研究論文

経験積率母関数によるエッシャー変換

ノンパラメトリック・アプロチ
もりだいら

そういちろう森平

爽一郎・

2007年2月1日投稿
2007年3月12日受理
1．はじめに
完備市場における資産価格決定と異なり、非完備市場においては一意な確率測度の変換はありえない。そのため、これまでに様々な測度変換が、非完備市場における価格決定のために提唱されてきた。このための一つの方法である、エッシャー変換（Essc11er
Trans拓rms）は、当初Esscher［19321により確率分布の近似を行うための方法として提唱された。

エッシャー変換は、Borch［1980］、Buh1mann工1980．19841，GerberandShiu［1980．1996］

によって、保険価格決定におけるリスク調整済み確率分布を求めるために有用であることが明らかにされて以来、保険や年金の料率決定にとどまらず、金融資産価格決定、とりわけ、様々な派生証券の価格決定において極めて有効であることが示されてきた。

資産価格の決定は、当該資産から発生する将来キャシュフローのリスクを調整した確率分布のもとで期待現在価値を計算することに帰着する。特に、エッシャー変換を用いると、将来キャシュフローに関し特定の確率分布関数を想定したうえで、対応する積率母関数（MGM：Moment

Generating

Function）を用いることにより、期待値計算において必要となる複雑な積分計算を必要とすることなく、容易に保険や資産価格の閉じた解を求めることが出来る。

他方、こうした利点は、また幾つかの問題点を提示する。

第1に、保険数理やファイナンスでよく用いられる幾つかの確率分布に対しては、積率母関数が存在しないか、閉じた解として表現できない。とくに、対数正規分布、パレート
分布、F分布などの積率母関数は存在しない。また、ワイブル分布、ロゾステック分布、t
分布、べ一夕分布、超幾何分布などの積率母関数は閉じた解として求めることが出来ない。

また、最近、膿jima［20061，Wa㎎［20061などにより、エッシャー変換を、冬期問、多変量に拡張しようとする試みがなされている。この場合、多変量の条件付き積率母関数が存
1早稲田大学大学院

ファイナンス研究科。

丁重な査読の労を執られた二人の査読者と本誌編集長にお礼申し上げます。
リスクと保険67

存するか、あるいはその閉じた解を必要とする。しかし、多変量の積率母関数を求めることは、通常極めて困難である。従って、こうした場合、エッシャー変換を用いて保険やその他の資産価格決定は行うことはできないように思われる

第2に、もし、将来キャシュフローに関し特定の確率分布を想定したことが間違いであった場合、それに対応した積率母関数を用いたエッシャー変換に基づく価格決定は適切ではありえない。

この論文では、こうした問題を回避するために、あらかじめ将来の資産価格に関して、特定の分布を想定することなく、与えられたデータにもとづき、エッシャー変換を用いた保険・資産価格決定を行う方法を提唱する。言い換えれば、エッシャー変換の経験、ノンパラメトリック・アプローチを提唱する。

本論文の構成は、以下の通りである。第2章では、まず、エッシャー変換による保険やその他の資産価格決定の概略を説明する。特に、エッシャー変換を用いると、資産価格がキュムラント母関数の微分によって表現できることを説明する。その後、特定の分布に依存しない標本にもとづく経験（標本）積率母関数。キュムラント母関数の考え方と、その統計的な特性に関するFeuerverger119891による幾つかの定理について示す。とくに、大数法則にもとづいて、経験（標本）積率母関数とその1階微分が真の積率母関数に（一様）収束する

ことを明らかにする。また、グループ化されたデータ、例えば、ヒストグラムの形で与えられたデータに対して経験エッシャー変換を適用し、どの様に保険価格を求めたらよいかについても述べることにする。

第3章では、若干の数例と実証例を示すことにする。最後に要約と結論が示される。

2．エッシャー変換による保険価格決定
2．1エッシャー変換
エッシャー変換を用いると、リスク調整後の現在の保険価格耳は、将来損失のリスクを調整した確率密度関数のもとで期待値を計算することによって得られる。つまりxrを将来下期の不確実な損失（クレーム）額とし、みを保険購入者の絶対的リスク回避度とする。文字の上のチルダは、その変数が確率変数であることを示す。このようにすると、保険価格は
次のようになる。

68

経験積率母関数によるエッシャー変換

ノンパラメトリック・アプローチ

巧一か肌／ル〕1

川｛〕1ル

（2．1）

一ひ・舳ル・

ここで・リスク調整後の損失の確率密度関数だ（x、）は・実際の密度関数〃（x、）を次のよ
うに変換することによって得られる。

舳一｝］〕舳）
さらに・・

（

）

時 ^引・ハ「は・エッシャー変換を示し・ラドンニコティムの微分；こ相当帆

つまり、エッシャー変換はリスク調整前の損失の確率密度関数をリスク調整後のそれに変換する役割を果たしている。

更に・式（…）を・損失のリスク調整前の積率母関数Mp（ん）イ［・時1を用いて書き直すと、次のように表現できる。

牛㍗出）紅一冊一／。1（ん）〕／㌦（ん））（2．3）

a1・g，Mp iん）aKp（ん）

肋m

ここで、K（ん）≡1og，M（ん）はキュムラント母関数であり、積率母関数の対数をとったものである。

従って、将来損失のリスク調整済み期待値である保険価格は、将来損失分布のキュムラント母関数を、絶対的危険回避度でもある積率母関数のパラメータんで一階微分して表現できる。つまり、保険価格を求めるためには、式（2．1）の積分計算は必要ない。価格を得るた

めに唯一必要なことは、将来損失の確率分布を想定し、そのキュムラント母関数を知り、それを積率母関数パラメータんで微分すればよい。これが、エッシャー変換によって保険や金融資産の理論価格ならびに数値価格を求める場合の利点である。

リスクと保険69

2．2経験積率母関数と経験エッシャー変換
エッシャー変換を用いて保険価格を求めるためには、損失分布の特定化を行わなければならない。しかし、既に述べたように、特定の損失分布に対して、その積率母関数が存在しないか、あるいは閉じた解として表現できない場合が多々ある。また、あらかじめ想定
した分布に間違いがあるかもしれない。

こうした場合であっても、特定の確率分布と積率母関数をあらかじめ想定することなく、エッシャー変換を適用して、適切な理論価格を求めることを考える。そのためには、二つの方法を考えることが出来る。

方法1

経験エッシャー変換

実際の損失データに基づいて式（2．1）を直接推定する。具体的には、式（2．1）の標本推定値

H

叫㍉（1）号

ω

1瓢11て・は標本数で／l・／l1実（・）確率1示丸従一で（ギ）は式（2．2）の右辺に対応する経験ラドンニコティムの微分、すなわち経験エッシャー変換によって・実確率κをリスク調整済み（Q）確率1こ変換する役割を果たしてい乱
方法2

経験キュムラント母関数

式（2．3）において、まず実際の損失データから経験積率母関数を推定し、その結果を積率母関数のパラメータんで数値微分することによって、保険の理論価格を求める。

耳、州）白州）肋（・・）M

ここで・〃、，（ん）は〃個の損失（クレーム）標本から推定された経験積率母関数であり・尽、（ん）

は同様に経験キュムラント母関数であり、次のように定義される。
1

一

舳㌃Σ・仏
（2．6）

1
ψ）＝1・読舳一1・続・仏いずれの方法によっても、損失について特定の分布を仮定すること無く、実際のデータにもとづいてエッシャー変換を行い、保険価格を求めることが出来る。
以下の分析では、保険価格を計算する場合、実際の損失データに基づき式（2．1）を直接推70

経験積率母関数によるエッシャー変換

ノンパラメトリック・アプローチ

足する方法を選択する。つまり、式（2．4）を用いる。経験キュムラント母関数を推定し、それを微分して保険価格を求める方法は、数値微分を行う際、数値計算誤差が生ずる可能性があるために用いない。

ただし、実際の損失データ数は有限であり、得られた値は標本推定値である。そのため、
式（2．1）にもとづく保険価格は標本誤差を含む。標本数を無限に大きくすることにより、推定保険価格が真の母集団価格に収束あるいは一様収束することが保証されなければならない。また標本推定値である保険価格が、不偏かつ最小分散などの統計的性格を有することがあらかじめ保証されている必要がある。

この点を担保するために、第2の推定方法において、経験キュムラント母関数の一階微分が、標本数を増やすことによって、母集団におけるそれに収束すること明らかにした、
Feuerverger［1989］による定理を援用することにする。

2．3経験積率母関数と経験キュムラント母関数の特性
大数法則により・経験積率母関数M、．（ん）は・定数んに対して・その母集団の値M一（ん）にほぼ確実に収束する。また、その対数の連続性によりに関してもK，、（ん）同様のことが言える。この収束は一様であり、また同様なことは、これらの一次微分に関しても言える。
つまり、

定理1

Feuemerger119891一。。くα≦わく。。とし、ともに積率母関数〃（ん）が有限である

ような区間I内に存在するとしよう。この場合、ほぼ確実に次式が成立する。
・・pl〃（乃）一〃（乃）→O

o≦｛≦b

（2．7）

雑舳）一K（ん）→O
さらに・o，わが区間Iの内点にあれば・〃、，（ん）とK、，（ん）の微分はほぼ確実に次の関係を満足する。
∂〃，．（ん）sup
血走ハ。b ∂ん

∂〃（ん）
∂乃

→0
（2．8）

∂K、、（ん）sup＾。b ∂乃
証明

∂K（ん）

肋

→O

Feuerve㎎er【1989】の定理2．1を参照2。

2この定理は、標本数が増加するにつれ、経験積率母関数がその真の値に一様に収束をする
ことを示しているが、収束の速さについて明らかにしているわけではない。
リスクと保険71ここで、〃，，（乃）は〃（ゐ）の不偏推定量であり、またその微分も不偏推定量である。

榊）1一・（ザ［∂㍗ゐ）1一∂㍗（・・）

式（2．7）は、標本数が大きくなるにつれて、経験積率（キュムラント）母関数が母集団の積率（キュムラント）母関数に」致することがほぼ確実であることを示している。また、式（2．8）

は、同様な結果が、積率母関数のパラメータんで積率母関数、キュムラント母関数を微分した結果についても成立することを示している。

つまり、この定理を援用すると、経験キュムラント母関数をパラメータ力で微分したことで得られる、言い換えれば、経験エッシャー変換によって得られる保険価格は、標本数が大きくなるにつれ、真の、母集団における保険価格に一致する。
従って、式（2．5）、あるいは式（2．4）を用いることにより、十分な数の標本数を得ることが出来れば、経験分布に基づいたエッシャー変換により、リスクを調整した保険価格の母集団に近い値を得ることが出来る。

また、Epps，Sing1eton

and

Pu11ey［19821により、経験積率母関数が、想定した真の積率

母関数に等しいかどうかの検定を次の式によって行うことができる。
万・仏（乃）一M（ん）

一M（0，1）（2．10）

ル（仏（ん））

剛州一1。ジー1（‡小11積111数の標本分散孤！1

し同様のことはそのキュムラント母関数とその微分に関してもいえる3。

2，4

ヒストグラムの形で与えられた損失データの経験エッシャー変換

保険価格決定のための保険支払い類データは、ヒストグラムなどの形で要約して与えられることが多い。さらに、種々の事故件数や損害額の官庁や業界統計などは要約された形で公表されることが多い。こうした場合、経験エッシャー変換をどの様に行うか考えてみよう。

説明のために、たとえばK1ugman，PanjeエandWi11mo山9981で示された、次のようなデータを考えてみる。

・ψ）一州仏（ん）一W））が・有限区間［・，わ1⊆∫／2土で、平均ゼロで有限の共分散を持つGaussian過程に弱収束する。Feuerverger119891の定理2，3と2．4を参照のこと。
72

経験積率母関数によるエッシャー変換

ノンパラメトリック・アプローチ

表1歯科医療費支払い額

萎

支払額
O

K1ugman，PanjerandWi11mot119981第2章

−

2与一
50

−

1OO
150
250
500

−
−
−
−

1，OOO−
1，500−
2，500一

25
50

100
150
250
500

1，OOO
l，500

2．500
4，OOO

合計

30

CO−C1
C1−C2
C2−C3

31

57
42

C3−C4
C4−C5
C5−C6
C6−C7
C7−C8
C8−Cg

65
84
45
10
11

3

C9−C10

378

nO
n1

n2
n3
n4
n5
n6
n7
n8
n9

表1の左側の表は歯科医療費の支払い額をヒストグラムの形で表した実数値であり、右側の表は支払い額と支払い件数を、以下の議論を行うために左側の数値に対応した変数で表してい乱各節点（C。＝OヨC、＝25，C2≡50，…，C、。＝4，000，）での分布関数は・各階級の件『
数合計η、を、その総計〃一Σ〃、で割った結果を累積して得られる。つまり、
j＝1

1j

州一か

（2．11）

節点を直線で結んだ累積分布曲線図（0give）と、その密度関数（ヒストグラム）は、それぞ
れ、

0

x≦O

（C、一・）珂（C、一）一（・一C、）へ（C、）

房（C、）一O≦x≦C（2．12）
『

C−C
j
j−1
x＞C、

x≦b
珂（
元（C、）一0謠¥）十） ［、1一・・…

（2．13）

兀〉Cで示される。累積分布曲線図（Ogive）は、各接点での分布関数を加重平均したものである。
また、ヒストグラムは、上の累積分布曲線図に式（2．11）を代入し、その結果をxで微分して得られ、それは、密度関数の区分線形近似になっている。

リスク調整前の期待価格
これから、損失のリスク調整前の期待値は、線一形近似した区間内での損失の期待値（横リスクと保険73分）をもとめ、それを全ての区間で合計したものになる。つまり、損失一額の期待値としての保険価格は、次のようになる。

耳邪1一‡r一（÷）／、三一ト一壮）／ら1一い（2．14）

一到／÷ザ｝）1

したがって、価格は、隣接する接点での保険金支払い額の中値に、右側の接点に対応す
る確率密度をかけ、全ての点に関し合計して得られる。

次に、こうしたグループ化されたデータに対してエッシャー変換を適用し、どの様にリスクを織り込んだ損失期待値を計算するか、言い換えれば、式（2．14）にどのようにしてエッシャー変換を施すか考えてみる。まず、データがヒストグラムで与えられている時に、エッシャー変換の分母になる経験積率母関数耳［・町1を直接計算すると・次の結果が得られる。

竹外）／ら1一」／÷）（…）
危険をまったく考慮しない保険金杜、つまり、リスク回避係数んをゼロにすると、L

Hospita1の規則によって、この積率母関数の値は1になる。また、この結果をリスク回避係数んで微分し、ん＝0で評価すると、式（2．15）のリスク調整前の期待価格が得られこれらの結果からエッシャー変換は、

れ帝1〕＝書r〔÷）■］（1）いナ）ω

となる。したがって、上の式（2．16）を式（2．1）に代入し、区分線形近似データであることに注意すると、エッシャー変換を用いた時の期待損失額としての保険価格は、

74

経験積率母関数によるエッシャー変換

ノンパラメトリック・アプローチ

片一中1一肌／斥］〕」＝1㌦。）〔、示）ピ）x［（÷）／＋〕ト、（∵ル、二。、一一Σ

、∫。、二，x・〜x…到（÷）（、1，ll〕1（1）（｛一｛）

、

（÷）。、

一事、

。、一

1・十÷）一・㌦（・パ÷）1

Σ（青）／、■1（｛一｛）（2．17）となる。この結果が示すように、保険価格は、リスク回避度みの複雑な関数になっている。
この結果を、リスクを調整しない期待価格である式（2．14）と比べてみると、その点をより理解できよう。最後の式の右辺の第1番目の鍵カッコ内の分母は、式（2．15）の積率母関数にリ
スク回避度んを掛けた形になっており、リスク調・整前の密度関数にリスクを織り込んで調整する役割を担っていると解釈できる。

2．5

多変量エッシャー変換と多変量経験積率母関数

GerberandShiu［1994．19961は原資産が二つ以上の時のエキゾチックなオプション価格

を、エッシャー変換を用いて容易に導出できることを示した。しかし、このときに、彼等は収益率xが正規分布をする、言い換えれば、∫。jをj番目の原資産の現在価格としたときに、将来時点τにおける原資産価格㍉＝∫。jexp｛￡｝の形をとることを仮定した。もしこのような仮定を置かず、かつ原資産の収益率や価格をより正規分布以外の確率分布を想定した場合、そのオプション価格の導出は極めて困難に成ることが予想される。一一方、Wang［20061は、エッシャー変換を多変量に拡張し、その場合のワン変換との関係を明らかにした。またKijima［2006］は多変量、冬期間のエッシャー変換をBuh1mann［19801による結果を拡張するもとして、その理論な裏づけを行った。しかし、これらの成果は、多変量リスクと保険75積率母関数が存在することを仮定している。一般に多変量の積率母関数やキュムラント母関数の計算は、特に相関をもつ多変量の確率分布の場合困難である。しかし、多変量の経
験積率母関数は常に存在する。

2．6

オプション価格決定と経験エッシャー変換

オプション価格を決定するためには、例えばコールオプションであれば、将来の原資産
価格から行使価格（定数）を差し引くことによりコールからのペイオフを算出し、その期待値を計算すればよい。この操作は、Wink1er，Roodman，and

Britney［19721による部分積率、

部分積率母関数の計算に対応する。部分積率母関数に関しても、これまでの議論と同様な
確率論・統計上の特性を確認することが出来る。言い換えれば、部分「経験」エッシャー
変換を試みることにより、標本数を大きくしたときに、その値が母集団のオプション価格に一様収束するようなオプション価格を求めることが出来ることを意味している。

3．数値例と応用例
これまでの結果に基づき、幾つかの数値例と応用例を示すことにしよう。

数値例

歯科保険料支払い類データK1ugman，PanjeranaWi11mot［19981

表2は、K1ugman，Panjer

andWi11mo辻［19981による歯科保険料支払いデータである。

これは10件のみでの小標本であるが、実際のデータを用いて、エッシャー変換にもとづく保険価格を計算するか、その手続きを示す数値例として説明することにしよう。

表2経験エッシャー変換による歯科保険料の決定
K1ugman，Panjer

Wi11mot［19981第2章の数値例を利用。リスク回避係数h＝0．001

2

3

4

5

6

番号

XC）

実確率

expIh・XO）1

・xplh・XO）1

リスク調整済後

保険金

P確率／E［explh・XG）］

Q確率（4）／E［4］（3）x（5）87XG）xQ確率 相対価格比（2）×（6）（7）／価格

141
16

O．10

1．151

O．731

0．073

10．31

0．017

0．10

1．016

O．645

0．065

1，03

0．002

46
40

O，10

1．047

O．665

0．066

3．06

O，005

0．10

1．041

0．661

0．066

2．64

0．004

351

O．10

1．420

O．902

0．090

31．65

0．052

O．10

1．296

0．823

0．082

21．30

0．035

7

259
317

0．10

1．373

0．872

0．087

27．63

O．046

8

1，511

0．10

4．531

2．877

0．288

434．67

0，720

9

107
567

0．10

1．113

O．707

0．071

7．56

O．013

10

0．10

1．763

1．119

0，112

63，46

0．105

合計
平均

3，355

1．00

15．752

10．OO

1，000

603．31

1．OOO

335．5

1．575

1．OO

1

2
3

4
5
6

Kn（h）

分散

76

and

1

O．4544923．880

1．1319

経験積率母関数によるエッシャー変換

ノンパラメトリック・アプローチ

このデータは、50ドルを免責とした歯科保険金支払いデータである。表2で、第1列は標本（クレーム）番号を示し、第2列が保険金支払い額x（ブ）を示す。第3列は、リスクを調整していない実（P）確率を示している。10件のクレームに対して、それぞれ、等確率
1／10＝O．1を割当てている。第4列は、絶対的リスク回避度乃＝十〇．OO1に第2列の支払い

額を掛け、指数変換したもので狐つまり・・p仏州／を称第・列の平均（期待）値

は茎岬／α・・州／・一1州1な1棚は第・列の結果1その平均値（・・…）
で割り基準化したものである。これは、ラドンニコティム微分の経験値であり、そのためのエッシャー変換を表し、式（2．4）に対応している。第6列は、第3列の実（P）確率に、第5列でしめされるエッシャー変換を施したリスク調整済み（Q）確率である。このリスク調整後の確率に、実際の保険金支払い額を掛けて得られたリスク調整後の保険金額は第7列に示されている。

その合計は603．31ドルとなり、リスクを調整していない平均（純）保険料の333．5ドルの約2倍になっている。これは、保険金請求番号8番の保険金支払い額が1，511ドルに上り、そうした高額な保険料支払いリスクを高く評価（434．67ドル）したためであ私もちろん・

この結果は、標本数が10個と小さく、極値の影響が大きいことに注意すべきである㍉
O．35
一1

■P確率

O，30

口Q確率

P

一・一一一一一一一一・一一・一一一一・一一一・一・一一一一一一一一一一一一

i

」．．

O．25

O．20

一

一

一

一

一

一

一一

一」

一

一

一

一

一

一一一

一

」

一一一

一

一

一

■

一

一一

…一・一一一一一

一

耕
鯉
O．15

一

一

一

I

一

一

■

一

一

一一

一

一一

一

一

一

一

1

一

O，10

■

一］

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一一・一一一・一一…

一

P

P

」

O．05

一

÷

一

L

O．OO
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

クレーム番号図1実確率とエッシャー変換によるリースク調整済み確率
また、このことは、実（P）確率（1／1o＝0．1）と、リスク調整後（Q）確率を比較した

図1を見れば、リスク回避的な保険金杜がクレーム番号8番の保険金支払額のリスクを高く評価したことがわかる。

リスクと保険77

保険金支払い額に平均μ、分散σ2の正規分布を仮定すると、その積率母関数はM（乃）一…1μ・ん2σ2／・／となり・その対数変換をしたキュムラント母関数1まK（ん）＝μ十ん2σ2／2とな乱したがって、式（2．6）にもとづいて・パラメートリックなエッ

シャー変換を行った時の保険価格は、

巧、州、、十んσ・、・…。（α・・1）。・郷・・一1，・・…

（・．・）

肋
となり、非常に高い保険価格になる。これは、損失に正規分布を仮定したことによる誤りが影響している。事実、経験的な積率母関数の値は、式（2．6）に基づき計算され、表2の第4列下の欄に示されているように、M掘（ん）；1，575であるのに対し、理論的な積率母関数はM（乃）一…1μ用2σ2／・／一・・…と鮒式（・…）に基づき・検定をおこなうと・万・ψ）一州，価・［・・…一・・…1、．、。1。。。

加（仏（ゐ））

価すとなり、1パーセント水準で、正規性の仮説は棄却される。

Loss

Dsitribution

18
16

41＝

2≡
0

ざタペぜ〆〆ぜ〆〜〆」
図2上限50億ドルで制限され、下限500万ドルで切断された、ハリケーン（台風）被害額分布。
Hogg

78

経験積率母関数によるエッシャー変換

andK1ugman［1984］、

ノンパラメトリック・アプローチ

応用例1

風水害保険価格決定への応用

つぎに、1949年から1980年にわたる米国本土32年間の台風被害総額（Hogg

andK1ugman［19841）をもとにして、そのリスク調整済み台風保険価格の決定を、経験的エッシ

ャー変換によって考えてみることにしよう。台風被害額は居住用不動産建築費用指数を調整係数として調整されている。これは、ハリケーン被害によって保険会社がこうむる保険

金支払いのインフレ効果を考えているからである。また、インフレ調整後で100万ドル以上の被害額データが報告され、さらに500万ドル以下の台風被害額は削除されている。従

ってデータは下限でtruncatedされていることに注意しなければならない。Hogg

and

K1ugman［19841は、この切断損失分布に対して対数正規分布が適切であることを示唆している。しかし、損失額が対数正規すると、対数正規分布に対する積率母関数が存在しない
ため、エッシャー変換を適用することができない。従って、そうした場合でも積率母関数が存在する経験積率母関数が必要になる。さらに、K1ugman，Panjer

andWi11mot［19981

は、同じデータを考え、損害額が多額に上った時の政府保証の免責を考慮し、上限50億ドル以上の損害をすべて50億ドルとした損失分布を考え、保険価格決定を考えようとしている。

その時の、損失額の分布は、図2のようになる。分布は、500万ドルと50億ドルを上下限として、U字型の分布をしている。これに対し、どの様な分布を考え、価格を決定すべきであろうか？適切な分布を想定することは困難であろう。従って、ここでは、経験エッ
シャー変換を試みることにしたい。数値例で示した計算方法に従い、各種の統計量を計算すると次のようになる。

まずリスクを調整していない損失の期待値μと標準偏差σは、それぞれ、153，139と174，O14になる。さらに、リスク回避度トO，00002を仮定すると、経験積率母関数と経験
キュムラント母関数は、〃、（ゐ）一3，346，03K（ゐ）一1・g、〃（乃）一8．11

これに対し理論的な積率母関数は

州一 ｬ・ん汁岬｝r13叫（000002＋・・…
難であり、理論価格は、
∂K（ん）

汽一

一μ・んσ2−3355・（000002）174．0142−758，759
肋となる。また経験エッシャー変換にもとづく理論価格は、493，454となる。この値は、単純な期待損失であるμ＝153，139よりは大きいが、正規性を仮定した時のエッシャ』変換をおリスクと保険79

こなった時の価格758，759．48よりは小さい。おおよそ二つの中問値になっている。
一一

禔A正矧生の仮定は、明らかに棄却される。

万小）一州、何1…一・…1国。。。。
ル（払（ん））π
従って、正規性を仮定したときのエッシャー変換に基づく価格758，759．48は誤りである、
あまりにも高すぎる可能性が高い。

数値例

歯科医療費のヒストグラムデータに対する経験エッシャー変換式（2．17）に基づき、表1にヒストグラムの形で示された歯科医療費支払い額に対する経験

エッシャー変換を行い、リスク調整済み保険価格がどの様にして決定されるか見てみよう。

まずリスク回避度ん；0．O01とする。表3第1列から第3列までは、表1と同じヒストグ
ラムを示している。第・列は、第・列の支払い件数・、を、その合計・一Σ〃j−378で除しj＝1て得られた、階級の端での密度関数を示している。第5列は、リスク調整前の各階級の端での歯科保険金支払い額を示している。第6，7列はeκ，eκトIを示し、リスクを調整後の階級の両端での歯科保険金支払い額である。第8列は、これらの計算結果にもとづき、式（2．17）の分母

訓（考。）／、｝叫一・叫）！計算！て！l。列・l1・は式（…）＝0．00178の分子を第・項と第・項 ｶ一夫）一（・バ÷）を示して凪列・・は1れ1の値と、第4列、6列と7列の差の逆数を用いて、式（2．17）分子の値が計算されている。この値を第8列の合計で割り、その合計をとると、期待保険金、つまりこの場合の歯科保険料979．97が得られる。第8列の合計をしたものを、危険回避度んで割った物は、式（2．15）に対応したヒストグラムに対する経験積率母関数を示す。この場合、その値は万8［・＾η1−1・…で弧80

経験積率母関数によるエッシャー変換

ノンパラメトリック・アプローチ

妻3ヒストグラムの形で示された歯科医療費支払い額対する経験Esscher変換
K1ugman，Panjer

andWi11mot［19981第2章の数値例を利用。リスク回避係数h＝0，001

h＝

0，001

1

2

3

4
密度

5

C（j−1）

C（j）

n（j）

n（j）／nC（j）一C（j−1）

30
31
57
42
65
84
45
10

0．079
0．082
0．151
0．■1
0．172
0．222
0．119
0．026

25
25

50
50
100
250
500
500

j

j

O−
25−

25
50

6

50−
1OO−
150−
250−

100
150
250
500

7

500−

1，OOO

｛

2
3

4
5

8

1，O00− 1，500
1，500− 2，500
2，500− 4，OOO

9

10

l

合計（n）

6

8

7

ExP｛h＊C（j）｝ExP｛h＊C（j−1）｝
1．025

1．000

1．051

1．025

1．105

1．051

1．162

11105

1．284

1．162

1．649

1−284

2．718

1．649

4．482

2．718

12．182

4．482

54．59812，182

分母0．00008
O．00009
0．00016
O．00013O．00021O．00032
O．00025
O，00009
O．000220．000220．00178

EMGF

O．029

1，000

3

l

0．008

1，500

378

1．000

9

10

Exph＊Cj＊

Exph＊Cj−1＊

一999．68−1000

一998．71−999．68

一994．65−998．71一987．56−994．65

一963．02−987．56

一824．36−963．02

O．04220 23．644
0．12325 69．058

0．00［C（j）一1／h］［C（j−1）一1／h］

11

12

分子

比率

O．00101
O．003200．012230．01577

0．565
1．792
6．850
8．834

−824．36

O．19628109．974

2240，84

0．00

O．11856

66．431

18273．74

2240．84

163794．45

18273．74

0．46657 261．417
0．76995 431．404

価格

979．97

1．785

3要約と結論
分布の型に依存しないエッシャー変換、つまり経験積率母関数、経験キュムラント母関
数にもとづくエッシャー変換を提唱し、その可能性について議論をした。経験キュムラン
ト母関数の微分、つまり経験エッシャー変換による保険価格は、その母集団の真の価格に一様収束することを保証できることをしめした。また、経験積率母関数、経験キュムラン
ト母関数は、損失の確率分布によらず必ず存在する。その意味で、対数正規、ガンマ、七、

ワイブル、べ一夕など保険数理でよく用いられる分布に対して理論的な積率母関数が存在しないか、その閉じた解を求めることが出来ない場合であっても、エッシャー変換を行い、リスクを調整した保険価格を求めることが出来ることを示した。また、大数法則により、経験エッシャー変換に基づく保険価格が特定の確率分布を指定した時のエッシャー変換価
リスクと保険81格と異なるかどうかの検定を行うことができることを示した。
この論文では、経験エッシャー変換の基本的な考え方と、応用に関する数値例を示した。

実際の適用にあたっては、モンテカルロ法などの数値実験により経験Esscher変換の．有効性明らかにする必要があろう。たとえば、損保数理における損失やファイナンスにおける資産価格の分布をしめす対数正規分布、回収率を記述するためのべ一夕分布など、その積率母関数は存在しないことを明らかにした。しかし、この場合、標本数の増加にともない、経験積率母関数とその経験エッシャー変換がどのような振る舞いや収束速度をしめすかを検討することは、応用に当たって有用な知見を与えるものとなろう。

エッシャー変換は、保険や年金のみならず、非完備市場における資産やそのデリバティ
ブズ価格決定において重要な役割を果たすようになってきている。その意味で、経験エッ
シャー変換の果たす役割を考えることは理論上も応用面からも大きな意味があるものと思
われる。

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EsscherTransforms

by

Emp1nca11Moment

Soich1ro

Graduatetransforms

insurance

rediscovered

comp1ex

it

was

c1aim

as

a

derivatives

probabi1ity

distribu士ion

we

need

textbooks．This
dis士ribution

make

to

To

price

avoid

subjective1ysamp1e

know

to

ofthe

and

then

wi■be

this

and

is

obtain

and

its

It

is

propose

data

and

to

easy

price

corresponding

toadjustedoforigina1

distribution．On1y

find

out

in

many

statistics

we

need

to

speci射the

step

is

quite

at

the丘rs士step，resu1ting

is

is士。

shown

such七hat

functiontrue

emp1oyempirica1MGF
andisMomenteasy，but，iftheapproachcorresponding

computed

insteadexact

ofusing

MGF．Givenaasi÷）喜…／版土／

c1aim

ca1cu1ate

without

must

researchbeFeuerverger［1989】ascertained

theknowing

data．Weabove

canusua11yresu1t．Based

the

exact

shape

has

samp1ethe

MGF．Some

been

done

a1ready

estimatesofonobserve
this

the

the

past

resu1t，we

can

c1aim

distribution

経験積率母関数によるエッシャー変換

about

statistica1proper七ies

of

of

the

true

MGF．Forexamp1e

MGF

can

be

minimumvariance

unbiased

mmerica1examp1e

and

rea1wor1d

app1ication

were

empirical

showed．

84

risk

the

va1uingtheoretica1MGF．

tha七much

which

ofthe

prob1emfu・nction

c1aim

estimator

the

of

for

biased．

insurance

empirica1MGF

todistribution

rea1ized

fortunate

as七ra−nsformation

correspondingMGF．The1ast

ofsize〃，empirica1MGF

insurance

the缶amework

Esscheエtransforms

i−th

the

Shiu【1994］

mode1，under

the

to丘nd

and

approximating

Scho1es

derive

a

of

a1so

wor1d

X三is

insurance

methodinsurance，but

reaI

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Where

a

in士he

distribution

data

for

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prob1em，we

se1ected

c1aim

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merit，however，brings

irst

Esscher［1932】asB1ack

incorrec七specification士heinsu工ancebytransforms

function

GeneratingFunction：MGF

weMond−a1radistributions．A丑er60years1a七er，Gerberinc1udingmarket．Esscher

thing

proposed

usefu1too1，notincomp1eteaFunct1on

Schoo1ofFinance，AccountingandLaw，Waseda

Esscher

unknown

Generat1ng

ノンパラメトリック・アプローチ