Appendice : Cohomologie des bXŸ(Z, s)-modules cohŽrentspar Pierre BERTHELOT

Nous donnons ici quelques rŽsultats sur la cohomologie des modules cohŽrents surles alg•bres bXŸ(Z, s), lorsque Z est un diviseur ample dans un schŽma X projectif surune base S. Rappelons que, si S = SpecÊv, o• v est un anneau de valuation discr•tecomplet d'inŽgales caractŽristiques (0,ÊÊp), d'idŽal maximal µ, de corps des fractions K,et si x est le schŽma formel associŽ ˆ X, les complŽtŽes µ-adiques ^bXÊ(Z, s) de ces alg•bres fournissent des mod•les entiers des alg•bres de fonctions analytiques sur certains
ouverts afÞno•des de la Þbre gŽnŽrique xK de x (au sens rigide analytique), complŽmentaires de tubes ouverts de rayon < 1 de Z dans xK (voir par exemple [3]). Par suite, ilrŽsulte a priori des thŽor•mes d'annulation de Kiehl que, sous ces hypoth•ses, la cohomologie d'un ^bXÊ(Z, s)-module cohŽrent est de torsion en degrŽs positifs. Toutefois, cettepropriŽtŽ est trop faible pour s'Žtendre directement aux modules cohŽrents sur lesanneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels complŽtŽs considŽrŽs ici. Nous la prŽcisons donc pardes rŽsultats de Þnitude et d'annulation des groupes de cohomologie de degrŽ ³ 1, qui
montrent que, du point de vue cohomologique, une variŽtŽ projective munie du faisceaubX(Z, s) associŽ ˆ un diviseur ample se comporte ˆ torsion bornŽe pr•s comme l'ouvertafÞne complŽmentaire de Z. En particulier, nous verrons que, lorsque X = PÊNS , lesalg•bres bXŸ(Z, s) satisfont les propriŽtŽs (b1) et (b2) de 2.1, de sorte qu'on peut appliquer
les rŽsultats de cet article aux faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels ˆ singularitŽs surconvergentes.

1. Soient p un nombre premier, s ³ 1 un entier, X un schŽma, Z Ç X un diviseur de Cartier effectif. La construction donnŽe sous des hypoth•ses plus gŽnŽrales dans [4,Ê4.2.3] se
simpliÞe ici (avec les notations de [4], on a X = S, i = 0), et permet d'associer ˆ Z u n
faisceau de oXÊ-alg•bres bXŸ(Z, s) de la mani•re suivante. Sur un ouvert U sur lequel Z estdŽÞni par une Žquation locale f, on pose b(Ÿf, s) = oXŸ[T]Ê/Ê(ŸfÊsT - p). Si f' est une autreŽquation locale de Z, donnŽe par f' = af, o• a Ô â(U,ÊÊo* ), il existe un isomorphisme
Xcanoniqueb(Ÿf, s) Ê#ÊÊ›Ê@ b(Ÿf', s) = oXŸ[T']Ê/Ê(Ÿf'ÊsT' - p),
envoyant T sur asT', gr‰ce auquel on peut dŽÞnir bXŸ(Z, s) par recollement.
On dispose alors de la description intrins•que suivante de l'alg•bre bXŸ(Z, s) :2. Lemme. Soient l un faisceau inversible sur X, tÊÔ â(ŸX, l) une section dŽÞnissantun diviseur de Cartier Z Ç X, et s Ô úŸ*. Si µ dŽsigne la multiplication par tÊ¿Ês surl'alg•bre symŽtrique S(l Ê¿Ês), il existe une suite exacte naturelle

2(1)µÊ-Êp0 Ê##@ S(lÊ¿Ês) Ê##@ S(lÊ¿Ês) Ê##@ bXŸ(Z, s) Ê##@ 0.

Soit b' le conoyau de µ - p. Si U est un ouvert de X sur lequel l poss•de une base e,on peut Žcrire t = fe, et f est une Žquation locale de Z. L'isomorphisme oXŸ[T] Ê#ÊÊ›Ê@ S(lÊ¿Ês)
envoyant T sur e¿Ês Ô S1(lÊ¿Ês) passe au quotient, dŽÞnissant sur U un isomorphismeb'ÊÊÊ#ÊÊ›Ê@ b(Ÿf, s), et, si l'on change la base e, les isomorphismes obtenus se recollent pourdŽÞnir un isomorphisme b' Ê#ÊÊ›Ê@ b (Z, s).
XŸLorsqu'aucune confusion n'en rŽsultera, nous noterons b pour bX(Z, s).

3.

Proposition.

Soient S = SpecÊŸA un schŽma afÞne nÏthŽrien, X un S-schŽmaprojectif, Z Ç X un diviseur ample. On pose l = oXŸ(Z), et, pour tout oXÊ-module e, on notee(r) = eÊÊ¢ÊÊlÊ¿Êr. Pour tout entier s ³ 1, et tout bXŸ(Z, s)-module cohŽrent e, les propriŽtŽs
suivantes sont vŽriÞŽes :(i) Il existe un entier r0 tel que, pour tout r ³ r0Ê, on puisse trouver un entier ar et u nhomomorphisme surjectif b(-Êr)ar @ e.
(ii) Pour tout n ³ 1, HÊn(ŸX, e) est un A-module de type Þni, de p-torsionÊ;(iii) Il existe un entier r0 tel que, pour tout r ³ r0 et tout n ³ 1, on ait HÊn(ŸX, e(r)) = 0.
Si e est un b-module cohŽrent, il est quasi-cohŽrent comme oXÊ-module, donc limite
inductive de ses sous-oXÊ-modules cohŽrents. Comme X est quasi-compact, la premi•reassertion rŽsulte de ce qu'un tel sous-module est quotient d'un module de la forme(lÊ¿Ê(-r))ar pour tout r assez grand, .
Montrons d'abord (ii) et (iii) lorsque e est de la forme b(r). Soient t Ô â(ŸX, l) une
section dont l'annulation dŽÞnit Z, et µ la multiplication par tÊ¿Ês sur S(lÊ¿Ês). La suiteexacte (1) donne une suite exacte longue(1)µÊ-ÊpµÊ-Êp.Ê.Ê. Ê#@ $ HÊn(ŸX, lÊ¿ÊksÊ+Êr) @ HÊn(ŸX, b(r)) @ $ HÊnÊ+Ÿ1(ŸX, lÊ¿ÊksÊ+Êr) Ê#@ .Ê.Ê.Ê .
kÊ³Ê0

kÊ³Ê0Puisque X est projectif et l ample, les termes HÊn = $ÊkÊ³Ê0 HÊn(ŸX, lÊ¿ÊksÊ+Êr) sont des Amodules de type Þni pour tout n ³ 1. D'autre part, ce sont de mani•re naturelle des modules graduŽs sur l'alg•bre graduŽe R = $ÊkÊ³Ê0 â(ŸX, lÊ¿Êks), nuls en degrŽ assez grand.
Comme µ est de degrŽ 1, c'est donc un endomorphisme nilpotent de HÊn pour n ³ 1.
L'assertion (ii) s'en dŽduit, et l'assertion (iii) rŽsulte de ce que les HÊn(ŸX, lÊ¿ÊksÊ+Êr) sontnuls pour tout k ³ 0 et tout n ³ 1 si r est assez grand.
Dans le cas gŽnŽral, on Žcrit e comme quotient d'un b-module de la forme b(-r)ar.
Comme il existe un entier N tel que HÊn(ŸX, f) = 0 pour tout n > N et tout oXÊ-modulequasi-cohŽrent f, la suite exacte longue qui en rŽsulte permet de conclure parrŽcurrence descendante sur n.
Lorsque X est un espace projectif au-dessus de S, on peut prŽciser ces rŽsultats :34. Proposition. Soient S = SpecÊŸA un schŽma afÞne nÏthŽrien, X = P ŸS N l'espace projectif
de dimension relative N ³ 1 sur S, et Z Ç X un diviseur dŽÞni par une sectiontÊÊÔÊÊâ(ŸX,ÊÊoXŸ(d)), avec d ³ 1. Pour tout s ³ 1, on a alors :(i) Pour tout r Ô ç, et tout n > N, HÊn(ŸX, b(r)) = 0.
(ii) Pour tout r ³ 0, et tout n ³ 1, HÊn(ŸX, b(r)) = 0.
(iii) Pour tout r < 0, et tout n - 0, N - 1, N, HÊn(ŸX, b(r)) = 0.
(iv) Pour tout r < 0, HÊN(ŸX, b(r)) est un A-module de type Þni, annulŽ par une puissance de p qui ne dŽpend que de N, d, s et r, et non de la base S. Si N - 1, il en est d em•me de HÊNÊ-Ÿ1(ŸX, b(r)).
L'assertion (i) rŽsulte de la quasi-cohŽrence de b. Les autres assertions rŽsultentcomme en 3 de la suite exacte longue (1), et du calcul classique de la cohomologie desfaisceaux oXŸ(r) sur l'espace projectif.
Remarque. Il est facile de voir que, m•me pour r < 0, le A-module â(ŸX, b(r)) n'est pas
de type Þni en gŽnŽral. D'autre part, en prenant par exemple r = -ÊNÊ-Ê1, et en supposant
S de caractŽristique p, on voit aussi que HÊNÊ-Ÿ1(ŸX, b(r)) n'est pas nul en gŽnŽral.

5.

Supposons donnŽ un m-PD-idŽal cohŽrent i Ç oXÊ, qui soit m-PD-nilpotent, et soit X0 lesous-schŽma fermŽ de X dŽÞni par i. Si s est divisible par pŸmÊ+Ÿ1, on peut associer plusgŽnŽralement un faisceau d'alg•bres bX(Z0Ê, s) ˆ tout diviseur Z0 de X0 : sur un ouvert Usur lequel il existe une section f Ô â(U, oU) relevant une Žquation locale de Z0Ê, on dŽÞnitbXŸ(Z0Ê, s) comme en 1, et nous renvoyons ˆ [4, 4.2] pour la dŽÞnition des isomorphismesde recollement.
On peut alors Žtendre ˆ cette situation les rŽsultats de 3 :6.

Corollaire. Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, soit e un bXŸ(Z0Ÿ, s)-module cohŽrent.

Alors les conclusions de 3 sont valables pour e.
On observe d'abord que, si ces propriŽtŽs sont vŽriÞŽes pour deux bXŸ(Z0Ê, s)-modulese, f, elles le sont pour toute extension de f par e. Or l'idŽal i, Žtant m-PD-nilpotent par
hypoth•se, est a fortiori nilpotent. La Þltration i-adique de oX est donc Þnie, et le graduŽ
associŽ est un faisceau cohŽrent sur bX(Z0Ê, s) ¢ oX – bX (Z0Ê, s). L'ŽnoncŽ rŽsulte ainsi
00de 3, appliquŽ sur X0Ê.
7. Soient v un anneau de valuation discr•te complet d'inŽgales caractŽristiques (0,ÊÊp),d'idŽal maximal µ et de corps rŽsiduel k, A une v-alg•bre compl•te pour la topologie µadique, et topologiquement de type Þni, S = SpecÊŸA, X un S-schŽma projectif, plat sur v, xson complŽtŽ formel p-adique. On note SiÊ, Xi les rŽductions de S et X modulo µÊiÊ+Ÿ1. Soientm un entier tel que µ poss•de une m-PD-structure m-PD-nilpotente, et s un multiple de4

pŸmÊ+Ÿ1. On suppose donnŽ un faisceau ample l sur XŸ, de rŽduction l0 sur X0Ê, et u ndiviseur Z0 de X0 tel que oX (Z0) – l0Ê. On pose
0bX (Z0Ê, s).
^bxŸ(Z0Ê, s) = lim
Ò#iiD'apr•s [4, 3.3.4], ^bxŸ(Z0Ê, s) est un faisceau d'anneaux cohŽrent. On peut alors Žtendreaux ^bxŸ(Z0Ê, s)-modules cohŽrents les rŽsultats qui prŽc•dent :8. Proposition. Sous les hypoth•ses de 7, il existe un entier s0 tel que, pour tout multiple
s de s0Ê, et tout ^bxŸ(Z0Ê, s)-module cohŽrent e, les propriŽtŽs suivantes soient vŽriÞŽes :(i) Il existe un entier r0 tel que, pour tout r ³ r0Ê, on puisse trouver un entier ar et u nhomomorphisme surjectif (^bxŸ(Z0Ê, s)(-Êr))ar @ e.
(ii) Pour tout n ³ 1, les A-modules HÊn(Ÿx, e) sont de type Þni et de p-torsion.

(iii) Il existe un entier r1 tel que, pour tout r ³ r1 et tout n ³ 1, on ait HÊn(Ÿx, e(r)) = 0.
Comme l est ample, il existe un entier s1 tel que H1(ŸX, µÊlÊ¿Ês) = 0 pour tout s ³ s1Ê.
Soit s0 le plus petit commun multiple de s1 et pŸmÊ+Ÿ1. Si t Ô â(ŸX0Ê, l0) dŽÞnit Z0Ê, on peutalors relever tÊ¿Ês0 en une section t' Ô â(ŸX, lÊ¿Ês0). L'hypoth•se de platitude de X sur ventra”ne que le graduŽ grµÊoX est plat sur oX , et il en rŽsulte que l'annulation de t'0ÊdŽÞnit un diviseur de Cartier z' de x relevant le diviseur s0ÊZ0 de X0Ê. Si s est de la forme s= s0Ês', on obtient donc comme en 2 une prŽsentationµ'Ê-Êp0 Ê##@ ox ¢ S(lÊ¿Ês) Ê##@ ox ¢ S(lÊ¿Ês) Ê##@ bxŸ(z', s') Ê##@ 0,o• µ' est la multiplication par t'Ê¿Ês', de sorte que les rŽsultats de 3 restent valables pourbxŸ(z', s'). On remarquera d'autre part que l'alg•bre bxŸ(z', s') est telle que›Ê b (s ÊZ , s') = b (Z , s)bxŸ(z', s')Ê/ÊµÊiÊ+Ÿ1ÊbxŸ(z', s') #@X 0 0ÊX0Êiipour tout i, et donc que ^bxŸ(Z0Ê, s) – ^bxŸ(z', s').
Supposons donc que s = s0Ês', et montrons d'abord que ^bxŸ(Z0Ê, s) vŽriÞe les propriŽtŽs(ii) et (iii). Comme X est plat sur v, il rŽsulte de [4, 4.3.3] que bxŸ(z', s') est sans p-torsion.
Si ¹ est une uniformisante de v, il existe donc un syst•me projectif de suites exactes¹iÊ+Ÿ1##@ bX (Z0Ê, s) ##@ 00 Ê##@ bxŸ(z', s') ##@ bxŸ(z', s') #i¹ÉId ÉÀÀ¹i0 Ê##@ bxŸ(z', s') ##@ bxŸ(z', s') ##@ bXÉÀ(Z0Ê, s) ##@ 0.

iÊ-Ÿ1

En tensorisant par lÊ¿Êr

et en passant ˆ la cohomologie, on en dŽduit une suite exacte lon-gue de syst•mes projectifs, dans laquelle le premier syst•me (HÊn(Ÿx, bxŸ(z', s')(r)))iÊÔÊú
est essentiellement nul pour n ³ 1 gr‰ce ˆ 3 (ii), et le second constant pour tout n. Il enrŽsulte d'abord que le syst•me projectif (HÊn(Ÿx, bX (Z0Ê, s)(r))iÊÔÊú satisfait la condition dei
Mittag-Lefßer pour tout n, de sorte que l'homomorphisme canonique5HÊn(Ÿx, ^bxŸ(Z0Ê, s)(r)) Ê#@ lim HÊn(Ÿx, bX (Z0Ê, s)(r))Ò#iiest un isomorphisme. D'autre part, pour n ³ 1, le noyau et le conoyau du morphisme desyst•mes projectifs (HÊn(Ÿx, bxŸ(z', s')(r)))iÊÔÊú @ (HÊn(Ÿx, bX (Z0Ê, s)(r)))iÊÔÊú sont essentieli
lement nuls, si bien que l'homomorphisme canoniqueHÊn(Ÿx, bxŸ(z'Ê, s')(r)) Ê#@ lim HÊn(Ÿx, bX (Z0Ê, s)(r))Ò#iiest Žgalement un isomorphisme pour tout n ³ 1. Les homomorphismes naturelsHÊn(Ÿx, bxŸ(z'Ê, s')(r)) Ê#@ HÊn(Ÿx, ^bxŸ(Z0Ê, s)(r))
sont donc des isomorphismes pour n ³ 1, et les assertions (ii) et (iii) sont rŽsultent de 3.
Dans le cas gŽnŽral, notons d'abord que, si e et f vŽriÞent les propriŽtŽs de l'ŽnoncŽ,il en est de m•me de toute extension de f par e. Comme e est cohŽrent, son sous-modulede p-torsion est cohŽrent, annulŽ par une puissance Þxe de p. C'est donc un bX (Z0Ê, s)i
module cohŽrent, pour un i assez grand, et il vŽriÞe l'ŽnoncŽ gr‰ce au corollaire 6. On est
ramenŽ de la sorte au cas o• e est sans torsion.
Soit ei = eÊ/Ê¹ŸiÊ+Ÿ1e. Si l'on Þxe r0 tel que HÊn(ŸX, e0(r)) = 0 pour tout r ³ r0 et tout n ³ 1,les suites exactes¹i0 ##@ e0 ##@ ei ##@ eiÊ-Ÿ1 ##@ 0
montrent qu'il en est de m•me des HÊn(ŸX, ei(r)) pour tout i, et que les homomorphismesâ(ŸX, ei(r)) @ â(ŸX, eiÊ-Ÿ1(r)) sont surjectifs. On peut supposer r0 choisi de telle sorte que,pour tout rŸ³ r0Ê, il existe un homomorphisme surjectif (bXŸ(Z, s)(-Êr))ar @ e0Ê. La nullitŽde H1(ŸX, e0(r)) permet alors de le relever en un syst•me compatible d'homomorphismes(bX (Z, s)(-Êr))ar @ eiÊ, automatiquement surjectifs. Comme e Ê#ÊÊ›Ê@ limÊi ei d'apr•s leiÒ#thŽor•me A [4, 3.3.9], on obtient ainsi un homomorphisme (^bxŸ(Z, s)(-Êr))ar @ e, qui est
encore surjectif, d'o• (i).
Pour prouver les assertions (ii) et (iii), notons d'abord que, gr‰ce au thŽor•me B [4,3.3.11], il existe un entier N tel que HÊn(Ÿx, f) = 0 pour tout n > N et tout ^bxŸ(Z, s)-modulecohŽrent f. Par rŽcurrence descendante sur n, l'assertion (i) montre alors que les
propriŽtŽs (ii) et (iii) pour les ^bxŸ(Z, s)(-Êr) entra”nent les m•mes propriŽtŽs pour toutfaisceau cohŽrent e.

6Bibliographie

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