ゆらぎの数理(統計入門)
日比野 雄嗣

3

目次

第1章

準備

5

1.1

平均・分散・標準偏差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51.2

度数分布表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

正規分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5

母集団と標本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.6

標本平均の分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.7

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

推定

45

区間推定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

第2章

2.1

2.1.1

平均の区間推定 (母分散が既知の場合). . . . . . .

46

2.1.2

平均の区間推定 (母分散が未知の場合). . . . . . .

49

2.1.3

分散・標準偏差の区間推定 . . . . . . . . . . . . . .

55

2.1.4

比率の区間推定. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.1.5

平均の差の区間推定 . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.2

点推定 (最尤推定法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.3

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

検定

71

仮説検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

第3章

3.1

目次

4
3.2

3.3
付録 A

χ2 検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.2.1

適合度検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.2.2

独立性検定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
補足

105

A.1

Z = (X − µ)/σ について . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.2

連続性の補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A.3

F 分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

付録 B

演習問題の解答

B.1

第一章の問題解答. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B.2

第二章の問題解答. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

B.3

第三章の問題解答. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

付録 C

数表

109

129

C.1

正規分布表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

C.2

t 分布表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

C.3

χ2 分布表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

索引

130

5

第1章

準備
統計とは, たくさんのデータを処理して何らかの結論を導き出す方法である. データの数が少なければ, 個々に対処するのが最もよい. しかし, 数が多
いと全体の様子を (大雑把にでも) つかむことが必要になる.

1.1 平均・分散・標準偏差
まず最初に, 平均・分散・標準偏差という基本単語を説明する. 平均というのは, よく試験の後に学生が「平均点は何点ですか?」と訊く, あの平均のことであるから, とりたてて説明することもないと思われるかもしれない. 分散や標準偏差もそれと同程度には納得できるようにしておこう.

babababababababababababababab

n 個のデータ：x1 , x2 , . . . , xn の平均 µ はµ=

x1 + x2 + · · · + xn
n

第1章

6
■平均

準備

全部足して足した個数で割るだけ. 平均をあらわす文字には m を使うことも多いが, この本ではギリシア文字の µ(ミュー) を使うことにする.
ギリシア文字を使っているので難しく見えるかも知れないが, 普通に知っている平均と同じである. なんとなく理解しているだけだと困るので, いくつか注意点を挙げておく.

µ と同じ値のデータはひとつもないかもしれない 試験の平均点は 65.4 点だったが 65.4 点を取った人は一人もいないというのは, よくあることだろう.

µ の近くにデータが集まっているとは限らない 試験の平均点が 75 点だったら 70-80 点の人がたくさんいると錯覚しそうになるが, 例えば, 40
人のクラスで 100 点の人が 30 人, 0 点の人が 10 人だと, 平均点が 75
点になる.

µ が真ん中辺りにあるとは限らない 上記のような場合を想定すれば平均点が真ん中辺りにないこともありうるのは理解できるであろう. 「平均点以下の人は居残り補習です」と言ったら, 半分の人が残されるかと思うが, 上記の場合平均以下は 10 人だけである. また順位に関しても, 例えば 6 人で 70 点,10 点,4 点,3 点,2 点,1 点という状況なら平均点は 15 点となり, 10 点の人は平均点より低いのに第 2 位である.
このように, 真ん中辺りでもなく, その値をとるデータが多いわけでもなく,その近くのデータが多いわけですらないのに, やはり平均 µ はたくさんのデータの第一番の代表値なのである.
注意「たくさんのデータの第一番の代表値」という意味で『平均』という語を使うとすると, µ と異なるものを『平均』として採用する業界も存在する. いくつかその例を挙げる.
モード

モードとは最頻値, つまり, 最もデータが多い値のことである. モード (mode) を英和辞典でひくと「流行, はやり」などの言葉が得られるが, 流行のデータを扱う際には平均 µ を使うのは

1.1 平均・分散・標準偏差7

よくない. 例えば, スカートの長さのデータを収集したとき, 長
さ µ のスカートを作ったら最も売れるかというとそんなことはない. 長いスカートの集団と短いスカートの集団の両方があれば,µ はその両方の山の谷間辺りに来るから, 長さ µ のスカートは人気がない. 長さ µ のスカートではなく, 最も人気の高かった (=データの多く集まった) 長さのスカートを売るべきである. だから, ファッション業界では『たくさんのデータの第一番の代表値』
は µ ではなくて, 「最もデータが多く集まっている値 (最頻値)」を選ぶことになる.
メジアン

メジアンとは中央値, つまり, データを大きい順に並べた

とき真ん中の順位にくるデータの値のことである. データが偶数個のときには真ん中の順位がないので, 真ん中の 2 つの順位の値の平均をとる.
上述のように, 平均 µ は, 極端に大きな値があるとそれに引っ張られて大きくなってしまう. しかし, ひとつくらいの大きな値があってもなくても, 全体の様子はそんなに違わないと思える場合,
例えば, 貧富の差があって数人の人だけが富を集めているとか,いきなり極端に誤差のでかい値が出てくる実験データとかだと,『たくさんのデータの第一番の代表値』として, µ よりもメジアンが適している場合がある.
■分散

さて, 「たくさんのデータの第一番の代表値」として平均 µ を選んだとして, そのデータの第二番の代表値としては何を選べばいいだろうか.
代表値というのは, データを全部見る代わりにその数値だけを見て全部を見た気になるにはどうすればよいか, という意味である. 試験の後に「平均点は何点ですか?」と訊く学生は, 平均点を知って全員の出来を理解するのであろう. もちろん, 全員の点数を全部教えてもらえれば, それが一番いいのであって, 自分の順位も他の人も出来具合も完全に分かる. しかし, (データの個数が多いので) ひとつだけ数値を教えてもらえるとするなら, やはり, 平均

第1章

8

準備

点を訊きたいということなのであろう. そこで, さらにもうひとつ数値を教えてもらえるとしたら, 何を訊くかということなのだが, 平均 µ で得られない情報を得たいところだ. つまり, 平均が同じであっても, それが大きな値と小さな値が打ち消しあってその平均になったのか, 平均近くの値がたくさんあってその平均になったかが判断できないので, それを知りたい. 言うまでもないが, 平均は値を均しているので, 平均より大きい値ばかりたくさんあるとかいうことはありえない. 値が平均より遠くにたくさんあるか近くにたくさんあるかがあるだけだ.

babababababababababababababab

n 個のデータ：x1 , x2 , . . . , xn の分散 V はV =(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + · · · + (xn − µ)2nx1 − µ は 1 番目のデータと平均の差だから正の数かもしれないし負の数かもしれないが, それを 2 乗した (x1 − µ)2 は正の数 (またはゼロ) であり,

x1 と µ が離れていれば大きくなり, x1 と µ が近ければ小さな値になる. これを全部のデータについて足して, 個数 n で割ったものが分散である. 平均から離れたデータが多い, つまり, 大きな値と小さな値が打ち消し合ってその平均になった場合は V が大きくなり, 平均の近くのデータばかりが多いと V は小さくなる. 小さくなると言っても V が負になることはなく最小値
は 0 であり, これは全てのデータが同じ値 (µ もその同じ値) のときにのみ起
こる.
大きい小さいといっても, 実際に試験の後に「分散はいくつですか?」と訊いて答えてもらっても, それが大きいのか小さいのかは分からない. 大きい
小さいというのは相対的なものだから.
それに今は x1 − µ が負かもしれないから 2 乗した と説明しただけなので, 2 乗の代わりに |x1 − µ| とか (x1 − µ)4 でも, 同じことのように見えるか1.1 平均・分散・標準偏差9もしれない.
これらの疑問に関しては, 次章以降この本を全部読めば解決するとだけ言っておく.
注意
分散は次のようにも計算できる.
bababababababababababababababV =x21 + x22 + · · · + x2n
− µ2
n

なぜなら

(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + · · · + (xn − µ)2n(x21 − 2µx1 + µ2 ) + · · · + (x2n − 2µxn + µ2 )=n(x21 + · · · + x2n ) − 2µ(x1 + · · · + xn ) + nµ2=
nx21 + · · · + x2nx1 + · · · + xn
=
− 2µ
+ µ2
n
n
x2 + · · · + x2n= 1− 2µ2 + µ2nx2 + · · · + x2n
− µ2
= 1
n

V =

だからである. x1 , x2 , . . . , xn が整数値で µ が割り切れなかったときには, この式を使う方が計算が簡単になることも多い.
■標準偏差

3 つ目の基本用語であるが, 「第三番の代表値」ではない.

10
第 1 章 準備babababababababababababababab

標準偏差 σ はσ=√Vだから, 標準偏差は本質的に分散と同じで, データの散らばり具合を表しており, 平均から離れたデータが多い場合は σ は大きくなり, 平均の近くのデータが多いと σ は小さくなる. 標準偏差にはいつもギリシャ文字 σ(シグマ) が使われる. 「標準偏差」の意味でカタカナで「シグマ」と書くこともあるほどである.
なぜ, わざわざ分散の平方根をとって標準偏差にするのか, については次の問題の後で説明する.
問題 1 次のデータの平均 µ, 分散 V , 標準偏差 σ を求めよ.

(1) 4, 7, 3, 1, 9, 6(2) 14, 17, 13, 11, 19, 16(3) 12, 21, 9, 3, 27, 18(4) 27.2, 29.3, 29.1, 26.0, 27.2, 24.6, 30.2, 27.6, 25.6
この問題は, 電卓の練習用に作ったのだが, 実際にはこういう計算をするのに普通の電卓を使うこともなく, コンピュータかせいぜい関数電卓で行うので, 本節の公式を全く知らなくても解くことができる. その場合でも, コン
ピュータまたは関数電卓の練習として, 計算してみてほしい. 解答は以下の通り.

(1) µ = 5, V = 7, σ =√7√(2) µ = 15, V = 7, σ = 7√(3) µ = 15, V = 63, σ = 3 7(4) µ = 27.4, V = 3.055, σ = 1.748

1.1 平均・分散・標準偏差11

実は, (2) のデータは (1) のデータに 10 を足したものであった. このとき,µ は +10 になり, V と σ は変わらない. 点数が平行移動しただけなのだから, 分散や標準偏差の『散らばり具合』という意味からも, このことは自然であろう.
一方, (3) のデータは (1) のデータの 3 倍である. このとき, µ は 3 倍になり, V は 9(= 32 ) 倍になり, σ は 3 倍になっている. 1 問 1 点で採点したのを

1 問 3 点にしたら全員の点数が 3 倍になるから, 平均点が 3 倍になるのはいいとして, 点数の散らばり具合はどうだろうか. 1 点差だったところが 3 点差になり, 最高点と最低点の差も 3 倍になるから, やはり, 散らばり具合は 3倍になっていると考えるのが自然であろう. だから, 『散らばり具合』の指標としては, V よりも σ の方が良いことが分かる. 専門用語を使って言えば,「次元が違う」ということである. 一般に,

babababababababababababababab

X の平均を µ, 分散を V , 標準偏差を σ とすると,
aX + b の平均は aµ + b, 分散は a2 V , 標準偏差は |a|σ となる.

これが, わざわざ分散の平方根を取って標準偏差を考える理由である.
実際に統計を使うときには (4) のようなデータになっていることが多い
が, 計算途中で値を勝手に丸めてしまって誤差を生みださないようにすることが大切である. 実際は µ は 27.422 · · · なので, V = 3.0550617 · · · が正解であるが, 例えば, 平均の値を µ = 27.42 として 9 ページの公式を使って V の計算をすると V = 3.177 · · · となるし, µ = 27.4 として計算すると

V = 4.27 · · · になってしまう. 問題文のデータは, 27.2 のようになっているので, 最後の答えとしては µ = 27.4 と答えてよいが, V の答えも最終的に 3 桁分は正しい値が残るように, 途中の計算では注意が必要である. コン
ピュータを使っていればそういう心配もないだろうが.

第1章

12

準備

1.2 度数分布表
たくさんのデータを処理する前に, まず整理しなければならない. そのときに使われるのがこの度数分布表である.
例題 2 下の度数分布表は, ある学校における身長のデータである. このデータの平均 µ と分散 V を求めよ.

(1)
身長 (cm)(2)
人数 (人)

身長 (cm)

人数 (人)

155–1605

155–160

63

160–16518

160–16551

165–17042

165–17045

170–17527

170–17560

175–1808

175–18081

度数分布表という名前を知らなくても, このような表はどこかで見たことがあるだろう. 細かいことを言えば, 身長の欄の「155–160」は「155cm 以
上 160cm 未満」を意味する. つまり, 160.0cm の人は 2 番目のグループに入る. しかし, このようなことはただの約束事であって, 境目の人を大きい方に入れなければならない理屈はない. 小さい方のグループに入れるならそう決めておけばそれでよい. しかし, それを恣意的に変えてはいけない. だから,常に大きい方のグループに入れると決めているだけのことである.
用語的には, このように分けられたグループを級といい, それぞれの級の幅を級間隔という. 当然, 級間隔はすべての級で同じでなければならない.
今の場合は, 級の数は 5 つで級間隔は 5cm となる.
級の最大値と最小値の平均を級代表値といい, 各級に属するデータは全て
この級代表値と同じ値とみなされる. 例えば, (1) の場合, 157.5cm の人が 5

1.2 度数分布表

13

人, 162.5cm の人が 18 人, . . . のようにみなす.
注意

級間隔を大きくすると級の数が減り, 各級に属するデータと級代表値の差が大きくなり, 不正確になる. 級間隔を小さくすると級の数が増えて, 手間が増える. 極端な話, 級間隔が狭くて各級に 1 つずつしかデータが属さないようだと, 度数分布表を作る意味すらなくて, データをそのまま扱っているのと同じことになる.
得られたデータに対して, 級間隔をどのように取ればよいかは, その資料に対してどのくらい正確な結果が欲しくて, そのためにどれだ
けの手間 (コスト) をかけられるかによって判断することになる. 数
学的に級間隔を決める式もいくつか提案されているが，結局，その度に最適な値を決定する必要がある.
度数分布表をグラフにしたものもよく使われる.

(人)
40
30
20
10

155

160

165

170

175

180 (cm)

図 1.1 (1) のヒストグラム

図 1.1 のようなグラフをヒストグラムという. ここでは棒グラフで描いたが,折れ線グラフで描かれることもよくある.

第1章

14

準備

さて, 平均等を求めるだけなら, 例えば (1) の平均はµ=157.5 × 5 + 162.5 × 18 + 167.5 × 42 + 172.5 × 27 + 177.5 × 8
100とすぐにでもできるが, もう少し解説を続けよう.

(1) と (2) の真ん中の級に注目してほしい. (1) は 42 人, (2) は 45 人で (2)の方が多いが, 全体の様子からすると, (1) は真ん中の級が最大で, (2) は真ん中の級が最小である. つまり, 人数だけでは多さを表現できていないことになる. そこで, 全体に対する割合を求めておくとよい. これを相対度数という. 問題の表から級代表値と相対度数を計算し, ついでに縦と横を入れ替えて書くと次のようになる.

(1)
(2)

級代表値 (cm)

157.5

162.5

167.5

172.5

177.5

相対度数

0.05

0.18

0.42

0.27

0.08

級代表値 (cm)

157.5

162.5

167.5

172.5

177.5

相対度数

0.21

0.17

0.15

0.20

0.27

表 1.1 相対度数

これで, 真ん中の級は (1) では大きく, (2) では小さいことがわかりやすくなった. なお, 相対度数の値を全部足すとちょうど 1 になることを注意しておく. 表 1.1 をグラフにしたものは, 縦の目盛りの値が異なるだけで, 図 1.1と同じである.
さて, 相対度数の定義を思い出せば, (1) の平均の計算がµ = 157.5 × 0.05 + 162.5 × 0.18 + 167.5 × 0.42 + 172.5 × 0.27 + 177.5 × 0.08となることがわかる.
例題 1 と同様, こういう計算はコンピュータかせいぜい関数電卓で行うので, 以下のような計算テクニックを使用する必要はないかもしれないが, さらに工夫した計算方法を紹介しておこう. 級代表値はちょうど差が 5cm ず

1.3 確率変数

15

つになっていることを利用して, 級代表値から 167.5 を引いて 5 で割った数
値を考えてみる. つまり,

(1)

値

−2

−1

0

1

2

相対度数

0.05

0.18

0.42

0.27

0.08

表 1.2 167.5 を引いて 5 で割ったに対する平均・分散を計算する. これは平均 µ = (−2) × 0.05 + (−1) × 0.18 + 0 × 0.42 + 1 × 0.27 + 2 × 0.08 = 0.15
分散 V = (−2)2 × 0.05 + (−1)2 × 0.18 + 02 × 0.42 + 12 × 0.27 + 22 × 0.08 −0.152 = 0.9475と簡単に計算できる.
ここで前節で述べたことを思い出すと, (1) の答えは, µ = 0.15 × 5 +167.5 = 168.25, V = 0.9475 × 52 = 23.6875 となることがわかる. 分散は
52 倍されることに注意しよう.
(2) の答えも同様にして, µ = 0.15 × 5 + 167.5 = 168.25, V = 2.2675 ×
2

5 = 56.6875 となることがわかる.
(1) と (2) の平均は同じだが, (1) は平均の近くに値が集まっていて, (2) は平均から値が離れているので, (2) の分散の方が大きくなっている.

1.3 確率変数
統計学は確率論を用いて研究されるが, ここで使われる重要な専門用語である確率変数について簡単に説明する.
例題 3 サイコロを 1 つ投げたとき出る目を X とする. X を求めよ.
この問題を見て, サイコロの出目が求められる訳がない, と思われたかもしれないが, もう一度よく考えてみてほしい. 確かに, サイコロの出目が予め

第1章

16

準備

分かる訳がない. しかし, 出目について事前に何も分からないわけではない.
、、、、√
例えば, 5 の目は絶対に出ないし, −3 の目も絶対に出ないことを投げる前、、、、、から知っている. もっと言えば, 1 から 6 の目が等確率で出ることを, 投げる、、、
前から知っている. つまり, 「X = 1, 2, 3, 4, 5, 6 となる確率がそれぞれ 1/6であること」, それが X である. このことを表で書くと

X

1

2

3

4

5

6

確率

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

表 1.3 サイコロ 1 個となる. このように, どんな値をとるかが確率で表されているものが, 確率変数である.
確率変数 X の期待値を計算すると,

1×

1
1
1
1
1
7
1
+2× +3× +4× +5× +6× =
6
6
6
6
6
6
2

となるが, この計算は先程例題 2(1) で, 表 1.1 から平均 µ を計算したのと同じやり方である. つまり, 相対度数の表は確率変数を表しているとみなすことができ, 平均は期待値と同じであることがわかる. 何のデータであっても(身長であっても, 体重であっても, 血圧であっても), そこから度数分布表を作って相対度数を求めることができるのだから, どんなデータでも確率変数とみなすことができるということである.
例題 4 1 つのサイコロを 3 回投げたとき, 1 の目の出る回数を Y とす
る. Y を求めよ.
もちろん，等確率ではない場合もある. Y は表 1.4 である.

Y = 1 となる確率が 3 C1

1
6




5 2
となるのが何故か, などについては, 統計
6ではなく確率の問題なので本書では解説しないが, このような分布を，(成功確率 61 ，試行数 3 の) 二項分布という.

1.3 確率変数

17

Y

0

確率

3 C0


5 3
6

3 C1

1


1
6

2


5 2
6

3 C2


1 2
6

5
6



3
3 C3


1 3
6

つまり，

Y

0

1

2

3

確率

125
216

75
216

15
216

1
216

表 1.4 二項分布

表 1.3 でも表 1.4 でも, 確率の欄の総計は 1 である. このことは表 1.1 と同じ性質であり, 確率変数の重要な特性である.
ヒストグラムのときを真似て, 表 1.3 と表 1.4 をグラフにすると 図 1.2 の

y

O

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

x

y

O

7

8

9

10 11 12x

図 1.2 サイコロの密度関数ようになるが, 確率の総計が 1 であることは, これらのグラフと x 軸で囲まれる面積が 1 であることに対応している.
確率変数が異なれば当然グラフは異なるが, 逆に面積が 1 であるようなグラフに対して, それぞれ確率変数が対応する. よって確率変数とは, x 軸との囲む面積が 1 であるような正値関数 (これを密度関数という) のことだと

第1章

18

準備

言ってよい. そして, その確率は面積によって求められる. つまり, 確率変数

X が密度関数 f に対応しているとすると, X が a から b の値をとる確率は
f のグラフの a から b までの面積になる. これを数式で書くと,
Z b
P (a ≦ X ≦ b) =f (x)dxaということである.
確率の計算というと, 高校までの数学では順列組み合わせを連想されるかもしれないが, 現代数学において, 確率というのは積分と同義であり, 確率を研究するということは積分を研究することなのである.
最後にもう一度まとめると, 確率は密度関数を通して面積の計算になり,面積を計算することは積分計算であり, 微積分といえば数学, というわけで,確率の問題は (偶然とか運とかの問題ではなく) 数学の問題となった.
本書では, 積分の計算をするわけではなく (もちろん順列組み合わせでもなく), 図形の面積を求める問題として確率の問題を解く.

1.4 正規分布
前節で述べたように, 面積 1 の関数がありさえすれば, それが確率変数に対応しているので, 確率変数というものは無数にある. しかし, それらの中で中心に位置する最も重要な確率変数というものが存在する. それは, 密度関
数がf (x) = √12πσ 2(x−µ)2e− 2σ2である確率変数であり, これを正規分布またはガウス分布という. ここで eは自然対数の底と呼ばれる定数だが, このややこしい式はこの際気にしなくてよい. 今は数式ではなくグラフで, ビジュアルで理解すればよい.
図 1.3 のような, 一つ山の左右対称な滑らかなグラフである. 左右対称の対
称軸は x = µ であり, x = µ ± σ の点が変曲点になっている. x 軸の −∞ から +∞ までグラフがあるので, −∞ から +∞ までの面積が 1 である.

1.4 正規分布

19

y

0

µ−σ

x
µ

µ+σ

図 1.3 正規分布の密度関数記号から想像できるように, µ を正規分布の平均, σ を標準偏差, σ 2 を分散と呼ぶ.
「確率変数 X に対応する密度関数が平均 µ, 分散 σ 2 の正規分布のグラフである」ということを「X は N (µ, σ 2 ) に従う」と言い,

X ∼ N (µ, σ 2 )と書く. N は正規分布 (Normal distribution) の頭文字である. 特に, 確率
変数 Z が平均 0, 分散 1 の正規分布に従うとき, つまり, Z ∼ N (0, 1) のときを, 「Z は標準正規分布に従う」という.
なぜ, この分布があらゆる分布の中で中心的ポジションにいると言えるのかについては, 高度な説明を必要とするので, 詳しくは述べられないが, いわゆる『誤差』はこの分布に従うことが知られている. 統計処理ではたくさんのデータを扱うが, そのたくさんのデータがいろんな値をとるのは, 『値のゆらぎ』つまり『誤差』に起因していると考えることができる. サイコロの

第1章

20

準備

y

-1

O

x
1

図 1.4 標準正規分布の密度関数

ように決まったルールで値が出てくるなら, もちろんその確率変数はその “決まったルール”の分布に従っているのだが, なぜかいろんな値が出てしまうという状況であれば, その原因は誤差, つまり, そのいろんな値は正規分布というルールに従って出ていると考えることができるのである. あえて, 大胆に言ってしまうと, 「たくさんのデータが, どんなルールに従っていろんな値を取るのか分からないとき, それは正規分布に従っている」.
これだけでは, 正規分布の重要性がうまく説明できていないかもしれないが, とにかく, まず, 標準正規分布に従う確率変数のとる確率を求めよう.

1.4 正規分布21

例題 5 確率変数 Z が標準正規分布に従うとする.

(1) 0 < Z < 1.96 となる確率を求めよ.
(2) −2.58 < Z < 2.58 となる確率を求めよ.
(3) Z > 1.64 となる確率を求めよ.
(4) 1.34 < Z < 1.79 となる確率を求めよ.
(5) Z < −1.04 となる確率を求めよ.
(6) Z < 1.27 となる確率を求めよ.
(7) −1.57 < Z < 2.46 となる確率を求めよ.
(8) Z > −1.70 となる確率を求めよ.
(9) −2.89 < Z < −1.53 となる確率を求めよ.
Z が何を表しているかは何も述べていないので分からないが, とにかく何か Z という量があって, それはランダムにいろんな値をとる. 『ランダムに』というのはサイコロのように, ということである（と言っても, 今の場合は無限に多くの値 (全ての実数値) を取りうるのだが）. それで, その Z がどんな値をとるかは事前には分からないのだが, どんな値をどんな確率でとるかということは分かっていて, それが標準正規分布であるというのが問題文の意味である.
そして, その確率を求めるのだが, これはつまり, 図 1.4 から得られる図形の面積を求めることである. 曲線の囲む面積をどのように求めるかというと,巻末の数表 [N] から求めるのである. この本では積分計算を使うことはない
が, 積分を使って計算をしても正規分布の面積は求められないことが知られている. (近似的に数値計算はできる)
さて, (1) は図 1.5 の面積を求めるのであるが, これは巻末の表 [N] の x の部分が 1.96 ということであるので, 表の 1.96 のところを見て, 0.4750 が答えである.

(2) は図 1.6 の面積を求める問題であるが, 正規分布のグラフは『左右対称』であるので, 0〜2.58 の面積を表 [N] から求めてそれを 2 倍すればよい.

第1章

22
y

···

x

準備

.06

···

..
.
.4750

1.9

O

1.96

x

..
.

図 1.5 例題 5(1)

y

y

＝

-2.58

O

2.58 x×2O

2.58 x

図 1.6 例題 5(2)よって,

2 × 0.4951 = 0.9902
が答えである.

(3) では図 1.7 の面積を求めればよいが, ここでのポイントは『全体の面積が 1』ということである. 正規分布のグラフは左右対称なので, 右半分の
面積は 0.5 となり, 0〜1.64 の面積を表 [N] から求めてそれを 0.5 から引けばよい. よって,0.5 − 0.4495 = 0.0505
が答えである.

(4) で求める面積は図 1.8 であるが, 表 [N] から得られるのは, 0 から

1.4 正規分布

23
y

O
y

1.64

x
y

＝

−

x

O

O

1.64

x

図 1.7 例題 5(3)の面積だけであるから, 0〜1.79 の面積から 0〜1.34 の面積を引けばよい.
よって,0.4633 − 0.4099 = 0.0534
が答えである.

(5) 以降も同様にグラフの面積を求める問題として考えれば分かる. 答
えは(5) 0.5 − 0.3508 = 0.1492(6) 0.5 + 0.3980 = 0.8980(7) 0.4418 + 0.4931 = 0.9349(8) 0.5 + 0.4554 = 0.9554(9) 0.4981 − 0.4370 = 0.0611
となる.

第1章

24

準備

y

O
y

1.34 1.79

x
y

＝

−

O

1.79

x

O

1.34

x

図 1.8 例題 5(4)結局, 確率を求める問題と言っても, 数表から持ってきた数値を図形の面積を考えながら足したり引いたりするものなので, 確率といえば順列組み合
わせと思っていた人には意外であろう.
さて, これで N (0, 1) に従う確率変数の計算は自由にできるようになった.
次は, 一般の N (µ, σ 2 ) の場合である. しかし, 実は, この計算は N (0, 1) の場合に帰着できる.

babababababababababababababab

確率変数 X が平均 µ, 分散 σ 2 の正規分布に従うとき, Z =とおくと, Z は標準正規分布に従う.

このとき, a < X < b となる確率は,

X −µ
σ

a−µ
b−µ
<Z<
となる確率と同σσ

1.4 正規分布

25

じである.
このことを証明するには置換積分を使えばできるが, とにかく, この Z への置き換えの練習をしてみよう.
問題 6 文部科学省の平成 19 年度学校保健統計調査によると, 17 歳女
性の身長は平均 158.0cm, 標準偏差 5.33cm である.

(http://www.mext.go.jp/b_menu/toukei/001/index03.htm)(1) ある 17 歳女性の身長が 162.5cm 未満である確率を求めよ.
(2) ある 17 歳女性の身長が 150.0cm 以下である確率を求めよ.
(3) ある 17 歳女性の身長が 155.0cm 以上 160.0cm 未満である確率を求めよ.

17 歳女性の身長を X とすると, Xyは N (158.0, 5.332 ) に従うというのが問題の設定. そして, 上記の公式か

X − 158.0
とおくと, Z は
5.33
N (0, 1) に従うことがわかる.

ら Z =(1) は X < 162.5 となる確率を求-1 O 0.81

めるのだが, これは Z でいうと Z <162.5 − 158.0, すなわち, Z < 0.84
5.33となる確率と同じである. これは例題

x

図 1.9 問題 6(1)5(6) と同じ方法で求められる. よって, 0.5 + 0.2995 = 0.7995 が求める答え
である.

(2) は X ≦ 150.0 となる確率を求め150.0 − 158.0
るのだが, これは Z ≦,5.33
すなわち, Z ≦ −1.50 となる確率と同yじである. これは例題 5(5) と同じやり方で, 0.5 − 0.4332 = 0.0668 が求める答えである.

-1 O 0.81
図 1.10 問題 6(2)

x

第1章

26

準備

なお, (1) が「未満」で, (2) が「以下」であるが, どちらでも考え方は変わらない. 1 ミクロンの違いもなくピッタ
リ 150cm である確率はゼロであると思ってもいいし, 境界の線一本の面積はゼロだと思ってもいい.
例題 5 のときも境界線を含むか含まないかは気にしていなかった. そもそyも, 確率が 42.8% であろうが, 43.1%
であろうが, (大抵の場合) その意味に違いはない. 統計の問題を考えるときは, 細かい数値にそんなに神経質になx-1 O 0.81
155.0 − 158.0
図 1.11 問題 6(3) ≦ Z <(3) は 155.0 ≦ X < 160.0 となる確率だが, これは5.33
160.0 − 158.0, すなわち, −0.56 ≦ Z < 0.38 となる確率と同じである. こ
5.33
れは例題 5(7) と同じやり方で, 0.2123 + 0.1480 = 0.3603 が求める答えでる必要はない.

ある.
問題 7 確率変数 X は平均 µ, 分散 σ 2 の正規分布に従うとする.

σσ< X < µ + となる確率を求めよ.
22(2) µ + 0.5σ < X < µ + 1.5σ となる確率を求めよ.
(1) µ −

(3) X > µ + 1.5σ となる確率を求めよ.
文字式で問題が与えられると抽象的で考えにくいかもしれないが, 記号も公式のままだから, 実は考えるところはない.

X −µ
とおくと, Z は N (0, 1) に従う.
σ(µ − σ2 ) − µ(µ + σ2 ) − µσσ(1) µ− < X < µ+ となる確率は,
<Z<
2
2
σ
σ
となる確率, すなわち, −0.5 < Z < 0.5 となる確率と同じだから, 例題 5(2)X が N (µ, σ 2 ) に従うから, Z =と同じやり方で, 2 × 0.1915 = 0.3830 が求める答えである.

1.4 正規分布27(2) µ + 0.5σ < X < µ + 1.5σ となる確率は,(µ + 0.5σ) − µ< Z <σ(µ + 1.5σ) − µとなる確率, すなわち, 0.5 < Z < 1.5 となる確率と同じだ
σから, 例題 5(4) と同じやり方で, 0.4332 − 0.1915 = 0.2417 が求める答えである.

(µ + 1.5σ) − µとなる確率, すσ
なわち, Z > 1.5 となる確率と同じだから, 例題 5(3) と同じやり方で,(3) X > µ + 1.5σ となる確率は, Z >0.5 − 0.4332 = 0.0668 が求める答えである.
以上の結果を, 左右対称であることを考慮して N (µ, σ 2 ) のグラフ上に表すと, 図 1.12 のようになるが, この分け方がまさに通知表の 5 段階評価に相µ − 1.5σµ − 0.5σ µ + 0.5σ µ + 1.5σ
µ
µ−σ
µ+σ

35

40

45

50

55

60

65

図 1.12 通知表

当する. 最近は中学校でも絶対評価をするようになってきたが, 相対評価をするときに「5 を 7%, 4 を 26%, 3 を 34%, 2 を 26%, 1 を 7%」と決められているのは, これを根拠にしている. しかし, 1 クラス 40 人程度のデータで

28

第1章

準備

は正規分布に従っているとみなすことに無理があるので, 単に成績の平均と標準偏差から通知表をつけるわけにはいかないだろう.
また, 図の下にあるように, µ の位置を「50」, µ + σ の位置を「60」のようにつけた数値で表したものが偏差値である. 通知表が 3 の人は偏差値が45〜55 であり, 通知表に 1 がつくのは偏差値が 35 以下の場合である. 偏差
値はマイナスにもなりうるし, 100 を越えることもありうる (確率は低いが).
偏差値はただ割り当てただけの数値だから, それを足したり掛けたりすることには全く意味がない. だから, 「偏差値の合計で順位をつける」のと「合計点の偏差値で順位をつける」のとでは後者の方が意味がある. ただ, これ
は単に「合計点で順位をつける」のと同じである.
平均点が同じで取った点が同じであっても, 標準偏差が違うと偏差値は異なる. それは最初の節で説明したように, 同じ平均点であっても散らばりが大きい場合と小さい場合があるので, 例えば, 自分の点数が平均点より 10 点
上で同じだったとしても, 散らばりが小さいときの方がその価値が高い, つまり, 偏差値が大きくなる. 平均点だけでなく標準偏差も知っていると, 平均だけで判断するよりも正確な判断ができるというのは当然その通りであるが, あくまでその集団でのデータから得られた数値であることに注意するべきである. つまり, 学校の定期試験での偏差値と全国模試での偏差値を比べるのはナンセンスだし, T 大模試での偏差値と K 大模試での偏差値を比較するのもナンセンスである.
問題 8 S 予備校の K 大模試は平均点が 80.3 点, 標準偏差が 5.7 点であった. 一方, T 予備校の K 大模試は平均点が 58.1 点, 標準偏差が10.3 点であった. S 予備校の模試を受けた A 君は 88 点, T 予備校の模試を受けた B 君は 75 点だった. どちらの予備校も優劣がないとす
れば, A 君と B 君とでは, どちらが優れていると考えられるか.
強いて挙げれば, このような状況なら偏差値にも意味があるだろう. S 予
備校の模試と T 予備校の模試はもちろん別々の集団のデータではあるが, ど1.4 正規分布

29

ちらも K 大志望者の集団なので受験生のレベルは同じであると思ってよい.
しかし, 模試問題の難易度は同じではないので, 当然平均点は異なる. だから, A 君が 88 点で B 君の 75 点よりも良いからといって A 君のほうが優秀であるとは簡単には言えない. だが, それを逆転するほど B 君がよいのかど
うかもやはりすぐには分からない. それを判断するためには何を計算すればよいのかということだが….

S 予備校の受験生から無作為に取り出した 1 人の学生の得点を X とX − 80.3
すると, X ∼ N (80.3, 5.72 ) である. よって, Z =
とおくと,
5.7
Z ∼ N (0, 1) である. A 君より順位が上である人の割合は, X > 88 とな
88 − 80.3
る確率, つまり, Z >= 1.35 となる確率と同じで, 表 [N] より,
5.7
0.5 − 0.4115 = 0.0885 となる.
同様に, T 予備校の受験生から無作為に取り出した 1 人の学生の得点を

Y − 58.1
とおく
10.3と, Z ∼ N (0, 1) である. B 君より順位が上である人の割合は, Y > 75 と
75 − 58.1なる確率, つまり, Z >= 1.64 となる確率と同じで, 表 [N] より,
10.3
0.5 − 0.4495 = 0.0505 である.
Y とすると, Y ∼ N (58.1, 10.32 ) である. よって, Z =ここで見るのは順位でも得点でもない. 上位何％の位置にいるかが問題で,上の結果から, A 君は上位 8.85% の位置にいて, B 君は上位 5.05% の位置にいることが分かる. つまり, B 君のほうが上である.
ちなみに, A 君の偏差値は, Z の値 1.35 から, 50 + 10 × 1.35 = 63.5 とな
り, B 君の偏差値は, Z の値 1.64 から, 50 + 10 × 1.64 = 66.4 となるので,これをみればどちらが上であるかは一目瞭然. この分かりやすさのせいで偏差値信仰が進行したのであろう.
、、
しかし, あくまでも偏差値はその集団の中で上位何％に位置するかを見る
ものなので, 「私の偏差値はいくつです」ということは一概には言えない. 例
えば, センター試験での偏差値と大学入試での偏差値は当然違う. ましてや,
偏差値の数値を足したり割ったりすることには, 全く意味がないということを理解しておいてほしい.

30

第1章

準備

1.5 母集団と標本何回も述べているように, 統計学とは多くのデータを扱うものである. こ
こまでは, その多くのデータにどのように対処すればよいかを述べたが, こ
こからは, データ全ては多すぎて手に入れられない状況で一部のデータしかないときに, どのようにして全体の様子を見るかということを考える. もち、、、ろん, 一部のデータだけでは, 全体の様子を完全に知ることはできないが, 一部のデータも全体のデータから選ばれているのだから, 全体の様子を知る手がかりにはなるはずである.
全体の全てのデータの集まりを母集団といい, 手に入れることができる母集団の一部のデータのことを標本という. 母集団の要素の個数のことを母集団の大きさといい, これを N と書くことにする. N は基本的に大きな数で,場合によっては無限大である可能性もある. 例えば, コインを何回か投げて
表裏の回数を調べるとか, コインでなくても何か (繰り返しが可能な) 実験のデータでもそうだが, 全てのデータを取り尽くすことはありえないので, この場合は N = ∞ に相当する. 一方, 標本の要素の個数は標本の大きさといい, これを n と書くことにする. 当然 n ≦ N であるが, 基本的には n は N
よりもかなり小さい. 例えば, 全ての国民から何かのデータを取るというような場合, N は国民の総人口ということになるが, 実際に全ての国民にアン
ケートを実施することはできないので, その一部のデータ, すなわち標本を選んで調べることになる. しかし, N = 1 億 に対して n = 9000 万 とかするのはナンセンスだ. そこまでできる状況にあるなら, 国勢調査のようにいっ
そ全数調査した方がいい. となると, 一般に n をどの程度にとればよいのかということになるが, それはこの調査にどれだけのコストをかけることができるかによって決めることになる. n が大きい方がより正確な結論が出せるが予算がかかるということは, 自然に納得できることであろう.
標本を選ぶことを標本の抽出というが, 標本抽出に関して一番重要なこと、、、、
は, 無作為に選ぶということである. 自分の意図に反するデータが出たので

1.5 母集団と標本

31

それを無視する, などとしていたのでは, 正しい結論に到達できないのは言
うまでもないだろう.
無作為に抽出する方法について, 乱数表に鉛筆を投げてその先端が指した数字を使うとかいうことまで説明している本もあるが, ここでそういうことを気にすることもないだろう. コンピュータで乱数でも出しておけばいい.
とにかく, そのようにして選ばれた結果が気に入らないとか言わないことである.
標本抽出の仕方に関して, もう一つ注意するべきことがある. それは, 復元
抽出と非復元抽出である. 復元抽出というのは一度選ばれた標本をまた母集団に戻してから二番目の標本を抽出するというやり方で, 非復元抽出というのは一度選ばれた標本を母集団に戻さないで二番目の標本を抽出するというやり方である. 復元抽出だと同じ標本が何回も選ばれる可能性があるから,抽出の方法として適切ではないような気がするかもしれないが, 非復元抽出の場合, 最初の標本が抽出されるときの母集団と二番目の標本が抽出される
ときの母集団は微妙ながら違っているので, 理論がややこしくなる. いっぺ
んに n 個の標本を選んでしまうのがよくあるやり方だと思うが, これは標本がダブらないので非復元抽出に相当する.
さて, 標本理論の目標は標本のデータから母集団の有様を知ることだが,まずここでは, 標本と母集団のデータの関係についての公式をみることにする.

32
第 1 章 準備babababababababababababababab

大きさ n の標本を X1 , X2 , . . . , Xn とするとき,
標本平均

X̄ =

X1 + · · · + Xn
n

標本の分散

S2 =

(X1 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2
X 2 + · · · + Xn2= 1−(X̄)2nn

これは記号を導入しただけだから特に説明することはないが, X1 とか X̄
とか S 2 とかは確率変数であることに注意しよう. 例えば X1 は最初に抽出された標本の値であるが, それがいくつであるかは抽出してみないと分からない. これは, サイコロを振る前にはいくつになるか分からない (が全く勝
手な値を取りうるわけでもない), と言っているのと同じで, そういう意味で確率変数である. 一方, 母集団の平均や分散, 標準偏差のことをそれぞれ母平均, 母分散, 母標準偏差というが, これらは決まった数値であり確率変数ではない.

babababababababababababababab

母平均 µ, 母分散 σ 2 , 大きさ N の母集団から大きさ n の標本を

σ2
である.
n
n
−
1
S 2 の平均はσ 2 である.
n
N − n σ2
非復元抽出したとき, X̄ の平均は µ, 分散は·である.
N −1 nN
n−1 2
S 2 の平均は·σ である.
N −1n

復元抽出したとき, X̄ の平均は µ, 分散は

1.5 母集団と標本33

これが公式であるが, 例えば「X̄ の平均は µ」というのがどういう意味だ、、
か理解できるだろうか. つまり, この文の文字を言葉で書くと「標本平均の、、、、平均は母平均」となるが, この 3 つの『平均』の違いを理解してほしい.
例題 9 4 個の数 1, 3, 9, 11 からなる大きさ 4 の母集団がある. この母集団から復元抽出される大きさ 2 の標本を考える. 以下のものをそれぞれ求めよ.

(1) 母平均, 母分散.
(2) X̄ の平均, 分散.
(3) S 2 の平均.
大きさ 4 の母集団から大きさ 2 の標本を抽出するなんて事実上意味がな
いが, 公式にあてはめるだけなら簡単である.

(1) 母平均はµ=

1 + 3 + 9 + 11
=6
4

(A)

母分散は

12 + 32 + 92 + 112− 62 = 174σ217(2) X̄ の平均 = µ = 6, X̄ の分散 =
=
2
2
σ2 =

(3) S 2 の平均 =

2−1 2
17
σ =
2
2

ここで (2) の X̄ について考えてみよう. X̄ は標本の平均であるが, 標本はい
ろんな値をとるので, X̄ もいろんな値をとる. 例えば, 最初の標本の値が 9で 2 番目の標本の値が 3 のときは,

X̄ =

9+3
=6
2

(B)

である. X1 , X2 の全ての組み合わせに対して求めてみると, 表 1.5 のように
なる.

第1章

34
X2
X1

1

3

9

11

1

1

2

5

6

3

2

3

6

7

9

5

6

9

10

11

6

7

10

11

準備

表 1.5 復元抽出の場合の X̄

これが X̄ である. よって, その平均は

1 + 2 + 5 + 6 + 2 + 3 + 6 + 7 + 5 + 6 + 9 + 10 + 6 + 7 + 10 + 11
=6
16
(C)
となるが, これが母平均 µ に等しいというのが, 公式の意味するところであ、、 、、、、る. 上に述べた「標本平均の平均は母平均」で言えば, 最初の『平均』は 2 で割っている (B) のこと, 次の『平均』は 16 で割っている (C) のこと, 最後の『平均』は 4 で割っている (A) のことである.
同じように (3) の S 2 を求めると, 表 1.6 になるので, S 2 の平均は
X2
X1

1

3

9

11

1

0

1

16

25

3

1

0

9

16

9

16

9

0

1

11

25

16

1

0

表 1.6 復元抽出の場合の S 2

0 + 1 + 16 + 25 + 1 + 0 + 9 + 16 + 16 + 9 + 0 + 1 + 25 + 16 + 1 + 0
17
=
16
2
となるが, これが公式のようになるということである.

1.5 母集団と標本35

平均の場合は, X̄ の値は母平均 µ を中心に散らばっているが, 分散の場合
は, S 2 の値は母分散 σ 2 を中心に散らばっているわけではなく, 少しずれた

n−1 2
σ を中心に散らばっていることになる. これはあまり美しくないのnで, 不偏分散 U 2 をbabababababababababababababab

U2 =(X1 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2n−1と定義すると, (復元抽出のとき) U 2 の平均はちょうど σ 2 になる. このため, S 2 ではなく, U 2 のことを標本分散と呼ぶ.

babababababababababababababab

母平均 µ, 母分散 σ 2 , 大きさ N の母集団から大きさ n の標本を復元抽出したとき, 標本分散 U 2 の平均は σ 2 である.
非復元抽出したとき, 標本分散 U 2 の平均はN
σ 2 である.
N −1

問題 10 例題 9 と同じ状況で, 非復元抽出の場合について(1) X̄ の平均, 分散.
(2) S 2 の平均, U 2 の平均.
をそれぞれ求めよ.
公式にあてはめるだけで簡単である.

17
2 σ2
=
(1)X̄ の平均 = µ = 6, X̄ の分散 =3 2
3
4 2−1 234
468
22(2)S の平均 =σ =, U の平均 =
σ2 =
4−1 2
3
4−1
3

第1章

36

準備

これも X̄ を求めてみると, 表 1.7 のようになる. 非復元抽出なので,

X1 = X2 の場合がないことに注意しよう.
X2
X1

1

3

9

11

1

×

2

5

6

3

2

×

6

7

9

5

6

×

10

11

6

7

10

×

表 1.7

非復元抽出の場合の X̄よって, X̄ の平均は

2 + 5 + 6 + 2 + 6 + 7 + 5 + 6 + 10 + 6 + 7 + 10=612となるが, これが母平均 µ に等しいという公式であった. U 2 などの表を作って公式を確かめることは, 各自試みてほしい.
問題 11 2000 個の部品の重さが平均 22.4g, 標準偏差 4.8g のとき, この母集団から大きさ 36 の標本を抽出する. 標本抽出が(1) 復元抽出の場合,(2) 非復元抽出の場合,のそれぞれについて, 標本平均の平均, 標本平均の標準偏差, および標本分散の平均を求めよ.
また, 母集団の大きさが 72 個の場合について同じことを求めよ.
公式にあてはめると, 母集団の大きさが 2000 の場合は

r(1) 標本平均の平均は 22.4g. 標本平均の標準偏差は本分散の平均は 4.82 = 23.04 である.

4.82
= 0.8(g). 標
36

1.6 標本平均の分布37r1964 4.82(2) 標本平均の平均は 22.4g. 標本平均の標準偏差は·=1999 36
2000 20.79(g). 標本分散の平均は
4.8 = 23.05 である.
1999
母集団の大きさが 72 の場合は

r

4.82
= 0.8(g). 標
36
本分散の平均は 4.82 = 23.04 である.
r
36 4.82(2) 標本平均の平均は 22.4g. 標本平均の 標準偏差は
·
=
72 36
72
0.57(g). 標本分散の平均は 4.82 = 23.36 である.
71

(1) 標本平均の平均は 22.4g. 標本平均の標準偏差は

この結果を見ると, (1) はどちらでも全く同じだが, 上の 3 つの場合はほぼ同じ値で, 大きく値が異なるのは最後の場合だけである. つまり, 母集団の大きさが標本の大きさに比べてそれほど大きくなく, かつ, 非復元抽出の場合のみ答えが違ってくる. 逆に言うと, 母集団の大きさが標本の大きさに比べてかなり大きい場合は, 復元抽出でも非復元抽出でもほとんど違いがないので,実際には非復元抽出であっても復元抽出だと思ってよいということになる.

1.6 標本平均の分布
前節では, 母集団と標本の関係について学んだ. 極端な場合として, 例題 9では, 大きさ 4 の母集団から大きさ 2 の標本を抽出するという場合を扱ったが, 実際問題としてこういう状況はありえない. 母集団の大きさがそれほど大きくないのなら, わざわざ標本抽出はしないだろう. よって前々節で説明したように, 現実の統計処理の問題では, 母集団の大きさは非常に大きく, 正
規分布に従うとみなすことができる. つまり, 実用上, 母集団は正規分布に従うと仮定してもかまわないのである. すると, 前提条件が多くなったので,結論も少し強いことが言える.

38
第 1 章 準備babababababababababababababab

母集団が平均 µ, 分散 σ 2 の正規分布に従うとき, 大きさ n の標本の標本平均 X̄ は平均 µ, 分散σ2の正規分布に従う.
n

前節の最後で述べたように, 大きさが無限に大きい正規母集団 (母集団が正規分布に従うとき, 正規母集団という) からの抽出の場合は, すべて復元抽出とみなしてよいので, X̄ の平均が µ で分散が σ 2 /n になることはすでに知っている. ここで言いたいことは, X̄ の分布が正規分布であることまで分かるということである. 母集団が正規分布に従うという前提条件が増えたので, X̄ についてより詳しいことがわかるようになったというわけである.
実は, 母集団が正規分布に従わないときにも, X̄ は n が大きいとき正規分
布で近似できることが知られている. このことは『中心極限定理』と呼ばれる確率論での重要な定理である.
とにかく, X̄ の分布がわかるので, その確率を計算することができる.
問題 12 ある会社で製造されている玉の直径は平均が 8.00mm, 標準
偏差が 0.80mm の正規分布に従うとする. 製品の一群からとられた

16 個の玉の直径の平均が(1) 7.90mm と 8.10mm の間にある(2) 8.20mm より長い
(3) 7.70mm より短いとなる確率を求めよ.
問 題 の 仮 定 は, 母 集 団が N (8.00, 0.802 ) に 従 う(1)yということ. 標本平均 X̄
は, N (8.00, 0.802 /16) =x

1.6 標本平均の分布
N (8, 0.22 ) に従うので, 1.4
節の要領で,Z=

X̄ − 80.2とおくと Z ∼ N (0, 1) となる.

(1) は 7.90 < X̄ < 8.10となる確率を求める の だ が , こ れ は,

−0.5 < Z < 0.5 となる確率 と 同じ で,
そ れ は 表 [N] か ら,

2×0.1915 = 0.3830と分かる.

(2) は X̄ > 8.20 と なる確率だが, これは,Z > 1 となる確率と同じで, それは表 [N] から, 0.5 − 0.3413 = 0.1587 と分かる.

(3) は X̄ < 7.70 と なる 確 率 で, こ れ は

Z < −1.5 となる確率と同じで, 表 [N]から, 0.5−0.4332 =0.0668 となる.

問題 13 上の問題を 64 個の標本をとった場合について解け.

39

第1章

40
問題の仮定は同じで, 母

(1)

y

2

集 団 は N (8.00, 0.80 ) に従う. よって標本平均 X̄
は, N (8.00, 0.802 /64) =N (8, 0.12 ) に従うので,
Z=

-1 O
y

X̄ − 80.1とおくと Z ∼ N (0, 1) と

x

1

(2)

なる.

(1) は 7.90 < X̄ < 8.10となる確率を求める の だ が , こ れ は,O

−1 < Z < 1 とyなる確率 と 同じ で,

2

x

(3)

そ れ は 表 [N] か ら,

2×0.3413 = 0.6826と分かる.

(2) は X̄ > 8.20 と なる確率だが, これは,-3O
図 1.14 問題 13

Z > 2 となる確率と同じで, それは表

[N] から, 0.5 − 0.4772 = 0.0228 と分かる.
(3) は X̄ < 7.85 と なる 確 率 で, こ れ は

Z < −3 となる確率と同じで, 表 [N] から, 0.5 − 0.4987 =0.0013 となる.

x準備

1.7 演習問題

41

標本平均は分散が σ 2 /n なので, もとの母集団よりも『散らばり具合』が小さい. しかも, n が大きくなるとさらに小さくなる. 上の問題の (1) のように母平均の近くの値を取る確率は, 標本の大きさが大きいと大きくなり, (2)(3)、、のように分布のすその値を取る確率は, 標本の大きさが大きいと小さくなる.
つまり, n が大きくなるにつれて, 標本平均の値は母平均の近くに集まってくるのである. このことは, 確率論では『大数の法則』として知られている.
注意

この節では,

X̄ ∼ N

µ,

σ2
n



という公式を学んだわけだが, この公式を使った次の行は, いつでもX̄−µ√ とおくと, Z ∼ N (0, 1)
Z = σ/nである. そこで, 最初からそれを見越して, ここではbababababababababababababababX̄ − µ√ ∼ N (0, 1)
σ/ nという公式を学んだということにしておく.

1.7 演習問題
1

3 つのクラスの平均点はそれぞれ 79 点, 74 点, 82 点だった. 各クラスの学生数はそれぞれ 32 人, 25 人, 17 人である. 全体の平均を求めよ.

2

ある会社の従業員の平均月収は 50 万円である. 男子の平均月収は 52

万円, 女子の平均月収は 42 万円であった. この会社の男子と女子の従業員の割合を求めよ.

第1章

42
3

準備

ある畑で収穫された作物から 36 個を取り出し, 重量 (単位はグラム)を測定して次の結果を得た.

146.6
161.5
157.9
156.2
151.7
148.8

155.3
170.8
143.0
157.3
137.3
143.4

136.2
156.0
153.7
150.2
154.8
155.0

151.9
158.1
151.2
145.7
141.7
159.3

162.7
142.3
167.2
161.1
151.4
158.1

153.3
154.0
146.9
156.3
150.7
147.5

(1) 135g から始まる級間隔 5g の度数分布表を書け.
(2) (1) を用いて平均, 標準偏差を計算せよ.
(3) 平均, 標準偏差を度数分布表を用いずに計算せよ.
4

ある試験の成績の最上位 15% は「優」であり, 次の 50% は「良」, その次の 30% が「可」で, 残りの 5% が「不可」の評価を受けるとする.
試験の点数が, 平均 64.7 点, 標準偏差 19.7 点 の正規分布に従うとするとき, 次の問いに答えよ.

(1) この試験で 83 点 をとった A 君の成績は何か.
(2) この試験で 48 点 をとった B 君の成績は何か.
(3) 優の評価を受けるための最低点は何点か.
(4) 不可の評価を受けないための最低点は何点か.
5

次の表は, 平成 17 年度センター試験の結果の一部である.

科目名

受験者数

平均点

最高点

最低点

標準偏差

現代社会

198,746

70.22

100

0

12.41

数学・数学Ａ

370,156

69.43

100

0

22.98

英語

520,048 116.18
200
0
37.98
(http://www.dnc.ac.jp/modules/center_exam/content0096.html
から抜粋)

1.7 演習問題

43

A 君は現代社会で 78 点, 数学・数学Ａで 79 点, 英語で 137 点だった. 彼は,
この 3 科目のうちで, どの科目の成績が一番よかったといえるか.

6

52 枚のトランプから 5 枚のカードを抽出する. 次のものを求めよ.
(1) 52 枚のカードの数字の平均 µ と標準偏差 σ.
(2) 復元抽出の場合, 抽出されたカードの数字の標本平均 X̄ の平均と標準偏差. 抽出されたカードの数字の標本分散 U 2 の平均.

(3) 非復元抽出の場合, 抽出されたカードの数字の標本平均 X̄ の平均と標準偏差. 抽出されたカードの数字の標本分散 U 2 の平均.

7ある店で発送される商品の重さは, 平均 30kg で標準偏差が 5kg の正規分布に従う. 積載容量 780kg のエレベーターにその商品をのせる場合, 任
意に到着した 25 個がそのエレベータの容量を越える確率はいくらか.

45

第2章

推定
昔から, 統計学といえば推定と検定の二本柱と言われている. この章では,その最初の柱, 推定理論について解説する.
推定というのは, 母集団のある特性値 (平均や分散など. 母数という) を標
本を基に推測することである. 母集団のデータが全て分かればその母数も分かるわけだが, 全部のデータを得ることができないので, その一部分である
標本のデータから求める. もちろん, 一部分しか知らないのだから, 完璧に母数が決められるわけではない. それに, 標本がたまたま偏った値を選んでしまっている可能性もあるので, 推測したその値が的外れになっている可能性もある. 統計で言う推定は, 偶然のせいで間違った答えを出す確率を常に持っていることに注意しておこう.

2.1 区間推定
まず初めに, 推定のうちで, 幅を持って推測する区間推定を解説する. ある
母数を「いくつからいくつの間に何％の確率で入っている」という形で推測するのである. しかし, 例えば「日本人の平均寿命は 1 歳から 100 歳の間」のような広い幅では (100% 当たっているかもしれないが) 意味はない. また, 「これこれの範囲に 50% の確率で入っている」などと言われても, (入っ

第2章

46

推定

ていない確率も 50% だから) 推測の意味がない. 90% とか 99% とかの高い確率で, ある程度狭い範囲を指定してこそ, 推定の意味がある. もちろん, この結果も 10% とか 1% の確率で間違っている可能性はある.

2.1.1 平均の区間推定 (母分散が既知の場合)
まず, 最も基本的な場合をそっけない例題で解説する.
例題 14 平均未知, 標準偏差 4 の正規母集団から 100 個の標本を抽出したところ, その平均は 5.7 であった. 母集団の平均の 95% 信頼区間を求めよ.
言うまでもないことだが, 問題文の「平均未知」という『平均』は母平均のことで, 「平均は 5.7 であった」の『平均』は標本平均のことである.
母集団が N (µ, 42 ) に従うとして, そこから 100 個の標本を抽出したとす
ると, 前節最後の公式によって,X̄ − µ√∼ N (0, 1)
4/ 100が成り立つ. 「標本平均は 5.7 であった」とあるので, X̄ = 5.7 を代入した、
くなるかもしれないが, それは後回し. 100 個の標本を取り出す前と思って,この式を眺めてみよう.
今から 100 個の標本を取り出すが, どの 100 個を取り出すかは分からないので, X̄ はいくつになるか分からない. しかし, N (µ, 42 ) から取り出す標本なのだから, 全くいくつになるか予測もつかないということはない. (これは単に「X̄ は確率変数である」と言うことを説明しているだけである. ) 一方,µ がいくつであるかは知らない (だから今それを求める問題をやっている).
しかし, µ はある数値である. 値は知らないが, ある決まった数値である.
わざとややこしく説明しているみたいになってしまっているかもしれないが, 問題文から X̄ = 5.7 だが X̄ はいくつになるか分からない方で, 母平均 µ2.1 区間推定

47は未知だが µ はある決まった数値. つまり, µ ではなく X̄ のせいで, 左辺のX̄−µ√はいろんな値を取る可能性がある (＝確率変数である).
4/ 100

その『いろんな値』をとる確率は分かっていて, それが N (0, 1) である, というのが, この式の意味である.
具体的には, 表 [N]yより−1.96 <

X̄ − µ√< 1.96
4/ 100N (0, 1)となる確率が 95% で95%あるということが分かる.
さて, 100 個の標本を抽出したら X̄ = 5.7

O

-1.96

だったので, この不等図 2.1

式に X̄ = 5.7 を代入

1.96

例題 14

した

−1.96 <

5.7 − µ√< 1.96
4/ 100は 95% の確率で正しい. 逆に言うと, 5% の確率で間違った式である. 数学
で「1 + 1 = 2」とか「(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 」などと式を書けば, それは100% 正しいものだが, 今の式は『95% の確率で正しい』というあやふやな(?) 式である.
ところで, この不等式を

5.7 − 1.96 × √4
4< µ < 5.7 + 1.96 × √100
100と変形しても, やはり, 95% の確率で正しい式である. つまり, これを計算した

4.916 < µ < 6.484

x

第2章

48

推定

は 95% の確率で正しい.
これで, 未知であった µ を, 95% の確率で 4.916 から 6.484 の間に入っていると推測することが出来た. これが区間推定であり, これを µ の 95% 信頼区間と呼ぶ.
問題 15 ある会社の電球の寿命の標準偏差は 40 時間である. 250 個の電球の寿命を計測したところ, 平均 824 時間であった. 全ての電球の寿命の 90% 信頼区間を求めよ.
前問で, 母集団の平均が分かってないのに分散が分かっているというのが不自然だと感じた人がいるかもしれないので, このような問題設定を作ってみた. 標準偏差とは値の『散らばり具合』を表すので, 今の問題設定だと製造された電球の寿命のばらつき具合を表していることになる. 寿命の長いのが時々あっても文句は言われないだろうが, 寿命が短いのが時々あったらメー
カーの信頼に関わるだろう. つまり, 平均寿命が長いかどうかは電球の性能の問題だが, 製品ごとのばらつき具合はその会社の製品の品質の問題である.
よって, 標準偏差が決まっているとして平均寿命を測定するという, この設定の不自然さも少ないのではないだろうか.
懸命に言い訳を書き並べてみたが, 解答する上では, 電球の寿命だろうが

17 歳女性の身長だろうが, なんら関係ない. 解答は次のようになる.
母集団は N (µ, 402 )yに従うので,

X̄ − µ√∼ N (0, 1)
40/ 250

N (0, 1)である. 表 [N] より,

90%X̄ − µ√−1.64 <
< 1.6440/ 250が 90% の確率で成り

x

O
-1.64

図 2.2

例題 15

1.64

2.1 区間推定49

立つ. よって−1.64 <

824 − µ√< 1.6440/ 250は 90% の確率で正し
い. 故に

40
40
824 − 1.64 × √< µ < 824 + 1.64 × √
250
250

つまり,

820 < µ < 828
が 90% 信頼区間である.

2.1.2 平均の区間推定 (母分散が未知の場合)
次に, 同じように母平均を区間推定するが, 母分散 σ 2 が分かっていない場合を扱う. 問題 15 で, σ が分かっているのに µ が分からないという状況もありうると説明したが, やはりそれは不自然さがある. それに, 母平均が未知で母分散も未知ということは, 母集団について何も分かっていない (データの数が多いので正規分布であるとみなすことができることだけ分かっている) ことになる. この方がより自然であることは確かだろう.
さて, この場合は使う公式が違うのだが, さっそくそれを提示する.
babababababababababababababab

平均 µ の正規母集団から大きさ n の標本を抽出したとき, 標本平均を X̄, 標本標準偏差を U とすると,分布に従う. これを,と表す.

X̄ − µ√ は自由度 n − 1 の t
U/ nX̄ − µ√ ∼ tn−1
U/ n

第2章

50

推定

突然, 『t 分布』という聞きなれない言葉が登場したので, まず, それを説明しよう.
■スチューデントの t 分布∗

ここまで『分布』といえば正規分布しか登場してこなかったが, 第 1.3 節で述べたように, 分布というものはたくさんある. t 分布もそのひとつで, 自由度 n の t 分布 tn の密度関数は1 Γ( n+1
2 )f (x) = √nπ Γ( n2 )1
2
1 + xn n+12となるようなものである. 式中に Γ 関数が出てきたりして難しそうに見えるが, それはこの際関係ない. これをグラフに描くと図 2.3 のようになる. このグラフと x 軸で囲まれる図形の面積は, もちろん 1 である. 正規分布と同

y

O

x

図 2.3 スチューデントの t 分布

じで, y 軸に関して左右対称で, x → ±∞ で x 軸に漸近している. 一見, 正∗ 『スチューデント』は『学生』のことではなくて, 統計学者の William Sealy Gosset がStudent のペンネームでこの分布のことを発表したため, この名前が付いている. t 分布の『t』がどこから来ているかは諸説あってはっきりしない.

2.1 区間推定51

規分布に似ているが, もちろん違うグラフである. また, パラメータ n を含んでいるので, n が異なると違うグラフになる. しかし, n が異なっても, やはり y 軸に関して左右対称の一つ山で, x → ±∞ で x 軸に漸近しているところも同じなので, 見た目, 形は同じである.
とにかく, 図 2.3 のようなグラフに tn という名前が付けられている, とだ
け思ってくれればいい. これが, t 分布である.
さて, 冒頭の公式を用いて例題を解いてみよう.
例題 16 成人女性 15 人の尿中の尿酸値を調べたところ, その平均値
は 4.4g/dℓ, 標準偏差は 0.59g/dℓ であった. 平均尿酸値の 90% 信頼区
間を求めよ.
母集団の平均 µ を未知数として, 公式を適用すると,X̄ − µ√ ∼ t14U/ 15となる. 問題文から X̄ = 4.4 と U = 0.59 だが, 例題 14 と同じように, それは後回しにしておく.
X̄−µ√
左辺の U/
は, や
15y

はり確率変数であるが, その分布が t14 とい う こ と な の で, 表

[T] より,−1.7613 <90%X̄ − µ√ < 1.7613
U/ 15となる確率が 90% であることが分かる.
これに X̄ = 4.4 と-2.3060O
図 2.4

2.3060
例題 16

x

第2章

52

推定

U = 0.59 を代入した−1.7613 <4.4 − µ√ < 1.7613
0.59/ 15は 90% の確率で正しいから, これを変形した

0.59
0.59
4.4 − 1.7613 × √ < µ < 4.4 + 1.7613 × √15
15
も 90% の確率で正しいことが分かる. よって,

4.1 < µ < 4.7
が 90% 信頼区間である.
問題 17 ある島の原住民 9 人の上左側犬歯の長さを調べたところ, 次のようであった. (単位は mm)

27.2, 29.3, 29.1, 26.0, 27.2, 24.6, 30.2, 27.6, 25.6
上左側犬歯の長さの平均の 95% 信頼区間を求めよ.
これも, 母集団の平均を µ として, 公式を適用すると,X̄ − µ√ ∼ t8U/ 9となる. よって表 [T] より,−2.3060 <X̄ − µ√ < 2.3060
U/ 9となる確率が 95% であることが分かる.
問題文のデータから X̄ = 27.422, U = 1.8539 と求まるが, これを代入した−2.3060 <27.422 − µ√ < 2.3060
1.8539/ 9

2.1 区間推定

53

は 95% の確率で正しいから, これを変形した

27.422 − 2.3060 ×

1.85391.8539√< µ < 27.422 + 2.3060 × √99も 95% の確率で正しいことが分かる. よって,26.0 < µ < 28.8
が 95% 信頼区間である.
注意

この問題のデータは問題 1(4) と同じものだが, ここでは『標本標準偏差 U 』を使うので, 問題 1(4) で求めた『標準偏差』とは値が異なる. 同じ『標準偏差』の値を使うなら, U ではなくて S ということになるので, 公式は,X̄ − µ√∼ tn−1
S/ n − 1になる.

例題 18 全国一斉に数学のテストが行なわれた. 受験生から 120 人を抽出したところ, 平均 58.3 点, 標準偏差 12.4 点であった. 全受験生の得点の平均値の 90% 信頼区間を求めよ.
これも同じように, 母集団の平均を µ として, 公式を適用すると,X̄ − µ√∼ t119
U/ 120となるが, 表 [T] には t119 の値は書いてない. 実は, n > 30 のときは, tn を

N (0, 1) で近似できる. このことは, 第 1.4 節で述べた「データが多いと何でも正規分布で近似できる」(＝「中心極限定理」) に相当することであり, 表[T] の n = ∞ の欄に載っている数値は N (0, 1) の数値と同じである. 結局,

54
第 2 章 推定bababababababababababababababn > 30 のとき,X̄ − µ√ は N (0, 1) に従う
U/ nとしてよい. この公式は, 前節の公式において,σ が未知の場合でも, n > 30 のときはX̄ − µ√ ∼ N (0, 1) の σ を U で
σ/ n

代用できる
と理解してもよい.
このことを利用する

yとX̄ − µ√∼ N (0, 1)
U/ 120N (0, 1)

であり, 表 [N] より,

90%X̄ − µ√< 1.64−1.64 <
U/ 120が 90% の確率で成り立つ. よって−1.64 <

xO

58.3 − µ√< 1.6412.4/ 120

-1.64

図 2.5

例題 14

1.64

は 90% の確率で正し
い. 故に

12.4
12.4
58.3 − 1.64 × √< µ < 58.3 + 1.64 × √
120
120

つまり,

56.4 < µ < 60.2
が 90% 信頼区間である.

2.1 区間推定

55

2.1.3 分散・標準偏差の区間推定
ここでは, 母集団の標準偏差 (または分散) を区間推定する方法を述べる.
実を言うと, 母標準偏差の区間推定は区間の幅が広くなってしまうので, 実
際にはそれほど使われることはない. しかし, 母平均の区間推定の次の区間
推定となれば, これを挙げるのが自然であろう. これも, さっそく公式を提示
する.

babababababababababababababab

分散 σ 2 の正規母集団から大きさ n の標本を抽出したとき, 標本分
散を U 2 とすると,
これを,(n − 1)U 2
は自由度 n − 1 の χ2 分布に従う.
σ2(n − 1)U 2∼ χ2n−1σ2と表す.

χ2 分布がいきなり登場するのは敷居が高いかとも思ったが, 前節の t 分布と同じ程度の理解でいいから, 心配する必要はない.
■χ2 分布χ2 分布は「カイ二乗 (または自乗) 分布」と読む. X や x では

なくて, ギリシャ文字の χ(カイ) である. 「カイ分布」や「カイ三乗分布」というものはないから, 「χ2 」でひとつの文字のようになっているという,ちょっと変わった名前の分布である. さて, χ2n の密度関数は

x 2 −1 e− 22n/2 Γ(n/2)
nf (x) =xで, やはり式中に Γ 関数が出てきているが, これも気にすることはない. これをグラフに描くと図 2.6 のようになる. x が 0〜∞で定義されていて ,x → ∞ で x 軸に漸近している. ここまで登場した正規分布も t 分布も左右

第2章

56

推定

y

x

O
図 2.6 χ2 分布

対称の分布だったが, この χ2 分布は対称ではないことに注意. もちろん, このグラフと x 軸で囲まれる面積は 1 である.

t 分布と同じで, 自由度と呼ばれるパラメータ n が含まれているので, n が異なると違うグラフになる.
図 2.7 を見ると, χ21 と χ22 は他のに比べて原点付近の有様が図 2.6 と少し違うが, この際そういうことも気にしないでよい. とにかく, 図 2.6 のようなグ
ラフに χ2n という名前が付けられている, とだけ思ってくれればいい. これが, χ2 分布である.
例題 19 ある会 社で 生 産して い る ね じ 10 個の 直径 の 標準 偏差は1.20mm であった. この会社のすべてのねじの直径の標準偏差の90% 信頼区間を求めよ.

2.1 区間推定57yχ22 χ21
χ23
χ25
χ27

x

O
図 2.7 χn 毎のグラフ

母集団の標準偏差を未知数 σ とおいて, 公式を適用すると,

9U 2
∼ χ29
σ2
となる. 問題文から U = 1.20 だが, やはり, これを代入するのは後回しにし
ておく.

9U 2
は (σ ではなく U のせいで) 確率変数であるが, その分布が
σ22
χ9 ということなので, 表 [X] より,
左辺の3.325 <

9U 2
< 16.919
σ2となる確率が 90% であることが分かる.
これに U = 1.20 を

y

代入した

3.325 <

9 × 1.202< 16.919
σ2

90%

第2章

58

推定

は 90% の確率で正しいので, これをr

9 × 1.202<σ<
16.919r

9 × 1.202
3.325と変形しても, やはり

90% の確率で正しい.
よって,0.8752158 < σ < 1.97427
が 90% 信頼区間である.
注意

t 分布の時と同じように, n が大きいとき, χ2 分布は正規分布で近似できる. 具体的には, X ∼ χ2n (n > 100) に対してP (X > x) = α となる x は, Z ∼ N (0, 1) に対して P (Z > z) = α と√なる z を用いて, x = 12 (z + 2n − 2) で求められる.

2.1.4 比率の区間推定
この節では, 母集団が 2 つの値しかとらない場合を扱う. 2 つしか値がないので, それらがどんな割合であるかを知ればよい. 説明のために, 2 つの値を「成功」
「失敗」と呼ぶ. 母集団の成功の割合 (比率) を p (0 ≦ p ≦ 1), とすると, 失敗の比率は 1 − p となる. 標本の成功の割合 (比率) を P (0 ≦ P ≦ 1)と書くことにする.
ここで, 「成功」を「1」, 「失敗」を「0」とすると, 実は, 比率は平均と同じになる. よって, 標本平均のときと同じような公式が得られる.

2.1 区間推定
59babababababababababababababab

比率 p の無限母集団から取り出された大きさ n の標本の比率 P の
平均は p, 分散はp(1 − p)である.
n比率の問題の場合, データを集めやすいので, 第 2.1.2 節のような小標本は事実上, 考えることはないであろう. よって, 第 1.6 節と同じ理由で正規分布に従うとみなしてよいので, n が十分大きいとき, 比率 p の無限母集団から取り出された大きさ n の標本の比率 P は平均は p, 分散
布に従うとみなすことができる.

p(1 − p)の正規分
n

第 1 章の最後に注意したのと同じように正規分布を標準正規分布に変換することにより, 結局bababababababababababababababp

P −pp(1 − p)/n

∼ N (0, 1)という公式があるとしてよい.
注意

P は 0 ≤ P ≤ 1 だが, この間の全ての数値を取るわけではない. P の値は 1/n ずつ飛びとびで値をとることしかできない. つまり, 26 ページで述べたような「1 ミクロンの違いもなくピッタリの値となることはないので, 等号の有無は気にしない」という状況ではな
いことになる.

1/n ずつなら飛び飛びでも構わないというくらい n が大きければ問題ないが, それが気になるほどだったら, 連続性補正を行うことがある. 詳しくは, 106 ページを参照せよ.

第2章

60

推定

例題 20 ビデオリサーチ社の視聴率調査は, 首都圏では 600 世帯に対して行われている. ある番組の視聴率が 10% と発表されたときの全視聴者に対する視聴率の 90% 信頼区間を求めよ.
全視聴者に対する視聴率を p とすると, 公式より p

N (0, 1) となり, P = 0.10 なので, 表 [N] より,−1.64 < p0.10 − pp(1 − p)/600< 1.64P −pp(1 − p)/600∼(A)が 90% の確率で成り立つ.
ここまでは今までと同じで, 後はこれを p について解くだけである. p が√の中にあったりして難しいが , とにかくこれを解いて,vv
u 0.10(1−0.10)
u 0.10(1−0.10)
1.642
2
u
u
+
+
1.64
1.64
600
4×6002
600
t
0.10+
−1.64
< p < 0.10++1.64t2
1.64
1.6
2 × 600
2 × 600
1 + 600
1 + 60(B)
2

は 90% の確率で正しい.
よって,0.08207 < p < 0.1224066
が 90% 信頼区間である.

(A) を解くのは難しかったので, (B) について, 少し考えてみよう. まず最2

1.64
初の方の 0.10 + 2×600の部分に注目すると, 600 は標本の大きさであり, 標

本の大きさはいつも大きいから, 2 番目の項は最初の項に対して, かなり小さい.
次に, √の分子の0.10(1−0.1)
1.642+ 4×600
2 の部分に注目すると, 最初の項は分600
2

母が 600 で, 2 番目の項は分母が 600 なので, 2 番目の項は最初の項に対して, かなり小さい.
2

そして, √の分母の 1 + 1.64
600 の部分に注目すると, やはり 600 が大きいから, 2 番目の項は最初の項に対して, かなり小さい.

2.1 区間推定61

つまり, これらを無視して 0 に置き換えて, (＊＊) 式をs0.10 + 0 − 1.64s

0.10(1−0.10)+0600< p < 0.10 + 0 + 1.64

1+0

0.10(1−0.10)
+0
600

1+0

としても, 値はたいして変わらないことになる.
ところが, この式は, (＊) の代わりに−1.64 < p0.10 − p0.10(1 − 0.10)/600< 1.64を p について解いたものになっている.
よって, 最初から (＊) の√の中にある p を P で置き換えて解いても大差ない結果が得られることがわかる. ちなみに, このように簡易化して解いた
答えは0.080 < p < 0.120である.
問題 21 2000 人の有権者に対して, アンケートをとったところ, 現内閣を支持する人が 762 人であった. 全有権者についての支持率の 99%
信頼区間を求めよ.
全有権者についての支持率を p とすると, 公式より pP −pp(1 − p)/2000

N (0, 1) となり, P =762= 0.381 なので, 表 [N] より,
2000

0.381 − p
−2.58 < p
< 2.58p(1 − p)/2000
が 99% の確率で成り立つ. これは−2.58 < p0.381 − p0.381(1 − 0.381)/2000< 2.58

∼

第2章

62

推定

として計算してよいので,

r
0.381 − 2.58

0.381 × 0.619< p < 0.381 + 2.58
2000

r

0.381 × 0.619
2000

は 99% の確率で正しい.
よって,0.353 < p < 0.409
が 99% 信頼区間である.

2.1.5 平均の差の区間推定
ここまで区間推定を行ってきて, 問題の状況に応じて使う公式は異なるものの, その考え方は全く同じであることは分かっていただけただろう. だから, もしもこれまで習った公式で対処できないような状況で区間推定を行わなければならなくなったとしても, その設定に合った新しい公式を見つけてきさえすれば, 全く同じ考え方で区間推定を行うことができる.
例えば, 2 つの母集団の平均の差に関して次の公式が知られている.
babababababababababababababab

平均 µ1 , 分散 σ12 の正規母集団と平均 µ2 , 分散 σ22 の正規母集団から, それぞれ大きさ n1 ,n2 の標本を抽出したときの標本平均をそれ
ぞれ X̄1 , X̄2 とすると, X̄1 − X̄2 は平均 µ1 − µ2 , 分散
正規分布に従う. つまり，

(X̄1 − X̄2 ) − (µ1 − µ2 )s
∼ N (0, 1).
σ12
σ22
+
n1
n2
である.

σ12 σ22+のn1 n2

2.1 区間推定63

これを使って, 区間推定することは, もう難しくないであろう.
問題 22 PT 51 人と OT 48 人の学生からなるクラスで試験を行なった. PT の組は平均 74.7 点, 標準偏差 24.35 点で, OT の組は平均 63.6点, 標準偏差 20.66 点であった. 2 つの組の実力に差があるといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.

(詳しくは後で書く)
母分散未知の場合は t 分布を使う。
babababababababababababababab

平均 µ1 , 分散未知の正規母集団と平均 µ2 , 分散未知の正規母集団から, それぞれ大きさ n1 ,n2 の標本を抽出したときの標本平均をそれぞれ X̄1 , X̄2 ，標本分散をそれぞれ U12 , U22 ，とすると,X̄ − X̄2
p 1
は自由度 n1 + n2 − 2 の t 分布に従う. ここで，
σ 1/n
s 1 + 1/n2
(n1 − 1)U12 + (n2 − 1)U22σ=である.
n1 + n2 − 2

2 つの母集団の分散を比較する公式もある。
babababababababababababababab

平均 µ1 , 分散 σ12 の正規母集団と平均 µ2 , 分散 σ22 の正規母集団から, それぞれ大きさ n1 ,n2 の標本を抽出したときの標本分散をそれ
ぞれ U12 , U22 とすると,に従う.

U12 /σ12は自由度 n1 − 1, n2 − 1 の F 分布
U22 /σ22

F 分布は初登場だが，巻末の F 分布表で数値を探すだけなら，何も知ら

第2章

64

推定

なくても特に困らないだろう。簡単な説明を付録 A.3 に記す。

2 つの二項母集団の比率を比較する公式もある。
babababababababababababababab

母比率 p1 の二項母集団と母比率 p2 の二項母集団から, それぞれ大きさ n1 ,n2 の標本を抽出したときの標本比率をそれぞれ P1 ,P2 とすると, n1 , n2 が大きいとき，P1 − P2 は平均 p1 − p2 , 分散
p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 )+の正規分布で近似できる.
n1n2

2.2 点推定 (最尤推定法)†

ここまで区間推定について述べてきたので, ここでは点推定について述

べる. 区間推定は, 母数を推定するのに, ある区間でもって, ここからここまでの範囲に何％の確率で入っている, と推測するものであった. 点推定とは,
やはり母数を推定するのだが, ある数値ひとつで推定するものである. だから, 何％で当たるとかいうのではなく, これこれのデータに対してはこうい
う計算をして母数を推定するべきである, という, いわば公式を作る作業のようなものである.
与えられたデータからある母数を推定する計算方法 (公式) は, その結果がどういう条件を満たすようにするかによって, 実は幾通りもある. ここでは,その中から最尤推定法と呼ばれる方法を解説する. 『最尤』は『さいゆう』と読む. 『最』の字は『最も』と書いて「もっとも」と読むが, 『尤』の字も『尤も』と書いて「もっとも」と読む. 『最も』は「とても」「一番」という意味で, 『尤も』は「もっともらしい」「当然だ」という意味である. だから,
最尤推定法とは, 最も尤もらしいように推定する方法である. 言葉遊びのよ† この節では, 微分法, 特に対数微分法を使うので, 数 III レベルの微積分に詳しくない場

合は飛ばしてよい.

2.2 点推定 (最尤推定法)

65

うな解説はこれくらいにして, 具体的に例題で, その考え方を見てみよう.
例題 23 たくさんの赤と白の球が入った袋の中から 10 個の球を取り出したところ, 赤が 6 個, 白が 4 個出た. この袋の中の赤球の割合 pの最尤推定値を求めよ.(0 < p < 1)
赤球の割合が p, 白球の割合が 1 − p である袋から 10 個の玉を取り出したとき, 赤が 6 個, 白が 4 個となる確率は, 二項分布の式より 10 C4 p6 (1 − p)4 =

210p6 (1 − p)4 である. （「二項分布」についての説明や記号 n Cr の計算については, 確率論の話であるので既知であるとして, ここでは解説しない. ）さて, これを (p の関数とみなして)L(p) = 210p6 (1 − p)4
とおく. L(p) は「赤球の割合が p のとき, 赤が 6 個, 白が 4 個となる確率」
だったから, L(p) を最大にする p の値のとき, 『赤が 6 個, 白が 4 個』となる確率が最も高い, つまり, この事が最も起こりやすいということになる. 最尤推定とは, このように, 今起きたことが最も起こりやすいように元々なっていたと考えるのが最も尤もらしいであろう, という考え方である.
さて, 関数の最大とか最小とかを調べるのは, 微分法の得意とするとこ
ろで,L′ (p) = 210{6p5 (1 − p)4 − 4p6 (1 − p)3 } = 210p5 (1 − p)3 (6 − 10p)となることより,

p
L′
L

0
0

···
+
↗

···
−
最大 ↘
3
5

0

1
0

となり, p = 35 のとき, L(p) が最大値をとることがわかる. よって, p = 35 がこの場合の最尤推定値ということになる.

第2章

66

推定

問題 24 母集団が平均 µ, 分散 V の正規分布に従うとする. V が既知であるとき, この母集団から n 個の標本 X1 , . . . , Xn が得られたときの, µ の最尤推定量を求めよ.
平均 µ, 分散 V の正規分布 N (µ, V ) の密度関数は 18 ページで述べたように,

f (x) = √2
1
e−(x−µ) /2V
2πVである. 密度関数は確率を表しているから, 標本の値が X1 = x1 , · · · , Xn =xn となる確率を L(µ) とすると
221
1e−(x1 −µ) /2V . . . √e−(xn −µ) /2V
2πV
2πV
2
2
1
=
e{−(x1 −µ) −···−(xn −µ) }/2V
(2πV )n/2

L(µ) = √である. これが, 最大になるような µ の値を見つければよい. L を直接微分することもできるが, このように指数部分が複雑な関数の場合は対数微分法を使うのがよい. 両辺の自然対数を取ってlog L(µ) = −1nlog(2πV ) + {−(x1 − µ)2 − · · · − (xn − µ)2 }22Vの両辺を µ で微分してL′ (µ)
1= {2(x1 − µ) + · · · + 2(xn − µ)}L(µ)
2Vとなるので,L′ (µ) = 2(x1 + · · · + xn − nµ)

L(µ)
2V

である. L′ (µ) = 0 となるのは µ = (x1 + · · · + xn )/n のときだから

µ
L′
L

···
+
↗

x1 +···+xn
n

0
最大

···
−
↘

2.2 点推定 (最尤推定法)67

よ っ て, L(µ) は µ = (x1 + · · · + xn )/n の と き 最 大 値 を 取 る こ と が 分
か る.

す な わ ち, X1 = x1 , · · · , Xn = xn と い う 標本 の 値に 対し ては(x1 + · · · + xn )/n が λ の最尤推定値ということである. これを確率変数
X1 , . . . , Xn で表して (X1 + · · · + Xn )/n と書いたものは, またある確率変数ということになるが, これを最尤推定量という.
問題 25 母集団が平均 µ, 分散 V の正規分布に従うとする. µ が既知であるとき, この母集団から n 個の標本 X1 , · · · , Xn が得られたときの, V の最尤推定量を求めよ. (V > 0)
同じように解いていく. L や log L は上と同じになるが, 微分する文字が異なることに注意.
標本の値が X1 = x1 , . . . , Xn = xn となる確率を L(V ) とすると
221e{−(x1 −µ) −···−(xn −µ) }/2V
n/2
(2πV )

L(V ) =

であり, これが最大になるような V の値を見つければよいので,

log L(V ) = −1nlog(2πV ) + {−(x1 − µ)2 − · · · − (xn − µ)2 }22Vの両辺を V で微分してL′ (V )n−1=−
+ {−(x1 − µ)2 − · · · − (xn − µ)2 } 2
L(V )
2V
2V
より,



1
n
+ {(x1 − µ)2 + · · · + (xn − µ)2 } 2L′ (V ) = L(V ) −2V
2V
である. L′ (V ) = 0 となるのは V = {(x1 − µ)2 + · · · + (xn − µ)2 }/n のと
きだから

V
L′
L

0

···
+
↗

(x1 −µ)2 +···+(xn −µ)2
n

0
最大

···
−
↘

第2章

68

推定

増減表より, L(V ) は V = {(x1 − µ)2 + · · · + (xn − µ)2 }/n のとき最大をとることがわかる. , よって, {(X1 − µ)2 + · · · + (Xn − µ)2 }/n が V の最尤
推定量となる.
問題 24, 25 から, 正規分布から抽出された標本から µ を推測するときは標本平均を使い, V を推測するときには標本の分散を使うのが最も尤もらしいということがわかった. これが, 正規分布 N (µ, V ) において µ のことを「平均」といい, V のことを「分散」という理由である. （実は, 19 ページで初めて正規分布の記号を導入したときには, 第 1.1 節と同じ「平均」や「分散」という単語を使う理由は述べていなかった. ）注意

母平均 µ の最尤推定量は標本平均 X̄ であり, X̄ の平均は母平均 µ と等しい. このような統計量を不偏推定量という.
一方, 母分散 V の最尤推定量は標本の分散 S 2 であったが, S 2 の平均は, 第 1.5 節で述べたように, 母分散 V (= σ 2 ) とは等しくない.
この例は, 最尤推定量は不偏推定量とは限らないということを示している.

2.3 演習問題
8あるブラウン菅の寿命の標準偏差は 100 時間であることが知られている. 平均寿命の 99% 信頼区間が ±20 時間以内になるようにするためには,標本の大きさをどれくらいとらねばならないか.

9

下の表はある中学校の 3 年生女子の身長の度数分布表である. すべての中学 3 年生女子の平均身長の 99% 信頼区間を求めよ.

2.3 演習問題

69

身長 (cm)人数

140–14514

145–15030

150–15564

155–160

56

160–16526

165–170

10

A 君の今年ゴルフに 14 回行ったが, そのスコアはつぎのようで

10
あった.

96, 94, 107, 101, 98, 98, 104, 99, 95, 100, 102, 98, 96, 98
A 君の平均スコアの,90% 信頼区間を求めよ.
11ある溶液の pH を何回か測定して,6.70, 6.78, 6.93, 6.90, 6.96, 6.52, 6.99, 6.62という結果を得た. この溶液の pH の 95% 信頼区間を求めよ.

12

成人男性 12 名の血中コレステロールの標本標準偏差は 9.04mg/dℓであった. すべての成人男性の血中コレステロール量の標準偏差に対する,90% 信頼区間を求めよ.
13

ある化学製品から大きさ 10 の標本を抽出して 1kg あたりの不純物を分析したら, それぞれ次のような値であった. (単位は g)

34.4, 32.4, 26.3, 25.8, 23.5, 36.2, 30.3, 32.1, 35.3, 28.0
この製品 1kg に含まれる不純物の量の標準偏差の 95% 信頼区間を求めよ.

14

1 個の正しい硬貨を 100 回投げたとき, 表の出る回数が

第2章

70

推定

(1) 45 ∼ 55 回
(2) 60 回以上となる確率を求めよ.

15

巨人時代の松井秀喜選手の成績は 4572 打数 1390 安打であった. 彼の打率の 95% 信頼区間を求めよ.

16

母集団が密度関数


f (x) =

λe−λx , 0 ≦ x,0,
それ以外を持つとする. この母集団から n 個の標本 X1 , X2 , . . . , Xn が得られたときの, λ の最尤推定量を求めよ. (λ > 0)

71

第3章

検定
第 2 章でも述べたが, 統計学といえば, 伝統的に推定と検定の二本柱である. この章では 2 本目の柱, 検定について解説する.
検定とは, (母数に関する) ある言明に対して, それが正しいと言えるかど
うかを標本データを基に判断するものである.

3.1 仮説検定
仮説検定に関しては利用する公式は第 2 章と同じで, それを逆に使うようなものである. いわば, 展開と因数分解, 微分と積分のような関係である. だから, 区間推定のときと同じで, 本書で扱わない状況における問題であっても, それに合った公式さえ探してくれば, 全く同じ考え方で仮説検定を行う、、、
ことができる. 仮説検定の考え方を理解することが大切である.

仮説検定の手順
例えば単純な例として, 「このコインは不公正なコインか」を調べることを考えてみる. これが公正なコインだとすると, 1000 回投げれば 500 回くらい表が出ると期待できる. だが, 表裏は偶然に決まるのだから, 例えば 1000

第3章

72

検定

回投げて 510 回表が出たとしても, これくらいでは不公正なコインとは思えない. 10 回くらいの誤差なら正しいコインでも偶然起こりそうだからだ. しかし, もし 1000 回投げて, 800 回も表が出たとしたらどうだろう. これでは
いくらなんでも表が多すぎて偶然ではない, つまり不公正なコインのような気がしてくる. 510 回ならセーフだが, 800 回ならアウト. では, 530 回なら?

550 回なら? 600 回なら? …どこかにセーフとアウトの境目があるはずである. それを計算で求めようというのがここでの目標である.
■(I) 仮説を立てる

仮説を検定するので, まず仮説を立てなければならな

い. 例えば, 「このコインは不公正なコインか」を調べる場合, そのときの仮説は 2 つ考えられる. すなわち, 「このコインは不公正なコインである」と「このコインは不公正なコインでない (＝正しいコインである)」である. 検定を行った結果の結論は, 立てた仮説が正しいか正しくないかのどちらかなので, 「このコインは不公正なコインである」を仮説として「仮説は正しい」と言っても, 「このコインは正しいコインである」を仮説として「仮説は正しくない」と言っても, どちらも結論としては, このコインは不公正なのだから同じことだが, ここではそれらを区別して扱う.
そもそも検定を行うということは, 今自分は何か確かめたい事柄があるわ
けで, その事柄は現状を否定するものであるはずである. この仮説検定においては, 現状を否定する方を対立仮説といい, 現状を肯定する方を帰無仮説という. 今の例では, 「このコインは不公正なコインである」が対立仮説,「このコインは正しいコインである」が帰無仮説である.
帰無仮説というのは文字通り, 無に帰してほしい方の説であって, 現状を変える説を確かめるために検定をしているのだから, 言いたいことの方が対立仮説で現状を変えない方が帰無仮説ということである. 『無に帰してほしい』と書いたが, 帰無仮説が間違いである方が好ましいかどうかはその人の立場によるのでなんともいえない. 例えば, 商品のスペックがカタログの記載通りではないとのクレームを検定する場合, 訴えた側の立場としては「カタログ通りではない (のでリコールを受け付ける)」となった方がうれしい3.1 仮説検定

73

が, メーカーの立場としては「カタログ通りである（ので誤差の範疇である)」となった方がうれしい. しかし, どちらの立場でも, 帰無仮説は「カタログの記載通りである」である.
仮説検定の最初からこんなややこしい話をすると, いかにも難しそうだが,先へ進んでから, またこの部分を読みに戻ってきてほしい.
■(II) 帰無仮説が正しいとするとどうなるかを調べる

帰無仮説の方が正しいとして, 計算を進める. 帰無仮説は, 間違っていると思われる方の仮説だったから, これは数学の証明で使われる『背理法』に似た考え方である.

√

背理法とは, 例えば「 2 は分数で書けない」ということを証明するのに,√「 2 が分数で書けたとすると」から始めて矛盾を導くことによって, そもそ√も「 2 が分数で書けたとすると」から始めたのが間違いだった, すなわち√

「 2 は分数では書けない」と結論する, という論法である. 今の例で言うと,「このコインは不公正なコインである (対立仮説)」を調べたいので, 「このコインは正しいコインである (帰無仮説) とすると」から計算を始めるということである.
仮説検定の場合は, 数学の証明ではないから, 「どうなるかを調べる」の部
分は, 公式を使ってなんらかの式を得ておくということになる.
■(III) 実際の結果を (II) の予想と比べる 上で得られた式と実際に標本か、、、、、、、、
ら得られた値を比べて, ありえないくらい大きくかけ離れていれば「帰無仮説が間違っている」と結論し, それほどでもなければ「帰無仮説が間違っているとは言えない」という結論になる. 前者の場合を「帰無仮説を棄却する」といい, 後者の場合を「帰無仮説を採択する」という. この状況から分かる
ように, 「採択する」といっても, 諸手を挙げて賛成するというのではない.
大きく離れていれば (最初からの狙い通り) 帰無仮説が間違っていると言えるのに, 小さく離れているだけなので (残念ながら) 帰無仮説が間違っているとまでは言えない, という感じなので, 「採択する」という用語の代わりに「棄却しない」という言い方をすることも多い.

第3章

74

検定

検定の誤り
以上の手順で仮説検定は行われ, 結論は「棄却する」か「採択する」の二択である. だから, 結論を間違うのは, 次の二通りしかない.
第一種の誤り採択するべきところを棄却してしまう.

第二種の誤り棄却するべきところを採択してしまう.

ここでいう『結論を間違う』というのは計算ミスで答えを間違えるとかいう意味ではなく, 統計処理に伴う偶然の作用のせいで結論が違ってくるということである. 例えば, 本当は公正なコインだったのに, たまたま表がたくさん出たので不公正なコインであると結論してしまった, とか, 実際に表が出やすい不公正なコインだったのに, たまたま裏がほどほどにたくさん出て表と裏の回数が同じくらいになったので, 公正なコインであると結論してしまっ
た, という状況である. どちらも「たまたま」偶然のせいで間違った結論を出してしまったことになる. こういうことは, 統計として検定をしている上で避けられない. どちらかの誤りを完璧になくすのは簡単で, 例えば, 第一種の誤りを完全に排除したいのなら, あらゆる検定で常に「採択する」とすれ
ばいいし, 同様に第二種の誤りを完全に排除したいのなら, 常に「棄却する」とすればいい.
第一種の誤りと第二種の誤りの記述はパラレルであるが, 現状維持の方を帰無仮説にすると決まっているのだから, 第一種の誤りと第二種の誤りではその意味するところが当然異なっている.
説明の為にとりあえず, 極端な状況を想定して考えてみよう.
例えば, 消費者がある商品にクレームをつけたいのだが, 表示されたものに比べて性能が劣っていることを (感覚で言うのではなく) 仮説検定をしてから裁判でも起こそうか, という状況とする. この場合, 「商品性能が表示通りである」と「性能が表示より劣っている」が考えられる結論であるが,もちろん前者が帰無仮説で, 後者が対立仮説である. さて, 第一種の誤りは

3.1 仮説検定75「帰無仮説を採択するべきところを棄却して対立仮説を選んでしまった」つまり「本当は商品性能は表示通りであったのに, たまたまデータが (悪い方に) 偏っていたせいで, 性能が劣っていると間違って結論してしまった」ということになる. また, 第二種の誤りは「帰無仮説を棄却して対立仮説を選
ぶべきところを帰無仮説の方を採択してしまった」つまり「本当に性能が表示より劣っていたのに, たまたまデータが (良い方に) 偏っていたせいで, 商
品性能は表示通りであると間違って結論してしまった」となる. 第一種の誤りを犯した消費者は, クレームをつけ, 裁判にまで持ち込んだが, 性能が悪いと思ったのは偶然で誤差の範囲であると言われ, 裁判に負けてしまう. 一方,
第二種の誤りを犯した消費者は, 裁判を (すれば勝てたのに) 諦めて, 性能が悪いのを我慢し続ける.
別の設定でお話を作ってみよう. 裁判官が, この被告人に何らかの結論を出さなければならない. もちろん, 「有罪である」「無罪である」の 2 つの結論が考えられる. どちらが帰無仮説に相当するかということだが, 被告人に対しては「有罪といえるか」が検討されるべき課題である. よって, 帰無仮説は「無罪である」であり, 対立仮説は「有罪である」となる. 被告人はただの人ではなくて被告なのだから, 帰無仮説が「無罪」の方であるのは『現状維持』というのにマッチしてないようだが, (ありえないことだが) 検察も弁護人も何もしなかったら, 被告人は無罪放免されるだろう. やっぱり, 帰無仮説は「無罪」であり, 対立仮説が「有罪」である. さて, 第一種の誤りは「無罪とするべきを有罪としてしまった (冤罪)」となり, 第二種の誤りは「有罪とするべきを無罪としてしまった」となる. 上にも述べたが, 冤罪を一切出さないのは簡単で, 全ての被告に対して無罪にしていればいい. しかし, もちろんそれでは裁判の意味がない. 冤罪はあってはならないが, 有罪の判決は出さねばならない.
要するに, 第一種の誤り「帰無仮説を採択すべきなのに棄却してしまう」ということは, 「何もしなくてもよかったのに, わざわざ間違った結論を採用してしまった」ということで, 一方, 第二種の誤り「帰無仮説を棄却すべきなのに採択してしまう」は「異状があったのに, 何もないことにしてしまっ

76

第3章

検定

た」ということである. 例えば, ディベートを行う場合, 肯定側は現状を変える意見を, 否定側は現状維持の意見を持つ. そして, 肯定側はちゃんとした立論を述べて, 変化すべきであることを主張しなければならないが, どちらでもいいという程度の結論なら, 否定側の勝ちになる.

、、
さて, 第一種の誤りを犯してしまうかもしれない確率の方にだけ名前があり, それを危険率または有意水準という. 急に『確率』という言葉が出てきたが, 仮説検定は統計の話なので, 裁判の例え話と違って, 偶然のせいで検定の誤りが起こる可能性があるのである. もちろん, 第一種の誤りを犯してしまうかもしれない確率は小さいほうがいい. 有意水準は 1% とか 5% とかに設定することが多い. (III) で述べた『ありえないくらい』という言い回し
は, 『有意水準以下の確率でしか起こりえないくらい』ということになる.
例えば, 有意水準 5% の検定というのは, 5% 以下でしか起こらないようなことが (1 回の試行で) 起こったら, それは「20 回に 1 回のことが今偶然起こった」と考えるのではなく, 「20 回に 1 回しか起きないようなことは偶然では起こらない」と考えて，そもそも最初の仮定 (＝帰無仮説) が間違っていたと結論する, ということである. 逆に, 試行の結果が 10% くらいの確率で起こりうるようなことだったら, 「10 回に 1 回しか起きないようなことは偶然でも十分起こりうる」と思おうということである. 有意水準は, 第一種の誤りを犯してしまうかもしれない確率というよりも, 第一種の誤りを犯すことを厭わない確率と言った方がいいだろうか.
ここまで, 仮説検定の考え方について一切の数式なしに説明したが, 次に簡単な問題を解いて, 『計算』をする部分を見てみよう.
例題 26 ある母集団は平均 5, 標準偏差 4 の正規分布に従うと思われていたが, ここから 100 個の標本を抽出したところ, その標本平均が5.7 であった. 母平均が変化したといえるか, 有意水準 5% で検定せよ.
手順 (I) に従って, まず仮説を立てる. 「母平均が変化したといえるか」が問われているので, 「母平均が変化した」か「母平均は変化していない」か3.1 仮説検定77がありうる結論である. そして, 帰無仮説は「母平均は変化していない」の方であり, 対立仮説は「母平均が変化した」の方である. いつものように母平均を µ と書くことにすると,
帰無仮説

µ=5

対立仮説

µ ̸= 5となる.
帰無仮説が正しいとすると, 今の状況は「平均 5, 標準偏差 4 の正規母集団から 100 個の標本を抽出した」ということになる. 標本平均を X̄ とする、と, X̄ = 5.7 であった, と言っているわけだが, 100 個の標本を取り出す前と思って, 式を立ててみよう. N (5, 42 ) の母集団から大きさ 100 の標本を抽出したとすると, 母分散が既知で平均に関する問題なので, 第 2.1.1 節の公式で,X̄ − 5√∼ N (0, 1)
4/ 100が成り立つ.
有意水準 5% の問題なので, 5% でしか起こらないような範囲を求めると,
表 [N] よりX̄ − 5X̄ − 5√< −1.96 または 1.96 < √4/ 100
4/ 100(A)となる確率は 5% でyあるということが分かる.

つ ま り, X̄ は い

N (0, 1)

くつになるかわからな
いから (＝確率変数だ√から), 4/X̄−5
はいろ
100

んな値をとりうるが,−1.96 よ り 小 ま た は
1.96 よ り 大 と な る 確

2.5%

2.5%
O

-1.96
図 3.1

例題 26

1.96

x

第3章

78

検定

率は 5% しかないということが, 予め分かっているということだ.
今, 100 個の標本でX̄ = 5.7 だったので, それを代入すると,
5.7 − 5√
= 1.75 < 1.96
4/ 100だから, (A) の範囲には入っていない. これは, X̄ = 5.7 は「5% でしか起こらないようなこと」ではなかったということである. つまり, 帰無仮説を採択することになる. 問題文の言い方に合わせると「母平均が変化したといえない」が答えである.
このように, (A) の範囲に入れば『棄却』, 入らなければ『採択』である.

(A) で求めた範囲のことを棄却域という.
例題 27 ある母集団は平均 5, 標準偏差 4 の正規分布に従うと思われていたが, ここから 100 個の標本を抽出したところ, その標本平均が5.7 であった. 母平均が大きくなったといえるか, 有意水準 5% で検定せよ.
先程の例題 26 とそっくりである. 違うのは, 最後の「母平均が大きくなったといえるか」の部分だけである. この部分が違っていることによって何が変わるか, がポイントである. 問題文が問うているのは, 「母平均が大きくなったといえるか」なので, 結論は「母平均が大きくなったといえる」か「母平均が大きくなったといえない」のどちらかであるが, 「母平均が大きくなったといえない」は「母平均が小さくなった」という意味ではない. 母
平均が大きくなったといえるかどうかを聞かれているのだから, 母平均が小さくなっている可能性は最初から除外されているのである. つまり, 結論は「母平均が変化していない」か「母平均が大きくなった」のどちらかである.
母平均を µ と書くことにすると,

3.1 仮説検定
帰無仮説

µ=5

対立仮説

µ>5

79

となる.
帰無仮説が正しいとすると, やはり「N (5, 42 ) の母集団から大きさ 100 の標本を抽出した」ということになるので, 例題 26 と同様, 母分散が既知で平均に関する第 2.1.1 節の公式で,X̄ − 5√∼ N (0, 1)
4/ 100が成り立つ.
次に 5% の棄却域を求めるのだが, この問題の場合は, 「平均が大きくなったといえるか」に興味があるのであって, 平均が小さくなる方には興味がな
い. つまり, 実際の値を代入した結果, 「5% でしか起こらないようなことが1 回で起こった!」と主張するときも, 「ありえないくらい大きな値が出た!」と言いたいだけであって, ありえないくらい小さな値が出たとしても, それはこの場合何の意味もない.
よって, 棄却域は大きい方だけに設ければよい. 表 [N] より

1.64 <

X̄ − 5√
4/ 100となる確率は 5% でyあるということが分かるので, これがこの問

N (0, 1)

題における棄却域ということになる.
ここで, X̄ = 5.7 を代入すると,

5%

5.7 − 5√
= 1.75 > 1.64
4/ 100

x

O
図 3.2

例題 27

1.64

第3章

80

検定

となるので, 棄却域に入っている. よって,X̄ = 5.7 は「5% でしか起こらないようなこと」と言える. つまり, 帰無仮説を棄却することにな
る. 問題文の言い方に合わせると「母平均が大きくなったといえる」が答えである.
例題 26 のような検定を両側検定といい, 例題 27 のような検定を片側検定という.
片側検定の場合は, 上に書いたように, ありえないくらい小さな値がもし出たとしても, 何の興味もない. 例えば, 章頭で挙げた「このコインは不公正なコインか」という検定であれば, 例えば 1000 回投げて 510 回表が出たとしても, これくらいは誤差の範囲となる (＝帰無仮説を採択する) が, 800 回も表が出たとしても, たった 200 回しか表が出なかったとしても, 不公正なコインである (＝帰無仮説を棄却する). しかし, 「表が出やすいコインか」を検定したいとすると, 1000 回投げて 510 回表が出たときはもちろん, 200
回表が出たとしても, 「表が出やすいコイン」ではない. 510 回なら 10 回く
らいは誤差だと判断したのと同じように, 200 回しか表が出なかったとしても, それは「表が出やすいコインか」という問題に対しては, 単なる大きな誤差に過ぎないのだ.
両側検定では, 極端に大きな値でも極端に小さな値でも不公正なコインだが, 片側検定では, 極端に大きい値が出たときだけ表が出やすい不公正なコインであると判断される. これが片側検定の考え方である.
注意

例題 26 では, 平均が 5 だと思われていたのが 5.7 だったのが変化したといえるのかかが問われていて, 答えは「変化したといえない」だった. だから, 例題 27 で, 同じ状況で大きくなったのかと問われたら, 「大きくなったといえない」となるに決まっていると言う学生がいた. 彼がなぜ『決まっている』と判断したのか解らないが, これは間違いである.

3.1 仮説検定

81

例題 27 の場合は, 母平均が小さくなっている可能性が最初から除外されている, つまり母平均の状態について, 例題 26 よりも予備知識が多いということになる. だから, 自分の言いたい結論――対立仮説が正しいということ――がより成り立ちやすいのは自然である.
つまり, (有意水準が同じだとして, ) 両側検定で「帰無仮説を棄却する」になったら, それよりも前提条件の強い片側検定では必ず「帰無仮説を棄却する」になるはずだとは言えるし, 前提条件の強い片側検定でも「帰無仮説を採択する」になってしまったら, より条件の弱い両側検定では必ず「帰無仮説を採択する」になるはずだとも言えるが, どちらも逆は言えない.
以下の問題では問題文の最後のちょっとした部分だけで片側検定か両側検定かを判断しなければならないが, 実際に仮説検定を行うときには, 特に, 片側検定を行うには, その状況について詳しい説明を聞いた上で判断することになるだろう.
問題 28 ある会社の部品の寿命の平均は過去において 1500 時間であったが, 平均寿命が短くなったとのクレームを受けたので, 最近生産された部品から 120 個とって調べたら, 平均寿命は 1470 時間, 標準偏差は 125 時間であった. 平均寿命が短くなっているといえるか, 有意
水準 1% で検定せよ.
平均寿命を µ とすると
帰無仮説

µ = 1500

対立仮説µ < 1500

である.
帰無仮説が正しいとすると,X̄ − 1500√∼ N (0, 1)
U/ 120

第3章

82

検定

が成り立つ.
表 [N] より, 1% の

y

棄却域は

X̄ − 1500√< −2.33
U/ 120となる.

N (0, 1)X̄ = 1470,

U = 125 より1470 − 1500√
= −2.629 < −2.33
125/ 120
1%となり, 棄却域に入っ−2.33ているので, 帰無仮説

O
図 3.3

問題 28

を棄却する. つまり,「平均寿命が短くなっているといえる」.
この問題は, 母平均に関する問題だが, 母分散は未知で標本の大きさが 120
で 30 以上なので第 2.1.2 節の正規分布で近似した公式を使う. ひょっとしたら平均寿命 µ が長くなっているかも…という可能性は考えていないので,短いほうだけの片側検定を行うことになる.
問題 29 あ る 自 動 車 メ ー カ ー が 新 し く 売 り 出 し た 車 種 は 燃 費 が13.0km/ℓ として公表宣伝されている. しかし, この新車を購入した人が燃費に不満を持って実際に 5 回調べたところ, 平均 10.7km/ℓ,
標準偏差 2.1km/ℓ であった. この結果をみると, 案の定, 公表されたものより小さいと思われるが, メーカーの宣伝は正しいといえるか, 有
意水準 1% で検定せよ.
平均燃費を µ とすると
帰無仮説

µ = 13.0

x3.1 仮説検定
対立仮説

83µ < 13.0である.
帰無仮説が正しいとすると,X̄ − 13.0
√
∼ t4
U/ 5
が成り立つ.
表 [T] より, 1% の

y

棄却域は

X̄ − 13.0√< −3.7469
U/ 5と な る.

t4X̄ = 10.7,

U = 2.1 より
1%
10.7 − 13.0√
= −2.449 > −3.7469
2.1/ 5−3.7469となり, 棄却域に入っていないので, 帰無仮

x
O
図 3.4

問題 29

説を採択する. つまり, 「メーカーの宣伝は正しいといえる」.
前問と同じく, 母平均に関する問題でやはり母分散は未知であるが, 標本の大きさが 5 で 30 未満なので第 2.1.2 節の t 分布の公式を使う. 燃費に不満を持って調べ始めたのだから, 最初から平均燃費 µ がより良くなっている
可能性は考えていないので, 短いほうだけの片側検定を行うことになる.
問題 30 ある工場で生産されるネジの直径の標準偏差は 0.41mm であった. 最近, 別の機械を導入したので調査したところ, 12 個のネジの直径の標準偏差が 0.60mm であった. 製品のバラツキに変化があったといえるか, 有意水準 5% で検定せよ.
ネジの直径の標準偏差を σ とすると

第3章

84
帰無仮説

σ = 0.41

対立仮説

σ ̸= 0.41

検定

である.
帰無仮説が正しいと

y

すると,

11U 2
∼ χ11
0.412

χ11

が成り立つ.
表 [X] より, 5% の
棄却域は

2.5%
11U 2
< 3.816
0.412

O

または

21.020 <

2.5%
3.816

21.020
図 3.5

問題 30

11U 2
0.412

となる. U = 0.60 より

11 × 0.602= 23.5574 > 21.0200.412となり, 棄却域に入っているので, 帰無仮説を棄却する. つまり, 「製品のバラツキに変化があったといえる」.
この問題は, 母集団のバラツキに関する問題, つまり, 母標準偏差に関する問題なので第 2.1.3 節の公式を使う. この問題の設定では, 機械を換えたことによって母標準偏差が大きくなっているか小さくなっているかは事前に分かっていることではないので, 両側検定を行う.

x3.1 仮説検定85

問題 31 ある種の癌に対する従来の手術方法は成功率が 45% であった. ところが, 特定の薬を患者に与えてから手術をしたところ, 80 名
中 42 名も成功した. この薬を患者に与えてから手術をした方がより成功率が高くなるといえるか. 有意水準 5% で検定せよ.
成功率を p とすると
帰無仮説

p = 0.45

対立仮説

p > 0.45

である.
帰無仮説が正しいとすると,

P − 0.45q∼ N (0, 1)
0.45×0.5580が成り立つ.
表 [N] より, 5% の

y

棄却域は

P − 0.45
q> 1.64

N (0, 1)

0.45×0.55
80と な る.

P = 4280 =0.525 より0.525 − 0.45
q
= 1.348 < 1.64

5%

0.45×0.5580xOとなり, 棄却域に入っていないので, 帰無仮

図 3.6

問題 31

1.64

説を採択する. つまり, 「より成功率が高くなるといえない」.
この問題は, 比率に関する問題なので第 2.1.4 節の公式を使う. 成功率が低くなっているとは考えてもいないので, 片側検定を行う.

第3章

86

検定

P = 42/80 = 52.5% でも p = 45% より大きくなったとは言えない, という結果になったが, これを「52.5 では 45 に対して誤差の範囲」と解釈してはいけない. 例えば, 800 人中 420 人成功だったら,
420
800
q

− 0.45= 4.2645

0.45×0.55
800

で 1.64 と比較にならないほどに大きいので, 同じ 52.5% でも標本数が多いと余裕で『棄却』になる. 同じ種類の癌患者の標本数を増やすのは大変だから, 実際には無理かもしれないが, 一般論として, 統計処理では標本は多ければ多いほどいい.
問題 32 ある国の大統領選挙は X,Y の二人が候補となっていて大接戦である. 有権者 3600 人に事前調査したところ, 1872 人が X 候補に投票すると答えた. X 氏は当選すると考えてよいか, 有意水準 1% で検定せよ.

X 氏の得票率を p とすると
帰無仮説

p = 0.5

対立仮説

p ̸= 0.5である.
帰無仮説が正しいとすると,

P − 0.5q∼ N (0, 1)
0.5×0.53600

が成り立つ.
表 [N] より, 1% の

y

棄却域は

P − 0.5q

0.5×0.5
3600> 2.58N (0, 1)

3.1 仮説検定87となる. P = 1872
3600 =

0.52 より0.52 − 0.5
q= 2.4 < 2.58
0.5×0.53600となり, 棄却域に入っていないので, 帰無仮説を採択する. つまり, 「X 氏は当選すると考えてはよくない」.
実はこの問題は, とある教科書に載っていたものであるが, その本では「X氏が当選するかどうかに興味があるのだから」という理由で帰無仮説

p = 0.5

対立仮説

p > 0.5という片側検定になっていた. すると，1% の棄却域がP − 0.5
q> 2.33
0.5×0.53600となり，0.52 − 0.5
q= 2.4 > 2.33
0.5×0.53600

より帰無仮説を棄却する. つまり，「X 氏は当選すると考えてよい」となっていた。
しかし, これでは問題文の「大接戦である」という設定に合っていないと思われる. 片側検定をするということは, もし 3600 人の事前調査の結果, Y氏が 1872 票獲得した（＝ X 氏が 1728 票）としても, P = 1728/3600 より√ 3600 −0.5
1728

0.5×0.5/3600< 0 となり, 帰無仮説は採択されるので, 結論は p = 0.5, つまり「X 氏が勝つ可能性は五分五分である」ということになってしまう. 確
かに X 氏陣営の立場から言えば, 逆にそれくらいの差がついても諦めない,
つまり「Y 氏が事前調査で 1872 票獲得したって, まだまだどちらが勝つか

第3章

88

検定

分かりませんよ」でいいのかもしれないが, 一方で「X 氏が事前調査で 1872
票獲得したなら, X 氏は当確だ」というのだから，これはちょっと X 氏に肩入れしすぎだろう.
「大接戦で, 事前調査でどちらが多く票を獲得するかすら予想できなかったが, 意外に P = 1872/3600 = 52% も獲得したので, これで X 氏優勢と言っちゃってもいいのか, または, たまたま誤差程度のゆらぎなのか, を検定したい」というなら, 両側検定の方が自然だ. 結果を見てから検定法を決め、るのはおかしい. 片側検定をするなら, 大接戦ではなく事前調査を行う前からすでに X 氏が優勢で, 『当確と言えるかどうか』というほどの状況でなければならない.
しかし, 実はP − 0.5q≧ 2.4
0.5×0.53600となる確率は 0.82% なので（この時の値 0.82% を p 値という），今の場合,
たとえ両側検定だとしても, 有意水準 2% （もっと正確にいうと, 有意水準:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

1.64%）で帰無仮説を棄却できる. 問題 32 の答えは「有意水準 1% で帰無仮:::::::::::::::::::::::::::::
説を採択する」だったが, 実際問題, 有意水準 1% と 2% で何がどう違うということもないので, この程度のことで結論が逆になるのなら, 事実上, X 氏が優勢であると考えるのも無理はない.
実際に統計処理として検定を行うときは, 有意水準を予めきっちり決めて
おいて, それから 0.1 でも大きかったら棄却するという厳格なやり方ではな
く, このように, T の値から何％の有意水準で棄却されるか (＝ p 値) を調べて, その水準が許容できるかどうかを判断することになるだろう.
なお，問題 32 の結論は，「52% は 50% に対して危険率 2% で（つまり2% の確率で間違っているかもしれないが) 有意に差があると考えてよい」となったが，問題 31 では「52.5% は 45% に対して危険率 5% で（つまり5% の確率で間違っているかもしれないが) 差があるとは言えない」という結論だった。52% の 50% からのずれよりも，52.5% の 45% からのずれの方が大きいのに，後者の方が誤差に過ぎない，という結論になっているの3.2 χ2 検定

89

は，標本数 (問題 32 では 3600，問題 31 では 80) の差のせいである。

3.2 χ2 検定
ここでは χ2 検定と呼ばれる検定法を解説する. χ2 検定には, 適合度検定と独立性検定の 2 つがあるが, どちらも基本的な考え方は同じである.

3.2.1 適合度検定
まずは早速だが, 次の例題を考えてみよう.
例題 33 次の表は, あるさいころを 300 回投げて得られた度数である. このさいころは公正である (どの面も確率 1/6 で出る) といえるか, 有意水準 5% で検定せよ.
面

1

2

3

4

5

6

計

実測度数

60

41

57

38

62

42

300

このサイコロが公正であれば, 300 回投げたら理想的には

面

1

2

3

4

5

6

計

理論度数

50

50

50

50

50

50

300

となるはずである. しかし, もちろんサイコロの目は偶然によって出るから, 公正なサイコロだとしても多少の出入りはあるだろう.

そこで,(60, 41, 57, 38, 62, 42) の 6 個の数字の組と (50, 50, 50, 50, 50, 50) の違いが誤差の範囲と言えるかどうかが検定したい事柄である.
さて, このような複数の数字の組の確率に関して, 次の公式がある.

90
第 3 章 検定
babababababababababababababab

母集団が互いに素な k 個のクラス C1 , . . . , Ck に分割され, 各ク
ラスの期待値 (理論度数) が m1 , . . . , mk とする. n 回の試行の結果, クラス C1 , . . . , Ck に入ったものの個数 (実測度数) をそれぞれ

f1 , . . . , fk とするとき,T =(f1 − m1 )2(fk − mk )2+ ··· +
m1
mk

は自由度 k − 1 の χ2 分布に従う.

クラス

C1

C2

···

Ck

計

実測度数

f1

f2

···

fk

n

理論度数

m1

m2

···

mk

n

実測度数 f1 , . . . , fk が試行の度に違う数値になるから, これが確率変数であるせいで, T が確率変数になり, その分布が χ2k−1 であるということだ. 今の場合は, 6 個のクラスに分類されているので,T ∼ χ25ということになる.
第 2.1.3 節で χ2 分布を導入したときに, そのパラメータを『自由度』と呼んだが, この公式で, まさに自由度という言葉の意味がハッキリする. つまり, 今, 6 個のクラスに分類されているが, そこに入る数字の『自由度』
は 5 である. どういう意味かというと, 例えば, 例題 33 の表において,

60, 41, 57, 38, 62 と 5 つの数値が決まれば, 合計が 300 だから, 6 番目は自動的に 42 に決まってしまう. だから, 上で, 「6 個の数字の組」と書いたが, 実は, この数字の組は 5 個の数字で決まっている（＝数字 5 個分の自由度しかない）のである. この自由度の数え方は, 次節で重要になる.

3.2 χ2 検定

91(fi − mi )2 /mi という項についてだが, 分子は二乗しているので, 実測度
数が理論度数より大きくても小さくても, それらが離れているほど大きくなる. この辺は, 分散のときと発想は同じである. しかし, 実測度数と理論度数の差が, 例えば 10 だったとしても, 50 で 10 違うのと, 500 で 10 違うのとでは異なるので, 理論度数で割って『違いの割合』を求めている. よって, T の値は『実測度数 (の数字の組) と理論度数 (の数字の組) の離れている程度』
を表していることになる. つまり, 実測度数と理論度数が異なっているほど

T の値は大きくなる. 特に, 実測度数と理論度数が全く同じであるときは, T
は最小値 0 になる.
『有意水準 5%』ということは, 今起こったy
χ25

事 象 が, 5%(以 下) の確率でしか起こらない
ような事であれば偶然ではないが, 5% 以上の確率で起きるようなことであれば偶然とみなす, ということであ

5%
x

O

り, この辺の用語は前11.070
図 3.8節と同じである.

問題 33

今は, T ∼ χ25 であり, 実測度数と理論度数が異なるほど T の値は大きくなるので, 大きい方だ
けが問題で, 表 [X] より

T > 11.070
が棄却域となる. 仮説検定のときと違って, 問題によって両側だったり左側
だったりすることはなく, 常に右側 (大きい方) にだけ棄却域が設定されるこ
とに注意.

第3章

92

検定

さて, この問題の場合,(41 − 50)2
(57 − 50)2
(38 − 50)2
(62 − 50)2
(42 − 50)2
(60 − 50)2
+
+
+
+
+
50
50
50
50
50
50
= 11.64 ＞ 11.070

T =より, 棄却域に入っているので, 「このさいころは公正であるといえない」が答えとなる.
注意

実測度数が整数値しか取らないので, 標本の数が少ない場合などには, 第 2.1.4 節で述べたような補正を行う. その場合は T の公式をT =(|f1 − m1 | − 0.5)2(|fk − mk | − 0.5)2+ ··· +m1mkのように変形したものを利用する (これを「イェーツの補正」という.

106 ページも参照せよ).

問題 34 あるさいころを 600 回振ったところ, １の目が 122 回出た.
このさいころは公正であるといえるか. 有意水準 1% で検定せよ.
このさいころが公正であるとすると

１の目

それ以外

計

実測度数

122

478

600

理論度数

100

500

600

となる.

T ∼ χ21であり, 1% の棄却域は T > 6.635 となる.

T =(122 − 100)2(478 − 500)2+= 5.808 < 6.635
100
500

3.2 χ2 検定

93

より, 棄却域に入っていないので, 「このさいころは公正であるといえる」.
この問題の場合は前節の仮説検定でも解くことができる.
【別解】1 の目が出る確率を p とすると
帰無仮説

p = 1/6

対立仮説

p ̸= 1/6である.
帰無仮説が正しいとすると,

P−1
q 1 65 ∼ N (0, 1)
6×6

600

が成り立つ.
表 [N] より, 1% の

y

棄却域は

P−1
q 1 65 > 2.58

N (0, 1)6×6600となる. P = 122
600 より122
1600 − 6q1

5
6×6

= 2.41 < 2.58

0.5%

0.5%

600

となり, 棄却域に入っ−2.58ていないので, 帰無仮

O
図 3.9

2.58 x問題 34説を採択する. つまり,「このさいころは公正であるといえる」.
注意

どちらの解き方でも当然同じ答えになるが, その判断をする

式は 5.808 < 6.635 と 2.41 < 2.58 で異なっている. 実は, 前者の式
は後者の式の辺々を二乗したものになっている. χ2 分布の『2 乗』は

第3章

94

検定

このことを示している. つまり, 自由度 1 の χ2 分布は標準正規分布の二乗なのである. ちなみに, 自由度 n の χ2 分布は n 個の独立な標準正規分布の二乗の和である.

問題 35 エンドウ豆の交配実験の結果, 次の表のようになった.

種類

丸黄

丸緑

しわ黄

しわ緑

計

個数

134

49

39

26

248

これらの個数の比率がメンデルの法則通り, 9 : 3 : 3 : 1 になっているといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.
メンデルの法則通り, 9:3:3:1 になっているとすると,

種類

丸黄

丸緑

しわ黄

しわ緑

計

理論度数

139.5

46.5

46.5

15.5

248

となる.

T ∼ χ23であり, 1% の棄却域は T > 11.345 となる.

T =(134 − 139.5)2 (49 − 46.5)2 (39 − 46.5)2 (26 − 15.5)2+++= 8.673835 < 11.345
13.95
46.5
46.5
15.5

より, 棄却域に入っていないので, 「メンデルの法則通りになっているといえる」.
メンデルの法則を知らなくて『丸緑』や『しわ黄』の意味がわからなくても, 解くには問題ないであろう. なお, 理論度数はあくまで理論上のものなので, 整数でなくてもなんら構わない.
注意

ここでは問題 35 の設定を, 「メンデルの法則は間違っているんじゃないか」と思って検定した, というように解釈した. だから,

3.2 χ2 検定

95

自分の思っているのと逆の, 現状理解されている通りの, メンデルの法則を帰無仮説として, それを仮定したところから始める, という流れは仮説検定のときと同じで, 自然に思える.
しかし, 適合度検定は, 自分の立てた理論が正しいことを示すために使われることもあるので注意が必要である. つまり, 問題 35 で言えば, メンデルの法則を思いついた人が (メンデル氏自身が, と言った方が良いかも), 「自分の理論通りだとすると」から始めて, 上と同じ計算を行って, 自分の理論通りだったと結論する, という使われ方をすることがある. だが, これは検定の態度としてよろしくない (読者は第 3.1 節のディベートの例えなどを思い起こされたい).
ところが, かといって「自分の理論通りでなかったとすると」から始めるわけにはいかないし, 例えば「1:1:1:1 だとすると」で始めてこれが棄却されても, だから 9:3:3:1 であると言えるわけでもない.

9:3:3:1 であるという結論を導くようにしたいなら, やはり, 上のように「9:3:3:1 であるとすると」で始めるしかないのである.
強いて言えば, 考えられる結論 (1:1:1:1 だとか 1:2:3:4 とか) のどれで検定しても全部棄却されるので, 唯一採択された 9:3:3:1 しかない,とすることになるだろう. とにかく, 自分の立てた理論が正しいこと
を検定を用いて示すのに適合度検定を使うことはあるが, これは良い検定ではない, ということだけ理解しておいてほしい.

3.2.2 独立性検定
独立性検定とは, ある 2 つの事柄が関係があるか無関係であるかを検定するものである. アンケートを取ったとき, 2 つの項目について関係があるかどうかを調べるのに使われることが多い.

第3章

96

検定

例題 36 テレビ番組の視聴率調査において, 30 歳代の男女別と普段よく見る番組のタイプを分類して, 次の結果を得た. 性別と視聴番組とは関係があるといえるか, 有意水準 5% で検定せよ.

性別

ニュース

ドラマ

娯楽

教養

計

男

115

62

90

33

300

女

38

80

56

26

200

計

153

142

146

59

500

解答を「性別と視聴番組に関係がないとすると」で始めるのは, 仮説検定と同じで理解しやすいであろう.
さて, 性別と視聴番組に関係がないとすると, 男女の人数が 300：200 なので, それに応じてそれぞれの項目で人数が分配されて

性別

ニュース

ドラマ

娯楽

教養

計

男

91.8

85.2

87.6

35.4

300

女

61.2

56.8

58.4

23.6

200

計

153

142

146

59

500

となる. これが, 前節で言うところの「理論度数」ということになる. 問題の表とこの表の 8 個の数値が近いか遠いかを検定することになるので, 検定する量はやはりT =(33 − 35.4)2(115 − 91.8)2+ ··· +
91.8
35.4
(38 − 61.2)2(26 − 23.6)2++ ··· +
61.2
23.6

となる.
この T はやはり χ2 分布に従うが, その自由度はいくつになるだろうか. 8
個の数字だから 7, ではない. この 8 個の数字は

3.2 χ2 検定

97

性別

ニュース

ドラマ

娯楽

教養

計

男

A

B

C

D

300

女

E

F

G

H

200

計

153

142

146

59

500

によって決まっている. さて, これらの数字にどれだけの自由があるかだが,A の値が決まれば, A + E = 153 によって E の値が決まる. 同様に B の値が決まれば F の値が決まってしまう. C の値が決まれば G の値が決まり, このとき, A + B + C + D = 300 によって, D の値も決まる. さらに,

D + H = 59 なので, H の値が決まる. つまり, A, B, C の 3 つが決まれば残りは自動的に決まってしまう. すなわち, この 8 個の数字の自由度は 3 である.

T ∼ χ23より, 5% の棄却域を T > 7.815 と右側にだけ設けるのは前節と同じである.
上の T を計算すると T = 31 > 7.815 となるので, 実測度数と理論度数は有意に異なっている. つまり, 「性別と視聴番組には関係があるといえる」.
以上の解法を, 文字でまとめると次のようになる.

98
第 3 章 検定
babababababababababababababab

母集団が 2 つの特性 A,B を持っているとする. 性質 A は互いに素な h 個のクラス A1 , . . . , Ah に分割され, 性質 B は互いに素な k
個のクラス B1 , . . . , Bk に分割されているものとする. n 回の実験の結果, Ai ∩ Bj に入ったものの個数 (実測度数) を fij とすると,

Pk

j=1 fij

Ai となる確率 pi =nPh, Bj となる確率 qj =i=1 fijnとなるから, Ai , Bj が独立とすると, Ai ∩ Bj に入る期待個数 (理論度数)mij = npi qj である. このとき,

T =

k X
h
X
(mij − fij )2

mij

j=1 i=1

は自由度 (h − 1)(k − 1) の χ2 分布に従う.

注意

クラス

B1

···

Bk

計

A1
..
.

f11
..
.

···
..
.

f1k
..
.

np1
..
.

Ah

fh1

···

fhk

npk

計

nq1

···

nqk

n

例題 36 のようにアンケートの結果を集計するとき, 数の少ない項目の扱いには注意が必要である. 例えば

3.2 χ2 検定

99

性別

ニュース

ドラマ

娯楽

教養

将棋

囲碁

計

男

115

62

90

31

1

1

300

女

38

80

56

26

0

0

200

計

153

142

146

57

1

1

500

なんてなっていると, 自由度が 5 になるので, 棄却域がだいぶ変わってくる. こんな調子で数が 0 や 1 の項がいくつもあると, 表の様子はほとんど違わないのに棄却域が変わってきて結論が変わるかもしれな
い. よって, 数が 5 より小さい項があるときは, 他の項と合併させる
ようにするとよい.
アンケートの場合, 質問者が用意した選択肢にうまく満遍なく回答が割れるとは限らないので, こういう処置が必要になる.

問題 37 福祉事業に従事する人 200 人に次のようなアンケートを取ったところ, 表のような結果であった.

(1) 今の仕事は自分の能力や性格にあっていると思いますか.
(2) この職業をいつまでも続けていきたいと思いますか.
自分にあった仕事をしている人ほど, 今の仕事をいつまでも続けていきたいと思っているといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.

(2)
(1)

はい

いいえ

計

はい

75

45

120

いいえ

45

35

80

計

120

80

200

2 つの質問の回答に関係がないとすると

第3章

100

(2)
(1)

はい

いいえ

計

はい

72

48

120

いいえ

48

32

80

計

120

80

200

検定

となる.

T ∼ χ21であり, 1% の棄却域は T > 6.635 となる.

T =(75 − 72)2 (45 − 48)2 (45 − 48)2 (35 − 32)2+++
= 0.78125 < 6.635
72
48
48
32

より, 棄却域に入っていないので, 「自分にあった仕事をしている人ほど, 今の仕事をいつまでも続けていきたいと思っているといえない」.
この問題のような「はい」「いいえ」で答えるアンケートは集計するのも簡単なので, よく使われる. 回答のそれぞれに関係があるかないかを調べるのは, アンケートの分析として基本的なことである.
注意

下のような 2 × 2 の表の場合, 独立性を検定するための統計

量T は



a21
a22
b21
b22
+
+
+
−1
nA n1
nA n2
nB n1
nB n2
n(a1 b2 − a2 b1 )2=
n1 n2 nA nB

T =nで表される.

I

II

計

A

a1

a2

nA

B

b1

b2

nB

計

n1

n2

n


(B)
(C)

3.3 演習問題

101(B) の公式は若干の変更で 2 × 2 以外のときにも使えるが, (C) の公式は 2 × 2 でしか使えないことに注意. (この場合は, T ∼ χ21 である.)

3.3 演習問題
17

オーストラリア人の新生児の身長の平均は 50.5cm であることが知られている. 日本人の新生児 150 人の身長を測定したところ, 次のようであった. (単位は cm)

身長 (cm)

人数

44–47

39

47–50

57

50–53

30

53–56

24

日本人の新生児の身長の平均はオーストラリア人の新生児の身長の平均と異なるといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.

18ある婦人の団体は平均体重が 55.8kg であった. そこで減量のためにエアロビクスを始めて 1 ヶ月後, その中から 9 人を選んで体重を測定したところ, 次のようであった. (単位は kg)

54.5, 54.0, 56.0, 55.0, 56.5, 56.0, 53.5, 55.0, 54.5
エアロビダンスは減量に効果があったといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.

19

ある昆虫の体長の分布は正規分布に従い, その分散は 40 であることがしられている. 特別な環境で育った昆虫を 8 匹採集してきたところ, その

第3章

102

検定

体長は次のようであった.(単位は mm)

67.0, 42.8, 69.3, 64.0, 54.6, 55.1, 59.9, 71.2
特別な環境で育った昆虫の体長の分散が大きくなっているといえるか, 有意
水準 5% で検定せよ.

20

超能力の実験で, ある人が赤と黒に色分けされたカードの色を 52 枚のうち, 32 枚当てた. この人に超能力があるといえるか, 有意水準 1% で検
定せよ.

21

次 の 表 は, 平 成 19 年 に 発 生 し た 交 通 人 身 事 故 の 発 生 件

数 で あ る.

各警察署管内での事故の発生件数は曜日によらず 一 定 で あ る と い え る か, そ れ ぞ れ 有 意 水 準 1% で 検 定 せ よ.

(http://www.keishicho.metro.tokyo.jp/kankatu/kankatsu.htm)

22

曜日

月

火

水

木

金

土

日

(1) 浅草警察署

53

59

52

50

45

58

48

(2) 池袋警察署

53

51

47

63

68

65

41

(3) 新宿警察署

112

133

127

123

170

119

88

(4) 赤坂警察署

68

80

69

68

86

45

23

日本人の血液型の分布は A : B : O : AB = 4 : 2 : 3 : 1 であることが知られている. ある病院の看護婦 150 人の血液型を調べたところ, 表のようになった. これは普通の日本人の血液型分布と同じであるといえるか, 有意
水準 1% で検定せよ.

23

血液型

A

B

O

AB

計

人数

78

24

36

12

150

3 人の教師, X 氏, Y 氏, Z 氏の講義の合格者は次の表のようであっ3.3 演習問題

103

た. 教官によって, 合格者の比率に違いがあるといえるか, 有意水準 5% で
検定せよ.

24

教官名

合格者数

不合格者数

X氏

50

5

Y氏

47

14

Z氏

56

8

100 人の学生の英語と数学の成績を調査した結果, 表のような結果になった. 両科目の成績に関係があるといえるか, 有意水準 5% で検定せよ.

英

数
学

語

優

良

可

優

16

8

8

良

10

22

9

可

7

8

12

105

付録 A

補足
A.1 Z = (X − µ)/σ について
25 ページで述べたこと
babababababababababababababab

確率変数 X が平均 µ, 分散 σ 2 の正規分布に従うとき, Z =とおくと, Z は標準正規分布に従う.
このとき, a < X < b となる確率は,確率と同じである.

a−µ
b−µ
<Z<
となる
σ
σ

を置換積分を使って証明しよう.

X ∼ N (µ, σ 2 ) より, a < X < b となる確率は
Z b
a

√

1
2πσ 2

X −µ
σ

(x−µ)2e− 2σ2 dx

付録 A

106
であるが, z =

補足

x−µ
dx
と置換すると, dz =より,
σσ
Z (b−µ)/σz2
1√ e− 2 dz
2π(a−µ)/σとなる. これは Z ∼ N (0, 1) とするとき,同じである.

a−µb−µ<Z<となる確率とσσ

A.2 連続性の補正
まずは, 説明のために次の問題を考えてみよう.
問題 38 1 個の正しい硬貨を 100 回投げたとき, 表の出る回数が(1) 45 ∼ 55 回
(2) 60 回以上となる確率を求めよ.

100 回投げたときの表の比率を P とすると, p = 0.5 なので公式により

0.5 × 0.5
P − 0.5
P ∼ N 0.5,
∼ N (0, 1)
つまり q
100
0.5×0.5
100(1) 0.45 ≦ P ≦ 0.55 となる確率を求めればよいから,0.45 − 0.5
P − 0.5
0.55 − 0.5
q≦q≦ q
0.5×0.5100

つまり0.5×0.5100

0.5×0.5
100

P − 0.5−1 ≦ q≦1
0.5×0.5100となる確率を求めて, 2 × 0.3413 = 0.6826 である.

A.3 F 分布

107(2) P ≧ 0.60 となる確率を求めればよいから,
P − 0.5
0.60 − 0.5q≧ q
0.5×0.5100

つまり0.5×0.5
100

P − 0.5q≧2
0.5×0.5100となる確率を求めて, 0.5 − 0.4772 = 0.0228 である.
続きは後で書く.

A.3 F 分布

109

付録 B

演習問題の解答
B.1 第一章の問題解答

1

3 つのクラスの平均点はそれぞれ 79 点, 74 点, 82 点だった. 各クラスの学生数はそれぞれ 32 人, 25 人, 17 人である. 全体の平均を求めよ.

79 × 32 + 74 × 25 + 82 × 17
= 78
32 + 25 + 17

2

ある会社の従業員の平均月収は 50 万円である. 男子の平均月収は 52

万円, 女子の平均月収は 42 万円であった. この会社の男子と女子の従業員の割合を求めよ.

男子の割合を p (0 < p < 1) とすると,

52p + 42(1 − p) = 50
より, p = 0.8. よって, 男子と女子の割合は, 0.8 : 0.2 = 4 : 1 である.

付録 B

110

演習問題の解答

ある畑で収穫された作物から 36 個を取り出し, 重量 (単位はグラム) を3測定して次の結果を得た.

146.6
161.5
157.9
156.2
151.7
148.8

155.3
170.8
143.0
157.3
137.3
143.4

136.2
156.0
153.7
150.2
154.8
155.0

151.9
158.1
151.2
145.7
141.7
159.3

162.7
142.3
167.2
161.1
151.4
158.1

(1) 135g から始まる級間隔 5g の度数分布表を書け.
(2) (1) を用いて平均, 標準偏差を計算せよ.
(3) 平均, 標準偏差を度数分布表を用いずに計算せよ.

(1)
重量 (g)

個数

135–1402

140–1454

145–1505

150–15510

155–160

10

160–1653

165–1701

170–175
1(2) 平均：153.1g, 標準偏差：7.708g(3) 平均：152.6g, 標準偏差：7.617g

153.3
154.0
146.9
156.3
150.7
147.5

B.1 第一章の問題解答
4111

ある試験の成績の最上位 15% は「優」であり, 次の 50% は「良」, その次の 30% が「可」で, 残りの 5% が「不可」の評価を受けるとする.
試験の点数が, 平均 64.7 点, 標準偏差 19.7 点 の正規分布に従うとするとき,
次の問いに答えよ.

(1) この試験で 83 点 をとった A 君の成績は何か.
(2) この試験で 48 点 をとった B 君の成績は何か.
(3) 優の評価を受けるための最低点は何点か.
(4) 不可の評価を受けないための最低点は何点か.

(1)(2) と (3)(4) では表の見方が逆になっているので注意.
(1) 得点を X とすると, X ∼ N (64.7, 19.72 ) なので, Z = X−64.7
19.7 とおくと, Z ∼ N (0, 1) である. A 君は X = 83 より, Z = 83−64.7= 0.9319.7
なので, 表より, 0.5 − 0.3238 = 0.1762 で, A 君は上位 17.62% の位
置にいることがわかる. よって, A 君の成績は「良」.

(2) は (1) と同様にできる.
Z = X−64.7
19.7 とおくと, Z ∼ N (0, 1) までは同じで, B 君は X = 48 より, Z = 48−64.7= −0.85 なので, 表より, 0.5 ＋ 0.3023 = 0.8023 で,
19.7

B 君は上から 80.23% の位置にいることがわかる. よって, B 君の成績は「可」.

(3) 表より Z > 1.04 となる割合が 15% となるので (X − 64.7)/19.7 >
1.04, つまり X > 85.188 の割合が 15% とわかる. よって求める答は86 点.
(4) 表より Z < −1.64 となる割合が 5% となるので (X −64.7)/19.7 ＜ −1.64, つまり X < 32.392 の割合が 5% とわかる. よって求める答は
33 点.

付録 B

112

演習問題の解答

次の表は, 平成 17 年度センター試験の結果の一部である.

5

科目名

受験者数

平均点

最高点

最低点

標準偏差

現代社会

198,746
70.22
100
0
12.41
370,156
69.43
100
0
22.98
英語
520,048 116.18
200
0
37.98
(http://www.dnc.ac.jp/center_exam/17exam/17heikin.html から抜粋)
数学・数学ＡA 君は現代社会で 78 点, 数学・数学Ａで 79 点, 英語で 137 点だった. 彼は,
この 3 科目のうちで, どの科目の成績が一番よかったといえるか.

前の問題と同様に,

得点 − 平均
標準偏差(A)を計算すると, 現代社会は,

78 − 70.22= 0.63
12.41
数学・数学Ａは,

英語は,79 − 69.43= 0.4222.98
137 − 116.18= 0.5537.98となる. このことから, 表を見ると, 現代社会は上位 26.43%, 数学・数学Ａ
は上位 33.72%, 英語は上位 29.12% の位置にいることがわかるが, いちいち調べなくても, (A) の数値が最も大きい現代社会が一番成績が良いことはわ
かる. つまり, (A) の値の大小を調べれば, 平均が違うものを比較することができるわけである. ちなみに偏差値は, 現代社会が 56.3, 数学・数学Ａが54.2, 英語は 55.5 である.

B.1 第一章の問題解答
6

113

52 枚のトランプから 5 枚のカードを抽出する. 次のものを求めよ.
(1) 52 枚のカードの数字の平均 µ と標準偏差 σ.
(2) 復元抽出の場合, 抽出されたカードの数字の標本平均 X̄ の平均と標準偏差. 抽出されたカードの数字の標本分散 U 2 の平均.
(3) 非復元抽出の場合, 抽出されたカードの数字の標本平均 X̄ の平均と標準偏差. 抽出されたカードの数字の標本分散 U 2 の平均.

公式に当てはめて計算するだけ.

(1) 平均は,µ=(1 + 2 + · · · + 13) × 4=752

標準偏差は, 分散が(12 + 22 + · · · + 132 ) × 4− 72 = 1452√となるので, σ = 14
σ2 =(2) 標本平均 X̄ の平均は µ と同じなので, 7. 標準偏差は
r
r
σ2
14
=
= 1.67355
標本分散 U 2 の平均は σ 2 と同じなので, 14.

(3) 標本平均 X̄ の平均は µ と同じなので, 7. 標準偏差はrr
52 − 5 σ 2
658
×== 1.60652 − 15255
標本分散 U 2 の平均は

52
728
σ2 =
= 14.27
52 − 1
51
7

ある店で発送される商品の重さは, 平均 30kg で標準偏差が 5kg の正規分布に従う. 積載容量 780kg のエレベーターにその商品をのせる場合, 任意に到着した 25 個がそのエレベータの容量を越える確率はいくらか.

付録 B

114

演習問題の解答

母集団は N (30, 52 ) に従うので, 標本平均 X̄ は N (30, 52 /25) = N (30, 12 )に従う. いつも通りZ=

X̄ − 301

とおくと, Z ∼ N (0, 1) である.
積載容量 780kg を越える確率を求めるので X̄ > 780 で…とするのが唯一の間違え所だが, X̄ は「平均」で, 780kg は「合計」なので, 25 個の場合,求めるのは X̄ > 780/25 = 31.2 となる確率である. Z = X̄ − 30 だったから, これは Z > 31.2 − 30 = 1.2 となる確率と同じ. よって表 [N] より,

0.5 − 0.3849 = 0.1151 が答えである.

B.2 第二章の問題解答8あるブラウン菅の寿命の標準偏差は 100 時間であることが知られている. 平均寿命の 99% 信頼区間が ±20 時間以内になるようにするためには, 標本の大きさをどれくらいとらねばならないか.

すべてのブラウン菅の寿命 (母平均) を µ とし, 取り出した n 個のブラウン菅の平均 (標本平均) を X̄ とすると,X̄ − µ√ ∼ N (0, 1)
100/ nとなり, 99% 信頼区間を求めると,−2.58 <

X̄ − µ√ < 2.58
100/ nを計算して,

100
100
X̄ − 2.58 × √ < µ < X̄ + 2.58 × √nnB.2 第二章の問題解答

115となる. つまり, ○ − △ < µ < ○ + △ の形になっているわけだが, これが±20 以内というのだから, △ ≦ 20 ということになる. よって,
100
2.58 × √ ≦ 20nを解いて, n ≧ 166.41. つまり, 標本の大きさを 167 以上取ればよい.
9下の表はある中学校の 3 年生女子の身長の度数分布表である. すべての中学 3 年生女子の平均身長の 99% 信頼区間を求めよ.

身長 (cm)人数

140–145
145–150
150–155
155–160
160–165
165–170

14
30
64
56
26
10

平均身長を µ とすると, 標本数が 200 と大きいので,X̄ − µ√∼ N (0, 1)
U/ 200となり, 表 [N] より,−2.58 ≦

X̄ − µ√≦ 2.58
U/ 200が 99% の確率で成り立つ. X̄ = 154.5, U = 6.18 より−2.58 ≦

154.5 − µ√≦ 2.58
6.18/ 200は 99% の確率で正しい.
よって, 平均 µ の 99% 信頼区間は

6.18
6.18
154.5 − 2.58 × √≦ µ ≦ 154.5 + 2.58 × √200200（答）153.37 ≦ µ ≦ 155.63

付録 B

116
10

演習問題の解答

A 君の今年ゴルフに 14 回行ったが, そのスコアはつぎのようであった.
96, 94, 107, 101, 98, 98, 104, 99, 95, 100, 102, 98, 96, 98

A 君の平均スコアの,90% 信頼区間を求めよ.

平均スコアを µ とすると, 標本数が 14 と少ないので,X̄ − µ√ ∼ t13 とな
U/ 14

り, 表 [T] より,−1.8946 ≦X̄ − µ√ ≦ 1.8946
U/ 14

が 90% の確率で成り立つ. X̄ = 99, U = 3.5734 より−1.8946 ≦99 − µ√ ≦ 1.8946
3.5734/ 14

は 90% の確率で正しい.
よって, 平均 µ の 90% 信頼区間は

3.5734
3.573499 − 1.8946 × √≦ µ ≦ 99 + 1.8946 × √1414（答）97.2 ≦ µ ≦ 100.811ある溶液の pH を何回か測定して,6.70, 6.78, 6.93, 6.90, 6.96, 6.52, 6.99, 6.62という結果を得た. この溶液の pH の 95% 信頼区間を求めよ.

pH を µ とすると, 標本数が 8 と少ないので,
より,−2.3646 ≦X̄ − µ√ ∼ t7 となり, 表 [T]U/ 8X̄ − µ√ ≦ 2.3646
U/ 8

B.2 第二章の問題解答

117

が 95% の確率で成り立つ. X̄ = 6.80, U = 0.1731 より−2.3646 ≦6.80 − µ√ ≦ 2.3646
0.1731/ 8

は 95% の確率で正しい.
よって, 平均 µ の 95% 信頼区間は

6.8 − 2.3646 ×0.17310.1731√≦ µ ≦ 6.8 + 2.3646 × √88（答）6.66 ≦ µ ≦ 6.94

12

成人男性 12 名の血中コレステロールの標本標準偏差は 9.04mg/dℓ であった. すべての成人男性の血中コレステロール量の標準偏差に対する, 90%
信頼区間を求めよ.

標準偏差を σ とすると, 標本数が 12 なので,より,4.575 ≦

11U 2
∼ χ211 となり, 表 [X]σ2

11 × 9.042≦ 19.675
σ2が 90% の確率で成り立つ. よって, 標準偏差 σ の 90% 信頼区間はr

11 × 9.042≦σ≦19.675r

11 × 9.042
4.575（答）6.759 ≦ σ ≦ 14.017

13ある化学製品から大きさ 10 の標本を抽出して 1kg あたりの不純物を分析したら, それぞれ次のような値であった. (単位は g)

34.4, 32.4, 26.3, 25.8, 23.5, 36.2, 30.3, 32.1, 35.3, 28.0
この製品 1kg に含まれる不純物の量の標準偏差の 95% 信頼区間を求めよ.

付録 B

118
標準偏差を σ とすると, 標本数が 10 なので,より,2.700 ≦

演習問題の解答

9U 2∼ χ29 となり, 表 [X]σ2

9 × U2≦ 19.023
σ2が 90% の確率で成り立つ.

U = 4.37 より,
2.700 ≦

9 × 4.372≦ 19.023
σ2

は 90% の確率で正しい.
よって, 標準偏差 σ の 90% 信頼区間はr

9 × 4.372≦σ≦19.023r

9 × 4.372
2.7（答）3.005 ≦ σ ≦ 7.978

14

巨人時代の松井秀喜選手の成績は 4572 打数 1390 安打であった. 彼の打率の 95% 信頼区間を求めよ.

打率を p とすると, p

P −pp(1 − p)/4572

で, 表 [N] より,∼ N (0, 1) となり, P =

1390
なの
4572

1390
−p
−1.96 < p 4572
< 1.96p(1 − p)/4572

が 95% の確率で成り立つ. これは−1.96 < q1390
4572 − p1390
4572< 1.96
1 − 13904572 /4572

として計算してよいので, 打率 p の 95% 信頼区間はs
1390− 1.96
4572

1390
3182
4572 × 4572

4572

s
1390
<p<
+ 1.96
4572

1390
3182
4572 × 4572

4572

B.2 第二章の問題解答

119（答）0.2907 < p < 0.3174

15

母集団が密度関数{λe−λx ,
0,f (x) =

0 ≦ x,
それ以外を持つとする. この母集団から n 個の標本 X1 , X2 , . . . , Xn が得られたときの, λ の最尤推定量を求めよ. (λ > 0)

標本の値が X1 = x1 , · · · , Xn = xn となる確率を L(λ) とするとL(λ) = λe−λx1 . . . λe−λxn= λn e−λ(x1 +···+xn )である. これが, 最大になるような λ の値を見つければよい. 両辺の自然対数を取ってlog L(λ) = n log λ − λ(x1 + · · · + xn ).
この両辺を λ で微分してL′ (λ)n= − (x1 + · · · + xn )L(λ)λ
となるので,L′ (λ) = L(λ)

nnλo
− (x1 + · · · + xn )nである. L′ (λ) = 0 となるのは λ = x1 +···+xのときだから
n

λ
L′
L

0

···
+
↗

n
x1 +···+xn

0
最大

···
−
↘

よって, L(λ) は λ = n/(x1 + · · · + xn ) のとき最大値を取ることが分かる. すなわち, λ の最尤推定量は n/(X1 + · · · + Xn ) である.

付録 B

120

演習問題の解答

B.3 第三章の問題解答

16

オーストラリア人の新生児の身長の平均は 50.5cm であることが知られている. 日本人の新生児 150 人の身長を測定したところ, 次のようであった. (単位は cm)

身長 (cm)

人数

44–47
47–50
50–53
53–56

39
57
30
24

日本人の新生児の身長の平均はオーストラリア人の新生児の身長の平均と異なるといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.

日本人の新生児の身長の平均を µ とすると
帰無仮説

µ = 50.5

対立仮説µ ̸= 50.5

B.3 第三章の問題解答

121

である.
帰無仮説が正しいとすると,X̄ − 50.5√∼ N (0, 1)
U/ 150が成り立つ.
表 [N] より, 1% の棄却域は|X̄ − 50.5√| > 2.58
U/ 150となる. X̄ = 49.28, U = 3.058 より49.28 − 50.5√
= −4.885 < −2.58
3.058/ 150となり, 棄却域に入っているので, 帰無仮説を棄却する. つまり, 「日本人の新生児の身長の平均はオーストラリア人の新生児の身長の平均と異なるとい
える」.

17

ある婦人の団体は平均体重が 55.8kg であった. そこで減量のためにエアロビクスを始めて 1 ヶ月後, その中から 9 人を選んで体重を測定したところ, 次のようであった. (単位は kg)

54.5, 54.0, 56.0, 55.0, 56.5, 56.0, 53.5, 55.0, 54.5
エアロビダンスは減量に効果があったといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.

エアロビクス後の平均体重を µ とすると
帰無仮説

µ = 55.8

対立仮説µ < 55.8

付録 B

122

演習問題の解答

である.
帰無仮説が正しいとすると,X̄ − 55.8
√
∼ t8
U/ 9
が成り立つ.
表 [T] より, 1% の棄却域はX̄ − 55.8√< −2.8965
U/ 9となる. X̄ = 55, U = 1 より

55 − 55.8√= −2.4 > −2.8965
1/ 9となり, 棄却域に入っているので, 帰無仮説を採択する. つまり, 「エアロビ
ダンスは減量に効果があったといえない」.

18

ある昆虫の体長の分布は正規分布に従い, その標準偏差は 6.35mm であることがしられている. 特別な環境で育った昆虫を 8 匹採集してきたとこ
ろ, その体長は次のようであった.(単位は mm)

67.0, 42.8, 69.3, 64.0, 54.6, 55.1, 59.9, 71.2
特別な環境で育った昆虫の体長の標準偏差が大きくなっているといえるか, 有
意水準 5% で検定せよ.

特別な環境で育った昆虫の体長の標準偏差を σ とすると
帰無仮説

σ = 6.35

対立仮説

σ ̸= 6.35

B.3 第三章の問題解答

123

である.
帰無仮説が正しいとすると,

7U 2
∼ χ7
6.352
が成り立つ.
表 [X] より, 5% の棄却域は

7U 2< 1.690
6.352
または

16.013 <

7U 2
6.352

となる. U = 9.442 より

7 × 6.352= 3.166
9.4422となり, 棄却域に入っていないので, 帰無仮説を採択する. つまり, 「特別な環境で育った昆虫の体長の標準偏差が大きくなっているといえない」.

19

超能力の実験で, ある人が赤と黒に色分けされたカードの色を 52 枚のうち, 32 枚当てた. この人に超能力があるといえるか, 有意水準 1% で検定せよ.

この人がカードの色を当てる確率を p とすると
帰無仮説

p = 0.5

対立仮説

p > 0.5

付録 B

124

演習問題の解答

である.
帰無仮説が正しいとすると,

P − 0.5q∼ N (0, 1)
0.5×0.552が成り立つ.
表 [N] より, 1% の棄却域はP − 0.5
q> 2.33
0.5×0.552となる. P = 32
52 より
32
52
q

− 0.5

= 1.66 < 2.33

0.5×0.552となり, 棄却域に入っていないので, 帰無仮説を採択する. つまり, 「この人に超能力があるといえない」.

次 の 表 は,20

数 で あ る.

平 成 19 年 に 発 生 し た 交 通 人 身 事 故 の 発 生 件

各警察署管内での事故の発生件数は曜日によらず 一 定 で あ る と い え る か,

そ れ ぞ れ 有 意 水 準 1% で 検 定 せ よ.

(http://www.keishicho.metro.tokyo.jp/kankatu/kankatsu.htm)

発
生
件
数

曜日

月

火

水

木

金

土

日

(1) 浅草警察署(2) 池袋警察署(3) 新宿警察署(4) 赤坂警察署

53
53
112
68

59
51
133
80

52
47
127
69

50
63
123
68

45
68
170
86

58
65
119
45

48
41
88
23

曜日によらず一定であるとすると,

B.3 第三章の問題解答

125

曜日

月

火

水

木

金

土

日

理

(1) 浅草警察署

365/7

365/7

365/7

365/7

365/7

365/7

365/7

論

(2) 池袋警察署

388/7

388/7

388/7

388/7

388/7

388/7

388/7

度

(3) 新宿警察署

872/7

872/7

872/7

872/7

872/7

872/7

872/7

数

(4) 赤坂警察署

439/7

439/7

439/7

439/7

439/7

439/7

439/7

となる.

T ∼ χ26であり, 1% の棄却域は T > 16.812 となる.

(1)
T =

(53 − 365/7)2+ · · · = 2.969863 < 16.812
365/7

より, 棄却域に入っていないので, 「浅草警察署管内での事故の発生
件数は曜日によらず一定であるといえる」.

(2)
T =

(53 − 388/7)2+ · · · = 11.03608 < 16.812
388/7

より, 棄却域に入っていないので, 「池袋警察署管内での事故の発生
件数は曜日によらず一定であるといえる」.

(3)
T =

(112 − 872/7)2+ · · · = 29.45872 < 16.812
872/7

より, 棄却域に入っているので, 「新宿警察署管内での事故の発生件
数は曜日によらず一定であるといえない」.

(4)
T =

(68 − 439/7)2+ · · · = 45.08428 < 16.812
439/7

より, 棄却域に入っているので, 「赤坂警察署管内での事故の発生件
数は曜日によらず一定であるといえない」.

付録 B

126

演習問題の解答

日本人の血液型の分布は A : B : O : AB = 4 : 2 : 3 : 1 であることが21知られている. ある病院の看護婦 150 人の血液型を調べたところ, 表のようになった. これは普通の日本人の血液型分布と同じであるといえるか, 有意水準

1% で検定せよ.
血液型
人数

A
78

B
24

O
36

AB
12

計

150

普通の日本人の血液型分布と同じで, A : B : O : AB = 4 : 2 : 3 : 1 になっているとすると,

血液型

A

B

O

AB

計

理論度数

60

30

45

15

150

となる.

T ∼ χ23であり, 1% の棄却域は T > 11.345 となる.

T =(24 − 30)2
(36 − 45)2
(12 − 155)2(78 − 60)2+++
= 9 < 11.345
60
30
45
15

より, 棄却域に入っていないので, 「普通の日本人の血液型分布と同じであるといえる」.
3 人の教師, X 氏, Y 氏, Z 氏の講義の合格者は次の表のようであった.
教官によって, 合格者の比率に違いがあるといえるか, 有意水準 5% で検定
せよ.
22

教官名

合格者数

不合格者数

X氏
Y氏
Z氏

50
47
56

5
14
8

B.3 第三章の問題解答

127

教官によって, 合格者の比率に違いがないとすると

教官名

合格者数

不合格者数

計

X氏

46.75

8.25

55

Y氏

51.85

9.15

61

Z氏

54.4

9.6

64

計

153

27

180

となる.

T ∼ χ22であり, 5% の棄却域は T > 5.991 となる.

T =(50 − 46.75)2+ · · · = 4.84 < 5.991
46.75

より, 棄却域に入っていないので, 「教官によって, 合格者の比率に違いがあ
るといえない」.

23

100 人の学生の英語と数学の成績を調査した結果, 表のような結果になった. 両科目の成績に関係があるといえるか, 有意水準 5% で検定せよ.

英
数

優
良

学

可

語

優

良

可

16
10
7

8
22
8

8
9
12

両科目の成績に関係がないとすると

付録 B

128

英

数
学
計

演習問題の解答

語

優

良

可

計

優

10.56

12.16

9.28

32

良

13.53

15.58

11.89

41

可

8.91

10.26

7.83

27

33

38

29

100

となる.

T ∼ χ24であり, 5% の棄却域は T > 9.488 となる.

T =(16 − 10.56)2+ · · · = 11.8 > 9.488
10.56

より, 棄却域に入っているので, 「英語と数学の成績に関係があるといえる」.

129

付録 C

数表
C.1 正規分布表
略C.2 t 分布表略C.3 χ2 分布表
略

130

索引
χ2 分布, 55
ガウス分布, 18
確率変数, 15片側検定, 80
棄却, 73
棄却域, 78
危険率, 76
期待値, 16
帰無仮説, 72級, 12級間隔, 12
級代表値, 12t 分布, 50
度数分布表, 12
ヒストグラム, 13
標準偏差, 10正規分布の—, 19
標本, 30
標本分散, 35
標本平均, 32
不偏推定量, 68
分散, 8
正規分布の—, 19

区間推定, 45
採択, 73
最尤推定値, 65
最尤推定法, 64
最尤推定量, 67
正規分布, 18
標準—, 19平均, 5正規分布の—, 19
偏差値, 28
母集団, 30
母数, 45
母標準偏差, 32
母分散, 32
母平均, 32

相対度数, 14密度関数, 17大数の法則, 41
対立仮説, 72

メジアン, 7

抽出モード, 6

非復元—, 31
標本—, 30
復元—, 31
中心極限定理, 38
通知表, 27

有意水準, 76
両側検定, 80
連続性補正, 59