令和４年度（１０⽉期⼊学）及び令和５年度

解 答

専攻名

専⾨科⽬

①構造⼒学

Ⅰ
問１
下図に⽰すように反⼒を仮定する．
LP (= qL)
EI
Cq
EI

MA

2L

A

HA
VA

𝐻 ：点 A の⽔平反⼒
𝑉 ：点 A の鉛直反⼒
𝑀 ：点 A のモーメント反⼒

𝐻

𝐻

2𝑞𝐿

𝑉

𝑉𝑞𝐿
𝑀

𝑀

002𝑞𝐿 ∙ 𝐿

以上の式から，
𝐻
2𝑞𝐿
𝑉𝑞𝐿

𝑀𝑞𝐿

例

地球社会基盤学専攻（社会基盤⼯学コース）（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）

試験科⽬名

B

⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

𝑞𝐿 ∙ 𝐿0令和４年度（１０⽉期⼊学）及び令和５年度

⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

解 答

専攻名

例

地球社会基盤学専攻（社会基盤⼯学コース）（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）

試験科⽬名

専⾨科⽬

①構造⼒学

問２-qL2-qL2

√2L

qL2

問３
全体のひずみエネルギーU を求めて，それを点 C に作⽤する鉛直荷重 P で偏微分し，定積分をすることでvC が得られる．
𝑈𝑀
𝑑𝑥
2𝐸𝐼

𝑈𝑀
𝑑𝑥
2𝐸𝐼𝑀
𝑑𝑥2𝐸𝐼

ここで𝑀 , 𝑀 は右図より，それぞれ
𝑀

Mx1
x1

PC𝑃𝑥
𝑃𝐿𝑀

𝑞𝑥2

Bx2

L

PC

qx2
Mx2

上記に⽰したひずみエネルギー U を，点 C に作⽤する鉛直荷重 P で偏微分する．
𝑀 𝜕𝑀
𝑀 𝜕𝑀
𝜕𝑈𝑑𝑥𝑑𝑥
𝐸𝐼 𝜕𝑃
𝐸𝐼 𝜕𝑃
𝜕𝑃
これを定積分して，P = qL を代⼊し，点 C のたわみ vC を得る．
𝜈𝜕𝑈
𝜕𝑃𝑞𝐿
𝐸𝐼

（仮想仕事の原理など，他の解法で求めても可．）令和４年度（１０⽉期⼊学）及び令和５年度

解 答専攻名専⾨科⽬

①構造⼒学

Ⅱ
問１
下図に⽰すように反⼒を仮定する．
また，RD は RDH と RDV に分解する，
RDH = 4X/5

RDV

RDV = 3X/5

D

RD = X

RDH

EA

3L/2

MC

P
EI

2EIA

B

HCCL

L

VC

𝐻 ：点 C の⽔平反⼒
𝑉 ：点 C の鉛直反⼒
𝑀 ：点 C のモーメント反⼒

𝐻

𝐻

𝐻

𝑅

0𝑉

𝑉

𝑅

𝑃

𝑀

𝑅

以上の式から，
4𝑋/5

𝑉

𝑃

𝑀

6𝑋𝐿/5

例

地球社会基盤学専攻（社会基盤⼯学コース）（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）

試験科⽬名

𝑀

⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

3𝑋/5
2𝑃𝐿0∙ 3𝐿/2

𝑃 ∙ 2𝐿0令和４年度（１０⽉期⼊学）及び令和５年度

⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

解 答

専攻名例

地球社会基盤学専攻（社会基盤⼯学コース）（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）

試験科⽬名

専⾨科⽬

①構造⼒学

問２
全体のひずみエネルギーU を求めて，それを未知反⼒ X で偏微分する．
𝑁 𝑙
𝑀
𝑑𝑥
𝑈
2𝐸𝐼
2𝐸𝐴
𝑀
𝑑𝑥
2𝐸𝐼𝑈𝑀
𝑑𝑥
4𝐸𝐼

𝑁 𝑙
2𝐸𝐴

ここで𝑀 , 𝑀 , N は右図より，それぞれ
3𝑋
53𝑋
5𝑀
𝑀
𝑁P

𝑃 𝑥
𝑃 𝑥

A

3X
5x1

P
Mx1

A

3X
5RD = X

B
x2

DMx2
N𝑋

上記に⽰したひずみエネルギー U を，点 D に作⽤する未知反⼒ X で偏微分する．
𝑀 𝜕𝑀
𝑀 𝜕𝑀
𝑁𝑙
𝜕𝑈𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝐸𝐼 𝜕𝑋
2𝐸𝐼 𝜕𝑋
𝐸𝐴
𝜕𝑋
カスティリアーノの第２定理より，s𝜕𝑈
𝜕𝑋0

上式を解くことにより，未知反⼒ X を求められる．また，問 1 で求めた解答に X を代⼊することで各⽀点反⼒が得られる．
𝑋45𝑃/32

𝐻

9𝑃/8

𝑉5𝑃/32

𝑀

15𝑃𝐿/16

問３ケーブル AD の伸び量はδAD は下式より得られる．
𝑋𝑙𝛿
𝐸𝐴
ここで，l はケーブル AD の⻑さである．
問２で求めた X = 45P/32 を代⼊するとδAD を得られる．
𝑋 5𝐿 9𝑃𝐿
𝛿
𝐸𝐴 2
64𝐸𝐼

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

解専

攻 名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

博士前期課程入学試験

答 例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目

②水理学

Ⅰ

問１

流体の運動が一様でないとき，流速の異なる界面に接線方向の力が作用する。この力を粘性応力とよぶ。粘性応力が流体の分子粘性と流速勾配に比例する流体をニュートン流体とよぶ。xy 面内の一方向定常流の場合，粘性係数をμ，x 方向の流速を u とすると，粘性応力τはτ=μdu/dy で表される。ここで y は x と直角方向である。

問２

層流では渦による流体粒子の混合がなく，粘性応力の効果により規則的で整然とした状態で流れる。
流速は壁面から離れるにつれて二次関数（放物線）的に増加する。乱流では発達した渦によって流体粒子の混合が生じ，複雑な流速場に伴う乱流応力（レイノルズ応力）が支配的になった状態で流れる。
流速は対数分布になる。

問３比エネルギーE は水路の底面を基準とする流れの水頭であり，矩形断面水路では単位幅流量 q を用いて，E = h + q2/(2gh2)で表される。ここで，h は水深，g は重力加速度である。流量が一定で比エネルギーが最小，または比エネルギーが一定で流量が最大の時の水深が限界水深 hc である。矩形断面水路の限界水深は，hc = (q2/g)1/3 で表される。限界水深の時の流れが限界流であり，水深が限界水深より大きい場合，流れは常流となり，小さい場合は射流となる。

問４開水路流れの断面積 A と潤辺長 S の比で径深 R = A/S が定義される。潤辺長 S は水路断面で流水と接する辺の長さである。例えば，長方形断面では，A＝水路幅 B×水深 h，S＝B＋2h であるため，径深 R＝Bh /(B + 2h)となる。平均流速 V は径深 R を用いて，例えば，シェジー式では V = C(RI)1/2 で表される。ここで，C はシェジー係数，I はエネルギー勾配である。
（マニングの流速式を用いた表示も可）令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

博士前期課程入学試験

答 例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

攻 名

試験科目名

専門科目

②水理学

Ⅱ

問１

水面から M 点を通って E 点に達する流線上でベルヌーイの定理が成り立つ。E 点を基準面にとり，圧力はゲージ圧で表すと次式となる。
𝑉2𝑝𝐿𝑉22𝑔

𝜌𝑔22𝑔ℎ+𝐿 = 𝑀+ 𝑀+ = 𝐸(1)

ここで，M 点の流速と圧力を VM と pM とする。上式より出口の流速が求められる。
𝑉𝐸 = √2𝑔(ℎ + 𝐿)
連続式より M 点と E 点の流速は等しいため，(1)式より M 点の圧力水頭が求められる。
𝑝𝑀
𝜌𝑔

問２=−

𝐿2

微小時間𝑑𝑡間での水槽内の水の減少量 dV1 は水面低下量と水槽の断面積の積で表される。
𝑑ℎ𝑑𝑉1 = −𝑑𝑡(𝜋𝑑𝑡𝐷24)

管出口からの排水量 dV2 は出口流速と管の断面積と微小時間の積で表される。
𝑑𝑉2 = √2𝑔(ℎ + 𝐿)(𝜋𝑑24)𝑑𝑡

両者の体積は等しいことから水面の低下速度に関して次式が得られる。
−問３𝑑ℎ𝑑𝑡𝑑 2(2)= ( ) √2𝑔(ℎ + 𝐿)
𝐷(2)式を変数分離の形にして，両辺を積分する。
𝐷 21𝑑√2𝑔(ℎ+𝐿)

𝑑𝑡 = − ( )𝑑ℎ,

𝐷 2𝑡1ℎ1∫0 𝑑𝑡 = − (𝑑 ) √2𝑔 ∫𝐻 √ℎ+𝐿 𝑑ℎ

定積分の結果，時間 t は次のように求められる。
𝐷 2𝑡=( )𝑑𝐻

11𝐷 2𝐻+𝐿 1

1𝑑ℎ = ( )∫∫𝑑√2𝑔 ℎ √ℎ+𝐿√2𝑔 ℎ+𝐿

𝐷 22𝑑𝑔1𝑑√2𝑔[2√𝜂]

𝐻+𝐿ℎ+𝐿(3)∴ 𝑡 = ( ) √ (√𝐻 + 𝐿 − √ℎ + 𝐿)

問４

√𝜂

𝐷 2𝑑𝜂 = ( )題意より L＝H/2，h=H/2 を(3)式に代入すると排水時間が求められる。
𝐷 223𝐻𝑑𝑔

2𝑡 = ( ) √ (√𝐷 22𝐻𝑑𝑔− √𝐻) = ( ) √3(√ − 1)
2

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

博士前期課程入学試験

答 例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

攻 名

試験科目名

専門科目

②水理学

Ⅲ

問１

3 区間を通過する流れのまさつ損失水頭は各区間のまさつ損失水頭の和で表される。
𝐿 𝑉2

𝐿 𝑉2

𝐿 𝑉2

𝐷1 2𝑔

𝐷2 2𝑔

𝐷4 2𝑔

𝐻𝑓 = 𝑓1 1 1 + 𝑓2 2 2 + 𝑓4 4 4問２

区間 2 と 3 のまさつ損失水頭が等しいとすると流速比が得られる。
𝐿 𝑉2𝐿 𝑉2

𝐷2 2𝑔

𝐷3 2𝑔

𝑓2 2 2 = 𝑓3 3 3

問３𝑉𝑓𝐿 𝐷𝑉3𝑓2 𝐿2 𝐷3∴ 2=√3 3 2

連続式より区間１と４の流量は等しいことから，次式が成り立つ。
2𝐷2𝐷

𝐷

𝑄1 = 𝜋 ( 1) 𝑉1 = 𝜋 ( 4) 𝑉422

∴ 𝑉4 = ( 1) 𝑉12𝐷4(1)

連続式より Q1 は区間 2 と 3 の流量の和に等しい。
2𝐷

𝐷

2

𝐷

2

𝑄1 = 𝜋 ( 1) 𝑉1 = 𝜋 ( 2 ) 𝑉2 + 𝜋 ( 3) 𝑉3
222

上式に問 2 で求めた区間 2 と 3 の流速比を代入して整理すると次式となる。
𝑓𝐿 𝐷

𝐷12 𝑉1 = 𝐷22 𝑉2 + 𝐷32 √ 2 2 3 𝑉2

∴ 𝑉2 =

𝑓3 𝐿3 𝐷2

𝐷12𝑓 𝐿 𝐷
𝐷22 +√ 2 2 3 𝐷32
𝑓3 𝐿3 𝐷2𝑉1(2)

問１の Hf =ΔZ とし，式(1)と(2)を代入すると，流速 V1 を得ることができる。
2∆𝑍 = 𝑓1

𝐿1 𝑉12𝐷1 2𝑔+ 𝑓2

𝐿2 𝑉12
𝐷2 2𝑔

𝐿 𝑉2 𝐷𝑓 𝐿 𝐷
𝐷22 +√ 2 2 3 𝐷32) + 𝑓4 4 1 ( 1)𝑓3 𝐿3 𝐷24

𝐷4 2𝑔 𝐷42𝑔∆𝑍∴ 𝑉1 =2
𝐷21

√𝑓 𝐿1 +𝑓 𝐿2
1𝐷

12𝐷2(問４(𝐷12𝑓2 𝐿2 𝐷3 2
𝐷22 +√𝑓3 𝐿3 𝐷2 𝐷3𝐿 𝐷 4
𝐷4 𝐷4+𝑓4 4 ( 1 ))流量比 Q2/Q3 は以下のように求められる。
𝑄2𝑄3=𝐷2𝐷22𝜋( 22 ) 𝑉2𝜋( 3 ) 𝑉3に問２の結果を代入すると

𝑄2𝑄3𝑓 𝐿 𝐷5= √ 3 3 25
𝑓2 𝐿2 𝐷3

上式に問４の条件を代入すると流量比が求められる。
𝑄2𝑄32𝐿2=√

𝐿2= √2が得られる。

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

名

博士前期課程入学試験

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

試験科目名

専門科目

③土質力学

Ⅰ
問１

問２

𝐶𝐶𝑐𝑐 =

2.4 − 2.3= 0.332
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 200 − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 100

𝐶𝐶𝑠𝑠 =

2.35 − 2.3= 0.166
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 200 − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 100

OCR C =
問３200= 2.00
100

状態Ｃでは最大圧密応力は200 kPa なので，圧密応力 σ′𝑣𝑣 = 400 kPaまで載荷した状態Ｄは正規圧密線上に位置する。したがって，
𝐶𝐶𝑐𝑐 =(2.4 − 𝑒𝑒𝐷𝐷 )= 0.332𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 400 − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 100𝑒𝑒𝐷𝐷 = 2.20

OCR D =
問４
𝐶𝐶𝑠𝑠 =

400= 1.00
400𝑒𝑒𝐸𝐸 − 2.20= 0.166𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 400 − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 200𝑒𝑒𝐸𝐸 = 2.25

OCR E =
問５400= 2.00
200

土粒子部分の高さ𝐷𝐷𝑠𝑠 は不変であるので

𝐷𝐷𝐴𝐴 = (1 + 𝑒𝑒𝐴𝐴 )𝐷𝐷𝑠𝑠 = 2.00 m,𝐷𝐷𝐵𝐵 = (1 + 𝑒𝑒𝐵𝐵 )𝐷𝐷𝑠𝑠 =1 + 𝑒𝑒𝐵𝐵
1 + 2.3
𝐷𝐷 =× 2.00 = 1.94 m
1 + 𝑒𝑒𝐴𝐴 𝐴𝐴 1 + 2.4

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

博士前期課程入学試験

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目

③土質力学

問６
𝐷𝐷𝐶𝐶 = (1 + 𝑒𝑒𝐶𝐶 )𝐷𝐷𝑠𝑠 =1 + 𝑒𝑒𝐶𝐶
1 + 2.35
𝐷𝐷𝐴𝐴 =× 2.00 = 1.97 m
1 + 𝑒𝑒𝐴𝐴
1 + 2.4

問７
両面排水なので最大排水距離は𝐻𝐻𝑚𝑚 = 𝐷𝐷𝐴𝐴 /2 = 1.00 𝑚𝑚。90%圧密時間を𝑡𝑡90 とおくと、
𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑡𝑡90= 0.848
2𝐻𝐻𝑚𝑚

𝑡𝑡90 = 0.848 × 1.02 /1.0 = 0.848 year

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

博士前期課程入学試験

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目

③土質力学

Ⅱ
問１
相対密度 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 90% の間隙比は 𝑒𝑒 = 0.540

盛土のうち土粒子部分の体積は 𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉/(1 + 𝑒𝑒) ≈ 6490 m3

砂の乾燥重量は 𝑊𝑊𝑠𝑠 = 𝑉𝑉𝑠𝑠 × ρ𝑠𝑠 × 𝑔𝑔 = 1.72 × 105 kN
問２

含水比 𝑤𝑤 = 20 % の湿潤重量は 𝑊𝑊𝑡𝑡 = 𝑊𝑊𝑠𝑠 × (1 + 𝑤𝑤/100) = 2.06 × 105 kN（１）実験 1
粘着力が無視できるので，sin ϕ′ = (σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 )/(σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 )これを整理すると σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (1 + sin ϕ′ )/(1 − sin ϕ′ ) = 120 × (1.5)/(0.5) = 360 kPa（２）実験２

問３

同様に整理すると σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = σ′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (1 − sin ϕ′ )/(1 + sin ϕ′ ) = 120 × (0.5)/(1.5) = 40 kPa（１）実験１

上端の全水頭の方が大きいので，鉛直下向きの浸透流が発生する。
ダルシー流速は 𝑣𝑣 = 1.00 × 10−2 × (1.50 − 1.00)/1.00 = 5.00 × 10−3 m/s

1 分間に容器断面を通過する浸透流量は𝑄𝑄 = 𝐴𝐴 × 𝑣𝑣 × 𝑡𝑡 = 1.50 × 10−1 m3（２）実験２

下端の全水頭がℎ𝐵𝐵 = 1.50 m のとき，容器内部の水圧分布は静水圧分布である。したがって，容器下端部の土の有効土被り圧は

σ′𝑣𝑣0 = (ρ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − ρ𝑤𝑤 ) × 𝑔𝑔 × ℎ = (2.00 − 1.00) × 9.80 × 1.00 = 9.80 kPa

ボイリング発生時には容器下端部の有効土被り圧がゼロになる。したがって下端の間隙水圧が9.80 kPa 増加すればボイリングが発生する。この水圧増分を圧力水頭増分として計算すると△ ℎ =△ 𝑢𝑢/(ρ𝑤𝑤 𝑔𝑔) = 9.80/(1.00 × 9.80) = 1.00 m。したがってボイリング発生時の下端の全水頭はℎ𝐵𝐵∗ = 1.50 + 1.00 = 2.50 m。

令和４年度（１０月期入学）及び令和５年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科 博士前期課程入学試験

解 答

例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目④計画数理学Ⅰ 解答例
問１
非線形計画問題のラグランジュ関数は，𝜆𝜆を用いて，以下で与えられる。
𝐿𝐿(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝜆𝜆) = − ln 𝑥𝑥1 − 2 ln 𝑥𝑥2 + 𝜆𝜆(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 1)

このとき，Karush-Kuhn-Tucker 条件は以下の通りとなる。
−−1+ 𝜆𝜆 = 0𝑥𝑥12+ 𝜆𝜆 = 0𝑥𝑥2𝜆𝜆(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 1) = 0

これらの条件から，最適解が以下の通り導出できる。
1𝑥𝑥1 = ,32𝑥𝑥2 = ,3𝜆𝜆 = 3

問２
非線形計画問題のラグランジュ関数は，𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 ≥ 0 を用いて，以下で与えられる。

𝐿𝐿(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 ) = (𝑥𝑥1 − 1)2 + (𝑥𝑥2 − 2)2 + 𝜆𝜆1 (𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 2) + 𝜆𝜆2 (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )このとき，Karush-Kuhn-Tucker 条件は以下の通りとなる。

2(𝑥𝑥1 − 1) + 2𝜆𝜆1 𝑥𝑥1 − 𝜆𝜆2 = 02(𝑥𝑥2 − 2) + 2𝜆𝜆1 𝑥𝑥2 + 𝜆𝜆2 = 0𝜆𝜆1 (𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 2) = 0𝜆𝜆2 (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 ) = 0𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 2 ≤ 0,𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 ≤ 0,𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 ≥ 0

これらの条件から，最適解が以下の通り導出できる。
𝑥𝑥1 = 1,𝑥𝑥2 = 1,したがって，最適解は𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = 1である。

1
𝜆𝜆1 = ,2𝜆𝜆2 = 1

令和４年度（１０月期入学）及び令和５年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科 博士前期課程入学試験

解 答

例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目④計画数理学問３
非線形計画問題のラグランジュ関数は，𝜆𝜆 ≥ 0 を用いて，以下で与えられる。

𝐿𝐿(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥1 (𝑥𝑥1 + 13) + 𝑥𝑥2 (2𝑥𝑥2 + 4) + 𝑥𝑥3 (𝑥𝑥3 + 4) + 𝜆𝜆(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 − 6)

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 が非負であることから，Karush-Kuhn-Tucker 条件は以下の通りとなる。
𝑥𝑥1 (2𝑥𝑥1 + 13 + 𝜆𝜆) = 0𝑥𝑥2 (4𝑥𝑥2 + 4 + 𝜆𝜆) = 0𝑥𝑥3 (2𝑥𝑥3 + 4 + 𝜆𝜆) = 0𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 − 6 = 0
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0

これらの条件から，最適解が以下の通り導出できる。
𝑥𝑥1 = 0,𝑥𝑥2 = 2,したがって，最適解は𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 2, 𝑥𝑥3 = 4である。

𝑥𝑥3 = 4,𝜆𝜆 = −12

令和４年度（１０月期入学）及び令和５年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科 博士前期課程入学試験

解 答

例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目④計画数理学Ⅱ問1
人材の不足，財源の不足，技術力の不足
問２（解答例）
メリット：点検業務の効率化，省人化，省力化などデメリット：AI の構築に時間がかかる，AI の診断結果が１００％正しいわけではない．
問３（解答例）
交通ビッグデータ（ETC2.0）を用いた，橋梁の劣化予測．
小型コンピューター（ラズベリーパイ）をインフラ構造物に設置して，モニタリングを行う．
Ⅲ（解答例）
予防保全的維持管理とは，個々のインフラ構造物の環境を踏まえて，インフラ構造物の管理者が定期的に点検・診断を行い，最小のライフサイクルコストで安全・安心やその他の必要なサービス水準を確保する維持管理の考え方．

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

攻 名

試験科目名

博士前期課程入学試験

答 例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目

⑤環境工学

I
問１
(1) 化学的酸素要求量、Chemical Oxygen Demand
生物化学的酸素要求量、Biochemical Oxygen Demand(2) TOC 濃度（mg/L）：300 mg/L × (2×12/60) ＝ 120 mg/L

問２(3) 水面積（m2）：10×20＝200
沈殿池の 1 日あたりの流量（m3/日）：40×200＝8,000
沈殿槽の数（槽）：32,000 / 8,000＝4 槽(4) BOD 濃度（X mg/L）：0.92 ＝ (180−X) / 180
X＝14.4 mg/L
(5) 全体量（kg）：700m3×1,000kg/m3（1g/cm3）＝ 700,000
水の重量（X kg）：0.995 ＝ X/700,000
X＝ 696,500 kg
乾燥汚泥の重量（kg）：700,000−696,500 ＝ 3,500 kg

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

攻 名

試験科目名

博士前期課程入学試験

答 例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目

⑤環境工学

II
問1

(1)

室内の二酸化炭素量（体積）について，微小時間 Δt [h]の間の収支を求める。
・流入：Q [m3/h] × pout [m3/m3] × Δt [h] = Q pout Δt [m3]・流出：Q [m3/h] × p [m3/m3]× Δt [h] = Q p Δt [m3]・発生：k [m3/h] × Δt [h] = k Δt [m3]
・消滅：0

（省略可）

・蓄積＝着目時間前後の系内成分の「差」＝時刻(t+ Δt)時点の容積 V [m3]の室内の二酸化炭素の体積[m3]−時刻 t 時点の容積 V [m3]の室内の二酸化炭素の体積[m3]= p (t+ Δt) [m3/m3]×V [m3]-p (t) [m3/m3] ×V [m3]= {p (t+ Δt)-p (t)}V [m3]
解答（収支式） {𝑝(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑝(𝑡)}𝑉 = 𝑄𝑝𝑜𝑢𝑡 ∆𝑡 − 𝑄𝑝∆𝑡 + 𝑘∆𝑡 − 0蓄積＝ 流入−流出 ＋発生−消滅（省略可）

各項の順番が違っていてもよい。
両辺÷Δt𝑝(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑝(𝑡)𝑉 = 𝑄𝑝𝑜𝑢𝑡 − 𝑄𝑝 + 𝑘∆𝑡Δt→0 の極限を取ると𝑝(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑝(𝑡)𝑉 = 𝑄𝑝𝑜𝑢𝑡 − 𝑄𝑝 + 𝑘∆𝑡→0∆𝑡lim

解答（微分方程式）𝑑𝑝
𝑉 = 𝑄𝑝𝑜𝑢𝑡 − 𝑄𝑝 + 𝑘𝑑𝑡
下記の変形も正解。
𝑑𝑝𝑄𝑘𝑄𝑘= ( ) (𝑝𝑜𝑢𝑡 − 𝑝 + ) = − ( ) (𝑝 − 𝑝𝑜𝑢𝑡 − )𝑑𝑡
𝑉𝑄𝑉𝑄(2) 初期濃度から時間 t = 0 のときの CO2 濃度 p = pout として，変数分離で上記微分方程式の解を求めると下記の形（解答）になる。
𝑝 = 𝑝𝑜𝑢𝑡 +𝑄𝑘(1 − 𝑒 −𝑉 𝑡 )𝑄𝑘𝑄(3) 𝑝 = 𝑝𝑜𝑢𝑡 + (1 − 𝑒 −𝑉𝑡 )𝑄

外気の CO2 濃度 400 [ppm]のとき p = 400/1000000 [m3/m3]=0.0004
室内の CO2 濃度 1000 [ppm]のとき p = 1000/1000000 [m3/m3]=0.001

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

攻 名

試験科目名

博士前期課程入学試験

答 例

地球社会基盤学専攻（社会基盤工学コース）（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

専門科目

⑤環境工学

濃度が最も高くなるのは t → ∞のとき。それぞれ上の式に代入すると0.001 = 0.0004 +0.20(1 − 0)
𝑄

Q = 0.003 [m3/h] = 0.18 [m3/min] = 180 [L/min]

解答 180 [L/min]

単位[L]または[リットル]も可。

問２

高さ

(1)

(i)

(ii)

温度
解答例（図）転記が確実にされていることが前提。(i)と(ii)が別の図に分かれていてもよい。
(i)の傾きは正になるのが正解。
(ii)の傾きは破線より小さくなることが必要。

(2)(i)，(ii)の各場合について，そのような拡散が生ずる理由を，大気安定度に関連付けて説明せよ。

(i) 煙は上昇せず水平方向に拡散する扇形を示すことから，大気安定度は強安定状態と判断できる。温度勾配が断熱変化時よりはるかに小さく上下関係が逆転し，上空ほど気温が高いとき，対流が抑制されてこのような形になる。
(ii) 煙突から出た煙は強い対流で上昇後，上空で急激に冷却され重くなって降下，下方で再び温められて上空に移動する蛇行を繰り返すループ形を示していることから，大気安定度は不安定状態と判断できる。
このような状況は温度勾配が断熱変化時より急なときに対流が促進されて発生する。