生データの解析Open cohort Studies
Open cohort study の典型的なものは下記のように表されます。

case
Person-time

exposedaN1

unexposed
bN0

total
M1T

Doll &Hill は喫煙の健康に対する効果を英国男性医師を対象に典型的 prospective
study の形で調査しまとめています。

冠動脈疾患による死亡
Person-years

喫煙630
142,427

非喫煙10139,220

total
731
181,467

喫煙と冠動脈疾患による死亡の間に関連はあるのでしょうか？またあるとしたら、危険因子なのでしょうか、それとも抑制因子なのでしょうか？さらにその影響は大きいのでしょうか？小さいのでしょうか？
まずは仮説を証明します。
H0：喫煙と冠動脈疾患死亡率の間に相関はない。
I1=I0, I1 – I0 = 0, I1 / I0 = 1
HA：喫煙と冠動脈疾患死亡率の間に相関がある。
I1≠I0, I1 – I0 ≠ 0, I1 / I0 ≠ 1
I1: incidence rate in exposed pop, I0 : incidence rate in non-exposed pop

基本はZ2 =χ 2= [X ･ E (X /H0) ]2 / Σvar(X /H0)
X=a=630, (実際観察された値)
E(X/H0)=M1N1/T=731 x 142,247/181,467 =573.0（期待される値）
var(X /H0)=M1N1/T(1 ･ N1/T) = M1N1N0/T2=731 x 142,247 x 39,220 /
181,4672=123.84（binomial では var=np(1-p)の形をとることを思いだしてください。）
Z2 =χ 2=(630 ･ 573)2 / 123.84 = 26.23
Pr (χ 2 > 26.23) = 0.000001H0は棄却され、喫煙と冠動脈疾患死亡率の間に関連があると結論できます。もちろんconfounder やbias が存在せず研究がvalidであると仮定してのことです。
Rate difference (RD)1

RD = a/N1 – b/N0 = 630/142,247PY – 101/39,220PY = 4.43/1,000PY –2.58/1,000PY = 1.85/1,000PY
E(X/H0) = E(RD/H0) = 0
何故なら仮説 H0 において RD は０であると仮定しているからです。
Var(X/H0) = var (RD/H0) = I x (1/N1 + 1/N0),
I = M1/T=731/181,467 (1/142,247 + 1/39,220) =0.00000013103

Z2 =χ 2=(0.00185 ･ 0)2 / 0.00000013103= 26.23
Pr (χ 2 > 26.23) = 0.000001
前と同じ結果を得ることができました。
次に 95％CI を算出します。
X ±1.96 √var(X)
X＝RD＝0.0185・PY
Var(X) = var (RD) = I1/N1 + I0/N0 = 1/N12 + b/N02 = 630/142,2472 + 101/39,2202=9.680/108/PY2
1.85 x 1,000PY ±1.96 √9.680/108/PY2 = (1.24/1000PY, 2.46/1000PY)
Var(RD) ≠var (X/H0)=I x (1/N1 + 1/N0)
何故ならH0ではRDは０であると仮定しているからです。
Incidence Rate Ratio (IRR)
RR=(630/142,247PY)/101/39,220PY =1.72
喫煙による 72％冠動脈疾患による死亡が増加するといえます。
同様に 95％CI を算出します。
X ±1.96 √var(X)X＝ln(RR)＝ln1.72 = 0.5422
Var(X) = var[ln (RR) ]= 1/a + 1/b = 1/630+ 1/101=0.01149
0.5422±1.96 √0.01149= (0.3321, 0.7523)
95%CI

e X ±1.96 √var(X)=e(0.3321, 0.7522) = (1.39, 2.21)

2RD の場合と違って、RR では ln を使用して計算し、また最後に e を使ってもどしています。何故でしょうか？
RR は１が中央値です。範囲は０から無限大です。要するに負の関係がある場合数値は０−１をとり正の関係の場合には数値は１−∞をとります。もし ln を使用すれば、１は０となり０はー∞となるので都合が良いのです。
以下は簡単な高校の数学の復習です。
Exp(X) =eX
Exp(0) = 1
Exp(1)=2.718281828
Ln[exp(x)]=X
Ln[1]=0Ln(2.718281828)=1Ln(2.7182818282)=2ln√2.718281828]=ln[e0.5]=0.5
ln[0]=-∞
exp[ln(X)]=X
exp(A)exp(B) = exp (A+B)
exp(A)/exp(B) = exp (A-B)
ln(AB) = ln(A) + ln(B)ln(A/B)=ln(A) ･ ln(B)II. Case Control Study
Case control study は下のパターンになります。

DiseaseNo-disease
total

Exposedac
N1

Non-exposedbdN0total
M1M0T

下の表は経口避妊薬と心筋梗塞の関連をみた case control study です。

心筋梗塞なし合計

経口避妊薬使用
23130153

使用せず
11213061418

合計
13514361571

Shapiro et al., Lancer 1979

経口避妊薬使用と心筋梗塞発生の間に関連はあるのでしょうか？またあるとしたら、危険因子なのでしょうか、それとも抑制因子なのでしょうか？さらにその影響は大きいのでしょうか？小さいのでしょうか？

3まずは仮説を証明します。
H0：経口避妊薬使用と心筋梗塞発生の間に相関はない。
OR = 1, RR = 1
HA：経口避妊薬使用と心筋梗塞発生の間に相関がある。
OR≠1, RR ≠ 1
Z2 =χ 2= [X ･ E (X /H0) ]2 / Σvar(X /H0)
X=a=23, (実際観察された値)
E(X/H0)=M1N1/T=135x153/1571 = 13.15（期待される値）
var(X /H0)= M1M0N1N0/T2(T-1)=135x1436x153x1418/15712 x 1570=10.85
Z2 =χ 2=(23 ･ 13.15)2 / 10.85 = 8.94
Pr (χ 2 > 8.94) = 0.003
H0は棄却され、経口避妊薬使用と心筋梗塞発生の間に関連があると結論できます。もちろんconfounder やbias が存在せず研究がvalidであると仮定してのことです。
OR = ad/bc = 23x1306 / 112 x 130 = 2.06
経口避妊薬使用により心筋梗塞の発生がおよそ 2 倍になることを示しています。
同様に 95％CI を算出します。
X ±1.96 √var(X)X＝ln(OR)＝ln2.06 = 0.7242
Var(X) = var[ln (OR) ]= 1/a + 1/b +1/c + 1/d= 1/23 + 1/112 + 1/130 +1/1306=0.0609
0.7242±1.96 √0.0609= (0.241, 1.21)
95%CIe X ±1.96 √var(X)=e(0.241, 1.21) = (1.27, 3.35)

この結果は経口避妊薬の使用により 95％の信頼性をもって 1.3 倍から 3.4 倍に増加すると言えます。

II. Closed Cohort Study
Closed cohort study は下のパターンになります。

DiseaseNo-disease
total

Exposedac
N1

Non-exposedbdN0

total
M1M0T4下の表は経口避妊薬と心筋梗塞の関連をみた case control study です。

冠動脈疾患
なし
合計

カテコラミン高濃度
23795122

カテコラミン低濃度
44443487

合計
71538609

Cassel et al. Arch Intern Med 1971

血中カテコラミン濃度の高低と冠動脈疾患発生の間に関連はあるのでしょうか？またあるとしたら、危険因子なのでしょうか、それとも抑制因子なのでしょうか？さらにその影響は大きいのでしょうか？小さいのでしょうか？
まずは仮説を証明します。
H0：血中カテコラミン濃度の高低と冠動脈疾患発生の間に相関はない。
C1 = C0, C1-C0=0, C1/C0 = 1
HA：血中カテコラミン濃度の高低と冠動脈疾患発生の間に相関がある。
C1 ≠ C0, C1-C0≠0, C1/C0 ≠ 1
Z2 =χ 2= [X ･ E (X /H0) ]2 / Σvar(X /H0)
X=RD= C1-C0＝a/N1 – b/N0 = 27/122 – 44/487 = 0.131
E(X/H0) E(RD/H0) = 0
Var(X/H0) = var (RD/H0) = C(1-C)/N1 + C(1-C)N0 = C(1-C)(1/N0 + 1/N1)= 71/609(1 – 71/609)(1/122 + 1/487) = 0.00106
Z2 =χ 2=(0.131 ･ 0)2 / 0.00106 = 16.25
Pr (χ 2 > 16.25) = 0.00006
H0は棄却され、血中カテコラミン濃度の高低と冠動脈疾患発生の間に関連があると結論できます。もちろんconfounder やbias が存在せず研究がvalidであると仮定してのことです。
同様に 95％CI を算出します。
X ±1.96 √var(X)
X＝RD＝0.131
Var(X) = var (RD) = C1(1- C1)/N1 + C0(1- C0)/N0 = ac/N13 + bd/N03= 27 x 95/1223 + 44 x 443/4873 = 0.001582
0.131±1.96 √0.001582 = (0.053, 0.209)
95% の信頼性をもって RD は 5―21％の間にあるといえます。

5Cumulative Risk Ratio
RR= (27/122)/(44/487) = 2.45
カテコラミン濃度が高いと 2.5 倍冠動脈疾患になる率が上がることを示しています。
95％CIX ±1.96 √var(X)X＝ln(RR)＝ln2.45 = 0.8959
Var(X) = var[ln (RR) ]= (1 - C1)/N1C1 + (1 - C0)/N0C0 = c/aN1 + d/bN0= 95/27 x 122 + 443 / 44 x 487 = 0.0495
0.8959±1.96 √0.0495= (0.4598, 1.332)
95%CI

e X ±1.96 √var(X)=e(0.4598, 1.332) = (1.58, 3.79

この結果はカテコラミン濃度の高低により 95％の信頼性をもって 1.6 倍から 3.8 倍に冠動脈疾患増加すると言えます。もちろん confounding, bias が存在しないと仮定してのことです。

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