Finitude et puretŽ cohomologique en cohomologie rigide

Pierre Berthelot
IRMAR, UniversitŽ de Rennes I, Campus de Beaulieu, F-35042 Rennes cedex, France

avec un appendice par
Aise Johan de Jong
Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA 02138, USA

Sommaire

Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. Rappels sur la cohomologie rigide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Cohomologie rigide ˆ supports dans un fermŽ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Le thŽor•me de Þnitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Un thŽor•me de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Application ˆ l'isomorphisme de Gysin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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16
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33
41

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introduction

Soit k un corps de caractŽristique p > 0. La premi•re mŽthode systŽmatique permettant de dŽÞnir une bonne cohomologie p-adique pour certaines classes de variŽtŽs algŽbriques sur k remonte ˆ une trentaine d'annŽes, et est dže ˆ Monsky et Washnitzer [22].
InspirŽe par les travaux de Dwork sur les fonctions ½ des variŽtŽs algŽbriques sur lescorps Þnis, elle s'applique uniquement aux variŽtŽs afÞnes et lisses, et repose sur desthŽor•mes d'invariance et de fonctorialitŽ pour la cohomologie de de Rham d'un rel•vement adŽquat de la variŽtŽ donnŽe. Gr‰ce aux techniques de Dwork, cette thŽorie permet
de prouver le thŽor•me de rationalitŽ des fonctions z•ta [24], mais les propriŽtŽs desespaces de cohomologie ainsi obtenus sont restŽes jusqu'ici assez mystŽrieuses. En particulier, la Þnitude de ces espaces n'avait pas ŽtŽ dŽmontrŽe, sauf en degrŽ ² 1 par Monsky
lui-m•me [25], et en tous degrŽs pour les variŽtŽs possŽdant une bonne compactiÞcation,gr‰ce ˆ la cohomologie rigide [6]. Un des principaux rŽsultats du prŽsent article est de
prouver cette propriŽtŽ de Þnitude pour toute variŽtŽ lisse.

- 2 -

Le thŽor•me d'invariance de Monsky-Washnitzer a ŽtŽ l'une des motivations qui ontamenŽ ˆ cette Žpoque Grothendieck ˆ introduire la cohomologie cristalline, con•ue elleaussi comme une gŽnŽralisation de la cohomologie de de Rham [15], mais construite pardes mŽthodes tr•s diffŽrentes de celles de Monsky et Washnitzer. Un progr•s essentiel
apportŽ par les mŽthodes cristallines a ŽtŽ de pouvoir travailler modulo pÊn, et en particulier de fournir dans le cas lisse un thŽor•me de comparaison entre la rŽduction modulo p
de la cohomologie cristalline, et la cohomologie de de Rham relativement ˆ k. Dans le cas
des variŽtŽs propres et lisses, un argument simple permet alors de dŽduire le thŽor•mede Þnitude pour la cohomologie cristalline du thŽor•me de Þnitude usuel pour la cohomologie des faisceaux algŽbriques cohŽrents en caractŽristique p [5, VII 1.1].
Dans le cas des variŽtŽs non propres, la cohomologie cristalline n'est plus de typeÞni, et, comme l'avait soulignŽ Grothendieck d•s le dŽpart [15, 7.5], il y a lieu de la remplacer par une thŽorie qui gŽnŽralise ˆ la fois la cohomologie cristalline dans le cas
propre et lisse, et la cohomologie de Monsky-Washnitzer dans le cas afÞne et lisse. C'est
ce qui a motivŽ l'introduction par la suite de la cohomologie rigide [3], qui fournit une
telle gŽnŽralisation. Dans ce cadre, on peut Žgalement construire une cohomologie ˆ
supports propres, ce qui faisait dŽfaut dans la thŽorie cristalline comme dans celle deMonsky-Washnitzer. Pour les variŽtŽs qui sont complŽmentaires d'un diviseur ˆ croisements normaux stricts dans une variŽtŽ projective et lisse, et en se limitant auxcoefÞcients constants, les propriŽtŽs dŽjˆ connues de ces cohomologies sont sufÞsantes
pour en dŽduire la Þnitude de la cohomologie ˆ supports propres, et, par dualitŽ, de lacohomologie sans supports [6]. Par contre, en l'absence du thŽor•me de rŽsolution dessingularitŽs en caractŽristique p, la question de la Þnitude Žtait restŽe ouverte pour desvariŽtŽs lisses arbitraires. Nous expliquons ici comment, gr‰ce au magniÞque thŽor•me
prouvŽ rŽcemment par A. J. de Jong sur l'existence d'altŽrations projectives et lisses
pour une variŽtŽ quelconque ([19, th. 4.1], cf. thŽor•me 3.4), il est maintenant possible dedŽmontrer ces rŽsultats sans avoir recours ˆ la rŽsolution des singularitŽs.
Dans la premi•re section, nous commen•ons par rappeler la construction de lacohomologie rigide. Celle-ci repose sur des choix auxiliaires (compactiÞcation de lavariŽtŽ donnŽe, plongement dans un schŽma formel lisse), et, pour fournir une dŽmonstration compl•te, nous donnons bri•vement la preuve des thŽor•mes d'indŽpendance
annoncŽs dans [3]. Nous nous limitons ici au cas des coefÞcients constants, qui sera leseul considŽrŽ dans cet article, en renvoyant le cas de la cohomologie ˆ coefÞcients dans
un isocristal surconvergent ˆ un exposŽ plus systŽmatique [6]. Nous n'avons pas nonplus inclus de rappels sur la dŽmonstration des thŽor•mes de Þbration qui sont au cÏurde ces rŽsultats, leur rŽdaction Žtant dŽjˆ en circulation depuis quelques annŽes [5], etdestinŽe ˆ •tre incorporŽe dans [6]. EnÞn, nous renvoyons encore ˆ [6] pour le cas de lacohomologie ˆ supports propres, car la dŽmonstration du thŽor•me de Þnitude est alors
analogue, en plus simple, ˆ celle que nous donnons dans le cas de la cohomologie sans- 3 -

supports (cf. 3.9 (i)). Par contre, nous donnons la preuve des thŽor•mes de comparaison,d'une part avec la cohomologie cristalline dans le cas propre et lisse, d'autre part avec lacohomologie de Monsky-Washnitzer dans le cas afÞne et lisse, car ils jouent un r™leessentiel dans la dŽmonstration du thŽor•me de Þnitude. Dans la seconde section, nous
introduisons la cohomologie rigide ˆ supports dans un sous-schŽma fermŽ, et nous enmontrons quelques propriŽtŽs ŽlŽmentaires, notamment la suite exacte d'excision,
fondamentale pour les rŽcurrences qui suivront.
La troisi•me section est consacrŽe ˆ la dŽmonstration du thŽor•me de Þnitude pourla cohomologie rigide des variŽtŽs lisses, avec des coefÞcients constants (ou dans certains
cas qui s'y ram•nent aisŽment, comme ceux qui interviennent dans la thŽorie des sommes exponentielles). Dans son esprit, cette dŽmonstration est du m•me type que celle que
donne Hartshorne pour la cohomologie de de Rham en caractŽristique nulle [17, II (6.1)].
Elle proc•de par une double rŽcurrence, portant d'une part sur la cohomologie sans supports d'une variŽtŽ lisse de dimension ²ÊÊn, d'autre part sur la cohomologie d'une variŽtŽ
lisse de dimension arbitraire ˆ supports dans une sous-variŽtŽ quelconque de dimension² n. Outre le thŽor•me d'altŽration de de Jong, gr‰ce auquel on peut utiliser le thŽor•mede Þnitude pour la cohomologie cristalline, un ingrŽdient essentiel de cette rŽcurrence
est fourni par un cas particulier de l'isomorphisme de Gysin entre cohomologie rigide
d'une sous-variŽtŽ lisse et cohomologie rigide ˆ supports dans cette sous-variŽtŽ.
La dŽmonstration de ce dernier ŽnoncŽ, qui constitue techniquement le cÏur duprŽsent article, occupe les sections 4 et 5. Rappelons que, dans le cas d'une variŽtŽ afÞne
et d'un diviseur principal lisse, l'isomorphisme de Gysin avait dŽjˆ ŽtŽ construit par
Monsky et Washnitzer [23] (voir aussi [13, 7.1]). Faute de savoir pour l'instant le construire en toute gŽnŽralitŽ en cohomologie rigide, nous nous limitons dans la section 5 ˆ
en donner une construction dans le cas de variŽtŽs relevables, ce qui sufÞt pour ladŽmonstration du thŽor•me de Þnitude. Dans ce cas, on peut partir de l'isomorphisme de
Gysin algŽbrique au niveau des complexes de de Rham des variŽtŽs relevŽes, et en dŽduire, en passant aux faisceaux analytiques rigides associŽs, un isomorphisme de Gysin
analytique ayant pour but la cohomologie locale ÒmŽromorpheÓ ˆ supports dans la sousvariŽtŽ relevŽe. Pour obtenir l'isomorphisme voulu au niveau de la cohomologie rigide,on est alors amenŽ ˆ comparer des complexes de de Rham Òˆ singularitŽs mŽromorphesÓ
et Òˆ singularitŽs surconvergentesÓ le long d'un diviseur lisse. Ce thŽor•me de comparaison, Žtabli dans la section 4, est du m•me type que le thŽor•me de comparaison de
Grothendieck en analytique complexe Ê; on peut le voir comme une gŽnŽralisation duthŽor•me de comparaison de Baldassarri-Chiarellotto [1] (mais ici seulement dans le cas
des coefÞcients constants), lorsqu'on se trouve dans une situation avec singularitŽs surconvergentes le long d'un diviseur arbitraire ˆ l'inÞni. La mŽthode que nous employons
fait appel ˆ la thŽorie des anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels complŽtŽs dŽveloppŽe dans[8], gr‰ce ˆ une gŽnŽralisation des thŽor•mes de prŽsentation de [7].
Comme corollaires de ces constructions, nous obtenons une variante locale de l'iso-- 4 -

morphisme de Gysin, analogue du thŽor•me de puretŽ cohomologique en cohomologieŽtale, et nous prouvons pour la cohomologie rigide le classique thŽor•me d'annulation endegrŽs < 2d de la cohomologie ˆ supports dans une sous-variŽtŽ de codimension d.
EnÞn, A. J. de Jong montre en appendice comment, par des rŽductions gŽomŽtriques supplŽmentaires, on peut donner une variante de la dŽmonstration du thŽor•me deÞnitude exposŽe dans la section 3 qui ne fasse pas appel ˆ l'isomorphisme de Gysin.
Mentionnons pour Þnir qu'il existe une autre approche du thŽor•me de Þnitude,
reposant sur un thŽor•me de l'indice pour les Žquations diffŽrentielles p-adiques. Cetteapproche, mentionnŽe par Monsky en parall•le avec sa dŽmonstration de la Þnitude de lacohomologie de de Rham en caractŽristique 0 [26], a ŽtŽ dŽveloppŽe par Mebkhout (nonpubliŽ). Depuis la rŽdaction de cet article, Christol m'a signalŽ avoir obtenu rŽcemment,
en collaboration avec Mebkhout, une forme du thŽor•me de l'indice qui gŽnŽralise sufÞsamment leurs rŽsultats antŽrieurs pour pouvoir utiliser cette mŽthode [11]. Cela
fournirait donc une autre dŽmonstration de la Þnitude de la cohomologie de MonskyWashnitzer, reposant sur des techniques enti•rement diffŽrentes de celle que nous
exposons ici.
Remerciements. C'est un plaisir de remercier A. J. de Jong pour toutes les discussions que nous avons eues
sur son thŽor•me d'altŽration et sur les applications qu'on peut en tirer, ainsi que R. Crew et B. Le Stumpour leurs commentaires sur mes premi•res tentatives pour exposer ces rŽsultats. Je remercie d'autre partl'Isaac Newton Institute (Cambridge) pour l'ambiance tr•s stimulante dans laquelle a ŽtŽ commencŽe, en
Juin 93, la partie de ce travail relative ˆ l'isomorphisme de Gysin. EnÞn, c'est aussi un plaisir deremercier S. Bloch et W. Messing pour tous les Žchanges que nous y avons eus sur cette question.

Conventions gŽnŽrales. ÑNous supposerons dans cet article que tous les schŽmas ouschŽmas formels considŽrŽs sont sŽparŽs.
Pour tout faisceau de groupes abŽliens E, nous noterons EÝ := E ¢ Ý.

1.

Rappels sur la cohomologie rigide

On Þxe un corps k de caractŽristique p > 0, et un anneau de valuation discr•tecomplet v d'inŽgales caractŽristiques, de corps rŽsiduel k, dont l'idŽal maximal sera notŽµ, et le corps des fractions K. La valuation est supposŽe normalisŽe par v(Ÿp) = 1, et on luiassocie la valeur absolue telle que ¾Ÿp¾ = pÊ-1. On note âŸ* Ç éŸ* le sous-groupe multiplicatif0

des valeurs absolues d'ŽlŽments de KŸ*, et âŸ* = âŸ* ¢ Ý, qui est un sous-groupe multiplicatif dense de éŸ*.

0Nous rappelons d'abord ici sans dŽmonstration les constructions gŽomŽtriques debase permettant de dŽÞnir la cohomologie rigide relativement ˆ K d'un k-schŽma de type
Þni X, en renvoyant ˆ [5] pour les justiÞcations nŽcessaires. Nous donnons ensuite rapidement la dŽmonstration des thŽor•mes d'indŽpendance annoncŽs dans [3], qui assurent

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l'existence et la fonctorialitŽ de la cohomologie rigide. L'idŽe est en gros la suivante : oncompactiÞe X en un schŽma †X propre sur k, puis on plonge †X dans un v-schŽma formel
p-adique ^P lisse au voisinage de XÊ; au schŽma formel ^P, on associe par la thŽorie deRaynaud [29] un espace analytique rigide ^PK sur KÊ; la donnŽe du sous-schŽma †X de ^PdŽÞnit un ouvert ]Ê†XÊ[ de ^PKÊ, le tube de †X dans ^PKÊ, qui joue le m•me r™le qu'un voisinage
inÞnitŽsimal de †X dans ^PÊ; on construit sur ]Ê†XÊ[ un faisceau de fonctions Òˆ singularitŽs
surconvergentes le long de †X • XÊÓ, et, gr‰ce ˆ un thŽor•me de Þbration pour le morphisme induit entre les tubes par un morphisme lisse de schŽmas formels, on prouve que lacohomologie de de Rham de ]Ê†XÊ[ ˆ coefÞcients dans ce faisceau est indŽpendante deschoix faits pour †X et ^P, et fonctorielle en X. Nous montrerons enÞn la commutation decette cohomologie aux extensions Þnies du corps K, et les thŽor•mes de comparaison avec
la cohomologie cristalline et avec la cohomologie de Monsky-Washnitzer.

1.1.

Soit ^P un v-schŽma formel p-adique, localement de type Þni. Suivant Raynaud [29],on peut associer ˆ ^P un espace analytique rigide ^PKÊ, qu'on appelle Þbre gŽnŽrique de X.
Lorsque ^P est afÞne, Žgal ˆ SpfÊŸA, ^PK est l'espace afÞno•de Spm(ŸA ¢ KŸ). Lorsque ^P est lecomplŽtŽ formel d'un v-schŽma propre P, de Þbre gŽnŽrique PKÊ, ^PK s'identiÞe ˆ l'espace
analytique PK Ÿan associŽ ˆ PK [5, (0.3.5)]. L'espace ^PK est muni d'un morphisme canoniqued'espaces annelŽs sp : ^PK @ ^P, appelŽ morphisme de spŽcialisation [5, (0.2.2)]. Si ^P =SpfÊŸA, le morphisme sp associe ˆ un point x Ô Spm(ŸA ¢ KŸ), de corps rŽsiduel K(x), lepoint de SpfÊŸA correspondant ˆ l'idŽal maximal image inverse par l'homomorphisme
AÊÊ@ A ¢ K @ K(x) de l'idŽal maximal de l'anneau des entiers de K(x)Ê; le cas gŽnŽral
s'en dŽduit par recollement. La construction de l'espace ^PK et du morphisme sp : ^PK @ ^P
est fonctorielle en ^PÊ; nous noterons uK : ^PK' @ ^PK le morphisme d'espaces analytiquesdŽÞni par un morphisme de schŽmas formels u : ^P' @ ^P.
Pour toute partie localement fermŽe X de la Þbre spŽciale P0 de ^P, on appelle tube de
X dans ^P le sous-ensemble]ÊXÊ[^P = spÊ-1(ŸXŸ) Ç ^PKÊ.
C'est un ouvert de ^PKÊ, fonctoriel par rapport au couple (ŸX, ^P) [5, (1.1.1)]. S'il existe
f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊ, g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgs Ô â(^P, o^P) tels que X = (õriÊ=Ê1 V(Ÿfi)) õ (ôsjÊ=Ê1 D(gj)), le tube ]ÊXÊ[^P est
l'ouvert de ^PK dŽÞni par les conditions(1.1.1)]ÊXÊ[^P = {Êx Ô ^PK ¾ × i, ¾Êfi(x)¾ < 1 ;Á j, ¾gj(x)¾ = 1Ÿ}.

Par construction, le morphisme de spŽcialisation induit un morphisme d'espaces topologiques sp : ]ÊXÊ[^P @ X.
Soient †X un sous-schŽma fermŽ de P0Ê, et j : X Ì@ †X une immersion ouverte, decomplŽmentaire Z. Le tube ]Ê†XÊ[^P est la rŽunion disjointe des tubes ]ÊXÊ[^P et ]ŸZŸ[^PÊ, mais lerecouvrement ainsi obtenu n'est pas admissible en gŽnŽral. On dit qu'un ouvert- 6 -

VÊÊÇÊÊ]Ê†XÊ[^P est un voisinage strict de ]ÊXÊ[^P dans ]Ê†XÊ[^P si les deux ouverts V et ]ŸZŸ[^Pforment un recouvrement admissible de ]Ê†XÊ[^PÊ. Par exemple, si ^P est le complŽtŽ formeld'un v-schŽma sŽparŽ P, et si X' est un ouvert de P de Þbre spŽciale X, l'espace analytique XK'Êan associŽ ˆ la Þbre gŽnŽrique X'K de X' est un voisinage strict de ]ÊXÊ[^P dans ^PK [5,(1.2.4) (ii)].
Un autre cas particulier important est celui qu'on obtient en considŽrant un vschŽma afÞne X', de Þbre spŽciale X, et une immersion fermŽe X'ÊÊÌ@ •nvÊ. Si †X' est

l'adhŽrence schŽmatique de X' dans ænvÊ, et ^ †X' son complŽtŽ formel, le tube ]ÊXÊ[^ †X' est

l'intersection de XK'Êan avec la boule unitŽ fermŽe de •KnÊan, et un syst•me fondamental devoisinages stricts de ]ÊXÊ[^ †X' dans ^ †X'K = †XK'Êan est fourni par les intersections de XK'Êan avec lesboules de rayon Â > 1 dans •KnÊan [5, (1.2.4) (iii)].

1.2.

Soient ^P un v-schŽma formel de Þbre spŽciale P0Ê, †X Ç P0 un sous-schŽma fermŽ, X

un ouvert de †X, j : X Ì@ †X l'immersion ouverte correspondante. On dŽÞnit un foncteur
jŸ“ de la catŽgorie des faisceaux abŽliens sur ]Ê†XÊ[^P dans elle-m•me en associant ˆ u n
faisceau abŽlien E le faisceau
jŸ“ŸE = lim jVÊ*ÊjÊ-1
V ŸE,
#@
V

o• V parcourt l'ensemble des voisinages stricts de ]ÊXÊ[^P dans ]Ê†XÊ[^PÊ, et jV est l'inclusionde V dans ]Ê†XÊ[P^ Ê. On vŽriÞe que le foncteur jŸ“ est exact, et que le morphisme canonique
EÊÊ@ jŸ“ŸE est un Žpimorphisme [5, (2.1.3)]. Si Z = †X • X, on dŽÞnit de plus un foncteur â“]ŸZŸ[par la suite exacte
0 Ê##@ â“]ŸZŸ[ÊE Ê##@ E Ê##@ jŸ“ŸE Ê##@ 0Ê;(1.2.1)

le foncteur â“]ŸZŸ[ est Žgalement exact.
Les foncteurs jŸ“ et â“]ŸZŸ[ vŽriÞent les propriŽtŽs suivantes [5, 2.1] :(i) La restriction de jŸ“ŸE (resp. â“]ŸZŸ[ÊE) ˆ ]ÊXÊ[^P est Žgale ˆ celle de E (resp. est nulle), etsa restriction ˆ ]ŸZŸ[^P est nulle (resp. est Žgale ˆ celle de E).
(ii) Si (ŸXi)iÊ=Ê1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êr est un recouvrement ouvert de X, si, pour toute suite i1 < .Ê.Ê. < ikÊ, onnote Xi Ê.Ê.Ê.Êi = Xi õ .Ê.Ê. õ Xi Ê, et si ji Ê.Ê.Ê.Êi : Xi Ê.Ê.Ê.Êi Ì@ †X est l'immersion ouverte correspon1

k

1

k

1

k

1

k

dante, il existe pour tout faisceau abŽlien E des suites exactes de faisceaux sur ]Ê†XÊ[^P(1.2.2)0 Ê#@ jŸ“ŸE Ê#@ ÕÊ jiŸ“ŸE Ê#@i(1.2.3)

ÕÊ j“i Êi ÊE Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j“1Ê.Ê.Ê.ÊrÊE Ê#@ 0,i1Ê<Êi2

1 2

0 Ê#@ â“]ŸZŸ[ÊE Ê#@ E Ê#@ ÕÊ jŸi “ŸE Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j“1Ê.Ê.Ê.ÊrÊE Ê#@ 0.
i(iii) Soient X1 et X2 deux ouverts de †X, X = X1 õ X2Ê, j1Ê, j2 et j les immersions ouvertes
correspondantes, Zi le complŽmentaire de Xi (i = 1, 2), Z = Z1 õ Z2Ê. Il existe des isomorphismes canoniques de foncteurs

- 7 -(1.2.4)

â“]ŸZ [ ì j2Ÿ“ – j2Ÿ“ ì â“]ŸZ [Ê,11â“]ŸZ [ ì â“]ŸZ Ÿ[ – â“]ŸZŸ[Ê,1j1Ÿ“ ì j2Ÿ“ – jŸ“.

2(iv) Soit jV : V Ì@ ]Ê†XÊ[^P l'inclusion d'un voisinage strict de ]ÊXÊ[^PÊ. Si E est un faisceauabŽlien sur V, on note encore jŸ“ŸE le faisceau sur V dŽÞni par jŸ“ŸE = limÊV' jV,ÊV'Ê*ÊjÊ-1
V,ÊV'ÊE, o•#@V' parcourt l'ensemble des voisinages stricts de ]ÊXÊ[^P contenus dans V, et jV,ÊV' estl'inclusion de V' dans V. On notera Žgalement jŸ“ŸE le faisceau sur ]Ê†XÊ[^P dŽÞni par jŸ“ŸE =limÊV' jV'Ê*ÊjÊ-1
V,ÊV'ÊE. Cet abus de notation est justiÞŽ par les relations#@(1.2.5)“›
lim jV'Ê*ÊjÊ-1
V,ÊV'ÊE Ê#ÊÊÊ@ jVÊ*(ŸjŸ ŸE),#@RkŸjVÊ*(ŸjŸ“ŸE) = 0, × k ³ 1,V'qu'on vŽriÞe immŽdiatement par restriction ˆ V d'une part, et ˆ ]ŸZŸ[^P d'autre part. Le
foncteur jŸ“ ainsi obtenu de la catŽgorie des faisceaux abŽliens sur V dans celle des faisceaux abŽliens sur ]Ê†XÊ[^P est encore exact.
Soient i : †X Ì@ †X' une immersion fermŽe, j' = i ì j. On suppose que j' est une(v)immersion ouverte de X dans †X'. Alors ]Ê†XÊ[^P est un voisinage strict de ]ÊXÊ[^P dans ]Ê†X'[^PÊ,et, si l'on note iK : ]Ê†XÊ[^P Ì@ ]Ê†X'[^PÊ, on a d'apr•s (iv)(1.2.6)j'Ÿ“ŸE Ê#ÊÊ›Ê@ iKÊ*ÊjŸ“E,RkŸiKÊ*ÊjŸ“ŸE = 0,

× k ³ 1.

Le foncteur jŸ“ commute aux limites inductives Þltrantes : cela rŽsulte de ce qu'il(vi)

existe toujours un syst•me fondamental de voisinages stricts dont l'intersection avec tout
ouvert afÞno•de de ]Ê†X'[P^ est quasi-compacte [5, (1.2.9)].

1.3.

Soient X un k-schŽma sŽparŽ, j : X Ì@ †X une compactiÞcation de X sur k : il enexiste d'apr•s un thŽor•me de Nagata [27]. On suppose qu'il existe un v-schŽma formel ^Plisse aux points de X, et une immersion fermŽe †X Ì@ ^P. On dŽÞnit la cohomologie rigide
de X (relativement ˆ KŸ) en posant(1.3.1)Ÿ* (ŸXÊ/ÊKŸ) := HŸ*(]Ê†XÊ[ , jŸ“ŸãÖ ).
Hrig^PÊ]Ê†XÊ[

Le fait que ces espaces de cohomologie soient indŽpendants des choix faits pour †X et ^P, etsoient fonctoriels en X, rŽsultera des thŽor•mes qui suivent.
Ÿ* (ŸXÊ/ÊKŸ) sans supposer qu'il existe globaleRemarque. Ñ On peut dŽÞnir les groupes Hrig
ment sur †X une immersion fermŽe †X Ì@ ^P, par l'intermŽdiaire d'un complexe de Ê«Cech
construit au moyen d'immersions locales. Dans le cadre de cet article, nous nous limiterons nŽanmoins au cas o• l'on dispose d'une immersion globale. Cette hypoth•se est en
particulier satisfaite lorsque X est quasi-projectif sur k, et que l'on prend pour †X une
compactiÞcation projective de X.
Montrons d'abord l'indŽpendance des groupes de cohomologie (1.3.1) par rapport auplongement de †X dans ^P.

- 8 -

THƒORéME. Ñ Soient j : X Ì@ †X une immersion ouverte entre k-schŽmas de type1.4.

Þni, i : †X Ì@ ^P, i' : †X Ì@ ^P' deux immersions fermŽes dans des v-schŽmas formels
lisses aux points de X, u : ^P' @ ^P un morphisme lisse aux points de X, tel que i = u ì i'.
Notons respectivement jŸ“ et j'Ÿ“ les foncteurs sur ]Ê†XÊ[^P et ]Ê†XÊ[^P' dŽÞnis par l'immersion j,
uK : ]Ê†XÊ[^P' @ ]Ê†XÊ[^P le morphisme induit par u. Alors le morphisme canoniquejŸ“ŸãÖ]Ê†XÊ[ Ê#@ éŸuKÊ*Êj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†XÊ[(1.4.1)^P^P'

est un isomorphisme.
Nous indiquons sommairement les grandes lignes de la dŽmonstration, en renvoyant le lecteur ˆ [6, III] pour plus de dŽtails. L'ŽnoncŽ est local sur ]Ê†XÊ[^PÊ, et on peut seramener au cas o• ^P et ^P' sont afÞnes en prenant des recouvrements ouverts afÞnes (^PŒ)
et (^P'Œ) de ^P et ^P' tels que u(^P'Œ) Ç ^PŒ et ^P'Œ õ †X = ^PŒ õ †X. On localise ensuite sur X gr‰ce
aux suites exactes (1.2.2) pour se ramener au cas o• Z = †X • X est dŽÞni par une Žquation
dans †X, et o• le faisceau conormal ˆ X dans P'X := XÊÊ|^P ^P' est libre, de rang d. En
prolongeant une suite rŽguli•re de gŽnŽrateurs de l'idŽal de X dans P'X en une suite desections de l'idŽal de †X dans †X |^P ^P', et en relevant celles-ci dans ^P', on dŽÞnit u nmorphisme Ä de ^P' dans l'espace afÞne formel ^P" = ^•d | ^P au-dessus de ^P, envoyant †Xdans la section nulle de ^P". Il rŽsulte alors du thŽor•me de Þbration fort [5, (1.3.7)] que ÄKinduit un isomorphisme entre un voisinage strict de ]ÊXÊ[^P' dans ]Ê†XÊ[^P' et un voisinage
strict de ]ÊXÊ[^P" dans ]Ê†XÊ[^P"ÊÊ. On peut ainsi ramener l'ŽnoncŽ au cas o• ^P' = ^•d | ^P, et o•i' est le composŽ de i et de la section nulle.
Par rŽcurrence, il sufÞt de traiter le cas d = 1. On montre alors les assertions
suivantes, qui entra”nent le thŽor•me :(i) Le morphisme canonique jŸ“ŸãÖ]Ê†XÊ[^PÊ#@ uKÊ*Êj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†XÊ[ est un quasi-isomorphismeÊ;
^P'

(ii)

Le complexe R1ŸuKÊ*Êj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†XÊ[ est acycliqueÊ;(iii)

Les faisceaux RŸiŸuKÊ*Êj'Ÿ“Ÿãk]Ê†XÊ[ sont nuls pour tout k et tout i ³ 2.

^P'

^P'

Soit t la coordonnŽe canonique sur ^•1. Pour montrer (i), on se place au-dessus d'unafÞno•de W Ç ]Ê†XÊ[^PÊ, et on utilise le recouvrement admissible de ]Ê†XÊ[^P' fourni par les
tubes fermŽs [Ê†XÊ]^P',ÊÚÊ, pour Ú @ 1-, Ú ÔÊâŸ* : rappelons que, si †X est dŽÞni dans la ÞbrespŽciale P0 de P par les rŽductions d'Žquations f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr Ô â(^P, o^P), on dŽÞnit [Ê†XÊ]^P,ÊÚ par[Ê†XÊ]^P,ÊÚ = {Êx Ô ^PK ¾ × i, ¾Êfi(x)¾ ² ÚÊ},et de m•me pour [Ê†XÊ]^P',ÊÚÊ. Pour tout faisceau E sur ]Ê†XÊ[^P'Ê, et toute suite croissante Ún Ô âŸ*de limite 1, on a alors(1.4.2)

â(W, uKÊ*ÊE) = lim â(uKŸ-1(WŸ) õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, E).
Ò#nnSoit d'autre part h Ô â(^P, o^P) relevant une Žquation de Z dans †X. Pour tout Â < 1, on noteUÂ l'ouvert de ]Ê†XÊ[^P dŽÞni par la condition ¾Ÿh(x)¾ ³ Â, et U'Â = uŸK -1(UÂ) Ç ]Ê†XÊ[^P'Ê. Fixons

- 9 -

une suite strictement croissante Ú = (Ún) de limite 1, telle que Ún Ô âŸ*. D'apr•s [5, (1.2.4)(i)], un syst•me fondamental de voisinages stricts de ]ÊXÊ[^P' dans ]†ŸXŸ[^P' est alors donnŽ
par les ouverts V
associŽs aux suites croissantes Â = (Â ) de limite 1, avec Â Ô âŸ*, et
Ú,ÊÂ

n

n

dŽÞnis parVÚ,ÊÂ = U'Â õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê.
nnComme uŸK -1(WŸ) õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ est quasi-compact, le foncteur â(uŸK -1(WŸ) õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ , -) comnnmute aux limites inductives Þltrantes. D'autre part, on a[Ê†XÊ]^P',ÊÚ = [Ê†XÊ]^P,ÊÚ | D(0, Ú+n),nno•, pour tout rŽel Ú, on note D(0, Ú+) le disque fermŽ de centre 0 et de rayon Ú. CommeWÊÊÇ ]Ê†XÊ[^PÊ, il rŽsulte du principe du maximum [10, 6.2.1, prop. 4] que W Ç [Ê†XÊ]^P,ÊÚ pour nnassez grand. En posant A = â(W, o]Ê†XÊ[ ), BÂ = â(W õ UÂÊ, o]Ê†XÊ[ ) et B = â(W õ ]ÊXÊ[^PÊ,^P^Po]Ê†XÊ[ ), on obtient alors les descriptions suivantes :^P

â(W, jŸ“Ÿo]Ê†XÊ[ ) – lim BÂ Ê,^P

â(W, uKÊ*Êj'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[) – {ÊåÊÊakÊtŸk Ô B[[t]] ¾
k

#@

n

n

×Ên,ÊÊÁÊÂnÊ<Ê1ÊÊtelÊque,ÊÊ×Êk,ÊÊÁÊak,ÊnÊÊÔÊÊBÂ
n Ê} ,
Êd'imageÊakÊdansÊB,ÊtelÊqueÊ®ak,Ên®ÚnkÊ@Ê0

la norme Žtant prise dans BÂ Ê. On en dŽduit sans difÞcultŽ la variante suivante dunlemme de PoincarŽ : si Ù est la dŽrivation par rapport ˆ t, la suiteÙ

0 Ê#@ â(W, jŸ“Ÿo]Ê†XÊ[ ) Ê#@ â(W, uKÊ*Êj'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ) Ê#@ â(W, uKÊ*Êj'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ) Ê#@ 0
^P

^P'

^P'

est exacte. L'assertion (i) en rŽsulte.
Pour prouver l'assertion (ii), on se ram•ne ˆ montrer que, pour tout k, l'homomorphismeÙHŸ1(uKŸ-1(WŸ), j'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ) Ê#@ HŸ1(uŸK -1(WŸ), j'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ )(1.4.3)^P '^P'

est un isomorphisme. Pour cela, on utilise encore le recouvrement de ]Ê†XÊ[^P' par les«[Ê†XÊ]^P',ÊÚ aÞn de faire un calcul de cohomologie de ÊCech,ˆ la mani•re de [20, p. 271-272].
n
Un 1-cocycle s'interpr•te alors comme une famille de sections gn Ô â(uŸK -1(WŸ) õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê,nj'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ), et un tel cocycle est un cobord si et seulement s'il existe une famille de sections^P'

fn Ô â(uKŸ-1(WŸ) õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, j'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ) telles que gn = fn - fnÊ+Ÿ1 pour tout n. Supposons^P'nd'abord que (gn) soit un cocycle tel que (Ùgn) soit un cobord. Il existe alors une suite
croissante Ân Ô âŸ* de limite 1, et des sections fn Ô â(uKŸ-1(WŸ) õ U'Â õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, o]Ê†XÊ[ )nn^P'telles que, pour tout n, on ait Ùgn = fn - fnÊ+Ÿ1 dans â(uKŸ-1(WŸ) õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, j'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ). Soit f'nÔ â(uKŸ-1(WŸ) õ U'Â

n

nÊ+Ê1

^P'

õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, o]Ê†XÊ[ ) une section telle que Ùf'n = fnÊ+Ÿ1Ê; il en existe, car Ún^P 'n< ÚnÊ+Ÿ1Ê. Le cocycle (gn) est alors cohomologue au cocycle (gnÊ+Ÿ1 - f'n + f'nÊ+Ÿ1). Commecelui-ci est tel que Ù(gnÊ+Ÿ1 - f'n + f'nÊ+Ÿ1) = 0, on a gnÊ+Ÿ1 - f'n + f'nÊ+Ÿ1 Ô â(W õ [Ê†XÊ]^P,ÊÚ Ê,njŸ“Ÿo]Ê†XÊ[ ). Comme W Ç [Ê†XÊ]^P,ÊÚ pour n assez grand, le cocycle (gnÊ+Ÿ1 - f'n + f'nÊ+Ÿ1) est^Pn- 10 -

nŽcessairement un cobord, ce qui entra”ne l'injectivitŽ du morphisme (1.4.3). D'autrepart, si (g ) est un cocycle quelconque, il existe une suite croissante Â Ô âŸ* de limite 1nntelle que, pour tout n, gn provienne d'une section de â(uŸK -1(WŸ) õ U'Â õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, o]Ê†XÊ[ ).
telles que Ùg'n = gnÊ+Ÿ1 dans â(uKŸ-1(WŸ) õ U'Â

nÊ+Ê1

^P'

n

n

nÊ+Ê1

õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, o]Ê†XÊ[ )On peut alors trouver une famille de sections g'n Ô â(uŸK -1(WŸ) õ U'Ân^P'õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, o]Ê†XÊ[ ), d'o• un cocycle (g'n) tel^P'nque Ù(g'n) = (gnÊ+Ÿ1). Comme (gn) et (gnÊ+Ÿ1) sont des cocycles cohomologues, cela montre
la surjectivitŽ de (1.4.3).
EnÞn, pour prouver (iii), on dŽduit d'abord des thŽor•mes de Kiehl que les faisceauxde la forme jŸ“Ÿo]Ê†XÊ[ sont cohomologiquement triviaux sur les ouverts afÞno•des, gr‰ce ˆ^P'

la commutation de la cohomologie aux limites inductives et au fait que l'intersection desU'Â avec un ouvert afÞno•de est encore afÞno•de. Il rŽsulte alors de (1.4.2) que les groupesHŸ i(uKŸ-1(WŸ), j'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ) s'identiÞent aux groupes RŸiÊlimÊnÊâ(uŸK -1(WŸ) õ [Ê†XÊ]^P',ÊÚ Ê, j'Ÿ“Ÿo]Ê†XÊ[ ).
^P'

Ò#

n

^P'

Ils sont donc nuls pour i ³ 2, d'o• (iii).
En appliquant le foncteur éÊsp* ˆ l'isomorphisme (1.4.1), on obtient :1.5.

C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de 1.4, le morphisme u induit un isomorphis-me› éÊsp ÊŸj'Ÿ“ŸãÖéÊsp*ÊŸjŸ“ŸãÖ]Ê†XÊ[ Ê##@*]Ê†XÊ[ Ê.
^P^P'

Rappelons que le morphisme de spŽcialisation sp : ^PK @ ^P induit un morphismed'espaces topologiques ]ÊXÊ[^P @ X (resp. ^P'), ce qui donne un sens ˆ l'ŽnoncŽ.
Soient alors †X Ì@ ^P1 et †X Ì@ ^P2 deux plongements de †X dans des v-schŽmas
formels lisses au voisinage de X. En introduisant le plongement diagonal †X Ì@ ^P1 | ^P2Ê,et en appliquant le corollaire aux projections sur ^P1 et ^P2Ê, on obtient un isomorphisme
canoniqueéÊsp*ÊŸjŸ“Ÿ ãÖ]Ê†XÊ[^P2› éÊsp ÊŸjŸ“Ÿ ãÖÊ##@*]Ê†XÊ[ Ê,^P1dont on vŽriÞe facilement qu'il donne lieu ˆ une formule de transitivitŽ pour trois plongements de †X dans des v-schŽmas formels lisses au voisinage de X. Par consŽquent, lecomplexe éÊsp*ÊŸjŸ“Ÿ ãÖ]Ê†XÊ[ Ê, vu comme objet de la catŽgorie dŽrivŽe des complexes de K^P
vectoriels sur †X, est indŽpendant ˆ isomorphisme canonique pr•s du choix de ^P. Nous
emploierons la notationéŸârig((ŸX, †XŸ)Ÿ/ÊKŸ) := éÊsp*ÊŸjŸ“Ÿ ãÖ]Ê†XÊ[ .
^PÊ

Ce complexe est de plus fonctoriel en (ŸX, †XŸ). En effet, supposons donnŽ un morphisme (Êf, Êf`) : (ŸX, †XŸ) @ (Y, †YŸ), et choisissons des plongements †X Ì@ ^P, †Y Ì@ ^P' dansdes schŽmas formels lisses respectivement au voisinage de X et Y. On introduit alors leplongement naturel †X Ì@ ^P" := ^P | ^P', et les projections q : ^P" @ ^P, q' : ^P" @ ^P', et on

- 11 -

dŽÞnit le morphisme de fonctorialitŽ comme le composŽ
éÊsp*ÊŸjYŸ“ŸÊŸãÖ]Ê†YÊ[

ÊÊ*

^P'

q'
Ê##@ éÊÊf̀*ÊéÊsp*ÊŸjXŸ“ŸÊŸãÖ]Ê†XÊ[

Ê*ÊÊ-1

^P "

q
Ö
“
Ê
Ê##@
› éÊf̀*ÊéÊsp*ÊŸjXŸ ŸÊŸ Ÿã]Ê†XÊ[ ,^PÊo• l'on a notŽ jX : X Ì@ †X, jY : Y Ì@ †Y . Il est formel de vŽriÞer qu'il est indŽpendant deschoix effectuŽs, et satisfait la formule de transitivitŽ pour deux morphismes composables. De m•me, on vŽriÞe que, s'il existe g : ^PÊÊ@ ^P' induisant Êf` sur †X , alors le morphismede fonctorialitŽ ainsi dŽÞni co•ncide avec le morphisme naturel induit par gŸ*.
L'indŽpendance des groupes de cohomologie (1.3.1) par rapport au choix de la compactiÞcation †X rŽsulte alors de l'ŽnoncŽ suivant :1.6.

THƒORéME. Ñ Soient j : X Ì@ †X, j' : X Ì@ †X' deux immersions ouvertes entre k-schŽmas de type Þni, v : †X' @ †X un k-morphisme tel que v ì j' = j. Si v est propre, lemorphisme canoniqueéÊârig((ŸX, †XŸ)Ÿ/ÊKŸ) Ê##@ éÊv*ÊéÊârig((ŸX, †X')Ÿ/ÊKŸ)est un isomorphisme.
L'ŽnoncŽ Žtant local sur †X, on peut supposer †X afÞne. Gr‰ce au lemme de Chow,
sous la forme prŽcise donnŽe par Gruson-Raynaud [16, cor. 5.7.14], on peut trouver u nŽclatement †X" @ †X' centrŽ hors de X tel que †X" @ †X soit projectif, ce qui ram•ne au cas o•v est projectif. On choisit une immersion fermŽe i : †XÊÊÌ@ ^P dans un v-schŽma formelafÞne lisse au voisinage de X, et une ^P-immersion fermŽe i' : †X' Ì@ ^P' = ^æŸv N | ^P dans u nespace projectif formel au-dessus de ^P. Soient u : ^P' @ ^P, P'†X := ^P' |^P †X. En utilisant lessuites exactes (1.2.2), on voit qu'il sufÞt de prouver l'ŽnoncŽ pour les ouverts d'un
recouvrement de X, de sorte qu'on peut supposer qu'il existe un entier m et une section s Ô
â(P'†XÊ, oP' (m)) telle que X = †X' õ D(s) dans P'†XÊ. Quitte ˆ localiser davantage, on peut†Xaussi supposer qu'il existe des sections `t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`t Ô â(D(s), o ) formant une suite
1Ê

N

P'†X

rŽguli•re de gŽnŽrateurs de l'idŽal de X dans D(s). Multipliant les `ti par sŸd, pour u nentier d convenable, on peut supposer qu'elles se prolongent en des sections de â(P'†XÊ,oP' (dm)), encore notŽes `tiÊ. Soient t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtN Ô â(^P', o^P'(dm)) des rel•vements des `tiÊ, ^TÊÊÇ ^P'†X
le sous-schŽma formel dŽÞni par l'annulation des tiÊ, u' : ^T @ ^P.
D'apr•s (1.2.6), on ne change pas le complexe éÊârig((ŸX, †X')Ÿ/ÊKŸ) = éÊsp*ÊŸj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†X'Ÿ[ si^P'
l'on remplace †X' par l'adhŽrence de X dans P'†XÊ. Cela permet de supposer que ^T contient†X'. Par construction, ^T est Žtale sur ^P aux points de X. Comme †X' est propre sur †X, lemorphisme u' : ^T @ ^P induit alors un isomorphisme entre des voisinages stricts de ]ÊXÊ[^Tdans ]Ê†X'Ÿ[^T et de ]ÊXÊ[^P dans ]Ê†XÊ[^P [5, (1.3.5)]. Par consŽquent, le morphisme composŽ
jŸ“ŸãÖ]Ê†XÊ[ Ê##@ éŸuKÊ*ÊŸj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†X'Ê[^P^P'Ê##@ éŸu'KÊ*ÊŸj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†X'Ê[^T

est un isomorphisme. Le thŽor•me rŽsulte donc de ce que, d'apr•s 1.4, le second morphis-

- 12 -

me est un isomorphisme.
On en dŽduit aussit™t :1.7.

C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de 1.6, le morphisme canoniqueéŸâ(ŸŸ†X, éŸârig((ŸX, †XŸ)Ÿ/ÊKŸ)) Ê##@ éŸâ(ŸŸ†X', éŸârig((ŸX, †X')Ÿ/ÊKŸ))est un isomorphisme.
Soient j1 : X Ì@ †X1Ê, j2 : X Ì@ †X2 deux compactiÞcations de X sur k, †X3 l'adhŽrenceschŽmatique de X plongŽ diagonalement dans †X1 | †X2Ê. En appliquant le corollaire aux
projections de †X3 sur †X1 et †X2Ê, on obtient un isomorphisme canonique› éŸâ(ŸŸ†X , éŸâ ((ŸX, †X )Ÿ/ÊKŸ)),éŸâ(ŸŸ†X2Ê, éŸârig((ŸX, †X2)Ÿ/ÊKŸ)) Ê##@1Ê
rig1vŽriÞant la condition de transitivitŽ pour une troisi•me compactiÞcation. Par consŽquent,la formule (1.3.1) dŽÞnit bien, ˆ isomorphisme canonique pr•s, des groupes de cohomologie ne dŽpendant que de X. La fonctorialitŽ en X se montre comme en 1.5 : si f : X @ Y est
un morphisme de k-schŽmas, et si †X et †Y sont des compactiÞcations de X et Y, notons †X'l'adhŽrence schŽmatique de X dans †X | †Y, et v :Ê †X' @ †X, v' : †X' @ †Y les deux projectionsÊ;le morphisme fÊ* induit sur la cohomologie rigide est alors dŽÞni comme le composŽ
v'Ê*

vÊ*Ê-1éŸâ(ŸŸ†Y, éŸârig((Y, †Y)Ÿ/ÊKŸ)) Ê#@ éŸâ(ŸŸ†X', éŸârig((ŸX, †X')Ÿ/ÊKŸ)) Ê#@ éŸâ(ŸŸ†X, éŸârig((ŸX, †X)Ÿ/ÊKŸ)),›dont on vŽriÞe encore formellement qu'il satisfait la condition de transitivitŽ pour deux
morphismes composables.
Nous aurons ˆ utiliser un cas simple de compatibilitŽ ˆ l'extension des scalaires :1.8.

P ROPOSITION. Ñ Soient K' une extension Þnie de K, d'anneau des entiers v', d ecorps rŽsiduel k', X un k-schŽma de type Þni, X' le k'-schŽma qui s'en dŽduit par changement de base. Il existe alors un isomorphisme canoniqueÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ) Ê##@› HÊ* (ŸX'Ê/ÊK'Ÿ).
K' ¢K Hrigrig
Si on choisit une compactiÞcation j : X Ì@ †X de X, et un plongement †X Ì@ ^P dans
un v-schŽma formel lisse au voisinage de X, on obtient par changement de base une compactiÞcation j' : X' Ì@ †X', et un plongement †X' Ì@ ^P', o• ^P' est lisse au voisinage de X'.
Soit u : ^P' @ ^P. Comme K' est Þni sur K, on peut considŽrer ^P'K' comme un espace
analytique sur K, Þni au-dessus de ^PKÊ. De plus, il rŽsulte de la description (1.1.1) queuŸK -1(]Ê†XÊ[^P) = ]Ê†X'Ÿ[^P'Ê. Il sufÞt alors de dŽmontrer que le morphisme canonique
K' ¢K ŸjŸ“ŸãÖ]Ê†XÊ[ Ê/ÊK Ê#@ éÊuKÊ*ÊŸj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†X'Ÿ[ Ê/ÊK'Ê.
^P^P'

- 13 -

est un isomorphisme. C'est une propriŽtŽ locale sur ^P, qu'on peut donc supposer afÞne.
On peut Žgalement localiser sur X gr‰ce aux suites exactes (1.2.2), de sorte qu'on peut
supposer †X • X dŽÞni dans †X par la rŽduction d'une Žquation hÊÊÔ â(^P, o^P). Pour Â < 1,soit UÂ (resp. U'Â) l'ouvert de ]Ê†XÊ[^P (resp. ]Ê†X'Ÿ[^P') formŽ des points x tels que ¾Ÿh(x)¾ ³ Â Ê;
on a donc U' = uŸ-1(U ). Fixons une suite croissante d'ŽlŽments Â Ô âŸ* de limite 1. Si
Â

K

Â

n

WÊÊ= SpfÊŸA est un ouvert afÞno•de de ]Ê†XÊ[^PÊ, on aâ(W, K' ¢K ŸjŸ“ŸãÖ]Ê†XÊ[ Ê/ÊK) = lim K' ¢K â(W õ UÂ Ê, ãÖ]Ê†XÊ[ Ê/ÊK).
^P

#@

^P

n

n

D'autre part, W' = uKŸ-1(WŸ) est l'ouvert afÞno•de de ]Ê†X'Ÿ[^P' d'alg•bre K' ¢K A, et on aâ(W', Ÿj'Ÿ“ŸãÖ]Ê†X'Ÿ[ Ê/ÊK') = lim â(W' õ U'Â Ê, ãÖ]Ê†X'Ÿ[ Ê/ÊK')
^P'

#@
n

^P'

n

= lim K' ¢K â(W õ UÂ Ê, ãÖ]Ê†XÊ[ Ê/ÊK).
#@

n

n

^P

Comme les ouverts W' õ U'Â sont afÞno•des, on dŽduit des thŽor•mes de Kiehl que lesnHÊi(W', Ÿj'Ÿ“Ÿãk]Ê†X'Ÿ[ Ê/ÊK') sont nuls pour tout k et tout i ³ 1, et l'ŽnoncŽ en rŽsulte.
^P'

Pour terminer ces gŽnŽralitŽs sur la cohomologie rigide, indiquons comment elle estreliŽe ˆ la cohomologie cristalline d'une part, et ˆ la cohomologie de Monsky-Washnitzer
d'autre part.

1.9.

PROPOSITION. Ñ Si X est propre et lisse sur k, et si W est un anneau de Cohen de k,il existe un isomorphisme canoniqueÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ) Ê##@› HÊ* (ŸXÊ/ÊWŸ) ¢ K
Hrig
cris

(1.9.1)

identiÞant la cohomologie rigide et la cohomologie cristalline de X.
Compte tenu de 1.8, on peut supposer que v = W. On construit d'abord un homomorphisme (1.9.1) en supposant seulement que X est propre sur k. Pour le calcul de lacohomologie rigide, on peut donc prendre †X = X. Soit X Ì@ ^P une immersion fermŽe
dans un W-schŽma formel lisse au voisinage de X. Par dŽÞnition, on a
Ê* (ŸXÊ/ÊKŸ) = HÊ*(ŸX, éÊâ ((ŸX, XŸ)Ÿ/ÊKŸ)),Hrig
rig
et, puisque †X • X est vide,éÊârig((ŸX, XŸ)Ÿ/ÊKŸ) = éÊsp*ÊãÖ]ÊXÊ[ Ê.
^P

Si U^ = SpfÊŸA est un ouvert afÞne de ^P, il rŽsulte de (1.1.1) que spÊ-1(U^) õ ]ÊXÊ[^P est u nespace quasi-Stein au sens de Kiehl [20, 2.3]. Par consŽquent, les RŸiÊsp*Êãk]ÊXÊ[ sont nuls^P

pour i ³ 1, et on a simplement

- 14 -

éÊârig((ŸX, XŸ)Ÿ/ÊKŸ) = sp*ÊãÖ]ÊXÊ[ – (sp*Êo]ÊXÊ[ ) ¢ ãÖ^PÊ.
^P^P

Soient i l'idŽal de X dans ^P, p(i) l'enveloppe ˆ puissances divisŽes (compatibles ˆcelles de l'idŽal (Ÿp) = µ) de i dans oP^ Ê, ^p(i) sa complŽtion p-adique. Si oXÊ/ÊW est le faisceau structural du topos cristallin de X, et si uXÊ/ÊW : (ŸXÊ/ÊWŸ)cris @ XZar est le morphisme
canonique du topos cristallin dans le topos zariskien de X, on a d'apr•s [9, th. 7.23]
Ê* (ŸXÊ/ÊWŸ) – HÊ*(ŸX, éÊu
Ê*
Ö
Hcris
XÊ/ÊWÊ*ÊoXÊ/ÊW) – H (ŸX, ^p(i) ¢ ã^P).
Comme X est sŽparŽ et quasi-compact, la cohomologie commute ˆ la tensorisation par Ý,et, pour dŽÞnir l'homomorphisme (1.9.1), il sufÞt donc de construire un morphisme decomplexes(sp*Êo]ÊXÊ[ ) ¢ ãÖ^PÊ Ê##@ ^p(i) ¢ ãÖ^P,ÊÝÊ,^P(1.9.2)

et il sufÞt pour cela de construire un morphisme de o^P-alg•bres sp*Êo]ÊXÊ[ @ ^p(i) ¢ Ý^Pcompatible ˆ l'action des dŽrivations.
Un tel morphisme existe sans hypoth•se de propretŽ sur X. En effet, si l'on pose Ú =pŸ-1Ÿ/Êp, on dispose d'abord du morphisme naturel sp*Êo]ÊXÊ[ @ sp*Êo[ŸXŸ]^P^P,ÊÚÊ

. Soient U^ = SpfÊŸA

un ouvert afÞne de ^P, I = â(U^, i), B = â(U^, p(i)). Si (Êf1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êfr) sont des gŽnŽrateurs de
I, on a alors
â(U^, sp*Êo[ŸXŸ] ) = A{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ê/Ê(Êf1Êp - pŸT1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊp - pŸTr) ¢ Ý.
^P,ÊÚOn dŽÞnit un homomorphisme A-linŽaire
A[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr]Ê/Ê(Êf1Êp - pŸT1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfrÊp - pŸTr) Ê#@ B
en envoyant Ti sur (ŸpÊ-Ÿ1)!ÊfiŸÊ[Ÿp], d'o•, par passage aux complŽtŽs et tensorisation par Ý,
un homomorphisme
â(U^, sp*Êo[ŸXŸ] ) Ê##@ â(U^, ^p(i) ¢ Ý)^P,ÊÚqui est l'unique homomorphisme continu de (ŸA ¢ Ý)-alg•bres entre ces anneaux. PourU
^ variable, ces homomorphismes se recollent, et fournissent le morphisme cherchŽ :sp*Êo]ÊXÊ[ @ ^p(i) ¢ Ý. Par continuitŽ, il est clair qu'il commute aux dŽrivations. Il est^Pclair qu'il est Žgalement fonctoriel en (ŸX, P).
Pour achever la dŽmonstration de 1.9, il sufÞt de montrer que le morphisme (1.9.2)
est un quasi-isomorphisme lorsque X est lisse sur k. Cette propriŽtŽ Žtant locale, on peutalors supposer ^P afÞne. Or, ˆ quasi-isomorphisme pr•s, la source et le but de (1.9.2) nedŽpendent pas du choix du plongement de X dans un schŽma formel lisse ^P, et il est clair
par construction que (1.9.2) est fonctoriel par rapport ˆ l'immersion X Ì@ ^P. Lorsque X
est afÞne et lisse, on peut choisir pour ^P un rel•vement de X. Dans ce cas, i = µŸo^P, desorte que ^p(i) = o^PÊ, et ]ÊXÊ[^P = ^PKÊ, de sorte que sp*Êo]ÊXÊ[ = o^P ¢ Ý. Le morphisme (1.9.2)^P

se rŽduit alors ˆ l'identitŽ, d'o• la proposition.

- 15 -

1.10.

P ROPOSITION. Ñ Si X est afÞne et lisse sur k, il existe un isomorphisme canoniqueÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ) Ê##@› HÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ)Hrig
MW(1.10.1)

identiÞant la cohomologie rigide et la cohomologie de Monsky-Washnitzer de X.
Posons X = SpecÊŸA0Ê. D'apr•s le thŽor•me d'Elkik [12, th. 6], il existe une v-alg•brelisse A de rŽduction A0 sur k. Si A“ est la complŽtŽe faible de A [22, 1.1], on peut donner deA“ la description suivante (cf. [28, ¤ 2]). Lorsque A = v[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn], A“ est la sous-alg•bre del'alg•bre de sŽries formelles v[[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]] formŽe des sŽries Ä = ÏÊkÊŒkÊtŸk dont les coefÞcients Œk Ô v vŽriÞent une majoration de la forme ¾Œk¾ < cŸÚ¾k¾, avec Ú < 1Ÿ; il revient aum•me de demander que la sŽrie Ä ait un rayon de convergence ¨ > 1. Dans le cas gŽnŽral,si A – v[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ê/ÊI est une prŽsentation de A, on a A“ = v[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]“Ê/ÊIŸv[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]“. Lecomplexe de de Rham de A“ peut •tre dŽÞni comme Žtant ãÖ = A“ ¢ ãÖ . Par dŽÞnition,
A“

A

AÊ

la cohomologie de Monsky-Washnitzer de X est alors la cohomologie du complexe ãÖA“,ÊÝÊ.
Soit X' = SpecÊŸA, et supposons choisie une prŽsentation A – v[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtn]Ê/ÊI,correspondant ˆ une immersion fermŽe X' Ì@ •nvÊ. On note †X' l'adhŽrence schŽmatiquede X' dans ænvÊ, ^ †X' son complŽtŽ formel, †X sa rŽduction sur k, qui est une compactiÞcationde X, et j : X Ì@ †X l'inclusion. Puisque X' est lisse sur v, ^ †X' est lisse sur v aux points de
X. On peut donc calculer la cohomologie rigide de X en utilisant le plongement †X Ì@ ^ †X'.

On se trouve alors dans la situation considŽrŽe en 1.1 : le tube de †X dans ^ †X' est l'espace ^ †X'K
= †XK'Êan Ç æŸK nÊÊan, celui de X est l'intersection de XK'Êan avec la boule unitŽ fermŽe, et u nsyst•me fondamental de voisinages stricts de ]ÊXÊ[^ †X' dans ^ X† 'K est fourni par lesintersections VÂ de XK'Êan avec les boules de rayon Â > 1. Soit jÂ l'inclusion de VÂ dans †X K'Êan.
Comme †XK'Êan est quasi-compact, on aHÊi(Ÿ†XK'Êan, jŸ“Ÿãk†X'Êan) = lim HÊi(Ÿ†XK'Êan, jÂÊ*ÊãkV ) – lim HÊi(VÂÊ, ãkV ),
K

#@

#@

Â

Â

Â

Â

le dernier isomorphisme rŽsultant de ce que jÂ est l'inclusion d'un ouvert afÞno•de dans
un espace sŽparŽ, et ãkV un faisceau cohŽrent sur oV Ê. Par suite, HÊi(Ÿ†XK'Êan, jŸ“Ÿãk†X'Êan) = 0ÂÂKpour tout k et tout i ³ 1, ce qui fournit l'isomorphismeÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ) Ê##@› HÊ*(lim â(V , ãÖ )).
Hrig
ÂÊ
V
#@

Â

Â

Il rŽsulte alors immŽdiatement de la description du complexe ãÖA“ donnŽe plus haut quel'on a un isomorphisme canonique ãÖÊ#ÊÊ›Ê@ lim Êâ(V , ã Ö ), d'o• l'on dŽduit l'isomorA“,ÊÝ

#@ÊÂ

ÂÊ

VÂ

phisme (1.10.1).
Il reste ˆ prouver que cet isomorphisme est bien compatible aux morphismes defonctorialitŽ des deux thŽories cohomologiques, ce qui n'est pas tout ˆ fait clair a priori.
Soit f : X = Spec B0 @ Y = SpecÊŸA0 un morphisme de k-schŽmas afÞnes et lisses, dŽÞni
par Ä0 : A0 @ B0Ê. Si X' = SpecÊB, Y' = SpecÊŸA sont deux v-schŽmas afÞnes et lisses relevant
X et Y, il existe un homomorphisme ÄŸ“ : A“ @ B“ relevant Ä0 [28, (2.4.4)]. L'homomorphis-

- 16 -Ê*Ê*“me fÊ*
MW : HMW(YÊ/ÊKŸ) @ HMW(ŸXÊ/ÊKŸ) est alors l'homomorphisme induit par ÄŸ . D'autrepart, choisissons des plongements de X' et Y' dans des espaces afÞnes •nv et •mvÊ; soient†X', †Y' les fermetures projectives correspondantes de X' et Y', †Z' Ç †X' | †Y' l'adhŽrence de X'
pour le plongement dans æÊnÊ+ÊmdonnŽ par le graphe de f, u : †Z' @ †X', v : †Z' @ †Y' les deuxv
projections, †Z la rŽduction de †Z' sur k. D'apr•s 1.7, l'homomorphisme fÊ* : HÊ* (YÊ/ÊKŸ) @rig

HÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ) est le composŽ

rig

rig

*

*Ê-1

vÊ
uÊ
HÊ*(†YK'Êan, jYŸ“ÊÊãÖ†Y'Êan) Ê##@ HÊ*(†ZK'Êan, jX'Ÿ“ŸÊãÖ†Z'Êan) Ê##@ HÊ*(†XK'Êan, jXŸ“ÊÊãÖ†X'Êan),
K

“

“

›

K

“

o• jYŸ Ê (resp. jXŸ ÊÊ, jX'Ÿ ) est le foncteur dŽfini sur †YK'Ê

an

K

an

an

(resp. †XK'Ê , †ZK'Ê ) par l'immersion

ouverte Y Ì@ ¬†Y (resp. X Ì@ †X, X Ì@ †Z). Pour tout Â Ô é, notons UÂ (resp. VÂ)l'intersection de XK'Êan (resp. YK'Êan) avec la boule fermŽe de rayon Â de •nv (resp. • mv).
L'homomorphisme ^Ä : ^A @ ^B induit par ÄŸ“ entre les complŽtŽs dŽÞnit un morphismeg : ]ÊXÊ[^ †X' = SpmŸ(Ÿ^B ¢ KŸ) Ê##@ ]ŸYÊ[^ †Y' = SpmŸ(Ÿ^A ¢ KŸ).
Fixons µ > 1. D'apr•s [5, (2.5.3)], il existe Â > 1 tel que g se prolonge en un morphisme
UÂÊÊ@ VµÊ, que nous noterons encore g. Au-dessus de UÂÊ, g dŽÞnit donc une section s :U ÊÊ@ †Z'Êan de la projection u. Compte tenu de 1.2 (iv), fÊ* peut s'Žcrire comme le composŽ
Â

K

rig

vÊ*

*Ê-1

uÊ
HÊ*(VµÊ, jYŸ“ÊÊãÖ†Y'Êan) Ê##@ HÊ*(UÂ | Vµ, jX'Ÿ“ŸÊãÖ†Z'Êan) Ê##@ HÊ*(UÂÊ, jXŸ“ÊÊãÖ†X'Êan).
K

›

K

K

Comme u ì s = Id, et que uŸ* est un isomorphisme d'apr•s 1.4, on a uŸ*Ê-1 = sŸ*. On endŽduit donc fÊ* = sŸ*ÊÊì vŸ* = gŸ*, ce qui entra”ne que fÊ* correspond ˆ fÊ* via l'isomorrig

rig

MW

phisme (1.10.1).

2.

Cohomologie rigide ˆ supports dans un fermŽ

Nous allons maintenant Žtendre la construction de la cohomologie rigide d'unk-schŽma de type Þni X de mani•re ˆ obtenir une notion de cohomologie ˆ supports dans
un fermŽ Z Ç X. Nous montrerons ensuite que les espaces obtenus poss•dent bien les
propriŽtŽs formelles d'une cohomologie ˆ supports dans un fermŽ.

2.1.

Soient X un k-schŽma de type Þni, Z Ç X un sous-schŽma fermŽ, jX : X Ì@ †X une

compactiÞcation de X au-dessus de k, †Z Ç †X un sous-schŽma fermŽ tel que †Z õ X = Z,†XÊÊÌ@ ^P une immersion fermŽe dans un v-schŽma formel lisse au voisinage de X. On
pose U = X • Z, et, pour tout ouvert V de †X, on note jV l'immersion ouverte de V dans †X .
Pour tout faisceau abŽlien E sur ]Ê†XÊ[^PÊ, on dispose d'une suite exacte canonique(2.1.1)0 Ê##@ â“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊE Ê##@ jXŸ“ÊÊE Ê##@ jUŸ“ÊÊE Ê##@ 0.

En effet, si V = †X • †Z, la dŽÞnition du foncteur â“]Ÿ†ZŸ[ montre qu'il sufÞt de vŽriÞer qu'on a- 17 -

un isomorphisme canonique jVŸ“ÊÊjXŸ“ÊÊE – jUŸ“ÊÊE, et cela rŽsulte de (1.2.4).

2.2. PROPOSITION. Ñ Soient X un k-schŽma de type Þni, Z Ç X un sous-schŽma fermŽ,jX : X Ì@ †X une compactiÞcation de X au-dessus de k, †Z Ç †X un sous-schŽma fermŽ telque †Z õ X = Z, †X Ì@ ^P une immersion fermŽe dans un v-schŽma formel lisse a uvoisinage de X. Alors les espaces de cohomologie HÊ*(]Ê†XÊ[^PÊ, â“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[ ) ne dŽpendent^Ppas, ˆ isomorphisme canonique pr•s, des choix effectuŽs pour †Z, †X et ^P. De plus, pour T Ç
Y fermŽ, ils sont fonctoriels par rapport aux morphismes f : X @ Y tels que fÊ-1(T) Ç Z.
Si †X et ^P sont ÞxŽs, il rŽsulte de la suite exacte (2.1.1) que, pour tout faisceau abŽlien
E sur ]Ê†XÊ[^PÊ, le faisceau â“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊE est indŽpendant du choix du fermŽ †Z tel que †Z õ X = Z.
Il en est donc de m•me des espaces de cohomologie considŽrŽs.
Soient f : X @ Y un k-morphisme, T Ç Y un fermŽ tel que fÊ-1(T) Ç Z. On peut alors
trouver des compactiÞcations X Ì@ †X, Y Ì@ †Y telles qu'il existe un k-morphisme g : †X
@ †Y prolongeant f, et des immersions fermŽes †X Ì@ ^P, †Y Ì@ ^P' dans des schŽmas
formels lisses au voisinage de X (resp. YŸ), telles qu'il existe un v-morphisme h : ^P @ ^P'prolongeant g. Posons U = X • Z, V = Y • T. Par hypoth•se, on a f(U) Ç V. Gr‰ce aux
suites exactes (2.1.1), les morphismes de fonctorialitŽ (cf. [5, (2.1.4)])
hKŸ-1ŸjYŸ“ÊÊãÖ]Ê†YÊ[^P'

Ê#@ jXŸ“ÊÊhKŸ-1ÊãÖ]Ê†YÊ[hKŸ-1ŸjVŸ“ÊÊãÖ]Ê†YÊ[^P'

Ê#@ jUŸ ÊÊhKŸ ÊãÖ]Ê†YÊ[
“

^P'

-1

Ê#@ jXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[ Ê,^P

Ê#@ jŸ ÊÊãÖ
“

^P'

U

]Ê†XÊ[^PÊ,induisent un morphisme canoniqueh KŸ-1Êâ“]Ÿ†TŸ[ÊŸjYŸ“ÊÊãÖ]Ê†YÊ[^P'Ê##@ â“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[ Ê,^Pd'o• l'on dŽduit par adjonction un morphisme(2.2.1)â“]Ÿ†TŸ[ÊŸjYŸ“ÊÊãÖ]Ê†YÊ[^P'Ê##@ éŸh*Êâ“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[ Ê.
^P

Supposons d'abord que f et g soient l'identitŽ de X et †X, que Z = T, et que h soit lisse
au voisinage de X. Gr‰ce au thŽor•me 1.4, et aux triangles distinguŽs dŽduits des suites
exactes (2.1.1), le morphisme (2.2.1) est alors un isomorphisme, ce qui entra”ne que les
espaces HÊ*(]Ê†XÊ[^PÊ, â“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[ ) ne dŽpendent pas de ^P. Si maintenant on suppose que f^P
est l'identitŽ de X, que T = Z, et que g est propre, il rŽsulte de 1.6 que le morphisme
éŸsp*Êâ“]Ÿ†TŸ[ÊŸjYŸ“ÊÊãÖ]Ê†YÊ[^P'Ê##@ éŸsp*ÊéŸh*Êâ“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[^PdŽduit de (2.2.1) est un isomorphisme, de sorte que les espaces HÊ*(]Ê†XÊ[^PÊ, â“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[ )^Pne dŽpendent pas non plus de †X.
Gr‰ce ˆ (2.2.1), on proc•de alors comme en 1.5 et 1.7 pour faire de ces espaces desfoncteurs en (ŸX,ÊÊZ), en prenant pour morphismes (ŸX, Z) @ (Y, T) les morphismes f :XÊ@ Y tels que fÊ-1(T) Ç Z.

- 18 -

2.3.

DŽÞnition. Ñ Avec les notations de l'ŽnoncŽ prŽcŽdent, on dŽÞnit la cohomologie

rigide de X ˆ supports dans Z parHÊ*Z,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) = HÊ*(]Ê†XÊ[^PÊ, â“]Ÿ†ZŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊãÖ]Ê†XÊ[ ).
^P

On observera que, pour X ÞxŽ, ces espaces ne dŽpendent que de l'espace topologique sousjacent ˆ Z, et non de sa structure de schŽma, car, par dŽÞnition, il en est ainsi des tubes
et des voisinages stricts. Si Z = X, on peut prendre †Z = †X, et on a alors â“]Ÿ†ZŸ[ = Id, de sorte
que HÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ) = HÊ* (ŸXÊ/ÊKŸ).
X,Êrigrig

D'autre part, la suite exacte (2.1.1) fournit la suite exacte longue de cohomologie
habituelle(2.3.1).Ê.Ê. Ê#@ HÊiZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) Ê#@ HÊirig(ŸXÊ/ÊKŸ) Ê#@ HÊirig(UÊ/ÊKŸ) Ê#@ .Ê.Ê. .

Compte tenu de 1.8, on en dŽduit que les espaces HÊiZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) commutent ˆ toute extension Þnie K @ K' du corps de base.

2.4. P ROPOSITION. Ñ Soient X un k-schŽma de type Þni, Z Ç X un sous-schŽma fermŽ.
(i) Si X' est un ouvert de X contenant Z, l'homomorphisme canoniqueHÊiZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) Ê##@ HÊiZ,Êrig(ŸX'Ê/ÊKŸ)(2.4.1)
est un isomorphisme.

(ii) Si Z = Z1 ô Z2Ê, avec Z1 õ Z2 = ¯, l'homomorphisme canonique(2.4.2)Ÿ* (ŸXÊ/ÊKŸ)HZŸ* ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) $ HZŸ* ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) Ê##@ HZ,Êrig
1Ê

2Ê

est un isomorphisme.
Fixons comme prŽcŽdemment une compactiÞcation †X de X, qui est donc aussi une
compactiÞcation de X', et une immersion fermŽe †X Ì@ ^P dans un v-schŽma formel lisse
au voisinage de X. Soient †Z l'adhŽrence de Z dans †X, jX : X Ì@ †X, T = †X • X, jX' : X' Ì@†X, T'ÊÊ= †X • X'. Pour tout faisceau abŽlien E sur ]Ê†XÊ[^PÊ, la suite exacte (1.2.1) relative ˆ T'
fournit une suite exacte“
0 Ê##@ â“]ŸT'Ÿ[ÊŸjXŸ“ÊÊE Ê##@ jXŸ“ÊÊE Ê##@ jŸX'ÊE Ê##@ 0.

En appliquant le foncteur exact â“]Ÿ†ZŸ[Ê, on en dŽduit la suite exacte“
0 Ê##@ â“]Ÿ†ZÊõÊT'Ÿ[ÊŸjXŸ“ÊÊE Ê##@ â“]Ÿ†ZŸ[ÊjXŸ“ÊÊE Ê##@ â“]Ÿ†ZŸ[ÊjŸX'ÊE Ê##@ 0,compe tenu de (1.2.4). Comme Z Ç X', on a †Z õ T' õ X = ¯, d'o• â“]Ÿ†ZÊõÊT'Ÿ[ÊŸjXŸ“ÊÊE Ç â“]ŸTŸ[ÊŸjXŸ“ÊÊE =0, et l'assertion (i) en rŽsulte.
Sous les hypoth•ses de (ii), soit †Zi l'adhŽrence de ZiÊ, i = 1, 2. Posons Xi = X • ZiÊ. Pour
tout faisceau abŽlien E, on dispose alors d'un diagramme commutatif

- 19 -0ÉÀ00Ê Ê###@

0

0

É
É
À
À
Ê###@ â“] †Z [ÊjXŸ“ÊÊE $ â“] †Z [ÊjXŸ“ÊÊE Ê#@ â“]Ÿ†Z ÊôÊ†Z Ÿ[ÊjŸX“ ÊE Ê#@ Ê0
Ÿ 1Ÿ

Ÿ 2Ÿ

1

2

É
É
É
À
À
À
0Ê Ê###@ jXŸ“ÊÊE Ê#####@ jXŸ“ÊÊE $ jXŸ“ÊÊE Ê#####@ jXŸ“ÊÊE Ê###@ Ê0
®
®

É
É
À
À
0Ê Ê###@ jXŸ“ÊÊE Ê#####@ jŸX“ ŸE $ jŸX“ ŸE Ê####@ jŸX“ ÊõÊX ŸE Ê##@ Ê0
1

É
À
0

2

1

É
À
0

2

É
À
0

dans lequel les deux lignes infŽrieures sont exactes d'apr•s (1.2.2), et les deux colonnes
de droite aussi d'apr•s (2.1.1). Il en rŽsulte que le morphisme de la ligne supŽrieure est
un isomorphisme, ce qui entra”ne l'assertion (ii).

PROPOSITION. Ñ Soient X un k-schŽma sŽparŽ de type Þni, T Ç Z Ç X deux sous-

2.5.

schŽmas fermŽs, X' = X • T, Z' = Z • T. Il existe alors une suite exacte d'excision(2.5.1).Ê.Ê. Ê#@ HÊiT,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) Ê#@ HÊiZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ)) Ê#@ HÊiZ',Êrig(ŸX'Ê/ÊKŸ) Ê#@ .Ê.Ê. .

Soient encore †X une compactiÞcation de X, et †X Ì@ ^P une immersion fermŽe dans
un v-schŽma formel lisse au voisinage de X. On note †Z, †T les adhŽrences de Z et T dans†X, et jXÊ, jX'Ê, j†XÊ•Ê†T les immersions ouvertes de X, X' et †X • †T dans †X. Pour tout faisceauabŽlien F sur ]Ê†XÊ[P^ Ê, on a une suite exacte
0 Ê##@ â“]Ÿ†TŸ[ÊF Ê##@ F Ê##@ jŸ†X“ Ê•Ê†TÊŸF Ê##@ 0.
Si E est un faisceau abŽlien sur ]Ê†XÊ[^PÊ, cette suite exacte, appliquŽe ˆ F = â“]Ÿ†ZŸ[ÊjXŸ“ÊÊE, fournit une suite exacte
0 Ê##@ â“]Ÿ†TŸ[ÊjXŸ“ÊÊE Ê##@ â“]Ÿ†ZŸ[ÊjXŸ“ÊÊE Ê##@ jŸ†X“ Ê•Ê†TÊŸâ“]Ÿ†ZŸ[ÊjXŸ“ÊÊE Ê##@ 0.
D'apr•s (1.2.4), on a les isomorphismes“jŸ†X“ Ê•Ê†TÊŸâ“]Ÿ†ZŸ[ÊjXŸ“ÊÊE Ê#ÊÊ›Ê@ â“]Ÿ†ZŸ[ÊjŸ†X“ Ê•Ê†TÊŸjXŸ“ÊÊE Ê#ÊÊ›Ê@ â“]Ÿ†ZŸ[ÊjŸX'ÊE.

Comme †X est une compactiÞcation de X', et que †Z est un fermŽ de †X tel que †Z õ X' = Z', ona par construction“
HÊiZ',Êrig(ŸX'Ê/ÊKŸ) = HÊi(]Ê†XÊ[^PÊ, â“]Ÿ†ZŸ[ÊjŸX'ÊãÖ]Ê†XÊ[ ),^P

et l'ŽnoncŽ en rŽsulte.

- 20 -

3.

Le thŽor•me de Þnitude

Dans cette section, nous montrons comment, gr‰ce ˆ un argument de rŽcurrence
sur la dimension basŽ sur le thŽor•me de de Jong, on peut dŽduire le thŽor•me deÞnitude de la cohomologie rigide de l'existence d'un isomorphisme de Gysin dans le cas
relevable. Les notations sont les m•mes que dans les sections prŽcŽdentes.

THƒORéME. Ñ Soient X un k-schŽma lisse, et Z Ç X un sous-schŽma fermŽ. Alorsles espaces de cohomologie HŸ* (ŸXÊ/ÊKŸ) sont de dimension Þnie sur K.

3.1.

Z,Êrig

Lorsque Z = X et que X est afÞne, le thŽor•me de comparaison 1.10 permet d'endŽduire aussit™t :C OROLLAIRE. Ñ Soit X un k-schŽma afÞne et lisse. Alors les espaces de cohomologie de Monsky-Washnitzer HŸ* (ŸXÊ/ÊKŸ) sont de dimension Þnie sur K.

3.2.

MW

Comme la cohomologie rigide commute aux extensions Þnies du corps K, il sufÞt

3.3.

de montrer le thŽor•me 3.1 lorsque v est un anneau de Cohen de k, ce que nous supposerons dorŽnavant. De plus, si k' est une extension Þnie de k, et K' = FracÊv', o• v' est u nanneau de Cohen de k', il existe un homomorphisme de v dans v' relevant k @ k', et v'
est alors Þni sur vÊ; si X', Z' sont les k'-schŽmas dŽduits de X, Z par extension des scalaires, on voit de m•me que la Þnitude de HŸ* (ŸX'Ê/ÊK'Ÿ) entra”ne celle de HŸ* (ŸXÊ/ÊKŸ).
Z',Êrig

Z,ÊrigLa dŽmonstration du thŽor•me 3.1 proc•de alors par rŽcurrence sur n, en montrant
alternativement les deux assertions suivantes :(a)n Pour tout corps k de caractŽristique p et tout k-schŽma lisse X de dimension ² n,
HŸ* (ŸXŸ) est de dimension Þnie sur KÊ;
rig

Pour tout corps k de caractŽristique p, tout k-schŽma de type Þni Z de dimension² n, et toute k-immersion fermŽe Z Ì@ X dans un k-schŽma lisse, HŸ* (ŸXŸ) est de(b)nZ,Êrigdimension Þnie sur K.
L'assertion (a)0 est claire. Pour pouver (b)0Ê, une extension Þnie du corps de basepermet de se ramener au cas o• Z est la rŽunion d'un nombre Þni de points rationnels
sur k, donc ˆ celui o• Z est un point rationnel sur k. On peut conclure en utilisant l'isomorphisme de Gysin ŽnoncŽ en 3.8, et Žtabli dans les sections suivantes, ou bien procŽder
par un calcul direct. Il rŽsulte de la proposition A.10 de l'appendice que les espacesHŸ* (ŸXŸ) ne dŽpendent que de la dimension de X. Si lÕon prend pour X un espace projecZ,Êrig

* (U) sont de dimension Þnietif, il sufÞt donc de montrer que, si U = X • Z, les espaces HŸrig
sur K. En utilisant le recouvrement standard de U par des espaces afÞnes, et la suite- 21 -

exacte (1.2.2), on est ramenŽ ˆ montrer que la cohomologie rigide du produit dÕun tore etdÕun espace afÞne est de dimension Þnie, ce qui rŽsulte dÕun calcul sans difÞcultŽ.
La rŽcurrence utilise ensuite de mani•re essentielle le thŽor•me suivant, dž ˆ A.ÊJ.
de Jong :3.4.

THƒORéME [19, th. 4.1]. Ñ Soient k un corps parfait, et X un k-schŽma sŽparŽ d etype Þni, supposŽ int•gre. Il existe alors un k-schŽma projectif, lisse et connexe X', u nouvert UÊÊÇ X', et un morphisme propre, surjectif, et gŽnŽriquement Žtale á : U @ X.

3.5.

Montrons d'abord que (b)nÊ-Ÿ1 entra”ne (a)nÊ. Soit X un k-schŽma lisse de dimension n.

Quitte ˆ faire une extension Þnie de k, on peut supposer X connexe, donc irrŽductible. En
appliquant 3.4 au schŽma dŽduit de X par extension des scalaires ˆ la cl™ture algŽbriquede k, on voit que, quitte ˆ faire ˆ nouveau une extension Þnie de k, on peut trouver X', U etá dŽÞnis sur k et vŽriÞant les conclusions de 3.4. D'apr•s 1.9, HŸ* (ŸX') s'identiÞe ˆrigŸ* (ŸX') ¢ K, et est donc de dimension Þnie sur K. Puisque á est gŽnŽriquement Žtale, on
Hcris
a dim(ŸX') = n. Gr‰ce ˆ la suite exacte (2.3.1), l'hypoth•se (b)implique que HŸ* (U ) est
nÊ-Ÿ1

rig

1

de dimension Þnie pour tout ouvert U1 Ç X'. D'autre part, l'image par á de l'ensemble despoints o• á n'est pas Žtale est un fermŽ de X qui ne contient pas le point gŽnŽrique. I lexiste donc un ouvert afÞne non vide X1 Ç X tel que le morphisme U1 = áÊ-1(ŸX1) @ X1 soitŽtale. Comme c'est un morphisme propre, il est Þni. Or l'hypoth•se (b)nÊ-Ÿ1 montre encoreque HŸ* (ŸXŸ) est de dimension Þnie si et seulement s'il en est ainsi de HŸ* (ŸX ). Comme,
rig

rig

1

Ÿ* (ŸX ) @ HŸ* (U ) est
d'apr•s la proposition qui suit, l'homomorphisme canonique Hrig1
rig1
injectif, l'assertion (a)n en rŽsulte.

P ROPOSITION. Ñ Soit f : Y @ X un morphisme Þni et plat entre deux k-schŽmas
afÞnes et lisses. L'homomorphisme canonique fÊ* : HŸ* (ŸXŸ) @ HŸ* (YŸ) poss•de alors une

3.6.

rŽtraction HŸ* (YŸ) @ HŸ* (ŸXŸ).
rig

rig

rig

rig

Soient A0 = â(X, oX), B0 = â(Y, oY), et Ä : A0 @ B0 l'homomorphisme correspondantˆ f. Il existe alors des v-alg•bres faiblement compl•tes A“, B“ et un homomorphisme Ä“ :A“ÊÊ@ B“ relevant Ä [28, (2.4.4)]. D'apr•s [22, th. 6.2], B“ est Þnie sur A“. Si ^A et ^B sont lescompŽtŽes de A“ et B“, l'homomorphisme canonique ^A ¢A“ B“ @ ^B est donc un isomorphisme. Montrons que B“ est Žgalement plate sur A“. Comme A“ est nÏthŽrien, et µÊA“
est contenu dans le radical de A“ [22, th. 1.6], ^A est Þd•lement plat sur A“, de sorte qu'ilsufÞt de prouver que ^B est plate sur ^A. Cela rŽsulte alors de ce que, pour tout i, ^BÊ/ÊµÊiŸ^B est
plate sur ^AÊ/ÊµÊiŸ^A d'apr•s le crit•re de platitude par Þbres.
Il rŽsulte alors de [22, th. 8.3] qu'il existe un morphisme trace
TrÄ“ : ãÖB“ Ê#@ ãÖA“Ê,- 22 -

tel que le composŽ avec le morphisme canonique ãÖA“ @ ãÖB“ soit la multiplication par lerang n de B“ sur A“. On obtient alors une rŽtraction
Ÿ* (YÊ/ÊKŸ) Ê#@ HŸ* (ŸXÊ/ÊKŸ)TrÄ“Ê/Ên : HMW
MWde l'homomorphisme de fonctorialitŽ fÊ*. Via le thŽor•me de comparaison 1.10, l'ŽnoncŽ
en dŽcoule.

3.7.

Montrons maintenant que les assertions (b)nÊ- 1 et (a)n entra”nent (b)nÊ. Soit Z Ì@ X

une k-immersion fermŽe, o• X est lisse, et dim(Z) ² n. Soit †Z le schŽma dŽduit de Z par
passage ˆ la cl™ture algŽbrique de k. Il existe une extension Þnie de k sur laquelle le sousschŽma rŽduit †Zred est dŽÞni, et poss•de un ouvert de lissitŽ contenant les points gŽnŽriques de toutes les composantes irrŽductibles. Comme les espaces HŸ* (ŸXŸ) ne dŽpendentZ,Êrigque de ZredÊ, on peut passer ˆ cette extension Þnie, et remplacer ensuite Z par ZredÊ. Par
hypoth•se, il existe alors un fermŽ T Ç Z tel que dim(T) < n, et que Z • T soit lisse. Si X' =X • T, Z' = Z • T, la suite exacte d'excision (2.5.1) et l'hypoth•se (b)nÊ-Ÿ1 ram•nent ˆ montrer la Þnitude de HŸ* (ŸX'), de sorte que l'on peut supposer que Z est lisse. La dŽmonsZ',Êrig

tration serait alors terminŽe (gr‰ce ˆ l'hypoth•se (a)n) si l'on disposait dans ce cas d'un
isomorphisme de Gysin
Ÿ* (Z) Ê##@› HŸ*Ê+Ê2r(ŸXŸ),Hrig
Z,Êrigo• r est la codimension de Z dans X. Faute de savoir pour l'instant construire un tel
isomorphisme en toute gŽnŽralitŽ, nous allons localiser davantage pour nous ramener ˆ
une situation relevable, o• il est possible de le faire.
La dŽcomposition (2.4.2) permet en effet de supposer de plus Z connexe. Utilisantencore la suite exacte d'excision, et l'isomorphisme de restriction (2.4.1), on voit alorsque, si U est un ouvert de X tel que Z õ U - ¯, on peut remplacer X par U et Z par Z õ U.
On peut ainsi supposer X afÞne, et Z dŽÞni dans X par une suite de sections t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtr
faisant partie d'un syst•me de coordonnŽes locales. Posons X = SpecÊŸA, S = SpecÊv.
D'apr•s le thŽor•me d'Elkik [12, th. 6], il existe un S-schŽma afÞne et lisse X' = SpecÊŸA'relevant X. Soient t'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'r Ô A' relevant t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtrÊ, et Z' le sous-schŽma fermŽ de X' dŽÞni
par t'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êt'rÊ. Comme Z' est lisse sur S aux points de Z, on peut trouver dans X' un ouvertafÞne U' tel que Z õ U' soit non vide, et Z' õ U' lisse sur S. Par excision, on est alorsramenŽ au cas o• il existe une immersion fermŽe Z' Ì@ X' entre deux S-schŽmas
afÞnes et lisses relevant l'immersion Z Ì@ X.
Pour achever la dŽmonstration de 3.1, il sufÞt alors de montrer qu'il existe sous ces
hypoth•ses un isomorphisme de Gysin. Cela rŽsulte du thŽor•me suivant (avec Y = Z) :3.8.

THƒORéME. Ñ

Soient v un anneau de valuation discr•te complet d'inŽgales

caractŽristiques, de corps rŽsiduel k, de corps des fractions K, Y' Ì@ X' une immersion

- 23 -

fermŽe de codimension r entre deux schŽmas quasi-projectifs et lisses sur v. Si X, Y sontles rŽductions de X', Y' sur k, et Z un sous-schŽma fermŽ de Y, il existe un isomorphisme
naturel(3.8.1)›
éâZ,Êrig(YÊ/ÊKŸ) Ê##@éâZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ)[2r].

La dŽmonstration de ce rŽsultat sera l'objet des deux sections suivantes.

3.9. Remarques. Ñ (i)ÊÊGr‰ce au thŽor•me de de Jong, la mŽthode utilisŽe dans ladŽmonstration de 3.1 permet Žgalement de dŽmontrer la Þnitude de la cohomologie rigide
ˆ supports compacts HŸ* (ŸXŸ) dŽÞnie dans [3]. La dŽmonstration est plus simple quec,Êrigpour la cohomologie sans supports, car on dispose dans ce cas des suites exactes longues
iii.Ê.Ê. Ê##@ HŸc,Êrig
(Z) Ê##@ HŸc,Êrig
(ŸXŸ) Ê##@ HŸc,Êrig
(U) Ê##@ .Ê.Ê.

pour Z fermŽ dans X, U = X • Z. Il sufÞt alors de procŽder par rŽcurrence sur la dimension de X, ce qu'on fait comme dans la dŽmonstration de (a)nÊ. Le lecteur pourra sereporter ˆ [6] pour plus de dŽtails.
(ii)

Pour dŽÞnir la cohomologie rigide, il n'est pas rŽellement nŽcessaire de supposer

que la valuation de K soit discr•te (cf. [5], [6]). Rappelons que le cas d'une valuation nondiscr•te permet de comparer les espaces de cohomologie rigide avec ceux que fournit lathŽorie de Dwork, qui sont gŽnŽralement construits sur åp (voir [4]). La plupart desrŽsultats de cet article peuvent •tre prouvŽs sans hypoth•se sur la valuation de K, mais
l'argument de compatibilitŽ aux extensions Þnies du corps de base donnŽ en 1.8 nes'Žtend pas tel quel au cas d'une extension inÞnie. Bien qu'il ne fasse pas de doute que lethŽor•me de comparaison avec la cohomologie cristalline doive s'Žtendre au cas d'une
valuation quelconque, la dŽmonstration donnŽe en 1.9 n'est donc pas sufÞsante pour leprouver. Par suite, le thŽor•me 3.1 ne s'applique dans l'Žtat actuel des choses qu'ˆ lacohomologie rigide relative ˆ un corps muni d'une valuation discr•te. Cela devrait sufÞre
pour la plupart des applications gŽomŽtriques, mais nous espŽrons nŽanmoins revenirultŽrieurement sur cette question.
(iii)

L'hypoth•se de quasi-projectivitŽ faite dans l'ŽnoncŽ de 3.8 peut •tre affaiblie, etsert simplement ˆ assurer qu'il existe une immersion X' Ì@ P, o• P est lisse sur v, eto• l'adhŽrence de X' dans P est propre sur v.
(iv)

Il ne fait pas de doute que l'isomorphisme (3.8.1) ne dŽpende pas du choix des rel•-vements X' et Y' de X et Y, mais je ne l'ai pas vŽriÞŽ en gŽnŽral.

3.10.

Bien que la dŽmonstration de 3.1 soit spŽciÞque au cas de la cohomologie rigide ˆcoefÞcients constants, on peut dŽduire facilement de cet ŽnoncŽ des thŽor•mes de Þnitude
pour certains espaces de cohomologie rigide ˆ coefÞcients dans des isocristaux surcon-

- 24 -

vergents qui s'interpr•tent comme facteurs directs d'espaces de cohomologie rigide ˆcoefÞcients constants. Un exemple type de cette situation est fourni par les espaces quiinterviennent dans la thŽorie des somme exponentielles. Soient q = pÊs une puissance dep, et k = èqÊ; on suppose ici que K contient une racine de l'Žquation XÊpÊ-Ÿ1 = -Êp. On note t
la coordonnŽe canonique sur le groupe additif Ga (resp. le groupe multiplicatif Gm). Pour
tout ce qui concerne les isocristaux surconvergents et la construction de la cohomologie
rigide ˆ coefÞcients dans ceux-ci, qui gŽnŽralise celle que nous avons donnŽe dans lapremi•re section, nous renvoyons le lecteur ˆ [5] et [6].
Soit ´ un caract•re additif de èq ˆ valeurs dans K. On sait associer de mani•renaturelle ˆ ´ un ŽlŽment ¹´ Ô v [4, (1.3)]. Il dŽÞnit un F-isocristal surconvergent l´ surla droite afÞne Ga,ÊkÊ, correspondant au ÞbrŽ trivial sur •1Kan muni de la connexion ø´telle que ø´(1) = - ¹´Êdt [4, (1.5)].
Soit d'autre part µÇ k* le groupe des racines (qÊ-Ÿ1)-i•mes de l'unitŽ. Un caracqÊ-Ÿ1t•re multiplicatif © : µqÊ-Ÿ1 @ KÊ* de èq s'Žcrit sous la forme © = ·Êi, o• · est le caract•re de
TeichmŸller, et i un entier uniquement dŽterminŽ modulo qÊ-Ÿ1. On pose a© = iÊ/ÊqÊ-Ê1, eton associe ˆ © le F Ÿs-isocristal surconvergent k© sur Gm,Êk correspondant au ÞbrŽ trivial
ansur Gm,ÊKmuni de la connexion ø© telle que ø©(1) = a©ÊdtÊ/Êt.

Si X est un k-schŽma lisse, muni de morphismes fi : X @ Ga,ÊkÊ, i = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êa, et hj : X @Gm,ÊKÊ, j = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êb, et si ´iÊ, i = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êa (resp. ©jÊ, j = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êb) sont des caract•res additifs(resp. multiplicatifs) de èqÊ, on dŽÞnit un FŸs-isocristal surconvergent e sur X en posantabe = (¢ ÊfiÊ*Ÿl´ ) ¢ ( ¢ ÊhjŸ*Ÿk© ),
iÊ=Ê1

i

jÊ=Ê1

j

o• fiÊ* et hjŸ* dŽsignent les foncteurs image inverse au sens des isocristaux surconvergents[5, (2.3.2) (iv)]. Rappelons que la formule des traces d'Etesse - Le Stum permet d'interprŽÊ-1
ter les sommes exponentielles Sr(ŸX, fiÊ, gjÊ, ´Ê-1
i , ©j ) au moyen de l'action de Frobenius

sur les espaces de cohomologie rigide HÊirig(ŸX, e) [13, 6.5].
Pour i = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êa, soit Yi l'image inverse par le morphisme fi : X @ Ga,Êk du rev•tement d'Artin-Schreier de Ga,Êk d'Žquation zÊq - z = t, et, pour j = 1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êb, soit Zj l'image
inverse par le morphisme gj : X @ Gm,Êk du rev•tement de Kummer de Gm,Êk dŽÞni parl'ŽlŽvation ˆ la puissance (q - 1)-i•me. Notons X' = Y1 |X .Ê.Ê. |X Yi |X Z1 |X .Ê.Ê. |X ZjÊ, et u
: X' @ X la projectionÊ; X' est un rev•tement galoisien de X, de groupe G = (è )a | (è Ê*)b.
q

q

ConsidŽrons le caract•re Ä = ´1Ê.Ê.Ê.Ê´aÊ©1Ê.Ê.Ê.Ê©b de G. Il rŽsulte de [4, (1.6)] et de l'ŽnoncŽ
analogue dans le cas multiplicatif que, si †X Ì@ ^P est un plongement d'une compactiÞcation de X dans un v-schŽma formel lisse au voisinage de X, la rŽalisation sur ^P de
l'isocristal e s'identiÞe au facteur direct de l'image directe urigÊ*(ŸX'Ê/Ê^P) sur lequel G agit
par le caract•re Ä. Par suite, l'espace HÊirig(ŸX, e) s'identiÞe au sous-espace de HÊirig(ŸX'Ê/ÊKŸ)sur lequel G agit par Ä. Il rŽsulte donc de 3.1 que les HÊirig(ŸX, e) sont de dimension Þniesur K.

- 25 -

4.

Un thŽor•me de comparaison

La construction de l'isomorphisme de Gysin (3.8.1) utilisera un thŽor•me de comparaison entre complexes de de Rham ˆ singularitŽs mŽromorphes et surconvergentes lelong d'un diviseur lisse (thŽor•me 4.2 ci-dessous), que nous dŽmontrons dans cette section. On peut rapprocher cet ŽnoncŽ du thŽor•me de comparaison de Grothendieck [14]entre complexes de de Rham ˆ singularitŽs mŽromorphes et essentielles dans le cascomplexe, et du thŽor•me analogue de Kiehl [21] dans le cas rigide. On notera aussi que,lorsque le diviseur H introduit plus bas est vide, le thŽor•me 4.2 redonne, dans le cas
particulier o• le ÞbrŽ ˆ connexion est trivial, le thŽor•me de Baldassarri-Chiarellotto
comparant cohomologie algŽbrique et cohomologie rigide [1]. La mŽthode employŽe ici estdiffŽrente de celle de Baldassarri-Chiarellotto, et repose sur l'identiÞcation du complexede de Rham ˆ un foncteur éÊhom calculŽ sur un faisceau d'opŽrateurs diffŽrentiels
convenable.

4.1.

On Þxe un anneau de valuation discr•te complet v, d'inŽgales caractŽristiques, decorps rŽsiduel k, et de corps des fractions K. Soient ^P un v-schŽma formel lisse, de ÞbrespŽciale P0Ê, H un diviseur de P0Ê, U^ le complŽmentaire de H dans ^P, U0 sa Þbre spŽciale,
jÊÊ: U^ Ì@ ^P (resp. U0 Ì@ P0) l'immersion canonique.
Soit m Ô ú. On note d^P le faisceau usuel des opŽrateurs diffŽrentiels sur ^P, d(m)^P lefaisceau des opŽrateurs diffŽrentiels de niveau ²ÊÊm [8, (2.2.1)], et d(m)^P,Ên le sous-faisceau desopŽrateurs d'ordre ² n. Si pm > eÊ/Ÿ(ŸpÊ-Ÿ1), o• e est l'indice de ramiÞcation absolu de v, onpeut associer canoniquement ˆ ^P et H un faisceau de o^P-alg•bres ^b(m)^P (H), muni d'une
action naturelle de d^P(m), compatible ˆ sa structure de o^P-alg•bre. Sur un ouvert o• H est

ŸmÊ+Ÿ1dŽÞni par la rŽduction sur k d'une section h de o^PÊ, on pose ^b(m)), en^P (H) = ^b^P(h, pnotant pour tout entier r^b^P(h, r) := o^P{T}Ê/Ê(ŸhrÊT - p),(4.1.1)o• T est une indŽterminŽe, et o^P{T} est l'alg•bre des sŽries formelles restreintes ˆ coefÞ-ŸmÊ+Ÿ1
cients dans o^PÊ. Gr‰ce ˆ l'action de d(m)) est indŽpendante ˆ iso^P , l'alg•bre ^b^P(h, pmorphisme canonique pr•s du choix de la section h, ce qui permet le recollement sur desouverts variables [8, (4.2.4)]Ê; de plus, l'homomorphisme ^b^P(h, pŸmÊ+Ÿ1) @ j*Ÿo^qui envoie TU
sur pÊ/ÊhÊpÊmÊ+Ÿ1

est injectif [8, (4.3.3)]. Pour m variable, ces alg•bres forment un syst•me

inductif, et on dŽÞnit l'alg•bre des fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z
en posanto^P(“H) = lim ^b(m)(H) Ì@ j*ŸoU
^ Ê.
#@ ^P
m

Rappelons enÞn que, si l'on pose o^P,ÊÝ(“H) = o^P(“H) ¢ Ý (plut™t que o^P(“H)Ý), et si l'on
note jŸ“ le foncteur Ògermes de sections surconvergentesÓ au voisinage du tube ]ŸU0[^P tel

- 26 -

qu'il a ŽtŽ dŽÞni en 1.2, on dispose d'apr•s [8, (4.3.2)] d'un isomorphisme canonique› sp jÊ“Êo .
o^P,ÊÝ(“H) Ê##@*^PKÊSoit d'autre part ^D Ì@ ^P un diviseur plat sur v, dŽÞni par un idŽal localement
principal i Ç o^PÊ. Pour tout o^P-module e, on posee(*^DŸ) = lim homo (iÊn, e),
^
#@

P

n

soit encore, au voisinage d'un point o• ^D est dŽÞni par une section t de o^PÊÊ, e(*^DŸ) =o^P[1Ê/Êt] ¢ e.
THƒORéME. Ñ Sous les hypoth•ses de 4.1, on note D0 la Þbre spŽciale de ^D, H' le

4.2.

diviseur H + D0 Ç P0Ê, et on suppose que ^D est lisse sur v aux points de D0 õ U0Ê. Le morphisme canoniqueo^P(“H)(*^DŸ) ¢o ãÖ^P,ÊÝ Ê##@ o^P(“H') ¢o ãÖ^P,ÊÝ

(4.2.1)^P^P

est alors un quasi-isomorphisme.
L'assertion Žtant locale sur ^P, on peut supposer que ^P est afÞne et poss•de un syst•me de coordonnŽes locales x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êxd relativement ˆ v. D'autre part, supposons donnŽe
une famille (Ui)iÊ=Ê1,Ê.Ê.Ê.Ê,Ên d'ouverts principaux de P0 recouvrant U0Ê, et posons Ui = D(hi),avec hi Ô â(P0Ê, oP ). Pour toute suite i1 < .Ê.Ê. < ikÊ, notons Ui Ê.Ê.Ê.Êi = Ui õ .Ê.Ê. õ Ui Ê, ji Ê.Ê.Ê.Êi
0

1

k

1

k

1

k

l'inclusion de Ui Ê.Ê.Ê.Êi dans P0Ê, et Hi Ê.Ê.Ê.Êi = H + V(hi Ê.Ê.Ê.Êhi ). Pour tout faisceau abŽlien E
1

k

1

k

1

k

sur la Þbre gŽnŽrique ^PK de P, on dispose d'apr•s (1.2.2) d'une suite exacte de faisceauxabŽliens sur ^PK :0 Ê#@ jŸ“ŸE Ê#@ ÕÊ jiŸ“ŸE Ê#@ÕÊ j“i Êi ÊE Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j“1.Ê.Ê.ÊnÊE Ê#@ 0.

ii1Ê<Êi2

1 2

Or, pour q ³ 1, les faisceaux RqÊsp*Êj“i Ê.Ê.Ê.Êi E sont nuls pour toute suite i1 < .Ê.Ê. < ikÊ, et tout
1koP -module cohŽrent E. En effet, si V est un ouvert afÞne de ^P, et si, pour Â < 1, Â Ô â Ÿ*, onKnote jÂÊÊ: UÂ Ì@ VK l'inclusion de l'ouvert afÞno•de UÂ = {Êx Ô VK ¾ ¾hhi Ê.Ê.Ê.Êhi ¾Ê³ ÂÊ} , on a1kj“i Ê.Ê.Ê.Êi E = limÊÂÊ@Ê1- jÂÊ* jÂÊ*ŸEÊ; comme VK est quasi-compact et sŽparŽ, et que les VÂ sont1k#@afÞno•des, on a pour tout q ³ 1 :HŸq(VKÊ, j“i Ê.Ê.Ê.Êi E) = lim ÊHŸq(VKÊ, jÂ * jÂÊ*ŸE) – lim ÊHŸq(VÂÊ, jÂÊ*ŸE) = 0.
1

k

#@

#@

ÂÊ@Ê1-

ÂÊ@Ê1-

En appliquant sp* ˆ la suite exacte obtenue pour E = oP Ê, on obtient donc une suite exacte
K0 Ê#@ o^P,ÊÝ( H) Ê#@ ÕÊ o^P,ÊÝ( Hi) Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ o^P,ÊÝ(“H1Ê.Ê.Ê.Ên) Ê#@ 0.
““iOn voit ainsi que, pour prouver le thŽor•me, il sufÞt de le prouver lorsqu'on remplace H
par l'un des Hi Ê.Ê.Ê.Êi Ê, k ³ 1.
1k

- 27 -

On peut alors choisir le recouvrement (Ui) tel que, sur chacun des UiÊ, il existe descoordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd pour lesquelles D0 õ Ui est dŽÞni par l'Žquation t1Ê. CommeUi est un ouvert principal de P0Ê, on peut supposer que t1 se prolonge en une section del'idŽal de D0 dans P0Ê, et les ti en des sections de oP . Il est alors possible de relever t1 en0Ê

une section de l'idŽal de ^D et les ti en des sections de o^PÊ. Sur U^i = ^P õ UiÊ, les sections
ainsi obtenues, qu'on notera encore t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, sont des coordonnŽes locales, et t1 est u ngŽnŽrateur de l'idŽal de ^D õ Ui dans U^iÊ. Dans cette situation, le thŽor•me rŽsultera d'uneprŽsentation explicite des alg•bres o^P(“H)(*^DŸ) et o^P(“H') sur des anneaux d'opŽrateursdiffŽrentiels convenables.

4.3. Soient m ² m' deux entiers. Rappelons que, si ^P est un v-schŽma formel lisse, et H
un diviseur de sa Þbre spŽciale, l'action du faisceau d'opŽrateurs diffŽrentiels d^P(m) sur

(m)
(m')
^b(m')^P (H) permet de munir ^b^P (H) ¢o^ d^P d'une structure canonique de faisceau d'anP

neaux [8, (2.3.5)]. Pour m, m' variables, on obtient ainsi un syst•me inductif de faisceauxd'anneaux. Comme limÊm d^P(m) = d^PÊ, on obtient par passage ˆ la limite une structure de#@faisceau d'anneaux surd^P(“H) := o^P(“H) ¢o d^PÊ.
^P

Par complŽtion, on obtient Žgalement une structure de faisceau d'anneaux sur le(m)produit tensoriel complŽtŽ ^b(m')¢ ^d^P . Par passage ˆ la limite inductive, on obtient^P (H) ^ainsi le faisceau d'anneauxd“^P(“H) := lim ^b(m)(H) ^¢ ^d(m)
^P .
#@ ^P
m

Si on note j : U^ Ì@ ^P l'inclusion du complŽmentaire de H, on dispose d'apr•s [8, (4.3.3) et(4.3.10)] des injections
(m)
“
^b(m)
^Ê,
^P (H) ¢ d^P Ì@ d^P( H) Ì@ j*ÊdU‡À(4.3.1)

‡
À

‡
À

(m)
“ “
“
^b(m)
^Ê.
^P (H) ^Ÿ¢ ^d^P Ì@ d^P( H) Ì@ j*ÊdU

Soient x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êxd des coordonnŽes locales sur ^P, et Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙd les dŽrivations correspondantes. Rappelons (cf. [8]) que d^PÊ, le faisceau usuel des opŽrateurs diffŽrentiels, a unebase sur o^P formŽe des opŽrateurs Ù[k] := ÙŸkÊ/ÊkŸ! Ô d^P,ÊÝÊ, pour k = (k1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êkd) Ô úÊd. Dem•me, le faisceau d^(m)a une base formŽe des opŽrateurs Ùíkð(m) := qk(m)Ÿ!ÊÙŸkÊ/ÊkŸ! Ô d^P,ÊÝÊ, o•,Ppour tout entier k, on note qk(m) le quotient de la division euclidienne de k par p Ÿm.

Lorsqu'aucune confusion n'en rŽsulte, on utilise la notation Ùíkð au lieu de Ùíkð(m).
Lorsqu'on est sous les hypoth•ses de la Þn de la section prŽcŽdente, on peut donnerune description locale des sections de d“^P(“H) au moyen des coordonnŽes sur U^ (voir
aussi la dŽmonstration de [18, 1.6.4]) :- 28 -

LEMME. Ñ Soient ^P un v-schŽma formel afÞne, connexe, lisse et possŽdant u n

4.4.

syst•me de coordonnŽes locales x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊxdÊ, H un diviseur de sa Þbre spŽciale, U^ = ^P • H,
jÊÊ: U^ Ì@ ^P. On suppose qu'il existe des sections t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd Ô â(^P, o^P) dont la restriction ˆ U^soit un second syst•me de coordonnŽes locales sur U^. On note Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙd les dŽrivations
par rapport aux xiÊ, et Ù'1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙ'd les dŽrivations par rapport aux tiÊ, qu'on consid•re comme(m)(m)
des sections de j*Êd^, pour un entier m > logp(eÊ/Ÿ(ŸpÊ-Ÿ1)) ÞxŽ. Alors :U ‚ d ^P(i) Pour tout k, il existe des sections a(m)k,Êk' Ô â(^P, o^P), uniques, telles queÙíkð(m) =(4.4.1)ík'ðåÊ ak(m),Êk'ÊÙ'Ÿ(m)k'Ê²Êk(m)dans â(U^, d^P).

(m')(ii) Il existe un entier m' ³ m + 1 et, pour tout k', des sections b(m)k',Êk Ô â(^P, ^b^P (H)),

uniques, telles quep ŸdŸÙ'ík'ð(m) =(4.4.2)íkðåÊ b(m)k',ÊkÊ Ù(mÊ+Ÿ1)kÊ²Êk'(mÊ+Ÿ1)dans â(U^, d^P).

Les assertions d'unicitŽ de (i) et (ii) rŽsultent de ce que, pour tout m, â(U^, d^(m)) estPun module libre sur â(U^, o^P), ayant pour base les Ùíkð(m) ou les Ù'Ÿíkð(m), pour k Ô úÊd.

ConsidŽrons le morphisme de schŽmas formels u : ^P @ ^• dv dŽÞni par les sections tiÊ.
Comme les ti sont des coordonnŽes locales sur U^, le morphisme canonique d^(m)@ u*d(m)P^•dest un isomorphisme sur U^. L'assertion (i) rŽsulte alors du diagramme commutatif

› â(U
â(U
^, d^(m)) Ê##@^, u*d(m)
P
^•d )
û
û
Ë
Ë
(m)
â(^P, d^P ) Ì#@ â(^P, u*d(m)^•d ).
1)(mÊ+Ÿ1)
D'autre part, soient c = Coker(d^P(mÊ+Ÿ@ u*d^•d,ÊpmÊ+Ê1), i = Ann(c). Comme c est,ÊpmÊ+Ê1
un o^P-module cohŽrent, i est un idŽal cohŽrent de o^PÊ. Puisque c est ˆ support dans H, ilen est de m•me de o^PÊ/Ÿi. Si h Ô o^P rel•ve une Žquation locale de H sur un ouvert V^ de ^P, ilŸn

existe donc un entier n et une section a Ô â(^V^, o^P) tels que hŸp + pa Ô i. A fortiori, g =Ÿn(hŸp ÊÊ+ pa)Êp est dans i, de sorte que, pour tout i et tout k' ² pmÊ+Ÿ1, on a gŸÙi'Ÿík'ð(mÊ+Ÿ1)ÊÊÔ d^V(mÊ+Ÿ1).
Ÿn

En reprenant les notations de (4.1.1), il existe dans l'alg•bre ^b^P(hŸp + pa, p) une section TŸnŸntelle que gT = p. Comme hŸp + pa et hŸp sont deux rel•vements de la m•me section modulo
p, il existe sur V^ des isomorphismes canoniquesŸnŸn^b^V(hŸp + pa, p) – ^b^V(hŸp , p) = ^b^V(h, pŸnÊ+Ÿ1) – ^b^P(n)(H)¾^VÊÊ,ce qui montre qu'il existe dans â(V^, ^b^(n)(H)) une section Th telle gŸTh = p. Pour tout i etPtout k' ² pmÊ+Ÿ1, on obtient alors pŸÙi'Ÿík'ð(mÊ+Ÿ1)ÊÊÔ â(V^, ^b^P(n)(H) ¢ d^(m)).
P

Par quasi-compacitŽ, on peut choisir n indŽpendant de V^. Soit m' = max(n, mÊ+Ê1).

Pour k' quelconque, on Žcrit k' = pŸmÊ+Ÿ1q + r, avec 0 ² ri < pmÊ+Ÿ1 pour tout iÊ; l'opŽrateur

- 29 -

Ù'Ÿi ík'ið(mÊ+Ê1) se met alors sous la forme
ŸmÊ+Ê1ð(mÊ+Ê1)Ù'Ÿi ík'ið(mÊ+Ê1) = uÙi'Ÿírið(mÊ+Ê1)(Ùi'íŸp)qi

avec u ÔÊç(Ÿp) (voir [8, (1.1.3) et (2.2.5)]), et on en dŽduit que, quel que soit k', on ap¾q¾Ê+ÊdÊÙ'Ÿík'ð(mÊ+Ê1) Ô ^b^(m')(H) ¢ d^P(mÊ+Ÿ1),
P(4.4.3)

puisque ^b^(m')(H) ¢ d^P(mÊ+Ÿ1) est un faisceau d'anneaux.
P
Rappelons maintenant que, si n = ÏÊi aiÊpŸi est l'Žcriture de n en base p, et §(n) = Ï aiÊ,la valuation p-adique de nŸ! est donnŽe parvp(nŸ!) = (n - §(n))Ê/Ê(Ÿp - 1).
Pour tout k', on peut encore Žcrire k' = pŸmq' + r', avec 0 ² ri' < pm pour tout i. L'homo1)
morphisme canonique d^(m)@ d^(mÊ+Ÿ
envoie Ù'Ÿík'ð(m) sur ( q'Ÿ!Ê/ÊqŸ!)Ù'Ÿík'ð(mÊ+Ÿ1). On dŽduit
PP

facilement de la formule prŽcŽdente que vp(q'Ÿ!Ê/ÊqŸ!) = ¾q¾, si bien que, d'apr•s (4.4.3), on
obtient1)
p ŸdŸÙ'Ÿík'ð(m) Ô ^b^(m')(H) ¢ d^(mÊ+Ÿ,PPd'o• l'assertion (ii).

LEMME. Ñ Sous les hypoth•ses de 4.4, soit V^ un ouvert afÞne de ^P. On munit

4.5.

l'espace â(V^, j*ÊdU“^,ÊÝ) Ç â(V^ õ U^, ^d^P,ÊÝ) de la topologie induite par la topologie p-adique.

Si Q Ô â(V^, j*ÊdU“^ ,ÊÝ), les conditions suivantes sont Žquivalentes :(i) L'opŽrateur Q appartient ˆ â(V^, d“^P,ÊÝ(“H)).

(ii) Il existe un entier m, et des sections bk Ô â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)) telles que
Q = åÊ bkÊÙ'íkð(m),Ÿ(4.5.1)kavec bk @ 0 pour ¾k¾ @ &.
(iii)
(4.5.2)Il existe un entier m, et des sections b'k Ô â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)) telles que
Q = åÊ b'kÊÙ'[k],kavec ®b'k® < cÚ¾k¾ pour certaines constantes c, Ú < 1, la norme Žtant une norme d e
Banach quelconque sur l'alg•bre afÞno•de â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)).
Si ces conditions sont satisfaites, les sections bk et b'k sont alors uniques.
(m)
Si Q Ô â(V^, d“^P,ÊÝ(“H)), il existe un entier m tel que Q Ô â(V^, ^b(m)¢ ^d^P,ÊÝ). On^P (H) ^peut donc Žcrire Q sous la forme ÏÊi aiŸÙíið(m), o• ai Ô â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)) tend vers 0 pour ¾k¾ @&. Appliquant (4.4.1), on en dŽduit (4.5.1), avec bk = ÏÊiÊ³Êk aiŸa(m)i,Êk .

Inversement, supposons que Q vŽriÞe (4.5.1). Gr‰ce ˆ la relation (4.4.2), on peut
trouver m' ³ m + 1 tel que l'on puisse Žcrire Q = ÏÊi aiŸÙíið(mÊ+Ê1), o• ai Ô â(V^, ^b(m')^P,ÊÝ (H)) tend- 30 -““

vers 0, en posant ai = pÊ-ÊdÊÏÊkÊ³Êi bkŸb(m)^, d^P,ÊÝ( H)).
k,Êi . Par suite, Q Ô â(VComme Ù'Ÿíkð(m) = qk(m)Ÿ!ÊÙ[k], (ii) entra”ne (iii) d'apr•s [8, (2.4.3)]. De m•me, sous les
hypoth•ses de (iii), il existe m' tel que b'k = qk(m')Ÿ!ÊbkÊ, avec bk @ 0 dans â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)).
Quitte ˆ augmenter m si nŽcessaire, la condition (ii) est donc vŽriÞŽe.
EnÞn, l'unicitŽ des sections bk et b'k est consŽquence de ce que, sur V^õU^, ^d^P est lecomplŽtŽ du o^P-module libre de base les Ù'Ÿ[k], et de l'injectivitŽ des homomorphismes^b(m)^P (H) @ j*Êo^PÊ.

LEMME. Ñ Sous les hypoth•ses de 4.4, posons t = t1Ê, Ù' = Ù'1Ê et soient ^D Ì@ ^P le

4.6.

diviseur d'Žquation t, D0 sa Þbre spŽciale, H' = H + D0Ê. On note d'“ Ç d“^P,ÊÝ(“H) (resp. d' =d'“ õ d^P,ÊÝ(“H) ) le sous-faisceau d'anneaux formŽ des opŽrateurs diffŽrentiels de laforme (4.5.2) tels que b'k = 0 si ki > 0 pour un i > 1 (resp. et d'ordre Þni).

(i) L'homomorphisme d'“-linŽaire (resp. d'-linŽaire) Ä : d'“ @ o^P,ÊÝ(“H) (resp. Ä : d' @o^P,ÊÝ(“H)) tel que Ä(1) = 1 dŽÞnit des rŽsolutions.ÊÙ'Ä
0 ##@ d'“ ##@ d'“ ##@ o^P,ÊÝ(“H) ##@ 0.ÊÙ'ÄÊÊÊÊÊ0 ##@ d' ##@ d' ##@ o^P,ÊÝ(“H) ##@ 0).

(resp.

(ii) L'homomorphisme d'“-linŽaire (resp. d'-linŽaire) ´ : d'“ @ o^P,ÊÝ(“H') (resp. ´ :d'ÊÊ@ o^P,ÊÝ(“H)(*DŸ)) tel que ´(1) = 1Ÿ/Êt dŽÞnit des rŽsolutions(resp.

.ÊÙ't´
0 ##@ d'“ ##@ d'“ ##@ o^P,ÊÝ(“H') ##@ 0.ÊÙ't´
ÊÊÊÊÊ0 ##@ d' ##@ d' ##@ o^P,ÊÝ(“H)(*DŸ) ##@ 0).

La dŽmonstration des assertions relatives ˆ d' Žtant identique ˆ celle du cas classique, nous donnons seulement celle des assertions relatives ˆ d'“. On notera qu'elles sontune variante avec singularitŽs surconvergentes des propositions (3.2.1) et (4.2.2) de [7].
Pour vŽriÞer que les multiplications par Ù' et t sont injectives sur d'“, il sufÞt, gr‰ce“(m)
aux inclusions (4.3.1), de montrer qu'il en est ainsi sur dU.
^ ,ÊÝÊ, donc sur chacun des ^d^
U,ÊÝÊ

(m)
(m)
Comme ^d^est plat sur d^[8, (3.2.3)], et que ce dernier est un sous-faisceau du faisUU

ceau des opŽrateurs diffŽrentiels usuels dU^ Ê, qui est int•gre, l'assertion est claire.

Soient V^ un ouvert afÞne de ^P, et P = ÏÊk akŸÙ'Ÿ[k] Ô â(V^, d'“). D'apr•s 4.5, il existe u nentier m tel que, pour tout k, ak appartienne ˆ â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)), et satisfasse une majoration de la forme ®ak® < cÊÚ¾k¾. Pour que P Ô Ker(Ä), il faut et sufÞt que a0 = 0. Si l'on pose
QÊÊ= ÏÊkÊ³Ê0(akÊ+Ÿ1Ê/Ÿ(kÊ+Ÿ1))Ù'Ÿ[k], les coefÞcients bk = akÊ+Ÿ1Ê/Ÿ(kÊ+Ÿ1) sont dans â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)) etvŽriÞent une majoration analogue. Par suite, Q est dans â(V^, d'“) et est tel que QŸÙ' = P,
ce qui prouve (i).

Prouvons la surjectivitŽ de ´. Si h rel•ve une Žquation locale de H sur V^, toute
section f de o^P,ÊÝ(“H') sur V^ s'Žcrit sous la forme ÏÊkÊakÊ/Ÿ(ht)kÊ+Ÿ1, o• ak Ô â(V^, o^V,ÊÝ) vŽriÞe
une majoration de la forme ®ak® < cŸÚk, avec Ú < 1. Posons bk = akÊ/ÊhkÊ+Ÿ1, et Þxons m tel

- 31 -

mÊ+Ê1que ÚŸpÊ1Ê/Êp< 1. On peut considŽrer bk comme une section de â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)), et, enposant k + 1 = pŸmÊ+Ÿ1q - s, avec 0 ² s < pmÊ+Ÿ1, on peut Žcrire bk = (hsakÊ/ÊpŸq)(ŸpÊ/ÊhŸpŸmÊ+Ÿ1)q. En-qÊ1Ê/Êpprenant la norme dans â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)), on obtient alors ®bk® ² ®ak®¾Ÿp¾ < c'(ÚŸp

mÊ+Ê1

)k,

o• c' est une constante. D'apr•s (4.5.2), l'opŽrateur Q = ÏÊkÊ(-1)kÊbkÊÙ'Ÿ[k] appartient ˆ d'“,et il est tel que QŸ.(Ÿ1Ÿ/Êt) = f.
Soit maintenant P = ÏÊk akŸÙ'Ÿ[k] Ô â(V^, d'“) un opŽrateur tel que ´(P) = 0. Soit m telque, pour tout k, ak appartienne ˆ â(V^, ^b(m)^P,ÊÝ(H)), et satisfasse une majoration de la formekkÊ+Ÿ1®ak® < cÊÚ¾k¾. Notons B = â(V^, ^b(m)= 0 dans â(V^,^P (H)). Par hypoth•se, ÏÊkŸ(-1) ÊakÊ/ÊtŸo^P,ÊÝ(“H')). Il existe donc m' ³ m tel que ÏÊkŸ(-1)kÊakÊ/ÊtŸkÊ+Ÿ1 = 0 dans â(V^, ^b(m')^P,ÊÝ (H')), donc
aussi dans B{1Ÿ/Êt}ÝÊ. Pour tout j ³ 0, posons
jÊ-Ÿ1

bj = (-1)ÊjÊ+Ÿ1 åÊ(-1)kÊakÊtÊjÊ-ÊkÊ-Ÿ1 Ô BÝÊ.
kÊ=Ê0Comme ^P est lisse, B est rŽduit d'apr•s [10, 7.3.2, cor. 10]. Par suite, il rŽsulte du lemme(4.2.1) de [7] que les bj satisfont une majoration de la forme ®bj® < c'ŸÚ'Êj, avec Ú' < 1. On
peut donc dŽÞnir un opŽrateur Q Ô â(V^, d'“) en posant Q = ÏÊj bjŸÙ'Ÿ[Êj], et on obtientQŸt = åÊ(bjÊt + bjÊ+Ÿ1)Ù'Ÿ[Êj] = P.
jComme b0 = 0, on peut comme plus haut Žcrire Q = Q'ÊÙ' dans â(V^, d'“), d'o• (ii).

4.7.

Achevons maintenant la dŽmonstration du thŽor•me 4.2. Gr‰ce au dŽvissage faitprŽcŽdemment, on peut donc supposer qu'on est sous les hypoth•ses de 4.6. On disposeainsi des sections dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êdtd Ô â(^P, ã1^P), et celles-ci forment une base de o^P,ÊÝ(“H) ¢ ã1^P :c'est en effet le cas sur U^, et, d'apr•s [8, (4.3.10)], j*ÊoU^,ÊÝ est Þd•lement plat suro^P,ÊÝ(“H)Ê. Soient respectivement ã' et ã" les sous-o^P,ÊÝ(“H)-modules libres de o^P,ÊÝ(“H)¢ ã1^P ayant pour base dt1 et dt2Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊdtdÊ. Les complexes source et but de (4.2.1) peuvent
alors •tre vus comme les complexes simples associŽs aux deux bicomplexes de termesgŽnŽrauxKÊi,Êj = o^P,ÊÝ(“H)(*^DŸ) ¢ €iÊã' ¢ €ÊjÊã",K“ŸÊi,Êj = o^P,ÊÝ(“H') ¢ €iÊã' ¢ €ÊjÊã",dont les diffŽrentielles sont respectivement donnŽes par d' = Ù' ¿ dt1Ê, et d" = ÏÊiÊ³Ê2ÊÙi' ¿ dtiÊ.
Gr‰ce aux suites spectrales correspondantes, on se ram•ne ainsi ˆ montrer que le morphisme de complexesÙ'o^P,ÊÝ(“H)(*^DŸ) ##@ o^P,ÊÝ(“H)(*^DŸ)ÉÀ
(4.7.1)ÉÀÙ'o^P,ÊÝ(“H') ####@ o^P,ÊÝ(“H')

est un quasi-isomorphisme du complexe de la ligne du haut vers celui de la ligne du bas.
Notons a = o^P,ÊÝ(“H)Ê, b = o^P,ÊÝ(“H)(*^DŸ), b“ = o^P,ÊÝ(“H'). Les rŽsolutions de a obtenues

- 32 -

en 4.6 (i) montrent que ce morphisme s'Žcrit sous la formeéÊhomd'(a, b) ##@ éÊhomd'“(a, b“).

(4.7.2)Si e est un complexe bornŽ de d'-modules (resp. d'“-modules) ˆ gauche, notons D(e) =éÊhomd'(e, d') (resp. D“(e) = éÊhomd'“(e, d'“)) le complexe de d'-modules (resp. d'“modules) ˆ droite dual. D'apr•s 4.6, a et b sont de dimension localement projective Þniesur d' (resp. a et b“ sur d'“), de sorte qu'on dispose par bidualitŽ locale d'isomorphismes› éÊhom (D(b), D(a)),éÊhomd'(a, b) Ê##@d'› éÊhom “(D“(b“), D“(a)).
éÊhomd'“(a, b“) Ê##@d'
De plus, les rŽsolutions de 4.6 montrent que les morphismes canoniquesLLd'“ ¢d' a #@ a,d'“ ¢d' b #@ b“sont des isomorphismes. Il s'ensuit que D(a) se dŽduit de D“(a) par restriction des scaL

laires, tandis que le morphisme canonique D(b) ¢d' d'“ @ D“(b“) est un isomorphisme.
Les isomorphismes prŽcŽdents identiÞent alors le morphisme (4.7.2) ˆ l'isomorphisme
d'adjonction› éÊhom “(D“(b“), D“(a)),éÊhomd'(D(b), D(a)) Ê##@d'ce qui ach•ve la dŽmonstration.
Remarque. Ñ L'ŽnoncŽ 4.2 est valable plus gŽnŽralement si l'on suppose seulement que^D õ U0 est un diviseur ˆ croisements normaux relatifs sur v : il sufÞt pour s'en convaincre de vŽriÞer comme dans 4.6 que la prŽsentation de o^P(“D0) donnŽe en [7, (4.3.2)]
lorsque H = ¯ reste valable sur le faisceau d'Ÿ“ considŽrŽ ici pour H quelconque.

4.8. C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de 4.6, soit 1 < i2 < .Ê.Ê. < Êik ² d une suited'indices. Alors le morphisme canoniqueo^P(“H)(*^DŸ)[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ] ¢o ãÖ^P,ÊÝ Ê##@ o^P(“H')[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ] ¢o ãÖ^P,ÊÝ
2

^P

k

2

k

^P

est un quasi-isomorphisme.
Comme en 4.7, on se ram•ne ˆ montrer que le morphisme de complexesÙ'o^P(“H)(*^DŸ)[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ]Ý ##@ o^P(“H)(*^DŸ)[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ]Ý
2
k
2
k
É
É
À
À
(4.8.1)o^P(“H')[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ]Ý
2

k

Ù'

####@ o^P(“H')[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ]Ý
2k“est un quasi-isomorphisme. Or la multiplication par ti Ê.Ê.Ê.Êti est injective sur o^P,ÊÝ( H)Ê,2k

- 33 -

car c'est le cas en restriction ˆ U^ puisque U^ est lisse et connexe, et j*ÊoU^,ÊÝ est Þd•lement

plat sur o^P,ÊÝ(“H)Ê; par platitude, elle est encore injective sur o^P,ÊÝ(“H)(*^DŸ). De m•me,elle est injective sur o^P,ÊÝ(“H'). Comme Ù'(1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ) = 0, le diagramme (4.8.1) est limite2kinductive de diagrammes Žgaux ˆ (4.7.1), avec pour ß•ches de transition la multiplication par ti Ê.Ê.Ê.Êti Ê, d'o• le corollaire.
2

5.

k

Application ˆ l'isomorphisme de Gysin

Nous donnons ici la dŽmonstration du thŽor•me 3.8. Supposons X' compactiÞŽ en †X',
et Z en †Z Ç †X'. Le principe de la construction consiste ˆ partir de l'isomorphisme de
Gysin ãÖ Ê#ÊÊ›Ê@ éŸâ (ãÖ )[2r] sur X' , ˆ passer aux faisceaux analytiques associŽs, ˆ
Y'K

Y'K

“

X'K

KÊ

appliquer le foncteur jŸ des germes de sections surconvergentes au voisinage de ]ŸXŸ[, cequi donne un isomorphisme sur †XK'Êan, puis ˆ appliquer les foncteurs â“]†Z[ et éŸâ(Ÿ†XK'Êan, -).
La source de l'isomorphisme obtenu calcule la cohomologie rigide de Y. Pour identiÞer
son but ˆ éŸârig,ÊZ(ŸXÊ/ÊKŸ), il faut alors montrer qu'apr•s avoir pris le foncteur â“]†Z[Ê, le foncteur éŸâY' ne joue plus de r™le. Pour cela, nous utiliserons un plongement de X' dans u nKv-schŽma propre et lisse P, gr‰ce auquel nous pourrons dŽduire cette propriŽtŽ du thŽor•me de comparaison 4.2.
Comme corollaire, nous obtiendrons aussi un analogue en cohomologie rigide duthŽor•me de puretŽ cohomologique de [SGA 4, exposŽ XIX].

5.1.

Si SÊan est un espace analytique rigide sur K, si TÊan Ç SÊan est un sous-espace analyti-

que fermŽ, dŽÞni par un idŽal cohŽrent i Ç oSÊanÊ, et si e Ô D+(oSÊan), nous noterons
éŸâ(TÊan)(e) = limÊéÊhomo Êan(oSÊanÊ/ÊiÊn, e)#@nS

la cohomologie locale de e Òˆ supports mŽromorphesÓ dans TÊan (nous nous Žcartons ici dela notation éŸâ[TÊan] utilisŽe en analytique complexe pour Žviter tout risque de confusion
avec la cohomologie ˆ support dans un tube). Si SÊan, TÊan sont les espaces analytiques
associŽs ˆ des variŽtŽs algŽbriques S, T sur K, et si j est l'idŽal de T dans S, il rŽsulte dela platitude de oSÊan sur oS et de la cohŽrence de oSÊ/ÊjÊn qu'il existe un isomorphisme
canonique› éŸâ Êan (eÊan)éŸâT(e)an Ê##@(T )pour tout oS -module e, en notant fŸan le faisceau analytique associŽ ˆ un oSÊ-module f.
Ê

Lorsque SÊan est lisse, et que e Ô D+(dSÊan), le complexe éŸâ(TÊan)(e) est de mani•renaturelle dans D+(d Êan). Par abus de notation, nous noterons éŸâ Êan (e) ¢ ãÖ Êan le
S

(T

)

S

complexe de de Rham correspondant, obtenu en appliquant le foncteur éÊhomd(oSÊanÊ, -).

- 34 -

Soit Y' Ì@ X' une immersion fermŽe de codimension r entre deux v-schŽmas lisses,

5.2.

de Þbres gŽnŽriques Y'KÊ, X'KÊ, de Þbres spŽciales Y, X, et soit Z un sous-schŽma fermŽ de
Y. Montrons d'abord comment la donnŽe de X' et Y' permet de construire le morphismeéâZ,Êrig(YÊ/ÊKŸ) Ê##@ éâZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ)[2r]
considŽrŽ en (3.8.1).
Pour cela, considŽrons le morphisme de Gysin algŽbrique [2, VI (3.1.1)]
GY'Ê/ÊX' : ãÖY' ##@ hrY'(oX') ¢ ãÖX'[r] – éŸâY'(ãÖX')[2r].
Comme K est de caractŽristique nulle, c'est un quasi-isomorphisme au-dessus de X'KÊ. On
introduit alors les espaces analytiques XK'Êan et YK'Êan associŽs ˆ X'K et Y'KÊ. En passant aux
faisceaux analytiques associŽs sur XK'Êan (foncteur qui s'Žtend de mani•re naturelle auxopŽrateurs diffŽrentiels entre oX' Ê-modules au sens de [EGA IV, ¤ 16]), on obtient u nKmorphisme de complexesÊan
GY'Ê/ÊX': ãÖY'Êan ##@ hrY' (oX' )an ¢ ãÖX'Êan[r].

(5.2.1)

K

K

KÊ

K

Êan
5.3. LEMME. Ñ Le morphisme GY'Ê/ÊX'
est un quasi-isomorphisme.

On reprend la dŽmonstration du cas algŽbrique. L'assertion Žtant locale pour la
topologie de Zariski de X'KÊ, qui induit des recouvrements admissibles de XK'Êan, on peut
supposer qu'il existe sur X' des coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, dŽÞnissant des dŽrivations
Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙdÊ, telles que Y' = V(t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtr). On dispose alors de l'identiÞcationrhY'(oX') – oX'[1Ê/Êt1Ê.Ê.Ê.Êtr]Ê/Ê åÊoX'[1Ê/Êt1Ê.Ê.Ê.ÊtiÊ-Ê1tiÊ+Ê1Ê.Ê.Ê.Êtr].
r

iÊ=Ê1

Elle permet de dŽcrire GY'Ê/ÊX' comme le morphisme de complexes qui associe ˆ une section· de ãÖ la section (~·Ê/Êt .Ê.Ê.Êt )ÊŠÊdt ÊŠÊ.Ê.Ê.ÊŠÊdt de hr (o ) ¢ ãÖÊ+Êr, o• ~· est une section quelY'

1Ê

r

1

r

Y'

X'

X'

conque de ãÖX' relevant ·. Pour montrer que c'est un quasi-isomorphisme, on introduit
les sous-modules ã' et ã" de ã1X' ayant respectivement pour bases dt1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êdtr etdt,Ê.Ê.Ê.Ê,Êdt . Le complexe hr (o ) ¢ ãÖ s'identiÞe alors au complexe simple associŽ au
rÊ+Ÿ1Ê

dÊ

Y'

X'

X'

bicomplexe de terme gŽnŽral hrY'(oX') ¢ ãi,Êj = hrY'(oX') ¢ €iÊã' ¢ €ŸjÊã", dont les deuxdiffŽrentielles seront notŽes d' = Ïr1 Ùi ¿ dti et d" = ÏdrÊ+Ÿ1 Ùi ¿ dtiÊ. De plus, le morphismeGpeut •tre vu comme associŽ ˆ un morphisme de bicomplexes ãÖ @ hr (o ) ¢Y'Ê/ÊX'ãÖÖ[r, 0], en pla•ant ãÊjY' en bidegrŽ (0, j).
On Þltre hrY'(oX') en posantFilkÊhrY'(oX') = {ÊaÊ/Êtk1 1.Ê.Ê.ÊtrkrÊ¾Êa Ô oX'Ê, ÏÊki ² kÊ},puis hrY'(oX') ¢ ãÖÖ en posantFilkÊ(hrY'(oX') ¢ ãi,Êj) = FilkÊ+Êi(hrY'(oX')) ¢ ãi,Êj.

Y'

Y'

X'

- 35 -

On obtient ainsi une Þltration croissante par des sous-bicomplexes, telle que Filk = 0 pourk < 0. La diffŽrentielle induite par d' sur le graduŽ associŽ est alors oX'Ê-linŽaire. On vŽriÞe que, sur la Þbre gŽnŽrique, le complexe gr Ÿ(hr (o ) ¢ ãÖ,Êj) est acyclique pour tout j
Y'
k
X'
Êj
et tout k ³ 1, tandis que le morphisme ãY' @ gr0Ÿ(hrY'(oX') ¢ ãÖ,Êj)[r] est un

isomor-phisme. Par suite, GY'Ê/ÊX' est un quasi-isomorphisme au-dessus de X'KÊ. Ces propriŽtŽs
passent aux faisceaux analytiques associŽs, et le lemme en rŽsulte.

5.4. Pour achever la construction du morphisme (3.8.1), on consid•re ensuite le morphisme canonique éŸâY' (oX' ) @ oX' Ê, qu'on peut voir comme un morphisme de la catŽgoK

KK

rie dŽrivŽe Db(dX' ). Comme le foncteur Òfaisceau analytique associŽÓ s'Žtend en un foncKteur de Db(dX' ) dans Db(dX'Êan), on en dŽduit un morphisme canonique hrY' (oX' )an @
K

K

K

K

oX'Êan[r] dans Db(dX'Êan). On peut prendre le morphisme induit entre les complexes de deK

KRham correspondants, ce qui donne un morphisme de la catŽgorie dŽrivŽe des complexesde K-vectoriels sur XK'Êan
hrY' (oX' )an ¢ ãÖX'Êan Ÿ##@ ãÖX'Êan[r].
K

K

K

K

Êan
Par composition avec le morphisme GY'Ê/ÊX'Ê, on en dŽduit donc un morphisme› hr (o )an ¢ ãÖ an[r] Ÿ##@ ãÖ Êan[2r].
ãÖY'Êan Ê##@
Y'
X'
X'Ê
X'

(5.4.1)

K

K

K

K

K

Soient †X' une compactiÞcation de X' sur v, †Y' l'adhŽrence schŽmatique de Y' dans†X', †X et †Y les Þbres spŽciales de †X' et †Y'. Si ^†X' et ^†Y' sont les complŽtŽs formels de †X' et †Y',

on a †XK'Êan = ^†X'KÊ, †YK'Êan = ^†Y'KÊ, puisque ^†X' et ^†Y' sont propres sur v. Notons j l'immersion
donnŽe de X dans †X, et jŸ“ le foncteur correspondant sur †XK'Êan. Comme XK'Êan est un voisinage strict de ]ÊXÊ[^†X' dans †XK'Êan, on peut aussi considŽrer jŸ“ comme un foncteur de lacatŽgorie des faisceaux de K-vectoriels sur XK'Êan dans la catŽgorie des faisceaux de Kvectoriels sur †XK'Êan. De plus, jŸ“ est un foncteur exact, de sorte qu'il s'Žtend aux catŽgoriesdŽrivŽes. Il est clair qu'on a alors les ŽgalitŽs
jŸ“ŸãÖY'Êan = jŸ“ŸãÖ†Y'ÊanÊ,K

jŸ“ŸãÖX'Êan = jŸ“ŸãÖ†X'ÊanÊ,

K

K

K

= jŸ (h†Y' (o†X' ) ) Ò#ÊÊ› jŸ (éŸâ†Y' (o†X' ) )[r] – jŸ“(éŸâ(†Y' )(o†X'Êan))[r].

“jŸ (hrY' (oX' )an)
K
K

“

r

“

an

K

an

K

K

K

K

K

On dŽduit donc de (5.4.1) un morphisme› jŸ“Ÿ(hr (o )an ¢ ãÖ Êan[r]) Ê##@ jŸ“ŸãÖ Êan[2r].
jŸ“ŸãÖ†Y'Êan Ê##@
†Y'
†X'
†X'
†X'
K

K

K

K

K

Si †Z est l'adhŽrence de Z dans †Y , on peut ensuite appliquer sur †XK'Êan le foncteur exact
â“]†Z[Ê, puis le foncteur image directe par spŽcialisation, si bien que l'on obtient un mor-phisme de la catŽgorie dŽrivŽe des faisceaux de K-vectoriels sur ^†X' :(5.4.2)

éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“ŸãÖ†Y'Êan Ê#ÊÊ›Ê@ éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“Ÿ(hr†Y' (o†X' )an ¢ ãÖ†X'Êan[r]) Ê#@ éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“ŸãÖ†X'Êan[2r].
K

K

K

K

K

- 36 -Par dŽÞnition, on a éâZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) = éâ(Ÿ^†X', éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“ŸãÖ†X'Êan). Notons jY l'immerKsion ouverte de Y dans †Y, j“Y le foncteur correspondant sur †YK'ÊanÊ, i l'immersion fermŽe de^†Y' dans ^†X'. Pour tout faisceau abŽlien E sur †YK'Êan, on a un isomorphisme canonique

iKÊ*ÊjŸ“YÊE – jŸ“ŸiKÊ*ÊE : en effet, si W Ç †XK'Êan est un ouvert afÞno•de, et si V (resp. V') parcourt
l'ensemble des voisinages stricts de ]ÊXÊ[^†X' dans †XK'Êan (resp. de ]ŸYÊ[^†Y' dans †YK'Êan), on aâ(W, jŸ“ŸiKÊ*ÊE) = limÊâ(W õ V, iKÊ*ÊE) = limÊâ(W õ †YK'Êan õ V, E)
#@

#@

V

– limÊâ(W õ †YK'Ê
#@

V

an

õ V', E) = â(W, iKÊ*ÊjŸ“YÊE),V'

gr‰ce ˆ la quasi-compacitŽ de W et ˆ [5, (1.2.2)]. On vŽriÞe de m•me que iKÊ*Êâ“]†Z[ÊE –â“]†Z[ÊiKÊ*ÊE, le foncteur â“]†Z[ Žtant pris respectivement sur †YK'Êan et sur †XK'Êan. Il en rŽsultequ'on a aussi un isomorphisme canonique éâZ,Êrig(ŸYÊ/ÊKŸ) – éâ(Ÿ^†X', éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“ŸãÖ†Y'Êan). En
K
appliquant le foncteur éâ(Ÿ^†X', -) ˆ (5.4.2), on obtient alors le morphisme (3.8.1) cherchŽ.
Remarquons que ce morphisme ne dŽpend pas du choix de la compactiÞcation †X'choisie pour X'. En effet, la mŽthode du plongement diagonal permet de se ramener ˆ
comparer les morphismes (3.8.1) obtenus pour deux compactiÞcations †X'1 et †X'2 telles qu'il
existe un morphisme †X'1 @ †X'2 prolongeant l'identitŽ de †X'. Leurs Þbres spŽciales fournissent alors deux compactiÞcations †X1 et †X2 de X. Comme les deux morphismes proviennent d'un m•me morphisme sur XK'Êan par image directe via XK'Êan Ì@ †Xi,ÊK
'Êan, spŽcialisation et passage aux sections globales, il est alors clair qu'ils se correspondent via lesidentiÞcations de 1.7.
rig
Le morphisme ainsi obtenu sera notŽ GŸY'Ê/ÊX',ÊZÊ
. Il satisfait la propriŽtŽ de transitivitŽ

suivante : si X' Ì@ U' est une immersion fermŽe de X' dans un v-schŽma lisse U', alors
rig
rig
rig
GŸX'Ê/ÊU',ÊZ
ì GŸY'Ê/ÊX',ÊZ
= GŸY'Ê/ÊU',ÊZ
Ÿ.

(5.4.3)Celle-ci se dŽduit en effet facilement de la formule de transitivitŽ usuelle [2, VI, prop.
4.2.1] en passant aux faisceaux analytiques associŽs, puis en appliquant les foncteurs jŸ“,â“]ŸZŸ[ et éâ(†UK'Êan, -), o• †U' est une compactiÞcation de U' sur v.
rig
Montrons maintenant que, sous les hypoth•ses de 3.8, le morphisme GŸY'Ê/ÊX',ÊZ
est u nisomorphisme. L'hypoth•se de quasi-projectivitŽ faite sur X' permet de trouver une
immersion X'ÊÊÌ@ P dans un espace projectif sur v. On peut alors prendre pour †X' et †Y'
les adhŽrences schŽmatiques de X' et Y' dans P, et la formule de transitivitŽ prŽcŽdenteram•ne ˆ prouver l'assertion pour les couples (Y', P) et (ŸX', P). Celle-ci rŽsulte alors dela proposition 5.5 qui suit, en l'appliquant au complŽtŽ formel ^P de P et aux sous-schŽmas
formels ^T = ^†X' et ^T = ^†Y'.

5.5.

P ROPOSITION. Ñ Soient ^P un v-schŽma formel lisse, de Þbre spŽciale P0Ê, H Ç P0

un sous-schŽma fermŽ, j : U0 = P0 • H Ì@ P0 l'immersion ouverte correspondante, ^T Ç ^P
un sous-schŽma formel fermŽ, lisse aux points de U0Ê, de Þbre spŽciale T0Ê, †Z Ç T0 u n

- 37 -

sous-schŽma fermŽ. Alors l'homomorphisme canonique
éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“(éŸâ(^T )(o^P ) ¢ ŸãÖ^P ) Ê#@ éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“ŸãÖ^P
K

K

K

K

est un isomorphisme.
L'ŽnoncŽ est local sur ^P, qu'on suppose donc afÞne. Si on Žcrit H comme intersection
de diviseurs principaux HiÊ, le recouvrement de U0 par les ouverts U0 • Hi fournit une
suite exacte (1.2.2) reliant les foncteurs jŸ“ correspondants, gr‰ce ˆ laquelle on est ramenŽ
ˆ prouver la proposition lorsque H est un diviseur principal. Le m•me argument montre
aussi qu'on peut supposer que T0 õ U0 est dŽÞni dans U0 par une suite de sections`t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`t de o faisant partie d'un syst•me de coordonnŽes locales `t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`t sur U .
1Ê
s
U
1Ê
d
0Ê
0

Observons alors que, si ^T' est un autre sous-schŽma formel fermŽ de ^P dont la restriction ˆ U0 co•ncide avec celle de ^T, on dispose d'un isomorphisme canonique› jŸ“(éŸâ (o ) ¢ ŸãÖ ).
jŸ“(éŸâ(^T' )(o^P ) ¢ ŸãÖ^P ) Ê##@
(^TK)
^PK
^PK
K
K
K
En effet, on se ram•ne aussit™t au cas o• ^T' Ç ^T. Soient alors i Ç i' les idŽaux de ^T et ^T'dans ^P. Comme, d'apr•s 1.2 (vi), jŸ“ commute aux limites inductives Þltrantes, il sufÞt devŽriÞer que, pour tout n et tout i, l'homomorphisme canoniquejŸ“ÊextÊi(o^P Ê/Êi'Ÿn, o^P ) ¢ ŸãÖ^P
K

K

K

Ê##@ jŸ“ÊextÊi(o^P Ê/ÊiŸn, o^P ) ¢ ŸãÖ^P
K

K

K

est un isomorphisme. Or le noyau et le conoyau de l'homomorphismeextÊi(o^P Ê/Êi'Ÿn, o^P ) Ê##@ extÊi(o^P Ê/ÊiŸn, o^P )
K

K

K

K

sont des o^P -modules cohŽrents, dont les supports sont contenus dans ]H[. Le complŽKÊ

mentaire de ces supports est alors un voisinage strict de ]U0[^PÊ, d'o• l'assertion.
Comme H est principal, on peut prolonger les coordonnŽes locales `t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`ts quidŽÞnissent T0 õ U0 dans U0 en des sections de l'idŽal de T0 dans P0Ê, et les coordonnŽes
locales `t,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`t en des sections de o . On rel•ve alors `t ,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`t en des sections t ,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtsÊ+Ê1Ê

d

P0 Ê

1Ê

s

1Ê

s

`
^ = ^P • H, t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd sont dessÊ+Ê1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd en des sections tsÊ+Ê1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd de o^PÊ. Sur U

de i, et `tcoordonnŽes locales, et t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êts sont des gŽnŽrateurs de l'idŽal i de ^TÊ; de plus, la remar-que prŽcŽdente permet de supposer que t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êts sont en fait des gŽnŽrateurs de i sur ^Ptout entier.
Pour tout k ² s, et toute suite d'indices i1 < .Ê.Ê. < ikÊ, soient ^Ti Ê.Ê.Ê.Êi = V(ti Ê.Ê.Ê.Êti ) Ç ^P,
1

k

1

k

ii Ê.Ê.Ê.Êi = (ti Ê.Ê.Ê.Êti ) Ç o^P , et notons
1

k

1

k

KÊ

o^P (*^Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) = lim homo (iiŸnÊ.Ê.Ê.Êi Ê, o^P ) = o^P [1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êti ].
K

1

k

#@

^PK

n

1

k

K

K

1

k

On dispose d'une suite exacte de pro-objets (voir par exemple [17, II (4.1)])sŸn
0 Ê#@ "lim"Êi Ÿn
1Ê.Ê.Ê.Ês Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ ÕÊ" lim"Êii Ê#@ o^P

Ò#
n

iÊ=Ê1

Ò#
n

K

Ê#@ "lim" o^P Ê/ÊiŸn Ê#@ 0,Ò#nK- 38 -

qui constitue une rŽsolution de " lim Ên" o^P Ê/ÊiŸn ˆ termes acycliques pour limÊn homo (-Ê,
Ò#
K
#@
^PK
o^P ). Il s'ensuit que le complexe éŸâ(^T )(o^P ) ¢ ŸãÖ^P est reprŽsentŽ par le bicomplexe
K
K
K
K
s

0 Ê#@ ãÖ^P Ê#@ ÕÊo^P (*^Ti) ¢ ŸãÖ^P Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ o^P (*^T1Ê.Ê.Ê.Ês) ¢ ŸãÖ^P Ê#@ 0,
K

K

iÊ=Ê1

K

K

K

et le morphisme canonique éŸâ(^T )(o^P ) ¢ ŸãÖ^P @ ŸãÖ^P par la projection de ce bicomplexe
KKKK
sur le terme initial. Pour prouver l'ŽnoncŽ, il sufÞt par consŽquent de montrer que, pour
tout k ³ 1, et toute suite d'indices i1 < .Ê.Ê. < ikÊ, on aéÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“(o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) ¢ ŸãÖ^P ) = 0.

(5.5.1)

K

1

k

K

Soit g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êgr une suite de sections de o^P relevant des gŽnŽrateurs `g1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê`gr de l'idŽal
de †Z dans P0Ê. Comme †Z est contenu dans T0Ê, on peut supposer que la suite des gŒ est
choisie de telle sorte que l'un des gŒ soit Žgal ˆ l'un des ti Ê, par exemple g1 = ti Ê. Pourº1toute suite Œ1 < .Ê.Ê. < ŒhÊ, notons U'Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ l'ouvert D(`gŒ Ê.Ê.Ê.Ê`gŒ ), et j'Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ : U'Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ Ì@ P0
1

h

1

h

1

h

1

h

l'immersion correspondante. Si E est un faisceau abŽlien sur ^PKÊ, on dispose alors de larŽsolution de â“]†Z[ÊE fournie par la suite exacte (1.2.3)“
0 Ê#@ â“]ŸZŸ[ÊE Ê#@ E Ê#@ ÕÊ jŒ'Ÿ“ŸE Ê#@ .Ê.Ê. Ê#@ j'Ÿ1.Ê.Ê.Êr
ÊE Ê#@ 0.
ŒnComme les modules o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) ¢ Ÿã^P sont limites inductives Þltrantes de o^P Ê-modules
K

1

k

K

K

cohŽrents, et que les foncteurs de la forme jŸ“ commutent ˆ ces limites inductives, on voit
comme dans la dŽmonstration de 4.2 que, lorsqu'on applique cette rŽsolution ˆ l'un desmodules E = jŸ“(o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) ¢ Ÿãn^P )Ÿ, la rŽsolution obtenue est ˆ termes acycliques pour
K

1

k

K

éÊsp*Ê. Si on note U"Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ = U'Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ õ U0Ê, et j"Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ : U"Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ Ì@ P0Ê, on voit ainsi que le
1
h
1
h
1
h
1
h
complexe éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“(o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) ¢ ŸãÖ^P ) est reprŽsentŽ par le complexe simple associŽ
K1
kK
au bicomplexe
0 Ê#@ sp* jŸ“(o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) ¢ ŸãÖ^P ) Ê#@ ÕÊŸsp* jŒ"Ÿ“(o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) ¢ ŸãÖ^P ) Ê#@ .Ê.Ê. .
K

1

k

K

K

Œ

1

k

K

Ce bicomplexe peut lui-m•me •tre vu comme associŽ ˆ un tricomplexe, en dŽcomposant
la diffŽrentielle ¶ de la rŽsolution (1.2.3) en somme de la diffŽrentielle ¶' correspondant ˆl'indice 1 et de la diffŽrentielle ¶" correspondant aux indices 2,Ê.Ê.Ê.Ê,Êr. Cela permet deconsidŽrer le complexe éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸ“(o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi ) ¢ ŸãÖ^P ) comme le complexe simple
K
1
kK
associŽ au morphisme de bicomplexes donnŽ en bidegrŽ (h, n) par

ÕÊŸ

¶'

1Ê<ÊŒ1Ê<Ê.Ê.Ê.Ê<Êahn“
sp* j"ŸŒ1Ê.Ê.Ê.ÊŒh(o^PK(*Ti1Ê.Ê.Ê.Êik)Ê¢ÊŸã^PK) Ê@

ÕÊŸ

n
“
Ÿ sp* j"Ÿ1ÊŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ (o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi )Ê¢ÊŸã^P ).
1

1Ê<ÊŒ1Ê<Ê.Ê.Ê.Ê<Êah

h

K

1

k

K

Pour prouver (5.5.1), il sufÞt alors de prouver que, pour toute suite 1 < Œ1 < .Ê.Ê. < ŒhÊ, lemorphisme(5.5.2)ÖÖ““
sp* j"ŸŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ (o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi )Ê¢ÊŸã^P ) Ê#@ sp* j"Ÿ
1ÊŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ (o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi )Ê¢ÊŸã^P )1hK

est un quasi-isomorphisme.

1

k

K

1

h

K

1

k

K

- 39 -

ConsidŽrons les diviseurs de P0 dŽÞnis parHŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ = H + V(`gŒ Ê.Ê.Ê.Ê`gŒ ),
1

h

1

h

H'Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ = HŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ + V(`g1).
1

h

1

h

On a alors des isomorphismes canoniques““
sp* j"ŸŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ (o^P ) – o^P,ÊÝ( HŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ ),
1

h

K

1

h

“
“
sp* j"Ÿ1ÊŒ1Ê.Ê.Ê.ÊŒh(o^PK) – o^P,ÊÝ( H'Œ1Ê.Ê.Ê.ÊŒh).

Posons ^D = V(ti ) Ç ^P. Comme l'image inverse par spŽcialisation d'un ouvert afÞne de ^P1

est un ouvert afÞno•de de ^PKÊ, le foncteur sp* commute aux limites inductives Þltrantes.
On peut donc Žcrire, avec les notations de 4.1,ÖÖ““
sp* j"ŸŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ (o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi )Ê¢ÊŸã^P ) – o^P( HŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ )(*^D)[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êi ] ¢ ã^P,ÊÝÊ,
1

h

K

1

k

K

1

h

2

h

Ö
Ö
“
“
sp* j"Ÿ1ÊŒ Ê.Ê.Ê.ÊŒ (o^P (*Ti Ê.Ê.Ê.Êi )Ê¢ÊŸã^P ) – o^P( H'Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ )[1Ÿ/Êti Ê.Ê.Ê.Êi ] ¢ ã^P,ÊÝÊ,
1

h

K

1

k

K

1

h

2

h

en observant que ti est inversible dans o^P(“H'Œ Ê.Ê.Ê.ÊŒ ) puisque ti = g1. Comme ti fait
1

1

h

1

1

partie d'un syst•me de coordonnŽes locales sur U^, ^D est lisse sur v aux points de U^, et lefait que (5.5.2) soit un isomorphisme rŽsulte du corollaire 4.8 du thŽor•me de comparaison 4.2.
Cet ŽnoncŽ fournit aussi une variante locale de l'isomorphisme de Gysin (3.8.1) :5.6.

C OROLLAIRE . Ñ Sous les hypoth•ses du thŽor•me 3.8, soient X' Ì@ P une immer-

sion dans un v-schŽma propre et lisse, †X', †Y' des sous-schŽmas fermŽs de P dans lesquels X' et Y' soient ouverts, †X, †Y leurs Þbres spŽciales, jX : X Ì@ †X, jY : Y Ì@ †Y, †Z Ç †Y

un sous-schŽma fermŽ tel que †Z õ Y = Z. On note ^†X' le complŽtŽ formel de †X', sp : †XK'Êan =^†X'K @ ^†X' le morphisme de spŽcialisation. Alors le morphisme (5.4.2)“ ÖéÊsp*Êâ“]†Z[ÊjYŸ“ÊãÖ†Y'Êan Ê##@ éÊsp*Êâ“]†Z[ÊjŸXÊã†X'Êan[2r]KK

est un isomorphisme dans Db(^Ÿ†X', KŸ).
Soient U un ouvert de P tel que X' soit fermŽ dans U, j : U0 Ì@ P0 l'immmersion
ouverte correspondante entre les Þbres spŽciales, i : †X' Ì@ P l'immersion fermŽe donnŽe. Rappelons que, comme on l'a vu en 5.4, le foncteur iKÊ* commute aux foncteurs jŸ“ etÊan
â“]†Z[ sur †XK'Êan et PÊanet ^P. Soit s la codimension de X' dansK Ê; cela permet de calculer sur PK

P. La transitivitŽ du morphisme de Gysin entre complexes de de Rham algŽbriques fournit un diagramme commutatif sur PÊanK›
› jŸ“(éŸâ (o )an ¢ ãÖ an[2r+Ê2s])
jŸ“ŸãÖY'Êan Ê##@jŸ“(éŸâY' (oX' )an ¢ ãÖX'Êan[2r]) Ê##@
Y'
U
UÊ
K

K

K

K

K

K

K

É
À

É
À
›
jŸ“(éŸâX' (oU )an ¢ ãÖUÊan[2rÊ+Ê2s])
jŸ“ŸãÖX'Êan[2r] Ê######@
K

K

K

K

É
À
“ Ö
jŸ ŸãUÊan[2rÊ+Ê2s].
K

- 40 -

Dans la premi•re ligne, la ß•che de droite se dŽduit du morphisme de Gysin algŽbriqueãÖ Ê#ÊÊ›Ê@ éâ (o ) ¢ ãÖ [2s] en appliquant le foncteur é â , en passant aux faisceaux
X'K

X'K

UK

UK

Y'KÊ

analytiques associŽs, et en appliquant le foncteur jŸ“, vu comme associant un faisceau surPÊanˆ un faisceau sur UÊanK
K Ê; qu'on obtienne encore un quasi-isomorphisme apr•s passage
aux faisceaux analytiques se voit comme en 5.3. Comme en 5.4, on peut dans ce diagramme remplacer respectivement U, X' et Y' par P, †X' et †Y'. Si on applique ensuite le foncteur
éŸsp* ì â“]†Z[Ê, la lissitŽ de P sur v entra”ne d'apr•s 5.5 que, dans la colonne de droite, laß•che du bas et la ß•che composŽe deviennent des isomorphismes. Par suite, toutes lesß•ches du diagramme obtenu sont des isomorphismes, d'o• le corollaire.
Remarque. Ñ Si l'on prend †Z = †Y , le corollaire fournit un isomorphisme›
éÊsp*ÊjŸ“ŸãÖ†Y'Êan Ê##@éÊsp*Êâ“]†YŸ[ÊjŸ“ŸãÖ†X'Êan[2r]KKdans DŸb(Ÿ†X, KŸ). On peut voir cet isomorphisme comme l'analogue en cohomologie rigide
du thŽor•me de puretŽ cohomologique en cohomologie Žtale [SGA 4, XIX, th. 3.2].

5.7. C OROLLAIRE. Ñ Soient X un k-schŽma lisse, et Z Ç X un sous-schŽma int•gre, dont
toutes les composantes irrŽductibles sont de codimension ³ d dans X. AlorsÊ:(i) Pour tout i < 2d, on a HÊiZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) = 0.
(ii) La dimension sur K de l'espace HÊ2dZ,Êrig(ŸXÊ/ÊKŸ) est Žgale au nombre de composantesirrŽductibles gŽomŽtriques de codimension d de Z.
Gr‰ce ˆ 1.8, il sufÞt de prouver les deux assertions lorsque K est le corps des fractions d'un anneau de Cohen de k, et on peut pour cela faire une extension Þnie de k. On
proc•de par rŽcurrence sur dim(Z). Si dim(Z) = 0, on peut gr‰ce ˆ 2.4 supposer que Z est
ˆ support ponctuel et X afÞne. Quitte ˆ faire une extension Þnie de k, on peut de plus supposer que Z est Žgal ˆ Spec(k), et l'ŽnoncŽ rŽsulte alors de 3.8.
Dans le cas gŽnŽral, on peut d'abord faire une extension Þnie de k assurant que Zred
est absolument rŽduit, et remplacer Z par ZredÊ. De m•me, on peut supposer que toutes lescomposantes irrŽductibles de Z sont absolument irrŽductibles. Comme la suite exacte
d'excision (2.5.1) permet de retirer de X un sous-ensemble fermŽ de codimension > d, on
peut ensuite se ramener au cas o• Z est lisse, puis, gr‰ce ˆ 2.4, au cas o• X est afÞne.
EnÞn, comme en 3.7, on se rŽduit au cas o• l'immersion fermŽe Z Ì@ X se rel•ve en une
immersion fermŽe Z' Ì@ X' entre deux v-schŽmas afÞnes et lisses. L'isomorphisme de
Gysin (3.8.1) entra”ne alors l'assertion (i), et ram•ne la seconde ˆ l'assertion analogue
Ÿ0pour Hrig(ZÊ/ÊK), prouvŽe en [6, (3.2.8)].

- 41 -

Appendice, par A.ÊJ. de Jong

A.1.

It was remarked by the author of this appendix that a proof of the implication (b)nÊ-Ê1and (a)n ¦ (b)n in 3.7 can be given without proving the Gysin isomorphism of Theorem
3.8. Instead, one uses a little bit more geometry to reduce the assertion to a computation
working on the tubes themselves. It is the purpose of this appendix to explain how thiscan be done.

A.2. We consider pairs (ŸX, Z), where X is smooth over k, and Z Ç X is a closed subscheme smooth of pure dimension n over k. The arguments given in the Þrst paragraphof section 3.7 show that it sufÞces to prove HŸ* (ŸXÊ/ÊKŸ) is Þnite for such pairs (ŸX, Z). I nZ,Êrigaddition similar arguments, using (b)nÊ-Ê1Ê, give the following assertions :(i)

If Z = Z1ÊóÊZ2ÊóÊ.Ê.Ê.ÊóÊZrÊ, then it sufÞces to prove 3.1 for the pairs (ŸX, Z1),Ê.Ê.Ê.Ê,Ê(ŸX, Zr).

(ii)

If X' Ç X is open, Z' = Z õ X' and dim(Z • Z') < n, then 3.1 for (ŸX, Z) is equivalent

to 3.1 for (ŸX, Z').
(iii) If Ä : X' @ X is Þnite and flat and Z' = ÄŸ-1(Z), then 3.1 for (ŸX', Z') implies 3.1 for(ŸX, Z).
(iv)

We may replace k by a Þnite extension of k, whilst trying to prove 3.1 for a pair(ŸX,ÊZ). In particular, we can make geometric constructions on the algebraic closure of k,choose a Þnite extension k' of k on which they are deÞned, and it sufÞces to prove 3.1 forthe pair (ŸX', Z') deduced from (ŸX, Z) by base change from k to k'.
A remark on the proof of (iii). We may by (ii) shrink X to get it afÞne. We use 3.6 and 2.4,
and note that the retraction of 3.6 is compatible with taking (afÞne) open subsets.

A.3. We will argue by induction on dimÊX. The case dimÊX = dimÊZ = n is assertion (a)nÊ.
Thus we may assume that dimÊX > dimÊZ. Further, using (i) and (ii) above we may
always assume that both X and Z are geometrically irreducible. Finally, we may assume
that dim X ³ 2, since the case dim X = 1, dim Z = 0 is known by [23].

A.4. We may assume there exists a divisor D in X, with Z Ç D, and such that D issmooth over k. Indeed, we may (for the moment) assume that X is afÞne and the ideal of
Z in X is generated by f1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊfcÊ, where c is the codimension of Z in X. We take D =V(Ÿf1)ÊÊÇ XÊ; it is smooth along Z. If it is not smooth, we remove Sing(D) from X.

A.5. (Compare [SGA 4, exposŽ XI] for the arguments that follow.) We may assume
there is a normal projective variety †X over k such that X Ç †X. Enlarging X if necessary,
we may assume that †X • X has codimension at least 2 in †X. Remark that this may involve- 42 -

enlarging Z and D, but we may still assume both Z and D to be smooth. Let us take aprojective embedding †X Ì@ æ = æÊN, given by a high power of a very ample line bundle on†X. By a Bertini theorem, we may choose a linear subspace L0 Ç æ such that C := L0 õ †X isan irreducible smooth projective curve, C Ç X, C intersects D transversally and C meets
Z. (To do this we might have to extend k a little bit.) The curve C has genus at least 2. Let
G be the Grassmanian parametrizing linear subspaces of æ of dimension equal todimÊL0Ê. Choose a general linear subspace L1 Ç L0 of dimension equal to dimÊL0 - 1. LetWÊÊÇ G be the set of L Ô G such that L1 Ç L. Then L0 Ô W and W – æŸdimÊXÊ-Ÿ1. Consider theincidence variety T = {(L, x)Ê¾ÊL Ô W, x Ô †X, x Ô LÊ}. The morphism q : T @ †X blows up in aÞnite number of points of X not on D, hence it sufÞces to prove 3.1 for the pair (qŸ-1(ŸXŸ),qŸ-1(Z)). The morphism p : T @ W has the Þbre C over the point L0 Ô W. It follows(compare [19, 2.8]) that there is an open neighbourhood U Ç W of L0 such that pŸ-1(U) ÇqŸ-1(ŸXŸ), pŸ-1(U) @ U is a family of smooth curves, the morphism q-1(D) õ pŸ-1(U) @ U isÞnite Žtale, and qŸ-1(Z) õ pŸ-1(U) is not empty. Therefore we need only prove 3.1 for pairs
as described below.

A.6. Here we have X, D, Z, and a smooth projective morphism f : X @ Y of relative
dimension 1 such that f¾ŸD : D @ Y is Þnite Žtale. The Þbres of f have genus at least 2. Let
Y' @ Y be a Þnite Žtale Galois covering such that the covering D @ Y splits over Y'. Thus
the divisor D |Y Y' in X' := X |Y Y' is a union of sections. By (iii) above it sufÞces to prove
3.1 for the pair (ŸX', Z'). Using (i), we see that we are reduced to cases where D = §(YŸ) is
the image of a section § : Y @ X. This means that there is a closed subscheme Z1 Ç Ysuch that Z = §(Z1).
Let ù ³ 3 be a prime number not equal to p. We may assume that there is an abelianlevel ù structure Œ on the family of curves X over Y. Indeed, to Þnd such a level structure
we need only to do a Þnite Žtale base change Y' @ Y, but this is allowed in view of (iii).

A.7. Let ùÊMg,Ê1 be the Þne moduli scheme over ç parametrizing 1-pointed smoothprojective curves of genus g = g(C) with level ùŸ-structure. Consider the period morphism
Y @ ùÊMg,Ê1 corresponding to (ŸX, §, Œ) over Y. I claim that we can Þnd (after shrinking YŸ)a smooth algebraic lift of Y over W such that this period morphism extends. We may,using (ii), take out any closed subset of Y which does not contain Z1Ê. Thus we may
assume Y afÞne and lift it in some way to Y' afÞne and smooth over W using Elkik's
theorem. Look at the equations of Y seen as a closed subvariety of Y | ùÊMg,Ê1 via the graphmorphism â : Y @ Y | ùÊMg,Ê1Ÿ. We can Þnd an afÞne open U Ç Y | ùÊMg,Ê1 such that â(Z1) õ
U is not empty and such that â(YŸ) õ U is given by exactly 3g - 3 equations fi = 0 with fi Ôâ(U, oU). (Use that ùÊMg,Ê1 is smooth.) We can lift U to an afÞne subvariety U' of Y' | ùÊMg,Ê1Ê,
perhaps after shrinking U a little. We lift the elements fi to elements f'i Ô â(U', oU'). Let
Y" be the zero set in U' of these elements. Then Y" ¢W k is equal to an open subvariety of

- 43 -

â(YŸ) having a nonempty intersection with â(Z1). Thus we are reduced to the case where
there is an algebraic lift (Y', X', f', §')Ÿ/ÊW of the system (Y, X, f, §)Ÿ/Êk.

A.8. Take a closed point y Ô Z1 and choose a Þnite morphism Äy : Xy @ æ1Ü(y) which isŽtale at §(y) Ô XyÊ. We may choose Äy to be given by two sections s1,Êy and s2,Êy of the line
bundle oX (§(y))¿ÊN for some large N. We can lift si,Êy to sections si of the line bundleyoX'(§'(Y'))¿ÊN over X'. The common zero locus of these sections maps to a closed subset ofY' not containing the point y. Thus s1Ê, s2 will deÞne a morphism Ä : X' @ æ1 | Y', at least
after shrinking Y' a bit (such shrinking is allowed as long as we have y Ô Y' for example).
Similar arguments show that, after shrinking Y', Ä is a Þnite morphism and Žtale along§'(Y') Ç X'. In addition, after changing coordinates on æ1 | Y', we may assume that Ä ì§' is equal to the section & of æ1Y'Ê.
We now want to show that Ä deÞnes a canonical isomorphismŸ* (ŸXÊ/ÊKŸ) – HŸ*
1
HZ,Êrig&Ê|ÊZ ,Êrig(æ Ê|ÊYÊ/ÊKŸ).
1Ê

This will result from a general invariance property proved in A.10.

A.9. We consider the following situation : X is a k-scheme of Þnite type, Z Ç X is a
closed subscheme, U = X • Z, j : U Ì@ X is the given immersion, and X Ì@ ^P is a closed
immersion into a p-adic formal W-scheme. Let I be a Þltering ordered set, and let {VÚ}ÚÊÔÊI
be a decreasing family of strict neighbourhoods of ]U[^P in ]ŸXŸ[^P such that, for anyafÞnoid subspace W Ç ]ŸXŸ[^PÊ, the intersections W õ VÚ are coÞnal among the intersections
W õ V, where V runs among all strict neighbourhoods of ]U[P^ in ]ŸXŸ[^PÊ. An example ofsuch a family is the following : recall that, for Ú Ô Ã††¾KŸ*¾, with Ú < 1, close to 1, the closed
tube [Z]^P,ÊÚ of radius Ú is the open subset of ^PK deÞned locally by the conditions ¾Êfi(x)¾ ² Ú,
where the fi's are liftings on ^P of local equations for Z in the special Þber P0 of ^PÊ; then,the open subsets VÚ = ]ŸXŸ[^P • [Z]^P,ÊÚ satisfy the previous conditions [5, (1.2.2)].
For any Ú Ô I, we denote by jÚ : VÚ Ì@ ]ŸXŸ[^P the given immersion. If E is an abelian
sheaf on ]ŸXŸ[^PÊ, we deÞne
â]ŸZŸ[,ÊÚ(E) = KerÊ(E #@ jÚÊ* jÚŸ*ŸE).
Thanks to our hypothesis on the family {VÚ}, we have canonical isomorphisms(A.9.1)› jŸ“E,lim jÚÊ* jÚŸ*ŸE Ê##@#@Ú› â“ (E).
lim â]ŸZŸ[,ÊÚ(E) Ê##@
]ŸZŸ[
#@
Ú

For some Ú Ô I, let i : U' Ç ]ŸXŸ[^P be the inclusion of an open subset such that (VÚÊ, U')
is an admissible covering of ]ŸXŸ[^PÊ. It follows from the deÞnition that, for any abelian
sheaf E, the canonical morphism â]ŸZŸ[,ÊÚ(E) @ i*ÊiŸ*Ÿâ]ŸZŸ[,ÊÚ(E) is an isomorphism.
Checking separately on VÚ and U', we also see that the sheaves RŸqŸi*ÊiŸ*Ÿâ]ŸZŸ[,ÊÚ(E) vanishfor q ³ 1. We thus get a canonical isomorphism

- 44 -› éŸi ÊiŸ*Ÿââ]ŸZŸ[,ÊÚ(E) Ê##@*]ŸZŸ[,ÊÚ(E).

(A.9.2)

A.10.

PROPOSITION. Ñ Letj2i2

X2 Ì#@ †X2 Ì#@ ^P2
É
Év
Éu
À
À
À
j1
i1
Z Ì#@ X1 Ì#@ †X1 Ì#@ ^P1
be a commutative diagram with the following properties : j1 and j2 are open immersions
over k, i1 and i2 are closed immersions into formal W-schemes, v is proper, Z is a closed
subscheme of X1 over which v has a section, u is Žtale in a neighbourhood of Z, and u
induces a quasi-compact morphism uK : ]Ÿ†X2[^P @ ]Ÿ†X1[^P Ê. Let †Z1 Ç †X1Ê, †Z2 Ç †X2 be the21

scheme theoretic closures of Z in †X1 and †X2Ê. There exists a canonical isomorphism on]Ê†X1[^P1› â“ ÊìÊjŸ“ÊãÖ .
éu KÊ*(â“]†Z [ÊìÊj2Ÿ“ÊãÖ]Ÿ†X [) Ê##@]†Z [1
]Ÿ†X [Ê22

1

1For Â Ô Ã††¾KŸ*¾, Â < 1, close to 1, let UÂ = ]ŸŸ†X1[^P • [Ÿ†X1 • X1]^P ,ÊÂÊ, U'Â = uŸK -1(UÂ) Ç11Ê]ŸŸ†X2[^P Ê. Thanks to (A.9.1), we may use the family {UÂ} of strict neighbourhoods of ]Ÿ†X1 •2

X1[^P to compute jŸ1 “. Note that, as shown in the proof of 2.4 (i), we do not change the1functor â“]†Z [ÊìÊj2Ÿ“ if we replace X2 by another open subset of †X2 in which Z2 is closed.
2

Therefore, we may assume that X2 = v-1(ŸX1), hence we may also use the family {U'Â} tocompute j2Ÿ“. For Ú, µ Ô Ã††¾KŸ*¾, Ú, µ < 1, close to 1, let WÚ = [Ÿ†Z1]^P ,ÊÚÊ, VÚ = ]Ÿ†X1[^P • WÚÊ, WÚ,Êµ =1Ê
1[Ÿ†Z2]^P ,Êµ õ u-1
([Ÿ
†
Z
]
),
V
=
]Ÿ
†
X
[
•
W
.
Again,(A.9.1)
holds
for
the
family {VÚ}K
1 ^P ,ÊÚ
Ú,Êµ
2 ^P
Ú,ÊµÊ
2Ê

1Ê

2

(resp. {VÚ,Êµ}) of strict neighbourhoods of ]Ÿ†X1 • †Z1[^P (resp. ]Ÿ†X2 • †Z2[^P ), so we may use it
1

to compute â“]†Z [ (resp. â“]†Z [).
1

2

2

As uK is quasi-compact, RŸquKÊ* commutes with direct limits for all q, and it sufÞces
to prove that, for all Ú Ô Ã††¾KŸ*¾, Ú < 1, there exists µ Ô Ã††¾KŸ*¾, µ < 1, such that for all µ ³ µin Ã††¾KŸ*¾, µ < 1, all k and all q ³ 1, we have

0

0

0

RŸquKÊ*(â“]†Z [,ÊÚ,ÊµÊìÊj2Ÿ“Êãk]Ÿ†X [) = 0,22

and compatible isomorphisms“ k› â“
uKÊ*(â“]†Z [,ÊÚ,ÊµÊìÊj2Ÿ“Êãk]Ê†X [) Ê##@]†Z [,ÊÚÊìÊj1Ÿ Êã]Ê†X [Ê.
2

2

1

1

Because u is Žtale around Z, and †Z2 @ †Z1 is proper, it follows from [5, (1.3.5)] that uK
induces an isomorphism between strict neighbourhoods of ]Z[^P and ]Z[^P in ]Ÿ†Z2[^P and2
1
2]Ÿ†Z1[^P Ê. More precisely, if we Þx Ú Ô Ã††¾KŸ*¾, Ú < 1, then there exists µ0 Ô Ã††¾KŸ*¾, µ0 < 1, such1
that, for any µ Ô Ã††¾KŸ*¾, with µ0 ² µ < 1, the morphism
WÚ,Êµ õ U'Â Ê##@ WÚ õ UÂ

- 45 -

is an isomorphism for all Â Ô Ã††¾KŸ*¾ close enough to 1 [5, (1.3.5.1)]. We Þx such a µ, and we›Ê
¾KŸ*¾ such that ÚÊÊ< Ú'ÊÊ< 1, µ < µ' < 1, and such that W
õ U' #@W õU
choose Ú', µ' Ô Ã††
Ú',Êµ'

ÂÚ'Âfor Â close to 1. We observe that the open subsets (VÚ,ÊµÊ, WÚ',Êµ') deÞne an admissible
covering of ]Ÿ†X2[^P Ê; similarily, (VÚ,, WÚ') is an admissible covering of ]Ÿ†X1[^P Ê. Thanks to
2

1(A.9.2), it is therefore sufÞcient to prove the above assertions for the restriction uK :›ÊWÚ',Êµ'ÊÊ@ WÚ'Ê. For Â close to 1, uK induces isomorphisms WÚ',Êµ' õ U'Â #@ WÚ' õ UÂ and›ÊWÚ,ÊµÊÊõ U'Â #@ WÚ õ UÂÊ. So it Þnally sufÞces to prove that, if jÂ : WÚ' õ UÂ Ì@ WÚ' is thenatural inclusion, the canonical morphism
â“]†Z [,ÊÚÊìÊj1Ÿ“Êãk]Ê†X [ Ê##@ éÊjÂÊ* jÂŸ*Ê(â“]†Z [,ÊÚÊìÊj1Ÿ“Êãk]Ê†X [)
1

1

1

1

is an isomorphism, and similarily on WÚ',Êµ'Ê. If we choose Â' such that Â < Â' < 1, thesubsets (WÚ' õ UÂÊ, WÚ' õ [Ÿ†X1 • X1]^P ,ÊÂ') give an admissible covering of WÚ'Ê, and our last1Êclaim follows from the fact that the restriction of j1Ÿ“Êãk]Ê†X [ to [Ÿ†X1 • X1]^P ,ÊÂ' is 0.
1

A.11.

1Ê

Let †Y' be a compactiÞcation of Y', and †X' a compactiÞcation of X' such that themorphism Ä extends as a morphism `Ä : †X' @ æ1 | †Y'. We apply the previous proposition to
the formal completions ^P2 and ^P1 of †X' and æ1 | †Y', to their reductions †X2 = †X and †X1 = æ1
| †Y, with open subschemes X and æ1 | Y, and to the closed subscheme & | Z1 Ç æ1 | Y.
ÊanTaking sections on P2,ÊK
yields an isomorphismŸ* (ŸXÊ/ÊKŸ) – HŸ*
1
HZ,Êrig&Ê|ÊZ ,Êrig(æ Ê|ÊYÊ/ÊKŸ),1Ê

so that our problem is reduced to the case X = æ1 | Y, Z = & | Z1Ê.
We may now assume that X' = æ1 | Y', †X' = æ1 | †Y', †Z = & | †Z1Ê. We denote by p :†X'ÊÊ@ÊÊ†Y' the projection morphism, and by pŸan : †XK'Êan @ †YK'Êan the corresponding morphism
between the associated rigid spaces. For Œ, º Ô Ã††¾KŸ*¾, Œ < 1, º < 1, let U = †Y'Êan •Œ

K]†YÊÊ•ÊÊY[ŒÊ, U'Œ = æ1 | UŒÊ, Vº = †YK'Êan • ]†Z1[ºÊ, V'º = æ1 | V ºÊ. Thanks to (A.9.1), we may use
the system of strict neighbourhoods {UŒ} (resp. {U'Œ}, {Vº}, {V'º}) of ]YŸ[ (resp. ]ŸXŸ[,]†YÊÊ•ÊÊ†Z1[, ]æ1 | (†YÊÊ•ÊÊ†Z1)[) to compute the functor jYŸ“Ê (resp. jXŸ“ÊŸ, â“]†Z [Ê, â“]æ1Ê|Ê†Z [Ê). Since p is
1

1

proper, the morphism pŸan is quasi-compact, hence the functors RŸqp*Ÿan commute withdirect limits. Therefore, we have éŸp*Ÿan ì jXŸ“Ê = jYŸ“Ê ì éŸŸp*Ÿan and similar for â“]æ1Ê|Ê†Z [ and â“]†Z [.
1

Let x be the standard coordinate on æ1. Put
WÚ = {Êv Ô æ1 ¾ Ú ³ ¾x(v)¾Ê},

W'Ú = WÚ | †YK'Êan,1jÚ : W'Ú Ì@ æ1 | †YK'Êan,for Ú > 1, Ú Ô Ã††¾KŸ*¾. Note that ]†Z[ = ]Ÿ&Ê|Ê†Z1[ = ]Ÿæ1Ê|Ê†Z1[ õ ]&Ê| †YŸ[. As ]&Ê| †YŸ[ = ]&[Ê|Ê†YK'Êan, this implies that““ÖÖâ“]†Z[ÊjXŸ“ ŸãÖ†X'Êan – jŸæ1
Ê|ÊYÊâ]æ1Ê|Ê†Z [(ãæ1Ê|Ê†Y'Êan @ lim jÚÊ*ÊãW' ).
K

1

K

#@

ÚÊ@Ê1

We are done if we show that
éŸp*Ÿan(ãÖæ1Ê|Ê†Y'Êan @ lim jÚÊ*ÊãÖW' ) – ãÖ†Y'Êan[-2].
K

#@

ÚÊ@Ê1

Ú

K

Ú

- 46 -

Indeed, by the commutation relations between jŸ“ and éŸp* above, this would show thatŸ*
Ÿ*Ê+Ê2
1
H&Ê|ÊZ,Êrig(æ Ê|ÊYÊ/ÊKŸ) – H Z ,Êrig(YÊ/ÊKŸ),1Ê

1Ê

and we would conclude by our induction hypothesis (see A.3).
It is well known that éŸp*Ÿan of the de Rham complex on æ1 | †YK'Êan equals the complex
ãÖ†Y'ÊanÊÊ$ ãÖ†Y'Êan[-2]. Here the Þrst part comes from p*ŸanÊãÖæ1Ê|Ê†Y'Êan – ãÖ†Y'ÊanÊ. Moreover the terms
K
K
K
K
j
RŸiŸp*ŸanÊjÚ,Ê*ÊãÊW'are zero for i > 0, as the morphism W'Ú @ †YK'Êan is Stein. Hence also the limitÚof these terms. Therefore, it sufÞces to show that the mapãÖ†Y'Êan Ê##@ p*Ÿan(lim jÚ,Ê*ÊãÖV )
K

#@

Ú

ÚÊ@Ê1

is an isomorphism. By considering the usual Þltration on the de Rham complex thisreduces to a statement on the relative de Rham complex. This statement amounts to theassertion that if · is a relative 1-form on some VÚÊ, then · = dg for some function g deÞned
on VÚ' with some possibly smaller Ú'. This can be seen by explicitely integrating ·.

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