GŽomŽtrie algŽbriqueÊ/Algebraic geometryCohŽrence diffŽrentielle
des alg•bres de fonctions surconvergentes
Pierre BERTHELOT
IRMAR, UniversitŽ de Rennes 1, Campus de Beaulieu
35042 Rennes cedex, France.

RŽsumŽ.

Soient x un schŽma formel lisse sur un anneau de valuation discr•te complet d'inŽgales caractŽristiques, d“x le complŽtŽ faible du faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels
sur x, Z un diviseur de la Þbre spŽciale de x. Nous montrons que le faisceau ox,ÊÝ(“Z)
des fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z est cohŽrent sur d“x,ÊÝÊ.

Differential coherence of overconvergent function algebras
Abstract.

Let x be a smooth formal scheme over a mixed characteristic discrete valuation ring, d“xthe weak completion of the sheaf of differential operators on x, Z a divisor of the specialÞber of x. We prove that the sheaf ox,ÊÝ(“Z) of functions with overconvergent singularities along Z is coherent over d“x,ÊÝÊ.

Abridged English Version
1.ÊÊÊÊOverconvergent local cohomology
Let v be a complete discrete valuation ring of mixed characteristic (0, p), k its residue Þeld,µ its maximal ideal, vi = vÊ/ÊµÊiÊ+Ÿ1. We Þx an integer m ³ 0 such that the PD-ideal (Ÿp) Ç µdeÞnes a topologically PD-nilpotent partial divided power structure of level m on µ. Let Y be aÊn(i) the level m divided powersmooth viÊ-scheme, X Ç Y a closed subscheme. We denote by p(m)envelope of the ideal i of X in Y, with compatibility with the m-PD-structure of µ, and m-PDnilpotency of order n [2, 2.1.1]. For any oYÊ-module e, we deÞne
âX(m)(e) = limÊn homo (pÊn(m)(i), e),#@Y

by h(m),Êq
the correspondingX

and we denoteright derived functors. Thanks to the m-PDnilpotency condition, these sheaves do not change if we replace X by its reduction mod µ.
We now assume that X is a smooth closed subscheme of the reduction Y0 of Y mod µ. ThenhX(m),Êq(oY) = 0 for q - d = codimY (ŸXŸ), hX(m),Êd(oY) is ßat over viÊ, and it commutes with0

reduction mod µÊi'Ê+Ê1 for i' ² i.
The sheaf d(m)of differential operators of level m acts on the left on the sheaf hX(m),Êd(oY). IfY
we assume that u : X' Ì@ Y is a closed immersion of smooth v i-schemes lifting X Ì@ Y 0Ê,›Êthen there exists a canonical isomorphism of d(m)-modules u(m)(oX') Ê#@ h(m),Êd
(oY), where
Y
+
X
(m)
(m)
u+
denotes the direct image functor for complexes of d X' -modules [4]. Using local liftings in
the general case, it follows that h(m),Êd
(oY) is coherent over d(m)Ê; if t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt
XY
1Ê
N are local

- 2 -

coordinates on Y such that t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd lift local equations for X in Y0Ê, we get a presentation› h(m),Êd(o ).
d(m)Ê/Ê( åÊd(m)ÊtŒ + åÊd(m)ÊÙ[ŸŒ pÊ ]) Ê##@
Y
Y
Y
X
Y
º

ŒÊ²Êd

ŒÊ>Êd
ºÊ²Êm

Let y be a smooth formal v-scheme, Yi its reduction mod µÊiÊ+Ÿ1, X Ì@ Y0 as above. We nextdeÞne a coherent ^dy(m)-module hX(m),Êd(oy) as limÊiÊÊh(m),Êd
(oY )Ê; if the subscript Ý denotes
X
Ò#
i
(m)
tensorization with Ý, we get a coherent ^dx,ÊÝ
-module denoted h(m),Êd
(oy,ÊÝ), with the simpler
X
local presentation(m)(m)(m),Êd›Ê/Ê( åÊ^d(m)(oy,ÊÝ).
^dy,ÊÝ
y,ÊÝÊtŒ + åÊ^dy,ÊÝÊÙŒ) Ê##@ hX
ŒÊ²Êd

ŒÊ>Êd

(m),ÊdWe now let m vary, and deÞne a coherent d“y,ÊÝ-module h“Êd(oy,ÊÝ).
X (oy,ÊÝ) = limÊm h X#@

When there exists a closed immersion of smooth formal schemes u : x Ì@ y lifting X Ì@“›Ê “Y0Ê, we again have an isomorphism h“ÊdX (oy,ÊÝ) #@ u +Ÿ(o x,ÊÝ), where u+Ÿ is the direct image
functor for complexes of d“x,ÊÝ-modules.
2.ÊÊÊÊAutoduality of local cohomology
We assume y and X are as above. Locally, we can Þnd a lifting u : x Ì@ y of X, where x isa smooth closed formal subscheme of y. Let D“yÊ, D“x denote the dualizing functors over d“y,ÊÝÊ,d“x,ÊÝ. The relative duality theorem [8] for u allows to associate to x a canonical isomorphismÊ“›Ê “›Ê Ê“ “›Ê Ê“
›Ê “ÊdD“y(h“ÊdX (oy,ÊÝ)) Ê#@ Dy( u+ (ox,ÊÝ)) Ê#@ u+ (Dx(ox,ÊÝ)) Ê#@ u+ (ox,ÊÝ) Ê#@ hX (oy,ÊÝ).

We prove that this isomorphism does not depend upon the choice of x. This allows to deÞne
“Êd›Ê
globally a canonical isomorphism D“y(h“ÊdX (oy,ÊÝ)) #@ hX (oy,ÊÝ) by gluing the local isomorphisms associated to local liftings of X.
3.ÊÊÊÊThe coherence theorem
THEOREM 3.1. Ñ Let x be a smooth formal v-scheme, with special Þber X. If Z Ç X is adivisor, the sheaf ox,ÊÝ(“Z) of functions with overconvergent singularities along Z [2, 4.2.4] iscoherent as a d“x,ÊÝ-module.
When Z is a divisor with normal crossings, the result is known by [1, (4.3.2)]. In general, we
use de Jong's theorem on alterations of algebraic varieties [5, th. 3.1] to Þnd a projective
morphism f : X' @ X, where X' is smooth, f is Žtale and Þnite over a dense open subset of X,
and Z' = Z |X X' is such that Z'red is a divisor with normal crossings. We choose a projective
embedding u : X' Ì@ Y = æÊdX Ê. We lift g : Y @ X as g : y @ x, y being the formal projective““
space of relative dimension d over x. We deÞne e = h“ÊdX' (oy,ÊÝ), h = dy,ÊÝ( T) ¢d“y,ÊÝ e, where
T = gÊ-1(Z), and d“y,ÊÝ(“T) is the sheaf of differential operators with overconvergent singularities along T as in [2, 4.2.5].

We Þrst check that h is coherent as a d“y,ÊÝ-module : locally, there exists a smooth lifting“u'ÊÊ:ÊÊx' Ì@ y of X', and h can be identiÞed with u'Ê“+ (ox',ÊÝ( Z')), which is coherent as u' isproper and Z'red is a divisor with normal crossings in X'. Since g also is proper, it follows that““gÊ“
+ (h) has dx,ÊÝ-coherent cohomology [4]. Therefore, it sufÞces to show that ox,ÊÝ( Z) is a
Ê“direct factor of g+ (h).
b
“
“
b
“
“
Ê“
We also have a direct image functor ~gÊ“
+ : DparfŸ(dy,ÊÝ( T)) @ DparfŸ(dx,ÊÝ( Z)) Ê; moreover, ~g+
and g+Ê“ commute with scalar restriction from d“y,ÊÝ(“T) to d“y,ÊÝÊ, and from d“x,ÊÝ(“Z) to d“x,ÊÝÊ.
“We deÞne a morphism : gÊ“+ (h) @ ox,ÊÝ( Z) as the composite of the canonical morphismg+Ê“hÊÊ@ g+Ê“(oy,ÊÝ(“T))[d], and of the morphism g+Ê“(oy,ÊÝ(“T))[d] @ ox,ÊÝ(“Z) deduced from the- 3 -

trace morphism of [6]. Applying the dualizing functor ~D “x for complexes of d “x,ÊÝ(“Z)-modules,
the relative duality theorem [6] and the autoduality isomorphism of the previous paragraph,
we get a morphism ' : ox,ÊÝ(“Z) @ g+Ê“(h). We then end the proof by checking that ì ' ismultiplication by the generic rank of X' over XÊ; this can be done on the open subset on which
X' is Þnite and Žtale over X, where we may assume that X' lifts to an Žtale cover x' of x, andthen conclude using standard properties of the trace.

Soient v un anneau de valuation discr•te complet d'inŽgales caractŽristiques (0, p), d'idŽal
maximal µ, de corps rŽsiduel k, de corps des fractions K, x un v-schŽma formel lisse, X saÞbre spŽciale, Z Ç X un diviseur. On renvoie ˆ [2] pour la dŽÞnition des faisceaux d'opŽrateurs, ^dx(m), d“x,ÊÝÊ. Si m est assez grand, et si f Ô ox rel•ve unediffŽrentiels de niveau Þni d(m)xŸmÊ+Ÿ1Žquation locale de Z dans X, l'alg•bre ^b(m)(Z) = oxÊ{T}Ê/Ê(ŸfÊp T - p) est munie d'une actionx
naturelle du faisceau ^dx(m), et ne dŽpend, ˆ isomorphisme canonique pr•s, que de x et Z (voir[2, 4.2.2]. L'alg•bre des fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z est par dŽÞnitionox,ÊÝ(“Z) = limÊm ^bx(m)(Z) ¢ ÝÊ; elle est munie d'une action du faisceau d“x,ÊÝ compatible ˆ sa#@
structure de oxÊ-alg•bre. Nous nous proposons de montrer que cette action fait de ox,ÊÝ(“Z) u n
d “x,ÊÝ-module cohŽrent.
On sait que, lorsque x est de plus propre sur v, la cohomologie de de Rham de x ˆ coefÞcients dans ox,ÊÝ(“Z) s'identiÞe canoniquement ˆ la cohomologie rigide du complŽmentaire
U de Z dans X [1]. Ainsi que nous le montrerons ailleurs [4], la cohomologie de de Rham d'un
d“x,ÊÝ-module cohŽrent est un K-espace vectoriel de dimension Þnie lorsque x est propre. LerŽsultat obtenu ici entra”ne donc la Þnitude de la cohomologie rigide de U, ce qui fournit une
variante ˆ la dŽmonstration donnŽe dans [3].
1.

Cohomologie locale surconvergente

1.1. On Þxe un entier m assez grand pour que l'idŽal pv, muni de ses puissances divisŽes
canoniques, dŽÞnisse une m-PD-structure topologiquement m-PD-nilpotente sur µ. SoientiÊÊ³ÊÊ0, vi = vÊ/ÊµÊiÊ+Ÿ1, Y un v iÊ-schŽma lisse, Y0 sa rŽduction modulo µ, XÊÊÇÊÊY un sous-schŽma
fermŽ, pÊn(m)(i) la PD-enveloppe de niveau m de l'idŽal i de X dans Y Ê, compatible ˆ la m-PDstructure de µ, et PD-nilpotente ˆ l'ordre n [2]. Pour tout oYÊ-module e, on pose
âX(m)(e) = limÊn homo (pÊn(m)(i), e),#@Yles dŽrivŽs droits de â(m). On dispose d'un
et on note h(m),Êq
X
X
(m)
é âX
@ Id.

morphisme naturel de foncteurs

La nilpotence de la m-PD-structure de µ entra”ne que les foncteurs h(m),Êq
ne changent pasXsi l'on remplace X par sa rŽduction modulo µ.
P ROPOSITION 1.2. Ñ Supposons que X soit un k-schŽma lisse, de codimension d dans Y0Ê, etque e soit plat sur oY. Alors les h(m),Êq
(e) sont nuls pour q - d, plats sur viÊ, et leur formationXi'commute ˆ la rŽduction modulo µÊ pour i' ² i.
L'assertion Žtant locale, on remplace X par un rel•vement en un sous-schŽma lisse X' Ç Y.
En utilisant les rŽsultats de [2] sur la Þltration m-PD-adique, on se ram•ne alors aux propriŽŸq (oX'Ê, e).
tŽs classiques des extoY(m)

1.3. Le faisceau dY
des opŽrateurs diffŽrentiels de niveau m agit ˆ gauche sur le pro-objetÊn(p(m)(i))nÊ³Ê0Ê, de sorte que, lorsque e est muni d'une structure de d(m)-module ˆ gauche, leY- 4 -

complexe éâ(m)(e) est muni par la formule habituelle d'une structure naturelle de complexeX(m)de dY -modules ˆ gauche. Pla•ons nous dŽsormais sous les hypoth•ses de 1.2. S'il existe u nrel•vement u : X' Ì@ Y de l'immersion X Ì@ Y0 donnŽe, on dispose comme en caractŽris(m)tique 0 de foncteurs image inverse u(m)Ê! : Db(d(m)) @ Db(d(m):
YX' )Ÿ et image directe u+
b
(m)
b
(m)
(m)
D (dX' ) @ D (dY ) (cf. [4]), et, pour tout dY -module e, d'un isomorphisme-1›Ê
u+(m)(h0u(m)Ê!(e)) #@ (d(m)¢o ·X'Ê/ÊY) ¢d(m) (·X'Ê/ÊY
¢o
Y
Y

X'

Êe),

X' i'

o• i'Êe est le sous-faisceau des sections de e annulŽes par l'idŽal i' de X' dans Y. On en dŽduit
un homomorphisme canonique u+(h0u(m)Ê!(e)) @ âX(m)(e). Par un calcul en coordonnŽes
locales, et un argument classique de passage aux foncteurs dŽrivŽs, on obtient alors :PROPOSITION 1.4. Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, il existe pour tout d(m)-module e u n
Y
(m)Ê!
(m)
›Ê
isomorphisme canonique u(m)(u(e))ÊÊ#
@
é
â
(e).
+
X
COROLLAIRE 1.5. Ñ Sous les hypoth•ses de 1.2, le d(m)-module hX(m),Êd(oY) est cohŽrent. SiYt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtN sont des coordonnŽes locales relatives sur Y, telles que t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd rel•vent des Žquations de X dans Y0Ê, il existe une prŽsentation(1.5.1)› h(m),Êd(o ).
d(m)Ê/Ê( åÊd(m)ÊtŒ + åÊd(m)ÊÙ[ŸŒ pÊ ]) Ê##@
Y
Y
Y
X
Y
º

ŒÊ²Êd

ŒÊ>Êd
ºÊ²Êm

1.6. Soient maintenant y un v-schŽma formel lisse, de rŽduction Yi modulo µÊiÊ+Ÿ1, et X Ç Y0(m)
un sous-schŽma fermŽ, lisse sur k, de codimension d. D'apr•s 1.2 et 1.5, les dY-modulesi(m),ÊdÊi'hX(oY ) sont cohŽrents et commutent ˆ la rŽduction modulo µ pour i' ² i. On dŽÞnit donci(m)un ^dy -module (resp. ^d(m)y,ÊÝ-module) cohŽrent en posanth(m),Êd(oy) = limÊi hX(m),Êd(oY )XÒ#(resp. h(m),Êd
(oy,ÊÝ) = h(m),Êd
(oy) ¢ Ý).
X
Xi(m),ÊdLa prŽsentation locale (1.5.1) reste valable pour h(m),Êd
(oy) sur ^d(m)Ê; pour h(oy,ÊÝ), onXyX
obtient la prŽsentation plus simple(1.6.1)(m)(m)(m),Êd›Ê/Ê( åÊ^d(m)(oy,ÊÝ).
^dy,ÊÝ
y,ÊÝÊtŒ + åÊ^dy,ÊÝÊÙŒ) Ê##@ hX
ŒÊ²Êd

ŒÊ>Êd

Pour m' ³ m, on dispose d'un homomorphisme naturel h(m),Êd
(oY ) @ h(m'),Êd
(oY ), quiXXiidŽÞnit par passage ˆ la limite et semi-linŽaritŽ un homomorphisme^d(m')y,ÊÝ ¢^d(m)y,ÊÝ

h(m),Êd
(oy,ÊÝ) Ê##@ h(m'),Êd
(oy,ÊÝ).
X
X(m),ÊdIl rŽsulte de (1.6.1) que c'est un isomorphisme. Si on pose h“Êd(oy,ÊÝ), leX (oy,ÊÝ) = limÊm hX#@

d“y,ÊÝ-module ainsi obtenu est donc cohŽrent.
Lorsque X est relevable en un schŽma formel lisse x, plongŽ dans y par une immersion
fermŽe u : x Ì@ y, on voit par passage ˆ la limite ˆ partir de 1.4 qu'il existe un isomorphisme›Êcanonique hX“Êd(oy,ÊÝ) #@ u“+Ÿ(ox,ÊÝ), o• u“+ : Db(d“x,ÊÝ) @ Db(d“y,ÊÝ) dŽsigne le foncteur image
directe.
2.

AutodualitŽ de la cohomologie locale
2.1. Les hypoth•ses sont celles de 1.6. On note D“y(e) le dual d'un complexe e Ô DbparfŸ(d“y,ÊÝ),b
qui est encore un complexe de Dparf
Ÿ(d“y,ÊÝ) (voir [6] ou [7]). Il rŽsulte de la prŽsentation (1.6.1)
que hX“Êd(oy,ÊÝ) est dans DbparfŸ(d“y,ÊÝ). On se propose de construire un isomorphisme canonique(2.1.1)›ÊD“y(hX“Êd(oy,ÊÝ)) #@ hX“Êd(oy,ÊÝ).

2.2. Localement, X se rel•ve en un schŽma formel x' Ç y, lisse sur v, plongŽ dans y par

- 5 -

une immersion fermŽe u' : x' Ì@ y. La rŽsolution de Spencer de ox',ÊÝ sur d“x',ÊÝ [1, (3.2.2)]
montre que ox',ÊÝ est parfait sur d“x',ÊÝÊ, et donne naissance ˆ un isomorphisme canonique›Ê
D“x'(ox',ÊÝ) #@ ox',ÊÝÊ. En appliquant le thŽor•me de bidualitŽ relative (cf. [6] ou [8]) ˆ ox',ÊÝ et ˆ
l'immersion fermŽe u', on voit gr‰ce ˆ 1.4 que la donnŽe de x' fournit un isomorphisme(2.2.1)›Ê›Ê Ê“ “›Ê Ê“
›Ê “ÊdD“y(hX“Êd(oy,ÊÝ)) Ê#@ D“y( u'Ê“+ (ox',ÊÝ)) Ê#@ u'+ (Dx'(ox',ÊÝ)) Ê#@ u'+ (ox',ÊÝ) Ê#@ hX (oy,ÊÝ).
Pour construire (2.1.1), il sufÞt donc de montrer que cet isomorphisme est indŽpendant duchoix de x' et de recoller les isomorphismes locaux ainsi obtenus.
2.3. Soient x" un second rel•vement local de X, et soient Æ', Æ" les isomorphismes (2.2.1)
dŽÞnis par x' et x". On peut localiser, et supposer qu'il existe un v-automorphisme ªy de y se›ÊrŽduisant ˆ l'identitŽ sur Y0Ê, et induisant un isomorphisme ªx : x" Ê#@ x'. On observe que›ÊªyÊ+ÊÊ= ªyÊ*Ê, et qu'on dispose d'un isomorphisme canonique ªyÊ+(u"+Ê“(ox",ÊÝ)) Ê#@ u"Ê“+ (o x",ÊÝ),inverse de celui qu'on dŽduit par adjonction de l'isomorphisme de Taylor dŽÞni par la structure de d“y,ÊÝ-module de u"+Ê“(ox",ÊÝ). Par des arguments de fonctorialitŽ, on montre que, si l'on
note h = hX“Êd(oy,ÊÝ), on peut insŽrer verticalement Æ' et Æ" dans un carrŽ commutatif dont
l'un des c™tŽs horizontaux est l'isomorphisme(2.3.1)

Ê“
Ê“
›Ê
›Ê
›Ê
›Ê
›Ê
h Ê#
@ u'+Ê“(ox',ÊÝ) Ê#@ u'Ê“+ (ªxÊ+(ox",ÊÝ)) Ê#@ ªyÊ+(u"+ (ox",ÊÝ)) Ê#@ u"+ (ox",ÊÝ) Ê#@ h,et l'autre est dŽduit de l'inverse de (2.3.1) en appliquant D“yÊ. On vŽriÞe alors par un calcul
direct en coordonnŽes locales que (2.3.1) est l'identitŽ de h.
3.

Le thŽor•me de cohŽrenceTHƒORéME 3.1. Ñ Soient x un v-schŽma formel lisse de Þbre spŽciale X. Pour tout diviseur

Z Ç X, le faisceau ox,ÊÝ(“Z) des fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z est cohŽrent en tant que d“x,ÊÝ-module.
Lorsque Z est un diviseur ˆ croisements normaux dans X, le rŽsultat est connu d'apr•s [1,Ê(4.3.2)]. La dŽmonstration va consister ˆ dŽduire le cas gŽnŽral de ce cas particulier.
3.2. On peut supposer X irrŽductible. D'apr•s le thŽor•me de de Jong sur les altŽrations devariŽtŽs algŽbriques [5, th. 3.1], il existe un morphisme projectif f : X' @ X, Þni et Žtale audessus d'un ouvert non vide de X, tel que X' soit lisse sur k et que, si Z' = X' |X Z, Z'red soit u ndiviseur ˆ croisements normaux de X'. On choisit un plongement projectif u : X' Ì@ Y = æÊdX Ê.
On note g : Y @ X le morphisme structural, T = gÊ-1(Z) Ç Y le diviseur image inverse de Z, eton rel•ve g en g : y @ x, o• y est l'espace projectif formel de dimension d au-dessus de x.
““
On observe que codimY(ŸX') = d, et on pose e = h“ÊdX' (oy,ÊÝ), h = dy,ÊÝ( T) ¢d“y,ÊÝ e, o•
“
“
b
“
“
dy,ÊÝ( T) est dŽÞni comme en [2, 4.2.5]Ê; h est dans DparfŸ(dy,ÊÝ( T)).
PROPOSITION 3.3. Ñ Le faisceau h est cohŽrent sur d“y,ÊÝÊ.
Localement sur y, on peut supposer l'immersion u relevŽe en u' : x' Ì@ y, o• x' est lisse“
sur v. Il existe alors un isomorphisme canonique h – u'Ê“+ (ox',ÊÝ( Z')) : si u'i : X'iÊÊÌ@ Yi est laÊiÊ+Ÿ1(m)rŽduction de u' modulo µ , on a pour tout m un isomorphisme u'iÊ*(b(m)
Yi (T)) – bX'i (Z') (o•b(m) est dŽÞni comme ^b(m) plus haut, cf. [2, 4.2.4]), et on en dŽduit les isomorphismes(m),Êd
(m)
(m)
(m)
›Ê
›Ê
b(m)
(oY ) Ê#@ bY(T) ¢o u'ÊiÊÊ+(oX' ) Ê#@ u'ÊiÊÊ+(b(m)
Y (T) ¢o h X'
X' (Z'))Ê;
i

Yi

i

i

i

Yi

i

i

l'assertion en rŽsulte par passage ˆ la limite projective sur i, puis inductive sur m. Commeox',ÊÝ(“Z') = ox',ÊÝ(“Z'red), et que Z'red est un diviseur ˆ croisements normaux, ox',ÊÝ(“Z') est u n

- 6 -

d“x',ÊÝ-module cohŽrent, et l'ŽnoncŽ rŽsulte de la Þnitude des images directes par un morphisme propre [4].
3.4. Comme g est propre, le thŽor•me de Þnitude des images directes entra”ne que gÊ“+ (h)est dans Dbcoh(d“x,ÊÝ). Pour achever la dŽmonstration du thŽor•me 3.1, il sufÞt donc de montrerb“que ox,ÊÝ(“Z) est facteur direct de gÊ“+ (h) dans D (dx,ÊÝ).
Munissons y et x des faisceaux d'alg•bres oy,ÊÝ(“T) et ox,ÊÝ(“Z). D'apr•s [4], on dispose du
b
“
“
b
“
“
foncteur image directe ~gÊ“
+ : DparfŸ(dy,ÊÝ( T)) @ DparfŸ(dx,ÊÝ( Z)), et on vŽriÞe que les foncteurs
b
“
“
b
“
~g+Ê“ et gÊ“+ commutent aux restrictions des scalaires de DparfŸ(dy,ÊÝ( T)) ˆ D (dy,ÊÝ), et de
Ÿ
*
b
“
“
b
“
(m)
(m)
D (d
( Z)) ˆ D (d). Comme g (b (Z)) – b (T) pour tout i et tout m, la
parf

x,ÊÝ

x,ÊÝ

Xi

Yi

construction du morphisme trace donnŽe en [6, 5.5 et 5.7] fournit par passage de droite ˆ
“
“
b
“
“
gauche un morphisme canonique ~gÊ“+ (oy,ÊÝ( T))[d] @ ox,ÊÝ( Z) dans DparfŸ(dx,ÊÝ( Z)). Dansb“““
DparfŸ(dy,ÊÝ( T)), on dispose d'autre part du morphisme h @ oy,ÊÝ( T)[d] dŽduit des morphismes naturels éâ(m)X' @ Id par translation et extension des scalaires. Par composition, on“b““obtient donc un morphisme : ~gÊ“+ (h) @ ox,ÊÝ( Z) dans DparfŸ(dx,ÊÝ( Z)).
bb
Notons ~D“y et ~D“x les duaux dans les catŽgories Dparf
Ÿ(d“y,ÊÝ(“T)) et Dparf
Ÿ(d“x,ÊÝ(“Z)). On
obtient un morphisme en sens inverse
Ê“
“
Ê“
›
›
' : ox,ÊÝ(“Z) Ê#@ ~D“x(~gÊ“+ (h)) Ê##@ ~g+ (~Dy(h)) Ê##@ ~g+ (h)en dualisant , en appliquant le thŽor•me de dualitŽ relative [6, (5.7.2)] et l'isomorphisme›Ê~D“y(h) Ê#@ h dŽduit par extension des scalaires de (2.1.1). Pour terminer, il sufÞt de vŽriÞer
que le composŽ

ì ' est Žgal ˆ la multiplication par le rang gŽnŽrique de X' sur X. Pour cela,

on peut se restreindre ˆ un ouvert afÞne non vide de x au-dessus duquel X' est Þni Žtale sur X.
On peut alors relever X' en un rev•tement Þni f' : x' @ x, et prolonger u en une immersion
fermŽe u' : x' Ì@ y. En utilisant la transitivitŽ du morphisme trace [6], on se ram•ne ˆ
l'assertion concernant le composŽ analogue obtenu en rempla•ant y par x' et h parox',ÊÝ(“Z'). Le morphisme ì ' s'identiÞe alors au morphisme naturel dŽÞni par la traceTrox,ÊÝ(“Z) Ê#@ f'*Ê(ox',ÊÝ(“Z')) Ê#@ ox,ÊÝ(“Z)
et l'assertion rŽsulte de ce que f'*Ê(ox',ÊÝ(“Z')) est une ox,ÊÝ(“Z)-alg•bre Þnie localement libre.
Remerciements. Je remercie A.ÊJ. de Jong et A. ÊVirrion pour les discussions tr•s stimulantes que nous avons
eues sur cette question.

RŽfŽrences bibliographiques[1] Berthelot P., 1990. Cohomologie rigide et thŽorie des d-modules, Proc. Conf. p-adic Analysis (Trento1989), Lecture Notes in Math., 1454, p. 78-124, Springer-Verlag.
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IRMAR, 93-17, ˆ para”tre aux Annales Scient. ƒc. Norm. Sup. , 29.
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