1818

連立不等式

4章

連立不等式

不等式

１０６ 連立不等式の解き方①①2 つ以上の不等式を組み合わせたものを連立不等式という。

②連立不等式を解くには，それぞれの不等式を解いて，それらの解の共通の範囲を求める。

連立不等式
解

2x−3≧9x+3<11を解け。

2x−3≧9 を解いて，x≧6 ……①x+3<11 を解いて，x<8 ……②①，②の共通範囲を求めて，6≦x<8407
□⑴
■
□⑶
■
□⑸
■
□⑺
■408□⑴
■
□⑶
■

■
□⑸

■
□⑺

次の連立不等式を解け。



5x−8<27−3x<16
3x≧−5
4x−1≦112x−5<3x−2
6x−5≦2x+77x−3≦2(x+6)
2x−6<5x−3□⑵
□⑷
□⑹
□⑻





7x−12≧2x+3



0.25x−0.18≦0.6−0.14x

5x+1>x+25
6x+1≦7x+2
2x+4>−3x−65x−2≦8x<6x−53(x−1)>2(2x−1)
5x+2≦2(x−2)

次の連立不等式を解け。






0.6x+0.1≧1.9
0.7x−0.1>0.2x+2.4
0.2x−1<0.7x−2
2.3x−1.4≦0.7(2x+7)□⑵□⑷

x−5<3x+4x
3x+1<1−
32
3
8x+12
<x+25

□⑹

□⑻

5−7x>−x−3

3x+1≦5x−1
0.2(x−1)<0.5x−0.5
0.2x+0.7≧0.4x−0.5
3x−15≦ x+3227x+5<2x−63
9x− >2x−7245
112x+ ≦− x−2363― 121 ―

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4章

不等式

１０７ 連立不等式の解き方②
連立不等式
解

5−3x>−42x−5>9を解け。

5−3x>−4 を解いて，x<3 ……①2x−5>9 を解いて，x>7 ……②①，②の共通範囲はないので，解なし〔注〕 このように，連立不等式は解をもたない場合がある。

409
■
□⑴
■
□⑶

□⑸
■

次の連立不等式を解け。



5x>6x+2□⑵

4x+3>3x+2
0.8x+0.7>0.4x−0.9□⑷

0.3(2x+1)+0.2x<0.34−x≦23□⑹

3x−10≦x−622(x+5)≦4x−77x+4>3x−83(x−5)>4x0.1x+0.1≦0.2(x−2)
253x− < x−136
42x+8 −3x+11−≦233１０８ 連立不等式の解き方③連立不等式
解

3x−1<2x≦5+3xを解け。

3x−1<2x ……①，2x≦5+3x ……②として，①を解くと，x<1。②を解くと，x≧−5
よって，①，②の共通範囲は，−5≦x<1〔注〕 A<B<C ⇒

A<BB<Cとして解く。

410

次の連立不等式を解け。

□⑴■

6x−9≦3x<−10−2x□⑵ 2x+14>−3x−1≧5x+7□⑶■

0.5x−0.3<0.2x−0.9≦0.5x□⑷ −0.6x−3.6<0.3(x+6)≦0.1x+1.2■□⑸1281x− >−x+ > x−53332□⑹

411

右の例にならって，次の連立不等式を解け。

■
□⑴

−1≦

x+5
≦13□⑵

−3≦7−2x<11■□⑶5<3x−6≦15□⑷−8<x+2 −x+1 x> −3
≧2
33(例)

2≦

x 5−x≦6+4
3

24≦4x+3(5−x)≦72
24≦x+15≦72
9≦x≦574x5(x−2)− <333

各辺に 12 をかける

各辺から 15 をひく― 122 ―

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連立不等式

１０９ 解の個数
連立不等式

6x−4<9x−12を満たす整数 x の個数を求めよ。

23x−2<4+ x326x−4<9x−12 を解いて，x>解①，②の共通範囲を求めて，4122
3x−28<4+ x を解いて，x<6 ……②……①。
32
38<x<6。この範囲にある整数は，3，4，5 の 3 個
3次の連立不等式を満たす整数 x の個数を求めよ。

■□⑴4x−5>2x−9■□⑵x+3≦4x−4 −3x+2<x+6<32□⑶413

次の問いに答えよ。

■□⑴

ある整数を 3 倍して 6 をひくと 37 より大きくなる。また，もとの数に 2 を加えて 4 倍すると2(2x−3)−1.5(x+2)<80.5□⑷ −50<x−2 x−3<4−355−3x<40470 より小さくなる。ある整数を求めよ。
□⑵

ある整数から 2 をひいてから 5 倍したら 20 より小さくなる。また，もとの数を 2 倍して 7 を加えると 10 より大きくなる。ある整数を求めよ。

１１０ 文字の値に関する問題
x についての連立不等式の範囲を求めよ。

7x−8≦6+5x5x−a≧2x−2を満たす整数 x の個数が 4 個となるような a の値7x−8≦6+5x を解いて，x≦7 ……①。5x−a≧2x−2 を解いて，x≧解

a−2……②
3①，②をともに満たす整数が 7，6，5，4 の 4 個だけであればよい。
よって，3<a−2≦4 より，11<a≦143414次の問いに答えよ。

■□⑴x についての連立不等式値の範囲を求めよ。
□⑵ x についての連立不等式

3(x−6)≦5(x−5)

3x+a≧2x−5x<−3x+12aを満たす整数 x の個数が 2 個となるような a のの解が存在しないような a の値の範囲を求めよ。
x−1 2x+2+a≧32― 123 ―

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4章

不等式

１１１ 連立不等式の利用
1 個 250 円のケーキと 1 個 350 円のケーキを合わせて 15 個買い，代金を 5000 円以下にしたい。
350 円のケーキを 250 円のケーキより多く買うとき，350 円のケーキは何個以上何個以下か。
350 円のケーキを x 個買うとすると，

解

15−x<x250(15−x)+350x≦5000

より，711<x≦1222

これを満たす自然数は 8 以上 12 以下で，ケーキを 8 個以上 12 個以下買うことは問題に適している。よって，8 個以上 12 個以下

415

次の問いに答えよ。

□⑴■

1 個 120 円のりんごと 1 個 80 円のみかんを合わせて 15 個買い，その代金を 1500 円以上 1600円以下にしたい。りんごは何個以上何個以下か。
□⑵

80 円のボールペンと 50 円の鉛筆を合わせて 30 本買い，代金を 2000 円以下にしたい。80 円のボールペンの本数を 50 円の鉛筆の本数より多くするとき，80 円のボールペンは何本買えるか。

□⑶■

あるグループに，お菓子を 3 個ずつ配ると 11 個余るが，5 個ずつ配ると最後の 1 人は数が足りなくなるという。このグループの人数は何人か。

416

次の問いに答えよ。

□⑴■

10 % の食塩水が 500 g ある。水を加えて 5 % 以上 8 % 以下の食塩水にしたい。加える水は何 g以上何 g 以下か。
□⑵

8 % の食塩水が 300 g ある。食塩を加えて 12 % 以上 15 % 以下の食塩水にしたい。加える食塩は何 g 以上何 g 以下か。
□⑶

7 % の食塩水と 12 % の食塩水を混ぜ合わせて，800 g の食塩水を作りたい。できた食塩水にふくまれる食塩の量を 70 g 以上 80 g 以下にするには，7 % の食塩水は何 g 以上何 g 以下にすればよいか。

417

次の問いに答えよ。

□⑴■

25 km の道のりを自転車で行くとき，はじめは時速 12 km で走り，途中から時速 15 km で走る。目的地に着くまでの所要時間を 1 時間 45 分以上 2 時間以下にしたい。時速 12 km で走る道
のりは何 km 以上何 km 以下か。
□⑵

右の表は，食品 A，B それぞれ 1 包当たりの熱量とカルシウムの熱量 カルシウム(mg)(kcal)量を示したものである。この食品 A，B を合わせて 30 包使うとき，熱量の合計が 3000 kcal 以上，カルシウムが 560 mg 以下となるようにしたい。食品 A は何包使うか。
□⑶

ケーキが 200 個ある。これを余りの出ないように 3 個入りの箱とA

110

20B

70

14

5 個入りの箱につめて売りたい。3 個入りの箱の数と 5 個入りの箱の数の和を 47 個以上 50 個以下とするとき，5 個入りの箱をいくつ作ればよいか。

― 124 ―

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連立不等式

次の連立不等式を解け。




■
□⑴
■
□⑶
■
□⑸

□⑺
■

3x+5≧5x−3□⑵−x<3x+82(x−5)<5(2x+3)□⑷

3(−2x+1)≧−x−3
0.3x+0.2≧0.8x+1.7□⑹

0.6x−0.7>0.2x+0.1
x−1 3x−2≦3
24−x≧□⑻

x+72

−7x−10<−6x+23
5−3x>−4x+10−4(5−3x)>3(x−2)
10(x−3)≦−7(2x+1)
0.5x+0.8≧0.3(x−2)
x−2≧4x−11
5x−x3> +3
5
5x+7 3x−8<24□⑼■521< x≦335□⑽ −12≦8−2x≦8■□⑾

7x+12≧9x+8≧−10□⑿419

次の問いに答えよ。



3x+4 2x+1 −7x−1>>
3248x+3<18(x+1)
を満たす整数 x の個数を求めよ。

□⑴
■

連立不等式

□⑵

ある整数の 5 倍から 12 をひいた数は 27 より大きく，3 倍から 18 をひいた数はもとの数より小12x+3<5+ x23さくなる。ある整数を求めよ。

420

不等式 8x−8≦2x−7≦4x+a を満たす整数が 5 個となるような a の値の範囲を求めよ。

421x についての連立不等式□■□3x−5>2x−a4(x+a)>8x−3を解け。

422 倉庫に同じ大きさの製品がある。これを大型と小型の 2 種□類のトラックを使って運び出したい。1 台に積める個数と 1 台■の運賃は右の表のとおりである。この 2 種類のトラックを合わせて 9 台使って，85 個以上の製品を同時に運び出し，運賃の合計

トラック

1 台に積め 1 台の運賃る個数(個)(円)

大型128000

小型86000を 63000 円以下にするには，大型トラックを何台使えばよいか。

423

お菓子を箱に詰めるのに 12 個ずつ詰めると 17 個余り，18 個ずつにすると余りのお菓子はない□が，最後の箱には 18 個ちょうどにはならなかった。箱の数とお菓子の数をそれぞれ求めよ。
― 125 ―

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4章

不等式

４章のハイレベル問題①
★

★

424

次の方程式，不等式を解け。ただし， x  は x の絶対値を表す。

□⑴

 3x−1 = 2x+5 425

xは x をこえない最大の整数を表すものとする。次の等式を満たす x の値の範囲を求めよ。

□⑴

x=3□⑵

2x−1=1□⑶

− x4 =−4□⑷x−  =2
 x−223

★

426

★

427□⑵

1x+1
≦≦126

ある整数 x を 5 倍した数から 8 をひくと，その数は a−2 より大きく，a+4 より小さくなる。
□この条件を満たす x の値が 2 だけとなるような a の値の範囲を求めよ。

倉庫の中に同じ大きさの商品が 320 個入っている。この商品を，50 個まで積めるトラック Aと，35 個まで積めるトラック B を合わせて 8 台使って全部運び出したい。トラック 1 台の運賃は，A，B それぞれ 15000 円，10000 円である。運賃の合計を 100000 円未満にするとき，次の問いに答えよ。
□⑴

トラック A，トラック B はそれぞれ何台使うことになるか。

□⑵

運賃の合計は何円になるか。

― 126 ―

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4章

不等式

４章のハイレベル問題②
★
★

★
★

428

次の不等式を解け。ただし， x  は x の絶対値を表す。

□⑴

2 x +1≦ x+3 +3x429

ある正の数を x として□

★
★

★
★

□⑵

 x+2 ＞ 2x−1 8(x+3) の値を計算し，小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求5めたら，2x−1 に等しくなった。x として考えられる値をすべて求めよ。

4302≦x≦4，−3≦y≦2，−4≦z≦2 のとき，次の式の値の範囲を求めよ。

□⑴

y−zx431

A さんはノートを何冊か買おうと思って文房具店に行った。1 冊 120 円のノートだと A さん□⑵ xyzの予定しただけの冊数は買えないが，1 冊減らせば買うことができ，お金は余る。1 冊 100 円のノートにすれば予定していた冊数よりも 2 冊多く買えて，お金は余らない。予定していたノートの冊数を x 冊，持っていた金額を y 円として，次の問いに答えよ。
□⑴

x と y の関係を表す不等式をつくれ。また，x と y の関係を表す等式をつくり，y を x の式で表せ。
□⑵★
★

⑴でつくった式から A さんの持っていたと考えられる金額をすべて求めよ。

432

ある野球選手の昨日までの打率は，四捨五入して小数第 2 位まで求めると 0.24 となった。と□ころが，今日の試合で 3 打数に対して 1 安打であったので，打率はちょうど 0.25 となった。この選手の今日までの打数が 40 打数以上であるとき，今日までの安打数として考えられるものをすべて求めよ。

― 127 ―

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4章

不等式問題

不等式 ax≧b を解け。ただし，a ，b は定数とする。
まどか：ずいぶんシンプルな問題よね。方程式と同じように両辺を x の係数 a でわって，x≧bとしたら，それでおしまいじゃないの？
aい：具体的な数字で考えてみよう。例えば，不等式 3x≧12 なら，か3x≧12→両辺を3でわって，アでいいけど，不等式 −2x≧−10 のときは，−2x≧−10→両辺を2でわって，−x≧−5→さらに両辺に −1 をかけて，イとなるから，a の値が負だと，不等号の向きも考えないといけないよ。
まどか：そっかぁ。ax≧b が x≧bとなるのは，a＞0 の場合だけなのね。
aあなた：じゃあ，ax≧b で a＜0 の場合は，解がウとなるね。

先生：そうですね。でもそれだけでは不十分です。a＝0 の場合はどうですか。

かい：a＝0 のとき，ax≧b は 0×x≧b，すなわち，0≧b ですね。b についてはとくに条件がないように思えるので，0≧b が答えでいいですか？

先生：本当にそうでしょうか。もしも b＝3 だったら，どうなりますか。

かい：b＝3 のとき，0≧b は 0≧3 となって…。あれ，これは不等式としておかしいです。
「0が3以上」なはずはないし…。

あなた：ということは，a＝0 のときは，b の条件による場合分けも必要で，エのときは，x はオのときは，解なし（ x にどんな数を入れても成り立たない）

Ａということですか。
先生：その通りです。式に文字がふくまれるときは，その値によって考えなければならない条件があったりするので，問題がシンプルでも油断してはいけません！

考えてみよう！ 会話を読んで，次の問いに答えよう。
①②〜

オにあてはまる不等式を答えよう。

ただし，ア〜

アＡ

ウの左辺は x ，エ，オの左辺は b とします。には，どんな表現があてはまるか考えよう。

問題の式に文字がふくまれているときは，その文字の値によって式変形に注意が必要だったり，場合分けが必要になったりすることがある。問題に隠された条件（文字の値の範囲など）を見落とさないようにしよう！
― 128 ―

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4章

不等式

◆実生活に隠れた条件・値の範囲を見抜こう！
かい：2つの数量の関係を，文字を使って等式に表す問題を考えよう。最初の問題はこれ。

問題１ 「100 Hの水に x Hの食塩を加えて混ぜたとき，できる食塩水の濃さが y ％になる。」
まどか：食塩水の濃さ（％）は，食塩水全体に対する食塩の量の割合を百分率になおしたものだから，食塩の量（ H）食塩の量（ H）×100，つまり，×100 で求められるわ。
食塩水の量（ H）
水の量＋食塩の量（ H）あなた：ということは，x と y の関係は，y＝イア…★という等式で表されるよね。
あるって，理科の授業で習ったよ。水の温度と溶ける物質の質量の関係は右のグラフのようになるんだ。水温が高いほど固体は水によく溶けるけど，食塩の場合は温度による差はわずかだよ。
仮に，20℃の水 100 H に食塩が 35.8 H まで溶けるとすると，0≦x≦35.8 のときの食塩水の濃さは，★の式
x＞35.8 のときの食塩水の濃さは，y＝ウで一定

100 90g
8070
硝酸カリウム6050403020
塩化ナトリウム
100•gª 0 10 20 30 40 50
水の温度•Çªの水に溶ける物質の質量

い：でも，100 H の水に溶ける食塩（塩化ナトリウム）の量には限界がかになるというのがより正しいのかな。だから，実際の生活の中で食塩水の濃さを考えるときは，0≦x≦35.8 とか，0≦y≦ウという条件が隠れていると考えることもできるね。

まどか：似たような問題を考えてみたわ。

問題２ 「20℃の水 100 H をビーカーに入れて1分間に5℃ずつ上がるように加熱するとき，加熱を始めてから x 分後の水温を y ℃とする。」
あなた：水の温度は

エ0≦x≦x＞オ

つまり，0≦x≦℃までしか上がらないから，のときの水の温度は，y＝オのときの水の温度は，y＝オ，キ≦y≦エカで一定エという条件が隠れていたわけだね。
かい：問題文には条件が書いていなくても，このように日常生活の中の具体的なことがらを式に表すときは，隠れた条件を考えないといけないこともあるんだね。

考えてみよう！ 会話を読んで，次の問いに答えよう。
①ア〜

キにあてはまる式や数を答えよう。ただし，ウは小数第2位を四捨五入して，小数第1位までの数にして答えよう。
②

次の 問題３ で隠れている条件を，x ，y それぞれについて，不等号を用いて表そう。

問題３ 「水が 12 L 入っている水そうから，毎分 0.8 L の割合で水を抜いていくとき，x 分後の水そうの中の水量を y L とする。」― 129 ―

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