Introduction ˆ la thŽorie arithmŽtique des d-modules

Pierre BERTHELOT*(IRMAR, UniversitŽ de Rennes)

Introduction

2n

1.Ê Calcul diffŽrentiel modulo p

1.1.ÊEnveloppes ˆ puissances divisŽes ...................................................................................................................

7
7

1.2.ÊFaisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels ..............................................................................................................

11

1.3.ÊStratiÞcations et costratiÞcations...................................................................................................................

14

2.ÊÊOpŽrations cohomologiques modulo pn
2.1.ÊDescente par Frobenius ...................................................................................................................................

17
18

2.2.ÊImage inverse extraordinaire..........................................................................................................................

22

2.3.ÊProduit tensoriel externe .................................................................................................................................

25

2.4.ÊImage directe.....................................................................................................................................................

26

2.5.ÊDualitŽ ...............................................................................................................................................................

28

3.ÊÊPassage aux schŽmas formels

32

3.1.ÊComplŽtion des faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels ....................................................................................
3.2.ÊComplexes quasi-cohŽrents .............................................................................................................................

32
34

3.3.ÊComplexes ˆ isogŽnie pr•s ...............................................................................................................................

36

3.4.ÊProduit tensoriel et image inverse extraordinaire........................................................................................

37

3.5.ÊImage directe et dualitŽ ...................................................................................................................................

41

4.ÊÊPassage ˆ la limite sur le niveau

43

4.1.ÊLe faisceau dÕopŽrateurs diffŽrentiels dìx, › ...................................................................................................

43

4.2.ÊPassage ˆ la limite inductive et localisation dans les catŽgories dŽrivŽes.................................................

46

4.3.ÊOpŽrations cohomologiques sur dìx, › .............................................................................................................

48

4.4.ÊCohŽrence des faisceaux de fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes....................................................... 53
4.5.ÊTransformation de Fourier ..............................................................................................................................
5.ÊÊVariŽtŽ caractŽristique et holonomie

62

5.1.ÊF-dìx, › -modules cohŽrents ..............................................................................................................................
5.2.ÊVariŽtŽ caractŽristique.....................................................................................................................................

62
65

5.3.ÊInŽgalitŽ de Bernstein......................................................................................................................................

67

5.4.ÊMultiplicitŽs et formule de lÕindice .................................................................................................................

73

Bibliographie

*

59

75

Pendant la prŽparation de cet article, lÕauteur a bŽnŽÞciŽ du soutien du programme TMR de la CommunautŽ
EuropŽenne, dans le cadre du rŽseau Arithmetic Algebraic Geometry (Contrat n¡ ERBFMRXCT 960006).

2

P. BERTHELOT

Introduction
Ce texte est un rŽsumŽ du cours fait au Centre ƒmile Borel durant le semestreÇÊCohomologies p-adiques et applications arithmŽtiquesÊÈ, au printemps 1997. Son but est
d'expliquer comment s'Žtendent les rŽsultats de base de la thŽorie des dX -modules, i.e. desmodules sur les anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels, lorsqu'on se place sur un schŽma X lisse
sur un schŽma de base S qui n'est pas nŽcessairement de caractŽristique 0. Nous nous
limiterons ici aux grandes lignes de la thŽorie, en donnant les principaux ŽnoncŽs, mais peu
d'indications sur les dŽmonstrations. Pour celles-ci, le lecteur se reportera notamment ˆ lasŽrie d'articles [5], [8], [10], [11], auxquels ce rŽsumŽ vise aussi ˆ servir dÕintroduction gŽnŽrale.
L'objectif de cette thŽorie ÇÊarithmŽtiqueÊÈ des d-modules est de dŽvelopper les outilsnŽcessaires pour Žtudier au-delˆ de la caractŽristique 0 la cohomologie de de Rham, et les
cohomologies qui en dŽriventÊ: cohomologies cristalline, syntomique, rigide, É, et notamment pour traiter les ÇÊprobl•mes de coefÞcientsÊÈ concernant ces cohomologies. Dans cetteperspective, le cas o• le schŽma de base est un corps de caractŽristique p, ou un quotientdÕanneau de valuation discr•te dÕinŽgale caractŽristique, prŽsente Žvidemment un intŽr•tparticulier. Il sÕagit alors de cohomologies dites ÇÊp-adiquesÊÈ, par opposition ˆ la cohomologie Žtale ˘-adique pour ˘ ≠ p, et, comme le soulignait Grothendieck d•s le dŽbut [26], lÕaspect
le plus important de ces cohomologies est de rendre compte des phŽnom•nes de p-torsion.
Cette importance est aujourdÕhui renforcŽe par le dŽveloppement des thŽor•mes decomparaison avec la cohomologie Žtale p-adique, pour les schŽmas sur les corps locaux, dansla mesure o• cette derni•re est elle m•me par construction une limite de cohomologies dep-torsion. CÕest pourquoi nous nous intŽresserons dÕabord aux rŽsultats valables lorsque S
est un Á / p n Á-schŽma, puis ensuite ˆ ceux quÕon peut en dŽduire concernant les modules
sur certains faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels sur un schŽma formel p-adique lisse x.
PrŽcisons nŽanmoins que nous nous limiterons dans le prŽsent rŽsumŽ ˆ la thŽorie desd-modules proprement dite, les applications cohomologiques elles-m•mes devant fairel'objet d'un article ultŽrieur.
La premi•re Žtape, ˆ laquelle est consacrŽe le chapitre 1, est donc de construire les
faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels qui apparaissent dans lÕŽtude de la cohomologie de de
Rham et de la cohomologie cristalline lorsque la base S nÕest pas de caractŽristique 0,
faisceaux qui diff•rent alors du faisceau dX « en do (oX) des opŽrateurs diffŽrentiels
S(relativement ˆ S) au sens classique. En effet, bien que, sans aucune hypoth•se sur S, lefaisceau dX soit dŽÞni pour tout morphisme lisse f : X @ S (cf. [EGA IV, 16.8]), la donnŽe
dÕune connexion intŽgrable sur un oX -module e est en gŽnŽral plus faible que celle dÕune
structure de dX -module ˆ gauche, lorsque S nÕest pas de caractŽristique 0. De plus, un
exemple classique dž ˆ Grothendieck [26] montre que la connexion de Gauss-Manin sur lacohomologie de de Rham relative nÕest pas induite en gŽnŽral par une structure de dX module ˆ gauche.
La thŽorie des enveloppes ˆ puissances divisŽes permet par contre de modiÞer la construction de [EGA IV, 16.8] et fournit, sur une base S quelconque, un autre faisceau dÕopŽra-INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

3

teurs diffŽrentiels d(0)sur X, engendrŽ librement par les dŽrivations, et tel que la donnŽe
XdÕune connexion intŽgrable sur un oX -module soit Žquivalente ˆ celle dÕune structure dedX(0) -module ˆ gauche. Pour les dX(0)-modules, on peut dŽÞnir en toute gŽnŽralitŽ les opŽrations de base de la thŽorie des d-modules : image inverse exceptionelle f !, produit tensoriel
externe ¢, image directe f+ , dual D (prŽcisons que nos notations sont celles de Bernstein et
Borel [17]). De plus, en rempla•ant la notion de complexe bornŽ ˆ cohomologie cohŽrente
par celle de complexe parfait [SGA 6], qui en est la gŽnŽralisation naturelle lorsque S nÕetpas rŽgulier, nous montrons que ceux des thŽor•mes de stabilitŽ de la thŽorie complexe qui
ne font appel quÕˆ la notion de cohŽrence restent valables en toute gŽnŽralitŽ pour les d(0)X !
modulesÊ: la perfection est stable par f pour f lisse, ¢, f+ pour f propre, D.
Par contre, hors de la caractŽristique 0, il nÕexiste pas au niveau des d(0)X -modules denotion analogue ˆ lÕholonomie dans le cas complexe, qui permette dÕassurer la stabilitŽ par
f ! pour f quelconque. Cette situation est liŽe au fait que, hors de la caractŽristique 0, lacohomologie de de Rham et la cohomologie cristalline diff•rent de la cohomologie Žtale ou dela cohomologie transcendante sur un point fondamentalÊ: ce ne sont pas des thŽories denature topologique. En particulier, si S est de caractŽristique p, et si F : X @ X' est lemorphisme de Frobenius relatif, lÕhomomorphisme F * nÕest pas un isomorphisme en
cohomologie de de Rham ou cristalline Ñ ce qui est du reste ˆ lÕorigine de nombre dÕapplications parmi les plus importantes de ces cohomologiesÊ! De m•me, lÕimage inverse dÕun(0)d(0)
X' -module cohŽrent e' nÕest pas un d X -module cohŽrent, sauf si e' est cohŽrent sur oX' ,ce qui est par ailleurs trop restrictif pour assurer la stabilitŽ par image directe.
Par contre, on sÕaper•oit quÕil existe un nouveau faisceau dÕopŽrateurs diffŽrentiels(1)dX agissant naturellement sur F * e, et on montre de plus que F * est alors une(1)Žquivalence de catŽgories entre d(0)X' -modules et d X -modules [8]Ê: ce thŽor•me de descente
appara”t comme une gŽnŽralisation du thŽor•me classique de Cartier Žtablissant uneŽquivalence entre la catŽgorie des o X' -modules et celle des oX -modules munis dÕune
connexion intŽgrable ˆ p-courbure nulle [34]. Ce procŽdŽ sÕit•re, et am•ne ˆ introduire, pour
tout schŽma lisse sur une base o• les entiers premiers ˆ p sont inversibles, un syst•me
inductif de faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels (d (m)X )m ≥ 0 indexŽ par ˙, dont la limite est
le faisceau usuel dX , et ˆ Žtudier plus gŽnŽralement les d(m)X -modules [5].
Apr•s quelques rappels sur les enveloppes ˆ puissances divisŽes, gŽnŽralisŽes parlÕintroduction de la notion de structure partielle dÕidŽal ˆ puissances divisŽes de niveau m,pour un entier m ≥ 0 quelconque, le chapitre 1 prŽsente la construction et les premi•res(m)
propriŽtŽs de base de ces faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels d(m)est
X . Le faisceau dX
obtenu en dualisant les enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles nilpotentes de lÕidŽal

diagonal de X dans X |S X, ˆ la mani•re de EGA IV, et est appelŽ faisceau des opŽrateursdiffŽrentiels de niveau m. Ce chapitre sÕach•ve avec lÕinterprŽtation de la structure de d(m)X module ˆ gauche (resp. ˆ droite) en termes de stratiÞcations (resp. co-stratiÞcations) au
sens de Grothendieck. Celle-ci est essentielle pour la thŽorie des d (m)X -modules, nonseulement pour mettre en Žvidence la nature cristalline des constructions (ce que nous ne
discuterons pas ici, cf. [8] et [10]), mais aussi dans bien des cas pour munir un module(m)donnŽ dÕune structure de d(m)pour m ≥ 1 ne sont pas
X -module. En effet, les faisceaux dX

4

P. BERTHELOT

engendrŽs par les seules dŽrivations, mais par les opŽrateurs dÕordre ≤ pm, et on ne dispose
pas toujours de formules explicites donnant lÕaction de ces opŽrateurs.
Le chapitre 2, consacrŽ aux opŽrations cohomologiques dans le cadre algŽbrique (ettout particuli•rement modulo p n), commence avec le thŽor•me de descente par Frobenius
mentionnŽ plus haut. Ce thŽor•me sÕŽnonce en fait sur nÕimporte quel schŽma S annulŽ parune puissance de p, muni dÕun idŽal quasi-cohŽrent å contenant p et possŽdant une
structure dÕidŽal ˆ puissances divisŽes partielles de niveau m. Il est alors valable pour tout
morphisme de S-schŽmas lisses F : X @ X' dont la rŽduction modulo å est une puissanceFXs Ê/ S du morphisme de Frobenius relatif de la rŽduction de X, et il fournit une Žquivalence00(m + s)entre la catŽgorie des d(m)-modules [8]. Le reste du chapitre est
X' -modules et celle des dX
consacrŽ aux propriŽtŽs de base des quatre opŽrations fondamentales, et notamment authŽor•me de Þnitude pour les morphismes propres [10], et au thŽor•me de dualitŽ relativede Virrion ([49], [51]). Parmi ces rŽsultats, il convient de souligner tout particuli•rement lacompl•te compatibilitŽ du foncteur F * ˆ toutes les opŽrations (ce qui, dans les cas de f et+D, repose sur le thŽor•me de descente). Nous en verrons plus loin les consŽquences.
Certaines propriŽtŽs sont par contre en dŽfaut tant que lÕon reste sur une base annulŽe
par une puissance pn ÞxŽe. On constate deux types de probl•mesÊ:a) Certains ŽnoncŽs ne sont vrais quÕˆ isogŽnie pr•s. Par exemple, pour m ≥ 1, lecomplexe de de Rham „÷X ¢ d(m)nÕest pas une rŽsolution de ∑X , mais les faisceaux deXcohomologie du c™ne sont annulŽs par une puissance Þxe de p, indŽpendante de n.
b) Certains ŽnoncŽs nŽcessitent en plus de changer de niveau dans le syst•me inductifõ !
des faisceaux d(m)X . CÕest le cas par exemple de lÕisomorphisme Id #@ u u+ lorsque u est
une immersion fermŽe.
On est ainsi conduit ˆ Žtudier les thŽories obtenues par passage ˆ la limite ˆ partir dela thŽorie algŽbrique du chapitre 2. Soient v un anneau de valuation discr•te completdÕinŽgale caractŽristique, de corps rŽsiduel k. Le chapitre 3 est consacrŽ au passage ˆ lalimite projective sur un v-schŽma formel lisse x, de Þbre spŽciale X. On obtient ainsi pour
tout m un faisceau dÕopŽrateurs diffŽrentiels dÕordre inÞni ^d(m), p-adiquement complet, quixreste un faisceau dÕanneaux cohŽrent ˆ sections nÏthŽriennes. LorsquÕon veut Žtendre les-modules, il appara”t alors des difÞcultŽs
opŽrations cohomologiques aux complexes de ^d(m)xtechniques liŽes aux complŽtions. Pour obtenir les formules voulues lorsquÕon compose
plusieurs foncteurs qui ne prŽservent pas nŽcessairement la cohŽrence (notamment latransitivitŽ des images inverses et directes), on est amenŽ ˆ intŽgrer la complŽtion ˆ la dŽÞnition de ces foncteurs, et donc aussi ˆ imposer une condition de complŽtion aux complexes
avec lesquels on travaille. Nous appelons quasi-cohŽrents les complexes e de D -(^dx(m)) telsLLõ@ Èlim (Á / pnÁ ¢que le complexe oX ¢ e soit ˆ cohomologie quasi-cohŽrente, et que e #“# ne). Ces conditions sont vŽriÞŽes par les complexes bornŽs ˆ cohomologie cohŽrente. On peutalors Žtendre ˆ ces complexes les opŽrations cohomologiques ŽtudiŽes prŽcŽdemment, et endŽduire par passage ˆ la limite les propriŽtŽs voulues, en sÕappuyant sur les mŽthodes delÕAppendice B de [12] sur la Þnitude de Èlim . On notera que, pour traiter les propriŽtŽs qui“#nŽcessitent de tensoriser par ›, nous ne travaillons pas directement dans la catŽgorie dŽrivŽe des ^d(m)x, ›-modules, o• la condition de quasi-cohŽrence prŽcŽdente nÕaurait plus de sens,

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

5mais dans la catŽgorie triangulŽe des complexes quasi-cohŽrents de ^dx(m)-modules ˆ isogŽnie
pr•s. Celle-ci contient une sous-catŽgorie pleine Žquivalente ˆ la catŽgorie Dbcoh(^d(m)x, ›) [9].
Le second passage ˆ la limite, qui fait lÕobjet du chapitre 4, consiste ˆ passer ˆ la limite
inductive sur le niveau m. On obtient ainsi un faisceau dxì , qui est un sous-faisceau du complŽtŽ p-adique ^dx du faisceau dx des opŽrateurs diffŽrentiels usuels, formŽ des opŽrateurs
dont les coefÞcients vŽriÞent une condition de dŽcroissance de style Monsky-Washnitzer, mais[44]. Ce faisceau nÕa pas dÕaussi bonnes propriŽtŽs de Þnitude que les faisceaux ^d(m)xì
le faisceau dx, › , bien que nÕŽtant pas nÏthŽrien, est cohŽrent, gr‰ce ˆ un thŽor•me de pla(m')
titude des homomorphismes ^d(m)x, › @ ^dx, › pour m' ≥ m [5]. Il est Žgalement de dimension
homologique Þnie [8]. Comme prŽcŽdemment, il y a lieu de tenir compte de la topologie
naturelle de dìx, › dans la dŽÞnition des opŽrations cohomologiques sur les dìx, ›-modules.
Pour cela, nous partons de la catŽgorie dŽrivŽe des syst•mes inductifs de ^d(m)-modules. Parx
une localisation appropriŽe, nous construisons ˆ partir de celle-ci une catŽgorie LD (^d(÷)),#@ ›xdans laquelle on peut dŽÞnir une sous-catŽgorie pleine formŽe de complexes ÇÊquasicohŽrentsÊÈ. Sur cette sous-catŽgorie, qui contient une sous-catŽgorie pleine Žquivalente ˆ
Dbcoh(dìx, ›) [9], on peut alors Žtendre les opŽrations cohomologiques prŽcŽdentes et montrer
que leurs propriŽtŽs sont prŽservŽes. On obtient ainsi entre autres la prŽservation de lacohŽrence par f+ lorsque f est propre [10], et le thŽor•me de dualitŽ relative [49].
CÕest au niveau de la thŽorie des d ìx, ›-modules que sÕeffectue le lien avec la cohomologie rigide [3]. Si Z est un diviseur de X, et j : u Ã@ x lÕinclusion de lÕouvert complŽmentaire de Z, on introduit le faisceau ox, ›(ìZ) des fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes lelong de Z : c'est le sous-faisceau de j* ou, › dont les sections sur un ouvert afÞne o• Z estdŽÞni par la rŽduction dÕune section t de ox sÕŽcrivent sous la forme œ i ≥ 0 ai / t i, o• les aisont des sections de ox, › vŽriÞant la condition de dŽcroissance de Monsky-Washnitzer. Ce
faisceau poss•de une structure naturelle de dìx, ›-module. Lorsque x est propre, la cohomologie rigide de u est par construction la cohomologie de de Rham de x ˆ coefÞcients dansox, ›(ìZ). On voit donc que, gr‰ce au thŽor•me de Þnitude pour f+ dans le cas propre, la cohŽrence de ox, ›(ìZ) en tant que dìx, ›-module entra”ne la Þnitude de cette cohomologie. CethŽor•me de cohŽrence, prouvŽ dans [6], Žtait lÕun des objectifs principaux de la thŽorie desdìx, ›-modules. Nous indiquons ici les principales idŽes de sa dŽmonstration, basŽe sur lesthŽor•mes prŽcŽdents sur les opŽrations cohomologiques, et sur le thŽor•me de de Jong [33].
EnÞn, nous achevons ce chapitre consacrŽ ˆ la cohŽrence sur dìx, › par une rapideprŽsentation des travaux de Huyghe sur la transformation de Fourier ([28], [29], [30]), quifournissent une interprŽtation de la transformation de Fourier na•ve sur la ÇÊcomplŽtŽe
faible È de lÕalg•bre de Weyl au moyen des opŽrations cohomologiques dŽÞnies ici. Cette
interprŽtation est enti•rement parall•le ˆ celles que donnent Malgrange pour les dX modules en caractŽristique 0 [41] et Katz-Laumon pour les faisceaux ˘-adiques. CÕest aussi
une illustration de la fa•on dont, sur un schŽma formel propre, on peut utiliser les alg•bresde la forme ox, ›(ìZ), et les faisceaux dÕopŽrateurs ˆ singularitŽs surconvergentes dìx, ›(ìZ)
qui leur sont associŽs, pour traiter les opŽrations cohomologiques sur les variŽtŽs ouvertes.
Pour obtenir un thŽor•me de Þnitude pour f ! lorsque f est une immersion fermŽe (cequi entra”nerait le cas gŽnŽral), il faut nŽanmoins disposer dÕune condition de Þnitude plus

6

P. BERTHELOT

forte que la cohŽrence. En caractŽristique 0, cÕest la condition dÕholonomie [37]. Au chapitre
5, nous dŽgageons une condition analogue pour les F-dìx, ›-modules cohŽrents, cÕest ˆ direõ@ F * e. Les rŽsultats desles d ì -modules cohŽrents e munis dÕun isomorphisme ‡ : e #x, ›chapitres prŽcŽdents entra”nent que la structure de F-dìx, ›-module est stable par toutes lesopŽrations cohomologiques, de sorte que tout dìx, ›-module dÕorigine gŽomŽtrique peut •tre
muni dÕune structure de F-dìx, ›-module. Une propriŽtŽ essentielle des F-dìx, ›-modulescohŽrents, qui rŽsulte de la descente par Frobenius, est lÕexistence pour un tel module e(0)canonique tel que e ñ dìx, › ¢^d(0) e(0), dŽpendant fonctorieldÕun ^d(0)x, ›-module cohŽrent ex, ›lement de e [8]. Nous expliquons comment, en passant par un mod•le entier de celui-ci et enrŽduisant modulo p, on peut construire une variŽtŽ caractŽristique Car(e) dans le ÞbrŽcotangent T *X de la Þbre spŽciale X, et m•me un cycle caractŽristique ZCar(e). Gr‰ce ˆ un
analogue du thŽor•me de Kashiwara pour les F-dìx, ›-modules cohŽrents ˆ support dans un
sous-schŽma fermŽ lisse, on montre que cette variŽtŽ caractŽristique vŽriÞe lÕinŽgalitŽ deBernstein dim(Car(e)) ≥ dim( X ) [11]. Cela justiÞe que lÕon dŽÞnisse comme en caractŽristique 0 la notion de F-dìx, ›-module holonome par la condition dim(Car(e)) = dim( X).
Beaucoup de questions sont encore ouvertes concernant cette notion dÕholonomie, et nous en
discutons quelques unes en 5.3.6. NŽanmoins, un thŽor•me de Virrion [52] montre que cettecondition gŽomŽtrique Žquivaut ˆ la caractŽrisation homologique habituelle par la nullitŽ
des h i(D(e)) pour i ≠ 0, et que lÕon dispose ainsi dÕune bonne notion de module dual pourles F-dìx, ›-modules holonomes. De plus, nous montrons pour Þnir que le cycle caractŽristique que nous construisons donne naissance dans le cas projectif ˆ une formule pour lacaractŽristique dÕEuler-PoincarŽ analogue ˆ celle de Dubson-Kashiwara ([19], [39]).
RemerciementsCÕest un plaisir de remercier pour leur participation les auditeurs du cours fait au Centre ƒmile Borel,
et plus particuli•rement O. Gabber, dont les nombreuses remarques et suggestions mÕont permis dÕamŽliorer
certains des rŽsultats prŽsentŽs ici. Je remercie aussi le personnel du Centre ƒmile Borel, et notamment son
directeur J.ÊÎsterlŽ, pour les excellentes conditions de travail qui ont permis le succ•s de ce semestre.

Notations et conventions gŽnŽrales

1) Ce texte Žtant de nature introductive, nous ferons ici de mani•re systŽmatiquequelques hypoth•ses mineures qui permettront de simpliÞer lÕexposŽ, en renvoyant lelecteur intŽressŽ par certains ŽnoncŽs dans une situation plus gŽnŽrale aux articles [5], [8],[9], [10] et [11]Ê:(i) Nous supposerons que tous les schŽmas et schŽmas formels considŽrŽs sont quasicompacts et quasi-sŽparŽs (de sorte quÕil en sera de m•me des morphismes entre schŽmas,dÕapr•s [EGA IV 1.2]). Gr‰ce ˆ [SGA 4, VI 5], cela assure que la cohomologie et les images
directes commutent aux limites inductives Þltrantes.
(ii) Lorsque nous consid•rerons un morphisme lisse entre deux schŽmas ou schŽmas

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

7

formels, nous supposerons quÕil est de dimension relative constante. Cela permet dÕappliquer dans les catŽgories dŽrivŽes lÕopŽrateur de translation par la dimension relative.
2) Soit d un faisceau dÕanneaux. Sauf mention explicite du contraire, les d-modules
considŽrŽs seront des d-modules ˆ gauche.
3) Soit d un faisceau dÕanneaux sur un schŽma ou un schŽma formel. Nous nÕutiliserons ici les catŽgories D-coh(d) et Dbcoh(d) que lorsque d est un faisceau dÕanneaux cohŽrent.
Dans ce cas, il sÕgit des sous-catŽgories pleines de D-(d) et D b(d) dont les objets sont lescomplexes ˆ cohomologie d-cohŽrente.
Nous aurons aussi ˆ utiliser les sous-catŽgories Dtdf (d) et Dpar f (d). Rappelons que
Dtdf (d) est la sous-catŽgorie pleine de D(d) dont les objets sont les complexes de Tordimension Þnie (voir [27, II 4] ou [SGA 6, I 5.2]), cÕest ˆ dire quasi-isomorphes ˆ un complexe ˆ termes plats, nuls hors dÕun intervalle bornŽÊ; en particulier, Dtdf (d) est une souscatŽgorie pleine de Db(d). Quant ˆ la catŽgorie D par f (d), cÕest la sous-catŽgorie pleine deD(d) dont les objets sont les complexes parfaits [SGA 6, I 4.7], cÕest ˆ dire localement
isomorphes ˆ un complexe ˆ termes localement projectifs de rang Þni, nuls hors dÕunintervalle bornŽ. Lorsque d est cohŽrent, il revient au m•me dÕapr•s [SGA 6, I, 3.5 et 5.8.1]
de demander quÕun tel complexe soit localement de Tor-dimension Þnie et ˆ cohomologiecohŽrente. Compte tenu de lÕhypoth•se de quasi-compacitŽ faite plus haut, nous aurons donc
ici Dpar f (d) = Dbcoh(d) ı Dtdf (d).
4) Pour tout faisceau abŽlien E, nous noterons E› := E ¢ ›.

1 . Calcul diffŽrentiel modulo pnNous rappellerons dÕabord quelques notions plus ou moins classiques qui servent depoint de dŽpart au calcul diffŽrentiel sur un schŽma de base quelconque : puissances
divisŽes, alg•bres dÕopŽrateurs diffŽrentiels, stratiÞcations. Lorsque le schŽma de base est
annulŽ par une puissance dÕun nombre premier p, ces notions admettent des variantes ditesÇÊde niveau supŽrieurÊÈ, qui sont ˆ la base de la thŽorie prŽsentŽe ici : comme nous le verrons plus loin, celles-ci sont directement liŽes ˆ lÕaction de lÕendomorphisme de Frobenius dela rŽduction modulo p.

1.1.

Enveloppes ˆ puissances divisŽes

Hors de la caractŽristique nulle, le calcul diffŽrentiel repose de mani•re essentielle surla notion dÕidŽal ˆ puissances divisŽes, qui permet de donner un sens ˆ la formule de Taylor
pour une connexion intŽgrable.

8

P. BERTHELOT

1.1.1. Soient A un anneau commutatif, I « A un idŽal. Rappelons (cf. [2] ou [12]) quÕune
structure dÕidŽal ˆ puissances divisŽes (ou PD-structure) sur I est une famille ¤ = (¤n ) n ≥ 0dÕapplications de I dans A qui vŽriÞent les conditions suivantesÊ:(i) ◊ x ‘ I, ¤0(x) = 1, ¤1(x) = x, ¤n(x) ‘ I pour n ≥ 1 ;(ii) ◊ x, y ‘ I, ◊ n ≥ 0, ¤n(x + y) = œ i + j = n ¤i(x)¤j(y) ;(iii) ◊ x ‘ I, ◊ a ‘ A, ◊ n ≥ 0, ¤n(ax) = an ¤n(x) ;m+n(iv) ◊ x ‘ I, ◊ m, n ‘ ˙, ¤m(x)¤n(x) = ( n(v) ◊ x ‘ I, ◊ m, n ‘ ˙, ¤n(¤m(x)) =nm!
n(m!) n!

)¤m + n(x) ;¤nm(x).

On dit que (I, ¤) est un PD-idŽal de A. LorsquÕil nÕy a pas dÕambiguitŽ sur ¤, on adopte engŽnŽral la notation x[n] pour ¤n(x). La condition (iv) entra”ne que n!¤n(x) = x n. SÕil existe
un entier n ≥ 2 tel que A soit une Á / nÁ-alg•bre, I est donc un nilidŽal.
Si ( A, I, ¤) et ( A', I', ¤') sont des anneaux munis de PD-idŽaux, un PD-morphismeƒ : ( A, I, ¤) @ ( A', I', ¤') est un homomorphisme dÕanneaux ƒ : A @ A' tel que ƒ(I) « I', etque, pour tout x ‘ I et tout n ‘ ˙, ƒ(¤n(x)) = ¤'n(ƒ(x)). Si (R, å, å) est un anneau muni dÕunPD-idŽal, et ƒ : R @ A un homomorphisme dÕanneaux, on dit que la PD-structure å sÕŽtend ˆ
A sÕil existe sur å A une PD-structure å̀ (nŽcessairement unique) telle que (R, å, å) @(A, å A, å̀) soit un PD-morphisme. Si (R, å, å) et ( A, I, ¤) sont des anneaux munis de PDidŽaux, et ƒ : R @ A un homomorphisme dÕanneaux, on dit que la PD-structure ¤ est
compatible ˆ å si å sÕŽtend ˆ A, et sÕil existe sur å A + I une PD-structure prolongeant å̀ et ¤.
Soient p un nombre premier, vp la valuation p-adique sur › (normalisŽe parvp( p) = 1), Á( p) le localisŽ de Á par rapport ˆ lÕidŽal premier ( p). Pour tout n ≥ 1,
vp( pn / n!) ≥ 1, de sorte quÕil existe sur lÕidŽal pÁ( p) une PD-structure naturelle. Cette
structure sÕŽtend ˆ toute Á( p)-alg•bre. Par contre, une PD-structure sur un idŽal dÕune
Á( p)-alg•bre nÕest pas automatiquement compatible ˆ celle de ( p).
Soient (R, å, å) un anneau muni dÕun PD-idŽal, A une R-alg•bre, I « A un idŽal. Il
existe une R-alg•bre På(I), munie dÕun PD-idŽal ` I dont la PD-structure (gŽnŽralementnotŽe x ò @ x[n]) est compatible ˆ å, et un R-homomorphisme ƒ : A @ På(I) tel que ƒ(I) « ` I,
qui soient universels pour les R-homomorphismes ( A, I) @ (B, J, ∂) envoyant I dans un
PD-idŽal (J, ∂) dont la PD-structure est compatible ˆ å (cf. [2, I 2.4.2], ou [12, 3.19]). La Aalg•bre På(I), munie de son PD-idŽal canonique, est appelŽe enveloppe ˆ puissances divisŽes
(compatibles ˆ å), ou PD-enveloppe, de I ; lorsquÕaucune confusion nÕen rŽsulte, nous lanoterons simplement P(I).

1.1.2. Si lÕon Þxe un nombre premier p, lÕŽtude de lÕaction de Frobenius am•ne ˆ gŽnŽraliser la notion dÕidŽal ˆ puissances divisŽes. Nous supposons ici que les anneauxconsidŽrŽs sont des Á( p)-alg•bres, et que toutes les PD-structures sont compatibles ˆ la PDstructure canonique de ( p). Pour tout entier m ≥ 0, et tout idŽal I dÕun anneau A, nousmmnoterons I( p ) lÕidŽal engendrŽ par les puissances x p pour x ‘ I.
Soient alors m ‘ ˙ un entier positif ÞxŽ, A une Á( p)-alg•bre, I « A un idŽal. Une
PD-structure partielle de niveau m (ou m-PD-structure) sur I est la donnŽe dÕun PD-idŽal

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

9(J, ¤) « I tel quemI( p ) + pI « J.
Nous dirons que (I, J, ¤) est un m-PD-idŽal. La donnŽe dÕune m-PD-structure permet dedŽÞnir sur I des opŽrations de puissances divisŽes partielles vŽriÞant des propriŽtŽs
analogues aux relations (i) ˆ (v) de 1.1.1 (cf. [5, 1.3.6]) : si n ‘ ˙, on Žcrit n = pmq + r, avec
0 ≤ r < pm, et on posemx{n}(m) = x r ¤q(x p ).
En particulier, ces opŽrations vŽriÞent les relations q! x{n}(m) = xn. Si aucune confusion nÕenrŽsulte, nous noterons simplement x{n} pour x{n}(m).
S i ( A, I, ¤) et ( A', I', ¤') sont deux anneaux munis de m-PD-idŽaux, un m-PDmorphisme ƒ : ( A, I, J, ¤) @ ( A', I', J', ¤') est un PD-morphisme ƒ : ( A, J, ¤) @ ( A', J', ¤')tel que ƒ(I) « I'. Si I est un idŽal quelconque dÕune Á( p)-alg•bre A, il existe une A-alg•bre

P(m)(I), et un m-PD-idŽal (` I, ~ I, [-]) « P(m)(I) tel que IP(m)(I) « ` I, qui soient universels
pour les homomorphismes de A dans un anneau A' envoyant I dans un m-PD-idŽal
(I', J', ¤') de A'. LÕalg•bre P(m)(I), munie de son m-PD-idŽal canonique (` I, ~ I, [-]), est appelŽe enveloppe ˆ puissances divisŽes partielles de niveau m (ou m-PD-enveloppe) de ( A, I).
Pour la construire, on proc•de la mani•re suivante (voir Be1, 1.4.1], o• la construction est
faite avec une condition de compatibilitŽ plus gŽnŽrale) : on dŽÞnit dÕabord P(m)(I) commemŽtant lÕenveloppe ˆ puissances divisŽes usuelle P(I ( p )) (compatible aux puissances divisŽes
mm
canoniques de ( p)) ; on prend alors pour ~ I le PD-idŽal de P(I( p )) engendrŽ par I( p ) + pI, etmpour ` I lÕidŽal IP(I( p )) + ~ I.
Pour m = 0, les dŽÞnitions et constructions faites ici redonnent celles de 1.1.1. DÕautrepart, il rŽsulte immŽdiatement de la dŽÞnition quÕune m-PD-structure sur un idŽal I peutaussi •tre vue comme une m'-PD-structure pour tout m' ≥ m. La propriŽtŽ universelle desenveloppes ˆ puissances divisŽes entra”ne donc que, pour m variable, celles-ci forment un
syst•me projectif. . . #@ P(m + 1)(I) #@ P(m)(I) #@ . . . #@ P(0)(I) = P(I).

1.1.3. Soit I un idŽal dÕun anneau A muni dÕune m-PD-structure (J, ¤). Cette structure
permet de dŽÞnir sur A une Þltration dÕanneau dŽcroissante (I{n})n ≥ 0 , moins Þne que laÞltration I-adique et appelŽe Þltration m-PD-adiqueÊ: elle peut •tre caractŽrisŽe commeŽtant la Þltration dÕanneau la plus Þne vŽriÞant les conditions suivantes :(i) I{0} = A, I{1} = I ;(ii) Quels que soient n ≥ 1, x ‘ I{n} et k ≥ 0, x{k} ‘ I{kn} ;(iii) Quel que soit n ≥ 0, (J + pA) ı I{n} est un sous-PD-idŽal de J + pA.
Nous renvoyons ˆ lÕappendice de [8] pour les dŽtails de sa construction dans le cas gŽnŽralÊ;lorsque m = 0, on note habituellement I[n] au lieu de I{n}, et I[n] est alors lÕidŽal de A
engendrŽ par les produits ¤n (x1) . . . ¤n (xk), o• les xi sont dans I, et œ i ni ≥ n.
1k

La condition (iii) entra”ne que J ı I{n} est un sous-PD-idŽal de J, de sorte quÕil munit

10

P. BERTHELOT

I{n} dÕune m-PD-structure. De m•me, la PD-structure de J + pA passe au quotient modulo
I{n} ; le PD-idŽal J / (J ı I{n}) munit alors lÕidŽal I / I{n} « A / I{n} dÕune m-PD-structure, telleque lÕhomomorphisme A @ A / I{n} soit un m-PD-morphisme.
On dit que I est m-PD-nilpotent sÕil existe un entier n tel que I{n} = 0. Si I « A est unidŽal quelconque, et P(m)(I) son enveloppe ˆ puissances divisŽes de niveau m, on pose, pour
tout entier n ≥ 0,n(I) = P(m)(I) / ` I {n + 1}.
P(m)nLÕimage de ` I dans P (m)(I) est alors munie dÕune m-PD-structure canonique, dŽÞnie parnlÕimage de ~ I, et la Þltration m-PD-adique correspondante est lÕimage de celle de P(m)(I). Ennparticulier, ` I est m-PD-nilpotent dans P(m)(I). Munies de leurs m-PD-idŽaux canoniques,
ces enveloppes ˆ puissances divisŽes nilpotentes poss•dent une propriŽtŽ universelleŽvidente.
Par fonctorialitŽ, la construction des enveloppes ˆ puissances divisŽes sÕentend auxidŽaux dÕun faisceau dÕanneaux sur un espace topologiqueÊ; nous noterons p(i), p(m)(i),np(m)(i) les enveloppes ˆ puissances divisŽes dÕun idŽal i. Si X = Spec( A) est un schŽma
afÞne, et i « oX lÕidŽal quasi-cohŽrent dŽÞni par un idŽal I « A, alors ces faisceaux sont lesnfaisceaux quasi-cohŽrents dŽÞnis respectivement par P(I), P(m)(I), P(m)(I).

1.1.4. En gŽnŽral, on ne sait pas donner de description simple de la structure algŽbriquedes enveloppes ˆ puissances divisŽes. On peut nŽanmoins expliciter cette structure si lÕonfait des hypoth•ses de rŽgularitŽ convenables sur les anneaux A et A / I [5, 1.5.3].
Supposons dÕabord que A soit un anneau de polyn™mes R[t1 , . . . , td], et I lÕidŽal dÕaugmentation (t1 , . . . , td ). Nous noterons alors RÌt1 , . . . , td(m) l'enveloppe P( m )(I), et nouslÕappellerons alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes de niveau m. CÕest un R-module
libre de base les mon™mes ˆ puissances divisŽes
t {k} = t1 {k1} . . . td {kd},pour k = {k1 , . . . , kd} ‘ ˙ d. Le m-PD-idŽal canonique ` I est lÕidŽal engendrŽ par les t {k} pourækæ := œ i ki ≥ 1, et le sous-PD-idŽal ~ I « ` I est lÕidŽal engendrŽ par les ŽlŽments t {k} tels quelÕun des ki soit ≥ pm , et par les ŽlŽments p t {k} pour ækæ ≥ 1. Les idŽaux ` I {n} dŽÞnissant laÞltration m-PD-adique sont les idŽaux engendrŽs par les t {k} pour ækæ ≥ n. Par suite, lesnP(m)(I) sont des R-modules libres de type Þni, ayant pour base les t {k} pour ækæ ≤ n.
Ces rŽsultats peuvent notamment sÕŽtendre lorsquÕon suppose plus gŽnŽralement que
A est une R-alg•bre lisse, et t1 , . . . , td une suite dÕŽlŽments de A engendrant un idŽal I tel

que A / I soit lisse sur R :n(I) une ( A / I)-alg•bre(i) Pour tout n, le choix dÕune section A / I @ A / I n fait de P (m){k}libre de type Þni, ayant pour base les tpour ækæ ≤ n, dont la m-PD-structure canonique
est dŽcrite comme plus hautÊ;(ii) SÕil existe un entier N tel que p N = 0 dans R, alors lÕimage de I dans P(m)(I) est unidŽal nilpotent, et le choix dÕune section A / I @ A / I n pour n assez grand fournit un m-PD-

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

11

isomorphisme entre lÕalg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes (A / I)Ìt1 , . . . , td(m) et
P(m)(I).

1.2.

Faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels

Soient S un schŽma, X un S-schŽma lisse de dimension relative d. Comme nous lÕavons
vu dans lÕintroduction, le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels dX / S « endo (oX) nÕop•reS
pas en gŽnŽral sur la cohomologie de de Rham relative dÕun morphisme lisse de S-schŽmas
lisses. Pour appliquer les mŽthodes de la thŽorie des d-modules ˆ la cohomologie de de
Rham et ˆ la cohomologie cristalline, on est donc amenŽ ˆ introduire un autre faisceaudÕopŽrateurs diffŽrentiels d(0)X / S sur X, tel que la donnŽe dÕune connexion intŽgrable sur un
oX -module soit Žquivalente ˆ celle dÕune structure de d(0)X / S -module ˆ gauche.
Plus gŽnŽralement, si S est un Á( p)-schŽma, la thŽorie des enveloppes ˆ puissances
divisŽes partielles va nous permettre de construire un syst•me inductif de faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels d(m)X / S indexŽ par ˙, de limite dX / S , dont le r™le appara”tra plus loin en
liaison dÕune part avec lÕŽtude de lÕaction de Frobenius, dÕautre part avec lÕintroduction sur
un schŽma formel lisse x du faisceau dÕopŽrateurs diffŽrentiels dìx, › correspondant aux
conditions de convergence pour les isocristaux.
Nous explicitons ici la construction de ces faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels, etcertaines de leurs propriŽtŽs algŽbriques de base.

1.2.1. Rappelons dÕabord la construction du faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels usuelsdX / S donnŽe par Grothendieck dans [EGA IV, 16.8]. Si i est lÕidŽal de lÕimmersion diagonale X Ã@ X |S X, le faisceau des parties principales dÕordre n sur X relativement ˆ S est leünn+1
faisceau quotient pX. Il est muni de deux structures de oX -alg•bre, dŽÞnies
/ S = oX | X / inpar les homomorphismes d0 , d1 : oX @ püX/ S tels que d0( f ) = f ø 1, d1( f ) = 1 ø f, corres-

pondant aux deux projections p0 et p1 de X |S X sur X. Ces structures sont appelŽes respectivement structure gauche et structure droite.
ünConsidŽrant pX/ S comme oX -module par la structure gauche, on dŽÞnit le faisceau desopŽrateurs diffŽrentiels par dualitŽ en posantündX / S, n := homo (pX/ S , oX),X

dX / S := Ù n ≥ 0 dX / S, n .

Pour n, n' ≥ 0, on dispose dÕautre part dÕun homomorphisme dÕanneauxün + n'ünün'∂ n, n' : pX
/ S ##@ pX / S ¢o pX / S ,X

tel que ∂ n, n'(a ø b) = (a ø 1) ø (1 ø b). Le composŽ de deux opŽrateurs diffŽrentiels P :
ün
ün'
pX
/ S @ oX et Q : pX / S @ oX est alors dŽÞni comme lÕhomomorphisme

∂

n, n'

Id ø QP

ün + n'ünün'ünPQ : pX/ S ##@ pX / S ¢o pX / S ##@ pX / S ##@ oX .
X

ün

ün
On fait opŽrer P : pX / S @ oX sur oX en le composant avec le morphisme d1 : oX @ pX
/ S , ce

12P. BERTHELOT

qui fournit un homomorphisme dÕanneaux injectif dX / S Ã@ endo (oX).
S
Sur un ouvert U « X possŽdant un syst•me de coordonnŽes locales t1 , . . . , td (i. e. un
S-morphisme Žtale U @ ÅdS sur lÕespace afÞne relatif au-dessus de S), la structure de dX / SsÕexplicite comme suit. Si lÕon note †i = 1 ø ti - ti ø 1 ‘ oX | X , les †i forment une suiterŽguli•re de gŽnŽrateurs de i. Pour tout n, et chacune des deux structures de oX -alg•bre,
k1
ün
k
pX
. . . † d k d pour ækæ ≤ n. On note
/ S est alors un oX Ê-module libre de base les † = †1
(Ÿ[k])ækæ ≤ n la base duale de d X / S, n , de sorte que, sur U, dX / S est un oU -module libre debase les opŽrateurs Ÿ[k]. La structure dÕanneau de dX / S est dŽterminŽe par les relations

k' + k"(1.2.1.1)

Ÿ[k'] Ÿ[k"] = ( k'(1.2.1.2)

Ÿ[k] f =å)Ÿ[k' + k"],Ÿ[k']( f ) Ÿ[k"],k' + k" = kpour tous k, k', k" ‘ ˙ d et tout f ‘ ‚(U, oU). En particulier, en notant (Ÿi)1 ≤ i ≤ d la base dedŽrivations duale de la base (dti) de „1X / S , on obtient la relation k! Ÿ[k] = Ÿ k := Ÿ1 k1 . . . Ÿd kd, desorte que les Ÿ[k] jouent le r™le de puissances divisŽes des dŽrivations.

1.2.2. Fixons maintenant un entier m ‘ ˙. Si m ≥ 1, nous supposerons que S est un Á( p)schŽma. On modiÞe les constructions prŽcŽdentes en introduisant les enveloppes ˆ puissanünnces divisŽes nilpotentes pX/ S, (m) := p (m)(i), que nous appellerons faisceaux de parties
principales de niveau m et dÕordre n. Comme prŽcŽdemment, ces faisceaux sont munis dedeux structures de oX -alg•bre. En utilisant la structure gauche, nous dŽÞnirons le faisceaudes opŽrateurs diffŽrentiels de niveau m et dÕordre n en posantünd(m)X / S, n = homo (pX / S, (m)Ê, oX) ;X(m)le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels de niveau m est alors le faisceau d(m)X / S = Ù n ≥ 0 dX / S, n .

En appliquant la fonctorialitŽ des enveloppes ˆ puissances divisŽes aux morphismes ∂ n, n'
construits en 1.2.1, on obtient des homomorphismes dÕanneauxn, n'ün + n'
ün
ün'
: pX
∂(m)
/ S, (m) ##@ pX / S, (m) ¢o pX / S, (m)Xgr‰ce auxquels on dŽÞnit comme plus haut la structure dÕanneau (ÞltrŽ) de d(m)X / S . On dŽÞnit
(m)de m•me lÕopŽration de dX / S sur oX ; on prendra garde que cette opŽration nÕest pas Þd•leen gŽnŽral (c.f. 1.2.5 plus bas).
Par la suite, le schŽma de base S sera le plus souvent ÞxŽ, et nous omettrons alorsünlÕindice S dans les notations : nous noterons donc pünX, (m) , dX(m), É, au lieu de pX/ S, (m)Ê,d(m)
X / S , É.

1.2.3. Sur un ouvert U « X possŽdant des coordonnŽes locales t1 , . . . , td, la structure desünün
faisceaux pX,(m) est fournie par 1.1.4. En posant encore †i = 1 ø ti - ti ø 1, pX, (m) est un oX -module libre de rang Þni, ayant pour bases les puissances divisŽes partielles †{k} pour ækæ ≤Ìk
n. On munit alors d(m))ækæ ≤ n , et dX(m) de la base formŽe
X, n de la base duale, que lÕon note (Ÿpar les ŸÌk pour k ‘ ˙ d ; sÕil est nŽcessaire de prŽciser le niveau m, on lÕindiquera par les

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

13

notations †{k}(m), ŸÌk(m). Pour expliciter la structure multiplicative de dX(m) , on est amenŽ ˆ
introduire des coefÞcients bin™miaux modiÞŽs (qui interviennent dŽjˆ dans les relations
analogues ˆ celles de 1.1.1 pour les puissances divisŽes partielles) : pour k', k" ‘ ˙, k = k' +k", on Žcrit k = pmq + r, k' = pmq' + r', k" = pmq" + r", avec 0 ≤ r, r', r" < pm, et on posekqü!

{k'}(m) := Öq'ü! q"ü! ,kk ü-ü1kÌk'(m) := (k'){k'}(m) .

Nous omettrons de prŽciser le niveau m si aucune confusion nÕen rŽsulte. Les coefÞcientskk{k'} sont dans ˙, et les coefÞcients Ìk' dans Á( p) [5, 1.1.3]. A partir des relations analogues ˆ celles de 1.1.1 pour les puissances divisŽes partielles, on obtient alors(1.2.3.1)(1.2.3.2)kŸÌk' ŸÌk" = Ìk'ŸÌk' + k",k

å {k'}ŸÌk'( f ) ŸÌk".

ŸÌk f =k' + k" = k

En particulier, on dŽduit de (1.2.3.1) la relation (k! / q!)ŸÌk = Ÿ k. Lorsque m = 0, on a donc
simplement ŸÌk = Ÿ k.
LÕŽtude des propriŽtŽs de divisibilitŽ de ces coefÞcients bin™miaux modiÞŽs [5] montre
m-1que, si k ‘ ˙ d sÕŽcrit k = p mq + r, avec 0 ≤ ri < p m, et ri = œ j = 0 ai, j p j, avec 0 ≤ ai, j < p,alors
(1.2.3.3)

d

m-1

i=1

j=0

 ai, j) )(Ÿi Ì p )qi ,ŸÌk = uk Õ ( Õ (ŸÌpijmo• uk est un ŽlŽment inversible de Á( p) .
Rappelons quÕun faisceau dÕanneaux a sur un espace topologique x est dit cohŽrent si,
pour tout ouvert u « x, tout idŽal de type Þni i « aæ u de la restriction de a ˆ u est deprŽsentation Þnie [48]. Gr‰ce aux relations (1.2.3.3), un argument classique ramenant au
graduŽ associŽ ˆ la Þltration par lÕordre (voir [15], [17], [36], [40], [42], É) montre que dX(m)a de bien meilleures propriŽtŽs de Þnitude que dX (dont les anneaux de sections ne sont pasnÏthŽriens en gŽnŽral) :1.2.4. PROPOSITION [5, 2.2.5 et 3.1.2]. Ñ Supposons S localement nÏthŽrien.
(i) Si X est afÞne, lÕanneau ‚( X, d(m)) est nÏthŽrien ˆ gauche et ˆ droite.
X(ii) Le faisceau d(m)est un faisceau dÕanneaux cohŽrent.
Xün
1.2.5. Pour m variable, et n ÞxŽ, les faisceaux pX,(m) forment un syst•me projectif, et lesn, n'nmorphismes de transition sont compatibles aux homomorphismes ∂(m)
. De plus, püXsÕenvoieündans chacun des pX,(m) , de mani•re compatible aux morphismes de transition, et aux

homomorphismes ∂ n, n'. Il en rŽsulte que les faisceaux d(m)forment un syst•me inductif deX
faisceaux dÕanneaux, muni dÕun homomorphisme dÕanneaux dans dX :

14

P. BERTHELOT

dX(0) #@ dX(1) #@ . . . #@ d(m)#@ . . . #@ dX .
X
Supposons que X soit muni dÕun syst•me de coordonnŽes locales t1 , . . . , td . Pour k ‘ ˙,
et tout entier m, posons k = p mqm + rm , avec 0 ≤ rm < p m. LÕhomomorphisme canonique+ 1)dX(m) @ d (m(resp. dX(m) @ d X) envoie alors ŸÌk(m) sur (qm! / qm + 1!)ŸÌk(m + 1) (resp. sur
X
qm! Ÿ[k]). En particulier, lÕimage de ŸÌk(m) dans dX est Žgale ˆ Ÿ[k] lorsque chacun des ki est
tel que ki ≤ p m. Dans ce cas, nous commettrons parfois lÕabus de notation consistant ˆ noter
Ÿ[k] lÕŽlŽment ŸÌk(m) de d(m). Il en rŽsulte dÕautre part que lÕhomomorphisme canoniqueX
lim d(m)
#@ dX
X
#@
m

est un isomorphisme.
On remarquera que, pour d ≥ 1, les homomorphismes d(m)@ d X(m + 1) et d(m)@ dX
X
Xsont injectifs si et seulement si S est plat sur Spec(Á). Par contre, si S est de caractŽristique p, on vŽriÞe sans difÞcultŽ que ces homomorphismes ont le m•me noyau, engendrŽ en
m+1

(m)
coordonnŽes locales par les opŽrateurs ŸÌi p
Ê; dÕautre part, lÕimage de d(m)dans dX «X
endo (oX) est le sous-anneau des applications oX (m + 1)-linŽaires de oX dans lui-m•me, enSnotant X (m + 1) le schŽma dŽduit de X par changement de base par le (m + 1)-i•me itŽrŽ delÕendomorphisme de Frobenius de S [5, 2.2.7]. En se ramenant ˆ la caractŽristique p, undŽvissage permet dÕen dŽduire la propriŽtŽ suivanteÊ:1.2.6. PROPOSITION [9]. Ñ Supposons que p soit localement nilpotent sur S. Alors, pour+ 1)
tout m, d(mest de Tor-dimension d ˆ droite et ˆ gauche sur dX(m).
X

1.3.

StratiÞcations et costratiÞcations

Les relations (1.2.3.3) montrent que, dans un syst•me de coordonnŽes locales, ladonnŽe dÕune structure de dX(m)-module sur un oX -module est dŽterminŽe par lÕaction desjopŽrateurs ŸÌi p  pour 0 ≤ j ≤ m. Si m ≥ 1, il nÕest pas toujours possible de dŽcrire
explicitement cette action, et il nÕest pas toujours commode de vŽriÞer directement que lastructure quÕelle dŽÞnit est indŽpendante du choix des coordonnŽes. CÕest pourquoi on est
souvent amenŽ ˆ utiliser lÕinterprŽtation cristalline (dže ˆ Grothendieck [26] dans le casclassique) dÕune structure de dX -module en termes de donnŽes de descente inÞnitŽsimales,
encore appelŽes stratiÞcations. Comme ce formalisme sÕapplique aussi bien aux dX -modulesquÕaux dX(m)-modules, nous engloberons dans notre prŽsentation le cas des dX -modules en
ün
ün
(&)
posant Ü̇ = ˙ Ù {&}, pX,= dX .
(&) = pX , dX

1.3.1. Rappelons dÕabord que, si X est un schŽma lisse sur une base S quelconque, ladonnŽe dÕune connexion intŽgrable ¯ sur un oX -module e est Žquivalente ˆ celle dÕune
structure de d(0)X -module ˆ gauche prolongeant sa structure de oX -module (cf. [2, 4.1.3 et4.2.12], ou [12, th. 4.8]). Sur un ouvert U « X muni de coordonnŽes locales t1 , . . . , td ,

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

15dŽÞnissant des dŽrivations Ÿ1 , . . . , Ÿd , la connexion ¯ : e @ e ¢ „1X dÕun dX(0)-module e est
caractŽrisŽe pard¯(x) =

å Ÿi x ø dti
i=1

pour toute section x de e. Inversement, si on se donne une connexion intŽgrable ¯, cetteformule dŽtermine lÕaction des Ÿi , et ces actions commutent gr‰ce ˆ la condition dÕintŽgrabilitŽ ; on vŽriÞe quÕelles sÕŽtendent en une structure de d(0)X -module ˆ gauche en utilisant lekfait que les puissances usuelles Ÿ des Ÿi forment une base de dX(0) sur oX , gr‰ce ˆ 1.2.3.
1.3.2. Soit m ‘ Ü̇ . On suppose dans ce qui suit que, si 0 < m < &, S est un Á( p)-schŽma.
Pour tous ª, n ‘ ˙ et tout m ‘ Ü̇ , nous noterons X ª + 1 = X/ªS+ 1, iª lÕidŽal de lÕimmersion
diagonale de X dans X ª + 1, p X, (m)(ª) lÕenveloppe ˆ puissances divisŽes de niveau m de iª ,ünün
`iª son m-PD-idŽal canonique, p X,
` {n + 1}, flnX, (m)(ª) = Spec(pX,(m)(ª) = pX, (m)(ª) / iª(m)(ª)),

pi : flnX, (m)(ª) @ X, qi, j : flnX, (m)(2) @ flnX, (m)(1) les morphismes induits par les projections(pour 0 ≤ i < j ≤ ª). Pour ª = 1, on notera simplement flnX, (m) au lieu de flnX, (m)(1).
Soit e un oX -module. Une m-PD-stratiÞcation sur e est la donnŽe dÕune famillendÕisomorphismes püX,(m)-linŽairesõ p *e™n : p1 *e ##@0
sur les flnX, (m) , vŽriÞant les conditions suivantesÊ:(i) Pour n' ≤ n, ™n' est lÕisomorphisme induit par ™n par restriction ˆ fln'
X, (m) , et ™0 = Id.
***(ii) Pour tout n, q0, 2(™n) = q0, 1(™n) Ï q1, 2(™n) (condition de cocycle).
La donnŽe dÕune structure de dX(m)-module ˆ gauche sur e prolongeant sa structure deoX -module est alors Žquivalente ˆ celle dÕune m-PD-stratiÞcation sur e. La correspondancesÕeffectue ainsi :a) Si lÕon suppose donnŽe une structure de d (m)-module ˆ gauche sur e, la m-PDX
stratiÞcation correspondante est donnŽe en coordonnŽes locales par la formule de Taylor(1.3.2.1)™n(1 ø x) =å ŸÌkx ø †{k}.
ækæ ≤ nb) Si lÕon suppose donnŽe une m-PD-stratiÞcation (™n ) sur e, la structure de d(m)XÌkmodule ˆ gauche correspondante est caractŽrisŽe par lÕaction des Ÿ : pour toute section x
de e, on dŽÞnit les ŸÌkx comme Žtant les composantes de ™n(1 ø x) dans la dŽcomposition deün
p0 *e comme somme directe de copies de e fournie par la base †{k} de pX,(m) .
1.3.3. On peut donner des d(m)-modules ˆ droite une description analogue ˆ celle desX
dX(m)-modules ˆ gauche en termes de stratiÞcations. Pour tout morphisme Þni localement
libre f : X @ Y, et tout oY -module f, nous noterons f àf le oX -module dŽÞni par f àf =f̀ *homo ( f*oX , f), o• f̀ dŽsigne le morphisme dÕespaces annelŽs ( X, oX) @ (Y, f*o X).
Y
Une m-PD-costratiÞcation sur un oX -module m est alors la donnŽe dÕune famille dÕisomor-

16

P. BERTHELOTünphismes pX,(m)-linŽaires

õ pàm™n : p0 à m ##@1
sur les flnX, (m) , vŽriÞant les conditions suivantesÊ:(i) Pour n' ≤ n, ™n' est induit par ™n via les isomorphismes de foncteurs
hompn

X, (m)

ün'
ün
ün'
õ
(pX,
(m) , homo (pX, (m) , m)) #@ homo (pX, (m) , m),
X

X

et ™0 = Id.
ààà(ii) Pour tout n, q0,2(™n) = q1, 2(™n) Ï q0, 1(™n).

Comme prŽcŽdemment, la donnŽe dÕune structure de d(m)-module ˆ droite sur m
Xprolongeant sa structure de oX -module est Žquivalente ˆ celle dÕune m-PD-costratiÞcationÊ[8, 1.1.4] :a) Les faisceaux p0 à m et p1 à m sÕidentiÞent respectivement ˆ m ¢ dX(m) et(m)ünhomo ( p1 * pX,-module ˆ droite, et si(m) , oX) ¢ m. Si m est muni dÕune structure de dX
X
ün
Ìk
ün
~
lÕon munit homo ( p1 * pX, (m) , oX ) de la base (Ÿ ) duale de la base (†{k}) de pX,(m) (pourX

la structure droite), la costratiÞcation de m est dŽÞnie par™n(x ø ŸÌk) =å {hk} ~ŸÌhø x ŸÌk - hh≤kpour toute section x de m et tout k ‘ ˙ d.
b) Inversement, cette relation entra”ne en particulier que ™n (x ø ŸÌk )(1) = x ŸÌk , desorte que la donnŽe de la costratiÞcation dŽtermine lÕaction des ŸÌk sur m, et on vŽriÞe quecelle-ci se prolonge en une structure de d(m)-module ˆ droite.
X
1.3.4. En caractŽristique 0, on sait classiquement dŽÞnir une action ˆ droite de dX sur lefaisceau ∑X = „dX des diffŽrentielles de degrŽ maximum, donnŽe en coordonnŽes locales parlÕaction par lÕopŽrateur adjoint. LÕinterprŽtation dÕune structure de dX -module ˆ droite en
termes de costratiÞcations permet dÕutiliser la thŽorie de la dualitŽ de Grothendieck pourles faisceaux cohŽrents [27] pour Žtendre cette construction sans hypoth•se decaractŽristique.
Nous supposerons ici pour simpliÞer que S est localement nÏthŽrien, le cas gŽnŽral enrŽsultant par un argument classique de passage ˆ la limite (voir [8, 1.2.6]). Reprenant les
notations de [27], nous noterons f ! le foncteur image inverse extraordinaire pour lescomplexes de modules quasi-cohŽrentsÊ: lorsque f : X @ Y est un morphisme Þni, f ! est lefoncteur dŽrivŽ du foncteur f à dŽÞni plus haut, quÕon note encore f à ; lorsque f est un
morphisme lisse de dimension relative r, f !(f) = f *f ¢ ∑X / Y [r].
Soient f : X @ S le morphisme donnŽ, pi : flnX, (&) @ X les morphismes induits par les
projections de X 2 sur X. LÕŽgalitŽ f Ï p0 = f Ï p1 fournit des isomorphismes canoniques(1.3.4.1) ™n : p0 à ∑X = p0 ! ∑X ñ p0 ! f !(oS[-d]) ñ p1 ! f !(oS[-d]) ñ p1 ! ∑X = p1 à ∑X ,qui munissent ∑X dÕune costratiÞcation. On en tire donc une structure de dX -module ˆINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

17

droite sur ∑X , dÕo• une structure de d(m)-module ˆ droite pour tout m. En explicitant enXcoordonnŽes locales les isomorphismes dŽÞnissant (1.3.4.1), on peut interprŽter cettestructure au moyen de la notion dÕopŽrateur adjointÊ:1.3.5. THƒORéME [8, th. 1.2.3]. Ñ Soient U « X un ouvert possŽdant un syst•me de coordonnŽes locales t1 , . . . , td , et a ‘ ‚(U, oX). Alors, pour la structure de dX -module ˆ droite sur∑X dŽÞnie en 1.3.4, on a
(1.3.5.1)(a dt1 ä . . . ä dtd). P = (tP . a) dt1 ä . . . ä dtd ,o•, pour tout opŽrateur P = œ k ak Ÿ[k] ‘ ‚(U, dX), on dŽÞnit lÕopŽrateur adjoint tP de P par(1.3.5.2)t

P = å (-1)ækæ Ÿ[k] ak .
k

1.3.6. Soient m ‘ Ü̇ , e, f deux dX(m)-modules ˆ gauche, m, n deux d(m)-modules ˆ droite.
X
Les mŽthodes de 1.3.2 et 1.3.3 permettent de dŽÞnir des structures de d(m)-module sur lesXproduits tensoriels et les faisceaux dÕhomomorphismes selon les r•gles habituellesÊ:(i) Les faisceaux e ¢o f, homo (e, f ) et homo (n , m) poss•dent une structure
X
X
X
naturelle de d(m)-module ˆ gauche.
X(ii) Les faisceaux m ¢o e et homo (e, m) poss•dent une structure naturelle de d(m)X
X
X
module ˆ droite.
Gr‰ce ˆ 1.3.4, on en dŽduit quÕon dispose toujours pour les d(m)-modules de la mŽthodeX
standard pour transformer un module ˆ droite en module ˆ gauche, et rŽciproquementÊ:(iii) Si e est un dX(m)-module ˆ gauche, alors ∑X ¢o e a une structure naturelle de d(m)X
X
module ˆ droiteÊ;(iv) Si m est un dX(m)-module ˆ droite, alors m ¢o ∑X - 1 a une structure naturelle de d(m)X
X

module ˆ gauche.
Si lÕon trivialise ∑X gr‰ce au choix de la base dt1 ä . . . ä dtd associŽe ˆ un syst•me decoordonnnŽes locales, ce passage de gauche ˆ droite (resp. de droite ˆ gauche) consiste ˆ
faire agir un opŽrateur diffŽrentiel par lÕintermŽdiaire de son adjoint.

2. OpŽrations cohomologiques modulo pnNous prŽsentons dans ce chapitre un certain nombre de rŽsultats de Þnitude pour lesopŽrations cohomologiques de base de la thŽorie des d-modules, dans le cas des anneauxdÕopŽrateurs dX(m) introduits au chapitre prŽcŽdent. PrŽcisons dÕabord quelques pointsÊ:a) Sur un corps de caractŽristique 0, la premi•re condition de Þnitude importante pourun dX -module est la cohŽrence sur dX . Sur une base S localement nÏthŽrienne plus

18

P. BERTHELOTgŽnŽrale, il ne sufÞt plus dÕimposer aux complexes dÕ•tre bornŽs et ˆ cohomologie cohŽrente,
car les anneaux considŽrŽs ne sont plus de dimension homologique Þnie en gŽnŽral : il est
facile de voir que dX(0) est de dimension homologique Þnie si et seulement si S est rŽgulier,hypoth•se qui ne sera pas satisfaite dans le cas Ñ essentiel ici Ñ o• S est plat sur Á / p nÁ,
avec n ≥ 2. La gŽnŽralisation adŽquate de la catŽgorie Dbcoh(dX) est alors la catŽgorie
Dparf ü(dX(m)) des complexes parfaits (voir le point 3) des conventions gŽnŽrales).
b) Dans la dŽÞnition des opŽrations cohomologiques sur les d-modules, les notations et
les conventions de dŽcalage que nous suivrons ici sont celles de Bernstein et Borel [17].
Rappelons quÕelles sont normalisŽes de telle sorte que, lorsque X est une variŽtŽ complexe,la correspondance de Riemann-Hilbert covariante, dŽÞnie par le foncteur de de Rham DR,
ait les propriŽtŽs suivantesÊ:(i) Elle associe ˆ un complexe rŽduit ˆ un dX -module holonome placŽ en degrŽ 0 un
faisceau pervers (dŽÞni topologiquement, voir [1], ou [38])Ê;(ii) Sur la catŽgorie Dbhrü(dX) des complexes bornŽs ˆ cohomologie holonome rŽguli•re,les opŽrations cohomologiques correspondent aux opŽrations de m•me nom sur la catŽgorie
Dbc( X an, ÂX an) des complexes bornŽs ˆ cohomologie constructible.
c) Pour simpliÞer lÕexposŽ, nous nous limiterons dans ce qui suit au cas o• m ‘ ˙, bienque certains des rŽsultats ŽnoncŽs restent valables sur le faisceau dX . Rappelons que,lorsque m > 0, on suppose que S est un Á( p)-schŽma.
d) Signalons que les rŽsultats des sections 2.1, 2.2 et 2.4 sont ÇÊde nature cristallineÊÈÊ:si å « oS est un m-PD-idŽal quasi-cohŽrent, et m-PD-nilpotent, il sufÞt de se donner desmorphismes de schŽmas entre les rŽductions modulo å, ou de supposer que les diagrammesconsidŽrŽs sont commutatifs modulo å. Nous ne dŽvelopperons pas ce point ici, renvoyant lelecteur ˆ [8] et [10] pour des ŽnoncŽs prŽcis.

2.1.

Descente par Frobenius

Outre les homomorphismes de transition dŽÞnis en 1.2.5, les faisceaux dÕopŽrateurssont reliŽs entre eux de mani•re essentielle par lÕaction du morphisme dediffŽrentiels d(m)X
Frobenius. Plus prŽcisŽment, nous verrons ici que, si X est de caractŽristique p, et F : X @X' le morphisme de Frobenius relatif (ou plus gŽnŽralement pour tout rel•vement de cettesituation), le foncteur image inverse F * induit une Žquivalence entre la catŽgorie des d(m)X' (m + 1)
modules ˆ gauche et celle des dX-modules ˆ gauche. Ce rŽsultat est dÕun usage
constant, notamment parce quÕil permet de dŽduire certaines propriŽtŽs des dX(m)-modules
du cas des dX(0)-modules.
2.1.1. A lÕorigine du thŽor•me de descente par Frobenius exposŽ ici se trouve le thŽor•mede descente de Cartier, pour les modules munis dÕune connexion intŽgrable ˆ p-courbure
nulle ([20], [21], [34]). Soient S un schŽma de caractŽristique p, X un S-schŽma lisse.

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

19

Rappelons que, si e est un o X -module muni dÕune connexion intŽgrable ¯, si U « X est un
ouvert muni de coordonnŽes locales t1 , . . . , td , et si Ÿ1 , . . . , Ÿd est la base de dŽrivations dualede la base (dti) de „1X , ¯ est ˆ p-courbure nulle (sur U) si et seulement si, pour toutesection x de e au-dessus dÕun ouvert de U, et tout i, Ÿi px = 0. Soient X' = X ( p / S) lÕimage
inverse de X par le morphisme de Frobenius absolu de S, F : X @ X' le morphisme deFrobenius relatif. Pour tout oX ' -module e, F * e est muni dÕune connexion intŽgrable
canonique ˆ p-courbure nulle, et le thŽor•me de Cartier afÞrme alors que F * induit uneŽquivalence de catŽgories entre la catŽgorie des oX' -modules et celle des oX -modules munisdÕune connexion intŽgrable ˆ p-courbure nulle [34, th. 5.1].
Du point de vue des faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels considŽrŽs ici, ce rŽsultatsÕinterpr•te de la mani•re suivante. La donnŽe dÕune connexion intŽgrable ¯ sur un oX module e Žquivaut ˆ celle dÕune structure de d(0)X -module ˆ gauche. Soient k lÕidŽal bilat•renoyau de lÕhomomorphisme canonique d(0)@ d X , et Üd(0)= d(0)/ k. Comme on lÕa vu en
XXXÌp  (0)p
1.2.5, k est engendrŽ localement par les opŽrateurs Ÿi= Ÿi , de sorte que ¯ est ˆ
p-courbure nulle si et seulement si ke = 0. DÕautre part, lÕhomomorphisme canoniqueün
se factorise par oX | X pour tout n, puisque dans un anneau de caractŽristiqueoX | X @ p X
SX'
p tout ŽlŽment dÕun PD-idŽal est de puissance p-i•me nulle. On obtient alors lÕŽquivalencedes conditions suivantes [8, 2.6.2]Ê:(i) La connexion ¯ est ˆ p-courbure nulleÊ;(ii) La structure de dX(0)-module ˆ gauche de e est induite par une structure de ÜdX(0)module ˆ gaucheÊ;(iii) La PD-stratiÞcation de e provient par extension des scalaires dÕune donnŽe dedescente de X ˆ X'.
Comme F est un morphisme Þni localement libre, toute donnŽe de descente de X ˆ X'
sur un oX -module est effective, dÕo• le thŽor•me de Cartier.

2.1.2. Alors que la connexion image inverse par F dÕune connexion intŽgrable ¯' sur un
oX' -module e' est simplement la connexion standard dont est munie canoniquement lÕimage
inverse par F dÕun oX' -module quelconque, et en particulier ne contient aucune information
sur ¯', lÕintroduction de la famille de faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels dX(m) va permettrede reconstruire la structure diffŽrentielle de e' ˆ partir de celle de F *e'.
Ce principe sÕappliquera plus gŽnŽralement ˆ tout rel•vement dÕune puissance dumorphisme de Frobenius. Nous supposerons dans ce qui suit que S est un schŽma annulŽ
par pN pour N assez grand, muni dÕun m-PD-idŽal quasi-cohŽrent (å, ∫, å) tel que p ‘ å.
Soient S0 « S le sous-schŽma fermŽ dŽÞni par å, X un S-schŽma lisse de rŽduction X0 sur
S0 , s un entier positif, X0 (s) le S0-schŽma dŽduit de X0 par image inverse par le s-i•me itŽrŽ
du morphisme de Frobenius absolu de S0 , F : X @ X' un morphisme de S-schŽmas lisses
relevant le morphisme de Frobenius relatif FXs / S : X0 @ X0 (s).
00Gardons les notations de 1.3.2. Pour tout entier ª ≥ 1, le morphisme Fª : X ª + 1 @ X' ª + 1
induit par F fournit un homomorphisme de faisceaux dÕanneauxFª * : oX' ª + 1 ##@ oX ª + 1 ##@ pX, (m + s)(ª).

20

P. BERTHELOT

Supposons donnŽ un syst•me de coordonnŽes locales t1 , . . . , td sur un ouvert de X, et soientt'1 , . . . , t'd des coordonnŽes locales sur lÕouvert correspondant de X' relevant les coordonnŽes
1 ø ti ‘ o X (s) . Comme F est un rel•vement du morphisme de Frobenius relatif, il existe des0ssections ai ‘ å oX telles que F *(t'i) = tip + ai . On en dŽduit [8, 2.2.2] que Fª * envoie l'idŽal
miª'( p ) de oX' ª + 1 (o• i'ª est lÕidŽal de lÕimmersion diagonale de X' dans X' ª + 1) dans le
PD-idŽal ~i + ∫`i de p
. En factorisant F * gr‰ce ˆ la propriŽtŽ universelle desªªX, (m + s)ªenveloppes ˆ puissances divisŽes, on obtient alors un homomorphisme canonique ‡ª :pX', (m)(ª) @ pX, (m + s) (ª). On vŽriÞe de plus que, pour tout n, ‡ª envoie `i ª' {n}(m) dans`iª {n}(m +s), dÕo• un syst•me projectif dÕhomomorphismesünün‡nª : pX',(m)(ª) ##@ pX, (m + s)(ª).

n
Si e' est un d (m)X' -module ˆ gauche, les homomorphismes ‡ª permettent de munire = F *e' dÕune (m + s)-PD-stratiÞcation, dŽduite par extension des scalaires de la m-PD-

stratiÞcation de e'. On obtient donc ainsi une structure canonique de dX(m + s)-module sur e.
àDe m•me, si m' est un d(m)X' -module ˆ droite, m = F m' est muni dÕune structure canoniquede dX(m + s)-module ˆ droite, dŽÞnie par la (m + s)-costratiÞcation dŽduite de la m-costratiÞcation de m' en appliquant les foncteurs ‡nª à.
2.1.3. T HƒORéME [8, 2.3.6 et 2.4.6]. Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, le foncteur F *(resp. F à) est une Žquivalence entre la catŽgorie des d(m)X' -modules ˆ gauche (resp. ˆ droite) et+ s)
la catŽgorie des d(m-modules ˆ gauche (resp. ˆ droite).
XGŽnŽralisant la mŽthode dŽcrite en 2.1.1, le principe de la dŽmonstration pour lesmodules ˆ gauche consiste ˆ se ramener au thŽor•me de descente Þd•lement plate pour F etpour les morphismes induits par les ‡ª au-dessus des flnX', (m)(ª). On redescend ainsi nonseulement le oX -module e en un oX' -module e', en observant que la (m + s)-stratiÞcation dee induit une donnŽe de descente de X ˆ X', mais aussi les isomorphismes ™n formant la(m + s)-stratiÞcation de eÊ; on vŽriÞe de plus que les isomorphismes ™'n ainsi obtenus munissent bien e' dÕune m-PD-stratiÞcation.
Le cas des modules ˆ droite se dŽduit de celui des modules ˆ gauche en montrant queles foncteurs F * et F à sont ŽchangŽs par le passage de gauche ˆ droite dŽcrit en 1.3.6.
Exemple. Ñ Un cas particuli•rement important de descente par Frobenius est celui dedX(m + s) vu comme bimodule sur lui-m•me. Soit o´X = homo (oX , o X'). Il existe alors unX'+ s)isomorphisme canonique de d(m-bimodulesX(2.1.3.1)+ s)
õ F *(d(m) ¢ o´ ) ñ F *F à d(m),
d(m
##@
X
o
X
X'
X'
X'

à
o•, dans la derni•re expression, F * est appliquŽ ˆ la structure gauche de d(m)X' , et F ˆ lastructure droite, les deux opŽrations commutant entre elles.

2.1.4. Il est possible dÕexpliciter des foncteurs quasi-inverses de F * et F à. Appliquant F * ˆ

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

21

à
* (m)
la structure gauche de d(m)X' et F ˆ la structure droite, on observe que F dX' poss•de une
+ s)
à (m)
structure canonique de (d (m, d(m)X
X' )-bimodule, et F d X' une structure canonique de(m + s)(d(m))-bimodule. Les foncteurs
X' , dXe ò @ (F à d(m)X' ) ¢d(m + s) e,Xm ò @ m ¢d(m + s) F * d(m)X' ,X

(m + s)-modules ˆ gauche vers celle des d(m)X' -modules ˆ gauche, et(m + s)(m)de la catŽgorie des dX-modules ˆ droite vers celle des dX' -modules ˆ droite, sont alors
respectivement quasi-inverses de F * et F à [8, 2.5.6]. Le cas clŽ est fourni par lÕisomorphisme de d(m)X' -bimodules

allant de la catŽgorie des dX* (m) ##@
õ d(m),(F à d(m)X' ) ¢d(m + s) F dX'
X'(2.1.4.1)

XquÕon dŽduit du thŽor•me 2.1.3 et de (2.1.3.1).
*
On en dŽduit quÕun d(m)X' -module ˆ gauche e' est plat si et seulement si F e' est plat+ s)
sur d(m. DÕautre part, lÕisomorphisme (2.1.3.1) montre aussi que e' est localement
X
projectif sur d(m) si et seulement si F *e' lÕest sur d(m + s). Le corollaire suivant en rŽsulteÊ:X'

2.1.5. COROLLAIRE. Ñ

X

Le foncteur F * induit une Žquivalence entre les catŽgories(m + s)Dparfü(d(m)) (resp. Dtdf , resp. Dbcoh si X est localement nÏthŽrien).
X' ) et Dpar f (dX

Une premi•re application du thŽor•me de descente est fournie par lÕŽtude de ladimension homologique des anneaux d(m)Ê:X
2.1.6. COROLLAIRE [8, 4.4.3]. Ñ Soient S un schŽma afÞne rŽgulier de caractŽristique p,
f : X @ S un morphisme afÞne et lisse, dont les Þbres sont de dimension relative d, et posonsr = sup x ‘ X dim oS, f(x) . Alors, pour tout m ≥ 0, lÕanneau ‚( X, dX(m)) est de dimension homologique 2d + r.
Lorsque m = 0, on peut comme en caractŽristique 0 (voir par exemple [15], [36] ou [40])utiliser la Þltration par lÕordre pour majorer la dimension homologique de ‚( X, dX(0)) par
celle du graduŽ associŽ, qui est un anneau commutatif rŽgulier de dimension 2d + r. Un
exemple classique montre que cette borne supŽrieure est atteinte. Lorsque m ≥ 1, le graduŽ
*associŽ ˆ la Þltration par lÕordre nÕest pas rŽgulier, mais le foncteur F m
X / S associŽ aumorphisme de Frobenius relatif fournit une Žquivalence entre la catŽgorie des dX(m)-modules(m)ˆ gauche et celle des d(0)). Le cas gŽnŽral rŽsulte
X' -modules ˆ gauche (en posant ici X' = X
ainsi du cas m = 0.
LÕŽnoncŽ suivant assure la commutation du foncteur F * aux extensions de lÕanneaudÕopŽrateurs diffŽrentiels, et joue un r™le important dans les passages ˆ la limite sur leniveau mÊ:

22

P. BERTHELOT

2.1.7. PROPOSITION [8, 3.1.3]. Ñ Soit m' ≥ m. Pour tout d(m)X' -module ˆ gauche e', il existe
un isomorphisme canonique de dX(m' + s)-modules(2.1.7.1)

õ F *(d(m') ¢ (m) e').
dX(m' + s) ¢d(m + s) F *e' ##@
X'
d
X

X'

La ß•che est dŽÞnie par extension des scalaires. Pour prouver que cÕest un isomorphisme, on se ram•ne au cas o• e' = d (m)X' , puis au cas o• S = S0 . Celui-ci se dŽduit de ladescription locale de lÕhomomorphisme canonique d(m + s) @ F *d(m) (dŽÞni par lÕimage
X

X'

inverse de la section unitŽ) lorsque S est de caractŽristique pÊ: il envoie ŸÌk(m + s) surs
1 ø Ÿ'Ìk / p (m) si chacun des ki est divisible par ps, et sur 0 sinon.
Comme F * prŽserve la platitude, on obtient aussi la variante dŽrivŽe de (2.1.7.1).

2.2.

Image inverse extraordinaire

La fonctorialitŽ par image inverse (au sens des oX -modules) de la structure de d(m)Xmodule donne naissance ˆ deux opŽrations importantes : lÕimage inverse extraordinaire f !
et le changement de base. Bien que ce dernier ne joue gu•re de r™le en caractŽristique 0,cÕest un ingrŽdient indispensable de la thŽorie arithmŽtique, o• il permet notamment depasser du cas algŽbrique au cas des schŽmas formels.

2.2.1. ConsidŽrons un diagramme commutatif de la formefg

X ##@ Y ##@ Z
…
…
…
¿
¿
¿
S ##@ T ##@ U ,dans lequel X, Y et Z sont respectivement lisses sur S, T et U. Soit m ‘ ˙. Par fonctorialitŽ,f induit pour tout n et tout ª des morphismes flnX / S, (m)(ª) @ flnY / T, (m)(ª) commutant aux
projections. Si f est un d(m) -module ˆ gauche, il sÕensuit que f * f est muni dÕune m-PDY/T

stratiÞcation relativement ˆ S, image inverse de la m-PD-stratiÞcation de f relativement ˆ
T. On obtient ainsi sur f * f une structure canonique de d(m)X / S -module. Il est clair que cette(m)construction est transitive : si g est un dZ / U -module, lÕisomorphisme canonique (g Ï f )* g ñ
f *(g * g)) commute aux m-PD-stratiÞcations, donc est d(m)X / S -linŽaire.
(m)
Il est commode dÕexpliciter la structure de d-module de f * f au moyen dÕun bimoX/S

dule canoniquement associŽ ˆ f : reprenant une notation classique, nous poserons
* (m)
d(m)
X @ Y := f dY / T ;(m)-1 (m)d(m)dY / T)-bimodule. LÕisomorphisme dÕassoX @ Y est donc muni dÕune structure de (dX / S , fciativitŽ
(2.2.1.1)

-1
õ f*f
f ##@
d(m)
X @ Y ¢f -1 d(m) f
Y/TINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

23

est alors d(m)X / S -linŽaire.
(m)
Le foncteur f * poss•de un dŽrivŽ gauche Lf * : D-(d(m)
Y / T) @ D (dX / S), calculable en(m)prenant des rŽsolutions par des d(m)Y / T -modules plats, ou plus gŽnŽralement par des dY / T modules qui sont plats en tant que oY -modules.

2.2.2. Supposons dÕabord que X = S |T Y, de sorte que la situation est celle dÕun changement de base. Le morphisme de fonctorialitŽ d(m) @ f * d(m) est alors un isomorphisme, et
-1

X/S
Y/T
(m)
(m)
dY / T @ d X / S , qui est un homomorphisme-1

on dispose dÕun morphisme canonique fdÕanneaux. Le foncteur Lfü* est alors simplement le composŽ de f
-1

et du foncteur standard

(m)
d(m)
Y / T @ dX / S . Par suite, ce foncteurdÕextension des scalaires par lÕhomomorphisme fprŽserve les conditions de Þnitude telles que la cohŽrence, la Tor-dimension Þnie ou laperfection.
L
Nous commettrons souvent lÕabus de notation consistant ˆ noter oS ¢o f pour Lf * f,Tnotamment lorsque le morphisme S @ T est une immersion fermŽe.

2.2.3. Dans le cas gŽnŽral, on peut factoriser f par YS = S |T Y, ce qui ram•ne par transitivitŽ au cas o• S = T. Nous omettrons donc dŽsormais de noter le schŽma de base S. Du
point de vue des six opŽrations cohomologiques de Grothendieck (normalisŽes de mani•re ˆ
assurer la correspondance de Riemann-Hilbert comme on lÕa indiquŽ plus haut), le foncteur
Lf * appara”t en gŽnŽral non pas comme le foncteur image inverse pour les dX(m)-modules,
mais simplement comme un intermŽdiaire dans la construction du foncteur image inverse
extraordinaire f !. Ce dernier est dŽÞni en posant, pour tout f ‘ D-(d(m)
),
Y
L

-1
f [dX / Y],f ! f := Lf * f [dX / Y] ñ d(m)X @ Y ¢f -1 d(m) fY

en notant dX , dY les dimensions relatives de X et Y sur S, et dX / Y = dX - dY .
On dŽduit facilement de cette dŽÞnition les propriŽtŽs suivantesÊ:(i) Si g : Y @ Z est un second morphisme entre S-schŽmas lisses, il existe pour tout g ‘
D-(dZ(m)) un isomorphisme canonique de D-(d(m)
X )õ@ f !g ! g.
(g Ï f )! g #(2.2.3.1)(ii) Pour tout morphisme S' @ S, il existe dans D-(d(m)
X' ) un isomorphisme canonique(2.2.3.2)

LLõ@ f' !(o ¢oS' ¢o f ! f #S' o f),S

S

en notant f' : X' @ Y' le morphisme dŽduit de f par changement de base.
(iii) Supposons que p soit nilpotent sur S, et que S soit muni dÕun m-PD-idŽal quasicohŽrent (å, ∫, å) tel que p ‘ å. Soient f0 : X0 @ Y0 la rŽduction de f modulo å, FX : X @ X',
FY : Y @ Y' des morphismes de S-schŽmas lisses relevant les s-i•mes itŽrŽs des morphismesde Frobenius relatifs de X0 et Y0 , f' : X' @ Y' un rel•vement de f0 (s) tel que f' Ï FX = FY Ï f.
(m + s)Pour tout f' ‘ D-(d(m)) un isomorphisme canoniqueY' ), il existe dans D (dX(2.2.3.3)(m + s)f!

õ@ F * f' !
FY * f' #
X

(m)

f',

24

P. BERTHELOT(m)(m + s)les notations f' ! et f !
indiquant que les foncteurs image inverse extraordinaire sontappliquŽs respectivement aux niveaux m et m + s.
LÕŽnoncŽ suivant rŽsume les propriŽtŽs de Þnitude du foncteur f ! pour les d(m)XmodulesÊ:2.2.4. THƒORéME [10]. Ñ Soit f : X @ Y un morphisme de S-schŽmas lisses.
(i) Si f ‘ Db(d(m)), alors f ! f ‘ Db(d(m)
).
Y
X
).
(ii) Si f est lisse, S localement nÏthŽrien, et f ‘ Dbcoh(dY(m)), alors f ! f ‘ Dbcoh(d(m)
YSupposons maintenant que, si m ≥ 1, p est localement nilpotent sur S. On a de plusÊ:(iii) Si f ‘ Dtdf (d(m)), alors f ! f ‘ Dtdf (dX(m)).
Y(iv) Si f est lisse, et si f ‘ Dpar f (d(m)), alors f ! f ‘ Dpar f (d(m)).
YX
La dŽmonstration de (i) et (ii) sÕeffectue comme en caractŽristique 0. Par contre, cellede (iii) et (iv) fait appel ˆ la descente par Frobenius pour se ramener au cas m = 0.

2.2.5. Remarques. Ñ (i)ÊÊComme en caractŽristique 0, le foncteur f ! ne prŽserve pas engŽnŽral la cohŽrence lorsque f est une immersion fermŽe.
(ii) Pour m ÞxŽ, il nÕexiste pas pour les d(m)-modules de condition de Þnitude nonXtriviale qui soit prŽservŽe ˆ la fois par image directe et par image inverse extraordinaire
par un morphisme, m•me propre, de S-schŽmas lisses. Supposons en effet que S soit unschŽma de caractŽristique p, et soit F : X @ X' le morphisme de Frobenius relatif dÕun S!
*
schŽma lisse X. Si f est un d(m)X' -module, nous avons vu en 2.1.2 que F f = F f est muni
+ 1)dÕune structure naturelle de d(m-module. Soient km = Ker(d(m)@ d X(m + 1)), et ÜdX(m) =X
X
dX(m) / km . L'anneau ÜdX(m) est alors un oX -module localement libre de rang Þni, de sorte que
F ! f est de type Þni sur dX(m) si et seulement sÕil est de type Þni sur oX , cÕest ˆ dire si etseulement si f est de type Þni sur oX' . Mais dÕautre part, si i : Z Ã@ X' est une immersion
fermŽe de codimension ≥ 1, lÕimage directe f = i+ e dÕun d(m)-module e nÕest pas de type ÞniZ
sur oX' si e ≠ 0. Ce nÕest donc quÕapr•s des passages ˆ la limite tels que ceux que nous
effectuerons aux chapitres suivants que lÕon peut espŽrer obtenir un formalisme complet dutype des six opŽrations de Grothendieck.
(iii) M•me si f est lisse, le foncteur f ! ne commute pas en gŽnŽral aux extensions desscalaires par les homomorphismes d(m)@ d(m')et d(m)@ d(m')
pour m' ≥ m. Par exemple,YYXX
si Y = S, et si f = oY , alors f !

(m)oY = oX [dX] pour tout m. Or lÕhomomorphisme d(0)@ oXXdŽÞni par la section unitŽ a pour noyau lÕidŽal ˆ gauche engendrŽ localement par les dŽrivations Ÿi par rapport aux coordonnŽes, tandis que le noyau de d(m)@ oX est engendrŽ par lesX[ p j]
Ÿipour 0 ≤ j ≤ m, et pas par les seuls opŽrateurs Ÿi si m ≥ 1. Par suite, lÕhomomorphisme¢d(0) oX ##@ oX
d(m)
X
X

nÕest pas un isomorphisme en gŽnŽral. Il sÕagit ici dÕun probl•me de torsion (voir 3.4.6 plusbas).

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

2.3.

25

Produit tensoriel externe

Soient X, Y deux S-schŽmas lisses, Z = X |S Y, et f : Z @ X, g : Z @ Y les deux
projections.

2.3.1. Si e est un d(m)-module, f un d(m)-module, on voit en appliquant 2.2.1 et 1.3.6 queXYle produit tensoriel externe de e et f, dŽÞni pare ¢o f := f * e ¢o g* f,SZposs•de une structure naturelle de d(m)-module.
Z
Lorsque la base nÕest pas le spectre dÕun corps, le produit tensoriel externe nÕest pas engŽnŽral un bifoncteur exact en lÕun ou lÕautre de ses arguments. Pour e ‘ D-(d(m)), f ‘
XL(m)
D (dY ), on peut dŽÞnir le produit tensoriel externe dŽrivŽ e ¢o f en rempla•ant e (resp.
Sf) par une rŽsolution plate sur d(m)(resp. d(m)), ou plus gŽnŽralement par une rŽsolution
X
Y
(m)
(m)
par des dX -modules plats sur oX (resp. dY , oY).
De ces dŽÞnitions rŽsultent aisŽment les propriŽtŽs suivantesÊ:(i) Pour tout morphisme S' @ S, il existe dans D-(dZ(m)) un isomorphisme de changement de base
(2.3.1.1)

L
L
L
L
L
õ@ (o ¢oS' ¢o (e ¢o f) #S' o e) ¢o (oS' ¢o f).
S

S

S

S'

S

(ii) Sous les hypoth•ses de 2.1.2, soient FX : X @ X', FY : Y @ Y' des rel•vements des
FX / S , FYs / S , et FZ : Z @ Z' := X' |S Y' le morphisme produit. Pour e' ‘ D- (d (m)
X' ),
0
0
0
0
(m + s)(m)f' ‘ D (dY' ), il existe un isomorphisme canonique de D (dZ)(2.3.1.2)

LL
õ@ F *(e' ¢FX * e' ¢o FY * f' #Zo f').
S

S

En utilisant les propriŽtŽs des faisceaux de parties principales ˆ puissances divisŽes,et en dualisant, on voit dÕautre part quÕil existe un isomorphisme canonique d(m)-linŽaireZõ@ f * d(m) ¢ g * d(m).
#
d(m)
Z
X
o
Y
Z

On en dŽduit en particulier des homomorphismes de faisceaux dÕanneaux f -1 dX(m) @ d Z(m),g -1 dY(m) @ dZ(m). On obtient alors les propriŽtŽs suivantesÊ:2.3.2. THƒORéME [10]. Ñ Soient X, Y deux S-schŽmas lisses, Z = X |S Y.

L(i) Si e ‘ Dtdf (d(m)) et f ‘ Dtdf (dY(m)) (resp. Dpar f (dX(m)), Dpar f (d(m))), alors e ¢o f ‘XY
Dtdf (dZ(m)) (resp. Dpar f (d(m)
)).
Z

S

L

), f ‘ D-coh(d(m)), alors e ¢o f ‘(ii) Si S est localement nÏthŽrien, et si e ‘ D-coh(d(m)
X
Y
S
(m)
Dcoh(dZ ).

26

2.4.

P. BERTHELOT

Image directe

Nous supposons ici que S est nÏthŽrien, de dimension de Krull Þnie. Rappelons que
les morphismes de S-schŽmas lisses considŽrŽs sont quasi-compacts et quasi-sŽparŽs. Ces
hypoth•ses permettent notamment dÕassurer que le foncteur Èf* soit de dimension
cohomologique Þnie.

2.4.1. Comme en caractŽristique 0, on peut associer ˆ f un second bimodule, dŽÞni par* (m) ¢ ∑-1) ¢ ∑ ,d(m)Y “ X := fd (dY
o
Y
o
X
Y

X

o• lÕindice d indique que le foncteur f * est ici appliquŽ pour la structure droite de oY module de d(m)¢ ∑Y-1. Gr‰ce ˆ 1.3.6 et 2.2.1, on voit que d(m)Y
Y “ X est muni dÕune structure(m)-1 (m)
naturelle de ( f dY , d X )-bimodule. On vŽriÞe quÕil est canoniquement isomorphe aubimodule ∑ ¢ f *(d(m) ¢ ∑-1) obtenu en appliquant f * ˆ d(m) ¢ ∑-1 pour sa strucX

oX

g

Y

oY

Y

Y

oY

Y

ture gauche de oY -module [8, 3.4.1].
), on dŽÞnit le foncteur image directe f+ en posant
Si e ‘ D-(d(m)
XLf+ e := Èf*(d(m)
Y “ X ¢d(m) e).
X

Le complexe f+ e appartient alors ˆ D (d(m)). Si m = 0, ou si p est nilpotent sur S, d (m)YY“Xest de Tor-dimension Þnie sur dX(m), et le foncteur f+ envoie alors Db(dX(m)) dans Db(d(m)).
Y-

On voit comme en caractŽristique 0 (cf. [16], [17], [42], É) que le foncteur f+ vŽriÞe laformule de transitivitŽÊ: si g : Y @ Z est un second S-morphisme vŽriÞant les m•mes
hypoth•ses, il existe pour tout e ‘ D-(d(m)) un isomorphisme canonique de D-(dZ(m))
X(2.4.1.1)

õ@ g f e.
(g Ï f )+ e #+ +On dispose dÕautre part dÕun thŽor•me de changement de base pour le foncteur f+Ê:2.4.2. PROPOSITION. Ñ Soient S' @ S un morphisme de schŽmas, f' : X' @ Y' le morphisme dŽduit de f par changement de base. Pour tout complexe ˆ cohomologie quasicohŽrente e ‘ D-qc(d(m)), le complexe f+ e appartient ˆ D-qc(dY(m)), et il existe dans D-qc(d(m)
Y' )X
un isomorphisme canonique(2.4.2.1)

LLõ@ f' (o ¢oS' ¢o f+ e #+S' o e).
S

S

La formation des bimodules d(m)Y “ X commutant aux changements de base, il est facilede dŽÞnir la ß•che par adjonction. On peut alors utiliser lÕexistence de rŽsolutions par desdX(m)-modules induits au sens de M. Saito (cÕest ˆ dire de la forme dX(m) ¢o l, o• l est unXoX -module, cf. [45] ou [46]) pour prouver la quasi-cohŽrence de f+ e, et montrer que la ß•che
est un isomorphisme en se ramenant gr‰ce ˆ la platitude de X sur S ˆ un ŽnoncŽ classiquepour la cohomologie des faisceaux quasi-cohŽrents.

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

27

En utilisant encore les rŽsolutions par des d(m)-modules induits, on obtient aussi laXcompatibilitŽ de f+ aux extensions du faisceau dÕopŽrateurs diffŽrentiels, et, lorsque f est
propre, laÊprŽservation de la cohŽrence (en reprenant ici un argument classique, voir par
exemple [16], [39], ou [46]) :), il existe un isomor2.4.3. PROPOSITION [10]. Ñ Soit m' ≥ m. Pour tout e ‘ D-qc (d (m)Xphisme canonique de D-qc(d(m'))
Y(2.4.3.1)

LLõ@ f (m')(d(m') ¢
d(m')
¢
f
e
#
(m)
(m)
Y
d
+
+
X
d(m) e),YX

en notant f+(m) et f+(m') les foncteurs image directe correspondant aux niveaux m et m'.
2.4.4. PROPOSITION. Ñ Supposons que f soit propre. Pour tout e ‘ D-coh(d(m)), f+ e apparX
tient ˆ D-coh(d(m)). Si p est nilpotent sur S, et si e ‘ Dbcoh(d(m)), alors f+ e ‘ Dbcoh(d(m)).
YXYEnÞn, en prouvant que f+ prŽserve la Þnitude de la Tor-dimension, on obtient lethŽor•me de Þnitude pour les images directes par un morphisme propreÊ:2.4.5. THƒORéME [10]. Ñ Soit f : X @ Y un morphisme de S-schŽmas lisses.
(i) Pour tout e ‘ Dqc, tdf (d(m)), f+ e ‘ Dqc, tdf (dY(m)) ;X(ii) Si f est propre, et si e ‘ Dpar f (dX(m)), alors f+ e ‘ Dpar f (dY(m)).
Gr‰ce ˆ la formule de transitivitŽ, il sufÞt de prouver sŽparŽment lÕassertion (i) dans lecas o• f est lisse et dans celui o• f est une immersion fermŽe. En utilisant la formule deprojection, on se ram•ne dans les deux cas aux propriŽtŽs locales de d(m)Y “ X . LÕassertion (ii)est consŽquence de (i) et de 2.4.4.
Remarque. Ñ Lorsque S est un schŽma de p-torsion, on ne peut pas espŽrer de thŽor•me deÞnitude sur d(m)pour les images directes par un morphisme non propre, m•me lorsque eX
est le faisceau oX . En effet, supposons que S soit un schŽma de caractŽristique p, et soit j :X = Y è D Ã@ Y lÕinclusion du complŽmentaire X dÕun diviseur D de Y. Alors j+ oX = j* oX .

Or j* oX poss•de une structure canonique de dY -module qui induit sa structure de d(m)Y(m)
module. Par suite, j* oX est annulŽ par km = Ker(d Y@ d Y), et, observant comme en

2.2.5 que d(m)/ km est un oY -module de type Þni, on voit quÕen gŽnŽral j* oX ne peut pas
Y•tre de type Þni sur dY(m). Les procŽdures de passage ˆ la limite dŽveloppŽes dans leschapitres suivants nous permettront par contre dÕobtenir un ŽnoncŽ qui constitue unsubstitut ÇÊasymptotiqueÊÈ au dŽfaut de cohŽrence de j+ oX (voir 4.4.7).

Une autre propriŽtŽ essentielle des images directes est leur compatibilitŽ ˆ lÕimage
inverse par Frobenius, quÕon prouve gr‰ce au thŽor•me de descente par Frobenius et ˆ laconstruction du foncteur quasi-inverse donnŽe en 2.1.4Ê:28

P. BERTHELOT

2.4.6. THƒORéME [8, 3.4.4]. Ñ Sous les hypoth•ses de 2.1.2, soient X, Y deux S-schŽmas
lisses de rŽductions X0 , Y0 sur S0 , FX : X @ X', FY : Y @ Y' deux morphismes de S-schŽmas
lisses relevant F Xs / S et F Ys / S , f : X @ Y un S-morphisme, f' : X' @ Y' un S-morphisme
0000relevant f0 (s). Si f' Ï FX = FY Ï f, il existe pour tout e' ‘ D-(d(m)
X' ) un isomorphisme canoni+ s)
que de D-(d(m)
Y(2.4.6.1)

õ@ F * f' (m) e'.
f+(m + s) FX * e' #Y+Remarque. Ñ Ce rŽsultat peut •tre utilisŽ pour lÕŽtude du fonteur f+ dans le cas o• f est
lisse. Soit ∑X / Y = ∑X ¢f -1 o f -1 ∑Y . On construit dÕabord un morphisme canonique de d(m)XY
modules ˆ droite∑X / Y ¢o dX(m) #@ d(m)Y“X,X

qui donne naissance ˆ un morphisme de complexes(2.4.6.2)„÷X / Y ¢o d(m)[dX / Y] #@ d(m)
X
Y“X,
X

o• le terme de gauche est le complexe de de Rham de d(m)dŽcalŽ. Lorsque m = 0, cÕest unXquasi-isomorphisme, et on en dŽduit un isomorphisme canonique(2.4.6.3)

õ@ f (0) e.
Èf*(„÷X / Y ¢o e)[dX / Y] #+X

soit une
Lorsque m ≥ 1, il nÕest plus vrai en gŽnŽral que le complexe de de Rham de d(m)X(m)
rŽsolution de dY “ X . Le thŽor•me 2.4.6 montre que lÕisomorphisme (2.4.6.3) est remplacŽ
par une variante dŽcalŽe par lÕaction de Frobenius. Supposons en effet que lÕon dispose derel•vements FX , FY et f' comme dans lÕŽnoncŽ. Il existe dÕapr•s le thŽor•me de descente un*d(0)X' -module e' tel que e ñ F e', de sorte que lÕon obtient un isomorphisme canonique(2.4.6.4)

õ@ F * Èf' („÷
f+(m) e #Y
* X' / Y' ¢o e')[dX / Y].
X'

Rappelons que, comme on lÕa signalŽ au point d) de lÕintroduction de ce chapitre, les conditions dÕexistence globale de FX et FY (et a fortiori la condition de commutation f' Ï FX =F Y Ï f) ne sont en fait pas nŽcessaires dans lÕŽnoncŽ du thŽor•me lorsque å est m-PDnilpotent (resp. PD-nilpotent pour obtenir la formule (2.4.6.4)).

2.5.

DualitŽ

Nous expliquons ici comment les thŽor•mes de dualitŽ locale et globale sÕŽtendent horsde la caractŽristique nulle. Les rŽsultats de cette section sont džs ˆ Virrion (voir [49], [50],[51], [52]).

) un complexe de2.5.1. Soient X un S-schŽma lisse de dimension relative d, et e ‘ D-(d(m)X
dX(m)-modules ˆ gauche. On dŽÞnit comme en caractŽristique 0 le dual de e en posant

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

29

D(e) := È homd(m)(e, dX(m) ¢o ∑-1
X [d]).
X

X

Le foncteur hom est pris ici pour la structure naturelle de dX(m)-module ˆ gauche dedX(m) ¢o ∑X-1[d], tandis que D(e) est vu comme un complexe de d(m)-modules ˆ gaucheXX(m)gr‰ce ˆ lÕaction sur la droite tordue par 1.3.6. Ces deux structures de dX -module ˆ gauche
sur dX(m) ¢o ∑-1sont dÕailleurs ŽchangŽes par une involution naturelle ∫X du bimodule ˆXX(m)gauche dX¢o ∑-1[8, 1.3.4].
X
X

En gŽnŽral, D(e) nÕest pas bornŽ supŽrieurement, m•me si e ‘ Dbcoh(d(m)). Le cadreXqui permet dÕobtenir une thŽorie de la dualitŽ sur une base quelconque est celui descomplexes parfaits (voir [SGA 6, I 7]). On obtient ainsiÊ:2.5.2. PROPOSITION [52, I 4]. Ñ Soit e ‘ Dpar f (dX(m)).
(i) Le complexe dual D(e) appartient ˆ Dpar f (dX(m)).
(ii) Pour m' ≥ m, il existe dans Dpar f (d(m')) un isomorphisme canoniqueX(2.5.2.1)

LL
õ@ D(m')(d(m') ¢dX(m') ¢d(m) D(m)(e) #Xd(m) e),X

X

en notant D(m) et D(m') les duaux aux niveaux m et m'.
(iii) Pour tout changement de base S' @ S, il existe dans Dpar f (d(m)
X' ) un isomorphisme
canonique(2.5.2.2)

LL
õ@ D (o ¢oS' ¢o DX(e) #X'
S' o e),S

S

en notant DX et DX' les duaux sur X et sur X' = S' |S X.
). On dispose du morphisme dÕŽvaluation
2.5.3. Soit e ‘ Dpar f (d(m)
X
e #@ Èhomd(m), d(Èhomd(m), g(e, d(m)), dX(m)),
X
X

X

les indices d et g prŽcisant sÕil sÕagit de modules ˆ droite ou ˆ gauche. En transformant lesmodules ˆ droite en modules ˆ gauche par 1.3.6, et en utilisant lÕinvolution ∫X , on en dŽduit
le morphisme de bidualitŽ
(2.5.3.1)

e #@ D(D(e)).

En se ramenant au cas o• e = dX(m), on obtient alors le thŽor•me de bidualitŽ localeÊ:2.5.4. PROPOSITION [52, I (3.6)]. Ñ Pour tout e ‘ Dpar f (d(m)), le morphisme de bidualitŽ
X(2.5.3.1) est un isomorphisme.

2.5.5. Sous les hypoth•ses de 2.1.2, soient X un S-schŽma lisse de rŽduction X0 modulo å,
et F : X @ X' un morphisme de S-schŽmas lisses relevant FXs / S . On vŽriÞe [8, 2.4.4] que,00(m + s)pour tout d(m)-modulesX' -module ˆ droite m', il existe un isomorphisme canonique de dXˆ gauche30

P. BERTHELOTà-1õ
Fü*(m' ¢o ∑-1X' ) #@ F (m') ¢o ∑X .
X'

X

En utilisant celui-ci, et le thŽor•me de descente, on obtient alors la commutation du dual ˆlÕimage inverse par FrobeniusÊ:2.5.6. PROPOSITION [52, II 3]. Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, soit e' ‘ Dpar f (d(m)
X' ).
+ s)
(i) Il existe dans Dpar f (d(m) un isomorphisme canoniqueX(2.5.6.1)(m + s)õ(F * e').
F * D(m)X' (e') #@ DX(ii) LÕisomorphisme de bidualitŽ (2.5.3.1) est compatible ˆ lÕisomorphisme de commutation ˆ lÕimage inverse par Frobenius (2.5.6.1).

2.5.7. Voyons maintenant comment le thŽor•me de dualitŽ relative pour un morphisme
propre sÕŽtend hors de la caractŽristique 0. Nous supposerons ici que S est un schŽma
nÏthŽrien rŽgulier, ou lisse sur le spectre dÕun quotient dÕanneau de valuation discr•te, desorte que oS est un complexe dualisant sur S au sens de [27]. Soit m ‘ ˙Ê; si m ≥ 1, nous
supposerons comme dÕhabitude que S est un Á( p)-schŽma.
Soient f : X @ Y un morphisme propre de S-schŽmas lisses, dX , dY les dimensions
relatives de X et Y sur S. La thŽorie de la dualitŽ de Grothendieck-Hartshorne fournit alors
un morphisme trace Trf : Èf*(∑X)[dX] @ ∑Y [dY] dans Dbcoh(oY). DÕautre part, on dispose
sur la catŽgorie dŽrivŽe D-(dX(m) d) du foncteur image directe pour les complexes de d(m)XL(m)
modules ˆ droite, dŽÞni par f+ (m) = Èf* (m ¢d(m) dX @ Y). La premi•re Žtape consiste ˆXdconstruire dans Dpar f ü(d(m))
unmorphisme
trace
sur f+ (∑ X ), reliŽ au prŽcŽdent parYlÕintermŽdiaire du morphisme
Tf : Èf*(∑X)[dX] #@ f+(∑X)[dX]Lobtenu en appliquant Èf* au morphisme ∑X @ ∑X ¢d( m ) d(m)X @ Y dŽduit du morphisme
X
(m)
(m)
canonique dX@ dX @ Y et en dŽcalantÊ:2.5.8. T HƒORéME ([49, (5.1)], [51]). Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, il existe dans
Düparf (dY(m) d) un morphisme canonique Tr+, f : f+(∑X)[dX] @ ∑Y [dY], sÕinsŽrant dans un
triangle commutatif de Dbqc(oY)f+(∑X)[dX]Tf(2.5.8.1)

Tr+, fTrfÈf*(∑X)[dX] ##@ ∑Y [dY],et vŽriÞant la condition de transitivitŽ pour le composŽ de deux S-morphismes propres.
En caractŽristique 0, la construction de ce morphisme trace fait appel ˆ la rŽsolution

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

31

gauche de ∑X en tant que dX -module ˆ droite par le complexe de de Rham de dX , puis, dansle cas analytique, ˆ la rŽsolution de Dolbeault pour calculer le foncteur f+ (voir par exemple[16], [46], ou [47]). Sur une base plus gŽnŽrale, on ne dispose de la rŽsolution de de Rhamque pour m = 0. La mŽthode de Virrion est basŽe sur la construction, pour tout d(m)-moduleX(m)ˆ droite m, dÕune rŽsolution gauche canonique de m par des dX -modules ˆ droite induits,´ *(m). Cette rŽsolution, de type simplicial, est construitela rŽsolution de ´Cech-Alexander CA´´
par dualitŽ ˆ partir de la rŽsolution de o par le complexe de Cech-Alexander
CA(L(o))XX

qui intervient dans le calcul de la cohomologie cristalline de X relativement ˆ S (cf. [2], [12],[26], [32]). Son terme de degrŽ - ª est de la forme ´CAª*(m) = m ¢o hX, ª ¢o d(m), avecX
X

nhX, ª = lim n homo (püX,(m)(ª), oX).

#@

X

X

On observe alors que le complexe de Cousin k÷X de ∑X est une rŽsolution de ∑X par desdX(m)-modules ˆ droite, injectifs sur oX . En lui appliquant la construction prŽcŽdente, on enddŽduit que le morphisme Tf est reprŽsentŽ dans D(d(m)) par le morphisme de complexesY

f*(k÷X ¢o hX, ÷ ¢o dX(m))[dX] #@ f*(k÷X ¢o hX, ÷ ¢o d(m)X @ Y)[dX].
X
X
X
XDÕautre part, ∑Y[dY] est reprŽsentŽ par le complexe k÷Y ¢o hY, ÷ ¢o d(m). En remarquant
Y
Y
Y
÷
÷
h
(resp. k ¢ h ) est limite de complexes
que chacun des complexes k ¢
X

oX

X, ª

Y

oY

Y, ª

rŽsiduels sur les voisinages inÞnitŽsimaux ˆ puissances divisŽes flnX, (m)(ª) (resp. flnY, (m)(ª)),
on peut alors utiliser la thŽorie du morphisme trace pour les complexes rŽsiduels pourconstruire un morphisme de complexes
÷
(m)
[dY]
f*(k÷X ¢o hX, ÷ ¢o d(m)X @ Y)[dX] #@ kY ¢oY hY, ÷ ¢oY dYXXddont la classe dans D(d(m)) fournit le morphisme Trf, + voulu.
Y

Cette construction permet alors dÕŽtablir le thŽor•me de dualitŽ relativeÊ:2.5.9. THƒORéME ([49, (5.4)], [51]). Ñ Sous les hypoth•ses de 2.5.7, soit e ‘ Dpar f (dX(m)). Il
existe dans Dpar f (dY(m)) un isomorphisme canonique(2.5.9.1)

õ D ( f (e)),© : f+(DX(e)) ##@Y +vŽriÞant la condition de transitivitŽ pour le composŽ de deux S-morphismes propres.
Via 1.3.6, on se ram•ne ˆ lÕŽnoncŽ analogue pour les complexes de modules ˆ droite. La
construction de © se dŽduit de lÕexistence du morphisme trace. Pour prouver que cÕest un
isomorphisme, on ram•ne dÕabord le cas o• S est lisse sur un quotient dÕanneau devaluation discr•te v au cas o• S est rŽgulier, en utilisant pour la rŽduction modulo lÕidŽal
maximal de v la compatibilitŽ du morphisme trace au changement de base. Dans ce cas, lesd) et Dbcoh(dX(m) d) co•ncident, et on peut utiliser lÕexistence de rŽsolucatŽgories Dpar f (d(m)
Xtions par des modules induits de la forme l ¢o d(m), o• l est oX -cohŽrent, pour dŽduire
X
XlÕŽnoncŽ du thŽor•me de dualitŽ de Grothendieck pour les oX -modules cohŽrents, gr‰ce ˆ(2.5.8.1).

32

P. BERTHELOT

3. Passage aux schŽmas formels

Soient v un anneau de valuation discr•te complet dÕinŽgale caractŽristique, p sa
caractŽristique rŽsiduelle, µ son idŽal maximal, k son corps rŽsiduel, K son corps desfractions. Nous noterons s = Spf(v ), Si = Spec(v / µ i + 1). Si x est un v-schŽma formel,
nous noterons Xi = Si |s x sa rŽduction modulo µ i + 1.
Nous expliquons ici comment, par passage ˆ la limite projective pour i variable, lesrŽsultats du chapitre prŽcŽdent sur les d (m)Xi -modules peuvent sÕŽtendre ˆ certains complexes de modules sur les complŽtŽs p-adiques des faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels
correspondants sur x. Du point de vue cristallin, cela revient ˆ passer de la cohomologie
cristalline relativement ˆ Á / p n Á ˆ la cohomologie cristalline relativement ˆ Á( p) .

3.1.

ComplŽtion des faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels

Donnons dÕabord quelques propriŽtŽs algŽbriques des complŽtŽs p-adiques de ces
faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels.

3.1.1. Soient m ‘ ˙, et x un v-schŽma formel lisse. Les constructions faites en 1.2 gardent
dont la structure
un sens sur x, et fournissent un faisceau dÕopŽrateurs diffŽrentiels d(m)xlocale est dŽcrite comme en 1.2.3. Nous noterons:= lim d(m)/ µ i + 1 d(m)ñ lim d(m)
^d(m)
x
x
“# x
“# X
i

i

i

son complŽtŽ p-adique, et nous lÕappellerons faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels (dÕordreinÞni) de niveau m sur x. Si u « x est un ouvert possŽdant un syst•me de coordonnŽes
locales t1 , . . . , td , et si Ÿ1 , . . . , Ÿd sont les dŽrivations correspondantes, les sections de ^dx(m)sur u sont donc donnŽes par(3.1.1.1)) = { å ak ŸÌk(m) æ ak ‘ ‚(u, ox), et ak @ 0 pour ækæ @ & }.
‚(u, ^d(m)xk

Si u est un ouvert afÞne quelconque, ‚(u, d (m)) est un anneau nÏthŽrien. Comme px
est un ŽlŽment du centre de ‚(u, dx(m)), on en dŽduit que le complŽtŽ p-adique ‚(u, d(m))^x(m)ñ ‚(u, ^d x ) est un anneau nÏthŽrien, et que les propriŽtŽs usuelles du passage aucomplŽtŽ dans le cas commutatif nÏthŽrien sont encore valables [5, 3.2]. Il sÕensuit que lefaisceau ^d(m)est un faisceau dÕanneaux cohŽrents.
x(m)
Un ^dx -module e est donc cohŽrent si et seulement sÕil est localement de prŽsentation
Þnie. Lorsque x est afÞne, les techniques habituelles de passage ˆ la limite projective permettent de montrer facilement les thŽor•mes A et B pour les ^dx(m)-modules cohŽrents [5,3.3]Ê:A) Tout ^d x(m)-module cohŽrent est engendrŽ par ses sections globales, et le foncteur

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

33‚(x, -) induit une Žquivalence entre la catŽgorie des ^d x(m)-modules cohŽrents et celle des‚(x, ^dx(m))-modules de type Þni.
B) Si e est un ^dx(m)-module cohŽrent, H n(x, e) = 0 pour tout n ≥ 1.

3.1.2. Lorsque u est quasi-compact, on a ‚(u, E›) = ‚(u, E)› pour tout faisceau abŽlien

E sur u. Par suite, la description donnŽe en (3.1.1.1) reste valable pour ‚(u, ^d (m)x, ›), avec

ak ‘ ‚(u, ox)› .
Le faisceau ^d(m)x, › est encore un faisceau dÕanneaux cohŽrent. DÕautre part, x Žtant de(m)type Þni sur s, la catŽgorie Coh(^d(m)x, ›) des ^dx, ›-modules cohŽrents est Žquivalente ˆ lacatŽgorie Coh(^dx(m)) › des ^dx(m)-modules cohŽrents ˆ isogŽnie pr•s [5, 3.4.5]. Il en rŽsulte
que les thŽor•mes A et B restent valables pour les ^d(m)x, ›-modules cohŽrents.
3.1.3. PROPOSITION [8, 4.4.4]. Ñ Soit x un schŽma formel afÞne et lisse sur v, de dimension relative d.
(i) LÕanneau ‚(x, ^d(m)) est de dimension homologique 2d + 1.
x(ii) LÕanneau ‚(x, ^d(m)x, ›) est de dimension homologique Þnie, comprise entre d et 2d.
Par un argument classique, on majore la dimension homologique de ‚(x, ^dx(m)) par
celle de son graduŽ associŽ pour la Þltration p-adique, Žgale ˆ 2d + 1 gr‰ce ˆ 2.1.6. Que
cette borne soit atteinte rŽsulte encore dÕun exemple explicite. Il sÕensuit que la dimension
homologique de ‚(x, ^d (m)x, ›) est majorŽe par 2d + 1. On obtient la majoration par 2d enmontrant que tout ‚(x, ^dx(m))-module de type Þni sans torsion poss•de une rŽsolution
projective de longueur 2d. La minoration par d provient de ce que o x, › est de dimension
projective d sur ^d(m)x, › .

Remarques. Ñ (i)ÊÊIl semble raisonable de conjecturer que, comme dans le cas de ‚( X, dX)
lorsque X est un schŽma afÞne et lisse sur Â, la dimension homologique de ‚(x, ^d (m)x, ›) esten fait Žgale ˆ d.
b(m)
) (resp. Dpar f (^d(m)(ii) Les catŽgories Dpar f (^dx(m)) et Dbcoh(^d(m)xx, ›) et Dcoh(^dx, ›)) sont doncŽgales.

3.1.4. Soit e lÕindice de ramiÞcation absolu de v. Pour quÕil existe une m-PD-structure surµ (nŽcessairement dŽÞnie par les puissances divisŽes naturelles de µ k pour un entier kconvenable), il faut et sufÞt que p m ≥ e / (p - 1) [5, 1.3.1]. Supposons m ÞxŽ de mani•re quecette condition soit remplie, et soient s ≥ 1 un entier, F : x @ x ' un morphisme des-schŽmas formels lisses relevant le morphisme de Frobenius relatif FXs / S . Le morphisme00

F est alors Þni localement libre. En appliquant 2.1.2 aux morphismes Xi @ X'i dŽÞnis par F,
on en dŽduit par passage ˆ la limite projective que F * ^d(m)x' poss•de une structure canonique
à (m)
(m)
(m + s)de (^dx(m + s), ^d(m))-bimodule.
x' )-bimodule, et F ^dx' une structure canonique de (^dx' , ^dx(m)Si e (resp. f) est un ^dx -module ˆ gauche (resp. ˆ droite), il en rŽsulte gr‰ce aux

34

P. BERTHELOT

isomorphismes canoniques*õ
F * ^d(m)x' ¢^d(m) e #@ F e,x'õ@ F à f,
f ¢^d(m) F à ^d(m)
#
x'
x'

+ s)
que F * e (resp. F à f) poss•de une structure naturelle de ^d(m-module ˆ gauche (resp. ˆxdroite).
DÕautre part, en passant ˆ la limite projective sur i dans les isomorphismes (2.1.3.1) et(2.1.4.1), on en dŽduit quÕil existe comme en 2.1.3 et 2.1.4 des isomorphismes canoniques debimodules(3.1.4.1)

õ F *Fà ^d(m),^dx(m + s) ##@x'* (m) ##@õ ^d(m).
(Fà ^d(m)x' ) ¢^d(m + s) F ^dx'x'
x

Par suite, les foncteurs e' ò @ F * e' et e ò @ (F à ^d(m)x' ) ¢^d (m + s) e sont des Žquivalences dex(m + s)catŽgories quasi-inverses entre la catŽgorie des ^d(m)x' -modules ˆ gauche et celle des ^dx

modules ˆ gauche [8, 4.1.3].
Comme dans le cas algŽbrique, les propriŽtŽs de cohŽrence, de platitude, de Tordimension Þnie et de perfection sont conservŽes dans cette Žquivalence.
Ces rŽsultats restent Žvidemment valables pour les ^d(m)x, ›-modules.

3.2.

Complexes quasi-cohŽrents-modules, la mŽthode classique de dŽÞnition des foncteurs f ! et f+
Dans le cas des ^d(m)x
au moyen de produits tensoriels avec des bimodules canoniques tels que dX @ Y et dY “ X ne
conduit pas en gŽnŽral aux propriŽtŽs voulues, ˆ cause de probl•mes liŽs ˆ la complŽtion
(voir ˆ cet Žgard la remarque de 3.4.3 sur la formule de transitivitŽ). Nous introduisons ici
une sous-catŽgorie D-qc(^dx(m)) de la catŽgorie D-(^dx(m)), formŽe de complexes vŽriÞant une
condition de complŽtion au sens des catŽgories dŽrivŽes, qui contient la sous-catŽgorie
Dpar f (^dx(m)). Sur D-qc(^dx(m)), la construction et les propriŽtŽs de ces foncteurs se ram•neront
aux rŽsultats obtenus prŽcŽdemment modulo p i.
On note d la dimension relative de x sur s ; rappelons quÕelle est supposŽe constante.

3.2.1. Soit X÷ le topos des syst•mes projectifs de faisceaux E÷ = (Ei)i ‘ ˙ sur x. Il est munidÕun morphisme de topos “l X : X÷ @ x, dŽÞni en posantl *(E÷) := lim Ei ,“#“X

l -1(E) := (E)i ‘ ˙ ,“Xio• (E)i ‘ ˙ est le syst•me projectif constant de valeur E. On notera que le foncteur “l X * est
de dimension cohomologique Þnie sur la catŽgorie des faisceaux abŽliens, de sorte que sondŽrivŽ droit È“l X * est dŽÞni sur la catŽgorie dŽrivŽe toute enti•re.
Nous consid•rerons X÷ comme un topos annelŽ en le munissant du faisceau dÕanneauxoX = (oX )i ‘ ˙ , ce qui fait de “l X un morphisme de topos annelŽs. Si e est un ox -module,÷il * e est donc le syst•me projectif“XINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

35. . . #@ e / µ i + 1e #@ . . . #@ e / µ 2e #@ e / µ e.
L

Pour tout e ‘ D-(ox), nous noterons ei := o X ¢ o e. Nous dirons que e est quasii
xcohŽrent s'il vŽriÞe les conditions suivantes [9]Ê:(i) Le complexe e0 appartient ˆ D-qc(oX ) ;0(ii) Le morphisme canoniquee #@ È“l X * L“l *X e
est un isomorphisme.
Pour tout m, nous munirons Žgalement X÷ du syst•me projectif dÕanneaux (d(m)
Xi )i ‘ ˙ .
(m)(m)
On peut alors considŽrer “l X : ( X÷ , dX ) @ (x, ^d x ) comme un morphisme de topos÷annelŽs, et dŽÞnir la notion de complexe quasi-cohŽrent de D-(^d(m)) par les conditions
x
analogues ˆ (i) et (ii) obtenues en rempla•ant ox , oX , par ^d(m), d(m)
X÷ . Comme le foncteur
x
÷
*
(m)
L l au sens des ^d -modules induit par restriction des scalaires le foncteur L l * au sens“Xx

des ox -modules, il est clair quÕun complexe de D (^dx
-

(m)

“X

) est quasi-cohŽrent si et seulement-sÕil est quasi-cohŽrent en tant que complexe de D (ox).
Nous noterons D-qc(^d(m)) (resp. D-qc(ox)) la sous-catŽgorie pleine (triangulŽe) dex
D-(^dx(m)) (resp. D-(ox)) dont les objets sont les complexes quasi-cohŽrents, et Dbqc(^d(m)
) la
x
(m)
sous-catŽgorie pleine de Dqc(^dx ) dont les objets sont ˆ cohomologie nulle en dehors dÕunintervalle bornŽ. On vŽriÞe les propriŽtŽs suivantes [9]Ê:La) Si e ‘ D-qc(ox), alors oX ¢o e ‘ D-qc(oX ) pour tout i.
ixib) SÕil existe un entier k tel que e soit dans lÕimage de D-(oX ), alors e est quasikcohŽrent si et seulement si e est ˆ cohomologie quasi-cohŽrente sur oX .
k(m)c) La sous-catŽgorie D-coh(^d(m))
descomplexesˆ
cohomologied-cohŽrente est une
^
x
x
(m)
sous-catŽgorie de Dqc(^dx ).
Remarque. Ñ Un contre-exemple de Gabber montre que, si e ‘ D-qc(ox), ses faisceaux decohomologie h n(e) nÕappartiennent pas nŽcessairement ˆ D-qc(ox).
LÕintŽr•t de cette notion de complexe quasi-cohŽrent vient de ce que les propriŽtŽs dÕunL
complexe quasi-cohŽrent sur x se ram•nent ˆ celles du complexe oX ¢ o e dans la catŽx
÷
gorie dŽrivŽe des complexes de syst•mes projectifs. Tout dÕabord, en utilisant les rŽsultats
de lÕappendice B de [12] sur la Þnitude du foncteur Èlim sur un anneau nÏthŽrien, on“#

obtient la propriŽtŽ suivanteÊ:3.2.2. PROPOSITION. Ñ Soit e÷ ‘ Db(d(m)
X ) un complexe vŽriÞant les conditions suivantesÊ:÷a) e0 ‘ Dbqc(d(m)
X );0b) Pour tout i, le morphisme canoniqueLd(m)X ¢d(m) ei+ 1 #@ eiiest un isomorphisme.
Alors le morphisme canonique

Xi + 1

36

P. BERTHELOT

L“l *X È“l X * e÷ #@ e÷
est un isomorphisme, et le complexe e = È“l X * e÷ appartient ˆ Dbqc(^d(m)).
xDÕautre part, si e est un complexe de D-qc(^d(m)), la plupart de ses propriŽtŽs de ÞnixLtude se ram•nent ˆ celles de e0 := o X ¢ o e : pour que e ‘ Dtdf (^d(m)) (resp. Dbcoh(^d(m)
),
x
x
0
x
(m)
b
(m)
(m)
(m)
Dpar f (^dx )), il faut et sufÞt que e0 ‘ Dtdf (dX ) (resp. Dcoh(dX ), Dpar f (dX )) [9]. On00obtient alors la caractŽrisation suivante de ces sous-catŽgories de D-qc(^d(m)
)Ê:
x

0

3.2.3. THƒORéME [9]. Ñ Les foncteurs L“l *X et È“l X * sont des Žquivalences de catŽgories

quasi-inverses entre la catŽgorie Dqc, tdf (^d(m)) (resp. Dbcoh(^dx(m)), Dp ar f (^d(m))) et la sousxxcatŽgorie pleine de la catŽgorie Db(d(m)
X ) formŽe des complexes de syst•mes projectifs e÷÷vŽriÞant les conditions suivantesÊ:
b
(m)
(m)
a) Le complexe e0 appartient ˆ Dqc, tdf (d(m)
X0 ) (resp. Dcoh(dX0 ), Dpar f (dX0 )) ;b) Pour tout i, le morphisme canoniqueLd(m)X ¢d(m) ei+ 1 #@ eiiXi + 1

est un isomorphisme.
Gr‰ce ˆ cette description des catŽgories Dqc, tdf (^d(m)), D bcoh(^dx(m)), D par f (^d(m)), nousxx
pourrons utiliser les rŽsultats Žtablis au chapitre prŽcŽdent sur un schŽma de p-torsion
pour obtenir des rŽsultats analogues pour les complexes de ^dx(m)-modules.

3.3.

Complexes ˆ isogŽnie pr•sComme certaines des propriŽtŽs quÕon souhaite obtenir dans le cadre dÕune thŽorie
arithmŽtique des d-modules ne sont vŽriÞŽes quÕapr•s tensorisation par ›, on est amenŽ ˆŽtudier les opŽrations cohomologiques de base sur les ^d(m)x, ›-modules. Comme prŽcŽdemment, la nŽcessitŽ de tenir compte des propriŽtŽs de complŽtion ne permet pas de travailler
avec la catŽgorie dŽrivŽe D(^d (m)x, ›) toute enti•re. De fait, la catŽgorie que nous utiliseronsnÕest m•me pas une sous-catŽgorie de D(^d(m)x, ›) : ce sera la catŽgorie quotient de la catŽgorie(m)
Dqc(^dx ) obtenue en inversant les isogŽnies. Lorsque x est quasi-compact et quasi-sŽparŽ,nous verrons en effet quÕelle contient une sous-catŽgorie pleine Žquivalente ˆ la catŽgorie
Dbcoh(^d(m)x, ›), de sorte que, par lÕintermŽdiaire des techniques de la section prŽcŽdente, cettemŽthode nous permettra dÕŽtendre aux complexes bornŽs de ^d (m)x, ›-modules cohŽrents lesirŽsultats Žtablis modulo p .

3.3.1. Si c est une catŽgorie additive, nous dŽsignerons par c› , et nous appelleronscatŽgorie des objets de c ˆ isogŽnie pr•s, la catŽgorie ayant m•mes objets que c, et telle quelÕensemble des ß•ches entre deux objets soit donnŽ par

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

37

Homc (E, F) := Homc(E, F) ¢ ›.
›Lorsque c est une sous-catŽgorie D*(a) dÕune catŽgorie dŽrivŽe D(a), nous emploierons lanotation D*›(a) plut™t que D(a)› .
La catŽgorie c› nÕest autre que la catŽgorie localisŽe de c par rapport au syst•me
multiplicatif des isogŽnies de cÊ: un morphisme f : E @ F est appelŽ isogŽnie sÕil existe unentier n ≠ 0 et un morphisme g : F @ E tels que g Ï f = nIdE , f Ï g = nIdF . Lorsque c est
une catŽgorie triangulŽe, les isogŽnies forment un syst•me multiplicatif compatible ˆ lastructure triangulŽe, de sorte que c› poss•de une structure naturelle de catŽgorie triangulŽe pour laquelle le foncteur de localisation c @ c› est exact.
Si F : c @ c' est une foncteur additif (resp. exact) entre catŽgories additives (resp.
triangulŽes), il sÕŽtend de mani•re unique en un foncteur additif (resp. exact) c› @ c'›compatible aux foncteurs de localisation.
3.3.2. Soit x un v-schŽma formel lisse. Pour tout m, nous noterons D-›, qc(^d(m)) (resp.
x

Db›, coh(^dx(m))) la sous-catŽgorie pleine de D›(^d(m)) obtenue en localisant D-qc(^dx(m)) (resp.
x)) par rapport aux isogŽnies. La tensorisation par › dŽÞnit un foncteur naturel
Dbcoh(^d(m)xD›(^dx(m)) #@ D(^d(m)x, ›).

(3.3.2.1)

On prendra garde quÕen gŽnŽral lÕhomomorphisme
HomD (^d(m))(e, f) #@ HomD(^d(m) )(e› , f›)
›

x

x, ›

nÕest ni injectif, ni surjectif, m•me si e et f sont dans D-qc(^dx(m)). Par la suite, cÕest avec lacatŽgorie D-›, qc(^dx(m)) que nous travaillerons. NŽanmoins, le rŽsultat suivant permet dÕiden) de D-›, qc(^d(m)) ˆ la catŽgorie Dbcoh(^d(m)tiÞer la sous-catŽgorie pleine Db›, coh(^d(m)
x
x
x, ›)
(rappelons que x est toujours supposŽ quasi-compact et quasi-sŽparŽ) :3.3.3. PROPOSITION [9]. Ñ Le foncteur (3.3.2.1) induit une Žquivalence de catŽgories(3.3.3.1)

3.4.

ã
Db›, coh(^d(m)) ##@Dbcoh(^d(m)xx, ›).

Produit tensoriel et image inverse extraordinaire

Les rŽsultats des sections prŽcŽdentes permettent de dŽÞnir les opŽrations cohomologiques de base pour les complexes quasi-cohŽrents de ^dx(m)-modules (voir [10]). Commen•ons
par discuter les cas du produit tensoriel et de lÕimage inverse extraordinaire.

d) deux complexes de ^d(m)-modules, respective3.4.1. Soient e ‘ D-qc(g ^dx(m)), m ‘ D-qc(^d(m)xxment ˆ gauche et ˆ droite, supposŽs quasi-cohŽrents au sens de 3.2.1. On dŽÞnit leurproduit tensoriel complŽtŽ sur ^dx(m) en posant

38

P. BERTHELOT

L
L
m^¢^d(m) e := È“l X *(L“l *X m ¢d(m) L“l *X e).
xX÷Il existe un morphisme canoniqueLLm ¢^d(m) e #@ m ^¢^d(m) e,xx).
et cÕest un isomorphisme lorsque lÕun des deux complexes appartient ˆ D-coh(^d(m)xL

Si m est un (^dx(m'), ^dx(m))-bimodule, pour un certain entier m', alors m ^¢^d(m) e est dex). Si e et m sont bornŽs, et si m ‘ Dbqc(^d(m')),
mani•re naturelle un complexe de D-(^d(m')
xxL¢^d(m) e ‘ Dbqc(^dx(m')).
alors m ^x

On dŽÞnit de la m•me mani•re le produit tensoriel complŽtŽ sur ox .
Gr‰ce ˆ la propriŽtŽ universelle des catŽgories de fractions, ces produits tensoriels
complŽtŽs sÕŽtendent aux catŽgories localisŽes par rapport aux isogŽnies dŽÞnies en 3.3.2.
Pour m' ≥ m, et e ‘ Db›, qc(^dx(m)), nous commettrons parfois lÕabus de notation consistant ˆdŽsigner parL¢^d^d(m')x, › ^

(m)
x, ›

e

L

) de ^d(m')^¢^d(m) e.
lÕimage dans Db›, qc(^d(m)xxxExemple. Ñ Pla•ons-nous sous les hypoth•ses de 3.1.4, et soit m' ≥ m. Si e' ‘ D-qc(^d(m)x' ), onobtient par passage ˆ la limite projective ˆ partir des isomorphismes (2.1.7.1) un isomor+ s)
phisme de D-qc(^d(m')
x(m + s)x

L
õ@ F *(^d(m') ^F *e' #x' ¢^d(m) e')(m + s)x

L
õ@ F *(^d(m') ¢F *e' #
x'^d(m) e')

L

+ s)
^
¢^d
^d(m'
x

(3.4.1.1)x'qui sÕŽcrit simplement
L

+ s)
¢^d
^d(m'
x

(3.4.1.2)

x'

^

^

(m' + s)lorsque e' ‘ D-coh(d(m)
x' ). On dispose aussi des isomorphismes analogues dans Dqc(dx, › )+ s)(resp. D-coh(d(m'x, › )).

^

3.4.2. Soient x, y deux v-schŽmas formels lisses de dimensions relatives dx et dy , dx / y =dx - dy , f : x @ y un v-morphisme. Pour tout f ‘ Dbqc(^dy(m)), nous dŽÞnirons lÕimage
inverse extraordinaire f ! f en posantf ! f := È“l X *( f÷ ! (L“l *Y f)),

(3.4.2.1)o• f÷ : X÷ @ Y÷ est le morphisme de topos tel que f÷ * (resp. f÷ -1) associe ˆ un syst•me
projectif de faisceaux sur x (resp. sur y) le syst•me projectif de ses images directes sur y(m)!
(resp. inverses sur x)Ê; si d(m)X @ Y est le syst•me projectif des dX @ Y , le foncteur f÷ est alors÷÷dŽÞni en posant, pour tout complexe f÷ ‘ D-(d(m)
Y ),

i

÷

!

f÷ f÷ :=

Ld(m)f -1 f÷ [dx / y].
X÷ @ Y÷ ¢f÷ -1 d(m)Y÷iINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

39

(m)
(m)
(m)
Soit ^d (m),x @ y = lim i dX @ Y . Alors ^d x @ y est muni dÕune structure naturelle de (^d x

“#

i

i

f -1^dy(m))-bimodule. Il existe dans D(^dx(m)) un morphisme canoniqueL^d(m)x @ y ¢f ^d(3.4.2.2)

-1

(m)
y

f -1 f[dx / y] #@ f ! f,qui est un isomorphisme si f ‘ Dbcoh(^d(m)).
yComme dans le cas algŽbrique, le foncteur f ! vŽriÞe la formule de transitivitŽÊ:3.4.3. PROPOSITION [10]. Ñ Soient f : x @ y, g : y @ z deux morphismes de v-schŽmas
formels lisses.
(i) Pour tout f ‘ Dbqc(^d(m)), f ! f appartient ˆ Dbqc(^d(m)
).
y
x
b
b
(m)
(m)
(ii) Pour tout g ‘ Dqc(^dz ), il existe dans Dqc(^dx ) un isomorphisme canoniqueõ (g Ï f )! g.
f !(g ! g)) ##@(3.4.3.1)

Ces propriŽtŽs rŽsultent de la relation (2.2.3.2) assurant la compatibilitŽ de f ! auchangement de base modulo p i, de 3.2.2, et de la formule de transitivitŽ dans le casalgŽbrique.
Remarque. Ñ Si lÕon avait pris pour dŽÞnition de f ! le terme de gauche de (3.4.2.2), laformule de transitivitŽ ne serait pas valable en gŽnŽral, m•me pour g = ^d (m). En effet, sizlÕon prend x = z = Spf v{t}, y = Spf v, et si f : x @ y est la projection, g : y Ã@ z lasection nulle, alors ‚(x, ^d (0)x @ z ) est lÕanneau de sŽries formelles (commutatives) convergentes en 2 variables v{t, Ÿ}, tandis que ‚(x, ^d(0)f -1 ^d(0)x @ y ¢f -1 ^d(m)y @ z) est le produit tenysoriel non complŽtŽ v{t} ¢v v{Ÿ}. LÕhomomorphisme canoniqueL^d(m)x @ y ¢f ^d
-1

(m)
y

(m)
f -1 ^d(m)y @ z #@ ^dx @ znÕest donc pas un isomorphisme en gŽnŽral.
Si lÕon suppose par contre que g ‘ Dbcoh(^d(m)), et que de plus g ! g ‘ Dbcoh(^d(m)), alorszytous les morphismes du carrŽ
L^d(m)x @ y ¢f ^d
-1

L

y

(m)

L

-1
-1
õ@ ^d(m) ¢f -1(^d(m)g)[dx / z] #y @ z ¢g -1 ^d(m) g
x @ z (g Ï f )-1 ^d(m) (g Ï f) g[dx / z]
z

…•
¿
!
f (g ! g))z…•¿(g Ï f )! gõ#############@

sont des isomorphismes.

3.4.4. Pla•ons-nous ici sous les hypoth•ses de 3.1.4, et supposons donnŽs des morphismesde v-schŽmas formels lisses Fx : x @ x', Fy : y @ y' relevant FXs / S et FYs / S , ainsi quÕun
0

0

0

0

v-morphisme f' : x' @ y' relevant f0 (s). Supposons de plus que f' Ï Fx = Fy Ï f. Comme lesmorphismes Fx et Fy sont Þnis localement libres, on dŽduit facilement de (2.2.3.3) quÕil
existe dans Dbqc(^dx(m + s)) un isomorphisme canonique

40

P. BERTHELOT(m + s)f!

(3.4.4.1)

õ@ F * f' !
Fy * f' #
x

(m)

f'

b
(^d(m)
pour tout f' ‘ Dqc
y' ).

3.4.5. Le foncteur f ! se factorise de mani•re naturelle en un foncteur) #@ Db›, qc(^d(m))
f ! : Db›, qc(^d(m)yxqui vŽriÞe la formule de transitivitŽ pour le composŽ de deux morphismes. Le foncteurcomposŽ
f!

ãb(m)
Dbcoh(^d(m)) Ã@ Db›, qc(^d(m)) #@ Db›, qc(^d(m)) #@ Db(^d(m)y, ›) #@ D›, coh(^dy
x, ›)
y
x
sÕidentiÞe canoniquement au foncteur qui associe ˆ un complexe f ‘ Dbcoh(^d(m)y, ›) le complexeL^d(m)x @ y, › ¢f ^d
-1

(m)
y, ›

f -1 f [dx / y].

3.4.6. PROPOSITION [10]. Ñ (i)ÊÊLe foncteur f ! envoie Dqc, tdf (^dy(m)) dans Dqc, tdf (^d(m)).
x(ii) Si f est lisse, le foncteur f ! envoie Dbcoh(^d(m)) dans Dbcoh(^d(m)).
yx(iii) Si f est lisse, le morphisme canoniqueL¢^d^d(m')x, › ^

(m)

(m)
x, ›

f!

(m')

f #@ f !

L(^d(m')¢^d(m) f)y, › ^y, ›^est un isomorphisme pour tout f ‘ Db›, qc(dy(m)).
Les assertions (i) et (ii) rŽsultent des propriŽtŽs analogues sur les Si . Pour prouverlÕassertion (iii), on introduit sur x le complexe de Spencer relatif ^dx(m) ¢ Ä÷ tx / y , et on
montre que le morphisme naturel¢ Ä÷tx / y #@ ^d(m)
^d(m)
x
x@y
est une isogŽnie de Dbcoh(^dx(m)).
3.4.7. Soient x, y deux v-schŽmas formels lisses, z = x | y le v-schŽma formel produit.
On Žtend par la m•me mŽthode le produit tensoriel externe en un bifoncteur^ Los : D-qc(^d(m)¢) | D-qc(^dy(m)) #@ D-(^d(m)),
xzqui envoie Dbqc(^d(m)) | Dbqc(^dy(m)) dans Dbqc(^d(m)) (resp. Dbcoh). On proc•de de m•me pourxzŽtendre sa construction en un bifoncteur entre les catŽgories Db›, qc , et entre les catŽgories
Db›, coh.
LorsquÕon dispose de rel•vements Fx : x @ x', Fy : y @ y' de FXs / S et FYs / S , et que
0

0

0

0

lÕon dŽÞnit Fz : z @ z' comme Žtant le produit Fx | Fy , on obtient pour e' ‘ Dbqc(^d(m)x' ) etbbb(m + s)f' ‘ Dqc(^d(m)) (resp. Db›, qc)y' ) (resp. D›, qc) un isomorphisme canonique de Dqc(^dz(3.4.7.1)

LL
õ@ F *(e' ^¢o Fy * f' #¢o f').
Fx * e' ^zssINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

3.5.

41

Image directe et dualitŽ

Indiquons maintenant comment sÕappliquent les mŽthodes de 3.2 et 3.3 pour lÕŽtude
des images directes, et pour Žtendre le thŽor•me de dualitŽ relative.
3.5.1. Soit f : x @ y un morphisme de v-schŽmas formels lisses. Pour tout e ‘ D-qc(^d(m)),
xon dŽÞnit lÕimage directe de e en posantf+ e := È“l Y *( f÷ + (L“l *X e)),(3.5.1.1)o• f÷ est dŽÞni comme en 3.4.2, et, pour e÷ ‘ D-(d(m)
X ), f÷ + e÷ est le complexe÷Lf÷ + e÷ :=Èf÷ *(d(m)e÷).
Y÷ “ X÷ ¢d(m)
X÷

(m)
(m)
Nous poserons encore ^d(m)y “ x = lim i d Y “ X . On dispose sur ^dy “ x dÕune structure de

“#

i

i

( f -1 ^dy(m), ^d(m))-bimodule, et il existe dans D(^d(m)) un morphisme canoniquexyL(3.5.1.2)e) #@ f+ e.
Èf*(^d(m)y “ x ¢^d(m)xOn vŽriÞe que cÕest un isomorphisme lorsque e ‘ D-coh(^d(m)).
xGr‰ce au thŽor•me de changement de base 2.4.2, les propriŽtŽs Žtablies modulo p isÕŽtendent sur x. Donnons dÕabord un ŽnoncŽ ne nŽcessitant que la quasi-cohŽrenceÊ:3.5.2. PROPOSITION. Ñ Soient f : x @ y, g : y @ z deux morphismes de v-schŽmas
formels lisses.
(i) Pour tout e ‘ Dbqc(^dx(m)), f+ e appartient ˆ Dbqc(^d(m)).
y(ii) Pour tout e ‘ Dbqc(^dx(m)), il existe dans Dbqc(^d(m)) un isomorphisme canoniquezõ@ (g Ï f ) e.
g+( f+ e)) #+(3.5.2.1)

Lorsque e ‘ Dbcoh(^d(m)), on obtient de m•me le thŽor•me de Þnitude pour les imagesx
directes par un morphisme propreÊ:3.5.3. THƒORéME. Ñ Supposons que f : x @ y soit un morphisme propre.
(i) Pour tout e ‘ Dbcoh(^d(m)), f+ e appartient ˆ Dbcoh(^d(m)).
xy(ii) Pour tout e ‘ Dbcoh(^d(m)), et tout m' ≥ m, il existe un isomorphisme canoniquexL(3.5.3.1)¢^d^d(m')y(m)yL
õ@ f (m')(^d(m') ¢f+(m) e #^d(m) e).
+xx

3.5.4. Par passage ˆ la limite, on obtient Žgalement la commutation de f+ aux images
inverses par Frobenius dŽÞnies en 3.1.4. Supposons en effet quÕon soit sous les hypoth•ses
de 3.4.4. En utilisant la Þnitude de Fx et Fy et la quasi-cohŽrence des images directes, on42

P. BERTHELOT

voit que la commutation de f+ aux images inverses par Frobenius dans le cas algŽbrique,bvue en 2.4.6, entra”ne quÕil existe pour tout e' ‘ Dqc(^d(m)x' ) un isomorphisme canonique

õ@ F * f' (m) e'
f+(m + s)(Fx * e') #y+(3.5.4.1)
dans Dbqc(^dy(m)).

3.5.5. Le foncteur f+ se factorise en un foncteur encore notŽf+ : Db›, qc(^d(m)) @ Db›, qc(^d(m)),
xyqui vŽriÞe les m•mes propriŽtŽs que sur Dbqc(^dx(m)). Compte tenu de ce que le foncteur Èf*
commute ˆ la tensorisation par ›, on voit que le foncteur composŽ
f+

ã
(m)
b
Dbcoh(^d(m)) Ã@ Db›, qc(^d(m)) #@ Db›, qc(^d(m)) #@ Db(^d(m)xyx, ›) #@ D›, coh(^dxy, ›)sÕidentiÞe canoniquement au foncteur qui associe ˆ e ‘ Dbcoh(^d(m)x, ›) le complexeL

Èf*(^d(m)e).
y “ x, › ¢^d(m)x, ›Lorsque f est lisse, on dispose par passage ˆ la limite ˆ partir de (2.4.6.2) dÕunmorphisme de complexes„÷x / y ¢o ^dx(m)[dx / y] #@ ^d(m)y“x.

(3.5.5.1)xCÕest un isomorphisme pour m = 0, et une isogŽnie pour tout m. Pour tout e ‘ Db›, qc(^d(m)
),
x
b
(m)
on obtient donc dans D›, qc(^dy ) un isomorphisme canonique

õ@ f e.
Èf*(„÷x / y ¢o e)[dx / y] #+x

(3.5.5.2)

3.5.6. Soit e ‘ Dbcoh(^dx(m)) = Dpar f (^dx(m)) un complexe parfait. Comme dans le cas algŽbrique, on dŽÞnit le complexe dual en posant [52]¢o ∑-1D(e) := Èhom^d(m)(e, ^d(m)xx [dx]).
xx^

Le complexe D(e) appartient ˆ Dpar f (d(m)), donc est quasi-cohŽrent, et on en dŽduit desx
isomorphismes canoniquesõ@ È l L l * D(e) #õ@ È l Èhom (m)(L l * e, d(m) ¢ ∑-1[d ]).
D(e) #
X
X
“X*
“X
“X*
d
“X
o
x
÷

X÷

÷

X÷

Supposons maintenant que f soit un morphisme propre. La construction du morphisme trace esquissŽe en 2.5.8 est sufÞsamment fonctorielle pour fournir, dans la catŽgoriedŽrivŽe des syst•mes projectifs, un morphisme Trf , + : f÷, + ∑X [dx] @ ∑Y [dy]. En appli÷

÷quant È“l X * , on obtient donc dans Dpar f (^d(m)) un morphisme tracey÷Trf, + : f+(∑x)[dx] #@ ∑y[dy].
La construction du morphisme de dualitŽ relative sÕeffectue alors comme dans le cas algŽbrique, et le thŽor•me de dualitŽ relative sÕobtient par passage ˆ la limite ˆ partir de 2.5.9Ê:INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

43

3.5.7. THƒORéME [49, (5.5.3)]. Ñ Soient f : x @ y un morphisme propre de v-schŽmas
(m)formels lisses, e ‘ Dpar f (^d(m)) (resp. Dpar f (^d(m)) (resp.
xx, ›)). Il existe alors dans Dpar f (^dyDpar f (^d(m)x, ›)) un isomorphisme canoniqueõ D ( f (e)),© : f+(Dx(e)) ##@y +(3.5.7.1)

vŽriÞant la condition de transitivitŽ pour le composŽ de deux morphismes propres.

4. Passage ˆ la limite sur le niveau

Nous restons ici sous les hypoth•ses du chapitre prŽcŽdent. Si X est un S-schŽma lisse
au-dessus de Á( p) , nous avons vu en 1.2.5 que le passage ˆ la limite inductive pour mredonne le faisceau usuel dX , qui nevariable dans le syst•me inductif des faisceaux d(m)Xjoue gu•re de r™le dans lÕŽtude de la cohomologie de de Rham et de la cohomologie
cristalline hors de la caractŽristique nulle. Par contre, si x est un v-schŽma formel lisse, unpassage ˆ la limite similaire sur les complŽtŽs ^d (m)permet dÕintroduire un nouveauxfaisceau, notŽ dìx , qui est directement liŽ ˆ lÕŽtude de la cohomologie rigide de la rŽduction
de x sur k (voir [3]).

4.1.

Le faisceau dÕopŽrateurs diffŽrentiels dìx, ›Nous commen•ons donc ici lÕŽtude des faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels obtenus en
passant ˆ la limite inductive pour m variable dans les syst•mes de faisceaux (^d(m))m ‘ ˙ etx(m)(^dx, ›)m ‘ ˙ .
4.1.1. Soit x un v-schŽma formel lisse. On dŽÞnit un nouveau faisceau dÕopŽrateursdiffŽrentiels sur x en posant.
dìx := lim ^d(m)x#@m

Il sera appelŽ faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels (dÕordre inÞni) de niveau Þni sur x. Si ^dx
est le complŽtŽ p-adique du faisceau usuel des opŽrateurs diffŽrentiels sur x, la description
des sections des faisceaux ^dx(m) donnŽe en (3.1.1.1) montre que les morphismes naturels^dx(m) @ ^dx sont injectifs. Par suite, dìx est un sous-faisceau dÕanneaux de ^dx . Soient u « x
un ouvert afÞne muni de coordonnŽes locales t1 , . . . , td , et Æ - Æ une norme de Banach surlÕalg•bre afÞno•de ‚(u, ou) › [18]. En utilisant la base (Ÿ[k]) de ‚(u, d x), on peut alorsdŽcrire le sous-anneau ‚(u, dìx) « ‚(u, ^dx) sous la forme suivante [5, 2.4.4]Ê:(4.1.1.1) ‚(u, dìx) = { å ak Ÿ[k] æ ak ‘ ‚(u, ox), et ¡ c, ⁄ ‘ È, ⁄ < 1, tels que ÆakÆ < c ⁄ækæ }.
k

44

P. BERTHELOT

Nous reviendrons plus loin (voir 4.4.1) sur les relations entre les conditions de dŽcroissancequi apparaissent ici et celles, compl•tement analogues, de Monsky-Washnitzer [44].
Pour tout i, la rŽduction de dìx modulo µ i + 1 est Žgale ˆ dX . Par suite, dìx nÕest pas uni
faisceau dÕanneaux nÏthŽrien. De plus, ox nÕest pas de prŽsentation Þnie sur dìxÊ, puisqueoX ne lÕest pas sur dX . Nous nous intŽresserons donc essentiellement dans ce qui suit auii

faisceau dìx, › .
En utilisant lÕexistence dÕun morphisme canonique surjectif dìx @ F * dìx' , o• F : x @x' est un rel•vement local du Frobenius de X0 , on voit que d ìx, › nÕest pas non plus un
faisceau dÕanneaux nÏthŽriens [8, 4.2.3]. Mais on peut nŽanmoins montrerÊ:4.1.2. THƒORéME [5, 3.6.1 (i)]. Ñ Le faisceau dìx, › est cohŽrent (ˆ gauche et ˆ droite).
CÕest une consŽquence formelle du thŽor•me de platitude suivantÊ:(m')
4.1.3. THƒORéME [5, 3.5.3]. Ñ Pour tout m' ≥ m, les homomorphismes ^d(m)x, › @ ^dx, › sontplats ˆ gauche et ˆ droite.
Il sufÞt de prouver que, pour tout ouvert afÞne u « x sur lequel il existe un syst•mede coordonnŽes locales, lÕhomomorphisme induit entre les sections est plat. La mŽthode dela dŽmonstration consiste ˆ introduire un anneau D' tel que),‚(u, ^dx(m)) « D' « ‚(u, ^d(m')
xet qui poss•de les propriŽtŽs suivantesÊ:(i) ‚(u, ^d(m)x, ›) = D'› ;(ii) ^D' = ‚(u, ^d(m'));x(iii) D' est un anneau nÏthŽrien.
La condition (iii) entra”ne que ^D' est plat sur D', de sorte que lÕŽnoncŽ rŽsulte alors desconditions (i) et (ii).

4.1.4. Par passage ˆ la limite inductive, on peut montrer que, lorsque x est un schŽma
formel afÞne, les thŽor•mes A et B sont vrais pour les d ìx, ›-modules cohŽrents [5, 3.6.4].
Plus prŽcisŽmentÊ:A) Tout d ìx, ›-module cohŽrent est engendrŽ par ses sections globales, et le foncteur‚(x, -) induit une Žquivalence de catŽgories entre la catŽgorie des dìx, ›-modules cohŽrents,
et celle des ‚(x, dìx, ›)-modules de prŽsentation Þnie.
B) Si e est un dìx, ›-module cohŽrent, H n(x, e) = 0 pour tout n ≥ 1.
A partir de 3.1.3, les rŽsultats prŽcŽdents fournissent une estimation de la dimension
homologique des anneaux ‚(x, dìx, ›) lorsque x est afÞneÊ:INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

45

4.1.5. COROLLAIRE. Ñ Supposons que x soit afÞne, de dimension relative d sur s. AlorsÊ:(i) Tout ‚(x, d ìx, ›)-module de prŽsentation Þnie poss•de une rŽsolution projective detype Þni de longueur 2d.
(ii) LÕanneau ‚(x, dìx, ›) est de dimension homologique Þnie, comprise entre d et 2d + 1.
Comme en 3.1.3, on conjecture que ‚(x, dìx, ›) est en fait de dimension homologique d.

4.1.6. Exemples. ÑMentionnons ici quelques exemples de d ìx, ›-modules cohŽrents

provenant de la cohomologie rigide (voir [3]). Nous noterons xK la Þbre gŽnŽrique de x, qui
est un espace analytique rigide sur K, et spÊ: xK @ x le morphisme de spŽcialisation.
(i) Un isocristal convergent sur X0 sÕinterpr•te comme la donnŽe dÕun ox -module
K

localement libre de rang Þni E, muni dÕune connexion intŽgrable dont la sŽrie de Taylor
converge sur le tube de la diagonale de X0 dans xK | xK . Le ox, ›-module e = sp* E est
alors localement projectif de rang Þni, et la condition de convergence permet de le munirdÕune structure canonique de d ìx, ›-module, pour laquelle il est cohŽrent [3, (3.1.4)]. Le
foncteur sp* dŽÞnit ainsi une Žquivalence entre la catŽgorie des isocristaux convergents sur
X0 et celle des dìx, ›-modules cohŽrents qui sont ox, ›-cohŽrents [5, 4.1.4]. Rappelons quÕen
particulier tout F-isocristal sur X0 est convergent (voir [4, 2.4.1]).
(ii) Soient Z « X0 un fermŽ, j : U Ã@ X0 lÕinclusion du complŽmentaire de Z, u « x lesous-schŽma formel ouvert dÕespace sous-jacent U. Pour tout faisceau F sur xK , on posejüì F = lim V jV * jV -1 F, o• V parcourt lÕensemble des voisinages stricts du tube ] U [x = uK de#@
U dans xK . Un isocristal sur U surconvergent le long de Z sÕinterpr•te comme la donnŽe
dÕun jüì ox -module localement libre de rang Þni E, muni dÕune connexion intŽgrable dont laKsŽrie de Taylor est convergente sur un voisinage strict du tube de U dans xK | xK , danscelui de X0 dans xK | xK .
Le complexe e = Èsp* E (qui est rŽduit au seul terme sp* E lorsque Z est un diviseur)peut alors •tre muni dÕune structure naturelle de complexe de dìx, ›-modules (cf. [3, (4.1.5)],
en supposant x sŽparŽ). Il y a lieu dÕobserver quÕen gŽnŽral ses faisceaux de cohomologie nesont pas nŽcessairement cohŽrents sur dìx, › , ˆ cause de difÞcultŽs provenant des nombresde Liouville p-adiques (voir 5.3.6 plus bas pour une discussion de ce probl•me).
(iii) Du point de vue de la thŽorie dŽveloppŽe ici, le complexe Èsp* j ì ox constitue leKsubstitut naturel du complexe Èj*ou, › , qui nÕa pas de propriŽtŽs de Þnitude satisfaisantes(m•me si x est propre, sa cohomologie de de Rham nÕest pas de dimension Þnie en gŽnŽral).
De m•me, si lÕon pose pour tout faisceau abŽlien F sur xK‚]ìZ [(F) = Ker(F @ j ì F),
le complexe Èsp* ‚]ìZ [(ox ) constitue le substitut naturel du complexe È‚Z(ox, ›). Nous
K

verrons en 4.4.9 que ces deux complexes sont ˆ cohomologie dìx, ›-cohŽrente.

46

P. BERTHELOT

4.2.

Passage ˆ la limite inductive et localisation dans les catŽgories dŽrivŽes

-modules et les ^d(m)Comme pour les ^d(m)x, ›-modules, on ne peut pas dŽÞnir des opŽrax
ì
tions cohomologiques pour les d x, ›-modules avec une gŽnŽralitŽ sufÞsante sans tenir
compte de la topologie de dìx, › . La mŽthode que nous emploierons est une extension de celleque nous avons utilisŽe en 3.3 dans le cas des complexes de ^d (m)x, ›-modulesÊ: nous netravaillerons pas directement dans la catŽgorie dŽrivŽe D(dìx, ›), mais dans une catŽgorietriangulŽe convenable, munie dÕun foncteur exact ˆ valeurs dans D(dìx, ›) qui induise uneŽquivalence entre une sous-catŽgorie pleine et la catŽgorie Dbcoh(dìx, ›). Pour construire cettecatŽgorie, nous partirons de la catŽgorie des syst•mes inductifs de ^d(m)-modules pour mxvariable, puis nous la localiserons en deux ŽtapesÊ: nous inverserons dÕabord les indisogŽnies entre syst•mes inductifs, puis nous effectuerons une localisation qui constituera
une certaine forme de passage ˆ la limite prŽservant la structure triangulŽe.
Nous nous limiterons ici aux syst•mes inductifs de ^d(m)-modules, renvoyant le lecteurxˆ [9] pour une Žtude plus gŽnŽrale.
4.2.1. Nous travaillerons dans le topos x(÷) des syst•mes inductifs de faisceaux (E(m))m ‘ ˙

sur x. On peut le considŽrer comme annelŽ par le syst•me inductif de faisceaux dÕanneaux^dx(÷) = (^dx(m))m ‘ ˙ . Un ^d(x ÷)-module e(÷) est simplement la donnŽe dÕun syst•me inductif de^dx(m)-modules e(m), tel que les applications de transition å(m', m) : e(m) @ e(m') soient semi@ ^d(m'). SÕil nÕen rŽsulte pas de confusion,linŽaires par rapport aux homomorphismes ^d(m)xx(÷)
nous noterons simplement e un tel syst•me, au lieu de e .
Sur la catŽgorie des syst•mes inductifs, la notion dÕisogŽnie considŽrŽe en 3.3 nÕest plussufÞsante, car on souhaite pouvoir considŽrer des morphismes f pour lesquels l'entier n telquÕil existe g vŽriÞant g Ï f = n, f Ï g = n, puisse varier avec m sans •tre nŽcessairementbornŽ. On est ainsi conduit ˆ remplacer cette notion par la notion plus souple de indisogŽnie introduite plus bas. Nous nous limiterons ici au cas des p-isogŽnies, i.e. telles que nsoit une puissance de p, en renvoyant ˆ [9] pour le cas gŽnŽral.
Soit M lÕensemble des applications croissantes © : ˙ @ ˙, qui est lui m•me un ensemble ordonnŽ Þltrant. On peut associer ˆ tout © ‘ M un foncteur exact © * de la catŽgorie des^dx(÷)-modules dans elle-m•me en associant ˆ un syst•me inductif (e(m), å(m', m)) le syst•me
inductif obtenu en posant (© * e)(m) = e(m), et en prenant pour morphismes de transition lesmorphismes p ©(m') - ©(m)å(m', m) : e (m) @ e(m'), m ≤ m'. On dispose alors dÕun morphisme
naturel de syst•mes inductifs ∆e, © : e @ © * e, dŽfini par la multiplication par p ©(m) sur e(m).
Les foncteurs © * passent ˆ la catŽgorie dŽrivŽe D(^dx(÷)). Nous dirons quÕun morphismef : e @ f de D(^d(x ÷)) est une ind-isogŽnie sÕil existe © ‘ M, et un morphisme g : f @ © * e deD(^d(÷) ), tels que g Ï f = ∆et © * ( f ) Ï g = ∆ . Les ind-isogŽnies forment un syst•me
x

e, ©

f, ©

multiplicatif ‰ compatible avec la structure triangulŽe de D(^dx(÷)), qui contient les morphismes ∆e, © . Pour * ‘ {Ø, +, -, b}, nous noterons @D*›(^dx(÷)) la catŽgorie triangulŽe obtenue enlocalisant D*(^d(÷)) par rapport ˆ ‰ ı D*(^d(÷)). Si e, f sont deux syst•mes inductifs, on axx

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

47

donc
HomD (^d(÷))(e, f) = lim HomD(^d(÷))(e, © * f).
@›

#@

x

x

©‘M

La catŽgorie D*›(^dx(÷)) est une sous-catŽgorie pleine de D›(^dx(÷)), car les foncteurs © * com@@mutent ˆ la troncation.
(÷)
Il existe un foncteur exact naturel D›(^d(x ÷) ) @ D(^dx,›) factorisant le foncteur de@tensorisation par ›.
Exemple. Ñ Soit f : x @ y un morphisme lisse. Pour m variable, les morphismes (3.5.5.1)
dŽÞnissent un morphisme ^d(x ÷)-linŽaire ˆ droite)„÷x / y ¢o ^d(x ÷)[dx / y] #@ ^d(y÷“x.

(4.2.1.1)

x

Ce morphisme est une ind-isogŽnie [9]. En particulier, le morphisme canonique„÷x ¢o ^dx(÷)[dx] #@ ∑x(÷) ,xo• ∑x(÷) est le syst•me inductif constant de valeur ∑x , est une ind-isogŽnie.

4.2.2. LÕŽtape suivante consiste ˆ remplacer le passage ˆ la limite inductive par une autre
localisation. Soit L lÕensemble des applications ¬ : ˙ @ ˙ qui sont croissantes, et telles que¬(m) ≥ m pour tout m. CÕest de mani•re naturelle un ensemble ordonnŽ Þltrant. Pour tout
¬ ‘ L, et tout ^dx(÷)-module e, nous noterons ¬* e le ^d(x ÷)-module tel que (¬* e)(m) = e(¬(m)), etque, pour m' ≥ m, le morphisme de transition (¬* e)(m) @ (¬* e)(m') soit le morphismedonnŽ e(¬(m)) @ e(¬(m')). On dispose dÕun morphisme canonique ®e, ¬ : e @ ¬* e. Le foncteur¬* est exact, et sÕŽtend donc en un foncteur exact sur D(^d(÷)). Il est facile de voir que ¬*xtransforme une ind-isogŽnie en ind-isogŽnie, de sorte quÕil sÕŽtend Žgalement ˆ la catŽgorielocalisŽe D (^d(÷)) par rapport ˆ ‰.
@›x

Soit ˆ lÕensemble des morphismes f : e @ f de @D›(^d(x ÷)) tels quÕil existe ¬ ‘ L, et un
morphisme g : f @ ¬* e, tels que g Ï f = ®e, ¬ et ¬*( f ) Ï g = ®f, ¬ . LÕensemble ˆ est encore unsyst•me multiplicatif, compatible ˆ la structure triangulŽe de D (^d(÷)). Pour * ‘ {Ø, +, -,@›x* (^d(÷) ) la catŽgorie triangulŽe dŽduite de D* (^d(÷)) par localisation parb}, on note LD
x
x
#@ ›
@›
* (^d(÷)) est encore une sous-catŽgorie pleine derapport ˆ ˆ ı @D*›(^d(x ÷)). La catŽgorie #
LD
x
@›
(÷)
(÷)
LD
(
d
).
Si
e,
f
sont
deux
complexesded-modules,on a par construction
^
^
x
x
#@ ›
HomLD (^d(÷))(e, f) = lim lim HomD(^d(÷))(e, ¬* © * f).
#@ ›

x

#@ #@

x

¬‘L ©‘M

Le foncteur lim , allant de la catŽgorie des ^d(x ÷)-modules vers celle des dìx -modules, est#@
un foncteur exact. Il sÕŽtend en un foncteur exact D(^d(÷)) @ D(dì ). Par composition avec lexx

foncteur de tensorisation par ›, une ind-isogŽnie est transformŽe en isomorphisme, ce qui
fournit une extension de lim en un foncteur @D›(^d(x ÷)) @ D(dìx, ›). Celui-ci transforme tout#@

morphisme de ˆ en un isomorphisme, dÕo• Þnalement un foncteur
lim : LD(^d(x ÷)) #@ D(dìx, ›).
#@ ›
#@

48

P. BERTHELOT* (^d(÷)) dans D*(dì ).
Pour * ‘ {+, -, b}, ce foncteur envoie #
LD
x
x, ›
@›
(^dx(÷)).
4.2.3. On peut introduire des conditions de Þnitude sur les objets de LD#@ ›(i) Soit e ‘ LD-›(^dx(÷)) (resp. LDb›(^d(x ÷))). Nous dirons que e est quasi-cohŽrent sÕil est#@#@
isomorphe dans LD (d(÷)) ˆ un complexe e' tel que, pour tout m, le complexe e'(m) soit
#@ ›

^ x

* (^d(÷))
dans Dqc(^dx ) (resp. D bqc(^dx(m))). Pour * ‘ {-, b}, la sous-catŽgorie pleine de #LDx@›dont les objets sont les complexes quasi-cohŽrents sera notŽe LD*›, qc(^dx(÷)). Il est facile de#@vŽriÞer que cÕest une sous-catŽgorie triangulŽe de LD*›(^d(x ÷)).
-

(m)

#@

(ii) Notons dÕabord que, si ¬ ‘ L, tout ¬* ^d(x ÷)-module f peut •tre considŽrŽ comme un^dx(÷)-module par lÕintermŽdiaire du morphisme ®^d(x÷), ¬ : ^d(x ÷) @ ¬* ^dx(÷). Pour * ‘ {-, b}, soite ‘ LD* (^d(÷)). Nous dirons que e est cohŽrent sÕil existe ¬ ‘ L, e ' ‘ LD* (¬*^d(÷) ), et un
#@ ›

x

#@ ›

x

õ@ e' dans LD* (^d(÷)), tels que e' vŽriÞe les conditions suivantesÊ:isomorphisme e #x#@ ›a) Pour tout m, e'(m) ‘ D* (^d(¬(m))) ;
coh

b)

x

Pour tous m ≤ m', le morphisme canoniqueL¢^d^d(¬(m'))x(¬(m))
xe'(m) #@ e'(m')

est un isomorphisme.
* (^d(÷))
Bien que ce soit moins Žvident sur la dŽÞnition, la sous-catŽgorie pleine de LDx#@ ›dont les objets sont les complexes cohŽrents est aussi une sous-catŽgorie triangulŽe de
*
(÷)
(÷)
LD›(^dx(÷)). Nous la noterons LD*›, coh(^dx ). C'est une sous-catŽgorie de LD›, qc(^dx ).
#@

#@

#@

Exemple. Ñ Le syst•me constant de valeur ox est cohŽrent dans LD›(^d(x ÷) ), car le#@Lcomplexe ^dx(÷) ¢^d(0) ox vŽriÞe les conditions a) et b) ci-dessus, et le morphisme canoniquexL^dx(÷) ¢^d(0)x

ox #@ ox

est une ind-isogŽnie.
LÕintŽr•t de cette notion de cohŽrence provient du thŽor•me suivantÊ:4.2.4. THƒORéME [9]. Ñ Le foncteur lim induit une Žquivalence de catŽgories#@ãblim : LD(^d(x ÷)) ##@Dbcoh(dìx, ›).
#@ ›, coh#@

4.3.

OpŽrations cohomologiques sur dìx, ›La mŽthode gŽnŽrale que nous suivrons consiste ˆ dŽÞnir des opŽrations cohomolobgiques entre les catŽgories LD(^dx(÷)) (pour x variable), en factorisant gr‰ce ˆ la propriŽ#@ ›, qc
tŽ universelle des catŽgories localisŽes les opŽrations dont on dispose sur Db (^d(÷) ) au
qc

xmoyen des constructions antŽrieures. Ces opŽrations vŽriÞeront alors automatiquement les

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

49

m•mes relations que sur les catŽgories Dbqc(^dx(m)). DÕautre part, on sÕassure que, lorsquÕon
compose avec le foncteur lim , et quÕon identiÞe la sous-catŽgorie LDb›, coh(^d(x ÷)) ˆ Dbcoh(dìx, ›)#@#@par 4.2.4, on retrouve les dŽÞnitions classiques de ces opŽrations.

4.3.1. ConsidŽrons dÕabord la descente par Frobenius. On reprend ici les hypoth•ses de
3.1.4. Pour m assez grand, lÕidŽal maximal de v poss•de une m-PD-structure, de sorte que
à (m)(m + s), ^d(m)F * ^d(m)x' poss•de une structure canonique de (^dxx' )-bimodule, et F ^dx' une struc(m + s))-bimodule. Par passage ˆ la limite inductive sur m, il enture canonique de (^d(m)x' , ^dxìà ì*rŽsulte que F dx', › et F dx', › poss•dent respectivement une structure canonique de(dìx, › , dìx', ›)-bimodule et de (dìx', › , dìx, ›)-bimodule.
En passant ˆ la limite inductive dans les isomorphismes (3.1.4.1), on en dŽduit desisomorphismes de dìx, ›-bimodules et de dìx', ›-bimodules

õ@ Fü* F à dì ,dìx, › #x', ›õ@ dì .
F à dìx', › ¢dìx, › F * dìx', › #x', ›Il en rŽsulte que les foncteurs e' ò @ F * e' et e ò @ F à dìx, › ¢dìx, › e sont des Žquivalences decatŽgories quasi-inverses entre la catŽgorie des dìx', ›-modules ˆ gauche et celle des dìx, ›modules ˆ gauche, prŽservant les conditions de Þnitude usuelles, et induisant une Žquivalence entre D(dìx', ›) et D(dìx, ›).
(÷)
De m•me, les foncteurs e' ò @ F * e' et e ò @ F à ^dx'¢^d (x÷) e se factorisent par lescatŽgories localisŽes construites en 4.2, et induisent des Žquivalences de catŽgories quasi(÷)
inverses entre les catŽgories LD›(^d(x'÷)) et LD›(^dx), prŽservant les sous-catŽgories LDb›, qc
#@

#@

#@

b
et #
LD
. Le foncteur lim commute ˆ ces Žquivalences.
@ ›, coh#@

4.3.2. Soit f : x @ y un morphisme de v-schŽmas formels lisses. En appliquant les
foncteurs L“l *X et È“l X * sur la catŽgorie des syst•me inductifs, on dŽÞnit comme en 3.4.2 un(÷)
foncteur f ! : D-(^d(y÷)) @ D-(^dx). Sa factorisation par les catŽgories localisŽes construites
en 4.2 fournit un foncteur LD (^d(÷)) @ LD- (^d(÷)), qui induit un foncteur
#@ ›

y

#@ ›

x

b
b
LD
(^d(y÷)) #@ LD(^d(x÷)).
f! : #@ ›, qc#@ ›, qc

(4.3.2.1)

S i g : y @ z est un second morphisme de v-schŽmas formels lisses, et sig ‘ LDb (d(÷)), on dispose alors dans LDb (d(÷)) de la formule de transitivitŽ
#@ ›, qc

^ z

^ x#@ ›, qc

õ (g Ï f )! g.
f !(g ! g)) ##@En effet, celle-ci rŽsulte par construction de (3.4.3.1).
ì-1 ì
Soit dÕautre part d ìx @ y, › = lim m ^d (m)dy, ›)-bimodule. Le
x @ y, › ; cÕest un (dx, › , f#@foncteur composŽ
!

lim

f
#
@
ã
b
(÷)
(÷)
LD
(
d
)
##@
LDb (^dx) ##@ Db(dìx, ›)Dbcoh(dìy, ›) ##@ #
^
›,
coh
y
@
#@ ›, qc

est alors canoniquement isomorphe au foncteurL(4.3.2.2)

f ò @ dìx @ y, › ¢f -1 dìy, › f -1 f.

50

P. BERTHELOTb(÷)
b
Lorsque f ! envoie #LD(^dy) dans LD(^d(x÷)), nous pourrons ainsi identiÞer
@ ›, coh#@ ›, cohgr‰ce ˆ 4.2.4 le foncteur f ! au foncteur dŽÞni par (4.3.2.2), et le considŽrer comme unfoncteur que nous noterons encore gŽnŽralement f ! : Dbcoh(dìy, ›) @ Dbcoh(dìx, ›). Cettesituation se produit notamment lorsque f est lisse, gr‰ce ˆ 3.4.6Ê:

4.3.3. THƒORéME [10]. Ñ Soit f : x @ y un morphisme lisse de v-schŽmas formels.
(i) Pour tout f ‘ LDb(d(÷)), le complexe f ! f appartient ˆ LDb(d(÷)).

^^yx#@ ›, coh#@ ›, cohb(m)!
‘ Dcoh(dy, ›). Si lÕon consid•re f comme un foncteur de Dbcoh(dìy, ›) dans(ii) Soit f
Dbcoh(dìx, ›) gr‰ce ˆ (i) et 4.2.4, il existe dans Dbcoh(dìx, ›) un isomorphisme canonique

^

(m)

(m)

dìx, › ¢^d(m) f !

(4.3.3.1)x, ›õ@ f !(dì ¢ (m) f(m)).
f(m) #y, › ^dy, ›A partir de 3.4.4, on obtient par ailleursÊ:4.3.4. PROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de 3.4.4, il existe pour tout f' ‘ LDb›, qc(^d(y'÷))#@
un isomorphisme canonique de LDb (^d(÷))#@ ›, qcx

õ F* f' ! f'.
f ! F*y f' ##@x(4.3.4.1)

Lorsque f est lisse et f' ‘ Dbcoh(dìy', ›), cet isomorphisme peut •tre vu comme un isomorphisme de Dbcoh(dìx, ›) via 4.2.4.
4.3.5. Soient x, y deux v-schŽmas formels lisses, z = x | y. Le produit tensoriel externe
construit en 3.4.7 sÕŽtend en un bifoncteur
L

¢ìo

s

(÷)
(÷)
: LD
(^dx
) | LD(^dy) #@ #LD(^d(z÷)).
#@ ›, qc#@ ›, qc@›

On vŽriÞe quÕil induit un bifoncteur
b
(÷)
(÷)
(^d(x÷)) | LDb›, coh(^dy) #@ LDb›, coh(^dz),
LD#@ ›, coh#@#@de sorte quÕon peut utiliser 4.2.4 et le considŽrer comme un bifoncteur
Dbcoh(dìx, ›) | Dbcoh(dìy, ›) #@ Dbcoh(dìz, ›).
LorsquÕon dispose de rel•vements de Frobenius comme en 3.4.7, on obtient, pour e' ‘
LDb (^d(÷)), f' ‘ LDb (^d(÷)), un isomorphisme canonique#@ ›, qc

(4.3.5.1)x'#@ ›, qcy'LLìõ@ F *(e' ¢Fx * e' ¢ìo Fy * f' #zo f').
ssbb
Lorsque e' ‘ Dcoh(dìx', ›), f' ‘ Dcoh(dìy', ›), on peut encore le considŽrer comme un isomorphisme de Dbcoh(dìz, ›).

4.3.6. ConsidŽrons ˆ nouveau un morphisme f : x @ y de v-schŽmas formels lisses.
Appliquant la mŽthode de 3.5.1 au niveau de la catŽgorie dŽrivŽe des syst•mes inductifs, onINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

51

(÷)
(÷)
obtient un foncteur f+ : D-(^dx) @ D-(^dy). En le factorisant par les catŽgories LD
, et
#@ ›
en utilisant la prŽservation de la quasi-cohŽrence vue en 3.5.2, on obtient un foncteurbb(^d(x÷)) #@ LD(^d(y÷)).
f+ : LD#@ ›, qc#@ ›, qc

(4.3.6.1)

S i g : y @ z est un second morphisme de v-schŽmas formels lisses, et si e ‘LDb›, qc(d(x÷)), on dŽduit encore de 3.5.2 lÕisomorphisme de transitivitŽ#@^õ@ (g Ï f ) e
g+( f+ e) #+(4.3.6.2)

dans LDb›, qc(^d(z÷)).
#@Supposons que f soit un morphisme lisse. Comme le morphisme (4.2.1.1) est une indisogŽnie, on en dŽduit pour tout e ‘ LDb (^d(÷)) un isomorphisme de LDb (o )#@ ›, qcx#@ ›, qcy

õ@ f e.
Èf*(„÷x / y ¢o e)[dx / y] #+x

(4.3.6.3)

4.3.7. On introduit dÕautre part le ( f -1 dìy, › , d ìx, ›)-bimodule dìy “ x, › = lim m ^d (m)y “ x, › .
#@Le foncteur composŽ
lim

f+
#
@
ã
b
(÷)
Dbcoh(dìx, ›) ##@LDb(^d(x÷)) ##@ #LD(^dy) ##@ Db(dìy, ›)#@ ›, coh@ ›, qc

est alors canoniquement isomorphe au foncteurLe ò @ Èf*(dìy “ x, › ¢dìx, › e).

(4.3.7.1)(÷)
LDb›, coh(^d(x÷)) dans LDb›, coh(^dy), nous utiliserons ˆ nouveau 4.2.4 pourLorsque f+ envoie #@#@bconsidŽrer f+ comme un foncteur encore notŽ f+ : Dcoh(dìx, ›) @ Dbcoh(dìy, ›).
Gr‰ce au thŽor•me de Þnitude suivant, dont la dŽmonstration repose sur 3.5.3, cettesituation se produit notamment lorsque f est propreÊ:4.3.8. THƒORéME [10]. Ñ Soit f : x @ y un morphisme propre de v-schŽmas formels.
(i) Pour tout e ‘ LDb(^d(÷)), le complexe f e appartient ˆ LDb(^d(÷)).

+xy#@ ›, cohb(m)
‘ Dcoh(dx, ›). Si lÕon consid•re f+ comme un foncteur de Dbcoh(dìx, ›) dans(ii) Soit e
Dbcoh(dìy, ›) gr‰ce ˆ (i) et 4.2.4, il existe dans Dbcoh(dìy, ›) un isomorphisme canonique#@ ›, coh(m)

(4.3.8.1)^

õ f (dì ¢ (m) edìy, › ¢^d(m) f+(m)(e(m)) ##@+x, › ^d

(m)

y, ›

x, ›

).

EnÞn, on dŽduit de 3.5.4 la commutation du foncteur f+ aux images inverses par
FrobeniusÊ:b(^d(x'÷))
4.3.9. PROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de 3.4.4, il existe pour tout e' ‘ LD#@ ›, qc
un isomorphisme canonique de LDb (^d(÷))#@ ›, qc

(4.3.9.1)yõ F * f' e'.
f+(Fx * e') ##@y+

Lorsque f est propre et e' ‘ Dbcoh(dìx', ›), cet isomorphisme peut •tre considŽrŽ comme un

52

P. BERTHELOT

isomorphisme de Dbcoh(dìx, ›) via 4.2.4.

4.3.10.

Si e ‘ Dbcoh(dìx, ›) = Dpar f (dìx, ›), on dŽÞnit son dual en posantD(e) := Èhomdì (e, dìx, › ¢ ∑x -1[dx]),x, ›qui est lui aussi un complexe de D par f (dìx, ›). On dispose encore de lÕisomorphisme dedualitŽ localeõ D(D(e)).
e ##@Soit F : x @ x' un rel•vement de FXs / S . En procŽdant comme dans le cas algŽbrique,00
on obtient pour e' ‘ Dpar f (dìx', ›) lÕisomorphisme de commutation du dual ˆ lÕimage inverse
par Frobenius [52]

õ@ D (F * e').
F * Dx'(e') #x(4.3.10.1)

4.3.11. SÕil existe un entier m, un complexe e(m) ‘ Dpar f (^dx(m)) et un isomorphismeõ@ e,dìx, › ¢^d(m) e(m) #x

on en dŽduit un isomorphisme

õ@ D(e).
dìx, › ¢^d(m) D(m)(e(m)) #x

De m•me, si lÕon se limite aux syst•mes inductifs indexŽs par les entiers m' ≥ m et que lÕonpose
Le(÷) := ^d(x ÷) ¢^d(m) e(m),x(÷)) un syst•me inductif D(e(÷))(÷), tel que, pour tout m' ≥ m, onon peut dŽÞnir dans D(dx(÷)
) @ D(dìx) @ D(dìx, ›),ait D(e(÷))(m') ñ D(m')(e(m')). En appliquant le foncteur lim : D(dx
#@

^

^

on obtient alors l'isomorphisme

õ@ D(e).
lim D(e(÷))(÷) ##@4.3.12. Supposons que f : x @ y soit un morphisme propre de v-schŽmas formels lisses.
(m)(∑x)[dx] @ ∑y[dy]Pour tout m, on dispose dÕapr•s 3.5.6 dÕun morphisme trace Tr(m)f, + : f+
b
(÷) d
b
(÷) d
(m) d
(÷)
dans Dpar f (^dy). En utilisant le foncteur f+: D (^dx ) @ D (^dy ) dŽÞni pour lesmodules ˆ droite de mani•re analogue ˆ 4.3.6, on montre que ces morphismes proviennentdÕun morphismeTr(f,÷+) : f+ (÷)(∑x)[dx] @ ∑y[dy](÷) d). En appliquant le foncteur lim , on en dŽduit un mordans la catŽgorie dŽrivŽe Db(^dy#@phisme traceTrìf, + : f+(∑x, ›)[dx] #@ ∑y, ›[dy]INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

53

L

dans Dpar f (dìy, ›), o• lÕon peut prendre f+(∑x, ›) = Èf* (∑ x, › ¢dìx, › dìx @ y, ›) gr‰ce authŽor•me de Þnitude symŽtrique de 4.3.8 pour les modules ˆ droite.
Comme prŽcŽdemment, le morphisme trace permet de dŽÞnir pour tout complexe e ‘
Dpar f (dìx, ›) un morphisme de dualitŽ relative. Par un passage ˆ la limite basŽ sur 4.3.11,

on obtient alors ˆ partir du cas des complexes parfaits de ^dx(m)-modules le thŽor•me dedualitŽ relative pour les complexes parfaits de dìx, ›-modulesÊ:4.3.13. THƒORéME [49, (5.7.2)]. Ñ Soit f : x @ y un morphisme propre de v-schŽmas
formels lisses. Pour tout complexe e ‘ Dpar f (dìx, ›), il existe un isomorphisme canonique

õ@ D ( f (e))© : f+(Dx(e)) #y +(4.3.13.1)
dans Dpar f (dìy, ›).

4.4.

CohŽrence des faisceaux de fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes

Soient x un v-schŽma formel propre et lisse, de rŽduction X = X0 sur k, Z « X un
diviseur, j : U Ã@ X lÕinclusion de lÕouvert complŽmentaire, u « x le sous-schŽma formel
ouvert dont lÕespace sous-jacent est U. Avec les notations de 4.1.6, le faisceau ox, ›(ìZ) :=sp* j ì ox poss•de une structure naturelle de dìx, ›-module. DÕautre part, la cohomologie
K
rigide de U est, essentiellement par construction [7], la cohomologie de de Rham de x ˆcoefÞcients dans ox, ›(ìZ). Il rŽsulte alors de lÕisomorphisme de comparaison (4.3.6.3) et duthŽor•me de Þnitude 4.3.8 que, si lÕon peut montrer que ox, ›(ìZ) est cohŽrent en tant quen(U / K ) sont des K-espaces vectoriels dedìx, ›-module, les espaces de cohomologie rigide Hrig
dimension Þnie. Bien quÕil existe par ailleurs des dŽmonstrations directes de la Þnitude dela cohomologie rigide (voir [7], [25], [43]), la cohŽrence de ox, ›(ìZ) sur dìx, › est un rŽsultat
essentiel pour lÕŽtude de celle-ci, ne serait-ce que parce quÕil permet dÕobtenir des thŽor•mesde Þnitude plus gŽnŽraux, utilisant par exemple la cohŽrence des images directes par un
morphisme propre.
Nous expliquons ici, en suivant la mŽthode prŽsentŽe dans [6], comment les rŽsultats
qui prŽc•dent permettent de prouver la cohŽrence sur dìx, › de ox, ›(ìZ), et, plus gŽnŽralement, des dìx, ›-modules associŽs ˆ une sous-variŽtŽ localement fermŽe de la Þbre spŽciale
de x.

4.4.1. On commence par construire (cf. [5, 4.2]) un syst•me inductif de ox -alg•bres, qui soient des^bx(m)(Z), p-adiquement sŽparŽes et compl•tes, munies dÕune action de ^d(m)xmod•les entiers des alg•bres afÞno•des de certains voisinages stricts du tube uK de U dansxK , et telles que lÕon ait un isomorphisme dìx, ›-linŽaire

õ sp j ì o .
lim ^bx(m)(Z) ¢ › ##@
x
*
#@
m

K

54

P. BERTHELOT

Pour cela, on part dÕune situation algŽbrique ÇÊuniverselleÊÈ. Fixons un entier m ‘ ˙,
et soient Å = Spec Á( p)[t], r ‘ ˙ un entier tel que p m + 1 æ r, T une indŽterminŽe. On poseb(t, r) = oÅ[T] / (t rT - p).
LÕalg•bre b(t, r) est une sous-alg•bre de o Å [1/ t] ¢ ›, et on vŽriÞe quÕelle est stable parlÕaction de d(m)« dÅ ¢ › [5, 4.2.1].
Å
Soient S un Á( p)-schŽma, X un S-schŽma lisse, f ‘ ‚( X, oX). La donnŽe de f dŽÞnit ununique morphisme ƒ : X @ Å tel que ƒ *(t) = f. On a alorsƒ * b(t, r) = oX[T] / ( f rT - p),
et, dÕapr•s 2.2.1, lÕalg•bre b( f, r) := ƒ *b(t, r) est munie d'une structure canonique de d(m)Xmodule. On vŽriÞe que cette structure est compatible ˆ la multiplication sur b( f, r), i.e.
donne naissance ˆ des formules du type de la formule de Leibnitz pour dŽcrire lÕaction desopŽrateurs ŸÌk(m) sur un produit de deux ŽlŽments (voir [5, 2.3.4]).
Supposons que S soit muni dÕun m-PD-idŽal quasi-cohŽrent (å, ∫, å), m-PD-nilpotent.
Soient S0 « S le sous-schŽma fermŽ dŽÞni par å, X0 la rŽduction de X modulo å, Z « X0 un
sur b( f, r), on peut identiÞer canoniquement les alg•bres
diviseur. Gr‰ce ˆ lÕaction de d(m)Xb( f, r) et b(g, r) associŽes ˆ des sections de oX relevant deux Žquations locales de Z dans
X0 [5, 4.2.2]. Par recollement, on associe ainsi canoniquement au diviseur Z une oX -alg•brebX(Z, r) munie dÕune action de dX(m) compatible avec sa structure dÕalg•bre. Nous noterons
m+1b(m)). Il rŽsulte de cette construction que, si g : X' @ X est un
X (Z) lÕalg•bre bX(Z, pmorphisme de S-schŽmas lisses, tel que lÕimage inverse Z' de Z dans X'0 soit un diviseur, il
õ@ b (Z', r), compatible ˆ
existe un isomorphisme canonique de oX' -alg•bres g* bX(Z, r) #X'lÕaction de d(m)X' .
Soient maintenant x un v-schŽma formel lisse, Xi sa rŽduction modulo µ i + 1. LadonnŽe du diviseur Z « X0 permet de construire, pour tout m assez grand pour que µ soit
muni dÕune m-PD-structure m-PD-nilpotente, et tout r tel que p m + 1 æ r, une oX -alg•breibX (Z, r) munie dÕune action de d(m)X . En passant ˆ la limite projective pour i variable, oniiobtient donc une ox -alg•breb x(Z, r) := lim bX (Z, r)
^
“#
i

i

munie dÕune action de ^dx(m). Si x est afÞne, posons A = ‚(x, o x ), B = ‚(x, ^b x(Z, r)), et
supposons que f ‘ A rel•ve une Žquation de Z dans X0 . On a alors
B = A{T} / ( f rT - p),
et B ¢ › est lÕalg•bre de lÕouvert afÞno•de de xK dŽÞni par la condition æ f(x)æ ≥ æpæ1 / r, qui
est un voisinage strict de uK , lui-m•me dŽÞni par la condition æ f(x)æ = 1.
Pour tout m assez grand, nous poseronsb x(m)(Z) := ^b x(Z, p m + 1), ^
b (m)
b (m)
(Z) ¢ ›,^x, ›(Z) := ^xox, ›(ìZ) := lim ^b (m)x, ›(Z).
#@mìDÕapr•s sa construction, le faisceau ox, ›( Z) est muni dÕune action naturelle de dìx, › , et il

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

55

sÕidentiÞe canoniquement ˆ sp* j ì ox . Il sera appelŽ faisceau des fonctions ˆ singularitŽs
K
surconvergentes le long de Z. Il ne dŽpend que du support du diviseur Z. Lorsque x estafÞne, et f comme plus haut, ses sections sur x s'interpr•tent aussi comme le complŽtŽ
faible de ‚(x, ox)[1 / f] au sens de Monsky-Washnitzer [44], tensorisŽ par ›.
Pour prouver la cohŽrence de ce faisceau sur dìx, › , on traite dÕabord le cas dÕun diviseur ˆ croisements normaux strictsÊ:4.4.2. LEMME [3, (4.3.2)]. Ñ Si Z est un diviseur ˆ croisements normaux stricts, le faisceauox, ›(ìZ) est cohŽrent sur dìx, › .
Pour le voir, on peut supposer que x poss•de un syst•me de coordonnŽes locales
t1 , . . . , td tel que Z soit dŽÞni modulo µ par lÕŽquation t1 . . . tr , 1 ≤ r ≤ d, et on montre alors
par un calcul explicite que ox, ›(ìZ) poss•de la prŽsentation¥ƒ(dìx, ›)d ##@ dìx, › ##@ ox, ›(ìZ) ##@ 0,avec ƒ(P) = P.(1 / t1 . . . tr), etrd¥(P1 , . . . , Pd) = å Pi Ÿi ti +i=1

å Pi Ÿi .
i=r+1

4.4.3. Nous aurons ˆ travailler avec une gŽnŽralisation des faisceaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels considŽrŽs jusquÕici, obtenue en considŽrant non seulement des opŽrateurs ˆ coefÞcients dans le faisceau structural oX (ou ox), mais plus gŽnŽralement dans un faisceaudÕalg•bres muni dÕune opŽration des faisceaux prŽcŽdents.
Soient m un entier, S un schŽma (au-dessus de Á( p) si m ≥ 1), X un S-schŽma lisse, b
une oX -alg•bre munie dÕune action de d (m)compatible ˆ sa structure dÕalg•bre. On peutX(m)alors munir le faisceau b ¢ o dXdÕune structure naturelle de faisceau dÕanneaux, telleX(m)que b et dX
en soient des sous-anneaux, et que les produits (1 ø ŸÌk)(b ø 1) soient donnŽs
par la formule de Leibnitz [5, 2.3.5]. Lorsque x est un v-schŽma formel lisse, on obtientainsi pour tout diviseur Z « X0 des faisceaux dÕanneaux(m)b x(m)(Z) ^¢o ^dx(m) := lim (b(m)^
X (Z) ¢o dX ),
“#
x

i

i

Xi

i

dìx, ›(ìZ) := lim (^
b (m)
(Z) ^
¢o ^dx(m))› .
x
#@

x

m

Le faisceau d ìx, ›(ìZ) sera appelŽ faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels de niveau Þni (etdÕordre inÞni), ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z.
Les rŽsultats des chapitres prŽcŽdents sÕŽtendent directement aux complexes sur desfaisceaux dÕanneaux de la forme b ¢o dX(m), ^
b (m)
(Z) ^
¢o ^dx(m) ou dìx, ›(ìZ). Pour ne pasxXxalourdir ce texte, nous ne les dŽtaillerons pas ici, et nous les utiliserons librement dans lasuite quand cela sera nŽcessaire (pour des ŽnoncŽs en forme, le lecteur pourra consulter [5],[8], [10], [49], [52], É ). Il convient seulement de prendre garde que ces anneaux ne sont

56

P. BERTHELOT

plus nŽcessairement de dimension homologique Þnie, de sorte quÕil y a lieu de travaillersystŽmatiquement avec les catŽgories dŽrivŽes de complexes parfaits Dpar f , plut™t quÕavec
les catŽgories dŽrivŽes de complexes bornŽs ˆ cohomologie cohŽrente Dbcoh.
Signalons Žgalement que le faisceau dìx, ›(ìZ) est plat sur dìx, › [5, 4.3.11].

4.4.4. Un autre outil de la dŽmonstration est la cohomologie locale ˆ support strict dans
un sous-schŽma fermŽ de la Þbre spŽciale.
Soient m un entier, S un schŽma sur lequel p est nilpotent, muni dÕun m-PD-idŽal
quasi-cohŽrent (å, ∫, å), supposŽ m-PD-nilpotent, S0 le sous-schŽma fermŽ de S dŽÞni par å,
X un S-schŽma lisse, Z un sous-schŽma fermŽ de X, dŽÞni par un idŽal i « oX . On notenp(m),å(i) lÕenveloppe ˆ puissances divisŽes de niveau m et dÕordre n de i, compatible ˆ å(au sens de [5, 1.4.2]). LÕenveloppe p(m), å(i) poss•de une structure canonique de d(m)
X
(m)
{n'}
{n'
n}
module, telle que, pour tous n, n' ‘ ˙, tout P ‘ dX, n et tout x ‘ `i
, on ait Px ‘ `i
. Il(m)en rŽsulte que, pour tout dX -module e, le faisceaun‚Z(m)(e) := lim homo (p(m),å(i), e)#@nXposs•de une structure canonique de dX(m)-module.
Les conditions de compatibilitŽ ˆ la m-PD-structure de å et de nilpotence entra”nentjoueque ‚Z(m)(e) ne dŽpend que de la rŽduction de Z modulo å. Le foncteur dŽrivŽ È‚(m)Z
dans une certaine mesure le r™le de cohomologie locale ˆ support dans Z, et nous noterons
son n-i•me faisceau de cohomologie hZ(m), n(e). Bien que le foncteur È‚(m)ne vŽriÞe pas enZgŽnŽral les propriŽtŽs topologiques de la cohomologie ˆ supports dans un fermŽ (il faut pourcela passer au niveau des dìx, ›-modules comme nous le ferons plus loin), il se comporte ˆcertains Žgards de mani•re analogue lorsque Z est lisse sur S0 (ou sur S), et nouslÕappellerons cohomologie locale ˆ support strict dans Z (de niveau m). Ainsi, si r est lancodimension de Z dans X, la description locale de la structure des p(m)(i) donnŽe en 1.1.4
nentra”ne alors que, pour tout d(m)-module e, les h(m),(e) sont nuls pour n ’ [0, r], et queXZle foncteur È‚Z(m) est dŽÞni sur D-(d(m)), et commute aux changements de base S' @ S. Si
X(m)(m), ne est un dX -module plat, les h Z(e) sont nuls pour n ≠ r, et leur formation commute
donc aussi aux changements de base. EnÞn, le foncteur È‚Z(m) est alors reliŽ comme en
caractŽristique nulle [17, VI 7.13] au composŽ de lÕimage inverse extraordinaire et delÕimage directeÊ:4.4.5. PROPOSITION [6, 1.4]. Ñ Soit u : Z Ã@ X une immersion fermŽe entre deux SschŽmas lisses. Pour tout e ‘ D-(d(m)), il existe un isomorphisme canoniqueX(4.4.5.1)(m)

u+(m) u !

õ@ È‚(m)(e).
e #ZSupposons maintenant que x soit un v-schŽma formel lisse, Z un sous-schŽma fermŽ
de X0 , et reprenons les notations des sections prŽcŽdentes. Soit m assez grand pour que µ
sur laposs•de une m-PD-structure m-PD-nilpotente. On peut dŽÞnir le foncteur È‚(m)
Z

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

57

catŽgorie Dbqc(^d(m)) en posantx* e),(L“l XÈ‚Z(m)(e) := È“l X * È‚(m)Zo•, dans le terme de droite, È‚Z(m) est pris dans la catŽgorie des syst•mes projectifs. OnŽtend ensuite ce foncteur aux syst•mes inductifs pour m variable, et on obtient par passage
aux catŽgories localisŽes un foncteurb(^d(x÷)) #@ LDb›, qc(^d(x÷)),È‚Zì : LD#@ ›, qc#@

que nous appellerons cohomologie locale ˆ support strict dans Z (surconvergente). LÕŽnoncŽb(÷)
prŽcŽdent sÕŽtend alors aux catŽgories Dbqc(^d(m)) (resp. #LD(^dx)). En particulier, lorsx@ ›, qc
(m)
b
(÷)
!
b
(÷)
que e ‘ LD(^d ) est tel que ue appartienne ˆ LD(^d )), on obtient ainsi dans#@ ›, cohx#@ ›, coh

Dbcoh(dìx, ›) un isomorphismezõ@ È‚ ì(e).
u+ u ! e #Z(4.4.5.2)
analogue ˆ (4.4.5.1).

On peut alors utiliser ce rŽsultat pour e = ox, › aÞn de dŽÞnir sur hZì, r(o x, ›) :=h r(È‚Zì(ox, ›)) un isomorphisme dÕautodualitŽÊ:4.4.6. LEMME [6, 2.1]. Ñ Soient x un v-schŽma formel lisse, Z « X0 un sous-schŽma fermŽ
lisse sur k de sa Þbre spŽciale, de codimension r dans X0 . Il existe alors un isomorphisme
canonique(4.4.6.1)

r
ì, r
õ
D(hì,
Z (ox, ›)) #@ hZ (ox, ›).

Indiquons maintenant les grandes lignes de la dŽmonstration du thŽor•me decohŽrenceÊ:4.4.7. THƒORéME ([6], [10]). Ñ Soient x un v-schŽma formel lisse de Þbre spŽciale X0 , Z «X0 un diviseur. Le faisceau ox, ›(ìZ) des fonctions sur x ˆ singularitŽs surconvergentes lelong de Z est cohŽrent sur dìx, › .
On peut supposer x afÞne et connexe. Gr‰ce au thŽor•me de de Jong sur lesaltŽrations de variŽtŽs algŽbriques [33], il existe un k-schŽma lisse X' et un morphisme f :X' @ X projectif, gŽnŽriquement Þni et Žtale, tel que Z' = f -1(Z) soit un diviseur ˆcroisements normaux stricts dans X'. On choisit une immersion fermŽe u : X' Ã@ Y = ÊrX de
X' dans un espace projectif de base X, et on note y lÕespace projectif formel Êrx de base x,
g : y @ x la projection, T = g -1(Z) lÕimage inverse de Z dans Y.
ì, rOn pose e = hX'(oy, ›), h = dìy, ›(ìT) ¢dìy, › e, qui peut •tre vu comme un complexede Dpar f (dìy, ›(ìT)). On vŽriÞe dÕabord que h est cohŽrent sur dìy, › . CÕest une question
locale sur y, ce qui permet de supposer u relevŽ en lÕimmersion dÕun sous-schŽma formel
lisse u : x' Ã@ y. On construit alors un isomorphisme h ñ u+(ox', ›(ìZ')), de sorte que

58

P. BERTHELOTlÕafÞrmation rŽsulte du lemme 4.4.2 et du thŽor•me de Þnitude 4.3.8 dans le cas dÕune
immersion fermŽe.
Le thŽor•me de Þnitude 4.3.8 entra”ne alors que g+(h) appartient ˆ Dbcoh(dìx, ›). Pour
prouver lÕŽnoncŽ, il sufÞt donc de montrer que ox, ›(ìZ) est isomorphe ˆ un facteur direct
de g (h). Pour cela, on observe que, pour tout i et tout m, on a par construction g* b(m)(Z)+Xi

ñ b (m)Yi (T). Il en rŽsulte que les rŽsultats des sections prŽcŽdentes sÕappliquent aussi au
morphisme ~g : (y, oy, ›(ìT)) @ (x, ox, ›(ìZ)). Le foncteur image directe ~g+ correspondantenvoie Dpar f (dìy, ›(ìT)) dans Dpar f (dìx, ›(ìZ)), et on dispose dÕun morphisme canonique~g+ oy, ›(ìT)[r] @ ox, ›(ìZ), dŽduit du morphisme trace par passage de droite ˆ gauche. Par(m)construction, les foncteurs R‚(m)
X' sont munis dÕun morphisme canonique R‚X' @ Id, quiììdŽÞnit par passage ˆ la limite un morphisme e @ oy, ›[r]. En tensorisant par dy,›( T) eten appliquant ~g+ , on en dŽduit un morphisme† : ~g+ h #@ ox, ›(ìZ)
dans Dpar f (dìx, ›(ìZ)). En prenant le dual sur dìx, ›(ìZ), et en utilisant le lemme 4.4.6, on
obtient un morphisme en sens inverse†' : ox, ›(ìZ) #@ ~g+ h.
On montre alors que le composŽ †' Ï † est Žgal ˆ la multiplication par le degrŽ gŽnŽrique de X' sur X, et on ach•ve la dŽmonstration en vŽriÞant que, par restriction des scalairesde dìx, ›(ìZ) ˆ dìx, › , le complexe ~g+ h sÕidentiÞe ˆ g+ h.

4.4.8. Soient maintenant Z « X0 une sous-variŽtŽ localement fermŽe quelconque, ÜZ sonadhŽrence, T = ÜZ è Z, U = X0 è T, j lÕinclusion de U dans X0 . Sur la Þbre gŽnŽrique xK de
x, on dispose du foncteur j ì des germes de sections surconvergentes au voisinage du tube
uK de U, et du foncteur ‚]ìÜZ [ des sections ˆ support strictement contenu dans le tube de ÜZ.
Soit E = j ì ‚]ìÜZ [ ox . Lorsque x est propre sur v, la cohomologie de de Rham de xK ˆ coefÞK

cients dans E est par construction la cohomologie rigide de U ˆ supports dans Z, de sorteque, pour la cohomologie rigide, le faisceau E joue le r™le du complexe Èj* È‚Z(ÂU) dans lecas complexe (en notant ÂU le faisceau constant de valeur Â sur U). Cette cohomologie dede Rham sÕidentiÞe dÕautre part ˆ la cohomologie de de Rham de x ˆ coefÞcients dans lecomplexe e = Èsp* E.

Le complexe e poss•de une structure naturelle de complexe de dìx, ›-modules (dŽÞnie
par la mŽthode de [3, 4.1]). Par un dŽvissage basŽ sur les suites exactes de ´Cech de [7, 1.2],
on voit que le thŽor•me prŽcŽdent impliqueÊ:4.4.9. COROLLAIRE. Ñ Avec les notations prŽcŽdentes, le complexe Èsp* j ì ‚]ìÜZ [ ox appartient ˆ Dbcoh(dìx, ›) pour tout sous-variŽtŽ localement fermŽe Z « X0 .

KINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

4.5.

59

Transformation de Fourier

Les faisceaux ox, ›(ìZ) construits en 4.4.1 jouent un r™le important dans lÕŽtude desvariŽtŽs ouvertes. En effet, comme on lÕa vu dans la remarque de 2.4.5, le foncteur image
directe usuel j+ associŽ ˆ une immersion ouverte ne se comporte pas de mani•re satisfaisante modulo p n, et il en est de m•me sur les schŽmas formels. Pour cette raison, nousprocŽderons comme en cohomologie rigide, et nous Žtudierons les dìx, ›-modules associŽs ˆ
une variŽtŽ quelconque au moyen de compactiÞcations de celle-ci. Le cas le plus simple est
celui o• x est un schŽma formel propre et lisse sur v, et Z est comme prŽcŽdemment undiviseur de sa Þbre spŽciale. En notant encore j : u Ã@ x lÕinclusion de lÕouvert
complŽmentaire, le faisceau ox, ›(ìZ) joue le r™le dÕune ÇÊimage directe surconvergenteÊÈ deou, › . En ayant ˆ lÕesprit le cas algŽbrique, o• j* induit une Žquivalence entre la catŽgoriedes oU -modules quasi-cohŽrents et celle des j* oX -modules quasi-cohŽrents, on est amenŽ ˆ
remplacer la catŽgorie des dìu, ›-modules cohŽrents par celle des dìx, ›(ìZ)-modulescohŽrents, et le foncteur j* (resp. j *) par la restriction des scalaires de dìx, ›(ìZ) ˆ dìx, ›(resp. lÕextension des scalaires de dìx, › ˆ dìx, ›(ìZ)).
Nous expliquons ici comment cette philosophie peut •tre mise en Ïuvre pour dŽvelopper la transformation de Fourier pour les dìx, ›-modules cohŽrents, gr‰ce aux rŽsultats de
Huyghe (voir [28], [29], [30], [31]). ƒnon•ons dÕabord un thŽor•me gŽnŽral de Huyghe, qui
montre que, lorsque Z est un diviseur ample dans un schŽma projectif, les d ìx, ›(ìZ)modules cohŽrents se comportent bien du point de vue cohomologique comme des faisceauxcohŽrents sur un schŽma afÞneÊ; on peut voir ce thŽor•me comme un analogue des thŽor•mes A et B, avec surconvergence ˆ lÕinÞniÊ:4.5.1. THƒORéME [31, 5.3.3]. Ñ Soient x un v-schŽma formel projectif et lisse, Z « X unìììì
diviseur ample de sa Þbre spŽciale, et posons Dx,›( Z) = ‚(x, dx, ›( Z)). Alors :ìì(i) LÕanneau Dx,›( Z) est cohŽrent, et le foncteur ‚(x, -) induit une Žquivalence deììcatŽgories entre la catŽgorie des dìx, ›(ìZ)-modules cohŽrents et celle des Dx,›( Z)-modulescohŽrents.
(ii) Pour tout n ≥ 1, et tout dìx, ›(ìZ)-module cohŽrent e, on a H n(x, e) = 0.
Huyghe Žtablit en outre un thŽor•me dÕinvariance qui montre que la catŽgorie desdìx, ›(ìZ)-modules cohŽrents ne dŽpend pas de la compactiÞcation lisse x de uÊ:
4.5.2. THƒORéME [31, 7.3.3]. Ñ Soient f : x' @ x un morphisme propre de v-schŽmas
formels lisses, Z « X, Z' « X' deux diviseurs des Þbres spŽciales de x et x', u = x è Z, u' =
õ@ u. Alors les foncteurs f !
x' è Z'. On suppose que f induit un isomorphisme u' = f -1(u) #et f+ induisent des Žquivalences de catŽgories quasi-inverses entre la catŽgorie des dìx, ›(ìZ)modules cohŽrents, et celle des dìx', ›(ìZ')-modules cohŽrents.

60

P. BERTHELOT

Soient maintenant N un entier, x lÕespace projectif formel de dimension N sur v, ZlÕhyperplan ˆ lÕinÞni de X, et u = x è Z lÕespace afÞne formel de dimension N sur v. Nous
noterons simplement ox, ›(&), dìx, ›(&) les faisceaux ox, ›(ìZ), dìx, ›(ìZ). Soient t1 , . . . , tN
les coordonnŽes canoniques sur lÕespace afÞne, Ÿ1 , . . . , ŸN les dŽrivations correspondantes. La
K-alg•bre des sections globales de dìx, ›(&) sÕidentiÞe alors ˆ la ÇÊcomplŽtŽe faibleÊÈ delÕalg•bre de WeylÊ:4.5.3. PROPOSITION ([28], [29]). Ñ Il existe un isomorphisme canonique de K-alg•bres

õ@ A (K )ì,‚(x, dìx, ›(&)) #N(4.5.3.1)o• AN(K )ì est la K-alg•bre dÕopŽrateurs diffŽrentiels dŽÞnie parAN(K )ì := {å ai, k t i Ÿ[k], ai, k ‘ K æ ¡ c, ⁄ < 1 tels que ◊ i, k, æai, kæ ≤ c ⁄æiæ + ækæ }.
i, k

4.5.4. Supposons maintenant que K contienne un ŽlŽment π tel que
π p - 1 = -p,et Þxons un tel ŽlŽment. On vŽriÞe aisŽment quÕil existe un unique automorphisme · de laK-alg•bre AN(K )ì telle que·(Ÿi) = π ti ,·(Ÿi) = - Ÿi / π.

Pour tout AN(K )ì-module E, on obtient donc en faisant agir AN(K )ì sur E par lÕintermŽdiaire de · un nouvel AN(K )ì-module, que nous noterons ·* E, π Žtant ici ÞxŽ une fois
pour toutes. Le foncteur qui ˆ E associe ·* E est la transformation de Fourier na•ve (dŽÞnie
par π).
Soient e un dìx, ›(&)-module cohŽrent, et E = ‚(x, e). DÕapr•s 4.5.3, E est muni dÕune
structure canonique de AN(K )ì-module, pour laquelle il est cohŽrent dÕapr•s 4.5.1. Commele AN(K )ì-module ·* E est encore cohŽrent, il existe, gr‰ce au thŽor•me 4.5.1, un uniquedìx, ›(&)-module cohŽrent e · tel que ‚(x, e ·) = ·* E. Le probl•me de la transformation deFourier gŽomŽtrique est de donner une interprŽtation du foncteur e ò @ e · au moyen desopŽrations cohomologiques de la thŽorie des dìx, ›-modules, de mani•re analogue ˆ la transformation de Fourier gŽomŽtrique de Malgrange en caractŽristique 0 [41], ou ˆ la transformation de Fourier ˘-adique de Deligne-Katz-Laumon [35].

4.5.5. PrŽcisons dÕabord comment la donnŽe de π dŽtermine le noyau nπ de la transformation de Fourier gŽomŽtrique. Soit p 1 (resp. a1 ) lÕespace afÞne (resp. projectif) formel dedimension 1 sur v. On note lπ = sp* Lπ le dìp1, ›-module cohŽrent dŽÞni par le F-isocristal
de Dwork Lπ associŽ ˆ π : rappelons que le op1, › -module sous-jacent ˆ lπ est op1, ›(&), etquÕil est muni de lÕunique structure de d ìx, ›-module compatible ˆ celle de op 1, ›(&) pourlaquelle Ÿ.1 = -π (cf. [3]).

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

61

Soit x' (resp. u') lÕespace projectif (resp. afÞne) dual, et soit µ : u | u' @ a 1 « p1
lÕaccouplement de dualitŽ. DÕapr•s [28, 4.1], il existe un schŽma formel lisse y, et un morphisme projectif f : y @ x | x', tels que, si lÕon note w = f -1(u | u'), le morphisme w @u | u' soit un isomorphisme, et que le morphisme composŽ µ Ï f se prolonge en un morphisme ¬ : y @ p 1. Soit T = f -1(&) « Y. Suivant Katz-Laumon [35], on convient deconsidŽrer lπ comme un complexe rŽduit ˆ un seul module, placŽ en degrŽ 1. Si lÕonapplique le foncteur¬! : D-coh(dìp1, ›(&)) @ D-(dìy, ›(ìT))ˆ lπ[-1], on vŽriÞe, gr‰ce au fait que lπ est dŽÞni par un isocristal surconvergent, que¬!(lπ[-1]) se rŽduit ˆ un seul dìy, ›(ìT)-module cohŽrent, placŽ en degrŽ 2 - 2N. UtilisantlÕŽquivalence du thŽor•me 4.5.2, on lÕidentiÞe via f+ ˆ un d ìx | x', ›(&)-module cohŽrent,placŽ en degrŽ 2 - 2NÊ; nous poserons nπ := f+ ¬ !(lπ[-1]).
Soient p1 , p2 les projections de x | x' sur x et x'. La transformation de FouriergŽomŽtrique associe alors ˆ un complexe e ‘ Dbcoh(dìx, ›(&)) le complexe·* e := p2 +(nπ ¢ox | x', ›(&) p1 ! e [-2N]).
En explicitant le calcul de ces foncteurs, Huyghe prouve quÕon obtient ainsi une transformation associant ˆ tout dìx, ›(&)-module cohŽrent un dìx', ›(&)-module cohŽrent (au dŽcalage pr•s), et Žtablit la relation avec la transformation de Fourier na•ve sur les sections
globalesÊ:4.5.6. THƒORéME ([28], [30]). Ñ Avec les notations prŽcŽdentes, soit e un dìx, ›(&)-modulecohŽrent. Alors :(i) Le complexe · * e est rŽduit ˆ un seul dìx', ›(&)-module, cohŽrent et placŽ en degrŽ
N - 2.
(ii) Il existe un isomorphisme canonique de Dìx', ›(&)-modules

õ@ · ‚(x, e).
‚(x', ·* e [2 - N]) #*Le transformŽ e · construit en 4.5.4 sÕidentiÞe donc au module ·* e [2 - N].
4.5.7. Il existe aussi une transformation de Fourier ˆ supports compacts. Pour la dŽÞnir,on munit x | x' du diviseur Z' = p2- 1(&), et on note ®* le foncteur de restriction desscalaires de dìx | x', ›(&) ˆ dìx | x', ›(ìZ'). Huyghe montre alors [28] que, pour tout dìx, ›(&)module cohŽrent e, le complexe ®* D(nπ ¢ox | x', ›(&) p1 ! e), o• le dual D est pris par rapportˆ dìx | x', ›(&), est ˆ cohomologie cohŽrente sur dìx | x', ›(ìZ'). On peut alors prendre sondual D' par rapport ˆ dìx | x', ›(ìZ'). Le foncteur D' ®* D joue ici le r™le dÕimage directe ˆsupports compacts pour lÕimmersion ouverte u | u' Ã@ x | u'. On dŽÞnit donc la transformation de Fourier ˆ supports compacts en posant, pour e ‘ Dbcoh(dìx, ›(&))·! e := p'2 +(D' ®* D(nπ ¢op ! e [-2N])),x | x', ›(&) 1

62

P. BERTHELOTo• p'2 + est le foncteur image directe relatif aux faisceaux dìx | x', ›(ìZ') et dìx', ›(&). En
utilisant le thŽor•me de dualitŽ relative 4.3.13, on peut alors montrer, comme en caractŽristique 0 ou en cohomologie ˘-adique,ÊlÕŽgalitŽ des transformations de Fourier avec ou sansconditions de supportsÊ:4.5.8. THƒORéME [28]. Ñ Il existe sur Dbcoh(dìx, ›(&)) un isomorphisme fonctoriel

õ@ · e.
·! e #*

5. VariŽtŽ caractŽristique et holonomie

Comme en caractŽristique nulle, la cohŽrence sur lÕun quelconque des anneaux dÕopŽrateurs diffŽrentiels ŽtudiŽs ici nÕest pas prŽservŽe en gŽnŽral par image inverse par une
immersion fermŽe. Dans ce chapitre, nous introduisons, pour les dìx, ›-modules cohŽrents
munis dÕune action de Frobenius, une condition dÕholonomie pour laquelle il para”t raisonnable de conjecturer la stabilitŽ par image inverse par un morphisme quelconque. Cette
condition, qui est de nature gŽomŽtrique, repose sur la construction dÕune variŽtŽ caractŽristique dans lÕespace cotangent ˆ la rŽduction de x modulo µ. Nous montrons que cettevariŽtŽ caractŽristique vŽriÞe lÕinŽgalitŽ de Bernstein, et nous expliquons les rŽsultats deVirrion [52] montrant que cette caractŽrisation gŽomŽtrique de lÕholonomie est Žquivalenteˆ la caractŽrisation homologique usuelle au moyen du dual. EnÞn, suivant la mŽthode de
Laumon [39], nous montrons que la formule de Dubson-Kashiwara [19] exprimant la caractŽristique dÕEuler-PoincarŽ dÕun dX -module holonome au moyen du cycle caractŽristiquereste valable pour les F-dìx, ›-modules holonomes.

5.1.

F-dìx, ›-modules cohŽrents

La notion de F-dìx, ›-module introduite ici, i.e. de d ìx, ›-module muni dÕune action de
Frobenius, gŽnŽralise la notion de F-isocristal comme la notion usuelle de dX -module en
caractŽristique 0 gŽnŽralise celle de ÞbrŽ ˆ connexion intŽgrable. La donnŽe dÕune action de
Frobenius impose des conditions de Þnitude plus fortes que celles que vŽriÞent les dìx, ›modules cohŽrents quelconquesÊ: nous verrons en particulier quÕun F-dìx, ›-module cohŽrent
provient de mani•re canonique dÕun ^d(0)x, ›-module cohŽrent par extension des scalaires de
ì
ì
^d(0)
x, › ˆ dx, › . Mais ce qui rend la structure de F-dx, ›-module essentielle pour la gŽomŽtrie

algŽbrique est surtout sa compl•te stabilitŽ par toutes les opŽrations cohomologiques. Il enrŽsulte que tout dìx, ›-module ÇÊdÕorigine gŽomŽtriqueÊÈ peut •tre muni dÕune structure de Fdìx, ›-module.
On suppose ici que k est un corps parfait de caractŽristique p, et on se limite pour

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

63

simpliÞer au cas o• v est lÕanneau W = W(k) des vecteurs de Witt ˆ coefÞcients dans k (voir[8, 4.5.1] pour une dŽÞnition plus gŽnŽrale). On note ß lÕautomorphisme de Frobenius de W,
et X = X0 la rŽduction de x modulo p.
5.1.1. DŽÞnition. Ñ Soient x un v-schŽma formel, F : x @ x un rel•vement ß-linŽaire delÕendomorphisme de Frobenius absolu de X. Un F-dìx, ›-module sur x est la donnŽe dÕunõ@ F * e. Les morphismes de Fdìx, ›-module e et dÕun isomorphisme dìx, ›-linŽaire ‡ : e #dìx, ›-modules sont les morphismes dìx, ›-linŽaires commutant ˆ lÕaction de Frobenius. De
m•me, nous appellerons F-dìx, ›-complexe la donnŽe dÕun complexe e ‘ D(d ìx, ›) (resp.
õ@ F * e dans D(dì ) (resp. LDb (^d(÷))). Les
LDb (^d(÷))) et dÕun isomorphisme ‡ : e ##@ ›, qcxx, ›#@ ›, qcx

faisceaux de cohomologie dÕun F-dìx, ›-complexe sont naturellement des F-dìx, ›-modules.
Nous dirons quÕun F-dìx, ›-module (e, ‡) est cohŽrent si e est cohŽrent en tant quedìx, ›-module.
On peut dŽÞnir plus gŽnŽralement une notion analogue en rempla•ant lÕendomorphisme de Frobenius par sa puissance s-i•me, pour un entier s ÞxŽÊ; nous nous limiterons
ici au cas s = 1.
Comme pour les isocristaux, le choix du rel•vement F ne joue aucun r™le dans cettedŽÞnition, et, par les arguments de recollement usuels (pour lesquels le lecteur pourra sereporter ˆ [8]), il nÕest en fait m•me pas nŽcessaire de supposer quÕil existe un tel rel•vement globalement sur x pour donner un sens aux notions de F-dìx, ›-module et de F-dìx, ›complexe.
Exemples. Ñ (i)ÊÊLe faisceau ox, › , muni de lÕinverse de lÕisomorphisme tautologique
õ@ o , est un F -dì -module cohŽrent. En appliquant 5.1.2, on dispose de
F*o
#
x, ›

x, ›

x, ›

procŽdŽs systŽmatiques de construction de F-dìx, ›-modules (Žventuellement cohŽrents).
(ii) Soit sp : xK @ x le morphisme de spŽcialisation. Alors sp* Žtablit une Žquivalence
entre la catŽgorie des F-isocristaux convergents sur la Þbre spŽciale X de x, et la catŽgorie
des F-dìx, ›-modules cohŽrents qui sont ox, ›-cohŽrents [8, 4.6.3].
(iii) Si Z « X est un diviseur, si U = X è Z, et si E est un F-isocristal sur U surconvergent
le long de Z, alors e = sp* E a une structure naturelle de F-dìx, ›-module [8, 4.6.7]. On
conjecture que e est alors cohŽrent sur dìx, › (et m•me holonome, voir 5.3.6 plus bas).
(iv) En particulier, les faisceaux ox, ›(ìZ) ŽtudiŽs en 4.4.7 sont de mani•re naturelle desF-dìx, ›-modules cohŽrents. De m•me, les complexes Èsp*( j ì ‚]ìÜZ [ ox ) ŽtudiŽs en 4.4.9 sontKde mani•re naturelle des F-dìx, ›-complexes bornŽs ˆ cohomologie cohŽrente.

5.1.2. DÕapr•s 4.3.4, 4.3.5, 4.3.9 et 4.3.10, les foncteurs F * commutent aux quatre opŽrations de base de la thŽorie des d-modulesÊ: f !, ¢, f+ et D (auxquelles on pourrait du reste
ajouter les foncteurs È‚Zì dŽÞnis en 4.4.4). Il en rŽsulte que ces foncteurs transforment
F-dì›-complexes en F-dì›-complexes. Plus prŽcisŽment, si f : x @ y est un morphisme deW-schŽmas formels lisses, on obtientÊ:(i) Si f est un F-dìy, ›-complexe de LDb›, qc(^d(y÷)) (resp. Dbcoh(dìy, ›)), alors f ! f est un F#@

64

P. BERTHELOTb(÷)
dìx, ›-complexe de #LD(^dx
) (resp. Dbcoh(dìx, ›) si f est lisse).
@ ›, qcb(^d(÷)), et f un F-dìy, ›(ii) Soit z = x | y. Si e est un F-dìx, ›-complexe de LD#@ ›, qc Lx
complexe de LDb (^d(÷)) (resp. D b (dì ), Db (dì )), alors e ¢ ì f est un F -dì
-

y
coh
x, ›
coh
y, ›
W
z, ›
b
(÷)
b
ì
(dz ) (resp. Dcoh(dz, ›)).
complexe de #LD@ ›, qcbLD(d(x÷)) (resp. Dbcoh(dìx, ›)), alors f+ e est un F(iii) Si e est un F-dìx, ›-complexe de #@ ›, qc(÷)
dìx, ›-complexe de LDb›, qc(dy) (resp. Dbcoh(dìy, ›) si f est propre).
#@(iv) Si e est un F-dìx, ›-complexe de Dbcoh(dìx, ›), alors D(e) est un F-dìx, ›-complexe deDbcoh(dìx, ›).

#@ ›, qc^^^

La premi•re propriŽtŽ fondamentale des F-dìx, ›-modules cohŽrents est lÕexistence dÕunprocŽdŽ de descente canonique dÕun tel module sur le faisceau ^d(0)x, ›Ê:

5.1.3. THƒORéME [8, 4.5.4]. Ñ Avec les hypoth•ses prŽcŽdentes, la catŽgorie des F-dìx, ›modules cohŽrents (e, ‡) est Žquivalente ˆ la catŽgorie des couples (e(0), ‡(1)) o• e(0) est un(1)
un isomorphisme ^d(1)^d(0)
x, ›-module cohŽrent, et ‡x, ›-linŽaire
õ@ F * e(0).
e(0) #‡(1) : ^d(1)x, › ¢^d(0)x, ›DŽcrivons le foncteur qui associe un F-dìx, ›-module cohŽrent (e, ‡) ˆ la donnŽe de(e(0), ‡(1)). On posee := dìx, › ¢^d(0) e(0),x, ›et on dŽÞnit ‡ comme Žtant lÕisomorphisme composŽ

õ@ dì ¢ (1) F * e(0) #õ@ F *(dì ¢ (0) e(0)) = F * e,e = dìx, › ¢^d(0) e(0) #x, › ^dx, › ^d
x, ›

x, ›

x, ›

ì
o• le premier isomorphisme est dŽduit de ‡ par extension des scalaires de ^d(1)x, › ˆ dx, › ,et le second provient des isomorphismes (3.4.1.2) par passage ˆ la limite inductive.
(1)

Inversement, le raisonnement standard pour les modules de prŽsentation Þnie permetde redescendre e en un ^d (m)x, ›-module cohŽrent pour m assez grand, et de m•me pour ‡.
(m)(0)
Pour passer de ^dx, › ˆ ^dx, › , on utilise alors le thŽor•me de descente par Frobenius de 3.1.4
et les isomorphismes (3.4.1.2).
Remarques. Ñ (i)ÊÊPour p = 2, l'idŽal pW nÕest pas PD-nilpotent, et on ne dispose pas destechniques de recollement permettant de dŽÞnir globalement le foncteur F * sur la catŽgoriedes ^d(0)x, ›-modules. Dans ce cas, il faut donc supposer F donnŽ sur x pour pouvoir conclurecomme dans lÕŽnoncŽ, ou se contenter de redescendre sur un anneau ^d(m)x, › pour m ≥ 1.
ì(ii) Il rŽsulte du thŽor•me que la catŽgorie des F-dx, ›-modules cohŽrents est nÏthŽrienne (bien que dìx, › ne soit pas nÏthŽrien).

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

5.2.

65

VariŽtŽ caractŽristique

Soient x un W-schŽma formel lisse, X sa rŽduction modulo p. Nous expliquons ici
comment associer ˆ tout F-dìx, ›-module cohŽrent e une sous-variŽtŽ rŽduite de lÕespacecotangent T *X, analogue ˆ la variŽtŽ caractŽristique dÕun dX -module cohŽrent lorsque X
est une variŽtŽ lisse sur Â.
Comme en caractŽristique 0 (voir [13], [36]), cette construction repose sur la notion debonne Þltration (pour la Þltration par lÕordre des opŽrateurs diffŽrentiels). Toutefois, cettenotion nÕest pas disponible directement pour les modules sur des faisceaux tels que dìx, › ou^d(m)x, › , qui sont des faisceaux dÕopŽrateurs dÕordre inÞni et nÕont donc pas de Þltration parlÕordre. CÕest pourquoi nous proc•derons en plusieurs ŽtapesÊ: descente de dìx, › ˆ ^d (0)x, › ,(0)passage par un mod•le entier sur ^d(0)x , rŽduction au cas des d X -modules cohŽrents, pourilesquels on dispose de la notion de bonne Þltration.

5.2.1. Pour tout m, nous noterons X(m) le k-schŽma dŽduit de X par changement de base
par la puissance m-i•me de lÕautomorphisme de Frobenius de k, et F m : X @ X(m) le morphisme de Frobenius relatif correspondant.
Pour tout m, le faisceau d X(m) est muni de la Þltration par lÕordre des opŽrateursdiffŽrentiels, et le graduŽ associŽ gr d(m)est une oX -alg•bre commutative, quasi-cohŽrente.
X(m) *X, et nous appellerons espace cotangent de niveau m de X, le schŽma
Nous noterons TrŽduitT(m) *X := (Spec gr dX(m))red .

õ@ gr d(0)Soit tX le faisceau des dŽrivations sur X. Lorsque m = 0, lÕisomorphisme tX #1 XsÕŽtend comme en caractŽristique 0 en un isomorphisme

õ@ gr d(0),S(tX) #
Xde sorte que T(0) * X est le ÞbrŽ cotangent usuel T * X. Le lemme suivant donne uneinterprŽtation analogue pour m ≥ 1 :5.2.2. LEMME [11]. Ñ Pour tout m, il existe un isomorphisme canonique

õ@ X | (m) T *X(m) .
T(m) *X #X
Comme T *X(m) est lui-m•me dŽduit de T *X par changement de base par le morphisme de projection X(m) @ X, on peut aussi identiÞer T(m) *X ˆ lÕimage inverse de T *X parlÕendomorphisme de Frobenius absolu de X. En particulier, on dispose ainsi dÕun homŽomorphisme(5.2.2.1)

õ@ æT *XææT(m) *Xæ #qui nous permettra dÕidentiÞer les parties fermŽes de T(m) *X et T *X.

66

P. BERTHELOT

5.2.3. Soient m ‘ ˙, S un schŽma nÏthŽrien (au-dessus de Á( p) si m ≥ 1), et X un SschŽma lisse. Si e est un d(m)-module cohŽrent, une bonne Þltration sur e est une Þltration
X
croissante par des sous-oX -modules en vŽriÞant les conditions suivantesÊ:a) e = Ù n en , et il existe n0 tel que en = 0 pour n < n0Ê;b) Quels que soient n, k, d(m)X, k en « en + k ;c)

Il existe un entier n1 tel que, pour tout n ≥ n1 , on ait
pm - 1en =(5.2.3.1)

å d(m)X, n - n + j en - j ;
1

1

j=0

d) Chacun des en est cohŽrent sur oX .
On remarquera que la condition c) est la condition usuelle lorsque m = 0. Lorsque m ≥ 1,
gr d(m)nÕest pas engendrŽ par ses ŽlŽments de degrŽ 1, et on est amenŽ ˆ modiÞer celle-ci
Xcomme en (5.2.3.1) pour assurer que la Þltration par lÕordre sur d(m)ait les propriŽtŽs
X
voulues.
est un anneau graduŽ nÏthŽrien, les propriŽtŽs usuelles des bonnes
Comme gr d(m)XÞltrations restent valables (voir [16], [17], [36], [40], [42], É ). En particulierÊ:(i) Si (en), (e'n) sont deux bonnes Þltrations sur e, il existe des entiers k1 et k2 tels queen - k « e'n « en + k
1

2

pour tout n.
(ii) Une Þltration vŽriÞant a) et b) est bonne si et seulement si gr e est un gr d(m)X module cohŽrent.
(iii) Si e est un d(m)X -module cohŽrent, (en) une bonne Þltration sur e, et e' « e un sous(m)dX -module cohŽrent, la Þltration induite (e' ı en ) sur e' , et la Þltration image(en /(e' ı en)) sur e / e', sont des bonnes Þltrations.
(iv) Tout d(m)X -module cohŽrent e poss•de une bonne Þltration, car e peut sÕŽcrire(m)globalement sur X comme quotient dÕun d(m)¢o l, o• l est un oX X -module induit dX
X
module cohŽrent.

5.2.4. Soient i un entier ÞxŽ, Si = Spec Wi(k), Xi un Si -schŽma lisse de rŽduction X sur k,(m)e un d(m)X -module cohŽrent, (en) une bonne Þltration sur e. Si i est lÕannulateur du gr dX i

module gr e, et j lÕidŽal racine de i, on voit comme en caractŽristique 0 que j estindŽpendant de la bonne Þltration choisie (cf. [13], [36], [40], ...). On appellera variŽtŽ
caractŽristique de e, et on notera Car(m)(e), le fermŽ de T(m) *X dŽÞni par lÕidŽal j. OnvŽriÞe facilement les propriŽtŽs suivantesÊ:(i) Pour toute suite exacte 0 @ e' @ e @ e" @ 0 de d(m)X -modules cohŽrents, on a
i

Car

(m)

(e) = Car(m)(e') Ù Car

(m)

(e").

(ii) Pour tout i' ≤ i, on aCar(m)(e / p i' + 1 e) = Car(m)(e).
(iii) Soit F m : Xi @ Xi un ß m-morphisme relevant sur Si la puissance m-i•me de lÕendo-

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

67

m * (0)e , qui est
morphisme de Frobenius absolu de X, e(0) un d(0)Xi -module cohŽrent, et e = F(m)
un dX -module cohŽrent. Alors lÕidentiÞcation (5.2.2.1) donneiCar(m)(e) = Car(0)(e(0)).

5.2.5. Soient x un W-schŽma formel lisse, Xi sa rŽduction modulo p i + 1. Si e est un ^d(m)xmodule cohŽrent, on dŽÞnit sa variŽtŽ caractŽristique Car(m)(e) comme Žtant la variŽtŽ
caractŽristique Car(m)(e / p e) de sa rŽduction modulo p.
(m)Soit maintenant e un ^d (m)-module cohŽrent
x, ›-module cohŽrent. Il existe alors un ^dx
e' sans torsion tel que e ñ e'› . On peut dŽÞnir Car(m)(e) comme Žtant Žgale ˆ Car(m)(e'),
gr‰ce au lemme suivantÊ:-modules cohŽrents sans p-torsion, tels quÕil
5.2.6. LEMME [11]. Ñ Soient e', e" deux ^d(m)xexiste une isogŽnie ƒ : e' @ e". Alors Car(m)(e') = Car(m)(e").

5.2.7. Sous les hypoth•ses de 5.2.5, soit e un F-dìx, ›-module cohŽrent. DÕapr•s 5.1.3, il
õ@ F * e), o• e est un ^d(0) -module cohŽexiste un unique couple (e(0), ‡(1) : ^d(1)e #x, › ¢^d(0)
x, ›
x, ›
rent, et ‡(1) un isomorphisme ^d (1)-linŽaire,
tel
que
(e,
‡)
proviennede(e (0), ‡(1)) parx, ›ìextension de lÕanneau dÕopŽrateurs de ^d(0)x, › ˆ dx, › . On peut donc sans ambigu•tŽ dŽÞnir lavariŽtŽ caractŽristique de e en posantCar(e) := Car(0)(e(0)).
Il convient seulement dÕobserver que, gr‰ce ˆ 5.2.4 (iii), il est Žquivalent de redescendre(e, ‡) en (e(m), ‡(m + 1)) pour un entier m arbitrairement choisi, ce qui permet de donner unsens ˆ cette dŽÞnition y compris pour p = 2.
Exemple. Ñ On montre [11] que la variŽtŽ caractŽristique dÕun F-dìx, ›-module cohŽrent e
est Žgale ˆ la section nulle de T *X si et seulement si e est un F-isocristal convergent (voir
4.1.6 (ii)).

5.3.

InŽgalitŽ de Bernstein

En caractŽristique 0, la variŽtŽ caractŽristique dÕun dX -module cohŽrent non nul evŽriÞe lÕinŽgalitŽ de BernsteinÊ: dim(Car(e)) ≥ dim( X ) (cf. [16], [36], [40], [42], ...). Si S est
un Á / p n-schŽma, la variŽtŽ caractŽristique construite plus haut ne vŽriÞe pas nŽcessairement cette inŽgalitŽ, m•me lorsque S est le spectre dÕun corps. Par exemple, si X est la
droite afÞne sur un corps de caractŽristique p, et si x ‘ X est lÕorigine, e = oX, x / µx p poss•deune structure naturelle de dX(0)-module, et sa variŽtŽ caractŽristique est rŽduite au point x

68

P. BERTHELOTde la section nulle de T *X, donc est de dimension 0 < dim( X ). Si x est la droite afÞne
formelle sur W, le m•me exemple, vu comme ^d(0)x -module, montre que cette inŽgalitŽ nÕest
pas non plus vŽriÞŽe pour les ^dx(0)-modules.
LÕinŽgalitŽ de Bernstein est par contre vŽriÞŽe pour les F-dìx, ›-modules cohŽrents. LamŽthode de la dŽmonstration est classiqueÊ: elle consiste ˆ Žtablir cette propriŽtŽ parrŽcurrence sur la dimension de x, en montrant que, si u : z Ã@ x est lÕinclusion dÕun sousschŽma formel fermŽ, lisse sur W, le foncteur u+ induit une Žquivalence entre la catŽgoriedes dìx, ›-modules cohŽrents ˆ support dans z et celle des dìz, ›-modules cohŽrents (ŽnoncŽ
analogue dÕun thŽor•me classique de Kashiwara, cf. [16], [17], [36], [40], [42], ...). On notera
que cette Žquivalence est fausse pour les ^d(m)x, ›-modules lorsque m est ÞxŽ (voir lÕexempledonnŽ en 5.3.1).
LÕinŽgalitŽ de Bernstein permet alors de dŽÞnir les F-dìx, ›-modules holonomes commeŽtant ceux dont la variŽtŽ caractŽristique est de dimension Žgale ˆ dim( X ). Le thŽor•me
5.3.10 plus bas, dž ˆ Virrion (cf. [49], [52]), montre que, comme en caractŽristique 0, cettedŽÞnition est Žquivalente ˆ la caractŽrisation homologique usuelle au moyen du dual.

5.3.1. Soient x un W-schŽma formel lisse, et u : z Ã@ x lÕimmersion dÕun sous-schŽma
formel fermŽ lisse, dŽÞni par un idŽal cohŽrent i « ox . PrŽcisons dÕabord la structure delÕimage directe u+ f dÕun ^d(m)z, ›-module cohŽrent f. LÕhypoth•se de cohŽrence, et le fait queu soit un morphisme Þni, entra”nent que u+ f est dŽÞni paru+ f = u*(^d(m)x “ z, › ¢^d(m) f),z, ›et u! u+ e paru! u+ e = Lu*(u*(^d(m)x “ z, › ¢^d(m) e))[dz / x].
z, ›En utilisant au voisinage dÕun point de x un syst•me de coordonnŽes locales t1 , . . . , td telque i = (t1 , . . . , tr), avec r ≤ d, on voit quÕil existe un isomorphisme naturel de ^d(m)z, ›modules(5.3.1.1)rõ@ h0u! u f = ı Ker(t : u f @ u f),
f #
+
i
+
+
i=1

et que u+ f est engendrŽ comme ^d(m)x, ›-module par lÕimage de f, donc poss•de un syst•me degŽnŽrateurs annulŽs par i.
Par contre, si e est un ^d (m)x, ›-module cohŽrent ˆ support dans z, il nÕest pas toujours
vrai que e soit engendrŽ par ses sections annulŽes par i. Par exemple, si lÕon prend pour xla droite afÞne formelle, et pour z la section nulle, dŽÞnie par t = 0, le ^d(0)x, ›-module(0)pe = ^d(0)x, › / ^dx, ›(t - p)

est nul sur x è z, mais ne poss•de aucune section non nulle annulŽe par t. Par suite, enÕest pas de la forme u+ f, et le foncteur u+ , allant de la catŽgorie des ^d(m)z, ›-modules cohŽ(m)rents vers celle des ^dx, ›-modules cohŽrents ˆ support dans z, nÕest pas essentiellement
surjectif.

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

69

La premi•re Žtape consiste ˆ prouver que cette surjectivitŽ essentielle est vraie
asymptotiquementÊ:5.3.2. THƒORéME [11]. Ñ Soient m ‘ ˙, u : z Ã@ x lÕinclusion dÕun sous-W-schŽma
formel fermŽ lisse, e un ^d(m)x, ›-module cohŽrent ˆ support dans z. Il existe un entier m' ≥ m,(m')
un ^d(m')
et un isomorphisme ^d(m')
z, › -module cohŽrent fx, › -linŽaire

^d(m')x, › ¢^d(5.3.2.1)

(m)
x, ›

õ@ u(m') f(m').
e #+On remarquera que, si m' est ÞxŽ, f(m') est dŽterminŽ de mani•re unique dÕapr•s(5.3.1.1). DÕautre part, les foncteurs u(m')
commutent aux extensions du faisceau dÕopŽra+teurs diffŽrentiels dÕapr•s (3.5.3.1), de sorte que, pour tout m" ≥ m', on dispose sur ^d (m")
x, ›dÕun isomorphisme analogue ˆ (5.3.2.1), dans lequel f(m') est remplacŽ par f(m") :=^d(m")x, › ¢^df(m'). Compte tenu des ŽnoncŽs de commutation de u+ et u! ˆ lÕimage inverse
par Frobenius, on obtient ainsi pour les dìx, ›-modules et F-dìx, ›-modules cohŽrents lÕanalogue du thŽor•me de KashiwaraÊ:
(m')
x, ›

5.3.3. THƒORéME [11]. Ñ Soit u : z Ã@ x lÕinclusion dÕun sous-schŽma formel fermŽ lisse.
Alors les foncteurs u+ et u! sont des Žquivalences de catŽgories quasi-inverses entre lacatŽgorie des dìz, ›-modules (resp. F-dìz, ›-modules) cohŽrents, et celle des dìx, ›-modules(resp. F-dìx, ›-modules) cohŽrents ˆ support dans z.
On observe alors que lÕŽquivalence de 5.1.3 commute aux foncteurs u(0)et u+ , ce qui+
entra”ne que la variŽtŽ caractŽristique de lÕimage directe e = u+ f se dŽduit de celle de f
par la m•me description quÕen caractŽristique 0 (voir [16], ou [40])Ê: si Z Ã@ X est larŽduction de u modulo p, on dispose des applications entre ÞbrŽs cotangentsqv
T *Z “# Z |X T *X Ã@ T *X,

et la variŽtŽ caractŽristique de e est donnŽe parCar(e) = v(q -1(Car(f))).
LÕargument habituel (voir [36], [40], [42]) permet alors de montrer lÕinŽgalitŽ deBernstein par rŽcurrence sur la dimension de XÊ:

5.3.4. THƒORéME [11]. Ñ Soit e un F-dìx, ›-module cohŽrent. Pour tout point x du supportde e, on a
(5.3.4.1)

dimx Car(e) ≥ dimx X.

5.3.5. Soient d la dimension de X, et e un F-dìx, ›-module cohŽrent. Nous appellerons

70

P. BERTHELOT

dimension de e en un point x du support de e la dimension en x de Car(e), et nous poserons
dim e = sup x (dimx Car(e)), codim e = 2d - dim e. Si X est de dimension d, lÕinŽgalitŽ deBernstein assure que, si e ≠ 0, alors dim e ≥ d. Nous dirons que e est holonome si e = 0, ou
si dim e = d.
Si e ‘ D(dìx, ›) est muni dÕune structure de F-dìx, ›-complexe, nous dirons que e est
holonome si ses faisceaux de cohomologie sont des F-dìx, ›-modules holonomes. Nous
noterons F-Dbhol(dìx, ›) la catŽgorie des F-dìx, ›-complexes holonomes ˆ cohomologie bornŽe.
Exemples. Ñ (i)ÊÊTout F-isocristal convergent est un F-dìx, ›-module holonome, dont lavariŽtŽ caractŽristique est rŽduite ˆ la section nulle de T *X. RŽciproquement, si e est un Fdìx, ›-module holonome, il existe un ouvert non vide u « x tel que la restriction de e ˆ usoit un F-isocristal convergent. Si x est une courbe, et e un F-dìx, ›-module cohŽrent, e est
holonome si et seulement si la condition prŽcŽdente est vŽriÞŽe.
(ii) Si 0 @ e' @ e @ e" @ 0 est une suite exacte de F-dìx, ›-modules cohŽrents, e est
holonome si et seulement si e' et e" le sont.
(iii) Si u : x Ã@ y est une immersion fermŽe entre W-schŽmas formels lisses, et si eappartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›), alors u+ e appartient ˆ F-Dbhol(dìy, ›) [11].
(iv) Si f : x @ y est un morphisme lisse de W-schŽmas formels lisses, et si f appartientˆ F-Dbhol(dìy, ›), alors f ! f appartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›) [11].
(v) Si x, y sont deux W-schŽmas formels lisses, si z = x | y, et si e (resp. f) appartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›) (resp. F-Dbhol(dìy, ›)), alors e ¢LW f appartient ˆ F-Dbhol(dìz, ›) [11].
(vi) Si e appartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›), alors D(e) appartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›) [52].
(vii) JÕignore sÕil existe des F-dìx, ›-modules cohŽrents non holonomes.
5.3.6. On peut conjecturer que les F-dìx, ›-complexes holonomes bornŽs poss•dent en unsens convenable toutes les propriŽtŽs de stabilitŽ des complexes bornŽs de dX -modules ˆ
cohomologie holonome sur les variŽtŽs lisses sur un corps de caractŽristique 0. En
particulier, on sÕattend ˆ ce que les propriŽtŽs suivantes soient vraies, pour un morphismef : x @ y de W-schŽmas formels lissesÊ:A) Si e appartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›) et est ˆ support propre sur y, alors f+ e appartient ˆ
F-Dbhol(dìy, ›). Gr‰ce ˆ 5.3.5 (iii) et ˆ la formule de transitivitŽ, il sufÞrait de le prouver
lorsque f est lisse.
B) Si f appartient ˆ F-Dbhol(dìy, ›), alors f ! f appartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›). Gr‰ce ˆ 5.3.5(iv) et ˆ la formule de transitivitŽ, il sufÞrait de le prouver lorsque f est une immersion
fermŽe.
C) Si Z est un fermŽ de X, et si e appartient ˆ F-Dbhol(dìx, ›), alors È‚Z ì(e) appartient ˆ
F-Dbhol(dìx, ›).
On peut montrer que les conjectures B et C sont Žquivalentes [11].
On remarquera que la conjecture C joue le r™le de la stabilitŽ des modules holonomes parimage directe par une immersion ouverte lorsque la base est un corps de caractŽristique 0.
En effet, si j : U Ã@ X est une immersion ouverte, et Z = X è U, on dispose dans ce cas duINTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

71

triangle de localisationÈ‚Z(e) #@ e #@ Èj* j * e #@ È‚Z(e)[1].
Il en rŽsulte que, si e appartient ˆ Dbhol(dX), Èj* j * e appartient ˆ Dbhol(dX) si et seulementbsi È‚Z(e) appartient ˆ Dhol(dX). De plus, les foncteurs Èj* et j * sont alors des Žquivab
lences de catŽgories quasi-inverses entre la catŽgorie Dhol(dU) et la sous-catŽgorie pleine debDhol(dX) formŽe des complexes e tels que È‚Z(e) = 0. Dans le cas des Wi -schŽmas lisses, ou
des W-schŽmas formels lisses, nous avons vu plus haut que la topologie de Zariski est trop
grossi•re pour fournir une bonne notion dÕimage directe par une immersion ouverte. On
peut par contre conjecturer que lÕon obtient un formalisme du type des opŽrations deGrothendieck en considŽrant les schŽmas formels x propres et lisses sur W, et en associant
ˆ un ouvert u dÕun tel schŽma, de complŽmentaire Z, la sous-catŽgorie pleine de
F-Dbhol(dìx, ›) formŽe des complexes e tels que È‚Z ì(e) = 0. Le foncteur Èj* est alors
remplacŽ par lÕinclusion de cette sous-catŽgorie, qui respecte lÕholonomie par dŽÞnition, et lefoncteur j * par le c™ne du morphisme canonique È‚Z ì @ Id, ou plus exactement, pourdŽÞnir effectivement un foncteur, par le foncteur construit comme en 4.4.4 et 4.4.5 endŽrivant les foncteursnlim hom÷o (oX @ p(m)(i), -)

#@

Xi

n

i

sur la catŽgorie des complexes de d(m)X -modules. La prŽservation de lÕholonomie par leifoncteur ainsi obtenu est alors Žquivalente ˆ la conjecture C.
On notera que, lorsque Z est un diviseur de X, il existe a priori un autre substitut au
foncteur Èj* j *, ˆ savoir le composŽ de lÕextension des scalaires de dìx, › ˆ d ìx, ›(ìZ), et dela restriction des scalaires de dìx, ›(ìZ) ˆ dìx, › , dŽjˆ considŽrŽ en 4.5. En fait, il existe unisomorphisme canonique entre ces deux foncteurs [10]. Une variante de la conjecture C est
alors la suivanteÊ:D) Si e est un F-dìx, ›(ìZ)-module cohŽrent dont la restriction ˆ u est holonome, alors e
est un F-dìx, ›-module holonome.
Cette conjecture entra”nerait en particulier que lÕalg•bre ox, ›(ìZ) construite en 4.4.1
est un F-dìx, ›-module holonome. Plus gŽnŽralement, on peut montrer que la conjecture D
entra”ne la conjecture C [11].
On remarquera que, m•me si lÕon suppose de plus que e est de la forme sp* E, o• E est
un F-isocristal surconvergent le long de Z, cette assertion nÕest plus nŽcessairement vraie silÕon ne dispose pas de lÕaction de Frobenius. Par exemple, si x est la droite projective, si
Z = {0, &}, et si c ‘ Áp est un nombre de Liouville p-adique, le dìx, ›(ìZ)-moduledìx, ›(ìZ) / dìx, ›(ìZ)(tŸ - c) correspond ˆ un isocristal sur G m , surconvergent en 0 et &,mais nÕest pas cohŽrent sur dìx, › . Par contre, lÕexistence dÕune structure de F-isocristal
entra”ne que les exposants de Christol-Mebkhout sont rationnels [22], ce qui exclut toutedifÞcultŽ liŽe aux nombres de Liouville.

5.3.7. PrŽcisons pour Þnir les rŽsultats reliant la condition gŽomŽtrique dÕholonomie

72

P. BERTHELOT

introduite en 5.3.5 et la condition homologique usuelle, dÕapr•s [49], [50], [52]. On note d ladimension de X.
Si e est un F-dìx, ›-module cohŽrent, le complexe dual D(e) est un F-dìx, ›-complexe,de sorte que ses faisceaux de cohomologie
hi - d(D(e)) = extdi ìx, ›(e, dìx, › ¢ ∑-1
x )sont eux-m•me des F-dìx, ›-modules cohŽrents, dÕapr•s (4.3.10.1). Si e(0) est le ^d(0)x, ›-modulecohŽrent asociŽ ˆ e par lÕŽquivalence 5.1.3, les thŽor•mes de commutation du dual aux
extensions de lÕanneau dÕopŽrateurs diffŽrentiels, et ˆ lÕimage inverse par Frobeniuspermettent de se ramener ˆ lÕŽtude des faisceaux analogues pour e(0) sur ^d(0)x, › . En prenant
un mod•le entier e' de e(0), et en utilisant la suite exacte des coefÞcients universels pour
-1(0)iD(e'), on peut relier les ext^di (0) (e(0), ^d (0)¢ ∑-1X ). Commex, › ¢ ∑x ) aux extd(0)(e' / p e', dX
x, ›

X

(0)
l'anneau d(0)X a un graduŽ rŽgulier, on peut appliquer ˆ lÕŽtude du dual dÕun dX -modulecohŽrent les mŽthodes de Malgrange [40]. On obtient ainsiÊ:5.3.8. THƒORéME [52]. Ñ Soit e un F-dìx, ›-module cohŽrent.
(i) Pour tout i, extdi ìx, ›(e, dìx, › ¢ ∑-1x ) est de codimension ≥ i ;iì-1(ii) extdìx, ›(e, dx, › ¢ ∑x ) = 0 pour tout i < codim(e).
LÕinŽgalitŽ de Bernstein pour les F-dìx, ›-modules permet alors dÕen dŽduire pour ceuxci un rŽsultat plus prŽcis que celui que fournit la majoration de 4.1.5 sur la dimension
homologique de dìx, ›Ê:
5.3.9. COROLLAIRE. Ñ Tout F-dìx, ›-module cohŽrent est de dimension projective locale auplus d.
Le thŽor•me 5.3.8 entra”ne de plus que, si e est holonome, les ext i(e, dìx, › ¢ ∑x-1) sontnuls pour i ≠ d, et ext d(e, dìx, › ¢ ∑-1x ) est lui-m•me holonome. DÕautre part, le thŽor•me deìbidualitŽ locale pour les F-dx, ›-modules cohŽrents donne naissance ˆ une suite spectrale
dont tous les termes sont eux-m•mes des F-dìx, ›-modules cohŽrents. En Žtudiant cettesuite spectrale par les mŽthodes de [40], on obtient en particulier la rŽciproque de cettepropriŽtŽ, dÕo• la caractŽrisation homologique de lÕholonomieÊ:5.3.10. THƒORéME [52]. Ñ Pour quÕun F-dìx, ›-module cohŽrent soit holonome, il faut etsufÞt que extdi ìx, ›(e, dìx, › ¢ ∑x-1) = 0 pour i ≠ d.
Comme en caractŽristique nulle, le thŽor•me de bidualitŽ locale donne alors unfoncteur de dualitŽ interne ˆ la catŽgorie des F-dìx, ›-modules holonomes, en posante * := h0(D(e)) = extddìx, ›(e, dìx, › ¢ ∑-1x ).

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

5.4.

73

MultiplicitŽs et formule de lÕindice

La mŽthode utilisŽe en 5.3 pour construire la variŽtŽ caractŽristique Car(e) dÕun Fdx, ›-module cohŽrent e permet Žgalement de dŽÞnir une multiplicitŽ pour chacune descomposantes irrŽductibles de Car(e), donc un cycle caractŽristique ˆ support dans Car(e).
ìNous exposons ici cette construction, puis nous montrons que, lorsque X est projectif sur k,
on peut appliquer la mŽthode dŽveloppŽe par Laumon dans [39], et en dŽduire pour les Fdìx, ›-modules holonomes une formule de lÕindice global analogue ˆ celle de DubsonKashiwara [19].

5.4.1. Soit i ≥ 0 un entier, et pla•ons nous dÕabord, comme en 5.2.4, sur un schŽma Xi lisse
sur Si = Spec Wi(k). Supposons donnŽ un d(0)Xi -module cohŽrent e, muni dÕune bonne Þltration (en), et soit ∂ la dimension de e. Soit ≈ ‘ T *X le point gŽnŽrique dÕun fermŽ irrŽductible
de dimension ∂. On dŽÞnit la multiplicitŽ de e en ≈ comme Žtant la longueur du oT *X, ≈ module (gr e)≈ . Un argument classique basŽ sur la comparaison des bonnes Þltrations (voir[14], [15], [36], [40], ...) montre que cet entier ne dŽpend pas de la bonne Þltration choisieÊ;nous le noterons m≈(e). On dŽÞnit alors le cycle caractŽristique de e par
ZCar(e) :=Ü.
å m≈(e){≈}dim ≈ = ∂Ce cycle est positif par construction.
Les propriŽtŽs qui suivent sont classiquesÊ:(i) Si la suite 0 @ e' @ e @ e" @ 0 est exacte, et si dim≈ gr e' = dim≈ gr e = dim≈ gr e",
alors m≈(e) = m≈(e') + m≈(e").
(ii) Si e est plat sur Wi , alors m≈(e) = i m≈(e / p e).
Gr‰ce ˆ celles-ci, on montre le lemme suivantÊ:5.4.2. LEMME [11]. Ñ Soient e', e" deux ^d(0)x -modules cohŽrents sans p-torsion, tels quÕil
existe une isogŽnie ƒ : e' @ e", et soit ∂ la dimension de e' et e". Pour tout point ≈ ‘ T *X dedimension ∂, on a m≈(e' / pe') = m≈(e" / p e").
Soit e un ^d(0)x -module cohŽrent, que lÕon suppose sans p -torsion. On dŽÞnit son cycle
caractŽristique en posant
ZCar(e) := ZCar(e / p e).
Sous les hypoth•ses du lemme, on voit donc que si e' et e" sont isog•nes, alors
ZCar(e') = ZCar(e"). Par suite, si lÕon suppose maintenant que e est un ^d (0)x, ›-modulecohŽrent, on peut dŽÞnir son cycle caractŽristique en choisissant un ^dx(0)-module cohŽrent

sans torsion e' tel que e'› ñ e, et en posant ZCar(e) := ZCar(e').
EnÞn, si e est un F-dìx, ›-module cohŽrent, il lui correspond par lÕŽquivalence de 5.1.3

un unique couple (e(0), ‡(1)). Comme e(0) est un ^d(0)x, ›-module cohŽrent, on sait dŽÞnir son

74

P. BERTHELOT

cycle caractŽristique dÕapr•s ce qui prŽc•de, et on pose ZCar(e) := ZCar(e(0)).
Remarque. Ñ Pour tout m, on peut aussi dŽÞnir un cycle caractŽristique pour les ^d(m)x, ›modules cohŽrents, ce qui permet de donner un sens ˆ la dŽÞnition prŽcŽdente lorsque p =2. Nous renvoyons le lecteur ˆ [11] pour le dŽtail de cette construction et de ses propriŽtŽs.
A partir de lÕexistence du cycle caractŽristique, on obtient classiquementÊ:5.4.3. PROPOSITION [11]. Ñ Soit x un W-schŽma formel lisse.
(i) Pour tout suite exacte de F-dìx, ›-modules holonomes 0 @ e' @ e @ e" @ 0, on a
ZCar(e) = ZCar(e') + ZCar(e").
(ii) La catŽgorie des F-dìx, ›-modules holonomes est artinienne.
Une autre application importante de la construction du cycle caractŽristique est lethŽor•me de lÕindiceÊ:5.4.4. THƒORéME [11]. Ñ Soient x un W-schŽma formel lisse de dimension relative d, dontla rŽduction X sur k est projective, et e un F-dìx, ›-module holonome. On note DRx(e) lecomplexe de de Rham de x ˆ coefÞcients dans e, placŽ entre les degrŽs -d et 0, etd©DR(e) :=å dimK H i(x, DRx(e))
i = -dsa caractŽristique dÕEuler-PoincarŽ. On a alors(5.4.4.1)©DR(e) = ( X÷ ZCar(e)),

o• le terme de droite est le degrŽ du cycle dÕintersection dans T *X de la section nulle de T *X
et du cycle caractŽristique de e.
Soient (e(0), ‡(1)) le couple correspondant ˆ e dans lÕŽquivalence de 5.1.3, e' un ^d(0)x (0)module cohŽrent sans torsion tel que e'› ñ e . On montre successivement les relations
suivantes, qui entra”nent le thŽor•meÊ:(i) ©DR(e) = ©DR(e(0)) ;(ii) ©DR(e(0)) = ©DR(e' / p e') ;(iii) ©DR(e' / p e') = ( X÷ ZCar(e' / p e')).
Cette derni•re relation nÕest que lÕapplication directe de la mŽthode de Laumon pour
prouver [39, (6.6.4)] : on vŽriÞe en effet que lÕhypoth•se de caractŽristique 0 faite dans [39]nÕintervient rŽellement que pour assurer que dX soit de dimension homologique Þnie, etque, lorsque f : X @ Spec k est le morphisme structural dÕun k-schŽma lisse, il existe pour
tout dX -module e un isomorphisme f+ e ñ È‚( X, DR x(e)). Or ces deux propriŽtŽs sontvraies pour d(0)X sur un corps de caractŽristique p. Comme lÕensemble des outils utilisŽs par

INTRODUCTION A LA THƒORIE ARITHMƒTIQUE DES d-MODULES

75

Laumon est disponible tel quel pour les d(0)X -modules, on peut conclure.
Remarque. Ñ Comme le montre Garnier (cf. [23], [24]), cette formule fait appara”tre le lien
existant, lorsque x est une courbe, entre les multiplicitŽs du cycle caractŽristique dÕun Fdìx, ›-module holonome, et la thŽorie de lÕirrŽgularitŽ.

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A.üVirrion, ThŽor•me de dualitŽ relative pour les d-modules arithmŽtiques, C. R. Acad. Sc. Paris 321,sŽrie I, p. 751-754 (1995).

[52]

A.üVirrion, DualitŽ locale et holonomie pour les d-modules arithmŽtiques, PrŽpublication IRMAR 9812, UniversitŽ de Rennes (1998), ˆ para”tre au Bull. Soc. Math. France.

Pierre BERTHELOT
IRMAR
UniversitŽ de Rennes 1
Campus de Beaulieu
35042 Rennes cedex
Francee-mail : Pierre.Berthelot@univ-rennes1.fr
web : http://www.maths.univ-rennes1.fr/~berthelo