3/9/2015

なぜ授業実践事例の発表にいたったか

数学的活動を促す
数学Ⅰ「データの分析」の授業〜第11回統計教育の⽅法論ワークショップ@統計数理研究所〜
2015年３⽉７⽇（⼟）
髙⽊ 勝久（神⼾⼤学附属中等教育学校）

 思いもよらない⽣徒の「誤答」に遭遇したから
 「誤答の原因」もまた思いもよらないものであったから
 それらが「数学的活動の⽋如」に起因すると思われたから 「データの分析」の指導に，数学的活動を盛り込めないかと考えたから
 「データの分析」の学習にこそ，数学的活動が不可⽋だと考えたから⽣徒の「数学の学習」が，なにかおかしい①

⽣徒達は，数学的活動をしているのか？

 ⼤きな問題はなく授業が進む。しかし，進度が上がらない。
 ⽣徒たちの積極的に評価できる⾯は何か？ と問われると，授業者として⼀瞬答えに窮する。
 じっとしている。（よきにつけあしきにつけ）活動が⽌まっている？
「受動的能動」の状態にはない。完全な受動？
 指名されて初めて「今，何番やってるんですか？」 前時の内容をほぼ忘れている。本時の話題になかなか進めない。
進むには授業者に勇気が必要。 → 進度が上がらない。

⽣徒の「数学の学習」が，なにかおかしい②

⽣徒達は，数学的活動をしているのか？

 説教をして，次時に⼩テスト，さらに再テストをすると，思いのほか仕上げてくる。
 ノートからは，問題と「格闘」した痕跡がそれほど⾒られない。
 成績は全般的に芳しくない。
 「勉強をしているのか？」と尋ねると「はい，しています」と答える。
無表情で答える。
 ⼼の声は，これ？ 「あなたが課したノルマをこなしたこの私が，あなたに責められる点などあるのでしょうか？ 」

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模擬試験の分析をしてみると・・・・・・

⼩テストで再現答案を書かせてみた①2 「２次⽅程式 x  2x  4  0 を解け。」の正答率が⾮常に低い。
 典型的な誤答例：
その１ x   5 その２ x 1 2（正答は x 1

55）

 しかし，⽣徒達は「２次⽅程式の解の公式」をきちんと覚えていた！
 「２次⽅程式 8x2

8x 3 0 を解け。」の⽅が正答率が⾼い。

⼩テストで再現答案を書かせてみた②

その他にも，いろいろ・・・・・・「先⽣！僕は間違いなくこのように習いました！」1

19 9  
1150 135


360
440

「cos C の値を求めよ。」

余弦定理を覚えてはいるが・・・

132  14 2  152
2 13 14
13  14  152

2 13 14 

cos C 2

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指導要領における 『数学的活動』

指導要領における 『数学Ⅰ・「データの分析」 』①（「⾼等学校学習指導要領解説 数学編」（⽂部科学省）から引⽤ ただし⾚字部を除く）（「⾼等学校学習指導要領」（⽂部科学省）から引⽤）

数学的活動とは，数学学習にかかわる⽬的意識をもった主体的な活動のことであるが，（中略）⾼等学校では特に次の活動を重視している。

統計の基本的な考え⽅を理解するとともに，それを⽤いてデータを整理・分析し傾向を把握できるようにする。

 ⾃ら課題を⾒いだし，解決するための構想を⽴て，考察・処理し，その過程を振り返って得られた結果の意義を考えたり，それを発展させたりすること。 … ① 【Plan・Do・Check・Action】

ア データの散らばり 学習した内容を⽣活と関連付け，具体的な事象の考察に活⽤すること。
… ② 【具体例に適⽤】

イ データの相関 ⾃らの考えを数学的に表現し根拠を明らかにして説明したり，議論したりすること。 … ③ 【他者とのコミュニケーション】

指導要領における 『数学Ⅰ・「データの分析」 』②

視覚的に捉える
データの散らばり

度数分布表
度数折れ線

データの相関相関表
散布図

ヒストグラム
箱ひげ図

数値化する
四分位範囲
分散
標準偏差
相関係数

四分位偏差，分散及び標準偏差などの意味について理解し，それらを⽤いてデータの傾向を把握し，説明すること。
散布図や相関係数の意味を理解し，それらを⽤いて⼆つのデータの相関を把握し説明すること。

指導要領における 『数学Ⅰ・「データの分析」 』③（「⾼等学校学習指導要領」（⽂部科学省）から引⽤）

統計の基本的な考え⽅を理解するとともに，それを⽤いてデータを整理・分析し傾向を把握できるようにする。
ア データの散らばり四分位偏差，分散及び標準偏差などの意味について理解し，それらを⽤いてデータの傾向を把握し，説明すること。
イ データの相関散布図や相関係数の意味を理解し，それらを⽤いて⼆つのデータの相関を把握し説明すること。

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3/9/2015「数学的活動」を促すための，はたらきかけ①

 右の散布図に⽰された９組のデー
タ について，x と y の相関係数を求めよ。（まず推定してみよ）
⽣徒の推定：
0「数学的活動」を促すための，はたらきかけ②

 右の散布図に⽰された９組のデー
タ について，x と y の相関係数を求めよ。（まず推定してみよ）
⽣徒の推定：
０⼈

０⼈〜0.3 ０⼈

５⼈

0.3〜0.7 １⼈

0.3〜0.7 ３⼈

５⼈

0.7〜１

0.7〜１０⼈

0６⼈〜0.3 １⼈
１⼈「数学的活動」を促すための，はたらきかけ③（⼀般社団法⼈ 中央調査社ＨＰ（http://www.crs.or.jp/backno/No650/6500.htm）から引⽤）（参考⽂献：⼤淵智勝 (2013)教科「数学」のこれから先 駿台教育フォーラム 29 71-83）00６⼈「数学的活動」を促すための，はたらきかけ④

 某社のＨＰに次のような記述があった（⼀部改変）。⾚字部は，調査で得られたデータを適切に解釈したものと⾔えるか。理由もつけて答えよ。

 ある調査によると，次の(1)〜(3)に⽰した２つの変量 x，y には強い正の相関があったという。 (1)〜(3)のうち，x と y に因果関係があると⾔えるものはどれか。

「 20**年×⽉の時事世論調査の結果がまとまった。△△内閣の⽀持率は前⽉から 6.7ポイント減の 35.5 ％ に低下し，不⽀持率は同 9.2 ポイント増えて 36.0 ％ だった。政権発⾜後わずか３ヵ⽉⽬で⽀持と不⽀持が逆転した。（中略）調査は全国の成⼈男⼥2000 ⼈を対象に，個別⾯接聴取法で×⽉10⽇から13⽇に実施。
有効回収（率）は 1279（64.0％）だった。」(1) ある海沿いの地域における，年別の６〜８⽉のx：アイスクリームの売り上げ⾼
y：⽔難事故の件数(2) ある地域における就労者のx：⽩髪の本数y：年収(3) あるクラスの⽣徒の，秋学期中間考査のx：英語の点数y：数学の点数43/9/2015「数学的活動」を促すための，はたらきかけ⑤（⼩林道正(2013)データ分析における「箱ひげ図」の誤解－⾼校教科書における多数の誤り－
中央⼤学論集 34 57-68 から引⽤）

 ある学年の１組と２組でテストを⾏った。すべての⽣徒の点数は次のようであった。

「数学的活動」を促すための，はたらきかけ⑥（⼩林道正(2013)データ分析における「箱ひげ図」の誤解－⾼校教科書における多数の誤り－
中央⼤学論集 34 57-68 から引⽤）

 １組と２組の箱ひげ図 １組と２組のヒストグラム

１組： 10，20，20，20，40，40，40，50，60，70，70， 70，80
２組： 10，10，10，30，30，40，40，60，60，80，80， 80(1)１組，２組のテストの点数をそれぞれ箱ひげ図で表せ。
(2)１組，２組のテストの点数をそれぞれヒストグラムで表せ。

「数学的活動」を促すための，はたらきかけ⑦「数学的活動」を促すための，はたらきかけ⑧ 次の(1)〜(4)について，レポートにまとめよ。
(1) 「データの分析」により１次資料（⽣データ）の実態が２次資料（⽣データから得られた数値，図表，⽂章など）に必ずしも正確に反映されていない具体例を①１つ以上挙げ，そのそれぞれについて， ②そのようになった原因を考えて記せ。
(2) 「データの分析」により１次資料の実態が２次資料に正確に，かつ利⽤されやすく反映されている具体例を①１つ以上挙げ，そのそれぞれについて②そのようになった原因を考えて記せ。

(3) ２次資料を利⽤する⽴場の者が，資料を有効に利⽤する際に注意すべき点を述べよ。
(4) あなたが将来，２次資料を提供する⽴場になったときに，有効な資料を提供する際に注意すべき点を述べよ。

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⽣徒のレポートから①

⽣徒のレポートから②

⽣徒のレポートから③

⽣徒のレポートから④6

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反省，雑感など①

 ⽣徒に「数学的活動の⽋如」の気づきを促す
 ⽣徒の「数学的活動」の場⾯を授業に盛り込む（「データの分析」以外の単元）
 ⽣徒の「数学的活動」の場⾯を授業に盛り込む（「データの分析」の単元）→ 試⾏錯誤のさなかにある（⽣徒の様⼦を⾒ながらの授業実践が卒業まで続く）（特に「データの分析」については私の研鑽も必要）

反省，雑感など②

 箱ひげ図（四分位数），分散（標準偏差），散布図，相関係数の指導だけではもったいない！
 全数調査と標本調査の差異に⾔及したい（ 「課題学習」 「総合的な学習の時間」との兼ね合いも良好）→ 推定や検定にまで⾔及したい ⾼校⽣にとって「実社会とのコミュニケーションの窓⼝」となりうる
 しかし，⾼校の教育課程は過密（特に１年次）
 教員の研修も不可⽋

ご清聴ありがとうございました。

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