http://www.elses.jp

京での超大規模量子物質シミュレーションとクリロフ部分空間
鳥取大学, JST-CREST(PostPeta)

星健夫(主な所属学会：物理学会, 応用数理学会)

主な共同研究者
数理系：曽我部知広(愛知県立大), 宮田考史・李東珍・張紹良(名古屋大)・井町宏人(東大)
物理系：山元進(東京工科大), 西野信也(東大)・藤原毅夫(東大)・
川居 佳史・秋山洋平・山﨑渓太・横山誠也（鳥取大）
予算補助
JST-CREST(PostPeta), JST-ASTEP, 科研費新領域(コンピューティクス), 構造材料元素戦略拠点, 他
注：本スライドはアップロード済：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/

http://www.elses.jp

京での超大規模量子物質シミュレーションとクリロフ部分空間
鳥取大学, JST-CREST(PostPeta)

星健夫(主な所属学会：物理学会, 応用数理学会)

第1部

京での超大規模量子物質シミュレーションとクリロフ部分空間

第2部

応用から見た行列ソルバーのチュートリアル的分類

第3部 「物理と数理の接点」
としてのトピック
第4部

現状と展望

主な共同研究者
数理系：曽我部知広(愛知県立大), 宮田考史・李東珍・張紹良(名古屋大)・井町宏人(東大)
物理系：山元進(東京工科大), 西野信也(東大)・藤原毅夫(東大)・
川居 佳史・秋山洋平・山﨑渓太・横山誠也（鳥取大）
予算補助
JST-CREST(PostPeta), JST-ASTEP, 科研費新領域(コンピューティクス), 構造材料元素戦略拠点, 他
注：本スライドはアップロード済：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/

第1部

京での超大規模量子物質シミュレーションとクリロフ部分空間
1. Overview : Application-Algorithm-Architecture co-design
2. シミュレーションコードELSESによる、「京」全ノードを利用した超大規模(1億原子, 100ナノスケール)計算
3. 数理的基盤：シフト型線形方程式とクリロフ部分空間解法
4. ʻOpen Dataʼ (行列データベース)
5. 数理以外の技術(a) 並列ファイルIO, (b) 可視化
6. 応用：ナノ物質研究
7. まとめOverview

Application-Algotirhm-Architecture co-design→ 応用(物理)分野・数理分野・高速計算技術(HPC)分野の連携研究

Application : quantum
material simulationn¨

Algorithm : numerical linear algebrafrom supercomputers
Architecture : to personal computers

Overview

Application-Algotirhm-Architecture co-design→ 応用(物理)分野・数理分野・高速計算技術(HPC)分野の連携研究

Tutorial : What is quantum
electronic state calculation ?
Application:→ (a) quantum-mechanicaltheorymaterialʻwaveʼ
simulationn
for electrons in materials (*)(b) basics of quantum material simulations→ eﬀective Schrodinger
equation¨→ generalized Hermitian eigen-value problem
linear algebra
Algorithm: numerical(as a typicalnumerical problem)()

λ：energy for each electron (ʼeigen energyʼ)y：shape of electrnic(ʼwavefunctionʼ)(**)
fromʻwaveʼ
supercomputers

Architecture :to personal computers(*) Walter Kohn (1923~)

Nobel Prize at 1998

Overview

Application-Algotirhm-Architecture co-design→ 応用(物理)分野・数理分野・高速計算技術(HPC)分野の連携研究

Tutorial : What is quantum
electronic state calculation ?
Application:→ (a) quantum-mechanicaltheorymaterialʻwaveʼ
simulationn
for electrons in materials (*)(b) basics of quantum material simulations→ eﬀective Schrodinger
equation¨→ generalized Hermitian eigen-value problem
linear algebra
Algorithm: numerical(as a typicalnumerical problem)()

λ：energy for each electron (ʼeigen energyʼ)y：shape of electrnic(ʼwavefunctionʼ)(**)
fromʻwaveʼ
supercomputers

Architecture :to personal computers(*) An electronic ʻwaveʼ
(wave function)of Benzene (C6H6)

Overview

Application-Algotirhm-Architecture co-design→ 物理分野・数理分野・高速計算技術(HPC)分野の連携研究→ 目的物理量ごとに、最適な計算手順(workﬂow)を構築
iterative loop
matrixgeneration

matrix solver

physicalquantities

conventional

G. Eigen-Value eqn.

present

G. Shifted Linear eqn.

physicalquantities

http://www.elses.jp

ResultELSES, our electronic-structure calculation code

Hoshi et al.,JPSJ 82, 023710 (2013); Hoshi et al., Preprint (http://arxiv.org/abs/1307.3218)

Benchmark with upto 100M atoms( ⇄ Si : (126nm)3region)aPF :amourphous-like conjugated polymer, poly-(9,9 dioctil-fluorene),
NCCS: sp2-sp3 nano composite carbon solid(a) Order-N scaling

Elapse time (sec)

105
aPF

104

103

NCCS (10M ) (100M)
full-core calc.

NCCS

102

103
102
105

Elapsetime
time(sec)(sec)
Elapse(b) Parallel efficiency (strong scaling)on the K computer ( ~ all nodes )
4
10
3
10

108
Number of atoms N
106

107

102

aPF
w/
100M atoms

101011 4
10103

(10M)

5
4
10
10

6 6
5
10
10 10

Numberof CPU
cores
P
Numbefof CPUcores

http://www.elses.jp

ELSES, our electronic-structure calculation code

Hoshi et al.,JPSJ 82, 023710 (2013); Preprint (http://arxiv.org/abs/1307.3218)

Benchmark with upto 100M atoms( ⇄ Si : (126nm)3region)aPF :amourphous-like conjugated polymer, poly-(9,9 dioctil-fluorene),
NCCS: sp2-sp3 nano composite carbon solidaPF

Elapsetime
time(sec)(sec)
ElapseElapse time (sec)Methodology(a) Order-N scaling(b) Parallel efficiency (strong scaling)・Oringinal linear-algebraic order-N
algorithms
on the K computer ( ~ all nodes )4
10
105 with generalized shifted linear equations
3
10
NCCS (10M ) (100M)
full-core calc.

3 NCCS
4
10
10・Applicable both to metals and insulators
・Modelled (TB-type) systems, based
102 on ab initio calc.,
3A DFT-derived charge-self-consistent
102 formulation (optional)
10・

102
105

108
Number of atoms N
106

107

aPF
w/
100M atoms

101011 4
10103

(10M)

5
4
10
10

6 6
5
10
10 10

Numberof CPU
cores
P
Numbefof CPU
cores

Basic equations
Generalized eigen-value (GEV) equation

wavefunction
formulation

H, S : Hermitian, S: positive definite ( S ≒ I )Generalized shifted linear (GSL) equations( z : complex energy )the propagation(Greenʼs) function
formulation

non-Hermitianwith: the Greenʼs function

Mathematical structure of quantum physical quantities
Generalized eigen-value problem

Physical quantity in trace form
(1)

Physical quantity with a given matrix X(Ex. the case of X = H--> Electronic structure energy)(4)with the density matrix(5)(2)( a ʻsmoothedʼstep function )with a given weight funciton(ʼFermi distribution functionʼ)
(3)
( ,,

: given parameters )Quantum physical quantities in trace form
Sparse property of physical quantity
When we calculate a physical quantity

Simplest example( X : a sparse matrix )→ “Quantum locality”
or “Nearsightedness principle”

W. Kohn, Phys. Rev. Lett, 76, 3168 (1996)

We need onlythse elements !!

電子状態計算に派生する大行列数理問題の例
・（特殊な）一般化固有値問題：
H, S : real symmetric ( ∈ RNxN ), S: positive definite,→ (a) S = I or S ≒ I, (b) 疎行列解法 or 密行列解法
・一般化シフト型線形問題：( z : complex)

Remark:「数学から見れば特殊だが、ある応用分野から見れば一般的」な問題設定→数学と他分野との接点

http://www.elses.jp/matrix/

ʻOpen dataʼ (行列データベース)→数理系研究者からの要望で、アルゴリズム研究用に行列データを提供。
→「物質⇄行列性質(疎密性・固有値分布)⇄計算アルゴリズム」の連携研究(Application-Algorithm-Architecture co-design)

ELSES matrix library ( 行列次元：M = 102 ~106 )(a) Solid gold(b) 有機EL型アモルファス状
共役高分子（ポリフルオレン）

http://www.elses.jp/matrix/

ʻOpen dataʼ (行列データベース)→数理系研究者からの要望で、アルゴリズム研究用に行列データを提供。
→「物質⇄行列性質(疎密性・固有値分布)⇄計算アルゴリズム」の連携研究(Application-Algorithm-Architecture co-design)

参考：疎行列データを研究用に提供している既存サイト
Matrix Market
http://math.nist.gov/MatrixMarket/

University of Florida Sparse Matrix Collection
http://www.cise.uﬂ.edu/research/sparse/matrices/数理以外の技術 (a) 並列ファイルIO(1)「京」
・FX10による、並列ファイルIO機構(「ランクディレクトリ」)(2) 入出力ファイル→XML形式の分割ファイル（ 例：1000万原子系のデータファイル → ファイル容量約1GB )ex. Acceralation in the initial procedure with 10M atoms
single XML file(a) with non-parallel file reading→

T =1426.6 sec

read(b) with parallel file reading→ T=

split XML files

69.6 sec

read

read

read

read

数理以外の技術 (b) 可視化
分散された大容量データ→ 数値解析と可視化の一体処理→ Python-based original visualization tool ʻVisBARʼELSESGaussian

VASP

VisBAR

結果

ELSES:物質研究の例(「京」利用の前)

方針 (i) 産業利用(ii) 新物質(日本発)(iii) 基準物質

Amourphous-like conjugated polymer(poly-(9,9 dioctyl ﬂuorene) [有機EL]

Ionic liquid (PP13‒TFSI)

Li+ diﬀusion
in solids(Nishino et al.)helical gold nanowire
L=12nmsilicon brittle fracture

sp2-sp3 nano-composite carbon solid( for nano-polycrystalline diamond )

MD

17 nm

謝辞（共同研究・データ提供） 西野信也・藤原毅夫(東大), 山元進(東京工科大)，山崎久嗣(トヨタ自動車）,善甫康成(法政大), 石田雅也(住友化学)

Nano-polycrystalline diamond (NPD)novel ultra-hard material
T. Irifune, et al. , Nature 421, 599（2003）(@ Ehime Univ. )harder than conventional diamond crystals
100-nm-scale structure

macroscale
sample1 mm

industrial product (2012)(Sumitomo ElectricIndustries )*Hoshi, et al., JPSJ 82, 023710 (2013)

Visualization analysis on sp2 / sp3 nano composite carbon solid・Preliminary research for nano-polycrystalline diamond(1) Massively parallel quantum molecular dynamics(2) Massively parallel Greenʼs function analysis (π-COHP*)→ the distinction between sp2 and sp3-domains(A) Visualize sp2 and sp3 domains(B) Visualize only sp2 domains
17 nm

sp2-sp3
domainboundary

第1部

京での超大規模量子物質シミュレーションとクリロフ部分空間
まとめ

1. Overview : Application-Algorithm-Architecture co-design→物理・数理・HPC分野の連携研究
2. シミュレーションコードELSESによる、「京」全ノードを利用した超大規模(1億原子, 100ナノスケール)計算
3. 数理的基盤：シフト型線形方程式とクリロフ部分空間解法→後で、もう少し詳しく4. ʻOpen Dataʼ (行列データベース)
5. 数理以外の技術(a) 並列ファイルIO（→「京」のランクディレクトリ機能)(b) 可視化（と数値解析の一体処理）
6. 応用：ナノ物質研究→３つの方針(産業利用・新物質・基準物質)→例：ナノ多結晶ダイヤモンド

第2部

応用から見た行列ソルバーのチュートリアル的分類

1. 解法の基本的戦略：
「射影型」
「変換型」
2. 行列の性質による解法の分類
3. 行列サイズの分類：大規模・中規模・小規模
4. ワークフロー(実装)の重要性
5. まとめ1. 解法の基本的戦略：
「射影型」
・
「変換型」

Krylov (iterative) solvers
・for sparce matrices
・basics of O(N) calc.
・‘projection’ strategy

ex. Conjugate Gradient(CG) algorithm

Direct solvers
・for dense matrices,・O(N3) calc
・‘transformation’ strategy‘projection’ on the Krylov subspace ofn : subspace dimension (iteration number)
n =1

n =2

n=3

1. 解法の基本的戦略：
「射影型」
・
「変換型」

Krylov (iterative) solvers
・for sparce matrices
・basics of O(N) calc.
・‘projection’ strategy

Direct solvers
・for dense matrices,・O(N3) calc
・‘transformation’ strategy‘transformation’ of the whole space
Exampledense

tri-diagonal

diagonal

2. 行列の性質による解法の分類

Hermitian・generaltypical Krylov
solver for Ax=b

CG・real symmetric
Non-Hermitian・general・complex symmetric

BiCG
COCG

cf. 有名な固有値問題解法の教科書（通称「Template」,Webでも公開)
Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems (2000)
Edited by Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, and H. van der Vorst
http://web.eecs.utk.edu/~dongarra/etemplates/2. 行列の性質による解法の分類
typical Krylov「物理との接点」
としての問題設定
solver for Ax=b な問題
Hermitian→「数学的には特殊だが、物理的には汎用」
例：電子状態計算に現れる一般化固有値問題
CG・general・real symmetric()

他にも、帯行列・ブロックn重対角行列、など。
Non-Hermitian・general・complex symmetric

BiCG
COCG

cf. 有名な固有値問題解法の教科書（通称「Template」,Webでも公開)
Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems (2000)
Edited by Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, and H. van der Vorst
http://web.eecs.utk.edu/~dongarra/etemplates/3. 行列サイズの分類：大規模・中規模・小規模

サイズMでの分類（密行列ソルバー）(a)大規模：M=105 or larger(b)中規模：M=104(c)小規模：M=103 or smaller

実行列のデータ容量(a) M=10万だと
8B x 100K x 100K = 80GB(b) M=1万だと8B x 10K x 10K = 0.8GB (約1GB)(c) M=1000だと
8B x 1K x 1K = 8 MB

例：中小規模行列の全固有対計算(*)

計算時間T [sec]→中小規模問題では、並列化による加速が困難

P=1024P=4
総コア数P(*) Intel Xeon (SGI Altix @ISSP), 実対称, ScaLAPACK4. ワークフロー(実装)の重要性
実際の大規模計算では、ボトルネックの要因は多様。

(a) 演算コスト, (b) 通信コスト, (c) メモリコスト, (d) ファイルI/Oコスト(e) 人的コスト（手間）→ Application-Algorithm-Architecture co-design→最適性の確保のためには、複数のワークフローを用意する必要がある（面倒！
！）→展望：ミドルウェアとしての「計算エンジン」の共有（？）

注：アーキテクチャのトレンド→演算性能を重視する（メモリ性能が相対的に軽視される)→実アプリでは、省メモリ型ワークフロー、が重要に（？）

第2部

応用から見た行列ソルバーのチュートリアル的分類
まとめ

1. 解法の基本的戦略
・Krylov部分空間への「射影」
・全線形空間の「変換」
2. 行列の性質による解法の分類
3. 行列サイズの分類：大規模・中規模・小規模→中規模~1万次元→中小規模では並列化が困難
4. ワークフロー(実装)の重要性→展望：ミドルウェア的汎用「計算エンジン」開発（？）

第3部「物理と数理の接点」
としてのトピック

1. 新しい数学定理が、様々な物理学分野に現れる→共線残差定理(2003)
2. 物理の目で、アルゴリズムを比較する→残差の単調減少性
3. 物理の目で、数理アルゴリズムを作る→物理的保存則を満たすクリロフ空間理論

第3部「物理と数理の接点」
としてのトピック

1. 新しい数学定理が、様々な物理学分野に現れる→共線残差定理(2003)
2. 物理の目で、アルゴリズムを比較する→残差の単調減少性
3. 物理の目で、数理アルゴリズムを作る→物理的保存則を満たすクリロフ空間理論

Shift invariance of Krylov subspaceex.

Novel linear algebraic algorithms[1] Teng et al., PRB 83, 165103 (2011); [2] Hoshi et al, JPCM 24, 165502 (2012).
[3] Sogabe JCP 231, 5669 (2012); [4] Yamashita et al., Trans. JSIAM 21, 241 (2011).

→ Iterative (Krylov subspace) solvers for generalized shifted linear equation

non-hermitianMathematicalprinciples

S≠I

S=I *

Gerlerkin Principle

gLanczos, gArnoldi,
mArnodi, Arnoldi (M;W;G)

subs. diag.

Collinear Residual

gsCOCG,
gsQMR

sCOCG,sQMR*Takayama et al., JPSJ73, 1519 (2004); Takayama et al. PRB 73, 165108(2006);
共線残差定理Sogabe et al. ETNA31, 126 (2008)

数学と物理学の接点〜シフト型クリロフ空間理論において〜
1, 新しいアルゴリズムが、様々な物理学分野に現れる
A. Frommer, Computing 70, 87 (2003)

共線残差定理→シフト型線形方程式に対して、以下の性質をもつ、
クリロフ空間アルゴリズムが構成できる: n番目の反復における解ベクトル

共線残差性（Original方程式とShift方程式の間に）Original (σ=0）方程式の残差ベクトル

(3)

(1)
：スカラー

Shift (σ≠0）方程式の残差ベクトル(2)
レビュー(応用まで含めた)：
曽我部, 張, 応用数理 19,
163 (2009).

数学と物理学の接点〜シフト型クリロフ空間理論において〜
1, 新しいアルゴリズムが、様々な物理学分野に現れる
A. Frommer, Computing 70, 87 (2003)

共線残差定理→シフト型線形方程式に対して、以下の性質をもつ、
クリロフ空間アルゴリズムが構成できる: n番目の反復における解ベクトル

共線残差性（Original方程式とShift方程式の間に）Original (σ=0）方程式の残差ベクトル

(3)

(1)
：スカラー

Shift (σ≠0）方程式の残差ベクトル(2)
レビュー(応用まで含めた)：
曽我部, 張, 応用数理 19,
163 (2009).

式(2)のかわりに、式(3)を使う。
→Shift方程式においては、行列-ベクトル積が、スカラーベクトル積になる。
→計算量の劇的減少。

Shifted linear equations in physics
with Krylov subspace solvers and the collinear residual theorem(1) (a) A. Frommer, Computing 70, 87 (2003) [ Original paper of the collinear residual theorem](b) J. C.R. Bloch, T. Breu, A. Frommer, S. Heybrock, K. Schafer, T. Wettig, Comp. Phys. Comm. 181, 1378 (2010)→ QCD(2) R. Takayama, T. Hoshi, T. Sogabe, S.-L. Zhang, and T. Fujiwara, PRB 73, 165108 (2006), and others→ large-scale electronic structure calculation [present work](3) S. Yamamoto, T. Fujiwara, and Y. Hatsugai, PRB 76, 165114 (2007);
S. Yamamoto, T. Sogabe, T. Hoshi, S.-L. Zhang and T. Fujiwara, JPSJ 77,114713 (2008).
→ many-body electron theory [full-CI type calculation, multi-orbital extended Hubbard model, LaSrNiO](4) T. Mizusaki, K Kaneko, M. Honma, T. Sakurai, PRC 82, 024310 (2010)→ Shell-model calculation(5) F. Giustino, M. L. Cohen, and S. G. Louie, PRB 81, 115105 (2010)→ GW method with the self-consistent Sternheimer equation(6) 篠原康、二村保徳、矢花一浩、櫻井鉄也、
日本物理学会, 2012年3月.
→ TDDFT(linear response)

第3部「物理と数理の接点」
としてのトピック

1. 新しい数学定理が、様々な物理学分野に現れる→共線残差定理(2003)
2. 物理の目で、アルゴリズムを比較する→残差の単調減少性
3. 物理の目で、数理アルゴリズムを作る→物理的保存則を満たすクリロフ空間理論

Novel linear algebraic algorithms[1] Teng et al., PRB 83, 165103 (2011); [2] Hoshi et al, JPCM 24, 165502 (2012).
[3] Sogabe JCP 231, 5669 (2012); [4] Yamashita et al., Trans. JSIAM 21, 241 (2011).

→ Iterative (Krylov subspace) solvers for generalized shifted linear equation

non-hermitianMathematicalprinciples

S≠I

S=I *

Gerlerkin Principle

gLanczos, gArnoldi,
mArnodi, Arnoldi (M;W;G)

subs. diag.

Collinear Residual

gsCOCG,
gsQMR

sCOCG,sQMR*Takayama et al., JPSJ73, 1519 (2004); Takayama et al. PRB 73, 165108(2006);
物理の目で、比較する
Sogabe et al. ETNA31, 126 (2008)

数学と物理学の接点〜シフト型クリロフ空間理論において〜
3, 物理の目で、アルゴリズムを比較する
反復計算における方程式残差に、単調減少性があるか？
T. Sogabe, T. Hoshi, S.-L. Zhang, T. Fujiwara, J. Comp. Phys. 231, 5669 (2012)

Residual (logscale)

gsCOCG
gsQMR
gsCOCGアルゴリズム→残差の単調減少性ナシ
gsQMRアルゴリズム→残差の単調減少性アリ第3部「物理と数理の接点」
としてのトピック

1. 新しい数学定理が、様々な物理学分野に現れる→共線残差定理(2003)
2. 物理の目で、アルゴリズムを比較する→残差の単調減少性
3. 物理の目で、数理アルゴリズムを作る→物理的保存則を満たすクリロフ空間理論

Novel linear algebraic algorithms[1] Teng et al., PRB 83, 165103 (2011); [2] Hoshi et al, JPCM 24, 165502 (2012).
[3] Sogabe JCP 231, 5669 (2012); [4] Yamashita et al., Trans. JSIAM 21, 241 (2011).

→ Iterative (Krylov subspace) solvers for generalized shifted linear equation

non-hermitianMathematicalprinciples

S≠I

S=I *

Galerkin Principle

gLanczos, gArnoldi,
mArnodi, Arnoldi (M;W;G)

subs. diag.

Collinear Residual

gsCOCG,
gsQMR

sCOCG,sQMR*Takayama et al., JPSJ73, 1519 (2004); Takayama et al. PRB 73, 165108(2006);
Sogabe et al. ETNA31, 126 (2008)

Hoshi et al., J. Phys.: Condens. Matter 24, 165502 (2012)

Overview of multiple Arnoldi method (1/2)
Original problem :: real-symmetric,(generalized eigen-value equation) (1): positive deﬁnite

Def.: multiple Krylov subspace(2)(
Def.: subspace eigen pair :Def.: residual vector:

)

(3)

(4)

Galerkin principle :(5)
so as to determine the subspace eigen pair of→ standard eigen-value equation within the subspace

Hoshi et al., J. Phys.: Condens. Matter 24, 165502 (2012)

Overview of multiple Arnoldi method (1/2)
Original problem :: real-symmetric,(generalized eigen-value equation) (1): positive deﬁnite

Def.: multiple Krylov subspace(2)(

Def.: subspace eigen pair :Def.: residual vector:)‘Dual’ vectors ofand(3) ‘S’-orthogonal→ never(4)

Galerkin principle :(5)
so as to determine the subspace eigen pair of→ standard eigen-value equation within the subspace

Hoshi et al., J. Phys.: Condens. Matter 24, 165502 (2012)

Overview of multiple Arnoldi method (2/2)
Why multiple subspace ?

(→ Exact reproduction of physical conservation
laws within the subspace

Ex.

Energy [eV / atom]

Def.: Projected physical quantity
in the FFL :(7): arbitrary real-symmetric matrix(ex.
: the case of energy )Theorem:If, thenNote :

(8)
(9)

with

78

Def.: fully-ﬁlled limit density matrix (FFL-DM)
(6)

)

q≠0
77
q=0

76
0

50

100

Subspace dimension (p+q)

Hoshi et al., J. Phys.: Condens. Matter 24, 165502 (2012)

Overview of multiple Arnoldi method (extra explanation)
Def. : subspaceA ʻprojectionʼ theorem :(10)(

for any verctor in the subspace)Def. : Density matrix in the FFL

(

)
(11)

Note:
in the exact solution.
If

Theorem for physical quantity:
If, then, thenand the ʻprojectionʼ theorem of (10) gives(12)

orTherefore
Proof

(13)
(exact) (14)

第3部

「物理と数理の接点」
としてのトピックまとめ
1. 新しい数学定理が、様々な物理学分野に現れる→共線残差定理(2003)
2. 物理の目で、アルゴリズムを比較する→残差の単調減少性
3. 物理の目で、数理アルゴリズムを作る→物理的保存則を満たすクリロフ空間理論

第4部

現状と展望

1. 物理（として）
2. 物理と数理・HPCの接点（として）現状と展望物理・「京」
での100ナノスケール(1億原子)電子状態計算→展望 応用（当座）：有機ELなどのアモルファス状高分子デバイス（基礎的物質：PPV, Poly-ﬂuorene)
理論：電子物性への理論拡張

物理と数理・HPCの接点(i) 数理的問題(ii) コード共有→ ミドルウェア的汎用「計算エンジン」
・擬似(ミニ)アプリの開発→ ひな形：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/eigen̲test/(iii) 問題(データ)共有→疎行列データベース(http://www.elses.jp/matrix/)(iv) コミュニティ形成→国際会議EPASA2014 (ペタスケールの固有値問題, 筑波, 2014年3月7-9日 )http://h4es.cs.tsukuba.ac.jp/epasa2014/(海外招待講演者：16名)

現状と展望物理・「京」
での100ナノスケール(1億原子)電子状態計算→展望 応用（当座）：有機ELなどのアモルファス状高分子デバイス（基礎的物質：PPV, Poly-ﬂuorene)
理論：電子物性への理論拡張(i) 数理的問題

デバイス構造例
陰極(ii) コード共有→ ミドルウェア的汎用「計算エンジン」
・擬似(ミニ)アプリの開発< 400 nm

物理と数理・HPCの接点

アモルファス状共役高分子（超巨大π電子ネットワーク)→予備的結果(*)→ ひな形：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/eigen̲test/(iii) 問題(データ)共有→疎行列データベース(http://www.elses.jp/matrix/)

発光性高分子層
インターレイヤー
ホール注入層ITO
ガラス基板(iv) コミュニティ形成(*)T. Hoshi, K. Yamazaki, Y. Akiyama, in press→国際会議EPASA2014 (ペタスケールの固有値問題,
筑波, 2014年3月7-9日 )http://arxiv.org/abs/1307.3218

http://h4es.cs.tsukuba.ac.jp/epasa2014/(海外招待講演者：16名)

現状と展望物理

1. 内部固有対問題

・「京」
での100ナノスケール(1億原子)電子状態計算→フェルミレベル付近の詳細な電子状態→展望 応用（当座）：有機ELなどのアモルファス状高分子デバイス→最近の提案：「level-given型」問題への複合数理原理ソルバー(シルベスタ慣性定理＋Arnoldi(M,W, G)法)（基礎的物質：PPV, Poly-ﬂuorene)
Lee, Miyata, Sogabe, Hoshi, S.-L．Ziang, JJIAM 30, 625 (2013);
理論：電子物性への理論拡張
EASIAM, Indonesia, June. 2013.

物理と数理・HPCの接点 2. 非線形シフト型方程式 : ( zS - H - Σ(z) ) x = b(i) 数理的問題(ii) コード共有→量子電気伝導（非平衡グリーン関数)→予備的研究:Shinaoka, Hoshi, Fujiwara, J. Phys. Soc. Jpn. 77,114712 (2008)→ ミドルウェア的汎用
・擬似(ミニ)アプリの開発
3.「計算エンジン」
中小規模問題の高速計算アルゴリズム→ ひな形：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/eigen̲test/→例：山本有作(電通大)らによるブロックヤコビ法(iii) 問題(データ)共有

Takahashi, Hirota, Yamamoto, ALGORITMY 2012, 151(2012).

工藤, 高橋, 深谷, 山本, 日本応用数理学会, 2013年9月→疎行列データベース(http://www.elses.jp/matrix/)(iv) コミュニティ形成→国際会議EPASA2014 (ペタスケールの固有値問題, 筑波, 2014年3月7-9日 )http://h4es.cs.tsukuba.ac.jp/epasa2014/(海外招待講演者：16名)

内部固有対問題の分類(実固有値問題)(1) Point-given型(P型)a→与えられた点aに対して、近傍の固有値(λ≒ a)(2) Range-given型(R型)a→与えられた区間[a,b]に対して、区間内の固有値(a < λ < b)b(3) Level-given型(L型)(*)→与えられた準位 j ( 1 < j < M)に対して、j番目の固有値λj

λj-1

λj

λj+1

(*)「level-given型」問題への複合数理原理ソルバー (シルベスタ慣性定理＋Arnoldi(M, W, G)法)
Lee, Miyata, Sogabe, Hoshi, S.-L．Ziang, JJIAM 30, 625 (2013); EASIAM, Indonesia, June. 2013.

現状と展望物理

1. 内部固有対問題

・「京」
での100ナノスケール(1億原子)電子状態計算→フェルミレベル付近の詳細な電子状態→展望 応用（当座）：有機ELなどのアモルファス状高分子デバイス→最近の提案：「level-given型」問題への複合数理原理ソルバー(シルベスタ慣性定理＋Arnoldi(M,W, G)法)（基礎的物質：PPV, Poly-ﬂuorene)
Lee, Miyata, Sogabe, Hoshi, S.-L．Ziang, JJIAM 30, 625 (2013);
理論：電子物性への理論拡張
EASIAM, Indonesia, June. 2013.

物理と数理・HPCの接点 2. 非線形シフト型方程式 : ( zS - H - Σ(z) ) x = b(i) 数理的問題(ii) コード共有→量子電気伝導（非平衡グリーン関数)→予備的研究:Shinaoka, Hoshi, Fujiwara, J. Phys. Soc. Jpn. 77,114712 (2008)→ ミドルウェア的汎用
・擬似(ミニ)アプリの開発
3.「計算エンジン」
中小規模問題の高速計算アルゴリズム→ ひな形：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/eigen̲test/→例：山本有作(電通大)らによるブロックヤコビ法(iii) 問題(データ)共有

Takahashi, Hirota, Yamamoto, ALGORITMY 2012, 151(2012).

工藤, 高橋, 深谷, 山本, 日本応用数理学会, 2013年9月→疎行列データベース(http://www.elses.jp/matrix/)(iv) コミュニティ形成→国際会議EPASA2014 (ペタスケールの固有値問題, 筑波, 2014年3月7-9日 )http://h4es.cs.tsukuba.ac.jp/epasa2014/(海外招待講演者：16名)

現状と展望物理

1. 内部固有対問題

・「京」
での100ナノスケール(1億原子)電子状態計算→フェルミレベル付近の詳細な電子状態→展望 応用（当座）：有機ELなどのアモルファス状高分子デバイス→最近の提案：「level-given型」問題への複合数理原理ソルバー(シルベスタ慣性定理＋Arnoldi(M,W, G)法)（基礎的物質：PPV, Poly-ﬂuorene)
Lee, Miyata, Sogabe, Hoshi, S.-L．Ziang, JJIAM 30, 625 (2013);
理論：電子物性への理論拡張
EASIAM, Indonesia, June. 2013.

物理と数理・HPCの接点 2. 非線形シフト型方程式 : ( zS - H - Σ(z) ) x = b(i) 数理的問題(ii) コード共有→量子電気伝導（非平衡グリーン関数)→予備的研究:Shinaoka, Hoshi, Fujiwara, J. Phys. Soc. Jpn. 77,114712 (2008)→ ミドルウェア的汎用
・擬似(ミニ)アプリの開発
3.「計算エンジン」
中小規模問題の高速計算アルゴリズム→ ひな形：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/eigen̲test/→例：山本有作(電通大)らによるブロックヤコビ法(iii) 問題(データ)共有

Takahashi, Hirota, Yamamoto, ALGORITMY 2012, 151(2012).

工藤, 高橋, 深谷, 山本, 日本応用数理学会, 2013年9月→疎行列データベース(http://www.elses.jp/matrix/)(iv) コミュニティ形成→国際会議EPASA2014 (ペタスケールの固有値問題, 筑波, 2014年3月7-9日 )http://h4es.cs.tsukuba.ac.jp/epasa2014/(海外招待講演者：16名)

現状と展望物理・「京」
での100ナノスケール(1億原子)電子状態計算→展望 応用（当座）：有機ELなどのアモルファス状高分子デバイス（基礎的物質：PPV, Poly-ﬂuorene)
理論：電子物性への理論拡張

物理と数理・HPCの接点(i) 数理的問題(ii) コード共有→ ミドルウェア的汎用「計算エンジン」
・擬似(ミニ)アプリの開発→ ひな形：http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~hoshi/eigen̲test/(iii) 問題(データ)共有→疎行列データベース(http://www.elses.jp/matrix/)(iv) コミュニティ形成→国際会議EPASA2014 (ペタスケールの固有値問題, 筑波, 2014年3月7-9日 )http://h4es.cs.tsukuba.ac.jp/epasa2014/(海外招待講演者：16名)

Density matrix from the Green’s function
The Greenʼs function

Imaginary part of the Greensʼ function

One-body density matrix