統計数理（2003）
第 51 巻 第 1 号 37–58
c 2003 統計数理研究所


特集「森林資源統計学」［総合報告］

遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法1高橋 誠 ・島谷 健一郎

2（受付 2002 年 7 月 30 日；改訂 2002 年 10 月 29 日）

要旨

分子遺伝学の急速な発展に伴い，樹木集団内における個体ベースでの遺伝変異の空間構造研
究が世界各地で活発に行われている．遺伝変異データは，対立遺伝子レベル，遺伝子型レベルおよび multilocus レベルという 3 層の階層構造から成っている．さらに，空間的遺伝構造の解析では，ここに各個体の位置情報が付与される．このような高度な情報量を有するデータを解析するための統計的手法は多岐に渡り，それぞれに固有の特性を有している．本稿ではこれまでの空間的遺伝構造の解析に用いられてきた統計量を 3 層のカテゴリーに区分して，それらの特性や問題点，並びに生物学的背景や統計量間の関係について論じる．
キーワード：生態学，遺伝マーカー，樹木集団，集団遺伝学，空間統計，対立遺伝子，
遺伝子型．
1.

はじめに

遺伝マーカーを用いた樹木集団に関する研究は 1970 年代から盛んに行われて来ているが，当初は（互いに数 km〜数 100 km 離れた）
複数の天然林集団から調査対象樹種の個体をランダムに抽出し，その遺伝変異を地理的なスケールで解析するという地理的変異に関する研究が多かった．ところが 1980 年代後半から，天然林内に設けた調査区内の全個体の位置を測定し，それら全ての遺伝変異を調べる（数 m〜数 10 m という，より細かいスケールでの）研究が行われ始めた．その後の分子遺伝学や DNA 分析技術の急速な発展により，遺伝変異のデータをより迅速に，より廉価に，より単純な作業で大量に集められるようになり，1990 年代には世界各地でこのような個体ベースの研究が精力的に行われるに至った．それにより，これまでの研究手法では知り得なかった森林や樹木集団についての事実が見出されたり，推定することが不可能（困難）とされていた事象について，その推定値（あるいは実測値）が得られる可能性が開けてきた．
さらには，天然林資源管理のための新たな知見を得るべく，天然林研究は新局面を迎えつつ今世紀に入った．
めざましい発展を続ける分子遺伝学とは裏腹に，労力と経費をかけて得られた全個体についての位置情報付き遺伝変異データを解析するための統計的解析手法の方は，Sokal and Oden
（1978a, 1978b）による空間統計の導入以来，さほどの進展を見せていない．それらの手法を用
1（独）林木育種センター 育種部育種課環境育種研究室：〒319–1301 茨城県多賀郡十王町伊師 3809–1;

makotot@aﬀrc.go.jp
2

統計数理研究所：〒106–8569 東京都港区南麻布 4–6–7; shimatan@ism.ac.jp

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いた多くの研究により新しい知見が得られている一方で，それらの問題点も指摘されている（Epperson（1995c）, Loiselle et al.（1995）, Shimatani and Takahashi（2003）, Smouse and Peakall（1999））．位置情報付き遺伝変異データが内包する情報量の膨大さからすると，現在の解析手法はそのごく一部を活用しているに過ぎず，貴重な情報を含んでいる（と期待される）データを精査していない感がある．そこで本稿では，今まで提唱された空間的遺伝変異データに対する解析手法の総括を試み，今世紀の研究の出発点を固めてみたい．
まず，現在空間的遺伝構造の研究に用いられている遺伝マーカーとは何かについて簡単に説明し，それを用いた研究の意義と取り扱われるデータの構造について述べる．その後，これまで用いられてきた統計量を順次紹介し，それらの違いや特徴，生物学的背景や問題点について論じる．
1.1 遺伝マーカー
ゲノムプロジェクトに代表されるように，今日，遺伝子は世界で最も盛んに研究されている科学領域の一つである．生物の遺伝情報は DNA という長い鎖状の核酸と呼ばれる高分子に塩基配列という形で保持されており，DNA の塩基配列のどの部位がどのような機能を司っているかを解明することで，医療や薬学，あるいは農林業などの分野で応用されることが期待されている．その一方で，個々の遺伝子の機能を解明するのではなく，様々な分析手法によって検出される DNA 断片の塩基配列の差異を，個体間の遺伝的な違いを表す手がかりや遺伝的な意味
での単なる記号として用いることがある．そのような目的で遺伝変異を調べる時，その個々の変異は遺伝マーカー（genetic marker；あるいは分子マーカー（molecular marker））と呼ばれる．
本稿で扱う集団内遺伝構造の解析に用いられる遺伝マーカーは，通常，「中立マーカー（neutral」と考えられている．ここで言う「中立」とは，自然淘汰に対して中立で個体の適応度のmarker）
増減に影響を与えないということである．遺伝マーカーのこの性質は，例えば種や集団の遺伝的多様性を評価するのに適している．即ち，集団内の大多数の個体が少数の母樹に由来する兄弟であったり，血縁関係がある個体間での近親交配が続いた結果である場合，その集団においては個体間での遺伝的な近縁度が高まり，遺伝変異幅（遺伝的多様性）が減少する．そのため，乾燥や病虫害，あるいは雪害などの特定の環境負荷に対して集団が脆弱になったり，近交弱勢により集団を構成する各個体の適応度が減少するといったことが起き，集団が消失する可能性が高まると考えられる．このため，集団遺伝学（population genetics）
や保全遺伝学（conservation
genetics）では，集団内の遺伝的多様性を推定することが重要な課題となっているが，中立的な遺伝マーカーを調べてそれらがどの程度の多様性を有しているかにより，集団内での近交の程度や各集団のもつ遺伝的多様性の比較や集団間での遺伝的分化の程度などを評価することができる（c.f. 根井（1990））．この時，逆に適応的な遺伝子ではそういった推定はできない．なぜなら，適応的な遺伝子では，元来の遺伝変異の一定部分が自然淘汰により失われている可能性が大きいからである．
1.2

植物の特性と空間的遺伝構造

1.2.1 固着性と更新動態
樹木など植物の空間的遺伝構造を特徴づける動物にはない性質として，植物の固着性を挙げることができる．すなわち，植物はある場所で発芽すると，通常その個体が枯死するまでその場所から移動することはない．これを集団内における静的な状態とすれば，集団内での動的な機会は，天然更新による世代交代（更新動態とも呼ばれる）であろう．天然更新は，開花，花粉流動（pollen ﬂow）と交配（mating），結実，種子散布（seed dispersal），発芽といった複数のプロ
セスから成るが，この過程で（遺伝子を保有する植物自身は動かないが）遺伝子は，花粉流動と遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

39

種子散布の 2 因子により世代から世代で移動する．この事を遺伝子流動（gene ﬂow）という．更新動態は，個体の空間的な再配置のプロセスであると同時に，遺伝変異の空間的再配置のプロ
セスでもある．
1.2.2 花粉流動，種子散布と空間的遺伝構造
種子散布の範囲は，しばしば一定範囲内に限定される．例えば，ブナ（Fagus 属）やナラ（Quercus）
属）などの場合，種子は枝から重力で落下し，その一部はリスやネズミ，時にはカケスなどの動物や鳥によって運搬されるが，それでも種子の大半は林冠の縁からおよそ 20 m 以内に散布される（前田（1988）, 柳谷 他（1969））．また，花粉流動は，雄蕊で生産された花粉が風あるいは虫や鳥の体に付着して送粉されることで，その範囲は一般に種子の場合よりも広範囲であるが，それでも一定の範囲内であると考えられている（数 10 〜 数 100 m; Dow and Ashley（1996）, Troggio．このように花粉流動や種子散布が空間的に限定されるため，
et al.（1996）, Isagi et al.（2000））ある世代での空間的遺伝構造は，その前の世代の遺伝構造に依存的であると考えられる．このため，花粉流動や種子散布の程度に応じて，世代を重ねるごとに徐々に空間的遺伝構造が形成されて行くと考えられる．Wright（1943）はこれを「距離による隔離（isolation by distance）」と呼んだ．この際，花粉の飛散距離や種子の散布距離といったパラメーターが異なると，集団内に形成される遺伝構造は異なるだろうし，この他にも，交配様式やクローン繁殖の有無，近交弱勢（inbreeding depression），自然淘汰（selection），交配個体間の近縁度が高い（集団の有効なサイズが小さい）
事に起因する遺伝的浮動（random genetic drift）の影響も遺伝構造に関与していると思われる．これらをモデル化した研究は，当初は集団を単位とし地理的スケールにおける isolation
by distance を考察するものが大半であったが（例えば Sokal and Wartenberg（1983）, Sokal et），1990
al.（1989）, Slatkin and Arter（1991）, Sokal and Jacquez（1991）, Sokal and Oden（1991）
年代から，個体ベースによるより小さい空間スケールでの研究も主としてシミュレーションによって行われるようになり（Epperson（1990, 1995a, 1995b, 1995c）, Berg and Hamrick（1995）,，現実の天然林集団についての研究と並行
Doligez et al.（1998）, Hardy and Vekemans（1999））
して活発に進められている．
2.

空間的遺伝構造で取り扱うデータ

2.1 調査方法
野外作業と遺伝子分析実験
天然林は様々な樹種で構成されるが，生態学では複数種から成る個体の集合を群集（community），
その構成種中の任意の 1 種を固定し，その種の個体だけの集合を個体群（population）と言うが，この population を集団遺伝学では「集団」と訳している．そして，空間的遺伝構造の解析では，ある 1 樹種について調査地を設けて分析・解析するのが一般的である．
集団内の個体密度によっても異なるが，林冠木が対象の場合，調査地は 100 m×100 m（面積1 ha）
程度以上とすることが多い．熱帯林のように樹種別の個体密度が低い場合には数〜数 10 haの調査地が必要な場合もある．実際，Loiselle et al.（1995）がコスタリカ北東部の Psychotria
oﬃcinalis の集団を解析した場合には 2.25 ha の調査地を設定している．また，Konuma et al.
（2000）に至っては，マレー半島の Neobalanocarpus heimii の集団を解析した際，実に 42 ha の調査地を用いている．
調査地設定後，その中に生育している全ての個体をナンバーテープなどにより識別するが，林冠木に限る場合，通常胸高直径（DBH；地上高 1.2 m の樹幹の直径）
で，DBH≥ 5 cm や DBH≥ 10 cmの全個体を調査するといった方法が用いられる．研究者によっては，樹高によって個体サイズを規定し，樹高 3 m 以上の個体を調査するといった例もある．なお，研究目的によっては，樹高が 30 cm 以下の小さい個体のみや当年生実生（その年に発芽した個体）
あるいは潅木や下層植

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図 1.

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秋田県田沢湖町ブナ天然林内のブナの個体配置図（Takahashi et al.（2000）より改変）．

生を調査対象とすることもある．
調査地の設定にあたって，まず各個体の位置を測量し，それらの立木位置図を作成する（図 1）．全調査個体から葉や冬芽などの分析用試料を採取し，それらを実験室に持ち帰り，いくつかの遺伝マーカーについて分析し，全調査個体の遺伝子型データを得る．結果として，得られるデータは例えば表 1 のようにまとめられる．ここでは図 1 の集団に対して，Mdh-3，
Dia-1，Dia-2，Got，Amy-3，Aap-1 および Pgi-1 と名付けられている 7 つのアイソザイム遺伝
子座（これらは酵素に関わる遺伝子座である）の遺伝子型を分析している．よく知られているよ
うに，DNA は 4 種の塩基（アデニン（A），シトシン（C），グアニン（G），チミン（T））の配列によって規定されている．3 つの塩基が 1 組でコドンを構成し，各コドンにより特定のアミノ酸が指定され，遺伝子はコドンの配列として捉えることもできる．突然変異により塩基配列が変更されると，アミノ酸配列やそれらで構成されるタンパク質電荷や分子量に変化が生じる．このため，アイソザイム分析では，試料をゲル中で電気泳動させ，塩基配列の差異に起因するアミノ酸配列の違いを，酵素を染色した際のバンドの移動度の違いとして検出する．
本稿では，野外での調査法や分析手法の詳細は省略する．上記のアイソザイム分析については津村（2001）を，他の遺伝マーカー，例えばマイクロサテライト DNA 分析の仕組みや実験方法については，井鷺（2001）を参照されたい．
2.2 遺伝変異データとその意味
DNA 鎖のある部位が特定の機能を司る遺伝子の生成に携わっている場合，あるいは DNA 鎖のある断片が遺伝マーカーとして利用できる場合，その部位を遺伝子座（locus）という．ひとつの遺伝子座に塩基配列が異なる遺伝子が複数存在する時，それらは対立遺伝子（allele）と呼ばれる．植物などの真核生物は通常 2 倍体
（diploid）
である．すなわち，各遺伝子座は母性由来と父性由来の各 1 個の対立遺伝子から成り，1 対の対立遺伝子により遺伝子型（genotype）が構成される．例えば，花弁の色を支配する遺伝子座において，対立遺伝子 a は赤い花弁，b は白
い花弁を形成するとした場合，この遺伝子座の遺伝子型が同一対立遺伝子から成るホモ接合体（homozygote）a/a の場合，実際の花の色（表現型（phenotype）と呼ばれる）
は赤となり，b/b の場遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

表 1.

空間的遺伝構造の解析に用いられるデータ例．図 1 の集団に対する位置情報付き遺伝
子型データの一部分である．個体の相対的な位置関係を表す座標はコンパス測量などによって求める．ここでは，x-y-z 座標を算出した例を示したが，地形が均一な場合には
x-y 座標で表せば十分であろう．個体サイズを表す尺度として胸高直径（地上高 1.2 m の樹幹直径）を示している．遺伝子型情報として，ここではアイソザイム遺伝子型を分析
している．

41

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合には白となる．異なる対立遺伝子から成るヘテロ接合体（heterozygote）a/b の場合には，いく
つかの可能性が考えられる．対立遺伝子 a の効果だけが表れて赤い花をつける場合には，a は
b に対して優性であり（逆に白い花の場合には，b が a に対して優性である），b は a に対して劣性であると言う．ヘテロ接合体の表現型がそれぞれの表現型の中間型になる場合（この例の場
合にはピンク色など）もあり，この場合，対立遺伝子 a と b は互いに共優性であるという．
アイソザイムやマイクロサテライト DNA を用いて分析を行う場合，データの質を高めるた
めに，通常，複数の遺伝子座について遺伝子型データを取る．L 個の遺伝子座について分析し，遺伝子座 l (l = 1, 2, . . . , L) で Kl 種類の異なる対立遺伝子 (Kl は座 l によって異なる）{al,1 al,2 . . . al,Kl } = {al,k }(k = 1, 2, . . . , Kl )が検出されたとする．各個体の遺伝子型は一組の対立遺伝子から構成されるので，個体 i の遺伝子型 Gi は，


L

(2.1)

Gi =

Al,i,1 Al,i,2l=1で表され，Al,i,t (t = 1 or 2) には al,1 から al,Kl のいずれか 1 種類の対立遺伝子が占める．そ
れで


L

(2.2)

Gi =


L

Al,i,1 Al,i,2 =

l=1

al,k(l,i,1) al,k(l,i,2)(1 ≤ k(l, i, 1) ≤ k(l, i, 2) ≤ Kl )l=1と記述することも可能である．
以上のように，遺伝変異データは本質的に質的であって，量的ではない．また，式（2.1）
からもわかるように，個体ベースの遺伝変異データは，（1）対立遺伝子 (Al.i,t ) （2）単一遺伝子座での遺伝子型 (Al,i,1 Al,i,2 ) （3）multilocus genotype（複数遺伝子座の遺伝子型を 1 セットのデー
タとして扱う； (Al,i,1 , Al,i,2 ) ）という 3 層の階層構造を有している．その結果，Kl 種類の
階層 1 から始めて階層 2 ではその任意の組み合わせとして Kl (Kl + 1)/2 種類，階層 3 では
L
l=1 Kl (Kl + 1)/2 種類にも膨れ上がる．後節でも述べるが，質的データとして細かく分類すると multilocus 階層ではあまりに細かすぎ（個体の大半がどこか 1 ヶ所の違いを有し合っている場合もある），それで階層（1）（2）
でカテゴリカルに荒く分類したり量的データに変換して集約を図ったりするのだが，その過程で何らかの情報の欠落が必然的に生じる．
植物は通常，花粉と種子によって移動し，次世代の新しい個体を形成する．この時，花粉により飛散する際の各花粉の保有している遺伝子のセット Pi は，花粉が半数体（haploid）である
ため，






L

(2.3)

Pi =

Al,i

(Al,i ∈ {al,1 al,2 . . . al,Kl })l=1となる．一方，種子は，花粉（父）
親と母樹に由来する配偶体が受精して形成された二倍体であるため，種子により散布される際の遺伝子のセット Si は式（2.1）の Gi と同一のデータ構造と
なり


L

(2.4)

Si =

(Al,i,1 , Al,i,2 )

l=1となる．個体 i の遺伝子座 l において，母親由来の対立遺伝子を ASl,i ，父（花粉）親由来の対立遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

43

遺伝子を AP（2.1）及び（2.3），（2.4）は，l,i とした場合，式L(2.1 )

Gi =

S
(AP
l,i , Al,i )

l=1


L

(2.3 )Pi =

L

(2.4 )

Si =

AP
l,i

l=1

S
(AP
l,i , Al,i )

l=1と表現することもできる．花粉による飛散距離を dP ，種子による散布距離を dS とした場合（こ
れらはある分布を有する確率変数と考えられる），世代 t から世代 t + 1 へ更新した際の移動距
離 Dt,t+1（これも確率変数であろう）は，母親由来の（中立な）対立遺伝子の場合には，Dt,t+1 (ASi ) = dS

(2.5)

であるが，花粉親由来の対立遺伝子の場合には，Dt,t+1 (APi ) = dS + dP

(2.6)

となる
（最終的な移動距離は，母親を経由させずに，花粉親との直接の直線距離とみなすべきか）．このように，どちらの親に由来する対立遺伝子かにより，1 世代間での対立遺伝子の移動距離は異なる．空間的な遺伝構造は dP や dS の値と密接な関係にあるため，集団内の遺伝変異の空間配置を考える上で，式（2.5）（，2.6）の持つ意味は大きい．なお，多くの天然林解析の場
合，個々の対立遺伝子がどちらの親から受け継いだ対立遺伝子かを明らかにすることは困難である．
以上，述べてきたように，個体を構成する遺伝子の単位は遺伝子型 (Gi ) であるが，繁殖の際の移動の単位は半数体であり，花粉で移動する際の半数体 (Pi ) の段階と種子で移動する 2 倍体(Si ) の段階の，異なる 2 段階から成る．集団内における遺伝変異の空間構造を解析する際，遺伝子流動の際の移動の単位は対立遺伝子なので，対立遺伝子レベルでの解析を行うことは重要である．一方，ある時点における集団内での各個体の遺伝情報は複数遺伝子座の遺伝子型で与えられる．このため，その集団内での遺伝変異の空間構造を把握するためには遺伝子型レベルでの解析も欠かせない．次節以下に記すように，こういった異なる階層を有した遺伝変異デー
タの構造が，解析並びに結果の解釈を著しく複雑なものにしている．
3.

遺伝的多様性を表す指標

ここでは，集団遺伝学研究で広く用いられている集団内の遺伝的多様性を表す指標について列記する．これらの数値は，集団全体としての遺伝的特性を記述するために用いられ，集団内での個体の位置情報には関与しない．しかし，空間的統計解析において，集団全体の指標は空間的遺伝構造の有無やその統計検定を行う際にしばしば帰無仮説として重要な役割を果たすので，今後の便宜のためにここでまとめておくことにする．
3.1 多型的な遺伝子座の割合ある遺伝子座において単一の対立遺伝子しか検出されない場合，「変異が認められない」と表現される．変異が認められる場合でも，変異が一定水準以下の場合，その遺伝子座の変異は単型的（monomorphic）であるとされる．その逆は多型的（polymorphic）であると言う．単型と多

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型の閾値には 95％水準や 99％水準が用いられることが多い．前者の場合，最も頻度の高い対立遺伝子の頻度が 0.95 を越すと，もはやその座は多型的であるとはみなされず，単型的として処理されることになる．
このように定義された多型的な遺伝子座の，調べた遺伝子座の中での割合は，遺伝的多様度を直接示してくれる．しかし，各遺伝子座の遺伝変異が多型的か否かのバイナリーデータに集約されてしまうため，特に分析座数が多くない場合には，以下に紹介する指標で見ると遺伝的多様性に差のある集団に対しても同程度の評価を与えてしまいかねず，遺伝的多様性指標としての精度は高くない．
3.2 遺伝子座あたりの平均対立遺伝子数（Na）
L 個の遺伝子座について分析を行い，l 番目の遺伝子座において検出された対立遺伝子数がKl である時，N a は，


L

(3.1)

Na =

Kl /L

l=1

で表される．N a の値が高い程，集団内により多くの対立遺伝子が保有されており，遺伝的多様性が高いことを示す．但し，N a は分析個体数に依存的である．つまり，たくさんの個体を調べれば頻度が低い対立遺伝子（rare allele）が検出される確率が上昇するため，同程度の遺伝的多様性を保有した集団であっても，分析個体数が多いほど N a の値は高くなる傾向にある．
3.3 遺伝子座あたりの有効な対立遺伝子数（Ne ）遺伝子座 l において，対立遺伝子 al,k の頻度を pl,k とする時，1 遺伝子座あたりの有効な対立遺伝子数 (N e) は，


L

(3.2)

Ne =

nel /L

l=1

ただし，


Kl

(3.3)

(pl,k )2

nel = 1k=1

によって定義される（Kimura and Crow（1964））．遺伝子座 l における nel は，全ての対立遺伝子の頻度が 1/Kl の時に観察された対立遺伝子数に等しくなり (nel = Kl )，それ以外では，
nel < Kl である．
N e は N a と同様に 1 遺伝子座あたりの遺伝子数を表しているが，この際，個々の対立遺伝
子頻度が考慮されているため，N e は N a と異なり分析個体数の影響を受けにくい．
3.4 平均ヘテロ接合度（H）
遺伝子座 l における遺伝子型が対立遺伝子 al,k のホモ接合体である個体の頻度を Gk , とする時，遺伝子座 l でのヘテロ接合度（heterozygosity）の観察値 (hol ) と期待値 (hel ) は，


Kl

(3.4)

hol = 1 −

Gk

k=1


Kl

(3.5)

hel = 1 −k=1

(pl,k )2

遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

45と定義される．数学的には，ヘテロ接合度の期待値 (hel ) は 2 つの対立遺伝子を復元抽出した際に異なる対立遺伝子が得られる確率（ヘテロ接合体となる確率）を意味し，値が大きいほど遺伝的多様性が高いと判断される．通常，分析した全遺伝子座のヘテロ接合度から算出する平均L
ヘテロ接合度の観察値 (Ho = L
l=1 hol /L) と期待値 (He =l=1 hel /L) により遺伝的多様性は評価される．なお，nel = 1/(1 − hel ) である．





3.5 NAC（Number of Alleles in Common)
遺伝子座 l において個体 i と j が共通して持っている対立遺伝子数を nacl (i, j) とする．例
えば，表 1 で個体 1 と 2 の遺伝子座 Mdh-3 における遺伝子型は，それぞれ b/b と b/c なので，nacMdh-3 (1, 2) = 1 であり，Pgi-1 については共に c/c なので nacPgi-1 (1, 2) = 2 である．同様に，個体 20 と 21 の Amy-3 の遺伝子型は b/b と e/e なので，nacAmy-3 (20, 21) = 0 である．遺伝子座 l の NACl と L 個の遺伝子座の平均 NAC はそれぞれ(3.6)

NACl =

nacl (i, j)/(n(n − 1)/2)

i<j


L

NAC =

(3.7)

NACl /L

l=1で定義される（Surles et al.（1990））．NAC はヘテロ接合度と逆で，値が大きいほど集団内の個体間の遺伝的類似度が高いことを意味し，遺伝的多様性は小さい事を示す．
3.6 遺伝的多様性を表す指標の不偏推定値
上に列挙した指標や統計量は，集団からのランダムサンプリングにより推定する場合がほとんどであるが，その統計量のサンプリングに関する取り扱いは決して単純なものではない．例
えば個体数 n のサンプルからヘテロ接合度 (hel ) を推定する時，その不偏推定値 (ĥel ) は，

  
Kl(3.8)

ĥel = 2n 1 −p̂2l,k(2n − 1)k=1で与えられる（p̂l,k は対立遺伝子 al,k の頻度の推定値）（根井（1990））．さらに個体のランダムサ
ンプリングに加えて，遺伝子座の方も，染色体内の全ての遺伝子座ではなくいくつかの遺伝マー
カーを抽出しており，2 重のサンプリング構造という複雑な側面を有している（根井（1990））．
ヘテロ接合度や N e の統計学的取り扱いについては Kimura and Crow（1964）や根井（1990）で扱われているが，N AC の不偏推定値については，これまでのところ検討はなされていないよ
うである．
4.

空間的遺伝構造を表す統計量

Sokal and Oden（1978a, 1978b) は，集団間の地理的変異を量的に記述するため，各集団を（不規則な）
格子点とみなし，それらの対立遺伝子頻度に対して格子（lattice）上の空間自己相関（spatial autocorrelation）を適用した．集団内の個体レベルの空間遺伝統計は，それを個体レベルに援用する方向で行われてきている．
ここでは最初に，以下で紹介する空間統計に共通して用いられる距離階級について述べ，その後，2.2 節でも述べたように，遺伝変異データには 3 層の階層構造があるので，対立遺伝子
レベル，遺伝子型レベル，multilocus レベルに区分して，統計量を列記して行く．これらの区分は単なる数学的取り扱いだけでなく生物学的背景の違いもあリ，解析結果の位置付けや解釈をする上で注意を要する．

46

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4.1 距離階級
ある集団内に n 個体が分布している時，2 個体の組み合わせ（ジョイン；join）数は全部でn(n − 1)/2 通りある．これらのジョインを一定の基準に基づいて H 個の距離階級（distanceclass）に区分する．2 個体間のユークリッド距離に基づいて，距離階級が設られる場合が圧倒的に多いが，個体間距離によらない距離階級を使った論文やその是非を論じている文献もある（Cliﬀ and Ord（1981）, Sokal and Oden（1978a）, Smouse and Peakall（1999））．
個体 i と j の座標をそれぞれ Xi ，Xj とし（ここで Xi = (xi , yi ) あるいは，Xi = (xi , yi , zi )である），個体 i, j 間の距離を di,j = Xi − Xj  とする．例えば，0-5 m, 5-10 m, 10-15 m, . . .
45-50 m の 10 個の距離階級を設ける場合，h = 1, 2, . . . , 10 に対し各階級の上限を D(h) = 5h（但h
し D(0) = 0）として，階級 h における個体 i，j のジョインに対して wi,j
を
h
wi,j
=

(4.1)



if D(h − 1) ≤ di,j < D(h)otherwise

1
0

とおく．
4.2

対立遺伝子レベルの統計量

4.2.1 Moran’s I statistics の遺伝子頻度への適用
遺伝子座 l の任意のひとつの対立遺伝子 al,k に着目する．個体 i に対し zk,i を（正確には遺伝
子座番号 l にも依るが，以後，特に混乱の恐れのないときは l を省略し，同様に ak , Ai,1 ，Ai,2などと略記する），(4.2)

zk,i =

1
0.5
0

if Ai,1 = Ai,2 = ak
if Ai,1 = ak or Ai,2 = ak
if Ai,1 = ak and Ai,2 = akと定める．距離階級 h ごとに，Ikh を

hwi,j(zk,i − pk )(zk,j − pk )

Ikh =

(4.3)

i,j

i,j

h
wi,j
·


n

(zk,i − pk )2 /n

i=1

と定義する
（Sokal and Oden（1978a））．これは格子上の空間自己相関（Moran’s I statistics）を，各個体が保有している対立遺伝子 ak のコピー数の 1/2（1 本の木という集団における対立遺伝
子 a の頻度）として適用したものである．Ikh は −1〜+1 の範囲で，期待値は −1/(n − 1) になる（Cliﬀ and Ord（1981））．なお，設定された調査区内の全個体に関する統計と考えて，分母の分散項 ni=1 (zk,i − pk )2 /n は個体数 n で割り，n − 1 を用いる不偏推定値は用いない．
元々 Sokal and Oden（1978a）は，複数個の集団がある時に集団 i の対立遺伝子 ak の頻度を
zk,i に代入して Moran’s I statistics を用いることを提唱したが，天然林集団内の個体を対象とした空間的遺伝構造の解析では，各個体を（最小ながら）集団とみなして，その対立遺伝子 al,kの頻度を用いているわけである．集団の対立遺伝子頻度であれば zk,i は 0〜1 の連続的変量となるが，1 個体という集団では，zk,i は 1，0.5，0 という離散的な値しか取らない．
階級 h に属するジョイン（2 個体の組み合わせ）
中に，両者とも ak のホモ接合体 (zk,i = 1) である，あるいはどちらも ak を保有していない (zk,i = 0) 組み合わせが多い場合，Ikh はプラスに傾く．逆にジョインの片側が ak ホモで，もう一方は ak を保有していないジョインが多いと，Ikh の値はマイナスに傾く．なお，Ikh におけるヘテロ接合体の寄与の仕方は興味深い．個体 i遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

47

が ak のヘテロの場合 zk,i = 0.5 であるが，(zk,i − pk ) は対立遺伝子の頻度 pk に依存するため，
pk < 0.5 の時は ak ヘテロは ak ホモと正の相関を作り出すが，pk > 0.5 では ak ヘテロと ak ホ
モは「似ていない」と判断され負の相関を示し，逆に ak を保有していない個体と正の相関を生み出す．
距離階級を x 軸に，Ikh を y 軸にした折れ線グラフはコアレログラム（correlogram）と呼ばれるが，これを作成することで，距離階級の増大と共に Ikh がどのように変化するか，言い換えれば個体間距離に応じた（個体内）
遺伝子頻度の相関の強さの変化を視覚的に把握することができる．種子散布距離の小さい樹種では，近接個体は互いに同一母樹から生まれた兄弟である確率が高く，それらの母樹が，対立遺伝子 ak を保有していればその娘たちは ak を共有する可能性が高いため，Ikh は有意な正の相関を示し，コアレログラムは単調に減少して（または正から負に転落した後に微増して）0 に落ち着く事が期待される．実際，天然林データでは，この傾向を示す例がいろいろ報告されている（Berg and Hamrick（1995）, Loiselle et al.（1995）, Streiﬀ et．図 2 に，表 1，図 1 の集団に対する Ikh のコアレログラム
al.（1998）, Takahashi et al.（2000））の例を示す．
Ikh が正（または負）の相関を示した場合，それが本当に何らかの生物学的要因による強い相関なのか，偶然でも起こりうる程度の弱いものか，有意性を検定する必要がある．それは，個体位置を固定した上で遺伝子データのみをランダムに取りかえる randomization test を例えば
999 回行い，実際のデータから求めた Ikh が 999 + 1 個の Ikh の中で上位または下位 5％以内に入るか否かにより 95％水準で検定する．なお，より簡略に，Ikh を正規近似する方法もある（Sokal．
and Oden（1978a）, Cliﬀ and Ord（1981））
ところで，Ikh は H 個の距離階級で L 個の遺伝子座での Kl 個の対立遺伝子のすべてについhて計算できるので，理論的には合計 H L
l=1 Kl 個の Ik が算出される．しかし，それらが独立に意味を有しているわけではない．まず，Kl = 2 の遺伝子座については z1,i = 1 − z2,i かつ
p1 = 1 − p2 より (z1,i − p1 ) = −(z2,i − p2 ) となり，対立遺伝子 1 を用いても 2 を用いても，両者の Ikh は全く同一となる．Kl > 3 の遺伝子座においても，例えばアイソザイム遺伝子座の場



図 2.

表 1・図 1 の集団に対するコアレログラムの例．距離階級は 5 m ごと．実線は Mdh-3
遺伝子座における対立遺伝子 b を用いた I h ，点線は Pgi-3 遺伝子座の対立遺伝子 c を用いた場合の I h を示す．最初の方の距離階級で高い正の値を示している（Takahashi etal.（2000）より改変）．

48

統計数理

第 51 巻

第 1 号 2003

合，最も頻度の高い対立遺伝子の頻度が 0.9 くらいであることが多い．それで，例えば対立遺伝子頻度が p1 = 0.9，p2 = 0.08，p3 = 0.02 の場合，対立遺伝子 2 を用いた時に z2,i = 0 となる個体には，a1 ホモ (z1,i = 1) に加えて a1 /a3 のヘテロ接合体 (z1,i = 0.5) や a3 /a3 のホモ接合体(z1,i = 0) も含まれ，全ての i に対して z1,i = 1 − z2,i が成り立つわけではないが，p3 = 0.02 を鑑みれば大半の個体について z1,i = 1 − z2,i が成立し，a1 と a2 は酷似したコアレログラムをh生成する．このように，（同一遺伝子座内の）対立遺伝子間で I1h , I2h , , . . . , IK
は，独立でないどl
ころかほとんど同値な統計量である場合すらある．本来，対立遺伝子は染色体内からランダム
サンプリングされていると考えたいわけだが，同一遺伝子座内の異なる対立遺伝子はこの仮定を全く満たしていない．さらに，各距離階級間も，同一個体を異なる階級にまたがる join の形
で繰り返し使用するため，やはり独立ではない．このような 2 重の意味で独立でない統計量を空間的遺伝変異解析では扱わなければならない．
4.2.2 Coancestry
4.2.1 節と同じ記号の元で，



ρhk =

(4.4)

i,j

h
wi,j
(zk,i − pk )(zk,j − pk )



h
wi,j
· pk (1 − pk )

i,j

+


8

2



0.5

h
wi,j
+1

−1

i,j

を距離階級 h における対立遺伝子 ak についての coancestry という（Loiselle et al.（1995））．第2 項は，有限個の格子点を扱う事に伴う補正項と思ってよかろう．この ρhk は元来，集団における対立遺伝子頻度をもとに集団内での identity-by-decent（任意の 2 個体のそれぞれから任意に選んだ遺伝子が昔は同一祖先内の同一遺伝子だった確率．例えば全兄弟なら 1/4 = 0.25）を推定する統計量として用いられていた（Cockerham（1969））．それを Loiselle et al.（1995）は，個体ベースの空間構造解析に用いた．
ρhk が大きい正の値である時，そのような 2 個体は共通祖先を有し血縁関係にある事を示す．
従って，花粉流動と種子散布によって血縁関係が集団内でどのように広がっているかを見るには最適な統計量に見える．それで Loiselle et al.（1995）では，Ikh と ρhk は統計量としては似通ったものではあるが，集団遺伝学的な根拠がある分 ρhk の方が優れていると判断して ρhk を用いている．ところで，Hardy-Weinberg 平衡状態下にある集団のように，頻度 pk の対立遺伝子 akのホモ接合体の割合が p2k ，ヘテロが 2 pk (1 − pk )，ak を含まない個体の頻度が (1 − pk )2 なら，
Ikh の分母の分散項（式（4.3））は，


n

(4.5)

(zk,i − pk )2 /n = p2k · (1 − pk )2 + 2pk (1 − pk )(0.5 − pk )2 + (1 − pk )2 · (−pk )2

i=1= pk (1 − pk )/2となり，ρhk = Ikh /2 という単純な関係が導かれる．Hardy-Weinberg 平衡でない集団でも（集団に依存する）
定数倍だけの関係式で ρhk と Ikh はむすばれる（Hardy and Vekemans（1999））．従って，ひとつの集団に対してでは ρhk と Ikh はほとんど空間統計として同値である．しかし，異なる集団を比較する場合は，何らかの差が生じる可能性を否定できない．
統計的な有意性の検討は，Ikh と同様な randomization test で行う．
4.3 遺伝子型レベルの統計量
空間的遺伝構造は花粉流動や種子散布といった遺伝子流動と密接な関係がある．2.2 節にも記したが，そのような遺伝子流動の単位は，対立遺伝子であって，その組み合わせの遺伝子型

遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

49

ではない．しかし，実際の分析で得られるのは各個体の遺伝子型データである（表 1）．遺伝子型レベルの解析では，質的データである遺伝子型に基づいて各個体が分類される．
遺伝変異データを遺伝子型レベルで行う統計量に Standard Normal Deviates（SND）
がある．
ある一つの遺伝子座についてみた場合，そこには同一遺伝子型間のジョイン（like join, aa と aa，
ab と ab，など）と異なる遺伝子型間のジョイン（unlike join, aa と ab，aa と bc，など）がある．
個体数 n の集団内の遺伝子型 GA の個体数を nA とする時，GA の like join の数の期待値は，(4.6)µhAA =



h
wi,j
·

j>i

nA (nA − 1)n(n − 1)hである．距離階級 h における GA の like join の観察数が JAAの時，距離階級 h の GA の likejoin の SND は，(4.7)

SNDhAA =h
JAA− µhAA√
Var

によって求められる．ここで Var は（有限格子上での）like join の数の分散だが，その算出式は長くなるのでここでは省略する（Sokal and Oden（1978a）を参照されたい）．
遺伝子型 GA と GB の個体数がそれぞれ nA ，nB の時，GA と GB の unlike join の数の期待値は，2nA nBh(4.8)µhAB =
wi,j
·
n(n
− 1)
j>i



h
となり，距離階級 h における GA と GB の unlike join の観察数が JABの時，距離階級 h の GAと GB の unlike join の SND は，like join の時と同様な式（4.7）によって求められる．SND は
ジョイン数をもとに算出されるため，join-count statistics とも呼ばれる．遺伝子型分布がラン
ダムの時，SND の期待値はゼロとなる．期待値よりも多く観察されるときにはプラスで，その遺伝子型の個体がその距離階級で多く見られることを示唆する．逆に少ないときにはマイナスに傾き，解釈も逆になる．それらが統計的に有意か否かは ρhk や Ikh と同様に randomization test
で行えるが，（4.7）は正規近似できるため，簡便に行う事も可能である（Sokal and Oden（1978a）,．
Cliﬀ and Ord（1981））
ホモ接合体 ak ak の like join における有意に正な SND はその遺伝子型の集中分布を表し，また対立遺伝子 ak の集中も意味すると言えよう．ところが，ak ak ヘテロの like join や ak ak ホモと ak ak ヘテロの unlike join では，Ikh や ρhk と同じように遺伝子頻度 pk に応じた解釈が必要と思われる．また，ak ak ヘテロと ak ak ヘテロの unlike join や ak ホモと ak ホモの unlike joinなど多種多様な組み合わせがあり，詳細に検討すると様々な面白い知見が見出されるかもしれな
い．実際，Epperson（1995a, b, c）などの simulation study では，種子及び花粉が近隣個体間でしという仮定の下では，世代数を経るとともに，ホモ接合体
か交換されない（isolation by distance）のパッチ（genetic patch）が形成されて行き，さらにヘテロもある種のパターン形成に寄与する．
その結果に基づき，遺伝子型レベルでのきめ細かな解析が天然林内に形成される空間的遺伝構
造では重要であると主張している．しかし，そのような解析は，対立遺伝子が二つしかない遺伝
子座という仮想集団だからこそ可能であったわけで，前述のように対立遺伝子 Kl 個の遺伝子座において検出されうる遺伝子型の最大数は Kl (Kl + 1)/2 種類あり，それが L 個の遺伝子座と H個の距離階級で算出できるのだから，理論的には H L
l=1 (Kl (Kl + 1)/2) · (Kl (Kl + 1)/2 + 1)/2
個という膨大な数の SND が算出可能となる．この膨大な数の SND 一つ一つについて詳細な解析を行い適切な解釈を与える事は至難の業であるし，紙面の都合上，公表も不可能である．



50

統計数理

第 51 巻

第 1 号 2003

そのため，like join と unlike join という区分ごとに，各距離階級で有意であった SND の割合で論じられることが多い．また，遺伝子型頻度が 0.05 以下の遺伝子型や min(µh ) < 1 のジョインは，解析から除外されることが多い（Epperson and Alvarez-Buylla（1997）, Takahashi et al.
（2000））．
本来，SND では遺伝子型データをそのまま計算に用いるので，ρhk や Ikh の対立遺伝子レベルの時のように，対象とする対立遺伝子以外をひとまとめにするといったような遺伝変異データの集約が行われていない．そのため，SND の解析解像度は，より高いといえる．しかし，得られた解析結果を有意だった割合として要約してしまうのでは，SND の持つ特性がその段階で損なわれているように思えてならない．また，座内の遺伝子型間（即ち SND 間）には何らかの相関が伴うと考えられる．例えば両親の遺伝子型が ak ak と ak ak なら ak ak ホモと ak ak ヘテロの子供が誕生するから，ak ホモと ak ヘテロの個体間には交配や親集団の遺伝構造を背景に持つ相関があると思われる．この点については，simulation による人工的集団で若干の検討がなされている（Epperson（1995a, b, c））程度である．
4.4 Multilocus レベルの統計量
multilocus レベルの解析では，各個体の複数遺伝子座の遺伝子型をひとまとまりのデータとして扱う．ρhk や Ikh にしろ SND にしろ，対立遺伝子や遺伝子型のすべてについて計算するため膨大な数の（互いに相関を持つであろう）
統計量が算出される．そして，有意なものの割合を求めたり（相関を伴うにもかかわらず）
単純平均をとったりするが，こういった集約になんらかの統計的根拠があるわけではない．
multilocus レベルの解析は，遺伝データを同時分布として扱い，統計量は各距離階級 h につき最初から 1 つに集約される．
4.4.1 Number of Alleles in Common（NAC）
3.5 節で取り上げた NAC に距離階級の概念をあてはめ，空間統計としても活用できる（Berg．空間統計量としての NAC は，and Hamrick（1995））



(4.9)

NAC hl =hwi,jnacl (i, j)

i<j



h
wi,j

i<j

(4.10)

NAC h =L

NAC hl /L

l=1と定義される．NAC hl と NAC h の期待値は，（multilocus）遺伝子型空間分布がランダムなら，集団全体の平均である式（3.6）と（3.7）に一致する．遺伝変異が空間的にランダムの際の期待値
が SND ではゼロ，4.2.1 節の Ikh では，−1/(n − 1) であるが，NAC の場合にはその集団特有の値となる．それで複数集団で空間構造を比較したい場合には，NAC h /NAC の 1 からのズレ具
合（または NAC h − NAC の 0 からのズレ具合）を見る．
4.4.2 Smouse & Peakall の r h
Smouse and Peakall（1999）は以下のような統計量 r h を提唱した．まず，個体 i の遺伝子座 ll
における遺伝子型を，集合 {(y1 , y2 , . . . , yKl ) | yk ∈ {0, 1, 2}, K
k=1 yk = 2} 上に，

(4.11)

yl,i = (yl,i,1 , yl,i,2 , . . . , yl,i,Kl )と表す事にする．例えば座 l での遺伝子型が ak ak ヘテロなら，(0, . . . , 1, . . . , 1 , . . . , 0)，ak ak ホ
k̂

k̂

51

遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

モなら (0, . . . , 2, . . . , 0) となる．次に，（遺伝子座 l での）個体 i と j の遺伝子型の差異をまずk̂(4.12)

gl,i,j =

Kl

1
2Kl

(yl,i,k − yl,j,k )2

k=1と定めるが，低頻度の対立遺伝子の保有数の違いは高頻度のものより 2 個体間の遺伝的差異をより顕著に示すと考え，頻度の逆数でウェイトをかけて(4.12 )12Kl

g̃l,i,j =


Kl

k=1

(yl,i,k − yl,j,k )2
pl,k

としてもよい．4.4.1 NAC ではこのような遺伝子型間の差異 nacl (i, j) を直接用いて空間統計にしているが（（4.9）式），Smouse and Peakall（1999）では，この差異に関する重心からの離れ具合の積（共分散）cl,i,j に直して用いている．即ち，{yl,i } の重心は

nȳl = (yl,1 , yl,2 , . . . , yl,Kl ) = 1/n ·(4.13)(yl,i,1 , yl,i,2 , . . . , yl,i,Kl )i=1で与えられる（これは遺伝子頻度を使って ȳl = 2(pl,1 , pl,2 , . . . , pl,Kl ) と表す事もできる）が，（遺
伝子座 l での）個体 i と j の遺伝型差異の共分散Klcl,i,j =

(4.14)

1(yl,i,k − ȳl,k )(yl,j,k − ȳl,k )2Kl k=1または

1c̃l,i,j =
2Kl





Kl

k=1

(yl,i,k − ȳl,k )(yl,j,k − ȳl,k )
pl,k





L
の，すべての遺伝子座にわたる平均 Ci,j = L
l=1 cl,i,j（または C̃i,j =l=1 c̃l,i,j ) で，個体 i と jの遺伝型差異を数量化する．さらに，この遺伝的差異を NAC のように単純に join の数で割って
h
wi,j
Ci,j

Ch =

(4.15)

i<j

h
wi,j

i<j

の形の平均を使うのではなく，また Ikh のように集団全体の分散で正規化するのでもなく，距離
階級 h におけるジョインの中で個体 i が寄与した回数を数え，その回数による重み付けを行った分散を用いる．すなわち，
Xih =


n

h
wi,j
,

j=1
j=i


Kl

cl,i =



k=1(yl,i,k − ȳl,k )2
,
2Kl


L

Ci =

cl,i

とおいて，

l=1

h
wi,j
Ci,j

(4.16)rh =i<j

Xih Ci（または対立遺伝子頻度 pl,k で割る C̃ を用いる形）

i<jと定義するのである．本稿ではこれを Smouse & Peakall の r h と呼ぶことにする．
4.4.3 Rogers の遺伝距離に基づく統計量
Furnier et al.（1987）
は，各座での Rogers の遺伝距離（元々集団間の地理的遺伝的差異を数量化するため各集団の遺伝子頻度を使って定義された）を，（4.2 節と同じように）1 個体という集団に適用

52

統計数理

第 51 巻

第 1 号 2003



し，遺伝子座間で平均することにより multilocus レベルでの解析とした．個体 i と j の Rogers の遺l
伝距離 Ri,j は，（4.11）式の遺伝子型表記 {(y1 , y2 , . . . , yKl ) | yk ∈ {0, 1, 2}, K
k=1 yk = 2} を 2 で割っKlて {(y1 , y2 , . . . , yKl ) | yk ∈ {0, 0.5, 1}, k=1 yk = 1} に直し，ヘテロが，(0, . . . , 0.5, . . . , 0.5, . . . , 0)，



k̂

kˆ

ホモが (0, . . . , 1, . . . , 0) と表されるようにして（結果として（4.2）の形になる），2 遺伝子型間のk̂√
ユークリッド距離の 1/ 2 で定義される．

  Kl

L

(4.17)

Ri,j =

1
L l=1

1/2 ·

(yl,i,k − yl,j,k )2

k=1
h

ルートをとる点で Smouse & Peakall の r と異なり，距離としてはより自然な感じを与えるが，そのため座間での和は一度座内で集約された数値の和になり，Smouse & Peakall の r h のように全体が各成分の総和という関係はない．ちなみに NAC は，遺伝子型を集合 {(y1 , y2 , . . . , yKl ) | yk ∈l{0, 1, 2}, K
k=1 yk = 2} 上で表した時のマンハッタン距離を用いた場合に相当する．

h4.4.4 Il,kの multilocus 平均
hmultilocus に渡って多数，算出された Il,k値は，様々に平均されている．Mahy et al.（1999）
hなどは（0.04 以上の頻度を有する）
すべての対立遺伝子についての Il,k値の単純平均のコアレロ
グラムを表示している．Takahashi et al.（2000）では，各座から最も頻度の高いものだけを選
び，bootstrap も活用して平均を議論している．また，Streiﬀ et al.（1998）では，分子と分母を別々に multilocus で積算した


 
L

Ih =

Kl

h
wi,j
(zl,k,i − pl,k )(zl,k,j − pl,k )l=1 k=1 i,j

h
wi,j
·

i,j

L

Kl

n

(zl,k,i − pl,k )2 /n

l=1 k=1 i=1を用いている．
対立遺伝子レベルや遺伝子型レベルにそれぞれ生物学的な背景が伴っていたように，multilocus
レベルにも独自の背景がある．まず，3 節のヘテロ接合度や NAC のように遺伝子座間の平均を取ると言う事は暗に座間が独立である事（メンデルの独立の法則）を仮定する．その場合，座 1
での a1,k a1,k 型の頻度を G1,kk ，座 2 での a2,m a2,m 型の頻度を G2,mm とすると，multilocus
での遺伝子型 a1,k a1,k × a2,m a2,m 型の頻度は G1,kk G2,mm となる．しかし実際にはこれを満たさない場合もあり，古くから研究されている例が，その 2 座が同一染色体上の近傍に位置しているために交配の際に連鎖が生じ，特定の multilocus 型が独立な場合より多くなる事例である．
これを連鎖不平衡（linkage disequilibrium）という．ところがもっと単純に，限られた個体数の繁殖個体（集団の有効なサイズが小さい）
集団から次代集団が形成される場合でも連鎖不平衡が起こり得る．例えば母樹として繁殖に貢献できた個体の大半が multilocus で，a1,1 a1,1 /a2,2 a2,2
型と a1,2 a1,2 /a2,1 a2,1 型だったとすると（父方として貢献した個体には他の遺伝子型も存在す
るとする），次世代では第 1 遺伝子座に a1 を持っている個体は第 2 遺伝子座に a2,2 を持つ確率が高くなる．また，第 1 遺伝子座に a1,2 を持つなら第 2 座に a2,1 を持つ個体が多いだろう．それまでその樹種が天然分布していなかった地域に少数ながら種子が拡散して，発芽・成長・繁殖した場合，これを親集団とする次の世代は親集団の有効なサイズが著しく小さいため，上に記したような，任意の 2 個体が兄弟（sibling）などの血縁関係のある個体である確率（類似したmultilocus haplotype を共有している確率）が高い集団を形成する．これを創始者効果（founderと言うが，このような場合，上に記したような状況が起こりやすい．
eﬀect）

53

遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

このように，遺伝子流動における移動の単位は 1 個の対立遺伝子でもなければ遺伝子型でもなく，multilocus レベルでの haplotype（式（2.3））である．そのため，multilocus レベルで解析することにより，更新の際の遺伝子流動について間接的ながら知ることができるはずで，また座ごとに独立して計算するヘテロ接合度等では検出できない遺伝的多様性の消失を見出せるかもしれない（Takahashi et al.（2000））．multilocus レベルでの解析は，単に統計量間の従属性や同時分布としての取り扱いだけでなく，生物学的にも他の 2 つのレベルとは異なった情報を提供してくれるのである．
4.5 空間的遺伝構造の検定
ここまで，繰り返して「個体位置を固定した上で遺伝子だけをランダムに換える randomizationと記述したが，これにも対立仮説の設定に応
test により遺伝子分布がランダムか否か検定する」
じた異なる randomization が考えられる．一般には各個体の遺伝子型を遺伝子座ごとにランダ
ムに換えるようだが，対立遺伝子レベルで換える事も考えられるし，各個体の multilocus 遺伝
子型を保ちながら取り換える事も考えられるし，これらの併用も可能である（Berg and Hamrick（1995））．すべて，その研究が遺伝子の何を調べるためか，その目的に応じて対立仮説が違ってくるのは当然であるが，例えば座間の相関（連鎖不平衡）はその有無が最初からわかっていて仮定できるものではなく，データから判断されるべきものであろう．結局，異なるレベルでのrandomization を併用して順に帰無仮説を棄却して行くしかないのだろうか．Berg and Hamrick（1995）以来，大切な問題のはずなのにあまり議論されていないようである（なお個体の位置まで動かして考える研究の類は Shimatani（2002）, Shimatani and Takahashi（2003）で始まったばかりである）．
5.

考察

ここまでの論述で明らかなように，表 1 のような遺伝変異データを手にした時，解析者には対立遺伝子ごとに解析するか，各遺伝子座で遺伝子型ごとに取り扱うか，multilocus レベルで集約した 1 つの統計量を用いて解析するかという多岐にわたる選択肢がある．対立遺伝子レベ
ルや遺伝子型レベルで多数の統計量を算出し，そこから得られた統計的に有意な値について，
逐一意味付けを行う事は労力を要する．その点，multilocus レベルの解析では，一つの統計量によって遺伝構造を定量化できるので，すっきりと結論を導けるように見える．というのは，対立遺伝子レベルや遺伝子型レベルで多数の統計量を算出した場合，算出された（特に同一座内の対立遺伝子の）統計量間には相関があるので，遺伝構造を過剰（あるいは過小）評価してしまう
可能性がある．multilocus 統計量では複数の確率変数の同時分布とみなしているため，一見この問題を回避しているように見える．特に，Smouse & Peakall の r h は，単一対立遺伝子レベル
l((yl,i,k − ȳl,k )(yl,j,k − ȳl,k )) ，単一遺伝子座レベル（cl,i,j = K
k=1 (yl,i,k − ȳl,k )(yl,j,k − ȳl,k )/2KlLhhまたは c̃l,i,j ），multilocus レベル（Ci = l=1 cl,i 並びに r = i<j wi,j
Ci,j / i<j Xih Ci ）の 3
つのレベルで算出することが可能で，しかも，単一対立遺伝子レベルの解析結果を合成することにより単一遺伝子座レベルの統計量となり，単一遺伝子座レベルの値を合成することにより
multilocus レベルの値となる．すなわち，これらの異なるレベルで遺伝変異データを数値化す
る際に同一のルールに従っているため，例えばどのレベルのどの成分が最終結果 r h にどのように寄与しているかを考察できる．一方，同じ 3 階層の統計量の結果ではあっても，Ikh と SNDと NAC の 3 者では，遺伝変異データを数値化する段階で既に異なっており，3 者を有機的に包括して考察を進めることは難しく，単に多数の統計量を羅列しただけに終わりかねない． このように，異なるレベルでの解析を，統一的に一つの統計量で取り扱える点で，Smouse & Peakallの r h を用いるメリットは大きい（なお，このような解析は，NAC でも可能である）．

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第 1 号 2003

しかし実際のところ，Smouse & Peakall の r h にせよ NAC にせよ，要するに対立遺伝子ごとのその保有数（またはその半分）の差を加算しているに過ぎず，相関の問題を解決したことにはなっていない点は認識しておくべきであろう．
本稿で紹介した空間的遺伝構造の解析に用いられる統計量には，共通した構造が見られる．
1）
距離階級を用いる（なお個体分布とそれらの遺伝子型分布を同時に扱う方法では，一定幅で区切られた距離階級ごとの統計量でなく，任意の距離に対して定義される関数を用いる（Shimatani（2002）, Shimatani and Takahashi（2003））．2）分子は，各距離階級でジョインを構成する 2 個体の遺伝的類似度を表す数値やそれらの共分散である．3）分母は，その距離階級に属する joinの数で割って 1 join あたりの平均値に直すか，統計量によっては用いているシステムでの遺伝
変異の分散等を組み入れて正規化する．
例えば，Smouse and Peakall（1999）
における対立遺伝子レベルの r h（4.4.2 節）と Ikh（4.2.1 節）は非常に似ており，どちらの分子も対立遺伝子における個体 i と個体 j の重心（すなわち対立遺伝子頻度）からの偏差の積となっている．両者の異なる点は，後者の分母が全サンプルについての分散であるのに対して，r h の分母は各距離階級における各個体の出現度数によって重み付けした分散になっている点（と，r h ではすべての対立遺伝子について加算していく点）である．
4.2.2 節でも記したように coancestry ρhk も基本的に同じような形で，単に正規化する分母が違うだけである．一方 NAC では，個体間の遺伝的類似度は，個体 i と個体 j が共有している対立遺伝子の数になっており，共分散の形ではない．直接の遺伝的類似度を用いるか共分散の形に直して用いるか．これは Smouse and Peakall（1999）が明示した問題であるが，これからも議論が続くものと思われる．
遺伝構造を解析するための空間統計は，ただ単に数値を算出しランダム性を検定するために用いるのではなく，集団遺伝学的な，あるいは生態学的なプロセスを明らかにするために計算するのであって，統計量の数値そのものに何らかの生物学的意味が伴うならさらに好ましいであろう．例えば，4.2.2 Coancestry では，任意の 2 個体から任意に選んだ 2 遺伝子が（何代か前の）祖先では同一個体内の同一遺伝子であった確率（identity by decent）を推定しようとしている．従って，その値から，どのくらい接近しているとそれらが兄弟である確率が高くなるか，
直接に判断できる．推定方法や信頼性には問題があるようだが，統計量が古くから集団遺伝学で使われてきている集団内の遺伝的多様性指標や集団間の遺伝的距離と密接な関係を持っているのなら，その数値を単にランダム性の検定のみに用いるのはもったいなく，統計量の優劣は
単に統計的検定能力の正確さで評価してよいものではない．
集団内の遺伝構造を解析する際に取り扱う遺伝変異データは，2.2 節でも述べたように複雑な階層構造を持ったデータセットである．このようなデータセットの性質をたったひとつの数
値で余すことなく表現する事など不可能であろう．実際の天然林を解析した多くの研究では，
ランダムとは考えられない遺伝構造，明白な遺伝子の集中分布が見られる集団が多く報告されている．そのような場合，どの対立遺伝子が，どの遺伝子型が，どの multilocus 遺伝子型がどのように全体の空間構造に寄与しているか？ そしてその背後にはどのような生態学的なプロセスがあるのか？ また，それぞれの統計量の特性（良し悪し）
は，その数式や少数のデータに対する適用だけでは不明な部分が多く，多様なデータに利用されることで次第に明らかにされて行くものである．結局のところ，現段階では，最善と思われる単一の統計量だけを用いて一気に結論を導くより，計算機の速度向上もあるので，様々な統計量を試み，どのような違いが生
じるか．生じたのなら何が原因か．ひとつひとつ慎重に精査して行く事が面白いように思える
し，時間はかかっても新しい発見への道も開きやすいのではないだろうか．

遺伝マーカーを用いた樹木集団内遺伝構造の空間解析手法

6.

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おわりに

今回は空間的遺伝構造を中心にまとめたが，それは森林集団内での更新動態に対する空間的アプローチの一つの側面でしかない．この他にも，父性解析（種子，実生，稚幼樹の親木を同定する）
や個体群生態学的に主体を置くなど，遺伝マーカーを利用する研究は多様化している．
空間的遺伝構造は，その中で比較的古くから始まり，今なおその中心に位置する問題と言えよう．これまでにも，空間的遺伝構造の解析手法については様々な研究論文の中で論じられているが，それらをデータの階層構造の観点からまとめ直した事は一定の成果をもたらすと期待したい．
今回，森林樹木集団内の空間的遺伝構造の解析に並々ならぬ興味を寄せる，異なる研究バッ
クグラウンドを持つ二人により，その解析に用いられる統計量について考察が試みられた．本
総合報告をきっかけに，天然林における空間データを伴った遺伝変異データの解析に関心を寄せる研究者が，フィールド生態学，分子遺伝学，統計学の垣根を越えて一人でも多く現れれば，著者らとしては望外の喜びである．

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Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 51, No. 1, 37–58 (2003)

Spatial Statistics for Within-population Genetic Structure of Tree Species
Using Genetic Markers
Makoto Takahashi(Breeding Department, Forest Tree Breeding Center)

Kenichiro Shimatani(The Institute of Statistical Mathematics)

Recent development of molecular genetic techniques have involved intensive studies ofwithin-population spatial genetic structures for forest tree species. Genetic variation data
have stratiﬁed structures of three levels; allele, genotype, and multilocus genotype. Studiesof spatial genetic structures should simultaneously deal with the stratiﬁed information
together with the locations of individuals. This article reviews spatial statistical methods
for analyzing spatial genetic datasets and discusses their properties, problems, biologicalbackground, and the relationships among the statistics.

Key words: Allele, ecology, genetic markers, genotype, multilocus genotype, natural forest, population genetics, spatial statistics.