第1講

三角関数の定定義と基義と基 本 性 質

ポイント 1 一般角と弧度法
一般角平面上で，点Oを中心として半直線 OP を回転させるとき，半直線 OP を動径，P最初の位置を示す半直線 OX を始線という。

正の向き

動径の回転について，反時計回りを正の向き，時計回りを負の向きという。

O

このように動径の回転する向きと大きさを考えた角を一般角という。
一般に，動径 OP と始線 OX とのなす角の 1 つを a とすると，動径 OP の表す一般角 i はX負の向きi＝a＋360°×n （n は整数）と表される。
弧度法
半径rの円において，弧 AB の長さが半径rに等しいとき，弧 AB に対する中心B

角 i を 1 ラジアン
（1 弧度）といい，これを単位として，角の大きさを表す方法を弧度法
す方法を弧度という。半径 1 の半円の弧の長さは ∏ であるから，次の関係が成り立つ。
り立つrAirO°∏，
アン＝ラジアン＝1°（ 180∏ ） 180∏ラジアン＝180°， 1 ラジアン＝elp

度法を用
普通，弧度法で普通
弧度法で本誌では，角の大きさを表すのに，おもに弧度法を用いる。普通，弧度法での単位「ラジアン」は表記せず省略する。
さ ¬，面積¬，面 S は次のように表される。のように表される。に表される
半径 r，中心角 i の扇形の弧の長さ¬＝ri，S＝

1 21¬r i＝ r¬
22maS

問いに答
チェック１ 次の問いに答えよ。
⑴

次の角は第何象限の角か。
は第何か。
250°
0°

⑵

次の表の
表

510°
0°

〜2∏

−420°に当てはまる値を求めよ。
当てはまる値を求めよ

度数法
弧度法
弧度⑶

−315°
−3iSr30°

120°2∏511∏12心角の長さ ¬ と，面積 S を求めよ。
半径 3，中心角240°の扇形の弧の長さ角関定義
ポイント 2 三角関数の定義
iの軸の正右の図のように，x 軸の正の部分を始線とし，角y三角関数の値の符号r

動径と，原点を中心とする半径rの円との交点Pの座標
iを（x，y）とするとき-ryxysin i＝ ，cos i＝ ，tan i＝rrxr

OxP(x, y) -rと定め，それぞれを一般角 i の正弦，余弦，正接という。
これらをまとめて i の三角関数という。

象限

1234

sin i＋＋−−

cos i ＋−−＋

tan i−＋−＋

三角関数の値の符号は右の表のようになり，とり得る値の範囲は以下のようになる。
−1≦sin i≦1，−1≦cos i≦1，tan i はすべての実数

チェック２ 次の三角関数の値を求めよ。
2∏3⑵ cos ∏（ ∏3 ）⑸ cos⑴ sin⑷ sin −

27∏
6⑶ tan⑹5∏
4（ 76 ∏）tan −¬ポイント 3 三角関数の相互関係と性質
三角関数の相互関係
sin2i＋cos2i＝1

tan i＝sin i
cos i

1＋tan2i＝1cos2i

三角関数の性質
sin（i＋2n∏）＝sin i cos（i＋2n∏）＝cos isin（−i）＝−sin icos（−i）＝cos ii
sin（i＋∏）＝−sincos（i＋∏）＝−cos i（sin i＋∏＝cos i2）（cos i＋tan（i＋2n∏）＝tan i（n は整数）
tan（−i）＝−tan itan（i＋∏）＝tan i∏∏1＝−sin i tan i＋＝−tan i22）（）

sin（∏−i）＝sin icos（∏−i）＝−cos itan（∏−i）＝−tan i∏sin−i ＝cos i2∏
cos−i ＝sin i2tan（）（（ ∏2 −i）＝ tan1 i）

チェック３ 次の問いに答えよ。
⑴

i が第 2 象限の角で，sin i＝3の値を求めよ。のとき，cos i，tan i の値を5elpmai が第 3 象限の角で，cos i＝−⑵次の三角関数を 0 から
sin1i の値を求めよ。
i
sin i，tan値を求めよ。のとき，sin3∏角の三表し，その値を求めよ。
その値を求めよまでの角の三角関数で表し，その値を求めよ。
45∏4（cos −三角関数のグラフ
角関ポイント 4 三角関数
周期関数

S2∏3）

tan25
∏6cに対して（x）でない定数cでない定数に対して，，（f x＋c）＝fがつね
関数 （f x）において， 0 でない定数cに対して，f（x）がつねに成り立つとき，f（x）はcを周周期あるという。一般にるという。一般に，，周期は正の周最小の （基本周期）期とする周期関数であるという。一般に，周期は正の値で最小のものを考える。
関数
偶関数・奇関数にお−x）＝f＝（f x）がつねに成り立つときがつ成り立つ
関数 （f x）において，f（−x）（f x）は偶関数，f（−x）＝−f（x）がつねに成）はあるといり立つとき （f x）は奇関数であるという。
フ三角関数のグラフ

y＝tan i∏周期niy＝sin2∏y＝cos i2∏

定義域

実数全体

実数全体

値域
偶・奇関数

−1≦y≦1奇関数−1≦y≦1
偶関数∏＋n∏（nは整数）
2
実数全体
奇関数

i2

グラフ

r2yy
132rO-1r2r2ri52r1-r2O-1y1rr23r22ri5r2-r2-1O r
4r2r3r22ri-2y＝sin i や y＝cos i のグラフの形の曲線を正弦曲線という。
y＝tan i のグラフの漸近線は，直線 i＝∏＋n∏（n は整数）である。
2チェック４ 次の 〜 の中で，関数が偶関数，奇関数であるものをそれぞれすべて答えよ。
y＝sin（−x）

y＝−cos x

y＝5 tan xy＝x3＋1y＝|x|3例 題 1 三角関数の対称式の値
㲋3のとき，次の式の値を求めよ。
3sin i＋cos i＝⑴ sin i cos i⑵

tan i＋1tan i

sin3i＋cos3i

⑶

アプローチ

sin i，cos i についての対称式は，基本対称式 sin i＋cos i，sin i cos i だけで表すことができる。
また，sin i，cos i の基本対称式 sin i＋cos i，sin i cos i の一方をtとおくと，sin2i＋cos2i＝1 を用いて式変形することで，もう一方を次のように表すことができる。
sin i＋cos i＝t のとき，sin i cos i＝

t 2−122sin i cos i＝t のとき，（sin i＋cos i）＝1＋2t
よって，sin i，cos i の基本対称式の場合，一方の値がわかれば，もう一方の値を求めることができる。

sin i，cos i についての対称式の値を求めるには，sin i，cos i の基本対称式の値を求めてから，与え対称式の値られた式を変形して，sin i，cos i の基本対称式で表して考える。
i＝1 を利用できる。
s2i＝⑴ 与えられた等式の両辺を平方することで，sin2i＋cos⑵ tan i＝⑶i＋cos i，sini＋cos2i＝1 を用いることで，sinn2i＋
sin i cos i だ
3 次式の因数分解の公式および sinを用いることでいることで，，sin iけの式にできる。

解答⑴elpmaS

sin i
cos i だけの式にできる。
変形をで，sin i cの式，sin2i＋cos2i＝1 を用いて式変形を行うことで，sincos i

sin i＋coss i＝

㲋3を平方してての両辺を平方して3i＋cosi＋2 sin i cosn2i
sinossic 2i＝＋cos
1
si i cos i＝
1＋22 sin3⑶13i＋c i）
（1−sin i cos i）＝（sin i＋cos

2
2 sin i cos i＝−
3

1in i cos i＝−
よって，sin3⑵2i＋i
sin i＋cos
1＝＝
sin i cos i
sin i cos i
2

tan i＋i＝i
sin i＋cos

㲋31，sin i cos i＝− より
33

sin3i＋cos3i＝

㲋31・ 1− −33｛ （ ）｝＝ 4㲋93（別解）sin i とcos i についての対称式であるから

sin i cos i
1
tan i＋＋＝
tan i cos i sin i

sin i cos i＝−i＋cos3i
sin3i＋cosi i＋cossins i）（sin＝（（sin2i−sin i cos i＋cos2i）

1
より3

sin3i＋cos3i
3＝（sin i＋cos i）−3 sin i cos i（sin i＋cos i）と変形して，値を代入してもよい。

111＝＝1÷ − ＝−3
tan i sin i cos i3（ ）類題１ 次の問いに答えよ。
⑴

sin i＋cos i＝3のとき，次の式の値を求めよ。
5sin i cos i⑵i は第 1 象限の角で，sin i cos i＝
sin i＋cos i

411＋sin i cos i

sin3i＋cos3i60のとき，次の式の値を求めよ。
169tan i＋1tan i

cos2i sin2i＋sin i cos i

例 題 2 三角関数のグラフの移動・変形
次の関数のグラフをかき，周期を求めよ。
⑴（y＝−sin 2 i−∏6）

⑵

y＝tan

1
∏i＋23（）アプローチ
三角関数は，式からグラフの変形の様子を読みとることができる。三角関数のグラフの移動，拡大・縮小は，次ののようにまとめることができる。これらの考え方を使って，複雑な三角関数もグラフにかき表すことができる。グラフをかくときは， でまとめる内容にも注意する。
以下の①〜⑤の関数のグラフは，y＝sin i のグラフを次のように移動，拡大・縮小したものである。
①y＝−sin iy＝sin i＋a：i 軸に関して対称移動③y＝sin（i−a）： y 軸方向にaだけ平行移動： i 軸方向に a だけ平行移動④y＝a sin i：⑤y＝sin ki（k②i 軸を基準にしてy軸方向にa倍に拡大・縮小0） ： y 軸を基準にして i 軸方向に

12∏期
拡大・縮 周期：倍に拡大・縮小kk（）

グラフをかくときの注意点
i 軸，y 軸との交点あるいは通る点の座標，y のとり得る最大値，最小値があればその値，およびとり得最小値
ばそ

elpmaS

期分はにすにする。
そのときの i の値を記入し，少なくとも 2 周期分はかくようにする。

解答⑴（y＝−sin 2 i−i−∏は，y＝−sin＝−2i の i を6）したがって，このグラフは，y＝tan
したがって，したがって，このグラy＝t∏
換えた式におき換えた式である。
6軸方向
フを i 軸方向に−i のグラフ
がってラフは y＝＝sin 22iのグラしたがって，このグラフは
y＝sin-r3-r O r612-

3 52 12 r

2 11r
3 12 r7r
6i-1

よって，周期は ∏⑵i1∏i＋y＝tanは，y＝tan の i を223（i＋）∏におき換えた式である。
3y337- r
3したあり，下の図のようにの図平行移動したものであり，下の図のようになる。
1∏だけだけ平行移動したものであ3り
図のようり，下の図のようになる。

∏に称移動し移動し，，i 軸方向にを i 軸に関して対称移動し，iだけ6yiのグラ2-4r
3r
3O

2 5r r
3 3iよって，周期は 2∏（別解）（y＝tan i＋i∏のiをでおき換えた式であ26）（るから，このグラフは，y＝tan i＋∏のグラ6）

フをy軸を基準にして i 軸方向に 2 倍に拡大したものである。

類題２ 次の関数のグラフをかき，周期を求めよ。
⑴（y＝sin i−∏1＋32）（⑵ y＝−2 tan i−

∏6）

5演

習

問

題

パ ー ト 1 （p.2，3）

1 次の角のうち，その動径が110°の動径と一致するものをすべて求めよ。

⇒ポイント１290°，470°，−110°，200°，−250°，830°

2 次の角を，度数法は弧度法に，弧度法は度数法に書き直して表せ。
⑴ 270°⑵ −15°⑶

5⇒ポイント１9∏20⑷ −25よ。
3 扇形の弧の長さ ¬ が 3 ∏，面積 S が 6 ∏ のとき，半径と中心角を求めよ。

4 sin i＞0，tan i＜0 のとき，角 i は第何象限の角か。
1の値を求めよ。
5 cos i＝ 3 のとき，sin i，tan i の値をを証明せ
6 次の等式を証明せよ。

S⑴sin2i⑵⑵9 次の式の値を求めよ。

（⑴ sin i＋sin i＋⑵6∏3＋sin（i＋∏）＋sin i＋ ∏22⑵tan i tan（i＋∏）＋⑶

sin（−i）cos i＋（cos 200°

⇒ポイント３）（）1cos（−i）
cos（∏−i）∏∏
sin i＋＋cos（−i）
22）（cos icos i＋tan＋ta i＝in i（1＋sin i）
1＋sin（1−sin i）⇒ポイント３⇒ポ8 次の値を，0°から45°までの角の三角関数で表せ。
⑴ −sin（−12°）

elp⇒ポイント３イント３maときの値の値を求め
7 tan i＝3 のとき，次の式の値を求めよ。

⇒⇒ポイント１⇒ポイント２⇒２⇒ポイント３ント３ta 2i）
cos2i＝1−2⑴ （1−tan＝1
1−2 sin2i

3∏4）

1
1＋
1−cos i 1＋cos i⇒ポイント３⑶ tan 130°

パ ー ト 2 （p.4，5）
310 i は第 3 象限の角で，sin i cos i＝ 8 のとき，次の式の値を求めよ。
⑵ tan i＋⑴ sin i＋cos i

1tan i

㲋1511 sin i−cos i＝ 5 のとき，次の式の値を求めよ。
⑴ tan i＋1tan i（⑴ y＝sin 3 i−∏5）（⇒例題１y＝2 sin 2i−∏3tan3i＋elpma⑵ yy＝tan）

S13i＋＋ ∏34（）⇒例題２例題２i（ 2 ＋ ∏4 ）−1

an⑵ yy＝tan＝tansi （ki−a）＋b14 関数 y＝a sin

1tan3i⇒例題２，周期。
13 次の関数のグラフをかき，周期を求めよ。
⑴

sin i＋1 cos i＋1＋cos i
sin i

⑶

⑵

12 次の関数のグラフをかき，周期を求めよ。

⇒例題１yは定0，k＞0，0≦）のグラフが右の図のよのグ（a，b，k，a は定数，a＞0，k＞0，0≦a＜∏）a，の値めよ。
うになるとき，a，b，k，aの値を求めよ。

⇒例題２13r6O-17r6i31r6パ ート 3315 i は第 2 象限の角で，cos i＝− 4 であるとする。このとき，3i は第何象限の角か。

16 x の 2 次方程式 x2−2（cos i）x−sin2i＝0 の 2 つの解のうち，一方の解が他方の解の−3 倍であるとき，i の値を求めよ。ただし，∏≦i≦2∏ とする。

7