2018 年度第 48 回
天文・天体物理若手夏の学校

集録集

重宇

謝辞

2018 年度天文・天体物理若手夏の学校は、基礎物理学研究所 (研究会番号:YITP-W-18 − 02) を始め、国立天文台、理論天文学宇宙物理学懇談会、一般社団法人 豊橋観光コンベンション協会、光学赤外線天文連絡会、高エネルギー宇宙物理連絡会、野辺山宇宙電波観測所からのご支援、また、
企業・個人 (プログラム集参照) からご寄付により成り立っております。事務局一同厚く御礼申し上げます。

重力・宇宙論分科会

オーラルアワード (重力・宇宙論分科会)
順位 講演者

所属

学 講演タイトル
年

1位

田中俊行

名古屋大学 D1 21-cm 線グローバルシグナルに残された初
代星の痕跡

2位
3位

大宮英俊

3位
3位

古郡秀雄

阿部克哉

中司桂輔

京都大学

M1 S 行列による低エネルギー有効理論の制限
名古屋大学 M1 スニヤエフ・ゼルドビッチ効果を用いた原始ブラックホールの密度パラメータへの制限名古屋大学 M1 事象の地平面上に生える光子の毛立教大学
D1 non-singular ブラックホールからの量子的輻射ポスターアワード (全分科会)
順位 分科会名 講演者

所属

学 講演タイトル
年

1位

星惑

安部大晟

名古屋大学 M1 分子雲中におけるフィラメント形
成と星形成開始条件の解明に向
けた数値シミュレーション

2位

星惑

櫻庭遥

東京工業大 M2 エンスタタイトコンドライト集
学

3位

銀河

安藤誠

東京大学

積による地球大気形成

M1 COSMOS 領域における原始銀河団コアの探索indexa1

阿部克哉

スニヤエフ・ゼルドビッチ効果を用いた原始ブラックホールの密度パラメータへの制限

a2

西村和也

regular black hole の不安定性と蒸発のタイムスケールの考察

a3

高橋さくら

ボースアインシュタイン凝縮体による超大質量ブラックホール形成

a5

古郡秀雄

事象の地平面上に生える光子の毛

a6

中司桂輔

non-singular ブラックホールからの量子的輻射

a7

木村和貴

Exotic Compact Object における Echo の理論的性質と Template 作成

a8

武田芽依

重力波データ解析で用いるベイズ統計の有用性の検討

a9

粂潤哉

重力波 GW170817 の検出データに対する独立成分分析

a10

津名大地

宇宙ひもからの重力波：これまでの成果と今後の展望

a12

伊藤輝

lensing 解析における baryon physics の寄与

a14

近藤寛人

弱い重力レンズからの銀河バイアス推定

a16

杉山素直

BAO 復元アルゴリズムの提案と評価

a17

田中章一郎

CMB の弱い重力レンズ効果と中性水素の相互相関による 21cm 線の検出可能性

a18

田中俊行

21-cm 線グローバルシグナルに残された初代星の痕跡

a19

吉田貴一

ライマンα線を用いた小スケールの等曲率ゆらぎへの制限

a20

福永颯斗

アクシオンの自己相互作用による宇宙の構造進化

a21

LUO Yudong

Fluctuations of Primordial Magnetic Field and Its Eﬀect on Big bang Li Problem

a22

大宮英俊

S 行列による低エネルギー有効理論の制限

a23

田中ペドロ

真空エネルギーと余剰次元を用いた宇宙定数問題の解決

a25

森祐子

Higgs G インフレーションにおける Goldstone mode の影響

a27

三嶋洋介

Gravitational Reheating Constraints on Quintessential Inflationb1

南岳

Gravitational redshift in void-galaxy cross-correlation function in redshift space

b2

上田和茂

曲がった時空における真空と量子縺れ

b4

久野晋之介

超低周波重力波の検出とその制限

indexc1

安藤梨花

21-cm 線観測における中性水素バイアスのモデル化

c2

中島大佑

Stacking を用いた宇宙再電離期からの 21cm 線の検出可能性

c3

簑口睦美

N 体シミュレーションを用いたボイド進化の解析

c4

杉浦宏夢

ダークマターハロー内部の位相構造について

c5

橋本大輝

γ 線背景放射の銀河団との相互相関解析を用いた赤方偏移特性の探査

c6

中村進太郎

ベクトル・テンソル理論に基づいた暗黒エネルギー模型に対する観測的制限

c7

栗田智貴

宇宙の大規模構造による弱重力レンズ効果への Intrinsic Alignments の影響

c8

小粥一寛

銀河形状による初期三点相関の非等方性の検証

c9

箕田鉄兵

宇宙マイクロ波背景放射の非等方性を用いた原始磁場の観測的解明

c10

森田拓弥

回転する天体による重力波の干渉

c11

富川慶太郎

超ハッブルスケールで成長する曲率ゆらぎから 2 次的に誘起される重力波

c12

根岸諒

重力波のパラメータ推定

c13

松崎和紘

重力波解析における Matched Filter について

c14

TakeuchiKeito

インフレーションと原始ゆらぎの non-Gaussianity

c16

佐竹響

ブラックホール熱力学と Wald のエントロピー公式

c17

浅見拓紀

正則な球対称ブラックホールの量子放射

c19

小池貴博

ホワイトホールを考慮したブラックホールのライフサイクルのモデル化

c20

佐土原和隆

スカラー場による裸の特異点とブラックホール時空

c21

高木かんな

Multifractional theories の宇宙論的応用に向けて

c22

佐野有里紗

Multifractional theories と時空次元の実質的な変化

c24

那須千晃

K-Mouflage タイプのスカラー場が与える星の内部への影響

c25

平野進一

Positivity bound in modified gravity

c26

片桐拓弥

一般化された境界条件を用いた反ドジッター時空の不安定性解析

c27

辻村潤

Holographic entanglement negativity conjecture

c28

遠藤洋太

Proca star

c29

上田周

時空の離散化に向けた非線形微分方程式の差分化について

c30

渡邊慧

負の屈折率を持つ Metamaterial の物理的基礎と重力系への応用可能性について

c31

楠見蛍

Variable Hyperbolic Metamterial による符号変化問題のモデル化

——–index

a1

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

スニヤエフ・ゼルドビッチ効果を用いた原始ブラックホールの密度パラメータへの制限阿部 克哉 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙マイクロ波背景放射（CMB）などの観測により、宇宙の構成要素のうちおよそ 27%がダークマター
であることが判明している。ダークマターとは宇宙の構造形成を司る非常に重要な物質である。しかし、未だその実態は明らかにされておらず、ダークマターの解明は宇宙論における重要課題の１つとなっている。
そのダークマターの候補の 1 つに原始ブラックホール（PBH）がある。PBH とは、宇宙初期に高密度領域
が重力崩壊して形成されるブラックホールである。未だに観測例がなく、現在様々な観測によってその存在量に制限を与える取り組みがされている。
本研究ではスニヤエフ・ゼルドビッチ効果（SZ 効果）と呼ばれる現象の観測により、PBH の密度パラメー
タに制限を与える。SZ 効果とは CMB 光子が高温プラズマを通過した時に、逆コンプトン散乱を通じて電子からエネルギーを受け取り、CMB の温度スペクトルが歪む現象である。PBH ごく近傍のガスは、降着時の重力エネルギー解放により温度が上昇し熱制動放射を引き起こす。そのため PBH は UV や X 線の放射源となり、周囲のガスを加熱し電離する。これらの加熱、電離されたガスが SZ 効果を引き起こす。
本研究ではまず、PBH 周辺の電離・温度構造を明らかにするため、PBH の放射光度を仮定し輻射輸送シ
ミュレーションを実施した。それによると、例えば 100M⊙ の質量を持つ PBH の場合、エディントン光度の 1%程度の放射で数 kpc スケールの電離領域を作ることがわかった。この結果をもとに PBH による SZ 効果を計算し、さらには CMB の温度ゆらぎのスペクトルに与える影響を見積もった。この結果を South Pole

Telescope（SPT）の観測結果と比較することにより PBH の密度パラメータに新しい制限を与えた。

1

Introduction

光子が高温プラズマを通過した時に、逆コンプトン
散乱を通じて電子からエネルギーを受け取る現象でPlanck 衛 星 に よ る 宇 宙 マ イ ク ロ 波 背 景 放 射（CMB）などの観測から、宇宙の構成要素のおよそ27%はダークマターと呼ばれる未知の物質であることが判明している。ダークマターとは宇宙の構造形
成を司る非常に重要な物質であるが、未だその実態は明らかにされておらず、ダークマターの解明は宇宙論における重要課題の１つである。そのダークマ
ターの候補の 1 つに原始ブラックホール (PBH) がある。PBH とは、宇宙初期に高密度領域が重力崩壊して形成されるブラックホールである。未だに観測例がなく、現在様々な観測によってその存在量に制限を与える取り組みがされている。
今回私はスニヤエフ・ゼルドビッチ効果（SZ 効果）と呼ばれる現象の観測により、PBH の密度パラメー
タに制限をつけることを考えた。SZ 効果とは CMB

ある。PBH ごく近傍のガスは、PBH に降着する際重力エネルギーを解放し温度が上昇するため、制動放射によって UV や X 線を放つ。そのため PBH の周辺のガスは電離・加熱され高温プラズマとなり、SZ
効果を引き起こす。本研究ではその制動放射の光度（以下 Lpbh とする。）を ϵ というパラメータを用いて扱い、この放射により引き起こされる SZ 効果、さらには SZ 効果により引き起こされる CMB のスペ
クトルの非等方性について議論する。ここで ϵ とはLpbh ≡ ϵLedd として定義される、Lpbh とエディント
ン光度 Ledd の比である。
具体的にはまず、PBH の質量 Mpbh と ϵ を仮定して見積もった光度をもとに PBH からの放射の輻射輸送を解くことにより、各赤方偏移での PBH 周辺のガスの状態を明らかにする。その情報から PBH が2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
各赤方偏移で SZ 効果をどの程度生じさせるのかを計算することができる。そして PBH による SZ 効果に伴う CMB 温度のスペクトルに非等方性を計算し、この非等方性が South Pole Telescope（SPT）の観測結果に矛盾しないように PBH の密度パラメータ

fpbh (= Ωpbh /Ωダークマター ) を決めることで、この密度パラメータに上限を設けることができる。
本発表ではまず、本研究に関わる物理と輻射輸送
シミュレーションのセットアップ、そして本研究で使用した角度パワースペクトルの式の紹介をする。その後、それらの計算から PBH の密度パラメータの上限を見積もった結果を順に説明していく。

2.2

Radiative transfer simulation

PBH によって生じる y-parameter を計算するためには PBH 近傍のガスの電離・温度構造を詳しく知る必要がある。そのため 1 次元球対称輻射シミュレー
ショ ンの計算を用いて、PBH 近傍のガスの電離・温度構造を調べる。
ガスの状態を記述する方程式は以下の式である。

dxHI= −kHI,γ + αB nH xe xHII
dt
(
)
dTgas
µmp kB T dρ= (γ − 1)+Γ−ΛdtkB ρ µmp dt

(3)
(4)

ここで xHI 、αB 、xHII 、γ 、µ、mp 、ρ はそれぞれ,HI frac-2

tion、再結合率（Peebles (1993)）、HII fraction、比Methods

熱比、平均分子量、陽子の質量、ガス質量密度であ

この章では PBH により生じる SZ 効果を見積もり

り、kHI,γ (R) は以下の式 (5) で表される、Lpbh によ

手法、PBH 周辺のガスに関する輻射輸送シミュレー

る電離率である。

ション、さらには PBH の数密度への制限方法を具体

xHI (R)
kHI,γ (R) =4πR2

的に紹介する。

∫ ∞νLLν,pbhσHI,ν e−τHI,ν (R) dνhν(5)

ここで R、ν 、νL 、σHI,ν 、Lν,pbh 、τHI,ν はそれぞれ PBH

2.1

Compton y-parameterからの距離、周波数、Lyman limit 周波数、電離光

SZ 効果を見積もる時には以下のように定義される 子の吸収断面積、Lpbh の周波数ごとの光度、周波数
Compton y-parameter（以下 y や y-parameter と表 ごとの HI ガスによる光学的厚みである。本研究ではす。）と呼ばれる無次元物理量を考える。これは視線

Lpbh の周波数依存性として Lν,pbh ∝ ν −1.5 を仮定し方向から飛んでくる CMB 光子がどの程度散乱された。
さらに式 (4) の Γ は加熱率である。加熱過程としるかを表す物理量である。

cσT
y=
me c2

て中性水素が光電離されることによる加熱のみを考∫
dt nH xe kB Tgas

(1) 慮した。

ここで σT 、me 、c、nH 、xe 、kB 、Tgas はそれぞれトム
ソン散乱断面積、電子の質量、光速、水素核数密度、
電離度、ボルツマン定数、そしてガスの温度である。

nHI (R)
Γ=
4πR2

∫ ∞
νL

Lν,pbh(hν −hνL )σHI,ν e−τHI,ν (R) dνhν(6)

また式 (4) の Λ は冷却率であり、本研究では再結合

y-parameter は言い換えれば CMB 光子が高温プラ

放射冷却、衝突電離冷却、水素原子冷却、コンプトン

ズマ中の電子からどの程度エネルギーを与えられた冷却の４つを考慮した。（Fukugita, M. &Kawasaki,

かを表す量であり、それゆえ CMB の温度ゆらぎと
以下のような関係を持つ。 （Zeldovich & Sunyaev(1969)）∆Tx≃
Tcmb
1 − ex()
x− 4 y ≡ g(x)ytanh(x /2)

ここで x ≡ hν/kB Te である。

M (1994)）そして宇宙膨張による Hubble flow を考慮することにより宇宙膨張による効果も計算に取り
入れた。

(2)

実際の計算に関するセットアップは以下の通りである。

• 赤方偏移の初期値は z = 200

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校• ガスの水素核密度、電離度、温度の初期値は z =200 時の銀河間ガスの値• ガスの密度と背景の温度、電離度は銀河間ガスの時間進化に従う

3

Results
Mpbh = 10, 100, 1000 [M⊙ ] に対して、それぞれ

ϵ = 0.01, 0.0001 の計 6 パターンにおいて輻射輸送の数値シミュレーションを行い、上式 (7)、(8) を用いて CMB の温度揺らぎを計算した。Mpbh = 10[M⊙ ]、2.3

Angular power spectrum

ϵ = 0.0001 の PBH 周辺のガスの輻射輸送数値シミュ

本節では，PBH による y-parameter の非等方成分の評価に用いた角度パワースペクトルについて紹介をする。本研究では簡単のため全ての PBH が同じ質

レーションの結果は図 1 と図 2 である。宇宙膨張に乗って電離領域、加熱領域も広がっていることがわかる。

量であることを仮定する。
本研究では宇宙に分布している PBH による寄与を考えるため、角度パワースペクトルは ClTT =
TT(1)

Cl

TT(2)

+ Cl

TT(1)

と表せる。Clは PBH 内部のTT(2)過密度領域の相関を表す項で、Clは PBH 間の相関を表す項である。ここで簡単のため、この温度の角度パワースペクトルを y-parameter の角度パワースペクトルに書き直す。その際式 (2) を用いると Cl (yy) ∼ ClTT /g 2 (x) のように書き直すことがで
図 1:

きる。
宇宙論的スケールにおいてリンバーの式を適用す
ると、y-parameter の角度パワースペクトルに書き

各赤方偏移における PBH 近傍の電離構

造 Mpbh = 10M⊙ 、ϵ = 0.0001 縦軸は電離度、横軸は原点（PBH）からの距離 [pc] である。

直したこれら２つの項の積分表式は以下のように記述できる。 （Cole & Kaiser (1988)）
∫
dV
2
yy1
npbh (M, z) × (yl,pbh (M, z))
Cl = dzdzdΩ(7)∫
Clyy2 =dzdVl
P (k =)dzdΩ
dM (z)× (npbh (M, z)yl,pbh (M, z))2(8)
図 2: 各赤方偏移における PBH 近傍の温度構造
ここで V と dM は共動座標系での体積と距離である。 M= 10M 、ϵ = 0.0001 縦軸は温度 [eV]、横軸
さらに k は波数、l は天球面上での見込み角に対応す

る波数、P は物質の密度ゆらぎのパワースペクトル、

pbh⊙

は原点（PBH）からの距離 [pc] である。

そして npbh は PBH の数密度 [1/Mpc3 ] である。ま

計算した y-parameter から角度パワースペクトルをた、yl,pbh とは PBH による y-parameter を l にフー見積もった結果が図 3 である。図の黒線が primordial

リエ変換した値、∫ ∞yl,pbh =d2 θ y(θ)exp(−iθ · ℓ)

な CMB の温度ゆらぎのスペクトルと SPT による観

0

である。

(9)

測結果である。
さらに図 3 から、PBH により生じる CMB 温度ゆらぎが観測結果に矛盾しないような PBH の密度パ

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 3: PBHs による SZ 効果から生じた CMB 温
度 ゆ ら ぎ の 角 度 パ ワ ー ス ペ ク ト ル と CMB の 観

図 4:

先行研究 （Ali-Haı̈moud& Kamionkowski

測結果（SPT）Mpbh = 10, 100, 1000[M⊙ ]、ϵ = (2017)）と本研究の PBH の密度パラメータの上0.01, 0.0001 縦軸は角度パワースペクトル [µK2 ]、横 限 Mpbh = 10, 100, 1000[M⊙ ]、ϵ = 0.01, 0.0001
軸は l である。赤色は Mpbh = 1000[M⊙ ]、青色は

Mpbh = 100[M⊙ ]、緑色は Mpbh = 10[M⊙ ] を表し、さらに実線は ϵ = 0.01、点線は ϵ = 0.0001 を表す。

5

Disscution & Future work
以上より Lpbh の大きさを仮定することで PBH のラメータを計算することにより、以下の表 1 のよう

密度パラメータへ制限を与えることができた。しかしな上限がつくことがわかった。

Lpbh の典型的な大きさ、すなわち PBH 付近のガスによって生じる放射の光度に関しては未だ詳しくわ

ϵ0.01

0.0001

表 1:

質量 [M⊙ ]max(fpbh )かっていない。そのため、今後の課題としては Lpbh

1000

3.8243 × 10−4の現実的な見積もりを行い、さらなる PBH の密度パ

100

4.0499 × 10−4

ラメータへの制限を求めていきたい。

10

4.3216 × 10−4

また PBH の質量に関しても、今回は全ての PBH

1000

4.3216 × 10−2が同じ質量であることを仮定したので質量分布を設

1004.8031 × 10−2

けるなど改善の余地がある。

10−2

6.0371 × 10

PBH の密度パラメータの上限. Mpbh =10, 100, 1000[M⊙ ]、ϵ = 0.01, 0.0001

4Conclusion
本研究では 1 次元球対称の輻射シミュレーションを用いて PBH 周辺のガスの電離・温度構造を計算し、PBH による CMB スペクトルへの影響の見積もりから PBH の密度パラメータへ制限を与えた。表 1

Acknowledgement
本発表のためにご指導してくださった名古屋大学
宇宙論研究室の皆様に深く感謝いたします。

Reference
Fukugita, M., & Kawasaki, M. 1994, mnras, 269, 563
Ali-Haı̈moud, Y., & Kamionkowski, M. 2017, prd, 95,
043534の結果を先行研究 （Ali-Haı̈moud& Kamionkowski

Cole, S., & Kaiser, N. 1988, mnras, 233, 637(2017)）の図に書き加えたのが図 4 である。この結

Zeldovich, Y. B., & Sunyaev, R. A. 1969, apss, 4, 301

果、Mpbh や ϵ の値によっては fpbh に今までよりもPeebles, P. J. E.1993, Principles of Physical Cosmology by P.J.E. Peebles. Princeton University Press,
1993. ISBN: 978-0-691-01933-8,

厳しい制限が与えられる可能性があることが明らかになった。

——–index

a2

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

特異点の無いブラックホールモデルの安定性について
西村和 也 (立教大学大学院 理学研究科

Abstract
一般相対論とは、理論的な面からも観測的な面からも正当性が支持されている重力に関する理論である。一般相対論によると、ブラックホール (以降、BH) は粒子の吸収だけをし放出することはないとされているが、
κ
1975 年に S. W. Hawking は量子力学的な効果まで考えると、T = 2πの熱放射 (Hawking 輻射) をすることを示した。結果として BH は熱放射をしながら蒸発し、最終的には消滅してしまう。 通常の古典力学では、

BH の解には曲率が無限大になってしまう特異点が存在する。特異点は event horizon に守られており、特異点の情報が我々の世界に漏れ出すことがないために無害である (例外として、特異点が event horizon に守られていない「裸の特異点」と呼ばれるものも見つかっている)。しかし BH が蒸発する最終過程を考える際、この特異点を無視することができない。このため、この特異点を回避するモデルがいくつも提唱されている。
私は、この輻射過程を古典力学から大きく逸脱しない方法で説明できる可能性がある regular BH(以降、RBH)についてと、このモデルがどの程度現実的なモデルなのかを示す論文について報告する。まずは RBH がい
かにして特異点を回避するのかを議論する。RBH は、中心にある特異点を特異点のない領域に置き換えたものである。次に、RBH に存在する内部地平面が有限のタイムスケールで破壊されてしまうことを見る。 一
方輻射の過程は無限のタイムスケールであるため、内部地平面との考察から自己矛盾が生じてしまうことをみる。

1

整を加える。

幾何学の setting
一般相対性理論において BH を記述する解はいく

つも存在するが、一例として「球対称かつ性的な時空」を記述する Schwarzschild 解を挙げる。
−1

ds = −F (r)dt + F (r)
2

2

2

2

dr + r dΩ2ds2 = −e−2ϕ(r) F (r)dt2 + F (r)−1 dr2 + r2 dΩ2 (2)ただし、今回は球対称かつ漸近的平坦な時空を想定している。このとき(1)

ただし、dΩ2 = r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 )、F (r) = 1 − 2Mr

F (r) = 1 −2M (r)
rと書く事にする。さて、Schwarzschild 解を見ると、 である。
明らかに F は r = 0, 2M で発散してしまっている。 r = 0 でエネルギー密度が有限値かつ、r → ∞ でしかし、座標変換を施す1 事によって r = 2M の発散

漸近的平坦である条件から m = αr3 かつ F (0) =を回避することが可能なため、この点は座標の取り

F (∞) = 1 であることがわかる。horizon は式 (2) の方に由来する座標特異点である。一方で r = 0 の点は座標変換で消す事のできない「真の特異点」である。この点では曲率が発散してしまっており、一般相対論は予言能力を失ってしまう。
この曲率の発散を回避するため、解に以下の様な修1 最も単純な方法は、null 座標を導入する事である。

図 1: RBH の F (r) の振る舞い

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
座標特異点 F (r) = 0 に存在するため、図 (1) の青る。

いグラフには horizon が 2 つ (RBH)、ピンク色のグ
ラフは 1 つ (extreme black hole 以降 EBH)、赤のグ

DTR 関係を用いるための setting を行う。ingoing

ラフはゼロである。RBH の horizon の r をそれぞれ

摂動、outgoing 摂動を記述ために球対称な null shellr = r+ 、r = r− と書き、順に「外部地平面 (outer を導入する。ingoing な null shell と outgoing な nullhorizon)」「内部地平面 (innner horizon)」と呼ぶ。

shell が outer horizon の内部で交わる状況を考えよ

Eddington-Finkelstein 座標を用いて座標特異点を消 う。交点の位置を r0 としておく。この状況を時空図(Penrose 図) に書くと以下の通り。null shell によっ去すると、式 (2) は

ds2 = −e−2ϕ(r) F (r)dv 2 + 2e−ϕ(r) drdv + r2 dΩ2 (3)と書ける。ingoing と outgoing の光はそれぞれ dv =
dr
=e
0 dv

−ϕ(r)F (r)2と書ける。outgoing の光を horizon

付近で Taylor 展開して

dr er± ′=F (r± )(r − r± )dv
2
er± ( 2m(r) )=−(r − r± )2
r(4)
図 2: RBH における時空図と書ける。よって、表面重力定数 κ± を

κ± =

e

r±

2

F ′ (r± ) = −

e

r± (

2m(r) )

2rて 4 つの領域 A,B,C,D に分割される。重力場の方程(5)式と独立に DTR 関係の式

|FA (r0 )FB (r0 )| = |FC (r0 )FD (r0 )|と定義することが出来る。図 (1) の r = r± における傾きに注目すれば κ+ > 0, κ− < 0 と分かる。即ち

d(r − r+ )= |κ+ |(r − r+ )dvd(r − r− )= −|κ− |(r − r+ )dvが成立し、それぞれの F はF∗ (r0 ) = 1 −(6)よりmA (r0 ) = mf in

内部地平面の不安定性
現実に RBH が存在するとしたら、それは質量のある天体が重力崩壊で潰れた果てに出来るだろう。天体は重力崩壊で潰れながら放射を出し続ける。この
放射は途中、potential に阻まれ一部が星に帰ってくる。このようにして、崩壊物体由来の ingoing な放射と outgoing な放射が時空に存在する事になる。
崩壊物体は、自ら放射を出している。これを ingoing
摂動、outgoing 摂動と呼び、null shell を用いて記述出来る。さらにこれを計算する手法として DTR 関
係 (Dray-’t Hooft-Redmount relation) が知られてい2M∗ (r0 )r0である。質量 MA は、領域 A の質量を表す。式 (7)

である。

2

(7)

−

2mout (r0 )min (ro ut)
r0 FB (r0 )(8)と書ける。ただし mf in = mB (r0 ) + min (r0 ) +mout (r0 ) とし、更に min = mD (r0 )−mB (r0 ), mout =mC (r0 ) − mB (r0 ) であり、それぞれ inghoing shell とoutgoing shell の質量である。内部地平面での質量を見るために、交点 r0 を u = u0 一定のまま v を内部
地平面に近づける。このとき式 (8) の mf in は物理的な意味を持っている有限な量であるが、最後の項の考察は注意深く行うべきである。なぜなら、r0 (v) を内部地平面に近づけると FB (r0 ) → 0 になってしまうからである。
まず min であるが、min (r0 (v)) ∝ v −γ となることが知られている (Price の法則)。さらに、式（4）に表2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
面重力定数 e−ϕ(r− ) F ′ (r− ) = −2|κ| を用いて微分方
程式を解けば FB (r0 ) ∝ e−|κ|vを得る。即ち、式 (8)このとき蒸発が最終局面に達したことを意味する。
よって EBH になる直前の状態 (r+ = r∗ + ∆r =は r0 を内部地平面に近づける極限でmA (r0 (v)) ∝ v

r = r∗ , M = M∗ のとき RBH は EBH になるが、r∗ (1 + ε), M = M∗ + δM = M∗ (1 + βεσ )O(εσ+1 ))−γ |κ− v|e(9) から出発して EBH になるまでに経過する時間を評と指数関数的に増大してしまう。この事を質量インフレーション (mass inflation) という。即ち、RBHの内部地平面の不安定性のタイムスケールは κ1− である。表面重力定数が有限であるため、このタイムスケールも有限である。

価すれば良い。

()
外部特異面では F r+ , M (v) = 0 であるゆえ、r =r∗ , M = M∗ の近傍で Taylor 展開すると() ∂F (r∗ , M∗ )∂F (r∗ , M∗ )δr+
δM +...
0 = F r∗ , M∗ +
∂r
∂M
(13)
と書ける。右辺の第 1,2 項は horizon であることと3

F (r) の極値性から直ちに 0 だとわかる。更に、第 3

RBH の蒸発項は ε2 以上のオーダーであることが分かるゆえ、

BH が蒸発するとき「①熱放射する BH の温度はβ=−

κT = 2πで表される (Hawking 温度) ② BH が蒸発する過程は、連続的に平衡状態を保ち続ける準静的過程である」の 2 つを基本的な出発点とすることがで

1 ( ∂F (r∗ , M∗ ) )−1 ∂ n F (r∗ , M∗ )
n!
∂M
∂rn

(14)

κ+ = αεγ + O(εγ )(15)とわかる。以上から式 (10) はきる。

RBH が準静的過程を保ちながら蒸発し質量を減らしM∗ βσ∆v = − 2 4r∗ Cαていく過程を考える。時間変化する RBH の質量はStefan-Boltzman 則によって∫ 0dεεσ−4γ−1

(16)

ε0

と書ける。この積分が発散しない条件はdM (v)= −σSB T 4 (v)A2+ (v)dv
2= −Cκ4+ (v)r+(v)

σ − 4γ > 0(10)と書ける。これを解けば蒸発にかかる時間を計算すである。更に、表面重力定数は Taylor 展開すると∞

e−ϕ(r+ ) ∑ 1 ∂ i+j+1 F i iκ+ =r ε ∆M j
2
i!j! ∂ri+1 ∂M j ∗i,j=0

ることができる。
蒸発の過程はダイナミカルであろうから、RBH の解

(2) を

(17)

(18)

のように書ける。
−2ϕ−ϕ(11) しかし、蒸発時間 (16) を有限に保ちながら表面重力定数 (18) を r = r+ で κ+ = 0 にするようなパラと 書 き 直 す 。こ こ で 注 意 す べ き は 、ϕ= メーター γ, σ は存在しないことが分かる。すなわち、
ϕ(r, M (v)), F = F (r, M (v)) と ダ イ ナ ミ カ ル な RBH の蒸発にかかる時間は無限大である。
ds = −e22

F dv + 2e2

drdv + r dΩ2

変数に置き換わっている点である。図 (1) のピンク
色のグラフは EBH を表している。このときの外部
地平面の位置を r = r∗ と書く。図 (1) から明らかに∂F (r∗ , M∗ )=0∂rが成立する。

(12)4

Conclusion
Work

and

FurtureRBH の内部地平面は潜在的に不安定であり、これが破壊されるタイムスケールは有限である事を見た。
一方、RBH が蒸発するとき無限の時間がかかること

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校が分かった。すなわち、現実に RBH が存在していたとしても蒸発の最終過程までを説明する事はできな
いことが分かった。
今後の課題として、RBH のいくつかのモデルを比較しながら上の結果が成り立つ事を確認したい。また、蒸発時間を有限に保つためには「①熱放射する BH
κの温度は T = 2πで表される (Hawking 温度) ② BHが蒸発する過程は、連続的に平衡状態を保ち続ける
準静的過程である」の 2 つをやぶらなければならない事を確認したい。

Acknowledgement拙い物理力の私を支えてくださった、立教大学理論物理研究室の皆様にここで感謝の気持ちを述べさせて頂きます。ありがとうございました。

ReferenceFrancesco Di Filippo, Stefano Liberati, Costantino Pacilio, Matt Visser 2018, arXiv:1805.02675 [gr-qc]
Valeri P. Frolov(2017). arXiv:1708.04698 [gr-qc]
Sean A. Hayward 2005, arXiv:gr-qc/0506126

——–index

a3

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

ボースアインシュタイン凝縮体による超大質量ブラックホール形成
高橋 さくら (お茶の水女子大学大学院 人間文化創成科学研究科)

Abstract
銀河中心に偏在する超大質量ブラックホール (SMBH) は，赤方偏移 6 程度の早期宇宙にも既に存在していたという観測事実がある．この早期宇宙に形成された SMBH を説明するために様々な理論が考えられている．しかし，従来のバリオン性物質の成長から SMBH を形成する理論では，エディントン降着率を維持し続けたとしても，赤方偏移 45 で 103 の種ブラックホールが必要になる (Banados et al.2018)．そのどちらも実現するのは難しい．
そこで本研究では，バリオン性物質ではなく，ダークマター (DM) がボースアインシュタイン凝縮体 (BEC)である場合 (典型的にはアクシオン) を考え，それが自己重力によって崩壊し，SMBH を形成するというシナリオを考えた．凝縮体 DM は粒子ではなく波としてコヒーレントに振る舞うので速度分散が 0 になり，容易に崩壊することが可能であると考えられる．非相対論的な仮定のもと，BEC の運動を記述するグロスピタ・
エフスキー方程式を近似した場で解くことにより，系の大きさの時間発展が求められた．また，典型的な物
理量を代入することにより，ボゾンの自己相互作用や自己重力によってつぶれる効果と，角運動量によるそれを阻害する効果のつり合いで決まっていく，SMBH の質量関数が求められた．それらを数値計算で追った過程を説明する．

1

イントロダクション
赤方偏移 6〜8 程度の早期宇宙にも MBH = 107 −ル (BH) を形成するとした．BEC が従う方程式は，Gross-Pitaevskii 方程式と Poisson 方程式のみである．先行研究 (Gupta and Tahareja 2017) に従い，1010 MSU N の超大質量ブラックホールが観測されて ラグランジアンを求め，ガウス近似した場を代入しいる．これらのブラックホール形成のメカニズムに 積分することで有効ラグランジアンと有効ポテンシャ
は様々な議論が存在するが，いまだに解明には至っ ルを得た．その有効ポテンシャルから BH になりうていない．仮に BH が常にエディントン降着率を る領域と形成時間を求めた．
達成しつつ成長するとしら，種 BH は z ∼ 45 で

Mseed > 103SU N となることが数値計算から明らかにされているが，それは現実的とは言えない (Bana-dos et al.(2017))．一般的には，超エディントン降着やダイレクトコラップスを考えることでそれらの困難を回避しようとされているが，そこでも様々な困難が生じている．その困難の原因はバリオン物質を考えていることにあるだろう．なぜなら，バリオン
物質を考えると速度分散があるのでビリアル平衡に落ち着いてしまい，なかなか崩壊することができな
くなるからである．そこで我々は，バリオンの粒子
ではなく波が崩壊することで SMBH を形成というシ
ナリオを考えた．
本研究では，ボースアインシュタイン凝縮体 (BEC)
でできたダークマター (DM) が崩壊してブラックホー

2

BEC 転移温度
崩壊する波として，ボースアインシュタイン凝縮

体 (BEC) が適していると考えられる．なぜなら，以下に説明するように BEC の凝縮転移温度と宇宙の物
質の温度を比較するとボソンが凝縮していると考えられるからである．1 粒子基底状態のエネルギーを

ϵ = 0 に取ると，理想ボース気体の分布関数は
g(ϵ) =1eβ(ϵ−µ) − 1

ここで β = 1/kB T である．また，全粒子数 N は√∫ inf
V m3/2ϵN=√
dϵβ(ϵ−µ − 123e2π ℏ 02018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで，m はボソンの質量，V は凝縮体が存在する
体積である．よって，ボソンの凝縮転移温度は

2πℏ2
mkB

(

n
ξ(3)

)2/3

[
]
⃗r2
ϕ(⃗r, t) = −µ(t)exp −(5)2τ (t)2
BEC は (2) 式と (3) 式の運動方程式に従うので，以下(1) のラグランジアンが考えられる．(Gupta and Thareja(2017))()()
n = N/V であり，ボソンの数密度を表す．ここでiℏ∂ψ ∗ℏ2 ∂ψ ∂ψ ∗
∗ ∂ψ
[
L=
ψ
−
ψ −
n ∝ a(t)]−3 (a(t) はスケールファクター）と考えら
2∂t∂t
2m ∂⃗r ∂⃗r−2()2
れる．よって (1) 式より TBEC ∝ [a(t)] である．まg 2
1∂ϕ− |ψ| −
− mϕ|ψ|2−2
た，ダークマターの温度は TDM = [a(t)] である
2
8πG ∂⃗rことが知られているので，TBEC ∝ TDM となる．こ これに (4) 式と (5) 式の近似を代入し全空間で積分
TBEC =

こで現在のそれぞれの温度を求めてみる．ダークマ−2

ターの温度は，TDM ∝ [a(t)]∝ t−4/3 宇宙誕生か

ら約５万年後の等密度時の温度を目安として約１万(
TDM = 104t
5 × 104 year)と考えられる．よって現在 (宇宙誕生から 138 億年後) では TDM ≃ 5.6 × 10−4 K となる．一方転移温度
は，臨界密度 ρ = 10−29 g/m3 より√
2 2gN 248N ℏ2 α2 σ 2
12N ℏ2
−
−
2
2/3
3
mσ
m
π σ
√
√ 2
32 2mN µ
3 πµ τ
− 24N ℏσ 2 α̇+ 3−Gσ (2/σ 2 + 1/τ 2 )3/2
この有効ラグランジアンから，系の大きさを表す σ(t)−5に関する運動方程式と有効ポテンシャルが求められる．

Vef f = −10−29 × 10−3 kg
1m
M eter3

ボソン質量 m = 10

きる．

Lef f = −ケルビンとすると

n=すると，以下の有効ラグランジアンを得ることがで

GM 2
J2
gM 2
+
+ 2
2
σ(t)
2M σ(t)m σ(t)3(6)

ここで，M は BEC の全質量，J は角運動量，m はボ
ソン１粒子の質量である．この有効ポテンシャルを2

eV /c とすると TBEC = 303K

グラフに表すと図１のようになる．

となる．(1) 式と現在の温度を比較すると，常にTBEC > TDM が言えるで DM が BEC でできていると考えるのが自然である．

3

グロスピタエフスキー・ポアソン
方程式

図 1: 有効ポテンシャルの形：(a) 自己相互作用 g=0，

ボースアインシュタイン凝縮体 (BEC) は，以下(b) 自己相互作用 g < 0の Gross-Pitaevskii 方程式と Poisson 方程式に従う． 有効ポテンシャルが極小値をとるときの σ(t) を σ と∂ψ(⃗r, t)
iℏ
=
∂t

(

)
ℏ2 2
−
∇ + ϕ(⃗r, t) + g|ψ(⃗r, t)|2 ψ(⃗r, t)2m(2)∆ϕ(⃗r, t) = 4πG|ψ(⃗r, t)|2(3)

b

し，g が負の場合の有効ポテンシャルが極大値をとる
ときの σ(t) を σh とした．この時，BH の形成条件を
形成条件１ σb ≦ σs (σs = 2GM/c2 )形成条件２ σb = σh

また，計算をできるだけ解析的に表現して議論したとする．しかし，この方法では角運動量獲得と密度

いので，以下のように場をガウス型に近似する．
[]⃗r2
ψ(⃗r, t) = A(t)exp −+iα(t)⃗
r(4)
2σ(t)2が中心集中していく時間発展を導入していないので，全体が BH になるか，BH が全くできないかのどちらかになってしまい，ダークハローの議論ができない．
そのため５章に示す新たな BH 形成条件を考えた．

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

関数の完全系化

また，BEC はコヒーレントに崩壊するので剛体回転しているものとし，密度は等方であるとした．よっ

３章では関数がガウス型で固定しているが，その近似の良さについての見積もりができていない．そこでより一般化された関数で計算することを試みた．

(4)，(5) 式ではなく以下のように関数を仮定した．
ψ(⃗r, t) = A(t)

2
∑

l
∑

[

]

exp −

l=0 m=−lϕ(⃗r, t) =2
l∑∑
l=0 m=−l⃗r2+ iα(t)⃗r2 Yl,m (Φ, θ)
2σ(t)2ρ0て密度揺らぎの時間発展は ρ(r, t) = β(t) (r/r2 ，角0)

速度の時間発展は ω(r, t) = rΩ(t) と与えられる．こ()2/3，
こで準線形成長を想定して β(t) = 3×10t9 yearとした．Ω(t) の具体的な値については後に詳しく説明する．さらに
BH() の形成時間を Free Fall Time√tf f = 1/Gρ(t) と仮定し，t = tf f , µ = 1 を(7) 連立して計算することで BH になりうる最大領域を[]⃗r2−µ(t)exp −)Yl,m (Φ, θ)Yl,m (Φ, −θ)σ(t)2考えることができる．

(8)
ここで，Yl,m (Ψ, θ) は球面調和関数である．本来であ

角速度 Ω(t) の具体的な形

5.1

れば，ラゲール倍関数と球面調和関数を用いて完全Tidal Torque Theory (Sugerman et al.(2000))

直交な一般的な場を用いることが正当であるが，急激な動径方向の崩壊や極度な非等方性を表現するた

より

∫ 3

めに動径方向のガウス近似と球面調和関数の組み合

V d⃗r ρ⃗r × ṙJ(t) =a

わせで場を仮定した．
ガウス近似の時と同様に，ラグランジアンに代入して計算するとここで ⃗r = a(t)⃗x, u = ẋ, ⃗x(q, t) = q − D(t)∇ϕ とすると∫
d⃗x(1 + δ)⃗x × ⃗uρ∫˙= ρ0 a30 a(t)2 D(t)d⃗q⃗q × ∇ϕ(⃗q) ∝ t
5J(t) = ρb a

GM 2
19J 2
gM 2
−
+
Vef f = √3π 3/2 m2 σ(t)33 2πσ(t) 4M σ(t)2という有効ポテンシャルが得られる．それはほぼガウス近似の場合と同様の結果であり，係数に若干の違いが出ている．

VVとなり，角運動量は時間の線形成長していることがρ0
分かる．本研究では，ρ(r, t) = β(t) (r/r
2 ，ω(r, t) =0)rΩ(t) としたので∫ r

J(r, t) =5角運動量の時間発展の考慮

dr′ 4πr′2 ρ(r′ , t)ω(r′ , t)r′

0

4 2 3
πr0 r ρ0 β(t)Ω(t) ∝ t
3
本来，BEC は密度が中心に集中するにつれ角運()2/3t
動量を獲得していくはずである．本研究では g = 0 β(t) =より Ω(t) = αt1/3 となる．
3×109 yearの自己相互作用がない場合を考えた．式 (6) の有効 また，数値計算の結果から約 30 億年で現在の銀河の=ポテンシャルから求めた形成条件１ σb ≦ σs より0<J ≦

角運動量を獲得することが分かるので (Sugerman et√ GM 2
2
c

(9)

cJ
2GM 2

(10) とする．

al.(2000))α=

ここで新しくµ≡ √というパラメータを導入すると，(7) 式より新しい

6

BH 形成条件が求められる．
0<µ≦1

(11)

230km/s
1
Rtot (3Gy)1/3

結果と考察
角運動量の時間発展を考慮した場合において，Rtot = 10kpc, Mtot = 1012 MSU N , r0 = 1kpc の典型2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
的な物理量を代入すると以下の形成されうる BH のれが全て熱に変換されたとすると BEC の温度は質量と形成時間を求めることができる．

T =
MBH = 2 × 10 MSU N , tf f = 3 × 10 year7

6

この結果では，時間が短すぎて現実的ではない．ここで，BH に崩壊する最大領域の半径 rs について見
てみると，

dV
nR23 kB(13)

例えば，R1 = 10kpc から R2 = 5kpc までつぶれたとすると，T = 3.8 × 106 K になる．これは T ≫ TBEC
より，崩壊した部分はガスになっていると考えられる．

rs ∝ G7/6 π 4/3 r0 Rtot ρ0 c−4/3
7/3

4/3 7/6(12)となっている．この式から rs は ρ0 にのみ依存し，そ小さい BH を形成出来る部分とガスになってしまう
部分とのバランスで，銀河内にできるブラックホールの個数が決まっていくと考えられる．

の他は定数となっていることがわかる．したがって，
中心の周りの部分でも崩壊し BH になる可能性があρ07
る．図２のように ρ∗0 = β(t) (rn −δr
2 とすると，
n /r0 )

まとめ
高い赤方偏移に存在する超大質量ブラックホールの形成のメカニズムについて，波の崩壊というシナリオで数値計算を行なった．その結果，BEC の崩壊
で SMBH を形成することが可能であることが分かった．角運動量が崩壊を抑制し，ボソンの密度揺らぎ
が崩壊を促進しており，それらのバランスで BH になりうる領域が決められる．
しかし，ガウス近似を用いて計算を簡単にしているが，その近似の良さについての見積もりを行う必要があるだろう．なぜなら，角運動量の時間発展を考
図 2: 密度分布と崩壊領域

えた場合の形成される BH の質量と形成時間が現実的ではないが，その原因がガウス近似していること

中心の周りで BH を形成する場合の最大領域は

δrn ∝ G7/6 π 4/3 r0 Rtot (ρ∗0 )7/6 c−4/3
7/3

4/3

にある可能性があるからだ．また，今回は計算を簡単にするために非相対論的に計算しているが，今後は相対論を導入していく必要がある．

となる．外側に行くほど δrn は小さくなるのでその分たくさん出来るだろうと考えられる．中心付近で形成された小さい BH は時間をかけて合体していく．合体Nにかかる時間 td はおおよそ td ∼ tf f × lnNであると考えられる．100 個合体するとしたら td ∼ 2 × 108 yearとなる．
一方で，R1 から R2 まで崩壊したときのポテン
シャルエネルギーの変化が全て熱に変わると仮定
すると，半径の大きさ R1 , R2 それぞれのポテンシ
2ャルエネルギーは VR1 = −f racGMR
R1 ，VR2 =1−f racGMR2 1 R2 となる．ここで，MR1 は半径 R1 より内側の BEC の全質量を表す．するとポテンシャル
エネルギーの差は dV = VR1 − VR2 となるので，そReference[1] Eduardo Banados 2018, Nature 533 473-476[2] Pierre-Henri Chavanis 2014, Quantum Aspects ofBlack Holes, 151-194[3] Pierre-Henri Chavanis 2016, Physical Review D 94(8), 083007[4] Patric Das gupta, & Eklavya 2017, Class Quantum Grav, 34, 035006[5] Ben Sugerman, F.J.Summers, & Marc Kaminokwski 1999, MNRAS, 311, 762-780

——–index

a4——–indexa5

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

事象の地平面上に生える光子の毛
古郡 秀雄(名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
ブラックホール (B.H.) 無毛定理によると、我々は質量、角運動量、電荷の値が同じ B.H. を区別できず、それがどう作られた B.H. なのかを知る事も出来ない。また、量子効果を考えると B.H. は放射を起こし最終的に消滅すると考えられている。この時、B.H. を形成した粒子達の情報はどこへ行ってしまうのだろうか?このような問いかけが情報パラドックスとして広く議論されてきた。本講演では、この問題を考える上での新しい切り口として、電磁気理論の漸近対称性の存在を紹介する。これには無限遠や地平面に軟光子を生成する大電荷が伴い、これは形成粒子の情報に保存先や逃げ道を提供する。

1

序論

2

Minkowski 時空での準備

４次元時空における B.H. は質量 M , 角運動量 J ,無限遠での対称性の存在が本講演で最も重要な

電荷 Q という３種類の保存量のみに特徴付けられる視点となるので、これを見やすい形にするため、

Kerr-Newman B.H. に微分同相な定常 B.H. に落ち Minkowski 時 空 の 座 標 (t, x1 , x2 , x3 ) を 遅 延 座 標
着くことが無毛定理として知られている。B.H. を形(u, r, z− , z̄− ), 及び先進座標 (v, r, z+ , z̄+ ) で書き直す。

成した粒子達の個々の情報や、どのように形成され遅延座標及び先進座標はそれぞれ、xi xi = r2 は共通

たかという情報はこのパラメーターに現れていない+ +で t = u + r , x1 + ix2 = 1+z++z̄+ , x3 = r 1+z+z̄+ ,1−z z̄

2rz

ので、B.H. はこれらの情報の一切を失っている、も

2rz−
− z̄−
, x3 = −r 1−z
t = v − r , x1 + ix2 = − 1+z
1+z− z̄− で− z̄−

しくは、地平面の内側に隠しているように思える。

Minkowski 時空と関係している。すると線素は、
−du2 − 2dudr + 2r2 γ
z+ z̄+ dz+ dz̄+ : 遅延座標ds2 =−dv 2 + 2dvdr + 2r2 γ
dz dz̄
: 先進座標また、量子効果を考慮すると B.H. は地平面近傍での粒子対生成により熱的な放射を起こす。無毛定理
により、この放射は B.H. について M , J , Q についてz− z̄−−−

しか知らないので、B.H. を形成した粒子と相関を持2となる。ここで、γzz̄ = (1+zz̄)2 は 2 次元単位球面をつことは出来ない。宇宙背景放射などによって B.H.

Riemann 球面としてみた場合の (球面の) 計量であの質量が増えることを無視すれば、B.H. は Hawking

る。遅延、先進それぞれの座標で r ↔ −r とすると放射によっていずれ完全に蒸発する。今、地平面は球面上の同じ点を指すので、z+ , z− はお互いの対蹠

もはや存在しないので B.H. 形成の情報を保持する場点になっていることが分かる。

所はどこにもなく、放射もその情報を持ち出し得な

今、Minkowski 時空の Penrose 図を導入する。

いので情報は完全に破壊されてしまったことになる。
この情報損失問題は情報パラドックスとして知られ、議論されている。本講演では、漸近的平坦性を持つ時空での電磁気学を考えることによって現れる
無限個の保存量の存在が情報パラドックスを考える
上での新しい切り口となる事を見ていく。
本講演では簡便のため以下質量 0 の粒子のみを扱うことにする。
図 1: Minkowski 時空の Penrose 図 ([1] より)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
図中の赤い線は t 一定面であり、青い線は r 一定の状況下において Maxwell 方程式から電磁場を求め−面である。また、図中の i から i に真っ直ぐ引いる問題は 1898 年に Liénard と Wiechert によって解た r = 0 の線に対して線対称な 2 つの点は (t, r) が共かれた。その解は動径成分について+

通で角度方向がお互いの反対である 2 点である。この図は Minkowski 時空の共形コンパクト化になっており、因果構造を保ちつつ無限遠を分類できる。I ±は未来/過去ヌル無限遠と呼ばれ、粒子は t = −∞ で

Qk γk (r − tx̂ · βk )
e2 ∑
3
2
4π
2
2
2 2
k=1 |γk (t − r x̂ · βk ) − t + r |(5)n

Frt (t, x) =で与えられた。ここで、r2 = x · x,x = rx̂ とし
I から出で、t = ∞ で I に入っていくことになる。 た。この解は遅延ポテンシャル、先進ポテンシャル
この事が図中の灰色の波線で表現されている。もう に対して共に有効であることが分かっている。
−+

一つの今回重要となる無限遠が空間的無限遠 i0 であ

さて、この解の無限遠方での性質を調べてみよう。

±
り、次の小節では i0 付近 (I∓) における電磁場の解式 (5) の x̂ を固定する。遅延座標 (u, r, x̂+ ) で式 (5)析から漸近的対称性を導く。

を書き換えて、I + に持っていくために、u を固定したまま r → ∞ の極限をとる。すると、Frt = Fru の主要項が電磁場の漸近的対称性と大電荷

2.1

e2 ∑
Qk
= Frt |I + (6)4πr2
γk2 (1 − x̂+ · βk )nFru |I + =Maxwell の電磁気理論は次の作用で記述される。
k=1∫
1
S := − 2F ∧ ⋆F + SM
(1) のように得られる。I + に持っていくには u → −∞−2eとすれば良いが、式 (6) が u に依らない形をしていここで、⋆ は Hodge 双対を表す。SM は適当な物質+るので、これは I−
での値でもある。同様にして I −場の作用であり、F はゲージ場 A を用いて F := dAでの値を考えると、Frt = Frv の主要項はで表されるゲージ不変な 2 形式である。この時、運
n
e2 ∑
Qk
動方程式は Maxwell 方程式
Frv |I − == Frt |I − (7)224πr
γ (1 + x̂− · βk )k=1 kd ⋆ F = e2 ⋆ J ⇒ ∇µ Fµν = e2 Jν
(2)のように得られる。先程と同様にこれは v 依存性をδSMµ−で与えられる。ここで J は、J := − δAµ で定義さ 持たないので、式 (7) が I+
での値と言える。適当なれるものである。作用を e2 で割っているのは物質の関数の I + 周りや I − 周りでの展開を、持つ電荷を整数にするためで、無限遠での球面内のf (u, r, z, z̄) =

電荷は

QE :=

1
e2

∫

∫

n=0

⋆J ∈ Z

⋆F =
S2

∞
∑
f (n) (u, z, z̄)

rn

(8)

(3) のように表す記法を用いると、

Σによって定義する。Σ は S 2 を境界に持つ適当な領∫1域である。同様に整数化された磁荷 QM := 2πFS2で定義できるが、これは以後 0 として考える。

x̂− (z− , z̄− ) = −x̂+ (z+ , z̄+ ) を思い出して z± のどち
らかを z で書き直せば、電磁場は
(2)
(2)
Fru
(z, z̄)|I + = Frv(z, z̄)|I −
−

(9)

+

n 個の電荷 Qk を持つ点粒子が定４元速度 Ukµ = の関係を満たすことが分かる。相互作用がある場合
1
γk (1, β k ), γk2 = 1−β2 で動いている状況を考える。点でも、この物理的に妥当な状況においてこの関係は
k粒子同士の相互作用はひとまず考えない事にする。こ保たれる。無限の未来と無限の過去で粒子達の相互の時、電流 J は、作用は無視できると考えられるからだ。

Jµ (x) =

n
∑

∫
Qk

dτ Ukµ δ 4 (xνk − Ukν τ )式 (9) によって即座に無数の保存量が Minkowski

(4)

k=1
µ
と書ける。ここで、各点粒子は xµk (τ ) = Uk τ となるような τ でラベルされた世界線上を動いている。こ時空での電磁気学に存在することがわかる。以下の境界条件を満たす適当な Minkowski 時空上の関数 εε(z, z̄)|I + = ε(z, z̄)|I −
−

+

(10)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校を考える。今、∫∫
1
1+−
Qε := 2ε ⋆ F , Qε := 2
ε⋆F
e I−+
e I+−

大電荷とその対称性変換

2.2
(11)

ここでは大電荷に対応する対称性が何なのかを

Hamilton の正準形式の枠組みで同定する。古典正−を定義する。 するとこれは Q+
ε = Qε を満たし保存

準形式では、2N 次元位相空間 Γ があって、その元量である。この関数自由度を持つ無限個の保存量をは xI := (ξ i , ηj ) , i, j = 1, 2, · · · , N のような座標を大電荷と呼ぶ事にする。ε = 1 は電荷保存則を表すなす。正準方程式を定めるためには閉形式、非退化なので、大電荷はまさに電荷の拡張である。これをさシンプレクティック 2 形式 Ω = 21 ΩIJ dxI ∧ dxJ が必らに詳しくみてみよう。遅延座標系を用いると、
∫
∫
1
1
(2)
Q+
=
ε
⋆
F
=
d2 zγzz̄ εFru(12)
εe2 I−+
e2 I−+

要である。この時、Dirac 括弧は以下で与えられる。

ここで、Maxwell 方程式の主要なものは、

電流無しの場合、電磁気の Ω は I + 上で
∫
1
(0)
(0)
(0)
ΩI + = 2
dud2 z(δFuz∧ δAz̄ + δFuz̄ ∧ A(0)
z )
e I+
(20)
]
[ (0)
(0)
1
とかける。∂z ϕ := 2 Az |I + + Az |I + として

(0)

(2)
(0)
∂u Fru+ Dz Fuz+ Dz̄ Fuz̄ + e2 Ju(2) = 0(13)である。ここで、Dz は計量 γzz̄ を持つ単位球面についての共変微分で、Dz := γ zz̄ Dz とした。これを用いて大電荷に Gauss の法則を適用する。∂u ε|I + = 0++となるように ε を選ぶと、式 (12) は Q+
ε = QS + QHのように部分積分される。ここで、軟電荷、硬電荷をそれぞれ以下のように定義した。
∫
(
)
1
(0)
(0)
Q+
:=
−
dud2 z ∂z εFuz̄ + ∂z̄ εFuz
S
2
e I+
∫
Q+
dud2 zεγzz̄ Ju(2)
H :=

(14)

[
]
A, B D = ΩIJ ∂I A∂J B+

軟光子モードを Nz :=(0)となる。式 (19) より[ + (0)]Qε , Az (u, z, z̄) D = ∂z ε(z, z̄)

(0)

−

(21)

で Az を u に独立な部分と従属な部分に分けると、∫∫
2ΩI + = 2
dud2 z∂u δ Âz ∧δ Âz̄ −2d2 z∂z δϕ∧∂z̄ δN
e I+
2
S
(22)

(15)

duFuz とすると1 、
−∞

(0)
(0)
∂z̄ Nz − ∂z Nz̄ = −[Fzz̄ I + −Fzz̄ I − ]−A(0)z (u, z, z̄) = Âz (u, z, z̄) + ∂z ϕ(z, z̄)

I+

∫∞

(19)

(23)

が得られる。I − でも同様に考えて、(16)[ − (0)]Qε , Az (v, z, z̄) D = ∂z ε(z, z̄)+が分かる。磁荷が存在しないという仮定から、 長
距離場は存在せず、それ故に Fzz̄ |I + = 0 となるの±

(24)が得られる。電流が存在する場合でも、I では相互

で、Nz =: e2 ∂z N となる実関数 N が定義できる。 作用は無視できるため、式 (23) 及び式 (24) は変更(0)
されない。影響は物質場の硬電荷による変換による。
Au = 0 のゲージ条件を課すと、(0)e2 ∂z N = [A(0)z I + −Az I − ]
−

(17)

+

として Nz の表式が容易にわかる。磁荷が存在しな
いため、この量は存在しても純粋にゲージによるものである。今、考えている保存電荷の表式は、∫∫+
2Qε = 2d zN ∂z ∂z̄ ε +dud2 zγzz̄ εJu(2) (18)
S2

I+

である。
1 量子力学に移行するとこれは軟光子の消滅生成を表す場として扱われる。([1])

J は U (1) 対称性の Noether カレントであるから、∫[]
ε⋆J, Φk (u/v, z, z̄) = −Qk ε(z, z̄)Φk (u/v, z, z̄)
I +/−

(25)

が得られる。このように、大電荷のうち軟電荷はゲー
ジ場を、硬電荷は物質場をそれぞれ適切に、角度依存する関数 ε によってゲージ変換する。無限個の大電荷に対応する対称性は無限個のゲージ変換対称性であった。特に、ここで現れたゲージ場は軟光子モードによって生成されたことを述べておく。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

B.H. 時空への応用

3

4

Minkowski 時空で無限個の保存量の存在を見た。こ0

議論
我々は地平面上に入射粒子の情報を持った大電荷

れは i 付近での整合条件によって現れたものであるかが現れる事を見た。Hawking 放射は地平面上の物理ら、漸近的平坦な時空においても定義することができ量とは相関を持ち得るため、この事は放射粒子が入る。このことが情報損失問題の視点にどのような変更

射粒子の情報の一部を持ち運ぶ事を可能にする。まを加えるのか、エネルギー M の中性ヌル粒子を v = 0

た、大電荷は Minkowski の場合に見たようにヌル無で打ち込んで Vaidya B.H. を形成した後、v = v0 で限遠に軟光子を加えるようなゲージ変換を起こすこY (z,z̄)非球対称ヌルカレント Jv = ℓmr2 δ(v − v0 ), ℓ > 0とも見た。軟光子の有無によって状態は区別出来るを再び B.H. に打ち込むモデルを用いて、時空へのので、ヌル無限遠は情報を保持する場所を提供する。

バックリアクションを無視した線形摂動論で考える。 これらの事実は「B.H. 形成粒子の情報は、保持されこの状況は次図のように描かれる。

るとしたら地平面の内側にある。」、「形成粒子の情報が外部に漏れ出る事はない。」という従来の前提を覆すものであり、今後情報損失問題を考える上で重要な視点となるだろう。
一方、今回のモデルで考えても、同じカレントを作るような粒子の送り方は区別できないため、全ての情報が保たれていると考える事はできない。従ってこの視点のみから情報損失を回復させることも残

図 2: Vaidya B.H. へのカレント打ち込み ([1] より)念ながらできないと考えられるだろう。しかし今、電Maxwell 方程式に球面調和関数をかけて H+ 上で積分すると、

磁気学以外の様々な理論での漸近的対称性とそれに[2e δℓℓ′ δmm′ = Yℓ′ m′ ⋆ F ]
∫ ∞
+

∫

(h)

H+
+
H+
−

d2 z[{Fvz +

dv
−4M

1
(h)
Θ(−v)Frz ]}∂z̄ Yℓ′ m′ + c.c.]2(26)となる。ここで、(h) は H+ への射影を表す。初期条(h)

件を Az |H+ = 0 とし、表面項が消えるという仮定

関連する軟粒子を生み出す”電荷”の存在が今次々と見つかっている。([1]) このような状況では軟粒子の理論に与える影響は益々大きくなると考えられるので、軟粒子の性質の更なる理解が情報パラドックスの理解を更に広げるだろう。特に、漸近平坦な時空で現れる軟重力子の存在は重力とその量子構造との結−

びつきのヒントを与えてくれると期待される。([3])[Az(h) = ∂z Θ(v − w)

のみならず、物理のより基本的な構造を考察する上と、ゲージ条件 Ar = 0, Av H+ = 0 を課すとこの方
程式は今回見た無限個の漸近対称性は情報パラドックス]
e2での重要な足掛かりとなるのかもしれない。
Yℓm (z, z̄) =: ∂z εℓmℓ(ℓ + 1)(27)と解ける。(w ∈ (−4M, ∞)) ここで球面調和関数は以下を満たす。D2 Yℓm = −ℓ(ℓ + 1)Yℓm .

5

参考文献

このように、地平面上には入射粒子の情報 ℓ, m を持っ [1]A. Strominger,2016,arXiv:1703.05448 [hep-th].
た光子がゲージ変換によって生える。逆に、[2]S. W. Hawking, M. J. Perry, and A. Stro∫1minger,2016,arXiv:1611.09175 [hep-th].
QHdεℓm ∧ ⋆F
S := 2e H[3] T. He, V. Lysov, P. Mitra, and A. Strominger,
[
]
(0)
⇒ QH
S , Az (v, z, z̄) H D = ∂z εℓm (z, z̄)
JHEP 05 (2015) 151, arXiv:1401.7026 [hep-th].
となることが Minkowski の場合と同様に (より複雑だが) 示せる。この事は、地平面上に確かに入射粒子の情報を含んだ大電荷が存在する事を示している。

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2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

non-singular ブラックホールからの量子的輻射
中司 桂輔 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
本公演では [1] をレビューする。[1] では 2 タイプの non-singular ブラックホールから放射される量子的輻射のフラックスを評価している。その特徴的な振る舞いとして、[1] では non-singular ブラックホールのインナーホライズンからのフラックスが指数関数的に増大することが指摘された。この振る舞いは、インナーホライズンの不安定性に伴う急激なブラックホールの質量増加現象 (質量インフレーション) の帰結であると考えられている。non-singular ブラックホールのインナーホライズンの不安定性は [2] でも指摘され、

non-singular ブラックホールが特異点の問題を解決する現実的なモデルになり得ない可能性が指摘された。
しかし、[1] で調べられた 2 タイプの non-singular ブラックホールのうち 1 つでは、インナーホライズンからの量子的輻射がもう 1 方の non-singular ブラックホールと比較して抑制されている。本講演では、この結果が non-singular ブラックホールの持つ不安定性を解決するモデルを構築する手がかりになるかという観点から考察を行う。

1

Introdaction

2

Non-Singular Black Hole

一般相対性理論（GR）は、ブラックホールの内部[1] で考えられたのは球対称な non-singular ブラッや初期宇宙において特異点が存在するという問題をクホールである。最も一般的な球対称時空のメトリッ抱えている。ブラックホールの特異点に関して、特クは異点の周りには必ず事象の地平面が存在し、ブラックホール内部の情報は外部に影響を及ぼさないとする宇宙検閲官仮説が提唱されている。しかし、ブラッdS 2 = σ 2 ds2
ds2 = −α2 f dv 2 + 2αdvdr + r2 dΩ2(1)

クホールに対して量子論の効果を考慮すると、ブラッ と書ける。ここで、dΩ2 は S 2 の立体角を表し、f =クホールは熱的輻射（Hawking 輻射）をして時間経 f (v, r)、α = α(v, r) であり、α は redshift function
過とともに蒸発していき、最後には蒸発しきって消と呼ばれる。non-singlar ブラックホールでは曲率特えてしまうと考えられている。このブラックホール

異点が回避されているので、メトリックの中にその蒸発の最終段階において特異点の問題は避けては通スケールに対応したパラメーター l が入る。通常、これず、盛んな議論の対象となっている。この問題をの l はプランク長 lP lank のオーダーであると考え、解決するために様々な試みがなされているが、その[1] では l を基準とし σ に長さの次元を持たせ、無次中に内部に特異点の存在しない non-singular ブラッ 元化した ds2 のメトリックを用いて議論する。
クホールがある。non-singular ブラックホールは特[1] では、non-singular ブラックホールは形成し異点問題を解決する候補として注目されているだけ

たあと、最後には蒸発しきって消えるような動的なではなく、星の重力崩壊などによりブラックホール

モデルを考えている。このことは、通常の意味でのが形成され、Hawking 輻射により蒸発して消滅する

event horizon を持たず、apparent horizon のみを持までの過程を全て記述できる可能性があるモデルとつことを意味している。apparent horizon の位置はしても注目されている。

f (v, r) = 0 の位置に存在し、時間経過、ブラックホー
ルの質量変化に伴い、その数と半径は変化する。また、漸近的平坦性から、中心で曲率が発散しないた
めに f (v, r) は 2 つ以上偶数個のゼロ点を持たなけれ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ばならず、さらに f (v, r) と α(v, r) の無限遠での振これらの量はそれぞれ輻射エントロピー密度、out-

る舞いは f (v, r)|r→∞ = α(v, r)|r→∞ = 1 であるこ

going null ray 密度と関係している。

とを要請している。

4

Beams of Null Rays
まず、outgoing null rays を “数える”ためにパラメーター z を r = r(v, z) と導入する。ここで導入した z は各 outgoing null ray に対して一定であり、

z = 0 の null ray を fiducial と呼ぶ。つまり、
r0 (v) = r(v, z = 0)(5)

図 1: non-singular ブラックホールにおける apparentとする。今、2 次元近似のもとでの null ray を考え
horizon の数。ブラックホールの質量によって apparているので、ingoing null ray は v = const に従い、
ent horizon の数が変化する。
outgoing null ray はdr
1= Z(v, r(v, z)) = αfdv
2

Quantum Flux at I +3に従う。この関係から u− と u+ との関係を計算する

蒸発している non-singular ブラックホールからの量子的輻射を考えるためにこの時空における massless

際に便利な量を定義する。
まず、r(v, z) の fiducial ray 周辺の ray を考える。

スカラー場を考える。さらに、解くべきスカラー場r(v, r) = r0 (v) + ∆r(v, z)∑ zn
rn (v)∆r(v, z) =n!
n=1の方程式から、量子的輻射に主に寄与しているモードは S 波であることがわかるので S 波のみを考える。
また、トレースアノーマリーが現れないようにするためにここでは 2 次元近似を適用する。この近似のもとでは量子的輻射のエネルギーフラックス < T u− u− >Z(v, r) = Z0 (v, r0 (v)) +∑ ∆r(v, z)m
m=1

(2)

と表すことができる。ここで、u− と u+ はそれぞれ

I 、I

+

での遅延時間座標である。したがって、この表式から u− が u+ の関数、つまり u− = u− (u+ )として求められれば量子的輻射のエネルギーフラッ

Zm (v) (9)p(v) = [r(v, z), z]|z=0(10)w(v) = ⟨r(v, z), z⟩|z=0(11)

ε(v) = {r(v, z), z}|z=0

(12)

式が

dr0
dp
= Z0 ,
= Z1
dv
dv
dε
dw
= Z2 e p ,= Z3 e2p
dv
dv

同様に求められた u− (u+ ) を用いると、以下の量も計算できる。

du−du+2d u− du−W = ⟨u− , u+ ⟩ =/du2+ du+m!

これらを定義すると、outgoing null ray が従う方程

クスを計算することができる。

P = [u− , u+ ] = ln(8)と展開できる。ここで以下の量を定義する。

E =−

−

(7)

さらに Z(v, r) も fiducial ray の周りで展開すると、は、

1{u− , u+ }24π(
)2d3 u− du−3 d2 u− du−=/−/du3+ du+2 du2+ du+

(6)

(13)
(14)

(3)

となる。これらを積分すると、u− と u+ との関係を(4)

I + での P 、W 、E を計算するために以下の手順求めることができる。
を考える。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校• v = u− に I − から出て u+ に I + に到達する と書ける。あとは y と x の関係がわかれば u− と u+の関係を求めることができる。この関係はnull ray を考える →fiducial ray• v = q の null 面を考え、その面と fiducial ray が

r0 (u− ) = 0,p(u− ) = w(u− ) = ε(u− ) = 0 (20)交わる時の半径を r+ とする。

• 次に、u− = u− + ∆v に I − を出た null ray を考え、この null ray が u− が作る面と交わる時の半径を r− = x、v = q 面と交わる時の半径をr+ = r+ + y とする。

という初期条件のもとで[y, x] = p(q),⟨y, x⟩ = w(q),{y, x} = ε(q) (21)となることがわかるので、最終的な u+ と u− との関係は、• ここで考えた null ray は最終的に u+ = u+ +∆u[u− , u+ ] = −p(q) − ln α0[]1α′⟨u− , u+ ⟩ = e−p(q) w(q) − 02
2
α0
[
]
1
1
{u+ , u− } = e−2p(q) ε(q) + 2 {x, u− }4α0に I + に到達する。

(22)
(23)
(24)

となる。これで u− と u+ との関係を求めることができた。

5
図 2: fiducial null ray と r− 、r+ の関係

Models of Evaporating NonSingular Black Hole
蒸発している non-singular ブラックホールからのこのように x や y を考えると、決められた fiducial

量子的輻射を計算するために [1] では以下のような 2

ray に対して、{u+ , r+ , r− , u− } の微分が対応するつのモデルを考えている。

{∆u, y, x, ∆v} での微分の値と等しくなる。具体的 Standard Modelには、例として u+ = q − 2r+ = q − 2r+ − 2y とすµ(v)r2,
f =1− 3ると
r + µ(v) + 1
du+= −2, ⟨u+ , y⟩ = 0, u+ , y = 0(15) Modified Modeldyとなり、x と u− の間の関係は、r = 0 での redshift

factor の値 α0 を用いて
dx1
= − α0du−2
α0′⟨x, u− ⟩ =α0α0 ” 3
1 2
α0 a2 +−
2α02
2d Z(v, r)a2 (v) =dr2
r=0{x, u− } =

(16)
(17)
(

α0′
α0

)2
(18)
(19)

f =1−

µ(v)r2
r3 + µ(v) + 1

, α=

α=1

(25)

1 + r5
1 + r5 + µ3 (v)(26)

ここで µ(v) は mass function で 2v(q−τ )(q−v)1/30≤v≤q2µ(v) = C((q−τ )v−τ v+τ )0
v < 0, v > q(27)で与える。µ(v) は 0 ≤ v ≤ τ の間に星の重力崩壊してブラックホールが形成されて最大質量 µ0 となり、その後はブラックホールの量子的輻射によって質量2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校が減少していき、v = q で蒸発しきるまでの過程をモデル化したものとなっている。apparent horizon の
位置は

)
√
1(
µ(v) + 1 + µ2 (v) − 2µ(v) − 32)√1(r2 (v) =µ(v) + 1 − µ2 (v) − 2µ(v) − 3 (28)2
r1 (v) =で与えられ、時間とともに質量が変化するのに伴ってその数と位置が変化する。

図 4: modified model のエネルギーフラックス E
成され、その後 Hawking 輻射などの量子的輻射によ6Results[1] では standard model と modified model における量子的輻射のエネルギーフラックスが以下のように示されている。特異点のあるブラックホールからの量子的輻射と異なる点は、[1] で考えているモデルは最後にブラックホールが蒸発しきるので、apparent

horizon 内からの量子的輻射も I + に到達できるのでブラックホール内からのフラックスも計算できる点である。v = 0 に r = 0 から出た outgoing null ray がv = q に到達した半径を r+ = ρ とすると、standard

り質量が減少して、最後にブラックホールが蒸発しきって消えるまでの過程をモデル化したものである。
これまでの特異点を持つブラックホールでの Hawk-

ing 輻射の結果と異なる点は、[1] での non-singular
ブラックホールは apparent horizon のみを持ち、内部に特異点を含まないので蒸発した後にブラックホール内部からの量子的輻射を計算できる点である。
こうして non-singular ブラックホールからの量子的輻射のエネルギーフラックスを評価すると、inner

apparent horizon 付近から指数関数的なピークを持つ特徴的なフラックスになることが示された。この振model の場合はピークがその付近に集中して位置しる舞いは inner apparent horizon がその付近の outているが、modified model の場合は 0 ≤ r+ ≤ ρ のgoing null ray に対してアトラクターの役割を担って範囲にピークが位置していることがわかる。
いるためである。non-singular ブラックホールに入射した null ray は中心を通過して outgoing null rayになる。その後 inner apparent horizon 付近に集中しブラックホールが蒸発した後に内部からの量子的輻射としてエネルギーフラックスの特徴的な振る舞いが現れると考えられる。

[1] では、standard model と modified model の 2タイプの non-singular ブラックホールからの量子的輻射が計算されている。この 2 タイプを比較したと
図 3: standard model のエネルギーフラックス Eき、modified model の場合はブラックホール内部からの量子的輻射のフラックスが standard model の場
合に比べて抑制されるという結果が得られた。

7

Discussion

Reference[1] では non-singular ブラックホールからの量子的 [1] Frolov, Valeri P. & Zelnikov, Andrei, Phys. Rev. D95,
輻射を計算されている。[1] で考えられている non-singular ブラックホールは星などの重力崩壊から形

12, 124028(2017).
2]Raúl Carballo-Rubio et al., JHEP 1807 (2018) 023.

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2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Exotic Compact Object におけるEcho の理論的性質と Template 作成
木村 和貴 (京都大学 基礎物理学研究所)

Abstract
一般相対論から導かれるブラックホールという概念は、量子論と組み合わせて考えると BH 情報パラドック
スなどの問題が発生することが知られている。そこで現実には重力崩壊の結果、ブラックホールになるのではなく別の天体になるのではないかという考えが提唱されている。これを Exotic Compact Object という。
本発表では Z.Mark et al(2017) に基づいてブラックホールと Exotic Compact Object を区別する重力波のエコーという現象について述べる。

1

まず section2 で、リングダウン重力波及びエコー

Introductionを扱うための重力場の摂動が満たす方程式について

2016 年に初めて重力波が観測され、とうとう重力
波天文学が幕を開けた。これから重力波観測が進めば宇宙の様々なことが観測的に理解されていくことだろう。この重力波観測によって知ることのできる
情報の 1 つとして、我々がブラックホール (BH) と概観する。(Martel & Poisson 2005) section3 では、BH と ECO の場合に重力場の方程式の解がどのように異なるかを両者を比較しながらみていく。section5
では、エコーのテンプレートがどのように作成できるかをみていく。

思っているものが本当に事象の地平線を伴うようなブラックホールなのかという問題がある。銀河系の超大質量ブラックホール付近の電波観測によって事象の地平線の存在を証明しようとしているプロジェ
クト (Event Horizon Telescope) も最近始まったが、今のところは事象の地平線の存在を強く裏付けるよ
うな観測結果は発表されていない。さらに、ブラックホールの事象の地平線の存在は量子力学との関係

2

重力波の摂動方程式
Schwarzschild 時空を背景として、計量に対して摂動を考える。

gαβ(0)= gαβ + hαβ(1)から様々な問題が知られていて、そのような問題を

ここで、フーリエ分解、球面調和関数による展開、亀避けるために、Gravastar, firawall 等々様々な BH の

座標 x の導入、ゲージ固定、補助変数の構成の操作代替物が考えられている。これらを Exotic Compact

を行うことによって重力場の摂動が満たす方程式を

Object(ECO) と言う。

簡単な形で表すことができる。詳しい計算は (Martel

重力波観測によって BH と ECO を区別できるとい& Poisson 2005) を参照。結果だけを書くと、重力

うのは,ECO にはリングダウン重力波のエコーが存

場の摂動の方程式を解くということは各 ω, lm に対在することに由来する。ECO は一般に BH で事象のして以下の方程式を解くことと等価になる。

地平線と考えられていた面に何らかの壁が存在しており、そこで重力波が跳ね返されるからである。本講演ではそのようなエコーが理論的にどのように記述されるか、またそのエコーを観測するためにテンプレートがどのように作成できるかについて (Market al. 2017) のレビューを行う。

d2 Ψ̃lmevenlm+ (ω 2 − Veven
)Ψ̃lm
even
dx2
2 lm
d Ψ̃oddlm+ (ω 2 − Vodd
)Ψ̃lm
odd
dx2

lm
= S̃even(2)lm= S̃odd(3)

even,odd はそれぞれ計量の parity 変換に対する偶奇性の違いによって分解した際の成分であり、任意の2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
計量はこの Ψeven と Ψodd を組み合わせることによって導出できる。つまり、このシンプルの形の方程式を解くだけで計量の摂動がきちんと求まることになっている。Veven , Seven , Vodd , Sodd はそれぞれの方程式に入ってくる実効的なポテンシャルとソースターム
であるが、具体的な表式はここでは省略する。
また、Schwarzshild 時空上の Massless スカラー場

図 1: BH の境界条件の波動方程式は以下のように書くことができる。

g αβ ∇α ∇β ψd2 ψ̃ lm⇔
+ (ω 2 − V lm )ψ̃ lm
dx2

= S

(4)

x → +∞ での境界条件は外部からブラックホールに入射してくる波がないことに対応し、x → −∞ での(5) 境界条件は波が事象の地平線に落ち込むことに対応している。
これは重力場の摂動に対する方程式と全く同じ
ECO の場合の境界条件は、、事象の地平線であっ
= S̃

lm

形をしていて、しかも、有効ポテンシャルである
lm
lm
Veven
, Vodd, V lm はすべて x = 0 付近にピークを持

つ山なりのポテンシャルをしているので、スカラーた場所に壁が存在して、そこで波が j 反射されることから図 2 のようになる。ここで、R̃ は壁の反射率を表している。

場に対する議論は重力場の摂動に対しても適用できる。したがって以下では簡単のためにスカラー場に対する方程式について議論していくことにする。

BH と ECO の比較

3

この section では、BH と ECO の場合に、波動方
図 2: ECO の境界条件

程式

d2 ψ̃
+ (ω 2 − V )ψ̃ = S̃
dx2の解がどのように異なってくるかを見る。

(6) 式で書くと以下のようになる。
{
ψ̃ ∝ eiωx
as x → +∞波動方程式の解は、境界条件が与えられ、その下でd2 G(x, x′ )+ (ω 2 − V )G(x, x′ ) = δ(x − x′ )dx2を満たす Green 関数により∫ ∞dx′ G(x, x′ )S̃(x′ )ψ̃(x) =

(7)(8)

で与えられる。BH と ECO は波動方程式に対する境界条件が異なるため、Green 関数が異なり解も異なる。まず、BH の境界条件は x → ±∞ で V → 0 より平面波となることから、図 1 のように与えられる。

asx → −∞

x → −∞

上に示した境界条件の下で BH と ECO の Green 関
数を構成することによって、BH の Green 関数 GBH

GECO=

式で書くと以下のようになる。
{
ψ̃ ∝ eiωx
as x → +∞asと ECO の Green 関数 GECO に−∞ψ̃ ∝ e−iωxψ̃ ∝ e−iω(x−x0 )x + R̃eiω(x−x0 )(x → +∞, x′ )GBH (x → +∞, x′ )+K̃e2iωx GBH (x → −∞, x′ )(11)という関係があることがわかる。
続いて、上の Green 関数の関係から BH と ECOの場合の重力波形がどのように関係づいているかを見る。まず、BH の場合は無限遠 (x → +∞) での重(9) 力波形と事象の地平線 (x → −∞) へ向かう重力波形(10)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
は以下のように与えられる。

ψ̃(x → +∞)∫ +∞=dx′ GBH (x → +∞, x′ )S̃(x′ )−∞out iωx
≡ ZBH
e

ψ̃

(12)

(x → −∞)∫ +∞=dx′ GBH (x → −∞, x′ )S̃(x′ )図 3: エコーの項に現れる因子−∞(13) の式を見ると、級数の項がそれぞれのエコーを表していることがわかる。
out iωx
ZBH
e の項はリングダウン重力波に対応している。
in −iωx≡ ZBHe

ECO の場合、無限遠 (x → +∞) での重力波形はGreen 関数の関係式 (11) を用いて以下のように書

4

ける。

ψ̃

(x → +∞)∫ +∞=dx′ GECO (x → +∞, x′ )S̃(x′ )ECO の壁の反射率を R̃ECO = 1(完全反射) とした時に、Innermost stable circular orbit から回転しな

−∞

∫ +∞
=
−∞

がら ECO に落ち込む粒子から発生するエコーを数

dx′ GBH (x → +∞, x′ )S̃(x′ )∫ +∞+K̃e2iωx−∞

ECO に落ち込む粒子からのエコー

値計算によって発生させると図 4 のようになる。そdx′ GBH (x → −∞, x′ )S̃(x′ )out iωxin iωx= ZBHe+ K̃ZBHe(14)

この表式を見ると、ECO の場合は、BH の時と同じ
out iωx
リングダウン重力波の成分 ZBH
eに加えて新たな
in iωx
項 K̃ZBHeが加わっていることがわかる。これがエコーに対応している。
図 4: ECO に落ち込む粒子からのエコー

実際に K̃ を解析的に求めると、級数展開の形でエコーの項は以下のように書くことができる。
in
K̃ZBH

=

∞
∑

れぞれのエコーのスペクトルを表したものが図 5 で
inK̃n ZBHある。これを見ると、ポテンシャルの反射率、透過率のスペクトルによってエコーには ω = ΩR の成分

n=1
in
in
= K̃1 ZBH
+ K̃2 ZBHが含まれていることがわかる。このポテンシャルのin+K̃3 ZBH+・・・

反射率と透過率が等しくなる周波数は Quasi-Normal

Mode である。

in= T̃P・R̃ECO・ZBH
・e−2iωx0in+T̃P・R̃ECO・R̃P・R̃ECO・ZBH
・e−4iωx0+T̃P・R̃ECO・R̃P・R̃ECO・

5

inR̃P・R̃ECO・ZBH
・e−4iωx0

+・
・
・

(15)

エコーのテンプレート作成
section4 で見たようにエコーには Quasi-Normal

Mode 付近の周波数のみが寄与していた。したがっここで、R̃P , T̃P , R̃ECO はそれぞれポテンシャルの反

in
て、ZBH
のテンプレートとして Quasi-Normal Mode

射率、透過率、ECO の壁の反射率である。(図 3) こ付近の形が似ているテンプレートを作成できれば良2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 5: エコーのスペクトル
いエコーのテンプレートが作成できると考えられる。
in
そこで、ZBHのテンプレートを Quasi-Normal Mode

図 7: ECO に落ち込む粒子からのエコー
よって簡単に良いテンプレートが作成できることがわかった。

を中心としたガウシアンで作成することを考える。実際に作ったテンプレートが図 6 で、実際のエコーとのオーバーラップを表したものが図 7 である。これ
さｓを見ると、今の場合は良いテンプレートになっていることがわかる。

Acknowledgement
本発表にあたり、京都大学天体核研究室、基礎物理学研究所宇宙グループの先輩方、特に福島肇さん、山本貴宏さん、金沢瞭さんには心より感謝いたします。

Reference
Z. Mark, A. Zimmerman, S.M. Du, & Y. Chen 2017,
Physical Review D 96.8 (2017): 084002.
K. Martel, & E. Poisson 2005, Physical Review D 71.10(2005): 104003.

図 6: ECO に落ち込む粒子からのエコー

6

Conclusion
BH と ECO の場合それぞれの境界条件の下で重力場の満たす方程式の Green 関数を構成することによって、ECO の重力波形を BH の重力波形と関連付けることができ、エコーのスペクトルを知ることができる。また、エコーの、Quasi-Normal Mode 付近のスペクトルは失われるという性質を用いることに

——–index

a8

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波データ解析におけるベイズ統計の有用性の検討
武田 芽依 (新潟大学大学院 自然科学研究科)

Abstract
統計学の代表格として、頻度論統計学とベイズ統計学が挙げられる。一般的に統計学というと頻度論のことを指し、古典的統計学とも言われる。一方、ベイズ統計は近年注目されている統計学である。頻度論は、ある仮説をもとに実験を行い、得られたデータはその仮説においてどの程度の確率で得られる値なのかと考える。ベイズ統計は、実験を行なって得られたデータをもとに、そのデータを出す確率が高い仮説は何かと考える。そこで、データを得る前の事前確率と、データを得た後の事後確率というベイズ独特の概念を導入する。両者のアプローチの違いは、一般に同じ実験に対して異なる結論を生じることがある。重力波を始め，突発的な天体現象の観測では，その現象が起こる頻度やそれを起こす天体の質量などのパラメータの推定に対しては，ベイズ統計に基づく解析が有用である。本発表では、頻度論とベイズ統計を比較しながらその性
質、有用性等をおっていくと共に、重力波データ解析においてベイズ統計を用いることについて評価する。

1

Introduction2016 年 2 月 11 日、アメリカにあるレーザー干渉計

重力波観測所である LIGO が重力波の初観測を発表
し、重力波の存在が確固たるものとなった。重力波はM icheleM aggiore (2008) を元とする。4 章では
J.V eitchetal. (2015) より、LIGO が提供するパラメータ推定ソフトウェアでのベイズ統計の用いられ方をみる。5 章で結論とする。

時空のゆらぎが波動として伝わるものであり，強い重力場の急激な変動により放射される。それが発せられるのは突発的であり、何度も繰り返し同じイベントを観測することはできない。よって得られるデー
タ 1 つ 1 つの価値が非常に重い。重力波データ解析
では、その 1 つのデータから統計量を推定し重力波を発生した現象の性質を探る。この統計量は、頻度論統計学で扱うと、信頼性が低くなってしまう。よってこのような分野では頻度論でなく、ベイズ理論を基にしたベイズ統計学が用いられる。ベイズ理論で2Priniple2.1

頻度論統計学

頻度論統計学とは、無限の試行のうちその事象が起きる頻度の程度を扱う学問である。したがって、ここで定義される確率 P (X) の確率変数 X は反復試行
可能なものであることという制約がある。以下では、頻度論で見られる代表的な手法についてまとめる。

は、常識や事前に得られる情報の更新という概念を用いてデータを扱っており、その有用性は近年認められ、統計学における地位は頻度論と並んだ。よって、頻度論とベイズ統計の概念の違いを理解し、扱
いたい事象に対してどちらが有用なのか的確な判断が求められる。そこで、重力波データ解析におけるベイズ統計の有用性について再確認する。
構成は以下の通りである。2 章で頻度論とベイ
ズ統計、データ解析の手法の 1 つである Matchedfilter 法 に つ い て 述 べ 、3 章 で は ベ イ ズ 統 計 とMatched filter 法 の 共 通 点 を 挙 げ る 。こ れ ら は

2.1.1

推測統計

統計学は、データの集合を基にデータの特性を掴
むための科学的な手法である。ここでは、対象の集合の全要素から得られる特性値全体のデータの集合を母集団と呼ぶ。この母集団の全てを調べることが不可能、または無意味なとき、母集団から標本を無作為に抽出し、それを基に元の母集団の分布の特徴を推測することを推測統計という。推測統計には、主に点推定、区間推定があり、前者は母集団を特徴付

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ける母数の値を推定し、後者は母数の値の範囲を推在しない）とする。帰無仮説が正しいとき、実際に定する。

観測された以上の外れ値が得られる確率（p 値とい点推定で代表的なものとして、最尤法が挙げられう）を求める。このとき、この確率が大きいか小さる。ここでは値の尤（もっと）もらしさを表す尤度といか判断するための境界（有意水準）を決めておく。

いう統計量の概念を導入する。データの集合を d =この値は任意であり、値そのものに意味はない。p 値{d1 , d2 , ..., dN } とし、母数を θ とすると尤度関数はが有意水準より小さい場合、帰無仮説を棄却し、対以下のように定義される。

立仮説を採択する。そうでない場合、帰無仮説を棄L(θ|d) ≡N∏

却できず、どちらの仮説も採択できない。

P (di |θ)

(1)

i=1

P (A|B) は、条件付き確率といい、事象 B が起こる

2.2

ベイズ統計学条件の下で事象 A が起こる確率である。P (di |θ) は、

ベイス統計の考え方は、前の章で扱った頻度論と母数が θ であるときに各データ di が得られる確率を大きく異なる。まず、頻度論でもあり得る条件付き表す。全データ d の確率を掛け合わせたものが尤度

確率の定義式をみる。事象 B が起こるという条件の関数 L(θ|d)（以下、L(θ)）であり、データ d を固定し下で、N 種類の事象 A(A1 , A2 , ..., AN )（Ai は互いに

母数 θ を変数とした関数である。確率ではないこと排反）が起こる条件付き確率は、に注意されたい。また、尤度関数は便宜上自然対数

P (Ai |B) =をとった対数尤度関数 ln L(θ) で考えることが多い。
この尤度関数（または対数尤度関数）を最大にする

θ を最尤推定量とし、θ̂M L で表す。
d ln L(θ = θ̂M L )=0dθ

するパラメータの値が θ̂M L である。母数そのものにはなり得ない。

(3)とかける。乗法定理を用いると

P (Ai |B) =(2)

つまり、尤もらしさを表す統計量を最も尤もらしく

P (B ∩ Ai )P (B)P (B|Ai )P (Ai )
P (B)

(4)

これが、ベイズの定理である。∪i Ai = S (S は全事∑象) のとき、分母は P (B) = i P (B|Ai )P (Ai ) とかける。

次に、区間推定について述べる。まず、有意水準を頻度論では、A も B も無限に再現可能な事象であっ決める。これは、一般的に 0.01 か 0.05 とするが、たた。つまり、前節でみたデータの値は確率変数としとえば 0.01 とする。母数 θ（これは定数である）のて扱えるが、母数は確率変数として扱うことは許さ

母集団に対して多数回（数学的には無限回）の実験れない。しかしベイズは、ここで母数を確率変数とにより θ の推計値が θ1 < θ < θ2 の範囲に入る確率

して扱うことを許す。また、仮説や理論も確率変数

が 1 − 0.01 = 0.99 のとき、この区間 [θ1 , θ2 ] を「99%として扱える。よって、ここで仮説 H とデータ d を

信頼区間 (confidence interval)」という。母数 θ は、 考えると、観測できないがあくまで定数だから、「θ が θ1 から

θ2 である確率が 99% である」という意味ではないことに注意されたい。

P (H|d) =P (d|H)P (H)
P (d)

(5)

P (H|d) は事後確率 (posterior probability) であり、得られるデータが d のときに仮説 H である確率であ

2.1.2

検定

検定とは、統計学的にテストをすることである。主張したい仮説を対立仮説（たとえば、宇宙人が存在する）、それを否定する仮説を帰無仮説（宇宙人は存る。データ d を固定し、仮説 H を確率変数としているので、ベイズで新たに許された概念である。P (H)は事前確率 (prior probability) であり、仮説 H が起こる確率である。いわゆる事前情報であり、たとえば質量は非負という常識をここに与えられる。これも、2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ベイズ独特の概念である。P (d|H) は仮説 H の下で星はその重力波波形がほぼ分かっている。なお、中データ d が得られる確率である。尤度関数 (likelihood性子星連星は、合体直後の波形はまだよく分かって

function) と呼ばれ、前節の最尤法で導入された概念 いない。
である。つまり頻度論でも許される概念である。最後検出器が捉えた時系列データである信号 s(t) に重に、P (d) は証拠 (evidence) といわれるもので、デー

力波 h(t) が含まれていた場合、検出器のノイズ n(t)タ d が得られる確率である。これは、仮説 H に依らを用いて以下のようにかけるとする。

ないので規格化因子とも言える。なお、扱う変数がs(t) = h(t) + n(t)連続量なとき、事後確率、事前確率は事後分布、事前分布とよぶ。
頻度論での点推定に対して、ベイズ統計ではベイズ推定がある。これは事後分布の期待値を推定量としており、点推定とは概念が異なる。
区間推定での信頼区間に対しては、信用区間 (cred-

ここで重力波の波形は理論的に予想されているとし、ノイズはガウス分布と仮定する。matched filter
法では、信号と理論波形の相関∫ ∞s(t)h(t − τ )dt

ible interval) がある。これは、事後分布の面積の x%を取るが、周波数空間で、ノイズのスペクトル密
度 Sn (f ) の逆数で重み付けした積分∫ ∞率は x% であるということである。対称に、信頼区

ρ = 2

間はこの範囲に、無限回の実験によって得られた母数の推定値の 90% が含まれるということである。頻度論では、母数はあくまで定数であり、存在の確率は考えられないのである。
検定においても、頻度論とベイズ統計では違いが生じる。頻度論での p 値は、帰無仮説が正しい確率ではない。帰無仮説は現象理解のための１つの仮説

0s̃(f )h̃∗ (f )df
Sn (f )

(8)を用いるのが最適であることが知られている。
このように、信号に理論波形をマッチさせ、ρ があらかじめ設定された閾値を超えたら信号 s に重力波信号が含まれると判断する。これが matched filter法である。
また、関数 A と B のスカラー積 (A|B) をでしかなく、それと現実のデータの論理的な矛盾の∫ ∞なさの度合いを表しているだけである。しかし、ベ(A|B) = 4Re

イズ統計の検定では、仮説の確率を考えることが可能なため、事後確率を用いて帰無仮説が正しい確率

(7)

−∞

（たとえば、90%）に等しい面積を区切る区間として定義される。よって、その範囲に母数が存在する確

(6)

df
0

Ã∗ (f )B̃(f )Sn (f )

(9)と定義すると、式 (8) は、を求めることができる。ここで、帰無仮説の事後確率が対立仮説のそれより大きいが、その差が微小であるとする。このとき安易に対立仮説を採択することは最適ではない。よって、有意水準の考え方を導

ρ=

1
(h|s)
2

(10)

と表すことができる。

入する。ここでは、（帰無仮説の事後確率）/（対立仮説の事後確率）とし、この値が閾値より小さいと帰無仮説の棄却を認めるとする。この事後確率の比を、事後オッズ比という。

3

Discussion
ここでは、尤度関数と Matched filter 法の対応づ

けをみる。

2.3

Matched filtering

まず、ノイズ n の確率密度関数 P (n) を考える。ノイズはガウス分布の場合、P (n) は、スペクトル密度

Sn (f ) を用いて以下のようになる。
{}∫という手法で解析される。波形が分かっている必要
1 ∞|ñ(f )|2
P (n) = N exp −dfがあり、コンパクト連星合体、特にブラックホール連
2 −∞ (1/2)Sn (f )コンパクト連星合体の重力波は Matched filter 法(11)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校である。ここで、N は規格化定数である。式 (9) のd は検出された信号、θ は波形パラメータ、H は仮説

スカラー積を用いて表すと以下のように書ける。

である。

1
P (n) = N exp{− (n|n)}2

重力波の波形モデルは、相対論のポスト・ニュート(12) ン近似と数値相対論に基づいて作られており、LAL-

重力波 h(t) は、一般的には重力波波形を決めるパラメータ（たとえば、信号の到来時刻や質量）を θ として、h(t; θ) とかく。ここで、真のパラメータを θtとすると s(t) = h(t; θt ) + n(t) より、n = s − h(θt )なので、尤度関数は以下となる。

Inference には設定が異なる複数のモデルが用意されている。モデルや事前確率の違う 2 つの仮説において、どちらが有用か検定する手段として、事後オッズ比が用いられる。この結果はあくまで目安程度に使用される。
尤度関数の計算では、ガウス分布で無相関なノイ

1
Λ(s|θt ) = N exp{− (s − h(θt )|s − h(θt ))}2(13) ズを仮定し計算している。
事前確率は、何も情報を持ってないときには、理指数の内積を展開し、(s|s) の項は規格化定数 N に含める。ここで、波形パラメータ θ のうち、振幅を表すパラメータ a だけを分離して考えることができる。つまり、h(t; θ) = aha (t; ξ) とする。ここで、a以外のパラメータを ξ とした。そうして自然対数をとると、

由不十分の原則から一様とするのが一般的であり、

LALInference もそちらに習っている。
ベイズ統計は、論理は直感的で単純とも言えるが、パラメータの数だけ積分を要するので計算が非常に複雑である。LALInference は、ベイズ統計の計算コストに対して、MCMC, Nest, BAMBI の 3 つの手法

ln Λ(s|a, ξ) = a(ha |s) −2a(ha |ha )2(14)

最尤推定量 âM L を求め、対数尤度関数に代入すると、を用意している。

5

Conclusion

1 (ha |s)2ln Λ(s|ξ) =(15)
頻度論とベイズ統計の考え方はデータを統計的に
2 (ha |ha )√扱う姿勢が大きく異なり、結果の解釈も大きく異な
ここで、h = ha / (ha |ha ) と、規格化と思うとることがわかった。頻度論の立場では観測結果から1
信頼できる推定量を出せないことから、ベイズ統計(16)ln Λ(s|ξ) = (h|s)22が有用であると言える。
よって、matched filter 法の式 (10) に相当することがわかる。

Acknowledgement
4

夏の学校をご支援くださった皆様、そして運営ス

LALInference

タッフの皆様に深く感謝いたします。また、本発表

LIGO は、LAL(LIGO Scientific Collaboration Al- のためにご指導してくださった大原教授ならびに研gorithm Library) というデータ解析ライブラリを提供 究室の皆様に、この場を借りてお礼申し上げます。
している。その中に、LALInference software libraryがある。これは、ベイズ統計に基づいて重力波のパ

Reference

ラメータ推定を行うソフトウェアである。
ここで、ベイズの定理は以下のように表記されている。

P (θ|d, H) =P (d|θ, H)P (θ|H)
P (d|H)

Michele Maggiore, Gravitational Waves Volume1: Theory and Experiments, Oxford University Press, New
York, 2008(17) J. Veitch et al. 2015, Phys. Rev. D91,042003

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a9

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波 GW170817 の検出データに対する独立成分分析粂 潤哉 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract2017 年 8 月 17 日、重力波 GW170817 が検出された。ところが、3 台の検出器のうちの 1 台、LIGO のLivingston のデータには大きなグリッチ雑音が乗ってしまっていた。波源の中性子星の各種パラメータを推定するためはこのグリッチ雑音を適切に取り除かなければならない。そこで本研究ではこのグリッチ雑音を取り除くために、非ガウス雑音の分離に適した信号分離法である「独立成分分析」を用いた解析を行った。
まずはじめに、重力波信号とグリッチ雑音のテンプレートのみの混合信号を作成し、ガウス雑音のない場合のシミュレーションを行った。続いて、GW170817 の実際の検出データに対しても解析を行った。発表では独立成分分析の概説、シミュレーションの結果、実際のデータに対する独立成分分析の結果を述べる。

1

Introductionが立っていることがわかる。これらはグリッチ雑音という非ガウス性の雑音によるものである。

2017 年 8 月 17 日、Advanced LIGO によって中性子星の連星による重力波、GW170817 が検出された。
図 1 に示すのは、LIGO Scientific Collaboration andVirgo Collaboration によって発表された Livingstonの検出データである [1]。

[1] の文献では、このデータと Hanford で得られたデータを用いて中性子星連星の各種パラメータの推定を行っていたが、この際、図 1 に見られるように
グリッチ雑音の形を仮定することによって取り除いていた。このような手法でノイズを取り除こうとす
ると、グリッチのモデル化によるパラメータの誤差が生じてしまう。よって、中性子星の各種パラメータを精度よく推定するためには、このグリッチ雑音をモデル化することなく除去できる手法が必要となってくる。そこで、本研究では独立成分分析によるグ
リッチ雑音の分離を試みた。というのも、独立成分分析は非ガウス性の雑音をモデル化することなく取り除くことができる解析手法なのである [2]。
本稿では第 2 節で独立成分分析の概説を行い、第 3
節では実データへの適用前に行ったシミュレーショ
ンと結果を述べる。そして第 4 節で実際のデータへ適用した結果を述べ、今後の課題を議論する。

図 1: Livingston の測定データ

2

独立成分分析の原理と応用

図 1 の下のグラフは Livingston の生の Strain デー

まず独立成分分析 [3] についての概説を行う。nタを時間軸に表したもので、-0.7s のあたりに突発的個の信号源があり、これらの信号は互いに独立であに大きな振幅の信号が発生していることがわかる。 るとする。時刻 t におけるこれらの信号を s(t) =上のグラフは Strain データのスペクトログラムであ (s1 (t), s2 (t), ..., sn (t))T と表そう。さらに、これらのり、こちらも-0.7s のあたりに黄色の柱のような信号

信号のうちガウス分布に従うものはたかだか一つであ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校るとする。この時、n 個の測定チャンネルがあり、そグリッチ雑音は非ガウス性の雑音であり、重力波のT

信号とは互いに独立ゆえ、x1 (t) と x2 (t) に対して独と表す。x(t) は s(t) が次のように空間的に混合した

立成分分析を適用できる。このような状況下で実際ものであるとする。

に独立成分分析を適用するとどの程度グリッチを分れらの測定データを x(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))x(t) = As(t)(1)

離できるのか (どの程度 g と n を復元できるのか) を確かめるために、3 節のシミュレーションを行った。

A = (Aij ) は n × n 行列で、混合行列と呼ばれる。この x に推定行列 W をかけ、信号の復元を

ただし、実際のデータにはそれぞれの観測系におい試みる。ここで得られる復元信号候補を y(t) =て発生したガウス雑音が乗っているので、これらのT(y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)) とする。
y(t) = W x(t)ノイズを nL (t)、nH (t) と置くと測定データは以下の(2)ように表される。

x=

測定データ x が確率分布 pX (x) に従うとき、復元信号候補 y の従う確率分布 pY (y) は次のようになる。

(

g + n + nL)
(6)

g + nH

図 1 下の strain の振幅のオーダーは 10−20 であるが、pY (y) = |W −1 |pX (x)(3) 重力波信号の振幅は 10−22 のオーダーであり、ほとんどガウス雑音の中に埋もれてしまっていることがこのとき、復元信号候補 yi (t) が互いに独立となるよわかる。このため重力波 g とグリッチ雑音 n を別のうに W を最適化すると、成分として分離するには、できる限り雑音 nL , nH を
W = P ΛA−1

(4) 取り除かなければならないと予想される。

となる。ただし、P は分離信号の順番の不定性に対応する置換行列、Λ は各分離信号のスケールの不定3

Simulation

性に対応する対角行列である。
以上が独立成分分析の原理であり、独立性と非ガウ

重力波信号とグリッチ雑音以外の信号が存在しな

ス性に基づくと、順番とスケールの不定性をのぞいい場合の分離シミュレーションを行った。

て混合信号を分離することができるという手法であ・重力波のテンプレート波形の作成る。

本研究では python モジュールの Pycbc を用いてテンプレート波形を作成した。主なパラメータである

続いて、独立成分分析の GW170817 への応用を考える。VIRGO では GW170817 は検出されなかったので、今回測定によって得られているのは Livingstonのデータ x1 (t) と Hanford のデータ x2 (t) の 2 つである。簡単のために、それぞれの測定系で発生する
ガウス雑音を無視し、２つの検出器の重力波信号の振幅が同じであるとしよう。重力波が 2 つの検出器

連星の中性子星の質量は互いに等しく、中性子星の典型的な質量:1.4M⊙ であるとした。また、波源までの光度距離は [1] を参考に 40Mpc とした。
・グリッチ雑音のテンプレート
グリッチ雑音の作成には以下の式を用いた。
()(t − t0 )2n(t) = A exp −sin(2πf t)τ(7)に同時に到達したと仮定すると、x1 (t) には重力波の各パラメータは表 1 の通りに設定した。GW170817

信号 g(t) とグリッチ雑音 n(t)、x2 (t) には重力波の信の測定データに近い状況にするためにタイミング t0 、号 g(t) のみが含まれている。これは以下のように信

振幅 A は [1] を参考にした。

号が混合していると考えることができる。
(
) (
)(
)
g(t) + n(t)
1 1
n(t)
x=
=
= As
g(t)
0 1
g(t)
(5)

表 1: グリッチ雑音のテンプレートのパラメータf [Hz] t0 [s]
A
τ [s]

100

-1.1

5 × 10−20

6 × 10−5

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
以上を用い、x1 (t) = g(t) + n(t)、x2 (t) = g(t) の2 つのデータを作成した。波形を図 2、図 3 に示す。

図 5: gr :重力波を主に含む成分

図 2: x1 :重力波とグリッチ雑音

図 5 の-1.1s のところを見ると重力波の波形がかけており、グリッチが完全には分離しきれてはいない
ことがわかる。x1 からどれほどのグリッチ雑音を取り除けたかを以下のように定量的に評価した。

(i) 復元信号候補からグリッチ雑音を主に含む成分 nrを差し引く:y(t) = (0, gr (t))T(ii) ここに推定行列の逆行列 W −1 をかけ、グリッチ
として分離した信号を取り除いた分のデータを得る。

(iii) この波形と元の重力波テンプレートとの差を取り、分離できなかったグリッチ雑音を得る (図 6)。

図 3: x2 :重力波のみ
図 2、図 3 の 2 つの信号に対して独立成分分析を適用した。その結果、重力波信号を主に含む成分 (図4) とグリッチ雑音を主に含む成分 (図 5) に分離することができた。
図 6: 分離できなかったグリッチ
残存するグリッチ雑音の振幅は 7.3 × 10−23 で、もとのグリッチの振幅から 1.5 × 10−3 倍小さくなった。
以上より、独立成分分析は重力波信号からグリッチ
雑音を取り除く手法として有効であると考えられる。
なお、推定行列 W の逆行列を適当に規格化することで、混合行列 A を推定すると()
1
1.0046A=
0.00161
図 4: nr :グリッチ雑音を主に含む成分となり、(5) 式の A に近い行列が得られた。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

GW170817 への適用

トログラムと同様の重力波のチャープ波形が残っており、分離前の Livingston のデータのスペクトログ

シミュレーションではグリッチ雑音を取り除くのラムから大きな変化が見られなかった。

に独立成分分析が有効であることがわかった。そこ

この時の推定行列 W −1 を適当に規格化することでで、GW170817 の実際のデータに対しての適用を試

パス処理を行った。バンドパスは重力波信号が十分混合行列の逆行列 A−1 を推定すると、()
1
0.0065−1
A =−0.00090
1

入るように範囲を 30Hz〜400Hz とした。このようなとなり、単位行列に近いものとなった。つまり、分みた。以下にその詳細と結果を示す。
まず、測定データに対してホワイトニングとバンド処理をした 2 つのデータに対して独立成分分析を適用した。

離信号のグリッチを含む成分はほとんど Livingstonのデータそのままだったことになる。以上から分かるように、3 節のシミュレーションのように重力波信号とグリッチ雑音とを分離することはできなかった。
原因としては 2 節での考察のように、重力波信号がほとんど雑音の中に埋もれてしまっていることが考えられる。よって、それぞれの検出系のガウス雑音が乗っている Livingston と Hanford のデータを用いて上述のグリッチ雑音を分離することは、現状の解析手法では難しいという結論となった。
しかし、シミュレーションの結果を踏まえれば、グ

図 7: 独立成分分析による分離結果

リッチのみを検出するような環境測定チャンネルを作成すれば、独立成分分析によってグリッチを取り除くことは十分可能であると考えられる。

Acknowledgement
本発表のために御指導くださったビッグバン宇宙国際研究センターの皆様に深く感謝いたします。

Reference
図 8: グリッチを主に含む分離成分
なお、波源の推定位置 [1] を元に重力波信号の時間差を計算し、その分だけ Livingston のデータをずらしてから独立成分分析を行った。分離した 2 成分を
図 7 に示す。また、グリッチを含む成分のスペクト
ログラムは図 8 のようになった。
およそ-1.1s のところにグリッチ雑音に対応する黄色
い縦線が見える。さらによく見ると、図 1 のスペク

[1] B.P. Abbott et al. Phys. Rev. Lett. 119, 161101(2017)[2] S. Morisaki, J. Yokoyama, K. Eda and Y. Itoh, Proceedings of the Japan Academy, Series B, Vol. 92, Issue8, p. 336-345 (2016)[3] Amari S., Cardoso J.F. (1997) Blind source separation ― Semiparametric statistical approach. IEEE
Trans. Signal Process. 45, 26922700

——–index

a10

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙ひもからの重力波:これまでの成果と今後の展望
津名 大地 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
宇宙ひもは、初期宇宙で起こったとされる相転移に伴い生じる位相欠陥である。 2 本の宇宙ひもが交差したり、1 本のひもが自身と交差したりすると、ある確率で独立したループが生まれる。このループの振動や、ループに存在するカスプ、キンクといった尖りのようなフィーチャーが重力波源となると考えられている。宇
宙ひもを重力波で探る上で重要になってくるパラメータは二つあり、「ひもの張力」と「組み換え確率」である。前者はループからの重力波の強さを決め、後者は重力波源となるループのできやすさを決めるパラメー
タである。これまでの重力波による探査では宇宙ひもからの重力波は見つかっておらず、上記のパラメータ・モデルへの制限が行われてきた。本講演ではこれまでの宇宙ひもからの重力波をターゲットにした観測の成果を紹介し、将来の展望を述べる。

1

イントロダクション2

宇宙ひもからの重力波

2015 年 9 月二つのブラックホールの合体からの重力波が重力波検出器 Advanced LIGO によって観とその重力波放射によって決まっている。特に、ルー測され、この大発見は重力波天文学という新たな分プ上を伝播するカスプ、キンク (ざっくりした形は図野を確立した。一方で、重力波を放出すると考えら

1 参照) というものが、ビーミングされた強いバース

宇宙ひもの時間発展は、主に宇宙ひものループ生成

れ、LIGO のターゲットとなっている現象はブラッ ト的な重力波放射を起こす。また、これらのバース
クホールや中性子星以外にも存在する。そのうち初ト放射が重ね合ったものは背景重力波を構成し、低期宇宙への重要なプローブの一つとして、仮説上の周波でのパルサータイミングから高周波での地上重「宇宙ひも」というものがある。

力波検出器まで、様々な手段で探査が可能である 1 。

宇宙ひもは、初期宇宙で起こったとされる相転移

ひものループサイズを l、 赤方偏移を z としたと(自発的対称性の破れ) に伴い、複数の因果関係のな き、観測されるカスプ/キンクからのバースト重力波
い時空領域の間で生じる一次元の位相欠陥である。 の波形は、以下のような周波数のパワーローになる。
宇宙ひもを含む位相欠陥の存在は Kibble (1976) にh(l, z, f ) = Aq (l, z)f −q Θ(fh − f )Θ(f − fl ) (1)
よって最初に提唱され、GUT (大統一理論) の枠組
みでの存在が予言されている。
宇宙ひもが起こすと予言されている観測現象は、宇宙背景放射 (CMB) の非等方性、遠方銀河のレンジ
ング、重力波など多岐に渡り、これまで様々な観測

カスプの場合は q = 4/3, キンクの場合は q = 5/3とした式で与えられる。周波数にはビーミング由来の高周波カットオフと、ループサイズ由来の低周波
カットオフがある。各バーストにおけるビーム角はによって宇宙ひもの探査が行われ、宇宙ひもに関係するパラメータの観測的制限が行われてきた。本収θ ∼ [f (1 + z)l]−1/3 ∝ f −1/3

(2)

録では宇宙ひもからの重力波解析が述べられている

Siemens et al. (2006)、Aasi et al. (2014) や最新の であり、θ が observing angle よりも小さい場合は観測
Abbott et al. (2018) を参照し、宇宙ひもから出ると ができないので、これで周波数の最大値が与えられる。
される重力波について簡単にまとめ、これらのパラ
メータ制限を行う手法、およびこれまでの成果と今後の展望について述べる。

1 バーストと背景重力波の違いは直感的には、強くてレアなシグナルは「バースト」として分解できるものであり、弱くて頻繁なシグナルは一つ一つを分解することができなくてその重ね合わせがバックグラウンドとして観測される、といった具合である。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
一方ループサイズは宇宙の大きさ程度と考えられていて、低周波カットオフ (∼ c/l ∼ 10−19 Hz(l/100Gpc))

3

重力波探査・パラメータ制限

は現在の重力波検出器の帯域よりはるかに小さい。実背景重力波によるパラメータ制限は、背景重力波

際のところ、カットオフは検出器の帯域 (例えば LIGO

自体について得られる「重力波のエネルギー密度」のであれば地面振動が顕著になる ∼ 10 Hz) によって制限を、単純に上記の放射の振幅・レートの議論を決められる。

用いて宇宙ひもの制限に焼きなおすという方法で行われる。ここでは、バースト重力波をどのように探振幅は以下のように与えられる。

Aq (l, z) ∼Gµl2−q(1 + z)q−1 r(z)査しているかを具体的に述べる。

(3)

ここで Gµ は「ひもの張力」と呼ばれ、重力波の強さを決めるパラメータである。固有距離 r(z) は、適
当な宇宙論パラメータを仮定することで求められる。
このようなバーストが起こる頻度は、宇宙ひもルー
プによって決まる。大きさ l の宇宙ひもの振動のタ
イムスケールは ∼ l/c で与えられ、一つのループがカスプ/キンクを n 個持つとすると、バースト頻度はカスプ・キンクからのバースト重力波の探査は、これまでブラックホールや中性子星の合体からの重力波探査と同じマッチドフィルター法という手法を用いる。すなわち、パラメータが異なる多数のテンプ
レート波形を用意し、データの中からテンプレートに「合う」部分、すなわちシグナルと考えられるものを探すことを行う。
テンプレートは以下のような形で用意する。

t(f ) = f −q Θ(fh − f )Θ(f − fl )(4)
∼ nc/l 程度となる。ループあたりのカスプ・キンクの数はどの程度あるかは制限がほとんどついていな つまりシグナルは s(f ) = At(f ) で与えられる。前述
いが、パラメータの制限を行う場合は O(1) として与 の通り fl は検出器のノイズから決まるので、fh を変えることが多い。
化させたテンプレートをたくさん用意する。過去の一つのループ上のカスプ・キンクからの重力波放 LIGO-Virgo の解析では、a few 10 – a few 1000 Hz
射の振幅とその頻度を求めたら、あとはループがど程度の数十程度のテンプレートを用意している。

の程度宇宙に存在するかを見積もることが必要にな

まずは簡単のためテンプレートを規格化することる。ループは時間とともに上記の重力波放射で減衰
プの分布関数はループサイズ l と時間 t の関数 n(l, t)を行う。そのためにノイズで重み付けされた内積∫ ∞x(f )y ∗ (f )(5)(x|y) = 4Re
df
Sh (f )
0となる。生成と重力波放射による崩壊によってルーを定義する。ただし Sh (f ) はノイズのスペクトル密プの分布は平衡状態に落ち着き、その後は宇宙膨張度と呼ばれるもので、ノイズの周波数成分を n(f ) とに従った「スケーリング」解となる。平衡状態の分すると ⟨n(f )n∗ (f ′ )⟩ = 21 Sh (f )δ(f − f ′ ) で定義されしてサイズが縮んでいく。したがって、宇宙ひもルー

布関数については宇宙ひものシミュレーションに基づいた様々なモデルが存在し、重力波観測によって各モデルについて制限を与えることが可能となる。

る。規格化には以下の変換を行う。
√
t(f ) =⇒ t̂(f ) = t(f )/ (t|t)(6)

全モデルに共通する点として、ひも同士が相互作検出器からのデータがシグナル+ノイズで h(t) =用する確率として「組み換え確率」p というパラメー

s(t) + n(t) と表されている時の ρ = (h|t̂) を考えよう(これが Signal-Noise Ratio, SNR と呼ばれるもので的であることと、4 次元以上の時空を動くひもは相互 ある)。シグナルがない時、つまり h(t) = n(t) の時、作用を避けやすいことなどが理由としてあり、典型 SNR は (定常・ガウス性のノイズの場合)
タが定義できる。これはひもの相互作用自体が確率的に 10−3 < p < 1 とされている。一般的には p が小⟨ρ⟩ = ⟨(n|t̂)⟩ = 0, ⟨ρ2 ⟩ = ⟨(n|t̂)2 ⟩ = 1(7)

さいほど平衡状態に達するのが遅れるので、ループの標準正規分布である。一方で、シグナル成分の√h(f ) = A (t|t)t̂ がある場合には、SNR は
よっては n(l, t, p) ∝ p−2 – p−0.6 が得られているが、√⟨ρ⟩ = A (t|t) > 0, ⟨ρ2 ⟩ − ⟨ρ⟩2 = 1(8)
典型的には n(l, t, p) ∝ p−1 と取られることが多い。
の分布関数はより大きくなる。シミュレーションに2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校の正規分布で与えられる。シグナルがあると、SNR

グナルを入れたデータを解析することによって、どが 0 よりも大きな値になるのが見て取れる。

の程度の振幅であれば例えば 90% の確率で検出でデータ h(t) に対して SNR の時間変動 ρ(t) を計算

きるか、というのがわかる。その振幅の重力波を観する。SNR にある閾値 ρth を設定して、この閾値よ

測時間の間で出せるような宇宙ひものモデル・パラ

りも大きい SNR を持つ区間をトリガーとして拾う。 メータは、90%の確からしさで棄却される。
閾値が大きすぎるとシグナルを逃しやすくなり、小さすぎるとトリガーが増えすぎて以後の処理が大変になる。これらを踏まえて、過去の LIGO-Virgo の探査では ρth ∼ 4 あたりを閾値としている。
このような手法でトリガーを調べたら、複数台の検出器で「同時に」来たトリガーを選び出す。簡単のため A,B 二台の検出器で考えると、二つのトリガーが同じバースト起源である場合、その到達時間の差は重力波が A,B 間を光速で進む時間 (∼ O(10) ms) よ
りも短いはずである。A のトリガーと B のトリガー
がこの時間差の制限を満たす場合 2 、この二つのトリガーを「coincident event」としてセットで抽出する。
これらの coincident event について最後にシグナルとしての確からしさの「格付け」を行う。直感的には、各イベントのパラメータが「シグナルがあったとした時に出てくる確率」と「ノイズしかないとした時に出てくる確率」を計算し、その比 (likelihood4

現在までの成果、今後の展望

2017 年 12 月現在、宇宙ひも由来の重力波バース
トおよび背景重力波の探査によって得られている上限をまとめたプロットを図 2 に示す。この図では、先に述べたひもの張力 Gµ、組み換え確率 p の二つの(縮退した) パラメータの制限を示している。

M = 1, 2, 3 とあるのは、3 つの異なるシミュレー
ションから得られている宇宙ひも分布関数のモデルを意味している。モデルによって大きく異なる制限が得られているが、M = 1, 2 に関してはパルサータ
イミングが最も強い制限を得ている一方、M = 3 では Advanced LIGO-Virgo O1 の背景重力波の観測が最も強い制限を得ているといえる。
また、これらの制限が今後重力波検出器 Advanced

LIGO - Virgo の発展によってどの程度発展していく
ratio) をもって「シグナルらしさ」を見積もる。なお
かも同じ図に示されている。全てのモデルについて
これまでの LIGO-Virgo の探査では、前者の計算にO1 から Advanced LIGO の Design 感度への向上に必要なシグナルのサンプルはデータに人工的にシグより、Gµ が 4 桁程度小さいところまでプローブが可ナルを足すことで生成し、後者の計算に必要なノイ能になり、M = 1, 3 については今までの全ての制限
ズのみのサンプルは、検出器のデータの時間を互いよりも強い制限を得られると考えられる。パルサーにずらすことで作られてきた。
タイミングについても、今後 SKA などのサーベイでノイズしかないサンプルを解析することで、 あるパルサーの統計数を増やしていくことで、背景重力
likelihood ratio のイベントがノイズのみからどの程
波をより感度良く探ることが可能になるだろう。今度の頻度で起こるかを推定することができる。この後の感度を上げた観測で実際に宇宙ひもが見えるか
頻度がかなり低いような coincident event があった
どうか、将来が楽しみな結果となっている。
場合、このイベントはシグナルである可能性が高いということになる。もう少し定量的に述べると、1 年間の観測でノイズのみでは O(106 ) 年に一度程度し Reference
か起こらないシグナルが見つかった場合、5 シグマの確からしさでシグナルであると認められる。
このようなシグナルが見つからなかった場合は、各パラメータ・モデルから計算されるレートを用いてパラメータの制限を行うことができる。人工的にシ2 本当はトリガー自身のピーク時間の不確定性などの要因で、もう少し制限を緩く取っている

Aasi J. et al. 2014, Physical Review Letters, 112, 131101
Abbott B. P. et al. 2018, Physical Review D, 97, 102002
Kibble T. W. B. 1976, J. Phys A 9, 138
Siemens X., Creighton J., Maor I., et al. 2006, PhysicalReview D, 73, 105001

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: カスプとキンク

図 2: 宇宙ひもの制限 (Abbott et al. (2018) より)

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2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Lensing 解析における Baryon physics の効果
伊藤 輝 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
lensing による個々の halo の二次元密度分布を測った場合、光源銀河の shape noise の影響が大きく精度の良い signal を得ることができないため、一般には sample となる halo を stack することで重力レンズの寄与だけを抜き出す。得られた signal に適当な halo model を仮定して fitting を行い halo の質量 Mf it を求めることができる。今回の発表ではいくつかの halo model の紹介と各 model での Mf it の違いを、sample となる halo の質量の平均 ⟨M ⟩ との比 Mf it /⟨M ⟩ で表した。また halo のフィラメント構造を定量的に説明する 2-halo term の有無で Mf it がどうのように変化するかも説明する。

1

Introduction

理論的なプロファイルをフィットすることで得られる

halo の質量 Mf it を stack した sample となる個々のgalaxy cluster の質量ごとの abundance を求める
halo の質量を平均した ⟨M ⟩ と同じものであると皆しことは σ8 や Ωm h などの宇宙論パラメータの制限にてきた。しかし stack した二次元密度プロファイルのつながる。また cluster abundance の時間発展を追
フィット解である Mf it が ⟨M ⟩ と一致するとういう
うことができれば dark energy の状態方程式の変数確証はなく、また理論的な halo model の違いによっw などの制限もつけることができる。cluster を使って得られる Mf it も異なる。今回の発表ではいくつかた宇宙論パラメータの制限に用いられる手法としての halo model を紹介し、今後の研究展望を示す。
X 線観測や Sunyaev Zel’dvich 効果などが挙げられる。cluster 観測においては宇宙論モデルから得られる halo の質量から理論的な予言を得ることになる。 2

重力レンズ

したがってこのような理論的枠組みの中から個々の光源から放たれた光は空間に対して垂直に進む。重
cluster の質量、または cluster の sample を平均化した質量を求める必要がある。X 線観測や SZ 効果では 力を持った物体の周りは空間が曲がるため光も見か
個々の cluster の質量を推定することができるがいく け上曲がって進むように見える。このような現象をつかの物理条件を仮定する必要がある。一方背景銀 重力レンズという。光源となる背景銀河から放たれ河の歪みを用いた weak lensing 観測からはほぼ直接 た光が銀河団などのレンズ天体により方向が曲げら的に cluster の視線方向に積分された質量密度分布を測ることができる。この質量密度分布に適当な halo
モデルを仮定した理論的な密度分布で fit することによって cluster の質量を見積もることができる。しれて我々が観測する場合を考える。天球上の二次元
角度ベクトルとして見かけ上の背景銀河の位置を θ⃗、⃗ とする。重力レンズ効果による θ⃗ か
実際の位置を β⃗ への写像の局所的な表現は以下の式で表せる。
らβ(かしながら waek lensing を用いて個々の cluster のsignal を測ろうとすると背景銀河の shape noise の影響が大きく十分な推定が行えない。そのため複数

δ β⃗ =

1 − κ − γ1−γ2−γ2
1 − κ + γ1

)
δ θ⃗

(1)

り背景銀河の重力レンズ効果のみの歪みの寄与を抽κ は convergence と呼ばれるもので背景銀河の形を変えず大きさを変える変数である。一方 γi は shear

出必要がある。この場合得られる clusuter の情報はで光源の大きさは不変で歪みの成分を表す変数であ

統計的なものになる。先行研究では stack した halo

り、i = 1, 2 は 45◦ 傾いた方向の歪みを表す。観測的の二次元密度プロファイルに halo モデルを仮定したには背景銀河の輝度から個々の背景銀河の楕円率 χの clusuter sampled で stack(平均化) することによ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
NFW model では rvir 内の密度分布をうまく記述する
個々の銀河の特徴を表す shape noise の影響がある。 のに有効である。しかし ρNFW を r → ∞ で体積積分を求めることができる。χ は重力レンズによる寄与とそこで sample となるレンズ天体の背景銀河で stack

すると質量が発散してしまう。takada & Jain (2003)

することで shape noise の影響を十分減らすことがでは rvir で truncated する NFW プロファイルを提でき結果的に以下のように重力レンズによる歪みだ

案した (TJ model)。TJ model では halo は典型的にけを取り出すことができる。

rvir 内に質量が存在しているとみなし、密度プロファ
イルの規格化は質量保存を維持している。

⟨χ⟩ ≃ 2γ

(2)

また γ は以下の式のようにレンズ天体の二次元密度
プロファイルで表現することができる。

γ(θ) =∆Σ(θ)ΣcrρTJ (r) =ρsΘ(rvir − r)
(cr/rvir )(1 + cr/rvir )2(9)

Θ は Heviside step 関数である。TJ model での問題
(3)

∆Σ(θ) = Σ̄(< θ) − Σ(θ)(4)

であり Σ(θ) は位置 θ での local な密度プロファイル
であり、Σ̄(< θ) は halo 中心から θ 内までの密度を平均化したものである。

ΔΣ(R) [h Msun / comovinc pc 2]体の位置で決まる係数である。∆Σ(θ) は

NFWΔmodel
TJΔmodelBMO_n1(tau=20)
BMO_n1(tau=30)
BMO_n2(tan=20)
BMO_n2(tan=30)102

Σcr は critical surface density で背景銀河とレンズ天

101
100

10−1
10−2
10−3

3

10−1

halo model
銀河団のようなレンズ天体の質量を重力レンズ解析

から求める場合、一般には銀河団を halo とみなしてhalo model の密度関数でフィットする。dark matter
halo の最も有名な density prifile は Navarro, Frenk,& White の NFW profile である。
ρs
ρNFW (r) =(cr/rvir )(1 + cr/rvir )2100

R [h −1comoving Mpc]101

図 1: 各 halo model の密度プロファイル。free parameter は M = 1014 [h−1 M⊙ ]、c = 4.0、τ = 20, 30(τ =20 が実線、τ = 30 が点線)
は r = rvir において微分不可という点と、実際の halo

(5) では rvir よりも大きい領域にも多少の広がりを持つという点である。Baltz, Marshall, & Oguri (2009)c は concentration parameter で c が大きいほど中心 では NFW が tidal radius、rt 内で維持され rt よりに質量が集中していることを表す。ρs と rvir は以下 大きい場所では pow low で滑らかに cut oﬀ される
model(BMO model) を提案した。
のような定義である。
(
)n
rt2
ρs
c3 M
ρBMO (r) =(6)ρs =3 m(c)(cr/rvir )(1 + cr/rvir )2 r2 + rt2
4πrvir
(10)
[
]1/3
3M
n = 1, 2 では ∆Σ(r) の解析解がある。(Baltz, Marrvir =(7)4π∆ρ̄m0
shall, & Oguri (2009))。また NFW model の解析解
m(c) は c で決まる無次元関数である。
m(c) = ln(1 + c) −c
1+c

は (Golse, & Kneib (2002))、TJ model は (takada& Jain (2003a,b)) などを参照されたい。本研究では(8)

halo model を特徴付けるパラメータとして M と c を2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校、また BMO model ではそれに加えて τ = crt /rvir

上の mass で平均を取ったものを ⟨M ⟩ とする。宇宙論

を free paramater とする。

パラメータは P lanck cosmology(Planck Collabora-tion et al. 2016) から Ωb0 = 0.02225、Ωc0 = 0.1198、ΩΛ = 0.6844、ln(1010 As ) = 3.094、ns = 0.9645 と42-halo term

した。また redshift は z = 0.5 としている。

halo の周りのフィラメント構造は halo を stack することで等方的で動径方向のみの密度分布とみなすことができる。この構造の ∆Σ を 2-halo term(halo6

Resultsmodel のプロファイルは 1-halo term) と言い以下のfree parameter は NFW model と TJ model では
ように書ける。
M 、c, また BMO model ではそれに加えて τ の三つ∫ ∞である。また式 (7) の ∆ は本研究では 200 としておkdk L
∆Σ2halo (r) = ρ̄m0
Pm (k)J2 (kr)(11) り M と rvir は実質 M200 、r200 である。∆Σ の動径方2π0
向は rmax = 5, 10, 20, 50 [comoving Mpc h−1 ] までのJ2 は二次の Bessel 関数である。典型的に r > rvir での４パターンで、1-halo term のみの場合と 1-halo +は 2-halo term が支配的になる。
2-halo term の場合でそれぞれフィットした。1-halo5

term のみ場合より 1+2halo term でのフィットの方が Mf it が小さくなる。これは 1-halo term のみでの
fitting では rvir より大きいスケールも ∆Σ1halo のみ

Methods
本研究では N 体シミュレーションを使って、あるで解析する必要があるためである。一方 ∆Σ2halo はMmin 以上の質量を持った全ての halo を stack して得 free parameter によらず一定であるので、2-halo termられた ∆Σ を各 halo model のプロファイルと 2-halo が支配的になる rmax = 20, 50 [comoving Mpc h−1 ]term でフィットし Mf it を求めた。同様に N 体の結果 における ∆Σ1halo + ∆Σ2halo での fitting では得られる Mf it はほぼ同じになる。今回の研究で各 halomodel によって得られる Mf it は有意に違いが出ることが分かった。また Mf it と ⟨M ⟩ の比は必ずしも 1

M_min
<M>

1015

に近い訳ではなく、0.8 < Mf it /⟨M ⟩ < 1.1 ほどの範囲に存在することが確認できた。

[h −1 Msun]

1014

7

Discussion and Conclusion

1013

重力レンズから得られる stack された ∆σ は等方的で統計的な halo の性質を持っている、一方同じ
1012
1012

1014
Mmin [h −1 Msun]

1013

1015

図 2: 黄色の線は Mmin に対する ⟨M ⟩ のプロット、
青線は Mmin -Mmin 。mass function は質量が大きほ
ど小さく Mmin が大きければ ⟨M ⟩ は Mmin 自体に近付く。
から得られた halo の mass function も使って Mmin 以

sample の halo で得られた Mf it と ⟨M ⟩ は必ずしも一致する訳ではなく、また選んだ halo model の違い
で Mf t の値も異なることが分かった。今回の研究では dark matter halo の性質のみを説明する model での fitting であったが。より実際的には観測する対象
は銀河団などであり、銀河団内部でのガス運動などの baryon physics を考慮して計算する必要がある。
そのためこのような baryon physics を第一原理的に2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference
Rmax = 5 M c h −1

Rmax = 10 M c h −1

TJ 1halo
NFW 1halo
BMO_n1 1halo
BMO_n2 1halo

1.10
1.08

TJ 1halo
NFW 1halo
BMO_n1 1halo
BMO_n2 1halo

1.125
1.100

Takada, M., & Jain, B. 2003, MNRAS, 344, 857

1.075

Mfit / < Msim >Mfit / < Msim >

1.06

1.050

1.04

Oguri, M., & Hamana, T. 2011, MNRAS, 414, 1851

1.025

1.02

1.000

Baltz, Edward. A., Marshall, P., & Oguri, M. 2009, jcap,
1, 015

1.00
0.975
0.98
1014

1015

Rmax = 20 M c h

0.950

1014

1015

Golse, G., & Kneib, J.-P. 2002, aap, 390, 821

Rmax = 50 M c h −1

−1

1.20

1.15

Planck Collaboration et al., 2016, A&A, 594, A13

Mfit / < Msim >Mfit / < Msim >

1.15

1.10

TJ 1halo
NFW 1halo
BMO_n1 1halo
BMO_n2 1halo

1.05

TJ 1halo
NFW 1halo
BMO_n1 1halo
BMO_n2 1halo

1.10

1.05

1.00

1014

Mmin [h −1 Msun]

1015

1.00

1014

Mmin [h −1 Msun]1015

図 3: ∆Σ1halo のみでのフィット。青線が TJ model、
黄色の線が NFW model、緑線が BMO(N=1)、赤線
が BMO(n=2)。

Rmax = 5 M c h −1

Rmax = 10 M c h −1

TJ 1+2halo
NFW 1+2halo
BMO_n1 1+2halo
BMO_n2 1+2halo

1.06
1.04

TJ 1+2halo
NFW 1+2halo
BMO_n1 1+2halo
BMO_n2 1+2halo

1.05

1.00

Mfit / < Msim >Mfit / < Msim >

1.02
1.00

0.95

0.98
0.96

0.90

0.94
0.85

0.92
0.90

Murata, R., Nishimichi, T., Takada, M., et al. 2018,
APJ, 854, 120

1014

1015

1014

Rmax = 20 M c h −1

1.10

TJ 1+2halo
NFW 1+2halo
BMO_n1 1+2halo
BMO_n2 1+2halo

1.05

1015

Rmax = 50 M c h −1
TJ 1+2halo
NFW 1+2halo
BMO_n1 1+2halo
BMO_n2 1+2halo

1.10
1.05

1.00

Mfit / < Msim >Mfit / < Msim >

1.00
0.95

0.95

0.90

0.90

0.85

0.85

0.80
1014

Mmin [h −1 Msun]

1015

1014

Mmin [h −1 Msun]1015

図 4: ∆Σ1halo + ∆Σ2halo でのフィット説明できるような parameter を導入した model を作
り fitting することが今後の課題となる。

——–index

a13——–indexa14

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

弱い重力レンズからの銀河バイアス推定
近藤 寛人 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙の階層的構造形成によって銀河の分布はダークマターの分布をある程度トレースすることがわかっている。しかし実際には分布間に違いがあり、その差異を銀河バイアスと呼ぶ。銀河形成モデルに応じて予測される銀河バイアスが異なるため、観測から銀河バイアスを詳細に決めることは銀河形成シナリオの検証につながる。本発表では、弱い重力レンズ効果から銀河バイアスの赤方偏移依存性を調査した論文をレビューする。観測される銀河と観測者までの間に大きな質量が存在すると、重力により観測される銀河の見かけの形状が歪む。この現象は弱い重力レンズ効果と呼ばれ、質量分布を反映した銀河像の歪みからシアーと呼ばれる物理量が観測される。ダークマターを含む質量によるシアーマップと銀河の個数密度分布から変換される銀河のシアーマップの相関をとることで、線形な銀河バイアスを調べる手法が先行研究で示され、Cosmic

Evolution Survey のデータを用いて銀河バイアスを推定している。また別の先行研究で赤方偏移依存性の解
析が追加され、シミュレーションテストが行われているが、観測データは解析されていない。レビューする
論文中では、先行研究の手法を用いてより広域な銀河探査である Dark Energy Survey 科学的評価データを解析することで、統計的不確かさを抑えて赤方偏移依存性を推定している。銀河バイアスを推定する他の方法には、銀河分布の 2 点相関を用いる手法と宇宙マイクロ波背景放射の重力レンズ効果を用いる手法がある。
弱い重力レンズからの結果は、これらの結果と一致しており、他と比べて宇宙論パラメータの影響が小さい
点で優れている。また解析に並行してシミュレー ションテストを行うことで、広域銀河探査における本手法を精査している。今後他の広域銀河探査へ本手法を適用して各観測から独立した結果を得ることで、銀河バイアスの更なる解明が期待される。

1

Introduction

み合わせているため、弱い重力レンズを用いた銀河
バイアス推定の宇宙論モデルへの依存性は小さくな

宇宙の構造形成において、はじめにダークマターの密度ゆらぎが成長し、その高密度領域で銀河が形成される。しかし銀河とダークマターのゆらぎの間にはずれが存在し、そのずれを銀河バイアスと呼ぶ。
銀河バイアスは、銀河の個数密度分布からダークマ
ターの密度分布を推定することを可能にし、銀河進化などを研究する上でも有用である。銀河バイアスの主流の推定手法は銀河の二点相関関数を用いたものであるが、これは銀河の観測のみによるものであり、ダークマターの分布については観測量から直接的に求めてはいない。この手法では、ダークマターの相関を宇宙論モデルから構築するため宇宙論モデ
ルに強く依存する。一方で弱い重力レンズ効果用いた手法では、観測された銀河の形状データを解析することでダークマターの分布を推定している。観測から推定されるダークマターの分布と銀河分布を組る。レビューする論文中では二本の先行研究によって確立された手法を用いて DES SV データの解析を行っている。先行研究のうち一本は手法の確立及びCosmic Evolution Survey のデータを解析している(A.Amara et al. 2012)。続くもう一本では赤方偏移依存性の取扱の改良及びシミュレーションテストが行われている (A.Pujol et al. 2016)。
以降では 2 章で基礎となる理論の説明、3 章では解析に合わせたシミュレーション及び解析手法の説明、4 章で解析結果、5 章でまとめを行う。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

Background Theory

2.1

銀河バイアス

2.3

銀河バイアスと相関関数

一般にコンバージェンスは天球面上の座標 θ 方向の密度ゆらぎを積分した量として計算することがで

銀河バイアスが線形であることを仮定すると、銀河バイアス b はダークマターの密度ゆらぎ δ と銀河の個数密度ゆらぎδg の相関係数として定義される。

δg (z, R) = b(z, R)δ(z, R)(1)

きる。同様にして、θ 方向の銀河の個数密度揺らぎから得られる銀河のコンバージェンスκg を定義する。
∫ ∞κg (θ, ps ) =dχq(χ, ps )δg (θ, χ)(5)0

ここで R はスムージングスケール、z は赤方偏移である。最も単純な定数バイアスは、ダークマターのq(χ, ps ) ≡密度ゆらぎの二点相関関数ξdm と銀河の個数密度ゆら3H02 Ωm χ
2c2 a(χ)

∫ ∞
dχs
χ

χs − χps (χs )χs(6)

ぎの二点相関関数ξg から式 (2) のように表現できる

ここでχは銀河までの共動距離であり、q は重力レン。ただし一般に銀河バイアスは銀河の特徴によってズによる重み付けになっている。また q 内部のχs は値が異なることが知られているが、十分に大きなス銀河までの共動距離、ps は共動距離χs に対応する銀ムージングスケールでは上記の銀河バイアスと一致

河の確率密度である。特定の共動距離の範囲∆χ′ に存する。

在する銀河の個数密度ゆらぎのコンバージェンスκ′gξg (r) =を定義するため、ϕ′ (χ) を導入する。
∫ ∞
∆χ′ =
dχϕ′ (χ)⟨δg (r0 )δg (r0 + r)⟩= b2 ⟨δ(r0 )δ(r0 + r)⟩= b2 ξdm (r)

2.2

(7)

0

(2)
κ′g (θ, ps ) =弱い重力レンズ∫ ∞dχq(χ, ps )ϕ′ (χ)δg (θ, χ)(8)0

重力レンズは光源と観測者の間にある質量により光

また以降では特定の共動距離 χ(もしくは赤方偏移 z)の経路が曲がる現象である。重力レンズで用いられ区間のみを取り出した物理量には ′ をつけて表現す

る物理量は、像の歪みを表すシアー γ = γ1 + iγ2る。赤方偏移区間に依存したコンバージェンスの相と光の強度及び像の大きさの変化を導くコンバー

関をとることで b′ を定義する。

ジェンス κ である。弱い重力レンズ効果の観測でb′ =は、観測された局所的な銀河像の歪みの傾向からシアーを求めている。またフーリエ空間ではシアー⟨κ′g κ′g ⟩⟨κ′ κ′ ⟩=b = fb′⟨κg κ⟩⟨κ′ κ⟩(9)とコンバージェンスは Kaiser-Squires 変換 (KS 変f はϕ′ により特定の赤方偏移区間を取り出すことに換)(N.Kaiser&G.Squires1993) と呼ばれる変換で可換よる効果を分けている。

であり

˜ − γ˜0 = D(l)κ̃(l) (3)κ̃(l) − κ˜0 = D∗ (l)γ̃(l) ; γ(l)X̃ は場 X のフーリエ変換を示す。l はフーリエ変換
により天球面上の座標θ に対応し、κ˜0 , γ˜0 は変換時のオフセットである。D は l の二次モーメントの組みと表される。

Method and Simulation

3.1

銀河バイアス推定

データ解析には DES SV のデータが使われている。
観測範囲は 116deg2 であり、等級が i < 22.5 である

合わせでありl2 − l22 + i2l1 l2D(l) = 1|l|23

銀河のデータを利用している。各銀河の赤方偏移が(4)計測されており、赤方偏移∆z = 0.2 毎に区分けされた銀河マップ及びシアーマップを作成し使用する。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: DES SV データのシアーマップの例 (C. Chang

図 2: シミュレーションから推定される誤差 (C.
et al. 2016)z=1.0-1.2 の観測によるシアー γ1 マップ Chang et al. 2016) 縦軸は銀河バイアス、横軸は赤方偏移。灰色の点は銀河の二点相関を用いて推定
その後銀河マップを銀河のコンバージェンスマップ

される銀河バイアス、黒青緑オレンジ赤のエラーバーに変換し、さらにKS変換で銀河のシアーマップに変付きの点はそれぞれ本文中の (i)(ii)(iii)(iv)(v) の手順換する。弱い重力レンズの観測から作成したシアーに対応する。

マップと銀河のシアーマップの相関をとることで銀河バイアスを推定する。

b=トによる誤差1µ(10)(ii) 赤方偏移計測における誤差(iii) 銀河の本質的な形状に由来するシアー計測の誤
差

′
⟨γα,g
γα ⟩
µ=f ′
′
′N γ ′N ⟩⟨γα,g γα,g ⟩ − ⟨γα,g
α,g

(11)

実際の解析では銀河バイアス b の逆数µを計算しており、N の項は銀河サンプル数からくるショットノイ
ズを補正している。またαはシアーの独立な 2 成分を表す。直接銀河バイアスを計算する場合と比較して、安定しているためµを推定量として用いている。

(iv) 観測領域として 116deg2 への切り抜きとスムー
ジング時のデータの切り捨てによる誤差(v) 観測する領域の選択及び背景銀河の形状を変えることによる誤差である。(iv)(v) の誤差は統計誤差であり、観測デー
タの更新による観測（解析）領域の拡張により減少することが期待される。一方で (iii) の誤差はシアーを測定を行う上で切り離すことのできない系統誤差
である。

3.2

シミュレーションによる誤差評価

解析によって生じる誤差を調べるため解析に並行してシミュレーションを行っている。はじめに 900deg2の銀河マップ及びシアーマップを形成し、そこに KS
変換、赤方偏移計測、形状ノイズ、マスクなどの誤4Results
解析によって得られた銀河バイアスは表 1 のようになった。

差を逐次的に加えることで現実の観測データに沿っ

弱い重力レンズを用いた結果は、銀河の二点相関たマップを得る。これを用いて銀河バイアスを計測

関数とほぼ 1σ のレベルで一致しており、高赤方偏移することで、各解析段階における誤差を評価する。

では銀河バイアスの値が大きくなるという共通の傾向が見られる。また CMB レンズを用いた手法とも

図 2 での誤差はそれぞれ(i) コンバージェンスシアー変換を行う際のオフセッ

2σ レベルで一致している。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

表 1: DES SV データ解析からのバイアスと 1σ エラー
レンズの赤方偏移 (zmean )0.2-0.4

0.4-0.6

0.6-0.8

0.8-1.0

This work (NGMIX+SKYNET)

1.12±0.19

0.97±0.15

1.38±0.39

1.45± 0.56

This work (IM3SHAPE+SKYNET)

1.21±0.25

1.12±0.24

0.90±0.19

0.91±0.28

This work (NGMIX+TPZ)

1.23±0.23

1.07±0.18

1.39±0.40

1.29±0.44

This work (NGMIX+BPZ)

0.84±0.11

1.00±0.16

1.13±0.26

0.95±0.24

Crocce et al.(2016)

1.07±0.08

1.24±0.04

1.34±0.05

1.56±0.03

Giannantonio et al.(2016)

0.57±0.25

0.91±0.22

0.68±0.28

1.02±0.31

表 2: 上段の括弧内は用いたシアー計測と赤方偏移計測のアルゴリズムを示している。また下段の数値は同
じ DES SV データを用いた異なる手法で推定された銀河バイアスの値であり、Crocceet al. (2016) が銀河の二点相関関数、Giannatonio et al. (2016) が CMB レンズを用いた手法である。
することでさらに詳細な銀河バイアスの解明が期待される。

Acknowledgement
本発表を行うにあたり，指導をしてくださった名
古屋大学宇宙論研究室の皆様に心より感謝致します。

Reference
図 3: 推定された銀河バイアス (C. Chang et al. 2016)

Amara A., et al., 2012, MNRAS, 424, 553

横軸は赤方偏移 z。各ポイントは色ごとに弱い重力レ

Chang C., et al., 2016, MNRAS, 459, 3203

ンズを用いた手法（本稿表 1 一段目）(黒)、銀河のCrocce M., et al., 2016, MNRAS, 455, 4301

二点相関関数を用いた手法 (赤)、CMB レンズを用いた手法 (緑) であり、点線は本稿の結果の線形補間である。(各点の値は表 1 を参照)

Giannantonio T., et al., 2016, MNRAS, 456, 3213
Kaiser N.& Squires G., 1993, ApJ, 404, 441
Pujol A., et al., 2016, MNRAS, 462, 35

5Conclusion
銀河バイアスを測定する手法に弱い重力レンズ効果を用いることで、ダークマターの分布を観測量から取り入れている。これにより宇宙論モデルへの依存性が低く、観測に基づいた銀河バイアス推定となっている。またシミュレーションからの誤差推定では、各解析工程での誤差を計算し、推定される誤差を分解した。DES SV データ解析により得られた結果は銀河の二点相関関数の結果とよく一致している。DESの観測領域拡大や他の広域銀河探査のデータを解析

——–index

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a16

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

BAO 復元アルゴリズムの提案と評価
杉山 素直 (Kavli 数物連携宇宙研究機構)

Abstract
宇宙の晴れ上がり以前に強く結合していた光子とバリオンは一つの流体として振動していたが（BAO）、結合が切れると位相が固定され宇宙に刻み込まれ大規模構造として観測される。BAO の振動スケールは CMBの観測から精密に測定されているので大規模構造の観測から精密な宇宙論パラメタの測定が出来ることを意味する。この BAO スケールを宇宙論パラメタの制限に最大限に活用するためには、非線型成長で歪められてしまった密度場を復元して BAO のシグナルを復元する必要がある。標準的にはラグランジュ的流体として密度場を扱い復元を行うが、本講演でレビューする論文ではさらに 5 つの復元アルゴリズムを提案し性能のテスト、復元の機構を調べる。6 つのアルゴリズムはラグランジュとオイラー描像に大別され、さらにそれぞれに対して Growth-Shift(GS),F2,Random-Random(RR) の種類に分類される。N 体計算で作成したカ
タログでアルゴリズムのテストを行ったところ、LGS がもっとも復元がよく、次いで EGS,EF2 も十分実用に耐える性能を持つことがわかった。LGS と EGS は摂動の２次のレベルでは完全に等価なアルゴリズムで言えることから、LGS では不透明だった復元の寄与を EGS のより明瞭な議論で説明することができた。

1

BAO の起源と観測

いて

√

[ ∫ z
]
1 + w(z)dz
H(z) = h Ωm (1 + z)3 + ΩX exp 3
1+z0振動) とは、宇宙の晴れ上がり以前に強く結合して∫ zdz
いた光子とバリオンが一つの流体として振舞ってい D (z) = c
A
1
+
z
H(z)
0
た時の振動のことをいう。光子が脱結合すると BAO(2)の位相は固定され、このゆらぎを元にして構造形成
Baryon Acoustic Oscillation(BAO, バリオン音響が進むので、大規模構造は BAO スケールという特と計算できることから、BAO はダークマターのプ

徴的なスケールを持っていることがわかる。BAO ス

ローブとして使われることがわかる。実際、BAO ス

ケール rBAO が分かっていると、銀河の赤方偏移 ∆z

ケールは CMB の観測から精密に求められている量と角度 ∆θ を観測することによってハッブルパラメの一つで、銀河分布に適切に物差しを当てることがタと角形距離を赤方偏移の関数としてできれば宇宙論パラメタの測定精度の向上に繋がる

c∆z
rBAO
rBAO
DA (z) =(1 + z)∆θ

ので大規模構造を探るモチベーションの一つにあげH(z) =(1)られる。
物差しを当てる方法は、現在 BAO が大規模構造に刻まれていることから銀河分布から 2 点相関関数と測定することができる。このため、BAO は宇宙のを計算すればいいことがわかる。2 点相関関数とい標準物差し (standard ruler) と呼ばれている。またうのはあらゆる銀河ペアの間隔をカウントするようハッブルパラメタと角形距離は宇宙論パラメタを用なもので、銀河分布の特徴的なスケールを与える指標であり、これのフーリエ変換をパワースペクトルという。大規模構造の 2 点相関関数をとると BAO ス
ケールの間隔で銀河が分布しているのでそこにピークを持つ関数形となる。図 1 は横軸距離、縦軸 2 点相関関数の図で 100M pc/h に確かにピークがあるこ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校とが確認できる。

らアルゴリズムにしたがって流体の各点で移動度を計算している（左下）。計算した移動度で戻した密度
分布は初期位置を復元している（右下）。

図 1: 2 点相関関数 ((D. J. Eisensteinet et al. 2005)))

2

BAO 復元の必要性
前節で述べたような標準物差しの利用は銀河分布から適切に BAO スケールを取り出すことができた
時に限る、すなわち現実の大規模構造は小スケール
で非線型成長をしているので 2 点相関関数のピーク
は BAO スケールからずれるたりピーク高が落ちたりする。ピーク位置のズレは BAO スケールの読み間

図 2: BAO 復元 ((Nikhil Padmanabhan et al. 2012))

3

様々な復元アルゴリズム
本公演でレビューする論文では標準的な BAO 復

元アルゴリズムに加え５つのアルゴリズムを提案し計６個のアルゴリズムの特性を評価し性能をテストする。６個のアルゴリズムは流体の描像でオイラー (E) とラグランジュ(L) に大別され、それぞれの中でさらに Growth-Shift(GS)、F2、Random-

違えなので間違った宇宙論パラメタの測定に繋がる

Random(RR) に分類される。GS は復元によって非し、ピーク高の減少はシグナルの減少なので宇宙論

線形な密度成長項と Shift 項を差し引くことから、F2パラメタの測定精度に悪影響を及ぼす。これは CMBから求められている高精度な BAO スケールを十分に活かしきれていないということを意味しているので、観測される非線型成長した銀河分布から線形成
長の銀河分布を復元して正確に BAO スケールを取り出したいというモチベーションが生まれる。
このために標準的に用いられる復元アルゴリズムとしてダークマターゆらぎをラグランジュ流体として捉え、構成粒子を適当な移動度のもとで元の位置に戻すという方法が用いられている。ここでは BAO
復元を直感的に捉えるために図 2 を用意した。初期条件としてガウシアン型の密度を入れて中心から特徴
的スケール 150Mpc 流体を黒くマークしている（左上）。非線形成長によって黒かった流体要素が初期位置の赤線から離れて拡散している（右上）。密度場かは摂動の２次まで保ったまま計算することから（2 次のカーネルの名前が F2 である）、RR はランダム密度場を使って非線形項を差し引くことから、このように命名される。オイラー描像では復元されたスペク
トルが、観測する密度場のスペクトルから復元で差し引かれた密度場のスペクトルを差し引いた形でかけるので、BAO 復元からくるパワースペクトルへ補正が物理的に理解されやすいという利点がある。一方でラグランジュ描像では明にパワースペクトルを
元の密度場のスペクトルを用いて書く事ができない
ので、ラグランジュ描像の復元の性能がよかったとしてもその物理的寄与が見にくくなっている。そこ
で、オイラーとラグランジュで対応する各アルゴリ
ズムは摂動展開した時に２次のオーダーでは厳密に一致する事に注目することによって、ラグランジュ
描像での復元に部分的な説明を与えるということを2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校行う。後で見るが、LGS がもっとも良い復元性能を

ERR は LRR のアナロジーで定義する。これから持っていてこの理由をオイラーとのつながりから部

見るが、LRR は LGS と LF2 の線型結合でかけるこ

分的に説明する事も本論文で複数アルゴリズムを提とをオイラーにおいても同じ係数で EGS と EF2 の案している事の重要な結果である。

線型結合で定義する。

7 rec
rec
δ
− δEGS4 EF2
2
1 2= δ − δR δR − s · ∇δR − KRR
3
3

rec
δERR
=

表 1: BAO 復元の種類
GrowthF2
RandomShift(GS)F2Random(RR)

Euler

EGS

EF2

ERR

Lagrange

LGS

LF2

LRR

3.2

(5)

Lanrangian アルゴリズム

ラグランジュ描像では構成粒子の移動度が時間発展すると考える。この移動度には EGS のところで定3.1

義した s を使う。単純には観測する密度場から移動度

Eulerian アルゴリズム

だけ構成粒子を移動させれば線形密度場が復元され位置を x、共形時間を η と表記する。EGS は連続

そうだが、これだと粒子の初期位置が現在のいちかの式を用いて密度場の時間微分を与えることによっ ら時間発展していくと考えていることになってしまて復元を行う。連続の式を使うと速度場が必要にな うが、そうではなくてむしろ粒子は線形密度場からるが、速度場は観測することが難しいので窓関数で時間発展して移動していくのでこのズレを埋める必平滑化した密度場から推定される線形速度場を利用要がある。そこでランダムな密度場を用意してきてする。観測する密度場を δ(x, η) とすると EGS 密度

これを同じく s で移動させる。観測密度場を s で移動場をさせた場を δd [s], ランダム密度場を s で移動させた場

rec
δEGS
(x) = δ(x, η)−s(x, η) · ∇δ(x, η) − δR (x, η)δ(x, η)s(k, η) =ik
WR (k)δ(k, η)
k2

を δs [s] と定義する。さらに同様にして δd [−s], δd [−s]も定義する。この 4 つの密度場を使ってラグランジュ(3) での復元を行う。4 つの δ [±s] の組み合わせ方はたx
くさんあり中には復元と反対方向の密度場を構成してしまう組み合わせもあるので、摂動の 2 次まで展と定義する。添字 R は窓関数によって平滑化されて開した時に非線型成長項を引くことによって線形密いることを表し、s(x, η) は線形化された速度場に対度場を復元できているもののみを選び出した時に出応するもので displacement field と呼ばれる。2 − 3てくる独立な組み合わせが LGS と LRR である。

項は δ の２次になっているがそのうちの片方が窓関
recδLGS= δd [s] − δs [s]
1
rec
δLRR
= δ − (δs [s] + δs [−s])2数で線形化されていることが復元においては重要である。2,3 項が順に Shift,Growth になっている。

EF2 は密度場が満たす流体方程式を摂動の 2 次ま(6)でとったものである。(Blake D. Sherwin & Matias

摂動の 2 次まで展開すると LGS が EGS と一致する

Zaldarriaga 2012)

ことが確かめられるので LGS と定義する。LGS と17
δR (x)δ(x)21
4 2− s(x) · δ(x) − KR(x)21

LRR の適当な線型結合もまた復元アルゴリズムとし

rec
δLF2
= δ(x) −(4)

EGS の Growth 項が小さくなった代わりに Tidal 項が加わる。EGS と同じく係数だけに非対称に線形化を行う。

て許されるが、そのようなもののうち、摂動の２次まで展開した時に EF2 と一致するものを LF2 と定
義する。
rec
δLF2
=

3 rec
4 rec
δLGS [s] + δLRR
[s]
7
7

(7)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.3

パワースペクトル

はない、より高次の復元を LGS が含んでいるという

ラグランジアン描像では復元された密度場を復元
されていない密度場であらわに書くことができない
のでパワースペクトルが書けないので、結果がいい
アルゴリズムであってもどういった成分を復元することから説明が出来る。その中でも 3,4 点の寄与を分けて plot したものが図 4 である。実線の 3 点関数の方が点線の 4 点関数より復元した signal を占めていることがわかる。

ことによってパフォーマンスを出しているのかが見えづらいというデメリットがある。この点でオイラー
描像ではあらわに復元密度場を復元されていない密度場で書くことができるのでパワースペクトルにした時に寄与が見やすくなる。その一例として EGS のパワースペクトルをここでは考察する。EGS の式 3
から直ちに
rec
P̂EGS
(k) = P̂δ,δ − 2P̂s,δ − 2P̂δδ,δ

(8)+ P̂δδ,δδ + P̂s,s + 2P̂δδ,s
密度場に関して第 1 項が 2 点、第 2,3 項が 3 点、第図 3: アルゴリズム性能テスト (Marcel Schmittfull)。
各アルゴリズムに対して累積 signal/noise を plot し

4,5,6 項が 4 点になっている。復元の仕組みはオイラー ている。灰色が初期パワースペクトル。
描像でこれらの各 n 点の寄与を見ていくことでわかるということになる。

4

アルゴリズムの性能テスト
我々が見たいのはあくまでも BAO が作る相関関数のピークなのでこれをシグナルとして、系統的なノイズに対する比をアルゴリズムの性能として捉えることができる。小スケールに入るにしたがって非線型成長によるシグナルの減少がより強くなるので、興味があるのはある程度小さいスケールでシグナルが復元できているか否かというところとなる。そこ
で、大きいスケールからある最小のスケールまでに

図 4: アルゴリズム性能テスト (Marcel Schmittfull)。

2,3 点関数の寄与を分離したもの。実線、点線が 2,3点関数に対応する。

復元できた積算のシグナルを見ることが便利で、これを波数空間で描いたものが図 3 である。kmax =0.20h/M pc での値を見ると、復元していない積算パ
ワースペクトルに対して復元したものはシグナルを回復していて、特に LGS、EGS、EF2 が良い性能を

Reference
Marcel Schmittfull et al.,Phys. Rev. D 92, 123522 (2015)

持っていて、復元なしの積算パワースペクトルに対D. J. Eisensteinet al.,Astrophys.J.633:560-574(2005)

して +38%, +31%, +23% の積算シグナルを得ている

Nikhil Padmanabhan2145(2012)(at kmax = 0.4h/M pc)。LGS が一番いい性能を示していて、これは２次の摂動で EGS と等価であることに注意すると、部分的には Growth-Shift から来る３、4 点関数による寄与で説明が出来て、残りは EGS に

etal.,MNRAS.427,3,2132-

Blake D. Sherwin, Matias Zaldarriaga,Phys. Rev. D 85,
10352 (2012)

——–index

a17

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

CMB の弱い重力レンズ効果と中性水素の相互相関による
21cm 線の検出可能性
田中 章一郎 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
宇宙再電離期や再電離後の遠方の宇宙は観測が困難であり、未だに観測的に理解されていない部分が多い。
そこで、当時の物質の分布を探る直接的な観測量として、中性水素 (HI) の超微細構造によって生じる 21cm線が有用である。しかし、遠方 (z>1) の 21cm 線の観測は銀河系シンクロトロン放射をはじめとする前景放射によって妨げられている。この影響を軽減するために、先行研究 (Guha. 2009) で提案された 21cm 線とCMB への弱い重力レンズ効果 (Weak Gravitational Lensing：WGL) の相互相関を考える。

1

Introduction
21cm 線の観測は、宇宙再電離期や再電離後の遠方の宇宙を直接探ることが期待されている。さらに、観測される 21cm 線は宇宙論的赤方偏移を受けているため、これを周波数毎に観測することで時系列の物
質分布を知ることができる。このように 21cm 線の観測はこれまで観測できなかった領域の宇宙を観測することができる可能性を秘めている。
しかし、この観測は銀河系シンクロトロン放射をはじめとする前景放射によって妨げられている。相互相関という手法により、前景放射の影響を統計的に避けることで 21cm 線の検出可能性について議論することができる。本研究では、21cm 線と CMB への
弱い重力レンズ効果 (WGL) の相互相関を考え、宇宙衡状態に遷移する際に電磁波を放出、吸収を行う。その電磁波のエネルギーを波長に変換すると 21cm になることから、これを 21cm 線という。
一方、WGL とは銀河や銀河団などの大規模構造の持つ重力場の影響を受けて光路が曲げられる現象である。CMB の場合、CMB の輝度温度マップにおいて二次的な非等方性として現れる。宇宙の晴れ上がりからの CMB は我々の元に届くまでに、宇宙大規模構造を通過してくるので、重力レンズの効果を受ける。また、他のゆらぎの影響も受ける。これが二次的な非等方性である。この CMB の弱い重力レ
ンズ効果の観測量として、収束場がある。これは重力レンズによる歪みを定量化し、視線方向の密度ゆ
らぎの積分として表される。収束場 κ は以下の式で表される。

論パラメータを変更した時の相互相関パワースペク
トルを求めた。そして、パラメータの制限にしばしば用いられるフィッシャー行列を用いて、宇宙の中性水
素の割合 Omega HI 制限を行い、最新の Omega HI
制限 (Bull et al. 2015) との比較を行った。

4πG
κ(θ) = 2
c

∫ xs
dx
0

SK (xs − x)SK (x)SK (xs )(1)

×a [t(x)]ρ[t(x)]δ[x, θ, t(x)]2δ は密度ゆらぎである。Sk (xs − x)Sk (x)/Sk (xs ) は重み関数であり、重力レンズ効果の効率が距離に応

221cm line -WGL CrossCorrelation

じて変化することを示す。a はスケールファクターである。ρは質量密度である。
今回、再電離後期 (z<6) における 21cm 線を考え

中性水素は、陽子と電子一つずつから成り、それることで、21cm 線と CMB の WGL との相互相関を

ぞれ 1/2 のスピンを持っている。このスピンの向き取ることができる。この時代において、銀河間物質が平行の時、反平行の時に比べてエネルギー準位は中の HI はほとんど電離してしまっている。この時の高い。そのため、スピンの向きが平衡状態から反平

HI は主に銀河に付随して存在していることから、観2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
測される 21cm 線にはその銀河の物質ゆらぎの分布の情報が含まれている。同時に、このゆらぎは CMBの温度マップに WGL の影響を及ぼしているため、

WGL の収束場には密度ゆらぎを通して 21cm 線との相関が生まれる。また、ゆらぎの分布は宇宙論パラ
メータに強く依存している。そのため、ある z に存在する銀河からの 21cm 線を観測することで、そのz における宇宙論パラメー タ Omega HI の制限が可
能である。

3

power spectrum
先行研究で提案された計算手法を用いて 21cm 線と収束場の cross correlation angular power spectrumを求めた。[図 1] WGL は大きい角度スケールで像を歪ませるために、収束場を球面調和関数 Ylm で展開することができる。

κ(n̂) =

図 1: ClHI−κ の再現 (Guha. 2009)

z=0.5(紫),1.0(緑),2.0(水色),5.0(橙) の時の ClHI−κ
を示す。
散乱面 (Last Scattering Surface) における redshift、
バリオン密度パラメータ、ハッブルパラメータを表∞∑aκlm Ylm (n̂)

(2)

l,m

す。今回、ある z についてのシグナルを見るため、z依存する関数は定数として考える。これは振幅の大きさに影響を与える。パラメータ (Ωm0 、ΩΛ0 、h、σ8 、HI−κ
この展開係数 alm を用いて、パワースペクトル Clmns )=(0.28、0.72、0.7、0.82、0.97) である ΛCDM 宇を定義する。

宙論モデルを想定した。
HI−κ⟨aκlm a∗HI
δll′ δmm′lm ⟩ = Cl

今回、このパワースペクトルを元に宇宙論パラメー(3)

タを変更し、フィッシャー解析を用いて宇宙論パラ

この計算で、予想される 21cm 線と収束場の cross

メータの制限を予測した。その時、SKA の 21cm 線観測を想定した。
correlation angular power spectrum は
SKA(Square Kilometre Array) とは、高感度・広()π
F (zHI )l
HI−κCl∝ A(zHI )P(4) 帯域・広視野・高分解能を持った大型電波干渉計で
2dA (zHI )2rHI
あり、センチ波、メートル波の観測を行う。現在こ()
3H0の SKA を建設し、観測を行う SKA 計画が進行中でT̄ (zHI )x̄HI D+ (zHI ) (5)A(zHI ) = Ωm0πcあり、宇宙再電離期またはその後の宇宙からの 21cm
線の観測が期待されている。
dA (zLSS − zHI )dA (zHI )D+ (z)(6)
dA (zLSS )a(zHI )
)(
)
(
0.7
Ωb0 h2T̄ (zHI ) = 4.0mK(1 + zHI )2
4 Fisher matrix
0.02
h
(7)
H0
×
将来の観測で得られると期待されている Omega HI
H(zHI )の制限を推定するためにフィッシャー解析を行った。尤
と表される。P は現在のダークマターパワースペク
度関数がガウス型であると仮定すると、フィッシャー
トルを表す。H0 、c 、x̄HI 、D+ はそれぞれハッブル

F (zHI ) =定数、光速度、平均中性率、成長モードを表す。また、dA 、zLSS 、Ωb0 、H、はそれぞれ共同距離、最終2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
行列は

1
Fij =
2

⟨

∂ 2 χ2∂pi ∂pj⟩
p = (ΩHI 、σ8 )(8)p=pfidN 個の独立した観測データ xl (p)(l = 1, 2,・・・N )に対して、χ2 の値は

χ2 (p) =N∑[xl (p) − xl (pf id )]2

σl2

l

(9)

σx は xl (p) でのエラーを表す。
このときフィッシャー行列は

Fij =

N
∑
1 ∂xl (p) ∂xl (p)
l

σl2

∂pi

∂pj

(10)

フィッシャー解析において共分散行列 Cij は、フィッシャー行列の逆行列である。

√

Cij = Fij−1(11)

Fij−1 から予想される pi の 1σ での誤差を見積もることができる。

5Conclusion&Prospect
HI−κ
今回、z=0.5 の時の Clm
を ΩHI の制限に用いHI−κ
た。他の z(z=1.0,2.0,5.0) の Clmにおける ΩHI の制限を最新の Omega HI 制限 (Bull et al. 2015) との比較を行う。
また、本研究での宇宙論パラメータの制限は、二つのパラメータ (ΩHI ,σ8 ) のみを変更して行った。その際、他の宇宙論パラメータは固定している。それに伴う影響が今回の制限にどのように及ぼされていくのか今後確認していく。
特に、現在得られている銀河系シンクロトロン放射の分布を用いて、前景放射の相互相関への影響を明らかにする。これによって、さらなる ΩHI の制限を行い、より厳密な 21cm 線の検出可能性について研究を行っていく。

Reference
Tapomoy Guha Sarkar, 2009, Journal of Cosmology andAstrophysics , Issue 02,pp.002(2010)
Bull et al.2015, ApJ 803, 21 (2015)

図 2: ΩHI の制限 (Bull et al. 2015)

——–indexa18

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

21-cm 線グローバルシグナルに残された初代星の痕跡
田中俊行 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙初期に形成された密度ゆらぎが成長し, ハローと呼ばれる暗黒物質の構造が形成される. そのハロー内にて, 宇宙で最初の世代の恒星である初代星が形成される. 初代星から供給される重元素は後の星形成を促
進し, 電離光子は宇宙の熱史に直接影響する. その影響度合を決定づけるのは初代星の星質量である. 故に多くの理論研究が初代星の星質量関数の解明を試みてきた. しかし, 各研究間で異なる形の星質量関数が示唆されており, 未だ合意形成に至っていない.
この現状の打開策となり得るのが 21-cm 線観測である. 21-cm 線とは中性水素の超微細構造由来の電磁波であり, そのシグナル強度は水素の状態（e.g. 密度, 温度, 電離度）に依存する. 先行研究では輻射輸送/流体シミュレーションを用い, 個々の初代星周囲のガスの状態を計算することで, 21-cm 線シグナル分布を見積もっている. しかし, 初代星起源の 21-cm 線シグナルは視直径が小さく, Square Kilometre Array (SKA) な
どの将来観測でさえ分解できないと考えられている. 一方, 電波望遠鏡 EDGES の観測報告により昨今注目を集めている 21-cm 線の全天平均シグナル（21-cm 線グローバルシグナル; 以後単にグローバルシグナル）の観測は空間分解する必要がないため, 比較的観測が容易である.
そこで本研究では, 輻射流体シミュレーションにより得られた初代星周囲の物理量分布を応用し, グロー
バルシグナルの初代星質量依存性を調査した. その結果, 星寿命と星周囲のガスの加熱率の星質量依存性がグ
ローバルシグナルに反映されることが初めて明らかとなった.

1

Introduction
現在広く認められている宇宙論の構造形成モデル(ΛCDM モデル) によると, 赤方偏移 z ∼ 20 − 30 にて, ミニハロー Mhalo ∼ 105−6 M⊙ が形成され, その中心付近にて初代星は形成されると考えられている.
宇宙で最初の電離光子と重元素の供給源天体で初代
星は, 宇宙の熱史と構造形成に多大な影響を与える.
その影響の程度は初代星の星質量に強く依存する. しかし, 現在初代星の観測証拠は乏しく, 観測からの制限は未だない. 一方, 理論研究によって, 初代星は典型的に大質量であると予言されているが, 星質量関数の形に関しては各先行研究間で合意形成に至っていない (e.g. Hirano et al. 2015; Susa et al. 2014).
そこに一石を投じようとしているのが 21-cm 線観測である. 21-cm 線とは, 中性水素の超微細構造由来の放射であり, SKA に代表される次世代大規模電波干渉計による観測に期待が寄せられている. しかし, 初代星周囲の 21-cm 線構造を輻射輸送/輻射流体
シミュレーションによって見積もった先行研究 (e.g.

Chen & Miralda-Escudé 2014; Yajima & Li 2014;
Tanaka et al. 2018) によると, SKA の分解能をもってしてもシグナル構造を分解することは難しい.
初 代 星 個々の シ グ ナ ル 構 造 の 観 測 は 難 し い が,

EDGES の観測報告 (Bowman et al. 2018) により昨今注目を集めている 21-cm 線グローバルシグナル
は, 21-cm 線シグナルの全天平均値であるため, 空間
構造を分解する必要がなく, 比較的観測が容易である. これまでグローバルシグナルは理論計算によって予言されていた. しかし, 初代星の星形成率密度は考慮されていても, 星質量は考慮されてこなかった. また, 様々な物理過程を簡単にモデル化することによって宇宙の平均的な物理量を計算し, 21-cm 線輝度温度を計算している. しかし, 実際には 21-cm 線シグナ
ルは空間構造をもっており, その空間重み付き平均値
がグローバルシグナルとして観測される. この両者は一般的には一致しないため, 21-cm 線シグナルの 3次元分布の空間平均値を計算することで、グローバ
ルシグナルを見積もる必要がある.

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
そこで本研究では, 初代星質量依存性を考慮しつ上式が示しているように, 空間の各点において, xα ,つ, 初代星周囲の物理量を輻射流体シミュレーショ xc , Tgas , 中性水素の電離度 xion, HI が求まると式 (2)ンによって詳細に計算した先行研究の結果を応用し,より TS が得られ, 式 (1) により 21-cm 線輝度温度が様々な星質量の場合で 21-cm 線の 3 次元マップを作得られる.

成する. その 3 次元マップを空間平均することで, グ
ローバルシグナルを計算し, その星質量依存性を調査
する.

2.2

Radiative Hydrodynamics Simulations

21-cm 線シグナルの三次元マップ作成に先立ち, ま2

Methods

2.1

21-cm signal

ず, 個々の初代星周囲の物理量を計算する必要があ
る. そこで本研究では, Tanaka et al. (2018) で用いられた一次元球対称輻射輸送シミュレーションの計
21-cm 線 輝 度 温 度 は 宇 宙 マ イ ク ロ 波 背 景 放 射 算コードを使用した. ミニハローの中心に 1 つの初(CMB) との差として次のように書ける (Furlanetto 代星が形成された時刻を初期時刻として計算を開始& Oh 2006):

する. 星から放射される光子の輻射輸送と電離等のTS − TCMB (z)(1 − e−τ21 )
1+z
)1/2
(
nHi 1 + z
TS − TCMB (z)
≈38.7
mK,
n̄H
20
TS
(1)

δTb =

化学反応, それに伴うガスの運動をすべて整合的に解
く. 核種は e, HI, HII, H− , H2 , H+
2 , HeI, HeII, HeIIIを扱う. また, ハロー内のガス密度分布を冪乗則に従うモデルにより考慮した. 実際の計算結果の一例を
図 1 に示す.

ここで, TS , TCMB (z), τ21 , nHi , n̄H はスピン温度, zにおける CMB 温度, 21-cm 線の光学的厚み, 中性水素の数密度, 宇宙における水素の平均密度である. ス
ピン温度は, CMB 光子による励起・脱励起, ガス粒子との衝突, Lyα 光子との相互作用 (WF 効果) のバ
ランスによって次のように決定される:

TS−1 =−1−1+ xα Tα−1
TCMB+ xc Tgas

1 + xc + xα

21-cm Global Signal

この節では, 本研究で用いたグローバルシグナルの計算方法を述べる. 星周囲の物理量は Mstar に依存する (Mhalo , tage , z にも依存する) ため, それを用いてグローバルシグナルを計算することで, グローバル,(2)

ここで, Tα は Lyα 光子の色温度である. Lyα 光子の光学的厚みが十分大きい時, Tα = Tgas が成立する.
本研究では, 常にこれが成り立つ状況を扱う. 衝突結合定数 xc と Lyα 結合定数 xα はそれぞれ次のように与えられる:

xc =2.3

シグナルの星質量依存性を調べることができる. 赤
方偏移は現在最も注目されている z = 20 に固定する(Bowman et al. 2018).
1. まず, 三次元計算領域内に星年齢 tage の 10 個の初代星をランダムに配置する. 領域の境界には
周期境界条件を適用する. 1 つの星が平均的に3占める体積は n−1
star Mpc なので, 計算領域の体

C10 T∗,
A10 TCMBxα =P10 T∗,
A10 TCMB(3)

ここで, C10 , P10 , A10 , T∗ はそれぞれ, 衝突による脱励起率, 単位時間あたりに 1 つの水素原子に生じる

3
積は 10n−1
star Mpc に相当する. ここで, 初代星の数密度 nstar は次のように与えられる:

nstar =

ρ̇⋆ tlife
,
Mstar

(4)

Lyα の散乱回数, 水素の超微細構造の自発放射係数,

ここで, tlife (Mstar ) は初代星の寿命, ρ̇⋆ は星形

超微細構造間のエネルギー差に対応する温度である.

成率密度である. グリッドの数は空間分解能がT∗ = 0.068 K, A10 = 2.85 × 10−15 s−1 である.

少なくとも 4 physical kpc となるように設定す2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
代星は全て同じ質量 Mstar を持つとする.

n[cm-3]104

2. 計算領域中の星の位置と輻射輸送シミュレーショ

1

103
102
101
100
10-1
10-2
10-30
10

ンから得られたそれぞれの星周囲の物理量分布より, 各グリッドの物理量を決定する. その際,全ての星からの寄与を考慮する: 中性水素の数
密度 nHI は足し合わせ, ガス温度 Tgas は最大値をとる. また, Lyα の結合定数 xα は足し合わせるが, シミュレーションから得られる結果より外

2側では xα ∝ r−2.4 を仮定し外挿する (Pritchard

10-1

xion

& Furlanetto 2015). また, ライマン系列光子のhorizon を考慮する (Ahn et al. 2015).

10-2

3. 各グリッドに与えられた Tgas , nHI , xα を用い

10-35
10

ることで1 , δTb を計算し (1), 全てのグリッド

T[K]の δTb の平均を取ることでグローバルシグナル

3104δTb, global を得る2 .

103

異なる Mstar と ρ̇⋆ のパラメータセットに対し, 異102なる星の位置, 年齢, ハロー質量にて 2000 回計算を101実行し, 平均値と分散を求める.

4

3

x�,c

106
104
102
100
10-2
10-4
10-6

Results
得られたグローバルシグナルを初代星質量と星形

成率密度の関数としてプロットしたものが図 2 である. 星質量依存性は主に星の寿命とガスの加熱率に

10-2

10-1

100

101

102

r[kpc]
図 1: 星からの距離の関数としての初代星周囲の物
理量分布. 上から順に, ガスの数密度, 電離度 (HI:実線, HeI:破線, HeII: 一点鎖線), 温度 (ガス温度: 破線, スピン温度: 実線), 結合定数 (Lyα 結合定数: 実線, 衝突結合定数: 破線) である. 星誕生からの時刻
は 0.5Myr (赤線) と 2.7 Myr (青線).
る. 星年齢とハロー質量はそれぞれ一様確率分
布関数と Press-Schechter 質量関数に従う確率分
布関数を用いてランダムに決定する. 本研究では特に, グローバルシグナルの星質量依存性を明らかにすることに重点を置いているため, 初起因している. まず, 図 2 の Tgas = TIGM (z) を仮定
した細線から, 星質量に依存する星寿命の影響を議論する. 先行研究 (e.g. Furlanetto 2006; Pritchard &Loeb 2010) が示しているように, 高い星形成率密度の場合, |δTb, global | は大きくなる. これは, 星の数が多いほど WF 効果がより効き, TS が Tgas により強く結合することに起因している. また, |δTb, global | は星質量が大きいほど小さくなる. これは, Lyα 光子数が
合計星質量に比例するからである: ∝ ρ̇⋆ tlife (式 4).
ただし, 星の寿命に起因するグローバルシグナルの星
質量依存性は小さい.
1 衝突結合定数 x に関しては z = 20 にて十分小さいか, xc
αより十分小さくなるため xc = 0 として扱う.
2 宇宙の平均密度場中にハローを配置するため, 強いグローバ
ルシグナルを得てしまう. そのため, 計算領域内の平均密度が宇宙の平均密度になるよう δTb, global を re-scale し整合性を持たせる.

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校の際, 輻射流体シミュレーションにより得られた個々|�Tb, global| [mK]の初代星周囲の物理量分布の結果を応用した. ある

SFRD に対して, 長寿命である低質量の初代星はよ100

り多くの Lyα 光子を供給する. そのため, WF 効果
がより効果的になる. しかし, この寿命の差によるグ
ローバルシグナルの星質量依存性は比較的弱いことがわかった. より強い星質量依存性はガスの加熱率10に起因する: 大質量星はより多くの電離光子を放射するため, 星の寿命に対して早い段階で電離光子脱出

40

100
Mstar [Msun]

500

率が大きくなり, 周囲のガスを効率よく加熱する. 一方, 小質量星の場合, 加熱率は低い. 本研究により得られたこれらの結果は, グローバルシグナルの観測

図 2: グローバルシグナルの絶対値. 赤方偏移 z = 20,

データと本研究のモデルを比較することにより, 観測

星形成率密度 ρ̇⋆ = 5 × 10−5 M⊙ yr−1 Mpc−3 (赤データから初代星質量の情報が得られることを示唆実線), ρ̇⋆ = 5 × 10−4 M⊙ yr−1 Mpc−3 (青破線),

している.

ρ̇⋆ = 5 × 10−3 M⊙ yr−1 Mpc−3 (緑点線) 実際の値は全て負である. 太線は輻射輸送シミュレーション
より得られたガス温度分布を用いた結果である. 一方, 細線は Tgas = TIGM として計算した結果である.
図 2 の太線と細線の差はガス加熱の重要性を示

Reference
Ahn, K., Xu, H., Norman, M. L., Alvarez, M. A., Wise,
J. H. 2015, ApJしている. もっとも SFRD が高い場合 (ρ̇⋆ = 5 ×

Bowman, J. D., Rogers, A. E. E., Monsalve, R. A.,
Mozdzen, T. J., Mahesh, N. 2018, Nature

10−3 M⊙ yr−1 Mpc−3 ), WF 効果が強く, グローバ

Chen, X., Miralda-Escudé, J. 2008, ApJ

ルシグナルは平均ガス温度に強く依存するため, 太線と細線の差は大きくなる. しかし, Mstar = 40 M⊙

Furlanetto, S. R. 2006, MNRASの場合, 合計星質量が大きいにも関わらず, ガス加熱

Furlanetto, S. R., Oh, S. P. 2006, ApJの効果は比較的小さい. これは星周囲のガスの加熱率の星質量依存性に起因する. 星質量が大きい場合,

Hirano, S., Hosokawa, T., Yoshida, N., Omukai, K.,
Yorke, H. W. 2015, MNRAS星から放射される電離光子はハロー内ガスを星の寿Pritchard, J. R. and Furlanetto, S. R. 2006, MNRAS

命に対して十分短い時間で電離する. そのため, ハローから電離光子が脱出する割合 (電離光子脱出率)

Pritchard, J. R. and Loeb, A. 2010, Phys. Rev. Dが大きく, ハロー周囲のガスを効率よく加熱する. 一Susa, H., Hasegawa, K., Tominaga, N. 2014, ApJ

方, 星質量が小さい場合, 星からの電離光子の数が少Tanaka, T., Hasegawa, K., Yajima, H., Kobayashi,
M. I. N., Sugiyama, N. 2018, ArXiv e-prints:
1805.07947

なく, ハロー内ガスを電離するのに時間がかかるか,
または, 星寿命の間に完全には電離できない. そのため, 平均的な電離光子脱出率は小さくなり, 周囲のガス加熱は比較的効かない.

4

Conclusion
本研究では, 初代星の星質量が 21-cm 線グローバ

ルシグナルにどのように反映されるかを調査した. そYajima, H., Li, Y. 2014, MNRAS

——–indexa19

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

ライマン α 線を用いた小スケールの等曲率ゆらぎへの制限
吉田 貴一 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在観測される宇宙の大規模構造は、宇宙初期に存在した密度ゆらぎが時間とともに成長して形成されたものである。初期のゆらぎには、曲率ゆらぎと等曲率ゆらぎがある。Planck 衛星による宇宙マイクロ波背景
放射 (CMB) の温度ゆらぎの観測結果は、大スケールにおいて曲率ゆらぎのみを考慮した場合とよく一致している。一方、Planck 衛星で制限されていない小スケールにおいて等曲率ゆらぎを生成するシナリオも存在する。このモードを制限するためには、Planck 衛星のデータよりも小さなスケールの情報が必要である。このような小スケールの情報を得るために、Lyα forest を用いることができる。Lyα forest は高分解能で観測できており、この吸収線は小スケールの密度ゆらぎの情報を含んでいる。
本発表ではクエーサーからの Lyα forest のデータと Planck 衛星のデータを合わせることで、小スケール

k ∼ 1 h/Mpc における等曲率ゆらぎに与えた制限について報告をした。

1

Introduction
ビッグバンの証拠である宇宙マイクロ波背景放射(CMB) の観測やダークマターの必要性を示す宇宙の大規模構造の観測などにより、我々の宇宙に関する知識は格段に増大した。2015 年にはレーザー干渉計
重力波観測所 (LIGO) がブラックホール連星からの重力波の検出に成功し、宇宙解明への新たな扉が開かれた。

CMB のわずかな温度の非等方性は現在観測される宇宙の大規模構造が曲率のゆらぎから生じたという理論により説明ができている。しかし、Planck 衛星が観測したスケールは k ∼ O(0.1) h/Mpc までである

ital Sky Survey(SDSS) が観測したクエーサー 3035
個の Lyα forest のデータから得られた z = 3, k ∼ 1

h/Mpc における密度ゆらぎのパワースペクトル (McDonald et al. 2006) を用いた。このデータと Planck2015 の CMB の観測データを組み合わせることで、小スケールの等曲率ゆらぎに与えた制限について報告をする。また、角度パワースペクトル、および物
質の密度ゆらぎのパワースペクトルの計算は CLASSを用いた。
第 2 章では宇宙の初期条件の概要、第 3 章では Lyαforest とそれを用いた制限方法、第 4 章では結果の報告、最後にまとめと今後の課題について述べる。

ため宇宙の全てのスケールが曲率のゆらぎから始まったとは言い切れない。ゆらぎの初期条件の候補にはもう一つ、等曲率ゆらぎというものがある。例えば、

2

Initial condition

ブラックホール連星の起源の候補とされる「宇宙初期初期の宇宙の構成成分には光子、ニュートリノ、に誕生したブラックホール (PBH)」の数密度のゆら

コールドダークマター、バリオンがある。ここでは、ぎは等曲率ゆらぎを作る (Gong & Kitajima 2017)。 それらが作る２つの独立な初期条件と観測による現さらに、このモデルから生じるゆらぎは Planck 衛星 在の制限について簡単に述べる。
が観測したスケールよりも小さい領域に痕跡を残す
ため、あまり制限ができていない。本研究ではこのような小スケールの等曲率ゆらぎに着目した。

2.1

Curvature perturbation

小スケールのゆらぎの情報を知るために、銀河間曲率ゆらぎはインフレーション理論で予言される

ガス (IGM) 中における中性水素の分布の情報を持つ

ゆらぎである。このモードを考える時、エントロピー

Lyα forest を用いることができる。今回は Sloan Dig- のゆらぎは０であるため断熱ゆらぎと呼ぶこともあ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校る。この時曲率ゆらぎ ζ は超ハッブルスケールで一ができ、バリオン等曲率モード (BI)、コールドダーク

定の値をもつ。そのため当時の宇宙の構成要素全て

マター等曲率モード (CDI)、ニュートリノ等曲率モーを足した全密度がゆらぐ。しかし、上で述べたようド (NI) などがある。また、以下ではコールドダークにエントロピーのゆらぎがないので構成要素の密度

マター等曲率モードのみについて考える。

ゆらぎの比は一定である。これを式で示すと以下のようになる。

δρ =∑δρa ̸= 0

(1)

a

δa
δb
=
1 + wa1 + wb3

Methods
この章では小スケールの等曲率ゆらぎへ制限を与(2) えるために用いた Lyα forest について、そしてその

ただし、a,b は成分の種類を示し、δ, w はそれぞれ密方法について説明をする。

度ゆらぎ、状態方程式パラメータである。
次の図は CMB の温度ゆらぎの角度パワースペク
トルである。データ点は Planck 衛星の観測結果を示
し、赤線はベストフィットの理論曲線を示す。曲率ゆらぎを初期条件とした時、観測データをうまく説明
できる。

3.1

Lyα forest

Lyα 吸収線は電子のエネルギー準位が n = 1 から
n = 2 に励起する時に見られるスペクトルであり、中性水素の場合この波長は 1216 Å に対応する。銀河やクエーサーなどの天体が放射した光は、我々に届くまでに銀河間ガス (IGM) 中の中性水素領域を通過す
るため、Lyα の吸収線が見られる。さらに、この光は赤方偏移をしながら我々に届くので、中性水素領域を通過した時にちょうど 1216 Å に相当するスペク
トルが吸収される。よって最終的に我々が観測する時には多くの吸収線を見ることができ、これを Lyα

forest と呼んでいる。

3.2
図 1: CMB 温度ゆらぎの角度パワースペクトル

Lyα forest とダークマターの密度ゆらぎ

ここでは Lyα forest とダークマターの密度ゆらぎ

2.2

Isocurvature perturbation

がどのように結びついているのかを述べる。
観測される Lyα 吸収線のフラックスは中性水素領

超ハッブルスケールで曲率ゆらぎとは独立に発展

域の光学的深さ τ を用いて次のように表現できる。

するゆらぎが等曲率ゆらぎである。このゆらぎは「等ただし Fobs は観測したフラックスであり、Femit は曲率」であるため曲率のゆらぎは 0 である。そのか天体が放射した時のフラックスである。

わり、エントロピーゆらぎ Sab が成長するモードである。等曲率ゆらぎは次のように表現できる。

Fobs (λ) = Femit (λ)e−τ (λ)(4)

光学的深さは中性水素の数密度 nHI に比例している。
(3) そして、「銀河間ガスは中性水素の再結合率と星や銀河からの紫外線によるイオン化率が釣り合っている」
初期宇宙は放射優勢期であったため、他の成分を放という平衡状態を仮定すると
射成分 (光子+ニュートリノ) と比較することが多い。

Sab =

δa
δb
−
1 + wa1 + wb

考える成分によって異なる等曲率ゆらぎを考えること

τ ∝ nHI ∝ ρ2b T −0.7(5)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校という関係を導くことができる。ここで ρb はバリオ

等曲率ゆらぎと曲率ゆらぎは独立であるため fcdi をンの密度であり、温度の指数は水素の再結合率の温用いた等曲率ゆらぎのパワースペクトルは曲率ゆら

度依存性から得られる。また、IGM が光イオン化にぎのパワースペクトルに足されることで寄与する。

よる加熱と宇宙膨張による断熱冷却の影響のみを受

2 2π
Pcdi (k) = As fcdi
3

けるような低密度のガスであると仮定すると IGM のk

温度とバリオンのゆらぎ δb は

T = T0 (1 + δb )α

(

k
k0

)ncdi −1(8)

ただし、等曲率ゆらぎのスペクトル指数は ncdi = 4(6) とした。また、MCMC を行う際に、log10 (fcdi ) をパと書くことができる。ここで T0 は IGM の平均密度ラメータとした。

における温度を示す。また、α および T0 は宇宙の熱史に依存し、0.3 < α < 0.6, T0 ∼ 104 K である。
低密度ガスであるためガスを支配している力は重力のみで圧力はあまり効かない。よってバリオンのゆらぎ δb が大まかにダークマターのゆらぎ δ をトレー

4

Results
次の図は MCMC でパラメータ推定を行った時の結果である。

スしていると思うと、上の関係式から光学的深さはダークマターの密度ゆらぎを用いてτ (z) ∝ (1 + δ(z))β(7)と書くことができる (β = 2 − 0.7α)。よって Lyα

forest の観測から視線方向のダークマターの密度ゆ
らぎの分布がわかるため、パワースペクトルを計算することができる。

CMB は角度分解能が見ることのできるスケールを決めているが、Lyα forest は視線方向をどれだけ細かく見ることができるかという振動数分解能がス

図 2: fcdi の確率密度

ケールを決める。SDSS の観測は、CMB よりも小さなスケール k ∼ O(1) h/Mpc まで調べることのできる優れた分解能を持つ。

図 2 の横軸は log10 (fcdi ) の値を示しており、縦軸はその値をとる確率を示す。赤の線で書いたものがPlanck CMB のデータのみを用いた時の結果を示し、

3.3

制限方法

等曲率ゆらぎへの制限はマルコフ連鎖モンテ
カルロ法 (MCMC) で行う。用いたものは Planck2015 の CMB の観測データと SDSS のクエーサー
3035 個の観測データから得られた赤方偏移 z =3, k ∼ 1.0 h/Mpc における物質の密度ゆらぎのパワースペクトルの値である (McDonald et al.

2006)。ΛCDM モデルで用いられる宇宙論パラメー
タ (θs , Ωb h2 , Ωc h2 , As , ns , τreio ) に等曲率ゆらぎの曲
率ゆらぎに対する振幅 fcdi を加えてパラメータ推定を行った。

黒の線で書いたものが Lyα forest のデータを加えた時の結果を示す。Planck CMB のデータのみを用いた時よりも Lyα forest のデータを加えた時の方が fcdi の許される値の範囲が小さくなっていることがわかる。実際それぞれの場合の 95%の信頼区間は、Planck CMBのデータのみの時は log10 (fcdi ) < −0.1135、Lyα for-est のデータを加えた時は log10 (fcdi ) < −1.858 となった。つまり、ここで考えている等曲率ゆらぎは
曲率ゆらぎに対して 1 ％以下しか寄与できないという結果となった。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

Conclusion and future work
今回は Planck 2015 の CMB の観測データと、

SDSS によるクエーサーの観測データ (Lyα forest)
を組み合わせることで、スペクトル指数 ncdi = 4 の等曲率ゆらぎの曲率ゆらぎに対する振幅 fcdi への制限を行った。そして、fcdi は 1%以下しか許されないという結果を得た。これは Planck 衛星の結果のみを用いて制限を与えた時の 10 倍以上厳しい。
本研究で考えたような CMB よりも小さなスケールの宇宙論を調べるためのデータとして、Lyα forest
はとても有用である。
今回着目したスケール k ∼ 1 h/Mpc よりもずっと
小さなスケールのゆらぎは非線形領域に入っている
ため、より複雑な物理になることが予想される。しかし、例えばウォームダークマターモデルはそのよ
うなスケールに痕跡を残すと言われており、今後の課題として制限をつけたい。

Acknowledgement
本発表のためにご指導してくださった宇宙論研究室の皆様に感謝申し上げます。特に講師の田代寛之
さん、ポスドクの北嶋直弥さん、博士課程の大場淳
平さん、簑口睦美さんには忙しい中多くの助言をいただきました。ありがとうございました。

Reference
Gong, J.-O., & Kitajima, N. 2017, JCAP, 8, 017
McDonald, P., Seljak, U., Burles, S., et al. 2006, ApJS,
163, 80

——–index

a20

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

アクシオンの自己相互作用による宇宙の構造進化
福永 颯斗 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
アクシオンとは素粒子物理学から予言されるスカラー粒子である．QCD アクシオンが導入されて以降，超弦理論からもアクシオンの生成が予言されている．多くの場合アクシオンの質量は軽く，持ちうる質量の範囲は広いと考えられている．一方で，宇宙論においてアクシオンのようなスカラー場が宇宙に存在すれば，インフレーションやダークマターといった，宇宙論における未解明の物理を解決することができる．以上のことからアクシオンの宇宙論的な性質について調べ，観測的に制限をつけることは有意義である．
本講演では，まず先行研究 [1]，[2] で用いられている解析手法を用いて，アクシオンの密度ゆらぎの成長について議論する．その際アクシオンを質量を持つ耳痛ばと仮定した上で，密度揺らぎの時間発展を導いている．しかし，一般にはアクシオンの非線形な自己相互作用が存在する．そこで，自己相互作用を考慮したア
クシオンのポテンシャルを与えて，その場合の密度ゆらぎの進化について議論する．

1

Introduction
近年の観測結果により，宇宙に存在する物質要素の多くがダークマターとして存在することが知られている．ダークマターの存在量は Planck による宇宙背景放射の観測から指摘されており，宇宙のエネル
ギー密度の 26.8% を占めることが知られている．また，現在の宇宙は，銀河，銀河団，ボイドなどによって大規模構造を形作っていることがわかってきた．この成り立ちを初期宇宙のダークマターの密度揺らぎからも説明することができる．特に，非相対論的粒子から構成されるコールドダークマターは小スケー
ルのゆらぎが消されずに存在し，小さな構造から先ケールではゆらぎの成長がおきず，観測とのずれが生じることが述べられている．そこで先行研究 [1][2]ではポテンシャルを調和振動子型とそれに非調和振動子部分を微小量加えたものを用いて，重力不安定性を起こすスケールの違いについて解析的な議論がなされ，非調和振動子部分を加えると，小スケールの揺らぎの成長が期待されることが述べられている．
また，一般にはアクシオンのポテンシャルは非調和振動子の部分があることで非線形な自己相互作用を起こしうるポテンシャルをもつことが示唆されている．そこで本講演では非調和振動子部分における自己相互作用が生じることが予想されるポテンシャルを用いて，密度ゆらぎの成長について調べる．

に形成される．それが重力によって集まることで，より大きい構造を作る．このようにダークマターについて調べることで宇宙の構造形成について調べることができる．以上よりダークマターについて調べる
ことは現在の宇宙物理において有意義であると考えられる．
ダークマターにはいくつかの候補があり，素粒子

2

アクシオンの密度ゆらぎ
アクシオン場は対称性が破れたことによって生じるスカラーボソンである．まず初めに線形摂動論を用いたアクシオン場の方程式について述べる．ただ物理学から予言される候補の一つとしてアクシオン

し，共形ニュートンゲージを考え，非等方圧力は 0が挙げられる．この粒子は強い CP 問題を解決するとする．このときスカラー摂動を考えた計量はために導入されたスカラー場であるが，その性質からダークマターとして扱うことができる．論文 [5] で

ds2 = (1 + 2Ψ)dt2 − a2 (t)(1 − 2Ψ)dx2(1)

はアクシオンのダークマターとしての振る舞いを調となる．ここで Ψ は重力ポテンシャルを表す．また

和振動子型のポテンシャルを用いて調べると，小ス

ラグランジアンは計量を gµν ，アクシオン場を ϕ，ポ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ルとは重力による収縮と圧力による反撥が釣り合う

テンシャルを V (ϕ) と表すと，

L=

1 µν
g ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)
2スケールであり，これよりも大きいスケールではゆら(2) ぎが成長する．まず解析的な計算が可能なモデルとしとなる．背景のアクシオン場の運動方程式は Klein-

Gordon 方程式から得られ，て，調和振動子型のポテンシャル (m2 ϕ2 /2) と非調和振動子部分を微小に加えたモデル (m2 ϕ2 /2 + λϕ4 /4)を考える．ただし，ϕ ≪ 1 では調和振動子に収束す′

ϕ̈ + 3H ϕ̇ + V (ϕ) = 0(3)となる．ここで˙は時間 t による微分であり，′ は背景場ると仮定し，m2 ≫ |λ|ϕ2 とする．
具体的に起きている不安定性はパラメータ共鳴であり，一般的にマシュー方程式

ϕ による微分を表す．また背景のアクシオン場は一様¨ + (P − 2Q cos(2τ ))δϕ = 0
δϕ

等方を仮定し，時間のみに依存するとする (ϕ(x, t) =ϕ(t))．このとき，線形化した非一様場および重力ポ
テンシャルの方程式は(8)によって記述される．これは系のパラメータ P, Q が変化する微分方程式であり，モードによって安定解δ ϕ̈ + 3Hδ ϕ̇ + V ′′ (ϕ)δϕ

∇2
−
δϕ
a2
= 4ϕ̇Ψ̇ − 2V ′ (ϕ)Ψ (4)と不安定解がある．解の振る舞いの違いは P と Q の値で決まり，図 1 の instability chart で区別できる．

∇2
1
′
2
Ψ=
2 [ϕ̇δ ϕ̇ + V (ϕ)δϕ + 3H ϕ̇δϕ − ϕ̇ Ψ] (5)2a2MPlと表すことができる．ここで H はハッブルパラメー
タを表し，δϕ(x, t) はアクシオン場の非一様成分を表√す．また MPl ≡ 1/ 8πG はプランク質量である．(5)
式はアインシュタイン方程式の摂動から得られるものであり，右辺 [ ] 内は密度ゆらぎ δρ を表している．
今，構造形成の重力不安定性理論を考えるにあたり，因果的な領域にしか物質を集めることができないことから sub-Horizon 領域を考える．そこで (4)，(5)式に H 2 , |Ḣ| ≪ k 2 /a2 の近似を用いる．すると重力ポテンシャルを ϕ と δϕ で表すことができる．

Ψ ∼ −

(6)

2

a ϕ̇
′′
Ψ̇ ∼ −
2 k 2 [δ ϕ̈ + V (ϕ)δϕ]
2MPl

値が定まれば，解が安定か不安定か決まる．
例えば，調和振動子型のポテンシャルを考えると，背景場が ϕ(t) = ϕ0 cos(mt) で振動しているとする．
ただし，ϕ0 は定数とし m はアクシオンの質量とす2a′2 k 2 [ϕ̇δ ϕ̇ + V (ϕ)δϕ]
2MPl

図 1: マシュー方程式の instability chart．P と Q の(7)以下でこれらの方程式系を用いて，ゆらぎ δϕ の性質について述べる．これにあたり，まず先行研究 [1]，[2] で述べられている解析手法について述べる．

る．この場合，P，Q の値はそれぞれ

(
P =1+

k
m

)2
−

m2 ϕ20m2 ϕ20
, Q=
2
2 k2
2
2MPl k2MPl(9)となる．これと図 1 より，不安定解をもつバンドとして |Q| > |P − 1| を満たす領域があげられる．不安定解をもつモードでは，解が指数関数的に増大する．
このとき，調和振動子型のポテンシャルのジーンズ
スケールは

2.1

ジーンズ不安定性

kJ4 =m4 ϕ202
MPl(10)

ゆらぎの成長を考えるにあたり，特徴的なスケール:となる．ポテンシャルに非調和振動子の効果を微小

ジーンズスケールについて述べる．ジーンズスケーに加えると m2 ≫ |λ|ϕ2 の近似のもとでジーンズス2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ケールを求めることができ，

kJ4 =m4 ϕ209 2 2
2 − 4 λϕ0 k
MPl

(11)

となる．これより，λ < 0 では，(9) 式と比較すると，不安定性を起こすスケールが小さくなることがわかる．この解析結果より，ポテンシャルに非調和振動子の部分があると，密度揺らぎの成長がより小さいスケールでも起こることがわかる．

図 2: ポテンシャルの概形図．黒は調和振動子型，緑が cosine 型．青が Pure natual 型である．横軸は場の値 ϕ，縦軸はポテンシャルの振幅 V (ϕ) である．

2.2

アクシオンのポテンシャル
本研究では非調和振動子の効果を調べるにあたり，

前節でアクシオンのポテンシャルとして非調和振上記二つのモデルと調和振動子型のものを比較する．

動子の部分が存在すると，ジーンズスケールが変わることについて述べた．ここでは自己相互作用を起こす非調和振動子成分を含むアクシオン場のポテン

3

Results

シャルについて議論する．
一般的にアクシオンは離散的な対称性を持つこと

まず δϕk のスペクトルについて初期条件 ϕi /MPl =
−3

−6

−3

が知られている:ϕ = ϕ + 2πnf ．ただし，n は整数， 10 , δϕi /MPl = 10 , f /MPl = 10 のもとで 3f は崩壊定数である．また非摂動論的効果を考える つのポテンシャルにおいて計算を行った．ここでスケールファクター a については，時間 t のべきを仮と natural inflation [3] のような cosine 型

定する (a ∝ tq )．このとき放射優勢なら q = 1/2 とV (ϕ) = m f (1 − cos(ϕ/f ))2 2(12) なる．

がアクシオンのポテンシャルとしてよく考えられる．

以上の仮定の下で δϕ の運動方程式を数値計算する．

一方で，natural inflation 型のモデルは観測器の精度が上がるにつれて，高い信頼度で棄却されるようになってきた．そこで観測結果に反しないようなモデルとして pure natural inflation モデル [4] が挙げられる．これはポテンシャルが ϕ の冪で与えられるものであり，具体的には[
V (ϕ) = m f 1 −2 2

1(1 + (ϕ/f )2 )p](13)のような形をしている．比較を簡単にするために

p=0.5 とし，(12)(13) 共に ϕ ≪ 1 で m2 ϕ2 /2 に漸近するポテンシャルを考える．以上の三つのポテン
シャルの概形を図 2 に示す．

図 3: δϕ のスペクトル．色とポテンシャルの関係は
図 2 と同じ．時刻 mt=100．横軸は波数 k/m，縦軸は δϕ を振動の平均値を絶対値で表した量である．
次に密度ゆらぎのスペクトルについても同様の初期条件の下で計算を行なった．ただし背景の密度と比較をするために無次元量 δ ≡ δρ/ρ を導入する．

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
定領域に入っていることによる narrow resonance であると考えられる．重力不安定性と自己相互作用による不安定性を合わせると調和振動子型に比べて成長解をもつ k/m の上限が 100 倍程度になることがわ
かる．これは図 4 から密度揺らぎの発展に関しても同様なことが言え，図 4 がそれを示す．
以上のことから論文 [5] で述べられている観測との不一致が重力不安定性を起こすスケールの増大と自図 4: δ のスペクトル．色とポテンシャルの関係，時刻は図 2 と同じ．横軸は k/m，縦軸は δ は平均値を絶対値で表した量である．

己相互作用によって説明できる可能性がある．これに伴いダークマターによる宇宙の構造形成を考えた際に，アクシオンで説明できる領域が広くなることが言える．

ここで，Pure natural 型において k/m ∼ 1 で特徴的なピークが見えているので，その波数における δの時間発展を以下に示す．

5Conclusion
論文 [5] では調和振動子型のポテンシャルでは密度

ゆらぎのスペクトルについて観測と合わないことが示唆されていた．そこでポテンシャルに非調和振動子
部分が存在すると重力不安定性がより小さいスケー
ルまで起こることがわかった．さらに，自己相互作
用による不安定性が起きることによって，論文 [1][2]よりもより小さいスケールまでゆらぎの成長解があることがわかった．ただし今回の数値計算はダイナ
図 5: 波数 k/m=1.0 のときの δ の時間発展．色とポミクスの理解のために初期条件を任意にとっていた

テンシャルの関係は前述のものと同じ．横軸は時刻

ため，現実の宇宙論モデルに初期条件を合わせる必

mt，縦軸は δ について周期ごとに平均値を求め絶対 要がある．これは将来の研究課題として残すこととする．
値をとっている．

4

Reference

Discussion
2.1 節で述べたように，非調和振動子型のポテンシャ

ルでは調和振動子型のポテンシャルに比べて，重力不安定性がより小さいスケールでも起こることが予想される．これは図 3 において，調和振動子型のポテ−2ンシャルでは k/m < 10で効いている不安定性が他の二つのポテンシャルではより大きい k/m まで起
きていることを表す．さらに自己相互作用によってk/m ∼ 1 まで振幅の底上げが起きている．特に Purenatural 型では k/m ∼ 1 に特徴的なピークが見えているが，重力の影響とは別にマシュー方程式の不安[1] Swagat S. Misha, Varun Sahni and Yuri Shtanov
2017 JCAP 1706 no.06, 045[2] Matthew C. Johnson and Marc Kaminkowski 2008
Phys.Rev. D78 063010[3] K. Freese, J. A. Frieman and A. V. Olinto 1990
Phys. Rev. Lett. 65, 3233
[4] Y.Nomura, T.Watari, M.Yamazaki 2018 Phys.
Lett. B776 227-230[5] Renee Hlozek et al. 2015 Phys. Rev. D91
no.10,103512

——–index

a21

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Inhomogeneous Primordial magnetic field strength and its
impact on Primordial Nucleosynthesis
Yudong LUO (The University of Tokyo, Department of Astronomy)

Abstract
We investigate the eﬀect on the abundances of these elements from the presence of a stochastic primordial magnetic field (PMF) whose strength is spatially inhomogeneous. We assume a uniform total energy
density and a large-scale stochastic PMF with a power law (PL) correlation function and a gaussian
distribution of field strength. In this case, domains of diﬀerent temperatures exist in the BBN epoch due
to variations in the local PMF. We show that in such case, the eﬀective distribution function of particle
velocities averaged over domains of diﬀerent temperatures deviates from the Maxwell-Boltzmann (MB)distribution. We perform BBN network calculations considering the PMF strength distribution. In
this model, the 7 Li abundance is significantly reduced. We also discuss the possibility that the baryonto-photon ratio decreased after the BBN epoch. In this case, we find that if the η value during BBN
was larger than the present-day value, all produced light elements are consistent with observational
constraints.

1

Introduction

cm (Yamazaki et al. 2012), which is inside λ. i.e.
we can not exclude a possibility of fluctuation PMF

The large scale Primordial Magnetic Field (PMF)
can be the seeds connected to observed strong
magnetic fields in galaxies at present day.

Re-sent study (Yamazaki, Dai G & Kusakabe, Motohiko 2012) suggested that PMF can make eﬀect on
many cosmological phenomena such as Big Bang
Nucleosynthesis (BBN). In their model, the PMF
field strength is constrained from Cosmic microwave
background (CMB) power spectrum with in a comoving length-scale λ = 1 Mpc, this length scale
is beyond the horizon during BBN epoch, so thatwithin this co-moving length scale, the magnetic energy density can be treated as a uniform value andsuch a homogeneous PMF can aﬀect primordial elemental abundances (Yamazaki, Dai G & Kusakabe,Motohiko 2012).

which can dissipate after primordial nucleosynthesis epoch.
Based on this motivation, we propose a stochastic PMF whose strength is spatially inhomogeneous.
The PMF energy density is constrained from CMB
power spectrum. For a fluctuated PMF, it can leadto an inhomogeneity of the energy density. Therefore, the photon radiation energy will become inhomogeneous as well and eventually change the baryonic velocity distribution function. This should affect the primordial nucleosynthesis. In order to investigate the eﬀect from the aforementioned fluctuated PMF, we develop a new BBN reaction networkcode including inhomogeneous energy density with
up-to-date nuclear cross section data. Quantitative

comparison between theoretical results and most reHowever, the survival length scale for PMF duringcent observations of light elemental abundances is
the BBN epoch (with temperature set as 0.3 MeV)
also carried on.
is constrained to be 2.1 · 104 cm < LB < 6.7 · 104

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

Temperature fluctuation in- eraged over the set of temperature fluctuations:∫
duced by inhomogeneous
F (v) ≡ dβ ′ f (β ′ )fMB (v|β ′ ).
(4)
PMF
The derivation of this deviation from a classicalSo far, the BBN network calculations have mainly MB distribution is similar to that deduced in Beck,considered the photon energy density to be homo- Christian (2001). Now, we can simply assume thatgeneous during the entire epoch. Here, however, the distribution function of magnetic energy density
we consider large-scale energy density fluctuations

f (ρB ) follows a gaussian distribution with a peakin the temperature (or equivalently photon energy located at the mean value ρBcdensity). The nuclear reactions occur locally, thisf (ρB ) = √means that the local velocity distribution function
for baryons is,

1
†
2πσB

[ (ρ − ρ )2 ]
B
Bc
exp −
2
2σ † B(5)

we then introduce the fluctuation parameter σB as†
fMB (v|β ′ ) =(1) a dimensionless quantity, i.e., σB = σB /ρBc to de2π
scribe the fluctuations of the PMF. In the limit ofHere, β ′ refers to the inverse temperature 1/kT ′ σB → 0, this is a delta function which corresponds( mβ ′ )3/2

β ′ mv 2
4πv 2 exp (−).
2

and T ′ corresponds to the local temperature. Thisto the homogeneous case. Now we assume that theis just the classical MB distribution which refers to total energy density is uniform for all volumes, but
the velocity distribution function of particles for a with some fraction contributed from the magnetic
certain temperature kT’= 1/β ′ in equilibrium. The energy density, i.e. ρtot = ρB + ρrad = const, andaveraged thermonuclear reaction rate for a given define an eﬀective temperature Teﬀ astemperature (kT’= 1/β ′ ) written as
πg∗ 4
T .
(6)
ρtot =∫
30 ef f′′⟨σv⟩(β ) = σ(E)vfMB (v|β )dv
With the variable transformation, the final expres∫ (′2βmv
mβ ′ )3/2
4πv 3 σ(E) exp (−)dv, sion for the distribution function for β is then=2π212πg∗ −5(2)f (β) = √β2πσB 15[ ( πg∗ (T 4 − β −4 ) − ρ )2 ]where m12 is the reduced mass. Because local flucBc· exp − 30 eﬀ.
(7)2
tuations of the energy density occur due to the in2σB
homogeneous PMF, locally nuclei obey a classicalIn this model, primordial baryons are in local
MB distribution with inverse temperature equal toequilibrium with the same temperature and obey
β ′ . The thermonuclear reaction rates averaged over
Maxwellian distribution; Globally, due to the existhe set of temperature fluctuations is then given bytence of a fluctuated PMF, radiation energy density∫
becomes inhomogeneous as the radiation tempera⟨σv⟩(β) = ⟨σv⟩(β ′ )f (β ′ )dβ ′ture does. This inhomogeneity eventually leads to
∫ [∫
]
′
′
′
a non-Maxwellian baryonic distribution function.
=
σ(E)vfMB (v|β )dv f (β )dβ∫= σ(E)vF (v)dv.
(3)

3

Results

We defined a new function F (v) which is independent of β ′ as an eﬀective distribution function av-

We have encoded the temperature averaged reaction rates as described in Eqs. (3) and (7) to2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
calculate the BBN reaction network and compare

Li problem within the η10 range of WMAP obser-

the results with the observationally inferred abun- vation (Hinshaw, G. et al. 2013) (light blue vertical band), at η10 = 8.2 ± 0.1 (light orange verticaldances for D, 4 He and 7 Li.

In Fig. 1, we illustrate light element abundances as band), all of the elements fall into a region that isa function of baryon-to-photon ratio η10 with the al- consistent with the observational constraints. It is
lowed parameter values of ρBc and σB . In the grey possible to have this larger η value in BBN epoch
region, the D/H and Yp calculations are consistent since a dissipation of the PMF between BBN andwith observations, and the 7 Li/H value is reduced
to (3.18 − 3.52) × 10

−10

the last scattering of the background radiation cancompared with Standard results in an evolution of the η value, also induced

BBN. However, this is still above the Spite Plateau

by other mechanisms such as the radiative decay of(Sbordone, L. et al. 2010).

exotic particles can have the same eﬀect.

In Fig.2, we explore the possibility to find a paη Yields
From WMAPη Yields
From WMAPIn our inhomogeneous PMF model,
7 Li / H = (3.18 ∼ 3.52) × 10−10
In our inhomogeneous PMF model,

7 Li / H = (3.18 ∼ 3.52) × 10−10

図 1: Abundances of Yp , D/H and 7 Li/H as a func-tion of the baryon to photon ratio η. The boxes
show the adopted observational constraints for eachelements. This figure shows that larger σB values
can suppress the production of 7 Li but increase thevalue of D/H. The vertical blue band shows the
Planck constraint on η10 .

図 2: Primordial element abundances as anfunctionof η10 for the fixed σB = 0.53. The horizontal bands
show the observational constraints on abundances.
The light blue vertical band is the value inferredfrom the Planck analysis, and the light orange bandshows the possible η10 region for which concordanceis possible for all three elements.

rameter region with a concordance for all lightelement abundances with a higher value for thebaryon-to-photon ratio. The fraction ρBc /ρtot ischosen as 0.11 which is the mean magnetic fieldstrength constrained from the observed mean 4 He
abundance. The calculated element abundances areshown as functions of η10 for the fluctuation parameter σB = 0.53. Although there is no solution to the4Conclusion
The PMF in this work is described as a stochastic

field. PMF energy density obeys a narrow Gaussian distribution under the presumption of a constant value of total energy density. We then derived the expression for the temperature distribution function. In this model, primordial baryons

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
are in local equilibrium with the same temperature Sbordone, L. et al.(2010): The metal-poor end of theand obey Maxwellian distribution; Globally, due tothe existence of a fluctuated PMF, radiation energy density becomes inhomogeneous as the radiation temperature does. This inhomogeneity eventually leads to a non-Maxwellian baryonic distribution function. We calculated the baryonic distribution function in our PMF model and apply thisfluctuated PMF to the BBN calculation. By comparing our results with observed constraints on η(baryon-to-photon ratio obtained from Planck and
WMAP satellites), D/H and Yp (4 He mass fraction),
we find that a PMF whose mean energy density is
8% ∼ 13% of total energy (corresponds to a present
PMF of 1.18 ∼ 1.51 µG) can be consistent withboth primordial elemental observations and CMB
data. Fluctuated PMF has two eﬀects on BBN:
1) enhancement of Hubble expansion rate; 2) Deviation of baryonic distribution function from classical Maxwellian distribution. By taking into account these two eﬀects, the primordial 7 Li abundance prediction is reduced in our model to a valueof (3.18—3.52) × 10−10 which is closer to the observational value. We also discussed the possibility that η is larger than the value obtained from
WMAP observation, in this case, the baryon-tophoton ratio decreased after primordial nucleosynthesis, we find that with the baryon to photon ratio η10 = 7.59 − 8.97, and fluctuation parameterσB = 0.45 − 0.61, there is a possible solution to the
Li problem.

Reference
Yamazaki, Dai G, & Kusakabe, Motohiko(2012): Effects of power law primordial magnetic field on bigbang nucleosynthesis. Phys. Rev. D 86(12), 123006
Yamazaki, Dai G et al.(2012): The search for a primordial magnetic field. Physics Reports 517, 141
Beck, Christian(2001): Dynamical Foundations ofNonextensive Statistical. Mechanics Phys. Rev. Lett.
87(18), 479

Spite plateau. I. Stellar parameters, metallicities, andlithium abundances. A&A 522, 26
Hinshaw, G. et al.(2013): Nine-year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations:Cosmological Parameter Results. The AstrophysicalJournal Supplement 208, 19

——–indexa22

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S 行列による低エネルギー有効理論の制限
大宮 英俊 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙論では様々な問題を解決するために、一般相対論や素粒子標準模型を修正、拡張しようとするモデルがたくさんある。そして、これらの多くはより基本的な理論 (ひも理論など) の低エネルギー有効理論として現れるとされている。ここでは、見かけ上、局所的かつローレンツ不変な理論であっても、適当な理論の低エネルギー有効理論として現れないことを示す。
本発表では、S 行列に対する条件から、低エネルギー有効な理論に加わる制限について説明し、これをブレー
ンワールド模型の一つである DGP 模型に適用することで、この模型が高エネルギー側の性質の良い理論から得られないことについて議論する。

1

Introductionのために、mandelstam 変数 s, t, u を次で導入する:

低エネルギーで成立している理論はすべてもっとs = −(p1 + p2 )2 = −(p3 + p4 )2

高エネルギーにおける理論の低エネルギー極限としt = −(p1 − p3 )2 = −(p2 − p4 )2て現れるのだろうか？

言い換えるなら、宇宙論の諸問題を説明するために構成した修正重力理論やイ

y = −(p1 − p4 )2 = −(p2 − p3 )2

ンフレーション模型は本当にひも理論などの究極のp1 , p2 は ingoing な粒子の運動量、p3 , p4 は outgoing理論から導くことができるのだろうか？ ここで言うな粒子の運動量 (図 1)。特に、重心系で考えて、重究極の理論とは、量子論の確率解釈ができる（ユニ

心系のエネルギーと運動量をそれぞれ Ecm , pcm 、p1

タリ性）や、因果律を破らないといった素朴な直感と p3 の空間成分のなす角を θ とすると、を満たすようなものを指す。
本講演では、通常の S 行列の公理（上の究極の理

2
s = Ecm論を定式化したもの) を満たすような理論には Posi-t = −2p2cm (1 − cos θ)tivity Bound と呼ばれる条件がつき、これにより低u = −2p2cm (1 + cos θ)エネルギー有効理論に対して制限がつくことを示す。
また、これを DGP モデルと呼ばれるブレーンワー

また、散乱に関わる粒子の質量を mi とすると、

ルド模型に対して適用することでこのモデルがs+t+u=

4
∑

m2i

i=1

2

S 行列の公理
この節では S 行列の公理と Positivity Bound を説明する。

2 体-2 体散乱の場合に S 行列の公理を述べる。そこの過程の散乱振幅 M を p1 , p2 , p3 , p4 の関数として書く代わりに、s, t, u の関数として書く。S 行列の公理は次のようになる (Eden,R.J (2002)):

p1

p3

p2

p4

図 1: 2 体-2 体散乱で考えている状況。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
1. S 行列がユニタリ

光学定理√ℑ(M(s, t = 0)) = 2pcm sσtot

2. M(s, t, u) が s, t, u の解析関数。特に、s 平面で見たときの極と分枝線は以下のようになる (図2)。

Froissart Bound t = 0, s → ∞ でM(s, t → 0) < s(log s)2s

今回レビューする A.Adams, et. al. (2006) による

Positivity Bound は次の通り；
m2

4m2
Positivity Bound
A(s) ≡ M(s, t → 0) の摂動の最低次 Atree (s)に対して、A(s) = g

図 2: M(s) の解析的な構造。ただし、粒子の質量はすべて同じで m とした。m で一位の極、s ≥ 4m
2

2

∞
∑
n=1

2

で分枝線。

(
cn

s2
Λ4

)n

と展開したとき、必ず cn > 0。g は摂動のパラメター、Λ はカットオフのスケール。

3. M(s, t, u) は s, t, u の入れ替えで対称。
4. 有限の t に対して M(s, t) < sα(t) のように多項式で抑えられる。

3

証明の概略

場の量子論において、これらは次のような概念と対応している:s

1. 確率の保存
2. ミクロ過程の因果律と相互作用の局所性。因果律は場を ϕ(x) とすれば、空間的に離れた２つの点 x, y に対して、

3m2m2[ϕ(x), ϕ(y)] = 04m2

相互作用の局所性は、∂ −1 のように、微分の逆が相互作用に現れない。
また、極や分岐線は、粒子が生成されるエネル
ギーでは共鳴が起こることを反映している。

3. 粒子と反粒子の入れ替えで散乱振幅は変わらない。CPT 対称性を反映していると言ってよい。

4. 有限個の項により、発散を取り除くことができることに対応。
こ れ ら の 公 理 の も と 、次 が 示 さ れ る (Eden,R.J(2002)):

図 3: 積分経路 C と A(s) の s 閉園上における解析的性質を表した図。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
図 3 の太線 (経路 C) に沿って次の量を積分する:
I
ds0 A(s0 )(n)I (s) =
2πi
(so − s)2
C

項は正である。しかし、今の場合正ではないので、DGP 模型は基本的な理論から導けるわけではないということになる。逆に言えば、もし DGP モデルが正しいと仮定するならば、ミクロの物理では我々のCauchy の留数定理から、I ( n)(s) は、A(n) (s) と、A 考えているようになっていないということになる。
の極における留数を返す。一方、経路に沿って真面目に計算すると、実軸上は、光学定理から断面積がが出てきて、円周上は Froissart Bound から 0 になる。 5
したがって、s/Λ で見たときに主要な項は実軸上のある現象論的に構成した理論が、物理的にもっと積分から来る断面積による寄与で、これは、断面積が正なので正。したがって、n 階微分が s/Λ で見たときの最低次で正になる。この議論は摂動を考えな
い全散乱振幅 A(s) で行った。摂動を考えれば、摂動のパラメターが入ってきて、上のような形になる。

Conclusion

もらしい、基本的な理論から導くことができるか否か、に対して Positivity Bound という制限がかかることを説明した。ここで大事なのは、理論を始める
ために必要な、少数の仮定から様々な現象論的な理論に対して制限がかかることである。また、「制限」と言っても、それは今回述べたような基本的な理論

4

Application
以上の議論を DGP 模型に適用する。DGP 模型は、 6以下の作用で与えられる。
∫√
2
S = 2M4
d4 x −gR(4)
brane
∫
√
2
+ 2M5
d4 xdy −GR(5)Acknowledgement

本発表にあたり、京都大学天体核研究室、基礎物理学研究所宇宙グループの先輩方には心より感謝いたします。また、広い心で発表を聞いてくださった皆様に感謝いたします。

bulk

このモデルの特徴は、Reference• 長距離で重力を修正する

A.Adams,et.al., 2006, J.High Energy Phys

• 現在の加速膨張を説明できる

Eden, R.J., et. al., 2002 , Cambridge University Press

計量の (5,5) 成分の低エネルギー有効作用は次の通り(M.Luty et.al. (2003))。
∫1
Seﬀ = d4 x(−3(∂µ π)2 − 3 (∂µ π)2 □π + · · · )Λ
この低エネルギー有効作用を用いて π の散乱振幅を計算すると、M(s, t) =i(s3 + t3 + u3 )6Λ6

これを用いると、A(s) = 0 ×

s2
+ ···
Λ4

のように始まる。Positivity Bound によれば、(DGP
模型が基本的な理論から導けると考えるならば)s2 のLuty, Markus A.,et.al.,2003, Journal of High Energy
Physics

——–index

a23

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真空エネルギーと余剰次元を用いた宇宙定数問題の解決
田中 ペドロ (神戸大学大学院 理学研究科)

Abstract1998 年、Ia 型超新星の観測により、現在の宇宙が加速膨張していることがわかった。理論的に宇宙が加速膨張することを宇宙定数を導入することで説明できるが、実験と一致する宇宙定数のエネルギー密度を与える理論はいまだに提出されていない。本発表では、現在の宇宙加速膨張を引き起こす宇宙定数のエネルギー密度を、物質の真空エネルギーから来るものだと仮定して導出する。massless のスカラー場 ϕ と、ミンコフ
スキー空間 (M 4 )×N 次元球面の余剰次元空間 (S N ) を考える。この massless のスカラー場 ϕ から取り出される真空エネルギーは、発散する項と有限に収まる項が出てくる。同じ宇宙定数に関わるのは有限に収まる項だと仮定して、N =odd,even の時の真空エネルギーの値を求める。最終的な結果として、実験で得られている宇宙定数のエネルギー密度と照らし合わして、余剰次元数 N と余剰次元の半径 α を変化させ適切な真空エネルギーを与える。

1

Introduction

2

ヘンドリック・カシミールによって真空エネルギーから力を取り出せることが 1948 年に理論的に発表された。それから今までの 70 年間、真空エネルギーに

宇宙定数と加速膨張
宇宙定数によって宇宙が加速膨張することを見る。

Einstein 方程式と FLRW 計量は、が行われている。真空エネルギーを用いて宇宙定数1Rµν − Rgµν + Λgµν = 8πGTµν
(1)
2
(
)
dx2
2
2
2
2
2
2
2
ds = −dt +a(t)+ x (dθ + sin θdϕ )1 − Kx2(2)を説明しようとするモデルはいくつか提唱されてきと表される。宇宙定数 Λ は正とする。(1)、(2) 式をたが、例えばプランクスケールでカットオフを入れ用いてフリードマン方程式を求めると、関する多くの研究がなされた。そのうちの一つとして、現在の宇宙の加速膨張の原因であろう宇宙定数を、真空エネルギーを用いて説明しようとする試みた理論では実験値と 120 桁もの差が出てきてしまっ

( )2
ȧ
8πG
K
Λ
=
ρ− 2 +a3
a3ている。今回、この宇宙定数問題を解決すべく考えられた一つの方法として、余剰次元を用いる方法を紹介したい。本発表では、先行研究のレビューとして, M × S
4

Nの余剰次元空間を考え、N=odd,evenのそれぞれから宇宙定数を説明するのにふさわしい(3)となる。a(t) が十分大きい時、Λ が支配的になることから、ρ と K = 0 の寄与はほとんどないとすると、

a(t) は、次元を決定する方法を述べる。最終的な結果は余剰√
a(t) ∼ exp(

次元の半径を 10µm にすると現在観測されている宇

Λ
t)
3

(4)

宙定数の値と一致するのだが、余剰次元の半径としが得られる。(4) 式より、Λ が正の時、スケールファクて 10µm は大きすぎる。この結果から、今回の方法

ター a(t) は指数関数的に加速膨張することがわかる。

では適切な宇宙定数を与えるものとは言えなかったが、この理論は余剰次元の半径を変える自由度が残されている点で、宇宙定数の実験値と一致させる値を得るのに十分な可能性を持った理論と言える。

3

カシミアエネルギー
1948 年、ヘンドリック・カシミールは、電磁場の真空エネルギーによって近くに置いた 2 枚の完全導2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
体板が引き合うことを理論的に示した。その時の真空エネルギーは、正則化することによって発散する
項と有限におさまる項が得られた。カシミアエネル
ギーは、

4.1

N =1

N = 1 の時、Ml2 = l2 、D0 = 1、Dl≥1 = 2 から被積分項は、ℏcπ 2 2L(5)720α3となる。Ec はカシミアエネルギー、α は完全導体板
Ec = −

ω2

∞
∑

Dl
Ml2
2
2
l=0 ( α2 ) + k − ω

間の距離を表し、L2 は導体板の面積を表している。

=

後に、宇宙定数の真空エネルギー密度を計算する時

(

απω 2

1+

1

(k 2 − ω 2 ) 2)21e2πα(k2 −ω2 ) 2 − 1にも、発散する項と有限におさまる項が出てくるが、(8)

有限におさまる項は α4 に反比例していて、これを物が得られる。(8) 式第 1 項目は発散項で、第 2 項目が理的に意味のあるカシミアエネルギーとみて宇宙定

有限におさまる項である。第 1 項目を、ω を複素数と数のエネルギー密度と比較する。

して経路を変え積分すると
∫
∫
απω 2
2
3
d k dω
112222(k − ω ) e2πα(k −ω2 ) 2 − 1

M 4 × S N massless スカラー場 ϕ4考える空間は、ミンコフスキー空間 (M 4 )×N 次元
球面の余剰次元空間 (S N ) である。エネルギー運動

(9)

3ζ(5)
5.0558077 × 10−5
=−
=−
6
4
64π α
α4

が得られる。

量テンソルの (00) 成分、T 00 はエネルギー密度の次元をもつ。masless のスカラー場 ϕ の真空エネルギー
密度 ⟨0|T 00 |0⟩ が宇宙定数から与えられるエネルギー密度と一致すると仮定して計算する。

((∂µ )
µ

2

4

(6)

N

(x : M の座標 y : S の座標)=−i2(2π)4う。N =even の時は、カシミアエネルギーとして評価される項も発散することと、正エネルギー解が得られなかったことのため宇宙定数項としてみなせる00|0⟩ を 項が得られない。ここでは、N =odd の時の、有限に求めると⟨0|T 00 |0⟩N =odd, even

N =odd の時も N =1 の時と同じ流れで正則化を行+ ∇2y )ϕ(x, y) = 0

から求められるスカラー場 ϕ を用いて、⟨0|T

4.2

おさまる真空エネルギーを図 1 と表 1 に示した。

∫

∫
d3 k

dωω 2

∞
∑

Dl
Ml2
2
2
l=0 ( α2 ) + k − ω

0.004

(7)

0.002
0
-0.002−1)(l+N −2)!
(Ml2 = l(l + N − 1), Dl = (2l+N(N)−1)!l!

動量固有値を表しており、Dl はその縮退度を表して-0.006c-0.008<latexit sha1_base64="3nko4HRA/BAnY1/A04tIt6shyDw=">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</latexit>となる。Ml は余剰次元の球面空間から得られる角運-0.004c-0.01

いる。k は M 4 の運動量成分、ω はエネルギー成分を表-0.012している。この項は明らかに発散するが、ゼータ関-0.014数による正則化を用いて発散する項と有限におさま-0.0160

510る項を取り出す。

15

20

25

30

35

40

45

<latexit sha1_base64="1SfpfKj/WmDlQ/M0/2PqTwDx0fM=">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</latexit>

図 1: M 4 × S N での真空エネルギー. 横軸は N , 縦
軸は α4 ⟨0|T 00 |0⟩.

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校が得られる。
表 1: 奇数 N における真空エネルギー密度。α は球面の半径N

α4 ⟨0|T 00 |0⟩1-5.0558×10−5

3

7.5687×10−5

余剰次元から得られたエネルギー密度を実験値と54.2830×10−4

比較することにより、余剰次元の次元 N は、N =78.1588×10−4

3 ∼ 19、余剰次元の半径 α は、α ∼ 10µm の値を取9−3ることがわかった。しかし 10µm は余剰次元の半径と111.3293×10−3して大きすぎる。なぜなら、100µm の範囲でニュー

13

1.3740×10−3

トンの万有引力の法則とほとんど誤差なく一致して

15

1.2524×10−3いるため、現実の余剰次元の半径はより小さいと考179.5591×10−4

えられる。しかしこのモデルは、真空エネルギーを

19

4.7935×10−4宇宙定数と一致させるために、余剰次元の半径を変21-1.7990×10−4

えることができる点と、有限な真空エネルギーの正23-1.0231×10−3の解が得られる点で十分可能性のある理論と言える。

25-2.0509×10−3

今回は、スカラー場での計算を行なったが、今後の27-3.2631×10−3

課題として、スピノル場、ベクトル場、テンソル場

29-4.6593×10−3での計算や余剰次元空間を M 4 × S N1 × S N2 × · · · と31-6.2388×10−3

した時での計算を行いたい。

33-8.0008×10−335-9.9444×10−3

37-1.2068×10−2

39

−3

5

1.1338×10-1.4372×10

6Discussion and conclusion

参考文献

H.B.G. Casimir Proc. K. Ned. Akad. Wet. 51, 793(1948)

4.3

宇宙定数のエネルギー密度

K. A. Milton The Casimir Eﬀect, World Scientific

スカラー場 ϕ のエネルギー運動量テンソル T µν のそれぞれの真空期待値を求めると

⟨0|T

µν

|0⟩ = − ⟨0|T |0⟩ g
00µν

Pub Co Inc; 1st edition (2001)
R. Kantowski and K. A. Milton Phys. Rev. D,
36:3712, (1987)

Λ µν
=−
g
8πG

(10) J. C. Long, H. W. Chan, and J. C. Price. Nucl.
Phys. B, 539:23, (1999)となり、余剰次元から得られる真空エネルギーが宇宙定数と関係付けられる。宇宙定数が正である時、宇宙加速膨張が起こることから、求めている真空エネルギーの値は正である。表 1 より、⟨0|T 00 |0⟩ は

N =3∼19 の時正の値をとる。実験から、宇宙定数のエネルギー密度は、Λ∼ 10 GeV/m3
8πG

(11)

が得られていることから、表 1 より、⟨0|T µν |0⟩ ∼10−3 /α4 とし、ℏc = 2×10−16 GeV m も考慮すると、
α ∼ 10−5 m = 10µm

(12)——–index

a24——–indexa25

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Eﬀects of Goldstone modes in Generalized Higgs G-Inflation
森 祐子 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーション理論は、宇宙初期の急激な加速膨張期を記述する理論である。インフレーションには様々なモデルが存在し、中でもインフラトンと呼ばれるスカラー場がインフレーションを引き起こすモデルがよく考えられている。そのモデルもスカラー場が単一か複数かどうかなど様々な場合がある。素粒子標準模型の中で唯一のスカラー場である Higgs 場をインフラトンとする場合を Higgs インフレーションといい、未知のスカラー場を導入するモデルよりも自然であると言える。

Higgs インフレーションでは 2 つの複素スカラー場を導入するため、スカラー場には 4 つの自由度が存在する。その自由度のうち 3 つ (Goldstone mode) は Higgs インフレーションの持つ SU(2) 対称性から消せる
ため、通常はスカラー場が単一な場合がよく研究されている。しかし、インフレーションのような高エネル
ギー状態では対称性が保たれているかわからないため、[1] のように Goldstone mode を考慮した複数場のモデルを考える必要がある。ところが、複数場の寄与を計算するとその寄与はインフレーション開始後すぐに弱まり、単一場を考えている場合と同じになってしまうことが知られている。そこで、より一般的な Higgs
インフレーションモデルで複数場の寄与を調べ、Higgs インフレーションが単一スカラー場で十分かどうかを検討することが本研究の目的である。

1

Higgs インフレーション
Higgs インフレーションでは以下のように場が重2

Multifield の効果
Multifield の効果を見るために以下のような作用を考える [1]。以下では添え字 I, J, K をスカラー場の力と結合している作用を考える。
][
ラベルとして扱う。
∫
2
Mpl√∂µ h∂ µ h λ 4[]∫
S = d4 x −g
R−
− h − ξh† hR
√
1
2
2
4
S = d4 x −g̃ f (φI )R̃ − δIJ g̃ µν ∂µ φI ∂ν φJ − Ṽ (φI )
2
(1)
(3)
(
) {
( 1
)
1
†
2
†
√
h
=
χ
+
iχ
h
2 (
)
h=
(2) ここで、f (φI ) は重力場との結合関数を表す。この,h0h0 = √12 ϕ + iχ3
作用について gµν (x) = M22 f (φI (x))g̃µν (x) として
pl

conformal 変換すると[]i∫を Higgs スカラー、χ を Goldstone mode と呼ぶ。
2
Mpl
√
1
4
µν
I
J
I
Higgs インフレーションでは重力との結合項 ξh† hR S = d x −g 2 R − 2 GIJ g ∂µ φ ∂ν φ − V (φ )を入れないとゆらぎが観測量と合わなくなってしま(4)
うため、このような非最小結合を考える。(2) 式より、Higgs 場は ϕ, χi (i = 1〜3) の 4 つの自由度を持つこ となる。ここで、GIJ は Field space の計量を表し、ここで、h はヒッグス場、λ, ξ は結合定数である。ϕとがわかる。Higgs の持つ SU(2) 対称性には 3 つの自由度があるため、Higgs インフレーションを考える
際は Higgs スカラーのみをインフラトンとして残し考える。

結合関数 f (φI ) を用いて
[
]
2
Mpl
3
K
GIJ (φ ) =δIJ +f,I f,J
2f (φI )f (φI )

(5)で与えられる。スカラー場 φI を φI = ϕI + δϕIのように摂動の 1 次まで展開する。スカラー場の2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
background ϕI を用いて field space におけるベク
トル A への共変微分 Dt を Dt A

≡ ϕ̇ DJ A =I
J KI+ Γ JK A ϕ̇ とおく。Γ JK は field space の計量
I

Ȧ

I

I

J

I

で書かれたクリストッフェル記号である。これらの量を用いて以下の量を定義することができる。

ω I ≡ Dt σ̂ I , σ̂ I =ϕ̇I|ϕ̇I |

ンをスカラー場が複数の場合に拡張すると、例えば
∫
2
Mpl
√
S = d4 x −g[
R + K(ϕI , X IJ )
2
Aδ JK
−
(ϕI XJK + ϕJ XIK + ϕK XIJ )□ϕI ] (9)M4という作用を考えることができる。

(6)

この ω I は turn rate と呼ばれ、複数場を考えた場合

Multifield Higgs-G イ ン フ
レーションの一様等方時空におけるダイナミクス

4

現れる特有の量である。Turn rate は field space における field trajectory の加速度を表す量となっている。単一場の場合、自由度が 1 つしかないために fieldtrajectory が曲がることはないが、複数場の場合自由度が増えるので field trajectory の方向が変化し得る。

Turn rate の大きさをを 2 つの場 ϕ, χ を持つ Higgs
インフレーションの場合で求めると
101 λ2 Mpl
ω = I2
r6 [C − ξ 2 r2 ] − (V,σ )2|ϕ | (2f )5 C
2(9) 式から以下の一様等方背景時空の式を得ることができる。
フリードマン方程式

X IJ δIJ + V (ϕI )(7)2となる。ここで、r2 = ϕ2 +χ2 、C = Mpl+ξ(1+6ξ)r2である。(7) 式の時間発展を見ると、turn rate の大きさはインフレーションが終わる頃には 0 になることからゆらぎ等の観測量に影響を及ぼすことはない。
よって、複数場の場合を考えても単一場の時と同じになる。

3AH φ̇I X JK
(ϕI δJK + ϕJ δIK + ϕK δIJ )M4
Aδ LK(δIJ XKL + δLJ XIK + δKJ XLI )− 2X IJ
M4
2− 3MplH2 = 0
(10)
+

発展方程式
2
2Mpl
Ḣ + 2X IJ δIJ

4AX IJ δ LK
(δIJ XKL + δLJ XIK + δKJ XLI )M42A− 4 (X IJ ϕ̈K − 3H ϕ̇I X JK ) ×
M(δIJ XKM + δJM XIK + δKJ XIM ) = 0
(11)
−

3

Multifield Higgs G-インフ
レーション
スカラー場の運動方程式が 2 階微分までになる作用で考えられる最も一般的な単一場のモデルを G-イ

場の運動方程式

ンフレーションと呼ぶ [2]。本研究では簡易のため、 1 d 3 1 J
3AHX JK(ϕI δJK + ϕJ δIK + ϕK δIJ )
[a
{
ϕ̇
δ
+
IJ
作用の中のスカラー場の二階微分を含む項が 1 次ま a3 dt
2
M4
Aϕ̇J δ M K
での作用を考える [3]。G-インフレーションを単一場−(δIJ XM K + δJM XIK + δKJ XIM )M4
から複数場に拡張する場合、スカラー場の運動方程I MK
式が二階微分までになるために Galileon 項 G(ϕ, X) − Aϕ̇ δ(δIJ XM K + δIM XJK + δKI XJM )}]
M4
が
Aϕ̈K
)
(
= − 4 X JM [(δIM δJK + δIJ δM K + δIK δM J )]
1
∂G
∂G
M
G,⟨IJ⟩ =+(8)(12)
2 ∂X IJ∂X JI
において全ての添え字に対して対称である必要があ

現在、この 3 つの式について数値的な解析を行い、スる [4]。この条件に注意して Higgs G-インフレーショ ローロール条件を満たしているか確認することでイ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ンフレーションを引き起こせているかどうかを検討している。インフレーションを引き起こせていることを確認し次第、turn rate に対応している量を見つけ multifield の効果が残るかどうかの検討をする。

Acknowledgement
天体物理若手夏の学校にご支援、ご賛同してくださった皆様に感謝しております。また、この場をお借りして日頃議論などにお付き合いしていただいている研究室の方々にも、御礼申し上げます。

Reference[1] R.N.Greenwood 2013, Phys. Rev. D 87, 064021(2013)
doi:10.1103/PhysRevD.87.064021[arXiv:1210.8190 [hep-ph]].
[2] T.Kobayashi, M.Yamaguchi and J.Yokoyama,
Prog.
Theor.
Phys.
126,
511
(2011)
doi:10.1143/PTP.126.511 [arXiv:1105.5723 [hepth]].
[3] K.Kamada, T.Kobayashi, M.Yamaguchi and
J.Yokoyama,
Phys. Rev. D 83,
083515(2011)
doi:10.1103/PhysRevD.83.083515[arXiv:1012.4238 [astro-ph.CO]].
[4] T.Kobayashi, N.Tanahashi and M.Yamaguchi,
Phys.
Rev.
D
88,
no.
8,
083504(2013)
doi:10.1103/PhysRevD.88.083504[arXiv:1308.4798 [hep-th]].

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2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Gravitational Reheating Constraints on Quintessence Models
三嶋 洋介 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
標準ビッグバン理論に生じる諸問題は宇宙が初期に加速膨張をすることで解決される。しかし、インフレー
ション後に放射優勢期へ遷移する再加熱の機構は明らかになっていない。再加熱の機構として Gravitationalreheating を考えると、その証拠となる観測量を将来的に見出だすことができる。本講演では観測可能なパラメータを紹介し、今後の課題として観測で区別できる Quintessential Inflation のモデルに関しても言及する。

1

Introduction
現在の宇宙の加速膨張は観測的に確認されているが、その機構は未解明である。また、宇宙の進化をよく記述する標準ビッグバン理論でも、その初期に平坦性問題などの不自然さが残る。その不自然さは初期宇宙に指数関数的な加速膨張を考えるインフレー

場優勢期の宇宙の状態方程式をパラメータ w を用いて p = wρ と与えることで、一般的なモデルで議論をした [3]。こうして求めた観測可能なパラメータを元に、観測で区別可能な Quintessence Inflation のモ
デルに関しても今後の課題として言及する。本講演
では、c = ℏ = 1 の自然単位系を用いた。

ション理論で解消され、この理論は観測事実との整合性からも支持されている。通常、前者は宇宙項を用いて議論され、後者はスカラー場を用いたモデルが提案される。しかし、両者とも指数関数的に加速膨2

The model
共形時間を a(η)dη = dt と定義すれば、平坦な張をするのであれば、同一のスカラー場によるものと Robertson-Walker 計量は考えてもよいだろう。このシナリオは、Quintessence

Inflation[1] として説明される。
インフレーション理論では、加速膨張が終わる際に再加熱という機構を考える。これは加速膨張期か

ds2 = a2 (η)(−dη 2 + δij dxi dxj )と表せる。インフラトン ϕ 及び物質場 χ の作用は以下のものを考える。

ら放射優勢期に移行する際にビッグバン宇宙を再現するために必要であり、通常はスカラー場と物質場が直接相互作用をすることですべてのエネルギーを移す。一方、Quintessence Inflation ではスカラー場のエネルギーが現在まで残存しなければならない。それは物質場が重力相互作用だけでエネルギーを獲得する Gravitational reheating という機構で実現できる [2]。

S = SR + Sϕ + Sχ
]
[
∫
√
Mpl 2
4
SR =
R
−gd x
2
[
]
∫
√
1 µν
4
Sϕ =
−gd x − g ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)
2
[
]
∫
√
1 µν
1 2
4
Sχ =
−gd x − g ∂µ χ∂ν χ − ξχ R
2
2

Gravitational reheating は再加熱期間が長くなり、 このとき、スカラー場優勢期の宇宙膨張はスカラー場優勢の時期が続く。インフレーション起源の原始重力波がこの時期にホライズンの内側に入ることから、通常の再加熱機構とは異なる重力波のエネルギー密度の特徴が見られる。更に、この特徴には LISA や DECIGO といった重力波検出器で観測し得るパラメータも存在する。ここでは、スカラー

ϕ′′ + 2ϕ′ + a2

dV
=0
dϕ

1
a2 ρϕ
3Mpl 21
a2 (ρϕ + 3pϕ )H′=−
6Mpl 2
H2=

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
′

1 ′
d
2
で記述できる (Mpl
= 8πG
, := dη, H := aa = aH)。 と求まる [2]。ここで式 (11) をエントロピーが保存する場合、宇宙の状態方程式は

x = ηHinf ,パラメータ w を用いて p = wρ と表せ、宇宙膨張の時

aend 2 Hinf 2
Ũ (x)
2fxx f − 12 fx 2d
fx :=Ũ (x) =2fdx

間発展を追うことができる。スカラー場優勢期ではw=

U (η) =

1
′2
− V (ϕ)ρϕ
2ϕ= 2a1 ′2pϕϕ
+ V (ϕ)2a2という関係が成り立っている (−1 ≤ w ≤ 1)。
エネルギー保存則 ρ′ϕ + 3H (ρϕ + pϕ ) = 0 を考え

f (ηHinf ) = a2 (η)と変換すればHinf 4 ( aend )4(1 − 6ξ)2 I
128π 2a∫ x∫ x
dŨ (x1 ) dŨ (x2 )I=−
dx1
dx2 log(|x1 −x2 |)×
dx1
dx2
−∞
−∞
ρχ =

ると

ρϕ ∝ a−3(1+w)と求まるので、ホライズン半径はH −1 ∝ a 2 (1+w)
3と評価できる。

と表せる (Hinf : インフレーション中の Hubble パラ
メータ、 aend : インフレーション終了時のスケール因子)。生成される物質場のエネルギーの大きさは I
で決まり、これは宇宙の曲率の変化が大きいほど寄3与をする。de Sitter 膨張からスカラー場優勢期まで

Gravitational particle pro- の宇宙膨張は
duction 1 x < −1, 加速膨張期
物質場は重力場との相互作用でエネルギーが移る。 f (x) =物質場を方程式の解の完全系でモード展開をすると、モード関数は時間依存性を持つ。場を正準量子化した際の基底エネルギーはモード関数毎に代わり、そ


 x2
∑3
n
− 1 < x < x0 − 1, 移行期
n=0 an x4b (b + x) 3ω+1x0 − 1 < x, 再加熱期 (w ̸= − 13 )0 1と表わせる (x0 は移行にかかる極小の時間) ので、移れは Bogolyubov 係数 βω を用いて対応付けられる。 行期の曲率の変化が最も大きい。それぞれの時期がξ ̸= 61 であれば Minkowski 時空の共系変換にはなら なめらかに繋がることを仮定すれば係数 an , bj (n =ないため、重力場との相互作用が失われない。このと 0, 1, 2, 3, j = 0, 1) は、()
きの相互作用項は U (η) = 16 − ξ a2 (η)R(η) となり
11+w
a0 = (29 − 8w + 3w2 ) −
∫ ∞
4
2x0
i
βω =
dη e−2iωη U (η)
3
47
1+w
2ω −∞
a1 = ( − 8w + 3w2 ) − 3
4 3
2x0
3
1
+
w
と求めることができる。このとき、生成される物質
a2 = (9 − 8w + 3w2 ) − 3
4
2x0
場のエネルギー密度 ρχ は
1
1
+
w
2
∫ ∞
a3 = (5 − 8w + 3w ) −
1
3
2
4
2x
0
dω ω |βω |ρχ =4()− 1+3w
2π 2 a3 02
b0 =′′1 + 3wとなる。R(η) = a62 aa であることから、積分定数を
3(1
+ w)
µ として
b1 =
1 + 3w
∫ ∞
∫ ∞
1
dη1
dη2 ln(|η1 − η2 |µ)ρχ = −と決まるので32π 2 a4 −∞−∞( )dU (η1 ) dU (η2 )
1
2
×
I
≃
9(1
+
w)
dη1
dη2
x0

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校と評価できる。生成される粒子の種数を N とし、Neﬀ := N (1 − 6ξ)2 を定義すれば
4 9Neﬀ (1 + w)
ρχ = Hinf
2

2 (

128π

aend )4
log
a

(

1
x0

)

となる (log x10 ∼ O(1) なので、以後省略する)。
物質場がインフラトンと直接相互作用をしない場
合、物質場にエネルギーが移る効率は悪い。そのため、再加熱期間は通常よりも長くなる。このとき、宇宙が放射優勢期に移行するのは ρϕ = ρχ を満たすときと考えるのが妥当である。再加熱期のスカラー場
図 1: 宇宙の進化に対するホライズン半径の概略。紫のエネルギー密度は2

ρϕ = 3Hinf Mpl

2

(a

end

)3(1+w)a

線は直接相互作用する再加熱機構におけるホライズ
ン半径を表し、青線は Gravitational reheating におけるホライズン半径を表す。再加熱期の宇宙膨張がであるので、放射優勢期に移行するときのスケール変わるため、重力波の振幅の減衰の様子も変わる。

因子 aR は(aR = aend

128π 2 Mpl 2
3Neﬀ (1 + w)2 Hinf 2

1) 3w−1等密度時の波数を keq とすると、物質優勢期から

さい (ξ ∼ 16 ) ときやインフラトンのエネルギー密度

現在までの遷移関数は
√
(
)
(
)2
k
3Ωm0
k
1 + 1.36
TT (k, τ0 ) =+ 2.5(kτ0 )2
keq
keqの減少が大きい (w ∼ 1) とき、aR は大きくなる。こと求まる [6]。これらを用いれば、現在の重力波のエと求めることができる [3]。重力相互作用の影響が小れは、再加熱期間が長くなる描像に一致する。

4

Gravitational waves

ネルギー密度は2
2 ×1
k ≤ kR
k
P
T
GW
T
6w−2
)
(
h2 ΩGW =12a0 2 H0 2 × k 3w+1 k < k ≤ k
kR

R

end

共形時間で表した重力波の運動方程式はと表せる [7](kR : 放射優勢期移行時の波数、kend : イ

h′′ij + 2H h′ij − ∆hij = 0である。この解は宇宙膨張による減衰を受けるが、時期毎に減衰度合いが変わる。これは遷移関数 TT (k, τ )を用いて表すことができる。そのため、重力波のエネ
ルギー密度の減衰度合いは TT を評価すれば分かる。
インフレーション起源の原始重力波のパワースペ
クトルはスローロール・パラメータ ϵ を用いて

2Hinf 2
PGW (k) = 2
π Mpl 2

(

k
H

)−2ϵ

ンフレーション終了時の波数)。ここでkend
aend H(aend )1==kR
aR H(aR )2(128π 2 Mpl 2
3Neﬀ (1 + w)2 Hinf 2

1+3w) 2(1−3w)という関係から kend を求めることができる。

5

Results
重力波のエネルギー密度をスペクトル分解したグ

ラフは図 2,3 である。ここでは重力波のエネルギー
密度が一番大きいときの振る舞いをみるため、w = 1と計算されるので、波数に依存しないスケール不変の場合で考えた。それぞれは、物質場と重力場の結なパワースペクトルとなる。

合定数の値で比較をしている。ξ = 0 の場合は、比較2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
的エネルギーが移る効率は良い。そのため、再加熱
期間が短くより高エネルギーの波数もホライズン半径の内側に入ってくる。その結果、重力波検出器が観測できる領域よりも高エネルギー領域で再加熱期にホライズン半径の内側に入ってきた重力波の振る舞いが現れる。一方、ξ ∼ 16 の場合はエネルギーが移る効率は悪い。そのため再加熱期間が長くなり、放6Discussion
Gravitational reheating の痕跡を重力波検出器で観測する場合、w = 1 かつ ξ ∼ 16 であることが望ましい。w = 1 で Quintessential Inflation を考える場
合、一例として図 4 のような振る舞いになっている。
今後はこれらのモデルを検討していく。

射優勢期に移行する時期が遅くなる。その結果、放射優勢期に移行するときのエネルギーが低くなり、重力波検出器で観測し得る結果を示す。

図 4: w = 1 を踏まえた Quintessential Inflation の
図 2: ξ = 0 かつ w = 1 における重力波のエネルギー検討例。紫線がインフラトンのエネルギー密度を表

密度の例 [3]。この場合は重力波検出器で直接検出でし、青線が物質場のエネルギー密度を表す。実線がきない。重力と最小結合している場合はまだ効率がその時期の宇宙のエネルギー優勢成分を示している。

良く、より高エネルギーの波数がホライズン半径の内側に入ってくるため、重力波検出器できる領域と被らない。

Acknowledgement
本発表のための議論にたくさんの時間を割いてくださった理論物理学研究室の皆様に深く感謝致します。

Reference[1] P. J. E. Peebles and A. Vilenkin, Phys. Rev. D 59,063505 (1999)

図 3: ξ ∼ 16 かつ w = 1 における重力波のエネルギー密度の例 [3]。この場合は結合定数が 16 に近いほど再加熱中のエネルギーが移る効率は悪くなる。放射優勢期に移行するときのエネルギーが低くなるため、重力波検出器が観測し得る結果を示す。

[2] L. H. Ford, Phys. Rev. D 35, 2955 (1987).
[3] M. Artymowski, O. Czerwinska, Z. Lalak andM. Lewicki, JCAP 1804, no. 04, 046 (2018)[4] K. Dimopoulos and T. Markkanen, JCAP 1806,
no. 06, 021 (2018)[5] K. Dimopoulos and C. Owen, JCAP 1706, no. 06,
027 (2017)[6] S. Babak et al., Phys. Rev. D 95, no. 10, 103012(2017)[7] S. Kuroyanagi, T. Takahashi and S. Yokoyama,
JCAP 1502, 003 (2015)

——–index

b1

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Gravitational redshift in void-galaxy cross-correlation function
in redshift space
南 岳/Yue Nan (広島大学大学院 理学研究科)

Abstract
We construct an analytic model for the void-galaxy cross-correlation function that enables theoreticalpredictions of the dipole signal produced dominantly by the gravitational redshift within voids for the
first time. By extending a theoretical formulation for the redshift-space distortion of galaxies to include
the second order terms of the galaxy peculiar velocity v and the gravitational potential, we formulate the
(s)

(s)

void-galaxy cross-correlation function multipoles in the redshift space, the monopole ξ0 , dipole ξ1 and
(s)

(s)

quadrupole ξ2 . We find that the dipole ξ1

is dominated by the gravitational redshift, which provides(s)a unique opportunity to detect the gravitational potential of voids. Thus, for the dipole ξ1 (s), thegravitational redshift is crucial. Although the higher order eﬀect is almost negligible on the monopole
(s)

(s)

ξ0 , it has an influence on the quadrupole ξ2 . The eﬀects from the random velocity of galaxies and thedefinition of the void center on the dipole signal are also discussed. Our model oﬀers a new theoreticalprobe for detecting gravitational redshift within voids, and further tests on cosmology and gravity.

1

Introduction

locities of the galaxies are essential for void-galaxy
cross-correlation in redshift space, however, these

The large-scale structure of the universe is observed in redshift maps of galaxy redshift surveys
such as Sloan Digital Sky Survey (SDSS). The map-

models are usually constructed up to the leading
order of peculiar velocities of galaxies (e.g. S. Nadathur & W. Percival (2017)).

ping of galaxies from real space to redshift space
produces statistical anisotropies caused by peculiar
velocities relevant to the gravitational clustering,i.e. the redshift-space distortion (RSD). The RSD
in the large-scale structure of galaxies is beneficial when testing cosmological models, dark matter

We investigate possible signatures of the gravitational redshift and the higher order eﬀect of peculiar
velocities in the galaxy distribution associated withcosmic voids in redshift space in this work, by developing an analytic theoretical formulation for thevoid-galaxy cross-correlation.

models, general relativity and its alternative theories such as modified gravity.
The lowest density areas in the large-scale structure larger than 10h−1 Mpc, i.e., voids, have becomea useful tool for testing cosmological models andgravity theories (N. Hamaus et al. (2014, 2017);
A. J. Hawken et al. (2017)). Accurate models of

2

Formulation
For details of this section, please refer to Ref. Y.

Nan & K. Yamamoto (2018).
When there is a shift of the redshift from thegalaxy distributions of voids in the linear theory gravitational potential and the peculiar velocity, δz,of density perturbations have been developed (Y.- the distance in redshift space can be expressed as∫ z+δzC. Cai et al. (2016); N. Hamaus et al. (2017); S.
Nadathur & W. Percival (2017)). The peculiar ve-

S=
0

dz ′
δz
H ′ (z) 2≃χ+−δz , (1)H(z ′ )
H(z) 2H 2 (z)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
where we evaluated the shift in the comoving dis-quantities r = |⃗r| and s = |⃗s| between real spaceand redshift space. We use subscript ∥ and ⊥ fortance by δz up to the second order.
To include the shift of a photon’s energy caused

the component parallel and perpendicular to ⃗γ re-by the gravitational potential and the Doppler eﬀect spectively.
of peculiar velocity, we need to consider the second

To calculate the γ · v terms in the expression, weorder terms of the peculiar velocity. We work within assume that the peculiar velocities of the galaxies
the Newtonian gauge of cosmological perturbation

associated with the void yield to the cosmologicaltheory. Denoting the gravitational potential andcontinuity equation as

the peculiar velocity by ψ and v, respectively, we

1v = − f (z)H(z)∆(r)⃗r,
3

may express δz up to the order of O(v 2 ) (see D.
Sakuma et al. (2018)),()
1δz = (1 + z) γ · v + v 2 − ψ ,2(5)where the structure linear growth rate f and the(2)where γ is the unit vector of the line of sight, andaverage density contrast ∆(r) of the void within
the radius r are involved.
Definition of the following dimensionless velocity

γ·v denotes the usual Doppler eﬀect, while the term will be helpful
v 2 /2 is the transverse Doppler eﬀect.

1
Ṽ (zc , r) ≡ − f (zc )∆(r).
3

We adopt a coordinate system with its origin at(6)

the center of a void, and denote the position of aHere, we adopt the approximation z ≃ zc for a dis-galaxy as ⃗r and ⃗s, respectively, in the real space andtant observer.

the redshift space with the plane parallel approxi-

To take the anisotropies related to line-of-sightdirection into account, we define µ = s∥ /s, which ismation.

As will be discussed later, the definition of the the cosine of the angle between ⃗s and ⃗γ in redshift
void center is not a trivial problem. We consider space.
the case that the center of a void is shifted in theWith previous foundations we are able to obredshift space, taking the gravitational redshift as tain ξ (s) (s), the void-galaxy cross-correlation in redψc /H(zc ). In this case, the redshift space and the shift space, using conservation relation Eq. (4) afreal space are related by[
1 v2(γ · v)2γ·v++⃗s = ⃗r +H(z) 2 H(z)
H(z)
]
′
H (z)
ψc
ψ
2
−
−
(γ · v) +⃗γ .(3)H(z) 2H2 (z)H(zc )

ter tedious calculations while keeping terms up toof O(v 2 ). For simplicity, we just show the multipoles here. The multipoles of the void-galaxy cross-correlation function are defined as:∫
1 +1 (s)(s)ξ (s, µ)Pℓ (µ) dµ,ξℓ (s) =2 −1
To formulate the void-galaxy cross-correlation(7)

ξ (s) (s) in redshift space, we need to use the con-

where the anisotropies in redshift space associatedservation property between redshift space and realwith the line-of-sight is characterized by µ, andspace as follows:Pℓ (µ) are the Legendre polynomials. The monopole

1+ξ

(s)

(

)
∂⃗r
(s) = 1 + ξ(r) det
,
∂⃗s

(s)

(4)

where the superscript (s) reminds us that ξ (s) (s) isa quantity in redshift space. For further calculations, we need investigations into the relations for(s)ξ0 (s) and quadrupole ξ2 (s) can be written asfunction of Ṽ , s and µ, presented in our paper (seeY. Nan & K. Yamamoto (2018)), which is the generalization of the result by S. Nadathur & W. Percival (2017). We omit specific expressions here for2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校ξmonopole and quadrupole, because they are irrelevant to ψ and ψc term, while we focus on the dipole
component as follows:◇◇◇◇◇◇◇◦◦◦◦ ◦◦◇◇◇△△△△△△△
◦ ◦◦
◇
◦◦
△△
◇◇
◦△△
◦◦
◇
△△
◇◇
◦△
◦◦
△△
◇
◇◇
◦△
△△
◦◦
△
◇◇
△△
◦◦
◇
◇◇◇
◦
△△△
◦◦◦
△
◇◇◇◇◇
△△△△△
◦◦◦◦◦◦△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦
◦
△
◇
◦
△
◇
◦
△
△
◦
◇
△
◦
◇
△
◦
◇
△
◦
◇
△
◦
◇
△
◦
◇
△
◦
△◇
◦
△◇
( )
◦
△◇
◦
△◇
◦
( )
△◇
◦
△◇
◦
△◇
σ
◇
◦
△◇
◦
△◇
△◦
σ
△◦ ◇
◦
△◦ ◇
△◦ ◇
△◦ ◇
◦◇
△△
◦◇
σ
◦◇
△
△△△△
◦◦◇
△△△△△
◇◇◇
◦◦◦◦◦ ◦◦◇◇◇◇◇◇

-

ξ

ξ 

-

×

-

×

-

×

-

- ×

-

- ×

-

/

ξ (

)

ξ ( )◇◇◇◇◇◇
◇◇
◇◇
◇
◇

◇
◇
◇
◦◦◦◦◦◦
◇
◇
◦◦
◦ ◦◦
◇◦◦
△△△△△△△◇△△ ◇◇◦ ◦△△◦◦△△◦◇◇◦ ◦◦
◇
△△
△△
◦
△
◇◇◇◦◦
△△
◦
◇
△
◦◦
△△△△
◇◇◇◇
◦◦
△
◇ ◦◦
◦◦◦
△△△
◇◇◇
△△△△△△△△△◦◦◦◦◦◦△△△△△△◇◇◇◇◇◇◇◇◇◦◦◦◦◦◦ ◦◦△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇△△△△△◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◦◦◦◦◦◦◇ ◦◇◇◇◇◦△△
△
◇ ◦
◦ ◦△
△
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◦△
◇ ◦
△
◇◇◦△
◇ ◦◦◦
◦△
△
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◇
◇◇
△◦◦◦◦◦◦
△
◇◇◇◇◇
△△
△
△
△△
△△△△△△△△/[ ′H − 3H 2
3H ′ − 11H= (1 + ξ(s))
Ṽ s +
3
15
]
[
′
ψ(s)
−
ψc
ψ
(s)
(s)
Ṽ Ṽ ′ s2 ++ ξ ′ (s)図 1: Left panel: Monopole ξ0 (= ξ0 ) as a function
3H
3H(zc )]
of s/rv for void profile in A. J. Hawken et al. (2017),
3H ′ − 11H 2 2+
Ṽ s .
(8)
with the diﬀerent values of the velocity dispersion
30
We also take the random motions of galaxies σv , where rv is some characteristic radius of voids.
ξ 

-

(s)
ξ1 (s)

-

ξ

σ=

/

ξ

σ=

/

-

×

-

ξ

σ=

/

- ×

-

◇

ξσ σ =/◦

ξσ σ =/△

ξσ σ =/(s)with velocity dispersion into account by a gaussian- Right panel: Quadrupole ξ2 (= ξ2 ).
streaming process, taking a random velocity v∥ intoξaccount, and the transformed quantity ξ σ (s, µ) nat-×-

urally contains the eﬀect from the random velocity
with the velocity dispersion σv2 . We also define theσmultipoles of ξ (s, µ) in a similar way to Eq.(7).

- ×

-

- ×

-

×

-

itational potential and the second order of the pe-- ×-culiar velocity of the spherical coherent motion of-

These multipoles include the eﬀects of the grav-

void, as well as random motions.

3

Plots/Results

-

×

-

- ×

-

◇◇◇
◇◇◇
◦◦◦◦
◇◇◇
◦◦
◇△△
△△△△△
◦ ◦◦
◇
◦◦
△△
◇◇
◦◦
△△
◇◇
△△
◦◦
◇◇
◦ ◦△△
△△△
◇◇
◦◦◦
◇◇◇◇
△△△△△
◦◦◦◦◦
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦
△
◇
◦△
◇◦△△
◇
◦◇
◦△
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◇△
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◦
△◦◇◇
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◇
◦
△
△◦◇
△◦◇
◇
◦
△
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△
◦
◇
△◦◇
△◦
△
◦
◇
△◇
◦
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△◇
◦
◦
△◇
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◦
◦
△
△◇
◇
◦
◦
△
△◇
◇
△
◦
△◦
△
( )
◦
◇
△◦◇
△
△
◦△
◇
△ ◦◇
◦△
△
◇
σ
◦△△△ △△ ◦◇◇◇◦ △△ ◦◇◦◇◦ ◦◦◇ ◦◦◦ ◇◇
◇◇ ◇
σ
◦
◇◇

/

ξ 

△

ξ

σ=

/

ξ

σ=

/

ξσ σ =/

図 2: Same as Fig. 1 but for the dipole component(s)ξ1 (= ξ1 ) and ξ1σ as function of s/rv .

With the previous formulation, we can adopt speξ

cific models for plotting the multipoles defined pre-×-

contrast profile in Ref. A. J. Hawken et al. (2017)- ×-and a best-fit universal profile in Ref. N. Hamaus et- ×-al. (2014) for the plots of multipoles. We investigate

-

×

-

into the details of dipole components and find that- ×-

the dipole signal is dominated by the gravitational-

viously. We adpoted a simple exponential density

potential of the void.

/

ξ
ξ ψ
ξ

×

-

ξ ψ

- ×

-

ξ ψ

We also investigated into the influence from thechoice of void center characterized by ψc term on(s)

the dipole signal. For sake of space, we just present

図 3: Details of the dipole components, ξ1 (= ξ1ψ +the results of the profile from A. J. Hawken et al.

ξ1v ), ξ1ψ (= ξ1ψ0 + ξ1ψ1 ).

(s)

(s)

(s)

(s)

(2017) here. We present these results in Figs. 1—4.
However, the most interesting finding from thehigher order eﬀects is that the dipole component

4

Discussion
The higher order eﬀect is not very significant

for the monopole and the quadrupole components.

in the void-galaxy cross-correlation, dominantly reflects the gravitational potential through the gravitational redshift, as demonstrated in Fig. 2.

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ξ
×

- ×
- ×
-

×

- ×
-

×

- ×

ψc term should be investigated with the use of nu-◆◆◆◆◆◆◆
   ◆◆
▲▲▲▲
◆
◆
▲▲▲ ◆▲▲◇◇◇◇◇◇
▲
◆
◇◇
◦◦◦◦
▲
◆
◦◦
▲
◇△△
◆
◇
◦◦
▲
◇◇◦ ◦◦△△△△△△△
▲▲◆
◇◇
◆
▲
◦◦
△△
◇◇
▲
△△
◆
◦◦
◇◦ ◦△△
△△△
◇◇
▲
◦◦◦
◆
◇◇◇
△△△△
◦◦◦◦◦
▲
◆
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇▲◆△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦
◆
△
▲
◇
◦◆
◆
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

◆◆◆▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
◆◆◆
◆
◇◦△△
◆◆

▲▲▲▲▲▲▲
◆
◇
◆
◦

◆
▲▲▲
▲◆
△△
◆
▲▲

◇
◆
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◦◇
▲▲

◇△
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▲
◦◇
▲
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▲
△
◆
◦◇
◦
▲
▲◆
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▲
△
◦◇
◇

◆
△ ◆
▲
▲
◆
▲
◦◇◇
△
◦
◆
◆

▲

▲
△▲◆
△◦ ◇

◇
◆
▲
◆
◦◆

▲
△◦ ◇
▲
△

▲
▲
▲
△◦
◆

◇
▲
◦◆
▲
▲
△
△◦◇
◆
◆
▲
▲▲
▲
◆
△◦◇
◇
◆
◦
◆
 ▲▲▲▲▲▲▲▲
△
◆
◆
△◦◇
◆
 ◆◆◆◦◇△◦◇◆◆◆◆◆ △
△◦
△
◦
◇
△◇
◦
△
△◇
◦
◦
△◇
△
◇
◦
σ
◦
◇
△
△◇
◇
◦
◦
△
△
◇
◇
△
◦
△◦
σ
◦
△
◦
◇
◇
△
◦
△
△
◦△
◇
△ ◦◇
σ
◦△
△
△
◇
◦△△△ △△ ◦◇
◦
◇◦ △△
◦ ◇
σ
◇◦ ◦
◦
◆
◇ ◦◦◦ ◇◇◇◇ ◇◇◇-merical simulations with mock catalogs by adopting/ξ ψ ≠ξ ψ =

-

ξ

σ=

/ ψ≠

ξ

σ=

/ ψ≠

ξ

σ=

/ ψ≠

ξ

σ=

/ ψ=



ξσ σ =/ ψ=▲ξσ σ =/ ψ=a practical algorithm to determine the center of avoid, including other systematic errors.

5

Conclusion
Void-galaxy cross-correlation represents the pro-file of the galaxy distribution of/around voids, thus
these multipoles of void-galaxy cross-correlation are
図 4: Same as Fig. 2 but with the added cases underrelated to large-scale redshift surveys, which usually

the condition ψc = 0 for comparison.

use galaxies as tracers in observations.
We have presented an analytic model for the void-

Photons from the central region of a void are blue-

galaxy cross-correlation function in redshift spaceshifted compared with photons from the mean den-including the higher order terms of the peculiar vesity region. This eﬀect of the gravitational redshift locity and the gravitational potential through redis the origin of the dipole signal in the void-galaxy shift space distortions. By adopting diﬀerent specross-correlation function, thus the dipole signal is cific models for a void density profile, we havetherefore determined by the gravitational potential quantitatively demonstrated the influence of the
profile of the void. However, the dipole signal ishigher order terms on the multipole components ofnot simply dominated by the gravitational potential the void-galaxy cross-correlation. In particular, weψ(r). The contribution of the gravitational redshift demonstrate that the dipole component reflects the(s)to the dipole ξ1ψ (s), is given by the combination ofgravitational redshift of a void structure for the first

the two terms,

time. Our conclusion is qualitatively robust against

(s)

(s)

(s)

(s)

ξ1 (s) ≃ ξ1ψ (s) = ξ1ψ0 (s) + ξ1ψ1 (s)ψ(s) − ψc ′
ψ ′ (s)(1 + ξ(s)) +ξ (s),=
3H
3H

the change of the model parameters and the void
profiles. In principle, our finding presents the pos-(9) sibility of a new approach to direct measurementsof the gravitational potential of voids.
namely the terms from the gravitational potential ψ(s) and its gradient ψ ′ (s) contribute almost
equally to the dipole signal, as is demonstrated inFig. 3.
We just present the results of the profile from A.
J. Hawken et al. (2017) here. Nevertheless, we ver-

Reference
Y. Nan, & K. Yamamoto 2018, arXiv:1805.05708
A. J. Hawken et al. 2017, Astron. Astrophys. 607 A54

ified that neither the change of parameters in pro- N. Hamaus, P. M. Sutter, & B. D. Wandelt 2014, Phys.
file from A. J. Hawken et al. (2017) nor using theRev. Lett. 112 251302

universal profile from N. Hamaus et al. (2014) in- D. Sakuma, A. Terukina, K. Yamamoto, & C. Hikage
stead of that from A. J. Hawken et al. (2017) wouldchange our conclusions for dipole signal relevant to
the gravitational shift.

2018, Phys. Rev. D 97, 063512
Y.-C. Cai, A. Tayolor, J. A. Peacock, & N. Padilla 2016,
Mon. Not. R. Astron. Soc. 462 2465

Fig. 4 shows the impact of void center choice, S. Nadathur & W. Percival 2017, arXiv:1712.07575
characterized by ψc term on dipole signal. This N. Hamaus et al. 2017, arXiv:1705.05328

——–index

b2

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

曲がった時空における真空と量子縺れ
上田 和茂 (広島大学大学院 理学研究科)

Abstract
一様加速度運動する観測者は、ミンコフスキー時空の真空を加速度に比例する温度で特徴付けられる熱的励起状態として観測するという理論予言がある。このような現象はウンルー効果と呼ばれており、曲がった時空の場の理論から導かれる基本的な理論予言である。ウンルー効果は、等価原
理により加速度を重力に置き換えると、ブラックホールからの熱的放射を予言するホーキング効果とのアナロジーとして解釈することが出来る。
ミンコフスキー真空は、リンドラー時空の状態の量子縺れ状態として記述され、その記述からウ
ンルー効果に伴う熱的性質を導出することが出来る [1]。ウンルー効果に伴う粒子や検出器の熱的励起が、エネルギー放射をするかどうかが問題となっていた。文献 [2] によって、量子場の非局所的な相関が起源となって、ウンルー効果に伴う量子放射が存在することが示された。本発表では、そこで重要な役割を果たす、ミンコフスキー真空の量子縺れについて議論する。
文献 [3] では、スカラー場のみを扱っていたが、より一般的な議論をするためディラック場で同様の解析を行い、ディラック場のモード関数と量子縺れについての解析を行っている。本発表では、
リンドラー時空の状態とカスナー時空の状態による 2 次元と 4 次元のスカラー場の解析の結果に加え、ディラック場の解析について報告を行う。

1

Introduction

る [1]。これは、平坦時空におけるスカラー場を記述するための量子状態及び演算子が、加速系において変化することが原因であり、異なる系におけるモードの対応はボゴリューボフ変換によって関係付けることが出来る。
はじめに導入として、リンドラー時空上の量子状態を用いてウンルー効果を導出する。以下
は、ウンルー達により示された、ミンコフスキー
真空状態の記述である。

|0, M⟩ ∝∞∏[ ∑j

図 1: 領域の名称
ウンルー効果は、一様加速度 a で運動する観測者はミンコフスキー真空を、T = a/2π で特徴づけられる熱的励起状態として観測するという曲がった時空における基本的な理論予言であe−πnj ω/a |nj ⟩R ⊗ |nj ⟩L

]
(1)

nj =0

ここで、j は j = (ω, k⊥ ) によって指定されるモードを表し、|nj ⟩R,L は右, 左リンドラー時空における n 励起状態を表している。
簡単のため、2 つの調和振動子からなる量子場のモデルについて考える。この場合、式 (1) は次

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校のように簡単化される。

|0, M⟩ = Nj∞∑

e−πnj ωj /a |nj ⟩R ⊗ |nj ⟩L

(2)

nj =0

このスカラー場を量子化すると、∫ +∞dkz d2 k⊥ϕ̂(t, x) =3/2 √−∞ (2π)2k0)(
× b̂kz k⊥ e−ik0 t+ikz z+ik⊥ ·x⊥ + h.c.

√1 − e−2πωj /a である。R 領域の状態を表す密度演算子は、L 領域の状態につ となる。ここで、b̂kz k⊥ は消滅演算子であり、いてトレースアウトすることによって得られる。 ミンコフスキー真空は全てのモードに対してb̂kz k⊥ |0, M⟩ = 0 によって定義されている。他
ρ̂R = TrL [|0, M⟩⟨0, M|](3) の座標上でも同様にモード展開の表式を求める
ここで、 Nj =密度演算子を用いて粒子数演算子の期待値を計算すると、即座にボース分布関数が得られる。
†

TrR [ρ̂R a a] =1e2πω/a − 1

ことが出来る。そして各モードを解析接続する
ことで、量子場の記述を拡張することが出来る。
ディラック場を扱う場合は反交換関係を課すこと(4) により、同様の手順で解析を行うことが出来る。

ここで、ボース分布関数の温度に対応する部分を見れば、確かに加速度 a/2π に比例する温度分布が得られていることが分かる (ウンルー効果)。
この一連の計算の中で重要なのは、式 (2) によるミンコフスキー真空の記述によってウンルー効果を予言できることであり、式 (2) は左右リ
ンドラー時空上の量子場の縺れ状態となっている。このようにウンルー効果は、量子縺れによって熱的性質が誘起される現象であることが分かる。以上のことから、量子縺れによるミンコフス
キー真空状態の記述はウンルー効果に重要であ

図 2: 各領域を覆う座標

るが、式 (1) と式 (2) の右辺で用いられている量
子状態はミンコフスキー時空の半分の領域 (R,L領域) しか覆っていない。そこで、次の 4 つの座標を定義し各座標上で量子場を構成し解析する
により、ミンコフスキー真空状態の記述を拡張することができる [3]。

2

Methods
作用関数が次式で与えられる 4 次元無質量ス

カラー場について考える。
∫√
1S=
d4 x −gg µν ∂µ ϕ∂ν ϕ
2

(5)

1 aξ
e sinh aτ,a1z = eaξ cosh aτ,a˜ : t = 1 eaξ̃ sinh aτ̃ ,L 領域 (τ̃ , ξ)a1z = − eaξ̃ cosh aτ̃ ,a1
F 領域 (η, ζ) : t = eaη cosh aζ,a1z = eaη sinh aζ,a1
P 領域 (η̃, ζ̃) : t = − e−aη̃ cosh aζ̃,a1z = e−aη̃ sinh aζ̃.
a
R 領域 (τ, ξ) : t =2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

Resultsと表される。ここで、Nj =それぞれの座標上で得られたモード関数を解I
II
析接続すると、2 つのモード関数 vω,k, vω,k
⊥⊥に集約されることが分かった。

√
1 − e−2πω/a 、j =(ω, k⊥ ) である。
式 (6) は Unruh と Wald による記述 [1] を、Minkowski 時空全域を含む形へと拡張したものである。この形式により、ミンコフスキー時空全体の任意の領域のモードの量子縺れを考察することができる。

4 次元の場合の解析と同様に、2 次元無質量ス
カラー場の各領域におけるモード関数を解析接続すると、4 つのモード関数に集約されることが分かる。以下の図 4 は、2 次元 Minkowski 時空の各領域におけるモード関数とその接続を表している。ここで示されているモード関数と、モー

図 3: 4 次元無質量スカラー場のモード関数


F,s
F

vω,k
(= v−ω,k
)

⊥
⊥


 vR
ω,k⊥
I
vω,k
(x) =
⊥

0



 v P,d (= v P )
ω,k⊥
ω,k⊥

F,d
F

vω,k⊥ (= vω,−k
)

⊥


 0
II
vω,k
(x) =
⊥
L

vω,k

⊥


 v P,s (= v P)ω,k⊥−ω,−k⊥

F
R
,
L
P
F
R
L

図 4: 2 次元無質量スカラー場のモード関数

P

ド関数に対応する演算子を用いると、2 次元のス

ここで、添字 F,R,L,P はそのモード関数が定義されている領域を表し、添字 s,d はそれぞれ左,カラー場のモード展開は以下の式に帰する。
∫ ∞∑ϕ(x) =dω (âσω vωσ (x) + h.c.) (7)

右進行モードを意味する。以上で得られたモードと演算子の対応関係により、量子化されたス
カラー場は
∫ ∞
∑ ∫ ∞
(
)
σ
dω
d2 k⊥ âσω,k⊥ vω,k(x) + h.c.
ϕ(x) =⊥
σ=I,II|0, M⟩ =

∏[
j

Nj

∞
∑
nj =0

∏[
ω′

e−πnj ω/a |nj , I⟩ ⊗ |nj , II⟩

]

∞
]
∑
∏[
Nω
e−πnω ω/a |nω , I⟩ ⊗ |nω , III⟩
ω⊗と与えられ、Minkowski 真空は0

このとき、Minkowski 真空状態は−∞

0|0, M⟩ =σ=I,II,III,IV

Nω′

nω =0
∞
∑

]
′
e−πnω′ ω /a |nω′ , II⟩ ⊗ |nω′ , IV⟩nω′ =0と表される。以上のことから、2 次元無質量スカ
ラー場のモードの量子縺れの構造は、4 次元の場

(6) 合とは異なることがわかる。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

及び、Discussion


0
 (2)

(2)
Hi ω + 1 (κρ) + iHi ω − 1 (κρ)
K
a
2
a
2

fω−
(ρ) = A′− 


0


(8)
(2)
(2)
Hi ω + 1 (κρ) − iHi ω − 1 (κρ)


計量が gµν で与えられる時空におけるディラック方程式は、
)
[ ( ∂
]
iγ µ
−
m
ψ=0
+
Γ
µ
∂xµ

a

となることが知られており、ここで Γν は、以下で定義されるスピン接続である。
)
1 ( ∂γ ννλΓ µ = γν
+
Γ
γ
λµ
4
∂xµ
ここで、4 次元リンドラー時空を

2

a

2

で与えられる。以上より、解の基本形として得られる特殊関数の種類は、ディラック場の場合も(9) スカラー場の場合も同じである。しかし、解の位相 (虚数 i や ±1) は、スピノルが固有値方程式を満たすという条件の下決定しているので、単t = ρ sinh η, z = ρ cosh η, x = x, y = y

純なスカラー場からの類推のみからはディラッと定義すると、リンドラー時空上でのディラッ ク場の解を得ることはできない。例えば、カスナー時空の解をベッセル関数で記述すると、ハク方程式の解として得られるモード関数は、Rψωσ ≡ fωσ(ρ)e−ik⊥ ·x⊥ e−iωη/aンケル関数による解と位相がずれる。

(10)となる。ここで、スピノルの成分は、
Ki ωa + 12 (κρ) + iKi ωa − 12 (κρ)




0
R


fω+ (ρ) = A+ 
iKi ωa − 21 (κρ) − Ki ωa + 12 (κρ)
0

ク場の関数の解析性を調べた。特に、無質量ス

及び、カラー場の場合では量子場の縺れの構造に違い





0


Ki ω + 1 (κρ) + iKi ω − 1 (κρ)
R

a
2
a
2

fω− (ρ) = A− 0
Ki ωa + 12 (κρ) − iKi ωa − 12 (κρ)
で与えられる。ここで、A± は規格化定数であり、5

Conclusion
リンドラー時空とカスナー時空において、2 次

元及び 4 次元の無質量スカラー場と、ディラッが生じることが分かった。

Reference[1] W. G. Unruh, et al, Phys. Rev. D 29, 1047
(1984)Kν (z) は修正ベッセル関数である。また、κ =[2] S. Iso, et al, Phys. Rev. D 96, 045001(2017)√
m2 + k⊥ 2 としている。
[3] A.Higuchi, et al 2017, PRD 96, 083531(2017)
また、4 次元カスナー領域をt = ρ cosh η, z = ρ sinh η, x = x, y = yと定義すると、カスナー時空上でのモード関数のスピノルの成分は、

 (2)
(2)
Hi ω + 1 (κρ) + iHi ω − 1 (κρ)
a
2
a
2




0
K
′ 

fω+ (ρ) = A+  (2)(2)
iHi ωa − 12 (κρ) − Hi ωa + 12 (κρ)

0[4] L. C. B. Crispino, et al 2008, Rev. Mod. Phys.
80, 787 (2008)[5] David McMahon, et al (2005), arXiv:grqc/0601010

——–index

b3——–indexb4

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

超低周波重力波の検出とその制限
久野 晋之介 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
PTA の観測周波数帯を大きく下回る超低周波重力波に対する新しい検出方法 (Reference[1]) が提唱されている。これまでは、時間に対して直線的に変化する重力波は、パルサーのスピンダウン率の補正として吸収されてしまうので、従来の PTA では検出できないと考えられてきた。しかし、新検出方法によると、そうした重力波の場合、スピンダウン率は重力波の影響を含んでおり、パルサーの位置によって異なる性質を持つ。そこで、そのスピンダウン率の統計的な性質を評価することで超低周波重力波の検出が可能となる。新検出方法では周波数によって重力波の影響が異なる。先行研究 (Reference[1]) では 10−13 ∼ 10−9 Hz について議論したが、本研究では ≪ 10−13 Hz の低周波の感度を見積もる。

1

Introduction2

Detection principle

10−9 ∼ 10−6 Hz の低周波重力波はパルサー・タイ

パルサーからのパルスは、地球に重力波が到来しミング・アレイ (PTA) という手法を用いて検出が可ている場合、本来の到来時刻からずれが生じる。こ能である。パルサーは安定した周期でパルスを放射の現象を用いて、重力波の検出を行う手法が PTA でしており、パルスの到来時刻を予測できる。しかし、 ある。このずれは timing residual と呼ばれ、次式で重力波が存在するとパルスの伝播経路が歪められ、パ与えられる。

ルスの到来時刻が予測とずれる。このずれをシグナルとして観測するのが PTA である。PTA では 10 年周期程度の重力波を観測する。10 年は観測期間に対rGW (t) =

∑

∫ t
A

F (Ω̂, p̂)∆hA (t′ , Ω̂, θ)dt′ (1)A=+.×

応し、その周期は軌道半径が milli-pc スケールの連

ここで Ω̂、p̂ はそれぞれ重力波の伝播方向、パルサー星の公転周期に相当する。

の方向を示すベクトルであり、θ は重力波の偏向角で軌道半径が milli-pc の超大質量ブラックホール連星は、連星の進化段階としては後期に当たる。初期ある。F A (Ω̂, p̂) はアンテナビームパターンと呼ばれるファクターであり、次式で与えられる。

段階の超大質量ブラックホール連星の軌道は、星の散乱や周りのガスの摩擦によって軌道角運動量が輸送されるにつれて縮む。軌道半径が数 pc になると、F A (Ω̂, p̂) =1 pˆi pˆjeA (Ω̂)2 1 + Ω̂ · p̂ ij(2)

軌道角運動量の輸送は効果的でなくなる。しかし、 ここで、eAij (Ω̂)(A = +, ×) は重力波偏光テンソルで2 つの超大質量ブラックホールが、重力波放射のみ あり、偏光基底ベクトル m̂、n̂ を用いて次の 2 式でで合体するのはハッブル時間を超える。これは the 与えられる。
final parsec problem と言われており、初期段階の連星の重力波が重要となってくる。しかし、既存のPTA では ≪ 10−9 Hz の重力波は検出できない。先行研究では 10−13 ∼ 10−9 Hz の重力波に対する感度の計算を行った。本研究では、新検出方法を用いて

e+ij (Ω̂) = m̂i m̂j − n̂i nˆj(3)e×ij (Ω̂) = m̂i nˆj + n̂i m̂j(4)∆hA (t′ , Ω̂, θ) は地球とパルサー間の計量摂動の差で≪ 10−13 Hz の低周波の感度を見積もり、その検出可 あり、次式で与えられる。
能性について議論する。

∆hA (t′ , Ω̂, θ) = hA (t, Ω̂, θ) − hA (tp , Ω̂, θ)(5)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、tp = t − τ = t − L/c(1 + Ω̂ · p̂) であり、τ

2
ここで、 ḣAf 2 = 2π 2 fGW
L2 /c2 ḣA であり、このとはパルサーから地球までのパルスの伝搬時間、L は

きの α(Ω̂, p̂, θ) は次式で与えられる。

地球からパルサーまでの距離である。(5) 式の右辺の1 項目を Earth term、2 項目を Pulser term と呼び、α(Ω̂, p̂, θ) =1 ∑ ˆi ˆj A
p p eij (1 + Ω̂ · p̂) ḣAf 2 (12)2
A=+.×

重力波の周波数が ≳ 10−13 Hz の場合、Pulser term
はランダムノイズとして振る舞い、その平均は 0 で原理的に、重力波の影響を ṗ/p から取り出すことはある。その時、(5) 式は次式で与えられる。

できない。そのため、従来の PTA では検出できない∆hA (t′ , Ω̂, θ) = ḣA (Ω̂, θ)tと考えられていた。しかし、α(Ω̂, p̂, θ) の値は波源の(6)位置、重力波の偏向、パルサーの位置に依存してお(6) 式を (1) 式に代入すると、超低周波重力波の tim- り、正と負の値を持つ領域が存在する。図 1 で見て取れるように、α(Ω̂, p̂, θ) の分布は四重極のパターン
ing residual は次式となる。
rGW (t) =1 ∑F A (Ω̂, p̂)ḣA (Ω̂, θ)t2
2

である。

(7)

A=+.×

(7) 式より超低周波重力波の timing residual は時間の 2 乗に比例することが分かる。
パルサーは電磁波を放射することで、角運動量を失い、自転速度は徐々に減衰していく。パルサーの
スピンダウンによる timing residual は次式で与えら
れる。

rp =

1 ṗ 2t
2p(8)

ここで p はパルスの周期、ṗ と p0 はそれぞれ観測されたスピンダウン率、本来のスピンダウン率である。(7)、(8) 式から分かるようにスピンダウンによ

図 1: ḣ+ = 0 s−1 、ḣ× = 10−18 s−1 での天球面上のる timing residual は重力波による timing residual

バイアスファクター α(Ω̂, p̂, θ)。”+”は波源の位置をと同じ時間依存性を持っているため、重力波による示す。

影響はパルサーのスピンダウンの補正として吸収されてしまう。そのため、この補正はバイアスファク

パルサーをバイアスファクターの 2 つの領域に分け、ター α(Ω̂, p̂, θ) を用いて次のように書ける。

スピンダウン率の統計的差を評価する。重力波が存

ṗ
p˙0
=
+ α(Ω̂, p̂, θ)pp

在する場合、２つの領域でスピンダウン率の分布が(9) 異なる。図 2 は２つの領域の log ṗ/p のヒストグラ
10ムである。その２つの分布の差を見るために、歪度

ただし、α(Ω̂, p̂, θ) は次式である。
∑
α(Ω̂, p̂, θ) =F A (Ω̂, p̂)ḣA (Ω̂, θ)という指標を用いる。バイアスファクターが正の領(10)

域ではその分布の歪度は正、負の領域ではその分布は負になる。こうした分布の歪度の差を指標として

A=+.×

本研究では、≲ 10−13 Hz の重力波を考える。この時、pulsar term をランダムノイズとみなすことはできない。2 項の差のテイラー展開から (5) 式は次のような式となる。

∆hA (t, Ω̂) = ḣA t (1 − e2iπfGW τ ) ≃ ḣAf 2 t (1 + Ω̂ · p̂)2
(11)

用いて、統計誤差以上であれば重力波の検出となる。

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ḣA の大きさが 0, 4 × 10−13 , 10−12 , 5 × 10−12 s−1 の場

in the positive alpha region

合のそれぞれで 10,000 回の realization を行う。

in the negative alpha region
No GWs4

Discussion and summary
得られた ∆S のヒストグラムが図２である。
9·hA = 0·hA = 10-128·hA = 4×10-13·-12hA = 5×10

7
-20

-19

-18
·
log10p/p

-17

-16

-15

図 2: ḣA = 4×10−13 s−1 での log10 ṗ/p のヒストグラ
ム。黒い線は重力波がない場合の分布で、平均-17.5、分散 0.21 のガウス分布と仮定した。赤、青の線はそ
れぞれ α が正、負の領域での分布を示す。

6
probability

-21

5

4

3

2

1

0
-0.6

3

Simulation

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4
0.6
0.8
difference of skewness

1

1.2

1.4

1.6

図 3: 10,000 個のミリ秒パルサーの場合の、正と負パルサーは基本的に銀河面上に分布するが、本研の α での log10 ṗ/p 分布の歪度の差の確率分布。縦軸究のシミュレーションでは、天球面上にランダムで

は単位歪度あたりの確率を示す。黒の線は重力波が等方的に分布した 10,000 個のミリ秒パルサーを考ない場合であり、青、赤、黄の線は ḣA がそれぞれえる。ここで、そのミリ秒パルサーのスピンダウン
率 log10 ṗ/p の分布は実際に観測された 149 個のミリ秒パルサーのデータから得られた、平均 -17.5、分散

0.21 のガウス分布にしたがって与えられると仮定した。log10 ṗ/p の値のヒストグラムはそれぞれの領域で得られ、２つのヒストグラム間の歪度の差が計算される。歪度の差は次式で与えられる。

4 × 10−13 , 10−12 , 5 × 10−12 s−1 の場合に相当する。
本研究では超低周波重力波 (≪ 10−13 Hz) を考えた。図 3 は 10,000 個のミリ秒パルサーの歪度の差の確率分布を示す。ḣA が 4 × 10−13 s−1 より大きい重力波では歪度の差が統計誤差以上であり、検出可能であることが分かった。波源として超大質量ブラック

ホール連星を考える。重力波の振幅は (15) 式、一般
)3
( )
ṗ
1
化されたケプラーの第三法則は (16) 式で表される。
log10− µ+(−)
Sα+(−) =N+(−) i
p i
ここでは、
(13)
2(GM )5/3 (πfGW )2/3
hA =
(15)
ここで、 i = 1, · · · , N+(−) は α(Ω̂, p̂, θ) が正 (負) の
c4 R
領域でのミリ秒パルサーの数であり、µ+(−) はそれG(m1 + m2 ) = (r1 + r2 )3 (2πfGW )2(16)
ぞれの領域での log10 ṗ/p 分布の平均値で次式で与えた だ し 、R は 地 球 か ら 波 源 ま で の 距 離 、M はられる。
chirp mass と呼ばれるもので M = (m1 m2 )3/5 /(m1 +
N+(−)
( )
m2 )1/5 で表される。m1 、m2 は連星を構成するブラッ∑1ṗµ+(−) =
log10(14) クホールの質量であり、r1 、r2 はそれぞれの重心か
N+(−) ip i
らの距離である。銀河系中心のブラックホールとして Sgr A∗ (質量 4 × 106 M⊙ ) が知られている。例とL を平均 2 kpc、分散 1 kpc のガウス分布にしたがっ して、Sgr A∗ を連星の片方として、α が ≳ 10−19 でて 10,000 個のパルサーそれぞれにランダムに与え、 ṗ/p への寄与が大きくなることを用いて、各パラメー
N+(−) (∑

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ターの制限を考えてみる。fGW = 10−13 Hz として、連星を形成するもう片方のブラックホールの質量をm2 = 1010 M⊙ と仮定すると、軌道半径は ∼20pc、ḣA ∼ 10−28 s−1 となる。しかし、本研究の手法で検出できる重力波は ḣ ≳A 4 × 10−13 s−1 であるため銀河系中心のブラックホール連星に対しては現実的な制限を与えることは難しいことが分かった。

Reference[1]Yonemaru et al. 2018, MNRAS, 478, 1670
[2] Gravitational waves from an SMBH binary in M87 ,Yonemaru et al. 2016, PASJ, 68, 106

——–index

c1

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21-cm 線観測における中性水素バイアスのモデル化
安藤 梨花 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙の加速膨張をもたらす有力な候補としてダークエネルギーが考えられている。ダークエネルギーを特徴づけるパラメータを制限することで、ダークエネルギーの性質に制限を与えることができる。そのためにバリオン音響振動 (BAO) や赤方偏移空間歪み (RSD) を用いる方法がある。次世代の電波望遠鏡の Square

Kilometre Array(SKA) は、中性水素から放射される波長 21-cm の電波を観測する。SKA では個々の銀河を分解せずに 21-cm 線の強度を観測する intensity mapping survey によって、遠方宇宙の中性水素の 3 次
元分布を得ることができる。本研究では、宇宙論的流体シミュレーションを用いて赤方偏移 1 から 5 における中性水素バイアスのスケール依存性と中性水素における RSD を測定した。

1

Introduction
1990 年代後半に、Ia 型超新星の観測から宇宙の加速膨張が発見されたが、一般相対論の枠組みにおいて通常の物資のみではこれを説明することはできない。そこで加速膨張を説明するものとして、一般相対論の枠組みで負の圧力を持つダークエネルギーを導入する理論と、一般相対論そのものを拡張した修
正重力理論などがある。加速膨張の特徴は宇宙の大スケールの物質のゆらぎの大きさやその成長に表れるため、大規模構造の観測からダークエネルギーや
修正重力理論に制限を与えることが可能である。
我々は赤方偏移空間における銀河などの天体を観測する。赤方偏移は宇宙膨張による後退速度の他に天体の持つ特異速度の寄与も含まれるため、実空間とは異なる位置で観測されるこの効果のことを RSD と呼ぶ。大スケールでは高密度領域に落ち込む様な運動をするため、2 次元相関関係が視線方向に潰れる。一方小スケールでは、非線形なランダム運動によって 2次元相関関係が視線方向に引き延ばされる。RSD の観測からゆらぎの成長率への制限が与えられるため、重力理論の検証へと繋がる。 BAO や RSD などの測定はすでに銀河などを大規模構造のトレーサーとして行われてきた。しかし銀河観測では赤方偏移を正確に決定することの困難によって、遠方宇宙の観測が難しかった。そこで新たに中性水素からの 21-cm
線を暗黒物質のトレーサーとする観測が注目を浴びつつある。21-cm 線 intensity mapping survey という手法では、低い角度分解能で広い領域を、高い周波数分解能で遠方の宇宙までの中性水素の 3 次元分
布を効率よく観測することができる。SKA1-MID のintensity mapping survey では 0.35 < z < 3.06 を50kHz の周波数分解能で、25, 000deg2 の領域を観測する (Bull et al. 2015; Santos et al. 2015)。現在、

21-cm 線の観測を用いた宇宙論パラメータの制限予測などが数多く行われている。理論予言は多くの場
合ダークマターについてのみ行われるため、中性水素の分布から宇宙論的制限またはその予測を行うた
めには中性水素の分布とダークマターの分布の関係である Hi バイアスを理解する必要がある。Bull etal. (2015) では定数のバイアスのモデルを用いた制限
予測を行なった。しかし、より正確な制限と予測を行うためには、Hi バイアスのスケール依存性についても調べる必要がある。中性水素の空間分布や時間発展には重力相互作用以外の複雑な物理が寄与しているため、記述が難しく十分な理解がされていない。
そこで、宇宙論的流体シミュレーションのデータを用いることで、実空間における中性水素のパワース
ペクトル Hi バイアス、赤方偏移空間における中性水
素のパワースペクトルを測定した。本研究では、第2 章でシミュレーションデータとその取り扱いについて、第 3 章と第 4 章で測定結果について、第 5 章
でまとめについて述べます。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

サイズから決定され、最小値及び最大値はそれぞれMethod
この章では本研究で用いたシミュレーションデー

タについての簡単な説明を行う。

kmin = 2π/Lbox 、kmax = πNgrid /Lbox である。ここで Lbox がシミュレーションボックスの一辺の長さ 85h−1 Mpc、Ngrid が一辺に対するグリッド数の512 を意味する。Hi バイアスはこれらの測定された

2.1

パワースペクトルの比を用いて計算される。

Osaka simulationb̂cross
Hi (k) ≡本研究では Osaka simulation のデータを用いて中性水素の密度場やパワースペクトルを計算した。

Osaka simulation は N-body/SPH コードである

PHi, dm (k),Pdm (k)(2)

ここで PHi, dm と Pdm は Hi–ダークマターの相互相

GADGET-3(オリジナルは (Springel 2005)) の修正 関およびダークマターの自己相関である。Hi バイア版を用いている。このコードでは星形成と超新星フ スはこの他にも√
ィードバックを取り扱っており、AGN フィードバッ
PHi (k) − S
クは含まれておらず、一様な紫外線背景放射を採用
b̂auto,(3)
Hi (k) ≡Pdm (k)している。詳細は (Aoyama et al. 2017) と Shimizu
et al.(2018 Submitted) を参照。

で定義する方法もある。PHi は Hi の自己相関で S はシミュレーションのボックスサイズは一辺が共動距

ショットノイズに対応する。シミュレーションにお−1

離で 85hMpc であり、ガスとダークマターの粒子 ける Hi のショットノイズは十分に定義されていない

数の初期値は 2 × 5123 である。宇宙論パラメータはため取り扱いが難しい。相互相関の場合はショット

WMAP-9 を採用し、ガスとダークマター粒子の質

ノイズを考慮する必要がないため、本研究では前者

7 −1

量は各々 5.79 × 10 h

8 −1

M⊙ と 2.88 × 10 h

M⊙ で である式 (2) の定義をバイアス測定に用いる。

ある。

3.2

results

中性水素バイアス

3

BAO 測定によるダークエネルギーへの正確な制限には、Hi バイアスのスケールと赤方偏移依存性の測定が必要である。そのためにまずは Hi バイアスの定義と測定手順について、そのあと測定結果について
議論する。

3.1

measurment

本研究ではパワースペクトルを用いて Hi バイアスを定義する。実空間におけるパワースペクトルは以下のように波数 k の絶対値の関数として測定される。
Nk
1 ∑
PXY (ki ) =ℜ[δX (kj )δY∗ (kj )],Nkj,kj ∈ki(1) 図 1: 式 (2) の定義を用いて測定した Hi バイアス。
点と線は上から下に向かって赤方偏移 5,4,3,2,1 にお

ここで X, Y にはダークマターや Hi の密度ゆらぎ

ける値を示している。実線は式 (4) を用いて得られが入る。波数 k の範囲はボックスサイズとグリッドたベストフィットモデルである。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
Hi バイアスの結果を図 1 に示した。シミュレー

与の 2 つに分けられる。この特異速度の寄与によっ

ションボックスの大きさの限界から、波数 k <て、赤方偏移空間での距離は実空間からずれる。赤0.1hMpc−1より大きなスケールに行くことはできな

い。
さらに Hi バイアスのスケール依存性を定量的に評価
し、バイアスの数式化を行うために k に関する一次関数を導入する。

方偏移空間での天体の座標は(
v3 ),(s1 , s2 , s3 ) = χ1 , χ2 , χ3 +aH(5)と表される。si と χi (i = 1, 2, 3) は赤方偏移空間と実空間での座標であり、i = 3 を視線方向成分とした。

(4) v3 は特異速度、a は膨張のスケールファクター、Hはハッブルパラメータである。この効果によって赤
ここで b0 , b1 はフリーパラメータとして、Hi バイア 方偏移空間における相関関数やパワースペクトルはbHi (k) = b0 + b1 k

スのフィッティングを行う。その結果を図 2 に示し変形する (Kaiser 1987)。

た。スケール依存性を表す項の係数である b1 に注目すると、赤方偏移 z < 3 では b1 は誤差の範囲内で0 と矛盾せず定数のバイアスで説明できる。一方でz > 3 ではスケール依存性が存在することが確認できた。

赤方偏移空間における非等方パワースペクトルについて述べる。21-cm 線で観測される中性水素もまた銀河と同様に特異速度によるドップラー効果の影6
bias parameters

赤方偏移空間歪み

4.1

b0
b1

4

響を受ける。速度について線形理論の極限では、カイザーの公式で非等方パワースペクトルが与えられる。
(s),Kaiser

PHi

2

lin
(k, µ) = b2Hi (1 + βµ2 )2 Pdm
(k),

(6)

µ は視線方向に対する余弦で、bHi は Hi バイアス (今0は定数とする)、β = f /b は線形成長率をバイアスで割った値である。この式では大スケールで高密度領

2
1

2

3
redshift45

図 2: ベストフィットパラメータ b0 と b1 の各赤方偏移での値。白丸 (open) が説明した Osaka simulationのデータを用いて計算した結果。黒丸 (filled) は別の域に落ち込む運動により引き起こされる Kaiser 効果が含まれている。さらに小スケールにおける非線形のランダムな運動に起因する Finger of God 効果を含めると、非等方パワースペクトルは(s)(s),Kaiser

PHi (k, µ) = DFoG[kµf σv ] PHi(k, µ),(7)

シミュレーション (Illustris simulation) のデータをとなる。この DFoG は視線方向のゆらぎを均す項で用いて同様の計算を行なった結果。

あり、ガウス関数などで表すことができる。

DFoG[x] = exp(−x2 )4

赤方偏移空間におけるパワース
ペクトル
銀河観測などを行う時には、赤方偏移から天体までの距離を測定する。赤方偏移には宇宙膨張による後退速度と天体の特異速度の視線方向成分による寄(8)

この 2 次元非等方パワースペクトルはルジャンドル多項式を用いて展開することができる。
∫
2l + 1 1(s)
dµ P (s) (k, µ)Ll (µ),
Pl (k) =2−1(9)

ここで l = 0, 2, 4 であり、Ll は l 次のルジャンドル多項式を意味する。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校(s)

データから測定した Pl (k) についてモデル (式表 1: Hi バイアス bHi と速度分散 σv(7)) を用いて χ2 フィットを行った。ここでは線形のredshiftb0

σv

リーパラメータとしてパラメータへの制限を行なっ

1

1.42+1.36−0.89

た。その結果が図 3 であり、詳しくは 4.2 節で述べる。

2

1.07+0.11−0.06
1.82+0.11−0.05
2.64+0.13−0.07
3.59+0.16−0.10
4.73+0.17−0.13

バイアスパラメータ b0 と中性水素の速度分散 σv をフ

3

フィットには l = 0, 2 のみを、波数は 0.2 < k < kmaxの範囲のデータを用いて行なった。シミュレーショ

4ンのボックスサイズが十分に大きく無いために大ス

5

0.00+1.50−
0.00+1.20−
0.00+1.01−
0.00+0.79−

ケール k < 0.2 では cosmic variance が大きくなる。
一方で高次の線形理論が適用できる範囲から kmax を
決定した。

5

Conclusion
21-cm 線を用いた大規模構造の将来観測と、宇宙論への制限が期待されてる。21-cm 線観測において

4.2

正確な解析を行うためには、観測量と理論とを正し

results

く結びつける必要がある。本研究では宇宙論的流体
600
500kP (s)(k)[Mpc2/h 2]

シミュレーションのデータを用いて、実空間におけ

P0(s), TNS(k)P0(s), nl(k)P0(s)lin(k)P2(s)(k)400

る中性水素のパワースペクトルを測定し、Hi バイア
スのスケール・赤方偏移依存性を測定した。さらに観測では赤方偏移空間における天体の位置を測定す

300

るため、赤方偏移空間における非等方パワースペク

200

トルの測定と RSD のモデルを用いた Hi バイアスと100

中性水素の速度分散の推定も行なった。今後、非線

0形性とバイアスのスケール依存性を取り入れた中性
0.2

0.4

k[h/Mpc]

0.6

0.8

1.0

図 3: 非等方パワースペクトルのルジャンドル展開。
エラーバー付の点がシミュレーションデータから測定した値で、点線が式 (7) のベストフィットモデルである。青：l = 0, オレンジ：l = 2
フィットの結果、表 1 から RSD の測定から推定した Hi バイアスの値は図 2 と矛盾しないことがわかった。しかし、モデル (式 (7)) では非線形性が十分に考慮されていないため、推定される速度分散 σv の値が小さいことがわかった。今後 21-cm 線観測におい水素の非等方パワースペクトルのモデルの構築を行う。これによって 21-cm 線の RSD 観測からゆらぎの線形成長率 f に制限が与えられ、これは重力理論への新たな制限につながる。

Acknowledgement
本研究のためにご指導してくださった皆様に深く感謝いたしますReference
Bull P., Ferreira P. G., Patel P., Santos M. G., 2015,
ApJ, 803, 21て更に正確に推定するためには、定数でないスケー

Springel V., 2005, MNRAS, 364, 1105

ル依存するバイアスや非線形性をより考慮したモデ

Aoyama S., Hou K.-C., Shimizu I., Hirashita H., Todoroki K., Choi J.-H., Nagamine K., 2017, MNRAS, 466,
105

ルが必要となる。

Santos M. et al., 2015, Advancing Astrophysics with the
Square Kilometre Array (AASKA14), 19
Kaiser N., 1987, MNRAS, 227, 1

——–index

c2

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Stacking を用いた宇宙再電離期からの 21cm 線の検出可能性
中島 大佑 (熊本大学 自然科学教育部)

Abstract
宇宙晴れ上がりののち、宇宙は天体が存在しない暗黒時代を迎えた。やがて、初代天体が形成されて周囲の水素が電離されていった。この時代のことを宇宙再電離期 (the Epoch of Reionization, EoR) という。宇宙
再電離期は極めて遠方の情報であるため、未だにわかっていないことが多い。そこで、宇宙再電離期を探査する手段として、中性水素の 21cm 線を観測することが有効である。しかし、21cm 線は非常に微弱な電波であり、なおかつ観測機器のノイズの存在により、観測は非常に困難である。今回は、銀河の Stacking というノイズのスムージングの方法を用いて 21cm 線の検出可能性について調べた。

1

Introduction
宇宙晴れ上がり以降、天体の存在しない暗黒時代ある。しかし、多くの天体を stack(スペクトルを足しあげる) して平均を取ることで、ノイズはスムージングされ、シグナルが現れることが予想される。

が到来し、宇宙はほぼ中性水素に満たされたいた。しかし、ある時期に初代天体が誕生したことによって、その天体から電離光子が放出され、周囲の中性水素を電離していき、現在はほとんどの水素が電離された状態である。その時代を宇宙再電離期という。
再電離期の終了時期については、SDSS(Sloan Dig-ital Sky Survey) のクエーサー観測から制限ができている。しかし、それ以前の再電離期半ばから初期の情この研究の観測の対象としては、近年ハッブル望
遠鏡 (HST) が捉えた最遠方銀河 (z∼11.1) の GN-z11に着目して、シミュレーションで同様の銀河を複製して Stacking を行うことによって得られるスペクト
ルのプロファイルや、Stack 数や銀河の赤外線光度などによって S/N(Signal-to-Noise ratio) がどのように変化するのかを調べた。(Geil et al. 2017)

報は現在の観測技術では捉えることができておらず、情報が不足しているが、現在の SKA (Square Kilo-

metre Array) 計画による大型電波望遠鏡の完成により宇宙再電離期の観測が可能になることが期待されている。

2

21cm-line physics
中性水素の陽子と電子はそれぞれ 1/2 のスピンを持っている。スピン状態が平行 (triplet) の時はエネル

宇宙再電離期を観測することによって、初代星やギー準位が高く、反平行 (singlet) の時はエネルギー

初代銀河の形成や大規模構造がどのように発展して準位が低い。そして、一つのエネルギー準位から別いったのかを調べることができる。そのために、宇のエネルギー準位へ遷移する際に放出・吸収される

宙再電離期から直接届く 21cm 線を観測することに電磁波が 21cm 線である。

よって、その時期の情報を得ることができる。
宇宙再電離期観測は、直接の観測量としては 21cm
線輝度温度が用いられる。今回は、複数の天体の視線方向の輝度温度スペクトルを取ることによって観測器のノイズを平滑化する Stacking という方法を用
いて、21cm の検出可能性について調べた。

triplet 状態と singlet 状態の中性水素の数密度をそれぞれ n1 ,n0 とすると、以下の式でスピン温度が定義される。

( hν )
n1
g1
21
=
exp −
n0
g0
kTs

(1)

ここで、g1 ,g0 は統計的自由度、k はボルツマン定

一つの天体を対象とした視線方向の輝度温度のス

数、h はプランク定数、ν21 は 21cm 線の周波数であペクトルは、観測機器の thermal noise が 21cm 線シる。そして、このスピン温度と CMB 温度の差からグナルに対して非常に大きいことから検出が困難で輝度温度が定義される。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、tint は観測時間で、∆ν は周波数のチャンネル幅である。
Ts − TCM B(1 − e−τν0 )1+z(Tγ )( 1 + z ) 12
≈ 27xHI (1 + δ) 1 −4 Results and DiscussionTs10( 0.15 ) 12 ( Ω h2 )
b
[mK]
(2)
×
ここで、Signal-to-Noise ratio として、S/N =Ωm h 2
0.023∆T /σ∆T を定義する。本研究では、S/N が 5 を超
ここで、TCMB は CMB 温度、τν0 は 21cm 線の光 えると検出可能であると考えている。

δTb=

学的厚さである。この式から、輝度温度は密度揺らぎ δ 、中性率 xHI 、スピン温度 Ts に依存することがわかる。
先行研究 (Geil et al. 2017) で用いられた DRAG-ONS(The Dark-ages, Reionization And Galaxyformation Observables from Numerical Simulations) project は、N 体計算、銀河形成モデル、準数値的再電離計算の 3 つを組み合わせたシミュレー
ションを用いている。
このシミュレーションでは、ハッブル宇宙望遠鏡(HST) によって発見された最遠方銀河 (GN-z11) に着
目し、シミュレーション上で同じ遠方に存在し、GN-

z11 と同等の明るさや恒星質量を持つ銀河の周囲への電離の寄与の時間発展について調べた。
図 1: zc = 11, 9.5 の時の中心銀河の赤外線強度と観3

Stacking Strategy

測赤方偏移幅に対応する S/N(Geil et al. 2017)

この研究 (Geil et al. 2017) での Stacking の対象天体は、z∼11 に存在する銀河である。これらの銀河が、周囲の銀河間物質 (Inter Galactic Medium, IGM) にどのような影響を及ぼし、どのような電離バブルを形成するのかを再現している。これらの銀河を対象として、視線方向の輝度温度スペクトルを取ること

図１は、Stacking に用いた銀河の UV luminosityと観測 Redshift width (奥行き方向の幅) に対する

S/N の図である。実線の等高線は S/N を表しており、破線の等高線は Stacking に用いる銀河の数を示している。この図から、S/N は Stacking に用いる銀河数に比例して大きくなることがわかる。

によって、ノイズに覆われたシグナルを取り出す。
式 (2) より、輝度温度は中性率に比例することか
ら、中性の領域で輝度温度は高く、電離されている

さらに、式 (3) を用いると観測時間や周波数チャン
ネル幅にも関係して S/N が変化することがわかる。

領域では輝度温度は低い。なので、シグナルの形は、
バブルの平均半径ほどの幅を持った穴のような形に

5Conclusion and Prospectなることが予想される。

thermal noise に関しては、SKA を想定した場合、次の二つの値に依存することがわかっている。

この結果から、S/N と Stacking する銀河数の関係性はわかった。検出可能なスペクトルを出すためには少なくとも５０個の銀河に対して Stacking を行わ

σN ∝ √

1
tint ∆ν(3) なければならない。現在の HST では、z∼11 などの遠方に対してそれほど銀河を発見できていない。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
Stacking の大きな問題点は、観測する銀河の量である。現在、銀河の観測は、GN-z11 を発見した HST が観測を行なっている。今後は、WFIRST (the Wide-

Field InfraRed Survey Telescope) や JWST(James
Webb Space Telescope) などの望遠鏡でさらに多くの銀河、また遠方銀河が観測される事が期待されている。現在、すばる Hyper Suprime-Cam(HSC) に
よる LAE(Lyman Alpha Emitter) 観測が行われている。LAE とは、遠方に存在する Ly-α 光子を放出する銀河であり、既に現時点で LAE 観測による初期成果が得られており、LAE に着目することも有用だと考える。

Reference
Geil G. M. et al. 2017,MNRAS 472,2,p.1324-1335

——–indexc3

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

N 体シミュレーションを用いたボイド進化の解析
簑口 睦美 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
銀河団などの高密度な構造で囲まれた低密度領域であるボイドは、重力理論や宇宙論のプローブとして重要であり、これまでにも観測的検証への応用が多くなされている。しかし、そのほとんどは大域的な一様等方性の仮定や、Icke (1986) による、ボイドが球状に成長するという報告に基づく、極めて一般的な解析を行ったものが多く、個々のボイドの物理量を決定する要因に関しては未だ統一的な理解が得られていない状況にある。
超銀河団スケールの構造であるボイドは、電磁相互作用や、超新星爆発のフィードバックなどの局所的な現象による効果を比較的受けにくいと考えられる。このため、これらの効果を無視すれば、ボイドの物理量を決定する要因としては、大きく重力と統計の二種類であり、より詳細には、自己重力場、背景潮汐場、初期条件、統計的性質、観測的には系統誤差や未知の物理まで、様々考えられる。本研究では、このうち重力場がボイドの進化傾向に及ぼす影響を明らかにするため、N 体シミュレーションを用いて重力場と密度場の発展傾向の相関について調べた。

1

Introduction

いる状態とみなされるため、理論の制限力や観測事
実の解釈等に多大な影響を及ぼすと考えられる。こ

現在、我々の宇宙は星や銀河など、豊かな構造に満ちている。1980 年代に、銀河団を超えるスケールの構造である宇宙の大規模構造が発見され、銀河をはじめとする高密度領域だけでなく、銀河の少ないボイド領域にも目が向けられるようになった。特に、のため、個々のボイドの物理量やその進化傾向、それらを決定する要因の調査は重要な意味を持つ。
本研究では、個々のボイドの発展傾向を重力的観点から説明することを目的とし、以下の二つの解析を行った。

ボイドはダークエネルギーが問題となる超銀河団スをするような成分（e.g. 電磁気相互作用をするバリ

Icke による孤立系ボイドモデルによる発展傾向と N 体シミュレーション中のボイドの振る舞いオン）による効果が、長距離力である重力の効果よの定量的比較

ケールの構造であると同時に、重力以外に相互作用

りも比較的小さいと考えられる。このため、ボイド
は銀河と比べて純粋に重力的に形成された構造であると考えられ、近年のダークエネルギーやダークマ
ター問題に観測的な示唆を与えることが期待される。
実際、これまでにもボイドを用いた宇宙論パラメー
タへの制限や重力理論の検証が進められている。
一方、このようなボイドを用いた応用的研究の多く
では、密度場の大域的な一様等方性の仮定や、Icke(1986) による、ボイドが球状に成長するという報告に基づく、極めて一般的な解析を行っている。このような解析では、例えば重力以外の異なる要因で決定されているボイド同士を同じ分布で扱っている可能性があり、これは一方にとってはノイズが入って

1.

Icke (1986) は、top-hat モデルを用いて、低密度領域は一般に膨張しながら球に近づくという性質を理論的に指摘しているが、N 体シミュレーション中のボイドの全体的な進化傾向は、膨張しつつもむしろわずかに歪む傾向を示す。しかし、これはあくまで全体の傾向であり、個々のボイドに関しては Icke のモデルとの整合性は定かでない。そこで、本研究では粒子 ID を用いて N 体シミュレーション中の個々のボイドを追跡し、Icke による孤立系ボイドモデルと定量的に比較した。

2.

N 体シミュレーション中のボイド周囲の潮汐力とボイドの物理量の相関2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ボイドが時間発展に伴って歪む傾向は Icke のモデル

書ける。また、密度構造が一様楕円体を保つと仮定

では定性的にも説明できない。このような傾向は、周すると、質量保存則も単純に

囲の潮汐場によってもたらされる可能性がある。こδc = (1 + δcin )れを確かめるため、ボイド周囲の潮汐場とボイドの進化傾向との相関を調べた。

2

Methods

2.1

Top-hat model

a1in a2in a3in−1
a1 a2 a3(6)のようになる。以上から、とくべき式は
(
)
dai
3
d2 ai
2
+2H
+H
Ω
δ
A
+
Ω
m c i
Λ ai = 0, (i = 1, 2, 3)
dt2
dt
4
(7)
で尽くされる。本研究ではこれを数値的に解くこと

これまで、最も単純なモデルとしてよく考えられてきたのが un-conpensated top-hat モデルである。
バックリアクションを無視し、外側の密度が常に一様であるとすると、一様楕円体の発展は準解析的に解によって、Icke が定性的に述べたボイドの進化傾向を改めて定量的に評価した。なお、数値計算は密度揺らぎが十分線形である赤方偏移 100 から始め、初速度は Zel’dovich 近似によって与えた。

ける。ここではその定式化を Yoshisato et al. (1998)に準じて行う。

2.2

まず、背景時空の共動座標系 x に対して、CDM を
圧力０のダストとして、Euler 方程式は

d2 x
dx
+ 2H
+ ∇x Φ = 0
dt2
dt

N-body Simulation

Set up
本研究では、以下のセットアップによる N 体シミュ

(1) レーションを行った。
表 1: シミュレーションセットアップN
L (Mpc/h) Ωm0 Ωb0 ΩΛ0で表せる（これは摂動展開していない厳密な式である）。また、物質・宇宙項優勢の場合には Poisson 方
3128 , 512

程式は

3

500

0.31

0

0.69

h
0.70

3 2
H Ωm δ(t, x) + 3H 2 ΩΛ2(2) 計算は赤方偏移 100 から行い、赤方偏移 0.21 と 0 の
2 つのスナップショットに関して、各々独立に、ボイと表せる。ここで、ai (t) を一様楕円体の xi 方向の軸 ド同定ツールキット VIDE（Sutter et al. (2014)）を△x Φ =

長として、各時刻 t で常に一様楕円体の形
[
]
x2
x2
x2
δ(t, x) = δc (t)Θ 1 − 2 1 − 2 2 − 2 3(3)
a1 (t) a2 (t) a3 (t)で表せることを仮定する。今、一様楕円体を保ちながら時間発展する仮定を置いており、外側の密度発用いてボイドを検出した。

Void identification
本 研 究 で 用 い る VIDE は ZOBOV（Neyrinck(2008)）によるアルゴリズムを用いて、以下のようにボイドを同定している。

展を解かなければ、一様楕円体のポテンシャルは3∑3Φint (x) = H 2 Ωm δcAi (a)x2i
8
i=1


∫∞
∏

Ai (a) = 0 dλ (a21+λ) 3j=1 √ a2j
aj +λi
I(a) = ∫ ∞ dλ ∏3 √ aj

2
j=1
0
（ただし、a′i は、∑31. 粒子の二等分面によって、シミュレーションボッ(4)

クスを Voronoi セル（以下単にセル）に分割する。このとき、各セルは粒子をただ一つ含み、セルの体積の逆数を粒子数密度と捉える。

(5)

aj +λ

xi
i=1 a2i +λ = 1 を満たすようなλ(x) ∈ R に対し、a′i = ai + λ である）のように

2. Watershed Algorithm と呼ばれる手法により、セルを小領域（zone）にグループ分けする。この手法は、任意のセルに対し、その隣接するセルの中で最も密度の低いものを選んで行き、最2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
終的に行き着いたセル（極小値をとるようなセボイドを表す物理量の定義は、未だ確立されたもの

ル）によってグループ分けするものである。

がないが、本研究では以下の量を用いることにする。

3. 小領域のうち、それらを隔てる領域の密度（表有効半径

層のセルの体積）が低い順に、順次小領域を統ボイドの体積（シミュレーションでは、ボイドを合（グルーピング）していく。VIDE のデフォル構成する volonoi セルの体積の合計）V を用いて、トの設定では、平均密度の 0.2 倍に達するまで

4πR3 /3 = V を満たす R を有効半径とする。

この統合操作を行った後、自分を含むようなよ

中心密度比

り大きいグループが存在しないようなものをボ

ボイドの中心密度（シミュレーションの場合、ボイイドとしている。

ドを構成する volonoi セルの密度のうち最も低いもの）を ρc として、宇宙全体の平均密度 ρb に対する
比 ρc /ρb とする。これは非負の値をとる。
楕円率e≡1− √

図 1: Voronoi セルに分割されたシミュレーション領域の

Λ1
Λ2 Λ3

(Λ1 < Λ3 )ここで Λi は慣性テンソル
 22−xi yi∑ yi + ziI=
 −yi xI x2i + zi2
all particle i

一部（改 Neyrinck (2008)）。手順 2 によるグループが色の違いで表されている。

−zi xi−zi yi−xi zi(8)−yi zi  (9)x2i + yi2の固有値であり、Λ1 < Λ2 < Λ3 を満たすように定Trace rules

める。定義により楕円率は 0 から 1 の値をとる。

本研究では、個々のボイドの時間発展を見る。そのために、各スナップショット中のボイドが「同じ」ボイドであるかどうかを判定する必要がある。これ

3

Results

は、ボイドの統合や分裂、生成や消滅などを考える

孤立系モデルと N 体シミュレーション中のボイドと、必ずしも自明な問題ではないが、ここでは以下の発展傾向を比較したところ、Icke によって述べらのルールに従ってボイドを同定した。

れている通り、top-hat 型孤立系ボイドモデルでは半• 粒子 ID を用い、赤方偏移の大きいスナップショッ 径は増大し、楕円率は減少する傾向が確認できた一
ト、すなわちより過去のボイドを親として、親 方、N 体シミュレーション中のボイドには、図２にボイドから見て最も多くの粒子を与えた子ボイ

示す通り、半径、楕円率ともに増大するものと減少

ドを一つ定めるするものの双方が存在し、全体の分布ではそれらが打ち消しあう形でわずかに半径増大、楕円率減少す• 子ボイドの構成粒子の 50%以上が由来する親ボ る傾向を作っていた。また、中心密度比の進化傾向
イドを一つ定めるは定性的にモデルと整合的であるが、定量的に比較
これによって、注目する赤方偏移区間中で生成や消滅を行わず、”主流”（粒子数が最も多く受け継がれる）となるようなボイドのみを抽出することになる。

すると、N 体シミュレーション中のボイドの変化幅
が top-hat 型孤立系ボイドモデルに比べて 2 倍程度
大きく、楕円率に関しても 4 倍近く大きい。このことから、N 体シミュレーション中のボイドは孤立系

Definitions

モデルから予想されるよりも急激に変化していることがわかった。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: 背景密度に対するボイドの中心密度（左）、有効半径（中）、楕円率（右）の、赤方偏移 1 での値に対する、現在の値と赤方偏移 1 での値の差（上段）及びその初期値に対する割合（下段）。黒いグラデーションは top-hat 孤立
系モデルによる計算結果であり、濃さは初期のボイド中心
密度比に対応する。図が煩雑になるのを避けるため R は
赤方偏移 1100 で 1Mpc のもののみ載せている。

上記の結果により、自己重力的描像、少なくとも

top-hat モデルによっては記述できない機構によって、ボイドの進化傾向が決定されている可能性が強く示唆される。そこで、次に周囲の潮汐場を調査した。周囲の高密度領域によって、ボイドの半径や楕円率が小さくなる効果が期待出来る。詳細は割愛するが、もしこの予想が正しければ、ボイドの物理変化量と周囲の潮汐場の半径方向の勾配に負の相関があるはずである。図３は実際に各ボイドの半径変化量、楕円

図 3: ボイド中心からの距離に対する、ボイドの物理変化
量と周囲の潮汐場の Legendre 成分の動径方向勾配との相関。縦線はボイドの平均半径。影の部分は標準誤差である。
今回のサンプルでは 2 次（四重極成分）の潮汐勾配にはボイドの物理量との有意な相関が認められなかったが、0 次の潮汐勾配には楕円率変化量、半径変化量に対し、ともに負の相関が見られた。

査および解釈を試みた。その結果、従来の孤立系モデルで説明できなかった楕円率や半径の縮小に、周囲の潮汐場の等方成分が寄与している可能性を見出した。実際には、ボイドの物理量の決定にはそれ以外にも構成粒子の統計的性質や、系統誤差など、様々な要因が複雑に関わっていると考えられ、そのいずれが最も寄与するか（あるいは拮抗や、ボイドごとに異なるか）を明らかにすることが今後の課題である。

率変化量に関して、周囲の潮汐場の Legendre 0 次、

2 次成分の動径方向の勾配との線形相関係数を、ボイド中心からの距離に従ってプロットしたものであAcknowledgementる。これを見ると、2 次の成分はボイドの物理量との貴重な研究費から本夏の学校への旅費を支給して相関がほとんど見られなかったが、0 次成分は半径変

いただきました、名古屋大学 教授 杉山直様、日頃ご化量、楕円率変化量の双方に対して、ボイドの平均

指導・議論していただいています同大学 講師 西澤淳

スケールで負の相関をとった。これは、ボイドの楕様、教授 竹内努様、また、第 48 回天文天体若手夏

円率が、四重極的な潮汐力よりもむしろ等方的な勾の学校にご賛同・ご支援いただきました方々に、厚配（局所的平均密度）によって決定される可能性をく御礼申し上げます。

示唆しており、興味深い。

Reference4

Summary
本研究では、ボイドの物理量及び進化傾向を決定

する主要因を解明する目的で、特にその候補の一つである重力場に着目し、孤立系ボイドモデル及び N
体シミュレーションを用いてボイドの進化傾向の調

J. Icke. MNRAS., Vol. 206, pp. 1-3, 1986.
J. Binney and S. Tremaine. Galactic Dynamics. Princeton Univ. Press, 1987.
A. Yoshisato, T. Matsubara, and M. Morikawa. ApJ.,
Vol. 498, pp. 48-59, 1998.
P. M. Sutter et al. A&C, Vol. 9, p. 1, 2014.
M. C. Neyrinck. MNRAS., Vol. 386, pp. 2101-2109,
2008.

——–index

c4

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

ダークマターハロー内部の位相構造について
杉浦 宏夢 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
冷たいダークマター (Cold Dark Matter, CDM) による非線型構造形成は観測的・数値的進展のために近年大きな注目を集めている. 初期宇宙に存在する過剰密度領域は自己重力不安定性によって成長し, 銀河・銀河団等の母体であるダークマターハローとして知られる局所的な構造を宇宙の随所に形成する. ハロー形成過程を解析することはその著しい非線型性のために困難であり, 現在では主として N 体シミュレーションを用いて研究されている. ただし球対称性を持つような理想的な場合には半解析的な取り扱いが可能であり, ハ
ロー構造に関する様々な知見を得ることができる. 本ポスターでは球対称ハロー形成に関する先行研究をレビューし, それと N 体シミュレーションとの関係を論じる発表者の研究について議論する.

EdS 宇宙における CDM 自己相 は対称中心へと落下する最中に他の球殻と相対配置が入れ替わり (shell-crossing), 内部質量 M が一定で似解あるという仮定が破れる. それ以降は上の解を適用

1

宇宙の基本的な構成要素としてダークマターを仮定する現在の標準的な宇宙論では, 構造形成は初期宇することができないため, shell-crossing 以降の進化という問題は極めて複雑なものになり得る.

宙に存在したわずかな密度ゆらぎが重力不安定性に(Fillmore & Goldreich 1984) および (Bertschinger

より成長する過程として理解される. 特に, 現在の宇1985) は, 重力に特徴スケールがないため, 上の状況

宙では構造は非線型成長を遂げており, ダークマター

では自己相似的な解が存在することに気づいた. こ

ハロー (以下単にハローと呼ぶ) と呼ばれる構造を形の解は, 時刻 t∗ に転回点に到達する球殻の時刻 t で成する.

の動径座標をEinstein-de Sitter 宇宙 (EdS モデル, ダークエネル
ギーが存在しない宇宙モデル) に過剰密度領域が存在

r(t, t∗ ) = r∗ (t∗ )λ(t/t∗ )すると, その近傍の物質は重力的に束縛されており,と書くことが可能なものであり. ここに λ(τ ) はすべ

初期に Hubble 則に近い速度で膨張していても, やがての球殻に共通な関数であり, もとの運動方程式からて過剰密度領域へと落下する. この過程は (Hubble

導かれる常微分方程式を数値的に解くことによってスケールより十分小さなスケールでは) 球殻の運動求まる. また時刻 t での転回点半径 r∗ (t) は初期密度方程式

プロファイル δ ∝ r−3ϵ から解析的に求まる. ただし,

d2 r
GM
=− 2
dt2
r

(1)

により記述される. M は球殻の内部の質量であり,これが時間的に定数であるならば, 運動方程式には解
析解

r=

r∗
(1 − cos θ), t =2√運動方程式に含まれる質量プロファイルは][dτ ′λ(τ ′ )∞
M (r) ∝ M(r∗ λ), M(ξ) ∝1 Θ ξ − ′τ β τ ′1+2/3ϵ(2)(Θ(s) は Heaviside の階段関数) と λ(τ ) の関数形全体
r∗38GM(θ − sin θ)

によって決まっているため, 運動方程式を解く操作は若干複雑で, 適当な初期関数形 λn (τ ) を仮定してプロが存在する. この解は初期には Hubble 膨張に近いファイルを計算し, それを用いて逐次近似解 λn+1 (τ )が, θ = π で動径が最大値 r∗ を取り (これを転回点を構成する, という手続きを取る必要がある. 実際にと呼ぶ), その後は崩壊する. ところが実際には球殻数値的に求めた解を図 1 に示す.

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
既に述べたように, 初期密度プロファイル δ ∝ r−3ϵ軌道の遠点において密度が発散しているという特徴に対応してこの自己相似解は単一のパラメータ ϵ をがあるが, この振る舞いは WDM 解の場合速度分散含む. あるいは転回点以内の質量 M∗ について

によりぼかされて密度プロファイルが滑らかになるs :=d ln M∗1=d ln aϵが成り立つことから, このパラメータを降着率 s と読と期待される. これを実際に見るために, 彼らは遠点直近で密度プロファイルが遠点からの距離 ∆r(< 0)にみ直すこともできる.

ρ ∝ (−∆r)1/2

また, この質量プロファイルは減衰振動の重ね合わせとして実現されるものであるから, 球殻の遠点通過と比例すること (これは球殻の Lagrange 座標 q を用に対応して質量プロファイルの傾きに不連続が現れいると ∂r/∂q = 0 が遠点を与えることから理解できる. 質量の空間微分は密度と結びついているから, こる) を用いて, それを DM 速度分布 f (v) を用いて重のことは球対称自己相似解には密度が発散するコー

ね合わせたプロファイル∫
ρWDM = ρCDM (∆r − αv)f (v)dv

スティクスが複数点出現することを意味する.

2

ΛCDM モデルへの拡張(Shi 2016) は前節の自己相似解を ΛCDM モデル

を計算している. 彼らは速度分布としてトップハット型, Maxwell-Boltzmann 分布, 指数分布を仮定しており, 図に彼らが求めた密度プロファイルを示す.

の場合へと拡張している. もちろん ΛCDM 宇宙における球殻の運動方程式

d2 r
GM
1
= − 2 + Λr2
2
dt
r
3

4

N 体シミュレーションとの関係
以上の研究はすべてハローが厳密に球対称であるにはダークエネルギーから定まる特徴距離が存在すと仮定することで解析的な議論を可能にしたものでるため, 厳密にはこの場合自己相似解は存在し得なあった. しかしながら, 実際には完全に球対称のハ

い. そこで (Shi 2016) は依然として自己相似解からローは存在せず, 現実的な状況において自己相似解がの破れが小さい, つまりある球殻が感じる重力ポテ

予言する構造はどの程度正しいのか, という疑問が生

ンシャルがその球殻の軌道から定まる質量プロファ ずる. 本研究は N 体シミュレーションを用いてこのイルにより与えられると仮定することで, 近似的に 問題に取り組んだものである.

(Fillmore & Goldreich 1984), (Bertschinger 1985)

本研究では EdS モデル N 体シミュレーションの解を拡張している. その結果, この解は降着率 s に(Yann Rasera 氏に提供していただいたもの) で扱

加えて密度パラメータ Ωm0 にも依存することになる.

う個々の粒子の運動を異なる時刻のスナップショット
間で追跡し, ハロー内運動 (特に遠点通過) を拾い上げることでハローの動径位相構造を遠点通過数に基

3

Warm Dark Matter ハロー(Shi 2016) とは異なる路線の拡張として, (Mo-hayaee & Shandarin 2006) はダークマターが速度分散を持つ場合 (warm dark matter, WDM) の球対称
ハロー構造について議論している. ただし彼らの研究は WDM 速度分散 σv が十分小さく, CDM 解と同じ形の解の「重ね合わせ」としてそれが書けると仮定することでそれを求めるものである. CDM 解ではづいて分解した. さらにそれを CDM 自己相似解と比較することで両者の一致の良さを調べた. 結果として, 自己相似解には降着率 s というパラメータが含まれるが, それをフィッティングパラメータとして振ることで, 約半数のハローについては定量的に良い一致を確認した. 典型的なハローの動径位相構造とその自己相似解との比較を図 2 に示す.

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ただしこうして求まったベストフィットの s の値は当然期待されるハローの質量降着率

Γ :=∆ ln Mvir, ∆X = [X]z=0 − [X]z=0.5
d ln aとの相関を示さなかった. この結果についてはさらなる解析が必要である.

5

Conclusion
本発表では, 球対称ハロー形成モデルとして (Fill-more & Goldreich 1984), (Bertschinger 1985) による自己相似解を見た. さらに, 彼らの解を ΛCDM モ
デルへ, あるいは WDM モデルへと拡張できることを見た. その後, N 体シミュレーションにおいてこのような解の特徴が実現していることを示した発表者の研究について議論した.

Reference
Fillmore & Goldreich, ApJ, 281, 1 (1984)
Bertschinger, ApJS, 58, 39 (1985)
Shi, MNRAS, 459, 3711–3720 (2016)
Mohayaee & Shandarin, MNRAS, 366, 1217–1229(2006)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

1.0

0.6

0.4

 = 0.2
 = 0.6
 = 1.0

0.2

0.0

1

2

3

4
5
non-dimensional time τ67

図 1: Fillmore-Goldreich の CDM 自己相似解

Halo-B
2.5
0.0
−2.5
2.5
0.0
−2.5
radial velocity vr /Vsp

non-dimensional radius λ

0.8

p=1

2.5
0.0
−2.5

p=2

2.5
0.0
−2.5

p=3

2.5
0.0
−2.5
0.00

p=4
0.25

0.50

0.75
1.00
radius r/Rsp

1.25

1.50

図 2: Fillmore-Goldreich の CDM 自己相似解

8

——–index

c5

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

γ 線背景放射の銀河団との相互相関解析を用いた赤方偏移特性の探査橋本 大輝 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
Fermi Large Area Telescope (Fermi-LAT) による掃天観測によって、銀河面付近を除くほぼ全天で γ 線背景放射 (extragalactic γ-ray background : EGB) が観測されてきた。同時に EGB の構成要素の中に、γ 線源が不明の成分 (unresolved γ-ray background : UGRB) が全天でほぼ一様に存在することがわかってきた。UGRB の性質や起源の詳細は未だ不明であるが、blazar や star-forming galaxy (SFG)、radio galaxyなどの天体を起源とする γ 線が主成分であると考えられている。また、そのほかにもダークマターなどのエ
キゾチックな物質を起源とする場合が考えられている。このように天体や物質が UGRB の起源であるとす
ると、この γ 線源はハローに集中的に分布していると考えられる。したがって、ハローの分布と UGRB の相互相関を解析することで UGRB の性質にアプローチできると期待され、近年この相関を探査する研究が発展してきた。しかし、それらの研究では相互相関の赤方偏移特性に着目した解析は行われていなかった。
実際には，それぞれの γ 線源の候補天体は，γ 線強度について異なった赤方偏移依存性を持っている。よって，幅広い赤方偏移を持つ銀河団カタログを用いて UGRB の赤方偏移特性を明らかにすることができれば，その起源に迫ることができると期待される。
本研究では，Fermi-LAT の観測を基にして得られた UGRB の強度分布と Hyper Suprime-Cam (HSC) の観測データから作成された銀河団分布の相互相関をスタッキング解析と 2 点相互相関解析によって計測した。
さらに銀河団の赤方偏移をビニングした上で同様の解析を行い，相関の赤方偏移特性についても評価した。
本稿ではそれらの解析手法と結果について報告する。

1

導入

クトの密度分布との二点角度相互相関を計測し、解析する試みが行われている。

銀河系外背景 γ 線 (extragalactic γ-ray back-Branchini et al. [3] は初めて銀河団カタログ
ground : EGB) は近年の Fermi Large Area Tele- と UGRB の相互相関を探査している。これによりscope (Fermi-LAT) の詳細な観測 [1] により、宇宙物 UGRB が銀河団と強い相関 (∼ 6 − 7σ) を持ってい理学、高エネルギー物理学にとって興味深い研究対 ることが明らかとなっている。また相互相関シグナ
象となっている。EGB には unresolved γ-ray back- ルが活動銀河核 (AGN) のようなコンパクトな天体
ground (UGRB) と呼ばれる、起源天体が不明の放射 起源のガンマ線を主成分とすることを明らかにして成分が含まれていることがわかっている。UGRB へ いる。Cuoco et al. [4] は新しい試みとして、UGRBの寄与として blazar や star-forming galaxy (SFG)、 と様々な銀河カタログとの相互相関の赤方偏移方向
radio galaxy 等の天体起源のガンマ線が考えられて (0.05 < z < 3) への断層探査を行なっている。その結いる [2]。さらに、エキゾチックな物質の寄与として、 果、幅広い赤方偏移で相互相関のシグナルを検知しダークマターが崩壊あるいは対消滅する際に放出さている。この結果は実際に断層的なアプローチが現れるガンマ線が含まれている可能性があり、UGRB

在のデータで行えることを示し、ダークマターの対の性質や起源の探査は宇宙物理学のみならず素粒子

消滅や崩壊について新たな探査手法を提示している。

物理学においても非常に興味深い。

本研究では、HSC の観測データより作成された銀UGRB 探査のアプローチとして、近年の大規模な銀 河団カタログ (CAMIRA カタログ; [7]) を用いて、河カタログや銀河団カタログが作成されたことを受 UGRB と銀河団との相互相関を探査する。HSC 銀河
け、UGRB の強度分布とそれらカタログ中のオブジェ

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
団の赤方偏移は 0.1 ≤ z ≤ 1.1 であり、銀河団カタロ
グとしては幅広い赤方偏移を含んでいる。これによdecl. [deg.]UGRB との相互相関の赤方偏移方向への断層探査が可能になる。本研究では相互相関をスタッキング解した UGRB のマップについて述べる。第 3 章では、スタッキング解析と相互相関解析の結果についてま

0.6

1

0.4

0

0.2
140

136
134
R.A. [deg.]

132

130

128

図 1: HSC 銀河団の 1 領域 (GAMA09H) の銀河団分布。それぞれの点が各銀河団の中心の座標 (銀河座標) を、色は赤方偏移を表している。円はガンマ線の

RPS の中心から半径 0.5◦ の、マスクされた領域を示している。灰色の領域は観測データ外領域である。
GAMA09H
5

とめる。また、それらの結果と天体起源のガンマ線

4Dec[deg]

強度モデルから予測される相互相関の理論予測を比較する。これらの要約を第 4 章で述べる。
＊補足になりますが、本稿において紙幅の関係から

6

3
2

4

1
0

2

-1
-2

割愛された議論等が多分にあります。詳細をご覧に

0
142

140

138

136

134

132

130

128

RA[deg]

なりたい方は本稿の元となっている Hashimoto et al.

[5] をご参照ください。

138

I [10-7/cm2/s/sr]

河団のカタログと Fermi-LAT の観測データから作成

0.8

2

−2
142

シグナルの赤方偏移依存性を見るために、赤方偏移

本稿は以下のように構成される。第 2 章で HSC 銀

3−1

析と 2 点角度相互相関解析を用いて探査する。相関３つに分けて解析を行う。

1.0

4

りこれまで探査されていなかった銀河団カタログとを 0.1 ≤ z ≤ 1.1、0.1 ≤ z ≤ 0.6 と 0.6 ≤ z ≤ 1.1 のGAMA09H

5

図 2: CAMIRA 銀河団の 1 領域 (GAMA09H) に対応する UGRB の強度分布。色はガンマ線の強度を表

データ

2

この章では、スタッキング解析と相互相関解析に用いる CAMIRA カタログと UGRB のデータに関する説明を簡単に行う。

2.1

す。この図では Fermi-LAT の 1-100 GeV のエネル
ギー帯におけるガンマ線データを用いている。黒丸の領域はガンマ線の RPS の中心から半径 0.5◦ の、マスクされた領域に対応する。スムージングは全エネ
ルギーで 0.5◦ のガウシアンを適用している。

HSC 銀河団カタログ

本研究で用いる CAMIRA カタログは HSC の第１くために RPS の半径 0.5◦ の領域をマスクする。最回データリリースのデータを用いて作成されたカタ

後にショットノイズの影響を取り除くために 10 GeV

ログであり、銀河団は赤方偏移 0.1 ≤ z ≤ 1.1 まで

以下のエネルギー帯に 0.5◦ のガウシアンスムージンの幅広い区間にほぼ一様に分布している。解析に用グを、それ以外のエネルギー帯に 0.2◦ のガウシアン

いる銀河団数は 4461 個、質量の下限は 1013.5 M⊙ 程

スムージングを適用する。図 2 に HSC の観測領域の度、観測領域は ∼ 230deg2 である。図 1 に HSC 銀
河団の分布の一例を示す。

2.2

UGRB マップ

本研究では、Fermi-LAT の PASS8 の 1-100 GeV

一つに対応する領域のガンマ線個数強度分布を一例として挙げる。

3

相関信号の計測、解析のデータを用いる。UGRB マップを構成するために、

ここでは、UGRB の強度分布と HSC 銀河団の分以下の操作を行う。まず、銀河系の前景放射を取り布との相互相関の計測について、スタッキング解析

除くために 4 つの前景放射モデルを仮定し (baseline,と相互相関解析の結果をまとめる。

Model A, ModelB, ModelC)、その影響を差し引く。
さらに resolved point source (RPS) の影響を取り除2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
baseline

0.6 < z < 1.1

0.1 < z < 0.6

Model A
2°

2°
0.04

0.06

2°

0.06

0.04

0.04

0°

0

-0.02

0°

2°

-2°

Model B

0°

-2°

2°

0°

-0.04
-2°

-0.06
-2°

2°

0°

2°

0.02

タッキングマップ。銀河団の赤方偏移分割以外の操

0°0

作は図 3 と同じである。

-0.02

-0.04
-2°

δstack移 (0.6 ≤ z ≤ 1.1, 右図) の銀河団周辺の UGRB のス

0.02

δstack

0.04

-0.02

-0.04

赤方偏移範囲baseline

Model A

Model B

Model C

0.1 < z < 1.1

2.2

2.0

2.0

2.0

0.1 < z < 0.6
0.6 < z < 1.1

2.2
1.9

2.1
1.6

2.1
1.6

2.3
1.6

-2°
0°

-0.02

-0.04

0.04

0

-2°

0

図 4: 低赤方偏移 (0.1 ≤ z ≤ 0.6, 左図) と高赤方偏

2°

0°

0.02
0°

-0.02

-0.06
-2°

Model C

2°

0

-0.04
-2°

-2°

0°

-0.02

-0.04
-2°

0.04

0.02

δstack0

0.02

δstack0°

δstack

0.02

2°

-2°

0°

2°

図 3: 銀河系の前景放射モデルごとの HSC 銀河団周辺の UGRB のスタッキングマップ。HSC 銀河団は(0◦ , 0◦ ) に位置している。カラーは解析に用いた領域の UGRB 強度における平均値周りの揺らぎを表す。 表 1: 各赤方偏移ごと、前景放射モデルごとの相互相
関シグナルの統計的有為性。低赤方偏移の銀河団は

3.1

δstack2°

スタッキング解析

図 3 に HSC 銀河団の中心周りに UGRB マップをスタッキングした結果を示す。図からわかるように、明らかに銀河団の中心でガンマ線の強度が大きくなっ

1942 個、高赤方偏移の銀河団は 2519 個である。

3.2

相互相関解析

相互相関を計測するにあたって、本研究では Landy-ている。ただし、このシグナル強度はランダムな位

Szalay の estimator[6] を用いる。また誤差の評価はジ置でスタックした場合の分散とおよそ 1σ で同程度あ ャックナイフ法 [8] に従う。図 5 に全 HSC 銀河団、低赤ることも同時に確かめている。また、ここで注意し 方偏移 (0.1 ≤ z ≤ 0.6)、高赤方偏移 (0.6 ≤ z ≤ 1.1)
なければならないことは、このビジュアルマップがの３つの場合の相互相関解析の結果を示す。図 5 とあくまでスタッキング解析の結果であって、実際の図 3 の対応が見て取れる。全銀河団を用いた場合と銀河団周辺の UGRB 強度を表してはいないというこ

低赤方偏移の銀河団を用いた場合は銀河団付近でガとである。事実、隣り合う HSC 銀河団の平均的な角ンマ線の強度の増加が認められるが、高赤方偏移の度は ∼ 0.22◦ であり、従ってスタッキングマップ内

場合は、特に baseline model を用いた場合、相関はで一つのガンマ線光子が複数回現れる (天球上の同じ見て取ることはできない。

領域が複数回足し合わされる)。このことからスタッ

また、統計的有為性を表 1 に示す。ここからもわ

キングマップは定量的な解析には用いずに、相互相かるように高赤方偏移の銀河団を用いた場合とそれ関解析との無矛盾性の確認にのみ用いる。

以外の場合では有為性の振る舞いに相違が見られる。

図 4 に HSC 銀河団を低赤方偏移 (0.1 ≤ z ≤ 0.6)

さらに簡単な相互相関のモデル予測と観測された相と高赤方偏移 (0.6 ≤ z ≤ 1.1) に分割してスタッキ

互相関の比較を表 2 に示す。ここではガンマ線放出

ングした結果を示す。低赤方偏移の相関に関しては天体として blazar, SFG, radio galaxy を仮定してい全銀河団を用いた解析より強い相関がより広い角度る。また小スケールにおける HSC 銀河団とガンマ線スケールに渡って存在することがわかる。しかし一光子のショットノイズを考慮している。このモデルの方で、高赤方偏移の場合は明らかな正相関は見られより詳細な議論は、Hashimoto et al. [5] で行われて

ない。

いる。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
0.1 < z < 1.1
0.06

baseline
best fit
Model A
Model B
Model C

0.05

ξ(θ)

0.04
0.03
0.02
0.01

赤方偏移範囲Baseline

Model A

Model B

Model C

0.1 < z < 1.1

0.30

0.29

0.28

0.27

0.1 < z < 0.6
0.6 < z < 1.1

2.2
2.5

1.9
0.79

1.8
0.76

2.2
0.78

0
-0.01
0

0.5

1

θ[deg]

1.5

2のフィッティングによるミニマム χ2 の値。自由度の0.1 < z < 0.6
0.05
0.04

ξ(θ)

大きさは 3 である。

baseline
best fit
Model A
Model B
Model C

0.06

0.03

ることができ、統計的有為性は 2.0 − 2.2σ であった。
また、銀河団を低赤方偏移 (0.1 ≤ z ≤ 0.6) と高赤0.020

方偏移 (0.6 ≤ z ≤ 1.1) の２つに分割して同様の解析-0.01を行った。前者についてはより強い相互相関を計測

0.01

-0.02
0

0.5

1

θ[deg]

1.5

2

においては、統計誤差が銀河系の前景放射の差し引

baseline
best fit
Model A
Model B
Model C

0.05
0.04
0.03

した (2.1 − 2.3σ) が、後者についてはより有為性の低い相関であった (1.6 − 1.9σ)。今回のデータセット

0.6 < z < 1.1
0.06

ξ(θ)

表 2: 観測された相互相関と理論予測による相互相関

きに関する系統誤差より大きいことが示された。
さらに UGRB に寄与する主要なガンマ線放射天体

0.02を blazar, SFG, radio galaxy と仮定することで、相0.01
0互相関の理論予測を行い、観測データから計測され

-0.01
-0.02
0

0.5

1

θ[deg]

1.5

2

た相互相関と比較した。その結果、今回得られた相関は上記の 3 天体による寄与で矛盾なく説明できる

図 5: 全銀河団 (上図)、低赤方偏移銀河団 (0.1 ≤ z ≤ことが示された。

0.6, 中図)、高赤方偏移銀河団 (0.6 ≤ z ≤ 1.1, 下図) とUGRB との相互相関シグナル。エラーバーはジャッ

References

クナイフ法を用いた際の 1σ の範囲を示す。またエラーバーのそれぞれの色はそれぞれの銀河系前景放[1] Ackermann M. et al., 2015, ApJ, 799, 86

射モデルに対応する。実線は銀河系前景放射モデル[2] Ajello M. et al., 2015, ApJ, 800, L27

として baseline model を用いた際の相互相関の理論[3] Branchini E., Camera S., Cuoco A., FornengoN., Regis M., Viel M., Xia J.-Q., 2017, ApJS,
由来のガンマ線の相互相関への寄与を、点線はショッ
228, 8
トノイズの相互相関への寄与を表す。
予測を表す。ダッシュ線は blazar, SFG, radio galaxy[4] Cuoco A., Bilicki M., Xia J.-Q., Branchini E.,

4

要約

2017, ApJS, 232, 10

本研究では HSC の初回観測データを用いた銀河団[5] Hashimoto D., Nishizawa A. J., Shirasaki M.,

カタログ中の銀河団分布と Fermi-LAT の PASS8 のMacias O., Horiuchi S., Tashiro H., Oguri M.,
2018, ArXiv e-prints

データより生成した UGRB 強度分布との相互相関を計測し、解析した。相互相関の計測、および解析にあたって、スタッキング解析と相互相関解析を行った。全銀河団 (0.1 ≤ z ≤ 1.1) を用いた両解析から互いに無矛盾な数%程度の正相関のシグナルを検出す[6] Landy S. D., Szalay A. S., 1993, ApJ, 412, 64[7] Oguri M. et al., 2018, PASJ, 70, S20[8] Scranton R. et al., 2002, ApJ, 579, 48

——–indexc6

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

ベクトル・テンソル理論に基づいた暗黒エネルギー模型
に対する観測的制限
中村 進太郎 (東京理科大学大学院 理学研究科)

Abstract
運動方程式が 2 階微分までに保たれる一般的なベクトル・テンソル理論として generalized Proca（GP）理論が構成された．この理論に基づく後期宇宙加速膨張模型には，暗黒エネルギーの状態方程式が −1 よりも小さくなる安定な de・Sitter アトラクターが存在することが明らかになっている．本研究では，マルコフ連
鎖モンテカルロ法を複数の独立な観測結果を用いて行い，GP 理論に基づく安定な理論模型に対して制限を与える．この統計解析の結果，背景時空レベルでは Λ-CDM 模型よりもむしろ GP 理論に基づく模型を好む傾向があることを示す．

1

Introduction

黒エネルギー模型が実現できることが知られているが，一般に実効重力定数が現在付近でニュートンの一般相対論はこれまで様々な実験・観測によってその正当性が検証されてきた．2016 年の初検出から続く，重力波の直接観測も一般相対論の正当性を示している．しかし，近年の高精度観測によって，現在の宇宙が加速膨張していることが示されてきた．この現象は標準模型で記述されるバリオンのような通常の物質のみを用いて実現することはできない．この後期宇宙加速膨張の起源は暗黒エネルギーと呼ばれており，その正体は未だ解明されていない．暗黒エ
ネルギーの最も単純な候補は，一般相対論に対して負の圧力を持つように宇宙項を取り入れた模型である．しかし，Planck 衛星と Ia 型超新星の最新の観測データの複合解析結果からは，宇宙項と冷えた暗黒物質を基にした Λ-CDM 模型は必ずしも最適な模型ではない可能性が示唆されている．一方で，宇宙初期の加速膨張期であるインフレーションのように，一般相対論にスカラー場のような時間変化する新たな自由度を導入することで後期加速膨張も解決できる可能性がある．このため，新たな自由度を加えて一般相対論を拡張した，より一般的な重力理論の枠組みの構築がこれまでに行われてきた．代表例をあげると，スカラー場と重力場が結合した理論（スカラー・テンソル理論）や，ベクトル場と重力場が結合した理論（ベクトル・テンソル理論）などがある．
スカラー・テンソル理論では，理論的に安定な暗万有引力定数よりも大きくなり，観測と整合的な密度ゆらぎの成長率を実現することが難しいという点が指摘されている．
ベクトル・テンソル理論に対しては，ローレンツ対称性と U (1) ゲージ対称性を要請した上で Galileonと同様なラグランジアンを構成できないことが知られている．そこで U (1) ゲージ対称性を破る massive
なベクトル場（Proca 場）を採用し，Galileon のような相互作用を考えることで，generalized Proca (GP)理論が構築された [1]．GP 理論では，その運動方程式が任意の時空上で微分に関して 2 次のオーダーに保たれている．さらにスカラー極限において，Horndeski
理論の特殊な場合に帰着する．GP 理論に基づき，かつ理論的に有効な暗黒エネルギー模型はすでに先行研究で議論されている [2]．
本研究では，始めに最近の重力波イベントから明らかになった重力波の伝搬速度に対する制限を考慮した
場合，GP 理論にどのような制限がかかるかを示す．
その後，複数の独立な観測結果を適用して，GP 理論に基づく有効な暗黒エネルギー模型に対して，観測的制限を与える．本稿では，宇宙背景輻射（CMB），
バリオン音響振動（BAO），Ia 型超新星（SN Ia），
現在付近でのハッブルパラメータの計 4 種の観測結果を用いて理論模型に制限を与える．この統計解析の結果は文献 [3] の結果を再現している．

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

Generalized Proca theories

2.1

Action

流体とし，輻射（エネルギー密度 ρr ，圧力 Pr = ρr /3）
および非相対論的物質（エネルギー密度 ρm ，圧力

Pm = 0）を伴うものとする．ベクトル場は FLRW
背景時空の対称性から Aµ = (ϕ(t), 0, 0, 0) とし，空以下の作用のもとで議論していく：

∫
S=

√ ∑
d4 x −g
Li + SM .
6i=2

間成分は摂動として扱う．このとき，計量およびベ(1) クトル場の時間成分が従う運動方程式はそれぞれ次のようになる：

ここで，g は計量テンソルの行列式，SM は物質場の作用をあらわす．Li は GP 理論のラグランジアンでG2 + G2,X ϕ2 + 3G3,X Hϕ3 + 6(G4 + G4,XX ϕ4 )H 2

− (G5,X + G5,XX ϕ2 )H 3 ϕ3 = ρr + ρm ,(2){
ϕ G2,X + 3G3,X Hϕ + 6(G4,X + G4,XX ϕ2 )H 2µ}L2 = G2 (X, F, Y ) , L3 = G3 (X)∇µ A ,−(3G5,X + G5,XX ϕ2 )H 3 ϕ = 0 .
(3)[]
L4 = G4 (X)R + G4,X (X) (∇µ Aµ )2 − ∇ρ Aσ ∇σ Aρ ,ここで，H ≡ ȧ/a はハッブルパラメータである．
1
L5 = G5 (X)Gµν ∇µ Aν − G5,X (X)[(∇µ Aµ )3
この 2 式には任意関数 g5 , G6 ，および G2 の F, Y
6あり，ベクトル場 Aµ を用いて以下で定義される [1]：− 3∇µ Aµ ∇ρ Aσ ∇σ Aρ + 2∇ρ Aσ ∇γ Aρ ∇σ Aγ ]− g5 (X)F̃ αµ F˜β µ ∇α Aβ ,L6 = G6 (X)Lµναβ ∇µ Aν ∇α Aβ1+ G6,X (X)F̃ αβ F̃ µν ∇α Aµ ∇β Aν .
2に関する部分が含まれていないため，これらは背景
時空のダイナミクスには影響しない．また，ϕ ̸= 0 の場合，式 (3) は ϕ と H の代数方程式になっており，
これを解くことで ϕ を H の関数として得ることができる．

但し，X ≡ −Aµ Aµ /2 , Fµν ≡ ∇µ Aν −∇ν Aµ であり， 2.3

Tensor perturbations

Fµν F µνテンソル摂動 hij を含んだ線素 ds2 = −dt2 +, Y = Aµ Aν Fµ α Fνα ,42a (t)(δij + hij )dxi dxj を考える．ここで，テンソル1 µναβ1 µνρσ αβγδ
µν
µναβ
E
Rρσγδ , F̃ ≡ E
Fαβ , 摂動は 2 つの偏極モード h と h を持ち，h =
L
≡ E
+
×
ij
4
2
×
h+ e+
+
h
e
と表すことができる．但し，基底×ijijとした．R, Gµν はそれぞれスカラー曲率および Eine+および e×は波数空間において次の規格化条件
µνρσ
ij
ij
stein テンソルである．E
は Levi-Civita テンソ+∗
を満たしているものとする：e+= 1，
ij (k)eij (−k)
ルであり，規格化条件 E µνρσ Eµνρσ = −4! に従う．
×
×
+
×
∗
∗
e (k)eij (−k) = 1，eij (k)eij (−k) = 0．このとG2 は X, F, Y に関する任意関数，G3,4,5,6 はそれぞ ijき，作用 (1) をテンソル摂動の 2 次まで展開するとれ X に関する任意関数であり，Gi,X ≡ ∂Gi /∂X と次のようになる：
表した．
]
[
∑ ∫
GP 理論は G4 R のような計量とベクトル場の非
qT
c2
(2)
ST =
d4 x a3ḣ2λ − T2 (∂hλ )2 , (4)8a最小結合によって，一般の時空で運動方程式が微分
F ≡−

λ=+,×

に関して 2 次のオーダーまでに保たれることが保証されている．また，作用 (1) に対してスカラー極限

Aµ → ∇µ π (π はあるスカラー) をとると，これはshift-symmetric な Horndeski 理論に帰着する．

但し，

qT = 2G4 − 2ϕ2 G4,X + Hϕ3 G5,X ,2G4 + ϕ ϕ̇G5,X
qT
[
(
)
]
2
ϕ 2G4,X + ϕ̇ − Hϕ G5,X
=1+.
2G4 − 2ϕ2 G4,X + Hϕ3 G5,X

c2T =

2.2

Cosmological background

平坦な FLRW 計量 ds2 = −dt2 +a2 (t)δij dxi dxj のもとでの運動方程式について議論する．物質場は完全

(5)

2

(6)

(7)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
qT > 0 および c2T > 0 を満たすことで，それぞれテ DE, r, m) を用いると，暗黒エネルギーの状態方程式
ンソル摂動に関するゴーストおよび勾配不安定性を wDE ≡ ρDE /PDE は以下で与えられる：回避することができる．また，c2T は重力波の伝搬速

wDE = −

度の 2 乗に対応している．
昨年観測された重力波イベント GW170817 によって，重力波の伝搬速度は高い精度で光速と等しいことが明らかになった．GP 理論において，c2T = 1(= c2 )と仮定すると，G4 = constant , G5 = 0 の 2 つの条件を要請する必要がある．以降では，これらの条件も考慮する．

3

3(1 + s) + sΩr.
3(1 + sΩDE )(12)

但し，Ωm = 1 − ΩDE − Ωr , s ≡ p2 /p とした．これは密度パラメータの変化 (a) 輻射優勢期: (ΩDE , Ωr ) =(0, 1) → (b) 物質優勢期: (ΩDE , Ωr ) = (0, 0) → (c)加速膨張期: (ΩDE , Ωr ) = (1, 0) に応じて，(a) wDE =−1 − 4s/3 → (b) wDE = −1 − s → (c) wDE = −1と変化し，安定な加速膨張解へと収束することを示している．

Concrete models

また，暗黒エネルギーと輻射の密度パラメータ ΩDE

この節では，GP 理論に基づく理論的に有効な暗黒エネルギー模型を示す．宇宙初期から後期に進むと Ωr を N ≡ ln a で微分することで，以下の自律方程式系を得る：につれてベクトル場の寄与が大きくなることで後期

dΩDE(1 + s)ΩDE (3 + Ωr − 3ΩDE )=,dN
1 + sΩDEΩr [1 − Ωr + (3 + 4s)ΩDE ]
dΩr
=−
.
dN
1 + sΩDE

加速膨張を実現するために，場 ϕ の振幅が H の減少に伴って成長していく状況を考える．そのような状況を実現するために，次の形の解を仮定する：

(13)
(14)

(8) これらの自律方程式系を初期条件を与えて解くことで，それに応じて 3 つの密度パラメータ ΩDE , Ωr , Ωm (=但し，p は正の定数である．重力波の伝搬速度につい 1 − ΩDE − Ωr ) の時間発展を知ることができる．こての制限を課したうえで，このような解は次のよう こで，輻射の密度パラメータの現在値 Ωr0 を関係式
ϕp ∝ H −1

なモデルを考えることで実現される．

G2 = b2 X p2 , G3 = b3 X p3 , G4 =

Ωr0 h2 = 4.18343 × 10−5 から与えることを仮定す
2
Mpl
,
2

る．但し，h は規格化されたハッブル定数（H0 =(9) 100 h km s−1 Mpc−1 ）である．このとき，背景時

ここで，Mpl は換算プランク質量，b2,3 , p2,3 は定数である．但し，p3 については p2 と p を用いて次の関係式を満たすとする：

p + 2p2 − 1
p3 =
.
2

Ωm0 ，Λ-CDM 模型からのズレを表すパラメータ s，
そして h の計 3 つのパラメータによって特徴づけることができる．

(10)4p2 = p = 1 の場合は cubic vector Galileon に対応し，このとき解は ϕ ∝ H −1 に従う．

3.1

空のダイナミクスは物質の密度パラメータの現在値

Observational data
我々は複数の独立な観測結果として，CMB，BAO，

SN Ia，および現在付近でのハップルパラメータの観測データを用いて，理論モデルに対して観測的制限

Background

このモデルにおける運動方程式 (2) は，整理する
ことによって次の形に書きあらわすことができる：

を与えたい．そのために，次の統計量を定義する：

χ2 =

∑(

) −1 ( theo)xtheo
− xobsCij xj − xobs
, (15)
i
i
j

i,j
2
3Mpl
H 2 = ρDE + ρm + ρr ,(11)

はそれぞれある物理量の理および xobs
但し，xtheoii

ここで ρDE はベクトル場に関連付けられたエネルギー−1
論値と観測値，そして Cij
は逆共分散行列を表す．

2
密度である．密度パラメータ Ωi ≡ ρi /(3Mpl
H 2 ) (i =この統計量 χ2 は尤度関数 L と L ∝ exp(−χ2 /2) と2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
いうような関係を持つ．従って，χ2 の値を最小にす

この結果から，背景時空レベルでは s > 0 の領域るモデルが，観測と合う最適な理論模型である．今が好まれており，Λ-CDM 模型が 2σ レベルでさえ観回は，複数の独立な観測のデータを用いた統計解析

測的制限から外れるということを示している．これ

2を行うため，それぞれの観測に対応する χ の線形和

χ2back = χ2CMB + χ2BAO + χ2SNIa + χ2H(16)

は Λ-CDM 模型で生じる SN Ia のような低い赤方偏移での観測結果と CMB の観測結果との間の食い違
いが GP 理論では解消できるためと考えられる．

が最小となるモデルパラメータを数値計算で推定する．

5

Numerical results
マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）法を用いる

6

Conclusion
今回の研究では，まず GP 理論では重力波の伝搬速度が光速と一致しているならば，4 次および 5 次のために，事前分布を次のように設定した：相互作用項に強く制限がかかることを示した．次に，

0.1 ≤ Ωm0 ≤ 0.5 , 0.6 ≤ h ≤ 0.8 , − 0.3 ≤ s ≤ 0.8.

GP 理論の枠組みで現在付近で wDE < −1 となる有効な加速膨張模型を具体的に示した．最後に，複数の独立な観測結果を用いて統計解析を行い．背景時
空のレベルでは GP 理論に基づく模型が Λ-CDM 模型よりも好まれる傾向にあることを明らかにした．
今回の結果はあくまで背景時空での議論なので，摂動レベルでの統計解析が急務であり，現在進行中である．その際，摂動に関わる観測として赤方偏移空
間歪みの観測や積分ザックス・ヴォルフェ効果などを用いて統計解析を行う必要がある．また，GP 理論を拡張した beyond generalized Proca（BGP）理論
では，重力波の伝搬速度に関する制限を考慮した場
合でも，4 次の相互作用項の自由度を残すことができる．BGP 理論に基づく暗黒エネルギー模型では，

Λ-CDM 模型よりも小さな密度ゆらぎの成長率を実現できる模型が存在することは先行研究 [4] で示され
図 1: CMB，BAO，SN Ia およびハッブルパラメータの観測結果から得られた，3 つのパラメータ Ωm0 , s, h に対する観測的制限．各列の一番上のパネルが 3 つのパラメー
タ Ωm0 , s, h の 1 次元確率分布であり，パネル内の点線
は best-fit（中心）と 2σ 領域（外側 2 本）を表す．そのほかのパネルは，3 つのパラメータのうち 2 つに関する 2 次
元の観測的等高線を示している．

図 1. は MCMC 法によって得られた結果であり，各ている．そのため，BGP 理論に基づき，かつ c2T = 1
を満たすような暗黒エネルギー模型に対して観測的制限を与えることも今後の課題である．

Reference[1] L. Heisenberg, JCAP 1405, 015 (2014).

パラメータの 1 次元確率分布と 2 次元の観測的等高線を示したものである．最も χback が小さくなるときのパラメータの値は Ωm0 = 0.3027, s = 0.254, h =0.6981 であり，このとき χ2back ≈ 590.4 である．ま[2] A. De Felice, L. Heisenberg, R. Kase, S. Mukohyama,
S. Tsujikawa, Y. l. Zhang (2017)[3] A. De Felice, L. Heisenberg and S. Tsujikawa, Phys.
Rev. D 95, 123540 (2017).

た，各パラメータの 2σ 区間は次のように与えられた：+0.118Ωm0 = 0.3027+0.0060−0.0057 , s = 0.254−0.097 ,h = 0.6981+0.0059−0.0057 .

[4] S. Nakamura, R. Kase and S. Tsujikawa, Phys. Rev.
D 95, 104001 (2017).

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銀河の IA に対する観測的制限
栗田 智貴 (東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構)

Abstract
銀河形成時に存在する大規模構造の潮汐力場は、同じ赤方偏移にいる銀河形状を歪ませる。Intrinsic Alignments（以下 IA）と呼ばれるこの効果は、銀河形成の物理を解明するためにももちろん重要であるが、他方で現在の宇宙論的な観測に様々な形で関わるという意味でも重要である。Weak lensing を用いた cosmic shear の測定は、DM 分布の構築や宇宙論的パラメータの推定を可能にする強力な観測手法の一つであるが、この測定に対して IA は系統誤差の要因となる。また現在観測される銀河の形状が十分初期に IA によって決定されるものであれば、inflation を含めた宇宙初期の情報を抽出する probe にもなり得る。この IA の物理機構は、ガス物理など銀河形成の物理も関与するので極めて非線形なものである。従って IA 全体を予言するモデルを解析的に計算することは不可能であり、むしろ実際の観測に整合する現象論的なモデルを、部分的に適用する必要がある。今回レビューする論文 (1) では、銀河の様々な個性に対する IA の依存性を観測結果から推定している。その解析方法や結果を紹介しながら IA の振る舞いを概観する。

1

Introduction
銀河サーベイで見つかった大量の背景銀河の形状を観測から決定されるべき部分を示す。続く Section 3以降で、今回レビューする論文 (1) の解析方法や結果等を紹介しながら、銀河の様々な個性（光度、ハ

統計的に解析することで、宇宙広域の歪み場（cosmic

ローの質量、色、赤方偏移、周囲の環境、線型バイ
shear）を測定できる。この cosmic shear の精密測定
アス）に対する IA の依存性を概観する。
は、逆を辿れば我々と背景銀河の間に存在する重力場の情報を完全に含むため、ダークマター分布の再構成や宇宙論パラメータの推定を可能にする強力な

2

Shear

手法の一つとなっている。
銀河形状の歪みを引き起こす主な要因には、weak

この章では観測される銀河の歪み (Shear) を、weaklensing の他に Intrinsic Alignments（以下 IA）と呼 lensing と IA それぞれについて計算する。
ばれるものがある。IA とは大規模構造による潮汐力
場がダークマターハローや原始銀河ガス雲と重力相互作用をすることで、同じ赤方偏移の銀河を元々歪ませて形成する効果である。これら 2 つの効果は共2.1

Weak lensing

天体（今回は銀河）から出た光の進路は、伝播途中に大規模構造に起因するため、特に相互相関を持つ。 の非一様な物質分布によって曲げられるため、観測
観測量に対してこれによる系統誤差を与えないため される天体の像は若干歪んで見える。Weak lensingにも、それぞれの効果を正確に知る必要がある。

と呼ばれるこの効果は以下の様に定式化される。

物理も関与するので極めて非線形である。従って IA

測地線方程式に対して metric の弱重力近似 (ϕ ≪1) を適用すると、角度成分 (θ⃗ = x2,3 ) の方程式の解の全体を予言するモデルを解析的に計算することはは ϕ の 1 次まででしかし、IA の物理機構はガス物理など銀河形成の不可能であり、実際の観測データに整合する現象論的なモデルを部分的に適用する必要性が生じる。

⃗⃗ ⃗ ψ(θ)β⃗ = θ⃗ − ∇θ

これを踏まえて Section 2 では銀河の歪みを表す⃗ は本来の位置、θ⃗ は実際にと整理できる。ここで β

観測量 γ の簡単な定式化を行い、IA のモデルの中で観測される位置である。また ψ は重力ポテンシャル

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ϕ の視線方向の積分であり、これが像の位置のずれを担っている。
実際の天体が有限の大きさを持つことを考慮して、⃗
β と θ⃗ の変換に関する Jacobian を計算すると∂βi∂2ψ
= δij −
≡ δij − Ψij∂θj∂θi ∂θjとなる。便宜のため、ずれを表す行列 Ψij を

Ψ = (1 − κ)I + γ+ σ3 + γ× σ1の様に分解すると、それぞれの係数 κ, γ+ , γ× の幾何的な意味が明瞭になる（図 1）。ここで I は単位行列、σ はパウリ行列である。
最も基本的な観測量の一つとして銀河の形状が楕
円率として得られるが、楕円率とこの shear γ+,× は

図 2: ξ GI , ξ II の具体例

結びつけることができる。そして γ の元を辿れば ψ 、さらには ϕ を知ることができるため、DM 分布の再構築などが可能になる。

この γ I の形は、large scale では以下の様にモデル化される。(2)
I
γ+,×
= −AI

C1
(∂ 2 − ∂22 , 2∂1 ∂2 )ϕp4πG 1ϕp は原始重力ポテンシャルと呼ばれ、十分初期の重力ポテンシャルである。従ってこれは、銀河形成が始まる時に存在する初期の潮汐力場が、現在観測される銀河の形状を決めてしまうというモデルである。
図 1: κ, γ+ , γ× の幾何的な意味

ここで自由度として残っている振幅 AI が銀河の様々な個性に対する依存性を担っている部分であり、観測結果から決定されるべき項である。
一方 small scale（halo scale）では非線形な効果が

2.2

IA

強いため、このモデルは適用できない。(1) ではシ

しかしながら前述の通り、銀河は IA によってもともと歪んでいる。従って実際に観測される銀河の歪
みは

γ obs = γ G + γ Iとなるため、相関の中には

ξ

obs

≡ ⟨γ

obs obs

γ

= ξ

+ξ

いる。
実際の解析で扱う観測量は、基本的な観測量であIる銀河の数密度 δg と銀河の歪み γ+,×から作られる

相関関数 ξXY を天球面上に射影した wXY である。

⟩

GIに、振幅を独立な自由度 ah として依存性を調べて

例えば= ⟨γ G γ G + γ G γ I + γ I γ G + γ I γ I ⟩GG

ミュレーションで得たパワースペクトル (3) をもと+ξIξgg ≡ ⟨δg δg ⟩ → wgg , ξg+ ≡ ⟨δg γ+⟩ → wg+

II

等の組み合わせがある。
の様に 2 つの効果が混在することがわかる。G は weaklensing、I は IA の寄与を表すものとする。図 2 にξ GI , ξ II が生じる具体的な描像を示す。

以降の章で (1) のレビューを行う。

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3

Data and Methods
解析に使用したデータは SDSS-III BOSS DR11

LOWZ sample である。この銀河 sample は 0.16 <z < 0.36 にある約 17 万個の赤い銀河であり、特にIA が測定された従来の銀河 sample よりも暗い銀河まで扱っている点が特徴である。
まず IA の振幅 AI , ah について、銀河の個性に対しての依存性を調べるために全体の sample を以下の様な subsample に分ける。

変数

表 1: Subsample
class

Luminosity

L1 ∼ L4

Color

C1 ∼ C5

Redshift

Z1 , Z 2

Environment

group(BGG, Satellite), field

Halo Mass

Mhalo

Linear BiasbS

図 3: LOWZ sample 全体の signal
る。ここで LA（NLA）はそれぞれ線形（非線形）な

matter power spectrum を採用したものである。この結果から sample 全体の振幅は

AI = 4.6 ± 0.5, ah = 0.084 ± 0.010と決定された。次に Luminosity 依存性を図 4 に示す。

解析では、それぞれの class ごとに相関 wXY の推
定量 ŵXY を LS-estimator を用いて計算し、AI =AI (L, C, z, Env, Mhalo , bS ) の依存性（ah も同様）を決定する。

Environment の class 分けは、CiC technique を使用した。各銀河が group に属するか、または孤立している field であるかを判定し、さらに group に属する場合は自身が中心銀河 (BGG を仮定) であるか、または BGG を取り巻く satellite であるかについても区別して class 分けを行う。また各 class の平均のhalo mass Mhalo は galaxy-galaxy lensing を通して測定し、線型バイアス bS は wXY を fit するときのパラメータであるため、これも各 class に対して決定される。

図 4: IA の luminosity 依存性
どの scale で見ても明るい銀河ほど IA は強い。これは先行研究 (4) の結果とも一致しており、振幅の4

Results
解析結果の中で特に重要であったものをいくつか紹介する。まず LOWZ sample 全体での wgg , wg+ を

依存性 AI (L), ah (L) は以下の様な冪に従う。特に今回解析した銀河 sample は比較的暗い銀河までを含む
ため、この IA の L 依存性を従来の結果より延長できることも示した。

図 3 に示す。
これを見ると small, large scale それぞれでよくfit することがわかり、IA モデルの正当性が確認でき

AI (L) ∝ L1.30±0.27 , ah (L) ∝ L2.1±0.4(1)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
最後に IA の線型バイアス bS に対する依存性を見る（図 5）。各点はそれぞれの class に対応する。

5

Conclusion
今回レビューした論文 (1) では、銀河の持つ様々な個性に対する IA の依存性を観測的に制限した。解析
結果として、前章で示さなかった結果も含めれば、全体として IA は光度と Halo Mass に強く依存し、一方赤方偏移や色への依存性は弱いことが明らかになった。また振幅の Scaling は、large scale では L, Mhalo
が、small scale では bS が良い指標になる。特に L
依存性は暗い銀河まで拡張できることが示されたが、これは将来のサーベイ（LSST,Euclid）で期待される
さらに暗い銀河に対して繋がる結果である。

Reference[1] S. Singh, R. Mandelbaum, and S. More. Intrinsic alignments of SDSS-III BOSS LOWZ sample
galaxies. , Vol. 450, pp. 2195–2216, June 2015.
[2] C. M. Hirata and U. Seljak. Intrinsic alignmentlensing interference as a contaminant of cosmic
shear. , Vol. 70, No. 6, p. 063526, September
2004.
[3] M. D. Schneider and S. Bridle. A halo model
for intrinsic alignments of galaxy ellipticities. ,図 5: IA の bias 依存性
特に下図の ah についての依存性を見ると ah ∝b4.43±0.35と依存性が強い。ここで ah は small scale
S
での IA の強さであるが、一方で bS は large scale での線型バイアスであるため、この関係は非自明なものである。さらに bS が大きいことは銀河がより密集していることを表すが、これによって起こると予想される銀河の合体や特異速度の増大は、一見 IA のsignal を減らす様にも見える。観測結果で明らかになったこの ah と bS の関係は、small scale での潮汐力場による物理機構が IA に対して重要な役割を持つ
可能性を示唆するものである。

Vol. 402, pp. 2127–2139, March 2010.
[4] B. Joachimi, R. Mandelbaum, F. B. Abdalla,
and S. L. Bridle. Constraints on intrinsic alignment contamination of weak lensing surveys using the MegaZ-LRG sample. , Vol. 527, p. A26,
March 2011.

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銀河形状による初期三点相関の非等方性の検証
小粥 一寛 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
超弦理論において存在が示唆されているスピン 2 以上の場がインフレーション中に存在する場合には、背景宇宙は等方的であるが初期三点相関に特徴的な波数依存のある非等方性が現れることが知られている。

(Arkani-Hamed & Maldacena 2015) この非等方性の特徴の一部が銀河形状の観測により検証可能であることが Schmidt et al. (2015) によって示された。本研究 (Kogai et al. 2018) の 1 つ目では、スピン 2 粒子による重い場の痕跡を銀河形状の観測による検証可能性を調べた。その結果、よりモデルに即した検証を行うと、Schmidt et al. (2015) では大スケールで見られていた痕跡が、小スケールで見られることがわかった。
一方、インフレーション中に、背景宇宙の等方性を破るベクトル場が存在する場合には、ベクトル場の揺らぎは減衰することなく観測可能な非等方性を生じる可能性がある。この場合には、初期三点相関に、ベクトル場の方向依存性に由来する大域的等方性を破る寄与が現れる。本研究 (Kogai et al. 2018) の 2 つ目として、初期三点相関に特徴的な波数依存のある非等方性をもつ場合とのモデル大域的等方性を破る場合と区別できるかどうかを検証した。その結果、後者のモデルでは、銀河の intrinsic alignment として、前者では見られなかった B モード及び多重極モーメント l の非対角成分が生成されることがわかった。

1

導入ど) の稼働が間近に迫り、銀河の形状の撮像によるサンプルが劇的に増え、宇宙論としての応用に期待

インフレーションは標準ビッグバン宇宙論におけるされるからである。先行研究として Schmidt et al.

諸問題を解決できるとされている。このインフレー(2015) では銀河形状の観測から上記で挙げた (特徴ション模型は多数提唱されているが共通することとにより曲率ゆらぎが生じ、構造形成を担う密度ゆら

1) をもつ場合の曲率ゆらぎの非等方性の制限に対する観測的検証が行われた。この検証によってスピン
2 の場による初期の非等方性による影響が赤い銀河

ぎを生み出すという点が挙げられる。一方で、超弦の intrinsic な形状における角度パワースペクトルに理論から高次スピンをもつ重い場の存在が予言され現れることが示された。

して、スカラー場であるインフラトンの量子ゆらぎており、これらはインフラトンと相互作用すること

そこで本研究では、同様に銀河形状の観測を想定
で、曲率ゆらぎに非等方性が生じることが示された。 して以下の検証を行った。

(Arkani-Hamed & Maldacena 2015) この非等方性は
squeezed-limit な三点相関関数で表され、その特徴は(特徴 1) スピン依存する冪をもった (kS · kL )s の角度依存性、(特徴 2) 質量とスピンに依存する冪をモード比 (kL /kS ) と振動 の 2 点が挙げられる。

• Schmidt et al. (2015) では考慮されていなかった (特徴 2) を取り入れた場合の検証• (特徴 1) の場合と宇宙の大域的等方性が破れている場合との区別可能性

初期ゆらぎの非等方性の制限に対する観測手法
としては、宇宙マイクロ波背景放射や銀河の赤方

これらの詳細な手法や結果等は、Kogai et al. (2018)

偏移空間歪みサーベイ等があるが、ここでは銀河にまとめられているため、以下では要所のみを挙げ形状による非等方性への制限に着目する。理由のておく。

一つとして、次世代大規模構造サーベイ (例えば、Large Synoptic Survey Telescope(LSST) や Euclid、
Wide-Field Infrared Survey Telescope(WFIRST) な2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

準備

2.1

初期三点相関関数

これが物質の密度ゆらぎ δ(x) と Tidal tensor
[
]
∂i ∂j
1
Kij (x) =− δij δ(x) ,∇2
3

今回検証する初期ゆらぎの三点相関関数は、断熱条件を仮定すると物質優勢期では、曲率ゆらぎ ζ とポテンシャル ϕ が ζ = (5/3)ϕ の関係から、スピンをもつ重い場とインフラトンが相互作用する場合に表れる squeezed-limit(kL = k1 ≪ k2 ∼ k3 = kS ) な三点相関関数は、ϕ を用いてを使って、gij = F [δ, Kij ] の汎関数で表せるとき、バイアス係数 bi (i = 1, 2, · · · ) を用いて局所で展開すると、

gij (x) = bI1 Kij (x) + bI2 δ(x)Kij (x)[]1+ bIt Kik K kj − δij (Kkl )2 (x) + · · · ,
3
(5)

)∆s
kL
Ps (kS · kL )kS
s=even(( ))と展開できる。
kL
× cos νs ln+ φs Pϕ (kS )Pϕ (kL ) ,kS
次 に 、密 度 ゆ ら ぎ と 銀 河 形 状 関 数 と の 相 関(1) ⟨δ(x)gij (y)⟩ を考える。このとき gij の第 2 項、Bϕ (kS , kL ) =

∑

(

(4)

As

のように表される。Pϕ は ϕ のパワースペクトル、Psはルジャンドル多項式、νs は質量とスピンの依存性をもつパラメータ、φs は位相である。ここで、∆2 =第 3 項は対応するフーリエ空間において実効的に⟨δ(k1 )δ(k2 )δ(k3 )⟩ の三点相関が生じる。ところが、物質の密度ゆらぎ δ とポテンシャル ϕ には、0, ν2 = 0 の場合は先行研究と同じになる。

δ(z, k) =一方で、大域的等方性を破るような場合における、初期三点相関関数は、

B̄ϕ (kL , kS ; p̂) =2 k 2 T (k)D(z)ϕ(k) ,
3 Ωm0 H02

(6)の関係があるため、ポテンシャルの三点相関とみな∞ [∑] 1−(−1)lĀl + B̄l k̂L · k̂S + · · · i 2

l=0

すことができる。ここで T (k) は輸送関数、D(z) は成長因子 Ωm0 は現在の物質の密度パラメータ、H0(2)はハッブル定数を表す。また、⟨ϕ(k1 )ϕ(k2 )ϕ(k3 )⟩ =で表されるような場合を考える。ここで、p̂ は定ベ節で述べた初期三点相関関数に応じて相関に違いがクトル場である。これは、インフレーション中に宇生まれる。このようにして、銀河形状関数は相関を

宙の等方性を破るベクトル場が存在し、初期三点相とることで初期ゆらぎの非等方性の痕跡を探ること

関関数に、このベクトル場と小スケールの波数に角が可能となる。ここでは述べないが、銀河の数密度

度依存性をもつ場合を想定する。この初期三点相関に対しても同様に初期三点相関関数に対する議論が関数には、先行研究で検証されたような角度依存性

可能であるが、線形において銀河形状の場合がスピを持つため観測的には似たシグナルが見られる可能

ン 2 に感受性を持つのに対し、数密度の場合はスピ性がある。

ン 0 に感受性がある点が異なる。

× Pl (p̂ · k̂S )Pϕ (kL )Pϕ (kS ) ,

2.2

観測量

(2π)3 Bϕ (k1 , k2 , k3 )δD (k1 + k2 + k3 ) の関係から前3

結果

本研究では銀河の形状を用いた観測を想定する。銀

天球面上に射影した銀河の形状のシグナルを検証

河形状関数を 2 次モーメントを使って次のように定する。シグナルの評価は、球面調和関数で展開した義する。

係数の相関を計算する角度パワースペクトルを用い

)
(
1
1
k
gij = k Iij − δij I k .
3
I k

(3)

た。(導出は Kogai et al. (2018) を参照。) 初期三点

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

スペクトルは、次のような形で得られた。
∫[]22 (l − 2)!
ClEE =
k 2 dkPm (k) FlI (k) + FlG (k) .
π (l + 2)!
(7)

10-7

ClEE

相関関数が式 (1) の場合、銀河の歪みの角度パワー

10-8

ここで Pm は物質のパワースペクトルで、カーネル

Fl はそれぞれ Instrinsic な銀河形状のカーネルとして∫
1 (l + 2)!
dNI D(z) jl (x)I
Fl (k) =dz
2 (l − 2)!
dz D(0) x2
[
( )∆2
k
× bI1 + 3bING A2
k∗
(
( )
)]
k
M−1 (z, k) cos ν2 ln
+ Θ2
,
k∗
(8)
となり、弱い重力レンズによる銀河の歪みのカーネ

10-9

1 (l + 2)!
dχ 3H02 Ωm0 (1 + z)D(z)2 (l − 2)! 0
χ
k2
D(0)
∫ χmaxdNG (χ̃ − χ)× jl (x)dχ̃H(χ̃)
, (9)
dz
χ̃
χ

として得られる。ここで、dN/dz は銀河の赤方偏移
分布、χ は共働距離、k∗ は pivot スケールである。このプロットを図 1 に示す。緑線は波数の角度依存性のみをもつ先行研究に対応し、赤線が本研究による結果である。先行研究では、大スケール (小さい l) に初期の非等方性の痕跡が見られる。一方で、∆2 = 3/2の場合には、積分に含まれる k の冪の違いから、角度パワースペクトルにおいて大きな l、すなわち小ス
ケール側に初期ゆらぎの非等方性の痕跡が見られる
ことがわかった。(図 2)
一方、大域的等方性を破っている場合の初期三点相関関数である式 (2) を用いて銀河形状の角度パワースペクトルを計算すると、以下の 2 つの特徴が見られる。

1020 30 50 100 200l600

0 の場合、緑線は ∆2 = ν2 = Θ2 = 0 で bING A2 =100bI1 の場合、赤線は ∆2 = 3/2、ν2 = 3、Θ2 = 0
で bING A2 = 8000bI1 の場合である。灰色は cosmic

variance の領域を示す。

100
10-1
10-2
10-3

∆ EE
l

FlG (k) =3 5

図 1: 銀河形状の角度パワースペクトル。青線は A2 =ルとして

∫ χmaxNo NG
NG with ∆˜ 2 = ν2 = Θ2 = 0
NG with ∆˜ 2 = 3/2, ν2 = 3, Θ2 = 0

10-4
10-5
10-6
10-7 3 5ν 2 = 0, Θ 2 = 0
ν 2 = 3, Θ 2 = 0
ν2 = 3, Θ 2 = π/2
ν 2 = 6, Θ 2 = 0
ν2 = 6, Θ 2 = π/2

1020 30 50 100 200l600

図 2: 銀河形状の角度パワースペクトルの非ガウス性がない場合との比。具体的には ∆EE= |ClEE −l
EE
ClEE,Gauss |/Cl ,Gauss であり、灰色は cosmic varianceの領域を表す。

これらは、先行研究で示された波数における角度依
存性の場合と比較すると、B モードシグナルが見られるという大きな違いがあり、これらは区別が可能であると考えられる。ただし、今回は弱い重力レン• 球面調和関数の展開係数である alm の二つの相 ズ効果を線形かつ主要な成分のみで評価を行ってい関 ⟨alm a∗l′ m′ ⟩ において、非対角な多重局モーメ るため、intrinsic な成分のみが B モードシグナルとント l との相関が見られる。
して現れている。また、このような角度パワースペク
トルでは m による振幅の違いも見られ、同じ l 同士
• 奇パリティである B モードシグナルが見られる。
の B モードの角度パワースペクトルでは m が l に近(図 3)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
い値をもつ場合に振幅が大きい様子が見られる。(図考慮も必要となるため、これを含めた場合の検証は

4) ここでは、B モードの結果に着目しているが、E 今後の研究課題である。
モードのシグナルにも類似した特徴が見られている。

初期三点相関において大域的等方性が破れている
場合に生じる非等方性と波数の角度依存性による非等方性がある場合では、銀河の intrinsic alignment

10-9の角度パワースペクトルに違いが見られる。前者のCl,BBl10-10場合と同じようなシグナルが E モード成分から見られるが、多重局モーメント l で非対角成分との相関10-11が見られるという違いに加え、決定的に異なる点として、B モードの相関が見られることが挙げられる。

10-12
10-13

3

NG w/o global isotropy (m = l)NG w/o global isotropy (m = l − 1)

5

10

l

20

これによりモデルの観測的な区別が可能であると考
えられる。

30

図 3: 銀河形状の B モードの角度パワースペクトル

Arkani-Hamed,N.,
arXiv:1503.08043&

Maldacena,

J.

2015,

1.0

Schmidt, F., Chisari, N. E., & Dvorkin, C. 2015, JCAP
, 10, 032

0.8

Kogai, K., Matsubara, T., Nishizawa, A. J., & Urakawa,Y. 2018, arXiv:1804.06284

0.6

Yokoyama, S., & Soda, J. 2008, JCAP , 8, 005l

15 13 11 9 7 5 3B∗⟨aBlm alm ⟩。大域的等方性を破る場合のみに表れる。

Reference

0.4
0.2
0 2 4 6 8 10 12 140.0m

図 4: 銀河形状の B モードの角度パワースペクトルの m 依存性。各 l において、最も大きな振幅で規格化している。

4

結論
スピンをもつ重い場が存在する場合には小スケー

ルに非等方性の特徴が表れることが示された。これにより銀河形状の観測から CMB とは異なるスケー
ルで制限できる可能性がわかった。一方で、小スケー
ルに特徴が見られるという点から非線形成長効果のSchmidt, F., & Jeong, D. 2012, Phys. Rev. D , 86,083527

——–index

c9

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙マイクロ波背景放射の非等方性を用いた原始磁場の観測的解明
箕田 鉄兵 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙のいたるところに磁場が存在することが確認されている。とりわけ銀河団やボイドなどの大規模構造にも磁場が付随していることは興味深く、初期宇宙で生成された微弱な磁場 (以下、原始磁場と呼ぶ) に起源を持つことが期待されている。原始磁場の存在を観測的に検証することで、初期宇宙の磁場生成機構に関する情報を解明できると考えられる。そこで本研究では、原始磁場の存在可能性を検証するための観測量として
宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) に着目した。CMB はほぼ完全な黒体分布かつ空間的にほとんど一様な電波であるが、実際には δT /T ∼ 10−5 程度の小さな温度揺らぎが存在している。原始磁場が存在し、磁場の強度分布に非一様性があった場合、磁場のローレンツ力が宇宙論的なガスの密度および温度の分布に影響を与えるということが先行研究で指摘されている。すなわち、原始磁場の持っている情報は、ガスの密度や温度の揺らぎに反映されるはずである。また、CMB 光子が観測者に到達する過程で高温度・高密度のガスの中を通過すると、逆コンプトン散乱を受けて見かけの温度が周波数に依存して変化することが知られている。
したがって、本研究では原始磁場の強度分布の持つ統計的性質がガスの密度と温度の空間分布及び CMB 温度の非等方性に与える影響を見積もった。今回、これらの計算結果と CMB の観測データによる原始磁場の分布の性質について得られた情報を報告する。

1

Introduction
宇宙のいたるところで磁場の存在が報告されている。これら宇宙における磁場の起源を明らかにすることは宇宙物理学における大きな目標の一つである。とりわけ近年は銀河団やボイドなど大スケールで方向の揃った磁場が存在することが報告されており、これらの磁場の起源として、銀河形成以前の初期宇宙における磁場生成が有力な候補である (Turner & Widrow1988)。本研究の目的は、観測量である宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) の温度ゆらぎを用いて、原始磁場の強度とスケール依存性に新たな制限を与えることである。そこで、本研究では新たな視点として、銀河間2

Methods2.1

原始磁場のモデル

この項では本研究で扱った原始磁場のモデルについて述べる。本研究では簡単のため、原始磁場のヘリシティーは無視し、磁場の構造は宇宙膨張と共に断熱的に減衰すると仮定した。すなわち、原始磁場の時
間進化は、時刻 t におけるスケールファクターを a(t)B0 (x)
及び現在時刻の強度を |B0 | として B(t, x) = 2a (t)と表せる。また宇宙原理に従って統計的な一様等方性を仮定し、波数空間における磁場の強度 B(k) を用いてパワースペクトラムを領域の希薄なガスによって引き起こされる熱的スニヤ
エフ・ゼルドヴィッチ効果 (熱的 SZ 効果) に着目した。
また、標準的な宇宙論モデルとして平坦な ΛCDM モ
デルを仮定し、宇宙論パラメータを Planck 2015 の観測データ (Planck Collaboration et al.

2016) か⟨Bi∗ (k)Bj (k′ )⟩ =PB (k) =

(2π)3
2

(
)
δ(k − k′ ) δij − k̂i k̂j PB (k),nB + 3 (2π)2 Bn2 nk B,
2knnB +3

ら次のように定める: H0 = 67.8km/s/Mpc, ΩΛ =と表した (Landau & Lifshitz 1980)。ここで Bn は0.692, Ωm = 0.308, Ωb = 0.048.

kn = 2π Mpc−1 のスケールでスムージングした時の(1)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
磁場の強度であり、パワースペクトラム PB (k) とは

Bλ2 =

∫ ∞

k 2 dk0

2π 2した粒子との摩擦によって生じる双極性拡散を通じたガスの加熱は非常に重要である。この効果を考慮−k2 λ2e(2) すると、ガスの温度進化は以下のようにかけてPB (k)dTgasのように関係づけられる。
ここで、初期宇宙において光子の衝突によってdt= − 2H(t)Tgas +Alfvén 波が減衰し、それに伴って紫外領域に磁場の存+在しないスケールがあるため、実際には式 (2) の積分には上限 k = kc が存在し、以下で与えられる (Sub-−ramanian & Barrow 1997; Jedamzik et al. 1996)。
Bλ2c (tr )kc−2 =4πργ (tr )

∫ tr
0

xi

8ργ σT

1 + xi 3me c
xi nb
1.5kB

δ˙b
1 + δbTgas(Tγ − Tgas ) +Γ(t)1.5kB nb[Θxi + Ψ(1 − xi ) + ηxi + ζ(1 − xi )],(7)lγ (t′ )dt′ ,a2 (t′ )(3) x , m , σ , k , n はそれぞれガスの電離度、電子
i
e
T
B
b

いま tr は晴れ上がりの時刻で lγ は CMB 光子の平均自由行程で λc = 2π/kc である。

の (静止) 質量、トムソン散乱の断面積、ボルツマン定数、バリオン数密度を表す。右辺の 1 つ目から 3 つ
目の項はそれぞれ宇宙膨張、密度揺らぎの成長、ガスと CMB とのコンプトン散乱を意味し、4 つ目の項

原始磁場と密度揺らぎ

2.2が原始磁場の双極性散逸による加熱効果、最後の項

原始磁場はローレンツ力を通して、宇宙の物質密度揺らぎに以下のように影響を与える (Wasserman1978)。
∂ 2 δc∂δc∂t+ 2H(t)
2

∂t

∂ δb

∂δb

2

∂t2

+ 2H(t)∂t− 4πG(ρc δc + ρb δb ) = 0,は自由電子同士の散乱による制動放射、衝突励起、再結合、電離の際に伴う放射冷却機構を表す。ここで定数 Θ, Ψ, η, ζ はそれぞれ文献 (Fukugita & Kawasaki1993) で与えられる値を取り入れた。式 (7) 中の加熱率 Γ(t) を書き下すと以下のようになり、磁場の強度(4)− 4πG(ρc δc + ρb δb ) = S(t), (5)

いま H(t) はハッブルパラメータを表し、ρb,c と δb,cを一定とした場合、電離度が小さいほど加熱率は大
きくなることが理解できる。

Γ(t) =

はそれぞれバリオン (b) 及びコールドダークマター|(∇ × B(t, x)) × B(t, x)|2 (1 − xi ),16π 2 ξρ2b (t)
xi

(8)

13
3 −1 −1(c) の質量密度と密度揺らぎである。ただし式 (4) と ここで ξ = 3.5 × 10 cm g s は中性粒子と荷(5) について、密度揺らぎが線形領域であり、圧力が 電粒子間の衝突率を表す (Shu 1991)。また、本研究無視できるという仮定を置いている。式 (5) におけ

では数値計算コード RECFAST を参考にして、温度進る S(t) はローレンツ力に起因する密度揺らぎのソー化を解く際に電離度の時間進化も考慮した (Seager

ス項であり、

et al. 1999, 2000; Chluba et al. 1996)。この際のS(t) =∇ · (∇ × B(t, x)) × B(t, x)4πρb (t)電離度の時間進化を記述する上では、計算コストを,(6) 抑えるため水素原子の準位は (1s, 2s+2p, 自由電子)の 3 つを考慮している。また単純化のために天体かと表される。ここで B(t, x) はある位置 x と時刻 t にらの放射や水素以外の原子の存在は無視している。

おける磁場の強さである。

2.4
2.3

原始磁場とガスの温度進化

SZ angular power spectrum

以上の項 2.2 および 2.3 で述べたように、本研究

原始磁場はその散逸機構によってガスの温度進化

では原始磁場が引き起こすガスの密度と温度の時間にも大きく影響を与える。とりわけ中性粒子と電離

進化を整合的に解いた。この結果として生じるガス

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
密度および温度の空間的な揺らぎは、いわゆる熱的

SZ 効果を生じて、CMB の温度揺らぎとして観測されるはずである。この項では、ガスの密度および温度と、観測量である CMB の温度揺らぎとの対応関係を式を用いて定量的に説明する。熱的 SZ 効果は、
高温ガス中を通過した CMB の光子がコンプトン散乱を通じてエネルギーを受け取り、見かけの温度が上昇する効果である。(正確には、元の黒体スペクト
ルが高周波数側に移動するため、ある周波数帯で測定すると光子数が増加する。) この時のスペクトル歪みに起因する光子数の増加分は、以下のコンプト
ンの y-パラメータという値で表される (Sunyaev &Zeldovich 1970),y(n̂) ≡

kB σT
me c2

3

Results
計算の結果、磁場が強い領域では、赤方偏移 z =10.0 の時刻でさえガスの温度は双極性散逸によりO(104 ) K 程度まで加熱されることが明らかになった。また、このようなガスの温度が高い領域では密度が低下していることがわかった。このことは、双極性拡散によるガスの加熱率 (8) が密度の二乗に反比例していることで理解できる。
次に、これらガスの密度揺らぎおよび温度揺らぎが引き起こす CMB 温度の角度パワースペクトルを
図 1 に示す。図から明らかに、熱的 SZ 効果の角度パワースペクトルは ℓ ∼ 106 のスケールに鋭いピークを持っている。このスケールは原始磁場のカットオフ∫dχ a(χ)ne (χ, n̂)[Tgas (χ, n̂) − Tγ ].
(9)n̂ は観測する視線方向ベクトル、χ は共動距離で a(χ)

スケール及びガスの物理量の空間的な揺らぎの典型的なスケールと対応していることが確認できた。図1 の原始磁場のモデルは Bn = 0.5 nG, nB = −1.0 であるが、これらのパラメータを変化させた場合、カッは χ に対応するスケール因子である。次に、ある周トオフスケールの変化に対応してピークの位置が変波数 ν で測定した時の CMB の温度揺らぎ (背景の一化することがわかった。また、カットオフスケール様温度からのズレ) と、コンプトンの y-パラメータは以下の式で関係づけられる。

よりも大スケール (ℓ が小さい領域) での角度パワースペクトルはモデルによらず Dℓ ∝ ℓ となることが∆T(ν, n̂) = g(ν)y(n̂).
T(10) わかった。これは原始磁場をランダムガウス場として生成したことでポアソンノイズのような分布をつCMB の温度の非等方性を表す物理量として角度パ くっているためだと考えられる。一方で、ピークのワースペクトルがある。これは、角度 θ 離れた異なシグナルの大きさはガスの温度進化の非線形性が強る視線方向について温度揺らぎの相関を表す量であく影響するため、解析的に予測することは難しいが、り、熱的 SZ 効果がつくる角度パワースペクトルは式

シグナルの強度は原始磁場の強度に依存しているた(11) で表される。

め、ℓ ∼ 106 程度の小スケールの CMB 温度揺らぎがDℓ=観測されれば、原始磁場のモデルを制限することがℓ(ℓ + 1) (g(ν)Tγ )2可能である。ただし、現実的には高い角度分解能を4π∫2π
× Pℓ (cos θ)⟨y(n̂)y(n̂′ )⟩ d2 n̂ d2 n̂′ .
(11)

実現することや、電波銀河などの前景放射を除去することが必要となってくるだろう。
最後に、本研究の問題点について考察する。本研
究ではガスの密度揺らぎの時間進化を線形摂動論に

ここで、ℓ ∼ 2π/θ はマルチポールという量で、見hν
かけの温度変化の周波数依存性は x ≡
として
kB T
x
g(ν) = −4 +であり、Pℓ はルジャンドル
tanh(x/2)多項式である。

基づいて計算したが、O(0.01 − 0.1) nG 程度の原始磁場が存在する場合は、L ∼ 10 kpc 程度のスケール
では晴れ上がり直後に数多くの非線形領域が作り出されることが明らかになった。そのため、線形摂動論を用いた見積もりは不十分であるといえよう。ただし、ガスの密度と温度が負の相関を持っており、熱的 SZ 効果への寄与は低密度・高温度の領域が大き2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Acknowledgement

4

10

夏の学校の関係者の皆さまに感謝します。

32

Dl [µ K ]

10

2

10

Reference
1

10

Chluba, J., Paoletti, D., Finelli, F., & Rubino-Martin,
J.-A. (2015). Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 451, Issue 2, p.2244-2250,
451, 2244-2250.

010LambdaCDM
ACT datatSZ from PMF

-1

10

2

10

3

10

4

5

10
10
multipole l

6

10

7

10

図 1: (青、太実線) 原始磁場が熱的 SZ 効果によってFukugita, M., & Kawasaki, M. (1993). Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 269, NO.
3/AUG1, P. 563, 1994, 269, 563.
Jedamzik, K., Katalinic, V., & Olinto, A. (1996). Physical Review D, Volume 57, Issue 6, 15 March 1998,
Pp.3264-3284, 57, 3264-3284.

作る CMB 温度の角度パワースペクトル。原始磁場のモデルは Bn = 0.5 nG および nB = −1.0 であり、視線方向への積分区間は 10 ≲ z ≲ 1000 である。比較のために、標準宇宙論である ΛCDM モデルを仮定した断熱揺らぎから得られた CMB 角度パワース
ペクトルを黒い細実線で、アタカマ宇宙論望遠鏡の観測データを誤差棒付きの赤い点で示している。原
始磁場の強度を強く制限するためには、現在よりも高い角度分解能を持つ観測が必要であることが示された。

Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1980). Statisticalphysics. Pt.1, Pt.2. Course of Theoretical Physics,
Pergamon International Library of Science, Technology, Engineering and Social Studies, Oxford: Pergamon Press, 1980—c1980, 3rd Rev.and Enlarg. Ed.
Planck Collaboration (2015). Astronomy & Astrophysics, Volume 594, Id.A13, 63 Pp., 594.
Planck Collaboration (2015). Astronomy & Astrophysics, Volume 594, Id.A19, 27 Pp., 594.
Seager, S., Sasselov, D. D., & Scott, D. (1999). The
Astrophysical Journal, Volume 523, Issue 1, Pp. L1L5., 523, L1-L5.

い。したがって熱的 SZ 効果を通じた CMB の温度揺らぎを見積もる際には低密度領域の非線形性を考慮すればよく、本研究では簡単のため密度揺らぎの下限値を δb = −0.9 と与えることで、密度揺らぎの非Seager, S., Sasselov, D. D., & Scott, D. (2000). The Astrophysical Journal Supplement Series, Volume 128,
Issue 2, Pp. 407-430., 128, 407-430.

線形性をボイド形成として取り入れた。

Shu, F. H. (1991). The physics of astrophysics. University Science Books.

4

Subramanian, K., & Barrow, J. D. (1997). Physical Review D, Volume 58, Issue 8, 15 October 1998, Id.
083502, 58(8).

Conclusion
本研究では原始磁場が高赤方偏移 10 ≲ z ≲ 1000の銀河間ガスの密度および温度に与える影響を調べた。特に、ローレンツ力による密度揺らぎへの影響と双極性拡散による温度揺らぎに与える影響を考察した。また、これらのガスの物理量の揺らぎが、熱的 SZ 効果を通して引き起こす CMB の温度揺らぎを見積もった。

Sunyaev, R. A., & Zeldovich, Y. B. (1970). Astrophysics
and Space Science, Volume 7, Issue 1, Pp.3-19, 7, 319.
Turner, M. S., & Widrow, L. M. (1988). Physical Review
D, 37(10), 2743-2754.
Wasserman, I. (1978). The Astrophysical Journal, 224,337.

——–index

c10

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

回転する天体による重力波の干渉
森田 拓弥 (神戸大学大学院 理学研究科 M1)

Abstract
Kerr 計量の回転パラメータ a を測定する一つの方法として、レンズ効果と重力波を用いる方法がある。重力波はレンズ効果によって干渉縞を形成することが知られており、レンズ天体の回転によって干渉縞が変化することが期待される。本発表では、回転によって干渉縞の位置が一様にずれることを示した論文 [1] をレビューする。

果・重力波はともに興味深い天体現象である。

なる。これらに球面波解 ∝ exp(iS)/r を適用し、∫
ωA0
Eobs =
d2 ξei(S1 +S2 )(1)2πiDSL DL Σ

レンズ効果とは、ある天体の作る重力場を通る光が曲の表式を得る。これが Fresnel-Kirchhoﬀ の回折公式

1

イントロダクション
Einstein の一般相対性理論から導かれるレンズ効がる現象である。像が本来と異なる位置に現れたり、 である。ただし A0 は任意定数、Si はそれぞれ波源
多方向からの光が観測される [2]。重力波は時空の摂 からレンズ、レンズから観測者への経路に沿った位(B)

動 (gµν = gµν + hµν ) で表される波である [3]。重力

相関数であり、dS は積分範囲 Σ を持つレンズ平面で波は光と同じくヌルベクトルなので、重力レンズ効の 2 次元座標 ξ で置き換えた。次章では、Kerr 計量

果を受けることが知られている。重力波はレンズ効

における具体的な解を求める。

果を受けると干渉縞を形成する。この干渉縞が、回転パラメータ a を測定するのに有用であると考えた。
本発表は論文 [1] に基づき、回転による干渉縞の位回転する天体によるレンズ効果

3を受けた重力波

置の変化を導く。2 章で波動方程式を解き、重力波の表式を得る。3 章で回転するレンズ天体によるレンズ効果を導き、重力波との相互作用を求める。4 章でまとめと今後の展望について触れる。

この章では、レンズ効果を受けた重力波が干渉縞を形成することを示し、回転による位置の変化を導く。はじめに考察する系の模式図を図 1 に載せる。

2

Fresnel-Kirchhoﬀ の回折公式
この章では重力波の回折公式を導く。
重力波 E は波動方程式 ∂µ ∂ µ E = 0 を満たす。重

力波の時間依存性が E ∝ exp(−iωt) であることを用いてこれを解くと、観測される重力波 Eobs の表式を得る。

Eobs = −

1
4π

I

H

Σ1

⃗ 1 − E1 (∇E⃗ 2 )∗ ] · dS⃗[(E2 )∗2 ∇E

3.1

位相関数と回転

この節では、重力波が伝播する時間を計算し、波の位相関数 S = ω × t を求める (ω は角振動数)。そこで ds2 = 0 を 3 次元直交座標で表記した Kerr 計量
(
)
)
(
2m
2m
2
2
0 = ds ∼ − 1 −dt + 1 +
dz 2
r
r
4amy
dzdt
+
r3

⃗ は波が回折する面についての表 について解く。ただし重力ポテンシャルが十分に小さ
dS
面積分、Eobs は 2 つの独立解 E1 、E2 の足し合わせと いので m/r の 1 次までを考慮する。r はレンズ中心か⃗らの距離、m はレンズ天体の質量、⃗a(= J/m)はレン
ここで現れたΣ1

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校との重力波の位相差は√S =ωt∗ − ω DS2 + |η|2[
( )|DS ξ − DL η|21=ω
+ 4m ln
2DSL DL DSξ]ξ+4m 2 · (⃗n × ⃗a)ξ

(2)

で与えられる。さらにスケール変換 y ≡ ξξ0 , u ≡
DL η
DS ξ0

(ξ0 は規格化定数) を行って
[
]
1
y
⃗a
2
S = 4mω |y − u| − ln y + 2 · (⃗n × )2yξ0

図 1: Kerr 時空におけるレンズ効果の模式図。レンズ天≡ f · T (y, u)

体から観測者方向を基準軸 (z 軸) とし、z 方向単位ベクトルを ⃗n と呼ぶ。レンズ天体、波源が位置する z 一定の各 と整理される。ただし、f ≡ 4mω, α ≡ ⃗n ×xy 平面をそれぞれレンズ平面、波源平面と呼ぶ。波源平面 ⃗a , T (y, u) ≡ 1 |y − u|2 − ln y + y · α でそれぞ
2y2からレンズ平面、レンズ平面から観測者までの距離をそれ ξ0
れ定義される。これを用いて(1)
式はぞれ DL 、DSL と書く。太線は波の伝播経路を表し、L1 、∫
L2 は波源からレンズ平面、レンズ平面から観測者までの距E0 f離を表す。また太字は 2 次元座標で、ξ、η が (z=一定の)Eobs →
d2 y eif T (y,u)
2πi各平面での基準線からの位置である。3 次元直交座標軸は

ξ// η の方向を y 軸、yz 平面に垂直な方向を x 軸とする。 と表される。これがレンズ天体がある場合の重力波
質量 m は典型的な ξ の値より十分に小さいので重力ポテの表式である。ただし E0 ≡ A0 /(DL + DSL ) はレン
ンシャル m/r は 1 より小さく、重力波がほぼ直線的に伝播し、レンズ平面上の 1 点で回折が起こると見なすことが ズ天体がない場合の重力波である。|α| ≪ 1 を仮定できる。曲がりの大きさが直進方向に対して十分小さいと すると T (y, u) はして、x = 0、y = |ξ| の条件を適用する。⃗a はレンズ天体
1の (単位質量あたりの) 角運動量で、z 軸とのなす角を ΘT (y, u) ∼ |y − u|2 − ln |y − α|とする。
2と近似される。したがって T (y, u) は座標の並進変換
ズ天体の持つ単位質量あたりの角運動量である。その大きさは、光の伝播方向に射影した量 a = ⃗n · (⃗a × ⃗r)である。万有引力定数 G と光速 c は 1 としている。

dt を dz の関数として積分すると、波源から観測者までを伝播する時間 t∗ は[]
L1 + L24amt∗ = (L1 + L2 ) + 4m ln+ 2ξξとなる [4]。レンズ天体の回転による寄与は第 3 項に現れる。
波源から観測者への直線距離は√
DS2 + |η|2 である。したがって、レンズ天体がある場合とない場合

ỹ = y − α, ũ = u − α(3)を用いて整理される。つまり回転するレンズ天体によるレンズ効果はT (ỹ, ũ) = 1 |ỹ − ũ|2 − ln ỹ2E (ũ) = E0 f ∫ d2 ỹeif T (ỹ,ũ)
obs

(4)

2πi

で表される。一方、回転していないレンズ天体によるレンズ効果は12
T (y, u)|α=0 ∼ 2 |y − u| − ln |y|∫E (u)|= E0 f d2 y eif T (y,u)|α=0
obs

α=0

(5)

2πi

で表される。式 (4)(5) を比較すると、座標以外が全く同じであることがわかる。したがって干渉縞の位
置は、回転によって α だけ一様にずれることが結論づけられる。これが本稿で最も重要な帰結である。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.2

干渉

この節では、得られた重力波 Eobs が干渉することを導く。まず ũ によって決まる 2 つの ỹ が存在する
ことを示し、各経路での Eobs を求める。
伝播経路に対して波長は十分短いので、Fermat 原理を用いて ỹ と ũ の関係を評価することができる。
重力波は位相の停留点、つまり T (ỹ, ũ) の ỹ 微分が0 となる 2 つの経路を伝播する。
ỹ − ũ −ũ⇔ ỹ± =
2

ỹ
=0
|ỹ|2
(
√
1±

4
1+ 2
ũ

)
(6)

ただし ũ ≡ |ũ| である。このとき観測される重力波は、ỹ± に対応する 2 つの重力波の位相差 f ∆T (ũ) ≡f [T (ỹ− ) − T (ỹ+ )] を用いて
Eobs
E0

2

=

ũ2 + 2 + 2 sin(f ∆T (ũ))√
ũ ũ2 + 4

図 2: 観測者平面に現れる干渉縞の模式図。レンズ天体が回転している場合としていない場合を比較しており、干渉縞の位置がずれることを示している(7)
DSL , DS → ∞ より位置のずれは a sin Θ である。しと書ける。分子第 3 項が同一波源から現れた 2 つのたがって、パラメータを a = 0.1m, Θ = π/2 と仮定

重力波による干渉を表す。この結果は、観測される

すると、強度が波源の位置 ũ に依存して変化することを示し

a sin Θ ∼ 0.2AUている。逆に波源と観測者を入れ替えることで、観測者の位置に依存した干渉縞が現れることが結論づけられる (図 2)。
最後に回転による干渉縞の位置の変化を見積もる。

(9)と計算される。この値を検出することができれば、回転パラメータを測定することができる。

位置のずれの大きさは

|α| →

DS
a sin ΘDSL

(8)で与えられることがわかる。

4

結論
本発表では、レンズ効果による重力波の干渉縞について議論を行った。その結果、レンズ天体の回転によって干渉縞の位置が一様にずれることがわかっ

3.3

典型例

天の川銀河中心にあるブラックホールをレンズ天体として、位置のずれを見積もる。重力波の波長はた。したがって、このずれから Kerr 計量の回転パラメータを測定できることが示唆された。干渉縞の位置のずれが理論的に導かれたので、ある値を得た場

合にどのようなモデル (質量や回転パラメータ、回転
λ = 3×108 cm=1kHz であり、レンズ天体までの距離 軸など) が想定されるかについて議論することが今後を DL = 8kpc=2.4 × 1023 cm、天の川銀河中心のブ の課題である。
ラックホールの質量を m = 2 · 108 M⊙ = 3 × 1013 cmとする。このとき回転の寄与は α = (a/ξ0 ) sin Θ ≤6 × 10−6 と十分小さいので、式 (4) 以降の議論が適用できる。波源からレンズまでが十分に長い場合、2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

謝辞
旅費等のサポートをいただいた神戸大学宇宙論研
究室、ご指導いただいた早田先生をはじめ研究室の皆様に感謝します。

参考文献[1] Christian Baraldo, Akio Hosoya, Takahiro T Nakamura Gravitationally induced interference of gravitational waves by a rotating massive object Phys. Rev.
D59 (1999) 083001[2] Scott Dodelson GRAVITATIONAL LENSING(CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 2017)[3] Michele Maggiore Gravitational Waves VOLUME1:
THEORY AND EXPERIMENTS (OXFORD UNIVERSITY PRESS, 2008)[4] Emmanuele Battista, et al. Quantum time delay in the gravitational field of a rotating massClass.Quant.Grav. 34 (2017) no.16, 165008

——–index

c11

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

超ハッブルスケールで成長する曲率ゆらぎから 2 次的に誘起される重力波
富川 慶太郎 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract2015 年、重力波干渉計 aLIGO によって人類史上初めて重力波が観測され、ついに重力波天文学の時代が到来した。重力波は電磁波とは異なり晴れ上がり以前の宇宙の姿を直接捉えることができるので、初期宇宙を探る上でも重要な役割を果たす。本発表では、宇宙初期に超ハッブルスケールになった曲率ゆらぎが成長することで、2 次的に重力波が生成されることを示す。さらに、2 次の重力波のスペクトルを求めることで、将来の観測計画において検出される可能性があるかを探る。

1

Introduction

宇宙初期にはスカラー型ゆらぎ (密度ゆらぎ) とテン
ソル型ゆらぎ (重力波) が生成される。線形ゆらぎでは計量の量子ゆらぎが 1 次の重力波となって伝播する。一方、ゆらぎの 2 次ではスカラー型ゆらぎによって 2 次の重力波が誘起される [1][2]。これまでの研究
では、2 次の重力波はゆらぎの 2 次のオーダーなので 1 次に比べ小さいと考えられていた。ゆえに、これまでの研究では 1 次の重力波の寄与のみを計算しており、2 次の重力波が観測される可能性については議論されてこなかった。しかし、インフレーショ
ンモデルの中には超ハッブルスケールでスカラー型
ゆらぎが増幅するモデルが存在する [3]。これは 2 次の重力波が 1 次よりも大きくなり得るモデルが存在することを示唆する。 この場合はこれまで予言されてきた 1 次の重力波よりも先に、2 次の重力波が観測される。本研究では 2 次の重力波が増幅されるイ
ンフレーションモデルを取り扱い、パワースペクト
ルを求めることで 2 次の重力波の観測可能性を予言し、インフレーションモデルを制限する手段として2 次の重力波が妥当かどうかを検証する。

ここでは重力場と単一のスカラー場からなる作用
[ 2
]
∫
MPl
4 √
R + P (ϕ, X)(1)
S = d x −g21
X := − g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ2を考える。P (ϕ, X) はスカラー場とその運動項からなる任意の関数である。これを ADM metric()()
ds2 = −N 2 d2 t + γij dxi + N i dt dxj + N j dt
(2)のもとで計算すると、
[ 2 (
)
∫
)
MPl (3)
1 (
4 √
ij
2
S = d x γN
R + 2 Eij E − E
2N+P (ϕ(t), X(t, N ))](3)となる。ここでEij :=

2

2 次の重力波の運動方程式)
1(γ̇ij − Ni|j − Nj|i2(4)である。ここで、δN, χ, ζ, hij を一様等方時空からの摂動量として( )N = 1 + δN, Ni = ∂i χ, γij = a2 e2ζ eh ij (5)近年、人類は重力波観測という全く新しい宇宙の観測手法を実現した。さらに、将来の観測計画として宇宙マイクロ波背景放射の B モード偏光からインフiij
レーション起源の重力波を捉える LiteBIRD 衛星や、 とする。ただし、hi = ∂i h = 0 である。このもと宇宙での正確な「時計」として振る舞う電波パルサー で作用を摂動の三次まで展開して hij で変分すると 2を用いたパルサータイミング観測、初期宇宙起源の 次の重力波の運動方程式が得られる。これを重力波±±
重力波をレーザー干渉計で直接検出する DECIGO 計 のモード hk の基底テンソルを eij としてフーリエ変画などが進められている。これらはそれぞれ異なる 換すると周波数帯の重力波を観測する。重力波のスペクトル
±′
2 ±
±lm
h±′′
Slm (k) =: S ± (k)k + 2Hhk + k hk = eを求める各観測の感度と比較することで観測可能性(6)を議論できる。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。ここで∫d3 k̃ ±±e (k, k̃)k̃ l k̃ m
S (k) = −3/2 lm
(2π)
[(
)
)
(
1 2
a2 Σ
2
2 − 2 k̃ ζk̃ ζk−k̃ −+ 2 3 ζk̃′ ζk−k̃
H
H MPl
H

Reference[1] Kishore N. Ananda, Chris Clarkson, and David
Wands, Cosmological gravitational wave background from primordial density perturbations,Physical Review D - Particles, Fields, Gravitation and Cosmology 75 (2007), no. 12, 1–9.

a2 Σ
k̃ 2
[2] Daniel Baumann, Paul Steinhardt, Keitaroζ ζ′23
MPl H |k − k̃|2 k̃ k−k̃Takahashi, and Kiyotomo Ichiki, Gravitational
(
{
}
)
6a2 Σ
2
a4 Σ2
1
wave spectrum induced by primordial scalar′ ′+ − 2−ζk̃ ζk−k̃
2 H2 + M 4 H42
perturbations, Physical Review D - Particles,HMPl|k − k̃|Pl]
Fields,Gravitation and Cosmology 76 (2007),
2a2 Σ
2 ′′
1
′′ ′
no.
8,
1–13.
+ 2 ζk̃ ζk−k̃ + 2 3
ζ ζ
(7)
H
MPl H |k − k̃|2 k̃ k−k̃[3] Shin’Ichi Hirano, Tsutomu Kobayashi, andShuichiro Yokoyama, Ultra slow-roll G inflation,∂P
Physical Review D 94 (2016), no. 10.
Σ := XPX + 2X 2 PXX , PX :=
(8)
∂X
−

である。この方程式はgk′′ + 2Hgk′ + k 2 gk = δ (η − η̃)(9)を満たすグリーン関数 gk を用いて解くことができ統計平均を計算すると
∫ η
∫ η
⟨ ±
⟩
hk (η)h±(η)=
dη̃dη̃2 gk (η; η̃1 )gK (η; η̃2 )
1
K
⟨ ±
⟩
S (k, η̃1 )S ± (K, η̃2 )(10)となる。これをパワースペクトル Ph (k, η) の定義⟨ ±⟩ 2π 2hk (η)h±(η)= 3 Ph (k, η)δ (k + K)
K
k

(11)

に代入して Ph (k, η) が求まる。曲率ゆらぎ ζ の時間依存性は線形摂動の方程式から得られ、これを (10) に代入して積分することでパワースペクトルが求まる。

3

今後の予定

現在、(7),(10),(11) 式からパワースペクトルの表式を求めた段階である。(7) 式にはスカラー型ゆらぎの時
間微分の項が含まれている。単純なインフレーショ
ンモデルでは超ハッブルスケールでスカラー型ゆらぎが時間的に一定になるので微分の項は寄与しない。
しかし、今回考えるモデル [3] では超ハッブルスケー
ルでもスカラー型ゆらぎが成長するので微分の項の寄与があり 2 次の重力波が増幅される可能性がある。
実際の計算にあたっては (7) 式の 2 乗の統計平均を計算しなければならないので、合計 36 項の統計平均を求めなければならない。そこで微分の寄与が最も顕著な項をまず計算して、2 次の重力波が大きくなり観測される可能性があるかかどうかを検討する。

——–indexc12

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波のパラメータ推定根岸 諒 (新潟大学大学院 自然科学研究科)

Abstract
アインシュタインによって約 100 年前に予言された重力波は 2015 年，世界で初めて検出に成功した．重力波信号は非常に微弱であるため，大きなノイズの中から重力波信号を取り出すことが必要である．そのためには，信号対雑音比（SNR）を最大化する Matched Filter が最も効率的な手法と言われている．Matched

Filter では，観測データと重力波波形の相関を取るため，予想される重力波波形データのテンプレートが必要であるが，波形は重力波を出す天体の質量，スピン，軌道など複数のパラメータに依存しており，そのテンプレートは膨大なものとなる．また，観測データに重力波信号が含まれていることが分かったとしても，その天体のパラメータを精度良く推定することは単純ではない．本研究では，重力波観測データから重力波天
体のパラメータを推定する方法として，ベイズ推定について紹介する．

1

Introduction

2

Matched Filter

重力波信号 h(t) は非常に微弱であるため，大きなMatched Filter 法での SNR は，h(t) のフーリエ変ノイズ n(t) の中から重力波信号を取り出すことが必換 h̃(f ) と検出器の感度を示すノイズ・スペクトル密要である．観測される重力波を精度よく予測できる度 Sn (f ) を用いて，以下のように定義される．
( )2
∫ ∞
S
|h̃(f )|2
(1)
=4
df
N
Sn (f )
0場合は，SNR を最大化する Matched Filter 法が最も効率的な手法と言われている．Matched Filter 法
では，観測データ s(t) = h(t) + n(t) と重力波波形の相関を取るが，重力波波形は重力波源の多数のパラメータに依存しているため，膨大な予想波形のテンプレートが必要になる．また，観測データに重力波信号が含まれていることが分かったとしても，その天体のパラメータを精度良く推定することは単純ではない．
普通，統計学は頻度論の考え方であるが，これには重力波の波形には，重力波源が連星の場合，位置 (角度 2 つ)，軌道法線方向 (角度 2 つ)，検出時間，位相，2つの天体の質量，スピン (6 つ) の計 15 個のパラメータが含まれている．観測データの中に重力波が存在するかどうか，また，存在する場合は，その重力波源のパラメータが何であるかを推測するには，ベイズ統計の手法が用いられている．

非常に多くのデータが必要である．しかし，重力波は今の所 6 回しか観測されておらず，頻度論で扱えるほどのデータ数は確保できていない．そこで，頻度

3

ベイズ統計

論とは逆の考え方をするベイズ統計を用いることにベイズ統計には事前確率と事後確率がある．事前する．ベイズ統計はパラメータを確率変数，観測デー

確率はデータ取得前のパラメータの確率，事後確率

タを定数として扱う統計的手法である．パラメータはデータ入手後のパラメータの確率である．データ

を確率変数にしたことで一度の観測でも重力波源の取得ごとに情報を更新し，事後確率を事前確率にしてパラメータ推定が可能となる．

新たな事後確率を得ることでより尤もらしい推定値が得られる．パラメータの組を θ = (θ1 , θ2 , · · · , θN )としてベイズの定理はp(θ|x) =p(x|θ)p(θ)
p(x)

(2)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校と書かれる．p(θ) はデータ取得前に推定される，パラメータが θ をとる確率密度で，事前分布 (事前確率) と呼ばれる．p(x|θ) は，パラメータが θ であると
きに観測値 x が得られる確率密度で，データ入手後は θ の尤度と呼ばれる．また，p(θ|x) は，観測値が x

誤差行列は
∫
j
i
Σij
=
dθ [θi − θ̂B(s)][θj − θ̂B(s)]p(θ|s)B(8)と書かれる．

のときに θ である確率密度で，事後分布 (事後確率)と呼ばれる．

4

6

Discussion
最尤推定は事前確率がフラットの場合に事後確率

最尤推定を最大化した．しかし，事前確率を更新してフラッ

はじめに，事前確率がフラット，つまり，重力波
信号は存在し，パラメータが θ をとる確率は一様であると仮定する．事前確率がフラットであれば尤度を最大にすることで事後確率を最大にすることがで

トではなくした場合には，事後確率の最大化は複雑化する．しかし，ベイズ推定ではパラメータを期待値として求めるので，事後確率とパラメータの積の積分を実行するだけで，最大化を考えずに済む．また，観測数が少なくてもパラメータを推定できる点

きる．

で重力波には非常に適した推定方法である．
事後確率 ∝ 尤度 × 事前確率(3)

尤度関数 Λ は未知の真であるパラメータを θt ，規格
化定数 N として{}1
Λ(s|θt ) = N exp (ht |s) − (ht |ht )2

しかし，パラメータの期待値 (式 (7)) に含まれる
事後確率が式 (6) で見たように，周波数空間での積分で表されるスカラー積で書かれており，さらに，連星の場合で 15 次元ものパラメータ空間での積分をしな(4) ければならず計算コストは膨大なものとなる．よって，ベイズ推定は計算コストを考慮して使用するべ

ht ≡ h(θt )きである．

と書かれる．( | ) は以下で定義されるスカラー積である．

(A|B) ≡ Re∫ ∞df

Ã∗ (f )B̃(f )1
2 Sn (f )Reference(5)

Michele Maggiore 2008, ”Gravitational Waves VOLUME 1: THEORY AND EXPERIMENTS”, OX式 (4) の最大は θ 微分がゼロになる θ を求めれば良い．
FORD UNIVERSITY PRESS

5

−∞

ベイズ推定
フラットでない事前確率 p(0) (θt ) の場合，事後確率を最大にするのは最尤推定のように単純ではなく
なる．

{
}
1
p(θ|s) = N p(0) (θt ) exp (ht |s) − (ht |ht )2(6)

それに対して，ベイズ推定ではパラメータを確率変数としたので期待値で表すことができる．パラメー
タを i = 1 ∼ N でラベリングして∫iθ̂B(s) ≡ dθ θi p(θ|s)(7)

——–indexc13

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波解析における Matched Filter について
松崎 和紘 (新潟大学大学院 自然科学研究科)

Abstract2015 年，LIGO によりはじめて重力波が直接観測され，重力波天文学の幕開けとなった．重力波の観測は，一般相対性理論の検証などに利用されることが期待されている．しかし，重力波の信号は観測装置のノイズに比べてはるかに小さく，その検出は非常に困難である．このような小さな信号を大きなノイズの中から見つけ出す手法として良く用いられるのが，Matched Filter である．これは，理論的に予想された重力波の波形を用いて，信号対雑音比 (SNR) を最大にするフィルターである．本発表では，Matched Filter の原理を
紹介する．

1

ここでの目標は SNR を最大にする K(t) を見つけ

Introduction

ることである．今，SNR をアンサンブル平均 ⟨· · · ⟩2015 年，LIGO は人類史上初めて重力波の直接観を用いて,測に成功した (GW150914)．これはブラックホール
S
連星の合体によって発生した重力波で，その振幅は
SNR ≡
(4)
N
最大で 10−21 程度であった．これは地球と太陽とのS ≡ ⟨ŝ⟩(5)
距離を水素原子 1 個分変化させる程度の大きさであ⟨⟩N 2 ≡ ŝ2 h=0(6)
る．このように非常に小さな重力波信号は，それより大きなノイズに埋もれ，普通には見えなくなってと定義すると，しまう．そこで，ここでは検出器の観測データにフィ∫∞df h̃(f )K̃ ∗ (f )S
ルターをかけることにより，SNR(信号対雑音比) を
−∞
=[
(7)
] 12
∫∞
N
最大にすることを考える．その結果得られるフィル
1
2
df 2 Sn (f )|K̃(f )|−∞ターが Matched Filter である．となる．Sn (f ) は noise spectral density と呼ばれ，次のように定義される．
∫ ∞2 Matched Filter の原理
1
Sn (f ) ≡dτ ⟨n(t + τ )n(t)⟩ e2πif τ(8)2−∞
波形が h(t) で表される重力波がやってきたとする．
観測される信号 s(t) は一般に重力波信号 h(t) とノイズ n(t) との和である．

s(t) = h(t) + n(t)(1)

Sn (f ) は検出器の感度の特性を表す量である．一般に Sn (f ) は時間 t に依存するが，ここでは，ノイズの定常性を仮定して，周波数 f だけの関数としている．
式 (7) は，実関数をベクトルとして扱い，そこにこの信号に対し，フィルター関数 K(t) でフィルター

スカラー積を定義することで簡単にすることができをかけたとする．

る．実関数 A(t), B(t) に対して，スカラー積 (A|B)

ŝ ≡

∫ ∞

を次のように定義する．

dt s(t)K(t)

(2)

−∞

∫ ∞
=

df s̃(f )K̃ ∗ (f )(A|B) ≡ Re

∫ ∞

(3)

−∞

∫ ∞

−∞

ここで ˜ はフーリエ変換を表す．

df= 4 ReÃ∗ (f )B̃(f )1
2 Sn (f )(9)Ã∗ (f )B̃(f )Sn (f )

(10)

df
0

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
このとき，式 (7) は偶然に理論波形と相関の良いノイズがあった場合，

1
Sn (f )K̃(f )2ũ(f ) ≡で定義される実関数 u(t) を用いて，

S
(u|h)
=
1
N
(u|u) 2

重力波信号がないにもかかわらず，大きな SNR が得(11) られる．ガウス雑音は SNR があまり大きくならないため，閾値の設定によりほとんど除去することができる．それに対して非ガウス雑音は SNR が大きくな(12) る場合があり，これを除去するために複数の検出器とコインシデンスをとるなどの操作が行われる．

と書ける．すなわち，SNR は重力波信号 h(t) と単位
ベクトル

u(t)
(u|u)

(13)

1
2

4

Discussion

Matched Filter は SNR が最大になるフィルターであり，コンパクト連星合体による重力波など，波形なるのは u(t) と h(t) とが比例関係になるときであが理論的によく予測されている場合には，重力波信り，式 (11) より，号を取り出すための最適な方法である．それに対して，超新星爆発などのように重力波の発生機構が複h̃(f )
K̃(f ) = const(14)
Sn (f )
雑な場合，その波形の予測は困難である．そのため，とのスカラー積である．したがって，SNR が最大にとなる．これが Matched Filter の定義である．この時 SNR は最大値

(

S
N

)2

∫ ∞
=4
0

このような重力波に対して Matched Filter は有効ではない．

Matched Filter は非常に有用な解析手法であるが，|h̃(f )|2df
Sn (f )

(15)

対応できる重力波は限られているため，他の解析手法と併用されなければならない．

をとる．

Reference3

Matched Filter による重力波 Michele Maggiore, Gravitational Waves Volume1: Theory and Experiments, Oxford University Press, Newの検出York, 2008
Matched Filter を用いて重力波の検出を行うには，理論的に予想された重力波波形のテンプレートが必要である．テンプレートは重力波源までの距離や波源の質量などのパラメーターによって記述される．
式 (14) において h(t) を理論波形 htemplate (t) に置
き換えたもので，検出器の信号をフィルタリングする．

∫ ∞dfŝ(θ) =−∞s̃(f )h̃∗template (θ; f )Sn (f )

(16)

ここで，θ はテンプレートのパラメーターを表す．いろいろなパラメーターの理論波形に対して式 (16) を用いて SNR を計算し，それが決められた閾値を超え
れば，重力波イベントの候補として記録される．また，重力波信号のパラメーターは，SNR を最大にする θ の値として推定される．

——–indexc14

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

インフレーションと原始ゆらぎの non-Gaussianities
竹内 啓人 (神戸大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙初期に起こった宇宙の加速度的な膨張期を予言するインフレーション理論は、CMB 観測などの観測事
実とよく合うことから強く支持されている。インフレーション理論には様々なモデルが存在し、その特定は宇宙論研究において重要な課題である。インフレーションにおける重要な物理量として、インフレーション
中に生成、拡大される揺らぎがある。私はインフレーション揺らぎに関しての論文 [1] について Review を行った。本発表ではその論文に沿って、インフレーションのメカニズムと、インフレーション中のスカラー場や時空のガウス型の揺らぎと観測との一致を紹介した後に非ガウス性について紹介する。特に非ガウス性については、単一のスカラー場によるインフレーションモデルを用いて、インフラトンの三点自己相互作用から現れる非ガウス性を紹介する。また、低エネルギーの有効理論の範囲で対称性から許される項から様々
な非ガウス性が得られる事を紹介する。

1

イントロダクション

情報のみで表されるものである。
しかし、近年の観測精度の向上により、非ガウス型

FLRW 計量の中に名前を連ねる、Georges Henriの揺らぎを観測できる期待が高まっており、理論側か
Lemaitre などが提唱したとされるビッグバン理論は、 らもその予言をすることが重要視されている。イン高温熱的な状態から宇宙が始まったとされる理論でフラトン揺らぎの相互作用を起源とする非ガウス性ある。

(non-Gaussianity) からは、インフラトンの相互作用

しかし、このビッグバン理論には説明しがたい問を探ることができる。興味深いことに、インフレー

題点がある。その主なものが地平線問題、平坦性問

ション中のエネルギースケールは典型的に 1014 GeV

題などである。

にもなると知られており、インフラトン揺らぎの相

これらの問題は、インフレーションと呼ばれる宇互作用を知ることはインフレーションモデルの分か

宙初期の加速度膨張を仮定すると解決できる。インるばかりではなく、標準模型を超えた高エネルギー

フレーションには様々なモデルが存在する。その中理論の重い場について知る事にもなる。

でも有力視されているモデルが、インフラトンと呼このことから、インフレーションについて知る事ばれるスカラー場の真空エネルギーによってインフ

は人間が利用できる中で最も高いエネルギースケー

レーションが引き起こされるものである。その中でルの観測機を得ることにもなり、インフレーションも最も簡単なモデルは single scalar field inflation モ

理論に対する期待が高まっている。

デルと呼ばれ、単一のインフラトンと呼ばれるスカ
ラー場がインフレーションを引き起こす。
こうしたモデルにおけるインフラトンや時空の揺2インフレーションのメカニズム

らぎは、宇宙の大規模構造の種になることが知られており、さらに CMB 温度揺らぎをよく再現する。この事がインフレーション理論が強く支持されている理由である。
こういった、インフレーション中の揺らぎは、近似的にガウス型の揺らぎであるとされている。ガウス型の揺らぎとは、揺らぎの相関が二点間の相関のインフレーション中の時空として、近似的に de Sit-

ter 時空を考えると良い。de Sitter 時空とは、宇宙が加速度的に膨張する時空のことであり、この指数関数的膨張は Einstein-Hilbert 作用に正の定数項 Λ を2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
加える事で実現される。
∫
√
MP2
S=
d4 x −g (R − 2Λ) ,2InflationV( )<latexit sha1_base64="vpUVYt5vlWb43uIQJFpVnq7QVcM=">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</latexit><latexit sha1_base64="9a/P+i72kZIbZfEx9uViTcH6rWc=">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</latexit>(1)

potential ɫഥઇ<latexit sha1_base64="htxSybHJzqes2/j0REvAKQ9NP+0=">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</latexit><latexit sha1_base64="SWdZTRViN0071oCioamEH9HmECA=">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</latexit>

MP : Planck 質量 , R : Ricci scalar.
この作用について背景時空の FLRW 計量からの変分をとって運動方程式を出せば、{
a :scale factor
Λ
ȧ
2
H =
,H =
3
a
H : Hubble parameter(2)が得られる。これを scale factor a について解けば、√Λa = e 3t(3)ˋʽ˻ƪ࣪ʍ้ʨɭɫ
‫گ‬ʍϟ઼ʍ้ʨɭʱॲʞࡰɸƑ

Reheating<latexit sha1_base64="Xuhp6n/dhwHdArb0InKz8QUul8I=">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</latexit><latexit sha1_base64="Xl7UQvck8qdA8CZf0sSYrXJeyUU=">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</latexit><latexit sha1_base64="0PkHqriuBTyZeSxCvt0MbtZAT4Y=">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</latexit>

図 1. 平坦なポテンシャルをもつスカラー場はインフレーションを引き起こす事ができる。このインフラトンの揺らぎによって、CMB 温度揺らぎや宇宙の大規模構造が生み出される。このインフラトンの揺らぎからインフレーション中の情報が引き出せる。

となり、宇宙の指数関数的な膨張が説明できる。

<latexit sha1_base64="SWdZTRViN0071oCioamEH9HmECA=">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</latexit>
sha1_base64="R0AN4Kdvgs05ofr/To2bLPcC2IU=">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</latexit>
sha1_base64="slNs2OpleG7gChAM125oVX4VkMQ=">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</latexit>
sha1_base64="C3IoVm5idRqRFvRsipz6WKofTik=">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</latexit><latexit sha1_base64="SWdZTRViN0071oCioamEH9HmECA=">AAACc3ichVHLSsNAFD2N7/qquhHcSGvFjeVGBMWV6Malr1bRiiTp1I6mSUimBS3+gGvBhSgouFA/w40/4MJPEJcqblx4mwbEB3iHyZw5uefMvTOmZ8tAET3GtKbmlta29o54Z1d3T2+irz8XuBXfElnLtV1/3TQCYUtHZJVUtlj3fGGUTVusmXvz9f9rVeEH0nVW1b4ntsrGjiOL0jIUUxv5grCVkfdKcjuRogyFMfwb6BFIIYpFN3GDPApwYaGCMgQcKMY2DAQ8NqGD4DG3hRp2mfUZyzBD4BBxpFlf4UzBWQbze/zd4d1mxDq8r/sGoYPFJ9k8fdYOI00PdE0vdE+39EQf7Pa3Vy30qNezz6vZ0Apvu/docOX9X1WZV4XSl+qfqhWKmA6rlVy9FzL1PqyGQ/Xg5GVlZjldG6VLeuYOLuiR7rgHp/pqXS2J5VPE+Rn0n5f+G+QmMjpl9KXJ1Oxc9CDtGEISY3zrU5jFAhaR5XMdHOMM57E3bUhLaiONVC0WaQbwLbTxTyrUjrI=</latexit>
sha1_base64="R0AN4Kdvgs05ofr/To2bLPcC2IU=">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</latexit>
sha1_base64="slNs2OpleG7gChAM125oVX4VkMQ=">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</latexit>
sha1_base64="C3IoVm5idRqRFvRsipz6WKofTik=">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</latexit>

もっとも単純なインフレーションモデルは、単一のスカラー場がインフレーションを引き起こす、single

scalar field inflation モデルと呼ばれるものである。
このようなモデルでは、スカラー場のラグランジアン
1
図 2. CMB の温度揺らぎとインフラトン揺らぎ [3]。インフラト
L = − ∂ µ ϕ∂µ ϕ + V (ϕ)(4) ンの三点相互作用などから非ガウス性が現れる。
2
を見たときに (∂ µ ϕ)2 ≪ V かつ()
らぎ δgµν が存在する。こういったインフレーション
Mp2 V,ϕ 2V,ϕϕϵ≡≪ 1 , η ≡ Mp2≪1(5) 中の揺らぎは CMB 温度揺らぎや宇宙の大規模構造、
2
V
V<latexit sha1_base64="SWdZTRViN0071oCioamEH9HmECA=">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</latexit>
sha1_base64="R0AN4Kdvgs05ofr/To2bLPcC2IU=">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</latexit>
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きが小さいことを指し、二番目の条件はインフレー
ションが十分長く続く条件となっている。この二つのパラメータは slow-roll parameter と呼ばれる。つまり、この場合ではインフラトンの平坦なポテンシャ
ルが真空エネルギーとなって宇宙の加速度膨張を説明する。またこのとき、運動項を 0 にしてしまうとインフレーションが終わらなくなってしまうので、運動項はポテンシャルに比べて小さいが 0 ではない。
図 1 のように平坦なポテンシャルを持つ scalar 場
はインフラトンの候補の一つである。single scalar

field inflation モデルは、最も簡単でありながら観測によってその正当性が示唆されている。[2]背景重力波を生み出す。
ここで重要になるのが、ガウス型の揺らぎである。
ガウス型の揺らぎとは、相関の情報が二点相関関数
だけで決まるようなものを指す。インフレーション
理論では、揺らぎは近似的にガウス型の揺らぎであるとしており、ガウス型の揺らぎについて知ることでインフレーションの物理が分かる。
こういったガウス型の揺らぎの大きさはパワース
ペクトルと呼ばれる量で特徴付けられる。このパワースペクトルの波数依存性が CMB のパワースペクト
ルの観測結果と一致するのである。
しかし、最近の観測精度の向上により、非ガウス性への注目が高まっている。そこで、様々な相互作
用から得られる non-Gaussianity を理論側から予測しておくことは重要である。以下では、single scalar

field inflation モデルから得られるパワースペクトル3

インフレーション理論の正当性と non-Gaussianity について紹介し、有効場の理論を用いることで得られる新たな可能性について触れる。

インフレーション中には様々な揺らぎが存在していて、その中にインフラトンの揺らぎ δϕ や計量揺2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

ガウス型の揺らぎ

5

非ガウス型の揺らぎ

ガウス型の揺らぎは以下のような二点相関関数だ

single scalar field inflation モデルにおいて現れるけで特徴付けられる。例えばインフラトン揺らぎ δϕδϕ の三点相互作用 (図 2) から現れる non-Gaussianityの二点相関関数は以下のように表される。

は以下のようになる。

2π 2P2⟨δϕ(k)δϕ(k ′ )⟩ = (2π)3 δ 3 (⃗k + ⃗k ′ ) 3 P (k), (6) ⟨ζ⃗k ζ⃗k ζ⃗k ⟩ = (2π)7 δ 3 (⃗k1 + ⃗k2 + ⃗k3 ) ∏ ζ 2 F(k1 , k2 , k3 ).
1
2
3
k
i ki
H2
(10)
, P (k) : power spectrum.
P (k) =
8π 2 ϵMp2
この式の先頭のデルタ関数から ⃗k1 , ⃗k2 , ⃗k3 が三角形
パワースペクトル P と呼ばれる量は揺らぎの大きを作る事がわかる。末尾にある F がスケール不変なさを表しており、このわずかな波数依存性によってnon-Gaussianity の指標となる量である。
spectral index ns によって表される。
3(η − ϵ) (k13 + k23 + k33 )dP (k)
F(k1 , k2 , k3 ) =ns − 1 == −6ϵ + 2η.
(7)
8 }3k1 k2 k3
| {z
|
{z
}
d ln ksize

また、同様に重力波のパワースペクトル Pγ は(
Pγ+,× =

H
2π

)2
(8)

と表される。+ と × はそれぞれ重力波の偏極モードを表している。ここで、インフラトン揺らぎと重力shape

3ϵ (k1 k22 + k12 k2 + k2 k32 + k22 k3 + k3 k12 + k32 k1 )+4
6k1 k2 k3(k12 k22 + k22 k32 + k32 k12 )
+ϵ
.
(11)
(k1 + k2 + k3 )k1 k2 k3
この F は二つの部分に分ける事ができる。一つは波の大きさによって tensor-to-scalar ratio r を以下のように定義する。

r≡

Pγ
∝ϵ
Pζ

(9)

Planck の観測によって spectral index ns と scalarto-tensor ratio r には強力な制限が設けられていて、
図 3 のようにポテンシャルに制限を与える。
図 4. bispectrum の shape に関してのプロット。これを見ると、どれか一つの波数が他の二つと比べて小さい時に大きいとわかる。
これは「潰れた三角形型」の shape と呼ばれる。

bispectrum の波数の比に対する依存性で、shape と呼ばれる。例として、第一項の shape に関して波数比依存性をプロットすると図 4 のようになる。もう一つは bispectrum の size を表す。第一項の size は3(η−ϵ)
であり、slow-roll infaltion では ϵ ≈ 10−2 程
8なので、非常に小さい量となる。この量は観測からの制限には矛盾しないが、かなりの精度の向上がな
図 3. Planck による、ns と r に対する制限 [4]

いと将来観測されることはない。[5]2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

6

有効場の理論結論

7

上で述べたような相関関数の次数は、ラグランジ

このように、非ガウス型の揺らぎはインフラトン

アンを見たときの揺らぎの次数に対応している。例

揺らぎが他の場とどのように相互作用していたかをえば、二点相関関数なら揺らぎの二次の項まで、三見る一つ方法である。つまり、将来の観測で非ガウ点相関関数なら三次の項まで展開する事で求められス性が見えれば、インフレーションモデルの決定だ

る。さらに高次の相関に関しては、揺らぎを高次まけでなく、高エネルギー理論の検出器としての期待で展開して行かなければならない。

ができる。

通常の理論では、繰り込み可能性からの制限からラグランジアンの中に含まれる揺らぎの項の次数には制限がある。しかし、低エネルギー有効理論の範
囲では、一般には繰り込み不可能に見える項に意味を持たせる事ができる。そうして現れた揺らぎの高
次項は、インフラトンと相互作用している重い場の情報を含む (図 5)。つまり、有効場の理論を使えば、<latexit sha1_base64="SWdZTRViN0071oCioamEH9HmECA=">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</latexit>
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図 6 δϕ3 の高次の微分項から得られる b spectrum。これを見ると、全ての波数が同じくらいところで大きくなっていることがわかる。これは「正三角形型」の shape と呼ばれる。
<latexit sha1_base64="SWdZTRViN0071oCioamEH9HmECA=">AAACc3ichVHLSsNAFD2N7/qquhHcSGvFjeVGBMWV6Malr1bRiiTp1I6mSUimBS3+gGvBhSgouFA/w40/4MJPEJcqblx4mwbEB3iHyZw5uefMvTOmZ8tAET3GtKbmlta29o54Z1d3T2+irz8XuBXfElnLtV1/3TQCYUtHZJVUtlj3fGGUTVusmXvz9f9rVeEH0nVW1b4ntsrGjiOL0jIUUxv5grCVkfdKcjuRogyFMfwb6BFIIYpFN3GDPApwYaGCMgQcKMY2DAQ8NqGD4DG3hRp2mfUZyzBD4BBxpFlf4UzBWQbze/zd4d1mxDq8r/sGoYPFJ9k8fdYOI00PdE0vdE+39EQf7Pa3Vy30qNezz6vZ0Apvu/docOX9X1WZV4XSl+qfqhWKmA6rlVy9FzL1PqyGQ/Xg5GVlZjldG6VLeuYOLuiR7rgHp/pqXS2J5VPE+Rn0n5f+G+QmMjpl9KXJ1Oxc9CDtGEISY3zrU5jFAhaR5XMdHOMM57E3bUhLaiONVC0WaQbwLbTxTyrUjrI=</latexit>
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図 5 高次の相互作用項は重い場との相互作用によって現れる。
インフラトンが重い σ 粒子と相互作用している場合、σ 粒子はほとんど見えず、右のような四点の相互作用が現れる。

高次の相関関数が計算でき、様々な相互作用の情報を含む non-Gauss an ty を予測する事ができる。例
えば、重い場との相互作用によって現れる高次の微Hϕ0 g 23k1 k2 k3
8Mp2 ϵ m2 (k1 + k2 + k3 )3(12)

ϕ0 ϕ の background 量g σ とδϕ の相互作用係数

m σ の質量と得られる。 6 このように相互作用などから現れる相関関数からは、s ow-ro と比べて大きな非ガウス性を得られる事がある。また、shape に関しても図6 を見るとわかるように、s ow-ro の時とは異なる
shape が得られる事がわかる。

1

arX v 1303 1523v3 hep-th 5 Jun 2013 Y
Wang ”Inflat on Cosm c Perturbat ons and NonGauss an t es”

2 arX v 0907 5424v2 hep-th 30 Nov 2012 Dan e
Baumann ”TASI Lectures on Inflat on”

分項 δϕ3 からは、

Fδϕ3 =

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——–index

c15——–indexc16

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホール熱力学と Wald のエントロピー公式
佐竹 響 (神戸大学大学院 理学研究科)

Abstract
平衡系の熱力学法則と対応するような 4 つの法則が定常ブラックホール（BH）にも存在し，Einstein 重力
では BH の表面積をエントロピーと解釈できることが知られている [1, 2, 3]．Wald はこのエントロピーを一般の作用をもつ理論に対しても拡張できるような公式を提案した [4]．本発表では Einstein 重力理論における定常 BH の熱力学，および Wald エントロピーを説明する．

1

Introduction
重力場の古典理論である一般相対論が Einsteinに よ り 提 案 さ れ ，BH 時 空 と い う 興 味 深 い 解 がSchwarzschild により発見された．それ以来，BH に対する様々な研究がなされ，その一つが BH 熱力学

り一意に決定される．これらの量から BH の表面積

A が計算される．表面積，電荷，角運動量の熱力学的共役量が表面重力，電位，角速度である．これらの量は以下のように定義される．
定常 BH の表面重力 κ は，H+ 上のヌル測地線の方程式に現れる量である：

である．BH 熱力学は 1970 年代前半に Hawking ら
によって議論され [1]，また同じころに Hawking にξ ν Dν ξ µ = κξ µ

よって，量子効果を考えれば BH が熱的放射をもつ

一般に κ は H+ 上の関数であり，漸近平坦時空の無ことも示された [5]．
定常 BH に対して成り立つ熱力学法則は当然，BHにもエントロピーが存在することを示唆していた．そして BH エントロピーは BH 内部の情報を表すにも(1)

限遠方で ξ 2 → −1 と ξ を規格化することにより一意に定まる．Frobenius の定理と Killing 方程式から導かれる H+ 上で成り立つ関係式

かかわらず，その値は表面の情報のみに依存することξρ Dµ ξν = −2ξ[µ Dν] ξρが示された [2]．この結果，重力理論の情報は系の境に Dµ ξ ν = D[µ ξ ν] をかけて縮約すると，(1) より界に現れるのではないかというホログラフィー原理が提唱された．これはいまだ完成していない量子重ξρ (Dµ ξν )(Dµ ξ ν )|H+ = −2κ2 ξρ |H+

力理論への有力な足掛かりであると信じられている． が成り立ち，したがって ξ = 0 となる点を除けば本発表ではまず定常 BH の保存量の熱力学的共役量である表面重力，電位，角速度を定義し，BH 熱力

1κ2 = − (Dµ ξν )(Dµ ξ ν )|H+
2

学について概説する．そしてその後，Wald による重が成り立つ．ξ = 0 となる点でも連続性を用いて，上力理論の詳細によらないエントロピーの公式を説明

式の極限として表面重力 κ を定義する．式 (2) は実する．

際に κ を計算する際に用いられる．

2

BH の基礎知識
4 次元漸近平坦な定常時空の未来イベントホライ

ズン H+ は，Killing ベクトル場 ξ の Killing ホライズンである．
定常 BH 時空は質量 M ，電荷 Q，角運動量 J によ(2)Fµν := 2∂[µ Aν] を Maxwell 方程式の定常解，ξ µ を
H+ の外部領域で時間的な H+ に関する Killing ベク
トル場とする．このとき電場ベクトル Eµ := Fµν ξ νはスカラー関数

Φ := −Aµ ξ µ(3)により Eµ = −∂µ Φ と表される．Aµ が無限遠でゼロになるように選べば，Φ も無限遠でゼロになり，こ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校のように原点をとったときの H+ における値 ΦH (x)

第 2 法則は BH のエントロピー SBH と外部のエントを BH の電位と定義する．

ロピー Smat の総和は非減少であると一般化される．

イベントホライズンの性質から，時空は時間発展µを生成する Killing ベクトル場 t = t ∂µ と軸回転を

この一般化された第 2 法則と第 3 法則は完全に証明されてはいない．

µ

生成する Killing ベクトル場 m = m ∂µ をもつ．時空の等長変換群は t と m により生成され，ξ µ は一般にµµµ

ξ = t + ΩH m(ΩH = const.)(4)と書けて，ΩH を BH の角速度と定義する．この式の両辺に tµ , mµ をかけて H+ 上で縮約をとるとΩH = −

tµ m µtµ tµ=−tµ mµ H+mµ mµ H+

(5)

を得る．

3

BH の熱力学
平衡系は以下の 4 つのの熱力学法則をみたす：

0th 保存量の熱力学的共役量は熱平衡状態では場所によらず一定である．

2nd 孤立系のエントロピーは時間とともに減少することはない．

3rd 有限回の物理的試行で温度をゼロにすることはできない (Nernst の定理).
4 次元定常 BH もこれと同様の以下の法則を満たす：
0th 定常 BH の表面重力 κ，角速度 ΩH ，電位 ΦH は
イベントホライズン上の至る所で一定である．

1st ある定常 BH がほかの定常 BH に変化する際，エネルギーの変化 δM ，全角運動量および全電

2a sin2 θ(r2 + a2 − ∆)
dtdφ
Σ
2
2
2 2
2
(r + a ) − ∆a sin θ
sin2 θ2 dφ2+ΣΣ+ dr2 + Σdθ2 ,∆Q̄r
Aµ dxµ = −(dt − a sin2 θdφ),
Σ
J
a:=
,
M
∆ : = r2 − 2GM r + a2 + GQ̄2 (Q̄ := Q/4π),−について，第 0 法則と第 1 法則が実際に成り立つ．この BH の地平面は方程式 ∆(r) = 0 の解 r = r± =√GM ± (GM 2 − a2 − Q̄2 の r+ の位置にある．
式 (2)，(3)，(5) より，表面重力，電位，角速度は次のようになる：

κ=r+ − GM
2 + a2 ,r+

Q̄r+
2 + a2 ,r+a.
ΩH = 2r + + a2
ΦH =

(7)
(8)
(9)

H+ 上で r+ は一定であるから，これらの値も一定で荷の変化 δJ, δQ は次式を満たす：

κδA + ΩH δJ + ΦH δQ.
8πG

4 次元 Einstein-Maxwell 理論の一般的な定常解であるような Kerr-Newman 解()∆ − a2 sin2 θ
ds2 = −dt2Σ

Σ : = r2 + a2 cos2 θ

1st δE = δQ − P δV + µδN .

δM =Kerr-Newman 解の例(6)2nd 古典的な過程では，BH の面積 A は減少することはない．

3rd 有限回の物理的試行で表面重力 κ を 0 にできない．

あり，第 0 法則が成り立つことが言えた．
第 1 法則を示す前に，BH の表面積 A を次のように定義する．H+ 上の空間的超曲面の誘導計量を√∫∫
qab dxa dxb とし，A :=dS − det(qab )．Kerr-

Newman BH の表面積は2
A = 4π(r++ a2 )(10)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校である．これと式 (7)，(8)，(9) より，次の式が成りと定義すれば，この発散 ∂µ J µ [ξ] は場が運動方程式

立つ：

を満たせば 0 になり，保存カレントになる．このと

M =2

κ A
+ 2ΩH J + ΦH Q̄.
2π 4G

き，Poincaré の補題より，(11)
J µ [ξ] = ∂ν Qµν [ξ]これは Kerr-Newman 解に対する Smarr の公式と呼(17)となる Qµν [ξ] = Q[µν] [ξ] が存在する．

ばれる．
式 (10) の両辺を M, J, Q̄ の関数とみなして変分をとると，Noether カレントの変分は
δJ µ [ξ] = Ωµ (ϕ, δϕ, Lξ ϕ) − ∂ν [2ξ [µ Θν] (ϕ, δϕ)] (18)δA
= κ(δM − ΩH δJ − ΦH δ Q̄)
8πGと書ける．この式と Hamilton の運動方程式を比較が成り立つ．これを Hawking 温度 TH = κ/2π[5]， すると，パラメター ξ の変換 δξ = Lξ の生成母関数
Hawking-Bekenstein エントロピー SBH = A/4G[3] H[ξ] は∫を用いて書き換えると
δH[ξ] = (dd−1 x)µ Ωµ (ϕ, δϕ, Lξ )ΣI
δM = TH δSBH + ΩH δJ + ΦH δ Q̄
(12)
[
]
=δ
(dd−2 x)µν Qµ [ξ] + 2ξ [µ B ν]
(19)∂Σとなり，第 1 法則が成り立つことが言えた．
を満たす．ただし，Σ は Cauchy 面であり，B µ は次4Wald のエントロピー

Wald はエントロピーを時空の等長変換群に対するNoether チャージとして定義した．

式で定義される：II
δ (dd−2 x)µν 2ξ [µ B ν] = (dd−2 x)µν 2ξ [µ Θν] (ϕ, δϕ).
∂

∂

(20)
式 (19) を積分することによって H[ξ] を得る．特に
計量 gµν や物質場をまとめて ϕ と表すことにして，Cauchy 面の境界が空間無限遠であるとして，ベクト
以下の時空 M における作用積分を考える：
ル場 ξ µ を時間並進を生成する Killing ベクトル t =∫µµS[ϕ(x)] =dd xL(x, ϕ, ∂µ ϕ, ...).
(13) t ∂µ ，軸回転を生成する Killing ベクトル m = m ∂µMを用いれば，正準エネルギー E := H[t]，正準角運動
ϕ の変分をとったときの L の変分は次の形に書ける： 量 J := −H[m] を定義することできる．
漸近平坦な定常ブラックホール時空 M で，CauchyδL = Eδϕ + ∂µ Θµ (ϕ, δϕ).
(14) 面 Σ の境界が無限遠と分岐面 B のみとなるものを考Θ はプレシンプレクティックポテンシャルである．運
動方程式は E = 0 である．プレシンプレクティック
カレントは Θ の変分で表される：

える．このとき，ホライズン上でヌルであり，分岐面 B 上で 0 となる Killing ベクトルを式 (4) のようにおく．また，表面重力が 1 になるように規格化したものを ξ¯µ = ξ µ /κ とおく．ξ¯µ も Killing であるかΩµ (ϕ, δ1 ϕ, δ2 ϕ) = δ1 [Θµ (ϕ, δ2 ϕ)] − δ2 [Θµ (ϕ, δ1 ϕ)]. ら，Ωµ (ϕ, δϕ, Lξ ϕ) = 0 が成り立ち，したがって
I
(15)
]
[
d−2
µ ¯
¯
¯[µ B ν]
µ
0
=
δH[
ξ]
=
δ
(d
x)
Q
[
ξ]
+
2
ξ
µν
いま，ξ を時空 M 中の任意のベクトル場として，場の変分をこのベクトル場に沿った Lie 微分とする：

δξ ϕ = Lξ ϕ．このとき δξ L = Lξ L = ∂µ (ξ µ L) である．この変分の下での Noether カレントをJ [ξ] = Θ (ϕ, Lξ ϕ) − ξ L
µ

µ

µ

(16)

∂Σ

H

H

H
を得る． ∂Σ = ∞ − B ，Qµ [ξ] の線型性，B 上でξ¯µ = 0 であることからI¯ =(dd−2 x)µν Qµν [ξ]B1(δE − ΩH δJ )
κ(21)2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校を得る．BH のエントロピーをI¯
S := 2π (dd−2 x)µν Qµν [ξ]

(22)

B

とおけば，式 (21) より，第 1 法則の形 (6) になる：

δE =

5

κ
δS + ΩH δJ .
2π

(23)

結論と展望
式 (22) はエントロピーが BH の表面での情報により決定されるということを表している．
今後は，一般の BH のエントロピーに上限がある
こと，そしてその量子論への拡張などを勉強して，これらの観点から量子重力理論へアプローチしていきたいと考えている．

Reference[1] J. M. Bardeen, B. Carter, & S. W. Hawking 1973,
Commun. Math. Phys. 31, 161.
[2] J. D. Bekenstein 1972, Lett.Nuovo Cim. 4, 737-740[3] S. W. Hawking 1976, Phys. Rev. D 13, 191[4] R. M. Wald 1993, arXiv:930738v1[5] S. W. Hawking 1975, Commun. Math. Phys. 43,
199-220[6] P. K. Townsend 1997, arXiv:9707012[7] T. Jacobson, G. Kang, R. C. Myers 1994,
arXiv:9312023

——–index

c17

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

正則な球対称ブラックホールの量子放射
浅見 拓紀 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般相対論を取り入れた曲がった時空での場の量子論を考えると、Black hole は Hawking radiation によりエネルギーを放出し、最終的には蒸発してしまうと考えられている。本講演は、V. P. Frolov and A.

Zelnikov, (2017) [1] のレビューである。この論文では、一般の正則な球対称時空上を伝搬する光線の性質を解析手法について議論する。その際、時空の正則性により、BH 中心を通過するような光線の振る舞いも考えることができる。また、共形場理論に基づいて構成した「観測量」を導入することにより、方程式が簡略化されること、および各量と現実の物理量が対応することを見る。最後に、具体的なモデルを与え、時空上の光線の軌道、および先述した観測量を数値的に解くことでその時空の性質について考察する。またその際、

metric に赤方偏移因子に相当する関数を加えることで光線の軌道と各観測量に変化が起きることを見る。

1

Introduction
一般相対論は現在まで、重力理論として実験的にも大きな成功を収めてきた。ところが、この理論は特異点の存在の存在によりあるスケールで理論が破綻してしまうという大きな問題がある。この問題を

2

Methods

2.1

Spherical symmetric spacetime

一般に、正則な球対称時空の Metric は

ds2 = σ 2 (−α2 f dv 2 + 2αdvdr + r2 dΩ2 )(1)

解消するような様々な理論が提唱されているが、いまだ量子重力は完成しておらず、その問題は未解決と書ける（σ は適当な scale factor）。ただし、時空である。一方、一般相対論を場の量子論にバックグの正則性から f (v, r), α(v, r) はラウンドとして取り入れることはでき、そのような

1
f = 1 + f2 (v)r2 + . . .
21
α = α0 (v) + α2 (v)r2 + . . .
2理論から予言されたのが Hawking radiation である。
これは、BH 時空上で量子場の真空偏極を考えることによって導かれる効果である。

(2)

論文 [1] では、一般の正則な球対称ブラックホール

を満たす。また、以降ではこれに加えて漸近平坦性

時空上を伝搬する光線の軌道を見ることでその時空を仮定することとし、BH は時刻 v が 0 < v < q のの性質を解析する手法について述べられている。さ間だけ存在するような状況を考えるものとする。

らに、その際動径方向の光線を考えると作用が共形不変性をもち、共形場理論 (CFT) が適用できるよう

ここで、この時空中を動径方向に伝搬する光線を考えると、その軌道はになる。CFT は通常の場の理論と比べて強い対称性

dv = 0: ingoingを持ち、それによって興味深い性質を持つ。その性

dr= Z(v, r)dv: outgoing

質を用いて、光線が満たすべき式を表すことができ、(3)

Energy flux 等の物理量を数値的に求めることが可能 で与えられる。ただし、Z := αf /2 である。このとになる。本講演ではその手法を紹介し、さらに最後に き、u := v| − と u := u| + との間に関係が生じは、正則な BH モデルの一つである Hayward model

−

I

+

I

る。それを表す関数 u+ = u+ (u− ) は α, f によってに修正を加えたモデルを用い、その時空の性質につ決まるため、この解析によって時空の性質を見るこいて議論し、Hawking radiation との関連を見る。

とができる。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.2

ここで、変数

Beam equations

放射として massless スカラー場を仮定すると、そp(v) = [r(v, z), z]|z=0の作用は共形不変になり、CFT で記述される。このw(v) = ⟨r(v, z), z⟩|z=0

とき、光線が満たすべき方程式 (Beam equations) はε(v) = {r(v, z), z}|z=0(9)

CFT 上で計算される以下の量を用いることで簡潔に を定義すると、z の四次までの Beam equations は次書くことができる。
のように書ける。
dr0
= Z0
dv
dw
= Z2 epdv

P = [u− , u+ ]W = ⟨u− , u+ ⟩1
E =−{u− , u+ }
24π

(4)

ここで関数 y = y(x) に対し、次の記法を定義した。

[y, x] = ln |y ′ |⟨y, x⟩ =

2.3

dp
= Z1
dv
dε
= Z3 e2pdv(10)Calculation of observables

実際に観測量 P, W, E の計算を行う。そのために、′′

図 1 に示したような二本の光線を考える。すると、図

y
y′

( )2
y
3 y ′′{y, x} = ′ −
y
2 y′

(5)

′′′

式 (5) の最後の表式は Schwarzian derivative と呼ばれ、E は物理的には CFT において Energy flux を表す量である。また、P はエントロピー S と S = −P/12の関係があり、さらに β := eP は BH に入射するエネルギーと BH から出ていくエネルギーとの比になっている。W は光線の密度を特徴づける量である。
ここで、外向きの光線に関する Beam equation

ṙ :=

dr
= Z(v, r)dv(6)に対し、測地線束を考え、各測地線をラベリング

図 1: 基準の光線とその近傍 ([1] 中の図を改変)するパラメータ z を用いて展開することを考える。

z = 0 の光線を基準として選び、これに対して
r0 (v) := r(v, z = 0) とすると、r(v, z) と Z(v, z) := 1 中の x もしくは y をパラメータ z として選び各観測量が得られる。例えば、z = x とし、境界条件をZ(v, r(v, z)) はr(v, z) = r0 (v) +

∑ zn

n!
∑ zn

n=1

Z(v, z) = Z0 (v) +n=1

r0 (u− ) = 0,rn (v)n!

p− (u− ) = w− (u− ) = ε− (u− ) = 0(11)(7) として式 (10) を解くとZn (v)[u+ , u− ] = p− (q) + ln α01α′⟨u+ , u− ⟩ = − α0 w− (q) + 0
(12)
2
α0
1
ṙ0 = Z0 (v),ṙn = Zn (v)(8){u+ , u− } = α02 ε− (q) + {x, u−}4と書ける。右辺の Zn を Zn で表せば、与えられた となる。ここから、変数 p, w, ε と各観測量との関係と展開できるので、z の各次数で比較すれば式 (6) は

metric に対して光線の軌道が得られる。

も得られる。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校とが分かる。一方、0 < v < q では光線の軌道は曲が3

Models3.1

Standard model

り、outer horizon よりも内側の光線はすべて innerhorizon 近傍に集中し、BH が蒸発しきると一気に放具体的なモデルを与えて、実際に光線 の軌道、およ出される。これを踏まえて、観測量の数値計算結果

び各観測量を数値的に解く。初めに、Standard modelを見る。図 3 と図 4 にその例として E = E(r+ ) の計

(SM) として以下の metric を考える。
f =1−µ(v)r2,
r3 + µ(v) + 1

α=1

算結果を示す。 まず、図 3 から E は inner horizon(13)

これは”Hayward metric”に修正を加えたものになっている。ここで、質量関数 µ(v) は便宜的に以下のものを選ぶことにする。
1/3
 2v(q − τ )(q − v)µ(v) = C(3(q − τ )v − τ v + v 2 )

0

0≤v≤q
otherwise(14)µ(v) は v = τ で最大値 µ0 をとる。ただし、C は

図 3: SM での関数 E = E(r+ )([1] より引用)

3

q = (Cµ0 ) + τ を満たす量で、真空偏極の数 N に対し C ∝ N 1/3 の関係がある。
以上の設定で、各パラメータを µ0 = τ = 5, C =0.5 として1 光線の軌道を数値的に求めたものを図 2に示す。

図 4: SM における E の r+ > 4 での挙動 ([1] より
引用)

付近に鋭いピークを持つことが分かる。これは先に述べた inner horizon 付近に集中している光線によるものである。4 には r+ > 4 付近での E の挙動を示した。これは、v = q の瞬間に r+ ≳ µ から放射されたPowered by TCPDF (www.tcpdf.org)

粒子の Energy flux を表しており、これが Hawking
図 2: SM での光線の軌道 ([1] より引用)

図 2 において、v < 0 および v > q の領域、つまり時空が平坦な領域では軌道が直線になっているこ
0 ≫ 1 つまりブラックホールの質量が量子分極に比べて非常に大きい場合を考えるべきだが、定性的な性質を見やすくするためにこの値を選んだ。
1 現実的には Cµradiation に対応している。今、u+ = q − 2r+ であるから、r+ ∼ µ から出射された粒子は、I + において u+ ∼ q − 2µ で観測されることになる。したがって、Hawking radiation は BH の寿命が q であることから、−2µ ≲ u+ ≲ q − 2µ の間に観測される fluxに対応する。また、この領域では、E は大きく変動しており、その値は負にもなっている。これは、inner2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
horizon と outer horizon との間で生成される粒子による寄与を表しており、BH が消滅した直後に一気に放出される。
以上をまとめると、I + の観測者は、u+ ∼ −2µ でHawking radiation を観測し、次に u+ ∼ q − 2µ 程
度で二つの horizon の間で生成される粒子の寄与を観測する。最後に inner horizon 付近に集中した光線による鋭いピークが BH が消滅した瞬間に出射された光線に対応する u+ = q まで観測される。これ

図 6: MM での関数 E = E(r+ )([1] より引用)

が観測量 E の SM における振る舞いである。

3.2

光線が集中し、鋭いピークになっていることが分か

Modified modelる。これは、赤方偏移因子によるもので、α によってSM を修正したモデル (Modified Model, MM) と 中心付近で固有時が凍結することによる効果である。
して、f は式 (13) で、α はα(v, r) =1 + r5
1 + r5 + µ(v)3

(15)

4

Conclusion

で与えられるモデルを考える。α は赤方偏移因子と一般的な球対称時空において、光線の軌道によっして働く関数であるが、特に質量が十分に大きいとて得られる関数 u− = u− (u+ ) によって記述される

き、中心付近では α ∼ µ(v)−3 ≪ 1 となり、固有時

各観測量とそれに対応する変数を用いることで、光を”凍結”させる。MM での光線の軌道と E を図 5 に線が満たすべき式を簡潔に表すことができることを示す。ただし、各パラメータは µ0 = τ = 5, C = 0.5

見た。さらに、具体的な二つのモデルについて各観である。

測量を実際に求めると、 どちらのモデルでも innerhorizon 付近に非常に鋭いピークを持つという結果が得られた。これは”mass inflation eﬀect”と呼ばれる現象と関連付けられる。また、この鋭いピークはSM と MM の比較から赤方偏移因子によって大きく抑えられることもわかる。
今 回 用 い た 二 つ の モ デ ル は 、ど ち ら も self-consistency を破っている。これは粒子に関する逆反応の効果等を理論に正しく組み込めていないことによるものであると考えられ、これが今後の課題となる。

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

Reference
図 5: MM での光線の軌道 ([1] より引用)

図 2-図 4 と比較すると、outer horizon より外側に関してはその挙動はほとんど変わらないが、innerhorizon より内側では、その近傍のほかに中心付近に[1] V. P. Frolov and A. Zelnikov , Phys. Rev. D 95,
124028 (2017), arXiv:1704.03043 [hep-th][2] V. P. Frolov and A. Zelnikov , Phys. Rev. D95,
044042 (2017), arXiv:1612.05319 [hep-th]

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2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

ホワイトホールを考慮したブラックホールのライフサイクルのモデル化
小池 貴博 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
ブラックホールの情報喪失問題を解決する方法として、これまでに様々なアイデアが考えられている。その中の 1 つにブラックホールは蒸発の最期に Remnant を残し、そこにブラックホール内部の情報が保存されるというものがある。Bianchi らは、その Remnant がホワイトホールだとすると、ブラックホールのライフサイクルをモデル化できると主張する [1]。本稿はそのレビューである。

1と表される。各メトリックは空間座標 r のみに依存

Introduction
天体物理学においてブラックホールは高い関心がし、dΩ2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 は 2 次元単位球面上の線素を表す。

示されている対象であるが、その内部がどうなっているのかはまだわかっていない。観測から、ブラックホールのホライゾン外部は一般相対論によって良

この時空におけるアインシュタイン方程式の真空解を Schwarzschild 解と言い、(1) 式においてく記述されるということがわかっている。

α = 1 , u(r) = 1 −ところが、ホライゾン内部は強い重力によって全

2GM
r

(2)

質量が一点に集まっていると考えられるため、そのとしたときに相当する。このときメトリックは r = 0、点において物質の密度や曲率が無限大に発散し、一r = 2GM の場所で特異である。
また r < 2GM において、メトリック gtt は正にな

般相対論が破綻してしまう。
また、量子力学の効果を部分的に取り入れると、ブり、grr は負となる。すなわち、ブラックホール内部

ラックホールはホーキング放射によって、内部の物においては時間座標と空間座標の役割が交換される。

質に依存しない形でエネルギーを放出し、いずれはこの状況を [2] にしたがって、消滅すると考えられている。ブラックホールに吸い込まれた情報が失われてしまうこの問題を情報喪失問題と言い、未だ解決には至っていない。
近年、これらの問題を解決するためのシナリオがいくつも注目されている。[1] ではブラックホールがt → R , r → T , u(r) → −U (T ) , α(r) → α(T )(3)と表すと、ブラックホール内部を記述するメトリッ
クは以下のように表される。

ホーキング放射の後、トンネル効果によってホワイ

ds2 = −

トホールに遷移するというブラックホールのライフα(T )2 2
dT + U (T )dR2 + V (T )dΩ2
U (T )(4)

サイクルをモデル化した。このシナリオよって上述の問題が解決出来ると主張している。

3

ブ ラック ホ ー ル か ら ホ ワ イ ト
ホールへの遷移2

Schwarzschild BH 内部の時空
一般的な球対称時空の線素はα(r)2 2
dr + r2 dΩ2ds2 = −u(r)dt2 +u(r)微分方程式は変数のとり方によっては、偽の特異点が生じ、解が発散してしまうことがある。例えば微分方程式 y ÿ − 2ẏ 2 + y 2 = 0 の解 y(t) = 1/ sin t は(1) t = 0 で発散する。しかし、簡単な定義 x = 1/y によって微分方程式は ẍ = −x と書き換えられ、その解 x = sin t は t = 0 で正則である。[3] ではこのよう

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
な変数変換を Schwarzschild BH 内部の時空に関して考えている。
球対称時空のメトリック

ds2 = −gτ τ dτ 2 + gxx dx2 + gθθ (dθ2 + sin2 θdϕ2 ) (5)において、3 つの変数 gτ τ ,gxx ,gθθ を新たな変数 a,b,Nを用いて書き換える。この際、2. で議論したように

Schwarzschild BH 内部の時空を表すように変数を組み合わせるとgτ τ = N 2ab, gxx =, gθθ = a2ba

図 1: 内部領域の遷移(6)

単純な仮定として (9) 式における a(τ ) = τ 2 を ℏとなり、これらを一般相対論における作用に代入して、に依存する定数 l を用いて
(
)
∫
v
ȧḃ
dτ N −(7)S=
4G
Na(τ ) = τ 2 + l(10)∫ xmaxが得られる。ここで、v = xmin dx である。と置き換えると、線素は(7) 式から運動方程式が得られ、この方程式を満た
4(τ 2 + l)2 2 2m − τ 2 2
す解として、
ds2 = −dτ + 2dx + (τ 2 + l)2 dΩ22m − τ 2
τ +l(11)a(τ ) = τ 2 , b(τ ) = 2m−τ 2 , N 2 (τ ) = 4a(τ ) (8)と表される。この線素は発散も特異点もなく、曲率を考えることが出来る。

不変量

これにより、ブラックホール内部を記述するメトリッ

K ≡ Rµνρσ Rµνρσ =クとして、

9l2 + 96lτ 2 + 48τ 4 2
m(l + τ 2 )8(12)2m − τ 2 2
4τ 4dτ 2 +
dx + τ 4 dΩ2 (9) も τ = 0(すなわち r = 0) において、有限の最大値
22m − τ
τ2
9m2(13)K(0) = 6が得られる。
l√√
このとき τ の取りうる範囲は − 2m < τ < 2m でを持つ。
あり、図 1 に示すように解は τ = 0 を通り滑らかに
ds2 = −

続いている。これらの変数の観点からみると、重力場はブラックホールの中心にある特異点を過ぎて τの正の値に正則に発展する。すなわち、線素 (10) はブラックホール内部の時空がホワイトホール内部の時空へと遷移する状況を記述している。

5

ブラックホール内部の幾何学
ブラックホールはその内部に非常に大きな体積を有するということが議論されている [4]。内部の幾何学的な描像は図 2 に示されているように非常に長い

4特異点近傍の量子力学的効果
曲率がプランク値に近づくと、古典的な近似が信頼できなくなる。曲率は量子力学的効果によって制限されると期待される。

チューブである。時間経過に伴い、チューブの半径は縮小し、一方長さは増加する。

[4] によると、大きな時間 v に対してブラックホール内部の体積は重力崩壊からの時間に依存する形で√V ∼ 3 3m20 v(14)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: ブラックホール内部の幾何学と表される。ここで m0 はブラックホール形成時の質量である。
質量 m まで蒸発した古いブラックホールは、同じ

図 3: 別の宇宙への遷移

質量を持つ若いブラックホールと同じ外部の幾何学を有するが、内部は同じではない。古く、十分蒸発しとともに内部体積は小さくなっていく。またブラッたブラックホールは、同じ質量の若いブラックホー

クホールはイベントホライゾンをもつため、内部のルよりもはるかに大きな内部を持つ。

情報はその内側でトラップされているが、ホワイト
ホールはイベントホライゾンを持たないため、この

6

ホワイトホール

プロセスの後、内部の情報が外部に放出されていくという物理的な描像を与える。

ホワイトホールは一般相対論で議論されるもので、
ブラックホール解を時間反転させたアインシュタイ
ン方程式の解である。3. ではブラックホール内部の時空がホワイトホール内部の時空へと滑らかに遷移するメトリックが得られることを示した。これまでにも新しい座標系を用いることで、Schwarzschild 解
を r = 0 の曲率特異点を越えて滑らかに拡張した解が考えられている。[5] では図 3 の左図のように、元
図 4: ホワイトホール内部の幾何学の Schwarzschild 時空におけるブラックホールの内部領域が、曲率特異点を横切り別の Schwarzschild 時
空におけるホワイトホールの内部領域へと続いていく時空を考えている。このとき、Hole 内部は図 3 の
右図のような Einstein-Rosen bridge と呼ばれる時空の幾何学的特徴を持つ。

7

Conclusion
一般相対論の枠組みの中で、ブラックホール内部

これに対し、[1] ではホーキング放射によってブラッ の時空を記述するメトリックから、ブラックホール
クホールが縮小し、プランク密度に達すると量子重がホワイトホールへと遷移し、内部に蓄えた情報を力の効果による斥力によって時空がバウンスすると外部に放出して消滅するというブラックホールのラ考えている。そのため、Hole 内部は図 3 のような幾イフサイクルを考えることができる。またホワイト

何学ではなく、図 4 に示しめすような元のブラック

ホールはアインシュタイン方程式の良く知られた解ホールの内部体積を受け継いだホワイトホールになであることからも、これまでエキゾチックなものとると考えることが出来る。ホワイトホールはブラッ 見なされてきた Remnant の具体的なモデルを提供
クホールを時間反転したものであるから、時間経過

し、情報喪失問題を解決する。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference[1]Bianchi et al. 2018, “White Hole as Remnants:A
Surprising Scenario for the End of a Black Hole”
arXiv:1802.04264[2]Kenmoku et al. 1998, “de Broglie-Bohm interpretation for the wave function of quantum black holes”
Phy. Rev. D57[3]D’Ambrosio & C. Rovelli 2018, “How Information Crosses Schwarzschild’s Central Singularity”
arXiv:1803.05015[4]Christodoulou & C. Rovelli 2015, “How big is a black
hole?” Phys Rev, D 91, 064046[5]Peeters et al. 1994, “Extended geometry of black
holes” Class. Quant. Grav. 12 173-180

——–index

c20

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

スカラー場による裸の特異点とそのブラックホール時空について
佐土原 和隆 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
ブラックホールが，質量，電荷，角運動量以外の情報を持たないことは，無毛定理として知られている．スカ
ラーの「毛」を持たないため，スカラー場のある時空としては，ブラックホールではなく裸の特異点が存在する JNWW 解がよく知られている [Janis, Newman & Winicour (1968)]．これに対し Cadoni らは，スカ
ラー場のある (3+1) 次元静的球対称な時空において，ブラックホール解を生成するために必要なポテンシャ
ルを求めた [Cadoni & Franzin (2015)]．これは，ポテンシャルに応じて，ホライゾンの有無を変化させられることを表す．本発表では，我々が D 次元に拡張した手法と，それを用いて構成した (2+1) 次元のブラックホール解について発表をする．

1

Introduction

ラックホールの内部構造を無限遠から観測できる可能性を示唆している．

一般相対論におけるブラックホールの一般的な性質の一つは，時空特異点が存在することである．特異点では時空が破綻しており，その点の物理を記述することができない．この特異点を回避するために，
これまで多くの研究がなされてきたが，未だに解決

我々は，この手法を D 次元時空で使えるものに拡張した．さらに，その具体例として，(2+1) 次元のスカラー場を持つ時空について，ブラックホール解となるのに必要なポテンシャルを求め，その特徴を調べた．

には至っていない．
その原因は，ホライゾン内部の情報が外に出てこないからである．つまり，この問題を解決するには， 2まで到達する物理量を観測し，間接的に内部構造をEinstein-scalar gravity in D
dimensions

決定する必要がある．しかし，一般相対論では，ブ

まず，Cadoni らの (3+1) 次元時空での手法を D 次

ホライゾン内部の構造から影響を受けつつ，無限遠

ラックホールは質量，電荷，角運動量以外に情報を持たないため，ブラックホールの内部構造が観測か
ら明らかになることはない．
一方，質量を持たないスカラー場が存在する時空

元時空に拡張した．
今回考える時空は，以下の作用で表される．
∫√(1)
S = dD x −g(R − α(∂ϕ)2 − βV (ϕ)).

では，ホライゾンに隠されていない特異点の存在が知られている．これを裸の特異点という．(3+1) 次元時
空における裸の特異点を表す解は JNWW 解として線素には，静的球対称を表す以下の形を仮定する．以下では D = N + 2 としている．

知られている [Janis, Newman & Winicour (1968)]． ds2 = −U (r)dt2 + U −1 (r)dr2 + R2 (r)dΩ 2 .
N
Cadoni らは，この時空上で裸の特異点ではなく，ブ(2)

ラックホール解を生成するために必要なポテンシャ この仮定の下で，アインシュタイン方程式を書き下ルを求めた [Cadoni & Franzin (2015)]．つまり，この時空では，ポテンシャルを変化させれば，ブラッ
クホールのホライゾンの有無を変化させられることになる．この手法で得られた解では，ブラックホール時空と裸の特異点時空との差異が小さいため，ブ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
すと，

N = 2 の (7)(8) 式に，(21) 式を代入すると，Λ = 0
で JNWW 解に一致する条件を置くことで，

α ′2
ϕ ,
N
β ∂V N ∫ Y(uϕ)′ =e,2α ∂ϕY′+Y2 =−

′′

′

(3)

u − (N +2)(uY ) = −2(N − 1)eu′′ = N (N − 1)e(N −2)

∫

Y

−β

U = X 2w−1 [1 − Λ{r2 + (4w − 3)r0 r(4)(N −2)∫Y

N +2 N
Ve
N

∫

,

(5)

Y

, (6)

+ r0 2 (2w − 1)(4w − 3)}] + Λr2 X 2(1−w) , (13)が分かり，さらにポテンシャルについても，[(2w − 2)ϕV (ϕ) = 2Λ −w(1 − 4w) sinhγとなる．ここで，e Y = R, U RN = u である．
]
2(2w − 1)ϕ2wϕ
これにより，V = 0 での R を一度求めれば，そ2+8γ sinh+ (1 − w)(3 − 4w) sinh,γγ
れを用いて U, V の値が以下の式から求められる．
∫(N > 2)∫[ ∫]
2N (N − 1) drRN −2 + C1
2
U = R − dr
+ C2 ,
N R2+Nが得られる．ここで，
(7)
(
)
r0
u′′
N (N − 1)N
X =1− ,
− N +
.
(8)
V =
r
β(N + 2)R
R2
C1 + (4w − 1)r0
Λ= 3,
r0 (2w − 1)(4w − 3)(4w − 1)
これらは積分定数に依って，様々な値をとる．

(14)

(15)
(16)

である．(w ̸= 34 , 12 ) これは，

31Black holes sourced by ar0 2 ≥.
(17)(2w − 1)(4w − 1)Λ
scalar field in (3+1) dimenを満たすときにのみ，ブラックホール時空になるこsionsとが分かる．
Cadoni らは，JNWW 解にポテンシャルを与え，ブラックホール解を構成した [Cadoni & Franzin(2015)]．前章の方程式に N = 2 を代入して得れる方程式を用いる．まず V = 0 を仮定し，方程式を解くことで JNWW 解を求める．
(
r0 )2w−1
U = 1−,r()
r0 2(1−w)
R2 = r 2 1 −,(r r )0+ ϕ0 ,
ϕ = −γ log 1 −r

w − w2 = γ 2 .

4BTZ-like
black
holes
sourced by a scalar field
この手法を用いて，具体的な議論をする．ここでは，(9) 一般相対論での (2+1) 次元ブラックホール解である
BTZ ブラックホールにポテンシャルを与えることを(10) 考える．静的 BTZ ブラックホールは以下の線素で表(11) されるブラックホールである (Bañados, Teitelboim& Zanelli (1992))．
(12)w − w2 = γ 2 は w の範囲 0 ≤ w ≤ 1 を与えるが、対称性から 1/2 ≤ w ≤ 1 まで制限することができる．

ds2 = −N 2 dt2 + N −2 dr2 + r2 dθ2 ,N (r) = −M − Λr .
2

2

(18)
(19)

さらに，(21) 式を用いれば，ブラックホール解を

次は，N = 1 として解く．V = 0 とした解での構成するようなポテンシャルを考えることができる． R, ϕ を固定して，(5)，(6) 式から U, V を求める．
また，βV = −2Λ の値が定数のとき，静的 BTZ ブ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ラックホール解に一致することを仮定すると，解は以下の様に表される．

U = r1−w [1 + Λ(1 − r3w−1 )],
w

R=r ,
(
)
2M
Λ=−
+1 ．
3w − 1

(20)
(21)

E.

Franzin,

Phys.

Rev.

D91,

A. I. Janis, E. T. Newman & J. Winicour, Phys. Rev.
Lett. 20, 878(1968).
Lett. 69, 1849(1992).
R. Yamazaki & D. Ida, Phys. Rev. D64, 024009(2001).

ϕ = γ log(r) + ϕ0 ,−2(1−w)
ϕ
γ

(23)
,

(24)

となる．ここで，αγ 2 = w − w2 , 12 ≤ w ≤ 1 である．
このブラックホール解は，w の値を変化させることにより，様々なポテンシャル下のブラックホールを表す． 21 ≤ w ≤ 1 においての性質を以下に示す．
表 1: ブラックホール時空の性質
ホライゾン
全ての w で存在

5

M. Cadoni, &104011(2015).

(22) M. Bañados, C. Teitelboim & J. Zanelli, Phys. Rev.

この時，スカラー場は，

V = Λw(3w − 1)eReference

曲率特異点

w = 1 以外の全ての w で存在

安定軌道全ての w で存在しない

Conclusion & Discussion
我々は，Cadoni らの手法を D 次元に拡張し，その具体例として BTZ ブラックホール時空にポテンシャ
ルを与えた．ポテンシャルを与えても，BTZ ブラッ
クホールのホライゾンは存在し続け，裸の特異点にはできないことが分かった．
今回対象にした BTZ ブラックホール時空は，V = 0
が仮定に入っていない．(2+1) 次元時空でも V = 0
であれば，時空は裸の特異点になる．そのため，今後
は V = 0 を範囲に含むような，(2+1) 次元でのより一般的な解を構成したい．さらに，今回得られた任意の次元での手法を用いて，高次元時空でのブラックホール解の構成をしたい．
今回の手法で得られる解は，裸の特異点とブラックホール解との差異が小さいことが期待できる．そのため，そこで得られた裸の特異点を用いて，特異点の有無による時空の差を調べたい．

——–indexc21

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Multifractional theories の宇宙論的応用に向けて
高木 かんな (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
Multiscale theorise とは，fractal という幾何学的性質を持った時空 (multiscale 時空) を記述する理論である (Calcagni 2017)．multiscale 時空は，スケールの変化に伴って有効次元も変化するという性質を持つ．本
研究の目的は，この性質を用いて宇宙初期の有効次元の変化について調べることである．その実現に向けて，
本発表では multiscale theories の概要を説明し，それを用いたパワースペクトルの理論値を紹介する．加えて，multiscale theories の宇宙論的応用について考えていきたい．

1

Introduction

2

Multiscale classification

ビッグバン宇宙論での諸問題を解決する理論とし

幾何学理論において， fractal” や Multiscale”，て，インフレーションが提唱されている．インフレー

Multifractional”， Multifractal などの用語は混ションとは，ビッグバンより前に起こったとされる， 同して使われている．そこで本発表では (Calcagni
宇宙の指数関数的膨張である． 現在，インフレーショ 2017) の定義を使用し，これらの用語の分類を説明
ンのモデルは数多く提唱されているが，決定的なもする．

のはなく，初期宇宙は未だに解明されていない．
近年，量子重力の観点から宇宙初期は実質（１＋１）次元だった可能性が示唆されている．従って，（１＋１）次元だった宇宙は，インフレーションを経て（３＋１）次元に成長したと考えることができる．このような次元の変化を実現するために，本研究ではmultiscale theories に注目した．multiscale theoriesとは，スケールが変わると次元も変わるような幾何学の理論であり，この理論をもとに描かれた時空を

multiscale 時空という．この時空を用いることで，インフレーション中に，次元が変化する様子を表せることが期待できる． (Calcagni et al. 2016)．
本発表では，まず multiscale theories で使用され

図 1: Multiscale の分類

Multiscale theories とはスケールの変化によって，有効次元が変化する時空を描く幾何学理論である．

ている用語の整理をする．次に multiscale theories

有効次元の一つにハウスドルフ次元 (dH ) がある．こで使われる微分の中で代表的なものを 3 種類紹介し， の次元は，(体積) ∼ (長さ)dH という式で表される．
それぞれの理論の特徴を見ていく．さらに，multi- Multiscale theories での geometric coodinates を使っ

fractional theories で計算したパワースペクトルを紹 て測度を置き換えると，スケールによって dH の値が介する．最後にインフレーションやブラックホール 変化する．詳しくはポスター（重宇 c22）で説明する．
など宇宙論的あるいは相対論的応用について考えていきたい．

有効次元が変化することを dimensional flow と呼ぶ．dimensional flow には 3 つの特徴 [A1],[A2],[A3]がある．[A1]dH と dS ，dW のうち，少なくとも 2 つの有効次元が変化する．
（ただし dH はハウスドルフ
次元，dS はスペクトル次元，dW はウォーク次元であ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
る．
）[A2]UV から IR まで次元の変化は連続的である．[A3]dimensional flow は局所的に生じる．ここで[A1],[A2],[A3] をまとめて [A] とする．[A] の副産物として，[B]dimensional flow が生じている間は，有4Theorywithderivatives

次のように定義される微分を，重み微分という．

効次元は非整数にもなる，という特徴をもつ．

√
1
K = Dµ Dµ = √ ∂µ ( v·)v

Multifractional とは，multiscale の特別な場合であり，ラプラス・ベルトラミ演算子を因数分解できるという特徴をもつ．
∑
Kx =K(xµ )(1)µは，[A] と [B] に加えて，[C] の特徴を持つ．

(5)

ここで作用を

1
2κ2

S=

∫

dD xe( β − β∗ )
1

1

√

−g

µ

Multifractal には，weakly multifractal と strongly
multifractal の 2 種類がある．Weakly multifractal とdH[C] : dW = 2，dSweighted× (R − Ω∂µ Φ∂ Φ − e−Φ U ) + Sm()
9ω β2 Φ
1
1
Ω :=
+
(D
−
1)
e
−
4β 2
2β∗
β

(6)

とおく．これにより，アインシュタイン方程式の (00)dS ≤ dH(2) 成分から導かれるフリードマン方程式は
(
)
6Ω
D
κ2
v̇ 2
Strongly multifractal は [A] と [B]，[C] に加えて [D]ρ+− 1 H2 =2
D−1(D − 1)(D − 2) v 2
整数微分ができる場所がどこにもない，という特徴
(7)
K
U (v)
−
+
をもつ．つまり，strongly multifractal では非整数微
2(D − 1)v∗β t a2分を用いる．
となる．(7) 式とアインシュタイン方程式の（ij ）成分のトレースをとった式を組み合わせ，積分するこ

3

Theorywithderivatives

ordinary とでスケール因子が得られる．
(

Multiscale は fractal という滑らかでない時空を表す幾何学のため，微分を変更する必要がある．用いる微分によって，いくつかの理論が構成されているが，ここでは代表的なものを紹介する．

a(t) =

1+

√
t∗
t

) 83

√
√
{ [
(
)]} (8)
t
9
t
t
t∗
exp
H0
+
−
ln 1 +
8
t∗
t∗
t∗
t

まずはトイモデルから紹介する．微分は通常のものを使い、測度に重みをつけることで multiscale のトイモデルをつくることができる (Calcagni 2017)．
ここで作用は∫√1
dD xv −g[R − ω∂µ v∂ µ v − U ] + Sm (3)S= 22κとおく．これにより，アインシュタイン方程式の (00)成分から導かれるフリードマン方程式は()
Dv̇
− 1 H2 + H
2
v

κ2
1 ω
U (v)
K
=
ρ+
v̇ 2 +−
D−1
2D−1
2(D − 1) a2
となる．

(4)

図 2: 重み微分でのスケール因子 (Calcagni 2013)|t−t∗ | ≪ 1 のとき a(t) ∼ ( tt∗ )− 16 となり，|t−t∗ | ≫3

1 のとき a(t) ∼ eH0 t となる．スケール因子の時間発2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
展は図 2 のようになる．ここで，スケール因子が極小値となる時間は tbounce とする．これより，t = 0 から tbounce では宇宙は収縮し、tbounce 以降で宇宙は膨張するようなシナリオが描かれる．

5

Theory with q-derivatives
次のように定義される微分を，q 微分という．

K = □q = η µν

∂ ∂∂q µ ∂q ν(9) 図 3: 実線：スケール因子, 破線：ハッブル定数(Calcagni 2013)

ただし，geometric coodinates は

l∗ xi
α0 l∗

α

Fω (ln |xi |)()
xiiFω (ln |x |) = 1 + A cos ω ln
l∞
)
(
i
x
+ B sin ω lnl∞q i (x) = xi +である．ここで作用を
∫
√
1
S= 2
dD xv −g[q R − 2Λ] + Sm
2κ

(10)

(aH/v)2 +・・・である．ここで共動波数は，
(11)

(12)

とおく．これにより，アインシュタイン方程式の (00)成分から導かれるフリードマン方程式は
) 2
(
H
κ2
Λ
K
D
−1
=
ρ+
−
2
2
v
D−1
D − 1 a2(13)となる．重み微分と同様にスケール因子を導出すると，次の式になる．
[√

a(t) = exp

6

]
2Λ
q(t)
(D − 1)(D − 2)(14)(10) 式より運動量空間での geometric coodinate は

=

(
q

1
1
1
k i , E∗

)

(15)
ki

1 + α1(16)E∗ α−1Fω (− ln |k i |)kiとなる．運動量空間での Mukhanov-Sasaki 方程式は

u′′k + (k̃ 2 − m2ef f )uk = 0

k̃ :=

√

Σi p2 (k i )

(17)

(18)

である．これより，パワースペクトルは( )nk̃
P = As,t
k̃0


1−α
k
α
+
k∗

k
∼ As,t 
1−α 
k0
k0
(19)
α + k∗
[
(
)
(
)
k∞
k∞
× 1 + An cos ω ln
+ Bn sin ω ln
k
k
(
)
(
)]
k∞
k∞
−An cos ω ln
− Bn cos ω ln
k0k0となる．この結果を図 4 に示す．

Power spectrump(k i , E∗ ) :=である．ただし ’ は共形時間の微分であり，m2ef f ∼2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 4: 太線（黒）：multifractional theories でのパワースペクトル，細線（マゼンダ）：multifractional

theories での log oscillations なしのパワースペクト
ル，破線（茶）：一般的なパワースペクトル，点線（緑）：小さいスケールでのパワースペクトル (Calcagni etal. 2016)
図 4 から分かるように，multifractional theories でのパワースペクトルは log oscillations が効いてくることで振動する．

7

Conclusion and Discussion
Multiscale 幾何学で使用されている multiscale とmultifractional，multifratal という用語の定義について整理した．また一般的な微分によるトイモデルや重み微分，q 微分による理論の性質や，multifractional

thories でのパワースペクトルが分かった．
これらの理解をもとに，今後は重力波における計算によって，初期宇宙が実質 (1+1) 次元だった痕跡を見つけたい．また，今回時間にのみ依存していた
重み v を，空間に依存する重みにすることで，ブラックホール周りの実質的な次元について調べたい．

Reference
Calcagni, JHEP 1703 (2017) 138
Calcagni, Kuroyanagi, & Tsujikawa, JCAP 08, 039(2016)
Calcagni 2013, JCAP 12 (2013) 041

——–index

c22

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Multifractional theories と時空次元の実質的な変化
佐野 有里紗（東京学芸大学大学院）

Abstract
現在の宇宙は (3 + 1) 次元時空だと考えられている。しかし、宇宙初期の実質的な次元は、(1 + 1) 次元時
空だという可能性が量子重力理論から示唆されてきた。この可能性を考慮し、実質的に (1 + 1) 次元時空であった宇宙がインフレーション期に (3 + 1) 次元時空になったという非等方モデルが提唱されている。それ以外にも時空の有効次元が等方的に変化する multifractional 時空を利用するインフレーションモデルもある。

multifractional 時空は、q 微分などを用いることによって、スケール変化に伴って次元も変化する時空であり、その時空を記述する理論を multifractional theories と呼んでいる。
本発表では、multifractional theories の導入と概要についてレビューを行う。また、その宇宙論的応用については、ポスター (重宇 c21) で説明している。

1

Introduction

次元に見える。このようなモデルの線素を

ds2 = −dt2 + a2 (t)(b2 (t)dx2 + dy 2 + dz 2 )宇宙初期は非常に小さく、重力が非常に強いため、量子論と重力理論の両方を取り入れなければならない。それを量子重力理論と呼ぶ。その量子重力理論において、次元は動的かつスケール依存性があることが示唆されている。それにより、小スケールや高エネと表す。ただし、a(t) = eHt であり、スケールファ
クターと呼ぶ。このモデルと次元が変化しないモデ
ルの量子揺らぎを比較すると、

H2
βH 4 (
5k 2 )+
1 + 2x
3
5
2k
8k
k
2
H
|ψk (η)|2 → 3
2k

ルギー状態での実質的な次元が落ちると考えられて|ϕ(η̃)|2 →いる (Carlip 2017)。これは、不確定性関係から大きさの最小値を決めていることや、空間座標それぞれに従属関係があるため自由度が落ちることに起因していると考えられる。このように実質的な次元が変化することを dimensional flow と呼んでいる。このdimensional flow の様子というのは理論によって異なる。例えば、causal dynamical triangulations(CDT)
では spectral dimension(dS ) と呼ばれる有効次元が、dS ∼ 23 となる (Ambjorn et al. 2005)。

(1)

と

な

る

こ

と

を

明

ら

か

に

(2)
(3)
し

た

(Sano,Takagi,Kobayashi,in preparation)。
これは非等方に次元を変えるモデルだが、現在の宇宙は等方的であることから、今回は等方的に次元を変えることができる multifractional theories について考えていく (Calcagni 2017)。

dimensional flow が起こる、インフレーションモデ
ルとして、非等方な膨張を考えるモデルがある。例√
β
えば、x にだけ b(t) = 1 + 2Ht (β : β ≪ 1 の定数)eというパラメータを加えるというモデルである。このパラメータによって、インフレーションが始まる程の小さいスケール (ti ∼ tpl ∼ 10−44 秒) では、空間の大きさに対して β が十分大きいので、実質的に空間1 次元に見える。一方、終わる頃 (tf ∼ tGU T ∼ 10−36秒) には β が相対的に小さく (b(t) → 1) なり空間 3

2

Dimensions
有効次元には様々な定義の仕方がある。その中でも今回は multifractional theories に関係のある離散的な時空、特に fractal な時空での有効次元についてまとめる。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.1

を組み合わせると長さが２倍になった相似のギャス

Hausdorﬀ dimension

hausdorﬀ dimension はその空間の体積（空間 1 次
元では長さ、2 次元では面積、3 次元では体積、…だが、便宜上体積と呼ぶ）によって定義される空間次

ケットを作ることができるので、
(
)d
3V1
2ℓ1 H
=
V1
ℓ1

dH ≃ 1.585...

元である。ある空間の典型的な長さを ℓ とし、そのとなる。したがって、このような fractal な空間の次体積を V(ℓ) とすると、hausdorﬀ dimension はdH (ℓ) ≡d ln V(ℓ)
d ln ℓ元は非整数になることもある。

(4)

2.2

と定義される。また、これより

V ∝ ℓdH(7)

Spectral dimension

spectral dimension はある時空で random walk さ(5)せたときの再帰確率から導ける次元である。再帰確という関係式が導ける。これから具体的に次元をい率を P(ℓ) とすると、spectral dimension は、

くつか計算していく。例としてまずはユークリッドdS (ℓ) ≡ −空間での正方形を考える。正方形を４つ組み合わせ
ると１辺が２倍になった相似の正方形を作ることがd ln P(ℓ)
d ln ℓ(8)と定義されるので、できる。(5) より、

P ∼ ℓ−dS(9)という関係式が導ける。

2.3

walk dimension は random walk させたときの平図 1: 正方形の場合

V2
=
V1
4V1
=
V1

(
(

ℓ2
ℓ1

均二乗変位によって導ける次元である。ステップ数

n の平均二乗変位を ⟨r2 (n)⟩ とすると、

)dH

2ℓ1
ℓ1

Walk dimensiondW⟨r2 (n)⟩ ∝ n− 2)dH

dH = 2(10)という関係式が得られる。
また fractal 空間において、この３種類の次元は、

(6)

dW =

となり、確かにユークリッド空間の正方形は空間 2次元である。

2dH
dS

(11)

という関係式を満たす。

次に、fractal 空間の例としてシェルピンスキーのギャスケットを考える。今度は３つのギャスケット

3

Multifractional theories
Calcagni のアイデアから、multifractional theories

で dimensional flow を説明していく (Calcagni 2017)。

dimensional flow を実現させるために、

図 2: シェルピンスキーのギャスケット

dD x → dD q =

D
∏
µ

dq µ

(12)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校のように measure を取り替える。ただし、D は位相スケールにおいてその有効次元が落ちるメカニズム次元であり、導入した座標は、が存在していて、例えば、D = 4, α = 21 の時の小ス

∞
∑
ℓn

ℓ
q(ℓ) = ℓ +sgn(ℓ)
α
ℓ
n
n=1
∼ℓ+

ケールにおける hausdorﬀ dimension は dH ≃ 2 とな

αFn (ℓ)(13)

ることがわかった。これは、量子重力理論で示唆されている宇宙初期の有効次元が (1 + 1)dim であった
(14) ことが記述できている。

1 α
ℓ
α

今後は、この multifractional theories を用いて、であり、(Fn (ℓ) = 1 + A cos n ln

ℓ

)

ℓ∞

(
+B sin n lnℓ)

インフレーション期における量子揺らぎを計算した

い。また、その結果を用いて非等方インフレーショℓ∞ンモデルとの比較や観測にどのような影響を及ぼす(15)かについて考えていきたい。

とした。ここで、ℓ∞ は planck scale での典型的な長さを表す。また、α は fractional 指数と呼ばれ、0 <α ≤ 1 であり、α = 1 は fractal 時空でない場合を表す。新しく導入した measure を用いて体積を記述す
るとG.Calcagni, JHEP 1703 (2017) 138.
S.Carlip，Quantum Grav. 34 (2017) 193001.

V(ℓ) ∼ ℓdH ∼D∏q µ (ℓ)(16) J.Ambjorn et al., Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 171301.

µ

M.Rinaldi，Quantum Grav. 29 (2012) 085010.

となる。

G.Calcagni et al., JCAP 08 (2016) 039.

(12) のように measure を取り替えたことで dimensional flow がどのように実現するかを示す。まず、IR(ℓ ≫ 1) の時を考える。(14) より第一項が効いてくるので q ∼ ℓ となる。それにより、(16) から haus-

dorﬀ dimension は
dH ≃ D(17)となり、位相次元と一致する。
次に、UV(ℓ ≪ 1) の時を考える。(14) より第二項が効いてくるので q ∼ ℓα となる。それにより、(16)から hausdorﬀ dimension は

dH ≃ αD(18)となり、位相次元よりも小さくなり、dimensional

flow が実現する。

4

Reference

Conclusion
今回は、量子重力理論から示唆されている宇宙初期

での dimensional flow を実現できる、multifractional

theories についてのレビューを行った。そこでは、小——–indexc23——–indexc24

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

K-mouflage タイプのスカラー場が与える星の内部への影響
那須 千晃 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
これまでの観測により、現在の宇宙が加速膨張していることが判明している。この加速膨張を説明するために、ダークエネルギーと呼ばれる未知の物質を導入する試みがある。しかし現時点では、このような物質が実在することを示す観測事実は存在しない。そこで、ダークエネルギーを導入せずに一般相対論を修正することで宇宙の加速膨張を説明するという試み（修正重力理論）が注目されている。これに含まれるものとして、一般相対論にスカラー場を加えるスカラー・テンソル理論が盛んに研究されている。
スカラー・テンソル理論においては、重力のほかにスカラー場によって引き起こされる力 (Fifth Force) がはたらくため一般相対論からの差異が生じる。このような差異は太陽系といった局所領域では発見されておらず、スカラー・テンソル理論はスクリーニング機構と呼ばれる Fifth Force を局所的に遮蔽する機構を備えている必要がある。
いくつかの機構がこれまでに研究されており、本講演ではスカラー場の一階微分によって局所領域において一般相対論の振る舞いを取り戻す K-Mouflage Gravity に着目した発表を行う。この理論は、太陽と同程度の質量を持つ星を考えたとき、星からおよそ 3500AU 離れたところまでは Fifth Force が抑制され、一般相対論と一致することがわかっている。ところが、K-Mouflage Gravity 理論において中性子星のような高密度領域での振る舞いは明らかでない。そこで、本講演では星の内部におけるスカラー場の運動方程式を数値的に解き、観測・実験と比較することで K-Mouflage Gravity 理論に含まれる未知のパラメータに対する新
しい制限をかけられるかについて報告する。

1

Introduction
一般相対論にスカラー場を加えたスカラー・テン論で説明するときに比べてより重力が強くなり星の半径や質量が変化すると考えられる。

ソル理論は、局所領域では一般相対論のように振る
舞い、局所領域の外側では加速膨張を説明できるス
クリーニング機構を備えている必要がある。

2

K-mouflage Gravity

このような機構がはたらく境界は注目している重力

いくつかのスクリーニング機構がこれまでに研究

場の強弱に関係している。例えば太陽系のような弱されており、スカラー場の一階微分に着目した、ス

重力場では、スクリーニング機構がはたらく境界はクリーニング機構がはたらく K-mouflage Gravity に太陽系をすっぽり覆ってしまうところにある。した着目する。それは、以下のような作用で表される理がって、太陽系では Fifth Force が抑えられてしまい論である。

修正重力理論は一般相対論のように振舞う。ところが、中性子星のような強重力場では境界がどう変化するか明らかになっていない。もし境界が星の内部に定まれば、星にかかる重力は一般相対論での重力だけでなく Fifth Force が加わってしまう。
さらに、c = 1、ℏ = 1 の単位系では、スカラー場は質量と同じ次元を持つ。スカラー場を加えた修正重力理論では重力そのものが変化するため、一般相対

[

]
MP2 l
S = d x −g
R + Lϕ (ϕ)
2
∫
√
(i)
, g̃µν )+ d4 x −gLm (ψm
[ 2
]
∫
√
MP l
= d4 x −g
R + M4 K (χ)
2
∫
√
(i)
, g̃µν )+ d4 x −gLm (ψm
∫

4

√

(1)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ただし、

χ=

星の内部解

3

X
1
, X = − (∇ϕ)2 , g̃µν = gµν A2 (ϕ) (2)M42球対称静的な時空

ds2 = −eν(r) dt2 + eλ(r) dr2 + r2 dΩ2である。このときの gµν を Einstein frame 計量と呼び、g̃µν を Jordan frame 計量と呼ぶ。Einstein frame
でのエネルギー運動量テンソルを∫√1δ∂g̃ µν
(i)Tµν = −2 √d4 x −g̃Lm (ψm, g̃µν ) µν−g δg̃µν∂g(3)と定義し、Jordan frame でのエネルギー運動量テン
ソルを

(10)

のもとで、完全流体

T̃µν = diag(ρ̃, P̃ , P̃ , P̃ )(11)を考える。また、スカラー場の関数 K(χ) がK(χ) = −1 + χ + K0 χ3 ,K0 = const,(12)であるモデルを考える。このとき、scalar 場の方程式は以下のように修正される。同様に、修正された√(i), g̃µν ) (4) アインシュタイン方程式の tt 成分は
d4 x −g̃Lm (ψmeν(13)
MP2 l 2 [r(1 − e−λ )]′rと定義する。
+ M4 eν (−1 + χ + K0 χ3 ) = A4 eν ρ̃Einstein frame でのアインシュタイン方程式は

δ1T̃µν = −2 √δg̃−g̃ µν

∫MP2 l Gµν − gµν M4 K (χ) −スカラー場の方程式はと書き換えられ、アインシュタイン方程式の rr 成分はdK∂µ ϕ∂ν ϕ = Tµν . (5)
]
[ ′
dχ
eλ
ν
−λ
2
− 2 (1 − e )
(14)
MP l
r
r

(√
)
1
β µν
√ ∂µ
−g∂ µ ϕK ′ (χ) = −g Tµν .
−g
MP l

− M4 eλ (−1 + χ + K0 χ3 )
(6)

− (1 + 3K0 χ2 )ϕ′2 = A4 eλ P̃
と修正される。また、エネルギー保存則の式は

ただし、

d ln A
β
=
dϕ
MP l

(7)

とする。
例えば太陽を考えたとき、この理論はニュートン極限のもとでスクリーニング機構のはたらく領域 rk が

(
rk =

βM⊙
4πMP l M2

P̃ ′ +と修正される。スカラー場の方程式は
)
(
2 1 d
dϕ
+
(νλ)
(1 + 3K0 χ2 )r 2 dr
dr

+

) 12
(8)

となる。観測からパラメータの値を決めることができ、太陽からおよそ 0.01pc 離れたところまでは Fifthν′β(ρ̃ + P̃ ) +∇r ϕ(P̃ + ρ̃) = 0
2
MP l

(15)

(16)

2
d2 ϕ
β
2
4d ϕ
(1
+
3K
χ
)
+
3K
χ
=
A2 (ρ̃ + 3P̃ ).
0
0
dr2
dr2
MP l

以上の方程式を、適当な状態方程式をおいて数値的に解くことで、星の内部解、および星の質量や大きさを求めることができる。

Force
Fϕ = −

β
∇i ϕ
MP l

(9)

4

Discussion and Conclusion
本研究ではスクリーニング機構を持つスカラー・テが抑制され、この理論は一般相対論のように振舞う

ンソル理論で相対論的星の解を求める。時間依存しことがわかっている。

ないスカラー場を仮定したときの解を求めたが、より観測事実に即すような解を求めるためには、時間依存しているスカラー場を仮定する必要がある。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Acknowledgement
指導してくださったスタッフや先輩方に心から感謝いたします。また、ご支援くださった皆様に感謝申し上げます。

Reference[1] E. Babichev, C. Deﬀayet and R. Ziour, Int. J. Mod.
Phys. D 18, 2147 (2009)[2] A. Barreira, P. Brax, S. Clesse, B. Li and
P. Valageas, Phys. Rev. D 91, no. 12, 123522 (2015)[3] P. Brax and P. Valageas, arXiv:1806.09414 [astroph.CO].

——–indexc25

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Positivity bound in modified gravity
平野 進一 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙項問題の回避や後期加速膨張の起源の 1 つとして、重力理論の修正を考える研究が盛んになされている。
そのような重力理論では、微分結合を含むような 繰り込み不可能な 相互作用が、宇宙論的に面白い予言を示したり、小スケールでの重力修正による効果を抑えるスクリーニング機構を働かせる。場の理論の描像ではこのような理論は、低エネルギーの有効場理論として 扱われる。修正重力理論は、高エネルギー領域における理論との整合性を問わない場合が多く、それらは現象論的な側面に重きが置かれがちである。本公演
では、高エネルギー側の理論において慣習的に仮定されるいくつかの条件から、有効場理論としての修正重力理論に条件を課せることをレビューし [1,2]、あまたある修正重力理論の場の理論的な整合性を議論する。

1

Introduction
近年観測された宇宙の加速膨張を説明する、最も簡単な候補とされる宇宙項は、その起源を宇宙の真空期待値と捉えると観測との大きな矛盾を招く。この問題を解決する手法として、宇宙論的なスケールにおいて重力理論を修正する試みがなされている。これを「修正重力理論」と呼ぶ。特に、その修正の典型的なモデルとして、重力場の計量にスカラー場を加えた理論であるスカラーテンソル理論が知られている。その理論が現在の宇宙を記述するためには、宇宙論的なスケールにおいて加速膨張を説明し、太陽系スケールのような小スケールでは一般相対論から予言される理論予言を回復するスクリーニング機構を備えていることが最低限必要である。このスクリー
ニング機構は、大まかにスカラー場のポテンシャル項を用いるものと微分項を用いたものがある。後者
は、「Vainshtein 機構」[3] と呼ばれ、最近盛んに研究されている高階微分理論 (例えば、Galileon[4]) に多く見られる性質であり、この機構の観測的な検証も多く議論されている。
一方で、場の量子論の立場に立つと、このような理論には結合定数が負の繰り込み不可能な演算子 (irrel-

る者は、重い場を integrate out した系を考えればいい。Integrate out した作用には、irrelevant operator
が無数に現れるものの、それらは重い場の質量のべきで抑えられ、結果的に無視できる。素粒子標準模型の範囲では、QED の光子や Fermi 理論、Goldstoneboson のダイナミクスなどがそれに当たる。修正重力理論にもこの立場を導入すれば、問題は解決される。例えば、massive gravity[5] はこれに基づいて理論を構成している。低エネルギー側の EFT の立場は明らかとなったが、高エネルギー側はどうなのだろうか。標準模型の範囲や超弦理論の枠内ではフルの理論がわかっているため、その状況は調べることができる。しかし、修正重力理論に代表されるようなモデルでは、高エネルギー側 (UV) の理論は未知である。

UV が未知であるからといって、これ以上理論的な整合性が要求できないわけではない。考えている系の状況や宇宙論的なシナリオにも依るところがあるが、UV の理論が満たすべき仮定をすることで決定する EFT の整合性が存在する [1]。これは”Posi-

tivity bound”と呼ばれ、標準模型の範囲での議論が基となり、massive Galileon や massive gravity ような修正重力理論モデルに対して、理論的な制限を与
evant operator) が含まれる。このような場合、場のえる [1,2]。
理論における一つの見方として、有効場理論 (EFT)
本集録では、2 章で UV の理論に課すべき要請を紹と捉える手法が挙げられる。例えば、重い場と軽い場介し、3 章において positivity bound を導出する。4が結合している系を考える。重い場の質量より十分低章において、具体例として massive Galileon の場合
いエネルギースケールのダイナミクスのみに興味があ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校を紹介して、strong coupling や Vainshtein screeningu = −s − t + 4m2 の関係にある。A は、部分波展開との関係をみる。5 章で以上の議論をまとめる。細か

を用いると

√

な式の導出・説明は省くため、ポスター発表の際に聞いてほしい。

A(s, t) = 16π∞∑s(2l + 1)Pl (cos θ)al (s)2s − 4ml=0(1)

2

Assumptions in UV theory
この章は、[1] に基づいている。慣例として、場の理論における UV complete theory に対して以下のことが成り立つことを要求している:

1. Lorentz symmetry∫
2. Locality: dkeikx A(k) exists.
3. Causality: [O(x), O(y)] = 0 if (x − y)2 is spacelike.
4. Unitarity: S † S = 1.

となる。Legendre polynomial の性質を用いれば、∂nIm[A(s, t)] t=0 > 0, (for n ≥ 0, s ≥ 4m2 ) (2)∂tnとなる。Unitarity と causality を理論が有する場合に、散乱振幅は極とブランチカットを除いて、複素s 平面上で解析的であるべきだと考えられている [6]。
さらにこれが拡張され、fixed t での s 平面上における解析性が示されている (例えば、[7]):∂nIm[A(s, t)] > 0, (for n ≥ 0, s ≥ 4m2 , 0 ≤ t < 4m2 )∂tn(3)A は散乱振幅, O(x) は任意の演算子, S は散乱行列

fixed t (0 ≤ t < 4m2 ) での散乱振幅の解析性からである。超弦理論はもちろん、多くの高エネルギー

導かれる帰結を議論する。コーシーの積分定理より、理論はこの仮定を満たしている。これらの仮定のもA が解析的ならば、と、EFT と UV theory に間にどのような整合性が成A(s, t) =り立つのか議論していく。

1
2πi

I
γ

と 書 け る 。γ は clockwise

3

Positivity boundMassive scalar ϕ (質量 m) の 2-to-2 scattering を考え、そこから positivity bound を得る [2]。散乱過程
は、Lorentz symm. と locality から CPT 定理が成り立っているので crossing である。最初に UV theoryに課した仮定が EFT に影響するのかを述べておくと、EFT の散乱振幅を求める際に複素平面を経由するが、その面上では UV 側の寄与も入ってしまう。その結果、UV theory に課した仮定がもろに EFT 側に影響し、整合性の条件として positivity bound が得られる。
散乱振幅 A をマンデルスタム変数で表そう。s は重心系エネルギー。t は運動量移行で散乱角と cos θ =2t
1 + s−4m
2 の関係にある。u はこれらに共役な量で

2

′

2

A(s′ , t)s′ − s(4)

contour で 、s′

=

ds′

′

m , u(s , t) = m に pole が、s , u に対してそれぞれ brunch cut をもつ。このことから、

λλA(s, t) = 2+
m − s m2 − u
{
}
∫
1 ∞
Im[A(µ, t)] Im[A(µ, t)]
dµ
+
+
π 4m2
µ−s
µ−u
∫
′
A(s
,
t)
+
ds′ ′
(5)
s −s
R→∞
R → ∞ は上下半円の寄与を表し、branch cut 積分を得る際に、Schwarz reflection principle A(s∗ , t) =A∗ (s, t) を用いている。R → ∞ の寄与が一般に有限でないことを示しており、subtraction(∼ 微分) が２つ必要になる。s と u に対する crossing symmetryから、λ = Resu=m2 A(s, t) = −Ress=m2 A(s, t) とな
り、scalar の場合は t に依存しない。
極は散乱振幅の解析性とは無関係であるため差っ引き、t の寄与の項をまとめ、扱いやすい変数を用い2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
M2 は I 中の被積分関数の分母の最小の µ̄ + t̄/2 であ

れば、

∫ ∞

る。UV 側の仮定から、Y (2N,M ) の positivity が要求
Im[A(µ, t)](µ̄ + t̄/2)[(µ̄ + t̄/2)2 − v 2される。
]
4m2
ブランチカット積分が中間状態 (ループ) を含むこ
(6)とから、positivity bound の議論には EFT のすべてとなる。ここで、x̄ := x − 4m2 /3 (x = s, u, t), v =の散乱の寄与が含まれる。EFT の cutoﬀ scale を Λths̄ + t̄/2 である。とする。更に、EFT の各相互作用が”weak coupling”
次の量を定義する:であることを仮定するならば、4m2 ≤ µ < Λ2th にて
1 2N M
生じるループの寄与はツリーレベルより高次の寄与∂ ∂ B(v, t) v=0 (for N ≥ 1)
B (2N,M ) (t) =M! v tとなり無視することができる。したがって、
M∑(−1)k (2N +k,M −k)
=
I
,
(7)
(2N,M )
k!2k
Ytree(t, Λth ) > 0.
(12)
k=0

B(s, t) = b(t) +

I

(q,p)

2v 2
π

q! 2
(t) =
p! π

dµ

というのがツリーレベルまでを考慮した positivity∫ ∞∂ p Im[A(µ, t)]
dµ t
> 0.
(µ̄ + t̄/2)q+1
4m2(8) bound である。ここで cut-oﬀ scale Λth を持ち出したために、EFT と mass scale からそれに対する新たI は unitarity (3) を使用して positivity が示されて な制限もつけることができる。
いる。t 微分がない場合、理論を特定せずに Y から決まるものを導出しておく。次の質量に依存しない croosing 不変な量を定義
I (2N +k,0−k) = I (2N,0) (t) > 0 する:
k=0
)
(
3
(9)
2
(13)
x = −(s̄t̄ + t̄ū + ūs̄) = v + t̄ ,4
(2N,0)()
が成り立つ。特に、t = 0 の場合には B(0) が
3
y = −s̄t̄ū = t̄v + t̄3(14)
次の量の展開係数に対応している:
4
I
1
A(s, 0)1 ∂ 2 B(s, 0)
これらの変数を用いて B は、解析性から
ds′ ′
=
2πi C
(s − sp )3
2
∂s2
s=sp
∑ an,m∞−2x̄n ȳ m(15)
B(s, t) =
∑
s2N
4n+6m
p
(2N,0)
Λ
=
B
(0)
n,m
2(2N − 2)

B (2N,0) (t) =

0
∑
(−1)k

k!2k

N =1

(2N,M )との対応は、> 0 (0 ≤ sp < 4m2 ). (10) と展開できる。これと B∑
dq
B (2N,M ) = (2N )!
a
C は極を省いた counter 積分。この positivity bound
4N +2M N −M +3q,M −2qΛq
が [] で導出され、inflation や modified gravity のモ(16)
デルへの適用の走りとなった。t 微分ありの場合、式(7) の右辺は (−1)k によって符号が反転しながら和を となる。dq は、M, N によって決まる定数。Λ は、摂とっているので、少し複雑になる。次の量が positive 動論的ユニタリー性の破れるスケールとして導入しになる:た。Y (2N,M ) の具体的な表式は式 (11) であったので、∑エネルギーの 8 乗のオーダーまで見てやると、

M/2

Y(2N,M ):=

cr B

(2N +2r,M −2r)

+

1
M2

≥I

(M −1)/2∑[2(N + k) + 1]βk Y (2(N +k),M −2k−1)k∋even(2N,M )

> 0.

d0
a1,0 > 0,
Λ4
d0
3
d0
Y (2,1) = 2! 6 a0,1 +2! a1,0 > 0,Λ2Λ2th Λ4d0
Y (4,0) = c0 B (4,0) = 4! 8 a2,0 > 0.
ΛY (2,0) = 2!

r=0

(11)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここから、展開係数 an,m に対する関係式が得られる:

g4 /g32 ≤ 7/8 の場合は Λth に対して Λ2th < 6m2 (7/8−
g4 /g32 )/(g4 /g32 − 3/4) という上限がつく。strong cou-3Λ2
a1,0 > 0, a0,1 > − 2 a1,0 , a2,0 > 0.
2Λth(17) pling scale の整合 [9] から g4 /g32 < 3/4 が、Vain√
shtein 機構が働く要請 [4] から g4 ≤ 0, g3 > − g4
ここから２つのシナリオが考えられる。a0,1 > 0 の が結合定数に課される。したがって、標準的な UV
場合は、特に珍しいことはない。a0,1 < 0 の場合、理theory を持ち、宇宙論的にダークエネルギーとして振論の cut-oﬀ である Λth を特徴づける不等式として、 る舞える massive Galileon は g4 /g 2 < 3/4 を満たす。
3Λth <

3a1,0 2Λ
2|a0,1 |(18)が得られる。つまり、Λ に行く前に EFT の cut-oﬀ

scale がきて、heavy mode を含めた UV complete
theory にシフトする必要があると言っている。

5

Summary
UV 側 の 理 論 で 標 準 的 に 課 さ れ る ４ つ の 仮 定:

Lorentz symm., locality, causality, unitarity を満たすような EFT が満たすべき整合条件 “positiv-

ity bound” を導出し、具体例として主に massive

4

Eamples

Galileon を詳しく見た。結果、結合定数の組に対し具体例を見てみよう。Massive Galileon [8] La-

grangian は、て整合条件を positivity bound からつけることができ、strong coupling scale の整合、Vainshtein 機構を有するような場合には、条件がさらに強まることを
1 2 2
確認した。
L = LGal − m π
211g3= − (∂π)2 − m2 π 2 +π[(□π)2 − (π µν )2 ]
2
2
3!Λ3
g4
Acknowledgement+
π[(□π)3 − 3□ϕ(π µν )2 + 2(π µν )3 ]4!Λ6
g5
夏の学校開催にご助力いただいた方々に、心より+
π[(□π)4 + · · · ].
(19)
5!Λ9
感謝申し上げます。著者は、JSPS 科研費 17J04865
ここで、π µν = ∂ µ ∂ν π 。最低次の相互作用は、g3 と の助成を受けています。

g4 の項で、g5 の項はループになってしまう。散乱振幅を計算して得られる a 係数は、()
m6 16g4
295g32a00 = 6
−
,
Λ
27
144
(
)
3g 2
1
g4
a01 = 6 − + 3 ,
Λ
4
16
(
)
2
m
g4
3g32
a10 = 6 − +.
Λ48Reference[1] A. Adams, et al., JHEP 0610 (2006) 014, [hepth/0602178].
[2] C. de Rham, et al., Phys. Rev. D 96 (2017) no.8,
081702, [arXiv:1702.06134 [hep-th]].

(20)

一方で、positivity bound は、[3] A. I. Vainshtein, Phys. Lett. 39B (1972) 393.
[4] A. Nicolis, et al., Phys. Rev. D 79 (2009) 064036,[arXiv:0811.2197 [hep-th]].

Y (2,0) > 0 ↔ a10 + a01 t̄ > 0,(21) [5] C. de Rham, et al., Phys. Rev. Lett. 106 (2011)
231101, [arXiv:1011.1232 [hep-th]].
3(a10 + a01 t̄) > 0. (22)Y (2,1) > 0 ↔ a01 +2
2Λth[6] S. Mandelstam, Phys. Rev. 112 (1958) 1344.
上記の値を代入すると、g4 /g32 の値によって上記の[7] A. Martin, Nuovo Cim. A 42 (1965) 930.

positivity bound (21),(22) が満たされるか分かれ [8] C. de Rham, et al., JHEP 1709 (2017) 072,
[arXiv:1702.08577 [hep-th]].
る。g4 /g32 ≤ 7/8 のときに満たされ、特に 3/4 <——–index

c26

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

一般化された境界条件を用いた反ドジッター時空の不安定性解析
片桐 拓弥 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
反ドジッター時空 (AdS) は、境界においてエネルギーの散逸を失くす境界条件のもとで摂動を与えると不安定になりうることが知られている。不安定性の機構は複数知られており、それらの多くの先行研究は Dirichlet 境界条件を用いた。しかし、AdS の境界にはより一般的な境界条件を課すことができる (Ishibashi&Wald(2004)[1])
ため、先行研究の多くが限定的な結論である。AdS3 において、一般化された境界条件のもとで質量を持つスカラー場の運動を考えると、ある範囲の質量を持つスカラー場は特定の境界条件において成長モードを持つことが、Ferreira&Dappiaggi&Herdeiro(2018)[2] によって明らかとなった。この不安定性は、既に知られた不安定性と異なる性質を持つものである。本研究では、[2] とは異なる方法で同様の不安定性の存在を明ら
かにした。

1

Introduction
AdS は、負の宇宙項を持つ Einstein 方程式の解で2Poincare patch of AdS3
AdS3 は、次の拘束条件あり、最大対称空間である。AdSd+1 /CFTd 対応の−X 0 2 − X 1 2 + Z 2 2 + X 3 2 = −ℓ2

観点から、d 次元強結合ゲージ理論の理解へ繋がる
点で AdSd+1 における重力の振る舞いが注目されて

(1)

を満たす

いる。また、一般相対論の観点から、不安定性をはじめとした AdS の振る舞いの解析は重力の新たな理解へ繋がると期待される。

AdS には、空間的無限遠に時間的な境界が存在する。この境界においてエネルギーの散逸を失くす
ような境界条件を課すことで、摂動を与えた AdS はds2 = −dX0 2 − dX 1 2 + dX 2 2 + dX 3 2(2)√の双曲空間として定義される。ただし、ℓ ≡ − Λ1 はAdS 半径である。そして、(2) 式の時空で次のような座標系をとる。

ものである。そして近年、より一般的な境界条件をℓ
tzℓX1 = xz
1 − z2−t2 + x2
X2 = ℓ(+)
2z
2z
1 + z2−t2 + x2
X3 = ℓ(−)
2z2z用いた研究が行われている。このような境界条件の(3) で与える座標をポアンカレ座標と呼ぶ。ただし、一般化は、より広い視点からの AdS の理解を可能にt ∈ (−∞, ∞), z ∈ (0, ∞), x ∈ [0, 2π) である。そしし、統一的な見通しを与える。

て、ポアンカレ座標は次の時空を覆う。

不安定となりうることが知られている (SuperradiantX0 =Instability、Turbulent Instability[3])。特に、Turbulent Instability は重力の乱流的な振る舞いを示し、重力の持つ新たな側面を明らかにした。
これらの先行研究で用いられた境界条件の多くはDirichlet 境界条件であり、得られた結論は限定的な本研究では、[2] が示したある範囲の質量を持つス

ds2 =カラー場がもたらす AdS3 の不安定性と境界条件の関連を、[2] とは異なる方法で示した。

ℓ2(−dt2 + dz 2 + dx2 )
z2

(3)

(4)

ポアンカレ座標が覆う領域をポアンカレパッチと呼び、空間的無限遠である z = 0 に時間的な境界が存在する。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

Massive scalar field on AdS3
AdS3 において、重力と非最小結合する質量 m0 の


定理



a∈ (0, ∞) において、′

ψ(a) = 0 ψ (a) = −1

スカラー場 Φ(t, z, x) の運動を考える。

m2(□ − 20 − ξR)Φ(t, z, x) = 0ℓ′

θ(a) = 1 θ (a) = 0(5)

ただし、ξ, R は重力とスカラー場の結合定数、スカを満たす基本解系 {ψ(z), θ(z)} が存在する。


ラー曲率である。そして、Fourier モード ϕωk (z) を

ただし、

考えると

系が存在することが保証される。

µ2 + 34d2+)ϕωk (z) = (ω 2 − k 2 )ϕωk (z)
dz 2
z2

′



d
≡ dz
とする。この定理から、次の基本解

1/2 1/2(6) ψ(z) = − πa z [Jν (zs)J−ν (as)−J−ν (zs)Jν (as)]2sinνπ(8a)222となる。ここで、有効質量 µ = m0 + ξℓ R、ω >′′πsa1/2 z 1/2
0 とする。また、AdS3 においてスカラー場のエネ θ(z) = − 2sinνπ [Jν (zs)J−ν (as) − J−ν (zs)Jν (as)]
ルギーが正定値をとるために、µ2 ≥ −1 とする
ψ(z)
+
1
2
2a
(Breitenlohner-Freedman bound)。更に、ν − 4 =
(8b)
3
2
2
2
µ + 、λ = ω − k とすると、(−

4L̂ϕωk (z) = (−

ν 2 − 14d2+
)ϕωk (z) = λϕωk (z) (7)2dzz2となる。L̂ はヒルベルト空間の演算子であり、このz ∈ [0, a], z ∈ [a, ∞] の範囲における解は、(8) 式の線型結合で書くことができる。そして、z = a でそれぞれの解を接続することで、z ∈ [0, ∞] における固有値 λ を得る。

固有値方程式を解くことでスカラー場の運動を理解できる。また、その固有関数は L2 (0, ∞) に属する。
本研究では、後に定義する一般化された境界条件を課すことが出来る ν ∈ (0, 1) の範囲に注目する。
この場合、ある種の境界条件のもとで λ < 0 の固有(1)z ∈ [0, a]z ∈ [0, a] の解 ϕ1 (z) を、次のように表す。
ϕ1 (z) ∝ θ(z) + m1 ψ(z)値のみが存在することが [1] によって明らかになって
いる。

(9)

ただし、m1 ∈ C である。
スカラー場の運動と境界条件の関連を得るために、

3.1

Prinsipal solutionsν ∈ (0, 1) では、z 1/2 Jν (zs), z 1/2 J−ν (zs) の二つの線型独立な解が存在する。ここで、λ = s2 であり Jν
はベッセル関数を表す。したがって、z ∈ [0, ∞] の固有関数はこれらの線型結合で表すことができる。

z = 0 において次の Robin 境界条件 [4] を課す。
lim [cos(α)W{ϕ1 , s−ν z 1/2 Jν (zs)}

z→0

(10)
+ sin(α)W{ϕ1 , sν z 1/2 J−ν (zs)}] = 0

ただし、W はロンスキアン、α ∈ [0, π) である。

(0, ∞) に お け る 基 本 解 系 Robin 境界条件は、Dirichlet 境界条件と Neumann{ψ(z), θ(z)} の線型結合で表すことを考える。そし 境界条件を包括するため、(7) 式を解く上で最も一般
固 有 関 数 を 、z∈て、本研究で考える問題において、基本解系に対し化された境界条件である。この境界条件は、z → 0て次の定理が成立する。

で z 1/2 Jν (zs), z 1/2 J−ν (zs) が L2 (0, a) に属する ν ∈(0, 1) の範囲で有効である。そして、α の値を定める
ことが、課す境界条件を選択することに対応する。また、この境界条件は z = 0 におけるスカラー場のエ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ネルギーフラックスを失くすため、AdS の境界にお4

Results

いてエネルギーの散逸は存在しない。

(17) 式を ω について解くと、√
ω = k 2 − cot1/ν (α)

そして、(9) 式に Robin 境界条件を課すことで、m1を得る。
′

m1 = −s(18)′cot(α)J ν (as) − s J−ν (as)1−cot(α)J ν (as) − s2ν J−ν (as)2a2ν(11) を得る。(18) 式から、k と α の値によって ω が純虚数を取りうることがわかる。次の図 1 は、境界条件と ω の虚部の関係を表している。

(2)z ∈ [a, ∞]50z ∈ [a, ∞] の解 ϕ2 (z) を、次のように表す。
40

ϕ２ (z) ∝ θ(z) + m2 ψ(z)(12)

ただし、m2 ∈ C である。
2ν ∈ (0, １) の場合、z → ∞ で L（a, ∞) に属する

解は、

Im[ ]

30


20

z 1/2 Hν(1) (zs)

(13)
10

(1)

である。ただし、Hν は第 1 種ハンケル関数である。
そして、(12) 式が z → ∞ で (13) 式に漸近するため

0
0.0の条件として、次の関係が得られる。
(1)m2 = −s

Hν

(as)

−

0.2

0.3

0.4

0.5

α/π

′

(1)
Hν (as)

0.1

1
2a

(14)

図 1: 境界条件と成長 mode の関係 (k = 1,ν = 1/3)
この事実は、境界条件に依存した AdS3 の不安定性

3.2の存在を示す。

Eigenvaluez = a において、(9) 式と (12) 式を接続すること

5

で次の関係を得る。

cot(α) − s2ν e−iνπ(1)Hν (as){cot(α)Jν (as) − s2ν J−ν(as)}= 0 (15)

Conclusion
本研究では、µ2 ∈ (−1, 0) の範囲の有効質量を持つスカラー場は、ある種の境界条件において AdS3 に不安定性をもたらすことを明らかした。これは、[2]

本研究において興味があるのは、λ = s < 0 の場合の示した結論と一致する。また、既に知られた AdSである。したがって、s ∈ C である。そして、ρ ∈ Rの不安定性である Turbulent Instability は非線形摂を用いて s = iρ とすると、次の関係が得られる。

動によるものであるが、本研究は線形摂動の範囲で

2

ρ = cot1/2ν (α)

ある点で性質が異なる。更に、この一般化された境(16) 界条件のもとで漸近的 AdS3 のブラックホール解で最後に (16) 式から、(7) 式の固有値 λ を次のように得る。

λ = −cot1/ν (α)
ただし、α ∈ (0, π2 ) である。

(17)

ある BTZ 時空における Superradiant Instability を解析した結果、ブラックホールに正のエネルギーを流入させる機構の存在が [2] によって明らかにされている。しかし、この不安定性の詳細な理解は得られていない。不安定性をもたらす機構と、その後に行き着く時空の解析が今後の課題である。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Acknowledgement
第 48 回天文・天体物理若手夏の学校の運営にご賛同頂き、ご支援下さった機関及び個人の方々に感謝いたします。また、議論や研究指導、研究生活における様々な場面でお世話になっている方々に感謝申し上げます。

Reference[1] A. Ishibashi and R. M. Wald, Class. Quant. Grav.
21, 2981 (2004)[2] C. Dappiaggi,
H. R. C. Ferreira and
C. A. R. Herdeiro, Phys. Lett. B 778, 146(2018)[3] P. Bizon and A. Rostworowski, Phys. Rev. Lett.
107, 031102 (2011)[4] C. Dappiaggi and H. R. C. Ferreira, Phys. Rev. D
94, no. 12, 125016 (2016)[5] E.C.Titchmarsh, Oxford University Press,(1962),

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c27

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Holographic entanglement negativity conjecture for adjacentintervals in AdS3 /CFT2
辻村 潤 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
Quantum entanglement を測る代表的なものには entanglement entropy(EE) があり, 2006 年に笠-高柳によって CFT の EE が AdS 時空で対応する極小局面の面積によって計算できるという予想が発表された (S.

Ryu & T. Takayanagi 2006). Entanglement を測る量は EE に限らず entanglement negativity(EN) もその一つであるが, CFT の negativity を, 対応する AdS 時空でどのように計算できるかは完全に理解されておらず, (P. Jain et al. 2017) では CFT の large central charge limit での隣接した 2 つの区間の EN を, 対応する AdS 時空での計算方法の予想がなされており, 真空の非有界な系, 有限な系, 有限温度の非有界な系について CFT の結果を再現している. またこれによって計算された EN は対応する mutual information と
一致する.

1

すると Logarithmic negativity E は次のように定義

Introduction
Quantum entanglement を測る代表的なもの量として entanglement entropy(EE) が知られており,2006 年に笠-高柳によって CFT の EE が AdS 時空で

される.

[
]
E = log tr ρT2(2)

ここで tr ρT2 は ρT2 の固有値の絶対値の和である.

対応する極小局面の面積によって計算できるという予想が発表された (S. Ryu & T. Takayanagi 2006).

Entanglement を測る量は EE に限らないし, EE は
熱的な entropy の寄与も含むので他の量と同様に en-tanglement を単純に定量化するわけではない.

2

EN in CFT2
図 1 で表されるような 1 次元系について考える.

Entanglement negativity(EN), 特に logarithmic QFT では tr (ρ) は replica trick によって計算されentanglement negativity は entanglement mesure の (P. Calabrese & J. Cardy 2004), 特に絶対零度の一つでこれは distillable entanglement の上限を与え

1+1 次元系の場合, A1 = [u1 , v1 ], A2 = [u2 , v2 ] のる量で, 熱的な寄与を含まない. CFT の EN を, 対

density matrix ρA は twist operator Tn , T̃n の 4 点関

応する AdS 時空でどのように計算できるかという問数として表現できる (J.L. Cardy et al. 2007).

いは自然であり未だ完全に理解されていない. この

review では隣接した 2 つの区間についての考察を行う.

tr (ρA ) = lim ⟨Tn (u1 )T̃n (v1 )Tn (u2 )T̃n (v2 )⟩
n→1

(3)

同様にして tr ρT2 も replica trick によって計算することができる (P. Calabrese et al. 2012). まず ne

A1 , A2 を部分系, A = A1 ∪A2 として, A1 , A2 , B =Ac の 3 つに分割された系を考える.A の Hilbert 空間(a)

を H = H1 ⊗ H2 , さらに Ha の基底を eiとする. Aの density matrix を ρA とし, その partial transposeρTA2 を次のように定義する.
⟨(1) (2)ei ej(1) (2)

ρTA2 ek el⟩⟨⟩(1) (2)(1) (2)= ei el ρA ek ej(1)

図 1: 2 つの区間 (P. Jain et al. 2017)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校を偶数として以上は絶対零度の非有界な系での隣接した区間の

tr ρT2 = lim tr

[(

ne →1

ρT2

)n ]
e

(4)

EN の導出であった. この他にも絶対零度の有界な系
でのものや有限温度での非有界な系でのものも CFT2の良い性質のため eq.(11) に帰着できて結果は以下のであるから通りである (P. Jain et al. 2017).

tr ρT2 = lim ⟨Tne (u1 )T̃ne (v1 )T̃ne (u2 )Tne (v2 )⟩ne →1· 絶対零度, 系の大きさが L の場合[]
L sin πlL1 sin πlL2c
+ const.
E = log4
πa sin π(l1 +l2 )(5)を計算すれば良い.
この様な量の計算は CFT2 の場合非常に簡単にできる. CFT2 は非常に対称性が良い理論なので Ward-

(12)

L

Takahashi identity から 2 点関数, 3 点関数は含まれる演算子の scaling dimension のみでほとんど決まっ· 系の逆温度が β の時
[
]
πl1
πl2
β sinh β sinh βc+ const.
E = log4
πa sinh π(l1 +l2 )てしまい以下の様に表せる.

⟨O1 (u)O2 (v)⟩ ∝ |u − v|−∆1 −∆2

(6)

(13)

β

⟨O1 (u)O2 (v)O3 (w)⟩ ∝ |u − v|∆3 −∆1 −∆2
× |v − w|∆1 −∆2 −∆3 |w − u|∆2 −∆3 −∆1(7)

ここで ∆i は Oi の scaling dimension である.
以下では図 2 の系, すなわち eq.(5) で v1 = u2 とした 3 点関数の場合を考えることにすると以下の量を考えればよい.

図 2: 繋がった 2 つの区間 (P. Jain et al. 2017)tr ρT2 = ⟨Tne (−l1 )T˜2 ne (0)Tne (l2 )⟩(8)

ここで, l1 = v1 − u1 , l2 = v2 − u2 とした. Tne , T̃neの scaling dimension は CFT2 の解析からわかり, T̃n2eについては pure state についての解析から知ること

3

HEN for adjacent interval
図 2 の系の large c limit での Holographic entan-

glement negativity(HEN) を導入する. まず eq.(9),ができて,∆Tn = ∆T̃n =c24c∆Tn2e = ∆T˜2 n =
e
12

(
n−
(

1
n

)

ne
2
−
2
ne

(10) から(9))

であることに注意すると eq.(6) を使って eq.(7) が次(10) のように変形できることに注意する.

定数である.

⟨T n2e (u)T̃ n2e (v)⟩ ⟨T n2e (v)T̃ n2e (w)⟩ (15)
⟨T n2e (u)T̃ n2e (w)⟩(11) ここで (S. Ryu & T. Takayanagi 2006) によると

ここで a はその逆数が運動量の cut oﬀ であるような定数である. また const. 項は twist operator や場などの詳細に依存する.

⟨Tne (u)T̃n2e (v)Tne (w)⟩ ∝ ⟨Tne (u)T̃ne (w)⟩×以上から EN は以下のように表せる.

c
l1 l2
log
+ const.
4(l1 + l2 )a

(14)

2

である. ここで c は central charge で場の種類による

E=∆Tn2e = 2∆T nelarge c limit では()∆T n⟨Tn (u)T̃n (v)⟩ ∼ exp −
Luv
R

(16)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
ただし R は AdS 時空の半径で, Luv は区間 [u, v] にFinite sized system or finite
temperature

対応する測地線の長さである. すると eq.(15) は⟨Tne (u)T̃n2e (v)Tne (w)⟩ ∼[]−∆Tne Luw − ∆T ne (Luv + Lvw − Luw ) (17)2expRとなり, HEN は次のように表現できると予想できる.

3
E=(Luv + Lvw − Luw )16G(3)(18)& M. Henneaux 1986) の次の関係を用いた.
3R
2G(3)

で系の大きさが非有界の場合について eq.(17) を適用
する.
まず絶対零度で空間方向の長さが L の有界な系の場合, AdS3 の計量は次のように与えられる.

ただし G(3) を 3 次元の重力定数として (J.D. Brownc=

次に絶対零度で系の大きさが有限の場合と有限温度()
ds2 = R2 − cosh2 ρ dt2 + dρ2 + sinh2 ρ dϕ2 (24)
このとき ϕ は周期 2π である. すると対応する測地
線の長さは

[

(19)

Luv = 2R log

L
π (v − u)
sin
πa
L

]
(25)

特に笠-高柳によると eq.(18) は holographic en-tanglement entropy を用いると mutual information となるから EN は[]3
L sin πlL1 sin πlL2E=log
πa sin π(l1 +l2 )8G(3)L

I(A1 , A2 ) と次の関係にある.
3
3
E = (SA1 + SA2 − SA1 ∪A2 ) = I(A1 , A2 ) (20)44また eq.(20) は一般に AdSd+1 /CFTd で成り立つ

(26)

となる.

と予想できる.
一方で逆温度 β で非有界な系の場合, AdS3 の計量は次のように与えられる.

In the vacuum

ds2 = −

Eq.(18) を実際の系に適用する. まず絶対零度で非有界な系の中の隣接した区間について考える. この対応する測地線は[とき AdS3 の計量は次のように与えられる.

R2
r2
r2
ds2 = − 2 dt2 + 2 dr2 + 2 dx2RrRβπ (v − u)
Luv = 2R log
sin
πa
β
(21)

となるから図 2 の系に対して
[
]
l1 l2
3
log
E=
(l1 + l2 )a
8G(3)

(22)

]
(28)

となるから EN は

[
]
πl2
πl1
β sin β sin β3logE=πa sin π(l1 +l2 )8G(3)βすると CFT2 での区間 [u, v] に対応する測地線の長さは UV cut oﬀ a−1 を用いて[]
v−u
Luv = 2R logaR2r2(r2 − rh2 ) 2
dτ + 2dr2 + 2 dϕ2 (27)22R(r − rh )
R

(29)

となる.

Eq.(26), (29) は eq.(19) を用いれば確かに large climit で eq.(12), (13) に一致している.
(23)となって実際に eq.(11) の large c limit と一致する.

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4

Conclusion
隣接した 2 つの区間の CFT2 での EN を AdS3 で計算する公式が eq.(18) であると予想した. これは実際, 絶対零度で非有界な系, 絶対零度で有界な系, 有
限温度で非有界な系の３つの状況において CFT2 の結果を再現することができた. 特にこの結果は対応する mutual information に比例することがわかった.
従ってこの結果は AdSd+1 /CFTd でも隣接した領域についてはこれを一般化した式が成立すると予想ができる.
以上の結果は隣接した 2 つの区間についての結果であり, ２次元の場合でも離れた区間についての場合や,高次元の場合の一般的な領域についての holographic
な公式は全く不明である.

Reference
S. Ryu & T. Takayanagi 2006, Phys. Rev. Lett. 96(2006) 181602, arXiv:hep-th/0603001 [hep-th].
P. Jain, V. Malvimat, S. Mondal, & G. Sengupta 2017,arXiv:1707.08293 [hep-th].
P. Calabrese & J. Cardy 2004, arXiv:hep-th/0405152
J.L. Cardy, O.A. Castro-Alvaredo, B. Doyon 2007,
arXiv:0706.3384 [hep-th]P.

Calabrese, J. Cardy, & E. Tonni
arXiv:1206.3092 [cond-mat.stat-mech]

2012,

J.D. Brown & M. Henneaux 1986, Commun. Math.
Phys. 104, 207

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2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Proca star
遠藤 洋太 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般によく知られているベクトル場は Maxwell 場であるが、Maxwell 場は質量をもたない。ベクトル場に質量を仮定して、質量を持つベクトル場を考える。そのようなベクトル場は Proca 場と呼ばれ、その Proca場から構成される重力理論を考える。このような条件の下で運動方程式 (Einstein Proca 方程式) を導出し時空構造を調べていく。
文献 [Richard Brito et al. (2016)] では時空を球対称、軸対称とそれぞれ仮定することで Einstein Proca 方
程式を数値的に解き、スカラーボゾン場の場合と比較しながら、星とみなせる集合体が形成される条件を示している。また、その時空の安定性を得られた時空の metric に摂動的な効果を加えることで数値的に論じている。
本発表では、Einstein Proca 方程式の球対称の場合の数値解を Mathematica を用いて導出し、その解が持つ意味を解析する。さらにこのモデルはダークマターやブラックホールの候補としても考えてられており、そのことについても簡単に述べる。

1

Introduction
最新の宇宙論では宇宙の 26 ％が dark matter で出来ておりその詳細はよく分かってない。現在 dark

matter の候補となるモデルはいくつも存在する。1 つ

まず、作用として
(
)
∫
R
1
1 2
4 √
µν
µ
S = d x −g
− Fµν F̄ − µ0 Aµ Ā
16πG 42(1)とする理論を考える。このとき、運動方程式は、のアプローチとして Proca 場 (massive vector 場) に注目する。この場は macro な視点では重力的に Bose-Gµν = 8πGTµν

Einstein 凝縮を起こす。重力にバウンドされた boson∇α F αβ = µ20 Aβの構造は dark matter と関係がある。dark matter 候
補として (scalor) Bose-Einstein 凝縮を調べることは(2)

ような解：scalar bosonic stars) となる。この object

1Tµν = −Fα(µ F̄ ν)α − Fαβ F̄ αβ gµν
4
(
)
1
2
+ µ0 A(µ Ā ν) − Aλ Āλ gµν
2は宇宙論での black hole 的な object から TeV レベ

これが今回考える Einstein Proca 方程式である。

Newtonian 近似から示される。相対論の範囲ではそのような粒子は引力を持つ soliton 解 (場が局在する

ルの重力のシナリオまで応用できる。

またこの Lagrangian は global U(1) 変換 Aµ →e2Einstein Proca equation
始めに、Proca 場とは、質量を持つ vector 場のこ

(3)

−iα

Aµ に対する対称性を持っているので、Noether

current が存在して
jα =]i [ αβF̄ Aβ − F αβ Aβ2とである。今回は複素の Proca 場が重力と相互作用(4)

この current から Noether charge を構成すると
∫
√
(5)
Q=
d3 x −gj 0
察する上での必要となる物理量、方程式を定義する。
する場合の理論について考えていく。この理論を考

spacelikeslice

以上が解析的な物理量、方程式の導出である。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

r → ∞：

Numerical solution
Einstein Proca 方程式は非線形偏微分方程式であf (r) = c0e−rるので一般に解くのは容易ではない。そこで球対称時空を仮定してこの方程式を数値的に解いていくこ
ととする。

3.1

g(r) = c0 √

√

2
µ2
0 −ω

+ ···

r

−r

ω

√

e

2
µ2
0 −ω

r

µ20 − ω 2

+ ···
(10)

m(r) = M + · · ·ln σ(r) = −4πG

ansatzc20 µ20e−2r

32(µ20 − ω 2 ) 2

√
2
µ2
0 −ω

r

+ ···

この表式から初期条件 f (0)、σ(0)、振動数 ω を与え球対称時空：

(
)
2m(r)
dt2
ds2 = −σ 2 (r) 1 −
r
(
)−1
2m(r)
+ 1−
dr2 + r2 dΩ2rvector potential ansatz：
f (r)e−iωt ig(r)e−iωt Aµ = 
00

ることで実スカラー関数のすべてが決定できること
がわかる。

(6)

3.2

numerical solution(8) 式を数値的に解いていくことを考える。ω/µ0 →ω 、rµ0 → r とすることで関数の形は変えることなくµ0 を変数の中に押し込めることができるため、ここ(7) では µ0 = 1 として扱う。同様の手順により 4πG = 1とする。上述の通り、f (0)、σ(0)、ω を固定することで数値解が 1 つ決定できる。

ただし、ω は定数、 f (r), g(r), m(r), σ(r) はすべて実
スカラー関数である。この仮定の下で Einstein Proca
方程式は
d
dr

{ 2 ′
}
r (f (r) − ωg(r))µ2 r2 f (r)= 0
σ(r)σ(r)N (r)µ2 σ 2 (r)N (r)g(r)ωg(r) − f ′ (r) = 0ω[2(g(r)ω − f ′ (r))
m′ (r) = 4πGr222σ (r)()]
2f 2 (r)µ02++ N (r)g (r)2 N (r)σ 2 (r)()σ ′ (r)f 2 (r)= 4πGrµ20 g 2 (r) + 2
σ(r)N (r)σ 2 (r)(8)

fig 1: 数値解一例：ω = 0.912、f (0) = 0.327、σ(0) = 0.507と書くことができる。この常微分方程式から導かれる r = 0、r → ∞ での漸近的な挙動はそれぞれ
r = 0：()
f0
ω2
f (r) = f0 +µ20 − 2 r2 + O(r4 )
6
σ0
f0 ω
3
g(r) = − 2 r + O(r )3σ0m(r) =

4πGf02 µ20 3
r + O(r5 )6σ02

σ(r) = σ0 +4πGf02 µ20 2
r + O(r4 )
2σ02

(9)

fig.1 は、数値解の一例である。この作業を繰り返し行い、ADM massM = m(∞) と Noether charge

Q を振動数を変数にプロットすると、fig.2 となる。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
h0 (0) の shooting method まで帰着できる。これにより Proca star として安定な解が求められる [fig.3]。

fig 2: MADM 、Q と ω の相関
ここで、M は Proca 場が局在しているときのエネ

fig 3: Proca star の安定性

ルギーに相当し、Q は Proca 場が離散的に存在していfig.3 から Proca 場が安定に局在するような解の存る場合のエネルギーに相当する。つまり、M > Q の領域では、Proca 場が局在している解は存在しない。 在が示された。

M < Q の領域では、Proca 場が局在するような解になっている。つまり、M < Q の領域では、Proca 場の塊 (星) のようなものができているといえるだろう。 5

Future Work
今後の課題としては大きく分けて 2 つある。ここ4で求めた Proca star をマクロなもの (星) とみなす

PS の安定性

考え方とミクロなもの (素粒子的な何か) としての考前節で、M < Q のとき星のような塊が存在することがわかった。しかし、この塊が少しの振動で壊れえ方である。以下では前者を section.5.1 で、後者をsecion.5.2 で扱う。

てしまう、つまり、不安定な塊では星にはなれない。
この節では、metric と vector potential に摂動を加えることで、その安定性を確認する。
球対称摂動：

場の質量そのものはどの程度になるのか見積もる、(11)
dr2 [1 + ϵh1 (r)e−iΩt ]+ r2 dΩ2+
N (r)vector potential：−iΩt ϵf1 (r) + iϵf2 (r) f (r) + erϵg1 (r) + iϵg2 (r)Aµ =  ig(r) + e−iΩt

r

0
0

Realsitic Proca star

この Proca star が存在すると仮定すると、Procads2 = −σ 2 (r)N (r)[1 − ϵh0 (r)e−iΩt ]dt2



5.1




 −iωteProca star の質量はおよそ
MPS ≤

2
Mpl
µ0

(13)

である。ただし、MPS は Proca star の質量、Mpl はプランク質量である。この Proca star が太陽質量程(12)ただし、h0 (r)、h1 (r)、f1 (r)、f2 (r)、g1 (r)、g2 (r)度の星だと仮定すると、Proca 場の質量はµ0 ≤ 10−10 [eV](14)はすべて実スカラー関数で ϵ は small parameter、 これは電子ニュートリノの質量が 100 [eV] なのでそ
Ω は定数。ここでは摂動の詳細な計算しないが Ω と れよりも 10 桁以上小さい粒子となる。このような軽2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
い粒子の起源はどこにあるのか調べる必要があるだろう。
また Proca star の安定性のところで不安定な解が存在することを示したが、この不安定解は、質量を放出することで安定な Proca star に戻るか、black holeに崩壊するかの 2 択となる。今後の課題としてどちらの描像になるかを整理するのが 1 つの目標となる。

black hole に崩壊する描像が正しく得られるとする
ならば十分質量の小さい black hole(太陽質量程度)も作れるのではないかと予想出来る。

5.2

dark matter としての Proca star

質量 (m の複素 scalar
場に対して potential V (ϕ) =)2|ϕ|m4 log 1 + 2
を 考 え る 。こ の potential はm2|ϕ|≪ 1 で leading term が質量項とみなせる pom2
tential である。このスカラー場は時間発展とともに局在するような解 (Q-ball) を持ち、この Q-ball は

dark matter の候補として考えられている [S. Kasuya & M Kawasaki (1999)]。
今回の議論では potential による局在ではなく重力によって局在する Proca 場の Q-ball に相当するような状態を解として導出したが、この理論をフリードマン
宇宙に適用し、時間発展で Proca 場が局在するような解が得られるのか、得られた場合その局在する Proca
場 (上記 Q-ball に相当する場の塊) を dark matter とみなすと、現在の dark matter のエネルギー比からProca 場の質量を見積もろうと模索中である。

Reference
Richard Brito et al Phys.Lett. B752 (2016) 291-295
S. Kasuya and M Kawasaki hep-ph/9909509 (1999)

——–index

c29

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

時空の離散化に向けた非線形微分方程式の差分化について
上田 周 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
時空の離散化の一つとして, 多様体において定義された微分を差分に取り換えることが考えられる。時空が離散的であることは量子重力理論においても示唆されているが, いまだ確かなことはわかっていない。そこで,
重力を量子化する足掛りとするために, まず古典的に離散化された時空を考える。本研究では, 差分の性質に触れ, 微分方程式から差分方程式への適当な変換方法を説明する。また, 重力理論への離散化の応用の前段階
として非線形微分方程式である測地線方程式の離散化を行った。

1

はじめに

般相対性理論のような連続系の理論に離散系の側面から新たな視点を与えられることが期待される。本

離散的な時空では, 微分が定義できないため差分が研究では, 時空の離散化の前段階として, 非線形微分用いられる。差分幾何学はすでに多く研究されてお方程式の可積分性を保持するような差分化を行い, そり, 次の２つのことが期待されている。ひとつは連続

こから, 離散系の性質を考察する。

系よりも離散系の方がより根源的で豊富な数学的構
造をもつであろうこと, もうひとつは, コンピュータ
での数値計算等の理論の構築である。差分での離散

2化の先に従属変数を離散化する超離散とよばれるものがある (広田,&高橋 2003)。これらの操作により離散化された時空では, もとの差分方程式の持つ性質の大部分を引き継ぐことが知られている。その中でもブラックホール解の生成に用いられる Ernst 方程式

差分
微分方程式を差分方程式に書き換えることで, 独立

変数が離散的な値をとるようにすることを離散化と呼ぶ。差分は次のように表される。
前進差分の持つ可積分という性質を保持する離散化を考える。
可積分系とは, 浅い水の波の様子を記述する KdV 方
程式, いわゆるソリトン解のような厳密解が求められ∆t f (t) =る。特に, 可積分な差分方程式を離散可積分系と呼び,
渋滞学などの分野で利用されている。また, 離散可積

(1)

f (t + 2δ ) − f (t − 2δ )
δ

(2)f (t) − f (t − δ)
δ

(3)

中心差分

るような非線形の微分, 差分方程式の集合のことであ

分系は, 曲線や曲面など幾何学との相性が良く離散可f (t + δ) − f (t)δ∆+t f (t) =後退差分

積分幾何学として盛んに研究されている。そこで私∆−t f (t) =は, 離散可積分系の重力理論への応用, 特に時空の離散化を考えた。一般相対性理論では, 時空を多様体とここで,δ は差分間隔である。前進差分, 後退差分はそして考えているが, 量子重力理論では時空が離散的でれぞれ中心差分を用いて書き直すことができる。

あるということが示唆されている。しかし, 量子重力理論は未完成であり, どのような離散化が適当である
かということもいまだわかっていない。非多様体上3差分による構造の壊れ

では微分が定義できないため, 微分の代わりに差分を差分のとり方は上で述べたもの以外にも様々なも用いる。そこで, 量子重力理論への足掛りとして古典のが考えられている。しかし, 差分のとり方によって,的な領域においての時空の離散化を考える。また, 一

元の微分方程式の構造が壊れることがある。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
具体的にロジスティック方程式で見る。ロジスティッ ジスティック方程式
ク方程式は

du
= αu(1 − u), α > 0dt(4)であり, グラフは図 1 のようになる。

du= αu(1 − u)dt

(8)の両辺を u2 で割り,f = u1 − 1 の変数変換を行うことで線形微分方程式が得られ, 一般解が求まる。

df= −αf, f = Ce−αtdt(9)

ここで,C は積分定数である。このとき, 変数変換によって線形微分方程式になるという構造を失わない
ように離散化を行う。
図 1: 解のグラフ:α = 0, uo = 0.1(若山 2010)
ロジスティック方程式の差分化を次の 3 通りの例

vn − vn−1= −α, vn = C(1 + αh)−n
h

(10)

で考える。

ロジスティック方程式と同様の変数変換 vn = u1n − 1

き,u(nh) = un とした。

4.2を行い,n → n + 1 とすることで
un+1 − un1= aun (1 − un )(5) un+1 − un
= αun (1−un+1 ), un =hh
1 + C(1 + αh)−nun+1 − un−1
(11)
= aun (1 − un )(6)2hが得られる。構成法より h → 0 でロジスティック方
un+1 − un= aun (1 − un+1 )(7) 程式とその解に帰着する。
h
ここで, 差分間隔を h > 0 とし,t = nh, (n ∈ Z) とお

2 次元戸田格子方程式 (2DTL)

続いてこのような手順で, ソリトン方程式である 2
次元戸田格子方程式を例に, 可積分系の離散化について取り扱う。2 次元戸田格子方程式は

図 2: 数値計算結果:α = 2, u0 = 0.1 横軸 t =nh,(5)h = 1.3,(6)h = 0.1,(7)h = 1.8(若山 2010)∂ 2 un= eun−1 −un − eun −un+1 , n ∈ Z
∂x∂y

(12)

で表される微分差分方程式である。
次の従属変換図で見られるように式 (5),(6) の差分では, 元の微分方程式の解の性質を保存していないことがわかる。
それに対して式 (7) では式 (4) の解の挙動をよく示
すことがわかる。式 (7) の差分方程式を離散ロジス
ティック方程式と呼ぶ。

解の構造を保存する離散化

4
4.1

ロジスティック方程式の離散化

解の構造を保持した離散化をロジスティック方程式から離散ロジスティック方程式への変換でみる。ロ

un = log

τn−1 un −un+1τn+1 τn−1
,e
=
τn
τn2

(13)

を行うと λ(x, y) を任意関数として

1
Dx Dy τn τn = τn+1 τn−1 − λ(x, y)τn2 , n ∈ Z (14)2を得る。ここで,Dx , Dy は広田微分と呼ばれ,

Dxm Dyn f · g
(
)m (
)n
∂
∂
∂
∂
=
−
−
−
∂x ∂x′∂y ∂y ′× f (x, y)g(x′ , y ′ ) |x=x′ ,y=y′(15)

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
で定義される。

方程式と Casorati 行列式解に一致する。これより, 解(14) 式は双線形方程式である。従属変数 τn は τの構造を保持する離散化になっていることがわかる。

関数と呼ばれ,τ 関数の行列式構造が可積分系の根幹

最後に, 双線形差分方程式に適当な従属変数変換を行をなす構造になっている。(14) 式は λ = 1 のときうことで, 非線形差分方程式が導かれる。1 つの例とCasorati 行列式で表される解

して次のようなものがある。

(1)

τn =

(1)

(a)

fn+1
(2)
fn+1
..
.

. . . fn+N −1(2). . . fn+N −1
..
...
.

(N )
fn

(N )
fn+1

(N )
fn+N −1...

(b)∆+l ∆+m Rn (l, m) =Fn+1 (l + a, m) + Fn−1 (l, m + b)

(1)

fn
(2)
fn
..
.

− Fn (l + a, m) − Fn (l, m + b)(16)

ここでは次の従属変数変換を行った。

Rn (l, m) = log(k)をもつ。ただし,fn (k = 1, ..., N ) は次の線形関係式

τn+1 (l + a, m)τn−1 (l, m + b)(24)
τn (l + a, m)τn (l, m + b)を満たす関数(k)(k)(k)= −fn−15

うな解の構造があることがわかる。
線形微分差分方程式 → τ 関数 → 双線形微分方程式→ 従属変数変換 → 2DTL 方程式
そこで, この構造を保つように離散化を行う。
つまり,

(k)

∆−l fn(k) (l, m) = fn+1 (l, m),

(18)

(b)

(19)

(k)

∆−m fn(k) (l, m) = −fn−1 (l, m)(b)と離散化される。ここで,∆−l , ∆−m は添え字の変数に関する後退差分であり, 上付き添え字は差分間隔である。これより, 離散化された τ 関数は

τn (l, m) =

(1)

...

(2)
fn (l, m)(2)
fn+1 (l, m)

...

.
..
(N )
fn (l, m)

.
..
(N )
fn+1 (l, m)

...
...

解析的な解が得られている BHT Massive gravity 理

BHT MG は 2+1 次元時空での, ゴーストフリーな
Massive gravity 理論であり, 線素はまず,τ 関数の離散化を行う。線形関係式 (17) は,

fn+1 (l, m)

で, 我々は, 実験的なモデルとして楕円積分を用いて論 (BHT MG) での測地線方程式の離散化を考える。

の手順をとればよい。

(1)

離散化の重力理論への適用を考える。可積分性をた,mKdV 方程式は楕円積分を用いた解をもつ。そこ

従属変数変換 → 離散 2DTL 方程式

fn (l, m)

BHT MG における測地線の離散化示す方程式として,mKdV 方程式が知られている。ま

線形差分方程式 → τ 関数 → 双線形差分方程式 →

(a)

(25)

(17)

である。これより,2 次元戸田格子方程式には次のよ(a)1log(1 + abeRn (l,m) ).
ab

Fn (l, m) =∂fn(k) ∂fn= fn+1 ,
∂x
∂y

(23)
,

(1)

fn+N −1 (l, m)(2)
fn+N −1 (l, m)

.
..
(N )

fn+N −1 (l, m)(20)となり,P lücker 関係式と呼ばれる恒等式を用いることで, 双線形差分方程式1
dr2 +r2 dϕ2 , f (r) = −Λr2 +br−µ
f (r)
(26)
で 与 え ら れ る 。こ こ で,b は gravitational hairds2 = −f (r)dt2 +parameter,µ は mass parameter である。動径 r 方
向と角度 ϕ 方向の測地線の式より,

]
d2 r
1 [
=
6Λr5 − 5br4 + 4(E 2 + µ + ΛL2 )r3 − 3br3 + 2µL2 r
dϕ2
2L2
(27)
この式を前節までの議論と同様に, 非線形微分方程式 → 双線形微分方程式 → 双線形差分方程式 → 非線
形差分方程式の手順で離散化を行う。従属変数変換

r(ϕ) = fg(ϕ)(ϕ) (f, g は ϕ の任意関数) を行うと
(22)次の双線形微分方程式(1 + ab)τn (l + a, m + b)τn (l, m) − τn (l + a, m)τn (l, m + b)
(21)
= abτn+1 (l + a, m)τn−1 (l, m + b)34を構成する。これが離散 2DTL 方程式の双線形差分方Dϕ2 g · f + β1 fg 2 − γ1 gf + ϵ1 g 2 − ξ1 gf = 0 (28)程式である。ここで a, b → 0 とすると, これは 2DTL

Dϕ2 f · f − α fg 2 − β2 gf + γ2 g 2 − ϵ2 gf + ξ2 f 2 =(29)0432018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校が得られる。ここで簡単のため

α
γ

3Λ
5b
= − 2 , β = β1 + β2 =,L2L22(E 2 + µ + ΛL2 ),= γ1 + γ2 =L23b
= ϵ1 + ϵ2 = , ξ = ξ1 + ξ2 = µ2

結果と今後の展望

6
(30)
(31)

離散化の重力理論への応用の一つである BHT MG
での測地線方程式の離散化を行った。その際に, 元の微分方程式の持つ可積分性を保持して離散化するこ(32) とができた。しかし, 離散系における性質を見抜くには至らなかったため今後の課題である。今後の展望とおいた。次に微分を差分に置き換え双線形差分方 としては, 得られた差分方程式をプロットすることで,
程式を導出する。その際, 次のゲージ変換
連続な時空における測地線の振舞いとの比較を行う。
ϵ(33) また、Ernst 方程式の離散化にも挑戦していきたい。
本発研究では, 独立変数の離散化を行ったが, 従属変について不変であることを要請する。(h は ϕ の任意 数を離散化する超離散化なども考え時空の離散化を関数) これより, 次の双線形差分方程式
行いたい。
f (ϕ) → f (ϕ)h(ϕ), g(ϕ) → g(ϕ)h(ϕ)

g(ϕ + δ)g(ϕ − δ)g 2 (ϕ)
f 2 (ϕ)g(ϕ + δ)g(ϕ − δ)g(ϕ)− γ1+ ϵ1 g(ϕ + δ)g(ϕ − δ)f (ϕ)
ξ1(g(ϕ + δ)f (ϕ − δ) + g(ϕ − δ)f (ϕ + δ)) = 0−
2∆2ϕ g(ϕ) · f (ϕ) + β1

∆2ϕ f (ϕ) · f (ϕ) − α
− β2

(34)

広田,&高橋’ 差分と超離散’2003, 共立出版
若山’ 可視化の技術と現代幾何’2010, 岩波書店

g(ϕ + δ)g(ϕ − δ)g 2 (ϕ)
f 2 (ϕ)g(ϕ + δ)g(ϕ − δ)g(ϕ)+ γ2 g(ϕ + δ)g(ϕ − δ)f (ϕ)

Reference

井ノ口 ’ 曲線とソリトン’2010, 朝倉書店
(35)

ϵ2
−
(g(ϕ + δ)f (ϕ − δ) + g(ϕ + δ)f (ϕ − δ))2+ ξ2 f (ϕ + δ)f (ϕ − δ) = 0

Hackmann,&Lämmerzahl,Phys.Rev.D78(2008)024035が得られる。従属変数の逆変換を行い,∆2ϕ g(ϕ) · f (ϕ) = ∆2ϕ r(ϕ)f (ϕ) · f (ϕ)= (∆2ϕ r(ϕ) · r(ϕ))f (ϕ + δ)f (ϕ − δ) + r(ϕ)(∆2ϕ f (ϕ) · f (ϕ))(36)

の関係を用いて,∆2ϕ f (ϕ) · f (ϕ) を消去することで,[∆2ϕ r(ϕ) + r(ϕ) αr(ϕ + δ)r(ϕ − δ)r2 (ϕ) + β2 r(ϕ + δ)r(ϕ − δ)r(ϕ)]ϵ2−γ2 r(ϕ + δ)r(ϕ − δ) −(r(ϕ + δ) + r(ϕ + δ)) − ξ22(37)
+ β1 r(ϕ + δ)r(ϕ − δ)r2 (ϕ) − γ1 r(ϕ + δ)r(ϕ − δ)r(ϕ) + ϵ1 r(ϕ + δ)r(ϕ − δ)−ξ1(r(ϕ + δ) + r(ϕ − δ)) = 0
2

求めたい非線形差分方程式が得られた。
ここで,n を整数として,ϕ = nδ, r(ϕ) = rn として,マッピング形式][22(2 + ξ2 δ 2 )rn − rn−1 1 − ξ12δ + ϵ22δ rn]
rn+1 = [(38)22
3 − βr 2 + γr − ϵ ]1 − ξ12δ + ϵ22δ rn − rn−1 δ 2 [−αrnn1nこの形は,QRT 系と呼ばれる可積分な 2 階差分方
程式に変換することができることから, 得た非線形差分方程式は保存量を持ち可積分であることが言える。

——–index

c30

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

負の屈折率を持つ Metamaterial の物理的基礎と重力系への応用可能性について
渡邊 慧 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
Metamaterial とは自然界に存在する物質が持つことのない性質を持つ人工的な物質の総称であり、その性質のひとつに負の屈折率がある。光や音の波に対して負の屈折率を持つ Metamaterial に関してはすでに盛んに研究が行われており、実際に負の屈折を示す実験も成功している。対照的に水の波に対して負の屈折率を持
つ Metamaterial の研究はあまり進んでいない。そこで我々は、光や音の波に対して負の屈折率を実現する理論を応用し、水の波に対して負の屈折率を持つ Metamaterial の作製を試みた。本発表では、Metamaterialの物理的基礎を説明するとともに、我々が作製している、負の屈折率の直観的理解の補助となる実験モデルについてふれたい。

1

はじめにるという Hawking らのアイデアに対し、Smolyani-

nov は HMM による MST のモデル化によって、虚Metamaterial とは自然界に存在する物質が持つこ 時間から実時間への時間の切り替わりの際に粒子がとのない性質を持つ人工的な物質の総称であり、そ 生成される可能性があることを示した。これに関しの性質のひとつに負の屈折率がある。1968 年に Vese-ては、同研究室の楠見の発表で詳しく説明する。

lago によって負の屈折率を持つ物質が存在可能であMetamaterial の重力系への応用は他にも考えるこることが理論的に示されたが、当時は実際にそういっ とができ、クロ―キングがその一つである。クロ―た物質が発見されなかったため、負の屈折率について キングとは、Metamaterial を対象物の前に置き、光の議論は行われなくなっていた。しかし、1999 年にに対する屈折率を調整することによって対象物を見
Pendry が金属を用いた人工的な物質によって負の屈 えなくするいわば透明マントを実現するような技術折率が実現可能であると発表し、2000 年には Smith のことである。屈折率は時空の曲がり具合を表すメ
らが世界初の負の屈折率を持つ Metamaterial の作製

トリックによって計算することができる。すなわちに成功した。初めに作られた Metamaterial は電磁波

これは、電磁気的な場と相対論的な場を結び付けるに対して負の屈折率を持つもの（Electro magnetic

考えであり、光の軌道が屈折率の違いによって曲がMetamaterial）であったが、現在では音波に対して ることと、場が歪んでいることによって曲がること
負の屈折率を持つ Acoustic Metamaterial や、力に を確かに対応付けることができる。
対して自然界にはないような反応をする Mechanical
このように、Metamaterial の研究は重力系への応Metamaterial など、様々な Metamaterial が作製さ用可能性があり、研究を進めていくことは物理学のれ研究されている。

さらなる発展につながると期待できる。

Metamaterial の重力系への応用の一つとして、本研究では、Metamaterial の特徴的な性質の直観
2010 年に Smolyaninov は、負の屈折率を持つ Electro 的理解の補助とするために、水の波に対して負の屈
magnetic Metamaterial のうち Hyperbolic Metama- 折率を示す Metamaterial の作製を試みた。

terial（HMM, 双曲線メタマテリアル）を用いるとMetric Signature Transition（MST, メトリック符号変化）をモデル化できるという論文を発表した [1]。
宇宙は虚時間から実時間に切り替わったときに発生す2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

負の屈折率

2.1

光に対する負の屈折率

光の屈折率 n は定義より

n=

√

εr µr

(1)
図 2: (a)SRR (b)LC 回路と表せる。ここで εr とµr はそれぞれ比誘電率と比透磁率である。この式を見ると屈折率は必ず正になるいる。ここで、磁束を ϕ(t) = µ0 H0 Se−iωt 磁場の変ことがわかる。しかし、式を化に伴って振動する電流を I(t) = I0 e−iωt とし計算

n=√εr µr =

√ √
εr µr

(2)

すると、SRR で構成された物質の有効的な比透磁率µr はと書き換えると、比誘電率と比透磁率がともに負でµr = 1 −あれば負の屈折率が実現することがわかる。

f ω2
ω02 − ω 2 − iΓω(5)2

光速 c の定義

1となる。ここで f = nS
LV , ω0 = LC とする。有効的

1
εr µr

ω0
(3) な比透磁率は ω0 < ω < √1−f を満たす ω において負となる。
より、屈折率は波の伝播速度の逆数であると考える
また、有効的な負の比誘電率は金属を用いること

c= √ことができる。

で実現できる。

負の屈折率を持つ物質に光が入った際の光の経路
は図 1 のようになる。

2001 年には Smith を含む研究チームが図 3 に示すような Metamaterial に入射した電磁波が負に屈折することを実証した [2]。

図 1: 光の経路 左図:正の屈折率 右図:負の屈折率2.1.1

図 3: SRR を配列した Metamaterial

光に対する有効的な比透磁率と比誘電率

Pendry は共振という現象をもとに、金属のリングを共振器として配列することで負の比透磁率を実現できると考えた。このリングを SRR と呼ぶ。この

SRR は、LC 回路と等価の仕組みであり、その中での電圧降下はdI(t) 1
L
+
dt
c

∫

2.2

音の波に対する負の屈折率

音の波の伝播速度 vs は√dϕ
I(t)dt + RI(t) = −
dt

(4)

vs =

B
ρ

(6)

で表わされる。現実的な回路を考えるとエネルギー

であり、ここで ρ と B はそれぞれ質量密度と体積弾の損失を加味する必要があるため抵抗の項も加えて性率である。体積弾性率とは外部からの一様な圧縮2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校に対する抵抗である。音の波に対する屈折率は
√
√
ρef f
ρef f
√
ns =
=
(7)
Bef f
Bef f
と表わせる。よって、質量密度と体積弾性率がそれぞれ負であれば、音の波に対する負の屈折率を実現することができる。質量密度と体積弾性率は従来の

図 5: 装置の略図
図 6: 位置と水位の関係

媒質中では常に正であり、変更するのは困難である。
しかし、図 4 のようなヘルムホルツ共振器と膜を組み合わせた音響 Metamaterial を用いれば、特定の周波数の音に対して有効的に質量密度と体積弾性率を

有効的な重力加速度は、負にすることが可能である [3]。

gef f = g0

ηb
ηa

(10)

で表され、ここで ηa とηb はそれぞれ

図 4: ヘルムホルツ共振器と膜を組み合わせた音響ηa= fs η1 + (1 − fs )η2

ηb

= η2

である。fs は充填率であり水路内を占めるシリンダー

Metamaterialの面積を示している。η1 とη2 はそれぞれ水路におけるシリンダー内部と外部の垂直方向における水位の2.3

平均変位である。シリンダー内の水の増加体積は水の波に対する負の屈折率∂η1
S = −v0 u0 ∆∂t

水の波の伝播速度を表す方程式は、水深が深い時の波（深水波）と水深が浅い時の波（浅水波）の二スリット部分の水のかたまりが押される力はつに分けられる。本研究は音の波と対応させるため、

d∆横波であるとみなすことができる浅水波について考
える。

(11)

∂η1
∂v0
S = g0 ∆(η1 − η2 ) + γd∆
∂t
∂t

(12)

である。ここではスリット外向きを正として v0 をス

浅水波の伝播速度は√リット部分の水面の水平速度、u0 =tanh(k0 h0 )は減k0(8) 少深さ、S はシリンダーの面積である。式 (11), (12)よりである。ここで g と h はそれぞれ重力加速度と水深∂ 2 η1
g0 u0 ∆
∂η1
g0 u0 ∆S 2 +
η1 + γu0 ∆=η2 (13)である。これより、浅水波の屈折率は
∂t
d
∂t
d
vw =

nw = √

1
gef f hef f

gh

=√

gef f

1
√

hef f

(9)

が導ける。ここで共振角振動数 ωr と減衰 γω をそれ
ぞれ√

g0 u0 ∆
Sd
γ∆u0
γω =
S

となり、有効的な重力加速度と水深がどちらも負で

ωr =あれば、負の屈折率を実現することができる。

2.3.1

水の波に対する有効的な重力加速度とすると、水路内を伝播する波の変位は水の波に対する、有効的な重力加速度を負にする

η2= η20 e−iωtMetamaterial に関してはすでに研究されている [4]。

η1

= η20

1
ω)
1 − ω(ω+iγ
ωr 2

e−iωt

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。波の分散関係 ω = vk を用いると、

η1 = η201k)
1 − k0 (kk0r+iγ2となる。ここで、kr =√∆Sd ,γk

e−iωt

=

(14)

√
γ∆ u0
√
S g0 である。

よって、有効的な重力加速度は

gef f = g0 /[1 +図 8: LEGO ブロックを用いて作製した Metamaterial

fs k02kr2 − k0 (k0 + iγk )

]

(15)

kr
で表すことができ、kr < k0 < √1−fの範囲の波数sの波が構造内に入ったときに有効的に負の重力加速度が実現する。

また、[5] をもとに、LEGO ブロックを用いて負の屈折率を実現する図のような実験装置を製作した。

LEGO ブロックを用いる利点として、装置の構築が素早く行え、かつ高い再構築性があることが挙げられる。この特徴は演示実験を行うにあたり極めて重要なものである。研究の目標の一つである、Metamaterial

水の波に対する有効的な深さ

2.3.2

水の波に対する有効的な深さを負にする研究はまだ進めることができていない。しかし、音の波との対応を見ると、水の波に対する有効的な深さは音のを用いた教材の開発において、安価であること、実験装置が素早く構築できることは重要な項目である。
その点において 3D プリンターや LEGO ブロックを用いた実験装置の作製は非常に有用なものである。

波に対する有効的な質量密度と対応していると考えることができる。この関係を利用して今後は有効的

4

今後の発展

な深さを負にする構造を考えていきたい。
水の波に対する有効的な重力加速度については研究が進んでいるが、有効的な深さに対する研究はま

3

実験装置の作製と実験だ研究が進んでいない。今後はどのような構造を持つ物であれば有効的な深さを実現することができる

水の波に対する負の屈折率を実現する Metamate-

か研究を進めていく。

rial の作製を試みた。実験装置の作製の動機は負の屈折率を可視化し直観的理解の補助とするためである。
実験装置の作製には 3D プリンターを用いた。3D プ
リンターを用いた理由は、安価でミリ単位の構造を持つ Metamaterial を短時間で作製できるためである。

さらに、Metamaterial の持つ特殊な性質を考慮することによって、MST やクロ―キングのほかにもSprit Ring Resonate 重力系において解明されていない問題に対して解決策を見出すことができるのではないかと考える。

実際に作製したものを図 7 に示す。この Metamaterial
は水の波に対する有効的な重力加速度を負にするものである。特定の波数を持つ波に対して有効的な重5Bibliography

力加速度が負となり、有効的な深さは正のままであるから屈折率は虚数となり波はエバネッセント波と[1]Smolyaninov,Phys.Rev.Lett. 105(2010)067402

なる。

[2]Shelbyet al.,Science292(2001)77[3]Leeet al.,Nano Convergence(2017)10.1186/s40580017-0097-y[4]Hu,Chan,Ho and Zi,Phys.Rev.Lett.106(2011)174501
図 7: 実際に作製した Metamaterial[5]Christen and Abajo,Phys.Rev.Lett.108(2012)124301

——–index

c31

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

Variable Hyperbolic Metamterial による符号変化問題のモデル化
楠見 蛍 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
膨張している現在の宇宙から過去へさかのぼると、宇宙は密度が無限に大きく、大きさを持たない特異点から始まったことになる。その特異点を回避するために、Hartle と Hawking は「虚時間」 という数学的概念を導入した。虚時間から実時間 に変化するとき、時空構造は (4+0)Euclidean 空間から (3+1)Minkowski
時空へと変化するが、そこでどのような現象が起きるか明らかにはなっていない。そこで、Smolyaninov とNarimanov は宇宙初期に起こったと考えられる時間符号変化を Metamaterial で低次元モデル化できると考えた。そして、宇宙初期の時間符号変化が、Metamaterial でのモデル化と対応するならば、虚時間から実時間に切り替わった瞬間、粒子が生成されることを示唆した。そこで我々は、Metamaterial での誘電率
符号変化の計算を宇宙初期での次元に拡張し、粒子生成の有無を調べるために (4+0)Euclidean 空間から

(3+1)Minkowski 時空への状態密度の増減を計算した。

1

はじめに

ような)Metamaterial を用いて、(3+0)Euclidean 空
間から (2+1)Minkowski 時空への低次元時間符号変化

Metamaterial とは自然界の物質にはない性質を示 をモデル化した。比誘電率の符号変化の際、VHMM
す人工媒体である。Pendry は、1mm 程度の小さな中の波数分散関係が楕円型から一葉双曲線型に変化

構造体を配列することで、比誘電率 (ϵ) と比透磁率することで、VHMM がとりうる状態密度が増え、エ(µ) を操作し、マイクロ波に対して有効的に負の屈 ントロピーが増大した。したがって、そのモデルが折率を実現する Metamaterial の存在を理論的に示し 現実の宇宙における符号変化に対応するなら、符号た (Pendry et al. 1999)。そして 2001 年、Shelby に

変化の際には粒子が生成されると考えられる。

より、実験的にも証明された (Shelby et al. 2001)。

本研究では、この VHMM を用いて宇宙初期の時間

現在、Metamaterial は様々な分野で応用されている

符号変化に伴う物理現象への応用を考えた。宇宙初期

が、そのひとつに宇宙に関するトイモデルがある。

の時間符号変化が、VHMM でのモデル化と対応する
膨張している現在の宇宙から過去へさかのぼると、 ならば、虚時間から実時間に切り替わった瞬間、粒子

宇宙は密度が無限に大きく、大きさを持たない特異が生成されたことになる。そこで我々は、VHMM で点から始まったことになってしまう。これを特異点問の誘電率符号変化の計算を宇宙初期での次元に拡張題という。その特異点問題を回避するために、Hartle

し、粒子生成の有無を調べるために (4+0)Euclideanと Hawking は「虚時間」という数学的概念を導入し空間から (3+1)Minkowski 時空への状態密度の増減

た (Hartle & Hawking 1983)。虚時間から実時間にを計算した。宇宙初期での現象は、実験的に同じ条件変化するとき、時空構造は (4+0)Euclidean 空間からで再現されることは極めて困難だが、本研究のよう(3+1)Minkowski 時空へと変化するが、そこでどのよ なモデル実験は宇宙初期の解明の一助となるだろう。
うな現象が起きるか明らかにはなっていない。
Smolyaninov と Narimanov はこの時間符号変化を
Metamaterial でモデル化できると考えた (Smolyaninov & Narimanov 2010)。彼らは、Variable Hyperbolic Metamaterial（VHMM) という比誘電率の符号変化を引き起こす 1 軸性 (誘電率が 1 方向のみ異なる

2

時間の符号変化
Hartle と Hawking は、図 1(a) のような特異点を回避するために、数学的手法として虚時間を導入し、宇宙が実時間では有限な大きさから始まったと仮定

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
は一つの媒質とみなせる。これを有効媒質理論といい、その中の Maxwell-Garnet 近似を用いると、有効的な比誘電率は以下のようになる。

ϵ1 (= ϵx = ϵy ) = nϵm + (1 − n)ϵdϵ2 (= ϵz ) =図 1: 実時間の発生 (a) 特異点から始まる宇宙 (b) 虚時間を導入して特異点を回避した宇宙ϵm ϵd(1 − n)ϵm + nϵd

(3)
(4)

ここで、n は金属部分の体積充填率、ϵm はガリウムの誘電率、ϵd (> 0) は石英の誘電率である。また、ガリウムは相転移時に誘電率が変化する。式 (3) から、ガリウムの固体から液体への相転移によって、ϵ1 はした（図 1(b))。これは、Minkowski 時空の実時間を正から負へ値が変わることが分かる。この誘電率の虚時間に置き換え (τ = it)、Euclidean 空間を考える

符号変化は、VHMM 中の波動方程式に影響を及ぼことに相当する。これを時間符号変化とよぶ。そのし、その波動方程式を介して時間符号変化へと対応

結果、時空構造を表す計量はそれぞれ以下のようにづけられる。

なる。

(3+1)Minkowski 時空 : ds2 = −dt2 +dx2 +dy 2 +dz 2(1)(4 + 0)Euclidean 空間 : ds2 = dτ 2 + dx2 + dy 2 + dz 2(2)
宇宙初期に、(+, +, +, +) の (4+0)Euclidean 空間から (+, +, +, −) の (3+1)Minkowski 時空へ切り替わる。この時間符号変化を VHMM でモデル化する。

3

4

VHMM による時間符号変化の再現
VHMM の波動方程式は ϵ1 > 0 の場合、
kx2 + ky2
ω2
kz2
ϕ
=
ϕ
+
ϕω,k
ω,k
ω,k
c2
ϵ1
ϵ2

(5)

となり、また ϵ1 < 0 の場合、
kx2 + ky2
ω2
kz2
ϕ
+
ϕ
=
−
ϕω,k
(6)
ω,k
ω,k
c2
|ϵ1 |
ϵ2
となる。ただし、1 軸性媒体では、光線は常光線と異Variable Hyperbolic Meta常光線に分かれて進むが、常光線の屈折率は伝搬方
material
向によらずに一定であり、異常光線の屈折率はそれ
ぞれ伝搬方向に依存する。今回は分散性を見るために、異常光線のみの波動方程式を考える。

ここで、場の量子論での波動方程式である masslessの Klein-Gorden 方程式をモードで表すと (3+1) 次
元 Minkowski 時空では、
図 2: VHMM の概略図(−k02 + k12 + k22 + k32 )ϕk = 0(7)であり、同様に (2+2) 次元時空の Klein-Gordon 方
程式は以下のようである。

Smolyaninov らが考えた VHMM は図 2 のように、石英をベースとし、その中に間隔 a でガリウム (Ga)製の薄い層を重ねた人工媒体である。通過する光の波長よりも十分小さい構成単位 (間隔 a) の構造体をMetamaterial が持っている場合、その構造体の集合(−k02 − k12 + k22 + k32 )ϕk = 0(8)

したがって、この VHMM 中の誘電率の符号変化（式 (5),(6)) は (+, +, +, −) の (3+1) 次元 Minkowski
時空から、(+, +, −, −) の (2+2) 次元時空へ変化したことに相当する。ただし、実験室系に流れる時間

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
自体は人為的に操作をすることが不可能であるため、Smolyaninov らは、(+, +, +) の (3+0) 次元 Eu-clidean 空間から (+, +, −) の (2+1) 次元 Minkowski
時空に変化したと解釈した。

5

れぞれ以下のようになる。
[ ( √
)
] 3
dWE(3) V 3 4π 3d ϵ1 √ dϵ2√
ω2= 3 3 ω ϵ2
+ ϵ1
+3ϵ2 ϵ1 ω 〜 3
dω
h 3c
dω
dω
c
(9)
dWH(3) V 3 2π 3ϵ2 d|ϵ1 |
1 dϵ2
3
〜 3
KM
−
〜KM
2
dω
h 3
|ϵ1 | dω|ϵ1 | dω(10)

ミクロカノニカルアンサンブル

ここで、WE は楕円型分散の状態数、WH は一葉双での状態密度の計算

曲線型分散の状態数、V は位相空間の体積である。
dWH(3)dWE(3)> dωdω

KM ≫ ωc より (Jacob et al. 2010)、

Smolyaninov は誘電率の符号変化によって、分散 となり、VHMM では誘電率の符号変化により状態密関係が変化し、状態密度が増えることで粒子が生成 度が増加することが分かる。
されると考えられた。確かに、式 (5) から ϵ1 > 0 の本研究では、これを宇宙初期の時間符号変化に応時は波数分散関係が楕円型であり（図 3(a))、式 (6)用させるために、(+, +, +, +)(4+0) 次元 Euclideanから ϵ1 < 0 の時は一葉双曲線型であることが分かり空間から (+, +, +, −)（3+1）次元 Minkowski 時空(図 3(b))、誘電率の符号変化によって、VHMM がも への変化に対応する、仮想的な VHMM での誘電率
ち得る状態密度は増大すると推測される。それを確 の符号変化を考え、状態密度の増減を調べた。4 次元
かめるために、具体的にミクロカノニカルアンサン

空間、N(> 2) 粒系での仮想的な VHMM での楕円型

ブルで状態密度を計算した。ただし、一葉双曲線型

分散と一葉双曲線型分散は、の波数分散関係は、理想的には無限の波数モードを[√ N(
dWE(4N )V 4N 1π 2N
4N √ 3N d ϵ1
= 4N
ω
ϵ
2
dω
h
2N Γ(2N )c4Ndω]
√ 3N )√ 3N √ N 4N −1√ N d ϵ2ω 4N
+ 4N ϵ2
ϵ1 ω
+ ϵ1
〜 4N
dω
c

持つが、VHMM は構造上の限界より構造ユニットよりも波長が大きくなければならないため、カットオ
フ（KM 〜 a1 ) が入る。このカットオフは損失によっても変わるが、今回は無損失と仮定する。そのカットオフ KM によって、一葉双曲線型波数分散関係も有限の波数モードを持つ。
それを踏まえた上で 3 次元空間、１粒子系で楕円型(11)dWH(4N ) V 4N
π 2N
d|ϵ1 |2N
ϵ2N
2
4N
〜 4N
KM
N
+2
3N
+2
4N
dω
h
|ϵ1 |
dω
4Γ( 2 )Γ( 2 )−1 dϵ2N
24N〜KM|ϵ1 |2N dω(12)≫ ωc より、
dWE(4N )となり、4 次元空間に拡張して
dωとなった。3 次元空間と同様、KM
dWH(4N )dω>も状態密度が増加すると期待できることが分かった。

図 3: VHMM の分散関係 (a) 楕円型分散 (ϵ1 > 0)(b) 一葉双曲線型分散 (ϵ1 < 0)6

まとめと今後の展望
本研究では、VHMM での時間符号変化モデルを仮想的に 4 次元空間に拡張すれば、誘電率の符号変化が起こる際に、状態密度が増えることが分かった。
分散と一葉双曲線型分散の状態密度を計算すると、そしたがって、宇宙初期の時間符号変化によっても粒子が生成された可能性があると考えられる。これは、宇宙がビッグバンから始まったとする標準的な宇宙2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
モデルとは異なった、粒子生成のプロセスの可能性を示す、新しい宇宙モデルだと言える。
しかし、今回はガリウムの相転移や VHMM の性質を元に計算しているため、今後は実際に宇宙論にて観測されているデータと照らし合わせることで、その妥当性をさらに検証していきたい。

Acknowledgement
本発表にあたって、ご指導いただきました小林先生、一緒に研究を進めてくださった渡邊先輩、太田君、発表に関してのアドバイスをくださった先輩方、
また小林研究室の皆様ありがとうございました。

Reference
J.B.Pendry, A.J.Holden,D.J.Robbins, et al. 1999, IEEE
Trans. Microwave Theory Tech. 47, 2075
R.Shelby, D.R.Smith, S.C.Nemat-Nasser et al. 2001,
Appl. Phys. Lett. 78, 489
J.B.Hartle, S.W.Hawking 1983, Phys. Rev. D28, 2960
Igor I.Smolyaninov, Evgenii E.Narimanov 2010, Phys.
Rev. Lett. 105, 067402
Zubin Jacob, J Y.Kim, G V.Naik et al. 2010, Appl.
Phys. B 100, 215-218

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c1

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

分子雲中におけるフィラメント形成と星形成開始条件の解明
安部 大晟 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
近年の観測から星形成は分子雲中のフィラメント状 (線状) の高密度領域で行われることが明らかになっている (André 2010)。よって星形成の理解には、分子雲中でのフィラメント形成を解明する必要がある。Inoueet al.(2018) では高解像度な磁気流体シミュレーションを用いることで、分子雲が衝撃波に圧縮されるという普遍的な現象からフィラメントが形成されるメカニズムを特定した。フィラメントは臨界線密度を超えると重力不安定によって崩壊し, 星形成を始めることが知られている。フィラメントの平衡状態を計算して臨界線密度を見積もった仕事として Tomisaka(2014) が知られている。Inoue et al.(2018) ではシミュレーションから, Tomisaka(2014) の臨界線密度がフィラメント崩壊の初期条件を決めると示唆している。しかしながら、

Tomisaka(2014) で調べられた平衡状態は、Inoue et al.(2018) によるシミュレーションで示された、分子雲が衝撃波によって圧縮されるという動的な状況とは異なっている。加えて Inoue et al.(2018) では 1 つの初期条件のもとでしか計算されていない。よって本研究では Inoue et al.(2018) の高解像度シミュレーション
を様々なパラメータで実行することで Tomisaka(2014) の臨界線密度の見積もりの正当性を検証するための計算をするつもりである。本講演では Tomisaka(2014) の平衡解と Inoue et al.(2018) での計算結果について論じ、 今後のフィラメントからの星形成研究の展望を示す。

1

Introduction
星は宇宙を構成する基本要素であり、星形成は銀河進化に繋がることから宇宙全体の理解において極めて重要である。近年の Herschel 望遠鏡の分子雲の観測から星形成は分子雲中のフィラメント (線状の高密度領域) で行われることが明らかになり (André2010)、フィラメントの重力崩壊が星形成の開始条件を決定しているということが示唆された。よって分子雲からの、フィラメントを介した星形成過程を解明する必要がある。
フィラメントはどのようにして形成されるのか。
それは分子雲と衝撃波の相互作用であると Inoue &Fukui (2013) の数値シミュレーションによって示唆
されが、Inoue & Fukui (2013) では解像度不足のために星の形成まで観測できなかった。

Inoue et al. (2018) では、分子雲の衝撃波圧縮によるフィラメント形成から星形成までを高解像度の数値シミュレーションを用いて調べ星形成の初期条件、つまり臨界線密度を求める。

2

Methods

2.1

Numerical Setup

この研究では現実的な分子雲のダイナミクスを研究するために自己重力を含めた三次元の磁気流体力学(MHD) シミュレーションを行う。使用するコードはMatsumoto (2007) によって開発された SFUMATO
コードである。SFUMATO コードは、自己重力を多重格子法で解き、MHD 方程式を近似リーマン解法を用いた有限体積法で解くものである。さらに利点として適合格子法 (Adaptive Mesh Refinement;AMR)の使用が挙げられる。これは詳細を見たい領域を高解像度化し、それ以外を低解像度化することで、格子数の節約をしつつ観測したい箇所を局所的に高解像度で観測することができる方法である。つまり観測したいフィラメント部分の格子を細分化して高解像度の観測を実現することができる。SFUMATO コードでは、星形成が起こり得る領域に対しては sink particleが導入される。sink particle とは周りのガスを降着させる仮想粒子であり、その形成判定は周辺ガスの重力的な安定状態を時々刻々監視することで行われ

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校ている。これによって、実際に重力崩壊が起きた場

ント形成メカニズムを解説したイラスト (図 3) を添所や時刻の同定が容易になり、かつ重力崩壊後も時付する。

間発展を追い、崩壊による sink particle への質量降着率のような星形成に関わる重要な物理量が計算可
能となる。

2.2

Initial Condition

この研究では、半径 1.5 pc の球状分子雲とそれより圧倒的に大きい分子雲 (=超音速流) との衝突のシ
ミュレーションがされており、このシミュレーショ
ンを観測することでフィラメントの臨界線密度の計算もされている。音速が 0.3 km s−1 で、相対速度10 km s−1 で衝突させるので衝撃波が生成される。
磁場は y 軸正方向に観測に合わせた値として 20 µGとする。

図 2: フィラメント形成までのシミュレーションのス
ナップショット (上からそれぞれ 0.2Myr 後、0.3Myr
図 1: Inoue et al.(2018) の初期条件。縦、横軸はともに空間座標。色は柱密度を表している。中心にある
半径 1.5 pc の球が分子雲で、その下方から超音速流を衝突させ、分子雲と衝撃波の相互作用を記述する。

後、0.4Myr 後)。左の列は yz 平面、右の列は xy 平面
まず初期条件から 0.2Myr 後は、超音速の乱流によって分子雲ガスが圧縮される。その結果クランプが形成される。
初期条件から 0.3Myr 後は、超音速流と分子雲の衝突によって生成される衝撃波と分子雲中にできたク3

Results

ランプが衝突する。このとき衝撃波の速度は密度の高い領域で減速されるので、クランプに押される形

3.1

Filament Formation Phase

ここではフィラメントがどのようにして形成されるのかについて解説する。分子雲と超音速流の衝突の後、分子雲は乱流により密度の高い領域 (クランプ)を作る。このクランプの時間進化を追うことでフィラメントの形成を説明することができる。以下にシ
ミュレーションのスナップショット (図 2) とフィラメ

で衝撃波面は折れ曲がる。また分子雲中の中性ガス
は電子や陽子と高い頻度で衝突することからその振る舞いはプラズマと同じと考えて良いため、磁気凍結を起こす。よって磁場も同様にクランプに押される形で折れ曲がる。衝撃波面が変形したことで、(図3) の中心の拡大図のように「斜め衝撃波」が形成される。斜め衝撃波では接線方向の速度 (運動量) は保存される。したがって (図 3) の白矢印ようにある一2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.2

Filament Collapse Phase

ここではフィラメントの重力崩壊から星形成までについて述べる。フィラメントが一度形成されると、衝撃波圧縮によって誘起されたガスの流れ (= con-centrated flow) によってフィラメントは質量を蓄えていく。フィラメントはある線密度を超えると、その構造をガス圧と磁気圧で支えきれなくなり、重力不安定を起こす。そして星形成を開始する。このときのフィラメントの線密度は臨界線密度と呼ばれ、星形成開始条件を決める。星形成開始条件から星の初期質量、つまり星の運命が決まるため臨界線密度は重要な物理量である。この研究のシミュレーション
結果では t = 0.45Myr のとき重力崩壊が始まっている。よってフィラメントの臨界線密度 λsimu は以下の (図 4) ようにフィラメントの形状を仮定すると計算できる。よってこのシミュレーションで得られる
臨界線密度 λsimu はλsimu ≃ 80 M⊙ pc−1 .

(1)

図 3: フィラメント形成のメカニズムを解説したイラ

図 4: 初期条件から 0.45 Myr の、横軸に x、縦軸にスト (上からそれぞれ 0.2Myr 後、0.3Myr 後、0.4Myry を選んだときのスナップショット（左）とその中で後)。ここでは乱流によって形成された分子雲中の高最高密度領域の拡大図（右）。左図を見るとフィラメ密度領域であるクランプに着目している。

ントは x 軸におおよそ平行に形成されている。右図について、フィラメントの幅は 0.1pc とし、長軸を点に集中するガスの流れ (以下、concentrated flow)

0.5pc とると臨界線密度が計算できる。

ができる。このとき分子雲中のガスは磁気凍結から磁力線を横切れないためガスの流れが集中する点でガスを溜め込む。加えて (図 3) の紙面に垂直方向 (x方向) には圧縮を受けないので、線状に高密度領域を

4

Discussion

作る。

関連する研究として、フィラメントの平衡状態の
このようにして、初期条件から 0.4Myr 後にはフィ 臨界線密度を見積もっている Tomisaka(2014) があ
ラメントが形成される。
る。ここでは、Tomisaka(2014) の臨界線密度の表式を用いて臨界線密度を計算し、このシミュレーショ
ンで得られる臨界線密度 λsimu と比較する。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
Tomisaka(2014) では、臨界線密度 λmax はフィラ 積もった臨界線密度と比較し、おおよそ一致するこ
メントを貫く磁束密度に比例すると主張している。そとがわかった。
私は今後 Inoue et al. (2018) の高解像度シミュレーの臨界線密度の表式はションを様々なパラメータで実行することで、本当
Φclc2s
λmax ≃ 0.24 1/2 + 1.66 .
(2) に臨界線密度に達したときに重力崩壊が始まるのかGG
どうか、そして Tomisaka (2014) の臨界線密度の見このとき Φcl ≡ Bfil w で、w はフィラメントの幅であ積もりの正当性を検証するための計算をするつもりる (w = 0.1 pc)。フィラメントを貫く磁束密度 Bfilである。
は磁場が衝撃波面に平行な場合の等温 MHD における Shock Jump Condition を用いて衝撃波の上流の量から計算できる。よって

Bfil

Acknowledgement≃ B1 = rB0[]
1/2= 2MA2 + (β + 1)2 /4 − (β + 1)/2 B0√≃
2MA B0()1/2 ()
n0
vsh≃ 300µG(. 3)
103 cm−3
10 km s−1

本講演を行うにあたり、指導教官である井上准教
授をはじめ理論宇宙物理学研究室の皆様には多くの助言をいただき大変お世話になりました。またこのような研究発表の機会を設けてくださった夏の学校
事務局の皆様に感謝申し上げます。

ここで添字の 0 と 1 はそれぞれ衝撃波の上流と下流の量を表している。r は圧縮率。β ≡ 8πc2s ρ0 /B02

Reference

は上流のプラズマベータである。さらに MA ≫ β をAndré, Ph. et al. 2010 arXiv:1005.2618

用いている。Inoue et al. 2018 のシミュレーション
でのパラメータを (2) に代入すると、Inoue, T. et al. 2018,PASJ, 70S, 53I
Inoue, T., & Fukui, Y. 2013,APJ, 774, 31

λmax ≃ 67M⊙ pc−1(Bfil /300µG) (w/0.1pc)()+35M⊙ pc−1 cs /0.3km s−1 .

Larson, R. B. 1981 MNRAS, 194, 809L

(4)

ここで (1) と (4) を比較すると臨界線密度がおおよそ同じくらいになっていることが分かる。よって、Inoueet al. (2018) ではシミュレーションから、 Tomisaka(2014) の臨界線密度がフィラメント崩壊の初期条件
を決めると示唆している。

5

Summary & Future Work
星形成の新しいパラダイムとしてフィラメントからの星形成があることが観測的に示唆されている。
そして、その具体的な描像は衝撃波と分子雲の相互作用であることがわかってきた。この研究では分子雲の衝撃波圧縮によるフィラメント形成から星形成までを数値シミュレーションを用いて調べ星形成の初期条件、つまりフィラメントの臨界線密度を求めた。そして関連する研究である Tomisaka(2014) が見

Matsumoto, T. 2007, PASJ, 59, 905
Tomisaka, K. 2014, ApJ, 785, 24

——–index

c15

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

エンスタタイトコンドライト集積による地球大気形成
櫻庭 遥 (東京工業大学大学院 地球惑星科学系)

Abstract
地球表層に存在する揮発性元素は、大気や海洋を形成するため、地球や生命の起源を探る上で非常に重要である。地球大気は主に後期天体集積による衝突脱ガスによってもたらされた揮発性元素によって形成されたと考えられている。ただし、衝突天体の組成は現時点で正確には明らかになっていない。本研究では、特にコンドライト組成に比べて地球表層の C/H 比および N/H 比が小さいことに着目し、後期天体集積期にこれを再現する条件を探る。原始惑星への天体衝突における衝突脱ガスと大気剥ぎ取りについて、大気組成進化を考慮した大気進化計算を行った。初期地球表層では海洋と炭素循環の存在を仮定し、H2 O と CO2 の海
洋・炭酸塩への分配を考慮した。衝突天体組成についてはその揮発性元素含有量をパラメータとし、計算結果と現在の地球表層の揮発性元素組成を比較した。衝突脱ガスと大気剥ぎ取りによる大気進化では十分時間が経つと供給と損失がつりあう定常状態に近づくことが分かった。その定常量は衝突天体組成に依存し、揮
発性元素含有割合が小さいほど少量の大気量に収束した。また、衝突と同時に炭素が炭酸塩に、水素が海洋に固定されることで、地球表層に獲得される C/H 比と N/H 比は衝突天体組成の値から減少した。幅広いパラメータ・サーベイの結果、地球表層の C/H/N 量および存在比から見積もられる後期集積天体組成はエンスタタイトコンドライト組成であることを明らかにした。

1

Introduction

炭素質
コンドライトは、大気・海洋という生命を育む環境を形成する点で、地球や生命の起源と密接な関連がある。現在の地球表層環境は海水量・大気組成の絶妙なバランスの上に維持されているが、これらの形成条件は未解

N/H比

水素 (H) や炭素 (C)、窒素 (N) などの揮発性元素

明である (e.g., Catling & Kasting 2017)。本研究で本研究で導いた後期集積天体組成
エンスタタイトコンドライト地球

は、地球およびその表層環境の起源を探るため、地球表層の揮発性元素組成に着目した。

C/H比

地球表層の揮発性元素は主に惑星形成最終段階の小天体の衝突によってもたらされたと考えられているため、小天体から飛来したコンドライト隕石はその起源について重要な手がかりとなる。図 1 は地球
表層 (大気 + 海洋 + 地殻) とコンドライト中の揮発性元素組成の比較を示している。コンドライトには
ここで示されているエンスタタイトコンドライトや
炭素質コンドライトなど様々な種類があるが、いずれの種類のコンドライトと比べても地球表層では炭素と窒素が枯渇している。
本研究では、小天体衝突による大気形成過程に着目する。月面クレーターの年代分析から、地球型惑星

図 1: 地球表層 (大気 + 海洋 + 地殻) とコンドライ
ト中の揮発性元素組成における C/H 比および N/H比の比較 (data are from Abe et al.

2000; Pepin

2015)
は巨大衝突後の集積最終段階において無数の小天体衝突を経験したことが知られている。衝突した小天体に含まれていた揮発性元素が脱ガスし、大気を形成した。同時に衝突で噴き上がった衝突蒸気雲によっ2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校て大気の一部が宇宙空間へ失われる (e.g., de Niem

計算では衝突量と大気量変化の関係を示した大気

et al. 2012)。巨大衝突後の一連の小天体衝突は後期 進化方程式 (1) を解いた (Sakuraba et al. in press.,
天体集積と呼ばれ、主に直径数 km から数十 km の

arXiv#: 1805.07094)。

小天体が地球質量の約 1%ほど衝突したと考えられてd(mi Ni )dΣimp

いる (e.g., Bottke et al. 2010)。
初期地球の海洋形成時期および炭素循環がいつは= (1 − ζ)xi − η(mi Ni )mA(1)

じまったのかについては未だ議論が続いており正確

右辺第 1 項は大気の供給、第 2 項は損失に相当すには明らかになっていない。しかし、もし後期天体る。ここで Σimp は衝突累計質量、i は各大気成分を意

集積時に海洋や炭素循環が存在したならば、衝突天

味し、m, N, x はそれぞれの分子量と大気中分子数、体から脱ガスした揮発性元素は大気だけではなく海

衝突天体中含有割合を表す。

洋や炭酸塩へも分配されたはずである。本研究では式 (1) 中の η は大気はぎとり効率、ζ は衝突天体蒸

このような惑星表層の元素分配が大気形成に与える

気はぎとり効率を表しており、大気剥ぎ取りモデル

影響を明らかにすることで、地球表層の炭素・窒素(Svetsov 2000, 2007; Shuvalov 2009) を適用した。

枯渇の原因と後期集積天体が満たすべき条件を探る。 大気剥ぎ取りは衝突天体のサイズと速度に依存する
ため、両分布を考慮した統計的平均操作を行った。

2

N2

Models

H 2O

CO2

海洋

炭酸塩

本研究では、後期天体集積における大気形成モデ

大気ルを構築し、惑星表層の元素分配が大気組成進化に与える影響を調べた。小天体によって供給される揮

初期地球表層図 3: 大気進化モデル中の地球表層における元素分配のイメージ図. N2 は大気に, H2 O は大気と海洋に, CO2 は大気と炭酸塩にそれぞれ分配されると仮定した.
惑星表層におけるリザーバー間の元素分配については、H2 O の海洋への分配および CO2 の炭酸塩への分配を仮定し (図 3)、各成分分圧に飽和水蒸気圧(PH2 O < 0.017bar) および炭素循環が安定して駆動するような分圧上限 (PCO2 < 10bar, Kasting (1993))
図 2: 衝突脱ガスと大気剥ぎ取りによる大気形成モデ
ル概念図を設けることによって考慮した。大気の温度については等温大気を仮定し、現在の表面温度である 288

K を仮定した。一方 N2 は反応性が低く惑星内部には発性元素の衝突脱ガスと、衝突で吹き上げられる衝取り込まれにくいためすべて大気に分配されると仮突蒸気雲による大気剥ぎ取りを考えた大気進化を計定した。元素分配によって H2 O が海洋に、CO2 が炭算した (図 2)。大気を構成する揮発性成分には水蒸酸塩に蓄積することで、衝突天体中の揮発性元素組

気 (H2 O), 二酸化炭素 (CO2 ), 窒素 (N2 ) の 3 成分を成とは異なる組成の大気が形成される。結果として仮定し、各成分の大気・表層リザーバー (大気・海洋・ 各成分の衝突による剥ぎ取り量にも偏りが生じ、大地殻) 間の分配を考慮した C/H 比・N/H 比の時間進 気中の C/H 比や N/H 比も変化すると考えられる。
化を調べた。

衝突脱ガスについては衝突天体の CO2 , H2 O, N2 各

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
成分の含有割合をパラメータとし、様々な組成の小が進むにつれて H2 O は海洋へ、CO2 は炭酸塩へ取天体衝突によって形成される大気組成を調べることり込まれるため、その分は剥ぎ取られることなく惑

で、衝突天体組成への制約を試みた。

星に蓄積される。衝突天体によって供給された H2 Oはそのほとんどが海洋へ蓄積され、大気剥ぎ取りの影響をほとんど受けないのに対し、大気のみに分配

3

Results & Discussion
本研究では、後期天体集積による大気形成において衝突脱ガス時の惑星表層での元素分配を考慮した
大気組成進化を調べた。計算の結果、後期天体集積
時の水素・炭素の海洋・炭酸塩へ分配されることによって、地球表層の C/H 比および N/H 比は減少し、炭素・窒素枯渇を生じさせることが分かった。また、
現在の地球表層の揮発性元素組成から衝突時の元素分配による大気組成進化を遡ることで、エンスタタ
イトコンドライト組成の後期集積天体を仮定すると現在の地球表層に見られる炭素・窒素枯渇を説明できることが分かった。

される N2 や一部しか炭酸塩へ取り込まれない CO2は大気剥ぎ取りによって選択的に宇宙空間へ剥ぎ取られたと推測される。
次に後期天体集積中の惑星表層の N/H 比と C/H比の時間進化を図 5 に示す。衝突天体組成は図 4 と同じ設定での計算結果である。後期天体集積による
天体衝突量は地球質量の約 1%と見積もられており(Bottke et al. 2010)、その時点までに N/H 比は約7 割, C/H 比は約 4 割減少した。これは、衝突天体によって供給された水素の大部分と炭素の一部が海洋や炭酸塩として地球表層に固定されることで衝突による大気剥ぎ取りの影響を受けず地球表層に留まったためだと考えられる。大気のみに分配される窒素

存在量 / 地球質量 [g/g-Earth]と、一部が炭酸塩に取り込まれてもなお大気の主成分を占める二酸化炭素は、水蒸気に比べて大気中のCO2

海洋
後期天体集積炭酸塩

存在割合が多く、大気剥ぎ取りの影響を強く受ける。
その結果として C/H 比および N/H 比が減少したとN2推測される。以上の結果から、後期天体集積時の表

H 2O

素・窒素枯渇の原因の一つだと考えられる。

層リザーバー間の元素分配が地球表層に見られる炭大気
全リザーバー

累積衝突質量 / 地球質量 [%]また、衝突天体組成に対し幅広いパラメータ・サーベイを行ったところ揮発性成分含有割合が (CO2 : 0.7%,

H2 O: 3%, N2 : 0.03%) の小天体が衝突した場合、後期天体集積後の最終的な C/H 比および N/H 比、N2
量が現在の地球と一致した。図 1 の星印とそこから

図 4: 衝突脱ガスと大気剥ぎ取りによる地球大気中の矢印は衝突天体組成と元素分配による化学組成進の揮発性元素量進化 (橙：二酸化炭素 (CO2 ), 青：水化を表している。今回求めた組成は太陽系小天体の蒸気または水 (H2 O), 赤：窒素 (N2 ), 実線：大気中の中ではエンスタタイトコンドライトに分類されるた存在量, 点線：表層の全リザーバー中の存在量). 衝

め、この結果から後期集積天体はエンスタタイトコ

突天体中の揮発性元素含有量は (CO2 : 0.7%, H2 O:

ンドライト組成であったことが示唆される。

3%, N2 : 0.03%) と仮定した.
図 4 は地球大気組成の時間進化 (CO2 , H2 O, N2 の各存在量進化) を示している。本研究から推測される
衝突天体組成として各成分の含有割合を (CO2 : 0.7%,

H2 O: 3%, N2 : 0.03%) と設定した場合の計算結果である。横軸の衝突質量は時間発展に相当する。衝突

太陽系小天体の組成は、構成成分の凝結温度の違いによってその形成場所の情報を反映していると考えられる。岩石惑星軌道付近の太陽系内側領域には揮発性元素含有量が比較的少ない天体が、小惑星帯
以遠の太陽系外側領域には揮発性元素に富んだ天体が多く分布する (e.g., Morbidelli 2012)。この傾向を利用することで、衝突天体組成の見積もりからその2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

衝突天体 C/H比N/H比N の選択的剥ぎ取り
地球表層 N/H比C/H比

衝突天体 N/H比C の選択的剥ぎ取り
地球表層 C/H比後期天体集積

後期天体集積

累積衝突質量 / 地球質量 [%]累積衝突質量 / 地球質量 [%]図 5: 地球表層の C/H 比および N/H 比進化. 図 4 と同様の計算において大気+海洋+炭酸塩に蓄積された揮発性元素 (C, H, N) の存在比の時間進化を示す.
形成場所や集積過程を含む惑星形成シナリオに対す

Acknowledgement

る手がかりが得られると期待される。
現在の地球表層に存在する希ガスはその大部分が大気に含まれているが、その存在量もコンドライト
組成に比べて枯渇している (e.g., Pepin 2015)。希ガスも窒素と同様反応性が低く惑星内部には取り込

本稿は地球生命研究所 (ELSI) の黒川宏之研究員・
玄田英典准教授との共同研究に基づいています。以上の共同研究者に加え、数多くのご助言をいただいた
指導教員の奥住聡准教授に心より感謝申し上げます。

まれにくいため、後期天体集積によってもたらされた希ガスは大気に分配され、大気剥ぎ取りの影響を強く受けたと考えられる。したがって、本研究で着目した表層における元素分配を伴う大気剥ぎ取りは、希ガス存在量にも影響を与えたと考えられる。

Reference
Abe, Y., et al. 2000, University of Arizona Press, 413433.
Bergin, E., et al. 2015, National Academy of Sciences
112, 29, 8965-8970.

4

Conclusion
衝突脱ガスと大気剥ぎ取りを伴う後期天体集積に

Bottke, W.F., Nesvorny, D., Vokrouhlicky, D., Morbidelli, A. 2010, The Astronomical Journal 139, 994.

おいて、衝突時に海洋や炭素循環がすでに存在した

Catling, D.C., Kasting, J.F. 2017, Cambridge University Press.

と仮定すると、地球表層の N/H 比および C/H 比はKasting, J. F. 1993, Science 259, 920-926.

時間とともに減少し、炭素・窒素枯渇を引き起こす
ことが分かった。これは衝突天体によって供給されMorbidelli, A., et al. 2012, Annual Review of Earth andPlanetary Sciences 40.

た水素が海洋へ、炭素が炭酸塩へ固定されることにde Niem, D., et al. 2012, Icarus 221, 495-507.

よって大気剥ぎ取りの効果が妨げられたことに起因

Pepin, R. O. 1991, Icarus, 92, 2-79.

する。さらにこの大気組成進化を遡り幅広いパラメー
タ・サーベイを行った結果から、我々は後期集積天体はエンスタタイトコンドライトと類似した組成であったと推測する。

Sakuraba, H., Kurokawa, H., and Genda, H. 2018,
Icarus in press.
Shuvalov, V. 2009, Meteor. Planet. Sci., 44, Nr 8, 10951105.
Svetsov, V. V. 2000, Solar Syst. Res., 34(5), 398-410.
Svetsov, V. V. 2007, Solar Syst. Res., 41, 28-41.

——–index

c16

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校

COSMOS 領域における原始銀河団コアの探索
安藤 誠 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
原始銀河団は現在の銀河団の祖先と考えられている領域で、主に z > 2 における銀河の密度超過として発見されてきた。銀河の形成・進化に対する環境の影響を知る上では、原始銀河団の中で特に密度の高い中心部（コア）を探す必要がある。本研究では多波長の観測データが存在する COSMOS 領域の銀河カタログを用いて、重い銀河のペアをトレーサーとし、原始銀河団のコアとみなせるような重いダークマターハロー (DH)を探索した。その結果原始銀河団コアの候補として、およそ 200 組の銀河グループが見つかった。これらの周りでは銀河の密度超過が見られ、また clustering 解析から DH の質量が MDH = 2.5 × 1013 M⊙ であると見積ることができた。将来的には、今回発見したコア候補の周囲にサブミリ銀河のような特徴的な天体が存在するかを調べること、分光追観測によってコア候補が本物であるかを確認することなどを予定している。

1

Introduction

これらは多くの原始銀河団候補領域を発見するという成果を上げている一方で、原始銀河団と環境の銀河団は宇宙最大規模のダークマターハロー (DH)を土台として、銀河が高密度で存在する領域である。
その特有な環境ゆえに、銀河進化と銀河の周囲の環境との間の依存性、すなわち環境効果を調べる上でも銀河団は重要な研究対象である。多くの銀河団はz < 1 のような比較的近傍の宇宙で発見されてきたが、近年の観測技術の向上や手法の開発を背景に、より遠方の宇宙においても銀河団の探査が精力的に行なわれている。特に z > 2 のような遠方にある銀河の高密度領域のうち、将来的に DH の質量が現在の銀河団 DH 質量の典型値である MDH ∼ 1014 M⊙ 程
度にまで成長することが予想されるようなものは原
始銀河団と呼ばれ、銀河団そのもののやメンバー銀河の進化を調べるための対象として関心を集めている (Overzier 2016)。
原始銀河団は代表的には以下のような手法で探査が行なわれている。

研究という観点では問題も残る。(1) については、非
常に大局的な銀河の密度超過を探すことになるので、環境効果が顕著に現れると考えられる中心部が同定できないことや、そのような大きな構造が銀河団に進化するかどうかの判定を（しばしば未検証の）シミュ
レーションに依存していることが挙げられる。(2) についても、目印となる天体の寿命が短いので、限られた原始銀河団しか探せない可能性が高い。
原始銀河団の中心部の研究については、z > 2 おいて非常に高い密度超過を持つ天体が見つかっている（Wang et al.2016; Miller et al. 2018; Oteo et al.

2018）。こうした原始銀河団の「コア」は数百 pkpc
程度の非常に小さな領域に多数の銀河が集中していることや、極めて高い星形成率 (∼ 1000M⊙ yr−1 ) を持つなどの特徴があり、環境効果を調べる上でも興味深い対象である。一方で、このような極端な天体は稀にしか見つからず、見つかったとしても一般的

1. LBGs や LAEs などの大規模なサーベイに基づ な環境とは呼びにくい。
そこで、原始銀河団のコアを系統的な手段で多くいて、∼ 10 cMpc 程度にわたる銀河の密度超過領域を探す。

見出すことが重要になる。そこで本研究では、z ∼ 2において、当時の最も重い virial halo を原始銀河団
2. QSOs や SMGs などの特徴的に重いと考えられ コアと定義し、これを探すために銀河のペアに着目る銀河を目印に密度超過を探す。
して解析を行った。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校本研究では flat な ΛCDM 宇宙論を仮定し、ΩM =3.2

0.3, ΩΛ = 0.7 を採用する。また距離に言及する際に共同距離であるか物理距離であるかを明示して、

cMpc, pMpc のように表記する。

Analysis

原始銀河団のコアとみなせるような銀河のグループを探すために、以下のような手続きを行った。な
おサンプルとして用いた 1.5 ≤ z ≤ 3.0 かつ M∗ ≥1011 M⊙ を満たす銀河の総数は 1727 個であった。

2

Data & Samples

1. ある銀河に着目し、その銀河を中心として半径

本研究では、COSMOS 領域における 2015 年版の∆θ = 0.3 × 2 pMpc、奥行き ∆z = 0.12 × 2 の銀河カタログ (Laigle et al. 2016) を用いた。このカ円筒内にある銀河（「隣接銀河」と呼ぶ）を数

タログでは Ks-band によって選択された 50 万個を超える。

える銀河について、可視光から近赤外線にわたる多波長観測によって得られた、星質量や測光的 redshiftなどの情報が含まれている。観測領域の広さは、近2. 隣接銀河数が多い銀河から順に、中心銀河及びその隣接銀河をまとめて原始銀河団コア候補とみなす。複数のコア候補に属する可能性がある

赤外線サーベイである UltraVISTA の観測が存在す銀河については、よりメンバー数の多いもののる領域が ∼ 1.58 deg2 であり、その中には 3σ 限界等方に属するものとする。

級が Ks = 24.0 の Deep 領域と Ks = 24.7 の Ultra

Deep 領域が含まれている。なお Deep 領域について、

3. まとめたメンバー銀河の位置・redshift の平均を2.75 < z < 3.5 における銀河の 90% mass limit は原始銀河団コア候補の位置・redshift とする。

log(M∗ /M⊙ ) = 10.1 である。このうち本研究では、
1.5 ≤ z ≤ 3.0 にある 167815 個の銀河をサンプルとして選んだ。

3

原始銀河団コアの探査

3.1

原始銀河団コア

本研究では原始銀河団のコアを、z ∼ 2 において

ここで奥行き ∆z = 0.12 はカタログ銀河が持つredshift の誤差を考慮して設定したものである。

4

Results見つかった原始銀河団コア候補を図 1 に示す。これらには表 1 に示すようなメンバー数を持つものが含まれる。

最も重いビリアル化した DH と定義した。このような DH は z ∼ 0 まで進化すると MDH ≥ 1014 M⊙ の質量を獲得することが予想される。z ∼ 0 である質量

表 1: 原始銀河団コア候補の数
メンバー数
2
3
4 5 6

計

を持つ DH の過去の質量は extended Press-Schecher

候補数

203

150

30

14

5

4

モデル (Hamana et al. 2006) によって解析的に推定でき、いま考えている DH の場合、z ∼ 2.5 において典型的に MDH ∼ 3 × 1013 M⊙ を持つことが予想される。また球対称崩壊モデルによると、このようなDH のビリアル半径は rvir ∼ 0.3 pMpc である。また、
Behroozi et al. (2013) によると MDH ∼ 1013 M⊙ の

5Discussion

5.1

Surface number density

ような DH は、M∗ ≥ 1011 M⊙ のような重い銀河の今回探索した原始銀河団コア候補の周囲におけるホストハローである。そこで本研究では、0.3 pMpc

銀河の密度超過を知るために，周囲にある銀河の分の半径の中に M∗ ≥ 1011M⊙ を満たす銀河が 2 個以 布を調べた。まず各コア候補の座標を中心とし，奥行上存在する領域を原始銀河団のコア候補として探索き ∆z = 0.12 を持つ円環柱の中に存在する，10.0 ≤した。

log(M∗ /M⊙ ) < 11.0 を満たす銀河の数を数えた。次2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校に半径ごとの数分布を全てのコア候補について足し合わせることで，今回見つけた候補の平均的な密度分布を得た。同様の解析を log(M∗ /M⊙ ) ≥ 11.0 を満たす銀河及びランダム点周りでも行った。前者は「重い銀河のグループ」が単体の重い銀河と比べて銀河の密度超過のよいトレーサーとなるかを調べるのに用い，後者は COSMOS 領域の平均的な銀河数密度を評価することに用いる。

5.2

Clustering Analysis

今回見つけた原始銀河団コア候補の集合度合いを調べるために 2 点角度相関関数 ω(θ) を計算した。ω(θ)
は、Landy & Szalay (1993) の推定式を用いると、以下のように表される。

ω(θ) =

DD(θ) − 2DR(θ) + RR(θ)RR(θ)

結果は図 2 示されている。原始銀河団コア候補周

ただし DD(θ), DR(θ), RR(θ) はそれぞれ、角度 θ だりの銀河の密度は単体の重い銀河や COSMOS 平均

け隔てたデータ点-データ点、データ点-ランダム点、と比べて大きくなっている。コア領域と見なしうる半

ランダム点-ランダム点のペアの数である。図 3 に本研

径 1 − 2 cMpc において、COSMOS 平均に対する原究で求めた銀河団コア候補及び重い銀河の角度相関関
始銀河団コア周りでの密度超過はおよそ 0.5 である。 数がプロットされている。これらを ω(θ) = Aω θ−0.8 +IC の関数形（IC は観測領域で決まる定数）で fit を+0.5gal行うことにより、Acore= 10.9+4.3
ω−4.3 , Aω = 2.8−0.5 を得た。2 点角度相関関数は、その天体のホスト DHの質量の推定に用いることができる (e.g. Kusak-abe+18, Okamura+18)。これをもとに推定したホス
gal
13
core
= 2.5+1.7
M⊙ , MDH=
ト DH の質量は、MDH−1.1 ×10
12
4.6+1.5
M⊙ であった。これは銀河のペアを探−1.3 × 10

すことでより重い DH を探すことができることを示しており、またその質量は今回目標としていた DHに近い値であることがわかった。

図 1: COSMOS 領域における原始銀河団コア候補。
小丸，大丸，ダイヤモンド，三角形，バツ印によって

図 2: 原始銀河団コア候補周りの銀河の密度超過。赤，それぞれ 2, 3, 4, 5, 6 個のメンバー銀河を含むコア

青，黒の各点はそれぞれ原始銀河団コア候補，重い候補が示されている。このうちマゼンタの破線円で銀河，ランダム点周りの面密度を表す。

囲まれたものは Wang+16 において分光同定されたコアである。

2018 年度 第 48 回 天文・天体物理若手夏の学校
200 個の候補を見つけた。コア候補周りの銀河の密度超過は 0.5 程度であった。また、コア候補に対す
る clustering 解析により、コア候補が属する DH の
平均的質量はおよそ MDH ∼ 2 × 1013 M⊙ であることがわかった。

Acknowledgement
本研究におきましては、指導教員である嶋作一大先生から多くのアドバイスをいただき、また研究に関する細やかな議論をたくさんさせていただきました。また、研究室のメンバーの方々には解析の初歩から丁寧に教えていただき、研究のアイデアをいた
図 3: 原始銀河団コア候補及び単体の重い銀河の 2 点

だきました。研究を支えてくださっている皆様に感

角度相関関数。赤，緑，の各点はそれぞれ原始銀河

謝申し上げます。

団コア候補，重い銀河での ω(θ) を表す。またそれぞれをモデルで fit したものがそれぞれ破線及び一点鎖線で表されている。

Reference

6

Behroozi, P. S., Wechsler, R. H., & Conroy, C. 2013,
ApJ, 770, 57

Future work
これまでに見つけた原始銀河団コア候補領域について、そのメンバー銀河に対する環境効果の様子を調べるために、将来的には以下のようなことを行う
予定である。

• 原始銀河団コア候補周辺に中性水素ガスが存在するかを調べる。

• サブミリ銀河のようなダストを多く持つ（したがって星形成が盛んな）銀河が原始銀河団コア
候補に存在するかを調べる。

• 原始銀河団コア候補の分光追観測• COSMOS 以外の領域における原始銀河団コア
候補の探索

Hamana, T., Yamada, T., Ouchi, M., Iwata, I., & Kodama, T. 2006, MNRAS, 369, 1929
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56

7

Conclusion
COSMOS 領域の銀河カタログを用いて、1.5 ≥ z ≤3 にある M∗ ≤ 1011 M⊙ を満たす銀河のグループを探すことで原始銀河団のコア候補の探査を行い、約