＿特別寄稿＿

理論と統計千法

リスク尺度

塚原英敦
成城大学経済学部〒157−8511東京都世田谷区成城6−1−20
e−maI1ts血出ar＠se■］o

ac］P

概要
本解説論文では，近年保険数学の分野でも非常に話題になっているリスク尺度（riskmeasure）について，

その動機付けを明らかにした上で，まず整合性や凸性その他の公理の定義と意味，整合的リスク尺度の一般形を与える表現定理などの理論を概観する．さらに，バリュー・アット・リスクや期待ショートフォー
ルなどの例について詳しく述べた後，リスク尺度推定のための統計的手法について論じる．さらに，歪みリスク尺度の1パラメータ族とワン（Wang）変換との関連についても紹介する一最後に，リスク尺度に関するさらなる話題について，簡潔にその概略と文献案内を与える．

キーワード1整合的リスク尺度，歪み変換，保険料計算原理，バリュー・アット・リスク，期待ショート
フォール

1

はじめに

は，この保険引受リスクは非常に多くの被保険者を集め，リスクをプールすることで，大数の法則を適
リスクは金融・保険分野で中心的・本質的な要素である．このリスクという単語をOxfordEng1ish
D1ctionaryで調べると，

The

possibi玉ity

ofsome−

thing

some

time

futurebadhappening

at

in

the

用することにより確定的に評価されてきた．それが保険制度を原理的に支えていることに変わりはな

い．しかし，代替的リスク移転（ART）の発展やデリバティブ，様々な証券化の技術にみられるよう将来のある時に，保険金杜が対象とするリスクは伝統的な保険リ点で・という不確実性が含意されていること，そしスクから金融リスクにまで広がるとともに，従来はとなる．ここで注目すべきなのは，て悪いことが起こる可能性であるから，悪影響

もっぱら保険の対象とされていたリスクも金融市場を及ぼすということを示していることである．よりにおける分散が可能となってきた．特に，変額年金

金融・保険分野における意味に近いものとしては，保険のような新しい新商品の登場により，最近ではExposure

ster

s

to

the

Co11egechanceofinjuエyor1oss（Web−

Dictiomry）が適切であろう．保険会

社や金融機関は，保険を引き受け，様々な金融商品を売買することによって，将来損失が起こる可能性にさらされている．この意味で，保険金杜や金融機
関はリスクに直面しているわけである．

管理の対象となるリスクが急激に多様化している（秋山・国友［2006］，松山［2005］）一

そのような金融リスクとしては，ポジションの市
場価値の変動に起因する市場リスク，取引相手の信用の変化に伴う信用リスク，不適切な内部手続き，
人的失策，システムの不具合，外部事象に起因する保険分野では，少し前までは人や物の保険を引き業務リスク（operationa1risk）が代表的なものであ受けるリスクが主たる考察対象であった．伝統的にる．バーゼルIIに基づく規制では，これら3つのリスクと保険3

リスクは各金融機関が明示的に計測・管理しなけれやり方は非常に直観的でわかりやすいが，ロングとばならないものである．一方，市場性の欠如によるショートを区別しないこと，ネッティングや分散化

流動性リスク，リスク計測モデルの誤特定化に付随が考慮されないこと，そして派生証券については甚するモデルリスクも近年問題とされているが，これだ疑問が残ること等の理由から，金融商品が高度にらは上記の3つとは別の扱いが必要であると思わ複雑化した現在では用いられなくなっている、

リスク因子の変化に伴うポートフォリオ価値の変れる．

金融機関・保険金杜にとって，これらのリスクを動を測る因子感応度もこれまでリスクを測る量と統合的に計測・管理する必要性はほぼ自明なことでして考えられてきた．その代表的な例としては，オあろう．そしてさらに言えば，時代が求めているのプションにおけるデルタやベガなどのグリークスやは，統計学・金融工学の理論的道具を用いてリスク債券に対するデュレーションが挙げられる．これらをやり繰りする定量的リスク管理なのである．このは，他の尺度と併用してポジション制限を設定する

実務上の背景には，銀行業に関してはバーゼルII，には有用である、しかし，異なるリスク因子に関し保険分野ではEUで提案されているソルベンシーIIて，そして様々な市場に渡って総計不能なため，金やスイス・ソルベンシー・テストという規制当局の融機関全体としてのリスク量が計算できないことか要請がある．これらの規制を真に理解する上でも，ら，リスクを総計するという目的のためには不十分

定量的リスク管理についての知識は不可欠である．

である．

そして，多種多様なリスクを総計的に測るというリ

リスク因子について多くのシナリオを想定し，各スク尺度の概念は，定量的リスク管理の中で基本的シナリオに重みを付けてポートフォリオの損失を計なものである．近年は保険と金融の融合ということ算し，その最大値をリスク量と定義するという，シが理論的に，そして制度的に盛んに叫ばれているがナリオに基づくリスク尺度という概念もある．ただ（Embエechts［20001，Smith［1986］，森平王2004］，森し，シナリオと重みをどう定めるかについては恣意本［20001等を参照），リスク尺度は正にその理論的性が残るし，そして異なるリスク因子に影響を受け表れの1つであると言えるであろう．

るポートフォリオの比較は困難となるという欠点も本節の残りの部分では，リスク計測のアプロー
チについてその基本部分を解説する．リスク計測とある、

は，過去の観測値に基づき，具体的なモデルを前提を考える．例えば，分散（標準偏差）がその伝統的として，ポジションの将来価値の分布，あるいはそな例であり，後述するVaRや期待ショートフォーの汎関数に対する統計的推定値を計算することと定ルがより現代的な例と言える．このタイプのリスク義される（McNei1，FreyandEmbrechts［2005］，第尺度を考える根拠は，損失分布を見ればリスクをほ

本稿では，主として損失分布に基づくリスク尺度ユ草）．数学的には，リスクの源は時点亡における損ぼ正確に把握できるということであるが，保険数理

失を表す確率変数X亡であり，さらにXfはいくつ

学との融和性が高いという利点も兼ね備えている．

かのリスク因子Z士＝（Z亡，1，＿，Z亡，d）の関数としさらに，（i）あらゆるポートフォリオに対して意味f）．例えば，株式ポートフォリを持つ，（ii）ネッティング・分散化を反映する，（iii）て書ける：X士＝∫（Z

オであれば各株価がリスク因子であり，債券ポート

ポートフォリオ間で比較可能である，といった多くフォリオでは利回りがリスク因子である、オプショのメリットがある．もちろん損失分布の推定には困ンについては，フラッターショールズ型の評価式を難が伴う場合が多いが，それはこれからの統計学的仮定すれば，原資産の価格，金利，ボラティリティ研究により解決されるべき問題を提示していると考がリスク因子となるであろう．いずれにしても，測えるべきであろう．

りたいのは総計リスク（ポジション全体のリスク）

金融リスク管理全般について，実務的な側面はであるということ，そして，他のいくつかの文献とCrouhy，Markは異なり，ポジションの純将来価値ではなく，損失［20071もよくまとまった教科書である・保険とのを考察の対象としていることにも注意されたい（こ関連では，Harrington

れは冒頭に述べたリスクの解釈による）．

読まれているようである、リスク管理における統リスク計測の具体的方法として，ポートフォリオに含まれる各証券の想定元本額の和を考える単純な
4

リスク尺度一理論と統計手法

and

Ga1aリ2001］に詳しく，Hu11
andNiehaus［20031がよく計的方法について詳しくかつ包括的な解説がある
McNeil，Frey

andEmbrechts［2005］は，本稿における定量的リスク管理の解説においてもかなり参考を与えた論文Artznereta1・［1ggg1によって提案されたものであるが，よりくだかれた解説はArtzneエにした．

本稿の構成は以下の通りである、まず，次節では整合的リスク尺度の理論を解説する1その中には，整合性や凸性その他の公理の定義と意味，整合的（あるいは凸）リスク尺度の一」般形を与える表現定理，バリュー・アット・リスクや期待ショートフォー

ルなどの例，確率順序との関連などが含まれ，本稿etaリ19971にも与えられている・

定義2．1．整合的リスク尺度とは，エ。。に属する確率変数に対して実数を割り当てる関数ρ：工㏄→R
で，次の4つの性質を満たすものである：
正値性：X≦O

a．s．ならば，ρ（X）≦O．

の中心部分である．第3節では，リスク尺度の値を数値的に得るための統計的手法について，その方法

平行移動共変性：すべての。∈Rに対して，論と（漸近）分布論を述べる．筆者が最近提唱して

ρ（x＋c）＝ρ（）（）十。

いる歪みリスク尺度のパラメータ族について第4節に簡単にまとめたが，これは保険数理でよく知られているワン（Wang）変換と深く関連している．最終正の同次性：すべての入〉Oに対して，

節では，本稿で述べ切れなかったいくつかの問題にρ（λX）＝入ρ（X）

ついて，その概略と参考文献を与えている．
劣加法性：任意のX，γ∈ム。。に対して，

2

整合的リスク尺度
Artzneretρ（X＋γ）≦ρ（X）十ρ（γ）

a1．［1999］による公理論的アプローチ

注意2．2．正値性と劣加法性より

では，リスク尺度について，それが満たすべき性質
は何か，そしてそのようなリスク尺度はどのように表現されるのかという問題を考える．そのためには，

リスク尺度という概念に一定の定義を与えることが必要である、彼らによれば，それは損失Xをもた

単調性：X≦γa，s．ならば，ρ（X）≦ρ（γ）

が成り立つ一また，正の同次性から直ちにρ（O）＝Oが導かれる．

者にとって許容可能となるために，そのポジション

これら4つの公理については，詳しく解釈しておく必要があろう、まず正値性については非常に簡に上乗せされるべき資本量というものである．これ明であり，損失が出ないことが確実ならば，そのポはある意味，保険における責任準備金という考え方

ジションのリスクはなく，備えとしてとっておく資に近いものであると言える（c上Artzneエ［1999］）一

本はいらないということである．次の平行移動不変

らすポジションが，外部あるいは内部のリスク管理

リスクの源は損失を表す確率変数であるから，性は数学的にも本質的な要請であり，確実にCの損

そのための数学的設定と記号が必要である、まず失が出るポジションを現在評価対象となっているポ（Ω，ダ，P）を確率空間とし，エ。。＝エ。。（Ω，夕，P）をジションに上乗せした場合，そのC分だけ余計に資P本質的有界な確率変数全体とする．この空間の元本を積み増さなければならないということである．

X∈ムD。は損失を表し，そのPの下での分布関数を

そして，このことはリスク尺度の値が，評価対象と八（なっているポジションと同じ貨幣単位で表示される）：＝P（X≦）とおく一さらに，Fxの分位関数（quanti1e）をFマ1（u）：＝inf｛π∈R：Fx（）≧ということを意味する．時に，ここで我々が整合的

t止｝と書き表す。このxは，前節における損失変数

リスク尺度と呼んでいるものが貨幣的（mOnetary）

Xfを固定された士について考えたものであり，しリスク尺度と言われたりする所以である（例えば，たがって時間的設定としては単」期間ということに

F611merandSchied［2002c1，第4章）・なる．また本節では，背後にあるリスク因子を考慮

正の同次性はこれまで盛んに議論されてきた要請に入れずに，結果として現れる損失Xのみを考察である．主たる批判は，主に流動性の観点からリス対象とする．

クはポジションの大きさに比例して大きくなるわけ

次の定義で述べる整合的リスク尺度（coherentriskmeasure）という概念は，後の研究に非常に影響ではなく，正の同次性は入が1に近い値でない場合には成り立たないという指摘である．これに対しリスクと保険5

て，リスク尺度はリスク量というものを算出するやと平行移動共変性より，ρ（X）＿ρ（γ）≦！1X＿γ■，。。

り方を定義するものであり，貨幣単位の変換に関しが成り立つ．あとはXとγを入れ替えて同じ議論て共変であるべきという主張から正の同次性を支持をすればよい．

する議論も存在する．

劣加法性は，2つのポジションを合わせたときに，そのリスクは個々のポジションのリスクの和よりも小さいという要請である．これは経済学で古くから支持されている

分散化の効果釈できる．これらの公理んだ解説は原論文Artznerを表したものと解について，より突っ込eta1−19991に与えられているので，より深く理解したいと思われる読者は注意2．4．Artznereta1一［19991では，リスク尺度

自体よりもリスクの許容集合（a㏄eptanceset）に重きが置かれている・リスク尺度ρに付随する許容集
合は叫＝｛X∈エ。。：ρ（X）≦O｝と定義され，追加的な資本注入は不必要という意味で許容可能なポジション全体を表す．逆に，空でない〆⊂エ。。が●sup｛c∈R：c∈〆｝＜oc一

是非一読されたい．

・X∈〆，γ∈ム。o，γ≦Xならば，γ∈〆。
正の同次1性に対する上述の批判から，次の概念
がF61Imerandand

Schied［2002a］，［2002b］とFritte11i

Rosazza

Gianin［2002］によって提案された。

定義2．3．凸リスク尺度（convexrisk

measure）とは，平行移動共変性と単調1生に加えて，の2条件を満たすとき，ρ〃（X）：＝sup｛c∈R：c＋

X∈〆｝は，汐が凸集合ならば凸リスク尺度，汐が錐ならば整合的リスク尺度になる．

よって，数学的には整合的（あるいは凸）リスク尺度を定めることと，上記のような条件を満たす許容集合を定めることは同値である．この論文では，

凸性：O＜λ＜1に対して，応用上必要になるのはやはりリスク尺度の値であρ（λX＋（1一λ）γ）≦λρ（X）十（1一入）ρ（γ）

るという見方から，この許容集合に関する議論や結果は述べないので，興味のある読者はArtznerを満たすρ：工。。→Rのことをいう．

明らかに整合的リスク尺度は凸リスク尺度であるal。［1999］，あるいはF611mer

and

et

Schied｛2002c］の第4章などを参照していただきたい．

から，数学的には凸リスク尺度のほうがより一般的な概念である。凸リスク尺度についてはρ（O）＝O

2．1

表現定理

が成り立つとは限らないので，別途正規化の条件としてρ（O）＝Oを要請することが多い一そして，こ

この節では，整合的リスク尺度の一般形を与える
定理を述べる．Artznerの正規化を仮定すれば，

eta1．［1999］では，有限確率空間の場合にこのような表現定理が示されたが，ρ（λX）≦入ρ（X），

O≦入≦1

ρ（入X）≧λρ（X），入≧1が成り立つことになる．

De1baen［20001，［20021では・一般の確率空間に対しての結果が得られている．その際に，より使い易
い形の結果を得るために，次のような技術的な連続性が要請される．

凸性は整合的リスク尺度の場合の劣加法性と同様に，分散化によりリスクは増加しないという原理を

ファトゥ性：X、、が一様有界で，XT、二Xのとき，具体化したものとして正当化される．
さらに，平行移動共変性と単調性から，ρが凸リ
スク尺度であれば，

ρ（X）≦1iminfρ（X、、）

n→oo
これは次に述べる下からの単調収束性と同値である．

1ρ（X）一ρ（γ）1≦llX一γll。。

下からの単調収束性：X。が一様有界，かっP−a．slというリプシッツ連続性が成り立つ．ここで，ll・ll㏄

でX、、↑Xのとき，ρ（X兀）↑ρ（X）

は工。cノルムである．これはいくつかの数学的事実を示す際に有用な性質であり，次のように簡単に示せる。明らかにX≦γ十11X一γll。。だから，単調性
6

リスク尺度一理論と統計手法

このファトゥ性を仮定した形でDe1baenの定理を述べると次のようになる：

定理2．5（De1baen）．ファトゥ性をもつ整合的リ定理2．7（Jouini，Schachermayer

スク尺度ρは基礎となる確率空間（Ω，ダ，P）がアトムをもたないandTouzi）．

と仮定する．このとき，法則不変な凸リスク尺度は

ρ（x）＝sup｛EQ（x）：Q∈2｝

必ずファトゥ性をもつ．

の形に表現される．ここで，2はPに関して絶対連続な確率測度の集合である．

ここで，A∈Ωが，（i）p（λ）〉O；（ii）すべてのstatistics）の分

刀⊂λ，B∈グに対して，P（万）＝OかP（3）＝P（λ）のどちらかが成立する，という2つの条件を野で，頑健な検定を考察する際に導かれた結果と同満たすとき，λはPのアトムであるといい，Pがア等である（Huber

トムをもたないとき，確率空間（Ω，夕，P）はアトム

これは実は，頑健統計学（robustt19811参照）・をもたない（atom1ess）という．定理2，7では，技さらに，凸リスク尺度についても同様な表現定理が成り立つ．

定理2．6（F6nmer

術的な理由からこの仮定が不可欠である．

上記の論文では，凸解析での結果を用いた証明がandSchied，酎枇e11i

andRosazzaGianin）．ファトゥ性をもつ凸リスク尺
度ρは述べられているが，Tsukahara

のみを用いた簡潔な証明が与えられている．また，法則不変な凸リスク尺度については，Fritte1h
Rosazza

ρ（x）＝sup｛EQ（x）一α（Q）：Q∈2｝

t20061には測度論
andGianin［20051も参照されたい．

さらに，次の共単調加法性を説明するために，次の定義を思い起こしておく．

の形に表現される．ここで，2はPに関して絶対連続な確率測度の集合であり，α（Q）は罰則関数

定義2．8．d個の確率変数X1，．．．，Xdの同時分（Pena1tyfunction）である．

布関数をF（1，．．．，

Fx、（π1），一．。Fx、（以上の表現定理の証明については，Fδ11mer

andSchied［2002c］の第4章によくまとまった記述があるので，興味のある読者は参照されたい．

d），周辺分布関数をそれぞれd）とする一このとき，X1，一。．，Xdが共単調（COmOnOtone）であるとは，次の同値な条件のうちの1つが成り立つことをいう．
（i）P⑳Pに関してほとんどすべての（ω，ω次に，整合性の4つの公理にさらにいくつかの条）に対し，乞≠ゴならば，件を加えて，より実用性をもつリスク尺度の形を求めることを考えよう．まず，（Xl（ω）一X1（ω））（Xゴ（ω）一Xゴ（ω））≧O・

法則不変性：xとγが同一の分布に従うならば，（ii）F（π・，。。リ・・）＝F。、（・・）〈…〈F。。（剛ρ（X）＝ρ（γ）

を導入する。これはρ（X）の値がXのPの下での（iii）ひ〜ひ（O，1）に対して，（X1，＿，X・）三（F−1（ひ），．．．，々（ひ））分布のみに依存するという条件であり，リスク尺度の値ρ（x）が統計的に推定可能であるために不可欠（iv）確率変数Zと増加関数∫1，．．．，∫dが存在して，である．もしこの性質が成り立たなければ，Fからのiid標本X1，．．．，Xnが得られるという統計的￡（X1，＿、Xd〕＝（∫1（Z）、＿，∫d（Z））にはほぼ理想な状況の下でさえ，ρ（x）の値を推定できないということになってしまい，リスク尺度の

ここで，確率ベクトルXとγに対してX三γと実用的価値を全く損なうことになりかねないからでは，それらの同時分布が等しいことを意味する．

ある、共単調性の理論的分析と保険数理への応用に関

法則不変性に関して数学的に興味深い事実がしては，Wa㎎andDhaene［！998］やDhaene

etJouiniSchachermayerandTouzリ20051によって

a1・［2002a1．12002b1を参照せよ・特に重要な理論示されている、的結果は，共単調な確率変数に対しては，それらリスクと保険7

の分位関数が加法的となることである．すなわち，

らば，ある凸歪み関数Dに関する歪み期待値とし

X1，．．．，Xdが共単調であれば，て書ける：

F｝．．．十。、（・）一々（・）十…十々（仙）が成り立つ．

共単調性というのは非常に強い従属性の概念である．すなわち，確率変数はd個あるが，その背後に単一のランダムネスの源があって，すべてその単調増加関数となるということである．多少直観的に

l、榊州十・伽／（・）一逆に，上のように凸歪み関数Dを用いて表される
ρは，法則不変かつ共単調加法的な整合的リスク尺度である．

この形のリスク尺度を歪みリスク尺度（diStOrtiOn

言うと，xユ，．．．，xdが共単調ということは（確率riskmeasure）と呼び，ρDと書くことにする。町11で）すべて同じ方向に動くということであり，確の1の近傍での振舞いが，Xの分布の右裾，すな

率変数をリスクと同一視してファイナンスの言葉をわち極端に大きな損失を示す部分に対応することに用いて述べれば，X1，、．．，Xdが互いにヘッジとは注意すれば，Dは意思決定者の保守性を表現していなり得ないということを意味する、ると解釈できる．つまり，Dとして1の近傍に大きしたがって，Xとγが共単調ならば，ポートフォな重みをおくものを選べば，生じる可能性は小さい

リオ分散化の恩恵はないわけであるから，次の要請が巨額である損失を大きく意識したリスク評価となるからである．このクラスは，Acerbiのスペクトは非常に自然である．

ルリスク尺度と本質的に同じである（Acerbi［2002］，

共単調加法性：Xとγが共単調ならば，［20041参照）・Chemy［20061ではこのクラスに属す

るリスク尺度を加重VaR（Weighted

ρ（X＋γ）＝ρ（X）十ρ（γ）V◎R）と呼んでおり，期待ショートフォールに対する優越性を示目標としている表現定理を述べるには，もう1つ

すいくつかの結果を得ている．

保険料計算原理に関しても，同種の結果がWang，

定義が必要である．

Yomg
定義2．9．歪み関数（distortionfunction）とは，

andPanjer［19971により得られている．

1O，11土の分布関数Dのことである．すなわち，Dはまた，この歪みリスク尺度はDennebergとWa㎎の保険料計算原理とも深い関係があるが（Den−

右連続かつ単調増加，そしてD（O）＝OとD（1）＝1

neber9119901，Wang［19951，［19961．120001），後者を満たす関数である．

については第4節でも再び触れる．経済学における

このとき，任意の分布関数Fに対して，D・Fを歪み分布関数，

Schmeid1er［1989］は効用関数の表現定理として同

い州一人、〜叫）
を歪み期待値と呼ぶ．

でいろいろな目的のために用いられている．例えば，Choquet［19551，Denneberg［19941，Grabisch，andSugeno様の結果を証明している．

2．2

歪み関数はその呼び名はともかく，様々な分野

N4urofushi

不確実性下での双対選択理論でも，Yaari［19871や

工2000］，LehInann［1953］，

Puppe［19941などがその例である一

これで次の定理（Kusuoka［2001／による）を述べる準備が整った1

VaR

バリュー・アット・リスク（Va1ue−a七一Risk，以下ではVaRと略）は，1993年にJPモルガンのRisk−
Metricsにより発案され（Weatherstoneの4．15レポート），その解釈の容易さから爆発的に他の金融機関にも浸透した。Du冊eandPan［1997］には，リスク因子の特定化，VaRの推定方法，シナリオ分
析について，市場リスクに的を絞った解説がある．

VaRの方法論全般について優れた解説書としては，

定理2．10（楠岡）．基礎となる確率空間（Ω，夕，P）

Dowd［19981，Jorion［20011，Pearson120021等ががアトムをもたないと仮定する．このとき，整合的挙げられる．

リスク尺度ρが法則不変性と共単調加法性をもつな
8

リスク尺度一理論と統計手法

VaRの数学的な定義は非常に簡単であり，単に

損失分布の（！一α）分位数として定義される：
VaRα（X）＝Fマ1（1一α）

すなわち，VaRを超える損失は前もって指定された小さいα以下の確率でしか起こらないということになる．

上の表現からすぐわかるように，VaRは平行移るためには，リスク資本として25円だけ追加的に必要になる．明らかに，ポートフォリオBに要請されるリスク資本はポートフォリオAよりも大きいのである．

これは，VaRを用いたリスク計測により明らかに不合理な結果が導かれる可能性があることを例証

動共変性，正岡次性，単調性をもつ．しかし，次のしている．さらにこの例により，VaRは一般に劣加法的でないことがわかる．実際，いかなる法則不例（McNei1，FreyandEmbrechts120051の側6・7）

変な整合的リスク尺度ρに対しても，が示すように，劣加法性はVaRについて」般には成り立たない、よって，VaRは整合的リスク尺度仁）・誉／（ム）一…／（・）一／（・・叫）

ではない、

側2．11（VaRの非整合性）．d＝100個のデフォルが成り立たねばならない一つまり，このようなρにトの恐れがある社債からなるポートフォリオを考え

対しては，必ずポートフォリオAに対するリスク

る．異なる債券のデフォルトは独立であるとし，デ資本要件がポートフォリオBに対するものよりもフォルト確率はすべての債券に共通で2％に等しい

大きくなるはずなのである．VaRは平行移動共変と仮定する．債券の現在価格は1Oo円である．もし性，正岡次性，単調性，法則不変性は常に満たすか

デフォルトがなければ，生時点で（例えば，今からら，この例は劣加法性が成り立たない場合があるこ！年後）105円支払われる。デフォルトが起きれば払とを例示しているということになる．

い戻しはない。よって，債券｛の損失工｛はデフォル

トすれば100円，そうでなければ一5円に等しく，

上の例では，ポートフォリオを構成する資産が非

ムはP（工｛＝一5）二〇。98とP（ム｛＝100）＝O．02

常に歪んだ損失分布をもつという事実により，VaR

を満たすiid確率変数列をなす．

の非劣加法性がもたらされたと言える．ポートフォ

ここで，現在価値が10000円に等しい2つのポー

リオにデフォルトし得る債券やオプションが組み込

トフォリおけば，オを考える．ポートフォリ才Aまれている場合，このような状況は実際に起こる可は全く集中しており，100単位の債券1から成る．

能性がある．一方，この例の資産は独立であり，従ポートフォリオBは完全に分散化されており，各債

属構造としては当たり障りのないものであることに券1単位ずつで構成されている、経済学的直観によ注意しよう．

れば，ポートフォリオBはポートフォリオAより

別の反例として，個々の資産の損失分布は滑らもリスクが少なく，よってより小さいVaRをもつべきである．そこで両方のポートフォリオのVaRを許容水準α＝5％で計算してみよう．

かで対称であるが，従属構造，あるいは接合関数

ポートフォリオAに対しては，損失が（copu1a）が特殊で，極めて非対称な形である場合にも，VaRが劣加法性を満たさないことがあり得る（McNeil，Frey

andEmbrechts［20051，例6．22

100VaRo．g5（工1）＝一500を得る．これはリスク資参照）．さらに，基礎となる確率変数が独立だが非常に重い裾をもつ場合（平均が無限大となるパ本500円を引き出したとしても，ポートフォリオ

レート分布が用いられている）にも，VaRが劣加法

Aは水準95％のVaRを用いている規制当局にとって，依然として許容可能であるということを意味的を満たさない例がある（Embrechts，McNei1and＾＝100工1で与えられるから，VaRo．g5（＾）＝

する．

一方，ポートフォリオBについては損失が坊＝
Σ｝当ムであり，これは2項分布をもつ確率変数

Straumann［20021，例7を参照）・

次の事実は，VaRユーザにとっての数少ない良い知らせの1つである、楕円型分布をもつリスク因
子の一次結合として表されるポートフォリオのみが・たものと同じ分布をもつことを用いて計算すれば，考察対象であるという理想化された状況では，Va．R
は劣加法的，よって整合的となることが知られてい

VaRo．g5（工B）＝25となる．この場合，銀行は許容る（McNei1，Frey

水準95％のVaRを用いている規制当局を満足させを見よ）．

M〜Bin（100，O．02）をとって105M−500とし

andEmbrechts［20051の定理6．8

リスクと保険9さらなるVaRの問題として指摘されてきているととることにより，歪み期待値の形に表される（こものは，（i）VaRを制約条件として用いた最適化のこで，不合理性（Basakから，期待ショートフォールは法則不変性と共単調

andShapiro［20011），（ii）VaR

が基本的に損失の確率のみをコントロールし，実際

十＝max｛，O｝）．この歪み関数は凸である

加法性を満たす整合的なリスク尺度である．

に起こりうる損失額は考慮に入れないという事実を巧みに利用して，悪意を持って操作できるという可能性（Boy1e，HardyandVorst［20051）である一

歪みリスク尺度の視点から見れば，VaRは次の
歪み関数

2．4

歪みリスク尺度と確率順序

歪みリスク尺度は，確率順序を保存するという良い性質をもっている．これについて述べるために，
次の定義を思い起こしておこう．

卯R（砒）一1f・一。，1］（・），0＜α＜1

定義2．12．FとGをR上の分布関数とする．
を用いて歪み期待値の形に書くことができる．ここで1λは集合λの指示関数である．しかし，この（i）GがFよりも確率的に大きい（StOChaStiCa11y

Dは凸ではないことから，VaRは整合的ではない

1arger）とは，任意のπ∈Rに対して，G（皿）≦F（π）が成り立つことである・これを記号でことがわかる．

F

2．3（ii）Gが増加凸順序（increasing

期待ショートフォール

期待ショートフォール（Expected

冨tGと書く．
convex

るいは損切り順序（stop1oss
Shortfa11）は，order）（あorder））の意味で

Fよりも大きいとは，任意の増加凸関数んに対保険分野ではCTE（条件付き裾期待値）と呼ばれして，∫h（ることが多く，他にも七ai1VaR，conditiona1VaR

つことである．これを記号でFさi、。Gと書く．

といった呼び名があるが，本稿では一貫して期待
ショートフォールと呼ぶことにする．

）〃（π）≦∫ん（）dG（∬）が成り立（iii）FがGよりも危険度が低い（1essdangerous）とは，πo∈Rが存在して，この期待ショートフォールは，損失がVaRを上｛F（π）≦G（π），㏄＜π0回ったときに被る期待損失0（π）≦F（

臥（・）一÷レ1（・）仇

），

≧

O

かつ∫〃F（π）≦∫〃G（π）が成り立つことで鳥E（XlX≧VaRα（X））

ある、これを記号でFさDoと書く．

として定義される．VaRでは，小さい確率で大損失が起こった場合の損失の大きさを捉えることができないという批判，そして上述のようにVaRには様々な理論的欠点もあることから，このリスク尺度はVaRに代わる整合的なものとしてArtznereta1．［1ggg1で提案された．さらに，Aceエbi

andTasche［20021やTasche［20021によって詳細に研究され，Rockafe11ar

andUryasev［20001では，期待

ショートフォールが扱いやすい凸最適化の値として与えられるという計算上有効な結果も得られている．保険分野での（特にカナダにおける）応用については・Boy1e，HardyandVorst［20051・Hardy
120031，Ha・dy・nd

Wi・ch12004／等を参照せよ．

期待ショートフォールは

また，xの分布関数がF，γの分布関数がGのとき，Xさ日tγ，XさDγ，Xさi。。γはそれぞれ
Fさ昌to，F二≦D

G，Fさi。。Gを意味するものとする．

確率分布の順序付けについては，M汕er
Stoyan［2002］に詳しい．

次の結果は，2つの分布関数について上記の確率的順序付けがある場合に，凸歪み関数を用いて得られる歪み分布関数についてもそのj11頁序付けが保存されるということを述べている．

定理2．13．D∈9、、とするとき，（i）Fさ冒t0ならば，DoFさ呂tDoG．

（ii）F：≦DGならば，DOFさDDoG．
1
D呈s（砒）一；［・一（・一α）1。，・・α・・（…）

10

リスク尺度一理論と統計手法

and（iii）Fさi。、Gならば，DOFさi、、DOG．

ただし，（ii）と（iii）では，F，o，DOF，刀。Gの平きを反映させたものであり，市場リスクを管理する

均がすべて存在すると仮定する、場合に適していると言われている．
ここでの我々の目的は，リスク尺度の値ρ（Xf＋1）

次の系は定理2．13から直ちに導かれる．

を推定することである．以下では，これまでVaR

系2．14．D∈9。、とするとき，X，γ∈工。。に対などに用いられてきた推定方法をやや一般化した形

して，で説明する．

（i）Xさ、tγならば，ρD（X）≦ρD（γ）一

3．1（ii）XさDγならば，ρD（X）≦ρD（γ）．
（iii）Xさi。、γならば，ρD（X）≦ρD（γ）一

このアプローチでは，リスク因子の正規性を仮定

これらの結果の証明は，Tsukahara［2006］を参照

せよ・また，関連した結果としてLeitner［20051がある、これらはリスク尺度を保険料計算原理として考えた場合には当然必要とされる性質である、さらに，経済学の効用理論でも，リスクの順序付けとして増加凸順序は重要なものである（Rothschi1d

分散共分散法（デルタ正規法）

and

Stig1it・［19701）・

し，さらに損失Xf＋1をリスク因子Zt＋1の線形関数で近似する。したがって，x圭十ユも正規分布に従うことになり，ρ（Xt＋ユ）の計算は条件付分布の下でも，無条件の分布の下でも容易である、

ただし，オプションを含んだポートフォリオや債
券ポートフォリオなど線形近似は不適切な場合も多く，また正規性の仮定も一般に金融データに関して定型化された事実に反し，現実的ではない．もちろん，線形近似の自然な拡張として，2次関数による3近似も考えられようが（デルタ・ガンマ正規法），応

統計手法

用範囲は限定的である．

いったん用いるべきリスク尺度が決定されれば（歪みリスク尺度の場合には，歪み関数Dの具体的な関数形を定めることを意味する），次に必要になるのは精度の良い推定値である．

3．2

過去実績型（historica1）シミュレーション法

リスク因子に関するη個の観測値z士＿。十1，、．．，z士が得られるとしたとき，xt＋1＝∫（z士十1）の分布が推定対象の損失分布となる．ここで，x士十1の分布といった場合に，条件付分布か無条件の分布なのかを区別する必要がある、今，時点亡までに得られる情報を表すσ集合体を巧とすると（多くの場
合，巧＝σ（Z苫：5≦t）である），条件付分布とはP（X士十1≦刈巧）のことを指し，無条件分布は当X1：∫（Zユ），．．、，X士＝∫（Z｛）を作る一そして，

Xt＋1の分布をX1，．．．，Xtの経験分布関数で推定する．そこで，推定対象であるρ（X士十1）を対応する

経験分布の汎関数で推定するという極めて統計的には自然な推定法である．ただし，この方法は無条件の分布に対してのみ適用可能である．

さらに，この方法によって高い精度をもつ推定値

然P（X士十1≦π）となる一

もし時系列（zこのアプローチでは，まずZ1，．．．，Ztから，）に対して仮定されるモデルが非定常であるとすると，どちらの分布を用いるにせよ，かなり明示的にモデルを特定化しておかない限り，推定は難しい問題である．また，そのことによりモデルリスクも増大する。ここでは，（z廿）は定常であると仮定する・したがってP（Xt＋1≦π）はを得るためには，十分な量の同期したリスク因子
データが必要という難点がある．その上（これは純粋に統計的な方法に対しては共通に言えることだが），将来の構造変化を考慮に入れることはできな
い．そのため，シナリオ・テストなどと併用する必要があると言われている．

その定常分布の下で計算されることになる．この無実際に，対象となるポジションの損失そのものの条件の分布の方が長期的な安定性をもつことから，

観測値Xf＿η十1，＿，X士が分布FXに従う確率変数

より測定対象期間（t㎞e

列として得られる場合に，歪みリスク尺度

horizon）の長い信用リス

ク管理や保険では，こちらが好まれることが多い．

それに対して，条件付分布は直近のリスク因子の動

／（・）一

l、｝州
リスクと保険11

モデルが真のモデルとかなり乖離している場合にの自然な推定量は
1（・）一

、｝州

で与えられる。ここで一FnはX士＿n＋！，．．．，Xtに基づく経験分布関数である、この推定量はは，結果として不適当なリスク計測結果を招くことになる．また，用いるモデルや対象となるポート

フォリオの大きさによっては，計算上の負荷が大きくなることも欠点として挙げられる．

。｛：＝D（÷，岳1とおけば，Σニュ。｛x（｛〕というエ統計量の形になることがすぐわかる．よって，推定に関する課題

Xt一、、斗1，．．．，X｛がiidであれば，ShorackandWe11−

以上述べた3つの方法は，これまで主に市場リ

ner［1986］などの経験過程とノンパラメトリック統計学に関する書物に述べられている漸近理論を適用することが可能である．それによれば，DとFxに対するある種の正則条件の下で，η→ooのとき，

スクに関して適用されてきたものである．これらについて，条件付分布を用いるのか，無条件の分布を対象とするのかは意見が分かれるところである．

条件付の議論では，通常パラメトリックなモデルが大数の法則不可欠であり，モデルリスクにさらされる度合も大戸（X）一1ρ（X），P−a−s．

きくなり，得られる値も安定性を欠くことが多い．
McNei1andFrey［2000］のアプローチでは，パラメや中心極限定理市（夙X）一ρ（X））4W（O，σ2）

トリックGARCHモデリングと擬最尤法で条件付ボ
ラティリティを推定し，誤差項分布の中心部分に過去実績型アフロ」チ，裾部分には極値理論アプロー

が成り立つことを示せる（ここではσの表現は煩チを用いて推定を行う．そして，最終的に推定した

雑なので与えない）．さらに，（xt）が定常性を満条件付損失分布からVaRや期待ショートフォール

たすGARCHモデルなどの非iidの場合についての推定値を得ているのだが，この方法はある程度のも，同様の主張が成り立つことがわかってきている

成功を収めており注目に値するであろう．

（Tsukahara［2007］）．これによりリスク尺度の値推定に共通の課題としては，当然のことだが，よに対する信頼区間を構成することが可能になるといり優れたモデルと統計手法の開発が急務である．そう点は重要である．ただし，これらの結果が成り立のために有望なトピックは，多変量極値理論の利用，つための正則条件はDの密度関数dとF三1の1のモデルの頑健性の議論，リスク因子の従属性モデリ

近傍における挙動にかなりの制限を与えるため，用ング（接合関数アプローチ），そしてマルコフ連鎖いるリスク尺度によっては実用的とは言えない．こモンテカルロ法に代表されるベイズ的手法の応用がのためには，従属性をもつ確率変数列に対する極値挙げられる．変額年金保険のリスク管理に関する基理論（EVT）などを援用する必要があると考えら本文献であるHardy［2003］では，様々なモデルとれる．

統計手法が用いられているが，いくつかの問題点も指摘されている（秋山・国友i2006］）．これらの課

3．3

モンテカルロ・シミュレーション法

最後に，モンテカルロ・シミュレーション法と呼ば題は，冬期間リスク尺度の実装化の試みが始まるにつれて，より複雑だが取り組む価値のあるものとなるであろう．

れる方法を解説する．まず，リスク因子に対するパ
ラメトリック・モデルを選び，必要ならZ1，．．．，Z士を用いてそのパラメータを推定する・次に，Zl＋1の分布（条件付分布と無条件の分布のどちらも可
〜（1）

〜（m）

能である）からZ叶1，。．．，Z士十1を擬似発生させ，
珊、一∫（刻、），に1，、．．，mを用いてρ（X、、1）を推定すればよい．

欠点は当然モデルリスクが大きいということである．リスク因子に対して仮定するパラメトリック・12

リスク尺度一理論と統計手法

4

歪みリスク尺度の1パラメータ族

本節では，筆者がTsukahara［2006］において提案しているリスク尺度族についで，あまり厳密性にこだわらずに簡単な解説を行う．

まず，期待ショートフォールに対する歪み関数

は法則不変性と共単調加法性を満たす整合的リスク（2・1）に対して，尺度となる．そして期待ショートフォールに対応す（i）崎・D霊＝D㌫，（O＜α・，α・＜ユ）る歪み関数と同様の性質（ii）α1≧α2ならば，D霊二≦昌tD霊（iii）D芋s（・）一・，1imα↓・D妾s（・）一1｛。｝（何）D・（u）＝仏蹄Dl（・ト111／（・・），が成り立つことに注意する．

Dθ、。Dθ。＝Dθ、θ。

ここで，歪みリスク尺度におけるDの関数形ををもつのである．

具体的に定めるために，パラメトライズされた歪み関数の族｛D停｝を考え，期待ショートフォールとの比較可能性のために次の条件を課してみよう．

この歪み関数の形は統計学ではよく知られており，
次のように解釈される．κ（t＾）＝exp［Ψ』1（伽）］とおくと，元の分布関数Fと歪み分布関数G＝DグF（i）Dθ、。Dθ，＝Dθ、θ，の間には，κ（G（（ii）任意の分布関数Fに対して，
θユ＜θ2⇒））＝θκ（F（π））という関係が成り立つ．つまり，分布によって定まるある種の関数がDθユ・Fl＝、。Dθ，。F

比例しているということになる．これをいくつかの例について見ておこう1
すなわち，Dθ（u）がθに関して狭義増加である．
（iii）各θに対して，uHDθ（u）は狭義増加である一

例4，2．最もよく知られている歪み関数は比例ハ
ザードに対応するものであり，

これらの条件に連続性を加えると，平行移動方程坊H（・）二1一（1一・）θ

式（tranSlatiOnequatiOn）と呼ばれる，関数方程式の理論における初等的な方程式に関する結果（Acz61

で与えられる。このとき，κ（u）＝＿1og（1＿u）は累［19661参照）を用いて，次の定理が得られる。

積ハザード関数であり，Ψ（π）＝1＿exp｛＿e皿｝（ダ定理4．1．Dθ（伽）が上の条件（i），（ii），（iii）と連続性

ンベル分布関数）ととれば，（4．1）の形になる．

の条件を満たすならば，ある狭義増加なR上の連例4．3．比例オッズも統計学ではよく用いられるモ

続分布関数Ψが存在して，デルの1つであり，対応する歪み関数はDθ（・1）＝Ψ（Ψ一（・）十1・gθ），

θu
助O（伽）＝
1一（1一θ）u（4．1）という形になる。逆にΨがそのような分布関数なである一この例では，κ（u）＝u／（1＿t↓）はいわゆらば，（4．1）の形の歪み関数族は上の条件を満たす。

るオッズ比であり，（4．1）のΨとしては，Ψ（π）＝（4．1）のDθは，期待ショートフォールの歪み関

1／（1＋e．π）（ロジスティック分布関数）ととればよい。

数と同様に，D1（T）＝伽と1imα↓oDθ（u）＝1｛1｝（砒）例4．4．統計学ではガウス変換モデルとして知られを満たしている、結果として得られるリスク尺度がるが，（4．1）でΨ（エ）＝Φ（π）（標準正規分布関数）と整合的であるためには，Dθ（u）がuに関して凸でなとった歪み関数ければならない・そこで，（4．1）のΨが2回微分可能とし，ψ（T）＝去Ψ（），ψ（）＝去ψ（π）とおく一

このとき，

∂2

舳）一∂、工・Dl（1・）をΨ，ψ，ψ

を用いて表し，dら（仙）≧0のための条件を求めると，ψが強単峰であり（すなわち1ogψが凹），かつO＜θ＜1となる．

・DgA（u）＝Φ（Φ一1（u）十IOgθ）

を用いた歪みリスク尺度は，保険数理ではワン変換という名の保険料計算原理としてよく知られている。だが，κ（u）＝exp［ΦL1（t）］の意味はうまくつかないのが難点である．
Tsukaharat2006］での結果によれば，比例ハザー

まとめると，強単峰な密度を持つΨを選んで（4．1）

ドやワン変換を用いた歪みリスク尺度は，正規分布の形の歪み関数を作ると，Dθは。＜θ≦1のときのような裾の軽い分布に対してさえ，安定的に数値凸であり，計算できない．一方，比例オッズ歪み関数に基づく！θ（・）：一l，、、・マ1（・叫）

リスク尺度は，計算上も安定しており，今後使い・道がある可能性のあるものとして期待される．
リスクと保険13

5［20041，Weber［20061・また・連続時間の冬期間モデ

おわりにルについては，Bion−Nada1120061，Cheridito，De1−

以上，単一期問のリスク尺度について述べてきた

baen

and

Kupper［20041，［20051・De1baen120061・

が，筆者の能力不足もあり，現在盛んに研究が行わ

Fritte11i

れているいくつかのトピックについては述べること

れたい、いずれの論文も通時一貫性をもつ整合的リができなかった．その最たるものは，保険数理でもスク尺度の表現定理を主題とした理論的研究であandRosazza

Gianin［20041などを参照さ話題になっている冬期間リスク尺度である．ある終り，実務への応用はまだこれから発展すべき段階に点丁で生じる損失Xに対する時点f（＜T）でのリある．

スク尺度は，fまでの情報を巧で表したとき，条件付分布関数ハ（π）＝＝P（X≦■巧）に対して歪みリスク尺度を適用し，・（・）一他に解説できなかった話題としては，リスク尺度を用いた資本配分の問題がある．この興味深い問題については，McNei1，Frey

andEmbrechts［20051の6．3節に簡潔な解説があるが，詳しくはDe1−l、外1〜岬）baen［2000］，Denau1tエ2001］，Ka1kbrener［20051，とするのが最も自然だと思われる．しかし，下に挙げるような最近の研究では，このようなリスク尺度
は通時一貫性（timeCOnSiStenCy）をもたないとい

Tsanakas［20041に当たってみられることをお勧めする．

経済学との関連では，von

NeumamandMor−

genstem［19531，あるいはSavaget19721に始まる

う欠点が指摘されている、
この通時一一貫性の欠如を補うために，Hardy
Wirch［2004］やBoy1e，Hardy

and

and

Vorst［20051では，反復CTE（iterated CTE）という方法が提案されている．これは，本稿で述べてきた（法則不変な）単一期間のリスク尺度を，通時一貫性を満たす
冬期間リスク尺度に拡張する有効な方法であると考えられるが，KusuokaandMorimoto［2004］で述べられているように，極限をとって連続時間へ移行する際に，彼女らの定義そのままでは問題が発生する

不確実一1生の下での期待効用理論（読みやすい教科書

としてはKreps［19881がある）に対する批判から提案された双対選択理論（Yaari［19871・Schmeid1er［1989／）がリスク尺度の理論と深い関係にある．つまり彼らの導いた表現定理でも，効用関数が歪み期待値として表されるのである．さらに，その動学的拡張であるGi1boa

and

and

Schmeid1er［19931・Epstein

Schneider［2003］，Wang［2003］では，動学的一貫性（dynamic

consistency）の概念が議論されており，近年の冬期間リスク尺度の理論との関連もため，これに対する何らかの修復が必要である．

もちろん，この通時一貫性は他の整合性の公理とあって，非常に興味深い話題である．

同様に，ある見地からはもっともらしいとされる公理論的要請であるから，常に満たされなければならないかというとそれは対象となる問題によると言えよう、リスク尺度が規制上の必要資本という規範的な側面を強調するものであれば，当然その決定は動学的に見ても首尾一貫したものである必要があるが，現実問題として直観的には合理的な人間の行動

参考文献

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が通時一貫性をもっていないこともしばしぱ議論の松山直樹［2005］，「変額年金保険のリスク管理（現的となっている1また，終点下がどんどん繰り越

状と課題）一ヒユ］マンセキュリティヘの基盤研されていくro11ing

horizonの場合には，通時一一貫

究一」，総合政策学ワーキングペーパーシリーズ

性がどのような形で適用されるべきなのかもはっき

No．61，慶癖義塾大学大学院政策・メデイア研

りしない．

究科（http：／／coe21−Policy．sfc，keio．ac．

離散時間での通時一貫性を扱った冬期間リスク

jp／j・／・p／WP61．pdf）・

尺度に関する論文が近年多く出版されているので，筆者が気づいた範囲で列挙しておく：ArtzneraL［2002］，［20061，Cheエi（ユito，De1baen

per120061，Fritte11i
r4

and

and

et

Kup−

Scando1o［20061，Rie（1eI

リスク尺度一理論と統計手法

森平爽一郎t2004／，「保険価格決定理論

保険数

理とファイナンス理論の融合」，rアクチュア
リージャーナル』，54，5−66。

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Bion−Nadal，J．［2006］，
namic

Risk

Processes

Time

Consistent

Dy−

CadlagModi丘。ation，

Preprint．

Acerbi，C．［2002］，

Spectra1measures

of

risk：

Acoherentrepresentationofsubjectiverisk
aversion，Jour刀aj

ofBa刀kjng＆Fjnaηce，26．

of

C。

after

VaR

and

T．Vorst［2005コ，，Jour］ユa』ofLife

Derjvatives，Fa11，48−

55．

1505−1518．

Acerbi，Boy1e，P、，M．Hardy［2004］，

subjective

Coherent

risk＿aveエsioI1，

representationin［2004］，pp．147−207，John

Szeg6

Cheri（1ito，P．，F．DeIbaen

Coherent

Chichester．

M．Kupperエ2004］，

andconvexmone七aryエisksures

foエboundedc首d1註gprocesses

亡jc

Processes（ed．）

Wiley＆Sons，

and

and

mea−

，StOcムa−s一TbejrAρp〃。aωoηs，112，1−

andl〉五。Kupper［2005］，

22．

Acerbi，C．andD．Tasche［2002］，
ence

of

expectedsho］＝tfa11

Onthecoher−，Jom・naj

ofBa工1k−

jng＆Fjna．nce，26．1487＿1503．
Acz61，J．［19661，工ec亡ures

tjoηs

aηd

Press，New

T加jr

on

Coherentsures

R㎜ctjoユ1aj

App］jcatjons，

Equa−

Academic

York−London．

Artzner，P。［1999］，

Cheridito，P．，F．De1baen

for

皿aエユ。eofcoherentrisk

unboundedmeasuresto，jVortb

capita1requirementsin

A工nerjcan

Jour皿a』，3，

Ac亡uarjajmonetaryc託d1きgCheridito，P．，F．DeIbaen
boundedDynaInic

monetary

discrete−time

Journa』of
ance

convex

IIisk

mea−

processes，Fj＿

and8tOcムas亡jcs，9，369−387．

二20061，

AppIica七ion

and

and
risk

M．Kuppermeasuresprocessesfor，〃ectroηjc

Probab〃jt，γ，11，57−106．

insur−

Cherny，A．S。［20061，
properties

11−25．

，

Weighted

Fjηaηce

a工〕d

V◎R

and

its

8亡。cbastjcs，

10，367−393．

AI・tzner，P、，F．De1baen，J．一M，EberandD．Heath［1997］，

Thinking

coherentIy，RISK

M−aga−

TheoryofCapacities，ん］一ηaユesdeゾエ皿stjtuteハ。urjer，5，！31−295．

zjηe，10，November，68−71．

AI・tzne干，P．，F−De1baen＝工一M．EberandD．Heath／1999］，Coheエent

Choquet，G一［19551ヨ

measuresof■isk，Ma曲emat−

Crouhy，M。，D．Mark

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M−anageme皿亡，McGrow−Hin，NewYork（邦訳：rリスクマネジメント』（2004，三浦良

jcaユFjηaηce，9，203−228、

造化訳），共立出版）

Artzner，P．，F．Delbaen，J．一M，Eber，D．Heath
and

H．Ku［2002］，

Risk

Measurement

Coherent，Woエking

Mu1tiperiod

Paper．（http：／／www．math．ethz．ch／＾delbaen／）

H．Ku［20061，

adjusted
apPearva1uesinandAn刀aj50f

Coherent

mu1七iperiod

risk

Be11mans，toprincip1e

tures

given

Scuo1aattheNorma1e

CattedradiGa1i1eiana

a．t

the

Pisa，March2000。（http：／／田ww，m・th。・th・．・h／＾d・1b・・n／）Artzner，P．，F．Delbaen，J．一M．Eber，D．Heathand

De1baen，F．工2000］，CoわerentRj8kMea8ures，Lec−

Opera亡joユ18Researcムー

Delbaen，F．エ2002］，
genera1probabi1ity

Fh工anceandCoheren七risk
spaces，inmeasureson

Adva皿。esjη

and8tOcムas亡jcs，eds．K．Sandmann

P．J．Sch6nbucher，pp．1−37，Springer−

VerIag，Ber1in．

Basak，S．a．nd

based

A−Shap三エ012001／，

risk

asset・Prices
14，371−405．

Va1ue−at−Risk−

management：Optima1policies，RevjewofandFjnancja』Studjes，De1baen，F．［2006／，
sets

and

in

The

particu1ar

七ra1measures

structureofm−stab1e

of

of

risk

，in工n

the

set

Memorjamneu一Pauj−Andr6

リスクと保険15

Meyer86mjユエajre

eds．M−Emery

de

and

Probab疵亡6s

XXX工X，

M．Yor，pp．215−258，

capita1，Journaj

Coherentofcursive

M，Schneider［2003］，

mu1土ip1e−Priors，JoumajRe−ofEcommic

Tbeory，113，1−31・

Springer−Ver1ag，Ber1in．

Denau1t，M．［2001］，

Epstein，L．G．and

a11ocation

of

risk

F611mer，H−and

A．Schiedpreferences

Rjsk，4，！−34．

andconvex［2002a1，
measuresofRobustrisk，inAdVaηCe8jη冊〕anCea皿d8亡㏄わa8亡jCS，edS．

Denneberg，D．［1990コ，
Whybystandard

abso1ute

Premium

deviation

deviation

ca1cu1ation：

shou1d，λ8TηVberep1aced

K，Sandmann

56，Springer−Ver1ag，Ber1in．

F611mer，H．andsures

Denneberg，D．［1994］ヨNo止add〃ve
jn亡egraj，K1uwer

P．J．Sch6nbucher，pp−39−Bu〃e〃肌，20，

181−190．

andandAcademic

measures

of

ηance

A．Schied［2002b］，

risk

and

and

trading

Convexconst］＝aints

mea−
，

Fj一

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jcs

The

conceptaCtuaria1SCienCe

of

and丘一

，Iユ18urance：ハ〃atムen］at−

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convexハ∫at乃e』刀atjcaj

Fritte1Ii，M．and
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Dy−

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for

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jn

mea−

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ing

J−Pan

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Updat−
Ecoηo1加。

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Actua．ria1versus丘nancia1

〇ry

a皿d

App〃。atjoηs，Physica−Ver1ag，Heide1−

berg．

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Jourηaユ

of

Rjsk

Fj一

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Tと。bユエjques，and

d1e

for

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McNei1，A．J．，R，Frey

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and

expected

A

short

note

pエeservingon

second−orderstochastic

dominance

coherentrisk

measuエes，一Ma舳em洲。aj＾naユ1ce，15，649−

Subjective

utility

without

probabi1−

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and

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tion

with

Dynamic

capitaI

a11oca−，工皿sur−distortionrisk

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andEconon1jcs，35，223−

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tors

ibr

A

c1ass

ofdistortion

opera−

insurance，

p工icing丘nancia1and

IJoluコ1aj

ofRjskWang，S−S．and

and

risks

Insuraηce，67，15−36．

J−Dhaene［1998］，Gomonotonic−

ity，corre1ation

order

and

premium

Insu「ance：ハ∫a亡血en工a亡jcs

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ance

Axiomatic

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tency

18

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consis−，ハ〃atムematjcaユFi皿ance，16，419＿441．

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dua1theoryof，Econometrjca，55，95−115、

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TheoryandHi〔1eatsu

Tsukahara

Measures

Departmentof

Statistica1Methods

Economics，Seijo

University

6−1＿20Seijo，Setagaya−ku，Toky0157−851！，Japanemai1address1tsukahar＠seijo．ac．jp

Abstract
This

is

an

expository

paper

on

the

conceptofriskmeasure

which

is

of

much

interest

for actuar主es as we11as丘nancia1risk managersl After giving some motivation and risk
measurement backgroun（1，we introduce the axioms of coherent risk measure and exp1ain

their

imp1ication．Then

and

are

Kusuokagiven

va1ue−at−risk

and

for

the

wi七hout

expected

estimating

the

va1ue

discussed．Based

on

the

risk

and

their

measuresscience．The
and

paper

apP1icationsofproofs．Two

shortfa11，are

of

risk

authorsmeasurerecentre1ationconc1udes
riskmathematica1representation

with

to
a

popu1ardescribed

arework，we

resu1ts

examp1es
in

introduction

and

some

parametricWa㎎transform，which

brief

risk

to

DeIbaenmeasure，name1y，

detai1．Severa1statistica1methods．

exp1ained
presentofa㏄ording

tois

re1atedprob1emsarefami1iesofdistortion

we1！knowninactuaria1

further

topicsonthetheoryn1easures．

リスクと保険19

20

リスク尺度一理論と統計手法