特別寄稿
金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法 1 
安岡 孝司＊2014 年 9 月 15 日投稿

概要 本稿は金利モデルを金利リスク評価に使う方法を実務向けに説明するものである．はじめに金利リスク評価の基本事項を無裁定価格理論との関連で説明する．そして HJM モデルでリスクの市場価格の定義を確認し，その推定法に関する考察を行う．次にガウシアン HJM モデルでリスクの市場価格を推定する方法を示し，それを使った金利シミュレーションの性質を理論的に説明する．またリスクの市場価格を金利の状態ではなく，金利変動のトレンドによって説明できることを示す．最後に金利シミュレーションの実現法をエンジニアリングの観点で考え，例としてハルホワイトモデルへの適用法と注意点を述べる．

キーワード：金利リスク，金利シミュレーション，リスクの市場価格，現実確率，ガウシアン HJM モ
デル

1 はじめに
 保険会社のソルベンシ―リスクの評価において，に不確実な変動と確定的なドリフト（トレンド）を合理的に反映させること」に尽きる．
主成分を使う手法は不確実な変動をモデル化し金利リスクについては，金利変動の主成分を使ってたことにはなるが，トレンドを反映したことにはな

金利シナリオを生成する手法が用いられている．金らない．実際，1990 年以前の数年間は極端な金利利シナリオを現実確率下でモデル化することの意

上昇局面であり，その後は 20 年以上に及ぶ金利低味をよく考えると，主成分のみのモデルが認められ下局面である．これをトレンドと考え，主成分からている状況には危ないものを感じる．

生成する金利シナリオに重ね合わせる必要はない「現実確率下のモデル」の意味は，なかなかひとのだろうか．トレンドを反映させる場合でも，直近ことでは説明できない．このテーマを考え続けてきのデータを重視するという考え方で，金利低下局面たこともあり，なんとか一言で言えるようになってのトレンドを重ね合わせてもよいのだろうか．あるきた．極めて平凡だが，「金利変動のシナリオ生成

いは 30 年ほどの長い観測期間のデータを使えば合*芝浦工業大学大学院 工学マネジメント研究科

1 本研究の一部は JSPS 科研費 26380399 の助成を受〒108-0023 東京都港区芝浦 3-9-14

けたものである．

yasuoka@shibaura-it.ac.jp

リスクと保険35

理的といえるのだろうか．リスク管理の観点でどうあるべきかの議論が行われていないように思う．

スク評価に使うときは現実確率でのモデルに戻して計算しなければならない．その鍵はリスクの市場

また，リスク評価の高度化のため，ネスティドシ

価格の推定である．その方法は計量経済学の観点でミュレーションに取り組む場合，HJM モデルなど

い く つ か 報 告 さ れ て い る （ Stanton[1997] ，の無裁定な金利モデルを使うと，金利シナリオにプ

Dempster et al.[2010]など）．それらは短期金利モ

ラスのドリフトが生じる（理由は 4.5 節に記述）．主デルベースでの内容なので，長短金利のリスク管理

成分だけで金利シナリオを作った場合はドリフトに使うにはフォワードレートモデルでの方法論ががゼロのモデルである．したがって，モデルの高度必要である．この問題について LIBOR マーケット化に取り組む金融機関のほうが金利上昇リスクのモデル（Brace et al.[1997]，Musiela-Rutkowski

評価では不利である．

[1997]，Jamshidian [1997]）のケースでひとつの筆者が経営者なら，ネスティドシミュレーション方法を示すことができた（Yasuoka[2013]）．同じこ

モデルの開発をストップし，主成分による方法を採とを HJM モデル（Heath et al.[1992]）で展開した用する．技術開発のコストと，金利リスク量のふたところ，さらに明快に説明できるようになったつを同時に削減できるからである．このおかしな状（Yasuoka[2015]）．後者のほうがわかりやすいので，

況になっていることに疑問が上がってこないのは，

本稿は HJM モデルで説明するが，エッセンスは現実確率下のモデルでリスク評価をすることの意

LIBOR マーケットモデルのときと同じである．

味が解明されていなかったからである．

3 章では HJM モデルでリスクの市場価格の定義を確認し，その推定法に関する考察を行う．4 章は十数年前，ある都市銀行の若手行員が「リスク管ガウシアン HJM モデルでリスクの市場価格を推定理のためのシミュレーションは現実確率の下で計する方法を示し，それによって導かれるシミュレー

算すべきである．そのためには "リスクの市場価格"

ションモデルの性質を体系的に説明する．またリスを推定してリスク評価しなければならない」と，リ

クの市場価格を金利の状態ではなく，金利変動のト

スク管理部に提言した．すると「そのようなわからレンドによって説明できることも示す．5 章では金ないものは扱えない」と却下された．この昔話を聞

利シミュレーションを実現するときの課題や注意いたのは 2012 年の夏である．その行員は後に大学点についてエンジニアリングの観点で説明する．そ教師になったので，2000 年前後の話であろう．社

してハルホワイトモデルで実現する方法について

会の変化はますます速くなっているにも関わらず，述べる．6 章では国内の金利データを使った計算例

この状況は十年以上経った今日でもまったく変わを示す．

っていない気がする．しかしながら，上述のソルベ
ンシーリスクの評価など，現実確率で考えるべき課
題の重要さは確実に増している．

2 金利リスク評価に関する基礎事項

決して十分とはいえないが，この問題に少し答え

この章では無裁定価格理論を扱うが，リスク管理者

られるようになってきた．金融機関でリスク管理や向けの内容であり，直観的な説明になっていること

ＡＬＭに関わる人は，必ずしも金融工学の専門家でをお断りしたい．

はない．そのような人達に，金利モデルで金利リスクを測るためにはどうあるべきか，何に注意すべきかを広く伝えることが本稿の目的である．

36

2.1 金利リスクと VaR
金融資産には市場リスクや信用リスクなどが内

本稿の 2 章では金利リスク評価と無裁定モデルの在している．市場リスクとは金利，為替，株価変動

考え方を実務の目線で確認する．金利モデルはリスなどに起因する資産価格の変動リスクで，とくに金ク中立なモデルとして実用化されているが，金利リ利変動による価格の変動リスクを金利リスクとい金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

う．金利リスクには金利感応度（金利変化当たりの2.2 VaR を現実確率で計算する理由としない理由

価格の変化）という尺度がある．本稿では金利感応

VaR の計測にはヒストリカルデータを使うヒス

度を扱わないので，”金利リスク”を金利変化に対すトリカル法，分散共分散法，モンテカルロシミュレ

る資産価格の下方リスクの意味で使う．

ーションなどがある．本稿では金利モデルのモンテ

本稿で扱う債券は，断りがなければ無リスクなゼ

カルロ法によるリスク評価を考える．

ロクーポン債である．また簡単のため，確率という金利モデルは実用時にリスク中立確率下でモデ用語を二つの意味で使う，ひとつは確率測度であり，ル化されているので，これを現実確率下でモデル化

もうひとつはその測度下で測った確率である．文脈する必要がある．現実確率（real-world measure，からどちらかわかるのでとくに混乱はないであろactual measure）とは我々が市場データを観測してう．

推定する確率のことである．たとえば金利が 1 年で金利リスクの大きさを測るポピュラーな尺度は200bp 上昇する確率が経験的に 100 年に一度なら，バリューアットリスク（VaR）である．これは学者

そ れ が 現 実 確 率 で あ る ． し た が っ て marketに不人気で，より優れたリスク尺度を考える研究がmeasure，historical measure，objective measure

盛んに行われている．実務でも条件付き VaR( CVaR,とも呼ばれる．また，サイコロを振って 1 が出る確

CTE )が一部では導入されているらしい．将来，リ率が 1/6 であることも現実確率である．一方リスクスク尺度が VaR 以外のものに変わるかもしれない

中立確率は無裁定価格を計算するときに使われるが，電球が古くなれば，新しいものに換えればよい．

人為的な確率である．これについては 2.5 節と 3.1

どのような尺度に変わっても本稿の議論は適用で節で説明する．
この節では VaR を現実確率で評価しなければなきるはずである．
資産価格の損失分布を予想し，99%の確率でそのらない理由を考えてみたい．そのために満期日まで損失を超えないという額を 99%VaR という．これは１年の無リスクでゼロクーポン債券を考える．この

99%VaR 以上の損失を被る確率が 1%残されている債券の償還価格は満期日の 6 か月 LIBOR によってという意味でもある．95%VaR や 97.5%VaR も同様決まるとしよう．図 2 のように LIBOR が 5%未満である（図 1）．計算上の損失はマイナス値だが，なら 100 円で償還されるが，5%以上のときは 0 円

VaR はプラス値で表される．VaR の基本的な知識に（無価値）で返ってくるものとする．一種のデジタ

ついては FFR+[2010]などを参照のこと．

ルボンドである．この債券を 95 円で購入した場合

資産価格の変動を引き起こすリスクファクターの 99%VaR を測りたい．

には株価，金利，為替の変動や信用力の変化などがこのようなオプション性の債券は金利モデルである．とくに金利変動による VaR を金利 VaR と呼価格を計算する．そのときに使われる確率はリスク

ぶが本稿では金利 VaR しか扱わないので，
単に VaR

中立確率である．簡単のため割引率を 1 として考え

で表す．

ている．

99%VaR

100 円
0

損失

99%
図 1 予想損失額の確率分布と VaR（左側ほど損失が大きい）

0円
0

5

LIBOR（%）

LIBOR

図 2 デジタルボンドの満期でのペイオフ

リスクと保険37a) リスクの市場価格の計算がわからない．

b) 金利上昇リスクを考えた場合，リスク中立確

表  評価する確率測度によって VaR が変わる
リスク
中立確率

率で計算したほうが現実確率より安全側評価に
なる．

現実確率

償還額 100 円の確率（%）

95

99.5

償還額 0 円の確率（%）

5

0.5

99%VaR （損失）

95

－5



a) は技術．理論上の限界なので仕方がないが，本稿はそれがすでに限界ではないということを説明するものでもある．b）は経験的にリスクの市場価格
はマイナス値なので，現実確率で計算すると金利が低めになるという考え方である．これは a）に比べこの確率で１年後の LIBOR が 5%未満である確

ると，はるかに高度な知見に基づく考え方だが，直率が 95%としよう．この債券の時価は 95 円である．

感的な解釈であり，合理的な根拠は見当たらない．

これが 100 円で返ってくる確率は 95%である．した

リスクの市場価格がプラス値を取る可能性についがって 99%VaR は 95 円（= 95－0，損失）である．
一方ヒストリカルデータを分析し，１年後のLIBOR が 5%未満になる確率が 99.5%と予想できたとしよう．これが現実確率である．満期日に 100 円

2.3 現在価値ベースの VaR

VaR の計算時に 1 年後の金利変動を想定する場合，

で返ってくる確率は 99.5%あるので VaR は－5 円

債券なら残存期間が 1 年分短くなることとクーポン（=95－100，利益）である．

収入の効果を考える場合と考えない場合がある．前

資産価格が，使う確率に依存しないことは 2.6 節

者は実務では収益シミュレーションなどで使われで説明するが，この例は，VaR が使う確率によってる考え方である．後者は 1 年間に想定しうる金利変値が異なることを示す．本来なら VaR は現実確率

動を今日の金利に足した金利状況下で，ポートフォ

で測らなければならないが，その方法はほとんど研リオなどの時価を測るので時間の経過を考えない．

究されていなかった．金融の現場ではリスク中立確

後者の方法は簡単なので広く使われていると思率で VaR を計算しているのが実状と考えられるし，うが，一般的な議論を展開するため，ここでは前者

規制側もそれ以上求めていない．しかし，例えばの方法を考える．これは VaR を現在価値ベースで

LIBOR マーケットモデルではスポット LIBOR メ

測る方法でもある．

ジャーやフォワードメジャーなど，さまざまなリス

年１回払いのクーポンが 1 円の超長期の無リスク

ク中立確率が使われているので，扱う測度によって債券を考える．市場金利を 1%フラットと仮定する

VaR が異なるという面倒なことになっている.

と，この債券の今日の価格は 100 円としてよい．こ

リスク管理の手法をいくつかの金融機関に私的にヒヤリングした範囲では，「問題はわかっている
が方法がないので，リスク中立確率で計算している」との回答が多かった．また金融ソリューションのベれの１年後の価格の確率分布を推定し，99%信頼区間の価格を 90 円としよう．単純計算では
100－90 =10      （円）より，99%VaR は 10 円（損失）である．

ンダーに尋ねたこともある．問題意識のない担当者

実際には債券は金利分の価格上昇（利付国債の場もいたし，まったく見当違いな根拠を盾に「リスク合の利子）を期待できるので，その効果を考える必

中立確率でやればよい」と断言する担当者もいて，要がある．簡単のため１年後がこの債券の利払い日

あきれたこともあった．

とする．金利変動がなければ，1 年後の債券価格はリスク中立確率で金利 VaR を測っている状況の38ては 4.4 節で指摘する．
 

100 円のままである．これにクーポン収入を加える

理由はさまざまだが，大きくわけて以下の二つであと，１年後の価値は 101 円である．それが 90 円にる．

下がるなら 11 円の損失と考えたほうが合理的であ

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

る．これは１年後の損失なので，その損失を現在価値に割引いて，
11÷1.01=10.89     （円）を VaR とする．
図 3 はこの債券の１年後の価値の確率分布の様子を表したもので，期待値を 101 円，99%値を 90 円としている．1 年後の 90 円の現在価値は 89.11 円なので，現在価値で差をとると，100 円との差額から
100－89.11=10.89

  

(円)

となる．この計算から VaR を 10.89 円としても上と同じ結果である．
金利モデルを使う場合は，1 年後の確率分布を現実確率で求め，99%値を割り引けば現在価値ベースの VaR を求めることができる．






1%で割引






で売ると赤字になる．逆にこの宝くじをすべて買い占める人がいれば，その人はすべての当たりくじを手に入れるので，100 円以上では買わない．期待値の 100 円という価格でしか売買が成立しないので，
宝くじ A の価値は 100 円と考えてよい．
つぎに別の宝くじＢを考える．当選発表が 1 か月後で，その日の 1 ドルが 120 円以上なら 1 万円もらえ，120 円未満ならハズレである．1 ドルが 120 円以上になる現実確率を 1%として，宝くじの価値を考えてみたい．これは為替オプションの一種なので，

１万円当選
1%
宝くじ A
100 円

 １年後



売り手は当選本数がわかっているので，100 円以下

１年後の
債券価格



 現在

なので，100 円と答えるのがふつうである．またそれ以上に説明力のある評価法はない．この宝くじの適切なオプションモデルで計算した結果が 200 円

99%値 期待値
90 円
101 円



10000×0.01＋0×0.99 = 100 （円）

89.11  100
VaR=10.89 円
図 3 現在価値ベースで VaR を計算



宝くじ B
200 円


2.4 無裁定価格の意味

ハズレ
99%

 宝くじ A

宝くじ B

1 万円受取 1%
1 ドル 120 円以上
ハズレ 99%
1 ドル 120 円未満

現実確率の概念を意識し始めると資産価格とは何かという疑問に帰ることが多い．金融工学の体系では初めに通過するテーマで，いつの間にか忘れているので，簡単な例で考えてみよう．
1 か月後に当選発表がある宝くじＡを考える．当たる確率は販売数と当選数からわかり，それは現実確率である．1%の確率で賞金 1 万円がもらえ，残りの 99%は外れのとき，この宝くじの価値はいくら

A の買い
B の売り

A の買いと B の売り

9800 万円損失
1%の確率

200 万円利益
99%の確率    図 4 ２つの宝くじだろうか？簡単のため売り手の収益はないものとし，現在価値への割引は無視して考える．
この宝くじの受取の期待値はリスクと保険39だったとしよう．A と B は購入者にとって確率的にの計算で 200 円である．1 ドル 120 円以上になる確

同じ経済効果なのに，なぜ価格が違うのだろうか．

率を 2%と仮定すると，B の期待値は市場価格の 200

その答えは複製できるか，あるいは裁定取引ができ円に等しいことになる．リスク中立確率とはこのよるかの違いである．例として次の取引を考えるとような確率のことであり，「市場価格を説明する確率」

くわかる．
宝くじ B を 1 万枚売り 200 万円を得る．

と考えても大きく間違ってはいない．

その資金で宝くじ A を 2 万枚買う．ざっと見積もれもう一度宝くじ A の価格を考えてみよう．A の価

ば 2 万枚の 1%の 200 枚が当たるとして，200 万円

値は当選発表日に為替レートとは無関係に突然決を得ると考えてよい．

まる．これは他の資産で複製できないので裁定され宝くじ B の支払いは 99%の確率で１ドル 120 円

ることはない．また 100 円である限り，売り手と買未満であり，支払いがゼロなので，この場合は 200

い手のどちらにも有利不利が生じないことはすで万円の利益である．運悪く 1 ドル 120 円以上になっに述べたとおりである．したがって金融資産の価格たときは，1 万円を 1 万枚分つまり 1 億円支払う．

は裁定されない価格の意味で計算され，それはリス

売上は 200 万円なので，結果として 9800 万円の損

ク中立確率での期待値と考えるとわかりやすい．し失になる．まとめると，この取引は 99%の確率でかし前節で述べたように，VaR は現実確率で計算し200 万円の利益だが，1%の確率で大損するので，裁なければならない．もちろん現実確率でも無裁定価定機会ではない．

格の計算は可能である．それについては 2.6 節で説A と B との間では裁定取引ができないのである．

明する．

実務では 99%の確率で儲かるなら裁定取引というが，金融工学では厳密に区別して考える．
次に C を 1 ケ月後の満期に 1 ドルで償還される米国債とする．C の保有数をドル円レートの変動に合B 200 円ものとする．この間，C を買う資金が不足すれば借C のポートフォリオ
200 円

金し，余れば預金することにし，投入資金の増減はT=0

わせて増減させ，1 ケ月後に B と同じ価値に出来るないものとする．B をオプションだと考えれば，これは B を売った側のダイナミックヘッジと同じで

１万円

０円

１年後
図 5 ＢをＣで複製ある．図 5 はこのイメージを表す．
このとき B は C で複製されたという．B の無裁定価格が 200円ということは Cのポートフォリオの

厳密な意味での無裁定条件は Harrison-Kreps

t =0 での価格（価値）が 200 円であることを意味す[1979]と Harrison–Pliska[1981]で説明されている．

る．そうでなければ C と B の間で裁定が起きるか

本稿は金利リスクを考えているので債券のみの市らである．つまり無裁定価格とはなんらかの安全資場についての無裁定モデルの考え方を説明する．こ産で複製されても裁定されない価格という意味をの場合も深い議論が背景にあるが，詳細はバクスタ

持つ．
したがって B の市場価格は 200 円でよいのでー[2001]などを参照のこと．
ニューメレール（基準財）とは投資のパフォーマある．
次に 1 ドル 120 円以上になる確率を 2%，120 円

ンスを比較するベンチマークのようなものである．

未満の確率を 98%と仮定してみよう．この確率で期HJM モデルでは瞬間的短期金利 r（t ） による無待値を取ると B の価値はリスクな資産運用（savings account）をニューメレ

10000×0.02＋0×0.98 = 200 （円）40

2.5 無裁定条件の考え方

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法ールとしている．それは次式で定義される．



B * (t )  exp 0t r ( s )ds  B (1) 
B5 ( 0 ) EQ 2  5  
B 2 ( 0) B2 (1) （2.1）

時刻 t における満期 T の債券価格を B(t, T ) で表す．
Harrison-Pliska[1981]によると，市場が無裁定であが成立する．ここで EQ2[ ] は Q2 での期待値であることと，P と同値な確率測度 Q が存在して，る（図 6）．ニューメレールは 5 年債でもよい．このB（t，T ）/ B *(t ）が Q でマルチンゲールになる

場合，別のリスク中立確率 Q5 ～P が存在し，ことは同値である．Q はリスク中立確率，あるいは

 B (1) B 2 ( 0) EQ 5  2  
B 5 ( 0)
 B5 (1) 

マルチンゲール測度と呼ばれる．
Q と P が同値とは，ある事象の確率を Q で測ってゼロなら Ｐで測ってもゼロであり，その逆も成立することである．このとき Q～Pが成立する．

で表す．

Q2や Q5 はフォワードメジャーとも呼ばれる．そマルチンゲールとは，かなり直観的に言ってしまれに対して Q は savings accountをニューメレール

うと，将来の期待値が現在値と変わらないということするときのマルチンゲール測度であることからとである．B（t，T ）/B *(t ）の場合はスポットメジャーと呼ばれる．



B(0, T ) / B * (0)  E Q B(t , T ) / B * (t )   （2.2）



が成立していると考えておけばよい．厳密には同様

の等式が任意の時刻 t で成立していることだが，そ

の説明は手間なわりに難解なので省略したい．マル

チンゲール過程のことをわかりやすく解説してある教科書としては，たとえばバクスター(2001)があ



る．





(2.2)は債券への投資パフォーマンスをベンチマ

ークとの比でみると，期待値ベースではどちらも同

B 2(0)

B 5(0)

B 2(1)

B 5(1)

B5 (0)
B2 (0)

B5 (1)
B2 (1)

２年債をベンチマークにした場合

図 6  2 年債と 5 年債の投資比較

じということを意味している．あるいは，ニューメ
レールに投資しても長期債に投資しても投資のリ

ターンは期待値として同じということでもある．これは実際に実現するかということではなく，（2.2）

2.6 資産価格の計算とニューメレール ニューメレールには何を使ってもよいわけではが成立するような確率測度が存在すれば，そのモデないので，この点について少し説明しておこう．たルで算出した債券価格は裁定されないということ

とえば前節の B2，B5 からなる市場を考える．B2，

である．リスク中立確率はニューメレールによってB5 がどのような性質をもつものであっても，うまく変わるので一意的なものではない．

価格過程 N (t ) を定義すれば，B 2 (t ) /N (t ) と無裁定条件の意味を満期まで 2 年と 5 年の債券か

B 5 (t )/N (t ) がマルチンゲールになる測度を構成らなる市場の例で考えてみよう．時刻 t でのそれぞ出来るかもしれないからである．優秀なクォンツがれの価格を B 2（t），B 5（t ）で表す．

それを無裁定モデルだと論じたら，反論できる金融

2 年債をベンチマーク（ニューメレール）とする

マンはほとんどいない．そのような混乱に陥らないと，市場が無裁定ならリスク中立確率 Q２ ～P が存

ために忘れてはならないことは，ニューメレールは在して

投資のベンチマークに使える無リスク資産である
ことと，市場で取引可能なものに限られるということである．これは実務の感覚でいうなら，取引コス

リスクと保険41

トが僅少で流動性の高いということになる．またニである．これの価格過程は無リスク債券の価格過程

ューメレールの価格は相対価格の分母に使われるよりもずいぶん複雑になるので，マルチンゲールメ

ので，ゼロ円以下にならないことも必要である．

ジャーを具体的に構成することはそれほど簡単で

例えば，短期金利 r (t ) は資産ではないので，ニューメレールには使えない．金利を取引するというはない．したがって，転換社債をニューメレールに使う人はまずいない．

意味で金利先物があるが，これは差金決済の金融取さらに，転換社債と普通社債と株式オプションか引である．資産価値という意味で考えても，取引開らなる市場を考えたとき，投資のベンチマークには

始時はゼロで，その後プラスになったりマイナスに普通社債を使うのが自然である．転換社債をベンチ

なったりする．したがってニューメレールには使え

マークに使う人は少ないのではないだろうか．

ない．オプションは資産の一種だが，満期日の価格

ニューメレールを取り換えると対応するリスク中がゼロになる場合があるので，これもニューメレー

立確率測度も変わるが，ニューメレールの選び方にルには使えない．

寄らず，資産価格は同じである．これは次のように（2.1）の savings account は瞬間的短期金利によ表される．N1 (t )，N2 (t ) をニューメレールとし，る安全資産運用なので，理論上は取引可能な資産でそれぞれに対応するリスク中立確率測度を Q1，Q2ある．瞬間的金利は現実の市場に存在しないが，実（～P）とする．Q1，Q2 の下での期待値を E1[

務ではオーバーナイト金利による運用に該当してE2[ ] で表す．ある証券（オプションや債券）の価

いる．長期のゼロクーポン債も理論上の取引可能な格を C (t ) とし，時刻 T での価格 C (T ）がわかっ

資産であり，ニューメレールに使われる．これは現ているとき，時刻 0 での価格 C (0 )は

実には発行されていないが，実務では国債市場のゼ C (T )  C (T ) C ( 0)  N 1 ( 0) E 1   N 2 ( 0) E 2  N 1 (T )  N 2 (T ) ロクーポンレートから導かれる割引率（あるいはLIBOR/スワップレートから導かれる割引率）を債券価格にみなしたものに該当する．
また，資金の出し入れなし（自己充足的）でニで表されることが知られている．詳しくはバクスタ
ー[2001]などを参照のこと．

ューメレール資産を買い替えていくものでもよい．

 次に現実確率 P での無裁定価格の計算を示すが，短期債を買って満期に売り，その資金で次の短期債

その考え方は数学的であり，多くの人にはわかりにを買い，この取引を続けるケースである．LIBOR

くいかもしれない．ここでは現実確率下のモデルでマーケットモデルでは，これをニューメレールとす

無裁定価格が計算可能であることを知っておけば，る場合がある．そのときのリスク中立確率はスポッ

以下は読み飛ばしてもよい．

ト LIBOR メジャーと呼ばれている．

債券価格のモデルが無裁定であることと，state

研究者によっては，債券は値下がりすることがprice deflator ξ (t ) (pricing kernel とも呼ばれる)あることからニューメレールに使うことに懐疑的が存在して，すべての満期について ξ B (t,T ）が P

な見方もあった．筆者も一時期この考えに傾いてい-マルチンゲールであることと同値である．ここで ξたことがあったが，仕事での必要上からそうも言っ(0)=1 とする．上述の証券の価格は次式で与えられ，ていられなくなり，こだわりがなくなった．

リスク中立確率下での価格と等しいことがわかっ

では応用問題である．転換社債はニューメレー

ている．

C (0)  E P  (T )C (T ) 

ルに使えるだろうか？
信用リスクがないと仮定すれば前述の条件をす42]，

べて満たすことは簡単に確かめられるので，ニュー

ここで Ep[ ] は P での期待値である．

メレールに使ってもよい．しかし，転換社債は普通



社債に株式への転換オプションを加えた金融商品



金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

2.7 リスクの市場価格

相対価格過程がマルチンゲールである．
c) リスクの市場価格が存在する．

 マルチンゲール測度によって無裁定条件を定義する方法は，債券の価格過程が確率微分方程式で表

リスクの市場価格がユニークに存在することと市

現されていないモデルにも適用できる．したがって

場が完備なこととは同値である．本稿は実務でのリ非常に広いクラスのモデルを扱うことができる．

スク管理を目的としているので，市場は完備として一方，金利モデルは金利や債券価格を確率微分方

議論を進める．完備性については，たとえばバクス

程式で表している．そのほうがオプション価格の解ター[2001]などを参照のこと.

析式がわかる場合があり，モンテカルロシミュレー

リスクの市場価格φと瞬間的短期金利 r がわかションを実施できるなどのメリットがある．この場っているとき，state price deflator は次式で与えら合は無裁定条件を別の形で表すことができるので，れる．

それについて説明する．
2.3 節の 2 年債と 5 年債の価格過程が次式の確率微分方程式で表されるとしよう．

これによって state price deflator がわかれば，現deflator (2.6) 式 の 詳 細 に つ い て は ， 例 え ば

dB5 (t ) / B5 (t )   5 (t )dt   5 (t )dZ  （2.3）
 ここで μ2，σ2，μ5，σ5 はぞれぞれの債券のドリフト項とボラティリティである．そして次式が成立すると仮定する．

Munk[2011]を参照のこと．


3 金利モデルとリスクの市場価格
 無裁定価格は確率測度に依存しないので，扱いやすいモデルで計算するほうが便利である．そのため

 （2.4）左辺の分子は瞬間的短期金利 r への投資（savings
account への投資）に対する 2 年債の超過リターン
で，分母は 2 年債の価格ボラティリティである．つまり 2 年債投資の超過リターンとリスク（ボラティ
リティ）の比であり，右辺は 5 年債投資についての超過リターンとリスクの比である．リスクリターンの投資効率を考えたとき，2 年債も 5 年債も同じということである．
（2.4）式の比をリスクの市場価格といい，φで表す．

 (t )  r (t )  5 (t )  r (t ) (t )  2
 2 (t ) 5 (t )(2.6)

実確率下での価格計算が可能になる．state pricedB 2 (t ) / B 2 (t )   2 (t )dt   2 (t )dZ

 2 (t )  r (t )  5 (t )  r (t ) (t ) 2
 (t ) 5d (t ) /  (t )   r (t )dt   (t )dZ   

実務で使われている金利モデルはすべてリスク中
立確率下のモデルと考えられる．
本稿はリスク管理のために金利モデルを扱うので，現実確率下でのモデルを HJM のフレームワー
クで説明する．
3.1 HJM モデルとリスクの市場価格

HJM モデルはマルチファクターのフォワードレ

ートモデルで，無裁定条件，リスクの市場価格，市場の完備性，リスク中立確率の関係が統一的に説明されている．そのフレームワークは付録 1 節に記す
ことにし，この節ではフォワードレート過程を記述（2.5）

するのみとする．数式が苦手な人は飛ばして(3.7)式
から読めばよい．

リスクの市場価格の存在と市場の無裁定は同値

時刻 t で将来時刻 T における瞬間的フォワード

であることが知られている．したがって，債券価格レートを f (t,T ) で表す．瞬間的短期金利 r (t ) はが(2.3)のような確率微分方程式で表される時，以下r (t )  f (t , t )の 3 条件は同値である．
a) 債券市場が無裁定である．
b) ある確率 Q（～Ｐ）が存在し，Q の下で債券のである．満期が T のゼロクーポン債の価格 B (t,T )
は



T



B(t, T )  exp  t f (t, u)du   (3.1)

リスクと保険43

で表される．(2.1)式の savings account B *をニュー
メレールとする．
リスク中立世界

フォワードレート過程を次式で表す．

df (t, T )   (t , T )dt   (t, T )  dZ  (3.2)

測
度
変
換

ここで．はベクトルの内積，α はドリフ係数，σ はボラティリティで υ(t,T ) は次で定義される．

 (t , T )   

T

t

φ

現実世界

 (t , u )du      (3.3)

図 7 リスク中立世界と現実世界

付録  節での議論により，債券価格の挙動は

dB (t , T )  (t , T )dt   ( s, T )  dZ
B (t , T )

されたが，(3.5)式では現実世界とリスク中立世界をで表されるので，υ(t,T ) は債券価格のボラティリ
ティである．d ファクターモデルの場合，  (t , T ) 
は d ファクターのボラティリティで，Z (t ) は現実
確率 Ｐ の下での d 次元標準ブラウン運動である．
付録の結果から，あるリスク中立確率 Q(～P) が存在し，フォワードレート過程はdf (t, T )   (t, T )   (t, T )dt   (t, T )  dZ

*

(3.4)

で表される．ここで Z *(t )は次式で与えられる．
t

Z * (t )  0 ( s)ds  Z (t )     (3.5)
Q の下で Z *(t )(3.2 )式を決定する際，パラメータはボラティリテ
ィ σ のみである（υ は σ から計算できる）．したがってリスク中立モデルではリスクの市場価格を求めなくても，債券やオプションの価格計算が可能
である．
現実確率のモデルは，(3.5 )を(3.4)に代入して

df (t , T )   (t , T )  (  (t , T )   (t )) dt  (t , T )  dZの形で表される．金利のヒストリカルデータから σを推定し，φ がわかれば dZ に正規乱数を適用してフォワードレートのシミュレーションができる．

は d 次元の標準ブラウン運動にな

これを金利のリアルワールドシミュレーションとることがわかっている．φ(t ) はリスクの市場価格

いうが，以下では短くして RW シミュレーションと表で，次の解として定義される．

す．

 (t , T ) - r (t )   (t , T )   (t )   （3.6）
したがってφ(t ) は d 次元のベクトル値過程であ

state price deflator ξ (t ) は次式の解として与
えられる．
(3.8)

る．Ｐ と Ｑ の関係はギルサノフの定理で具体的にd    rdt    dZ

決まるが，この定理はどの教科書にも書かれている．

ここで ξ (0) = 1 である．2.6 節で述べたように，

本稿ではＰ と Ｑ の違いを議論しなくても，それξ (t ) を計算すれば，現実確率モデルで価格計算もらの下でのシミュレーションの違いを説明できる

できる．

ので，これ以上立ち入らない．

ところで，φ= 0 という仮定をリスク管理の論文

 現実確率 Ｐ でみたとき Z (t ) は標準ブラウン運でよくみかけるので，この意味を確認しておきたい．

動なので，その期待値は常にゼロである．一方このときは（3.5）より

Z *(t ) はドリフトしていく．逆にリスク中立確率 Ｑの下で

Z *(t )

は標準ブラウン運動なので，その期待値は常にゼロである．そして Z (t ) は Ｐ でみたと
きの Z *(t ) とは逆方向にドリフトしていく．2.5 節
で，φは無裁定条件のためのパラメータとして定義

44

(3.7)

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

Z * (t )  Z (t )      である．つまりφ=0 の仮定はリスク中立確率のモデルと同じであることに注意したい．またφ=0 のとき，d    r (t )dt

シミュレーションの研究を一般性のある議論として展開するにはフォワードレートモデルのフレー

なので，



t

 (t )  exp  0 r( s)ds



ムワークでリスクの市場価格を求めることが必要である．

である．これは savings account の逆数に等しい．

比較的最近のものでは，Dempster et al.[2010]がリスク中立確率は実用に便利な概念である．近年

3 ファクター（短期金利，長期金利，金利のスロー

では，はじめからリスク中立世界で HJM モデルをプ）のバシチェックモデルで，リスクの市場価格を説明する金利モデルの教科書が現れるようになっ推定している．この方法はヒストリカルデータの扱た．例えば，Hunt-Kennedy[2004]，Brigo-Mercurio

い方がわかりやすい．推定のアルゴリズムにカルマ[2006]，Gatarek et al．[2007]などがそうである．

ンフィルターを使っているので，統計解析ソフトがリスクの市場価格をどのように計算するのか？こ

必要である．しかし統計解析ソフトを使うと，アウ

れは古くて基本的な問題だが，筆者の知る限り，教トプットされた数値の意味を理論的に考察できな科書では扱われていない．その一方で金利リスクをい．

評価する研究は少なくない．それらはどのように現

RW シミュレーションの研究をブレークスル―す

実確率下で計算しているのかと興味深々で読んでるには，解析的な計算法の研究が重要な鍵になる．


みると，初めは現実確率下で問題を定式化しているが，計算時には便宜上リスクの市場価格 と仮定しているものばかりである．これはリスク中4 リスクの市場価格とＲＷシミュレー
ション

立確率で計算しているのと同じで，だまされたような気になるが，それが金融工学の限界として合意形成されてきたともいえる．むしろ，その論文を読んで，φ  でよいのかと安心した人のほうが多いかもしれない．

3.2 リスクの市場価格の推定の先行事例
リスクの市場価格を推定するにあたり，考えられるアプローチは債券価格データから求める方法と，金利データから求める方法である．前者のアプロー
チによる研究はあまり見ない．その理由は債券価格過程のパラメーターを推定しにくいからであろう．
金利データからリスクの市場価格を推定した研究はいくつかある．Stanton[1997]は短期金利モデルで満期の異なる 2 つの債券の利回りのヒストリカ
ルデータから，リスクの市場価格の近似式を導いた．
そして短期金利とリスクの市場価格の関係を分析している．この論文は短期金利モデルの構造に依存したアプローチをとっており，マルチファクターのフォワードレートモデルには一般化しにくい．RW

この章では，HJM モデルでリスクの市場価格を求めるひとつの考え方を示し，その結果として導かれる RW シミュレーションの性質を説明する．この中で，シミュレーションについては，短期の１期間モデルを考える．長期のモデルは１期間モデルを多期間化することになるが，ボラティリティの期間構造やリスクの市場価格をどのように考えるかはエンジニアリングの課題である．
この章でも実用向けの説明とするため，結果の意
味と使い方の説明に重点をおく．詳細なロジックを追いたい方は Yasuoka[2015]を参照のこと．また専門家向けの話が多くなるので，RW シミュレーショ
ンの性質を知りたいだけの人は 4.2 節から読めばよい．LIBOR マーケットモデルの場合は金利モデルのフレームワークが異なるので，理論も計算も複雑になるが，考え方や結果の性質は HJM モデルと基本的に同じである．詳しくは Yasuoka[2012, 2013]を参照のこと．


リスクと保険45

4.1 最小２乗法によるリスクの市場価格の推定くなるので，文脈で解釈していただきたい．
金利やボラティリティの観測は満期までの期間

x = T – t の関数として行うのが一般的だが，HJM
モデルは債券の満期日 T による定式化が行われてフォワードレートいるため，観測ベースの計算式を表しにくい．クリアに記述するには x を第２変数にもつモデル，いわボラティリティ0  x1

x2

x3

ゆる Musiela 方程式（Brace-Musiela [1994] あるいは Bjork [2004]を参照）のほうが扱いやすいが，

 …     xn

HJM フレームワークのほうがわかりやすいので，

図 8 フォワードレートと

ここでは HJM モデルで議論を展開する．

ボラティリティの期間構造

ボラティリティがわかっていれば  の未知数
HJM モデルでボラティリティ σ(t,T ) が t と Tの確定的な関数のものをガウシアン HJM モデルという．以下ではσ t,T ) は t と T について確定的か

はφだけである．φ φ…φG は xj に依存しないので，すべての tｋ，xj で(4.2)を満足する φ=(φ1,…,φn )T を求めたい．実際のデータでこれを満たすことは不可能なので，近似的にφを推定する．本稿つ連続で，リスクの市場価格は観測期間中で一定とでは最小二乗法によるφの導出について説明する．

仮定する．このとき，(3.7)はオイラー積分によって最小二乗法では解析解を得る可能性があることと，

次式で離散化できる．

その解析解の意味を分析できるという魅力がある．

f (t, T )  (  (T )  (t )   (T ) )t   (T )Z (4.1)（4.2）式の両辺の誤差のすべての満期 xi について

n 個の債券の満期日を Ti，i 1,2,…n で表す

の二乗和をとり，その観測期間平均は次のようにな

xi =Ti －t とおくと，xi は債券の満期日までの期間

る．

の長さである．日常的に金利曲線やフォワードレー

 ( ) 

トは図  のように，横軸に xi を表しグラフ化して観察している．観測日を tk，k =1…J +1 とし，Δt = tk+1－tk は定数とする．各観測日のフォワード

F (t k , x i )  ( i   i   i   )t2

F (tk , xi )  F (tk 1 , xi  t )  F (tk , xi )  (4.4)
である．そしてリスクの市場価格を  の最小二乗解とする．この問題を d ファクターモデル(1 ≤ d

F (t i 1 , x j  t )  F (t i , x j ) (  j   j   j   ) t  t j  Z (1) (4.2)

となる．ここでは簡単のため j   (0, x j ),

 j   (0, x j ) と記した．本来なら  (t , T ) の変数 T は満期日という時刻を表すが，上は満期日までの時間の長さ x の関数とみている．これ以降は  (t , T ) や f (t,T ) な

どの第 2 変数は，観測データについては xiで表し，

46（4.3）

ここで

レートを F(ti，xj )，i =1…J +1，j =1…n で表すと，(4.1)から

1 Jnk 1 i 1J≤ n )で考えよう． ( 1 ,  ,  n ) は d ×n 行列で，ラン
クは d としてよい．このとき次を得る．


命題.1 ε φ の最小二乗解はユニークに存在し，次の連立方程式の解で与えられる．





l
n
d
n
m l
m 1 i 1  i  i m  i 1  i  i , l  1, , d (4.5)

ここでH

F ( , xi ) t    i   i   (4.6)

シミュレーションモデルを扱うときは Ti で表す．

  i  E

この違いを正確に記述するとかえってわかりにくであり，EH>@は時系列データの観測期間平均であ

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

命題  フルファクターモデルで， ( 1 ,  ,  n ) はラる．

ンク n の行列で，各σi は互いに直交していると仮
証明(概略)

εのφL，i =1，2,…,n によるヘッシア

ンを計算すると，正定値であることがわかる．した

定する．Δs を微小時間とすると，f (Δs,Ti ) は次式
でシミュレーションできる．

がって最小二乗解がユニークに存在する．その解はf ( s, Ti )  f (0, Ti )∇φ=0 の解に等しいので，これを具体的に計算す E H F ( , Ti ) t s  s i  Z (1)ると(4.5)式の形で表すことができる．

(4.7)

証明（概略） ∇φ  を具体的に展開すると，

(4.5)式はリスクの市場価格を直接的に明示して

Q{ 1,  ,  n } が R の直交基底であることから，

いないので，大して面白い結果には見えないが，RW
シミュレーションの研究を展開する上で重要なマ  i  i   i    E H F ( , Ti ) t  

イルストーンになる．具体的な応用については次節がわかる．これを( 4.2)に代入すると，シミュレーシ

以降で説明する．

ョンモデルを(4.7)の形で表すことができる．


4.2 フルファクターモデルでの RW シミュレーショ
ン
金利モデルの研究は１次元のモデルから始まり，
高次元モデルに発展してきたことはよく知られている．そのような流れとは逆に，ここではもっとも高次元のモデルから議論を始めるので，その理由を簡単に説明しておきたい．筆者は RW シミュレーシ
ョンで何が起きるのかをさまざまなケースで計算を繰り返し，RW シミュレーションには金利のヒス
トリカルな挙動を再現する傾向があることに気づいた．その理由を統計的に検証するか理論的に解明するかの二通りの研究アプローチがあるが，もっとも高次元のモデルを考えることにより理論的に説明できることがわかった．未解決の問題を高次元化して解決した例は数学ではよくあることである．そのようなことから高次元のモデルで理論的な考察を行い，実用につかう低次元のモデルの性質を近似的に説明するというアプロ―チをとる．
4.1 節の設定の下で，n ファクターモデルをフルファクターモデルと呼ぶことにする．たとえば，フォワ
ードレートの満期 Ti を半年ごとに設定し，10 年まで考えれば，n = 20 である．このときのフルファク
ターモデルは 20 次元のモデルである．

この命題は 2 つの意味をもつ．ひとつはリスクの市場価格を計算しなくても RW シミュレーション
モデルを構成できることである．資産価格を計算す
る に は リ ス ク の 市 場 価 格 を 求 め ， state pricedeflator を計算する必要があるが，金利シナリオの生成だけなら(4.7)式のモデルで十分である．
もうひとつは(4.7)式から RW シミュレーションの性質がわかることである．(4.7)式の右辺第  項は初期値，第 2 項はドリフト項，第 3 項は拡散項である．拡散項はリスク中立モデルと同じなので，RW
シミュレーションはドリフト項で特徴づけられるHことになる．ドリフト項の E F ( , Ti ) t  は過去の金利変動の平均なので，トレンドの意味を持つ．
トレンドの考え方については 4.4 節で詳しく説明する．
金利変動の主成分分析を行い，拡散項のボラティ
リティに主成分を使えば，それは互いに独立なのでフルファクターモデルを構成できる．命題 2 から，
RW シミュレーションは観測期間の金利のトレンドとボラティリティを再現することがわかる．従来のヒストリカルシミュレーションや主成分によるモデルとの決定的な違いは無裁定価格の計算ができる点である．これは 2.3 節の現在価値で VaR を測る話とも関連している．
フルファクターモデルは実用的でないと感じる

かもしれないが，そうではない．例えばハルホワイ

リスクと保険47

トモデルは 1 次元のフルファクターモデルと考えてCk  lk1  l2 ld1  l2 

よいからである．これについては 5.2 節で詳しく扱う．同様にしてネルソン．シーゲルモデルなどへのまた l 次のボラティリティσl (0,xi )は

応用も可能である．

 l (0, x j )   l eil

フォワードレートモデルでは短いものでもn = 20，長いものだと n = 60，80 のものを扱う．

    (4.8)

である．
次の命題はリスクの市場価格を解析式で与える．

このようなケースでも，3 ファクターで十分フルファクターモデルを近似できることを我々は経験的

に知っている．したがって低次元化したモデルの性

命題 3 ボラティリティに主成分を使う d ファクタ

質も命題 2 で近似的に説明できるのである．

ーモデルにおいて，リスクの市場価格φは次式で与えられる．

4.3 リスクの市場価格の推定

命題 2 はリスクの市場価格を具体的に導いてはい

ないが，仮定はボラティリティの各成分が互いに直l   l  l      (4.9)
ここでn

交していることだけである．とくにボラティリティに主成分を使う場合を考えると，リスクの市場価格の式を具体的に表すことができる．その結果を示す
前に，主成分分析，固有値，ボラティリティなどの関係を手短かにまとめておく．主成分分析の基礎については多変量解析の教科書が夥しく出ているのでそれら参照のこと．
フォワードレートの時間当たりの変動から導か

証明（概略） l   i 1 i eil ．   (4.10)

命題 2 の連立一次方程式(4.5)の両辺に(4.8)を代入して添え字 l，m について展開する．
主成分は RG の正規直交基底なので，左辺は  l  l2に等しい．右辺は  l

を l 次の固有値，e = (e
l

e

l
l
1,…， n )を l 次固有ベクトルとし，el1 > 0,仮定する．この仮定の理由はを得る．両辺を  で割れば(4.9)を得る．
l2


(4.10)から ζl はγの l 次主成分への射影，つまりγの l 次主成分スコアである．このことから ζl を l
次の MPR スコアと呼ぶ．(4.8)から ρl は l 次ボラテ

4.4 節で説明する．また ρl はプラスでもマイナスィリティ σl のノルムを表すので，これをボラティリ

でもよいが，l 次主成分のノルム（ベクトルの長さ，

ティリスクと呼ぶことにする．したがって命題 3 は，大きさを表す概念）の意味で使いたいのでプラス値

リスクの市場価格はボラティリティリスクあたりとし，ρl > 0 と仮定する．固有ベクトルは互いに直の MPR スコアであることを表している．

交することを思い出しておきたい．さらに| e |=1lとする．また本稿では固有ベクトルを主成分と呼ぶ

注 命題１は最小二乗問題の解を示してのみであことにする．

り，リスクの市場価格の推定という意味で統計的なこのとき Vi j はVi j   ld1 eil  l2 e lj 

48

l
i

 l  2l   l  l 

Vi j のランクは d (d ≤ n )以上とする．このとき(ρl )2nl 1 iれは  l  l に等しいのでれる n×n の共分散行列 Vi j を次式で定義する．

Vi j  Cov(F (tk , xi ), F (tk , x j )) t   e に整理できる．こ

裏付けを与えているものではない．一方，命題３の解はリスクの市場価格の最尤推定値になることがいえる．これについては別の機会に報告したい．

と分解できる．主成分の累積寄与率Ck，(ｋ ≤ d )

は次式で定められる．



金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

4.4 リスクの市場価格の正負と解釈

これは

命題 3 を使い，さまざまなケースでリスクの市場

E H F (t k 1 , xi )  F (t k , xi ) t 

価格がプラスかマイナスかを調べたが，場当たり的

な計算を繰り返すだけではもっともらしい仮説に

 E H F (t k 1 , xi  t )  F (t k 1 , xi ) t 

は至らなかった．ところが（4.9）式の右辺つまりに分解できる．
第 1 項は observable trend に等しく，

MPR スコアの構造を調べると，興味深い解釈を導第 2 項はフォワードレート曲線の勾配である．例えくことができる．

ばフォワードレート曲線が順イールドで，変動しなリスクの市場価格の古典的な意味は債券の単位いとき，第 1 項はゼロで第 2 項はマイナス，つまりリスク（ボラティリティ）あたりの超過リターンでrolled trend はマイナス値である．これはフォワーあった．これは資産運用の世界でのシャープレシオ

ドレートのロールダウンを表している（図 ）．順に相当する．この節では投資のリターンとリスクとイールドのフォワードレートが急上昇するとき，第の関連でリスクの市場価格の解釈を考える．

2 項はマイナス値だが，第１項は大きくプラスとな

命題 3 (4.9 )式の分子は MPR スコアζで表されている．ζの性質をみるために二つの概念を定義する．

り，全体で rolled trend はプラスになる．これはロールアップと呼ばれている現象である．
rolled trend は時間経過とともに債券の満期が近まずフォワードレートの REVHUYDEOHWUHQG を次式で定義する．

E

H付く効果を織り込んだ金利変化を表している．つまF ( tk 1 , xi )  F ( tk , xi ) t り，満期 [LWの債券を保有しているときの市場利

これは観測期間の開始日と最終日の金利差を１年回りの変化である．例えば 3 年債 xi =3 を購入す

当たりの変化で表した

ると，1 年後 (t =1) は残存 2 年 (3-1=2) の債券に

F (t J 1 , xi )  F (t1 , xi ) Jtに等しい．したがって満期 xi のフォワードレート

なる．購入時は 3 年の金利をみているが，１年後は２年の金利と比較してその債券の価値を考えることに対応している．

が観測期間中上昇していれば observable trend は

これらの準備のもとで命題 2 を見直すと，これはプラス値であり，下降していればマイナスである

RW シミュレーションのドリフトが観測期間中の（図 9）．つまり observable trend はフォワードレ

rolled trend として再現されることを意味している．
ート曲線の視覚的な動きを表している．

さらに次の命題はリスクの市場価格も rolled trend

次に rolled trend を次式で定義する．

E H F (, xi ) t で近似的に説明できることを示す．






F(tJ+1， )observable
trend

F(t1，)

F (tJ+1， )F (t1， )0  x1x2

x3

 …     xn

図 9 フォワードレートの変化とObservable trend 0  x1x2x3

 …     xn

 図 10 フォワードレートのロールダウン


リスクと保険49

命題  ボラティリティが主成分で与えられている分で説明すると，２次主成分は図 11 では右下がり

d ファクターモデルを考える d ≤ n )．すべての iの曲線だが，これを上下反転させた右上がりの形でで出力されることがあるということである．(4.9)と

 i   i  E H F ( , xi ) t   (4.11)(4.10)から，主成分の現れ方次第で MPR スコアとリスクの市場価格の符号が反転することになり，こが成立しているとき，MPR スコアとリスクの市場

れではリスクの市場価格のプラスマイナスを議論

価格はそれぞれ次で近似できる．

できなくなる．マルチファクターモデルでリスクの l  in1 E H F ( , xi ) t  eil
l 

1

n

i 1 ElH  (4.12)

F ( , xi ) t  eil

 (4.13)証明 (4.11)を(4.6)と(4.10)に代入すると(4.12)を得

市場価格のプラスマイナスを議論するには主成分の符号を決めておくことが必要なのである．el1 > 0と仮定したのはこの理由による．実際の計算時には各主成分の数値をみて el1 > 0 となるように正負を反転させればよい．
ここで本題に戻って命題  の意味を説明しよう．

る．これを(4.9)に代入すれば(4.13)がわかる．


フォワードレート曲線が全般的に低下するときや，

σ は金利のボラティリティで，υは債券価格のボラ

順イールドの状態が続くときは，フォワードレート

ティリティである．σとυの内積は経験的に小さな曲線の全期間でロールダウンするので，rolled trend

値をとることが知られているので，条件(4.11)はおは全体でマイナスである．命題  から MPR スコア

おむね成立すると考えてよい．この結果，  かは rolled trend の主成分スコアで近似できるので，

ら MPR スコアはフォワードレート曲線の rolled

1 次の MPR スコアはマイナス値になる．短期からtrend の主成分スコアにほぼ等しいことがわかる．

長期までの債券を均等に保有する投資家にとって，フォワードレートの変動の主成分分析では，1 次主

これは超過収益機会であり，1 次の MPR スコアは

成分はフォワードレートの平行移動を表し，2 次主

超過収益の大きさを表していると解釈できる（図成分はスロープ，3 次主成分はカーブを表すことが）．その投資家にとってのリスクは全期間の金利

経験的に知られている．このとき， 節で el1 > 0 

上昇であり，その大きさはボラティリティの 1 次成と仮定したことの意味を直観的に表すと図 11 のよ分 σ のノルム ρ で表される．リスクの市場価格

うになるが，実際の主成分分析では成分によってはの 1 次成分は命題  から

逆符号で出力される場合がある．例として２次主成1   1 1 e 1 > 0，l=1,2,3
l







2 次主成分0  x1x2

x3

 …   xn

３次主成分



図 11 HO! のときのフォワードレートの



主成分





金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

ロールダウン収益

50

金利上昇リスク

１次主成分

0  x1

図 12

x2

x3

      xn

φ1 は債券投資家にとってのロールダウン収益と金利上昇リスクの比であり，これは全期間の満期の債券を均等に保有す

ジーは存在しないかもしれない．我々の結果はフォる投資家にとってのリスクとリターンの比を表し

ワードレートモデルの枠組みで考える以上，高次のていると解釈できる．

リスクの市場価格にも，フォワードレート曲線の変 次の MPR スコアやリスクの市場価格について

化の高次主成分との関係で理論上の解釈を与えるも同様に解釈できる．フォワードレート曲線がステことができるということである．

ィープニングすると，上で説明したことからζ は 従来，リスクの市場価格は何らかの状態変数（たマイナス値になり，フラットニングのときζ はプ

とえば短期金利）との関係で研究されてきたラスである．金利曲線のブル．ベアやスティープニ（Stanton[ 1997]など）．しかし命題 4 は，φ のすべ

ングなどの変化のパターンや背景についてはたとての成分が「状態」ではなく「状態変化のトレンド」

えば安岡[2012]を参照のこと．  からφ の符号によって決まることを統一的に説明している．

もζ と同じである．フラットニングは短期債を売

rolled trend より observable trend のほうが視覚的り，長期債を買っている投資家にとっての超過収益にとらえやすいので，命題４を observable trend と機会であり，スティープニングはそのリスクであるの関係で考えると，さらにわかりやすくなる．

（図 ）．そのリスクの大きさはσ のノルムρ でつまり observable trend は rolled trend に性質表される．つまりリスクの市場価格の 2 次成分は短が近いので，フォワードレート曲線の変化

期債を売り，長期債を買っている投資家にとっての(observable trend)を近似的に rolled trend とみなフォワードレート曲線の傾きの変化に対する超過

せば，リスクの市場価格の値を金利の変化からあるリターンとリスクの比を表している．

程度推定できる．ボラティリティが極端に過大でな同様にして，3 次のリスクの市場価格は，3 次主ければ命題 4 の条件(4.11)は満たされると考えてよ

成分，すなわちフォワードレート曲線のカーブの変い．その結果，表 2 は観測開始日のフォワードレー化を超過収益機会とする債券投資家にとってのリト曲線の形状とその後の金利変化の組み合わせにスクリターンの比を表している．たとえば債券やス

対する 1 次のリスクの市場価格 φ1 を推定したもの

ワップ金利のバタフライスプレッドを取りに行くである．例えば初期フォワードレートが順イールド

投資戦略を考えればよい．

で，金利が低下する局面ではこの表の最も左上の枠

4 次以上も同様で，フォワードレート曲線の様々で φ がマイナス値であることを示している．

な変化を超過収益機会とする投資家にとってのリ

表 3 は初期のフォワードレートが順イールドで，

スクとリターンの比を表す．現実には４次以上のフ

その後の金利変化を平行移動とスロープの変化のォワードレート曲線の変化にかける投資ストラテ

組み合わせに対してφφ を推定したものである．


スティープニング
リスク
フラットニング収益0  x1x2

x3

 …     xn

図   φは短期債売り長期債買の投資家のリスクとリターンの比

表  金利の observable trendとリスクの市場価
格Observable trend
Falling

StableRisingUpwardsloping

Negative

Negative

Near zero

Flat

Negative

Near
zero

Positive

Downward
sloping

Near zero

Positive

Positive

φ1

observable trend

リスクと保険51

例えば金利がベアフラットするときφ はゼロ値にースこそ金利リスク管理では着目しなければなら近く，φ はプラス値であることを一番下の行で示ない．そのような事例がまったくないと言い切れなしている．

い限り，2.1 節 b）の考え方を安易に受け入れるこ

とはできない．
注意したいのは，トレンドが早いときやフォワー

ドレート曲線が変化しない場合は observable trendと rolled trend に違いが現れることである．その場
合は上の表では十分説明できないので注意しておきたい．例えば，金利上昇局面では経験的に順イールドである．このような場合，表 2 の該当枠（右上）では Near zero としているが，図 14 のように金利上昇が早い場合は全体の rolled trend がプラスになり，φ がプラス値を取る可能性がある．例えば，
フォワードレートは「市場参加者が予想する将来の金利」という解釈（純粋期待仮説）があるが，その予想より早く金利が上昇するケースである．このケ
4.5 RW シミュレーションとリスク中立シミュレーションとの違い
前節までの議論で RW シミュレーションを実現できるところまで話を進めた．次に RW シミュレー
ションとリスク中立シミュレーションの違いを考える．その違いを確かめることによって，RW シミ
ュレーションをリスク中立シミュレーションに置き換えてよいかを議論できる．手の早い人なら考えるより先にモデルを作り，モンテカルロシミュレー
ションを実行して結果を比較するかもしれない．筆者も先に計算を試みた部類に入るが，廻り道になる
ので経験知としてお勧めしない．
リスク中立確率下でのシミュレーションモデル

表 3 金利の observable trend と初期フォワー

は(3.4)からドレートに対するリスクの市場価格

f ( s, Ti )  f ( 0, Ti )Market price of risk
φ1
Observabletrend  i  i s  s i  Z * (1)φ2Bull steep

Negative

Negativeで表される．P と Q は別物なので上式と(4.16)を直SteepNegative

Negative

接比較することは出来ない．またリスク中立確率もBear steep

Near zero

Negative

無数に存在するので，混乱を避けるため，ここではBull flat

Negative

Positive

スポットメジャー下でのリスク中立モデルだけを

Flat

Negative

Positive

Bear flat

Near zero

Positive

考えることにする．3.1 節で，現実確率モデルでφ=0 とおくと，スポットメジャーによるリスク中立モデルと同じ形になることを説明した．その意味で上の Z* を Z に置き換えることができ，確率測度 Pの下で RW シミュレーションとリスク中立シミュ
レーションの比較が可能になる．その前提で上式を早い金利上昇(4.16)と比較すると，違いはドリフト項だけである．
したがってフォワードレートの期待値を比較すれ
ば二つのモデルの違いがわかる．拡散項の期待値はゼロなので次の命題を得る．

0  x1x2

x3

 …     xn

図 14 金利上昇が早いとき，φ1 はプラス


確率Ｐ とリスク中立確率Ｑ での期待値はそれぞれ次式で与えられる．

52

命題.5 命題 2 と同じ条件のとき，f (Δs，Ti )の現実

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

E p  f ( s, Ti )  f (0, Ti )  E H F ( , Ti ) t s (4.16)

E Q  f ( s, Ti )  f (0, Ti )   i  i s

RW シミュレーションの違いはどうかという疑問も実務レベルでは存在するはずである．これらを直接(4.17)

比較するとわかりにくくなるので，フォワードメジ

ここでEp[ ]，EQ[ ] はそれぞれ PQ での期待値

握すればよい．これは金利モデルの専門家ならたやである．またf (Δs，Ti ) は P と Q の下で正規分布

すい話なので，ここでは省略する．

に従い，標準偏差は等しく



  

s ln1  l i

2

ャーとスポットメジャーでのドリフトの違いを把で与えられる．とくにσ 0のとき，つまり金利変動がない場合

を考えてみよう．このときリスク中立シミュレーションでは(4.17)より

E Q  f ( s, Ti )  f (0, Ti )     (4.18)
で近似できる．左辺の f (Δs，Ti ) は満期までの時間
が Ti – Δs に短くなっていることに注意したい．たとえば 1 年後の金利を 1 期間モデルでシミュレーシ

リスク中立モデルΔs

現実確率モデルx

図 15 σ=0 のときの f (Δs，Ti )の期待値  
実線は初期値

5 RW シミュレーションの方法
5.1 モデルの選択

ョンする場合，Δs =1 である．f (Δs，Ti ) は満期まRWシミュレーションに使う金利モデルの選択での期間が Ti－1 年である．その金利の平均が満期

は，リスク管理の目的，立場，技術力などによってTi 年の初期金利に等しいことを意味する．その結

異なる．この節ではエンジニアリングの観点で何を果，図 15 に示すように，Δs 後のフォワードレート

選ぶかを目的別にまとめておきたい．金利モデルのの期待値は初期値のフォワードレート曲線を左にモデルリスクについては長く現場で議論されてきΔs平行移動した形になる．フォワードレート曲線

たことなので，それについては触れない．

が順イールドのときは，金利曲線が高めにドリフト

ここでの選択肢はガウシアン HJM（ハルホワイ

することにもなる．

トモデル含む）と LIBOR マーケットモデルである．

 一方(4.16)の右辺第 2 項をみると，RW シミュレ

金融機関によっては金利が正の短期金利モデルとーションでは rolled trend の変化が起きた状態にしてコックス・ロス・インガーソルモデルやブラッなる．たとえば順イールドで金利変動がないとき，

ク・カラシンスキーモデルなどを使いたい人もいる．

フォワードレート曲線は全期間でロールダウンす

これらは HJM モデルの一種だがガウシアンタイプ

る．このケースでのシミュレーションの期待値は細ではない．研究が十分広がっていないので，本稿の実線のようになり，フォワードレート曲線の形はあ選択肢としては 1 ファクターLIBOR マーケットモ

まり変化しない．

デルを選ぶことになる．

金利安定期のヒストリカルデータを使って将来

 以下に述べる内容はひとつの考え方であり，金融の金利をシミュレーションする場合も，将来の金利機関によっては，既存システムとの関係や持てる時は現在のフォワードレートを中心として変動する間といった制約の中でベストプラクティスを決めと考えるのは自然である．5: シミュレーションは経ることになる．

験的な感覚に合うモデルなのである．

①ＡＬＭ

フォワードメジャー下でのシミュレーションとALM の方針によるが，扱う資産と債務の規模がリスクと保険53

大きいので，結果のわかりやすさという意味で１フ③金利デリバティブのヘッジポートフォリオのリァクターモデルから始めることになる．モデルの普スク管理

遍性を重視する場合は，ボラティリティに経済学的保険会社や年金がこの目的で使うケースは少なな解釈をもつものを使う考え方がある．そして金利いと思うが，金利デリバティブを扱っている金融機

上昇リスクに注目するケースではハルホワイトモ

関では日常的な課題である．この場合は金利上昇だ

デルが使われる．これは正規分布型のモデルでマイ

けでなく，金利低下も損失要因になるので，金利がナス金利が現れるため，金利低下リスクにも注目す

正の LIBOR マーケットモデルを使う．短期的なリる場合は１ファクターLIBOR マーケットモデルをスク管理には様々なシナリオを扱える高次元のモ使う．モデルの普遍性を重視する場合は，長期的なデルを使う．

観点でボラティリティを推定することが必要であ

金利リスクの方向性と金利シナリオに求められ

ろう．とくに高次元のモデルを使う場合は観測期間る性質との関係で，使えるモデルを図 16 にまとめに固有な金利変動の特徴を捉えすぎる懸念（説明過た．

剰性）がある点に注意が必要である．

また金利変動の主成分分析を行う際の重要な注意②債券や仕組債ポートフォリオのリスク管理

点を付録 2 節に記した．実装する場合は必ず目をと短期的なリスク管理目的で，直近の金利変化のパ
ターンをモデル化したい場合は高次元の LIBOR マ
ーケットモデルを使う．オプション性の債券が多く，ネステッドシミュレーションのように負荷の大きな計算では，1 ファクターモデルが使われているようである．この場合も金利低下リスクが大きいときは 1 ファクターLIBOR マーケットモデルを使う．
より簡単に評価したい場合や統合 VaR の評価で金利の上昇リスクだけを評価する場合は，ガウシアン

おしていただきたい．

5.2 ハルホワイトモデルによる RW シミュレーション
金利のエキゾチックオプションの計算に使われた初期の短期金利モデルにホーリーモデルとハル
ホワイトモデルがある．後者は短期金利のミーンリバージョン効果を反映でき，実用化された短期金利
モデルの代表である．教科書ではバシチェックモデ
ルの一種として扱われることが多いが，実用面でのHJM モデルでもよいであろう．

実績から金融機関ではハルホイトモデルの呼び方が定着している．
ハルホワイトモデルが金利リスク管理のためのモデルとして広く注目されている理由は，1 ファク

金利上昇リスクのみ



ガウシアン
HJM

ターの短期金利モデルなので扱いやすいことと，ミハルホワイトることと考えられる．しかし短期金利のモデルを長



再現性

普遍性






ーンリバージョンという恒常的な現象を取り込め
短金利の変動リスク評価に使うことから，カリブレーションでミスリードしやすい懸念がある．この点

マルチファクター LIBOR マ ー
ケットモデル1 ファクター
LIBOR マ ー ケットモデル

についても詳しく説明したい．
ここでは HJM のフレームワークでハルホワイト
モデルを記述し，RW シミュレーションの方法をエ

金利低下リスクもみる

図  リスク管理の目的と金利モデル

ンジニアリングの観点で考える．マルチファクターのネルソン．シーゲルモデルへの応用も同じ考え方で展開できるであろう．
便宜上リスク中立モデルから話を始める．ハルホ

54

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

ワイトモデルでは短期金利過程を次式で表す．

dr   ( (t ) r )dt  dZ *    (5.1)
ここで θ(t ) は金利の平均回帰レベル，κは平均回
帰（ミーンリバージョン）係数で，金利 r (t ) がθ(t ) からかい離したときにθ(t )に戻る力の強さを表す．βはボラティリティ，θ(t )はフォワードレ
ートの初期値 f (0,T ) に対して

2 
1 
 ( t )  f (0, t ) f ( 0, t ) (1  e  2 t )  t2 2 tで与えられる．
一方，1 ファクターHJM モデルのボラティリテ
ィを

その理由は後で説明する．
b)キャップの価格
格子モデルを作り，キャップレットの市場価格に整合するようにパラメータを決める方法である．これはオプションプライシングに使われる標準的な方法だが，短期金利の将来像で金利リスク評価をしてよいかは慎重に考えるべきであろう．a)も b)も短期金利の挙動をモデル化する考え方であり，a)は過去，b)は将来像を使うという違いがある．
F １次主成分
過去のフォワードレート曲線の挙動を（5.3）のボ
ラティリティで近似して HJM モデルのフレームワ
ークでモデル化する方法である．これはフォワード

 (t , T )   e  (T  t )     (5.2)
とおくと，フォワードレート過程 f (t,T ) は

df (t , T )    e (T t ) (t , T )dt   e (T t )dZ * である．ここで υ (t，T ) は(3.3)で与えられる．このときr (t ) は(5.1)で表されることが知られている．この結果，ハルホワイトモデルは HJM モデルの特殊ケースとして表されることがわかる．この詳細はたとえば Munk [2011]を参照のこと．
現実確率でのモデルは(3.5)の変換によって，

df (t, T )    e

 (T t )

 (t , T )   ee

 (T t )dZ

 (T t )

dt (5.3)で表される．κとβを推定し，これを 1 ファクターのフルファクターモデルとみなし，4 章の結果を適用すればよい．
κとβの推定には 3 つのアプローチが考えられ，それぞれの方法と特徴について説明する．
a）短期金利の分布

レート曲線全体（短期から長期までの金利）の動きに対するリスク評価に向いている．
これらの方法によるモデルの違いを説明する．短期金利のミーンリバージョンは常に観測されるので，a)の方法では κ はプラス値になるだろう．b)の方法では同じ日のマーケットデータでも，カリブ
レーションの方法によってκがマイナス値になったりプラスになることが知られている．c)の方法ではどの期間の金利をみるかでκの正負が変わる．推定の方法次第でボラティリティ構造がまったく異なる結果になるので，シミュレーションの目的と a)，b)，c)の特徴をよく把握することが必要である．
次に F の方法に従って主成分分析からボラティ
リティを決める方法と注意点を述べる．付録 2 節の補間などを使って ΔF を求め，主成分分析を行う．
 ファクターモデルでは１次主成分をハルホワイト
モデルのボラティリティ  で近似することにな
る．1 次主成分を

σ i  σ 0 , xi  ,ハルホワイトモデルでは，将来時刻 t での r (t )i  1,  , n の分散がわかるので，ヒストリカルな短期金利の分で表す．これを（5.2）の関数形で次式のように近似

布からパラメータを推定できる．これは初期の金利

しモデルの研究でよく使われた方法であり，短期金利

 i   exp( xi ),の変動リスクに注目する場合はこの方法でよいで最小 2 乗法などでβとκを推定する．

あろう．しかしリスク管理で長短金利の変動をモデ
ル化したいなら，この方法には不適切さを感じる．

i  1,  , n  (5.4)

図  は日本円 LIBOR/swap 金利データからフォ
ワード LIBOR を計算し，その変動の１次主成分の

リスクと保険55

例である．これを瞬間的フォワードレートとみなし全体的に右下がりの曲線で近似されるので κ はプて（5.4）式で近似するとどうなるだろうか．フォワ

ラス値である．したがってリスク管理で考える金利

ードレート曲線が右上がりなので κ はマイナス値の期間の長さに合わせてパラメータを決めることであり，ミーンリバージョンと逆の現象が起きていが必要である．またミーンリバージョン係数κがマることになる．一方，a）の方法で推定すると，経イナス値でも，キャップボラティリティではミーン

験的に κ はプラス値になるであろう．a）と c）のリバージョンを意味していることがある．この現象

方法ではミーンリバージョン係数が異なるどころに関して  年代後半，ハルホワイトモデルの実装

か，正負が逆の値になるのだ．b）の方法でも κ がで悩んだ人は少なくないはずである．それについて

マイナス値になりえる．ハルホワイトモデルであっ

補足しておきたい．図  の実線のように短期のフても，パラメータ推定の方法次第でボラティリティォワードレートが低いとき，短期のフォワードレーの構造が全く異なるのである．

トの変動は長期のそれに比べれば小さい．そのときではどの方法を使えばよいのだろうか．長短金利のヒストリカルな挙動をモデル化したいのであれ

れは図  と同じ状況で，κはマイナスである．こば，a)，b)の方法より主成分分析の結果のほうが目のようなときでも，フォワードレート変化率のボラ的に適っている．しかしこの方法でも注意すべきこ

ティリティ（キャップレットのボラティリティに相とがある．たとえば図 18 の太実線で表したような当）は破線のように短期のところで高く，長期に向１次主成分が現れたとしよう．このとき満期 3 年以けて低下するであろう．なぜなら変化率の分母にあ下で（5.6）式の近似をすると，上と同じ理由で κたる短期のフォワードレートの値が小さいからではマイナス値である．一方，10 年以下で考えると，ある．このようなときはκがマイナスでも金利の変化率（キャップレット．ボラティリティ）でみれば

ミーンリバージョンが現れていることになる．

フォワードLIBORの第１主成分の計算例
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0

β，κを推定した後の計算方法はテクニカルな内容になるので付録 4 節で概要を述べる．


Term to maturity (year)
0.5

2.5

4.5

6.5

8.5 10.5 12.5 14.5 16.5 18.5

図 17 フォワード LIBOR の１次主成分の計算例



円 LIBOR/Swap 市場 2007/4/2-2009/8/3

フォワードレート変化のボラティリティフォワードレート
フォワードレート変化率のボラティリティ












図19  フォワードレート変化と変化率のボラ
ティリティの違い0    3       





κ <0

κ >0





0    3        10 y 10 y

図 18  1 次主成分とミーンリバージョン係数の符号56のボラティリティは同図の細実線のようになる．こ

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

6 計算例
実際の金利データを使い，リスクの市場価格を計算し，これまで説明してきたことを確認する．2007
年 4 月 2 日から 2009 年 8 月 31 日までの日本円

LIBOR/swap 金利を無リスク金利とみなして計算

成分分析を行った．4.5 節で注意したが，十分高いする．金利変動のトレンドとリスクの市場価格の関次数でリスクの市場価格を計算しなければならな係をみるために，2008 年 6 月 16 日以前を期間 A，いので，
この例では 8 ファクターモデルで計算した．

それ以降を期間 B として，それぞれの期間で計算を表１に固有値と寄与率，リスクの市場価格 φj ,行う．図 20 は xi = 0，2，5，10 年の 6 か月フォワ

J =1,…,6 を示す．どちらの期間も 3 次の累積寄与

ード LIBOR の推移を示し，期間 A，B も記した．

率 C 3 が約 99%であり，4.5 節(4.16)式でシミュレー

図 21 は観測期間の初日と最終日，および期間 A のションするなら，3 ファクターでフルファクターモ

最終日（期間 B の初日）の 3 時点のフォワード

デルを十分近似できる．

LIBOR 曲線である．図から期間 A の observable

期間 A でのリスクの市場価格は 1 次成分がtrend はベアフラット，期間 B ではブルスティープ－0.256，2 次成分が 0.532 である．表 2 のベアフラ化していることがわかる．

ットの行をみると，１次成分が near zero，2 次成分

この計算では期間 6 か月のフォワードレートを瞬が positive で，表 2 の推定と整合的な結果である．

間的フォワードレートとみなす．Δt = 0.08（20 営

期間 B でのリスクの市場価格の１次成分は－0.884，

業日)として付録(a.8)式の線形補間で ΔF を求め，主2 次成分が －1.886 である．表 2 のブルスティープの行をみると，1 次，2 次成分ともに negative であImplied forward LIBOR

0.03
0.025

0

り，このケースでも表 2 と整合的な結果を示した．

2

リスクの市場価格を計算し，その結果を分析すると

5

0.02

きに，4.4 節での議論が役に立つであろう．

10

0.015

LIBOR マーケットモデルのフレームワークでも0.01

リスクの市場価格の解釈は HJM モデルと基本的に同じである．表 4 の最右列は同じ期間のデータにつ

0.005

いて，LIBOR マーケットモデルで計算したリスクの8/2/096/2/094/2/0912/2/08

8/2/08

10/2/08

6/2/084/2/082/2/08

12/2/078/2/07

10/2/07

4/2/072/2/09Period B

Period A
6/2/070

市場価格である（Yasuoka[2013]）．プラスかマイナ

図 20 フォワード LIBOR と期間 A，Bスかという見方であれば，双方の数値は同じ傾向をスワップ金利はみずほ情報総研の提供．フォワードレート示している．
次にリスク中立シミュレーションと RW シミュ

は筆者が計算レーションを比較しよう．ここでリスク中立確率は
図 21 フォワード LIBOR 曲線

スポットメジャーである．4.6 節の議論によって，（2007/4/2，2008/6/16，2009/8/31）

ふたつのモデルの違いはフォワードレートの期待値を命題 5 で比較すればよいことになる．初期フォ

Implied forward LIBOR

Period A
0.03

ワードレートに 2009 年 8 月 31 日のフォワード

0.025

0.02

LIBOR を用い，期間 A と B の各条件で半年後のフPeriod Aォワードレートの期待値を図 22 に示す．細実線が0.015
Period B

0.01
0.005

0

0

1

2

3

4

5

6

Term to maturity (year)

初期値で，破線がリスク中立，太実線が現実確率で02-Apr-07
16-Jun-08
31-Aug-09

789のシミュレーションの期待値である．
RW シミュレーションでは，
期間 A でフラット化，

10

期間 B でブルスティープ化が起きている．期間 Aの observable trend はベアフラットだったが，ローリング効果を考えると，rolled trend はフラット化



しているので，それがシミュレーションに現れたこ

リスクと保険57

とになる．命題 2 はこれらの性状を一般的な形

表 4 固有値とリスクの市場価格で説明している．

Period A: 2 Apr 2007 to 16 Jun 2008.

リスク中立モデルでは，期間 A，B ともに初期カ

固有値

寄与率

累積寄与
率 Cj

φj

φj
LMM

1st

7.61E-04

0.93050.9305-0.2560.038

2nd

4.53E-05

0.05540.9859

0.532

0.758

3rd

5.44E-06

0.0067

0.9926

0.598

0.746

初期フォワードレート曲線は左端で逆イールドだが，

4th

3.29E-06

0.00400.9966

0.495

0.114

リスク中立モデルではその部分が左に移動して消え，

5th

1.22E-06

0.00150.9981

0.896

0.205

順イールドを示す点にリスク中立モデルの特徴がよ

6th

5.86E-07

0.00070.9988-1.049

1.226

く表れている．

j

寄与率

j

φj

累積寄与
率 Cj

節の図 19 で示した現象で，リスク中立モデルの計算では従来から経験してきたことである．その結果，

一方 RW シミュレーションの期待値をみると，期Period B: 16 Jun 2008 to 31 Aug 2009.
固有値

ーブが左に半年分平行移動した形になる．これは 4.6

φj
LMM

間 A，B ともにフォワードレート曲線の左端が逆イ
ールドである．これはリスク中立モデルでは起きな

1st

4.77E-04

0.80820.8082 -0.884-1.094い．
観測期間中の金利の性状が再現されるという RW

2nd

8.35E-05

0.14130.9495 -1.886-1.718シミュレーションの特徴がよく表れているといえよ

3rd

2.38E-05

0.04020.9897 -0.816

0.213

う．RW シミュレーションでは観測期間中の金利ト

4th

3.14E-06

0.00530.9950

1.113

2.570

レンドが再現されるので，シミュレーションモデル

5th

1.31E-06

0.00220.9972

2.445

2.089

の構築には観測期間を慎重に選ぶ必要があることを

6th

5.57E-07

0.00090.9982 -0.557

0.550

注意しておきたい．

Period A

0.03
0.025

0.03

0.02

0.02

0.015
Initial rates

0.01

risk-neutral

0.005
0

Period A

0.04

real-world
0

1

2

3

4

5

6

7

Term to maturity (year)

8

9

0.01
0.00

-0.01

0

1

2

3

0.04

0.025

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

Period B

Period B

0.03

4

T to maturity (year)
Term

0.03

0.02

0.02

0.015
0.01

Initial rates
risk-neutral
real-world

0.005
0

0

1

2

3

4

5

6

7

Term to maturity (year)89図 22 半年後のフォワードレートの期待値 上は
期間 A,下は期間 B から求めたパラメータを使用

58

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

0.01
0.00
-0.01
0

1

2

3

4

T to maturity (year)
Term

図 23 半年後のフォワードレートのシミュレーシ
ョン（50 パス） 上は期間 A，下は期間 B

期間 A,B ともにリスク中立シミュレーションのほ4.4 節で述べたように，計量経済学ではリスクのうが RW シミュレーションより金利が高く，2.2 節

市場価格をなんらかの状態変数で説明しようといb)の背景となる現象がみられる．同じ条件で，半年後う研究が試みられてきた．たとえば金利を状態変数のフォワードレートを 1 期間 3 ファクターモデルでとしたとき，リスクの市場価格を金利の水準で説 

50 回シミュレーションしたときの計算例を図 23 に明する試みである．本稿では金利の水準ではなくそ示す．ヒストリカルデータにリスクの市場価格がプの変化でリスクの市場価格を説明できるとしていラスになる事例が存在するかどうかは，興味深いテるので，伝統的な研究アプローチとは相容れにくいーマである．4.4 節の最後に述べたように，その候補

ところがある．リスクの市場価格を一定と仮定するになるケースは早い金利上昇が長期間続いた時期でことへの批判はあるだろうし，筆者自身も何か考えある．この問題については別の機会にで報告したい．

落ちはないかと自省しつつ仕事を進めてきた．そしマイナス金利が現れることは，正規分布型モデルのて次の考え方に至った．

弱点だが，金利上昇リスクを捉える目的にはわかり

リスクの市場価格を求めることが研究のゴール

やすいモデルである 2．

であれば，さらに合理的な考え方があるかもしれな

い．しかし本稿の目的は経済学の研究のためにリス

クの市場価格を求めることではなく，リスク管理である．リスクの市場価格を求めることはプロセスの

ひとつである．つまり過去のデータを分析し，理論

フォワードレート

的な裏付けのある金利のシミュレーションモデル



を作ることが目的である．この立場でエンジニアリ



ングの問題として考えると，観測期間中のリスクの

市場価格を一定と仮定することはリスク管理の目




1

2

3

 4



図 24 5 年間の金利変動の例

5 年

的に適っている．その理由を説明しよう．
ここに過去の金利データがあるとする．簡単のためフォワードレートはフラットで，日々金利の平行移動による変動が起きているとする．これは１ファ

クターモデルでモデル化できるので，リスクの市場

7 リスクの市場価格一定の仮定について

価格は１次成分のみを考えればよい．ボラティリテ
ィは一定とする．
そして観測期間 5 年のデータからシミュレーショ
ンモデルを作ることの意味を考える． 5 年間のスパ

本稿ではリスクの市場価格が観測期間中一定でンでみて，もっとも金利上昇が大きい期間を抽出し，あると仮定し，最小二乗法でリスクの市場価格を計

そのときのフォワードレートが図 24 のように変化算する方法を示した．その結果，リスクの市場価格したとしよう．

は金利変動の変化（トレンド）によって説明できる
ことを理論的に示した．

リスクの市場価格は日々変動しているかもしれないが，簡単のため年単位で変動し，各年で一定と仮定する．命題３で各年ごとにその計算を行い，φ2 近年ではいくつかの主要国で国債のマイナス金利が(i )，i =1,…,5 で i 年目のリスクの市場価格を表す．

観測されているので、マイナス金利が現れることは弱点

命題４あるいは表２から，金利上昇の年のリスクのではないのかもしれない．

市場価格はプラス，金利低下の年はマイナスである．

リスクと保険59したがって各年のリスクの市場価格は下表のよう

な値をとるであろう．



金利リスクの評価期間は目的によって異なるが，



シミュレーション

１か月や１年間などである．仮に１年間の金利変動

モデルのドリフト

を１期間モデルでシミュレーションする場合，表５



の何年目のリスクの市場価格を使えばよいのだろ

うか？ １年目のリスクの市場価格を使うなら，φ(1)がマイナスなので，金利が低下する状況を再現す

るであろう．これは金利上昇リスクを評価したことにならない．



金利上昇がもっとも大きい 4 年目のデータを使え

ヒストリカルデータ

1



2

3

4

5年

ば，φ(4)が最大のプラス値をとるので，大きな金利 図  リスクの市場価格を５年間一定と仮定

上昇局面を再現するシミュレーションモデルがでる．しかし，これは 5 年間のデータを使ったことに

実線矢印：１年間のシミュレーションのドリフト

ならず，過去のもっとも厳しい１年のデータを使っ

表  図  のケースにおける

た評価になってしまう．金融機関はこの方法を採用



各年のリスクの市場価格の値

したくはないであろう．さらに細かい期間，月ある



i

φ L 

いは日ベースでリスクの市場価格を計算しても同



1

マイナス

様である．5 年間のリスクの市場価格を一定と仮定

すると，図 24 では全体として金利が上昇している

2

プラス



ので，rolled trend はプラスであり，リスクの市場

3

マイナス




4

プラス

価格もプラス値であろう．その結果を使えば，5 年



5

プラス

間の平均的な金利上昇をシミュレーションするモデルになると考えられる．図 25 はそれを直感的に表したもので，実線矢印は 1 年分のドリフトを表す．
シミュレーション時にはこのドリフトを期待値と

8 おわりにするさまざまな金利パスが生成される．このモデル

リスク管理のための金利シナリオを金利モデルになら，5 年分のデータを使った意味があると考えてよって生成するという目的で，金利リスク評価のリ

過不足がない．リスクの市場価格を観測期間中一定

テラシーから RW シミュレーションの実装までを一と仮定することは，観測期間中に起きた金利の平均通り説明した．

的な上昇をドリフト項とするモデルを構築する意
味があるのだ．

60

フォワードレートの金利デリバティブの価格計算のために金利モデルを実現する場合は，プレーンなオプションとの価格

本稿の目的は，リスクの市場価格を経済学的に研整合性が必須である．また同業者と価格を比較され究することではなく，過去の金利変動をシミュレー

るので，モデルによる価格差はそれほど開かないし，ションできるモデルを構築することである．そのた

うまくヘッジできれば結果オーライである．

めには，観測期間中リスクの市場価格を一定と仮定

一方，RW シミュレーションは比較するものがな

したほうが，リスク管理の目的に適うモデルができ

いため，モデルリスクが大きい．本稿では，リスクることになる．より長い期間を多期間モデルで金利の市場価格を観測期間中一定という仮定のもとで，シミュレーションを行うためには，さらに研究を発リスクの市場価格を導き，RW シミュレーションの展させる必要がある．

性質を体系的に説明した．初めに置いた仮定が忘れ

金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

られ，方法論だけが一人歩きし始めることは，これまで数多く繰り返されてきたことである．命題 2 の使い方によっては恣意的な計算が可能になり，リスク評価そのものがコントロールされてしまう．そうなると RW シミュレーションの結果というだけでは，r (t )  f (t , t ) 

である．HJM モデルのニューメレールは savings
account B * (t )で，これは(2.1)式で定義される．
満期が T のゼロクーポン債の価格 B ( t，T ) は

る．そうならないためには，RW シミュレーションの意味と性質を多くの関係者が理解していることが重要である．その意味で要約すると，冒頭で述べたことの繰り返しになるが，RW シミュレーションは「金利変動のシナリオ生成に不確実な変動と確定的なドリフト（トレンド）を合理的に反映させること」
ができる手法以上のものでも以下でもない．
最後に, 保有期間 1 年の 99%VaR の意味を考えてで表される．債券価格が満期に額面金額に等しいという条件は B(T , T )  1 で表されるが，これは(a.1)
によって満たされている．
(3.2)の f (t,T ) を(a.1)の右辺に代入すると次式を得る．この計算はたとえば Filipovic[2009]を参照のこと．
tB(t , T )  B(0, T )  0 B( s, T )( r (t )  b( s, T ))ds

みよう．これは 100 年に１度の損失を推定することが目的であろう．その目的が忘れられると, 直近の金利低下局面のデータや，主成分分析だけの金利シナt 0 B( s, T ) ( s, T )  dZT

 (t, T )   t  (t, u)duってしまう．そのような考え方で 100 年に１度の損論がなかったのでしかたがなかったともいえるが，
もう道具立てがないとはいえなくなってきた．リス
ク管理のあり方を議論しなおす段階にきているのではないだろうか．
Tb(t , T )   t  (t , u )du 

1 2

2

としている．したがって f (t,T ) を決定するパラメータαとσによって債券価格 B (t,T ) が記述されることがわかる．相対価格過程 B (t,T )/B *(t ) はB(t , T )B * (t )t B ( s, T )b( s, T )ds*

 B (0, T )  0

付録
付録 1 HJM モデルの概要
 節の議論に必要な基礎知識として，+-0 モデ

 (a.2)

ここでリオで VaR を評価すればよしとするリスク管理にな
失を推定できるのだろうか．これまでは科学的な理T

B(t, T )  exp  t f (t, u)du     a.1 

信頼できるリスク評価になっていないこともあり得B ( s)t B ( s, T ) 0

B * ( s) ( s, T )  dZ(a.3)

で表される．HJM によると，債券市場が無裁定でルのフレームワークを概説しておく．詳細はバクスあることと，次式の解 φ(t )が存在することは同値

ター>@などを参照のこと．

である．

b(t , T )   (t , T )   (t )フォワードレートの挙動を



(a.4)

df (t, T )   (t, T )dt   (t, T )  dZ 

右辺のφはリスクの市場価格である．上式はφの正で表す．ここで  (t , T ) と  (t , T ) は f (t,T ) のド負を(2.4)に合わせてあり，ほとんどの論文の定義とリフト係数とボラティリティである．d ファクター同じだが，HJM[1992]とは正負が逆になっているこ

モデルの場合，これらは d 次元ベクトル値である．

とに注意しておきたい．またφの各成分の符号はZ (t ) は現実確率下の d 次元標準ブラウン運動で，．

4.4 節で議論したように高次のボラティリティ（あはベクトルの内積である．時刻 t での瞬間的短期金

るいは主成分）の正負の設定を変えると反転するこ利 r ( t ) はとに注意が必要である．(a.4)を相対価格過程(a.3)に代入するとリスクと保険61B (t , T )B * (t ) (t , T )  r(t )   (t, T )   (t )   (a.6)

 B(0, T )となる．左辺は瞬間的短期金利 r (t ) に対する超過

t B ( s, T ) ( s, T )  ( (t )ds  dZ )* 0

リターンで，φはリスクの市場価格である．とくにB ( s)

1 ファクターモデルのとき，(a.6)式は

である．ここで* (t , T )  r (t )  (t )  (t , T )t
0

Z (t )    (t )ds  dZとおくと，Girsanov の定理によって P と同値な測度 Q が存在し，Q の下で Z * は標準ブラウン運動である．P と Q の関係は具体的に表すことができるが，本稿では不要なので扱わない．興味のある人はバクスター>@などを参照のこと．債券の相対価格過程は Z * によってであり  式と同じである．(a.6)は 2.5 節のリス
クの市場価格の定義  を一般化（高次元化）した形になっている．このときリスクの市場価格は債券の満期に依存しない定義になっていることがわ
かる．



B (t , T )t B ( s, T ) B ( 0, T )  0 *
 ( s, T ) dZ **B (t )
B (s)と表され，すべての T に対して B (t,T )/B *(t ) は Qの下でマルチンゲールであることがわかる．つまり
リスク中立確率 Q は B *をニューメレールとする同値マルチンゲール測度である．

付録 2 共分散行列とドリフト項の計算時の注意
共分散行列とドリフト項の計算で適切な方法を行わないと，RW シミュレーションへの数値的な影
響が大きいので注意を述べておく．(4.4)を再掲すると

F (t k , x i )  F (t k 1 , x i  t )  F (t k , x i ) (a.7）

このとき P の下で f (t，T ) は次式で表される．

である．通常，フォワードレートは満期 xi，i =1,2,…

df (t , T )   (t , T )  ( (t , T )   (t )) dt

として F ( , xi ) を観測しており，xi – Δt という半  (t , T )  dZ



端な満期のフォワードレートを観測していない．実務では

これは Q の下では

df (t, T )   (t, T )  (t, T )dt   (t, T )  dZ *  a.5)

と近似するケースが多いと考えられるが，実際に計と表され，HJM モデルのフォワードレート過程と算してみるとこの方法では RW シミュレーション

してよく知られている形である．債券や金利オプシに固有の性状が現れないケースがある．細かい議論

ョンの価格計算はリスク中立確率測度 Q の下でになるのでここでは省略するが，詳しくはa.5)を計算すればよい．この場合リスクの市場価格

Yasuoka[2012]を参照のこと．RW シミュレーショ

を推定する必要がないので，ボラティリティσのみンの特徴を引き出せる計算を行うためには，
満期 xi，を推定できればよい．

xi‐1 のフォワードレートから F ( ，xi－Δt )を補間

ここで(a.2)の右辺第 2 項になどで計算する必要がある．例えば線形補間で (t , T )  r (t )  b( s, T ) 

F (t k 1 , xi  t )を代入すると次式を得る．

dB (t , T )  (t , T )dt   ( s, T )  dZ
B (t , T )υは債券価格のボラティリティであり，(a.4)から

62

F (t k , xi )  F (t k 1 , xi )  F (t k , xi )金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

t t(a.8) 1   F (t k 1 , xi  t ) F (t k 1 , xi 1 ) とする．これを(a.7)に代入してΔF を求め，共分散
行列 Vij とドリフト項 EH[ΔF ( , xi ) / Δt ] を計算

すればよい．

F ( ，xi‐Δt ) の補間にはスプライン補間を使う

1
Jk 1  k Jt

方法もある．この場合は，フォワードレート曲線のこのδを計算すれば(a.9)の近似ができたことになる．

両端でスプライン補間の端点処理（境界条件）を適

このモデルは 1 ファクターのフルファクターモデルなの切に行わないと，特異値が現れる懸念がある．とくで，命題 2 と(a.9)から 1 期間のシミュレーションモデル

に期近のフォワードレートは RW シミュレーショ

はンに固有な結果が現れるので，端点処理に数値解析

f ( s, Ti )  f (0, Ti )   exp( x i ) s

上の的な注意が必要である．

 s  exp( x i )  Z (1)

付録  ハルホワイトモデルでのシミュレーションで表される．

法

次にリスクの市場価格を計算する．(5.4)で近似し5.3 節で示したハルホワイトモデルのシミュレー

たボラティリティ  exp( x i ) は  次主成分を近ションモデルの具体的な構築について補足する．筆似したものだが，これを主成分とみなしてモデルを者はハルホワイトモデルでの RW シミュレーショ

作ればよい．このボラティリティのノルムの 2 乗を

ンをまだ実現しておらず 2，以下はひとつのプラン2にすぎない．考え方によっては他の方法もあり得る．

 2  in1  exp( x i ) β，κはすでに与えられているものとする．まずとおくと，ρ は固有値である．(4.8)より，固有ベ

EH[ΔF ( ，xi ) / Δt ] の計算法を述べる．1 ファク

クトル（主成分）は次式で与えられる．

ターのフルファクターモデルであるためには，あるei 定数δ が存在して，すべての i で

E H F ( , xi ) t    exp( xi )   （a.9）


exp( x i ), i  1, , n
(a.10)(4.6)に（a.9）を代入すると次を得る．

が成立しなければならない．そうでなければまだ他 i   exp( xi )   i i ,のファクターが存在することになるからである．実際のデータはそうではないので， D を近似してここでσi は(5.4)で定めたものである．1 ファクタ

考える．そのために各時刻 tk でΔFを

ーモデルのときの MPR スコア ζは(4.10)から

  in1  i ei

F (t k , x i )   k exp( x i ) 

の近似を満たすように，最小２乗法などでβNを求で表される．γL と ei に(a.10)と上式を代入すればめればよい．ここでβNは各時刻 tk ごとに定まる定035 スコアは計算できる．これでζとρが計算でき数である．上式の全期間の平均をとると次式が成りているので，命題 3 からリスクの市場価格は

立つ．

1
J
E H F (t k , xi ) 
  k exp( xi ) Jt k 1
これと D から，δをは次式で定めることにする．
2 本稿の初稿提出後に，ハルホワイトモデルの RW シ
 ミュレーションモデルを実現したが，詳細は別の機会に紹介予定である．

   で得られる．

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64

Term

Gauss Markov implementation of Heath ，金利リスク評価のための金利シミュレーションの方法

特別寄稿
Interest Rate Simulation for Risk Management

 
Takashi YASUOKA
Graduate School of Engineering Management,
Shibaura Institute of Technology,
3-9-14 Shibaura, Minato-ku, Tokyo 108-0023, Japanyasuoka@shibaura-it.ac.jp

Abstract
In this article, we explain how to use an interest rate model for interest-rate-risk
assessment. First, an introduction is given to study interest-rate-risk, and the market
price of risk is introduced in arbitrage-free pricing theory. Next, a method to estimate themarket price of risk, and the property of interest rate simulation are explained.
Additionally, it is shown that the market price of risk is interpreted by the historical trendof the forward rate change. Finally for practical use, we give some remarks to construct asimulation model, and to use the Hull-White model.


リスクと保険65