技術研究報告第 47 号 2021.11

戸田建設株式会社

多層地盤における杭の「平均的」水平地盤反力係数に関する理論的検討
THEORETICAL STUDY OF THE AVERAGE COEFFICIENT OF LATERAL SUBGRADE REACTION
FOR PILES IN MULTI-LAYERED SOIL

成田 修英*1
Nobuhide NARITA
In this paper, I propose an equivalent homogeneous factor 𝛽𝛽 (hereinafter, called “𝛽𝛽”) to express lateral subgrade reaction for piles in multi-layered soil(where 𝛽𝛽 is the characteristic value 𝛽𝛽 of Chang’s formula). I formulated 𝛽𝛽 as the elastic energy balance condition of the total length of a pile. The 𝛽𝛽 can
be calculated with a simple iterative calculation. Furthermore, I verified the characteristics of 𝛽𝛽 by numerical analysis. In this verification, I verified
convergence of the iterative calculation method for 𝛽𝛽 and compared the pile displacement calculated with 𝛽𝛽 to the displacement of beams in an
inhomogeneous Winkler foundation model. As a result, I obtained the following information.
1.
This 𝛽𝛽 can be calculated by the proposed iterative calculation method.
2.
In ordinary soil conditions, the pile displacement calculated with 𝛽𝛽 generally agreed with the displacement of beams in inhomogeneous Winkler
foundation model.
Keywords : Coefficient of Lateral Subgrade Reaction, Multi-layered Soil, Chang’s formula,
水平地盤反力係数，多層地盤，Chang の式

1. はじめに杭の地盤反力を Winkler ばねで表現するモデル（以下，「梁ばねモ

なお，杭頭鉛直載荷に対する等価一様地盤の考察は付録１に記載している．

デル」と呼ぶ）は，地中での杭の挙動に関する実用的な計算方法として有用である．特に，Chang の示した一様地盤における無限長杭の杭頭水平載荷に対する解 1) （以下，「Chang の式」と呼ぶ）は，単

2. 理論

純な閉じた形の式で表されており，計算の容易さ，また計算結果の2.1 検討対象とする地盤と杭の条件

見通しの立て易さの点で，実用性が高い．

図１に，検討対象とする地盤と杭の条件を示す．同図の通り，𝑛𝑛

Chang の式は，単一の特性値を用いて杭の変位分布，地盤反力分

層地盤に無限長の杭が打設されているものとして，梁ばねモデルで布，断面力分布などを表現できるため，杭の設計諸元と計算結果と検討を行う．このとき𝑖𝑖層における杭の変位を𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧)とすると，𝑖𝑖層にの因果関係を把握し易く，特に杭の設計初期段階の概略的な検討における杭のせん断力増分と地盤反力の関係は次式の通りになる．

おいて威力を発揮する．現在の計算機環境では，多層地盤の梁ばね

𝑑𝑑 4 𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧)(1)
+ 𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧) = 0
𝑑𝑑𝑧𝑧 4(1)式の微分方程式の解が，多層地盤における水平載荷の梁ばねモデ
𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖モデルの計算や，それよりさらに厳密なモデルの計算も，容易に実施できるが，それら厳密な計算方法も，杭の設計諸元と計算結果との因果関係の把握し易さという点では，Chang の式におよばない．

ルの厳密解である．

そのため，Chang の式は，今なお有用な実用計算法として一定の地位を保っている（2019 年に改定された日本建築学会発行の最新版の指針 2) でも，4 ページに渡って解説が掲載されている）．
Chang の式は，一様地盤における解であるため，実地盤（多層地盤）への適用に際しては，注意が必要である．杭頭水平載荷に対する杭の地盤反力は，深度に対して指数関数的に減少するので，地盤反力の集中する杭頭付近の地盤が一様と見なせるような地盤条件
であれば，
Chang の式と多層地盤の梁ばねモデルの解は一致するが，そうでない場合には誤差が生じる．そのような場合に，Chang の式の誤差を最小化できる多層地盤の平均的なパラメータを求めるこ
図 1 検討対象とする地盤と杭とができれば便利である．そこで本報告では，Chang の式を多層地盤に適用する際の誤差評価の方法と，評価対象となる多層地盤と杭2.2 多層地盤における Chang の式の誤差の諸元から，Chang の式に代入するための平均的なパラメータを決Chang の式と多層地盤の解（(1)式の解）では，あらゆる点で食い定するための方法について検討した結果について述べる（以下，このような平均的な地盤を「等価一様地盤」と呼ぶ）．

違いが生じるため，無数の誤差評価法が考えられるが，ここでは杭全長における弾性エネルギーの収支に着目し，以下の通りに誤差関Technology Development Center, TODA CORPORATION, M.Eng.

*1 戸田建設㈱技術開発センター 修士（工学）7-1多層地盤における杭の「平均的」地盤反力係数に関する理論的検討

数を定義する．そうすると，誤差関数を最小化する Chang の式のパ

さらに(6)式に𝜀𝜀�𝛽𝛽� = 0を代入して整理すると，𝛽𝛽に関する以下のよ
うな条件式が得られる．

ラメータとして，等価一様地盤のパラメータも定まる．
(1) 杭全長における弾性エネルギーの収支4(1)式より，梁ばねモデルにおける弾性エネルギーの収支の条件式

𝛽𝛽 =が容易に導ける．まず，(1)式の両辺に𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧)/2をかけると次式が求
1𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧)1
𝐸𝐸𝐼𝐼
𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧) + 𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖2 (𝑧𝑧) = 0
2 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑧𝑧 4
2

𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑧𝑧∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 � ℎ𝑖𝑖 𝑖𝑖 ∫𝑧𝑧 𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑�
4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑖𝑖−1𝑓𝑓(𝛽𝛽) ≔∞∫0 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑(2)(2)式は任意の深度で成り立つので，(2)式の左辺を杭全長に渡って積1
𝑑𝑑 4 𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧)1� � 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧) + 𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖2 (𝑧𝑧)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
4
𝑑𝑑𝑧𝑧
2
2
0

(8)

(7)式の条件を満たす𝛽𝛽は，次の反復計算の収束値として数値的に求めることが出来る．
4
𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1= 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂𝑗𝑗 �(9)

分してもやはり成り立つ（次式）
．
∞

(7)

∞

∫0 𝑢𝑢𝑐𝑐2 �𝛽𝛽, 𝑧𝑧�𝑑𝑑𝑑𝑑

以下，表記の簡略化のため，(7)式の右辺の関数を𝑓𝑓(𝛽𝛽)と記す（次式）
．

まる．

4

𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑧𝑧∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 � ℎ𝑖𝑖 𝑖𝑖 ∫𝑧𝑧 𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑐𝑐2 �𝛽𝛽, 𝑧𝑧�𝑑𝑑𝑑𝑑�
4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑖𝑖−1(3)

ここに，𝛽𝛽̂𝑗𝑗 は𝛽𝛽の想定値𝛽𝛽̂に関する反復計算の𝑗𝑗番目の値を表す．
𝛽𝛽̂の初期値𝛽𝛽̂1 には 1 層目の諸元（図 1 参照）に対応した Chang の式

ここで(3)式左辺の被積分関数に着目すると，1 項目は杭に蓄えられる弾性エネルギー，2 項目は外力（地盤反力）が杭に成す仕事を表していることが分かる．したがって，(3)式は「杭に蓄えられるエネの特性値である次式を用いれば良い．

ルギーと外力の成す仕事の収支は，杭全長で考えると釣合う（足す4 𝑘𝑘ℎ1 𝐵𝐵1𝛽𝛽̂1 = �
4𝐸𝐸𝐼𝐼1とゼロになる）」ことを示した式となっている（(2)式は，「（杭全長で考えなくても）各深度でもエネルギーの収支が釣合う」ことを示(10)(2) 関数 f(β)の具体的な形している）．
(2) 弾性エネルギーの収支に着目した Chang の式の誤差(3)式を元に多層地盤における Chang の式の誤差関数を定義する．
まず Chang の式による杭の変位を𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)とおき，(3)式の右辺に反復計算により𝛽𝛽を求めるためには，関数𝑓𝑓(𝛽𝛽)が数値計算のできる具体的な形で定まっている必要がある．これは𝑓𝑓(𝛽𝛽)の定義式（(8)
式）に Chang の式を代入して計算を実行すれば定まる．以下，杭頭𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧)の代わりに𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)を代入した関数を𝜀𝜀(𝛽𝛽)とおく（次式）．こ

自由条件と杭頭固定（回転拘束）条件でそれぞれ𝑓𝑓(𝛽𝛽)の具体形を示

こに𝛽𝛽は Chang 式の特性値で，水平地盤反力係数を𝑘𝑘ℎ , 杭径を𝐵𝐵, 杭す．
杭頭自由条件では，∫ 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑は，次のようになる（積分定数4の曲げ剛性を𝐸𝐸𝐸𝐸とすると，𝛽𝛽 ≔ �𝑘𝑘ℎ 𝐵𝐵/4𝐸𝐸𝐸𝐸である．
∞
𝑑𝑑 4 𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)11𝜀𝜀(𝛽𝛽) ≔ � � 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖
𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧) + 𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)� 𝑑𝑑𝑑𝑑
4
𝑑𝑑𝑧𝑧
2
2
0

は省略）
．

� 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −(4)

ここに，𝐴𝐴 ≔ 𝐵𝐵は記号𝐴𝐴を左辺の数式𝐵𝐵の内容で定義することを表

1
𝑃𝑃
𝜋𝜋
�
� e−2𝛽𝛽𝛽𝛽 �2 + √2 cos �2𝛽𝛽𝛽𝛽 + ��3
8𝛽𝛽 2𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽
4

(11)

す．

ここに，𝑃𝑃は杭頭荷重を表す．

𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)と𝑢𝑢𝑖𝑖 (𝑧𝑧)は一致しないので，一般に𝜀𝜀(𝛽𝛽) ≠ 0である．𝜀𝜀(𝛽𝛽)のこれを用いて，𝑓𝑓(𝛽𝛽)の具体形が次の通りに定まる．
𝑛𝑛

値は，杭の変位として厳密解でなく𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)を用いることにより生じるエネルギー収支の不釣り合い（誤差）を表している．

𝑓𝑓(𝛽𝛽) =2.3 等価一様地盤における Chang の式の特性値(1) 等価一様 β の定義と条件式⎨ 𝑘𝑘ℎ𝑛𝑛 𝐵𝐵𝑛𝑛⎪
⎩ 4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑛𝑛𝑖𝑖(𝛽𝛽 ≠ 0)(𝛽𝛽 = 0)

(12)

(13)

杭頭固定条件では，∫ 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑は，次のようになる（積分定数

めることが可能である．このような𝛽𝛽を，等価一様地盤における𝛽𝛽，
等価一様𝛽𝛽と呼び，以下，記号𝛽𝛽で記す．𝜀𝜀�𝛽𝛽� = 0を満たすような𝛽𝛽は省略）．

が必ず存在することの証明については付録 2 に示す（𝛽𝛽の存在証明
については，良い物理的解釈があれば本文に記載したが，数学的な� 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −証明しか思いつかなかったので，付録とした）．
以下，(4)式を整理し𝛽𝛽の条件式を導く．まず Chang の式の性質より，次式が成り立つ．

∞
1𝜀𝜀(𝛽𝛽) = � �−2𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 𝛽𝛽 4 + 𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 � 𝑢𝑢𝑐𝑐2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑
2
0

𝑖𝑖=1

1
𝜋𝜋
𝑔𝑔1 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧) ≔ e−2𝛽𝛽𝛽𝛽 �2 + √2 cos �2𝛽𝛽𝛽𝛽 + ��
34

上で定義した誤差関数𝜀𝜀(𝛽𝛽)の値をゼロにするような特性値𝛽𝛽を求

𝑑𝑑 4 𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)= −4𝛽𝛽 4 𝑢𝑢𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)
𝑑𝑑𝑧𝑧 4
これを(4)式に代入して次式が導ける．

⎧� 𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 �𝑔𝑔 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧 ) − 𝑔𝑔 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧 )�
1
𝑖𝑖−1
1
𝑖𝑖
⎪
4𝐸𝐸𝐼𝐼

1
𝑃𝑃
𝜋𝜋
�
� e−2𝛽𝛽𝛽𝛽 �2 + √2 sin �2𝛽𝛽𝛽𝛽 + ��
4𝛽𝛽 4𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽 34(14)

これを用いて，𝑓𝑓(𝛽𝛽)の具体形が次の通りに定まる．
𝑛𝑛(5)𝑓𝑓(𝛽𝛽) =⎧� 𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 �𝑔𝑔 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧 ) − 𝑔𝑔 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧 )�
2
𝑖𝑖−1
2
𝑖𝑖
⎪
4𝐸𝐸𝐼𝐼
𝑖𝑖=1

⎨ 𝑘𝑘ℎ𝑛𝑛 𝐵𝐵𝑛𝑛⎪
⎩ 4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑛𝑛𝑖𝑖(𝛽𝛽 ≠ 0)(𝛽𝛽 = 0)1𝜋𝜋𝑔𝑔2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧) ≔ e−2𝛽𝛽𝛽𝛽 �2 + √2 sin �2𝛽𝛽𝛽𝛽 + ��
3
4

(6)

7-2

(15)

(16)

技術研究報告第 47 号 2021.11

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𝛽𝛽が極端に大きい（杭の曲げ剛性に対し地盤反力係数が極端に大きい）場合，𝑓𝑓(𝛽𝛽)は杭頭自由条件，固定条件ともに𝑘𝑘ℎ1 𝐵𝐵1 /4𝐸𝐸𝐼𝐼1 に漸近する．このことは，𝑓𝑓(𝛽𝛽)の具体形の式より,容易に確かめることができる．まず，𝑔𝑔1 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧), 𝑔𝑔2 (𝛽𝛽, 𝑧𝑧)ともにe−2𝛽𝛽𝛽𝛽 のオーダの関数なので，次式が成り立つ．

𝑔𝑔1 (𝛽𝛽 → ∞, 𝑧𝑧𝑖𝑖 ) ≃ 𝑔𝑔2 (𝛽𝛽 → ∞, 𝑧𝑧𝑖𝑖 ) ≃ 0

一方，(13)，(16)式より次式も成り立つ．
𝑔𝑔1 (𝛽𝛽, 0) = 𝑔𝑔2 (𝛽𝛽, 0) = 1(𝑖𝑖 ≥ 1)

(17)
(18)

(17), (18)式より，杭頭自由条件，固定条件ともに次式が成り立つ．
𝑓𝑓(𝛽𝛽 → ∞) ≃𝑘𝑘ℎ1 𝐵𝐵1
4𝐸𝐸𝐼𝐼1(19)(3) 等価一様 β の反復計算の収束性

図 3 等価一様 β の計算フロー

4𝛽𝛽は，図２に示すような𝑦𝑦 = 𝛽𝛽 のグラフと𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝛽𝛽)のグラフの交点と考えることができる．同図における𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝛽𝛽)のグラフは，𝑓𝑓(𝛽𝛽)3.2 等価一様 β の数値的検証の具体形（(12), (15)式）と𝑓𝑓(𝛽𝛽 → ∞)に関する考察より想定される典型的なパターンを示したものである．同図(a)は標準的な地盤条件に３ケースの模擬地盤を設定し，表１の諸元を持つ杭に対して杭頭けるグラフを示しており，同図(b)はかなり稀なケースと考えられる

自由の条件と杭頭固定の条件それぞれで𝛽𝛽の計算を実施，反復計算の収束性の確認と多層地盤の梁ばねモデルの厳密解との比較を行が，例えば表層地盤改良した地盤の改良体を貫通して細径の杭が打設されているような条件でのパターンを示している．どちらのパターンでも，𝛽𝛽̂は，同図の「𝛽𝛽̂の収束の軌跡」にあるような軌跡を描う．簡単のため，杭は表１の値で全層均質とする．また，等価一様地盤における Chang の式と多層地盤の梁ばねモデルの解との比較
は，杭頭載荷 1kN 時の杭の変位分布にて行う．

いて𝛽𝛽に収束する．この収束性の厳密な証明は，付録３に示す．

表 1 検証計算における杭の諸元
杭径 B (m)曲げ剛性 EI (kN・m2)

杭長1.03×106無限1

模擬地盤は各層ポアソン比𝜈𝜈𝑖𝑖 とせん断波速度𝑉𝑉𝑠𝑠𝑠𝑠 および地盤の質量

密度𝜌𝜌を設定し，以下の式により，地盤の弾性係数𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠 を設定する．

ただし，地盤の質量密度は簡単のため，
全層一律𝜌𝜌 = 1.8t/m3 とする．
𝐺𝐺𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝜌𝜌𝑉𝑉𝑠𝑠𝑠𝑠2(b) 表層のみ極端に硬い条件(a) 概ね深い地層ほど硬い条件
4
図 2 β , f(β)のグラフと反復計算による β𝑎𝑎� 収束の軌跡の模式図(22)𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠 = 2(1 + 𝜈𝜈𝑠𝑠𝑠𝑠 )𝐺𝐺𝑠𝑠𝑠𝑠

ここに，𝐺𝐺𝑠𝑠𝑠𝑠 は𝑖𝑖層のせん断弾性係数を表す．

求まった𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠 を Francis の式 3) （次式）に代入すれば，水平地盤反力

3. 等価一様 β の適用性検証

係数が求まり，この値と表１の杭諸元を用いて，梁ばねモデルの計

3.1 多層地盤に打設された杭の等価一様 β を計算する手順算が実施できる．

２章に全て示した内容ではあるが，２章の記載は理論の説明を主

1/12

1.3𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐵𝐵4(23)��
1 − 𝜈𝜈𝑖𝑖2 𝐸𝐸𝐸𝐸
また，検証計算では収束状況の確認のため，反復計算の各ステッ
プにおける𝛽𝛽̂ の値から逆算した平均的なせん断波速度（以下，𝑉𝑉�𝑠𝑠 と
𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵 =眼に置いており，具体的な𝛽𝛽の計算手順については，あまり整理された記載になっていないので，ここで簡潔にまとめる．
まず反復計算の準備として，杭と地盤の諸元から各層の水平地盤
反力係数𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 を算出し，𝑘𝑘ℎ𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑖𝑖 /4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑖𝑖 を求めておく．また𝛽𝛽̂の収束判定記す）の出力も行う（𝛽𝛽̂ の数値よりも，それを基に逆算した𝑉𝑉�𝑠𝑠 の方が，状況の直感的把握が容易なので）．𝑉𝑉�𝑠𝑠 の計算は，(21)~(23)式の手方法を決めておく．𝛽𝛽̂ の収束判定は，例えば「次式のように定義できる収束率𝑅𝑅𝑗𝑗 が一定値（例えば 1/100）以下であるなら収束したと見なす」などとして良い．
|𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1 − 𝛽𝛽̂𝑗𝑗 |𝑅𝑅𝑗𝑗 ≔
𝛽𝛽̂𝑗𝑗

(21)

順を逆に辿って以下の通りに行う．まず𝛽𝛽の定義式より，平均的な地盤反力係数（かける杭径）𝑘𝑘�
ℎ 𝐵𝐵 が逆算できる．

(20)以上準備をした上で，図３のフローに従って反復計算を行えば，収束判定において設定した所要の精度の𝛽𝛽が求まる．

̂4𝑘𝑘�ℎ 𝐵𝐵 = 4𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽(24)(24)式の結果を Francis の式に代入して次式のように整理すると，平
均的な地盤の変形係数𝐸𝐸�𝑠𝑠 が求まる．この際，平均的な地盤のポアソ

ン比𝜈𝜈̂ が必要となるが，ここでは簡単のため𝜈𝜈̂ = 0.3を仮定する．
7-3

多層地盤における杭の「平均的」地盤反力係数に関する理論的検討

ケース１は標準的な地盤条件を想定している．表２が地盤の諸元，

12

1

2 13
𝐸𝐸𝐸𝐸 13 𝑘𝑘�
ℎ 𝐵𝐵 (1 − 𝜈𝜈̂ )𝐸𝐸�𝑠𝑠 = � 4 � �
�
𝐵𝐵
1.3

(25)

𝑉𝑉�𝑠𝑠 と𝐸𝐸�𝑠𝑠 の間には，その定義より，次の関係が成り立つので，
𝐸𝐸�𝑠𝑠
𝑉𝑉�𝑠𝑠 = �2(1 + 𝜈𝜈̂ )𝜌𝜌

図４が杭頭自由条件の結果，図５が杭頭固定条件の結果である．図４, ５(a)より，このような地盤条件では，𝛽𝛽̂ の収束の軌跡は図２(a)のパターンをとることが確認できる．また図４，５(b)より，反復回(26)

件（図４(b)）よりも杭頭固定条件（図５(b)）の方が大きいが，これこの関係と(24), (25)式を組み合わせることにより，𝛽𝛽̂から𝑉𝑉�𝑠𝑠 が求まる．
(1) 模擬地盤ケース１

下端深度 (m)Vsi (m/s)

た Chang の式の変位は，厳密解に概ね整合していることが確認でき

νi

1

1

100

0.30

2

3

150

0.48

10

300

0.48

500

0.48

3
4

無限

は，杭頭固定条件の方がより深い地層まで変位がおよび，より深い地層の𝑉𝑉𝑠𝑠 を反映することによる．図４，５(c)を見ると，１層目の物性を用いた𝛽𝛽̂1 による Chang の式の変位は，厳密解（多層地盤の梁ばねモデルの解）と整合しないが，十分に収束した値である𝛽𝛽̂11 を用い

表 2 ケース１の地盤諸元
層番号数５~６回程度で値が収束すること，収束値には２層目以深の𝑉𝑉𝑠𝑠 も反映されていることが分かる．𝑉𝑉�𝑠𝑠 の収束値については，杭頭自由条

る．
ただし，𝛽𝛽̂が高い精度で収束しても，それを用いた Chang の式の変位解が𝛽𝛽̂ の収束精度と同じ精度で厳密解に整合するわけでは無い

ことには，注意が必要である．実際，図４，５(c)を確認すると，厳密解と𝑢𝑢𝑐𝑐 �𝛽𝛽̂11 , 𝑧𝑧�は，概ね整合してはいるものの，目視で確認できるレベルの誤差がある．これは，反復計算の回数が足りないのでは無く，多層地盤内の杭の挙動を単一の平均的なパラメータ𝛽𝛽で表現することの限界によるものである．𝛽𝛽を用いた Chang の式の解は杭全長でのエネルギー収支の釣合いは満足するが，各深度における力の釣合いは満足しない．一方，多層地盤の厳密解は各深度の力の釣合いも満足する（杭全長でのエネルギー的釣合いも当然満足する）
ので，そこに差異が生じる．この点は，𝛽𝛽を用いて Chang の式で多層地盤の杭の挙動を表現することの限界として認識しておく必要(a) 収束の軌跡

がある．
(2) 模擬地盤ケース２
ケース２は堅固な中間支持層（3 層目）のある地盤条件を想定している．表３が地盤の諸元，図６が杭頭自由条件の結果，図７が杭頭固定条件の結果である．3 層目は，中間支持層としては浅すぎて(b) 平均的 Vs の収束状況

やや現実味が無いが，杭頭に近い地層の方が𝛽𝛽への影響が強く，この種の地盤条件における傾向を捉え易くなるため，中間支持層のあ(c) 杭の変位の比較

図 4 ケース１ 杭頭自由条件計算結果

る場合の極端な例として設定している．図６,７より，ケース 2 の傾
向はケース１と大差ない．ただし，杭頭固定条件ではケース 1 よりも収束性がやや悪い傾向がある（図５(a), (b)と図７(a), (b)の比較より）．これが中間支持層のある地盤の特徴だと考えられる．杭頭自由条件では，収束性の悪化は見られないが，これはケース１の結果の考察でも述べた通り，杭頭自由条件では杭頭固定条件よりも杭の変位が浅い部分に集中する傾向があるため，この場合，杭頭自由条件
では中間支持層の寄与が小さかった（1，2 層目の寄与が卓越した）ことによると考えられる．

(a) 収束の軌跡

表 3 ケース２の地盤諸元
層番号(b) 平均的 Vs の収束状況(c) 杭の変位の比較

図 5 ケース１ 杭頭固定条件計算結果

下端深度 (m)

νi

1

1

100

0.30

2

3

150

0.48

3

5

500

0.48

4

10

300

0.48

500

0.48

5

7-4

Vsi (m/s)

無限技術研究報告第 47 号 2021.11

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表 4 ケース３の地盤諸元
層番号下端深度 (m)Vsi (m/s)

νi

1

1

700

0.30

2

3

150

0.48

5

300

0.48

500

0.48

3
4

無限

(a) 収束の軌跡(b) 平均的 Vs の収束状況(c) 杭の変位の比較

図 6 ケース２ 杭頭自由条件計算結果(a) 収束の軌跡(b) 平均的 Vs の収束状況(c) 杭の変位の比較

図 8 ケース３ 杭頭自由条件計算結果(a) 収束の軌跡(b) 平均的 Vs の収束状況(c) 杭の変位の比較

図 7 ケース２ 杭頭固定条件計算結果(a) 収束の軌跡(3) 模擬地盤ケース３
ケース３は図２(b)のような収束パターンの現れる地盤条件の典型例として設定している．表層地盤改良の改良体を杭が貫通するよ
うな条件である．表４が地盤の諸元，図８が杭頭自由条件の結果，(b) 平均的 Vs の収束状況(c) 杭の変位の比較

図 9 ケース３ 杭頭固定条件計算結果

図９が杭頭固定条件の結果である．図８，９(a)より，このような地盤条件では図２(b)の収束パターンが現れることが確認できる．この収束パターンでは，図２(a)やケース１，２のような収束パターンと異なり収束の過程で𝛽𝛽̂ の値が振動しないため，収束性が良い傾向が

4. まとめあり，この場合には反復回数３～４回程度で値が収束している（図

多層地盤における Chang の式の適用性を拡張するため，等価一様

８, ９(b)より）．ただ，収束性は良いものの，変位に関しては厳密解

地盤の概念を提案し，杭全長での弾性エネルギーの収支の釣合い条との乖離が大きい傾向があり（図８，９(c)より），この点には注意が件から，等価一様𝛽𝛽とその数値計算法を定式化した．また等価一様必要だと考えられる．

𝛽𝛽の計算とそれを用いた Chang の式の解の数値的検証も行った．その結果，以下の知見を得た．

7-5

多層地盤における杭の「平均的」地盤反力係数に関する理論的検討

1)

提案した反復計算法により等価一様𝛽𝛽を得ることができる．

2)

標準的な地盤条件では，等価一様𝛽𝛽による Chang の式の解と𝑘𝑘𝑣𝑣 𝐵𝐵 =多層地盤の梁ばねモデルの厳密解は概ね整合する．ただし，2𝜋𝜋𝐺𝐺𝑒𝑒2𝑟𝑟
log � 𝐵𝐵𝑚𝑚 �𝑟𝑟𝑚𝑚 ≔ 2.5𝑙𝑙(1 − 𝜈𝜈𝑒𝑒 )等価一様𝛽𝛽の「等価」は，あくまで杭全長でのエネルギー的な

(a2)
(a3)

ここに，𝐺𝐺𝑒𝑒 は地盤の平均的なせん断弾性係数，𝑣𝑣𝑒𝑒 は地盤の平均的な釣合いが満足されるという意味での「等価」であり，厳密解との整合性が担保されているわけでは無い．厳密解との整合が悪い条件もあるので注意が必要である．

ポアソン比, 𝑙𝑙は杭長を表す．

次のように各層の値に書き換えて多層の梁ばねモデルの計算を実

今後は変位だけでなく断面力についても検証を進めるとともに，施することであるが，このような計算法の適用性を検討した例は見多層地盤における杭と地盤の相互作用解析に等価一様地盤の概念

当たらない．この適用性検討については，今後の課題である（一様を応用できないか検討を進めたい．

地盤については，境界要素法を用いた精算解との比較により，杭の軸剛性が比較的低い場合にも Randolf の方法により実用的な精度の参考文献
1) Y. L. Chang, Discussion on “Lateral pile-loading test” by Feagin, Trans., ASCE, p.
272-278, 19372) 日本建築学会 「建築基礎構造設計指針」，日本建築学会, p.259-262,
2019.113) A. J. Francis, “Analysis of pile groups with flexural resistance”, Journal of the Soil
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doi:10.1061/JSFEAQ.0002133
4) M. F. Randolf and C. P. Wroth, “Analysis of deformation of vertically loaded piles”,
Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol. 104,
Issue 12, p. 1465-1488, 1978.12, doi: 10.1061/AJGEB6.0000729
5) 地盤工学会 「杭基礎の設計法とその解説」, 地盤工学会, p. 538-540,
1985.126) F. Kuwabara, “Settlement behaviour of non-linear soil around single piles
subjected to vertical loads”, SOILS AND FOUNDATIONS, Vol. 31, No. 1, pp.
39-46, 1991.1, doi: 10.3208/sandf1972.31.39

解が得られることが検証されている（Kuwabara6) による）が，多層地盤で Randolf の方法の適用性を検証した例は見当たらない）．
𝑘𝑘𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐵𝐵 =2𝜋𝜋𝐺𝐺𝑖𝑖
2𝑟𝑟
log � 𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 ≔ 2.5𝑙𝑙(1 − 𝜈𝜈𝑖𝑖 )

(a3)
(a4)

ここに，𝑠𝑠𝑣𝑣𝑣𝑣 は𝑖𝑖層の鉛直地盤反力係数を表す．

なお，(a3), (a4)式の計算方法を採用した上で，Chang の式の等価

一様𝛽𝛽を求めるのと同様の考え方により，等価一様𝛽𝛽𝑣𝑣 を求めることも出来るが，以下３点の理由により，多層の梁ばねモデルの計算をそのまま実施する方が，等価一様地盤の計算よりもメリットが大きいと考えられる．
1)

等価一様𝛽𝛽𝑣𝑣 を求めてそれを用いるよりも，多層の計算の方が厳密な解が得られる．

付録 1. 鉛直載荷に対する平均的な地盤反力係数2)

鉛直方向の平均的な地盤反力係数を求める方法は，弾性論的な簡鉛直の場合は，杭頭荷重が杭先端まで伝わり易く，有限長杭易法としては，Randolf の方法 4) 以外には見当たらない．しかしなの解を用いる必要があるため，水平の場合の Chang の式に比がら，Randolf の方法は杭が剛体として近似できることを仮定してべると，一様地盤の解であっても式の形が複雑で計算が難し

おり，この仮定は，地盤反力に対して杭の軸剛性が相対的に低い場

い．特に，等価一様𝛽𝛽𝑣𝑣 を求めようとすると，煩雑な計算が必要となる．

合には成り立たない．これを確かめるためには，杭の軸変形の度合3)いを計算すれば良い．

の階数が低く，水平の場合よりも解くのが簡単なので，多層杭の軸変形の指標として，杭頭変位𝑢𝑢𝑡𝑡 と杭先端変位𝑢𝑢𝑏𝑏 の比（𝑟𝑟𝑝𝑝 との計算も比較的容易である（水平の場合は 4 階の微分方程式

おく）を考える．この比𝑟𝑟𝑝𝑝 が１に近ければ近いほど，杭が剛体に近
例えば 5)

いと言える．鉛直載荷に対する梁ばねモデルの解
𝛽𝛽𝑣𝑣 𝑙𝑙

次式で表されるので，杭が剛である条件は，eる．
𝑟𝑟𝑝𝑝 ≔=eなのに対し，鉛直では 2 階である）．

より，𝑟𝑟𝑝𝑝 は−𝛽𝛽𝑣𝑣 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑡𝑡 1 𝛽𝛽 𝑙𝑙𝑘𝑘𝑏𝑏= �e 𝑣𝑣 + e−𝛽𝛽𝑣𝑣 𝑙𝑙 � +�e𝛽𝛽𝑣𝑣 𝑙𝑙 − e−𝛽𝛽𝑣𝑣 𝑙𝑙 �𝑢𝑢𝑏𝑏 2
2𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑣𝑣

鉛直の場合は，梁ばねモデルの力の釣合いを表す微分方程式= 1であ

付録 2. 等価一様 β（β4=f(β)の解）の存在証明
本文図２より直感的にはほぼ明らかであるが，同図は典型的と考(a1)

えられるパターンを示したものであり，本文図２だけでは，いかなる条件下でも必ず𝛽𝛽が存在するとは言えない．ここでは，いかなるここに，𝐴𝐴は杭の断面積，𝑘𝑘𝑏𝑏 は杭先端の地盤ばね，𝛽𝛽𝑣𝑣 は鉛直載荷に条件下でも必ず𝛽𝛽が存在することを確かめる．まず𝛽𝛽 = 0において，
𝛽𝛽 4 = 0かつ𝑓𝑓(𝛽𝛽 = 0) = 𝑘𝑘ℎ𝑛𝑛 𝐵𝐵𝑛𝑛 /4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑛𝑛 なので，次の関係が成り立つ．

対する梁ばねモデルの特性値であり杭の鉛直地盤反力係数を𝑘𝑘𝑣𝑣 とおくと𝛽𝛽𝑣𝑣 ≔ �𝑘𝑘𝑣𝑣 𝐵𝐵/𝐸𝐸𝐸𝐸である．

𝛽𝛽 4 < 𝑓𝑓(𝛽𝛽)

その結果が１
Randolf の方法により定まる𝛽𝛽𝑣𝑣 を用いてe𝛽𝛽𝑣𝑣 𝑙𝑙 を計算し，(𝛽𝛽 = 0)(a5)

(𝛽𝛽 → ∞)(a6)

また𝛽𝛽 → ∞では，𝛽𝛽 4 → ∞かつ𝑓𝑓(𝛽𝛽 → ∞) = 𝑘𝑘ℎ1 𝐵𝐵1 /4𝐸𝐸𝐼𝐼1 で，𝛽𝛽 4 が無に十分近い場合には，そのまま Randolf の方法が使えるが，そうで限大に発散するのに対し𝑓𝑓(𝛽𝛽)は高々有限値なので，次の関係が成りない場合には，Randolf の方法の前提となる仮定が破綻しているの立つ．

で別の方法を用いた方が良いと考えられる．

𝛽𝛽 4 > 𝑓𝑓(𝛽𝛽)多層地盤における Randolf の方法の代替として最も単純なアイデ(a5), (a6)式より，𝛽𝛽 = 0から𝛽𝛽 → ∞の間のどこかで，𝛽𝛽 4 と𝑓𝑓(𝛽𝛽)の大

アは，オリジナルの Randolf の方法による地盤反力係数の計算（次小関係が入れ替わることが分かる．このことと，𝛽𝛽 4 と𝑓𝑓(𝛽𝛽)がともに

式）を，

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技術研究報告第 47 号 2021.11

戸田建設株式会社

連続関数であることより，𝛽𝛽 = 0から𝛽𝛽 → ∞の間のどこかに，かな

4

(a12)

𝛽𝛽 < 𝛽𝛽̂24

4らず𝑓𝑓(𝛽𝛽) = 𝛽𝛽 となる𝛽𝛽，つまり𝛽𝛽が存在することが分かる．

(a12)式より，𝛽𝛽 < 𝛽𝛽̂2 である．同様の手順を繰り返せば，任意の反復
回数の𝛽𝛽̂𝑗𝑗 について次式が成り立つことが分かる．
(a13)𝛽𝛽 < 𝛽𝛽̂𝑗𝑗

付録 3. 等価一様 β を求めるための反復計算の収束性証明
本文で示した反復計算法の収束性は，本文図２や本文 3 章の計算(a9)式と(a13)式の組み合わせより，「𝛽𝛽̂𝑗𝑗 は，𝛽𝛽よりも大きい値の範囲で，反復の度に常に減少する」ということが言える．つまり𝛽𝛽̂𝑗𝑗 は，の結果からは明らかに思えるが，厳密な収束性の証明は図の印象ほど容易ではない．ここでは𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調増加関数である場合（本文図２(b)のパターン）と，単調減少関数である場合（本文図２(a)のパター

反復の度に𝛽𝛽に近づき，最終的に𝛽𝛽に収束することが分かる．

ン）の収束性の証明を示す．
付録 3.2 f(β)が単調減少関数である場合の収束性証明
はじめに，𝛽𝛽̂1 , 𝛽𝛽̂2 , 𝛽𝛽̂3 の大小関係を確認する．𝑓𝑓(𝛽𝛽 → ∞) =なお，かなり極端な地盤条件を設定した検証計算のケース 2，３でも𝑓𝑓(𝛽𝛽)は単調関数であったので，現実的な地盤条件で𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単

𝑘𝑘ℎ1 𝐵𝐵1 ⁄𝐸𝐸𝐼𝐼4 = 𝛽𝛽̂14 なので，𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調減少な場合は，任意の𝛽𝛽について，𝑓𝑓(𝛽𝛽) > 𝛽𝛽̂14 である．したがって，次式が成り立つ．

調関数にならないような条件は無いかもしれないが，もし𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単
調でなく本文で示した反復計算が上手く収束しない場合でも，

𝛽𝛽̂14 < 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂1 � = 𝛽𝛽̂24

𝑓𝑓(𝛽𝛽) = 𝛽𝛽 4 の解が存在することは確かなので（付録２に示した解の存在証明は𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調か否かによらず成り立つ），2 分法等の球根

このとき𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調減少であるので，次式が成り立つ．
𝑓𝑓�𝛽𝛽̂1 � > 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂2 �

アルゴリズムにより，解を求めることは可能である．

(a16)̂
一方，任意の𝛽𝛽において𝛽𝛽1 < 𝑓𝑓(𝛽𝛽)であることより，次式が成り立つ．
𝛽𝛽̂14 < 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂2 � = 𝛽𝛽̂34(a17)に𝛽𝛽̂ の値が小さくなることを示す．𝑓𝑓(𝛽𝛽 → ∞) = 𝑘𝑘ℎ1 𝐵𝐵1 ⁄𝐸𝐸𝐼𝐼4 = 𝛽𝛽̂14なので，𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調増加な場合は，任意の𝛽𝛽について，𝑓𝑓(𝛽𝛽) < 𝛽𝛽̂14(a16), (a17)式より，次の関係が成り立つことが分かる．
𝛽𝛽̂14 < 𝛽𝛽̂34 < 𝛽𝛽̂24(a18)
̂
次に，(a18)式の関係を用いて，任意の反復回数の𝛽𝛽𝑗𝑗 について
𝛽𝛽̂𝑗𝑗−1 < 𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1 < 𝛽𝛽̂𝑗𝑗 もしくは𝛽𝛽̂𝑗𝑗 < 𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1 < 𝛽𝛽̂𝑗𝑗−1 であることを示す．ま(a7)

このとき𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調増加であるので，次式が成り立つ．
𝑓𝑓�𝛽𝛽̂2 � < 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂1 �4𝑓𝑓�𝛽𝛽̂𝑗𝑗 � = 𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1
なので，(a8)式より次式も成り立つ．
4
4
𝛽𝛽̂3 < 𝛽𝛽̂2(a15)よって次式も成り立つ．
𝛽𝛽̂24 > 𝛽𝛽̂34

付録 3.1 f(β)が単調増加関数である場合の収束性証明
はじめに，本文の通りに𝛽𝛽の初期値𝛽𝛽̂1 を設定したとき，反復の度である．したがって，次式が成り立つ．
𝑓𝑓�𝛽𝛽̂1 � = 𝛽𝛽̂24 < 𝛽𝛽̂14

(a14)

(a8)

ず，(a18)式と𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調減少であることより，次式が成り立つ．
𝑓𝑓�𝛽𝛽̂1 � > 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂3 � > 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂2 �
(a19)

(a9)

よって次式も成り立つ．
𝛽𝛽̂24 > 𝛽𝛽̂44 > 𝛽𝛽̂34

同様の手順を繰り返すことにより，任意の反復回数の𝛽𝛽̂𝑗𝑗 について次(a20)
̂
同様の手順を繰り返すことで，任意の反復回数の𝛽𝛽𝑗𝑗 について次式が式が成り立つことが分かる．
4
𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1< 𝛽𝛽̂𝑗𝑗4(a9)̂̂
次に，任意の反復回数の𝛽𝛽𝑗𝑗 について𝛽𝛽 < 𝛽𝛽𝑗𝑗 であることを示す．まず，単調増加関数𝑓𝑓(𝛽𝛽)に対して，常に𝑓𝑓(𝛽𝛽) < 𝛽𝛽̂14 がなりたっている

成り立つことが導ける．

ので，𝑓𝑓(𝛽𝛽)と𝛽𝛽 の交点である𝛽𝛽と𝛽𝛽̂1 の大小関係は次の通りになる．
(a10)𝛽𝛽 < 𝛽𝛽̂14

このとき，𝑓𝑓(𝛽𝛽)が単調増加なので，次式の関係も成り立つ．
(a11)
𝑓𝑓�𝛽𝛽� < 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂1 �4(a11)式において，𝛽𝛽 の定義より𝑓𝑓�𝛽𝛽� = 𝛽𝛽 , 𝛽𝛽̂ の更新ルールより
𝑓𝑓�𝛽𝛽̂1 � = 𝛽𝛽̂24 であるので，これを代入すれば次式の通りになる．

𝛽𝛽̂𝑗𝑗−1 < 𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1 < 𝛽𝛽̂𝑗𝑗�
𝛽𝛽̂𝑗𝑗−1 > 𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1 > 𝛽𝛽̂𝑗𝑗(𝑗𝑗が偶数)(𝑗𝑗が奇数)(a21)(a21)式は，「𝛽𝛽̂𝑗𝑗 は，反復計算によって振動するが，その振幅は反復の度に小さくなる」ということを表してる．つまり(a21)式より，𝛽𝛽̂𝑗𝑗が収束することが分かる．𝛽𝛽̂𝑗𝑗 が収束するということは，十分に大き4= 𝑓𝑓�𝛽𝛽̂𝑗𝑗 � ≃ 𝛽𝛽̂𝑗𝑗4 となることを意味しているので，𝛽𝛽い𝑗𝑗において𝛽𝛽̂𝑗𝑗+1の定義より，十分に大きい𝑗𝑗において𝛽𝛽̂𝑗𝑗 は𝛽𝛽の近似値をとるということが言える．

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