GŽomŽtrie algŽbriqueÊ/Algebraic geometry

DualitŽ de PoincarŽ et formulede KŸnneth en cohomologie rigide
Pierre BERTHELOT
IRMAR, UniversitŽ de Rennes 1, Campus de Beaulieu
35042 Rennes cedex, France.
E-mail : Pierre.Berthelot@univ-rennes1.frRŽsumŽ.

Soit k un corps de caractŽristique p > 0. Par des mŽthodes analogues ˆ celles de [3],nous Žtablissons la dualitŽ de PoincarŽ et la formule de KŸnneth pour la cohomologie
rigide des variŽtŽs algŽbriques sur k.

PoincarŽ duality and KŸnneth formula for rigid cohomology.
Abstract.

Let k be a Þeld of characteristic p > 0. Using methods analog to those of [3], we prove that
PoincarŽ duality and the KŸnneth formula hold for the rigid cohomology of algebraic
varieties over k.

Abridged English Version
1.ÊÊÊÊThe trace morphism
Let k be a Þeld of characteristic p > 0, W a Cohen ring of k, K = Frac(WŸ). If X is a separated
k-scheme of Þnite type and n = dimÊX, the rigid cohomology groups with proper supportHÊic,Êrig(ŸXŸ) vanish for i > 2n. One can therefore deÞne a trace morphism TrX : HÊ2nc,Êrig(ŸXŸ) @ K as
follows. We Þrst reduce to the case where X is afÞne and smooth and choose a smooth afÞne
W-scheme X' lifting X and a compactiÞcation h : †X' @ Spec(WŸ) of X'. Then ·†X' = h!K is aKdualizing complex on the generic Þber †XK' of †X', whose restriction to X'K is isomorphic tonã X' [n]. Using the usual trace morphism and GAGA on the analytic space associated to †X'KÊ,K
we get a morphism
Ê0
ÊÊan
ÊÊan
Ê0
›Ê
›Ê
H]ŸÊnXŸ[(ŸXK'ÊÊan, ãnX'ÊÊan) Ê#@ HÊ0]ŸXŸ[(Ÿ†XK'ÊÊan, ·ÊÊ†Xan' ) Ê#@ H (Ÿ†XK' , ·†X' ) Ê#@ H (Ÿ†X'KÊ, ·†X' ) Ê#@ K.
KKKH]ŸÊnXŸ[(ŸXK'ÊÊan,K

ãnÊ-Ê1
XK'ÊÊan), canOne shows that this morphism vanishes on
be factored through aÊ2nmorphism TrX : Hc,Êrig(ŸXŸ) @ K, and that this morphism is independant of the choice of X'.
When X is proper and smooth over k, TrX can be identiÞed with the trace morphism for crystalline cohomology (via [3, 1.9]). If f : Y @ X is a Þnite Žtale morphism between smooth afÞne
Ê2nk-schemes, there exists a trace morphism Trf,Êc : HÊ2nc,Êrig(YŸ) @ Hc,Êrig(ŸXŸ) (cf. [3, 3.6] and 1.4
below), and the morphisms TrX and TrY commute with Trf,ÊcÊ. If Z' Ì@ X' is a closed
immersion between smooth and quasi-projective W-schemes, with reduction Z Ì@ X, then theconstruction of the Gysin map given in [3, 5.2-5.4] has an analog GZ'Ê/ÊX',Êc for rigid cohomology
with compact supports, and GZ'Ê/ÊX',Êc commutes with TrZ and TrXÊ.

- 2 -

2.ÊÊÊÊPoincarŽ duality
Let X be as above, and Z Ç X a closed subscheme. The basic constructions of rigid cohomology allow us to deÞne pairings
éâZ,Êrig(ŸX) ¢K éâc,Êrig(Z) Ê##@ éâc,Êrig(ŸXŸ).
Using the trace map TrXÊ, we get the duality morphismÚZ,ÊX : éâZ,Êrig(ŸX) Ê##@ éHomK(éâc,Êrig(Z), KŸ)Ÿ[-2n].
These morphisms are compatible with the distinguished triangles relating the cohomologies
of X, Z and U = X • Z. When X is proper and smooth, the morphism ÚX,ÊX can be identiÞed with
the PoincarŽ duality morphism in crystalline cohomology. If f : X @ Y is a Þnite Žtale morphism between afÞne smooth k-schemes, ÚY,ÊY and ÚX,ÊX are compatible with the functoriality* (ŸXŸ) and HÊ* (YŸ) on the one hand, HÊ* (ŸXŸ) andmaps and the trace maps between HÊrig
rigc,ÊrigÊ*H(YŸ) on the other hand. When Z' Ì@ X' is a closed immersion between smooth quasic,Êrig

projective W-schemes, with reduction Z Ì@ X, the morphisms ÚZ,ÊZ and ÚZ,ÊX are compatible
with the Gysin map GZ',ÊX'Ê.
To show that the morphism ÚZ,ÊX is an isomorphism, we argue as in the proof of the Þniteness theorem [3, th. 3.1]. Using the above properties and de JongÕs theorem [5, th. 4.1], weprove by induction on n the following two assertions:(a)n For any smooth separated k-scheme X such that dimÊX ² n, ÚX is an isomorphism.
(b)n For any k-scheme Z such that dimÊZ ² n, and any closed immersion Z Ì@ X into asmooth separated k-scheme, ÚZ,ÊX is an isomorphism.
3.ÊÊÊÊKŸnneth formula
A similar induction can be used to prove that the KŸnneth formula holds for rigid cohomology and rigid cohomology with compact supports, and that these cohomologies commute with
arbitrary base Þeld extension.

On dŽsigne par k un corps de caractŽristique p > 0, W un anneau de Cohen de k (cf. [EGA, 0,(19.8.4)]), K son corps des fractions. Tous les k-schŽmas considŽrŽs sont supposŽs sŽparŽs et detype Þni. Soient X un k-schŽma, Z Ç X un sous-schŽma fermŽ, U = X • Z. On choisit une
compactiÞcation †X de X sur k, et on suppose quÕil existe une immersion fermŽe de †X dans u n
W-schŽma formel p-adique P lisse au voisinage de X (cf. [3, 1.3]). Si V est un ouvert de †X, onnote ]VŸ[ le tube de V dans la Þbre gŽnŽrique PK de P, jÊ“ÊÊV le foncteur ÇÊfaisceau des germes desections surconvergentes au voisinage de ]VŸ[ÊÈ, â]VÊ[ le foncteur ÇÊfaisceau des sections ˆ
support dans ]VŸ[ÊÈ (foncteurs de la catŽgorie des faisceaux abŽliens sur ]Ÿ†XŸ[ dans elle-m•me,
Ê“Êcf. [3, 1.2])Ê; on pose â“]Z[ = Ker(ŸjÊ“ÊX @ jU ). Par construction (cf. [1], [2], [3]), la cohomologie rigide
de X ˆ support dans Z (resp. ˆ supports compacts) est dŽÞnie parÖÊ“Ê ÖéâZ,Êrig(ŸX) = éâ(]Ÿ†XŸ[, â“]Z[ÊÊãÖ]Ÿ†XŸ[) – éâ(]Ÿ†XŸ[, (ÊjÊ“ÊX Êã]Ÿ†XŸ[ @ jU Êã]Ÿ†XŸ[)s),éâc,Êrig(ŸXŸ) = éâ(]Ÿ†XŸ[, éâ]ÊXÊ[(ãÖ]Ÿ†XŸ[)) – éâ(]Ÿ†XŸ[, (â]ÊUÊ[(iÖ) @ â]ÊXÊ[(iÖ))s),o• iÖ est une rŽsolution injective de ãÖ]Ÿ†XŸ[Ê, lÕindice s dŽsigne le complexe simple associŽ ˆ u nÊ0bicomplexe, et jÊ“ÊX Êo]Ÿ†XŸ[ et â]ŸXŸ[(i ) sont placŽs en bidegrŽ (0, 0). Ces complexes sont indŽpendants des choix faitsÊ; le complexe éâZ,Êrig(ŸXŸ) est contravariant par rapport aux morphismes
f : X' @ X, o• Z'ÊÊÇ X' est tel que fÊ-1(Z) Ç Z', le complexe éâc,Êrig(ŸXŸ) est contravariant par

- 3 -

rapport aux morphismes propres X' @ X, et on dispose des triangles distinguŽs
+Ê1

ß(ŸX, Z) : éâZ,Êrig(ŸX) Ê##@ éârig(ŸXŸ) Ê##@ éârig(U) Ê##@ ,+Ê1

ßc(ŸX, Z) : éâc,Êrig(U) Ê##@ éâc,Êrig(ŸXŸ) Ê##@ éâc,Êrig(Z) Ê##@ .
1.

Le morphisme traceÊi
PROPOSITION 1.1. Ñ Soit X un k-schŽma de dimension n. Alors Hc,Êrig
(ŸXŸ) = 0 pour i > 2n.

Lorsque X est lÕespace afÞne •nk , on peut prendre †X = ænk , P = ^ænWÊ. Le tube ]ŸXŸ[ est alors laboule unitŽ fermŽe de lÕespace •KnÊÊan, et lÕŽnoncŽ rŽsulte de ce que son complŽmentaire estrŽunion de n ouverts de Stein. Dans le cas gŽnŽral, une rŽcurrence sur n permet de se ramener au cas o• X est afÞne et lisse. En le plongeant dans un espace afÞne et en appliquant lethŽor•me de normalisation de NÏther, on montre quÕon peut encore se ramener au calcul dela cohomologie de de Rham dÕun espace de Stein lisse de dimension n, ˆ support dans lecomplŽmentaire de la rŽunion de n ouverts de Stein.
Ê2n1.2. On veut construire un morphisme trace Tr X : Hc,Êrig
(ŸXŸ) @ K. Quitte ˆ composer avec lemorphisme trace pour une extension Þnie de K, il sufÞt de le faire apr•s une extension Þnie dek. On peut alors remplacer X par Xred et se ramener au cas o• il existe dans X un ouvert UafÞne, lisse et gŽomŽtriquement connexe tel que dim(ŸX • U) < n. La proposition prŽcŽdente
Ê2nentraine quÕil sufÞt de construire le morphisme TrU : Hc,Êrig
(U) @ K.
On suppose donc X afÞne, lisse et connexe. Soient X' un W-schŽma afÞne et lisse relevant X,†X' une compactiÞcation projective de X, f : †X'K @ SpecÊK. Le complexe ·†X' = fÊ!K est u nKcomplexe dualisant sur †X'KÊ, Žgal ˆ ãnX' [n] sur lÕouvert lisse X'K de †X'KÊ, et on dispose duKmorphisme trace éâ(Ÿ†X'KÊ, ·†X' ) @ K [4, VII 3.4]. Puisque ·†X' est ˆ cohomologie cohŽrente, leKKmorphisme éâ(Ÿ†X'KÊ, ·†X' ) @ éâ(Ÿ†XK'ÊÊan, ·Ê†Xan' ) est un isomorphisme. Comme XK'ÊÊan est u nKKvoisinage strict de ]ŸXŸ[ dans Ÿ†XK'ÊÊan, on obtient un homomorphisme
Ê0
ÊÊan
ÊÊan
Ê0
›Ê
›Ê
H]ŸÊnXŸ[(ŸXK'ÊÊan, ãnX'ÊÊan) Ê#@ HÊ0]ŸXŸ[(Ÿ†XK'ÊÊan, ·ÊÊ†Xan' ) Ê#@ H (Ÿ†XK' , ·†X' ) Ê#@ H (Ÿ†X'KÊ, ·†X' ) Ê#@ K.
K

K

K

K

Ên
ÊÊan
n
On montre alors que le composŽ H]ŸÊnXŸ[(ŸXK'ÊÊan, ãnÊ-Ê1
XK'ÊÊan) @ H]ŸXŸ[(ŸXK' , ãXK'ÊÊan) @ K est nul, de sortequÕon obtient une factorisation
Ö
2n
ÊÊan
TrX' : Hc,Êrig
(ŸXŸ) = H]Ÿ2nXŸ[(ŸXK' , ãX'ÊÊan) Ê##@ K.
K

Le morphisme TrX' ne dŽpend pas de la compactiÞcation †X' et ne change pas si lÕon remplace
X par un ouvert sans changer X'. Nous verrons quÕil ne dŽpend en fait que de X.
1.3. Soient i' : Z' Ì@ X' une immersion fermŽe de codimension r entre W-schŽmas quasiprojectifs et lisses, de rŽduction i : Z Ì@ X, n = dimÊX. A partir du morphisme de Gysin algŽbrique associŽ ˆ i', on obtient, en passant aux K-espaces analytiques rigides dŽÞnis par Z' et X',
et en appliquant le foncteur éâ]ŸXŸ[Ê, un morphisme de Gysin en cohomologie rigide ˆ supports
propres GZ'ÊÊ/ÊX',Êc : éâc,Êrig(Z) @ éâc,Êrig(ŸXŸ)[2r] (cf. [3] pour lÕanalogue sans condition de supports). Il rŽsulte alors des constructions faites que lÕon a TrX' ì GZ'Ê/ÊX',Êc = TrZ' sur HÊ2(nÊ-Êr)c,Êrig (Z).
1.4. Soient X un k-schŽma afÞne et lisse, et f : Y @ X un morphisme Þni Žtale de degrŽ d. Si
A = â(ŸX,ÊÊoX), B = â(Y, oY), si A', B' sont des W-alg•bres lisses relevant A et B, et si A“, B“ sontleurs complŽtŽes faibles, il existe un homomorphisme Þni Žtale Ä : A“ @ B“ relevant lÕhomomorphisme A @ B. Compte tenu de lÕisomorphisme entre cohomologie rigide et cohomologie
de Monsky-Washnitzer dans le cas afÞne et lisse [3, 1.10], Ä induit un morphisme trace Trf :éârig(YŸ) @ éârig(ŸXŸ) [3, 3.6]. DÕautre part, on peut montrer que Ä dŽÞnit un morphisme Þni- 4 -

Žtale entre un voisinage strict de ]YŸ[ et un voisinage strict de ]ŸXŸ[ (dans les espaces analytiques associŽs aux Þbres gŽnŽriques de Y' = SpecÊB' et X' = SpecÊŸA'). On en dŽduit u nmorphisme trace Trf,Êc : éâc,Êrig(YŸ) @ éâ c,Êrig(ŸXŸ). Le morphisme (1/Êd)Trf (resp. (1/Êd)Trf,Êc)
est alors un projecteur de éârig(YŸ) sur éârig(ŸXŸ) (resp. éâc,Êrig(YŸ) sur éâc,Êrig(ŸXŸ)).
PROPOSITION 1.5. Ñ Soit X un k-schŽma gŽomŽtriquement irrŽductible de dimension n. AlorsHÊ2nc,Êrig(ŸXŸ) est un K-espace vectoriel de dimension 1.
On peut remplacer X par un ouvert non vide quelconque U, ou par une compactiÞcation deU, et faire une extension Þnie du corps de base. On peut alors se rŽduire au cas o• X est afÞne
et lisse, relevŽ en X' afÞne, lisse et possŽdant une section sur W. Appliquant 1.3 ˆ celle-ci, onÊ2nvoit que dimK Hc,Êrig
(ŸXŸ) ³ 1. Lorsque X est un ouvert dÕun k-schŽma propre et lisse, il rŽsultedu thŽor•me de comparaison avec la cohomologie cristalline [3, 1.9] que lÕŽnoncŽ est vrai pour
X. Dans le cas gŽnŽral, le thŽor•me de de Jong [5, th. 4.1] permet de supposer quÕil existe dans
X un ouvert non vide U possŽdant un rev•tement Žtale V, o• V est un ouvert dÕun k-schŽma
Ê2npropre et lisse. DÕapr•s 1.4, HÊ2nc,Êrig(U) sÕinjecte dans H c,Êrig(VŸ), dÕo• la proposition.
PROPOSITION 1.6. Ñ Le morphisme TrX' dŽÞni en 1.2 est indŽpendant du choix de X'.
On peut supposer que X est gŽomŽtriquement connexe. Soient X'1 et X'2 deux W-schŽmas
afÞnes et lisses relevant X. Il existe un isomorphisme entre les complŽtŽs formels de X'1 et X'2Ê,et on peut prolonger cet isomorphisme en un isomorphisme ª entre des voisinages stricts V1 etanan
V2 de ]ŸXŸ[X' et ]ŸXŸ[X' dans X'Ê1,ÊK
et X'Ê2,ÊKÊ. On peut dÕautre part supposer qu'il existe une section
1

2

Y' = SpecÊW Ì@ X'1Ê, donnant, gr‰ce ˆ ª, une section Y' Ì@ X'2Ê. DÕapr•s 1.3 et 1.5, les morphismes de Gysin GY'Ê/ÊX' Ê,Êc sont des inverses des morphismes TrX' Ê. Il sufÞt donc de montreriique GY'Ê/ÊX' Ê,Êc est indŽpendant de i, ce quÕon dŽduit de la description explicite du morphisme dei
Gysin en coordonnŽes locales.
On notera dŽsormais TrX le morphisme trace dŽÞni en 1.2.
1.7. On montre que le morphisme trace vŽriÞe les propriŽtŽs suivantesÊ:Ê2n(i) Si X est propre et lisse sur k, lÕisomorphisme de comparaison HÊ2nc,Êrig(ŸXŸ) = Hrig(ŸXŸ) –HÊ2ncris(ŸXŸ) ¢ K [3, th. 1.9] identiÞe les morphismes trace en cohomologie rigide et en cohomologie cristalline.
Ê2n(ii) Sous les hypoth•ses de 1.4, le morphisme Trf,Êc : HÊ2nc,Êrig(YŸ) @ Hc,Êrig(ŸXŸ) commute aux
morphismes traces TrY et TrXÊ.
2.

DualitŽ de PoincarŽ

En gardant les m•mes notations, on vŽriÞe facilement le lemmeÊ:LEMME 2.1. Ñ Soient E, F deux faisceaux de K-espaces vectoriels sur le tube ]Ÿ†XŸ[ de †X dans
P. Il existe un isomorphisme canonique›homK(ÊjÊ“ÊX ÊE, F) Ê##@ â]ŸXŸ[(homK(E, F)).
Par adjonction, on en dŽduit que tout accouplement EÖ ¢K FÖ @ GÖ entre deux complexes deÖÖÖK-espaces vectoriels sur ]Ÿ†XŸ[ dŽÞnit un accouplement jÊ“ÊX ÊE ¢K â]ŸXÊ[ÊF @ â]ŸXÊ[ÊG .
2.2. Soient Z Ç X un sous-schŽma fermŽ, U = X • Z. Appliquant ce qui prŽc•de ˆ une rŽsolution injective iÖ de ãÖ]Ÿ†XŸ[Ê, ˆ un accouplement iÖ ¢K iÖ @ iÖ prolongeant celui de ãÖ]Ÿ†XŸ[Ê, et aux
deux ouverts X et U de †X, on obtient par passage ˆ la cohomologie un accouplement
éâZ,Êrig(ŸX) ¢K éâc,Êrig(Z) Ê##@ éâc,Êrig(ŸXŸ),- 5 -

indŽpendant des choix faits. En composant avec le morphisme trace dŽÞni en 1.6, on en dŽduit
le morphisme de dualitŽ
(2.2.1) ÚZ,ÊX : éâZ,Êrig(ŸX) Ê##@ éâc,Êrig(Z)«[-2n] := éHomK(éâc,Êrig(Z), KŸ)Ÿ[-2n],notŽ ÚX lorsque Z = X. Il sÕins•re dans un morphisme de triangles distinguŽs
(2.2.2)(ÚZ,ÊXÊ, ÚXÊ, ÚU) : ßrig(ŸX, Z) Ê##@ éHomK(ßc,Êrig(ŸX, Z), KŸ)[-2n].

2.3. En utilisant 1.3, 1.4 et 1.7, on vŽriÞe que les morphismes (2.2.1) satisfont les propriŽtŽs
suivantesÊ:(i) Si X est propre et lisse, le morphisme ÚX sÕidentiÞe (via [3, th. 1.9]) au morphisme dedualitŽ de PoincarŽ en cohomologie cristalline.
(ii) Si f : Y @ X est un morphisme Þni Žtale entre k-schŽmas afÞnes et lisses, les morphismes ÚXÊ, ÚY et les morphismes trace dŽÞnis en 1.4 sont compatiblesÊ: on a ÚX ì Trf = (ŸfÊ*)« ì ÚYÊ,Ú ì fÊ* = (Tr )« ì Ú .
Y

f,Êc

XÊ

(iii) Sous les hypoth•ses de 1.3, les morphismes ÚZ,ÊXÊ, ÚZ sont compatibles au morphisme de
GysinÊ: on a ÚZ,ÊX ì GZ'Ê/ÊX' = ÚZÊ.
THƒORéME 2.4 (DualitŽ de PoincarŽ). Ñ Soient X un k-schŽma lisse, Z Ç X un sous-schŽma
fermŽ. Le morphisme de dualitŽ (2.2.1) est un isomorphisme.
La dŽmonstration sÕeffectue par une double rŽcurrence analogue ˆ celle quÕon utilise dans
[3, 3.3] pour dŽmontrer le thŽor•me de Þnitude. On prouve alternativementÊ:(a)n Pour tout k-schŽma lisse X tel que dim X ² n, le morphisme ÚX est un isomorphisme.
(b)n Pour tout k-schŽma Z tel que dimÊZ ² n, et toute immersion fermŽe Z Ì@ X, o• X est
un k-schŽma lisse, le morphisme ÚZ,ÊX est un isomorphisme.
LÕassertion (a)0 est claire, et elle entra”ne (b)0 en appliquant la propriŽtŽ 2.3 (iii). Pour
prouver que (b)n-1 entra”ne (a)nÊ, on remarque dÕabord que (a)n est vraie lorsque X est propre etlisse, dÕapr•s 2.3 (i). Gr‰ce ˆ (b)n-1 et au morphisme de triangles (2.2.2), il en rŽsulte que (a)n
est vraie pour tout ouvert dÕun k-schŽma propre et lisse. Si X est un k-schŽma lisse quelconque, le thŽor•me de de Jong permet de supposer quÕil existe une altŽration gŽnŽriquementŽtale f : X' @ X telle que X' soit un ouvert dÕun k-schŽma projectif et lisse. Soit U un ouvertafÞne de X tel que dim(ŸX • U) < dim(ŸXŸ), et que U' = fÊ-1(U) soit Þni Žtale sur U. DÕapr•s 1.4,
les complexes éârig(U) et éâc,Êrig(U)« sont facteurs directs de éârig(U') et éâc,Êrig(U')«, et,dÕapr•s 2.3 (ii), les morphismes ÚU et ÚU' sont compatibles aux inclusions et aux projecteursdŽÞnis par la trace de f. Comme ÚU' est un isomorphisme, il en est de m•me de ÚUÊ, et donc deÚX en utilisant ˆ nouveau (b)n-1 et les triangles (2.2.2).
Pour prouver que (a)n et (b)n-1 entra”nent (b)nÊ, on vŽriÞe que, gr‰ce ˆ (b)n-1Ê, on peut seramener par excision au cas o• Z est lisse, X afÞne, et lÕimmersion Z Ì@ X relevable en une
immersion Z' Ì@ X' entre W-schŽmas afÞnes et lisses. La propriŽtŽ 2.3 (iii) permet alors deconclure gr‰ce ˆ (a)nÊ.
Remarque. Ñ Dans la situation considŽrŽe en 1.3 et 2.3 (iii), le morphisme GZ'Ê/ÊX' (resp.
GZ'Ê/ÊX',Êc) est dual du morphisme de fonctorialitŽ éâc,Êrig(ŸXŸ) @ éâc,Êrig(Z) (resp. éârig(ŸXŸ) @éârig(Z)), et est donc indŽpendant du rel•vement Z' Ì@ X' (question laissŽe ouverte dans [3]).
3.

Formule de KŸnneth

3.1. Pour i Ô {1, 2}, soient Xi un k-schŽma, Zi Ç Xi un sous-schŽma fermŽ, †Xi une compactiÞcation de XiÊ, †Xi Ì@ Pi une immersion fermŽe de †Xi dans un W-schŽma formel lisse au
voisinage de XiÊ, pi : ]Ÿ†X1 | Ÿ†X2[ @ ]Ÿ†Xi[ le morphisme induit par la projection, Ei un faisceau de- 6 -

K-espaces vectoriels sur ]Ÿ†XiŸ[. Il existe des accouplements canoniques
“
Ê-1
“
“
Ê-1
Ê-1
pÊ-1
1 (â]Z [(E1)) ¢K p2 (â]Z [(E2)) Ê##@ â]Z Ê|ÊZ [(Ÿp1 (E1) ¢K p2 (E2)),
1

2

1

2

Ê-1
Ê-1
Ê-1
pÊ-1
1 (â]ÊX [(E1)) ¢K p2 (â]ÊX [(E2)) Ê##@ â]ÊX Ê|ÊX [(Ÿp1 (E1) ¢K p2 (E2)).
1

2

1

2

On en dŽduit des morphismes de KŸnneth, compatibles aux morphismes de fonctorialitŽÊ:(3.1.1)éâZ Ê,Êrig(ŸX1) ¢K éâZ Ê,Êrig(ŸX2) Ê##@ éâZ Ê|ÊZ Ê,Êrig(ŸX1 | X2),

(3.1.2)éâc,Êrig(ŸX1) ¢K éâc,Êrig(ŸX2) Ê##@ éâc,Êrig(ŸX1 | X2).

1

2

1

2

Pour X2 ÞxŽ, ces morphismes sÕins•rent dans des morphismes de triangles distinguŽs
(3.1.3)

ß(ŸX1Ê, Z1) ¢K éârig(ŸX2) Ê##@ ß(ŸX1 | X2Ê, Z1 | X2),

(3.1.4)

ßc(ŸX1Ê, Z1) ¢K éâc,Êrig(ŸX2) Ê##@ ßc(ŸX1 | X2Ê, Z1 | X2).

THƒORéME 3.2. Ñ (i)ÊÊSi X1 et X2 sont lisses sur k, le morphisme (3.1.1) est un isomorphisme.
(ii) Quels que soient X1 et X2Ê, le morphisme (3.1.2) est un isomorphisme.
3.3. Outre (3.1.3) et (3.1.4), la dŽmonstration utilise les propriŽtŽs suivantesÊ:(i) Si, pour i = 1, 2, Xi est propre et lisse sur k, et Zi = XiÊ, les morphismes (3.1.1) et (3.1.2)
sÕidentiÞent au morphisme de KŸnneth en cohomologie cristalline.
(ii) Si, pour i = 1, 2, Xi est afÞne et lisse sur k, fi : Yi @ Xi est un rev•tement Žtale, et Zi = XiÊ,les morphismes (3.1.1) (resp. (3.1.2)) relatifs ˆ X1 et X2 dÕune part, Y1 et Y2 dÕautre part, commutent aux morphismes Trf ¿ Trf et Trf Ê|Êf (resp. Trf Ê,Êc ¿ Trf Ê,Êc et Trf Ê|Êf Ê,Êc) dŽÞnis en 1.4.
1
2
1
2
1
2
1
2
(iii) Si, pour i = 1, 2, Z'i Ì@ X'i est une immersion fermŽe entre W-schŽmas quasi-projectifs
et lisses, de rŽduction Zi Ì@ XiÊ, les morphismes (3.1.1) relatifs ˆ Z1 et Z2 dÕune part, X1 et X2dÕautre part, commutent aux morphismes de Gysin GZ' Ê/ÊX' ¿ GZ' Ê/ÊX' et GZ' Ê|ÊZ' Ê/ÊX' Ê|ÊX' Ê.
1

1

2

2

1

2

1

2

3.4. Une fois ces propriŽtŽs Žtablies, la dŽmonstration de 3.2 (i) sÕeffectue de mani•reanalogue ˆ celle de 2.4, en prouvant par une double rŽcurrence les assertions suivantesÊ:(a)n Pour tout couple (ŸX1Ê, X2) de k-schŽmas lisses tel que dimÊX1 + dimÊX2 ² n, le morphisme éârig(ŸX1) ¢ éârig(ŸX2) Ê#@ éârig(ŸX1 | X2) est un isomorphisme.
(b)n Pour tout couple de k-schŽmas lisses (ŸX1Ê, X2), et tout couple de sous-schŽmas fermŽs
(Z1, Z2) de X1 et X2 tels que dimÊZ1 + dimÊZ2 ² n, le morphisme (3.1.1) est un isomorphisme.
La dŽmonstration de 3.2 (ii) se fait par une rŽcurrence simple du m•me type.
Remarque. Ñ La m•me mŽthode permet de prouver que la cohomologie rigide commute ˆ une
extension arbitraire du corps de base.

RŽfŽrences bibliographiques[1] Berthelot P., 1986. GŽomŽtrie rigide et cohomologie des variŽtŽs algŽbriques de caractŽristique p,
JournŽes d'analyse p-adique (1982), in Introduction aux cohomologies p-adiques, Bull. Soc. Math. France,MŽmoire 23, p. 7-32.
[2] Berthelot P., 1996. Cohomologie rigide et cohomologie rigide ˆ supports propres, Premi•re partie(version provisoire 1991), PrŽpublication IRMAR, 96-03, UniversitŽ de Rennes (1996).
[3] Berthelot P., 1997. Finitude et puretŽ cohomologique en cohomologie rigide, Inventiones Math 128,
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