整数論札幌夏の学校
Sapporo Summer School on Number Theory
Hokkaido University
Aug. 28 - Sep. 8, 2006
Series #137. September, 2008

HOKKAIDO UNIVERSITYTECHNICAL REPORT SERIES IN MATHEMATICS#114

T. Abe, 第 8 回 COE 研究員連続講演会『超平面配置と対数的ベクトル場の幾何』, 23 pages. 2006.

#115

H. Kubo and T. Ozawa, Sapporo Guest House Symposium on Mathematics 22 “Nonlinear Wave Equations”, 67 pages. 2006.

#116

S. Okabe, 第 9 回 COE 研究員連続講演会『ある束縛条件下における平面弾性閉曲線のダイナミクス』, 31
pages. 2006.

#117

A. Suzuki, T. Ito, N. Sato, K. Shibuya, D. Hirose, Y. Maekawa and K. Matsumoto, 第 3 回数学総合若手
研究集会 –他分野との学際的交流を目指して, 264 pages. 2007.

#118

T. Yamamoto, Y. Sato, N. Kataoka and H. Takagi, Proceedings of the conference on New Aspects ofHigh-dimensional Nonlinear Dynamics, 73 pages. 2007.

#119

T. Yamamoto and T. Nakazi, 第 15 回関数空間セミナー報告集, 82 pages. 2007.

#120

K. Hirata, 第 10 回 COE 研究員連続講演会『正値調和関数に対する Martin 積分表現と非線形楕円型方程式の正値解の存在』, 25 pages. 2007.

#121

K. Izuchi, 第 12 回 COE 研究員連続講演会『 I）Segal-Bargmann 空間の巡回ベクトルについて II）2 重
単位開円板上の逆シフト不変部分空間上のクロス交換子について』, 18 pages. 2007.

#122

T. Ozawa, Y. Giga, S. Jimbo, G. Nakamura, Y. Tonegawa, K. Tsutaya and T. Sakajo, The 32nd Sapporo
Symposium on Partial Differential Equations, 73 pages. 2007.

#123

H. Kubo, T. Ozawa, H. Takamura and K. Tsutaya, Nonlinear Wave Equations, 53 pages. 2007.

#124

N. Ishimura, T. Sakajo, T. Sakurai, M. Nagayama, T. Nara, D. Furihata and T. Matsuo, 応用数理サマー
セミナー 2007「計算ホモロジーとその応用」, 110 pages. 2007.

#125

S. Hattori, 第 15 回 COE 研究員連続講演会『分岐理論と有限平坦 Galois 表現』, 28 pages. 2008.

#126

T. Miyaguchi, M. Kon, R. Kamijo, S. Kawano, Y. Sato and D. Hirose, 第 4 回数学総合若手研究集会 –他
分野との学際的交流を目指して, 298 pages. 2008.

#127

K. Saji, 第 13 回 COE 研究員連続講演会『波面とその特異点』, 15 pages. 2008.

#128

T. Nakazi and S. Miyajima, 第 16 回関数空間セミナー報告集, 105 pages. 2008.

#129

M. Kon, 学位論文 Doctoral thesis
pages. 2008.

#130

S. Minabe, 第 14 回 COE 研究員連続講演会『開ミラー対称性における最近の進展』, 8 pages. 2008

#131

H. Kubo and T. Ozawa, Sapporo Guest House Symposium, Final “Nonlinear Partial Differential Equations”, 73 pages. 2008.

#132

H. Kang, 第 16 回 COE 研究員連続講演会『CHAOS IN TRAVELING WAVES IN LATTICE SYSTEMSOF UNBOUNDED MEDIA』, 13 pages. 2008.

#133

G.-J. Chung, editor:Y. Kimura, Introduction to Various Models in Image Processing, 61 pages. 2008.

#134

H. Takagi and R. Uno, 研究会報告書『動的システムの情報論 (7)』, 110 pages. 2008.

#135

T. Ozawa, Y. Giga, S. Jimbo, G. Nakamura, Y. Tonegawa, K. Tsutaya and T. Sakajo, 第 33 回偏微分方
程式論札幌シンポジウム, 72 pages. 2008.

#136

T. Sakajo, Y. Nishiura, H. Suito, K. Nishinari, M. Nagayama and T. Amemiya, JST さきがけ研究集会『環境問題における数理の可能性』, 83 pages. 2008.

”Minimal submanifolds immersed in a complex projective space”, 77

整数論札幌夏の学校
Sapporo Summer School on Number Theory
Hokkaido University
Aug. 28 - Sep. 8, 2006

整数論札幌夏の学校
開校期間：平成 18 年 8 月 28 日〜 9 月 8 日
開校場所：北海道大学理学部 8 号館 3 階 8-309
北海道大学大学院理学研究院による大学院教育イニシアティブ「全国大学院共通滞在型プログラム」の一環として，肥田晴三教授（UCLA）による講義を中心として，関連するテーマの基礎的知識の一部を survey lectures の形で解説する企画を「整数論札幌夏の学校」
として，平成 18 年 8 月 28 日から 9 月 8 日の 2 週間に渡り，北海道大学理学部 8 号館にて開催しました．講師と講義タイトルは次の通りです：
伊藤哲史 (京都大学)

コホモロジー論とモティーフ

桂田英典 (室蘭工業大学)

モジュラー形式と L-関数

北川浩二 (北海道大学)

古典的岩澤理論

田口雄一郎 (九州大学)

類体論

肥田晴三 (UCLA)

L-invariant and Galois deformation

村瀬篤 (京都産業大学)

楕円曲線

山上敦士 (京都産業大学)

Galois 変形理論

また，第２週目には若手研究者による研究発表会も行いました：新井啓介

4元数体による乗法をもつアーベル曲面に伴うガロア表現の像について

板倉兼介

Hasse‑Weil L関数の関数等式から見る特殊値（玉河数予想）

岡崎武生

Siegel modular form of degree 2 and Abelian variety

加塩朋和

On the p‑adic CM‑period symbol

河村尚明

A certain Dirichlet series of Rankin‑Selberg type associated with
the Ikeda lifting

木村巌(In)divisibility of special values of zeta functions associatedto quadratic fields

平岡敬浩

平方和2次形式に関する極大格子の種の類数

村田学

実2次体上のShimura mass formula望月哲史

Motif理論の変形I

この冊子は「整数論札幌夏の学校」終了後に講演者並びに研究発表者に改めて書いて戴いた論文を集めた報告集です．その為，一部上記タイトルと掲載論文のタイトルが違うものがあります．また，北川浩二氏は平成19年1月10日に急逝されましたので，彼の論文は須田智彦氏に講義のノートを元に書いて貰ったものです．また，板倉兼介氏の論文は本人の要望により掲載しておりません．
肥田先生には御多忙にも拘わらず連続講義を御快諾戴き誠に有難うございました．また，桂田，田口，村瀬の三先生並びに河村尚明君にはプログラム作成の段階からお世話になりました．大きな理論を簡潔に纏め講義して戴いた講師の方々並びに多くの方の御協力に篤く御礼申し上げます．
前田芳孝

目

次

プログラム

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．i

参加者名簿．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．iii

第Ⅰ部
１． 類体論講義録．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1

田口 雄一郎(九州大学)
２． Ｌ関数とモジュラー形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16

桂田 英典(室蘭工業大学)
３． 楕円曲線入門．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．39

村瀬 篤 (京都産業大学)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．49

４． 古典的岩澤理論

北川浩二(北海道大学)（記５． Galois 変形理論

須田智彦(北海道大学)）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．56

山上敦士(京都産業大学)
６． コホモロジー論とモチーフ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 92

伊藤哲史(京都大学)
７． L- invariant of tensor power of Hilbert modular forms．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．150

肥田晴三(UCLA)

第Ⅱ部

若手研究発表会

１． 平方和２次形式に関する極大格子の種の類数について．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．173

平岡敬浩(立命館大学)
２． 実２次体上の直交群に対する Shimura mass formula．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．177

村田学(立命館大学)
３． ４元数体による乗法をもつアーベル曲面に伴うガロア表現の像について．．．．．181

新井啓介(東京大学)
４． On the p-adic absolute CM-period symbol．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．184

加塩朋和(大阪市立大学)
５． (In)divisibility of special values of zeta functions associated to quadratic fields
木村巌(富山大学)．．．．．186

６． Siegel modular form of degree 2 and Abelian variety．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．189

岡崎武生(大阪大学)
７． Certain Dirichlet series of Rankin-Selberg type associated with the Ikeda lifting．．．．．192

河村尚明(北海道大学)
８． Motif 理論変形考．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．196

望月哲史(東京大学)

プログラム
第1週

8月28日 ～ 9月2日

8月28日(月)13:30 - 15:00

田口雄一郎「類体論 (I)」

15:30 - 17:00

田口雄一郎「類体論 (II)」8月29日(火)10:00 - 11:30

桂田英典「モジュラー形式とL-関数 (I)」

13:30 - 15:00

村瀬篤「楕円曲線 (I)」

15:30 - 17:00

村瀬篤「楕円曲線 (II)」

10:00 - 11:30

桂田英典「モジュラー形式とL-関数 (II)」13:30 - 15:00

桂田英典「モジュラー形式とL-関数 (III)」

10:00 - 11:30

北川浩二「古典的岩澤理論 (I)」

13:30 - 15:00

北川浩二「古典的岩澤理論 (II)」

15:30 - 17:00

山上敦士「Galois変形理論 (I)」10:00 - 11:30

山上敦士「Galois変形理論 (II)」13:30 - 15:00

山上敦士「Galois変形理論 (III)」

8月30日(水)8月31日(木)9月1日(金)9月2日(土)
10:00 - 11:30

ディスカッションセッション※第1週のsurvey lectures に関するディスカッションを行います。

-i-

第2週

9月4日 ～ 9月8日

9月4日(月)10:00 - 11:30 肥田晴三

「L-invariant and Galois deformation (I)」

13:30 - 15:00 伊藤哲史

「コホモロジー論とモティーフ (I)」

〔若手研究発表会〕
15:30 - 16:00 平岡敬浩

「平方和2次形式に関する極大格子の種の類数」

16:15 - 16:45「実2次体上のShimura mass formula」

村田学

9月5日(火)
10:00 - 11:30 肥田晴三

「L-invariant and Galois deformation (II)」13:30 - 15:00 伊藤哲史

「コホモロジー論とモティーフ (II)」〔若手研究発表会〕
15:30 - 16:00 新井啓介 「4元数体による乗法をもつアーベル曲面に伴うガロア表現の像について」
16:15 - 16:45 加塩朋和

「On the p-adic CM-period symbol」

17:00 - 17:30 木村巌「(In)divisibility of special values of zetafunctions associated to quadratic fields」

9月6日(水)
10:00 - 11:30 肥田晴三

「L-invariant and Galois deformation (III)」

13:30 - 15:00 伊藤哲史

「コホモロジー論とモティーフ (III)」〔若手研究発表会〕
15:30 - 16:00 岡崎武生

「Siegel modular form of degree 2 and Abelianvariety」

16:15 - 16:45 河村尚明

「A certain Dirichlet series of Rankin-Selberg
type associated with the Ikeda lifting」

9月7日(木)
10:00 - 11:30 肥田晴三

「L-invariant and Galois deformation(IV)」

13:30 - 15:00 伊藤哲史

「コホモロジー論とモティーフ (IV)」〔若手研究発表会〕
15:30 - 16:00 板倉兼介

「Hasse-Weil L関数の関数等式から見る特殊値（玉河数予想）」16:15 - 16:45 望月哲史

「Motif理論の変形I」

9月8日(金)
10:00 - 11:30 肥田晴三

「L-invariant and Galois deformation (V)」- ii -

参加者名簿新井啓介(東京大学)

辻栄周平(北海道大学)板倉兼介(東京大学)

津嶋貴弘(東京大学)

伊藤哲史(京都大学)

徳田洋平(京都産業大学)

馬着敏郎(岡山大学)

冨山恭敬(九州大学)

大川泰央(東北大学)

中村明彦(北海道大学)岡崎武生(大阪大学)

中村健太郎 (東京大学)

小関祥康(九州大学)

長谷川雄之 (室蘭工業大学)

加塩朋和(大阪市立大学)

原隆(東京大学)

桂田英典(室蘭工業大学)

原田新也(九州大学)

河村尚明(北海道大学)肥田晴三(UCLA)

北川浩二(北海道大学)平岡敬浩(立命館大学)木村巌(富山大学)

平之内俊郎 (九州大学)

金城謙作(東北大学)

平松直哉(岡山大学)

久保田泰浩 (北海道大学)

平山聖治(九州大学)

黒田知志(高知大学)

廣瀬三平(北海道大学)後藤泰宏(北海道教育大学)

深澤洋之(北海道大学)齋藤恆和

(早稲田大学)藤田荘吉(北海道大学)

白川達也(京都大学)

前田芳孝(北海道大学)杉原栄次(岡山大学)

松波周一(北海道大学)

杉山滋規(京都大学)

南出大樹(神戸大学)

須田智彦(北海道大学)

村上正典(岡山大学)

田口雄一郎 (九州大学)

村瀬篤(京都産業大学)

竹本隆(九州大学)

村田学(立命館大学)

田中秀和(東京工業大学)

望月哲史(東京大学)

谷口隆(東京大学)

山上敦士(京都産業大学)

千田雅隆(東北大学)（所属は「夏の学校」開催当時のものです）- iii -

第Ⅰ部
講義録

類体論1
田口 雄一郎序. この講演では 古典的 類体論について、その概略を解説する。類体論とは特別な体のアーベル拡大についてはよくわかるといふ話である。「特別な体」とは、大域体 (有限次代数体、有限体上の一変数代数関数体) 及び局所体 (R, C, Qp の有限次拡大、Fp ((t)) の有限次拡大) の事2である。「よくわかる」とは、主に・ Abel 拡大 L/K の Galois 群の構造が K の言葉で書ける(わかり易い群で近似できる)、・ Abel 拡大 L/K に於いて、K の素イデアルがどう分解するかがよくわかる、といふ事を指す。

1. 古典的定式化. この節では K は代数体とする。OK により K の整数環を、ClK により K のイデアル類群を表す。
19 世紀末、D. Hilbert は次の事を予想した。「K の各素イデアル p
について
p は L/K で完全分解 ⇐⇒ (p の類)=1 in ClKとなる Galois 拡大 L/K が存在する。」
この様な L を K の 類体 と呼んだ (現在は Hilbert 類体 または 絶対類体と呼ばれてゐる)。後に判明した事には、L/K は K の最大不分岐アー
ベル拡大であり、Gal(L/K)  ClK である。
1920 年、高木貞治はこれを一般化した形で証明した ([8])。OK のイ
デアル m に対し

AK,m = {m と互ひに素な K の分数イデアル },PK,m = {(x)| x ∈ K × , x ≡ 1 (mod m), x は “総正”},ClK (m) = AK,m /PK,m ,とおく。ClK (m) を m を法とする 射類群 (ray class group) と呼ぶ。類体論の主定理は、古典的なスタイルで述べると、次の二つである：
1「整数論札幌夏の学校」に於ける講義 (2006 年 8 月 28 日) のノート。

2これらは 1 次元の体で、それを高次元の体 (或いは scheme) に一般化したものが「高次元類体論」である。
1

-1-

2

存在定理. 任意の m に対し或る有限次アーベル拡大 Km /K があつてGal(Km /K)  ClK (m)となる。
同型定理. 任意の有限次アーベル拡大 L/K は或る m に対する Km に含まれ、NL/K (AL,m ) ⊃ PK,m かつ

Gal(L/K)  AK,m /NL/K (AL,m )となる。
有限次アーベル拡大 L/K に対し、L ⊂ Km となる最小の m を L/Kの 導手 (conductor, Führer) と呼ぶ。K の素イデアル p について、次の同値が知られてゐる：

p は L/K で分岐する ⇐⇒ p は L/K の導手を割る。
導手は、素イデアルが分岐するか否かだけでなく、どれだけ深く分岐するかをも測るものである。
類体論の応用としてKronecker の青春の夢. 虚二次体の任意の有限次アーベル拡大は CM
楕円曲線の j 不変量の値と等分点の座標を添加して得られる。
が解決した (これは Kronecker-Weber の定理の虚二次体への拡張である)。
ところで高木の論文では、上の定理に於ける同型写像は具体的に与へられたわけではなかつた。その後「1927 年に Artin が驚嘆すべき発見を成した」([9], 14.2; 原論文は [1]):Artin の相互法則. 相互写像
rK,m : AK,m → Gal(L/K)

L/Kp → Frobp =pがあり、これが上の同型を導く。

は p の Frobenius 置換3を表す。
ここに Frobp や L/Kp
これにより L/K に於ける素イデアルの分解法則がわかる。即ち、L/K で不分岐な K の素イデアル p が pOK = P1 · · · Pg と分解したとき、その個数 g が、p が mod NL/K (AL,m ) のどの類に入るかでわかる。
実際、[L : K] = f g とすると NL/K (Pi ) = pf であり、f = (Frobp の位
数 in Gal(L/K)) = (p の類の位数 in AK,m /NL/K (AL,m )) となる。
3文脈や都合や気分に応じて二つの (またはそれ以上) の記号を使ひ分ける。例へば肥田先生の講義では [p, K] といふ記号が使はれた。

-2-

3

2. 局所類体論. 有理関数を冪級数体に於いて Taylor 展開出来る様に、有理数を “Taylor 展開 (p 進展開) 出来る様な体として p 進体 Qp がある。これは「完備離散付値体」の一つであるので、先づこの概念を復習する。
体 K 上の (非アルキメデス的) 付値 v とは、群準同型 v : K × → R であつて v(x+y) ≤ min{v(x), v(y)} なるものの事である。通常 v(0) := ∞により v を写像 v : K → R∪{∞} に拡張しておく。一般に、一つの体に入り得る付値は沢山あり得る。値群 v(K × ) が R の離散部分群 (従つてZ と同型) であるとき、v は 離散付値 であると言ひ、さらに v(K × ) = Zのとき v は 正規付値 であると言ふ。付値体 (K, v) とは、体 K とその上の付値 v の組の事である。
付値体 (K, v) に対し
Ov = OK,v := {x ∈ K| v(x) ≥ 0}
pv = pK,v := {x ∈ K| v(x) > 0}
kv = kK,v := Ov /pv
N v := #kv ,とおく (v は正規付値としておく)。Ov , pv , kv をそれぞれ (K, v) の付値環、付値イデアル、剰余体 と呼ぶ。次の自然な短完全列がある：

1 → Ov× → Kv× → Z → 1,v

1 → (1 + pv )× → Ov× → kv× → 1.
x→ x(mod pv )(K, v) が付値体のとき、実数 a > 1 を固定して |x|v = a−v(x) とおくと、これは K 上の絶対値 (乗法的付値) を定め、|x − y|v により K は距離空間になる。この距離に関する K の完備化を Kv と書き、K のv での完備化 と呼ぶ。標準的な埋込み K → Kv があるが、これが同型であるとき、即ち K が v の定める距離に関して初めから完備である
とき、(K, v) を 完備付値体 と言ふ。K が大域体ならば Kv は局所コンパクト体になる。
以下暫く、局所体 と言つたら完備離散付値体であつて剰余体が有限であるものの事4とする。局所体は或る素数 p に対する p 進体 Qp の有限次拡大又は或る有限体 Fq 上の冪級数体 Fq ((t)) の有限次拡大と同型である。
4理念的には局所コンパクト体 (即ち Hausdorﬀ, 局所コンパクトかつ非離散的な位相体) を局所体と呼ぶのがよい。この意味の局所体のうち、非アルキメデス的な局所体は剰余体が有限な完備離散付値体であり、アルキメデス的な局所体は R または Cと同型である。

-3-

4

K を局所体、O をその付値環、p をその付値イデアル、k = O/p を
その剰余体とし、U (m) = (1 + pm )×= {x ∈ K × | v(x − 1) ≥ m}
とおく (U (0) := U := O× ). 局所類体論の主定理を先づは古典的な大域類体論のもの (§1) と並行した形で述べる：
存在定理. 任意の m ≥ 0 に対し或るアーベル拡大 Km /K が存在してGal(Km /K) は K × /U (m) の proﬁnite 完備化と同型になる。
注意. Km /K は無限次拡大である。実際 K0 は K の 最大不分岐拡大
 である。
K ur であり、Gal(K0 /K)  Z
同型定理. 任意の有限次アーベル拡大 L/K は或る m ≥ 0 に対する Kmに含まれ、NL/K (L× ) ⊃ U (m) かつ

Gal(L/K)  K × /NL/K (L× )となる。
これらを纏めて次の様に述べられる：相互律. 標準的準同型 (相互写像) rK : K × → Gab
K があり、
・ 各 L/K に対し rK は上の同型を導く。
・ rK は単射、Im(rK ) は Gab
K の中で稠密。
×・ 素元 ∈ K の像 in Gk は Frobenius と一致する。
・ “引戻し” により
 ab
 ×


K の指数有限 1:1
GK の
←
.
開部分群
開部分群
従つて次の同型がある：

Hom(K × , Q/Z)  Hom(Gab
K , Q/Z).
ここに GK は体 K の絶対ガロア群、Gab
K は K の最大アーベル拡大
K ab のガロア群 Gal(K ab /K) である。
局所類体論の最初の証明は大域類体論を使つてなされた。しかし局所理論の方が大域理論より易しい筈だから、最初に局所類体論を独立に証明し、それを使つて大域類体論を証明できないか、と考へるのは自然である。実際それは可能で、幾つかの証明がある。

3. 証明について. 局所類体論の証明方針 (相互写像の構成法) を二つ紹介する。一つは Lubin-Tate 群を使ふもの、もう一つは巡回代数を使ふものである。前者は円分拡大の理論に類似してゐて、具体的であり、
explicit reciprocity law などの、より詳しい研究に向いてゐる。後者は大域類体論との両立性を示し易いといふ利点がある。理論的に美しく、

-4-

5

cohomological な定式化と馴染みがよいので高次元化5などの一般化に適してゐる。
以下この節では K を局所体、O をその付値環、U := O× とする。
(1) Lubin-Tate 群を使ふ方法 (cf. e.g. [5], [10])。相互写像 rK を、次の図式が可換になる様に作りたい：
1 −−−→ Gal(K ab /K ur ) −−−→ Gal(K ab /K) −−−→ Gal(K ur /K) −−−→ 1
⏐
⏐
⏐rK
⏐
⏐
⏐
1 −−−→

K×

−−−→

U

v

−−−→

Z

−−−→ 1.

rK (π) は Frobenius ∈ Gal(K ur /K) の逆像、と定める (正確には後ほど述べる)。あとは rK |U を決めればよいが、ここで Lubin-Tate 理論を使ふ。
K の素元 π を一つ選んで固定する。q を剰余体 k の位数とするとき、
f (X) = πX + · · · + X q + · · ·∈ O[[X]]q(X 以外の項の係数は π で割れる)の形の冪級数に対して、O の作用を持つ 形式群6F (X, Y ) = X + Y + · · ·∈ O[[X, Y ]]が定まる。形式群 F の「O-加群構造」の意味する所は、各 a ∈ O に対し「a 倍」を表す冪級数 [a](X) ∈ O[[X]] があつて「F (X, Y ) と両立する」
といふ公理を満たす、といふ事である。集合 m := {x ∈ K| v(x) > 0}は加法： (x, y) → F (x, y),a 倍： x → [a](x)(x, y ∈ m, a ∈ O)

により O-加群となる。
事実. F [π n ] := Ker([π n ] の作用 on m) は O-加群として O/(π n ) と同型で、これに GK が作用する：

GK → Aut(F [π n ])  (O/(π n ))× .
実はこれは全射。limn を取つて、π のみに依存する全射準同型←−

χπ : GK → U
5Lubin-Tate 群の高次元版は未だ無い。
6ここに言ふ形式群とは「1 次元可換形式群」、即ち二変数の冪級数であつて合成に関して可換群と同様の公理を満たすもののことである。一般には高次元 (多変数)のものや非可換のものもある。

-5-

6

を得る。Ker(χπ ) に対応する拡大を Kπ /K とすると、実は Kπ K ur =K ab であり、
  Gal(K ur /K)  Gal(K ab /Kπ ),Z

U  Gal(Kπ /K)  Gal(K ab /K ur ).
そこで K × を K × = π×U と分解しておき、相互写像 rK : K × → Gab
K
を次の様に定義する：rK (π) 及び各 u ∈ U に対する rK (u) は  Gal(K ab /Kπ ),Z

U  Gal(K ab /K ur ),1 ↔ rK (π)

u−1 ↔ rK (u)なる元。

(2) 巡回代数を使ふ方法 (cf. e.g. [11], [6])。相互写像 rK : K × → Gab
Kを与へる事は非退化 pairing
×
Gab
→ Q/Z
K ×K

を与へる事と同じである。そこで、
事実. Br(K) := (K 上の中心単純環の同値類) は K が局所体ならば
Q/Z と標準的に同型である×に対し 巡回代数 A(χ, b) をといふ事に注意して、χ ∈ Gab
K と b ∈ K
定義し、上の pairing を(χ, b) → (A(χ, b) の類) in Br(K)と定義する。
巡回代数 A(χ, b) は次の様に定義する。先づ次の一対一対応がある：
⎫
⎧


⎬
⎨ 組 (L/K, σ); ここにab指標 χ : GK → Q/Z で
1:1.
←→ L/K は n 次巡回拡大、像の位数 = n なるもの
⎩ σ は Gal(L/K) の生成元 ⎭左辺の χ に対応するのは、Ker(χ) に対応する L/K と χ(σ) = 1/n な
る σ ∈ Gal(L/K) との組である。そこで、文字 β を用意して、A(χ, b) := L + Lβ + · · · + Lβ n−1 ,交換関係は

β n = b, βx = σ(x)β(x ∈ L),と定義する。
局所から大域へ. K を大域体とするとき、次の完全列がある：
Σ
0 → Br(K) → ⊕v Br(Kv ) →Q/Z → 0.

ここに Σ は K の全ての素点 v に渡る invv の和である。この完全列を利用して局所類体論を貼合せる事により大域類体論を導く事が出来る。

-6-

7

注意. Cohomological interpretation:
δ

1
2
Gab
K = H (K, Q/Z) → H (K, Z),

K × = H 0 (K, Gm ),Br(K) = H 2 (K, Gm ).
×
上の pairing Gab→ Br(K) は χ ∈ H 1 (K, Q/Z) と b ∈K × K
0
H (K, Gm ) に対し δ(χ) ∪ b ∈ H 2 (K, Gm ) を対応させるものである(δ は連結準同型、∪ はカップ積)。

4. Chevalley の定式化：局所類体論を寄せ集めて大域類体論を作る。
K を大域体とする。局所類体論によると、K の各素点 v に於いてKv× が Gab
Kv を近似した。そこで


IK :=
Kv×
v

:= {(xv )v ∈

Kv× | 殆ど全ての v に対し xv ∈ Uv },v

とおいて、可換図式

Kv× −−−→ Gal(Lw /Kv )
rKv
⏐
⏐
⏐
⏐
v 成分への埋込み制限???

IK −−−→ Gal(L/K)
を念頭に置きつつ、IK をして Gab
K を近似せしめる事を考へる (IK はK の idèle 群 と呼ばれる)。先づ、古典的な定式化に倣つて存在定理、
 v
同型定理を述べるために、OK のイデアル m = pm
に対し
v


Um :=
Uv(mv ) ×
Uv
⊂ IK
v-∞

v|∞

v ×
とおく。ここに v が有限素点のときは Uv v = (1 + pmv ) は局所体
Kv に対する §2 の U (m) であり、v が無限素点のときは Uv = (Kv× の連結成分  1) とおいた。

(m )存在定理. 任意の m に対し或る有限次アーベル拡大 Km /K が存在してGal(Km /K)  IK /Um K ×となる。
同型定理. 任意の有限次アーベル拡大 L/K は或る m に対する Km に含まれ、NL/K (IL ) ⊃ Um かつ

Gal(L/K)  IK /NL/K (IL )K ×

-7-

8

となる。
ここで

CK := IK /K ×

(K × は対角的に IK に埋め込む)

とおく (CK は K の idèle 類群 と呼ばれる) と、上の二つの同型の右辺はそれぞれ CK /(Um の像), CK /NL/K (CL ) に等しく、上の二つの定理は次の様に纏められる：
相互律. 標準的な準同型 (相互写像) rK : CK → Gab
K があり、
・ 各 L/K に対し rK は上の同型を誘導する。
・ K が代数体ならば rK は全射で
Ker(rK ) は 1 を含む CK の連結成分 (= v|∞ Uv )、K が函数体ならば Im(rK ) は Gab
K の中で稠密で rK は単射。
・ 次の図式は可換：rK

Kv× −−−v→ Gab
⏐Kv
⏐
⏐
⏐


CK −−−→ Gab
K.
rK

・ “引戻し” により
 ab



CK の指数有限 1:1
GK の
←
.
開部分群
開部分群
従つて次の同型がある：

Hom(CK , Q/Z)  Hom(Gab
K , Q/Z).
古典的定式化との関係は次の完全列から見て取れる：

1 → Um /(K × ∩ Um ) → CK → ClK (m) → 1.
K を動かした時の変化：K  /K を有限次分離拡大とする。この時 次の可換図式がある：
r



r



CK  −−K−→ Gab

⏐
⏐K
⏐
⏐
NK  /K 
制限CK  −−K−→ Gab
K
⏐⏐
iK  /K ⏐⏐移送

CK −−−→ Gab
K,

CK −−−→ Gab
K.

rK

rK

ここに iK  /K は包含写像 K → K  が誘導する自然な写像であり、移送といふのは、一般に群 G とその指数有限部分群 H に対し定義される準同型写像 tG/H : Gab → H ab が定義されるが、これを G = GK , H = GK 
に対して適用したものである。

-8-

9

5. L 函数. K を大域体、L/K を有限次アーベル拡大とする。このとき、同型 ClK (m)  Gal(L/K) はその指標群の間の同型を誘導する。この事は「L 函数の一致」としても見られる。
指標 χ : ClK (m) → C× に対し Hecke の L χ(a)L(s, K, χ) : =
N as
a

1
=
1 − χ(p)/N pspが定義される(但し (a, m) = 1 のときは χ(a)= 0 と定義する)。ここに a は OK のイデアル a = 0 に渡る和、 p は OK の素イデアルp = 0 に渡る積であり、N a は a の絶対ノルムである。一方 Galois 群×の指標 ρ : Gab
K → C に対し Artin の L1
L(s, K, ρ) :=1 − ρ(Frobp )/N pspが定義される。ここに p は L/K で不分岐な OK の素イデアル p = 0に渡る積である。
注意. Hecke の L はより一般に CK の量指標に対し定義される。また、
Artin の L はより一般に有限次 Galois 拡大 L/K と Gal(L/K) の任意の表現 ρ : Gal(L/K) → GLC (V ) に対し定義される (V は有限次元 C
ベクトル空間)。
相互律 ClK (m)  Gal(L/K); p → Frobp は、指標群の間の同型

Cl
K (m)  Gal(L/K); χ → ρ であつて L(s, K, χ) = L(s, K, ρ) なるものの存在を意味する。Artin はもともとこの様な「L の一致」といふ
事を考へてをり、後に相互律に思ひ至つたらしい (因みに Hecke が彼の L 函数を定義したのは 1918 年の論文 [4], Artin が相互律を発表したのは 1927 年の論文 [1] である)。このやうな L 函数の一致：

Hecke 的 L = Galois 的 L
は最近でも最も hot な topics の一つである。

6. Gab進表現. 類体論によれば Gab
K の
K の位数有限な表現は CK や
ClK (m) の位数有限な表現と一対一に対応する。代数幾何では GK やGab
進表現 (特に位数が無限のもの) が自然に現
K の (従つて CK の)れるが、逆に任意の 進表現が「由緒正しい」(i.e. 代数幾何から来る)
わけでは必ずしもない。
××
例. 円分指標 χ : GQ → Z×
 は分解 Z = μ−1 × (1 + Z ) に従つて××
χ = ωχ1 (ω : GQ → μ−1 ⊂ Z , χ1 : GQ → (1 + Z ) ) と分解出来る。

-9-

10

k ∈ Z に対し

χk1 : GQ → (1 + Z )×が考へられるが、これは k ∈ Z のとき「由緒正しく」ない。
なほ、 ωχk1 は χ = χ (mod ) の ({ } の外不分岐な) 普遍変形 (の変数を k に特殊化したもの) である。
×
K を代数体、Fλ を 進体、ρ : Gab
K → Fλ を連続表現とする。ρ は類体論により CK の連続表現とも思へる。ρ が「由緒正しい」といふ事を特徴付ける幾つかの条件があり、それらの同値性が知られてゐる：

定理. ρ についての次の各条件は同値である：(1) CM アーベル多様体 (と位数有限の表現) から来る。
(2) 局所代数的。
(3) 代数的 Hecke 指標から来る。
(4) Serre 群の代数的表現 SK → Gm から来る。
(5) Hodge-Tate at all v| .
(6) de Rham at all v| .
(7) Potentially semi-stable at all v| .
(8) Potentially crystalline at all v| .
言葉の意味の説明は省略するが、(1) は「代数幾何から来る」といふ事、(3) は “modular” といふ感じの条件である。(4) の SK は、(1) の様な表現全体のなす圏の “淡中基本群” と呼ばれるものである。(5) 〜(8) の条件は p 進 Hodge 理論 (ここでは p = ) を用ゐて定義されるもので、一般 (アーベルと限らないとき) には

Hodge-Tate ⇐ de Rham ⇔ potentially semi-stable⇐ potentially crystallineである。この定理について、さらに詳しくは [7], [2], [3] や岩波の『数学辞典』第 4 版の「類体論」の項を参照されたい。

References[1] E. Artin, Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes, Hamb. Abb. 5 (1927),
353–363[2] P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus, Arthur and K. Shih, Hodge Cycles, Motives,
and Shimura Varieties, Lect. Notes in Math. 900, Springer-Verlag, Berlin-New
York, 1982
[3] J.-M. Fontaine and B. Mazur, Geometric Galois representations, in: Elliptic
Curves, Modular Forms, & Fermat’s Last Theorem (Hong Kong, 1993), Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, pp. 41–78 (190–227 in the 2nd ed.)[4] E. Hecke, Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur
Verteilung der Primzahlen, Erste Mitteilung, Math. Zeit. 1 (1918), 357–376;
Zweite Mitteilung, Math. Zeit. 6 (1920), 11–51- 10 -

11[5] K. Iwasawa, Local Class Field Theory, Oxford University Press, New York,1986, viii+155 pp.
[6] 加藤和也、黒川信重、斎藤毅『数論 I』, 岩波書店
[7] J.-P. Serre, Abelian -adic Representations and Elliptic Curves, 2nd ed., Advanced Book Classics, Addison-Wesley Publishing Company, Redwood City,CA, 1989, xxiv+184 pp.
[8] Über eine Theorie des relativ-Abel’schen Zahlkörpers, 東京帝大理学部紀要 41(1920)[9] 高木貞治『代数的整数論』第二版, 1971, 岩波書店
[10] T. Yoshida, Local class ﬁeld theory via Lubin-Tate theory, preprint,
http://www.math.harvard.edu/~yoshida/[11] A. Weil, Basic Number Theory, 3rd ed., Die Grundlehren der Mathematischen
Wissenschaften 144, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974, xviii+325 pp.

- 11 -

2006.8.28
札幌整数論夏の学校

類体論 レポート問題
1. 冪剰余記号 (cf. [4], pp. 348–350, Exercise 1)
K は大域体で 1 の原始 m 乗根を含むものとする。a, a ∈ K × とし、p は maa と互ひ
以下に現れる K の分数イデアル b, b や素イデアル
に素と仮定する。L = K(a1/m ) とおき、記号 ab ∈ L× を次により定義する：
aa1/m .
rL/K (b)(a1/m ) =b
ここに rL/K は L/K の相互写像である。
 (1) ab は 1 の m 乗根であり、しかも a の m 乗根 a1/m の選び方に依らない事を示せ。
     (2) 体 L = K(a1/m , (a )1/m ) に於いて記号 aab , ab , ab を上と同様に定義するとき、次の等式が成り立つ事を示せ：
  a   a 
aa
.
=
b
b
b
(3) 次の等式が成り立つ事を示せ：
a  a 
 a 
.
=
b
b
bb

が成り立つ事を示せ。(従つて b = pnp ならばa  a np=pbが成り立つ。)
 (4) ap は a≡ a(N p−1)/m (mod p)pを満たす唯一の 1 の m 乗根である事を示せ。(ここに N p は p の絶対ノルム; N p = #(OK /p). 整数 N p − 1 は m で割り切れる事に注意せよ。)(5) K の素イデアル p と a ∈ K × について、次の三条件は同値である
事を示せ：
 
(i) ap = 1.
(ii) 合同式 xm ≡ a (mod p) は解 ∈ Op を持つ。
(iii) 方程式 xm = a は解 ∈ Kp を持つ。
1

- 12 -

2(6) 1 の m 乗根 ζ に対し ζ= ζ (N b−1)/mbである事を示せ。
(7) a, a , b が整イデアルのとき、


a ≡ a

(mod b)

ならば

a
b

 
a
=
b

である事を示せ。
(8) b b−1 = (c) は単項イデアル (c ∈ K × ) であり、ma と素な全ての素   イデアル p に対し c ∈ (Kp× )m であると仮定する。このとき ab = ba
である事を示せ。
(9) K = Q のとき、Artin の相互律を用ゐて (古典的) 平方剰余の相互法則を導け。

2. 講義で扱はなかつた類体論に関連する事実を述べよ。
3. 類体論がどんな所に応用されてゐるか調べよ。

- 13 -

2006.8.28
札幌整数論夏の学校

類体論関係文献案内
有名な古典として[1] 高木貞治『代数的整数論』(第 2 版)，岩波書店，1971
があります。なかなか味はひ深いので一度は読んでみたい本です。特に代数的整数論への入門としては (具体的なので) よいと思ひます。ただ、分岐理論のところはどうしても古さを感じさせるのと、後半の類体論のところもあまりスッキリとは読めないので、別の本、例へば[2] 加藤和也，黒川信重，斎藤毅『数論１』, 岩波書店
を参考にした方がよいかと思ひます。動機付け的な話題から始めて類体論に至るまで丁寧に解説してあります。特に類体論の定式化及び証明は非常にスッキリ書いてあります。
この本と同様、中心単純環の理論を使つて類体論を展開するものの代表としては、[3] A. Weil, Basic Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1995 (reprintof the second (1973) edition)があります。Basic と銘打ちながら決して easy ではないので初心者にはお薦め出来ませんが、Langlands 予想などに向けて表現論的なアプローチを試みようとする人にはまさに basic, 必読の書です。
その他、類体論を含む諸々の事柄が書かれてゐる本として[4] J.W.S. Cassels and A. Fröhlich (eds.), Algebraic Number Theory,
Academic Press, 1967
があります。これは 1965 年に Sussex 大学で行はれた「夏 (秋？) の学校」の講究録で、章ごとに著者が異なるので必ずしも読み易くはないですが、参考になる点は多々あるかと思ひます。
分岐理論については[5] J.-P. Serre, Corps Locaux (2ème éd.), Hermann, Paris, 1968
が圧巻です。局所類体論 (剰余体が quasi-ﬁnite の場合) についても後半の方で書かれてゐます (cohomology による定式化)。が、実は前半で既に局所類体論の主定理にかなり近い定理 (Hasse-Arf の定理) が証明されてゐます。
局所類体論を Lubin-Tate 理論を使つて証明してゐる本としては[6] K. Iwasawa, Local Class Field Theory, Oxford University Press, New
York, 19861

- 14 -

2があります。Preface に曰く、“This approach, though not the shortest,
seems particularly well suited to prove some deeper theorems on local
ﬁelds.” 最後の章で Wiles の explicit reciprocity law も証明されてゐます。
大域類体論は書いてないが代数的整数論と代数函数論についての本
で私が個人的にわりと好きなのは[7] E. Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions, AMS Chelsea
Publishing, Providence, 2006 (reprint of the 1967 original)です。付値論についても詳しく書いてあります。もとは E. Artin の
1950/51 年の Princeton 大学での講義録です。
虚数乗法論については[8] G. Shimura, Abelian Varieties with Complex Multiplication andModular Forms, Princeton Univ. Press, 1998
が決定版です。これは原典 G. Shimura and Y. Taniyama, Complex Multiplication of Abelian Varieties and its Applications to Number Theory,
Publ. Math. Soc. Japan, 1961, の全面改訂版です。
「局所代数的表現」についての実質唯一の本は[9] J.-P. Serre, Abelian -Adic Representations and Elliptic Curves,
Addison-Wesley, 1989 (Originally published in 1968 by W. A. Benjamin)です。局所代数的表現についての記述 (第 II, III 章) だけでも貴重な文献ですが、その他にもいろいろ面白い事が書いてあります。
他にも紹介すべき文献はたくさんあるかと思ひますが、取敢へず今回の講義に直接関係ありさうなものの中から個人的な趣味で選んでみました。

- 15 -

L 関数とモジュラー形式
Hidenori Katsurada
May 31, 2007

はじめに
Riemann の zeta 関数
ζ(s) =

∞

1
n=1

ns

は Re(s) > 1 で広義一様絶対収束し，s の正則関数となる．さらに，ζ(s) は以下に述べる性質をもっている．
(Z-1).
ξ(s) = π −s/2 Γ(s/2)ζ(s)とおくと，ξ(s) + s−1 + (1 − s)−1 は全 s 平面に正則に解析接続され関数等式

ξ(1 − s) = ξ(s)を持つ．
(Z-2). Re(s) > 1 で Euler 積

ζ(s) =

(1 − p−s )−1p(Z-3). m が正の整数のとき，
ζ(2m) =(−1)m−1 (2π)2m B2m2(2m)!

となる．ここで Bn は Bernoulli 数と呼ばれる有理数で以下のように定義される．
∞

Bn n
tet
=
t .
et − 1 n=1 n!

このことは，関数等式を使うと

ζ(1 − 2m) = −1- 16 -

B2m
2m

と言い換えられる．
一般にD(s) =

∞

am
m=1

ms

の形をもつ級数を Dirichlet 級数という．Dirichlet 級数の中でも前に述べた性質(Z-1) を持つものは整数論にとって特に重要でここでは良い Dirichlet 級数と呼ぼう．さらに，(Z-2) のような Euler 積を持つものは zeta 関数 あるいは L 関
数 と呼ばれる．1 本論では主として，モジュラー形式に付随した Dirichlet 級
数について上の (Z-1)〜(Z-3) と同様のことが成り立つことを [Miyake, 1989] および [Shimura, 1976] に基づき述べる．本論の構成は以下のとおりである．
0. Hecke の L-関数
1. モジュラー群
2. モジュラー形式
3. モジュラー形式に付随する Dirichlet 級数
4. Hecke 環
5. Hecke 作用素とモジュラー形式の L 関数の Euler 積表示
6. モジュラー形式の L 関数の特殊値の代数性
本論は２００６年８月２９日〜９月４日にかけて北海道大学理学研究科数学専攻で行われた「整数論札幌夏の学校」での講演原稿に加筆したものである．このサマースクールの運営にあたり尽力された前田芳孝氏はじめ関係者の皆様に感
謝します．

0

Hecke の L 関数

この節では，モジュラー形式に付随する Dirichlet 級数や L 関数を論ずる前に，Riemann の zeta 関数の直接の一般化である，Hecke 指標に付随する L 関数すな
わち Hecke の L 関数について論じよう．
F を有限次代数体， F をその整数環，UF を F の単数群とする．F の複素数体 C への埋め込み v : F −→ C の同値類を F の archimedes 素点という．特にv(F ) ⊂ R であるとき，v を実素点といい，そうでないとき複素素点という．a でF の archimedes 素点全体のなす集合を表す．また，r および c でそれぞれ F の実素点および複素素点全体のなす集合を表す．AF で F の零でない分数イデアル全体のなす集合を表す．AF はイデアルの積について群をなす．また，F の単項イデアル全体のなす AF の部分群を PF で表す． を F の零でない整イデアルとする．このとき，AF, = { ∈ AF ; ( , ) = 1},

PF, = {(a) ∈ PF ; a ≡ 1 mod×}

1
講演ではこれを”良い Dirichlet 級数”と呼んだが，整数論的に意味のある Dirichlet 級数が必
ずしも Euler 積を持たないということもあるので，ここではこう呼ぶことにする．ちなみに，ここでは (Z-3) を満たす zeta 関数のことを 良い zeta 関数 と呼びたい．

2- 17 -

とおく．ここで F の元 a が a ≡ 1 mod × であるとは，a がある F の元 α, β で(α, ) = (β, ) = 1, α ≡ β mod を満たすものにより a = α/β と表されることを意味する．AF, と PF, はいずれも，AF の部分群となる．ψ が を法とする
F の Hecke 指標であるとは，ψ が AF, から C1 = {x ∈ C ; |x| = 1} への準同型
で次を満たすものとする：
ある整数 mv と実数 κv (v ∈ a) が存在してmv
κv(*) ψ((a))(a) ∈ PF, , = v∈a (av /|av |) |av |(**) v∈a κv /ev = 0.
ここで v ∈ a と a ∈ F に対して，v(a) を av と表す．また，ev は v ∈ r であるかv ∈ c であるかに従って 1 または 2 とする．特に，すべての v ∈ a について κv = 0
かつ，すべての v ∈ c について mv = 0 のとき，ψ は類指標 (class character) であるという．ψ を を法とする F の Hecke 指標とするとき，F の整イデアル ψ
で次を満たすものがただひとつ存在する：(1) (*) がすべての (a) ∈ PF, ψ ∩ AF, について成り立つ．
(2)  を整イデアルとし，すべての (a) ∈ PF,  ∩ AF, について (*) が成り立つならば  ⊂ ψ .
この ψ を ψ の導手 (conductor) という． を法とする Hecke 指標 ψ が原始的 (primitive) とは ψ = であるときをいう．
さて，F の分数イデアル で AF, に属さないものに対して ψ( ) = 0 とおき，
ψ を AF から C への写像に拡張しておく．このとき，ψ の Hecke L 関数 L(s, ψ)を ψ( )L(s, ψ) =N( )∈AF

で定義する．ここで，N ( ) は の絶対ノルムを表す．特に F = Q で ψ が単位指標のとき，L(s, ψ) は Riemann の zeta 関数 ζ(s) となる．L(s, ψ) は Re(s) > 1 で広義一様絶対収束し，s の正則関数となる．さらに，L(s, ψ) は Riemann の zeta
関数 ζ(s) と似た性質をもっている．それを述べるために，いくつかの関数，記号を用意する．まず，Γψ (s) を次のように定義する．

Γψ (s) =

π −sv Γ(sv )

v∈r


sv =


(2π)1−sv Γ(sv ),v∈c(s + mv + iκv )/2(s + |mv | + iκv )/2

v∈r
.
v∈c

次に，ψ の Gauss 和 τψ を


τψ =

ψ( )

a∈(

)−1 / −1ψ∞ (a)−1 ψ(aψ∞ ((a)) =ψ =)e(tra)(av /|av |)mv |av |κv ,v∈a3- 18 -

ψ =

F
F

,


と定義する．ここで tr(a) = v∈a av を表し，複素数 x に対して e(x) = exp(2πix)
とおく．
PWψ = (−i) v∈a |mv | N ( ψ )−1/2 τ (ψ)
とおく．このとき，（Z-1)〜（Z-3) に対応する次の性質が成り立つ．
(H-1).
ξ(s, ψ) = |DF N ( )|s/2 Γψ (s)L(s, ψ)
とおく．ここで，DF は F の判別式である．このとき，ξ(s, ψ) は全 s 平面に有理型に解析接続され関数等式

ξ(1 − s, ψ̄) = Wψ̄ ξ(s, ψ)を持つ．
(H-2). Re(s) > 1 で Euler 積L(s, ψ) =
(1 − ψ( )N ( )−s )−1を持つ．
(H-3). F は d 次の総実代数体とし，ψ は原始指標で，ψ∞ (b) = v∈a (bv /|bv |)kを満たすとする. このとき，P (k, ψ) = τ (ψ)−1 (2π)−kd L(k, ψ)とおくと，P (k, ψ) は Q 上 ψ の値で生成された体 Q(ψ) に属する．このことは，
関数等式を使うとL(1 − k, ψ) ∈ Q(ψ̄)と言い換えられる．P (k, ψ) の具体的な表示に関する新谷卓郎の研究については[Yoshida, 2003] を参照のこと．
例 F = Q のとき，すべての Hecke 指標は類指標である．これをもう少し詳しく述べよう．N を正の整数とするとき，Z から C への写像 χ で以下を満たす
ものを N を法とする Dirichlet 指標という．
(i) m, n ∈ Z に対して χ(mn) = χ(m)χ(n).
(ii) m ≡ n mod N のとき，χ(m) ≡ χ(n).
(iii) (n, N ) = 1 のときかつそのときに限り χ(n) = 0.
さて，F = Q のとき，すべてのイデアルは単項イデアルである．従って，

AQ = {(a/b) | a, b ∈ Z, a = 0, b > 0, (a, b) = 1},
であり，整数 N に対して，

AQ,(N ) = {(a/b) ∈ AQ ; (a, N ) = (b, N ) = 1},
PQ,(N ) = {(a/b) ∈ AQ,(N ) ; a ≡ b mod N }4- 19 -

となる．さて，χ を N を法とする Dirichlet 指標とする．このとき，(a/b) ∈ AQ,(N )に対して，χ̂((a/b)) = χ(|a|)χ̄(b) とおくと，χ̂ は N を法とする Hecke 指標である．逆に，Q の Hecke 指標は Dirichlet 指標からこのようにして得られる．さて，Dirichlet 指標 χ に対して Dirichlet の L 関数 D(s, χ) をD(s, χ) =

∞

χ(m)
m=1

ms

で定義する．定義により，Dirilchet の L 関数であり，逆に Q の Hecke の L 関数
は Dirichlet の L 関数である．
２次体の Hecke 指標と L 関数については３節で詳しく述べる．
さて，上の事の詳細な証明については [Yoshida, 2003] に譲ることとして，ここでは (H1) が成り立つからくりを Riemann の zeta 関数を例にあげて説明しよう．

ξ(s) = π −s/2 Γ(s/2)ζ(s)とおく．theta 関数 θ(t) をθ(t) =∞
2

e−πn tn=−∞で定義すると，Poisson の和公式

1  −πn2 /t
1e
θ(t) = √= √ θ(1/t)
t −∞
t
∞

が成り立つ．

 ∞Γ(s) =

e−t ts−1 dt0であることに注意すると，Re > 1 で
1 ∞(θ(t) − 1)ts/2−1 dtξ(s) =
2 0となることがわかる．さて，この積分表示を


1 ∞
1 1
s/2−1
(θ(t) − 1)tdt +(θ(t) − 1)ts/2−1 dtξ(s) =
2 0
2 1と２つに分け，最初を変数変換 t −→ t−1 と Poisson の和公式を使うと


1 1
1 1
s/2−1
−1
(θ(t) − 1)t
dt = −s +θ(t)ts/2−1 dt
2 0
2 0
 ∞

1
1 ∞
−s/2−1−1−1
θ(1/t)t
dt = −s +θ(t)t1/2−s/2−1 dt= −s +
2 1
2 1

5- 20 -

= −s

−1

−1

− (1 − s)

1
+
2

 ∞

(θ(t) − 1)t1/2−s/2−1 dt1となるから，まとめて Re(s) > 1 で

ξ(s) = −s−1−1− (1 − s)

1
+
2

 ∞

(θ(t) − 1)(ts/2 + t(1−s)/2 t−1 dt

1となる．これにより (1) は容易にわかる．このように， 良い Dirichlet 級数 は良い変換式 を持つ関数による積分表示を持つことが期待される．この 良い変換式 を持つ関数のひとつが以下の節で述べるで述べるモジュラー形式と呼ばれるものである．

1

モジュラー群

モジュラー形式を述べる前に，モジュラー群の定義をしておこう．

GL2 (R)+ = {α ∈ M2 (R) ; det α > 0},
SL2 (R) = {α ∈ M2 (R) ; det α = 1},
SL2 (Z) = SL2 (R) ∩ M2 (Z)とおく．H = {x + iy ∈ C ; y > 0} を複素上半平面という．α =



a b
c d


∈

GL2 (R)+ と z ∈ H に対して
αz = (az + b)(cz + d)−1とおくと，αz ∈ H となり，GL2 (R)+ の H への作用が定義される．
a b∈ GL2 (R)+ に対して j(α, z) = cz+d とおくと，j(α, z) =
注意. α =c d
0 であり，β ∈ GL2 (R)+ に対して

j(αβ, z) = j(α, βz)j(β, z)となる．
H 上の体積要素 dv(z) をdv(z) =
で定義する．

Im(αz) =dxdyy2

det αImz|j(α, z)|2に注意すると，dv(z) は H 上の GL2 (R)+ -不変な測度を定義することがわかる．

6- 21 -

Γ が SL2 (R) の離散部分群，すなわち SL2 (R) における 12 のある近傍 W をとれば W ∩ Γ = 12 となるとき，Γ を Fuchs 群という．Fuchs 群は H に不連続に作用する．また，SL2 (Z) の指数有限部分群をモジュラー群という．モジュラー群
は Fuchs 群である．例えば SL2 (Z) はモジュラー群である．Γ が Fuchs 群のとき，H の連結な閉集合 F が Γ に関する基本領域 (fundamental domain) であるとは，(1) H = ∪γ∈Γ γF,(2) γ ∈ Γ かつ γ = ±12 ならば γF ◦ ∩ F ◦ = φを満たすものをいう．ここで F ◦ は F ◦ の内点の集合を表す．さらに，

vΓ =
dv(z)
F

とおく．dv(z) の GL2 (R)+ 不変性より，右辺は F のとり方によらない．Fuchs 群
Γ が vΓ < ∞ となるとき，第１種 Fuchs 群という．
例 Γ = SL2 (Z) のとき，

F = {z = x + iy ∈ H ; −1/2 ≤ x ≤ 1/2, |z| ≥ 1}

0 1
は SL2 (Z) の基本領域である．F の
による像
−1 0
F  = {z ∈ H ; |z| ≤ 1, |z + 1| ≥ 1, |z − 1| ≥ 1}
も基本領域である．このときvSL2 (Z) =π3となる．一般にモジュラー群 Γ に対してvΓ =π[SL2 (Z) : Γ ]3となるから，モジュラー群は第１種 Fuchs 群である．モジュラー群でない第１種
Fuchs 群は例えば定符号４元数環の単数群から得られる．
Γ を第１種の Fuchs 群とする．γ ∈ Γ が放物元 (parabolic element) とは γ のトレイスの絶対値 |tr(γ)| = 2 であるときをいう．
z ∈ C ∪ {∞} が Γ の尖点 (cusp)a bであるとは，ある Γ の放物元 γ =の固定点，すなわち γz = z である
c dときをいう．簡単な計算により Γ の尖点 (cusp)z は c = 0 のとき z = ∞, そうでの形をしていることがわかる．
ないとき z = a−d2c
さて，PΓ を Γ の尖点全体からなる集合，Ul∗ = {z ∈ H ∪ {∞} ; Im(z) > l}
とおく．H∗ = H ∪ PΓ に次のような位相を導入する．
(1) z ∈ H のとき，H∗ における近傍系として，H における z の近傍系をとる．
(2) z ∈ PΓ のとき，H∗ における近傍系として，{σ −1 Ul∗ ; l > 0} をとる．ここで，σ は σz = ∞ となる SL2 (R) の元である．

7- 22 -

この位相により，H∗ はハウスドルフ空間となる．このとき，Γ の H への作
用を H∗ への作用に自然に延長することができ，Γ \H∗ にコンパクトリーマン面の構造を導入することができる．さらに，Γ \H ⊂ Γ \H∗ とみなすことができる．
例 (1) 以下，モジュラー群の例をあげよう．

Γ (N ) = {γ ∈ SL2 (Z) ; γ ≡ 12 mod N }は SL2 (Z) の正規部分群でその指数は SL2 (Z/N Z) の位数に等しいので，モジュラー群である．これを，レベル N の主合同部分群 (principal congruence subgroup)という．一般に，SL2 (Z) の部分群 Γ が SL2 (Z) の合同部分群 (cogruence subgroup)であるとは，ある正の整数 N が存在して Γ (N ) ⊂ Γ となるときをいう．合同部
分群はモジュラー群であるが，合同部分群ではないモジュラー群も存在する．
(2)


a b
∈ SL2 (Z) ; c ≡ 0 mod N }Γ0 (N ) = {c dは合同部分群である．
(3)

Γ1 (N ) = {



a b
c d


∈ Γ0 (N ) ; a ≡ d ≡ 1 mod N }は合同部分群である．

2

モジュラー形式f を H 上定義された C に値を持つ関数とする．α ∈ GL2 (R)+ と k ∈ Z>0 に対して
f |k γ(z) = (det α)k/2 j(α, z)−k f (αz)
と定義する．このとき，

f |k αβ(z) = (f |k α)|k β(z)が成り立つ．Γ をモジュラー群とし，χ : Γ −→ C1 を有限位数の指標とする．
f : H −→ C が重さ k, 指標 χ の Γ に関する（正則）モジュラー形式であるとは，以下の条件を満たすものをいう：(1) f は H 上の正則関数(2) f |k γ(z) = χ(γ)f (z) がすべての γ ∈ Γ について成り立つ(3) すべての α ∈ SL2 (Z) と  > 0 に対して f |k α(z) は {x + iy ∈ H ; y > }
上で有界．
k (Γ, χ) で重さ k, 指標 χ の Γ に関する（正則）モジュラー形式の全体からなる集合を表す．とくに，χ が単位指標のとき， k (Γ, χ) を k (Γ ) と表す． k (Γ, χ)
は有限次元 C-ベクトル空間となる．Γ  を Γ に含まれるモジュラー群で χ の Γ への制限を同じ χ で表すと， k (Γ, χ) ⊂ k (Γ  , χ) となる．

8

- 23 -

モジュラー形式のフーリエ展開を考えよう．
定理 2.1. Γ をモジュラー群とし，χ を Γ の指標とする．f ∈ k (Γ, χ) とす
る．このとき，すべての γ ∈ SL2 (Z) に対してある実数 h = hγ が存在して

f |k γ(z) =∞af,γ (m)e(mz/h)m=0と表される．ここで，af,γ (m) は f と γ と m によって決まる複素数である．特に，
Γ を合同部分群とし，ある正の整数 N が存在して，Γ (N ) ⊂ Γ かつ χ は Γ (N ) で1 となるとする．このとき，すべての γ ∈ SL2 (Z) に対して

f |k γ(z) =∞af,γ (m)e(mz/N )m=0と表される．


1 N∈ Γ であるから，証明の概略. まず，
0 1
f (x + iy + N ) = f (x + iy)となり，x の周期関数となる．よって，x の関数として次のようにフーリエ展開される：∞f (x + iy) =bf,γ (m, y)e(mx/N ).
m=−∞

ここで，bf,γ (m, y) は f, γ と m によって決まる y の関数である．ここで，f の正則性 (1) から，
bf,γ (m, y) = af,γ (m)e(imy/N )となることがわかる．ここで，af,γ (m) は f と γ によって決まる複素数である．さ
らに，有界性 (3) より，m < 0 ならば af,γ = 0 となり，定理が証明された．
注意. 条件 (1),(2) だけからでは，定理に述べるようなフーリエ展開ができない．

f ∈ k (Γ, χ) が尖点形式 (cusp form) であるとは，すべての γ ∈ SL2 (Z) に対して， af,γ (0) = 0 を満たすときをいう． k (Γ, χ) で尖点形式からなる k (Γ, χ)の部分空間を表す．χ を N を法とする Dirichlet 指標とするとき，a b−→ χ(d) ∈ C1
Γ0 (N ) c dは Γ0 (N ) の指標を定義する．これを同じ記号 χ で表す．このとき，k (Γ1 (N )) = ⊕χ9- 24 -k (Γ0 (N ), χ)

が成り立つ．ここで，χ は N を法とするすべての Dirichlet 指標を渡る．また，
f ∈ k (Γ0 (N ), χ) に対して∞
f (z) =

a(m)e(mz)m=0と表される．f (z) のフーリエ係数 a(m) の評価式については次の事が知られている．
定理 2.2. k ≥ 2 とする．このとき，ある定数 M > 0 が存在して|a(m)| ≤ M mk−1
がすべての m ≥ 1 に対して成り立つ．特に，f (z) が尖点形式のとき|a(m)| ≤ M m(k−1)/2
がすべての m ≥ 1 に対して成り立つ．

f, g ∈k (Γ, χ) に対して，f, g の Petersson 内積 f, gΓ をf, gΓ =f (z)g(z)y k dv(z)ΦΓで定義する．ΦΓ は Γ に関する基本領域である．f または g が k (Γ, χ) に属する
とき，f, gΓ < ∞ となる．さらに，f, g の正規化された Petersson 内積 f, gΓをf, g = vΓ−1 f, gΓで表す．次に，２つのモジュラー群 Γi (i = 1, 2) について fi ∈ k (Γi ) をとった
とき，Γ1 と Γ2 に含まれるモジュラー群 Γ  （例えば，Γ1 ∩ Γ2 ）をとり，f1 , f2 の正規化された Petersson 内積 f1 , f2  をf1 , f2  = vΓ−1 f1 , f2 Γ で表す．ここで，f1 , f2 を k (Γ  ) の元とみなしている．この定義は，Γ  のとり方によらない．
以下，f, g の性質について列挙する．
(1) g, f  = f, g.
(2) α ∈ GL2 (R)+ が [Γ : Γ ∩ α−1 Γ α], [α−1 Γ α : Γ ∩ α−1 Γ α] < ∞ を満たすと
き，f, g ∈ k (Γ ) に対して

f |k α, g = f, g|k α となる．ここで α = (det α)α−1 である．

10

- 25 -

3

モジュラー形式に付随する Dirichlet 級数

f (z) = ∞m=0 a(m)e(mz) を
let 級数 L(s, f ) をk (Γ0 (N ), χ) の元としたとき，f (z) に付随する Dirich-L(s, f ) =

∞

a(m)
m=1

ms

で定義する．定理 2.2 より，L(s, f ) は s の実部が十分大きなところで広義一様絶
対収束し，s の正則関数となる．L(s, f ) の解析的性質を知るために，

2πΛN (s, f ) = ( √ )−s Γ(s)L(s, f )N
とおく．このとき，次の積分表示を得る．
命題 3.1. Re(s) が十分大きいとき， ∞√ΛN (s, f ) =ts (f (it/ N ) − a(0))t−1 dt0が成り立つ．
定理 3.2. H 上の関数

f (z) =∞
a(m)e(mz), g(z) =

m=0

∞


b(m)e(mz)m=0

は H 上の任意のコンパクト部分集合で一様絶対収束し，ある実数 ν > 0 が存在
して，
f (z) = O(Im(z)−ν ), g(z) = O(Im(z)−ν ) (Im(z) −→ 0)が成り立つとする．このとき次の(A),(B) は同値となる．

0 −1(A) wN =とおくとき，
N 0

g(z) = f |k wN (z).
(B) (B-1) ΛN (s, f ) と ΛN (s, g) は全 s-平面に有理型に解析接続されて(B-2) 関数等式
ΛN (s, f ) = ik ΛN (k − s, g)
を満たし，(B-3) ΛN (s, f ) +a(0) ik b(0)は全 s-平面で正則かつ，任意の帯状領域+
k−ss{s | α ≤ Re(s) ≤ β}11

- 26 -

で有界となる.

 上の結果を  SL2 (Z)に関するモジュラー形式に応用しよう．まず，SL2 (Z) は
1 1
0 −1
と
で生成されることに注意する．これより，次の系を得る．
0 1
1 0
定理 3.2 の系. 定理 3.2 の仮定のもとで次は同値となる．
M. f (z) ∈ k (SL2 (Z)).
F. Λ1 (s, f ) は全 s-平面に有理型に解析接続されて 関数等式

Λ1 (s, f ) = ik Λ1 (k − s, f )を満たし，a(0) ik a(0)+sk−sは全 s-平面で正則かつ，任意の帯状領域
Λ1 (s, f ) +{s | α ≤ Re(s) ≤ β}
で有界となる. 特に，f (z) が尖点形式ならば，Λ1 (s, f ) は正則であり，この逆も成り立つ．
さて，上のようなことが一般の Γ0 (N ) に関するモジュラー形式について成り立つであろうか？ もう少し詳しくいうと，定理 3.2 におけるフーリエ級数 f (z),および g(z) に付随する Dirichlet 級数が条件 (B) を満たせば，f (z) および g(z) は
Γ0 (N ) に関するモジュラー形式となるであろうか？ これは，一般には成り立たない．しかしながら，ひとつの関数等式ではなく十分にたくさんの関数等式を満Weil の逆定理である．これを紹介するた
たせば同様のことが成り立つ．これが∞めに，f (z) = m=0 a(m)e(mz) ∈ k (Γ0 (N ), χ) と Dirichlet 指標 ψ に対して，ψ
で捻った f の Dirichlet 級数 L(s, f, χ) をL(s, f, ψ) =∞
a(m)ψ(m)m=1msで定義する．前と同じように，L(s, f, ψ) は s の実部が十分大きなところで広義
一様絶対収束し，s の正則関数となる．L(s, f, ψ) の解析的性質を知るために，

2πΛN (s, f, ψ) = ( √ )−s Γ(s)L(s, f, ψ),m NCχ,ψ =

χ(Mψ )ψ(N )W (ψ)2Mψ

とおく．ただし，Mψ は ψ の導手で，W (ψ) は ψ の Gauss 和を表す．

12- 27 -

命題 3.3 f (z) を上のとおりとし，g(z) = f |k wN (z) とおく．このとき，原始指標 ψ に対して次が成り立つ．
(Bψ ) ΛN (s, f, ψ) と ΛN (s, g, ψ) は全 s-平面に有理型に解析接続されて 関数
等式
ΛN (s, f, ψ) = ik Cχ,ψ ΛN (k − s, g, ψ)を満たし，任意の帯状領域で有界となる.
さて，命題 3.3 のある意味での逆が成り立つ．これが Weil の逆定理とよばれるものである．
定理 3.4. (A. Weil) χ を N を法とする Dirichlet 指標で χ(−1) = (−1)k を満∞たすとする．２つの複素数列 {a(m)}∞m=1 , {b(m)}m=1 でa(m) = O(mν ), b(m) = O(mν ) (ν > 0)を満たすものに対して

f (z) =∞
a(m)e(mz), g(z) =

m=0

∞


b(m)e(mz)m=0

とおく．このとき，次の (1),(2) が満たされるならば，f (z) ∈ k (Γ0 (N ), χ), g(z) ∈k (Γ0 (N ), χ) かつ g(z) = f |k wN (z) となる．
(1) ΛN (s, f ), ΛN (s, g) は定理 3.2 の B を満たす．
(2) すべての原始指標 ψ でその導手 Mψ が N を割らない奇素数となるものに対して ΛN (s, f, ψ), Λn (s, g, ψ) は命題 3.3 の Bψ を満たす．
さらに，ある δ > 0 が存在して，L(s, f ) が s = k − δ で絶対収束するならば
f ∈ k (Γ0 (N ), χ) となる．
さて，定理 3.4 の応用例をあげよう．F を２次体とする．d を F の判別式とし，( d∗ ) を Kronecker 指標とする．最初に F を虚２次体とする．このとき，正の整数 ν と F の整イデアル に対して，Hecke 指標 ξ でξ((a)) = (a|a|−1 )ν

(a ≡ 1 mod)を満たすものをとる．このとき，
f (z) =
ξ( )NF ( )ν/2 e(NF ( )z)d)ξ((m)), N =とおくと，f (z) ∈ ν+1 (Γ0 (N ), χ) である．．ここで，χ(m) = ( m|d|NF ( ) である．これを示すために

f (z) =∞
a(m)e(mz)m=113- 28 -

とフーリエ展開し，N を割らない奇素数 p を導手とする Dirichlet 指標 ψ に対してL(s, f, ψ) =∞
a(m)ψ(m)m=1msとおくと，L(s, f, ψ) は Hecke の L-関数 L(s, ξ(ψ ◦ NF )) を用いてL(s, f, ψ) = L(s − ν/2, ξ(ψ ◦ NF ))と表される．ここで ψ ◦ NF ( ) = ψ(NF ( )) である．このとき，Hecke の L-関数の解析的性質（第１節参照）と Weil の逆定理により，f (z) ∈ ν+1 (Γ0 (N ), χ) となる．また，このことより

L(s, f ) = L(s − ν/2, ξ)と表される．
特に，E を導手が M の虚２次体 F に虚数乗法を持つ Q 上の楕円曲線とする．
このとき，E の Hasse zeta 関数 L(s, E) はある Hecke 指標 ξ を用いてL(s, E) = L(s − ν/2, ξ)と表されることが知られている ([村瀬,2006] 参照.) これと，上のことを組み合わせるとある f (z) ∈ ν+1 (Γ0 (N ), χ) が存在して，L(s, E) = L(s, f )となる．ここで，N, χ は ξ に対して上に述べたように決まる正の整数と指標である．このとき，L(s − ν/2, ξ) =(1 − a(p)p−s + p−2s+ν χ(p))−1pの形をしていることが簡単な計算でわかる．これと，E の Hasse zeta 関数の Euler
因子を比較することにより，ν = 1 かつ χ = 1 となることがわかる．さらに，N =M であることもわかる．すなわち，f ∈ 2 (Γ0 (N )) となる．これは，ShimuraTaniyama 予想の特別な場合である．
次に，F を実２次体とする．このとき，任意の F の整イデアル に対して，
Hecke 指標 ξ でξ((a)) = a|a|−1 (a ≡ 1 mod )または

ξ((a)) = a |a |−1を満たすものをとる．このとき，

f (z) =とおくと，f (z) ∈である．

(a ≡ 1 mod)

ξ( )e(NF ( )z)d
1 (Γ0 (N ), χ) である．ここで，χ(m) = ( m )ξ((m)), N = |d|NF (14- 29 -)

4

Hecke 環前節でモジュラー形式に付随する Dirichlet 級数を定義し，解析的な性質，とくに有理型性と関数等式について論じた．しかしながら，それが必ずしも Euler 積をもつとは限らず（この論説における意味での）L-関数とはならない．この節と次の節では，モジュラー形式に付随する Dirichlet 級数が Euler 積をもつための条
件を論じよう．そのために，モジュラー形式のなす空間にある可換環を作用させその固有値とフーリエ係数の関係を調べてみる．この環が Hecke 環とよばれるものであり，その作用が Hecke 作用素とよばれるものである．
まず，この節において Hecke 環を定義しよう．２つの半群 Δ0 (N ), Δ∗0 (N ) を
a b
Δ0 (N ) = {∈ M2 (Z) | c ≡ 0 mod N, (a, N ) = 1, ad − bc > 0},
c d


a b
∗
∈ M2 (Z) | c ≡ 0 mod N, (d, N ) = 1, ad − bc > 0}
Δ0 (N ) = {c dで定義する．以下しばらく簡単のため Δ = Δ0 (N ), Δ∗ = Δ∗0 (N ), Γ = Γ0 (N ) とおく．このとき，
RN = R(Γ, Δ) = {aα Γ αΓ ; ﬁnite sum; aα ∈ C}α∈Δ

とおく．すなわち，RN は Γ αΓ (α ∈ Δ) で生成される C-自由加群である．RN に積を次のように定義する．まず，Γ αΓ, Γ βΓ ∈ RN を Γ αΓ = ∪i Γ αi , Γ βΓ = ∪i Γ βiと剰余類分解したとき，Γ αΓ · Γ βΓ =cγ Γ γΓγと定義する．ここで cγ = #{(i, j) | Γ αi βj = Γγ} とおく．これを，線形に拡張し
1 0
Γ をもつ Cて，RN に積が定義される．この積により，RN は単位元 Γ0 1上の多元環となる．同様にして，C-多元環 R∗N = R(Γ, Δ∗ ) が定義される．以下に RN のいくつかの性質を列挙する．
補題 4.1. (1) 任意の α ∈ Δ に対してある正の整数 l, m で l|m かつ (l, N ) = 1となるものが存在して，l 0Γ αΓ = ΓΓ0 mとなる．
(2) 任意の α ∈ Δ∗ に対してある正の整数 l, m で l|m かつ (l, N ) = 1 となるものが存在して，m 0Γ αΓ = ΓΓ
0 l15- 30 -

となる．

l|m かつ (l, N ) = 1 のとき，Δ の元 T (l, m) および T (n) を



l 0
T (l, m) = ΓΓ, T (n) =T (l, m)0 m
ml=n,l|m,(l,N )=1

で定義する．これより，特に，T (p) = T (1, p), T (n, n) = Γ

n 0
0 n


Γ である．

同様に Δ∗ の元 T ∗ (m, l) および T ∗ (n) が定義される．
定理 4.2. RN および R∗N は可換環となる．
命題 4.3. T (1, pe ) は次のような剰余類分解をもつ．
⎧
 e−f

p
m
⎪
⎪
, (p  N )⎨ ∪ 0≤f ≤e,0≤m<pf Γ0
pf(m,pf ,pe−f )=1
T (1, pe ) =
1 m
⎪
⎪
,
(p|N ).
⎩ ∪0≤m<pe Γ
0 pe

命題 4.4. (1) (lm, l m ) = 1 のとき，T (l, m)T (l , m ) = T (ll , mm ) となる．
特に， (m, n) = 1 のとき，T (m)T (n) = T (mn) となる．
(2) T (al, am) = T (a, a)T (l, m)
命題 4.5⎧p  N, e = 1,
⎨ (p + 1)T (p, p)
pT (p, p)T (1, pe−1 ) p  N, e > 1,
T (p)T (1, pe ) = T (1, pe+1 ) +⎩0p|Nとなる．特に，eT (p)T (p ) =T (pe+1 ) + pT (p, p)T (pe−1 ) p  N,
T (pe+1 )p|Nとなる．
さて，命題 4.3 と命題 4.4 より次のことがわかる．
命題 4.6. l|m, (l, N ) = 1 のとき，T (l, m) は次の剰余類分解をもつ．

a bT (l, m) = ∪ ad=lm,0≤b<d Γ.
(a,b,d)=l,(a,N )=1
0 d

16- 31 -

とくに
T (n) = ∪ ad=n,0≤b<d Γ(a,N )=1

a b
0 d


.

注意. Δ∗ の元 T ∗ (m, l), T ∗ (n) についても命題 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 と同様のことが言える．
定理 4.7. RN は C 上 T (p), T (p, p) (p  N ), T (q) (q|N ) で生成され，これらの生成元は C 上代数的独立である．同様なことが R∗N についても成り立つ．

R̃N で C 上 T (p), T (p, p) (p  N ) で生成される RN の部分環を表す．

5Hecke 作用素と Euler 積

この節では，前節で定義した Hecke 環の元をモジュラー形式の空間に作用させよう．この節でも Γ = Γ0 (N ) とおく．χ を N を法とする Dirichlet 指標とする
とき，２節に述べたように，
χ によって定まる Γ の指標を同じ χ で表す．また，


a b
α =
∈ Δ0 (N ) に対して χ (α) = χ(a) と定める．同様にして，α =
c
d


a b
∈ Δ∗0 (N ) に対して，χ∗  (α) = χ(d) と定める．
c d
さて，RN の元 Γ αΓ を Γ αΓ = ∪ν Γ αν と剰余類分解し，f (z) ∈ k (Γ, χ) に対して
χ (α)f |k αν (z)f |Γ αΓ (z) = (det α)k/2−1νと定義する．同様にして，R∗N の元 Γ αΓ = ∪ν Γ αν に対して f |Γ αΓ (z) を上の定義における χ (αν ) を χ∗  (αν ) に換えて定義する．これらの定義は代表元 {αν } のとり方によらない．また，上のどちらの場合にも，f |Γ αΓ (z) ∈ k (Γ, χ) となることがわかる．これらにより，RN および R∗N の k (Γ, χ) への作用が定義される．
この作用を Hecke 作用素とよぶ．以下，Hecke 作用素の性質について述べよう．
∞
命題 5.1. f (z) = n=0 c(n)e(nz) ∈ k (Γ0 (N ), χ) に対して，

f |T (m)(z) =∞b(n)e(nz)

n=0

とおくとき

b(n) =



χ(a)ak−1 c(mn/a2 )0<a|(m,n)となる．特に，b(1) = c(m) となる．
系. 上の定理で m = p とおく．

17

- 32 -

(1) p|n のとき，b(n) = c(pn) である．
(2) p  n のとき b(n) = c(pn) + pk−1 χ(p)c(p−1 n) である.
定理 5.2. (1) f (z) ∈k (Γ0 (N ), χ) とすると，(lm, N ) = 1 のとき，

f |T ∗ (m, l) = χ(lm)f |T (l, m)となる．また，(n, N ) = 1 に対して

f |T ∗ (n) = χ(n)f |T (n)となる．
(2) (lm, N ) = 1 のとき，すべての f, g ∈k (Γ0 (N ), χ) に対して

f |T (l, m), g = f, g|T ∗ (m, l)
となる．すなわち，Petersson 内積に関して T ∗ (m, l) は T (l, m) の随伴作用素である．また，(n, N ) = 1 のとき，すべての f, g ∈ k (Γ0 (N ), χ) に対して

f |T (n), g = f, g|T ∗ (n)となる．すなわち，Petersson 内積に関して T ∗ (n) は T (n) の随伴作用素である．
系. (n, N ) = 1 のとき，T (n) は k (Γ0 (N ), χ) の正規作用素である．すなわ
ち，すべての f ∈ k (Γ0 (N ), χ) に対して

f |T (n)T ∗ (n) = f |T ∗ (n)T (n)となる．特に χ が単位指標のとき，T ∗ (n) = T (n) すなわち，T (n) は自己共役作用素である．
定義 S を RN または R∗N の部分環とする．このとき，f ∈ k (Γ0 (N ), χ) が
S-Hecke 固有形式であるとはすべての T ∈ S の同時固有関数となるときをいう．
特に，RN -Hecke 固有形式を単に Hecke-固有形式という．また， k (Γ0 (N ), χ) の部分空間 M が S-安定とはすべての T ∈ S の作用に対して M が閉じていることをいう．

Hecke 作用素は互いに可換であり，(n, N ) = 1 のとき T (n) は正規作用素であるから，線形代数の一般論より次のことが成り立つ．
定理 5.3. M を R̃N -安定な k (Γ0 (N ), χ) の部分空間とするとき，M は R̃N 固有形式からなる基底をもつ．特に， k (Γ0 (N ), χ) は R̃N -固有形式からなる基底をもつ．
∞
さて，f (z) = m=0 a(m)e(mz) ∈ k (Γ0 (N ), χ) を R̃N -固有形式とするとき，すべての (m, N ) = 1 に対して

f |T (m) = λ(m)f18- 33 -(λ(m) ∈ C)

と表される．よって，命題 5.1 より a(m) = λ(m)a(1) となる．よって，

L̃(s, f ) =

∞

a(m)
ms
m=1

(m,N )=1

とおくとき

∞

λ(m)
L̃(s, f ) = a(1)msm=1(m,N )=1となる．L̃(s, f ) を詳しく調べよう．まず，命題 4.4 より (m, n) = 1 ならば

λ(mn) = λ(m)λ(n)となるから Re(s) が十分大きいときL̃(s, f ) =

Lp (s, f )p-Nとなる．ここでLp (s, f ) =∞λ(pe )p−esm=0

とおいた．さらに，

f |T (p, p) = χ(p)pk−2 fと命題 4.5 よりλ(p)λ(pe ) = λ(pe+1 ) + χ(p)pk−1 λ(pe−1 )となるから，∞
λ(pe )p−es = (1 − λ(p)p−s + p−2s+k−1 χ(p))−1m=0となる．さらに，f (z) は RN -Hecke 固有形式であるとしよう．このとき，やはり
命題 4.5, 5.1 よりL(s, f ) = a(1)Lp (s, f )pとなる．さらに，λ(p) を T (p) の固有値とすると命題 4.5 より p|N に対して

λ(pe+1 ) = λ(pe )λ(p)
となるから

∞


λ(pe )p−es = (1 − λ(p)p−s )−1

m=0

19

- 34 -

となるが χ(p) = 0 に注意すると，これも p  N のときと同じく (1 − λ(p)p−s +p−2s+k−1 χ(p))−1 と表される．これらをまとめると次のことが成り立つ．
∞
定理 5.4. f (z) =k (Γ0 (N ), χ) を R̃N -固有形式とす
m=0 a(m)e(mz) ∈ると，
L̃(s, f ) = a(1) (1 − λ(p)p−s + p−2s+k−1 χ(p))−1p-Nとなる．さらに，f (z) が RN -固有形式とすると，
L(s, f ) = a(1) (1 − λ(p)p−s + p−2s+k−1 χ(p))−1pとなる．このとき，特に a(1) = 0 である．
上に述べた議論を逆にたどることにより，次のこともわかる．
∞
定理 5.5. f (z) =k (Γ0 (N ), χ) とする．f に付随する
m=0 a(m)e(mz) ∈Dirichlet 級数がL(s, f ) = c (1 − t(p)p−s + p−2s+k−1 χ(p))−1pの形に表されるとする．ただし，c は零でない複素数で，t(p) は各素数に対して決まる複素数である．このとき，f (z) は RN -固有形式であり，すべての p に対して
f |T (p) = t(p)fとなる．
以上により，RN -固有形式がモジュラー形式の整数論にとって重要であることがわかった．しかしながら， k (Γ0 (N ), χ) は RN -固有形式からなる基底をもつとは限らない．
例. RN -固有形式からなる基底をもつとは限らない例を述べるために，まず次のことに注意する．
N, l を正の整数とする． f (z) = ∞k (Γ0 (N ), χ), a(1) = 1
m=1 a(m)e(mz) ∈とする．このとき l |l なる任意の正の整数に対して fl (z) = f (l z) とおくと，fl (z) ∈ k (Γ0 (lN ), χ) となる．Hecke-作用素の作用をみるために，しばらくの間，α ∈ Δ0 (N ) に対して Γ0 (N )αΓ0 (N ) の k (Γ0 (N ), χ) への作用を T (N ) ,Γ0 (lN )αΓ0 (lN ) の k (Γ0 (lN ), χ) への作用を T (lN ) で表す．すると，(n, lN ) = 1のとき，
f |T (N ) (n)(z) = λ(n)f (z)ならば，fl |T (lN ) (n)(z) = λ(n)fl (z)20- 35 -

となる．特に，f (z) が R̃N -Hecke 固有形式ならば fl (z) は R̃lN -Hecke 固有形式である．
∞
さて，f (z) = m=1 a(m)e(mz) ∈ k (SL2 (Z)), a(1) = 1 は Hecke-固有形式
であるとする．このとき，f (z), f (pz), f (p2 z), f (p3 z) で生成される k (Γ0 (p3 )) の3部分空間を M とおくと，M は Rp3 -安定である．T  (p) = T (p ) (p) とおく．
∞
fpi (z) =a(p−i m)e(mz)

m=1

であり，


fpi |T (p)(z) =∞a(p−i+1 m)e(mz)m=1だから，i ≥ 1 ならば

fpi |T  (p)(z) = fpi−1 (z)である．また，c(pm) = c(p)c(m) − pk−1 c(mp−1 ) に注意すると，

f |T  (p)(z) = c(p)f (z) − pk−1 fp (z)となり，まとめると T  (p) の作用は

⎛

c(p)
⎜
−pk−1
(f |T  (p), fp |T  (p), fp2 |T  (p), fp3 |T  (p)) = (f, fp , fp2 , fp3 ) ⎜
⎝ 0
0

1
0
0
0

0
1
0
0

⎞
0
0 ⎟
⎟
1 ⎠
0

と表される．この表現行列はあきらかに対角化できない．すなわち，M は T  (p)の固有関数からなる基底を持たない．よって， k (Γ0 (p3 )) 自身もそうである．
上の例のような現象が起きるのは，レベルの低いモジュラー形式も含めてHecke 環の作用を考えたからである．それ故，それらを取り除いた部分空間を考えれば話がうまくいくのではないかと考えられる．実際，それが可能であり，これが新形式（new form) の理論と呼ばれるものである．これを，述べるために mχ
を χ の導手としたとき，(1)=< ∪M =N,mχ |M,M |N ∪l| N {f (lz) | f (z) ∈k (Γ0 (N ), χ)M

k (Γ0 (M ), χ)} >を旧形式 (old form) の空間という．また， k (Γ0 (N ), χ)(0) で k (Γ0 (N ), χ)(1) のPetersson 内積に関する直交補空間を表し，新形式(new form) の空間という．ま∞た，f (z) = m=1 a(m)e(mz) ∈ k (Γ0 (N ), χ) が原始形式であるとは次の条件を満たすときをいう．
(1) f (z) は k (Γ0 (N ), χ)(0) に属する．
(2) f (z) は R̃N -Hecke 固有形式であり，a(1) = 1 である．
定理 5.6. (1) k (Γ0 (N ), χ) の原始形式は RN -Hecke 固有形式である．
(2) k (Γ0 (N ), χ)(0) は原始形式からなる基底を持つ．

21- 36 -

6

モジュラー形式の L 関数の代数性

ζ(m)は有理数となる．こπmのような現象が，モジュラー形式の L-関数の場合でも起こることを，主として[Shimura, 1976] に基づき解説する． k (Γ0 (N ), χ) における原始形式 f に対して，
T (m) ∈ RN の固有値を λ(m) とおき， Kf で Q 上すべての λ(m) で生成される体を表す．また，Dirichlet 指標 ψ に対して Kψ で Q 上すべての ψ の値で生成される体を表す．このとき Kf は Q 上の有限次拡大体になることが知られている．
さて，次のことが知られている．
∞
命題 6.1. f (z) = m=1 a(m)e(mz)を k (Γ0 (N ), χ) の元とする．このとき，
σσ ∈ Aut(C) に対して f σ (z) = ∞a(m)e(mz) とおくと，f σ ∈ k (Γ0 (N ), χσ )m=1となる．ここで χσ (m) = χ(m)σ である．特に，f が原始形式なら，f σ もそうである．
さて，Dirichlet 指標 ψ に対して
はじめに で述べたように，m が正の偶数のとき，A(m, f, ψ) =L(m, f, ψ)W (ψ0 )(2πi)mとおく．ここで ψ0 は ψ に付随する原始指標で，W (ψ0 ) は Gauss 和を表す．
定理 6.2. f を k (Γ0 (N ), χ) における原始形式とする．このとき，二つの原
始指標 ψ, ψ  と正の整数 m, m < k で ψ(−1)ψ  (−1) = (−1)m−m −1 を満たすもの
に対して
√ k−1
A(m, f, ψ)A(m, f, ψ  ) −1

C(m, m ; f, ψ, ψ ) =πW (χ)f, f とおくと， 任意の σ ∈ Aut(C) に対して

C(m, m ; f, ψ, ψ  )σ = C(m, m , f σ , ψ σ , ψ  )σとなる．特に C(m, m ; f, ψ, ψ  ) ∈ Kf Kψ Kψ となる．
定理 6.3. f を k (Γ0 (N ), χ) における原始形式とする．このとき，二つの原始
指標 ψ, ψ  と正の整数 m, m < k で ψ(−1)ψ  (−1) = (−1)m−m −1 かつ L(m , f, ψ  ) =
0 を満たすものに対して

B(m, m ; f, ψ, ψ  ) =A(m, f, ψ)A(m , f, ψ  )とおくと，任意の σ ∈ Aut(C) に対して

B(m, m ; f, ψ, ψ  )σ = B(m, m , f σ , ψ σ , ψ  )σとなる．特に B(m, m ; f, ψ, ψ  ) ∈ Kf Kψ Kψ となる．

22

- 37 -

上の定理より次の重要な結果が得られる．
定理 6.3. f を k (Γ0 (N ), χ) における原始形式とする．このとき，ある二つの零でない複素数 Ω(+) , Ω(−) が存在して，原始指標 ψ と正の整数 m < k でA(m, f, ψ)∈ Kf Kψ となる．
ψ(−1) = j(−1)m (j = ±1) を満たすものに対して
Ω(j)
×
(+)
(−)
このような複素数 Ω , Ω はそれぞれ Kf 倍を除いて一意に定まる．
注意 1. 上の定理において m は有限個の範囲しか動かないが ψ は無限個動き
得る．
注意 2. 上の Ω(±) には次のような幾何学的意味がある．E を Q 上定義された導手が N の楕円曲線とし，一意化写像

φ : (Γ0 (N )\H∗ ) −→ Eがあるとしよう．このとき，ある原始形式 f ∈有理数であるものが存在して2 (Γ0 (N )) でその Fourier 係数がφ∗ ω = cE f (z)2πidz (cE ∈ Q× )となる．ここで，ω は Neron の微分形式である．このとき，E の１次ホモロジー
群 H1 (E, Z) の部分群 H1 (E, Z)(±) をH1 (E, Z)(±) = {c ∈ H1 (E, Z) | cρ = ±c}で定義する．ここで，ρ は複素共役写像によって H1 (E, Z) に誘導される写像である．このとき，H1 (E, Z)(±) は Z 上の１次元自由加群である．その生成元を γ (±)
とし，

(±)

ΩE =

ω
γ (±)

(+)

(−)

とおくと，Ω(+) , Ω(−) としてそれぞれ ΩE , ΩE を取ることができる．

References[Miyake, 1989] T. Miyake, Modular forms, Springer, 1989.
「整数論札幌夏の学校」報告集，2006[村瀬，2006] 村瀬篤，楕円曲線，[Shimura, 1967] G. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publ. Math. Soc. Japan 11, Iwanami Shoten and princeton
University press, 1971.
[Shimura, 1976] G. Shimura, The special values of the zeta functions associatedwith cusp forms, Comm. Pure Appl. Math. 29(1976), 783-804.
[Shimura, 2000] G. Shimura, Arithmeticity in the theory of automorphic forms,
Mathematical Surveys and Monographs 82(2000), Amer. Math. Soc.
[Yoshida, 2003] H. Yoshida, Absolute CM-Period, Mathematical Suerveys andMonographs, 106(2003), Amer. Math. Soc.
H. Katsurada, Muroran Institute of Technology, 27-1 Mizumoto, Muroran, 0508585, Japan (hidenori@mmm.muroran-it.ac.jp)
23- 38 -

楕円曲線入門∗
村瀬 篤 (京都産業大学・理学部)

I. 体上の楕円曲線
II. C 上の楕円曲線
III. Tate module とガロア表現
IV. 補注
参考文献
文献案内

I. 体上の楕円曲線§1. Introduction(1) 体 k 上の楕円曲線とは、
⎧
⎨E :
⎩O :

k 上の絶対既約、smooth かつ種数 1 の曲線
E(k) の点の組のことをいう。

(2) 重要な性質(i) O を単位元とするアーベル群の構造が入る。
(ii) Weierstrass の標準形
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6

(ai ∈ k)を持つ。

§2. Weierstrass 方程式(1) 射影空間と平面曲線

• 体 K(k ⊂ K ⊂ k) に対し、Pn (K) = K n+1 − {(0, . . . , 0)} / ∼ とおく。ここに、(x0 , . . . , xn ) ∼ (x0 , . . . , xn ) ⇐⇒ ∃λ ∈ K × such that xi = λxi (i = 0, . . . , n).
各類を [x0 : · · · : xn ] で表す。

∗ 整数論札幌夏の学校講義時 (2006 年 8 月 29 日) に配布した資料に加筆・修正したもの

1- 39 -

• 同次多項式 F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z] に対し、
C = {[x : y : z] ∈ P2 (k) | F (x, y, z) = 0}を、F を定義方程式とする k 上の射影的平面曲線という (以後、単に曲線という)。F が k
上既約であるとき、C は絶対既約であるという。

• 体 K (k ⊂ K ⊂ k) に対し、C(K) = {[x : y : z] ∈ P2 (K) | F (x, y, z) = 0}
とおく。Aut(K/k) は C(K) に自然に作用する。

• C が smooth であるとは、C の各点 P に対し、
∂F ∂F ∂F
= (0, 0, 0),,∂X ∂Y ∂Z P
が成り立つことをいう。

• smooth な曲線 C に対し、種数 g(C) ∈ Z≥0 が定まる (後述)。C の定義方程式が d 次ならば、g(C) = (d − 1)(d − 2)/2 である。

(2) 楕円曲線と Weierstrass 方程式• 絶対既約かつ smooth な k 上の曲線 E で g(E) = 1 であるものと E(k) の点 O を、k 上の楕円曲線という。

• k 上の楕円曲線は、次の Weierstrass 方程式で定義される曲線 E と isomorphic である(“isomorphic” については補注を参照のこと)。
F (X, Y, Z) = (Y 2 Z + a1 XY Z + a3 Y Z 2 ) − (X 3 + a2 X 2 Z + a4 XZ 2 + a6 Z 3 ) (ai ∈ k).
ただし、判別式 Δ(E) (後述) は 0 でないとする。以後この節では、この形の曲線を考える。

• k の標数が 2 でも 3 でもないとき、適当なアフィン変換をほどこすことにより、Weierstrass
方程式として、Y 2 Z − (X 3 + AXZ 2 + BZ 3 ) の形のものがとれる。このとき、Δ(E) =−16(4A3 + 27B 2 ) である。
• E は、アフィン部分 {[x : y : 1] | f (x, y) = 0} と、“無限遠点” O = [0 : 1 : 0] からなる。
ここに、f は F のアフィン化である:

f (x, y) := F (x, y, 1) = (y 2 + a1 xy + a3 y) − (x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ).
(3) 判別式 Δ(E) と smoothness2- 40 -

• F の係数 ai (i = 1, . . . , 6) から、E の判別式 Δ = Δ(E) を次のように定める。
b2 = a21 + 4a2 ,c4 = b22 − 24b4 ,b4 = a1 a3 + 2a4 ,c6 = −b32 + 36b2 b4 − 216b6 ,b6 = a23 + 4a6 ,b8 = a21 a6 + 4a2 a6 − a1 a3 a4 + a2 a23 − a24 ,Δ = −b22 b8 − 8b34 − 27b26 + 9b2 b4 b6 .

• E が smooth ⇐⇒ Δ(E) = 0.
(4) 不変量 j(E)• j(E) :=

c34
.
Δ(E)

• k 上の楕円曲線 E, E  に対し、j(E) = j(E  ) ⇔ E, E  は k 上 isomorphic.
(5) 加法の幾何的定義 (chord-tangent method)• P, Q ∈ E に対し、 を P, Q を結ぶ直線とする (P = Q のときは P における接線)。E と は重複度をこめて 3 点で交わる。それらを P, Q, R = P ∗ Q とする。P + Q = (P ∗ Q) ∗ O
により、E の加法を定める。O はこの加法について単位元であり、P = [x : y : 1] の逆元
は [x : −y − a1 x − a3 : 1] である。また、k ⊂ K ⊂ k に対し、E(K) は E の部分群をなす。

§3. Riemann-Roch の定理
この節では、C を絶対既約かつ smooth な k 上の曲線とする。F ∈ k[X, Y, Z] を C の定義多項式とする。

(1) 因子群• k 上の曲線 C に対し、C 上の点の整数係数の形式的有限和のなす集合を"#
Div(C) :=nP (P ) | nP ∈ Z, nP = 0 (∀  P )P ∈Cと書く。Div(C) は自然な加法により、アーベル群をなす。Div(C) を、C の因子群という。零元を 0 と書く。

• 因子 D =

P ∈C nP (P ) に対し、deg(D) :=

P ∈C nP

とおく。

• Div0 (C) := {D ∈ Div(C) | deg(D) = 0} は Div(C) の部分群をなす。
(2) 有理関数とその因子• 体 k ⊂ K ⊂ k に対し、


G(X, Y, Z)
K(C) :=| G, H ∈ K[X, Y, Z] は同次多項式, deg(G) = deg(H), F  | H / ∼F
H(X, Y, Z)
3- 41 -

を、C の K 上の関数体という。ここに、GG
∼F  ⇐⇒ F | (GH  − HG ).
H
H
• ϕ=

G
∈ K(C) と P ∈ C に対し、H
ordP (ϕ) := IP (F, G) − IP (F, H)

とおく。ここに、同次多項式 F  ∈ K[X, Y, Z] に対し、IP (F, F  ) ∈ Z≥0 を次のように定める。もし、F  (P ) = 0 ならば、IP (F, F  ) = 0 とする。そうでないとき、P のアフィン近傍(アフィン座標を u, v とする) を取り、そこでの F, F  のアフィン化を f (u, v), f  (u, v) とするとき、IP (F, F  ) = dimK K[u, v](u,v) /(f, f  ) とおく。ここに、K[u, v](u,v) は K[u, v]の極大イデアル (u, v) による局所化である。

• ϕ ∈ K(C) に対し、
div(ϕ) :=

ordP (ϕ)(P )P ∈C

とおく。このとき、div(ϕ) ∈ Div0 (C) である。

(3) eﬀective な因子• 因子 D =

P ∈C nP (P ) に対し、nP≥ 0 (∀P ) であるとき、D は eﬀective (またはpositive) であるといい、D ≥ 0 と書く。
(4) L(D)• 因子 D に対し、L(D) := {ϕ ∈ k(C)× | D + div(ϕ) ≥ 0} ∪ {0}とおく。L(D) は、k 上の有限次元ベクトル空間である。

(5) Riemann-Roch の定理、種数• Riemann(-Roch) の定理: k 上の曲線 C に対し、0 以上の整数 g(C) が存在し、次を満たす。任意の因子 D に対し、不等式

dimk L(D) ≥ deg(D) − g(C) + 1が成立する。また、deg(D) > 2g(C) − 2 ならば、等号が成立する。

• g(C) を C の種数 (genus) という。
• Weierstrass 方程式で定義される曲線で smooth なものは種数 1 である。
§4. Abel の定理(1) 線形同値、Pic(C), Pic0 (C)4- 42 -

• D, D ∈ Div(C) に対し、D − D = div(ϕ) となるような ϕ ∈ k(C)× が存在するとき、D, D は線形同値であるといい、D ∼ D と書く。Pic(C) = Div(C)/ ∼ は自然な加法によりアーベル群をなす。Pic0 (C) = Div0 (C)/ ∼ は Pic(C) の部分群をなす。D ∈ Div(C)の Pic(C) における類を D と書く。

(2) Abel の定理• Abel の定理: k 上の楕円曲線 E に対し、写像
E  P → (P ) − (O) ∈ Pic0 (E)は、E から Pic0 (E) への全単射を与える。

• これより、E に加法の構造が入る。すなわち、P, Q ∈ E に対し(P ) − (O) + (Q) − (O) ∼ (P ⊕ Q) − (O)となる P ⊕ Q ∈ E が一意的に存在する。この加法は明らかに結合法則を満たす。一方、E が Weierstrass 方程式で定義される曲線のとき、加法 ⊕ と chord-tangent method による加法 + は一致する。

§5. 等分点
E を k 上の楕円曲線とする。 k の標数を p とする (p ≥ 0)。
(1) 正整数 m に対し、P → mP = P + · · · + P は E の (全射) 準同型を定める。この準同型の核
%&
'
$
m個

を E[m] と書く。すなわち、E[m] := {P ∈ E | mP = O}。

(2) p = 0 または p > 0, p  | m のとき、E[m] はアーベル群として、(Z/mZ)2 に同型である。
(3) p > 0 のとき、E[pr ] は Z/pr Z または {0} に同型である。
(4) σ ∈ Gal(k/k) に対し、σ(mP ) = mσ(P ) であるから、Gal(k/k) は E[m] に作用する。(2)の条件が満たされるとき、E[m] のアーベル群としての基をとると、この作用はガロア表現

ρ : Gal(k/k) → GL2 (Z/mZ) を定める。
(5) 次の 3 条件を満たす bilinear pairing em : E[m] × E[m] → μm = {ζ ∈ kする (Weil pairing; 構成法については、補注を見よ)。

(i)em (P, P ) = 1 (P ∈ E[m]).

(ii)em (P, E[m]) = 1 =⇒ P = O.

(iii)

σ(em (P, Q)) = em (σP, σQ) (σ ∈ Gal(k/k), P, Q ∈ E[m]).

(6) Weil pairing の存在より、
ζ det ρ(σ) = ζ σ(σ ∈ Gal(k/k), ζ ∈ μm )5
- 43 -×| ζ m = 1} が存在

が示される。

II. C 上の楕円曲線§1. 楕円関数、Abel の定理• R 上 1 次独立な ω1 , ω2 ∈ C に対し、lattice Λ = Zω1 + Zω2 を考える。
• C(Λ) := {f : C 上の有理型関数、f (z + ω) = f (z) (ω ∈ Λ)} (Λ を周期とする楕円関数体).
)(
• Div(C/Λ) := D = w∈C/Λ nw (w) | nw ∈ Z, nw = 0 (∀  w) , deg D := w nw .
• Div0 (C/Λ) := {D ∈ Div(C/Λ) | deg D = 0}.
• f ∈ C(Λ)× に対し、div(f ) := w∈C/Λ ordw (f )(w) ∈ Div(C/Λ), ここに ordw (f ) は f の w
における位数。このとき、div(f ) ∈ Div0 (C/Λ) である。

• sum : Div0 (C/Λ) → C/Λ を、sum(w nw (w)) :=w nw w で定める。

• Abel の定理:
1 −−→ C× −−→ C(Λ)× −−→ Div0 (C/Λ) −−→ C/Λ −−→ 1
div§2. Weierstrass の P 関数
1•
P(z; Λ) := 2 +zω∈Λ,ω=0

sum

1
1
− 2
(z − ω)2ω,P  (z; Λ) = −2

(exact).


ω∈Λ

1
.
(z − ω)3(以後、Λ は ﬁx し、しばしば記号から省略する。)•••

C(Λ) = C (P(z), P  (z)) が成り立つ。
∞
1(2k + 1)G2k+2 z 2k 、ここに Gk :=P(z) = 2 +z
k=1z ∈ C − Λ に対し、



ω −k .

ω∈Λ,ω=0

P  (z)2 = 4P(z)3 − g2 P(z) − g3 ,ここに g2 = 60G4 , g3 = 140G6 .

•E : Y 2 Z = 4X 3 − g2 XZ 2 − g3 Z 3 は C 上の楕円曲線である。また、C/Λ  z → [P(z) : P  (z) : 1] ∈ P2 (C)は、複素 Lie 群としての同型写像である。

•

C 上の楕円曲線 E に対し、lattice Λ が存在し、C/Λ  z → [P(z; Λ) : P  (z; Λ) : 1]
は複素 Lie 群としての同型写像である。Λ は C× 倍を除いて一意的に定まる。

6- 44 -

§3. C 上の楕円曲線の等分点の構造• (E, O) を C 上の楕円曲線とする。正整数 m に対し、E[m] := {P ∈ E | mP = O} を E の m
等分点のなす群とする。E  C/Λ となる lattice Λ をとる。このとき、

E[m]  m−1 Λ/Λ  (Z/mZ)2である。

III. Tate module とガロア表現(E, O) を Q 上の楕円曲線とする。また、l を素数とする。
§1. Tate module• l 倍写像 E[ln+1 ] → E[ln ] に関する射影的極限 Tl (E) = lim E[ln ] を E の Tate module とい←−う。すなわち、Tl (E) := {(xn )n≥1 | xn ∈ E[ln ], lxn+1 = xn (n ≥ 1)} .
• Tl (E) の位相を、任意の n ≥ 1 に対し自然な射影 Tl (E) → E[ln ] が連続になるような最弱の位相とする。ただし、E[ln ] の位相は discrete topology をとるものとする。このとき、0 ∈ Tl (E)の基本近傍系として {ln Tl (E)} をとることができる。

• Tl (E) はコンパクトアーベル群であり、Zl が連続的に作用する。
• Tl (E) は、局所コンパクトアーベル群として、Z2l に同型である。
§2. ガロア表現• GQ = Gal(Q/Q) は Tl (E)  Z2l に作用する。これより、ガロア表現
ρE,l : GQ → GL2 (Zl )が得られる。

• また、GQ は Vl (E) := Tl (E) ⊗Zl Ql  Q2l に作用する。これよりガロア表現 ρE,l : GQ →GL2 (Ql ) が得られる。
§3. ガロア表現の性質(1) det ρE,l について:σχl (σ)(ζ ∈ μl∞ , σ ∈ GQ ) で定めると、det ρE,l = χl が成立• χl : GQ → Z×l を ζ = ζする。

(2) 特性多項式について:7- 45 -

• 以後、E は素数 p において good reduction E (p) を持つとする。E (p) は、有限体 Fp 上の楕円曲線である。

• l = p とする。このとき、p の GQ における惰性群は Vl (E) に自明に作用する。
• p の GQ における Frobenius 元を 1 つ取り、σp とする。このとき、特性多項式 det(1 −ρE,l (σp )X) は Frobenius 元の取り方によらず、
1 − ap X + pX 2に等しい。ここに、ap := p + 1 − |E (p) (Fp )| とおく。

(3) ガロア表現の像 (Serre; 1968, 1972)• End(E) = Z とする。
任意の l に対し、ρE,l (GQ ) は Aut(Tl (E)) の指数有限部分群である。
ほとんどすべての l に対し、ρE,l (GQ ) = Aut(Tl (E)) である。

(4) Faltings (1983)• HomQ (E, E  ) ⊗Z Zl ∼= HomGQ (Tl (E), Tl (E  )).
IV. 補注:
1. 有理写像、morphism, isomorphic• 体 k 上の曲線 C, C  に対し、写像 φ : C → C  で次の形のものを C から C  への有理写像という:

φ = [ϕ0 : ϕ1 : ϕ2 ],ここに、ϕi ∈ k(C) (i = 0, 1, 2) であり、各 ϕi ∈ k(C) が P ∈ C において regular であるとき、φ(P ) = [ϕ0 (P ) : ϕ1 (P ) : ϕ2 (P )] ∈ C  を満たすものとする。

• 有理写像 φ = [ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 ] : C → C  が P ∈ C で regular とは、g ∈ k(C) で次の 2 条件を満たすものがあるときをいう。

(1)

各 i = 0, 1, 2 に対し、gϕi は P で regular である。

(2)((gϕi )(P ))i=0,1,2 = (0, 0, 0).

• 有理写像 φ : C → C  が各点 P ∈ C で regular であるとき、φ を C から C  への morphism という。morphism φ は、定数写像であるか、または全射である。

• C から C  への morphism φ と C  から C への morphism φ で、φ ◦ φ (resp. φ ◦ φ ) が C(resp. C  ) の恒等写像であるものが存在するとき、C と C  は isomorphic であるという。
2. Weierstrass の標準形
k 上の楕円曲線 (E, O) が、Weierstrass 方程式で定義される曲線と isomorphic であることを示す。
8- 46 -

• O ∈ E(k) であることから、L(n(O)) は k 上定義されることに注意する。
• Riemann-Roch の定理より、dim L(2(O)) = 2, dim L(3(O)) = 3 である。これより、x, y ∈k(E) で、L(2(O)) の k-基底が {1, x}、L(3(O)) の k-基底が {1, x, y} となるものがある。
• 再び、Riemann-Roch の定理より、dim L(6(O)) = 6 であるから、1, x, y, x2 , xy, x3 , y 2 ∈L(6(O)) は k 上一次従属である。また、一次関係式において、x3 , y 2 の係数はともに 0 でない。従って、x, y を適当に定数倍することにより、x, y は Weierstrass 方程式を満たすことがわかる。写像 P ∈ E → [x(P ) : y(P ) : 1] ∈ P2 (k) が求めるものである (O は [0 : 1 : 0] に移ることに注意)。

3. Weil paring の構成• x, y ∈ E[m] とする。mt = x となる t ∈ E をとる。Abel の定理より、
(t + u) −(u) = div(gx )u∈E[m]u∈E[m]

を満たす gx ∈ k(E)× が存在する。このとき、em (x, y) =gx (z + y)gx (z)は z ∈ E の取り方によらず、しかも μm に属する。

9- 47 -

参考文献[C] Cassels, J. W. S., Diophantine equations with special reference to elliptic curves, J. London Math.
Soc. 41 (1966), 193-291.
[K] Knapp, A. W., Elliptic curves, Princeton University Press, 1992.
[M] Milne, J. S., Elliptic curves, online course notes, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math679.html.
[S1] Silverman, J. H., The arithmetic of elliptic curves, Springer, 1986.
[S2] Silverman, J. H., Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves, Springer, 1994.
[T] Tate, J., The arithmetic of elliptic curves, Inv. Math. 23 (1974), 179–206.

文献案内
楕円曲線に関する文献は膨大にある (たとえば [S1] の文献表を参照のこと)。ここでは、この講義を準備するのに参照したうちの一部を紹介する。[S1] は標準的入門書である。[S2] は [S1] の続篇である。[T] は、証明はほとんどついていないものの、自由な筆致で書かれており楽しい。[S1] との併読をお勧めする。[K] は保型形式との関連を意識して書かれている。また、楕円曲線の chord-tangent method による加法が結合法則を満たすことの幾何的な完全な証明を与えている。[C] は古典的 survey である。[M] は、online text で未完成な部分もあるが、[S1] を補うのに便利である。

10- 48 -

古典的岩澤理論
北川浩二
2006.8.31
文責

須田智彦

1 円分 Zp 拡大
簡単のため p は奇素数とする. μpn = {1 の pn 乗根 ∈ Q}, μp∞ = ∪∞n=1 μpn とおくとGal(Q(μpn )/Q)  (Z/pn Z)× ,n×××
Gal(Q(μp∞ )/Q)  lim←−n (Z/p Z) = Zp  Fp × (1 + pZp )となる. Δ ⊂ Gal(Q(μp∞ )/Q) を上の同型で F×p に対応する部分群とし, Q∞ を Q(μp∞ ) の Δ-不変体とすればGal(Q∞ /Q) = 1 + pZp  Zpとなる. Q∞ を Q の円分 Zp 拡大という.
有 限 次 代 数 体 F に 対 し て, F∞ = F Q∞ と お き, F∞ /F を 円 分 Zp 拡 大 と い う.

一般に

Gal(N/F )  Zp となる Galois 拡大 N/F を Zp 拡大というが, 円分 Zp 拡大は Zp 拡大である. 実際, Qn を Q(μpn+1 ) の Δ-不変体とすると, ある e ≥ 0 により F ∩ Q∞ = Qe となるので,Gal(F∞ /F )  Gal(Q∞ /Qe )  pe Zp  Zpが成り立つ. Zp 拡大での素点の分解について次のことが成り立つ：
命題 1.1 N/F を Zp 拡大とするとき, p の上の素点以外は全て不分岐である (レポート問題１). 分
岐する素点は少なくとも１つあり, 円分 Zp 拡大なら p の上の素点は全て分岐する.

Q の Zp 拡大は１個しかないが, 一般には次のように予想されている．
Leopoldt 予想. F* を F のすべての Zp 拡大の合併体とすれば Gal(F*/F )  Zt+1 である. ただp

し, 2t は F の虚素点の個数とする*1 .
*1 正確に述べておく. F の最大不分岐アーベル拡大を K とすると Gal(K/F )C(F ) であるが, いくつかの素点は分岐してもよいとするなら最大アーベル拡大は有限次とはならない. L を p の上にある素点以外は分岐しないようなF の最大アーベル p 拡大としよう. 命題 1.1 より Fe ⊂ L である. 乗法群
E = {F の単数 ε | 任意の素点 p|p に対し ε ≡ 1 mod p}を, Zp -加群 Πp|p {x ∈ Fp× | x ≡ 1 mod p} に対角的に埋め込むと, 閉包 E も Zp -加群になる. ここで r =1- 49 -

F∞ /F を円分 Zp 拡大とし, Γ = Gal(F∞ /F ) とおく. F∞ の部分体で F 上 pn 次のものがただ１つ存在するからそれを Fn とおく. An を Fn のイデアル類群 C(Fn ) の p-Sylow 群とし, Fn のp-Hilbert 類体を Hn とする. このとき, m > n に対し,
Am −→ Gal(Hm /Fm )
Nr ↓

↓ Res
An −→ Gal(Hn /Fn )Am −→ Gal(Hm /Fm )i↑↑ trans
An −→ Gal(Hn /Fn )という可換図式が得られる. ここで, 横方向は類体論の相互写像による同型, Res は定義域の制限,

trans は移送*2 である. 特に, {An , Nr} は Γ-加群の射影系であり, {An , i} は Γ-加群の帰納系である. そこで,A←∞ = lim←−An = lim←− Gal(Hn /Fn ) = Gal(H∞ /F∞ ),A→∞ = lim−→An

とおく. H∞ = ∪n Hn は F∞ の最大不分岐 p-アーベル拡大である. A←∞ は pro-p Γ 加群であり, 特にコンパクトである. A→∞ は離散的 Γ 加群となる. これらを調べるのには, 「完備化された Γ の群環 Λ」を考えるとよい.

2 岩澤代数Γ を Zp に同型な乗法的位相群とし, u ∈ Γ を位相的生成元, つまり u = Γ となるものとする.
nnΓn = Γ/Γp とおけばこれは位数 pn の巡回群で u mod Γp が生成元となる.
n

K/Qp を有限次拡大とし, o を K の整数環, π を o の素元とする. ωn (T ) = (1 + T )p − 1 と置
くとno[Γn ]  o[T ]/(ωn ) ; u mod Γp → 1 + T mod (ωn )であるから, 完備群環 o[[Γ]] := limo[Γn ] は←−o[[Γ]]  lim←−o[T ]/(ωn )n= lim←−o[T ]/(π, T )(∵ ωn ∈ (π, T )n )n
= lim←−o[T ]/(T )= o[[T ]][F :Q]−rZp⊕ (有限 p 群) と表せる. Dirichlet 単数定理により rankZ (E) =rankZp (E) とおくと, Gal(L/F )s + t − 1 であった（s は実素点の個数, 2t は虚素点の個数）が, r も s + t − 1 になるだろうというのが Leopoldt予想である. この予想は F が Q または虚二次体上のアーベル拡大の場合成立する (Ax-Brumer の定理).
*2 一般に次のようにして定義される：H をアーベル群 G の指数有限の部分群とする. G/H の代表系 g1 , · · · , gh を選
び, b ∈ gi H に対し b = gi とする. x ∈ G に対し
trans(x) =hYgi x gi x−1

i=1とする. これは代表系の選び方によらず定まり, G から H への準同型になっている.

2- 50 -

となる. Λ = o[[T ]] を岩澤代数という. これは 2 次元局所環 (極大イデアルは m = (π, T )) であるが, Λ 上の有限生成加群は PID 上の有限生成加群と同様の構造定理が成り立つのでそれを説明する.
補題 2.1 (割り算定理) f (T ) ∈ T n Λ× + πΛn , Λn = {r(T ) ∈ o[T ] | deg r < n} とする. このとき任意の g ∈ Λ に対し, ただ１つ q ∈ Λ が存在してg ∈ f q + Λnとなる.
証明. Gauss 記号の類似を定めておく：a =する. u = [T

−n

×

∞

i=−∞ ai Ti∈ o((T )) に対し [a] =∞

i=0 ai T

i

∈Λと

n

f ] ∈ Λ とすれば, T u − f ∈ πΛn である. g ∈ Λ に対し,
g0 = [T −n g],

gi = [(1 − T −n f u−1 )gi−1 ]と帰納的に定めていくと, gi ∈ π i Λ だから無限和 g0 + g1 + · · · が Λ に存在する. それと u−1 の積を q とすれば条件を満たす：

f q − g = T n (g0 + g1 + · · · ) − g − (T n − f u−1 )(g0 + g1 + · · · ) ∈ Λn一意性は 0 = q ∈ Λ, r ∈ Λn が f q + r = 0 を満たすとして矛盾を導けばよい. あらかじめ π のべきで割っておくことにより, q, r のどちらかは π で割れないとして良い. f q の n − 1 次までの項は π で割れるので, r は π で割れる. f は π で割れないので, q は π で割れ, これは矛盾である. σ(T ) ∈ o[T ] が特殊多項式 (distinguished polynominal) であるとは,σ(T ) ∈ T n + πΛnとなることをいう. ωn (T ) は特殊多項式である.
定理 2.2 (Weierstrass の予備定理) 0 = f (T ) ∈ Λ に対し, 一組の m ∈ Z≥0 , 特殊多項式 σ(T )が存在して,f ∈ π m σΛ×となる.
証明. あらかじめ π のべきで割っておくことにより, f ∈ T n Λ× + πΛn としてよい. 割り算定理で

g = T n とすれば

fq = Tn + r(q ∈ Λ, r ∈ Λn )とできるが, このとき T n + r は特殊多項式, q ∈ Λ× となる. 一意性も割り算定理の一意性から導かれる. 

3- 51 -

Λ-加群の準同型 h : N → M に対し, Ker h, M/Im h が共に有限であるとき, h は擬同型であるといい, N ∼ M と書く. これは対称律が成り立たないので同値関係ではない*3 ．M, N が torsion

Λ 加群なら M ∼ N =⇒ N ∼ M である (レポート問題２)．
定理 2.3 (構造定理) M を有限生成 Λ 加群とすると, 一組の r ∈ Z≥0 , ni , mj ∈ N, 既約な特殊多項式 fj が存在して,mM ∼ Λr ⊕ Πi Λ/(π ni ) ⊕ Πj Λ/(fj j )となる. r を M の Λ-rank, μ(M ) =mj
を M の特性多項
i ni を M の μ-不変量, ch(M ) = Πj fj

式, λ(M ) = deg(ch(M )) を M の λ-不変量という.
証明の概略 (Serre).

1. M ∼ tor M ⊕ M/tor M .
m

2. ni , mj , fj が存在して tor M ∼ Πi Λ/(π ni ) ⊕ Πj Λ/(fj j ).
3. Λ 加群 N に対し双対を N ∗ = HomΛ (N, Λ) と定める.
N が有限生成で torsion free なら N ∼ N ∗∗ であり, N ∗∗ は自由である. 
定理 2.4 (漸近公式) M を有限生成 torsion Λ 加群とする (M の Λ-rank は 0). このとき, n と独立な定数 ν があって, 充分大きな n についてn#(M/ωn M ) = pλ(M )n+μ(M )p +ν
となる.

3 岩澤加群Λ はコンパクト,Hausdorﬀ な位相を備えている. コンパクトな Λ 加群で作用が連続なものを岩澤加群という. 有限生成 Λ 加群は自然な位相によりコンパクトである.

F∞ /F を円分 Zp 拡大とすれば, X = A←
∞ は岩澤加群であったが, 実は次が成り立つ：
命題 3.1 X は有限生成 torsion Λ 加群である.
証明には次の補題を使う.
補題 3.2 M を岩澤加群とする. ある f ∈ m が存在して M/f M が有限となるなら M は有限生成

torsion Λ 加群である.

*3 例えば, m ∼ Λ だが Λ ∼ m である.

h が擬同型であることと, 全ての高さ 1 以下の素イデアル p に対し局所化
hp : Np → Mp が同型となること, は同値である. 推移律はこのことからわかる.

4- 52 -

証明. 中山の補題*4 により M は有限生成となり構造定理が使えるが, |Λ/(f )| = ∞ なので Λ 自由
部分は現れない. 

p の上の F の素イデアルがただ一つでそれが F∞ で完全分岐するときは X/ωn X = An となり命題が示される. 一般には, X の適当な部分加群を取って, ωn の番号をずらしたりして間接的に命題が示される. 
ここで, 漸近公式を使うと
n#An = pλ(X)n+μ(X)p +ν (n ! 0)がわかる*5 . 次の様な予想が知られている：
岩澤 μ 予想. μ(X) = 0 である.
これは F が Q 上のアーベル拡大のときは成立する (Ferrero-Washington の定理).
×
F = Q(μp ) とする. Δ  Gal(F/Q) は X に作用する. Teichmüller 指標を ω : F×p → Zp とし,εi =1  −iω (a)a ∈ Zp [Δ]p−1a∈Δと定めると, εi はべき等元でX = ⊕p−2
i=0 εi Xとなる. 一方, 複素共役を ρ とすれば,

X = X + ⊕ X − , (X ± = {x ∈ X | xρ = ±x})となり

X + = ⊕i:偶数 εi X, X − = ⊕i:奇数 εi Xである.
定理 3.3 (Iwasawa) X − は Λ-torsion であるが, Zp 上自由である.

X + については, 次の予想がある：
Vandiver 予想. X + = 0 である.

*4 中山の補題. 岩澤加群 M に対して

mM = M ⇐⇒ M = 0
M/mM が有限 ⇐⇒ M が有限生成*5 F の類数が p で割れず, F/Q で p は不分解, F∞ /F で分岐素点は完全分岐, という条件が満たされれば An = 0 である. 例えば Q は条件を満たす.

5- 53 -

この予想は Q(ζp + ζp−1 ) の類数が p で割れない, ということと同値であり，いくつかの p について成立することが確かめられている*6 . さらに, Vandiver 予想より弱い次の予想もある：

Greenberg 予想. X + は有限である.

4 p 進 L 関数
χ を Dirichlet 指標とし, k ∈ Z に対して χk = χω −k とする.
定理 4.1 (Kubota-Leopoldt) χ = 1 のとき, 連続関数 Lp (s, χ) : Zp → Qp (Im χ) で

Lp (1 − k, χ) = (1 − χk (p)pk−1 )L(1 − k, χk ), (k ∈ N)
を満たすものがある. χ(−1) = −1 なら Lp (s, χ) = 0 である.
定理 4.2 (Iwasawa) χ(−1) = 1 で χ = ω k (k = 0) ならば, Gp (χ, T ) ∈ Zp [[T ]] が存在して,Gp (χ, us − 1) = Lp (s, χ)(u = 1 + p)となる. このようにベキ級数に us − 1 を代入して得られる関数を岩澤関数という.

Stickelberger 元と呼ばれる θn ∈ Zp [Gal(Q(μpn )/Q)] が存在し, θn An = 0 となる*7 . {θn }n の極限として Zp [Gal(Q(μp∞ )/Q] の元を得るが, これを使って p 進 L 関数の存在を明示的に証明することができる.

5 主予想
定理 5.1 (Mazur-Wiles) 3 ≤ i ≤ p − 2 である奇数 i に対し,ch(εi X) ∈ Gp (ω 1−i , T )Λ×となる.
この式で, 左辺はイデアル類群から決まる代数的, 数論的なもの, 右辺は L 関数の値から決まる p
進解析的なものである. Mazur-Wiles による証明は保型形式を本質的に使うが, Euler 系という概念を使った証明も得られている.
円分 Zp 拡大以外の無限次 Galois 拡大で具体的に記述できるものはあるか (レポート問題３).
*6 Buhler,Cradall,Ernvall,Metsänkylä,Shokrollahi, Irregular primes and cyclotomic invariants to 12 mil-lion, J.Symbolic Comput. 31 (2001), 89-96*7 Stickelberger の定理. G = Gal(Q(μm )/Q) とおくと, Z[G] ∩ θZ[G] ⊂ ann(C(Q(μm ))) である. ただしθ=X

1≤a<m, (a,m)=1a· σa−1 ∈ Q[G]m

6

- 54 -a(σa : ζm → ζm)文献案内
基本的な教科書

S.Lang, Cyclotomic Fields I and II combined version, GTM121, Springer-Verlag, 1990.
L.Washington, Introduction to Cyclotomic ﬁelds, Second Edition, GTM83, Springer-Verlag,
1996.
次の厚い本にも岩澤加群の章と岩澤理論の章がある．

J. Neukirch, A. Schmidt, K. Winberg, Cohomology of Number Fields, Springer-Verlag, 2000.
創始者の全集Kenkichi Iwasawa, Collected Papers, Springer-Verlag, 2001.
日本語では，次の本の 10 章が参考になる．
黒川信重・栗原将人・斎藤毅，数論 3（岩澤理論と保型形式），岩波講座現代数学の基礎，岩波書店，1998．

7- 55 -GALOIS 変形理論
山上 敦士 （京産大理）

0. Introduction
本稿の目的は, 有限次代数体 F の代数的閉包 F をとり, その絶対
Galois 群 Gal(F /F ) の (主に 2 次元の) 表現の変形理論 (deformation
theory) について紹介することである.
まず最初に, F を有理数体 Q として, Galois 表現の deformation の例を見てみることとする.
np を素数とする. Zp := lim←−n Z/p Z を p-進整数環とし, Fp := Zp /pZp
をその剰余体とする. このとき, Fp は標数 p の素体となる. Q 上の楕
円曲線 E に対し, E の p 冪等分点への Galois 作用から生じる Galois
表現ρE,p : Gal(Q/Q) → GL2 (Zp )を考える. ρE,p と mod p 写像 GL2 (Zp ) → GL2 (Fp ) との合成を

ρ̄ := ρE,p (mod p) : Gal(Q/Q) → GL2 (Fp )とおく. このとき, ρE,p は mod p 表現 ρ̄ の Zp への deformation となっている.
一般に, Fp を剰余体にもつ局所 pro-artinian Zp -algebra A を係数とする Galois 表現
ρ : Gal(Q/Q) → GL2 (A)について, A の極大 ideal mA による剰余写像 GL2 (A) → GL2 (Fp ) と合成した表現
ρ (mod mA ) : Gal(Q/Q) → GL2 (Fp )がρ (mod mA ) = ρ̄となるとき, ρ は ρ̄ の A への deformation であるという.
Galois 表現を用いた整数論の研究においては, 対象となる mod p 表現ρ̄ がもつ様々な数論的性質のうち, どのような性質が ρ̄ の deformation
たちに引き継がれているのかという, いわば deformation における数論的性質の伝播性なるものが鍵となる.
とくに, 保型形式の岩澤理論などといった保型形式にまつわる研究においては, 対象となる Galois 表現が「保型形式に付随する」というDate: 2006 年 8 月 31 日, 9 月 1 日発表.
1

- 56 -

2

山上 敦士 （京産大理）

modularity と呼ばれる性質の deformation における伝播性が重要な焦点となる.
その際, ρ̄ の無数に存在しうる deformation たちを一つひとつ帰納的に調べ尽くすのではなく, それらを支配する universal deformation ringRρ̄ と, ρ̄ の Rρ̄ への universal deformation ρ なるものを構成し, ρ の数論的性質を追究するという演繹的な手法が常套手段である (universal
deformation の定義については Section 1 で詳しく述べる).
この手法を用いることで, Wiles [13]-Taylor-Wiles [11] により, Fermatの最終定理が解決されたことは, Galois 表現の deformation theory がいかに整数論の研究において強力なものであるかを示す顕著な例といえる.
本稿では, まず Section 1 において, deformation と universal deformation の定義を与える. そして, universal deformation の具体的な構成に必要な pseudo-representation なるものの定義と性質を Section 2
で紹介し, Section 3 において, 実際に pseudo-representation を用いた
universal deformation の構成法を紹介する.
一方, Section 4 では, 先に与えられた deformation たちを用いて, それらだけを支配する universal deformation ring を構成する方法を紹介
する.
最後に, Section 5 において, modularity をもつ Galois 表現の具体例を示すという趣旨で, とくに Hilbert cusp form に付随する Galois 表現を紹介する. その中で, Hilbert cusp form に対する Hecke algebra を
modular な deformation を支配する universal deformation ring とみなせることが期待できる根拠として, Hilbert cusp form のなす空間とそれに作用する Hecke algebra の間の duality について紹介する.
Acknowledgement. 「整数論札幌夏の学校」での講演の機会を与えていただき出張旅費の援助をしていただいた, 前田芳孝先生はじめ北海道大学のご関係の先生の皆様方, また, 講演内容に関していくつかの
suggestion をしていただいた UCLA の肥田晴三先生, そして, この度の出張にまつわる様々な手続きに際してお世話になった金子ひろ子さんはじめ北海道大学理学部数学分室事務室の皆様方に, 心より感謝申し上げます.
Contents
0. Introduction
1. Deﬁnition of deformations
2. Pseudo-representations
3. Construction of universal couple
4. Parametrization of given deformations
5. Modular Galois representations
5.1. Deﬁnition of Hilbert cusp forms- 57 -

1
3
4
9
20
23
24

GALOIS 変形理論

5.2. Hecke algebras and duality
5.3. Modular Galois representations
References

3

28
33
35

1. Deﬁnition of deformations
この Section では, [5, Section 2.3] に沿う形で deformation と universal deformation の定義をする.
p を素数とする. K を p-進数体 Qp の有限次拡大体とし, O を K の整数環, mO を O の極大 ideal とする. F := O/mO を O の剰余体とす
ると, F は標数 p の有限体となる.

Deﬁnition 1.1. (1) 単位的可換環 A が artin 環のなす射影系の射影的極限として表されるとき, A を pro-artinian と呼ぶ.
(2) 群 G が有限群のなす射影系の射影的極限として表されるとき,
G を proﬁnite group という. proﬁnite group G には, proﬁnite 位相を入れておく.
F を剰余体にもつ局所 pro-artinian O-algebra を object とし, Oalgebra 準同型を morphism とする圏を CLO とおく. A が CLO のobject であるとき, A ∈ CLO と書き mA をその極大 ideal とする. F が有限体であることから, A に proﬁnite 位相を入れることができる. 以
下, 扱う表現や準同型は断らない限りすべて, しかるべき位相に関して連続なものとする.
Deﬁnition 1.2 ([5, Section 2.3]). n を正の整数とする. G を proﬁnite
group とし,ρ̄ : G → GLn (F)を F-係数の n 次元表現 とする.
(1) A ∈ CLO について, A-係数の n 次元表現

ρ : G → GLn (A)が ρ̄ の A への deformation であるとは, F-係数の表現として,

ρ (mod mA ) = ρ̄であることをいう.
(2) A ∈ CLO への二つの n 次元連続 ρ, ρ が equivalent であるとは,ある x ∈ GLn (A) があって, 任意の g ∈ G に対して

ρ(g) = xρ (g)x−1- 58 -

4

山上 敦士 （京産大理）となることであり, このとき ρ ∼ ρ とかく. さらに, x として⎞⎛
10
x ≡ ⎝ . . . ⎠ (mod mA )01
なるものを選べるとき, strictly equivalent であるといい, ρ ≈ ρ とかく. このとき, もし ρ が ρ̄ の A への deformation であれば, ρ も ρ̄ の
A への deformation となることに注意.
(3) R ∈ CLO と ρ̄ の R への deformation

ρ : G → GLn (R)の組 (R, ρ) が ρ̄ の universal couple であるとは, 任意の ρ̄ の deformation
ρ : G → GLn (A)に対して, O-algebra 準同型 ϕ : R → A でϕ◦ρ≈ρとなるものがただ一つ存在することをいう. このとき, R を ρ̄ に対する
universal deformation ring, ρ を ρ̄ に対する universal deformation という. この universality により, もし ρ̄ に対する universal couple (R, ρ)が存在するならば, 同型の差を除き一意的に存在することがわかる. その意味で, ρ̄ の universal deformation ring を Rρ̄ とかくことがある.

Remark 1.1. Deﬁnition 1.2 (1) の意味での “deformation” を “lift” といい, (2) で定義された strict equivalence class を “deformation” と呼ぶことがある.
Theorem 1.1 ([10, Proposition 1]). もし ρ̄ が絶対既約, すなわち, 係
数を F の代数的閉包 F まで拡大しても既約性を保つならば, ρ̄ に対す
る universal couple は存在する.
Mazur の原論文 [10] におけるこの存在定理の証明は, ρ̄ の deformation からなる CLO 上の関手が表現可能であることを証明する抽象的な可換環論を用いたものであるが, 本稿では, とくに Section 3 において, universal couple の具体的な構成法を示したい.
2. Pseudo-representations
ここでは, 次節で紹介する n = 2 の場合での universal couple の具体的な構成法に必要な pseudo-representation について, [5, Section 2.2.1]に沿って紹介する.
この Section に限り, G は抽象的な群であり, A は F を剰余体にもつ局所環であるとする. G の単位元を 1G , A の極大 ideal を mA とか- 59 -GALOIS 変形理論

5

く. さらに, G は位数 2 の元 c をもつとして, char(F) は 2 でないと仮定する.

ρ : G → GL2 (A)を, c に関して odd, すなわち det ρ(c) = −1 を満たす A-係数の 2 次元表現とする. ρ の表現空間を V = V (ρ) := A2 とおく. また, mod mA
表現

ρ̄ := ρ (mod mA ) : G → GL2 (F)の表現空間を V̄ = V (ρ̄) := F2 とおく.
2 ∈ A× だから, c に対する V の固有空間分解

V =

1+c
1−c
V
V ⊕
2
2

が生じる. 同様に 2 ∈ F× だから, c に対する V̄ の固有空間分解

V̄ =

1+c
1−c
V̄
V̄ ⊕
2
2

V̄ (以下, ± は複号同順) とV , V̄± := 1±cも生じる. ここで, V± := 1±c22
おくと,V̄± = V± /mA V±を得る. det ρ(c) = −1 だから dimF V̄± = 1 であり, ある v̄± ∈ V̄± が存在して, V̄± = Fv̄± となる. v± ∈ V± として v± (mod mA ) = v̄± なるものをとると, A-module 準同型

A → V± ,a → av±

は A-同型となるので, A-module としての分解

V = Av− ⊕ Av+
を得る. この分解のもとで, σ ∈ G に対する ρ(σ) の A-係数の表現行列を
a(σ) b(σ)ρ(σ) =
c(σ) d(σ)とかくことにする. このとき,



−1 0
ρ(c) =
0 1となることに注意. ここで,

x : G × G → A,

- 60 -(r, s) → b(r)c(s)6

山上 敦士 （京産大理）

とおくと, 次の三つの条件が成立することがわかる:(W1) a(rs) = a(r)a(s) + x(r, s), d(rs) = d(r)d(s) + x(s, r),x(rs, tu) = a(r)a(u)x(s, t) + a(u)d(s)x(r, t)+ a(r)d(t)x(s, u) + d(s)d(t)x(r, u);(W2) a(1G ) = d(1G ) = d(c) = 1, a(c) = −1,x(r, s) = x(s, t) = 0 (if s = 1G or s = c);(W3) x(r, s)x(t, u) = x(r, u)x(t, s).
Deﬁnition 2.1 ([5, Section 2.2.1]). A を F を剰余体にもつ局所環とし, G を群, c ∈ G を位数 2 の元とする. char(F) は 2 と相異なるものとする. このとき,(1) 写像たち
a : G → A, d : G → A, x : G × G → A
が上の三つの条件 (W1)-(W3) を満たすとき, 組 τ = {a, d, x} を (G, c)の A への pseudo-representation という.
(2) 写像たち

Tr(τ ) : G → A, r → a(r) + d(r),det(τ ) : G → A, r → a(r)d(r) − x(r, r)をそれぞれ, τ の trace, determinant とよぶ.

Remark 2.1. (1) 2 ∈ A× だから,
1
1a(r) = (Tr(τ )(r) − Tr(τ )(rc)), d(r) = (Tr(τ )(r) + Tr(τ )(rc)),2
2x(r, s) = a(rs) − a(r)a(s)となり, τ = {a, d, x} は Tr(τ ) の値で決まることがわかる.
(2) det(τ ) は A× に値をもつ G 上の群準同型である.
上で見たように, 2 次元表現 ρ から自然に pseudo-representation が構成できる (これを τρ とかくことにする). このとき,Tr(ρ) = Tr(τρ )となることに注意. 逆に, pseudo-representation から trace が一致する
2 次元表現を構成することができる:

Proposition 2.1 (Wiles [12] (cf. [5, Proposition 2.16])). A を F を剰余体にもつ局所環とし, G を群, c ∈ G を位数 2 の元とする. char(F)は 2 と相異なるものとする. τ = {a, d, x} を A への (G, c) の pseudorepresentation として, 次の二つの条件のうち, どちらか一方は満たされていると仮定する:(i) 任意の r, s ∈ G に対して x(r, s) = 0 である;

- 61 -GALOIS 変形理論

7(ii) ある (r, s) ∈ G × G が存在して x(r, s) ∈ A× となる.
このとき, ある A-係数の 2 次元表現
ρ : G → GL2 (A)で, 次の等式を満たすものが存在する:Tr(ρ) = Tr(τ ), det(ρ) = det(τ ), ρ(c) =


−1 0
.
0 1

もし, A と G が位相的であり a, d, x が連続写像であるときは, 上の ρとして連続な表現を得ることができる.

Proof. (i) 任意の r, s ∈ G に対して x(r, s) = 0 であるとき: (W1) により
a(rs) = a(r)a(s), d(rs) = d(r)d(s)であり, (W2) によりa(1G ) = 1,d(1G ) = 1×となるので, a と d は A に値をもつ G 上の群準同型である. よって,

a(g) 0ρ : G → GL2 (A), g →0 d(g)と定義すれば, ρ は 2 次元表現であり (W2) により−1 0ρ(c) =
0 1となる. さらに, g ∈ G に対し x(g, g) = 0 であることから,Tr(ρ)(g) = a(g) + d(g) = Tr(τ )(g),det(ρ)(g) = a(g)d(g) = det(τ )(g)を得る.
(ii) ある (r, s) ∈ G×G が存在して x(r, s) ∈ A× となるとき: g, h ∈ Gを任意の元とする.

b(g) :=

x(g, s),x(r, s)c(h) := x(r, h)とおけば (W3) により,b(g)c(h) =x(r, s)x(g, h)x(g, s)x(r, h)= x(g, h)=x(r, s)x(r, s)となる. ここで,ρ(g) :=

a(g) b(g)c(g) d(g)- 62 -

8

山上 敦士 （京産大理）とおくと (W2) により,



−1 0
,
ρ(c) =0 1ρ(1G ) =


1 0
0 1

となる. さらに,
ρ(g)ρ(h) =a(g)a(h) + b(g)c(h) a(g)b(h) + b(g)d(h)c(g)a(h) + d(g)c(h) d(g)d(h) + c(g)b(h)において (W1) により,a(g)a(h) + b(g)c(h) = a(g)a(h) + x(g, h) = a(gh),d(g)d(h) + c(g)b(h) = d(g)d(h) + x(h, g) = d(gh),c(g)a(h) + d(g)c(h) = x(r, g)a(h) + d(g)x(r, h)= a(1G )a(h)x(r, g) + a(1G )d(g)x(r, h)= x(r, gh) = c(gh),a(g)b(h) + b(g)d(h) = x(r, s)−1 (a(g)b(h)x(r, s) + b(g)d(h)x(r, s))= x(r, s)−1 (a(g)d(1G )x(h, s) + d(h)d(1G )x(g, h))= x(r, s)−1 x(gh, s) = b(gh)となるので,

ρ(gh) = ρ(g)ρ(h)であることがわかる. よって,

ρ : G → GL2 (A)は表現であり,Tr(ρ)(g) = a(g) + d(g) = Tr(τ )(g),det(ρ)(g) = a(g)d(g) − b(g)c(g) = a(g)d(g) − x(g, g) = det(τ )(g)となる. さらに, G と A が位相的であるとき, a, d, x が連続ならば ρ も連続となることは構成法からわかる.


Remark 2.2. 2 次元表現 ρ : G → GL2 (A) が先に与えられて, ρ から構成される pseudo-representation τρ が Proposition 2.1 の条件 (i) と(ii) のいずれか一方を満たすとき, Proposition 2.1 により新たに 2 次元
表現 ρ : G → GL2 (A) が構成される. これら二つの表現 ρ と ρ の関係については次節で考察する.

- 63 -GALOIS 変形理論

9

3. Construction of universal couple
以下, Section 1 の記号を用いることにする. G を位数 2 の元 c をも
つ proﬁnite group, A ∈ CLO とし, char(F) は 2 と相異なるものとす
る. この Section では [5, Section 2.3.2] と [8, Section 1.1.4] に沿う形
で, F-係数の 2 次元表現

ρ̄ : G → GL2 (F)に対する universal couple を pseudo-representation の理論を用いて構成したい.
この構成に用いられる手法は, 抽象的な存在定理である Theorem 1.1の仮定に加えて, さらにいくつか条件が課されるものではあるが, Section
5.3 で紹介する Hecke 環を係数とした modular な Galois 表現を構成する際には, 非常に有用なものである.
以下, 次の二つの条件を仮定する:(i) ρ̄ は絶対既約, すなわち, 係数を F の代数的閉包 F まで拡大しても既約性が保たれる;(ii) ρ̄ は c に関して odd, すなわち, det ρ(c) = −1 である.

Lemma 3.1 ([5, (2.8) and (2.13)]). 上記の記号のもと, 次の二つの全単射が得られる:(1){ρ : G → GL2 (A) : 表現 | ρ (mod mA ) = ρ̄}/ ≈∼−→ {ρ : G → GL2 (A) : 表現 | ρ (mod mA ) ∼ ρ̄}/ ∼, [ρ]≈ → [ρ]∼(2){ρ : G → GL2 (A) : 表現 | ρ (mod mA ) ∼ ρ̄}/ ∼∼−→ {τ : A への (G, c) の pseudo-representation |τ (mod mA ) = τρ̄ }, [ρ]∼ → τρ .
Remark 3.1. (1) Lemma 3.1 (1) の全単射性は, G を抽象的な群, A
を単に F を剰余体にもつ局所環とした弱い仮定のもとでも成立する.
(2) Lemma 3.1 (1) により, ρ̄ が絶対既約のときには, Lemma 3.1 (1)の右辺を deformation の定義に採用できる.
(3) Lemma 3.1 (2) の全単射性は, G を抽象的な群とした弱い仮定のもとでも成立する.
Proof. (1) もし ρ (mod mA ) = ρ̄ であれば, 当然 ρ (mod mA ) ∼ ρ̄ であり, その一方で, もし ρ ≈ ρ であれば, 明らかに ρ ∼ ρ であるので, 写
像 [ρ]≈ → [ρ]∼ は well-deﬁned である.
全射性: [ρ]∼ を右辺から取れば, ある x̄ ∈ GL2 (F) が存在し,x̄ · ρ (mod mA ) · x̄−1 = ρ̄となる. mod mA 写像 GL2 (A) → GL2 (F) は全射なので, x̄ の持ち上げ
x ∈ GL2 (A) が存在し,ρ := xρx−1 : G → GL2 (A)- 64 -

10

とおけば
となり,

山上 敦士 （京産大理）

ρ (mod mA ) = ρ̄[ρ ]∼ = [ρ]∼なので, 全射性が示された.
単射性: 二つの表現 ρ と ρ が,

ρ (mod mA ) = ρ̄ = ρ (mod mA ),ρ ∼ ρ

を満たすと仮定する. ある x ∈ GL2 (A) が存在して,xρx−1 = ρとなるので, x̄ := x (mod mA ) ∈ GL2 (F) とおき, 両辺を mod mA すると,x̄ρ̄x̄−1 = ρ̄を得る. ρ̄ は絶対既約なので, Schur の補題(cf.
 [5, Proposition 2.5(2)])
ā0により, ある ā ∈ F× が存在して x̄ =とかける. ā の持ち上げ
0 ā
a ∈ A× を取ると,


1 0
−1
(a x) (mod mA ) =0 1
であり, かつ(a−1 x)ρ(a−1 x)−1 = ρとなるので,ρ ≈ ρ
であることがわかり, 単射性が示された.
(2) もし ρ ∼ ρ であれば Tr(ρ) = Tr(ρ ) であり, char(F) は 2 と相異なると仮定しているから, Remark 2.1 (1) により τρ = τρ となる. したがって, 写像 [ρ]∼ → τρ は well-deﬁned である.
この写像の全単射性を証明するために, Carayol [1] による次の定理
を証明を省略して認めることにする:
Theorem 3.2 ([1, Théorème 1] (cf. [8, Proposition 1.25])). G を群, A
を F を剰余体にもつ完備な局所環, n と n を正の整数とする. 二つの表現
ρ : G → GLn (A), ρ : G → GLn (A)について, もし ρ̄ := ρ (mod mA ) が絶対既約であり Tr(ρ) = Tr(ρ ) であるならば, n = n かつρ ∼ ρ
である.

- 65 -GALOIS 変形理論

11

全射性: (G, c) の A への pseudo-representation τ = {a, d, x} が

τ (mod mA ) = τρ̄を満たすとする. Section 2 の前半と同様に, ρ̄ の表現空間の c に関する固有空間分解に沿った ρ̄ の表現行列を

ā(g) b̄(g)ρ̄(g) =(g ∈ G)¯c̄(g) d(g)とかき

x̄(g, h) := b̄(g)c̄(h) (g, h ∈ G)
¯ x̄} となる. ρ̄ は絶対既約だから, ある r, s ∈ Gとおけば, τρ̄ = {ā, d,が存在して b̄(r), c̄(s) ∈ F× となり x̄(r, s) ∈ F× である. このとき,
x (mod mA ) = x̄ なので,
x(r, s) ∈ A×
であることがわかる. したがって, Proposition 2.1 により, ある 2 次元
表現
ρ : G → GL2 (A)でTr(ρ) = Tr(τ )を満たすものが存在する. このとき,Tr(ρ (mod mA )) = Tr(ρ) (mod mA ) = Tr(τ ) (mod mA )= Tr(τ (mod mA )) = Tr(τρ̄ ) = Tr(ρ̄)となるので, Theorem 3.2 により

ρ (mod mA ) ∼ ρ̄が得られるので, 全射性は示された.
単射性: 二つの表現 ρ と ρ が

ρ (mod mA ) ∼ ρ̄ ∼ ρ (mod mA ),τ ρ = τρ を満たすとする. このとき,Tr(ρ) = Tr(τρ ) = Tr(τρ ) = Tr(ρ )となり, ρ̄ が絶対既約なので ρ (mod mA ) も絶対既約となるから, Theorem 3.2 により,ρ ∼ ρ
となる. よって, 単射性が示された.

- 66 -



12

山上 敦士 （京産大理）

Deﬁnition 3.1 ([8, Section 1.1.4]). 群 G, 局所環 A, 表現 ρ̄ : G →GL2 (F) は Lemma 3.1 のものとする. ρ̄ から構成される pseudo-representation¯ x̄} とおく. このとき, Rτρ̄ ∈ CLO と Rτρ̄ への (G, c) のを τρ̄ = {ā, d,pseudo-representation T = {A, D, X} の組 (Rτρ̄ , T ) が τρ̄ に対する
universal couple であるとは, 任意の (G, c) の A ∈ CLO への pseudorepresentation τ でτ (mod mA ) = τρ̄を満たすものに対し, O-algebra 準同型 ϕτ : Rτρ̄ → A で

τ = ϕτ ◦ T
を満たすものがただ一つ存在することである. このとき, T を τρ̄ に対する universal pseudo-representation という.

Theorem 3.3 ([8, Theorem 1.26]). G を位数 2 の元 c をもつ proﬁnite
group, A ∈ CLO とし, char(F) は 2 と相異なるものとする. F-係数の2 次元表現ρ̄ : G → GL2 (F)は絶対既約であり, det ρ̄(c) = −1 を満たすとする.
このとき, ρ̄ に対する universal couple (Rρ̄ , ρ) が存在し, さらに ρから構成される pseudo-representation τρ は, ρ̄ から得られる pseudorepresentation τρ̄ の universal pseudo-representation となる.

Remark 3.2. Mazur [10] による universal deformation は, 完備な
Noether 局所環のなす圏で論じられているため, proﬁnite group G として “p-ﬁniteness condition” を満たすものを扱っていることに注意.
Proof. (1) まず τρ̄ の universal pseudo-representation (Rτρ̄ , T ) を構成¯ x̄} とおく.
する. τρ̄ = {ā, d,(i) G が有限群であるとき: F の元の個数を q とし, O× 内の 1 の q−1乗根全体のなす部分群を μq−1 (O) とおくと, mod mO 写像 O× → F× は有限群の同型∼
mod mO : μq−1 (O) −→ F×を誘導する. この逆写像を∼

ϕ : F× −→ μq−1 (O)とかき, ϕ(0) := 0 とすることで, F 上の写像

ϕ : F → μq−1 (O) ∪ {0}に延長しておく. O-係数の形式的冪級数環

Λ = ΛG := O[[Ag , Dh , X(g,h) | g, h ∈ G]]- 67 -GALOIS 変形理論

13を考える. g, h ∈ G に対して, Λ の元A(g) := Ag + ϕ(ā(g)),¯
D(g) := Dg + ϕ(d(g)),
X(g, h) := X(g,h) + ϕ(x̄(g, h))を定義し, Λ の ideal I を次の元たちで生成されるものとする: r, s, t, u
を G の元として,(w1) A(rs) − (A(r)A(s) + X(r, s)), D(rs) − (D(r)D(s) + X(s, r)),X(rs, tu) − (A(r)A(u)X(s, t) + A(u)D(s)X(r, t)+ A(r)D(t)X(s, u) + D(s)D(t)X(r, u));(w2) A(1G ) − 1(= A1G ), D(1G ) − 1(= D1G ),D(c) − 1(= Dc ), A(c) + 1(= Ac ),X(r, s), X(s, t) (if s = 1G or s = c);(w3) X(r, s)X(t, u) − X(r, u)X(t, s).
このとき, 商環 Rτρ̄ := Λ/I は CLO の object となり, 関係式 (w1)-(w3)により, 三つの写像

A : G → Rτρ̄ , g → A(g) (mod I),
D : G → Rτρ̄ , h → D(h) (mod I),
X : G × G → Rτρ̄ , (g, h) → X(g, h) (mod I)
が (G, c) の Rτρ̄ への pseudo-representation T = {A, D, X} を定める
ことがわかる. F× において,(A(g) (mod I)) (mod mRτρ̄ ) = ā(g),¯(D(h) (mod I)) (mod mRτ ) = d(h),ρ̄(X(g, h) (mod I)) (mod mRτρ̄ ) = x̄(g, h)であるから,

T (mod mRτρ̄ ) = τρ̄となる. 任意の (G, c) の B ∈ CLO への pseudo-representation τ ={a, d, x} でτ (mod mB ) = τρ̄なるものに対し, B において g, h ∈ G に対し,

a(g) − ϕ(ā(g)) ∈ mB ,¯d(h) − ϕ(d(h))∈ mB ,
x(g, h) − ϕ(x̄(g, h)) ∈ mB

- 68 -

14

山上 敦士 （京産大理）

なので, O-algebra 準同型

ϕτ : Λ → B, Ag → a(g) − ϕ(ā(g)),¯
Dh → d(h) − ϕ(d(h)),
X(g,h) → x(g, h) − ϕ(x̄(g, h))が定まる. さらに, τ が pseudo-representation の性質 (W1)-(W3) を満たすことから,ϕτ (I) = 0となることがわかるので, ϕτ は Rτρ̄ を経由する:ϕτ : Rτρ̄ → B.
また, g, h ∈ G に対し,ϕτ (A(g)) = a(g),ϕτ (D(h)) = d(h),ϕτ (X(g, h)) = x(g, h)となるので,ϕτ ◦ T = τである. 他に, O-algebra 準同型ϕτ : Rτρ̄ → B
でϕτ ◦ T = τなるものがあれば, Rτρ̄ の O 上の生成系である
Ag (mod I), Dh (mod I), X(g,h) (mod I)たちに対して,ϕτ (Ag ) = a(g) − ϕ(ā(g)) = ϕτ (Ag ),¯ϕ (Dh ) = d(h) − ϕ(d(h))= ϕτ (Dh ),τϕτ (X(g,h) ) = x(g, h) − ϕ(x̄(g, h)) = ϕτ (X(g,h) )であるので,ϕτ = ϕτとなる. よって, (Rτρ̄ , T ) は τρ̄ に対する universal couple である.
(ii) G が proﬁnite group であるとき: G の指数有限な開正規部分群からなる集合 N をうまく選ぶことで,G = lim
←−

N ∈N

G/N

とみなせる. ρ̄ は連続なので, Ker(ρ̄) は G の指数有限な開正規部分群
であり, ρ̄ は G/ Ker(ρ̄) を経由することから, N ∈ N に対し N ∩Ker(ρ̄)- 69 -GALOIS 変形理論

15を考えることで, G の表現 ρ̄ を扱う際には N の元はすべて Ker(ρ̄) の部分群であると仮定してよい. このとき, det(ρ̄(c)) = −1 であるため,
各 G/N において cN は位数 2 の元であることに注意.
任意の N ∈ N に対して ρ̄ は G/N を経由するので, Tr(ρ̄) = Tr(τρ̄ )を有限群 G/N 上の trace とみなせる. char(F) は 2 と相異なるので,Remark 2.1 (1) により, τρ̄ を G/N 上の pseudo-representation とみなすことができる.
(i) により, G/N の pseudo-representation τρ̄ の universal couple(RτNρ̄ , TN = {AN , DN , XN }) が構成される. N において N ⊂ N  のとき, 全射な O-algebra 準同型

πN,N  : ΛG/N → ΛG/N  , AgN → AgN  ,DhN → DhN  ,X(gN,hN ) → X(gN  ,hN  )により, 全射な O-algebra 準同型

πN,N  : RτNρ̄ → RτNρ̄



が誘導され,

πN,N  ◦ TN = TN を満たす. このとき,Rτρ̄ := lim
←−

N ∈N

RτNρ̄

とおけば, Rτρ̄ は CLO の object であり, pseudo-representation の性
質 (W1)-(W3) は N ∈ N に関して射影極限を取る操作と可換であるから, AN , DN , XN ごとに射影極限を取ることで, (G, c) の Rτρ̄ へのpseudo-representation

T = {A, D, X}:= lim←−N ∈N

TN = {lim←−N ∈NAN , lim←−N ∈N

DN , lim
←−

N ∈N

XN }

が得られ,

T (mod mRτρ̄ ) = τρ̄が成立する. 任意の (G, c) の B ∈ CLO への pseudo-representation
τ = {a, d, x} でτ (mod mB ) = τρ̄なるものに対し, ρ̄ は絶対既約であるから Proposition 2.1 により, B係数の 2 次元表現
ρ : G → GL2 (B)で,Tr(ρ) = Tr(τ )を満たすものが構成される.

- 70 -

16

山上 敦士 （京産大理）(ii-1) B が artinian のとき: 剰余体 F が有限体であるため, B は有限環となる. したがって GL2 (B) は有限群であり, ρ は連続だから, Ker(ρ)
は G の指数有限な開正規部分群となる. よって, ある N ∈ N で ρ がG/N を経由するものが存在し τ を G/N の pseudo-representation とみなせると仮定してよい. このとき, (RτNρ̄ , TN ) の universality により,ある O-algebra 準同型
N
ϕN
τ : Rτρ̄ → B
で,ϕN
τ ◦ TN = τなるものがただ一つ存在する. 自然な O-algebra 全射準同型

πN : Rτρ̄ → RτNρ̄との合成写像をϕτ := ϕNτ ◦ πN : Rτρ̄ → B
とおくと,ϕτ ◦ T = τが成立する. さらに, 他に O-algebra 準同型ϕτ : Rτ → B
でϕτ ◦ T = τなるものが存在すれば, RτNρ̄ の O 上の生成系である AgN , DhN .X(gN,hN )たちは N ∈ N に関して射影極限を取ったとき, Rτρ̄ の O 上の位相的生成系をなすので, Rτρ̄ 上でϕτ = ϕτを得る. よって, (Rτρ̄ , T ) は τρ̄ の universal couple である.
(ii-2) B が pro-artinian のとき: B の開 ideal のなす集合 A をうまく選ぶことで, 任意の a ∈ A に対し B/a は artinian であり, かつ

B = lim
←−

a∈A

B/a

とみなせると仮定してよい. a ∈ A に対し, B-係数の表現である ρ とmod a 写像との合成を

ρa := ρ (mod a) : G → GL2 (B/a)
とおくと, ρa は連続であり GL2 (B/a) は有限群であるから, ある N (a) ∈N で N (a) ⊂ Ker(ρa ) となるものが存在すると仮定してよい. このとき, ρa は有限群 G/N (a) を経由し, Tr(ρa ) = Tr(τ (mod a)) は G/N (a)の B/a への pseudo-representation とみなせる.

- 71 -GALOIS 変形理論

17

N (a)

universal couple (Rτρ̄ , TN (a) = πN (a) ◦ T ) の universality により, ある O-algebra 準同型(a)ϕN: RτNρ̄(a) → B/a
τ

で,
(a)
◦ πN (a) ◦ T = τ (mod a)ϕNτなるものがただ一つ存在する. A において a ⊂ a のとき, N においてN (a) ⊂ N (a ) となると仮定してよいので, a ∈ A に関して射影極限を取ることにより, O-algebra 準同型

ϕτ := lim
←−

a∈A

(a)
ϕN
◦ πN (a) : Rτρ̄ → B
τ

が定まり,

ϕτ ◦ T = τを満たす. O 上の位相的生成系における値が τ で定まっているので,
O-algebra 準同型
ϕ : Rτρ̄ → B
でϕ◦T =τ
なるものは ϕτ と一致する. よって, (Rτρ̄ , T ) は τρ̄ の universal couple
である.
(2) 次に (1) で構成した τρ̄ に対する universal couple (Rτρ̄ , T ) を用いて, ρ̄ の universal couple (Rρ̄ , ρ) を構成する.
Rτρ̄ を Rρ̄ とかくことにして, Proposition 2.1 により, universal couple(Rρ̄ , T ) から Rρ̄ -係数の表現ρ : G → GL2 (Rρ̄ )で,Tr(ρ ) = Tr(T )なるものが構成される. このとき,Tr(ρ (mod mRρ̄ )) = Tr(T (mod mRρ̄ )) = Tr(τρ̄ ) = Tr(ρ̄)
であり, ρ̄ は絶対既約であるので, Theorem 3.2 により,ρ (mod mRρ̄ ) ∼ ρ̄.
したがって, Lemma 3.1 (1) により, ある表現

ρ : G → GL2 (Rρ̄ )で,ρ (mod mRρ̄ ) = ρ̄,なるものが存在する.

- 72 -ρ ∼ ρ

18

山上 敦士 （京産大理）

任意の ρ̄ の B ∈ CLO への deformation

ρ : G → GL2 (B)に対し, ρ から構成される pseudo-representation τρ は

τρ (mod mB ) = τρ̄を満たすから, (Rρ̄ , T ) の universality により, O-algebra 準同型ϕτρ : Rρ̄ → B
で,ϕτρ ◦ T = τρなるものがただ一つ存在する. このとき,Tr(ϕτρ ◦ ρ) = Tr(ϕτρ ◦ T ) = Tr(τρ ) = Tr(ρ)
なので, Theorem 3.2 により,ϕτρ ◦ ρ ∼ ρとなり,(ϕτρ ◦ ρ) (mod mB ) = ρ (mod mB ) = ρ̄であるから, Lemma 3.1 (1) により,ϕτρ ◦ ρ ≈ ρ.
よって, (Rρ̄ , ρ) は ρ̄ に対する universal couple である.



とくに, G を代数体 F の絶対 Galois 群 Gal(F /F ) とすれば, Galois
表現の場合の universal deformation が構成されたことになる:

Corollary 3.4 (cf. [5, Proposition 2.30]). F を少なくとも一つ実素点∞R をもつ有限次代数体とし, c ∈ Gal(F /F ) を ∞R から生じる複素共役とする. 有限体 F の標数 p は 2 と相異なるものとする. 絶対既約な
2 次元 Galois 表現ρ̄ : Gal(F /F ) → GL2 (F)は, {p, ∞} の外で不分岐, すなわち, F の p を割らない素 ideal l に対し, l での惰性群 Il ⊂ Gal(F /F ) 上で ρ̄ は自明であり, 複素共役 c に関して odd, すなわち, det(ρ̄(c)) = −1 であると仮定する. このとき,Noether 的な CLO の object Rρ̄ と, ρ̄ の Rρ̄ への {p, ∞} の外で不分岐な deformation
ρ : Gal(F /F ) → GL2 (Rρ̄ )で, 次の性質を満たすものが存在する:
任意の ρ̄ の A ∈ CLO への {p, ∞} の外で不分岐な deformation

ρ : Gal(F /F ) → GL2 (A)- 73 -GALOIS 変形理論

19に対し, O-algebra 準同型 ϕρ : Rρ̄ → A でϕρ ◦ ρ ≈ ρなるものがただ一つ存在する. すなわち, (Rρ̄ , ρ) は ρ̄ の {p, ∞} の外で不分岐な deformation たちを支配する universal couple である.

Proof. F{p,∞} を F の {p, ∞} の外で不分岐な最大 Galois 拡大とすると, ρ̄ は Galois 群 Gal(F{p,∞} /F ) を経由する. よって, Theorem 3.3
により, {p, ∞} の外で不分岐な universal couple (Rρ̄ , ρ) が存在することはわかる. さらに, Rρ̄ が Noether 的であることを示すために, 次のLemma を証明を省略して認めることにする:
Lemma 3.5 ([5, Lemmas 2.28 and 2.29]). (1) A ∈ CLO に対して,(aﬃne scheme Spec(A)/O の閉点 mA における cotangent space とよばれる) t∗A/O := mA /(m2A + mO ) が F 上有限次元であれば, A は Noether
的である.
(2) 一般に, proﬁnite group G の絶対既約な F-係数の n 次元表現
ρ̄ : G → GLn (F)に対して universal couple (Rρ̄ , ρ) が存在したとき, F 上のベクトル空間としての同型
1tRρ̄ /O := HomF (t∗Rρ̄ /O , F) ∼(G, ad(ρ̄))= Hctが得られる (左辺の空間は Spec(Rρ̄ )/O の閉点 mRρ̄ における tangent
space とよばれるものである). ここで, G-加群 ad(ρ̄) は, 集合としてはF-係数の n × n 行列全体 Mn (F) であり, G の作用がg · M = ρ̄(g)M ρ̄(g)−1(g ∈ G, M ∈ Mn (F))

で与えられるもので, これには離散位相を入れておく. また, 連続な 1
1
次元 cohomology Hct(G, ad(ρ̄)) は, 連続な 1-cocycle 全体のなす集合
1
Zct(G, ad(ρ̄)) := {u : G → ad(ρ̄) : continuous |u(gh) = g · u(h) + u(g), g, h ∈ G}と, 連続な 1-coboundary 全体のなす集合
1
1
Bct(G, ad(ρ̄)) := {u ∈ Zct(G, ad(ρ̄)) | u(g) = M − g · M (g ∈ G)

with some M ∈ ad(ρ̄)}
を用いて,
1
1
1
Hct
(G, ad(ρ̄)) := Zct(G, ad(ρ̄))/Bct(G, ad(ρ̄))と定義されるものである.

- 74 -

20

山上 敦士 （京産大理）

Lemma 3.5 により,1
(Gal(F{p,∞} /F ), ad(ρ̄)) < ∞dimF Hctを示せば, Rρ̄ が Noether 的であることがわかる.

ρ̄ : Gal(F{p,∞} /F ) → GL2 (F)に対して, H := Ker(ρ̄) とおくと Inﬂation-restriction sequence により,
完全列
1
1
0 → Hct(Gal(F{p,∞} /F )/H, ad(ρ̄)H ) → Hct(Gal(F{p,∞} /F ), ad(ρ̄))
1(H, ad(ρ̄))Gal(F{p,∞} /F )/H→ Hctを得る. (一般に, H-加群 M に対して, M H は M の H-不変な元全体のなす部分加群を表すことにする.) H に対応する F{p,∞} /F の有限次の中間体を FH /F とおくと, ad(ρ̄) に H は自明に作用するので, 次の完全列が得られる:
1
1(Gal(FH /F ), ad(ρ̄)) → Hct(Gal(F{p,∞} /F ), ad(ρ̄))
0 → Hct→ Homct (Hpab , ad(ρ̄))Gal(FH /F ) .
ここで, Hpab は H の abel 化 H ab の p-part を表す. OF を F の整数環とし, Op := OF ⊗Z Zp とおく. また, ClF を F の ideal 類群とすれば,類体論により, 完全列

Op× → Gal(F{p,∞} /F )ab → ClF → 0が得られる. よって, Hpab は Zp 上 ﬁnite rank であるので,
1
dimF Hct(Gal(F{p,∞} /F ), ad(ρ̄)) < ∞

となることがわかる.

4. Parametrization of given deformations
Section 3 に引き続き, Section 1 と同じ記号を用いることにする. とくに, 扱う表現や環準同型などは, しかるべき位相に関して連続である
ことを仮定していることに注意.
F を少なくとも一つ実素点 ∞R をもつ有限次代数体とし, ∞R から生じる複素共役を c ∈ Gal(F /F ) とかくことにする. OF を F の整数環とする. 有限体 F の標数 p は 2 と相異なるものとする. S をすべての無限素点と p を割るすべての有限素点を含んだ F の素点からなる有限集合として,ρ̄ : Gal(F /F ) → GL2 (F)- 75 -GALOIS 変形理論

21

を絶対既約で S の外で不分岐であり, c に関して odd な表現とする. FSを F の S の外で不分岐な最大 Galois 拡大とすれば, ρ̄ は Gal(FS /F )を経由する:
ρ̄ : Gal(FS /F ) → GL2 (F).

S に含まれない F の素 ideal l に対し, l の剰余次数を ql とおくと, 剰余体 OF /l の代数的閉包上での ql 乗写像 x → xql から持ち上げられた arithmetic Frobenius element Frobl ∈ Gal(FS /F ) が定まる.
Chebotarev density theorem (cf. [4, Theorem 1.3.1]) により, {Frobl }l∈S/
は Gal(FS /F ) において, proﬁnite 位相に関し dense であることが知られている.
さて, CLO の object の族 {Ai }i∈I と, それらを係数とする ρ̄ の deformation の族
ρi : Gal(FS /F ) → GL2 (Ai ) (i ∈ I)を用意する. このとき, {ρi }i∈I から得られる情報を用いて, 少なくとも deformation の族 {ρi }i∈I は支配できるという小さな意味での ρ̄ のuniversal couple (R, ρ) を構成することができる:
Theorem 4.1. 直積環 i∈I Ai の Noether 的な部分環である R ∈ CLOと, ρ̄ の R への deformation

ρ : Gal(FS /F ) → GL2 (R)で, 各 i ∈ I に対し,pi ◦ ρ ≈ ρ i
を満たすものが存在する. ここで, pi :i∈I Ai → Ai は i 番目のprojection を表す.

Proof. i∈I Ai の部分環
R := {(ai )i∈I ∈Ai | ai (mod mAi ) = aj (mod mAj ) in Fi∈I

for any i, j ∈ I}

は, mR := i∈I mAi を極大 ideal とし F を剰余体にもつ完備な局所
O-subalgebra である. 各 i ∈ I に対して,

ρi (mod mAi ) = ρ̄であるから, 直積表現


ρ :=
ρi : Gal(FS /F ) → GL2 ( Ai )
i∈I

i∈I



は値を GL2 (R ) にもち,ρ (mod mR ) = ρ̄,- 76 -pi ◦ ρ = ρi(i ∈ I)22

山上 敦士 （京産大理）を満たす. ここで, R の部分環

O[(Tr(ρi (Frobl )))i∈I | l ∈/ S : prime]を R の中で完備化したものを R とおけば, R は mR := R ∩ mR を極
大 ideal とし F を剰余体にもつ完備な局所 O-subalgebra となる.
Chebotarev density theorem により {Frobl }l∈S
/ は Gal(FS /F ) の中で dense であり, ρi たちは連続なので,Tr(ρ ) : Gal(FS /F ) → Rは R に値をもつ. Remark 2.1 (1) により Tr(ρ ) から作られる pseudorepresentation から, Proposition 2.1 により, R-係数の表現ρ : Gal(FS /F ) → GL2 (R)で,Tr(ρ ) = Tr(ρ )なるものが構成される. このとき,Tr(ρ (mod mR )) = Tr(ρ̄)
であるから, Theorem 3.2 により,ρ (mod mR ) ∼ ρ̄.
このことから,ρ : Gal(FS /F ) → GL2 (R)で,ρ ∼ ρ ,なるものが得られる. とくに,

ρ (mod mR ) = ρ̄Tr(ρ) = Tr(ρ )であり, ρ を GL2 (R ) に値をもつものとみなせば, Theorem 3.2 により,ρ ∼ ρ

(over R ).

一方で,ρ (mod mR ) = ρ̄ = ρ (mod mR )だから, Lemma 3.1 (i) により,ρ ≈ ρ

(over R )となる (Remark 3.1 (1) にある通り, R が局所環であるので Lemma
3.1 (1) を適用できることに注意). 各 i ∈ I に対し,pi ◦ ρ  = ρ iだから,pi ◦ ρ ≈ pi ◦ ρ = ρi

- 77 -(over Ai )

GALOIS 変形理論

23を得る. さて, [2, Theorem (2.3)] において, 完備な局所 O-algebra のなす圏における ρ̄ に対する universal couple (R, ρ) が構成されており,
さらに, もし1
dimF Hct(Gal(FS /F ), ad(ρ̄)) < ∞ならば, R は Noether 的であることが示されている. 今の状況では,Corollary 3.4 の証明の中で示したように, この有限次元性は満たされているので, R は Noether 的である. (R, ρ) の universality により,O-algebra 準同型
ϕ:R→R
で,

ϕ◦ρ≈ρ
なるものがただ一つ存在する. S に含まれない F の素 ideal l に対して,ϕ(Tr(ρ(Frobl ))) = (Tr(ϕ ◦ ρ))(Frobl )= (Tr(ρ))(Frobl )= Tr(ρ(Frobl ))= Tr(ρ (Frobl ))= (Tr(ρi (Frobl )))i∈I
であり, {(Tr(ρi (Frobl )))i∈I }l∈S
/ は R の O 上の位相的生成元であるから, ϕ は全射であることがわかる. よって, R も Noether 的であり, と
くに R ∈ CLO となる.

5. Modular Galois representations
この Section では, [8, Section 2.3] に沿って, Hilbert cusp form に付随する Galois 表現たちを紹介し, その中で, Hilbert cusp form に対する Hecke algebra を modular な deformation を支配する universal
deformation ring とみなせることが期待できる根拠として, Hilbert cusp
form のなす空間とそれに作用する Hecke algebra の間の duality について紹介する.
R と C をそれぞれ実数体と複素数体とする. F を 有限次総実代数体, O を F の整数環とする. F から Q への embedding 全体のなす集合を I とおく. I を自由基底とする Z-自由加群を Z[I] と表すことにする. p を素数とし, 以下, 二つの体の embedding

ip : Q → Qp ,i∞ : Q → C

を固定する. ここで, Qp は p-進数体 Qp の代数的閉包を表す. これら
二つの embedding により, 代数的数を p-進的な対象とみなしたり, 複素数として扱ったりする.

- 78 -

24

山上 敦士 （京産大理）

5.1. Deﬁnition of Hilbert cusp forms
この Subsection では, F 上の Hilbert cusp form を adelic に定式化する. そのために, いくつか記号を準備したい.
κ = (κ1 , κ2 ) ∈ Z[I]2 を一つ取り, i = 1, 2 に対して
κi= σ∈I κi,σ σ と


aσ bσ
∈ GL2 (R)I
おく. 1 := σ∈I σ ∈ Z[I] とする. g = (gσ =)cσ dσ σ∈Iと, 複素上半平面 H := {z ∈ C | Im(z) > 0} の I を添字集合とした直積空間 HI の点 z = (zσ )σ∈I に対して,det(gσ )κ1,σ −1 ,det(g)κ1 −1 :=σ∈Iκ2 −κ1 +1

j(g, z):=(cσ zσ + dσ )κ2,σ −κ1,σ +1
σ∈I

とおき,

Jκ (g, z) := det(g)κ1 −1 j(g, z)κ2 −κ1 +1√√と定義する. i := ( −1, · · · , −1) ∈ HI とおく. 一次分数変換による
aσ bσ
g = (gσ =∈ GL2 (R)I+ の z = (zσ )σ∈I ∈ HI 上への作用を)
cσ dσ σ∈I
aσ zσ + bσ
∈ HI
g · z = (gσ · zσ )σ∈I :=cσ zσ + dσ σ∈Iと表すことにし,Ci := {g ∈ GL2 (R)I+ | g · i = i}と定義する. ここで, GL2 (R)+ は正の行列式をもつ R-係数の 2 × 2 行
列全体のなす群を表す.
A を Q 上の adele 環とし, FA := A ⊗Z O で F 上の adele 環を表す(∞)
ことにする. F∞ を FA の inﬁnite part, FA を ﬁnite part とする. また, u ∈ GL2 (FA ) の inﬁnite part を u∞ ∈ GL2 (F∞ ) = GL2 (R)I , ﬁnite(∞)
part を u(∞) ∈ GL2 (FA ) とかくことにする. Ẑ := p:prime Zp とし,Ô := l:prime Ol = Ẑ ⊗Z O とおく.
N を O の ideal とする. F の絶対差積 ∂ に対し, δ ∈ Ô で δ Ô = ∂ Ôなるものを一つ選び,a b∈ GL2 (Ô) | c ∈ NÔ}Γ̂0 (N) := {
c d
とおき,

−1


δ 0
δ 0
Γ̂0 (N)0 1
0 1


S0 (N) :=- 79 -GALOIS 変形理論

25と定義する. ε = (ε1 , ε2 , ε+ ) を連続な二つの character

ε1 , ε2 : Ô× → C×と, Hecke character

ε+ : FA× /F × → C×の組とし, これらについて, z ∈ Ô× に対し,

ε(z) = ε1 (z)ε2 (z)×を満たし, x∞ = (x∞,σ )σ∈I ∈ F∞
= (R× )I に対して,
ε (x ) = x−(κ1 +κ2 )+1 :=x−(κ1,σ +κ2,σ )+1
+

∞

∞,σ

∞

σ∈I

を満たすと仮定する. ε1 と ε2 は連続であり, Ô× は proﬁnite group な
ので, これらの character は ﬁnite order となり, i = 1, 2 に対し, F のideal c(εi ) を εi の conductor, すなわち, F の ideal c で εi が 1 + cÔ 上trivial になるようなもののうち maximal なものとし,c(ε) := c(ε1 )c(ε2 )と定義する. このとき, ε+ を Ô× に制限した際に生じる conductor をc(ε+ ) と表せば,
c(ε) ⊂ c(ε+ )となることがわかる. さらに,××
ε− := ε1 · ε−1
2 : Ô → C

とおき, c(ε− ) をその conductor とする. もし, N ⊂ c(ε− ) ならば, ε−
は 1 + NÔ 上 trivial なので,
a b def×ε : S0 (N) → C ,→ ε2 (ad − bc)ε− (aN )c d
は S (N) の character となることがわかる. ここで, aN ∈ ON := 0l|N: prime Ol は a ∈ Ô の N-part を表す. 以下,

N ⊂ c(ε− )を仮定しておく. まず, C-係数の Hilbert cusp form を定義する:

Deﬁnition 5.1 ([8, Section 2.3.2]). 上述の設定のもとで, 関数 f :GL2 (FA ) → C が C-係数の weight κ = (κ1 , κ2 ), level N, character
ε = (ε1 , ε2 , ε+ ) の Hilbert cusp form であるとは, 次の三つの条件を満たすことをいう:(SA1) α ∈ GL2 (F ), x ∈ GL2 (FA ), u ∈ S0 (N)Ci , z ∈ FA× に対して,
f (αxuz) = ε+ (z)ε(u(∞) )f (x)Jκ (u∞ , i)−1を満たす.

- 80 -

26

山上 敦士 （京産大理）(SA2) 任意の z ∈ HI に対し, u ∈ GL2 (R)I で u · i = z となるものを(∞)一つ取っておく. このとき, 任意の g ∈ GL2 (FA ) に対し, 関数
fg : HI → C,def

z → f (gu)Jκ (u, i)

は HI 上で正則である.
(∞)(SA3) 任意の g ∈ GL2 (FA ) に対して,



1 u
g)du = 0
f(
0 1
FA /F
を満たす. ここで, du は FA /F 上の additive Haar measure である.
weight κ, level N, character ε の C-係数の Hilbert cusp form 全体のなす空間を Sκ (N, ε; C) と表すことにする.

Remark 5.1. 条件 (SA1) により, κ1 +κ2 ∈ Z1 であれば, Sκ (N, ε; C) =0 となることがわかる. 以下, Hilbert cusp form を論じるときは, κ1 +
κ2 ∈ Z1 を仮定し, κ1 + κ2 = [κ]1 とおくことにする.
Remark 5.2. (1) 条件 (SA3) は次の条件と同値である:(∞)(SA3) 任意の g ∈ GL2 (FA ) に対して, 関数
κ2,σ −κ1,σ +1
def2|
f˜g : HI → C, z = (zσ )σ∈I → fg (z)|Im(zσ )σ∈Iは z に依存しない有界性をもつ.
(2) 条件 (SA3) の「z に依存しない有界性をもつ」の部分を「Im(z) →∞ とした時に多項式増大度をもつ」としたものを (MA3) とする. このとき, 関数 f : GL2 (FA ) → C が三つの条件 (SA1), (SA2), (MA3)
を満たせば, f は weight κ, level N, character ε の C-係数の Hilbert
modular form であるという.
(∞)

Remark 5.3. g ∈ GL2 (FA ) に対し, 条件 (SA2) に現れる HI 上の正則関数 fg は, classical な意味での weight (κ2,σ − κ1,σ + 1)σ∈I , character
ε−1 (g −1 (·)g), modular groupΓ0,g (N) := gS0 (N)g −1 GL2 (R)I+ ∩ GL2 (F )を level にもつ Hilbert cusp form となっている.

Hilbert cusp form f ∈ Sκ (N, ε; C) は adelic な Fourier 展開をもつことが知られている:
Proposition 5.1 ([8, Proposition 2.26]). f ∈ Sκ (N, ε; C) は, 次のFourier 展開をもつ: x ∈ FA , y ∈ FA× について, とくに, y∞ = (yσ )σ∈I ∈- 81 -GALOIS 変形理論

27

×
F∞
= (R× )I とおいて,




y x
) = |y|Aa∞ (ξy, f )( (σ(ξ)yσ )−κ1,σ )
f(
0 1
σ∈I
0ξ∈F
√
× eF ( −1ξy∞ )eF (ξx).

Fourier 係数を与えている写像
FA× → C,y → a∞ (y, f )は, (Ô× × F∞ ) ∩ FA× で support されており, 任意の u ∈ Ô× に対して,

a∞ (uy, f ) = ε1 (u)a∞ (y, f )を満たす. ここで, | · |A は adele norm, 記号 0 # ξ ∈ F は ξ が総正であることを表している. また, 写像 eF : FA /F → C× は√eF (x∞ ) := e2π −1Pσ∈I xσ(x∞ = (xσ )σ∈I ∈ F∞ = RI )により定まる additive character である.
以上の設定のもとで, adelic な Fourier 係数に関する条件を課すことで, C 内の Q-algebra を係数にもつ Hilbert cusp form や, p-進的な係数をもつ Hilbert cusp form も定義しておく:

Deﬁnition 5.2 ([8, Section 2.3.3]). (1) R ⊂ C を ε = (ε1 , ε2 , ε+ ) の値と F の Galois 閉包 F Gal の整数環 OGal を含む Q-algebra とする. このとき, R-係数の weight κ, level N, character ε の Hilbert cusp formのなす空間をSκ (N, ε; R) := {f ∈ Sκ (N, ε; C) | a∞ (y, f ) ∈ R for any y ∈ FA× }と定義する.
(2) R を Qp -algebra とする. 固定した embedding ip : Q → Qp を用いて, R-係数の weight κ, level N, character ε の Hilbert cusp formのなす空間をSκ (N, ε; R) := Sκ (N, ε; Q) ⊗Q,ip Rと定義する.
(3) K ⊂ Qp を ε = (ε1 , ε2 , ε+ ) の値と OGal を含む Qp の有限次拡大体とし, O を K の整数環とする. Cp を Qp の p-進完備化とし, R ⊂ Cp
を O-algebra とする. このとき, R-係数の weight κ, level N, character
ε の Hilbert cusp form のなす空間をSκ (N, ε; R) := {f ∈ Sκ (N, ε; Cp ) | yp−κ1 a∞ (y, f ) ∈ R for any y ∈ FA× }と定義する. ここで yp−κ1 は, 各 σ ∈ I に対し F の p を割る素 ideal pσを, ip (σ(F )) ⊂ Qp の Cp 内での p-進完備化が σ(F )σ(pσ ) と一致するも- 82 -

28

山上 敦士 （京産大理）のとしておいて,yp−κ1 := −κypσ 1,σσ∈I

とおいたものである.

Remark 5.4. (1) Deﬁnition 5.2 (3) の記号で, 各 y ∈ FA× に対し,ap (y, f ) := yp−κ1 a∞ (y, f )と定義し, f の p-adic Fourier coeﬃcient とよぶ. この p-adic Fouriercoeﬃcient なるものは, 本来は幾何的に定式化されるものである (cf. [7,Section 4.2.10]).
(2) p-adic Fourier coeﬃcient に関して, q-expansion principle が成立することが知られている. すなわち, R を Deﬁnition 5.2 (1)-(3) のいずれかのものとし, f ∈ Sκ (N, ε; R) について, もし, すべての y ∈(∞)
Ô ∩ (FA )× に対し ap (y, f ) = 0 ならば, f = 0 である (cf. [8, Section
2.3.3]).

5.2. Hecke algebras and duality
この Subsection では, [8, Sections 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4] に沿って, Section 5.1 で定義した Hilbert cusp form の空間に作用する Hecke algebra を定義し, Hecke operator による Fourier coeﬃcient の振る舞いや,
Hilbert cusp form の空間と Hecke algebra の duality について紹介する. 以下で用いる記号は , 引き続き前節のものとする.
a b
2 × 2 行列
に対し,
c d
ι



a b
d −b
:=
c d
−c a
とおく (ι は 2 × 2 行列のなす環 M2 の main involution とよばれるものである). まず, F の整 ideal N に対し, 二つの semi-group を用意する:


a b
(∞)
×
Δ0 (N) := {∈ M2 (Ô) ∩ GL2 (FA ) | aN ∈ ON
, c ∈ NÔ},c d

Δ∗0 (N) := Δ0 (N)ι


a b
(∞)
×
∈ M2 (Ô) ∩ GL2 (FA ) | dN ∈ ON={
, c ∈ NÔ}.
c dDeﬁnition 5.2 (3) に現れる p-進整数環 O を用いて, Q 上のある有限次拡大体に含まれる p-進付値環 W := i∞ (i−1p (O)) ⊂ C を定める. F の各
素 ideal q に対する素元 q を W ∩ F から取っておく.
(∞)
Hecke operator を定義するために, character ε = (ε1 , ε2 , ε+ ) を (FA )×と Δ0 (N) の上に, 次の手順で延長しておく:- 83 -GALOIS 変形理論

29(ex0) 任意の w = σ∈I wσ ∈ Z[I] を,


×
σ
xw
Op× → Qp , x = (xp )p|p → xw :=Op× :=pσp|pσ∈Iにより, Op× の character とみなす. さらに, ⊕p|p pZ 上では trivial とすることで p|p Fp× 上に延長したものを,×
Fp× → Qp , x → xwp
p|pと表す. とくに, 各 p|p の F/Q における分岐指数を ep としたとき, あeる up ∈ Op× を用いて, p = up pp とかけるから, pwp は p-adic unit であることに注意.
(ex1) Ô× 上の character である ε1 と ε2 を, ⊕q qZ 上では trivial とす
ることで,
(∞)
ε1 , ε2 : (FA )× → C×に延長する. 一方, ε+ については, (FA )× 上に ε+ = ε1 · ε2 と延長し(∞)
ておく. また, a ∈ (FA )× に対し,(∞)ε− (a) := ε1 (a) · ε2 (a)−1(∞)

とおき, FA -係数の対角行列全体のなす群


a 0
(∞)
(∞)
TGL (FA ) := {| a, d ∈ FA }0 d
上の character(∞)ε : TGL (FA ) → C× ,a 0
→ ε2 (ad)ε− (aN )0 dを定義しておく.
(ex2) v で ∞ か p を表し, 記号 B × は v = ∞ (resp. v = p) のとき C×(resp. O× ) を表すものとする. また, F の整 ideal N ∩ (v) を v = ∞(resp. v = p) のとき N (resp. N ∩ (p)) を表すものとする. Ô-係数の対角行列全体のなす群を

a 0
TGL (Ô) := {| a, d ∈ Ô}
0 dとし, TGL (Ô) ∩ S0 (N ∩ (v)) に制限した character ε を Δ0 (N∩ (v))とab∈Δ∗0 (N ∩ (v)) の character εvΔ に次のように延長する: δ =c dΔ0 (N ∩ (v)) ∪ Δ∗0 (N ∩ (v)) に対し,εvΔ (δ) := det(δ)−1v ε2 (det(δ))ε− (aN∩(v) ) ∈ B × .

- 84 -

30

山上 敦士 （京産大理）

ここで, det(δ)−1v は v = p (resp. v = ∞) のとき (ex0) で定義された
p-adic unit (resp. 1) を表す.
(ex3) 以上の記号のもと, 群の積 FA× S0 (N ∩ (v)) の character

εS = εvS : FA× S0 (N ∩ (v)) → B × ,def−21v
ε+ (z)εvΔ (s) (z ∈ FA× , s ∈ S0 (N ∩ (v)))
zs → |z (∞) |−2A zvを定義する. この character の well-deﬁned 性は, FA× ∩ S0 (N ∩ (v)) 上で εvΔ と写像

FA× /F × → B × ,−21v
z → |z (∞) |−2ε+ (z)
A zv

が一致することにより保証されることに注意.
×(ex4) とくに, ε∞Δ は Δ0 (N) 上で定義され, (FA ) ∩ Δ0 (N) に制限す
ると, 写像(∞)(FA )× ∩ Δ0 (N) → C× ,(∞)

z → ε+ (zN )ε2 (det(z (N) ))と一致するから, Δ∗0 (N) を含む群の積 (FA )× Δ0 (N) の character(∞)ε : (FA )× Δ0 (N) → C× ,(∞)×
zδ → ε+ (zN )ε2 (det(z (N) ))ε∞Δ (δ) (z ∈ (FA ) , δ ∈ Δ0 (N))
def

(∞)

は well-deﬁned である. ここで, z ∈ (FA )× に対して, z (N) は z の Nを割る素 ideal たちの外の部分を表す.
(∞)

さて,



1 b
| b ∈ Ô}U (Ô) := {0 1

とおき, 各 y ∈ Δ0 (N) に対して, S0 (N) による double coset の指数有限な左剰余類分解S0 (N)y ι S0 (N) =(ut)S0 (N)(∞)

u∈U (Ô), t∈TGL (FA)(∞)

を取っておく. ここで, t ∈ TGL (FA ) は det(t) = det(y) なるものを取っている. このとき, Hilbert cusp form f ∈ Sκ (N, ε; C) に対して,
GL2 (FA ) 上の関数

ιf |[S0 (N)y ι S0 (N)](g) :=ε∞Δ ((ut) )f (gut)u,t= ε(det(y))

u,t- 85 -

ε(ut)−1 f (gut) (g ∈ GL2 (FA ))GALOIS 変形理論

31

が u と t の選び方によらずに定まり,

f |[S0 (N)y ι S0 (N)] ∈ Sκ (N, ε; C)となる.

Deﬁnitionideal
 5.3 ([8, Section 2.3.2]). F の各素 q に対し, 記号
1 0
1 0∈ Δ0 (N) で, q-part は対角行列, その他の部分は
0 q
0 q
trivial である元を表すことにする. Sκ (N, ε; C) 上の Hecke operator と
して,


1 0
S0 (N)]T (q ) := [S0 (N)0 q
とおく. また, 固定した二つの embedding i∞ : Q → C と ip : Q →∼
Qp と可換な体の同型 Qp −→ C を一つ固定し, その同型を通して×∼

Qp −→ C× とみなすことで,
1 0 −κ1) T (q )Tp (q ) = det(0 q

とおく. また, q|N であるときは, N の prime-to-q-part N(q) が N(q) ⊂c(ε− ) となることを仮定して, 包含関係

Sκ (N(q) , ε; C) ⊂ Sκ (N, ε; C)に対して,

T (q )(Sκ (N(q) , ε; C)) ⊂ Sκ (N, ε; C)となるので, q での Hecke operator を区別するときは, Sκ (N, ε; C) 上の Hecke operator T (q ) (resp. Tp (q )) を U (q ) (resp. Up (q )) とかく.
とくに, κ1 = 0 かもしくは q  p のときには,T (q ) = Tp (q ),U (q ) = Up (q )となることに注意.

Hecke operator と Fourier 展開との関係は次で与えられる:
Proposition 5.2 ([8, (2.3.16), (2.3.21)]). q を F の素 ideal とする.
(1) R ⊂ C を ε の値と OGal を含む Q-algebra とする. R-係数のHilbert cusp form f ∈ Sκ (N, ε; R) に対し, もし q  N ならば,ya∞ (y, f |T (q )) = a∞ (yq , f ) + NF/Q (q)ε+ (q )a∞ ( , f ) (y ∈ FA× )qとなる. ここで, NF/Q は絶対ノルムを表す. 一方, q|N ならば,

a∞ (y, f |T (q )) = a∞ (yq , f ) (y ∈ FA× )となる.

- 86 -

32

山上 敦士 （京産大理）(2) R ⊂ Cp を O-algebra とする. R-係数の Hilbert cusp formf ∈ Sκ (N, ε; R) に対し, もし q  pN ならば,yap (y, f |Tp (q )) = ap (yq , f ) + NF/Q (q)ε+ (q )ap ( , f ) (y ∈ FA× )qとなり, q|pN ならば,

ap (y, f |Tp (q )) = ap (yq , f ) (y ∈ FA× )となる.

Deﬁnition 5.4. 以上の記号のもと,
p|N or [κ] ≥ 0と仮定し, R を Proposition 5.2 の (1) と (2) のいずれかのものとすれ
ば, Proposition 5.2 により, R-係数の Fourier 展開は Hecke operator
Tp (q ) たちの作用のもとで, 再び R-係数となることがわかる. このとき, R-係数の Hilbert cusp form の空間 Sκ (N, ε; R) に作用する Hecke
algebra を,hκ (N, ε; R) := R[Tp (q ) | q : prime] ⊂ EndR (Sκ (N, ε; R))と定義する. 実は, y ∈ Ô ∩ (FA )× に対して, しかるべき Tp (q ) たちの Z-係数の多項式としてかかれる Hecke operator Tp (y) ∈ hκ (N, ε; R)を定義することができる. ここでは, Tp (y) の定義は省略することにする. 詳しくは, [8, Section 2.3.4] を参照のこと.
(∞)

Hilbert cusp form の空間とそれに作用する Hecke algebra の間のduality は, Fourier 係数を用いて次のように与えられる:
Theorem 5.3 ([8, Theorem 2.28]). 以上の記号のもと, A を O-algebraとする. A-係数の Hilbert cusp form の空間とそれに作用する Hecke
algebra をそれぞれ
Sκ (N, ε; A) := Sκ (N, ε; O) ⊗O A,hκ (N, ε; A) := hκ (N, ε; O) ⊗O Aと定義する. このとき, A-module としての同型∼

HomA (hκ (N, ε; A), A) −→ Sκ (N, ε; A),

ϕ → fϕで, 関係式ap (y, fϕ ) = ϕ(Tp (y))(y ∈ Ô ∩ (FA )× )(∞)

を満たすものが存在する. Proposition 5.2 (2) により,ap (1, fϕ |Tp (y)) = ap (y, fϕ )- 87 -GALOIS 変形理論

33となるので, とくに ϕ が A-algebra 準同型であるときには, fϕ として
ϕ(Tp (y)) を Tp (y)-固有値にもつ hκ (N, ε; A) に関する Hecke eigenformが対応することとなる.

Remark 5.5. mO を O の極大 ideal とする. 自然な同一視nhκ (N, ε; O) = lim←− hκ (N, ε; O) ⊗O (O/mO )nが成り立ち, 各 n に対し hκ (N, ε; O) ⊗O (O/mnO ) が有限環であることが知られている. よって, hκ (N, ε; O) に proﬁnite 位相を入れることができる.

5.3. Modular Galois representations
この Subsection では, しかるべき mod p Galois 表現 ρ̄ に対して,Hilbert cusp form に付随する deformation を支配する ρ̄ の universal
deformation ring として Hecke algebra をみなせることが期待されることについて少し触れながら, Hecke algebra の素 ideal による商環を係数とした Hilbert cusp form に付随する Galois 表現について, [8, Sections
2.3.4 and 2.3.8] に沿って紹介する. 引き続き, 前節の記号を用いることにする.

Deﬁnition 5.5. A を O-algebra とし, f ∈ Sκ (N, ε; A) を hκ (N, ε; A)
に関する Hecke eigenform とする. f の Hecke 固有値はすべて A に含まれていると仮定する. このとき,
ρ : Gal(F /F ) → GL2 (A)が f に付随する modular な Galois 表現であるとは, 次の二つの条件を満たすことである:(i) ρ は pN と ∞ の外で不分岐である;(ii) pN を割らない F の任意の素 ideal l に対し, f の Tp (l )-固有値
は Tr(ρ(Frobl )) と一致する.
ここで, O の剰余体を F として,ρ̄ : Gal(F /F ) → GL2 (F)を, ある Hecke eigenform f¯ ∈ Sκ (N; ε; F) に付随する mod p Galois 表現とする. Theorem 5.3 により, hκ (N, ε; O) の適当な完備局所化 hρ̄ は, ρ̄の deformation のうち weight κ, level N, character ε の Hecke eigenformに付随するものたちを支配する modular な universal deformation ringとみなせることが期待できる. その際, 存在すべき ρ̄ の hρ̄ への universal
deformation
ρ : Gal(F /F ) → GL2 (hρ̄ )は, pN を割らない F の素 ideal l に対し,Tr(ρ(Frobl )) = Tp (l )- 88 -

34

山上 敦士 （京産大理）を満たすべきものである.

Remark 5.6. しかるべき条件のもとで, このような modular な universal deformation ρ が構成され, ρ̄ に対する変形条件を強めたある
universal deformation ring と hρ̄ が同一視されることが, Wiles [13]Taylor-Wiles [11] や Fujiwara [3] などにより知られている.
以下, 実際に modular な Galois 表現が存在することを, 証明を省略して概観する (詳しくは, [8, Section 2.3.8] を参照のこと). hκ (N, ε; O)の素 ideal P に対し, 整域 hκ (N, ε; O)/P の商体を k(P ) とかくことにする. Theorem 5.3 において A = k(P ) とすれば, k(P )-係数のHecke eigenform fP で, F の任意の素 ideal q に対し, Tp (q )-固有値がTp (q )(mod P ) と一致するものが存在する. このとき, fP に付随する
modular な Galois 表現が存在する:

Theorem 5.4 ([8, Theorem 2.43]). 以上の記号のもと, k(P ) の標数は2 でないと仮定する. また, すべての σ ∈ I に対し κ2,σ − κ1,σ ≥ 0 であると仮定し, k := κ2 − κ1 + 1 ∈ Z[I] とおく.
(1) このとき, 連続で semi-simple な Galois 表現
ρP : Gal(F /F ) → GL2 (k(P ))で, 次の四つの条件を満たすものが存在する:(i) ρP は pN と ∞ の外で不分岐である;(ii) pN を割らない F の任意の素 ideal l に対して,Tr(ρP (Frobl )) = Tp (l ) (mod P )を満たす. また, Np を p-adic cyclotomic character とし, 類体論により
ε+ を Galois character とみなすことで,det(ρP ) = ε+ Np[κ]が得られる;(iii) m を P を含む hκ (N, ε; O) の極大 ideal とする. もし「κ2 − κ1 −
1 ≥ 0 かつ Tp (p) ∈ m である」かもしくは「k = 21 かつ Tp (p ) ∈ m
なる p を割る素 ideal p がある」ならば,
p ∗ρP |Dp ∼0 δpとかける. この表示において, Dp は p における分解群, p と δp は Dpの character をそれぞれ表しており, とくに δp は,

δp ([y, Fp ]) = Up (y) (mod P )(y ∈ Fp× )となるものである. ここで, F の素 ideal q に対して Iq を q での惰性群としたうえで, 記号 [·, Fq ] は[q , Fq ] (mod Iq ) = Frobq- 89 -GALOIS 変形理論

35と正規化された Atrin symbol を表すものとする. また, Hecke operator
Up (y) をy 0∞Up (y) := [S0 (p N)
S0 (p∞ N)]
0 1と定義した. とくに, Proposition 5.1 と Proposition 5.2 により,

δp ([u, Fp ]) = (ε1 )p (u)u−κ1(u ∈ Op× )となることに注意;(p)(iv) N = N0 c(ε− ) とおく. もし, N0 の prime-to-p-part N0 が(p)square free で c(ε− ) と互いに素ならば, N0 を割る F の任意の素 ideal
q に対して,q ∗ρP |Dq ∼0 δqとかける. ここで, q と δq は q での分解群 Dq の character であり, とくに δq は,δq ([y, Fq ]) = Tp (y) (mod P ) (y ∈ Fq× )を満たす. このとき, u ∈ Oq× について,

δq ([u, Fq ]) = (ε1 )q (u)となることに注意.
(2) もし ρm が絶対既約であれば,

ρP : Gal(F /F ) → GL2 (hκ (N, ε; O)/P )のように ρP の値を GL2 (hκ (N, ε; O)/P ) に取らせることができて, ρPは hκ (N, ε; O)/P 上の同値の差を除き一意的に存在する.

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- 90 -

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Department of Mathematics, Kyoto Sangyo University, Kyoto, 6068502, Japan
E-mail address: ayama30@cc.kyoto-su.ac.jp- 91 -

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ͱ͢ΔͱɼX ͷʢಛҟʣίϗϞϩδʔ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ
⎧
Z
i=0
⎪
⎪
⎪
⎨Z⊕2g i = 1
H i (X, Z) ∼
=
⎪Z
i=2
⎪
⎪
⎩
0
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2- 93 -

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ΓɼͦͷҙຯͰɼϞνʔϑͷཧ࿦͸‫ࡏݱ‬΋ͳ͓ʮະ‫׬‬੒ͷཧ࿦ʯͰ͋Δͱ͍͑Δɽ
ʮ੔਺࿦ࡳຈՆͷֶຊߘ͸ʢ͜ͷʮ͸͡ΊʹʯΛআ͘ͱʣ࣍ͷ 4 ͭͷઅ͔ΒͳΓɼߍʯʹ͓͚Δ 4 ೔ؒͷߨٛ಺༰ʹ΄΅ରԠ͍ͯ͠Δɽ§2. อ‫ ͱࣜܗܕ‬Galois ද‫ݱ‬
§3. Weil ༧૝ͱΤλʔϧίϗϞϩδʔ§4. Grothendieck ͷເ — ελϯμʔυ༧૝ͱϞνʔϑͷཧ࿦ɼWeil ༧૝ɼJannsenͷఆཧ§5. ੔਺࿦ʹ͓͚ΔʮϞνʔϑతͳߟ͑ํʯ
ߨٛͷ࠷ऴ೔ʹ͸ɼ࠷ۙͷ࿩୊ͱͯ͠ɼWiles ʹΑΔ Fermat ͷ࠷ऴఆཧͷূ໌΍ɼ࠷ʮϞνʔϑతͳ
ۙͷ Taylor ΒΑΔࠤ౻ʖςΠτ༧૝ͷʢଟ͘ͷ৔߹ͷʣূ໌ͷதʹɼߟ͑ํʯ͕ͲͷΑ͏ʹ࢖ΘΕΔ͔Λղઆ͕ͨ͠ɼ͜Εʹ͍ͭͯ͸ §5 Ͱ؆୯ʹड़΂ΔʹͱͲΊͨɽࠤ౻ʖTate ༧૝΍ͦΕʹؔ࿈͢Δ࿩୊ʹ͍ͭͯ͸ɼ[Tanoshimi] ʹৄ͘͠ॻ͔ΕΔ༧ఆͰ͋ΔͷͰɼ‫ڵ‬ຯΛ࣋ͨΕͨಡऀ͸ͦͪΒΛࢀর͍͖͍ͯͨͩͨ͠ɽ
·ͨɼຊߘͷऴΘΓʹຊߘͷ಺༰ͱؔ࿈ͨ͠ԋश໰୊ͱࢀߟจ‫ݙ‬Λ‫͍͓ͨͯ͛ڍ‬ɽ͜ΕΛ͖͔͚ͬʹ͞Βʹษ‫ڧ‬ɾ‫ڀݚ‬ΛਐΊ͍͚ͯͨͩΕ͹޾͍Ͱ͋Δɽ࠷‫ʹޙ‬ɼຊߘͰѻ͍ͬͯͳ͍ࣄ߲ʹ͍ͭͯ؆୯ʹड़΂͓ͯ͘ɽຊߘͰʮΤλʔϧίϗϞϩδʔʯͱ͍͑͹ɼ΄ͱΜͲͷ৔߹ɼ୅਺తดମ্ͷ୅਺ଟ༷ମʹର͢Δఆ਺૚

Qʢ ͸‫ૅج‬ମͰՄ‫ͳٯ‬ૉ਺ʣΛ܎਺ͱ͢ΔΤλʔϧίϗϞϩδʔͷ͜ͱͰ͋Δɽ࣮͸ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔͷཧ࿦͸ɼ೚ҙͷεΩʔϜʹରͯ͠ల։Ͱ͖Δɽମͷ SpecͷΤλʔϧίϗϞϩδʔΛߟ͑Δ͜ͱͰ Galois ίϗϞϩδʔͷཧ࿦ͱ‫͕ܨ‬Γɼ੔਺࿦΁ͷԠ༻্΋ॏཁͰ͋Δɽ͔͠͠ɼຊߘͰ͸͜Εʹ͍ͭͯ͸Ұ੾৮Εͳ͔ͬͨ5ɽ͜ΕҎ֎ʹ΋ຊߘͰ৮Ε͍ͯͳ͍ʢ৮ΕΔ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͔ͬͨʣॏཁͳςʔϚͱͯ͠͸ɼ
5͜Ε͸ɼҐ૬‫ز‬Կֶʹ͓͚ΔίϗϞϩδʔͱɼମ࿦ʹ͓͚Δ Galois ίϗϞϩδʔ͸͔ͳΓงғ‫ؾ‬͕ҟͳΔ΋ͷͰ͋ΓɼҰॹʹड़΂ͳ͍ํ͕෼͔Γ΍͍ͩ͢Ζ͏ͱߟ͔͑ͨΒͰ͋Δɽ
3- 94 -

࣍ͷΑ͏ͳ΋ͷ͕͋Δ : Τλʔϧ‫ج‬ຊ‫܈‬ͷཧ࿦ɼΤλʔϧ ਐ૚ͷཧ࿦ɼʮॏ͞ʯͷཧ࿦ɼࡾ֯࿨΁ͷԠ༻ɼภ۶૚ͷཧ࿦ɼHodge ཧ࿦ͱͷྨࣅɼ༗‫ ݶ‬Chevalley ‫܈‬ͷද‫ݱ‬࿦΁ͷԠ༻ɼอ‫ܕ‬ද‫ʹݱ‬൐͏ Galois ද‫ݱ‬ɾࢤଜଟ༷ମɾLanglands ରԠ΁ͷԠ༻ɼ୅਺తαΠΫϧɾChow ‫΁܈‬ͷԠ༻ɼ୅਺ଟ༷ମͷप‫ͱظ‬ͷؔ܎ɼࠞ߹Ϟνʔϑͷཧ࿦ɼϞνϰΟοΫίϗϞϩδʔɼθʔλؔ਺ͷಛघ஋ɾ୅਺త K ཧ࿦ͱͷؔ܎ͳͲɽ
͜ΕΒʹ͍ͭͯ‫ڵ‬ຯΛ΋ͨΕͨಡऀ͸ɼ[EGA], [SGA] ͸΋ͪΖΜͷ͜ͱɼ‫ڵ‬ຯʹԠͯ͡ [Corvallis], [AnnArbor], [Seattle], [Toronto], [A1] ͳͲͷࢀߟจ‫ʹݙ‬ਐΜͰ͍͚ͨͩΕ͹޾͍Ͱ͋ΔɽΤλʔϧίϗϞϩδʔ΍Ϟνʔϑͱ͍͏޿େͳςʔϚΛ͜ͷΑ͏ͳখจͰղઆ͠ਚ
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2008 ೥ 3 ݄ ϚϦʔͷ৿6ʹͯஶऀ‫͢ه‬ɽँࣙ. ʮ੔਺࿦ࡳຈՆͷֶߍʯͷࢀՃऀͷօ༷ʹ͸ɼߨٛத΍ͦΕҎ֎ͷ࣌ؒΛ௨࣭ͯ͠໰ɾίϝϯτΛ͍͖ͨͩ·ͨ͠ɽಛʹɼංా੖ࡾࢯʢUCLAʣɼా‫ޱ‬༤Ұ࿠ࢯʢ‫۝‬भେʣ͔Β͸ɼอ‫ࣜܗܕ‬΍ Galois ද‫ؔ͢ʹݱ‬Δ༗ҙٛͳίϝϯτΛ͍͖ͨͩ·ͨ͠ɽ·ͨɼ୩‫ࢯོޱ‬ʢѪඤେʣɼઍాխོࢯʢ౦๺େʣʹ͸ߨٛϊʔτΛৄࡉʹͱ͍͖ͬͯͨͩɼຊߘΛࣥච͢Δࡍͷࢀߟʹ͍͖ͤͯͨͩ͞·ͨ͠ɽ·ͨɼ࠷‫ͳʹޙ‬Γ·͕ͨ͠ɼߨԋͷ‫ػ‬ձΛ͍͍ͨͩͨલా๕޹ઌੜʢ๺ւಓେʣʹ‫͢ँײ‬Δͱͱ΋ʹɼஶऀͷ஗චʹΑΓຊߘͷ‫׬‬੒͕େม஗Εͯ͠·ͬͨ͜ͱΛ͓࿳ͼ͠·͢ɽ

6Le Bois-Marie.

Grothendieck ʹΑΔηϛφʔ [SGA] ͕ߦΘΕͨ৔ॴɽϑϥϯεߴ౳Պֶ‫ॴڀݚ‬(IHES) ͕͋Δ͕ɼͦΕҎ֎ʹ͸Կ΋ແ͍ɽ4- 95 -

2. อ‫ ͱࣜܗܕ‬Galois ද‫ݱ‬ຊઅͰ͸ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔ΍Ϟνʔϑͷཧ࿦΁ͷಈ‫ͯ͠ͱ͚෇ػ‬ɼอ‫ࣜܗܕ‬ʮอ‫ܗܕ‬
ͱ Galois ද‫ݱ‬ʢArtin ද‫ݱ‬ɼ ਐද‫ݱ‬ɼmod ද‫ݱ‬ʣʹ͍ͭͯ؆୯ʹ෮श͠ɼࣜʹ൐͏ ਐද‫ݱ‬ʯʹ͍ͭͯड़΂Δɽ

2.1. อ‫ࣜܗܕ‬ͷఆٛ. ͜͜Ͱ͸ɼอ‫ࣜܗܕ‬ͷఆٛΛ؆୯ʹ෮श͢Δɽ
ʢৄ͘͠͸ɼ [Se5],[Sh], [Miy], [DiS] ͳͲͷอ‫ࣜܗܕ‬ͷ‫ڭ‬ՊॻΛࢀরɽʣ੔਺Λ੒෼ͱ͢Δߦྻ͕ࣜ 1 ͷ 2 ࣍ਖ਼ํߦྻશମΛ SL2 (Z) ͱ͓͘ɽ੔਺ N ≥ 1 ʹର͠ɼSL2 (Z) ͷ෦෼‫ ܈‬Γ0 (N ) Λ࣍ͷΑ͏ʹఆΊΔɽ
+



+
a b
Γ0 (N ) :=∈ SL2 (Z) ++ c ≡ 0 (modN )c d

H := {z ∈ C | Im (z) > 0} Λෳૉ্൒ฏ໘ɼε : (Z/N Z)× → C× Λ४ಉ‫ܗ‬ʢDirichlet ࢦඪʣͱ͢Δɽk Λ੔਺Ͱ͋ͬͯɼε(−1) = (−1)k ΛΈͨ͢΋ͷͱ͢Δ7ɽ
ఆٛ 2.1 (อ‫)ࣜܗܕ‬. Γ0 (N ) ʹؔ͢Δ (k, ε)-‫ܕ‬ͷอ‫ࣜܗܕ‬8ͱ͸ɼෳૉ্൒ฏ໘ H ্ͷਖ਼ଇؔ਺ f Ͱ͋ͬͯɼ
az + ba b೚ҙͷ∈ Γ0 (N ) ʹର͠ɼ f= ε(d)(cz + d)k f (z)c dcz + dΛΈͨ͠ɼແ‫ݶ‬ԕ఺Ͱਖ਼ଇͳ΋ͷΛ͍͏ɽN, k, ε ΛͦΕͧΕ f ͷϨϕϧɼॏ͞ɼࢦ
ඪͱ͍͏ɽʮແ‫ݶ‬ԕ఺Ͱਖ਼ଇʯͷҙຯΛઆ໌͠Α͏ɽγ ∈ SL2 (Z) ʹର͠az + b−k(f |k γ)(z) = (cz + d) f
cz + dͱ͓͘ɽf |k γ ͸࠶ͼ H ্ͷਖ਼ଇؔ਺ͱͳΓ (f |k γ)(z + N ) = (f |k γ)(z) ΛΈͨ͢ɽ͕ͨͬͯ͠ɼ(f |k γ)(z) =∞

ϕ(f, k, γ, n) e2πinz/N ,ϕ(f, k, γ, n) ∈ Cn=−∞ͱ͍͏‫ʹܗ‬ల։Ͱ͖Δɽ৚݅ʮn < 0 ⇒ ϕ(f, k, γ, n) = 0ʯ͕೚ҙͷ γ ∈ SL2 (Z) ʹରͯ͠ͳΓͨͭͱ͖ɼf ͸ແ‫ݶ‬ԕ఺Ͱਖ਼ଇͰ͋Δͱ͍͏ɽ͞Βʹ‫͘ڧ‬ɼ৚݅ʮn ≤ 0 ⇒7৚݅ ε(−1) = (−1)k ΛΈͨ͞ͳ͍৔߹Ͱ΋ɼʮอ‫ࣜܗܕ‬ʯΛఆٛ͢Δ͜ͱ͸Ͱ͖Δ͕ɼͦͷ৔߹͸

f (z) = 0 ͱͳͬͯ͠·͏ɽ8͜͜Ͱ͍͏อ‫ͱࣜܗܕ‬͸ “modular form” ͷ༁‫͋Ͱޠ‬Δɽ“modular form” ΛϞδϡϥʔ‫ͱࣜܗ‬༁͠ɼΑΓҰൠͷ‫ʹ܈‬ର͢Δ “automorphic form” Λอ‫ͱࣜܗܕ‬༁͠෼͚Δ͜ͱ΋ଟ͍͕ɼຊߘͰ͸྆ऀΛಛʹ۠ผͤͣʹʮอ‫ࣜܗܕ‬ʯͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δɽ
5- 96 -

ϕ(f, k, γ, n) = 0ʯ͕೚ҙͷ γ ∈ SL2 (Z) ʹରͯ͠ͳΓͨͭͱ͖ɼf ͸ઑ఺తͰ͋Δͱ͍͏ɽN  Λ N ͷ໿਺ͰɼN = N  ͱ͢Δɽf Λ Γ0 (N  ) ʹؔ͢Δอ‫͠ͱࣜܗܕ‬ɼa ≥ 1 Λ
aN  ͕ N ΛׂΓ੾ΔΑ͏ͳਖ਼੔਺ͱ͢Δͱɼf (az) ͸ Γ0 (N ) ʹؔ͢Δอ‫ͳͱࣜܗܕ‬ΔɽΓ0 (N ) ʹؔ͢Δอ‫ࣜܗܕ‬ͷ͏ͪɼ͜ͷΑ͏ʹͯ͠Ϩϕϧͷখ͍͞อ‫͔ࣜܗܕ‬ΒಘΒΕΔอ‫ࣜܗܕ‬ͷઢ‫Ͱ߹݁ܗ‬ද͞ΕΔอ‫ࣜܗܕ‬Λ‫͏͍ͱࣜܗچ‬ɽPetersson ಺ੵf, g :=f (z) g(z) y k−2 dxdyDʢD ͸ Γ0 (N ) ͷ H ΁ͷ࡞༻ͷ‫ج‬ຊྖҬʣʹΑͬͯ‫ࣜܗچ‬ͷۭؒͱ௚ަ͍ͯ͠Δอ‫ܗܕ‬ࣜΛ৽‫͏͍ͱࣜܗ‬ɽʢϨϕϧ N ͰॳΊͯ‫ݱ‬ΕΔʮ৽͍͠ʯอ‫͏͍ͱࣜܗܕ‬ҙຯͰ͋Δɽ

§2.7 Ͱड़΂Δ‫ ࢝ݪ‬Dirichlet ࢦඪͷྨࣅͰ͋Δɽ
ʣ


1 1
∈ Γ0 (N ) Ͱ͋Δ͔Βɼf (z + 1) = f (z) ͕ͳΓͨͭɽ͕ͨͬͯ͠ɼf ͸
0 1
q = exp(2πiz) ͷؔ਺ͱͯ͠
∞f=an q nn=0ͱ͍͏‫ʹܗ‬ల։Ͱ͖Δʢq ల։ʣɽq ͷෛϕΩͷ߲͕ফ͑Δͷ͸ɼf ͕ແ‫ݶ‬ԕ఺Ͱਖ਼ଇ
Ͱ͋Δ͜ͱͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δɽf ͕ઑ఺తͰ͋Ε͹ɼa0 = 0 Ͱ͋Δɽa1 = 1 ͕ͳΓͨͭͱ͖ɼf ͸ਖ਼‫ن‬Խ͞Ε͍ͯΔͱ͍͏ɽอ‫ࣜܗܕ‬ͷۭؒʹ͸ Hecke ࡞༻ૉͱ‫ݺ‬͹ΕΔ࡞༻ૉ͕࡞༻͍ͯ͠ΔɽHecke ࡞༻ૉ͸ N ΛׂΒͳ͍ૉ਺ p ʹର͢Δ

Tp : f =an q n → Tp f :=apn q n + ε(p)pk−1
an q pnnnn͓Αͼ N ΛׂΓ੾Δૉ਺ p ʹର͢ΔUp : f =an q n → Up f :=apn q nnn͕͋Δɽอ‫ࣜܗܕ‬ͷཧ࿦ͷதͰ͸ɼਖ਼‫ن‬Խ͞Ε͍ͯΔઑ఺తͳอ‫ ࣜܗܕ‬f =∞n=1 an qnͰ͋ͬͯɼϨϕϧ N ͷ৽‫͋Ͱࣜܗ‬Γɼ͞Βʹ Hecke ࡞༻ૉͷಉ࣌‫ݻ‬༗ؔ਺ͱͳ͍ͬͯ
Δ΋ͷ͕ಛʹॏཁͰ͋Δɽ͜ͷͱ͖ɼHecke ࡞༻ૉ Tpʢ·ͨ͸ Up ʣͷ‫ݻ‬༗஋͕ɼf ͷ

q ల։ʹ͓͚Δ q p ͷ܎਺ ap ʹ౳͍͜͠ͱ͕෼͔ΔɽʢTp f ΍ Up f ͷ q ల։͓͚Δ q ͷ
1 ࣍ͷ߲ͷ܎਺Λ‫ݟ‬Αɽʣf ͷ L ؔ਺͕ Dirichlet ‫਺ڃ‬∞
anL(s, f ) =
ns
n=1
6

- 97 -

ʹΑͬͯఆٛ͞ΕΔɽf ͕ Hecke ࡞༻ૉͷಉ࣌‫ݻ‬༗ؔ਺Ͱ͋Δ͜ͱΛ༻͍ΔͱɼL(s, f )͸ Euler ੵL(s, f ) =p ͸ N ΛׂΒͳ͍1·−s1 − ap p + ε(p)pk−1−2sp ͸ N ΛׂΓ੾Δ

1
1 − ap p−sΛ࣋ͭ͜ͱ͕෼͔Δɽ͞Βʹ L(s, f ) ͸ s ͷ࣮෦ Re (s) ͕े෼େ͖͍ྖҬͰઈରऩଋ
͠ɼෳૉฏ໘શମʹਖ਼ଇؔ਺ͱͯ͠ղੳ઀ଓ͞Εɼs ↔ k − s ͱ͍͏‫ܗ‬ͷؔ਺౳ࣜΛΈͨ͢ɽ

2.2. อ‫ࣜܗܕ‬ͷྫ (1). Ramanujan ͷ Δ ؔ਺
Δ=q

∞


(1 − q )

n 24

=

n=1

∞


τ (n)q nn=1= q − 24q + 252q − 1472q 4 + 4830q 5 − 6048q 6 − 16744q 7 + · · ·23͸࠷΋‫ج‬ຊతͰॏཁͳઑ఺తอ‫͋Ͱࣜܗܕ‬ΔɽΔ ͸Ϩϕϧ 1ɼॏ͞ 12 ͷอ‫Ͱࣜܗܕ‬ʢઑ఺తͰͳ͍อ‫ࣜܗܕ‬͋ΓɼϨϕϧ 1 ͷઑ఺తอ‫ࣜܗܕ‬ͷதͰ͸࠷΋ॏ͕͞খ͍͞ɽ
ʣϞδϡϥΠཧ࿦తʹ͸ Δ ͸ପԁ‫ۂ‬ઢͷʮ൑ผͱͯ͠͸ Eisenstein ‫͕͋Ͳͳ਺ڃ‬Δɽ
ࣜʯʹରԠ͓ͯ͠Γɼ੔਺࿦ͷΈͳΒͣɼෳૉؔ਺࿦ɼ୅਺‫ز‬Կֶɼ਺ཧ෺ཧɼ૊Έ߹Θͤ࿦ͳͲʹ΋‫ݱ‬ΕΔॏཁͳର৅Ͱ͋Δɽͦͷ q ల։ͷ܎਺ τ (n) ͸ Ramanujan ͷτ ؔ਺ͱ‫ݺ‬͹Ε͓ͯΓ‫ڵ‬ຯਂ͍ੑ࣭Λ͍࣋ͬͯΔɽʢͦͷ͏ͪͷ͍͔ͭ͘͸ɼΔ ʹ൐͏ਐද‫ݱ‬Λ༻͍Δ͜ͱͰ઱΍͔ʹઆ໌ɾূ໌͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δʢ[Se3]ʣɽ
ʣRamanujan ͷ τ ؔ਺͸ɼఆٛ͸୯७͕ͩɼͦͷ۩ମతͳੑ࣭ͷূ໌͸೉͍͠ɽL(s, Δ)͕ Euler ੵΛ࣋ͭ͜ͱΛ༻͍ͯɼτ (n) ͕ؔ܎ࣜ• n, m ≥ 1 ͕‫ʹ͍ޓ‬ૉͳΒɼτ (nm) = τ (n)τ (m)ɽ• ૉ਺ pɼ੔਺ a ≥ 0 ʹର͠ɼτ (pa+2 ) = τ (p)τ (pa+1 ) − p11 τ (pa )ΛΈͨ͢͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔʢMordellʣɽ༗໊ͳ Ramanujan ༧૝೚ҙͷૉ਺ p ʹର͠ɼ |τ (p)| ≤ 2p11/2
͸ೋ߲܎਺ͷ࿨ʹؔ͢Δॳ౳తͳओுͰ͋Δʹ΋ؔΘΒͣɼॳ౳తূ໌͸͍·ͩʹ஌ʣΒΕ͍ͯͳ͍ɽ
ʢp ͷϕΩʹ‫ݱ‬ΕΔ 11 ͸ɼΔ ͷॏ͞ 12 ͔Β 1 ΛҾ͍ͨ΋ͷʹ౳͍͠ɽ

Ramanujan ༧૝ͷࠓ೔஌ΒΕ͍ͯΔ།Ұͷূ໌͸ɼ‫ٱ‬լʖࠤ౻ଟ༷ମΛ༻͍ͯ Weil༧૝ʹ‫ؼ‬ணͤ͞Δ Deligne ʹΑΔ΋ͷͰ͋Δɽ
ʢ§3.8 Λࢀরɽ
ʣ7

- 98 -

2.3. อ‫ࣜܗܕ‬ͷྫ (2). ΋͏ҰͭྫΛ‫͛ڍ‬Α͏ɽ
f =q

∞


(1 − q n )2 (1 − q 11n )2n=1= q − 2q 2 − q 3 + 2q 4 + q 5 + 2q 6 − 2q 7 − 2q 9 − 2q 10 + q 11 + · · ·ॏ͞ 2, Ϩϕϧ 11 ͷࣗ໌ͳࢦඪʹؔ͢Δอ‫͋Ͱࣜܗܕ‬Δ9ɽf ͷ q ల։Λ

f=

∞


an q nn=1ͱ͓͘ɽૉ਺ p = 11 ʹର͠ɼପԁ‫ۂ‬ઢ

E : Y 2 Z + Y Z 2 = X 3 − XZ 2
ͷ mod p ؐ‫ݩ‬ͷ Fp -༗ཧ఺ͷ‫਺ݸ‬Λ #E(Fp ) ͱ͓͘ͱɼ

ap (E) = 1 + p − #E(Fp )͕ͳΓͨͭɽ͜ͷ͜ͱ͸ɼf ʹ൐͏ Galois ද‫͕ݱ‬ɼପԁ‫ۂ‬ઢ E ͷ ਐ Tate Ճ‫܈‬ʢͷʣ͜Ε͸୩ࢁʖࢤ
૒ରʣΛ༻͍ͯ࡞ΒΕΔ͜ͱΛҙຯ͢Δɽ
ʢྫ 2.9ɼఆཧ 2.10 Λࢀরɽଜ༧૝ͷಛผͳ৔߹Ͱ͋Δɽ·ͨ Hasse ͷఆཧʢྫ 3.6 ΛࢀরʣΛ༻͍Δ͜ͱͰɼfʹର͢Δ Ramanujan ༧૝ͷྨࣅʢRamanujan-Petersson ༧૝ʣ√೚ҙͷૉ਺ p ʹର͠ɼ |ap | ≤ 2 p
͕ಘΒΕΔɽ

2.4. Galois ද‫ݱ‬ͷఆٛ. ͜͜Ͱ͸ Galois ද‫ͦͱݱ‬ͷ L ؔ਺ʹ͍ͭͯ؆୯ʹड़΂Δɽʢৄ͘͠͸ɼ[Se4], [Se6], [Se7], [Tay3] ͳͲΛࢀরɽಛʹɼTaylor ʹΑΔ ICM ߨԋ࿥[Tay3] ͸ɼ࠷৽ͷ݁Ռ΋౿·͑ͯ෼͔Γ΍͘͢ॻ͔Ε͍ͯΔɽʣҎԼɼ Λૉ਺ͱ͢Δɽ
ఆٛ 2.2 (Galois ද‫)ݱ‬. K Λମͱ͠ɼGal(K/K) Λ K ͷઈର Galois ‫͢ͱ܈‬ΔɽE Λෳૉ਺ମ Cɼ ਐମʢQ ͷ༗‫֦࣍ݶ‬େʣɼ༗‫ݶ‬ମͷ͍ͣΕ͔ͱ͠ɼV Λମ E ্ͷ༗‫ݶ‬࣍‫ݩ‬ϕΫτϧۭؒͱ͢ΔɽK ͷ Galois ද‫ͱݱ‬͸ɼ࿈ଓ४ಉ‫ܗ‬ρ : Gal(K/K) −→ GL(V )ͷ͜ͱΛ͍͏ɽ͜͜ͰɼGal(K/K) ͸ Krull Ґ૬ʹؔ͢ΔίϯύΫτҐ૬‫͋Ͱ܈‬Δɽ
·ͨɼE ͕༗‫ݶ‬ମ͔ෳૉ਺ମͷͱ͖͸ɼGL(V ) ʹ཭ࢄҐ૬ΛೖΕͯߟ͑ΔɽE ͕ ਐମͷͱ͖͸ɼGL(V ) ʹ ਐҐ૬ΛೖΕͯߟ͑Δɽ
9͜͜Ͱ͸ແ‫ੵݶ‬ల։Λ࣋ͭอ‫ࣜܗܕ‬Λ‫͕ͨ͛ڍ‬ɼҰൠͷอ‫ࣜܗܕ‬͸͜ͷΑ͏ͳແ‫ੵݶ‬ల։Λ࣋ͭΘ͚Ͱ͸ͳ͍ɽ
8- 99 -ρ ͕‫ط‬໿ͱ͸ɼ0 Ͱ΋ ρ ࣗ਎Ͱ΋ͳ͍෦෼ද‫͕ݱ‬ଘࡏ͠ͳ͍͜ͱΛ͍͏ɽ·ͨɼද‫ ݱ‬ρ ⊗E E ͕‫ط‬໿ͷͱ͖ɼρ ͸ઈର‫ط‬໿Ͱ͋Δͱ͍͏ɽE ͕ෳૉ਺ମͷͱ͖ɼρ Λ Artin ද‫͏͍ͱݱ‬ɽE ͕ ਐମͷͱ͖ɼρ Λ ਐද‫ͱݱ‬
͍͏ɽE ͕ඪ਺ ͷ༗‫ݶ‬ମͷͱ͖ɼρ Λ modද‫͏͍ͱݱ‬ɽArtin ද‫ݱ‬΍ mod ද‫ݱ‬ͷ૾͸ৗʹ༗‫͋Ͱ܈ݶ‬Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼArtin ද‫ݱ‬΍ mod ද‫ݱ‬Λߟ͑Δ͜ͱͱɼ༗‫ ࣍ݶ‬Galois ֦େ L/K ͱຒΊࠐΈ ϕ : Gal(L/K) → GL(V ) ͷ૊ (L/K, ϕ) Λߟ͑Δ͜
ͱ͸ಉ஋Ͱ͋ΔɽҰൠʹɼ ਐද‫ݱ‬ͷ૾͸༗‫ͱݶ‬͸‫ݶ‬Βͳ͍ɽମಉ‫ ܗ‬Q ∼= C Λ‫ݻ‬ఆ

10

͠ ɼ૾͕༗‫ ͳݶ‬ਐද‫ݱ‬Λ Artin ද‫ͱݱ‬ಉҰࢹ͢Δ͜ͱ΋ଟ͍ɽρ Λମ K ͷ ਐද‫͢ͱݱ‬ΔɽGal(K/K) ͸ίϯύΫτ‫ͳ܈‬ͷͰɼͦͷ ρ ʹΑΔ૾΋ίϯύΫτͰ͋Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼV ͷ‫ج‬ఈΛ͏·͘ͱΔͱɼρ : Gal(K/K) −→ GLd (OE ) ⊂ GLd (E)ͱͳΔɽʢV ͷ࣍‫ݩ‬Λ d ͱ͓͍ͨɽOE ͸ E ͷ੔਺‫؀‬ɽʣmE Λ OE ͷ‫ۃ‬େΠσΞϧͱ͢Δͱɼ͜ͷࣸ૾ͷ mod mE Λߟ͑Δ͜ͱͰɼmod ද‫ݱ‬

ρ : Gal(K/K) −→ GLd (OE /mE ) = GLd (κE )͕ಘΒΕΔɽ
ʢκE = OE /mE ͸ E ͷ৒༨ମɽʣρ Λ ρ ͷ৒༨ද‫͏͍ͱݱ‬ɽҰൠʹɼρ ͕‫ط‬໿Ͱ͋ͬͯ΋ ρ ͕‫ط‬໿ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ɽ·ͨɼρ ͸ ρ ͔ΒҰҙతʹܾ·Δͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍͕ʢV ͷ‫ج‬ఈͷऔΓํʹΑΔ͔΋͠Εͳ͍ʣɼ൒୯७Խ ρss ͷಉ஋ྨ͸ ρ ͔ΒҰҙతʹܾ·Δɽ͜Ε͸ɼ֤ σ ∈ Gal(K/K) ʹରͯ͠ɼρss (σ) ͷ‫ݻ‬༗ଟ߲͕ࣜ ρ(σ) ͷ‫ݻ‬༗ଟ߲ࣜͷ mod mE ʹ౳͍͜͠ͱ͔Β෼͔Δ11ɽಛʹ৒༨ද‫ ݱ‬ρ ͷಉ஋ྨ͸ɼ΋͠‫ط‬໿Ͱ͋Ε͹ɼρ ͔ΒҰҙతʹܾ·Δɽ੔਺࿦ʹ͓͍ͯ͸ɼ୅਺ମͷ Galois ද‫͕ݱ‬ಛʹॏཁͰ͋ΔɽK Λ୅਺ମͱ͠ɼ؆
୯ͷͨΊ֤ૉ఺ v ʹର͠ɼK ্ͷຒΊࠐΈ K → Kv Λ‫ݻ‬ఆ͢ΔʢKv ͸ v ʹ͓͚Δ K
ͷ‫׬‬උԽʣɽ͜ΕʹΑΓɼ

Gal(Kv /Kv ) ⊂ Gal(K/K)
ͱࢥ͑Δ͔ΒɼK ͷ Galois ද‫ ݱ‬ρ ʹର͠ɼͦͷ Gal(Kv /Kv ) ΁ͷ੍‫ ݶ‬ρv := ρ|Gal(Kv /Kv )͕ߟ͑ΒΕΔɽv Λ༗‫ݶ‬ૉ఺ͱ͠ɼ৒༨ମΛ κ(v) ͱ͓͘ͱɼ‫׬‬શ‫ྻܥ‬1 −→ Iv −→ Gal(Kv /Kv ) −→ Gal(κ(v)/κ(v)) −→ 1
10Q

 ΋ C ΋࿈ଓೱ౓Λ࣋ͭ୅਺తดମ͔ͩΒɼZornͷิ୊ʹΑΓɼମͱͯ͠͸ಉ‫͋Ͱܗ‬Δɽss

11ρss ͷಉ஋ྨ͸֤ σ ∈ Gal(K/K) ͷ‫ݻ‬༗ଟ߲ࣜ det

T − ρ (σ) Ͱܾ·Δɽඪ਺ 0 ͷମ্ͷද‫ݱ‬ͱҟͳΓɼ֤ σ ͷ੻ Tr ρss (σ) ͚ͩͰ͸ ρss ͷಉ஋ྨ͸ܾ·Βͳ͍͜ͱʹ஫ҙɽ
9- 100 -

͕ಘΒΕΔɽIv Λ v ʹ͓͚Δଦੑ‫͏͍ͱ܈‬ɽκ(v) ͷҐ਺Λ qv ͱ͓͘ͱɼGal(κ(v)/κ(v))
 ʢZ ͷ෭༗‫׬ݶ‬උԽʣͱಉ‫͋Ͱܗ‬Γɼ‫ز‬Կత Frobenius ‫ݩ‬͸Z

Frobv : x → x1/qv

ʢq v ৐ࣸ૾ͷ‫૾ࣸٯ‬ʣʹΑΓҐ૬తʹੜ੒͞ΕΔ12ɽKv ͷ Galois ද‫ݱ‬͸ɼଦੑ‫ ܈‬Iv ΁ͷ੍‫ͳͱ໌͕ࣗݶ‬Δ
ͱ͖ෆ෼‫͋Ͱذ‬Δͱ͍͍ɼͦ͏Ͱͳ͍ͱ͖෼‫͍ͯ͠ذ‬Δͱ͍͏ɽ

2.5. Galois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺. ୅਺ମ K ͷ ਐද‫ݱ‬΍ Artin ද‫ ݱ‬ρ ʹର͠ɼͦͷ L ؔ਺
L(s, ρ) ͕ఆ·Δɽఆٛ 2.3 (Galois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺). K Λ୅਺ମͱ͠ɼ

ρ : Gal(K/K) −→ GL(V )Λ ਐද‫ͨ·ݱ‬͸ Artin ද‫͢ͱݱ‬Δɽρ ͕ ਐද‫ݱ‬ͷͱ͖͸ʢ͢ͳΘͪɼV ͕ Q ͷ༗‫֦࣍ݶ‬େ E ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ϕΫτϧۭؒͷͱ͖͸ʣɼମಉ‫ ܗ‬Q ∼= C Λ‫ݻ‬ఆͯ͠ɼρ(σ) (σ ∈ Gal(K/K)) ͷ‫ݻ‬༗஋͸ෳૉ਺Ͱ͋Δͱߟ͑Δɽ·ͨɼρ ͕ ਐද‫ݱ‬ͷͱ͖͸ɼρ ͸ ΛׂΓ੾Δૉ఺Ͱ de Rham Ͱ͋ΔͱԾఆ͢Δ13ɽ͜ͷͱ͖ɼρ ͷ L ؔ਺
͕ Euler ੵL(s, ρ) =Lv (s, ρ)v ͸༗‫ݶ‬ૉ఺ʹΑͬͯఆٛ͞ΕΔɽ‫ॴہ‬Ҽࢠ Lv (s, ρ) ͷఆٛ͸࣍ͷ௨ΓͰ͋Δɽ(1) ρ ͕ Artin ද‫͔ݱ‬ɼ·ͨ͸ ρ ͕ ਐද‫Ͱݱ‬৒༨ମ κ(v) ͷඪ਺͕ ͱ‫ʹ͍ޓ‬ૉͰ
͋Δ৔߹ɽଦੑ‫ ܈‬Iv ʹΑΓ‫ݻ‬ఆ͞ΕΔ‫ݩ‬ͷͳ͢෦෼ۭؒΛ V Iv := {v ∈ V |ρ(σ)v = v (∀σ ∈ Iv )} ͱ͓͘ͱɼFrobv ͸ࣗવʹ V Iv ʹ࡞༻͢Δɽͦͷ‫ݻ‬༗஋Λ αv,1 , . . . , αv,dv ∈ C (dv = dim V Iv ) ͱ͓͖ɼ‫ॴہ‬ҼࢠΛ

Lv (s, ρ) :=

dv


1
−s
1
−
α
v,i qvi=1ͰఆΊΔɽʢqv ͸৒༨ମ κ(v) ͷҐ਺Ͱ͋Δɽʣ͜ΕΛ؆୯ʹɼ
−1
Lv (s, ρ) = det 1 − qv−s Frobv ; V Iv
ͱ΋ॻ͘ɽ
12୅਺ֶͷ‫ڭ‬ՊॻͰ͸ɼFrob ͷ‫ݩٯ‬ʢ୯ʹ Frobenius ‫͔Ϳݺͱݩ‬ɼ·ͨ͸ “‫ز‬Կత” ͳ΋ͷͱ۠vผͯ͠਺࿦త Frobenius ‫Ϳݺͱݩ‬ʣΛߟ͑Δ΋ͷ΋ଟ͍͕ɼຊߘͰ͸͢΂ͯʮ‫ز‬Կత Frobenius ‫ݩ‬ʯͰ౷Ұͯ͠ߟ͑ΔɽΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔ΒಘΒΕΔ Galois ද‫ݱ‬Λߟ͑Δࡍʹ͸ɼ͜ͷํ͕ࣗવͰ
͋Δɽʢ§3.5 ੑ࣭ 8ɼੑ࣭ 9 Λࢀরɽ)
13͜Ε͸ p ਐ Hodge ཧ࿦ʢp = ʣ͔ΒདྷΔ৚݅Ͱ͋Γɼʮ ΛׂΓ੾Δૉ఺Ͱજ൒҆ఆʯͱ΋ಉ஋Ͱ
͋Δɽ୅਺ଟ༷ମͷΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔ΒಘΒΕΔ Galois ද‫ݱ‬͸͢΂ͯ͜ͷ৚݅ΛΈͨ͢ɽ

10- 101 -

(2) ρ ͕ ਐද‫Ͱݱ‬৒༨ମ κ(v) ͷඪ਺͕ ʹ౳͍͠৔߹14ɽ͜͜Ͱ͸ৄ͘͠͸આ໌͠ͳ͍͕ɼ͜ͷ৔߹͸ɼFontaine ʹΑΔ Dpst -ؔखΛ༻͍Δ͜ͱͰɼKv ͷ Weil-

Deligne ද‫ ݱ‬Dpst (ρv ) ͕ಘΒΕɼͦΕΛ༻͍ͯ (1) ͱಉ༷ʹ‫ॴہ‬Ҽࢠ Lv (s, ρ)͕ఆ·Δ :
Lv (s, ρ) := Lv s, Dpst (ρv )ʢৄ͘͠͸ [Tay3] Λࢀরɽ
ʣ

2.6. Galois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ͷղੳతੑ࣭ (༧૝). ੔਺࿦ʹ͓͍ͯ͸ɼʰ“ྑ͍” L ؔ਺͸ෳૉฏ໘શମʹղੳ઀ଓ͞Εɼؔ਺౳ࣜΛΈͨͩ͢Ζ͏ɽʱͱ޿͘৴͡ΒΕ͍ͯΔɽͦΕͰ͸ɼͲͷΑ͏ͳ Galois ද‫ ”͍ྑ“ ͕ݱ‬L ؔ਺ΛੜΈग़͢ͷͩΖ͏͔ʁ‫Ͱޙ‬ड़΂Δ Fontaine-Mazur ༧૝ʢ༧૝ 5.1ʣΛ౿·͑ͯɼ࣍ͷΑ͏ʹ༧૝ΛఆࣜԽ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
༧૝ 2.4. K Λ୅਺ମͱ͠ɼρ Λ ਐද‫ͨ·ݱ‬͸ Artin ද‫͢ͱݱ‬Δɽʢρ ͕ ਐද‫ݱ‬ͷͱ͖͸ɼମಉ‫ ܗ‬Q ∼ʣρ ͸ઈର‫ط‬໿Ͱ͋Γɼ༗‫ݸݶ‬ͷ v ͷ֎Ͱ= C Λ‫ݻ‬ఆͯ͠ߟ͑Δɽෆ෼‫͋Ͱذ‬ΔͱԾఆ͢Δɽ͞Βʹɼρ ͕ ਐද‫ݱ‬ͷͱ͖͸ɼρ ͸ ΛׂΓ੾Δૉ఺Ͱ

de Rham Ͱ͋ΔͱԾఆ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼρ ͷ L ؔ਺ L(s, ρ) ͸ʢρ ͕ࣗ໌ද‫ݱ‬ͷ৔߹ͷs = 1 ʹ͓͚ΔҰҐͷ‫ۃ‬Λআ͖ʣෳૉฏ໘શମʹਖ਼ଇؔ਺ͱͯ͠ղੳ઀ଓ͞ΕΔɽ͞
ΒʹɼL(s, ρ) ͸ʢద౰ͳ‫ܗ‬ͷʣؔ਺౳ࣜΛΈͨ͢15ɽಛʹ༧૝ 2.4 ͷԾఆ͸‫ط‬໿ Artin ද‫ʹݱ‬ରͯ͠͸ࣗಈతʹΈͨ͞ΕΔ͔Β16ɼ༧૝

2.4 ͸࣍ͷ‫ݹ‬యతͳ༧૝Λಛผͳ৔߹ͱͯ͠‫ؚ‬Ήɽ
༧૝ 2.5 (Artin ༧૝). K Λ୅਺ମͱ͠ɼn ≥ 1 ͱ͢Δɽ

ρ : Gal(K/K) −→ GLn (C)Λ‫ط‬໿ Artin ද‫͢ͱݱ‬Δɽ͜ͷͱ͖ɼL(s, ρ) ͸ʢn = 1 Ͱ ρ ͕ࣗ໌ද‫ݱ‬ͷ৔߹ͷ s = 1
ʹ͓͚ΔҰҐͷ‫ۃ‬Λআ͖ʣෳૉฏ໘શମʹਖ਼ଇؔ਺ͱͯ͠ղੳ઀ଓ͞ΕΔɽ
14ྺ࢙తʹ͸͜ͷ৔߹Λආ͚ͯٞ࿦͢Δ͜ͱ΋ଟ͍ɽ ਐද‫ݱ‬Λ‫ݸ‬ผʹߟ͑ΔͷͰ͸ͳ͘ɼ͢΂ͯͷૉ਺  ʹؔ͢Δ  ਐද‫ݱ‬ͷ੔߹‫( ܥ‬compatible system) Λߟ͑ɼʰ੔߹‫ʹܥ‬ରͯ͠ L ؔ਺͕ఆ·Δʱͱ
ߟ͑Δʢ୩ࢁ๛ʣɽΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍ͯ࡞ΒΕΔ Galois ද‫ݱ‬͸੔߹‫ܥ‬Λͳ͢ʢͱ‫ظ‬଴͞Ε͍ͯΔʣɽ͔͠͠ɼ‫ݱ‬୅ʹ͓͍ͯ͸ɼʰҰͭͷ  ͷΈ͔Β L ؔ਺͕ఆ·Δʱͱߟ͑Δ͜ͱ͕ॏཁͰ͋Δɽ
Wiles ʹΑΔ Fermat ͷ࠷ऴఆཧͷূ໌ʹ͸ɼ ͱͯ͠ 3 ΍ 5 ͱ͍ͬͨಛఆͷૉ਺ΛͱΔٕ๏ʢ͍ΘΏΔ (3, 5)-τϦοΫʣ͕༻͍ΒΕͨʢ[Wi]ʣɽ
15Γ-Ҽࢠʢແ‫ݶ‬ૉ఺ʹ͓͚Δ‫ॴہ‬ҼࢠʣΛఆٛͯ͠ɼGalois ද‫ ݱ‬ρ ͷΈΛ༻͍ͯؔ਺౳ࣜͷ‫ܗ‬Λਖ਼֬ʹ༧૝͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δʢ[Se6], [Tay3]ʣɽ
16૾͕༗‫ ͳݶ‬Galois ද‫ݱ‬ʢArtin ද‫ݱ‬΍ mod  ද‫ݱ‬ʣʹରͯ͠͸ɼʮ༗‫ݸݶ‬ͷ v ͷ֎Ͱෆ෼‫ذ‬ʯ͸ࣗಈతʹΈͨ͞ΕΔɽ
11- 102 -

n = 1 ͷ৔߹͸ྨମ࿦ͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬ΔɽҰൠͷ n Ͱ΋ɼL(s, ρ) ͕༗ཧ‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ղੳ઀ଓ͞Εɼ
ʢద౰ͳ‫ܗ‬ͷʣؔ਺౳ࣜΛΈͨ͢͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ
ʢBrauer ༠ಋఆཧʣΛ༻͍Δ͜ͱͰɼn = 1 ͷ৔߹ʢྨମ࿦ʣʹ‫ؼ‬ணͰ͖Δɽn ≥ 2 ͷͱ͖͸ɼ͜ͷ༧૝͕ূ໌͞Ε͍ͯΔέʔε͸গͳ͍ɽLanglands-TunnellͷఆཧʹΑΓɼn = 2 Ͱ ρ ͷ૾͕Մղ‫ͳ܈‬ΒͳΓͨͭɽҰൠͷ n Ͱ ρ ͷ૾͕ϕΩྵ‫܈‬ͷͱ͖͸ɼArthur-Clozel ʹΑͬͯ GL(n) ͷఈม‫׵‬ఆཧͷԠ༻ͱͯ͠ূ໌͞Ε͍ͯ
Δʢ[AC]ʣɽ·ͨɼ࠷ۙͰ͸ɼK = Q, n = 2 Ͱ ρ ͕ʮ‫ح‬ʯͳ৔߹17ͷ༧૝ 2.5 ͕

Khare-Wintenberger ʹΑΓূ໌͞Ε͍ͯΔɽʢ§2.9 Λࢀরɽ
ʣ
2.7. Galois ද‫ݱ‬ͷྫ. Galois ද‫ͦͱݱ‬ͷ L ؔ਺ͷྫΛ͍͔ͭ͘‫͛ڍ‬Α͏ɽ੔਺࿦ʹ‫ݱ‬ΕΔ “ྑ͍” L ؔ਺ͷଟ͘͸ɼGalois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ͱͯ͠ղऍ͞ΕΔɽ
ྫ 2.6 (ࣗ໌ද‫ ͱݱ‬Riemann θʔλؔ਺). K = Q ͱ͠ɼρ Λࣗ໌ද‫͢ͱݱ‬Δɽρ ͸͢΂ͯͷૉ਺ p Ͱෆ෼‫͋Ͱذ‬Γɼρ(Frobp ) ͷ‫ݻ‬༗஋͸ 1 Ͱ͋Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼ
1
L(s, ρ) =1 − p−sp ͸ૉ਺͕ಘΒΕΔɽӈลͷແ‫ੵݶ‬Λల։͠ɼૉҼ਺෼ղͷҰҙੑΛ༻͍Δ͜ͱͰɼ∞
1=: ζ(s)L(s, ρ) =snn=1
͕෼͔Δʢζ(s) ͸ Riemann θʔλؔ਺ʣɽಛʹɼζ(s) ͸ෳૉฏ໘શମʹղੳ઀ଓ͞
Εɼs = 1 ʹ͓͚ΔҰҐͷ‫ۃ‬Λআ͍ͯਖ਼ଇͰ͋Γɼs ↔ 1 − s ͱ͍͏‫ܗ‬ͷؔ਺౳ࣜΛΈͨ͢ɽ
ྫ 2.7 (Dirichlet ࢦඪͱ Dirichlet L ؔ਺). Ұൠʹɼԁ෼ମ࿦ʢ͢ͳΘͪ Q ͷྨମ࿦ʣʹΑΓɼDirichlet ࢦඪΛʢ1 ࣍‫ݩ‬ʣGalois ද‫ͯ͠ͱݱ‬ղऍ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɽN ≥ 1
ͱ͢Δɽಋख N ͷ‫ ࢝ݪ‬Dirichlet ࢦඪͱ͸ɼ४ಉ‫ܗ‬χ : (Z/N Z)× −→ C×Ͱ͋ͬͯɼ(Z/M Z)× (M ͸ N ͷ໿਺ɼM = N ) Λ‫ܦ‬༝͠ͳ͍΋ͷΛ͍͏ɽ͜ͷͱ͖ɼχ ͷ L ؔ਺͕

L(s, χ) :=m≥1, m ͸ N ͱ‫ʹ͍ޓ‬ૉ

χ(m)
=
ms


p ͸ N ΛׂΒͳ͍ૉ਺

11 − χ(p)p−s

Ͱఆ·ΔɽҰํɼζN Λ 1 ͷ‫ ࢝ݪ‬N ৐ࠜͱ͢Δͱɼԁ෼ମ࿦ʹ͓͚Δಉ‫ܗ‬

 ∼

=
r(σ) 
Gal Q(ζN )/Q −→ (Z/N Z)× ,σ → r(σ) σ(ζN ) = ζN
17͢ͳΘͪɼdet ρ(c) = −1 ͷ৔߹ɽ͜͜Ͱ c ∈ Gal(C/R) ͸ෳૉ‫ڞ‬໾Ͱ͋Δɽ

12- 103 -

ͱ͓͘ͱɼT E, V E ͸ͦΕͧΕ Z , Q ্ͷ֊਺ 2 ͷࣗ༝Ճ‫͋Ͱ܈‬ΓɼGal(K/K) ͕ࣗવʹ࡞༻͢ΔɽT E, V E Λପԁ‫ۂ‬ઢ E ͷ ਐ Tate Ճ‫͏͍ͱ܈‬ɽV E ͷ૒ରۭؒΛ
V = HomQ V E, Qͱ͓͘ͱɼV ʹ΋ࣗવʹ Gal(K/K) ͕࡞༻͠ɼK ͷ 2 ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ݱ‬
ρE, : Gal K/K −→ GL(V )͕ಘΒΕΔɽV ͸ E ͷ 1 ࣍ΤλʔϧίϗϞϩδʔ H 1 E ⊗K K, Q ͱಉ‫͋Ͱܗ‬ΔɽK͕Ґ਺ q ͷ༗‫ݶ‬ମ Fq Ͱ͋Ε͹ɼq ͱ‫ʹ͍ޓ‬ૉͳ೚ҙͷૉ਺ ʹର͠ɼTr ρE, (Frobq ) = 1 + q − #E(Fq )͕ͳΓͨͭɽ
ʢ#E(Fq ) ͸ E ͷ Fq -༗ཧ఺ͷ‫͋Ͱ਺ݸ‬Δɽྫ 3.9 Λࢀরɽ
ʣ

2.8. ͳͥ Galois ද‫ݱ‬Λߟ͑Δ͜ͱ͕େ੾ͳͷ͔. ‫ݹ‬యతͳ੔਺࿦ͷ໰୊ͷ͏ͪͷ͍͔ͭ͘͸ɼGalois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ʹؔ͢Δ໰୊ʹ຋༁Ͱ͖Δɽྫ͑͹ɼʰͲͷΑ͏ͳ‫ح‬ૉ਺ p ͕ɼp = x2 + y 2 ʢx, y ͸ਖ਼੔਺ʣͱॻ͚Δ͔ʁʱ
ͱ͍͏໰୊ʢ౴͑ : ্ͷΑ͏ʹॻ͚Δ͜ͱͱɼp ≡ 1 (mod 4) ͸ಉ஋ʣ͸ೋ࣍‫ࣜܗ‬√√√
x2 +y 2 ͕ೋ֦࣍େ Q( −1)/Q ͷϊϧϜͰ͋Δ͜ͱɼ͢ͳΘͪ α = x+y −1 ∈ Q( −1)ʹରͯ͠ α ͱͦͷ‫ڞ‬໾ α ͱͷੵ͕√√
αα = (x + y −1)(x − y −1) = x2 + y 2√
ͱͳΔ͜ͱͱɼQ( −1) ͷྨ਺͕ 1 Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫໨͢Δͱɼ࣍ͷࣸ૾ͷ߹੒√ρ : Gal(Q/Q) −→ Gal(Q( −1)/Q) ∼= {±1} → C×
Ͱఆ·Δ Q ͷ 1 ࣍‫ ݩ‬Artin ද‫ ݱ‬ρ ʹର͠ Frobp ͷߦ͖ઌ ρ(Frobp ) Λ໰͏໰୊ɼ͢ͳΘͪɼʱʰ1 ࣍‫ ݩ‬Artin ද‫ ݱ‬ρ ͷ L ؔ਺ L(s, ρ) ΛܾఆͤΑɽͱ͍͏໰୊ʢ౴͑ :√−1 ͸ 1 ͷ‫ ࢝ݪ‬4 ৐ࠜͰ͋Δ͔Βɼԁ෼ମ࿦͔Β͕࣍෼͔Δɽಋ

ख 4 ͷඇࣗ໌ͳʢ།Ұͷʣ‫ ࢝ݪ‬Dirichlet ࢦඪχ : (Z/4Z)× −→ C× ,1 → 1,

3 → −1ʹର͠ɼL(s, ρ) = L(s, χ)ɽಛʹɼ‫ح‬ૉ਺ p ʹରͯ͠͸ɼρ(Frobp ) = 1 ͱ p ≡ 1 (mod 4)͸ಉ஋ʣʹ຋༁Ͱ͖Δɽ
14- 105 -

੔਺࿦ʹ͓͚Δॏཁͳఆཧͷதʹ͸ɼʮૉ਺ʯ΍ʮํఔࣜʯͱ͍ͬͨ‫ݸ‬ʑͷର৅Λ཭Εͯɼ
ʮGalois ද‫ݱ‬ʯΛ౷Ұతʹߟ࡯͢Δ͜ͱͰɼ‫ݟ‬௨͠Α͘આ໌ɾূ໌͞ΕΔ΋ͷ΋
ଟ͍20ɽ

2.9. อ‫ʹࣜܗܕ‬൐͏ Galois ද‫ݱ‬. ྫ 2.7 Ͱड़΂ͨΑ͏ʹɼQ ͷྨମ࿦͸ɼ‫࢝ݪ‬త Dirichlet ࢦඪ χ ↔ Q ͷ 1 ࣍‫ ݩ‬Artin ද‫ ݱ‬ρͱ͍͏ҰରҰͷରԠͱͯ͠ཧղ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ21ɽDirichlet ࢦඪͷʮ2 ࣍‫ݩ‬൛ʯͰ
͋Δอ‫ʹࣜܗܕ‬ɼQ ͷ 2 ࣍‫ ݩ‬Galois ද‫͕ݱ‬ରԠ͢Δ͜ͱΛड़΂Δ22ɽҰൠʹɼQ ͷ 2 ࣍‫ ݩ‬Galois ද‫ ݱ‬ρ ͕‫͓( ح‬Αͼɼ‫͋Ͱ )ۮ‬Δͱ͸ɼdet ρ(c) = −1 (͓ʢc ∈ Gal(C/R) ⊂ Gal(Q/Q) ͸ෳૉ‫ڞ‬໾ͰΑͼɼdet ρ(c) = 1) ͱͳΔ͜ͱΛ͍͏ɽ͋Δɽʣ
ఆཧ 2.10 ([De1], [DeS], [Ca], [Sch], [Sa] ͳͲ). f =∞

n=1 an qnΛਖ਼‫ن‬Խ͞Ε͍ͯΔઑ఺తͳอ‫ͯͬ͋Ͱࣜܗܕ‬ɼHecke ࡞༻ૉͷಉ࣌‫ݻ‬༗ؔ਺ͱͳ͍ͬͯΔ΋ͷͱ͢Δɽ

f ͸Ϩϕϧ N ͷ৽‫͋Ͱࣜܗ‬ΔͱԾఆ͢Δɽf ͷॏ͞Λ k ɼࢦඪΛ ε ͱ͓͘ɽ Λૉ਺ͱ͠ɼମಉ‫ ܗ‬Q ∼= C Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼQ ͷʮ‫ح‬ʯͰઈର‫ط‬໿ͳ 2 ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ݱ‬ρf, : Gal Q/Q −→ GL(V )ʢV ͸ Q ͷ༗‫֦࣍ݶ‬େ E ্ͷ 2 ࣍‫ݩ‬ϕΫτϧۭؒʣ͕ଘࡏ͠ɼ

L(s, f ) = L(s, ρf, )ΛΈͨ͢23ɽρf, Λอ‫ ࣜܗܕ‬f ʹ൐͏ ਐද‫͏͍ͱݱ‬ɽ͞Βʹɼ͕࣍ͳΓͨͭɽ(1) p Λ N ͱ‫ʹ͍ޓ‬ૉͳૉ਺ͱ͢Δɽp = ͳΒ͹ɼ(ρf, )p ͸ෆ෼‫Ͱذ‬ɼTr ρf, (Frobp ) = ap ,det ρf, (Frobp ) = ε(p)pk−1
ʹ౳͍͠ɽ͜͜Ͱɼχ͕ͳΓͨͭɽಛʹɼρf, ͷߦྻࣜද‫ ݱ‬det ρf, ͸ τ ⊗χ⊗1−k͸ ਐԁ෼ࢦඪͰ͋Γ (ྫ 2.8)ɼτ ͸ྫ 2.7 ͷରԠʹΑΓ ε ʹରԠ͢Δ 1 ࣍‫ ݩ‬ਐ
20΋ͪΖΜɼ੔਺࿦ʹ͓͚Δॏཁͳఆཧͷதʹ͸ɼGalois ද‫ͱݱ‬͸ؔ܎͕ແ͍΋ͷ΋͋Δɽʢ‫ࡏݱ‬ͷ

ͱ͜Ζؔ܎͕஌ΒΕ͍ͯͳ͍ͱ‫͔͖΂͏ݴ‬ʁʣ
21͜Ε͸૾͕༗‫ͳݶ‬৔߹Ͱ͋Δɽ͜ͷରԠΛɼ୅਺త Hecke ࢦඪͱ Q ͷ 1 ࣍‫  ݩ‬ਐද‫ݱ‬ͷؒͷରԠʹ֦ு͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɽ
22ॏ͕͞ 1 ͷอ‫ ʹࣜܗܕ‬2 ࣍‫ ݩ‬Artin ද‫ݱ‬ʢͷ͏ͪʮ‫ح‬ʯͳ΋ͷʣ͕ରԠ͠ɼॏ͕͞ 2 Ҏ্ͷอ‫ܕ‬‫ʹࣜܗ‬ʢ૾͕ແ‫ͳݶ‬ʣ ਐද‫͕ݱ‬ରԠ͢Δɽ
23 ਐද‫ ݱ‬ρ ʢͷಉ஋ྨʣ͕ҰҙతͰ͋Δ͜ͱ͕ɼρf,
f, ͕ઈର‫ط‬໿Ͱ͋Δ͜ͱͱ Chebotarev ີ౓ఆཧ͔Β͕ͨ͠͏ɽ
ʢChebotarev ີ౓ఆཧ͔Βɼ ਐද‫ ݱ‬ρ ͷ൒୯७Խʢͷಉ஋ྨʣ͕ɼ༗‫ݸݶ‬Λআ͘͢΂ͯͷૉ਺ p ʹର͢Δ Tr ρ(Frobp ) ͷ஋͔ΒҰҙతʹܾ·Δ͜ͱ͕෼͔Δ ([Se4])ɽ
ʣ·ͨɼρf, ͱ
ρg, ͕ಉ஋Ͱ͋Ε͹ f = g ͱͳΔ͜ͱ͕ɼอ‫ʹࣜܗܕ‬ର͢Δॏෳ౓Ұఆཧ͔Β͕ͨ͠͏ɽ
15- 106 -

ද‫ݱ‬ʢArtin ද‫ݱ‬ʣͰ͋Δɽ͢ͳΘͪɼN ΛׂΒͳ͍ૉ਺ p ʹର͠ɼτ (Frobp ) =χ(p) ͕ͳΓͨͭ24ɽ(2) p = ͷͱ͖ɼ(ρf, )p ͸ de Rham Ͱ͋Δɽ͞ΒʹɼQp ͷ୅਺తดแͷ p ਐ‫׬‬උԽΛ Cp ͱ͓͘ͱɼGal(Qp /Qp ) ͷ࡞༻ͱՄ‫ ͳ׵‬Cp ্ͷϕΫτϧۭؒͱͯ͠
ͷಉ‫ܗ‬V ⊗E Cp ∼= Cp ⊕ Cp (1 − k)

ʢHodge-Tate ෼ղʣ͕ଘࡏ͢Δɽࠨล V ⊗E Cp ʹ Gal(Qp /Qp ) ͸ର֯తʹ࡞༻͢Δɽ·ͨɼӈลͷ Cp (1 − k) ͸ Cp ͷ Tate ೧ΓͰ͋Δ25ɽ

(3) k = 1 ͷͱ͖ɼρf, ͷ૾͸༗‫͋Ͱ܈ݶ‬Δɽ·ͨɼN ΛׂΒͳ͍ૉ਺ p Ͱ ρf, ͸ෆ෼‫͋Ͱذ‬Δɽρf, ͷಉ஋ྨ͸ ʹΑΒͳ͍26ɽ͜͜Ͱ͸ɼଟ͘ͷ਺ֶऀʹΑΔʢEichler, ࢤଜ‫ޒ‬࿠, Deligne, Serre, Langlands,

Carayol, Schollɼࡈ౻‫ؽ‬ΒʹΑΔʣ௕೥ͷ݁Ռͷ஝ੵΛҰͭͷఆཧͷ‫͍ͨॻͰܗ‬ɽρf,͕ઈର‫ط‬໿Ͱ͋Δ͜ͱͷূ໌͸ Ribet ʹΑΔɽอ‫ ࣜܗܕ‬f ʹରԠ͢Δ GL2 (AQ ) ͷอ‫ܕ‬ද‫ ݱ‬π ͱ‫ ॴہ‬Langlands ରԠΛ༻͍Δ͜ͱͰɼN ΛׂΓ੾Δૉ਺ p ʹ͓͚ΔରԠΛਫ਼ີʹड़΂Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ·ͨɼ͜Ε͸ূ໌͔Β͕ͨ͠͏ͷ͕ͩɼρf, ͕୯ʹʢந৅తʹʣଘࡏ͢Δ͚ͩͰͳ͘ɼk ≥ 2 ͷ৔߹27ɼʰf ʹ൐͏ ਐද‫ ݱ‬ρf, ͸ɼ‫ٱ‬լʖࠤ౻ଟ༷ମͱ‫ݺ‬͹ΕΔ (k − 1) ࣍‫ݩ‬୅਺ଟ༷ମʢϞδϡϥʔ‫ۂ‬ઢ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ଒ͷࣗ‫ݾ‬ϕΩʹΑΓಘΒΕΔ୅਺ଟ༷ମʣͷ (k − 1) ࣍ΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍ͯ࡞ΒΕΔʱ
ͱ͍͏఺͸ॏཁͰ͋Δɽ͜ΕΛ༻͍ͯɼDeligne ͸ Ramanujan ༧૝ʢ͓Αͼ Ramanujan-Petersson ༧૝ʣΛ Weil ༧૝ʹ‫ؼ‬ண͢Δ͜ͱʹΑΓূ໌ͨ͠ʢ[De1], [De2]ɽຊߘͷ§3.8 ΋ࢀরʣɽ⊗1−k͕ͳΓͨͭ͜ͱ͸ɼChebotarev ີ౓ఆཧͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δɽf ͷॏ͞ k ͱࢦඪf, = τ ⊗ χkε ͸ ε(−1) = (−1) ΛΈ͔ͨ͢Βʢ§2.1 Λ‫ݟ‬Αʣɼdet ρf, (c) = (−1)k · (−1)1−k = −1 ͱͳΓɼρf, ͕

24det ρʮ‫ح‬ʯͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ
25ρ
f, ͷ p =  ʹ͓͚Δ༷ࢠ͔Β f ͷʮॏ͞ k ʯ͕෮‫͖Ͱݩ‬Δ͜ͱʹͳΔɽ͜Ε͸ p ਐ Hodge ཧ࿦ͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬ΔɽҰൠʹɼHodge-Tate ෼ղͱ͸࣍ͷΑ͏ͳ෼ղͰ͋Δ : Qp ͷ༗‫֦࣍ݶ‬େ F ্ͷ
Y ʹର͠ɼGal(F‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ /F) ͷ࡞༻ͱՄ‫ ͳ׵‬Cp ্ͷϕΫτϧۭؒͱͯ͠ͷಉ‫ܗ‬,
H m Y ⊗F F , Qp ⊗Qp Cp ∼= i+j=m H j Y, Ωi ⊗F Cp (−i) ͕͋ΔɽGal(F /F ) ͸ࠨลʹ͸ର֯తʹ࡞༻͠ɼӈลͷ H j ʹ͸ࣗ໌ʹ࡞༻͢Δɽ
26ਖ਼֬ʹ‫ͱ͏ݴ‬ɼମಉ‫ ܗ‬Q ∼ C ͷબͼํʹΑΔՄೳੑ͸͋Δɽ͔͠͠ɼf ͷ q ల։ͷ܎਺ a ͸͢n
 =΂ͯ͋Δ୅਺ମʹ‫·ؚ‬ΕΔ͔Βɼ͜Ε͸ͦΕ΄Ͳਂࠁͳ͜ͱͰ͸ͳ͍ɽ·ͨɼʮρf, ͕ Artin ද‫͋Ͱݱ‬Δʯ͜ͱ͔Βɼʮॏ͞ 1 ͷอ‫ ࣜܗܕ‬f ʹର͠ɼan ͸༗‫ݸݶ‬ͷ஋͔͠ͱΒͳ͍ʯͱ͍͏݁࿦͕ಘΒΕΔ
ʢ[DeS]ʣɽ
27k = 1 ͷ৔߹ͷ ρf, ͷߏ੒͸ɼॏ͞ͷେ͖͍อ‫ͱࣜܗܕ‬ͷؒͷ߹ಉੑΛ༻͍Δ΋ͷͰɼए‫ࣄׯ‬৘͕ҟͳΔʢ[DeS]ʣɽ
16- 107 -

ఆཧ 2.10 ͸ʮอ‫ → ࣜܗܕ‬Galois ද‫ݱ‬ʯͱ͍͏ରԠͰ͋Δ͕ɼ‫޲ํٯ‬ͷʮGalois ද‫ → ݱ‬อ‫ ࣜܗܕ‬ʯͱ͍͏ରԠΛߟ͑Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δ28ɽ͜Ε͸ Galois ද‫ݱ‬ͷอ‫ܕ‬ੑ༧૝ͱ‫ݺ‬͹ΕɼҰൠʹ͸೉͍͠໰୊Ͱ͋ΔɽWilesʢ[Wi]ʣ, Taylor-Wilesʢ[TW]ʣʹΑΓ૑࢝͞ΕͨʮR = T ఆཧʯͷൃలʹΑΓɼ࠷ۙͰ͸ɼQ ΍૯࣮୅਺ମ্ͷʮ‫ح‬ʯ
ͳ 2 ࣍‫ ݩ‬Galois ද‫ݱ‬ͷอ‫ܕ‬ੑ༧૝ʹରͯ͠͸ɼ͍͔ͭ͘ͷ݁Ռ͕ಘΒΕΔΑ͏ʹͳͬ
͖ͯͨɽQ ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ E ͷ ਐ Tate Ճ‫ʹ܈‬ΑΓಘΒΕΔ 2 ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ݱ‬͸ॏ͞ 2ͷอ‫ʹࣜܗܕ‬൐͏ͱ͍͏ͷ͕୩ࢁʖࢤଜ༧૝Ͱ͋ΓɼBreuil-Conrad-Diamond-TaylorʹΑΓ‫׬‬શʹղܾ͞Εͨʢ[BCDT]ʣɽ༩͑ΒΕͨ Q ͷ‫ط‬໿Ͱʮ‫ح‬ʯͳ 2 ࣍‫ ݩ‬modද‫ ݱ‬ρ ͸ɼอ‫ʹࣜܗܕ‬൐͏ ਐද‫ݱ‬ͷ modͰಘΒΕΔͱ͍͏ͷ͕ Serre ༧૝Ͱ͋ΓɼTaylorɼShepherd-Barron ΒʹΑΔ෦෼తղܾͷ‫ޙ‬ɼTaylor ʹΑΔʮજอ‫ܕ‬ੑʯ΍ Kisin ʹΑΔʮRred = T ఆཧʯΛ༻͍ͯɼKhare-Wintenberger ʹΑΓղܾ͞Εͨʢ[SBT], [KW]ʣɽSerre ༧૝ʹ Buzzard-Taylor ʹΑΔ p ਐอ‫ࣜܗܕ‬ͷ “͸Γ͋Θͤ”ʢ·ͨ͸ “p ਐղੳ઀ଓ”ʣͷٞ࿦Λ૊Έ߹ΘͤΔ͜ͱͰɼ‫ ڧ‬Artin ༧૝ʢ‫ط‬໿Ͱʮ‫ح‬ʯͳ Q ͷ 2 ࣍‫ ݩ‬Artin ද‫͕ݱ‬ɼॏ͞ 1 ͷอ‫ʹࣜܗܕ‬൐͏ͱ͍͏༧૝ʣ͕ূ໌͞Εɼͦͷ‫ͯ͠ͱ݁ؼ‬ʢn = 2, K = Q Ͱʮ‫ح‬ʯͳ৔߹ͷʣArtin ༧૝ʢ༧૝ 2.5ʣ͕ূ໌͞Εͨɽ
ʢQ ͷ 2 ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ʹݱ‬ର͢Δอ‫ܕ‬ੑ༧૝ͷ‫ݱ‬ঢ়ʹ͍ͭͯ͸ɼ[Kis] ΍ͦ͜ͰҾ༻͞Ε͍ͯΔจ‫ݙ‬Λࢀরɽʣ

2.10. ඇՄ‫ྨ׵‬ମ࿦΁. Q ͷ 2 ࣍‫ݩ‬ඇՄ‫ྨ׵‬ମ࿦Λอ‫ ࣜܗܕ‬f ↔ Q ͷ 2 ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ ݱ‬ρf,ͱ͍͏‫Ͱܗ‬ཧղ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽࠨล͸ʮGL2 (AQ ) ͷอ‫ܕ‬ද‫ݱ‬ʯͷಛผͳ৔߹ʢਖ਼
ଇอ‫ʹࣜܗܕ‬ରԠ͢Δ৔߹ɽʮ‫ح‬ʯͳ Galois ද‫ʹݱ‬ରԠ͢ΔʣͰ͋Δɽ࠷ۙͰ͸ɼΑΓҰൠͷ୅਺ମ K ʹରͯ͠ɼGLn (AK ) ͷʢ୅਺తʣอ‫ܕ‬ද‫ ݱ‬π ↔ K ͷ n ࣍‫ݩ‬ʢ‫ز‬Կతʣ ਐද‫ ݱ‬ρπ,ͱ͍͏‫ܗ‬ͷඇՄ‫ྨ׵‬ମ࿦͕‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔɽߴ࣍‫ࢤݩ‬ଜଟ༷ମʢϞδϡϥʔ‫ۂ‬ઢͷҰൠԽʣͷΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍Δ͜ͱͰɼ͍͔ͭ͘ͷಛผͳ৔߹ʢK ͕૯࣮୅਺ମ͔ CM ମͰɼπ ͕༷ʑͳٕज़తԾఆΛΈͨ͢৔߹ʣʹ͸ɼ

GLn (AK ) ͷอ‫ܕ‬ද‫ ݱ‬π ʹ൐͏ n ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ ݱ‬ρπ,͕ߏ੒͞Εɼ੔਺࿦తԠ༻΋ಘΒΕ͍ͯΔʢ[Tay3], [HT], [TY], [Tanoshimi]ʣɽ
28Q ͷʮ‫ۮ‬ʯͳ 2 ࣍‫ ݩ‬Galois ද‫ݱ‬͸࣮ղੳతͳอ‫ࣜܗܕ‬ʢMaass ͷ೾ಈ‫ࣜܗ‬ʣʹ൐͏ͱ‫ظ‬଴͞Ε͍ͯΔ͕ɼ‫Ͱ఺࣌ݱ‬͸ʮอ‫ ↔ ࣜܗܕ‬Galois ද‫ݱ‬ʯͷରԠͷ͍ͣΕͷํ޲΋ূ໌͞Ε͍ͯͳ͍ɽ࣮ղੳ
తͳอ‫ʹࣜܗܕ‬ରͯ͠͸ɼ਺࿦‫ز‬Կతͳख๏͕࢖͑ͳ͍͜ͱ͕ҰҼͰ͋Δɽ
17- 108 -

3. Weil ༧૝ͱΤλʔϧίϗϞϩδʔ͜͜Ͱ͸ɼ਺࿦‫ز‬Կͷൃలͷ‫ݪ‬ಈྗͱͳͬͨ Weil ༧૝ʢ༗‫ݶ‬ମ্ͷ୅਺ଟ༷ମʹ
ର͢Δ Riemann ༧૝ͷྨࣅʣͱɼͦͷղܾʹେ͖ͳ໾ׂΛՌͨͨ͠ΤλʔϧίϗϞϩδʔʹ͍ͭͯड़΂Δɽ

3.1. Hasse-Weil θʔλؔ਺. ·ͣɼ‫ݹ‬యతͳ Riemann ༧૝ʹ͍ͭͯࢥ͍ग़͓ͯ͜͠
͏ɽRiemann θʔλؔ਺͸ Dirichlet ‫਺ڃ‬

ζ(s) :=

∞

1
n=1

ns

Ͱఆٛ͞ΕΔؔ਺Ͱ͋Δɽӈล͸ s ͷ࣮෦͕े෼ʹେ͖͍ͱ͜ΖͰઈରऩଋ͠ʢ࣮ࡍ
ʹ͸ Re(s) > 1 ͰΑ͍ʣɼෳૉฏ໘શମʹ༗ཧ‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ղੳ઀ଓ͞Εɼs = 1 ʹ͓͚Δ 1 Ґͷ‫ۃ‬Λআ͍ͯਖ਼ଇͰ͋Δɽ·ͨɼζ(s) ͸ s ↔ 1 − s ͱ͍͏‫ܗ‬ͷؔ਺౳ࣜΛΈͨ͢ɽζ(s) ͸ෛͷ‫਺ۮ‬ʢs = −2, −4, −6, . . .ʣͰྵ఺ʢࣗ໌ͳྵ఺ʣΛ࣋ͭɽ༗໊
ͳ Riemann ༧૝ʰζ(s) ͷྵ఺͸ɼࣗ໌ͳྵ఺Ҏ֎͸௚ઢ Re(s) = 12 ্ʹ͋Δʱ
͸ࠓ೔Ͱ΋ະղܾͰ͋ΔɽૉҼ਺෼ղͷҰҙੑ͔Βɼζ(s) ͸ Re(s) > 1 ʹ͓͍ͯ Euler ੵ1ζ(s) =
1 − p−sp ͸ૉ਺Λ΋ͭɽεΩʔϜ Spec Z ͷด఺͸ Z ͷ‫ۃ‬େΠσΞϧʹରԠ͠ɼ(p) = pZʢp ͸ૉ਺ʣͱ͍͏‫ܗ‬Λ͍ͯ͠Δ͔Βɼζ(s) =

x∈|Spec Z|

1
1 − #(κ(x))−sͱ͍͏‫͚ॻʹܗ‬Δɽ͜͜Ͱɼ|Spec Z| ͸εΩʔϜ Spec Z ͷด఺ͷू߹Ͱ͋ΔɽʢҰൠʣ·ͨɼκ(x) ͸ x ʹ͓͚Δ৒༨ମͰ͋ΓɼʹεΩʔϜ X ͷด఺ͷू߹Λ |X| Ͱද͢ɽ#(κ(x)) ͸ͦͷҐ਺Ͱ͋Δɽʢx = (p) ͳΒ κ(x) = Fp ɼ#(κ(x)) = p Ͱ͋Δɽʣ
ఆٛ 3.1. X Λ Spec Z ্༗‫ܕݶ‬ͷεΩʔϜͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼX ͷ Hasse-Weil θʔλؔ਺Λ Euler ੵζ(s, X) :=


x∈|X|

1
1 − #(κ(x))−sͰఆٛ͢Δɽӈล͸ s ͷ࣮෦͕े෼େ͖͍ͱ͜ΖͰऩଋ͢Δɽ
18- 109 -

X = Spec Z ͷͱ͖ʹ ζ(s, Spec Z) ͕ Riemann θʔλؔ਺ʹͳΔ͜ͱΛड़΂ͨɽҰൠʹ X = Spec OK ʢK ͸୅਺ମɼOK ͸ K ͷ੔਺‫؀‬ʣͷͱ͖ɼζ(s, Spec OK ) ͸ K ͷ

Dedekind θʔλؔ਺ʹ౳͍͠ɽ೚ҙͷ Spec Z ্༗‫ܕݶ‬ͷεΩʔϜ X ʹର͠ɼζ(s, X) ͸ෳૉฏ໘શମʹ༗ཧ‫਺ؔܕ‬ͱͯ͠ղੳ઀ଓ͞Εɼ͞Βʹ X ͕ྑ͍ੑ࣭Λ࣋ͯ͹ ζ(s, X) ͸ؔ਺౳ࣜΛΈͨ͢ͱ༧૝͞Ε͍ͯΔ29ɽ͜ͷ༧૝͸ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔Βఆ·Δ Galois ද‫ݱ‬Λ༻͍ͯɼ

Galois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ͷ໰୊ͱͯ͠ਫ਼ີʹఆࣜԽ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ30ɽ͔͠͠ɼ
ʢ୅਺ମͷ੔਺‫؀‬ͷ৔߹΍ɼຊઅͰ͜Ε͔Βड़΂Δ༗‫ݶ‬ମ্ͷ୅਺ଟ༷ମͷ৔߹Λআ͍ͯʣূ
໌͞Ε͍ͯΔྫ͸‫ۃ‬Ίͯগͳ͍ɽX ͕ Q ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢʢͷ Néron Ϟσϧʣͷ৔߹Ͱ͑͞ɼ͜ͷ༧૝͕ূ໌͞Εͨͷ͸࠷ۙͷ͜ͱͰ͋Δɽ
ʢ୩ࢁʖࢤଜ༧૝ͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δɽ
ʣ

3.2. Weil ༧૝ (‫ݹ‬యతఆࣜԽ).
ิ୊ 3.2. ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ୅਺ଟ༷ମ X ʹର͠ɼ∞
(q −s )m#X(Fqm )ζ(s, X) = expmm=1͕ͳΓͨͭɽ͜Ε͸྆ลΛ T = q −s ʹؔ͢Δ༗ཧ਺܎਺ͷ‫ࣜܗ‬తϕΩ‫ͱͨ͑ߟͱ਺ڃ‬͖ͷ౳ࣜͰ͋Δɽ
ূ໌. ด఺ x ∈ |X| ʹ͓͚Δ৒༨ମ κ(x) ͷҐ਺Λ q mx ͱ͓͘ͱɼ#(κ(x))−s = (q −s )mx =T mx ͔ͩΒɼࠨลͷ log ͸
log ζ(s, X) =
log
x∈|X|

=

∞

(T mx )nx∈|X| n=1=
ͱॻ͚ΔɽΑͬͯɼ1
1 − #(κ(x))−s
n


=

mx

x∈|X| n=1

∞ 




n=1

x∈|X|, mx ͸ n ͷ໿਺



mx




log

x∈|X|

∞


=



1
1 − T mxT (mx n)(mx n)Tnnmx = #X(Fqn )x∈|X|, mx ͸ n ͷ໿਺
29΋ͪΖΜɼRiemann ༧૝ͷྨࣅΛ “‫ظ‬଴” ͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δ͕ɼRiemann ༧૝͸ Spec Z ͷ৔߹Ͱ͑͞ূ໌͞Ε͍ͯͳ͍͔ΒɼҰൠతͳʮ༧૝ʯΛड़΂Δͷ͸ੑ‫͗͢ٸ‬Δ͔΋͠Εͳ͍ɽ
30Hasse-Weil θʔλؔ਺ͱ Galois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ͷؔ܎ʹ͍ͭͯ͸ §3.10 Λࢀরɽ·ͨɼ[Se6], [Tay3],[Tay1], [Tay2] Λࢀরɽ19

- 110 -

Λࣔͤ͹Α͍ɽ͜Ε͸ɼ֤ด఺ x ∈ |X| ʹର͠ɼʢFq ্‫ڞ‬໾ͳ mx ‫ݸ‬ͷʣFqmx -༗ཧ఺ͷ૊ Px,1 , . . . , Px,mx ͕ఆ·Γɼ͜ΕʹΑΓҰରҰରԠ

.
1:1 |X| ←→ X(Fq ) ͷ Gal(Fq /Fq )-‫ي‬ಓx ←→ {Px,1 , . . . , Px,mx }͕ಘΒΕΔ͜ͱͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δɽʢด఺ x ∈ |X| ͸ɼ֤ X(Fqn )ʢn ͸ mx ͷഒ਺ʣʹ mx‫دͭͣݸ‬༩͢Δɽʣ
ఆٛ 3.3. ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ୅਺ଟ༷ମ X ʹର͠ɼม਺ T ʹؔ͢Δ‫ࣜܗ‬తϕΩ‫਺ڃ‬


∞
Tm
Z(T, X) := exp#X(Fqm )m
m=1

Λ X ͷ߹ಉθʔλؔ਺ͱ͍͏ɽ
ʢX ͷ߹ಉθʔλؔ਺ͱ Hasse-Weil θʔλؔ਺ͷؒʹʣ͸ ζ(s, X) = Z(q −s , X) ͷؔ܎͕͋Δɽ

Weil ͸ɼ༗‫ݶ‬ମ্ͷ Fermat ‫ܕ‬ͷ௒‫ۂ‬໘ͷ༗ཧ఺ͷ‫਺ݸ‬Λ਺͑Δ͜ͱͰɼ߹ಉθʔλؔ਺Λ‫͠ࢉܭ‬ɼ࣍ͷ༧૝ʹಋ͔Εͨʢ[We]ʣɽ
༧૝ 3.4 (Weil ༧૝). ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ୅਺ଟ༷ମ X ͷ߹ಉθʔλؔ਺ Z(T, X) ͸࣍ΛΈͨ͢ɽ(1) (༗ཧੑ) Z(T, X) ͸ T ʹؔ͢Δ༗ཧؔ਺Ͱ͋Δɽ͢ͳΘͪɼT ʹؔ͢Δ 0 Ͱͳ͍ଟ߲ࣜͷൺͰද͞ΕΔɽ(2) (ؔ਺౳ࣜ) X ͕ Fq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͢ΔͱɼZ(T, X) ͸

1
Z n , X = ±q nχ/2 · T χ · Z(T, X)
q TΛΈͨ͢ɽ͜͜Ͱ n ͸ X ͷ࣍‫͋Ͱݩ‬Δɽχ ͸ X ͷ Euler ਺Ͱ͋Γɼର֯ू߹

Δ ⊂ X × X ͷࣗ‫Ͱ਺఺ަݾ‬ఆٛ͞ΕΔ : χ := Δ · Δɽ
ʢEuler ਺ʹ͍ͭͯ͸
§3.6 Λࢀরɽʣ(3) (Riemann ༧૝ͷྨࣅ) Z(T, X) ͸
P1 (T ) · P3 (T ) · · · P2n−1 (T ),P0 (T ) · P2 (T ) · P4 (T ) · · · P2n (T )Pi (T ) =(1 − αi,j T ),|αi,j | = q i/2Z(T, X) =jͱ͍͏‫͚ॻʹܗ‬Δɽ
ʢʮ|αi,j | = q i/2 ʯͷਖ਼֬ͳҙຯ͸࣍ͷ௨Γ : αi,j ͸୅਺త਺ʣͰɼͦͷ͢΂ͯͷ‫ڞ‬໾ͷෳૉઈର஋͕ q i/2 ʹ౳͍͠ɽ20- 111 -

(4) (Betti ਺ͷҰக) X ͕୅਺ମ K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ Y ͷඪ਺ p ؐ‫Ͱݩ‬ಘΒΕΔͱԾఆ͢Δɽʢ͢ͳΘͪɼY ͷఆٛํఔࣜͷ܎਺Λ mod mvʢv ͸p ͷ্ʹ͋Δ K ͷ༗‫ݶ‬ૉ఺ɼmv ⊂ OK ͸ରԠ͢Δ OK ͷ‫ۃ‬େΠσΞϧʣͨ͠ʣ೚ҙͷମͷຒΊࠐΈ K → C ʹର͠ɼ΋ͷ͕ X ͷఆٛํఔࣜͰ͋Δͱ͢Δɽ

Y (C) ͸ෳૉଟ༷ମͰ͋Δ͔ΒɼͦͷಛҟίϗϞϩδʔ H i (Y (C), Q) ͕ఆٛ͞ΕΔɽͦͷ࣍‫( ݩ‬Betti ਺) ͸ଟ߲ࣜ Pi (T ) ͷ࣍਺ʹ౳͍͠ :dimQ H i Y (C), Q = deg Pi (T )(1) ͔Βɼಛʹɼζ(s, X) = Z(q −s , X) ͕ s ʹؔ͢Δ༗ཧ‫ ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬C શମʹղੳ઀ଓ͞ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ(2) Λ Hasse-Weil θʔλؔ਺ͷ‫ݴ‬༿ʹ຋༁͢ΔͱɼT = q −sͰ͋Δ͔Βɼs ↔ n − s ͱ͍͏‫ܗ‬ͷؔ਺౳͕ࣜಘΒΕΔɽ·ͨɼෳૉ਺ q ʹର͠ɼ|q −s | = q −Re(s) Ͱ͋Δ͔Βɼ(3) ͸ Hasse-Weil θʔλؔ਺ͷ‫ۃ‬΍ྵ఺ͷ࣮෦ʹؔ͢Δ
ओுͰ͋Δɽ
ପԁ‫ۂ‬ઢͷ৔߹ͷ༧૝ 3.4 ͸ Hasse ʹΑͬͯ 1930 ೥୅ʹ͸஌ΒΕ͍ͯͨʢྫ 3.6ʣɽ
ʣWeil ͸ 1940 ೥୅ʹ୅਺
ʢHasse ͸ 1933 ೥ͱ 1934 ೥ʹ 2 ௨Γ31ͷূ໌Λ༩͍͑ͯΔɽ‫ۂ‬ઢͷ৔߹΍ʢ2 ௨Γ32ͷূ໌Λ༩͍͑ͯΔʣɼΞʔϕϧଟ༷ମͷ৔߹Λղܾͨ͠ɽ࠷
ऴతʹɼArtin, Grothendieck ΒʹΑΔΤλʔϧίϗϞϩδʔͷ‫͚෇ૅج‬Λ‫ͯܦ‬ɼ༧
ʢDeligne ΋·ͨ 2 ௨Γ33ͷূ໌૝ 3.4 ͸ Deligne ʹΑͬͯղܾ͞Εͨʢ[De2], [De3]ʣɽ
Λ༩͍͑ͯΔʂʣ
ྫ 3.5. X Λ n ࣍‫ࣹݩ‬Өۭؒ Pn ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼP (F ) = q
n

qm

mn

+q

m(n−1)+ ··· + q + 1 =
m

n


q km

k=0

Ͱ͋Δ͔Βɼ

Z(T, X) = exp


n
∞ 
m=1 k=0

q

km T

m

m

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n

k=0

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
∞

(q k T )m
m
m=1


=

n


1
1 − qk T
k=0

ͱͳΔɽP ͷ Euler ਺͸ χ = n + 1 Ͱ͋ΓɼࣹӨۭؒ Pn (C) ͷ Betti ਺͸"
1 i = 0, 2, 4, . . . , 2ndimQ H i (Pn (C), Q) =0 ͦΕҎ֎
n31ඪ਺ 0 ͷମ্ʹ্࣋ͪ͛ͯ‫਺ڏ‬৐๏࿦Λ༻͍Δূ໌ͱɼඪ਺ p ͷମ্ͷ Frobenius ࣹΛ༻͍Δূ

໌Ͱ͋Δɽ
32
Jacobi ଟ༷ମΛ༻͍ͯ୅਺‫ۂ‬ઢͷ৔߹ΛΞʔϕϧଟ༷ମͷ৔߹ʹ‫ؼ‬ண͢Δํ๏ͱɼ୅਺‫ۂ‬ઢͷϕ
Ω C × C ্ͷ Hodge ࢦ਺ఆཧΛ༻͍Δํ๏Ͱ͋Δɽ͜ΕΒ͸ Grothendieck ʹΑΔʮελϯμʔυ༧૝ʯͷಈ‫ͨͬͳͱ͚෇ػ‬ɽ33[De2], [De3] ͷূ໌ͷΞΠσΞ͸ए‫ׯ‬ҟͳΔ͕ɼ࢖ΘΕ͍ͯΔಓ۩ʢΤλʔϧίϗϞϩδʔɼLefschetz ϖϯγϧɼؔ਺ମ্ͷ L ؔ਺ͷऩଋੑͳͲʣʹ͸‫ڞ‬௨ͷ΋ͷ͕ଟ͍ɽʢHasse ΍ Weil ʹൺ΂Δ
ͱʣ“2 ௨Γͷผূ໌” ͱ·Ͱ͸‫͔͍ͳ͑ݴ‬΋͠Εͳ͍ɽ
21- 112 -

Ͱ͋Δ͔ΒɼP2k (T ) = 1 − q k T (k = 0, . . . , n)ɼP2k+1 (T ) = 1 (k = 0, . . . , n − 1) ͱ͓͚͹ɼ༧૝ 3.4 ͕͔֬ΊΒΕΔ34ɽ
ྫ 3.6 (Hasse ͷఆཧ). E Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢͱ͢ΔɽFq ͷඪ਺͕ 2 Ͱ΋ 3 Ͱ΋ͳ͚Ε͹ɼE ͸ࣹӨۭؒ P2 ͷதͰ 3 ࣍ࣜ (Weierstrass ඪ४‫)ܗ‬(a, b ∈ Fq , 4a3 + 27b2 = 0)

E : Y 2 Z = X 3 + aXZ 2 + bZ 3Ͱఆٛ͞ΕΔ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺‫ۂ‬ઢͰ͋Δɽ͜ͷͱ͖ɼ୅਺త਺ α, β ∈ C ͕ଘࡏͯ͠ɼαβ = q ͔ͭɼ೚ҙͷ m ≥ 1 ʹରͯ͠#E(Fqm ) = 1 − (αm + β m ) + q mΛΈͨ͢ɽʢ͜Ε͸ Lefschetz ੻ެࣜΛ༻͍ͯղऍͰ͖Δɽྫ 3.9 Λࢀরɽʣ͜ΕΑΓɼ

E ͷ߹ಉθʔλؔ਺͸


∞
 m

(1 − αT )(1 − βT )mmm TZ(T, E) = exp
1 − (α + β ) + q=
m(1 − T )(1 − qT )m=1
ͱॻ͚ΔɽC ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ͸ʮ1 ਓ৐Γͷු͖ྠʯͰ͋Δ͔Βɼͦͷ Betti ਺Λߟྀ
͢Δͱɼ༧૝ 3.4 (1), (3) ͔ΒɼP1 (T ) = (1 − αT )(1 − βT ) ͱͳΔ͸ͣͰ͋Δɽͨ͠
͕ͬͯɼ༧૝ 3.4 (3) (Riemann ༧૝ͷྨࣅ) ͸|α| = |β| = q 1/2 ⇐⇒ P (T ) = 0 ͕ॏղ͔ɼ·ͨ͸ 2 ‫ݸ‬ͷҟͳΔ‫਺ڏ‬ղΛ࣋ͭɽ⇐⇒ (α + β)2 ≤ 4q
ͱͳΔ͕ɼα + β = 1 + q − #E(Fq ) ʹ஫ҙ͢Δͱɼෆ౳ࣜ

+++1 + q − #E(Fq )+ ≤ 2√q(Hasse ͷෆ౳ࣜ)ͱಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜ͷΑ͏ʹɼପԁ‫ۂ‬ઢʹର͢Δ Weil ༧૝͸ɼ
ʰ#E(Fq ) ͸΄΅ q + 1 Ͱ͋Γɼͦͷ “‫ͯͱ͕ ”߲ࠩޡ‬΋খ͍͞ʱͱ͍͏੔਺࿦తͳҙຯΛ࣋ͭ35nq ্ͷࣹӨۭؒ P ͷඪ਺ 0 ΁ͷʮ͢΂ͯͷʯ্࣋ͪ͛ʹର͢Δn34‫ͱ͏ݴʹີݫ‬ɼ༧૝ 3.4 (4) ͸ F

ओுͰ͋Δ͔Βɼಛఆͷ্࣋ͪ͛ʢ͢ͳΘͪ P (C) ࣗ਎ʣʹରͯ͠౳߸Λ͔֬Ί͚ͨͩͰ͸ɼ༧૝ 3.4(4) Λূ໌ͨ͜͠ͱʹ͸ͳΒͳ͍ɽ
35ྫ͑͹ɼૉ਺ p = 1, 000, 003 ʹର͠ɼF ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ E : Y 2 Z = X 3 + aXZ 2 + bZ 3 Λߟ͑Δɽp
P2 ্ͷ Fp -༗ཧ఺͸ p2 + p + 1 = 1, 000, 007, 000, 013 ‫ݸ‬΋͋Δ͕ɼͦͷ͏ͪ E Λఆٛ͢Δ 3 ࣍ํఔࣜΛΈͨ͢΋ͷ͕ɼ998, 004 ‫ݸ‬Ҏ্ 1, 002, 004 ‫ݸ‬ҎԼͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔ΔɽHasse ͷఆཧΛ͏·͘༻͍Δ͜ͱͰɼ༗‫ݶ‬ମ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢͷ༗ཧ఺ͷ‫਺ݸ‬Λޮ཰Α͘‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
22- 113 -

3.3. Weil ༧૝΁ͷҐ૬‫ز‬ԿֶతΞϓϩʔν. Weil ͸ɼ౰࣌ൃୡ͍ͯͨ͠Ґ૬‫ز‬Կֶ͔ΒͷΞΠσΞΛऔΓೖΕΔ͜ͱͰɼWeil ༧૝ʢ༧૝ 3.4ʣʹऔΓ૊ΜͩɽWeil ʹΑΔେ୾ͳΞΠσΞΛҰ‫͑ݴͰݴ‬͹ɼ
ʰFrobenius ࣹʹରͯ͠ Lefschetz ੻ެࣜΛ༻͍Δʱʣͱ͍͏΋ͷͰ͋ͬͨɽ
ʢ[Kl2]ɼ8 ϖʔδͷ footnote Λࢀরɽ͜Εʹ͍ͭͯઆ໌͠Α͏ɽX Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͢ΔɽX ͸े෼࣍‫ݩ‬ͷେ͖͍ࣹӨۭؒʹ‫·ؚ‬ΕʢX ⊂ Pm ͱ͢Δʣɼ͍͔ͭ͘ͷ Fq -܎਺ͷଟ߲ࣜͷ‫ڞ‬௨ྵ఺ͱͯ͠ද͞ΕΔɽ
+.
X = [x0 : · · · : xm ] ∈ Pm + F1 (x0 , . . . , xm ) = · · · = Fr (x0 , . . . , xm ) = 0
ʢ[x0 : · · · : xm ] ͸ Pm ͷ੪࣍࠲ඪɽF1 , . . . , Fr ͸ (m + 1) ม਺Ͱ Fq ʹ܎਺Λ࣋ͭ੪࣍ଟ߲ࣜɽʣ੪࣍࠲ඪΛ q ৐͢Δࣸ૾

[x0 : · · · : xm ] → [xq0 : · · · : xqm ]͸ X Λࣗ෼ࣗ਎ʹ͏͔ͭ͢Βɼ͜ΕΛ F : X → X Ͱද͠ɼX ͷ Frobenius ࣹͱ‫ݺ‬ͿɽҰํͰɼ༗‫ݶ‬ମͷ Galois ཧ࿦ʹΑΓ Fq = {a ∈ Fq | aq = a} Ͱ͋Δ͔ΒɼF ͷ‫ݻ‬ఆ఺ͷू߹ Fix(F ) ͸ɼX ͷ Fq -༗ཧ఺ͷू߹ X(Fq ) ʹҰக͢Δ36 :Fix(F ) := {x ∈ X | F (x) = x} = X(Fq ).
ಉ༷ʹɼFix(F m ) = X(Fqm ) Ͱ͋Δɽ༧૝ 3.4 ͷͨΊʹ͸ɼX ͷ Fqm -༗ཧ఺ͷ‫਺ݸ‬#X(Fqm ) Λ͏·͘ίϯτϩʔϧ͢Δඞཁ͕͋Δ͕ɼͦͷͨΊʹ͸ Frobenius ࣹͷϕΩͷ‫ݻ‬ఆ఺ू߹ͷҐ਺ #Fix(F m ) ͕ίϯτϩʔϧͰ͖Ε͹Α͍ɽҐ૬‫ز‬Կֶʹ͓͚Δ Lefschetz ੻ެࣜΛࢥ͍ग़ͦ͏ɽ͜Ε͸ɼେࡶ೺ʹ‫͑ݴ‬͹ɼMΛίϯύΫτҐ૬ଟ༷ମɼϕ : M → M Λ࿈ଓࣸ૾ͱ͠ɼϕ ͷ‫ݻ‬ఆ఺ू߹Λ Fix(ϕ) :={x ∈ M | ϕ(x) = x} ͱ͓͘ͱɼ#Fix(ϕ) =(−1)i Tr ϕ∗ ; H i (M )i͕ͳΓͨͭͱ͍͏ఆཧͰ͋Δ37ɽ͜͜Ͱ H i (M ) ͸ M ͷʢಛҟʣίϗϞϩδʔͰ͋Γɼϕ∗ : H i (M ) → H i (M ) ͸ ϕ ͔Β༠ಋ͞ΕΔઢ‫͋Ͱ૾ࣸܗ‬Δɽ
36͜͜Ͱॏཁͳ͜ͱ͸ɼGal(F /F ) ͷҐ૬తੜ੒‫ݩ‬ʢq ৐ࣸ૾ʣͷ X(F ) ΁ͷ࡞༻͕ɼF : X → Xqqqͱ͍͏୅਺ଟ༷ମͷؒͷࣹʢFrobenius ࣹʣʹ “Խ͚Δ” ͜ͱͰ͋Δɽ͜ͷΑ͏ͳ͜ͱ͸༗‫ݶ‬ମҎ֎ͷ‫ૅج‬ମͰ͸‫ظ‬଴Ͱ͖ͳ͍ɽ
37͜Ε͸΍΍ෆਖ਼֬Ͱ͋Δɽਖ਼͍͠ఆཧΛड़΂ΔͨΊʹ͸ɼFix(ϕ) ͕‫ཱ͍ͯ͠ݽ‬Δ͜ͱͳͲΛԾఆ͠ʢͦ͏Ͱͳ͍ͱʮ‫਺ݸ‬ʯʹҙຯ͕ͳ͍ʣɼࠨลΛʮॏෳ౓ΛࠐΊͨ࿨ʯʹஔ͖‫͑׵‬ΔͳͲͷमਖ਼͕ඞཁͰ͋Δɽ·ͨɼM ͕ίϯύΫτͰͳͯ͘΋ʢ͋Δ͍͸Ґ૬ଟ༷ମͰͳͯ͘΋ʣͳΓͨͭ৔߹΋͋
Δɽৄ͘͠͸Ґ૬‫ز‬Կֶͷ‫ڭ‬ՊॻΛࢀরɽ
23- 114 -

͍ͯίϗϞϩδʔΛఆٛͨ͠ ([SGA])ɽ͜Ε͕࣍ʹड़΂ΔΤλʔϧίϗϞϩδʔͰ͋Δɽ[EGA] ͷ๯಄ʹ૖େͳϓϩδΣΫτ։࢝౰ॳʹ༧ఆ͞Ε͍ͯͨʮ໨࣍ʯΛ‫ݟ‬Δ͜
ͱ͕Ͱ͖Δ40ɽGrothendieck ʹΑΔ [EGA] ͷ໨ඪͷҰͭ͸ɼWeil ͷΞΠσΞΛ͞Βʹൃలͤͯ͞ɼWeil ༧૝Λʮࣗવʹূ໌͢Δʯ͜ͱͰ͋ͬͨɽ

3.4. ΤλʔϧίϗϞϩδʔʢೖ໳ʣ. ͜͜Ͱ͸ɼ੔਺࿦΁ͷԠ༻Λ౿·͑ͯɼΤλʔϧίϗϞϩδʔ͕Ͳ͏͍͏΋ͷͰɼͦΕ͕Ͳ͏໾ʹཱͭͷ͔ɼͱ͍͏͜ͱʹॏ఺Λஔ͍ͯઆ໌͢ΔɽΤλʔϧίϗϞϩδʔͷఆٛΛઆ໌ͨ͠Γɼͦͷ‫ج‬ຊతͳੑ࣭Λূ໌
͢Δ͜ͱ͸Ұ੾͠ͳ͍ʢͰ͖ͳ͍ʣͷͰɼదٓจ‫ݙ‬Λࢀর͍͖͍ͯͨͩͨ͠ɽ
ʢจ‫ʹݙ‬
ʣ͍ͭͯ͸ɼ§3.11 ΛࢀরɽK ͱମͱ͠ɼ Λ K ͰՄ‫ͳٯ‬ૉ਺ͱ͢ΔɽK ্ͷ୅਺ଟ༷ମ X ʹର͠ɼi ࣍ ਐΤλʔϧίϗϞϩδʔ
H i X ⊗K K, Q

͕ఆ·Δ41ɽ͜Ε͸ Q ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ϕΫτϧۭؒͰ͋ΓɼK ͷઈର Galois ‫ ܈‬Gal(K/K)͕࿈ଓʹ࡞༻͢Δɽ͜ΕʹΑΓ K ͷ ਐද‫ݱ‬ ρ : Gal(K/K) −→ GL H i X ⊗K K, Q͕ಘΒΕΔɽຊߘͷʮ͸͡Ίʹʯʹ΋ड़΂ͨΑ͏ʹɼʰΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍Δ͜ͱͰɼ୅਺ଟ༷ମ͔Β Galois ද‫ݱ‬ʢ ਐද‫ݱ‬ʣΛ࡞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δʱ
ͱ͍͏఺͸ॏཁͰ͋Δɽ
֤࣍਺ i ʹର͢ΔΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ·ͱΊͯɼ
/ 



H ∗ X ⊗K K, Q :=H i X ⊗K K, Q
iͱॻ͘ɽ

3.5. ΤλʔϧίϗϞϩδʔͷ‫ج‬ຊతੑ࣭. ͜͜Ͱ͸ओʹ੔਺࿦΁ͷԠ༻্ॏཁͳੑ࣭Λઆ໌͢Δ͜ͱʹ͠ɼఆཧͷओுͷҰൠతͳఆࣜԽ͸ߦΘͳ͍ɽ࣍ͷੑ࣭͸ͲΕ΋
40[EGA I] ͷ 6 ϖʔδΛ‫ݟ‬Αɽ41 ͕ K ͷඪ਺ͱ౳͍͠৔߹Ͱ΋ΤλʔϧίϗϞϩδʔ͸ఆٛ͞ΕɼΨϩΞද‫ݱ‬ΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖

Δɽ͔͠͠ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔʹର͢Δॏཁͳఆཧͷதʹ͸ɼ ͕ K ͰՄ‫ͳٯ‬৔߹ʹ͔͠ͳΓͨͨͳ͍΋ͷ΋ଟ͍ɽͦ͜ͰɼຊߘͰ͸ʮ ͕ K ͰՄ‫͋Ͱٯ‬Δʯͱ͍͏ԾఆͷԼͰઆ໌͢Δ͜ͱʹ͢Δɽ
ʢৄ͘͠͸ [SGA] Λࢀরɽ
ʣ25

- 116 -

ʮࣗવʯʹ‫͑ݟ‬Δ͔΋͠Εͳ͍͕ɼʢͦͷ‫ʹ͚͔ݟ‬൓ͯ͠ʣূ໌͕‫ۃ‬Ίͯ೉͍͠΋ͷ΋਺ଟ͘‫·ؚ‬Ε͍ͯΔɽ
ੑ࣭ 1 (ؔखੑ): ΤλʔϧίϗϞϩδʔ͸൓มؔखͰ͋Δɽ͢ͳΘͪɼK ্ͷ୅਺ଟ༷ମͷؒͷࣹ f : X → Y ʹର͠ɼҾ͖໭͠ͱ‫ݺ‬͹ΕΔઢ‫૾ࣸܗ‬f ∗ : H i Y ⊗K K, Q −→ H i X ⊗K K, Q͕༠ಋ͞ΕΔɽf ∗ ͸ Gal(K/K) ͷ࡞༻ͱՄ‫͋Ͱ׵‬Δɽ·ͨɼf ͕߃౳ࣹͳΒf ∗ ͸߃౳ࣸ૾Ͱɼf : X → Y, g : Y → Z ʹରͯ͠ (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ ͕ͳΓͨͭɽੑ࣭ 2 (༗‫ݶ‬ੑ): H i X ⊗K K, Q ͸ Q ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ϕΫτϧۭؒͰ͋Δɽ·ͨɼX ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͓͘ͱɼi < 0 ͓Αͼ i > 2n Ͱ͸ H i X ⊗K K, Q = 0
Ͱ͋Δ42ɽ
ੑ࣭ 3 (ಛҟίϗϞϩδʔͱͷൺֱఆཧ): K = C ͷͱ͖ɼࣗવͳಉ‫ܗ‬
H i X ⊗K K, Q ∼= H i X(C), Q ⊗Q Q͕ଘࡏ͢Δɽ͜͜Ͱӈลͷ H i X(C), Q ͸Ґ૬ۭؒ X(C) ͷಛҟίϗϞϩδʔͰ͋Δɽ
ੑ࣭ 4 (୅਺తดମͷมߋʹؔ͢Δෆมੑ): K  Λ K Λ‫ؚ‬Ή୅਺తดମͱ͢Δ
ʢྫ͑͹ K ͕୅਺ମͰɼK  = Cʣɽ͜ͷͱ͖ɼࣗવͳಉ‫ܗ‬
H i X ⊗K K, Q ∼= H i X ⊗K K  , Q͕ଘࡏ͢Δɽ
ੑ࣭ 3ɼੑ࣭ 4 Λ͋ΘͤΔͱɼ͕࣍ಋ͔ΕΔ : ୅਺ମ K ্ͷ X ͱ೚ҙͷମͷຒΊࠐΈ K → C ʹର͠ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔ H i X ⊗K K, Q ͷ Q ্ͷ࣍‫ݩ‬͸ɼҐ૬ۭؒ X(C) ͷ Betti ਺ bi (X(C)) ʹ౳͍͠43ɽ

X ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͢ΔͱɼGal(K/K) ͷ࡞༻ͱՄ‫ࣗͳ׵‬વͳಉ‫ܗ‬

H 0 X ⊗K K, Q ∼H 2n X ⊗K K, Q ∼= Q ,= Q (−n)͕͋Δɽʢ‫ऀޙ‬͸޲͖෇͚ࣸ૾ͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔɽQ (−n) ͸ Tate ೧ΓͰ͋Δʢྫ 2.8 Λࢀরʣɽʣ·ͨɼ೚ҙͷ i, j ʹର͠ɼΧοϓੵͱ‫ݺ‬͹ΕΔ૒ઢ‫૾ࣸܗ‬






H i X ⊗K K, Q × H j X ⊗K K, Q −→ H i+j X ⊗K K, Q , (α, β) → α · β42͜Ε͸ K = C ͷ৔߹ɼX(C) ͸ 2n ࣍‫ݩ‬ͷҐ૬ଟ༷ମʹͳΔʢ͕ͨͬͯ͠ɼi < 0 ͓Αͼ i > 2nͰ͸ͦͷ i ࣍ಛҟίϗϞϩδʔ͕ফ͑Δʣ͜ͱͷରԠ෺Ͱ͋Δͱߟ͑ΒΕΔɽ
43Betti ਺ b (X(C)) ͕ຒΊࠐΈ K → C ͷͱΓํʹΑΒͳ͍͜ͱ͸ࣗ໌Ͱ͸ͳ͍ʢ[Se1]ʣɽҰൠʹɼiC ্ͷ୅਺ଟ༷ମ X, X ͕‫ڞʹ͍ޓ‬໾ʢAut(C/Q) ͷ‫ͭ͏Ͱݩ‬Γ͋͏ʣͰ͋ͬͯ΋ɼX(C), X (C) ͸ಉ૬ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ʢ[Se2]ʣɽ
26- 117 -

͕͋ΔɽΧοϓੵ͸ α · β = (−1)ij β · α ΛΈͨ͠ɼҾ͖໭͠ͱՄ‫͋Ͱ׵‬Δɽ
ʢf : X → Yʹର͠ɼf ∗ (α · β) = (f ∗ α) · (f ∗ β) ͕ͳΓͨͭɽʣ
ੑ࣭ 5 (Poincaré ૒ରఆཧ): X ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͢ΔͱɼΧοϓੵͱ޲͖෇͚ࣸ૾
͔Βఆ·Δ૒ઢ‫ࣜܗܗ‬

H i X ⊗K K, Q × H 2n−i X ⊗K K, Q (n) −→ Q͸ඇୀԽͰ͋Δɽ

Poincaré ૒ରఆཧΑΓɼGal(K/K) ͷ࡞༻ͱՄ‫ͳ׵‬ಉ‫ܗ‬  i
∗
H 2n−i X ⊗K K, Q ∼= H X ⊗K K, Q (−n)͕ಘΒΕΔʢ∗ ͸૒ରۭؒΛද͢ʣɽ·ͨɼX ͷ࣍‫ݩ‬Λ nɼY ͷ࣍‫ݩ‬Λ m ͱͨ͠ͱ͖ɼ
ࣹ f : X → Y ʹΑΔҾ͖໭ࣸ͠૾ f ∗f ∗ : H 2n−i Y ⊗K K, Q −→ H 2n−i X ⊗K K, Q
ͷ૒ରࣸ૾





H i X ⊗K K, Q (n) −→ H 2m−(2n−i) Y ⊗K K, Q (m)ͷ Tate ೧ΓͰಘΒΕΔࣸ૾Λf∗ : H i X ⊗K K, Q −→ H i+2(m−n) Y ⊗K K, Q (m − n)ͱ͓͘ɽੑ࣭ 6 (Künneth ެࣜ): X, Y ʹର͠ɼ௚ੵ͔ΒͷࣹӨΛͦΕͧΕ p : X × Y →X, q : X × Y → Y ͱ͓͘ɽ͜ͷͱ͖ɼ(α, β) → (p∗ α) · (q ∗ β) ͷ࿨͔Βಋ͔Ε
Δࣸ૾
 /







H X ⊗K K, Q ⊗ H Y ⊗K K, Q
i

i+j=k

j







∼
=
−→ H k (X × Y ) ⊗K K, Q͸ಉ‫͋Ͱܗ‬Δɽ
Ҿ͖ଓ͖ɼX ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͓͘ɽX ͷ༨࣍‫ ݩ‬i ͷด෦෼୅਺ଟ༷ମͷ੔਺܎਺ͷ‫ܗ‬ࣜ࿨ a1 Z1 + · · · + ar Zr (a1 , . . . , ar ∈ Z, Z1 , . . . Zr ⊂ X ͸༨࣍‫ ݩ‬i) ͷ͜ͱΛ༨࣍‫ ݩ‬iͷ୅਺తαΠΫϧͱ͍͍ɼͦͷશମΛ C i (X) ͱ͓͘ɽੑ࣭ 7 (αΠΫϧࣸ૾): αΠΫϧࣸ૾ͱ‫ݺ‬͹ΕΔࣸ૾γX : C i (X) −→ H 2i X ⊗K K, Q (i), Z → γX (Z)27- 118 -

͕ଘࡏ͠ɼ࣍ΛΈͨ͢ɽ• f : X → Y ʹର͠ f ∗ ◦ γY = γX ◦ f ∗ ɼf∗ ◦ γX = γY ◦ f∗ ɽ
• Z ∈ C i (X), W ∈ C j (Y ) ʹର͠ɼγX×Y (Z × W ) = γX (Z) ⊗ γY (W )ɽ• X ͕ 1 ఺ͷͱ͖͸ɼC 0 (X) = Z, H 0 X ⊗K K, Q = Q Ͱ͋ΔɽγX : Z →Q ͸ 1 Λ 1 ʹ͏ͭ͢ɽγX (Z) Λ Z ͷఆΊΔίϗϞϩδʔྨͱ͍͏ɽZ ͕༨࣍‫ ݩ‬iɼW ͕༨࣍‫ ݩ‬n − i Ͱ͋Ε͹ɼZ · W = γX (Z) · γY (W ) ͕ͳΓͨͭ͜ͱ͕ূ໌Ͱ͖Δʢࠨล͸ Z ͱ W ͷަ఺਺ɽӈล͸ίϗϞϩδʔྨͷΧοϓੵʹ޲͖෇͚ࣸ૾Λ߹੒ͨ͠΋ͷʣɽ

Galois ද‫΁ݱ‬ͷԠ༻্͸ɼ࣍ͷੑ࣭͕ॏཁͰ͋Δɽ
ੑ࣭ 8 (ඪ਺ p ؐ‫͚͓ʹݩ‬Δෆมੑ): X Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͠ɼ୅਺ମ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ Y ͷඪ਺ p ؐ‫ͯ͠ͱݩ‬ಘΒΕΔͱԾఆ͢Δɽ͢ͳΘͪɼY ͷఆٛํఔࣜͷ܎਺Λ mod mv ʢv ͸ p ͷ্ʹ͋Δ K ͷ༗‫ݶ‬ૉ఺ɼmv ⊂ OK ͸ରԠ͢Δ OK ͷ‫ۃ‬େΠσΞϧʣͨ͠΋ͷ͕ X
ͷఆٛํఔࣜͰ͋Δͱ͢ΔɽK ͷ v ʹ͓͚Δ‫׬‬උԽΛ Kv ͱ͓͘ɽ Λ q ͱ‫͍ޓ‬ʹૉͳૉ਺ͱ͠ɼମͷຒΊࠐΈ K → K v Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼGal(K v /Kv )ͷ࡞༻ͱՄ‫ͳ׵‬ಉ‫ܗ‬
H i Y ⊗K K, Q ∼= H i X ⊗Fq Fq , Q͕ଘࡏ͢Δɽ
͜ͷಉ‫͔ܗ‬ΒɼಛʹɼGal(K v /Kv ) ͷࠨล΁ͷ࡞༻͸શࣹ Gal(K v /Kv )  Gal(Fq /Fq )Λ‫ܦ‬༝͢Δ͔Βɼଦੑ‫ ܈‬Iv ͷ࡞༻͸ࣗ໌Ͱ͋ΓɼH i Y ⊗K K, Q ͔ΒಘΒΕΔ K
ͷ ਐද‫ ͕ݱ‬v Ͱෆ෼‫͋Ͱذ‬Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ·ͨɼҰൠʹɼY Λ୅਺ମ K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͢ΔͱɼY ͷΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔Βఆ·Δ ਐද‫͕ݱ‬༗‫ݸݶ‬Λআ͘͢΂ͯͷ v Ͱෆ෼‫ذ‬44Ͱ͋Δ͜ͱ΋෼͔Δɽ
ੑ࣭ 9 (༗‫ݶ‬ମ্ͷ Frobenius ࣹ): X Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ୅਺ଟ༷ମͱ͠ɼFrobq ∈Gal(Fq /Fq ) Λ‫ز‬Կత Frobenius ‫ݩ‬ʢq ৐ࣸ૾ͷ‫૾ࣸٯ‬ʣͱ͢Δɽ·ͨɼF : X →X Λ Frobenius ࣹͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼFrobq ͱ F ͕ H i X ⊗Fq Fq , Q ʹ༠ಋ͢Δࣸ૾͸౳͍͠ɽ͜Ε͕ Frobq Λ “‫ز‬Կత” Frobenius ‫ݺͱݩ‬Μͩཧ༝Ͱ͋Δɽ
44Y ͷఆٛํఔࣜͷ܎਺Λ mod mv ͨ͠΋ͷ͕৒༨ମ κ(v) ্ͷ‫׈‬Β͔ͳ୅਺ଟ༷ମΛఆΊʢ͜ͷΑ͏ͳ v ʹ͓͍ͯ Y ͸ྑ͍ؐ‫ݩ‬Λ࣋ͭͱ͍͏ʣɼ͞Βʹ৒༨ମ κ(v) ʹ͓͍ͯ  ͕Մ‫͋Ͱٯ‬Δͱ͖ɼYͷΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔Βఆ·Δ  ਐද‫ݱ‬͸ v ʹ͓͍ͯෆ෼‫͋Ͱذ‬Δɽ

28- 119 -

3.6. Lefschetz ੻ެࣜ. ্ʹड़΂ͨੑ࣭Λ༻͍Δ͜ͱͰɼΤλʔϧίϗϞϩδʔʹର
͢Δ Lefschetz ੻ެ͕ࣜࣔ͞ΕΔɽ໋୊ 3.7 (Lefschetz ੻ެࣜ). X Λମ K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͠ɼͦͷ࣍.
‫ݩ‬Λ n ͱ͓͘ɽࣹ ϕ : X → X ͷ‫ݻ‬ఆ఺ू߹Λ Fix(ϕ) := x ∈ X | ϕ(x) = x ͱ͓͘ɽ
͜ͷͱ͖ɼ
2n




“#Fix(ϕ)” =(−1)i Tr ϕ∗ ; H i X ⊗K K, Q
i=0͕ͳΓͨͭɽ
ূ໌Λड़΂Δલʹɼࠨลͷ “#Fix(ϕ)” ʹ͍ͭͯઆ໌͢Δɽࣸ૾ X → X × X, x →(ϕ(x), x) ͷ૾Λ Γϕ ͱ͓͖ɼϕ : X → X ͷάϥϑͱ͍͏ɽ·ͨɼର֯ࣸ૾ X → X ×
X, x → (x, x) ͷ૾Λ Δ ͱ͓͘ɽ͜ͷͱ͖ɼ
“#Fix(ϕ)” := Γϕ · Δ
ͱఆٛ͢Δɽ͜͜Ͱɼӈลͷ Γϕ · Δ ͸ 2 ͭͷ෦෼୅਺ଟ༷ମ Γϕ , Δ ⊂ X × X ͷަ఺਺Ͱ͋Γɼ΋͠ Γϕ ͱ Δ ͕ԣஅతʹަΘ͍ͬͯΕ͹ɼ‫ڞ‬௨෦෼ Γϕ ∩ Δ = Fix(ϕ) ͷҐ਺ͱ౳͘͠ɼ
ʮϕ ͷ‫ݻ‬ఆ఺ͷ‫਺ݸ‬ʯΛ਺͍͑ͯΔ͜ͱʹͳΔɽ
໋୊ 3.7 ͸ Γϕ ͱ Δ ͕ԣஅతʹަΘ͍ͬͯͳͯ͘΋ͳΓͨͭɽྫ͑͹ɼϕ ͱͯ͠߃౳ࣸ૾ id : X → X ΛͱΔͱɼΔ ͷࣗ‫ؔ͢ʹ਺఺ަݾ‬Δެࣜ



Δ·Δ=
(−1)i dimQ H i X ⊗K K, Qi45͕ಘΒΕΔ ɽX ͕छ਺ g ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺‫ۂ‬ઢͰ͋Ε͹ɼͦͷ H 1 ͷ࣍‫ݩ‬͸ʢඪ਺ʹΑΒͣʣ2g ʹ౳͘͠ɼΔ · Δ = 2 − 2gͱͳΔɽ͜Ε͕ɼ༧૝ 3.4 (2) ʹ͓͍ͯɼΔ · Δ Λ Euler ਺ͱ‫ݺ‬Μͩཧ༝Ͱ͋Δɽα ∈ H 2n (X × X) ⊗K K, Q (n) ʹରͯ͠ɼX × X ͷೋͭͷ੒෼ΛೖΕସ͑ͨ΋ͷΛ t α ͱ͓͖ɼα ͷసஔͱ͍͏ɽ·ͨ α ͸ࣸ૾ʢ͜ͷࣸ૾΋࠶ͼ α Ͱද͢ʣ






H i X ⊗K K, Q −→ H i X ⊗K K, Q ,x → p2 ∗ (p∗1 x · α)ΛҾ͖‫͢͜ى‬ɽʢ͜͜Ͱɼp1 , p2 : X × X → X ͸ͦΕͧΕୈҰɼୈೋ੒෼΁ͷࣹӨͰ
͋Δɽ





p2 ∗ : H i+2n X ⊗K K, Q (n) −→ H i X ⊗K K, Q

45ಛʹɼӈล͸  ͷબͼํʹΑΒͳ͍͜ͱ͕෼͔Δɽ

29- 120 -ʹ஫ҙɽʣΔ ͷίϗϞϩδʔྨ γX×X (Δ) ͸߃౳ࣸ૾Λ༠ಋ͠ɼϕ ͷάϥϑ Γϕ ͷίϗϞϩδʔྨ γX×X (Γϕ ) ͷ༠ಋ͢Δࣸ૾͸ ϕ∗ ʹ౳͍͠ɽ·ͨɼͦͷసஔ t γX×X (Γϕ ) ͸ϕ∗ Λ༠ಋ͢Δɽ
͕ͨͬͯ͠ɼ໋୊ 3.7 Λࣔͨ͢Ίʹ͸ɼΑΓҰൠతͳ࣍ͷ໋୊Λࣔͤ͹े෼Ͱ͋Δɽʢα = γX×X (Γϕ ), β = γX×X (Δ) ͱ͓͚͹Α͍ʣ
໋୊ 3.8 (Lefschetz ੻ެࣜͷҰൠԽ). α, β ∈ H 2n (X × X) ⊗K K, Q (n) ʹର͠ɼα, β ͕༠ಋ͢Δࣸ૾ͷ߹੒Λβ ◦ α : H i X ⊗K K, Q −→ H i X ⊗K K, Qͱ͓͘ɽ͜ͷࣸ૾ͷ੻ͷަ୅࿨͕࣍ͷΑ͏ʹͯ͠‫͖Ͱࢉܭ‬Δ :
α · tβ =(−1)i Tr β ◦ α; H i X ⊗K K, Qiʢࠨล͸ α ͱ β ͷΧοϓੵͰɼ޲͖෇͚ࣸ૾ α· t β ∈ H 4n (X ×X)⊗K K, Q (2n) ∼= QtʹΑͬͯ Q ͷ‫ͱݩ‬Έͳ͢ɽʣূ໌.ʢ[Kl], Proposition 1.3.6 Λࢀরʣ. Künneth ެࣜΑΓ
/ 





H 2n (X × X) ⊗K K, Q (n) ∼H i X ⊗K K, Q (n) ⊗ H 2n−i X ⊗K K, Q=iͰ͋Γɼఆཧͷ྆ล͸ α, β ʹؔͯ͠૒ઢ‫ͳܗ‬ͷͰɼα = αj ⊗ α2n−j, β = βk ⊗ β2n−kͱԾఆͯ͠Α͍ʢఴ͑ࣈ͸ίϗϞϩδʔͷ࣍਺Λද͢ʣɽx ∈ H i X ⊗K K, Q ͷߦ

͖ઌ͸



 
 



· βk · β2n−k
β ◦ α (x) = q∗ x · αj · q∗ α2n−jͰ͋ΔɽX ͔ΒҰ఺ P ΁ͷࣹӨΛ q : X → P ͱ͓͍ͨɽq∗ ͷ૾͸ H ∗ P ⊗K K, Q ∼=Q ͷ‫ݩ‬ʢεΧϥʔʣͰ͋Δɽ · βk = 0 ͳͷͰɼӈล͸ β ◦ α = 0 ͱͳΔɽ·ͨɼࠨลʹ͍ͭj = k ͳΒ q∗ α2n−jͯ͸ɼt β = β2n−k⊗ βk ͔ͩΒɼα · t β = (αj · β2n−k) ⊗ (α2n−j· βk ) = 0 ͱͳΔʢj = kͳΒɼ2n + (j − k) > 2n ·ͨ͸ 2n + (k − j) > 2n Ͱ͋Δʣɽ͕ͨͬͯ͠ɼ0 = 0 ͱͳͬͯɼ໋୊ 3.8 ͷ౳ࣜ͸ͳΓͨͭɽj = k ͷͱ͖͸ɼ໋୊ 3.8 ͷ౳ࣜͷӈลͷަ୅࿨ʹ͓͍ͯɼi = 2n − j ͷ߲ͷΈ͕࢒Δɽβ ◦ α ͷ૾͸ β2n−jͷఆ਺ഒʹ౳͍͔͠Βɼӈล͸   
 

  

· βj
· q∗ α2n−j· βj = q∗ αj · β2n−j· αj · q∗ α2n−j(−1)2n−j q∗ β2n−j= (q × q)∗ α · t βͱͳΓɼ໋୊ 3.8 ͷ౳͕ࣜಘΒΕΔɽ
30- 121 -

X Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͠ɼͦͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͓͘ɽm ≥ 1
ͱ͓͘ɽFrobenius ࣹͷϕΩ F m : X → X ͕઀ۭؒʹྵࣸ૾Λ༠ಋ͢Δ͜ͱ͔Β46ɼ

X × X ͷ෦෼୅਺ଟ༷ମͱͯ͠ɼFrobenius ࣹͷάϥϑ ΓF ͱର֯ू߹ Δ ͕ԣஅతʹަΘΔ͜ͱ͕෼͔Δɽͦͯ͠ɼLefschetz ੻ެࣜʢ໋୊ 3.7ʣ͔Β
2n




(−1)i Tr (F ∗ )m ; H i X ⊗Fq Fq , Q#X(Fqm ) =
i=0

͕෼͔Δɽ
ʢ§3.4 ͷੑ࣭ 9 ΑΓɼӈลͷ F ∗ Λ Frobq ͷ࡞༻ʹஔ͖‫ͯ͑׵‬΋ಉ༷ɽʣ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔͷཧ࿦ʹΑΓɼ§3.3 Ͱ “Ծఆ” ͱͯ͠ड़΂ͨʰFrobenius ࣹʹର͢Δ Lefschetz ੻ެࣜʱ͕࣮‫͞ݱ‬ΕΔɽ
ྫ 3.9. E Λମ K ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢͱ͢Δɽྫ 2.9 ʹ͓͍ͯɼQ ্ͷ 2 ࣍‫ݩ‬ϕΫτϧۭؒ
V = HomQ (lim E[ n ]) ⊗Z Q , Q←−΁ͷ Gal(K/K) ͷ࡞༻͔ΒɼK ͷ 2 ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ ݱ‬ρE, ͕ಘΒΕΔ͜ͱΛड़΂ͨʢ ͸K ͰՄ‫ͳٯ‬ૉ਺ʣɽV ͸ E ͷ 1 ࣍ΤλʔϧίϗϞϩδʔͱಉ‫͋Ͱܗ‬Δ :V = H 1 E ⊗K K, Q͞Βʹɼ΋͠ K ͕༗‫ݶ‬ମ Fq Ͱ͋Ε͹ɼFrobenius ࣹ F ͸ H 0 E ⊗K K, Q ∼= Q ʹࣗ໌ʹ࡞༻͠ɼH 2 E ⊗K K, Q ∼= Q (−1) ʹ q ഒͰ࡞༻͢Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼLefschetz
੻ެ͔ࣜΒ



#E(Fq ) = 1 − Tr F ∗ ; V + q͕ಘΒΕΔɽͦͯ͠ɼ§3.5, ੑ࣭ 9 Λ࢖͏ͱɼTr ρE, (Frobq ) = 1 + q − #E(Fq )͕ಘΒΕΔɽ

3.7. Weil ༧૝ (ΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍ͨఆࣜԽ). Weil ༧૝ (༧૝ 3.4) ʹ໭Ζ͏ɽΤλʔϧίϗϞϩδʔͱ Lefschetz ੻ެࣜʢ§3.6, ໋୊ 3.7ʣΛ༻͍Δ͜ͱͰɼ§3.3
ͱಉ༷ͷٞ࿦ʹΑΓɼX ͷ߹ಉθʔλؔ਺ Z(X, T ) ʹؔ͢Δੑ࣭Λࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖
Δɽͦͷ݁ՌΛ·ͱΊ͓ͯ͜͏ɽX Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͠ɼqq ্Ͱ͸ q = 0 ͳͷͰɼf (x) = x ͷඍ෼͕ f (x) = 0 ͱͳΔ͜ͱͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δɽ

46͜Ε͸ɼF

31- 122 -

͕ ʹΑΒͳ͍͜ͱ͕ূ໌͞ΕΔ50ɽಉ༷ͷٞ࿦ͰɼWeil ༧૝Λඪ਺ 0 ͷ୅਺ଟ༷ମ
ͷ Betti ਺ͷ‫ʹࢉܭ‬Ԡ༻͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɽ͢ͳΘͪɼඪ਺ 0 ͷମ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ X ʹର͠ɼͦͷ mod p ؐ‫ݩ‬ͷ༗ཧ఺ͷ‫਺ݸ‬Λ‫͠ࢉܭ‬ɼ߹ಉθʔλؔ਺Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱͰɼX(C) ͷ Betti ਺Λ‫͢ࢉܭ‬ΔͷͰ͋Δɽྫ͑͹ɼτʔϦοΫଟ༷ମͷ৔߹ͷ Betti ਺ͷ‫[ ͕ࢉܭ‬Fu] ʹ͋Δɽ͜ΕҎ֎ʹ΋ɼ͋ΔछͷϕΫτϧόϯυϧͷ
ϞδϡϥΠۭؒ΍ʢ[HN]ʣɼCalabi-Yau ଟ༷ମͷ Betti ਺ͷ‫ʹࢉܭ‬Ԡ༻͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δ ([Ba])51ɽ

§2.2, §2.9 Ͱ΋ड़΂͕ͨɼWeil ༧૝ͷஶ͍͠Ԡ༻ͱͯ͠ɼRamanujan ༧૝ͷղܾ͕‫͛ڍ‬ΒΕΔɽ͜Ε͸ɼແ‫ੵݶ‬ͷల։܎਺
∞
∞


n 24
Δ=q
(1 − q ) =τ (n)q nn=1

n=1Ͱఆٛ͞ΕΔ Ramanujan ͷ τ ؔ਺͕ɼ೚ҙͷૉ਺ p ʹର͠|τ (p)| ≤ 2p11/2
ΛΈͨ͢ͱ͍͏΋ͷͰ͋Γɼ‫ٱ‬լʖࠤ౻ଟ༷ମͱ‫ݺ‬͹ΕΔ 11 ࣍‫ݩ‬୅਺ଟ༷ମ X ͷඪ
਺ p ؐ‫ݩ‬ͷ߹ಉθʔλؔ਺͕

1 − τ (p)T + p11 T 2ͱ͍͏ҼࢠΛ࣋ͭ͜ͱΛࣔ͢͜ͱʹΑͬͯূ໌͞ΕΔɽ΋͏গ͠ਖ਼֬ʹ͍͏ͱɼX ͷ
11 ࣍ΤλʔϧίϗϞϩδʔ H 11 X ⊗Fq Fq , Q ʹ͸ Ramanujan ͷ Δ ؔ਺ʹରԠ͢Δ

2 ࣍‫ݩ‬ϕΫτϧۭؒ52͕‫·ؚ‬Ε͓ͯΓɼͦ͜Ͱͷ‫ز‬Կత Frobenius ‫ ݩ‬Frobp ͷ‫ݻ‬༗ଟ߲ࣜ αp , βp ͕

(1 − αp T )(1 − βp T ) = 1 − τ (p)T + p11 T 2ΛΈͨ͢ͷͰ͋Δɽఆཧ 3.10 ʹΑΓ |αp | = |βp | = p11/2 Ͱ͋Δ͔Βɼ|τ (p)| = |αp + βp | ≤ 2p11/2
ͱͳͬͯɼRamanujan ༧૝͕ಋ͔ΕΔʢ[De1], [De2]ʣɽ
͜ΕҎ֎ʹ΋ɼ୅਺‫ۂ‬ઢ΍௒ฏ໘ͷ Fq -༗ཧ఺ͷ‫਺ݸ‬ͷྑ͍ධՁʢପԁ‫ۂ‬ઢͷ৔߹ͷ Hasse ͷఆཧʢྫ 3.6ʣͷҰൠԽʣ΍ɼࡾ֯࿨ͷධՁɼؔ਺ମ্ͷࠤ౻-Tate ༧૝΁ͷԠ༻΋͋Δɽʢ[De2], [De3], [La] Λࢀরɽؔ਺ମ্ͷࠤ౻-Tate ༧૝ʹ͍ͭͯ͸ɼ[Yo]΋ࢀরɽʣ50Ұൠͷ୅਺ଟ༷ମ X ʢ‫׈‬Β͔Ͱͳ͍ɼ͋Δ͍͸ࣹӨతͰͳ͍ʣʹରͯ͠΋  ਐ Betti ਺͸ఆٛͰ

͖Δ͕ɼҰൠʹ͸ɼͦΕ͕  ʹΑΒͳ͍͜ͱ͸ະղܾͰ͋Δɽ͜ΕҎ֎ʹ΋ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔʹؔͯ͠͸ɼ༷ʑͳະղܾ໰୊͕͋ΔɽIllusie ʹΑΔ࠷ۙͷ࿦આ [Il] Λࢀরɽ51खલຯ઻͕ͩɼHodge ਺ͷ‫΁ࢉܭ‬ͷԠ༻ʹ͍ͭͯ͸ [It1],[It2] ΋͋Δɽ52§2.9 ͷ‫ݴ‬༿Λ࢖͏ͱɼʰΔ ʹ൐͏  ਐද‫ ͕ݱ‬X ͷ 11 ࣍ΤλʔϧίϗϞϩδʔʹ‫ݱ‬ΕΔʱͱͳΔɽ
34- 125 -

3.9. ‫ ڧ‬Lefschetz ఆཧ. Deligne ͸ “Weil II” ʹ͓͍ͯ࣍ͷఆཧΛূ໌ͨ͠53ɽ
ఆཧ 3.11 (‫ ڧ‬Lefschetz ఆཧʢ[De3]ʣ). K Λମͱ͠ɼ Λ K ͰՄ‫ͳٯ‬ૉ਺ͱ͢ΔɽXΛ K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͢ΔɽX ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͓͘ɽX ͸ࣹӨతͳͷͰɼʢे෼େ͖ͳ࣍‫ݩ‬ͷʣࣹӨۭؒʹ‫·ؚ‬ΕΔ : X ⊂ Pm ɽH ⊂ Pm Λ௒ฏ໘ͱ͠ɼ௒
ฏ໘੾அ H ∩ X ͸‫׈‬Β͔Ͱ͋ΔͱԾఆ͢ΔɽγX (H ∩ X) ∈ H 2 X ⊗K K, Q (1) ͱΧοϓੵΛͱΔࣸ૾Λ
L : H i X ⊗K K, Q −→ H i+2 X ⊗K K, Q (1),x → x · γX (H ∩ X)

ͱ͓͘ʢL Λ Lefschetz ࡞༻ૉͱ͍͏ʣɽ೚ҙͷ i ≥ 1 ʹର͠ɼL Λ i ճ‫܁‬Γฦͯ͠ಘΒΕΔ࣍ͷࣸ૾͸ಉ‫͋Ͱܗ‬Δ :Li : H n−i X ⊗K K, Q −→ H n+i X ⊗K K, Q (i)‫ ڧ‬Lefschetz ఆཧͱؔ܎ͨ͠ఆཧͱͯ͠ɼऑ Lefschetz ఆཧ͕͋Δɽ͜Ε͸ɼแ‫ؚ‬ࣸ૾Λ h : H ∩ X → X ͱ͓͘ͱɼҾ͖໭ࣸ͠૾h∗ : H i X ⊗K K, Q −→ H i (H ∩ X) ⊗K K, Q͸ i ≤ n − 2 Ͱಉ‫͋Ͱܗ‬Γɼi = n − 1 Ͱ୯ࣹͰ͋Δͱ͍͏ఆཧͰ͋Γɼ‫ ڧ‬Lefschetz ఆཧΑΓ΋ͣͬͱ΍͍͞͠ʢ“Weil II” ΑΓ΋લʹɼ[SGA] Ͱ͢Ͱʹূ໌͞Ε͍ͯΔʣɽ‫ ڧ‬Lefschetz ఆཧ͔Βऑ Lefschetz ఆཧʢͷҰ෦ʣ͕࣍ͷΑ͏ʹͯ͠ಋ͔ΕΔʢ΋ͪΖΜ͜Ε͸࿦ཧతʹ͸ਖ਼͍͠ॱংͰ͸ͳ͍͕ʣ : αΠΫϧࣸ૾ͷ‫ج‬ຊతੑ࣭ʹΑΓɼh∗ ◦ h∗ : H i X ⊗K K, Q −→ H i+2 X ⊗K K, Q (1)͸ Lefschetz ࡞༻ૉ L ͱ౳͍͜͠ͱ͕ࣔ͞ΕΔɽ͕ͨͬͯ͠ɼ΋͠ఆཧ 3.11 ͷ Li ͕ಉ‫ͳܗ‬ΒɼH n−i ্Ͱ h∗ ͸୯ࣹͰ͋Δ54ɽ

3.10. Hasse-Weil θʔλؔ਺ͱ Galois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺. Hasse-Weil θʔλؔ਺ͱ Galois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ͷؔ܎ʹ͍ͭͯ·ͱΊ͓ͯ͜͏ɽ
ʢGalois ද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ʹ͍ͭͯ͸ఆʣ
ٛ 2.3 Λࢀরɽ·ͨɼHasse-Weil θʔλؔ਺ʹ͍ͭͯ͸ఆٛ 3.1 Λࢀরɽ53ఆཧ 3.11 ͕ͳͥ Weil ༧૝ʢఆཧ 3.10ʣͱؔ܎͢Δͷ͔ෆࢥٞʹࢥ͏ಡऀ΋ଟ͍ͱࢥ͏ɽৄ͘͠͸‫ݪ‬࿦จ [De3] Λࢀর͍͖͍͕ͯͨͩͨ͠ɼͦͷূ໌ͷํ਑Λͱͯ΋ࡶʹड़΂Δͱ࣍ͷ௨Γ : ఆཧ 3.11
͸Χοϓੵ͔Βఆ·Δ͋Δ૒ઢ‫͕ࣜܗܗ‬ඇୀԽͰ͋Δ͜ͱͱಉ஋Ͱ͋ΔɽLefschetz ϖϯγϧͷϞϊυ
ϩϛʔΛߟ͑Δ͜ͱͰɼ͋ΔΤλʔϧ  ਐ૚͕൒୯७Ͱ͋Δ͜ͱʹ‫ؼ‬ண͞ΕΔɽ͜Ε͸ɼΤλʔϧ ਐ૚ͷ‫͕ݍ‬൒୯७Ͱ͋Δͱ͍͏ Deligne ͷఆཧ͔Β෼͔Δʢఆཧ 3.10ʢͷҰൠԽʣΛ༻͍ͯɼ
ʢExt1 ͱؔ܎͢Δʣ͋Δछͷ H 1 ΁ͷ‫ز‬Կత Frobenius ‫ݩ‬ͷ࡞༻͕ 1 Λ‫ݻ‬༗஋ʹ࣋ͨͳ͍͜ͱΛࣔ͢ͷ͕ϙΠϯτʣɽ“Weil II” ͷภ۶૚΁ͷҰൠԽʹ͍ͭͯ͸ [BBD] Λࢀরɽ54i ≤ n − 2 ͳΒ h∗ ͕ಉ‫͋Ͱܗ‬Δ͜ͱ͸ɼX, H ∩ X, U = X\(H ∩ X) ͷΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ
ൺֱ͢Δ௕‫׬‬શ‫ྻܥ‬ͷଘࡏͱɼʢ‫׈‬Β͔ͳʣΞϑΟϯଟ༷ମ U ͷʢίϯύΫτ୆෇͖ʣΤλʔϧίϗϞϩδʔ͕ i < n Ͱফ͑Δ͜ͱ͔Β෼͔Δɽ
35- 126 -

K Λ୅਺ମͱ͠ɼX Λ K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͢ΔɽX ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͓͖ɼૉ਺ Λ‫ݻ‬ఆ͢ΔɽX ͷ i ࣍ ਐΤλʔϧίϗϞϩδʔ H i X ⊗K K, Q ͔ΒK ͷ ਐද‫͕ݱ‬ಘΒΕΔɽ͜ΕΛ ρiX, ͱ͓͘ɽ࣍ͷަ୅ੵΛߟ͑Α͏ɽ
ζX, (s) :=͜͜ͰɼζX,,v (s) =

2n

2n


L(s, ρiX, )(−1)

i

i=0
(−1)i

i
i=0 Lv (s, ρX, )ζX, (s) =ͱ͓͘ͱɼζX,,v (s)v ͸ K ͷ༗‫ݶ‬ૉ఺

ͱॻ͚Δɽ

Spec OK ্༗‫ܕݶ‬ͷεΩʔϜͰ X ⊗OK K = X ΛΈͨ͢΋ͷΛͱΔ55ɽX ͷ HasseWeil θʔλؔ਺Λ ζ(s, X) ͱ͓͘ɽv ʹ͓͚ΔಛघϑΝΠόʔ Xv := X ⊗OK (OK /mv )ͷ Hasse-Weil θʔλؔ਺Λ ζ(s, Xv ) ͱ͓͘ͱɼ
ζ(s, X) =ζ(s, Xv )v ͸ K ͷ༗‫ݶ‬ૉ఺͕ͳΓͨͭɽ
ͦͯ͠ɼ༗‫ݸݶ‬ͷ v Λআ͍ͯɼ౳ࣜ

ζX,,v (s) = ζ(s, Xv )͕ͳΓͨͭ56ɽ·ͱΊ͓ͯ͜͏ɽ
ʰΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍Δ͜ͱͰɼ୅਺ମ K ্ͷ୅਺ଟ༷ମ X͔Β ਐද‫ ݱ‬ρiX, Λ࡞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ ਐද‫ݱ‬ͷ L ؔ਺ L(s, ρiX, ) ͷަ୅ੵ ζX, (s) ͸ɼߴʑ༗‫ݸݶ‬ͷ v ʹؔ͢ΔҼࢠΛআ͍ͯɼX ͷ OK ্ʱͷ੔Ϟσϧ X ͷ Hasse-Weil θʔλؔ਺ ζ(s, X) ʹ౳͍͠ɽ

3.11. ΤλʔϧίϗϞϩδʔʹؔ͢Δจ‫͍ͯͭʹݙ‬. Weil ༧૝΍ΤλʔϧίϗϞϩδʔʹؔ͢Δจ‫ݙ‬͸ଟ͍ɽ೔ຊ‫ޠ‬ͷ‫ڭ‬Պॻͱͯ͠͸ [Kato] ͷग़൛͕༧ఆ͞Ε͍ͯΔɽ୅਺‫ز‬Կֶͷඪ४తͳ‫ڭ‬ՊॻͰ͋Δ [Har] ʢ࠷ۙɼ࿨༁΋ग़൛͞Εͨʣʹ͸ɼ෇࿥ʹ
55͜ͷΑ͏ͳ X Λ X ͷ O ্ͷ੔Ϟσϧͱ͍͏ɽ੔Ϟσϧ͸ҰҙతͰ͸ͳ͍͕ৗʹଘࡏ͢ΔɽX
K
͸༗‫ݸݶ‬ͷ K ܎਺ͷଟ߲ࣜͰఆٛ͞ΕΔ͔ΒɼX ͷఆٛํఔࣜͷ෼฼Λద౰ʹ෷͏͜ͱͰɼOK ܎਺ͷଟ߲ࣜͰఆٛ͞Ε͍ͯΔͱԾఆͯ͠Α͍ɽͦΕΒͷଟ߲ࣜͰఆٛ͞Εͨ Spec OK ্ͷεΩʔϜΛ X
ͱ͓͚͹Α͍ɽ
56੔Ϟσϧ X Λ “͏·͘” બ΂͹ɼ͜ͷ౳͕ࣜʮ͢΂ͯͷ v ͰͳΓͨͭʯ͜ͱ΋͋Δɽྫ͑͹ɼପԁ‫ۂ‬ઢʢ΍Ξʔϕϧଟ༷ମʣͷ৔߹͸ Néron Ϟσϧ͕ͦͷΑ͏ͳ੔ϞσϧΛ༩͑Δɽ

36- 127 -

Weil ༧૝ͱΤλʔϧίϗϞϩδʔʹؔ͢Δ؆୯ͳղઆ͕ॻ͔Ε͍ͯΔɽ·ͨɼ[Hot]ʹ͸ɼ୅਺‫ۂ‬ઢʹର͢Δ Weil ༧૝ͷʮॳ౳తূ໌ʯ
ʢBombieri ʹΑΔ ([Bo])ʣ͕ղઆ
͞Ε͍ͯΔɽ͜ΕҎ֎ʹ΋ɼӳ‫͔ॻͰޠ‬Εͨ‫ڭ‬Պॻͱͯ͠͸ɼ[FK], [Mil] ͳͲ͕͋ʣΞʔϕϧଟ༷
Δɽ
ʢ[FK] ͷ๯಄ʹ͸ Dieudonné ʹΑΔྺ࢙తղઆ͕͋Γɼ‫ڵ‬ຯਂ͍ɽମʹର͢Δ Weil ༧૝ͷূ໌͕ॻ͔Εͨจ‫ͯ͠ͱݙ‬͸ [Mum] ͕͋Δɽ͔͠͠ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔͷཧ࿦ͷߏ੒΍ఆཧͷূ໌͕͖ͪΜͱॻ͔Εͨจ‫ݙ‬͸ɼ͍·ͩʹ‫ݪ‬య[SGA]ʢWeil ༧૝ʹ͍ͭͯ͸ [De2], [De3]ʣ͔͠ͳ͍Α͏Ͱ͋Δɽ[SGA] ʹ͸ଞͷจ‫Ͱݙ‬͸লུ͞Ε͍ͯΔ෦෼ — ίϗϞϩδʔ࿦ͷ‫ͳͱૅج‬Δ෦෼ — ͕ஸೡʹʢஸೡ
͗͢Δఔʣॻ͔Ε͓ͯΓɼͦͷഎ‫͋ʹޙ‬Δʢཧ࿦ͷߏஙͱ͸͜͏͋Δ΂͖Ͱ͋Δɼఆ
ٛɾఆཧɾূ໌ͱ͸͜͏͋Δ΂͖Ͱ͋Δͱ͍͏ʣGrothendieck ͷࢥ૝͕৭ೱ͘൓ө͞Ε͍ͯΔɽ͢΂ͯΛಡΈ௨͢ͷ͸ෆՄೳʹ͍͕ۙɼʢֶੜͷ͏ͪʹʣۤ࿑ͯ͠ಡΊ͹ɼۤ࿑ͨ͠෼͚ͩಘΔ΋ͷ͕͋Δ͜ͱ͸ؒҧ͍ͳ͍ͷͰɼຊߘΛ͜͜·ͰಡΈਐΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖ͨಡऀ͸ʢʂʣɼͥͻ [SGA], [De2], [De3] ʹ௅ઓ͍͖͍ͯͨͩͨ͠ɽ

37- 128 -

4. Grothendieck ͷເ — ελϯμʔυ༧૝ͱϞνʔϑͷཧ࿦ɼ
Weil ༧૝ɼJannsen ͷఆཧΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍Δ͜ͱͰɼRiemann ༧૝ͷྨࣅʢ༧૝ 3.4ʢ3ʣʣΛআ͖ɼWeil ༧૝ʢ༧૝ 3.4ʣ͸‫ݟ‬௨͠Α͘ূ໌͞ΕΔ͜ͱΛड़΂ͨɽͰ͸ɼ࢒͞Εͨ

Riemann ༧૝ͷྨࣅʢ༧૝ 3.4ʢ3ʣʣΛূ໌͢ΔͨΊʹ͸ɼͲ͏͢Ε͹Α͍ͩΖ͏͔ʁ
Grothendieck ͷେ୾ͳΞΠσΞ͸ɼ
ʰWeil ༧૝͸ྑ͍ੑ࣭Λ΋ͭίϗϞϩδʔཧ࿦ͱɼ୅਺తαΠΫϧʹ
ؔ͢Δ༧૝ʢελϯμʔυ༧૝ʣ͔Βࣗવʹಋ͔ΕΔͩΖ͏ɽʱͱ͍͏΋ͷͰ͋ͬͨɽ

Grothendieck ͸ɼଘࡏ͕‫ظ‬଴͞ΕΔྑ͍ੑ࣭Λ΋ͭίϗϞϩδʔཧ࿦Λ Weil ίϗϞϩδʔͱ‫ͼݺ‬ɼͦͷެཧతͳ࿮૊ΈΛ༩͑ɼελϯμʔυ༧૝ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ 2 ͭͷ༧૝ʢ༧૝ 4.3ɼ༧૝ 4.4ʣΛఏग़ͨ͠ɽ͜ΕΒͷ༧૝͸ɼWeil ʹΑΔ୅਺‫ۂ‬ઢ΍Ξʔϕϧଟ༷ମͷ৔߹ͷূ໌΍ɼSerre ʹΑΔ Weil ༧૝ͷෳૉ਺ମ C ্ͷྨࣅͷূ໌ʹ৮ൃ͞Εͨ΋ͷͰ͋ͬͨɽͦͯ͠ɼWeil ίϗϞϩδʔͷଘࡏͱ 2 ͭͷελϯμʔυ༧૝ΛԾఆ্ͨ͠ͰɼWeil ༧૝͕ࣗવʹূ໌͞ΕΔ͜ͱΛࣔͨ͠ɽ͞Βʹɼ୅਺ଟ༷ମͷίϗϞϩδʔΛ͢΂ͯࢧ഑͢ΔΑ͏ͳཧ࿦— Ϟνʔϑͷཧ࿦ — ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛࣔͨ͠ɽຊઅͰ͸ɼGrothendieck ʹΑΔ Weil ༧૝ͷূ໌ͷΞΠσΞΛ঺հ͢Δɽͦͯ͠ɼ

Grothendieck ͕ເ‫ͨݟ‬ʮϞνʔϑͷཧ࿦ʯʹ͍ͭͯઆ໌͢Δɽ
ʢৄ͘͠͸ɼ[Groth],[Ma], [Kl], [Kl2], [Seattle] Λࢀর57ɽ
ʣ
4.1. Weil ίϗϞϩδʔͷ “ެཧ”. ‫ૅج‬ମͱͯ͠୅਺తดମ K Λɼ܎਺ମͱͯ͠ඪ
਺ 0 ͷମ L Λ‫ݻ‬ఆ͢ΔɽL Λ܎਺ମͱͨ͠ Weil ίϗϞϩδʔͱ͸ɼK ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ X ʹରͯ͠ɼL ্ͷ࣍਺෇͖୅਺ H ∗ (X) ΛରԠͤ͞Δ‫ن‬ଇ :/X → H ∗ (X) =H i (X)i∗Ͱ͋ͬͯɼH (X) ͷੵ (Χοϓੵͱ͍͏) ͸ α ∈ H i (X), β ∈ H j (X) ʹର͠ α · β =(−1)ij β · α ΛΈͨ͢൓มؔखͰ͋Γʢf : X → Y ʹର͠ɼ࣍਺Λอͭ L ୅਺४ಉ‫ܗ‬ࣸ૾ f ∗ : H ∗ (X) → H ∗ (X) ͕ఆ·Δɽf ͕߃౳ࣹͳΒ f ∗ ͸߃౳ࣸ૾Ͱɼf : X →57Grothendieck

Circle ͷ ϗ ʔ Ϝ ϖ ʔ δ http://www.grothendieckcircle.org/ ͔ Β ɼGrothendieck ʹؔ͢Δ༷ʑͳจ‫ݙ‬Λμ΢ϯϩʔυ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽະग़൛ͷ‫ߘݪ‬΍ɼGrothendieck͕Ϟνʔϑʹ͍ͭͯड़΂ͨखࢴΛೖख͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɽ
38- 129 -

Y, g : Y → Z ʹର͠ (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ ΛΈͨ͢ʣɼ͞ΒʹҎԼͷੑ࣭ 1ʙ6 ΛΈͨ͢΋ͷΛ͍͏ɽ
ੑ࣭ 1 (༗‫ݶ‬ੑ): ֤ H i (X) ͸ L ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ϕΫτϧۭؒͰ͋ΔɽX ͷ࣍‫͕ݩ‬n ͳΒɼi < 0 ·ͨ͸ i > 2n ʹ͓͍ͯ H i (X) = 0 Ͱ͋Δɽ
ੑ࣭ 2 (Poincaré ૒ରఆཧ): X ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͢Δͱɼ޲͖෇͚ࣸ૾ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ∼=ಉ‫ ܗ‬H 2n (X) −→ L ͕ؔखతʹఆ·Δɽ͞ΒʹɼΧοϓੵͱ޲͖෇͚ࣸ૾͔
Βఆ·Δ૒ઢ‫ࣜܗܗ‬H i (X) × H 2n−i (X) −→ H 2n (X) ∼= L,(α, β) → α · β͸ඇୀԽͰ͋ΔɽX ͷ࣍‫ݩ‬Λ nɼY ͷ࣍‫ݩ‬Λ m ͱͨ͠ͱ͖ɼࣹ f : X → Y ʹΑΔҾ͖໭ࣸ͠૾ f ∗ : H i (Y ) −→ H i (X) ͷ Poincaré ૒ରΛ

f∗ : H i (X) −→ H i+2(m−n) (Y )Ͱද͢ɽੑ࣭ 3 (Künneth ެࣜ): X, Y ʹର͠ɼ௚ੵ͔ΒͷࣹӨΛͦΕͧΕ p : X × Y →X, q : X × Y → Y ͱ͓͘ɽ͜ͷͱ͖ɼࣸ૾
∼=H ∗ (X) ⊗ H ∗ (Y ) −→ H ∗ (X × Y ),α ⊗ β → (p∗ α) · (q ∗ β)͸ಉ‫͋Ͱܗ‬Δɽ
ੑ࣭ 4 (αΠΫϧࣸ૾): X ্ͷ༨࣍‫ ݩ‬i ͷ୅਺తαΠΫϧͷͳ͢‫܈‬Λ C i (X) ͱ͓͘ɽαΠΫϧࣸ૾ͱ‫ݺ‬͹ΕΔࣸ૾γX : C i (X) −→ H 2i (X)͕ଘࡏ͠ɼ࣍ΛΈͨ͢ɽ• f : X → Y ʹର͠ f ∗ ◦ γY = γX ◦ f ∗ ɼf∗ ◦ γX = γY ◦ f∗ ɽ
• Z ∈ C i (X), W ∈ C j (Y ) ʹର͠ɼγX×Y (Z × W ) = γX (Z) ⊗ γY (W )ɽ
• X ͕ 1 ఺ͷͱ͖͸ɼC 0 (X) = Z, H 0 (X) = L Ͱ͋ΔɽγX : Z → L ͸ 1 Λ
1 ʹ͏ͭ͢ɽ
ੑ࣭ 5 (ऑ Lefschetz ఆཧ): X ͷ࣍‫ݩ‬Λ n ͱ͓͘ɽX ͸ࣹӨతͳͷͰɼʢे෼େ͖ͳ࣍‫ݩ‬ͷʣࣹӨۭؒʹ‫·ؚ‬ΕΔ : X ⊂ Pm ɽH ⊂ Pm Λ௒ฏ໘ͱ͠ɼ௒ฏ໘
੾அ H ∩ X ͸‫׈‬Β͔Ͱ͋ΔͱԾఆ͢Δɽแ‫૾ؚࣸ‬Λ h : H ∩ X → X ͱ͓͘ͱɼҾ͖໭ࣸ͠૾

h∗ : H i (X) −→ H i (H ∩ X)
͸ i ≤ n − 2 Ͱಉ‫͋Ͱܗ‬Γɼi = n − 1 Ͱ୯ࣹͰ͋Δɽ
39- 130 -

ੑ࣭ 6 (‫ ڧ‬Lefschetz ఆཧ): ੑ࣭ 5 ͱಉ༷ͷԾఆͷԼͰɼLefschetz ࡞༻ૉΛ࣍ͷΑ͏ʹఆΊΔ :L : H i (X) −→ H i+2 (X),

α → Lα := α · γX (H ∩ X)

ʢH ∩ X ͸ X ͷ༨࣍‫ ݩ‬1 ͷ୅਺తαΠΫϧͳͷͰɼγX (H ∩ X) ∈ H 2 (X) Ͱ͋Δɽʣ೚ҙͷ i ≥ 1 ʹର͠ɼ࣍ͷࣸ૾͸ಉ‫͋Ͱܗ‬Δ :∼=Li : H n−i (X) −→ H n+i (X).

P n−i (X) := Ker Li+1 : H n−i (X) → H n+i+2 (X) Λ‫࢝ݪ‬෦෼ͱ͍͏ɽੑ࣭ 6 ͔Βɼi ≤ n ʹର͠ɼH i (X) ͸‫࢝ݪ‬෼ղ
H i (X) = P i (X) ⊕ LH i−2 (X) =/Lj P i−2j (X)j≥0Λ࣋ͭ͜ͱ͕෼͔Δɽ࣍਺Λ 2 ͚ͩԼ͛Δ࡞༻ૉΛ : H i (X) −→ H i−2 (X)Λ࣍ͷΑ͏ʹఆٛ͢Δɽ0 ≤ i ≤ n ͷͱ͖ɼ೚ҙͷ x ∈ H i (X) ͸ x = j≥0 Lj xj (xj ∈j−1
P i−2j (X)) ͱҰҙతʹॻ͚ΔɽΛx =xj ͱఆΊΔɽn < i ≤ 2n ͷͱ͖ɼ
j≥1 L

i
j
i−2j
(X)) ͱҰҙతʹॻ͚ΔɽΛx =೚ҙͷ x ∈ H (X) ͸ x =j≥i−n L xj (xj ∈ Pj−1
xj ͱఆΊΔɽj≥i−n L4.2. Weil ίϗϞϩδʔͷྫ. ࠓ೔Ͱ͸༷ʑͳछྨͷίϗϞϩδʔཧ࿦͕ §4.1 ͷެཧΛΈͨ͢͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ(1) ‫ૅج‬ମ K Λෳૉ਺ମ C ͷ෦෼ମͱ͢Δʢྫ͑͹ɼK = C ΍ Qʣɽ܎਺ମΛ
L = Q ͱ͓͘ɽX(C) ͸ෳૉଟ༷ମͰ͋ΔʢಛʹҐ૬ଟ༷ମͰ͋Δʣ͔ΒɼͦͷಛҟίϗϞϩδʔʢBetti ίϗϞϩδʔʣ
 / i
H ∗ X(C), Q =H X(C), QiΛߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜Ε͸ Weil ίϗϞϩδʔͷެཧΛΈͨ͢ɽ(2) ‫ૅج‬ମ K Λඪ਺ 0 ͷ୅਺తดମͱ͠ɼ܎਺ମΛ L = K ͱ͓͘ɽX ্ͷ୅਺తde Rham ෳମͷ௒ίϗϞϩδʔʹΑΓɼX ͷ de Rham ίϗϞϩδʔ
 / i 

∗
HDR
X/K =
HDR X/Ki

͕ఆ·Δɽ͜Ε͸ Weil ίϗϞϩδʔͷެཧΛΈͨ͢ɽ
ʢK = C Ͱ͋Ε͹ɼ͜Εʣ͸ Betti ίϗϞϩδʔʹ “⊗Q C” ͨ͠΋ͷͱಉ‫͋Ͱܗ‬Δɽ
40- 131 -

(3) ‫ૅج‬ମ K Λ೚ҙͷ୅਺తดମͱ͠ɼ Λ K ͰՄ‫ͳٯ‬ૉ਺ͱ͢Δɽ܎਺ମΛ
L = Q ͱ͓͘ɽQ ্ͷϕΫτϧۭؒͱͯ͠ͷಉ‫ ܗ‬Q ∼= Q (1) Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɽ
X ͷʢ ਐʣΤλʔϧίϗϞϩδʔ / iH ∗ X, Q =H X, Q
i

͸ Weil ίϗϞϩδʔͷެཧΛΈͨ͢ɽੑ࣭ 1ʙ5 ͸ [SGA] Ͱূ໌͞Ε͍ͯΔɽ
ੑ࣭ 6 ͸ Deligne ͕ “Weil II”ʢ[De3]) Ͱূ໌͍ͯ͠Δʢ§3.9 Λࢀরʣɽ(4) ‫ૅج‬ମ K Λඪ਺ p > 0 ͷ୅਺తดମͱ͠ɼL Λ Witt ‫ ؀‬W (K) ͷ঎ମͱ͢Δ58ɽ͜ͷͱ͖ɼX ͷΫϦελϧίϗϞϩδʔ
/




∗
i
Hcrys
X/W (K) ⊗W (K) L =Hcrys
X/W (K) ⊗W (K) Li

͸ Weil ίϗϞϩδʔͷެཧΛΈͨ͢ɽੑ࣭ 4 Ҏ֎͸ Katz-Messing ͕ɼDeligneʹΑΔ “Weil II” ͷ݁ՌΛ༻͍ͯɼ ਐΤλʔϧίϗϞϩδʔͷ৔߹ʹ‫ؼ‬ணͯ͠ূ໌͍ͯ͠Δʢ[KM]ʣɽੑ࣭ 4 ͸ Gillet-MessingɼGros ʹΑΔʢ[GM],[Gros]ʣɽ
4.3. ελϯμʔυ༧૝ͱ Weil ༧૝. ͜͜Ͱ͸ɼ
ʮWeil ίϗϞϩδʔʯΛ 1 ͭ‫ݻ‬ఆͯ͠
ߟ͑Δɽ§3.6 ʹड़΂ͨํ๏ͱಉ༷ʹͯ͠ɼ§4.1 ͷੑ࣭ͷΈ͔ΒɼLefschetz ੻ެ͕ࣜ‫ࣜܗ‬తʹಋ͔ΕΔʢੑ࣭ 5, ੑ࣭ 6 ͸ෆཁͰ͋Δʣɽͦͯ͠ɼ߹ಉθʔλؔ਺ͷ༗ཧੑ
ʢ༧૝ 3.4ʢ1ʣʣͱؔ਺౳ࣜʢ༧૝ 3.4ʢ2ʣʣ͕ࣗવʹূ໌͞ΕΔɽҎԼͰ͸ɼX Λ୅਺తดମ K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͠ɼX ͷ࣍‫ݩ‬Λ nͱ͓͘ɽ
ఆٛ 4.1. X ্ͷ༨࣍‫ ݩ‬i ͷ୅਺తαΠΫϧ α, β ∈ C i (X) ͕਺஋తಉ஋Ͱ͋Δͱ͸ɼ೚ҙͷ γ ∈ C n−i (X) ͱͷަ఺਺͕౳͍͜͠ͱΛ͍͏ : α·γ = β·γ ɽ·ͨɼα, β ∈ C i (X) ͕ϗϞϩδʔಉ஋Ͱ͋Δͱ͸ɼαΠΫϧࣸ૾ͷ૾͕౳͍͜͠ͱΛ͍͏ : γX (α) = γX (β)ɽ༧૝ 4.2. α, β ∈ C i (X) ͕਺஋తಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱͱɼϗϞϩδʔಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱ͸ಉ஋ɽಛʹɼʮϗϞϩδʔಉ஋ʯ͸ Weil ίϗϞϩδʔͷͱΓํʹΑΒͳ͍59ɽ

Grothendieck ͸ Riemann ༧૝ͷྨࣅʢ༧૝ 3.4ʢ3ʣʣΛূ໌͢ΔͨΊʹɼελϯμʔυ༧૝ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ༧૝Λఏग़ͨ͠ɽ
58L = Frac W (K) ͸ඪ਺ 0 ͷ‫׬‬උ཭ࢄ෇஋ମͰɼp ͕ૉ‫Ͱݩ‬ɼK ͕৒༨ମͱͳΔ΋ͷɽ59α, β ͕ϗϞϩδʔಉ஋Ͱ͋Ε͹਺஋తಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱͷূ໌͸΍͍͞͠ɽ‫͖޲ٯ‬͸Ұൠʹ͸஌ΒΕ͍ͯͳ͍ɽ
41- 132 -

༧૝ 4.3 (Lefschetz ελϯμʔυ༧૝). ‫࢝ݪ‬෼ղ͔Βఆ·Δ࡞༻ૉ Λ : H i (X) →H i−2 (X) ͸୅਺తαΠΫϧ͔ΒདྷΔɽ͢ͳΘͪɼX × X ্ͷ༨࣍‫ ݩ‬n − 1 ͷ୅਺తαΠΫϧ α ∈ C n−1 (X × X) ͕ଘࡏͯ͠ɼ֤ i ʹରͯ͠ɼα ͕ಋࣸ͘૾
H i (X) −→ H i−2 (X),x → p2 ∗ (p1∗ x) · α͸ Λ ʹ౳͍͠ɽ
༧૝ 4.4 (Hodge ελϯμʔυ༧૝). i ≤ n/2 ͱ͢ΔɽγX : C i (X) → H 2i (X) ͷ૾Ͱੜ੒͞Εͨ Q ্ͷϕΫτϧۭؒΛ Ai (X) ͱ͓͘60ɽQ ্ͷϕΫτϧۭؒ Ai (X)∩P 2i (X)ʢP 2i (X) ͸‫࢝ݪ‬෦෼ʣʹఆ·Δ૒ઢ‫ࣜܗܗ‬
 

 i
A (X) ∩ P 2i (X) × Ai (X) ∩ P 2i (X) −→ Q,(x, y) → (−1)i Ln−2i x · y͸ਖ਼ఆ஋Ͱ͋Δɽ͢ͳΘͪɼx ∈ Ai (X)∩P 2i (X), x = 0 ʹର͠ɼ(−1)i Ln−2i x·x > 0ɽ༧૝ 4.4 ͸ Hodge ཧ࿦ʹ͓͚Δෆ౳ࣜΛ୅਺తαΠΫϧͷ‫ݴ‬༿Ͱड़΂ͨ΋ͷͰ͋Γɼn ≤ 2 ͳΒղܾ͞Ε͍ͯΔɽ·ͨɼK ͷඪ਺͕ 0 ͳΒɼK = C ͷ৔߹ʹ‫ؼ‬ணͯ͠

Hodge ཧ࿦Λ༻͍ͯূ໌͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɽҰํͰɼ༧૝ 4.3 ͸ʢK = C Ͱ΋ʣະղ
ܾͰ͋Δɽ༧૝ 4.3 ͱ༧૝ 4.4 ͔Βɼ༧૝ 4.2 ͕ಋ͔ΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ

Grothendieck ͸ɼWeil ΍ Serre ͷ݁ՌΛ౿·͑ͯɼʮWeil ίϗϞϩδʔͷଘࡏʯͱʮελϯμʔυ༧૝ʢ༧૝ 4.3ɼ༧૝ 4.4ʣʯ͔Β Riemann ༧૝ͷྨࣅʢ༧૝ 3.4ʢ3ʣʣʣ͕ಋ͔ΕΔ͜ͱΛࣔͨ͠ɽʢৄ͘͠͸ [Groth], [Kl], [Kl2] Λࢀরɽఆཧ 4.5 (Weil ίϗϞϩδʔͷଘࡏʴελϯμʔυ༧૝ ⇒ Weil ༧૝). K = Fq ͱ
͢Δɽ§4.1 ͷ “ެཧ” ΛΈͨ͢ Weil ίϗϞϩδʔΛҰͭ‫ݻ‬ఆ͠ʢଘࡏΛԾఆ͢Δʣɼ͞Βʹ K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମʹରͯ͠༧૝ 4.3 ͱ༧૝ 4.4 ͕ͳΓͨͭͱԾ
ఆ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼFq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ X ʹର͠ɼFrobenius ࣹ F ͷ

H i (X ⊗Fq Fq ) ΁ͷ࡞༻͸൒୯७Ͱ͋Δ61ɽ͞ΒʹɼF ͷ‫ݻ‬༗஋ α ͸୅਺త਺Ͱɼͦ
ͷ͢΂ͯͷ‫ڞ‬໾ͷෳૉઈର஋͸ q i/2 ʹ౳͍͠ɽ͜͏ͯ͠ Riemann ༧૝ͷྨࣅʢ༧૝ 3.4ʢ3ʣʣͷओு͸• §4.1 ͷ “ެཧ” ʢੑ࣭ 1ʙ6ʣΛΈͨ͢ʮWeil ίϗϞϩδʔʯͷଘࡏ• 2 ͭͷελϯμʔυ༧૝ʢ༧૝ 4.4ɼ༧૝ 4.4ʣʹ‫ؼ‬ண͞Εͨɽ1968 ೥ʹελϯμʔυ༧૝Λఏग़ͨ͠࿦จ [Groth] ͷ 198 ϖʔδʹ͓͍ͯɼGrothendieck ͸࣍ͷΑ͏ʹड़΂͍ͯΔ :60͢ͳΘͪɼAi (X) ͸ C i (X) ⊗ Q ΛϗϞϩδʔಉ஋Ͱׂͬͨ‫͋Ͱ܈‬Δ

61͢ͳΘͪɼର֯ԽՄೳͳߦྻͰද͞ΕΔͱ͍͏͜ͱɽ

42- 133 -

ʰಛҟ఺ղফ໰୊ͱฒΜͰɼελϯμʔυ༧૝ͷղܾ͸୅਺‫ز‬Կֶʹ͓͚Δ࠷΋‫ٸ‬Λཁ͢Δ՝୊Ͱ͋ΔͱࢥΘΕΔɽ
ʱ͔͠͠ͳ͕Βɼࠓ೔Ͱ΋ɼελϯμʔυ༧૝͸ʢ྆ํͱ΋ʣະղܾͰ͋ΔɽWeil ༧૝͸ Deligne ʹΑͬͯղܾ͞Ε͕ͨ ([De2], [De3])ɼͦͷূ໌͸ Grothendieck ͕౰ॳ૝ఆ͍ͯͨ͠΋ͷͱ͸ҟͳΓɼελϯμʔυ༧૝Λ༻͍ͳ͍΋ͷͰ͋ͬͨ62ɽ

Grothendieck ࣗ਎͸ɼWeil ༧૝ͷূ໌Λ໨ࢦͯ͠ Weil ίϗϞϩδʔͷ࿮૊ΈΛ༩͑ͨ΋ͷͷɼࣗΒ͕૑࢝ͨ͠ΤλʔϧίϗϞϩδʔ͕ͦͷ “ެཧ” Λຬͨ͢͜ͱ
͸ূ໌Ͱ͖ͳ͔ͬͨɽ
ʢ࣮ࡍɼ[SGA] ʹ͓͍ͯ͸ɼΤλʔϧίϗϞϩδʔʹؔ͢Δ‫ڧ‬

Lefschetz ఆཧ͸ະղܾ໰୊ͱͯ͠࢒͍ͬͯΔɽʣ§4.2 Ͱ΋ड़΂ͨΑ͏ʹɼΤλʔϧίϗϞϩδʔ͸ Weil ίϗϞϩδʔͷ “ެཧ” ΛΈͨ͢ɽ͔͠͠ɼൽ೑ͳ͜ͱʹɼͦͷূ໌ʹ͸ɼDeligne ʹΑΔ “Weil II” ([De3]) ͷ݁Ռ͕༻͍ΒΕΔɽGrothendieck ͷ౰ॳͷ‫ظ‬଴ͱ͸‫ʹٯ‬ɼWeil ༧૝ʢͷ Deligne ʹΑΔҰൠԽʣͷ‫ͯ͠ͱ݁ؼ‬ɼWeil ίϗϞϩδʔͷଘࡏ͕ূ໌͞ΕͨͷͰ͋Δɽ

4.4. Grothendieck ཧ࿦ͷເ — Ϟνʔϑͷ‫“ ݍ‬MK ”ɼ൒୯७ੑ. ୅਺ଟ༷ମͷίϗϞϩδʔ͸༷ʑͳछྨͷ෼ղΛ࣋ͭɽ΋ͪΖΜɼίϗϞϩδʔͷ࣍਺ʹΑΔ෼ղ

H ∗ (X) =/H i (X)i͸ৗʹଘࡏ͢Δɽ΋͠ X ͕ X = Y × Z ͱ͍͏‫ʹܗ‬௚ੵʹ෼ղ͞Ε͍ͯΕ͹ɼKünnethެࣜʹΑΔ෼ղ

H i (X) =/H j (Y ) ⊗ H k (Z)j+k=i͕͋Δɽ·ͨɼҰൠʹ‫ ڧ‬Lefschetz ఆཧʢ§4.1, ੑ࣭ 6ʣ͔Βಋ͔ΕΔ‫࢝ݪ‬෼ղ

H i (X) =/Lj P i−2j (X)j≥0͕͋Δɽ͜͏ͨ͠ “෼ղ” ͸͢΂ͯͷʮWeil ίϗϞϩδʔʯͰͳΓͨͭɽX ࣗ਎͕ԿΒ͔ͷҙຯͰʢίϗϞϩδʔཧ࿦ʹΑΒͳ͍‫Ͱܗ‬ʣ “෼ղ” ͍ͯͯ͠ɼ্Ͱ‫ͨݟ‬ίϗϞϩδʔͷ෼ղ͸ͦͷදΕͰ͋Δɼͱߟ͑Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ͩΖ͏͔ʁ
62q ͱ‫ʹ͍ޓ‬ૉͳૉ਺  ʹର͠ɼ ਐΤλʔϧίϗϞϩδʔ͸ Weil ίϗϞϩδʔͰ͋Δɽ͜ͷ৔߹ɼ
ఆཧ 4.5 ͷҰͭ໨ͷओுɼ͢ͳΘͪɼFrobenius ࣹ F ͷΤλʔϧίϗϞϩδʔ H i X ⊗Fq Fq , Q ΁ͷ࡞༻͕൒୯७Ͱ͋Δ͜ͱ͸ະղܾͰ͋Δɽ
43- 134 -

Grothendieck ͸ɼελϯμʔυ༧૝ʢ༧૝ 4.3, ༧૝ 4.4ʣͷԾఆͷԼʹɼϞνʔϑͷ‫ݍ‬63MK ͱ൓มؔखh : K ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ −→ MKΛߏ੒͠ɼX → h(X) ͕ “ීวతͳίϗϞϩδʔཧ࿦” ͷҰछͰ͋Δ͜ͱΛࣔͨ͠ɽͦͯ͠ɼʢྑ͍ੑ࣭ΛΈͨ͢ʣίϗϞϩδʔཧ࿦ X → H ∗ (X) ͸ɼ͜ͷؔख h Λ‫ܦ‬༝͢Δ͜ͱΛʢελϯμʔυ༧૝ͷԾఆͷԼͰʣࣔͨ͠ɽ

Grothendieck ʹΑΔϞνʔϑͷ‫ ݍ‬MK ͷߏ੒͸ɼ࣍ͷ௨ΓͰ͋Δɽ·ͣɼK ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମΛର৅ͱ͠ɼࣹ͕

n
Hom h(X), h(Y ) = Cneq
(X × Y, Q)Ͱ༩͑ΒΕΔΑ͏ͳ‫ ݍ‬M  Λߟ͑ΔɽX, Y ʹରԠ͢Δର৅Λ h(X), h(Y ) ∈ M  Ͱॻn͍ͨɽn ͸ X ͷ࣍‫͋Ͱݩ‬ΓɼCneq(X × Y, Q) ͸ X × Y ্ͷ༨࣍‫ ݩ‬n ͷ Q-܎਺ͷ୅਺తαΠΫϧͷͳ͢‫ ܈‬C n (X × Y ) ⊗Z Q Λ਺஋తಉ஋Ͱׂͬͨ‫͋Ͱ܈‬ΔɽM  ʹ͓͚Δࣹͷ߹੒͸୅਺తରԠͷ߹੒ͰఆΊΔɽ͢ͳΘͪɼX, Y, ZʢX ͷ࣍‫ݩ‬Λ nɼY ͷ࣍‫ݩ‬Λ m ͱ͓͘ʣʹର͠ɼp12 : X × Y × Z −→ X × Y ɼp23 : X × Y × Z −→ Y × Z ɼnm
p13 : X × Y × Z −→ X × Z ͱ͓͖ɼα ∈ Cneq
(X × Y, Q) ͱ β ∈ Cneq
(Y × Z, Q) ͷ߹

੒Λ



n
β ◦ α = (p13 )∗ p∗12 α · p∗23 β ∈ Cneq
(X × Z, Q)nͰఆΊΔɽʢΤλʔϧίϗϞϩδʔͱಉ༷ʹɼCneq
ʹରͯ͠΋ f ∗ , f∗ ͳͲͷࣸ૾͕ఆٛ
Ͱ͖Δɽʣ͜ͷ‫ ݍ‬M  ʹɼࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ؀ܗ‬Hom h(X), h(X) ͷϕΩ౳‫ʹݩ‬ΑΔ૾Λ෇ʢ ਐΤλʔϧίϗϞϩδʔͷੈքͰ Tate ೧Γʹ͚Ճ͑ɼ͞Βʹର৅ͷʮTate ೧Γʯʢৄ͘͠͸ [Jan] ΛࢀরɽʣରԠ͢Δ΋ͷʣΛ෇͚Ճ͑ͨ΋ͷ͕ MK Ͱ͋ΔɽGrothendieck ͸ʢελϯμʔυ༧૝ΛԾఆͯ͠ʣ͜ͷ‫ ݍ‬MK ͕൒୯७Ξʔϕϧ‫Ͱݍ‬,
͋Δ͜ͱΛࣔͨ͠ɽ͜ΕʹΑΓɼ೚ҙͷ h(X) ∈ MK ͸୯७ͳର৅ͷ࿨ h(X) = i αi
ʹ “෼ղ” ͞ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ୅਺ଟ༷ମ X Λ “෼ղ” ͢Δ͜ͱͰϞνʔϑ αi ͕ಘΒΕ64ɼX ͷίϗϞϩδʔ࿦తͳੑ࣭͸͢΂ͯ͜ͷϞνʔϑ αi ͕ͨͪίϯτϩʔϧ͢Δ͜ͱʹͳΔɽ͜Ε͸‫ۃ‬Ίͯஶ͍͠ੑ࣭Ͱ͋ΔɽGrothendieck ͕͜Ε͸ “‫”੻ح‬
Ͱ͋Δͱ‫ه͏͍ͱͨͬݴ‬࿥͕࢒͍ͬͯΔ65ɽ
63ࠓ೔Ͱ͸਺஋తಉ஋Ϟνʔϑ (neq motives, numerical equivalence motives) ͷ‫ݺͱݍ‬͹Ε͍ͯΔɽ
64޿ࣙԓୈ‫ޒ‬൛ʹΑΔͱɼϞνʔϑʹ͸ʮԻָ‫ࣜܗ‬Λߏ੒͢Δ࠷খ୯Ґʯͱ͍͏ҙຯ͕͋Δɽஶऀ
ʹ͸ϑϥϯε‫ޠ‬ͷ “motif” ʹࠐΊΒΕͨඍົͳҙຯΛಡΈऔΔ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍͕ʢ҆ͬΆ͍ࣙॻΛҾ͘ͱɼʮmotif = Ϟνʔϑʯͱ͚ͩॻ͔Ε͍ͯΔ͜ͱ΋͋Δʣɼ୅਺ଟ༷ମͷίϗϞϩδʔͷ૗ͰΔԻ
ָΛߏ੒͢Δʮ୯Ґʯͱ͍͏ҙຯΛࠐΊͨͷ͔΋͠Εͳ͍ɽ
65[Kl2]ɼ5 ϖʔδɼ13 ߦ໨ʹ Kleiman ʹΑΔ‫ه‬ड़͕͋Δɽ

44- 135 -

4.5. Jannsen ͷఆཧ. ͸ͨͯ͠ “‫ ”੻ح‬͸‫͜ى‬ΔͷͩΖ͏͔ɽ‫ ݍ‬MK ࣗ਎͸ελϯμʔυ༧૝ΛԾఆ͠ͳͯ͘΋ఆٛՄೳͰ͋Δɽ·ͨɼʮ਺஋తಉ஋ʯҎ֎ͷಉ஋ؔ܎ʢྫ͑͹ɼWeil ίϗϞϩδʔΛҰͭ‫ݻ‬ఆͨ͠ͱ͖ͷʮϗϞϩδʔಉ஋ʯʣΛ༻͍ͯ MKͱྨࣅͷ‫ݍ‬Λߏ੒͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɽ

Grothendieck ͕ελϯμʔυ༧૝Λఏग़͔ͯ͠Β 20 ೥Ҏ্͕‫ܦ‬աͨ͠ 1992 ೥ʹɼJannsen ͸ɼελϯμʔυ༧૝ΛԾఆͤͣʹ࣍ͷఆཧΛࣔͨ͠ɽఆཧ 4.6 ([Jan]). ʮ਺஋తಉ஋ʯ͔Βఆٛ͞Εͨ‫ ݍ‬MK ͸൒୯७Ξʔϕϧ‫͋Ͱݍ‬Δɽ

Jannsen ʹΑΔ͜ͷఆཧͷূ໌͸ Lefschetz ੻ެࣜΛ༻͍ͨ઱΍͔ͳ΋ͷͰ͋Γɼඇʢ਺஋తಉ஋ͱ
ৗʹ୹͍ɽʢ࿦จࣗମ΋ͨͬͨͷ 6 ϖʔδͰ͋ΔʂʣJannsen ͸ɼ͞Βʹɼ͸‫ݶ‬Βͳ͍ಉ஋ؔ܎͔Βఆٛ͞Εͨʣ‫͕ݍ‬൒୯७Ξʔϕϧ‫͋Ͱݍ‬ΔͨΊʹ͸ɼͦͷ‫ݍ‬͕਺஋తಉ஋͔Β࡞ΒΕΔ͜ͱ͕ඞཁे෼Ͱ͋Δ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼ΋͠ “‫ ”੻ح‬Λ৴͡ΔͳΒ͹ɼMK ͕ͦ͜ਖ਼͍͠Ϟνʔϑͷ‫ݍ‬Λ༩͍͑ͯΔ͜ͱʹͳΔɽ
ελϯμʔυ༧૝͸‫ࡏݱ‬΋ͳ͓ະղܾͰ͋Γɼ͕ͨͬͯ͠ɼGrothendieck ͷເ͕͢΂࣮ͯ‫͞ݱ‬ΕͨΘ͚Ͱ͸ͳ͍ɽ͔͠͠ɼJannsen ͷఆཧʹΑΓɼগͳ͘ͱ΋ʮϞνʔϑͷ‫ݍ‬ʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ΂͖‫ ݍ‬MK ͸ಘΒΕͨ͜ͱʹͳΔ66ɽ
ஶऀ͸ 2008 ೥ 1 ݄ 3 ೔͔Β 12 ೔ʹ͔͚ͯΠϯυͷ Tata ‫ߦͰॴڀݚ‬ΘΕͨࠃࡍ‫ڀݚ‬ूձʮ୅਺తαΠΫϧɼϞνʔϑɼࢤଜଟ༷ମʯʹࢀՃ͠ɼJannsen ࢯ͔Β࿦จ [Jan]ʹ͍ͭͯͷ࿩Λ௚઀࢕͏͜ͱ͕Ͱ͖Δͱ͍͏޾ӡΛಘͨɽຊઅͷ࠷‫ʹޙ‬ɼJannsen ࢯͷ‫ݴ‬༿ΛҾ༻͠Α͏ɽʰࢲ͕࿦จ [Jan] Λॻ͍ͨͷ͸ɼ৺ཧతͳཧ༝ʹΑΔ΋ͷͰͨ͠ɽͦ
ΕҎલʹ͸ɼଟ͘ͷਓʑ͕Ϟνʔϑͷ͜ͱΛ “͍ΘΏΔϞνʔϑͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔ΋ͷ” (so-called motives) ͱ‫ݺ‬ΜͰ͍·ͨ͠ɽ͔͠͠ɼࢲͷ࿦จ͕ग़൛͞Ε͔ͯΒɼͦ͏‫Ϳݺ‬ਓ͸͍ͳ͘ͳΓ·ͨ͠ɽʱ

66Jannsen ͷఆཧ͸Ԡ༻্͸ෆे෼Ͱ͋Δ͜ͱ͕ଟ͍ɽ ਐΤλʔϧίϗϞϩδʔ͕ɼؔख h Λ‫ܦ‬༝͢Δ͜ͱ͸ূ໌Ͱ͖ͳ͍ɽ
ʢͦͷͨΊʹ͸༧૝ 4.2 — ͜Ε͸ελϯμʔυ༧૝ͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δ — ΛԾఆ͢Δඞཁ͕͋Δʣ·ͨɼJannsen ͷఆཧ͔ΒɼΤλʔϧίϗϞϩδʔ΁ͷ Frobenius ࡞༻ͷ൒୯७ੑΛಋ͘͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ɽMK ͕ʮਖ਼͍͠ʯϞνʔϑͷ‫͋Ͱݍ‬Δ͜ͱ͸͍ٙΑ͏͸ͳ͍͕ɼελϯμʔυ༧૝͕ղܾ͞Ε͍ͯͳ͍‫ݱ‬ঢ়Ͱ͸ɼԠ༻্͸ɼMK ΑΓ΋΋ͬͱѻ͍΍͍͢‫ݍ‬Λ࢖Θ͟ΔΛ͑ͳ͍͜ͱ΋͋Δɽ
45- 136 -

5. ੔਺࿦ʹ͓͚ΔʮϞνʔϑతͳߟ͑ํʯ
5.1. อ‫ͱࣜܗܕ‬Ϟνʔϑ. §2.9 Ͱ͸ɼอ‫ʹࣜܗܕ‬൐͏ Galois ද‫͍ͯͭʹݱ‬ड़΂ͨɽ͢∞ͳΘͪɼʢద౰ͳ৚݅ΛΈͨ͢ʣઑ఺తอ‫ ࣜܗܕ‬f = n=1 an q n ͱૉ਺ ʹରͯ͠ɼQͷ 2 ࣍‫ ݩ‬ਐද‫ ݱ‬ρf, : Gal(Q/Q) −→ GL(V ) ͕ଘࡏ͠ɼ

L(s, f ) = L(s, ρf, )ΛΈͨ͢ʢఆཧ 2.10ʣ :/o /o /o /o /o /o /o / Galois ද‫ ݱ‬ρf,อ‫ ࣜܗܕ‬f

͔͠΋ɼf ͷॏ͕͞ k ≥ 2 Ͱ͋Ε͹ɼ͜ͷରԠ͸ɼ‫ٱ‬լʖࠤ౻ଟ༷ମͱ‫ݺ‬͹ΕΔ (k − 1)࣍‫ݩ‬୅਺ଟ༷ମ X ͷ (k − 1) ࣍ΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔ΒɼHecke ‫؀‬ͷ࡞༻ʹΑͬͯʮf ʹରԠ͢Δ෦෼ʯΛ੾ΓऔΔ͜ͱͰ࡞ΒΕΔ :อ‫ ࣜܗܕ‬f/o /o /o /o /o /o /o / ‫ٱ‬լʖࠤ౻ଟ༷ମ X/o /o /o /o /o /o /o / Galois ද‫ ݱ‬ρf,ͯ͞ɼ§4.4 Ͱड़΂ͨʮϞνʔϑͷཧ࿦ʯͷߟ͑ํΛ࢖ͬͯɼ͜ͷରԠΛ΋͏গ͠ਪ͠ਐΊͯΈΑ͏ɽ‫ٱ‬լʖࠤ౻ଟ༷ମ X ্ʹ͸ Hecke ࡞༻ૉ͕୅਺తରԠͱͯ͠࡞༻͢
Δ͔Βɼͦͷ࡞༻ʹΑΓ X ͷϞνʔϑ “h(X) ∈ MK ” Λ෼ղ͠ɼf ʹରԠ͢Δ෦෼Ϟνʔϑ “Mf ∈ MK ” ʢอ‫ ࣜܗܕ‬f ͷϞνʔϑʣΛऔΓग़͢͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ͩΖ͏͔ʁ
ͦͯ͠ɼGalois ද‫ ݱ‬ρf, ΛɼϞνʔϑ “Mf ” ͷΤλʔϧίϗϞϩδʔ H ∗ (Mf , Q ) ͱͯ͠ཧղ͢Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ͩΖ͏͔ʁϞνʔϑ “Mf ”
7w

7w
7w 7w

w7 7w

7w 7

(h (h

(h (h

(h (h

(h (h
(

Galois ද‫ ݱ‬ρf,อ‫ ࣜܗܕ‬f࣮ࡍɼ͜Ε͸ʢద౰ͳमਖ਼ͷԼͰ67ʣՄೳͰ͋Γɼอ‫ࣜܗܕ‬ͷϞνʔϑ͸ Scholl ʹΑͬͯߏ੒͞Ε͍ͯΔɽ‫ٱ‬լʖࠤ౻ଟ༷ମ X ͦͷ΋ͷΑΓ΋ɼX Λ “෼ղ” ͯ͠ಘΒΕΔϞνʔϑ “Mf ” ͕ͦ͜อ‫ ࣜܗܕ‬f ʹରԠ͢΂͖Ͱ͋Δͱ͍͏ߟ͑ํ͸ॏཁͰ͋ΔɽҰൠʹɼอ‫ ࣜܗܕ‬f67ελϯμʔυ༧૝͸ະղܾͳͷͰɼϞνʔϑͷΤλʔϧίϗϞϩδʔΛఆٛ͢ΔͨΊʹ͸ɼʮ਺஋తಉ஋ʯΛʮϗϞϩδʔಉ஋ʯʹஔ͖‫ͯ͑׵‬࿦͡Δඞཁ͕͋Δɽৄ͘͠͸ [Sch] Λࢀরɽ46

- 137 -

ʹ൐͏ Galois ද‫ݱ‬ΛΤλʔϧίϗϞϩδʔΛ༻͍ͯߏ੒͢Δํ๏͸ෳ਺͋Δ͕68ɼͦͷ৔߹Ͱ΋ɼഎ‫͋ʹޙ‬ΔϞνʔϑ “Mf ” ͦͷ΋ͷ͸ҰҙతͰ͋Δʢʹҧ͍ͳ͍ʂʣͱ
‫ظ‬଴͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ69ɽ

5.2. Fontaine-Mazur ༧૝. ͦΕͰ͸ɼ‫ʹٯ‬ɼGalois ද‫ ݱ‬ρ ͔Βग़ൃͯ͠ɼͦΕʹରԠ͢ΔϞνʔϑ΍อ‫ࣜܗܕ‬Λ࡞Γग़͢͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ͩΖ͏͔ʁ͜ͷ໰୊ʹؔͯ͠ɼ

Fontaine ͱ Mazur ͸࣍ͷஶ͍͠༧૝Λఏग़ͨ͠ʢ[FM]70ʣɽ
༧૝ 5.1 (Fontaine-Mazur ༧૝). K Λ୅਺ମͱ͢Δɽ Λૉ਺ͱ͠ɼρ Λઈର‫ط‬໿ͳ n ࣍‫ ݩ‬ਐද‫͢ͱݱ‬Δɽρ ͕‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͷΤλʔϧίϗϞϩδʔʢͷద౰ͳ Tate ೧Γʣͷ෦෼঎ͱͯ͠ಘΒΕΔ͜ͱͱɼρ ͕࣍ͷ 2 ͭͷ৚݅(1) ρ ͕෼‫͢ذ‬Δૉ఺͸༗‫ݸݶ‬ɽ(2)ΛׂΓ੾Δૉ఺ v ʹର͠ɼρv ͸ de RhamɽΛΈͨ͢͜ͱ͸ಉ஋Ͱ͋Δɽʢউखʹ༩͑ΒΕͨʣρ ʹର͠ɼͦΕ͕୅਺ଟ༷ମ
༧૝ 5.1 ͷಛච͢΂͖ͱ͜Ζ͸ɼͷΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔ΒಘΒΕΔͨΊʹ͸ɼ৚݅ (1),(2) “͚ͩ” Ͱे෼Ͱ͋Δ͜ͱΛʢେ୾ʹ΋ʣ༧૝ͨ͜͠ͱʹ͋ΔɽಛʹɼWeil ༧૝ʢ༧૝ 3.4ʣΛ༻͍Δͱɼ৚݅ (1),(2) “͚ͩ” ͔Βɼ༗‫ݸݶ‬Λআ͘͢΂ͯͷ༗‫ݶ‬ૉ఺ v ʹؔ͢Δओு
ʰʮॏ͞ʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ੔਺ w ͕ଘࡏͯ͠ɼ༗‫ݸݶ‬Λআ͘͢΂ͯͷ༗‫ݶ‬
ૉ఺ v ʹର͠ɼv ʹ͓͚Δ‫ز‬Կత Frobenius ‫ ݩ‬Frobv ͷ‫ݻ‬༗஋͸୅਺త
w/2਺Ͱ͋Γɼͦͷ͢΂ͯͷ‫ڞ‬໾ͷෳૉઈର஋͸ qv

ʹ౳͍͠ʢqv ͸ v ͷ৒༨ମͷҐ਺ʣʱ
͕ಋ͔Εͯ͠·͏71ɽ
68ྫ͑͹ࢤଜ‫ۂ‬ઢ΍͋ΔछͷϢχλϦ‫ࢤܕ‬ଜଟ༷ମ͕࢖͑Δ৔߹΋͋Δɽ૯࣮୅਺ମ΁ͷఈม‫׵‬ʢ্࣋ͪ͛ʣΛ࢖ͬͯߏ੒͢Δ͜ͱ͕Մೳͳ৔߹΋͋Δɽ·ͨɼf ͕‫਺ڏ‬৐๏Λ࣋ͭ৔߹ʹ͸ɼ͞Βʹผͷߏ੒΋ՄೳͰ͋Δɽ
69࣮ࡍɼద౰ͳ༧૝ʢTate ༧૝ͳͲʢ[Tat]ʣʣΛԾఆ͢Ε͹ɼ
ʮ“Mf ” ͷϞνʔϑͱͯ͠ͷҰҙੑʯΛূ໌͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɽ
70Fontaine-Mazur ༧૝ʹ͍ͭͯ͸ɼ[Tay1], [Tay3], [Kis] ΋ࢀরɽ71͜Ε͸‫ۃ‬Ίͯඇࣗ໌Ͱ͋Δɽ֤ v ʹରͯ͜͠ͷΑ͏ͳ੔਺ w ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ΋ࣗ໌Ͱ͸ͳ͍͠ɼԾʹଘࡏͨ͠ͱͯ͠΋ɼͦͷΑ͏ͳ w ͕ v ʹΑΒͳ͍͜ͱ΋ࣗ໌Ͱ͸ͳ͍ʂGal(K/K) ʹ͸ɼ֤ૉ఺v ʹରͯ͠ʢҐ૬‫ͯ͠ͱ܈‬͸ൺֱత୯७ͳʣGal(K v /Kv ) ͕‫·ؚ‬Ε͍ͯΔ͕ɼ͜ΕΒ͸͹Β͹Βʹ‫ؚ‬·Ε͍ͯΔͷͰ͸ͳ͘ɼඇৗʹ‫ن͍ڧ‬ଇΛ΋͍ͬͯΔͱߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜Ε͸ɼGal(K/K) ʹ
ର͢ΔඇՄ‫ྨ׵‬ମ࿦͋Δ͍͸ඇՄ‫׵‬૬‫ޓ‬๏ଇͷҰͭͷ‫ͱ͜͏͍ͱํݟ‬΋Ͱ͖Δɽ
47- 138 -

༧૝ 5.1 ʹ Langlands ʹΑΔ༧૝Λ૊Έ߹ΘͤΔ͜ͱͰɼ৚݅ (1),(2) ΛΈͨ͢ ρ ʹɼGLn (AK ) ͷઑ఺తͳอ‫ܕ‬ද‫ ݱ‬π ͕ରԠ͢Δ͜ͱ͕༧૝͞ΕΔɽ͕ͨͬͯ͠ɼ
Ϟνʔϑ

8x
x 8x

8x 8x

8
8x x8

f &f

&f &f

&f &f

&f &

อ‫ܕ‬ද‫ ݱ‬o /o /o /o /o /o /o /o /o /o /o /o /o /o /o / Galois ද‫ݱ‬ͱ͍͏ਤ͕ࣜ‫ظ‬଴͞ΕΔ͜ͱʹͳΔɽ
΋ͪΖΜɼ͜ͷਤ͕࣮ࣜ‫͞ݱ‬Ε͍ͯΔέʔε͸ʢΤλʔϧίϗϞϩδʔʹΑΓʮ୅਺ଟ༷ମ͔Β Galois ද‫ݱ‬Λ࡞Δʯ͜ͱ͕Մೳʹͳͬͨ͜ͱΛআ͚͹ʣͦΕ΄Ͳଟ͘͸ͳ͍72ɽ͔͠͠ɼ͜ͷਤࣜΛ೦಄ʹஔ͖ͳ͕Β۩ମతͳ໰୊Λߟ࡯͢Δ͜ͱ͸ɼ‫ݸ‬ʑͷ໰୊΁ͷຊ࣭తͳΞϓϩʔνΛ୳Δ্Ͱ΋େ੾ͳ͜ͱͰ͋Δɽ

5.3. ࠷ۙͷ࿩୊ ʮGalois ද‫͔ݱ‬ΒϞνʔϑΛ࡞Δʯ. ࠷ۙͰ͸ɼWilesʢ[Wi]ʣ΍
Taylor-Wilesʢ[TW]ʣʹΑΓ૑࢝͞ΕͨʮR = T ఆཧʯͷൃలʹΑΓɼ͍͔ͭ͘ͷ৔
߹ʹʮGalois ද‫ݱ‬ͷอ‫ܕ‬ੑʯɼ͢ͳΘͪɼอ‫ܕ‬ද‫ ݱ‬o /o /o /o /o /o /o /oGalois ද‫ݱ‬ͱ͍͏ํ޲ͷରԠ͕ಘΒΕΔΑ͏ʹͳ͖ͬͯͨɽͦͷٞ࿦ͷதͰ͸ɼʮR = T ఆཧʯʹՃ͑ͯɼʰ༩͑ΒΕͨ mod ද‫ʹݱ‬ର͠ɼͦΕΛΤλʔϧίϗϞϩδʔʢͷҰ෦ʣͱ࣮ͯ͠‫͢ݱ‬ΔΑ͏ͳ୅਺ଟ༷ମʢϞνʔϑʣΛߏ੒͢Δʱ
ʣɽ͜Ε͸ɼ
ͱ͍͏ख๏͕༻͍ΒΕΔʢྫ͑͹ɼ[Wi], [SBT], [Tay1], [HSBT] ΛࢀরɽຊߘͰࠓ·Ͱड़΂͖ͯͨํ޲ͱ͸‫ٯ‬ͷɼ
ʮGalois ද‫͔ݱ‬ΒϞνʔϑΛ࡞Δʯͱ͍͏ “৽͍͠” ํ޲Ͱ͋Δ͕ɼํఔࣜ࿦తʹ‫ݟ‬Δͱɼগͳ͘ͱ΋ 19 ੈ‫ل‬ͷ Hermite ΍ Klein ͷ‫͔͞ʹڀݚ‬ͷ΅Δ “‫ ”͍ݹ‬ख๏Ͱ΋͋Δ73ɽ༩͑ΒΕͨ Galois ද‫ ݱ‬ρ Λௐ΂ΔͨΊʹɼ“౎߹ͷྑ͍Ϟνʔϑ” Λ࡞Ε͹Α͍ͱ͍͏ൃ૝͸74ɼࠓ‫ޙ‬ɼ·͢·͢ॏཁʹͳͬͯ͘Δ͔΋͠Εͳ͍ɽ
72΋ͪΖΜɽྨମ࿦ʹΑͬͯɼ
ʮ֊਺ 1ʯͷ৔߹͸͜ͷରԠ͕࣮‫͞ݱ‬Ε͍ͯΔɽ
73[SBT], 284 ϖʔδΛ‫ݟ‬Αɽ[Se8] ΋ࢀরɽ74ࠤ౻ʖTate ༧૝͸ପԁ‫ۂ‬ઢʢ΍ͦͷࣗ‫ݾ‬ϕΩʣʹର͢ΔओுͰ͋Δ͕ɼͦͷূ໌ͷதͰɼߴ࣍‫ ݩ‬Calabi-Yau ௒‫ۂ‬໘ͷΤλʔϧίϗϞϩδʔ͕ิॿతʹ༻͍ΒΕ͍ͯΔͷ͸ɼͦͷҰྫͰ͋Ζ͏
([HSBT])ɽ
48- 139 -

6. ԋश໰୊
໰ 1. K Λମͱ͠ɼρ : Gal(K/K) → GLn (C) Λ࿈ଓ४ಉ‫͢ͱܗ‬Δɽͨͩ͠ɼGal(K/K)ʹ͸ Krull Ґ૬ΛೖΕɼGLn (C) ʹ͸ී௨ͷʢҐ૬ଟ༷ମͱͯ͠ͷʣҐ૬ΛೖΕΔɽ͜
ͷͱ͖ɼρ ͷ૾͸༗‫͋Ͱ܈ݶ‬Γɼρ ͸ Artin ද‫ͳͱݱ‬Δʢ͢ͳΘͪɼGLn (C) ʹ཭ࢄҐ૬ΛೖΕͨͱ͖ʹ࿈ଓͱͳΔʣ͜ͱΛࣔͤɽ

໰ 2. E Λ ਐ਺ମ Q ͷ༗‫֦࣍ݶ‬େͱ͢ΔɽK Λମͱ͠ɼρ : Gal(K/K) → GLn (E)Λ ਐද‫͢ͱݱ‬Δɽ
ʢ͢ͳΘͪɼGal(K/K) ʹ͸ Krull Ґ૬ΛೖΕɼGLn (E) ʹ͸ ਐҐ૬ΛೖΕΔɽʣ͜ͷͱ͖ɼ͋Δ g ∈ GLn (E) ͕ଘࡏͯ͠ɼg · ρ Gal(K/K) · g −1 ͕GLn (OE ) ʹ‫·ؚ‬ΕΔ͜ͱΛࣔͤɽ
ʢOE ͸ E ͷ੔਺‫͋Ͱ؀‬Δɽʣ
໰ 3. K Λମͱ͠ɼρ : Gal(K/K) → GLn (Q ) Λ࿈ଓ४ಉ‫͢ͱܗ‬Δɽͨͩ͠ɼGal(K/K)ʹ͸ Krull Ґ૬ΛೖΕɼGLn (Q ) ʹ͸ ਐҐ૬ΛೖΕΔɽ͜ͷͱ͖ɼQ ͷ༗‫֦࣍ݶ‬ʢώϯτ : Baire ͷΧςΰ
େ E ͕ଘࡏͯ͠ɼρ ͷ૾͸ GLn (E) ʹ‫·ؚ‬ΕΔ͜ͱΛࣔͤɽϦʔఆཧΛ༻͍Αɽʣ

໰ 4. ୅਺ମͷ ਐද‫ ݱ‬ρ Ͱ͋ͬͯɼແ‫ݸݶ‬ͷ༗‫ݶ‬ૉ఺Ͱ෼‫͢ذ‬Δ΋ͷΛߏ੒ͤΑɽʢ͜ͷΑ͏ͳ ρ ͸୅਺ଟ༷ମͷΤλʔϧίϗϞϩδʔʢ΍ͦͷ Tate ೧Γʣͷ෦෼঎ͱ͠
ͯ࡞Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ɽ
ʣ
໰ 5. a ∈ Q Λ༗ཧ਺ͱ͢Δɽ୅਺ମͷ ਐද‫ ݱ‬ρ Ͱ͋ͬͯɼ༗‫ݸݶ‬Λআ͘͢΂ͯͷ
ૉ఺ v Ͱෆ෼‫Ͱذ‬ɼFrobv ͷ‫ݻ‬༗஋͸୅਺త਺Ͱɼͦͷ͢΂ͯͷ‫ڞ‬໾ͷෳૉઈର஋͕

qva ʢqv ͸ v ͷ৒༨ମͷҐ਺ʣʹ౳͍͠΋ͷΛߏ੒ͤΑɽ
ʢa ∈/ 12 Z Ͱ͋Ε͹ɼ͜ͷΑ͏ͳ ρ ͸୅਺ଟ༷ମͷΤλʔϧίϗϞϩδʔʢ΍ͦͷ Tate ೧Γʣͷ෦෼঎ͱͯ͠࡞Δ
͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ɽ
ʣ

໰ 6. ॏ͞ 2, Ϩϕϧ 11 ͷอ‫ࣜܗܕ‬∞∞
ap q n(1 − q n )2 (1 − q 11n )2 =
f =q
n=1

n=1

ͷ q ల։ͷ܎਺ ap Λখ͞ͳૉ਺ p ʹରͯ͠۩ମతʹ‫ͤࢉܭ‬Αɽ·ͨɼପԁ‫ۂ‬ઢ E :Y 2 Z + Y Z 2 = X 3 − XZ 2 ʹର͠ɼap = 1 + p − #E(Fp ) Λ͔֬ΊΑɽʢ‫͑࢖͕ػࢉܭ‬ʣΔਓ͸ɼp ≤ 10, 000 Ґ·Ͱ‫ͯ͠ࢉܭ‬Έ͍ͯͩ͘͞ɽ

49- 140 -

໰ 7. p Λૉ਺ͱ͠ɼq Λ p ͷϕΩͱ͢ΔɽFq ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ͸ɼ1 + q − #E(Fq ) ≡ 0(mod p) ΛΈͨ͢ͱ͖ɼ௒ಛҟͱ͍͏ɽE Λ୅਺ମ K ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢͱ͢ΔɽE mod v ͕ʢ༨ྗͷ͋Δਓ͸ɼK = Q ͷ࣌௒ಛҟͰͳ͍༗‫ݶ‬ૉ఺ v ͕ແ‫ݸݶ‬ଘࡏ͢Δ͜ͱΛࣔͤɽʹɼ୩ࢁʖࢤଜ༧૝Λ༻͍ͨผূ໌΋ߟ͑ͯΈ͍ͯͩ͘͞ɽ
ʣʢະղܾ໰୊ : Ramanujanͷ τ ؔ਺ʹ͍ͭͯɼτ (p) ͕ p ͰׂΕͳ͍ૉ਺ p ͸ແ‫ݸݶ‬ଘࡏ͢Δ͔ʁʣ

໰ 8. ‫ ܈‬Gɼਖ਼ඪ਺ͷମ E ͱɼn ࣍‫ݩ‬ද‫ ݱ‬ρ, ρ : G → GLn (E) Ͱ͋ͬͯɼTr(ρ(σ)) =Tr(ρ (σ)) (∀σ ∈ G) ͕ͩɼ൒୯७Խ ρss , (ρ )ss ͕ಉ஋Ͱͳ͍ྫΛ‫͛ڍ‬Αɽ

໰ 9. ࣍ͷ୅਺‫ۂ‬ઢʹର͠߹ಉθʔλؔ਺Λ‫ͤࢉܭ‬Αɽ(1) Fp ্ͷΞϑΟϯۭؒ An ɼAn \{0}ʢ0 ͸‫఺ݪ‬ʣɼࣹӨۭؒ Pn ɼ௚ੵ Pn × Pm ɽ(2) Fp ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ Y 2 Z = X 3 + XZ 2 ɽ (খ͍͞ૉ਺ p Ͱ۩ମతʹ)(3) Fp ্ͷ௒ପԁ‫ۂ‬ઢ Y 2 Z 3 = X 5 − XZ 4 ɽ (খ͍͞ૉ਺ p Ͱ۩ମతʹ)໰ 10. Fq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମ X, Y ʹରͯ͠ Weil ༧૝͕ͳΓͨͯ͹ɼ௚
ੵ X × Y ʹରͯ͠΋ͳΓͨͭ͜ͱΛࣔͤɽ
໰ 11. X Λ Fq ্ͷ n ࣍‫ݩ‬ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͢Δɽχ Λ X ͷ Euler ਺ͱ͢Δ (χ ͸ର֯ू߹ Δ ⊂ X × X ͷࣗ‫)਺఺ަݾ‬ɽX ͷ߹ಉθʔλؔ਺ Z(T, X) ͸ɼ࣍ͷ‫ܗ‬ͷؔ਺౳ࣜΛΈͨ͢ :1
Z n , X = ±q nχ/2 · T χ · Z(T, X)
q T
ූ߸͕ +1 Ͱ͋Δ X ͷྫͱɼ−1 Ͱ͋Δ X ͷྫΛ‫͛ڍ‬Αɽ
໰ 12. X Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺‫ۂ‬ઢͱ͢ΔɽX ͷछ਺Λ g ͱ͓͘ɽX
ʹର͢Δ Weil ༧૝ʢRiemann ༧૝ͷྨࣅʣΛ༻͍ͯɼFq -༗ཧ఺ͷ‫ ਺ݸ‬#X(Fq ) ͕ෆ౳ࣜ++
+ 1 + q − #X(Fq ) + ≤ 2g √q

ʢHasse-Weil ͷෆ౳ࣜʣΛΈͨ͢͜ͱΛࣔͤɽ·ͨɼ‫ʹٯ‬ɼ͢΂ͯͷ n ≥ 1 ʹରͯ͠ Hasse-Weil ͷෆ౳ࣜ+++ 1 + q n − #X(Fqn ) + ≤ 2g √q n͕ͳΓͨͯ͹ɼX ͸ Weil ༧૝ʢRiemann ༧૝ͷྨࣅʣΛΈͨ͢͜ͱΛࣔͤɽ

50- 141 -

໰ 18 (Weil). C Λ༗‫ݶ‬ମ Fq ্ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺‫ۂ‬ઢͱ͢ΔɽX = (C ×C)⊗Fq Fq
ͱ͓͖ɼΔ ⊂ X Λର֯ू߹ɼΓ ⊂ X Λ Frobenius ࣹ F : C → C ͷάϥϑͱ͢ΔɽCͷछ਺Λ g ͱ͓͘ɽ(1) Δ · Δ = 2 − 2g ɼΓ · Γ = q(2 − 2g) Λࣔͤɽ(2) ަ఺਺ Δ · Γ ͕ C ͷ Fq -༗ཧ఺ͷ‫ ਺ݸ‬#C(Fq ) ʹ౳͍͜͠ͱΛࣔͤɽ(3) X ͸ Hodge ελϯμʔυ༧૝ΛΈͨ͢͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ͜ΕΛ༻͍ͯɼ
Hasse-Weil ͷෆ౳ࣜ+++ 1 + q − #C(Fq ) + ≤ 2g √q

Λࣔͤɽ໰ 19 (Jannsen). X Λ୅਺తดମ K ্ͷ n ࣍‫ݩ‬ͷ‫׈‬Β͔ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͱ͠ɼKͰՄ‫ͳٯ‬ૉ਺ Λ‫ݻ‬ఆ͢ΔɽX × X ্ͷ༨࣍‫ ݩ‬n ͷ୅਺తαΠΫϧͷͳ͢‫܈‬Λ਺஋తnಉ஋Ͱׂͬͨ‫܈‬Λ Cneq
(X × X) ͱ͓͘ɽ·ͨɼE = Q, Q ʹର͠ɼC n (X × X) ⊗Z E
nΛ਺஋తಉ஋Ͱׂͬͨ‫܈‬Λ Cneq
(X × X, E) ͱ͓͖ɼʢ ਐΤλʔϧίϗϞϩδʔ͔Βnఆ·ΔʣϗϞϩδʔಉ஋Ͱׂͬͨ‫܈‬Λ Chom
(X × X, E) ͱ͓͘ɽʢελϯμʔυ༧૝ΛnnԾఆ͢Ε͹ Chom
= Cneq͕ͩɼ͜͜Ͱ͸Ծఆ͠ͳ͍ɽ
ʣ୅਺తରԠͷ߹੒ͰੵΛೖΕnnΔ͜ͱʹΑΓɼCneq(X × X, E), Chom
(X × X, E) ͸ E ্ͷ୅਺ʹͳΔɽnn(1) Cneq(X × X) ͸༗‫ݶ‬ੜ੒ࣗ༝Ξʔϕϧ‫͋Ͱ܈‬Δ͜ͱΛࣔͤɽCneq(X × X, Q) ͸n
Q ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ϕΫτϧۭؒͰ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽ·ͨɼCneq(X ×X, Q)⊗Q Q =nCneq
(X × X, Q ) Λࣔͤɽn(2) Chom(X × X, Q ) ͸ Q ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ϕΫτϧۭؒͰ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽn(3) K ͷඪ਺͕ 0 ͷͱ͖ɼChom(X × X, Q) ͸ Q ্༗‫͋Ͱݩ࣍ݶ‬Γɼͦͷ࣍‫ݩ‬͸nʹΑΒͳ͍͜ͱΛࣔͤɽʢิ଍ : K ͕ਖ਼ඪ਺ͷͱ͖͸ɼChom(X × X, Q) ͕ Q্༗‫͋Ͱݩ࣍ݶ‬Δ͜ͱ͸஌ΒΕ͍ͯͳ͍ɽͦͷ࣍‫ʹ ͕ݩ‬ΑΒͳ͍͔Ͳ͏͔΋஌ΒΕ͍ͯͳ͍ɽ
ʣn(4) α ∈ Chom
(X × X, Q ) ΛϕΩྵ‫͢ͱݩ‬Δɽ͜ͷͱ͖ɼα ͷΤλʔϧίϗϞϩ
iδʔ H X, Q ΁ͷ࡞༻͸ϕΩྵͰ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽnn(5) I ⊂ Chom
(X×X, Q ) ΛϕΩྵͳ྆ଆΠσΞϧͱ͢ΔɽI ͷࣗવͳશࣹ Chom
(X×n
X, Q ) → Cneq
(X ×X, Q ) ʹΑΔ૾͕ 0 Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽʢώϯτ : Lefschetz੻ެࣜΛ༻͍Αɽʣnn(6) Cneq(X ×X, Q ) ͕ Ql ্ͷ൒୯७୅਺Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽ·ͨɼCneq(X ×X, Q)n͕ Q ্ͷ൒୯७୅਺Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽʢώϯτ : Jacobson ࠜ‫ ج‬J ⊂ Chom
(X ×

X, Q ) ͷ૾͕ 0 Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽʣ
52- 143 -

໰ 20. P SL2 (F5 ) = SL2 (F5 )/{±1} ͸ަ୅‫ ܈‬A5 ͱಉ‫͋Ͱܗ‬Δ͜ͱΛࣔͤɽ·ͨɼ೚ҙͷ୯ࣹ४ಉ‫ ܗ‬i : P SL2 (F5 ) → P SL2 (Q) ʹର͠ɼҎԼͷਤ͕ࣜՄ‫ͳʹ׵‬Δ i : SL2 (F5 ) →SL2 (Q) ͕Ұҙతʹଘࡏ͢Δ͜ͱΛࣔͤɽ·ͨɼ͜ͷ i ͸୯ࣹͰ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽ
SL2 (F5 )

P SL2 (F5 )i/ SL (Q)2i/ P SL (Q)2໰ 21 ପԁ‫ۂ‬ઢͷ౳෼఺͔ΒಘΒΕΔ Galois ද‫͍ͯͭʹݱ‬ɼ࣍Λࣔͤɽ(1) ρ : Gal(Q/Q) → GL2 (F5 ) Λ Q ͷ mod 5 ද‫Ͱݱ‬ɼdet ρ ͕ mod 5 ԁ෼ࢦඪͰ͋Δ
ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼQ ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ E ͷಉ‫ͯͬ͋Ͱྨܗ‬ɼE[5] ΁ͷ Gal(Q/Q)ͷ࡞༻͕ ρ ͱಉ஋ʹͳΔ΋ͷ͕ແ‫ݸݶ‬ଘࡏ͢Δ͜ͱΛࣔͤɽʢώϯτ : Ϟδϡϥʔ‫ۂ‬ઢ X(5) ͷద౰ͳ Galois ೧Γ͕ P1Q ͱಉ‫ͳʹܗ‬Δ͜ͱΛࣔͤɽ1 ࣍෼਺ม‫ʹ׵‬ΑΓɼAut(P1 ) ∼ʣ= P SL2 (Q) Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙɽQ(2) (1) ͸ Q ͷ mod 3 ද‫ ݱ‬ρ : Gal(Q/Q) → GL2 (F3 ) ʹରͯ͠΋ͳΓͨͭ͜ͱΛࣔͤɽ(3) (Dieulefait) p ≥ 7 Λૉ਺ͱ͢ΔɽQ ͷ mod p ද‫ ݱ‬ρ : Gal(Q/Q) → GL2 (Fp )Ͱ͋ͬͯɼdet ρ ͕ mod p ԁ෼ࢦඪͰ͋ΓɼͲΜͳ Q ্ͷପԁ‫ۂ‬ઢ E ʹରͯ͠΋ E[p] ͱ ρ ͕ಉ஋ʹͳΒͳ͍΋ͷ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛࣔͤɽ

53- 144 -

໰ 22 (L ؔ਺ͷ༗ཧ‫ܕ‬ղੳ઀ଓ (1)). Brauer ༠ಋఆཧͱ͸ɼ࣍ͷΑ͏ͳఆཧͰ͋Δɽ
ఆཧ G Λ༗‫͠ͱ܈ݶ‬ɼρ Λ G ͷ C ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ද‫͢ͱݱ‬Δɽ͜ͷͱ͖ɼՄղ෦෼‫ ܈‬H1 , . . . , Hr ⊂ G ʢHi ʹ͸ॏෳ͕͋Δ͔΋͠Εͳ͍ʣ͓ΑͼɼHi ͷ 1 ࣍‫ݩ‬ද‫ ݱ‬χi : Hi → C× ͱ mi ∈ Z ͕ଘࡏͯ͠ɼ೚ҙͷσ ∈ G ʹର͠ɼ͕࣍ͳΓͨͭ :
r

 

Tr(ρ(σ)) =mi Tr IndG
Hi χi (σ)
i=1͜ΕΛ༻͍ͯɼ೚ҙͷ Artin ද‫ ݱ‬ρ : Gal(Q/Q) → GLn (C) ʹର͠ɼL ؔ਺ L(s, ρ) ͕༗ཧ‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ෳૉฏ໘શମʹղੳ઀ଓ͞ΕΔ͜ͱΛࣔͤɽʢώϯτ : L ؔ਺͸༠ಋද‫ʹݱ‬ΑͬͯෆมͰ͋Δɽ͢ͳΘͪɼL/K Λ୅਺ମͷ༗‫֦࣍ݶ‬େͱ͠ɼρ : Gal(L/L) →GL(V ) Λ༗‫ ݩ࣍ݶ‬Galois ද‫ݱ‬ʢArtin ද‫ͨ·ݱ‬͸
Gal(L/K) L s, IndGal(L/L) ρ ͕ͳΓͨͭɽʣਐද‫ݱ‬ʣͱ͢ΔͱɼL(s, ρ) =

໰ 23 (L ؔ਺ͷ༗ཧ‫ܕ‬ղੳ઀ଓ (2)). ૉ਺ ͱମಉ‫ ܗ‬Q ∼= C Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɽ·ͨɼ࣮਺ t ∈ R Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɽ୅਺ମ K ͷ ਐද‫ ݱ‬ρ ʹରͯ͠ɼ࣍ͷ৚݅ (˞) Λߟ͑Δɽ(˞) ೚ҙͷ 1 ࣍‫ ݩ‬Artin ද‫ ݱ‬χ ʹର͠ɼL(s, ρ ⊗ χ) ͸༗ཧ‫͠ͱ਺ؔܕ‬ͯෳૉฏ໘શମʹղੳ઀ଓ͞ΕɼRe(s) ≥ t ʹ͓͍ͯਖ਼ଇͰྵ఺Λ࣋ͨͳ͍ɽͯ͞ɼQ ͷ ਐද‫ ݱ‬ρ ͕࣍ΛΈͨ͢ͱ͢Δɽ

Galois ֦େ F/Q ͕ଘࡏ͠ɼ೚ҙͷ෦෼֦େ F ⊃ F  ⊃ Q Ͱ F/F  ͕Մղ֦େͰ͋Δ΋ͷʹର͠ɼρ ͷ੍‫ ݶ‬ρ|Gal(Q/F  ) ͸ (˞) ΛΈͨ͢ɽ͜ͷͱ͖ɼL(s, ρ) ͸༗ཧ‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ෳૉฏ໘શମʹղੳ઀ଓ͞ΕɼRe(s) ≥ t ʹ͓ʣ͍ͯਖ਼ଇͰྵ఺Λ࣋ͨͳ͍͜ͱΛࣔͤɽʢώϯτ : Brauer ༠ಋఆཧΛ༻͍Αɽ

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[Seattle] Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., 55, Part 1 & Part 2, Amer. Math.
Soc., Providence, RI, 1994.
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Math. Soc., Providence, RI, 2005.
ʰࠤ౻-ςΠτ༧૝ͷղܾͱల๬ʱɼ೔ຊධ࿦ࣾɼ2008 ೥ʢग़൛༧ఆʣ
[Tanoshimi] ਺ֶͷͨͷ͠Έɼ

58- 149 -

L-INVARIANT OF TENSOR POWER OF HILBERT MODULAR FORMS
HARUZO HIDA

Contents
1. Galois deformation and L-invariant
1.1. Greenberg’s Selmer Groups
1.2. Greenberg’s L–invariant
2. Factorization of L-invariant
2.1. Factorization
2.2. Multiplicative L-invariant
2.3. Proof of Theorem 0.4
3. Proof of Conjecture 0.3 under potential modularity
3.1. Potential version implies Conjecture 0.3
3.2. Proof of Corollary 0.6
4. L-invariants of CM ﬁelds
4.1. CM Iwasawa modules
4.2. Anticyclotomic Iwasawa modules
4.3. The L-invariant of CM ﬁelds
References

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13
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22

Introduction 1
The author’s study of L-invariant of automorphic p-adic L-functions described in [HMI] is sketchedin [H07a], and the series of lectures at Hokkaido university was based on [H07a] and is given under
the title: “L-invariant of p-adic L-functions”. In this half expository and half research note, we
illustrate progress made after the lectures in Sapporo and publication of [H07a]; so, the material of[H07a] is also covered here but brieﬂy. Formulation of our results aside, some results described here
are at least not in print before, for example, Corollary 0.6 and Proposition 3.1.
Let Q ⊂ C be the ﬁeld of all algebraic numbers. For each prime , we pick a ﬁeld embedding i
of Q into an algebraic closure Q of the -adic ﬁeld. This gives rise to a choice of the decomposition
subgroup D = Gal(Q /Q ) and its inertia subgroup I in Gal(Q/Q). We ﬁx a prime p > 2
and ap-adic absolutevalue | · |p on Q. Then Cp is the completion of Q under | · |p . We write
W = x ∈ K |x|p < 1 for the p-adic integer ring of a suﬃciently large extension K/Qp inside Cp .
We write Qp for the ﬁeld of all numbers in Cp algebraic over Qp . Start with a strictly compatible
system {ρl } of semi-simple Galois representations ρl : Gal(Q/Q) → GLn(Tl ) for primes l of thecoeﬃcient ﬁeld T ⊂ Q. Thus Vl = Tln is a Galois module via ρl . We assume that ρ does not containthe trivial representation as a subquotient. We write S for the ﬁnite set of common ramiﬁcation
primes of ρl ; so, ρl is unramiﬁed outside S ∪ {∞, }, where  is the residual characteristic of l.
The author is partially supported by the NSF grant: DMS 0244401, DMS 0456252 and DMS 0753991.
1This introduction is a follow-up of the lectures delivered at the conference on L-functions at Kyushu university
on February in 2006, the lectures at Harvard University, Spring 2006, in the eigenvariety semester and at Hokkaido
university, summer 2006, as a series lectures at Sapporo summer school organized by Yoshitaka Maeda. The author
would like to thank Yoshitaka Maeda for the invitation to speak at the summer school.
1- 150 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS2
We write p = ξ ∈ OT |ξ|p < 1 for the integer ring OT of T , and take a suﬃciently large discrete
valuation ring W containing OT ,p as our coeﬃcient ring; so, we regard ρp to have values in GLn(W ).
Often we just write ρ for ρp which acts on V = K n for the quotient ﬁeld K of W .
We always assume that ρ is ordinary in the following sense: ρ restricted to Dp = Gal(Qp /Qp ) is
upper triangular with diagonal characters N aj on an open subgroup of the inertia group Ip for thep-adic cyclotomic character N ordered from top to bottom as a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ 0 ≥ · · · ≥ an. Thus⎞
⎛ N a1 ψ1 ∗ ···∗

N a2 ψ2 ···0

ρ|Ip = ⎝

..
.

..
.

0

0

..

.

···

∗

⎠

..
.

N an ψ

nfor ﬁnite order characters ψj (j = 1, 2, . . ., n), and we have a decreasing ﬁltration F i+1 ρ ⊂ F i ρstable under Dp such that the Tate twists of the graded piece gri (ρ)(−i) := (F i ρ/F i+1 ρ)(−i) is
unramiﬁed after ﬁnite base-change.
Let E (X) = det(1 − ρq (F rob)|VI X) ∈ T [X] (assuming q  ), where VI = H0(I , Vq). We
assume that E (X) is independent of the choice of q   (strict compatibility). Decomposen(1 − αj X) for n = dim VIp .

Ep (X) =j=1

By potential unramiﬁedness of gr (ρ)(−i), we have ordp (αj ) ∈ Z (if we assume to have the étalecrystalline comparison isomorphism producing Ep (X) as the characteristic polynomial of the crystalline Frobenius map on the crystalline part of V ; another strict compatibility). Let us deﬁne
i

βj =

αj
pα−1
j

if ordp (αj ) ≥ 1,
if ordp (αj ) ≤ 0

and put e = |{j|βj = p}|.
nn(1 − βj p−1 ) and E + (ρ) =E(ρ) =
j=1(1 − βj p−1 ).
j=1,βj =p

Then the complex L-function is deﬁned by L(s, ρ) =  E (−s )−1 . We assume that the value at
1 is critical for L(s, ρ). We suppose to have an algebraicity result that for a well deﬁned period×∞Ω(ρ(1)) ∈ C× such that L(s,ρ⊗ε)Ω(ρ(1))) ∈ Q for all ﬁnite order characters ε : Zp → μp (Q). Then weshould have
Conjecture 0.1. Suppose that s = 1 is critical for ρ and that Dp acts on gr0 (ρ) trivially. Thenan 1−sthere exist a power series Φan(X) ∈ W [[X]] and a p-adic L-function Lan− 1)
p (s, ρ) = Φρ (γL(1,ρ⊗ε)
(ε(γ)
−
1)
∼
E(ρ
⊗
ε)
interpolating L(1, ρ ⊗ ε) for p-power order character ε such that ΦanρΩ(ρ(1))
with the modifying p-factor E(ρ) as above (putting E(ρ ⊗ ε) = 1 if ε = 1). The L-function Lanp (s, ρ)has zero of order e + ords=1 L(s, ρ) for a nonzero constant Lan(ρ) ∈ C×p (called the analytic Linvariant), we haveLan
L(1, ρ)p (s, ρ),= Lan(ρ)E + (ρ)
lim
s→1 (s − 1)eΩ(ρ(1))
where “lims→1” is the p-adic limit.
When e > 0, we call that Lanp (s, ρ) has an exceptional zero at s = 1. The problem of L-invariant
is to compute explicitly the L-invariant Lan(ρ).
Here are some examples of successful computation of the invariant and cases awaiting further×
study. Start with a Dirichlet character χ : (Z/N Z) → Q with χ(−1) = −1. Then Ω(ρ(1)) =−D
2πi. If we suppose χ =for a square free positive integer D, the modifying Euler factor·- 151 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS



3



√
= 1 ⇔ (p) = pp (p = p) in Q[ −D] with pvanishes at s = 1 if the Legendre symbol −Dpinduced by ip . By a work of Kubota–Leopoldt and Iwasawa, we have a p-adic analytic L-functionan 1−sLan− 1) for a power series Φan (X) ∈ Λ = W [[X]] and γ = 1 + p such that forp (s, χ) = Φ (γmm−1)
E(χN ) = (1 − χ(p)pan 1−m− 1) = E(χN m )L(1 − m, χ) ∼ E(χN m )
Lanp (m, χ) = Φ (γL(m, χ)(2πi)mfor all positive integer m as long as |nm −n|p < 1 for all n prime to p. If we have an exceptional zero at
1, it appears that we lose the exact connection of the p-adic L-value and the corresponding complex
L-value. However, the conjecture says we can recover the complex L-value via an appropriate
derivative of the p-adic L-function as long as we can compute Lan (ρ). We may regard χ as a Galoisχcharacter Gal(Q[μN ]/Q) = (Z/N Z)× −→ {±1}, and we remark√ that χ(F robp ) = 1 to have thefor a generator
exceptional zero. For our later use, for the class number h of Q[ −D], we write√hhof p ; so, p = ( ) for ∈ Q[ −D].
Here is another example. Start with an elliptic curve E/Q, which yields a compatible system
ρE := {T E} given by the -adic Tate module T E. Suppose that E has split multiplicative reduction
at p. In this case, Ep (X) = (1−X), E(ρE ) = 0 and E + (ρ) = 1. Then by the solution of the ShimuraTaniyama conjecture by Wiles et al, this L-function has p-adic analogue constructed by Mazur suchG(ε−1 )L(1,E,ε)anthat we have Φanfor all p-power order character
E (X) ∈ Λ with ΦE (ε(γ)−1) = E(ρE ⊗ε)
ΩE
×
×
an
an 1−sε : Zp → W ; in other words, Lp (s, E) = ΦE (γ− 1). Here ΩE is the period of the Néron
diﬀerential of E. Thus if F robp has eigenvalue 1 on T E, the exceptional zero appears at s = 1 asin the case of Dirichlet character. The F robp has eigenvalue 1 if and only if E has multiplicative
reduction mod p.
The L-invariant in the cases where ρ = χ = −Das above and ρ = ρE for E with split·
multiplicative reduction is computed in the 1970s to 90s, and the results are
Theorem 0.2. Let the notation and the assumption be as above.
log (q)log (q)(1) Lan (χ) = ordpp (q) = − hp
for q ∈ Cp given by q = / (ph = ( )) and the class number√
h of Q[ −D];Z×(2) For E split multiplicative at p, writing E(Cp ) = C×p /q for the Tate period q ∈ Qp , we havelog (q)Lan (ρE ) = ordpp (q) .
Here logp is the Iwasawa logarithm and |x|p = p− ordp (x) .
The ﬁrst assertion is due to Gross–Koblitz [GsK] and Ferrero–Greenberg [FG], and the second was
conjectured by Mazur–Tate–Teitelbaum [MTT] and proven by Greenberg–Stevens [GS] and diﬀerent
log (q)proofs given by some others later. In the ﬁrst formula of the theorem, the sign “−” of − hpiscorrect as explained in [G] (10) (and if we evaluate the value at s = 0, the minus sign should be
removed as was done in [FG]).
To present more examples of occurences of exceptional zero, let G be a classical group split overZp with simple derived group. Write s(R) for the Lie algebra of G(R) for a Zp -algebra R. Startingwith an ordinary p-adic Galois representation ρ : Gal(Q/Q) → G(W ), there is a systematic way tocreate many Galois representations whose eigenvalues of F robp contain 1. Indeed, let ρ act on the
Lie algebra s(W ) by adjoint action. As an example, take a symmetric or skew symmetric integral
nondegenerate (n + 1) × (n + 1) matrix J, and let G be an algebraic group given byG(R) = x ∈ GLn+1(R)t xJx = ν(x)J for ν(x) ∈ R× .

Then we have s(R) = x ∈ Mn+1 (R)Jx = −t xJ . Then the adjoint action is given byAd(ρ)(σ)(x) = ρ(σ)xρ(σ)−1- 152 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

4

for x ∈ s(W ). The action of Ad(ρ)(F robp ) on s(W ) has eigenvalue 1 with multiplicity  n+1
2 . If
1 0 ⊗nρ(F rob∞ ) for a complex conjugation F rob∞ is conjugate to the n-th symmetric power Sym 0 −1(that is, ρ is totally odd), Ad(ρ) critical at s = 1. Let ρ1 : Gal(Q/Q) → GL2 (W ) be a Galois representation associated to an elliptic Hecke eigenform f with Tr(ρ0 (F rob)) = λ if f|T () = λ f.
⊗nThen ρn = Sym(ρ1 )⊗n has values in G(W ) for G deﬁned for J = Sym 01 −1
and ρn (F rob∞) ∼0⊗n
1 0. Thus Ad(ρn ) is critical at s = 1, and Ad(ρn)(F robp ) has eigenvalue 1 with multiSym 0 −1
.
As is well known,plicity  n+12

Ad(ρn) ∼adj (ρ1 ),=0<j≤n;j:odd

where adj (ρ1 ) = Sym(ρ1 )⊗2j ⊗ det(ρ1 )−j . The Galois representation adj (ρ1 ) is critical at s = 1, andadj (ρ1 )(F robp ) has eigenvalue 1 with multiplicity 1.
To give one more example, let ρF : Gal(Q/F ) → GL2(W ) be a Galois representation associatedto a p-ordinary Hilbert Hecke eigenform (belonging to a discrete series at ∞) over a totally realﬁeld F . We make Ad(ρF ) and consider the induced representation IndQ
F Ad(ρF ) whose eigenvalues
for F robp contains 1 with multiplicity g for the number g of prime factors of p in F . The system⊗n
IndQ, Ad(ρF,n ) is critical at
F Ad(ρF ) is critical at s = 1. More generally, for ρF,n = Sym(ρF )Qn+1
s = 1, and IndF Ad(ρF,n )(F robp ) has eigenvalue 1 with multiplicity g 2 . Similarly as above,
adj (ρF ) for odd j is critical at s = 1, and IndQ
F adj (ρF )(F robp ) has eigenvalue 1 with multiplicity
g. We mainly study this example in this note.
Arithmetic L-invariant. Returning to a general ordinary representation ρ = ρp , we describe anarithmetic way of constructing p-adic L-function due to Iwasawa and others. We deﬁne the Selmer
group via Galois cohomology
Sel(ρ) ⊂ H 1(Gal(Q/Q∞ ), ρ ⊗ Qp /Zp )for the Zp -extension Q∞ /Q inside Q(μp∞ ) by the subgroup of cohomology classes unramiﬁed outside
p whose image in H 1 (Ip , (ρ/F + ρ) ⊗Zp Qp /Zp ) vanishes. Here F + ρ is the middle ﬁltration F 1 ρ and
Ip is each inertia group at p. The Galois group Γ = Gal(Q∞ /Q) acts on H 1(Gal(Q/Q∞ ), ρ⊗Qp /Zp )nand hence on Sel(ρ), making it as a discrete module over the group algebra W [[Γ]] = limn W [Γ/Γp ].
←−Identifying Γ with 1 + pZp by the cyclotomic character, we may regard γ ∈ Γ. Then W [[Γ]] ∼= Λ byγ → 1 + X. By the classiﬁcation theory of compact Λ-modules of ﬁnite type, the Pontryagin dual
Sel∗ (ρ) has a Λ-linear map into f ∈Ω Λ/fΛ (for a ﬁnite set Ω ⊂ Λ) with ﬁnite kernel and ﬁnite
cokernel. The power series Φρ = f ∈Ω f(X) is uniquely determined up to unit multiple. We thendeﬁne Larith(s, ρ) = Φρ (γ 1−s − 1). Greenberg gave a recipe of deﬁning L(ρ) for this Larith(s, ρ)pp(s,
ρ)
exceptforthenonvanishingofL(ρ)
and veriﬁed in 1994 (see [G]) the conjecture for this Larithp(under some restrictive conditions). For the adjoint square Ad(ρF ) with ρF associated to a Hilbert
modular form, the conjecture (except for the nonvanishing of L(ρ)) was again proven in my paper[H07b] under another set of conditions (see also [H00]). If there exists an analytic p-adic L-functionan 1−sLan− 1) interpolating complex L-values, the main conjecture of Iwasawa’s theoryp (s, ρ) = Φρ (γupto unit multiple; so, L(ρ) = Lan(ρ) (up to units) under the main conjecture,
conﬁrms Φρ = Φanρand thus, we may take Conjecture 0.1 to be a conjecture also for the arithmetic L-invariant.
The L-invariant of Hilbert modular forms. Let F be a totally real ﬁeld with integer ring O,
and we ﬁx an algebraic closure F . Suppose now that ρF : Gal(F /F ) → GL2 (W ) is associated to a
cuspidal Hilbert modular Hecke eigenform of weight k ≥ 2 over a totally real ﬁeld F (for simplicity,in these notes, we assume that all Hilbert modular forms have parallel integer weight; see, [H07b]
for more general cases). We assume p-ordinarity of ρF and(AI) ρF,n is absolutely irreducible as a representation into GLn+1(K).

- 153 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

5

This condition holds either if n = 1 or if Im(ρF ) contains an open subgroup of SL2 (Zp ) (see [D]).
Thus (AI) for n > 1 excludes the case of complex multiplication. Here ρF is said to have complex
×multiplication if ρF ⊗ χ ∼= ρF for a nontrivial character χ of Gal(F /F ) → Qp . We hereafter assume
If n > 1, ρF does not have complex multiplication.
By a result of Ribet, if F = Q and ρF is without CM, Im(ρF ) contains an open subgroup of SL2 (Zp ).
If F = Q, Ribet’s result should extend to this case, but what is known at this moment is that Im(ρF )contains a conjugate of SL2 (Zp ) for almost all l for the compatible system {ρF,l }l (see [D]).
As before, for each prime ideal l of F with residual characteristic , we ﬁx a ﬁeld embedding
il : F → Q so that the l-adic place of F is induced by the -adic absolute value |il (x)|. We
have the corresponding decomposition subgroup Dl ⊂ Gal(F /F ) and its inertia group Il . Following
Greenberg’s recipe, we try
L(IndQF Ad(ρF,n )) for all positive integers n. By ordinarity, to compute
βp ∗∼with two distinct diagonal characters αp and βp factoring throughwe have ρF |=Gal(Qp /Fp )0 αp

Ip → Gal(Fp [μp∞ ]/Fp) for the inertia group Ip for all p|p. By p-ordinarity and k ≥ 2 combined withthe result in [B], the following assertion (DS) holds(DS) αip = βpj for all pairs of integers (i, j) = (0, 0).
As before, letGn(R) = x ∈ GLn+1(R)t xJnx = ν(x)Jn for ν(x) ∈ R×⊗n

. Then ρF,n has values in Gn (W ). Let S be the set of ramifying primes offor Jn = Sym 01 −10
the compatible system of ρF,n . Then ρF,n ramiﬁes at places of S, at all prime factors of p and at allarchimedean places of F . Write Sp for the set of all prime factors of p. We consider the universal
nearly ordinary deformation ρ : Gal(Q/Q) → Gn(R) over K with values in the pro-Artinian local
K-algebra R. This means that for any Artinian local K-algebra A with maximal ideal mA and eachGalois representation ρA : Gal(Q/F ) → GL2 (A) such that
(K1) unramiﬁed outside S,⎛∞ and p;⎞(K2) for p ∈ Sp , ρA |Dp ∼=⎝α0,A,p∗···0
α1,A,p ···

..
.

0

..
.

0

..

.

∗
∗

..
.

⎠ with αj,A,p ≡ βpn−j αjp mod mA and αj,A,p|Ip··· αn,A,p(j = 0, 1, . . ., n) factoring through the restriction map Dp  Gal(Fpur [μp∞ ]/Fpur) for the
maximal unramiﬁed extension Fpur /Fp ;(K3) ν ◦ ρA = ν ◦ ρF,n = det(ρF )n in A;(K4) ρA ≡ ρF,n mod mA ,there exists a unique K-algebra homomorphism ϕ : R → A such that ϕ ◦ ρ ≈ ρA . Here ρ ≈ ρ if
and only if ρ = xρx−1 for x ∈ Gn (A) whose image in Gn(A/mA ) is trivial. The representation ρ issaid to be strictly equivalent to ρ if ρ ≈ ρ . If it is necessary to indicate the relevance to n, we write(Rn, ρn ) for (R, ρ).
Write now
⎛
⎞
δ 0,p

⎜ 0
ρ n |D p ∼= ⎝ ..
.

0∗ ···δ 1,p ···∗∗⎟.. . . .. ⎠
. .
.

0

with δj,p ≡ βpn−j αjp··· δ n,p

mod mn (for mn = mRn ). Let W be the integer ring of K and Γp be themaximal torsion-free quotient of Gal(Fpur [μp∞ ]/Fpur). Then the character δ j,p (βpn−j αjp )−1 restricted
to Ip factors through Γp , giving rise to an algebra structure of Rn over W [[Γp]]. Take the productof n + 1 copies of Γp over all prime factors p of p in F . We write general elements ofΓ = p|p Γn+1p
Γ as x = (xj,p )j,p with xj,p in the j-th component Γp in Γ (j = 0, 1, . . ., n). Consider the characternδ : Γ → R×n given by δ(x) =p|p δ j,p (xj,p ). Choosing a generator γp of the topologicallyj=0cyclic group Γp , we identify W [[Γ]] with a power series ring W [[Xj,p]]j,p by associating the generator- 154 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS6 : Γ → R× extends uniquely
γp of the j-th component: Γp of Γ with 1 + Xj,p . The character δnto an algebra homomorphism δ : W [[Xj,p ]]j,p → Rn by the universality of the (continuous) groupring W [[Γ]]. Thus Rn is naturally an algebra over K[[Xj,p ]]j,p. Choose a subset I ⊂ {0, 1, . . ., n}which is a complete representative set under the involution τ : j → n − j for 0 ≤ j ≤ n removing
all ﬁxed points of the involution; so, I ∼= {0, 1, . . ., n} − {0, 1, . . ., n} τ /τ . If n is odd, we may
choose I to be the subset of odd integers, and if n is even, I = {0, 1, . . ., n−22 } is a choice. By (K4),δj δn−j = 1; thus, the variables Xj and Xn−j are dependent, and if n = 2m is even, Xm = 0; so,there are at most |I| =  n+1
2  independent variables for each p.
Conjecture 0.3. The universal ring Rn is isomorphic to the power series ring K[[Xi,p ]]p|p,i∈I of evariables for e = g n+1
2  (g = |Sp |).
When n = 0, taking ρF,0 to be the trivial representation, the conjecture is trivially true. By the
results of Wiles, Taylor-Wiles, Fujiwara, Kisin and Skinner-Wiles, the conjecture for n = 1 holds atleast if either F = Q (see [Ki], [Ki1] and [Ki2]) or the residual representation ρF = (ρ mod mW ) is
absolutely irreducible over Gal(F /F [μp]) (see [Fu], [Fu1] and [Ch]).
We have two possibilities for each p ∈ Sp : βp /αp = N or not. We call the ﬁrst case themultiplicative case. If the multiplicative cases occur, the weight k is forced to be 2 (unless weconsider multiple weights). If p is multiplicative for ρF , it is known by Carayol that
ρF |D ∼
= N ξ ⊗ηp

0 1

for a ﬁnite order character η of Dp . Here ξ : Dp → K(1) is a inhomogeneous 1-cocycle given by√
ξ(σ) = limn( pn qp )σ−1 for an non-unit qp ∈ Fp× ∩Op. We call the number qp ∈ Fp× the Tate period of←−
ρF at p. We order multiplicative prime factors (for ρF ) of p as p1 , . . . , pb and other non-multiplicative
prime factors of p as pb+1 , . . ., pg ; so, ρF |Dpj is potentially Barsotti-Tate if j > b (in the sense that,after ﬁnite extension, it is the Galois representation of the Tate module of a Barsotti-Tate group).
Here is a theorem:
Theorem 0.4. Let Qi = NFpi /Qp (qpi ) for i ≤ b and m be a odd positive integer. If Conjecture 0.3
holds true for two positive integers n = n1 and n2 with m − 2 ≤ n1 ≤ m − 1 and m ≤ n2 ≤ m + 1,
then we have blogp (Qi )Q
L(IndF adm (ρF )) =L(m)ordp (Qi)i=1

for the constant L(m) ∈ K × deﬁned in Deﬁnition 2.1. We have L(m) = 1 if b = g, and the value
L(1) when b < g is given by
logp (γpi )∂δ pi ,1([p, Fpi ])L(1) = det∂Tj[Fpi : Qp ]αpi ([p, Fpi ])i>b,j>b T1 =T2 =···=Tg =0i>bfor the local Artin symbol [p, Fpi ], where Tj = X1,pj and we regard γpi as an element of Z×p by thecyclotomic character N to have logp (γpi ) ∈ Qp .
This theorem is proven in [H07b] in a far more general setting. In this note, though the deﬁnitions
and the results will be stated in full generality, we will give the proof (often) under the following
three simplifying assumptions:(H1) k ≥ 2 is a parallel weight;(H2) p totally splits in F/Q;
(H3) ρF is unramiﬁed outside p and ∞.
Here are some examples showing usefulness of this theorem: Take a totally imaginary quadratic
extension M/F in which all prime factors p|p in F splits as PP. Write OM for the integer ring of
M . Take a set Σp = {P|p} so that Σp  Σp is the set of all prime factors of p in M . Write h forthe class number of M and choose (P) ∈ M so that Ph = ( (P)) for P ∈ Σp . For any Galois- 155 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

7−1
character ψ : Gal(Q/M ) → W × of M with ψ(σ) = ψc (σ) for ψc (σ) = ψ(cσc a complex ) and
M/FFF
1−c, and we canfor χ =
conjugation c ∈ Gal(Q/F ), we have Ad(IndM ψ) = χ ⊕ IndM ψ·Feasily show L(χ) = L(Ad(IndM ψ)). The arithmetic p-adic L-function Larith(s, χ) for χ = M/Fp·constructed à la Iwasawa has an exceptional zero of order ≥ e for e = |Σp |. Since we can compute
explicitely the universal deformation ρ of ρ = IndF
M ψ, we get from the theoremeCorollary 0.5. We have L(IndQF χ) = (−1)

det(logp (NP ( (P)(1−c) )))P,P ∈Σp

P∈Σp h·f (P), where NP is the local

norm NMP /Qp and f(P) is the residual degree dimFp (OM /P).
A proof of this is given in [HMI] Corollary 5.39, though there are two small errors in the formulaof [HMI] Corollary 5.39 and we need to add (−1)e in front and divide by the value there by f(P).
The above value is the corrected one. We will revisit brieﬂy the proof of this corollary in Section 3
and correct the errors.
If E/F is an elliptic curve with split multiplicative reduction at a prime factor p|p, we write
×
E/Fp (F p ) ∼= F p /qpZ with the Tate period qp ∈ Fp× . Then we have directly from the theorem thefollowing
Corollary 0.6. Let E/F be an elliptic curve over F without complex multiplication. Assume that theﬁeld F (E[p]) of rationality of the p-torsion points of E is nonsoluble over F and that p is unramiﬁedin F/Q. Then Conjecture 0.3 holds true, and the L-invariant formula for L(IndQ
F ad1 (ρE )) in
Theorem 0.4 is valid. In particular, if E is multiplicative at all p-adic places of F , then the Llogp (Np (qp ))invariant L(IndQp ordp (Np (qp )) , where Np is the local norm NFp /Qp .
F ad1 (ρE )) is given by
It is a celebrated theorem of Serre that Gal(F (E[p])/F ) is full (that is, Gal(F (E[p])/F ) ∼=GL2 (Fp )) for almost all primes p; so, the L-invariant formula in the corollary is valid for almost all
ordinary p. Though this corollary treats the adjoint square Ad(ρE ) = ad1(ρE ), the expression of
the L-invariant is exactly the same as the analytic one Lan(E) for Lanp (s, E) proven by GreenbergStevens when F = Q (Mok [M] has generalized the method of Greenberg–Stevens for Lanp (s, E) forE over some totally real ﬁelds F ). An analytic version (for F = Q) of this corollary is given in [Ci].
This corollary will be proven in Section 3 reducing it to the potentially modularity theorem of E
(proven by Taylor) and Fujiwara’s R = T theorem [Fu1], and a similar result is stated in [H08a] and[H08b].
1. Galois deformation and L-invariant
Assuming the three simplifying assumptions (H1–3), we recall brieﬂy a version (given in [HMI]
Deﬁnition 3.85) of Greenberg’s formula of the L–invariant for V := adm (ρF ) for odd m (if m is even,adm (ρF ) is not critical at s = 1). This deﬁnition is equivalent to the one in [G] if we apply it to IndQ
F V
as proved in [HMI]. Under the vanishing SelF (adm (ρF )) = 0 (which follows from Conjecture 0.3
for n = m), Greenberg found a unique subspace H ⊂ H 1 (Q, IndQ
F adm (ρF )) of dimension g. By
Q
1
1∼
Shapiro’s lemma, we have H (Q, IndF adm (ρF )) = H (F, adm(ρF )), and one can give a deﬁnition of
the image HF of H in H 1(F, adm (ρF )) without reference to the induction IndQ
F adm (ρF ) as we recall
the precise deﬁnition later in 1.2. The space HF is represented by cocycles c : Gal(F /F ) → adm (ρF )such that(1) c is unramiﬁed outside p;(2) c|Dp at each p|p has values in Fp− adm (ρF ).
Here Fp− adm (ρF ) = Fp0 adm (ρF ), Fp+ adm (ρF ) = Fp1 adm (ρF ), and F j adm (ρF ) is the decreasing
F j adm (ρF )pﬁltration on adm (ρF ) such that an open subgroup of Ip acts by N j on F j+1.
ad (ρ )
p

- 156 -mF

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

8Let Q∞ /Q be the cyclotomic Zp -extension, and write F∞/F for the composite of F and Q∞ . By
the condition (2), (c|Dp mod Fp+ adm (ρF )) with a prime p |p may be regarded as a homomorphisma : Dp → K because Fp− adm (ρF )/Fp+ adm (ρF ) is isomorphic to the trivial Dp -module K. Since
Fp = Qp , a becomes unramiﬁed everywhere over the cyclotomic Zp -extension F∞ /F . In other words,
the cohomology class [c] is in SelF∞ (adm (ρF )) but not in SelF (adm (ρF )), and we havecyc
HF ∼= SelF (adm (ρF )) := Res−1 (SelF∞ (adm (ρF )))for the restriction map Res : H 1(F, adm (ρF )) → H 1 (F∞ , adm (ρF )) (see the deﬁnition of various
Selmer groups given in the following section).
Take a basis {cp }p|p of HF over K. Write ap : Dp → K for cp mod Fp+ adm (ρF ) regarded as ahomomorphism (identifying Fp− adm (ρF )/Fp+ adm (ρF ) with the trivial Dp -module K). We now have
two g × g matrices (g = |Sp |) with coeﬃcients in K:
Am = api ([p, Fpj ]) i,j and Bm = logp (γpi )−1 api ([γpj , Fpj ]) i,j .
As we will see in (1.7) (because we have B = 0<m≤n,M :odd Bm by Lemma 1.1 for B in (1.7)),
Conjecture 0.3 for ρF,n with n = m or n = m + 1 implies that Bm is invertible. Then Greenberg’s
L-invariant is deﬁned by
(1.1)

−1
L(IndQF adm (ρF )) = det(Am Bm ).

−1
The determinant det(Am Bm) is independent of the choice of the basis {cp }p .

1.1. Greenberg’s Selmer Groups. We recall the deﬁnition of Selmer groups. Let S be a ﬁnite
set of primes of F . Write F (S)/F for the maximal extension unramiﬁed outside S, p and ∞. Put
G = Gal(F (S)/F ) and GM = Gal(F (S)/M ). Let V be a potentially ordinary representation of G
on a K-vector space V . Thus V has decreasing ﬁltration Fpi V stable under Gal(F p /Fp ) such thatan open subgroup of Ip (for each prime factor p|p) acts on Fpi V /Fpi+1V by the i-th power N i of thep-adic cyclotomic character N . We ﬁx a W -lattice T in V stable under G.
Write D = Dp ⊂ G for the decomposition group of each prime factor p|p. Put Fp+ V = Fp1 V and
Fp− V = Fp0V . Writing Fp• T = T ∩ Fp• V and Fp• V /T = Fp• V /Fp•T , we have a 3-step ﬁltration stable
under Dp for A = V , T or V /T :(ord)

A ⊃ Fp− A ⊃ Fp+ A ⊃ {0}.

Its dual V ∗ (1) = HomK (V, K(1)) again satisﬁes (ord).
Let M/F be a subﬁeld of F (S), and put GM = Gal(F (S) /M ). We write p for a prime of M over
p and q for general primes outside p of M . We write Ip and Iq for the inertia subgroup in GM at p
and q, respectively. We put
Lp (A) = Ker(Res : H 1(Mp , A) → H 1 (Ip ,A)),
Fp+ (A)andLq (A) = Ker(Res : H 1(Mq , A) → H 1 (Iq , A)).
Then we deﬁne the Selmer submodule in H 1 (M, A) (for A = V, V /T ) by
H 1(Mq , A)
H 1 (Mp , A)
1
)×
.
(1.2)
SelM (A) = Ker H (GM , A) →Lq (A)Lp (A)qp
The classical Selmer group of V is given by SelM (V /T ), equipped with the discrete topology. We
cycdeﬁne the “minus”, the “locally cyclotomic” and the “strict” Selmer groups Sel−
M (A), SelM (A) and- 157 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

9

Selst
M (A), respectively, replacing Lp (A) by
1
1−L−
p (A) = Ker(Res : H (Mp , V ) → H (Ip , V /Fp (A))) ⊃ Lp (A)
−
1
+
−
Lcyc
p (A) = Ker(Res : Lp (A) → H (Ip,∞ , V /Fp (A))) ⊂ Lp (A)
−
1
+
Lst
p (A) = Ker(Res : Lp (A) → H (Mp , V /Fp (A))) ⊂ Lp (A),where Ip,∞ is the inertia group of Gal(M p /Mp [μp∞ ]). Then we have−1
SelcycF (A) = Res F∞ /F (SelF∞ (A)).
−
Under the simplifying assumption (H2), Selcyc
F (A) = SelF (A). It is easy to verify that the above
Selmer groups do not depend on the choice of S as long as S contains all the ramiﬁcation primes of
V . We assume that ρF,n is unramiﬁed outside p and ∞; so, S = {p}.

Lemma 1.1. We have∼SelcycF (Ad(ρn,0 )) =

2∼
SelcycF (adm (ρF )) = HomK (mn /mn , K),0<m≤n,m:odd

where mn is the maximal ideal of Rn. If n is odd and Conjecture 0.3 holds either for n or for n + 1,
we have SelF (adm (ρF )) = 0 for all odd m with 0 < m ≤ n and dimK Selcyc
F (adm (ρF )) = g for all
odd 0 < m ≤ n.
Proof. We repeat the proof in [H07b] assuming the conditions (H1–3). Let V = Ad(ρF,n ). Then we
have the ﬁltration:
V ⊃ Fp− V ⊃ Fp+ V ⊃ {0},where taking a basis so that the semi-simpliﬁcation of ρF,n |Dp is diagonal with the diagonal char−acters βpn , βpn−1αp , . . . , αnp in this order from top to bottom, Fp V is made up of upper triangularmatrices and Fp+ V is made up of upper nilpotent matrices, and on Fp− V /Fp+ V , Dp acts trivially(getting eigenvalue 1 for F robp ). We consider the space DerK (Rn, K) of continuous K-derivations.
Let K[ε] = K[t]/(t2) for the dual number ε = (t mod t2 ). Then writing each K-algebra homomorphism φ : Rn → K[ε] as φ(r) = φ0(r) + ∂φ (r)ε and sending φ to ∂φ ∈ DerK (Rn, K), we have
HomK-alg (Rn, K[ε]) ∼= DerK (Rn, K) = HomK (mn /m2n, K). By the universality of (Rn, ρn), we have{ρ : Gal(F /F ) → Gn(K[ε])|ρ satisﬁes (K1–4)}
HomK-alg (Rn, K[ε]) ∼=≈by HomK-alg (Rn, K[ε])  φ → ρφ = φ ◦ ρn = ρF,n + ε∂φ ρn . Pick ρ = ρφ as above. Write−1
ρ(σ) = ρF,n (σ) + ρ1 (σ)ε with ρ1 (σ) = ∂ρ∂t = ∂φ ρ n (σ). Then cρ = (∂φ ρ n )ρF,n can be easily checked
to be an inhomogeneous 1-cocycle having values in Mn+1 (K) ⊃ V . Here σ ∈ Gal(F /F ) acts onx ∈ Mn+1 (K) by x → ρF,n (σ)xρF,n (σ)−1 .
Since ν ◦ ρ = ν ◦ ρF,n by (K3), we have det(ρ) = det(ρF,n ), which implies Tr(cρ ) = 0; so, cρ hasvalues in sln+1(K). For X ∈ GLn+1(Rn ) with t XJn X = Jn , write X = (X mod mn ) ∈ GLn+1 (K).
−1−1tSince t ρn Jnρn = det(ρ0 )n Jn = t ρF,n Jn ρF,n, we have tρ−1
F,n ρn Jn ρn ρn.0 = Jn . Let X = ρn ρF,n .
t
Diﬀerentiating the identity: XJn X = Jn by ∂ ∈ DerK (Rn, K), we have(t∂XJn )X + t X(Jn∂X) = 0 ⇔ t (∂X · X−1)Jn + Jn(∂X · X−1) = 0,

which is equivalent to cρ (σ) ∈ sn (K) = V . By the reducibility conditions in (K2), [cρ ] vanishes in

H 1 (Mp ,V ). Since Fp = Qp , (cρ mod Fp+ V ) is unramiﬁed at p over F∞ . Thus the cohomology classL−p (V )
[cρ ] of cρ is in Selcyc
F (V ). We see easily that ρ ≈ ρ ⇔ [cρ ] = [cρ ].
We argue in a reverse way starting with a cocycle c giving an element of Selcyc
F (V ) to constructa deformation ρc = ρF,n + ε(cρF,n ) with values in Gn(K[ε]); thus,{ρ : Gal(F /F ) → Gn (K[ε])|ρ satisﬁes the condtions (K1–4)} ∼cyc= SelF (V ).
≈- 158 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

10

cyc
Recall that the isomorphism DerK (Rn, K) ∼= SelF (V ) is given by

DerK (Rn, K)  ∂ → [c∂ ] ∈ Selcyc
F (V )
for the cocycle c∂ = cρ = (∂ρn )ρ−1
F,n , where ρ = ρF,n + ε(∂ρ n ).
Since the algebra structure of Rn over W [[Xj,p]]p|p is given by δ j,p (βpn−j αjp )−1 and δn−j,p δj,p =det(ρF )n , the K-derivation ∂ = ∂φ : Rn → K corresponding to a K[ε]-deformation ρ is a W [[Xj,p]]derivation for j ∈ I if and only if ∂ρn|Ip is upper nilpotent, which is equivalent to [c∂ ] ∈ SelF (V ).
Since V ∼= 0<m≤n,m:odd adm (ρF ) as global Galois modules, we have
SelF (V ) ∼SelF (adm (ρF )).
=0<m≤n,m:odd
Assume n to be odd. Let n be either n or n + 1. Suppose Conjecture 0.3 for n. Thus we have
SelF (Ad(ρF,n )) ∼= DerW [[Xi,p ]]i∈I,p|p (Rn , K) = 0 by Conjecture 0.3 for n. By SelF (Ad(ρF,n )) ∼=
0<m≤n ,m:odd SelF (adm (ρF )), we conclude SelF (adm (ρF )) = 0 for all odd positive m ≤ n. Thenas seen in [G] (see below (1.4) and Lemma 1.4), the vanishing SelF (adm (ρF )) = 0 implies
dimK Selcyc
F (adm (ρF )) = dimK HF = g.
∼ mn+1 /m2
Question 1.2. It is curious that we have a canonical isomorphism mn/m2n =n+1 byLemma 1.1 for any given odd n. A natural question is if this isomorphism extends to a canonical isomorphism Rn ∼= Rn+1.
Write V for either the representation space of adm (ρF ) or that of Ad(ρF,n). For each primeq ∈ S ∪ {p|p}, we put⎧⎨Ker(H 1(Fj , V ) → H 1 (Fj , +V )) ⊂ Lpj (V ) if q = pj with j ≤ b,
Fpj (V )(1.3)
Lq (V ) =⎩Lq (V )otherwise
Once Lq (V ) is deﬁned, put Lq (V ∗ (1)) = Lq (V )⊥ under the local Tate duality between H 1(Fq , V ) andH 1 (Fq, V ∗ (1)), where V ∗ (1) = HomK (V, Qp (1)) as Galois modules. Then deﬁne the balanced Selmer
group SelF (V ) (resp. SelF (V ∗ (1))) by the same formula as in (1.2) replacing Lp (V ) (resp. Lp (V ∗ (1)))
by Lp (V ) (resp. Lp (V ∗ (1))). By deﬁnition, SelF (V ) ⊂ SelF (V ). Often we have Lp (V ) = Lp (V ) andhence SelF (V ) = SelF (V ). The fact Lpj (V ) = Lpj (V ) for V = adm (ρF ) and Ad(ρF,n ) follows fromthe following F -version of the argument in [G] page 160:
Lemma 1.3. Let V = Ad(ρF,n) or adm (ρF ). Then we have Lp (V ) = Lp (V ).
For K-vector space V with Galois action as above, we have SelF (V ) = SelF (V ).
Proof. Since we have Lp (V ) = Lp (V ) by deﬁnition if p = pj with j > b; so, we may assume thatj ≤ b. Write H • (M ) for H • (Fp , M ) for Dp -modules M . We need to show the image Lp (V ) of
H 1 (Fp+ V ) in H 1 (V ) is equal to Lp (V ) := Ker(r : H 1 (V ) → H 1 (Ip , V )) for V = V /F + V . We canfactor the map r as r = Res ◦ γ for γ : H 1(V ) → H 1(V ) and Res : H 1 (V ) → H 1 (Ip , V ). Since
Ker(γ) = Lp (V ), we need to show that Im(γ) ∩ Ker(Res) = 0.
Writing Y = Fp− V /Fp2 V and Y = Fp− V /Fp+ V , we have exact sequences of Dp -modules: Y →
V /Fp2V  V /Fp− V and Y → V  V /Fp−V . Since H 0 (V /Fp− V ) = 0, by the long exact sequencesof the above two short exact sequences, we ﬁnd that the natural maps H 1(Y ) → H 1(V /Fp2 V ) andH 1 (Y ) → H 1(V ) are injective. Identify H 1(Y ) with its image in H 1 (V ). We haveIm(γ) ∩ H 1 (Y ) = Im(γ : H 1(Y ) → H 1 (Y )) ⊂ H 1(V ).

- 159 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

11

In the proof of the same lemma given in my paper [H07b] as Lemma 1.4, there is a typographicalerror in the statement of the above identity and the left-hand-side: “Im(γ) ∩ H 1 (Y )” is wrongly
written as “Im(γ)” in the proof (at page 15) of [H07b] Lemma 1.4.
By the inﬂation-restriction sequence (and by (H2)),
Ker(Res) = H 1(Dp /Ip , V

Ip

)=V

Ip

/(F robp − 1)VIp⊆ Fp− V /Fp+ V.

Ip⊆ Fp− Y /Fp+ Y = Fp− V /Fp+ V.

Similarly
Ker(ResY : H 1 (Y ) → H 1(Ip , Y )) = H 1(Dp /Ip , Y
=Y

Ip

Ip

)

/(F robp − 1)YThus inside H 1(V ), Ker(Res) = Ker(ResY ) ⊂ H 1 (Y ). We may replace V by Y in our argument,
and we shall show thatIm(γ : H 1(Y ) → H 1 (Y )) ∩ Ker(Res : H 1(Y ) → H 1 (Ip , Y )) = 0.
Write t(p) for dim Fp− V /Fp+ V (thus, t(p) = 1 or  n+1
2  according as V = adm (ρF ) or Ad(ρF,n )).
We have the long exact sequence attached to the short one Fp+ Y → Y  Y :γ

0 → Y = H 0(Y ) → H 1 (Fp+ Y ) → H 1(Y ) −→ H 1(Y ) → H 2 (Fp+ Y ) → H 2 (Y ) = 0.
By the non-splitting of the short sequence, H 0(Y ) injects into H 1 (Fp+ Y ). By the local Tate duality,
dimK H 2 (Y ) = dimK H 0(HomK (Y, K(1))) = 0 and dimK H 2 (Fp+ Y ) = t(p).
This shows that dimK H 1 (Y ) = 2t(p)d and dimK Im(γ) = t(p)d for d = [Fp , Qp ] (d = 1 by (H2)),
because by Kummer’s theory, assuming d = 1 for simplicity,n∼ K2
H 1 (K(1)) = K ⊗Zp lim Fp× /(Fp×)p =←−n

and H (K) ∼= Hom((Fp )× , K) ∼= K 2 . By the inﬂation-restriction sequence, we have1

Ip
Lp (Y ) := Ker(H 1 (Y ) → H 1(Ip , Y )) ∼= H 1(Dp /Ip , Y ) ∼=Y.

Thus dim Lp (Y ) + dim Im(γ) = dim H 1 (Ip , Y ). Thus we need to show Lp (Y ) + Im(γ) = H 1 (Ip , Y ).
By the local Tate duality, noting Y ∗ (1) ∼= Y , this statement is equivalent toKer(δ : H 1 (Fp+ Y ) → H 1 (Y )) ∩ Lp (Y )⊥ = 0.
∗

Here Lp (Y )⊥ = Hf1l (Fp+ Y ) = Y ⊗Zp limn Op× /(Op× )p ⊂ H 1 (Y (1)), because Y (1) = Y (1) =←−K(1)t(p) . Since Ker(δ) gives rise to the subspace spanned by extension class of K(1)t(p) = Fp+ Y →Y Y ∼= K t(p) , as already noted, it is given by the cocycles in ξq ⊗ Y for the Tate period q of√
ρF |Dp at p = pj . Let us recall ξq : ξq (σ) = limn ( pn q)σ−1 which has values in Zp(1) ⊂ K(1) and is a←−inhomogeneous 1-cocycle (see [H08a] Section 4). In particular, (Y ⊗ ξq ) ∩ Hf1l (Fp+ Y ) is given bynn(q ⊗ Y ) ∩ (Y ⊗Zp lim Op× /(Op×)p )←−nninside Y ⊗Zp limn Fp×/(Fp× )p , which is trivial (because q is a nonunit).
←−

Lemma 1.4. Let V be Ad(ρF,n ) or adm (ρF ). If V is critical at s = 1,
(V)

SelF (V ) = 0 ⇒ H 1 (G, V ) ∼=q∈S

H 1 (Fq , V )×
Lq (V )

- 160 -H 1 (Fp , V ).
Lp (V )
p|p

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

12

Proof. Since SelF (V ) ⊂ SelF (V ), the assumption implies SelF (V ) = 0. Then the Poitou-Tate exact
sequence tells us the exactness of the following sequence:
SelF (V ) → H 1 (G, V ) →H 1(Fl , V )→ SelF (V ∗ (1))∗ .
L(V)
ll∈S{p|p}

It is an old theorem of Greenberg (which assumes criticality at s = 1) thatdim SelF (V ) = dim SelF (V ∗ (1))∗(see [G] Proposition 2 or [HMI] Proposition 3.82); so, we have the assertion (V). In [HMI], PropoQ∗
sition 3.82 is formulated in terms of SelQ (IndQF V ) and SelQ (IndF V (1)) deﬁned in [HMI] (3.4.11),
Q
but this does not matter because we can easily verify SelQ (IndF ?) ∼= SelF (?) by Shapiro’s lemma(similarly to [HMI] Corollary 3.81).

1.2. Greenberg’s L–invariant. Let V = Ad(ρn,F ) and adm (ρF ), and assume (H2–3). Here isGreenberg’s deﬁnition of L(V ): The long exact sequence of Fp− V /Fp+ V → V /Fp+ V  V /Fp− V gives
a homomorphism, noting Fp = Qp ,ιp−+
H 1(Fp , Fp− V /Fp+ V ) = Hom(Gab→ H 1(Fp , V )/Lp (V ).
Qp , Fp V /Fp V ) −Note that

−
+
+
2 ∼
2
∼ −
Hom(GabQp , Fp V /Fp V ) = (Fp V /Fp V ) = K
φ([γ ,F ])canonically by φ → ( log p(γpp) , φ([p, Fp])). Here [x, Fp] = [x, Qp] is the local Artin symbol (suitablypnormalized). Since
Lp (Fp− V /Fp+ V ) = Ker(H 1 (Fp , Fp−V /Fp+ V ) −−→ H 1(Ip , Fp−V /Fp+ V )),Res

the image of ιp is isomorphic to Fp− V /Fp+ V ∼= K. By (V), we have a unique subspace HF of
H 1 (G, V ) projecting down ontoIm(ιp ) →pp

H 1 (Fp , V ).
Lp (V )

Thus
(1.4)

HF,p with HF,p ∼= Im(ιp ).

HF =
p|p

Then by the restriction, HF gives rise to a subspace L ofp−+∼
Hom(GabFp , Fp V /Fp V ) =p(Fp− V /Fp+ V )2−+
p (Fp V /Fp V ). If a cocycle c representing an element in HF is unramiﬁed, it gives

isomorphic torise to an element in SelF (V ). By the vanishing of SelF (V ) (Lemma 1.1), this implies c = 0; so, theprojection of L to the ﬁrst factor

Fp− V
p Fp+ V

(via φ → (φ([γp , Fp ])/ logp (γp ))p ) is surjective. Thus thissubspace L is a graph of a K–linear map
(1.5)

L:
p

Fp−V /Fp+ V →p

Fp− V /Fp+ V.

We then deﬁne L(V ) := det(L) ∈ K.
Fix n, and consider (R, ρ) = (Rn , ρn ). Suppose Conjecture 0.3: Rn ∼= K[[Xi,p]]i∈I,p|p . Let∂δi,p ([p, Fp ])(1.6)
J := det,∂Xi ,p
p,p ,i,i ∈I- 161 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

13

and put JA = ϕ(J ) for any algebra homomorphism ϕ : R → A. The following result is a generalization of [HMI] Theorem 3.73:
Theorem 1.5. Assume Conjecture 0.3 for a positive integer n and (H2–3). If P is the maximal
ideal of Rn , we have⎞−1 ⎛
(n+1)/2
n−jjQ(βp αp )([p, Fp])⎠
logp (γp ).
L(Ind Ad(ρF,n )) = JR/P ⎝Fpp|p,j∈I−(n+1)/2
= JR/P up to units in W .
In particular, L(IndQ
F Ad(ρF,n ))( p logp (γp ))∂∈ DerK (R0, K) and V = Ad(ρF,n ). The space HF in (1.4) is spanned
Proof. Let ∂i,p = ∂X
i,p X=0+by {(∂i,p ρ)ρ−1
F,n }i∈I by Lemma 1.1. Writing ρ|Dp upper triangular, Fp V is made up of upper
nilpotent matrices in s(K) and Fp− V is made up of upper triangular matrices. Thus (∂i,p ρ)ρ−1
F,n
mod Fp+ V can be identiﬁed with diag[ci,j,p,p ]i,j∈I for ci,j,p,p = (∂i,p δ j,p )(βpn−j αjp )−1. Indeed by−1(1.5) (and also (1.1)), we have L(IndQforF V ) = det(A) det(B)
⎞−1
⎛


= JR/P ⎝det(A) = det (ci,j,p,p ([p, Fp])) (βpn−j αjp )([p, Fp ])⎠p,p ,i,j∈Iand B =p det

ci,j,p,p (γp ) logp (γp )−1 ) p,p ,i,j∈I . Since

p|p,j∈Iδj,p (βpn−j αjp )−1 (γp ) = 1 + Xj,p ,ci,j,p,p (γp ) = δi,j δp,p for Kronecker symbols δi,j and δp,p . Thus we conclude−(n+1)/2
(1.7)

det(B) =logp (γp )pas desired.

If one restricts c ∈ HF to G∞ := Gal(F (S)/F∞ ), its ramiﬁcation is exhausted by Γ = Gal(F∞ /F )(because of the deﬁnition of Selcyc
F (ρ2n,n ) and HF ) giving rise to a class [c] ∈ SelF∞ (V ). The
kernel of the restriction map: H 1(G, V ) → H 1(G∞ , V ) is given by H 1(Γ, H 0(G∞ , V )) = 0 because
H 0 (G∞, V ) = 0. Thus the image of HF in SelF∞ (V /T ) gives rise to the order g exceptional
zero of Larith (s, adn(ρF )) at s = 1. We have reproved the ﬁrst half of the following result in[G] Proposition 1.
Proposition 1.6. Let m be an odd positive integer. Suppose Conjecture 0.3 for m or m + 1. Thenfor the number g of prime factors of p in F , we haveords=1 Larith(s, adm (ρF )) ≥ g.
p
arith
Further, we have L(IndQ(s, adm (ρF )) > g.
F adm (ρF )) = 0 ⇐⇒ ords=1 Lp

The last assertion follows from [G] Proposition 3.
2. Factorization of L-invariant
We continue to assume (H2–3) in the proofs given in this section. We recall the factorization(given in [H07b]) of L(IndQ
F adm (ρF )) for odd m into the product of local invariants over potentiallymultiplicative places and the global invariant from the contribution of the potentially crystalline
part. This potentially crystalline part gives L(m) for L(IndQ
F adm (ρF )) in Theorem 0.4.

- 162 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

14

2.1. Factorization. We keep notation introduced in the previous section; so, V is either adm (ρF )or Ad(ρn,0).
Proposition 2.1. Let V be either adm (ρF ) with odd m ≥ 1 or Ad(ρF,n ). Suppose b > 0, and ﬁx angindex k with 1 ≤ k ≤ b. Let a ∈ i=1 Hom(Dpi , Fp−i V /Fp+i V ) be induced by c ∈ HF,pk (so, c ∈ HF
restricts down trivially to

H 1 (Fpi ,V )for all i = k).
Lpi (V )Then we have a(γpi ) = 0 for all i = k anda([p, Fpk ]) = 0 for all k = k with k ≤ b.

Proof. If i > b, Lpi (V ) is made of classes of cocycles becoming unramiﬁed modulo those with values
H 1 (F,V )in Fp+i V ; so, even if c|Dpi vanishes in Lp p(Vi ) (that is, c|Dpi ∈ Lpi (V )), we cannot pull out muchiinformation on the value a([p, Fpi ]) because of the ambiguity modulo unramiﬁed cocycles with values
in Fp−i V /Fp+i V . Anyway, a(γpi ) = 0 because γpi ∈ Ipi .
For i ≤ b with i = k, by Lemma 1.3, Lpi (V ) is made of cocycles of Dpi with values in Fp+i V , andthe condition that c|Dpi ∈ Lpi (V ) implies the vanishing of a(σ) = c(σ) mod Fp+i V for all σ ∈ Dpi .
This shows the assertion.

By the above proposition, we get immediately the following fact.
Corollary 2.2. Let the notation be as in Proposition 2.1. Then the linear endomorphism L in (1.5)
acting on p Fp− V /Fp+ V preserves the following exact sequence:
Fp−i V /Fp+i V →

0→

p

i>b

and L acting on the quotient

Fp− V /Fp+ V →Fp−k V /Fp+k V → 0,k≤b−+k≤b Fpk V /Fpk V

sends Fp−k V /Fp+k V into itself for each k ≤ b.

Deﬁnition 2.1. Let V = adm (ρF ). Deﬁne L(m) by
−+
det L|∈ K.
Fp V /Fp V
i>b

i

i

Similarly, deﬁne Lk (adm (ρF )) for k ≤ b by the determinant of the linear operator induced by L on
Fp−k V /Fp+k V = p Fp− V /Fp+ V / i=k Fp−i V /Fp+i V .
Corollary 2.3. Let the notation be as above. Then we have
L(IndQF adm (ρF )) = L(m)b

Lk (adm (ρF ))k=1

for odd n ≥ 1.
2.2. Multiplicative L-invariant. We now relate Lk (adm (ρF )) to the p-adic logarithm of the tate
period of ρF if k ≤ b. Let ρn,m = Sym(ρF )⊗n ⊗ det(ρF )−m ; so, adm (ρF ) = ρ2m,m . We start with√
( pn q)σ−1 with a nonunit q ∈ Fp×.
Lemma 2.4. Suppose that ρF |Dp ∼= N0 ξ1q for ξq (σ) = limn←−Then if 0 ≤ m ≤ n, we have Fp− ρn,m /Fp2 ρn,m ∼= ρF as Dp -modules.
Proof. Write M (m) = M ⊗ N m for a Dp -module M . Identify ρ0 |Dp with N0 ξ1q choosing a basis(x, y) of ρ0 . Then the matrix expression of ρF,n on Dp with respect the basis (xn, xn−1y, . . . , yn ) is
given by
⎛ n
⎞
n−1
N

⎜ 0
⎜ .
⎝ ..

0
0

nN
ξq
∗
··· ∗
N n−1 (n−1)N n−2 ξq ··· ∗ ⎟

..
.

···
···

..

0
0

- 163 -.

.
. . .. ⎟
. .⎠
N ξq
0 1

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

15

Thus we get an extension K(m + 1) → Fpm ρF,n/Fpm+2 ρF,n  K(m) of Dp -modules on which Dp
 m+1(m+1)N m ξq
. We have the following commutative diagram of exact rows:
acts by NmN

0

F m ρF,n→pK(1) −−−−→ F m+2⊗ det(ρ0 )−m −−−−→ K
ρF,n
p
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐




Fp− ρn,m
Fp2 ρn,mK(1) −−−−→
→

becausem+1 0 −1
0 1

N (m+1)ξq
0
1

m+1 0
0 1

∼
=

N ξq
0 1

−−−−→ K,

. This proves the desired assertion.

Here is the ﬁrst main result:
Theorem 2.5. Suppose Conjecture 0.3 for n. Then we have Lk (Ad(ρF,n )) =for k ≤ b, where Qk = NFpk /Qp (qk ) for the Tate period qk of ρF at pk .

logp (Qk ) (n+1)/2
ordp (Qk )⊗n(ρ0 ⊗ η)) ∼Proof. Fix k ≤ b, and write p = pk . Since= Ad(ρF,n ), by twisting ρF by a
 Ad(SymNξq∼k. In this proof, we assume (H1–2).
character, we may assume that ρF |D =
pk

0

1

Write Xi = Xi,pj if i ∈ I. For  ∈ I, deﬁne M be the ideal generated by Xi for i =  (i,  ∈ I)
 = Rn/M ∼and X2 . We ﬁx a  with 0 ≤  ≤ n, and write M for M and K= K[ε] with ε2 = 0 byX → ε. Let ρ = (ρn mod M), and write δj for δj,p mod M. We consider the exact sequence of p ]-modules:
K[DFpj+1 ρFpj ρ
Fpj ρ
0 → j+2 → j+2 → j+1 → 0.
Fp ρ
Fp ρ
Fp ρ


 × , thisWriting K(ψ) for the rank one free K-module on which Dp acts by a character ψ : Dp → K
exact sequence gives the following exact sequencej j+1) → Fp ρ → K(δ j ) → 0.
0 → K(δ
j+2
Fp ρ
−1

 p ]-modules:
Twisting by δj+1 N , we get another exact sequence of K[D ) → M → K(δ j δ−1 N ) → 0.
0 → K(Nj+1
By Lemma 2.4, this sequence gives the top row of the following commutative diagram of Dp -modules
with exact rows:→ ) −−−
 j δ−1 N )K(N−→ M −−−−→ K(δ
j+1
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
mod X 
mod X  mod XK(N ) −−−−→ ρ0 |Dpk −−−−→
→



K.

By our assumption (H2): Fp = Qp , Dp = Dp = Gal(Qp /Qp ), and by (2.3.4) of [GS1], this implies∂δ j δ−1
j+1 N([qk , Qp ]) = 0.
∂XIn (2.3.4) of [GS1], the coeﬃcient ﬁeld of the Galois representation is assumed to be Qp , but theargument proving the theorem works well for general coeﬃcient ﬁelds K as easily checked. Since
N ([qk , Qp ]) is a constant in Q×
p , we get∂δ j δ−1
j+1([qk, Qp ]) = 0∂X- 164 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

16

which yields by the Leibnitz formula−1 ∂δ j−1 ∂δ j+1([qk, Qp ]) = 0,δj− δj+1∂X
∂X
where δj = (δ j mod mn ) = N n−j . Since this holds for j = 0, 1, . . ., n, we get−1 ∂δ 0−1 ∂δ nδ0([qk, Qp ]) = 0.
− δn
∂X
∂X
Since δ 0δ n = N on Gal(Qp /Qp ) (Fp = Qp by (H2)), we have
δ0−1

∂δ 0
∂δn
= −δn−1
,
∂X
∂X

δn−1

∂δ n
([qk, Qp ]) = 0.
∂X

δj−1

∂δj
([qk , Qp ]) = 0∂Xand hence
This in turn yields

for all j = 0, 1, . . ., n.
Write qk = pa u for a = ordp (qk ) and u ∈ Z×
p . Then logp (u) = logp (qk ), and we haveδi ([qk, Qp ]) ≡ δ i([p, Qp ])a δi ([u, Qp]) ≡ δi ([p, Qp ])a (1 + Xi )− logp (u)/ logp (γpi )mod M.

Diﬀerentiating this identity with respect to X , we get from δi ([p, Qp ]) = N([p, Qp ]) = 1
logp (u)∂δ i ∂δ  
= 0 and a([p, Qp ]) −([p, Qp]) = 0 if i =  (i,  ∈ I).
a
∂X X=0logp (γk )∂X X=0n−iSince a = 0, we have
logp (qk )∂δ 
∂δi 
.
([p, Qp ]) = 0 if i =  (i,  ∈ I), and([p, Qp ]) logp (γpk ) =∂X X=0∂X X=0
ordp (qk )n
Since ∂ρρ−1 for odd  with 0 <  ≤ n gives a basis of the p-part of HF isomorphic to Im(ιp ),∂X X=0 F,nlog (qk ) (n+1)/2
we ﬁnd that Lk (Ad(ρF,n )) = ordpp (qk ). Since we have∼
SelcycSelcycF (Ad(ρF,n )) =F (adm (ρF )),0<m≤n, m:odd

we ﬁnd(2.1)


Lk (adm (ρF )) =Lk (Ad(ρF,n )) =0<m≤n, m:odd

logp (qk )ordp (qk )(n+1)/2



as desired.

2.3. Proof of Theorem 0.4. We now prove Theorem 0.4 (assuming (H1–2)). We note Ad(ρF,n2 ) ∼=Ad(ρF,n1 ) ⊕ adm (ρF ). Thus by deﬁnition, we have Lk (Ad(ρF,n2 )) = Lk (Ad(ρF,n1 ))Lk (adm (ρF )).
Then by Theorem 2.5, if logp (qk ) = 0 we have
logp (qk ) (n2 +1)/2
logp (qk )ordp (qk )Lk (Ad(ρF,n2 ))= 
Lk (adm (ρF )) =(n1 +1)/2 = ord (q )Lk (Ad(ρF,n2 ))logp (qk )p kordp (qk )as desired. If logp (qk ) = 0, the linear operator L|gr0 (Ad(ρF,n2 )) induced by L in Deﬁnition 2.1 on thequotient gr0 (V ) := Fp−k V /Fp+k V = p Fp− V /Fp+ V / i=k Fp−i V /Fp+i V for V = Ad(ρF,n2 ) has only

- 165 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

17

eigenvalue 0. Since adm (ρF ) is a factor of Ad(ρF,n2 ), the corresponding operator L|gr0 (adm (ρF )) on
the 0-th graded piece gr0 (adm (ρF )) := Fp−k adm (ρF )/Fp+k adm (ρF ) is induced by L|gr0 (Ad(ρF,n2 )) ; so,log (qk )it has unique eigenvalue 0, and hence Lk (adm (ρF )) = 0 = ordpp (qk ) . Then the desired formula in thetheorem follows from the deﬁnition of L(m) in Deﬁnition 2.1.

3. Proof of Conjecture 0.3 under potential modularity
We ﬁrst prove Conjecture 0.3 for ρF if it is valid for the restriction ρL of ρF to Gal(F /L) fora totally real ﬁnite Galois extension L/F . Then by a result of Taylor, we show that this potential
version of the conjecture holds under mild assumptions, which proves Corollary 0.6. In this section,
we do not assume (H1–3).
3.1. Potential version implies Conjecture 0.3. Let Sp,L be the set of prime factors of p in L
for a number ﬁeld L.
Proposition 3.1. Let (RL , ρL ) be the universal couple for ρL,n for a totally real extension L/F .
If there exists a ﬁnite totally real Galois extension L/F such that RL ∼= K[[Xi,P]]i∈I,P∈Sp,L for thevariable Xi,P speciﬁed in Conjecture 0.3, then Conjecture 0.3 holds for ρF,n and F .
Proof. By assumption, we have RL ∼= K[[Xi,P]]i∈I,P∈Sp,L . For σ ∈ Gal(L/F ), we take a liftσ ∈ Gal(F /L) inducing σ on L, for any deformation ρ of ρL with values in A, regarding ρF ashaving values in G(A) through the K-algebra structure K → A, we can deﬁneρσ (g) = ρF,n (σ)−1 ρ(σ g
σ−1 )ρF,n (σ).
The isomorphism class of ρσ is determined independently of the choice of the lift σ and depends
only on σ. Since ρL extends to ρF : Gal(F /F ) → G(W ), ρσL,n = ρL,n , for ρL = ρ|Gal(F /L),ρσL is another deformation of ρL,n over Gal(F /L) satisfying (K1–4). Thus we have a unique ring
automorphism [σ] ∈ Aut(RL) such that ρσL ≈ [σ]◦ρL . In this way, Δ := Gal(L/F ) acts on RL . Since
δσi,P (g) = δi,P (σgσ−1 ) coincides with δ i,Pσ , we have [σ](Xi,P ) = Xi,Pσ . Note that H 2 (Δ, K) = 0(because Δ is ﬁnite and K is uniquely
divisible). Then by theK-deformation version of Theorem 5.42
in [MFG], we have RF ∼= RL/ σ∈Δ RL([σ] − 1)RL , where σ∈Δ RL([σ] − 1)RL is the ideal of RL
generated by [σ](r) − r for all r ∈ RL. Then it is clear that RF ∼= K[[Xi,p ]]i∈I,p∈Sp as desired. 
3.2. Proof of Corollary 0.6. We ﬁrst state a general proposition and then prove the corollary
reducing it to a special case of the proposition.
Let ρF = ρF mod mW having values in GL2 (F) for the residue ﬁeld F of W . We consider thefollowing conditions:(NS) Im(ρF ) is a non-soluble subgroup in GL2 (F);(DS) the semi-simpliﬁcation of ρF restricted to Dp is non-scalar.
We now give a sketch of a proof of Conjecture 0.3 for n = 1 under these two conditions:
Proposition 3.2. Suppose (NS). Then we have R1 ∼= K[[X1,p ]]p|p as in Conjecture 0.3 for n = 1.
This proposition implies Corollary 0.6 because for elliptic curve with ordinary reduction (including
multiplicative one) at p, the two characters (αp , βp ) is given by (1, N ) over the inertia group Ip which
are distinct modulo mW if p is unramiﬁed in F/Q and p is odd. The condition (NS) follows from
nonsolubility of the ﬁeld of rationality of p-torsion points of the elliptic curve.
Proof. By the result of [Ta] and [Ta1], the Galois representation ρF is potentially modular in the sensethat there exists a totally real Galois extension L/F in which p totally split and ρL is associated to a
Hilbert cusp form of weight 2 and Im(ρL ) is still nonsoluble (in particular, it is absolutely irreducible
over L[μp ]). Actually, in the above paper of Taylor, details of the proof are given for F = Q, but wecan adjust his argument to prove the result for general F (see [V] Theorem 2.2). Since any p ∈ Sp
splits totally in L/F , (DS) is also valid over L if it holds over F . Assuming (DS) over F , by a result- 166 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

18

of Fujiwara (see [Fu1] and [HMI] Proposition 3.78) which requires absolute irreducibility of ρL[μp ]and (DS) over DP for all P ∈ Sp,L , we have Conjecture 0.3 for ρL . The assumption (DS) of [Fu1] isrecently removed by [Ch] by considering framed deformation of upper triangular type. Thus we do
not need to assume (DS) over F now. Then by the above proposition, the desired result follows. Remark 3.1. Since the potential modularity for ρn is proven in [Ta2] under some assumptions, we
expect that the above argument (or a modiﬁed version) would prove Conjecture 0.3 for general n innear future.
4. L-invariants of CM fields
This section is almost identical to Section 3 of [H07a]; however, we correct some minor errors
there coming from the factor [Fp : Qp ] in Theorem 0.4 here missing from Theorem 0.4 in [H07a].
Since this factor does not matter under (H2), we do not assume (H1–3) in this section.
Let p be an odd prime. Let M/F be a totally imaginary quadratic extension of the base totally realﬁeld F . We study the adjoint square Selmer group when the Galois representation is an inductionof a Galois character of GM := Gal(M (p) /M ). Put GF := Gal(M (p) /F ). For simplicity, we assume
that p > 2 totally splits in M/Q. We relate the Selmer group with a more classical Iwasawa moduleof a quadratic extension of F , and from the torsion property of the Selmer group already proven,
we deduce some torsion property of such classical Iwasawa modules. In this section, our starting
deformation (the origin of Spec(R1)) is ρF = IndF
M λ for a p-adic Galois character λ of Gal(Q/M ).
4.1. CM Iwasawa modules. Let OM be the integer ring of M . We consider Z = limn ClM (pn )←−for the ray class group ClM (pn ) of M modulo pn . Let Δ be the maximal torsion subgroup ofZ, and put ΓM = Z/Δ, which has a natural action of Gal(M/F ). We split Z = Δ × ΓM . We
deﬁne Γ+ = H 0(Gal(M/F ), ΓM ) and Γ− = ΓM /Γ+ . Since p > 2, the action of Gal(M/F ) splits
the extension Γ+ → ΓM  Γ− , and we have a canonical decomposition ΓM = Γ+ × Γ− . Writeπ− : Z → Γ− , π+ : ΓM → Γ+ and πΔ : Z → Δ for the three projections. Take a character×
ϕ : Δ → Q , and regard it as a character of Z through the projection: Z  Δ.
Let M∞ be the composite of all Zp -extensions of M . Then by class ﬁeld theory, M∞ is the
subﬁeld of the ray class ﬁled of M modulo p∞ ﬁxed by Δ. Let Q∞ /Q be the cyclotomic Zp cyc−+
extension. Let M∞
be the composite M Q∞ /M . Deﬁne M∞(resp. M∞) for the ﬁxed subﬁeld of
cyc
cyc
+
Γ− (resp. Γ+ ). Since M∞
is abelian over F , we have M∞⊂ M∞
and a projection πcyc : Γ+ →cyc
Gal(M∞/M ) ⊂ 1 + pZp . The Leopoldt conjecture for F asserts that πcyc is an isomorphism; in+cyc−other words, M∞= M∞. The extension M∞/M is called the anticyclotomic tower over M . Thuscyc
if the Leopoldt conjecture holds for F , M∞ is the composite of the cyclotomic Zp -extension M∞[F :Q]−and the anticyclotomic Zp –extension M∞.
?
To introduce Iwasawa modules for the multiple Zp -extensions M∞/M , we ﬁx a CM type Σ, which
is a set of embeddings of M into Q such that IM = Σ  Σc for the generator c of Gal(M/F ). OverC, an abelian variety with complex multiplication by M has C-points isomorphic to CΣ/Σ(a) for alattice a in M (see [ACM] 5.2), where Σ(a) = {(σ(a))σ∈Σ ∈ CΣ |a ∈ a}. By composing ip , we write
Σp for the set of p-adic places induced by ip ◦ σ for σ ∈ Σ. We assume(spt)Σp ∩ Σp c = ∅.
This is to guarantee the abelian variety of CM type Σ to have ordinary good reduction modulo p(whose Galois representation is hence ordinary at all p|p).
Writing M (p∞ ) for the ray class ﬁeld over M modulo p∞ , we identify Z with Gal(M (p∞ )/M )via the Artin reciprocity law. Fix a character ϕ of Δ. We then deﬁne MΔ by the ﬁxed ﬁeld of Γ in
M (p∞ ); so, Gal(MΔ /M ) = Δ.
?
Since ϕ is a character of Δ, ϕ factors through Gal(M∞
MΔ /M ) for ? indicating one of +, −, cyc or“nothing”. When nothing is attached, it refers to the object for the full multiple Zp -extension M∞ .
?
MΔ be the maximal p–abelian extension unramiﬁed outside Σp . Each γ ∈ Gal(L∞ /M )Let L?∞ /M∞- 167 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

19?
acts on the normal subgroup X ? = Gal(L?∞ /M∞
MΔ ) continuously by conjugation, and by the?
?
commutativity of X , this action factors through Gal(MΔ M∞/M ). Then we look into the compact
?
?
?
?
?
p-proﬁnite Γ –module: X [ϕ] = X ⊗Zp [Δ],ϕ W , where Γ = Gal(M∞/M ). We study when X ? [ϕ] is?
?
?
a torsion Iwasawa module over Λ = W [[Γ ]]. The module X [ϕ] is generally expected to be torsion?
of ﬁnite type over Λ? for the naturally deﬁned multiple Zp -extensions M∞.

The torsion property of X cyc [ϕ] over Λcyc is classically known (e.g., [HT2] Theorem 1.2.2). Thisimplies
Theorem 4.1. The modules X[ϕ], X + [ϕ] and X cyc [ϕ] are torsion modules over the corresponding
Iwasawa algebra Λ, Λ+ and Λcyc , respectively.
We refer this result to [HT2] Theorem 1.2.2 (which was originally due to R. Greenberg). We study
the anticyclotomic Iwasawa module X − [ϕ] over Λ− from our new view point of Galois deformation
theory. As is well known, X − [ϕ] is a Λ− -module of ﬁnite type, and under mild assumptions (including
anticyclotomy of ϕ), we will prove the torsion property of X − [ϕ] in Theorem 4.3.
The Σ-Leopoldt conjecture for abelian extensions of M is almost equivalent to the torsion propertyof X − [ϕ] over Λ− for all possible ϕ (see [HT2] Theorem 1.2.2). Here, for an abelian extension L/M××with integer ring OL , the Σ-Leopoldt conjecture asserts the closure OLof OL
in LΣ = p∈Σp Lp
satisﬁes
××
dimQ (OL⊗Z Q) = dimQp (OL⊗Zp Qp ).
−−If X [ϕ] is a torsion Λ -module, we can think of the characteristic element F − (ϕ) ∈ Λ− of the module X − [ϕ]. The anticyclotomic main conjecture (cf. [HT] Conjecture 2.2) predicts the identity (upto units) of F − (ϕ) and the projection of (the ϕ-branch of) the Katz p-adic L-function (constructedin [K] and [HT1]) under π− .
4.2. Anticyclotomic Iwasawa modules. A character ψ of Δ is said anticyclotomic if ψ(cσc−1 ) =ψ−1 (σ) for a complex conjugation c ∈ Gal(Q/F ). Fix an algebraic closure F of F . Regarding
ϕ as a Galois character, we deﬁne ϕ− (σ) = ϕ(cσc−1 σ−1 ) for σ ∈ Gal(F /M ). Then ψ := ϕ− isanticyclotomic. Conversely, for any anticyclotomic character ψ, we can ﬁnd ϕ with ψ = ϕ− (e.g.,[HMI] Lemma 5.31).
1/2
1/2
We deﬁne a Galois character ϕ
 : GF → W [[Γ−]] by ϕ(σ)

= ϕ(σ)(σ|M∞−), where (σ|M∞−)−−
is the unique square root of (σ|M∞− ) in Γand (σ|M∞−) ∈ Γ
is regarded as a group element in
−
−
−
−1 −1
Γ ⊂ W [[Γ ]]. Note that ϕ (σ) = ϕ(cσcσ ) = ψ(σ)σ|M∞−.
Then we consider IndF
 :
M (ϕ)
Gal(F /F ) → GL2 (W [[Γ−]]). We write αM/F for the quadratic character of Gal(F /F ) identifying
Gal(M/F ) with {±1}.
Lemma 4.2. We haveF(1) det(IndF
M χ) = αM/F χ|F × and Tr(IndM χ(F robl )) =b⊂OM ,NM/F (b)=l χ(b) for a prime lAof F unramiﬁed for IndF
M χ, identifying a character χ of Gal(F /M ) with a character ofMA×(∞) /M × by the Artin symbol,(2) Ad(IndF ∼− ) as GF -modules.
= αM/F ⊕ IndF
M (ϕ))M (ϕ−1 GM = ϕ⊕ϕc with ϕc (σ) = ϕ(cσc), we deﬁne Fp+ IndF
 = ϕ
 for p ∈ Σp .
Since IndF
M (ϕ)|MϕF±
In Section 1, we have already deﬁned Fp Ad(IndM ϕ) and the Selmer group SelF (Ad(IndF
 ⊗Zp
M ϕ)
F
+
− ∗
(W [[Γ ]]) ). Since the image of Fp (Ad(IndM ϕ)) in αM/F is trivial in the above decomposition
in Lemma 4.2 and the image of Fp+ (Ad(IndFϕ))

is given by Fp+ (IndF− )), we get (cf. [HMI]M
M (ϕExercise 1.12 and Corollary 3.81)

SelF (Ad(IndF ⊗W [[Γ− ]] (W [[Γ− ]])∗)M (ϕ)
− ) ⊗W [[Γ− ]] (W [[Γ−]])∗ )=SelF αM/F ⊗Zp (W [[Γ−]])∗ ⊕ SelF (IndF
M (ϕ−=Hom(ClM⊗Z W [[Γ−]], Qp/Zp ) ⊕ SelM ((ϕ− ) ⊗W [[Γ− ]] W [[Γ−]]∗),- 168 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

20−−
where ClM
is the quotient of CLM by the image of ClF (the order of ClM
is equal to the order ofthe αM/F -eigenspace of ClM up to a power of 2). By the deﬁnition of the Selmer group, we note
that

(4.1)

SelM (ϕ− ⊗W [[Γ− ]] (W [[Γ−]])∗ ) ∼= Hom(X − [ϕ−], Qp /Zp),

which shows
Theorem 4.3. Let the notation be as above. Then we have−
Sel∗F (Ad(IndF ∼⊗Z W [[Γ−]] ⊕ X − [ϕ− ]= ClM
M (ϕ)))

as W [[Γ−]]-modules. Moreover X − [ϕ−] is a torsion W [[Γ−]]-module without exceptional zero ifψ := ϕ− satisﬁes the following conditions:(at1) The character ψ has order prime to p.
(at2) The local character ψP is non-trivial for all P ∈ Σp .
(at3) The restriction ψ∗ of ψ to Gal(F /M ∗ ) for the composite M ∗ of M and the unique quadratic
extension inside F [μp] is non-trivial.
This theorem is general enough to cover X − [ψ] for any anticyclotomic character ψ since such aψ can be written as ϕ− for a suitable choice of ϕ (e.g., [HMI] Lemma 5.31).
The ﬁrst assertion follows from the argument given as above. The torsion property follows fromthe theorem of Taylor–Wiles and Fujiwara and has been proven in [HMI] Theorem 5.33. The
condition (at2) is probably removable by the recent result in [Ch] but in this note, we do not work
it out.
4.3. The L-invariant of CM ﬁelds. Choose a character ϕ : GM → W × associated to an arithmetic Hecke character of M so that ρF = IndF
M ϕ satisﬁes (DS). Since ϕ is a character of GM , it
is unramiﬁed outside p. Consider the universal couple (RF , ) deforming ρF = IndF
M ϕ mod mW
among W -deformations ρA into GL2 (A) for proartinian W -algebras A with residue ﬁeld W/mW
satisfying the following conditions(W1) ρA factors through GF ;∗ ∗(W2) ρA |Gal(Qp /Fp ) ∼= 0 αA,p with αA,p ≡ αp mod mA and αA,p α−1
p |Ip factoring through thelocal cyclotomic Galois group Gal(Fp [μp∞ ]/Fp );(W3) det(ρA ) = det ρ;(W4) ρA ≡ ρ mod mA ,We know RF ∼= T by Fujiwara (see [HMI] Theorem 3.59). Since dim Spf(W [[Γ−]]) = dim Spf(T),−
Spf(W [[Γ ]]) gives an irreducible component of Spf(RF ). Write I = W [[Γ−]] simply. Let πI : T =RF  I be the projection (which factors through πcyc). We would like to compute the L-invariantof the component I. Thus we need to compute a(pp ) = πI (U (pp )). The following fact follows fromcthe fact IndF
M φ|GM = φ ⊕ φ .
Lemma 4.4. Let the notation be as above. Then we have a(pp ) = ϕ([p,MP]) for the prime factorP ∈ Σcp of p.
1/2
Deﬁne the character κ : Gal(F /M ) → (Λ− )× by κ(σ) = (σ|M∞−). Then ϕ
 = λκ, and we write×κI = πI ◦ κ : Gal(F /M ) → I . Then, κI restricted to the inertia group IP at P factors throughthe projection: IP → Gal(Qp [μp∞ ]/Qp ) ∼= Z×
p . Since the W [[ΓF ]]-algebra structure of I is induced
F×by the nearly ordinary character of IndM κI (restricted to the inertia group IP ), for uP ∈ OM,Pc
(P ∈ Σp ), we have

(4.2)

κI ([uP, MP]) = (1 + Xp )dp logp (Np (uP))/ logp (γp ) ,- 169 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

21

where dp = [Fp : Qp ], p = P ∩ O, Np : MP = Fp → Qp is the norm map and γp is the generator ofΓp := (1 + pZp) ∩ Np (Op× ). The factor dp in the right-hand-side is missing from [H07a] (3.2), whichcomes from the fact that
[γp , Fp ]|Qab= [NFp /Qp (γp ), Qp ] = [γp , Qp ]dp
pbecause γp is the image in Qp under N of the generator of the Galois group of the cyclotomic
Zp -extension of Fp . Choose an element (P) ∈ M so that Ph = ( (P)) for each P ∈ Σcp , where×
for the absoluteh = |ClM | (the class number of M ). Then phP = uP (P)P with uP ∈ OM,P
ramiﬁcation index e(p) of p (which is the absolute ramiﬁcation index of P also). Regarding κI
as a character of MA×(∞) /M × by class ﬁeld theory, we have κI ( (P)) = 1 = κI ( (P)l ) with the
l-component (P)l ∈ Ml× for any prime l outside p, because κI (Ol× ) = 1 and (P) ∈ M × . Then
we have−e(p)κI (phP) = κI (phP (P)−e(p) ) = κI (uP)κI ( (P)P ),e(p)P |p,P =P

where



(P)P is the P -component ofκI (phP ) = (1 + Xp )(P) ∈ M×

⊂ MA×. By (4.2), we get

dp log p (Np ((P)e(p)c up ))log p (γp )(1 + Xp )))e(p)dp log p (N  ((P)c−1pPlog p (γp ),P ∈Σcp −{P}×

where p = P ∩ O. Here logp is the Iwasawa p-adic logarithm deﬁned over Qp characterized bylogp (p) = 0. In particular, we have−e(p)logp (Np (uP )) = log(Np (phP (P)P)) = −e(p) logp (Np ( (P)P )).

Thus we have
Lemma 4.5. Let the notation be as above. Then we have, for primes P ∈ Σp and p = P ∩ O,
(c−1)

logp (Np ( (P)P ))∂κ(pP )
κ(pp )(1 + Xp )−1 .
=∂Xp
h · f(p) logp (γp )We have a(pp ) = cp κ(pp ) for a nonzero constant cp ∈ W × , because the nearly ordinary character is κ times a character of DP with values in W × . We do not need to pay much attentionof IndFM ϕto the constant cp , because the formula of the L-invariant only involve ∂a(pp )−1( a(pp ) δp ([γp , Fp ])) det∂Xp p,p
p|pin which the constant cp cancels out. Specializing the above formula to the locally cyclotomic point
P , we get
Theorem 4.6. Let the notation and the assumption be as above and as in Theorem 4.3, including(at1–4). Then we have, for any specialization ϕP of ϕ modulo a locally cyclotomic point P ∈Spf(I)(W ),



1
(1−c)
e
(
,
ϕ

))
=
(−1)
det
log
(N
(P)
))
L(Ad(IndF

P
p
p
M
P

c
P,P ∈Σph · f(p)p|pwhere e = |Σp |, p = O ∩ P and p = O ∩ P .
(1−c)

Note here ordp ( (P)P ) = −h/e(p), taking the valuation ordp associated to P ∈ Σ. By
Lemma 4.2 (2) and Theorem 4.3, we seeP )) = L(αM/F ),L(Ad(IndF
M ϕ- 170 -

L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

22

and this is the reason for the independence of L(Ad(IndF
P )) on the choice of the locally cyclotomic
Mϕpoints P . If F = Q, we have (P) (P)c = ph and hence logp ( (P)) = − logp ( (P)c ). Thus
logp ( (P)1−c ) = 2 logp ( (P)), and therefore the above formula coincides with the classical analytic
L-invariant formula for αM/F of Ferrero–Greenberg.
For a given ordinary CM type (M, Σp ), we can choose ψ satisfying the assumptions of Theorems 4.3 and 4.6. Then through the above process, we can compute L(αM/F ) as follows:
Corollary 4.7. Suppose that M/F is an ordinary CM-quadratic extension of M satisfying (spt).
Choose a p-ordinary CM-type Σ of M . Then the L-invariant L(αM/F ) of Greenberg for the quadratic
is given by
Galois character αM/F = M/F
·



1
(1−c)
,
logp (Np ( (P)P ))(−1)e det
P,P ∈Σcp
h · f(p)p|pwhere h is the class number of M , e = |Σp|, p = P ∩ O and (P) is a generator of P ∈ Σcp . If theprime p does not split in F/Q, the L-invariant of αM/F does not vanish.
A regulator similar to the above determinant was introduced long ago in [FeG] (3.8) in the contextof (classical) cyclotomic Iwasawa’s theory.
Suppose that p does not split in F/Q. Then for = (P), NP ( ) = σ∈Σ σ = Σ . Then we
have | Σ |p = 1 and | cΣ |p < 1 and hence NP ( 1−c ) cannot be of the form ζpα for α ∈ Q and a rootof unity ζ. Thus logp (NP ( 1−c )) = 0 as claimed in the corollary. Of course, by Baker’s argument(exploited by Brumer in the p-adic case), if M/Q is abelian, we can also conﬁrm the nonvanishingof the determinant in the corollary.
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L-INVARIANT OF HILBERT MODULAR FORMS

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[H88]
[H00]
[H04]
[H07a][H07b][H08a][H08b]
[HT]
[HT1]
[HT2]
[K]
[Ki]
[Ki1]
[Ki2]
[M]
[MTT]
[Ta]
[Ta1]
[Ta2]
[TW]
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Department of Mathematics, UCLA, Los Angeles, CA 90095-1555, U.S.A.

- 172 -

第Ⅱ部
若手研究発表会

平方和 2 次形式に関する極大格子の種の類数について
平岡 敬浩 ∗

2006 年 7 月 30 日

概要

1

n を正の有理整数とし, V = Q1n を n 次元行ベクトル空間とする。非退化対称双 1 次形
式 ϕ :V × V → Q をとり, ϕ[x] = ϕ(x, x) とおく。以後、ϕ は正定値とする。V の標準基底{ei }ni=1 を固定し、ϕ と対称行列 ϕ0 = [ϕ(ei , ej )]1≤i,j≤n を同一視する。ϕ の直交群 Gϕ を
Gϕ = {α ∈ GLn (Q) | αϕtα = ϕ}
とおく。v ∈ {p : 素数 } ∪ {∞} と V 内の格子 L に対し、

Gϕv = {αv ∈ GLn (Qv ) | αv ϕαv = ϕ}GϕA = {(αv ) ∈Gϕ
v | 殆どすべての p に対して Lp αp = Lp を満足する }v∈v

とおく。次に、格子 L の類 k(L) と種 Λ(L) を以下で定義する。
ϕΛ(L) = LGϕ
A = {La | a ∈ GA }k(L) = LGϕ = {La | a ∈ Gϕ },

(1.1)

ϕ

ここで La (a ∈ GA ) とは、Lp ap = (La)p を満足する V 内の格子とする。このとき、次の proposition が成り立つ。

Proposition 1.1. Λ(L) に対して
k(n)Λ(L) =k(L(i) )i=1を満足する有限個の格子 L(i) , i = 1, . . . , k(n) が存在する。

Λ(L) の中の類の個数 k(n) を L の種の類数とよぶ。類数の有限性は Minkowski の対称行列の簡約理論による。
ここから, L の ϕ に関する極大性を仮定する。即ち、L は ϕ が L 上で値を Z にとるもの∗

Department of Mathematical Sciences, Ritsumeikan University, Kusatsu, Shiga 525-8577, Japan. Email adress : rp043954@se.ritsumei.ac.jp

1- 173 -

の中で極大であるとする。ここで、次の事実が知られている (cf. [Shimura97, Lemma 5.9]、[Shimura97, Lemma 8.10])。

ϕ に関する極大格子全体から成る集合は 1 個の種をなす。
このことから、L の種の類数は L のとり方によらないことがわかる。
次に種 Λ(L) の不変量 m(L) を定義し、Shimura’s mass formura について述べる。



k(n)

m(L) =

Γ(L(i) )−1 ,Γ(L) = {γ ∈ Gϕ | Lγ = L}

i=1

とおく。m(L) を L の種の mass とよぶ。mass の歴史的背景については [Shimura 06] を参照していただきたい。

C = {α ∈ Gϕ
A | Lα = L},

C + = (Gϕ+ )A ∩ C,

Γa = aCa−1 ∩ G (a ∈ Gϕ
A ),m(Gϕ , C) =[Γa : 1]−1 ,aΓa+ = Gϕ
+∩Γ ,



+
m(Gϕ
+, C ) =[Γa+ : 1]−1 .

+Gϕ+ aC ∈B+

Gϕ aC∈Bϕϕϕ

とおく。ここで、B (resp. B+ ) は Gϕ \GA /C (resp. G+ \(G+ )A /C + ) の完全代表系とする。
全単射
ϕ
−1
ϕ
(i)
Gϕ \GϕA /C  G aC → k(La ) ∈ Λ(L)/G (= {k(L ) | 1 ≤ i ≤ k}),をとることにより、m(Gϕ , C) = m(L). が示され、さらに、[Shimura 99a, Lemma 5.6(1)]ϕによって m(Gϕ , C) = 2−1 m(G+ , C + ). が得られる。
ここから、ϕ は平方和とする。この場合に Shimura’s mass formula を適用すると次のようになる。

Proposition 1.2.
+m(Gϕ+, C ) =m(4k)−1 |B2k | ·

k=1

+
−1
m(Gϕ
+ , C ) = (2m) |Bm |

m−1

k=1

⎧
⎨2

if n ± 1 ∈ 8Z,⎩3−1 (2m − 1)

if n ± 3 ∈ 8Z,⎧⎨2·⎩3−1 (2m − 1)(2m−1 − 1)+n−1
(m − 1)!(2π)−m L(m, ψ)m(Gϕ+, C ) = 2

m−1
if n ∈ 8Z,
if n − 4 ∈ 8Z,(4k)−1 |B2k | if n ± 2 ∈ 8Z.

(1.2)

(1.3)

(1.4)

k=1

ここで、 m = [n/2] とし、 ψ は 4 を法とする原始的 Dirichlet 指標、B2k は 2k 番目のBernoulli 数とする.

2- 174 -

これから、類数に関する具体例をいくつか述べる。そこで後に必要となる古典的結果を述べておく。

Proposition 1.3.
1≤n≤9k(n) = 1,
k(n) = 2,

n = 10, 12, 15, 16.

1 ≤ n ≤ 9 の場合は、[Shimura 02, Lemma 1.6] にまとめられている。n = 10, 12, 15 の場合は Conway-Sloane(1988 年), n = 16 の場合は Witt(1941 年) による。
そこで、k(11), k(13), k(14) を決めるために、以下の Z1n を含む格子 Ln , Mn を与える。
Ln =

n


Zεi ,

Mn =

i=1

n


Zδi

i=1

⎧
⎪
if i ≡ 1, 2, 3, 5 (mod 8),⎪⎨ei−1
εi = fi = 2 (ei + ei−1 + ei−2 + ei−3 ) if i ≡ 4, 6, 8 (mod 8),⎪⎪⎩
gi = 2−1 (ei + ei−2 + ei−4 + ei−6 ) if i ≡ 7 (mod 8),

δi =

⎧
⎨e

if i is odd or i = 2,

⎩fi = 2−1 (ei + ei−1 + ei−2 + ei−3 )otherwise.

i

Ln はすべての n で平方和 ϕ に関して極大で、Mn は n ≡ 0 (mod 8) のとき極大になる。
また、n ≤ 6 のとき、両者は一致する。さらに、以下の格子を与える。
N13 = M10 + Ze11 + Ze12 + Zh13 ,N14 = M12 + Ze13 + Zh14 ,h13 = 2−1 (e1 + e3 + e5 + e7 + e9 + e11 + e12 + e13 ),h14 = 2−1 (e1 + e3 + e5 + e7 + e9 + e11 + e13 + e14 ),とする。このとき, 類数および類代表は以下で与えられる。

Proposition 1.4.
k(11) = 3, {L(i) } = {L(1) = L11 , L(2) = M11 , L(3) = L7 ⊕ L4 .}k(13) = 4, {L(i) } = {L13 , M13 , L7 ⊕ L6 , N13 }.
k(14) = 4, {L(i) } = {L14 , M14 , L7 ⊕ L7 , N14 .}この proposition は Shimura’s mass formula により種 Λ(L) の mass を求め、一方で、
mass の定義に従って、各代表の自己同型群の位数を計算し、一致を観ることで得られる。
その際、Γ(N13 ), Γ(N14 ) の位数が問題となる。そこで、Γ(N13 ) ⊂ H13 , Γ(N14 ) ⊂ H14 を満たす群 H13 , H14 をうまくとることで、指数 [H13 : Γ(N13 )], [H14 : Γ(N14 )] を mass との関係から決定できる。他の代表の自己同型群の位数については先に述べた古典的結果および[Martinet 03, Lemma 1.4.6] を用いる。

3- 175 -

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4- 176 -

2

Shimura mass formula
∗

2
mass

genus

1

maximal lattice

Shimura mass formula
mass

Shimura mass formulaV
2x, y ∈ VFnvectorFnϕnttϕ(x, y) = xϕ · y = x · y ϕ[x] = ϕ(x, x) = x · t x(n > 1)1n.

t
G = Gϕ+ = {α ∈ SLn (F ) | αϕ · α = ϕ}Vg-lattice LgF. (genus
class

.

L

m(L) =

G
g-lattice
h


genus
F
V
[S04, §9.3]

class
.)

{Li }hi=1g-submodule,[Γi : 1]−1i=1

Γi = {γ ∈ Gϕ
+ | Li γ = L i }
genus
m(L)

L

.
L

(G

{Li }hi=1) genusmass.

L̃ = {x ∈ V | 2ϕ(x, y) ∈ g for every y ∈ L}L̃g-latticeL
ϕ[L] ⊂ g
L ⊂ L̃
L̃v = Lv
Lev
Lϕg-maximal lattice
ϕ[L] ⊂ g
g-latticemaximalL
genus
ϕg-maximal lattice(cf. [S04, §9.7])
Shimura mass formula [S99a, Theorem 5.8]
m(L)

Lv

F

∗

V

v

2006

1

- 177 -

[L̃ : L] = 1
Γ = {γ ∈ G | Lγ = L}
m(L) = 2−5 · 3−2 · 5−2

ϕg-maximal lattice

25 · 32 · 52
L

mass
F

genus

q

L

N (L, q) = #{x ∈ L | x · t x = q}

§1

{Li }hi=1

g-lattice L

R(L, q) =

h


G

genus

class

1

[Γi : 1]−1 N (Li , q)i=1

{Li }hi=1
L
ϕg-maximal latticePrinceton[S99b, Theorem 1.5]√
R(L, q)m(L)−1
ϕ = 14 F = Q( 5)h=1[S99b, Theorem 1.5(II)]
R(L, q)m(L)ep = 120 ·
N (p)iN (L, q) =

p|q

qg =

i=0

ep
pp

[M] M. Murata, Shimura’s mass formula for an orthogonal group over real quadratic ﬁelds,
Acta Arith. 121 (2006), 125–148.
[S99a] G. Shimura, An exact mass formula for orthogonal groups, Duke Math. J. 99 (1999),
1-66.
[S99b] G. Shimura, The number of representations of an integer by a quadratic form, Duke
Math. J. 100 (1999), 59-92.
[S04] G. Shimura, Arithmetic and analytic theories of quadratic forms and Cliﬀord groups,
Mathematical Surveys and Monographs, 109, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.

4- 180 -

４元数体による乗法をもつアーベル曲面に伴うガ
ロア表現の像について
東京大学大学院数理科学研究科

1

新井 啓介

序文

k を標数 0 の体とする。Gk で k の絶対ガロア群を表す。E を k 上の楕円曲線とし、p を素数とする。E の p 進 Tate 加群 Tp E への Gk の作用が定める表現をρE/k,p : Gk −→ Aut(Tp E) ∼= GL2 (Zp )で表す。代数体（すなわち Q の有限次拡大）上の虚数乗法をもたない楕
円曲線に伴うガロア表現の像について、次の定理が成り立つ。
定理 1.1 ([S]) K を代数体、E を虚数乗法をもたない K 上の楕円曲線、pを素数とする。このとき、ρE/K,p : GK −→ GL2 (Zp ) の像は開である。即ち、K, E, p に依存した整数 n = n(K, E, p) ≥ 1 が存在して、ρE/K,p (GK ) ⊇1 + pn M2 (Zp ) となる。
私は、定理 1.1 において、べき n が楕円曲線 E に依存しないようにとれることを示した。即ち、次の定理を証明した。
定理 1.2 ([A]) K を代数体、p を素数とする。このとき、K, p に依存した整数 n = n(K, p) ≥ 1 が存在して、虚数乗法をもたない K 上の任意の楕円曲線 E に対して、ρE/K,p (GK ) ⊇ 1 + pn M2 (Zp ) が成り立つ。
注 1.3 定理 1.2 において、n(K, p) の K, p による具体的な評価は、有限個の j 不変量を除けば分かっている。
私は、上記のような現象が、楕円曲線の高次元化である 2 次元以上のアーベル多様体でも見られるか、ということを考えた。そして、楕円曲線と見かけ上同じガロア表現をもつ QM アーベル曲面に対して、定理 1.2と同様の定理を示した。

1- 181 -

2

主定理

B を Q 上の不定符号４元数体、d = disc(B) を B の判別式とする。B
の maximal order R をひとつとって固定する。d を割らない素数 p に対して、Rp = R ⊗Z Zp とおいて、同型 Rp ∼= M2 (Zp ) を固定する。k を標数 0の体とする。
定義 2.1 k 上の（R による）QM アーベル曲面とは、k 上のアーベル曲面
A と、環の単射準同型（1 を id に送る）i : R → Endk (A) の組 (A, i) のことをいう。

(A, i) を k 上の QM アーベル曲面とする。同型
i:R∼= Endk (A) ∼= End(A)(2.1)

を仮定する。d を割らない素数 p をとる。すると、A の p 進 Tate 加群 Tp A
は Rp 加群として自由でランク 1 である。そして、ガロア表現

ρ(A,i)/k,p : Gk −→ AutRp (Tp A) ∼= GL2 (Zp )= Rp× ∼
が得られる。
QM アーベル曲面に伴うガロア表現の像についても、定理 1.1 と同様に、次のことが知られている。
定理 2.2 ([O]) K を代数体、(A, i) を K 上の QM アーベル曲面で、同型(2.1) を仮定する。d を割らない素数 p をとる。すると、ρ(A,i)/K,p (GK ) ⊆GL2 (Zp ) は開である。即ち、R, p, K, (A, i) に依存した整数 n = n(R, p, K, (A, i)) ≥1 が存在して、ρ(A,i)/K,p (GK ) ⊇ 1 + pn M2 (Zp ) を満たす。
私は、定理 2.2 において、べき n が QM アーベル曲面 (A, i) に依存しないようにとれることを示した。次が主定理である。
定理 2.3 K を代数体とし、d を割らない素数 p をとる。すると、R, p, Kに依存した整数 n = n(R, p, K) ≥ 1 が存在して、同型 (2.1) が成り立つ
ような K 上の任意の QM アーベル曲面 (A, i) に対して、ρ(A,i)/K,p (GK ) ⊇1 + pn M2 (Zp ) となる。

2

- 182 -

証明は、以下のようにしてなされる。X R を R による QM アーベル
曲面のモジュライとする。これは Q 上の proper smooth curve である（Shimura curve と呼ばれている）。X R の種数 g R が 2 以上のとき（d ∈{6, 10, 14, 15, 21, 22, 33, 34, 46} のとき）は、Faltings により証明された Mordell予想を用いて示される。g R ≤ 1 のときは、QM アーベル曲面にあるレベ
ル構造を入れてモジュライを考え、その種数が 2 以上を示すことにより、証明することができる。

参考文献
[A]

K. Arai, On uniform lower bound of the Galois images associatedto elliptic curves, preprint.

[O]

M. Ohta, On l-adic representations of Galois groups obtained
from certain two-dimensional abelian varieties, J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo Sect. IA Math. 21 (1974), 299–308.

[S]

J.-P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves,
Lecture at McGill University, New York-Amsterdam, W. A. Benjamin Inc. (1968).

3- 183 -

(In)divisibility of special values of zeta functions
associated to quadratic ﬁelds
木村 巌（富山大学理学部数学科）
Z を有理整数環、Q を有理数体とする．その代数閉包 Q を複素数体の中に固定し、以下代数体といえば Q の部分体とする．Ok を k の整数環と√する．但し、2 次体 k = Q( D) については、簡単のため OD = Ok とする．自然数 n について、ζn を Q 内の 1 の原始 n 乗根の一つとする．有限次代数体 k の Dedekind ゼータ関数を ζk (s) と書く．集合 S の濃度を #Sと表す．
n を自然数、k を有限次代数体として、wn (k) を、
wn (k) := max{m ∈ Z≥0 | exp(Gal(k(ζm )/k)) | n},
ここで exp(G) は有限群 G の exponent, と定義する．
√
実または虚の 2 次体 k = Q( D)（対応する Kronecker 指標 χD (·) =(D/·)）と自然数 n に対して、ξn (D) を次のように定義する：⎧⎨w (Q(√D))L(1 − n, χ ),D < 0,nDξn (D) :=√⎩wn (Q( D))ζ √ (1 − n),
D > 0,Q( D)

ここで、L(s, χ) は Dirichlet L 関数．ξn (D) = 0 であるのは、“D < 0 か
つ n が奇数” または “D > 0 かつ n が偶数” のときのみである．
Coates-Sinnot ［4］により、正の基本判別式 D > 0 に対して ξn (D) ∈ Z
である．また、負の基本判別式 D < 0, D = −1, −8 に対しても、奇数 nに対して、Kolster ［6］の高次類数公式が知られている：|ξn (D)| = 4h−n (D).

(1)

右辺は、全ての素数 p に対しての #H2 (OD [1/p], Zp (n))/#H1 (OD [1/p], Zp (n))
の積である．
基本判別式 D について、B2,D を Kronecker 記号 (D/·) に関する一般化
Bernoulli 数とすると、D > 5 ならば√ξ2 (Q( D)) = wQ(√D) ζQ(√D) (−1) = B2,D .
数値計算の結果を見ると、次の疑問が湧く：- 186 -

√
疑問. 勝手な奇素数 p について、p | ξ2 (Q( D)) となる基本判別式 D > 0
は無数に存在するか？
√同じ記号で、p  ξ2 (Q( D) となる D > 0 が無数に存在することは、
Byeon［3］により示されている．
√
ξ2 (Q( D)) の値と、OD の代数的 K 群 K2 (OD ) の位数との関係が、Mazur-Wiles［8］により示されている：ξ2 (F ) ∼p #K2 (OF ). 但し、勝
手な a, b ∈ Q と素数 p について、a ∼p b は a/b が p 進単数であることとする．
p = 3, 5 については、上の疑問に、肯定的に答えることができる：
定理.

7#{0 < D < X | 3 | #K2 (OD )}  X 8 −ε .

√証明には、Browkin［1］他による、「3 | #K2 (OD ) が、3 | h(Q( −3D))
または D ≡ 6 (mod 9) と同値」という事実と、Soundararajan［9］による、類数が 3 で割り切れる虚 2 次体の個数の評価を用いる．
√
定理. {Q( D) | 5 | #K2 (OD )} は無限集合．
証明には、Lu［7］による、一般化 Bernoulli 数と 2 次体の類数との間の合同と、Yamamoto［10］の結果を用いる．
非可除性については、Bruinier［2］の次の結果がある：奇素数 p が、
(p − 1)  2n かつ vp (ζ(1 − 2n)) = 0 なら（vp (·) は p 進加法付値）、基本判
別式 D > 0 で、vp (L(1 − n, χD )) = 0 となるものが無数に存在する．虚 2
次体の場合も、同様の主張が成立する．
ξn (D) は、OD のコホモロジー群 H2ét (OD [1/p], Zp (n)) の位数と同じ p
進付値を持つことが知られている（Lichtenbaum 予想のétale 版、MazurWiles [loc. cit.]）．また、代数的 K 群 K2n−2 (OD ) の p 部分の位数と等しいことも予想されている（Quillen-Lichtenbaum 予想）．
類数の（非）可除性に関する Cohen-Lenstra 予想［5］の類似を、この場合に考えることは興味ある問題である．

参考文献［1］ Jerzy Browkin, On the divisibility by 3 of # K2 OF for real quadratic ﬁelds
F , Demonstratio Math. 18 (1985), no. 1, 153–159. MR 87c:11115［2］ Jan Hendrik Bruinier, Nonvanishing modulo l of Fourier coeﬃcients ofhalf-integral weight modular forms, Duke Math. J. 98 (1999), no. 3, 595–
611. MR 2000d:11061

2- 187 -

［3］ Dongho Byeon, Indivisibility of special values of Dedekind zeta functionsof real quadratic ﬁelds, Acta Arith. 109 (2003), no. 3, 231–235. MR 1 980
259［4］ J. Coates and W. Sinnott, Integrality properties of the values of partial
zeta functions, Proc. London Math. Soc. (3) 34 (1977), no. 2, 365–384.
MR MR0439815 (55 #12697)［5］ H. Cohen and H. W. Lenstra, Jr., Heuristics on class groups of number
ﬁelds, Number theory, Noordwijkerhout 1983 (Noordwijkerhout, 1983),
Springer, Berlin, 1984, pp. 33–62. MR 85j:11144［6］ Manfred Kolster, Higher relative class number formulae, Math. Ann. 323(2002), no. 4, 667–692. MR 2003i:11168［7］ Hong Wen Lu, Congruences for the class number of quadratic ﬁelds, Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg 52 (1982), 254–258. MR 85b:11096［8］ B. Mazur and A. Wiles, Class ﬁelds of abelian extensions of Q, Invent.
Math. 76 (1984), no. 2, 179–330. MR 85m:11069［9］ K. Soundararajan, Divisibility of class numbers of imaginary quadraticﬁelds, J. London Math. Soc. (2) 61 (2000), no. 3, 681–690. MR
2001i:11128［10］ Yoshihiko Yamamoto, On unramiﬁed Galois extensions of quadratic number ﬁelds, Osaka J. Math. 7 (1970), 57–76. MR 42 #1800

3- 188 -

Siegel modular form of degree 2 and Abelian variety.
岡崎武生

大阪大学大学院理学研究科

1

吉田予想と吉田リフト．

[志村−谷山予想] 全ての Q 上定義された楕円曲線 E に対して，次の条件を満たす重さ 2 の楕円保型形式 f が存在する．
• L(s, E) = L(s, f ).
• E の conductor と f の level は一致する．



この予想の根拠となった Eichler-Shimura 理論がありました．
[Eichler-Shimura 理論] f = n∈Z>0 an exp(2πinz) を重さ 2 の Hecke eigen cuspform とする．このとき，• Qf := Qan | n ∈ N は有限次代数体である.
• [Qf : Q] 次元 Abel 多様体 Af で L(s, H 1 (Af , Ql )) =σ∈Gal(Qf /Q) L(s, fσ) となるものが存在する．

特に Qf = Q のときは Af は楕円曲線である．
さて，志村−谷山予想の 2 次元版として，京都大学の吉田敬之先生により

吉田予想 root number =1 をもつ Q 上定義された，全ての simple な Abel 曲面 A に対して，L(s, H 1 (A, Ql )) =L(s, F, spin), up to ﬁnitely many bad primes となる次数，重さ 2 の Siegel 保型形式 F が存在する．
と予想されました．この予想の根拠となったのが，吉田リフトと呼ばれる Siegel 保型形式の構成法でした．その吉田リフトには次の２タイプがあります．

(I) 楕円保型形式の pair から構成:(1)S2 (Γ0 (p))2  f1 , f2 −→ Yf21 ,f2 ∈ M22 (Γ0 (p)), L(s, Yf1 ,f2 , spin) = L(s, f1 )L(s, f2 ).
√(II) ２次体 K = Q( N ) の Hilbert 保型形式から構成:
S2 (ΓK )  f −→ Yf2 ∈ M22 (Γ0 (N ), χN ), L(s, Yf , spin) = L(s, f ).
∗
ΓK = ( √N∗√
N −1 ∗), ∗ ∈ oK .
∗吉田先生は，この type (I) の吉田リフトと，Eichler-Shimura 理論で得られる Abel 曲面とを用いて，
吉田予想の成立している Siegel 保型形式と Abel 曲面の pair の example を与えました．しかし，この吉田リフトには，

1- 189 -

Yoshida’s non-vanishing problem この吉田リフトはいつでも有効な構成法なのか？消えている
事はないのか？
という問題がありました．この問題に対して，Böcherer and Schulze-Pillot’s result (1992) type (I) の吉田リフトは消えない．
という事が証明されました．この定理により，我々は楕円保型形式 (trivial central character) から得られる Abel 曲面に対しては吉田予想が成立している事がわかります．
一方，東京大学の織田孝幸先生の予想 (1982) や Brylinski-Labesse(1984) の結果などより，次の事を予想するのは自然と思われます．

Conjecture 1 K を実２次体，ρ を Gal (K/Q) の生成元とする．重さ 2 の Hilbert eigen cuspformρ
f (z1 , z2 ) =n∈oK an exp(2πi(N (n)z1 + N (n) z2 )) に対して，K 上定義された以下の条件をみたす
Abel 多様体 Af が存在する．
• L(s, H 1 (Af , Ql )) = σ∈Gal(Qf /Q) L(s, f σ ).
• End Q (Af ) ⊃ Qf .



Remark 1 End Q (Af ) ⊃ K ではない事に注意．織田予想は一般次数の totally real ﬁled 上の Hilbert
保型形式に対してされている．
この Conjecture 1 を仮定すれば，特に Hilbert 保型形式 f から，次のタイプの Abel 曲面/Q が得られます．

i). 楕円曲線 Ef /K の Weil restriction Res K/Q Ef .
(1)ii). S2 (Γ0 (N ), χN ) から得られる Abel 曲面．(これは予想を仮定する必要はない．E-S.)
iii). [Qf : Q] = 2 で，‘本当は’Q 上定義されている Abel 曲面 Af .
(genus 2 の hyper-elliptic curve C : y 2 = x5 + a, (a ∈ Q× ) の Jacobian などは高い conductor を持つ
ので full-modular 保型形式に対応しないが，3 の例と考えられる．)
そこで次に吉田予想に更に根拠を与える為の自然な問題として，吉田リフト type (II) は消えないか？を考えました．

2

主結果．
上の問題について次の答えが与えられます．p|N に対して local Fircke involution を

ip : S2 (ΓK )  f (z1 , z2 ) −→ f (z1 z2, ) ∈ S2 (ΓK )p pで定義する．ip (f ) = ±f である．

Main Theorem 1 f が ip , p|N に関する eigen value が全て 1 ならば，
• 吉田リフト type (II) の像 Yf は消えない．
• Yf の Fourier 係数は Qf に含まれる．
2- 190 -

• f が Doi-Naganuma lift of nebentypus で得られるなら，Yf は cuspform では無い．
S2 (ΓK )∨ → S2 (Γ0 (N ), χN ),
(1)

(1)

DN

Y

(2)

Y

(2)

Φ

(1)

S2 (Γ0 (N ), χN ) → S2 (ΓK )N → N2 (Γ0 (N ), χN ) → S2 (Γ0 (N ), χN ).
S2 (ΓK ) における D-N lift の像を S2 (ΓK )N であらわし，直交補空間を S2 (ΓK )∨ としている．下段最右(2)(1)の map は Siegel 作用素．N2 は Siegel non-cuspform の空間. g ∈ S2 (Γ0 (N ), χN ) から出発して最後まで行き着く事が常に出来，Φ ◦ Y ◦ DN (g) = g + ḡ になっている．
更に，

Main Theorem 2 上定理では，f ∈ S2 (ΓK )N の吉田リフトの像 Yf は non-cuspform であったが，fが Grössencharacter でかけるなら，Yf と同じ spinor L-関数をもつ cuspform F C が存在する．

こういった現象の explicit な表示として，[4] に『y 2 = x5 −x に対応した Siegel cuspform が存在し Igusa√』という結果があります．なお，y 2 = x5 −x は E : y 2 = x(x−1)(x−1− 2)theta の４積の形をしている．
の Weil restriction なので C-simple ではない．
さて，吉田予想と (拡張された) 織田予想を仮定すると Siegel 保型形式の standard L-関数に関す
る Kudla-Rallis-Soudry 結果 (1993) より，Abel 曲面の Hasse-Weil 関数の２次元 part の本質的な部分
L (s, H 2 (A, Ql )) := ζ(s − 1)−2 L(s, H 2 (A, Ql )) に関して次の事が言えます．
A/Q が simple かつ root number = 1 ならば，ord s=2 L(s, H 2 (A, Ql )) ≥ −1 で

1. EndQ (A) = Q ⇒ ord s=2 L(s, H 2 (A, Ql )) > 0.
2. ord s=2 L(s, H 2 (A, Ql )) = 0 ⇒ L(s, H 1 (A, Ql )) と同じ L-関数を持つ楕円保型形式の pair かHilbert 保型形式 (虚２次体上も含む) が存在する.
(1)

3. ord s=2 L(s, H 2 (A, Ql )) = −1 ⇐⇒ A は S2 (Γ0 (N ), χN ) から得られる Abel 曲面.
従って，興味深い問題として，『EndQ (A) = Q ならば，Shimura curve の Jacobian か２次体上の Hilbert
保型形式の motive と isogeneous か？』という問題が考えられます．

参考文献[1] Böcherer, S and Schulze-Pillot, R: Siegel modular forms and theta series attached to quaternion
algebras, Nagoya Math. J. 121 (1991), 35-96. II, 147 (1997), 71-106.
[2] S. Kudla, S. Rallis and D. Soudry: On the degree 5 L-function for Sp(2), Invent. math. 107(1992), 483-541.
[3] Oda, T: Periods of Hilbert surfaces. Progress in math. 19, Birkhässer, (1982).
[4] Okazaki, T: Proof of R. Salvati Manni and J. Top’s conjectures on Siegel modular forms andAbelian surfaces, Amer. J. Math. 128, (2006) 139-165.
[5] Yoshida, H: Siegel’s modular forms and the arithmetics of quadratic forms, Invent. math. 60(1980), 193-248.

3- 191 -

Certain Dirichlet series of Rankin-Selberg typeassociated with the Ikeda lifting ∗†Hisa-aki Kawamura (Hokkaido University)
For any n ∈ Z>0 , let Hn be the Siegel upper-half space of degree n, that is,√
Hn := { Z = X + −1 Y ∈ Mn (C) | t Z = Z, Y > 0 (positive deﬁnite) }.
For any k ∈ Z>0 , let Sk (Spn (Z)) be the C-vector space consisting of all Siegel cusp forms ofweight k with respect to the Siegel modular group





 t
1
1
0
0
n
n
n
n
γ=
Spn (Z) = γ ∈ GL2n (Z)  γ
−1n 0n−1n 0nof degree n. If n > 1, then for any F ∈ Sk (Spn (Z)), we can consider the so-called FourierJacobi expansion
 
 
∞
√
τ z
F
=
φN (τ, z) exp(2π −1N τ  ),
t
z τ
N =0

where τ ∈ Hn−1 , z ∈ Cn−1 and τ  ∈ H1 . Here we note that for each N ∈ Z>0 , the N -thJ
coeﬃcient φN (τ, z) is an element of the C-vector space Jk,cusp
N (Spn−1 (Z) ) consisting of all
holomorphic Jacobi cusp forms of weight k and index N with respect to the Jacobi modulargroup Spn−1 (Z)J = Spn−1 (Z)(Z2n−2 ×Z) of degree n−1. Then we deﬁne a certain Dirichlet
series of Rankin-Selberg type associated with F by
D1 (s; F ) := ζ(2s − 2k + 2n)∞φN , φN N −s(s ∈ C)

N =1

where ζ(s) is the Riemann ζ-function and we denote by ∗, ∗ the Petersson inner productJdeﬁned on the space Jk,cusp
N (Spn−1 (Z) ). It can be viewed as a generalization of the RankinSelberg convolution series for elliptic cusp forms. Furthermore, T. Yamazaki ([Yam]) provedby using the Rankin-Selberg method with a certain non-holomorphic Eisenstein series ofKlingen-Siegel type that D1 (s; F ) has the following analytic properties:
Fact 1 (cf. Theorems 3.4, 3.5 in [Yam]). (i) The Dirichlet series D1 (s; F ) has a meromorphic
continuation to the entire complex plane C. More precisely, the function
D1 (s; F ) := π k−n (2π)−2s Γ(s)Γ(s − k + n) D1 (s; F )(1)

is holomorphic on C except for simple poles at s = k and s = k − n of same residue F, F ,
where we denote by ∗, ∗ the Petersson inner product deﬁned on the space Sk (Spn (Z)).
(ii) It satisﬁes a functional equation
D1 (s; F ) = D1 (2k − n − s; F ).
∗†This manuscript is based on the talk at the Summer School on Number Theory at Sapporo in 2006.
This is a joint work with Professor Hidenori Katsurada at Muroran Institute of Technology.

- 192 -

On the other hand, let n, k ∈ Z>0 be both even satisfying that k > n + 1. Then we canconsider the so-called Ikeda lifting of elliptic cusp forms:
Fact 2 (cf. Theorems 3.2, 3.3 in [Ike1]). If f ∈ S2k−n (SL2 (Z)) is a normalized Hecke eigenform, then there exists a Hecke eigenform In (f ) ∈ Sk (Spn (Z)) whose standard L-function isequal tonζ(s)L(s + k − i, f ),i=1

where L(s, f ) is the Hecke L-function associated with f . In particular, if n = 2, then I2 (f )coincides with the Saito-Kurokawa lifting of f .
(1)+
Remark . Moreover, let Sk−(n−1)/2(Γ0 (4)) be the Kohnen’s plus subspace of elliptic cusp
forms of half-integral weight k − (n − 1)/2 with respect to the congruence subgroup





a b
(1)
Γ0 (4) :=∈ SL2 (Z)  c ≡ 0 (mod 4)c dof SL2 (Z), then the above In (f ) can be explicitly constructed by a Hecke eigenform f ∈(1)+
Sk−(n−1)/2(Γ0 (4)) corresponding to f under the Shimura correspondence (cf. [Koh]).
Then we obtain the following explicit formula for the Dirichlet series D1 (s; In (f )):Theorem 1 (cf. [K-K1]). If f ∈ S2k−n (Γ1 ) is a normalized Hecke eigenform, thenD1 (s; In (f )) = φ1 , φ1  ζ(s − k + 1)ζ(s − k + n)L(s, f ),(2)

J
where φ1 ∈ Jk,cusp
1 (Spn−1 (Z) ) is the ﬁrst Fourier-Jacobi coeﬃcient of In (f ).

Remark. We denote the usual gamma factors of ζ(s) and L(s, f ) by ΓR (s) := π −s/2 Γ(s/2)
and ΓC (s) := 2(2π)−s Γ(s), respectively. Then we easily see that the gamma factor in (1) isequal to a constant multiple of


n/2−1

(s − k + 2i + 1) ΓR (s − k + 1)ΓR (s − k + n)ΓC (s),i=0and therefore the equation (2) agrees with the properties (i) and (ii) in Fact 1.
Furthermore, by comparing residues at s = k on the both sides of (2), we also obtain
Corollary 1. Under the same assumption as above, we haveIn (f ), In (f )
22k π k+n·
= L(k, f ) ζ(n).
(k − 1)! (n − 1)!
φ1 , φ1 

(3)Remark . The equations (2) and (3) are generalizations of the well-known results for the
Saito-Kurokawa lifting I2 (f ), which are obtained by W. Kohnen and N.-P. Skoruppa ([K-S])(See also [Oda]).

- 193 -

J
Here we shall recall that the space Jk,cusp
1 (Spn−1 (Z) ) is isomorphic to a certain subspace(n−1)

of the C-vector space Sk−1/2 (Γ0(4)) consisting of all Siegel cusp forms of half-integral
weight k − 1/2 with respect to the congruence subgroup





A B
(n−1)
(4) :=∈ Spn−1 (Z)  C ≡ 0n−1 (mod 4)Γ0C Dof Spn−1 (Z). Namely, as is known by W. Kohnen, M. Eichler and D. Zagier ([E-Z]) in casen = 1 and by T. Ibukiyama for general n, we have(n−1)+
Fact 3 (cf. Theorems 1, 2 in [Ibu]). For any 1 < n ∈ Z>0 and k ∈ Z>0 , let Sk−1/2
(Γ0

(4))

(n−1)
be the generalized Kohnen’s plus subspace of Sk−1/2 (Γ0(4)). If k is even, then there exists

a C-linear isomorphism

(n−1)

+
J
Ψn−1 : Jk,cusp
1 (Spn−1 (Z) ) −→ Sk−1/2 (Γ0(4)),

which is compatible with the actions of Hecke operators.
Then by using an analogous method to the proof of Theorem 5.4 in [E-Z], we also obtainthe compatibility of Ψn−1 with Petersson inner products as follows:
Theorem 2 (cf. [K-K2]). Let n > 1 and k be a positive integer. If k is even, then for anyJφ ∈ Jk,cusp
1 (Spn−1 (Z) ), we haveφ, φ = 2(2k−2)(n−1) Ψn−1 (φ), Ψn−1 (φ),(4)

where in the left-hand side of the above equation, we denote by ∗, ∗ the Petersson inner
(n−1)
(n−1)
+
(Γ0
(4)) which is normalized by [Spn−1 (Z) : Γ0(4)]−1 .
product deﬁned on the space Sk−1/2
Therefore by combining the equations (3) and (4), we have
Corollary 2. Under the same situation as above, we have
24k−2nk+2n−2 π k+n
In (f ), In (f )
= L(k, f ) ζ(n).
·(k − 1)! (n − 1)! Ψn−1 (φ1 ), Ψn−1 (φ1 )

(5)

Now we shall recall the so-called Ikeda’s conjecture on the Petersson inner product of
the Ikeda lifting. Before stating it, we prepare the following notations of L-functions: for anormalized Hecke eigenform f ∈ S2k−n (SL2 (Z)), we putξ(s):= ΓC (s)ζ(s),Λ(s, f ) := ΓC (s)L(s, f ),Λ(s,f, Ad) := = ΓC (s)ΓC (s + 2k − n − 1)L(s, f, Ad),
where ΓC (s) := 2(2π)−s Γ(s) and we denote by L(s, f, Ad) the adjoint L-function associatedwith f , which is deﬁned by{(1 − p−s )(1 − αp2 p−s )(1 − αp−2 p−s )}−1 ,L(s, f, Ad) :=p : prime

where αp ∈ C is the p-th Satake parameter of f . Then T. Ikeda ([Ike2]) gave the following
conjecture:- 194 -

Ikeda Conjecture (cf. Conjecture 5.1 in [Ike2]). Let n, k ∈ Z>0 be even satisfying thatk > n + 1. Under the same situation as in Fact 2, then we haveΛ(k, f )n/2
f, f In (f ), In (f )
 − 1, f, Ad) ξ(2i),Λ(2i= 2α(n, k)f, fi=1(6)

where α(n, k) = (n − 1)(k − n/2 + 1).
Therefore by the equation (5), we can reduce the Ikeda conjecture to the following
Conjecture. Under the same assumption as above, then we haveΨn−1 (φ1 ), Ψn−1 (φ1 )


ξ(2j)
Λ(2j
+ 1, f, Ad),
= 2β(n, k)f, f
n/2−1

(7)

j=1

where β(n, k) = −(n − 2)(3k − (n − 1)/2).
We note that the situation of the above conjecture is more suitable to show. In fact,
we can obtain by showing a certain explicit formula for the Rankin-Selberg convolution
series associated with Ψn−1 (φ1 ) that the above conjecture is true, therefore so is the Ikeda
conjecture (cf. [K-K2]).

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Motif 理論変形考望月哲史1
このノートでは motif 理論変形についての考え方とそれを補う文献案内 (と謂っても文献表は筆者の見識と知識量に依存していて完全ではない) を述べたい。紙面の都合上述べられない詳細は、[Epi0] 等を参照して戴きたい。
1 motif 理論とは、代数多様体上の (co)homology 論的手法の生成系を見つける作業の総称の事である。
1.1 従って、扱っている問題陣に応じて、複数の motif 理論が生じ得る。
1.1.1 例を挙げるならば、Weil cohomology 理論を理解する為の古典的 motif 理論 [Kle68]、BlochKato-Milnor 予想、Beilinson-Lichtenbaum 予想を理解する為の A1 -homotopy 理論 [Voe98], [SV00],[Wei06]、そして又、B. Kahn と R. Sujatha の双有理 motif 理論等が挙げられる。広義の意味では、Gersten 分解の存在を導き出す Bloch-Ogus(-Gabber) 理論等 [BO74], [CHK97] も motif 理論の変種であるとここでは考えたい。

1.2 数学全般分野の視点に於いては、慣習的に古典的 motif 理論を指して “the” motif 理論と考える傾向が或る。又、近年、専門家の間では、A1 -homotopy 理論を以って motif 理論と考える傾向が或る。

2 motif 理論変形とは、複数の motif 理論間の関係の研究の総称である。
2.1 この様な研究は、幾多の motif 理論に跨った数学的現象の理解に有意義である。
2.2 筆者が特に問題にするのは、A1 -homotopy 理論と Ga に付随する motif を理解出来る P1 homotopy 理論との関係である。
2.2.1 将来的には、例えば、代数的 K-理論の A1 -homotopy 不変性の障害を加法的 K-理論等で量り Hodge 分解を利用して統制する Vorst 予想 [CHW06] 等の (広義の意味での)motif 理論的解
釈を与える事を念頭において研究している。
2.2.1.1 Vorst 予想は典型的な、A1 -homotopy 理論と P1 -homotopy 理論に跨った問題である。
3 motif 理論の問題にはどの様に表記されるか？が本質的な問題として関わってきている。
3.1 生成系と関係式を然るべく定めて、(高階) 圏を構成して、考察している (co)homology 理論
はそこを経由する様にする。そして、その (co)homology 論的手法は凡てその選ばれた生成系と関係式の帰結として導き出す事によって motif 理論は記述される。
3.2 例えば、古典的 motif 理論は abel 圏を使って表現されるであろうと “予想” されていたが、筆者には “理想” 以上の数学的根拠を見出せない。
3.3 安定 homotopy 理論の文脈では、motivic homotopy 理論は、compact 生成三角化圏を用いて表示されるであろうと予想（期待）された。
3.3.1 これは、Neeman-Brown 表現定理 [Nee96] に起因している期待である。この定理は、compact 生成三角化圏上の cohomological 函手が表現可能である事の必要十分条件は、直和との可換性である事を示している。

3.3.1.1 従って、一つの（直和と可換な）cohomology 理論を定める事は、然るべき compact 生
成三角化圏の対象を定める事と同値である。
3.3.2 実際に、A1 -motivic homotopy 理論は、compact 生成三角化圏を用いて表現された。[Voe98],
1 This research is supported by the 21 century COE program at Graduate School of Mathematical Sciences,
the University of Tokyo.

1- 196 -

[Jar00]
3.3.2.1 正則な多様体に対する代数的 K-理論や motivic cohomology 理論が、安定 A1 -motivic
homotopy 圏の中で表現された。[Voe98]
3.3.2.2 安定 A1 -motivic homotopy 圏は、普遍的な Bloch-Ogus cohomology 理論が経由する圏であると考えられている。[Lev06]
3.3.3 一方で、三角化圏の理論は多くの情報を失っている事が知られている。
3.3.3.1 例えば、それを補う理論として、homotopy(余) 極限の振る舞いを考察出来る導来子の理論 [Gro90], [Hel88] や homotopy 理論の公理的特徴付け [DHKS04] が考えられた。

3.3.3.1.1 又、代数的 K-理論は導来圏からも [Sch02] 導来子からも [Toë03] 復元出来ないが、
Dwyer-Kan 単体的局所化 [DK80] から完全に復元されることが知られている。[TV04]
3.3.3.1.1.1 Dwyer-Kan 単体的局所化とは圏とその部分圏の組に対して、S-圏（単体的集合でenrich された圏）を対応させる操作であり、その連結成分が古典的な Gabriel-Zisman 型の局所化[GZ67] に対応している。
3.3.3.1.1.1.1 S-圏は高階の射が凡て可逆な ∞-圏の model だと考えられている。[TV05]
3.4 以上の経緯を踏まえて、motivic homotopy 理論は、連結成分を取る前の model 圏 [Qui67],[Hov98] 或いは、DG-圏 [Kel99]、安定 S-圏 [Hel97], [HS98], [Toë03], [TV04]、等を用いて表現される方が豊かな構造を持っているであろうと信じられている。

3.4.1 結局 motif 理論の記述問題で重大な基礎付けは、各々の圏の class の formalism で、生成系と関係式で記述する一般論 (例えば、高階 topos 理論 [TV05] や homotopical 圏論 [DHKS04]) である。

3.4.1.1 例えば、model 圏の文脈では、[MV99], [Hir03], [Spi01]、DG-圏の文脈では、[Han95],[Dri04], [BV06] 等の理論が重要な役割を果たしている。安定 S-圏の文脈では、[TV05] がその方向を示唆しているが、motif 理論への応用はまだ書かれていない。

3.5 筆者の想定する motif 理論変形は安定 S-圏を用いて記述される。
3.5.1 その所以は、代数的 cycle 依りも被約でない代数的 cycle の如き或る種の連接層の同型類群(或いは、或る種の擬連接複体の擬同型類群) である二変数代数的 K 理論を Hom 集合に作用した圏を基盤に考えるからである。[Wal96], [Sus03]
3.5.1.1 代数的 K-理論は単体的集合（或いは圏）の homotopy 群として捉えられるので、非可換な設定での DG-圏の理論 (=安定 S-圏の理論）が必要になる。

3.5.1.1.1 Homotopy 群との次数を合わせる為に、代数的 K-理論の model としては un-delooped
版 [GG87], [GSVW92] が必要になる。

4 安定 motivic homotopy 論の文脈で、motif とは、“brave new” MZ 加群である。[KM95], [Spi01],[RØ06]
4.1 “brave new” 代数的構造とは、高階 homotopy 構造を持つ圏に於ける代数的構造対象 (群対象、環対象、· · · ) を意味する。
4.1.1 例えば、motif とは、位相的安定 homotopy 圏に於いて、Eilenberg-Maclane 環 spectrum上の加群の圏が加法群の導来圏の model である事 [EKMM97] の代数幾何的類似である。
4.1.1.1 Röndigs-Østvær の定理は標数 0 の体上の motivic cohomology spectrumMZ 上の加群のhomotopy 圏は A1 -homotopy motivic 圏と同値である事を示す。
4.2 実質的に前層 F が MZ-作用を持つという事は、Voevodsky の意味で、F が transfer 付きである事を暗に意味している。

4.2.1 古くから知られているように、可換群多様体は、函手として transfer 付きに拡張される事
2- 197 -

が知られている。[Org04]
4.2.1.1 半 Abel 多様体の様な 1-motif [Del74] が A1 -homotopy 理論と相性がいいのは、更にこれ
らの群多様体が、A1 -homotopy 不変だからである。[Org04]

4.2.2 Ga を同様に理解するには、A1 -homotopy 理論とは異なる motif 理論が必要であり、丁度、Laumon の一般化された 1-motif を考える事 [Lau96] に対応している。
5 motif 理論の本質的な問題は扱っている問題陣の観察から然るべく生成系を選ぶ事である。
5.1 筆者の立場から、生成系を選ぶ動機となる数学的現象は、Weil 相互律と Gersten 予想である。
5.1.1 筆者が Weil 相互律に着目する所以は、加藤-染川の予言『半 abel 多様体の 1-motif の tensor
積の体での切断には、Weil 相互律が関係式として現れる。』[Som90] に起因している。
5.1.1.1 実際にこの予想は、一次元半 abel 多様体に対して正しい。[SV00], [Moc06]
5.1.2 Weil 相互律は、A1 -homotopy 理論に於いては Gysin 写像の functorialtiy の帰結として導かれる。[Moc06]
5.1.2.1 A1 -homotopy 理論では Gysin 写像は、法錐変形の議論を用いて構成され、従って、A1 homotopy 不変性の公理が構成にふんだんに用いられている。[Dég04], [Dég06]
5.1.3 一方で、一般化された de Rham-Witt 複体 [HS04] の Weil 相互律も知られている。[Rül07]
5.1.3.1 de Rham-Witt 複体は A1 -homotopy 不変でないので、この現象を A1 -motivic homotopy
理論的な観点から解釈するのは一見困難に思われる。
5.1.3.1.1 筆者は、丁度、代数的 K 理論と homotopy 代数的 K 理論の関係の様に motif と A1 homotopy 不変 motif の二つが存在していると解釈してこの問題を理解しようとする。
5.1.3.1.1.1 例えば、motivic functor と A1 -homotpy 不変 motivic functor の間の自然な射の homotopy ﬁber は純性定理の障害を表し、各種実現で、偏純性定理が成立している事の根拠を与えていると考える。
5.2 安定 P1 -motivic homotopy 圏は普遍的な Bloch-Ogus-Gabber cohomology 理論が経由する圏になるように定義したい。
5.2.1 A1 -homotopy 理論を支えている二大定理は次の主張であり、それは Gersten 分解の存在の帰結である。[BV06]• A1 -homotopy 不変 transfer 付き Nisnevich 層の cohomology は又、A1 -homotopy 不変 transfer付き Nisnevich 層である。

• A1 -homotopy 不変 transfer 付き Nisnevich 層の cohomology は Zariski cohomology で計算出来る。
5.2.1.1 Bloch-Ogus-Gabber 公理を分析して、完全無限体なる基礎体を持つ motif 理論の motivic
functor が Gersten 予想を導くのに備えているべき必要な公理は、étale 切除性と P1 -homotopy 不変性であるという事が判る。[Epi0]

5.2.1.1.1 étale 切除性は Nisnevich 位相と相性がいい。[MV99]
5.2.1.1.2 射影的 bundle 公式を持つ (co)homology 理論は、P1 -homotopy 不変である。
5.2.1.1.2.1 例えば、代数的 K-理論 [Qui73], [TT90], [Tho93]、加法的代数的 K-理論 (=cyclic
homology 理論) [Kel99]、 motivic cohomology 理論 [Voe96], [SV00], [Voe00]、加法的高次 Chow
群 [KL07] はその様な理論である。

5.2.1.2 基礎体の仮定は、Noether の正規化定理の変種 “幾何的表示定理” を証明するのに必要である。[GS88], [Gab94], [CHK97]
5.2.1.2.1 基礎体がない場合の motif 理論を構成するには、基礎体無しの Noether の正規化定理に相当する議論をする必要がある。[GerCon], [Epi0]

3- 198 -

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