ノート「生命保険の証券化とその証券化商品の価格付け」
小島茂＾
2004年9月30日投稿
2005年2月18日受理

概要
本研究は，生命保険会社の死亡リスクを資本市場に移転させる証券化とその証券化商品である死亡リスク債券の価格付けについて取り扱ったものである．2003年12月にSwissReが実施した死亡リスクの証券化を参考に，証券化モデルおよび死亡リスクの原因となる死亡数の確率過程モデルを定式化し，その確率過程とオプション理論を用いて，死亡リスク債券に内包する定期保険を原資産とする派生資産のストップロス再保険について，無裁定理論価格モデルを提案した．

キーワード1
資本市場

死亡リスク移転
確率過程
オプション理論
無裁定理論価格‡東京海上日動フィナンシャル生命保険株式会社〒150−OO12東京都渋谷区広尾5−6−6広尾プラザ
emai1：shigeru．kojima＠tmn・fimncia工．co．jp

リスクと保険41

本市場のリスク吸収力が，再保険市場に比べ格段の

1はじめに違いがあるためである．リスク管理の面で，資本市最近になって，リスク管理の重要性が増している．

場は，さらに重要な役割を担うようになった、カタ

その背景は，米国においては，ユンロン，ワールド・ストロフィー債券は，保険会社が持つ偶発事象を対コムの事件発生を受けて，2002年度の企業改革法が象にしたリスクの証券化商品である．これに対し，施行されたことにある．そのもとで，企業は，健全生命保険会社の通常事象を対象にしたリスクの証なコーポレート・ガバナンスの体制が要求され，具券化商品には，死亡リスク債券と生存リスク債券が体的には，企業は，統合的リスクマネジメントを実ある．ともに，将来の保険金等支払額についての不施し，リスクマネジメント体制に関する情報開示が確実性をリスクとして，証券化したものである．具必要となった．それを受けて日本においても，2003

体的には，将来の一定以上の保険金等支払が生じた

年3月31日の企業内容等の開示に関する内閣府令ときにクーポンまたは，償還額が減少し，一方，一等の一部を改正する内閣府令第28号により，2003

定未満の支払では，無リスク債券より高い利回りが年4月以降，上場企業は，有価証券報告書にコーポ得られる債券である．この利同りの無リスク金利をレート・ガバナンスやリスク等に関する情報開示が上回る部分は，この債券に内在するストップロス再義務付けられた．従って，企業は，リスク許容量を保険の価格により決定される．従って，死亡リスク

設定し，認識されたリスクを内部で管理するか，外債券および生存リスク債券の価格付けは，ストップ部に移転するかを分類し管理しなければならない．

ロス再保険の価格付けによって行われる．

証券化は，リスクを外部に移転する1つの手段であカタストロフィー債券に遅れることlO年，2003
年12月にSwissる．

この証券化の技術は，現代ファイナンスの最も重Reが世界初の生命保険の証券化である死亡リスク債券を発行した．Lin

and

Cox

要な変革のユつである．流動化する必要がある資産［2004］やC㎜mins［2004］の研究によれば，死亡リスについて，直接売却できる市場がないか，未熟な場

ク債券の内容は，以下のとおりである．

合に証券化により，流動化が可能になる．1970年代にモーゲージローンの事例より始まり，それ以降，（1）発行額は，4億ドル

証券化の対象となる資産も多様化し，市場も急激に（2）期間は，3年，発行日は，2003年12月で，償拡大を遂げて現在に至っている．証券化によって，還日は，2007年1月である．

新たな資金の流れを作ることで，経済の活性化を促（3）クーポンレートは，Libor＋1．35％である．

す更なる効果が期待される．特にリスクの証券化は，（4）米国，フランス，スイス，英国，イタリアの国

資産自体がもつリスクを分析し，それに見合うプレ

民死亡率に基づく2002年度の死亡率指標を100とミアムをのせることによって，資本市場へのリスク

し，償還日までに最も高い指標が130以上であれば，の転嫁を図ろうとするものである．リスクの保有者

債券の元本が減少し，150以上であれば，元本がゼは，リスクを資本市場に移転できる．一方，投資家

ロとなるインデックスタイプの死亡リスク債券では，高い収益率を得，かつ一般の金融資産との相関ある1係数が低い商品をポートフォリオに組み入れるこ

Swi

Reは，自身のリスク管理のために，内在すとができる．このようなことから，リスクの証券化

る死亡リスクを資本市場に移転する証券化を実施

市場が拡大してきている．

したものと解釈できる．

1994年に保険会社にとって画期的な変化があった．

このSwiss

Ha㎜over42

ss

Re（独）が初のカタストロフィー債券を発Reの証券化を参考に，生存リスクの証券化を研究したのが，LinandCox［2004］である．

行したのである．それ以来，地震，ハリケーン等大Lin災害を対象に市場が拡大している．その背景は，資生存リスク債券とその理論価格モデルを提案して生命保険の証券化とその証券化商品の価格付け

andCox［2004］は，生命年金保険を証券化した

いる．具体的には，65歳以降の生存数が一定数を超

デルよりシンプルなモデルを提案した．つぎに，証えるとクーポンが減少する債券であり，死亡率の分券化により資本市場で評価することを前提に，リス

布関数とリスクの市場価格（Market

ク中立化法によりストップロス再保険の無裁定理

Price

of

Risk）

を用いて，リスク中立ワン変換Iによるストップロ

論価格を求めることとした．

ス再保険の無裁定理論価格モデルを提案した．資本

その結果，リスク中立エッシャー変換により，死市場に放出することを前提に考えるため，無裁定価亡リスク債券の価格付けとなるストップロス再保格理論を導入している．

険の無裁定理論価格モデルを提案し，償還額を求めこれに対し，本研究は，定期保険を保有している
生命保険金杜がその契約量の規模から大数の法則が働かないために生じる死亡リスクを，リスク許容量を考慮して証券化した死亡リスク債券とその理論価格モデルを考察した．具体的には，定期保険の契約
集団を対象とし，直近1年間の死亡保険金支払総額の最高額が一定以上であれば，償還額が減少し，一方，…定未満であれば，無リスク債券より高い利回りが得られるゼロクーポン債券であり，死亡数の確率過程モデルに基づき，リスク中立エッシャー変換
によりストップロス再保険の無裁定理論価格モデルを提案した．Swiss Reの死亡リスク債券と異なる点
は，インデックスタイプの証券化ではなく，べ一シ
スリスクを排除するため，生命保険金杜が保有する死亡リスクを直接対象とした特定タイプの証券化を想定したことである．

まず，不確実な将来の死亡保険金支払額を導き出す死亡数の確率過程を定式化する必要がある．この先行研究として，MileveskyandPromislow［200／］．

た．

本研究は，以下のような構成になっている．2章では，本研究の生命保険の証券化モデルを示す．また，3章では，死亡数の確率過程を示し，4章では，死亡リスク債券の価格付けを示した．最後に5章で，本研究の結論と今後の課題について述べることとした．

2生命保険の証券化モデル
この章では，生命保険の証券化モデルの説明を行う．
具体的には，LinandCox［2004］の生存リスクを対象にした生命年金の証券化モデルを紹介し，本研究の死亡リスクを対象とした定期保険の証券化モデルを
提案する．

Lin

and

Cox［2004］の証券化モデルは，通常事象での平均回帰ブラウニアン・コンパーツモデル，

ある生存リスクを対象にした生命年金の証券化モデ

Gau川。vGavriova［2001コの信頼性理論を応用ルである、具体的には，65歳以降の生存数に基づく

した生存率確率過程モデル，および死亡率が毎年改

毎年の支払生命年金額が一定以上になるリスクを資善されていることをモデルに反映させるため，観察本市場に移転する証券化モデルを提案した．証券化

年度の自己回帰過程を求め，年齢によるパラメータの契約形態は，生命保険金杜とSPC（特別目的会社）との一次結合として表しだしeeとの問でストップロス再保険契約を締結し，同時に

and

and

Cater［1992］の死亡率確率過程モデルがあげられる．

これに対し，本研究では，簡易生命表から，生命保険金杜が保有する定期保険契約のウエイトの高SPCは，投資家に対し，生存リスク債券を発行する．

具体的には・まず・再保険金qを，条件により以下のとおりとしている．

い成人層について，同時出生人口の年齢別死亡率の対数が直線に近いことが判明した．そこで，簡易生

条件1

工十

条件2

町くj上、三≦町十C
このときこととした．この結果，時系列分析によるモデルは，

趨勢のあるランダムウォークとなり，先行研究のモ

十C

このとき

命表を用いて，実際にコーホートによる時系列分析を行い，死亡数の連続時間確率過程モデルを求める

〉

条件3：

。十

0f，1OOOC，

0ド1000（≦肌

このとき1ワン変換については，以伽8エ1995．2000］を参照されたい・

五十r町）・

q−O

ここに，リスクと保険43

ロス再保険契約（再保険金∫，保険料一時払π）を（1）、十を兀十f歳の生存数（生命年金受取人数），

締結し，同時にSPCは，投資家に対し，死亡リスク（2）町を経過f時点のエクセスポイント，

債券を発行する．また，投資家から集まった資金（投（3）Cは，再保険金qの上限を示すパラメータr

資額，所与とする）ノと再保険料πは，安全資産（無（4）fを経過時点とする．O≦

リスク資産）へ投資することとした．

くr

次に，死亡リスク債券の仕組みは，
である・（1）ゼロクーポン債，

次に，生存リスク債券の内容は，（2）債券の期間を生命保険契約の残存保険期問に合（1）クーポン債，

わせて〃年，（2）債券の期間を終身年金の一部丁年に限定，（3）生存リスクは，債券のクーポン（σ（3）死亡リスクは，債券の償還総額3に反映する

）にのみ反

映する

ことと仮定する．

償還額3は，投資額ノと再保険料πを償還期まで，こととしている．また，債券の経過t時点のクーポン

安全資産に投資した元利合計から，再保険金∫を減σじたものとする．式で表すと，

は，

条件1

ら十

〉C＋町

このとき
条件2

吻く

工十

（2−1）

五十f≦C＋町

このとき

条件31

万一（ノ十π）θ用一∫

σ三＝O，σ＝＝1OOO（C＋町＿

エ、三），

≦叱

このとき

である．ここに，rを無リスク年率金利とする．
再保険金∫は，以下のように仮定した．

σ，1OOOC条件1
毎年の生存数∫工。、が吻を超えるとその期のクー

G≦α
このとき

としている．

条件2

∫＝0，

αくG≦β

ポンσ、が減少し，さらに生存数が町十C以上であれ
このとき∫

ば，その年のクーポンがOとなる生存リスク債券である．これによって生命保険会社が保有する生命年

4 o一α
），
β一α

条件3：0〉β

金保険に関する生存率改善のリスクを資本市場に移

このとき

∫＝ノ

転することができるのである．

これに対し，本研究は，通常事象である死亡リス

44

ここに，

クの証券化モデルを提案する．具体的には，生命保（1）ωを債券発行時の定期保険契約の被保険者年齢

険会社が保有する1年以上経過した短期定期保険契とする．

約集団を直接証券化の対象とし，このなかの同一死（2）Xを一人当たりの死亡保険金（定数）とし，そ

亡リスク集団（同一年齢，性別，残存保険期間，保の支払は，期末払とする．

険金）ごとに，期間中の最高年間死亡保険金支払総（3）dω（ご）を直近1年間すなわち経過期間［t−1，t］の額が一定以上となるリスクを資本市場に移転する証

死亡数とする．

券化モデルである．また，証券化の契約形態は，生（4）〃ω（f）をdω（f）に対する死亡保険金支払総額と命保険会社とSPC（特別目的会社）との間でストップ

する．

生命保険の証券化とその証券化商品の価格付け

（5）〃ω（O）を債券発行時直前1年間の㎡ω（O）に対する死亡保険金支払総額（実績：所与）とする．
（6）αをエクセス・ポイントとする．
（7）β＿αをカバー類とする。
（8）oは，期中〃、（）の最大値とする一3537394．434547495153555759
−4

一一

一L

一

一⊥一

1：」二／二一
一7

一（X）

死亡保険金支払総額Mω（f）の最高額Gが一定以［図1］1943年生まれ，1oggエ上であれば，償還額が減少し，一方，一定未満であれば，無リスク債券より高い利回りが得られるゼロ
クーポン債券である．これによって生命保険金杜が保有する定期保険に関する死亡率の悪化によるリスクを資本市場に移転することができるのである．

3．1確率過程モデルの先行研究
3．1．1

この死亡リスク債券の不確実な部分が，期中死亡保険金支払総額のもととなる死亡数である．従って，死亡リスク債券の価格付けには，死亡数の確率過程モデルの定式化が問題となる．以下，すべての不確
実性は，フィルトレーション｛巧：O≦f≦〃｝を備わっである．償還不時点のゼロクーポン債について，f時点の無裁定理論価格巧（τ）は伸一W∫州までの情報は，巧により与え，また，耳を条件とすする．これらの条件に基づき，死亡数の確率過程モデルの定式化を行い，さらに，死亡リスク債券の価格を決めるストップロス再保険料が求めることにした．

Pr㎝isl㎝［2001］の平均金利の期間構造モデルを死亡率に応用したモデル

た確率空間（Ω，F，P）により表現する一さらに，経過fる確率測度Pの条件付期待値を万エ・］と表すことに

i1冊skHnd

回帰ブラウニアン・コンパーツモデルと表せる。ここに，㌦は，期間の無リスク金利，亙ρ

は，リスク申立確率による期待値関数である．このモデルを生存確率に応用して，時点で生存している

条件でのτ時点の生存確率を，

篶（・）一州∫州
3死亡教の確率過程

（3一王）

（3−2）

と表した．ここに，

この章では，死亡数の連続時間確率過程モデルを提案する．まず，簡易生命表により，1943年生まれ，35歳から60歳までの対数死亡率1ng上（ここに，xは，々＝乃。exP（8十0Zf），g，σ，乃。＞OdZl
十4珂，Zo

日一。Z

E

（3−3）

O，c≧O

年齢）をグラフで示すと，［図1］のとおり線形に近い．

もし，線形とみなせれば，対数死亡数の確率過程モデルがランダムウォークになる可能性がある．この点を踏まえて，死亡率の確率過程モデルを調査した結果，以下の参考となる先行研究があげられる．

砂は，ブラウン運動過程である．このモデルが，
平均回帰ブラウニアン・コンパーツモデルである．
仮に，c＝Oであれば，指数分布型になる．

3．1．2

0auri

I0

aOd

C洲ri㎝a［2001］の生存率確率過程モデル．
機械の構造信頼性理論を用いていたモデルである．

具体的には，ワイブルの法則を用いて，年齢Xの死
力尻（・）をリスクと保険45

片（兀）考γ（3−4）

た．次に，同時出生死亡数（コーホート）に並び替
えて，年齢による時系列分析を行った一35歳（ω）を時系列分析のスタート時点の年齢とし，その期首の同時出生生存数に対して，その後の経過f年度（離散と表した一ここに，ξ，γ〉oとする．

時点）の死亡数Dω（j）を求め，この死亡数Dω（）に従って，ゐ（兀）に平均0，分散σ2の残差項ε工を加より時系列分析を行った・その結果，死亡数Dω（）のえれば，x歳の時点で生存している条件でのx＋r歳対数差が，趨勢のあるランダムウォークに従うことがわかり簡単なモデルとなった．このプロセスにつ時点の生存確率は，

いて，最新判明分1943年生まれの対数死亡数

ル（1）巾・（が州（ト1）として表すことができる．仮に，γ由Oであれば，指数分布型になる．

1nDω（f）で例示すると，以下のとおりである一

3．2
分析

同時出生対数死亡数の到達年齢による時系列

3．2．1

モデルの同定iOgDω（f）を説明するために，自分自身の過去を説

明変数とする回帰モデル
3．1．3

Le6andCater［1992］の死亡率確率過lnDω（f）一μω十ψ11皿Dω（f−1）

程モデル

十φ21nDω（

平均死亡率の対数を年齢と観察年度の1次結合と・して求めた指数分布型のモデルである．
1・（m工、）刊、・々、此、・ε工，、

足

一々．1・㎡・・（f）＿2）十ψ31nDω（f＿3）

・・ψ∫1皿Dω（f一∫）・・ω（・）（3■8）

（3−6）

（3−7）

を〃（∫）と記す一ここで，φとμエはパラメータである一この次数∫を珊κによって決める一具体的
ここに川、ノは，年齢兀，観察年度fの平均死亡率，には，推定式の誤差を表した∫〃Cが最小となる次数々は，死亡率の変化指数，仰工，b∫は，年齢によるパを採択するのである一この結果，表1のとおり〃（1）ラメータ（定数），ε工，、は，平均O，分散σ2の残差が最小のため，次数1を採択した．

項，dは，定数項，e（f）は，誤差項である．々は，AR川Aにより求まった自己回帰過程であり，観察年度
による死亡率の改善が大きいときに有効なモデルで

表1．同定

ある．

μ工

鈎

〃（1）

0．07980．9987〃（2）0．1024

0．97420．0210〃（3）

0．06231．03090．2192

MileveskyandPromislow［2001］とGaurilovand
Gavriova［2001］のモデルは，全年齢を対象としているため，複雑な式となっている．また，Lee

and

佑

∫〃C
一7．4892

Cater［1992］のモデルは，観察年度による死亡率の改善が大きいことから，観察年度により死亡率の時系列分
析を行っているが，昨今，死亡率の改善がおさまっており，観察年度ではなく，年齢による時系列分析の方が有効と判断できる．

本研究では，証券化の対象を生命保険会社が保有す
亭短期の定期保険契約とし，その商品の保有層を考慮して，ウエイトの高い成人層を対象とした．従って，この限定した年齢による時系列分析に基づき，死亡数の確率過程モデルを求めた1また，離散時点で観測される標本から次のとおり，連続時間確率過程
モデルを求めた．具体的には，時系列分析の標本を，
1962−2003年度簡易生命表男子35−60歳の死亡率とし

46

φ2

一生命保険の証券化とその証券化商品の価格付け

一7．3694
一〇．2520

川7．3046

従って，モデルは，

1nDω（f卜μω十φllnD、（f−1）十・ω（

）

（3−9）

となった．次に，もし，佑，1であれば

くとも1つは従属

lnDω（C），μω十1nDω（f−1）十〃ω（f）（3−10）

として，検定を行った結果，表3のとおり，帰無仮説となり，趨勢をもつランダムウォークモデルの可能は，有意水準5路で棄却されなかった．

性がある一従って，｛一の検定，すなわち，単位根
表3、残差自己相関の検定検定を行う、

322

単位根検定

検定方法は，F値タイプの検定である．具体的には，

ψ〃8＿3oX

臨界値

統計量

5拷水準

4．10

11．07

（1）帰無仮説
1nD、（f）白μω十1nj）ω（f−1）十〃ω（f）

診断の結果，（3−1O）のモデルを採択した．以上により，死亡数Dω（1）の対数は，趨勢のあるランダムウ（2）対立仮説
1皿Dω（f）＝μω十β1f＋φ工1nDω（1−1）十阯ω（C）

ォークと判断した．以下，改めてこのモデル式を示すととして，検定を行った結果，表2のとおり両側有意水準5％で帰無仮説は，棄却されなかった、hDω（f）

μω十1nDω（f−1）十〃ω（C）（3−10）

表2．単位根検定

F値タイプのテストとなる．ここに，兀は，スタート時点の年齢，Dω（O）

は，所与とし，

F値統

臨界値

臨界値

計量

5％水準

95％水準

1，4／

1，08

7．24

M（O，σ三ω（）は，互いに独立な正規分布）に従うとした一（3−1O）は，離散時点の標本から求めたモデルであるが，Dω（f）を各会計年度における死亡数ではなく連

続時間の中のある経過t時点での直近過去1年間，すなわち経過期間［t−1，t］の死亡数とすることにより，予測死亡数Dω（f）の連続時間確率過程モデルを，

幾何ブラウン運動過程
従って，このモデルは，（3−lO）式になった．次に，Dω（f）；』）ω（O）exp（γω（f））（3−11）（3■0）による推定結果との残差を算出し，このモデルが正しいかどうかの診断を行う．

3．2．3モデルの診断
モデルの診断は，まず，残差系列を求め，その残差系列を用いて，系列的に独立か否かの統計的検定を行うものである．もし，このモデルが正しければ，残差系列は独立のはずである．検定方法は，
ψ〃8−3o比検定である．具体的には，（1）帰無仮説

ラグ5までの残差系列が独立（2）対立仮説

ラグ5までの残差系列のなかで少なと仮定した．

ここで，γω（f）は，互いに独立な正規分布w（μω立，σ三丘）に従う一なお，例示の係数μω，σωは，それぞれ（O．0721，O．0226）であった．なお，ツω（f）が正規分布に従うため，理論的には，死亡数の合計が。
時点の生存数を超える問題が発生する．ただ，今回想定した証券化は，短期の定期保険であり，また，・高年齢を対象としていないため，その問題が発生する確率は，極めて小さく無視できる範囲内と考える、
次に（3−ll）式の係数μω，σωについて，出生年度間リスクと保険47

の関係を分析する．これは，なるべく直近までの死亡率の改善状況をこの係数に反映させるためである、

具体的には出生年度別にμωを4

死亡リスク債券の価格付け

lnD、（f）一1nωD（f−1）の平均値として求め，時系列分析を試みた．しかしながら，［図2コ，［図3］のとおり，

40歳と50歳を例に見ると，概ね10年前を転換点として，それ以前は，減少トレンドがあったが，直近10年では，安定期に入っている．いわゆる「折れた状態」になっている可能性のためである．従って，通期では，正しい結果が得られないと判断した．また，最近10年の数値だけでは標本数が少ないため，単位根検定もできない、従って，最近10年間の状況を参考にμωは，出生年度により改善は見られないとし，ωのみの係数（定数）とした．また，σ2の出生
ω
年度との関係は，ホワイトの検定により，均一分散とした・以上により，予測死亡数Dω（1）の確率過程

この章では，死亡リスク債券の価格付けのモデルを導出する、具体的には，前章で求めた死亡数の連
続時間確率過程モデルを用いて，死亡リスク債券の価格を決めるストップロス再保険の無裁定理論価格モデルを提案し，償還額を求めるI死亡リスク債券が市場で評価されることを前提としているため，原資産である定期保険も市場に存在すると考える．
この原資産である定期保険は，ト1，f1にて観測される死亡に対して死亡保険金を支払うものであり，通常生命保険会社で扱っている定期保険ではない．
いわば，r単位保険となる定期保険」である．この保肱（五十口旺Al■ハ1血止十・吉仁一（眠り洲休眠科r

一戸〔LlC〃1寸りDりしレ，いワ片｛丁÷r

ノ〈ノ丁止＿」ツモデルが（3−11）式により定式化できた．なお，時系

シャー変換（確率測度Pから確率測度Qへ）のパラ

列分析は，山本［1999］，小暮［2000］，蓑谷［2001コを

メータθを（3−11）を用いて，次式が成立するように参照されたい．

求める．

1

l

P㌧・一村的〃ω（・）1

O．O035閏ε■ ｶρ岬ω（o）・・p（γ（f）1

O．003

0．0025

すなわち，定期保険を，不確実性を支配する幾何
ブラウン運動過程の関数として与えられるようなペ0．O02

イオフ〃ω（f）を生み出す派生商品ととらえて，リス。。。151．。

0．O01

（4−1）

ク中立エッシャー変換っまりリスク中立測度を求める．さらに，定期保険を原資産とする派生商品としてストップロス再保険をとらえると，ストップロス
再保険の理論価格πを計算することにつながるはずである．つまり時点〃において支払われるペイオフ

L上⊥⊥上L

一』

＝o

oo
〜

一

一

一

o〇
oo

一

一
』■

｛o

o

o

o

一

o

一
oo

＾

o

一

｛o

〇〇
酌
N
0，

一

二〇

o

oo

一

o

』』

一

o

｛o

oo

ト。

o

o

o
ト。

［図2］簡易生命表による40歳男子の死亡率推移表に対して（1962−2003）
π一・一月

0．009

（4−2）

となる．ここでは，死亡リスク債券が無裁定かつ完
備市場で自由に売買できると仮定し，また，簡単化のため，コストは無視し，定期保険契約集団につい

0．008
0．007

ては，中途の解約契約はないものとした、
まず，（3−11）のモデル式を用いる．このモデル式の係数μ1ω，σ1ωは・実際の死亡リスクの移転対象とな

0．006
0．005
0．004

一一 P

1㎜圭1ξ〆奏1ぎ蔓［図3コ簡易生命表による50歳男子の死亡率推移表（1962−2003）

48

I∫1

生命保険の証券化とその証券化商品の価格付ける契約集団より求めることとする．これにより，支払死亡保険金総額の確率過程（確率測度P）は，〃ω（f）一〃ω（O）・・p（γ（1））

（4−3）

■
，2
となる．確率測度p上ではγ（f）は，M（μ、f，σωf）に従う一また，X，dω（O）は，所与とした。確率測度p。。。（μ二f。θσ3f。ユσ3f）一。。。（・）（・一1）からgへの測度変換を，リスク中立エッシャー変換2により行うと，エッシャー測度変換式
から

。帥）

㎡ρ一

引ε舳1

〃

（4−4）

1

12

1

12

（4−9）

μωf＋θσωf量れ一一σωf2により，エッシャー変換分布のモーメント母関数は，となる．従って，無裁定価格理論を導入するために，リスク申立化をすると，（4−6）の仮定のもとで，確率
1・ワ）は，M（（r＿＿σ1ω＾）f，σIω一f）に従う

測度ρ上ではγ（珂・（エ十θW）1

2

M（・，flθ）一珂・θ州1ことになる．リスク中立測度変換については，一。。。｛（μ二。σ3θ）た。⊥σ3。・・｝（1−1）

2Neftci［1996］，Gerber丑nd

Shi耳［1994］を参照されたい．

確率測度ρのもとで，定期保険の派生資産であるスとなる．ここに，θは，危険回避度にマイナスをつけたものである．従って，エッシャー変換による確

トップロス再保険の無裁定理論価格πおよび，償還額Bを求める．ストップロス再保険の無裁定理論価率測度上ではγ（f）は，M（（μ1ω十σ，三θ）f，σ，三f）に従う

格πは，ヨーロピアン・フィックスド・ストライク・こととなる．原資産として定期保険が資本市場で存在し，戸が所与とすれば，θが求まる．
以降本論文では，θの特殊ケースとして，原資産の現在価値戸について，次の関係式が成立するような場合に考察を進めることにする．
P㌧〃ω（O）（4−6）

ただし，この仮定にもとづくと，時点fに関わらず定期保険の価値が等しくなることや，リスク回避的な価格付けとなっているかどうかが実際のデータに基づき検証される必要があるなど諸問題が存在するので，実務上応用する際には十分な妥当性検証が必要である．これらの課題・問題については将来の研究課題としたい．

ルックバック・コール・オプションの価格式により求める．従って，死亡数が幾何ブラウン運動過程に従うとし，n年間で会計年度ではなく，観測される連続的な時間t時点における過去1年間の死亡数から計算される死亡保険金支払額の最大値に対するストップロス再保険について，その無裁定かつ完備市場
におけるストップロス再保険料の無裁定理論価格π
は，

π一七用

I∫1

ー ノ
・■用｛的m・・（G一α，o）1一亙ρ［㎜・（o一β，o）1｝

β一α

ノ

1・

二（㌦・去σ1㌦［〃ω（O）Φ（β一ασ二万（4−6）を（4r1）に代入し，〃ω（O）で除して，（4−3）
1n

式から
一α・一川

亙gl・州1＝・

ｳ（

ασ二万 2）（4−7）となり，（4−5）式をz＝1として（4−7）式に代入するとω（O）。（、ユσ二2）2ヨーロピアン・フィックスド・ストライク・ルックバッ
ク・コール・オプションとは，契約期間中における原資産価
格の最大値が行使価格を超えた場合に満期時点でその超過額を得るオプション契約である．詳細は、藤副2002】，GerberandShiu［2003］を参照のこと．

リスクと保険49

。

I2

ω（0）σω（Φ（って，実務に応用する際は，σ二について，実際のデ

〃ω（O）
112
1n（
十（・十一σω）παータに基づき十分な妥当性検証が必要である．

2
σ二万

2r
2r

1。

τ

α

）σ1Φ（

一七川（
〃ω（O）

1。

2

r＝O．0755％（3ヶ月CD金利）σω

1皿Xん（0）。（、一ユσ二2）。β。一月Φ（β

単位：円

ω35404550

2
σ二万

2

σ二万
1・

感応度テスト））σルω（0）。（。。ユσ二2）η

β

一〃ω（O）Φ（表4．ストップロス再保険価格の試算値とω（O）（。一王σ二2）。

2．26％ヨ

14

20

31

49

5％

252

362

575

899

1O％

754

正，080

1．715

2，684

1・（MωΨ，・（・・土σニノ）・

ω（O）σω（Φ（ β 2
2・
σ二万
2r

1−

1皿（

Xω㎡（O）

1）
r＝O15％

12

一（・一一σω）・

一七用（β）σ1Φ（ β 2
〃ω（O）
σル

ω35404550））1σω（4−lO）

として与えられる．ここに，Φは，標準正規分布の

2．26％

32

46

73

114

5％

314

450

717

1．122

1O％

795

1．139

1．810

2，834

分布関数を表す．これにより，死亡リスク債券の償還額3は，（2−1）式に求まられたπを代入することで与えられる．

r目ユ％ω

具体的に，（4−1O）式により，ストップロス再保険の価格の試算値を以下に示す．前提は，残存保険期間5年男子の定期保険集団を証券化する．また，使用デ

35

40

45

50

σω

ータは，1人当たりの死亡保険金X1000万円．
dω（O）は，2003年度簡易生命表の男子死亡率による・

無リスク金利rは，0．0755％（2004年！2月28日現在の3ケ月金利），O・5％と1％一αは，〃ω（O）の川路一

βは，〃ω（O）の130％とした一その結果の一人当た

2，26％

75

108

171

5％

399

571

907

1O％

841

1．204

1，9王4

268

1．421
2，998

りストップロス再保険価格の試算値および対象契約の規模によるσ二と金利rによる感応度は，表4のとおりである．定期保険を保有している生命保険会社
がその契約量の規模から大数の法則が働かないために生じる死亡リスクをヘッジするためのストップロ
ス再保険の価格は，この商品特性から，年齢および金利変化よりσ二の変化に大きく影響する一つまり，

5結論と今後の課題
生命保険の証券化は，生命保険会社の死亡リスク
を死亡リスク債券として資本市場に移転するもので契約量が小さければそれだけσ二が大きくなり，価格がその一分増加することを表4は示している．したが3例示の係数を使用した．

50

生命保険の証券化とその証券化商品の価格付け

ある．従って，この債券は，今後，証券化が進むに

山本拓［1999］，『経済の時系列分析』，創文社

つれて，資本市場がこの価格を形成し，無裁定理論

Cummins．J．D．［20041，

価格に近づくことが予想される．この点を踏まえて，生命保険の証券化を研究した．

Secu㎡tization
Liab丑ities

その結果，

of

L拙e

Insurance，㎜・0品4ア伯8〃如Cθ

Assets肋θ

8Cゐ00／

Gau刮。vL．A．and（1）証券化の対象を生命保険金杜が保有する短期のThe

Gavhova，N．［20011，

Re1iab皿ty

theoryofAgingandLonge㎡tヅ

定期保険契約とし，その商品の保有層を考慮して，

肋θor扱〃．2ノ名527545λc盟dθ〃jc丹θ舶

ウエイトの高い成人層を対象とした．従って，こGerb叫H．uandShiu，E．SW［1994］，の限定した年齢による時系列分析に基づき，死亡

0ption数の確率過程モデルを求めた結果，幾何ブラウン邊〃82c右0η80〆肋θ筋0｛θヶ。〃。れ

運動過程と見なした．これは，先行した研究のGerbeエH．U．andShiu，E．S．W．120031，

Milevesky

an〔I

冊温rCoη

andPromislow［2001］，

Gavriova［2001］および，LeeandGaurilovandCater［19921の確率過程モデルよりも簡単なモデルとなり，実務において有効なものとなった、

Pric㎡g
Guarantees

無裁定理論価格モデルをヨーロピアン・フィック
スト・ストライク・ルックバック・コール・オプ
ションの価格式を用いて提案した．

Mr肋

Mode1ingand身エゴθ86699−140

Optionsaha

ノ1〃θ㎡c邊刀〃ゐθr748，

Dymmicメ。加温ガ記ノ67

Forecasting

U．S．Morta1itプ≡，

ゐ口㎜〃0〆肋θA㎜θ㎡C邊刀3鮒加此窃ノλ舶0C批ゴ肌

τう五8Z肋．4j2659−677
Lin，Y，and

Cox，S．H．［20041，

Securitizationof

N征。Ita1ity

risks

，脆化bg

ρ2ρθ4

θθ0卿ち

砺加燗伽

期として，定期保険を対象とした死亡リスク債券につMievskyM．A，andいて，」研究した．しかし，生命保険会社は，幅広い

Mo村a1ity

している．従って，これに対する死亡リスク債券のTrans危rms

Lee，R．Dandcarte互L．R．［19921，

annuitieS

価格モデルは，今後の研究課題としたい．

Esscher

Lookback，

今回は，被保険者年齢を特定し，また，保険期間も短

年齢と終身保険など長期保険期間の生命保険も保有

By

ゐurη∂4ワ5ノα〃θZ〈斤（2）つぎに，この死亡数の確率過程を用いて，リスク申立エッシャー変換によりストップロス再保険のP㎡cing，ノ

annuitiSe

Promis1oW

de㎡vatives

in

hfe
3佃6θ

S．D．［2001］，

and

the

optionto，乃8王〃邊刀Cθノ脇広乃θ㎜∂〃C8∂〃d刀。oηo〃コjo目29299−378
Ne升。i，S．N．工1996］，

A皿IntroductiontoDerivatives

theMathematics

ofFinancia1，λ040㎜0〃醐Wang，S．S．［1995］，

参考文献：

小暮厚之［2000］，『ファイナンスヘの計量分析』，朝倉書店．

藤田岳彦［2002］，『ファイナンスの確率解析入門』，
講談杜．

Insurance

PhcingandRatemaking

byProportiona1

Tran曲rms

亙舳〃〃θ・M6紡θ㎜∂方08，

c0㎜0㎜允身ユZ43

increased

Limits
Hazards∂刀♂

54

Wang，S．S．工20001，

A

C1ass

蓑谷千鳳彦［2001］，r金融データの統計分析』，東insurance

洋経済新報社．

6Z

of曲sto村ion

risks

operations危r

pricingand，ゐ口7刀∂ノ。〆刀お女ヨ刀♂∫口8〃z邊刀。θ

j5−36

リスクと保険51

Secunt1zat1onof

L1飽Insurance

Shigeru

Po11cyandIts

Pnc1ngKojimaTokio

Marine＆Nichido

Financia1Life

Insurance

Co、，Ltd．

Hiroo

P1aza，5・6・6Hiroo，Shibuya・ku，Toky0150−0012，Japan
Te1：03．5488．1417．

E・mai1：shigeru．kojima＠tmn・inancai1，co．jp

Abstract

This

paper

Company

to

the

with

securitization

capita1market

Bonds．Referencing

to2003，theproposesmode1ofauthorStop・1oss

asset），which
a

52

dea1s

formu1amorta1ity

the

price

stochastic

with

risk

morta1ity

risk

from

Life

the

pricing

mode1sonMorta1ity

Re

in

new

securitization

derivative

ofmorta1ity

processtransfer

securitization

Reinsurance（asdetermines

using

and

to

that

生命保険の証券化とその証券化商品の価格付け

cause

by

mode｝and士he

asset

risk

done

of

Term

bonds．They

themorta1ity

Swiss

Insurance

Risk

D㏄ember

Arbitrage・Free

of

Pricing

Insuranceasunder1ying

are

based

the

deve1oped

ana

the

on

op七ion士heorem．