〈第 27 回 山﨑賞〉

４ 気柱の共鳴を利用した気体中の音速の測定

１ はじめに非常に速いことの代名詞にも使われる音速を、できるだけ分かり易く、かつ簡単な方法で測定することができないかと考え、今回の研究に取り組んだ。
２ 研究の目的
閉管の内部に生じる音波の定常波による共鳴現象を利用し、次の事柄について研究を進める。
(1)密度の異なる気体、空気・二酸化炭素・ヘリウムそれぞれの気体中における音速を測定する。
(2)気柱の共鳴を利用して音波の波長を測定することで、音速を計算で求める。
(3)測定した結果について、気温から求めた音速との比較をおこなう。
(4)３種の気体に対して、開口端補正についても調べる。
３ 研究の方法
細長い管（気柱共鳴管と呼ぶことにする）の内部の気体（気柱と呼ぶ）に、管の入り口から音叉を近づける。気柱の長さと音波の波長が一定の条件を満たすと、管に入射する音波と、反射して戻る音波とが干渉して定常波が発生し、大きな音が聞こえる。この現象は共鳴と呼ばれる。
図１は、水平に設置した気柱共鳴管の管口に、振動数ｆの音叉を近づけた場合に生じた定常波の様子を表している。音波は縦波であるが、図 1 では波の進行方向と直角の向きに変位を描く横波表示の方法で定常波を描いている。共鳴が生じるピストンの位置を共鳴点と呼ぶことにする。
この図では共鳴点が管口から測って長さ ｌ１ と ｌ２ の位置であることを示している。
共鳴点までの長さ ｌ１ と ｌ２ から、空気中を伝わる音波の波長λは次の①式で計算することができる。
λ＝２（ ｌ２ － ｌ１ ）･･･ ①
この値と振動数ｆから、音速ＶはＶ＝ｆλ･･･ ②の式で求めることができる。そこで、この方法を密度の異なる各種気体に応用することにした。
(1) 空気の場合
上記の図１の方法で音速を求める。
図 1 空気の場合における定常波の測定(2) 二酸化炭素の場合
気体の密度は空気よりも大きい。そこで、気柱共鳴管として鉛直に設置したガラス管を使い、管内の水にドライアイスを放り込むことで二酸化炭素を発生させる。水面より上方に集まった二酸化炭素の気体を気柱とみなして、図２のように管口に音叉を近づけて共鳴点を調べる。
図２の右側に示すように、水瓶を上げ下げすれば、ピストンの代わりに水面が上下して共鳴点を調べることができる。このとき、水面を下げると管口から管内に空気が入ってしまうため、水面は上昇させつつ共鳴点を調べる。
- 101 -

図２ 二酸化炭素の場合における定常波の測定(3) ヘリウムの場合
気体の密度は空気よりも小さい。そこでアクリル製の気柱共鳴管を鉛直に設置し、上部にピストンをつけ、下側の管口からヘリウムの気体を注入する。気柱内にある空気は追い出されていく。ピストンの下方に集まったヘリウムの気体を気柱とみなし、図３のようにして管口に音叉を近づけて共鳴点を調べる。ピストンを上方に上げてしまうと下側の管口から空気が管内に入ってきてしまうため、ピストンは下降させつつ共鳴点
図３ ヘリウムの場合におけるを調べる。
定常波の測定４ 研究の結果(1) 空気中の音速の測定
ア 実験装置の配置
図１で説明したとおりに、アクリル製の気柱共鳴管を水平に設置した。管口に音叉を近づけ、距離 ｌ１ と ｌ２ を測定した。
イ 結果
次の表は、測定結果の一例をまとめたものである。表中でλは音波の波長、ｆは管口に近づけた音叉の振動数、Ｖは音速の測定値（②式を使用）である。また、Ｖ’ は気温ｔ[℃]の値から計算で求めた音速である。各測定例ともに、距離 ｌ１ と ｌ２ は平均値である。

ｌ１[m]
0.182
0.189
0.038
0.1830.188

測定例
①②③④⑤

ｌ２[m]
0.573
0.592
0.138
0.5740.583

λ[m]
ｆ[Hz]
Ｖ[m/s]
0.784
440344.7
0.806427343.6
0.199
1700
338.30.782
440344.10.790
440347.6
表１ 空気中の音速の測定結果

ｔ[℃]20.520.518.022.022.0

Ｖ’ [m/s]
344.0344.0342.4344.9344.9

ウ 気温から求めた音速との比較
気体中の音速は、気温によって変化する。本などで調べたところ、音速はセルシウス温度で表した気温ｔ[℃]との間に次の関係式があることが分かった。
VV0 1t546･･･ ③- 102 -Ｖ０ は、気温 0[℃]における気体中の音速である。この③式を用いれば、気温から音速を導き出せる。理科年表から調べた Ｖ０＝331.45 [m/s] の値を③式に代入し、空気中の音速はV ' 331.45 0.61t･･･ ④という式で与えられる。
表 1 の最も右の列には、④式を用い気温から求めた音速の値を記載した。気柱共鳴から求めた音速の値と比較すると、相対誤差 0.8％以内であった。唯一の例外は振動数が 1700[Hz]の場合で、相対誤差は 1.2％であった。これは、②式を使用して計算したとき、振動数ｆの値が大きいほど波長λを測定した際の誤差がより大きく影響を与えるためだと考えられる。
(2) 二酸化炭素中の音速の測定
ア 実験装置の配置
図２で説明したとおりに実験した。
管内に二酸化炭素の気体が充分に集まるようにするため、必要なドライアイスの量を計算で求め、常にこの質量以上のドライアイスを管内に入れて準備をおこなうことにした。
イ 結果
次の表は、測定結果の一例をまとめたものである。表中でλは音波の波長、ｆは管口に近づけた音叉の振動数、Ｖは音速の測定値（②式を使用）である。また、Ｖ’ は気温ｔ[℃]の値から計算で求めた音速である。各測定例ともに、距離 ｌ１ と ｌ２ は平均値である。
測定例①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ｌ１[m]0.1420.1350.1410.2450.1250.0320.1430.1430.144ｌ２[m]0.4450.4350.4430.752
0.4080.1050.4390.443
0.442

λ[m] ｆ[Hz]Ｖ[m/s] ｔ[℃]0.606
440266.6
20.0
0.600
440264.0
17.90.606
440266.4
20.5
1.013
256259.3
18.0
0.566
480271.7
22.0
0.147
1700
249.1
18.0
0.592
440
260.5
18.4
0.600
440264.0
17.5
0.596
440262.220.5
表２ 二酸化炭素中の音速の測定結果

Ｖ’[m/s]
267.4
266.4
267.6
266.5
268.3
266.5
266.7
266.2
267.6

霧の有無

有有有有有有無無無ドライアイスをガラス管内に入れた際、二酸化炭素の気体とともに、小さな水滴が空気中に浮遊した白い霧が発生する。私たちは、霧が発生したままの状態と、霧が晴れた状態との二つの場合を区別して実験を進めた。
求められた音速は、ほぼ 266[m/s]前後の値であった。また様々な振動数の音叉で実験を行ったが、特に振動数が 1700[Hz]の音叉で行った際の結果では、他よりも少し値が外れていた。
②式を使用して音速を求めるため、振動数ｆの値が大きいほど、波長λを測定した際の誤差がより大きな影響を与えているためだと考えられる。霧がある場合と晴れている場合、それぞれで実験を行ったが、今回の実験では特に目立った差は見られなかった。
ウ 気温から求めた音速との比較
理科年表で調べると、気温 0[℃]における二酸化炭素中の音速は Ｖ０＝ 258.00 [m/s] であることがわかった。よって③式より、気温ｔ[℃]における二酸化炭素中での音速は
V ' 258.00 0.47t･･･⑤という式で求められると考えられる。
- 103 -

気柱共鳴から②式を使って求めた音速の値と比較すると、表２のように多くの測定例において相対誤差 2.0％以内で一致することが分かる。しかし空気の場合と同様に、振動数が大
きな 1700[Hz]の場合では、相対誤差が 6.5％と大きくなっている。この理由は、先述のとおりと思われる。
(3) ヘリウム中の音速の測定
ア 実験装置の配置
図３のとおりに、気柱共鳴管を鉛直に設置し、下側の管口からヘリウムの気体を注入する。
ヘリウムは無色透明な気体で、気柱内にどれほど溜まっているか確認することができない
ため、今回は十分だと考えられる以上の量を注入してから実験を開始した。今後、ヘリウムの注入量を把握できる方法も開発していきたい。
気柱共鳴管の下方の管口に音叉を近づけ、距離 ｌ１ と ｌ２ を測定した。
イ 結果
ヘリウムの場合には、空気中や二酸化炭素中に比べて音速が速いことが理科年表から分かっていた。空気中や二酸化炭素中での実験でおもに使用していた振動数 440[Hz]の音叉を使用すると、私たちの用意した長さ 1[m]の気柱共鳴管では２つの共鳴点を測ることができない。
そこで、振動数の大きい 1700[Hz]の音叉を使って実験した。
ところが、実際に実験してみたところ、共鳴音を聞き取ることが難しく、共鳴点の測定結果は実験のたびに大きなばらつきが生じてしまった。
次の表は、測定結果の一例をまとめたものである。表中でλは音波の波長、ｆは管口に近づけた音叉の振動数、Ｖは音速の測定値（②式を使用）である。また、Ｖ’ は気温ｔ[℃]の値から計算で求めた音速の値である。各測定例ともに、距離 ｌ１ と ｌ２ は平均値である。
測定例
①②③④

ｌ１[m]
0.140
0.129
0.1580.154

ｌ２[m]
λ[m]
ｆ[Hz]
Ｖ[m/s]
0.430
0.580
1700
986.0
0.4410.624
17001060.8
0.4250.534
1700
907.8
0.4430.578
1700982.6
表３ ヘリウム中の音速の測定結果

ｔ[℃]
19.019.019.020.0

Ｖ’ [m/s]1003.81003.81003.81005.6

表３のように、実験から求めた音速Ｖはばらつきが大きい。共鳴点を求めることが困難であったことに加えて、使用した音叉の振動数が大きいことで波長の測定誤差が計算値に大きく影響してしまったことなどが、原因として考えられる。
ウ 気温から求めた音速との比較
理科年表より、気温 0[℃]におけるヘリウム中の音速は Ｖ０＝ 970.00 [m/s] であるとわかった。これを③式に代入することにより、気温ｔ[℃]におけるヘリウム中での音速はV ' 970.00 1.78t･･･⑥という式で求められると考えられる。
共鳴点の位置の測定から②式を使って求めた音速の値と、⑥式を用いて気温から求めた音速の値を表３で比較すると、測定値のばらつきがよくわかる。
５ 考察(1) 音速は気体の温度に依存する。測定時における実験室の気温 17[℃]～22[℃]において、空気・二酸化炭素・ヘリウムの各気体中における音速を、共鳴点の測定から求めた結果はそれぞれ、- 104 -

340[m/s]，266[m/s]，1000[m/s] 程度の値であった。
(2) 音波は気体分子の密度が周期的に疎と密を繰り返しながら周囲に伝わる現象である。気体分子の運動エネルギーは、絶対温度に比例するので、温度が等しい気体の場合には質量の軽い分子で構成される気体ほど、音速が大きくなるはずである。実験方法は簡単であったが、まさにそのとおりの測定結果が得られた。
(3) 空気と二酸化炭素いずれの場合にも、音速は振動数によらないことがほぼ認められた。音速と振動数の関係についてはもう少し調べてみたいと考えている。
(4) 気温と音速の関係については、実験に取り組んだ期間の関係から、音速とセルシウス温度との関係が④式・⑤式・⑥式で与えられることを正確に確認するまでには至らなかった。今後は年間を通して実験を重ねて、幅広い温度範囲で音速を測定し、データを増やしていきたい。
(5) 気柱共鳴管の管口（音波の入り口）は、厳密には定常波の腹ではない。正確な腹の位置は、わずかであるが管口よりも⊿ｘだけ外側にある。この距離⊿ｘを開口端補正という。
ア．空気中における音速の測定では開口端補正は、振動数 440[Hz]の場合が 1.2[㎝]で、振動数 1700[Hz]の場合も 1.2[㎝]であった。
イ．二酸化炭素における音速の測定では、開口端補正は振動数 440[Hz]の場合が 1.3[㎝]で、振動数 1700[Hz]の場合は 1.1[㎝]であった。
ウ．ヘリウムの場合には測定値のばらつきが大きかった上に、440[Hz]の音叉は使えなかった
ので、比較するまでには至らなかった。
開口端補正⊿ｘが振動数によらず一定であるかどうかは、今回の結果からは測定精度の点から、結論を出すまでには至らなかった。今後、継続して測定を試みたい。
(6) 二酸化炭素の場合において、音叉の振動数が 440[Hz]の同一条件のもとで、音速は霧が有る状態において平均 263.3[m/s]、霧が無い状態において平均 262.2[m/s]であった。霧は気体中に浮遊する水滴なので影響が音速に現れると踏んでいたが、実験の精度が低いためか、この差が霧の有無の影響によるものか誤差の範囲内に収まるものかの判断はできなかった。
(7) ヘリウムで測定をした場合には、共鳴音を聞き取ることが難しく、波長や音速の測定値が実験のたびに大きなばらつきを示した。音波が気体中を伝わるときに伴うエネルギーの流れの大きさは振幅と振動数が等しいとき媒質の密度に比例するため、空気（平均分子量 28.8）や二酸化炭素（分子量 44.0）と比べ分子量の小さなヘリウム（分子量 4.0）の場合には、共鳴音が生じても波動のエネルギーは小さく、共鳴音が小さいため変化が聞き取りにくかったと考えられる。今後は、マイクとオシロスコープを利用するなどして、共鳴点の位置を精度良く測定できないか確かめてみたい。また、振動数や気温との関係についても調べていきたい。
(8) ヘリウムの場合のように、測定原理が同じであっても、実験をしてみなければ正確な結果を常に出せるかどうかは分からないという教訓も得た。
(9) 今後、気体の種類を増やして研究していきたい。
６．謝辞
今回の研究活動では、ピストン付きのアクリル管や音叉の購入に際し、山崎自然科学教育振興会より研究助成金をいただきました。ここに深く感謝の意を表します。
７．参考文献(1) 理科年表(2) 理科年表読本 自然界の大きさ(3) 改訂版高等学校「物理Ⅰ」(4) 理論物理への道標（上）改訂版

国立天文台編，丸善株式会社
都筑卓司，丸善株式会社
國友正和 他 ，数研出版
杉山忠男
，河合出版
- 105 -