高密度QCD理論や格子QCD計算の最前線

理研、量子ハドロン物理学研究室
土居孝寛

自己紹介
・専門：格子QCD
・興味：QCD真空, カラーの閉じ込め, 符号問題
・Heavy Ion Pub/Café : 初めまして

第35回Heavy Ion Cafe並びに第27回Heavy Ion Pub合同研究会「ポストQM2018 」、名古屋大学、2018 6/30

高有限密度QCD理論や格子QCD計算の最前線

理研、量子ハドロン物理学研究室
土居孝寛

自己紹介
・専門：格子QCD
・興味：QCD真空, カラーの閉じ込め, 符号問題
・Heavy Ion Pub/Café : 初めまして

第35回Heavy Ion Cafe並びに第27回Heavy Ion Pub合同研究会「ポストQM2018 」、名古屋大学、2018 6/30

有限密度格子QCDについて皆さんが知りたい事(予想)Q. 有限密度格子QCDでQCD臨界点の兆候は既に見えているの？
A. 見えていません。
Q. 有限密度格子QCDって何が計算できているの？

A. 基本的には高温・低密度領域でしか計算できていません。
このトークで基本的な事をレビューします。
Q. 最近complex Langevin methodとかLefschetz thimbleとかよく聞くけど、どうなの？
A. ここ数年で理論的進展がありましたが、まだ結果が出始めていた所です。
Q. QCDの符号問題っていつ解けるの？

A. わかりません・・・Contents of this talk
１．introduction: 有限密度QCDと符号問題
２．符号問題の回避・解決方法の紹介(QM2018の結果含む)
・再重み付け法(reweighting method)・Taylor展開法
・pure imaginary chemical potential法
・complexifying integration path・complex Langevin method
３．まとめ

Introduction
Busza, Rajagopal, Schee, arXiv: 1802.04801

Introduction
Busza, Rajagopal, Schee, arXiv: 1802.04801

符号問題無し符号問題ありIntroduction
crossover (lattice QCD)

deconfined (QGP)

Nuclear liquid-gas transition (exp.)
confinedcolor superconductor

Monte Carlo法
分配関数

x: 積分変数(e.g. QCD: gluon and fermion filed)
P(x): 分布関数

物理量の平均期待値

例：１次元積分
Monte Carlo simulation(Importance sampling)

統計誤差：

現在知られている一般的な計算手法の中で最も効率が良く、非常に強力

Monte Carlo法
Monte Carlo simulation(Importance sampling)が正当化される条件:
例：１次元積分O

Oの場合の符号が決まっていない場合
振動関数の積分＝“振動積分”

Sign problem in (lattice) QCD
Euclidean QCD partition function: pure gluonic (Yang-Mills) action ⇒(for example, finite-temperature lattice QCD)

⇒with evenOn the lattice, importance sampling (Monte Carlo method) can be doneusing the probability distribution.

cannot be regarded as a probability distribution.
Thus the Monte Carlo method is not applicable in general.

“符号問題” (=負符号問題, 複素位相問題)

Busza, Rajagopal, Schee, arXiv: 1802.04801

符号問題無し符号問題あり「有限密度領域で格子QCDの研究をする事」=「符号問題をどうにかする事」

Contents of this talk
１．introduction: 有限密度QCDと符号問題
２．符号問題の回避・解決方法の紹介(QM2018の結果含む)
・再重み付け法(reweighting method)・Taylor展開法
・pure imaginary chemical potential法
・complexifying integration path・complex Langevin method
３．まとめ

Many proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so onMany proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
比較的古くから研究されている

Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
Lefschetz thimble decomposition
ここ数年で理論的発展

Holomorphic gradient flow method

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so onMany proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so onMany proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so on再重み付け法(reweighting method)特徴

長所・原理的に正しい符号問題の解法
・符号問題の難しさがよくわかる方法（個人的意見）

短所 ・符号問題が厳しくなると実用的でなくなるが大きくなるにつれて計算の精度が悪くなり信用できなくなるので、左図のcritical endpointの位置が正しいかどうかは非自明

Z. Fodor, S.D. Katz, JHEP 0203 (2002) 014.
C.R. Allton, S. Ejiri, et al., Phys.Rev. D66 (2002) 074507.
Z. Fodor, S.D. Katz, Phys.Lett. B534 (2002) 87-92.

再重み付け法(reweighting method)
分配関数

物理量の平均期待値
はMonte Carlo法で計算可能∵

よって、再重み付け法は符号問題(=Monte Carlo法が適用できないという問題)を回避できている！

ここで紹介している方法はreweigtingの一種で、正確には“Phase quenching reweigting method”という。
すごい点：このスライド上の「=」は全てexactな等号であって、一切の近似が入っていない

再重み付け法の欠点

平均位相因子(Average phase factor)の性質: P(x)の理論と|P(x)|の理論の自由エネルギーの差
μ大⇔ΔF大再重み付け法の問題点
×体積や化学ポテンシャルを大きくしたり(V, μ→大)、低温(T→小)を考えると、平均位相因子は指数関数的に０に近づく⇒計算時間が指数関数的に長くなる⇔物理的に妥当な状況や、興味のある系の計算は非常に難しいMany proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
どちらも低密度(small μ)でしか正当化されないが、確実な方法

Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method

正しくはsmall μ/T

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so onTaylor展開法
基本的なidea
物理量（例：圧力）をで展開して、係数をで計算する計算すべき量(の4k次の多項式 )Monte Carlo法で計算可能: Dirac operator特徴
長所

・絶対に正しい in 収束半径

短所

・収束半径を超えると適用不可能(くらい？)・高次の係数の計算コストが高すぎる
・⇒収束半径の見積もり(高次係数が必要)もかなり難しい：out pf reach: 2002: 2005

From talk by Philip De Forcrand ＠NFQCD2018

From talk by Patrick Steinbrecher (HotQCD Collaboration) ＠QM2018

要約：かなり現実に近いパラメータセットで信頼できる計算をしましたよFrom talk by Patrick Steinbrecher (HotQCD Collaboration) ＠QM2018

From talk by Patrick Steinbrecher (HotQCD Collaboration) ＠QM2018

From talk by Patrick Steinbrecher (HotQCD Collaboration) ＠QM2018

・Crossover along const. entropy density and energy density
・Chemical freeze-out might be close to crossover

QCD critical point search by Taylor expansion method

もし、crossover line上でバリオン数ゆらぎの急激な変化があればQCD critical pointに近づいている証拠

From talk by Patrick Steinbrecher (HotQCD Collaboration) ＠QM2018: Baryon number fluctuation

From talk by Patrick Steinbrecher (HotQCD Collaboration) ＠QM2018

From talk by Patrick Steinbrecher (HotQCD Collaboration) ＠QM2018

でもplotしているが、よいのだろうか・・・参考：のTaylor expansion around

収束半径

参考：のTaylor expansion around
収束半径by mathematica

Many proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
どちらも低密度(small μ)でしか正当化されないが、確実な方法

Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method

正しくはsmall μ/T

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so on

虚数化学ポテンシャル(imaginary chemical potential)
基本的なidea
化学ポテンシャルを無理やり純虚数符号問題が生じない事を利用する：にすると、

戦略：虚数化学ポテンシャルで展開して解析接続するはMonte Carlo法で計算可能
解析接続：同じ係数を使う
fittingして係数を求める

虚数化学ポテンシャル(imaginary chemical potential)
戦略：虚数化学ポテンシャルで展開して解析接続するはMonte Carlo法で計算可能
解析接続：同じ係数を使う
fittingして係数を求める

特徴
長所 ・Taylor展開法に比べると計算コストが低い
・自体はμ/Tの高次の効果の情報を持っている（はず）
・ Taylor展開法とcross checkができる
短所

・収束半径を超えると適用不可能 or 系統誤差がある
・解析接続できる保証はない（でもたぶん大丈夫と思っている）

From talk by Attila Pasztor (Wuppertal-Budapest) ＠QM2018、arXiv:1805.04445：バリオン数の2k次ゆらぎ

From talk by Volodymyr Vovchenko ＠QM2018

Taylor展開法と虚数化学ポテンシャル法の一致
Hot QCD(green): Taylor展開法

Wuppertal-Budapest(blue): 虚数化学potential

From talk by Volodymyr Vovchenko ＠QM2018

From talk by Volodymyr Vovchenko ＠QM2018

From talk by Volodymyr Vovchenko ＠QM2018

From talk by Volodymyr Vovchenko ＠QM2018

Cluster expansion model (CEM) combines hadron gas with deconfinement andis consistent with presently available lattice data, both at 𝜇=0 and imaginary 𝜇𝐵

From talk by Philip De Forcrand ＠NFQCD2018※個人の感想です※ありうるシナリオの内の１つですMany proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method
まだ理論的に完成していない所もあるが、高密度領域でも計算できる可能性のある手法

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so onMany proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method
まだ理論的に完成していない所もあるが、高密度領域でも計算できる可能性のある手法

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin methodStochastic quantizationand so on

積分経路を複素化
Cauchy’s integration theorem: We can deform integration path.
(because usual
exponentially damp at infinity): Arbitrary deformed
integration pathComplexify variable

Real axis = Original integration path
The sign problem (or oscillation)of integrand are different,
but the values of the integrals
are same.
Question: What is the “best” contour?

の候補“best” contour
Integration path

sign problem itself

elgodicity

Original path = Real axis
Lefschetz thimble

×〇◎×〇〇〇〇〇◎(No Ansatz)

F. Pham (1983), E. Witten (2010)

Generalized Lefschetz thimble
Alexandru, et al. (2016).

Path optimization method
Yuto Mori, Kouji Kashiwa, Akira Ohnishi (2017).

model space of: fixed point
Lefschetz thimble

holomorphicflow

Generalized Lefschetz thimble

Real axis※実際はreweighting methodと組み合わせて使う

Many proposed methods to solve(avoid) the sign problem
Proposed methods

Based onTaylor expansion method
Canonical approach
Reweighting method

Monte Carlo methodwith imaginary chemical potential

QCD
Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method
まだ理論的に完成していない所もあるが、高密度領域でも計算できる可能性のある手法

Cauchy’s
integral formulapath optimization method
Complex Langevin method

Stochastic quantizationand so onComplex Langevin method
G. Parisi, Phys. Lett. B131, 393 (1983).
J. R. Klauder, J. Stat. Phys. 39, 53 (1985).
J. Ambjorn and S. K. Yang, Phys. Lett. B165, 140 (1985).

Consider a theory with complex action S(x) and real variable x,
Replace the real variable x with complex variable z;

Introduce a fictitious time t and suppose that the variable z satisfies the Langevin eq;,:real Gaussian noise:noise average

Noise average of an observable agrees with the quantum average at infinite fictitious time?;?の時は正しい事が証明されている

Complex Langevin method?
Q. Is stochastic quantization correct even with complex action?
A. It depends. Sometimes, complex Langevin method gives the incorrect result.

Some criteria for correctness of the complex Langevin dynamics are proposed.
・ Many(infinite) identities to be checked
Improve

G. Aarts, E. Seiler, and I.-O. Stamatescu, Phys.Rev. D81, 054508 (2010).
G. Aarts, F. A. James, E. Seiler, and I.-O. Stamatescu, Eur.Phys.J. C71, 1756 (2011).

・ Reliability test by the probability distribution of the drift term of the complex Langevin eq.
J. Nishimura and S. Shimasaki, Phys. Rev. D92, 011501 (2015).
K. Nagata, J. Nishimura, S. Shimasaki, Phys. Rev. D94, 114515 (2016).

Complex Langevin equation:
Drift term D(z)Complex Langevin methodが正しい場合の条件
K. Nagata, J. Nishimura, S. Shimasaki, Phys. Rev. D94, 114515 (2016).

Distribution of Drift exponentially damps⇒ Complex Langevin method works well.
(correct convergence)

Not exponentially damps⇒ Complex Langevin method does not work.
(wrong convergence)

Complex Langevin equation:
Drift term D(z)Complex Langevin methodの特徴
長所

短所

・計算コストが低い(Algorithm自体はMonte Carloとかなり似ている)・でも使える（使えない理由は特に無い）（・正しいかどうかはさておき計算は収束する）
・限界がある（で決まるとは限らない）
・一般に相転移近傍で計算がうまくいかなくなるが、そうじゃない時もあってよくわからない・complex Langevin methodの正当性は厳密な意味では証明されていない（物理学者的にはOKかもしれない）

計算コストが低い事から、QCDにも適用されている・Swansea university group
・KEK group (Yuta Ito, Hideo Matsufuru, Kanto Moritake, Jun Nishimura,Shinji Shimasaki, Asato Tsuchiya, Shoichiro Tsutsui)

From talk by Shoichiro Tsutsui ＠NFQCD2018

From talk by Shoichiro Tsutsui ＠NFQCD2018

From talk by Shoichiro Tsutsui ＠NFQCD2018

From talk by Shoichiro Tsutsui ＠NFQCD2018

From talk by Shoichiro Tsutsui ＠NFQCD2018

Summary①
現状：QCDの符号問題は難しいが、①とりあえず確実な方法を試してみた
by Taylor展開法

by 虚数化学ポテンシャル

・Taylor展開法と虚数化学ポテンシャルがconsistent・Taylor展開法と虚数化学ポテンシャル、どちらでもcritical pointの兆候は見えず
・latticeの結果をよくFitできるmodelが提案されている（何を意味するかは非自明）

Summary②
現状：QCDの符号問題は難しいが、②頑張って解こうとしている人もいる。
QCDの結果が出つつあるが、実験と比較できるようなものはまだ難しい。
何かbreak throughが起こればいけるかも？（3,40年前から言われている）
Proposed methods

Based on

Disadvantage

Taylor expansion method

展開に頼る

Canonical approach

展開に頼る

Reweighting method

Monte Carlo method

展開に頼るwith imaginary chemical potential

そもそもQCDじゃないQCD

elgodicity, global sign problem

Lefschetz thimble decomposition
Holomorphic gradient flow method

Cauchy’s
integral formula

計算コスト大、global sign problem
計算コスト大？、global sign problem

path optimization method

Complex Langevin method

数値計算コスト大

Stochastic quantization

基本的に相転移が苦手

これから：これ以上Taylor展開の高次の係数は求められないので、展開に頼らないかつ効率的な方法を考えなければならない。頑張ります…