Université Claude Bernard–Lyon I
Licence 3 de Mathématiques : Géométrie élémentaireAnnée 2012–2013

IGéométrie euclidienne (suite)

Encore quelques relations dans le plan̂ l’angle géométrique défini
Soit ABC un triangle non aplati, on note a = BC, b = CA, c = AB ; ÂÐ→Ð→par (AB, AC), etc. ; enfin, R le rayon du cercle circonscrit au triangle.

1○Relation d’Al KashiÐ→ Ð→ Ð→
Montrer que l’on a (très facile à partir de BC = BA + AC) :̂a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

2○

Loi des sinus
Montrer que l’on a :̂ sin B̂ sin Ĉsin A
1===.
abc2RII○1Exercices de commande
Principe de conjugaison et centre
On se place dans R3 affine euclidien orienté.
a) Soit D (resp. H) une droite (resp. un plan) de R3 , et soit rD (resp. sH ) le demi-tour (resp. laréflexion) autour de D (resp. de plan H). Soit f une isométrie de R3 . Montrer que f sH f −1 = sf (H)(resp. que f rD f −1 = rf (D) ).
b) Soit f une isométrie affine de R3 . Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :(i) pour toute isométrie (resp. isométrie directe) g de R3 , f g = gf ;(ii) pour toute réflexion (resp. tout demi-tour) g, f g = gs ;(iii) f = Id.
[Les implications (i)⇒(ii) et (iii)⇒(i) sont triviales ; on peut remarquer que (ii)⇒(i) résulte d’unthéorème du cours ; enfin, pour (ii)⇒(iii), on remarquera que tout point est l’intersection detrois plans (resp. de deux droites) et qu’un plan (resp. une droite) est l’ensemble des points fixes
d’une réflexion (resp. d’un demi-tour).]

2○Écriturea) Soit ω = t (a b c) un vecteur unitaire de R3 . Donner les coordonnées du projeté orthogonald’un vecteur v = t (x y z) sur la droite Rω. En déduire les coordonnées de l’image de v par laréflexion d’hyperplan v ⊥ et par le demi-tour d’axe Rω.
b) Donner les coordonnées de l’image d’un point M = (x, y, z) par les réflexions de plansd’équations y = z et x = z ; décrire la composée (dans chaque ordre possible).

3○Décomposition
Décomposer chacune des isométries suivantes comme produits d’involutions (demi-tours ou
réflexions, selon si l’isométrie est directe ou pas).
xax + bya) f ( ) = () où a2 + b2 = 1, ab ≠ 0 ;y−bx + ay⎛x⎞ ⎛y ⎞b) f ⎜y ⎟ = ⎜ z ⎟ ;⎝ z ⎠ ⎝x⎠1⎛x⎞ 1 ⎛ 2x − 2y + z ⎞c) f ⎜y ⎟ = ⎜ x + 2y + 2z ⎟ ;⎝ z ⎠ 3 ⎝−2x − y + 2z ⎠⎛x⎞ 1 ⎛2x − 2y + z ⎞d) f ⎜y ⎟ = ⎜x + 2y + 2z ⎟.
⎝ z ⎠ 3 ⎝2x + y − 2z ⎠4○

ReconnaissanceDonner la nature (rotation, réflexion, composée d’une rotation et d’une réflexion, etc.) et leséléments caractéristiques (points fixes, angle...) des isométries de la question précédente.

IIISur les polyèdres réguliers○1Tétraèdre réguliera) Calculer la hauteur d’un tétraèdre régulier de côté a.
b) Calculer le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre régulier de côté a.
c) On fixe un tétraèdre régulier de côté a et on considère le tétraèdre dont les sommets sont lescentres des faces : calculer la longueur de ses arêtes et son volume.

2○Icosaèdre régulier
Soient a, b réels, 0 < a < b. On considère les points suivants de R3 , qui forment trois rectangles :(±a, ±b, 0),(0, ±a, ±b),(±b, 0, ±a).

Trouver une relation entre a et b pour que ces points soient les sommets d’un icosaèdre régulier.
3○Simplexe réguliera) Expliquer pourquoi on peut dire que– un segment est un 1-simplexe régulier ;– un triangle équilatéral est un 2-simplexe régulier ;– un tétraèdre régulier est un 1-simplexe régulier ;b) On fixe un entiers n ∈ N∗ . Partant des exemples précédents, définir ce qu’est un n-simplexe
régulier dans Rn . Combien de sommets possède-t-il ? de faces de dimension n − 1 ? de facettesde dimension k ?
c) Montrer l’existence d’un n-simplexe régulier de deux façons :– en ≪ relevant ≫ une hauteur depuis le centre d’un n − 1-simplexe ;– en considérant l’enveloppe convexe de la base canonique de Rn+1 .
d) Montrer que deux n-simplexes réguliers sont semblables.
e) Reprendre les questions a et b du paragraphe 1○ . Quelle est la limite du volume du n-simplexede côté 1 lorsque n tend vers l’infini ? du rayon de la sphère circonscrite ?

4○Caractéristique d’Euler-PoincaréCompléter le tableau suivant, dans lequel on désigne par S le nombre de sommets, A le nombred’arêtes, F le nombre de faces d’un polyèdre.
nom
S A Ftétraèdre
cubeoctaèdre
dodécaèdre
icosaèdre⋯

2S−A+F