利用者の旅行時間を最小にする急行列車停車駅の割り当ての最適化
2010SE133 武藤克徳 2010SE266 渡辺涼太
指導教員：三浦英俊

1とする．旅行時間に待ち時間は含まない．

はじめに大都市圏にある鉄道の多くは，旅客の旅行時間短縮を目的として，一部の駅にのみ停車する急行列車を設定している．急行列車の停車駅の最適化はさまざまな角度から多くの研究がなされてきた．急行列車が複数種類設定されてい図 1 鉄道路線モデル

るとき，多くの場合，停車駅数の少ない列車の停車駅は停車駅数の多い急行列車の停車駅から選ばれている．
研究の狙いは混雑時間帯に設定する急行列車停車駅を考慮する戦略を明確に示すことにある．路線に与えられる仮定は急行設定の比較を公平にするためである．しかし，実際の鉄道は単純ではない，そのため，本研究で得られる結果を実際の鉄道データを利用して検証する．

2

研究について
本研究は，n 個の中間駅を持つ鉄道路線を単純な数理モデルを用いて表現し，路線に一部の駅を通過する急行列車を設定したときに路線利用者の総旅行時間が最小となる急行列車の停車駅を求める．路線利用者の総旅行時間を最小

3.1

以下のように変数を定義する．

• n · · · 中間駅の数• t · · · 1 駅通過する時の短縮時間• k · · · n のうち急行列車が停車する駅の数• Sn , ln , Tn , Un · · · 旅行短縮時間合計• qij · · · 駅間移動の人数
3.2

3鉄道路線モデル
図 1 に示すように，端から駅番号 0, 1, 2, 3, ..., n, n + 1が割り当てられた n 個の中間駅を持つ路線を考える．駅の集合を {0, 1, 2, ..., n, n + 1} とする．ここに急行列車の停車駅を設定して路線全体の利用者の総旅行時間が最小となるように考える．
鉄道モデルに以下の仮定を置く．

1. すべての駅に停車する普通列車がある．
2. １種類の急行列車がある．急行列車は普通列車を追い抜かない．

急行の h 番目の停車駅 ih から m 番目の停車駅 imへの短縮時間合計化する問題を路線利用者の短縮時間合計最大化問題として解く．

定式化

2 つの停車駅 ih から im の間には駅 ih + 1 から駅 im − 1まで im − ih − 1 個の駅がある．これらのうち急行列車
は m − h − 1 個の駅に停車するから，通過する駅数は(im − ih ) − (m − h) となる．駅 ih から駅 im への旅客の短縮時間合計は ((im − ih ) − (m − h))tqij となる．
上記から急行の h 番目の停車駅 ih から m 番目の停車駅
im への短縮時間合計は)( k k+1∑ ∑Sn =((im − ih ) − (m − h)) tqij
(1)
h=0 m=h+1とあらわすことができる．

3. 急行列車は，両端の駅 0 と駅 n + 1 に必ず停車し， 4 各駅停車と 1 種類の急行列車がある路線
1, 2, ..., n の n 駅のうち k 駅を選んで停車する．急
路線利用者の短縮時間合計を最大にするために，簡単な行列車停車駅の集合を {i0 , i1 , i2 , ..., ik , ik+1 } とする． モデルから難しいモデルへと 4 つの場合にわけ，変化させ集合の要素の添え字は急行の停車する順番を表わす． ていくことで，順番に現在の走行モデルに近付けていく．

0 < i1 < i2 < · · · < ik < n + 1，始発駅 i0 =0，到着
駅 ik+1 = n + 1 とする．
4. 駅番号が大きくなる方向に移動する旅行者の旅行時間だけを考える．

4.1

場合 1

まず，簡単なモデルを設定するために表 1 に示すように，すべての駅間人数をそろえる．qij = q とする．

5. 急行列車は，1 駅通過するごとに時間 t だけの旅行時間短縮を得る．

6. 旅行者は旅行時間が最小となる列車の組み合わせを選ぶ．路線利用者の出発駅から目的駅までの時間のうち，列車に乗って移動しているときの時間を旅行時間

表 1 場合１のとき
始発駅＼終着駅

駅 1, 2, …, n

駅n+1

駅0q人
q人

q人
q人

駅 1, 2, …, nこの場合の Sn は，

表 2 場合 2 のとき()
15
Sn = (k + 1)n − k 3 − k 2 − k tq
66+k∑(2h − k − 1)tqih

始発駅＼終着駅

駅 1, 2, …, n

駅n+1

駅0αq 人
0人

αq 人
αq 人

駅 1, 2, …, n

(2)

h=1

表の値をそれぞれ数式 (1) に代入し計算すると，となる．
次 に Sn を 最 大 に す る 急 行 列 車 停 車 駅 割 り 当 て∗ ∗ ∗{i0 , i1 , i2 , ..., i∗k , i∗k+1 } を導出する．(2) の式のうち，急行

ln = (−k 2 + nk − k + n)αtq

停車駅の割り当てによって大きくできるのは最後の項だけである．最後の項∑k

最適な停車駅の配置を求めるため ln を k で微分する．

h=1 (2h − k − 1)ih を分解すると∗
ln,k= (−2k + n − 1)αtq = 0k∑

よって最適な k は k ∗ = n−12 となる．

(2h − k − 1)ih = (−k + 1)i1 + (−k + 3)i2 + · · ·

短縮時間を最大にする最適な急行停車駅数は中間駅 n の

h=1+ (k − 3)ik−1 + (k − 1)ik(3)となる．この項における急行の h 番目の停車駅 ih の係数(−k + 2h − 1) は h に比例して増加する．よって h ≤ k2のとき h が小さいほど小さい番号の駅を ih として割り当て， k2 <h に対しては h が大きいほど大きな番号の駅を割り当てれば，項の値を最大にすることができる．すなわち，

2 分の 1 であり，中間駅の場所は無関係であり，途中駅の位置をどこに割り当ててもよい.

4.3

場合 3

表 3 に示すように，場合 2 のモデルを難しく考えるた
め，中間駅から中間駅の移動客数を q 人として考える．

h ≤ k2 のとき i∗h = h ， k2 <h のとき i∗h =n − k + h とする．

表 3 場合 3 のとき

これは急行の停車駅を路線の両端に近い駅から順に割り当てることにほかならない．

始発駅＼終着駅駅 1, 2, …, n駅n+1駅0αq 人
q人

αq 人
αq 人

i∗h の割り当てを行うと，以下のようになる．

∗Sn,k=∗
Sn,k=(n − k)(k + 2)2tq(k が偶数のとき)，
4

駅 1, 2, …, n(4)(n − k)(k 2 + 4k + 3)tq(k が奇数のとき). (5)4

短縮時間を最大にする最適な急行停車駅数は中間駅 n の3 分の 2 であり，その割り当ては出発駅と終着駅に寄せればよい．

ex)n = 9 のとき，停車駅数 k は 6 であり，最適な急行駅の割り当ては {1, 2, 3, 7, 8, 9} である．(図 2)

両端駅を始発駅または終着駅とする場合は利用者人数がαq 人となる場合についてまとめておく．このときの路線の短縮時間合計を Tn (i1 , i2 , · · · , ik ) とおく.
Tn = ((n − k)(k + 1)) tq()
kk3
k ∑+ − + +(2h − k − 1)ih tαq66(6)h=1となる．
最適な停車駅の配置を求めるために Tn を k で微分する．

()∗
Tn,k= −3k 2 α + 2(nα − 4)k + 4(n − 1) tq
図 2 場合 1 の路線 (n = 9, k = 6,i1 = 1,i2 = 2,i3 =3,i4 = 7,i5 = 8,i6 = 9)

Tn∗ に実際の数字を代入して値を出す n = 10，t = 1，q = 1 とし，α を 1 から順に変化させたときの値を，それぞれ求め短縮時間合計が一番大きくなるときの k の値を出す．

4.2

場合 2

表 2 に示すように，中間駅から乗車し中間駅に降車する
利用者数は，始発駅や終着駅を利用する客数と比べると割合が少ないので，中間駅から中間駅の移動客数をないものとして考える．変数 α と定める．

Tn∗ について解の公式より√−(nα − 4) ± (nα − 4)2 + 12(n − 1)αtq (7)k∗ =−3α
図 3 より，短縮時間を最大にする最適な急行停車駅の割り当ては α を増やしていくほど，停車駅数を増やしていくとよいことがわかる．また k は n−1
3 に収束することがわ

により，最適な停車駅を割り当てる．実際の鉄道路線利用かる．

者の旅行時間を短縮する急行停車駅を求める．なお集計対縦軸に k ，横軸に α をとる．

象は定期券保有者である．ただし，逆向きはないものとする [3]．

5.1

求め方• 各駅間で通過駅の個数×その区間での移動人員を合計し，路線利用者の短縮時間合計を求める．

• 最適化計算の急行列車停車駅と実際の急行停車駅を比較する．

• 最適化計算の場合：急行列車停車駅数を変化させ，路線利用者の短縮時間合計が最も大きい停車駅数を求
図 3 α を変化させたときの k の値

4.4

める．

場合 4

表 4 に示すように，始発駅を田舎，終着駅を都市と仮定すると，明らかに都市で降りる人の割合が多い．そのた

6

実際の急行列車＆最適化計算の急行列車の計
算結果

6.1

グラフの説明表 5.6.7 は，エクセルのソルバーを用いて計算した結果

め，終着駅に降りる場合を αq 人として計算する．

である．急行列車が停車する駅を 1，通過する駅を 0 と表
表 4 場合 4 のときす．また，実際の急行停車駅数を用いて，路線利用者の短始発駅＼終着駅

駅 1, 2, …, n

駅n+1

駅0q人
q人

αq 人
αq 人

駅 1, 2, …, n

縮時間合計を求める．なお 1 駅通過するときの短縮時間 tを t ＝１ とする．
ただし逆向きはないものとする．

6.2
このときの路線の短縮時間合計を Un とするとUn =表 5 より，この路線は，傾向として乗降者数の多さは急( 3 ()() )k
1 11α− −+ α k2 −− nα +k tq
62 232+nαtq +k∑(2h − k − α)tqih

多治見〜名古屋（ＪＲ東海）

(8)

h=0

場合 3 と同様に k を求める．

行停車駅とあまり関係なく，郊外に急行を止めず，都市部に数多く止めている．実際の急行停車駅はそれが顕著である．また，実際の急行停車駅は乗降者数の多さと関係があり，乗車駅数上位 7 つが急行停車駅となっているが，モデルの急行停車駅は乗降者数の多さとあまり関係がない．そして，急行停車駅の配置でみると 7 割程が現状と一致し，次にエクセルのソルバーを用いて計算する．(n = 20，q =また，短縮時間合計の割合は最適化計算のほうが実際より1) と固定して，α の値を変化させていくことにより，急行も 20 ％程良くなる．それゆえデータ上からは勝川駅・大停車駅数とその最適な配置を求める．

曽根駅といった他社への乗換駅ではなく，古虎渓駅や神

α = 5 のとき，領駅といった郊外の駅に止めたほうが良いといえる．した

最適な急行停車駅数は k = 12 であり，その配置は ih =がって、データ上からは改善の余地があるといえ，最適化{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 18, 19, 20} である．
α = 18 のとき，最適な急行停車駅数は k = 9 であり，その配置は ih ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} である．

計算が実際よりも利用者 1 人あたりの時間を短縮できる急行停車駅といえる．

6.3

新安城〜名鉄名古屋（名古屋鉄道）

これより，短縮時間を最大にする最適な急行列車停車駅

表 6 より，この路線は，傾向として，郊外・都市部にの割り当ては，α を増やしていくほど停車駅数 k を減らせまんべんなく配置させていて，8 割程が現状と一致し，まばよく，最適な急行列車停車駅の配置は始発駅に寄ってくた，短縮時間合計の割合は最適化計算のほうが実際よりもることがわかる．また k は n−12 に収束する．

10 ％程良くなる．したがって、まだ改善の余地があると5

実データを用いた最適な急行停車駅の割り当ていえる．また，最適化計算の急行停車駅は乗降者数の多さと関係があり，乗車駅数上位 6 つが急行停車駅となっている，かつ実際の急行停車駅も乗降者数の多さと関係がある．

平成 22 年度大都市交通センサスを用いて，1 年間の駅間よって利用者 1 人あたりの時間を短縮するためには，乗車の移動人数，各駅間での通過駅数を数式に当てはめること駅数上位 6 つに配置させることといえる．以上より，最適化計算が実際よりも利用者 1 人あたりの時間を短縮できる

表 7 刈谷〜豊橋（ＪＲ東海）

急行停車駅といえる．

6.4

刈谷〜豊橋（ＪＲ東海）

表 7 より，この路線は，急行停車駅の配置でみると 8 割程が現状と一致し，また，短縮時間合計の割合は最適化計算のほうが実際よりも 8 ％程良くなる．したがって、まだ改善の余地があるといえる．また，最適化計算の急行停車駅は乗降者数の多さと関係があり，乗車駅数上位 5 つが急行停車駅となっている，かつ実際の急行停車駅も乗降者数の多さと関係がある．よって利用者 1 人あたりの時間を短縮するためには，乗車駅数上位 5 つに配置させることといえる．以上より，最適化計算が実際よりも利用者 1 人あたりの時間を短縮できる急行停車駅といえる．
表 5 多治見〜名古屋（ＪＲ東海）

6.5

総括

実際の急行停車駅と最適化計算との分析結果は，急行停車駅の位置を都市部寄りから郊外寄りに置くと，短縮時間の割合が 1〜2 割良くなる．よって、急行停車駅配置は郊外側に寄せるべきである．
また，実際の急行停車駅と最適化計算との分析結果は，モデルの解析「場合 4」で最適な急行列車停車駅の配置は始発駅に寄せるべきであるという結果と結びつく．

7

今後の課題
今後は急行列車が各駅停車を追い抜く場合．また，各駅停車と 2 種類の急行列車がある路線の場合を考え，その中
表 6 新安城〜名鉄名古屋（名古屋鉄道）

でも追い抜きの有無や，2 種類の急行列車の停車駅がお互いの停車駅との重複の有無を考え，それぞれの短縮時間合計を求め，最適な急行停車駅の配置を考える．

参考文献[1] 三浦英俊:『列車あたり乗客数に注目した停車駅と列車本数の設定〜千鳥運転の導入の検討〜三浦英俊:『都市の OR ワークショップ 2010（南山大学）』，2010.
[2] 二見精一，松村高宏，鈴木誠道:『急行系電車停車駅決定問題，日本オペレーションズリサーチ学会アブスト
ラクト集』，84〜85，2001.

[3]『国土交通省第 11 回大都市交通センサス調査結果集計表』，2010.