自由学園年報 第 24 号 2020

女子部中等科１年 数学「平面図形」
伊藤洋美

鈴木雄紀

長左絵

平面図形について、３つのグループに分かれて学びを深めました。
グループ１は「タイルばり」です。平面を有限種類の図形で隙間なく敷き詰めることを、「タイルばり」とか「平面充填」と言います。
「どんな図形がタイルばりできるのか」という素朴な疑問からはじめ、様々な問いを立て、実際に皆で手と頭を動かしながらその答えを検証してきました。
グループ２は「はとめ返し」です。はとめ返しとは三角形や四角形などの図形を、ある約束にしたがって４つの多角形に分割し、ばらばらにならないようにはとめを打ってひもで結びます。４つの頂点が中央に集まるように真ん中からぐるりと裏返すとどんな図形が現れるか、これがはとめ返しという図形パズルです。四角形を面積が等しい別の四角形に、また三角形、五角形や六角形、七角形にも変形できるかなど、問題を発展させながら、試行錯誤して確かめていきました。
グループ３は「三角形の五心」です。教科書に載っている垂直二等分線や垂線、角の二等分線の作図方法を使って、「外心」「内心」「重心」「垂心」「傍心」の作図や性質を学びました。その後、身近なものを使って工作や実験を行い、それぞれの性質を可視化することを試みました。
教科書の内容を超えて、遊びの中に潜む数学の学びを報告しました。

また垂直二等分線や角の二等分線の性質を理解した
Ⅰ．報告会までの学習

後、水くみの最短コースを求めたり、地図を見ながら中等科１年生の数学は、１学期に正負の数、文字家の位置を決めていくなどの問題を考え、それらの性式、1 次方程式を学び、２学期以降は比例と反比例、平質を活用して見つけることができる理由を考えまし

面図形、空間図形について学びました。

た。

平面図形に入る前に、まず夏休みに家紋を調べてく

図形の移動は、平行移動、回転移動、対称移動の意るという宿題を出して、小学校で学習した線対称、点味を理解し、図形をどのように動かしたか、言葉で相対称の内容の復習を試みました。６年生で学習した内手に正確に伝える活動を大切にしました。応用として容で忘れている人もいましたが、丁寧な図を描いてき２回、３回と移動の回数を増やした場合も考えることた人が多く、それぞれ対称軸や中心、回転角を求めてで、移動の組み合わせにより、平面図形は任意の位置みました。に移動することができることを理解しました。

平面図形の学習内容は平面図形の基礎である直線やこれらの活動を通して図形に慣れてから、全体に向け角、円について学んだ後、たこ形やひし形の性質を根て「タイルばり」、「はとめ返し」、「三角形の五心」につ拠にして垂直二等分線や垂線、角の二等分線の作図方

いて２時間ずつ手作業を含めた授業を行い、自分の興法を理解し、定規とコンパスを使って作図しました。

味・関心の持てるグループを１つ選び、グループごとにそれらの作図を利用して、円の中心を求めることや、分かれてそのテーマを深めていくことにしました。

円の接線を作図すること、３０度、７５度、１３５度

Ⅱ．グループ１「タイルばり」の角の作図する方法をいろいろ考え、なぜその方法で作図できるかを説明し合う機会をもちました。

グループに分かれる前の、全体での２時間の授業では、タイルばりのルールを学び、タイルばりできる図形とで自由学園年報 第 24 号 2020

きない図形について、折り紙を切って図形をつくって実方形が多く用いられているのではないかと考察しまし際に並べながら確認していきました。正多角形からはじた。

め、その結果を踏まえ、問いと予想を立てながら、タイルばりできる図形とできない図形を分類していきまし③た。

1 種類ではタイルばりできない図形も、複数組み合わ２種類以上の図形を使ったタイルばり

またタイルばりを行う際の並べ方についても、形によせれば、タイルばりができるのではないかという疑問をって、１つの図形の位置を決めると他の図形の配置も一もとに、タイルばりできるパターンを探しました。例え意に決まるものと、回転や平行移動ができ、並べ方にあば、正五角形はそれだけではタイルばりできませんが、る程度の自由度があるものがあることを確認しました。

ひし形と組み合わせるとタイルばり可能です。このよう報告会へ向けては、グループの中で４つのテーマを立な例をいくつか見つけました。て、小グループに分かれて取り組みました。テーマは次の①～④の通りです。いずれのテーマについても、文献④

学園内で見つけたタイルばりを参考にするのは定義等を参照する場合のみとして、自学園内を歩き回り、道や壁、網などタイルばりが使わら手を動かし、考察することを大切にしながら取り組みれたものやデザインを探しました。また、②での「実際ました。のタイルばりには正方形や長方形が多い」ということが実際にも成り立っていることを確認しました。

①

タイルばりできる図形とできない図形

本グループは、計算や証明はほとんどせず、数学に対多角形の任意の２点を結ぶ線分が、多角形の内部に含して苦手意識を感じている人でも興味を持って取り組まれるとき、その多角形を凸多角形といいます。タイルめるように学習を進めてきました。すぐに先行研究を調ばりができるかできないか、凸多角形と凸でない多角形べるのでなく、自ら疑問を出し、自分の手と頭を使ってに分けて調べました。

結論を導き出すこと、わかったことを正確に表現するこ凸多角形では、三角形、四角形はすべての図形がタイとを心掛けながら学習を進めました。

ルばりできますが、五角形、六角形ではタイルばりできる図形とできない図形があり、七角形以上の図形はタイ

Ⅲ．グループ２「はとめ返し」

ルばりできないと結論付けました。タイルばり可能な凸最初の２時間は、男子部髙田先生に「組み合わせパズ五角形は何種類あるかという問題はタイルばりの問題ルを作ってみよう」というタイトルで授業をしていただの中でも有名ですが、今回の取り組みでもタイルばりできました。まず正三角形を１つの頂点と対辺の中点を結きる凸五角形の例を複数種類見つけることができましんだ線分で半分に切って、四角形にしてみることに取りた。

組みました。すると普段数学が苦手な生徒も平行四辺形

凸でない多角形についてはかなりの自由度があり、沢やたこ形などいくつかの図形を作ることができました。

山のタイルばり可能な図形の例を見つけました。

その後、各自で一般の三角形を長方形、平行四辺形や一②直角三角形や一般の三角形に、一般の四角形を長方形、般の四角形に変形することや、長方形を二等辺三角形、タイルばりできる図形の並べ方

正方形のタイルは、１つのタイルを９０度、１８０度、平行四辺形や面積が等しい別の四角形に変形するなど２７０度回転させても他のタイルの並びに影響するこの課題に取り組みました。それらの課題では、中点に注とはありません。ところが、長方形のタイルでは、でき目して切ってみることを意識させました。

る回転は１８０度のみです。タイルばりできる各図形に一般の四角形から好きな形の図形を作る応用問題でついて、回転と平行移動の可能性を調べ、正方形のタイは、２組の対辺の中点どうしを結んだ２本の線分で四角ルがもっとも並べ方の自由度があり、一般の四角形では形を４個に分割することや、１組の対辺の中点どうしを並べ方の自由度が低いことを確認しました。このことか結んだ線分に、残りの辺の中点からそれぞれ垂線をおろら、身の回りにあるタイルやブロックには、正方形や長してみて４個に切り分けてみたり、内部の任意の１点と自由学園年報 第 24 号 2020

各辺の中点を結んだ４本の線分で４個に分割するなど、いろいろ取り組む姿が見られました。
実際にそれぞれが好きな「はとめ返し」の図形パズル

形を作る。
② 一般の四角形から、五角形はできるか。
③ 一般の四角形から、六角形はできるか。

を１時間かけて作った後、いよいよ３つのグループに分④ 一般の四角形から、七角形はできるか。

かれることになり、グループ２は４人の生徒で取り組む⑤ 一般の四角形から、三角形はできるか。

ことになりました。

考察の結果は、下の図のようになりました。

生徒たちは「はとめ返し」の模型を作って皆の前でぐ①

るりと裏返してみることを目標に、まず復習することから始めました。
今回の「はとめ返し」は一般の四角形の各辺の中点を利用して、四角形を４個に分割します。その４片がばらばらにならないように各辺の中点のところをはとめ（紐②を通す穴に取りつける小さな金属の環）で留めます。その４片を真ん中から外側にひっくり返して裏返すと別の図形に変形する図形パズルですが、どのように切ればどのような図形が現れるかを考察し、報告しました。
⑤＊報告内容１① 一般の四角形を２本の線分（２組の対辺の中点どうしを結ぶ）で４個に切り分けることで、平行四辺形を作る。
② 一般の四角形を３本の線分（１組の対辺の中点どうしを結んだ線分に、残りの辺の中点からそれぞれ垂線２本をおろす）で４個に切り分けることで、長方形を作る。
③ ①②から６０度の対角を持つ平行四辺形を作るにはどのように切ればよいか。

①、②、③、⑤など六角形まではできましたが、④の七角形やそれ以上の多角形は凹多角形になってしまうという結論になりました。
最後に「タイルばり」の図には、もとの一般の四角形と「はとめ返し」後の図形がはっきりと現れていること③は一般の四角形を１組の対辺の中点どうしを結んもわかりました。

だ線分に、残りの辺の２個の中点から６０度の角の平行線を引いて作ることができました。これらの図形ができたことを説明するために小学校で学習した四角形の性質を振り返りました。
次に四角形の対辺の中点どうしを結ぶのでなく、隣り合う辺の中点どうしを結ぶとどうなるかを考えることにしました。
＊報告内容２① 一般の四角形を２本の線分（隣り合う辺の中点どうしを結ぶ）と、その線分の任意の点どうしを結ぶ線分で４個に切り分けることで、平行四辺

Ⅳ．グループ 3「三角形の五心」
グループに分かれる前に、
「外心」
、「内心」
、「重心」
、

自由学園年報 第 24 号 2020

「垂心」、「傍心」の性質や作図の方法を学びました。基

作図をしました。

本性質を学んだあと、コマや塩を使った実験をして、その性質を観察しました。発表は、グループの中でさらに、「五心の説明」「塩の実験」「重心」「垂心、外心の関係」の４つに分かれて発表しました。
①五心について
内心（内接円）、外心（外接円）、重心、垂心、傍心（傍④垂心と外心の関係
このグループでは、「三角形ABCに対して、AB, BC, CAの中点をそれぞれP, Q, Rとする。三角形ABCの外心と三角形PQRの垂心は一致する」ということについて、作図と証明の理解を試みました。

接円）を、定規と黒板用のコンパスを使って、ステージまず、作図を行い、三角形ABCの外心と三角形PQRの垂正面に貼る大きな表を作成しました。発表では、その表心は一致することを確認しました。次に証明を読んで、を使って五心の説明をしました。

作図した図を使って発表できるように、理解を深めました。

②塩の実験
任意の多角形の厚紙の上に塩の山を作ると、隣り合う

Ⅴ．報告会を終えて辺から等距離のところに尾根ができることがわかって自分の興味にそって３つのグループに分かれ、更にそいます。それを利用し、任意の三角形の厚紙に食塩をふれぞれのグループの中でだいたい４人ずつで調べたりりかけて山を作り、頂点が内心になっていることを観察考えたりして協力して学習しました。今回は３２人の生しました。また、内接円がかける四角形と、内接円がか徒に３人の教師が関わることで、生徒はただ参加すればけない四角形にも塩をふりかけ、塩の山の頂上が何を表よいということではなく、それぞれの意識や役割を明確しているか観察しました。に持つことになったと思います。皆がどのようなことに内接円がかける四角形は、食塩をふりかけると、四角取り組んでいるかを全体で把握できるように、なるべく錐の山ができ、山頂の真下の点は、この四角錐の内接円

皆で取り組んだり考えたりする授業を多くとったつもの中心になりました。一方、内接円がかけない四角形は、りでした。それでも最後の１週間から１０日間でそれぞ食塩をふりかけると、２つの頂上ができました。塩の山れの担当に細分化されていき、全体の理解は難しくなっは隣り合う辺から等距離のところに尾根ができることたと思いますが、それぞれの教師が生徒と共に取り組むから、下の図のように、点Iが三角形ADEの内心、点Jがことで、数学の苦手な人も、得意な人もその力量と関心三角形CBEの傍心であることを確認しました。

によって広がりのある、密度の濃い時間が過ごせたのではないかと思います。今回の報告会の学びの中で数学の面白さを少しでも味わうことができたなら、今後の数学への取り組みが、より自発的、主体的に学ぶ姿勢につながっていくことと期待しています。

③重心
グループに分かれる前の授業で、厚紙に自分の好きなⅥ．参考文献

三角形をかき、重心に楊枝をさして三角形のコマを作っ『本日オープン！数学美術館「平面図形」』て回す実験をしました。そこで、重心は重さがつりあう井上正充

点であることを確認しました。
この重心の性質を使ったものを考え、大きな三角形のモビールを作ることにしました。1 辺が 50cm 以上ある
三角形の重心に紐を通して、発表時にはステージの上から吊るしました。さらに、三角形の重心の作図を発展させ、三角形の重心の作図方法を利用した四角形の重心の『数理パズル』 中村義作他

国土社
中公新書