1515 四分位数と箱ひげ図
学習の基本①▼

練習問題 扌 P 123

81 四分位数

データを小さい順に並べたときに，4 等分する位置にくる〈データの個数が偶数のとき〉

3 つの値のことを四分位数といい，小さい方から順に，第 1←小 下位

四分位数，第 2 四分位数，第 3 四分位数という。第 2 四分位

第数は中央値のことであり，データを 2 等分したときの下位データの中央値が第 1 四分位数，上位データの中央値が第 3 四分位数である。
②四分位数と箱ひげ図

上位 大→四分位数 第 四分位数
第 四分位数（中央値）〈データの個数が奇数のとき〉

第 3 四分位数から第 1 四分位数をひいた差を四分位範囲と←小 下位

上位 大→いい，四分位範囲を 2 でわった値を四分位偏差という。
第（四分位範囲）＝（第 3 四分位数）−（第 1 四分位数）（四分位偏差）＝（四分位範囲）
÷2四分位数第 四分位数第 四分位数（中央値）

右のデータは生徒10人の垂直跳びの記録である。このデータ問題の四分位数，四分位範囲，四分位偏差をそれぞれ求めよ。
解36283045 29

39423040 26

データを小さい順に並べると次のようになる。
←小26

下位2829

上位30

30

36

39

40

（単位：cm）

大→4245

第 1 四分位数は，下位データの中央値で，29 cm
第 2 四分位数は，データ全体の中央値で，（30＋36）
÷2＝33（cm）
第 3 四分位数は，上位データの中央値で，40 cm
四分位範囲は，40−29＝11（cm），四分位偏差は，11÷2＝5.5（cm）
答

第 1 四分位数… 29 cm ，第 2 四分位数… 33 cm ，第 3 四分位数… 40 cm ，四分位範囲… 11 cm ，四分位偏差… 5.5 cm

323 次のデータの四分位数，四分位範囲，四分位偏差をそれぞれ求めよ。
□⑴ 3■

16□⑵ 30■

4729584039□⑶ 151417112214□⑷ 81

7464

91065

573

1168

91747

1285

1139

2064

75（単位：分）

15421765

56（単位：kg）

35（単位：m）

1923228679

67 （単位：kg）

119

5章

データの活用学習の基本

82 箱ひげ図

最小値，最大値，四分位数を用いてデータの分布のようすを示した右のような図を箱ひげ図という。
＜箱ひげ図のかき方＞①

最小値
第第 1 四分位数を左端，第 3 四分位数を右端とする
長方形（箱）をかく。

最大値四分位数 第 四分位数
第 四分位数（中央値）②①の長方形（箱）の中に第 2 四分位数（中央値）を示す縦線をひく。

③

最小値，最大値を示す縦線をひき，箱と線分（ひげ）でつなぐ。

＋

右の図のように，箱ひげ図は縦にかくことがあり，また，箱ひげ図に平均値を記入する場合は，「＋」で示す。

下のデータは，生徒12人の先月 1 か月間の読書時間を短い順に並べた問題ものである。これをもとに箱ひげ図をかけ。
2解

2568101112141415 （単位：時間）

最小値

第1四分位数

第2四分位数

第3四分位数

最大値

24913152
答3491315（時間）上の図（単位：時間）ひげの端から端までの長さが範囲（全体の散らばり）を表し，箱の長さが四分位範囲（中央値付近の散らばり）を表す。
箱の区間には，中央値付近の約50％（前後約25％）のデータの値が含まれる。

324 あるデータの最小値は 5 点，第 1 四分位数は 7□点，第 2 四分位数は10点，第 3 四分位数は15点，最大値は19点であった。これをもとに箱ひげ図を01020（点）304050（cm）

かけ。

325 次のデータについて，箱ひげ図をかき，平均値■□の位置を「＋」で示せ。
3136 3839

39 43464849（単位：cm）

120

15

学習の基本

四分位数と箱ひげ図

83 箱ひげ図を読みとる

箱ひげ図の各部分にふくまれるデータの個数のおよその25%25%

割合は右の図のようになっている。

25%

25%

ただし，箱ひげ図の読みとりでは，次のことに注意する。
①

上記のデータの個数の割合は目安であり，一般に，正確な割合は読みとれるとは限らない。

②

ある値のデータが実際に存在するかどうかは読みとれない場合が多い。
右の箱ひげ図は，生徒40人の 1 か月間の読書時間問題を表したものである。次のア～エのうち，この図から0読みとれる内容として正しいものをすべて選べ。
ア

第 1 四分位数は 1 時間である。

イ

四分位範囲は 9 時間である。

ウ

平均値は 8 時間である。

エ

半数以上の人が 7 時間以上読書をしている。

解答

51015

ア

第 1 四分位数は 5 時間だから，正しくない。

イ

四分位範囲は 14−5＝9（時間）だから，正しい。

ウ

平均値は箱ひげ図から読みとれないから，このデータからはわからない。

エ

中央値が 8 時間だから，正しい。

20(時間)

イ，エ326 右の箱ひげ図は，ある都市の 1 年間の月ごとの降水■□量のデータを表したものである。次のア〜エのうち，この図から読みとれる内容として正しいものをすべて

30 40 50 60 70 80 90 100110120130(mm)選べ。
ア 中央値は 90 mm である。
イ 範囲は 40 mm である。
ウ 平均値は 90 mm である。
エ 降水量が 60 mm 以上の月が 6 か月以上ある。

327 右の箱ひげ図は，A チーム15人と B チーム15人□

Aチームのハンドボール投げの記録を表したものである。

Bチーム

次のア〜エのうち，この図から読みとれる内容と010203040(m)して正しいものを 1 つ選べ。
ア

平均値は A より B の方が大きい。

イ

範囲も四分位範囲も，A より B の方が大きい。

ウ

記録が 20 m 以上の人は，A より B の方が多い。

エ

記録が 15 m 以下の人は，B より A の方が多い。
121

5章

データの活用

学習の基本

84 ヒストグラムと箱ひげ図の関係

次の表，図は，1 組男子と 2 組男子の 50 m 走の記録の度数分布表，ヒストグラム，箱ひげ図である。
1組男子

2組男子階級（秒）度数（人）（人）

階級（秒）度数（人）（人）

以上

以上

未満

6.6〜7.0
7.0〜7.4
7.4〜7.8
7.8〜8.2
8.2〜8.6
8.6〜9.0
9.0〜9.4
計80434
620196420未満

6.6〜7.0
7.0〜7.4
7.4〜7.8
7.8〜8.2
8.2〜8.6
8.6〜9.0
9.0〜9.4
計
6.6 7.0 7.4 7.8 8.2 8.6 9.0 9.4（秒）

82
1524
32
1964
20

6.6 7.0 7.4 7.8 8.2 8.6 9.0 9.4（秒）

この図のように，ヒストグラムはデータの分布のようすや最頻値はわかりやすいが，中央値はわかりにくい。それに比べて，箱ひげ図は，データの散らばりぐあいや中央値がわかりやすいという特徴がある。
1組は，データが比較的中央に集まっている傾向がある。よって，箱の長さは短くなり，中央値も真ん中付近にある。一方，2 組はデータが広く散らばっているので，箱の長さは長くなる。
ヒストグラムと箱ひげ図の関係
左右対称な分布

散らばりの小さい分布

左にかたよった分布

右にかたよった分布

328 次の⑴，⑵，⑶の箱ひげ図に対応するヒストグラムを，ア，イ，ウの記号で答えよ。
■
□
⑴

⑵

⑶

アイウ

122

15練習問題

15四分位数と箱ひげ図四分位数と箱ひげ図

329 次のデータの最小値，最大値，四分位数を求めよ。
□⑴ 164■170□⑵ 34184
2157

172

180

165

172

81095471775164

170（単位：cm）

573910（単位：冊）330 次のデータの最小値，最大値，四分位数，四分位範囲，範囲を求めよ。
□⑴ 1■□⑵ 13■0532282224290121134829430（単位：点）32517217（単位：分）

331 あるデータの最小値は 7 m ，第 1 四□

分位数は 17 m ，第 2 四分位数は 25 m ，第 3 四分位数は 27 m ，最大値は 30 m ，51030（m）

20

平均値は 23 m であった。これをもとに箱ひげ図をかき，平均値の位置を「＋」で示せ。

332 次の⑴，⑵，⑶の箱ひげ図に対応するヒストグラムを，ア，イ，ウの記号で答えよ。
■
□⑴

⑵

⑶

アイウ

333 右の図は，ある学校の 2 年生 1 組，2 組，3 組それぞれ27人が受□けた100点満点のテストの得点の箱ひげ図である。このとき，次のア〜エのうち，右の図から読みとれる内容として正しいものをすべ（点）10080て選べ。

60

ア 得点の範囲がもっとも大きいのは 1 組である。

40

イ 得点が40点以下の生徒はどの組にも 7 人以上いる。

20

ウ 得点が50点以上の生徒は，2 組がもっとも多い。
エ 得点が60点の生徒は，どのクラスでも上位10番以内に入る。

01組

2組

3組

123

5章

データの活用

5 章の確認問題
334 代表値 右の表は，あるクラスの生徒の体重を測ってまとめたものである。次階級（kg） 階級値（kg）度数（人）（階級値）×（度数）以上の問いに答えよ。
□⑴■

平均値を，四捨五入によって小数第1 位まで求めよ。

□⑵■

中央値はどの階級に属するか。

□⑶■

この度数分布表での最頻値を求めよ。

未満

35〜4037.5

3112.540〜4542.5

11467.545〜5047.514665.050〜5552.58420.055〜6057.54230.0401895.0

計335 データの整理 右のデータは，1 組15人の通学時間を調べたものである。次の問いに答えよ。

□⑴■

右の度数分布表に整理せよ。

右の図にヒストグラムをかき入れよ。

□⑶ 最小値，最大値，四分位数，四分位範囲，■

111524514111861220

109 （単位：分）

第1四分位数 第2四分位数 第3四分位数

5（人）

未満

0〜 55〜1010〜15
15〜2020〜25

範囲を求め，下の表にまとめよ。
最小値

7階級（分） 度数（人）
以上

□⑵
■

24

計

515

最大値

00 5 10 15 20 25（分）四分位範囲

範囲（単位：分）

□⑷
■

0124

箱ひげ図を下の図にかき入れよ。

1020（分）5章

データの活用5 章の応用問題
336 右の表は，ある中学校の 1 年生全員に行った漢字テストの得点（点） 男子（人） 女子（人）結果を男女別にまとめたものであり，女子の得点の平均値は5.56点，男女合わせた全員の得点の平均値は5.48点であった。

□⑴

男子の得点の平均値を求めよ。

□⑵

男子について，中央値と最頻値を求めよ。

□⑶

男子，女子それぞれの得点の範囲を求めよ。

□⑷

★
★

2
161225181394
10712y16
9640

計100x

表の x，y の値を求めよ。

337 右の表 1 は，ある水田の稲の穂を20本取り，その穂

表1

表2についているもみ粒の個数を調べた結果であり，表 28277xはこれを度数分布表にまとめたものである。

798073

また，表の中の x，y はもみ粒の個数を，m，n は穂の本数を表したものである。
□⑴★
★

2345678910

個数が 78 以上 80 以下の階級の相対度数を求めよ。

□⑵

m，n の値を求めよ。

□⑶

x−y＝5 であるとき，x，y の値を求めよ。

76

86

78

y81

7981

84

75807982

7774

338 ある中学校のクイズ研究会で，全国中学生クイズ大会に出場する選□手を，3 人の会員 A ，B ，C の中から 1 人選ぶことになった。

右の箱ひげ図は，過去の大会で出題された問題を，地理や天文，こ以上人が挑戦したときの得点を表したものである。

20

記号で答え，その会員を選んだ理由を説明せよ。ただし，どの会員

m75〜77

n78〜80781〜83584〜862

計204030

選ぶか。

以下

72〜74（点）50とわざなど 12 の分野に分けた各50点満点のクイズに，A ，B ，C の 3
あなたなら，大会に出場する選手として，A ，B ，C のどの会員を度数

階級（もみ粒の個数） （本数）

100A

B

Cを選んで説明してもよい。
125doka̲4
どかmadoka̲55 章 madoka̲6
データの活用

先madoka̲1madoka̲2madoka̲3生：先日の校内実力テストの結果はどうだったかな？

か madoka̲4
い：後半の関数と空間図形が難しくて時間内に解ききれず，数学は77点でした。国madoka̲6madoka̲5
語と英語も60点でいまいちな結果に…。

まどか：私は空間図形の問題は解けたけど，前半の基本問題でつまらない計算ミスをしいkai̲4

ちゃって，数学が80点。苦手な国語は52点，英語が76点でした。

kai̲6

kai̲5

先生：実は，最後の空間図形の問題が解けていたのは，クラスでまどかさんだけだったんですよ。数学の最高点は81点でしたから，前半のミスさえなければまどかさんがクラス1位だったかもしれないですね。

kai̲1

adoka̲3

kai̲2

kai̲4

かすく先生

kai̲3

まどか：うーん，悔しい！

kai̲3madoka̲4kai̲5でも，計算ミスも実力がまだまだ足りない証拠ですね。気kai̲6を引き締めなくちゃ。

い：ところで先生，今回のテストは偶然にも，3 教科ともクラスの平均値が63点だ
madoka̲6

madoka̲5ったんですが，ぼくは国語も英語も得点が平均値より少し

国語の順位はクラスの真ん中より少しイアだったのに，で，英語の順位はクラスのちょうど真ん中あたりだったのが不思議でした。
先生：君達のクラス40人の得点の分布の様子を箱ひげ図で表すと，右の図のようになっているんですよ。

tasuku̲1

tasuku̲0
kai̲4

kai̲5

国語の

ウ

値は60点より低く，kai̲6 英語のウ

値は60点ちょうどなので，かいさんの順位がそのような結果になるのも当然です。

国語+数学

+

英語

+
0

25

5075

※｢+｣が平均値を表す｡

あなた：得点が平均値より上だからといって，必ずしも上位

エ100(点)％のグループに含まれるとは限らないし，逆に，平均値より下だからといって，必ずしも下位
エ

先％のグループに含まれるとは限らないということですね。

生：そうです。順位が全体の真ん中より上か下かが知りたければ，平均値ではなくウ

値を基準にすべきです。ところで，この箱ひげ図について，次のような問題を考えてみてください。

suku̲1問題

次の㋐〜㋓のうち，右上の箱ひげ図から判断できることとして，正しいものには〇を，正しくないものには×をつけよ。
㋐

どの教科でも平均値の63点を下回ると，クラスでの順位は真ん中より下になる。

㋑

どの教科でも75点以上を取れば，クラスの上位25％に入っているといえる。

㋒

英語は得点の範囲が最も広いので，高得点から低得点まで比較的均等に得点が散らばっているといえる。

㋓126

3教科の中では，最低点が最も高かった数学がいちばん問題がやさしかったといえる。

madoka̲1

かmadoka̲2madoka̲3madoka̲4

い5章か値から判断するんだよね。そうすると，「平均値を下回ったときウにクラスの下位
kai̲1kai̲2オkai̲3

まどか：㋑はたすく先生

どかmadoka̲2エ％に入っている」と確実にいえるのは，3 教科の中ではだけだから，㋐はkai̲4kai̲5ｂである第madoka̲1

データの活用い：さっきの話の通り，クラスの真ん中より順位が下になるかどうかは，平均値ではなくどかmadoka̲6

madoka̲5ａだよね。
kai̲6よね。
「クラスの上位25％に入っている」かどうかは，箱の右端の値
カ数を見て判断するけど，3 教科の中ではキだけが75点以上を取っても上位25％に確実に入っているとはいえないわ。
madoka̲3madoka̲6madoka̲4㋒は，文章前半のmadoka̲5
あなた：「英語は得点の範囲が最も広い」という部分は正しいけれど，後半の「均等に得点が散らばっている」の部分は正しいとはいえないよ。
例えば，英語の上位25％の10人について，その散らばりを考えると，いmadoka̲1madoka̲2madoka̲3madoka̲4madoka̲5madoka̲6

説明の続きを書こう！❶

tasuku̲1

tasuku̲0

いkai̲1kai̲2

kai̲3kai̲4kai̲5kai̲6kai̲2kai̲3kai̲4kai̲5kai̲6

すく先生
kai̲1

すく先生

tasuku̲0

下位10人についても同様に考えられるので，箱ひげ図からだけでは，㋒が正しいとはいいきれないよ。したがって，㋒はtasuku̲1

先ｃだと思うね。

生：そうですね。箱ひげ図は全体の中で自分がどのあたりのグループにいるかを把握するのには役立ちますが，分布の様子はわかりにくいです。外れ値，つまり，極端に高い得点や低い得点を取る人が1人いるだけでも分布の範囲は広がってtasuku̲1tasuku̲0

しまいますし，分布のかたよりも見えてきません。分布の様子を知りたいなら度数分布表やヒストグラムの方がいいですね。線分上に得点を「まどか」などを使って表すドットプロットなどもわかりやすいですよ。
まどか：㋓は正しいんじゃないかしら…。
「最低点が最も高い」ということは基本的な問題が多かったということでしょ。実際に数学の前半の問題はやさしかったわ。
私は計算ミスをしちゃったけれど。

madoka̲1madoka̲6madoka̲3madoka̲4madoka̲5か madoka̲2
い：そうかなぁ…。確かに前半は簡単だったけれど後半の関数や図形は難しかったよ。みんなもほとんどできてなかったんでしょ。それに「最低点が最も高い教か科のテストはやさしい」と判断することと「数学のテストがやさしい」と結論付

いけることは，なんだか※矛盾していないかい？
※

矛盾…つじつまの合わないこと。

まどか：どうして矛盾だといえるの？
kai̲1kai̲2kai̲3kai̲4

kai̲5kai̲6

127
たすく先生

5章

データの活用あなた：「最低点が最も高い教科のテストはやさしい」と考えるのなら，逆に，説明の続きを書こう！❷

どかどかmadoka̲1

madoka̲2

madoka̲3

madoka̲4

madoka̲5

madoka̲6

よって，その考えは矛盾しているといえるんだ。つまり，㋓はいというこｄとになるね。それに，数学のテストがやさしいか難しいかは，誰か1人が取っmadoka̲1

madoka̲2

madoka̲6
madoka̲4た最低点や最高点だけでは判断できないと思うよ。
madoka̲5madoka̲3

先生：何をもってそのテストの難易度を判断するのかは，とても難しいことです。分
布の様子が大きく異なっても平均値は一致することもあるので，平均値だけでいkai̲1kai̲2

kai̲3

かはテストの難しさは計れませんし，中央値もまたしかりです。

まどか
い：最高点・最低点からわかる分布の範囲だけでも判断できないですよね。例えば，

kai̲4kai̲5

kai̲6

英語は100点の人がいるからやさしかったかというと，たまたま得意な人がいただけかもしれないし，逆に25点の人がいるから難しかったかというと，問題

すく先生
kai̲1

kai̲2

kai̲3kai̲4

先

すく先生

自体が難しかったのか，極端に苦手な人がいたのか，テスト中に体調が悪かっ
kai̲6
kai̲5
た人がいたのか，解答欄を間違えたのか，とかいろいろ考えられます。

生：結局のところ，そのテストが難しいか簡単かというのは主観的なものでもあり
madoka̲1
madoka̲2

madoka̲3

ますし，異なる教科のテストの難易度を一律に比較しても仕方ないですね。与
えられたデータを見ていろいろと考えることは大切ですが，データからだけでは判断できないことを結論として決め付けるのもよくありませんよ。

tasuku̲1tasuku̲0かい考えてみよう！ 会話を読んで，次の問いに答えよう。
①

ア〜

キにあてはまる言葉や数を答えよう。

②ａ〜

ｄには，「○」「×」のどちらがあてはまるのか，答えよう。

tasuku̲1tasuku̲0③❶，❷に続きを書いて，説明を完成させよう。

＜たすく先生の数学力向上ポイント＞

kai̲1

kai̲2

kai̲3

たすく先生

・箱ひげ図，度数分布表，ヒストグラムなどはデータの何を知りたいかによって，それぞれ向き・不向きがある。度数分布表やヒストグラムの方が分布の様子を見るには適していることもある。
・与えられたデータからいろいろと推測することはよいが，データだけでは判断できないことを「結論」としてはいけない。
tasuku̲0128

tasuku̲15章

データの活用◆見た目のデータに騙されないようにしよう！
くじなどでかたよりなく選ばれた9世帯の年収が右のようになっ

26001160

820

540ていたとします。この9世帯の年収の和は6660万円ですから，年収400

350

320

270の平均値は，6660÷9＝はイ200（単位：万円）

ア （万円）です。9 世帯の年収の中央値万円なので，平均値が中央値よりだいぶ高く感じられますが，これは「年収が高い2600万円の世帯が平均値を大きく押し上げている」と考えることもできます。
話を単純にするために，上の例では9世帯という少ないデータで考えましたが，実際の世界でもごく少数の飛びぬけた値が平均値に大きく影響することが起こります。年度にもよりますが，日本の年収の平均値は440万円程度，中央値は370万円程度になっていて，平均値を上回ると，年収が高い方から上位35％に入ってしまう年もあります。平均値だから真ん中ぐらいという考えは誤りで，平均値より上か下かだけを見て判断すると，データの特徴を見誤ってしまうこともあるのです。
次に，年収500万円以上を「高所得」，500万円未満を「低所得」というグループにして，それぞれのグループの平均値を求めると，
高所得グループ…
（2600＋1160＋820＋540）÷4＝

ウ （万円）

低所得グループ…
（400＋350＋320＋270＋200）÷5＝エ （万円）となりますが，ここで不景気が起こり，翌年の各世帯の年収が1割ずつ減ったとします。すると，年収540万円だった世帯の年収は，540×（1−0.1）＝

オ （万円）になり，低所得グループに移ってしまうので，それぞれのグループの平均値は，
高所得グループ…
（2340＋1044＋738）÷3＝
低所得グループ…
（オカ （万円）
キ （万円）＋360＋315＋288＋243＋180）
÷6＝となります。つまり，不景気で各世帯の年収は下がったはずなのに，それぞれのグループの年収の平均値は上がってしまうのです。9 世帯全体の平均値は，

ア×（1−0.1）＝

全体の平均値からは確かに不景気の影響が感じられますが，ク （万円）となるので，のようなデータの見方をすると，「不景気なのに各世帯の年収が増えている」と錯覚する結果になってしまいます。
ニュース番組や新聞などで「景気回復」「失業率改善」などといわれることもありますが，大切なのは，どんなデータをどのように見たかということです。データを見るときには，その扱われ方・見せ方がどのようになっているのかにも注意しましょう。

考えてみよう！ 上の説明を読んで，次の問いに答えよう。
①②

ア〜

クにあてはまる数を答えよう。

高校生と中学生がある検定試験を受験し，試験は2つの会場 A ，B に分けて行いました。得点の平均値を会場ごとにまとめたら，右の表のようになりました。会場 B の方がAB

高校生
9094

中学生
全体
60
847082(単位：点)

高校生も中学生も平均値が高いのに，全体では会場 A の方が平均値が高くなっています。この理由として考えられることを，説明しよう。
※高校生も中学生も同じ検定試験を受けていて，どちらの会場にも高校生，中学生が含まれるものとする。

129