ポリトープ表現を用いた磁気浮上装置のロバスト安定化
2010SE148 中澤奈美
指導教員：高見勲

1

はじめに制御器の設計は制御対象を数式モデルで表すことからはじまる．そのため，正しい数式モデルの導出がなければ正しい制御は望めない．本研究で用いる磁気浮上装置は電磁力定数が一定でない．この不確定なパラメータに対し，システム同定を行うことで厳密なモデルの導出を行う．さらに，変動パラメータである鋼球位置に対してはポリトープ表現を用いることでロバストな制御器を設計する．

2

最小二乗法によるシステム同定

2.2

制御対象とモデリング式 (2) の k と d の同定を行う．平衡点 (xb0 ，Ic0 ) で式
(1) の左辺の加速度は 0 となり，次式が成立する．

Mb g = k

Ic0 2(xb0 + d)2(6)

ここで，左辺 Mb g[N] は一定値である．実験で用いる鋼球の質量は 45g と 68g であり，それぞれ 0.441[N]，0.667[N]となる．各平衡点での鋼球位置 xb0 と実験で得られた電流 Ic0 の実測値を基に，k と d の同定を行う．鋼球位置
xj [mm] と，操作入力の実測値の平均 Ij [A] を表 1 に示す．
表 1 実験データ
jxj
45gIj
68gIj

図 1 磁気浮上系の構成図
本研究の磁気浮上系は図 1 のような構成である．制御器からは電磁石に電流が入力され，その磁界による吸引力で鋼球位置を制御する．モデリングに用いる物理パラメータは，コイルの電流:Ic [A]，鋼球位置:xb [m]，鋼球質量:Mb [kg]，重力加速度:g[m/s2 ]，電磁力:Fc [N]，電磁力定数:k[Nm2 /A2 ] である．

14.0001.036
0.973

25.0001.084
1.027

36.0001.174
1.130

47.0001.320
1.18558.000
1.361
1.245

69.0001.478
1.309

710.000
1.562
1.367

近似の誤差の二乗和
7 »Xρ(k, d) =Mb g −j=1

kIj2–2(xj + d)2(7)が最小となる k と d を導出する．ニュートン法で dを求めると，鋼球質量が 45g の時 d = 7.2756[mm]，k = 5.4194[Nm2 /A2 ] であり，同様に 68g の時 d =2.1 電気機械システムのモデリング10.5569[mm]，k = 14.8475 × 10−5 [Nm2 /A2 ] となる．こ
図 1 において，鋼球にニュートンの第二法則を用いると， の値から，Fc の計算値

d2xb = M b g − F c(1)dt2である．今，電磁力 Fc は電流の二乗に比例し距離の逆二乗に比例することから Fc = kIc2 /x2b で与えられるがxb = 0（電磁石と鋼球の距離が 0）となる時電磁力は，無限大になってしまうため，パラメータ d を導入し

yj =MbFc = kIc2(xb + d)2(2)と置く．これを，式 (1) に代入し運動方程式

d2kIc2x=g−bdt2Mb (xb + d)2(3)を得る．式 (3) を平衡点 (xb0 ，Ic0 ) の周りで線形化を行う．ただし，xbl [m] を鋼球位置の微小変位，Icl [A] を電流の微小変化とする．
（xb = xb0 + xbl ，Ic = Ic0 + Icl ）ここで，状態変数を x = [xbl ẋbl ]T ，u = Icl とすると状態方程式は以下のようになる．
ẋ = Ax + Bu =y = Cx = [1 0]x»0g
xb0 +d10–x+"0−gq
Mb g(xb0 +d)k#(5)(8)と真値 Mb g との誤差の絶対値 ej [％] を求める．

ej = ∥

Mb g − y j∥ × 100 [％]Mb g(9)

その結果を図 2 に示す．両鋼球質量とも真値との誤差は，5 ％以内であるため，適切な解としてこの k と d の値を用いたモデルを使用する．

3

制御系設計

3.1

ポリトープ表現

鋼球位置 xb0 を変化させても安定した浮上を実現させるため，ポリトープ表現を用い，鋼球位置に関してロバスト安定性を保証する．

α=u (4)

kIj 2(xj + d)21(xb0 + d)(10)と置き，xb0 [m] の変動範囲を，

xb0 ∈ [xb0·min ，xb0·max ] = [4.0 × 10−3 ，10.0 × 10−3 ]4

シミュレーションと実験

45g，68g のそれぞれにおいてシミュレーションと実験を行う．はじめ，7[mm] のところで平衡状態を保ち，その後それぞれ 9[mm]，5[mm] へ目標値を変えた時のシミュ
レーションと実験結果を図 3，4 に示す．実験結果がシミュレーションとほぼ一致していること，ロバスト性が保証されたことが確認できる．

図 2 真値と計算値の誤差と定めると，α の変動範囲は以下のように表される．

α ∈ [αmin ，αmax ] = [11，]xb0·min + d xb0·max + d(11)これより，式 (4) において，α を含んだ行列 A と B を以下のように表すことができる．
–01−αmax 0#"#"00，Bmax =(12)Bmin =q−g αmin
q−g αmaxgMgM
Amin =»0−αmin

10–，Amax =»b

図 3 鋼球質量 45g のシミュレーションと実験結果

bkk

Amin と Bmin ，Amax と Bmax の２端点において安定となる制御系を設計すれば、ロバスト安定性は保証される．
3.2

拡大系の導出さらに，出力 y を目標値 r に定常偏差なく追従させるために拡大系の導出を行う．偏差の積分を w とし，拡大系の状態変数を xe = [w xT ]T とすると，状態方程式の拡大系は次式となる．

x˙e = Ae xe + Be u + Br[][][]
0 −C0I=xe +u+r0 AB0y = Ce xe = [0 C]xe
3.3(13)(14)
図 4 鋼球質量 68g のシミュレーションと実験結果

LMI の定式化

拡大偏差系を安定化させる状態フィードバックゲインK を求めるため，評価関数 J を最小化するような制御則
u = Kxe を考える．ここで，重み行列 Q ∈ ℜ3×3 ≥ 0 とR ∈ ℜ > 0 とする．
∫ ∞J={xe T Qxe + uT Ru}dt
(15)

5

おわりに
本研究で得られた成果を以下に示す．

• 電磁力定数 k と定数 d の同定によるモデルの導出• ポリトープ表現を用いた制御器の設計• 鋼球位置のロバスト安定性の実験による検証

0

式 (16) を満たす X ，Y が存在するならば，式 (14) のシステムは，u = Kxe = Y X −1 xe で安定化できる [1]．式(16) について式 (12) の端点行列について連立して解くことで状態フィードバックゲイン K を得る．
11
He[AX + BY ] X T (Q 2 )T Y T (R 2 )T1
Q2 X−I0≺0
12R Y
0−I

maximize：tr(X)，X ≻ 0(16)参考文献[1] Tomoya Kanada,Yusuke Watanabe and Gan Chen，
Robast H2 Control for Two-wheeled inverted
Pendu-lum Using LEGO Mindstoms，2011 Australian Control Conference，2011