INSTITUT DE RECHERCHE MATHƒMATIQUE DE RENNES
UniversitŽ de Rennes 1 Ñ U.R.A. C.N.R.S. 305

PRƒPUBLICATIONPIERRE BERTHELOT
Cohomologie rigide et cohomologie
rigide ˆ supports propres
Premi•re partie(version provisoire 1991)PrŽpublication 96-03

Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
TŽl. : (33) 2 99 28 60 43

Fax : (33) 2 99 28 67 90

Janvier 1996

T ABLE DES MATIéRES

Avant-propos

30.

Rappels sur la gŽomŽtrie analytique rigide

7

0.1. Espaces analytiques rigides ....................................................................

7

0.2. Espace analytique associŽ ˆ un v-schŽma formel ......................................

14

0.3. Espace analytique associŽ ˆ un K-schŽma ................................................

19

Le tube associŽ ˆ un sous-schŽma d'un schŽma formel

25

1.1. DŽÞnitions et propriŽtŽs ŽlŽmentaires des tubes ........................................

25

1.2. Voisinages stricts d'un tube....................................................................

32

1.3. ThŽor•mes de Þbration...........................................................................

39

Isocristaux surconvergents47

2.1. Germes de sections au voisinage d'un tube...............................................

47

2.2. Connexions surconvergentes le long d'un fermŽ .......................................

57

2.3. Isocristaux convergents et surconvergents...............................................

68

2.4. F-isocristaux convergents associŽs aux F-cristaux ....................................

78

2.5. F-isocristaux surconvergents sur un schŽma afÞne et lisse........................

81

1.

2.

Bibliographie

90

- 3 -

A VANT-PROPOSCette prŽpublication est constituŽe des trois premiers chapitres d'un ouvrage encore
inachevŽ, consacrŽ ˆ la construction et aux propriŽtŽs de base de la cohomologie rigide
des variŽtŽs algŽbriques sur un corps de caractŽristique p. Ecrits entre 1987 et 1991, ils ont
circulŽ depuis de mani•re informelle. Dans la mesure o• ils ont dŽjˆ servi de rŽfŽrence
dans divers articles, et sont notamment utilisŽs de mani•re essentielle dans la dŽmonstration du thŽor•me de Þnitude donnŽe dans [Be4], il nous para”t utile de les rendre
accessibles de mani•re plus systŽmatique, sans attendre la rŽdaction compl•te del'ouvrage auquel ils seront incorporŽs. Nous attirons nŽanmoins l'attention du lecteur
sur le fait qu'il ne s'agit pour l'instant que d'une rŽdaction provisoire, susceptible d'•tremodiÞŽe dans la version Þnale.
Les trois chapitres qui sont rassemblŽs ici constituent la partie gŽomŽtrique, Ç prŽcohomologique È, de cet ouvrage. Le chapitre 0 est consacrŽ ˆ des rappels sur certaines
constructions de base de la gŽomŽtrie rigide sur un corps valuŽ non archimŽdien K. On y
trouvera notamment la construction de la Þbre gŽnŽrique d'un schŽma formel sur
l'anneau v des entiers de K (due ˆ Raynaud [Ra1]), celle de l'espace analytique associŽ ˆ
un schŽma de type Þni sur un corps valuŽ non archimŽdien, et les relations entre ces
deux espaces. Signalons simplement que la construction de la Þbre gŽnŽrique d'unschŽma formel est gŽnŽralisŽe ici au cas d'un v-schŽma formel adique localement detype Þni, dont la topologie n'est pas nŽcessairement dŽÞnie par l'idŽal maximal µ de v.
Cette construction est liŽe ˆ celle des tubes, introduits dans la premi•re section duchapitre 1. Si P est un v-schŽma formel (µ-adique), et X un sous-schŽma localementfermŽ de la Þbre spŽciale P0 de P, nous associons ˆ X un ouvert de l'espace analytique
rigide PKÊ, Þbre gŽnŽrique de P, que nous appelerons tube de X dans P, et que nous noterons ]ÊXÊ[PÊ. Lorsque X est fermŽ dans P0Ê, ce tube joue dans la dŽÞnition de la cohomologie
rigide le m•me r™le que les voisinages inÞnitŽsimaux dans celle de la cohomologie de de
Rham algŽbrique en caractŽristique 0 [Ha2], ou les voisinages ˆ puissances divisŽes encohomologie cristalline [Be1]. Lorsque X n'est pas propre sur k, la considŽration de ces
tubes ne sufÞt pas ˆ dŽÞnir une bonne cohomologie pour X, ˆ cause des probl•mes deconvergence au bord qui motivaient dŽjˆ l'utilisation des alg•bres faiblement compl•tes
de Monsky-Washnitzer [MW1]. Il y a donc lieu d'introduire certains voisinages des tubes,
que nous appelerons voisinages stricts, et qui sont ŽtudiŽs dans la deuxi•me section du

- 5 -

ii

P. BERTHELOT

chapitre 1. Dans la troisi•me section, nous montrons les thŽor•mes de Þbration reliant
les tubes de X dans deux schŽmas formels P et P' : si u : P' @ P est un morphisme lisse
induisant l'identitŽ sur X, le morphisme de fonctorialitŽ ]ÊXÊ[P' @ ]ÊXÊ[P est une Þbration
localement triviale en disques ouverts. Le point le plus dŽlicat est de prolonger ce rŽsultat
en un sens convenable ˆ des voisinages stricts de ces tubes (th. 1.3.7). Ces thŽor•mes
jouent un r™le crucial pour prouver que les constructions qui sont effectuŽes par la suitesont indŽpendantes de la fa•on dont les variŽtŽs (de caractŽristique p) sont plongŽes dansdes schŽmas formels lisses d'inŽgales caractŽristiques, et sont de nature fonctorielle parrapport ˆ ces variŽtŽs.
L'objet du chapitre 2 est de construire une catŽgorie de coefÞcients pour la cohomologie rigide, la catŽgorie des isocristaux surconvergents. Il s'agit d'une variante de la
notion de cristal : de m•me qu'un cristal sur X peut s'interprŽter comme un module ˆconnexion intŽgrable sur le complŽtŽ p-adique du voisinage ˆ puissances divisŽes de X
dans un schŽma formel lisse P, un isocristal surconvergent sur X s'interpr•te comme un
module ˆ connexion intŽgrable sur un voisinage strict du tube ]ÊXÊ[PÊ, dont la connexionvŽriÞe certaines conditions de convergence. Pour en donner une dŽÞnition valable pour
tout k-schŽma de type Þni, nous introduisons dans la premi•re section un analoguefaisceautique des conditions de surconvergence de Dwork et Monsky-Washnitzer, qui
permet d'associer ˆ tout faisceau abŽlien E sur un voisinage strict du tube de X lefaisceau jŸ“ŸE des sections surconvergentes de E. Nous utilisons cette construction dans laseconde section pour dŽÞnir la condition de surconvergence d'une connexion le long d'unfermŽ de la Þbre spŽciale. Soient alors Y une compactiÞcation de X, et Y Ì@ P un plongement de Y dans un v-schŽma formel P, lisse au voisinage de X. Gr‰ce aux thŽor•mesde Þbration du chapitre prŽcŽdent, on montre dans la troisi•me section que la catŽgorie
des jŸ“Ÿo]ÊYÊ[-modules ˆ connexion intŽgrable et surconvergente ne dŽpend que de X, et est
fonctorielle en X : on obtient ainsi la catŽgorie des isocristaux surconvergents sur X(resp. des F-isocristaux surconvergents si l'on se donne de plus une action de Frobenius).
Les deux derni•res sections explicitent les relations entre cette notion et les notions
analogues en cohomologie cristalline, et en cohomologie de Monsky-Washnitzer. Dans lecas o• X est propre, on y montre comment un F-cristal sur X dŽÞnit un F-isocristal surconvergent sur XÊ; pour cela, on reprend une mŽthode due ˆ Dwork, qui consiste ˆutiliser l'action de Frobenius pour Žtendre le domaine de convergence de la sŽrie deTaylor de la connexion au tube ]ÊXÊ[P2 tout entier. De m•me, lorsque X est afÞne et lisse,
avec X = SpecÊŸA, on prouve que la donnŽe d'une action de Frobenius sur un module ˆconnexion intŽgrable sur une alg•bre faiblement compl•te A“ relevant A entra”ne lasurconvergence de cette connexion, ce qui fournit une description de style MonskyWashnitzer de la catŽgorie des isocristaux surconvergents sur X.

- 6 -0. RAPPELS SUR LA GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

Pour les notions de base et les rŽsultats fondamentaux concernant la gŽomŽtrie
analytique rigide, nous renvoyons le lecteur au traitŽ de Bosch, GŸntzer et Remmert[BG], ainsi qu'aux articles de Tate [Ta1], Kiehl ([Ki1], [Ki2]) et Raynaud [Ra1], et aux
ouvrages de Fresnel - Van der Put [FV], et GerritzenÊ- Van der Put [GV]. Nous rappelonsbri•vement ici quelques dŽÞnitions et rŽsultats frŽquemment utilisŽs par la suite.
On dŽsigne par K un corps complet pour une valeur absolue non archimŽdienne,notŽe ¾-¾Ê; on note v l'anneau des entiers de K, µ son idŽal maximal, k son corpsrŽsiduel, â0Ê* Ç é>Ê0 l'image de KÊ* par l'application valeur absolue, et âŸ* = â0Ê*ÊÊ¢ Ý Ç é>Ê0Ê;
âŸ* est un sous-groupe multiplicatif dense de é>Ê0. Soit A un anneau topologique,possŽdant un syst•me fondamental (Vi) de voisinages de 0 tel que les Vi soient des sousgroupes additifs de AÊ; on notera A{t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn} l'anneau des sŽries formelles Ä(t) = Ï aqŸtŸq,avec tŸq = tŸ1 q1Ê.Ê.Ê.ÊtŸn qn, telles que aq @ 0 lorsque ¾q¾ := q1 + .Ê.Ê. + qn @ +Ê& (sŽries formelles restreintes)Ê; on le munit de la topologie pour laquelle un syst•me fondamental de voisinages
de 0 est formŽ des sous-groupes
Wi = {ÊÄ(t) Ô A{t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn} ¾ × q, aq Ô VŸÊ}.
On dit qu'une A-alg•bre topologique B est topologiquement de type Þni si elle est
isomorphe, comme A-alg•bre topologique, ˆ un quotient d'une A-alg•bre de la forme
A{t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn}. Une K-alg•bre de Tate est une K-alg•bre topologiquement de type Þni.

0.1. Espaces analytiques rigides(0.1.1) Rappelons qu'une topologie de Grothendieck t sur un ensemble X est constituŽe
par la donnŽe d'un ensemble f de parties de X, comprenant ¯, X, et stable parintersections Þnies, et, pour tout U Ô f, d'un ensemble Cov(U) de recouvrements de U
par des parties de f, vŽriÞant les conditions :(i) (U) Ô Cov(U)Ê;(ii) si U, V Ô f, V Ç U, et si (Ui)i Ô Cov(U), alors (V õ Ui)i Ô Cov(VŸ)Ê;(iii) si U Ô f, si (Ui)i Ô Cov(U), et si, quel que soit i, (Ui,Êj)j Ô Cov(Ui), alors (Ui,Êj)i,Êj Ô
Cov(U…).

- 7 -

0.2

P. BERTHELOT

Les parties U Ô f seront simplement appelŽes ouverts, et les recouvrements (Ui)i Ô
Cov(U) recouvrements admissibles. Une application f : (ŸX', t') @ (ŸX, t) entre
ensembles munis de topologies de Grothendieck est dite continue si l'image inverse d'unouvert (resp. recouvrement admissible) est un ouvert (resp. recouvrement admissible).
Pour tout ouvert U Ç X, la topologie induite sur U est dŽÞnie de la mani•re Žvidente.
Nous dirons qu'une topologie de Grothendieck est saturŽe si elle vŽriÞe de plus lesconditions suivantes (cf. [BG, 9.1.2]) :(iv) si U Ô f, si V Ç U, et s'il existe (Ui)i Ô Cov(U) tel que, pour tout i, V õ Ui Ô f, alorsV Ô fÊ;(v) si U Ô f, si U = ô i UiÊ, avec Ui Ô f, et s'il existe (Vj)j Ô Cov(U) qui soit un recouvrement plus Þn que (Ui)iÊ, alors (Ui)i Ô Cov(U).
Il est possible de recoller des topologies saturŽes [BG, 9.1.3] : soient X un ensemble,(ŸXi)i un recouvrement de XÊ; on suppose donnŽes des topologies de Grothendieck t…i surles Xi telles que : a) les t…i sont saturŽesÊ; b) pour tous i, j, Xi õ Xj est ouvert dans Xi et XjÊ,et les topologies induites par t…i et t…j sur Xi õ Xj co•ncident. Il existe alors une uniquetopologie de Grothendieck saturŽe sur X, telle que (ŸXi)i soit un recouvrement admissible,
et induisant sur chaque Xi la topologie t…i : une partie U de X (resp. un recouvrement(Uj)j de U) est ouverte (resp. admissible) si et seulement si, pour tout i, U õ Xi (resp.
(UjÊÊõ Xi)jÊ) est un ouvert de Xi (resp. un recouvrement admissible de U õ XiÊ).
(0.1.2) Si A est une K-alg•bre de Tate, on note SpmÊŸA le spectre maximal de A. Pour toutx Ô SpmÊŸA, correspondant ˆ un idŽal maximal Œ Ç A, on dŽsigne par K(x) le quotient AÊ/ÊŒ :rappelons que c'est une extension Þnie de K (cf. [BG, 6.1.2] ou [FV, II.3.5]), qui poss•dedonc une unique valuation prolongeant celle de K. L'anneau de cette valuation sera notŽv(x), son idŽal maximal µ(x)Ê; pour f Ô A, f(x) dŽsignera l'image de f dans K(x).
Soit X = SpmÊŸA. Un sous-ensemble V Ç X est appelŽ domaine spŽcial (ou rationnel,
mais le terme ÒrationnelÓ a dŽjˆ bien des sens en GŽomŽtrie AlgŽbriqueÉ) s'il existe
f0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfn Ô A, engendrant l'idŽal unitŽ, tels que(0.1.2.1)

V = {Êx Ô X ¾ × i = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Ên, ¾ŸfiŸ(x)¾ ² ¾Ÿf0(x)¾Ê}.

L'ensemble des domaines spŽciaux est stable par intersection ([BG, 7.2.3], [FV, I I I1.3]).
Nous considŽrerons X comme muni de la Òtopologie de Grothendieck forteÓ de [BG,
9.1.4]Ê; rappelons-en la dŽÞnition.
a) Un ouvert est une partie U Ç X possŽdant un recouvrement (Vi)i par desdomaines spŽciaux ViÊÊ, vŽriÞant la condition de Þnitude :(A1) Pour tout homomorphisme A @ B d'alg•bres de Tate, induisant h : Y = SpmÊB @ X= SpmÊŸA, tel que h(YŸ) Ç U, il existe un nombre Þni de Vi dont la rŽunion contient h(YŸ).
b) Un recouvrement d'un ouvert U par des ouverts Ui est admissible s'il vŽriÞe lacondition de Þnitude :- 8 -GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

0.3(A2) Pour tout homomorphisme d'alg•bres de Tate comme en (A1), il existe u nrecouvrement Þni de Y par des domaines spŽciaux plus Þn que le recouvrement(h-1(Ui))iÊ.
On appelle recouvrement spŽcial un recouvrement admissible par des domainesspŽciaux.
La topologie de Grothendieck ainsi dŽÞnie est saturŽe.
A tout domaine spŽcial V de X, dŽÞni comme en (0.1.2.1), on associe l'alg•bre de Tateâ(V, oX) = A{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTn}Ÿ/Ÿ(Ÿfi - f0ŸTi).

(0.1.2.2)

C'est l'alg•bre de Tate universelle pour les homomorphismes de A dans une alg•brede Tate B tels que l'application SpmÊB @ SpmÊŸA correspondante envoie SpmÊB dans VÊ; enparticulier, elle est indŽpendante ˆ isomorphisme canonique pr•s du choix de f0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfndŽÞnissant V (cf. [BG, 7.2.3 prop. 4] ou [FV, III 1.2]). Le thŽor•me d'acyclicitŽ de Tate(voir [Ta1, 8.2], [GG, 2.4 Satz 3] ou [BG, 8.2.1 cor. 2]) permet d'en dŽduire un faisceaud'alg•bres sur X, en posant pour tout ouvert U de X
(0.1.2.3)

â(U, oX) = Ker [ÕÊâ(ViÊ, oX) @@ ÕÊâ(Vi õ VjÊ, oX)],ii,Êjo• (Vi)i est un recouvrement spŽcial de UÊ; â(U, oX) est l'alg•bre des fonctions analytiques, ou holomorphes, sur U. La donnŽe sur X de la topologie de Grothendieck dŽÞnie
plus haut et du faisceau oX dŽÞnit l'espace analytique rigide afÞno•de X = SpmÊŸA.
(0.1.3) Exemples. Ñ (i)ÊÊToute partie de X afÞno•de au sens de Tate [Ta1, 7.1] est rŽunionÞnie de domaines spŽciaux ([GR1], [BGR, 7.3.5 cor. 3]), donc ouverte. Toute rŽunion Þnied'ouverts afÞno•des de X est un ouvert, tout recouvrement Þni d'un ouvert par desouverts afÞno•des est admissible.
(ii) Tout ouvert de Zariski de SpmÊŸA est ouvert pour la topologie de Grothendieck, ettout recouvrement d'un tel ouvert par des ouverts de Zariski est admissible ([Ki3, 1.3 et1.4], [BG, 9.1.4 cor. 7]).
(iii) Pour i = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êr, soient fi,Ê0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfi,Ên des ŽlŽments de A tels que, pour tout i,ifi,Ê0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfi,Êni engendrent l'idŽal A, et
V = {Êx Ô X ¾ × i, × j ³ 1, ¾Ÿfi,Êj(x)¾ < ¾Ÿfi,Ê0(x)¾Ê}.
Alors V est un ouvert de X. Soit en effet a Ô µ, et, pour tout n ³ 1, soitÊÊnVn = {Êx Ô X ¾ × i, × j ³ 1, ¾ŸfÊÊn
i,ÊjŸ(x)¾ ² ¾aŸfi,Ê0Ÿ(x)¾Ê} .

Chaque Vn est intersection de r domaines spŽciaux, donc est un domaine spŽcial, et V =ôn VnÊ. Les Vn forment un recouvrement spŽcial de V : pour vŽriÞer (A1), on observe quefi,Ê0 ne s'annule pas sur VÊ; si h(YŸ) Ç V, et si gi,Êj est l'image de fi,Êj dans B, les gi,Ê0 sontdonc inversibles dans B, et on applique aux gi,ÊjÊ/Ÿgi,Ê0 le principe du maximum [BG, 6.2.1
prop. 4] :

- 9 -

0.4

P. BERTHELOT(0.1.4) PROPOSITION. Ñ Soient B une alg•bre de Tate, f Ô B. Il existe x0 Ô SpmÊB tel que,pour tout x Ô SpmÊB, on ait¾Ÿf(x)¾ ² ¾Ÿf(x0)¾.
Rappelons qu'on dŽÞnit la (semi) norme spectrale de f par®ŸfŸ®…sp = supÊxÊÔÊX ¾Ÿf(x)¾Ê;
il existe donc x0 Ô X tel que®ŸfŸ®…sp = ¾Ÿf(x0)¾.
(0.1.5) Sous les hypoth•ses de (0.1.3) (iii), il rŽsulte de (0.1.2.3) que l'alg•bre des fonctions
analytiques sur V est donnŽe par(0.1.5.1)

ÊÊnâ(V, oX) = limÊÚÊ@Ê1- â(VÚÊ, oX) = limÊnÊ@Ê& A{T…i,ÊŸj,Ên}Ÿ/Ÿ(Ÿ fÊÊni,ÊjŸ - aŸfi,Ê0Ti,ÊŸj,Ên),Ò#Ò#o• a Ô µ est un ŽlŽment arbitrairement ÞxŽ, et o• les ß•ches de transition envoient-1ÊTi,Êj,ÊnÊ.
Ti,Êj,ÊnÊ+Ÿ1 sur fi,ÊjŸÊfÊÊi,Ê0Par exemple, nous appellerons ÞbrŽ trivial en boules (unitŽ) fermŽes de dimension
relative d, de base X = SpmÊŸA, l'espace analytique afÞno•de Y = Spm A{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTd} (munide la projection naturelle Y @ XŸ)Ê; si A = K (resp. et si d = 1), nous dirons que Y est laboule (unitŽ) fermŽe de dimension d (resp. le disque (unitŽ) fermŽ). Le sous-ensembleÊ
U = {Êx Ô Y ¾ × i, ¾ti(x)¾ < 1}(0.1.5.2)

est un ouvert de Y, appelŽ ÞbrŽ trivial en boules (unitŽ) ouvertes de dimension relative d,de base X (resp. boule ouverte, disque ouvert)Ê; d'apr•s (0.1.5.1), l'alg•bre des fonctions
analytiques sur U est donnŽe parâ(U, oY) = limÊnŸ@Ÿ& A{tiÊ,…ÊTi,Ên}Ÿ/Ÿ(tŸi n - aTi,Ên),Ò#soit :(0.1.5.3)

â(U, oY) = {ÊÄ = åÊÊaqŸtÊq Ô A[[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd]] ¾ × Ú < 1, ®aq®ŸÚ¾q¾ @ 0 si ¾q¾ @ &Ê},qo• ®-® est une norme de Banach sur A.
Si Ú Ô é, avec 0 < Ú < 1 (resp. et si Ú Ô âŸ*Ÿ), le ÞbrŽ en boules ouvertes (resp. fermŽes)de rayon Ú est l'ouvert (resp. le domaine spŽcial) de Y dŽÞni par les conditionsÊ:× i, ¾tiŸ(x)¾ < Ú(resp. × i, ¾tiŸ(x)¾ ² Ú)Ê;lorsque A = K, d = 1, nous utiliserons les notations habituelles D(0, ÚŸ-Ÿ) (resp. D(0,ÊÊÚŸ+Ÿ)).

(0.1.6) Un espace analytique rigide (ou simplement un espace analytique) sur K est u nensemble X muni d'une topologie de Grothendieck saturŽe, et d'un faisceau deK-alg•bres oXÊ, possŽdant un recouvrement admissible (ŸXi)i tel que chaque XiÊ, muni de- 10 -

GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

0.5

la structure induite, soit isomorphe ˆ un espace analytique rigide afÞno•de au sens de(0.1.2). Un ouvert de X isomorphe ˆ un espace afÞno•de est appelŽ ouvert afÞno•de. Si X
lui-m•me est un espace afÞno•de, cette notion d'ouvert afÞno•de co•ncide avec celle deTate [Ta1, 7.1], gr‰ce au fait que tout ouvert afÞno•de au sens de Tate est rŽunion Þnie dedomaines spŽciaux.
La Þbre oX,Êx de oX en un point x Ô X est un anneau local. Un morphisme de Kespaces analytiques f : Y @ X est la donnŽe d'une application continue de Y dans X, etd'un K-homomorphisme de faisceaux d'anneaux locaux fÊ-1ŸoX @ oYÊ. Tout morphismed'alg•bres de Tate A @ B dŽÞnit un morphisme d'espaces analytiques SpmÊB @ SpmÊŸA, etle foncteur Spm est pleinement Þd•le [BG, 9.3.1 prop. 1].
Si U Ç X est un ouvert, alors U, muni de la structure induite, est encore un espace
analytique. On dŽduit immŽdiatement de (0.1.1) un thŽor•me de recollement pour lesespaces analytiques [BG, 9.3.2].
Si f : X @ Z et g : Y @ Z sont deux morphismes de K-espaces analytiques, le produitÞbrŽ X |Z Y est reprŽsentable dans la catŽgorie des K-espaces analytiques [BG, 9.3.5]. Dem•me, si K @ K' est une extension isomŽtrique de corps complets munis de valeursabsolues, on dŽÞnit par tensorisation par K' et complŽtion un foncteur d'extension desscalaires de la catŽgorie des K-espaces analytiques vers celle des K'-espaces analytiques[BG, 9.3.6]. Si K' est Þni sur K, la restriction des scalaires de K' ˆ K sur le faisceau
structural munit tout K'-espace analytique d'une structure de K-espace analytiqueÊ; cefoncteur est adjoint ˆ gauche du prŽcŽdent.

(0.1.7) Soient X un espace analytique, i Ç oX un faisceau cohŽrent d'idŽaux, Y lesupport de oXÊ/Ÿi. Il existe sur Y une structure canonique d'espace analytique telle que oY= oXÊ/Ÿi : lorsque X est afÞno•de, i est dŽÞni par un idŽal I Ç â(ŸX, oX), et Y est l'espace
analytique afÞno•de Spm(â(ŸX, oX)Ê/ÊI)Ê; le cas gŽnŽral s'en dŽduit par recollement. La
notion d'immersion fermŽe entre espaces analytiques en rŽsulte.
Un espace analytique X est dit quasi-compact s'il poss•de un recouvrement
admissible Þni par des ouverts afÞno•desÊ; un morphisme d'espaces analytiques est dit
quasi-compact si l'image inverse de tout afÞno•de est quasi-compacte. Il rŽsulte duprincipe du maximum (0.1.4) qu'une boule ouverte n'est pas quasi-compacte.
Nous dirons que X est quasi-sŽparŽ si l'intersection de deux ouverts afÞno•des est
quasi-compacte, et sŽparŽ si le morphisme diagonal X @ X | X est une immersion
fermŽe [BG, 9.6.1]Ê; tout espace sŽparŽ est quasi-sŽparŽ. Dans un espace quasi-sŽparŽ,toute rŽunion Þnie d'afÞno•des est un ouvert, tout recouvrement Þni par des afÞno•desest admissible.
Soient X un espace analytique, t la catŽgorie des faisceaux d'ensembles sur X.
Comme les faisceaux associŽs aux ouverts afÞno•des de X forment une famille gŽnŽratrice de t, on vŽriÞe trivialement les assertions suivantes :(i) Un ouvert U Ç X est quasi-compact (resp. quasi-sŽparŽ) si et seulement si l'objet- 11 -

0.6

P. BERTHELOT

correspondant de t est quasi-compact (resp. quasi-sŽparŽ) au sens de [SGA 4, VI 1.1]
(resp. [SGA 4, VI 1.13] ). Les ouverts de X qui sont des objets cohŽrents de t au sens de[SGA 4, VI 1.13] sont donc les ouverts quasi-compacts, quasi-sŽparŽs.
(ii) Quel que soit X, t est un topos algŽbrique au sens de [SGA 4, VI 2.3]. Pour que tsoit un topos cohŽrent [SGA 4, VI 2.3], il faut et il sufÞt que X soit quasi-compact, quasisŽparŽ.
Ces remarques permettent de dŽduire de [SGA 4, VI 5.1, 5.2] l'ŽnoncŽ suivant :(0.1.8) P ROPOSITION. Ñ (i)ÊÊSi X est un espace analytique quasi-compact, quasi-sŽparŽ,les foncteurs HÊi(ŸX, -) commutent aux limites inductives Þltrantes.
(ii) Soit f : Y @ X un morphisme quasi-compact, quasi-sŽparŽ d'espaces analytiques.
Alors les foncteurs RŸif* commutent aux limites inductives Þltrantes.
(0.1.9) Suivant Kiehl [Ki1, 2.3], nous dirons qu'un espace analytique est quasi-Stein s'il
poss•de un recouvrement admissible par une suite croissante d'ouverts afÞno•des telleque, pour tout i, l'image de â(ŸXiÊ+Ê1Ê, oX) dans â(ŸXiÊ, oX) soit dense. Par exemple, pour tout
Ú, le ÞbrŽ en boules ouvertes de rayon Ú de base afÞno•de dŽÞni en (0.1.5) est quasi-Stein,
car un recouvrement par des ÞbrŽs en boules fermŽes de rayon Ú'n @ Ú-, Ú'n Ô âŸ*, vŽriÞe
les conditions requises.

(0.1.10) Un morphisme d'espaces analytiques f : Y @ X est dit Þni s'il existe un recouvrement admissible (ŸXi)i de X par des ouverts afÞno•des, tel que pour tout i l'ouvertfÊ-1(ŸXi) soit afÞno•de, et l'alg•bre â(ŸfÊ-1(ŸXi), oY) Þnie sur â(ŸXiÊ, oX) [BG, 9.4.4]. Le
faisceau f*(oY) est alors une oXÊ-alg•bre cohŽrente, dont la donnŽe est Žquivalente ˆ celledu morphisme f : Y @ X.

(0.1.11) Nous dirons qu'un morphisme d'espaces analytiques f : Y @ X est lisse (resp.
Žtale) s'il existe des recouvrements admissibles (Yi)i et (ŸXi)i de Y et X par des ouvertsafÞno•des, tels que :(i) f(Yi) Ç X…iÊ;(ii) si Ai = â(ŸXiÊ, oX), Bi = â(YiÊ, oY), il existe un isomorphisme
Bi – Ai{T1,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTn}Ÿ/Ÿ(Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr),avec det(ÙfjÊÊ/ÊÙTk)1Ê²ÊŸj,ÊkÊ²Êr inversible dans Bi (resp. et r = n). Pour d'autres caractŽrisationset propriŽtŽs des morphismes Žtales et lisses, nous renvoyons ˆ [BK], [Ki3] ou [Rb1].
Lorsque X = SpmÊK, les anneaux locaux de Y sont alors des anneaux rŽguliers [BG, 7.3,
prop. 8].
Le faisceau des formes diffŽrentielles relatives ã1YÊ/ÊX est le oY-module iŸ/ŸiÊ2, o• i estl'idŽal de l'immersion diagonale Y ÌÊÊÊ@ Y |X Y ([BK], [Ki3], [Rb1])Ê; c'est un oYÊ-module- 12 -

GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

0.7cohŽrent, qui est localement libre (resp. nul) si f est lisse (resp. Žtale). On dŽÞnit commeen gŽomŽtrie algŽbrique le complexe de de Rham ãÖYÊ/ÊXÊ, la notion de module ˆ connexionintŽgrable sur Y relativement ˆ X, et le complexe de de Rham eÊÊ¢ ãÖˆ coefÞcients
YÊ/ÊX

dans un module ˆ connexion intŽgrable (e, ø). Lorsque f est lisse, l'immersion diagonale
est rŽguli•re, et les faisceaux oYÊ|ÊYÊ/ŸiÊnÊ+Ÿ1 sont localement libres de rang Þni sur oY (pourles deux structures de oY-module)Ê; lorsque K est de caractŽristique nulle, on en dŽduit lesprŽsentations Žquivalentes usuelles de la notion de module ˆ connexion intŽgrable sur Y,
relativement ˆ X [Be1, II ¤ 4].

(0.1.12) Un espace analytique rigide S est dit connexe s'il satisfait l'une des conditionsŽquivalentes suivantes :(i) l'alg•bre â(S, oS) ne poss•de pas d'idempotents autres que 0 et 1Ê;(ii) il n'existe pas de recouvrement admissible de S formŽ de deux ouverts non vides
disjoints.
Si S poss•de un recouvrement admissible par deux ouverts connexes d'intersection
non vide, alors S est connexe.
Le principe du prolongement analytique s'applique notamment sur les espaces
analytiques connexes et lisses :(0.1.13) P ROPOSITION. Ñ Soient X un espace analytique rigide connexe, tel que l'anneau local oX,Êx soit int•gre pour tout x Ô X, et f Ô â(U, oX) une fonction analytique. S'il
existe un ouvert non vide U de X tel que la restriction de f ˆ U soit nulle, alors fÊÊ= 0.
Supposons d'abord que X soit afÞno•de, soit X = SpmÊŸA. Comme X est connexe, il est
aussi connexe pour la topologie de Zariski [BG, 9.1, prop. 8]. Si x Ô X correspond ˆ ~ Ç A,
les composantes irrŽductibles passant par x correspondent aux idŽaux premiers
minimaux de A~Ÿ. Comme l'homomorphisme canonique A~ÊÊ@ oX,Êx est injectif [BG, 7.3,
prop. 3], et oX,Êx int•gre, il en est de m•me de A~ pour tout ~. On en dŽduit que X est
irrŽductible, et A int•gre. L'homomorphisme AÊÊ@ oX,Êx est alors injectif pour tout x, etl'ŽnoncŽ en rŽsulte.
Dans le cas gŽnŽral, soit (ŸXi)iÊÔÊI un recouvrement admissible de X par des ouvertsafÞno•des. Quitte ˆ rafÞner le recouvrement en rempla•ant chaque Xi par ses
composantes connexes, on peut supposer les Xi connexes. Si U õ Xi - ¯, il rŽsulte de cequi prŽc•de que f¾Xi = 0. Par suite, si X' est la rŽunion des Xi tels que f¾Xi = 0, X' est nonvide. Soit X" la rŽunion des Xi tels que f¾Xi - 0. Si f¾Xi = 0 et f¾Xj - 0, alors Xi õ Xj = ¯,d'apr•s le cas prŽcŽdent, si bien que X' õ X" = ¯. De plus, X' et X" sont des ouverts de X : ilsufÞt en effet, d'apr•s (0.1.1) (iv), de vŽriÞer que X' õ Xi (resp. X" õ Xi) est ouvert pour
tout i, et cette intersection est soit Žgale ˆ XiÊ, soit vide. EnÞn, d'apr•s (0.1.1) (v), lerecouvrement (ŸX', X") de X est admissible, puisque (ŸXi)iÊÔÊI est un recouvrement plus Þn.
Comme X est connexe, X" est vide, et f = 0.

- 13 -

0.8

P. BERTHELOT

0.2. Espace analytique associŽ ˆ un v-schŽma formel(0.2.1) Soit a Ô µ un ŽlŽment non nul. Sauf mention explicite du contraire, nous
supposerons que, pour tous les v-schŽmas formels X considŽrŽs dans cet article, la
topologie de oX est la topologie a-adique (condition qui ne dŽpend pas du choix de a) :l'espace topologique X, muni du faisceau de vÊ/ŸanŸvŸ -alg•bres oXÊ/ŸanŸoXÊ, est donc u nschŽma usuel, et l'homomorphisme oX @ limÊnÊoXÊ/ŸanoX est un isomorphisme. NousÒ#dirons qu'un v-schŽma formel X est localement de type Þni (resp. de type Þni) s'il
poss•de un recouvrement (resp. un recouvrement Þni) par des ouverts afÞnes Xi = SpfÊŸAiÊ,o• Ai est une v-alg•bre topologiquement de type Þni. Tout ouvert afÞne de X est alors
spectre formel d'une v-alg•bre topologiquement de type Þni.
Un v-schŽma formel X est plat si et seulement s'il est sans torsion. Si X est localement de type Þni, et si i Ç oX est l'idŽal de torsion, X' Ç X le support de oXÊ/Ÿi, l'espace
annelŽ (ŸX', oXÊ/Ÿi) est encore un v-schŽma formel localement de type Þni, qui est le plus
grand sous-schŽma formel plat de X : pour s'en assurer, il sufÞt de vŽriÞer que si A est
une v-alg•bre topologiquement de type Þni, et I Ç A l'idŽal des ŽlŽments de torsion, AÊ/ÊI
est sŽparŽe pour la topologie a-adiqueÊ; or AÊ/ÊIÊÊÇ (ŸAÊ/ÊI) ¢ K, et (ŸAÊ/ÊI) ¢ K = A ¢ K est une
alg•bre de Tate, donc sŽparŽe pour la topologie dŽÞnie par les an(ŸAÊ/ÊI) [Ta1, 4.5].

(0.2.2) A tout v-schŽma formel X localement de type Þni on peut associer un K-espace
analytique XKÊ, gr‰ce ˆ la construction qui suit, due ˆ Raynaud (implicite dans [Ra1]Ê; voiraussi [Mu1, pp. 133-134]).
Soit d'abord X = SpfÊŸA un v-schŽma formel afÞne de type Þni. Puisque A est topologiquement de type Þni, A ¢ K est une alg•bre de Tate, et, par dŽÞnition, XK est
l'espace analytique afÞno•de Spm(ŸA ¢ K).
On observe alors que les points de XK sont en bijection avec les quotients de A qui sontint•gres, Þnis et plats sur v. En effet, si R est un tel quotient, R ¢ K est une extensionÞnie de K, dŽÞnissant un idŽal maximal de A ¢ K. RŽciproquement, si K' est l'extensionÞnie de K dŽÞnie par un idŽal maximal de A ¢ K, l'image R de A dans K' est une valg•bre plate int•gre. Si t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn sont des gŽnŽrateurs topologiques de la v-alg•bre A,
leurs images dans K' sont dans l'anneau de valuation v' de K' [Ta1, 5.2], et sont parconsŽquent enti•res sur vÊ; R est donc Þnie sur v. On remarque d'autre part que, v Žtant
hensŽlien et R Þnie int•gre, R est une v-alg•bre locale, et que le support de SpfÊŸR Ç SpfÊŸA
consiste en un unique point fermŽ de X, qu'on appellera spŽcialisation du point x Ô
Spm(ŸA ¢ K) correspondant ˆ R.
Soit maintenant X un v-schŽma formel localement de type Þni. On dŽÞnit XK
comme l'ensemble des sous-schŽmas fermŽs Z de X qui sont int•gres, Þnis et plats sur v.
Le support d'un tel sous-schŽma Z est encore un point fermŽ de X, qu'on appelleraspŽcialisation du point x Ô XK correspondant ˆ Z. En associant ˆ tout point de XK saspŽcialisation, on dŽÞnit donc une application- 14 -

GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE(0.2.2.1)

0.9

sp : XK Ê##@ X.

Pour tout ouvert afÞne U = SpfÊŸA Ç X, sp-1(U) est en bijection avec Spm(ŸA ¢ K) = UK etpeut donc •tre muni d'une structure d'espace analytique par transport de structure.
On dŽÞnit alors la structure d'espace analytique de XK gr‰ce ˆ la proposition
suivante :(0.2.3) PROPOSITION. Ñ Soient X, X' deux v-schŽmas formels localement de prŽsentation Þnie.
(i) Il existe sur XK une unique structure d'espace analytique vŽriÞant les conditionsÊ:a) l'image inverse par l'application sp : XK @ X de tout ouvert (resp. recouvrement
ouvert) de X est un ouvert (resp. recouvrement admissible) de X KÊ;b) pour tout ouvert afÞne U Ç X, la structure induite par XK sur UK = sp-1(U)co•ncide avec celle qu'on a dŽÞnie en (0.2.1) par transport de structure.
(ii) L'application sp dŽÞnit de mani•re naturelle un morphisme de sites annelŽs
XKÊÊ@ X [SGA 4, IV 4.9].
(iii) L'espace analytique XK est fonctoriel en X, et, pour tout morphisme de v-schŽmas
formels u : X @ X', le diagramme de morphismes de sites annelŽs
sp

X Ò##Ê
ÊÊ
XK(0.2.3.1)

uÉ

É uK
À
À
sp
X'Ê Ò##ÊÊÊX'K

est commutatif.
L'espace analytique XK est appelŽ Þbre gŽnŽrique de X.
L'unicitŽ de la structure analytique de XK est claire. Pour prouver son existence, on
choisit un recouvrement de X par des ouverts afÞnes XiÊ; soit Ai = â(ŸXiÊ, oX). Pour recoller
les structures analytiques donnŽes sur les XiÊKÊ, on consid•re d'abord, pour f Ô AiÊ, l'ouvertafÞne D(ŸfŸ) Ç XiÊ. Regardant f comme un ŽlŽment de Ai ¢ K = â(ŸXiÊKÊ, oXiÊKÊ), on a alors(0.2.3.2)

sp-1(D(ŸfŸ)) = {Êx Ô XiÊK ¾ ¾Ÿf(x)¾ ³ 1}.

En effet, si x Ô XiÊK correspond ˆ un quotient R de AiÊ, le point sp(x) est dans D(ŸfŸ) si etseulement si l'image de f n'appartient pas ˆ l'idŽal maximal de R, donc si et seulement
si l'image de f n'appartient pas ˆ l'idŽal maximal de l'anneau de valuation v(x) Ç K(x),i.e. si et seulement si ¾Ÿf(x)¾ ³ 1. Par suite, sp-1(D(ŸfŸ)) est un domaine spŽcial dans XiÊKÊ.
De plus, on aâ(D(ŸfŸ), oX) = Ai{T}Ÿ/Ÿ(ŸfÊT - 1),
de sorte que D(ŸfŸ)K est l'espace analytique associŽ ˆ (ŸAi ¢ KŸ){T}Ÿ/Ÿ(ŸfŸT - 1), c'est-ˆ-direprŽcisŽment l'espace analytique induit par XiÊK sur sp-1(ŸD(ŸfŸ)), d'apr•s (0.1.2.2).

- 15 -

0.10

P. BERTHELOT

Comme l'espace topologique sous-jacent ˆ Xi est noethŽrien, l'ouvert Xi õ Xj est
quasi-compact, donc rŽunion Þnie d'ouverts de la forme D(ŸfŸ), avec f Ô Ai (resp. f Ô Aj)Ê;ce qui prŽc•de montre donc que XiÊK õ XjÊK = ôfÊ…ÊD(ŸfŸ)K est ouvert dans XiÊK (resp. XjÊK).

Fixons un recouvrement Þni de Xi õ Xj par des ouverts D(ŸfŒ), fŒ Ô AiÊ, et, pour tout Œ, u nrecouvrement Þni de D(ŸfŒ) par des ouverts D(ŸfŒÊº), avec fŒÊº Ô AjÊ. Alors les sp-1(D(ŸfŒÊº))forment un recouvrement Þni de XiÊKÊÊõ XjÊK par des domaines spŽciaux de XiÊK et deD(ŸfŒ)KÊ; mais, comme D(ŸfŒ)K est un domaine spŽcial dans XjÊKÊ, les sp-1(D(ŸfŒÊº)) sontaussi des domaines spŽciaux de XiÊK [BG, 7.2.4 th. 2]. Par consŽquent, les sp-1(D(ŸfŒÊº))constituent un recouvrement admissible de XiÊK õ XjÊK dans XiÊK et dans XjÊKÊ. D'apr•s ce
qui prŽc•de, la structure induite par XjÊK sur sp-1Ÿ(D(ŸfŒÊº)) co•ncide avec celle deD(ŸfŒÊº)KÊ, qui co•ncide aussi avec celle qu'induit D(ŸfŒ)K = sp-1(D(ÊfŒ)), elle-m•me Žgale ˆla structure induite par XiÊKÊ. Par suite, XiÊK et XjÊK induisent la m•me structure analytique sur XiÊK õ XjÊKÊ, ce qui permet de munir XK d'une structure analytique parrecollement.
Comme la topologie de XK est saturŽe par construction, il sufÞt pour prouver lacondition a) de la prouver lorsqu'on remplace X par l'un des XiÊ; comme Xi a une based'ouverts de la forme D(ŸfŸ), elle rŽsulte de la quasi-compacitŽ de U. L'assertion b) rŽsultede ce que XiÊK et UK induisent la m•me structure sur XiÊK õ UKÊ, d'apr•s le raisonnementprŽcŽdent.
L'application sp dŽÞnit alors un morphisme de sites XK @ X (au sens de [SGAÊ4, I V
4.9.3]). Si U est un ouvert afÞne de X, on a par construction
â(U, sp*ÊoX ) = â(sp-1(U), oX ) = â(U, oX) ¢ K.
KÊKÊ

Le prŽfaisceau V ˜ÊÊÊ@ â(V, oX) ¢ K est un faisceau sur V, car l'espace sous-jacent ˆ U est
noethŽrien. On en dŽduit l'identiÞcation(0.2.3.3)

sp*ÊoX = oX ¢ K,
Ket, pour tout ouvert U Ç X, un homomorphisme(0.2.3.4)

â(U, oX) ¢ K Ê##@ â(U, oXKÊ)qui est un isomorphisme lorsque U est quasi-compact. En particulier, le morphisme sp
est ainsi un morphisme de sites annelŽs.
Soit enÞn u : X @ X' un morphisme de v-schŽmas formels. Si Z = SpfÊŸR est un sousschŽma formel de X, int•gre, Þni et plat sur v, de support z Ô X, soient z' = u(z), et Z' Ç X'
le sous-schŽma formel dont l'alg•bre R' est dŽÞnie par le carrŽ commutatifoX… ', z'Ê ##@ oX… , zÊÊÊÊÊÊ
É
ÀÀ

É
À
À

R' ####@ ÊR.
La v-alg•bre R' est alors int•gre, Þnie et plate. On dŽÞnit u : XK @ X'K en envoyant lepoint correspondant ˆ Z sur celui qui correspond ˆ Z'. Pour vŽriÞer que uK est continue,- 16 -

GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

0.11

on se ram•ne au cas o• X et X' sont afÞnes, d'alg•bres A, A', et, si u est dŽÞni par Ä : A' @A, u…K s'identiÞe, via la discussion de (0.2.2), ˆ l'application Spm(ŸA ¢ KŸ) @ Spm(ŸA' ¢ KŸ)dŽduite de Ä. L'extension de u…K aux faisceaux d'anneaux est alors immŽdiate, ainsi quela commutativitŽ de (0.2.3.1).

(0.2.4) Remarques. Ñ (i)ÊÊL'espace analytique XK est quasi-sŽparŽ. En effet, si UÊÊÇ XK
est un ouvert afÞno•de, le recouvrement de U par les U õ XiÊK est admissible, donc U est
recouvert par un nombre Þni de U õ XiÊKÊ; on se ram•ne alors ˆ vŽriÞer que les U õ XiÊKsont quasi-compacts. Soit (Uj) Ô Cov(U) un recouvrement Þni de U par des domainesspŽciaux rafÞnant le recouvrement par les U õ XiÊKÊ, avec Uj Ç Xi(j)ÊKÊ; il sufÞt que les Uj õXiÊK soient quasi-compacts. Mais Xi(j)ÊK õ XiÊK est rŽunion Þnie de domaines spŽciaux deXi(j)ÊKŸ, donc Uj õ XiÊK est rŽunion Þnie de domaines spŽciaux de UjŸ, et est par consŽquentquasi-compact.
(ii) Si X est de type Þni, XK est quasi-compact.
(iii) XK ne dŽpend que du plus grand sous-schŽma formel plat de X.
(iv) Le foncteur XK commute aux produits, et transforme immersions ouvertes (resp.
fermŽes) en immersions ouvertes (resp. fermŽes).
(v) Gr‰ce ˆ (0.2.3.4), on peut considŽrer toute section f Ô â(U, oX) comme une
fonction analytique sur l'ouvert UK Ç XKÊ, qu'on notera encore f. On observera que, pour
tout x Ô UKÊ, on a
(0.2.4.1)¾Ÿf(x)¾ ² 1.

En particulier, lorsque U est afÞne, la formule (0.2.3.2) peut encore s'Žcrires(0.2.4.2)(vi) Soit T Ç XK un sous-espace analytique fermŽ, dŽÞni par un idŽal cohŽrent i ÇoX . Soit i' le noyau de l'homomorphisme composŽ
KÊ

oX Ê#@ sp*ÊoXK Ê#@ sp*ÊoTKÊ.
Comme oXÊ/Ÿi' est plat, on vŽriÞe facilement que i' dŽÞnit un sous-schŽma formel fermŽ
T' Ç X, tel que T'K = T, appelŽ adhŽrence schŽmatique de T dans X.
(0.2.5) Exemples. Ñ (i)ÊÊSoit X = SpfÊÊv{t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd} l'espace afÞne formel de dimension
relative d sur v. Alors XK = SpmÊK{t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd} est la boule unitŽ fermŽe de •dKÊ.
(ii) Soient f Ô v{t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd}, U = D(ŸfŸ)Ê; comme on l'a vu plus haut, UK est l'ouvert de laboule unitŽ fermŽe dŽÞni par la condition ¾Ÿf(x)¾ = 1. Ainsi, pour X = ^ŸGmÊvÊ, XK est la
couronne dŽÞnie par ¾t(x)¾ = 1 dans SpmÊKŸ{t}.
(iii) Nous donnerons d'autres exemples en (0.3.6).

(0.2.6) Supposons maintenant, jusqu'ˆ la Þn de (0.2), que v soit un anneau de valuation- 17 -

0.12

P. BERTHELOT

discr•te. On peut alors construire la Þbre gŽnŽrique d'un v-schŽma formel sous deshypoth•ses plus gŽnŽrales que celles de (0.2.1).
Soient en effet X un v-schŽma formel localement nÏthŽrien, i un idŽal de dŽÞnitionde X. On suppose que le sous-schŽma fermŽ X0 Ç X dŽÞni par i est un v-schŽma
localement de type ÞniÊ; on observera que cette condition est indŽpendante du choix del'idŽal de dŽÞnition i. Sous ces hypoth•ses, on peut associer fonctoriellement ˆ X un Kespace analytique, que nous noterons encore XKÊ, de mani•re ˆ retrouver la constructionprŽcŽdente dans le cas o• la topologie de oX est la topologie µ-adique.
ConsidŽrons d'abord le cas o• X est afÞne, soit X = SpfÊŸA, et Þxons une famille
f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr de gŽnŽrateurs de I = â(X, i). Pour tout n ³ 1, posons
Bn = A{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ê/Ê(Ÿf1ÊÊn - ¹ŸT1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfÊÊn
r - ¹ŸTr),o• A{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr} dŽsigne le complŽtŽ de A[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr] pour la topologie ¹-adique. LesÊÊnhypoth•ses faites sur X entra”nent que BnÊ/Ê¹ŸBn – AÊ/Ÿ(¹, fÊÊn1 Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr )Ÿ[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr] est une
k-alg•bre de type Þni, de sorte que Bn est une v-alg•bre topologiquement de type Þni, etBnÊÊ¢ K une alg•bre de Tate. Pour n' ³ n, il existe un homomorphisme canonique
Bn'ÊÊ@ÊÊBn envoyant TiÊ' sur fÊÊn'Ê-ÊnŸTiÊ, et le morphismei
Spm(Bn ¢ K) Ê##@ Spm(Bn' ¢ K)
qui s'en dŽduit identiÞe Spm(Bn ¢ K) au domaine spŽcial de Spm(Bn' ¢ K) dŽÞni par lesconditions ¾Ÿfi(x)¾ ² ¾¹¾Ÿ1/Ÿn. On dŽÞnit alors XK comme l'espace analytique rŽunion desSpm(Bn ¢ K), dont ceux-ci forment un recouvrement admissible par construction.
L'espace XK ne dŽpend ni du choix des gŽnŽrateurs fiÊ, ni de l'idŽal de dŽÞnition i. En
effet, si g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs engendrent un idŽal de dŽÞnition j, et si l'on note Cn la familled'alg•bres dŽÞnie comme plus haut ˆ partir des gjÊ, il existe des relations de la forme
gŸj mÊÊ= ÏÊi hiÊjÊŸfiÊ, ce qui montre que les gŸj mnr/Ÿ¹ sont des ŽlŽments ˆ puissances bornŽes dans
Bn ¢ K. On en dŽduit pour tout n un homomorphisme canonique Cmnr ¢ K @ Bn ¢ K, eton vŽriÞe alors facilement que ces homomorphismes sont compatibles pour n variable etdŽÞnissent un isomorphisme ô Spm(B ¢ K) Ê#ÊÊ›Ê@ ô Spm(C ¢ K). On voit de m•me
n

n

n

n

que XK est fonctoriel en X. On observera que, lorsque µŸoX est un idŽal de dŽÞnition de X,
on peut prendre ¹ pour famille de gŽnŽrateurs, et l'homomorphisme AK @ Bn ¢ K est
alors un isomorphisme pour tout n. On retrouve donc bien dans ce cas la dŽÞnitionprŽcŽdente de la Þbre gŽnŽrique XKÊ.
Il existe encore un morphisme de sites annelŽs sp : XK @ X, qu'on peut d'ailleursdŽduire de (0.2.2.1) de la mani•re suivante. Pour n' ³ n, les homomorphismes naturels
AÊÊ@ Bn' @ Bn donnent des diagrammes commutatifssp

Spm(Bn' ¢ K) ÊÊ##@ SpfŸ(Bn')
É
É
É
É
À
À
sp
Spm(Bn ¢ K) ÊÊ##@ SpfŸ(Bn),- 18 -

XGƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

0.13

et le morphisme sp : XK @ X s'en dŽduit par passage ˆ la limite. Il est clair que lemorphisme sp est fonctoriel en X. En particulier, soient g Ô A, et U = SpfÊŸA{g}Ê. Le
morphisme canonique U @ X induit alors un isomorphisme U Ê#ÊÊ›Ê@ sp-1(U). En effet,
KKK

si on noteÊÊn
B'n = A{g}{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ê/Ê(ŸfÊÊn
1 - ¹ŸT1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr - ¹ŸTr),on a B'n – Bn{T}Ê/Ê(Tg - 1), de sorte que Spm(B'n ¢ K) s'identiÞe au domaine spŽcial Vn deSpm(Bn ¢ K) dŽÞni par la condition ¾g(x)¾ = 1. Si Un est l'image inverse de U dansSpm(Bn ¢ K), l'ouvert Vn n'est autre que sp-1(Un) d'apr•s (0.2.2). Comme UK =ô nÊÊSpm(B'n ¢ K), l'assertion en rŽsulte.

Dans le cas gŽnŽral, on peut dŽÞnir XK en prenant un recouvrement affine (Xi) de
X, et en recollant les XiÊK gr‰ce ˆ la remarque prŽcŽdente, suivant la mŽthode de (0.2.3).
Remarque. Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, il n'est plus vrai en gŽnŽral que XK soit
un espace analytique quasi-compact. Si on prend par exemple pour X le schŽma formelSpfÊŸv[[t]], dont la topologie est dŽÞnie par l'idŽal (t), l'espace afÞno•deSpm((v[[t]]{T}Ÿ/Ÿ(tŸn - ¹T)) ¢ K) est le disque unitŽ fermŽ de rayon ¾¹¾1/Ên, et XK est alors
le disque unitŽ ouvert.
Si Z est un sous-schŽma fermŽ de X0Ê, et ^X le complŽtŽ formel de X le long de Z, laproposition suivante montre qu'on peut identiÞer la Þbre gŽnŽrique de ^X ˆ l'image
inverse de Z par le morphisme de spŽcialisation sp : XK @ X. Ce point de vue sera utilisŽ
systŽmatiquement en (1.1) pour dŽÞnir le tube associŽ ˆ un sous-schŽma fermŽ de la ÞbrespŽciale d'un schŽma formel µ-adique.
(0.2.7) P ROPOSITION. Ñ Soient X un v-schŽma formel vŽriÞant les hypoth•ses de(0.2.6), i un idŽal de dŽÞnition de X, X0 = V(i), Z Ç X0 un sous-schŽma fermŽ. Notons ^Xle complŽtŽ formel de X le long de Z. Si sp : XK @ X est le morphisme de spŽcialisation,sp-1(Z) est un ouvert de XKÊ, et le morphisme canonique ^XK @ XK induit un isomorphisme d'espaces analytiques^XK Ê#›#@ sp-1(Z).
Par recollement, on se ram•ne au cas o• X est afÞne. Posons X = SpfÊŸA, I = â(X, i),et soit J ‚ I l'idŽal de Z. On choisit des gŽnŽrateurs f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr de I, et des gŽnŽrateurs
g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs de J. Notons comme prŽcŽdemment
Bn = A{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ê/Ê(Ÿf1ÊÊn - ¹ŸT1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfÊÊn
r - ¹ŸTr),et Un = Spm(Bn ¢ K). D'apr•s (0.2.3.2), un point x Ô Un est tel que spŸ(x) Ô Z si etseulement si on a ¾Ÿgi(x)¾ < 1 pour tout i, gi Žtant considŽrŽ comme ŽlŽment de B nÊ.
Comme les Un forment un recouvrement admissible de XKÊ, il en rŽsulte que sp-1(Z) est
un ouvert de XKÊ. Soit Ún = ¾¹¾1/Ÿn. On peut Žcrire sp-1(Z) comme la rŽunion des afÞno•desVn = {Êx Ô Un ¾ × i, ¾Ÿgi(x)¾ ² ÚnÊ} = Spm(B'n ¢ K), o•- 19 -

0.14

P. BERTHELOT

B'n = Bn{T1Ÿ',Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTsŸ'}Ê/Ê(g1Ÿn - ¹T1Ÿ'Ÿ,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊgŸs n - ¹TsŸ').
D'autre part, si ^AÊ est le complŽtŽ J-adique de A, et si l'on pose
Cn = ^A{T1Ÿ',Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTsŸ'}Ê/Ê(gŸ1 n - ¹T1Ÿ'Ÿ,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊgsŸn - ¹TsŸ'),^XK est par construction la rŽunion des ouverts Wn = Spm(Cn ¢ K). Comme il existe desŽlŽments hiÊj Ô A tels que fi = ÏÊjÊhiÊjÊgjÊ, les ŽlŽments fÊÊns
i Ê/Ê¹ sont ˆ puissances bornŽes dans
Cn ¢ K, de sorte que l'homomorphisme A @ Cn ¢ K se factorise par Bns ¢ K, puis par
B'nsÊÊ¢ K. Par suite, le morphisme Ä : ^XK @ XK envoie Wn dans VnsÊ. RŽciproquement, on
observe que B'ns est nÏthŽrien et complet pour la topologie µ-adique, donc aussi complet
pour la topologie J-adique [AM, ch. 10, ex. 5], celle-ci Žtant plus Þne d'apr•s les relations
gŸi n = ¹TiŸ'. Le morphisme A @ B'ns se factorise donc par ^A, et on en tire une factorisationCns ¢ K @ B'ns ¢ K. Il en rŽsulte que Ä induit un isomorphisme de ^XK sur sp-1(Z).

0.3. Espace analytique associŽ ˆ un K-schŽma
Soit X un K-schŽma localement de type Þni. Nous rappelons ici comment munir
l'ensemble XÊf des points fermŽs de X d'une structure d'espace analytique (voir aussi[BG, 9.3.4], [FV, (III.4.6)] ou [GV, III (1.18) (5)])Ê; l'espace analytique ainsi obtenu seranotŽ XÊan.

(0.3.1) Supposons X afÞneÊ; soit X = SpecÊŸA, et Þxons une prŽsentationA – KŸŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/Ÿ(Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr).
Pour tout m ³ 0, soient A0m l'image dans A de la v-alg•bre vŸ[amt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êamtn], o• aÊÊÔ µ est
un ŽlŽment ÞxŽ, et Xm Ç XÊf l'ensemble des points tels que ¾ti(x)¾ ² ¾a¾Ÿ-Ÿm pour tout iÊ; enposant tiŸ(m) = amtiÊ, fjÊÊŸ(m) = fj(a-mt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êa-mtn), on a donc
A – KŸŸ[t1Ÿ(m),Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtŸn (m)]Ÿ/Ÿ(Ÿf1ÊÊŸ(m),Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊÊŸ(m)).
La sous-v-alg•bre A0m de A dŽÞnit une topologie sur A, et la K-alg•bre sŽparŽe complŽtŽe
correspondante est^Am = KŸ{t1Ÿ(m),Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtŸn (m)}Ÿ/Ÿ(Ÿf1ÊÊŸ(m),Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfÊÊŸr (m))(car tout idŽal de K{tŸ1 (m),Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtŸn (m)} est fermŽ). Si Ä : A @ B est un K-homomorphisme de A
dans une K-alg•bre de Tate, il dŽÞnit une application entre les spectres maximaux h :SpmÊB @ SpmÊŸA = XÊf. Pour que Ä se factorise par Ÿ^AmÊ, il faut et sufÞt que Ä(ŸA0m) soit bornŽ
dans B, soit encore, d'apr•s [Ta1, 5.2], que ¾Ä(t(m))(y)¾ ² 1 pour tout i et tout y Ô SpmÊB. I lien rŽsulte que l'homomorphisme canonique A @ ^Am est universel pour les homomorphismes de A dans une alg•bre de Tate B tels que h(SpmÊB) Ç XmÊ.
En particulier, l'homomorphisme canonique A @ ^Am induit une bijection SpmÊŸ^Am @XmÊ, qui munit Xm d'une structure d'espace analytique afÞno•de. Pour tout m, Xm est u n- 20 -

GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

0.15

domaine spŽcial de XmÊ+Ÿ1Ê, et la structure analytique induite par XmÊ+Ÿ1 est Žgale ˆ celle deXmÊ. Il existe donc sur XÊf = ôm Xm une unique structure d'espace analytique pourlaquelle les Xm forment un recouvrement admissible, et induisant la structure donnŽe
sur les XmÊ. Cette structure est indŽpendante du choix de a et de la prŽsentation A –KŸŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/Ÿ(Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr). En effet, si on choisit un autre ŽlŽment a' Ô µ, et uneprŽsentationA – KŸŸ[t'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'n']Ÿ/Ÿ(Ÿf1Ê'Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfÊ'r')dŽÞnissant des sous-ensembles X'm Ç XÊf, il existe des polyn™mes gi tels quet'iÊÊÊ=ÊÊgi(t1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn). Par suite, il existe pour tout m un entier m' tel que Xm Ç X'm'Ê, et Xm est
un domaine spŽcial de X'm'Ê. La propriŽtŽ universelle de ^Am montre que ^Am est aussi
l'alg•bre du domaine spŽcial Xm de X'm'Ê, de sorte que la structure analytique de Xm co•ncide avec celle qu'induit X'm'Ê; l'unicitŽ de la structure analytique dŽÞnie sur XÊf enrŽsulte.
(0.3.2) LEMME. Ñ Soient X un K-schŽma afÞne de type Þni, XÊan l'espace analytiqueassociŽ dŽÞni en (0.3.1).
(i) Si U Ç X est un ouvert de Zariski, U õ XÊan est un ouvert de XÊanÊ; si (Ui)i est u nrecouvrement ouvert (de Zariski) de U, (Ui õ XÊan)i est un recouvrement admissible d eUÊÊõ XÊan.
(ii) Pour tout f Ô â(ŸX, oX), la structure analytique de D(ŸfŸ)an co•ncide avec lastructure induite par XÊan sur D(ŸfŸ) õ XÊan.
Puisque les Xm forment un recouvrement admissible de X…Êan, il sufÞt pour prouver (i)de vŽriÞer que les Xm õ U (resp. (ŸXm õ Ui)i) sont ouverts dans Xm (resp. forment u nrecouvrement admissible de Xm õ U) pour tout mÊ; comme XmÊÊõ U (resp. (ŸXm õ Ui)i) est
un ouvert de Zariski (resp. un recouvrement par des ouverts de Zariski) de XmÊ, celarŽsulte de (0.1.3) (ii).
Soient f Ô â(ŸX, oX), D(ŸfŸ) Ç XÊ; Þxons a Ô µ, et une prŽsentation
â(ŸX, oX) – KŸŸ[t1Ÿ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/Ÿ(Ÿf1Ÿ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr).
On en dŽduit la prŽsentation
â(D(g), oX) – KŸŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtnÊ,…ÊtnÊ+1]Ÿ/Ÿ(Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊ, fŸtnÊ+Ÿ1 - 1),ÊdŽÞnissant le recouvrement admissible (Um)m de UÊan. Il sufÞt alors de montrer que X an
et UÊan induisent la m•me structure sur les UmÊ. Mais Um est le domaine spŽcial de XmdŽÞni par la condition ¾tnÊ+Ÿ1(x)¾ ² ¾a¾Ê-Êm, soit encore ¾Ÿf(x)¾ ³ ¾a¾m, et les alg•bres
associŽes ˆ Um comme ouvert de UÊan ou comme domaine spŽcial de Xm satisfont la m•me
propriŽtŽ universelle, d'o• la co•ncidence des deux structures.
La construction de XÊan dans le cas gŽnŽral s'ach•ve par la proposition :- 21 -

0.16

P. BERTHELOT(0.3.3) P ROPOSITION. Ñ Soient X, X' deux K-schŽmas localement de prŽsentation Þnie.
(i) Il existe sur l'ensemble des points fermŽs de X une unique structure d'espace
analytique X Êan vŽriÞant les conditions :a) pour tout ouvert U Ç X (resp. recouvrement ouvert de U), U õ XÊan est un ouvert d eXÊan (resp. un recouvrement admissible de U õ XÊan)Ê;b) pour tout ouvert afÞne U Ç X, la structure induite par XÊan sur U õ XÊan = UÊanco•ncide avec celle qui a ŽtŽ dŽÞnie en (0.3.1).
(ii) L'inclusion i : XÊan @ X est de mani•re naturelle un morphisme de sites annelŽs[SGA, IV 4.9].
(iii) L'espace analytique XÊan est fonctoriel en X, et, pour tout morphisme de KschŽmas u : X @ X', le diagramme de morphismes de sites annelŽs

(0.3.3.1)

XÊanÊ Ê##@ X
Éu
uan É
À
À
X'Êan Ê##@ ÊX'

est commutatif.
Compte tenu du lemme (0.3.2), la dŽmonstration de (i) est formellement identiqueˆÊcelle de (0.2.3) (i). Pour dŽÞnir un morphisme oX @ i*ÊoXÊan faisant de i un morphismede sites annelŽs, il sufÞt de donner, pour tout ouvert afÞne U Ç X, un homomorphismeâ(U, oX) @ â(UÊan, oXÊan) compatible aux restrictions. Les Um formant un recouvrement
admissible croissant de UÊan, on aâ(UÊan, oXÊan) = limÊm â(UmÊ, oXÊan) = ÊlimÊm ^AmÒ #Ò#(en reprenant les notations de (0.3.1) pour A = â(U, oX)), et l'homomorphisme cherchŽ
est l'homomorphisme canonique A @ limÊm Ê^A mÊ.
Ò#

Soit u : X @ X'Ê; alors u induit une application uan de l'ensemble des points fermŽs de
X dans l'ensemble des points fermŽs de X'. Pour vŽriÞer la continuitŽ de u an, on seram•ne au cas o• X = SpecÊŸA, X' = SpecÊŸA', et on se donne des prŽsentations A =KŸŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/ÊI, A' = KŸŸ[t'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'n']Ÿ/ÊI'Ê; soit Ä : A' @ A dŽÞnissant u. Comme les Ä(t'i) sont despolyn™mes en les tjÊ, il existe pour tout m un entier m' tel que u(ŸXm) Ç X'm'Ê. On en dŽduit
un carrŽ commutatif^ÄmÊm'^A'm' ###@ ^AmûûÉ
É
A' ####@ Aqui montre que la restriction de uan ˆ Xm est induite par le morphisme d'alg•bres de Tate^ÄmÊm'Ê. Comme les Xm forment un recouvrement admissible de X, la continuitŽ de uan endŽcoule. EnÞn les ^ÄmÊm' font de u : Xm @ X'm' un morphisme d'espaces afÞno•des, donnant
par recollement l'extension de uan aux faisceaux d'anneaux. La commutativitŽ du- 22 -

GƒOMƒTRIE ANALYTIQUE RIGIDE

0.17

diagramme (0.3.3.1) est alors Žvidente.
(0.3.4) Remarques. Ñ (i)ÊÊLe foncteur XÊan commute aux produits ÞbrŽs, transforme
immersions ouvertes (resp. fermŽes) en immersions ouvertes (resp. fermŽes).
(ii) Si X est sŽparŽ, il en est donc de m•me de XÊan. Nous verrons plus bas que, bienque X soit toujours quasi-sŽparŽ, il n'en est pas nŽcessairement de m•me pour XÊan (cf.
(0.3.6) (ii)).
Lorsqu'on part d'un v-schŽma X localement de type Þni les constructions exposŽes
en (0.2) et (0.3) sont reliŽes par la proposition suivante :(0.3.5) P ROPOSITION. Ñ Soient X un v-schŽma localement de type Þni, ^X son complŽtŽ
formel, ^XK la Þbre gŽnŽrique de ^X (au sens de (0.2.3)), XK la Þbre gŽnŽrique de X, ÊXKÊan
l'espace analytique associŽ ˆ XKÊ. Il existe un morphisme canonique d'espaces
analytiques Œ : ^XK @ XKÊanÊ; le morphisme Œ est une immersion ouverte lorsque X est
sŽparŽ, de type Þni, et est un isomorphisme lorsque X est propre sur v.
Soient Xk la Þbre spŽciale de X, et Z Ç ^X un sous-schŽma formel fermŽ, int•gre, Þniet plat sur v, d'alg•bre R. Si U Ç X est un ouvert afÞne, d'alg•bre A, contenant le pointfermŽ de Xk support de Z, Z est un sous-schŽma formel fermŽ du complŽtŽ formel ^U de U.
On en dŽduit les homomorphismes A @ ^A @ÊÊ@ R, o• ^AÊÊ= â(Ÿ^U, o^X) est le complŽtŽ a-adiquede A. L'image de A dans R est denseÊ; comme R ¢ K est un espace vectoriel de dimension
Þnie, l'image de A ¢ K est fermŽe dans R ¢ K, donc Žgale ˆ RÊÊ¢ K. Il existe alors n tel
que anR soit contenu dans l'image de A, de sorte que celle-ci est ouverte dans RÊ; Žtant
dense, elle est donc Žgale ˆ R. Le quotient R de A dŽÞnit un unique sous-schŽma fermŽ Y
de U, tel que ^Y = ^ZÊ; la Þbre gŽnŽrique de Y est le point fermŽ x de UK (donc de XK)
correspondant au quotient R ¢ K de A ¢ K. On vŽriÞe immŽdiatement qu'il ne dŽpend
pas du choix de UÊ; l'application Œ : ¾Ÿ^XK¾ÊÊ@ ¾ŸXKÊan¾ est alors celle qui associe au point de ^XK
correspondant ˆ Z le point fermŽ x de XKÊ. Il est clair qu'elle est fonctorielle en X.
Pour vŽriÞer que Œ est continue, il sufÞt de montrer que pour tout ouvert afÞne V Ç
X, et tout ouvert U (resp. recouvrement admissible (Ui)i) de XKÊan, Œ-1(U) (resp. (Œ-1(Ui)i)

est un ouvert (resp. recouvrement admissible) de ^VK. Comme le morphisme ^VK @ ^XK @XKÊan se factorise par l'ouvert VKÊan de XKÊan, on est ramenŽ ˆ vŽriÞer la continuitŽ de Œ dans lecas o• X est afÞne. Dans ce cas, ^XK = SpmÊ^A ¢ K est l'ouvert XKÊ0 de XKÊan (avec lesnotations de 0.3.1), et l'application Œ est l'inclusion naturelle de XKÊ0 dans XKÊan, continue

par construction. Dans ce cas, Œ est m•me de fa•on Žvidente un morphisme d'espaces
analytiques. Lorsque V varie, ces morphismes se recollent, ce qui fait de Œ un morphismed'espaces analytiques dans le cas gŽnŽral.
Lorsque X est sŽparŽ sur v, le morphisme Y @ X est propre, puisque Y est Þni sur
v. Par suite, Y est fermŽ dans X et est l'adhŽrence schŽmatique de sa Þbre gŽnŽriqueÊ;- 23 -

0.18

P. BERTHELOT

l'injectivitŽ de Œ en rŽsulte. Pour tout ouvert afÞne V de X, ^VK est l'ouvert afÞno•de XKÊ0 deXKÊan, donc est un ouvert afÞno•de de XKÊan. Si de plus X est de type Þni, ^XK est une rŽunionÞnie d'ouverts afÞno•des de XKÊanÊ; comme XKÊan est sŽparŽ, ^XK est donc un ouvert de XKÊan. De

m•me, si (ŸXi)i est un recouvrement afÞne Þni de X, les ^XiÊK forment un recouvrement
admissible de ^XK dans XKÊan. Comme les structures analytiques induites par ^XK et XKÊan sur^XiÊK co•ncident pour tout i, la structure analytique de ^XK est la structure induite par XKÊan.
Supposons enÞn X propre sur v. Soit x un point de XKÊan, considŽrŽ comme pointfermŽ de XKÊ, de corps rŽsiduel K(x). Si v(x) est l'anneau des entiers de K(x), le crit•revaluatif de propretŽ montre qu'il existe un unique v-morphisme SpecÊŸv(x) @ X
prolongeant le morphisme SpecÊK(x) @ XKÊ. Son image schŽmatique est un sous-schŽma
fermŽ de X, int•gre, Þni et plat sur v. Son complŽtŽ formel Z est alors un sous-schŽma
formel de ^X vŽriÞant les m•mes propriŽtŽs, qui correspond ˆ un point de XK dont l'image
par Œ est x.

(0.3.6) Exemples. Ñ (i)ÊÊSi X est l'espace afÞne de dimension n sur v, le morphisme Œ :^XK @ XKÊan est l'inclusion de la boule unitŽ fermŽe dans l'espace afÞne analytique •nÊÊan
.
K(ii) Soit X le schŽma non sŽparŽ obtenu en recollant deux copies X1 et X2 de la droiteafÞne •1v le long de l'ouvert U complŽmentaire de la section nulle. Le complŽtŽ formel ^X

est alors le schŽma formel obtenu en recollant deux copies ^Xi de la droite afÞne formelle
le long de Ÿ^U. Sa Þbre gŽnŽrique ^XK est donc obtenue en recollant les deux copies ^XiÊK dudisque unitŽ fermŽ le long de Ÿ^UKÊ, qui est la couronne dŽÞnie par ¾t(x)¾ = 1. D'autre part,XKÊan s'obtient en recollant deux copies de •K1Êan le long du complŽmentaire de l'origine. Le
morphisme Œ : ^XK @ XKÊan est donc le recollement des deux ouverts ^XiÊK le long du disqueunitŽ ouvert ŽpointŽ, et n'est pas injectif.
On remarquera que XKÊan n'est pas quasi-sŽparŽ, car l'intersection des deux copies dudisque unitŽ fermŽ est Žgale au disque unitŽ fermŽ ŽpointŽ, qui n'est pas quasi-compact.
an(iii) Si X est l'espace projectif æÊn
sont donc Žgaux ˆv Ê, Œ est un isomorphismeÊ; XK et XKÊ

l'espace projectif æKÊnÊ, muni de sa structure analytique. Soit (t0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn) un syst•me decoordonnŽes homog•nes, et notons Xi l'ouvert o• tiÊÊ-ÊÊ0. Un point x Ô æÊnK Ê, de corps rŽsiduelK(x), est dŽÞni par (t0(x),Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn(x)) Ô K(x)nÊ+Ê1, dŽterminŽs ˆ multiplication pr•s par u nŽlŽment de K(x)*Ê; on peut supposer que les ti(x) sont dans v(x), et que ¾ti(x)¾ = 1 pour
un i. L'adhŽrence schŽmatique de x est l'image du morphisme SpecÊŸv(x) @ æÊnv dŽÞnipar (t0(x),Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn(x)), et elle a pour Þbre spŽciale le point image de Spec(v(x)Ê/Êµ(x)) @æÊnk Ê; il appartient ˆ Xi | SpecÊk si et seulement si ¾ti(x)¾ = 1. Par suite, la Þbre gŽnŽrique^XiÊK de ^Xi est l'ouvert de æÊnÊÊan
dŽÞni par :K(0.3.6.1)

× j, ¾tj(x)¾ ² ¾…ti(x)¾.

- 24 -

1. LE TUBE ASSOCIƒ A UN SOUS-SCHƒMA D'UN SCHƒMA FORMEL

Soient P un v-schŽma formel de type Þni, X un k-schŽma, et supposons donnŽe une
v-immersion X @ P. On se propose d'associer fonctoriellement ˆ ces donnŽes un ouvert
de la Þbre gŽnŽrique PK de P, le tube de X dans PKÊ, et certains voisinages particuliers decelui-ci, dits stricts, qui permettent d'Žtendre ˆ des situations gŽomŽtriques plusgŽnŽrales la notion de surconvergence, classique en analyse p-adique depuis les travauxde Dwork et Monsky-Washnitzer. Les thŽor•mes de Þbration Žtablis en (1.3) pour ces
tubes sont une Žtape essentielle de la construction de la cohomologie rigide.
On rappelle que, pour tout ouvert U Ç P et tout f Ô â(U, oP), on consid•re f comme
une fonction analytique sur l'ouvert UK de PK gr‰ce ˆ l'homomorphisme (0.2.3.4), et que¾Ÿf(x)¾ ² 1 pour tout x Ô UKÊ.

1.1. DŽÞnitions et propriŽtŽs ŽlŽmentaires des tubes(1.1.1) P ROPOSITION. Ñ Soient P un v-schŽma formel localement de type Þni, d erŽduction P0 sur k, et X Ç P0 un sous-k-schŽma. Le sous-ensemble sp-1(ŸXŸ) des points d e
PK dont la spŽcialisation est dans X est un ouvert de PKÊ. S'il existe des sections f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊ,g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs Ô â(P, oP), de rŽductions Êf̀1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÊf̀rÊ, `g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`gsÊÔ â(P0Ê,ÊÊoP0), telles que X = Y õ U,
avec Y = V(ŸÊf̀ ,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÊf̀ ), U = D(Ÿ`g ) ô .Ê.Ê. ô D(Ÿ`g ), alors sp-1(ŸXŸ) est l'ouvert de P dŽÞni par
1Ê

r

1

s

K

les conditions(1.1.1.1)

× i, ¾Ÿfi(x)¾ < 1,ÁÊj, ¾Ÿgj(x)¾ = 1.

Puisque, pour tout recouvrement afÞne (PŒ)Œ de P, le recouvrement (PŒÊK)Œ de PK est
admissible, on peut supposer P afÞne, et la premi•re assertion rŽsulte de la seconde.
D'apr•s (0.2.3) et (0.2.4.2), sp-1(U) est ouvert dans PKÊ, dŽÞni par la condition
Á j, ¾Ÿgj(x)¾ = 1.
Comme V(Ÿfi) est complŽmentaire de D(Ÿfi), on dŽduit de (0.2.3.2) :sp-1(V(Ÿfi)) = {Êx Ô PK ¾ ¾Ÿfi(x)¾ < 1},
et sp-1(V(Ÿfi)) est ouvert d'apr•s (0.1.3) (iii). Par suite, sp-1(ŸXŸ) est intersection Þnie- 25 -

1.2

P. BERTHELOT

d'ouverts, donc est ouvert, et est dŽÞni par les conditions de (1.1.1.1).
(1.1.2) DŽÞnitions. Ñ (i)ÊÊSous les hypoth•ses de (1.1.1), l'ouvert sp-1(ŸXŸ), muni de lastructure analytique induite par celle de PKÊ, est appelŽ tube de X dans PKÊ; on le notera]ŸXŸ[PÊ, ou simplement ]ŸXŸ[.
Par construction, ]ŸXŸ[ ne dŽpend que du sous-schŽma rŽduit XredÊ. De m•me, on ne
restreint pas la gŽnŽralitŽ en considŽrant les sous-schŽmas de P0 plut™t que les sousschŽmas formels (Žventuellement annulŽs par un idŽal Œ Ç µ) de P.
(ii) Supposons maintenant donnŽe une v-immersion de X dans un v-schŽma
algŽbrique sŽparŽ P, et soit ^P le complŽtŽ formel de P. L'immersion de X dans P se
factorise par ^P. D'autre part, la Þbre gŽnŽrique ^PK de ^P s'identiÞe, d'apr•s (0.3.5), ˆ u nouvert de l'espace analytique PÊÊan
associŽ ˆ la Þbre gŽnŽrique PK. On peut donc encoreKdŽÞnir le tube de X dans PKÊ, qu'on notera aussi ]ŸXŸ[PÊ, comme Žtant le tube ]ŸXŸ[^PÊ,considŽrŽ comme un ouvert de PKÊÊan.
(1.1.3) Exemple. Ñ Soient X un schŽma quasi-projectif sur k, X ÌÊÊÊ@ ævÊn une immersion.
Il existe alors des polyn™mes homog•nes f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊ, g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊgsÊÔ vŸ[t0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn], de rŽductions
Êf̀… ,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÊf̀ , `g ,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`g Ô k[t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt ], tels que X = Y õ U, avec Y = V(ŸÊf̀ ,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÊf̀ ), U = D (Ÿ`g ) ô
1Ê
rÊ 1Ê
s
0Ÿ
n
1Ê
r
+ 1
Ên
.Ê.Ê. ô D+(Ÿ`gs). Soient P l'espace projectif formel associŽ ˆ æv Ê; sa Þbre gŽnŽrique est

l'espace projectif analytique æKÊnÊan (cf. (0.3.6) (iii)). En utilisant le recouvrement de P parles ouverts Ui = D+(ti), et la description de UiÊK par les conditions (0.3.6.1), on voit que]ŸXŸ[P est l'ouvert de æÊnÊan
dŽÞni par les conditions :K(1.1.3.1)

× i, ¾Ÿfi(t0(x),Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn(x))¾ < 1,

Á j, ¾Ÿgj(t0(x),Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn(x))¾ = 1,

les coordonnŽes homog•nes (t0(x),Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn(x)) Žtant choisies telles que ti(x) Ô v(x) pour
tout i, et ¾ti(x)¾ = 1 pour au moins un i.
-ŸAinsi, si X = {0} Ç æÊn
k , on voit que ]ŸXŸ[P est la boule unitŽ ouverte B(0, 1 ). Si XÊÊ=+Ÿ•nkÊÊÇ æÊnk , ]ŸXŸ[P est la boule unitŽ fermŽe B(0, 1 ).

(1.1.4) Remarques. Ñ (i)ÊÊSi X est de type Þni, et ouvert dans P0Ê, le tube de X est u nouvert quasi-compact de PKÊ, qui n'est autre par construction que la Þbre gŽnŽrique X'K del'ouvert X' de P de rŽduction X (cf. (0.2.3)). Par contre, si X est fermŽ dans P0Ê, ]ŸXŸ[P n'est
pas quasi-compact en gŽnŽral : c'est par exemple le cas si P est l'espace afÞne formel^•nvÊ, et X l'origine {0} Ç •nkÊ, puisque ]ŸXŸ[P est alors la boule unitŽ ouverte.
Ÿ(ii) Lorsque v est un anneau de valuation discr•te et X fermŽ dans P0Ê, le tube ]ŸXŸ[Ps'identiÞe, gr‰ce ˆ (0.2.7), ˆ la Þbre gŽnŽrique du complŽtŽ formel ^…P/ÊX de P le long de X
telle qu'elle est construite en (0.2.6), et ne dŽpend donc que de ^…P/ÊXÊ. Plus gŽnŽralement, si
P est un v-schŽma formel vŽriÞant les hypoth•ses de (0.2.6), PK sa Þbre gŽnŽrique, i u nidŽal de dŽÞnition de P, P0 = V(i), et X Ç P0 un k-sous-schŽma, on peut dŽÞnir le tube de
X dans P, que l'on notera encore ]ŸXŸ[PÊ, comme l'ouvert sp-1(ŸXŸ) Ç PKÊ, o• sp : PK @ P est- 26 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.3

le morphisme de spŽcialisation dŽÞni en (0.2.6). Lorsque X est fermŽ dans P0Ê, on peutaussi dŽÞnir ]ŸXŸ[P comme la Þbre gŽnŽrique du complŽtŽ formel ^…P/ÊXÊ, compte tenu de(0.2.7).
(iii) Si X est fermŽ dans un ouvert U de P, dŽÞni par un idŽal i Ç oUÊ, et f une section
de i sur un ouvert V Ç U, on a ¾Ÿf(x)¾ÊÊ< 1 en tout point x Ô VK õ ]ŸXŸ[PÊ.
(iv) Si X' est un sous-schŽma formel de P, de rŽduction X sur k, il rŽsulteimmŽdiatement de la dŽÞnition de ]ŸXŸ[P que la Þbre gŽnŽrique X'K de X' est un sousespace analytique de ]ŸXŸ[PÊ.
L'ŽnoncŽ suivant fournit un crit•re pour que ]ŸXŸ[P soit non vide :(1.1.5) PROPOSITION. Ñ Soit P un v-schŽma formel localement de type Þni, plat sur v.
Alors l'application sp : ¾PK¾ @ ¾P¾ est une surjection sur l'ensemble des points fermŽs d eP.
C'est une assertion locale sur P, qu'on suppose donc afÞne. Soient A = â(P,ÊÊoP), etBÊÊÇ AÊ¢ÊK l'ensemble des ŽlŽments de norme spectrale au plus Žgale ˆ 1. Comme A est
plat sur v, A est un sous-anneau de B, sur lequel B est entier [Ta1, 5.2]. L'applicationSpecÊB @ SpecÊŸA induit donc une surjection º entre les points fermŽs. Il existe d'autre
part une application Œ de ¾PKŸ¾ dans l'ensemble des idŽaux maximaux de B, dŽÞnie
comme suit : pour tout x Ô PKÊ, on a par dŽÞnition un homomorphisme canonique B @v(x), associant ˆ f sa valeur f(x) Ô K(x), et l'image inverse de µ(x) dans B est un idŽal
maximal, qui est par dŽÞnition Œ(x). L'application sp est alors composŽe de Œ et ºÊ;comme Œ est surjective d'apr•s un rŽsultat de Tate [Ta1, 6.4], la proposition en rŽsulte.

(1.1.6) C OROLLAIRE. Ñ Soient P un v-schŽma formel localement de type Þni, X u nsous-schŽma de P0 = PÊÊ| SpecÊk. Si P est plat sur v au voisinage de X, l'application sp
envoie surjectivement ]ŸXŸ[P sur l'ensemble des points fermŽs de X.
(1.1.7) Remarques. Ñ (i)ÊÊSi P est un v-schŽma formel, et X un sous-schŽma de P0 =PÊÊ|ÊÊSpecÊk, nous noterons encore en gŽnŽral sp le morphisme composŽ
sp]ŸXŸ[ Ç PK Ê#ÊÊÊ @ ÊÊÊ P.
Par dŽÞnition, on a un diagramme commutatif de morphismes de sites
X Ò## ]ŸXŸ[P
É
É
À
À
sp
P Ò##
ÊÊ # ÊÊPKÊ.
Il en rŽsulte que, pour tout faisceau abŽlien E sur ]ŸXŸ[PÊ, sp*ÊE est un faisceau abŽlien sur
P ˆ support dans l'adhŽrence de X dans P.

- 27 -

1.4

P. BERTHELOT(ii) Soient P' Ç P le plus grand sous-schŽma formel de P plat sur v, et X' = XÊÊ|PÊÊP'.
Compte tenu de (0.2.4) (iii), on voit immŽdiatement que]ŸXŸ[P = ]ŸX'[P'Ê.
(1.1.8) Soit Ú Ô âŸ*, avec Ú < 1, et soient P un v-schŽma formel localement de type Þni,XÊÊÇ P0 un sous-schŽma fermŽ de sa Þbre spŽciale, dŽÞni par les rŽductions `fi de sections
f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr Ô â(P, oP). Le sous-ensemble VÚ Ç ]ŸXŸ[P dŽÞni par les conditionsÊ:(1.1.8.1)

× i, ¾ŸfŸ(x)¾ ² Ú,

est encore un ouvert de P. Si v est un anneau de valuation discr•te, et si ¾a¾ ² Ú pour touta Ô µ, VÚ ne dŽpend que du sous-schŽma X. En effet, il sufÞt de le vŽriÞer lorsque P estafÞne. Si (Ÿf'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êf'r) est une autre famille de sections de oP telle que XÊÊ= V(Ê`f'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊŸ`f'r), il
existe des sections hiÊj Ô â(P, oP), ai Ô µŸâ(P, oP) telles que(1.1.8.2)

f'i = åÊ hiÊjÊŸfj + aiÊ.
j

Pour tout x Ô PKÊ, on a ¾hiÊj(x)¾ ² 1, et ¾ai(x)¾ ² Ú, si bien que lorsque ¾Ÿfj(x)¾ ² Ú pour toutj, on a aussi ¾Ÿf'iŸ(x)¾ ² Ú. On en conclut que VÚ ne dŽpend pas du choix def1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊÊrelevant des gŽnŽrateurs de l'idŽal de X dans P0Ê.
Dans le cas d'un sous-schŽma fermŽ X quelconque de P0Ê, on peut construire
localement VÚ au moyen de gŽnŽrateurs locaux de l'idŽal de X dans P0Ê, et la propriŽtŽ
d'unicitŽ prŽcŽdente permet de recoller ces constructions locales. Le sous-ensemble de]ŸXŸ[P ainsi obtenu est encore ouvert, car son intersection avec UK est ouverte pour tout
ouvert afÞne U (et est m•me un domaine spŽcial de UK)Ÿ; il sera appelŽ tube fermŽ d erayon Ú de X dans PKÊ, et notŽ [ŸXŸ]PÊÚÊ, ou [ŸXŸ]ÚÊ.
Si on ne suppose plus la valuation de v discr•te, VÚ dŽpend en gŽnŽral du choix desgŽnŽrateurs de l'idŽal de X dans P0Ê. Toutefois, si P est afÞne, et si (Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr), (Ÿf'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êf'r')
sont deux syst•mes de gŽnŽrateurs de l'idŽal de X modulo µ, les relations (1.1.8.2) ne fontintervenir qu'un nombre Þni d'ŽlŽments ai Ô µŸâ(P, oP). Il existe alors a Ô µ tel que ai ÔaŸâ(P, oP) pour tout i, et les ouverts VÚ et V'Ú dŽÞnis par les fi et les f'i vŽriÞent la relationVÚ Ç V'Ú pour ¾a¾ ² Ú < 1Ê; par suite, VÚ = V'Ú pour Ú assez pr•s de 1. Plus gŽnŽralement, si
on suppose P quasi-compact, et si l'on Þxe un recouvrement afÞne Þni (PŒ)Œ de P, et sur
chaque PŒ une famille (Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr) donnant des gŽnŽrateurs sur PŒ de l'idŽal de X dans P0Ê,
les ouverts VÚ dŽÞnis dans chaque PŒÊK õ ]ŸXŸ[ se recollent si Ú est assez pr•s de 1, et deux
syst•mes de choix diffŽrents pour le recouvrement (PŒ)Œ et les Žquations locales (Ÿfi)i sur
les PŒ donnent des ouverts VÚ et V'Ú de ]ŸXŸ[P qui co•ncident pour Ú assez pr•s de 1. En
d'autres termes, les VÚ peuvent dŽpendre des choix faits, mais le ind-objet (VÚ)Ú de lacatŽgorie des ouverts de ]ŸXŸ[P formŽ par les VÚ pour Ú @ 1, ÚÊÊ< 1, est indŽpendant de ces
choix. En pratique, seul le syst•me inductif des VÚ pour Ú assez pr•s de 1 jouera un r™ledans la suiteÊ; par abus de langage, nous parlerons du ÇÊtube fermŽ de rayon Ú pour Úassez pr•s de 1ÊÈ (en abrŽgŽÊ: pour Ú @ 1-), et nous emploierons encore la notation [ŸXŸ]ÚÊ.

- 28 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.5

Lorsque nous dirons que [ŸXŸ]Ú satisfait une propriŽtŽ p pour Ú assez pr•s de 1 (i.e. pourÚÊÊ@ 1-), cela signiÞera que, pour tout choix d'un recouvrement afÞne de P et d'Žquations
locales de X, il existe Ú0 < 1 tel que, pour Ú ³ Ú0Ê, l'ouvert [ŸXŸ]Ú de ]ŸXŸ[P correspondant ˆces choix soit effectivement dŽÞni (i.e. le recollement est possible pour Ú ³ Ú0), etsatisfasse la propriŽtŽ pÊ; lorsque v est un anneau de valuation discr•te, l'expressionÇÊpour Ú @ 1 - ÊÈ appliquŽe ˆ une propriŽtŽ d'un tube fermŽ [ŸXŸ]Ú devra •tre comprisecomme synonyme de ÇÊpour ¾¹¾ ² Ú < 1-ÊÈ, o• ¹ est une uniformisante de v. D'autre part,les k-schŽmas X considŽrŽs ici seront supposŽs compactiÞables, donc quasi-compactsÊ;l'hypoth•se de quasi-compacitŽ faite sur P pour dŽÞnir les [ŸXŸ]Ú ne diminuera donc pasrŽellement la gŽnŽralitŽ, et sera faite systŽmatiquement par la suite.
EnÞn, les dŽÞnitions prŽcŽdentes s'Žtendent au cas o• X est un sous-schŽma nonnŽcessairement fermŽ de P0 en rempla•ant P par un ouvert U tel que X soit fermŽ dans
U0Ê, car la construction prŽcŽdente, appliquŽe ˆ XÊÊÇÊÊU0Ê, donne un ouvert de ]ŸXŸ[U = ]ŸXŸ[PindŽpendant du choix de U. On remarquera que, lorsque X est un ouvert de P, on a pardŽÞnition [ŸXŸ]Ú = ]ŸXŸ[ pour Ú @ 1-.
La m•me mŽthode permet de dŽÞnir, pour Ú ² 1, le tube ouvert de rayon Ú de X dansPKÊ, en rempla•ant (1.1.8.1) par(1.1.8.3)

× i, ¾Ÿfi(x)¾ < Ú.

Le tube ouvert de rayon Ú sera notŽ ]ŸXŸ[PÊÚÊ, ou ]ŸXŸ[ÚÊ; pour Ú = 1, on obtient donc ]ŸXŸ[1ÊÊ=]ŸXŸ[.
On observera que l'argument utilisŽ plus haut entra”ne que, si X est fermŽ dans u nouvert U Ç P, dŽÞni par un idŽal i Ç oUÊ, alors, pour toute section f de i sur un ouvertVÊÊÇ U, on a ¾ŸfŸ(x)¾ ² Ú (resp. ¾ŸfŸ(x)¾ < Ú) pour tout x Ô [ŸXŸ]PÊÚ (resp. ]ŸXŸ[PÊÚ ) si Ú est assezpr•s de 1.
On dŽduit immŽdiatement de (0.1.3) (iii) l'ŽnoncŽ suivant :(1.1.9) PROPOSITION. Ñ Soient P un v-schŽma formel de type Þni, de rŽduction P0 sur
k, X un sous-schŽma de P. Les tubes fermŽs (resp. ouverts) [ŸXŸ]PÊÚ (resp. ]ŸXŸ[PÊÚ), avec
ÚÊÊ@ÊÊ1-, Ú Ô âŸ*, forment un recouvrement admissible de ]ŸXŸ[PÊ.
(1.1.10) ÊRemarque. Ñ Supposons X fermŽ dans P, P plat sur v, et la valuation discr•teÊ;soient ¹ un gŽnŽrateur de µ, i l'idŽal de X dans P. Suivant Ogus [Og1, (2.5)], considŽrons
le v-schŽma formel TP,Ên(ŸXŸ) obtenu en prenant dans l'ŽclatŽ formel P' de l'idŽal i' =(in,ÊÊ¹) le plus grand ouvert sur lequel i'ŸoP' est engendrŽ par ¹. Alors la Þbre gŽnŽriquede TP,Ên(ŸXŸ) est le tube fermŽ [ŸXŸ]¾¹¾1/nÊ, le morphisme canonique TP,Ên(ŸXŸ) @ P induisantl'inclusion de [ŸXŸ]¾¹¾1/n dans PK [Og1, (2.6.3)].
(1.1.11) ÊPROPOSITION. Ñ Soient P, P' deux v-schŽmas formels de type Þni, X Ç P0Ê,

- 29 -

1.6

P. BERTHELOT

X'ÊÊÇÊÊP'0 deux sous-schŽmas, u : P' @ P un v-morphisme dont la restriction ˆ X' s efactorise en v : X' @ X. Alors :(i) uKŸ(]ŸX'[P') Ç ]ŸXŸ[PÊ;(ii) pour Ú @ 1-, uKŸ([ŸX']P'ÊÚ) Ç [ŸXŸ]PÊÚÊ.
La premi•re assertion rŽsulte de la fonctorialitŽ de sp (prop. (0.2.3) (iii)). PourvŽriÞer la seconde, on se ram•ne au cas o• X' et X sont fermŽs dans P' et P, supposŽs
afÞnes. Soient i, i' les idŽaux de X, X' dans P, P', et f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊÊÔ â(P, i) des sections telles
que i = (Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr) + µŸoPÊ. Si f'i = u *(Ÿfi), les f'i sont des sections deÊi', et, d'apr•s (1.1.8),
on a ¾Ÿfi' Ÿ(x)¾ ² Ú pour tout x Ô [ŸX']P'ÊÚ si Ú @ 1-. Comme ¾u*K(ŸfŸ)(x)¾ = ¾ŸfŸ(uK(x))¾Ê, et queles fi sont en nombre Þni, l'assertion (ii) en dŽcoule.
Remarques. Ñ (i)ÊÊÊSupposons que v soit un anneau de valuation discr•te. Comme ]ŸXŸ[Ps'identiÞe ˆ la Þbre gŽnŽrique du complŽtŽ formel ^…P/ÊX de P le long de X (cf. (1.1.4) (i)), tout
morphisme de v-schŽmas formels nÏthŽriens ^…P'/ÊX' @ ^…P/ÊX induit un morphisme ]ŸX'[P' @]ŸXŸ[PÊ. Le tube de X dans P dŽpend donc fonctoriellement du complŽtŽ formel ^…P/ÊXÊ.

(ii) Soient P un v-schŽma formel de type Þni, X, X' deux sous-schŽmas de P0 tels que
Xred = X'redÊ. Il existe alors a, b Ô Ý tels que l'on ait[ŸX']PÊÚa Ç [ŸXŸ]PÊÚ Ç [ŸX']PÊÚb
pour Ú @ 1-. En effet, on peut supposer X' = XredÊ, et la proposition prŽcŽdente montre que[ŸXred]PÊÚ Ç [ŸXŸ]PÊÚ pour Ú @ 1-. D'autre part, on peut supposer X fermŽ dans P, et P afÞne.
Si i, i' sont les idŽaux de X et Xred dans P, soient f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr Ô â(P, i) tels que i =(Ÿf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr) + µŸoPÊ, f'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êf's Ô â(P, i') tels que i' = (Ÿf'1Ÿ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êf's) + µŸoPÊ. Il existe alors u nentier n, et des sections hiÊj Ô â(P, oP), ai Ô µŸâ(P, oP), tels que l'on ait pour tout if'iÊÊn =råÊŸ hiÊjÊŸfj + aiÊ.
jÊÊ=Ê1

Comme ai Ô µŸâ(P, oP), il existe a Ô µ tel que ai Ô aŸâ(P, oP) et on a ¾ai(x)¾Ê²Ê¾a¾Ê<Ê1pour tout x Ô PKÊ, de sorte que, pour Ú ³ ¾a¾, [ŸXŸ]PÊÚ Ç [ŸXred]PÊÚ1/nÊ. Lorsque la valuation de K
est discr•te, on voit ainsi qu'il existe n Ô ú tel que pour ¾¹¾ ² Ú < 1, on ait[ŸXred]PÊÚ Ç [ŸXŸ]PÊÚ Ç [ŸXred]PÊÚ1/nÊ.
La discussion prŽcŽdente montre donc que le syst•me inductif des [ŸXŸ]PÊÚ estindŽpendant, dans la catŽgorie des ind-objets de la catŽgorie des ouverts de PKÊ, de lastructure de schŽma ÞxŽe sur X, et ne dŽpend que de XredÊ.
Notons au passage la consŽquence suivante de (1.1.5) :(1.1.12) ÊPROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (1.1.11), supposons u : P'Ê@ P plat a uvoisinage de X', et v : X' @ X surjectif. Alors le morphisme- 30 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.7]ŸX'[P' Ê##@ ]ŸXŸ[Pinduit par uK est surjectif.
Soit z Ô ]ŸXŸ[P un point de spŽcialisation x Ô X, correspondant ˆ un sous-schŽma
formel fermŽ Z de P, int•gre, Þni et plat sur v, de support x. Le sous-espace analytiquefermŽ uK-1(z) de P'K est la Þbre gŽnŽrique du produit ÞbrŽ P'Z = ZÊÊ|P P'. Soit x' Ô X' un pointfermŽ d'image x. Comme l'immersion fermŽe SpecÊk(x') ÌÊÊÊ@ P' se factorise par une
immersion fermŽe SpecÊk(x') ÌÊÊÊ@ P'ZÊ, on voit que-1]x'[P'Z = ]x'[P' õ u-1
K (z) Ç ]ŸX'[P' õ uK (z).

Or Z est plat sur v, et P'Z plat sur P' au voisinage de X'Z = Z |P X', donc au voisinage de x'Ê;
par suite, ]x'[P' est non vide d'apr•s (1.1.5), ce qui montre la surjectivitŽ de ]ŸX'[P' @Z]ŸXŸ[PÊ.
Un argument analogue ˆ celui de (1.1.11) montre que la formation des tubes
commute ˆ l'extension du corps de base :(1.1.13) ÊPROPOSITION. Ñ Soient K ÌÊÊÊ@ K' une extension isomŽtrique de corps valuŽs
complets, P un v-schŽma formel de type Þni, X un k-sous-schŽma de P, P' = P | SpfÊŸv', X'= X | SpecÊk'. Il existe un isomorphisme canonique de K'-espaces analytiques]ŸXŸ[P | SpmÊK' Ê#›#@Ê ]ŸX'[P'[ŸXŸ]PÊÚ | SpmÊK' Ê#›#@ [ŸX']P'ÊÚ(resp.
pour Ú assez pr•s de 1).

La deuxi•me partie de l'ŽnoncŽ suivant est le point de dŽpart des propriŽtŽs de type
Mayer-Vietoris en cohomologie rigide :(1.1.14)

ÊP ROPOSITION. Ñ Soient P un v-schŽma formel localement de type Þni, X

un k-sous-schŽma de P.
(i) Pour tout recouvrement ouvert (Vi)i de X, les tubes ]ViŸ[P forment un recouvrement admissible de ]ŸXŸ[PÊ.
(ii) Soient X 1Ê, X2 deux sous-schŽmas fermŽs de X, tels que X = X1 ôÊÊX2Ê. Alors ]ŸXŸ[P =]ŸX1[P ô ]ŸX2[P est un recouvrement admissible de ]ŸXŸ[PÊ.
(i) Pour tout i, soit Ui un ouvert de P tel que Vi = X õ UiÊ, et soit U = ôiÊUiÊ. Alors UK
est un ouvert de PK contenant ]ŸXŸ[, et (UiÊK)i en est un recouvrement admissible d'apr•s(0.2.3). Comme ]ViŸ[ = ]ŸXŸ[ õ UiÊKÊ, les ]ViŸ[ forment un recouvrement admissible de ]ŸXŸ[.
(ii) Soit U un ouvert de P tel que X Ç U et que X soit fermŽ dans U. Comme la topologiede UK est la topologie induite par PKÊ, on peut supposer X fermŽ dans P. On peut d'autre- 31 -

1.8

P. BERTHELOT

part supposer P afÞneÊ; soit A = â(P, oP). Soient f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr Ô A engendrant l'idŽal de X1
modulo µ, g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs Ô A engendrant l'idŽal de X2 modulo µÊ; comme ]ŸXŸ[ ne dŽpend quede XredÊ, on peut supposer que l'idŽal de X est engendrŽ par les fiÊŸgj modulo µ. Soient Y =SpmÊB un espace analytique afÞno•de, h : Y @ PK un morphisme tel que h(YŸ) Ç ]ŸXŸ[, f'i =h*(Ÿfi), g'j = h *(Ÿgj). Puisque h(YŸ) Ç ]ŸXŸ[, on a ¾Ÿf'iŸ(Ÿy)g'j(Ÿy)¾ < 1 en tout point y Ô Y. Le
principe du maximum (cf. (0.1.4)), entra”ne alors qu'il existe ¨ < 1, ¨ Ô âŸ*, tel que¾Ÿf'iŸ(Ÿy)g'j(Ÿy)¾ < ¨ pour tout y Ô Y. Soit ¨' = Ã¨, et posons :V1 = {Êy Ô Y ¾ × i, ¾Ÿf'i(Ÿy)¾ ² ¨'Ê},V2 = {Êy Ô Y ¾ × i, ¾Ÿg'j(Ÿy)¾ ² ¨'Ê}.

Alors Y = V1 ô V2Ê, et les Vi forment un recouvrement spŽcial rafÞnant le recouvrement
par les h-1(]ŸXiŸ[).

1.2. Voisinages stricts d'un tube
Soient P un v-schŽma formel de type Þni, Y Ç P un k-sous-schŽma fermŽ, XÊÊÇÊÊY u nouvert de Y, Z = Y - X le fermŽ complŽmentaire. Le tube ]YŸ[P est rŽunion disjointe de]ŸXŸ[P et ]Z[PÊ. On pose, pour Â < 1, Â Ô âŸ* :(1.2.0)UÂ = ]YŸ[P - ]Z[PÊÊÂÊÊ;UÂ est un ouvert de ]YŸ[PÊ, car, lorsque P est afÞne et Z dŽÞni modulo µ par des sections
f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfn Ô â(P, oP), UÂ est la trace sur ]YŸ[P de la rŽunion des domaines spŽciaux dŽÞnis
par ¾Ÿfi(x)¾ÊÊ³ Â.
(1.2.1) DŽÞnition. Ñ Un ouvert V Ç ]YŸ[P est un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P s'ilvŽriÞe les conditions suivantes :(i) ]ŸXŸ[P Ç VÊ;(ii) le recouvrement de ]YŸ[P constituŽ par les deux ouverts V et ]Z[P est admissible.
On voit immŽdiatement que l'intersection de deux voisinages stricts est un voisinage
strict. L'ensemble des voisinages stricts de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P est donc ÞltrantÊ; un syst•me
fondamental de voisinages stricts est une partie coÞnale de cet ensemble.
Nous aurons surtout ˆ travailler avec des syst•mes fondamentaux de voisinages
stricts, et en gŽnŽral on pourra sans inconvŽnient remplacer un voisinage strict donnŽ
par un voisinage strict plus petit.
Remarque. Ñ Le recouvrement de ]YŸ[ constituŽ par les deux ouverts disjoints ]ŸXŸ[ et]Z[ n'est pas admissible en gŽnŽral. Par exemple, si P = ^Ÿ•1vÊ, Y = •1kÊ, et si Z est l'originede •1kÊ, on a PK = ]YŸ[ = D(0, 1+Ÿ), ]Z[ = D(0, 1-Ÿ), et ]ŸXŸ[ est la couronne de rayon 1Ê: ondŽduit facilement du principe du maximum que le recouvrement ainsi obtenu n'est pas
admissible.

- 32 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.9

Le crit•re suivant est souvent commode pour vŽriÞer qu'un voisinage est strict.

(1.2.2) P ROPOSITION. Ñ Soient P un v-schŽma formel de type Þni, Y Ç P un k-sousschŽma fermŽ, X un ouvert de Y, Z = Y - X, et, pour Â < 1, soit UÂ l'ouvert de ]YŸ[P dŽÞni
en (1.2.0). Si V est un ouvert de ]YŸ[P contenant ]ŸXŸ[PÊ, V est un voisinage strict de ]ŸXŸ[P siet seulement si, pour tout ouvert afÞno•de W Ç ]YŸ[PÊ, il existe Â0 < 1 tel que, pour Â0 ² Â < 1
on ait UÂ õÊW Ç V.
Supposons que V soit un voisinage strict de ]ŸXŸ[PÊ, et W un ouvert afÞno•de de ]YŸ[PÊ.
Comme les ]Z[ÂÊ, pour Â @ 1-, forment un recouvrement admissible de ]Z[, le recouvrement (V, ]Z[Â)Â@1- induit un recouvrement admissible sur W. On peut donc en extraire
un recouvrement Þni, de sorte qu'il existe Â0 tel que (V, ]Z[Â ) induise un recouvrement0

admissible de W. Comme UÂ0 õ ]Z[Â0 = ¯, on a alors UÂ0ÊÊõ W Ç V.
RŽciproquement, supposons la condition de la proposition remplie. On peut
supposer P afÞne, de sorte que PK est afÞno•de. Soient g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgr Ô â(P, oP) engendrantl'idŽal de Z dans P modulo µ, et, pour i = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êr, et Â < 1, posonsUiÊÂ = {Êx Ô ]YŸ[ ¾ ¾Ÿgi(x)¾ ³ ÂÊ},UÂ = ôi UiÊÂÊ.

Soit h : SpmÊB @ PK un morphisme d'un espace analytique afÞno•de dans PKÊ, dont
l'image soit contenue dans ]YŸ[. Sur SpmÊB, le principe du maximum entra”ne qu'il
existe Ú < 1 tel que h(SpmÊB) Ç [YŸ]ÚÊ. Appliquant la condition de l'ŽnoncŽ ˆ [YŸ]ÚÊ, on voit
qu'il existe Â tel que Ú ² Â < 1 et UÂ õ [YŸ]Ú Ç VÊ. Les ensembles [Z]ÂÊ, UiÊÂ õ [YŸ]ÚÊ, pour i =1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êr, forment une famille Þnie de domaines spŽciaux de PK dont la rŽunion recouvreh(SpmÊB), et constituent un rafÞnement du recouvrement de h(SpmÊB) par V et ]Z[Ê; cedernier est donc admissible.

(1.2.3) Remarques. Ñ (i)ÊÊLa notion de voisinage strict est indŽpendante de la structurede sous-schŽma fermŽ mise sur Z, puisque le tube ]Z[P n'en dŽpend pas. De m•me, elle
est indŽpendante de celle de Y.
(ii) Soit (Pi)i un recouvrement ouvert de P. Alors V est un voisinage strict de ]ŸXŸ[Pdans ]YŸ[P si et seulement si, pour tout i, V õ PiÊK est un voisinage strict de ]ŸXÊÊõÊÊPiŸ[Pidans ]Y õ PiŸ[P Ê.
i(iii) Supposons qu'il existe g1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs Ô â(P, oP) dont les images dans â(Y, oY)
engendrent l'idŽal de Z dans Y. Posons, pour Â < 1Ê:U'Â = {Êx Ô ]YŸ[P ¾ Á j, ¾Ÿgj(x)¾ ³ ÂÊ}Ÿ;les U'ÂÊ, pour Â Ô âŸ*, sont des ouverts de ]YŸ[PÊ, et on a U'Â Ç UÂ pour tout Â. La condition de(1.2.2) est alors Žquivalente ˆ la condition analogue obtenue en rempla•ant UÂ par U'ÂÊ.
Comme PK est quasi-sŽparŽ, il sufÞt en effet de la vŽriÞer lorsque P est afÞne. Si
gsÊ+Ê1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊgsÊ+Êr Ô â(P, oP) engendrent modulo µ l'idŽal de Y dans P, on peut dŽÞnir lesyst•me des UÂ par la condition :- 33 -

1.10

P. BERTHELOTÁ j Ô {Ÿ1,Ê.Ê.Ê.Ê,Ês + rÊ}, tel que ¾Ÿgj(x)¾ ³ Â.
Mais W est un afÞno•de sur lequel ¾Ÿgj(x)¾ < 1 pour j = s + 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Ês + r. Le principe dumaximum entra”ne donc qu'il existe Â0 < 1 tel que ¾Ÿgj(x)¾ ² Â0 pour tout xÊÔÊW. Par suite,
on a UÂ õ W = U'Â õ W pour Â0 < Â < 1.
(iv) Soit V un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ. Un ouvert V' Ç V contenant ]ŸXŸ[P est
un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P si et seulement si le recouvrement (V', ]Z[P õ VŸ)de V est admissible. On peut donc dŽÞnir un syst•me fondamental de voisinages strictsde ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P ˆ partir de l'espace analytique rigide V.
(1.2.4) Exemples. Ñ (i)ÊÊSoient Ú = (Ún), Â = (Ân) deux suites croissantes d'ŽlŽments deâŸ*, tendant vers 1 par valeurs strictement infŽrieures. Posons Vn = [YŸ]Ú õ UÂ Ê, et V =nnô nÊVnÊ. Alors V est un ouvert de ]YŸ[Ê: on peut pour le vŽriÞer supposer P afÞneÊ;supposons Z dŽÞni par f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfn Ô â(P, oP) modulo µ, et soitUiÊÂ = {Êx Ô ]YŸ[P ¾ ¾Ÿfi(x)¾ ³ ÂÊ}.

Les VnÊi = Vn õ UiÊÂn sont des domaines spŽciaux de PKÊ, et il sufÞt de vŽriÞer qu'ils forment
un recouvrement spŽcial de VÊ; mais, pour tout homomorphisme h : SpmÊB @ V, leprincipe du maximum entra”ne que h(SpmÊB) Ç [YŸ]Ún pour n assez grandÊ; commeVÊÊõÊÊ[YŸ]Ú = ômÊ²ÊnÊVmÊ, SpmÊB est recouvert par un nombre Þni de domaines spŽciauxnh-1(VmÊi). On voit de m•me que V est un voisinage strict de ]ŸXŸ[.
Pour n @ &, les [YŸ]Ú õ UÂ sont indŽpendants du choix des Žquations de Y et Znndans PÊ; les ouverts Vn correspondants n'en dŽpendent donc pas non plus. Par suite,
quitte ˆ rŽtrŽcir V en nŽgligeant un nombre Þni de VnÊ, V est indŽpendant de ces choix, etsera notŽ (avec un lŽger abus de langage) VÚ,ÊÊÂÊ. De m•me, on peut pour dŽÞnir VÚ,ÊÊÂ
remplacer les ouverts UÂ par les ouverts U'Â introduits en (1.2.3) (iii).
nnPour tout Ú, les VÚ,ÊÊÂ avec Â variable forment un syst•me fondamental de voisinages
stricts de ]ŸXŸ[. Soit en effet V' un voisinage strict de ]ŸXŸ[. Comme [YŸ]Ú est quasi-compact,nil existe Ân < 1 tel que UÂn õ [YŸ]Ún Ç V', et on peut choisir les Ân de mani•re ˆ former une
suite croissante de limite 1Ê; le voisinage VÚ,ÊÊÂ correspondant est contenu dans V'.
Les voisinages stricts de la forme VÚ,ÊÊÂ seront appelŽs standards.
(ii) Soit T un sous-espace analytique fermŽ de PK ne rencontrant pas ]ŸXŸ[. Alors la
trace sur ]YŸ[ du complŽmentaire V de T est un voisinage strict de ]ŸXŸ[. En effet, on peut
supposer P afÞne, et se donner g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs Ô â(P, oP) relevant des Žquations de Z dans Y. Si
W est un ouvert afÞno•de de ]YŸ[, W õ T est un espace analytique afÞno•de sur lequel®Ÿgi®ÊÊ< 1 pour tout i, si bien que pour Â assez pr•s de 1, W õ T õ UÂ = ¯ (d'apr•s le principe
du maximum), donc W õ UÂ Ç V.
Supposons par exemple que P soit le complŽtŽ formel d'un v-schŽma sŽparŽ de typeÞni P', et X la rŽduction d'un ouvert X' de P'. Alors XK'Êan õ PK est un voisinage strict de]ŸXŸ[ dans PKÊ. En effet, soient Z' Ç P' un sous-schŽma fermŽ de support P'Ê- X', ^Z' soncomplŽtŽ formel, Z = P0 - X sa Þbre spŽciale. On a :- 34 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.11

XK'Êan õ PKÊ = (PK'Êan - ZK'Êan) õ PKÊ =Ê PK - (ZK'Êan õ PK).
Les points de ZK'Êan õ PK sont les points fermŽs de Z'K dont l'adhŽrence schŽmatique dans
P' (c'est-ˆ-dire dans Z') est Þnie sur v, donc ZK'Êan õ PK = Z'KÊ, et c'est un sous-espace
analytique fermŽ de PK ne rencontrant pas ]ŸXŸ[. Il sufÞt alors d'invoquer la remarqueprŽcŽdente.
(iii) Supposons que Y = P0Ê, donc que X est un ouvert de P0Ê. Alors ]YŸ[ = PKÊ, et les UÂÊ,pour Â Ô âŸ*, Â < 1, forment un syst•me fondamental de voisinages stricts de ]ŸXŸ[, gr‰ce ˆ
la condition de (1.2.2) appliquŽe ˆ W = PKÊ.
ConsidŽrons le cas particulier o• P est l'espace projectif formel de dimension
relative n sur v, et X l'espace afÞne •nk Ç ækÊnÊ; soient t'0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'n des coordonnŽes projectives
sur P, donc sur sa Þbre gŽnŽrique æÊnÊÊan
, correspondant aux coordonnŽes ti = t'iÊ/Ÿt'0 sur
K
nÊÊan
•K
. Si Z = P0 - X est l'hyperplan ˆ l'inÞni, et UiÊÊ= D+(t''i), ]Z[Â õ UiÊK est dŽÞni pouriÊÊ-ÊÊ0 par les conditions ¾t'0(x)/Ÿt'i(x)¾ < Â, et ¾t'j(x)¾ ² ¾t'i(x)¾ pour tout j. Par consŽquent,UÂÊÊõ UiÊK est l'ouvert de •KnÊÊan dŽÞni par les conditions ¾ti(x)¾ ² 1Ÿ/ŸÂ, ¾ti(x)¾ ³ 1, et¾tj(x)¾ÊÊ²ÊÊ¾ti(x)¾ pour j - 0. Comme U0ÊK = ]ŸXŸ[ est contenu dans UÂÊ, on en dŽduit que UÂ
est la boule fermŽe de centre 0 et de rayon 1Ÿ/ŸÂ dans •nÊÊan
.
K(iv) Soit encore P l'espace projectif formel de dimension n sur v, et supposons
maintenant que X est un sous-schŽma fermŽ de l'espace afÞne •nk Ç ækÊn, dŽÞni modulo µ
par f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr Ô vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ; soient f'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êf'r Ô vŸ[t'0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'n] les polyn™mes homog•nes
correspondants, et Y le sous-schŽma fermŽ de æÊnk dŽÞni par f'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êf'rÊ. On pose
V = {Êx Ô •nÊÊan
¾ × i, ¾Ÿfi(x)¾ < 1}Ÿ;K
]ŸXŸ[P est donc l'intersection de V avec la boule unitŽ fermŽe. Alors V Ç ]YŸ[PÊ, et est u nvoisinage strict de ]ŸXŸ[PÊ. En effet, si le degrŽ de fi est diÊ, de sorte que
f'i = t0'ÊdiÊfiŸ(t'1Ÿ/Ÿt'0Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'nŸ/Ÿt'0),]YŸ[ õ UjÊK est dŽÞni dans UjÊK par la condition
× i, ¾Ÿfi' Ÿ(x)¾ < ¾t'j(x)¾Ÿdi.
Soit alors x Ô V õ UjÊKÊ; on a
¾Ÿf'iŸ(x)¾ = ¾t0'Êdi(x)ŸfiŸ(x)¾ = ¾t0'Êdi(x)/Ÿtj'Êdi(x)¾Ÿ¾ŸfiŸ(x)¾Ÿ¾tj'Êdi(x)¾ < ¾t'j(x)¾Ÿdi,
donc V Ç ]YŸ[. D'autre part, tout ouvert afÞno•de de ]YŸ[ est contenu dans [YŸ]Ú pour un Ú
assez pr•s de 1, de sorte qu'il sufÞt de dŽmontrer la condition de (1.2.2) pour W = [YŸ]ÚÊ.
Comme le fermŽ Z = Y - X est dŽÞni dans Y par l'Žquation t'0 = 0, il rŽsulte de (iii) que
l'ouvert U'Â dŽÞni en (1.2.3) (iii) est l'intersection de ]YŸ[ avec la boule fermŽe de centre 0 et
de rayon 1Ÿ/ŸÂ dans •nÊÊan
. Pour tout j, VÊÊõÊŸ[YŸ]Ú õ UjÊK est dŽÞni par les conditions :K
× i, ¾ŸfiŸ(x)¾ < 1;

× i, ¾Ÿf'iŸ(x)¾ ² ÚŸ¾t'j(x)¾Ÿdi

;Si x Ô U'Â õ [YŸ]Ú õ UjÊKÊ, on a ¾t'j(x)¾ £ Â-1Ÿ¾t'0(x)¾, d'o•¾Ÿfi' Ÿ(x)¾ ² ÚŸÂ-ÊdiŸ¾t'0(x)¾Ÿdi,- 35 -

× k, ¾t'k(x)¾ ² ¾t'j(x)¾.

1.12

P. BERTHELOT

soit encore¾Ÿfi(x)¾ ² ÚÂ-Êdi.
Si Â est tel que ÚÂ-Êdi < 1 pour tout i, on a donc U'Â õ [YŸ]Ú Ç VÊ.
Par exemple, prenons X = •nkÊ, plongŽ dans •2nÇ ævŸ2n = P par l'immersionv

diagonale, et soient t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn des coordonnŽes sur •nvÊ, t1Ÿ1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt1ÊnÊ, t2Ê1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt2Ên les coordonnÊÊan
nŽes correspondantes sur • 2ndŽÞni parÊ:v . Alors l'ouvert de • K
× i, ¾t2ÊiŸ(x) - t1ÊiŸ(x)¾ < 1
est un voisinage strict de ]ŸXŸ[PÊ.

(1.2.5) P ROPOSITION. Ñ (i)ÊÊSoient P' un ouvert de P, et V' un voisinage strict d e]ŸXÊÊõÊÊP'[P' dans ]Y õ P'[P'Ê. Il existe un voisinage strict V de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P tel queVÊÊõÊÊP'K Ç V'.
(ii) Soit (Pi)i un recouvrement ouvert Þni de P, et, pour tout i, soit Vi un voisinage
strict de ]ŸX õ PiŸ[P dans ]Y õ PiŸ[P Ê. Il existe alors un voisinage strict V de ]ŸXŸ[P dansii]YŸ[P tel que V õ PiÊK Ç Vi pour tout i.
Soit Ú une suite croissante de limite 1. D'apr•s (1.2.4) (i), il existe une suite
croissante Â de limite 1, telle que le voisinage strict standard V'Ú,ÊÊÂ de ]ŸX õ P'[P' dans]YÊÊõÊÊP'[P' soit contenu dans V'. Le voisinage strict standard VÚ,ÊÊÂ de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P est
alors tel que VÚ,ÊÊÂ õ P'K Ç V'.
Comme l'intersection de deux voisinages stricts est un voisinage strict, on dŽduit (ii)de (i) par rŽcurrence sur le nombre d'ouverts du recouvrement.

(1.2.6) On consid•re un diagramme commutatifj'i'X' Ì##@
ÊÊY' Ì##@
ÊÊP'wÉ(1.2.6.1)

vÉ
uÉ
À
À
À
j
i
X Ì##@
ÊY Ì##@
ÊP

ÉÀSpecÊk ####@ SpfÊŸv
dans lequel P et P' sont des schŽmas formels de type Þni, i et i' des immersions fermŽes, j
et j' des immersions ouvertes. On note uK : ]Y'[P' @ ]YŸ[P le morphisme induit par u (cf.
(1.1.11) (i)), et on pose Z = (Y - XŸ)redÊ, Z' = (Y'Ê-ÊX')redÊ.
(1.2.7) P ROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (1.2.6), soient V un voisinage strict d e]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, V' = uKŸ-1(VŸ) õ ]Y'[P'Ê. Alors V' est un voisinage strict de ]ŸX'[P' dans
]Y'[P'Ê.

- 36 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.13

Il est clair que ]ŸX'[P' Ç V'. Comme le recouvrement (V, ]Z[P) de ]YŸ[P est
admissible, il en est de m•me du recouvrement image inverse (V', uŸK -1(]Z[P)) de ]Y'[P'Ê.
Par hypoth•se, vÊŸ-1(Z) Ç Z', donc uŸK -1(]Z[P)ŸõÊ]Y'[P' Ç ]Z'[P'Ê. Il en rŽsulte que lerecouvrement (V', ]Z'[P') de ]Y'[P' est admissible.
(1.2.8) Remarque. Ñ Sous les hypoth•ses de (1.2.6), supposons de plus P et P' afÞnes.
Soient g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgr Ô â(P, oP) (resp. g'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êg's Ô â(P', oP')) des ŽlŽments relevant une suite degŽnŽrateurs de l'idŽal Z dans Y (resp. de Z' dans Y')Ÿ; pour ÂÊÊ< 1, soient UÂÊ, U'Â les ouvertsdŽÞnis parUÂ = {Êx Ô ]YŸ[P ¾ Á i, ¾ŸgiŸ(x)¾ ³ ÂÊ},U'Â = {Êx Ô ]Y'[P' ¾ Á i, ¾Ÿg'iŸ(x)¾ ³ ÂÊ}.

Il existe alors un entier nÊÊ³Ê1 tel que, pour tout afÞno•de W Ç ]Y'[P'Ê, on ait uKŸ(U'ÂÊÊõ WŸ) ÇUÂn pour Â @ 1-.
En effet, soient i, i' les idŽaux de Z et Z' dans P et P', i0Ê, i'0 leurs rŽductions sur k.
Comme v(ŸX') Ç X, une puissance i0Ÿ'Ên de i'0 est contenue dans i0ŸoY'Ê. Pour tout i, il existe
donc une relation de la forme
gi'Ên =råÊ hiÊj u*(Ÿgj) + h'iÊ,
jÊÊ=Ê1

avec hiÊj Ô â(P, oP), et o• h'i est une section de l'idŽal de Y' dans P'. Si W Ç ]Y'[ estafÞno•de, le principe du maximum entra”ne qu'il existe Ú0 < 1 tel que W Ç [Y'Ê]Ú0Ê. Si Ân >
Ú0Ê, et si x Ô U'ÂÊ, il existe i tel que ¾Ÿg'i(x)¾n ³ Ân > Ú0Ê; comme ¾hiÊj(x)¾ ² 1 pour tous i, j, et¾h'i(x)¾ ² Ú0Ê, il existe donc j tel que ¾Ÿgj(uKŸ(x))¾ = ¾u*(Ÿgj)(x)¾ ³ Ân, d'o• la remarque.
Il est parfois commode d'utiliser des voisinages stricts possŽdant la propriŽtŽ de ladŽÞnition suivante.

(1.2.9) DŽÞnition. Ñ Soit T un espace analytique quasi-sŽparŽ. Un ouvert U de T est dit
pseudo-compact dans T si, pour tout ouvert afÞno•de W de T, W õ U est quasi-compact.
Tout ouvert quasi-compact (et notamment afÞno•de) de T est pseudo-compact. OnvŽriÞe immŽdiatement que toute rŽunion Þnie d'ouverts pseudo-compacts de T est u nouvert pseudo-compact de T, et que tout recouvrement Þni d'un ouvert de T par desouverts pseudo-compacts est admissible.
Sous les hypoth•ses de (1.2.4) (i), les voisinages stricts VÚ, ÊÂ de ]ŸXŸ[ sont pseudocompacts dans ]YŸ[.

(1.2.10) P ROPOSITION. Ñ Soient P un v-schŽma formel de type Þni, Y Ç P un k-sousschŽma fermŽ, X1Ê, X2 deux ouverts de Y, X = X1 ô X2Ê, X' = X1 õ X2Ê. Supposons donnŽs
des voisinages stricts V1Ê, V2 de ]ŸX1[P et ]ŸX2Ÿ[P dans ]YŸ[PÊ. AlorsÊ:(i) V' = V1 õ V2 est un voisinage strict de ]ŸX'[P dans ]YŸ[PÊ;(ii) Si V1Êet V 2 sont pseudo-compacts dans ]YŸ[PÊ, V = V1 ô V2 est un voisinage strict de- 37 -

1.14

P. BERTHELOT]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, et (V1, V2) en est un recouvrement admissible.
Soient Z = Y - X, Z' = Y - X', Z1 = Y - X1Ê, Z2 = Y - X2Ê, de sorte que Z = Z1 õ Z2Ê,Z'ÊÊ=ÊÊZ1 ô Z2Ê. Par hypoth•se, les recouvrements (V1Ê, ]Z1[) et (V2Ê, ]Z2[) de ]YŸ[ sontadmissibles, et il en est donc de m•me de leur intersection. Comme ]Z'[ = ]Z1[ÊÊôÊÊ]Z2[,
c'est un rafÞnement du recouvrement (V1 õ V2Ê, ]Z'[)Ÿ; ce dernier est donc encore
admissible, d'o• (i).
Supposons maintenant V1ÊetÊV2 pseudo-compacts dans ]YŸ[. D'apr•s (1.2.9), V est u nouvert pseudo-compact de ]YŸ[, et (V1Ê, V2) en est un recouvrement admissible. Comme]Z[ = ]Z1[ õ ]Z2[, le m•me raisonnement que prŽcŽdemment montre que (V, ]Z[) est u nrecouvrement admissible de ]YŸ[.

(1.2.11) ÊPROPOSITION. Ñ Soient P un v-schŽma formel de type Þni, Y' un k-sousschŽma fermŽ de P, Y un sous-schŽma fermŽ de Y', et X un ouvert de Y. On suppose que
X est Žgalement ouvert dans Y'. Pour qu'un ouvert V de ]YŸ[P contenant ]ŸXŸ[P soit u nvoisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, il faut et sufÞt que ce soit un voisinage strict de ]ŸXŸ[Pdans ]Y'[ PÊ.
Soient Z' = Y' - X, Z = Y - X = Y õ Z'Ê; Y' est donc rŽunion des deux sous-schŽmas
fermŽs Y et Z', avec Z = Z' õ Y. D'apr•s (1.1.14) (ii), le recouvrement (]YŸ[, ]Z'[) de ]Y'[est admissible. Si V est un voisinage strict de ]ŸXŸ[ dans ]YŸ[, le recouvrement (V, ]Z[) de]YŸ[ est admissible. Il en rŽsulte que le recouvrement (V, ]Z[, ]Z'[) de ]Y'[ estadmissible, et il en est donc de m•me de (V, ]Z'[). RŽciproquement, si V est un voisinage
strict de ]ŸXŸ[ dans ]Y'[, le recouvrement (V, ]Z[) induit par (V,ÊÊ]Z'[) sur ]YŸ[ estadmissible.
Remarque. Ñ Si Ÿ†X est l'adhŽrence de X dans P0 = P | SpecÊk, tout syst•me fondamental
de voisinages stricts de ]ŸXŸ[ dans ]ŸŸ†XŸ[ est donc un syst•me fondamental de voisinages
stricts de ]ŸXŸ[ dans ]YŸ[, quel que soit le fermŽ Y Ç P… tel que X soit ouvert dans Y.
(1.2.12) P ROPOSITION. Ñ Soient P un v-schŽma formel de type Þni, Y un k-sousschŽma fermŽ de P, X un ouvert de Y. On suppose que X = X1 ô X2Ê, les Xi Žtant fermŽs
dans X. Soient Yi l'adhŽrence de Xi dans Y, Vi un voisinage strict de ]ŸXi[P dans ]YŸiŸ[PÊ.
AlorsÊ:(i) V1 õ V2 est un voisinage strict de ]ŸX1 õ X2Ÿ[P dans ]Y1 õ Y2Ÿ[PÊ;(ii) Si V1 et V2 sont pseudo-compacts, le voisinage V = V1 ô V2 de ]ŸXŸ[P est un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, et V1Ê, V2 en forment un recouvrement admissible.
Posons X3 = X1 õ X2Ê, Y3 = Y1 õ Y2Ê, Z = Y - X, Zi = Yi - Xi (i = 1, 2, 3). Comme X1 et
X2 sont fermŽs dans X, on a Yi õ Xj = Xi õ XjÊ, et Zi õ Xj = ¯ pour i, j = 1, 2, avec iÊÊ- jÊ; parsuite, Z3 = Z1 õ Z2ÊŸ.

- 38 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.15

Comme V1 et V2 sont des voisinages stricts, le recouvrement de ]Y3[ intersectiondesÊrecouvrements (ViÊ, ]Zi[) des ]Yi[, i = 1, 2, est admissible. Puisque ZiÊÊõÊÊXj = ¯, on a]ZiŸ[ õ Vj Ç ]ZiŸ[ õ ]ZjŸ[ = ]Z3[. Le recouvrement (V1 õ V2Ê, ]Z3[) de ]Y3[ est donc moins
Þn que le prŽcŽdent, et par suite admissible, d'o• (i).
Pour prouver l'assertion (ii), on peut, gr‰ce ˆ la proposition (1.2.11), supposer que
YÊÊ= Y1 ô Y2Ê; on a alors Z = Z1 ô Z2Ê. Comme le recouvrement de ]YŸ[ par ]Y1[ et ]Y2[ estadmissible, le recouvrement (V1Ê, V2Ê, ]Z1[, ]Z2[) l'est Žgalement. D'apr•s (1.2.9), V est u nouvert pseudo-compactÊ; le recouvrement (V, ]Z[) est moins Þn que le prŽcŽdent, donc
admissible, d'o• (ii).

1.3. ThŽor•mes de Þbration
Soient Y un k-schŽma de type Þni, X un ouvert de Y, i : Y ÌÊÊÊ@ P, i' : Y ÌÊÊÊ@ P' deux
immersions fermŽes de Y dans deux v-schŽmas formels de type Þni, u : P'ÊÊ@ P u nv-morphisme tel que uÊìÊi' = i. Nous Žtudions ici les propriŽtŽs topologiques du morphisme uK : ]YŸ[P' @ ]YŸ[P induit par u, lorsque u est lisse au voisinage de X. Il est facile
de voir que, dans ce cas, uK induit une Þbration localement triviale en disques ouverts de]ŸXŸ[P' surÊ]ŸXŸ[PÊ. Le rŽsultat principal de cette section est que cette structure topologiques'Žtend, en un sens rendu prŽcis en (1.3.7), au morphisme induit par uK entre desvoisinages stricts convenables de ]ŸXŸ[P' et ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P' etÊ]YŸ[PÊ. Cette propriŽtŽ est lepoint clŽ permettant de montrer l'indŽpendance par rapport au plongement P desconstructions que nous effectuerons en cohomologie rigide.
Nous commen•ons par l'Žtude du morphisme ]ŸXŸ[P' @ ]ŸXŸ[PÊ.
(1.3.1) PROPOSITION. Ñ Soient X un k-schŽma de type Þni, i : X ÌÊÊÊ@ P, i' : X ÌÊÊÊ@ P' deux
immersions de X dans des v-schŽmas formels de type Þni, u : P' @ P un v-morphismeŽtale au voisinage de X, tel que uÊìÊi' = i. Alors le morphisme
uK : ]ŸXŸ[P' Ê##@ ]ŸXŸ[Pest un isomorphisme, et induit un isomorphisme [ŸXŸ]P'ÊÚÊÊ#ÊÊ›Ê@ [ŸXŸ]PÊÚ pour Ú @ 1-.
Comme ]ŸXŸ[P ne change pas si on remplace P par un ouvert contenant X, on peut
supposer X fermŽ dans P et P', P' Žtale sur P, et P' |P X isomorphe ˆ X. On peut de m•me
supposer qu'il existe un recouvrement afÞne (PŒ)Œ de P, et un recouvrement afÞne (P'Œ)Œ
de P', tels que u(P'Œ) Ç PŒ et X õ PŒ = X õ P'ŒÊ. Comme ]ŸXŸ[ õ PŒÊK = ]ŸX õ PŒŸ[ et que les PŒÊKforment un recouvrement admissible de PKÊ, cela permet de supposer P et P' afÞnes.
Soient P = SpfÊŸA, P' = SpfÊŸA', I Ç A l'idŽal de X dans P, I' = IŸA' celui de X dans P'.
Soient f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr des gŽnŽrateurs de I modulo µ. D'apr•s (1.1.9), il sufÞt de montrer- 39 -

1.16

P. BERTHELOT

que uK induit un isomorphisme
uK : [YŸ]P'ÊÚ Ê#›#@ [YŸ]PÊÊÚ
pour Ú @ 1-. Si aÊÔ µ, aÊÊ-ÊÊ0, il sufÞt donc d'apr•s (0.1.2.2) de prouver que
A{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ÿ/Ÿ(ŸfiÊŸn - aTi) Ê##@ A'{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ÿ/Ÿ(ŸfÊŸi n - aTi)
est un isomorphisme pour tout n, soit encore queA[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr]Ÿ/Ÿ(am, fiÊŸn - aTi) Ê##@ A'Ÿ[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr] / (am, fÊŸi n - aTi)
est un isomorphisme

pourtous m, n. Commel'idŽalengendrŽ

par

I dansm

A[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr]Ÿ/Ÿ(a, f Ÿi n - aTi) est un nilidŽal, cela rŽsulte de ce que A'[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr] est Žtale

sur A[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr] et (A'Ê/ÊI)Ÿ[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr] isomorphe ˆ (AÊ/ÊI)Ÿ[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr].

(1.3.2) THƒORéME (thŽor•me de Þbration faible).ÊÑÊÊSoient X un k-schŽma de type Þni,iÊÊ: X ÌÊÊÊ@ P, i' : X ÌÊÊÊ@ P' deux immersions de X dans des v-schŽmas formels de type Þni,uÊÊ:ÊÊP' @ P un v-morphisme lisse au voisinage de X, tel que uÊìÊi' = i. Il existe alors u nrecouvrement admissible (VŒ)Œ de ]ŸXŸ[PÊ, et, si V'Œ est l'image inverse de VŒ dans ]ŸXŸ[P'Ê,
des isomorphismesÄŒ : V'Œ ÊÊ#›#@ VŒ | D(0, 1-Ÿ)dcommutant aux projections sur VŒÊ.
On peut supposer X fermŽ dans P et P', et P' lisse sur P. Il existe des recouvrementsafÞnes (PŒ)Œ de P, et (P'Œ)Œ de P' tels que u(P'Œ) Ç PŒÊ, X õ PŒ = X õ P'ŒÊ, et tels que lefaisceau conormal ˆ X dans P'X = P' |P X soit un oXŸ-module libre sur XŒÊÊ= X õ P'ŒÊ. Soientt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd Ô â(P'ŒÊ, oP'ŒŸ) relevant une suite rŽguli•re de gŽnŽrateurs de l'idŽal de XŒ dansP'Œ ÊÊ|PŒ XŒ au voisinage de X ŒÊ; leurs images forment une base du faisceau conormal ˆ X

sur XŒÊ. Les sections dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êdtd forment une base de ã1P'Ÿ/ÊP au voisinage de XŒÊ, de sorte
que t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd dŽÞnissent un morphisme vŒ de P'Œ dans l'espace afÞne formel relatif P"Œ =PŒ | ^•dvÊ, Žtale au voisinage de XŒÊ. Si on pose VŒ = PŒÊK õ ]ŸXŸ[P = ]ŸXŒ[PŒÊ, V'Œ = uÊ-1
K (VŒ ), ona V'Œ = ]ŸXŒ[P' . La section nulle fournit une immersion i" : XŒ @ P"ŒÊ, et vŒÊìÊi' = i". D'apr•sŒÊ

(1.3.1), le morphisme ÄŒ : ]ŸXŒ[P'Œ @ ]ŸXŒ[P"Œ induit par vŒ est un isomorphisme. Commel'idŽal de XŒ dans P"Œ est engendrŽ par l'idŽal de XŒ dans PŒ et par t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, on a]ŸXŒ[P" – ]ŸXŒ[P | D(0, 1-Ÿ)d,ŒŒ
d'o• l'ŽnoncŽ.
Remarque. Ñ Le m•me ŽnoncŽ reste valable en rempla•ant les tubes ouverts par les
tubes fermŽs de rayon Ú, et D(0, 1-Ÿ) par D(0, Ú+Ÿ), pour Ú @ 1-.
Comme premi•re application du thŽor•me de Þbration, notons le rŽsultat deconnexitŽ suivant :- 40 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.17(1.3.3) PROPOSITION. Ñ Soient X un k-schŽma connexe, i : X ÌÊÊÊ@ P une immersion dans
un v-schŽma formel de type Þni P, lisse au voisinage de X. Alors le tube ]ŸXŸ[P est connexe.
D'apr•s (1.1.13), il sufÞt de prouver l'ŽnoncŽ apr•s extension de KÊ; cela permet de seramener au cas o• k est parfait. On peut aussi supposer X int•gre, car on peutnumŽroter les composantes irrŽductibles X1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊXr de X de mani•re que, pour tout i, (ŸX1
ô .Ê.Ê. ô XiÊ-Ÿ1) õ Xi soit non vide. Comme les ]ŸXiŸ[ forment un recouvrement admissible de]ŸXŸ[ d'apr•s (1.1.14) (ii), et que l'intersection(]ŸX1[ ô .Ê.Ê. ô ]ŸXiÊ-Ÿ1[) õ ]ŸXiŸ[ = ](ŸX1 ô .Ê.Ê. ô XiÊ-Ÿ1) õ XiŸ[est non vide pour tout i, l'assertion pour les Xi entra”ne l'assertion pour X. On peut enÞnsupposer X fermŽ dans P, et P afÞne.
Montrons alors que la connexitŽ de ]ŸXŸ[P pour un plongement i : X ÌÊÊÊ@ P entra”ne laconnexitŽ de ]ŸXŸ[P pour tout plongement. La mŽthode du plongement diagonal permet dese ramener ˆ considŽrer deux plongements i : X ÌÊÊÊ@ÊP, i' : XÊÊÌÊÊÊ@ÊP', tels qu'il existe u nmorphisme u : P' @ P, lisse au voisinage de X, vŽriÞant uÊìÊi' = i. Comme uK : ]ŸXŸ[P' @]ŸXŸ[P est surjectif (d'apr•s (1.3.2) ou (1.1.12)), la connexitŽ de ]ŸXŸ[P' entra”ne celle de ]ŸXŸ[PÊ.
Pour prouver la rŽciproque, on peut supposer par localisation que le faisceau conormal ˆ
X dans XÊÊ|P P' est un oXŸ-module libre, et la dŽmonstration de (1.3.2) montre que ]ŸXŸ[P's'identiÞe au produit de ]ŸXŸ[P par une boule ouverte. Si A = â(]ŸXŸ[PÊ,ÊoP ), l'alg•breKâ(]ŸXŸ[P'Ê,ÊoP'K) est donc une sous-alg•bre d'une alg•bre de sŽries formelles ˆ coefÞcientsdans A, et n'a pas d'idempotents non triviaux.
Si X est lisse sur k, il en rŽsulte que ]ŸXŸ[P est connexeÊ: en effet, on peut alors
remplacer P par un rel•vement de X en un v-schŽma formel lisse xÊ; on obtient dans ce
cas ]ŸXŸ[x = xKÊ, et, x Žtant connexe, â(xKÊ, oxK) = â(x, ox) ¢ K est sans idempotents nontriviaux.
Dans le cas gŽnŽral, soient X' le normalisŽ de X, et i' : X' @ P' un plongement de X'
dans un P-schŽma formel P', lisse sur P au voisinage de X'. Comme X' @ X est surjectif,
il en est de m•me de ]ŸX'[P' @ ]ŸXŸ[P d'apr•s (1.1.12). On est donc ramenŽ au cas o• X est
normal. Si X est de dimension ³ÊÊ2, deux points quelconques de X peuvent •tre joints par
un diviseur connexe D [Ha1, III 7.9], et il sufÞt donc que ]D[P soit connexe pour tout diviseur connexe D de X. Par rŽcurrence sur dimÊX, on est ramenŽ au cas o• X est normal dedimension 1, donc lisse.

(1.3.4) Pour obtenir la forme forte du thŽor•me de Þbration, l'Žtape essentielle est
l'extension de (1.3.1) ˆ un voisinage strict de ]ŸXŸ[. On consid•re donc un diagrammecommutatif :- 41 -

1.18

P. BERTHELOTi'YŸ' Ì#@
ÊÊ
P'
Év
Éu
É
É
À
À
j
i
X Ì#@
Ê
Y Ì#@
Ê
P
j'

(1.3.4.1)

dans lequel j et j' sont des k-immersions ouvertes, i et i' des immersions fermŽes de Y etY' dans des v-schŽmas formels de type Þni. On notera Ÿ†X l'adhŽrence de X dans P' |P Y.
(1.3.5) THƒORéME. Ñ Les notations et les hypoth•ses Žtant celles de (1.3.4), supposons
que u soit Žtale au voisinage de X, et que la restriction de v ˆ Ÿ†X soit propre. Alors uK
induit un isomorphisme entre un voisinage strict de ]ŸXŸ[P' dans ]Y'[P'Ê, et un voisinage
strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ.
Gr‰ce ˆ (1.2.11), on peut remplacer Y' par Ÿ†X, ce qui permet de supposer que v est
propre, et que vŸ-1(ŸXŸ) = j'(ŸXŸ). Soit Z = Y - X, muni de sa structure rŽduite. On pose, pour
Â @ 1-,
UÂ = PK - ]Z[PÊÊÂÊ,et U'Â = uŸK -1(UÂ). En utilisant les voisinages stricts standards VÚ,ÊÊÂ dŽÞnis en (1.2.4) (i), on
voit qu'il sufÞt de prouver l'assertion suivante :(1.3.5.1) Pour tout Œ Ô âŸ*, Œ @ 1-, il existe Ú0 Ô âŸ*, Ú0Ê<Ê1, tel que pour tout Ú Ô âŸ*, avec
Ú0ÊÊ²ÊÊÚ < 1, il existe Â Ô âŸ*, Â < 1, tel que le morphisme[Y']P'ÊÚ õ uKŸ-1([YŸ]PÊŒ õ UÂ) Ê##@ [YŸ]PÊŒ õ UÂ
soit un isomorphisme.
Si (Pi)i est un recouvrement Þni de P, et si on pose P'i = uŸ-1(Pi), Yi = Y õ PiÊ, Y'iÊÊ= Y'ÊÊõ
P'iÊ, Xi = X õ Yi = X õ Y'iÊ, il sufÞt de vŽriÞer (1.3.5.1) pour XiÊ, YiÊ, Y'iÊ, PiÊ, P'iÊ. En effet, Þxons Œet Ú, et supposons que, pour tout i, il existe Âi < 1 tel que (1.3.5.1) soit vŽriÞŽe au-dessus dePiÊKÊ. Soit Â = SupÊÂiÊ. Par construction, on a P'iÊK = uŸK -1(PiÊK), [Yi]Œ = [YŸ]ŒÊÊõ PiÊKÊ, et[Y'iÊ]P'iÊÊÚ = [Y'iÊ]P'ÊÚ = [Y']P'ÊÚ õ P'iÊKÊ.
Par suite, le morphisme[Y']P'ÊÚ õ uŸK -1([YŸ]PÊŒ õ UÂ) õ P'iÊK Ê##@ [YŸ]PÊŒ õ UÂ õ PiÊKÊ

est un isomorphisme pour tout i. Comme les PiÊK (resp. P'iÊK) forment un recouvrement
admissible de PK (resp. P'K), (1.3.5.1) en rŽsulte. On supposera donc P afÞne.
Soient alors P = SpfÊŸA, f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr Ô A dŽÞnissant Y modulo µ et a Ô µ tel que ¾a¾Ê=ÊŒŸq,pour un entier q Ô ú. Le changement de base
P1 = SpfÊÊA{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ÿ/Ÿ(ŸfÊŸi q - aTi) Ê##@ Pinduit sur les Þbres gŽnŽriques PK et P'K la localisation au-dessus de [YŸ]PÊŒÊ. Rempla•ant
les donnŽes initiales par celles qu'on en dŽduit par ce changement de base, on est ramenŽ

- 42 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.19

au cas o• [YŸ]ŒÊ=ÊPKÊ, et ˆ montrer qu'il existe Ú0 Ô âŸ*, tel que pour tout Ú Ô âŸ*, Ú0 ² Ú < 1, il
existe Â Ô âŸ*, Â < 1 tel que le morphisme[Y']P'ÊÚ õ U'Â Ê##@ UÂsoit un isomorphismeÊ; Y est alors dŽÞni par un idŽal nilpotent dans P | SpecÊk, de sorte
que l'espace topologique sous-jacent ˆ X est ouvert dans celui de P.
Soit (ŸXi) un recouvrement Þni de X, et supposons l'ŽnoncŽ prŽcŽdent vŽriÞŽ pour lesXiÊ, pour Ú ³ ÚiÊ. Si on pose Zi = Y - XiÊ, UiÊÂ = PK - ]ZiŸ[PÊÂÊ, U'iÊÂ = u-1
K (UiÊÂ), UÂ est la rŽunion
des UiÊÂÊ, et ceux-ci en forment un recouvrement Þni par des ouverts quasi-compacts, donc
admissible. Soient Ú0 = sup(Úi), et Ú ³ Ú0. En prenant Â < 1 tel que[Y']P'ÊÚ õ U'iÊÂ Ê##@ UiÊÂsoit un isomorphisme pour tout i, [Y']P'ÊÚ õ U'Â @ UÂ est un isomorphisme. En localisant
sur X, on peut donc supposer que X est un ouvert de Y de la forme D(Ÿg), avec g Ô â(P, oP).
D'apr•s (1.2.3) (iii), on peut remplacer UÂ par l'ouvert (qu'on notera encore UÂ) :UÂ = {Êx Ô PK É ¾Ÿg(x)¾ ³ ÂÊ}.
Soient P'Y = P' |P Y, P'X = P' |P X. Comme P'X @ X poss•de une section et est Žtale auvoisinage de celle-ci, X est ˆ la fois ouvert et fermŽ dans P'XÊ. Puisque X est ouvert dans P,
il est donc aussi ouvert dans P'Ê; soit D = P'Y - X le fermŽ complŽmentaire. On a alors P'Y =Y' ô D, donc P'K = ]Y'[P' ô ]D[P'Ê. Comme P'X est rŽunion disjointe des deux composantes
ouvertes et fermŽes X et D õ uŸ-1(ŸXŸ), uKŸ-1(]ŸXŸ[P) est rŽunion disjointe des deux ouverts]ŸXŸ[P' et ]D[P' õ u KŸ-1(]ŸXŸ[P), qui en forment un recouvrement admissibleÊ; on notera au
passage que, X Žtant ouvert dans P'XÊ, on a [ŸXŸ]P'ÊÚ = ]ŸXŸ[P' pour Ú @ 1-. On se propose demontrer qu'il existe ¨ < 1, Ú0 < 1, tels que pour tout Ú, avec Ú0 ² Ú < 1, il existe Â < 1 pourlequel [Y']P'ÊÚ õ [D]P'Ê¨ õ U'Â = ¯, les ouverts [Y']P'ÊÚ et [D]P'Ê¨ induisant un recouvrement
admissible de U'ÂÊ.
Comme P'K - ]Y'[P' est un espace analytique quasi-compact contenu dans ]D[P'Ê, il
existe ¨ < 1 tel que l'on ait(1.3.5.2)
P'K - ]Y'[P' Ç ]D[P'Ê¨ Ç [D]P'Ê¨Ê.
ÊDe m•me, P'K - ]D[P'Ê¨ est quasi-compact et contenu dans ]Y'[P'Ê, donc il existe Ú0ÊÊ<ÊÊ1 telque l'on ait(1.3.5.3)

P'K - ]D[P'Ê¨ Ç [Y']P'ÊÚ0Ê.

Comme ]Y'[P' õ ]D[P' õ uKŸ-1(]ŸXŸ[P) = ]ŸXŸ[P' õ ]D[P' = ¯, le principe du maximum
appliquŽ ˆ [Y'Ÿ]P'ÊÚ õ [D]P'Ê¨ montre que, ¨ Žtant ÞxŽ de mani•re ˆ satisfaire (1.3.5.2), on
peut pour tout Ú trouver Â < 1 tel que l'on ait(1.3.5.4)[Y']P'ÊÚ õ [D]P'Ê¨ õ U'Â = ¯.

Supposons donc ¨, Ú et Â choisis de mani•re ˆ satisfaire les relations (1.3.5.2) ˆ(1.3.5.4), avec Ú ³ Ú0Ê. D'apr•s (1.3.5.3), les ouverts [Y']P'ÊÚ õ U'Â et [D]P'Ê¨ õ U'Â forment u nrecouvrement de U'ÂÊ, manifestement admissible, et leur intersection est vide d'apr•s- 43 -

1.20

P. BERTHELOT(1.3.5.4). Par suite, si TKÊÊ= [Y']P'ÊÚ õ U'Â et T'K = [D]P'Ê¨ õ U'ÂÊ, TK et T'K sont des sous-espaces
analytiques fermŽs de U'ÂÊ, et en particulier sont quasi-compacts.
D'apr•s le crit•re jacobien de lissitŽ, l'ensemble des points de non lissitŽ dumorphisme TK @ PK est un fermŽ analytique de TKÊ. CommeTK õ uŸ-1(]ŸXŸ[P) = (P'KÊ-Ÿ[D]P'Ê¨) õ uŸ-1(]ŸXŸ[P) = ]ŸXŸ[P'Ê,le morphisme TK õ uŸ-1(]ŸXŸ[P) @ ]ŸXŸ[P est un isomorphisme gr‰ce au thŽor•me deÞbration faible pour les morphismes Žtales (1.3.1). Le principe du maximum entra”nealors que TK õ U'Â @ UÂ est lisse pour Â assez pr•s de 1. De m•me, le support de ã1TKÊ/ÊPK est
un fermŽ analytique de U'ÂÊ, ne rencontrant pas uŸ-1(]ŸXŸ[P), donc il existe Â0 < 1 tel queTKÊÊõ U'Â @ UÂ soit Žtale pour Â0 ² Â < 1.
Quitte ˆ faire un changement de base de la forme
SpfŸ(A{T}Ÿ/Ÿ(a - gŸqŸT)) ÊÊ##@Ê P,o• a Ô µ, q Ô ú sont tels que Âq0 = ¾a¾, on peut supposer que PK = UÂ0Ê, de sorte que TK estfermŽ dans P'KÊ. Soit T Ç P' son adhŽrence schŽmatique (cf. (0.2.4) (vi)). Comme T est plat
sur v, l'application sp : TK @ T envoie surjectivement TK sur l'ensemble des pointsfermŽs de la Þbre spŽciale T0 de T. D'autre part, on a T Ç ]Y'[P'Ê, de sorte que sp(TK) est
contenu dans l'ensemble des points fermŽs de Y'. Par suite, T0Êred est un sous-schŽma
fermŽ de Y'. Comme v est propre, on en dŽduit que T est propre sur P. D'apr•s u nthŽor•me de Raynaud [Ra1], le morphisme TK @ PK est propre au sens de Kiehl [Ki2].
Etant Žtale, donc ˆ Þbres Þnies, il est Þni [BGR, 9.6.3 cor. 6], dŽÞni par une oPK-alg•brecohŽrente r. L'homomorphisme oP @ r est un isomorphisme sur ]ŸXŸ[PÊ; comme sonKnoyau et son conoyau ont pour supports des fermŽs analytiques de PKÊ, c'est u n
isomorphisme au-dessus de UÂ pour Â assez pr•s de 1. Le morphisme TK õ U'Â @ UÂ est
alors un isomorphisme, ce qui ach•ve la dŽmonstration.

(1.3.6) Dans le cas de dimension relative ³ÊÊ1, nous Žnoncerons le thŽor•me de Þbration
fort sous une forme locale permettant l'emploi de coordonnŽes. Avec les notations de(1.3.4), soit P" = P | Ÿ^• dv l'espace afÞne formel de base P, de dimension relative dÊ; la ÞbregŽnŽrique P"K de P" est isomorphe ˆ PK | D(0, 1 +Ÿ)d. En considŽrant Y comme sousschŽma fermŽ de P" par la section nulle, le tube ]YŸ[P" (resp. ]ŸXŸ[P") s'identiÞe alors au
produit ]YŸ[P | D(0, 1-Ÿ)d (resp. ]ŸXŸ[P | D(0, 1-Ÿ)dŸ).
(1.3.7) THƒORéME (de Þbration fort). Ñ Avec les notations prŽcŽcentes, supposons que usoit lisse au voisinage de X, de dimension relative d, et que vÊÊ: Ê†X @ Y soit propre. Soienti' Ç oP' l'idŽal de Y' dans P' et †i celui de Y' dans P'Y = P' |P YÊ; supposons de plus qu'il
existe des sections t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd Ô â(P', i') induisant une base `t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`td du faisceau conormal†i'Ÿ/Ÿ†i'Ÿ2 au-dessus de X. Alors le P-morphisme Ä : P'ÊÊ@ P" dŽÞni par t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd envoie Y'
dans Y, et ÄK induit un isomorphisme d'un voisinage strict de ]ŸXŸ[P' dans ]Y'[P' sur u nvoisinage strict de ]ŸXŸ[P" dans ]YŸ[P"Ê.

- 44 -

LE TUBE DÕUN SOUS-SCHƒMA

1.21

Comme t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd sont des sections de i', Ä envoie Y' dans Y. Soit P'X = P' |P X.
Puisque P' est lisse sur P au voisinage de X, l'homomorphisme canonique †i'Ÿ/Ÿ†i'Ÿ2ÊÊ@ã1
ÊÊ¢ o est un isomorphisme au-dessus de X, et d`t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êd`t forment une base deP'YÊ/ÊY

Y'1Êd

ã1P' Ê/ÊX ¢ oXÊ; dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êdtd forment alors une base de ã1P'/ÊP au voisinage de X, et Ä est Žtale
X
au voisinage de X. Il sufÞt donc d'appliquer (1.3.5) ˆ Ä.

(1.3.8) Remarques. Ñ (i)ÊÊSupposons que P et P' soient afÞnes, que le complŽmentaire Z
de X dans Y soit l'ensemble des zŽros d'une section gÊÊÔ â(P, oP), et que le faisceau
conormal †i'Ÿ/Ÿ†i'Ÿ2 soit libre sur X. Alors la deuxi•me hypoth•se de (1.3.7) est vŽriÞŽe. En
effet, posons P = SpfÊŸA, P' = SpfÊŸA', et soient I Ç A, I' Ç A', les idŽaux de Y et Y'. Comme†i'Ÿ/Ÿ†i'Ÿ2 est libre sur X, on peut trouver des ŽlŽments `t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`t Ô I'Ê/ÊIA' induisant une base de1Ê

d(I'Ê/Ÿ(I'Ÿ2 + IA'))gŸ comme (A'Ê/ÊI')gÊ-module, et il sufÞt de prendre des ŽlŽments t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd Ô I'
relevant `t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`t .
1ÊdÊ(ii) Sous les hypoth•ses de (1.3.7), soient V', V" des voisinages stricts de ]ŸXŸ[P'Ê, ]ŸXŸ[P"isomorphes par Ä , et soit Ú une suite croisssante de limite 1 d'ŽlŽments de âŸ*. D'apr•sKÊ

(1.2.4) (i), il existe une suite croissante Â de limite 1 telle que V" contienne le voisinage
strict V"Ú,ÊÊÂ correspondantÊ; V"Ú,ÊÊÂ peut alors s'Žcrire(1.3.8.1)

V"Ú,ÊÊÂ = ôn ([YŸ]PÊÚ õ UÂ ) | D(0, Ú+nŸ)d.
nn

Si VÚ,ÊÊÂ = ônÊŸ([YŸ]PÊÚ õ UÂ ), il existe donc un voisinage strict V' de ]ŸXŸ[P' dans ]YŸ[P'nnisomorphe ˆ V"Ú,ÊÊÂÊ, et tel que l'homomorphisme uK s'identiÞe ˆ la projection naturelle deV"Ú,ÊÊÂ sur VÚ,ÊÊÂÊ. L'ŽnoncŽ (1.3.7) est donc en ce sens une extension au-dessus d'unvoisinage strict de ]ŸXŸ[P du thŽor•me de Þbration (1.3.2).
On observera d'autre part que, d'apr•s (1.2.3) (iv), Ä induit un isomorphisme entre
des syst•mes fondamentaux de voisinages stricts de ]ŸXŸ[P' et ]ŸXŸ[P"Ê.
(1.3.9) Supposons que v soit un anneau de valuation discr•te, et soient P un v-schŽma
algŽbrique sŽparŽ, PK sa Þbre gŽnŽrique, P0 sa Þbre spŽciale, X Ç P0 un sous-schŽma
fermŽ. Rappelons qu'on a dŽÞni en (1.1.2) (ii) le tube ]ŸXŸ[P comme Žtant le tube de X dans^… de P, considŽrŽ comme ouvert de l'espace analytique PÊanle complŽtŽ formel P
gr‰ce ˆKÊan^l'immersion ouverte …PK ÌÊÊÊ@ PK . On se propose maintenant de montrer comment donner
un sens ˆ la notion de syst•me fondamental de voisinages stricts de ]ŸXŸ[P dans PÊanK .

D'apr•s Nagata, il existe un v-schŽma propre †P et une v-immersion ouverte P ÌÊ ÊÊ@†P. Soient Y l'adhŽrence de X dans †P0 = P | SpecÊk, †P^ÊÊÊ le complŽtŽ formel de †P, et †P^K = †PÊanKsa Þbre gŽnŽrique. Notons que ]YŸ[†P õ PÊanest un voisinage strict de ]ŸXŸ[P d'apr•s (1.2.4)
K(ii). En particulier, il existe des syst•mes fondamentaux de voisinages stricts de ]ŸXŸ[Pdans ]YŸ[†P qui sont contenus dans PKÊan.
(1.3.10) P ROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (1.3.9), soient †P et †P' deux compactiÞcations de P sur v, et supposons qu'il existe un v-morphisme u : †P' @ †P induisant- 45 -

1.22

P. BERTHELOT

l'identitŽ sur P. Alors, si Y et Y' sont les adhŽrences de X dans P0 et P'0Ê, ]Y'[†P' õ PÊan
est
K
Êan
Êan
contenu dans ]YŸ[†P õ PK et est un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[†P õ PK .
La premi•re assertion rŽsulte de ce que u(Y') Ç Y. Pour prouver la seconde, il sufÞt
d'observer que, d'apr•s (1.3.5), uK induit un isomorphisme entre un voisinage strict V' de=]ŸXŸ[P dans ]Y'[†P' et un voisinage strict V de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[†PÊ. On a alors V' õ PÊan
K
Êan
Êan
VÊÊõÊÊPK Ê; comme V õ PK
est un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[†PÊ, l'assertion enrŽsulte.
On observera que cet ŽnoncŽ entra”ne que, plus gŽnŽralement, si †P et †P' sont deuxcompactiÞcations de P, il existe dans PÊanun syst•me fondamental de voisinages de ]ŸXŸ[PK
qui soient stricts ˆ la fois dans ]YŸ[†P et dans ]Y'[†P'Ê. En effet, si †P" est l'adhŽrence de P
plongŽ diagonalement dans P | P', et Y" celle de X dans †P"0Ê, tout syst•me fondamental devoisinages stricts de ]ŸXŸ[P dans ]Y"[†P" est un syst•me fondamental de voisinages strictsde ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[†P et dans ]Y'[†P'Ê. Sous les hypoth•ses de (1.3.9), on appelera donc
voisinage strict (resp. syst•me fondamental de voisinages stricts) de ]ŸXŸ[P dans PÊanunK
voisinage strict (resp. syst•me fondamental de voisinages stricts) de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[†P õPKÊan, o• †P est une compactiÞcation quelconque de P, et Y l'adhŽrence de X dans †P0Ê.
Exemple. Ñ Soit x = SpecÊŸA un v-schŽma afÞne, de rŽduction X = SpecÊŸA0 sur k, et soit A– vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/ÊI une prŽsentation de A, dŽÞnissant une immersion fermŽe x ÌÊÊ@ •nvÊ.
ConsidŽrons l'immersion diagonale X ÌÊÊ@ P = x | x. Fixons une suite croissante Ú delimite 1, avec Úi Ô âŸ*, et une suite dŽcroissante Â de limite 1, avec Âi Ô âŸ*. Posons alors
Vi = { x Ô xKÊan | xÊan
¾ × j, ¾(1Ê¿ tj - tj ¿Ê1)(x)¾ ² Úi et ¾(1Ê¿ tj)(x)¾ ² Âi },K
et V = ôi ViÊ. Alors V est un voisinage strict de ]ŸXŸ[xŸ2Ê. En effet, il rŽsulte de (1.2.4) (iv) que
l'ouvert V0 = {Êx ¾ × j, ¾(1Ê¿ tj - tj ¿Ê1)(x)¾ < 1Ê} est un voisinage strict de ]ŸXŸ[xŸ2Ê. Si, pour
tout Â > 1, on noteUÂ = { x Ô xKÊan | xÊan
¾ × j, ¾(tj ¿Ê1)(x)¾ ² Â et ¾(1Ê¿ tj)(x)¾ ² Â },K
il sufÞt, d'apr•s (1.2.4) (iii), de vŽriÞer que, pour tout ouvert afÞno•de W Ç V0Ê, on a W õ UÂ
Ç V pour Â @ 1+. Le principe du maximum entra”ne qu'il existe i tel que, pour tout j, on
ait ¾(1Ê¿ tj - tj ¿Ê1)(x)¾ ² Úi sur WÊ; il sufÞt alors de prendre Â ² ÂiÊ.
Pour Ú et Â variables, les voisinages ainsi obtenus forment un syst•me fondamental
de voisinages stricts de ]ŸXŸ[xŸ2Ê.

- 46 -

2. ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

Soit X un k-schŽma sŽparŽ de type Þni. L'objet de ce chapitre est d'associer
fonctoriellement ˆ X une catŽgorie de coefÞcients pour la cohomologie rigide, la catŽgorie
des F-isocristaux surconvergents, dont la thŽorie de Dwork donne de nombreux
exemples. La construction de celle-ci s'op•re en plusieurs Žtapes. Nous considŽrerons
d'abord une situation plus gŽnŽrale, o• X est un ouvert d'un k-schŽma de type Þni Y, decomplŽmentaire Z, et nous dŽÞnirons alors la notion d'isocristal sur X, surconvergent lelong de Z : si Y est un k-sous-schŽma d'un v-schŽma formel P lisse au voisinage de X, u n
tel isocristal est dŽÞni par un module ˆ connexion intŽgrable sur un voisinage strict dutube de X dans ]YŸ[PÊ, dont la connexion est donnŽe localement par une matrice ayant
pour coefÞcients des fonctions analytiques sur un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, etdont la sŽrie de Taylor satisfait en outre certaines conditions de convergence. Un Fcristal sur X au sens habituel dŽÞnit un isocristal dont le lieu de surconvergence Z est
vide (un tel isocristal sera simplement appelŽ convergent). D'autre part, la catŽgorie desisocristaux surconvergents sur X est obtenue en prenant pour Y une compactiÞcation de
X : nous verrons qu'elle ne dŽpend pas du choix de celle-ci.

2.1. Germes de sections au voisinage d'un tube
(2.1.1) Soient P un v-schŽma formel, Y un k-sous-schŽma fermŽ de P, X un ouvert de Y,Ÿj : X ÌÊÊÊ@ Y l'immersion correspondante, Z = Y - X le fermŽ complŽmentaire. Pour tout
voisinage strict V (resp. couple de voisinages stricts V' Ç VŸ) de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, soit Œ V(resp. ŒVÊV') l'immersion ouverte de V dans ]YŸ[P (resp. de V' dans VŸ). Si A est u n
faisceau d'anneaux sur V, et E un A-module, nous poserons(2.1.1.1)

Ÿ* ÊE,
jVŸ“ÊÊE = limÊV'ÊÇÊV ÊŒVÊV'Ÿ* ŒVÊV'#@la limite Žtant prise sur l'ensemble des voisinages stricts V'ÊÇ V. Le faisceau jVŸ“ÊÊE est
muni d'une structure de jVŸ“ÊÊŸA-module, et le faisceau abŽlien sous-jacent ne dŽpend que dufaisceau abŽlien sous-jacent ˆ E. Nous dirons que jVŸ“ÊÊE est le faisceau des germes d e
sections de E surconvergentes le long de Z.
Compte tenu de (0.1.8), on a, pour tout ouvert quasi-compact W Ç V,

- 47 -

2.2

P. BERTHELOT(2.1.1.2)

â(W, ŸjVŸ“ÊÊE) = limÊV'ÊÇÊV â(W õ V', E).
#@

On observera que, d'apr•s (2.1.1.1), la restriction de jVŸ“ÊÊE ˆ ]ŸXŸ[ est Žgale ˆ celle de E.
D'autre part, si W est un ouvert afÞno•de de ]Z[, le principe du maximum entra”ne que
W Ç ]Z[Â pour un Â < 1. Comme UÂ = ]YŸ[ - ]Z[Â est un voisinage strict de ]ŸXŸ[, il rŽsultede (2.1.1.2) que, pour tout faisceau abŽlien E sur V, la restriction de jVŸ“ÊÊE ˆ V õ ]Z[ estnulle. En particulier, la restriction ˆ V õ ]Z[ d'un jVŸ“ÊÊŸA-module est toujours nulle.
Soient V' Ç V un second voisinage strict de ]ŸXŸ[, et A un faisceau d'anneaux sur V.
Pour tout faisceau abŽlien M sur V, la restriction ˆ V' de jŸ“ÊÊM n'est autre que jŸ“ ÊŒ Ÿ* ÊM, et
V

V'

VÊV'

“
ÊM. Par suite, la restriction d'un jVŸ“ÊÊŸA-module E ˆ V' est munie d'une
sera notŽe jŸV'“structure canonique de jŸV'ÊŸAŸ-module. D'autre part, l'homomorphisme canonique E @Ÿ*ŒVÊV'Ÿ* ŒVÊV'ÊE est un isomorphisme : comme (V', ]Z[) induit un recouvrement admissible
de V, il sufÞt de le vŽriÞer sur V', sur lequel c'est clair, et sur V õ ]Z[, sur lequel les deux““ÊŸA, et, pour tout jŸV'ÊŸAŸ- module
faisceaux sont nuls. En particulier, on a jVŸ“ÊÊŸA Ê#ÊÊ›Ê@ ŒVÊV'Ÿ* jŸV'“ÊE', ŒVÊV'Ê*ÊE' est ainsi muni d'une structure canonique de jVŸ ÊŸA-module. Puisqu'on a aussi
Ÿ* ÊŒ
Ÿ*
›
ŒVÊV'
VÊV'Ÿ*ÊE' Ê#ÊÊÊ@ E', on voit que les foncteurs ŒVÊV'Ê* et ŒVÊV' sont des Žquivalences quasi-

Ÿ“ ÊŸA-modules sur V'.
inverses entre la catŽgorie des jVŸ“ÊÊŸA-modules sur V et celle des jV'
Nous utiliserons cette remarque pour considŽrer le foncteur jVŸ“ comme un foncteur ˆ
valeurs dans la catŽgorie des faisceaux sur ]YŸ[, en posant(2.1.1.3)

jŸ“E = ŒVÊ*ÊjVŸ“ÊÊE.

Compte tenu de ce qui prŽc•de, le foncteur jŸ“ ne change pas si l'on remplace V par u nvoisinage strict V' Ç V. Il est encore caractŽrisŽ par la relation(2.1.1.4)

â(W, ŸjŸ“E) = limÊV'ÊÇÊV â(W õ V', E)#@pour tout ouvert quasi-compact W Ç ]YŸ[. En effet, il existe Â tel que W õ UÂ Ç V. CommeW õ UÂ est quasi-compact, on a alors, en appliquant ce qui prŽc•de au voisinage strictVÊÊõÊÊUÂ Ç V,
â(W, ŸjŸ“E) = â(W õ V, jVŸ“ÊÊE) = â(W õ UÂÊ, jVŸ“ÊÊE) = limÊV' Ç VÊõÊUÂÊâ(W õ V', E).
#@
On remarquera d'autre part que, d'apr•s ce qu'on a vu plus haut, l'homomorphisme
canoniqueâ(]YŸ[, E) Ê##@ â(V, E)
est un isomorphisme pour tout jŸ“A-module E, et tout voisinage strict V de ]ŸXŸ[.
Remarque. Ñ Il sufÞt bien sžr de passer ˆ la limite sur un syst•me fondamental devoisinages stricts de ]ŸXŸ[Ê; on pourra par exemple se limiter aux ouverts VÚ,ÊÂ dŽÞnis en(1.2.4) (i). De m•me, la condition de (1.2.2) montre que, les ouverts UÂ Žtant dŽÞnis commeprŽcŽdemment (ou comme en (1.2.3) (iii)), on obtient, pour W quasi-compact,(2.1.1.5)

â(W, ŸjŸ“E) = limÊÂ â(W õ UÂÊ, E).
#@- 48 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.3(2.1.2) En supposant que v est un anneau de valuation discr•te, d'uniformisante ¹,
montrons comment le foncteur jŸ“ est reliŽ ˆ la notion de complŽtion faible de Monsky etWashnitzer [MW1]. Rappelons tout d'abord que, si A est une v-alg•bre de type Þni, et
t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn une famille de gŽnŽrateurs de A comme v-alg•bre, on dŽÞnit la complŽtŽe faible
de A comme la sous-v-alg•bre A“ de la complŽtŽe usuelle ^A de A formŽe des ŽlŽments x
qui peuvent s'Žcrire comme somme d'une sŽrie
(2.1.2.1)

x = åÊÊ¹ŸiŸPi(t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn),iles Pi Ô vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn] Žtant tels qu'il existe des constantes a, b pour lesquelles
deg Pi ² aŸi + b
pour tout i. Il revient au m•me de dire que x peut s'Žcrire sous la forme d'une sŽrie
(2.1.2.2)

x = åÊÊŒkÊtÊk,ko• les Œk Ô v sont tels qu'il existe des constantes Ú < 1 et c telles que ¾Œk¾ ² cŸÚ¾k¾ pour toutk.
Soient P l'espace projectif formel de dimension n sur v, Y sa rŽduction sur k, ŸjÊÊ:XÊÊÌÊÊÊ@ Y l'immersion de l'espace afÞne de dimension n dŽÞnie par un syst•me de coordonnŽes projectivesÊ; ]YŸ[ est alors l'espace projectif sur K, ]ŸXŸ[ la boule unitŽ fermŽe del'espace afÞne, et, d'apr•s (1.2.4) (ii) et (iii), un syst•me fondamental de voisinages strictsde ]ŸXŸ[ est fourni par les boules fermŽes de centre 0 et de rayon ÂÊÊ@ 1+. La formule(2.1.1.5) entra”ne alors que â(PKÊ, ŸjŸ“ŸoP Ÿ) est l'anneau des sŽries formelles dont le rayon deKconvergence est strictement supŽrieur ˆ 1, soit
(2.1.2.3)

â(PKÊ, ŸjŸ“ŸoPKŸ) = vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]“ ¢ K.

Dans la suite, nous noterons cette alg•bre par KŸŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]“.
Plus gŽnŽralement, soient X = SpecÊŸA0 un schŽma afÞne et lisse sur k, et A une
v-alg•bre lisse relevant A0 (il en existe d'apr•s [El1, th. 6]). Fixons une prŽsentationA – vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/ÊI,et soient x = SpecÊÊA, P le complŽtŽ formel de la fermeture projective de x dans æŸv nÊÊ, Y sarŽduction sur k. Le tube de Y est Žgal ˆ PKÊ, le tube de X est l'intersection de PK avec laboule unitŽ fermŽe de •nK Ç æŸK nÊÊ, et les intersections de PK avec les boules de rayon ÂÊÊ@ 1+
forment un syst•me fondamental de voisinages stricts UÂ de ]ŸXŸ[ qui sont afÞno•des.
L'image de l'homomorphisme de restriction
â(UÂÊ, oPKŸ) Ê##@ â(]ŸXŸ[, oPKŸ) – ^A ¢ K
est contenue dans la sous-alg•bre A“ ¢ K Ç ^A ¢ K. En effet, au-dessus de •…n…KÊ, l'idŽal
dŽÞnissant PK dans l'espace projectif analytique n'est autre que IŸoæÊn , ce qui fournit l'isoK ÊÊmorphisme- 49 -

2.4

P. BERTHELOTâ(UÂÊ, oæÊnK )Ÿ/ÊIÊâ(UÂÊ, oæÊnK ) Ê#›#@ â(UÂÊ, oPKŸ),et l'assertion rŽsulte de (2.1.2.2). Comme A“ – vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]“Ê/ÊIŸvŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]“, on en dŽduit
par passage ˆ la limite un isomorphismelimÊÂÊâ(UÂÊ, oPKŸ) Ê#›#@ A“ ¢ K,#@

soit, compte tenu des remarques de (2.1.1),(2.1.2.4)“Ÿ“›â(PKÊ, jŸ“ŸoPKŸ) Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ â(xÊanK , jŸ oPKŸ) Ê#ÊÊÊŸŸ#ÊÊÊ@ A ¢ K.

On observera qu'on a d'autre partâ(]ŸXŸ[, ŸjŸ“ŸoPKŸ) = â(]ŸXŸ[, ŸoPKŸ) = ^A ¢ K.
(2.1.3) PROPOSITION. Ñ Soient V un voisinage strict de ]ŸXŸ[, A un faisceau d'anneauxsur V, et E un A-module.
(i) L'homomorphisme canonique
E Ê##@ jVŸ“ÊÊE
est un Žpimorphisme. Si E est un jVŸ“ÊÊŸA-module, c'est un isomorphisme.
(ii) L'homomorphisme canoniqueE ¢AÊÊÊjVŸ“ÊÊŸA Ê##@ jVŸ“ÊÊE
est un isomorphisme.
(iii) Les foncteurs jVŸ“ et jŸ“ sont exacts sur la catŽgorie des A-modules sur V.
Soient W un ouvert afÞno•de de V, et s une section de jVŸ“ÊÊE sur W. Quitte ˆ passer ˆ u nrecouvrement admissible de W, on peut, pour relever s en une section de E, supposer que
P est afÞneÊ; soient alors t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn des sections de oP relevant des Žquations de Z dans Y.
D'apr•s (2.1.1.5), il existe Â < 1 tel que s provienne d'une section de E sur W õ UÂÊ. Soit UiÊÂl'ensemble des points x de ]YŸ[ tels que ¾ti(x)¾ ³ Â, et Þxons Â' tel que Â < Â' < 1. Alors lesUiÊÂ et [Z]Â' induisent un recouvrement spŽcial de WÊ; s se rel•ve en une section de E surchacun des W õ UiÊÂ par hypoth•se, et se rel•ve en la section nulle sur W õ [Z]Â' d'apr•s(2.1.1.5).
Supposons que E soit un jVŸ“ÊÊŸA-module, et prouvons la seconde partie de (i). Soient W
un ouvert afÞno•de de ]YŸ[, et s Ô â(W, E) une section d'image nulle dans â(W, ŸjVŸ“ÊÊE).
D'apr•s (2.1.1.5), il existe Â tel que s = 0 dans â(W õ UÂÊ, E). D'autre part, la restriction deE ˆ V õ ]Z[ est nulle d'apr•s (2.1.1). Comme UÂ et ]Z[ induisent un recouvrement
admissible de V, on a s = 0 dans â(W, E).
Pour montrer l'assertion (ii), il sufÞt de montrer que tout homomorphisme AlinŽaire Ä : E @ F de E dans un jVŸ“ÊÊŸA-module F poss•de une unique factorisation par
l'homomorphisme E @ jVŸ“ÊÊE, ce qui rŽsulte de (i).
EnÞn, l'exactitude ˆ gauche de jVŸ“ rŽsulte de celle des images directes et des limites
inductives, et son exactitude ˆ droite est consŽquence de (i). Celle de jŸ“ en dŽcoule- 50 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.5

puisque, avec les notations de (2.1.1), ŒVÊ* est une Žquivalence de catŽgories de la catŽgorie
des jVŸ“ÊÊŸA-modules dans celle des jŸ“ŸA-modules.
La construction de jŸ“ est fonctorielle en (P, Y, XŸ) au sens suivant :(2.1.4) P ROPOSITION. Ñ Avec les hypoth•ses et les notations de (1.2.6), soient V u nvoisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, V' un voisinage strict de ]ŸX'[P' dans ]Y'[P' tel que'Ÿ“ les foncteurs Òfaisceau des germesuK(V') Ç V, u'K la restriction de uK ˆ V'. On note jVŸ“Ê, jV'
de sections surconvergentesÓ dŽÞnis en (2.1.1.1).
(i) Il existe pour tout faisceau abŽlien E sur V des homomorphismes canoniques(2.1.4.1)

jVŸ“ÊÊE Ê##@ u'KÊ* j'ŸV'“ÊuK'Ê-1ŸE,(2.1.4.2)

jŸ“E Ê##@ uKÊ* j'Ÿ“ÊuK'Ê-1ŸE.

Si on suppose de plus que X' = vÊ-1(ŸXŸ), les morphismes(2.1.4.3)

uK'Ê-1ÊjVŸ“ÊÊE Ê##@ j'ŸV'“ÊuK'Ê-1ŸE,(2.1.4.4)

“
“ Ê-1
uÊ-1
K ÊjŸ E Ê##@ j'Ÿ ŸuK' ŸE,dŽduits de (2.1.4.1) et (2.1.4.2) sont des isomorphismes.
(ii) Soient respectivement A et A' des faisceaux d'anneaux sur V et V', Ä : uK'Ê-1ŸAÊÊ@ A'
un homomorphisme de faisceaux d'anneaux, uK'Ê* le foncteur image inverse correspondant de la catŽgorie des A-modules dans celle des A'-modules. Il existe pour tout Amodule E sur V un homomorphisme canonique A-linŽaire
(2.1.4.5)

jVŸ“ÊÊE Ê##@ u'KÊ* j'ŸV'“ÊuK'Ê*ÊE,(2.1.4.6)

jŸ“E Ê##@ uKÊ* j'Ÿ“ŸuK'Ê*ÊE.

Si on suppose de plus que X' = vÊ-1(ŸXŸ), les homomorphismes(2.1.4.7)

uK'Ê*ÊjVŸ“ÊÊE Ê##@ j'ŸV'“ÊuK'Ê*ÊE,(2.1.4.8)

uKÊ*ÊŸjŸ“E Ê##@ j'Ÿ“ŸuK'Ê*ÊE,dŽduits de (2.1.4.5) et (2.1.4.6) sont des isomorphismes.
Pour dŽÞnir (2.1.4.1), il sufÞt de dŽÞnir, pour tout couple d'ouverts quasi-compacts
W Ç V, W'ÊÊÇ V' tels que uKŸ(W') Ç W, une application canoniqueâ(W, ŸjVŸ“ÊÊE) Ê##@ â(W', Ÿj'ŸV'“ÊuK'Ê-1ŸE).
On a alors :â(W, ŸjVŸ“ÊÊE) = limÊV â(W õ V1Ÿ, E),#@

â(W', j'ŸV'“ÊuK'Ê-1ŸE)1= limÊV'1 â(W' õ V'1Ÿ, uK'Ê-1ŸE),#@o• V1 et V'1 parcourent l'ensemble des voisinages stricts de ]ŸXŸ[ et ]ŸX'[ contenus dans V
et V'. Comme uK'Ê-1(V1) est un voisinage strict de ]ŸX'[ d'apr•s (1.2.7), les applications- 51 -

2.6

P. BERTHELOT

naturellesâ(W õ V1Ÿ, E) Ê##@ â(W' õ uK'Ê-1(V1), uK'Ê-1ŸE)fournissent par passage ˆ la limite l'application cherchŽe. L'homomorphisme (2.1.4.2) sedŽduit de (2.1.4.1) en appliquant ŒVÊ*Ê, avec ŒV : V ÊÌÊÊ@Ê]YŸ[PÊ.
Supposons que X' = vÊ-1(ŸXŸ), donc Z' = vÊ-1(Z), et montrons que (2.1.4.3) est u n
isomorphisme. Si u est une immersion ouverte, et Y' = uÊ-1(YŸ), l'assertion rŽsulte de(1.2.5) et (1.2.7). Prenant des recouvrements ouverts de P et P', ce qui fournit u nrecouvrement admissible de ]YŸ[P'Ê, on peut donc se ramener au cas o• P et P' sont afÞnes.
Soient g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs Ô â(P, oP) donnant des Žquations de Z dans Y. Si l'on poseUÂ = {Êx Ô ]YŸ[P ¾ Á i, ¾ŸgiŸ(x)¾ ³ ÂÊ},*U'Â = uÊ-1
K (UÂ) õ ]Y'[P' = {Êx' Ô ]Y'[P' ¾ Á i, ¾u (Ÿgi)(x')¾ ³ ÂÊ},uK'Ê-1ŸjVŸ“ÊÊE est le faisceau associŽ au prŽfaisceau
W' ˜@ limÊWÊ‚ÊuKŸ(W'Ÿ) limÊÂ â(W õ UÂÊ, E),#@#@et j'ŸV'“ÊuK'Ê-1ŸE est le faisceau associŽ au prŽfaisceau
W' ˜@ limÊÂ limÊW"Ê‚Êu (W'ÊõÊU' ) â(W", E),
#@

#@

KŸ

ÂŸ

o• W' est un ouvert quasi-compact de V', et W, W" des ouverts quasi-compacts de VÊ; onpeut de plus se limiter aux ouverts W' Ç V' pour lesquels il existe un ouvert quasicompact W Ç V tel que uKŸ(W') Ç W. On dŽÞnit alors une ß•chej'ŸV'“ÊuK'Ê-1ŸE Ê##@ uK'Ê-1ÊjVŸ“ÊÊE
inverse de (2.1.4.3) comme suit. Pour W' Ç V' donnŽ, on choisit un ouvert quasi-compact
W0 Ç V tel que uK(W') Ç W0Ê. Pour (Â, W") tels que uKŸ(W' õ U'ÂŸ) Ç W", il existe Ú ³ Â tel
que uKŸ(W') Ç [YŸ]ÚÊ, et l'ouvert quasi-compact de V obtenu en posant W = W" ô (W0 õ[Z]Ú) est alors tel que uKŸ(W') Ç W. En observant que, pour Â' > Ú, on a W õ UÂ' = W" õ UÂ'Ê,
on voit qu'il sufÞt d'associer ˆ une section s Ô â(W", E) sa restriction ˆ W õ UÂ'Ê, pourÂ'ÊÊ>ÊÊÚ quelconque, l'application obtenue Žtant manifestement indŽpendante des choix effectuŽs dans la construction. On en dŽduit que (2.1.4.4) est un isomorphisme en observant
que sa restriction ˆ V' n'est autre que (2.1.4.3), et que les deux faisceaux considŽrŽs sontnuls sur ]Z[.
Supposons maintenant donnŽs A, A', et uK'Ê-1A @ A'. Les homomorphismes (2.1.4.5) et(2.1.4.6) se dŽduisent de (2.1.4.1) et (2.1.4.2) par fonctorialitŽ, et dŽÞnissent par adjonction
un homomorphisme A'Ÿ-linŽaire
'Ÿ“ÊuK'Ê*ÊE.
uK'Ê*ÊjVŸ“ÊÊE Ê##@ jV'
D'apr•s (2.1.3) (ii), on a des isomorphismes
E ¢A ŸjVŸ“ÊÊŸA Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ jVŸ“ÊÊE,Si X' = v

Ê-1

uK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸAŸ jV''Ÿ“ÊuK'Ê-1ŸA Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ jV''Ÿ“ÊuK'Ê-1ŸE.
K(ŸXŸ), l'isomorphisme (2.1.4.3) pour E s'identiÞe alors au composŽ

'Ÿ“ÊuK'Ê-1ŸA,uK'Ê-1(E ¢A ŸjVŸ“ÊÊŸA) Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ uK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸA uK'Ê-1ŸjVŸ“ÊÊŸA Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ uK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸA jV'
K

K- 52 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.7

o• le deuxi•me isomorphisme est dŽÞni par (2.1.4.3) pour A. L'homomorphisme defonctorialitŽ jV''Ÿ“ÊuK'Ê-1ŸE @ j'ŸV'“ÊuK'Ê*ÊE s'identiÞe d'autre part ˆuK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸA ÊjV''Ÿ“ÊuK'Ê-1ŸA Ê#@ (uK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸA A') ¢A' ÊjV''Ÿ“ÊÊA' – uK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸA ÊjV''Ÿ“ÊÊA'.
K

K

K

Pour prouver que (2.1.4.7) est un isomorphisme, il sufÞt donc de vŽriÞer que'Ÿ“ÊuK'Ê-1ŸA) ¢u'Ê-1ŸA A' Ê#@ uK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸA ÊjV''Ÿ“ÊÊA'(uK'Ê-1ŸE ¢u'Ê-1ŸA ÊjV'K

K

K

en est un, ce qui rŽsulte de (2.1.3) (ii). EnÞn, l'isomorphisme (2.1.4.8) s'en dŽduit par lem•me argument que plus haut.

(2.1.5) P ROPOSITION. Ñ Soient V un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, E un oVmodule cohŽrent, et jK l'immersion de ]ŸXŸ[ dans V. Alors l'homomorphisme canoniquejVŸ“ÊÊE Ê##@ jKÊ* jKÊ*ÊE
est injectif.
On peut supposer P afÞne. Soient W un ouvert afÞno•de de V, et s une section de jVŸ“ÊÊE
sur W d'image nulle dans jKÊ*ÊŸjKÊ*ÊE. D'apr•s (2.1.1.5), s provient d'une section s' de E sur
W õ UÂ pour Â assez pr•s de 1, dont la restriction ˆ ]ŸXŸ[ est nulle. Le support de s' est u nsous-espace analytique fermŽ T de W, donc quasi-compactÊ; il existe donc Â < 1 tel que T Ç[Z]ÂÊ. Par suite, la restriction de s' ˆ UÂ est nulle, d'o• la nullitŽ de s.
(2.1.6) DŽÞnition. Ñ Soient V un voisinage strict de ]ŸXŸ[ dans ]YŸ[, A un faisceaud'anneaux sur V. Pour tout A-module E, on dŽÞnit le sous-faisceau â]Ÿ“ÊÊŸZ[ÊE des sections d e
E ˆ support dans ]Z[ par la suite exacte(2.1.6.1)

0 Ê#@ â]Ÿ“ÊÊŸZ[ÊE Ê#@ E Ê#@ jVŸ“ÊÊE Ê#@ 0.

Il rŽsulte de (2.1.3) (iii) que le foncteur â]Ÿ“ÊÊŸZ[ est exact.
(2.1.7) LEMME. Ñ Soient X1Ê, X2 deux ouverts de Y, de complŽmentaires Z1Ê, Z2Ê, et soient
X = X1 ô X2Ê, ZÊ = Z1 õ Z2Ê, X' = X1 õ X2Ê, Z'Ê = Z1 ô Z2Ê, j1Ê, j2Ê, j' les immersions de X1Ê, X2Ê, X'
dans Y. Soit V un voisinage strict de ]ŸXŸ[ (donc aussi de ]ŸX1[, ]ŸX2[ et ]ŸX'[) dans ]YŸ[, AÊ““
un faisceau d'anneaux sur V. On note jÊ“
1 , j2 , j'Ÿ les foncteurs (2.1.1.1) relatifs ˆ X1Ÿ, X2Ê, X'
sur la catŽgorie des A-modules. Il existe alors des isomorphismes de foncteurs :(i) jÊ“1 ¡ jÊ“2 – jÊ“2 ¡ jÊ“1 – j'Ÿ“Ê;(ii) â]ŸÊ“ ÊÊZÊ1[ ì â]ŸÊ“ ÊÊZ2Ÿ[ – â]ŸÊ“ ÊÊZÊ2Ÿ[ ì â]ŸÊ“ ÊÊZÊ1[ – â]ŸÊ“ ÊÊZ[Ê.
Soit W Ç ]YŸ[ un ouvert afÞno•de. On a alors
Ê“
Ê“
â(W, ŸjÊ“1 ¡ j2 ÊE) = limŸÊV1 â(W õ V1Ê, Ÿj2 ÊE) = limŸÊV1, V2 â(W õ V1 õ V2Ê, E),

#@

#@

Ê“
o• V1 et V2 parcourent les voisinages stricts de ]ŸX1[ et ]ŸX2[Ê; l'isomorphisme jÊ“
1 Ê¡Êj2 –j2Ê“Ê¡ÊjÊ“1 en rŽsulte. Comme V1 õ V2 est un voisinage strict de ]ŸX'[ d'apr•s (1.2.10), il existe- 53 -

2.8

P. BERTHELOT“
Ê“
un homomorphisme canonique jÊ“
1 Ê¡Êj2 ÊE @ j'Ÿ E, et il sufÞt de montrer, en supposant PafÞne, que les ouverts W õ V1 õ V2 sont coÞnaux dans l'ensemble des intersections de W

avec les voisinages stricts de ]ŸX'[. Soient g'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êg'r Ô â(P, oP), g"1Ê,ÊÊ.Ê.Ê.Ê, g"s Ô â(P, oP) dŽÞnissant modulo µ les k-sous-schŽmas fermŽs Z1Ê, Z2Ê; alors Z'ÊÊ= Y - X' est dŽÞni par lesg'iÊÊgj". Soit Â' = ÃÂÊ; si l'on pose
U1ÊÂ' = {Êx Ô ]YŸ[ ¾ Á i, ¾Ÿg'i(x)¾ ³ Â'Ê},U2ÊÂ' = {Êx Ô ]YŸ[ ¾ Á j, ¾Ÿgj"(x)¾ ³ Â'Ê},
U'Â = {Êx Ô ]YŸ[ ¾ Á (i, j), ¾Ÿg'i(x)Ÿgj"(x)¾ ³ ÂÊ},on obtient l'inclusion U1ÊÂ' õ U2ÊÂ' Ç U'ÂÊ, d'o• l'assertion.
Pour prouver (ii), on consid•re le diagramme commutatif ˆ lignes et colonnes
exactes
0
0
0
É
É
É
À
À
À
Ê“ Ê
“ÊÊ
“ÊÊ
Ê“ Ê
0 Ê#@ â]Ÿ ÊZÊ [ ì â]Ÿ ÊZ Ÿ[ÊE # @ â]Ÿ ÊZÊ [ÊE #@ â]Ÿ ÊZÊ [ ì jÊ“
2 ÊE #@ 0
1
2
1
1
É
À

É
É
À
À
“ÊÊ
Ê“
0 Ê## #@ â]Ÿ ÊZ Ÿ[ÊE ###@ E ### #@ j2 ÊE # ##@ 0
2
É
É
É
À
À
À
Ê“
“
Ê“
Ê“
0 Ê # #@ j1 ì â]Z Ÿ[ÊE ## @ j1 ÊE ##ÊÊ#@ j1 ì jÊ“
2 ÊE ##ÊÊÊÊ@ 0
2
É
À
0

É
À
0

É
À
0

rŽsultant de la dŽÞnition des foncteurs considŽrŽs et de (2.1.3). Gr‰ce ˆ (i), la colonne dedroite fournit un isomorphisme
Ê““ÊÊâ]ŸÊ“ ÊÊZÊ1[ ¡ jÊ“
2 ÊE – j2 ì â]Ÿ ÊZÊ1[ÊE,et la ligne supŽrieure permet d'en dŽduire l'isomorphisme
â]ŸÊ“ ÊÊZÊ1[ ì â]Ÿ“ÊÊÊZ2Ÿ[ÊE – â]ŸÊ“ ÊÊZÊ2Ÿ[ ì â]ŸÊ“ ÊÊZ1[ÊE.
Ce diagramme fournit Žgalement la suite exacte
Ê“0 ÊÊ#@ â]ŸÊ“ ÊÊZÊ1[ ì â]Ÿ“ÊÊÊZ2Ÿ[ÊE Ê#@ E Ê#@ jÊ“
1 ÊE $ÊÊj2 ÊE,

montrant qu'une section de â]Ÿ“ÊÊÊZÊ1[ÊìÊâ]Ÿ“ÊÊÊZ2Ÿ[ÊE est une section de E nulle sur un ouvert de laforme U1ÊÂ ô U2ÊÂ = UÂÊ, c'est-ˆ-dire une section de â]Ÿ“ÊÊÊZ[ÊE.
L'ŽnoncŽ suivant permet de localiser la construction de jŸ“ sur X.

(2.1.8) PROPOSITION. Ñ Soient V un voisinage strict de ]ŸXŸ[, A un faisceau d'anneaux- 54 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.9

sur V, (ŸXiÊ)i = 1Ê.Ê.Ê.Ên un recouvrement ouvert de X, et ji Ê.Ê.Ê.Êi l'inclusion de Xi õ .Ê.Ê. õ Xi
1

k

1

k

dans Y. Alors, pour tout faisceau de A-modules E sur VÊ, la suite(2.1.8.1) 0 Ê#@ jŸ“E Ê#@ ÕÊÊjÊ“i E Ê#@iÕÊŸ jiÊ“ÊŸ Êi ÊE Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ jÊ“1 .Ê.Ê.ÊnÊE Ê#@ 0
0 1i0Ê<Êi1

est exacte.
Les termes de la suite Žtant nuls sur ]Z[, il sufÞt de prouver que sa restriction ˆ V
est exacte. On conservera la notation jŸi“1Ê.Ê.Ê.ÊikÊE pour la restriction ˆ V de jŸi“1Ê.Ê.Ê.ÊikÊE (i.e. pourle foncteur (2.1.1.1) correspondant).
La dŽmonstration proc•de par rŽcurrence sur n. Posons X' = X2ÊÊô .Ê.Ê. ô XnÊ, ZÊÊ=YÊÊ-ÊÊX, Z' = Y - X', Ÿj' : X' @ Y, et soit KÊÖ le complexe
Ê“
0 Ê#@ E Ê#@ ÕÊÊjÊ“i E Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j2 .Ê.Ê.ÊnÊE Ê#@ 0.
1Ê<ÊiD'apr•s l'hypoth•se de rŽcurrence et (2.1.3), KÊÖ est une rŽsolution de â]ŸÊ“ ÊÊZ'[ÊE. La suite
exacte (2.1.6.1) donne une suite exacte de complexes
0 Ê#@ â]ŸÊ“ ÊÊZ Ÿ[ÊKÊÖ Ê#@ KÊÖ Ê#@ j1Ê“KÊÖ Ê#@ 0.
1
Le lemme (2.1.7) (i) permet d'identiÞer j1Ê“KÊÖ au complexe
Ê“Ê“
0 Ê#@ jÊ“1 E Ê#@ ÕÊÊj1 iÊE Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j1 .Ê.Ê.ÊnÊE Ê#@ 0,1Ê<ÊiÖ
donc le complexe associŽ au complexe double KÊÖ @ jÊ“
1 KÊ au complexe
Ê“
0 Ê#@ E Ê#@ ÕÊÊjÊ“i E Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j1 .Ê.Ê.ÊnÊE Ê#@ 0.
iComme, d'apr•s (2.1.6), â]ŸÊ“ ÊÊZ [ÊKÊÖ est une rŽsolution de â]Ÿ“ÊÊÊZ [Ÿ(Ÿâ]Ÿ“ÊÊÊZ'[ÊE), qui s'identiÞe ˆ11â]Ÿ“ÊÊÊZ[ÊE d'apr•s (2.1.7) (ii), la suite

Ê“
0 Ê#@ â]Ÿ“ÊÊÊZ[ÊE Ê#@ E Ê#@ ÕÊÊjÊ“i E Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j1 .Ê.Ê.ÊnÊE Ê#@ 0iest exacte, et l'ŽnoncŽ en rŽsulte.
Remarque. Ñ Soit ä le recouvrement de X par les XiÊ. On peut aussi considŽrer lecomplexe de cocha”nes de type Ê«Cech(2.1.8.2)

ÊC «ÊÊÊÊŸ“Ö(ä, E) = ÕÊÊjiÊ“E Ê@iÕÊŸ jÊ“i ÊŸ Êi ÊE Ê@ .Ê.Ê. Ê@ ÕÊŸ jÊ“i ÊŸ ...Êi ÊE Ê@ .Ê.Ê.ÊÊ,0 1i0Ê,Êi10Êki0Ê,...,Êik

ainsi que le sous-complexe des cocha”nes alternŽes CÊ«ÊÊÊÊ'Ÿ“Ö(ä, E) Ç CÊ«ÊÊÊÊŸ“Ö(ä, E). Ce dernier est
isomorphe au complexe (2.1.8.1), et est donc une rŽsolution de jŸ“E. D'autre part,l'inclusion de CÊ«ÊÊÊÊ'Ÿ“Ö(ä, E) dans CÊ«ÊÊÊÊŸ“Ö(ä, E) est une Žquivalence d'homotopie (cf. [Se1, ch. I ,- 55 -

2.10

P. BERTHELOT¤3, prop. 2]), de sorte que CÊ«ÊÊÊÊŸ“Ö(ä, E) est Žgalement une rŽsolution de jŸ“E.
Nous allons maintenant considŽrer les propriŽtŽs de Þnitude des jŸ“Ÿo]ŸYŸ[Ÿ-modules.
Rappelons qu'un faisceau de modules E sur un faisceau d'anneaux A est dit cohŽrent si
E est de type Þni, et si, pour tout morphisme u : An @ E au-dessus d'un ouvert U, Ker(Ä)
est un A-module de type Þni sur U. Le faisceau A est dit cohŽrent s'il est cohŽrent en tantque faisceau de A-modules. Si c'est le cas, il y a alors Žquivalence entre la notion de Amodule de prŽsentation Þnie, et celle de A-module cohŽrent.
(2.1.9) P ROPOSITION. Ñ (i)ÊÊSous les hypoth•ses de (2.1.1), le faisceau jŸ“Ÿo]YŸ[ est u n
faisceau d'anneaux cohŽrent.
(ii) La catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents est une sous-catŽgorie abŽlienne d ecelle des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules, stable par produit tensoriel et hom interne.
Soit Ä : (jŸ“Ÿo]YŸ[)n @ jŸ“Ÿo]YŸ[ un homomorphisme jŸ“Ÿo]YŸ[Ÿ-linŽaire dŽÞni sur un ouvert
W Ç ]YŸ[. Pour prouver que Ker(Ä) est de type Þni, il sufÞt de prouver qu'il en est ainsi desa restriction aux ouverts d'un recouvrement admissible de W par des ouverts afÞno•des,ce qui permet de supposer W afÞno•de. D'apr•s (2.1.1.2), il existe un voisinage strict V de]ŸXŸ[ tel que Ä soit dŽÞni par des sections s1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êsn Ô â(W õ V, o]YŸ[). Sur W õ ]Z[, Ker(Ä)“Ên
est nul, et, sur W õ V, il est de la forme jŸWÊõÊV(´), avec ´ : oWÊõÊV
@ oWÊõÊVÊ. Comme lerecouvrement (]Z[, VŸ) est admissible, il sufÞt de vŽriÞer que Ker(Ä) est de type Þni sur““
W õ V. Or le foncteur jŸWÊõÊV
est exact, donc Ker(Ä) = jŸWÊõÊV
(Ker(´))Ÿ; comme o]YŸ[ estcohŽrent, l'assertion (i) en rŽsulte.

L'assertion (ii) est une propriŽtŽ classique des faisceaux cohŽrents.
(2.1.10) PROPOSITION. Ñ Soient E, F deux jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents.
(i) Il existe un voisinage strict V de ]ŸXŸ[ et des o V -modules cohŽrents e, f, tels que
EÊÊ– jŸ“Ÿe, F – jŸ“Ÿf.
(ii) L'application naturellelimŸV' HomoV'(Ÿe¾V'Ê, f¾V'Ÿ) Ê##@ HomjŸ“Ÿo]YŸ[(E, F),#@o• V' parcourt l'ensemble des voisinages stricts de ]ŸXŸ[ contenus dans V, est alors u n
isomorphisme.
Autrement dit, la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents est Žquivalente ˆ lacatŽgorie limite inductive des catŽgories des modules cohŽrents sur les voisinages strictsde ]ŸXŸ[.
Pour Â @ 1-, soit UÂ = ]YŸ[ - ]Z[ÂÊ. Supposons prouvŽes les deux assertions
suivantesÊ:(i') pour tout Ú < 1, il existe Â < 1, un module cohŽrent eÚ (resp. fÚÊ) sur VÚ = UÂÊõÊ[YŸ]Ú

- 56 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.11

Ê“
et un isomorphisme de jÊ“V ÊeÚ (resp. jV ÊfÚ) sur la restriction de E (resp. FŸ) ˆ V Ú Ê;ÚÚ(ii') pour tout Ú < 1, si Â, eÚ et fÚ vŽriÞent (i'), alors, pour tout homomorphisme hÊÊ:EÊÊ@ F au-dessus de VÚÊ, il existe Â' avec Â ² Â' < 1, et un homomorphisme hÚ : eÚÊÊ@ fÚ audessus de VÚ õ UÂ' tels que jÊ“Võ U (ŸhÚŸ) = hÊ; de plus, si hÚ et h'Ú vŽriÞent tous deux cetteÚÂ'

propriŽtŽ, ils co•ncident sur VÚ õ UÂ" pour Â" assez pr•s de 1.
Alors la proposition en dŽcoule. Pour prouver (i), on Þxe une suite croissante Ún delimite 1Ê; on construit alors par rŽcurrence une suite croissante Ân de limite 1, et, enposant Vn = UÂn õ [YŸ]ÚnÊ, un module cohŽrent en sur WnÊ = ôn'Ê²Ên Vn'Ê, de restriction en-1

sur Wn-1 et donnant la restriction de E ˆ Wn par application du foncteur jÊ“ÊW nÊ. Supposant Ânet en construits, soient Â'n+1 et e'n+1 obtenus par application de (i') ˆ Ún+1ÊÊ; on peut
supposer Ân ² Â'n+1Ê. Sur UÂ'õ [YŸ]Ú , les faisceaux en et e'n+1 donnent tous deux lan+1nÊrestriction de E. D'apr•s (ii'), il existe Ân+1 tel que Â'n+1 ² Ân+1 < 1 et un isomorphisme deen sur e'n+1 au-dessus de UÂn+1 õ [YŸ]Ún donnant l'identitŽ de E par application du foncteur
jŸ“ correspondant. En recollant en et e'n+1 par cet isomorphisme, on obtient le faisceaucohŽrent en+1Ê. D'apr•s (1.2.4) (i), VÊ = ô nÊVn est un voisinage strict de ]ŸXŸ[, et les WÊn =VÊÊõ [YŸ]Ú en forment un recouvrement admissible. On obtient donc par recollement surn

V un faisceau cohŽrent e induisant les en et un isomorphisme de jÊ“V ÊŸe sur la restriction de“ŸE ˆ V. Comme la restriction de jŸ o]YŸ[ ˆ ]Z[ est nulle, il en est de m•me de celle de EÊ;comme ]Z[ et V forment un recouvrement admissible de ]YŸ[, cet isomorphisme se
prolonge trivialement en un isomorphisme de jŸ“Ÿe sur E. L'assertion (ii) se montre de lam•me mani•re.
La dŽmonstration de (i') et (ii') est classique, la quasi-compacitŽ de [YŸ]Ú et de VÚ
permettant de travailler avec des recouvrements Þnis par des ouverts afÞno•des surlesquels E poss•de une prŽsentation Þnie, et de se ramener au cas particulier o• EÊÊ=jŸ“Ÿo]YŸ[ (resp. eÚ = ŸoVÚŸ), qui rŽsulte alors de (2.1.1.5).
Remarque. Ñ Il rŽsulte facilement de la dŽmonstration prŽcŽdente que E est un jŸ“Ÿo]YŸ[module localement libre de type Þni si et seulement s'il existe un voisinage strict V de]ŸXŸ[ et un oVŸ-module localement libre de type Þni e tels que EÊ – ÊjŸ“Ÿe.
(2.1.11) C OROLLAIRE. Ñ Le foncteur de restriction de la catŽgorie des jŸ“Ÿo ]YŸ[Ÿ-modulescohŽrents vers les o ]ŸXŸ[ -modules cohŽrents est Þd•le.
Si f : E @ F est un homomorphisme de jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents, il existe d'apr•s(2.1.10) un voisinage strict V de ]ŸXŸ[, et un homomorphisme g : e @ f de o VŸ-modulescohŽrents tel que f = jÊ“(g). Si f = 0 sur ]ŸXŸ[, il en est de m•me de g. Le support de Im(g)est alors un fermŽ analytique de V qui ne rencontre pas ]ŸXŸ[, et il existe donc u nvoisinage strict de ]ŸXŸ[ disjoint de ce support. L'ŽnoncŽ en rŽsulte.
La proposition (2.1.10) permet de montrer que la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modulescohŽrents est de nature locale sur XÊ; plus prŽcisŽment, on obtient un champ [Gi1, I I- 57 -

2.12

P. BERTHELOT

1.2.1] sur Y en associant ˆ tout ouvert j : X ÌÊÊÊ@ Y la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modulescohŽrents :(2.1.12) P ROPOSITION. Ñ Soient (Xi)i = 1Ê.Ê.Ê.Ên un recouvrement ouvert Þni de X, jil'immersion de X i dans Y.
(i) Supposons donnŽs, pour tout i, un jiŸ“Ÿo]YŸ[-module Ei cohŽrent (resp. localement
libre de type Þni), et pour tous i, i', des isomorphismes jiŸ“Ê'ÊEi – jiŸ“ŸEi' vŽriÞant la conditionde cocycle. Alors il existe un unique jŸ“Ÿo]YŸ[-module cohŽrent E (resp. localement libre d etype Þni) muni d'isomorphismes jiŸ“ŸE – Ei compatibles aux isomorphismes jiŸ“Ê'ÊEi – jiŸ“ŸE i'Ê.
(ii) Supposons donnŽs deux jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents E, F, et, pour tout i, un homomorphisme Äi : jiŸ“ŸE @ jiŸ“ŸF, avec jiŸ“Ê'ÊÄi =ÊjiŸ“ŸÄi'Ê. Il existe alors un unique homomorphisme Ä :E @ F tel que jiŸ“ŸÄ = Äi pour tout i.
D'apr•s (2.1.10), il existe pour tout i un voisinage strict Vi de ]ŸXi[ et un modulecohŽrent (resp. localement libre de type Þni) ei sur Vi tels que jiŸ“Ÿei – EiÊ. De plus,
l'isomorphisme jiŸ“Ê'ÊEi – jiŸ“ŸEi' provient d'un isomorphisme ei' – ei sur un voisinage strict
WiÊi' Ç Vi õ Vi' de ]ŸXi õ Xi'[. Fixons une suite croissante Ú de limite 1. Comme lesvoisinages VÚ,ÊÂ forment un syst•me fondamental de voisinages stricts, on peut, quitte ˆrŽtrŽcir les ViÊ, supposer que les Vi sont les voisinages standards ViÊÊÚ,ÊÂ associŽs ˆ Ú et ˆ
une suite Â (indŽpendante de i). La rŽunion des ViÊÊÚ,ÊÂ est alors le voisinage standard VÚ,ÊÂ
de ]ŸXŸ[ associŽ aux suites Ú et Â, et les ViÊÊÚ,ÊÂ en forment un recouvrement admissible.
Comme ViÊÊÚ,ÊÂ õ Vi'ÊÊÚ,ÊÂ Ç ViÊi'ÊÊÚ,ÊÂ2Ê, on peut supposer que les isomorphismes ei' – ei sontdŽÞnis sur les Vi õ Vi' et satisfont la condition de cocycle sur les Vi õ Vi' õ Vi"Ê. Il existe
alors un module e cohŽrent (resp. localement libre de type Þni) sur V induisant les ei surles ViÊ, et le jŸ“Ÿo]YŸ[-module E = jŸ“Ÿe vŽriÞe alors
jiŸ“ŸE – jiŸ“ŸjŸ“Ÿe – jiŸ“Ÿe – jiŸ“Ÿei – EiÊ.
L'unicitŽ de E se vŽriÞe de fa•on analogue, ainsi que l'assertion relative aux homomorphismes.

2.2. Connexions surconvergentes le long d'un fermŽ
DorŽnavant, nous supposerons que le corps de base K est de caractŽristique nulle.
Les notations Žtant toujours celle de (2.1), on suppose donnŽ un morphisme de vschŽmas formels f : P @ S, lisse sur un voisinage de ŸX dans P. Sauf mention explicite ducontraire, les faisceaux de diffŽrentielles sur les SKÊ-espaces analytiques considŽrŽs danscette section seront relatifs ˆ SKÊ.
(2.2.1) LEMME. Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, l'ensemble des points de ]YŸ[ o• le- 58 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.13

morphisme fK est lisse est un voisinage strict de ]ŸXŸ[.
D'apr•s le crit•re jacobien (0.1.11), l'ensemble des points de non lissitŽ de fK est
un fermŽ analytique de PKÊ, et son complŽmentaire est donc ouvert. Il contient la ÞbregŽnŽrique de l'ouvert de lissitŽ de f, donc ]ŸXŸ[, et le lemme en rŽsulte d'apr•s (1.2.4) (ii).

(2.2.2) Soient ¶ l'immersion diagonale de PK dans PK |SKÊPKÊ, i son idŽal, etpŸn = oPK | PKÊÊ/ÊiŸn+1
le faisceau des parties principales d'ordre n, considŽrŽ comme un faisceau sur PKÊ. Audessus de l'ouvert de lissitŽ de fKÊ, pŸn est localement isomorphe (pour ses deux structures
de oP -alg•bre) ˆ une alg•bre de polyn™mes tronquŽe. Le lemme (2.2.1) entra”ne alors que,Ksur ]YŸ[PÊ, ŸjŸ“ŸpŸn est localement isomorphe ˆ une alg•bre de polyn™mes tronquŽe sur
jŸ“Ÿo]YŸ[Ê. Comme K est de caractŽristique nulle, on dŽduit de [Be1, II 4.2] que les diffŽrentes
caractŽrisations habituelles de la structurede module“Ÿˆ connexion“Ÿ“ŸintŽgrable

Ÿns'appliquent aux jŸ o]YŸ[-modules (plus prŽcisŽment, jŸ o]YŸ[ et les jŸ p , munis deshomomorphismes qui les relient, forment un groupo•de formel PD-adique de type ÞnidiffŽrentiellement lisse au sens de [Be1, II 1.1.3 et 4.2.2] )Ê; une connexion intŽgrable
relativement ˆ SK sur un jŸ“Ÿo]YŸ[-module E est donc constituŽe par l'une des donnŽes
Žquivalentes suivantes :(i) un homomorphismeø : E Ê##@ E ¢o]YŸ[ã1]YŸ[

tel que ø(am) = aø(m) + mÊ¿Êda pour a Ô jŸ“Ÿo]YŸ[ et m Ô E (on remarquera que EÊÊ¢o ã1]YŸ[]YŸ[– E ¢jŸ“Ÿo Ê jŸ“Ÿã1]YŸ[ gr‰ceÊˆ (2.1.3) (ii)), et tel que l'homomorphisme composŽ
]YŸ[

ø

ø

E Ê##@ E ¢o]YŸ[ ã1]YŸ[ Ê##@ E ¢o]YŸ[ ã2]YŸ[soit nulÊ;(ii) une famille compatible d'isomorphismes jŸ“Ÿp Ÿn-linŽairesªn : jŸ“ŸpŸn ¢jŸ“Ÿo]YŸ[ E Ê#›#@ E ¢jŸ“Ÿo]YŸ[ ÊjŸ“ŸpŸn,induisant l'identitŽ modulo jŸ“i, et vŽriÞant la condition de transitivitŽ usuelle [Be1, I I
1.3.1] sur la diagonale du produit PK |SK PK |SK PK (nous dirons que la famille des ªnvŽriÞe la condition de cocycle)Ê;(iii) un homomorphismede faisceauxd'anneauxdu faisceau des opŽrateurs“ŸdiffŽrentiels de jŸ o]YŸ[ dans lui-m•me dans celui des opŽrateurs diffŽrentiels de E danslui-m•me, compatible ˆ la Þltration par l'ordre et ˆ l'action de jŸ“Ÿo]YŸ[ par homothŽties.
Suivant la terminologie classique, nous appelerons section horizontale d'un jŸ“Ÿo]YŸ[module ˆ connexion intŽgrable E toute section s de E telle que ø(s) = 0, et
homomorphisme horizontal entre deux jŸ“Ÿo]YŸ[-modules ˆ connexion intŽgrable E, F tout

- 59 -

2.14

P. BERTHELOT

homomorphisme jŸ“Ÿo]YŸ[-linŽaire Ä commutant aux connexions.
munissant le faisceau homjŸ“Ÿo (E, F) de la connexion dŽÞnie par

Rappelons qu'en]YŸ[ø(Ä) = øF ì Ä - (Ä ¿ IdŸã1) ì øEÊ,un homomorphisme horizontal peut s'interpr•ter comme une section horizontale dehomjŸ“Ÿo]YŸ[(E, F), et que, rŽciproquement, une section s est horizontale si et seulement sil'homomorphisme jŸ“Ÿo]YŸ[ @ E envoyant 1 sur s est horizontal.
(2.2.3) P ROPOSITION. Ñ Soit E un jŸ“Ÿo]YŸ[-module cohŽrent, muni d'une connexionintŽgrable ø relativement ˆ SKÊ.
(i) Il existe un voisinage strict V de ]ŸXŸ[ et un o VÊ-module cohŽrent e muni d'uneconnexion intŽgrable ø0 relativement ˆ SKÊ, tels que (E, ø)Ÿ – ÊjŸ“(e, ø0).
(ii) Si S = SpfÊŸv, le jŸ“Ÿo]YŸ[-module E est localement libre de rang Þni.
La premi•re assertion rŽsulte de (2.1.10) appliquŽ aux images inverses de E et ª2 surles produits double et triple, d'apr•s [Be1, II 3.3.9 et 4.2.10]. Comme K est de caractŽristique nulle, la seconde assertion en rŽsulte classiquement (voir par exemple [Ph1, lemme
10.3.1] ).
Localement, si l'on se donne une base de E et un syst•me de coordonnŽes locales surla partie lisse de PKÊ, une connexion sur E est donc dŽÞnie par une matrice dont lescoefÞcients sont des formes diffŽrentielles analytiques sur un voisinage strict de ]ŸXŸ[.
(2.2.4) Soient W un ouvert de ]YŸ[ sur lequel ã1PK poss•de une base de sections de la forme
dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊdtmÊ, Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙm les dŽrivations correspondantes, et notons encore Ùi : E @ E l'actionde Ùi dŽÞnie par la connexion ø de E. On peut dŽcrire explicitement l'isomorphisme ªncomme Žtant l'isomorphisme jŸ“ŸpŸn-linŽaire tel que, pour toute section e Ô â(W, E), on aitÊ:ªn(1Ê¿ÊŸe) =(2.2.4.1)

åÊÊÊk!ŸÊ ÊÙŸ ÊeÊÊ¿ÊÊ ,
1

k

Ÿk

¾k¾²n

avec

i = 1 ¿ ti - ti ¿ 1. Posons :(2.2.4.2)^ªŸ(1Ê¿ÊŸe) = limÊn ªn(1Ê¿ÊŸe) Ô limÊn â(W, E ¢jŸ“Ÿo]YŸ[ ÊjŸ“ŸpŸn)
Ò#

=ÊÊÊ

Ò#

åÊÊÊk!ÊÊÙŸ ÊeÊÊ¿ÊÊ .
1

k

Ÿk

k

Nous dirons que ^ªŸ(1Ê¿ÊŸe) est la sŽrie de Taylor de e Ô (M, ø). Lorsque E est localement
libre de rang Þni, on peut, en utilisant les coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtm sur W, la considŽrer comme une section de E ^Ÿ¢ jŸ“Ÿo]YŸ[Ÿ[[ 1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê m]], donc comme une sŽrie formelle ˆcoefÞcients dans E. Cela justiÞe la terminologie de la dŽÞnition suivante.
Nous dŽsignerons par p1 et p2 les morphismes- 60 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.15]YŸ[PŸ2 Ÿ##@##@ ]YŸ[Pinduits par les deux projections de PK |SK PK sur PKÊ, et nous considŽrerons ces deux
espaces analytiques comme munis des faisceaux d'anneaux j'ŸŸ“ŸŸo]YŸ[ et jŸŸ“ŸŸo]YŸ[Ê. On
observera que la diagonale de ]YŸ[P est un sous-espace analytique localement fermŽ de]YŸ[PŸ2Ê.
(2.2.5) DŽÞnition. Ñ Soit E un o]ŸXŸ[-module (resp. jŸ“Ÿo]YŸ[-module) muni d'une connexionintŽgrable ø. Nous dirons que ø est convergente (resp. surconvergente le long de Z) s'il
existe sur ]ŸXŸ[PŸ2 (resp. ]YŸ[PŸ2Ê) un isomorphismeª : p2Ÿ*ÊE Ê#›#@ p1Ÿ*ÊE

(2.2.5.1)

induisant pour tout n les isomorphismes ªn par rŽduction modulo iŸn+1 (resp. j'Ÿ“iŸn+1) etapplication de ¶Ê-1 (resp. via l'identiÞcation ¶Ê-1Êj'Ÿ“Ê – ÊjŸ“Ê¶Ê-1 de (2.1.4.4)).
On observera que la notion de connexion convergente est en fait le cas particulier dela notion de connexion surconvergente le long de Z obtenu lorsque le lieu desurconvergence Z est vide, i.e. lorsque Y = X.
La proposition suivante permet d'expliciter la notion de surconvergence lorsque(E,ÊÊø) est de la forme jŸ“(e, ø0), o• e est un oVŸ-module cohŽrent sur un voisinage strict Vde ]ŸXŸ[PÊ, et ø0 une connexion intŽgrable sur e.
(2.2.6) PROPOSITION. Ñ Soient V un voisinage strict de ]ŸXŸ[ lisse sur SKÊ, (e, ø0) un oVÊmodule cohŽrent muni d'une connexion intŽgrable, (E, ø) = jŸ“(e, ø0). Pour que ø soit
surconvergente, il faut et sufÞt qu'il existe un voisinage strict V' de ]ŸXŸ[PŸ2Ê, contenu danspŸ1 -1(VŸ) õ pŸ2 -1(VŸ), et un isomorphisme ª' : p2Ÿ*Êe Ê#ÊÊ›Ê@ p1Ÿ*Êe sur V', induisant par rŽduction
modulo iŸn+1, pour tout n, la restriction ˆ V' õ ]YŸ[P des isomorphismes ª0Ên : pŸn ¢ e Ê#ÊÊ›Ê@eÊÊ¢ p Ÿn dŽÞnis par ø0Ê.
Soit j'Ÿ“ le foncteur Òfaisceau des sections surconvergentesÓ au voisinage de ]ŸXŸ[PŸ2Ê.
Comme j'Ÿ“ÊìÊpiŸ* – piŸ*ÊìÊjŸ“ et jŸ“ÊìÊ¶Ÿ* – ¶Ÿ*ÊìÊj'Ÿ“ d'apr•s (2.1.4), l'existence de ª' entra”ne lasurconvergence de ø en prenant ª = j'Ÿ“(ª').
Si ø est surconvergente, il existe d'apr•s (2.1.10) un voisinage strict V'0 de ]ŸXŸ[PŸ2 contenu dans pŸ-1(VŸ) õ pŸ-1(VŸ), et un isomorphisme ª' : pŸ*Êe Ê#ÊÊ›Ê@ pŸ*Êe sur V' tels que
1

2

2

1

0

“

l'isomorphisme ª de (2.2.5.1) soit dŽÞni par ª = j'Ÿ (ª')Ÿ; il faut alors montrer que, quitte ˆrŽtrŽcir V'0Ê, ª' induit les ª0Ên par rŽduction modulo iŸn+1, pour tout n. On peut supposer que
V'0 est un voisinage strict standard VÚ,ÊÂÊ, et il sufÞt alors de montrer qu'il existe une suiteÂ' ³ Â telle que ª' induise les ª0Ên sur VÚ,ÊÂ'Ê. On peut pour cela supposer P afÞne. Soient ªn :pŸn ¢ E Ê#ÊÊ›Ê@ E ¢ pŸn les isomorphismes dŽÞnis par øÊ; comme ø = jŸ“(ø ), on a ª ÊÊ= jŸ“(ª )
0

n

0Ên

pour tout n. Puisque ªŸÊÊ= j'Ÿ“(ª'), et que par hypoth•se la rŽduction modulo j'Ÿ“iŸn+1 de ª estŽgale ˆ ªnÊ, la rŽduction modulo j'Ÿ“iŸn+1 de j'Ÿ“(ª') est jŸ“(ª0Ên), pour tout n. En particulier, siª'n est la rŽduction modulo iŸn+1 de ª', la restriction ˆ ]ŸXŸ[ de ª'n est Žgale ˆ celle de ª0ÊnÊ.

- 61 -

2.16

P. BERTHELOT

Soient Úi un ŽlŽment de la suite Ú, et Vi = [YŸ]Ú õ UÂ . Comme e est cohŽrent sur V, leÊiiÊ
moduleNi = KerŸ(â(ViÊ, e) @ â(Vi õ ]ŸXŸ[, e))a pour support un fermŽ analytique T de Vi tel que T õ ]ŸXŸ[ = ¯Ê; le principe du maximum
entra”ne alors qu'il existe Â'i ³ Âi tel que T õ UÂ' = ¯. Comme les pŸn sont localement libres
ide rang Þni, le support deKerŸ(â(ViÊ, pÊn ¢ e) @ â(Vi õ ]ŸXŸ[, pÊn ¢ e))est Žgal ˆ celui de NiÊ. Par consŽquent, quel que soit n, la restriction ˆ UÂ'i de ª'n est Žgale ˆcelle de ª0ÊnÊ, ce qui ach•ve la dŽmonstration.
Remarque. Ñ Compte tenu de (2.2.3), on voit donc que la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modulescohŽrents munis d'une connexion intŽgrable et surconvergente est Žquivalente ˆ lacatŽgorie limite inductive des catŽgories des oV-modules cohŽrents ˆ connexionintŽgrable sur les voisinages stricts V de ]ŸXŸ[, pour lesquels les isomorphismes ªn sontinduits par un isomorphisme entre les deux images inverses sur un voisinage strict de]ŸXŸ[PŸ2Ê, soit encore ˆ la catŽgorie limite inductive des catŽgories des o V-modulescohŽrents, munis d'un isomorphisme entre leur deux images inverses sur un voisinage
strict de ]ŸXŸ[PŸ2Ê, cet isomorphisme vŽriÞant la condition de cocycle.
(2.2.7) P ROPOSITION. Ñ Soient E, F deux jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents, munis de connexions intŽgrables et surconvergentes.
(i) L'isomorphisme (2.2.5.1) est dŽterminŽ de mani•re unique par la connexion, etm•me par sa restriction ˆ ]ŸXŸ[. Il satisfait nŽcessairement la relation de transitivitŽ sur]YŸ[PŸ3Ê.
(ii) Si h : E @ F est un homomorphisme jŸ“Ÿo]YŸ[-linŽaire, h vŽriÞe la relation ªÊ¡Êp2Ÿ*(h)= p1Ÿ*(h)Ÿ¡Êª si et seulement si la restriction de h ˆ ]ŸXŸ[ est horizontale. De m•me, unesection s de E vŽriÞe la relation ª(Êp2Ÿ*(s)) = p1Ÿ*(s) si et seulement si la restriction de s ˆ]ŸXŸ[ est horizontale.
(iii) Si E' Ç E est un sous-jŸ“Ÿo ]YŸ[Ÿ-module cohŽrent, stable par la connexion de E, larestriction de celle-ci ˆ E' est surconvergente, et il en est de m•me de la connexion
quotient sur EÊ/ÊE'.
Gr‰ce ˆ (2.1.11), on se ram•ne pour vŽriÞer (i) et (ii) au cas o• Y = XÊ; on peut de plus
supposer P afÞne. Pour Ú < 1, Ú Ô âŸ*, soient piÊÚ les projections de [ŸXŸ]PŸ2ÊÚ sur [ŸXŸ]PÊÚÊ.
Comme le recouvrement du tube ouvert par les tubes fermŽs de rayon ÚÊÊ@ 1- estadmissible, il sufÞt de montrer que l'homomorphismep1ÊÚÊ*Êhomo[ŸXŸ](Êp2Ÿ*Ú E,Êp1Ÿ*Ú F) @ limÊn p1ÊÚÊ*Êhomo[ŸXŸ]((Êp2Ÿ*Ú E)Ê¢Êo[ŸXŸ]Ÿ/ÊiŸn,Ê(Êp1Ÿ*Ú F)Ê¢Êo[ŸXŸ]Ê/ÊiŸn)Ò#

est injectif pour tout Ú. Puisque [ŸXŸ]PÊÚ est afÞno•de, on peut supposer que E poss•de uneprŽsentation Þnie. On est ainsi ramenŽ ˆ vŽriÞer que l'homomorphisme- 62 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.17

p1ÊÚÊ*Êp1Ÿ*Ú F Ê##@ limÊn p1ÊÚÊ*((Êp1Ÿ*Ú F)Ÿ/ÊiÊn(Êp1Ÿ*Ú F))Ò#est injectif. Comme f est lisse au voisinage de X, le thŽor•me de Þbration faible (1.3.2)
permet de recouvrir [ŸXŸ]PÊÚ par des ouverts afÞno•des de la forme U = SpmÊA au-dessus
desquels [ŸXŸ]PŸ2ÊÚ s'identiÞe au produit U | D(0, Ú+Ÿ)m. Si M = â(U, F), on obtient en
prenant les sections sur U un homomorphisme de la forme
M ¢A A{ 1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê m} ÊÊ##@ M ¢A A[[ 1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê m]],dont l'injectivitŽ se ram•ne par dŽvissage au cas o• M est un quotient de A.
Pour prouver l'assertion (iii), on observe d'abord que pŸ*ŸE' Ç pŸ*ŸE : d'apr•s (2.2.1), lesiiprojections pi sont lisses, donc plates [Rb1], sur un voisinage strict de ]ŸXŸ[PŸ2Ê, de sorte que
les morphismes d'espaces annelŽs pi : (]YŸ[PŸ2Ê, ŸjŸ“Ÿo]YŸ[) @ (]YŸ[PÊ, jŸ“Ÿo]YŸ[) sont plats. On
applique alors ce qui prŽc•de ˆ l'homomorphisme composŽª› pŸ*ÊE Ê##@ pŸ*ÊEÊ/ÊE'.
p2Ÿ*ÊE' Ê##@ p2Ÿ*ÊE Ê##@1
1
(2.2.8) C OROLLAIRE. Ñ Soit E un jŸ“Ÿo]YŸ[-module cohŽrent, muni d'une connexionintŽgrable ø. Pour que ø soit surconvergente, il faut et sufÞt qu'il existe unÊÊrecouvrement
ouvert (Pi)iÊÔÊIÊ de P tel que, pour tout i, la restriction de ø ˆ PiÊKÊÊõÊÊ]YŸ[P = ]PiÊÊõ YŸ[Pi soit
surconvergente.
Il est clair que la restriction ˆ ]Pi õ YŸ[ d'une connexion surconvergente est encore
surconvergente. Inversement, les ouverts ]Pi õ YŸ[PŸ2 forment un recouvrement
admissible de ]YŸ[PŸ2Ê, et les isomorphismes (2.2.5.1) obtenus sur chacun des ]PiÊÊõ YŸ[PŸ2 serecollent gr‰ce ˆ (2.2.7) (i).
Compte tenu de (2.1.9) et (2.1.11), on obtient aussi les corollaires :(2.2.9) C OROLLAIRE. Ñ La catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents ˆ connexionintŽgrable et surconvergente est une sous-catŽgorie de la catŽgorie des o ]ŸXŸ[-modulescohŽrents ˆ connexion intŽgrable (resp. et convergente), et une sous-catŽgorie pleine de lacatŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents ˆ connexion intŽgrable.
(2.2.10) C OROLLAIRE. Ñ La catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents ˆ connexionintŽgrable et surconvergente est une catŽgorie abŽlienne, possŽdant un produit tensoriel
et un hom interne, et le foncteur d'oubli de la connexion est exact.

(2.2.11) P ROPOSITION. Ñ Soient (Xi)i = 1Ê.Ê.Ê.Ên un recouvrement ouvert Þni de X, jil'immersion de Xi dans Y. Supposons donnŽ un jŸ“Ÿo]YŸ[-module E cohŽrent, muni d'uneconnexion intŽgrable ø, et, pour tout i, soit (Ei, øi) = jiŸ“(E, ø). Pour que ø soit
surconvergente, il faut et sufÞt que øi soit surconvergente pour tout i.

- 63 -

2.18

P. BERTHELOT

Cela rŽsulte immŽdiatement de (2.1.12) (ii), appliquŽ aux homomorphismes entreŸ*Ê
p E et pŸ*ÊE.
2

1

Remarque. Ñ Il rŽsulte donc de (2.1.12) que la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents,
munis d'une connexion intŽgrable et surconvergente, est de nature locale en X : si on
associe ˆ tout ouvert X de Y la catŽgorie correspondante, et si pour tout j' : X'ÊÊÇ Y, avec
X'ÊÊÇ X, on dŽÞnit le foncteur de restriction correspondant comme Žtant Žgal ˆ j'Ÿ“, onobtient de la sorte un champ sur Y.
Nous allons voir que la surconvergence d'une connexion sur un jŸ“Ÿo]YŸ[-module E
peut •tre testŽe en choisissant des coordonnŽes locales, et en Žtudiant la sŽrie de Taylor(2.2.4.1). D'apr•s (2.2.8) et (2.2.11), on peut pour cela localiser sur P, et sur X. Montrons
auparavant un lemme.

(2.2.12) LEMME. Ñ Soient A une K-alg•bre de Tate, munie d'une norme de Banach®Ÿ-Ÿ®, X = SpmÊA, Y = X | D(0, 1+Ÿ)m = SpmÊA{ 1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê m}, E un A-module de type Þni, muni
en tant que A-module d'une norme de Banach encore notŽe ®Ÿ-Ÿ® [BG, 3.7.3.3]. SoientÚÊÊÔÊÊâŸ* tel que Ú ² 1, et BÚ = â(ŸX | D(0, Ú+Ÿ)m, oY). Alors tout ŽlŽment e Ô M ¢A BÚ s'Žcrit d emani•re unique comme somme d'une sŽrie
(2.2.12.1)

e = åÊÊekÊÊ¿ÊÊ Êk,kavec e k Ô M, et ®ek®Ú¾ŸkŸ¾ @ 0 si ¾ŸkŸ¾ @ &.
Comme ® i® ² Ú dans BÚÊ, la condition ®ek®Ú¾ŸkŸ¾ @ 0 entra”ne la convergence de lasŽrie (2.2.12.1) dans M ¢A BÚ (la topologie dŽÞnie par une norme de Banach en tant que
BÚ-alg•bre co•ncidant avec la topologie produit tensoriel [BG, 3.7.3.6]).
L'unicitŽ des ek se voit en introduisant, pour tout entier n, le quotient Bn =A{ 1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê m}Ÿ/Ÿ( 1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê m)n+1, libre de rang Þni sur A, et en utilisant la continuitŽ del'homomorphisme M ¢A BÚ @ M ¢A Bn. Pour prouver l'existence d'une telle sŽrie, ilsufÞt d'Žcrire e sous la formere = åÊ mi ¿ ÄiÊ,iÊ=Ê1

avec Äi Ô BÚÊ; chaque Äi est alors de la forme Äi = Ïk aiÊkÊ k, avec ®aiÊk®Ú¾ŸkŸ¾ @ 0, et on pose
ekÊÊ= ÏŸi aiÊkÊmiÊ.
(2.2.13) P ROPOSITION. Ñ Supposons P et S afÞnes, et Z de la forme Y õ V(g), avecgÊÊÔÊÊâ(P,ÊÊoP)Ÿ; notons UÂ = {Êx Ô PK ¾ ¾Ÿg(x)¾ ³ ÂÊ}. Supposons de plus qu'il existe dessections t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtm Ô â(P, oP) telles que ã1PÊ/ÊS soit libre au voisinage de X, de basedt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊdtmÊ. Il existe alors un voisinage strict de ]ŸXŸ[ dans ]YŸ[ sur lequel dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êdtm

- 64 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.19

forment une base de ã1P Ê/ÊS Ê; soient Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙm les dŽrivations correspondantes. Soient VKK
un voisinage strict de ]ŸXŸ[, (e, ø0) un o V-module cohŽrent muni d'une connexionintŽgrable, et (E, ø) = jŸ“(e, ø0).

(i) Supposons ø surconvergente. Pour tout Ú < 1, Ú Ô âŸ*, il existe Â < 1, Â Ô âŸ*, tel que[YŸ]Ú õ UÂ Ç V, et que, pour toute section e Ô â([YŸ]Ú õ UÂÊ, e), on ait® Ÿk1! ÊÙŸkÊe® ŸÚ¾ŸkŸ¾ @ 0pour ¾ŸkŸ¾ @ &, ®Ÿ-Ÿ® dŽsignant une norme de Banach sur â([YŸ]Ú õ UÂÊ, e).
(ii) RŽciproquement, si, pour tout Ú < 1, Ú Ô âŸ*, on peut trouver Â < 1, Â Ô âŸ*, vŽriÞant
les conditions de (i), alors ø est surconvergente.
L'homomorphisme Ä : omPK @ ã1PKÊ/ÊSKÊ dŽÞni par dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êdtm est un isomorphisme sur]ŸXŸ[. Comme les supports de Ker(Ä) et Coker(Ä) sont des fermŽs analytiques nerencontrant pas ]ŸXŸ[, l'intersection avec ]YŸ[ de leur complŽmentaire est un voisinage
strict V0 de ]ŸXŸ[ d'apr•s (1.2.4) (ii). Quitte ˆ rŽtrŽcir V0Ê, on peut de plus supposer, d'apr•s(2.2.1), que V0 est lisse sur SKÊ, et que V0 Ç V.
Comme 1Ê¿ÊŸg - gŸÊ¿Ê1 appartient ˆ l'idŽal de Y dans P2, on voit que, pour x Ô [YŸ]PŸ2ÊÚÊ, etÂ > Ú, la condition ¾(1Ê¿ÊŸg)(x)¾ ³ Â Žquivaut ˆ ¾(ÊgÊŸ¿Ê1)(x)¾ ³ Â. On a donc[YŸ]P2ÊÚ õ p1Ê-1(UÂ) = [YŸ]P2ÊÚ õ pÊ-1
2 (UÂ)
Ê-1
pour Â > ÚÊ; posons alors VÚÊÂ = [YŸ]P2ÊÚ õ pÊ-1
1 (UÂ) = [YŸ]P2ÊÚ õ p2 (UÂ).

Puisque ø est surconvergente, il existe un isomorphisme ª : p2Ÿ*ÊE Ê#ÊÊ›Ê@ p1Ÿ*ÊE sur[YŸ]PŸ2ÊÚ induisant les isomorphismes ªn sur les voisinages inÞnitŽsimaux de la diagonale.
D'apr•s (2.2.6), on peut alors trouver un voisinage strict V' de ]ŸXŸ[P2 dans ]YŸ[P2Ê, contenu
“
Ÿ*
Ÿ*
Ê-1
›
dans pÊ-1
1 (V0) õ p2 (V0), tel que ª soit de la forme ª = j'Ÿ (ª'), o• ª' : p2 Êe Ê#ÊÊÊ@ p1 Êe est u n
isomorphisme dŽÞni sur V', induisant modulo iŸn+1 les isomorphismes ª0Ên : pŸn ¢ e Ê#ÊÊ›Ê@eÊÊ¢ pŸn dŽÞnis par ø , pour tout n. Fixons Ú < 1, ÚÊÊÔ âŸ*, et soit Â < 1, Â Ô âŸ*, tel que
0ÊVÚÊÂÊÊÇÊÊV'. Quitte ˆ augmenter Â, il rŽsulte de (1.3.8) (ii), appliquŽ ˆ p1 : ]YŸ[PŸ2 @ ]YŸ[PÊ, qu'il
existe un isomorphismeVÚÊÂ Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ ([YŸ]PÊÚ õ UÂ) | D(0, Ú+Ÿ)m,les sections i = 1 ¿ ti - ti ¿ 1 correspondant aux coordonnŽes sur D(0, Ú+). SoienteÊÊÔÊâ([YŸ]PÊÚ õ UÂÊ, e), et Æ(e) = ª'(Ÿp2Ÿ*(e)) Ô â(VÚÊÂÊ, p1Ÿ*Êe). D'apr•s (2.2.12), on peut ŽcrireÆ(e) comme somme d'une sŽrie
Æ(e) = åÊÊÊÆk(e)ÊÊ¿ÊÊ Êk,kavec Æk(e) Ô â([YŸ]PÊÚ õ UÂÊ, e), et ®Æk(e)®Ú¾ŸkŸ¾ @ 0. Les Æk(e) sont uniquement dŽterminŽsÊ;comme ª' induit les ª0Ên modulo iŸn+1, on a nŽcessairement
Æk(e) =

1k!

- 65 -

ÊÙŸkÊe,2.20

P. BERTHELOTd'o• (i).
RŽciproquement, Þxons une suite croissante Ú de limite 1. Pour prouver lasurconvergence de ø, il sufÞt alors de montrer qu'il existe une suite Â, telle que, surchaque VÚ ÊÂ = [YŸ]PŸ2ÊÚ õ p1Ê-1(UÂ ), il existe un isomorphisme ª' : p2Ÿ*Êe Ê#ÊÊ›Ê@ p1Ÿ*Êe induisant
i i
i
i
en
les ª : pour i variable, les isomorphismes pŸ*ÊE Ê#ÊÊ›Ê@ pŸ*ÊE obtenus sur les [YŸ]
0Ên

2

1

PÊÚi

appliquant j'Ÿ“ aux ª' se recollent nŽcessairement, gr‰ce ˆ l'argument de (2.2.7) (i). PosonsÚ = ÚiÊ, Â = ÂiÊ, et soit M = â([YŸ]PÊÚ õ UÂÊ, e). Pour e Ô M, on dŽÞnit Æ(e) comme somme de lasŽrie (convergente car ® i® ² Ú sur [YŸ]PŸ2ÊÚ)Æ(e) =

åÊÊÊk!ÊÊÙŸ ÊeÊÊ¿ÊÊ
1

k

Êk

Ô â(VÚÊÂÊ, p1Ÿ*e) – M ¢ â(VÚÊÂÊ, oVÚÊÂ).

kOn vŽriÞe que l'application Æ : M @ M ¢ â(VÚÊÂÊ, oVÚÊÂ) ainsi dŽÞnie est semi-linŽaire parrapport ˆ p2Ÿ* : â([YŸ]PÊÚ õ UÂÊ, oPK) @ â(VÚÊÂÊ, oVÚÊÂ), de sorte qu'elle dŽÞnit un homomorphisme â(VÚÊÂÊ, oVÚÊÂ)-linŽaire
ª : â(VÚÊÂÊ, p2Ÿ*Êe) Ê##@ â(VÚÊÂÊ, p1Ÿ*Êe)qui induit les ª0Ên modulo iŸn+1. L'homomorphisme ª est un isomorphisme, car on
construit son inverse de la m•me mani•re, en associant ˆ e la somme de la sŽrie

åÊÊ(-1)ÊÊÊ¿ÊÊÊ 1 ÊÊÙŸkÊe Ô â(VÚÊÂÊ, p2Ÿ*Êe) – â(VÚÊÂÊ, oV ) ¢ M.

¾ŸkŸ¾Ê Êk

k!

ÚÊÂ

k

Dans le cas particulier o• Z = ¯, la proposition prŽcŽdente donne donc un crit•repour qu'une connexion soit convergente :(2.2.14) COROLLAIRE. Ñ Supposons que P et S soient afÞnes, que X soit fermŽ dans P, etque ã1PÊ/ÊS soit libre au voisinage de X, de base dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊdtmÊ; soient Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙm les dŽrivations
correspondantes. Si e est un o ]ŸXŸ[-module cohŽrent, muni d'une connexion intŽgrable ø,la connexion ø est convergente si et seulement si, pour tout Ú < 1, et toute section e Ôâ([ŸXŸ]ÚÊ, e), on a

® Êk1! ÊÙŸkÊe® ÊÚ¾ŸkŸ¾ @ 0pour ¾ŸkŸ¾ @ &, ®Ÿ-Ÿ® dŽsignant une norme de Banach sur â([ŸXŸ]ÚÊ, e).
(2.2.15) Exemples. Ñ (i)ÊÊLa dŽrivation usuelle d : o]YŸ[ @ ã1]YŸ[ dŽÞnit une structure demodule ˆ connexion surconvergente sur jŸ“Ÿo]YŸ[Ê.
(ii) La thŽorie de Dwork fournit de nombreux exemples de jŸ“Ÿo]YŸ[-modules ˆconnexion surconvergente, dans des situations o• P est un espace projectif et X un ouvert
de sa rŽduction modulo p. Rappelons par exemple les deux cas importants dans lathŽorie des sommes exponentielles, en renvoyant ˆ [Be3] pour plus de dŽtails.
a) On choisit ¹ tel que ¹ÊpÊ-1 = -Êp, et on prend K = Ýp(¹), P = æ1vÊ, Y = P0Ê, X = •1kÊ;- 66 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.21

par suite, ]YŸ[ = æ1KÊ, et ]ŸXŸ[ = D(0, 1+Ÿ). On dŽÞnit un jŸ“Ÿo]YŸ[-module ˆ connexion surconvergente l¹ en munissant jŸ“Ÿo]YŸ[ de la connexion dŽÞnie parø(1) = -Ê¹Êdt,o• t est une coordonnŽe sur •1kÊ.
b)
On choisit a Ô çpÊ, P et Y comme plus haut, X = æ1k - {0, &}, si bien que ]ŸXŸ[ estla couronne de rayon 1 de •1kÊ. On dŽÞnit alors un module ˆ connexion surconvergente ka
en munissant jŸ“Ÿo]YŸ[ de la connexion dŽÞnie parø(1) = aŸtÊ-1Êdt.

(2.2.16) Supposons donnŽ un diagramme commutatif
j'

i'

f'

ÊÊ
Y' Ì#@
ÊÊP' Ê##@ S'
X' Ì#@
wÉ

É
vÉ
uÉ
À
À
À
À
f
j
i
X Ì#@
Ê
Y Ì#@
Ê
P Ê##@ SSpecÊk Ì####@ SpfÊŸvo• fŸ' est supposŽ lisse sur un voisinage de X' dans P'. L'homomorphisme (2.1.4.2) permetde dŽÞnir un foncteur, encore notŽ uKŸ*Ê, de la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[P-modules dans lacatŽgorie des j'Ÿ“Ÿo]YŸ[P'-modules, et il s'Žtend de la mani•re usuelle aux modules ˆconnexion intŽgrable. Il est clair que l'image inverse d'une connexion surconvergente est
encore surconvergente.
Le r™le de l'isomorphisme ª sur ]YŸ[ est d'assurer que le foncteur uŸ* ne dŽpend, ˆP Ÿ2Kisomorphisme canonique pr•s, que de la restriction de u ˆ Y'Ê; en particulier, deux
morphismes ayant m•me rŽduction sur k donnent des foncteurs image inverse
isomorphes :(2.2.17) PROPOSITION. Ñ Soient u, u' : P' @ P deux morphismes dont la restriction ˆ Y'
se factorise par v.
(i) Il existe un isomorphisme canonique ªentre les foncteurs uŸ* et u'Ê* sur la
u',Êu

K

K

catŽgorie des jŸ“Ÿo ]YŸ[-modules ˆ connexion intŽgrable et surconvergente.
(ii) Pour toute section horizontale s, on a
(2.2.17.1)ªu',ÊuŸ(uK'Ê*(s)) = uKŸ*Ÿ(s).

Soit h = (u, u') : P' @ P |S P. Comme u et u' co•ncident sur Y', le diagramme
Y' ######@
v É

P'

Éh
À
À
Y #ÊÊÊ#@ P #ÊÊÊ#@ P |S P

- 67 -

2.22

P. BERTHELOT

est commutatif. Par suite, h K s'ins•re dans un diagramme commutatif]Y'[P'
ÉÊÉhKuK ÉÊÉ u'KÀÊÀ]YŸ[PÊÊ Ò##
Ò## ]YŸ[PŸ2Ê.
Pour tout jŸ“Ÿo]YŸ[-module ˆ connexion intŽgrable et surconvergente E, l'isomorphisme ªsur ]YŸ[PŸ2 donne alors, par image inverse par hKÊ, un isomorphisme canonique(2.2.17.2)ªu',Êu = hKŸ*Ÿ(ª) : uK'Ê*ÊE Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ uKŸ*ÊŸE,dont on vŽriÞe aisŽment, ˆ l'aide de la condition de transitivitŽ sur ]YŸ[PŸ3Ê, qu'il est
horizontal pour les connexions images inverses.
On observera que cette condition de transitivitŽ permet Žgalement d'assurer, pourun troisi•me morphisme u" : P' @ P co•ncidant avec u et u' sur Y', la relation(2.2.17.3)ªu",Êu' ¡ ªu',Êu = ªu",ÊuÊ.

EnÞn, l'assertion sur les sections horizontales rŽsulte de (2.2.7) (ii).
Remarque. Ñ D'apr•s la dŽÞnition, l'isomorphisme (2.2.17.2) peut •tre facilement
explicitŽ, avec des coordonnŽes locales, par substitution dans la sŽrie de Taylor (2.2.4.2) voir en [Be3, 3.4] un exemple d'un tel calcul pour expliciter l'action du Frobenius dans lathŽorie de Dwork.

2.3. Isocristaux convergents et surconvergents
Gardant les m•mes notations et les m•mes hypoth•ses qu'en (2.1) et (2.2), nous
examinons maintenant la dŽpendance par rapport ˆ P et Y de la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[modules cohŽrents, munis d'une connexion intŽgrable et surconvergente. On aboutit
ainsi ˆ la construction de deux catŽgories fonctoriellement associŽes ˆ X, celle desisocristaux convergents, et celle des isocristaux surconvergents.
Le premier pas est un thŽor•me d'indŽpendance par rapport ˆ P :(2.3.1) T HƒORéME . Ñ ConsidŽrons un diagramme commutatif de la forme
P'
Éu
À
j
i
X Ì#@
Ê
Y Ì#@
Ê
PÊ
i'

o• u est un morphisme de v-schŽmas formels, lisse au voisinage de X.
(i) Le foncteur uKŸ* induit une Žquivalence de la catŽgorie des jŸ“Ÿo ]YŸ[P-modules- 68 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.23

cohŽrents, munis d'une connexion relativement ˆ S, intŽgrable et surconvergente le longde Y - X, avec la catŽgorie analogue sur ]YŸ[P'Ê.
(ii) Si E est un jŸ“Ÿo]YŸ[ -module cohŽrent, muni d'une connexion relativement ˆ S,
PintŽgrable et surconvergente le long de Y - X, l'homomorphisme uŸ* induit un isomorKphisme entre les sections horizontalesâ(]YŸ[PÊ, E)ø = 0 Ê#›#@ â(]YŸ[P'Ê, uKŸ*ÊŸE)ø = 0Ê.
Il existe des recouvrements afÞnes (PŒ) et (P'Œ) de P et P', tels que u(P'Œ) Ç PŒ etYÊÊõÊÊP'Œ = Y õ PŒÊ. Comme l'assertion est locale sur ]YŸ[PÊ, cela permet de supposer P et P'afÞnes. D'autre part, la remarque de (2.2.11) montre que l'assertion est locale sur X. On
peut donc supposer que X est le complŽmentaire dans Y d'un fermŽ dŽÞni par une Žquation, et que le faisceau conormal ˆ X dans P' |PÊÊX est libre de rang d sur oXÊ. Soient P"
l'espace afÞne formel de dimension relative d sur P, s : P @ P" la section nulle. LethŽor•me de Þbration fort (1.3.7) permet alors de dŽÞnir un P-morphisme Ä : P' @ P" commutant aux immersions fermŽes Y @ P' et Y @ P" (cette derni•re Žtant dŽÞnie par s), etinduisant un isomorphisme entre un voisinage strict de ]ŸXŸ[P'Ê, et un voisinage strict de]ŸXŸ[P"Ê; il induit de m•me un isomorphisme entre des voisinages stricts de ]ŸXŸ[P'Ÿ2 et]ŸXŸ[P"Ÿ2Ê. Comme la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents ˆ connexion intŽgrable etsurconvergente ne dŽpend que d'un voisinage strict de ]ŸXŸ[, on est ramenŽ au cas o•P'ÊÊ=ÊÊP".
Le foncteur sKŸ* est alors quasi-inverse ˆ gauche de uKŸ*Ê, et il sufÞt de dŽÞnir u n
isomorphisme de foncteurs uKŸ*ÊÊ°ÊsKŸ*Ê – ÊId. Comme sÊ¡Êu et Id induisent tous deux l'identitŽ
sur Y, c'est une consŽquence de (2.2.17). EnÞn, (ii) rŽsulte de (i).
Remarque. Ñ Nous construirons en (3.1.10) un foncteur quasi-inverse canonique de uKŸ*Ê.
(2.3.2) DŽÞnitions. Ñ Soient S un v-schŽma formel de type Þni, Y un k-schŽma de typeÞni, muni d'un v-morphisme Y @ S, X un ouvert de Y, Ÿj : X ÌÊÊÊ@ Y.
(i) Supposons qu'il existe un S-schŽma formel de type Þni P, et une S-immersion
fermŽe i : Y ÌÊÊÊ@ P, tels que P soit lisse sur S au voisinage de X. D'apr•s (2.3.1), la catŽgorie
des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents, munis d'une connexion intŽgrable et surconvergente
relativement ˆ S, ne dŽpend ˆ Žquivalence canonique pr•s que du couple (ŸX, YŸ) audessus de S, et non de P. En effet, si i' : Y ÌÊÊÊ@ P' est une autre S-immersion fermŽe telleque P' soit un S-schŽma formel lisse au voisinage de X, posons P"Ê = P |S P', et soit i" :YÊÊÌÊÊÊ@ P" l'immersion diagonale. Les deux projections q : P"Ê@ P, q' : P" @ P' sont lisses
au voisinage de X, de sorte que les foncteurs image inverse qKŸ* et qK'Ê* sont respectivementdes Žquivalences de catŽgories de la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents, munis d'uneconnexion intŽgrable et surconvergente le long de Z, sur ]YŸ[P et ]YŸ[P'Ê, dans la catŽgorieanalogue sur ]YŸ[P"Ê. On en dŽduit une Žquivalence de catŽgories, dŽÞnie ˆ isomorphisme
canonique pr•s, entre ces deux catŽgories sur ]YŸ[P et ]YŸ[P'Ê.

- 69 -

2.24

P. BERTHELOT

Par dŽÞnition, la catŽgorie des isocristaux sur XÊ/ÊS, surconvergents le long de Z,notŽe Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS), est la catŽgorie des jŸ“Ÿo]YŸ[ -modules cohŽrents, munis d'une conP

nexion relativement ˆ S, intŽgrable et surconvergente. Lorsque Z est vide, cette catŽgoriesera appelŽe catŽgorie des isocristaux convergents sur XÊ/ÊS, et notŽe Isoc(ŸXÊ/ÊS). Nous emploierons parfois le terme "cristal" au lieu de "isocristal" ([Be2], [Be3]), lorsqu'aucune
confusion n'est possible avec la notion usuelle de cristal [Be1]. Lorsque S = SpfÊŸŸv, nous
emploierons plut™t la notation XÊ/ÊK.
Le jŸ“Ÿo]YŸ[ -module ˆ connexion correspondant ˆ un isocristal surconvergent E seraP

appelŽ rŽalisation de E sur P, et souvent notŽ EPÊ. On dispose donc d'une telle rŽalisation
pour tout plongement i' : Y ÌÊÊÊ@ P' dans un S-schŽma formel, lisse au voisinage de X. De
plus, si u : P' @ P est un S-morphisme entre deux tels plongements, il existe u n
isomorphisme canonique horizontal(2.3.2.1)

uKŸ*ÊŸEP Ê#›#@ EP'Ê.

En effet, avec les notations introduites plus haut, les deux morphismes q : P" @ P etuÊ¡Êq'ÊÊ: P" @ P' @ P co•ncident sur Y Ç P", de sorte que la connexion de EP fournit
l'isomorphisme (2.2.17.2)
qK'Ê*ÊuKŸ*ÊŸEP Ê#›#@ qKŸ*ÊŸEPÊ.
Comme, par construction, EP' est le module ˆ connexion sur ]YŸ[P' d'image qKŸ*ÊŸEP parl'Žquivalence de catŽgories qK'Ê*, on en dŽduit l'isomorphisme (2.3.2.1).
On vŽriÞe sans difÞcultŽ que, si l'on dispose d'un troisi•me plongement de Y, etd'un morphisme de celui-ci dans P', les isomorphismes (2.3.2.1) correspondants vŽriÞent
une relation de transitivitŽ (cf. (2.2.17.3)).
Si E Ô Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS), on appelera section horizontale de E toute section horizontale
d'une rŽalisation EP de E. Il rŽsulte de (2.3.1) (ii) que le module des sections horizontalesde E est indŽpendant de la rŽalisation choisie. Nous le noterons â((ŸX,ÊYŸ)Ÿ/ÊS, E).
(ii) Soient E Ô Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS), et i : U ÌÊÊÊ@ T un plongement d'un ouvert U de Y dans u n
S-schŽma formel non nŽcessairement lisse. On associe ˆ E un jŸ“Ÿo]U[-module cohŽrent
ET sur ]U[T de la fa•on suivante. Localement, il existe une S-immersion fermŽe U ÌÊÊÊ@ P
de U dans un S-schŽma formel lisse P, et un S-morphisme u : T @ U induisant l'identitŽ
sur U. Soient EP la rŽalisation de la restriction de E ˆ U sur ]U[PÊ, et uK : ]U[T @ ]U[P lemorphisme induit par u. On vŽriÞe aisŽment que le jŸ“Ÿo]U[-module ET = uKŸ*ÊŸEP ne dŽpend
pas, ˆ isomorphisme canonique pr•s, du choix de P et u. De plus, cette construction
fournit encore un isomorphisme (2.3.2.1) pour tout S-morphisme u : T' @ T entre
plongements d'ouverts de Y dans des S-schŽmas formels. On obtient ainsi une
description de style cristallin de la catŽgorie Isoc“(ŸX, YÊ/ÊS), qu'on laisse au lecteur le soin
d'expliciter.
Lorsque v est un anneau de valuation discr•te, la construction de ET s'Žtend au caso• T est un S-schŽma formel vŽriÞant les hypoth•ses de (0.2.6). D'apr•s (1.1.4) (ii), on
peut se limiter ˆ considŽrer le cas o• T poss•de un idŽal de dŽÞnition i tel que U = V(i).

- 70 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.25

La fonctorialitŽ de la construction permet de se ramener au cas afÞne. Si on choisit une
immersion fermŽe u0 : U ÌÊÊ@ÊP, o• P est un S-schŽma formel ¹-adique afÞne et lisse, lefait que ¹ = 0 sur U permet de construire par rŽcurrence une famille de S-morphismes
uiÊÊ: SpecÊoTÊ/ÊiŸi+1 @ P, telle que ui induise uiÊ-1 sur SpecÊoTÊ/ÊiŸi. Par passage ˆ la limite, onen dŽduit un S-morphisme u : T @ P, qui dŽÞnit un morphisme d'espaces analytiquesuKÊÊ: ]U[T @ ]U[P d'apr•s la remarque (1.1.11) (i). La construction s'ach•ve alors commeprŽcŽdemment.
(iii) Lorsqu'il n'existe pas de plongement global i : Y ÌÊÊÊ@ P, on peut dŽÞnir la catŽgorie
Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS) par recollement : on choisit un recouvrement ouvert (YŒ) de Y, et desimmersions fermŽes YŒ ÌÊÊÊ@ PŒ dans des S-schŽmas formels lisses au voisinage deX ŒÊÊ=ÊÊYŒ õ XÊ; on pose YŒº = YŒ õ YºÊ, XŒº = X õ YŒºÊ, PŒº = PŒ |S PºÊ; on note jŒ : XŒ ÌÊÊÊ@ YŒÊ,ŸjŒº : XŒº ÌÊÊÊ@ YŒº les restrictions de j, pŒº : PŒº @ PŒÊ, qŒº : PŒºÊÊ@ÊÊPº les projections. Un
isocristal sur XÊ/ÊS, surconvergent le long de Z, est alors constituŽ par la donnŽe, pour
tout Œ, d'un jŸ“Ÿo]YŒŸ[P -module cohŽrent E Œ, muni d'une connexion intŽgrable et surconŒ
vergente, et, pour tous Œ, º, d'un isomorphisme horizontal pŒŸ*ºÊKÊŸEŒ – qŒŸ*ºÊKÊŸEº sur]YŒºŸ[P , ces isomorphismes vŽriÞant la condition de cocycle.
ŒºÊNous laissons au lecteur le soin de se convaincre que la catŽgorie ainsi dŽÞnie nedŽpend pas, ˆ Žquivalence canonique pr•s, des choix effectuŽs. Par souci de simplicitŽ,nous nous limiterons gŽnŽralement dans la suite au cas o• il existe un plongement
global Y Ì@ P lisse au voisinage de X, les rŽsultats obtenus s'Žtendant sans difÞcultŽ au
cas gŽnŽral.
(iv) La catŽgorie Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS) est fonctorielle par rapport ˆ (ŸX, Y, S). En effet, ˆ tout
diagramme commutatif de la formeXÊ' Ì@ YÊ' #@ S'(2.3.2.2)

w É

É
vÉ
À
À
À
X Ì@ Y #@ S,on peut associer en procŽdant comme suit un foncteur image inverse
vŸ* : Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS) Ê##@ Isoc“(ŸX',ÊY'/ÊS'),ne dŽpendant que de v, ˆ isomorphisme canonique pr•s.
Supposons d'abord qu'on puisse trouver un plongement i : Y ÌÊÊÊ@ P (resp. i'ÊÊ:
Y'ÊÊÌÊÊÊ@ÊÊP'), o• P (resp. P') est lisse sur S (resp. S') au voisinage de X (resp. X'), et u n
S-morphisme u : P' @ P induisant v. D'apr•s (2.2.17), le foncteur uKŸ* sur la catŽgorie desjŸ“Ÿo]YŸ[-modules cohŽrents, munis d'une connexion intŽgrable et surconvergente, nedŽpend en fait (ˆ isomorphisme canonique pr•s) que de v. D'autre part, si on change lesplongements P et P', en gardant l'hypoth•se d'existence d'un prolongement de v en
P'ÊÊ@ÊÊP, la mŽthode du plongement diagonal montre que les foncteurs images directes secorrespondent via les Žquivalences de catŽgories (2.3.1). On peut donc prendre le foncteur
induit par uŸ* comme dŽÞnition du foncteur image inverse vŸ* pour les isocristaux, etKnous dirons que uKŸ* en est une rŽalisation.

- 71 -

2.26

P. BERTHELOT

S'il n'existe pas de morphisme u : P' @ P prolongeant v, il est facile de changer leplongement P' de mani•re ˆ assurer l'existence d'un prolongement de v : il sufÞt pourcela de remplacer P' par le produit P |S P', et i' par l'immersion i"ÊÊ= (i', iÊ¡Êv)Ÿ; P" est alorslisse sur P', donc sur S', au voisinage de X, et la projection q de P" sur P est u n
prolongement de v. On observera que, dans le cas o• il existe u : P' @ P prolongeant v, lefoncteur uKŸ* utilisŽ prŽcŽdemment est canoniquement isomorphe, via l'Žquivalence qK'Ê*
induite par q' : P" @ P', au foncteur qKŸ* utilisŽ ici : cela rŽsulte, d'apr•s (2.2.17), de ce queq et uÊ¡Êq' co•ncident sur Y'.
Pour tout morphisme (w', v') : (ŸX", Y") @ (ŸX', Y') au-dessus de S" @ S', on montre
facilement l'existence d'un isomorphisme canonique de foncteurs(vÊ¡Êv')* – v'Ê*Ê¡ÊvŸ*.

(2.3.3) Remarques. Ñ (i) D'apr•s (2.2.11), on dŽÞnit un champ sur Y en associant ˆ tout
ouvert XÊÊÇ Y la catŽgorie des isocristaux sur XÊ/ÊS, surconvergents le long de YÊÊ- X, lesmorphismes de restriction Žtant les morphismes image inverse.
On observera qu'on obtient Žgalement un champ sur Y en associant ˆ tout ouvertXÊÊÇ Y la catŽgorie des isocristaux convergents sur XÊ/ÊS : cela rŽsulte de ce que pour tout
recouvrement ouvert (ŸXŒ) de X, les ]ŸXŒ[ forment un recouvrement admissible de ]ŸXŸ[.
(ii) D'apr•s (2.2.3) (ii), toute rŽalisation EP d'un isocristal E de Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊKŸ) est u njŸ“Ÿo]YŸ[-module localement libre de rang Þni. Il en est donc de m•me des jŸ“Ÿo]YŸ[T-modules
ET dŽÞnis en (2.3.2) (ii), pour toute immersion fermŽe Y ÌÊÊÊ@ T.
(iii) D'apr•s (2.2.10), la catŽgorie Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS) est abŽlienne, poss•de produit tensoriel et hom interne, et, pour toute immersion fermŽe Y ÌÊÊÊ@ T, le foncteur qui associe ˆ u nisocristal E le jŸ“Ÿo]YŸ[-module ET est exactÊ; si T est lisse sur S au voisinage de X, il estÞd•le.
(iv) Lorsque, dans le diagramme (2.3.2.2), le morphisme S' @ S est plat, le foncteur*vŸ ÊÊ: Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊS) @ Isoc“(ŸX',ÊY'/ÊS') est exact. C'est en effet une propriŽtŽ locale sur Y',
de sorte qu'on peut supposer S, S', Y et Y' afÞnes. On plonge alors Y dans un S-schŽma
formel afÞne et lisse PÊ; Y' s'envoie dans P |S S', et on plonge Y' dans un schŽma formel
P' afÞne et lisse sur P |S S'. Comme P' est lisse sur S', le morphisme composŽ u :P'ÊÊ@ÊÊPÊÊ| S' @ P fournit une rŽalisation de vŸ*. Or u est un morphisme plat, donc il en est
Sde m•me de uKÊ, et du morphisme d'espaces annelŽs (]Y'[P'Ê, Ÿj'Ÿ“Ÿo]Y'[) @ (]YŸ[PÊ, ŸjŸ“Ÿo]YŸ[)induit par uKÊ.ÊL'assertion en rŽsulte.
(2.3.4) La catŽgorie des isocristaux convergents dŽÞnie ici est Žquivalente ˆ celle quedŽÞnit Ogus dans [Og1]. En effet, une des descriptions de cette derni•re est la suivante[Og1, (2.11)] : pour toute immersion fermŽe de X dans un v-schŽma formel P, Ogus
construit un syst•me inductif de v-schŽmas formels TP,Ên(ŸXŸ), qui sont des mod•lesformels des tubes fermŽs [ŸXŸ]P, p1/n (voir (1.1.10))Ê; si P est lisse sur v, un isocristal
convergent sur X peut alors •tre dŽcrit comme une famille compatible deÊÊoTP,Ên(ŸXŸ) ¢v K-- 72 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.27

modules cohŽrents En sur les TP,Ên(ŸXŸ), munis d'isomorphismes p2Ÿ*ÊEnÊ – Êp1Ÿ*ÊEn sur
TP2,Ên(ŸXŸ), vŽriÞant la condition de cocycle. Mais la donnŽe d'un oT (ŸXŸ) ¢v K-moduleP,ÊncohŽrent En est Žquivalente ˆ la donnŽe d'un faisceau analytique cohŽrent en sur la ÞbregŽnŽrique [ŸXŸ]P,Êp1/n de TP,Ên(ŸXŸ) [Og1, (1.5)], et le fait que l'on se donne une famille defaisceaux En compatible aux morphismes TP,Ên(ŸXŸ) @ TP,Ên+1(ŸXŸ) signiÞe que l'on sedonne pour tout n un isomorphisme de la restriction de en+1 ˆ [ŸXŸ]P,Êp1/n avec enÊ. Commeles [ŸXŸ]P,Êp1/n forment un recouvrement admissible de ]ŸXŸ[PÊ, la donnŽe du syst•me des enŽquivaut ˆ celle d'un faisceau cohŽrent e sur ]ŸXŸ[PÊ, et on retrouve la description desisocristaux convergents donnŽe en (2.3.2).
Nous donnons maintenant un ŽnoncŽ d'indŽpendance de la catŽgorie Isoc“(ŸX, YÊ/ÊS)par rapport ˆ Y :(2.3.5) THƒORéME. Ñ Soient j : X ÌÊÊÊ@ Y et j' : X ÌÊÊÊ@ Y' deux immersions ouvertes, Y et Y'Žtant des k-schŽmas de type Þni, Z = Y - X, Z'Ê= Y' - X, et soit v : Y' @ Y un morphisme
propre tel que vÊ¡Êj' = j.
(i) Le foncteur vŸ* est une Žquivalence de la catŽgorie des isocristaux sur XÊ/ÊS
surconvergents le long de Z dans la catŽgorie des isocristaux sur XÊ/ÊS surconvergents lelong de Z'.
(ii) Si E est un isocristal sur XÊ/ÊS surconvergent le long de Z, l'homomorphisme canoniqueâ((ŸX,ÊYŸ)Ÿ/ÊS, E) Ê##@ â((ŸX,ÊY')Ÿ/ÊS, vŸ*E)
est un isomorphisme.
L'assertion (ii) rŽsulte encore de (i).
Pour prouver (i), observons tout d'abord que le lemme de Chow prŽcis [GR2, cor.
5.7.14] permet de trouver un Žclatement v' : Y" @ Y' centrŽ en dehors de X, tel que v" :Y"ÊÊ@ Y soit projectif. Il sufÞt alors de montrer que v'Ê* et v"Ê* sont des Žquivalences decatŽgories. On est ainsi ramenŽ au cas o• v est projectif.
L'assertion est locale sur Y, qu'on peut donc supposer afÞne. Soit i : Y @ P une
immersion fermŽe dans un schŽma formel afÞne, lisse sur S au voisinage de X. On peut
trouver un espace projectif (formel) P' = æŸP N sur P, et une P-immersion fermŽe i' :Y'ÊÊ@ÊÊP'Ê; soit P'Y = P' |P Y. Le caract•re local en X de la catŽgorie des isocristauxsurconvergents le long de Y - X (cf. (2.2.17)) montre qu'il sufÞt de prouver le thŽor•mepour une base d'ouverts de XÊ; on peut ainsi supposer qu'il existe un entier m et une
section s Ô â(P'YÊ, oP'YŸ(m)) telle que X = Y'ÊÊõ D(s) dans P'YÊ. On peut de plus supposer D(s)assez petit pour qu'il existe des sections `t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`tN Ô â(D(s), oP' ) formant une suite rŽYÊguli•re de gŽnŽrateurs de l'idŽal de X dans D(s). Quitte ˆ multiplier les `ti par une
puissance de s, on peut supposer qu'il existe un entier d tel qu'ils se prolongent en une
famille de sections, encore notŽes `tiÊ, de â(P'YÊ, oP'YŸ(md)). Soient t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtN Ô â(P', oP'(md))- 73 -

2.28

P. BERTHELOT

relevant les `tiÊ, et T Ç P' le sous-schŽma formel des zŽros de t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtNÊ. Comme la catŽgorie
des isocristaux surconvergents ne dŽpend que d'un voisinage strict arbitrairement petitde ]ŸXŸ[, on peut d'apr•s (1.2.11) supposer que Y' est l'adhŽrence de X dans P'YÊ; Y' est alors
un sous-schŽma fermŽ de T.
Par construction, le morphisme T @ P est Žtale aux points de X. Le diagrammecommutatif
YŸ' ##@ T
vÉ

É u'
À
À
j
i
X Ì#@
Ê
YÊ Ì#@
ÊPj'vŽriÞe alors les hypoth•ses du thŽor•me (1.3.5), et il en est de m•me du diagrammeanalogue o• l'on remplace P et T par P |S P et T |S T. Par suite, u'K (resp. u'K | u'K) induit
un isomorphisme entre un voisinage strict de ]ŸXŸ[T dans ]Y'[T (resp. de ]ŸXŸ[TÊ2 dans
]Y'[TÊ2) et un voisinage strict de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[P (resp. de ]ŸXŸ[PŸ2 dans ]YŸ[PŸ2). Le foncteuru'Ê* induit donc une Žquivalence entre la catŽgorie des jŸ“Ÿo -modules cohŽrents, munisK]YŸ[d'une connexion intŽgrable surconvergente, et la catŽgorie analogue sur ]Y'[TÊ; commeuK'Ê* est une rŽalisation de vŸ*, le thŽor•me en rŽsulte.
(2.3.6) DŽÞnition. Ñ Soient X un k-schŽma sŽparŽ de type Þni, et Ÿ†X une compactiÞcation de X au-dessus de S. La catŽgorie des isocristaux sur X, surconvergents le long deŸ†XÊÊ- X, est appelŽe simplement catŽgorie des isocristaux surconvergents sur XÊ/ÊS, et notŽIsoc “(ŸXÊ/ÊS).
Il rŽsulte en effet du thŽor•me prŽcŽdent que cette catŽgorie ne dŽpend pas, ˆŽquivalence canonique pr•s, du choix de la compactiÞcation Ÿ†X : si Ÿ†X' est une autre
compactiÞcation, soient Ÿ†X" l'adhŽrence schŽmatique de X plongŽ diagonalement dansŸ†XÊÊ|S Ÿ†X', v : Ÿ†X" @ Ÿ†X, v' : Ÿ†X" @ Ÿ†X' les morphismes induits par les deux projectionsÊÊ; lesfoncteurs vŸ* et v'Ÿ* sont alors des Žquivalences de catŽgories.
La catŽgorie des isocristaux surconvergents sur XÊ/ÊS est fonctorielle en (ŸX,ÊÊS). En
effet, pour tout carrŽ commutatif
XŸ' ##@ S'
wÉ

É
À
À
XŸ ##@ S,

on peut trouver des compactiÞcations Y, Y' de X et X' au-dessus de S et S', telles qu'il
existe un k-morphisme v : Y' @ Y prolongeant w : si l'on choisit des compactiÞcations
arbitraires de X et X' entre lequelles w ne se prolonge pas nŽcessairement, il sufÞt deremplacer Y' par l'adhŽrence schŽmatique de X' dans Y' |S Y, et le prolongement v est
alors induit par la projection sur Y. Par ailleurs, si l'on change de compactiÞcations etde prolongements, la mŽthode du plongement diagonal, et le thŽor•me (2.3.5) appliquŽ

- 74 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.29

aux projections, montrent qu'il existe un isomorphisme canonique entre les foncteurs vŸ*
correspondants. A isomorphisme canonique pr•s, on peut donc dŽÞnir le foncteur image
inverse w Ÿ* pour les isocristaux surconvergents sur XÊ/ÊS comme Žtant le foncteur vŸ*. OnvŽriÞe encore aisŽment l'existence(wÊ¡Êw')*ÊÊ– Êw'Ÿ*Ê¡ÊwŸ*, pour w' : X" @ X'.

d'unisomorphisme

canoniquede foncteurs

D'apr•s (2.3.5) (ii), le module des sections horizontales d'un isocristal surconvergent
E sur X est indŽpendant de la compactiÞcation choisieÊ; il est Žvidemment fonctoriel en X
et E.
Remarque. Ñ Supposons qu'il existe une immersion fermŽe de X dans un v-schŽma TsŽparŽ, de type Þni, et lisse au voisinage de X. Nous avons vu en (1.3.10) qu'il est possiblede dŽÞnir la notion de syst•me fondamental de voisinages stricts de ]ŸXŸ[ dans TÊansans
Kfaire intervenir explicitement de compactiÞcation de T, donc de X. Commela“construction de la catŽgorie Isoc (ŸXÊ/ÊKŸ) ne dŽpend que d'un syst•me fondamental devoisinages stricts de ]ŸXŸ[ dans ]ŸŸ†XŸ[, elle peut •tre dŽcrite ˆ partir de l'espace analytiqueTÊan
K , sans faire intervenir explicitement de compactiÞcations. Nous ne chercherons pas ˆdŽvelopper cette description en toute gŽnŽralitŽ, mais nous l'expliciterons en (2.5) lorsque
X est afÞne et lisse, pour donner une description de style Monsky-Washnitzer deIsoc“(ŸXÊ/ÊKŸ).

(2.3.7) Pour introduire la notion de F-isocristal (sur)convergent, nous supposerons que
S = SpecÊv, que le corps rŽsiduel k de v est de caractŽristique p > 0, et que X est un ouvert
d'un k-schŽma de type Þni Y.
Tout d'abord, si § : K @ K' est une extension de corps munis d'une valeur absolue
ultramŽtrique, v' l'anneau d'entiers de K', et k' son corps rŽsiduel, soient X', Y' dŽduitsde X, Y par le changement de base de k ˆ k'. On dispose d'un foncteur de changement debase Žvident§* : Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊKŸ) Ê##@ Isoc“(ŸX',ÊY'Ê/ÊK').
Supposons en particulier donnŽ un rel•vement § : K @ K du Frobenius de k. Si E est
un isocristal sur XÊ/ÊK, surconvergent le long de Y - X, son image inverse F§ÊŸ*ÊE par
Frobenius s'obtient en appliquant le foncteur de changement de base §*, puis le foncteur
image inverse par le Frobenius (FXÊ, FY) : (ŸX, YŸ) @ (ŸXŸ(Ÿp), YŸ(Ÿp)). Nous appelerons Fisocristal sur XÊ/Ÿ(K,Ê§), surconvergent le long de Y - X, la donnŽe d'un isocristal E surXÊ/ÊK, surconvergent le long de Y - X, et d'un isomorphisme de Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊKŸ) :à : FÊÊ§ *ÊE Ê#›#@ E,appelŽ Frobenius de E. En prenant le cas particulier o• Y est une compactiÞcation de X
(resp. Y = X), on obtient la notion de F-isocristal surconvergent sur XÊ/Ÿ(K,Ê§) (resp.
convergent).

- 75 -

2.30

P. BERTHELOT

Nous noterons F-Isoc“(ŸX,ÊYÊ/ÊKŸ) (resp. F-Isoc“(ŸXÊ/ÊKŸ), resp. F-Isoc(ŸXÊ/ÊKŸ)) la catŽgorie des F-isocristaux sur X surconvergents le long de Y - X (resp. des F-isocristauxsurconvergents sur X, resp. convergents sur X). C'est encore une catŽgorie abŽlienne,
munie d'un produit tensoriel et d'un hom interneÊ; si E, F sont des F-isocristauxsurconvergents, le Frobenius de hom(E, F) est dŽÞni en posant, pour tout f : E @ F,àhom(E, F)(FÊ§ Ÿ*(ŸfŸ)) = àF ì FÊÊ§ *(ŸfŸ) ì àEÊ-1.
(2.3.8) Exemples. Ñ Nous reprenons ici les exemples de (2.2.15), qui sont des isocristauxsurconvergents.
(i) Pour tout X, de compactiÞcation Ÿ†X, le jŸ“Ÿo]Ÿ†XŸ[-module jŸ“Ÿo]Ÿ†XŸ[Ê, muni de la dŽrivation canonique, dŽÞnit un isocristal surconvergent sur XÊ/ÊK, qu'on note oXÊ/ÊKÊ. On aFÊ§ Ÿ*ÊoXÊ/ÊK = oXÊ/ÊKÊ, ce qui permet de munir oXÊ/ÊK d'une structure de F-isocristal surconvergent, en prenant à = Id.
On dŽÞnit le F-isocristal de Tate oXÊ/ÊK(1) comme Žtant Žgal ˆ l'isocristal surconvergent oXÊ/ÊK muni du Frobenius à dŽÞni par la multiplication par pŸ-1. Pour tout n Ô ç, onpose oXÊ/ÊK(n) = oXÊ/ÊK(1)¿Ên, et, pour tout F-isocristal surconvergent E et tout n Ô ç, ondŽÞnit le twist de Tate E(n) comme Žtant E ¢ oXÊ/ÊK(n)Ê; autrement dit, E(n) est le
F-isocristal surconvergent dŽduit de E en multipliant F par pŸ-n.
(ii) L'exemple (2.2.15)ÊÊ(ii)ÊÊa) dŽÞnit un isocristal surconvergent sur •1è Ê/ÊÝp(¹), notŽpencore l¹Ê. Si on choisit pour rel•vement de Frobenius sur K l'identitŽ de Ýp(¹), et pourrel•vement sur æ1vÊ l'ŽlŽvation ˆ la puissance p-i•me des coordonnŽes projectives (t, t'),FÊÊ§ *Êl¹ est le module jŸ“Ÿo]YŸ[ muni de la connexion ø§ dŽÞnie parø§(1) = -Ê¹ÊpÊtÊpÊ-1Êdt.
On dŽÞnit à : FÊ§ Ÿ*Êl¹ÊÊ@Êl¹ comme Žtant l'endomorphisme de jŸ“Ÿo]YŸ[ dŽÞni par lamultiplication par expÊ¹(t - tÊp), sŽrie qui est bien une section de jŸ“Ÿo]YŸ[Ê, car de rayon de2

convergence p(pŸ-1)Ÿ/Êp > 1 [Dw1, 21.1]. On obtient ainsi le F-isocristal de Dwork associŽ ˆ¹, qui peut par ailleurs s'interprŽter comme facteur direct sur Ýp(¹) de la cohomologie
rigide relative du rev•tement d'Artin-Schreier de •1èp [Be3, (1.5)].
(iii) De m•me, l'exemple (2.2.15) (ii) b) dŽÞnit un isocristal surconvergent surGÊ/ÊÝ , qu'on notera encore k . Avec le rel•vement de Frobenius utilisŽ en (ii), FÊŸ*Êk
m,Êèp

pÊ

aÊ

§

a

est le module jŸ“Ÿo]YŸ[ munie de la connexion ø§ dŽÞnie parø§(1) = aÊpÊtÊ-1Êdt.
Pour qu'il existe sur ka une structure de F-isocristal, il faut et il sufÞt que a soit de laforme mÊ/Ÿ(p - 1), avec m Ô ç, et celle-ci est alors dŽÞnie par la multiplication par tm. On
obtient ainsi un F-isocristal de Kummer, qui s'interpr•te aussi comme facteur direct dela cohomologie rigide relative du rev•tement de Kummer de Gm dŽÞni par l'ŽlŽvation ˆ lapuissance (Êp - 1)-i•me [Be3, (2.2)].

- 76 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.31(2.3.9) Remarques. Ñ On dispose donc de deux catŽgories d'isocristaux sur X,
fonctorielles en X : les isocristaux convergents et les isocristaux surconvergents. Lorsque
X est propre, ces deux catŽgories co•ncident par construction. Dans le cas gŽnŽral, la
condition de surconvergence est nŽcessaire pour pouvoir dŽvelopper un bon formalisme
cohomologique, comme nous le verrons plus loin, et il ne fait pas de doute que ce soit
parmi les isocristaux surconvergents, et m•me certainement parmi les F-isocristauxsurconvergents, qu'il faille chercher l'analogue p-adique de la catŽgorie des faisceauxlisses ù-adiques, ou des syst•mes locaux sur le corps des complexes. NŽanmoins, on
rencontre naturellement des isocristaux convergents, mais non nŽcessairement surconvergents, et les relations entre ces deux catŽgories mŽritent d'•tre ŽtudiŽes.
(i) Le foncteur naturel Isoc“(ŸXÊ/ÊS) @ Isoc(ŸXÊ/ÊS), qui s'interpr•te, pour tout
plongement Ÿ†X ÌÊÊÊ@ P, comme la restriction de ]ŸŸ†XŸ[P ˆ ]ŸXŸ[PÊ, est Þd•le d'apr•s (2.2.9).
(ii) On ignore par contre si ce foncteur est pleinement Þd•le en gŽnŽral. En utilisantle hom interne, on se ram•ne comme d'habitude ˆ un probl•me sur les sections horizontales : si s est une section horizontale dŽÞnie sur ]ŸXŸ[ d'un isocristal surconvergent E surX, peut-on prolonger s en une section (nŽcessairement horizontale) de E sur ]ŸŸ†XŸ[ ? EnŽcrivant E = jŸ“Ÿe, o• e est un oV-module cohŽrent muni d'une connexion intŽgrable sur
un voisinage strict V de ]ŸXŸ[, il revient au m•me de demander si toute section horizontale
de e sur ]ŸXŸ[ se prolonge en une section (horizontale) sur un voisinage strict de ]ŸXŸ[.
Dans le cas particulier o• X = •1kÊ, Y = æ1kÊ, on est confrontŽ ˆ un probl•me gŽnŽral dela thŽorie des syst•mes diffŽrentiels linŽaires p-adiques : Žtant donnŽs un syst•me
Y'ÊÊ=ÊÊAY, o• A est une matrice de fonctions analytiques sur un disque D(0,ÊÊ¨-) Ç •1kÊ,¨ÊÊ>ÊÊ1, et une solution Y dŽÞnie sur le disque fermŽ D(0,Ê1+Ÿ), Y est-elle en fait convergente
sur un disque de rayon ¨' > 1 ? Dans le cas d'un syst•me de rang 1, Dwork et Robba [Ro1]ont apportŽ une rŽponse positive ˆ cette question. Plus gŽnŽralement, Crew a montrŽ
[Cr1, Th.Ê4.10] que le foncteur Isoc“(ŸXÊ/ÊKŸ) @ Isoc(ŸXÊ/ÊKŸ) est pleinement Þd•le lorsque X
est une courbe, et qu'on se limite aux isocristaux de rang 1.
(iii) EnÞn, le foncteur Isoc“(ŸXÊ/ÊKŸ) @ Isoc(ŸXÊ/ÊKŸ) n'est pas essentiellement surjectif engŽnŽral. Crew a en effet montrŽ [Cr1, Th.Ê4.12] qu'un F-isocristal unitŽ (i.e. dont la Þbreen chaque point de X n'a que la pente 0) surconvergent de rang 1 sur une courbe X
correspond ˆ un caract•re de ¹1(ŸXŸ) ˆ valeurs dans K, ˆ monodromie locale Þnie (i.e. telque l'image du groupe d'inertie en chaque point ˆ l'inÞni de X soit Þnie). Il en tire [Cr1,4.15] l'exemple suivant, montrant qu'un sous-isocristal convergent d'un isocristal
surconvergent n'est pas nŽcessairement surconvergent. Soit X la courbe obtenue ˆ partird'une courbe modulaire Y sur k, de niveau ³Ê3, en enlevant les points supersinguliers, etsoit f : C @ X la courbe elliptique ordinaire universelle sur X. Comme la situationconsidŽrŽe se rel•ve algŽbriquement en c @ y, le faisceau de cohomologie rigide relative
E = R1frigÊ*(CÊ/Êy) est un F-isocristal surconvergent sur X (comme on le verra plus loin).
Par contre, le sous F-isocristal unitŽ E' de E (dŽÞni par exemple ˆ partir de (2.4.1) plus
bas et de la comparaison entre cohomologie cristalline et cohomologie rigide, et a prioridonc seulement convergent) ne vŽriÞe pas la condition de Crew, d'apr•s un thŽor•me- 77 -

2.32

P. BERTHELOT

d'Igusa, et n'est donc pas un F-isocristal surconvergent. Ce n'est pas non plus u n
isocristal surconvergent, car, si c'Žtait le cas, E' serait la restriction d'un jŸ“Ÿo]YŸ[-modulecohŽrent, encore notŽ E', et l'homomorphisme composŽ
FŸ*E' Ê#@ FŸ*EÊ Ê#@ E ÊÊ#@ EÊ/ÊE',Žtant nul sur le tube ]ŸXŸ[y, serait nul sur un voisinage strict de ]ŸXŸ[y d'apr•s (2.1.11), desorte que le Frobenius à de E induirait une structure de F-isocristal surconvergent sur
E', prolongeant sa structure de F-isocristal convergent.

2.4. F -Isocristaux convergents associŽs aux F -cristaux
Nous supposons dans cette section que v est un anneau de valuation discr•tecomplet, d'inŽgales caractŽristiques (0, p), de corps rŽsiduel k, muni d'un rel•vement §du Frobenius de kÊ; on note ¹ une uniformisante de v, et on suppose que l'indice de ramiÞcation de v satisfait la relation e ² p - 1. Soit X un k-schŽma de type Þni. Nous allons
montrer ici comment associer ˆ tout F-cristal non dŽgŽnŽrŽ M sur XÊ/Ÿ(v, §) u n
F-isocristal convergent MÊan sur XÊ/Ÿ(K, §).
(2.4.1) Pour tout cristal M sur X, nous noterons FŸ*M le cristal sur X image inverse de M
par le morphisme de Frobenius (F, §) : (ŸX, vŸ) @ (ŸX, vŸ). Rappelons qu'un F-cristal nondŽgŽnŽrŽ M sur XÊ/Ÿ(v, §) est un cristal M sur XÊ/Êv muni d'un morphisme de cristaux à :FŸ*M @ M tel qu'il existe un morphisme de cristaux V : M @ FŸ*M vŽriÞant VÊ¡Êà = pn,àÊ¡ÊV = pn, pour un certain entier n. Soit i : X ÌÊÊÊ@ P une immersion fermŽe dans u nv-schŽma formel lisse. La construction de MÊan s'effectue en deux Žtapes :(i) si M est un cristal de type Þni sur X, on lui associe un Òisocristal convergent derayon de convergence ¾¹¾Ó, i.e. un module cohŽrent MP sur [ŸXŸ]P,Ê¾¹¾ muni d'un isomorphisme ª Ê: pŸ*ŸM Ê#ÊÊ›Ê@ pŸ*ŸM sur [ŸXŸ], vŽriÞant la condition de cocycleÊ;
P

2

P

1

PŸ2,Ê¾¹¾ÊP(ii) si M est un F-cristal non dŽgŽnŽrŽ, l'action de Frobenius permet de prolonger
canoniquement MP (resp. ªPÊ) sur ]ŸXŸ[P (resp. ]ŸXŸ[PŸ2Ê), en reprenant une mŽthode deDwork (cf. l'exposŽ de Katz [Ka1]).
Le caract•re fonctoriel de la construction permettant le recollement, on suppose P^… , ß^… 'afÞne, soit P = SpfÊA. Soient I Ç A, J Ç AÊÊ^Ÿ¢ A les idŽaux de X dans P et dans PÊÊ| P, et ß
les sŽparŽs complŽtŽs p-adiques des enveloppes ˆ puissances divisŽes ß, ß' de I et J.
Rappelons qu'un cristal de type Þni M sur X est dŽÞni par un module de type Þni, sŽparŽ
et complet M ^Ÿß sur ^…ß, muni d'un isomorphismeª^Ÿß : ^Ÿß' ^Ÿ¢ M^Ÿß Ê#›#@ M^Ÿß ^Ÿ¢ ^Ÿß'entre les images inverses de M^Ÿß dŽÞnies par les deux projections de P | P sur P, ª^ŸßvŽriÞant la condition de cocycle.
Soient f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr des gŽnŽrateurs de I, et ¨ l'homomorphisme composŽ

- 78 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.33¨ : ß Ê##@ A ¢ K Ê##@ (ÊA ¢ KÊ){Ti}Ÿ/Ÿ(Ÿfi - ¹ŸTi),(2.4.1.1)

dont le but est l'alg•bre de l'ouvert afÞno•de [ŸXŸ]P,Ê¾¹¾ de PKÊ. Pour que ¨ se factorisepar ^…ß, il faut et sufÞt que ¨ soit continu pour la topologie ¹-adique de ß, ce qui Žquivaut ˆ
dire que l'image de ß dans (ÊA ¢ KÊ){Ti}Ÿ/Ÿ(ŸfiÊÊ-Ê¹ŸTi) est bornŽe. Comme ß est engendrŽ parr] comme A-module, il sufÞt de vŽriÞer que les images de ceux-ci
les ŽlŽments f1ÊÊ[q1].Ê.Ê.ÊfÊÊ[qrforment un ensemble bornŽ. Or on a1].Ê.Ê.ÊfÊÊ[qr]) = fÊÊq1.Ê.Ê.ÊfÊÊqrÊ/Êq !Ÿ.Ê.Ê.Êq ! = ¹Êq1 + .Ê.Ê. + qr TÊÊq1.Ê.Ê.ÊTÊÊqrÊ/Êq !Ÿ.Ê.Ê.Êq !Ÿ.
¨(ŸfÊÊ[q
1
r
1
r
1
r
1
r
1
r

Puisque e ² p - 1, les ŽlŽments ¹Êq1Ê+Ê.Ê.Ê.Ê+ÊqrÊ/Êq1!Ÿ.Ê.Ê.Êqr! sont des entiers p-adiques, etÊÊqr
1l'ensemble des mon™mes TÊÊqest bornŽ, d'o• l'assertion.
1 .Ê.Ê.ÊTr
L'homomorphisme^… Ê##@ (ŸA ¢ KŸ){Ti}Ÿ/Ÿ(Ÿfi - ¹ŸTi)^¨ : ß

(2.4.1.2)

qui prolonge ¨ permet donc de dŽduire de M^Ÿß un module de type Þni sur l'alg•bre(ŸAÊÊ¢ÊÊKŸ){Ti}Ÿ/Ÿ(Ÿfi - ¹ŸTi), qui dŽÞnit donc un module cohŽrent MP sur [ŸXŸ]P,Ê¾¹¾Ê. La m•me^… ' permet de dŽduire l'isomorphisme ªP de ª^ŸßÊ, d'o• l'Žtape (i) de lamŽthode appliquŽe ˆ ßconstruction.
Supposons maintenant que M soit un F-cristal. Soit F : P @ P un rel•vement du
Frobenius absolu de P | SpecÊk, semi-linŽaire au-dessus du Frobenius § de v. Alors F
induit un morphisme §-semi-linŽaire d'espaces analytiques FK : PK @ PKÊ. Si l'on poseÊ-ÊnÚnÊÊ= ¾¹¾p , on a alors pour tout n ³ 0 :FKŸ([ŸXŸ]P,ÊÚ

(2.4.1.3)

n+1) Ç [ŸXŸ]P,ÊÚnÊ.

p
On a en effet FÊK *Ÿ(ŸfiŸ) = fiŸÊ + ¹ŸgiÊ, avec gi Ô A, et il en rŽsulte, pour x Ô [ŸXŸ]P,ÊÚn+1 :¾Ÿfi(FKŸ(x))¾ = ¾FÊK *Ÿ(Ÿfi)(x)¾ = ¾Ÿfi(x)Ÿp + ¹Ÿgi(x)¾ ² ÚnÊ.Ê

^… @ ß
^… , et (FÊ*M)^Ÿß se dŽduit de M^Ÿß par cetteD'autre part, F induit un homomorphisme ßextension des scalaires. Comme M est un F-cristal non dŽgŽnŽrŽ, l'homomorphisme à :(FÊ*M)^Ÿß @ M^Ÿß dŽÞnissant la structure de F-cristal donne un isomorphisme apr•s tensorisation par K. Posons M = M , et, pour tout n, soit M = (FÊ*)nÊM le module cohŽrent
0

PÊ

n

K

0

sur [ŸXŸ]P,ÊÚn dŽduit de M0 gr‰ce ˆ (2.4.1.3). Alors (FÊK *)nŸ(à) induit un isomorphisme entre
Mn et la restriction ˆ [ŸXŸ]P,ÊÚn de Mn+1Ê. On obtient ainsi par recollements successifs u n
module cohŽrent MŸan sur ]ŸXŸ[PÊ, muni d'un isomorphisme FÊK *ÊMŸan Ê#ÊÊ›Ê@ MŸan. Comme à^Ÿß
est un morphisme de cristaux, il vŽriÞe la relationª^Ÿß ¡ p2Ÿ*(à^Ÿß) = p1Ÿ*(à^Ÿß) ¡ (ÊF | FÊ)*(ª^Ÿß).
Il en rŽsulte que ªP se prolonge en un isomorphisme p2Ÿ*ÊMŸan Ê#ÊÊ›Ê@ p1Ÿ*ÊMŸan sur ]ŸXŸ[PŸ2Ê, qui
satisfait la condition de cocycle. On obtient donc ainsi un F-isocristal convergent M ŸanÊ; il
est clair que cette construction est fonctorielle en M et en X.

(2.4.2) THƒORéME. Ñ Soit X un k-schŽma de type Þni. Le foncteur qui ˆ un F-cristal
non dŽgŽnŽrŽ M sur X associe le F-isocristal convergent MŸan est pleinement Þd•le sur la- 79 -

2.34

P. BERTHELOTcatŽgorie des F-cristaux non dŽgŽnŽrŽs ˆ isogŽnie pr•s. Si X est lisse sur k, il existe pour
tout F-isocristal convergent N un F-cristal non dŽgŽnŽrŽ M sur X et un entier n ³ 0 telsque N – MŸan(n) (o• MŸan(n) est le twist de Tate dŽÞni en (2.3.8) (i)).
Montrons d'abord la pleine ÞdŽlitŽ de M ˜ÊÊÊ@ MŸan. En prenant le hom interne, il sufÞt
de montrer que ce foncteur induit une bijection entre les sections de M horizontales etinvariantes par Frobenius (tensorisŽes par Ý), et celles de MŸan .
L'assertion est locale sur X, que nous supposerons afÞne. Soient X ÌÊÊÊ@ P une
immersion fermŽe dans un v-schŽma formel afÞne et lisse, et F : P @ P un rel•vement
du Frobenius absolu de P | SpecÊk. Reprenant les notations de (2.4.1), on posen

Bn = â([ŸXŸ]Ú , o]ŸXŸ[) = (ÊA ¢ KÊ){Ti}Ÿ/Ÿ(ÊfÊÊi p - ¹ŸTi).
nÊ
Si l'on note
Ên

^¨

F

^… Ê##@ B0 Ê##@ Bnán : ß
l'homomorphisme dŽduit de (2.4.1.2) et (2.4.1.3), on a par construction des isomorphismesâ([ŸXŸ]Ú , MŸan) Ê#›#@ ánÊ*(Bn) ¢^Ÿß M^ŸßÊ,nÊâ(]ŸXŸ[, MŸan) = ÊlimÊn â([ŸXŸ]Ú , MŸan) Ê#›#@ ÊlimÊn ánÊ*(Bn) ¢^Ÿß M^ŸßÊ,
Ò #

Ò #

nÊ

les morphismes de transition Žtant dŽÞnis d'une part par les homomorphismes
án+1Ê*(Bn+1) @ ánÊ*(Bn) (correspondant ˆ la restriction de [ŸXŸ]Ún+1 ˆ [ŸXŸ]Ún), semi-linŽaires
par rapport ˆ FÊ, d'autre part par l'homomorphisme semi-linŽaire M^ŸßÊÊ@ M^Ÿß dŽÞni par
à. L'homomorphisme canonique(2.4.2.1)

Æ : (M^Ÿß ¢ Ý)øÊ=Ê0, àÊ=ÊId Ê##@ â(]ŸXŸ[, MŸan)øÊ=Ê0, àÊ=ÊId

associe alors ˆ s Ô M^Ÿß ¢ Ý la famille Æ(s) = (ánŸ*(s))n qu'on en dŽduit par extension desscalaires via les ánÊ.
En sens inverse, on dispose d'un homomorphisme´^… ¢ Ý,(2.4.2.2) â(]ŸXŸ[, o]ŸXŸ[)Ÿ Ê#@Ê â([ŸXŸ]Ú , o]ŸXŸ[) = (ÊA ¢ KÊ){Ti}Ÿ/Ÿ(ÊfÊÊi p - ¹ŸTi)Ÿ Ê#@Ÿ ß
1Ê

^… en
o• ´ est dŽÞni comme suit. On dŽÞnit d'abord un homomorphisme A[Ti] @ ß
ŸÊ[p]
Ÿ-1
envoyant Ti sur (¹ ŸpÊ!)Ÿfi . En passant aux complŽtŽs, en tensorisant par Ý, et enobservant que ¹ŸTi a pour image p!ÊfŸi Ê[p] = fÊÊpi , on en tire l'homomorphisme cherchŽÊ; il est
clair qu'il commute aux endomorphismes dŽÞnis par ceux de A, et notamment ˆ F. On
en dŽduit alors un homomorphisme(2.4.2.3)

Æ' : â(]ŸXŸ[, MŸan)øÊ=Ê0, àÊ=ÊIdŸ Ê##@ (M^Ÿß ¢ Ý)øÊ=Ê0, àÊ=ÊId

en composant la restriction de ]ŸXŸ[ ˆ [ŸXŸ]Ú1 avec l'homomorphisme´Ê¿ÊIdà… ) ¢^Ÿß M^Ÿß ¢ Ý Ê##@ M^Ÿß ¢ Ý.
â([ŸXŸ]Ú1Ê, MŸan) – á1Ê*(B1) ¢^Ÿß M^Ÿß Ê###@ F*(^ßComme l'homomorphisme composŽ

- 80 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

^¨

F

2.35

´

^… ¢ Ý Ê##@ B0 Ê##@ B1 Ê##@ ß^… ¢ Ý
ß
est l'homomorphisme induit par F, on voit que, pour s Ô (M^Ÿß ¢ Ý)øÊ=Ê0, àÊ=ÊIdÊ, l'image parÆ' de Æ(s) est à(FŸ*(s)) = s.
RŽciproquement, soient t Ô â(]ŸXŸ[, M Ÿan)ø = 0, à = IdÊ, et sÊÊ= Æ'(t). L'homomorphisme
composŽ´^¨^… ¢ Ý Ê##@ B0
B1 Ê##@ ß
est celui que dŽÞnit la restriction de [ŸXŸ]Ú1 ˆ [ŸXŸ]Ú0Ê, si bien que la restriction de Æ(s) ˆ[ŸXŸ]Ú est Žgale ˆ celle de t. Il rŽsulte alors de (2.4.1.3) que Æ(s) et t, ayant m•me
0restriction sur [ŸXŸ]Ú , co•ncident sur ]ŸXŸ[. Par suite, Æ et Æ' sont des isomorphismes0ÊrŽciproques.
Supposons maintenant X lisse sur k, et soit N un F-isocristal convergent sur X.
Gr‰ce ˆ la pleine ÞdŽlitŽ, l'existence d'un entier n ³ 0 et d'un F-cristal M tels que N –MŸan(n) est une propriŽtŽ locale sur X, ce qui permet de supposer X afÞne et relevŽ en u n^… ' l'enveloppe ˆ puissances divisŽes complŽtŽe
schŽma formel P lisse sur W. Soit encore ßde l'idŽal de X dans P | P. Un rŽsultat d'Ogus [Og2, prop. 7.3] entra”ne qu'il existe u ncristal M, qu'on peut supposer sans p-torsion, tel que N, muni de l'isomorphisme^… ¢ N Ê#›#@ N ¢ ß^…
ª : ß^… , soit isomorphe ˆdŽduit de ª : p2Ÿ*ÊN Ê#ÊÊ›Ê@ p1Ÿ*ÊN par l'homomorphisme â(]ŸXŸ[PŸ2Ê, o]ŸXŸ[) @ ßMÊÊ¢ Ý, muni de l'isomorphisme analogueÊ; de plus, l'isomorphisme à : F Ÿ*N Ê#ÊÊ›Ê@ N
correspond ˆ un ŽlŽment de Hom(FŸ*M, M) ¢ Ý, de sorte qu'il existe un entier n tel quepnÊà Ô Hom(FÊ*M, M). Il est alors clair que M, muni de pnÊà, est un F-cristal nondŽgŽnŽrŽ, encore notŽ M, et que N est isomorphe ˆ MŸan(n).

2.5. F-isocristaux surconvergents sur un schŽma afÞne et lisse
Nous supposons encore que v est un anneau de valuation discr•te d'inŽgales
caractŽristiques, de corps rŽsiduel k, mais l'indice de ramiÞcation e est ici quelconqueÊ;nous noterons ¹ une uniformisante de v. Le rŽsultat principal de cette section est l'interprŽtation dans le cadre de la thŽorie de Monsky-Washnitzer de la notion de F-isocristal
surconvergent sur un k-schŽma afÞne et lisse.

(2.5.1) Soient X = SpecÊŸA0 un k-schŽma afÞne et lisse, et A une v-alg•bre lisse relevant
A0Ê. Nous nous proposons de montrer que, si A“ est la complŽtŽe faible de A, et F : A“ @ A“
un rel•vement de Frobenius, la donnŽe d'un F-isocristal surconvergent sur X Žquivaut ˆcelle d'un (ŸA“ ¢ KŸ)-module projectif de type Þni M, muni d'une connexion intŽgrable ø :M @ M ¢A“ ã1A“Ê, et d'un isomorphisme horizontalà : (MÊ§, øŸ§) Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ (M, ø),- 81 -

2.36

P. BERTHELOTo• (MÊ§, øŸ§) est dŽduit de (M, ø) en Žtendant les scalaires par F.
Fixons comme en (2.1.2) une prŽsentation A – vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/ÊI, et soient P le complŽtŽ
formel de la fermeture projective de x = SpecÊŸA dans æŸv nÊ, Y sa rŽduction sur k, j : X ÌÊÊÊ@ Y.
On a alors ]YŸ[P = PKÊ, et nous avons vu qu'un syst•me fondamental de voisinages strictsde ]ŸXŸ[P est formŽ des intersections UÂ de xKÊan avec les boules B(0, Â+) Ç •nKÊ, pour ÂÊÊ@ 1 + .
Rappelons que, d'apr•s (2.1.2.4), on a
(2.5.1.1)

â(PKÊ, jŸ“ŸoPKÊ) – â(xKÊanÊ, jŸ“ŸoPKÊ) – â(UÂÊ, jŸ“ŸoPKÊ)– limÊÂÊâ(UÂÊ, oUÂ) – A“ ¢ K.
#@

Pour Â > 1, nous poserons AÂ = â(UÂÊ, oUÂ).
(2.5.2) P ROPOSITION. Ñ Avec les notations de (2.5.1), le foncteur â(xÊanK Ê, -Ÿ) induit uneŽquivalence entre :(i) La catŽgorie des jŸ“ŸoPKÊ-modules cohŽrents, et celle des (ŸA“ ¢ KŸ)-modules de typeÞniÊ;(ii) La catŽgorie des jŸ“ŸoP Ê-modules cohŽrents ˆ connexion intŽgrable (resp. desK
isocristaux surconvergents sur XŸ), et celle des (ŸA“ ¢ KŸ)-modules projectifs de type Þnimunis d'une connexion intŽgrable (resp. dont la sŽrie de Taylor converge sur un voisi| xÊannage strict de la diagonale dans xÊanKK ).
D'apr•s (2.1.10), un jŸ“ŸoP -module cohŽrent E est de la forme jŸ“Ÿe, o• e est un moduleKcohŽrent sur un voisinage strict UÂÊ. Comme UÂ est afÞno•de, la donnŽe de e Žquivaut ˆcelle du AÂ-module de type Þni MÂ = â(UÂÊ, e), et, pour Â' < Â, la restriction de e ˆ UÂ' estdŽÞnie par MÂ ¢A AÂ'Ê. Par passage ˆ la limite, on en dŽduit que la donnŽe de E ŽquivautÂˆ celle du (ŸA“ ¢ KŸ)-module de type Þni M = limÊÂÊâ(UÂÊ, e) formŽ par ses sections globales.
#@
De plus, E est localement libre de type Þni si et seulement si M est projectif de type Þni
sur A“ ¢ K. On observera que, d'apr•s (2.1.1), on peut calculer M indiffŽremment par(2.5.2.1)

M = â(PKÊ, E) = â(xÊanK Ê, E) = â(UÂÊ, E),

pour tout Â > 1.
Soient ã1A“ le module des diffŽrentielles de A“ au sens de Monsky-Washnitzer([MW1,Êth. 4.2], [vdP1, (2.3)])Ê; nous poserons ã1A“Ê¢ÊK = ã1A“ ¢ K. Il est clair qu'on a encore
un isomorphismeâ(PKÊ, jŸ“Ÿã1P ) – limÊÂÊâ(UÂÊ, ã1U ) – ã1A“Ê¢ÊKÊ.
KÂ#@Si E est un jŸ“ŸoPK-module localement libre de type Þni muni d'une connexion intŽgrable
ø, on obtient donc en passant aux sections globales une connexion intŽgrable M @ M ¢ã1A“Ê¢ÊK sur M, dont la donnŽe Žquivaut ˆ celle de ø d'apr•s (2.2.3). Il en rŽsulte que lacatŽgorie des isocristaux surconvergents sur XÊ/ÊK est Žquivalente ˆ celle des (ŸA“ÊÊ¢ KŸ)modules projectifs de type Þni M, munis d'une connexion intŽgrable ø : M @ M ¢ ã1A“Ê¢ÊKÊ,dont la sŽrie de Taylor est convergente sur un voisinage strict du tube de la diagonale- 82 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.37

dans xKÊan | xKÊan .
Remarque. ÑRappelons que, d'apr•s (1.2.4) (iv), l'ouvert U de xKÊan dŽÞni par lesconditions ¾t2ÊiŸ(x) - t1ÊiŸ(x)¾ < 1, ×Êi = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Ên, est un voisinage strict du tube de ladiagonale, ce qui permet de se limiter ˆ la recherche du domaine de convergence de lasŽrie de Taylor ˆ l'intŽrieur de U.
Supposons maintenant donnŽ un morphisme
w : X' = Spec A'0 Ê##@ X = Spec A0
entre deux k-schŽmas afÞnes et lisses. On dispose alors du foncteur image inverse wŸ*pour les isocristaux surconvergents dŽÞni en (2.3.6). Soient d'autre part A, A' deux valg•bres lisses relevant A0 et A'0Ê, et A“, A'Ÿ“ leurs complŽtŽes faibles. Si w est dŽÞni par Ä :A0 @ A'0Ê, il existe un homomorphisme ´ : A“ @ A'Ÿ“ relevant Ä [vdP1, (2.4.4)]. Par suite, on
obtient un foncteur ´K* de la catŽgorie des (ŸA“Ê¢ÊKŸ)-modules ˆ connexion intŽgrable danscelle des (ŸA'Ÿ“Ê¢ÊKŸ)-modules ˆ connexion intŽgrable. Nous allons d'abord vŽriÞer que ´KŸ*conserve la surconvergence, et s'identiÞe canoniquement ˆ wŸ*, gr‰ce aux lemmes
suivants :(2.5.3) LEMME. Ñ Soient A, A' deux v-alg•bres de type Þni, A“, A'Ÿ“ leurs complŽtŽes
faibles, ´ : A“ @ A'Ÿ“ un homomorphisme de v-alg•bres. Fixons des prŽsentations A –vŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ÿ/ÊI, A' – vŸ[t'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'n']Ÿ/ÊI', d'o• des immersions fermŽes
i : xK = SpecŸ(ŸA ¢ KŸ) ÌÊÊÊ@ •nKÊ,i' : x'K = SpecŸ(ŸA' ¢ KŸ) ÌÊÊÊ@ •n'ÊK ,et xK'Êan avec les boules fermŽes BÂÊ, B'Â = B(0, Â+)et soient UÂ et U'Â les intersections de xÊanK
dans •nK et •n'), A'Â = â(U'ÂÊ, oxK'Êan).
K , AÂ = â(UÂÊ, oxÊan
K“(i) Pour tous f Ô A et Ú > 1, il existe Â > 1 et f' Ô AÂ d'image fÊ¿Ÿ1 Ô A“ ¢ K, tels que®ŸfŸ® ² Ú, o• ®Ÿ-Ÿ® est la norme sur AÂ quotient de celle de â(BÂÊ, o•nKŸ).
(ii) Pour tout Â > 1, il existe Â' > 1 tel que l'homomorphisme composŽ
AÂ @ A“ ¢ K @ A'Ÿ“ ¢ÊK
se factorise par A'Â'Ê.
Soit f Ô A“. D'apr•s (2.1.2.1), il existe des constantes a, b, et des polyn™mes
PiÊkÊÊÔÊÊvŸ[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn], avec degÊPiÊk ² aŸk + b, tels qu'on puisse Žcrire f sous la forme
f = åÊÊ¹ŸkŸPiÊk(t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn).
k

Pour Â ÞxŽ, on a par dŽÞnition ®ti® ² Â dans AÂÊ, donc ®PiÊk® ² ÂakÊ+Êb, d'o•®ŸfŸ® ² supÊk ¾¹¾ŸkÊÂakÊ+Êb.
Il sufÞt alors de choisir Â tel que ¾¹¾ŸÂa ² 1, et Âb ² Ú pour obtenir (i).

- 83 -

2.38

P. BERTHELOT

Pour prouver (ii), posons fi = ´(ti) Ô A'Ÿ“. D'apr•s (2.5.1.1), il existe Â'0 tel que l'homomorphisme A @ A“ ¢ K @ A'Ÿ“ ¢ K se factorise par un homomorphisme ÄÂ' ÊÊ: A @ A'Â' Ê,
00

envoyant ti sur un ŽlŽment, encore notŽ fiÊ, ayant fi pour image dans A'ŸŸ“ ¢ KÊ; pourÂ'ÊÊ²ÊÊÂ'0Ê, soit ÄÂ' le composŽ AÊÊ@ A'Â'0 @ A'Â'Ê. Pour Â > 1 ÞxŽ, montrons d'abord qu'il existe Â'
tel que 1 < Â' ² Â'0Ê, et que ÄÂ' se factorise par AÂÊ. On peut supposer que Â est de la forme
ÂÊÊ=ÊÊ¾¹¾Ÿ-1/m. Soit A01 la sous-v-alg•bre de A engendrŽe par les ŽlŽments ¹ŸtiÊ; d'apr•s (0.3.1),
A¾¹¾Ÿ-1 est la complŽtŽe de A ¢ K pour la topologie dŽÞnie par les ¹kA0Ê
1 . Comme UÂ est ledomaine spŽcial de U¾¹¾Ÿ-1 dŽÞni par les conditions ¾ti(x)¾ ² Â, l'alg•bre AÂ est dŽÞnie parAÂ = A¾¹¾Ÿ-1{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTn}Ÿ/Ÿ(Ti - ¹ŸtŸi mŸ).
Pour obtenir la factorisation voulue, il sufÞt donc de montrer qu'il existe Â' > 1 tel que lesŽlŽments ¹Ÿfi et ¹Ÿfi Êm soient ˆ puissances bornŽes dans A'Â'Ê, et il sufÞt qu'il en soit ainsidesÊÊ¹Ÿfi Êm. Pour cela, il sufÞt que, pour la norme quotient sur A'Â'Ê, on ait ®¹Ÿfi Êm® ² 1, soit®Ÿfi® ² ¾¹¾Ÿ-1/m, et l'assertion (i) entra”ne l'existence d'un tel Â'.
EnÞn, les homomorphismes AÂ @ A“Ê¢ÊK @ A'Ÿ“Ê¢ÊK et AÂ @ A'Â'Ê¢ÊK @ A'Ÿ“Ê¢ÊK sontŽgaux. En effet, il sufÞt qu'ils le soient apr•s composition avec l'inclusion A'Ÿ“ÊÊ¢ K ÌÊ ÊÊ@^A'ÊÊ¢ K. Comme ils sont Žgaux sur A ¢ K, dont l'image est dense dans AÂÊ, et que tout
morphisme d'alg•bres de Tate est continu, ils co•ncident sur AÂ.
Remarque. Ñ La semi-norme spectrale Žtant majorŽe par toute norme de Banach [BGR,
3.8.2, cor.2], l'assertion (i) est a fortiori valable pour la semi-norme spectrale sur AÂÊ.
(2.5.4) LEMME. Ñ Soient w : X' @ X un morphisme de k-schŽmas, j : X ÌÊÊÊ@ P, j' : X'ÊÊÌÊÊÊ@P' des immersions dans des v-schŽmas formels de type Þni, Y, Y' les adhŽrences de X et
X' dans P et P'. On suppose qu'il existe un ouvert U' Ç P' contenant X', et un vmorphisme u : U' @ P prolongeant w. On suppose de plus qu'il existe un voisinage strict
V'0 de ]ŸX'[P' dans ]Y'[P' et un morphisme u' : V'0 @ PK prolongeant uK : ]ŸX'[P' @ ]ŸXŸ[PÊ.
Alors :(i) Il existe un voisinage strict V' de ]ŸX'[P' tel que V' Ç V'0 et u'(V') Ç ]YŸ[PÊ.
(ii) Pour tout voisinage strict V de ]ŸXŸ[P dans ]YŸ[PÊ, u'Ÿ-1(VŸ) õ V' est un voisinage
strict de ]ŸX'[P' dans ]Y'[P'Ê.
Comme u' prolonge uKÊ, et que u prolonge w, on a u'(]ŸX'[P') Ç ]ŸXŸ[PÊ. Soient ZÊÊ=YÊÊ-ÊÊÊX, Z' = Y' - X'Ê; pour Ú, Â < 1, notons U'Â = P'K - ]Z'[P'ÊÂÊ, et U'ÚÊÂ = [Y']PÊÚ õ U'ÂÊ. Fixons
ÚÊÊ<ÊÊ1. Puisque V'0 est un voisinage strict, il existe Â < 1 tel que U'ÚÊÂ Ç V'0Ê, et il sufÞt demontrer qu'il existe Â' tel que Â ² Â' < 1 et u'(U'ÚÊÂ') Ç ]YŸ[PÊ. Si u'ÚÊÂ est la restriction de u' ˆ
Ê-1
U'ÚÊÂÊ, soit WÚÊÂ = u'ÚÊÂ(PK - ]YŸ[P). Comme U'ÚÊÂ est quasi-compact, il en est de m•me deWÚÊÂÊ. Puisque u'(]ŸX'[P') Ç ]ŸXŸ[PÊ, on a WÚÊÂ Ç ]Z'[P'Ê. Le principe du maximum entra”nedonc qu'il existe Â' < 1 tel que WÚÊÂ Ç ]Z'[P'ÊÂ'Ê, d'o• u'(U'ÚÊÂ') Ç ]YŸ[PÊ.
Pour prouver (ii), on observe d'abord que, puisque u'(]ŸX'[P') Ç ]ŸXŸ[PÊ, ]ŸX'[P' est contenu dans u'Ÿ-1(VŸ). Le recouvrement (]Z[PÊ, VŸ) de ]YŸ[P Žtant admissible, (u'Ÿ-1(]Z[P),- 84 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.39

u'Ÿ-1(VŸ)) est un recouvrement admissible de V'. Comme u'Ÿ-1(]Z[P) Ç ]Z'[P'Ê, (]Z'[P'Ê,u'Ÿ-1(VŸ)) induit un recouvrement admissible de V', ce qui entra”ne que u'Ÿ-1(VŸ) est u nvoisinage strict de ]ŸX'[P' d'apr•s (1.2.3) (iv).
(2.5.5) PROPOSITION. Ñ Soient X, X' deux k-schŽmas sŽparŽs de type Þni, w : X'ÊÊ@ X u n
k-morphisme, wŸ* : Isoc“(ŸXÊ/ÊKŸ) @ Isoc“(ŸX'Ê/ÊKŸ) le foncteur image inverse dŽÞni en (2.3.6).
Soient d'autre part X ÌÊÊ@ T, X' ÌÊÊ@ T' des immersions dans des v-schŽmas sŽparŽs d e^… , T^… ' les complŽtŽs formels de T, T'. On suppose qu'il
type Þni, lisses au voisinage de X, T^… ' contenant X', un v-morphisme u : U' @ T^… prolongeant w, u nexiste un ouvert U' Ç Tvoisinage strict V'0 de ]ŸX'[T' dans TK'Ÿan, et un morphisme u' : V'0 @ TKŸan prolongeant uK :]ŸX'[T' @ ]ŸXŸ[TÊ. Alors :(i) Il existe un voisinage strict V' Ç V'0 de ]ŸX'[T' et un voisinage strict V de ]ŸXŸ[T dansÊan

TK

tels que u'(V') Ç V.
(ii) Si jŸ“ et j'Ÿ“ dŽsignent les foncteurs (2.1.1.1) sur V et V', et si (E, ø) est un jŸ“oV-

module cohŽrent ˆ connexion intŽgrable et surconvergente, la connexion image inverse
sur u'Ÿ*E est encore surconvergente. De plus, la restriction du foncteur u'Ÿ* ˆ la souscatŽgorie Isoc“(ŸXÊ/ÊKŸ) est canoniquement isomorphe ˆ wŸ*.
Soient P, P' des compactiÞcations de T et T' sur v, Y, Y' les adhŽrences de X et X'
dans P0 = P | SpecÊk et P'0 = P' | SpecÊk. Quitte ˆ rŽtrŽcir V', on peut supposer que V' Ç
]Y'[P'Ê, puis, gr‰ce ˆ (2.5.4), que u'(V') Ç ]YŸ[PÊ. En posant V = ]YŸ[P õ TÊanK , on obtient u ncouple de voisinages stricts possŽdant les propriŽtŽs de (i).
Soient P" = P' | P, U" = U' | P, et q : P" @ P, q' : P" @ P' les deux projections. On peutplonger X dans P" par l'immersion correspondant au graphe de wÊ; soient Y" l'adhŽrencede X' dans P", j"ÊÊ: X' ÌÊÊÊ@ Y". Le morphisme u dŽÞnit une section s : U' @ U" de q' audessus de U', et le morphisme u' une section s' : V'ÊÊ@ÊÊP"K de q'K au-dessus de V', derestriction sK au-dessus de ]ŸX'[P'Ê. Quitte ˆ rŽtrŽcir V', on peut supposer que sŸ'(V') Ç]Y"[P"Ê, gr‰ce ˆ (2.5.4). Notant j"Ÿ“ le foncteur (2.1.1.1) sur le voisinage strict V" =qK'Ÿ-1(V')ÊÊõ ]Y"[P"Ê, on obtient un foncteur s'ŸŸ* de la catŽgorie des j"Ÿ“ŸoP"KÊ-modules ˆ connexion intŽgrable sur V" dans celle des j'Ÿ“ŸoP'KŸÊ-modules ˆ connexion intŽgrable sur V', eton a des isomorphismes de foncteurs s'Ÿ*ÊìÊqKŸ* – u'Ÿ*, s'Ÿ*ÊìÊqK'Ÿ* – Id.
D'apr•s (2.3.5), le foncteur q'Ÿ* induit une Žquivalence de catŽgories entre la sousK“catŽgorie des j'Ÿ ŸoP'KŸÊ-modules ˆ connexion intŽgrable et surconvergente, et celle desj"Ÿ“ŸoP"KÊ-modules ˆ connexion intŽgrable et surconvergente. Si E est un jŸ“oPKŸ-module ˆconnexion intŽgrable et surconvergente, il en est de m•me du j"Ÿ“Ÿo -module qŸ*ŸÊE. I lP"KÊ

K

existe donc un j'Ÿ“ŸoP'KŸÊ-module ˆ connexion intŽgrable et surconvergente E', unique ˆisomorphisme canonique pr•s, tel que qK'Ÿ*ŸE' – qKŸ*ŸÊE. On en dŽduit alors l'isomorphisme
horizontal E' – s'Ÿ*ÊìÊqK'Ÿ*ŸE' – s'Ÿ*ÊìÊqKŸ*ŸÊE – u'Ÿ*ŸE, ce qui montre que u'Ÿ* prŽserve lasurconvergence. De m•me, si E" est un j"Ÿ“ŸoP"KÊ-module ˆ connexion intŽgrable etsurconvergente, et E' le j'Ÿ“ŸoP'KŸÊ-module ˆ connexion intŽgrable et surconvergente tel queq'Ÿ*ŸE' – E", l'isomorphisme E' – s'Ÿ*ÊìÊq'Ÿ*ŸE' – s'Ÿ*ŸE" montre que le foncteur s'Ÿ* prŽserve laKK- 85 -

2.40

P. BERTHELOT

surconvergence. Comme, d'apr•s la construction (2.3.6), le foncteur wŸ* s'obtient encomposant qKŸ*Ÿ avec un foncteur quasi-inverse de qK'Ÿ*, et que s'Ÿ* est un tel foncteur, on endŽduit l'isomorphisme de foncteurs wŸ* – u'Ÿ*.

(2.5.6) C OROLLAIRE. Ñ Soient X = SpecÊŸA0Ê, X' = SpecÊŸA'0 deux k-schŽmas afÞnes etlisses, w : X' @ X un k-morphisme, dŽÞni par un homomorphisme Ä : A0 @ A'0Ê, et soit wŸ* :Isoc“(ŸXÊ/ÊKŸ) @ Isoc“(ŸX'Ê/ÊKŸ) le foncteur image inverse dŽÞni en (2.3.6). Soient d'autre
part A, A' deux v-alg•bres lisses relevant A0 et A'0Ê, ´ : A“ @ A'Ÿ“ un homomorphisme
relevant Ä, ´KŸ* le foncteur de la catŽgorie des (ŸA“Ê¢ÊKŸ)-modules ˆ connexion intŽgrable
dans celle des (ŸA'Ÿ“Ê¢ÊKŸ)-modules ˆ connexion intŽgrable dŽÞni par ´. Alors, vial'Žquivalence de (2.5.2), le foncteur ´KŸ* prŽserve la surconvergence, et la restriction de ´KŸ*ˆ la sous-catŽgorie Isoc“(ŸXÊ/ÊKŸ) est canoniquement isomorphe ˆ wŸ*.
Posons x = SpecÊŸA, x' = SpecÊŸA'. Par passage aux complŽtŽs, l'homomorphisme ´dŽÞnit un morphisme u : ^…x' @ ^…x qui prolonge w. De plus, d'apr•s (2.5.3), il existe u nvoisinage strict U'Â' de ]ŸX'[x' et un morphisme u' : U'Â' @ xÊanprolongeant uKÊ, tels queKl'homomorphisme â(UÂÊ, jŸ“ŸoP ) @ â(U'Â'Ê, j'Ÿ“ŸoP' ) s'identiÞe par (2.5.1.1) ˆ ´KÊ. DansKŸKŸl'Žquivalence de (2.5.2), le foncteur ´KŸ* correspond alors au foncteur u'Ÿ* dŽÞni par le*“Ÿmorphisme d'espaces annelŽs (U'Â'Ê,ÊÊj'Ÿ“ŸoP'K) @ (xÊanK , jŸ oPKŸ). D'apr•s (2.5.5), u'Ÿ prŽserve
la surconvergence, et est canoniquement isomorphe ˆ wŸ*, d'o• le corollaire.

Pour prouver le rŽsultat annoncŽ en (2.5.1), nous utiliserons une variante de lamŽthode de Dwork utilisŽe dans la construction de la section 2.4, associant ˆ un F-cristal
non dŽgŽnŽrŽ sur X un F-isocristal convergent. On suppose donnŽ un automorphisme §de v relevant le Frobenius de k.

(2.5.7) THƒORéME. Ñ Avec les notations et les hypoth•ses de (2.5.1), soient M u n(ŸA“ÊÊ¢ÊÊKŸ)-module de type Þni, muni d'une connexion intŽgrable ø, F : A“ @ A“ u nrel•vement du Frobenius de A0 au-dessus de § [vdP1, th. 2.4.4] et (MŸ§, øŸ§) le module ˆconnexion intŽgrable dŽduit de (M, ø) par extension des scalaires. On suppose qu'il
existe un isomorphisme horizontal à : (MŸ§, øŸ§) Ê#ÊÊ›Ê@ (M, ø). Alors, si (E, ø) est le jŸ“ŸoPKmodule correspondant ˆ (M, ø) dans l'Žquivalence de (2.5.2), la connexion ø est
surconvergente.
D'apr•s (2.2.11), l'assertion est locale sur X, ce qui permet de supposer que ã1X est
libre de base d`z1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êd`zmÊ. Si z1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êzm Ô A rel•vent `z1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`zmÊ, ã1A“ est un A“-module librede base dz1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊdzmÊ, car il en est ainsi de ã1^A. Soient Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙm les dŽrivations correspondantes, et e1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êen une famille de gŽnŽrateurs de M. Pour tout i et tout k, posons ÙiŸek =ÏÊjÊÊbiÊjÊkÊejÊ, et soit Bi Ô mn(ŸA“ ¢ KŸ) la matrice des biÊjÊkÊ; la connexion ø est donc dŽterminŽe
par la famille des matrices BiÊ. Il existe un entier r ³ 0 tel que, pour tout i, Bi soit ˆcoefÞcients dans ¹Ÿ-ŸrA“. ConsidŽrons alors les gŽnŽrateurs e§i = 1Ê¿Êei Ô MŸ§. Si l'on pose

- 86 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.41

F(zi) = zŸi p + ¹ŸgiÊ, avec gi Ô A“, on obtient dF(dzi) = pŸziŸpÊ-Ÿ1Ÿdzi + ¹Ÿdgi Ô ¹Ÿã1A“Ê. Par suite, avec
la famille de gŽnŽrateurs e§i , la connexion øÊ§ est dŽÞnie par des matrices ˆ coefÞcientsdans ¹Ÿ-ŸrÊ+Ÿ1A“. En utilisant l'isomorphisme horizontal à, on dŽduit des ei§ des gŽnŽrateurs e(1)de M pour lesquels les matrices Bi(1) correspondantes sont ˆ coefÞcients dansi¹Ÿ-ŸrÊ+Ÿ1A“. Par itŽration, on en dŽduit qu'il existe des gŽnŽrateurs ei de M pour lesquels laconnexion peut •tre dŽÞnie par des matrices Bi ˆ coefÞcients dans A“.
Pour Â assez pr•s de 1, il existe un oU -module cohŽrent ˆ connexion intŽgrableÂ(e,ÊÊø) tel que (E, ø) – jŸ“(e, ø). Montrons d'abord qu'il existe Ú' < 1, Â > 1, Ú' , Â Ô â Ÿ*,
0

0

0Ê

0

tels que, pour tout e Ô â(UÂ Ê, e) (resp. f Ô AÂ ), on ait00® Êk1! ÊÙŸkÊe®Â0ÊÚ0'Ÿ¾ŸkŸ¾ @ 0,

(2.5.7.1)

en notant ®Ÿ-Ÿ®Â la norme quotient sur â(UÂÊ, e)Ê dŽÞnie par celle de AÂ (correspondant ˆ laprŽsentation dŽÞnie par les tj), et par les gŽnŽrateurs e1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êen construits plus haut.
Choisissons d'abord un rŽel Ú"0 < pŸ-1/(ŸpŸ-1), ce qui assure que Ú"0Ÿ¾ŸkŸ¾Ê/Ê¾Ÿk!¾ @ 0. Il sufÞt alorsde montrer que, quel que soit ¨ > 1, il existe Â0 > 1 tel que ®ÊÙŸkÊe®Â ² ¨¾ŸkŸ¾Ÿ®e®Â : choisissant00¨ > 1 arbitairement, on posera Ú'0 = Ú"0Ê/Ê¨.
Observons d'abord qu'il existe Â0 > 1 tel que pour tout Â, 1 < Â ² Â0Ê, tout i, et toutfÊÊÔÊÊAÂÊ, on ait ®ŸÙi(ŸfŸ)®Â ² ¨Ê®ŸfŸ®ÂÊ. En effet, si f = ÏÊn ŒnÊtŸn, avec Œn Ô K, on a ®ŸfŸ®Â =infÊŒÊ(supÊn ¾Œn¾ÊÂ¾ŸnŸ¾), o• la borne infŽrieure est prise sur l'ensemble des sŽries ÏÊnÊÊŒnÊtŸn
de somme f. Comme Ùi(ŸfŸ) = ÏŸj ÏÊn njÊŒnÊtŸnÊ-Ÿ1ÊjÊÙi(tj), on en dŽduit
®ŸÙi(ŸfŸ)®Â ² (®ŸfŸ®ÂÊ/ÊÂ) supÊj ®ŸÙi(tj)®ÂÊ.
Puisque Ùi(tj) Ô A“, il existe d'apr•s (2.5.3) (i) un rŽel Â0 > 1 tel que, quels que soient i, j, on
ait ®ŸÙi(tj)®Â ² ¨, et l'assertion en rŽsulte.
0
Pour e Ô â(UÂ, e), posons e = ÏŸk fkÊekÊ. On a ÙiÊe = ÏŸj,Êk fkÊbiÊjÊkÊej + Ùi(Ÿfk)ÊekÊ, d'o•, pour
tout Â, la majoration®ŸÙiÊeŸ®Â ² supÊj,Êk (®ŸbiÊjÊkŸ®ÂÊ®Ÿfk®ÂÊ, ®ŸÙi(Ÿfk)®Â).
Comme les Bi sont ˆ coefÞcients dans A“, on a encore, pour Â assez pr•s de 1 et tous i, j, k,la majoration ®ŸbiÊjÊkŸ®Â ² ¨. Comme ®e®Â = infÊfÊ(supÊkÊ®Ÿfk®Â), la borne infŽrieure Žtant
prise sur l'ensemble des combinaisons ÏŸk fkÊek de somme e, on voit que, pour Â @ 1+, on a®ŸÙiÊeŸ®Â ² ¨ÊsupÊkÊ(®Ÿfk®ÂÊ), d'o• ®ŸÙiÊeŸ®Â ² ¨Ê®e®ÂÊ. On obtient ainsi Ú'0Ê, Â0 ayant les propriŽtŽs
annoncŽes.
Posons ½i = 1Ê¿ zi - zi ¿Ê1,

j = 1Ê¿ tj - tj ¿Ê1. Pour Ú < 1, Â > 1, soientU'Â = {Êx Ô xÊan| xÊan¾ × j, ¾(1Ê¿ tj)(x)¾ ² Â, ¾(tj ¿Ê1)(x)¾ ² ÂÊ},KK
WÚ = {Êx Ô xÊan| xKÊan ¾ × j, ¾ j(x)¾ ² ÚÊ},K
W'Ú = {Êx Ô xÊan| xÊan¾ × i, ¾½i(x)¾ ² ÚŸ},KKet VÚÊÂ = WÚ õ U'ÂÊ. Pour toute suite croissante Ú de limite 1, et toute suite dŽcroissante Â delimite 1, l'ouvert VÚ,ÊÂ = ôn VÚnÊÂn est un voisinage strict de ]ŸXŸ[xÊ2Ê, d'apr•s l'exemple de(1.3.10). Nous allons construire des suites Ú, Â telles qu'il existe sur le voisinage VÚ,ÊÂ u n- 87 -

2.42

P. BERTHELOT

isomorphisme ª : p2Ÿ*e Ê#ÊÊ›Ê@ p1Ÿ*e induisant sur les voisinages inÞnitŽsimaux de la diagonale
les isomorphismes ªn dŽÞnis par ø.
Fixons un rŽel Ú0 Ô âŸ* tel que Ú0 < Ú'0Ê. Puisque les tj engendrent A, il existe desrelations de la forme ½iÊÊ= ÏÊj ºiÊjÊ jÊ, avec ºiÊj Ô A ¢v A. D'apr•s (2.5.3) (i), il existe donc pour
tout ¨ > 1 un rŽel Â > 1 pour lequel ®½i® ² ¨ÊsupÊjÊ® j®, la norme Žtant la norme spectrale
sur U'ÂÊ. Par suite, on a VÚ0ÊÂ Ç W'Ú'0 õ U'Â pour Â assez pr•s de 1. Quitte ˆ diminuer Â0Ê, onpeut donc supposer que cette condition est satisfaite pour Â0Ê. On proc•de d'abord comme›dans la dŽmonstration de (2.2.13) pour dŽÞnir sur V
un isomorphisme ª : pŸ*e Ê#ÊÊÊ@
p Ÿ*e
Ú0ÊÂ0

2

1

induisant sur les voisinages inÞnitŽsimaux de la diagonale les isomorphismes ªn dŽÞnis
par ø, en posantª(p2Ÿ*(e)) = åÊ 1 ÊÊÙŸkÊeÊÊ¿ÊÊ½Êk,k!

kla sŽrie convergeant dans â(VÚ0ÊÂ0Ê, p1Ÿ*e) gr‰ce ˆ (2.5.7.1). On utilise ensuite l'action de
Frobenius pour prolonger l'isomorphisme ª de VÚ0ÊÂ0 ˆ un voisinage strict de ]ŸXŸ[xÊ2associŽ ˆ des suites Ú, Â convenables. En diminuant Â0Ê, on peut supposer d'apr•s (2.5.2)“Ÿqu'il existe un morphisme FK : UÂ @ xKÊan tel que l'homomorphisme â(xÊanK , jŸ oxÊan) @0Kâ(UÂ0Ê, jŸ“ŸoxÊan
) induit par FK soit Žgal ˆ F ¿ §. En diminuant encore Â0Ê, on peut aussi
K
supposer que à est dŽÞni par un isomorphisme FKŸ*Êe Ê#ÊÊ›Ê@ e sur UÂ0Ê. Pour tout Ú, et tout
ÂÊÊ²ÊÊÂ0Ê, on en dŽduit des isomorphismes àiÊ : (FK | FK)*(ŸpiŸ*e) Ê#ÊÊ›Ê@ piŸ*e sur VÚÊÂÊ.
Choisissons ¨ Ô âŸ* tel que ¾¹¾ < ¨ < 1. On dŽÞnit par rŽcurrence une suite croissanteÚ en posant
ÚnÊ+1 = infŸ(Ún1/Ÿp, ÚnÊ/Ÿ¨).
psi Ún ³ ¨ÊpŸ/(pŸ-1)Ê; en particulier, on a
On a donc ÚnÊ+1 = ÚnÊ/Ÿ¨ si Ún ² ¨ÊpŸ/(pŸ-1), et ÚnŸ+1 = Ú1/ŸnÚnÊÊ< 1 pour tout n, et la suite Ú a pour limite 1. Supposons alors qu'on ait dŽÞni une suitedŽcroissante Â0 ³ .Ê.Ê. ³ Ân > 1 telle que, pour 1 ² i ² n, on ait(FK | FK)(VÚ ÊÂ ) Ç VÚi i,

iŸ-1ÊÂiŸ-1Ê

et montrons qu'il existe ÂnŸ+1 vŽriÞant la m•me condition. Posons
F(tj) = tÊp
j + ¹ŸajÊ,avec aj Ô A“. On peut supposer que Â0 est choisi assez pr•s de 1 pour que, pour tout j, lapnorme spectrale de aj vŽriÞe ®aj®Â0 ² 1Ÿ/Ÿ¾¹¾. Alors, en posant Â'nŸ+1 = Â1/Ÿ, on obtient, pourntout xÊÊÔÊÊU'Â'nŸ+1Ê,¾(tj ¿ 1)((FK | FK)(x))¾ = ¾(F(tj)Ê¿Ê1)(x)¾ = ¾((tjÊp + ¹Ÿaj)Ê¿Ÿ1)(x)¾² max(ÂnÊ, ¾¹¾®aj®Â0) = ÂnÊ,de sorte que (FK | FK)(x) Ô U'ÂnÊ. D'autre part, si J = KerŸ(ŸA ¢v A @ A), on a dans (ŸAÊÊ¢A)“ la relation(F ¿ F)( j) = 1Ê¿Ê(tŸj p + ¹Ÿaj) - (tŸj p + ¹Ÿaj)Ê¿Ê1 =Ÿp
j + ¹ŸŒjÊ,avec Œj Ô J(ŸA ¢ A)“. Dans (ŸA ¢ A)“ on peut Žcrire Œj sous la forme Œj = ÏÊi ÛiÊjÊ iÊ.

- 88 -

ISOCRISTAUX SURCONVERGENTS

2.43

Appliquant (2.5.3) (i) aux ÛiÊjÊ, on peut trouver Â"nŸ+1 > 1 tel que, pour tous i, j, on ait®ÛiÊj®ÊÊ²ÊÊ¨Ê/Ê¾¹¾ sur U'Â" Ê. On obtient alors, pour x Ô VÚ ÊÂ" Ê,
nŸ+1

nŸ+1 nŸ+1¾¹ŸŒj(x)¾ ² ¾¹¾Ê(¨Ê/Ê¾¹¾)ÊÚnŸ+1 ² ÚnÊ,tandis qu'on a d'autre part ¾ jŸp(x)¾ ² ÚÊpnŸ+1 ² ÚnÊ. Par consŽquent, si l'on poseÂnÊ+1 = inf(Â'nŸ+1Ê, Â"nŸ+1),
on a bien (FK | FK)(VÚnŸ+1ÊÂnŸ+1) Ç VÚnÊÂnÊ.
Supposons construit sur Vn = ôiÊ²Ên VÚ ÊÂ un isomorphisme ª(n) : p2Ÿ*e Ê#ÊÊ›Ê@ p1Ÿ*e. On
i i
un isomorphisme ª'Ÿ(nŸ+1) : pŸ*e Ê#ÊÊ›Ê@ pŸ*e comme Žtant le composŽ
dŽÞnit sur VÚnŸ+1ÊÂnŸ+1

Ê*

2

*

-1

1

(n)

Ê*

p2 (à)(FKÊ|ÊFK) (ª )p1 (à)(FK | FK)*(Ÿp2Ÿ*e) ######@(FK | FK)*(Ÿp1Ÿ*e) ####@
p1Ÿ*e.
p2Ÿ*e ####@›››

Le fait que à soit horizontal entra”ne que, sur Vn õ VÚnŸ+1ÊÂnŸ+1 les isomorphismes ª(n)et ª'Ÿ(nŸ+1) co•ncident, comme le prouve la dŽmonstration de (2.2.7). Ils se recollent donc
pour dŽÞnir un isomorphisme ª(nŸ+1) sur VnÊ+1Ê. On obtient ainsi par rŽcurrence l'isomor-

phisme cherchŽ sur V = ô i VÚ ÊÂ Ê, d'o• la surconvergence de ø.
i i(2.5.8) C OROLLAIRE. Ñ Soient X = SpecÊŸA0 un schŽma afÞne et lisse sur k, A une
v-alg•bre lisse relevant A0Ê, A“ sa complŽtŽe faible, F : A“ @ A“ un rel•vement d el'endomorphisme de Frobenius de A0Ê. Alors la catŽgorie des F-isocristaux surconvergents sur X est Žquivalente ˆ la catŽgorie des (ŸA“ ¢ KŸ)-modules (Ÿprojectifs) d e
type Þni M, munis d'une connexion intŽgrable ø et d'un isomorphisme horizontal à :(MŸ§, øŸ§) Ê#ÊÊ›Ê@ (M, ø).
D'apr•s (2.5.2), la catŽgorie des isocristaux surconvergents sur X est Žquivalente ˆcelle des (ŸA“ ¢ KŸ)-modules de type Þni (nŽcessairement projectifs), munis d'uneconnexion surconvergente ø. De plus, cette Žquivalence est fonctorielle par rapport ˆ A “,d'apr•s (2.5.6). Par suite, la catŽgorie des F-isocristaux surconvergents sur X est
Žquivalente ˆ celle des (ŸA“ ¢ KŸ)-modules de type Þni, munis d'une connexion
surconvergente ø et d'un isomorphisme horizontal à : MŸ§ Ê#ÊÊ›Ê@ M. Comme touteconnexion intŽgrable pour laquelle il existe un tel isomorphisme est surconvergente
d'apr•s (2.5.7), l'ŽnoncŽ en rŽsulte.

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