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エポックⅡ：宇宙の晴れ上がり～輻射と物質の時代の終わり＆暗黒時代の始まり（後編 3）

最新宇宙誌【8】エポックⅡ：宇宙の晴れ上がり～輻射と物質の時代の終わり＆暗黒時代の始まり（後編 3）～
福江
前口上

純 （大阪教育大学 ）ではない。

高校のときとかに、一般向けの科学解説書というわけで、いま勉強してみると、再結でビッグバン宇宙論の話を知り、ふつうの人合の物理は思いのほか簡単だが、同時に思っと同じように天文学三大疑問（宇宙のはじまた以上に難しいような気がする。

り、ブラックホール、宇宙人）に興味をもっ簡単な理由は、再結合の時代は宇宙の温度て、大学院入試の面接時に“（大学院に入ったはすでに数千度まで下がっているので、熱平ら）宇宙論がやりたいです”と明言して、“う衡などの基本的な統計物理学の知識と、電離ち（京都大学宇宙物理学教室）にはやっていや励起などの原子物理学の知識があれば十分る人いないよなぁ、天体核（京都大学の物理で、本格的な量子力学や相対論の知識は必要にある研究室）の方がいいんじゃない”と言ないことだ。

われた人間が、高校から大学初年級ぐらいの一方、難しい理由は、再結合は一瞬にして物理でわかるぐらいの宇宙論の解説をしてみ起こるのではなく、宇宙の膨張とともに徐々ようと、30 年ぶりぐらいに大学生的な勉強をに進行していくこと（4000K ぐらいで水素のしながら書いているので、最初の予定ではと再結合がはじめるが、宇宙が晴れ上がるのはうに連載が終わっているはずだったんだが、3000K ぐらいになってから）、再結合の仕方なかなか話が進まない。学年はじめで尐し忙について、水素のエネルギー準位をきちんとしかったこともあって、春休みに晴れ上がり考えないといけないことだ。の途中で筆を置いて以来、ほぼ 3 か月ぶりぐらいである。

温度変化とともに、起こるプロセスを並べてみると、―――――――――――――――――――――――――

6.2

再結合と宇宙の晴れ上がり

さて、いよいよ宇宙の晴れ上がりに関する話だが、基本的にはここらへんはとりたてて温度

出来事―――――――――――――――――――――――――
17800K

ヘリウム原子核（α粒子）が電子新しい話ではなく、何十年か前の教科書にもと再結合して 1 階電離ヘリウムに出ているのだが、あまりちゃんと勉強したこなるとはなかった。こちらが不勉強なせいもあっ

7900K

たが、いま手元にあるものを比べてみても、1 階電離ヘリウムが電子と再結合して中性ヘリウムになる

昔の教科書は、しばしば難しく書きすぎてい

3700K

水素原子核（陽子）と電子の再結合るようだ。本質的な部分だけを書いてくれれ

3000K

宇宙の晴れ上がりばいいのに、宇宙論の専門家になるならとも―――――――――――――――――――――――――

かく、理学部の一学生に読めるようなレベルというような順序になっている。知っている

天文教育 2008 年 9 月号（Vol.20 No.5）

■ 連 載最新宇宙誌【8】■―23―人にとっては当然なのかもしれないが、水素だけではなく、ヘリウムの再結合などもある
わけだ。
6.2.1

サハの電離式

ガスの電離が関係するので、いわゆるサハの式は避けて通れない。励起に関するボルツマンの式と電離に関するサハの式は、ともに、基本的には、ボルツマンの古典統計力学（＋量子力学）から導かれる式で、現代天体物理学におけるきわめて基本的な式である。
ル ー ド ヴ ィ ッ ヒ ・ ボ ル ツ マ ン （ LudwigEduard Boltmann；1844～1906）（図 44）は 19 世紀末の古典物理学の泰斗で知らない人はいないだろうが、サハ（図 45）はそれほど有名ではない、というより天文業界以外は

図 45

電離平衡に関するサハの式を導出したサハ（画像出典：http://en.wikipedia.org/wiki/
Megh_Nad_Saha）

ほとんど無名といっていいだろう。かくいう
ぼく自身、今回の原稿で調べるまでは、イン表記による）。現在はバングラディシュ領となド系の名前だなぐらいの知識しかなかった。っているダッカ近郊に生まれ、ダッカとカルフルネームで、メグナド・サハ（で読みいカッタで大学に学んだ後、渡欧している。アMeghnad Saha；1893～1956）

ラハバード大学で 1923 年から 1938 年まで教は 、 た しか にイ ン ドの 天 体物 理 学者 であ る授を勤めた後、カルカッタ大学で物理学教授（WEB では Megh Nad とわけたものもあるとなり、終生在職した。死去したのは 1956

が、ここではオクスフォードの科学者辞典の年 2 月 16 日、おっと惜しい、ぼくが生まれいのかな？

たのは 2 月 3 日だが、ぼくの方が尐し早いので、リインカネーションとか関係さそうだ。
チャンドラセカールと異なって、生まれついた地に骨を埋めたようだが、インドの生んだ英才だったようだ。
そのサハが 1920 年に導いた、電離ガスの平衡状態を表す式が、「サハの電離式（Sahaionization equation）」とか、たんに「サハの式（Saha equation）」と呼ばれるものなのだ。
星のスペクトルで、たとえば A 型星では水素の吸収線（第 1 励起状態と第 n 励起状態の図 44

古典統計力学を構築したボルツマン（画像出典：http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann）間のバルマー線）が強いが、もっと高温の O型星や逆に低温の K 型星などでは水素の線は弱くなる（図 46）。サハは、このようなスペクトル線の見かけの消長が必ずしも実際の天文教育 2008 年 9 月号（Vol.20 No.5）

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元素の多寡を表しているのではなく、星の温いるとすると、一般的にエネルギーが Ei のあ度によって元素の電離度合いが違うことが主る i 状態の粒子数 Ni は、な原因であることを見事に示したのだ。たとえば水素のスペクトル線でいえば、表面温度が低温の星では大部分の水素が基底状態にあるためにバルマー線が弱いが、温度が高くなると第 1 励起状態に存在する水素が多くなるためにバルマー線が強くなる。しかしさらにのようになる。この式および以下の式で、k B

温度が上がると、水素がもっと高励起状態にはボルツマン定数、 h はプランク定数、 c はなったり電離してしまうためバルマー線はふ光速である。また g ip は、そのエネルギー準たたび弱くなる。

位の「統計的重み（statistical weight）」だ。
たとえば基底状態（化学でいう K 殻）にはスピンの異なる電子が二つ入るので、基底状態の統計的重みは 2 になる。第一励起状態は 8だったかな。原子のエネルギー準位の場合は、スピンだけではなく、電子の角運動量が異なったりする場合も含めての、同じエネルギーにある状態の縮退度を表している。

図 46

恒星のスペクトル（画像提供：岡山天体物理学観測所；粟野諭美
ほか『宇宙スペクトル博物館』より）

このようなスペクトル線の消長を定量的に表すのがサハの電離式なのである。
6.2.2

再結合の物理中性子の生成や元素合成のときと同様、今回も熱平衡が基本である。そして、温度は低いので、やはり粒子の個数密度は、古典的な「 マ ク ス ウ ェ ル － ボ ル ツ マ ン 分 布（Maxwell-Boltzmann distribution）」で記述される。
さて、励起や電離の状態ではさまざまなエネルギー準位がある（図 47）。もしさまざまな状態にある粒子が温度 T で熱平衡になって

図 47

水素原子のエネルギー準位

画像出典:粟野諭美他『宇宙スペクトル博物館』

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■ 連 載最新宇宙誌【8】■―25―

最初に、ウォーミングアップを兼ねて、このは i 番目の励起状態の「励起エネルギー熱平衡の（84）式から、励起状態に関するボ（exitation energy）」である。たとえば、水ルツマンの式から導出してみよう（図 48）。

素原子の基底状態と第一励起状態の間の励起

まず、基底状態（エネルギー E 0 ）の粒子数

エネルギーは 10.2eV で、対忚する光の波長N 0 と励起状態（エネルギー Ei）の粒子数 Ni（ライマンα）は 121nm になる。

はそれぞれ、（85）式と（86）式のようになる。ここで m p は陽子の質量である。

ではつぎに、電離状態に関するサハの式を導いてみよう（図 49）。以下では、天文学の悪しき慣例にしたがい、添え字 I で中性状態を、添え字 II で 1 階電離状態を表す。また励起状態だとか核種の違いなどは無視した単純な場合を考える。

図 48

基底状態と励起状態の熱平衡

図 49

中性状態と電離状態の熱平衡

さて、電離の際に考えないといけないのは、中性状態（エネルギー E I、粒子数 N I ）と電離状態（エネルギー E II、粒子数 N II ）に加え、電離した 自由電子 （エネ ルギー E e 、粒子数N e ）がある点だ。
それぞれの状態が温度 T の熱平衡になってこれらを辺々割り算すれば、教科書にも書いれば、それぞれの粒子数は、（88）式からかれている「ボルツマンの式」、（87）式が得（89）式のようになる。ここで m H は水素原られる。ここで、子の質量（ほぼ陽子の質量 m p に等しい）、

εi＝ E i－ E 0

m e は電子の質量である。
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エネルギーでも同じ式になる。
（ 粒子自体は温度の低い非相対論的な粒子だが、エネルギーを相対論的に測るということだ。）
その場合、（84）式のエネルギーには、i 状態の粒子の静止質量を入れればよい－（92）式。

これらを辺々割り算すれば、ようやく「サハの式」、（91）式が得られる。この式の 2 行目の変形では、電離水素（陽子）の統計的重みは 2、電子の統計的重みは 2、そして陽子と電子からなる水素原子の統計的重みは 4 と置き、水素原子のエネルギーなどに比べて電子のエネルギーは無視した。またここで、
χ＝ E II－ E I
は（基底状態から）電子が電離するために必要な「電離エネルギー（ionization energy）」である。たとえば、水素原子の電離エネルギ

後は同様に、それぞれの状態の粒子数を表

ーは 13.6eV で、対忚する光の波長（ライマ

すと、（93）式から（95）式のようになる。

ンα）は 91.2nm になる。すなわち 91.2nm

さらに、それらを辺々割り算すれば、サハのより波長の短い紫外線が当たれば、水素原子式として、（96）式が得られる。いまの場合、は電離する。

静止質量の差し引き：上では非相対論のレベルでエネルギーを測ったが、粒子の静止質量を用いた相対論的な

χ＝ m pc 2＋ m e c 2－ m H c 2

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■ 連 載最新宇宙誌【8】■―27―が、具体的に陽子や電子や水素原子の質量を一度、辿っていくと、最初よりは流れが整理入れて計算してみると、きちんと電離エネルできたように思える。

ギーになっている。こう比較してみると、化まず、天文学の悪しき慣習で、いったんは、学反忚もきっちり粒子の静止質量の欠損を使添え字に I（中性状態）や II（電離状態）をっていることがよくわかる。

使ったが、ここでは水素だけを考えるので、（97）式のように、もっとあからさまに、添6.2.3

水素の再結合と中性化

え字 H で中性水素を、添え字ｐで電離水素を

この前の節までは、春休みに粗稿は書いて表す。電子の個数密度は、当然、電離水素のいたのだが、この節で何を書くのか忘れてい個数密度と等しい。さらに（98）式のように、た。読み返してみると（笑）、どうやら、この中性水素の個数密度と電離水素のとを合わせ前の節で準備した式を用いて、電離度を計算て、バリオンの個数密度とする。

しないといけないようだ。電離度を表す式はこれらの記号をもちいて、改めてサハの式

メモにはすでに求めてあるようだが、グラフを書けば、（99）式のようになる。なお、水を描くためには簡単なプログラムを組まない

素の場合は、統計的重みの部分は、具体的数といけないようである。

値は、分母分子合わせて 1 である。
つぎに、中性水素と電離水素の和に対する電離水素の比として、（100）式のように、「電離度（ionization degree）」を定義する。ヘリウムとかが混ざっていると電離度の計算はややこしいが、単純な水素だけなら、それほど問題はないだろう。すぐわかるように、全部の水素が中性状態なら電離度は 0 で、完全に電離すれば電離度は 1 である。また（100）
式を尐し変形すると、中性水素と電離水素の比が（101）式のように書けることがわかる。
そこで、（99）式のサハの式の両辺を中性水素と電離水素の和で辺々割って、いまの電離度などに直すと、（102）式が得られる。ここらへん、細かいステップは多いが、ごくストレートな変形だろう。
この（102）式では、バリオン（中性水素と電離水素）の個数密度がわかりにくいので、つぎは、これを光子数密度 Nγ に直す変形を行う。まず、ずいぶん前の（35）式で導入した、光子数密度に対するバリオン数密度の比を（103）式のようにηγ と置こう。この比の自分で書いたメモがわからない（いつもの値はだいたい見積もられていて、具体的には、ように字が読めないのではなく、なんでこん10 億分の 1 程度だった。これをもちいれば、な式を書いたのかがわからない）ので、もう（102）式は（103）式のようになる。

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この（103）式では、ηγ は値がわかっていということで、定数設定などを除けば、プるが、光子数密度 Nγ が残っている。これもログラム本体は 10 行ほどの短いプログラム

ずいぶん前の（37）式であったように、熱平を組んで、電離度を計算してみたのだが、ど衡になっているので、温度の関数として、うも思わしい値が出ない。式から見直してみ（105）式のように表せた。ここでζ（3）＝たら、何のことはない、（106）式で一か所分1.202 である。この（105）式を（104）式に母分子が逆になっていたのだ（もちろん上の代入して、具体的な数値も入れると、ようや式は修正済み）。プログラムは 20 分ほどで済く、電離度を表すために欲しいもの（106）んだのに、デバッグの方が時間がかかってし式が得られる。

まった。
ともあれ、温度の関数として電離度を表したグラフが図 50 だ。温度が 5000K ぐらいでは 水 素 はま だほ ぼ 完全 に 電離 し てい るが 、4000K ぐ ら い で 電 離 度 が 下 が り は じ め 、3000K 程度で中性状態になることがわかる。
すなわち、宇宙膨張とともに温度が下がるにつれ、再結合は徐々に進んでいくのである。
おおざっぱに、10 万年ぐらいかかる。

図 50

温度と電離度すなわち、（106）式では、電離度 x が温度いつをもって再結合時とするかは、後は定T の関数で表されており、しかも、温度 T を義の問題で、まぁ、電離度がちょうど半分の与えれば、電離度の 2 次方程式なので、解（正0.5 になったときが適当だろうと定義すれば、負のうち正の方）を得るのは難しくない。実温度では約 3700K ということになる。これが際に、いろいろな温度に対して電離度を計算何度か上げた再結合時の温度の値だ。

するのは、電卓を叩くよりも短いプログラムを組んだ方が早いというわけだ。

一方で、電離度が 0.5 ということは、まだ電離したプラズマが半分残っているのだから、まだ視界は靄がかかった状態で、とうてい晴天文教育 2008 年 9 月号（Vol.20 No.5）

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れているとはいえないだろう。水素が中性化

宇宙の晴れ上がり前後に起こる事柄で、して電離度がほぼ 0 になった状態が宇宙の晴・陽子と電子の再結合れ上がりとすべきで、そうすると晴れ上がり・宇宙の晴れ上がりの温度は約 3000K になる。

・光子の最終散乱というわけで、再結合の温度と晴れ上がりの温度は尐し違うことになるのである。
また、赤方偏移の関数として電離度および温度を表したのが図 51 である。

は、微妙に異なる出来事である。再結合と晴れ上がりの違いは述べたが、ここで光子の最終散乱について、簡単に述べよう。
陽子と電子の再結合は水素の電離度が 0.5になる時点と定義したが、その時点で宇宙がどれくらい不透明かとかは考えていない。また宇宙の晴れ上がりは水素が中性になった時点とした。これは正確な定義ではないようだが、ここではそうしておこう。
たしかに、宇宙が晴れ上がってしまえば、宇宙は透明になっているだろうが、尐しぐらい靄があっても、ある程度は見通せるものだ。
つまり電離度などの状態とは別に、どれくらい先まで見えるか、どこを見ているのか、とい う 観 点で 決ま る のが 、 光子 の 「最 終散 乱（last scattering）」という現象なのだ。

図 51

赤方偏移と電離度（実線）および温度（波線）

言い換えれば、宇宙の晴れ上がりより、尐しぐらい前が見えてもいいわけである。幸いに、光子の最終散乱と宇宙の晴れ上がりは、まとめに変えて、以前に上げた表を再掲しておこう（『天文教育』2008 年 7 月号 15 頁）。
再結合時の赤方偏移は約 1400、晴れ上がり時の赤方偏移は約 1100 ということになる。
表 11

晴れ上がり前後のできごと（表 10 と同じ）―――――――――――――――――――――――――
時刻

赤方偏移 温度

出来事―――――――――――――――――――――――――
4 万 7000 年 3570

9700K

等密度時

24 万年

1370

3700K

陽子と電子の再結合

38 万年

1088

3000K

晴れ上がり
最終散乱―――――――――――――――――――――――――

6.2.4

事実上はほぼ同じ時点になっているようだ。
見通せる範囲－視界－に関して、平均自由行程と光学的厚みには触れておこう。
宇宙の中を光が進むと、一般に途中の媒質によって、吸収されたり散乱されたりする（図52）。このとき、物質に邪魔をされることなく光が進める距離が「平均自由行程（meanfree path）」である。間にある物質の量や状態によって光の平均自由行程は変化する（図53）。間にある媒質は、一般にはガス物質だが、ここで考えているケースでは、自由電子の存在が問題で、光子が自由電子に衝突して散乱されると、まっすぐに進めなくなる。

光子の最終散乱

以前にも書いたが、表 11 にあるように、
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エポックⅡ：宇宙の晴れ上がり～輻射と物質の時代の終わり＆暗黒時代の始まり（後編 3）

ス密度に反比例する。また、物質の種類や状態によっても平均自由行程は変わる。空気中に水滴が多いと光は届きにくいし、ガスが電離すると光は届きにくくなる。そこで、密度以外のそれらの要素を含めた“通りにくさ度合い”を「不透明度（opacity）」と呼ぶ。
以上から、定義的に、光の平均自由行程λ[cm]は、ガス密度ρ[g/cm3]と（ガス密度以外の全部の要素を含む）不透明度κ[cm2/g]の積
図 52

光線中の光の吸収・放出および散乱に反比例する：

1



光子の伝播を邪魔する粒子（水滴や黄砂や電子）の個数密度 n[/cm3]と衝突断面積σ[cm2]を用いて表すこともできる（図 54）：



図 54
図 53

天気のよい晴れた日には、平均自由行程は長く光学的厚みは薄くなり、遠くまで見通せる（上）。しかし、水滴などいろいろな原因によって、平均自由行程は短くなり光学的厚みは大きくなる（下）。
物質中を伝わる光の平均自由行程を決める要因の一つは、物質（ガス）の密度だ。ガスの密度が濃ければ、光はより短い距離でガス1n

断面積σの粒子が個数密度 n で一様に分布していれば、σλという円筒の体積中の粒子数は nσλとなり、その粒子数が 1になったときに衝突が起こる。
この平均自由行程の代わりに、よく使うのが、光が感じる“距離”としての「光学的厚み（optical depth）」である。光が通過した
実距離 s と物質密度ρと不透明度κを用いると、光学的厚みτは、次式で定義される：粒子に出会うだろうから、平均自由行程はガ
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   ds

■

連 載

最新宇宙誌【8】■―31―

単位を掛けたらわかるように、光学的厚みの単位は無次元である。光学的厚みが小さいと光は真っ直ぐに進みやすいが、光学的厚みが大きいと光は通過しにくくなる。また、平均自由行程との関連で言えば、“ 光学的厚みが１になる距離が平均自由行程”に他ならない。
すなわち、光学的厚みが１になる実距離（平均自由行程）だけ進むと、光は物質粒子に出会うこととなる。
以上、おおまかな近似では、われわれがみている（観測している）のは、光学的厚みが1 の場所だと言える。つまり、宇宙が晴れ上がったところ（光学的厚みは 0）ではなく、図 55

最終散乱面。観測者を中心に宇宙の彼実際には、もう尐し向こうまで見通せている方で球状に取り巻いている。雲の表面のよだろうというのは、そういう意味だ。ただし、うに、やや幅はある。

実際には、散乱は確率過程なので、最終散乱（最後の散乱）は、光学的厚みがぴったり 1

いのと同様、宇宙背景放射は可視光からはずになった場所だけで起こるのではなく、それれてしまい、宇宙は闇に包まれているだろう。

より浅いところや深いところで起こるので、文字通り、宇宙の暗黒時代が到来する。

ある程度の幅は出てくる。

このエポックⅡ、まとめるのに、足かけ 1

この最終散乱面は、観測者を中心に宇宙の彼方で球状に取り巻いている（図 55）。宇宙年もかかってしまった。この調子だと連載はの彼方で光るプラズマの壁が取り巻いているいつまでかかるやら（謎）。のである。
宇宙 開闢 から 38 万年 後（ 赤方偏 移は 約1088、宇宙の大きさは約 1 億光年）、宇宙は晴れ上がり、物質は無色透明になる。ただし、こ の 時 点で は、 宇 宙背 景 放射 の 温度 はま だ
3000K もあるので、実際には宇宙全体はまだ

文

献[1]福江純（2005）『100 歳になった相対性理論』，講談社．
[2]早川幸男・佐藤文隆・松本敏雄 編（1988）『現代の宇宙論』，名古屋大学出版会．

まだ眩しい世界だろう。しかし宇宙が膨張す[3]バーバラ・ライデン（2003）『宇宙論入門』

るとともに、宇宙背景放射の温度は赤方偏移（牧野伸義 訳），ピアソン・エデュケーシに反比例して下がり、赤黒くなっていき、宇ョン．

宙が 10 倍ほど膨らんだころ（赤方偏移は約100、宇宙の大きさは約 10 億光年）には、人間の体温程度の 300K ぐらいに下がってしまう。おそらくこの時代、まだ初代の天体－宇[3]Gerhard Borner （ 1993 ）“ The EarlyUniverse”，Springer-Verlag．
[4]横尾武夫 編（1993）『新・宇宙を解く』，
恒星社厚生閣．

宙の一番星－は生まれていない。宇宙に赤外線光子は満ちているが、闇夜に人間が光らな

福江

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