（様式 20）成果報告書

TSUBAME 共同利用 平成 25 年度 学術利用 成果報告書

利用課題名 TSUBAME2 GPU によるスピン系のクラスターアルゴリズム・モンテカルロシミュレーション
英文：Cluster algorithm Monte Carlo simulations of spin systems using TSUBAME2 GPU
利用課題責任者 岡部 豊
First name Surname Yutaka Okabe

Affiliation

所属 首都大学東京 理工学研究科
Graduate School of Science and Engineering, Tokyo Metropolitan University

邦文抄録（300 字程度）
格子スピンモデルは、物質内の相転移現象を解析するのに使われる。我々はスピン系のクラスターアルゴリズムの並列計算を提案してきた。Swendsen-Wang マルチクラスターアルゴリズムのサンプルプログラムを Comp.
Phys Commun. Library [http://cpc.cs.qub.ac.uk/summaries/AERM_v1_0.html] に登録した。古典スピン系として、イジングモデル、q 状態ポッツモデル、XY モデルを扱った。格子としては、2 次元正方格子と 3 次元立方格子をとりあげた。プログラムの詳細を説明すると共に、3 次元 XY モデルの計算結果を示し、相転移を論じる。さらに、複数 GPU を用いた大規模計算の改良を行った。
英文抄録（100 words 程度）
The classical spin model is one model for understanding phase transition. We have developed theparallel computation method for the cluster spin flip algorithm. We present sample CUDA programsfor the GPU computing of the Swendsen-Wang multi-cluster spin flip algorithm, as a program libraryof Comp. Phys. Commun. Library; [http://cpc.cs.qub.ac.uk/summaries/AERM_v1_0.html]. We deal withthe classical spin models; the Ising model, the q-state Potts model, and the classical XY model. As forthe lattice, both the 2D (square) lattice and the 3D (simple cubic) lattice are treated. We here explain
the details of sample programs. We also show the calculated results for the 3D XY model, and discussphase transitions. Moreover, we have improved the algorithm of multi-GPU calculation for large scale
cluster-flip simulations.

Keywords: Monte Carlo Simulation, classical spin model, cluster algorithm

背景と目的
多体系の統計物理学の標準的な数値シミュレーシ

概要
ここでは、ョンの手法として、モンテカルロ法が広く用いられ

http://cpc.cs.qub.ac.uk/summaries/ているが、シングルスピンフリップのモンテカルロAERM_v1_0.html

法には転移温度付近で緩和時間が急激に大きくなるの Comp. Phys. Commun. Library に登録してあるプ問題があり、これを解消する一つの手法としてクラログラムについて、説明する。ライブラリー登録とスターアルゴリズムが提唱されている。しかし、今しては、古典スピン系のモデルとして、イジングモまで、クラスターアルゴリズムは並列計算に適してデル、q 状態ポッツモデル、q 状態クロックモデル(qいないとされていた。本プロジェクトでは、格子スが無限大の極限で XY モデルとなる)の３つのモデル

ピンモデルに対し、Swendsen-Wang (SW) クラスターを取り上げた。また、格子として、2 次元正方格子、アルゴリズム・モンテカルロシミュレーション[1]3 次元立方格子の 2 つを扱ったので、計６つのプロの GPU を用いた並列計算の方法を開発し[2]、さらにグラムを登録した。

複数 GPU を用いた大規模計算を実現してきた[3,4]。

すべてに共通する SW クラスターアルゴリズムの25 年度は、我々のグループが提唱してきた SW クラ

基本的なスピンの状態の更新は、３つのプロセスかスターアルゴリズムの GPU 計算の方法を整理し、プら成る。すなわち、ログラムライブラリーとして登録した[5]。

(1) 活性ボンドの決定：

隣接するスピンの状態

（様式 20）成果報告書に応じて、温度に依存するボルツマン因子を反映して、ボンドをつなぐかつながないかを判定する。

結果および考察論文[5]では、3 次元イジングモデルと XY モデルの場合の性能評価のデータを示し、2 次元の場合と(2) クラスター・ラベリング：

次に、活性ボン同様に、GPU 計算により高速化されること、サイズドのつながり具合により、スピンをクラスタが大きくなるとクラスター・アルゴリズムの並列計ーに分解する。

算の効果が顕著になること、Hawick 達のアルゴリズ(3) スピン・フリップ：

ラベリングのプロセスで分解されたクラスター内のスピンを一斉に更新する。

ムと比べて Kalentev 達のアルゴリズムが高速であることを示した。
実際の物理量の計算例として、3 次元 XY モデルののプロセスである。なお、クロックモデルのようなモーメント比の温度依存性を図 1 に示す。磁化の 4ベクトルスピン系では、Wolff[6]により提唱された次モーメントと 2 次モーメントの 2 乗の比は、Binderimbedded cluster とよばれる、スピン空間で、ある比[10]として、2 次相転移の解析に広く用いられて軸に直交する平面に射影したときに、プラスになるいる。サイズによらない交点が 2 次相転移温度を与かマイナスになるかで、“イジング”的に分類する方え（補正はあるが）、図１から、転移温度が Tc=2.202

法で、クラスター生成を行う。

程度であることがわかる。なお、温度は相互作用定クラスター・アルゴリズムを並列化する際には、数 J を単位としている。

(2)のクラスター・ラベリングの並列化は単純ではない。通常の CPU 計算では、Hoshen-Kopelman [7]のラベリング手法が用いられるが、これは並列化できない。最近、GPU 用のクラスター・ラベリングの並列化技法が提唱されてきた。Hawick 達[8]により提唱された方法、さらにそれを改良した Kalentev 達[9]により提唱された方法を、ここでは採用する。
CUDA プログラムの概要は次の通りである。kernel
関数として、まず、スピンの初期状態を設定する
device_function_spinset;を呼び出し、次に活性ボンドを決定する
device_function_init;を呼び出す。クラスター・ラベリングのプロセスは

図 1: 3 次元 XY モデルの各サイズのモーメント比

device_function_scanning;device_function_analysis;

さらに、有限サイズスケーリングを用いると、サdevice_function_labeling;

イズについて相関距離に関する臨界指数を用いてにより実現するが、Kalentev 達のアルゴリズムでは、L1/でスケールした変数を用いると、異なるサイズ初めの２つの kernel function だけでよい。スピン・のモーメント比のデータが一つの曲線上に乗る。そフリップのプロセスはれを図 2 に示してある。ここで用いた、ベストフィ

device_function_spin_select;

ットのデータは、臨界温度が Tc==2.201836(6)、そdevice_function_spin_flip;

して、臨界指数は =0.672(4)である。この値は、従で実現する。また、物理量は、

来報告されてきた数値と一致しているが、従来のもdevice_function_sum;の kernel function で計算する。のより、高精度である。

（様式 20）成果報告書[8] K.A. Hawick, A. Leist, and D. P. Playne,
Parallel Computing 36 (2010) 655-678..
[9] O. Kalentev, A. Rai, S. Kemnitzb, and R.
Schneider, J. Parallel Distrib. Comput. 71 (2011)615-620[10] K. Binder, Z. Phys. B: Condens. Matter 43(1981) 119-140.

図 2: 3 次元 XY モデルのモーメント比の有限サイズスケーリングまとめ、今後の課題
本報告では、Comp. Phys. Commun.のライブラリー登録について記したが、本年度は複数 GPU を用いた大規模並列計算についても、改良を加えて、高速化した。
次年度、複数 GPU を用いた改良された大規模計算をさらにテストをすると共に、実際の問題へ適用をしていく。
なお、本研究は、首都大学東京客員研究員であり、原子力研究開発機構所属の小村幸浩君との共同研究である。

参考文献[1] R.H. Swendsen and J.S. Wang, Phys. Rev. Lett.
58 (1987) 86-88.
[2] Y. Komura and Y. Okabe. Comp. Phys. Comm.
183 (2012) 1155-1161.
[3] Y. Komura and Y. Okabe. Comp. Phys. Comm.
184 (2013) 40-44.
[4] Y. Komura and Y. Okabe. J. Phys. Soc. Jpn. 81,(2012) 113001.
[5] Y. Komura and Y. Okabe. Comp. Phys. Comm.
185 (2014) 1038-1043.
[6] U. Wolff, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 361-364.
[7] J. Hoshen and R. Kopelman, Phys. Rev. B 14
(1976) 3438-3445.