女子部中等科２年 数学「図形について考える」
伊藤洋美
中等科２年の数学では図形について学習する。二等辺三角形の場合、まず「２つの辺が等しい三角形」という定義をし、その定義をもとに論理の積み重ねによって二等辺三角形のいろいろな性質を見出していく。そしてこれらの性質がこの図形についていつでも正しい、つまり任意の二等辺三角形について成り立つこと、例えば「二等辺三角形の２つの底角は等しい」ことを認めるためには、証明を必要とするという立場を数学はとるのである。
そのために、授業では平行線と角との関係から三角形の内角の和が二直角になることを示し、三角形の合同条件を使って図形についての論証に入った。仮定から結論へ、定理の証明や簡単な性質の証明をいろいろ行い、さらに与えられた教科書の問題を発展させ、ある事柄が他の図形の場合でも同じように言えることを確認するという、発展的学習を試みた。以下はその報告である。

Ⅰ．はじめによって、∠ACQ=∠PCB

報告を聞くための予備知識として、次の言葉や内容の説明をした。

③①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△AQC≡△PBC

証明、仮定、結論、定義、定理、対頂角、内角、外角、

したがって、AQ＝PB

合同、３つの合同条件、正三角形・正方形・正多角形の（終）定義（２）AQ と PB の交点を K とするとき、∠AKP の大Ⅱ．教科書の問題からきさを求めなさい。

問題１．下の図のように、線分 AB 上に点 C をとり、（解法）△ALC と△PLK において、AC、BC をそれぞれ１辺とする正三角形 ACP、CBQ を△AQC≡△PBC より、∠QAC=∠BPC④つくるとき、次の問いに答えなさい。

対頂角は等しいから、 ∠ALC=∠PLK⑤P

三角形の内角の和が 180°と④、⑤より、∠ACP＝∠AKP

Q
L
A∠ACP=60°より、∠AKP＝60°

KC

（終）
B

Ⅲ．発展問題その１・・・図形を変える
この問題を解いた後、今度は次のように条件の一部分（１）AQ=PB であることを証明しなさい。

を変えた問題を考えた。

（証明）△AQC と△PBC において、△ACP は正三角形だから、AC=PC①

問題２．Ⅱの問題１の図形を正三角形の代わりに、下の△CBQ も正三角形だから、CQ=CB②

図のような AC、BC をそれぞれ１辺とする正方形とし正三角形の１つの内角は 60°であるから、たとき、同じように AQ=PB が成り立つか、AQ の延長∠ACQ＝∠ACP+∠PCQ=60°＋∠PCQと PB との交点を K とするとき、∠AKP の大きさはい∠PCB＝∠QCB+∠PCQ=60°＋∠PCQ

くつか。

P

（１）
（証明）△ACQ と△PCB において、正 n 角形は辺の長さ、角の大きさがすべて等しRRRRR
Q
A

K

いから、C

B

証明はⅡの問題１の証明と類似であり、AQ=PB、AC＝PC①

QC＝BC②∠ACQ=∠PCB③①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、∠AKP＝90°であることがわかる。

△ACQ≡△PCB問題３．Ⅲの問題２の図形を正方形の代わりに、AC、したがって AQ=PB

BC をそれぞれ１辺とする２つの正五角形について、AQ=PB が成り立つか、AQ の延長と RB との交点を Kとするとき、∠AKP の大きさはいくつか。

（終）（２）（解法）△AQC と△PQK において、△ACQ≡△PCB より、∠QAC＝∠BPC ④対頂角は等しいから、∠AQC＝∠PQK

R∠ACP＝∠AKP

K

QK

A

三角形の内角の和が 180°と④、⑤より、

PP⑤(

正 n 角形の内角の和は、180 ° × n − 2C)

正 n 角形の１つの内角の大きさは、
C
B

証明はやはりⅡの問題１の証明と類似であり、

360 
180 ° × (n − 2) ÷ n ＝180 ° −nAQ=PB、∠AKP＝108°であることがわかる。
これより、∠ACP=∠AKP＝180 ° −ここまで考えてくると、一般化された正 n 角形につい360 n(終)ても次のことが成り立つか、調べたくなる。
問題４．AC、BC をそれぞれ 1 辺とする２つの正 n 角形が下の図のように接しているとき、これが正 n 角形の１つの内角の大きさを表している
ことは、正 n 角形の外角の和が 360°なので、（（１）AQ=PBが成り立つか。
（２） AQ の延長と PB の交点を K とするとき、∠AKPの大きさはいくつになるか。

360 は正 n 角形の１つの外角の大きさを表す。
n180°から１つの外角を引いているので、PKQからもわかる。

CBA

360 
は正 n 角形の１つの内角であること
180 ° −nこのことから、正三角形として出された問題は正多角形どうしの問題に変えても、２つの線分 AQ と PB の長さは等しく、∠AKP の大きさは正多角形の１つの内角の大きさに等しいことがわかった。

㋒ 下の図について、次のことを証明しなさい。
PK

Ⅳ．発展問題その２・・・図形を回転させる
L

これまでは２つの図形が並んだ場合について考えたが、今度は条件を次のように変えて調べてみた。

Q

問題５．Ⅱの問題１の△CBQ を△ACP の点 C を回転の中心として回転移動したとき、AQ＝PB が成り立つか、

B

A

C

また AQ（またはその延長）と PB（またはその延長）（１）AQ＝PB は成り立つか。のつくる角の大きさはいくつになるか。

（証明）△QAC と△BPC において、授業では回転移動した図を次の㋐～㋖の７つの場合
P㋖P△CQB も正三角形だから、QC=BC②∠ACQ=∠ACP－∠QCP＝60°―∠QCPQ∠PCB＝∠QCB－∠QCP＝60°―∠QCP
A←CC

よって、∠ACQ=∠PCB
Q

A①

正三角形の１つの内角は 60°であるから、にわけ、それぞれの場合について調べた。
基本図△APC は正三角形だから、AC=PCC

B③①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△QAC≡△BPC↓B↑

したがって、AQ＝PB
（終）

P

㋐

Q

（２）AQ の延長と PB の交点を K とするとき、∠AKP

P㋕
Bの大きさを求めなさい。
（解法）△ALC と△PLK において、
AA

CCB
↓P

㋔
Q

対頂角は等しいから、∠ALC=∠PLK⑤

三角形の内角の和が 180°と④、⑤より、∠ACP＝60°より、∠AKP＝60°
(終)

B
B

A④

∠ACP＝∠AKP↑P㋑

Q△QAC≡△BPC より、∠QAC＝∠BPC

C㋔ 下の図については次のような証明をした。

ACQ

↓P

㋒

P㋓B

Q
↑AP↑
B

B→C

A

QC

報告会ではその中の２つの場合㋒、㋔を次のように報告した。

AM
K
Q（１）AQ=PB が成り立つか。

C（２）AQ と PB の交点を K とするとき、∠AKP の大（証明）△ACQ と△PCB において、△PAC は正三角形だから、AC=PC①

きさを求めよ。

△BQC も正三角形だから、CQ= CB②(解法) AQ と PB の交点 K は点 C に一致する。

正三角形の１つの内角は 60°であるから、正三角形の 1 つの内角は 60°であるから、∠ACQ＝∠BCQ－∠BCA＝60°―∠BCA∠AKP=∠ACP=60°∠PCB＝∠PCA―∠BCA＝60°―∠BCA
よって、∠ACQ＝∠PCB③（終）このように、△CBQ を△ACP の点 C を中心に回転し①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞた場合は７種類のどの場合も、AQ＝PB が成り立ち、れ等しいから、△ACQ≡△PCB∠AKP＝60°であることがわかった。

AQ＝PB

したがって、（終）（２）
AQ とPBの延長との交点をKとするとき、∠AKP

Ⅴ．発展問題その３・・・図形を変えて回転させる
授業ではさらに正三角形を正方形に、正方形を正五角の大きさを求めよ。

形にかえて回転移動した場合も証明してみたが、同じよ（解法）△AKM と△PCM において、うに２つの線分 AQ と PB の長さはいつでも等しく、線△ACQ≡△PCB より、∠CAQ=∠CPB ④

分 AQ（またはその延長）と PB（またはその延長）の対頂角は等しいから、∠AMK=∠PMC ⑤つくる角（∠AKP）の大きさは正方形の場合は 90°、三角形の内角の和が 180°と④、⑤より、正五角形の場合は 108°であった。
このことから正 n 角形が回転移動した場合も同じよ∠AKP＝∠ACP

うに、２つの線分 AQ と PB の長さは等しく、線分 AQ∠ACP＝60°より、∠AKP＝60°（終）（またはその延長）と PB（またはその延長）のつくる角（∠AKP）の大きさは正 n 角形の１つの内角に等し

ここで、報告会では発表しなかったが、授業で㋓や㋖くなることが予想できる。の証明の仕方について質問が多かったので、㋖についてⅥ．終わりにも触れてみようと思う。
㋖ 点 A、C、Q と点 P、C、B がそれぞれ一直線上に並んだ場合の証明（下図参考）

図形の証明は複雑なものが多く、やらされているという思いを持つ生徒もいるので、負担の少ない問題はないPかと考えていた。今回の授業の流れは、与えられた問題から新しい問題をいろいろ創り出すおもしろさを体験

AQCすることができ、また証明に使う手法は単純な繰り返しであったにもかかわらず、証明から得られた結果は正多B角形のどの図形においても同じことが言えるという美（１）AQ=PB が成り立つか。

しさがあったので、この題材を選び、授業を組み立てる（証明）△APC、△CQB は正三角形だから、ことにした。

AC=PC

数学的な考え方を身に付けていくことを主眼におき

CQ=CBながら、自らが主体的に学ぶことのおもしろさを少しで

点 A、C、Q と点 P、C、B はそれぞれ一直線上にも感じてくれれば幸いである。

あるから、
AQ=AC+CQ

Ⅶ．参考文献PB=PC+CB「中学校数学２」「中学校数学２教師用指導書」

これより、AQ=PB

学校図書
（終）

平成 22 年 2 月 10 日発行「数学的考え方」 栗田稔著 啓林館 昭和 49 年 9 月