Université Claude Bernard–Lyon ILicence 3 de Mathématiques : Géométrie élémentaireAnnée 2012–2013

Groupe des isométries du cubeLe plan≫ (resp. ≪l’espace≫) désigne un espace affine de dimension 2 (resp. 3) euclidien orientémuni si nécessaire d’un repère orthonormé direct. On se donne une partie X du plan ou del’espace et on note G le groupe des isométries g qui envoient X sur X.

≪IGroupes finis d’isométries

1○Supposons X finie. Montrer que G fixe l’isobarycentre de X. Qu’en déduit-on sur les coordonnées de l’image d’un point par un élément de G lorsqu’on se place dans un repère qui a cet
isobarycentre pour origine (ce que l’on fera désormais) ?

2○

Soit G+ l’ensemble des isométrie de G qui sont directes (i.e. leur déterminant vaut 1).
a) Montrer que G+ est un sous-groupe distingué 1 de G.
b) On suppose que G ∖ G+ contient un élément g1 . Montrer que l’application G+ → G ∖ G+ ,g ↦ gg1 est une bijection.

IIGroupes de polygones
On se place dans le plan.

○1Ð→ ÐÐ→Soit X = ABCD un parallélogramme – c’est-à-dire que AB = DC – dont le centre est l’origine
du repère.
a) Caractérisations classiques– Montrer que ABCD est un losange SSI les diagonales sont perpendiculaires : (AC) ⊥ (BD).
– Montrer que ABCD est un rectangle SSI les diagonales sont isométriques : AC = BD.
b) Décrire G dans le cas où :– ABCD est un parallélogramme qui n’est ni losange, ni rectangle ;– ABCD est un losange ;– ABCD est un rectangle mais pas un carré ;– ABCD est un carré.
[Examiner ce qu’il advient des diagonales. Pour un parallélogramme, on vérifiera qu’il y a exactement deux rotations dans G et pas de réflexion. Pour un losange ou un rectangle, on exhibera
deux réflexions supplémentaires. Pour un carré, on exhibera une rotation supplémentaire.]2○

Polygone régulier
Soit n ∈ N∗ et ζ = exp(2iπ/n). On prend pour X l’ensemble des points d’affixe ζ k , 0 ⩽ k ⩽ n − 1.
a) Montrer que l’isobarycentre de X est l’origine O du repère.
b) Décrire les rotations qui appartiennent à G. Montrer qu’elles forment un groupe engendré
par la rotation ρ de centre O et d’angle 2π/n.
c) Vérifier que la réflexion σ d’axe l’axe des abscisse préserve X.
d) Montrer que tout élément de G s’écrit de façon unique sous forme σ ε ρk , où ε ∈ {0, 1} et0 ⩽ k < n.

IIIGroupe du cube

Parallélogrammes

On note G le groupe des isométries qui préservent le cube X dont les sommets ont pour coordonnées (±1, ±1, ±1).
1. On rappelle qu’un sous-groupe H est une partie de G stable par composition et passage à l’inverse et qu’il
est dit distingué si, pour tout g ∈ G et tout h ∈ H, on a : ghg −1 ∈ H.

1

1○
○Vérifier que le centre du cube est bien l’origine du repère.

2

Quelques éléments de Ga) Exhiber trois + quatre réflexions dans G.
b) Exhiber six demi-tours dans G.
c) Exhiber quatre rotations d’angle ±2π/3 dans G.

3○Octaèdre
Soit Y l’ensemble des points dont les coordonnées sont (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1).
a) On dit que l’enveloppe convexe de Y est un octaèdre : justifier ce nom.
b) Vérifier que les points de Y sont les centres des faces du cube.
c) Justifier sans trop détailler que G préserve les faces du cube, puis que les éléments de G
stabilisent Y .
d) À l’aide du contrôle du 30 avril, montrer que G contient au plus 48 éléments et préciser laforme de leurs matrices.
e) Vérifier que chacune de ces 48 possibilités est bien une isométrie du cube. Retrouver les
exemples de la question précédente.

4○Action sur les diagonalesa) On appelle grandes diagonales les quatre droites passant par l’origine et dirigées par vεε′ =(1, ε, ε′ ) où ε, ε′ ∈ {−1, 1}. Montrer que l’ensemble de ces quatre droites est stable par G.
Un élément g de G définit donc une permutation de ces quatre droites, c’est-à-dire un élémentπg du groupe symétrique S4 .
b) Vérifier que l’application π ∶ G → S4 , g ↦ πg est un morphisme de groupes 2 .
c) Soit ϕ une isométrie linéaire pour qui les quatre vecteurs vεε′ sont des vecteurs propres.
Montrer que les quatre valeurs propres correspondantes sont égales.
d) En déduire que l’application π induit une injection de G+ dans S4 .
e) À l’aide des demi-tours de la question précédente, montrer que π(G+ ) contient les transpositions, puis que π(G+ ) = S4 .
f ) Combien d’éléments contient G ?

2. C’est-à-dire que πgg′ = πg πg′ pour tous g, g ′ ∈ G.

2