はじめに社会科学の多くの分野の分析では，複数の変数間の相互関係を数式で表し，その数式を決定するパラメータをデータから推定をして解釈を行い，パラメータの値について検定を行うのが一般的であった。そのなかでも，従来，最も多く分析手法として用いられてきたのが回帰分析である。
最小 2 乗法に基づいた通常の回帰分析は，説明変数を与えたときの条件付き平均値を求めることで，説明変数が目的変数の分布に与える影響を平図1

分散が均一のケース

図2

分散が不均一のケース

均 値 で 評 価 す る の に 対 し て， 本 稿 で 紹 介 す る
Koenker and Bassett（1978） によって導入された分位点回帰は条件付きの分位点，すなわち中央値や四分位数・十分位数などの分布の位置を推定することで，目的変数の分布に対する説明変数の影響を分布の様々な位置で評価する手法である。
本稿では，分位点回帰の基本的な考え方を中心に紹介したいと思う。
最初に，なぜ分位点回帰を考えることに意味があるかを考えたい。分位点回帰のメリットは大き
く 2 つ，分布の裾の情報をみることで従来できなかった分析を可能にすること，分位点をみることで外れ値に対して頑健な分析を可能にすることが性によって説明変数が被説明変数の分布に与える挙げられる。それらについて順に述べていきたい。

影響が，分散が均一か否かによって，異なること

市町村の人口，企業の資本金・売上高・従業員数などの社会・経済的規模を表すデータは，しばを図示したものである。
この図において横軸 x は説明変数を表しており，しば規模が大きい集団ほど散らばり具合が多く，縦軸 y は目的変数を表している。楕円は，説明変そのようなデータを回帰分析で分析する際は，通数を与えたときの，誤差項の散らばり具合，すな常回帰分析で仮定する誤差項の分散均一性の条件

わち目的変数の分布の散らばり具合の大きさをイが満足されない。

メージで表したものである。斜めに引いた直線は，分散が不均一であるときには，説明変数の（条説明変数を与えたときの目的変数の条件付き分布件付き）分布に与える影響が，分布のどの位置かの分位点と説明変数の関係のグラフ，すなわち本によって異なってくる。図 1，図 2 は分散不均一

稿で取り上げる分位点回帰の式を表している。

92

社会と調査（2015 年 3 月）

この図からわかるように，誤差項が対称に分布して分散が均一なケースでは，古典的な回帰分析で得られる説明変数を与えたときの目的変数の平げられる。以下は，架空の数値例である。
例（架空の数値例）：ある企業に所属する 7 人の年間所得（単位万円）

均的な動きや，後ほど紹介する最小絶対偏差回帰

330，280，230，240，290，340，1,580で得られる目的変数の条件付き中央値と，分位点

この数値は，1 人だけ 1,580 万円と大きな値が回帰で得られる説明変数を与えたときの目的変数あるが，それ以外は大体 300 万円前後の値である。の分布の分位点との関係に違いはみられない。しこのデータで平均値を求めると 470 万円となり，かし，分散不均一のケースでは，条件付き分布の1,580 万円の影響を受けて，それ以外の値のすべ挙動は分位点ごとに異なっており，最小 2 乗法でてよりも大きな値となっており，データの代表値得られる条件付きの平均値だけでは，分布の挙動としては不適切であると考えられる。

を正確に測ることができないことがわかる。

この問題に対処する 1 つの方法は，平均に大き社会保障政策・経済政策の分析や立案を行う際な影響を与える少数だが極端な値である外れ値をには，その政策が与える効果を評価する必要があ取り除くことであろう。上のデータから一番大きる。たとえば，就学促進の政策の効果を測定する

い 1,580 万円と一番小さい 230 万円を除いて平均ためには，就学年数が所得水準に与える影響を知を取ると 296 万円となり，この値はデータの中心る必要がある。しかしながら，就学年数が異なるを表す代表値として，まずまず妥当なものといグループ間の所得の分散が異なっているときは，

え よ う。 こ の よ う な 計 算 方 法 は ト リ ム 平 均

上記の図からも想像されるように，就学年数が所（trimmed mean）と呼ばれているもので，身近な得に与える影響は，所得が低いグループと所得が例としては体操競技における評価が挙げられる。

高いグループでは異なっているため，古典的な回体操競技などでは 1 人の人の競技に何人かの審判帰分析がもたらす結論だけでは誤った解釈に陥る員が点数をつけ，その点数のなかから最低点と最可能性がある。分位点回帰では，説明変数を与え高点を除いて平均点を採用する。このような方式

たときの目的変数の分布の裾の挙動について知るの歴史は古く，18 世紀のフランスでは土地の価ことができるので，教育が所得に与える影響を所格の算定に用いられていたとのことである（竹内，得水準の違いごとに評価することができる。

1980 : 21）。

応用例 1：Chamberlain（1994） はアメリカの中央値（median）は，このようなトリム平均の製造業における労働者の賃金に労働組合加入が与特殊なケースであり，データの中心を表す代表値える影響を分析した。Chamberlain（1994） では，のなかで一番外れ値に対して頑健なものと考えら

従来の分析で用いられてきた最小 2 乗法による回れる。データのなかから大きいデータと小さいデ帰と分位点回帰による比較を行っている。通常のータを除いていって最後に残る値はデータの中央回帰では労働組合に入っている労働者は平均的にに位置する 290 万円であり，これはデータの中央15.8％ 賃金が高いという結論が得られたが，分位値となっている。以上の議論からもわかるように，

点回帰を行ったところ，労働組合に入っているこ

大きい値または小さい値の外れ値の数がデータのとが与える影響は，第 1 十分位点に対しては 28

数 n の半分 n/2 を超えないかぎり，中央値は影％ であるが，上の位の分位点になるにつれて，響を受けないという意味で頑健である。同様に，影響は単調に減少して，第 9 十分位点に対してはデータの小さいほうから数えて 100τ％ の位置に0.3％ にまで落ちることが確認される。よって，あるτ─分位点は，外れ値の数が n min ⎰⎱τ，1−τ⎱⎰最小 2 乗法による分析は主に賃金が低いグループを超えないかぎり影響を受けない頑健な指標であの影響を捉えていると考えられる。

る。

分位点回帰のメリットのもう 1 つは，分位点が分位点回帰は，条件付きの平均値ではなく条件平均値と比べて極端に大きい値または小さい値で付きの分位点を分析するものであるので，極端なある外れ値に対して頑健であり家計の所得・資産値の影響を受けない頑健な分析を可能にするもの

額などの社会・経済データの多くにみられる歪んと考えられる。

だ分布をもつデータの分析に適していることが挙応用例 2：Koenker and Hallock（2001）では，社会と調査（2015 年 3 月） 93

2.5

3.0

2000

0.5

1.0

1.5

2.0

Food Expenditure
1000
1500

0.0500

1000

2000
3000
4000
Household Expenditure5000

図 3 エンゲル曲線の推定−4−2

図40x24チェック関数（τ＝0.25 のケース）Engel の 1857 年の論文「ザクセン王国の生産及のパラメータベクトル，′はベクトルの転置を表す。

び消費事情」において用いられた，当時の勤労者世帯 235 世帯の家計データに基づくエンゲル曲

通常の最小 2 乗法の回帰では，データ x1，…，xn の平均値 －x が 2 乗損失関数Σni＝1（xi−a）2 を 最線 を 推 定 し て い る。 図 3 は R 言 語 の quantreg

小にする a であることに対応して，Σni＝1（ yi−X′iパッケージと Koenker のホームページ（http://2β）を最小にするベクトルβを求めてパラメータwww.econ.uiuc.edu/~roger/）で公開されているの推定値とするが，分位点回帰のパラメータの推プログラムを用いて計算した結果のグラフである。

定は，分位点を与えるチェック関数（check func-破線で示されているのが最小 2 乗法による回帰tion） ま た は 非 対 称 絶 対 損 失 関 数（asymmetric

直線であり，下からそれぞれ 5％，10％，25％，absolute loss function） と呼ばれる損失関数で評

50％，75％，90％，95％ の分位点を回帰式で表価した損失している（条件付き中央値に対応する 50％ 分位点は太い線で表示されている）。

このグラフの形状から，前述の分散不均一性のΣnρ（τ yi−X′iβ）

i＝1を最小にする値として計算される。

影響による，回帰係数の傾きの違いがみてとれる。

最初にチェック関数で評価した損失を最小にす分位点が下位から上位に上がるにつれて，傾きがる値が，分位点であることを示そう。チェック関

急になっており，食費に対する支出のばらつきが高額支出者の方が大きいことが示唆される。また，
最小 2 乗法の破線が外れ値の影響を受けて下方にあるのに対して，50％ 分位点（条件付き中央値）数 ρτ（u）とは，τ（0≦τ≦1）に対して（τ−1）u⎰⎱ τu＜0u－u＞0ρ（u）＝τで表される関数であり，グラフの形状が図 4 のよを表す式は影響を受けていないことがみてとれる。 うにチェック・マークに似ていることから，その分位点回帰の推定方法
本節では，分位点回帰のパラメータの推定方法について述べる。議論を行うため，本節以降では回帰式を

yi＝X′
i β＋εi， i＝1，…，nと表す。ここで，yi はスカラー値の目的変数であり，Xi は k×1 の説明変数ベクトル，βは k×1
94

社会と調査（2015 年 3 月）ように呼ばれる。Σni＝1ρτ（xi−a）を最小にする aは x1，…，xn のτ分位点である。

チェック関数は，τ＝0.5 のとき⎰−0.5u⎱ 0.5uρ0.5（u）＝0.5︱u︱＝＜0u－u＞0と絶対値関数の 0.5 倍となる。Σni＝1ρ0.5（xi−a）＝0.5 Σni＝1︱xi−a︱を最小にする a は x1，…，xn の中央値（0.5 分位点）である。

x1，…，xn のτ分位点（0≦τ≦1）がΣni＝1ρ（xτ i−a）

を 最 小 に す る こ と の 厳 密 な 証 明 は，Manski（1988） の pp.54─56 や Koenker（2005） の pp.5─6で行われているが，ここではいくつかの例に限定して直感的な議論を行う。はじめに，τ＝0.5 のときΣni＝1ρ0.5（xi−a）＝0.5 Σni＝1︱xi−a︱を最小にする a定値を得ることができる。

τ＝0.5 のときは，最小絶対偏差回帰（least ab-solute deviation regression : LAD）と呼ばれ，説明変数を与えたときの目的変数の条件付き中央値を求める手法として，古くから知られた手法である。

が x1，…，xn の中央値であることを示す。絶対値関数は 0 となる点では微分できないが，連続型デ最小絶対偏差回帰は，前節で行った中央値と平均ータを念頭に︱xi−a︱＝0 となる可能性を無視するな回帰を行っていると解釈することも可能ではあと 0 となる点以外では，場合分けをすると微分がるが，目的変数の分布が左右対称であるなどの条できて，件を満足しないかぎり，条件付き平均値と条件付値の比較から，最小 2 乗法に対して外れ値に頑健（a＞xi のとき）

dd︱x −a︱＝ （a−xi）＝1
da idaき中央値は一致しないので，本来は別のものを推（a＜xi のとき）

dd︱x −a︱＝ （xi−a）＝−1
da idaな回帰と最小絶対偏差回帰の解釈におけるこれらとなるので，a が xi を小さい順に並べたときの真ん中の点（すなわち中央値） でΣni＝1ρ0.5（xi−a）＝0.5 Σni＝1︱xi−a︱は最小になることがわかる。

次に，τ＝0.25 のときΣni＝1ρ（xi−a）を最小にする a は x1，…，xn の 0.25 分 位 点（ 第 1 四 分 位 点）であることを確認する。

＜a⎰−0.75（xi−a）＝0.75︱xi−a︱，xi－⎱0.25（xi−a）＝0.25︱xi−a︱，xi＞aρ0.25（xi−a）＝であるので，先ほどと同様に定していることを心に留めたほうがよい。古典的の留意点については，Wooldridge（2013） の 9.6
節の議論を参照されたい。

分位点回帰の回帰係数の解釈，あてはまりの評価，係数の検定
本節では分位点回帰を行った際の係数の解釈，あてはまりの評価，回帰係数の有意性検定について紹介する。
分位点回帰の回帰係数は，通常の回帰と同様に説明変数が 1 単位増加をしたときの影響として解（a＞xi のとき）

dd︱x −a︱＝ （a−xi）＝1da ida

釈が可能である。通常の回帰との違いは，説明変（a＜xi のとき）

dd︱x −a︱＝ （xi−a）＝−1
da i
da件付き）分布の平均値であるか分位点であるかの数との間に記述されている関係が目的変数の（条違いにすぎない。
また重回帰分析のときの係数の解釈についても，となることから
d nΣi＝1ρ0.25（xi−a）＝ 0.75×（a＞xi の xi の数）da

通常の回帰と同様に解釈ができる。最小 2 乗法に−0.25×（a＜xi の xi の数）の説明変数の影響を取り除いたうえでのその変数と表わされるので，（a＞xi の xi の数）：（a＜xi のの影響」と解釈されることはよく知られたことでxi の数）＝1：3 となる a すなわち，a が x1，…，xnの 第 1 四分位点のときに Σni＝1ρ0.25（xi−a）は最小とある。この解釈の数理的根拠は残差回帰と呼ばれなる。

帰した後で，残差同士を回帰させたときの単回帰

同様に，一般のτのときも同様に a がτ分位点であるときにΣni＝1ρ（xは最小になることを示τ i−a）
すことができる。

よる通常の回帰分析においては，回帰係数は「他る「ある説明変数と目的変数を他の説明変数に回の係数が重回帰の係数と一致する」という結果であり，加重最小 2 乗法においても同様の結果が得られている。

ここまででチェック関数を損失関数として用い分位点回帰における回帰係数についても，An-ることで分位点が求められることを紹介してきた

grist et al.（2006） が示したように，分位点回帰が，分位点回帰においては，その対応から推定量はある種の加重最小 2 乗法の解として得らΣnρ（τ yi−X′iβ）i＝1を最小にするβを求めることでパラメータβの推れることから，通常の回帰分析と同様の解釈が可能である。すなわち，分位点回帰の回帰係数は他の説明変数の影響を除いた後，その変数が被説明社会と調査（2015 年 3 月） 95

数の分位点に与える影響を表していると解釈することができる。

2
pseudo R（τ）＝1−

このように，分位点回帰の回帰係数は，その推nΣi＝1
ρ（τ yi−X′iβ）

n
Σi＝1
ρ（）
τ yi−Q（τ y）（ここで Qτ（ y）は y1，…yn のτ─分位点）

定対象や推定方法の違いにもかかわらず，通常のを通常の回帰と同様に解釈することで，分位点回回帰分析と同様の解釈が可能であるという意味で帰の式のあてはまりを評価することができる

汎用性の高いものであるが，政策提言を行ううえ（Hao and Naiman, 2007）。

では注意しなければならない点があるのでここでまた，分位点回帰推定量は，漸近的に正規分布紹介する。Angrist and Pischke（2009）の 7．1．3に従うことから（Koenker and Bassett, 1978 ; Koen-

節で注意されていることだが，分位点回帰係数は，ker, 2005），係数の有意性の検定ができる。しかあくまでも条件付き分布の分位点に対する効果をしながら，漸近分布の分散を求めることは必ずし表したものであり，個人に対する効果を表したもも容易ではなく，ブートストラップ法による推定のではない。すなわち，ある職業訓練や就学年数量を含むいくつかの推定量が提案されており，ソの追加が，賃金分布の下位の分位点を押し上げる

フトウェアでも分散計算については複数のオプシ効果があったとしても，現在の貧しい人たちの状ョンを用意してあるものがある。

況が職業訓練を受けることや就学年数が伸びるこおわりにとで，分位点回帰式の係数で評価されるだけ改善することは保証されるとはいえない。なぜなら，このような職業訓練や就学年数を増加させる政策

本稿では，社会科学データの分析において，最を行ったときと行わなかったときの条件付き分布

近，急速に需要が高まっている分位点回帰についにおいて，同じ個人が相対的に同じ位置にいるとて，基本的な考え方に焦点を絞って紹介した。さは限らないからである。しかしながら，政策実施らに詳しく分位点回帰について知りたい方は，文前と同様の個人でないとしても，賃金分布の下位献に挙げた Hao and Naiman（2007）や Koenker

グループの賃金を押し上げるという意味において， （2005） などを参照されたい。分位点回帰は，本政策の効果を評価することはできる。

稿で取り上げたエンゲル曲線や賃金関数の推定以最後に回帰式のあてはまりの評価方法と係数の外にも，出生児の体重に影響を与える要因の分析

有意検定について，簡単に紹介する。通常の最小や損害保険の保険料や金融資産の分布の分析など

2 乗法に基づいた回帰分析では，回帰式のあてはの広範囲のテーマで用いられ始めている。これは

まりは，説明変数が 1 つの単回帰分析のときは決分位点回帰が社会科学データの分析において強力

定係数や自由度修正済みの決定係数で行うのが一なツールであることが認識されていることを反映般的である。

していると思われる。今後の理論・実証研究のさ決定係数を例にとると，最小 2 乗法による回帰らなる発展を祈念したい。

では回帰式で説明できる変動を全体の変動で割った値，書き換えると，全体の変動において回帰式で説明できなかった変動を割った値を 1 から引いた
2R＝n－ 2
Σi＝1
（X′i β− y ）2nΣi＝1（ yi−－y）

＝1－2n
Σi＝1
（ yi−X′i β）nΣi＝1（ yi−－y ）2

文献
Angrist, J., V. Chernozhukov and I. Fernandez-Val,
2006, “Quantile Regression under Misspecification,with an Application to the U.S. Wage Structure,”
Econometrica, 74 : 539─563.

（ここで －y は y1，…yn の平均値）

Angrist, J. and J─S. Pischke, 2009, Mostly Harmless

小さく 0 に近ければ近いほどあてはまりがよくな

NJ : Princeton University Press.（大森義明・小原美が大きく 1 に近ければ近いほどあてはまりがよく，いと評価が行われる。
分位点回帰の場合も，この類推から，2 乗で損失を評価するのではなく，チェック関数で損失を評価した pseudo R296

社会と調査

Econometrics : An Empricist’s Companion, Princeton,
紀・田中隆一・野口晴子訳，2013，『「ほとんど無害」
な計量経済学：応用経済学のための実証分析ガイド』
NTT 出版。）
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社会と調査（2015 年 3 月） 97