theoretical, numerical and experimental studies on the n -beam diŠraction of X-rays are explained.
Further, a hypothesis concerning the too large values of R factors in protein crystal structure analysis, is also described

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