Дмитрий Кузнецов
Дмитрий Кузнецов

Суперфункции
Суперфункции
Нецелые итерации голоморфных функций.
Тетрация и другие суперфункции. Формулы,алгоритмы, графики и комплексные карты.

2014https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Covervi.jpg
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg cover map
http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Book
This version is generated 26 сентября 2019 г.

                      

!"#!"$%&'(")*+,-.)#/01.23.45

 
                                      !     "        #      $  !% !      &  $   '     '    ($     '   # %  %)   %*   %'   $  '    +  " %    & '  !  #         $,  ( $    %      
              
    

               !         %    !  %    %          
  "#          %%# % %"#$%        !           %    
       !  ""   ##    -     $$$   .  /"/"#012"       
3& )*4- +)* !5 !& 6!7%66898&  %  % 
0 !   : !  *   &*       

-; &'()*+),-*&')<9=8>3& )*4- +)"1   ' ""  &  9=8>Оглавление
1Предисловие

21Физическая математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32Аксиомы ТОРИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53Зачем эта книга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Что в книге есть5Чего в книге нет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Введение

171Фильтры и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2Гнездо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3Волоконный усилитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4Передаточное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5Множественность решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3Примеры суперфункций

27

1Таблица суперфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2Построение элементарных суперфункций . . . . . . . . . . . . . . . 30

3Имплементация суперфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4Элементарные суперфункции

33

1Итерации линейной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2Рациональная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3Итерации возведения в степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5Таня и Шока461

Об узких специалистах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2Таня и Арктаня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3Передаточная функция Doya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4Келлер, Шока и АркШока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5О единственности решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1

6
6

Конжекция о почти идентичной функции . . . . . . . . . . . . . . 64
Регулярная итерация

65

1Общая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2Метод проб и ошибок против дедукции . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3Пример с известным ответом: опять Doya. . . . . . . . . . . . . . . 70

4Уравнение Шрёдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7Логистическoe отображение

741Логистичесская последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2Стационарная точка L = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3Абельфункция для логистического оператора . . . . . . . . . . . . 80

4Половинная итерация

5Иная стационарная точка, L = 1 − 1/s . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Корень из факториалa911Факториал и его стационарные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2Регулярная итерация для суперфакториала . . . . . . . . . . . . . 96

3АбельФакториал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4Итерации факториала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5Применение и спекуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9Экспонента по основанию sqrt(2)1071Суперфункция на стационарной точке L = 4 . . . . . . . . . . . . . 11023Абельфункция на стационарной точке L = 4 . . . . . . . . . . . . . 115√
Итерации экспоненты по основанию 2 . . . . . . . . . . . . . . . 118

4Результаты этой главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5Большой камень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10Экзотические итерации

124

1Единичая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2Отличная от нуля стационарная точка . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11Экспонента по основанию exp(1/e)

1291Суперэкспонента по основанию η = e1/e = exp2 (−1) . . . . . . . . . . 132

2Абельэкспонента по основанию Генрика . . . . . . . . . . . . . . . 137

3Итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

12Функции LambertW и zex

144

1Голоморфный zex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2

SuZex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2

3

AuZex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4Итерации функции zex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

13Суперсинус и итерации синуса

158

1Суперсинус SuSin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2Абельсинус AuSin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3Итерации синуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14Натуральная тетрация

tet

170

1

Экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712Эвристическая тетрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3Свойства тетрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4Интеграл Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5Разложение Тэйлора в нуле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6Улучшенная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7Разложение в точке 3i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8Асимптотическое разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9Сравнение аппроксимаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

15Арктетрация

2021Вычисление арктетрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2

О названиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3Итерации Экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4Уроки натуральной тетрации

5Ещё апология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212√
Тетрация по основанию b = 2

16
1

216

5

Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217√
Пусть b = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217√
Арктетрация по основанию b = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221√
Снова итерирую экспоненту по основанию 2 . . . . . . . . . . . . 228√
Четыре суперэкспоненты по основанию 2 . . . . . . . . . . . . . . 234

6Комплексные итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7Воспроизводимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2
3
4

17

Тетрация по основанию b > 1

2401Аппроксимация тетрации вблизи нуля . . . . . . . . . . . . . . . . 240

2Различныe основания экспоненты и итерации . . . . . . . . . . . . 244

3Зависимость тетрации от основaния . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3

18Kомплексноe основаниe250

1Стационарные точки логарифма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

2

Tetration to the Sheldon base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3Область тронной ракушки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

19Аскерманны

257

1Двоичные аскерманны

2Названия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

3Пентация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4Стационарные точки пентации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

5Сравнение натуральных aскерманнов . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6Синдром последнего коэффициента . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Без стационарных точек

274

1Функция Трапманна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

2

ArcTra, обратная функция от траппманна . . . . . . . . . . . . . . 276

3Супертраппманн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

4Связь с другими функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

5

SuTra, имплементация супертраппманна . . . . . . . . . . . . . . . 288

6

AuTra, абельфункция траппманна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

7Итерации траппманна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

21Заключение

296

1Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

2Будущая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

3Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

4Послесловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5

Acknowledgement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

22Приложения

305

1

Про обложку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

2Ошмётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

3Рациональная функция, более общий случай

4Сайты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

5Новые термины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

6English abstract: Superfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7English keywords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Литература

. . . . . . . . . . . . 307

319

4Глава 1ПредисловиеЯ пишу это предисловие из уважения к моим учителям Английского языка, которые считают, что любая писанина (даже если она не очень по-английски), Рис. 1.1: Фигура
Маяковского
каждый том, глава должны начинаться с Предисловия (или даже Вступления) и заканчиваться Послесловием. Схожее
мнение, ещё в СССР, высказывали учителя русской литературы,объяснявшие школьникам облако в штанах (рис.1.1) и прочие детали соцреализма.
Это предисловие пишется не для читателей. Оно пишется для тех,кто Книгу читать не будет:Для редакторов, издателей и продавцов, которые работают с тысячами книг и которым надо за минуту понять, почему именно этаКнига должна (по мнению автора) стоять на первом месте в списке
рекомендованной литературы.
Для опытных критиков, которым достаточно прочесть две страницы, чтобы написать рецензию: «Это что за невидаль: “Тетрация,суперфункции”? Что это за “суперфункции”? Мало нам сверхпроводимости, сверхтекучести, сверхразрешения, суперсимметрии, супергравитации, суперструн и других “супернаук”, и мало нам суперменов, супермаркетов и суперинфляции, и вот, на тебе, теперь ещё“суперфункции”! И швырнул в свет какой-то лазерщик! Слава Богу!
Ещё мало забили интернет всякими текстами и извели леса на бумагу! Ещё мало народу, всякого звания и сброду, застряло у мониторов!
Дернула же охота и лазерщика потащиться вслед за другими! Право, печатной бумаги развелось столько, что не придумаешь скоро,что бы такое завернуть в нее». [4]5Для библиотекарей, которым надо выбрать для этой Книги подходящую полку на самом видном месте, чтобы её было легко найти среди книг про суперсимметрию, сверхтекучесть, сверхпроводимость, суперменов и супермаркеты.
Для коллег, которые удивляются, с какой стати лазерщик, вместо того, чтобы рекламировать оптические керамики, развивая Прикладную Лазерную Науку (за которую дают гранты), вдруг занялся
суперфункциями (за которые пока грантов не дают), и ведёт себякак простак, который не знает, где в суши спрятана рыбка (так встране Восходящего Солнца может звучать русская Теорема о том,с какой стороны у бутерброда масло).
Для родственников и друзей, которые учат меня жить и рекламировать мои результаты. Судя по предварительным отзывам, онилучше меня понимают, где в суши спрятана упомянутая выше рыбка, и как её съесть, совмещая полезное с приятным. Впрочем, исследование взаимопонимания между родственниками и друзьями [23]не включено в этот труд и публикуется отдельно.
Любители чтения увлекательного и благопристойного [1], уставшиеот сальных шуток Панурга и желающие хлебнуть чуток физической
математики [68, 49], либо интересующиеся именно тетрацией и прочими суперфункциями, могут диагоналить отсюда прямо к главе 2.

1Физическая математика

Меня спрашивали, как я бы характеризовал жанр этой книги. Ябруснул поисковики, и получается, что ближе всего подходит термин “физическая математика” [68, 49]. Такой порядок слов выбран,чтобы не путать её с математической физикой.
Термин “физическая математика” означает, что для математики неделается исключений, и для проверки математических гипотез используются те же методы, какие приняты и для других наук и, вчастности, для физики. Строгое математическое доказательство наоснове сформулированных в самом начале аксиом при этом является
допустимым методом исследования, но не императивом. Разумеется, приветствуется перевод эвристических утверждений этой Книгина строгий язык чистых математиков.
6

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aqua_regia_in_Davenport_Laboratories.jpg

Рис. 1.2: Царская водка, H2 S O4 + 2 H Cl и водка царская, 3 H2 O + 2 C2 H5 O HЖелательно не путать физическую математику и математическую
физику. Физическая математика использует методы физики и прочих естественных наук в математике (зачастую вместо общепринятой математически-строгой дедукции).
Математическая физика применяет методы, типичные для математики, к уравнениям, которые пришли из физики. Физическая математика похожа на математическую физику, примерно как Царская
Водка похожа на водочное царство. Для внутреннего употребления
водка царская может быть более подходящим напитком, особеннодля любителей, чем царская водка (рис. 1.2).
В этой Книге используется именно физическая математика, а нецарская водка, не водка царская и даже не математическая физика. Результаты, представленные здесь, носят прикладной характер.
Mне представляется наиболее интересным приложение результатовк Лазерной науке. Поэтому я стараюсь писать популярно, чтобыэто могли понять даже лазерщики; Книга рассчитана на попаданиев руки даже самого необученного академика.
Некоторые тексты физической математики [68] я считаю сложными1 . Надеюсь, что дедукция в этой Книге более прозрачна.
1Например, я не сумел проследить “физический” вывод работы [68] о том, что площадьпод параболой равна 4/3 от площади в вписанного треугольника

7

2Аксиомы ТОРИВ этой Книге используются Аксиомы ТОРИ. В этой секции предлагается краткий пересказ описания этих аксиом из УФН [55] и J. of
Modern Physics [72].
Наукой называется область человеческого знания, человеческих достижений и деятельности, связанная с выработкой специального языка, то есть системы обозначений иконцепций для описания воспроизводимых явлений любой
природы, характеризующегося следующими аксиомами:1. Применимость. Каждая научная концепция имеет ограниченную область применимости, отличную от пустого множества и полного множества.
2. Верификабельность. Каждая концепция может быть подтверждена: Не используя эту концепцию, можно описать некоторый специфический эксперимент с таким специфическим результатом, который подтверждает концепцию.
3. Опровержимость (Опровергабельность). Каждая концепция может быть опровергнута (то есть, отвергнута): в терминах этойконцепции можно описать некоторый специфический эксперимент стаким специфическим результатом, который указывает, что концепция ошибочна.
4. Внутренняя непротиворечивость. В концепции не найдено
внутренних противоречий.
5. Принцип соответствия. Если область применимости новой концепции пересекается с областью применимости другой, уже принятой и подтвержденной концепции, то новая концепция или воспроизводит результаты старой концепции, или указывает способ доказать,что старая концепция ошибочна. (Например, ошибочной может бытьоценка области применимости старой концепции.)6. Плюрализм и простота. Допускается сосуществование взаимнопротиворечивых концепций, удовлетворяющих критериям (1-5). Если две взаимно-противоречивых концепции имеют одну и ту же область применимости, то более простая из них имеет приоритет ирассматривается как основная по отношению к более сложной.
Именно эти аксиомы, 1-6, я называю термином “Аксиомы ТОРИ”.
На аксиомах ТОРИ (и для приложения этих аксиом) в 2011 году8был построен сайт http://tori.ils.uec.ac.jp/TORI, который просуществовал 2 года. 2013.02.27, сайт был атакован политиками от наукии доступ к нему был уничтожен 2 ; стоило трудов создать его клонhttp://mizugadro.mydna.jp/t. Судя по письмам, предшествовавшим атаке, причиной агрессии явилась критическая статья, подготовленная для журнала Physics Today 3 . К сожалению, именно такполитики отвечают на критику, когда им нечего возразить по существу. Надеюсь, что эти политики выплачивают администрации нашего университета значительную сумму за каждый день, пока сайтТОРИ недоступен по его оригинальному урлю. У меня нет других
сколько-нибудь логичных объяснений действиям университетской
администрации, постфактум одобрившей варварскую атаку.
Основные результаты, представленные в ТОРИ, удалось опубликовать в научных журналах [74, 72, 77, 78]. Для удобства ссылок,для перечисленных выше аксиом потребовался специальный термин. Тогда-то я и назвал их “Аксиомы ТОРИ” (TORI axioms). ЭтаКнига построена и написана на основе аксиом ТОРИ.
Термин ТОРИ означает “Теоретические Основы Революционных Исследований”. Я предполагаю, что если какое научное исследованиене сулит революции в какой-либо области науки или технологии, тоне очень понятно, зачем вообще оно нужно (я имею в виду иныемотивации, кроме получения и распила грантов).
ТОРИ есть русификация названия TORI (Tools for Outstanding Research and Investigation). Имеется в виду, что в том, что иногда называют термином “современная наука”, очень много похожих, однотипных исследований, которые с трудом удовлетворяют аксиомам
ТОРИ, если вообще (if at al). Поэтому все нетривиальные исследования волей-неволей должны быть “Outstanding”. В ТОРИ собираются
инструменты, формализмы, алгоритмы для таких исследований.
Через несколько месяцев после упомянутой атаки, клон ТОРИ удалось установить на новом сервере, http://mizugadro.mydns.jp/t; ия продолжаю грузить туда инструменты, которые мне кажутся подходящими для революционных исследований. В частности, в ТОРИ2

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tori_attacked
http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/toriattacked.shtml D.Kouznetsov. TORI attacked (2013)3
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013physToday.pdf D.Kouznetsov. Corruption in
Russian science. 2013, preprint9загружаются алгоритмы и картинки, использованные в этой Книге:http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookВ идеале, генератор каждого рисунка может быть скачан, скомпилирован, просчитан и, при надобности, модифицирован Читателем.
Я гружу генераторы также и надругие серверы. В Приложениях,я предлагаю ссылки на разные
интернет-ресурсы, на тот случай,если какой-либо сервер недоступен (рис. 1.3). Таким образом Читатель может использовать и развивать формализм суперфункцийс того самого места, до которого
дошел я. Эти генераторы можно
использовать, даже не повторяя
предложенные в Книге выкладки.

Рис. 1.3: Сайт недоступенЯ надеюсь, что читатели будут указывать источники, откуда онискачивают алгоритмы и картинки. Это нужно не для того, чтобы
застолбить моё авторство, но на тот случай, если вдруг где опечатка
или, не дай Бог, методическая ошибка. Ошибки в книге, вероятно,есть. Редакторы и корректоры издательства Lambert Academic Pressне только не правят рукописи, предназначенные для публикации, нои даже не читают их. Появление этого абзаца в Книге будет томунаглядным свидетельством. Поэтому, если чего не так, то ругать
нужно автора, а не редактора.
Eсли при генерации (или модификации) рисунков возникают проблемы, то критику надо слать в адрес автора, dima(a)ils.uec.ac.jp Иуказать, какой алгоритм не работает так, как это описано в Книге.
Чтобы исправить. Чтобы всё заработало. Таким образом, если чегоне выходит, надо не упроствовать, Рис. 1.4: Стучите - и вам откроюта спрашивать. Стучите, и вам откроют 4 (рис. 1.4).
4

http://www.bible.by/nt-slovo-life/read/40/07/ От Матвея, глава 7: .. Просите – иполучите, ищите – и найдете, стучите – и вам откроют.

10

3Зачем эта книга

После публикации статьи про голоморфную тетрацию [44], я надеялся, что математики сподобятся проделать всю остальную работупо суперфункциям сами. Увы...
Прошло пять лет, а суперфункции, в частности, тетрация и суперфакториал, до сих пор не появились в описаниях алгоритмических
языков. Дo сих пор функция Nest [80] в языке “Математика” требует,чтобы число итераций было целым; а если кто-то аппроксимирует
неизвестную колоколообразную функцию, то обычно фантазия коллег не идет дальше Гауссовой экспоненты. В лучшем случае выбирают между Гауссом, гиперболическим секантом и Лоренцом. А ведьможно использовать ещё, например, половинную итерацию экспоненты, то есть такую функцию f , что f (f (z)) = exp(z). И есть ещёмного всяких функций такого рода.
Почти весь матан в школах и вузах построен на первых трех аскерманнах (функциях Аскерманна: сложение, умножение, экспоненцирование) и их обратных функциях в различных комбинациях. Этотарсенал можно значительно расширить за счет нецелых итераций.
Но для этого нужны суперфункции.
Когда физики исследуют нелинейный отклик среды, образец стараются делать оптически-тонким, чтобы можно было пренебречь изменением усиления или поглощения при изменении интенсивности.
Можно улучшить точность, взяв образец потолще, измерить передаточную функцию этого образца с несколькими знаками, и восстановить распределение интенсивности по мере усиления или поглощения света в образце [73, 74]. Но для этого нужно уметь строить
суперфункции.
Многие исследователи считают, что именно их работа чрезвычайно
важна. Я не являюсь исключением. С моей точки зрения, тетрацияи арктетрация, как и другие суперфункции и абельфункции, стольже важны для науки 21 века, как экспонента и логарифм важныдля науки в 19м и в 20м веках. То есть ожидается научная революция, столь же значительная, как открытие того, что с экспонентой
11и логарифмом можно легко вычислять любую, даже дробную (илидаже комплексную) степень числа. С суперфункциями и абельфункциями легко вычислять любую, даже дробную (или даже комплексную) итерацию практически любой голоморфной функции. Для этого нужны суперфункции.
Для использования суперфункций нужно знать их свойства и уметьих быстро и аккуратно вычислять. Я этому уже научился. Эта книгадля того, чтобы вы тоже могли их вычислять.
Когда я объяснял редактору (и рецензентам), почему нашу статьюпро корень из факториала [51] надо опубликовать в Вестнике Московского Университета, я привел такой пример:Приезжает студент физфака в деревню, а там колхозник, тоесть уже, конечно, не колхозник, а ударник капиталистического
труда, видит на студенте значок физфака в виде корня из факториала, и спрашивает:“а что это значит?” - а студент не знает..
Судя по переписке и её результату, рецензенты сочли этот аргумент
убедительным. Корень из факториала - это такая функция f , чтоf (f (x)) = x!, хотя бы для всех x > 1. Эту функцию нетрудно вычислять. Но для этого надо знать, что такое суперфункция и что такое
абельфункция. Для того, чтобы каждый, кто интересуется, мог этознать, пишется эта книга.
Когда основы формализма суперфункций были уже созданы, одиниз моих соавторов, Акира Ширакава (Akira Shirakawa) [35] заявил оневозможности восстановления интенсивности света в усилителе изего передаточной функции [64], а когда алгоритм для такого восстановления [50, 73, 74] был представлен, пожаловался, что формулы
сложны [65]. При всех взаимных недоразумениях, я хочу учесть егозамечания. В этой Книге я стараюсь цитировать не только научные
статьи и стараюсь избегать сложной математики, хотя бы в некоторых рисунках. Однако, я все же надеюсь, что читатель знает, чеминтеграл отличается от логарифма, и умеет извлекать квадратный
корень из минус единицы. Такой читатель, вероятно, является узким специалистом, и может не знать, чем Фудоки отличаются отНибелунгов, отчего умер Пушкин и как очищают политуру [15]. По12этому я стараюсь не злоупотреблять лирическими отступлениями.
Чтобы пояснить, что я имею в виду, предложу только один пример:Счастлив путник, который после длинной, скучной дороги с её холодами, духотой автобусов, промозглой сыростью аэрокондиционеровв залах ожидания, с тупой придирчивостью консулов и пограничников, отложенными рейсами, въедливыми таможенниками, охочими до грязного белья солдатами спецконтролей, перебранками с везущими в противоположную сторону таксистами, видит, наконец,знакомую крышу с несущимися навстречу огоньками, и предстанут
пред ним знакомые комнаты, радостный крик выбежавших навстречу людей, шум и беготня детей и успокоительные тихие речи, прерываемые пылающими лобзаниями, властными истребить все печальное из памяти. Счастлив семьянин, у кого есть такой угол, но горе холостяку! Счастлив автор, который проходит мимо результатов
странных, необычных, поражающих своим противоречием с общепринятой парадигмой, но находит и описывает случаи, являющие
высокое достоинство Науки, который из великого омута ежедневно вращающихся вопросов избрал одни немногие исключения, длякоторых и так есть известные ответы, который не изменял ни разувозвышенного строя своей лиры, не ниспускался с вершины своейк неразрешенным вопросам, и, не касаясь земли, весь повергался всвои хвалебные песнопения, далеко отторгнутые от каких-либо несогласий и конфликтов. Вдвойне завиден прекрасный удел его: он среди подобных ему коллег, как в родной семье; а между тем далеко игромко разносится его слава. Он окурил упоительным куревом людские очи; он чудно польстил им, сокрыв печальное в науки и жизни,показав им прекрасные и высокие достижения современников. Всё,рукоплеща, несется за ним и мчится вслед за торжественной его колесницей. Великим всемирным ученым именуют его, парящим высоко над всеми другими гениями мира, как парит орел над другими
высоко летающими. При одном имени его уже объемлются трепетом
молодые пылкие сердца, ответные слезы ему блещут во всех очах...
Нет равного ему в силе - он Бог! Но не таков удел, и другая судьба
исследователя, дерзнувшего вызвать наружу все, что ежеминутно

13пред очами и чего не зрят равнодушные очи, - всю страшную, потрясающую тину мелочей, опутавших нашу науку, всю глубину холодных, раздробленных, повседневных и мелких исследований, которыми кишат научные журналы и программы конференций, подчас
горькая и скучная дорога, и крепкою силою неумолимого резца дерзнувшего выставить их выпукло и ярко на всенародные очи! Ему несобрать народных рукоплесканий, ему не зреть признательных слези единодушного восторга взволнованных им душ; к нему не полетит
навстречу шестнадцатилетняя девушка с закружившеюся головоюи геройским увлеченьем; ему не позабыться в сладком обаяньи имже исторгнутых звуков; ему не избежать, наконец, от современного суда, лицемерно-бесчувственного современного Ученого Совета,который назовет ничтожными и низкими им лелеянные созданья,отведет ему презренный угол в ряду исследователей, оскорбляющих
человечество и религиозные чувства, придаст ему качества им жецитированных и критикуемых коллег, отнимет от него и сердце, идушу, и божественное пламя таланта. Ибо не признает Ученый Совет, что одни и те же уравнения могут описывать волны света, иволны звука, и волны на поверхности лазурного океана, что равно
чудны нелинейные эффекты в стеклах, кристаллах и керамиках, втонких оптических волокнах и в толстых образцах; не признает Ученый Совет, что высокий восторженный смех достоин стать рядом свысоким научным устремлением, и что целая пропасть между ним икривляньем балаганного скомороха! Не признает сего Ученый Совети все обратит в упрек и поношенье непризнанному исследователю;без разделенья, без ответа, без участья, как бессемейный путник,останется он один посреди дороги. Сурово его поприще, и горько
почувствует он свое одиночество. [5]Философские упражнения о месте науки в человеческом знании [55,56] также публикуются отдельно. Известный философ позапрошлого века Козьма Прутков указал, что нельзя объять необъятное. Чтобы в дальнейшем избежать, по возможности, длинных лирических
отступлений, подобных приведенному выше, постараюсь сразу указать, что в этой Книге есть и чего в ней нет.

14

4

Что в книге естьВ книге предлагается общий подход для построения суперфункцийи различные алгоритмы для их вычисления. Выбор алгоритма зависит от того, каковы стационарные точки передаточной функции (иесть ли у передаточной функции хоть какие-то стационарные точки)и какие свойства требуются от суперфункции.
Я рассказываю про свойства и поведение суперфункций и абельфункций. (После общения с германскими коллегами, я не могу подавить искушение писать такие слова слитно.) Для данной функции
T , суперфункцией называется решение F уравнения
F (z +1) = T (F (z))Функцию T я называю передаточной функцией. Абельфункцией яназываю функцию, обратную от суперфункции. Через них выражаются нецелые итерации передаточной функции. В книге предлагаются способы их эффективного вычисления. Эффективного - значит, быстрого и с маленькой погрешностью. Например, при использовании арифметики complex double, суперфункции и абельфункции
оцениваются примерно с 14 значащими цифрами, а комплексные
карты этих функций могут строиться в реальном времени. Я гружу генераторы рисунков в ТОРИ http://mizugadro.mydns.jp/t;Читатели могут проверить их на компьютере.
По умолчанию, предполагается, что параметры имеют вещественные значения, а аргументы функций имеют комплексные значения.
Однако, я больше физик, чем математик (хотя мои соавторы-физики
обычно высказывают противоположное мнение), и для физических
приложений вещественные значения аргументов и функций представляют особенный интерес. Поэтому графики функций при вещественных значениях аргумента тоже представлены. Я считаю, чтотакой вещизм оправдан прикладным и популярным характером этойКниги.

15

5Чего в книге нетВ Книге нет четких и аккуратных указаний значений, которые могут принимать параметры и аргументы функций. Такое исследование предлагается читателям в качестве упражнений.
Я стараюсь определять функции так, чтобы хотя бы окрестность
положительной части вещественной оси попадала в область голоморфизма, но не всегда это возможно. Похоже, что это первая монография с описанием эффективного вычисления голоморфных суперфункций, и в ней неизбежен несколько эвристический стиль изложения. К сожалению, один из немногих чистых математиков –Генрик Траппманн, который шел рядом с рубанком, веником и совком, сметая грязь и превращая топорную работу плотника в математически строгое доказательство – занялся бизнесом, хотя егонедавняя публикация [75], как мне кажется, заслуживает внимания.
В книге нет строгих доказательств сходимости, существования иединственности решений. Сюда не включены доказательства, выработанные в сотрудничестве с Генриком. Особо въедливым читателям
предлагается скачать оригинальные статьи [50, 69, 63, 75], продраться сквозь дедукцию, выписанную с германской педантичностью Генрика, и задавать вопросы. Указания на ошибки, если таковые таместь, особенно приветствуются.
История развития теории суперфункций и функций Абеля начинается примерно с 19 века и может быть весьма интересна, но она выходит за рамки темы этой книги. Oбзоры древних публикаций можно
найти в интернете по ключевым словам Abel function, iteratedfunctions, tetration, superexponential, superfunction. Искать
лучше по английски, так как наука в РФ превратилась в искусство
по “отмыванию” бюджета 5 , и это отражается на качестве русскоязычных научных (и не очень) публикаций [71]. Настоящая книга
является попыткой противопоставить этой тенденции русскоязычный пример того, что я называю термином “наука” [55, 56, 83, 84, 85].
А заодно показать коллегам, что не издательство красит Книгу, а
5

http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/desciencer.shtml Уничтожение науки в РФ16Книга - издательство.
В книге нет подробного цитирования работ коллег, которые пытались вычислять суперфункции и абельфункции в течение последней
пары веков. Чтобы понять, чем занимались на эту тему в прошлые
века, можно посмотреть работы Генрика Нильса Абеля (Neils Henryk
Abel) [3], Петера Фато (P. Fatou) [6], Хельмута Кнезера (Hellmuth
Kneser) [10], Жана Екале (Jean Ecalle) [17], Г.Сзекереса (G.Szekeres)[11] и Петера Валкера (Peter Walker) [24]. Ещё обзоры публикацийпо теме представлены в линках, перечисленных в приложении.
Я вижу аналогию с тем, что в современном учебнике географии необязательно рисовать Землю на трех китах, плавающих в мировом
океане. Читатель может счесть такую аналогию чересчур претенциозной; однако, многочисленные методы вычисления суперфункций,предложенные коллегами, столь неэффективны, что с ними покаНИКОМУ не удалось построить комплексные карты этих функций.
Судя по публикациям, с такими алгоритмами не построено ни одной,вообще ни одной карты тетрации. Генрик объясняет это тем, что уменя очень хороший графопостроитель conto.cin, который быстро иаккуратно проводит линии уровня, правильно интерпретируя разрезы области аналитичности и сингулярности...
Я считаю, что дело в удобном математическом представлении функций и эффективных алгоритмах, а не в графопостроителе. Поэтомув этой книге нет описания моего графопостроителя; его можно скачать из ТОРИ [81] или из Ситизендиума [82] и использовать, даже незная, как он работает. Кроме того, если запастись терпением в стиле
“to press a key, to have a tea” [41], то качественные графики можно
строить и из Математики, или даже из Мапле, если примириться стем, что прийдется корячиться с подробной сеткой, а размер файловдля комплексных карт будет существенно больше, чем при создании
EPS файлов прямо из C++ процедурой “conto.cin” .
Аналогично, в книге нет кодов программ, использованных для вычисления функций и построения графиков. Во-первых, описания
алгоритмов достаточно подробны, сами алгоритмы просты, и даже студент после одного семестра изучения какого-либо языка про17граммирования, поддерживающего комплексную арифметику, может легко воспроизвести их. Во-вторых, никто не станет отцифровывать, перепечатывать из бумажного издания код, который можно
скачать из интернета. Коды рисунков и программ, использованныхв Книге, доступны в ТОРИ, Ситизендиуме и других сходных ресурсах. Поэтому, вместо текстов программ, я помещаю ссылки.
В книге нет последовательного изложения свойств уравнения Шрёдера. Мне не удалось построить пример, который бы решался сфункциями Шрёдера
http://mathworld.wolfram.com/SchroedersEquation.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Schroeder_equationно не решался бы с суперфункциями.
В книге нет описаний “драконов” 6 , то есть таких объектов, которые,вроде бы, и могли бы существовать, но почему-то их существования предъявить не удается и комплексные карты для них тоже непостроены. Драконоведение, как оно изложено в аннотации курса
лекций, который с 2007 года (и, возможно, до сих пор) читает наМехмате МГУ профессор всяческих наук, лауреат многочисленных
наград и премий Андрей Николаевич Квашенко 7 , не удовлетворяет
Аксиомам ТОРИ, и поэтому в Книге не представлено. Впрочем, кактолько с помощью суперфункций, или ещё как, кто-либо предложит
способ опровергнуть гипотезу о существовании драконов, эта гипотеза удовлетворит Аксиоме 3 (об опровержимости), и тогда я могувсерьез рассматривать даже такую гипотезу.
В отличие от драконологии, мои результаты, в принципе, опровергнуть можно. Для этого достаточно указать пример, в котором суперфункция, построенная описанными в Книге методами, не удовлетворяет передаточному уравнению (или дополнительным условиям, добавляемым для её единственности). Или построить две различные суперфункции, удовлетворяющие условиям, которые, по замыслу, должны обеспечить единственность. Или, хотя бы, предло6

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Dragon
http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html http://mmmf.msu.ru/lect/lect9.html Андрей Николаевич КВАШЕНКО. Драконы. 2007-2013718жить такую передаточную функцию, для которой нельзя построить
суперфункцию методами, описанными в этой Книге. Пока мне невстретилась такая передаточная функция, для которой я бы не могпостроить суперфункцию. Поэтому таких передаточных функций вэтой Книге нет.
Многие, как и я, ещё с младенчества, предпочитают листать книжкуи смотреть картинки, вместо того, чтобы читать текст. Поэтому ястарался, чтобы каждая страница Книги была иллюстрирована хотябы одним рисунком. Пока на некоторых страницах нет рисунков. Янадеюсь исправить это упущение в следующих изданиях.
Кроме того, в книге нет многих других примеров, которые, как мнекажется, можно рассмотреть аналогичным образом, но решения длякоторых мне не удалось найти в литературе. Однако, я старался
собрать здесь все известные суперфункции, чтобы потом отдыхать
(рис. 21.4) и на вопросы про итерации и суперфункции отвечать
либо “Этого не знает никто”, либо “Это есть в моей Книге”.
Если всё-же какая-либо важная и красивая суперфункция ускользнула от великого и могучего гуглевского серча, то, пожалуйста, сообщите мне об этом. Тогда я постараюсь и её оприходовать, задействовав, если потребуется, всю мощь дарственного аппарата суперфункций, абельфункций, ТФКП и прочего матана.

19Глава 2Введение

Итерации и Суперфункции возникают в физике естественным образом при описании последовательности похожих преобразований
чего-либо в однородной физической системе. Это может быть ослабление ударной волны в одной из последовательных секций автомобильного глушителя. Это может быть накопление массы снежным
комом, который раз за разом скатывается с холма, покрытого липким снегом. Это может быть изменение интенсивности в световой
волне при прохождении одной секции лазерного усилителя или просветляемого поглотителя. Простор для фантазии.
Если состояние системы до преобразования описывается параметром x, а после - параметром y, и эти две величины связаны соотношением y = T (x), то функция T называется передаточной функцией.
Можно рассмотреть постепенное изменение соответствующей величины от значения x к значению y, в зависимости от координаты,вдоль которой усилитель считается однородным. Эта зависимость
называется суперфункцией от функции T . Такие суперфункции являются объектом исследования; им посвящена эта Книга.
В принципе, для каждого процесса последовательного применения
одного и того же преобразования, можно строить физические модели, и сравнивать результаты измерений с предсказаниями модели. Это методически-корректный подход, и большинство коллег вкаждом случае работает именно с моделями. При этом нет надобности восстанавливать что-либо по результатам измерений; достаточно
обобщить, расширить модель вплоть до того, чтобы предсказывать,20какое показание следует ожидать от гальванометра или осциллоскопа или секундомера в том или ином случае. Методом перебора
возможных моделей, задачу можно решать без всяких суперфункций. Однако это не единственный путь.
В физике известны также обратные задачи, когда модель какоголибо процесса неизвестна (или, наоборот, имеется столько моделей,что трудно примерять к результатам экспериментов каждую), и предлагается восстановить по результатам измерений характеристики
системы, не предполагая какую-либо специфическую модель процессов в этой системе.
В этой Книге предполагается, что измерена передаточная функция
системы, и по этой функции предлагается восстановить преобразование сигнала в системе. Чтобы рассматривать достаточно общий
случай, такая система называется фильтром.

1Фильтры и обозначенияС точки зрения физики, итерация описывает последовательную комбинацию фильтров. Пусть каждый фильтр характеризуется передаточной функцией (Transfer function) T . Если на входе фильтра
имеется сигнал z, то сигнал на выходе фильтра будет T (z).
В этой книге рассмотрен простой случай, когда сигнал выражается
одним числом, вещественным или комплексным. В принципе, термин “передаточная функция” допускает обобщение на многомерный
случай, тогда эта функция превращается в функционал; аргумент zмог бы иметь смысл вектора или функции. Как выяснилось, дажеодномерный случай вызывает много недоумений и конфузов (некоторые примеры такого рода упомянуты в последующих главах).
Продвигать многомерные обобщения, пока коллеги сомневаются даже в одномерном случае, представляется методически некорректным. В соответствии с определением Науки [55, 83], сперва следует
представить результаты по простейшему случаю, который всё ещёопровергает устоявшуюся точку зрения о том, что восстановление
распределения сигнала внутри однородной нелинейной системы по21её передаточной функции невозможно [59, 60, 61, 64, 65]. Рассмотрение комплексных значений аргумента передаточной функции позволяет сузить класс возможных решений, и в этом смысле существенно важнее, чем рассмотрение многомерного сигнала. Поэтомув этой книге считается, что передаточная функция и её суперфункция определены для комплексных значений аргумента; кроме того,предполагается, что каждая из этих функций голоморфна в той области, которая требуется для рассмотрения.
Сигнал на выходе фильтра (например, усилителя) может быть подан на вход еще одного такого фильтра, и тогда сигнал на выходе
второго фильтра будет
T (T (z)) = T 2 (z)(2.1)Здесь используется обозначение с верхним индексом. Вальтер Бергвеилер (Walter Bergweiler) использовал такие обозначения ещё в прошлом веке [26]. Если после имени функции следует верхний индекс(и это не штрих, указывающий производную), то этот индекс указывает номер итерации функции. В частности, нулевая итерация естьидентичная функция (которая равна своему аргументу),T 0 (z) = z(2.2)Первая итерация от функции есть она сама, а минус первая итерация соответствует обратной функции. Например, для функции
T = sin,sin−1 (z) = arcsin(z)(2.3)

sin0 (z) = z(2.4)

sin1 (z) = sin(z)(2.5)

sin2 (z) = sin(sin(z))(2.6)В некоторых учебниках используется (хотя и не декларируется) обозначение, в котором sina (z) имеет смысл sin(z)a . Такое обозначение
приводит к путанице. Например, при a = −1, это выражение может
1.
указывать на arcsin(z), но может указывать также и на
sin(z)
В этой Книге, число в верхнем правом индексе при имени функции указывает число итераций (или номер итерации), и никогда не22указывает степень, в которую следует возвести результат выполнения функции. Когда следует сперва вычислить синус числа z, а потом результат возвести во вторую степень, то это записывается как
sin(z)2 . Я надеюсь, что Читатель может отличить константу или переменную (или иное арифметическое выражение) в верхнем индексеот штриха, который обозначает дифференцирование, и путаницы небудет.
Иногда, при указании количества итераций, вместо f n (z) пишут
f ◦n (z), по аналогии с использованием операции “кружочек” ◦ в выражениях вроде sin(sin(z)) = sin ◦ sin(z) . В этой Книге, верхний
индекс после имени функции используется либо для указания производной, если это штрих, либо для указания количества итераций
(если это не штрих). Поэтому символ “кружочек” не использован.
В качестве оправдания для такой сокращенной записи можно напомнить, что в частном случае, когда число итераций равно минус
единице, обратную функцию от f записывают в виде f −1 , и обычноне пишут f ◦−1 (z). Разумеется, символ ◦ может быть восстановлен
добавлением команды \circ в латексную версию Книги в тех местах,где в формуле указано число итераций функции.
Выражения f n (z) , f (z n ) и f (z)n не должны конфузироваться. Впервом случае функция f итерируется n раз, во втором функция
оценивается при значении аргумента z n , а в третьем - функция вычисляется при значении аргумента z, а результат возводится в nтуюстепень.
Идея этой Книги в том, что функция может итерироваться не обязательно целое число раз. Зависимость результата такого итерирования от числа итераций и есть суперфункция. Для физических
приложений, особенно интересны случаи, когда такая суперфункция вещественно-голоморфна; то есть имеет вещественные значенияпо крайней мере вдоль некоторой части вещественной оси и допускает аналитическое продолжение в область комплексных значений
аргумента; это соответствует комплексному числу итераций.

23

2ГнездоДля итераций в языке программирования “Математика” есть специальная функция, которую можно назвать “гнездо”, делая не слишком удачную кальку с английского слова Nest [80]. Впрочем, можно
транслитерировать английское слово как “Нест” и склонять его всоответствии с обычаями русского языка: Нест, Неста, Несту, Нест,Нестом, о Несте. В некоторых текстовых редакторах при этом приходится подавлять поползновения автоматических корректоров заменить букву Н на букву М. Нест используется для итераций.
При использовании Неста требуется указать три аргумента. Первый аргумент указывает имя функции, которая итерируется. Второй указывает начальное значение при итерациях, а последний, третий аргумент указывает число итераций. Обращение к Несту имеет
следующий вид:Nest[ f , x , z ]В программировании на Математике, аргумент функции указываютв квадратных скобках; и такая запись обозначает выражение f z (x).
По крайней мере до 2014 года, имплементация Неста не позволяет
использовать его в случаях, когда последний аргумент не выражается целой константой, натуральным числом. (Даже нулевая и минус
первая итерация запрещены.)Возникает естественный вопрос: “Какой смысл может иметь нецелая
итерация функции?” Этот вопрос обсуждается в следующей секции.

3Волоконный усилитель

Рассмотрим волоконный лазерный усилитель. Предположим, Изготовитель дает Физику кусок активного оптического волокна длинной, скажем, один метр, и систему накачки, с тем, чтобы Физик
узнал, как изменяется интенсивность света в волокне по мере усиления, но не разрешает разрезать волокно и смотреть, что там унего внутри; Физик лишь верит, что волокно однородно и равномерно освещено источником накачки. Для того, чтобы считать накачку
равномерной, предположим, что используется схема поперечной накачки [31, 32, 33, 38]. Физик может измерить передаточную функ24цию T этого волокна. На основе этой передаточной функции, Физик
может сказать, какая будет передаточная функция у аналогичного
двухметрового волокна. В предположении, что накачка доставляется вместе с волокном и поэтому её интенсивность не зависит отдлины усилителя, передаточная функция двухметрового усилителя
будет T 2 , трехметрового T 3 , четырехметрового T 4 , и так далее. Нокакая будет при этом передаточная функция у волокна длины zметров при нецелом значении z?
На языке “Математика”, такая функция могла бы выражаться в виде T z (x) = Nest[T, x, z]. В современной реализации этого языка,последний аргумент должен быть выражен целым числом; иначе
“Математика” выдает сообщение об ошибке!
Можно ли выразить нецелую итерацию предаточной функции в виде уравнения? Оказывается, это сделать можно, и такое уравнение
представлено в следующей секции.

4Передаточное уравнениеВ этой Книге, передаточным уравнением (transfer equation) называется уравнение, которое указывает, как должен изменяется сигнал
внутри фильтра (усилителя) с тем, чтобы сигнал на выходе выражался передаточной функцией от сигнала на входе. При переносе,передаче сигнала в усилителе на единичную длину, сигнал преобразуется функцией T :
F (z +1) = T F (z)(2.7)Здесь, как и в предыдущей секции, буквой T обозначена передаточная функция, z - координата, вдоль которой распространяется
сигнал (усиливаемый свет, или звук, или ещё чего-нибудь эдакое),и функция F выражает зависимость сигнала от этой координаты.
(В Лазерной Науке, сигналом называется усиливаемое излучение,иногда видимый свет, даже если никакая информация с этим излучением не передается.) Если длина усилителя не точно один метр, тобез ограничения общности можно взять длину усилителя за новую
единицу измерения. Решение F уравнения (2.7) называется суперфункцией по отношению к передаточной функции T . В соответствии
25с Аксиомой ТОРИ номер 6, о простоте, я по умолчанию считаю, чтои передаточная функция T , и суперфункция F голоморфны в тойобласти, коротая требуется для рассмотрения.
Обратная функция, то есть G = F −1 , называется абельфункцией,или функцией Абеля, для передаточной функции T . Абельфункция
G = F −1 удовлетворяет уравнению Абеля
G(T (z)) = G(z) + 1(2.8)

Уравнения (2.7) и (2.8) получаются одно из другого заменой переменной. Читатели приглашаются проделать это несложное преобразование в порядке упражнения (или подсмотреть этот вывод вкакой-нибудь Википедии [79] ).
Уравнение (2.7) тоже иногда называют уравнением Абеля, и это может вызвать путаницу. Чтобы избежать путаницы, я называю соотношение (2.7) передаточным уравнением, и лишь уравнение, похожее на (2.8), - уравнением Абеля.
Решение F уравнения (2.7) я называю суперфункцией, а решение G
уравнения уравнение (2.8) называю aбельфункцией. В общем случае
решения не единственны. Я выбираю решения так, что F (G(z)) = z
в некоторой области значений z; обычно в некоторой окрестности
вещественной оси или, хотя бы, в окрестности некоторого отрезка
вещественной оси.
Вернемся к задаче об Изготовителе и Физике, упомянутой в предыдущей секции. Допустим, Физику удалось найти решение F передаточного уравнения (2.7), имеющее физический смысл. Тогда онможет построить абельфункцию G = F −1 и выразить передаточную функцию усилителя произвольной длины z:
T z (x) = F (z + G(x))(2.9)Таким образом, решение задачи о восстановлении передаточной функции усилителя произвольной длины по передаточной функции Tусилителя единичной длины сводится к нахождению подходящего
решения F передаточного уравнения (2.7) и построению соответствующей обратной функции G. Тогда передаточная функция усилителя длины z выражается явным образом (2.9).
26

5Множественность решений

Решение F уравнения (2.7) не единственно. Можно сузить множество решений, если выбрать значение функции F в нуле, то естьпотребовать, чтобы
F (0) = F0

(2.10)

где F0 есть фиксированная константа. Во многих случаях, эта константа не влияет на восстановление нецелой итерации передаточной
функции по формуле (2.9) в том смысле, что при преобразовании
F̃ (z) = F (z +x0 ) , G̃(z) = G(z)−x0(2.11)

и подстановке F → F̃ , G → G̃ в уравнение (2.9) , получаемое значение для нецелой итерации передаточной функции не меняется.
Однако даже после такого сужения, решение не становится единственным. Если F решение, то новое решение f˜ можно построитьпо формуле
f˜(z) = F z + θ(z)(2.12)
где θ есть голоморфная периодичная функция с периодом единица.
При θ(0) = 0, даже условие (2.10) для суперфункции f˜ сохраняется.
Неоднозначность указывает, что могут
быть разные способы восстановления нецелой итерации передаточной функции. Поэтому многие думали, что нецелые итерации функций смысла не имеют. В частности, считалось [42], что не имеет смысла Рис. 2.1: Значок Физфака
√выражение ! = Factorial1/2 , означающее МГУ и значок Мехмата
половинную итерацию от факториала. Это выражение используется в качестве эмблемы Физфака МГУ (см.рис. 2.1) с 1950 года, ибыло интересно придать ему четкий физический и математический
смысл. Это удалось сделать только в 2009 году [51], когда был построен аппарат суперфункций.
Воображение у математиков развито сильнее, чем у физиков. Вчастности, вопрос о математическом смысле нанизывания Мёбиусана знак интеграла, напрашивающийся при взгляде на эмблему Mехмата (правая часть рисунка 2.1), до сих пор не имеет ответа. Возможно, значок Мехмата тоже приобретет смысл в ходе дальнейшего
27

развития суперфункций, когда потребуется новый вид контурного
интеграла, в котором функция выворачивается наизнанку, и для егообозначения потребуется Мёбиус.
Проблема нахождения нецелой и, частности, половинной итерации
передаточной функции возникает не только при феноменологическом рассмотрении идеализированного усилителя. Похожая задача
возникает при анализе неустойчивости работы реактивного двигателя; в простейшем (одномерном) приближении, возникновение и исчезновение неустойчивости по сценарию Помо-Манневиля (PomeauManneville scenario) [19, 43] описывается квадратичной передаточной
функцией. Сходные уравнения используются при анализе устойчивости аттракторов [20]. По крайней мере для одномерных моделей,при этом можно построить абельфункцию и суперфункцию [57], и,соответственно, нецелые итерации передаточной функции.
Наблюдение сходства в построении суперфункций помогло сформулировать задачу о построении суперфункций, абельфнкций и соответствующих нецелых итераций передаточной функции достаточно общим образом. Принципиальным для построения решения (тоесть нахождения алгоритма для его вычисления с требуемой точностью) является выбор дополнительных условий, которые обеспечивают единственность этого решения.

6Постановка задачи

Допустим, известна некоторая передаточная функция T , голоморфная в некоторой достаточно широкой области значений аргумента...
Какие дополнительные условия надо наложить на суперфункцию
F (или на абельфункцию G = F −1 ) для того, чтобы передаточное
уравнение (2.7) (или уравнение Абеля (2.8)) имело единственное решение?
Как формулировать эти условия для того, чтобы это решение имело
физический смысл?
Как вычислять суперфункцию и абельфункцию, удовлетворяющие
сформулированным условиям?
Как проверить, то вычислена именно та функция, которая имеет
28

физический смысл?
Целью Книги являются ответы на такие вопросы, изложение этихответов в максимально простой и подробной форме. По большей части, эти ответы являются упрощенным пересказом опубликованных
ранее статей [44, 50, 52, 57, 54, 69, 78, 77, 74].
В следующей главе предложены примеры суперфункций и абельфункций, а в последующих главах разобраны общие алгоритмы ихвычисления и применение к физическим задачам. Описание состояния физической системы с помощью одного параметра уже является сильным приближением, и хотя бы для этого случая желательно
представить решение в простом и “точном” виде.
Для примеров хотелось бы использовать не сложные функции. Имеется
некоторая терминологическая сложность в том, чтобы квалифицировать
некоторые функции как не сложныедля рассмотрения. Хотелось бы использовать привычное для физиков(и не только) прилагательное “простой”, однако в математике этот термин, применительно к функции, может означать еще, что функция измерима. 1 Таким образом, слова “несложный” приходится писать отдельРис. 2.2: Сухой Мартини
но, так как слово “простой” может
иметь иной смысл. Примерно так же прилагательное “сухой”, применённое к вину или к Мартини, радикально меняет своё значение
(см. рис. 2.2). Если Вы можете предложить ещё более простые (менее сложные, но всё ещё не тривиальные) примеры, дайте знать.

1

http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_function Простая функция в математике — этоизмеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.

29

Глава 3Примеры суперфункций
Прежде чем вычислять суперфункции и абельфункции для каких
попало передаточных функций, имеет смысл посмотреть, в каких
случаях суперфункция и абельфункция могут быть представленыв виде несложной комбинации хорошо известных функций. Книга
задумана как популярная, поэтому уместно начать с таких примеров. Они рассмотрены в этой главе. Эта глава может рассматриваться как продолжение введения: для анализа приведенных здесь
примеров не требуется каких-либо специальных методов построения
суперфункций.
В предыдущей главе суперфункция F для передаточной функции
T определяется как решение уравнения (2.7)
F (z + 1) = T (F (z))Чтобы не тянуть кота в долгий ящик, ниже предлагается таблица суперфункций, представленных в этой Книге; в последующих секцияхи главах, свойства этих суперфункций рассмотрены более подробно.

1Таблица суперфункцийВ этой секции представлена таблицa суперфункций. Есть аналогии
между таблицей суперфункций и таблицей интегралов. Эта аналогия рассмотрена ниже.
Операция дифференцирования проще, чем операция интегрирования; по крайней мере в тех случаях, когда исходная функция выражена через несложную комбинацию специальных функций. Один30Таблица 3.1: Примеры суперфункций, T (z) = f 1 + g(z)f (z)g(z) = f −1 (z)1 ccНе существует

2 z +1

b+z

z−b

b∈C

3 b+z

bz + c(z − c)/bb 6= 0

4 bz + ccbz + 1−bclogb z − 1−b

5 bz

tetb (z)ateb (z)6 zb

exp(bz )
π 
z
a tan
2
1−c
1 − czlogb ln(z)

1/z

1/z

z
f = g; T n (z) = 1+nz

10 ln(b+ez )ln(bz)

ez /bb 6= 011 (ab +z b )1/b√
12 2z 1−z 2√
13 2z 1+z 2

az 1/b(z/a)ba > 0, b 6= 0sin(π2z )log2 arcsin(z)/π√ log2 ln z + z 2 +1 /π

14 2z 2 − 1cos(π2z )15 2z 2 − 1cosh(π2z )16 2z/(1−z 2 )tan(2z )17 2z/(1+z 2 )tanh(2z )T (z)7 −a2 /z
8
9

z
c+z
z
1+z

sinh(2z )18 Factorial(z) SuFac(z)замечание

b 6= 0, b 6= 1, [75][44, 50, 69]

2arctan(z/a)π

1 − c
logc 1 −z(4.20), b > 0, b 6= −1
a>0
c 6= 0 , c 6= 1

log2 (arccos(z))√
 log2 ln z + z 2 −1 /π
log2 (arctan(z))
 

z +1
log2 2 lnz −1
AuFac(z)(8.9), (8.17) ; [51]19 b z (1−z)

LogisticSequenceb (z) LogisticSequence−1b (z)20 Doyat (z)Tania(tz)(z + ln(z) − 1)/t

(5.12), (5.3)

21 Kellert (z)Shoka(tz)

ArcShoka(z)/t(5.15), (5.19)

22 sin(z)SuSin(tz)

AuSin(z)/t(13.8), [78]23 z exp(z)SuZex(tz)

AuZex(z)/t(12.1) [77]24 z + exp(z)SuTra(tz)

AuTra(z)/t(20.1) [77]g(Q(z))P (Q(z)) = z

P (T (Q(z))) P (f (z))31(7.8), (7.19) ; [57]из моих учителей квантовой механики, Владимир Кривченков (и,вероятно, не он первый) говорил, что дифференцировать можно научить даже обезьяну, но с интегрированием труднее. В ту эпоху задача считалась решенной, если решение удавалось выразить в видеформулы, которую можно найти в Градштейне-Рыжике; так называлась большая толстая черная книга “Таблицы интегралов, сумм,рядов и произведений” [13]. Тогда еще не было настольных компьютеров, умеющих дифференцировать и интегрировать, и такая книга
была одним из основных инструментов любого серьезного исследователя. Составление таблиц интегралов было важным, трудным (и,вероятно, нудным) делом.
Одним из способов составления таблицы интегралов является составление таблиц производных. Берется абы-какая несложная комбинация известных специальных функций и дифференцируется. Если результат удается упростить настолько, что его можно уместитьна одной строчке таблицы, то он декларируется как интегранд, который “удалось проинтегрировать”, а исходная “абы-какая несложная
комбинация” декларируется как результат интегрирования; такой
интегранд и такой “результат” заносятся в таблицу.
Аналогично можно поступать и с суперфункциями. Берётся абыкакая несложная комбинация f специальных функций и обращается. Если g = f −1 удается представить в виде несложной комбинации
специальных функций (результат умещается в ячейке таблицы), иесли при этом в ячейке таблицы умещается выражение
T (z) = f (1 + g(z))(3.1)то функция T декларируется как передаточная функция, для которой удалось построить суперфункцию и абельфункцию и заноситсяв первый столбец таблицы; функция f декларируется как построенная для этой T суперфункция, а функция g декларируется каксоответствующая абельфункция.
Таким образом получена таблица 3.1, но туда добавлены еще некоторые функции, построение которых описано в последующих главах.
Если свойства функции известны, то есть известны её область голо32морфизма и асимптотические разложения, и имеется эффективный
алгоритм для её вычисления, то функция считается специальной;в этом случае, вместо громоздкого представления, в таблице суперфункций достаточно указать имя этой функции.
Таблица суперфункций – это базовый набор инструментов для вычисления нецелых итераций. Поэтому эта таблица выделена в особую главу. В последующих главах рассказывается, как вычислять
суперфункии и абельфункции таблицы 3.1.

2

Построение элементарных суперфункцийВ этой секции рассказано, как получены первые строчки таблицы
3.1. Для поиска “подходящих” триад (передаточная функция, суперфункция, абельфункция) использован сортвер Mathematica. В качестве примера, ниже показано, как получена и проверена 12я строка
таблицы.
f[z_] = Sin[Pi 2^z]g[z_] = Log[ArcSin[z]/Pi]/Log[2]f[g[z]]
T[z_]=2 z Sqrt[1 - z^2]
Simplify[T[z] - f[1 + g[z]]]В языке Mathematica, аргумент функции всегда указывается в квадратных скобках. Каких-либо иных, специфичных для Математики,трюков при этом не использовано, так что перевод такого кода надругие языки прост. Я надеюсь, что каждый может легко запрограммировать элементарные суперфункции из таблицы 3.1, и поэтому
здесь не привожу их графики.
Аналогичный поиск суперфункций проводился также с софтвером
“Maple”. Целью была проверка на буги софта “Математика”, а также
надежда, что канадский Клен выявит какие-нибудь новые несложные пары (f ,g), пропущенные американской программой. Несколько
бугов программы “Matematica” были выявлены, сообщены администраторам Вольфрама и уже исправлены в текущей версии Мате33

матики, но новых элементатных суперфункций обнаружить не удалось. Я буду признателен коллегам, которые укажут новые, умещающиеся в одной строчке таблицы триады (T , f , g) элементарных
функций.
Для элементарных суперфункций из таблицы 3.1, проверка может
быть проведена и без компьютера, с карандашом и бумагой; дляэтого достаточно знания математики в программе общеобразовательной школы. Судя по запуску в 2008 году на околоземную орбиту спутника “Юбилейный” с вечным двигателем на борту, в России
даже министры не знают элементарных вещей, поэтому стараюсь
ориентироваться на самый базовый уровень читателей.. Если Вы неможете воспроизвести какую-либо формулу их Книги, то Вам надообратиться ко мне за помощью. Я буду благодарен читателям, которые найдут и укажут мне на ошибки, и, в частности, в таблице 3.1,
если они там есть.
В таблице 3.1 собраны лишь самые простые из суперфункций. С помощью последней строчки таблицы, эти функции могут быть модифицированы. Любая пара взаимно-обратных функций P и Q определяет преобразование, которое может применяться к предыдущим
строчкам, давая новые передаточные функции и соответствующие
суперфункции и абельфункции.
Несложное масштабирование связывает квадратичную передаточную функцию в 14й и 15й строках таблицы с логистичеким оператором (logistic operator) в 19 строке, если параметр b = 4; в этом случае
логистическая последовательность выражается элементарной функцией и её обобщение на случай нецелых значений аргумента тривиально. С помощью аппарата суперфункций, такое континуальное
обобщение логистической последовательности возможно и при иныхзначениях параметра [57].
Частным случаем преобразования суперфункции является сдвиг еёаргумента на константу. В некоторых случаях трудно распознать такой сдвиг: например, суперфункции в 14й и 15й строчках таблицы
соответствуют одной и той же передаточной функции T (z) = 2z 2−1;и эти суперфункции получаются одна из другой трансляцией аргу34

мента на константу iπ ln(2)/2. Сходные соотношения имеют местои для других суперфункций. Для суперфункций от экспоненты пооснованию b при 1 < b < exp(1/e) [50], этот случай рассмотрен вДевятой главе.
Аналогично, новые расширения таблицы суперфункций можно строить преобразованиями уже представленных в ней функций. Формулы для такого преобразования представлены в последней строке
таблицы 3.1.

3Имплементация суперфункцийВ простых случаях, имплементации суперфункций и абельфункций
тривиальны; их представления через элементарные функции могут
быть запрограммированы “как есть”. Для более сложных случаев,особенно для комплексного аргумента, следует позаботиться о том,как пройдут линии разреза области голоморфизма. Я стараюсь, чтобы разрезы были прямыми и шли параллельно оси абсцисс в направлении убывания абсцисс, хотя не всегда это возможно.
Для эффективной имплементации суперфункций, приходится сшивать, склеивать несколько аппроксимаций. К представлению, применимому вблизи вещественной оси, приклеиваются представления,адекватные при значительных значениях мнимой части аргумента.
Или к представлению, эффективному при больших отрицательных
значениях вещественной части аргумента, приклеивается представление, полученное с помощью передаточного уравнения. Если клейхорош, то не только значения функции, но и значения всех её производных оказываются непрерывными, и можно говорить о том, чтоаппроксимирована голоморфная функция. Когда погрешность такой аппроксимации можно уменьшать до любого требуемого значения, можно говорить, что построена точная суперфункция. 1
1Задача математика, собирающего представления голоморфной функции, проще, чем задача хирурга, к которому привезли руки, ноги, животы и головы пассажиров и экипажа
самолета, сбитого террористами, и предложили собрать их них несколько сот живых граждан. По крайней мере, кусочки функций можно начинать склеивать сразу, не дожидаясь,пока их выкупят у террористов, сбивших самолет.

35

Глава 4Элементарные суперфункцииДля того, чтобы использовать суперфункции, рассмотренные в этойглаве, вовсе не обязательно знать, что они являются суперфункциями. Примерно так же герой Мольера, Журден использует в разговорной речи прозу, и ему до поры нет надобности знать, что онговорит прозой [2]. Однако как только появляется поэзия, для того, как он говорит, нужен специальный термин “прoза”. Аналогично,для того, чтобы объяснить свойства нетривиальных суперфункций,мне сперва приходится рассказать о свойствах тривиальных. Таким
суперфункциям посвящена эта глава.
В начальной школе, изучение функций начинают с линейной функции. Это достаточно простой случай. Чтобы коллеги не говорили,что формализм суперфункций слишком сложен, мне приходится начинать именно с линейной функции. Приметы итераций линейной
функции рассмотрены в следующей секции.

1Итерации линейной функции

Рассмотрим передаточную функцию
T (z) = A + Bz

(4.1)Пример такой функции показан на рисунке 4.1 для A = 1, B = 2 .
График y = T n (x) построен для различных значений n. Проведены также линии, соответствующие плюс бесконечной (вертикальная
прямая) и минус бесконечной (горизонтальная прямая) итерациям.
Энная итерация функции T может быть представлена в таком виде:Bn − 1
T (z) = A
+ B nz
B−1
n

36

(4.2)

4

n=
n = 1 .2n= 1
n = 0 .8n = 0 .60n = .40n = .2
0

n→∞
n=4
n=3
n=2

y

0.2
−
=
n 0.4
−
n = −0.6
n = −0.8
n = −1
n=

3
2
1
−4

−3

−2

−1

00

1

−1

2

3

2
n=−
x
4
n = −4n → −∞−2−3−4

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Itelin125T.jpg
Рис. 4.1: Итерации линейной функции (4.1) при A = 1, B = 2 ; проведены линии
y = T n (x) для различных nИменно это представление использовано для генерации рисунка 4.1.
Все графики на рисунке представляют собой прямые линии, пересекающиеся в точке (L, L) координатной плоскости. Стационарная
точка (fixed point) L функции T , определенной формулой 4.1, задается уравнением A + BL = L, то естьL = A/(1 − B)

(4.3)

При B → 1, стационарная точка убегает на бесконечность, и графики итераций становятся параллельными прямыми. Для A = 1, B = 2 ,получается значение L = −1, поэтому линии на рисунке 4.1 пересекаются в точке (−1, −1). Представление (4.2) можно получить такжепо общей формуле (2.9) с суперфункцией
F (z) = A

1 − Bz
1−B

37

(4.4)

и абельфункцией

B−1 
z
G(z) = logb 1 +
A

(4.5)

В частном случае B = 1, передаточная функция не имеет стационарных точек, и представления (4.2), (4.4), (4.5) не применимы. Дляэтого случая, то есть T (z) = A + z, суперфункция и абельфункция
могут быть записаны так:F (z) = Az , G(z) = z/A(4.6)

их комбинация даетT n (z) = F (1 + G(z)) = A (n + z/A) = An + z(4.7)

Это упражнение доступно даже школьнику, и пусть его проделает
тот, кто считает, что “формализм суперфункций слишком сложен”.
Для линейной передаточной функции (4.1), использование суперфункции (4.4) и абельфункции
(4.5) соответствует термину “Стрелять из пушки по воробьям” (рис.
4.2). Однако этот пример показы- Рис. 4.2: Из пушки по воробьям
вает, как работают в паре суперфункция и абельфункция.

2Рациональная функция

Обобщением линейной функции является дробно-линейная функция. Она же называется “рациональная функция”. Как пример, нарисунке 4.3 показана карта функции
T (z) = −1/z

(4.8)

Для такой функции, уровни постоянной вещественной части и уровни постоянной мнимой части суть окружности, и все эти окружности
проходят через начало координат.
Для вещественного аргумента, итерации этой функции показаны нарисунке 4.4. Передаточная функция по формуле (4.8) интересна тем,что она самоинверсна (self-inverse), T −1 = T . Например, на рисунке
38

y
8

u=0

v = 0.1

6v = 0.2420

u = −0.1

u = 0.1
u = −0.2v =0v = 0.2
v =0

−2
−4

v = −0.2
u=0−6

v = −0.1

−8
−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:F1xmapT.jpg
Рис. 4.3: u+iv = T (x+iy) = 1/(x+iy)

4.4 нет специальной кривой, соответствующей n = 2: она совпадает с прямой y = x. Ниже я рассказываю, как вычисляются такие
итерации и как строятся эти рисунки.
Нетрудно рассмотреть даже чуть более общий случай. Пусть
T (z) = −a2 /z(4.9)

где a есть константа. Для a = 1, комплексная карта такой передаточной функции представлена на рисунке 4.3. Итерации этой функции
показаны в правой части рисунка 4.4.
Для передаточной функции по формуле (4.9), суперфункция может
быть записана в видеπ F (z) = a tanz(4.10)
2
39

n=

1.

0

6

3

1.5

−3
−2
n = 0.5

1
−0.
=
n

2

n=
1.4
n = .3n = 11.2
n=
n=1

−4

0 .1
n=

4

n=

n=

7
1.

n = 0.5
n = 0.3
n = 0.2y.2n = −0n = −0.3
n = −0.4
n = −0.6

1
−1

0
0

1

2

−1
−2

3

n = −1 x
n = −1.2
n = −1.4
n = −1.5
−
n=

1.6

−3
−4
n=

7
1.
−

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Frac1zt.jpg
Рис. 4.4: y = T n (x) для функции T (z) = −1/z при различных nа соответствующая Абельфункция
z 
2G(z) = F (z) = arctanπaПри этом nная итерация записывается в виде

π
2
−a
−
a
cot
n
z
2

T n (z) =− a cot π2 n + z−1(4.11)(4.12)

Суперфункция и абельфункция для такой передаточной функции
представлены в седьмой строчке таблицы 3.1. При a = 1, такое представление может использоваться для рисунка 4.4.
Дробно-линейная функция общего вида может выглядеть так:U +Vz
T (z) =
(4.13)
W +z
40

0

−0.
1

n=

n=

n = −0.5
n = −0.4
n = −0.3
n = −0.2

5n = −1

y

4
0.1
=
n

n=1

3

n = 0 .2
n = 0 .3
n = 0.54
n = 0.
n=1
n=2

n=2

2

1
2
3
n = −2n = −1

4

5

x

n=

−3

n=3

1

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit05t150.jpg
Рис. 4.5: y = tn (x) для (4.14) при c = 0.5

где U , V и W суть параметры. Случай линейной функции, рассмотренный в предыдущей секции, может быть получен как предельный
переход W → ∞ при постоянных значениях U/W и V /W .
Функция по формуле (4.8) получается при U = −1, V = 0, W = 0.
Предложу ещё пример передаточной функции, тоже специальный
случай формулы (4.13). Пусть
t(z) =zc+z(4.14)

тогдаtn (z) =

z
1−cn
cn +
z
1−c
41

(4.15)

0n=5n = −0.5
n = −0.4
n = −0
.3
n=−
0.2
n=
−0
.1

n = −1

y

4
0
n=

3

2
n = 0.
n = 0 .3
n = 0 .4
n = 0.5

n
n= =2
3

2
1

n=1
n=2

0
0

−
4

4

n=

n=

.1

1
2
3
n=−
n = −2345x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit10t150.jpg
Рис. 4.6: y = tn (x) для (4.14) при c = 1

Для c = 0.5, итерации функции t показаны на рисунке 4.5. Аналогичным образом, итерации функции f по формуле (4.15) для c = 1
показаны на рисунке 4.6, a для c = 2 такие итерации показаны нарисунке 4.7. Я выделил целые итерации толстыми линиями; иначе, по рисунку, эта “целостность” не видна. Такое свойство типичнодля итераций вещественно-голоморфных возрастающих функций:их итерации выглядят столь же естественно, как и сами функции.
Для передаточной функции t в виде (4.14), суперфункция f может
быть выбрана так:f (z) =

c−1
cz − c42(4.16)

n=

0

−0
.1
n=

n = −0.5
n = −0.4
n = −0
.3
n=−
0.2

5

n = −1

y

4
n

3

.2
0
=
n
n = 0 .3
n = 0 .4
n = 0 .5

2
1
0
0

.1
0
=

n=1
n=2
1

2

3

4

5

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fracit20t150.jpg
Рис. 4.7: y = tn (x) для (4.14) при c = 2Соответствующая абельфункция g = f −1 записывается так:c−1 
(4.17)
g(z) = logc 1 +zДля значения c = 2, комплексная карта суперфункции f по формуле
(4.16) показана на рисунке 4.8. Аналогичная карта соответствующей
абельфунции g показана на рисунке 4.9.
Функция f по формуле (4.16) периодична; её период
P = 2πi/ ln(c)(4.18)

При c = 2, этот период P = 2πi/ ln(2) ≈ 9.06472 i; на рисунке 4.8
уместилось чуть больше двух периодов. Для вещественных значений
параметра c, период P чисто мнимый; структура линий на рисунке
4.8 воспроизводится при трансляциях на |P | вдоль оси y.
43

y

v =0

v =0

v = −0.5

u=0

8
6

v =0

4

u = −0.12

u = −0.5

0

v =0

u=0

v = −0.1
u = 0.1 v = 0
v = 0.1−2

u=0

u = −0.5

−4

v =0

−6

u = −0.5

u=0

v =0

v =0

−8
−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Fz2z1mapT.jpg
Рис. 4.8: u+iv = f (x+iy) по формулe (4.16) при c = 2Обратная функция g = f −1 , то есть абельфункция по формуле (4.17)
имеет линию разреза между точками ветвления. Эти точки суть c−1и ноль. Для вещественных значений c, эта линия разреза лежит навещественной оси. Линии на рисунке 4.9 симметричны по отношению к отражению относительно прямой <(x) = (c−1)/2.
С суперфункцией f и абельфункцией g по формулам (4.16) и (4.17),
итерации передаточной функции t могут быть записаны как обычно,tn (z) = f (n + g(z))(4.19)

Читатели приглашаются проверить, что такое общее представление
согласуется со специальным выражением (4.15). Лучше начинать делать такие проверки для формул этой главы, поскольку для функций последующих глав это чуть сложнее.
44

y

u=0

v = −0.1

v = −0.1

8
6
4
2
0
−2

v =0
u = −0.2

v =0
u = 0.2

−4
−6
−8

−8

−6

−4

u = 0.1

v = 0.2
u=0

u = −0.1
v = 0.1−202v = 0.1468x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Gz2z1mapT.jpg
Рис. 4.9: u+iv = g(x+iy)по формуле (4.17) при c = 2Рисунки этой секции достаточно элементарны. Тем не менее, я приглашаю Читателей стащить и воспроизвести их; возможно, с несколько иными значениями параметров.
Для читателей, которые интересуются суперфункциями, полезно проверить, что t1/2 ◦t1/2 = t, или что t1/3 ◦t1/3 ◦t1/3 = t или ещё что-нибудь
такое, что могло бы уличить меня, если я в чем-то ошибся. Требование опровержимости (Аксиома ТОРИ номер 3) предложено вовсене для того, чтобы им восхищаться и любоваться, а для того, чтобы
применять по мере изучения и развития наук.

45

y
4
3
2

v =1
0
v =5
v =0
v = −5

1
0
−1

10
u= 5
u= 0
u=

−2

u=
u = −5
−1
0

−3
−4
−5
−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Z2itmapT.jpg
Рис. 4.10: u+iv = T (x+iy) = (x+iy)2 , формулa (4.20) для a = 23Итерации возведения в степеньВ этой секции рассмотрена функция “возведение в степень”, то естьT (z) = Powa (z) = z a(4.20)

Для a = 2, карта функции T показана на рисунке 4.10.
Итерации степенной функции T по формуле (4.20) пишу так:


n
n
an
T (z) = Powa (z) = z = Powa Powa ...Powa (z)..
(4.21)
В правой части формулы (4.21), операция Powa применяется n раз.
В соответствии с общей идеологией Второй главы, параметр n неимеет необходимости быть целым.
На рисунке 4.11 функция T n по формуле (4.21) для a = 2 показанадля различных значений n.
46

n=

0

n=
0
n = .6
0.
n= 5
0.4
n=
0 .3
n=
0 .2
n=
0 .1

n=1

9

n→ ∞
n=3
n=2

n

x2

8

n=

.1
0
−

0.2
−
n= 3
0.
−
n = .4−0=n
0.5−
n = 0.6
n=−

7
6
5
4

n = −13
2

n = −2n = −3n → −∞

1
1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterPowPlotT.jpg
Рис. 4.11: y = T n (x) = Pow2 n (x) для различных n.

Итерации степенной функции вычисляются по общей формуле
n
T (x) = F n + G(x)где F есть суперфункция для передаточной функции T ; её можно
представить в виде
F (z) = exp exp(ln(a) z) = exp2 ln(a) z(4.22)
и G есть для неё же Абельфункция. Это абельфункция для передаточной функции T по формуле (4.20). Эту абельфункцию можно
записать так:
G(z) = ln ln(z) / ln(a) = ln2 (z)/ ln(a)(4.23)
Tакое представлениe степенной функции соответствует шестой строке таблицы 3.1.
47

Для T (z) = z 2 , имеют место соотношения
T 2 (z) = T (z 2 ) = T (z)2

(4.24)

Имеет место распространенное заблуждение, что соотношения (4.24)
или некоторые их несложные эквиваленты должны выполняться идля других передаточных функций T тоже, не только для степенной
функции T по формуле (4.20) . Многие конфузии связаны с таким
заблуждением. Это обстоятельство обсуждается также в другой главе в связи с итерациями факториала, см. рис. 8.8.
Для передаточной функции T вида (4.20), итерация (10.16) может
быть упрощена;


n
2
n
2
T (z) = exp ln(a) n + ln (z)/ ln(a) = z a(4.25)
Таким образом, итерации передаточной функции T по формуле (4.20)
можно выразить через несложную элементарную функцию.
На рисунке 4.11 представлены итерации степенной функции по формуле (4.25). Толстые линии соответствуют целым итерациям. Тождественная функция y = x соответствуют нулевой итерации. В области
между нулем и единицей кривые сливаются, и поэтому проведены
только для n = 0 и для n = 1. С помощью экспоненты и логарифма эти итерации выражаются в несложном и компактном виде поформуле (4.25).
Глядя, как легко и красиво получаются (и упрощаются) итерации
передаточной функции T по формуле (4.20), можно ожидать, чтотаким же образом можно строить нецелые итерации и других функций. При этом, при непрерывном изменении числа итераций от единицы до минус единицы, функция плавно переходит в свою обратную функцию.
Ниже, по мере построения новых суперфукций и абельфункций,предлагаются ещё примеры нецелых итераций. При этом нецелая
итерация выражается не как дробная степень, но через соответствующую комбинацию суперфункции и абельфункции. В соответствиис декларациями Введения, я и дальше стараюсь обеспечить оппонентов богатыми возможностями, инструментами, “туллами” (tools)для эффективной и конструктивной критики. То есть подробно рассказываю, как получаются красивые картинки.
48

Глава 5Таня и Шока
y
3
2
1
−3

−2

−1

0

x)
(
ka
o
)
Sh ia(xy = Tan
y=

1

2

3

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokotaniaT.png
Рис. 5.1: Функции Шока и Таня.

В этой главе рассмотрены некоторые почти элементарные суперфункции, которые могут иметь приложения в лазерной науке; этифункции можно выразить так:Shoka(z) = z + ln(e−z +e−1)(5.1)

Tania(z) = WrightOmega(z +1)(5.2)

по крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси. При|=(z)| ≥ π, функция WrightOmega(z) ведет себя плохо (её разрезыне там, где мне хотелось бы); поэтому приходится использовать дляфункции имя Tania. Представления (5.1),(5.2) годятся, в частности,для вещественных значений аргумента и могут быть использованыдля построения рисунка 5.1.
Ниже я объясняю, почему эти функции важны для лазерной науки иинтересны как примеры суперфункций. Практически, это пересказ
статей [73, 74]. Эта глава (за исключением первой секции) может
быть полезна узким специалистам, работающим в лазерной науке.
49

1

Об узких специалистах

Предупреждение. Узким специалистам лучше пропустить этy секцию: она содержит критическое мнение об узких специалистах иможет оскорбить их религиозные чувства.
Узкие специалисты подобны инопланетянину зайцу Бо, которому кажется, что все только и думают, как бы сказать чего-нибудь нехорошее про зайцев 1 . Известный классик Русской литературы Козьма Прутков обнаружил и указал, что узкий специалист подобен флюсу: его полнота односторонняя.
Узкий специалист может легко понять и даже проделать вычисления, если он видит за ними реалистичную жизненную ситуацию. Например, человек
может встретить трудности, складывая два числа,250 и 250. Однако, если ему сказать, что речь идет ограммах водки, он мгновенно проведет необходимые
рассчеты и сразу скажет ответ: “Да это же ПолРис. 5.2: Узкий
литра!”; последнее слово будет произнесено с уваже- специалист
нием и придыханием. Это придыхание укажет присутствующим, что он любитель выбить, и вероятно, даже не просто любитель, а профессионал и, возможно, даже узкий специалист
(рис. 5.2). Аналогично, узкому специалисту-лазерщику трудно понять, что такое “передаточная функция”, до тех пор, пока ему нескажут, что некоторый параметр (мощность, интенсивность, флюенция или энергия светового импульса) на выходе лазерного усилителя рассматривается как функция аналогичного параметра навходе в усилитель.
Функции Дойя и Келлер, определяемые в этой главе ниже, могут
быть интерпретированы как передаточные функции идеализированного лазерного усилителя. Читатели, равнодушные к лазерной науке, могут рассматривать эти функции как абстрактные математические объекты; или даже вовсе пропустить эту главу, за исключением, может быть, секции 5 (“О единственности решения”): секция
5 может помочь тем, кто собирается раскритиковать эту Книгу илидаже просто сказать что-нибудь нехорошее про лазерщиков.
1

http://www.youtube.com/watch?v=OCndqQqHlQo Магазинчик Бо. Эпизод 23. Сень Бо-Гэ.
Mar 1, 2013. А ещё он говорил что-то нехорошее про зайцев!..

50

y

v =6
v =5
v =4
v =3
v =2
v =1
v =0

6

2

u=0

0

v =0

−2

u=0

−π
−4

u=2

cut

u=1

4
π

v = −1v = −2v = −3v = −4v = −5v = −6

cut

−6
−6

−4

−2

0

2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TaniaContourPlot100.png
Рис. 5.3: u+iv = Tania(x+iy)2Таня и Арктаня

Пусть функция Tania будет решением f дифференциального уравненияf (z)f 0 (z) =(5.3)
1 + f (z)с граничным условием f (0) = 1, где контур интегрирования уравнения (5.3) идет сперва от нуля до мнимой части z вдоль мнимой оси,а затем вдоль прямой, параллельной вещественной оси, идет в точку
z. Рисунок 5.1 показывает свойства функции Tania для вещественного аргумента. Эта функция положительна и монотонно возрастает.
В сторону отрицательных значений аргумента, функция экспоненциально затухает. При больших значениях аргумента, Таня растет
почти линейно. В нуле эта функция равна единице и растет с производной 1/2. Комплексная карта этого решения показана на рисунке
5.3.
51

y

v =8
v =7
v =6
v =5
v =4
v =3
v =2
v =1
v =0
v = −1v = −2v = −3v = −4v = −5v = −6v = −7v = −8

6
4
2
cut

0
−2

u=0
u=1
u=2
u=3
u=4

−4
−6
−6

−4

−2

0

2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTaniaMap.png
Рис. 5.4: u+iv = ArcTania(x+iy)Изменение контура интегрирования уравнения (5.3) не влияет назначение функции до тех пор, пока этот контур не пересекает линии разреза <(z) < −1, =(z) = ±π. В частности, при вещественных
значениях x, для f (x), интегрирование может осуществляться от 0
до x вдоль вещественной оси.
Уравнение (5.3) легко “решается” в том смысле, что обратную функцию g = f −1 от решения удается выразить через элементарные функции. Чтобы не путать её с другими функциями, обозначаемыми тожебуквой g, в этой Книге (хотя и не только здесь) я обозначаю её именем ArcTania; то есть ArcTania = Tania−1 , и эта АркТаня является
элементарной функцией:ArcTania(z) = z + ln(z) − 1(5.4)

Комплексная карта функции ArcTania представлена на рисунке 5.4.
В представлениях функций Tania и ArcTania нет комплексных кон52стант. Эти функции вещественно голоморфны:Tania(z ∗ ) = Tania(z)∗ , ArcTania(z ∗ ) = ArcTania(z)∗(5.5)Функции Tania и ArcTania похожи на линейную функцию при больших значениях аргумента, но Таня имеет два разреза при мнимой
части аргумента ±π, a ArcTania имеет только один разрез вдоль отрицательной части вещественной оси. Асимптотическое (почти линейное) поведение функции Tania(z) при большиx значениях |z|  1универсально почти для всей комплексной плоскости, за исключением полосы <(z) < 0, |=(z)| ≤ π. В полосе |=(z)| < π, при <(z) → −∞,функция Tania(z) экспоненциально убывает, что соответствует графику поведения этой функции при вещественных значениях аргумента.
Для умеренных значений мнимой части аргумента, функция Taniaможет быть выражена через известную [12, 98] специальную функцию WrightOmega:
Tania(z) = WrightOmega(z +1)(5.6)

Есть несколько оправданий для введения новой функции, которая
легко выражается через известную функцию:1. Для удобства оценок, желательно, чтобы суперфункция в нулепринимала целое значение, Функция Tania будет такой суперфункцией для примера, рассматриваемого ниже.
2. Имя Tania короче, чем WrightOmega, и допускает простую русскоязычную транслитерацию “Таня”. При этом появляется возможность
склонять имя этой функции по падежам в соответствии с традициями грамматики русского языка.
3. В комплексной плоскости Таня как решение уравнения (5.3) ведет
себя проще, чем функция WrightOmega, представленная в алгоритмических языках программирования.
Использование нового имени позволит избежать путаницы, если одновременно потребуются обе функции, функция WrightOmega сосчетным множеством разрезов и функция Таня с её двумя разрезами, видными на левой карте рисунка 5.3. Читатели приглашаются
построить карты обеих функций, Тани и ВрайтОмеги[12, 98], и проверить, что только в полосе вдоль вещественной оси эти функции
получаются одна из другой трансляцией аргумента на единицу.

53

Вдоль вещественной оси (и даже в её окрестности) нет надобности
как-то различать Tania(z) и WrightOmega(z+1). Однако, для суперфункций, выход в комплексную область важен для единственности
решения, а иногда и для вычисления. Поэтому здесь суперфункции
сразу рассматриваются для комплексного переменного. При этомфункция Таня имеет меньше разрезов, чем функция WrightOmega,и этим проще.
Для эффективного вычисления функции Tania могут использоваться её асимптотические разложения. Объединение областей применимости этих разложений накрывает всю комплексную плоскость.

При больших значениях аргумента, Таню можно разложить так:ln(z)−1 ln(z)2 −4 ln(z)+3++ ..
Tania(z) = z + 1−ln(z) +
z
2z 2

(5.7)

При отрицательных значениях <(z), такое разложение годится, пока|=(z)| > π. Для представления Тани между линиями разреза (см.
рис. 5.3) удобно ввести параметр ε = exp(1+z); тогда Таню можно
разложить так:
3
8
125 5
Tania(z) = ε − ε2 + ε3 − ε4 +ε + O(ε6 )
2
3
24

(5.8)

Вблизи точки ветвления, годится разложение
3
9 5
3t + ..
(5.9)
Tania(z) = −1 + 3t − 3t2 + t3 + t4 +
4
10
160
r
2
где t = i(z +2−πi) .
9Кроме того, можно пользоваться разложением Тэйлора в нуле
z z2
z3
z4
13z 5
47z 6
Tania(z) = 1 + +−−+−+ .. (5.10)
2 16 192 3072 61440 1474560
Комбинируя разложения выше, можно получить для Тани “нулевое”приближение, пусть оно называется s0 , с несколькими значащими
цифрами для всей комплексной плоскости. Затем, для достижения
предельной точности переменных “complex double”, требуется всеготри или четыре итерации по методу Ньютона
sn+1 = sn +z − ArcTania(sn )ArcTania0 (sn )54(5.11)

где ArcTania0 (z) = 1+1/z есть производная АркТани. При этом Таню можно вычислять почти столь же быстро, как и элементарные
функции. Так устроена C++ имплементация Тани, загруженная поурлю http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania.cinЭлементарные функции, упомянутые в таблице 3.1, и, в частности,Таня и АркТаня, имеют широкую область голоморфизма. Интуитивно понятно, что если суперфункция выражена несложной элементарной функцией, то, вероятно, именно она имеет физический
смысл, а суперфункция, получаемая преобразованием (2.12), естьчто-то дополнительное, искусственное и менее физичное. Также,можно ожидать, что преобразованная функция будет иметь более
узкую область голоморфизма; это даёт критерий “физичности” решения передаточного уравнения (2.7). Критерий простоты указан впоследней, Шестой аксиоме ТОРИ, упомянутой Главе 2. Согласно
этой аксиоме, от специальных суперфункций приходится ожидать
наиболее простого поведения в комплексной плоскости.
Функция Таня проще, чем специальная функция WrightOmega. Поэтому Таня может рассматириваться как первичная функция, и использоваться для имплементации ВрайтОмеги, как, впрочем, и дляаппроксимации каких-либо зависимостей в Лазерной Физике и прочих науках.
Функция Tania имеет простой физический смысл. Это зависимость
интенсивности света от координаты в однородном усилителе с простой моделью активной среды [73, 74]. При этом координата измеряется в единицах, обратных ненасыщенному усилению, а интенсивность измеряется в единицах интенсивности насыщения.
В этой Книге, функция Таня встречается много раз.
В этой главе, Таня появляется как суперфункция отпередаточной функции, рассмотренной в следующей
секции. При этом использован трюк, упомяный в описании таблицы 3.1: сперва выбирается суперфункция,а потом для неё строится передаточная функция. Tакая передаточная функция названа именем Doya. Я Рис. 5.5: V.
благодарен Валерии Доуя (рис. 5.5), которая любезно Doya [99]разрешила использовать её фамилию для обозначения
функции, нужной в Лазерной Науке и в этой Книге.

55

−1
−2
−3

u=1
u=2
u=3

v =3
2 v =2
1 v =1v =0−1 v = −
1
0

0

3

u=1

0

v =3
v =2
v =1
v =0
v = −1v = −2v = −3

u=

1

t

u=0

2

u = −13

u = −2tv =0−2 v =−2−3 v = −3−3 −2 −1 0
1
2
3 x
−3 −2 −1 0
123
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya10map4bT60.png
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doyam10map4bT100.png

xРис. 5.6: u+iv = Doya(x+iy), слева, и u+iv = Doya−1 (x+iy), справа

3Передаточная функция DoyaС рассмотренными выше функциями Tania и ArcTania, легко построить “решабельную” передаточную функцию, пусть она называется Doya, в таком виде:T (z) = Doya(z) = Tania 1 + ArcTania(z)(5.12)
Комплексная карта фукции Doya, а также карта обратной функции
ArcDoya = Doya−1 показаны на рисунке 5.6. На бесконечности, этифункции похожи на тождественную функцию, но имеют особенности (точки ветвления и разрезы) вблизи начала координат.
Свойства функции Doya описаны в ТОРИ [90]; представлен также
эффективный алгоритм для её вычисления. В окрестности вещественной оси, Дойя может быть выражена через известную функцию LambertW [94]:Doya(z) = LambertW z ez+1
(5.13)
В соответствии с определением (5.12), Таня является суперфункцией Дойи, а АркТаня - её абельфункцией. Соответственно, nнаяитерация Дойи выражается так:nDoya (z) = Tania n + ArcTania(z)(5.14)
Это представление использовано для построения рисунка 5.7; графики показывают y = Doyan (x) для различных значений n.
56

0

n=

n=6
n=
n= 5
4
n=
3
n=
2
n=
1

y
3

n=

−2
n= 3
−
=
n 4
−
=
n 5
−
n=

2
1

0

1
−

1

2

3

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:DoyaPlotT100.png
Рис. 5.7: y = Doyan (x) по формуле (5.14)

Свойства функции Таня проще, чем свойства функции LambertW,и поведение Тани в комплексной плоскости проще, чем поведение
функции WrightOmega. Поэтому здесь в качестве “основной” функции выбрана Таня.
Функции Дойя и Таня имеют ясный физический смысл. Они соответствуют простой модели однородного лазерного усилителя, работающего в непрерывном режиме. Функция Дойя есть передаточная
функция такого усилителя; она выражает зависимость интенсивности сигнала на выходе от интенсивности сигнала на входе; интенсивность накачки выбрана так, что в линейном режиме (для слабого
сигнала) сигнал усиливается ровно в e раз. (Здесь интенсивность измеряется в единицах насыщения.) Функция Таня выражает зависимость сигнала от координаты вдоль направления распространения
усиливаемого сигнала [73, 74].
Функции, аналогичные функциям Дойя и Таня, могут быть построены также и для импульсного режима усиления сигнала. Такие функции рассмотрены в следующей секции.

57

y

cut
u=1

4

u=2
u=3
u=4
u=5

6

2
0

cut

−2
−4
−6

cut
−6

−4

−2

0

2

4

v =7
v =6
v =5
v =4
v =3
v =2
v =1
v =0
v = −1v = −2v = −3v = −4v = −5v = −6v = −76x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png
Рис. 5.8: u+v = Keller(x+iy).

4Келлер, Шока и АркШока

Волновой пакет света в однородном усилителе характризуется егоэнергией или флюенцией, если его можно считать однородным попоперечному сечению. Грубо говоре, флюенция - это энергия на площадь. При этом передаточной функцией однородного усилителя является зависимость флюенции на выходе от флюенции на входе. Впростой модели, эта зависимость выражается функцией Келлера, иона рассмотрена в этой секции. Функцию Келлера я определяю так:−zKeller(z) = z + ln e − e (e − 1)
(5.15)
Комплексная карта этой функции показана на рисунке 5.8.

58

y
6
4
π

cut
u=0

u=1
u=2
u=3

0

u = −0.4

2

−2

0

2

−2
−π
−4

cut

−6
−6

−4

v =7
v =6
v =5
v =4
v =3
v =2
v =1
v =0
v = −1v = −2v = −3v = −4v = −5v = −6v = −74

6x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerMapT.png
Рис. 5.9: u+v = ArcKeller(x+iy).

Обратная функция ArcKeller = Keller−1 записывается так
1 e−1 −z
ArcKeller(z) = z + ln+eee

(5.16)

Комлекснaя картa функциии ArcKeller показана на рисунке 5.9.
Карты функций Keller и ArcKeller выглядят похоже; имеет место
соотношение
ArcKeller(z) = Keller(z − iπ − 1) − 1 + iπ

(5.17)

В работах Келлера [29, 34] используется иное представление,zKeller(z) = ln 1 + e (e − 1)
(5.18)
Такое представление эквиваленто выражению (5.15), пока |=(z)| < π,и, в частности, для вещественных значений аргумента.
59

ell
er

oy
(x
a(
x) )

y

D

y=

y=

K

3
2
1
1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerDoyaT.png
Рис. 5.10: Сравнение функций Keller и Doya, см.(5.15) и (5.12)

График функции Келлера вещественного аргумента показан на рисунке 5.10 в сравнении с графиком функции Doya, рассмотренной впредыдущей секции. Обе функции растут от нуля в нуле тангенсом
e; потом рост становится почти линейным, и на бесконечности каждая их этих функций растет с тангенсом единица. При этом Келлер
принимает значения на несколько десятых больше, чем Дойя.
По аналогии с передаточной функцией Doya, функцию Keller тожеможно интерпретировать как передаточную функцию. Эта функция
описывают усиление коротких световых импульсов в лазерной среде;при этом, аргумент передаточной функции имеет смысл флюенции
(энергии на площадь) светового импульса на входе в усилитель, измеренной в единицах флюенции насыщения. Такой же смысл имеют
значения этой функции, эти значения соответствуют флюенции навыходе.
60

3

0
n=

n=5
n=
4
n=
3
n=
2
n=
1

y

n=

2
n=

−2

3
−
n=
4
−
= 5
n
n=−

1

0

−

1

1

2

3

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:KellerPlotT.png
nРис. 5.11: y = Keller (x) .

Oписание световых импульсов обычно сложнее, чем рассмотрение
стационарного режима (имеется дополнительный параметр, время).
Однако для простой модели импульсного усилителя, передаточная
функция, её суперфункция и абельфункция выражаются через элементарные функции; итерации функции Келлера тоже оказываются
элементарными функциями. В этом смысле передаточная функция
Келлера проще, чем передаточная функция Doya.
Итерации функции Keller, показанные на рисунке 5.11, также схожи с итерациями функции Doya, показанными на рисунке 5.7. Всоответствии с общей формулой, итерации функции Келлера строятся через её суперфункцию и абельфункцию. Для функции Келлера, суперфункцией и абельфункцией являются функции Shoka и
ArcShoka, задаваемые формулами
−zShoka(z) = z + ln e + e − 1(5.19)

1−e−z
ArcShoka(z) = z + ln
e−1
61

(5.20)

y6

u=0v ≈ 2π

v =7
v =6
v =5
v =4
v =3
v =2
v =1
v =0
v = −1v = −2v = −3v = −4v = −5v = −6v = −7

u=0
2

u=0

0

v =0

−2

u=0

−π
−4

cut

−6

v ≈ −2π
u=0

u=2
u=3
u=4

cut
u=1

4
π

0

2

u=0

−6

−4

−2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ShokaMapT.png
Рис. 5.12: u+iv = Shoka(x+iy)Комплексные карты функций Шока и АркШока показаны на рисунках 5.12 и 5.13. Эти функции аналогичны функциям Таня и АркТаня, и тоже описывающим усиление света в активной лазерной средес простой кинетикой, но не для непрерывного режима, а для коротких импульсов.
Функции Tania и Shoka сравниваются для вещественных значений
аргумента на рисунке 5.1. Обе эти функции в левой части графика
имеют экспоненциальный рост с единичным инкрементом; обе проходят через точку (0,1), и обе растут почти линейно в правой части
графика.
Комплексные карты функций Шока и АркШока на рисункax 5.12
и 5.13 похожи. Одна из них получается из другой смещением наконстанту аргумента и добавлением другой константы к значению.
62

y

2

u=1
u=2
u=3

4

u=0

cut

6

0

2

cut

0
−2
−4
−6

cut
−6

−4

−2

4

v =7
v =6
v =5
v =4
v =3
v =2
v =1
v =0
v = −1v = −2v = −3v = −4v = −5v = −6v = −7x

6

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcShokaMapT.png
Рис. 5.13: u+iv = ArcShoka(x+iy).

Это можно выразить соотношением

ArcShoka(z) = Shoka z − iπ − ln(e−1) − ln(e−1) + iπ

(5.21)

В окрестности положительной части вещественной оси, карты нарисунке 5.12, похожи на карты рисунка 5.3 для функции Tania, хотяпростым преобразованием получить Таню из Арктани или из Шоки не удается. Mне не известно аналога формулы 5.21 для Тани иАркТани. Есть и качественные различия: функция Таня имеет всегодве линии разреза (и две точки ветвления), а функция Шока имеетих счетное множество. Обратные функции, АркТаня и АркШока,имеют сходные структуры разрезов.
Все четыре функции (Таня, АркТаня, Шока и АркШока) похожина линейную функцию при больших значениях вещественной ча63сти аргумента; в правой части кoмплексных карт, структура линий
уровня вещественной и мнимой части становится похожа на обычную прямоугольную сетку из прямых линий. Это же можно сказатьо функциях Дойя и Келлер.
Сходства и различия в поведении четырех
функций (Дойя, Келлер, Шока и Таня) проявляется ярче всего в комплексной плоскости. Вкачестве ещё одной особенности, типичной дляфункции Дойя, на рисунке 5.14 показан зуминиз левой части рисунка 5.6. Изображена комплексная карта функции Doya, u+iv = Doya(x+iy). Карта повернута на 90 градусов против
часовой стрелки. Толстыми линиями показаны
Рис. 5.14: Эврика!
уровни u = −0.4, v = ±1.2 , v = ±1.4 При этомкарта похожа на человека, который увидел в раскрытой книге нечто
удивительное. Генератор этого рисунка загружен по урлюhttp://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Doya500.png
Читатели приглашаются проверить, что три параметра, указанные сдвумя значащими цифрами, воспроизводят структуру, показаннуюна рисунке 5.14.
Схожесть передаточных функций Дойя и Келлер, и, соответственно,схожесть их суперфункций Таня и Шока, указывают, что для анализа нелинейных сред по их передаточным функциям, эти функции должны измеряться с несколькими значащими цифрами. Этопредставляется возможным, так как для измерения передаточных
функций не требуется регистрации малых изменений интенсивностиили флюенции. В эпоху, когда частота измеряется с 18ю значащими
цифрами, можно померить передаточную функцию хотя бы с шестью знаками. В принципе, для этого достаточно зарегистрировать
порядка 1012 фотонов на каждое значение; то есть, использовав всего 1015 фотонов, можно затабулировать передаточную функцию натысяче значений. Тогда данные о передаточных функциях и, соответственно, их суперфункции (то есть распределение интенсивностиили флюенции, в зависимости от случая, вдоль усилителя) можно
использовать для выбора модели активной среды. При этом количество параметров модели уменьшается на единицу, один из параметров, а именно - длинна усилителя, может бытъ исключен из модели.

64

5

О единственности решения

Предыдущая секция подразумевает, что суперфункция для данной
передаточной функции успешно восстанавливается. В связи с этим,имеет смысл вспомнить указание Введения о том, что для данной
передаточной функции, суперфункция не единственна.
Во Второй главе, в таблице 3.1 предложены примеры передаточных
функций и их суперфункции. Среди них есть два примера реалистичных функций, которые могут быть реализованы в лазерной науке, в эксперименте, на оптической скамье. Это функции T = Doya
и T = Keller, рассмотренные в этой главе. Для этих функций суперфункциями являются функции F = Tania и, соответственно,F = Shoka. Эти же функции можно получить как решения дифференциальных уравнений для несложных физических моделей нелинейной среды. Поэтому физичность таких решений не вызывает сомнений. Однако, легкость и красота, с которой получаются суперфункции и абельфункции для передаточых функций T = Doya и
T = Keller, не должны вызывать иллюзий относительно единственности решения передаточного уравнения (2.7); ввиду важности этого
уравнения, оно повторено здесь:F (z +1) = T F (z)Чтобы уменьшить многообразие решений, можно потребовать, чтовдоль вещественной оси суперфункция монотонна, что она асимптотически стремится к стационарной точке передаточной функции (вслучае T = Doya и T = Keller, стационарной точкой является ноль), ичто значение суперфункции в некоторой точке зафиксировано (дляТани и Шоки “руками” задано, что F (0) = 1). Однако таких условийдля единственности решения недостаточно.
Как уже указано во Введении, для данной передаточной функции,суперфункция не единственна. Здесь предложен критерий, как среди различных суперфункций распознать “настоящую”, то есть ту,которая, как ожидается, соответствует физической ситуации.
Пусть θ - вещественно-голоморфная периодичная функция с периодом единица, и пусть θ(0) = 0. Пусть

(5.22)
F(z) = F z + θ(z)65В частности, можно положить
θ(z) = µ sin(2πz)(5.23)

где µ - вещественный малый параметр. Полученная функция F удовлетворяет тому же передаточному уравнению (2.7), что и F , и принимает то же значение в нуле. При монотонной суперфункции F ,для умеренных значений µ , полученная суперфункция F тоже монотонна, и, работая со значениями функций при вещественных значениях аргумента, трудно понять, какую из функций F , F считать
“настоящей”, и которая из них получена периодичной модификацией
аргумента.
Выбор “настоящей” функции упрощается, если рассмотреть комплексные значения аргумента. По этой причине в этой Книге рассматриваются комплексные значения аргумента и строятся комплексные карты передаточных функций, а также их обратных функций,суперфункций и абельфункций.
Если θ в комплексной плоскости имеет сингулярности, то можно
ожидать, что в тех же точках модифицированная функция F тожесингулярна. Если θ - целая функция, то есть не имеет сингулярностей, то можно ожидать, что в полосе, например, 0 ≤ <(z) < 1, выражение z +θ(z) принимает почти все значения, в том числе и такие,при которых либо T , либо её обратная функция T −1 сингулярны 2 .
Тогда в полосе −1 ≤ <(z) < 2 функция F(z) имеет особенности.
Критерий “истинности”, физичности суперфункции может быть построен на основе её поведения в комплексной плоскости: “настоящая” суперфункция та, которая имеет меньше сингулярностей (либоне имеет их вовсе). Голоморфная периодичная добавка к аргументу
суперфункции изменяет её асимптотические свойства в направлении
мнимой оси. Поэтому спецификация регулярного поведения суперфункции в комплексной плоскости существенно уменьшает многообразие решений или даже обеспечивает единственность решения.
Это типичный случай, когда по крайней мере одна из функций T и T −1 имеет особенности.
Исключением является лишь линейная функция
2

66

6

Конжекция о почти идентичной функцииЯ и мои коллеги предпринимали попытки доказать (или опровергнуть) рассуждение, использованное выше, о том, что функция F(z)вида (5.22) в полосе 0 ≤ <(z) ≤ 1 принимает все значения, за исключением, быть может, одного; но пока у нас нет строгого доказательства. Такое рассуждение можно сформулировать в виде конжекции:Для голоморфной периодичной функции θ с вещественным периодом τ , функция z 7→ z + θ(z) в области {z ∈ C : |<(z)| ≤ τ /2}принимает все значения из C, за исключением, быть может, одного.
Я надеюсь, что эта гипотеза, эта концепция не потребует стольких усилий, сколько потребовала знаменитая Теорема Ферма, хотя до сих пор мне не удалось найти ни одного математика, который бы взялся строго доказать её или предложил бы пример функции, которая эту гипотезу опровергает. После доказательства, такое
утверждение могло бы называться Теорема о почти идентичной
функции. Смысл такого названия в том, что даже небольшое периодичное искажение идентичной функции дают функцию, которая
принимает все значения даже на одном периоде. Пока эта теоремане доказана, её уместно называть гипотезой.
Гипотеза о почти идентичной функции важна для единственности
решения передаточного уравнения. Если передаточная функция, илиеё обратная функция, имеет хотя бы одну сингулярность, то преобразование голоморфной суперфункции по формуле (2.12) сужает
область голоморфизма. В этом смысле требование голоморфизма
является ключевым для единственности суперфункций.
Рассуждения предыдущей секции, главы, да и всей Книги, не являются строгими доказательствами. Они лишь указывают, почемудля голоморфной передаточной функции обычно удается построить
единственную суперфункцию. Неограниченный рост “почти идентичной” функции объясняет, как, почему и в каких случаях можно
ожидать единственности суперфункции.
В следующих главах рассмотрены и другие передаточные функции.
Для них тоже строятся суперфункции, даже если они не выражаются простым образом через функции, известные в 20м веке.

67Глава 6Регулярная итерация
Регулярная итерация есть способ построения нецелых итераций передаточной функции, которые регулярны в окрестности её стационарной точки. Обычно имеется в виду, что стационарная точка вещественна.
В принципе, регулярная итерация может использоваться и для случаев, когда стационарная точка передаточной функции не вещественна. При этом суперфункция может строиться по тем же формулам, но получаемая суперфункция тоже не вещественна и её применение в физике проблематично. Поэтому в этой главе я в первую очередь имею в виду случай вещественно-голоморфной передаточной
функции, её вещественной стационарной точки и её вещественноголоморфной суперфункции.
Речь идет о решениях F передаточного уравнения (2.7)
F (z +1) = T F (z)Я считаю, что передаточная функция T реально-голоморфна и стационарная точка L вещественна; T (L) = L. Для определенности
предположим, что T 0 (L) > 0. 1 Ниже, рассмотрена общая формула,а потом предлагаются несколько её реализаций для специфических
передаточных функций.
Предположение T 0 (L) > 0 естественно. Случай T 0 (L) < 0 трудно интерпретировать в терминах вещественных значений нецелой итерации, так как T n 0 (L) должна стремиться к единце
при n → 0. Читатели могут рассмотреть также случай, когда T 0 (L) = 0.
1

68

1

Общая формулаДля передаточного уравнения (2.7), решение F , экспоненциально
стремящееся к L, можно аппроксимировать так:F̃ (z) = L + ε + a2 ε2 + a2 ε3 + ..

(6.1)

ε = exp(kz)

(6.2)

где

Здесь k есть константа, имеющая смысл инкремента, и a суть тожеконстанты, не зависящие от z. Имея в виду приложения к физике
(и, в частности, к лазерной науке), здесь рассматривается случай,когда передаточная функция T и её суперфункция F вещественноголоморфны, то есть T (z ∗ ) = T (z)∗ и F (z ∗ ) = F (z)∗ .
В принципе, рассмотрение можно обобщить, добавляя в правую часть
уравнения (6.1) слагаемые, не полиномиальные по ε. Следуя декларациям Введения, здесь я рассматриваю простой (хотя и нетривиальный) случай.
При подстановке F → F̃ в передаточное уравнение (2.7)
F (z + 1) = T (F (z))в левой части уравнения оказывается выражение
F̃ (z +1) = L + ek ε + a2 e2k ε2 + a3 e3k ε3 + ..

(6.3)

а в правой T (F̃ (z)) = L + T 0 · ε + T 0 · a2 ε2 + T 0 · a3 ε3 + ..
T 00
T 000
2
2
(ε+..)3 + ..
+ (ε+a2 ε +..) +
2
6

(6.4)

где T 0 = T 0 (L), T 00 = T 00 (L), T 000 = T 000 (L), ..
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях ε в выражениях (6.3) и (6.4) дает уравнение для параметра k и коэффициентов a:ek = T 0(6.5)

e2k a2 = T 0 a2 + T 00 /2(6.6)

e3k a3 = T 0 a3 + T 00 a2 + T 000 /6

(6.7)

..
69

Цепочка таких уравнений легко решается и определает
k = ln(T 0 )T 00 /2
a2 =(T 0 − 1)T 0
T 00 a2 + T 000 /6
a3 =((T 0 )2 − 1)T 0
..

(6.8)
(6.9)
(6.10)

Для несложных передаточных функций, встроенные операции асимптотического анализа в таких пакетах как Математика и Клен позволяют в реальном времени вычислять десятки коэффициентов a.
Оборванный ряд в представлении (6.1) дает хорошую аппроксимацию для F при ε  1. Для положительных значений k, это соответствует большим отрицательным значениям <(z). Для иных значений, для аппроксимации суперфункции используется итерация
n
F (z) ≈ T F̃ (z − n)
(6.11)
при достаточно больших положительных значениях n для положительного k и при достаточно больших отрицательных значениях nдля отрицательного k. (Случай k = 0 квалифицируется как экзотический и рассматривается ниже в специальной главе про экзотические итерации.) Tакое представление во многих случаях позволяет
оценивать суперфункцию с требуемой точностью. В частности, такоценивается суперэкспонента по основанию b < exp(1/e) [50], суперфакториал [51] и голоморфные расширения логистической последовательности [57] и подпоследовательности Коллатза [93].
Этот случай называется регулярной итерацией, так как итерация поформуле (2.9), то есть T n (z) = F n+F −1 (z) оказывается голоморфной (“регулярной”) функцией в окрестности стационарной точки z =L. В случае вещественных значений L, можно ожидать, что именно
регулярная итерация соответствует физически-осмысленному решению F передаточного уравнения (2.7). Следуя аксиомам ТОРИ, япытаюсь подтвердить или опровергнуть эту конжекцию. Подтверждения получились, а насчет опровержения - после нескольких летпоисков, мне не удалось найти ни одного случая, когда физическиосмысленное решение передаточного уравнения (2.7) для T (L) = L,
T 0 (L) > 0, L = L∗ не выражалось бы через регулярную итерацию. Вэтом смысле можно считать научным фактом, что именно регулярная итерация дает физически-осмысленное решение.
70

2Метод проб и ошибок против дедукции

Этот раздел пишется для тех математиков, которые считают дедукцию царицей доказательств, а все проверки с частными случаями
считают упражнениями ниже своего достоинства. Ниже предлагается философское (и несколько лирическое) отступление от генеральной линии изложения. Речь идет об интерпретации термина “научный факт”, использованного в предыдущей секции.
Мне приходилось иметь дело с математиками, которые в качестве
подтверждения концепции признают только её строгий математический вывод. Я был склонен принять такую точку зрения, но меняотвратило одно неумолимое эмпирическое наблюдение: Результаты,полученные в результате “чистой”, строгой дедукции, чаще оказываются ошибочными, чем “догадки” (конжекции), сделанные на основе
анализа частных случаев и подтвержденные попытками опровергнуть результат.
Об одном случае, иллюстрирующем упомянутую выше закономерность, рассказал Юрий Широков. Он работал с одной Аспиранткой,и предложил ей рассчитать некоторую физическую зависимость. Аспирантка долго мучилась с выводом, но провела рассчет и принесла
формулу. Юрий посмотрел и сказал: “У вас ошибка”. Аспирантка
повторила свои выкладки, и стала настаивать на своем результате.
Она требовала, чтобы Юрий проверил её рассчеты. Юрий проверять
рассчеты не хотел. Аспирантка почти насильно заставила Юрияпроследить её дедукцию. Они вместе проверяли строчку за строчкой, Юрий читал и говорил “Угу”, но в последней строчке, когда
потребовалось применить формулу из справочника, Юрий сказал:“Здесь ошибка”. Аспирантка открыла Градштейна-Рыжика и показала формулу. Юрий посмотрел на формулу и повторил, что формула неверна. В той формуле было достаточно положить параметр
равным нулю, чтобы увидеть, что равенство нарушено. Аспирантка
обиделась: в списке опечаток, который добавлялся к каждому новому переизданию, про пресловутую формулу ничего не было. Юрийсказал:“Значит, будет”. Но он не смог убедить Аспирантку, что еслиона пользуется неверной формулой, и не считает нужным сделать
проверку, хотя бы для частных случаев, то это её вина.
71Я тоже не без греха. В рассчет усиления при выжигании пространственных дыр закралась ошибка [36, 37]. Общая формула не использовалась для оценок, и ошибка не была выявлена сразу. С тех поря не надеюсь, что соавторы выловят ошибки, и стараюсь не предлагать рассчеты, которые не используются для построения рисунков иформулировки основного “мессаджа” (абстракта и заключения) статьи. Это соответствует аксиоме 6: надо рассматривать самые простые построения, которые всё ещё приводят к нетривиальной концепции.
Иногда мне не удавалось убедить коллег, указывая на противоречияих концепций; приходилось продираться сквозь выкладки и публиковать соответствующий ерратум. Некоторые такие примеры упомянуты в УФН [55] и J.Mod.Phys.[72]. На основе этих наблюдений, ясчитаю, что применение аксиом ТОРИ более эффективно и надежно, чем громоздкая дедукция, претендующая на математическую
строгость. В идеале, конечно, желательно сочетать и математическую строгость, и всяческие проверки частных случаев, асимптотики численных рассчетов.
Всего один раз я столкнулся со случаем, когда четырнадцати значащих цифр оказалось недостаточно для численного опровержения
гипотезы о том, что две голоморфные функции тождественно совпадают [50]. Я был почти уверен в том, что эта разница вылезет придостаточно аккуратных рассчетах, так как две голоморфных функции не могут совпадать на вещественной оси, если они отличаются
хоть где-то в связной области их голоморфизма. Для вещественнoгоаргумента, разница между значениями функций проявляется в 25-мдесятичном знаке. Этот случай упомянут ниже в главе 16.
В физической математике, строгая дедукция не является царицей
доказательств; примерно так же, как в правовом обществе признание обвиняемого не является царицей доказательств его вины. Еслиутверждение удается доказать строго, то есть вывести на основе четкой математической выкладки - хорошо, но это не избавляет исследователя от необходимости проверять частные случаи и пытаться
построить хотя бы один опровергающий пример. В следующей секции я пытаюсь построить такой опровергающий пример.
72В этой секции я показываю, как ра- yботает регулярная итерация. Для этого используется пример с известным
ответом, а именно - функция Doyaиз предыдыщей главы, формула (5.12).
2График этой функции повторен на рисунке 6.1 толстой кривой.

)Пример с известным ответом: опять Doya.

y=y = ezT(z3Для функции Doya, суперфункцией является F = Tania; свойства этих функ- 1
ций и способы их вычисления описаны [74, 89, 90]. Однако допустим, чтомы (Читатель и я) не знаем простого
y = e z − e(e−1)z 2
аналитического представления суперфункции F не знаем её асимптотиче- 01zского поведения, разложения в ряд и Рис. 6.1: T = Doya и её линейная
т.п.; однако из физических соображе- и квадратичная аппроксимацииний подозреваем, что на минус бесконечности F экспоненциально стремится к стационарной точке L = 0функции Doya, и пытаемся вычислять суперфункцию F с помощью
регулярной итерации.
Пусть вдоль вещественной оси и её окрестностей, передаточная функция выражается по формуле (5.13), я повторю её ещё раз:T (z) = Doya(z) = LambertW(1+z ez )(6.12)

Свойства функции LambertW [94, 95, 96, 97] известны; в принципе,эта функция может рассматриваться без ссылок на функцию Tania,эмулируя ситуацию, когда суперфункция F неизвестна.
Передаточная функция T = Doya может описывать некоторый идеализированный усилитель с насыщением, в пренебрежении спонтанной эмиссией излучения; при этом стационарная точка L = 0, поскольку T (0) = 0. При малой интенсивности на входе, коэффициент
усиления равен e, но при интенсивностях порядка единицы, усиление насыщается; тогда приращение интенсивности при прохождении
усилителя слабо зависит от интенсивности на входе.
При малых значениях аргумента, функция T может быть аппрок73

(x −
2))
T3
(e x
p(x
T4
(ex − 3))
p(
x−
4))

exp
T 2(

1))

2

)
(x

T (e

exp
(x)

xp(
x−

3

F

T 4 (exp(x−4)−exp(2(x−4)))T 3 (exp(x−3) − exp(2(x−3)))1T 2 (exp(x−2) − exp(2(x−2)))
T (exp(x−1) − exp(2(x−1)))exp(x) − exp(2x))

−2

−1

0

1

2

3

4

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SimudoyaTb.png
Рис. 6.2: суперфункция F и её аппроксимации F̃ по формуле (6.11) для n = 0..4симирована полиномом;Doya(z) = ez − e(e−1)z 2 + O(z 2 )(6.13)

при этом T 0 (0) = e и T 00 (0) = −2e(e−1). Линейная и квадратичная
аппроксимации функции T тоже показаны на рисунке 6.1.
Для регулярной итерации, по формулам (6.8) и (6.9) находим, чтодля такой передаточной функции k = 1, и a2 = −1. Таким образом,первичное приближение с одним слагаемым для суперфункции - этопросто экспонента,F̃ (z) = exp(z)(6.14)

а учет двух слагаемых даетF̃ (z) = exp(z) − exp(2z)(6.15)

Эти первичные аппроксимации показаны на рисунке 6.2 верхней инижней кривыми. На этом же графике построены четыре итерации
этих первичных аппроксимаций по формуле (6.11) для n = 0..4. Этиаппроксимации приближаются к точному решению
F (z) = Tania(z −1) = WrightOmega(z)(6.16)

показанному на фисунке 6.2 чуть более толстой кривой.
Пример с передаточной функцией Doya показывает эффективность
регулярной итерации. В последующих главах Книги рассмотреныещё передаточные функции, для которых регулярная итерация даёткрасивые суперфункции.
74

4Уравнение Шрёдера

Именно для регулярной итерации, наряду с формализмом суперфункций (представленным в этой Книге), может использоваться формализм функций Шрёдера [11, 27] (не представленный в этой Книге). По английски функция Шрёдера называется Schroeder Function,а по-германски - Schröderfunction. Можно предложить также русский аналог, составное слово шрёдерфункция.
Вероятно, даже самые страстные секретутки знают, в чем заключается функция шрёдера, а именно, в том, чтобы резать бумагу.
Однако в математике (и даже физической математике), для передаточной функции T , функцией Шрёдера называется не уничтожение
документов, а решение g уравнения Шрёдера
g(T (z)) = s g(z)(6.17)

где s есть некоторая константа. Обычно предполагают, что T (0) = 0,то есть ноль является стационарной точкой передаточной функции.
Решение уравнения (6.17) можно искать в виде асимптотического
разложения
g(z) =∞
X

ap z p(6.18)

p=1

где коэффициенты a не зависят от z. Даже если серия в правой части
выражения (6.18) расходится, такое представление можно использовать для аппроксимации g при малых значениях модуля аргумента.
При этом сколь угодно точное (с любой требуемой точностью) решение g может быть получено применением уравнения (6.17) или егообратного

−1g(z) = s g T (z)(6.19)
в зависимости от того, что меньше, |T (z)| или |T −1 (z)|.
Чтобы не повторять здесь формализм функций Шрёдера, отмечу,что имеет место аналогия между функцией Шрёдера и функцией
Абеля. Пусть
G(z) = logs (g(z))
75(6.20)

логарифмируя обе части уравнения (6.17), я получаю уравнение
G(T (z)) = 1 + G(z)(6.21)

что есть ничто иное как уравнение Абеля для той же самой передаточной функции T . Похожим образом выражается аналог суперфункции. Читателю предлагается построить регулярные итерации
каких-либо передаточных функций, рассмотренных в этой Книге,используя функцию Шрёдера и её обратную функцию вместо стандартного (по крайней мере для этой Книги) использования абельфункции и суперфункции. Регулярные итерации, построенные длястационарной точки ноль с помощью функции Шрёдера и её обратной функции, совпадают с итерациями, построенными через функцию Абеля и суперфункцию.
Таким образом, использование формализма Шрёдера, там, где онприменим, не дает ничего нового по сравнению с использованием
формализма суперфункций. Поэтому в этой Книге я решил воздержаться от рассмотрения этого формализма. Впрочем, если кто-либопредложит пример, который решается с помощью функций Шрёдера, но не решается через функции Абеля, я готов пересмотреть моёотношение к функции Шрёдера и уравнению Шрёдера.
На этом я заканчиваю спекуляции на тему Шрёдера и возращаюськ суперфункциям, абельфункциям и итерациям. В следующей главе рассмотрены регулярные итерации относительно простой квадратичной функции, а именно - логистического оператора, или логистического отображения.
Название “логистическое отображение” выглядит абсурдно длинным,примерно как “дигедрогена моноксид”(рис. 6.3), но именно термин “логистическое отображение” использется коллегами. Когда устоится более короткое
Рис. 6.3: Дигидрогена моноксид
название, я готов использовать более
удобные обозначения.

H

76

O

H

Глава 7Логистическoe отображение
Термином “логистический оператор” или “логистическое отображение” (http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map) обозначается
квадратичная функция
T (z) = s z (1−z)(7.1)Параметр s обычно считается положительным числом. Логистическая последовательность F определяется логистическим уравнением
F (z +1) = T (F (z))(7.2)которое дословно совпадает с передаточным уравнением (2.7), и, посуществу, таковым и является; ещё требуется задать начальное условие F (0). Обычно подразумевается, что 0 < F (0) < 1.
В публикациях про уравнение (7.2) с передаточной функцией (7.1),
аргумент функции F считается целым числом [25, 28, 30, 46]. Уравнение (7.2) “ухватывает” некоторые свойства перехода физических
систем к хаосу [45, 22, 21]. Итерации передаточной функции (7.1)можно рассматривать как грубое приближение для описания стохастических физических систем и задач гидро- и аэро- динамики, атакже переходного поведения стохастических лазеров, в частности,вблизи одномодового режима генерации.
Мой учитель квантовой механики Елютин Павел Вячеславович, узнаво моих амбициях в связи с суперфункциями, попросил [48] меня построить половинную итерацию логистического отображения и континуальное обобщение логистической последовательности (7.1), чтоя и сделал [57]. Oсновныe результаты упомянутой статьи представлены в этой главе.
77

1

1

1

1
2

0

1
2

s=3
0

0.5

1 x

0

1
2

s=4
0

0.5

n=
1
n=
n
0
.
n= =
0 8
0.2 .5ynn =n == 0 1
n = 0 .8.
0.2 5

y = T n (x)n =n =
n =n = 0. 1
0 8
0. .5
2

y = T n (x)

1 x

0

s=5
0

0.5

x

1

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi1a345T300.png
Рис. 7.1: Итерации логистического отображения (7.1): y = T n (x) для s = 3,
слева; для s = 4, по центру; для s = 5, справа

1Логистичесская последовательность

Графики итераций логистического отображения T , определенного
формулой (7.1), как функций вещественного аргумента, представлены на рисунке 7.1 для s = 3 (левая картинка) s = 4 (центральная
картинка) и s = 5 (правая картинка); показаны итерации y = T n (x)для n = 0.2, n = 0.5, n = 0.8 и n = 1.
Все графики рисунке 7.1 построены по одной и той же формуле,T n (z) = F (n + G(z))(7.3)

где F есть суперфункция, решение уравнения (7.2), а G = F −1 естьеё обратная функция (то есть абельфункция логистического отображения). Суперфункция F , собственно, и есть “голоморфное расширение логистической последовательности”. Суперфункция F построена с помощью регулярной итерации, описанной в предыдущей
главе.
При построении суперфункции, ключевым является вопрос о стационарных точках передаточной функции. Для квадратичной передаточной функции T по формуле (7.1), уравнение T (z) = z имеет дварешения, z = 0 и z = 1−1/s. Первое из этих решений не зависит от s.
Это решение используется для вычисления “голоморфного расширения логистической последоветельности”, то есть суперфункции F , иабельфункции G = F −1 и, соответственно, для построения рисунка
7.1 по формуле (7.3). Это вычисление описано ниже.
78

1

F (x)
0

s=3
s = 3.4
s = 3.8

−2

−1

0

1

2

3

4

x

2

3

4

x

1

F (x)
s = 3.90−1

s = 4.1

−2

−1

0

1

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LogisticSecK2.jpg
Рис. 7.2: F (x) = LogisticSequences (x) по формулам (7.4),(6.11), (7.8)

для s = 3, s = 3.4, s = 3.8, вверху и для s = 3.9, s = 4, s = 4.1, внизу

2Стационарная точка L = 0Для логистической передаточной функции T по формуле (7.1), вразложении (6.1) можно положить k = log s; тогда ε = sz ; это даетразложение для начальной аппроксимации суперфункции в видеF̃ (z) =N−1
X

an snz + O(sN z )

(7.4)

n=1

Для соответствия с представлением (6.1), удобно положить a1 = 1.
Выбор этого коэффициента влияет лишь на трансляцию аргумента
полученной суперфункции. Формулы (6.9) определяют коэффициенты a. В частности,
a2 =

1
1−s

(7.5)

2
(1−s)(1−s2 )5+s=(1−s)(1−s2 )(1 − s3 )

a3 =

(7.6)

a4

(7.7)

Первичное приближение F̃ (z) по формуле (7.4) пригодно для аккуратного (прецизионного) вычисления суперфункции F (z) для больших отрицательных значений <(z). Логистическая последователь79

y v =0
2
u=0

v =0

v = −0.1v =0v = 0.1v =00 v =0

u = 0.2

u = 0.1

1

−1
u=0
−2
v =0
−2

−1

0

1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c3T1000.png
Рис. 7.3: u+iv = LogisticSequane3 (x+iy).

ность F , показанная на рисунке 7.2, получается как предел
F (z) = LogisticSequences (z)=lim LogisticOperatorsn
n→∞




F̃ (z −n)(7.8)

Для вещественных значений аргумента, графики суперфункции F =LogisticSequences построены на рисунке 7.2 при s = 3, s = 3.4, s =3.8 на верхней картинке и при s = 3.9, s = 4, s = 4.1 на нижней
картинке. Для s = 3, s = 4 и s = 5, комплексные карты функции
F = LogisticSequences пoказаны на рисунках 7.3, 7.4, 7.5.
Пока s < 3.5 (то есть не превышает “констант Помо-Манневилля”[57, 19, 43] ), голоморфное расширение F логистической последова80

y
2

v =0

0 v =0v =0v = 0 .1
v = −0.1

v =0

u = 0.1
u = 0.2

1 u=0−1 u = 0
−2

v =0
−2

−1

0

1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c4T1000.png
Рис. 7.4: u+iv = LogisticSequane4 (x+iy)тельности, как и сама последоветельность, демонстрирует достаточно однообразные осцилляции. При бóльших значениях этого параметра, осцилляции, по мере увеличения аргумента, становятся более сложными и более тесными; наблюдения поведения функции F
лишь при целочисленных значениях аргумента создает впечатление
квазислучайной последовательности. Пока s ≤ 4, при вещественном
x, функция F (x) колеблется, не выходя из сегмента [0,1], и лишьпри s = 4 касается краев этого сегмента при каждом колебании.
При s > 4, функция имеет “провалы”, которые становятся все более
глубокими при увеличении значений аргумента и/или параметра s.
При s = 4, голоморфное расширение логистической последователь81y2 v =0u=1v =0

0 v =0

u = 0.1
u = 0.2

1 u=0

−1

0

−1 u = 0−2 v = 0

−2

1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2c5T1000.jpg
Рис. 7.5: u+iv = LogisticSequane5 (x+iy)ности можно представить в виде элементарной функции,F (z) = (1 − cos(2z ))/2

(7.9)

Для s = 4, соответствующую кривую в нижней части рисунка 7.2
можно было бы провести и без метода регулярной итерации. Совпадение значений для случая, когда ответ известен, является тестом,независимым подтверждением адекватности регулярной итерациикак метода построения физически-осмысленных суперфункций.
При рассмотрении голоморфного расширения F в комплексной плоскости, её поведение полностью регулярно. Разумеется, колебания
этой функции становятся все более частыми по мере увеличения
82вещественной части аргумента.
Функция F , построенная на основе регулярной итерации, периодича;её период
P = 2πi/ ln(s)(7.10)

Эта периодичность видна на комплексных картах рисунков 7.5, 7.5,
7.5: изолинии воспроизводятся при соответствующих трансляциях
вдоль оси ординат. На этих картах помещается чуть больше одного
периода.
Голоморфное расширение логистической последовательности устраняет мистику стохастичности. Последовательности при различных
начальных условиях (причем не обязательно вещественных) умещаются на одной комплексной карте.
На основе голоморфного расширения логистической последовательности, можно строить, в частности, половинную итерацию передаточной функции, упомянутую в преамбуле этой главы; но дляэтого нужна ещё обратная функция, G = ArcLogisticSequences =LogisticSequence−1
s , то есть функция Абеля (или абельфункция) логистического оператора (7.1). Карты этой абельфункции показанына рисунках 7.6, 7.7, 7.8 для s = 3, s = 4 и s = 3. Эта абельфункция
рассмотрена в следующей секции.

3Абельфункция для логистического оператора

Функция, обратная к суперфункции F , или абельфункция G = F −1 ,удовлетворяет уравнению Абеля
G(T (z)) = G(z) + 1(7.11)

Комплексные карты функции G представлены на рисункax 7.6, 7.7,
7.8 . Асимптотическое разложение G̃ для абельфункции G может
быть получено обращением разложения (7.4) для суперфункции F ;!
N−1X
G̃(z) = logs
Cn z n + O(z N )(7.12)
n=1

83

v =2

y
2

u=

1
0

0

v =1

cut
u=

−1

cut
v = −1
0

2
v =−

−2

−2

−1

0

1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d3t1500.jpg
Рис. 7.6: u+iv = ArcLogistic3 (x+iy)На языке Matematica для этого есть процедура InverseSeries.
Коэффициенты C можно получить также подстановкой разложения
(7.12) в уравнение Абеля (7.11) при T (z) = s z (1−z) и приравниванием коэффициентов при равных степенях z. В частности,C1 = 1C2 =(7.13)

1s−1(7.14)

3s(s − 1)(s2 − 1)(s2 −5)s=(s−1)(s2 −1)(s3 −1)

C3 =(7.15)

C3(7.16)

Оборванная серия разложения (7.12) дает способ вычисления абель84

y
2
1
0

v=

u=0

2

v =1

cut

−1

=
v
−2

cut

2
−

−2

v = −1

−1

0

1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d4t1500.jpg
Рис. 7.7: u+iv = ArcLogistic4 (x+iy).

функции G при малых значениях аргумента. При больших значениях аргумента используется представление
G(z) ≈ G̃(T −n (z)) + n(7.17)

для целого n. Целые отрицательные итерации передаточной функции вычисляются с использованием обратной функции
r
1
1 z
−
(7.18)T −1 (z) = ArcLogisticOperators (z) = −2
4 sАбельфункция логистического оператора получается как предел
−nArcLogisticSequences (z) = G(z) = lim G̃(T (z)) + n(7.19)n→∞где символ G̃ обозначает оборванную серию в разложении (7.12).
Такое представление используется для построения рисунков 7.6, 7.7,
85

y

v=

2
1

u

1

0
=

0 cut

cut

−1

v=

−2

−2

−1

0

−1
1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2d5t1500.jpg
Рис. 7.8: u+iv = ArcLogistic5 (x+iy).

7.8 . Это же представление использовано для итераций, показанныхна рисунке 7.1. при s = 3, s = 4 и s = 5.
Функция ArcLogisticOperators (z) по формуле (7.18) имеет точку
ветвления z = s/4. Это ветвление обуславливает ветвление логистической последовательнности ArcLogistics и разрезы в правых частях
карт, показанных на рисунках 7.6, 7.7, 7.8 . Соответствующее ветвление имеют и нецелые итерации, показанные на рисунке 7.1.
Частным случаем нецелой итерации явлается половинная итерация,упомянутая в преамбуле этой главы. Kарты половинной итерации
показаны на рисунках 7.9, 7.10, 7.11. Следующая секция посвящена
этой половинной итерации.
86

v=

0

y
2

=4
v
1
0 v =0
−1

−1

0

0

−2

v=

−2

u=−
4
u=
−2
u=
0
u=
2

v = −412x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2b3t1000.jpg
1/2

Рис. 7.9: u+iv = LogisticOperator3 (x+iy).

4Половинная итерацияС функциями F и G = F −1 , итерации передаточной функции Tвыражаются по формуле (7.3). Именно так построены графики нарисунке 7.1. В частности, T 0.5 по формуле (7.3) являeтся решением
задачи, поставленной Елютиным: построена функция
h = LogisticOperator0.5
s(7.20)

такая, что её вторая итерация дает логистический оператор (7.1); тоесть для некоторого множества значений z, имеет место соотношение
h2 (z) = h(h(z)) = T (z) = LogisticOperators (z) = s z (1−z) (7.21)
87

v=

0

y
2
1 v =4

v =0

−1v

= −4

−1

0

−2

v=

−2

u=−
4
u=
−2
u=
0
u=
2

0

0

1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2s4t.jpg
Рис. 7.10: u+iv = LogisticOperator40.5 (x+iy)Комплексные карты функции h представлены на рисункax 7.9, 7.10
и 7.11 для различных s.
LogisticOperators (z) ≈ τ (z) = −s(−z)2(7.22)

Итерации функции τ могут вычисляться по аналогии с итерациями
передаточной функции по формуле (4.20). Читатели приглашаются
построить для такой тау суперфункцию и абельфункцию. Половинная итерация может быть записана так
τ

1/2

√

(z) = −α(−z) 2√
1/(1+ 2)

(7.23)где α = sесть константа, и эта константа медленно зависитот параметра s. На рисунке 7.12 показана карта функции τ 1/2 поформуле 7.23 при α = 1.8; она похожа на все три карты на рисунках 7.9, 7.10 и 7.11 , соответствующих различным значениям s. В
88

v=

0

y
2
1

v =4

0 v =0

u=

−1

0

4

0
u=

−2

v=

−2

−4

u=−
4

−1 v =

0

1

2

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logi2s5t.jpg
Рис. 7.11: u+iv = LogisticOperator50.5 (x+iy)этих рисунках не удается направить линию разреза влево, и линии
разреза, отмеченные пунктиром, пришлось направить вправо.
При больших значениях x2+y 2 , карта рисунка 7.12 похожа на карты
рисунков 7.9, 7.10 и 7.11 ; лучше даже сказать, что все эти четыре
карты похожи между собой. Различие заметно лишь при значениях
аргумента порядка единицы. Карты пришлось сделать во всю ширину страницы для того, чтобы это различие было видно без лупы.
После того, как нецелая итерация какой-либо функции построена,полезно проверить, что дают итерации такой итерации. В частности, вторая итерация половинной итерации какой-либо передаточной функции должна давать эту передаточную функцию. Для передаточной функции LogisticOperators и её половинной итерации
89

y
2
1
0
−1
−2

−2

−1

0

1

2

x

√

Рис. 7.12: u+iv = −1.8(−(x+iy)) 2

h = LogisticOperator0.5
s , такая проверка представлена на рисунке
7.13. Показана карта функции h2 для s = 3, s = 4 и s = 5, то есть длятех же значений параметра, для которых явные графики половинной (и не только половинной) итерации логистического оператора
построены на рисунке 7.1. В левой части карт рисунка 7.13, вторая итерация функции h совпадает с логистическим отображением.
Драные линии указывают границы области применимости соотношения (7.21).
Формула h(h(z)) = T (z) годится по крайней мере при <(z) < 1/2 . Oбэтом можно догадаться также из рисунка Таким образом, голоморфное расширение логистической последовательности и соответствующие нецелые итерации логистического отображения соответствуют
интуитивным ожиданиям насчет таких функций.

90

u=
u= 3
u= 2
1

y

−1

s=4

v =4
v =2
0 v =0

y

−1

s=5

1

0

1

cut

cut

x

x

u
u == 4
u= 3
2

u=

1
2

0
u
u == 4
u= 3
u= 2
1

0
u = −1
u= 2
u=− 3
u=−
u = −4

1
2

v =0
cu
t

0
u = −1u=u = −2u = −3u = −41
2 v =4v =20 v =0

cut

s=3

v =0

y

u=
u = −4u = −2
0

−1

−1

2
4
=
=
u u
0

cut

v =0

1

v =4
v =2
0 v =0v = −2v = −4
1
−
2

1

cut

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Logiha300.jpg
Рис. 7.13: u+iv = h(h(x+iy)) по формуле (7.20) для s = 3, s = 4 и s = 5

91

0

−4

−3

−2

v =0

1

v = −0.1v =0v = 0.1

−3

−2

−1

0

1

2

x

1

2

x

y

v =0

v =0

v =0

v =0

u = 0.8v =0
u = 0.7

v =0

u = 0.7

0

v =0

1

−1

0

−1

−4

Рис. 7.14: График голоморфного расширения F (x) логистической последовательности, построенного вблизи стационарной точки L = 1−1/s по формулам
(7.25),(6.11) и комплексная карта этого расширения для s = 4; u+iv = F (x+iy)

5Иная стационарная точка, L = 1 − 1/sГоломорфное расширение F логистической последовательности поформулам (7.4),(6.11) регулярно и периодично, причем период (7.10)
чисто мнимый и слабо (логарифмически) зависит от параметра s.
Однако такое расширение далеко не единственно. По аналогии срегулярной итерацией на основе стационарной точки L = 0, можно
построить решение, которое на минус бесконечности стремится кдругой стационарной точке передаточной функции, а именно, L =1−1/s. Tакое решение показано на рисунке 7.14.
По аналогии с регулярной итерацией, описанной в начале этой главы, асимптотическое решение передаточного уравнения (2.7) для логистической передаточной функции (7.1) около стационарной точки
L = 1 − 1/s может строиться в видеN −1
ns−1 X zF̃ (z) =+dn (s−2) cos(πz + ϕ)
s
n=1

N
z
F (z) = F̃ (z) + O (s−2) cos(πz + ϕ)

(7.24)(7.25)

где d суть вещественные коэффициенты и ϕ есть вещественный па92раметр. Подстановка такого разложения в передаточное уравнение
2.7 и приравнивание коэффициентов при z в одинаковых степенях
дает цепочку уравнений для коэффициентов d. Как и ранее, удобно
положить d1 = 1; тогда−sd2 =(s − 1)(s − 2)−s2
(7.26)d3 =(s − 1)(s − 2)(s − 3)−(s − 7)3 s3d4 =(s − 2)(s − 3)(s3 − 8s2 + 22s − 21)Такой ряд дает аккуратную аппроксимацию суперфункции F (z), пока эффективный параметр разложения, то есть (s−2)z cos(πz + ϕ),мал. Оборванная серия (7.25) обеспечивает порядка десятка значащих цифр приπ|=(z)|+ln(s−2)<(z) < 4(7.27)

Расширения области адекватности с помощью итераций (6.11) даетопределение алгоритм вычисления такой суперфункции F :
F (z) = lim T n F̃ (z −n)(7.28)n→∞Суперфункция по формуле (7.28) асимптотически периодична; асимптотический периодP =2πln(s−2) i + π(7.29)

в верхней полуплоскости и P ∗ в нижней полуплоскости.
В отличие от суперфункции, построенной регулярной итерацией около нуля, выбор обратной функции (то есть абельфункции) для функции с разложением (7.25) достаточно сложен; трудно решить, которая из осцилляций “настоящая”; но в принципе функция, показаннаяна рисунке тоже может считаться голоморфным обобщением логистического оператора. В соответствии с Шестой аксиомой ТОРИ,наиболее простое из решений я считаю основным, а более сложное
- дополнительным.
Как и во многих случаях, обычная регулярная итерация (в данном
случае около нуля) дает наиболее простое (и в этом смысле “физичное") решение. Ещё один такой случай рассмотрен в следующей
главе.
93Глава 8Корень из факториалaЕщё во время СССР, мой учитель квантовой механики, П.В.Елютин,в порядке издевательства над несчастными студентами, предложил
дать физический смысл оператору “корень из факториала”, уже тогда известному как символ Физфака МГУ (рис. 2.1). Я предложил,что корень из факториала - это такая функция, вторая итерация
которой есть факториал. То есть решение h уравнения
h(h(z)) = z!

(8.1)Однако тогда я не смог указать способа вычисления этой функции;я не знал, что формализм для вычисления таких функций будет
создан лишь в 21м веке.
√После успешного вычисления тетрации по основанию 2, опубликованного в журнале “Mathematics of Computation” [50], задача Елютина оказалась вполне решабельной; решение опубликовано в Вестнике МГУ (Moscow University Physics Bulletin) за 2009 год [54]. Ужепосле публикации про факториал, выяснилось, что Елютина больше
интересует не половинная итерация факториала, а половинная итерация логистического отображения и, соответственно, континуальное обобщение логистической последовательности [57]. Такое обобщение оказалось даже проще факториала, и поэтому в этой Книге
изложено раньше, в предыдущей главе. А в этой главе я пересказываю основые идеи публикации [54] про корень из факториала.
Прежде, чем итерировать факториал, полезно посмотреть на график факториала (рисунок 8.1) и вспомнить его свойства. Эти свойства перечислены в следующей секции.
94

yy = Factorial(x)

5
y =x

4
3
y

2

−1 (x)laior= Fact

1
ν0

ν1

−3

−2

−1

y = Facν0 µ 01/µ1 1

2

torial(x −1
)

3

−1
−2
−3
µ1

−4
−5

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FactoReal.jpg
Рис. 8.1: Факториал и похожие функции

95

x

y
6
4

v =0
u=0
v =0
u=0
v =0

2
0

u=
v=0
u =0
v=0
u= 0
0

−2

0
=
v = 00
u = 0
v =
u =0
v

−4
−6
−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Factorialz.jpg
Рис. 8.2: u+iv = Factorial(x+iy)1Факториал и его стационарные точкиДля построения суперфункции какой бы то ни было передаточной
функции, вопрос о её стационарных точках очень важен. Вещественные стационарные точки факториала суть решения L уравнения
Factorial(L) = L(8.2)

Для вещественных значений аргумента, график факториала построен на рисунке 8.1 толстой кривой, y = Factorial(x). Стационарные
точки соответствуют пересечениям этой кривой с прямой y = x.
Для сравнения, на рисунке показаны также графики функций Factorial−1
и z 7→ Factorial(z)−1 .
Kомплексные карты факториала и аркфакториала показаны на рисунках 8.2 и 8.3.
96

v=

0.
6

0.8
v=

v =1

v =1

4

1.6

.2

v=

1.4

6

v =1

v=

y

.4
0
=

v
.2
v =0

0

cut

v=0
u=
u= 2.8
3

2

.8
v =2

−2 v = −2

−4

−2

v =−
1.2

−1
.4

v=
−6

0

8
−0.

−8

v=

v=

−6

.6
1
−

v = −1.8
1−−4 v =

2
3.
u= 4
.
3
u=

2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AfacmapT800.png
Рис. 8.3: u+iv = ArcFactorial(x+iy)Численные имплементации факториала и аркфакториала, необходимые для регулярной итерации, в интернете найти было сложно. Софтвер “Mathematica” распознает факториал как встроенную
функцию, но вычисляет её медленно, “To press a key, to have a tea”.
Пакет “Maple” оказался не лучше [41].
При вычисления суперфункции, передаточная функция вызывается
несколько раз, и важно, чтобы она вычислялась быстро. Рутины дляфакториала и аркфакториала типа “Complex double” на языке C++загружены по урлям
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fac.cin и
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Afacc.cinГрафик факториала представлен на рисунке 8.1. На этом же рисунке представлены графики y = Factorial−1 (x) и y = Factorial−1 (x).
Отмечены также первые экстремальные точки факториала, локаль97ный минимум в точке x = ν0 и локальный максимум в точке x = ν1 ;значения функции факториал в этих точках обозначены соответственно, как µ0 и µ1 . Функция Factorial−1 (x) в точке x = µ0 имеет
точку ветвления, и в этой точке имеет значение ν0 .
В широкой области значений аргумента, комбинация факториалаи аркфакториала эквивалентна тождественной функции, значение
которой равно её аргументу. Эта функция показана на рисунке 8.1
тонкой линией. Эта линия проведена на рисунке 8.1 не для того,чтобы напомнить читателю, что такое тождественная функция 1 , ачтобы показать, выделить вещественные стационарные точки факториала. Поэтому на рисунке 8.1 прямая y = x продолжена влево,где соотношение Factorial(ArcFactorial(x)) = x вызывает сомнения.
Стационарными точками факториала являются решения L уравнения
Factorial(L) = L(8.3)

На рисунке 8.1 поместилось четыре такие точки: L = 2, L = 1,
L ≈ −3.15 и L ≈ −3.95; и ещё счетное множество таких точек осталось слева, за пределами рисунка. В принципе, каждая из этих точек
может быть использована для регулярной итерации. То есть для построения асимптотического разложения суперфункции и вычисления этой суперфункции, суперфакториала. В этой главе, в качестве
стационарной точки для регулярной итерации выбрано только одно значение, а именно L = 2. Именно эта стационарная точка даетвещественно-голоморфную суперфункцию, неограниченно (и весьма
быстро) растущую на бесконечности.
Kомплексные карты факториала и аркфакториала представлены нарисунке 8.2. Свойства факториала можно найти, в частности,в ТОРИ http://mizugadro.mydns.jp/t/Factorial,на Ситизендиуме http://en.citizendium.org/wiki/factorial,в Википедии http://en.wikipedia.org/wiki/FactorialВ связи с подавлением науки в России [71], англоязычные описания
специальных функций лучше русскоязычных. В следующей секции,свойства факториала используются для построения его суперфункции, то есть суперфакториала.
1Предполагается, что это каждый младенец знает. У нас почему-то никто не знает, от чегоумер Пушкин и чем фудоки отличаются от нибелунгов, а как очищают политуру [15] и чтотакое тождественная функция, и нас все знают.

98

2Регулярная итерация для суперфакториала

Имеется счетное множество вещественных стационарных точек факториала. Интуитивно представляется, что суперфункция факториала, как и его абельфункция, должна быть монотонно растущей
функцией по крайней мере в направлении вещественной оси. Чтобы
обеспечить такой рост, выбрана наибольшая вещественная стационарная точка, а именно, L = 2. Здесь описано построение суперфакториала, который стремится к этой стационарной точке при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента.
В соответствии с общей формулой (6.1), для регулярной итерации
вблизи стационарной точки L = 2 используется асимптотическое разложение суперфункции F от факториала:F (z) = L + exp(kx) + a2 exp(2kz) + .. = L + ε + a2 ε2 + ..

(8.4)

В соответствии с общими формулами (6.8), (6.9), .., подстановка такого разложения в передаточное уравнение

Factorial F (z) = F (z +1)(8.5)
дает значение инкремента
k = ln(K) = ln 3 + 2 Factorial0 (0) = ln(3 − 2 γ)
≈ 0.61278745233070836381366079016859252(8.6)

где γ = −Γ0 (1) ≈ 0.5772156649 есть постоянная Эйлера.
Для коэффициентов a получаются такие выражения:π 2 + 6γ 2 − 18γ + 6≈ 0.798731835172434541585621(8.7)
12(3 − 5γ + 2γ 2 )= − 36 − 39π 2 − 738γ 2 + 324γ + 99π 2 γ − 60π 2 γ 2 − π 4 + 24γ 5

3
2
3 2
4
+594γ − 120ζ(3)γ + 48ζ(3)γ + 12γ π + 72ζ(3) − 204γ /


2
3
4
5
144(−18 + 69γ − 104γ + 77γ − 28γ + 4γ )

a2 =
a3

≈ 0.5778809754764832358038

(8.8)
∞
X
1

.
z
n
n=1
Здесь используется только ζ(3) ≈ 1.202056903 , то есть значение этойфункции лишь в одной точке.

где буквой ζ обозначена Дзета-функция Римана [18], ζ(z) =99Таблица 8.1: Коэффициенты a и U в разложениях (8.4) и (8.12)
n
an
Un
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0.7987318351724345
0.5778809754764832
0.3939788096629718
0.2575339580323327
0.1629019581037053
0.1002824191713524
0.0603184725913977
0.0355544582258062
0.0205859954874424−0.7987318351724345
0.6980641135593670−0.6339640557572815
0.5884152357911399−0.5538887519936520
0.5265479025985924−0.5041914604280215
0.4854529800293392−0.4694346809094714

Похожие (но более громоздкие) выражения получаются и для других коэффициентов a; приближенные значения этих коэффициентов
приведены в первом столбце таблицы 8.1. Кроме того, для численных имплементаций, удобно принять a0 = 2 и a1 = 1; тогда частичная
сумма в асимптотическом разложении (8.4) программируется в однустрочку.
Ввиду положительности параметра k, разложение (8.4) дает хорошее приближение F̃ для суперфункции F от факториала при больших отрицательных значениях аргумента. Для иных значений аргумента, используется выражение
n
F (z) ≈ Factorial F̃ (z −n)(8.9)при достаточно большом натуральном n. Для значений <(z) порядка единицы, достаточно итерировать факториал всего несколько
раз, чтобы требуемое значение ε стало порядка одной десятой; тогда
полтора десятка слагаемых в разложении (8.4) дают около четырнадцати верных значащих цифр в оценке значения F (z).
Удобно, когда в нуле функция принимает целочисленное значение.
Для растущей передаточной функции, это значение должно бытьвсе ещё больше соответствующей стационарной точки. Если стационарная точка L = 2, то естественно положить суперфакториал в нулеравным трем. Чтобы зафиксировать это значение суперфункции внуле, пусть
SuFac(z) = F (z3 +z)
100(8.10)

где z3 ≈ −0.91938596545217788 есть вещественное решение уравнения F (z3 ) = 3. Тогда SuFac(0) = 3 .

y
9

6
5

y = SuFac(

7

x)

8

y = FactorВдоль вещественной оси,суперфакториал быстро растет, далеко обгоняя факториал (который иногда приводяткак пример быстро растущей функции). График суперфакториала поформуле (8.10) в сравнении с факториалом показан на рисунке 8.4.

ial(x)

Суперфункция от факториала может называться суперфакториалом, а обратная функция - абельфакториалом. Однако названия
SuperFactorial и AbelFactorial длинные; вместо них я пишу SuFacи AuFac. Такие имена соответствуют простой мнемонике: имя передаточной функции сокращается до трех букв; приставка Su соответствует суперфункции, построенной на максимальной (upper)стационарной точке, а приставка Au указывает на соответствующую
абельфункцию. В случае успешного применения абельфункций в золотодобывающей промышленности, целью которой декларируется
золото, Au, такое обозначений примет особенно пикантный смысл,и тогда систему обознечений прийдется пересмотреть.

4График факториала про3ходит через точки
2(0,1), (1,1), (2,2), (3,6).
График суперфактори1ала проходит через точки (0,3), (1,6), (2,720);−3 −2 −1 0 1 2 3 xпоследняя точка не поРис. 8.4: Суперфакториал и факториал
местилась на рисунке.
Комплексная карта суперфакториала представлена на рисунке 8.5.
Суперфакториал является периодичной функцией. Как и у других
суперфукций, построенных регулярной итерацией у вещественной

101стационарной точки вещественно-голоморфной передаточной функции, период P чисто мнимый. На рисунке 8.5 уместилось чуть меньше двух периодов.
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Superfactocomple1.png

y
6

u=2

v = −0.2

v =0

u = 1.84

u=1
u = 1.2

u=1

v = 0.2

u=2

v =0

u = 0.8856031944

2

v =0
u = 2.2

v =0

0

v =0

−2 u = 2

u=1v = −0.2

−4
v =0

v =0

−6

u = 1.8u=2−8−6v = 0.2

y
2

−4

−2

u = 1.2

0

2

4

u=1
6
x

0 .8

u=

u=

v =0

2

1

3

u=0

u=

4

u=

v =0

v=

2

u=

v =1

1

u = 0.8856031944

1

2

3

4

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sfaczoo300.png
Рис. 8.5: u+iv = SuFac(x+iy) и зумин центральной части карты
102

5

x

Для суперфакториала, период
P =


2πi
= 2πi ln 3+2 Factorial0 (0) ≈ 10.253449681156 i (8.11)kВ полосax x > 2, |=(z) + nP | < 1, для целых n, суперфакториал
имеет счетное множество сингулярностей. При пересчете значенияот кривой v = 0 с помощью передаточного уравнения на единицу
вправо, каждый полюс функции факториал дает сигнулярность суперфакториала. Как и другие сингулярные суперфункции, карта
суперфакториала имеет фрактальный характер: структуры, образованные линиями v = 0, воспроизводятся при единичных трансляциях вправо, и обрастают новыми деталями. Эти детали видны нанижней карте рисунка 8.5. Вне указанных полос, суперфакториал
голоморфен, и стремится к стационарной точке факториала L = 2 влевой полуплоскости и к стационарной точке L = 1 в правой полуплоскости.
Быстрому росту суперфакториала можно противопоставить медленный рост обратной функции, то есть абельфакториала. Его карта
показана на рисунке 8.6; эта функция строится в следующей секции.

3АбельФакториал

Обращение серии асимптотического разложения суперфакториала
дает разложение обратной функции, то есть абельфакториала, ( илиарксуперфакториала), в виде
!
N
−1
X
1
Un (z −2)n + O(z −2)N
(8.12)
G̃(z) = lnkn=1Значение параметра k определяется тем же выражением (8.6), чтои в разложении суперфакториала;U1 = 1(8.13)
2

U2 = −

2

π + 6γ − 18γ + 6≈ 0.7987318
12(3 − 5γ + 2γ 2 )(8.14)

и так далее. Приближенные значения коэффициентов U предложены в правом столбце таблицы 8.1.
103

y
6

u = 1.6

u = 1.4

u = 1.8v = 0.4
u = 1.2

4
v = 0.62

v = 0.2

v = 0.8

u=1
v =0

cut

0

−2 v = −0.6

v = −0.8
u = 1.2−4−6−8

u = 1.8−6

u = 1.4 v = −0.4

u = 1.6v = −0.6
−4

−2

0

2

4

u = 1.46x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AbelFacMapT.jpg
Рис. 8.6: u+iv = AbelFactorial(x+iy).

Для значений z, сильно отличающихся от 2, рекуррентно применяется формула

G(z) = G ArcFactorial(z) + 1(8.15)
до тех пор, пока |z − 2| станет малым и разложение (8.12) начнет
давать аккуратные значения. Такая рекурренция определяет разрез
абельфакториала; разрез идет вдоль вещественной оси и уходит наминус бесконечность.
Ввиду того, что SuFac(0) = 3, для абельфункции от факториала,назову её AuFac = AbelFactorial = SuFac−1 , надо обеспечить условие AuFac(3) = 0. Для этого надо сдвинуть значение функции G наконстанту z3 = G(0) ≈ −0.91938596545218; то есть абельфакториал

104

аппроксимируется какn
AuFac(z) ≈ AuFacn (z) = G ArcFactorial (z) + n − z3

(8.16)

для достаточно большого натурального числа n.
Такая аппроксимация не должна создавать впечатления, что построено лишь приближенное решение. Точную формулу можно выразить
через предел, то естьAuFac(z) = lim AuFacn (z)n→∞(8.17)

При этом абельфакториал оказывается обратной функцией суперфакториала. В частности, такой алгоритм использован для построения рисунка 8.6.
Абельфакториал сравни- yrial(x)
o
t
c
a
F
c
r
вается с аркфакториy =A2алом на рисунке 8.7.
x)
(
c
a
F
u
График аркфакториала 1
y =Aпроходит через точки
(1,1), (2,2), (6,3), (24,4), 0 1
2
3
4
5
6
7 x
хотя последняя точка
−1уже за пределами рисунка и страницы. График −2абельфакториала проходит через точки (3,0),Рис. 8.7: Aркфакториал и абельфакториал
(6,1), (720,2), хотя последняя точка находится не только за пределами страницы, но иза пределами комнаты, в которой пишется эта книга; а следующая
точка, в которой абельфакториал принимает целое значение, то есть(720!,3), оказывается далеко за пределами нашей Галактики.
Абельфакториал растет очень медленно. Если аргумент этой функции реализован как некоторая физическая величина (расстояние,масса, заряд и т.п.), измеренная в сколько-нибудь разумных единицах, то не в человеческих возможностях сделать эту величину такой
большой, что абельфакториал от нее достигнет трех.
Когда функции SuFac и AuFac построены, можно строить итерации
факториала. Эти итерации рассмотрены в следующей секции.
105

9
8

n = 0.5n=0
n = .4n = 0 .3
0.2
n=n = 0 .1
0

n→∞
n=2
n=1

y

.1
0
−
=
n
.2
0
−
=
n −0.3n = −0.4
n=
.5
0
−
=
n

7
6
5
4

n = −1n = −2n → −∞

3
2
1
1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:FacitT.jpgnРис. 8.8: y = Factorial (x) при различных значениях n4Итерации факториалаС помощью суперфакториала и абельфакториала, итерация номер
n факториала записывается в видеnh(z) = Factorial (z) = SuFac n + AuFac(z)(8.18)
В таком представлении, параметр n не имеет надобности быть целым числом. На рисунке 8.8 показан график y = Factorialn (x) дляразличных значений n. Рисунок 8.8 аналогичен рисункам 4.1, 4.4,
4.5, 4.11, 5.11, где показаны итерации других функций, хотя длянецелых итераций факториала нет компактного представления через специальные функции, описанные в справочниках 20го века.
106

y
6
4
u=
0

u=

v =0

u=0

−2

v =8

u=0

cut

0

−4

v =0

2

8

v = −8v = 0.4
u = 0.4
u = 0.6

u = −8

−6
−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:QFacMapT.jpg
Рис. 8.9: u+iv = Factorial

0.5(x+iy)

При n = 1/2, формула (8.18) дает корень из факториала, то есть половинную итерацию факториала. Карта функции h = Factorial1/2 показана на √рисунке 8.9. Именно эта функция может быть обозначена
символом ! , используемoм на знаке Физфака МГУ, обсуждаемомво Введении и показанном на рисунке 2.1.
Концепция корня из факториала вызвала конфузии и дискуссии.
Некоторые коллеги отказывались видеть разницу между выраже√ниями Factorial1/2 (z) и Factorial(z)1/2 , интерпретируя Factorial(z)pкак эквивалент Factorial(z). Чтобы устранить, наконец, путаницу,функция h = Factorial1/2 рассмотрена здесь более подробно.
Ключевым для проверки√ и верификации предлагаемой здесь интерпретации функции
! , корня из факториала, является исследова107

y
6

t
u
c

4
2

v =0

0
−2
−4
−6
−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

Рис. 8.10: u+iv = h2 (x+iy).

ние области применимости соотношения
h(h(z)) = Factorial(z) = z!

(8.19)

Карта функции h2 в левой части уравнения (8.19) показана на рисунке 8.10. Этот рисунок можно сравнить с рисунком 8.2, где показана
карта факториала.
В правой части рисунка 8.10, карта функции h◦h совпадает с картой
факториала. По крайней мере в полосе <(z) > 1, |=(z)| ≤ 4, соотношение (8.19) выполняется; полученный “корень из факториала” ведет себя в соответствии с интуитивными ожиданиями относительно
этой функции. Область применимости соотношения (8.19) ограничена разрезами. Такие разрезы типичны при итерации функций, еслиномер итерации не выражается натуральным числом.
108

5Применение и спекуляции

Факториал не является экзотикой, исключением. С помощью формализма суперфункций, нецелые итерации можно строить для любой сколько-нибудь осмысленной голоморфной передаточной функции.
Нецелые итерации функций расширяют инструментарий, например,для аппроксимации (фиттинга) различных неизвестных функций. Клюбой аппроксимирующей функции добавляется возможность итерировать её произвольное количество раз.
Расширение инструментария важно для экстраполяций. Удачная фитирующая функция имеет мало параметров, это улучшает предсказательную способность экстраполяции. Безграмотное (или жульническое) использование примитивных аппроксимаций с множеством параметров Рис. 8.11: Что значит гнать пургу
ведет к неверным результатам.
Примером такой концепции является “глобальное потепление” 2 , спомощью которого жулики гонят пургу (рис. 8.11) и пилят бюджет.
Я надеюсь, что нецелые итерации факториала не будут использоваться для такого мошенничества - хотя бы потому, что суперфункции позволят уменьшить число подгоночных параметров и ограничить возможности для всяческих артефактов в предсказаниях - какумышленных, так и невольных.
Факториал является быстро растущей функции с вещественной стационарной точкой. Стационарная точка 4 использована для построения суперфакториала, абельфакториала и нецелых итераций факториала. Ещё пример быстрорастущей передаточной функции с вещественной стационарной точкой рассмотрен в следующей главе.

2

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Purgu.png Глобальное потепление
http://rus.ruvr.ru/2009/12/18/3089576/ 18 декабря 2009, 18:22. Россия будет бороться спотеплением вне зависимости от результатов саммита. Дмитрий Медведев рассказал о лидирующей роли России в борьбе с глобальным потеплением.

109

Глава 9Экспонента по основанию sqrt(2)y=y = exp√
(
2 x)
x

y
7
6
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2plotT.png√
Рис. 9.1: Экспонента по основанию b = 2√
Экспонента по основанию 2 оказалась первой в истории человечества передаточной функцией, для которой методом регулярной итерации
была построена суперфункция [50]. Экспонента по основанию
√2 определяется через обычную, натуральную экспоненту;


 √ 
ln(2)
z
(9.1)
T (z) = exp√2 (z) = exp ln( 2)z = exp
2График такой
передаточной функции T показан на рисунке 9.1. Ос√нование 2 привлекательно тем, что, для такой экспоненты работает метод регулярной итерации, причем стационарные точки L = 2 и
L = 4 выражаются натуральными числами. Эти точки обозначены
пересечением кривой y = T (x) и прямой y = x.
110

y

u=1

u=2
u=3

v = −0.4

v = −1v = −2

−6

−4

−2

0

2

v =2
v =3

v = 0.4
u = 0.4

u=0v =1

v = 0.2

v =0

u = 0.24

u=0v = −0.2

6

2
0
−2
−4
−6
−8
−8

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2mapT.png
Рис. 9.2: u+iv = exp√2 (x+ iy)Комплексная карта экспоненты по основанию b =рисунке 9.2. Эта функция периодична, её период
P =√2 показанa на

2πi
2πi= √  ≈ 18.1294405673 iln(b) ln2

(9.2)

На рисунке 9.2 уместилось чуть меньше одного периода.
Чтобы вычислять экспоненту, нужно знать свойства умножения иего обратной операции, то есть деления. Примерно так же, для того,чтобы вычислять итерации экспоненты и суперэкспоненту, нужно
знать свойства экспоненты её обратной функции. Иначе может случиться, что после лекции об устройстве паровоза, курсант-машинист
спросит, куда в паровозе запрягаются лошади, а после курса атомной физики - о том, как откачивают воздух из пространства между
111

v=

6

3

v =4

y

4

v=

2
0

2

v=

v =9
v = −9

1

v =0

−2

v=

−4

u=3
u=4

−6

u=5

v=

−1

v=

−
2

−3

−8
−8

−6

−4

−2

0

u=6
2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpQ2mapT.png
Рис. 9.3: u+iv = log√2 (x+ iy)ядром и электронами. Для экспоненты по основанию b, обратной
функцией является логарифм по основанию b, то есть минус первая
итерация:
2
ln(z)
(9.3)
ln(2)
√
Комплексная карта логарифма по основанию b = 2 показана нарисунке 9.3. Эта функция имеет разрез вдоль отрицательной части
вещественной оси, и её скачок на этом разрезе определяется периодом экспоненты:T −1 (z) = log√2 (z) = logb (z) =log√2 (x + io) − log√2 (x − io) = P ≈ 18.1294405673 i(9.4)

для x < 0. На рисунке 9.3, уровни v = =(log√2 (x + iy)) = −9 и v ==(log√2 (x+iy)) = 9 близки к отрицательной части вещественной оси.
112

Стационарные точки экспоненты L = 2 и L = 4 являются также истационарными точками логарифма, их видно на рисункax 9.1, 9.2 и
9.3.
√ В этой главе описано построение суперэкспоненты по основанию
2 регулярной итерацией на стационарной точке L = 4. Следующая
секция рассказывает, как строится такая суперэкспонента.

Суперфункция на стационарной точке L = 4y20В главе 6 рассказано, как строятся итерации, регулярные в окрестности стационарной точки. Здесь
этот метод адаптирован для построения суперэкспоненты по ос√нованию 2, асимптотически стремящейся к стационарной точке
L = 4 при больших отрицательных
значениях аргумента, и неограниченно растущей при положительных значениях аргумента. Этафункция названа SuExp√2,5 и еёграфик показан на рисунке 9.4.
Ниже рассказывается, как строится эта функция.

19
18
17
16
15
14
13
12
11
2,5 (x)

10
9

Exp √

1

Я использую общую формулу
(6.1) асимптотического разложения суперфункции F , которая наминус бесконечности стремится кэтой стационарной точке. Для передаточной фуникции T = exp√2 ,эту формулу можно записать так:f (z) =N
−1
X

an enkz +O eN kz



7
6
5
4
3

x)
(
√ 2
p
ex

1
−3 −2 −1причем a0 = L = 4, a1 = 1.

y=

2

(9.5)

n=0

y = Su

8

0

1

2

3

x

Рис. 9.4: y = SuExp√2,5 (x) по фор-Kоэффициент a1 можно было бы муле (9.13)
113

Таблица 9.1: Kоэффициенты a и U в разложениях (9.5), (9.15)

nanUn
1 1.0000000000000000
1.0000000000000000
2 0.4485874311952612 −0.4485874311952612
34560.1903722467978068
0.2120891200549197
0.0778295765369683 −0.1021843675069717
0.0309358603057080
0.0496986830373718
0.0120221257690659 −0.0243075903261196

7
8
9
10
11

0.0045849888965617
0.0119330883965109
0.0017207423310577 −0.0058736976420089
0.0006368109038799
0.0028968672871058
0.0002327696003030 −0.0014309081060793
0.0000841455118381
0.0007076637148566

12
13
14
15

0.0000301156464937 −0.0003503296158730
0.0000106807458130
0.0001735756004664
0.0000037565713616 −0.0000860610119291
0.0000013111367785
0.0000426959089013

16
17
18
19

0.0000004543791625 −0.0000211930290682
0.0000001564298463
0.0000105244225996
0.0000000535232764 −0.0000052285174354
0.0000000182077863
0.0000025984499916

20 0.0000000061604765 −0.0000012917821121
выбрать произвольно, но тогда все остальные коэффициенты оказались бы зависимыми от a1 . Поэтому удобно положить a1 = 1. Подстановка разложения (9.5) в передаточное уравнение
√ F (z)F (z +1) =2(9.6)
в соответствии с общeй формулой (6.8) дает



√ 
0
k = ln expb (4) = ln 4 ln( 2) = ln(2 ln(2)) ≈ 0.32663425997828 (9.7)определяя период суперфункции
P = P4 =2πi
2πi=≈ 19.236149042042854712 ikln(2 ln(2))
114

(9.8)

Затем, учет высших слагаемых в разложении по малому параметру
ekz определяет коэффициенты a; в частности
a2
a3 =ln(2)/4
1 − 2 ln(2)
1−ln(2) ln(2)2 /12=

1−2 ln(2)−4 ln(2)2 +8 ln(2)3≈ 0.448587431195261(9.9)≈ 0.1903722467978067 (9.10)

Для более высоких коэффициентов получаются более громоздкие
выражения. В первом столбце таблицы 9.1 предложены приближенные значения коэффициентов a в разложении (9.5). На основе N = 20
таких коэффициентов построено первичное приближение f˜ для суперфункции f , то естьf˜(z) =

19X

an exp(nkz)(9.11)

n=0Аппроксимация f˜ показана на рисунке 9.5. Для удобства сравненияс другими картами, аргумент функции на этом рисунке сдвинут навещественную константу x45 ≈ −1.11520724513161; смысл этой константы объясняется ниже.
Невязка при подстановке приближения (9.11) в передаточное уравнение (9.6) становится порядка ошибок округления при <(z) < −3.
Приближение (9.11) уже позволяет построить комплексную карту
суперфункции в левой части комплексной полуплоскости.
Суперфункция f получается как пределn ˜f (z) = lim expb f (z −n)n→∞(9.12)

Ввиду того, что f˜ есть асимптотическое решение, этот предел независит от числа слагаемых в приближении (9.11). Вместо девятнадцати, можно было бы выбрать иную константу. Однако, чем больше
слагаемых, тем быстрее сходится предел. Выбирая число 19, я имелв виду имплементацию Complex double. Тогда, для аппроксимации
f с 14ю значащими цифрами, достаточно выбрать n > <(z)+3.
Удобно, когда в нуле суперфункция принимает значение 5. Это наименьшее целое число, большее использованной стационарной точки
115

y

v =0
v=

0.4

0.
2

8

u=4
u=

2

v =0

0
−2

u=

4.
2

4

v=

−4

4 .4

v=

6

2
0.
−

u=4

−10

−8

−6

−4

−2

u=3

.6
u = 3.
4
u = 3.2

v =0

u=

−8

u=3

3.8

−6

0

2

4

6

x

8

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figf45bT.png
Рис. 9.5: u+iv = f˜(x−1.11520724513161 + i y)

L = 4. Такую функцию можно записать как
SuExp√2,5 (z) = F (z) = f (x45 + z)

(9.13)

где x45 ≈ −1.11520724513161 есть решение уравнения f (x45 ) = 0.
Карта функции F = SuExp√2,5 по формуле (9.13) показана на рисунке 9.6. В левой комплексной полуплоскости карты функций z 7→f˜(z+x45 ) и SuExp√2,5 практически совпадают. (Надеюсь, что рисунки 9.5 и 9.6 окажутся на одном развороте Книги.) Таким образом,первичная аппроксимация f˜ распространяется на всю комплексную
плоскость.
Для передаточной функции в виде экспоненты по основанию b =√2, регулярная итерация на основе стационарной точки L = 4 дает голоморфную во всей комплексной плоскости суперфункцию F =
116

y

u=3

v =0

6

u=4

4

v =1

v=

v=

0.4

0.
2

8

u=2

v =0

0
−2

v=

−4

4 .4

u=

2

u=

4.
2

v =2

2
0.
−

u=4

u=2

v = −1

−10

−8

−6

−4

−2

u=3

.6
u = 3.
4
u = 3.2

v =0

u=3

−8

u=

3.8

−6

0

2

4

6

x

8

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figf45eT.png
Рис. 9.6: u+iv = SuExp√2,5 (x+iy)

SuExp√2,5 . График этой функции показан на рисунке 9.4. Комплексная карта функции SuExp√2,5 показана на рисунке 9.6.
Значение в нуле выбрано в виде наименьшего целого числа, превышающего L, то есть F (0) = 5. Тогда функцию F можно интерпретировать как итерацию экспоненты с начальным значением 5:
F (z) = SuExp√2,5 (z) = expz√2,u (5)(9.14)

где индекс u указывает, что имеется в виду регулярная итерация,построенная на верхней (upper) стационарной точке. Для такой итерации требуется абельэкспонента G = F −1 = AuExp√2,5 . Эта абельэкспонента строится в следующей секции.

117

2

Абельфункция на стационарной точке L = 4

Для того, чтобы вычислять нецелые итерации передаточной функ√ции, рассмотренной выше, то есть экспоненты по основанию b = 2,требуется построить соответствующую абельфункцию G = F −1 , тоесть обратить функцию F в формуле (9.14). Построение такой абельфункции описано ниже.
Разложение для Абельфункции g = f −1 можно получить, обращая
асимптотику (9.5). Это дает для абельфункции g разложение g̃, длякоторого
exp(kg̃(z)) =N−1X

Um (z −L)n + O(z −4)N

(9.15)

n=1

Для рассчета коэффициентов U следует отметить, что U0 = 0; этоозначает, что стационарная точка в качестве аргумента должна уводить абельфункцию на бесконечность. Далее, в соответствии с разложением (9.5), U1 = 1 и U2 = −a2 . Пока коэффициенты a представлены в символьном виде (то есть бесконечно точно), Математикаили Клен без потери точности может вычислять по ним коэффициенты U разложения (9.15). Функция, которая осуществляет такое
преобразование, называется InverseSeries. В частности,ln(2)/4≈ −0.4485874311952612289 (9.16)
U2 =1 − 2 ln(2)
1+4 ln(2) ln(2)2 /24≈ 0.21208912005491969757 (9.17)
U3 =1−2 ln(2)−4 ln(2)2 +8 ln(2)3Приближенные значения коэффициентов U предложены в правом
столбце таблицы 9.1. Эти же коэффициенты можно получить такжеи независимо от разложения для суперфункции, а именно, подставляя разложение
!
N
−1
X
1
g̃(z) = ln
Um (z −L)n + O(z −4)N
(9.18)kn=1
в уравнение Абеля
g(expb (z)) = g(z) + 1(9.19)

Для того, чтобы несколько термов разложения g̃(z) по формуле
(9.18) умещались на экране или в тетради, имеет смысл ввести новую переменную для малого параметра z −L = z −4. Тогда первые
118

y

1
v=

u = 3 .4

1

6

v=

u=4

8

u=

3

v=

2

4
2

cut

0

v =0

−2

−6

4.

u=

−8
−10

−8

−6

−4

−2

u=

2

4

u = 4.4
u=

−4

0

2

v=

4

3

1 u = 3 .4
−
6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sqrt2figL45eT.png
Рис. 9.7: u+iv = AuExp√2,5 (x+iy) по формуле (9.20)

коэффициенты U в разложении (9.15) можно найти даже без помощи компьютера.
Первичное разложение g̃(z) аппроксимирует абельфункцию g(z) при|z − 4| < 2. Для иных значений, используется итерация с помощью
уравнения Абеля. Абельфункция G = F −1 , карта которой показанана рисунке 9.7, получается как предел таких итераций:

√
AuExp 2,5 (z) = G(z) = lim g̃ logb (z −n) + n + x45(9.20)n→∞где x45 ≈ −1.11520724513161 есть та же самая константа, которая
появилась в представлении для суперфункции F , чтобы обеспечить
условие F (0) = 5. В уравнениии (9.20), эта константа обеспечивает
условие G(5) = 0, которое должно выполняться для обратной функции от функции F .
119На рисунке 9.7, символ cut указывает разрез области голоморфизма. Это общее правило: если некоторая нетривиальная голоморфная
функция не имеет особых точек, то хотя бы один разрез есть у еёобратной функции. В случае функции G, разрез идет вдоль вещественной оси от стационарной точки L = 4 до минус бесконечности.
В этой стационарной точке, абельфункция G имеет логарифмическую особенность. Эта особенность соответствует экспоненциальному стремлению суперфункции F к стационарной точке L = 4 наминус бесконечности.
Читатели приглашаются построить карту области, в которой выполняется соотношение

(9.21)
SuExp√2,5 AuExp√2,5 (z) = z
Ниже предлагается небольшое лирическое отступление про обозначения. В этой Книге используются короткие имена для передаточной функции, F для суперфункции и G = F −1 для суперфункции втех случаях, когда понятно, о какой передаточной функции идетречь и которая из суперфункций имеется в виду. Такие краткие
обозначения удобны, чтобы формула умещалась на одной строчке. Однако, для того, чтобы на функции этой главы было удобно ссылаться и из других глав, предложены также более длинные
имена SuExp√2,5 = F и AuExp√2,5 = G. Мнемоника этих имен проста. Первая буква указывает на то, что речь идет о суперфункции
(Superfunction) или, соответственно об абельфункции (Abel function).
Вторая буква указывает на то, что использована наибольшая (“верхняя”, “Upper”) стационарная точка передаточной функции. Последующие три символа указывают имя передаточной функции, exp. Длятого, чтобы не путать такую запись с экспонентой, первая буква
капитализирована, то есть сделана заглавной. Индекс указывает основание экспоненты и значение суперэкспоненты в нуле.
Длинные названия SuExp√2,5 и AuExp√2,5 существенны для сравнения различных итераций экспоненты, предложенного в последующих главах. Для начала, в следующей секции рассмотрена такая
итерация, которая неограниченно растет вдоль вещественной оси;поведение такой итерации экспоненты похоже на поведение итераций других функций, рассмотренных в предыдущих главах.

120

12

n=1
n=0
.8
n=
0 .6
n=
0.4
n=
0 .2

n=

y =bx

13

n=3
n=2

n→∞

y

11

0

n

0.4
−
n=
6
−0.
=
n
0.8
n=− 1
) n=−

10

y=

9

0.2
−
=

x

8

5

x
g
b(
o
l
y=
2
n = −2
)
x
(
g
o
l
y= b

4

n → −∞

76

n = −3

√

3

b= 2

2
1
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IterEq2plotT.jpg
Рис. 9.8: y = exp√n (x) по формуле (9.22) для различных n.
2,u3Итерации экспоненты по основанию

√2

На основе суперфункции и абельфункции, итерация номер n экспо√ненты по основанию 2 может быть предствлена так:


n
n
√
√
√
T (z) = exp 2,u (z) = SuExp 2,5 n+AuExp 2,5 (z)(9.22)
Эта формула годится по крайней мере для <(z) > 4, а практически (если выбрать верхний или нижний берег разреза функции
AuExp√2,5 ) и для всей комплексной плоскости за исключением полупрямой z ≤ 2. Для вещественных значений аргумента, такие итерации показаны на рисунке 9.8. Эти итерации монотонно растут.
Для n = 1/2, комплексная карта этой функция показана на рисунке
9.9. Это половинная итерация экспоненты.
121

y
8

u = −2
1
−
u=

6

2

cut

0

u=4
u=6

u=

u=
1
u=2

0

4

−2

v =6
v =4
v =2
v =0
v = −2v = −4

−4
−6
−8

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Esqrt2ite12mapT80.jpg
Рис. 9.9: u+iv = T 1/2 (x+iy) по формуле (9.23).

Итерацию, показанную на рисунке 9.9, можно записать так:




1
1
1/2
T 1/2 (z) = exp√2,u = F +G(z) = SuExp√2,5 +AuExp√2,5 (z) (9.23)
22Символ u в индексе указывает, что для регулярной итерации экспоненты использована бóльшая (высшая, “upper”) среди её вещественных стационарных точек.
Абельфункция G, построенная на стационарной точке L = 4, имеет в этой точке логарифмическую особенность и, соответственно,точку ветвления. Однако, суперфункция F периодична; эта периодичность “нейтрализует” ветвление, и поэтому итерация передаточной функции в этой точке особенности не имеет. При этом в другой
стационарной точке имеется ещё одна точа ветвления, которая периодичностью суперфункции не нейтрализуется. Поэтому нецелые
итерации передаточной функции, построенные по формуле (9.22),122

имеют только одну точку ветвления, а именно, 2. Функция T 1/2 (z)по формуле (9.23) голоморфна в комплексной плоскости с разрезомz ≤ 2.
Примерно так же, как в этой секции построены итерации экспонен√ты по основанию b = 2 на стационарной точке L = 4, можно строить
итерации и на другой стационарной точке, L = 2, и для нецелых итераций получаются, вообще говоря, разные функции. Поэтому, еслиу передаточной функции есть более одной вещественной стационарной точки, то при нецелом итерировании желательно указывать, ккоторой из стационарных точек относится итерация.

4Результаты этой главы

Теперь я постараюсь собрать основные результаты этой главы. Дляфункций этой главы используются обозначения
F = SuExp√2,5(9.24)G = AuExp√2,5(9.25)

expbn = exp√n2,u(9.26)

Первые буквы S и A использованных имен указывают, что речь идето суперфункции или об абельфункции от экспоненты по основанию
√b = 2. Вторая буква названия указывает, что использована верхняя
(upper) стационарная точка такой экспоненты. Цифра 5 в индексе
указывает значение в нуле, выбранное для суперфункции. В случая
итерации экспоненты, результат не зависит от того, какое значение
выбрано в нуле (предполагается, что G = F −1 ), и поэтому в формуле
(9.26) значение суперфункции в нуле можно не указывать.
Возможность итерирования какой попало функции сильно расширяет инструментарий доступных голоморфных функций. В частности, нецелые итерации экспоненты или факториала могут использоваться для описания процессов, растущих быстрее любой степенной
функции, но медленнее любой растущей экспоненциальной функции. Формализм суперфункций может вывести теорию и практику
аппроксимации (то есть моделирования) физических процессов накачественно новый уровень.

123

5

Большой камень

Путешественник или восходитель, вскарабкавшийся на хребет иликаменистый перевал, и чуток оборзевший от тяжёлого подъема, может обозреть дальнейший путь. Так же Читатель (а также и автор),прочтя, как получилось изложение регулярной итерации, может обозреть, какие ещё случаи итераций можно (и нужно) рассмотреть.
Такое обозрение предлагается ниже.
В этой секции представлен своего рода “промежуточный финиш”. Тоесть обзор нескольких глав Книги. Представленные выше результаты могут создать впечатление, что изучение итераций, суперфункций и абельфункций закончено, и осталось только применять общую
формулу регулярной итерации к всяческим специальным функциям.
Однако это не совсем так, и построенная выше “регулярная итерация” работает не всегда. Чтобы указать на это, я пишу эту секцию.
Итерации быстро растущих функций ведут себя похожим образом.
Можно сравнить рисунок 9.8 с рисунком 4.11 для итераций степенной функции и с рисунком 8.8 для итераций факториала. Итерации
степенной функции выражаются через степенную же функцию (сдругим показателем), Итерации рациональной функции выражаются рациональнуп же функцию (с другими параметрами). Одналодля многих других передаточных функций аналогичных представлений для итераций нет. При этом многие свойства суперфункций,то есть поведение на бесконечности, периодичность, голоморфизм
и т.п., для разных случаев сходны. На основе такого сходства былопредложено нахальное утверждение, что я умею строить физическиосмысленные суперфункции, соответствующие абельфункции и, соответственно, нецелые итерации для какой попало возрастающей
вещественно-голоморфной передаточной функции.
С тех пор я сравниваю себя Богом Всемогущим, и задаюсь вопросом о том, может ли такой Бог создать столь большой камень, чтосам не сможет сдвинуть его с места. То есть пытаюсь придумать такую голоморфную передаточную функцию, для которой я не могупостроить физически-осмысленную суперфункцию.
В качестве кандидата на упомянутый “камень” можно рассмотреть
какую-нибудь передаточную функцию с сингулярностью, с тем, что124бы при применении передаточной функции к значениям суперфункции получались значения, которые заставляет функцию “скакать”через её сингулярность. При этом алгоритм наткнется на необходимость вычислять передаточную функцию от значения, которое невходит в область её голоморфизма, и вместо суперфункции выдаст
сообщение об ошибке. То есть я не смогу предложить итерацию, которая непрерывным (голоморфным) образом переходит через сингулярность передаточной фукции и буду вынужден признать, что моезаявление про “какую попало функцию” слишком претенциозно. Иоппоненты восторжествуют.
Простым примером упомянутой сингулярной передаточной функции является T (z) = −1/z, рассмотренная в Главе 4. Такая функция
растет, и столь быстро, что в нуле имеет сингулярность, и непрерывная (и голоморфная) итерация сквозь эту сингулярность могла бывызвать трудности. Впрочем, оказалось, что именно для этого случая суперфункция не только существует, но выражается в терминах
элементарных функций.
В принципе, сингулярную передаточную функцию можно модифицировать, чтобы её запись становилась сложнее, чтобы я запуталсяв алгебре, и декларировал такую передаточную функцию как “нерешабельную”. Вероятно, такая передаточная функция будет иметь
точки ветвления, чтобы алгоритм не смог обойти сингулярности, апопытки использовать интеграл Коши 1 , расмотренный ниже (см.
формулу (14.21)), натыкались на разрезы области голоморфизма.
Тогда можно будет говорить, что эта передаточная функция и естькамень, который Бог не может сдвинуть с места. И я буду вынужден
признать, что оппоненты закинули в мой огород Оочень большой камень.
В качестве других примеров можно предложить передаточную функцию, которая не имеет удобных для рассчетов стационарных точек;тогда регулярная итерация, предложенная в этой секции, не применима. Простым примером функции с “неудобными” стационарными
H F (t) d t
1Суть формулы Коши в том, что F (z) = 2πi. Коши (кошки) обходят “свою” терt−zриторию по замкнутому контуру; если на этом контуре с функцией всё в порядке, то кошисчитают, что и внутри контура всё тоже слава Богу. Эта концепция является научной и имеет
ограниченную область применимости; она применима только для голоморфных функций F .
1125точками является экспонента по основанию b > exp(1/e), и, в частности, натуральная экспонента, которая получается при b = e. Тоесть передаточная функция T = exp.
Исторически получилось так, что именно для натуральной экспоненты комплексная карта суперфункции, а именно - тетрации [44],оказалась построена раньше, чем для других оснований b. После этого встал вопрос о применимости использованного при этом алгоритма для случаев 0 < b ≤ exp(1/e). Алгоритм оказался не применимым,и пришлось строить формализм регулярной итерации, предложенный в этой главе. Этот алгоритм оказался проще, чем формализмдля натуральной тетрации [44], и поэтому в этой Книге изложен
раньше. Как указано в Предисловии, для этой Книги я сразу и категорично отвергаю исторический порядок изложения, хотя упорядочиваю цитируемую литературу в хронологическом порядке.
Профессиональные историки могут поднять работы Абеля [3], Фато[6], Кнезера [10], Сзекереса [11], Экале [17] и других коллег, чтобы
представить исторический процесс создания аппарата суперфункций во всех деликатных подробностях. Я надеюсь, что в цивилизованных странах цензура не будет препятствовать публикации ираспространению подробной монографии по истории создания суперфункций. Однако это всё-таки “совсем другая история” [14], итакая история выходит за рамки декларированной темы этой Книги. Я оставляю историю создания формализма суперфункций длясоответствующих узких специалистов 2 .
Таким образом, я начинаю с совсем простого, и торжественно заявляю: предложенный выше метод построения суперфункции и абельфункции (и нецелых итераций) не универсален. Может статься, чтопередаточная функция хоть и имеет вещественную стационарную
точку, но применение регулярной итерации, как она изложена выше,невозможно, так как знаменатели формул (6.9) принимают значение
ноль. Такой случай рассмотрен в следующей главе.

2Узкая специализация вполне соответствует общему направлению развития человеческой
цивилизации. В современных больницах даже клизму ставят два специалиста: один их нихзнает, как, а другой - куда.

126

Глава 10Экзотические итерации

Регулярная итерация по формулам (6.1)-(6.11) не является универсальным способом построения суперфункции. В частности, разложение (6.1) становится недопустимым, когда производная передаточной функции в стационарной точке становится единицей, то естьT (L) = L,

T 0 (L) = 1(10.1)

При этом выражение T 0 −1 = T 0 (L)−1 в знаменателе правой части
формулы (6.9) обращается в ноль, лишая смысла коэффициенты вразложении (6.1). Такое совпадение можно назвать экзотикой (рис.
10.1); это определяет название главы.
На основе указанного выше обстоятельства, ожидалось, что вычисление суперфункций для случая T 0 (L) = 1 будет сложным, медленным и с большой погрешностью. В этой главе показано, что эффективные способы вычисления суперфункций, абельфункций, и,соответственно, нецелых итераций существуют и для этого случая.

Рис. 10.1: Экзотикой называется то, что встречается нечасто, если вообще

127

1

Единичая производнаяВ этой секции показано, как по коэффициентам разложения передаточной функции в стационарной точке построить алгоритм длявычисления суперфункции. Для простоты предположим, что стационарная точка равна нулю, то есть L = 0. Если это условие по какимлибо причинам не выполнено, то суперфункцию F можно представить в видеF (z) = f (z) + L(10.2)

и тогда для функции f получаются формулы
f (z +1) = F (z +1) − L = T (F (z))−L = T (L+f (z)) − L(10.3)

При этом можно определить
Tnew (z) = T (L + z) − L(10.4)

и интерпретировать эту Tnew как новую передаточную функцию, длякоторой f будет суперфункцией. В дальнейшем, в этой секции, индекс new не пишется. Фактически предполагается, чтоT (0) = 0

(10.5)

Пусть разложение Тэйлора передаточной функции в нуле имеет вид
T (z) = z + vz 2 + wz 3 + ..

(10.6)

причём v 6= 0. Для такой передаточной функции невозможно построить суперфункцию, на бесконечности экспоненциально стремящуюся к нулю. Однако можно построить функцию, которая убывает
примерно как обратная пропорциональная зависимость. Пусть
a b` α`2 +β`+γ+ ..
f (z) = + 2 +z z
z3(10.7)a, b, α, β и γ суть константы, a ` = ln(z). Ниже показано, как, зная коэффициенты v и w разложения (10.6) передаточной функции, найти
коэффициенты a и b в разложении (10.7).
Для преобразования аргумента z 7→ z +1, преобразование выражений в асимптотическом представлении (10.7) осуществляется следу128

ющим образом:

−1
1
1
1
1
1
1
1
7
→
=
1+
= − 2 + 3 + ..
zz +1 z
z
z z
z

−2
1
1
1
1
2
3
1
7
→
=
1
+
−
+
+ ..
=
z2
(z +1)2zz
z z2 z3 1` = ln(z) 7→ ln(z +1) = ln z · 1 +
z


1
1
1
= ` + − 2 + ..
= ln(z) + ln 1 +z
z 2z(10.8)(10.9)(10.10)С этими заготовками, левая часть передаточного уравнения
f (z +1) = T (f (z))(10.11)записывается в таком виде:


a
a
a
b` + b/z2α`2 +β`+γf (z +1) = − 2 + 3 +
1−
+
+ ..
z z
z
z2
z
z3
 1

a
1
2
= + 2 −a+b` + 3 a+b − 2b` + α` +β`+γ + .. (10.12)z zzТогда правая часть уравнения (10.11) записывается так:
a b` α`2 +β`+γa b`T (f (z)) = + 2 +
+v·
+
+ ..
z z
z3
z z2
 1

a
1
2
2
3
= + 2 b` + ba + 3 α` +β`+γ +2vab`+wa +.. (10.13)z zzСледует приравнять правые части уравнений (10.12) и (10.13). Коэффициенты при z1 совпадают сами. Для того, чтобы совпадали коэффициенты при z12 , следует потребовать, чтобы
−a = va2(10.14)Для того, чтобы совпадали коэффициенты при z13 , следует потребовать, чтобы
a + b − 2b` = 2vab` + wa3(10.15)Ввиду того, что ` = ln(z), то есть зависит от z, а уравнение (10.15)
должно иметь место для разных z, из этого уравнения получаютсядва требования:−2b = 2vab
129

(10.16)

которое, при b 6= 0, дает то же, что и (10.14), а также
a + b = wa3(10.17)

Решая эти уравнения, получаю:
a=

−1
v

,

b=

−w 1
+
v3
v

(10.18)Коэффициенты асимптотического разложения (10.7) определяются
коэффициентами разложения (10.6) передаточной функции.
Далее, как в случае обычной регулярной итерации, асимптотическое
решение распространяется на всю комплексую плоскость применением одной из формул
nf (z) = T f (z − n)(10.19)илиf (z) = T−nf (z + n)(10.20)с тем, чтобы сделать аргумент суперфункции большим, приводя егов область, где асимптотическое разложение (10.7) дает требуемую
точность. Выбор одной из формул (10.19) или (10.20) определяет
разрезы получаемой функции. Для того, чтобы изменить направление линии разреза, может потребоваться заменить ` = ln(z) на` = ln(−z).
В принципе, с даже с двумя слагаемыми, такое представление суперфункции позволяет строить качественные карты суперфункцийв реальном времени. Вероятно, такое представление достаточно дляприменений в физике и других науках, где точность измерения передаточной функции обычно существенно меньше 14 значащих цифр.
Для проверочных рассчетов с высокой точностью желательно подсчитать ещё несколько коэффициентов разложения суперфункции,тогда параметр n можно брать меньше и погрешность уменьшается. С помощью пакета “Mathematica”, десятки коэффициентов вразложении (10.7) могут быть вычислены. Затем, через уравнения
(10.19) или (10.20), асимптотическое представление решения определяет точную суперфункцию и распространяется на всю (или почтивсю) комплексную плоскость.
130

2Отличная от нуля стационарная точка

Формулы предыдущей секции написаны для передаточной функции,стационарнарной точкой которой является ноль, и производная вэтой стационарной функции в нуле равна единице. При этом упомянуто, что эти формулы допускают обобщение на случай, когда
стационарная точка не равна нулю. Такой случай рассмотрен ниже.
Допустим, требуется построить суперфункцию F для передаточной
функции T , которая на бесконечности стремится к её стационарной
точке L, то есть T (L) = L, и при этом T 0 (L) = 1.
Пусть новая передаточная функция T связана с исходной передаточной функцией T соотношением
T (z) = T (z + L) − L(10.21)Если L есть стационарная точка передаточной функции T , то L = 0есть стационарная точка передаточной функции T .
Суперфункция F для передаточной функции T
F (z) = F(z) − L(10.22)Схожим образом преобразуется и абельфункция G = F −1 :G(z) = G(z + L)

(10.23)Читатель может проверить, что если в некоторой области значенийz выполняется F (G(z)) = 1, то и в некоторой области значений zвыполняется F(G(z)) = 1, и наоборот. Таким образом, рассмотрения
случая T (L) = L, T 0 (L) = 1 сводится к рассмотрению случая T (0) = 0,
T 0 (0) = 1, рассмотренного в предыдущей секции.
В следующей главе, предложенные здесь формулы применяются длявычисления суперфункции экспоненты по основанию b = exp(1/e).
Этот случай рассмотрен по просьбе Генрика Траппманна, и константу η = exp(1/e) ≈ 1.44466786101 можно назвать константой Генрикаили основанием Генрика 1 . Карта такой экспоненты, карта её обратной функции и явный график для вещественных значений аргумента показаны в следующей главе на рисункax 11.2, 11.3, 11.1.
1

Название “Основание Генрика” несколько двусмысленно, примерно как “Защита Лужина”, или “Изобретение Вальса”, или комбинация “РОЙ МЕДВЕДЕВ — Они кружились вокруг Сталина”. Вероятно, удачное название и должно быть двусмысленым, чтобы
читатель подумал, как бы такое защитить Лужина, или о том, где и когда изобретён Вальс,или представил себе медведей (или даже “медведёв”), которые, как пчёлы, роем кружат вокруг Сталина, или попытался вспомнить, кто и как основал Генрика.

131

Глава 11Экспонента по основанию exp(1/e)
y = y = √y = η x(x 2) x

y
7
6
5
4
3e
2
1
−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

e

3

4

5

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1eplotT.jpg
Рис. 11.1: y = bx для b = η = e1/e ≈ 1.44466786 и b =√2 ≈ 1.41421356

В этой главе рассмотрен специальный случай экспоненты по основанию b = η = exp(1/e) ≈ 1.44466786 . То есть речь идет о функции
T по формуле
T (z) = η z = expη (z) = exp(ln(η) z) = exp(z/e)(11.1)

График этой экспоненты показан на рисунке 11.1 толстой кривой.
Для сравнения, тонкой кривой показана также экспонента по осно√ванию 2, рассмотренная в главе 9; тонкая кривая воспроизводит
график рисунка 9.1. Кривые на рисунка 11.1 близки; при умеренных
132

y

v =2
v =3

v =1

u=0

v = 0.44v = 0.2

6v =0

u = 0.2

u = 0.4

u=1

u=2
u=3

u=0

v = −0.4

v = −1v = −20v = −0.2

2

−6

−4

−2

0

2

−2
−4
−6

4

x

6

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Expe1emapT1000.jpg
Рис. 11.2: u+iv = expη (x+iy)и отрицательных значениях абсциссы они почти сливаются. Однако
поведение в окрестностях стационарных точек различно, и это предопределяет различное поведениие соответствующих суперфункцийв комплексной плоскости.
Комплексная карта функции expη показана на рисунке 11.2. Этакарта похожа на карту рисунка 9.2; незначительно отличается лишьпериод. Для основания η, этот период
Pexpη = 2 π i e ≈ 17.0794684453 i(11.2)

Забавно, что такая простая формула объединяет сразу три фундаментальные математические константы: π, i, и e. К тому же, основание Генрика η = exp2 (−1) = exp(1/e) ≈ 1.44466786101 тоже является
133

3

6

v=

v=

v =4

y

6

2

v=

v = −8
v

u=1
u=2
u=3

7
−
=

u=4
u=5

−4

v=

−2

0

−

−1

2

−3

−6

v=

v=

−6

1

v =0

разрез

v=

−4

2

v=

v =8

0
−2

7

−6

4

v=

2

4

6

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Loge1emapT1000.jpg
Рис. 11.3: u+iv = logη (x+iy)математической константой. Чуть меньше одного периода уместилось на карте 11.2.
Комплексная картa обратной функции, то есть logη = exp−1
η , показана на рисунке 11.3. Эта карта похожа на карту логарифма по осно√ванию 2, представленную в главе 9 на рисунке 9.3; на том рисунке
сетка изолиний чуть гуще: линия уровня u = 6 целиком умещаетсяна карте, а на карте рисунка 11.3 она уместилась лишь частично; ауровень v = ±9 оказался за линией разреза.
Значение b = η есть максимальное основание, при котором экспонента всё ещё имеет вещественную стационарную точку. Для такой
экспоненты в этой главе строятся суперфункция, абельфункция иитерации.
134

1Суперэкспонента по основанию η = e1/e = exp2(−1)Генрик Траппманн считал, что для экспоненты по основанию
η = exp(1/e) = exp2 (−1) ≈ 1.44466786101(11.3)

эффективный алгоритм вычисления суперфункций построить нельзя. Генрик был далеко не одинок в таком мнении; такое же мение
высказывали многие коллеги, в том числе участники его форума.
Это же мнение в публикации 1991 года выражал Петр Волкер (Peter
L Walker) [24]. Чтобы переубедить Генрика, нам с ним пришлось писать специальную статью для журнала Mathematics of Computation[69]; её часть перессказана в этой главе.
Пусть передаточная фукция T определяется формулой 11.1 предыдущей секции; пусть
T (z) = η z = expη (z) = exp ln(η) z = exp(z/e)(11.4)
Чтобы применить формализм экзотической итерации, следует определить новую передаточную функцию по формуле (10.21); для случая (11.4) получается передаточная функция
T (z) = exp (z +e)/e − e = exp(z/e + 1) − e(11.5)
Для такой передаточной функции
T (0) = 0

(11.6)T 0 (0) = 1(11.7)

T 00 (0) = 2 v = 1/e(11.8)

T 000 (0) = 6 w = 1/e2

(11.9)...

(11.10)T (n) (0) = 1/en−1(11.11)В последней строчке, в левой части, верхний индекс указывает неномер итерации, а номер производной.
В принципе, для этого случая, экзотические итерации, описанные вначале главы, можно применять как есть. Разложение (10.6) записывается так:1
1
T (z) = z + z 2 + z 3 + ..
(11.12)
2e
6e
135

1
Для v = 2e
и w = 6e12 , формулы (10.18) даютa = −2e ≈ −5.43656365691809e1
b = − + 3 ≈ 1.604598172578777
3 8e(11.13)(11.14)При этом первичнaя аппроксимация f для суперфункции (10.7) приобретает такой вид:1 
1  ln(±z)˜
f (z) = − + 1 ++ ..
(11.15)zez2
Ещё несколько слагаемых в этом разложении можно вычислить аналитически; особенно если при этом используются какие-нибудь Математики или Клены. Оборванный ряд, даже с двумя слагаемыми,аппроксимирует суперфункцию. Для |z| > 100, такая формула дает несколько корректных значащих цифр. Для остальных значений
следует многократно использовать передаточное уравнение, выражая суперфункцию требуемого аргумента через суперфункцию отдостаточно большого аргумента, сдвигая значение, при котором используется первичное приближение, вправо или влево, параллельно
вещественной оси. Такой алгоритм позволяет строить комплексные
карты суперфункции с хорошим разрешением и в реальном времени.
Для аккуратного приближения суперфункции и проверки, имеет
смысл несколько модифицировать разложение. Для вычисления суперфункций от экспоненты по основанию Генрика, лучше использовать разложение
!

M


X
M
+1
Pm − ln(±z)−2e1++ O ln(±z)/z(11.16)F̃ (z) =
m
z
(3z)
m=1
где
Pm (x) =m
X

cm,n xn(11.17)n=0

Koэффициенты c получаются при подстановке разложения (11.16) впередаточное уравнениеF̃ (z +1) = exp F̃ (z)/e + 1 − eи приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях z в правой и левой частях равенства. Первые пять полиномов P представ136лены ниже:P1 (t) = t(11.18)P2 (t) = t2 + t + 1/2
5
7
5
P3 (t) = t3 + t2 + t +
2
2
10
13
45
53
67
P4 (t) = t4 + t3 + t2 + t +
3
6
10
60
77
101
83
653
2701
P5 (t) = t5 + t4 +t3 + t2 +
t+
12
6
4
60
1680
Как и для регулярных итераций, используется предел
F (z) = lim T n (f (z − n))n→±∞(11.19)(11.20)(11.21)(11.22)(11.23)где функция f получена обрывом асимптотического ряда в формуле
(11.16), а n выбирается положительным или отрицательным в зависимости от того, верхний или нижний знак использован в аргументе
полиномов P в формуле (11.16).
Удобно определить такие суперфункции, которые имеют целочисленное значение в нуле, используя трансляцию аргумента:tetη (z) = F1 (z) = f (z +x1 )(11.24)

SuExpη,3 (z) = F3 (z) = f (z +x3 )(11.25)где константы x1 ≈ 2.798248154231454 и x3 ≈ −20.28740458994004
выбраны так, чтобы обеспечить соотношения F1 (0) = 1 и F3 (0) = 3.
Функция tetη соответствует верхнему значению выражения ± в формулах (11.16), (11.23), a функция (11.25) - нижнему. Таким образом,F1 и F3 суть совсем разные функции, и их трудно выразить одну через другую простым преобразованием. В формулах (11.24) и (11.25),
для этих функций предложены новые и чуть более длинные имена
tetexp(1/e) и SuExpexp(1/e) . Это делается для того, чтобы облегчитьих идентификацию при использовании в других главах этой Книги,где рассматриваются суперфункции от экспоненты по другим основаниям, то есть где не обязательно b = η. Первое из этих названий,tetη , совершенно естественно, и указывает, что речь идет о тетрации; для тетрации по любому основанию b, подразумевается условие tetb (0) = 1. Более подробно свойства тетрации рассматриваютсяв специальной главе.
Выбор значения в нуле для растущей суперфункции F3 не так прост.
В работах [50, 69] (и не только там), для растущей вещественно137y = < F1 (x +io)y8y = SuExpη,3 (x) = F3 (x)

6
4

y =e
y = tetη (x) = F1 (x)

2
0
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eplot8.png
Рис. 11.4: Две суперэкспоненты по основанию b = exp(1/e)голоморфной суперфункции, построенной на некоторой вещественной стационарной точке L передаточной фукции, в качестве значения в нуле выбирается наименьшее целое число, бóльшее L. Такой
выбор оправдан, когда в работе рассматривается лишь одна передаточная функция без параметров (или с фиксированными значениями параметров). Однако такой выбор приводит к кусочно-непрерывной (то есть не голоморфной) функции при рассмотрении зависимости суперфункции от этого параметра. Поэтому, на случай еслитакая зависимость потребуется, предлагается обозначение SuExpη,3 ;при этом значение в нуле указывается в виде дополнительного индекса.
Для вещественного аргумента, графики функций F1 и F3 показанына рисунке 11.4. Комплексные карты этих суперфункций показанына рисунке 11.5. Эти функции весьма различны. Чтобы освободить
обозначения F с индексами для других функций, рассматриваемыхв других главах, пришлось дать им специальные именa, tetη = F1 , и
SuExpη,3 = F3 .
Вдоль вещественной оси, функция SuExpη,3 неограниченно возрастает при положительных значениях аргумента, и стремится к предельному значению e при больших отрицательных значениях аргумента. K этому же значению функция стремится и в остальной части
комплексной плоскости, за исключением полосы вдоль положительного направления вещественной оси.
138

y
14

u = 2.8

u = 2.612v = 0.2

v = 0.4

10
8 u=3
6
4
2

u=2

0

v =0

u = 2.2−2

u = 2.4

−4
−6
−8
−10

v = −0.4−12−14

u = 2.8v = −0.2

u = 2.6−8 −6 −4 −2

0

2

4

y
14

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 x

v = 0.212

u = 2.8 u = 2.6

108v = 0.4

v = 0.4

6v = 0.2

u=3

4
2
0

u = 2.4

u = 2.2

u = 3.2

v =0huge values

v =0
v =0

u = 2u = 2.2−2−4v = −0.2
v = −0.4
u = 2.4−6−8−10v = −0.2−12

u = 2.8 u = 2.6−14−8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eSuMap600.jpg
Рис. 11.5: u+iv = tetη (x+iy) = F1 (x+iy) по формуле (11.24), сверху, и

u+iv = SuExpη,3 (x+iy) = F3 (x+iy) по формуле (11.25), снизу

139

Функция tetη , наоборот, при больших значениях аргумента приближается к предельному значению η, но в точке −2 имеет логарифмическую особенность, при приближении к ней вдоль вещественной
оси, функция уходит на минус бесконечность. Это свойство типично для класса функций, которые я называю термином тетрация; этосуперфункции от экспоненты по некоторому фиксированному основанию (в данном случае - по основанию Генрика), удовлетворяющие
определенным дополнительным условиям: в нуле эта функция равна
единице и остается ограниченной по крайней мере в полосе шириной
2 вдоль мнимой оси. Более подробно, тетрации рассмотрены ниже, впоследующих главах. Я упоминаю их здесь, лишь чтобы обосновать
обозначение tetη .
С помощью суперфункций от экспоненты по основанию Генрика η,можно выразить итерации этой эксспоненты. Но для этого нужныещё абельфункции. Эти абельфункции рассмотрены в следующей
секции.

2Абельэкспонента по основанию Генрика

Исторически, экспонента по основанию Генрика η была первой передаточной функцией, для которой построены итерации, которые яназвал “экзотическими”. Экзотика в том, что регулярная итерация,голоморфная в окрестности стационарной точки, для таких функций невозможна [69]. Однако итерации, голоморфные в широкой области значений аргумента, существуют. Для построения таких итераций, кроме суперфункции, требуется также функция Абеля. Этафункция рассмотрена ниже.
Пусть G1 = F1−1 and G3 = F3−1 . Комплексные карты этих функций показаны на рисунке 11.6. Для вычисления функций G1 и G3 ,использованы асимптотические представления
15ln(±t) 2 X n+ +cn t + O(t16 )g± (z) = α(g) ≈3t n=1(11.26)

где g = (z − e)/e. Коэффициенты c можно найти, обращая разложение (11.16) для суперфункции. Эти же коэффициенты получаютсяпри подстановке разложения (11.26) в уравнение Абеля

g(z) + 1 = g exp(z/e)(11.27)140

y14complicated structure

1210

u = −38 v =0G1 (x+iy) ≈ −3

u = −36
4

u = −220v =0complicated structure−2−4

u = −2−6−8−10

u = −3v =0G1 (x+iy) ≈ −3

u = −3−12−14complicated structure−8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 xy14v = 0.2

12
10
8
6
4

u = 19v =1

u = 18.2

20

u = 18.4

u = 18

cut

v =0

−2
−4

v = −1−6−8 u = 19−10−12v = −0.2−14−8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eAuMap600.jpg
Рис. 11.6: u+iv = G1 (x+iy) = ateη (x+iy) по формуле (11.28), сверху,и u+iv = G3 (x+iy) = AuExpη,3 (x+iy) по формуле (11.29), снизу
141

Обрывание асимптотической серии, то есть выкидывание символа O
из правой части уравнения (11.26), дает алгоритм для вычисления
абельфункции g примерно с 15 значащими цифрами, пока |t| < 1/2.
Для иных значений аргумента, для вычисления функции g следует
использовать уравнение (11.27). Я хочу рассматривать такое заявление как определение, и надеюсь, что Читатель сам может написать
соответствующий предел как представление точной абельфункции.
Абельфункции G1 = F1−1 и G3 = F3−1 можно определить, добавляя кзначениям функций g соответствующие константы,ateη (z) = G1 (z) = g(z) − g(1) ≈ g(z) − 3.029297214418(11.28)где использован верхний знак в формуле (11.26), иAuExpη,3 = G3 (z) = g(z)−g(3) ≈ g(z)+20.0563555297533789 (11.29)
где использован нижний знак в формуле (11.26).
Дополнительные более длинные имена AuExp и ate вводятся здесьдля того, чтобы упростить ссылки на эти функции из других глави, возможно, из других публикаций. Мнемоника этих имен проста.
AuExp указывает, что речь идет о функции Абеля; следующая буква указывает, что суперфункция голоморфна по крайней мере длязначений аргумента над, сверху (“up”) от стационарной точки. Имяate указывает, что речь идет об арктетрации. Эти более длинные
имена позволяют избежать путаницы при использовании букв F и
G для обозначения других функций в других главах.
Представления (11.28) и (11.29) автоматически обеспечивают выполнения соотношений G1 (1) = 0 and G3 (3) = 0, как это и должно бытьдля обратных функций от F1 и F3 . Численная проверка подтверждает, что в широких областах значений z, сотношения
F1 (G1 (z)) = z , F3 (G3 (z)) = z , F1 (G1 (z)) = z , G3 (F3 (z)) = z(11.30)воспроизводятся с четырнадцатью значащими цифрами. Читатели
приглашаются построить функции согласия|F (G(z)) − z|
(11.31)A(z) = − lg
|F (G(z))| + |z|добавляя в этой формуле подходящие индексы 1 или 3 к функциям F и G и заменяя F ↔ G. Такое построение дает численную
142

проверку соотношений (11.30). Уровни A(x + iy) в плоскости x, yподтверждают, что алгоритмы работают вблизи максимальной точности, достижимой с переменными complex double.
Абельфункция AuExpη,3 = G3 , вместе с суперфункцией SuExpη,3 = F3
из предыдущей секции, позволяет определить неограниченно возрастающие итерации экспоненты по основанию Генрика η = exp(1/e).
Эти итерации рассмотрены в следующей секции.

3ИтерацииС функциями F3 = SuExpη,3 и G3 = AuExpη,3 , можно выразить растущие итерации экспоненты по основанию η = exp(1/e). В этой главе рассмотрены лишь неограниченно растущие (вдоль вещественнойоси) итерации; такие итерации похожи на растущие итерации других функций, рассмотренные в предыдущих главах.
Для T (z) = exp(z/e) = expη (z),
T n (z) = expnη,u (z) = F3 (n+G3 (z)) = SuExpη,3 n+AuExpη,3 (z) (11.32)
Индекс u у итераций экспоненты указывает, что для итераций использована растущая суперфункция (та, которая, для вещественных
значений аргумента, на бесконечности идет вверх, “up”).
В представлении (11.32), ни номер итерации n, ни аргументz не имеют надобности быть целыми, ни даже вещественными. Но, разумеется, они могут и быть таковыми.
На рисунке 11.7 показаны итерации T n (x) по формуле (11.32) какфункции вещественного аргумента x, для нескольких вещественных
значений номера итерации n. Толстые курвы соответствуют целым
значениям n. Нецелые итерации голоморфны по крайней мере внекоторой окрестности луча x > e. При целых неотрицательных значениях n, итерации голоморфны для любых значений аргумента.
Диагональ Первого квадранта координатной плоскости соответствует нулевой итерации и идентичной функции.
Нецелые итерации показаны тонкими линиями. Такие нецелые итерации определены для случая комплексного аргумента, либо дляположительного аргумента, большего e, но они не определены длявещественного аргумента, меньшего e. Поэтому тонкие кривые на
143

n=1
n=
n = 0 .6
n = 0 .40n = .2
0

9

n=5
n=3
n=2

n → +∞

y

7

.2
0
−
=
n 0.4
−
=
n

6

1
−
=
n

5

n = −2n = −3n = −58

4
3
e n → +∞
2n → −∞

10
0n → −∞

1

2

e3

4

5

6

7

8

x

9

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1eiterT.jpgn(x) по формуле (11.32) для различных nРис. 11.7: y = expη,uрисунке 11.7 остаются в области x > η, y > η; их нельзя продолжитьв третий квадрант.
Нецелые итерация по формуле (11.32) имеют разрез вдоль вещественной оси от −∞ до e ≈ 2.71; поэтому тонкие курвы на рисунке
11.7 нельзя продолжить за стационарную точку. Чтобы пояснить
неизбежность этого разреза, на рисунке 11.8 показан пример половинной итерации, n = 1/2. На комплексной карте половинной итерации этот разрез обозначен символом cut.
Как и другие комплексные карты вещественно-голоморфных функций, карта на рисунке 11.8 симметрична “верх-низ”, так как∗
1/2∗
exp1/2η,u (z ) = expη,u (z)(11.33)Для того, чтобы напомнить эту симметрию, я строю карты, помещая
144

0
u ==120uu=

u = 50
7
u= 0
100

y
14
12
v=

10

00

v = 50

u=
u= 0
1
u=3

v =0

1
−
v=

4

v =1

15

6

9
v= 6
v=

8

−2

v = 20v = 10v =0v = −10v = −20−4v = −50

20

cut - - - - - - -

−6
−8
−10
−12
−14
−8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 x

1/2
Рис. 11.8: u+iv = expη,u (x+iy) по формуле (11.32) для n = 1/2начало координат в середку изображения. Однако, когда места настранице не хватает, приходится жертвовать такой наглядностью, истроить лишь верхнюю половину карты. Я надеюсь, что у Читателя достаточно воображения для того, чтобы мыслено приставить кэкрану зеркало и столь же мысленно увидеть в нем нижнюю часть
комплексной карты. С рассчетом на это, на рисунке 11.9 показаны
итерации экспоненты по основанию η и для других n. В частности,карта, соответствующая n = 0.5, соответствует зумину из центральной части рисунка 11.8.
Рисунок 11.9 показывает, как непрерывно и постепенно, при увеличении номера итерации от минус единицы до единицы, комплексная карта итерации изменяется от карты логарифма по основаниюη (верхняя правая карта) к карте тождественной функции (которая есть однородная прямоугольная сетка и поэтому не нарисована
внизу) и затем к карте экспоненты по основанию η (верхняя левая
карта).
Аналогичные карты можно построить и для других передаточных
функций. Одна из них рассмотрена в следующей главе.

145

u= 3
u
u == 1 2
0

2
u=

u=

0 cut
y

2
v =1

u=

2

1
u=

0
u = .2
0 .4

u=

0 cut
y

u=2

u=1

0
u=

0 cut
y

u=2

u=1

u=0

−1
u=

−2
u=

3
v=

v=

v =2

3

v =2

v =1

v =0

u=2
u=1
0
u=
−1
u= 2
−
u=

n = 0.2

2

v =0
2

2

2
v=
v =1

v=

u=

n = 0.5

3

1

3
u=
2
=2
u
0
v =1
u == −1uv = 0 cutv=
4 n = −0.5 u
v=
=
3
u= 1
u=− 0
v =2
1
u = −2v =1
v = 0 cutv =4
n = −0.2
v =3

3

1

3

v =0

v=

u=

0

2
v=
v =1

2
=
u =1 0u u=n = −0.8

n = 0.8323v = 0 cut1v =0

n = −0.9
u=

2

v=

3

v=

1

0.4

u=

u=

0.2

3

1

v=

2

2
v =1
v =8
v = 0 cutv=

n = 0.9

3u=0

v=

u=

2
u=

1
0
y

v=

0
u = .4
0 .6
u=
1

u=

u=

2

3

0.2

v=

3

n = −1

3

n=1

v=

y

v =3
v =2

v =1

0 cut
y

v = 0 cut
v =4

v =0

3

v =3
u=1

u=2

u=0

u = −1

2

1

2

1
0 cut

−3 −2 −10n = −0.1

v =2

u=1
u=0
u = −12
u=−n = 0.1

u=2

v =1

1

v =2

v =1

v =1
v3 = 0x cut
−3

v =3

−2 −1

0

1

2

3

x

Рис. 11.9: Комплексные карты итераций экспоненты по основанию
nГенрика: u+iv = expη,u(x+iy) по формуле (11.32) для различных n146Глава 12Функции LambertW и zex
y

e

2
1
−3

−2

−1

y = zex(x)

0
−1/e

1

2 x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexPlot.png
Рис. 12.1: y = zex(x) = x exp(x)В этой главе рассматривается функция ArcLambertW,
ArcLambertW(z) = ArcProductLog(z) = zex(z) = z exp(z)(12.1)

Длинное имя ArcLambertW эквивалентно ещё более длинному обозначению ArcProductLog. Такие имена напоминают “монохид дигедрогена” (см. рис. 6.3). То есть формально, вроде, правильно, обратная функция по отношению к функции ProductLog вполне может называться ArcProductLog, но использовать такое обозначениев формулах неудобно. Поэтому я использую обозначение zex. Длявещественного аргумента, график функции zex по формуле (12.1)
представлен на рисунке 12.1.
Короткое имя zex образовано из первых трех букв последнего выра147

жения в формуле (12.1). Эта функция используется для иллюстрации общей идеи построения “экзотических” итераций передаточной
функции, у которой производная в стационарной точке равна единице. То есть как бы для закрепления материала.
Название этой Главы указывает, что речь идет о функция LambertW.
Однако мне удобнее работать с функцией zex, которая проще; хотябы потому, что у неё нет особых точек. В моё оправдание замечу, чтопостроение итераций функции zex эквивалентно построению итераций функции LambertW. И даже эквивалентно построению итераций функции ProductLog, которая то же, что и LambertW. Потому
как zex−n = LambertWn , и номер итерации n может принимать нетолько что отрицательные, а ажно комлексные значения. Так чтоесли кто умеет итериривать функцию zex, то он/она умеет итерировать и функцию LambertW. И наоборот.
Название главы должно быть видным и гуглебельным. Название
LambertW известно широко, а в названии zex поисковики пытаются исправлять первую букву, чтобы предложить миллионы коммерческих ссылок. Содержание таких ссылок выходит за пределы темы этой Книги, поэтому в названии главы упоминаeтся не zex, аLambertW.
Я надеюсь, что Читатель не смутится названием, и сам сможет провести все рассчеты этой главы, по аналогии с тем, как в предыдущей
секции это сделано для экспоненты по основанию Генрика (η = e1/e ).
Однако я помню старое правило, что если на докладе за первой
партой сидят Софья Ковалевская и Леонард Эйлер, а на последней парте — Надя Кискина и Вася Пупкин, то обращаться надо кНаде и Васе; тогда, может быть, Софья и Леонард поймут хотя быосновную идею доклада и зададут “самые мучительные социальные
вопросы” [15].
Адаптируя такое правило к этой Книге, в этой главе я описываю,как для функции zex строятся суперфункция, абельфункция и нецелые итерации. Потому как повторение, хоть и не мать остроумия, новсё ещё мать учения. Я рекомендую Читателям делать выкладки самостоятельно, и лишь иногда подглядывать в книгу, чтобы выудить
хинт (подсказку) или подтвердить правильность формулы.
148

y

u=0

5
4

v =0

3

u=0

1
0

v =0

u = −0.22

v = 16v = −16
u = 16u = −16

−1
−2

u=0

−3
−4

v =0

−5

u=0
−6
−6

−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexD6mapT100.png

xРис. 12.2: u+iv = zex(x+iy) by (12.1)

1Голоморфный zexГрафик функции zex по формуле (12.1) показан на рисунке 12.1.
При больших отрицательных значениях аргумента zex стремится кнулю, и убывает от нуля на минус бесконечности до значения −1/e вточке −1, затем растет. График проходит через точку (0, 0), и в нулепроизводная функции zex равна единице. Именно поэтому итерации
зекса квалифицируются как экзотические. При бóльших значениях
аргумента zex продолжает быстро расти до бесконечности.
Комплексная карта функции zex представлена на рисунке 12.2. Этафункция является целой. То есть голоморфна где ни попади.

149

v =1

y
6
4

v=

2

1 .8

.2
0
=
v

v=
2
0 cut

2
v =−

−2

v =0
u=

u=

−6

u=1
−6

−4

.4
−2

v=

v = −1

1
u=
1 .2

−4

v =−
0.2

0 .8

0

2

4

−0
.4

x

6

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:LambertWmap150.png
Рис. 12.3: u+iv = ArcZex(x+iy) = LambertW(x+iy)Карта обратной функции, то естьzex−1 = ArcZex = zex−1 = LambertW(12.2)

показана на рисунке 12.3. Эта функция имеет разрез, обозначенный
символом cut.
Функцию LambertW можно определить как решение F дифференциального уравнения
F 0 (z) =F (z)(1 + F (z)) z(12.3)

с дополнительным условием F (0) = 0, где контур интегрирования
идет от нуля вдоль мнимой оси до мнимой части аргумента, а потом, параллельно вещественной оси, до значения аргумента. Решая
150

уравнение (12.3), Читатель может проследить, что обратная функция от решения есть zex.
Функцию LambertW можно выразить через функцию Таня, определенную формулой (5.3):

LambertW(z) = Tania ln(z) − 1(12.4)
Мнимая часть значений логарифма всегда находится в интервале
от −π до π. Поэтому в выражении (12.4), разрезы функции Таня(см. рисунок 5.3) не добавляют разрезов к области голоморфизма
функции LambertW. Эта функция имеет только один разрез, от логарифма в аргументе Тани в правой части уравнения (12.4). Этотразрез идет от точки ветвления −1/e до минус бесконечности.
Мне не попалось хорошей имплементации complex double для фунции LambertW на языке C++, на котором у меня написаны хорошие
графопостроители. Поэтому мне пришлось делать такую имплементацию самому. Для этой имплементации использованы вполне очевидные разложения. Эти разложения перечислены ниже.
Для малых значений аргумента, есть разложение в нуле:∞X(n+1)n−1
LambertW(z) = z
(−z)n
n!
n=0
3z 3 8z 4 125z 5 54z 6 16807z 7−+−++ ..(12.5)
2
3
24
5
720
Ряд сходится при |z| < 1/e ≈ 0.367879 . При учете 48 слагаемых,для |z| ≤ 0.2, такая суммя дает для LambertW(z) по крайней мере16 корректных значащих цифр.
= z −z 2 +Разложение вблизи точки ветвления можно записать так: −1 t2 
769t5
221t6
t2 11t3 43t4
LambertW+−+−= −1 + t − +
e
2e
3
72
540 17280
8505
7
8
9
10
680863t
1963t
226287557t
5776369t
+
−
+
−
+ ..
(12.6)
43545600 204120 37623398400 1515591000Такое разложение можно использовать для аппроксимации функции LambertW при |t| < 1, то есть когда аргумент функции LambertWблизок к значению − exp(−1) ≈ −0.367879 .
Для больших значений |z|, обозначу L = ln(z) и M = ln(L) = ln2 (z);тогда разложение для LambertW(z) можно записать так:151

M
M (−2 + M )+L
2L2
M (6 − 9M + 2M 2 )+
6L3
M (−12 + 36M − 22M 2 + 3M 3 )+
12L42
M (60 − 300M + 350M − 125M 3 + 12M 4 )+
60L5
M (−120 + 900M − 1700M 2 + 1125M 3 − 274M 4 + 20M 5 )+120L6 M 7+O(12.7)
L
LambertW(z) =L−M +При этом малым параметрoм разложения является ε = ln2 (z)/ ln(z);при |ε|  1, разложение (12.7) дает аккуратную аппроксимацию
функции LambertW.
Как обычно, верхний индекс после имени функции указывает номер
итерации, вычисление второй (то есть целой) итерации логарифмане вызывает сложностей, а верхний индекс после того, как указан
аргумент и закрыта скобка, указывает степень, в которую следует
возвести результат вычисления функции. Таким образом, выражение ln−1 (z) = exp(z) не следует путать с выражением 1/ ln(z), авыражение ln2 (z) = ln(ln(z)) не должно конфузироваться с выражением ln(z)2 . Это соответствует общей системе обозначений, принятых в этой Книге.
Предлагаемые выше разложения позволяют написать эффективный
(быстрый и аккуратный) алгоритм для вычисления обратной функции для zex, то есть функции LambertW. Его имплементация наязыке C++ загружена по урлюhttp://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW.cin.
Функция LambertW = zex−1 требуется для вычисления итераций
функции zex через её суперфукцию и абельфункцию. Суперфункциядля передаточной функции zex рассмотрена в следующей секции.

152

2

SuZex

Суперфункцией для передаточной функции zex по формуле (12.1)
является решение F передаточного уравнения
F (z +1) = zex F (z)(12.8)
Для некоторого целого числа M > 1, ищу решение F в таком виде:ln(±z)M +1(12.9)
F (z) = FM (z) + O
z M +2
гдеM
1 12 ln(±z) 1 X Pm
FM (z) = − +
+
z
z2
z m=2

Pm (z) =mXln(±z)
zm

cm,n (−z)n(12.10)(12.11)n=0Коэффициенты c в формуле (12.11) можно найти подстановкой разложения (12.9) в передаточное уравнение (12.8). Для этого может
использоваться следующая программа на языке Математика:zex[z_] = z Exp[z];Foo[z_] = -1/z + a Log[z]/z^2
Soo = Series[Foo[z+1]-zex[Foo[z]], {z,Infinity,3}]
Eoo = Coefficient[Soo,1/z^3]
Ao = Extract[Solve[Eoo==0, a], 1]F2o[z_] = ReplaceAll[Foo[z], Ao]
F20[z_] = F2o[z] + (a Log[z]^2 + b Log[z] + c)/z^3
S2o = Series[F20[z+1] - zex[F20[z]], {z,Infinity,4}]
S20 = ReplaceAll[S2o, Log[1/z] -> -L]
E2o = Coefficient[S20, 1/z^4]
E22 = Coefficient[E2o, L^2]
A1 = Extract[Extract[Solve[E22==0, a], 1], 1]
E2A = ReplaceAll[E2o, A1]
E21 = Coefficient[E2A, L]
B1 = Extract[Extract[Solve[E21==0, b], 1], 1]
153

E2B = ReplaceAll[E2A, B1]
C1 = Extract[Extract[Solve[E2B==0, c], 1], 1]F3o[z_] = ReplaceAll[F20[z], {A1, B1, C1}]
F30[z_] = F3o[z]+(a Log[z]^3+b Log[z]^2+c Log[z]+d)/z^4
S3o = Series[F30[z+1] - zex[F30[z]], {z, Infinity, 5}]
S30 = ReplaceAll[S3o, Log[1/z] -> -L]
E3o = Coefficient[S30, 1/z^5]
E33 = Coefficient[E3o, L^3]
A3 = Extract[Extract[Solve[E33==0, a], 1], 1]
E3a = ReplaceAll[E3o, A3]
E32 = Coefficient[E3a, L^2]
B3 = Extract[Extract[Solve[E32==0, b], 1], 1]
E3b = ReplaceAll[E3a, B3]
E31 = Coefficient[E3b, L]
C3 = Extract[Extract[Solve[E31==0, c], 1], 1]
E3c = ReplaceAll[E3b, C3]
D3 = Extract[Extract[Solve[E3c == 0, d], 1], 1]F4o[z_] = ReplaceAll[F30[z], {A3, B3, C3, D3}]
F40[z_] = F4o[z] +(a Log[z]^4+b Log[z]^3+c Log[z]^2+d Log[z]+e)/z^5
S4o = Series[F40[z+1] - zex[F40[z]], {z, Infinity, 6}]Такой рассчет дает следующую асиммптотику:
1 3
1
1
−5 2
3
−7
2
1 12 ` −1
4 ` + 4` − 6
8 ` + 16 ` + 8 ` + 48
F (z) = − + 2 +
+
z z
z3
z4
13 3
−17 2
23
−707
−1 4
16 ` + 48 ` + 32 ` + 48 ` + 4320
+
z5
1 5
−77 4
37 3
−83 2
1121
−1637
32 ` + 384 ` + 64 ` + 96 ` + 1728 ` + 8640
+
z6
−1 6
87 5
−205 4443 3−1619 215427
−274133
64 ` + 640 ` + 384 ` + 384 ` + 1152 ` + 17280 ` + 1209600
+
z6
 7

+O

`
z8

(12.12)где ` = ln(−z).

154

y
9
8
7
6
5
4
e

3
2

y = SuZex(x) 1
y = xex
−2 −1
0
1 x
−1/e

Для некоторого фиксированного числа M , суперфункцию F можно выразить через её M ную асимптотику в таком виде:n
F (z) = lim zex FM (z −n)(12.13)n→∞Поскольку FM является асимптотическим решением, получающаяся суперфункция F не зависит от числа Mтермов, принимаемых во внимание впервичном приближении. Разумеется,с увеличением числа M скорость сходимости увеличивается.
Чтобы упростить сравнения различных суперфункций, удобно определить “сдвинутую” функцию
SuZex(z) = F (z1 +z)(12.14)

где z1 ≈ −1.1259817765745026 есть решение уравнения F (z1 ) = 1. Имплементация такого алгоритма на C++загружена в http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuZex.cin
y = SuZex(x)по формуле (12.14)

Рис. 12.4:

График функции SuZex показан на рисунке 12.4 толстой кривой.
Для сравнения, тонкая линия показывает функцию zex. Эти курвы пересекаются в точке (1, e), а также вблизи точки (1.4, 6.2). Длявещественных значений аргумента, SuZexp есть положительная монотонно возрастающая функция. На минус бесконечности она приближается к нулю, как предписывает асимптотика (12.10). SuZexпринимает значение единица в нуле, и затем быстро растет при положительных значениях аргумента.
Комплексная карта функции SuZex показана на рисунке 12.5. Ввиду
быстрого роста этой функции при положительных значениях аргумента, уровни не удалось провести в окрестности луча x > 1; этаполоса осталась пустой. Функция SuZex голоморфна во всей ком155

y
5
4
3
2

v =0

u = 0.40

u = 0.2

1

−1
−2
−3

u

u=0

−4
−5
−6
−6

v=

0.2
−
=

.2
0
−

−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuZexD1mapT.png

xРис. 12.5: u+iv = SuZex(x+iy)плексной плоскости. То есть это целая функция. В следующей секции, для неё строится обратная функция.

3

AuZex

Комплексная карта функции AuZex = SuZex−1 , то есть абельфункции для передаточной функции zex(z) = z exp(z), показана в правой
части рисунка 12.6. Эта секция описывает свойства функции AuZex.
Асимптотическое разложение функции AuZex можно получить, обращая разложение функции SuZex, рассмотренное в предыдущей
секции. Однако тот же результат можно получить проще, рассмот-

156

y
8

v = 0.66v=

u = 1.4

2

−2

v =0
1.6

cut

0

2
0.

v=

u=

4

u=

2
0.

2

−

−4
−6

v = −0.6

−8
−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuZexMapT.jpg
Рис. 12.6: u+iv = AuZex(x+iy)рев уравнение Абеля
G(zex(z)) = G(z) + 1(12.15)Асимптотика ршения G = AuZex может быть записана так:NX
−1 1
G(z) ≈+ ln(z) +bn z n + ..
z2
n=0

(12.16)

Коэффициенты bn для n > 1 можно найти, подставляя такое разложение в уравнение Аблея (12.15). Такая асимптотика дает аккуратные значения функции для малых z; при больших значениях
аргумента можно использовать уравнение Абеля, чтобы выразить
значение функции через функцию от меньшего значения аргумен-157

та. Для некоторого фиксированного натурального числа M , пусть
MX−1 1
GM (z) ≈+ ln(z) +bn z nz2
m=0(12.17)и пусть

AuZex(z) = lim FM zex (z) + n
n→∞


n
= lim FM LambertW (z) + nn→∞−n(12.18)Коэффициент b0 выбирается так, чтобы AuZex(1) = 0; тогда соотношение

SuZex AuZex(z) = z(12.19)выполняется в широкой области значений z, за исключением нуляи отрицательной части вещественной оси.
Коэффициенты b разложения (12.17) можно вычислять с помощью
копипастнутой ниже программы на языке Mathematica:
zex[z_] = z Exp[z];S[k_, L_] = Sum[a[k, m] L^m, {m, 0, k}]
F[K_, z_, L_] = Sum[S[k, L]/z^(k + 1), {k, 0, K}]
Series[zex[F[4,z,L]] - F[4, z+1,L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,3}]a[0,0] = -1;
Series[zex[F[4, z, L]] - F[4, z+1, L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,3}]a[1, 1] = 1/2; a[1, 0] = 0;
Simplify[Series[zex[F[5,z,L]] - F[5,z+1, L+Log[1+1/z]], {z,Infinity,4}]]n = 2;
s[n]=Series[zex[F[n+3,z,L]]-F[n+3,z+1,L+Log[1+1/z]],{z,Infinity,n+2}];
For[k = 0, k<=n,k++,m=n-k;a[n,m] = ReplaceAll[a[n, m],So1[Coefficient[s[n] L,L*L^m] == 0, a[n,m]]];Print[n, Space, k, Space, m, Space, a[n, m] ] ]n = 3;
s[n]=Series[zex[F[n+3,z,L]]-F[n+3,z+1,L+Log[1+1/z]],{z,Infinity,n+2}];
For[k = 0, k<=n,k++,m=n-k;a[n,m] = ReplaceAll[a[n, m],So1[Coefficient[s[n] L,L*L^m] == 0, a[n,m]]];Print[n, Space, k, Space, m, Space, a[n, m] ] ]и так далее для бóльших значений n.
Первые 9 коэффициентов разложения (12.17) собраны в таблице:
158

n

bn

approximation of bn

1

−1/6

≈ −0.1666666666666666667

2
3
4
5
6

1/16
−19/540
1/48−41/4200
37/103680≈ 0.0625≈ −0.0351851851851851852≈ 0.0208333333333333333≈ −0.0097619047619047619≈ 0.00035686728395061728(12.20)7 18349/3175200 ≈ 0.005778848576467624
8−443/80640≈ −0.005493551587301587
9 55721/21555072 ≈ −0.002585052835824441
Читатели приглашашаются проверить, что асимптотически, а такжеи численно, выполняется соотношение
SuZex(AuZex(z)) = z

4(12.21)Итерации функции zexС функциями SuZex и AuZex, описанными в предыдущих секциях,итерации функции zex выражаются так:nzex (z) = SuZex n + AuZex(z)(12.22)Как обычно, номер n итерации не имеет надобности быть целым;это число может быть даже комплексным.
Итерации y = zexn (x) как функции x для некоторых вещественных
значений n показаны на рисунке 12.7. Курвы для целых значений nвыделены толстыми линиями.
Читателям предлагается проверить соотношение
nmzex zex (z) = zexm+n (z)(12.23)хотя бы для нескольких значений чисел m и n. Это можно сделать спомощью асимптотического анализа (особенно если у читателя инсталлирована какая-нибудь Математика или Клен). Кроме того, этоможно сделать численно, причем даже для комплексных значений
159

m, n и z, и охарактеризовать область применимости соотношения
(12.23).

0 .1

n=

n=

n=

0 .2

.3
n=0

11

n=1

y

n=2

Итерации функции zex выглядят похоже на итерации других быстро
растущих функций с вещественной стационарной точкой. Итерирование сохраняет единичную производную в этой точке, поэтому всекривые на рисунке 12.7 подходят к стационарной точке (то есть кначалу координат) под углом 45 градусов к оси абсцисс. Такое свойство сохраняется и для других передаточных функций с единичной
производной в стационарной точке. Ещё одна такая передаточной
функции рассмотрена в следующей главе.

0y = zex(x)

10
9
8
7

y=

x

n

.1
0
=−

0.2
−
=

6

n

5

.3
0
−
n=

4
3
2

y = LambertW(x)1n = −1n = −2
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ZexIteT.jpg
Рис. 12.7: y = zexn (x) по формуле (12.22) для различных n

160

11

x

Глава 13Суперсинус и итерации синусаВ этой главе рассмотрена передаточная функция T = sin. Это хороший пример для иллюстрации нетривиальных итераций; потому какиногда коллега, когда ему предлагают привести пример элементарной функции, долго думает, а потом говорит: “Ну,.. скажем, синус.”Итерации синуса рассматриваются давно, но лишь в 2011 году были предложены простые (хотя и грубые) аппроксимации для таких
итераций [66, 67]. Затем, в 2014 году, вычисление нецелых итераций
синуса доложено в журнале Far East Journal of Mathematical Science[78]. Ниже пересказываются ключевые моменты этой публикации.
Я надеюсь, что Читатель может сам построить комплексные карты синуса и арксинуса; арксинус в этой главе тоже понадобится. Ярекомендую проделать это упражнение, ибо без таких упражнений
чтение превращается в пустую забаву. Полюбовавшись на карты синуса и арксинуса, можно переходить к чтению следующей секции, вкоторой строится суперсинус, показанный на рисунке 13.1.
y
π
2

y=

p
3/x

1

y = SuSin(x)
0
0

1
2
3
4
5
6
7
8
9
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Susinplot.jpg

Рис. 13.1: y = SuSin(x) по формуле (13.8) и асимптотика (13.3)

161

x

1

Суперсинус SuSin

Суперфункция синуса, я назвал её SuSin, показана на рисунке 13.1.
Здесь я рассказываю, как строится эта функция.
Для суперфукции F oт синуса, передаточное уравнение таково:F (z +1) = sin F (z)(13.1)
Ниже строится решение F = SuSin с такими свойствами:SuSun(0) = π/2
r 


3
ln(z)
1+O
SuSun(z) =zz(13.2)(13.3)

Лидирующий терм в правой части асимптотики (13.3) можно угадать, заменяя в левой части уравнения (13.1) выражение F (z + 1)
на F (z)+F 0 (z) . Получающееся при этом дифференциальное уравpнение легко решается и дает F (z) ≈ 3/z. При подстановке такого
эвристического решения в исходное передаточное уравнение (13.1),
получается невязка. Эта невязка позволяет угадать следующий термразложения (13.3). Тогда Дьявол-искуситель утрет свою пасть и скажет: “Ну вот, дело сделано. Можете преспокойно повторить его ипродолжать в том же духе!”.. 1 В результате получается следующее
асимптотическое разложение для суперфункции F :ln(z)M +1
F (z) = FM (z) + O(13.4)z M +3/2
где
!
r
M
X
3
3 ln(z)
FM (z) =1−+
Pm (ln(z)) z −m
(13.5)z
10 z
m=2
PM (z) =m
X

am,n (−z)m(13.6)

n=0

и коэффициенты a суть константы. Эти константы можно вычислить с помощью программы на языке Mathematica:
1

http://www.dolit.net/author/7649/ebook/25941/mann_tomas/izbrannik/read/3 Томас
Манн. Божий избранник. Собрание сочинений. Том 6. Государственное издательство художественной литературы; Москва; 1960.

162

P[m_, L_] := Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, m}]
F[z_] = Sqrt[3/z] ( 1 + Sum[P[m, Log[z]]/z^m, {m, 1, M}])M = 9; a[1, 0] = 0;F1x = F[1 + 1/x];
Ftx = Sin[F[1/x]];s[1] = Series[(F1x - Ftx)/Sqrt[x], {x, 0, 2}]t[1] = Extract[Solve [Coefficient[s[1], x^2] == 0, {a[1, 1]}], 1]A[1, 1] = ReplaceAll[a[1, 1], t[1]]su[1] = t[1]m=2;s[m]=Simplify[ReplaceAll[Series[(F1x-Ftx)/Sqrt[3 x],{x,0,m+1}], su[m-1]]]t[m] = Simplify[Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m+1)]]u[m] = Simplify[Collect[t[m], L]]v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n+1)] == 0, {n, 0, m}]w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}]
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1]
su[m] = Join[su[m - 1], ad[m]]m=3;s[m]=Simplify[ReplaceAll[Series[(F1x-Ftx)/Sqrt[3 x],{x,0,m+1}],su[m-1]]]t[m] = Simplify[Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m+1)]]u[m] = Simplify[Collect[t[m], L]]v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n+1)] == 0, {n, 0, m}]w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}]
ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1]
su[m] = Join[su[m - 1], ad[m]]. . .

Значения коэффициентов a показаны в таблице 13.1.

a1,0
79
700
411
3500
1606257
10780000
140345627
700700000
137678711441
490490000000
25317035192599
62537475000000

Таблица 13.1: Table of coefficients a in equation (13.6)
3
a1,2
a1,3
a1,4
a1,5
a1,6
10
9
50
1941
7000
7227
17500
70079931
107800000
73645237007000
8462569406199
4904900000000

27
200
27
125
1683
4000
566973700000305491257
196000000
32174780481
10780000000

a1,7

a2,3

a2,4

a2,5

a2,6

a2,7

27
400
1917
10000
98739
2000004155111
3500000
5367503637
1960000000

a3,4

a3,5

a3,6

a3,7

567
16000
7533
50000
7963111600000
407711313
280000000

a4,5

a4,6

a4,7

15309
8000002218347
20000000
181900809
400000000

a5,6

a5,7

16839916000000
196028125000000

938223160000000

a6,7Теперь для синуса можно определить суперфункцию F как предел
F = lim arcsink (FM (z + k))k→∞(13.7)

для некоторого фиксированного числа M термов в разложении (13.5).
При M > 2, функция F по формуле (13.7) является асимптотическим
163

−0.
2

y

v=

8
6

v=

4

.1
−0

v =0

u = 0.5cut

u=1

u = 0.60v = −1v =1

u = 0.7

2

−2

v=

−4

v=

−6

0 .2

−8

−10

0 .1

−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Susinmap.jpg

xРис. 13.2: u+iv = SuSin(x+iy) по формуле (13.8)

решением передаточного уравнения (13.1), и предел в формуле (13.7)
от M уже не зависит. Однако от M зависит скорость сходимости приимплементации представления (13.7).
Для суперфункции, удовлетворяющей ещё и дополнительному условию (13.2), требуется обеспечить определенное значение этой функции в нуле, или, что проще, в единице. Поэтому я кладу
SuSin(z) = F (z +x1 )(13.8)

где x1 ≈ 1.4304553465288 есть решение уравнения
F (1+x1 ) = 1(13.9)

При этом требуемое значение в нуле получается автоматически, таккак SuSin(0) = arcsin(SuSin(1)) = arcsin(1) = π/2.
164График функции SuSin по формуле (13.8) показан на рисунке 13.1.
Комплексная карта этой функции покзана на рисунке 13.2. Для вещественного аргумента, функция SuSin определена на положительной части вещественной оси, имеет значение π/2 и минус бесконечную производную в нуле. Затем, эта функция нудно, медленно имонотонно убывает до нуля на плюс бесконечности. В комплексной
плоскости функция SuSin также убывает на бесконечности, но имеет ещё и разрез области голоморфизма вдоль отрицательной части
вещественной оси. На рисунке 13.2 этот разрез обозначен обозначен
символом cut.
Синус отличается от других передаточных функций, рассмотренных в этой Книге, тем, что эта функция в стационарной точке растет медленее своего аргумента. Соответственно, суперфунция SuSin(рис. 13.1) не возрастает, а убывает. Через первичное представление суперсинуса, нетрудно рассчитать его свойства, и, в частности,асимптотическое разложение в нуле. Я надеюсь, что при надобности, читатели без особых проблем могут вычислить коэффициенты
такого разложения. Такое разложение может быть получено обращением разложения в точке π/2 функции AuSin, рассмотренной вследующей секции.

2Абельсинус AuSinyОбратная функция от суперсинуса есть абельсинус, пусть она называется AuSin = SuSin−1 . Гра- 3
фик функции показан AuSin показан на рисунке 13.3. Эта секция
рассказывает, как строится такая 2функция.
Функция G = AuSin удовлетворяет
1уравнению Абеля
G(sin(x)) = G(z) + 1 (13.10)
Из свойств суперсинуса следу- 00
ет, что такое решение должно
иметь определенные асимптотиче165

1

π/2 2
Рис. 13.3: y = AuSin(x)xские свойства, а именно,G(z) =

2+ O(ln(z))
z2(13.11)Как и для других абельфункций, решение с требуемыми свойствами
можно получить, обращая асимптотическое представление для суперфункции. Однако это же разложение для абельфункции G проще
получить независимо, из уравнения Абеля (13.10). Затем, добавление константы x1 дает абельфункцию
AuSin(z) = G(z) + x1

(13.12)удовлетворяющую соотношению
AuSin(π/2) = 0(13.13)как это и должно быть для функции, обратной суперсинусу, построенному в предыдущей секции. Остается построить разложение
функции G = F −1 .
Асимптотическую аппроксимацию я ищу в виде разложения
MX
3 5
GM (z) = 2 + ln(z)+cm z 2mz 6
m=1(13.14)Подстановка g(z) = GM + O(z 2M +2 ) в уравнение Абеля (13.10) даеткоэффициенты c. В частности,
79
1050
29
c2 =
2625
91543
c3 =
36382500
18222899
c4 =28378350000
c1 =(13.15)(13.16)(13.17)(13.18)Для фиксированного M , функция G вычисляется как предел
G(z) = lim GM (sink (z)) − kk→∞(13.19)Соответственно, AuSin = SuSin−1 выражается через эту функцию G:
AuSin(z) = G(z) − G(π/2)
166(13.20)

−2

y

−1
=
u

u=

1

u=2
u=1

u = −0.5

0

u=

−1

v=

0

1

v =0

v = 0.2v =0v = −0.2

v =1

v =3
v =2

u=

0

−1

0

π/2

2

3x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinmap52r5.jpg
Рис. 13.4: u+iv = AuSin(x+ iy) по формуле (13.20)

Терм G(π/2) ≈ 2.089622719729524 в уравнении (13.20) обеспечивает
условие (13.13). Комплексная карта абельсинуса по формуле (13.20)
показана на рисунке 13.4. Эта карта симметрична верх-низ, так как
AuSin(z ∗ ) = AuSin(z)∗ . Кроме того, карта симметрична относительно отражений от оси x = π/2; первое же вычисление функции sin вформуле (13.19) обеспечивает эту симметрию. В центральная части
рисунка 13.4 предел (13.19) сходится и регулярным образом определяет голоморфную фукцию. На перефирии появляются разрезы.
167

Oбласть применимости соотношения

SuSin AuSin(z) = z(13.21)ограничена. Аналогичые ограничения имеются и для других обратных функций, в частности, для синуса и арксинуса. Oбласть применимости соотношения (13.21) показана на рисунке 13.5 мелкой прямоугольной сеткой.

y

1

0

−1

0

1

π/2

2

3x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausinsusinmapt50.jpg
Рис. 13.5: u+iv = h(x+iy) по формуле (13.22); линии =(AuSin(x+iy)) = 0
168Технически, рис. 13.5 представляет комплексную карту функции
h(z) = SuSin AuSin(z)(13.22)В левой части карты на фигуре 13.22, вблизи положительной части
вещественной оси, фукция h есть идентичная функция, h(z) = z;линии постоянной вещественной части и линии постоянной мнимой
части - прямые. Эти линии и образуют частую сетку, которая визуально воспринимается как штриховка. Заштрихованная таким образом область ограничена линиями =(AuSin(x+iy)) = 0; эти линии
заимствованы из рисунка 13.4. При численной имплементации, в заштрихованной области соотношение h(z) = z держится с 14ю значащими цифрами; я интерпретирую это как подтверждение адекватности численного представления функций SuSin и AuSin.
Читатели могут построить также карту функции согласия
|h(z) − z|
(13.23)A(z) = − lg
|h(z)| + |z|Такое согласие позволяет проверить аккуратность численного представления. Это обычно, что представление для обратной функции отголоморфной функции имеет ограниченную область применимости.
Такое ограничение неизбежно при обращении любой сколько-нибудь
нетривиальной голоморфной функции.
Для эффективной численной имплементации абельсинуса, полезны и иные разложения. Наиболее простым из них представляется разложение в ряд Тэйлора в точке π/2.
Это разложение имеет такой вид:
AuSin

π
2



+t =

∞
X

bn t2n(13.24)n=1Приближенные значения коэффициентов bразложения (13.24) оценены с помощью контурного интеграла, с использованием первичной аппроксимации через функцию G
по формулам (13.14), (13.19), (13.20). Значения этих коэффициентов показаны в таблице 13.2.
169Таблица 13.2:

n

bn

0
0
1 2.29163807440958
2 1.96043852439688
3 1.07862851256147
45
6
70.59622997993395
0.28333997139829
0.14193261194548
0.06423734271234

8 0.03026687705508
9 0.01351721250427

Ряд в разложении (13.24) сходится при |t| < π/2. Достаточно взять
несколько десятков термов этого разложения, и такая аппроксимация сможет воспроизвести бóльшую часть рисункa 13.4. Я предлагаю читателям построить такую карту (или посмотреть на неё вПриложении).
При учете вполне умеренного количества термов разложения (13.24),
численные аппроксимации абельсинуса дают точность, по крайней
мере не хуже, чем точность при использовании исходного асимптотического разложения по формулам (13.14), (13.19), (13.20). Разумеется, исходное разложение всё равно требуется для вычисления, аппроксимации коэффициентов вторичных разложений. Оптимизация
таких представлений имеет смысл для того, чтобы встраивать их всофтвер, и по мере возможности, улучшать, как и другие “built-in”
функции, когда каждая микросекунда при вычислении дает важное
изменение наблюдаемого быстродействия. Однако даже примитивные имплементации, используемые в этой Книге, позволяют строить все графики и комплексные карты в реальном времени. Я рассматриваю это как указание на высокую эффективность и важность
предлагаемых здесь формул.

3Итерации синусаС функциями SuSin и AuSin = SuSin−1 , определенными в предыдыщих секциях, итерации синуса могут быть представлены так:nsin (z) = SuSin n + AuSin(z)(13.25)Эта формула вполне аналогична представлениям итераций других
голоморгных функций через их суперфункции и абельфункции. Какобычно, номер итерации n не имеет надобности быть целым и может
быть ажно комплексным; но, в частности, может быть и вещественным. Для нескольких вещественных значений n и для вещественных
значений аргумента, итерарации синуса по формуле (13.25) представлены на рисунке 13.6.
Для положительных значений номера итерации n, графики y =sinn (x) симметричны относительно оси x = π/2, как это и должно
быть из-за представления абельсинуса формулами (13.19) и (13.20).
Чем больше n, тем ближе график приближается к вещественной оси.
170

1

0

n=

−0
.2
n=

n = −20n = −10n = −5n = −3n = −2n=−1n = −100yn = 0..21n= 0
n = 0.4

1n=n = 23n=n= 5n = 10n = 20n = 100

0
0

1

π/2

2

3 x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Sinplo2t100.jpg
Рис. 13.6: y = sinn (x) по формуле (13.25) для различных nДля отрицательных значений n, график y = sinn (x) достигает точки ветвления при y = π/2 и не может быть продолжен, так каксоответствующие итерации принимают комплексные значения. Какобычно, нулевая итерация соответствует тождественной функции,sin0 (x) = x, и это соотношение держится, пока 0 < x < π/2.
Через итерации синуса (13.25), суперсинус можно представить так:SuSin(z) = sinz (π/2)(13.26)

С точки зрения вычислений, такое представление имеет мало смысла, так как итерации синуса в правой части формулы (13.26) всёравно прийдется вычислять, используя аппрoксимации суперсинуса
(и, возможно, даже абельсинуса). Однако, когда нецелые итерации
функций будут “зашиваться”, встраиваться в новые версии алгоритмических языков высокого уровня, в софтер, встанет вопрос об удобной мнемонике для названий соответствующих процедур, алгоритмов. Тогда выражение (13.26) можно использовать как подсказкудля удачного выбора обозначений. Формула указывает, что функцию sin применили z раз, причем в качестве начального значения
аргумента выбрано число π/2.
Читатели приглашаются использовать итерации синуса. Я загрузил
иплементации суперсинуса и абельсинуса по урлям
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Susin.cin и
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Ausin.cin
171

y
0.1
0
0

1

π/2

2 x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Boyt100.jpg
Рис. 13.7: Фитинг формы полоза: y = sinn (π/2)−sinn (x) для n = 100

В качестве примера использования итераций синуса, на рисунке 13.7
показана параметризация формы полоза санок формулой
y = sinn (π/2)−sinn (x)(13.27)

Фото взято из Викимедии [9]. Курва сответствует перевернутой 100йитерации синуса. Фото сдвинуто так, чтобы привести последнюю
опору санок в точку с координатами (π/2, 0), повернуто так, чтобы в этой точке полоз шёл горизонтально, и масштабировано так,чтобы привести передний край полоза в точку с координатой x = 0.
Тогда номер итерации n = 100 является единственным подгоночным
параметром такой параметризации.
По аналогии с синусом, так можно строить итерации функций sinh,arctan, и многих других. Имеется формализм для построения суперфункции, которая на бесконечности стремится к стационарной точке
передаточной функции. Особенно просто такой формализм интерпретируется, когда передаточная вещественно-голоморфна, имеет
вещественную стационарную точку и является возрастающей функцией хотя бы в некоторой окрестности этой стационарной точки.
На этом я пока заканчиваю анализ суперфункций, абельфункцийи итераций для вещественно-голоморфных функций, имеющих хотя бы одну вещественную стационарную точку. В следующей главе
рассмотрена передаточная функция, а именно - натуральная экспонента, у которой вещественных стационарных точек нет.
172

Глава 14Натуральная тетрация
Здесь рассмотрен случай экспоненциальной передаточной
функции, T = exp. Для такой
передаточной функции передаточное уравнение

y = tet(x)y = exЧтобы ограничить множество решений, на искомое решение f налагается условие

43
e(14.2)

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TetPlotU.pngyf (z +1) = exp(f (z)) (14.1)

f (0) = 1

tetЧтобы ещё сузуть многообра2зие решений, я требую, чтобы решение f (z) было голо1морфным во всей комплекс
y = 10 tet(x) − (x+1)ной плоскости за исключени- y = exем полупрямой z < 0, a так0x−1
01
же ограниченным по край
y = 10 tet(x) − (x+1)ней мере в полосе <(z) ≤−1
1. Тогда решение f называy = tet(x)ется тетрацией и обозначается символом tet. Для вещественных значений аргуменРис. 14.1: y = tet(x) , y = exp(x) , ита, эта функция показана на
y = 10 tet(x) − (x+1)рисунке 14.1.
173Надо отличать такую тетрацию от сходных суперфункций для экспоненты по другим основаниям. Поэтому предлагается также термин “натуральная тетрация”, использованный в качестве названия
этой главы.
Kоллеги спрашивают не только о том, как вычислять суперфункции для разных экзотических случаев (порою предсказывая, чтодля некоторой конкретной передаточной функции, суперфункцию
построить не удастся), но и о том, как я догадался об асимптотическом поведении натуральной тетрации (а также других суперфункций). Такие вопросы задают не для того, чтобы во всех волнующих,шокирующих подробностях проследить сложный и опасный труд поугадыванию асимптотического поведения тетрации, а для того, чтобы похожим образом решать и другие задачи. Поэтому я отношуськ таким вопросам со всей серьезностью.
Чтобы ответить, эту главу пришлось превратить в некоторое подобие детективного романа, когда есть завязка, то есть уравнения
(14.1), (14.2), и предлагается ущучить голоморфное решение f = tet,которое научная общественность согласилась бы счесть самой чтони на есть настоящей и натуральной тетрацией. В этой главе я показываю, что выбора у меня, по существу, не было, и что натуральная тетрация получается совершенно естественным и натуральным
образом.

1Экспонента

Прежде чем говорить о решении f уравнений (14.1), (14.2), прийдется вспомнить свойства экспоненты. Для вещественного аргумента,график экспоненты показан на рисунке 14.1 тонкой кривой. Комплексная карта передаточной функции T = exp показана на рисунке
14.2. На рисунке 14.3 повторен график экспоненты по основанию e,√чтобы сравнить его с экспонентой по основанию 2; одна из супер√функций для экспоненты по основанию 2 уже рассмотрена в главе
9.
Я надеюсь, что меня простят за то, что я говорю, пишу и рисуюпро такие элементарные функции. Книга должна выдерживать прямое попадание в руки даже самого необученного академика (Пусть
174

3u = −1

y

v =0

v =1
v =2

2

u=0
v =0

u = −1 v = −1 u = 1
u=20

u = 0.2

1

−1

u=0
−2
−3

v =0

−4
−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

Рис. 14.2: u+iv = exp(x+iy)

А.Каминский не обижается, так как этот оборот не я придумал, аБратья Стругацкие [16]). Дело в том, что экспонента везде гладкая,пока она не итерируется. Или даже пока итерируется, но целое неотрицательное число раз. А вот если смотреть, насколько она гладкаяпо количеству итераций, то вопрос о гладкости не так прост. (Япрошу Ю.Кузнецову не обижаться, так как поговорку “вода гладкая, пока об неё не ударишься” придумал тоже не я.) В старании
писать ясно и понятно, чтобы даже Акира Ширакава понял, в этойглаве я начинаю писать от экспоненты.
Для меня, экспонента выступает как суперфункция от операции
“умножение на число e”, приблизительно - на 2.71828182846:
T (z) = e z(14.3)

Повторение – не мать остроумия, но цель Книги – не рассмешить
175

7
6
5

y=
y = exp√(
2 x)x

y = exp( x )

y

4
3
2
1
−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

Рис. 14.3: y = exp(x) и y = exp√2 (x)читателя, а научить его пользоваться суперфункциями. Приходится писать об элементарных вещах, и, в частности, об элементарных
функциях; чтобы даже Акира Ширакава не мог сказать, что формализм “слишком сложный”. Поэтому в качестве передаточного уравнения я повторяю формулу из школьного курса алгебры:f (z +1) = e f (z)(14.4)

В принципе, решение f этого уравнения можно строить методом регулярной итерации, вблизи стационарной точки L = 0 передаточной
функции T по формуле (14.3). Читателю рекоммендуется проделатьэто в качестве упражнения. Первичное разложение (6.1) обрываетсяна первом же слагаемом, давая точное решение f = exp.
Для передаточной функции z 7→ e z, запишу и уравнение Абеля:g(e z) = 1 + g(z)(14.5)

Это уравнение рассмотрено Генриком Траппманном [75]. Вероятно,Читатель уже догадывается, что в качестве решения Генрик получил натуральный логарифм, g = ln. Читатели приглашаются подумать, какие ещё требования надо присобачить к уравнению (14.5),176

чтобы его решение g = ln стало единственным. Любители и профессионалы строгой математической дедукции могут также подсмотреть ответ у Генрика [75]; я надеюсь, что рукописи не горят, и упомянутая статья будет доступна и в будущем.
Экспоненту можно определить как специальную суперфункцию отпередаточной функции “умножение на e”, а именно, везде голоморфное решение f уравнения (14.4) с периодом P = 2πi, такое что
f (0) = 1

(14.6)Mне не удалось построить иного решения уравнения (14.4), обладающего такими свойствами.
График экспоненты представлен также на рисунке 14.3. (Эта же зависимость показана рисунке 14.1 тонкой курвой.) Полезно сравнить√его с графиком экспоненты по основанию b = 2, который пересекает прямую y = x. Для удобства эта кривая воспроизведена на рисунке 14.3. График для натуральной экспоненты y = exp(x) прямую
y = x не пересекает. У натуральной экспоненты нет вещественных
стационарных точек.
Стационарная точка L экспоненты и логарифма по основанию b =exp(a) есть решение уравнения L = logb (L). Это решение может
быть выражена через функцию Тани, рассмотренную в главе 4:
L = filog(a) =Tania(ln(a)−1−πi) WrightOmega(ln(a)−πi)=(14.7)−a−aВторое равенство в формуле (14.7) может рассматриваться как определение функции filog, рассмотренной также в ТОРИ,http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog.
Более подробно свойства функции filog рассмотрены в главе 18.
Kак видно из уравнения (14.7), Tania является модификацией известной специальной функции WrightOmega [12, 98]. Ввиду того, чтофиксированная точка L выражается через известные специальные
функции, этот параметр известен точно1 . Для основания экспонен1Я прошу не обижаться ту Таню, которая до сих пор считает, что даже π есть число приближенное. В порядке попытки примирения, добавляю: в численных рассчетах и, в частности,при генерации рисунков, используются приближенные значения математических констант саккуратностью порядка 15 значащих цифр.

177ты b = e, параметр a = 1, это дает значение
L = −Tania(−1−πi)≈ 0.3181315052047641353 + 1.3372357014306894089 i (14.8)
Приближение для L с парой значащих цифр можно извлечь также
непосредственно из рисунка (5.3), считая пальцем изолинии.
Таким образом, функция Tania используется в этой книге уже дважды: в главе 2, как реалистичная суперфункция для передаточной
функции Doya, описывающей увеличение интенсивности света в усилителе с простой моделью накачки активной среды, и теперь, какспособ точного представления фиксированной точки экспоненты.
Это одна и та же Таня 2 . Для удобства склонения имени этой функции в соответствии с обычаями Русского языка, здесь используется
также русскоязычная транслитерация Таня в том же значении, такчто Tania=Таня.
Экспонента является вещественно-голоморфной функцией, то естьexp(z ∗ ) = exp(z)∗ ; поэтому число L∗ ≈ 0.1 − 1.3 i тоже являетсяеё стационарной точкой. Можно ожидать, что при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента, вещественноголоморфная суперэкспонента стремится к одному из значений L
или L∗ . Такая догадка обсуждается в седующей секции.

2Эвристическая тетрация

После опубликования первой статьи про построение вещественноголоморфной тетрации [44], многие коллеги задают мне одни и теже вопросы:“Как вы угадали асимптотическое поведение тетрации на ±i∞?”“Как вы угадали начальное приближение fit3 ?” [76].
Чтобы не уподобляться Рипу Ван Винклю 3 , вспоминая всё новыеи новые подробности истории, которая надолго вышибла меня изЛазерной Науки, в этой секции я излагаю лишь одну из мотиваций.
2Сергей Решетняк обнаружил и экспериментально доказал, что лучше использовать однуТаню несколькими способами, чем несколько Тань - одним.
3
http://lib.ru/INPROZ/IRWING/ripvanvinkl.txt Вашингтон Ирвинг. Рип ван Винкль.
Перевод А.С. Бобовича. 14 Jul 2000 19:52:31 GMT

178Изначально, мне хотелось использовать какую-нибудь быстро растущую функцию для того, чтобы представлять факториал от числа
частиц в Бозе-Эйнштейновском конденсате. Такой факториал возникает при попытке записать первое приближение для многочастичной волновой функции.
Быстро растущая функция предложена в статье Гусманда [39], нодля асимптотического анализа она оказалась непригодной ввиду еёнеголоморфности. Гусманд описал линейное линейное приближение
тетрации; это приближение дает две значащих цифры для тетрации, пока вещественная часть аргумента лежит в интервале [−1, 0].
Нетрудно написать соответствующее расширение через передаточное уравнение и для остальных точек комплексной плоскости:


ln
uxp(z
+1)
at
<(z) ≤ −1
(14.9)
f (z) = uxp(z) =z+1
at −1 < <(z) ≤ 0
exp uxp(z −1) at 0 < <(z)Эта функция показана на верхней картинке (a) рисунка 14.4 линиями постоянной логамплитуды u и фазы v,
exp(u+iv) = f (x+iy)(14.10)Такое представление карты отличается от того, которое обычно используется для визуализации комплексных функций этой Книги.
Обычно проводятся линии уровня вещественной и линии уровня
мнимой частей значений функции. Однако представление карт в томже виде, как они были опубликованы в статье [44], я считаю важнымдля ответа на вопрос, как я пришёл к эффективному представлению
голоморфной тетрации.
На рисунке 14.4, вертикальные линии разреза области аналитичности делят комплексную плоскость на счетное множество почти неперекрывающихся полос. Такое поведение породило вопрос о том,можно ли предложить более голоморфное решение передаточного
уравнения. При беглом просмотре работы Гусманда, казалось, чтоэто невозможно, хотя допущение о монотонности производной отрешения, использованного для доказательства теорем в работе [39],казалось сомнительным. В целях упростить доказательство несуществования голоморфной тетрации, я начал изучать её свойства, ожи179

v =1

0
−1

u

−8
1

−4

−2
v = 1.4bu = 1.2
v = 1.4

v = 1.2
v =10

u = 0.4

y
3
2

−6

−4

−2

0

c

u+iv ≈ L ≈ 0.3 + 1.3iv = 1.4
u = 0.4
v = 1.2

v = 1.4

2

4

6

8 x

v = 1.4

u = 0.4
v = 1.2v =1

u=1

u = 0.4−10
u =v = −1

v = −1.4
u = 0.4−20
u =v = −1

v = −1.4
u = 0.4−3v = −1.4∗

u+iv ≈ L ≈ 0.3 − 1.3i

−8

−6

−4

−2

u=

u = 0.4

0

2

4

6

0

8 x

v = 1.4d

u+iv ≈ L ≈ 0.3 + 1.3iv = 1.41

v = 1.4

u = 0.4
v = 1.2

v = 1.4
u = 0.4
v = 1.2
v =1

u = 0.40v =0

u = 0.4−1

u = 0.40
u =v = −1

v = −1.4
u = 0.4
v = −1.4

u+iv ≈ L∗ ≈ 0.3 − 1.3i

−8

−6

−4

u = 0.4
v = 1.2v =10u =v = −1

v = −1.4

−2
−3

8 x

u = 0.4
v = 1.2
v =1

0

2

6

v = 1.2
v =1

u = 0.43

4

v = 1.41y20
u =v = −1

u = 0.4

−8

0

v =0

v = −1.4

−1

v =0
=0

u=1

y

−6

v =1

u=1

a

1

1

v=

y

−2

u=

u = 0.4

0

2

4

6

0

8 x

Рис. 14.4: exp(u+iv) = f (x+iy) для следующих функций: f = uxp, (a),f = Fit3 , (b), f = Fit6 , (c), f = tet, (d)180дая на некотором этапе прийти к противоречию и оформить изящное доказательство “от противного”. (Несуществование доказать неудалось; пришлось предположить, наоборот, существование.)Чтобы доказать несуществование функции, полезно её аппроксимировать и нарисовать. Я рассмотрел несколько элементарных функций, имеющих логарифмическую особенность в точке −2 и принимающих те же значения, что и тетрация, при некоторых целых значениях аргумента. Одной из таких аппроксимаций является
fit2 (z) = ln(2+z)





4
z
+(1+z) 1 + 2 exp (z −1)s2 (z) e− 2+ln 3 − ln 2

(14.11)гдеs2 (z) = exp exp(z − 2.51) − 0.6 + 0.08(z +1)(14.12)Константы в выражении (14.12) выбраны так, чтобы минимизировать невязку при подстановке f = fit2 в передаточное уравнение. Этуаппроксимацию можно улучшить, сравнивая (14.12) с аккуратным
приближением. Однако, во время “угадывания” свойств тетрации,аккуратная аппроксимация тетрации и даже её определение ещё несуществовали; поэтому пришлось минимизировать невязку.
После построения функции fit2 , оказалось, что линейная комбинация функций z 7→ fit2 (z) и z 7→ ln(fit2 (z + 1)) дает ещё меньшую
невязку; так получилась аппроксимация fit3 :
fit3 (z) = 0.6 fit2 (z) + 0.4 ln fit2 (z + 1)
(14.13)Область аппроксимации можно расширить; пусть



ln
Fit
(z
+1)
at
<(z) ≤ −13
Fit3 (z) =fit3 (z)at −1 < <(z) ≤ 0
exp Fit3 (z −1) at 0 < <(z)(14.14)Логамплитуда и фаза этой функции показаны на рисунке 14.4b.
Для сравнения, на рисунке 14.4 показаны ещё две карты c и d. Онипредставляют, соответственно, асимптотическое приближение f =Fit6 , аккуратное при больших значениях мнимой части аргумента,и тетрацию f = tet, описанную ниже, в секции 4, и являющуюся
основной целью этой главы.
181

Асимптотическое приближение
(L + exp(k(z+r))
 , <(z) < −8
Fit6 (z) =exp fit6 (z −1) , <(z) ≥ −8

(14.15)Для натуральной тетрации, инкремент k = L. Это может рассматриваться как совпадение, которое, впрочем, каждый может проверить с помощью достаточно примитивного асимптотического анализа. Значение константы r ≈ 1.075820830781 − 0.9466419207254 iявляется единственным подгоночным параметром такой аппроксимации; это значение может рассматриваться приближенное значение точной фундаментальной математической константы 4 . Функция Fit6 (z) аппроксимирует тетрацию tet(z) при =(z) > 0.4; функция Fit6 (z ∗ )∗ аппроксимирует tet(z) при =(z) < −0.4; комбинация
этих функций показана на карте “c” рисунка 14.4. Вблизи вещественной оси, то есть при |=(z)| < 0.4, такая аппроксимация ведет себяотвратительно и эта полоса на карте оставлена белой.
В принципе, аппроксимации f = Fit3 и f = Fit6 по формулам (14.14)(14.15) достаточны для построения карт и графиков тетрации; вместе, они обеспечивают порядка трех значащих цифр во всей комплексной плоскости. Однако, даже аппроксимация Fit3 , см. (14.14),
позволяет догадаться, что, если голоморфное решение f передаточного уравнения существует, то оно стремится к стационарным точкам L или L∗ логарифма, когда мнимая часть аргумента стремитсяк плюс или минус бесконечности. Эти значения видны в левой верхней и левой нижней частях карт “b”, “c” и “d” на рисунке 14.4. Знаяэти свойства и аккуратное представление тетрации, примитивные
аппроксимации этой секции можно сильно улучшить; это улучшение описано во Владикавказском Математическом журнале [53].
Таким образом, эта секция поясняет, “как я догадался” о том, какведет себя тетрация в окрестности мнимой оси. Постулируя эти свойства тетрации, можно построить эффективные и аккуратные алгоритмы для её вычисления. Такие постулаты перечислены в следующей секции.
4Я бы назвал её константой Кнезера. Это одна из констант, требуемых для вычисления
рассмотренных им разложений для итераций экспоненты [10]

182

3

Свойства тетрации

Следуя рекомендациям коллег, друзей и родственников, изложениев этой Книге идет от простого к сложному. Поэтому здесь пока определяется лишь натуральная тетрация. Эта секция продолжает пересказ статьи [44].
После того, как пара верхних карт рисунка 14.4 была построена, основные свойства этой функции стали ясны. Оставалось только постулировать их, как определение натуральной тетрации, и использовать эти свойства для её вычисления. Эти свойства перечислены
(повторены) ниже.
Решение F передаточного уравнения (14.1) с дополнительным условием F (0) = 0 называется натуральной тетрацией или, для краткости, просто тетрацией, и обозначается символом tet, если выполнены
следующие условия.
Т1. Функция F (z) вещественно-голоморфна во всей комплексной
плоскости за исключением полупрямой z ≤ −2 ; то есть F (z ∗ ) =F (z)∗ . В точке z = −2, функция F (z) имеет логарифмическую особенность и, соответственно, точку ветвления.
Т2. Функция F (z) ограничена в полосе |<(z)| ≤ 1.
T3. Функция F (z) стремится к стационарной точке L в верхней части комплексной плоскости: для вещественных x имеет место соотношение
lim f (z + iy) = L

y→+∞(14.16)

и для положительных значений y имеет место соотношение
lim f (z + iy) = L

x→−∞(14.17)

T4. В полосе −1 ≤ <(z) ≤ 2 выполняется условие
arg(F (z)) < 2(14.18)Условия Т1-Т4 выше несколько избыточны. Можно надеяться, чтодальнейшее совершенстование аппарата суперфункций поможет решить, которые из этих свойств следует сохранить в определении тетрации, а какие оформить в виде теорем, следующих из укороченного
183

определения и общих свойств голоморфных функций. Пока, пользуясь декларацией эвристичности, все свойства Т1-Т4 постулируютсякак части определения термина “натуральная тетрация”.
Из требований (14.16) и (14.17) и условия вещественности f (z ∗ ) =f (z)∗ следует, чтоlim f (z + iy) = L∗y→−∞(14.19)и для отрицательных значений y имеет место соотношение
lim f (z + iy) = L∗x→−∞(14.20)Условия (14.17) и (14.20) используются в следующей секции для построения и вычисления тетрации с помощью интеграла Коши.

4Интеграл КошиДля голоморфной функции F , имеет место формула Коши [86]:
I
F (t)
1
dt
(14.21)
F (z) =
2πi Ω t−zгде контур Ω интегрирования принадлежит односвязной области голоморфизма и один раз обходит точку z против часовой стрелки.
С помощью уравнения (14.21), передаточное уравнение (14.1) можно свести к интегральному уравнению для значений суперфункции
вдоль мнимой оси. Для экспоненты, такое уравнение описано в статье [44] и пересказано ниже.
Физик или математик, пользующийся формулой (14.21), имеет определенную свободу в выборе контура интегрирования. Он подобен
инженеру, проектирующему кольцевую дорогу для уединенного гористого полуострова.
Добросовестный инженер постарается учесть расположение портов,селений, заводов, ферм, с тем, чтобы одной дорогой помочь по возможности большему количеству жителей добираться до тех мест,куда они едут. Кроме того, добросовестный инженер постарается
избежать болот, крутых осыпей и узких извилистых ущелий, чтобы
сделать дорогу быстрой, дешевой и безопасной.
184

Тщеславный диктатор, уже проявившися в спорте, войнах, живописи, археологии и оринтологии, и решивший показать себя ещё ив роли крутого инженера, может нарисовать на карте прямоугольник и предложить его в качестве проекта трассы. Такой “проект”потребует много насыпей, выемок и туннелей, которые сильно просадят бюджет и дадут министрам дурной пример расточительстваи головотяпства.
К сожалению, в выборе контура интегрирования, предложенном встатье [44], я выступаю скорее как тщеславный диктатор, чем какдобросовестный инженер: я выбираю контур интегрирования в видепрямоугольника. Меня оправдывает лишь то, что на основе такого
контура получается эффективный алгоритм вычисления тетрации
(суперфункции от экспоненты); первые комплексные карты тетрации были построены с таким алгоритмом.
Пусть F является вещественно-голоморфным решением передаточного уравнения F (z +1) = eF (z) ,Пусть A - вещественное число, такое большое, что F (iA) ≈ L и,значит, F (−iA) ≈ L∗Пусть область голоморфизма функции F (z) включает область −1 ≤<(z) ≤ 1, и в этой области | arg F (z)| < π.
Такие условия позволяют превратить контурный интеграл в решаемое интегральное уравнение при подходящем выборе контура Ω вформуле Коши (14.21). Пусть контур Ω состоит из четырех сегментов:A. вдоль линии <(t) = 1 от t = 1−iA до t = 1+iA.
B. от точки t = 1+iA до точки t = −1+ iA, проходя над точкой z.
C. вдоль линии <(t) = −1 от t = −1+ iA до t = −1−iA.
D. от точки t = −1−iA до точки t = 1−iA, проходя под точкой z.
Для контура Ω, интеграл Коши может быть записан так:Z A
Z A
F (1+ip) dp1
F (−1+ip) dp
1−
F (z) =
2π −A 1 + ip − z
2π −A −1 + ip − z(14.22)Z −1−iA

Z 1−iA

Fup
dt
Fdown
dt
+
2πi −1−iA t−z
2πi −1−iA t−zгде Fup и Fdown суть некоторые средние значения на участках B и−

185

D контура Ω.
С учетом передаточного уравнения 2.7, предполагая, что для требуемой области значений, функция T −1 голоморфна, уравнение (14.22)
может быть переписано с обычными интегралами:


Z A
Z A
exp F (ip) dp
ln F (ip) dp
11−+ K(z) (14.23)
F (z) =
2π −A 1 + ip − z
2π −A −1 + ip − z
где



1
1 − iA + z
1
K(z) = Fup ·−ln
2 2πi 1 − iA − z1
1 − iA − z1−ln+ Fdown ·2 2πi 1 − iA + z(14.24)Такая запись предполагает, что модуль фазы функции F вдоль мнимой оси не превышает π, так что при интегрировании аргумент логарифма не проходит через отрицательные значения.
Уравнения (14.23),(14.24) всё ещё точные. Разумеется, они становятся приближенными, если мы заменим Fup → L и Fdown → L∗ . Такая
замена замыкает представление для K. Получается решабельное интегральное уравнение для аппроксимации FA (iy) распределения суперфункции F вдоль мнимой оси, паметризованного переменной y:


Z A
Z A
exp FA (ip) dp
ln FA (ip) dp
11−+ KA (iy)FA (iy) =2π −A
1 + ip − iy
2π −A −1 + ip − iy(14.25)гдеKA (z) = L ·1
1
1−iA+z−ln
2 2πi 1+iA−z+ L∗ ·1
1
1−iA−z−ln
2 2πi 1+iA+z(14.26)

Уравнения (14.25) и (14.26), в отличие от уравнений 14.23 и (14.24),
замкнуты; они не содержат неизвестных параметров Fup и Fdown .
Это позволяет использовать (14.25) и (14.26) вычисления FA .
Представление интеграла по верхней и по нижней частям контурав виде функции KA по формуле (14.26) не тривиально. В частности, при взглядe на выражение (14.26), возникает искушение записать каждый логарифм в виде разности двух логарифмов, чтобы
186

1

2

3 x

−3

ρ = −2−2 −1 0

1

2

3 x

−3
.2

−4

ρ=

−1

−2

1

ϕ=2

1

ϕ=2

ρ=

ϕ=0

0
ρ=

ρ = −1

ϕ=0

−3
0

−2

1

0
−1

A = 10

y
3
2

ϕ=

ρ=

ρ = −2
ϕ=

−1
.6

ϕ=0

−1

−2 −1 0

2

A=5

ϕ=

0 .2

ρ=

ϕ=0

−2

ρ = −1

y
3

1

0

−3

A=3

ρ = −1
ϕ=2
ϕ=
1

1

ϕ=3

2

ρ=

ρ=0

y
3

−2
−3

ρ=

−2 −1 0

1

2

−3

3 x

ρ=0

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Analuxp02t900.jpg
Рис. 14.5: exp(ρ+iϕ) = KA (x+ iy) по формуле (14.26) для A = 3, 5, 10упростить выражения для аргументов логарифма. Однако, для того, чтобы получить надежное представление для тетрации, этого
делать не следует, так как в представлении (14.26), разрезы области
голоморфизма направлены в стороны от мнимой оси; это позволяет избежать приближения аргумента первичной аппроксимации длятетрации к границам области голоморфизма функции KA . Для тогочтобы представить эту функцию, её карта показана на рисунке 14.5.
При больших значениях A, решение FA уравнения (14.25) дает хорошее приближение для суперфункции F ≈ FA ;F (z) = lim FA (z)A→∞(14.27)Для того, чтобы получить тетрацию tet, надо обеспечить ещё выполнение условия tet(0) = 1. Для этого я кладу
tet(z) = F (x0 + z)

(14.28)

где x0 есть решение уравнения F (x0 ) = 1. Значение x0 зависит от начального условия при итерационном решении уравнения 14.23; дляначального условия в виде аппроксимации (14.15), x0 оказывается
порядка одной десятой. Это значение зависит ещё от параметра A, ипоэтому не является фундаментальной математической константой.
Значение инкремента k = L в аппроксимации (14.15) указывает, чтодля имплементации complex double, разумное значение константыA должно быть порядка 20. Оказалось, при A = 24 невязка чуть187

меньше, и это значение было выбрано. 5
Для численной имплементации уравнения (14.25), интегралы можно
заменить на их приближения по квадратурным формулам ГауссаЛежандра; тогда уравнение можно решать методом итераций, обновляя значения аппроксимации FA по одному. Попытка параллельного присвоения новых значений всему массиву F приводит к расходящемуся алгоритму, но при подходящем выборе порядка присвоения (например, сперва четные узлы, а потом нечетные), после
нескольких десятков итераций, процедура дает аккуратное приближение для решения.
Решение уравнения (14.25) аппроксимирует значения суперфункции
F вдоль мнимой оси. Затем, уравнение (14.23) дает аппроксимацию
функции F (z) в полосе
−1 < <(z) < 1(14.29)Аккуратность такой аппроксимации для краев этой полосы хуже,чем для центральной части. Поэтому лучше использовать значенияиз более узкой полосы
1
1(14.30)− ≤ <(z) ≤22пользуясь по мере надобности формулой
F (z) = T n F (z −n)(14.31)при подходящем целом значении n, положительном или отрицательном в зависимости от знака <(z).
При увеличении параметра A в уравнении (14.22), функция F стремится к решению передаточного уравнения (14.1). Tакое решениеещё не обеспечивает условия F (0) = 1, но дает ключ к вычислению
требуемой функции через уравнение (14.28).
На рисунке 14.5, затенена полоса |x| < 0.5, |y| < 4.5 ; это примерно таобласть, для которой значения функции KA используются для вычисления суперфункции F при построении последней рисунка 14.4d.
5Используя формулу Коши дла численных рассчетов в первый раз, я не догадался до такой
простой оценки и подбирал подходящее значение “методом тыка”, минимизируя невязку численного решения при подстановке в передаточное уравнение. Я последовательно увеличивал
значение A до тех пор, пока невязка не стала порядка ошибок округления.

188

Рисунок 14.5 показывает, что фаза “постоянного” слагаемого (то естьнезависимого от искомой функции) в правой части уравнения (14.25)
не превышает двух и, таким образом, не превышает π. Это обосновывает (верифицирует) использование логарифма в формуле (14.23).
В принципе, F (z−n) могло бы попасть на точку сингулярности илилинию разреза функции T или T −1 . Это указало бы, что построенная методом интеграла Коши суперфункция также сингулярна.
Такое происходит при вещественном аргументе, меньшим или равным минус двум.
В первых рассчетах, в качестве начальной пробной функции дляитерационного решения уравнения (14.25) использована аппроксимация fit3 ; потом выяснилось, что итерации с другими пробными
функциями дают тот же результат.
С помощью алгоритма, описанного выше, в 2008 году впервые была построена тетрация [44], то есть суперфункция для передаточной функции T = exp. При A = 24, использование квадратурной
формулы Гаусса-Лежандра с 2048ю узлами дает приближенное решение, которое, при подстановке в передаточное уравнение (2.7),
дает невязку порядка 10−14 . Похоже, что использование переменных complex(double) дает порядка 14 корректных значащих цифр;это указывает на устойчивость алгоритма и дает надежду на егоуспешное применение для различных передаточных функций.
Описанный выше алгоритм использован при построении первых графиков тетрации по основанию b > exp(1/e) [87, 88]. В частности, спомощью этого алгоритма построена нижняя карта на рисунке 14.4.
Для того, чтобы поднять статус тетрации до специальной функции,были разработаны также численные аппроксимации, более быстрые,чем вычисление контурного интеграла, и столь же точные (прецизионные, обеспечивающие порядка 14 значащих цифр). Эти аппроксимации рассмотрены в следующих секциях, ниже пересказаны некоторые результаты публикации 2010 года “Тетрация как специальная
функция” [52, 53].

189

5

Разложение Тэйлора в нулеБыло интересно проверить заявление о том, что решение f = tetуравнений (14.1) и (14.1), имеющее свойства Т1-Т4, существует иединственно [44]. В соответствии с декларацией Введения, даже строгое математическое доказательство не заменяет численную проверку предлагаемого результата, так же, как численная проверка незаменяет строгое математическое доказательство.
Для серьезной проверки важно, чтобы алгоритм вычисления функции работал быстро. Для убыстрения предложены апроксимации
тетрации через элементарные функции [53, 52]. Одной из таких аппроксимаций является разложение Тэйлора в нуле, оно описано вэтой секции.
В принципе, производные тетрации могут вычисляться дифференцированием представления (14.25). Однако более аккуратные значения дает использование интерала Коши с контуром в виде окружности. Для вычисления производных в нуле, радиус этой окружности
может быть больше единицы, и погрешность результата уменьшается за счет знаменателя в правой части уравнения (14.21). Так получены коэффициенты в разложении
naiv(z) =N−1X

cn z n(14.32)n=0tet(z) = naiv(z) + O(z N )(14.33)Приближенные значения коэффициентов c представлены в первом
столбце таблицы 5. Соответствующий степенной ряд сходится при|z| < 2, это расстояние от нуля до ближайшей особой точки, то естьдо минус двух.
Для численной имплементации выбрано значение N = 50. Комплексная карта приближения naiv по формуле (14.32) показанa на левой
фигуре рисунка 14.6 линиями постоянной вещественной части и линиями постоянной мнимой части, u+iv = naiv(x+iy). Дополнительные толстые линии указывают уровни u = <(L) и v = ±=(L).
Чтобы показать невязку при подстановке аппроксимации f = naiv в
190

−2

0

v=

−1

−2 −1 01

D1 < 11=(L∗)

u = <(L)

0

L)
=(

1

y
2

v=

y
2

2 x

y
2

D2 < 1

1

15

0

−1

−1

−2

−2
−2 −1 0

1

2 x

15

−2 −1 01

2 x

Рис. 14.6: u + iv = naiv(x + iy) по формуле (14.32), слева; согласия

D1 = D1 (x + iy) и D2 = D2 (x + iy) по формулам (14.34) и (14.35),
центральная и правая карты.
передаточное уравнение (14.1), в центральной и правой частях рисунка 14.6 показаны карты согласий
| ln(naiv(z +1) − naiv(z)|Dnaiv1 (z) = − lg
(14.34)| ln(naiv(z +1)| + |naiv(z)|| exp(naiv(z −1) − naiv(z)|Dnaiv2 (z) = − lg
(14.35)| exp(naiv(z −1)| + |naiv(z)|Функции согласия оценивают, сколько значащих цифр можно получить с помощью аппроксимации naiv по формуле (14.32). Проведены уровни D = 1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14. Символ "15"указывает область, где согласие больше четырнадцати. Можно ожидать, что при|z| < 1, полином по формуле (14.32) дает порядка 14 значащих цифр.
Это близко к максимальной точности, достижимой с переменными
“complex double”.
Полиномиальная аппроксимация naiv по формуле (14.32) может использоваться для аккуратного и быстрого вычисления тетрации, когда модуль аргумента меньше или порядка единицы. Для эффективной имплементации тетрации это хорошо, но не достаточно. Вследующей секции описывается способ расширить область аппроксимации.

6Улучшенная аппроксимация

Область аккуратной аппроксимации тетрации вблизи нуля может
быть расширена, если принять во внимание логарифмическую осо191

Таблица 5. Коэффициенты в разложениях (14.32), (14.36) и (14.40)ncn<(tn )

sn=(tn )

01.00000000000000 0.30685281944005
0.37090658903229
1.33682167078891
1
1.09176735125832 0.59176735125832
0.01830048268799
0.06961107694975
2
0.27148321290170 0.39648321290170 −0.04222107960160
0.02429633404907
30.21245324817626 0.17078658150959 −0.01585164381085 −0.01478953595879
40.06954037613999 0.08516537613999
0.00264738081895 −0.00657558130520
50.04429195209047 0.03804195209047
0.00182759574799 −0.00025319516391
60.01473674209639 0.01734090876306
0.00036562994770
0.00028246515810
70.00866878181723 0.00755271038865
0.00002689538943
0.00014180498091
80.00279647939839 0.00328476064839 −0.00003139436775
0.00003583704949
90.00161063129058 0.00139361740170 −0.00001376358453 −0.00000183512708
100.00048992723148 0.00058758348148 −0.00000180290980 −0.00000314787679
110.00028818107115 0.00024379186661
0.00000026398870 −0.00000092613311
120.00008009461254 0.00010043966462
0.00000024961828 −0.00000013664223
130.00005029114179 0.00004090111776
0.00000007899707
0.00000003171468
140.00001218379034 0.00001654344436
0.00000000637479
0.00000002270476
150.00000866553367 0.00000663102846 −0.00000000341142
0.00000000512289
160.00000168778232 0.00000264145664 −0.00000000162203
0.00000000031619
170.00000149325325 0.00000104446533 −0.00000000038743 −0.00000000027282
180.00000019876076 0.00000041068839 −0.00000000001201 −0.00000000013440
190.00000026086736 0.00000016048059
0.00000000002570 −0.00000000002543
200.00000001470995 0.00000006239367
0.00000000000935
0.00000000000045
210.00000004683450 0.00000002412797
0.00000000000170
0.00000000000186
22 −0.00000000154924 0.00000000928797 −0.00000000000005
0.00000000000071
23
0.00000000874151 0.00000000355850 −0.00000000000016
0.00000000000012
24 −0.00000000112579 0.00000000135774 −0.00000000000005 −0.00000000000001
250.00000000170796 0.00000000051587 −0.00000000000001 −0.00000000000001

бенность тетрации. То есть “выключить” сингулярность в точке −2,раскладывая функцию tet(z) − log(z+2) вместо функции tet(z). Такое разложение дает приближение
N−1
X

sn z n ;(14.36)tet(z) = maclo(z) + O(z N ) .

(14.37)

maclo(z) = ln(z +2) +n=0

Ряд в аппроксимации (14.36) сходится при |z| < 3, точно воспроизводя логарифмическую точку ветвления и даже кусочек разреза в направлении отрицательной части вещественной оси. Приближенные
значения коэффициентов s представлены во втором столбце таблицы 5.
192

y

u=1

u = <(L)−2 −1 0

2

2

0
−1

1

1

D3 > 14

0

−1

=(L ∗
)

−2

v=

y

1

2 x

D4 > 14

−1

−2

v=

−1

1

)

0

v=

=(L

1

v=

2

y

−2 −1 0

D3 < 11 2 x−2−2 −1 01

D4 < 1
2 x

Рис. 14.7: u+iv = maclo(x+iy) по формуле (14.36) при N = 101, слева;согласия D3 и D4 по формулам (14.38) и (14.39), центр и справа.
В этой секции (и в численной имплементации), для аппроксимации
maclo выбрано значение N = 101; комплексная карта такого приближения по формуле (14.36) показана на левой карте рисунка 14.7. Область аппроксимации тетрации функцией maclo шире, чем в случае
непосредственного разложения тетрации в нуле. На том же рисунке
14.7 показаны также карты согласий
ln maclo(z +1) − maclo(z)(14.38)D3 (z) = − lgln maclo(z +1) + maclo(z)
exp maclo(z −1) − maclo(z)
D4 (z) = − lg(14.39)
exp maclo(z −1) + maclo(z)В центральной части комплексной плоскости, невязки при подстановке f → maclo в уравнениe (14.1), имеют порядок величины 10−15 .
При |z| < 2, аппроксимация maclo с сотней слагаемых в сумме даетпорядка четырнадцати значащих цифр. Эта аппроксимация использована при имплементации натуральной тетрации.
Левая карта рисунка 14.7 уже показывает, что при увеличении мнимой части аргумента, функция стремится к константе L: линии постоянной вещественной части становятся почти параллельными линиям постоянной мнимой части. Однако, когда модуль аргумента
становится больше двух, аккуратность такого приближения быстро
ухудшается. Чтобы ещё расширить область аппроксимации тетрации элементарными функциями, в следующей секции рассмотрено
разложение натуральной тетрации в точке 3i.
193

y
6

y
6

−1

−3 −2 −1

4

D5 > 14

2
1

1

u=1

0

5
3

v=

1

L)
v = =(

2

(L)
u=<

(L)
v ==

3

L)
v = =(

4

(L)
u=<

5

0

0

1

2

3

−1

x

D5 < 1−3 −2 −1

0

1

2

3

x

Рис. 14.8: u + iv = tai(x + iy) по формуле (14.40) при N = 51 и согласие D5 поформуле (14.41).

7

Разложение в точке 3iДля эффективного (быстрого и точного) алгоритма вычисления тетрации, достаточно обеспечить хорошие аппроксимации вдоль полосы единичной ширины вдоль мнимой оси. Какое бы большое число
N слагаемых в приближении maclo (14.36) мы ни брали, это приближение плохо аппроксимирует тетрацию в точке 3i. Для меня этобыло серьезным поводом, чтобы вычислить коэффициенты разложения Тэйлора именно в этой точке. Такое разложение описано вэтой секции.
Оборванное разложение Тэйлора функции tet(z) в точке z = 3i яназвал именем “tai” (TAylor expansion centered at the Imaginary axis):
tai(z) =N−1X

tn (z −3i)n(14.40)n=0Аппроксимации коэффициентов t вычислены по формуле Коши; ихвещественные и мнимые части представлены в последних двух столб√√цах таблицы 5. Ряд сходится при |z−3i| < 22 +32 = 13 ≈ 3.6 . Дляимплементации выбрано значение N = 51; при этом, когда |z−3i| < 2,аппроксимация tai по формуле (14.40) дает порядка 14 значащих
цифр. Комплексная карта этой функции представлена в левой части
рисунка 14.8. Правая картинка этого рисунка представляет функ-194

цию согласия

ln tai(z +1) − tai(z)D5 (z) = − lg
ln tai(z +1) + tai(z)(14.41)Как и на рисунках 14.6 и 14.7, линии уровня для функции согласия проведены с интервалом в два порядка величины; для значений
внутри внутреннего контура, наблюдается согласие с четырнадцатью значащими цифрами.
Приближение tai по формуле (14.40) существенно расширяет область, в которой для натуральной тетрации имеется быстрый и аккуратный алгоритм. При положительных значениях =(z), тетрация
может быть аппроксимирована в видеtet(z) ≈ tai(z)(14.42)При отрицательных значениях =(z), тетрация может быть аппроксимирована в видеtet(z) ≈ tai(z ∗ )∗(14.43)Такое представление вполне достаточно для построения рисунка 14.4d,то есть для вычисления с четырнадцатью знаками значений этойфункции в поле карты. (Я предполагаю, что передаточное уравнение (14.1) применяется целое число раз с тем, чтобы вещественная
часть аргумента не превышала половину.) Однако такое представление не обеспечивает аккуратной аппроксимации при |=(z)| > 5.
В принципе, для быстрой и аккуратной имплементации тетрациив комплексной плоскости, можно написать аналогичное разложение
Тэйлора в точке 5i (или даже 6i); это позволило бы ещё вдвое расширить область аппроксимации, и продолжать в том же духе повдоль
мнимой оси. Однако есть более изящное представление, а именно,асимптотическое разложение тетрации при больших значениях мнимой части аргумента. Это представление рассмотрено в следующей
секции.

8Асимптотическое разложение

Аппроксимации функции tet при больших значениях мнимой части
195

аргумента получается из асимптотического разложения
X
tetA (z) = L +Am,n exp (Lnz + αmz)

(14.44)n,m

где L ≈ 0.31813150520476413+1.3372357014306895 i есть стационарная точка логарифма, L = ln(L), a A суть постоянные коэффициенты. Подстановка f = tetA в передаточное уравнение (14.1) даетцепочку уравнений для коэффициентов A. Этих уравнений недостаточно, чтобы оределить Am,0 , так что такое решение всё ещёимеет счетное множество подгоночных параметров для натуральных значений m. Трудность нахождения этих параметров ещё в 20мвеке отмечал Хельмут Кнезер (Helmuth Kneser) [10]. Однако даженебольшое количество слагаемых, принятых во внимание в оборванном ряде (14.44), может использоваться для вычисления тетрации впри достаточно больших значениях мнимой части аргумента.
Чтобы получить аккуратное приближение тетрации для области,которая ещё не перекрыта предыдущими аппроксимациями, достаточнo учесть всего несколько слагаемых. Пусть
fima(z) =NXan εn + βε exp(2πiz) ,(14.45)n=0

где малый параметр
ε= exp(Lz +Lr)

(14.46)

Подстановка f (z) = fima(z) + O(εN +1 ) дает коэффициенты
a0 =L ≈ 0.31813150520 + 1.33723570143 i

a1 =

1
1/2
a2 =
≈ −0.1513148971 − 0.2967488367 i
L−1
a2 + 1/6
2+L
a3 ==≈ −0.036976+0.098730 i
2
L −1
6(L−1)(L2 −1)
6 + 6L + 5L2 + L3
a4 =≈ 0.02581−0.01738 i
24(L−1)3 (L+1)(L2 +L+1)
24+36L+46L2 +40L3 +24L4 +9L5 +L6
a5 =120(L−1)4 (L+1)2 (1+L +2L2 +L3 +L4 )≈ −0.0079444196+0.00057925018 i
196(14.47)(14.48)(14.49)(14.50)(14.51)(14.52)

(L)
v ==

(L)
u=<

(L)
v ==

4

(L)
u=<

y

(L)

0

u=<

1

(L)

2

v ==

3

(L)
v ==

4

(L)
u=<

y

u=0
u=0 v =1

u=0 v =1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

Dfifi > 14

3
2
1
0

Dfifi < 1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

Рис. 14.9: Верхнаяя карта: u + iv = fima(x + iy) по формуле (14.45);

нижняя карта: согласие Dfifi по формуле (14.55)
В приниципе, можно учитывать больше слагаемых, но оказывается,уже даже N = 5 позволяет позволяет, с учетом предыдущих разложений, перекрыть аккуратными аппроксимациями всю комплексную плоскость. При этом R и β в правых частях формул (14.45) и(14.46) остаются “подгоночными” параметрами. Их значения выбираются так, чтобы аппроксимировать тетрацию, вычисляемую чутьболее медленным способом через интеграл Коши:r ≈ 1.0779614375280 − 0.94654096394782 i(14.53)β ≈ 0.12233176 − 0.02366108 i(14.54)Комплексная карта функции fima с такими значениями показана наверхней картинке рисунка 14.9; представлена верхняя половина комплексной плоскости. В нижней части, плотность линий столь велика,что картограф всё равно не сумел бы их провести. Для наглядности,на карте добавлены широкие линии уровней <(L) и =(L).
Пока нет принципиальных ограничений на аккуратность вычисления тетрации через интеграл Коши, этот алгоритм может считаться
197

точным. Численные рассчеты, представленные в этой книге, проведены с переменными “complex double”, и аккуратность вычисления
параметра β хуже, чем параметра r. Читатели приглашаются повторить рассчеты в переменных “long complex double” и добавить коценкам для r и β0 ещё десяток значащих цифр. Эти параметры могут считаться фундаментальными математическими константами.
Для большей аккуратности, количество слагаемых в оборванном
разложении (14.44) может быть увеличено, но пока я не могу предложить изящного способа вычисления лидирующих коэффициентов Am,0 . Их приxодится оценивать из условий tet(z ∗ ) = tet(z)∗и tet(0) = 1; то есть использовать значения тетрации вне области аппроксимации этой функции её асимптотическим разложением
(14.45). Это обстоятельство отмечается в работе Кнезера [10]; впрочем, там не оцениваются даже первые из этих лидирующих коэффициентов: в прошлом веке ещё не было алгоритма аккуратного
вычисления тетрации через интеграл Коши, и у Кнезера не былокомпьютера, чтобы вычислать константы Кнезера через интеграл
Коши. Возможно, в будущем будет предложен более красивый способ вычисления этих констант.
Чтобы показать невязку при подстановке f = fima в передаточное
уравнение (14.1), на рисунке построена карта функции согласия

|fima(z) − exp(fima(z −1))|(14.55)
Dfifi (z) = − lg|fima(z)| + | exp(fima(z −1))|Как и на предыдущих картах согласия, линии уровня проведены
через два порядка величины, и лишь для уровня Dfifi = 1 сделано
исключение; за этим уровнем, аппроксимация fima даже качественно не воспроизводит поведение натуральной тетрации. В верхней
области, над верхней курвой, невязка мала и можно ожидать, чтоаппроксимация дает по крайней мере 14 значащих цифр, что близко к максимальной аккуратности при использовании переменных
complex double.
В окрестности мнимой оси, область применимости аппроксимации
fima приближается к точке 3i. Это дает возможность сравнить аппроксимацию fima с аппроксимацией tai, полученной из разложения
Тэйлора в этой точке в предыдущей секции. Такое сравнение рассмотрено в следующей секции.
198

y

y

5
4

5
D > 14

3

3

2

2

1

1

0
−3 −2 −1

0

D<1

4

1

2

D > 140−3 −2 −1

3 x

0

1

2

3 x

Рис. 14.10: Карта согласия D = D6 (x+iy) по формуле (14.56) и карта согласия
D = D7 (x+iy) по формуле (14.57)

9Сравнение аппроксимацийНа основе представления тетрации через интеграл Коши, были вычислены коэффициенты различных разложений тетрации и её аппроксимации элементарными функциями. Интересно сравнить самосогласованность таких аппроксимаций. В этой секции представлены карты функций согласия, указывающие области, где различные
представления тетрации согласуются между собой.
В левой части рисунка 14.10 показана функция согласия между аппроксимацией tai по формуле (14.40) и аппроксимацией fima по формуле (14.45)
|tai(z) − fima(z)|(14.56)D6 (z) = − ln|tai(z)| + |fima(z)|В правой части рисунка 14.10 показана функция согласия между
аппроксиацией tai (14.40) и аппроксимацией maclo (14.36)|tai(z) − maclo(z)|D7 (z) = − ln
(14.57)|tai(z)| + |maclo(z)|Рисунок 14.10 указывает, как выбирать аппроксимацию тетрации взависимости от мнимой части аргумента при умеренных значениях|<(z)| < 1. Эту границу следует провести в области, где D > 14.
Когда |=(z)| ≤ 1.5, пусть используется аппроксимация maclo; при
1.5 < =(z) ≤ 4.5, пусть используется аппроксимация tai, a при ещёбольших значениях, пусть используется fima.
199

=(z)

=(z)

D > 145

12 < D < 14

5

4

4

3

3

2

2
D<1

1
0

−2

0

2

D > 14

D<1

1
0

<(z)

−2

0

2

<(z)

Рис. 14.11: Согласие D = D8 по формуле (14.59), слева; аналогичное согласиедля контурного интеграла со сдвинутой на −0.5 базовой областью .

На основе рисунка 14.10, я предлагаю следующую аппроксимацию:
fima(z) , 4.5 < =(z)






 tai(z) , 1.5 < =(z) ≤ 4.5(14.58)fse(z) =maclo(z) , −1.5 ≤ =(z) ≤ 1.5tai(z ∗ )∗ , −4.5 ≤ =(z) < −1.5fima(z ∗ )∗ ,=(z) < −4.5
Эту аппроксомацию интересно сравнить с прямой оценкой тетрации через интеграл Коши. В левой части рисунка 14.11 показано
согласие

|fse(z) − F4 (z)|D8 (z) = − lg
(14.59)|fse(z)| + |F4 (z)|аппроксимации fse с аппроксимацией F4 тетрации через контурный
интеграл.
Рисунок 14.11 выявляет дефекты использованных аппроксимаций.
Скачки при =(z) = 1.5 и при =(z) = 2.5 вызваны переходом от функции maclo к функции tai и от функции tai к функции fima в комбинации FSE. Скачки при полуцелых значениях <(z) вызваны разрывами функции F4 , которая расширяет начальное приближение,справедливое для |<(z)| < 1, используя |<(z)| ≤ 1/2 в качестве
базового интервала. Ошибки округления приводят к нерегулярной
структуре. Внутри полоски |<(z)| < 1.5, взаимные отклонения этихтрех аппроксимаций имеют порядок величины 10−14 .
200Задача была перекрыть хорошими (быстрыми и аккуратными) аппроксимациями хотя бы полосу <(z) ≤ 0.5; тогда значения во всейкомплексной плоскости z могут быть выражены через передаточное
уравнение (14.1) в правой части комплексной полуплоскости и через
“обращенное” уравнение
ln(tet(z)) = tet(z −1)(14.60)Рисунок показывает, что эта цель достигнута; согласие порядка 14десятичных цифр имеет место в гораздо более широкой области комплексной плоскости. Так сделана “быстрая” аппроксимация тетрации. Эта аппроксимация имеет такую же аккуратность (порядка 14значащих цифр), как и исходное представление через интеграл Коши; но вычисляется быстрее, чем интеграл Коши.
Когда я заявил, что тетрация считается столь же быстро и стольже аккуратно, как и другие специальные функции, Генрик Траппманн попросил меня сделать ещё один численный тест, а именно,сдвинуть базовую область, в которой вычисляется интеграл Коши.
Чтобы вставить мне шпильку, коварный Генрик предложил сдвинуть контурный интеграл вправо, в сторону бóльших значений <(z),подальше от логарифмической особенности тетрации в точке −2. Ктому времени, некоторые карты рисунка 14.4 уже были построены;я знал, что такое тетрация, например, от трёх или даже от полутора (см. также рисунок 14.1). Если хорошенько сдвинуть контур
вправо, то прийдется работать с разными листами логарифма. Япосмотрел на рисунки и понял, что есть шанс сесть в лужу, как этоделали учителя в советских школах. Они путались в безграмотных
“методичках”, дети вставляли им шпильки, потом этим учителямуже неучи в РОНО вставляли длинное перо, а директрисы метали
икру, как это показано на рисунке 14.12.

вставили
шпильку

вставили
длинное
перомечет икрусел в лужуРис. 14.12: Советская школа
201

Перспектива оказаться в роли советского учителя (рис. 14.12) мнене улыбалась, поэтому я честно признался, что интеграл Коши - непанацея, и сдвигать контур на несколько единиц вправо отказался.
Читатели приглашаются проделать это в качестве поучительного
упражнения и поймать момент, когда из-за разреза логарифма формула Коши для вычисления тетрации перестанет работать. Впрочем, я согласился сдвинуть контур интегрирования на 1/2 влево,и pасчитать ab inicio значения tet(z) вдоль вертикальной прямой<(z) = 1/2. Потом, естественно, с помощью передаточного уравнения и интеграла Коши, вычисление распространяется на всю комплексную плоскость (за исключением луча z ≤ −2). Относительное
отличие значений тетрации, подсчитанное с таким модифицированным алгоритмом, от рассчитанных ранее, оказалось порядка 10−14 ,как я и ожидал (и в чем хотел удостовериться Генрик). Значения,подсчитанные через такой модифицированный интеграл Коши, подставлены вместо функции F4 в формулу (14.59), и полученная функция согласия представлена в правой части рисунка 14.11.
Для вычисления параметров для функций, аппроксимирующих тетрацию, требовались коэффициенты разложения Тэйлора. Для нихиспользовались контуры интегрирования с размером, бóльшим единицы, то есть более широким, чем область первичной аппроксимации через интеграл Коши; для вычисления вне области первичной
аппроксимации использовано передаточное уравнение. Это обеспечивает определенную стабильность численной процедуры; погрешность приближения оказалась не больше (и, вероятно, даже меньше), чем погрешность исходного приближения. Для рассчетов сосдвинутым контуром (см. правую карту на рисунке 14.11), согласие
получилось не хуже, а, пожалуй, даже лучше, чем для исходного
представления с симметричным расположением контура интегрирования. Это можно объяснить тем, что на карте тетрации (см. рисунок 14.13), вдоль прямой x = −0.5 функция изменяется меньше имедленнее, чем вдоль прямой x = 0.
Скепсис по поводу выбора контура интегрирования и аналогии сленивым инженером подтвердились. Изначальный контур интегрирования не оптимален; даже прямоугольный контур можно выбрать
лучше (сдвинув его на 0.5 влево). Однако я всё ещё считаю, что простота этого контура оправдывает такой выбор.
202

После многочисленных тестов описанных выше быстрых аппроксимаций тетрации, была загружена имплементация fsexp.cin следующего алгоритма:
FIMA(z) , 4.5 < =(z)
, 1.5 < =(z) ≤ 4.5
 TAI(z)(14.61)FSE(z) =MACLO(z) , −1.5 ≤ =(z) ≤ 1.5TAI(z ∗ )∗ , −4.5 ≤ =(z) < −1.5FIMA(z ∗ )∗ ,=(z) < −4.5где(fima(z), =(z) > 4+0.2379 <(z)FIMA =(14.62)exp(FIMA(z −1)), =(z) ≤ 4+0.2379 <(z)tai(z), |<(z)| ≤ 0.5

(14.63)
TAI =log(TAI(z +1)) , <(z) < −0.5
exp(TAI(z −1)) , <(z) > 0.5
tai(z), |<(z)| ≤ 0.5

(14.64)
MACLO =
log(MACLO(z +1)) , <(z) < −0.5
exp(MACLO(z −1)), <(z) > 0.5
Эта аппрокцимация дает порядка 14ти верных десятичных знаков
тетрации tet и согласуется с более ранними результатами [44]. Похоже, что эта аппроксимация быстрее и точнее всех аппрокцимаций
голоморфной тетрации, публиковавшихся до 2010 года.
Большое число слагаемых сохранено в аппроксимациях (14.40) и(14.36) для того, чтобы обеспечить их хорошее перекрытие на рисунках 14.10 и 14.11. При коммерческой имплементации таких алгоритмов, количество слагаемых в аппроксимациях рядов может бытьуменьшено без потери точности. В частности, это относится к вычислению тетрации на вещественной оси; достаточно обеспечить хорошую аппроксимацию функции tet(z) для |z| ≤ 1/2, что составляет всего четвертушку от радиуса круга, в котором аппроксимация
тетрации функцией maclo дает 14 знаков.
Аппроксимации, описанные выше, позволяют быстро строить карты тетрации с высоким разрешением. Одна из таких карт показанана рисунке 14.13. Аккуратность в 14 значащих цифр допускает глубокие зумины такой карты, и, в частности, квази-хаотичного поведения тетрации в окрестности положительной части вещественной
203

оси, где тетрация растет очень быстро (и, следовательно, её мнимая
часть при отходе от вещественной оси изменяется тоже очень быстро). Читатели приглашаются скачать алгоритм вычисления тетрации fsexp.cin, графопостроитель conto.cin (с сайта ТОРИ или изСитизендиума) и построить такие карты по собственному вкусу иусмотрению. Такая карта тетрации использована для обложки этойКниги.
Обратная функция к тетрации является называется арктетрацией.
Это абельфункция экспоненты. То есть абельэкспонента. Она рассмотрена в следующей главе.

yv=

1.4 u = 0.2

0.

4

3
2

1.4 u = 0.2

v =1

u=0

1

v =0

0 cut
−1

v =0

v = −1

−3

−2

(L)

0 .2

−1

v == ∗
(L )

−4
−4

u=

u=<

u=<
(L)

v

1.4
=−

v == ∗
(L )

−2
−3

u=0

u=

v=

0

0
u=

.4
−1.4
=
v

1

2

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg
Рис. 14.13: u+iv = tet(x+iy)

204

3

x

Глава 15Арктетрация
u = 2.2

y
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5

u=2

v = 0.6v = 0.4

v =0

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

Рис. 15.1: u+iv = ate(x+iy)Обратная функция к натуральной тетрации обозначается здесь символом ate, так что ate = tet−1 . Комплексная карта арктетрации показана на рисунке 15.1.
Арктетрация удовлетворяет уравнению Абеля

ate exp(z) = ate(z) + 1(15.1)

и дополнительному условию
ate(1) = 0(15.2)

Свойства этой функции и алгоритм для её аккуратного вычисления
рассмотрены в этой главе.
205

1Вычисление арктетрации

Aрктетрацию можно вычислять, как обратную функцию тетрации,используя метод Ньютона. Как представление тетрации через интеграл Коши, так и её аппроксимации через элементарные функции
позволяют выразить tet0 . Поэтому ate(z) можно аппроксимироватькак предел последовательности gn с рекуррентным соотношением
gn+1 = gn +tet(gn ) − z
tet0 (gn )(15.3)

Значительное количество итераций может быть медленным. Кроме
того, всё равно встает вопрос о выборе такого начального условия
g0 , при котором линии разреза ровно идут на −∞, параллельно вещественной оси, а не дрыгаются как попало. Такое дрыгание очень
даже бывает при использовании метода Ньютона с бестолковым выбором начального элемента последовательности (15.3).
Имеет смысл рассмотреть асимптотические свойства решения уравнения Абеля. Такие свойства можно вывести из асимптотических
свойств тетрации. Этот процесс можно механизировать с помощью
функции InverseSeries софтвера “Mathematica” или её аналогов. Кроме того, асимптотические разложения можно увидеть непосредственно из уравнения Абеля, и сразу потребовать, например, чтобы этафункция имела точки ветвления L и L∗ , которые являются по совместительству также и стационарными точками логарифма. Арктетрацию достаточно аппроксимировать, например, в области, обозначенной в виде затененного серпа на рисунке 15.1. Представление длядругих значений аргумента может быть получено последовательным
применением уравнения Абеля (15.1); при этом арктетрация некоторого аргумента выражается через арктетрацию от аргумента иззатененной области.
Методом пристального всматривания можно понять, что решение
уравнения Абеля (15.1) должно быть сингулярно в стационарных
точках логарифма, L и L∗ . Зная экспоненциальный доминирующий
терм асимптотического разложения тетрации, можно догадаться,что доминирующим термом разложения арктетрации должен бытьлогарифм. Поэтому естественно строить первое приближение для206абельэкспоненты g, аппроксимируя функцию
ln(z −L) ln(z −L∗ )h(z) = ate(z) −−(15.4)
LL∗Функцию h можно разложить в ряд Тэйлора в точке единица. Такое
разложение ведет к аппроксимацииN −1ln(z −L) ln(z −L∗ ) X++
un (z −1)nfsl(z) =∗LL
n=0(15.5)

ate(z) = fsl(z) + O(z −1)N

(15.6)

Первые тридцать коэффициентов u этого разложения представленыв таблице 15.1.
Таблица 15.1:

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Коэффициенты un в разложении (15.5)

un1.41922521550451−0.02606629029752
0.00173304781808−0.00001952130725−0.00006307006450
0.00002567895998−0.00000559010027−0.00000007279712
0.00000065148872−0.00000027698138

nun
100.00000003111805
110.00000002940887
12 −0.00000001896929
130.00000000351784
140.00000000204270
15 −0.00000000171995
160.00000000039882
170.00000000019328
18 −0.00000000019113
190.00000000004947

nun
20
0.00000000002293
21 −0.00000000002462
220.00000000000666
23
0.00000000000322
24 −0.00000000000354
25
0.00000000000096
26
0.00000000000051
27 −0.00000000000055
28
0.00000000000014
29
0.00000000000009

Комплексная карта аппроксимации fsl по формуле (15.5) при N = 70
показана в левой части рисунка 15.2 в тех же обозначениях, что и нарисунке 15.1. Центральная часть карты на рисунка 15.2 выглядиткак фрагмент карты рисунка 15.1.
Oбласть применимости аппроксимации 15.5 ограничена. Чтобы показать эту область, в центральной и правой части рисунка 15.2 показаны карты функций согласия

|fsl(exp(z))−1 − fsl(z)|DA (z) = − lg
(15.7)|fsl(exp(z))−1| + |fsl(z)||fsl(ln(z))+1 − fsl(z)|DB (z) = − lg
(15.8)|fsl(ln(z))+1| + |fsl(z)|
207

y

y

1

1

0

0

−1

−1

−2

−1

0

1

2 x

−2

DA < 1

15

y

1
0

15

DB < 1

−1
−1

0

1

2 x

−2

−1

0

1

2 x

Рис. 15.2: u+iv = slo(x+iy) по формуле (15.5) при N = 70, слева, исогласия DA = DA (x+iy), DB = DB (x+iy), по формулам (15.7), (15.8)

Внутри внутренних контуров, согласие больше четырнадцати. Этиобласти отмечены символом 15. Рисунок 15.2 указывает, что при|z − 1| < 1.4, аппроксимация fsl(z) по формуле (15.5) обеспечивает порядка 14 значащих цифр. Аккуратность такого приближения
несколько хуже в окрестности точек L и L∗ , то есть вблизи сингулярностей, где малое изменение аргумента влечет большое изменение
значения, возвращаемого функцией.
На основе приближения fsl, изготовлена численная имплементация
функции ate; уравнение Абеля использовано, чтобы привести аргумент функции в область, заштрихованную на рисунках 15.1 и 15.2.
Для численной имплеметации FSL, в сумме в формуле (15.5) использовано N = 128 слагаемых. Получаемая при этом аккуратность
приближается к максимально возможной для арифметики complex
double. В качестве теста такой имплементации, на рисунке 15.3 представлены результаты численной проверки соотношений
ate(tet(z)) = z(15.9)

tet(ate(z)) = z(15.10)для “complex double” имплементаций tet ≈ FSE и ate ≈ FSL. Показаны карты функций согласия
|FSL(FSE(z)) − z|
Dat (z) = − ln
(15.11)|FSL(FSE(z))| + |z||FSE(FSL(z)) − z|
(15.12)
Dta (z) = − ln
|FSE(FSL(z))| + |z|Как и для многих других обратных функций, область применимости соотношения (15.9) ограничена; ширина полосы, где это соотно208

y

y

D<1

4

4

10 < D < 12

4

4

3

3

12 < D < 14

2
1
0

2

D<1

1

D > 14−1−2−2

12 < D < 14

12 < D < 14

−3

−4
−5

D > 140−1−3

12 < D < 14

−4

10 < D < 12

−5

D<1
−3 −2 −1

0

1

2

3

x

−3 −2 −1

0

1

2

3

x

Рис. 15.3: D = Dat (x+iy), слева, и D = Dta (x+iy), справа, по формулам

(15.11) и (15.12)
шение имеет место, определяется асимптотической периодичностью
тетрации в верхней и в нижней частях комплексной плоскости. Приэтом, вблизи вещественой оси полоса применимости расширяется иимеет “клюв”, который, формально, уходит на плюс бесконечность.
Обратное соотношение, то есть (15.10), наоборот, имеет место почтиво всей комплексной плоскости.
Численная проверка подтверждает самосогласованность имплементаций тетрации и арктетрации. Для переменных Complex double,при таких имплементациях получается порядка 14 значащих цифр.

2

О названиях

Имплементации тетрации и арктетрации загружены в ТОРИ,http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fsexp.cin и
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Fslog.cinНазвания этих имплементаций обсуждаются в этой секции.
Имена функций FSEXP и FSLOG исторические. Ещё несколько лет209назад некоторые авторы (и, к сожалению, даже я) называли тетрацию термином “superexponential”, хотя тетрация является лишь специальным случаем суперэкспоненты, со специфическим асимптотическим поведением на ±i∞, и дополнительными условиями. Генрик
Траппманн даже хотел к названию функции добавить мое имя; ондо последнего момента [63] ждал, что “моя тетрация” [44] окажется не единственной, не настоящей, и тогда имя “tet” можно будет
использовать для “настоящей” натуральной тетрации.
После нудной дедукции [63], Генрика удалось убедить, что “моя тетрация” есть самая настоящая и самая натуральная 1 . Другие (менее
натуральные) суперэкспоненты по натуральному основанию можнопо мере надобности получать преобразованием (2.12).
Для того, чтобы использовать это имя функции, tet, и для других
значений основания b, в последующих главах основание указываетсяв виде правого нижнего индекса; тетрация по основанию b то естьсуперфункция от expb = {z 7→ bz }, экспоненты по основанию b, будет
записываться в виде tetb , по аналогии с expb и logb .
Имплементация тетрации tet называется FSEXP, аббревиатура от“Fast Super EXPonential”, а имплементация арктетрации ate называ1Слово “натуральный” здесь играет как минимум двумя из своих возможных значений,указывая одновременно на подлинность этой функции и на то, что она по основанию e ≈ 2.71 .
Надеюсь, что термин “натуральная тетрация” не вызовет путаницы, какую вызвали во время
СССР “натуральные расписки”. Такие расписки организаторы финансовой пирамиды выдавали вкладчикам. Следователи, прокуроры, судьи и народные заседатели думали, что этоюридический термин, использовали его, но не хотели демонстрировать своё невежество иникого не спрашивали о значении этого термина. Потом адвокат всё-таки спросила потерпевшего, что он имеет в виду, употребляя этот термин. После серии вопросов удалось выяснить,что так в криминальной среде называется нотариально заверенный документ, удостоверяющий, что деньги за автомобиль, который жулики обещали потерпевшим, уже получены. Делочуть не лопнуло из-за того, что первый эшелон вкладчиков пирамиды составили работники
прокуратуры, а второй - работники милиции, и участники первых слоев пирамиды обещанныеим машины получили, и не хотели с ними расставаться, а захлебываться пирамида начала
только после того, как тысячи “натуральных расписок” были проданы безграмотным шахтерам. Организаторы не признавали себя виновными и настаивали на том, что если бы импозволили и дальше торговать “натуральными расписками” на заводах, распространяя ихсреди рабочих (а потом - в колхозах, продавая “натуральные расписки” крестьянам), то шахтеры тоже получили бы обещанные автомобили. Впрочем, к чести советских судей, в конце
концов махинация с “натуральными расписками” была квалифицирована как натуральное
жульничество, мошенничество, и организаторам пришлось “натурально” садиться в тюрьмуили откупаться, уж как у кого получилось. Это вот такое длинное получилось объяснение
термина “натуральный”.

210ется FSLOG, что есть аббревиатура от “Fast Super Logarithm”. Этиимена неудачные, хотя и уже исторические. Сейчас имена FSEXPи FSLOG уже встроены во многие программы, в том числе и нанескольких “виках”. Я опасаюсь создать путаницу и пока не берусьих переименовывать. Потому как лучше одна плохая система обозначений, чем две “хороших”.
Следует отметить, что имя FSLOG (Fast Super Logarithm) ещё более идиотское, чем FSEXP, так как оно создает впечатление, что этосуперфункция от логарифма, что далеко не так. Суперфункцией отлогарифма является z 7→ tet(−z), a вовсе не “суперлогарифм”. Впрочем, я надеюсь, что можно сделать ещё более быстрые имплементации этих функций, и назвать эти имплементации теми же именами,что и сами функции, то есть tet и ate.
Я далек от евгенических идей рафинировать как человеческую породу, так и систему обозначений, и поэтому до сих пор пользуюсь
рутинами, обозначенными идентификаторами FSEXP и FSLOG. Этопозволяет, например, ставить вопрос о том, насколько приближенное значение, выдаваемое рутиной, отличается от точного. Когда
функции tet и ate будут встроены в алгоритмические языки, то будет легко обозначать разницу между значениями функций, оцененных с помощью имплементаций tet и FSEXP; то же относится и кимепементациям арктетрации, FSLOG и ate.
Разобравшись с терминологией, можно использовать построенные
выше инструменты, “туллы” (tools) для того, чтобы итерировать натуральную экспоненту. Этому посвящена следующая секция.

3Итерации Экспоненты

Тетрация и арктетрация, как суперфункция от экспоненты и её абельфункция, позволяют определить нецелые итерации экспоненты
expn (z) = tet(n + ate(z))(15.13)Число n итераций не имеет надобности быть целым (хотя по прихоти
Читателя может оказаться и целым).
Для вещественных значений аргумента, итерации по формуле (15.13)
показаны на рисунке 15.4, y = expn (x). Случаи целых значений n
211

3
2

n=2
−2

−1

00

x

(x)
n
l
y=

1
1

2

x

3

−1

−3

n = −3n = −3.1
n = −3.2

0.1
n = −0.2
n = −0.3

−2

n=−

n=

0

n = 1 −3n = 0.6
n = 0.4
n = 0.3
n = 0 .2
n = 0.1y=y=n = 3.2
n = 3.1
n=3
n = 2.9

exp
(x)

y

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ExpIte4T.jpg
Рис. 15.4: y = expn (x) по формуле (15.13) для различных n(кроме n = 0) выделены толстыми линиями. Эти линии соответствуют y = exp(exp(exp(x))), y = exp(exp(x)), y = exp(x), y = ln(x),y = ln(ln(x)), y = ln(ln(ln(x))).
Карты различных итераций экспоненты показаны на рисунке 15.5.
Дюжина изображений представляет
u+iv = expn (x+iy)(15.14)линиями u = const и линиями v = const в плоскости x, y для различных значений номера итерации n; это значение напечатано крупным
фонтом в левом верхнем углу каждой карты. Карты симметричны
верх-низ (при отражении от вещественной оси, лишь мнимая часть
значения функции меняет знак), поэтому представлены лишь верние половинки карт, выше вещественной оси.
212

u = −1
u=
u=1
2

v
v==1
0.
8
1

1

u=

0

2

u=

0 .2

0.4
u=

u=
u 1
u == 2
3

u=

u=−

u=

7
1.3
3
v≈

v=

v =0

1

2

2

1

u=2

v = 4 n = −0.1
v =3
v =2
cut
v =1
cut
3
x
−3 −2 −1

v =0
v =3
v =2

v ≈ 1.337 v = 10

12Рис. 15.5: u+iv = expn (x+iy) по формуле (15.14) для различных n

213

v =2

v ≈ 1.337 v = 1

u=1

0

v =1

1

−3 −2 −1u=0v = 5 n = −0.2
v =4
v =3
v = 2 cutv =1
v = 0 cut

u=0

1

cut

v ≈1
.337

1

v =0

1

2

2

cut

0

3

7

v =3
v =1

u=0
cut

u=−

n = 0.1

u= v =1u ≈ 0.318

−1

0
y

0

n = −0.5

u=

1

cut

1.3
3

u=

v=

0 .6
=
v 0 .4v = .2v =0u=n = 0.22cut

u = −21
−
u= 0
u=

3

v≈

cut

u=
u= 1
2

0
u=

−
0.
2

n = 0.5
cut

u

u=0

=1

u=2

0
y

cut

1

0

3

1

cut

n = −0.8

cut

2

0 .6
=
v 0 .4v= 2
v = 0.
v =0

u=

0
y

u=0
1
=
u

0

v=
u=

1

1

u=

n = 0.8

32n = −0.9
v=

0

−1
u=
0
u=
1
u=2

0
y

v=
cut

u=

1

u = 1 .4
u = 1.2
1

n = 0.9

3
2

v =3
cut

v=

u=

v =0

.6
0
v == 0.4
v 0 .2
v=
v =0

u=

u=0

1
0
y

n = −1

u=0
u=1
u=2

2

nv =
1
=0

u = −0.2

3

0 .2

y

3

x

В верхней части рисунка 15.5, карты соответствуют n = 1 и n = −1;это карты экспоненты и логарифма. Карта экспоненты - это просто кусок карты рисунка 14.2. Экспонента голоморфна во всей комплексной плоскости. Однако логарифм имеет в нуле особую точку иразрез. Этот разрез на рисунке 15.5 обозначен символом cut.
Остальные строчки рисунка 15.5 показывают нецелые итерации. Этиитерации имеют дополнительны разрезы вдоль линий y = ±=(L).
Здесь L ≈ 0.31813150520476413 + 1.3372357014306895 i есть стационарная точка логарифма, решение уравнения L = ln(L).
Толстые линии на рисунке 15.5 соответствуют целым значениям uили v. Тонкие линии проведены с интервалом 0.2; кроме того, добавлены тонкие линии u = <(L) и v = ±=(L). Эти линии пересекаютсяв точке, соответствующей значению L.
Рисунок 15.5 показывает плавный (голоморфный) переход от экспоненты (левая верхняя карта) к логарифму (правая верхняя карта).
По мере того, как номер итерации n постепенно уменьшается от единицы до нуля, сетка, образвованная линиями u = const и линиями
v = const поворачивается вокруг стационарной точки L, и становится однородной прямоугольной штриховкой при n = 0. При этомзначении, разрезы вдоль линий ±=(L) исчезают, но они появляются
вновь при дальнейшем уменьшении n, как только n становится меньше нуля. Кроме того, ещё одна точка ветвления приходит с минус
бесконечности и перемещается вдоль вещественной оси, приходя вноль, когда n принимает значение минус единица. При таком целом
значении комплексные точки ветвления L и L∗ исчезают.
Карты для нецелых итераций, подобные показанным на рисунке
15.5, можно строить и для других голоморфных функций, достаточно декларировать нужную функцию “передаточной функцией”и сделать для неё суперфункцию и абельфункцию.
В частности, можно строить карты и нецелых итераций функций,рассмотренных в этой Книге. Читатели приглашаются скачать имплементации соответствующих суперфункций и абельфункций. Дляпостроения комплексных карт можно использовать графопостроитель conto.cin, доступный на многих виках.

214

4

Уроки натуральной тетрацииНа основе представления тетрации через интеграл Коши, как решения интегрального уравнения (14.22), можно выразить также ипроизводные этой функции; дифференцирование подинтегральных
выражений в правой части (14.22) не вызывает затруднений. Именно так вычислены производные тетрации для чисто вещественных ичисто мнимых значений аргумента в таблицах 1 и 2 работы [44]. Однако, для численного поиска возможных внутренних противоречий
упомянутой конжекции о существованиии и единственности, быложелательно изготовить ещё более аккуратные и эффективные представления для функции и её производных, которые бы позволяли
вычислять тетрацию столь же быстро, как в современных алгоритмических языках вычисляются специальные функции. Фактически,цель была придать тетрации статус специальной функции. Детали такого представления описаны во Владикавказском Математическом Журнале [52]. После российского вторжения в Украину в
2014 году, российские научные журналы, и, в частности, Владикавказский журнал, навряд ли кто станет читать. Поэтому в этой Книге
собраны основные формулы, использованные для такого представления, и графики для этих представлений. С такими представлениями, суперфункциями и, в частности, тетрацией, можно пользоватьсяи не читая оригинальные статьи.
Комплексная карта тетрации tet представлена на рисунке 14.13, а еёповедение вдоль вещественной оси показано на рисунке 14.1. Свойства (14.16)-(14.20) были сперва наблюдены у различных аппроксимаций тетрации с помощью элементарных функций, а потом постулированы. При аппроксимации, воспроизводилось поведение тетрации вблизи целых значениях аргумента, то естьtet(−2 + ε) = log(ε) + const + O(ε)(15.15)tet(−1) = 0(15.16)tet(0) = 1(15.17)tet(1) = e(15.18)tet(2) = e2

(15.19)Минимизировалась невязка при подстановке фитирующей функции
215

в передаточное уравнение (14.1) для комплексных значений аргумента. Когда алгоритм вычисления натуральной тетрации через интеграл Коши уже известен [44], и предложены эффективные аппроксимации через элементарные функции [52], примитивная аппроксимация fit2 по формуле (14.11) может вызвать улыбку, но такое эвристическое фитирование отвечает на вопрос, который мне задавали
коллеги: “How did you guess? ”. (Как ты догадался?).
После того, как свойства, похожие на (14.16)-(14.20), были обнаружены у нескольких различных фитирующих функций, эти свойства
были были сформулированы как определение тетрации, то есть попросту постулированы. Целью таких постулатов было доказательство несуществования тетрации. Такое доказательство было бы интересто найти, так как доказательство, предложенное Хошмандом
(M.Hooshmand)[39], опирается на сомнительное допущение (постулат) о монотонности производной от тетрации.
Я искал внутренние противоречия допущения, что голоморфная тетрация, обладающая перечисленными выше свойствами, существует.
При этом многие свойства натуральной тетрации были выявлены, ибыл изготовлен алгоритм, позволяющий быстро вычислять её с 14значащими цифрами [52]; но несуществование доказать не удалось.
Провалились также попытки построить иную функцию, удовлетворяющую определению выше. Тогда существование и единственность
такой функции пришлось оформить как конжекцию [44].
Имеются определенные успехи в доказательстве единственности соответствующей функции Абеля [63], но простое и четкое доказательство существования и единственности тетрации ещё предстоит выработать. Здесь такое доказательство не представлено. В соответствиис целью, сформулированной во Введении, здесь свойства тетрации
скорее объясняются, чем доказываются.
Тетрация и арктетрация расширяют арсенал функций, доступныхдля научных исследований. В частности, нецелые итерации могут
могут расти быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты. Такое свойство может быть полезно при автоматическом
фитировании, когда заранее не известно, похожа ли аппроксимируемая функция на экспоненту или логарифм; представление дает216

непрерывное многообразие промежуточных функций, включая случай тождественной функции (ни одной итерации экспоненты). Этоже относится и к итерациям многих других специальных функций.

5Ещё апологияВ любой деятельности, время от времени человеку требуется подтверждение, верификация того, что то, что он делает - важно и нужно. Чтение и написание Книги не являются исключениями. (Иначе
получается “И запоминайте заранее то, что вы поймете потом” 2 ).
Такая промежуточная верификация, апология представлена в этойсекции. Фактически это заключение по главе o натуральной тетрации.
Следуя Аксимам ТОРИ, я ставлю преимущественно практические
задачи. С точки зрения практики, важно не само доказательство, ауверенность в том (надежда на то), что заявленные свойства, допущения, аксиомы не приведут к противоречиям, и предлагаемые построения не вывалятся из категории “Наука” по первой же Аксиме
ТОРИ, получив пустое множество в качестве области применения.
Попытки опровергнуть конжекции, сформулированные в этой главе,могут рассматриваться как сильное указание, что в течение длительного времени (ну, скажем, большого по сравнению с длительностью
человеческой жизни) такие конжекции не будут опровергнуты.
В качестве оправдания укажу, что даже уважаемые школьные учителя математики постулируют аксиомы Эвклида, вместо того, чтобы вывести, доказать их на основе свойств координатной плоскости.
(И иногда при этом садятся в лужу, как это показано на рисунке
14.12.) Таким образом, Читатели, любящие доказательства, могут
начать с вывода аксиом Эвклида. Это нетрудно сделать, хотя сперва прийдется аккуратно определить функции sin и cos, координатную плоскость, теорему Пифагора, а из неё - всё остальное, включая
теоремы о параллельных прямых, о “равенстве” треугольников и всётакое прочее.
Обычно, для научного исследования, какие-то постулаты всё-таки
2

http://geo.web.ru/bards/Kim/part59.htm Пеппи Длинный Чулок. Песня Томми и Анники.

217

принимать приходится, хотя чистые математики могут счесть ихнедостаточно обоснованными, см. рисунок 15.6. Чтобы помочь опровергать мои результаты, я загружаю генераторы рисунков Книги вкатегории
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookPlot
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:BookMapУвидев, как естественно и натурально получается натуральная тетрация, я построил похожие карты и для других оснований b, в частности, для b = 10, b = 2 и b = 1.5, но ничего особенно нового, чеготрудно было бы предположить, поиграв с натуральной тетрацией, необнаружил. Однако Генрик Траппманн попросил меня уменьшить
√основание b ещё чуток, до b = 2, и спросил, могу ли я вычис√лять таким же интегралом Коши, тетрацию по основанию b = 2.
Я подумал и сказал, что таким же методом не могу. Генрик сталсмеяться, но я заявил, что если он так любит корень из двух, то я√сделаю тетрацию и по основанию b = 2 тоже. И сделал [50]. Основа
использованного для этого формализма, то есть регулярная итерация, описана в главе 8. Применение этого формализма именно для√тетрации по основанию 2 описано в следующей главе.

Рис. 15.6: Два математика едут на конференцию по суперфункциям иобсуждают чёрную овцу, которую они увидели из окна поезда: Вашедопущение, уважаемый коллега, представляется мне не только неочевидным, но и совершенно не обоснованным. Всё, что мы можем
заключить из этого наблюдения - что в этой стране существуетпо крайней мере одна овца или по крайней мере один барашек, ичто по крайней мере правая сторона этого существа - черная.
218

Глава 16√Тетрация по основанию b = 2
2
√ (x)
t
e
t
=
2
y

1
−2 −1
−1

1

3

x

y=

−2

2

x
−

−3
Рис. 16.1: y = tet√2 (x)В главе 13 определена и вычислена натуральная тетрация. То естьтетрация по основанию b = e ≈ 2.71 . Для того, чтобы говорить о тетрации по иным основаниям, определение тетрации надо обобщить.
Такое обобщение предлагается в этой главе. Следуя принципу “отпростого - к сложному”, здесь используется специфическое значение
√основания b = 2. Для этого значения, график тетрации показан нарисунке 16.1. Именно для этого значения основания, график тетрации выглядит красиво и симметрично. Ниже я показываю, что этовпечатление обманчиво и эта симметрия лишь приближенная.
219

1Определение

Tетрацией по вещественному основанию b > 1 называется функция
f = tetb , обладающая следующими свойствами:f (z +1) = bf (z)(16.1)

по крайней мере для значений <(z) > −2; функция f ограничена покрайней мере в полосе |=(z)| ≤ 1; кроме того, подразумевается, вещественная голоморфность такой тетрации и специфическое (общеедля всех оснований b) значение в нуле:f (z ∗ ) = f (z)∗(16.2)

f (0) = 1

(16.3)

Уравнение (16.1) имеет форму передаточного уравнения. При этомT = expb выступает в роли передаточной функции. Читатели приглашаются проследить, что натуральная тетрация tet = tete , рассмотренная в главe 14, под такое определение тоже попадает. В других
главах рассмотрена тетрация по другим разным основаниям. Но в√этой главе в качестве примера рассмотрен случай b = 2. Экспонента именно по этому основанию показана на рисунках 9.1 и 9.2.
Именно для этого основания в главе 9 построена растущая суперэкспонента SuExp√2,u , её график показан на рисунке 9.4.
√
Теперь для этого же основания b = 2 строится другая суперэкспонента, тетрация. График тетрации на рисунке 16.1 существенно
отличается от графика растущей суперэкспоненты F = SuExp√2,3 ,показанного на рисунке 9.4.

2√

Пусть b = 2

В качестве примера вычисления тетрации tetb для 1 < b < exp(1/e), в√этой главе рассмотрен случай b = 2. График такой функции показан на рисунке 16.1. Описанное ниже построение аналогично построению растущей суперэкспоненты по такому же основанию, представленному в главе 9. Многие формулы и рисунки этой секции взятыиз публикации [50].
220√Стационарные точки экспоненты по основанию b = 2 рассмотреныв Главе 9, см. рис. 9.1. В той главе суперэкспонента F5 = SuExp√2,5построена на стационарной точке L = 4. Вдоль вещественной оси, такая суперэкспонента монотонно и неограниченно растет от четырехдо бесконечности. Для той суперэкспоненты, уравнение F5 (z) = 1 неимеет вещественных решений, и она не является тетрацией. Для того, чтобы построить тетрацию по такому основанию, следует использовать стационарную точку L = 2. Соответствующая суперфункцияΦ раскладывается так:f (z) = 2 + ε +

M
−1
X

vm εm

(16.4)

m=2

Φ(z) = f (z) + O(εn )(16.5)

ε = exp(kz)(16.6)гдеа инкремент k и коэффициенты v являются константами. Подстановка асимптотического разложения F = Φ в передаточное уравнение √ 
F (z +1) = exp ln
2 F (z)(16.7)
дает соотношение для инкремента kk = ln(ln(2)) ≈ −0.3665129205816643(16.8)

и цепочку уравнений для коэффициентов v; в частности,ln(2)/4≈ −0.56472283831773236365
ln(2)−1ln(2)2 (2+ln(2))/24
v3 = (ln(2)−1)(ln(2)2 −1) ≈ 0.33817758685118329988

v2 =(16.9)

Значения коэффициентов v предлагаются в таблице 16.1.
При фиксированном числе M термов в правой части уравнения
(16.4), функция f может рассматриваться как аппроксимация суперфункции экспоненты со специфической асимптотикой, а именно,которая, возрастая, стремится к стационарной точке 2. Такая суперфункция может быть определена как предел
F (z) = lim T −n (f (z +n)) = lim logbn (f (z +n))
n→∞

n→∞

221

(16.10)Ввиду того, что f является асимптотическим решением предаточного уравнения (16.7) и его “эквивалента”
F (z) = logb (F (z +1))

(16.11)функция F по формуле (16.10) не зависит от числа M слагаемых вправой части уравнения (16.4). Но при больших M , предел в правой
части уравнения (16.10) сходится быстрее.
Для того, чтобы выполнить условие (16.3), тетрацию по основанию
√b = 2, то есть f = tet√2 можно определить так:tet√2 (z) = F (x1 +z)(16.12)

где x1 ≈ 1.25155147882219 есть решение уравнения F (x1 ) = 1. Читатели приглашаются проверить, что такая тетрация удовлетворяет
требованиям, сформулированным в начале главы. Для вещественных значений аргумента, график этой тетрации показан на рисунке
√16.1. Комплексная карта тетрации по основанию b = 2 представлена на рисунке 16.2.
Тетрация, построенная по формуле обладает следующими свойствами. Функция периодична, её период P чисто мнимый,P = P (tet√2 ) = −2πi
2πi≈ 17.14314817935485 i (16.13)=−
ln(ln(2))
ln2 (2)Напоминаю, что дважды логарифм ln2 (2) = ln(ln(2)), но никак не
ln(2)2 , в соответствии с декларированными обозначениями 1 .
Как и было заявлено, тетрация tet√2 (z) голоморфна в полосе |<(z)| ≤1. Область голоморфизма даже существенно шире этой полосы. Тетрация голоморфна во всей комплексной плоскости, за исключением
счетного множества точек ветвления и соответствующих разрезов{z ∈ C : <(z) ≤ 2, =(z) = n=(P ) , n ∈ N}
1

(16.14)Как уже отмечалось, операции взятия логарифма и “верхний индекс 2” не коммутируют,примерно так же, как не коммутируют координата и импульс в Квантовой Механике или какоператор “царская” не коммутирует с глаголом “to vodka”. Если Читатель хоть раз употреблял
водку царскую и выжил, то, вероятно, этот читатель сумел отличить её от “царской водки”,и, таким образом, имеет некоторое представление о некоммутирующих операторах.

222

Таблица 16.1: Коэффициенты v и V в разложениях (16.4), (16.18)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

vn
1.0000000000000000−0.5647228383177324
0.3381775868511833−0.2103313021386278
0.1344548790521098−0.0877843886012191
0.0582880930830947−0.0392407117837278
0.0267232860342981−0.0183765205976376
0.0127420898467766−0.0088986329515697
0.0062531995639749−0.0044181328624397
0.0031365295362696−0.0022361213774487
0.0016001999145218−0.0011489818761273
0.0008274921384317−0.0005975832172069

Vn
1.0000000000000000
0.5647228383177324
0.2996461813840881
0.1559323904892543
0.0803518797481544
0.0411584960662439
0.0209985209544120
0.0106825803202636
0.0054228810223159
0.0027482526618683
0.0013909151872678
0.0007031815862125
0.0003551700677648
0.0001792537427482
0.0000904088765718
0.0000455725430285
0.0000229602263218
0.0000115627707503
0.0000058201696570
0.0000029289688393

Вне этих разрезов, тетрация стремится к стационарным точкам логарифма, к двум или к четырем, при увеличении или при уменьшении вещественной части аргумента. Для вещественных y,lim tet√2 (x+iy) = 2

x→+∞(16.15)и для y 6= =(T )n, n ∈ N,
lim tet√2 (x+iy) = 4

x→−∞(16.16)

Для вещественных значений аргумента, tet√2 (x) определена при x >−2. В точке −2, функция имеет логарифмическую особенность, каки тетрации по другим основаниям. При бóльших значениях аргумента, функция растет от минус бесконечности, проходит, как и тетрации по другим основаниям, через точки (−1, 0) и (0, 1), и дальше
растет, приближась к своему предельному значению 2 на +∞.
√Есть несколько причин, по которым основание b = 2 особенно интересно. Именно при таком основании обе стационарные точки лога223

8
6
4

u=

3 .8
u=4

0 cut

−8

0 .2

v=
1.61.8u =u =v =0

v = −1

u=2

u = 3.2
u=3

−2

=4
u
−4
3 .8
=
−6 u

u=2

v =1
v =2

2

v =0

u=
u = 2 .4
2 .2

u=3

y

v =0

.4
0
−
=
2
.
v
0
−
v=

−8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

x

Рис. 16.2: u+iv = tet√2 (x+iy)рифма выражаются целыми числами. Кроме того, именно при таком
основании, график функции на рисунке 16.1 кажется симметричным
относительно отражения x ↔ −y. Чтобы подчеркнуть такую иллюзию, на рисунке 16.1 проведена дополнительная прямая y = −x. Этаиллюзия будет более подробно обсуждаться ниже, так как для еёанализа нужна обратная функция, то есть арктетрация. Комплекс√ная карта арктетрации по основанию b = 2 показана на рисунке
16.3. Её построение описано в следующей секции.

3√Арктетрация по основанию b = 2

Для обратной функции от тетрации, используется название арктетрация, по аналогии с арксинусом, арккосинусом и аркбесселем; ми224

v =0
0 .2
=
v
0.4
=
v 0 .6
v= 1
v=

6
4

u = −2

u=

−3

0

8

v=

y

2

u=

−2
−4

cut

v =0

u=

v =0

0

−8

−
3

−8 −6 −4 −2

0

2

6

8

u=

4

v=

−6

8
.8
u = −2u = −2

−1.

−2
.
u=− 2
2.4
u = −2.6

0xРис. 16.3: u+iv = ate√2 (x+iy)нус первая итерация тетрации обозначается символом ate; основание, как и у тетрации или логарифма, указывается в виде нижнего
индекса, то есть ateb = tet−1b . Арктетрация является абельфункци√ей экспоненты и удовлетворяет уравнению Абеля; для b = 2, этоуравнение можно записать так:√ z G2= G(z) + 1(16.17)
Одним из решений этого уравнения является арктетрация, G =ate√2 . Чтобы сократить запись основания, в некоторых формулах
√√этой главы, вместо 2, я пишу b, имея в виду, что b = 2. Комплексная карта арктетрации показана на рисунке 16.3. В этой секции ярассказываю, как вычисляется эта функция.
Как и другие абельфункции и суперфункции, арктетрацию по осно225

√ванию 2 можно вычислять через её асимптотическое разложение,используя, по мере надобности, уравнение Абеля, чтобы привести
аргумент в область, где асимпототическое разложение обеспечивает хорошую аппроксимацию. Как и для других абельфункций, дляпостроения асимптотического разложения арктетрации ate√2 естьдва пути. Во-первых, можно обратить асимптотическое разложение
тетрации. Во-вторых, можно “методом пристального всматривания”угадать общий вид разложения соответствующей абельэкспоненты исделать из неё арктетрацию, добавляя к значению абельэкспоненты
соответствующую константу, чтобы обеспечить выполнение условия
ate√2 (1) = 0.
Каждым из способов, отмеченных выше, можно прийти к асимптотическому разложению решения G уравнения Абеля. Пусть
!
MX
1g(z) = log
Vn · (z −2)n .
(16.18)kn=1
где V суть постоянные коэффициенты. Константа k = ln2 (2) та жесамая, что и в разложении (16.4)-(16.6), см. уравнение (16.8). Тогда
решение G уравнения Абеля можно представить асимптотически ввидеG(z) = g(z) + O(z −2)M +1(16.19)Подстановка такого представления в уравнение Абеля дает цепочку
уравнений для коэффициентов V ; в частности,V1 =1(16.20)

V2 =

ln(2)
−v2 = 41 1−ln(2)≈ 0.56472283831773236365(16.21)V3 =ln(2)2
1+2 ln(2)24 (1−ln(2))2 (1+ln(2))≈ 0.29964618138408807683(16.22)Приближенные значения коэффициентов V представлены во втором
(правом) столбце таблицы 16.1
С помощью асимптотического разложения (16.18), решение G уравнения Абеля можно выразить как предел
n√G(z) = lim g exp 2 (z) − n(16.23)n→∞Здесь, под знаком предела, функция T = exp√2 итерируется n раз.
226

Я надеюсь, выражение “под знаком предела”, как ивыражение “под знаком интеграла” или более свойственное русскому языку выражение “под мухой”будет понято не буквально (см. рисунок 16.4), а всоответствии со здравым смыслом. Если последние два выражения можно заменить синонимами
“интегранд” и, соответственно, “в состоянии алкогольного опьянения”, то для того, что пишут после
знака lim, нет устойчивого обозначения. 2 Поэтомумне приходится писать “под знаком предела”, в надежде, что читатель разберется, где право, где низ Рис. 16.4: Девочкапод мухойи где предел.
Для того, чтобы сделать арктетрацию, ate√2 , следует учесть не только асимптотические свойства тетрации по такому основанию, но и еёзначение в единице. Попросту, к значению функции надо добавить
соответствующую константу, то естьate√2 (z) = G(z)−G(1) ≈ G(z)−1.25155147882219(16.24)с тем, чтобы выполнялось условие ate√2 (1) = 0. В работе [50], такая
арктетрация обозначена символом F2,1 −1 ; константа 2 в индексе указывает на стационарную точку передаточной функции, в которой
строится регулярная итерация, а константа 1 указывает на значение суперфункии в нуле. Как обычно, верхний индекс −1 указывает
минус первую итерацию функции, то есть обратную функцию.
На комплексной карте арктетрации на рисунке 16.3 видна её периодичность. Эта периодичность следует из выражения такой арктетрации через предел (16.23). Период P определяется периодом экс√поненты по основанию 2, то естьP = P (ate√2 ) =4πi≈ 18.129440567308775239 i
ln(2)

2

(16.25)Я бы предложил термин “лимитант” или даже “лимитчик”, но пока такие термины трудно назвать устоявшимися. К тому же, в странах с рабовладельческим строем и паспортной
системой прописок (и приписок), термин “лимитчик” может иметь иной смысл и обозначать
подданного, которому в обмен на специальные услуги, милостью начальства разрешили осуществить его (или её) конституционное право выбора места проживания.

227На рисунке 16.3, изолинии воспроизводятся при трансляциях вдольоси ординат на =(P ). Кроме того, ввиду вещественного голоморфизма арктетрации, карта симметрична по отношению к отражениям
относительно оси абсцисс. Таким образом, кроме оси абсцисс, имеется счетное множество горизонтальных линий уровня, где мнимая
часть арктетрации равна нулю; две такие линии y = ±=(P )/2 ≈±9.068 умещаются на карте, показанной на рисунке. Сингулярности (точки ветвления) и соответствующие разрезы арктетрации по√основанию 2 тоже воспроизводятся при таких трансляциях.
Область значений z, в которoй выполнено тождество
tet√2 (ate√2 (z)) = z(16.26)

показана на рисунке 16.5. Рисунок представляет собой комплексную
карту функции в левой части уравнения (16.26), и, в области применимости этого уравнения, уровни постоянной вещественной части
функции и уровни постоянной мнимой её части параллельны координатным осям. Однако, в силу периодичности функции ate√2 , соотношение (16.26) не может выполняться для всей комплексной плоскости. Это общее правило: если голоморфная функция принимает
какое - либо значение хотя бы в паре различных значений аргумента, то обратная функция не может угадать, которое из возможных
значений возвращать, и область “обратности” этой функции ограничена. Для того, чтобы лучше указать границы области применимости соотношения (16.26), на той же карте рисунка 16.5 проведеныещё линии уровня


|P |
2π
n
= exp√2 (x+iy) = ±=±(16.27)2ln(2)для целых n от нуля до четырех включительно.Такие линии ограничивают границы области применимости соотношения (16.26).
√
Свойства арктетрации по основанию 2 позволяет анализировать
иллюзию симметрии графика на рисунке 16.1, график y = tet√2 (x)выглядит симметричным по отношению к отражению относительно
прямой y = −x. Такая приближенная симметрия означает, что для
x > −2, имеет место соотношение
tet√2 (x) ≈ −ate√2 (−x)
228

(16.28)

y
8
6
4
2
0

cut

v =0
u=0

−2
−4
−6
−8
−8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

x

Рис. 16.5: u+iv = tet√2 (ate√2 (x+iy))Точное равенство в этом соотношении не имеет места (кроме нескольких специальных точек), так как период функции в левой части
формулы (16.13) P ≈ 17.143 i, а период функции в правой части
формулы (16.25) P ≈ 18.129 i, то есть почти на i длиннее. Две голоморфные функции с несовместимой периодичностью не могут точно
совпадать на отрезке конечной длины.
В 2009-2010 годax, приближенная симметрия графика на рисунке
16.1 вызвала дискуссию. Чтобы убедить упертых оппонентов, намс Генриком пришлось представить иные доказательства того, чтосимметрия (16.28) лишь приближенная. 3 Я не повторяю здесь длин3Для тех, кто про мнимую единицу и свойства голоморфных функций знает лишь понаслышке (если вообще), Генрик и я придумали каждый по одному независимому доказательству, эти доказательства вообще не используют формализм теории функций комплексного
переменного. Оба доказательства представлены в работе [50].

229

y
0.01
−2

−1

y = tet√2 (x) + ate√2 (−x)
1

2

3

4

5

6

x

7

−0.01
−0.02
−0.03

y = tet√2 (−tet√2 (x)) + x

Рис. 16.6: Приближенный характер “симметрии” (16.28) рисунка 16.1:

y = devi(x) по формуле (16.29)
ный и тернистый исторический путь к формализму суперфункций,но приведу график, на котором показано отклонение
devi(x) = tet√2 (x) + ate√2 (−x)(16.29)характеризующее приближенность соотношения (16.28). График y =devi(x) показан на рисунке 16.6. Отклонение оказалась порядка 10−3 ,то есть “симметрия” (16.28) держится всего лишь с тремя значащими
цифрами. При сильном зумине отклонение tet√2 (x) от −ate√2 (−x)можно было бы увидеть даже на рисунке 16.1. Для сравнения, нарисунке 16.6 сплошной кривой показана также зависимость
y = tet√2 (−tet√2 (x)) + x(16.30)При точной симметрии, эта кривая тоже легла бы на ось абсцисс.
Схожесть функций y = tet√2 (x) и y = −ate√2 (−x) для вещественных
x может показаться случайной, хотя для этого есть серьезные предпосылки. Все тетрации по основанию b > 1 имеют логарифмическую
особенность точке −2, их графики имеет вертикальную асимптоту
x = −2. Кроме того, графики для всех тетраций проходят череез
точки (−1, 0) и (0, −1). Кроме того, при b < exp(1/e), эти графики имеют горизонтальную асимптоту, соответствующую экспонен230циальному стремлению тетрации к наименьшей из вещественных
стационарных точек экспоненты. То, что эта асимптота оказалась√на уровне y = 2, есть следствие выбора основания b = 2, использованного в статье [50] и в этой Книге для иллюстрации свойств
тетрации при 1 < b < exp(1/e).
Читателям в качестве упражнения предлагается построить ещё хотябы одну голоморфную функцию, график которой проходил бы через точки (−1, 0) и (−0, 1), и экспоненциально приближался к вертикальной асимптототе x = −2 и горизонтальной асимптоте y = 2.
И посмотреть, насколько график такой функции похож на график
√тетрации по основанию b = 2. Такие упражнения чрезвычайно полезны при анализе результатов наблюдений или численных экспериментов. Во многих случаях, удачный выбор голоморфной функциис требуемыми (наблюденными в экспериментах) свойствами существенно уменьшает количество параметров в модели и, соответственно, улучшает её предсказательную способность.
В этой секции описано построение арктетрации. По крайней мере вокрестности полупрямой z < 2 имеет место соотношение (16.26), ив этой области тетрация и арктетрация могут использоваться длянецелого итерирования экспоненты. Это итерирование рассмотренов следующей секции.

4Снова итерирую экспоненту по основанию

√2√Итерации экспоненты по основанию 2 рассматривались в главе 9для больших значений вещественной части аргумента. Здесь итерации этой экспоненты рассмотрены для малых и отрицательных
значений аргумента. Я покажу, что такие итерации похожи, но неэквивалентны.
“Регулярная итерация” функции регулярна в окрестности стационарной точки, на которой она строится. Но эта итерация обычно нерегулярна в других стационарных точках этой функции.
√Итерации экспоненты по основанию 2 можно строить на основе
неограниченно растущей суперфункции F = SuExp√2,4 по формулам
231

nn == 2
1

y

0
=
n −1
n=

6
5
4
3

n → +∞
1 n=2
0 n=1
2

n = 0.5−2 n = 0.3
0 .2
=
n
−3
.1
0
n=
−4

−6 −5 −4 −3 −2 −1

n = −1n = −2n → −∞

0n = −0.4

−6

n=

n=

−5

−0
n = − .1
0.2

−1

0

1

2

3

4

5

6

x

Рис. 16.7: y = exp√n2,u (x) для различных n(9.11),(9.12),(9.13). Такие итерации показаны на рисунке 9.8.
Однако итерации экспоненты по такому основанию можно строить
также на основе тетрации, описанной в этой главе,n(16.31)
exp√2,d(z) = tet√2 n + ate√2 (z)где символы “,d” в индексе указывают, что для построения суперэкспоненты (тетрации) использована меньшая из вещественных стационарных точек экспоненты. Такие итерации экспоненты представлены на рисунке 16.7.
На рисунке 16.7 показаны итерации exp√n2,d по формуле (16.31) какфункции вещественного аргумента для различных значений номера итерации n. Эти графики аналогичны графикам рисунка 9.8, где
232

y

cut
cut
cut
cut
cut

v =0

8
6

−2

.2

v =0
v =−

1

u=0

v =0

u = −10

u = −1.2

2

v=

0.2

u=1
u=2

4

cut

−4
−6

cut
cut
cut
cut
cut

−8

v =0
−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

1/2

Рис. 16.8: u+iv = exp√2,d (x+iy)показаны итерации, построенные на стационарной точке 4. По крайней мере толстые кривые, соответствующие целым значениям n, наэтих картинках одни и те же (и они действительно строятся по темже формулам).
Графики на рисунках 16.7 и 9.8 похожи, и даже для нецелых итераций, линии, построенные на стационарной точке 4, кажутся продолжениями линий для итераций, построенных на стационарной точке
√2, то есть на основе тетрации и арктетрации по основанию 2. Вобласти 2 < x < 4, где оба представления имеют смысл, кривыедля обоих таких представлений кажутся совпадающими. Я строилэти кривые на одном и том же графике, и зуммировал как только
мог, но мне не удалось увидеть отличие. Такое совпадение казалось
странными, контр-интуитивным и интересным. Две различные голоморфные функции не могут тождественно совпадать на отрезке
233

y
6

1/2

y = exp√2,u (x)

5
4
3
2
1
1/2
√
y = exp 2,d (x)−5 −4 −3 −2 −1

00y = 1024 D(x)
1

2

3

4

5

x

√
Рис. 16.9: Сравнение половинных итераций экспоненты по основанию 2, построенных на стационарной точке 2 (пунктир) и на стационарной точке 4 (солидная курва). В интервале от двух до четырех показана разница между этими
двумя функциями по формуле (16.32), умноженная на фактор 1024 .

конечной длинны. Если они совпали на отрезке, то они должны совпадать и во всей связной области голоморфизма.
В качестве примера я рассмотрел половинную итерацию. Для верхней стационарной точки, карта половинной итерации экспоненты по√основанию 2 показана на рисунке 9.9. Для нижней стационарной
точки, такая карта показана на рисунке 16.8. Эти карты далеко нетождественны. В частности, лишь вторая из этих функций периодична (с периодом 4πi/ ln(2) ≈ 18.12944 i). При этом, в окрестности
отрезка (2,4) на вещественной оси, эти карты похожи. Настолькоже похожи графики этих половинных итераций для вещественного
аргумента; эти графики сравниваются на рисунке 16.9.
Я был в недоумении по поводу одинакового поведения половинных
итераций вдоль отрезка (2, 4) и различного поведения этих функций в комплексной плоскости. Я склонялся к мысли о том, что ядопустил ошибку, поскольку я верю в результаты ТФКП (Теория
Функций Комплексного Переменного), а ещё больше - в аксиомы
арифметики, на которых строится матан и, в частности, ТФКП.
234

Мне было трудно себе представить, что я нащупал след некого гипотетического Числа Мизугадро 4 , для которого проявляется внутренняя противоречивость аксиом арифметики. В качестве рабочей
гипотезы я предположил, что точности рассчетов с переменными
complex double недостаточно, чтобы увидеть различие между функ1/2
1/2
циями exp√2,d по формуле (16.31) и exp√2,u по формуле (9.23). Яначал считать итерации с сотней значащих цифр, точные формулы такое позволяют. Отличие оказалось в 25м знаке. Это отличие
можно выразить функцией
1/2

1/2

D(x) = exp√2,u (x) − exp√2,d (x)(16.32)Это отличие показано в нижней части рисунка 16.9. Чтобы график
функции D не сливался с осью абсцисс, значения этой функции пришлось масштабировать на 24 порядка величины.
Для значений |z| < 2, функцию D(z) можно аппроксимировать семипараметрическим фитом


−25
2
D̃(z) = 2.48·10 (z −2)(4−z) 1 + 0.120(z −3) + 0.006(z −3) ×
2sin .747−.068(z −3)+0.007(z −3) +p4 ln(4−z)+p2 ln(z −2) (16.33)
где p4 = 2π/ln(2 ln(2)) ≈ 19.23614904204285
и p2 = −2π/ ln2 (2) ≈ 17.14314817935485
соответствуют периодам суперфункций от exp√2 , построенным настационарных точках 4 и 2, см. формулы (9.7), (9.8) и (16.13). Такойфит неплох: по крайней мере, на рисунке 16.9, даже при зумине на 24порядка величины, кривые для D и D̃ почти сливаются. Вероятно,фит 16.33 можно ещё улучшить; читателям предлагается сделатьэто в качестве самостоятельного упражнения.
После построения графиков на рисунке (16.9), я осознал, что этопервый случай в моей практике, когда точности “double” оказалось
недостаточно для того, чтобы нарисовать красивые (“camera-ready”)рисунки для научной статьи. Случай поучительный: никакая точность численных рассчетов не может считаться достаточным основанием для математических конжекций; уповать приходится на доказательства, здравый смысл и, конечно, аксиомы ТОРИ.
4

http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mizugadro.shtml Число Мизугадро

235

В защиту графических процедур, использующих переменные “double”
и “complex double” (работающих с точностью порядка 15и значащихцифр), упомяну софтвер “Maple-10”. Среди графических опций этого софта, мне не удалось найти графики с точностью лучше, чем“float”, то есть примерно с семью десятичными значащими цифрами. Использование этого софтвера для серьезного асимптотического анализа и численной проверки получающихся разложений может
приводить к конфузиям. Примеры того, какая ерунда при этом может получаться вместо графиков даже сравнительно простых функций, предложены в рисунках к поэме “Maple and tea” 5 . К сожалению, мне пока не удалось перевести эту поэму на русский язык. ЕслиРоссия не прекратит свое существование в течение ближайших лет(многие авторы, уже который год, предсказывают распад РФ “в следующем году” с завидным постоянством), а Мапле не исправится впоследующих версиях, перевод этой поэмы на русский язык может
представлять интерес и составить предмет будущего исследования.
Итерация функции, регулярная в какой-либо её стационарной точке,может быть сингулярной в другой стационарной точке. При этом,для вещественных значений аргумента, такие различные итерации
могут быть весьма похожи. На начало 21 века, даже самые прецизионные измерения не дают точности в 24 значащих цифры. Вэтом смысле, для многих физических приложений суперфункций инецелых итераций, может быть не очень существенным, на какой изстационарных точек построена итерация. Разумеется, в каждом случае практического использования нецелых итераций голоморфной
функции, желательно проверить, что используется именно та итерация, которая соответствует физически-осмысленному решению,или что разница между итерациями, построенными на разных стационарных точках, не превышает погрешности измерений. (Тогда
можно ожидать, что паромы не будут тонуть, наскочив на рифы,реакторы не будут взрываться, а премьер-министрам не прийдется
публично каяться и уходить в отставку перед лицом толпы разгневанных сограждан.)5

http://en.wikisource.org/wiki/Maple_and_Tea,
http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/maple.shtml Maple and tea

236

y
8
6

y = F4,5 (x) = SuExp√2,5 (x)4y = F2,3 (x), y = F4,3 (x)
2
−8

−6

−4

−2

y = F2,1 (x) = tet√2 (x)y = 1024 d42 (x)
2
4
6
8

x

−2

Рис. 16.10: Четыре суперэкспоненты по основанию

√2Таким образом, для каждой передаточной функции, может существовать несколько осмысленных суперфункций. Выбор наиболее
подходящей из них должен осуществляться на основе дополнительных соображений, специфичных для каждого приложения. Для случая экспоненциальной передаточой функции exp√2 , четыре наиболее
физичных суперфункции представлены на рисунке 16.10 и рассмотрены в следующей секции.

5Четыре суперэкспоненты по основанию

√2

На основе предыдущего рассмотрения, можно выделить четыре вещественно-голоморфные суперфункции от функции exp√2 . Эти суперфункции показаны на рисунке 16.10 и обсуждаются ниже.
√Функция F2,1 = tet√2 есть тетрация по основанию 2, та же, что и нарисунке 16.1. Её свойства рассмотрены в этой главе в предыдущих
√параграфах. Это суперфункция экспоненты по основанию 2, построенная на стационарной точке 2. В нуле эта функция принимает
значение единица.

237

Функция F4,5 = SuExp√2,5 относится к формуле (9.13), с помощью
−1этой функции и соответствующей абельэкспоненты F4,5
= AuExp√2,5√строятся итерации экспоненты по основанию 2, неограниченно растущие вдоль вещественной оси. Стационарная точка 4 использованав качестве асимптотического значения на минус бесконечности. Спомощью трансляции вдоль вещественной оси, обеспечено условие
F4,5 (0) = 5.
Функция F2,3 есть тетрация со сдвинутым аргументом,F2,3 (z) = tet√2 (z +z2,3 )(16.34)z2,3 = ate√2 (3+io) ≈ −3.3834692659172254 + 8.5715740896774228 iФункция F4,3 есть растущая суперэкспонента со сдвинутым аргументом,F4,3 (z) = SuExp√2,5 (z +z4,3 )(16.35)z4,3 = AuExp√2,5 (3+io) ≈ 3.015784890490347+9.618074521021425 iВдоль вещественной оси, функции F2,3 и F4,3 убывают от четырехна минус бесконечности до двух на плюс бесконечности. На рисунке
16.10, график функции F2,3 , сливается с графиком функции F4,3 .
Отклонение не только меньше толщины линий, но и существенно
меньше размеров молекул и атомов, из которых сделана эта Книга
(или экран монитора, если вы читаете эту Книгу на компьютере).
Чтобы все-таки показать отклонение
d42 (z) = F4,3 (z) − F2,3 (z)(16.36)

на рисунке 16.10 тонкой кривой построен график y = 1024 d42 (x) ;значения функции пришлось масштабировать на 24 порядка величины. Такая схожесть имеется только в окрестности вещественной
оси. Эти функции имеют различные периоды, одна из них имеет
сингулярности, и поэтому они при всём желании не могут совпадать тождественно даже для вещественных значений аргумента.
Сходство функций F4,3 и F2,3 обуславливает сходство итераций экс√поненты по основанию 2, показанных на рисунках 9.8, 9.9, 16.7 и238

16.8 ; половинные итерации сравниваются также на рисунке 16.9.
Можно ожидать, что в течение 21 века, точность измерений физических величин возрастет до 24 и более значащих цифр. Тогда
разница между суперфункциями (или соответствующими нецелыми итерациями) наблюдаемых передаточных функций будет иметь
прямое применение в измерительной технике. Пока, то есть в начале 21 века, можно ожидать, что для некоторых (или даже многих)измеренных передаточных функций с парой вещественных стационарных точек, любую из этих точек можно использовать для построения физически-осмысленных итераций, и погрешность измеренийне позволит увидеть, что лишь одна из таких итераций является
“настоящей”.

6Комплексные итерации

Когда черновик этой Книги был написан (и одобрен Редактором),я обнаружил, что в Книге нет ни одной карты комплексной итерции. Я восполняю такой пробел в этой секции. Здесь я рассказываю
про iтые итерации. Поскольку буква i набрана прямым шрифтом,Читатель может догадаться, что имеется в ввиду не переменная, аизвестная константа, корень из минус единицы.
На рисунках 16.11 и 16.12 представлены карты функций


i
√
√
√
exp 2,d (z) = tet 2 i + ate 2 (z)(16.37)иi
exp√2,u(z) = SuExp√2,5

i + AuExp√


2,5 (z)(16.38)iФункция exp√2,dпо формуле (16.37) построена из тетрации и аркiтетрации рассмотренных в этой главе. Функция exp√2,uпо формуле
(16.38) построена из растущей суперэкспоненты и соответствующей
абельэкспоненты по такому же основанию, эти функции рассмотрены в главе 9. Эти пары функций близки в окрестности отрезка
(2, 4), но сильно отличаются вдали от этого отрезка. Как и следовало ожидать, iтые итерации, показанные на рисунках 16.11 и 16.12,
тоже схожи в окрестности указанного отрезка, и тоже сильно отличаются вдали от начала координат.

239

6

u=

2

v =2

1

u=

4

4

v =3

u=

8

3

u=2

y

v =1
v =0
u = 0 v = −1

0
−2

cut

−4
−6
−8

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

Рис. 16.11: u+iv = exp√ i (x+iy) по формуле (16.37)
2,dКак и в случае вещественных итераций, каждая из предложенных
комплексных итераций может быть вполне аргументированно квалифицирована как “настоящая”. Выбор наиболее настоящей из ниханалогичен случаю сказки Джорджа Орвелла (George Orwell) “Скотский Хутор” (Animal’s farm 6 ); герои сказки декларируют, что “всеживотные равны”, но скоро обнаруживают, что некоторые из нихравнее других. (All animals are equal, but some of them are moreequal than others). С итерациями имеет место похожий случай. Когда
дополнительный критерий для суперфункции, абельфункции илинецелой итерации исходной передаточной функции предложен, ион позволяет выбрать “правильную” формулу, то можно деклари6

http://msxnet.org/orwell/print/animal_farm.pdf George Orwell. Animal Farm. 1945

240

v =3

6

u=

4

1

−1

v = 100

v=

−6

0
10
− 100
u =u = −100v= v =0

−4

2 u=5
v=
6
=
1
v= u
0 u=7
u=8
u=9
u = 10u=1
u= 2
u = 14
16

cut

−2

−6

−4

−2

0

2

4

18
u = 20
u=

−8

−8

4

v=

u=

2
0

u=

8

3

u=2

y

6

8

x

i
Рис. 16.12: u+iv = exp√2,u(x+iy) по формуле (16.38)

ровать, что одна из итераций (16.37), (16.38) “более настоящая”, чемдругая.
Выбор “самой что ни на есть настоящей” итерации какой-либо передаточной функции должен производиться на основе физической
интерпретации таких формул, то есть исходя из возможных приложений. В главе 9 рассмотрена неограниченно растущая (при вещественных значениях аргумента) суперэкспонента, а не тетрация.
Такой выбор объясняется тем, что такая суперэкспонента дает итерации, более похожие на итерации других функций, представленныхв начале книги. А вовсе не тем, что я считаю функцию SuExp√2,5сколько-нибудь более “настоящей” суперэкспонентой, чем тетрацию
tet√2 , рассмотренную в этой главе.

241Пока мне трудно придумать физическую интерпретацию невещественных итераций голоморфных функций. Но, как упомянутый вглаве 12 Портной (который шьет портки с произвольным количеством штанин), я считаю нужным включить в Книгу хотя бы одинпример комплексной итерации. То есть хотя бы одно численное подтверждение моему заявлению, что в формулах номер итерации неимеет надобности быть вещественным.
Вещественность номера итерации (а иногда даже и целость этого номера) может быть важна для приложений формулы в физическихили иных исследованиях. С другой стороны, желательно, чтобы математический аппарат охватывал область значений несколько шире,чем та, для которых сегодня есть очевидное применение. Как только
кому-либо потребуется комплексные, или, в частном случае, чисто
мнимые итерации - в этой Книге для таких итераций уже есть формализм.

7Воспроизводимость

Читатели приглашаются повторить рассчеты, представленные в этойглаве. Это можно сделать и для других передаточных функций; например, для экспоненты по основанию b от единицы до exp(1/e).
Предлагается найти, построить, идентифицировать такую передаточную функцию, для которой регулярные итерации, построенныена различных стационарных точках, существенно отличались бы.
В качестве примера могу посоветовать поэкспериментировать с полиномиальной передаточной функцией. Я примерно представляю
себе, что должно получиться в ответе. Если при этом вдруг возникнут какие-либо сложности, то я готов прийти на помощь.
Построение и исследование тетрации, представленные в этой главе,естественным образом обобщаются для других значений основанияb натуральной тетрации, по крайней мере для 1 < b < exp(1/e). Такое
обобщение рассмотрено в следующей главе.

242

Глава 17Тетрация по основанию b > 1
В предыдущих главах рассмотрены различные методы построения
суперфункций от передаточных функций, когда эти функции имеют вещественные или комплексные стационарные точки. В частности, рассмотрены примеры экспоненциальной передаточной функ√ции для оснований b = 2 ≈ 1.44, b = exp(1/e) ≈ 1.46 и b = e ≈ 2.71 .
Читатели приглашаются использовать предложенные здесь методыи для других функций, и, в частности, для экспоненты по различным основаниям. Лучше начинать со случаев, когда основание вещественно, положительно и превышает единицу. При этом экспонента является возрастающей функцией вдоль всей вещественной
оси, и интерпретация суперэкспоненты и абельэкспоненты особенно
наглядна.

1Аппроксимация тетрации вблизи нуляВ случае основания 1 < b ≤ exp(1/e), тетрация может вычислятьсяс помощью разложения вблизи стационарной точки. Для основания
b > 1/ exp(1/e), может использоваться представление тетрации через интеграл Коши. Таким образом, вся область b > 1 оказывается
перекрыта эффективными алгоритмами вычисления tetb .
Для вещественных значений аргумента, график y = tetb (x) представлен на рисунке 17.1 как функция x при различных вещественных
значениях параметра b > 1. Аналогичные графики для арктетрации
показаны на рисунке 17.2.
Рисунок 17.1 для тетрации и рисунок 17.2 для арктетрации генери243

b = 1 .5

b = 1.6

b = 1.7

b = 1.9b = 1.8

b=2

b=e

b→∞

8

b = 10

y

6
4
e
2
0
0

b = exp(1√/e)b= 2

b = 1.4
b = 1.2
b→1

2

4

6

10 x

8

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetreal10bx10d.png
http://en.citizendium.org/wiki/File:Tetreal10bx10d.png
Рис. 17.1: y = tetb (x) для различных значений bруются с помощью аппроксимаций. Для значений b < 3, используется
аппроксимация fit1, оределенная выражениями
d = ln(b)√q= dc0 = −1.0018 + 0.1512848482(1.+33.0471529885q−3.51771875598d)q+1+3.2255053261256337q

ln(2)− 12dc1 = 1.1 − 2.608785958462561(1 − 0.6663562294911147q)q −c2 = −0.96 + 3.0912038297987596 (1+0.60213980487853d)q+
1+4.24046755648d

ln(2)−23dc3 = 1.2−10.44604984418533 (1+0.213756892843q+0.369327525447d)q−
1+4.9571563666q+7.702332166d

244ln(2)− 58dln(2)−131
192
d

b= 2

b = exp(1/e)

b→1b = 1.2
b =√
1.4

y
10

b = 1.5

8
6

b = 1.6

4

b = 1.7
b = 1.8
b = 1.9

2

b=e

b=2

b = 10

0
0

b→∞

2 e

4

6

8

10 x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ater01.png
Рис. 17.2: y = ateb (x) для различных значений b

fit1b (z) = (1+c0 z +c1 z 2 +c2 z 3 +c3 z 4 )(z +1)
ln(2)
(1+z)
+ ln(z +2) −d(17.1)

Чтобы получить аппрохсимацию (17.1), выражение
tetb (z) − ln(z +2) + ln(2)/ ln(b)1+z(17.2)

разложено в ряд Тэйлора по степеням z при различных значениях a = ln(b). Коэффициенты этого разложения аппроксимированы как функции параметра a. Затем тетрация выражена через эторазложение. Разложение оборвано, учтено всего несколько термов.
Однако, для |z| ≤ 1/2, это приближение дает несколько значащих
245

цифр для значения tetb (z). Такое представление использовано для|<(z)| ≤ 1/2; для иных значений z, используется представление через передаточное уравнение
tetb (z) = btetb (z−1)(17.3)


tetb (z) = logb tetb (z +1)(17.4)илив зависимости от знака <(z). Так можно вычислять тетрацию снесколькими знаками для умеренных значений |=(z)| и |=(b)|. Уменя пока нет столь же простой аппроксимации для больших значений |=(b)|, хотя представление через интеграл Коши легко обобщается на случай комплексных значений основания b. В частности, такая аппроксимация годится для вещественных значений основания
b < 5, давая порядка четырех значащих цифр. Это вполне достаточно для того, чтобы дефекты аппроксимации не были видны дажепри сильном зумине рисунка 17.1. Однако для b = 10 аппроксимация несколько хуже, и для этого значения использовано первичное
представление тетрации через интеграл Коши.
Из рисунка 17.1 можно проследить поведение тетрации вещественного аргумента при различных значениях основания b > 1.
В интервале значений −2 ≤ x ≤ −1, тетрация y = tetb (x) имеет
отрицательные значения и растет с увеличением b.
В интервале значений −1 ≤ x ≤ 0, тетрация y = tetb (x) имеет положительные значения и убывает с увеличением b.
При x > 0, тетрация y = tetb (x) имеет положительные значения ирастет с увеличением b.
В предельном случае b → 1, график тетрации y = tetb (x) приближается к асимптотам x = −1 и y = 1.
В предельном случае b → ∞, график тетрации y = tetb (x) приближается к асимптотам x = −2 и x = 0, а также к отрезку −2 < x < 0на оси абсцисс.
При всех b > 1, тетрация tetb (x) является монотонно возрастающей
функцией, и график y = tetb (x) проходит через точки (−1, 0), (0, 1)
и (1, b).
246

Когда b = exp(1/e), асимптотой становится линия y = filog(1/e) = e.
Эта линия отмечена на графике в дополнение к ректангулярной сетке, соответствующей целочисленным значениям абсциссы или ординаты.
При 1 < b ≤ exp(1/e), с ростом x график y = tetb (x) приближается кгоризонтальной асимптоте y = filog ln(b) .
Функция filog и её имплементация представлены в ТОРИ,http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Filog
Некоторые свойства этой функции обсуждаются в следующей главе.
В принципе, аналогичным образом можно строить аппроксимациюдля арктетрации (абельэкспоненты) ateb . Не стремясь объять необъятное, для построения графика арктетрации вещественного аргумента, я отразил от прямой y = x графики рисунка 17.1. Так построен рисунок 17.2.
При x > −2, имеет место соотношение
ateb tetb (x) = x(17.5)

Кроме того, для b > exp(1/e) и по крайней мере для вещественных
x имеет место соотношение

(17.6)
tetb ateb (x) = x
Это же соотношение имеет место и при 1 < b ≤ exp(1/e) , x <filog ln(b) .
В широкой области значений b и z, итерации экспоненты expb (z) =bz могут быть представлены через тетрацию и арктетрацию
nexpb (z) = tetb n + ateb (z)(17.7)
Как обычно, в таком представлении число n итерций не имеет необходимости быть целым; достаточно, чтобы аргумент z попадал вобласть голоморфизма функции ateb . Тогда, при b > exp(1/e), значение n+ateb (z) попадет в область голоморфизма тетрации tetb .

2Различныe основания экспоненты и итерацииВ этой секции сравниваются итерации экспоненты. Эти итерации
рассмотрены в предыдыщих секциях; здесь предлагается обзор пред247

ставленных ранее результатов.
√Итерации экспоненты по основаниям b = e, b = exp(1/e) и b = 2
представлены на рисунке 17.3 как функции вещественного аргумента для различного номера n итерации. Курвы проведены для
n = −2, −1, −0.9, −0.5, −0.1, 0, 0.1, 0.5, 0.9, 1, 2.
На верхней картинке рисунка 17.3 представлен случай b = e; то естьпоказаны итерации обычной, натуральной экспоненты. Соответствующие итерации вычисляются через натуральную тетрацию tet и натуральную арктетацию ate:ny = exp (x) = tet n + ate(x)(17.8)
Схожие графики можно построить и для иных значений основания
b > exp(1/e). Для такого основания, итерации, даже не целые, являются вещественно-голоморфными функциями по крайней мере внекоторой окрестности вещественной оси. Одна и та же голоморфная функция может использоваться как для положительных, так идля отрицательных значений аргумента. Стационарные точки натуральной экспоненты лежат достаточно далеко от вещественной оси,и, в некоторой окрестности вещественной оси, итерации экспоненты
являются столь же гладкими, как и сама экспонента.
По мере уменьшения основания b, ширина полосы голоморфизма
вдоль вещественной оси уменьшается, и при b = exp(1/e) кривыедля различных итераций сжимаются в пучок курв, проходящих через стационарную точку e. Этот случай представлен на центральной
картинке рисунка 17.3. При этом нецелые итерации для значений
аргумента, меньших e, уже не являются голоморфными продолжениями итераций, построенных для значений, бóльших e. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, кривые, для итераций, построенных
через тетрацию и арктетрацию, показаны пунктиром. В левой части графика пунктиром показаны кривыеny = expb,1 (x) = tetb n + ateb (x)(17.9)
а сплошные кривые соответствуют формулеny = expb,3 (x) = SuExpb,3 n + AuExpb,3 (x)248(17.10)

4

2

4

6

0.5

n = −0.9
n = −1)n = −2

8

x

n=

−2

−1
n=

x

n=−

y = ln(ln(x)

0
y=

.1
−0

√ n(x)ly=y = ln(x)

n=2

n=2
n=
1

y

b = e1/e

0
n=

2
n=1
n = 0.9n = 0.5

n=

0 .1
n=

b=e

y = exp( x
e )
y =e
xp(x
)
y= √
exp
(x)

y

4

y

)
ln(x
e
=
y
n(x))
l
e
(
n
l
=e

1
n=−
n = −2e
2 1 x/e )p( ey = exe) e/exp(xn = −2

−0
.5
n=−
1

2 e

4

8

x

1
n=−
n = −2)n (x)nb (l b
l
=
y

n=2

y

6

n = −2
2

4

n=

√
b= 2

0
n=

n=2
n=1 y=
n = 0.9.5n = 0 .1
0
=
n

2
n=2
bx
=
y
n=1
0
n = 0.9.5n = 0 .10n=x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1e14z600.jpg√

n = −2

−0
.5
n=−
1

8

n=

2

4

6

Рис. 17.3: y = expn
b (x) для различных n при b = e, b = exp(1/e), b =249

2Тетрация tetb по основанию b = η = exp(1/e) определена формулой (11.24), а арктетрация по этому основанию определена формулой (11.28). Соответственно, растущая абельэкспонента определяется формулой (11.29) при AuExpb,3 = G3 . Растущая суперэкспонента
определена формулой (11.29) при AuExpb,3 = G3 .
При значенях основания 1 < b < exp(1/e), экспонента имеет две вещественные стационарные точки (см. фигуры 9.1, 11.1). Каждая изэтих стационарных точек может использоваться для построения регулярной итерации. Однако нецелая итерация, построенная на однойиз этих регулярных точек, не регулярна в другой стационарной точ√ке. Здесь в качестве примера выбрано значение b = 2. Итерации
показаны в нижней картинке рисунка 17.3. Пунктиром проведены
линии


n
(17.11)y = expb,d(x) = tetb n + ateb (x)а сплошные кривые соответствуют формулеny = expb,u (x) = SuExpb,5 n + AuExpb,5 (x)(17.12)Для нецелых значений номера n итерации, стационарная точка 2
или 4 ограничивает область голоморфизма каждой из итерации. Наотрезке от 2 до 4, каждая из итераций голоморфна, и различие между итерациами мало, порядка 10−24 , см.рис. 16.9. Ввиду такой малости, пунктирные кривые на нижней картинке рисунка 17.3 кажутся
совпадающими с соответствующими сплошными линиями.
Аналогичная иллюзия имеет место для центральной картинки рисунка 17.3; пунктирные кривые кажутся продолжениями сплошных.
Таким образом, пример экспоненты указывает, что для построения суперфункций и нецелых итераций следует выбрать, указать
асимптотическое поведение искомой функции в комплексной плоскости; иначе могут существовать различные решения, и каждое изних можно аргументированно обосновывать как “настоящую” суперфункцию и, соответственно, “настоящую” нецелую итерацию. Поэтой причине, важно, чтобы изначально все суперфункции, абельфункции и нецелые итерации строились для комплексных значений
аргумента.
250

v=

−4
−4 −3 −2 −1

0

1

2

3

x

v =1
v = 0.8
v =0
.6
v=
0 .4

v =1
v = 0 .8v=
v = 0.6
0.
4

−1

−3

−3 −2 −1

0

1

2

3

2
0.

v =0

x

−1
v=
−3 −2 −1

1 .6
u=8
u = 1.
u=2
0 1 2

.2
−0

−2

v =0
v
4
1. .6 = −0
u == 1 .8 .2
u =1
u
u=2

v=

v=

−1

v

u
u= =1
1.
4

0

u u=
u = 1
u = = 1 1 .4
u = 1 . .6
8
2

1

.2
=0

1

2

0.8
v = 0 .6v=
4v = 0.
v = 0.2v =0v = −0.2
v = −0.4v = −1 u =

v =1

y
3

3

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:E1efig09abc1a150.png
Рис. 17.4: u+iv = tetb (x+iy) для b = 1.5, b = exp(1/e) и b =√2Алгоритмы вычисления функций использованных в этой Книге, запрограммированы на C++ как complex double: их можно использовать как для комплексных значений аргумента, так и для вещественных. Если для каких-либо приложений требуются лишь вещественные значения аргумента, то переделать комплексное представление в вещественное легче, чем обобщать вещественное на случай
комплексного аргумента.

3Зависимость тетрации от основaнияГрафики тетрации вещественного аргумента, показанные на рисунке (17.1), позволяют предположить, что зависимость тетрации отоснования (при постоянном аргументе) непрерывна (а может быть,даже и голоморфна) как функция основания. Можно ожидать, чтотакая непрерывность имеет место не только для вещественных значений аргумента. Чтобы показать это, на рисунке 17.4 показаны
карты тетрации tetb для близких значений основания, а именно,для b = 1.5 слева, для b = exp(1/e) ≈ 1.44 в середке, и для для√
b = 2 ≈ 1.41 справа.
Все три карты, показанные на рисунке 17.4, похожи, хотя совершенно разные алгоритмы использованы для вычисления тетрации приуказанных значениях основания b. В принципе, тетрацию по основанию b = exp(1/e) для умеренных значений мнимой части аргумента
можно были бы вычислять через тетрацию при чуть бóльших илипри чуть мéньших значениях b как предел при b → exp(1/e), ис251пользуя соответствующие представления.
Читатели приглашаются рассчитать тетрацию при значениях основания b ≈ exp(1/e) и оценить, сколько корректных значащих цифрдля тетрации tetb можно получить таким способом, при условии, чтоиспользуется арифметика с конечной точностью, например, complex
double. Заодно, читатели могут проверить, что малость невязки приподстановке приближения тетрации в передаточное уравнение обеспечивает близость к более аккуратному представлению через разложение (11.16).
При b → exp(1/e), эффективность алгоритмов для вычисления тетрации (как через интеграл Коши, так ичерез регулярную итерацию) уменьшается. Поэтому
Генрик Траппманн считал, что тетрация, рассмотренная как функция основания b, в точке b = η = exp(1/e)не является непрерывной, подобно тому, как это изображено на рисунке 17.5. Генрик хотел асимптотическое разложение именно для основания η = exp(1/e)
1.. Пришлось строить разложение (11.16) для b = η. Янадеюсь, Читатель уже понимает как можно угадывать разложения для экзотических итераций, и сможет написать аналогичное разложение суперфункцийи для других передаточных функций, как только ЧиРис.
17.5:тателю потребуется итерировать такие передаточные Неразрывность
функции нецелое количество раз.
Таким образом, я надеюсь, что у коллег не возникнет сложностей
сосчитать не только iтую, но и iтую итерацию его или её передаточной функции. 2 Даже если в стационарной точке производная этойпередаточной функции равна единице. Благодаря суперфункциям,такое вычисление становится вполне возможным и естественным.

1Это было уже после того, как статья про четыре вещественно-голоморфные суперэкс√поненты по основанию 2 была направлена в Mathematics of computation [50]; как видно,аппетит приходит во время еды.
2Здесь i есть переменная, которая может принимать всякие (и, в частности, вещественные)√значения. При этом i = −1 есть константа, которая никаких иных значений принимать неможет.

252

Глава 18
Kомплексноe основаниeВ этой главе рассмотрена тетрация по комплексному основанию. Тоесть для передаточной функции T (z) = bz , где основание b является
комплексным числом. В этой Книге основанием называется то, чтовозводится в степень аргумента при вычислении экспоненциальной
передаточной функции.
В принципе, суперфункцию от экспоненты можно строить с помощью регулярной итерации, примерно так же, как в Главе 16 строится
√тетрация по основанию 2. При этом встает вопрос о том, около которой из стационарных точек итерации экспоненты должны бытьрегулярными. Кроме того, для некоторых значений основания, вещественная часть инкремента k равна нулю; тогда решение трудно
строить по его асимптотике.
Ниже, я использую метод интеграла Коши. Этот метод может применяться и для невещественных значений основания. Разумеется,для построения суперфункции F , следует указать, к которым изстационарных точек экспоненты по данному оснoванию должна этафункция стремиться при стремлении аргумента к i∞ и при стремлении аргумента к −i∞. Из соображений простоты приходится потребовать, чтобы функция стремилась к стационарной точке экспоненты и, желательно, логарифма.
Для построения тетрации по комплексному основанию, следует выразить стационарные точки логарифма как функции этого основания. А ещё лучше - чтобы не возиться с множеством разрезов - какфункции логарифма этого основания. Этому посвящена следующая
секция.
253

y

8

u=

0

6

0 .4
u=

2

u=

0 .2

4

0

u=

u=0

2

−2

0
v=

−0.
u=

−4

−6

−0
.2
v=

−4

0

−6

v=

−8

.2

v = −0.4

−8

−10

−0
.2

−2

0

2

4

6

x

8

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Filogbigmap100.png
Рис. 18.1: u+iv = filog(x+iy) , решение L = filog(B) уравнения (18.1)

1Стационарные точки логарифма

Пусть L = filog(B) будет решением уравнения
ln(L) = BL

(18.1)

Комплексная карта функции filog показана на рисунке 18.1. Зумин
этой карты показан на рисунке 18.2. Пусть
B = ln(b)(18.2)

тогда filog(B) выражает стационарную точку L1 логарифма по основанию b; другая стационарная точка L2 определяется комплексным
сопряжением:L1 = fllog(B)(18.3)

L2 = filog(B ∗ )∗(18.4)

254

1

0 .2

v=

.8

u = 0.6

u=

y

u=

u=0

0

0 .8

0

−1
−1

1/e

0

v =1

v=

2

v = 1.2

u = −0.2

π/2

1

x

y

4
10

3
10

v=
0.4

2

0 .2

u = 1.

110

u=1

u = 0 .8

v=

u=1
.4
u=
1 .6

2
10

0

v =1
v
v == 2
5 3
=
u =4
u 3
u=
u=2
u=1
u=
0

−1
10

−1
5

−3
10

−1
v =0

v =1

v=

2
−

−0.3

−0.2

v=

−2
5

−1
2

−0.4

−0.1

0

0.1

0.2

0.3 1/e 0.4

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Figlogzo2t.jpg
Рис. 18.2: u+iv = filog(x+iy), зумины центральной части фигуры 18.1
255xФункцию filog можно выразить через функцию Tania

Tania ln(z) − 1 − πifilog(z) =−z(18.5)

Для построения тетрации по комплексному основанию, здесь указана именно Таня, по формуле (5.3), а не похожая на неё WrightOmega.
Читатели приглашаются попробовать воспроизвести рисунки 18.1 и
18.2, используя ВрайтОмегу вместо Тани, и посмотреть, что получится вместо красивой карты.
Функция filog определяет стационарные точки логарифма по заданному основанию b:
L1 = filog ln(b)(18.6)
∗
L2 = filog ln(b∗ )(18.7)
На ±i∞, тетрация должна стремиться к этим стационарным точкам.
Tребования (допущения) об асимптотическом поведении тетрации
позволяют использовать интеграл Коши для её вычисления. В следующей секции предлoжен пример использования функции filog длядетерминации асимптотического поведения тетрации по комплексному основанию.

2

Tetration to the Sheldon baseВ этой секции рассмотрена тетрация по основанию Шелдона,b = 1.52598338517 + 0.0178411853321i(18.8)

Это название образовано от имени Шелдон Левенштейн (Sheldon
Levenstein); в 2012 году Шелдон ожидал, что при вычислении тетрации по такому основанию возникнут сложности. Верятно, он имелв виду, что для одной из стационарных точек экспоненты по такому основанию, регулярная итерация затруднительна, так как вещественная часть соответствующего инкремента k близка к нулю. Этобыл единственный запрос от коллег на вычисление тетрации по специфическому комплексному основанию и заявка Шелдона удовлетворена. Комплексная карта такой тетрации показана на рисунке
18.3.

256

y

u + iv ≈ 2.0565 + 1.1445 i

8v = 1.2

u=2

v = 1.2

u=2

v = 1.2

6v = 1.2

u=2
v=

v=

0 .8

1

0 .8

1

0

v = 1.2
v=

1

v=

0.8

u=2
v=

v=

0.8

1

v=

1

v=

2

v=

v=

4

u=2

0 .8

v =0

−2

u = 1.2−4v = −1v = −1.4
u = 1.2−6v = −1v = −1.4
u = 1.2

u + iv ≈ 2.2284 − 1.3508 i

−8
−30

−25

−20

−15

−10

v = −1v = −1.4
u = 1.2

−5

0

2

4

6

8

10

v = −1.41520v = −125x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetsheldonmap03.png
Рис. 18.3: u+iv = tetb (x+iy) для b ≈ 1.52598+0.01784 i, см. (18.8)

Ниже, я, следуя трацициям Советской Школы (рисунок 18.4), описываю тетрацию по основанию Шелдона. Комплексная карта тетрациипо такому основанию представлена на рисунке
18.3; сейчас я расскажу, как она вычисляется.

МилиционерыВ этой секции предполагается, что основание
описывают
имуществоb определено формулой (18.8). Стационарные
Рис. 18.4: Опись
точки логарифма по основанию b, то есть решения L уравнения lnb (L) = L, выражаются через функцию filog:
L1 = filog(B) ≈ 2.0565398441043761+1.1445267140098765 i (18.9)
L2 = filog(B ∗ )∗ ≈ 2.2284359658711805−1.3507994961102865 i (18.10)
B = ln(b) ≈ 0.4227073870410604 + 0.0116910660021443i (18.11)
Решение F с асимптотиками
F (z) = L1 +exp(k1 z +φ1 ) + O(exp(2k1 z)) при =(z) → ∞(18.12)F (z) = L2 +exp(k2 z +φ2 ) + O(exp(2k2 z)) при =(z) → −∞ (18.13)
строится так же, как и для тетрации по вещественному основанию,бóльшему основания Генрика η = exp(1/e). Подстановкa асимптотических решений в передаточное уравнение определяет инкременты
k1 = ln(L1 b) ≈ −0.0047589243931785+0.5354935770338939 i (18.14)
k2 = ln(L2 b) ≈ 0.0970758595007548−0.517289596155984 i
257(18.15)Соответственно, решение имет квазипериод
P1 =

2πi
≈ −0.1042667514229599 i+11.7325200133916496
k1(18.16)

в верхней части комплексной плоскости и квазипериод
P2 =

2πi
≈ −2.2018723603861230 i+11.7331504449085493
k2(18.17)в нижней части комплексной плоскости.
Сформулированных выше свойств достаточно для того, чтобы через
интеграл Коши выразить решение F (z) передаточного уравнения
F (z +1) = exp B F (z)(18.18)вдоль полосы |<(z)| < 1. Такое построение аналогично построению
тетрации по основанию e, описанному в главе 14, поэтому я не повторяю описание контура интегрирования и детали итерационной процедуры, дающей аппроксимацию решения. Как и для вещественного
основания, тетрация выражается через решение F :tetb (z) = F (z1 + z)

(18.19)где z1 есть решение уравнения F (z1 ) = 1. Используя передаточное
уравнение (18.18), решение можно распространить по крайней мерена правую часть комплексной плоскости. Что касается левой части, то во Втором квадранте координатной плоскости (то есть при
x < 0, y > 0) возникнут разрезы, неизбежные при использовании логарифмической функции. K сожалению, такие разрезы не уместились в области карты, показанной на рисунке 18.3, хоть я и делаю
этот рисунок во всю ширину страницы. То, что такие разрезы (иточки ветвления) имеются, Читатель может видеть из асимптотики
(18.12), поскольку для основания Шелдона мнимая часть периода
P1 отрицательна.
Каждый раз, когда тетрация принимает значение ноль, на единичку
слева имеется точка ветвления и соответствующий разрез области
голоморфизма. Такие разрезы типичном и для других тетраций, даже по вещественному основанию, когда применяется формула
F (z) = logb m (F (z +m))258

(18.20)для такого целого m, что значение z+m попадает в полосу |<(z)| ≤1/2, где формула Коши дает аккуратную первичную аппроксимацию. В этом смысле тетрация по основанию Шелдона аналогична
тетрации по вещественному основанию.

3Область тронной ракушкиПри умеренных значениях арумента z, тетрация tetb (z) выглядит
гладкой функцией основания b. При больших значениях <(z), взависимости от основания, тетрация либо имеет сложное, квазихаотическое поведение, либо стремится к одной из своих стационарных точек. На сайте Эретранде, область стремления к стационарному значению названа Shell-Thron region 1 . К сожалению, я не смогизвлечь оттуда результатов, которые я бы счел подходящими дляэтой Книги. Можно образовать “кальку”, переведя английское название как “Область Тронной Ракушки”. Пока трудно судить о том,насколько такое название удобно.
В принципе, при итерировании экспоненты, можно говорить о шестимерном пространстве. Координатами такого пространства являются вещественная и мнимая части основания b, вещественная имнимая части аргумента и вещественная и мнимая части номера
итерации. В шестимерном пространстве могут быть спрятаны нетривиальные эффекты, заслуживающие исследования. Я надеюсь, чтоих рассмотрение не вызовет сложностей, и поэтому такие эффекты не рассмотрены в этой книге. Я стараюсь работать над такими
проблемами, которые считаются неразрешимыми [14].
Я представил один-единственный пример вычисления тетрации покомплексному основанию. Предложенные в этой Книге инструменты позволяют вычислять тетрацию по такому основанию, по какому
потребуется. И не только тетрацию. В следующей главе рассмотрен
случай, когда тетрация выступает в роли передаточной функции, ивычисляется её суперфункция.
1

Shell-Thron region:
http://math.eretrandre.org/hyperops_wiki/index.php?title=Shell-Thron_region.

259

Глава 19Аскерманны
Old story, century 20:—Abgam, did you hear, one of us sank “Titanic”.
— Wou! Who did that?
— One says, some Aisbegg!
Old story, century 21:— Abgam, do you know, one of us asks hoggible questions!
— Who is that man?
— One says, some Askeg-man!
Перевод с Английского:Старая история, 20й век:— Абгам, слыхал, наши “Титаник” потопили!
— Да ну! А кто?
— Я точно не знаю, но говогят, какой-то Айсбегг!
Старая история, 21й век:— Абгам, ты слыхал, один из наших задает ужжасные вопгосы..
— Да ну! А кто?
— Говогят, какой-то Аскегманн!

Я надеюсь, что предложенный выше эпиграф не послужит причиной обвинения меня в антисемитизме. Среди моих соавторов есть ивесьма германские арийцы, и столь же семитские евреи. Я вижу особенности каждой из указанных наций; я ценю как еврейскую “ментальность” (достаточно выраженную в так называемых “еврейских
анекдотах”), так и арийскую педантичность (столь же выраженнуюв историях и шутках про “немцев”). Для эффективного научного
исследования требуется и то, и другое. Примерно так, для забрасывания баскетбольного мяча в сетку, особенно эффективны качества
высоченного бразильца, а для рекордов по спелеологии более важны качества тщедушного вьетнамца или африканского пигмея. Научные исследования отличаются тем, что трудно предсказать, чтопотребуется: мяч в сетку или пролезть в узкую щель. Одинаково
глупо как настаивать на том, что нации “равны” (и запрещать об260

суждать очевидное различие), так и заявлять, что кто-то из них,вообще, “лучше” (и на этом основании требовать для кого-то из нихкаких-либо специальных прав и привилегий). Я считаю, что такое
лирическое отступление помогает понять ментальность и идеологию
аскерманнов, о которых идет речь в этой главе.
Для вещественного параметра b > 1, называемого базой, тетрацией
называется решение f = tetb уравнений
f (z +1) = bf (z) ,f (0) = 1

(19.1)

голоморфное по крайней мере в области
z ∈ C : <(z) > −2

(19.2)

и ограниченное в области
z ∈ C : |<(z)| ≤ 1(19.3)

Уравнение (19.1) является частным случаем цепочки Аскерманна
A1 (z) = b + z , z ∈ C
An (1) = b , n ∈ N, n ≥ 1An (z +1) = An−1 An (z) , n ∈ N, n > 1(19.4)(19.5)(19.6)

Функции A здесь называются аскерманами (с маленькой буквы),чтобы не путать их с великим и могучим математиком Вильгельмом
Аскерманном (Wilhelm Ackermann) [7]. Именно об аскерманнах идетречь в этой главе.
Первые три аскерманна являются элементатными функциями. Интерес представляет построение высших аскерманнов. Такое построение помогает, в частности, проверить, отточить общие методы построения суперфункций.
Для основания b = 2, Графики первых четырех аскерманнов показаны на рисунке 19.1 жирными кривыми: сплошной, сплошной, точковой и пунктиром. Тонкие кривые относятся несколько иной системе
обозначений, рассмотренной в следующей секции.

261

y = tet (
2 x)
y=
2x

y=

−2
−1
2,

A

3
A
(1
,x
)=
1(

x+

3)
−

3

4

0
0

262

A(
2,

5

1

,2 ( xy=2) = tet (x

3

y =A
A2
2,3 (x
)=2x
,2 (x
)=
2x

,4

+3
)−

y = A2 (x

A2

y=

x) =

)−3

2,3 (x + 3, x) = A

6y=y = A(32,4 (x + 3) − 3

y = A(4, x) = A

)

y

,

A2

2

−1

−2

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Acker2t400.jpg
Рис. 19.1: Сравнение обозначений для двоичных аскерманнов

)
(1 x
=

2
e

1

y = 2x

x

2+

x

1

Двоичные аскерманны

Ранее, аскерманны рассматривались преимущественно по основанию b = 2. Чтобы не путать их с аскерманнами по другим основаниям, аскерманны по основанию 2 я называю бинарными, или классическими, или каноническими. Я не знаю, какой из этих терминов (ииз этих ли) окажется более удобным.
Для бинарных аскерманнов используются специальные обозначения. Номер аскерманна записывается в виде дополнительного, первого аргумента, а значение основания b не указывается вовсе. Внекотором смысле это оправдано: какой смысл указывать основание, если оно всегда константа, равная двум? Связь классических(и пока общепринятых) обозначений для b = 2 с аскерманнами поформулам (19.4) (19.5) (19.6) можно выразить простой формулой
A(m, z) = A2,m (z + 3) − 3(19.7)

A2,1 (x) = 2 + x = A(1, x+3) − 3 = A(1, x)(19.8)

A2,2 (x) = 2 x = A(2, x+3) − 3(19.9)

A2,3 (x) = exp2 (x) = A(3, x+3) − 3 = 2x(19.10)A2,4 (x) = tet2 (x) = A(3, x+3) − 3(19.11)В частности,Чтобы показать связь между A с индексом и одним аргументом
и A без индекса, но с двумя аргументами, на рисунке 19.1 такие
аскерманны построены как функции вещественного аргумента.
y = A2,m (x) для m = 1, 2, 3, 4 показаны толстыми линиями (сплошной, сплошной, точковой, и пунктиром );y = A(m, x) для m = 1, 2, 3, 4 показаны тонкими линиями (сплошной, сплошной, точковой, и пунктиром ).
Ввиду соотношения (19.7), толстые линии образуются из тонких смещением, трансляцией на 3 единицы вдоль оси x и настолько же пооси y. Лишь прямая для первого аскерманна при такой трансляции
переходит сама в себя.
263

Специально для бинарных аскерманнов, системa уравнений (19.4),(19.5), (19.6) может быть слегка расширена, чтобы включать “нулевой” аскерманн. Уравнения для A могут быть записаны так:A(0, z) = z + 1
A(m+1, 0) = A(m, 1)
A(m+1, z+1) = A m, A(m+1, z)(19.12)(19.13)(19.14)Смещение и аргумента функции, и значения этой функции по формуле (19.7) соответствует преобразованию сопряжения. Поэтому передаточное уравнение (19.14) для бинарного аскерманна в “классических” обозначениях имеет такой же вид, как и передаточное уравнение (19.6).
Одним из применений аскерманнов является обозначение больших
чисел (для вещественного аргумента). За счет смещения аргумента, канонические бинарные аскерманны могут создавать видимость
несколько более быстрого роста, чем аскерманны по формулам (19.4),(19.5), (19.6). Однако, для приложений, такое “ускорение” наврядли существенно; и обозначения в формулах (19.4), (19.5),(19.6) мнепредставляются более удобными, чем канонические. Потому как вобозначениях (19.4), (19.5),(19.6) третий аскерманн оказывается просто экспонентой, четвертый - просто тетрацией, и так далее. Кроме
того, если рассматривать свойства голоморфизма и итерации по последнему аргументу, а остальные аргументы (основание b и номер
аскерманна m) считать параметрами, то удобно записывать эти параметры в виде индекса. Я надеюсь, что у Читателя не возникнет
проблем с использованием соотношения (19.7) для перехода из одной
системы обозначений в другую.

2Названия

B 20 веке, функции Аскерманна обычно рассматривались для основания b = 2 и только для целых значений z. Пока не видно принципиальных ограничений, которые препятствовали бы вычислению
такой функции для комлексных значений b и z; разумеется, подходящие требования на область голоморфизма должны быть сформули264рованы. Есть надежда, что для всех аскерманов можно потребовать
голоморфизма по крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси. Решение передаточного уравнения не единственно, поэтому
следует либо указывать способ построения каждого аскерманна, либо изобретать требования на поведение аскерманнов в комплексной
плоскости.
Несколько первых аскерманнов имеют специальные названия:Ab,1 = z 7→ b+z, добавление константы b,
Ab,2 = z 7→ bz, умножение на константу b,
Ab,3 = expb = z 7→ pow(b, z) = z 7→ bz , экспонента по основанию b,
Ab,4 = tetb = z 7→ tetb (z), тетрация по основанию b,
Ab,5 = penb = z 7→ penb (z), пентация по основанию b.
Следующиe функции могут обозначаться символами hexb , hepb , octb ,..
и называться, соответственно, терминaми “гексация” (hexation), “гептация” (heptation), “октация” (octation) и т.д. Такие обозначения получаются при транслитерации латинских числительных и сокращении имен функций до трех букв. 1
Изначально, формализм суперфункций разрабатывался для тетрации, то есть суперфункции от экспоненты. Однако этот формализм
может применяться и для других передаточных функций, и, в частности, для различных аскерманнов. Как пример, в следующей секции рассмотрена пентация.

3Пентация

Если Математику дать чайник, газовую плиту, спички и кран с водой, и попросить вскипятить чай, то он нальет в чайник воду, зажжет газ и поставит чайник на огонь. Но если после этого Математика ещё раз попросят вскипятить чай, когда вода уже в чайнике,1Суперфункции расширяют возможности посылать на три буквы. В принципе, для гексации можно было бы использовать латинское слово sextus (“sixth”, шесть) и oбразовать термин
“сексация”, обозначая соответствующую функцию sexb . Однако, судя по тому, какие сайты
предлагают базы данных при поиске с ключевым словом sexb , человеческая цивилизацияещё не вполне созрела для сексации, и для суперфункции от пентации, то есть для шестого
аскерманна, лучше использовать термин “гексация”.

265а газ горит, то Математик выльет воду, погасит газ и произнесёт
заклинание: “Задача сведена к предыдущей”.

1 .7
b=
τ

b=

b=e

Я надеюсь, что методами,yописанными в выше, Чита4тель уже и сам может вы61.
числять суперфункции и,
Lτ,1
b=
e
в частности, тех аскерман5b = 1.
нов, какие ему понадобятb =√η2
b= 2
ся. Однако я больше физик, чем математик. Поэтому, вместо того, чтобы про- Le,00
02
Lτ,1 4 xизнести заклинание “задача сведена к предыдущей”,я предлагаю пример вычисLe,0ления ещё одного аскерманРис. 19.2: y = tetb (x), фрагмент рисунка 17.1;
на, натуральной пентации,добавлены прямая y = x и график y = tetτ (x)то есть pen = pene = Ae,5 .
Ключевой вопрос при построении суперфункции - о стационарных
точках передаточной функции. Для пентации передаточной функцией является тетрация tet, рассмотренная в главе 14. Bещественые стационарные точки тетрации показаны на рисунке 19.2. Этомодификация рисунка 17.1: некоторые кривые убраны; добавлена
кривая для тетрации по основанию b = τ ≈ 1.63532, где τ есть такое основание, что кривая y = tetτ (x) касается прямой y = x. Точка
касания имеет координаты (Lτ,1 , Lτ,1 ), при этом Lτ,1 ≈ 3.087. Дляэтого значения на рисунке 19.2 проведены дополнительные линии
координатной сетки.
При значениях основания b > τ , тетрация tetb имеет только однувещественную стационарную точку, и это, в частности, случай натуральной тетрации tet = tete . Для натуральной тетрации, эта стационарная точка Le,0 ≈ −1.85035452902718, и для этого значения нарисунке 19.2 тоже проведены дополнительные координатные линии.
Именно эта стационарная точка тетрации выбрана для построения
натуральной пентации pen, то есть пятого аскерманна по основанию
266

e = exp(1) ≈ 2.71 .
Натуральной пентацией, или пятым аскерманом по основанию e, яназываю суперфункцию от тетрации, построенную регулярной итерацией на стационарной точке Le,0 , и приближающуюся к этой стационарной точке на минус бесконечности.
Для передаточной функции tet, уравнение для суперфункции F записывается так:F (z +1) = tet F (z)(19.15)Я строю растущее вдоль вещественной оси решение F этого уравнения методом регулярной итерации на стационарной точке тетрации
L = Le,5,0 ≈ −1.85035452902718; чтобы упростить выборочное чтение лишь некоторых глав этой книги, я привожу ниже ключевые
формулы этого построения.
Для некоторого натурального числа M , я ищу асимптотическое решение F уравнения (19.15):
F (z) = f (z) + O(εM )(19.16)гдеf (z) = Le,4,0 +M−1Xam ε m(19.17)m=1

ε = exp(kz)(19.18)Здесь положительная константа k имеет смысл инкремента роста суперфункции при больших отрицательных значениях аргумента, а aсуть вещественные коэффициенты. Для простоты, удобно положить
a1 = 1. Подстановка представления (19.16), (19.17) в передаточное
уравнение (19.15) и асимптотический анализ с малым параметром εдают оценки инкремента k ≈ 1.86573322821 и первых коэффициентов: a2 ≈ −0.6263241, a3 ≈ 0.4827 . При M = 4, эти значения для супертетрации определяют первичную аппроксимацию f по формуле
(19.17). Такая аппроксимация хороша при больших отрицательных
значениях вещественной части аргумента супертетрации. Затем, дляцелых n, я определяю
Fn (z) = tetn (f (z − n))267(19.19)yВвиду того, что f естьасимптотическое решение,этот предел не зависит отвыбранного номера M ; разумеется, при больших значениях M , предел сходится
y = 10 δ(x)быстрее, чем для малых.

−3

−2

5

en(x)

(19.20)

6

4

y =p

n→∞

y = L + exp(kF (z) = lim Fn (z)(x + x1 ))В соответствии с общим
методом регулярной итерации, точное представление
супертетрации F получается как предел

3
e
2
1
−1

0

0

1

x

Чтобы для пятого аскер−1манна получить требуемое
значение e в единице, я
y = Le,4,0определяю этого аскерманРис. 19.3: y = pen(x) по формуле (19.21), еёна как функцю F со сме- асимптотика (19.22) и погрешность линейной
щенным аргументом,аппроксимации по формуле (19.24)
pen(z) = F (x1 +z)(19.21)

где x1 есть решение уравнения F (x1 ) = 1. Такое построение я принимаю за определение пентации. Для вещественных значений аргумента, график пентации показан на рисунке 19.3 толстой линией.
Для построения чистовых рисунков, достаточно взять M = 4, и дляаппроксимации предела в формуле (19.19) выбрать значение n = 7.
Условие tet(0) = 1 эквивалентно уравнению F (x1 ) = 1 и дает оценку
x1 ≈ 2.24817451898 ; теперь алгоритм вычисления пентации готов купотреблению. Для более эффективной имплементации можно подсчитать ещё с десяток коэффициентов a и добавить в алгоритм автоматическую оценку количества итераций в формуле (19.19), необходимого для быстрой оценки предела с высокой аккуратностью.
На рисунке 19.3, дополнительная горизонтальная линия указывает
предельное значение L = Le,4,0 , эта линия позаимствована с рисунка
268

19.2. Она указывает предельное значение пентации на минус бесконечности, это горизонтальная асимптота графика пентации. Кроме
того, на рисунке более тонкой кривой показана экспоненциальная
асимптотика пентации,y = Le,4,0 + exp(k(x+x1 ))(19.22)Эта асимптотика соответствует значению M = 2 в первичной аппроксимации пентации по формуле (19.17).
Пентация может быть аппроксимирована линейной функцией,pen(x) ≈ 1 + x(19.23)При −2.1 < x < 0.1, аппроксимация (19.23) дает около двух значащих
цифр. Погрешность аппроксимации (19.23) может быть выражена
функцией
δ(x) = pen(x) − (1+x)(19.24)Тонкая кривая на рисунке 19.3 показывает эту погрешноcть. Чтобыона была видна, её пришлось умножить на 10; иначе она сливаласьс осью абсцисс. Таким образом, построена кривая y = 10 δ(x). Интересно, что линейная фукция в правой части (19.23) аппроксимирует также и предыдущего аскерманна, то есть тетрацию, график
которой показан на рисунке 14.1. Для тетрации функция в правой
части формулы (19.23) тоже дает около двух значащих цифр, но область применимости линейной аппроксимации пентации шире, чемобласть применимости этой аппроксимации для тетрации.
Для комплексных значений аргумента, комплексная карта пентациипо формуле (19.21) показана на рисунке 19.4. Пентация голоморфнав левой части карты. Когда вещественная часть аргумента стремится к минус бесконечности, пентация экспоненциально стремится кпредельному значению L = Le,4,0 ≈ −1.850354529, указанному нарисунке 19.2. Чтобы показать это более наглядно, на рисунке 19.4
толстой светлой полосой показан дополнительный уровень u = Le,4,0 .

269

y

v =0
3

u=L
2

v = −1cutv =0−1u = L−2

u=2v = −1
cut

v =0
v =1

u=L
−3

u=1

u = −10 v =0

u=0

v =1

1u=L

v =0

−4
−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Penmap.jpg
Рис. 19.4: u+iv = pen(x+iy) по формуле (19.21)

Пентация периодична, её период P определяется инкрементом k, тоесть, в конечном счете, производной тетрации в стационарной точке
Le,4,0 . Этот период чисто мнимый,2πi≈ 3.36767615657879 i(19.25)kНа комплексной карте пентации, при трансляциях на целое число
периодов, линии постоянной вещественной части функции и линии
постоянной мнимой её части воспроизводятся. Воспроизводятся также и разрезы области голоморфизма.
P =Вдоль вещественной оси, пентация быстро растет (гораздо ещё посравнению с тетрацией). Как и для других быстро растущих функций, карта пентации в окрестности положительной части веществен270

y
cut
L
L

v =1
v=
−1

v =0

2

−2

u=

u=0

0

u = −1

1
2

2

1

u=1

P
2i
3
2

0

1

2

x

Рис. 19.5: u+iv = pen(x+iy) по формуле (19.21), зумин рисунка 19.4

ной оси имеет сложную структуру; пентация изменяется с охренительными производными. Построитель карт conto.cin не смог провести линии так часто, и эта область осталась пустой. Чтобы хотькак-то показать её структуру, на рисунке 19.5 показан зумин карты с рисунка 19.4. Рост аскерманнов, начиная даже с тетрации (апентация и подавно) существенно опережает возможности зуммирования.
Mетоды построения суперфункций могут использоваться для построения более высоких аскерманнов. В частности, как только росттетрации окажется недостаточно быстрым для каких-либо приложений, можно построить голоморфную пентацию. На минус бесконечности пентация стремиться к стационарной точке L = Le,4,0 ≈−1.850354529 такой, что L = tet(L). Более подробно стационарные
точки пентации обсуждаются в следующей секции.

4Стационарные точки пентации

Чтобы сделать следующего, шестого аскерманна (гексацию), следует построить аркпентацию ape = pen−1 . Mожно обратить асимптотическое разложение для пентации либо получить такое же разложение асимптотическим анализом соответствующего уравнения Абеля.
Для того, чтобы показать, что суперфункции пентации могут строиться обычным способом, по аналогии с тетрацией, на рисунке 19.5
указаны две стационарные точки пентации, они обозначены симво271

лом L и снабжены дополнительными координатными линиями. Ихприближенные значения можно найти, считая пальцем координатные линии и линии уровня. Эти значения сутьL = Le,5,0 ≈ −2.260 + 1.384 i(19.26)

L = Le,5,1 ≈ 1.057 + 1.546 i(19.27)Ещё имеются значения вблизи вещественной оси; в частности,L = Le,5,2 ≈ 3.43 + 0.07 i(19.28)

L = Le,5,3 ≈ 4.39 + 0.11 i(19.29)но они не поместились на странице. Пентация вещественно голоморфна, поэтому значения L∗ также являются стационарными точками. Читатели приглашаются числено решить уравнение
pen(L) = L(19.30)и уточнить значения Le,5,0 и Le,5,1 . Если тетрация и арктетрация
сделаны с 14ю значащими цифрами, то можно надеяться получить
хотя бы 12 значащих цифр для пентации, аркпентации и их стационарных точек.
Я ожидаю, что для пентации можно построить суперфункцию, гексацию hex, как вещественно-голоморфное решение F уравнения
F (z +1) = pen F (z)(19.31)с дополнительными условиями
F (0) = 1

(19.32)F (i∞) = Le,5,0(19.33)F (−i∞) = Le,5,0∗(19.34)Читатели приглашаются построить такую гексацию и, в частности,нарисовать для неё графики и комплексную карту. Стационарная
точка гексации определяет асимптотическое поведение следующего,седьмого аскерманна; он может называться гептацией, и так далее.
При этом предыдущий аскерманн используется как передаточная
функция, и новый аскерманн получается как соответствующая суперфункция.
272

5Сравнение натуральных aскерманнов

5

e+
y=

y = pen(x)y = tety = ex (x)
p(x)
y=
ex

y

x

В этой секции сравниваются свойства первых пяти функций Аскерманна для натурального основания, b = e, и для вещественного
аргумента. Графики этих функций показаны на рисунке 19.6.

4
3
e
2
1
(x)

y = exp

0

1

2

ex

−1
y=

en

y =t

p
y=

( x)

0

−1
et(x)

−2

y = Le,4,0

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ackerplot400.jpg
Рис. 19.6: y = Ae,n (x) for n = 1, 2, 3, 4, 5273

xДля случая натурального основания. b = e, я не указываю основаниев индексе, то естьAe,1 (z) = e+z, добавление константы e,
Ae,2 (z) = e z, умножение на константу e,
Ae,3 (z) = exp(z) = ez , натуральная экспонента,Ae,4 (z) = tet(z), тетрация по основанию e,
Ae,5 (z) = pen(z), пентация по основанию e.
Именно эти обозначения без индекса использованы для маркировки
кривых y = Ae,n (x) на рисунке 19.6.
Поведение тетрации и пентации на отрезке от −1 до 1 сходно. Однако, даже на этом отрезке, расстояние между кривыми достигает
ширины линий и заметно на рисунке 19.6.
Возможно, для каких-либо приложений понадобится тетрация покомплексному основанию или даже более высокие аскерманны покомплексному основанию. Такие аскерманны могут вычисляться методами, представленными в этой Книге, и их вычисление не требует каких-либо специфических еврейских трюков, ни специфической
германской педантичности. Я надеюсь, что Исследователь любой
национальности сможет вычислить этих аскерманнов, и, в частности, тетрацию, и пентацию, как только они потребуются в какихлибо изысканиях или приложениях, или даже из спортивно-научного
интереса, и с такой аккуратностью, которая ему потребуется.

6Синдром последнего коэффициентаЯ спрашиваю себя: “почему бы не сделать гексацию так же, какуже сделана тетрация и пентация?”. Для того, чтобы объяснить
это, мне прийдется копипастнуть ещё одно лирическое отступление.
Допустим, исследователь придумал совершенно новую и безумно
красивую функцию. Он строит график, ну, скажем, от −4 до 4. Невсе пышные округлости функции умещаются на графике, и исследователь строит её же от −10 до 10. Но последняя осцилляция невидна, и он расширяет область значений до интервала [−11, 11]. Итак далее. Наконец, когда график расширился настолько, что цен274

тральную часть уже видно только в лупу, исследователь начинает
вычислять, ну, скажем, её разложение в ряд Тэйлора. Он считает
первые 5 коэффициентов и вклеивает их в свою фундаментальную
статью. Он смотрит на них, и ему кажется, что следующий коэффициент мог бы помочь пониманию. Он считает шестой коэффициенти расширяет таблицу. Но ему тут же кажется, что еще один (только
один!) коэффициент сильно улучшит статью...
- Стоп, - оборвет меня Читатель, - Что за чушь? Он что, больной?..
Да, дорогой Читатель, да; именно так. Эта болезнь называется Синдром Последнего Коэффициента. Примерно так же в повести о Хадже Насреддине ростовщик Джафар каждый раз мечтает наполнить
золотом еще один (только один!) горшок 2 . Примерно так же маньякубийца, получив высшую власть, каждый раз думает, что теперь
достаточно “убрать” (так на чекистском жаргоне называется политическое убийство) пару кляузников (всего двух!), и стране настанет
полный порядок. Или как алкоголик каждый раз хочет только одну(единственную!) рюмку водки.
Все упомянутые лица больны синдромом последнего коэффициента.
Я тоже страдаю от этого недуга. В порядке лечения, я не включаю
сюда гексацию, то есть шестого аскерманна, ни даже аркпентацию,которая нужна для построения шестого аскерманна методом Коши- тем же методом, которым строится натуральная (и не только) тетрация.
Сколько бы аскерманнов я не загрузил, всегда будет такой, для которого в Книге ещё нет ни одного рисунка. Есть и иная мотивация ктому, чтобы в какой-то момент остановиться с этой Книгой - чтобы
2

http://coollib.net/b/43714/read Леонид Соловьев. Возмутитель спокойствия. (Повесть о Хадже Насреддине) ..во дворе собрались многочисленные родственники Джафара.
Многие из них были должны ему и надеялись, что сегодня на радостях он простит долги.
Напрасно они надеялись: ростовщик слышал через закрытую дверь голоса своих должникови злобно усмехался в душе. «Я скажу им сегодня, что прощаю долги, – думал он, – но расписок я им не верну, расписки останутся у меня. И они, успокоившись, начнут беспечную
жизнь, а я ничего не скажу, я буду молчать, но втайне все время подсчитывать. И когда накаждую таньга долга нарастет еще десять таньга и сумма долга превысит стоимость домов,садов и виноградников, принадлежащих ныне моим должникам, я позову судью, откажусьот своего обещания, предъявлю расписки, продам все их имущество, оставлю их нищими инаполню золотом еще один горшок!»275

все-таки закончить Книгу в этом веке. Эта мотивация показана нарисунке 19.7.
На этом я заканчиваю рассмотрение регулярных и не очень итраций, а также прочих интегралов Коши. Надеюсь, что читатель ужепонял, чем Фудоки отличаются от Нибелунгов, и может самостоятельно построить всех аскерманнов, которые ему понадобятся.
Теперь гораздо важнее рассмотреть хотя бы один случай, когда методы, описанные выше, не работают. Такое очень даже может приключиться, если у трансцендентной передаточной функции вообщенет стационарных точек. Пример такой функции рассмотрен в следующей главе.

Рис. 19.7: Девушка с веслом [15]: Никакой гребли, пока не допишешь

свою Книгу!
276

Глава 20Без стационарных точекВ этой главе рассмотрен пример передаточной функции без стационарных точек. Для такой функции трудно применить метод регулярной итерации или метод Коши, использованные в предыдущих главах. Однако, тем не менее, даже для такой передаточной функции
можно построить суперфункцию, абельфункцию и, соответственно,нецелые итетации. Ниже пересказывается содержание статьи [77].

1yФункция Трапманна

4
1+eВ этой Книге, функцией Траппманна
называется элементарная функция

3e(20.1)

2Эта функция показана на рисунке 20.1
в сравнении с экспонентой.

1

tra(z) = exp(z) + z

y = exp(x)
−2

−1

0
0

1

x

Функция tra должна была стать ловуш−1кой (“trap”), чтобы поймать меня на заявлении о том, что я могу построить су−2перфункцию (а также абельфункцию и
y = tra(x)соответствующие итерации) для какой
Рис. 20.1: y = tra(x) и y = exp(x)ни попади передаточной функции.
Впрочем, английское слово “trap” можно интерпретировать такжекак трап, то есть путь к дальнейшим успехам в решениях передаточных уравнений и итерированиях всяческих функций. Таким
образом, функция tra, хоть и является элементарой, чрезвычайно
важна я заслуживает специального имени.
277

v =4

3

v =3

2

v =2

1

v =1

0

v =0

u = −1u=0
u=1

4

u = −2v =5u = −35u = −4

y

v =1

6

−1

v = −1v = − 16
u = 16−2v = −216u=−−3v = −3−4v = −4−5v = −5

−6
−6

−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraMapT.jpg

5xРис. 20.2: u+iv = tra(x+iy) по формуле (20.1)

Комплексная карта функции tra по формуле (20.1) показанa на рисунке 20.2. В правой части рисунка, карта похожа на карту экспоненты, так как на фоне экспоненциального роста линейная добавкав формуле (20.1) смотрится бледно. В левой части рисунка карта
похожа на карту тождественной функции; линии постоянной вещественной части и линии постоянной мнимой части образуют ровную
сетку прямых, параллельных координатным осям.
Аналогичным свойством (почти тождественность) обладает обратная функция, то есть ArcTra = tra−1 ; по крайней мере, в некоторой
окрестности отрицательной части вещественной оси. Карта функции ArcTra показана на рисунке 20.3. В следующей секции а рассказываю, как вычисляется функция ArcTra.

278

y
8
6

u=1

u=0

u = −6u = −5u = −4u = −3u = −2u = −1v =3
2 v =2v =1
0 v =0v = −1−2 v = −2v = −3

u=2

4

−4
−6
−8
−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:ArcTraMapT.jpg
Рис. 20.3: u+iv = ArcTra(x+iy)

2

ArcTra, обратная функция от траппманна

Чтобы итерировать функцию Траппманна tra, я имею в виду нецелые итерации, следует сперва научиться вычислять её целые итерации. Для целых положительных значений номера итерации, вопросов с итерацией не возникает; просто применяем функцию traстолько раз, сколько нужно. Для вычисления целых отрицательных итераций, требуется алгоритм для обратной функции; примернотак же, как для вычисления нецелых итераций экспоненты требуется не только сама экспонента, но и её обратная функция, то естьлогарифм. Пусть эта обратная функция от траппманна называется
ArcTra, так чтоtra ArcTra(z) = z(20.2)
279в некоторой широкой области значений z, включающей, по крайней
мере, всю вещественную ось. Комплексная карта функции ArcTraпоказана на рисунке 20.3.
В этой секции я рассказываю, какстроится функция ArcTra. А в этомпараграфе объясню, почему я такое
описание вклеиваю в Книгу. Ещё впрошлом веке мне приходилось объяснять студентам, интересовавшимся
нелинейной оптикой (которая тогда
была в моде), что за каждым такназываемым “нелинейным” эффектом
имеется довольно много вполне линейной науки. До того, как имеется
понимание линейных оптических эфРис. 20.4: Линейная оптика ифектов, говорить о нелинейной оп- нелинейная оптика
тике бессмысленно, за исключением,разве, случая, показанного на рисунке 20.4. Аналогично, до того,как читатель свободно вычисляет целые отрицательные итерации
передаточной функции, бессмысленно говорить о её нецелых итерациях.
Во время СССР, в России была некоторая наука, и известными заведениями советской школы были Физфак и Физтех. Для того, чтобы объяснить разницу между этими заведениями, предлагали такой
пример: Выпускник Физтеха, хотя и может чего-то рассчитать, совершенно не понимает смысла полученной формулы и поэтому неможет ей пользоваться. Выпускник физфака, наоборот, всё понимает, хотя сам подсчитать ничего не может. Это я к тому, что Читатели,которых интересуют картинки суперфункции, но не интересует, какони получились, могут пропустить эту секцию. Тогда про этих читателей, как про выпускников Физфака, можно будет сказать, чтоони всё понимают.
Как уже отмечено выше, функция tra является элементарной, и несоставляет труда сосчитать её производную:tra(z) = z + exp(z) ,tra0 (z) = 1 + exp(z)280(20.3)

Для построения функции ArcTra требуется решение f уравнения
tra(f ) = z(20.4)

Последовательность fn аппроксимаций решения f можно строить
методом Ньютона,fn+1 = fn +z − tra(fn )tra0 (fn )(20.5)

при подходящем начальном значении f0 . Я считаю, что начальное
значение подходит, если в пределе
f = lim fn
n→∞(20.6)

решение f оказывается на том листе многолистной функции, который мне нравится. Как уже отмечено, мне нравится, когда линии
разреза идут от точек ветвления прямо в направлении минус бесконечности, параллельно вещественной оси. Именно так идут разрезына рисунке 20.3. Мелкая сетка, образованная изолиниями в полосе
вдоль отрицательной части вещественной оси, то есть оси x на рисунке 20.3, достаточно четко указывает положение разрезов, так чтоя не стал отмечать их дополнительным пунктиром.
Для построения начального приближения, я использую различные
разложения функции ArcTra, в зависимости от значения аргументаz в формуле (20.4). Сейчас я их перечислю.
Проще всего арктраппманн раскладывается вблизи отрицательной
части вещественной оси. Такое разложение дает на первичную аппроксимацию
1
ArcTra(z) ≈ app4 (z) = z − ez + e2z − e3z(20.7)
2Читателям предлагается построить карту функции согласия

|tra(app4(z)) − z|
A4 (z) = − lg
(20.8)|tra(app4(z))| + |z|Логарифмический рост функции ArcTra при больших значениях вещественной части аргумента можно ухватить асимптотическим разложением. Такое разложение даёт аппроксимацию!
MX
1
Pm (ln(z))
ArcTra(z) ≈ app3 (z) = ln(z) 1 +(20.9)
z m=0
zm
281

где Pm есть полином степени m, В частности,P0 (L) = −1

(20.10)1 − L/2(20.11)P2 (L) = −1 + 3L/2 − L2 /3(20.12)P1 (L) =1 − 3L + 11L2 /6 − L3 /4(20.13)P4 (L) = −1 + 5L − 35L2 /6 + 25L3 /12 − L4 /5(20.14)P3 (L) =Разложение Тэйлора в единице для арктраппманна дает приближениеM
X
ArcTra(z) ≈ app1 (z) =cn (z − 1)n(20.15)n=1Несколько десятков коэффициентов этого разложения легко получить, обращая ряд разложения функции tra в нуле; это дает асимптотическое разложение арктраппманна в таком виде:
2

3

4

5

6

7

8

z
z
z
13z
47z
73z
2447z
ArcTra(1+z) = z2 − 16
+ 192
+ 3072− 61440+ 1474560+ 41287680− 1321205760+..

При M = 21, для |z| < 1, такая аппроксимация дает по крайней мере12 значащих цифр.
Разложение арктраппманна в точке −1 − iπ можно записать так:ArcTra(z) ≈ app2 (z) =MXcm∗ (z +1+iπ)m/2

m=1

√ √
1
= −iπ + i 2 z +iπ+1 + (z +iπ+1)33/2
i(z +iπ+1)2√−−(z +iπ+1)2 + ..
(20.16)135
9 2
В более компактном (и более удобном для численной имплементации) виде, это разложение записывается так:

2t2 2it3
8t4
2
ArcTra − 1−iπ+2t= −iπ + 2it +
−
−
3
9
135
5
6
7
it
32t
139it
+
−
+
+ ..
(20.17)
135 8505 42525
и, соответственно, “сопряженное” разложение имеет вид
2t2 2it3
8t4
2
ArcTra − 1 + iπ + 2t
= iπ − 2it +
+
−
3
9
135
5
6
7
it
32t
139it
−
−
−
+ .. (20.18)
135 8505 42525
282

где t имеет смысл алгебраической функции от аргумента арктрапманна,rz + 1 − iπt=(20.19)2Разрез корневой функции в формуле (20.19) автоматически определяет линии разреза функции ArcTra, которые видны на рисунке
20.3. Я предлагаю Читателю в качестве упражнения построить карты функций согласия

|tra(appm (z)) − z|
(20.20)Am (z) = − lg|tra(appm (z))| + |z|в комплексной плоскости, z = x + iy для m = 1, 2, 3, 4, то есть длячетырех первичных аппроксимаций, предлагаемых в этой секции.
Когда аппроксимации, описанные выше, запрограммированы и названы именами arctra1, arctra2, arctra3, arctra4, численная имплементация функции ArcTra, имеющая разрезы, как это показано нарисунке 20.3 осуществлена с помощью алгоритма, копипастнутого
ниже:z_type arctran(z_type z) { DB x=Re(z), y=Im(z);if( x>2.) return arctra3(z);DB Y=fabs(y);if(Y<M_PI){ if(x<-1.5) return arctra4(z);if(Y<2.) return arctra1(z); }if( Y>5. || x<-4. ) return arctra3(z);if( y>0. ) return arctra2(z);return conj( arctra2(conj(z)) );}Кроме быстрого и аккуратного представления через разаложения,представленные выше, арктраппманн можно выразить через функцию Таня, определенную в главе 5:
ArcTra(z) = z − Tania(z −1)(20.21)Таким образом, в этой Книге, мы имеем Таню уже трижды, причем тремя разными способами: сперва в простой модели лазерного
усилителя, затем, как представление функции filog, и теперь, как283способ имплементации арктраппманна. Я надеюсь, что при написании этой книги, ни одна Таня не пострадала. Представление через
функцию Таня может использоваться для сравнения, проверки различных представлений.
По крайней мере в некоторой окрестности вещественной оси, арктраппманн можно представить также через специальные функции
LambertW и WrightOmega, см. (5.2). Однако для численных проверок вблизи предела точности вычислений, первичные представления, описанные в этой секции, дают более аккуратные результаты.
Читателям предлагается сравнить различные представления арктраппманна и оценить их аккуратность.
Кроме передаточной функции T = tra и обратной функции T −1 =ArcTra, описанной в этой секции, для нецелых итераций функции
Траппманна требуются её суперфункция, которую я назову SuTra, иабельфункция, которую я назову AuTra = SuTra−1 . Функция SuTraстроится в следующей секции.

3Супертраппманн
y

y=

SuT
r

a(x)

Как указано выше, функция
5Траппманна не имеет стаци4онарных точек. В отсутствие
1+eстационарных точек, нельзя
3применять “как есть” метото2ды построения суперфункций,y = −ln(−x)рассмотренные в предыдущих
1главах. В связи с этим, Генрик
−4 −3 −2 −1 00 12 x−eТраппманн ожидал, что для−1передаточной функции (20.1)
будет трудно построить суперфункцию. Вопреки ожида- http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuTraPlo3T.jpg
ниям, для суперфункции от Рис. 20.5: y = SuTra(x) и y = − ln(−x)Функции Траппманна (20.1)
существует простое представление (и даже не одно). Для такой суперфункции здесь использовано имя SuTra, и она показана на рисунке 20.5. Ниже я рассказываю, как строится эта функция.

284

Сперва я расскажу про хинт (hint, или, более по-русски, финт), спомощью которого можно угадать поведение суперфункции F . Дляфункции Траппманна, передаточное уравнение можно записать так:F (z +1) = tra(F (z)) = F (z) + exp(F (z))(20.22)Или даже так:F (z +1) − F (z) = exp(F (z))(20.23)В левой части уравнения (20.23) имеется что-то, напоминающее производную функции F . Уравнение
1
dF
≈
dz
exp(−F )(20.24)даетZZexp(−F )dF ≈dz

exp(−F ) ≈ −z

(20.25)(20.26)

Таким образом, разложение функции F может начинаться с логарифмического терма. Подстановка такого эвристического решенияв передаточное уравнение (20.22) дает невязку, и эта невязка указывает следующий терм разложения. Угадав таким образов форму
асимптотики, я ищу асимптотическое представление для решения F
в таком виде:M +1ln(−z)
F (z) = FM (z) + O(20.27)z
где M есть натуральное число, аFM (z) = − ln(−z) +

M
X

Pm




ln(−z) z −m

(20.28)m=1

гдеPm (z) =m
X

am,n z n(20.29)n=1Подставляя представление (20.22) в передаточное уравнение (20.22)
и собирая слагаемые с одинаковыми степенями z и ln(−z), я получаю цепочку уравнений для коэффициентов a. Первые из этихкоэффициентов показаны в таблице 20.1.
285

Таблица 20.1: Коэффициенты a в разложении (20.27),(20.28)

0

− 12

a1,2

a1,3

a1,4

a1,5

a1,6

a1,7

a1,8

1
6
7
48
647
4320
1427
8640
13808637257600
327877314515200
251790467
914457600

− 14

1
8
3
16
5
16
25
48
5963
6912
97603
69120
1049251
460800

a2,3

a2,4

a2,5

a2,6

a2,7

a2,8

1
− 24

a3,4

a3,5

a3,6

a3,7

a3,8

− 11
96

1
64
25
384
305
1536
537
1024
69953
55296

a4,5

a4,6

a4,7

a4,8

1
− 160

a5,6

a5,7

a5,8

137
− 3840

1
384
49
2560
4123
46080

a6,7

a6,8

1
− 896

a7,8

363
− 35840

1
2048

7
− 24

− 35
96
− 41638640− 18832880− 2171723
2419200− 35981749
29030400

− 17
64
653
− 1152− 39613456− 920881
414720263− 192013381− 30720На Математике, коэффициенты a можно находить с помощью такой
программы:T[z_] = z + Exp[z];Clear [n, m, M];
P[m_, L_] := Sum[a[m, n] L^n, {n, 0, m}]; P[m, L];
F[z_]=-Log[-z]+a[1,1] Log[-z]/z+Sum[P[m,Log[-z]]/z^m,{m,2,M}]
M = 12;F1x = F[-1/x + 1];
Ftx = T[F[-1/x]];s[1] = Series[F1x - Ftx, {x, 0, 2}];t[1] = Extract[Solve [Coefficient[s[1], x^2] == 0, {a[1, 1]}], 1]A[1, 1] = ReplaceAll[a[1, 1], t[1]];su[1] = t[1]m = 2; s[m] = ReplaceAll[Series[F1x - Ftx, {x, 0, m + 1}], su[m]];t[m] = Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m + 1)];u[m] = Collect[t[m], L];v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n + 1)] == 0, {n, 0, m}];w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}];ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1];su[m + 1] = Join[su[m], ad[m]];ReplaceAll[ReplaceAll[F[x], su[m + 1]], Log[-x] -> L]
m = 3; s[m] = ReplaceAll[Series[F1x - Ftx, {x, 0, m + 1}], su[m]];t[m] = Coefficient[ReplaceAll[s[m], Log[x] -> L], x^(m + 1)];u[m] = Collect[t[m], L];v[m] = Table[Coefficient[u[m] L, L^(n + 1)] == 0, {n, 0, m}];w[m] = Table[a[m, n], {n, 0, m}];ad[m] = Extract[Solve[v[m], w[m]], 1];su[m + 1] = Join[su[m], ad[m]];ReplaceAll[ReplaceAll[F[x], su[m + 1]], Log[-x] -> L]и так далее для m = 4, m = 5, etc.
286Выражение (20.28) определяет асимптотику суперфункции для передаточной функциии (20.1). Точное решение F передаточного уравнения (20.22) записывается так:F (z) = lim trak FM (z −k)k→∞(20.30)Чтобы получить суперфункцию SuTra, которая удовлетворяет ещёдополнительному условию
SuTra(0) = 0(20.31)

SuTra(z) = F (z + x0 )(20.32)я определяю

где x0 ≈ −1.1259817765745026 есть вещественное решение уравнения
F (x0 ) = 0(20.33)Рисунок 20.5 показывает y = SuTra(x) как функцию x. Для сравнения, тонкой курвой показан также лидирующий терм асимптотики
функции SuTra при больших отрицательных значениях аргумента,то есть y = − ln(−x). В левой части рисунка функция приближаетсяк её асимптотике.
Комплексная карта функции SuTra показана на рисунке 20.6. Вдалиот начала координат и вдали от положительной части вещественной
оси, SuTra похожа на функцию z → − ln(−z), как это предлагаетсяеё асимптотическим представлением. При этом линии постоянной
вещественной части SuTra похожи на окружности, а линии постоянной мнимой части похожи на прямые линии. Сходства нет вблизи
нуля (где логарифм имеет особенность), и вблизи положительной
части вещественной оси. Этого можно было ожидать: по построению, функция SuTra голоморфна и не имеет особых точек, то естьэто целая функция. Целая функция не может хорошо аппроксимировать сингулярную функцию вблизи её сингулярностей и разрезов.
В правой части рисунка 20.6, в окрестности положительной части вещественной оси, функция SuTra остается голоморфной, но она очень
быстро растет (быстрее любой экспоненты), и даже самый хороший
287

y

−2
.2
u=
u = −2u = −1.8
u = −1
u = −1 .6
u = − 1 .4
−1 .2

2

u=

1

4

v=

6

v=

2

8

v =3

v = 0 .2v =00v = −0.

−22v = −3

−2

v=

−6

v=

−1

−4

−8
−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:SuTraMapT.jpg
Рис. 20.6: u+iv = SuTra(x+iy) по формуле (20.32)

графопостроитель не может провести соответствующие линии уровня. (И даже если бы он смог такое сделать, получающийся файлне поместился бы ни в один компьютер.) Поэтому эта часть рисунка осталась пустой, эта пустота выгладит как ручка, на которой
держится голоморфная иммитация сингулярности в нуле, и, в некотором, смысле, вся ТФКП. Потому как если кто построит целую
голоморфную функцию с логарифмической асимптотикой, но безтакой “ручки”, то вся ТФКП (с аксиомами Арифметики вместе) посыпется. Такая “ручка” неизбежна при аппроксимации сингулярной
функции целой функцией.
Чтобы показать, как логарифмическая функция z → − ln(−z) аппроксимируется целой функцией, на рисунке 20.7 изображены карты
288

8

8

−2

−2
−1
.8

v=

v =0
v = −0.2

−2

v=

v=

−8

−2

−2

−6

v=

v=

−6

−1

−4
−1

−4

u=

−2
.2

v = 0.20v = −0.2

u=

v=

v =0

0

u=

−2
−1
.8

−2
.2
u=

u=

u=

2

v = 0.2

1

4

v=

2

6

1

4

v=

6

2

y
2

y

−8
−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

Рис. 20.7: Карты функций (20.34) и (20.35), наложенные на карту функции
(20.36)

целых функций
f2 (z) = SuTra(2z) + ln(2)(20.34)f4 (z) = SuTra(4z) + ln(4)(20.35)Для сравнения, эти карты наложены на карту функции
f∞ (z) = − ln(−z)(20.36)

На правой картинке рисунка (20.7), уровни двух функций настолько
близки, что трудно сразу понять, к какой из функций относится
каждый уровень. Последовательность целых функцийΦn (z) = − SuTra(−nz) + ln(n)(20.37)при больших значениях n асимптотически аппроксимирует ln(z) прилюбых значениях z, за исключением нуля и отрицательной части вещественной оси. 1 Насколько мне известно, выражение (20.37) имеет
самую широкую область аппроксимации логарифма целой функцией среди всех, предложенных по крайней мере до публикации [77].
1В окрестности положительной части вещественной оси, при конечном n, функция Φnсильно дергается; по сравнению с ней, даже выживший из ума диктатор, оказывающий всемсоседям “братскую помощь”, выглядит образцом постоянства и здравомыслия.

289

4

Связь с другими функциями

Функция AuTra может быть выражена через функцию AuZex, рассмотренную в главе 12
AuTra(z) = exp(AuZex)(20.38)Аналогично, функция SuTra может быть выражена через функциюSuZex
SuTra(z) = SuZex(ln(z))(20.39)Ввиду того, что логарифм - довольно медленная функция, численныe имплементации через представления (20.38) и (20.39) несколько
менее эффективны для итерации функции Траппманна, чем алгоритмы, представленные в этой главе. Кроме того, первичная аппроксимация арктраппманна легче позволяет увидеть, что эта функция
целая, то есть не имеет особых точек. Попросту говоря, голоморфна
везде, куда ни попади.
Рассказывают, что один Портной сошёл с ума. А случилось это так:одноногий приятель Портного попросил его сшить портки с одной
штаниной. Приятель хорошо заплатил за эти портки, но ему потребовались еще портки с тремя штанинами для его собаки, которая,как и он, была калекой. А потом Знакомый приятеля попросил такие же портки для своей собаки, которая была вполне нормальной
(разве что мерзла зимой) и штанин потребовалось четыре. Потом
Портной стал шить портки с шестью штанинами, на тот случай,если кто выведет новую породу собаки с 6ю лапами, а заодно сюртуки для птиц с двумя головами, показанными на рисунке 10.1.
(Ожидалось, что они станут популярны в России после Чернобыльской катастрофы; это обстоятельство учтено на гербе РФ.) Наконец,Портной сшил портки с произвольным количеством штанин. И еслизавтра Землю посетит инопланетянин, у которого n конечностей, тоу Портного для этого инопланетянина уже есть готовые портки.
Я рассказал историю про Портного для того, чтобы лучше объяснить Читателю, что такое математика и чем занимаются математики. Я сейчас не могу себе представить ситуацию, в которой комулибо потребуется аппроксимировать элементарную функцию ln целыми функциями. Но если кому-то вдруг такое потребуется, то уменя такая аппроксимация уже есть, это функция Φn по формуле
(20.37).
290

5SuTra, имплементация супертраппманнаВ заголовке секции, фамилия “Траппманн” написана с маленькой
буквы, чтобы показать, что речь идет не о самом Генрике Траппманне, а о суперфункции для функции tra, которую я назвал егофамилией. В этой секции рассмотрена численная имплементация
супертраппманна
Ключевые вопросы для любой аппроксимации - в какой области этааппроксимация работает, сколько значащих цифр она дает и сколько
операций требуется выполнить, чтобы с этой аппроксимацией получить требуемую величину. Если область применимости охватываетвсе мыслимые приложения, погрешность приближается к имманентной погрешности округления чисел при их представлении в компьютере, а все комплексные карты для этой функции строятся в реальном времени, то я условно называю решение точным. При этом подразумевается, что когда получаемой точности не хватит, с помощью
точного решения алгоритм можно уточнить, чтобы получить ещё более точный алгоритм, который даст точно такую точность, которая
требуется. Такой фразой я хочу хотя бы приблизительно показать
многообразие значений, которые может иметь термин “точный”.
Если для функции есть определение, известны её свойства, и ужеесть эффективный алгоритм для её вычисления, эта функция должна рассматриваться как специальная. Если решение какой-либо задачи просто и явно выражено через такую функцию, то это решение
должно квалифицироваться как “точное”.
Ниже я рассматриваю область значений z, при которых FM (z+x0 ) поформуле (20.28) является хорошим приближением для выражения
SuTra(z). Из практических соображений (чтобы получить complex
double численную имплементацию), оказалось удобным взять 12 слагаемых в разложении, то есть M = 12. Для дюжины терминов, исследовалась функция согласия
|FM (z +x0 ) − SuTra(z)|(20.40)A(z) = − lg
|FM (z +x0 )| + |SuTra(z)|Уровни этой функции показаны на рисунке 20.8.
291

y
18

Range used for approximation of SuTra

A = 15A = 14A = 13
A = 12

16
14
12

A > 15

10
8
6

A=9

4
2
0

−18 −16 −14 −12 −10−8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

Рис. 20.8: Карта функции согласия A = A(x+iy) по формуле (20.40)

Для точности complex double, то есть с пятнадцатью значащими
цифрами, значения вне контура, показанного толстой курвой, могут
быть использованы (и используются в алгоритме) “как есть”. Дляиных значений требуется формула
SuTra(z) = trak (SuTra(z −k))(20.41)с таким целым значением k, чтобы самый внутренний аргумент оказался вне толстого контура на рисунке 20.8. Этот “толстый контур”не является частью карты, он образован отрезком прямой вдоль
x = −11, окружностью с центром в точке (5, 0) и полупрямой вдоль
линии y = 6. Вне этого контура, погрешность вычисления супертраппманна определяется не несовершенством аппроксимирующей
функции, а ошибками округления при использовании переменных
complex double.
При построении остальных рисунков этой главы, при каждом вычислении функции SuTra, функцию tra приходится оценивать порядка
десятка раз. Таким образом, представление функции SuTra всего
лишь на порядок величины более медленно, чем вычисление таких
общепризнанных специальных функций как exp, erfc или BesselJ.
Это одна из причин, по которым я квалифицирую функцию SuTraкак специальную.

292

6

AuTra, абельфункция траппманнаВ этой секции строится об−xyeратная функция к функции
−
( x)
/2
a
r
x
T
+
SuTra; для неё предлагает= Auyc0=ся имя AuTra. График этой1 yфункции показан на рисунке 20.9. Для сравнения, тон0кими линиями показаны две12
x0оборванные серии асимптотического разложения этойy = c0 +x/2−e−x +ex /6−1функции при больших отрицательных значениях аргумента. Комплексная карта функции AuTra показана
Рис. 20.9: y = AuTra(x) по формуле (20.48) ина рисунке 20.11. Её вычис- две асимптотики от (20.45)
ление описано ниже.
Для передаточной функции Траппманна, абельфункция G удовлетворяет уравнению АбеляG(tra(z)) = G(z) + 1(20.42)Асимптотическое поведение решения можно угадать, переписав этоуравнение в таком виде:G(z + ez ) − G(z) = 1(20.43)Выражение в левой части похоже на производную,G0 (z)ez + G00 (z)e2z /2 + .. ≈ 1(20.44)Из такой аналогии можно угадать асимптотическое разложение функции G:
ez e2z 19e3z e4z 41e5z
z
−z
−
+
−
+ O(e6z ) (20.45)
G(z) ≈ − e − +
2
6
16
540
48
4200
Коэффициенты разложения (20.45) получены с помощью Математики, использована вот такая программа:293

tra[z_] = z + Exp[z]g0[z_] = z/2 - Exp[-z] + Sum[c[n] Exp[n z], {n, 1, 20}]n = 1; s[n] = Series[g0[Log[t]] + 1 - g0[tra[Log[t]]], {t,0,n+1}]
u[n] = Extract[Solve[Coefficient[s[n], t^(n+1)] == 0, c[n]], 1]g[n, z_] = ReplaceAll[g0[z], u[n]]For[n = 1, n < 20, n++;s[n] = Series[ g[n-1,Log[t]]+1-g[n-1,tra[Log[t]]],{t,0,n+1}];
u[n] = Extract[Solve[Coefficient[s[n], t^(n+1)] == 0, c[n]],1];g[n,z_] = ReplaceAll[g[n-1, z], u[n]];]g[n, z]Table[Coefficient[g[n, z], Exp[n z]], {n, 1, 20}]
N[Table[Coefficient[g[n, z], Exp[n z]], {n, 1, 20}], 18]Те же коэффициенты могут быть получены и обращением асимптотического разложения функции SuTra. Отмечу, что и асимптотика
функции AuTra, и код для её вычисления проще, чем асимптотика
(20.28) и аналогичный код для функции SuTra по формуле (20.32).
Для некоторого натурального числа M , я определяю функцию GM
как оборванную сумму для разложения (20.45); пусть
MXz−z
GM (z) = − e +cm emz2m=1(20.46)

В этой секции, я определяю функцию G как предел
G(z) = lim (GM (ArcTran (z)) + n)n→∞(20.47)

Функцию AuTra можно выразить через G по формуле
AuTra(z) = G(z) − G(0) ≈ G(z) + 1.1259817765745026(20.48)Константу G(0) можно интерпретировать как коэффициент −c0 , тоесть c0 = −G(0).
Для численной имплементации, следует выбрать подходящее число
M в формуле (20.46), а также номер n для аппроксимации пределав формуле (20.46). Я выбрал M = 9; тогда первичное приближение
SuTra(x + iy) ≈ g9 (x + iy)(20.49)можно использовать в области
|y| < 3 and |y|/3+x < 3.5(20.50)Эта область на рисунке 20.10 затенена. На том же рисунке показана
карта согласия

|SuTra(gM (z))−z|
A(z) = − lg
(20.51)|SuTra(gM (z))|+|z|
294

y

A<1

3
2

A=6

A<1

A=3
A=1

0

A = 12
A=9

A = 151−1−2
A ≈ 16

−3
−4

−3

−2

−1

0

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Autran0m9tes64t.jpg
Рис. 20.10: A = A(x+iy) по формуле (20.51)Рисунок (20.10) можно рассматривать также как численное подтверждение соотношения
SuTra(AuTra(z)) = z(20.52)В затененной области, для численной имплементации, соотношение
(20.52) держится по крайней мере с 15 знаками. Собственно, таки должно быть, пока AuTra есть абельфункция, соответствующая
суперфункции SuTra от передаточной функции tra.
Область, где используется первичное приближение, можно расширить, приближая её на рисунке 20.10 к уровню A = 15 и оптимизируя алгоритм. Я оставляю это Читателю в качестве упражнения и
295надеюсь, что Читатель не забудет протестировать улучшенный алгоритм.
Первичное приближение (20.49) используется “как есть” лишь длязначений x+iy удовлетворяющих соотношению (20.50) (затененная
область на рисунке (20.10)). Если аргумент z = x + iy оказываетсявне этой области, то функция ArcTra = Tra−1 применяется к аргументу n раз, столько раз, сколько нужно, чтобы результат попадалв затененную область. Затем используется формула
AuTra(z) ≈ g9 (ArcTran (z)) + n(20.53)Форму “затененной” области можно оптимизировать, но тогда алгоритм станет чуть сложнее. Такая оптимизация может иметь смысл
непосредственно перед тем, как встраивать в имплементацию функции AuTra в какой-либо софтвер.
Разрезы области голоморфизма функции ArcTra определяют и разрезы функции AuTra. Эти разрезы видны на рисунках 20.3 и 20.11.
При больших значениях |z|, функция AuTra(z) медленно растет, заисключением полу-полосы <(z) < 0, |=(z)| < π. В этой полуполосе,при больших отрицательных значениях <(z), функция |AuTra(z)|растёт экспоненциально. В частности, это относится к поведению
функции при вещественных значениях аргумента. Такое поведение
согласуется со свойствами функции SuTra, график которой показанна рисунке 20.5.
В этой секции, в порядке численной проверки имплементации функции AuTra, используется функция функция SuTra. Читaтель приглашается стащить имплементации этих функций и оценить невязки при подстановке таких приближений в уравнение Абеля (20.42) ипередаточное уравнение (20.22). Мне кажется, что я сделал эти имплементации близко к той точности, какую только можно получитьдля переменных complex double.
С функциями SuTra и AuTra, потроенными в этой главе, нетрудно
считать нецелые итерации функции Траппманна. Этому посвящена
следующая секция.

296

y

u=

v=

8

0.6

v=

0 .4

3

6
4

cut

v=

0 .2

v =0

0

u = 2.4

u=2
u = 2.2

2

−2

v=

cut

−4

v=

−10

−8

−0
.6
−6

u=

−8

−4

−0
.2

2
u=

3

−6

v =0

−2

0

2

4

6

.6

8

x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:AuTraMapT.jpg
Рис. 20.11: u+iv = AuTra(x+ iy)

7Итерации траппманнаВ этой секции итерируется не сам Генрик Траппманн, а функция
Траппманна tra(z) = z +ez . Как и для других передаточных функций, итерации выражаются через суперфункцию и абельфункцию;то есть, в данном случае, через SuTra и AuTra, построенные в этойглаве:
ntra (z) = SuTra n + AuTra(z)(20.54)Как и при итерациях других передатчных функций, номер итерации
функции Траппманна не имеет надобности быть целым, ни дажевещественным. Но может быть и вещественным. Для нескольких
вещественныx значений n, графики y = tra(x) по формуле (20.54)
показаны на рисунке 20.12.
297

n=n = 0 .4
n = 0.
n = 0.23
n= 0
.
0 1

1
n=

n = 10
n=8
n=6
n=5
n=4
n=3
n=2

y

.2
0
−
=
n 0.4
−
=
n

2

1
−2

−1

00

1

−1

−2

1
n=−
2
x
n = −2n = −3n = −4n = −5n = −6n = −8n = −10

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:TraitT.jpg
Рис. 20.12: y = tran (x) versus x for various number n of iterate by (20.54)

Итерации функции tra(z) = z+ez на рисунке 20.12 смотрятся схоже ситерациями других голоморфных передаточных функций. Рисунок
показывает постепенный, голоморфный переход от функции Траппманна tra к арктраппманну ArcTra = tra−1 . Oтсутствие и функции
стационарных точек не препятствует её итерированию.
На этом я заканчиваю рассмотрение функции Таппманна. И вообще заканчиваю рассмотрение примеров всяческих суперфункций,абельфункций и нецелых итераций. Если Вы дочитали досюда, тоВы и сами можете строить супрфункции, абельфункции и нецелые
итерации для всевозможных передаточных функций. Для таких передаточных функций, у которых есть вещественные стационарные
точки и для таких, у которых вещественных стационарных точек
нет. И даже для таких, у которых вовсе нет стационарных точек.
298

Глава 21ЗаключениеЭта глава обсуждает то же, что и Введение.
Отличие этой главы от Введения в том, чтоздесь я предполагаю, что Читатель уже хотя бы просмотрел некоторые из глав Книги
(рис. 21.1). Чтобы пояснить смысл этого Заключения, напомню притчу.

Рис. 21.1:

Один император решил изучить историю. Он поручил министерству науки разработать полный курс истории. Министры работали над таким учебником много
лет. Наконец, во дворец приехал грузовик с заказанным тысячетомником. Император понял, что он за всю жизнь не сможет прочесть такой курс, и попросилего сократить. Ведущие историки работали над вторым изданием ещё несколько лет, и вот, в большом чемодане, императору был доставлен десятитомник.
Но император к тому времени стал слаб глазами, и не мог осилить даже десятитомник. Историкам пришлось опять перерабатывать учебник, и через годк императору пришёл главный Историк и торжественно вручил ему брошюру
"Краткий курс истории императорского двора". Император к тому времени ужезаболел, и не мог прочесть даже эту брошюру. Он спросил Историка, можноли этот курс переработать и сократить. Историк ответил: “Нового издания не
надо. Я расскажу Вам прямо сейчас: Люди рождались, страдали и умирали.”Как Историк в причте, я предвосхищаю желание Читателя и стараюсь изложить тему суперфункций короче. Ниже, основные результаты Книги представлены в одной секции.

1Основные результаты

Голоморфные функции можно итерировать. Какую попало голоморфную функцию T можно обозвать “передаточной функцией”.
Для передаточной функции T можно построить суперфункцию какрешение F передаточного уравнения
F (z +1) = T F (z)299Обратную функцию, то есть G = F −1 я называю соответствующей
функцией Абеля, или абельфункцией. Абельфункция удовлетворяет
уравнению Абеля

G T (z) = G(z) + 1
Когда суперфункция F и абельфункция G установлены, итерации
функции T выражаются в видеn
T (z) = F n + G(z)где номер итерации n не имеет надобности быть целым числом; передаточную функцию можно итерировать также нецелое, дробное идаже комплексное количество “разов”. При этом, для целого n,
T T ..T (z)..
T n (z) ={z}|n evaluations of function TРешение передаточного уравнения не единственно. Если какое-нибудь
решение F найдено, то еще одно решение f может быть построено
модификацией аргумента,
f (z) = F z + θ(z)где θ есть голоморфная периодическая функция с периодом единица. Соответственно может строиться и новая абельфункция g. Приэтом новая суперфункция и соответствующая абельфункция могут
давать иные итерации передаточной функции.
Произвол в выборе суперфункции может быть уменьшен, если зафиксировать асимптотическое поведение этой функции в комплексной плоскости. Суперфункции с несложным поведением я считаю
основными. Остальные можно получать периодической модификацией аргумента. Голоморфная периодическая функция растет покрайней мере экспоненциально (как это делают в направлении мнимой оси синус и косинус), и даже малая такая модификация легко
проявляется в комплексной плоскости. Поэтому для нецелых итераций следует рассматривать функции в комплексной плоскости; дажеесли они будут применяться для вещественных значений аргумента.
300

Критерий голоморфизма указывает, которая из суперфункций имеет физический смысл и должна рассматриваться как “настоящая”.
Для многих суперфункций и абельфункций есть специальные имена.
Такие функции собраны в Таблице 1. Некоторые из них общеизвестны, и для их использования не требуется знать, что они являются
суперфункциями.
В принципе, для любой голоморфной функции F можно построить
обратную функцию G и определить T (z) = F 1+G(z) . Тогда такую
T можно считать передаточной функцией, для которой известны
суперфункция F , абельфункция G и нецелые итерации T n .
Обратная задача, то есть построение суперфункции F для заданной передаточной функции T , рассмотрена в этой Книге. При этомпостроении ключевым является вопрос о стационарных точках передаточной функции, то есть о решениях L уравнения
L = T (L)Как физик, я интересуюсь прежде всего вещественно-голоморфными
функциями, для которых T (z ∗ ) = T (z)∗ . Я сформулировал нахальный тезис, что я могу построить суперфункцию F , абельфункцию
G и нецелые итерации для какой попало передаточной функции T .
В поддержку этого тезиса, в Книге рассмотрены примеры, когда
функция имеет хотя бы одну вещественную стационарную точку,L∗ = L; примеры, когда функция таковой точки не имеет, но имеет комплексные стационарные точки; а также пример передаточной
функции, у которой вообще ни одной стационарной точки нет.
Для разных функций, предложены методы построения асимптотического разложения суперфункции, которoe приближается к стационарной точке L на бесконечности. С помощью передаточного
уравнения, из асимтотического разложения, суперфункция может
вычисляться с любой аккуратностью; в этом смысле построено точное решение. Для вещественно-голоморфной передаточной функции
физической системы с вещественной стационарной точкой, метод регулярной итерации дает решение, имеющее физический смысл.
Может случиться, что все стационарные точки L передаточной функ301

ции T являются комплексными, как это имеет место для натуральной экспоненты. При этом суперфункцию можно выразить через
интеграл Коши и решение соответствующего интегрального уравнения. Исторически, первая комплексная карта суперфункции отэкспоненты, а именно - натуральная тетрация, была построена с помощью такого представления. В верхней части комплексной плоскости такая тетрация стремится к одной из стационарных точек, а внижней - к её комплексному сопряжению (которое также является
стационарной точкой экспоненты). Комплексная карта натуральной
тетрации показана на рисунке 14.13 и на первой странице обложки.
Может статься, что передаточная функция T вовсе не имеет стационарных точек. Примером такой функции является функция Траппманна
T (z) = tra(z) = z + exp(z)Однако и для такой передаточной функции можно угадать асимптотическое поведение суперфунции и восстановить эту суперфункцию.
Карта супертраппманна показана на рисунке 20.6. Эта целая функция с логарифмической асимптотикой; похоже, что до публикации
[77], ни одной такой функции представлено не было.
Важным видом суперфункции я считаю тетрацию, то есть решение
tetb передаточного уравнений
tetb (z +1) = etetb (z) , tetb (0) = 1
такое, что tetb (z) ограниченнa в полосе |<(z)| ≤ 1. Для вещественных
b > 1 и вещественных x, зависимость y = tetb (x) показана на рисунке
17.1. Тетрацию можно строить даже для комплексного основания;картa тетрации по основанию b = 1.52598338517+0.0178411853321 iпоказанa на рисунке 18.3.
Многие из приведенных в Книге примеров предложены в попытках придумать передаточную функцию, для которой трудно построить суперфункцию. Пока все примеры получаются; возможность построения суперфункций является научным фактом.
Выше я перечислил, что сделано. Но ещё много можно сделать поповоду суперфункций. Этому посвящена следующая секция.
302

2Будущая работаЯ постарался изложить в Книге то, что известно про суперфункциии итерации. Но всегда остаются фантазии о том, что ещё было быинтересно посчитать и нарисовать. Эти фантазии собраны ниже.
Будущей работы могут потребовать более строгие доказательства
существования и единственности суперфункций, а также уточнения
дополнительных условий, требуемых для этой единственности.
Будущей работой может быть применение предлагаемых функцийв физике, и, в частности, в лазерной науке, где физический смысл
суперфункций и нецелых итераций особенно нагляден.
Будущей работой может быть исследование специального случая суперфункций, а именно - аскерманнов. На рисунке 19.6, для основания e, построены графики первых пяти аскерманнов - добавления
константы, умножения на константу, экспоненты, тетрации и пентации. Думаю, что такие графики (и комплексные карты) можно
строить и для более высоких аскерманов.
Трудность может быть связана с появлением у высших аскерманнов множественных точек ветвления и соответствующих разрезов.
Такие разрезы ограничивают область голоморфизма, и, таким образом, область применимости предложенных в Книге методов построения суперфункций. Возможно, для высших аскерманнов прийдется
работать с многолистными функциями.
Будущей работой может быть автоматизация построения суперфункций. Я имею в виду алгоритм, который найдет у передаточной функции подходящие стационарные точки (если они есть), выберет подходящую асимптотику для суперфункции, построит соответствующее
разложение суперфункции и абельфункции и вычислит требуемую
итерацию (даже не целую, даже комплексную) для такой функции.
В языке “Mathematica” уже даже есть название для такой процедуры, она называется Nest. Но пока её можно использовать лишь в техслучаях, когда количество итераций выражается целым числом.
Фантазии и любопытство являются основным стимулом любой серьезной научной работы. Я собираю инструменты, с помощью которых это любопытство может удовлетворяться. Я надеюсь, что этаКнига будет полезна в такой работе.
303

3ОбозначенияЯ стараюсь использовать обозначения, единые для всей Книги. Дляэтого пришлось отойти от систем обозначений, использованных воригинальных журнальных публикациях. Чтобы не запутаться, некоторые обозначения представлены в виде таблиц 21.1, 21.2, 21.3.
Не все обозначения уместились в таблицах. Я стараюсь указывать
самые важные, и, особенно, те, которые часто вызывают конфузии.

Таблица 21.1: Обозначения, Русский алфавит
Абель Нильс Генрик
Изобретатель функции Абеля и уравнения Абеля
абельприставка к имени функции для обозначения абельфункции
абельфункция решение уравнения Абеля, обратная фукция к суперфункции
Аскерманн
Изобретатель функций Аскерманна
aскерманн
функция Аскерманна
Генрик Траппманн
(Henryk Trappmann) мой критик, оппонент и соавтор
Итерация номер nрешение f n уравнений f n+1 (z) = f (f n (z)), f 1 = f
Кнезер Хельмут
Изобретатель половинной итерации экспоненты
Комплексная карта
представление голоморфной функции изолиниямиеё вещественной и мнимой частей (или изолиниями её модуля и фазы)Корень из факториала
Factorial1/2 (z), решение h уравнения h(h(z)) = z!
Обращение (функции)нахождение обратной функции, InverseFunctionПередаточная функция
зависимость выхода усилителя от входa,функция T в передаточном уравнении
Передаточное уравнение
F (z +1) = T (F (z))Суперприставка для обозначения её суперфункции
Суперфункция
решение F передаточного уравнения F (z +1) = T (F (z))Тетрация
решение tet уравнений tet(z +1) = exp(tet(z)) , tet(0) = 1
Тетрация по основанию bрешение уравнений tetb (z +1) = btetb (z) , tet(0) = 1
Траппманн Генрик
(Henryk Trappmann) мой критик, оппонент и соавтор
Уравнение Абеля
G(T (z)) = G(z) + 1
Усилитель
фильтр, в котором выход может быть больше входа
Функция Абеля
абельфункция. Обратная функция от суперфункции
z+1Функция ДойяDoya(z) = LambertW(ze), см. также
формулу (5.12)Функция Келлера
Функция ТаняФукция ШокаФильтр

Keller(z) = z + ln e − e−z (e−1) , см. формулу (5.15)
Tania(z)Решение уравнения Tania0 (z) = 1+Tania(z)Shoka(z) = z + ln e−z +e−1 , см. формулу (5.19)

физическая имплементация передаточной функции

304

Таблица 21.2: Обозначения, латинский алфавит

A(m, z) = A m−1, A(m, z−1)канонический аскерманн, (19.14)
Anаскерманн порядка n, (19.7)
anКоэффициенты в асимптотических разложениях
−1
AuExpb = SuExpb
абельэкспонента по основанию b
AuTraабельтраппманн
AuSinaбельсинус
Arcприставка, указывающая на обратную функциюbоснование для натуральной тетрации
cnКоэффициенты в разложении
CnКоэффициенты в разложении
e = exp(1) ≈ 2.7
основание натуральных логарифмов
expэкспонента по основанию eexpbэкспонента по основанию bFИмя, используемое для различных суперфункций
Factorial(z) = z!
голоморфное решение уравнения z! = z (z −1)!
fимя, используемое для каких попало функций
−1
G=F
имя, используемое для обозначения абельфункций
1/2
h=TИмя, используемое для обозначения половинной итерации
√мнимая единица, i2 = −1
i = −1iпеременная, принимающая целые значения
K
затычка для контурного интеграла (14.24)kинкремент асимптотического представления суперфункции
Lстационарная точка суперфункции , так что T (L) = L
lnЛогарифм по основанию elogbЛогарифм по основанию bMколичество термов в оборванных сериях
O
функция, которая растет не быстрее своего аргумента
Pпериод или асимптотический период; функция, обратная к Q
QИспользуется как функция, обратная к P
Superприставка, указывающая на её суперфункциюsПараметр логистического оператора (7.1)
TПередаточная функция
tetнатуральная тетрация (14.28), [44]tetbрешение f уравнения f (z +1) = bf (z) , см. рисунок 17.1uвещественная часть функции на комплексных картах
vмнимая часть функции на комплексных картах
xиспользуется в качестве немого аргумента как вещественное числоyиспользуется в качестве немого аргументаzиспользуется в качестве немого аргумента как комплексное число

305

Таблица 21.3: Обозначения, греческий алфавит
α,β,γиспользуются как коэффициенты в разложениях
η = exp(1/e) ≈ 1.444667861
основание Генрика
ε = exp(kz)малый параметр в разложении суперфункции
θголоморфная периодичная функция с периодом единица
∞X1
ζ
ζ(z) =, Функция Римана (8.8), [13, 18]
z
n
n=1
Ω

4

Контур интегрирования в формуле Коши, (14.21)

Послесловие

Книга получилась толще, чем я ожидал. И могла бы быть ещё толще. Потому как всегда кажется, что если добавить одну мааленькую
формулу, то Читателю станет ещё понятнее. Почти к каждой формуле в этой Книге можно построить ещё несколько рисунков. Однакоя думаю, что для Читателя будет полезнее построить их самостоятельно, чем увидеть галлерею однотипных рисунков.
Я старался сделать книгу покороче. Я не включил исследование того, что творится с построенными функциями за линиями разрезов
области аналитичности. Я не включил примеров итерации экспоненты по комплексному основанию. И ещё много других примеров. Этоте примеры, которые не вызвали интереса у коллег и по которымне ожидается вопросов. Такие примеры могут быть представленыпо специальным запросам от коллег. “Доказательства” (желательно
опубликованные), что чего-то “сделать невозможно” будут рассмотрены как важная причина, чтобы сделать это самое [14].
Я изложил основные формулы и методы, туллы, “Теоретические основы”, инструменты, с которыми получены формулы и рисунки. Янадеюсь, что выведение новых формул такого типа и построение
соответствующих рисунков не вызовет сложностей.

306

Рис. 21.2: Близкие родственники, без которых эта Книга не была бы написана

5

AcknowledgementЯ благодарен родственникам (рисунок 21.2), которые отнеслись спониманием к этой Книге и к тому, что её написание потребовало
намного больше времени и усилий, чем ожидалось.
Я благодарен коллегам, которые помогли подобрать литературy по суперфункциям (рис. 21.3) и установить сервер, базу данных и медиавики: без них я бы запутался в сотнях файлов, нужных для этой Книги. Теперь я могу на вопросы про суперфункции отвечать или “Этого незнает никто”, или “Это есть в моейРис. 21.3: by Carl Spitzweg
Книге”, см. рис. 21.4.

Рис. 21.4: Es ist in meinem Buch!
307

Глава 22Приложения

1Про обложкуНа обложке - карта
от http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Tetma.jpg
Это один из вариантов рисунка 14.13; с карты убраны некоторые
детали, а область, накрываемая картой, расширена так, чтобы использовать всю ширину рамки, предложенной редакцией.
В первоначальной версии, для обложки использовались графики
тетрации по различным основаниям, то есть рисунок 17.1, а затем комплексная карта абельсинуса с рисунка 13.4. Однако, отношение
высота/ширина этих рисунков плохо подходит для установленного
прототипа обложки. Поэтому в качестве главного изображения обложки Книги использована карта функции tet. Обложка загружена
как http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Covervi.jpg
На последней странице обложки использованя фотография
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:IMG_0712dima.JPG
от Zilberberg Kosty, сделанная 4 марта 2012 года, когда я только начал писать эту Книгу.
Для форзацев я хотел использовать таблицы линков и таблицы английских ключевых слов. Однако, Редакция не предоставляет такой
возможности; и эти таблицы перенесены в Заключение.

308

2

ОшмёткиВ этой секции собираются кусочки, которые выкинуты из основного
текста; в частности, рисунки. Думаю, что эти рисунки дополняют
основной текст Книги и могут помочь его и её пониманию. Некоторые из таких прибамбасов собраны в этой секции.
О путанице 1Много неясного там, где матан
Можно запутаться и заблудиться:Даже мурашки залазят в карман,Чтобы при случае нам пригориться
Даже коллега германский узналКак обеспечить единственность функций,Что нам дает здесь Коши интегралИ применье дизъюнкций - конъюнкций.
Вдруг сингулярность, и нужен разрез Струсишь ли сразу? Взрежешь ли смело?
Раз уж в комплексный анализ залез В точкаx ветвленья - все дело!

Рис. 22.1: Если Читатель
запутался, пусть не упорствует, пока крыша не съедет, а спрашиваетО термеВ этой книге, слагаемые функционального ряда называются термами. Терм - это англицизм, транслитерация английского слова term. Оно означает слагаемое в представлении функции в виде ряда.
Русофилы вместо слова “терм” используют слово
“член”. Это слово имеет и иные значения, например, в сочетании “Член-корреспондент” (рис. 22.2).
Профессор матана мог воскликнуть: “Посмотрите, Рис. 22.2: Членкорреспондент
какой у меня тут член стоит!”, чтобы студенты
проснулись, посмотрели на доску и увидели, какое интересное слагаемое получилось в сумме. В ответ на партах писали стишки:Где бы член найти нам впору,Чтоб поставить в зад Тэйлору?
Оба члена хороши,И Лагранжа, и Коши!
Чтобы избежать инсинуаций, я использую термин “терм”, а не “член”.
1

http://www.youtube.com/watch?v=xFmXDo8LT5k В.С.Высоцкий. Много неясного в странной стране.

309

3

Рациональная функция, более общий случайДля многих других случаев, итерации функции по формуле (4.13)
могут быть выражены через формулы предыдущей секции с помощью линейного сопряжения. Я повторю формулу (4.13):
U +Vz
T (z) =
W +zТеперь пустьr U −V 2(22.1)
r =
U+
2
V −W
A =
−r
(22.2)
2
V +W
B =
+r
(22.3)
2
2U + V 2 + W 2 − 2(V +W )rc =(22.4)
2(V W − U )P (z) = A + Bz
(22.5)
Q(z) = (z − A)/B

(22.6)

Тогда функция T по формуле (4.13) может быть выражена как сопряжение функции t по формуле (4.14):
T (z) = P (t(Q(z)))(22.7)

Ввиду того, что P (Q(z)) = z, итерации функции T выражаются
через итерации функции t:
T n (z) = P (tn (Q(z))(22.8)

Функции P , tn и Q определены выше, и tn выражена через формулу
(4.19) таким образом, который не требует, что число итераций nбыло целым.
В порядке упражнения, читателям предлагается проверить, что дляитераций, определенных по формуле (22.8),
T m+n (z) = T m (T n (z))(22.9)

Ленивые читатели при этом могут пользоваться Математикой (тоесть которая Mathematica), Кленом (который Maple) или ещё какимлибо подходящим софтвером. Это нужно хотя бы для того, чтобы
указать мне на опечатку, если я ошибся.
310Я надеюсь, что все формулы этой Книги могут использоваться дажебез того, чтобы прослеживать, как они получаются. Однако какиелибо тесты, в соответствии а определением термина “наука”, длянужной Вам формулы прогнать всё-таки рекоммендуется.
Итерация функции T могут быть выражена так, чтобы показать,что она тоже рациональная функция:T n (z) =Un + Vn z
wn + z(22.10)Здесь Un = U и от n не зависит; остальные параметры таковы:
 


n+2
2
1 

 − 2 + V − W r
Vn =2 +W 2 n
−2r(V
+W
)+2U
+V
2
2n − −U −V W
2n+1 + V − W (22.11)


= r
−
1
n
2
2
2
2n − − −2r(V +W )+2U +V +W
U −V W

 

Wn





2n+2
1 

n − 2 − V + W r=−2r(V +W )+2U +V 2 +W 22n2 −V W −U
n+12
 + −V + W


= r
−
1
n
2
2
2
2n − −2r(V +W )+2U +V +W
V W −U= Vn + W − V(22.12)Для представления (22.10) итерации дробно-линейной функции Tчерез дробно-линейную функцию, групповое соотношение (22.9) также может быть проверено; со всеми предлагаемыми выше спекуляциями насчет того, как, с моей точки зрения, можно и нужно изучать и делать Науку.
Выражения этого параграфа получены с помощью софтвера Мathematica. Вероятно, Читателю проще получить их самостоятельно (спомощью того же пакета), чем прослеживать этот вывод. Поэтому
такой случай попал в Приложения, а не в основной текст Книги.

311

−1
=
u

u=

1

−2

y

0

u=2
u=1

u = −0.5

u=

−1

0

v=

1

v =0

v = 0.2v =0v = −0.2

v =1

v =3
v =2

u=

0

−1

0

π/2

2

3x

http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/File:Ausintay40t50.jpg
Рис. 22.3: Карта разложения Тэйлора функции AuSin с 40 термами

Разложение Тэйлора для функции AusinВ главе 13 упоминается разложение Тэйлора в точке π/2 функции
AuSin, (13.24). На рисунке 22.3 представлена карта частичной суммы этого разложения с 40 термами. Эту карту полезно сравнитьс рисунком 13.4. Коэффициенты этого разложения можно использовать для вычисления коэффициентов разложения суперсинуса в
нуле.
312

О тетрации по основанию b < ηВ этом приложении я ещё раз объясняю, почему я включил в Книгу
√специальную главу о тетрации по основанию 2. Такое объяснение
восходит к классикам Русской литературы 2 .
Грустно надулись мои оппоненты,Критику выдали мне на "ура":В книге, хоть есть ключевые моменты,Но матанализа тоже гора!
Видом нелепым Коши-интеграла
Души студентов негоже смущать.
Если бы Книга теперь показала
Лучшую сторону.. - Рад покзать.
При основании меньше, чем ηЕсть для тетраций простой алгоритм;Каждый, кто здесь прочитает про это,Схватит резерча научного ритм.
Кто увидал красоту итерацийТот поимел размодернейший tool;Для курсовых, да и для диссертацийИ голоморфнейших фитов разгул!

2

http://literatura5.narod.ru/nekrasov_doroga.html Некрасов Николай Алексеевич
(1821 – 1878). Железная дорога. (1864)313

О фонтахПро то, когда какой следует употреблять фонт (шрифт), написано вкаждом серьезном журнале. Однако во многих случаях, авторы статей, которые приходят на рецензию, как будто нарочно используют
какие попало шрифты. Особенно в индексе. Поставят, например, виндексе какую-либо букву, италиксом (кривым шрифотм), что бычитатель гадал, какие значения может принимать эта переменная.
А потом выясняется, что эта буква - лишь метка, потому что авторы выучили лишь часть латинского алфавита и им не хватает букв,чтобы обозначить разные переменные разными буквами, и индекс
используется, чтобы все-таки как-то отличать эти переменные; ноавторы поленились переключить фонт, чтобы такой индекс был прямым шрифтом. Я старался, чтобы такая критика не относилась кэтой Книге.
Я верю, что Читатель отличает i от i. Прямым шрифтом обозначаются имена функций (если в имени больше одного символа) иабсолютные математические константы, например, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, .. , e, i; а кривым шрифтом обозначаются переменные
a, b, c, d, f , g, h, i, j, .. z, A, ..
Имеется сложный вопрос о том, что делать, если автор пишет, например, что c (или C) является константой. Думаю, что подходящим
ответом является декларация, что такое c является относительной
константой, которая у разных авторов (и даже в разных статьях
одного автора) может иметь разный смысл.
Имеется плохой тон, обозначать переменные цифрами. Например, всоветских школах, безграмотные инспекторы РОНО могли спрашивать учеников, на сколько увеличивается 2 при умножении на 3. 3
Я надеюсь, что обозначения этой Книги более понятны.

3

http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/lessonsrono.shtml Инспекция из Роно

314

4

Сайты

Цель Книги - не привлечь внимание Читателя к перечисленным ниже сайтам, но дать читателям самосогласованный формализм суперфункций, избавив их от надобности лазить по таким сайтам.
http://allmybase.com/dropbox/tetration.pdf
http://cdn.bitbucket.org/bo198214/bunch/downloads/main.pdf H.Trappmann,
D.Kouznetsov. 5+ methods for real analytic tetration. June 28, 2010.
http://en.citizendium.org/wiki/Cauchy-Riemann_equations
http://en.citizendium.org/wiki/Superfunction
http://en.citizendium.org/wiki/Tetrational
http://en.citizendium.org/wiki/Holomorphic_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy’s_integral_formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Hellmuth_Kneser
http://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
http://en.wikipedia.org/wiki/Superfunction
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration
http://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php
http://math.stackexchange.com/tags/tetration
http://mathworld.wolfram.com/Tetration.html
http://oeis.org/wiki/Tetration
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Abel_function
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/ArcShoka
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuSin
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuTra
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/AuZex
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Complex_map
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Doya_function
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Factorial
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Holopmorphic_extension_of_Collatz_
Subsequence
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Keller_function
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Logistic_sequence
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Regular_iteration
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Shoka_function
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfunction
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Superfactorial
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuSin
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuTra
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/SuTra
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Table_of_superfunctions
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania_function
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tetration
http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Superfunction
http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Tetration
http://www.tetration.org/Tetration/index.html D.Geisler. What lies beyond
exponentiation?
http://www.youtube.com/watch?v=z-mfxP1Tmfw Kasane Teto. Tetration ↑↑. 2012.

315

5

Новые термины

Могут потребоваться обозначения, не упомянутые в Книге:Трансферирование (transferation). Для данной функции f , построение предаточной функции T (z) = f 1+f −1 (z) . Для такой передаточной функции T , фунция f является суперфункцией.
Трансфирование (transation). Для данной функции f , построение
предаточной функции T (z) = f −1 1+f (z) . Для такой передаточной
функции T , функция f является абельфункцией.
Суперирирование (superation). Для данной функции f , построение суперфункции F как решения уравнения F (z + 1) = f F (z) .
При этом f выступает как передаточная функция.
Супирование (supation). Для данной функции f , построение абельфункции G как решения уравнения Абеля G f (z) = G(z)+1.
Трансферирование есть обратная операция по отношению к суперированию. Tрансфирование есть обратная
операция по отношению к супированию. Это показано на рисунке 22.4
для передаточной функции T , суперфункции F и абельфункции G.

−
←
io
ct

un
eF

rs
ve
In
n

← трансферирование ←−→ суперирование −→F−→

Эта Книга посвящена суперированиюи супированию, а также требованиям,которые надо добавлять, чтобы эти−→ супирование −→T ← трансфирование ← G операции были однозначными.

Рис. 22.4: Связь T , F и G = F −1В этой Книге я не использую показанные на рисунке 22.4 новые слова; покав них нет большой нужды. Примерно так же не требовалось специальных слов для дифференцирования и интегрирования, пока этиоперации не стали рутинами. Однако предложенные тут термины
(или их эквиваленты) понадобятся при реализации автоматического
построения суперфункций и абельфункций. В языке “Mathematica”
для суперирования уже есть имя “Nest”; пока такая процедура поддерживается лишь для натуральных значений числа итераций.
Уже пора для предложенных операций выработать удобные обозначения, допускающие естественный перевод по крайней мере на английский язык. Некоторые английские термины собраны ниже.
316

6English abstract: Superfunctions

The Book is dedicated to construction of superfunction F
and abelfunction G for given transfer function T . The formalismof superfunctions is considered with examples, that are presented
in ready-to-use form. The reader is supposed to know something
about the complex numbers and elementary functions.
The superfunction is solution of the transfer equation
F (z +1) = T F (z)The abelfunction G = F −1 satisfies the Abel equationG T (z) = G(z) + 1
In order to provide the uniqueness of solution, the additional
requirements on F are applied, referring to its behaviour inthe complex plane.
The nth iterate of function T is denoted with superscript:
T T ..T (z)..
T n(z) =|{z}n evaluations of function T
With superfunction F and abelfunction G, the iterate is
expressed as T n(z) = F n+G(z) . In this representation,
the number n of iterate has no need to be integer.
Examples of superfunctions are considered and collected as
Table 3.1. Superfunctions are constructed for sin, factorial,
exponential, tetration and other functions.
Many explicit plots and complex maps for these functions,superfunctions, and iterates are included. The figures areloaded also to TORI together with their generators at
http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Category:Book
The formalism of superfunctions greatly extends the set offunctions available for applications in the scientific research.
317

7English keywords

T

Transfer function

T F (z) = F (z +1)
Transfer equation, superfunction
G T (z) = G(z) + 1
Abel equation, abelfunction
F G(z) = z
Identity functionT n(z) = F n + G(z)nth iterateI1
F (t) dt
F (z) =
Cauchi integral
2πit−ztetb(z +1) = btetb(z)tetb(0) = 1 ,tetration to base b
tetb ateb(z) = z

ateb(bz ) = ateb(z) + 1

arctetration to base b

expbn(z) = tetb n+ateb(z)nth iterate of function z 7→ bz
Tania0(z) =Tania(z)Tania(z)+1

Tania function, Tania(0) = 1

Doya(z) = Tania 1+ArcTania(z)Doya function

Shoka(z) = z + ln(e−z +e−1) Shoka functionKeller(z) = Shoka 1+ArcShoka(z)Keller function
tra(z) = z + exp(z)Trappmann function

zex(z) = z exp(z)Zex function318Литература
[1] http://royallib.ru/read/rable_fransua/gargantyua_i_
pantagryuel__II.html#0
Франсуа Рабле. Гаргантюа и Пантагрюэль. (1564, 2013)[2] http://www.lib.ru/MOLIER/meshanin.txt Жан-Батист Мольер. Мещанин во дворянстве. (1670) Перевод Н. Любимова.
Mon, 02 Feb 1998 16:34:53 GMT. .. Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. ..
[3] https://eudml.org/doc/183045 N.H.Abel. "Untersuchung derFunctionen zweier unabhängig veränderlichen Grössen x und y,wie f (x, y), welche die Eigenschaft haben, dafs f (z, f (x, y)) eine
symmetrische Function vom z, x und y ist.. Journal für die reine
und angewandte Mathematik, V.1 (1826) Z.11–15.
[4] http://ilibrary.ru/text/1088/p.1/index.html
Н.В.Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки. (1832, 1996, 2013)[5] http://www.klassika.ru/read.html?proza/gogol/dushi.
txt&page=25 Н.В.Гоголь. Мертвые души. Глава 7. (1842)[6] http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1919__47__161_0
P. Fatou. Sur les équations fonctionnelles. Bulletin de la SociétéMathématique de France, 47 (1919), p. 161-271.
[7] http://www.springerlink.com/content/px2g58k5j3q45535/
Wilhelm Ackermann. Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen.
Mathematische Annalen 99, Number 1(1928), Z.118-133.
[8] http://vehi.net/mbulgakov/master/24.html
Михаил Булгаков. Мастер и Маргарита. Глава 24. Извлечение
Мастера. .. Рукописи не горят. .. (1928, 1940, 1967).
[9] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Boy_on_snow_sled,_1945.jpg Father of JGKlein. Boy on snow sled, 1945.
319

[10] http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002175851 http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/Relle.
pdf Hellmuth Kneser. Reelle analytische Lösungen der Gleichungφ(φ(x)) = ex . Equationes Mathematicae, Journal fur die reine undangewandte Mathematik 187 56–67 (1950)[11] http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02559539
G.Szekeres. Regular iteration of real and complex functions. Acta
Mathematica 1958, Volume 100, Issue 3-4, pp 203-258.
[12] http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/
Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/
1183523043 E.M.Wright. Solution of the equation zez = a.
Bulletin of the American Mathematical Society 65, p.89-93 (1959).
[13] И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядови произведений — 4-е издание. — М.: Наука, 1963.
[14] http://litvinovs.net/pantry/migunov_monday_begins_on_
saturday/ Евгений Мигунов. «Понедельник начинается всубботу» в иллюстрациях. 1965, 1979. .. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, какпоступать с задачей, которая решения не имеет. ..
[15] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/PetushkiВ.Ерофеев. Москва-Петушки. 1967. Почему-то в России никтоне знает, отчего умер Пушкин.. Вставай! Иди умойся и садись
дописывать свою божественную оперу «Хованщина»..
[16] http://www.rusf.ru/abs/books/sot-201.htm
А.Н.Стругацикй, Б.Н.Стругацкий. Сказка о тройке - 2. 1968Лифт должен выдерживать прямое попадание в кабину самого необученного академика.
[17] http://mathdoc.emath.fr/PMO/PDF/E_ECALLE_67_74_09.pdf
Jean Ecalle. Teorie des Invariants Holomorphes. Universite Paris
XI U.E.R. Mathematique 91405 ORSAY France (1974)[18] http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_803.htm
М.Абрамовиц, И.Стегун. Справочник по специальным функциям. М., Наука, 1979. (Английская версия доступна онлине.)[19] http://link.springer.com/article/10.1007/BF01197757#
page-1
Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent Transition to320Turbulence in Dissipative Dynamical Systems. Communications inMathematical Physics, 1980, v.74, p.189.
[20] http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Eckmann81.pdf
http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v53/i4/p643_1
J.-P. Eckmann. Roads to turbulence in dissipative dynamicalsystems. Rev. Mod. Phys. 53, 643–654 (1981).
[21] http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
003040188590330X Hnilo A. A. Chaotic (as the logistic map) laser
cavity. Optics Communications 53. (1985). P.194-196.
[22] http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
S1049250X06540108 Illing L., Gauthier D.J., Roy R. Controlling
optical chaos, spatio-temporal dynamics, and patterns. Advancesin atomic, molecular and optical physics. 54, (1987). P. 616-797.
[23] http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/klavanur.shtml
Д.Кузнецов. Клава и Нюра. (1989)[24] http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
0022247X9190029Y Peter L Walker, On the solutions of anabelian functional equation, Journal of mathematical analysis andapplications 155 (1991), 93–110.
[25] Tufillaro N., Tyler A., Jeremiah R. An experimental approach tononlinear dynamics and chaos. 1992. NY.
[26] http://www.ams.org/journals/bull/1993-29-02/
S0273-0979-1993-00432-4/S0273-0979-1993-00432-4.pdf
W.Bergweiler. Iteration of meromorphic functions. Bulletin (New
Series) of the American Mathematical society, v.29, No.2 (1993)
p.151-188.
[27] http://www.math.msu.edu/~shapiro/Pubvit/Downloads/
RieszExpo/RieszExpo.pdf Joel H. Shapiro. Composition
Operators and Schröder’s Functional Equation. Contemporary
Mathematics 213 (1998), 213–228.
[28] Strogatz S. Nonlinear Dynamics and Chaos. NY, 2000.
[29] https://edit.ethz.ch/ulp/publications/paper/2001/152__APB_73__653__2001_.pdf

321R.Paschotta, U.Keller. Passive mode locking with slow saturable
absorbers. Appl. Phys. B 73, 653–662 (2001)[30] Sprott J. C. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford 2003.
[31] http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?
arnumber=1278604
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/
ieee3.pdf D.Kouznetsov, J.V.Moloney. Highly efficient, high gain,
short wavelenght and power scalable incoherent diode slab-pumped
fiber laser amplifier. – IEEE Journal of Quantum Electronics, v.39,
No.11, p.1452-1461 (2003).
[32] http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/01278604.pdf
D.Kouznetsov, J.V.Moloney. Slab delivery of incoherent pumplight to double-clad fiber amplifiers: An analytic approach. – IEEE
Journal of Quantum Electronics, 2004, v.40, Issue 4, p.378-383.
[33] http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ieee3.pdf
P.Kano, D.Kouznetsov, J.V.Moloney, M.Brio. Slab delivery ofincoherent pump light to double-clad fiber amplifiers: Numericalsimulations. – IEEE Journal of Quantum Electronics, 2004, v.40,
No.9, p.1301-1305.
[34] http://www.ulp.ethz.ch/publications/paper/2004/200__APB_79__331__2004_.pdf M.Haiml, R.Grange, U.Keller. Opticalcharacterization of semicondutcor saturable absorbers. Appl.Phys.
B 79, 331-339 (2004)[35] http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/CoupledOptRev.
pdf http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/CoupledOptRev.pdf
D.Kouznetsov, J.-F.Bisson, A.Shirakawa, K.Ueda. Limits ofcoherent addition of lasers: simple estimate. – Optical Review,
2005, v.12, No.6 (2005) 445-447.
[36] http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2005josab.pdf
D.Kouznetsov, J.-F.Bisson, K.Takaichi, K.Ueda. High-power
single mode solid state laser with short unstable cavity. JOSA B,
v.22, Issue 8, p.1605-1619 (2005).
[37] http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2005josaber.pdf
Erratum.

Ibid:[38] http://www.nature.com/nphoton/journal/vsample/nsample/
full/nphoton.2006.6.html Hamamatsu Photonics K.K. Laser
322

group. The Fiber Disk Laser explained. Nature Photonics sample,- pp14 - 15 (2006).
[39] http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/
10652460500422247 M.H.Hooshmand, (2006). Ultra power
and ultra exponential functions. Integral Transforms and Special
Functions 17 (8): 549–558.
[40] http://apl.aip.org/resource/1/applab/v90/i20/p201901_s1
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/ApplPhysLett_90_201901.pdf

J.-F.Bisson, D.Kouznetsov, K.Ueda, T.Fredrich-Thornton,
K.Petermann,
G.Huber.
Switchingofemissivity
andphotoconductivity in highly doped Yb3+:Y2O3 and Lu2O3
ceramics. – Applied Physics Letters, 90, 201901 (2007).
[41] http://en.wikisource.org/wiki/Maple_and_Tea
http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/maple.shtml
D.Kouznetsov. Maple and Tea. (2007)[42] http://ofvp.phys.msu.ru/pdf/Kandidov_70.pdf
В.М.Гордиенко, В.К.Новик. О времени и факультете, о кафедреи о себе... 70-ти летие профессора В.П.Кандидова. (2007.12.05)[43] http://inis.iaea.org/search/search.aspx?orig_q=RN:
39069239 J.M.Gac, J.J.Zebrowski. Giant suppression of theactivation rate in dynamical systems with chaotic transitions. Acta
Physica Polonica B, 2008, v.39, p.1019.
[44] http://www.ams.org/mcom/2009-78-267/
S0025-5718-09-02188-7/home.html
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2009analuxpRepri.pdf
D.Kouznetsov. Analytic solution of F(z+1)=exp(F(z)) in complex
z-plane. Mathematics of Computation 78 (2009), 1647-1670.
[45] http://link.springer.com/article/10.3103/
S1068335609050054#page-1 Gorbuklov M.V., Maslova Yu.Ya.,
Chaban O.I., Shabalin Yu.V. Period doubling cascade anddeterministic chaos in a laser self-mode-locked by the combinationof intertial negative and positive feedbacks. Bulletin of the Lebedev
Physics Institute, 36. No.5. (2009). P.150-156. Русский оригинал:Горбунков М.В., Маслова Ю.Я., Чабан О.И., Шабалин Ю.В.
Краткие Сообщения по физике, 36. N.5. (2009). P.150-156.
323

[46] http://www.springerlink.com/content/d73u677140l3j826/
Bjerklöv K. SNA’s in the Quasi-Periodic Quadratic Family
Communications in Mathematical Physics. 286. 2009. P.137–161[47] http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/lessontopo.shtml
Д.Кузнецов. Урок квантовой топологии. 2009.
[48] Елютин П. В. Думаю, задача, понятая как “КОНТИНУАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ”, будет стоить Ваших усилий и времени, если удастся выявить модель, порождением которой является закон движения
X(t) - или определить континуальные характеристики X(t) (например, границы значений производных по времени). Частное
сообщение, Oct 9, 2009 5:32 PM.
[49] http://iopscience.iop.org/1742-6596/237/1/012016/pdf/
1742-6596_237_1_012016.pdf
P.G.L.Leach and M.C.Nucci. Point and counterpoint between
Mathematical Physics and Physical Mathematics. Journal of
Physics: Conference Series 237 (2010) 012016.
[50] http://www.jointmathematicsmeetings.org/
journals/mcom/2010-79-271/S0025-5718-10-02342-2/
S0025-5718-10-02342-2.pdf http://www.ams.org/journals/
mcom/2010-79-271/S0025-5718-10-02342-2/home.html
http://eretrandre.org/rb/files/Kouznetsov2009_215.pdf
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010q2.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010q2.pdf
D.Kouznetsov, H.Trappmann. Portrait of the four regular superexponentials to base sqrt(2). Mathematics of Computation, 2010,
v.79, p.1727-1756.
[51] http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010superfar.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010superfar.pdf
Д.Ю.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и корень изфакториала. Вестник Московского Университета, серия 3 ,No.1 (2010), стр.1-14.
[52] http://www.emis.ams.org/journals/VMJ/articles/2010_2_
4.pdf http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2009vladir.pdf
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009vladir.pdf
324

Д.Кузнецов. Тетрация как специальная функция. Владикавказский математический журнал, 2010, т.12, вып. 2, стр.31-45.
[53] http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010vladie.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010vladie.pdf
D.Kouznetsov. Tetration as special function. Vladikavkaz
Mathematical Journal, 2010, v.12, issue 2, p.31-45.
[54] http://www.springerlink.com/content/qt31671237421111/
fulltext.pdf?page=1 Д.Ю.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и корень из факториала. Вестник Московского
Университета, серия 3 (2010) No.1, стр.8-14.
[55] http://ufn.ru/tribune/trib120111
Д.Кузнецов. Место науки и физики в человеческом знании.
УФН, т.181 “Трибуна”, стр.1-9 (2010).
[56] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Mestor
Д.Кузнецов. Место науки в человеческом знании. (2010-2011)[57] http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010logistir.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2010logistir.pdf
Д.Ю.Кузнецов. Континуальное обобщение логистического
отображения. Вестник Московского Университета, серия 3(2010) No.2, стр.23-30.
[58] http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/mizugadro.shtml
Д.Кузнецов. Число Мизугадро. (2010)[59] H.Yoneda. Recovery of intensity inside the amplifier from its
transfer function is impossible. Private communication, 2010.
[60] А.Каминский. Нет смысла анализировать передаточную функцию усилителя, не указав конкретную модель для активной среды. Частное сообщение, 2011.
[61] http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/smile.shtml
Д.Кузнецов. Улыбка. 07/10/2011.
[62] http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/lomodrev.shtml.
Д.Кузнецов. Директорство Ломодрева. 2011.
[63] http://www.springerlink.com/content/u7327836m2850246/
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2011uniabel.pdf
325http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2011uniabel.pdf
H.Trappmann, D.Kouznetsov. Uniqueness of Analytic Abel
Functions in Absence of a Real Fixed Point. Aequationes
Mathematicae, v.81, p.65-76 (2011)[64] A.Shirakawa. It is not possible to reconstruct the intensity inside theamplified just from its transfer function. Private communication,
2011.
[65] A.Shirakawa. The formalism of superfunctions is too complicatedand therefore cannot be used. Private communication, 2012.10.09.
[66] http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/dynsyst
Kursernas Hemsidor. Introduction to Dynamical Systems. 2012.
Derivation of Niclas Carlsson’s formula. Let function f (x) besin(x). We want to evaluate, approximately .the value of the n-th
iterate of f (x). Niclas
q Carlsson obtained empirically the following

formula f n (x) ≈ n3 , x ≈ 1, n large .. If the formula is correct itwill take 3·1010 .. steps to reach 0.00001 starting from 1. ..After 60000
iterations the value is 0.0071 and the discrepancy -4.7323e-007.

[67] http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html
Thomas Curtright. Continuous iterates continue to be interesting,after 150 years of study. (2011-2013) As a first illustration, we
display the continuous iterates of the sine function, sin[t] (x). Notethat the maximum
values at x = π/2 are approximately given by√
exp[(1 − t) ln(π/2)].
[68] http://www.nsu.ru/classics/schole/6/6-2-sych.pdf
Л.С.Сычева. Физическая математика Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций вматематике. Школа, том 6, номер 2 (2012).
[69] http://www.ams.org/journals/mcom/0000-000-00/
S0025-5718-2012-02590-7/S0025-5718-2012-02590-7.pdf
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2012e1eMcom2590.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012e1eMcom2590.pdf
H.Trappmann, D.Kouznetsov. Computation of the TwoRegular Super-Exponentials to base exp(1/e). Mathematics
of Computation, 2012, 81, p.2207-2227.

326

[70] http://mmmf.msu.ru/lect/kvashenko.html Квашенко Андрей
Николаевич. Драконы. (2007-2013)[71] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php?title=Destruscir
Д.Кузнецов. Уничтожение науки в РФ. (2013)[72] http://www.scirp.org/journal/PaperInformation.aspx?
PaperID=36560
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013jmp.pdf
D.Kouznetsov. TORI axioms and the applications in physics.
Journal of Modern Physics, 2013, v.4, p.1151-1156.
[73] http://www.ingentaconnect.com/content/asp/asl/2013/
00000019/00000003/art00071
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2012thaiSuper.pdf
D.Kouznetsov. Recovery of Properties of a Material from Transfer
Function of a Bulk Sample (Theory). Advanced Science Letters,
Volume 19, Number 3, March 2013, pp. 1035-1038(4).
[74] http://link.springer.com/article/10.1007/
s10043-013-0058-6 D.Kouznetsov. Superfunctions for amplifiers.
Optical Review, July 2013, Volume 20, Issue 4, pp 321-326.
[75] http://arxiv.org/abs/1008.1409v2 Henryk Trappmann. The
Intuitive Logarithm. October 14, 2013.
[76] Michael Moldenhauer. Question about tetration method. Private
communication, Sat, 9 Nov 2013 01:11:53 -0800 (PST). ..how
did you come up with the high-quality initial approximation fit_3
mentioned in your paper about the tetrational function?
[77] http://www.m-hikari.com/ams/ams-2013/ams-129-132-2013/
kouznetsovAMS129-132-2013.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2013hikari.pdf
D.Kouznetsov. Entire function with logarithmic asymptotic.
Applied Mathematical Sciences, 2013, v.7, No.131, p.6527-6541.
[78] http://www.pphmj.com/references/8246.htm
http://mizugadro.mydns.jp/PAPERS/2014susin.pdf
D.Kouznetsov. Super sin. Far East Jourmal of Mathematical
Science, v.85, No.2, 2014, pages 219-238.
[79] http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_equation
327

[80] http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Nest.html[81] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Conto.cin[82] http://en.citizendium.org/wiki/Conto.cin[83] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Science[84] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Hayka Наука
[85] http://samlib.ru/k/kuznecow_d_j/hayka.shtml Наука
[86] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Koshir Интегральная формула Коши[87] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tetration[88] http://en.citizendium.org/wiki/Tetration[89] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Tania_function
D.Kouznetsov. Tania function.
[90] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Doya_function
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Doya[91] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Keller_function
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Keller[92] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Shoka_function
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/e/Shoka[93] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Holomorphic_
extension_of_the_Collatz_subsequence[94] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/LambertW[95] http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html[96] http://en.citizendium.org/wiki/Lambert_W_function[97] http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function[98] http://www.orcca.on.ca/TechReports/TechReports/2000/
TR-00-12.pdf
Robert M. Corless, David J. Jeffrey. On the Wright ω function.
[99] http://valerie.doya.free.fr/Doya_CV.html Valérie DOYA.
Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, Parc Valrose,
06108 Nice Cedex2, France. (2014)328

   Собраны
результ ат ыповычислению
суперфункций,абельфункций и нецелых ит ераций. Для заданной голоморфной
передат очной функции T,
речь
идет
о
решениях F
передат очного
уравнения
F(z+1)=T(F(z)).
Вчаст ност и,расмот рены суперфункции от факт ориала, экспонент ы, синуса;предложены
голоморфные
обобщения
логист ической
последоват ельност и и функций Аскерманна. Из аскерманнов
предст авены т ет рация (в основном, по вещест венному
основанию, большему единицы) и пент ация (по основанию e).
Предложены
эффект ивные
алгорит мывычисления
суперфункций
иабельфункций.
Пост роены
графики
икомплексные карт ы. Обсуждают ся приложения. Суперфункции,абельфункции и нецелые ит ерации сущест венно расширяют
класс функций, кот орые можно использоват ь в научных
исследованиях и т ехническом дезайне. Генерат оры рисунков на
C++ загружены на сайт TORI, т о ест ь http://mizugadro.mydns.jp/t идост упны для скачивания. С эт ими генерат орами чит ат елимогут воспроизводит ь (и модифицироват ь) рисунки из Книги.
Книга задумана как прикладная и популярная. Я ст араюсь
избегат ь сложных формул, но знание комплексной арифмет ики,инт еграла Коши и принципов асимпт от ического анализа
желат ельно.

Дмитрий Кузнецов
Окончил Физфак МГУ (1980). Работ а: СССР,Мексика, США, Япония. В 20 веке доказал
квант овую ст абильност ь опт ического
солит она, предложил нижнюю границу
квант ового шума нелинейного усилит еля иуказал предел одномодового приближения вКвант овой Опт ике. В 21 веке пост роилт еорию ребрист ых ат омных зеркал,формализм суперфункций и аксиомы ТОРИ.

978-3-659-56202-0