展望論文

ウェザーデリバティブの価格決定とその方向
若清雅嗣‡

2004年9月24日投稿
2005年2月15日受理

概要
ウェザーデリバティブは気温等の気象要素をインデックス化したものを対象とする金融取引で，気象要素の変動による収益変動のリスクをヘッジすることができる1しかし，そのプライシング理論についてはまだスタンダードな理論は存在しない．それは，原資産にあたる気象のインデックスが市場で取引されていない
ため，ブラック・ショールズ式に代表される無裁定価格評価法が利用できないためである．本稿では，なぜ無裁定価格評価法が利用できないかを明示した上で，ウェザーデリバティブのプライシングが非完備市場における価格評価であり，リスクの市場価格の定式化が必要であることを示し，これまでの先行研究の位置付けを明確にするとともに，ウェザーデリバティブのプライシング理論の方向性を示すものである．

キーワード1ウェザーデリバティブ，オプション・プライシング，リスクの市場価格，非完備市場，代替的リスク移転（ART）

1序胎て気温の変動等によるリスクをヘッジすることができる．

ウェザーデリバティブという金融取引（商品）があ

土方［2000］によれば，世界で最初に取引されたウェ

る．これは，その名が示すように，天候のデリバテ

ザーデリバティブは，1997年9月に総合エネルギー

ィブ取引で，株価や金利の替わりに気温等の気象要会社であるENRON社とK㏄h社が、ウィスコンシン州

素をインデックス化したものを対象とするオプショのミルウォーキー地域の97年から98年にかけてのン等のデリバティブ取引である．いわゆる一般の金

冬季の気温を対象として行ったものと言われている．

融デリバティブが株価や金利の変動によるリスクを

その後，1999年9月22日，シカゴ・マーカンタイル

ヘッジできるように，ウェザーデリバティブによっ

取引所（The

ChicagoMercantile

Excha㎎e）に気温を対象としたウェザーデリバティブ先物、先物オプ
ション及びスワップが上場されている．当初，アメ総合研究人学院大学複合科学研究科統計科学専攻〒106−8569東京都港区南麻布4−6−7
E一冊ai11wakaura＠is皿．ac．jp

リカで始まったウェザーデリバティブは，世界に広がり各国の経済事情にあわせた形で様々な気象要素

リスクと保険21

インデックスを用いて多様な契約形態が登場するとているが，第5章では，これまでの先行研究においともに，相対取引，店頭取引（Overて，リスクの市場価格に関してポートフォリオと気The

Counter）

や上場の試みも含めてその取引も活発なものとなっ

象変動の関係から定式化の方向性を示す3つのモており，将来的にも増加が見込まれている，

デルを紹介するとともにその解釈と位置付けを与このように，取引が活発になされるウェザーデリバ

える．さらに第6章では，第5章の先行研究を踏まティブであるが，スタンダードなプライシング理論

えた上でウェザーデリバティブのプライシング理

はない．これは，取引の対象となる気象インデック論の今後の方向性を示す．また最後に，第7章では

スが市場で取引されていないということがその理由

数理ファイナンス以外の側面での取り組みの概要

であるが，ウェザーデリバティブの登場以来，多くを説明する．

の研究者が様々な角度からこの問題に取り組んできた．本稿の目的は，これらの研究のうち，ポートフ

2前提と定業ォリオとの関係で気象の変動リスクの定式化を試み

2．1想定する取引

る3つのモデルを取り上げて紹介するとともに，ウ

ウェザーデリバティブの取引形態には様々なもの

ェザーデリバティブのプライシング理論の方向性をがある．対象となる気象要素についても，気温，降示すことである．

水量，積雪景，湿度，風力等があり，そのインデッ

ウェザーデリバティブのプライシング理論は極めクスについても，日次平均気温値，日数，Heati㎎て学際的なものとなる．すなわち，気象要素というDegree

状態変数の上に書かれた派生証券の価格付け理論とある．また，取引も，オプション，先物，先渡し，しての数理ファイナンスの側面，また，対象となるスワップ等がある．特に取引形態については特定し気象要素インデックスの変動をモデル化する確率あて議論するところではないが，本稿では基本的に，るいは統計モデリングの側面，さらには，べ一スと

気温㎜D／CDDインデックスのオプション取引を想定なる気象要素を研究対象とした気象学の側面，特にしている．それは，当該取引が実際のウェザーデリ

長期予報の技術との関係も考慮しなければならない．

バティブ取引において代表的な取引であり，先行研

これらの全て網羅するとなると，それぞれの分野の究の多くがそれをべ一スにして議論しているからで基礎理論から始まり膨大な真数を要することになる．

ある．

そこで，本稿においては，数理ファイナンスの側面

Day

（HDD）

・Cool

ing

Degree

Day

（CDD）

幸手カミ

まず，気温HDD／CDDインデックスのオプション取に焦点をあてその方向性を示す、他の側面について

弓1について，簡潔に説明しておく．HDD／CDDとは，はまだ別の機会に譲ることとしたい．

1日の標準気温からの乖離を示す指数で以下の通り

本稿の構成は次の通りである．まず，第2章では，定義される．

本稿で取り扱うモデルの前提となる事項や仮定を定義しておく，続いて第3章では，主なプライシン㎜D−m・・（∫一r，O），

グ理論の紹介に先立って一般の金融デリバティブ

CDD−m・・（r一∫，O），の評価手法との相違を概観し，無裁定価格評価法の22

限界，なぜ取引の対象となる気象インデックスが市

ここで，rは日次平均気温であり，∫は暖房から冷場で取引されていないと価格評価ができないのか

房に切り替わる温度で，例えばアメリカでは華氏6を示す．第4章では，リスクの市場価格の概念を導5度が利用され，摂氏では約18度となるl入するとともに，ウェザーデリバティブのプライシ

は一定の期間の累積値で評価されるが，㎜Dではそのングが非完備市場における価格付け理論であるこ累積値が大きいと厳冬，小さいと暖冬を表し，CDDでとを示す．先行研究においては，これらの価格評価

はその累積値が大きいと暑夏，小さいと冷夏を表すの困難性を踏まえた上で，様々なアプローチなされことになる．

ウェザーデリバティブの価格決定とその方向

mD／CDD次にオプション取引であるが，例えば満期τの約定

ルズ式が利用できないのか．それは，ブラック・シ

期間の累積HDD値をH←），ストライクHDDをK，1

ョールズ式は，裁定機会が存在しないという経済学DDあたりの単位金額（tick的均衡のもとで，オプションの価格と等価となる原size）をMとすると，

そのペイオフ以∬←））は，資産と無危険資産からなる自己ファイナンシングであるポートフォリオ（等価ポートフォリオ）を仮定することによって導出されるからである．すなわち，

コール：
伽（τ））一㎜・（M（昨）一K），O），

ウェザーデリバティブにおいては，オプションの対象となる気温等の気象要素のインデックスが市場でプット：
伽（τ））一㎜・（M（K一〃（τ）），O），

取引されていないことから，そのインデックスには価格が存在せず，ブラック・ショールズ式の導出のとなる．なお，CDDも同様である．

基礎となる等価ポートフォリオが構築できないので2．2市場の仮定ある．

市場において取引コストは発生せず，空売りが許容されるものと仮定する、また，ある時点における株等の原資産の価格を決定する状態ωの集合をΩとし，ここで，このことをもう少し具体的に，ブラック・ショールズ式導出の過程を通じ示すこととする．

まず，配当はないものとし，時点をf，満期をτ，その不確実性は所与の確率空間（Ω，伊，P）によって時点与えられているものと仮定する．なお，Pは確率測

次の確率微分式によって与えられているものとする．

度であり，伊はΩ上の加算加法族で，時間パラメー
タfで表した｛巧｝はフィルトレーションであり，市における原資産価格を｛∫1（f）：∈［O，τ］｝とし，州（f）一｛（f）〃・σ∫、（f）d剛f），（1）

場の資産を確率過程で表した時その確率過程は巧一可測とする．また，以下本稿において，特に断りのここで，μはドリフト係数，σは拡散係数，

ない限り市場はそのようなものと仮定することとす｛〃⑫）：C∈［o，τ］｝は標準ブラウン運動である一一方，る．

無危険資産価格｛∫O（f）：f∈［O，τ」｝は次式を満たすも3ブラック・ショールズ式とウェザーのとする．

㎡∫o（f）イ∫o（1），デリバティブウェザーデリバティブは，これまでのオプションと

ここで，rは無危険利子率である．

いった金融デリバティブの取引における株価や金利続いて，原資産と無危険資産を用いて，オプション

を気象要素のインデックスに置換えて，これを気象の価格と等価となるような自己ファイナンシングすリスクの回避に活用するものである．したがって，

なわち自己充足的なポートフォリオを構成する．

価格理論としては，伝統的な金融デリバティブにお｛πO⑫）：f∈［O，τ］｝，｛π1（f）：C∈［O，τ」｝をそれぞれ無危けるヨーロピアン・オプションの評価手法である，

険資産と原資産の保有枚数とすると，時点。における

いわゆるブラック・ショールズ式（Black

ポートフォリオの価値｛C⑫）：and∈［O，τ］｝はScholes［1973コ）が利用可能と考えるかもしれないが，これは厳密に言えば妥当ではない．

C（・）一π。（f）∫。（f）・π1（f）∫1（f），（2）

それは何故か．結論を言ってしまえば，気温等の気

象要素のインデックス自体は，市場で取引される資であり，自己ファイナンシングであるポートフォリ

産・商品ではないということである．何故，市場でオは，取引される資産・商品ではないとブラック・ショー

リスクと保険23f
外・（・）・ムπ・（1）1∫・（1）1∂2ｩ）一2叫・・廿剛（f）刷・＝・工π・（1）外であり，一方，で表され，オプション等の派生証券価格｛X（）：∈［O，τ」｝に対して，X（∫ト。（∫）となれば等κ（工）＝π0（工）d∫O（f）十π1（f）〃1（f）

一π。（f）∂∫。（1）・

価ポートフォリオとなる．次に，π1（伽、（f）・1・棚1（f）㎡剛
μ．『

λ≡一，

・・（π。（f）∫。（f）・π、（側1））加σ

σπ1（f）∫〃剛，、〔

r、、、アハλ2ユ、（3）州≡cxp ^■州一7」で，を定義すると，ギルサノフの定理から，確率測度戸と、、（、）、1榊レ），∂∫、（・）

同値となる

炸・11州1・1戸／㍑ニニ・（4）となるように原資産を保有することにより（デルタ・ヘッジ），〃（∫1（f），

トκ（f）において，ブラウ

ン運動炉（f）の項が消えて，で定義される確率測度ρに関して，
r∫ハ∂x

t「1w

炉（f）＝剛r）十ル，∫1（ル〕、∂x∂∫、（f）

1∂2は標準ブラウン運動であり，∫1ω・f）十∂1

J）一21・（小一・（π。（・）∫。（f）・π、（1）∫、（1））〃，d∫1（）＝r∫1（c）〃十ぷ1（f）d炉（），

が成立し，X（∫1（f），f）＝C（f）＝πO（丘）d∫O（f）十が成立する．なお，ここで定義したλの解釈についπ1（f）d∫1（f）から，偏微分方程式ては後に詳述する・またさらに，派生証券価格x（f〕を関数形式｛X（∫1（f），f）：f∈［O，τ］｝で表現し，伊藤の公式を用いると，

泌（∫1（

），c）＝

卜（1）刊耕f）・砒（￥fレ）・∂x（∫1（f），c）、∫、（、）∂x（∫1（f）・・）∂∫1（f）十十∂f

・12・（∫ル）σ・∫、（、戸2∂州2
一・X（∫、（f），1）一0，（5）が導かれる．そして，

24

ウェザーデリバティブの価格決定とその方向

この偏微分方程式をヨーロピアン・オプションのキャッシュ・フローを表す境界れた派生証券の価格を／榊），f）：f∈［・，テ1／とする

条件のもとに解くことによってブラック・ショール
ズ式が得られる．

と，以上から，導出された偏微分方程式が等価ポート
フォリオを前提に構築されていることがわかる．一肺（f），f）一μ戸（剛，f）㎡f・σ戸（・（1）ル州・

見，原資産の確率過程を気温等の気象要素の変動過程に置き換え，上記のような偏微分方程式を導出す
れば価格評価は可能であるような錯覚に陥るが，気温等のインデックスは実体のある商品ではなく価1〃）一州∂ ￨絆）・竿丘）・

格が存在しないため，原資産を保有するという行為

・12 蜒戟jσ紅（、戸，ができず，デルタ・ヘッジによる等価ポートフォリ

2帥戸

オは構築できない．したがって，（5）のような偏微分方程式は導出できない．

σ戸（川，・）一∂舳f）σ、・（1），4リスクの市場価格

帥）

それでは，気温等の市場で取引できない状態過程の上に書かれた派生証券の価格はどのように評価すべが成立する．そして，満期の異なる派生証券F（r（f），f），

きなのか．これは，異なる証券のポートフォリオを戸（r（構築することによって可能となる．

するポートフォリオ｛CF（f）＝f∈［O，τ】｝を構築すると，），丘）に対し，それぞれ〃，（玉＿〃）の比率で投資

まず，気温等の状態を記述する確率過程を｛τ（f）：f≧O｝として，次の確率微分式に従っているとκ。（f）・〃（τ（f），1）・（1−w）例τ（f），・）

仮定する．
■・μ。（T（f），・）・（ト・）μ戸（川，1）14・・〃（f）一μ。τ（f）6・・σττ（1）〃（f）。
t・σ。（・（f），・）・（・一・）σ戸（川，1）1抑）・

満期τでr（f）の上に書かれた派生証券の価格を｛F（r（f），f）：立∈［O，τ】｝とすると，伊藤の公式から，となるので，第2式第2項のブラウン運動の項がOとなるように，〃（τ（f），f）一μ。（r（・），f）㎡f・σ。（r（f），1）㎡州，（6）・σ。（r（・），・）・（1一・）σ戸（r（f），f）一〇、、（。（、），丘）、、、。（、）lF（州十州1レ）十

∂r（1）

∂・

すなわち，

112・（州σ手。（、戸，（1）2∂r（げσ戸（r（f川

w・、、（。（、），、）呈1F（州σ、τ（、），（8）∂川

σ。（r（f），f）一σ戸（r（・），1）となるようにポートフォリオを組めば，ポートフォ
リオの不確実性が取り除かれることになる．そして，

不確実性のない証券の収益は，無裁定の条件から無が成立し，同様に，満期テ（τ≠デ）でr（f）の上に書か

危険資産の利子に等しくなければならないことから，

リスクと保険25

格λを定式化することによって（5）式を一般化し，市・μ。（・（f），1）・（1一・）μ戸（r（f），f）イ。⑫）

場で取引されない状態過程の上に書かれた派生証券に拡張したものと言える．

μ。（τ（1），1）・σ戸（r（f），f）

σ。（r（fレ）一σ戸（r（f），f）

したがって，（m）式を派生証券の境界条件のもとに十解くことによって，市場で取引できない状態過程の州・f）σ・（「（f）・f）、叫（、）σ。（r（f），・）一σ戸（r（f），f）

上に書かれた派生証券の評価式を導出することができる．つまり，理論的にはウェザーデリバティブの価格もこれにより評価が可能ということになるが，μ。（川，f）一κ。（1）μ戸（r（・），f）一・c。（f）σ。（r（・），f）一

そのためには，リスクの市場価格λが既知か，ある@σ戸（τ（・），・）

いは一意に決まっている必要がある．市場で取引可
能な原資産の場合，先述したように直接原資産の値が成立する．ここで，を利用できることからλを一意に決定することができるが，そうでない場合リスクの市場価格を把握す

λ、μ・（τ（・）・・）一価），（9）σ。（川，f）

ることは困難と言わざるを得ない．直感的にも，取引が無いあるいは活発でない場合，そのリスクの市
場価格の観測は不能か困難であるということは明らを定義し，これに，r（兀，fトrF（τ（f），f）として，（7）かであろう．このことは多数資産の市場に拡張する

式，（8）式を代入すると，とさらにわかり易い．すなわち，市場に吻個の危険
資産と，〃個のブラウン運動で表現される不確実性（、、．λσ、）。（、）1州・・）十をもたらす要素が存在し，各資産の価格が（1）式に従∂川っていると仮定すると，∂刈≒（1）・1）。1∂2F（；（l！・1）σ洲・

口

∠

、

δ八げ

w

＿

、

＿

、、T

＝いユり，…，∫〃wr・イF（r（f），f）一〇，（1O）
卜（μ1（・），…，μ。（1）γ，が導かれる（なお，（1O）式の導出にあたっては木島［1994］を参照した）．

・一

ここで，（9）で定義したλの解釈を与えると，（1o）^∵式の意味がより明快となる．すなわち，μF（r（f），f〕が収益を表すことから，μF（r（），f）＿r（エ，壬）は市場でのW（f）一（剛f），…，榊げ，

安全利子率を超過した期待収益を表すことになり，
一方，σF（r（f），）を不確実性すなわちリスクと考えとして，（1）は行列形式で，るならば，（9）で定義したλは，リスク1単位あたりの期待収益，すなわち，リスクの市場価格（market
pri㏄ofrisk）という解釈が可能である。なお，T（が市場で取引可能な原資産の場合，直接r（

）

）の値が

利用でき，μF（r（f），c）＝μr，σF（r（r），f）＝σT，r（x，fトrとして，λを（10）式に代入すれば（5）式が導かれる．つまり，（lO）式は陽にリスクの市場価26

ウェザーデリバティブの価格決定とその方向

刷一di・g［S（f）1／ψ・・州（f）／，と表される（なお，げは転置を表し，diag口は対角行列を表す）．一一方，リスクの市場価格は，
入＝（｛，＿，λγで表され，（9）の定義から，

0入＝P−r，（11）

その表現や手法が，これから説明する先行研究の結論や方法を比較検討するに際の基準となるからであと表される．ここで，市場において不確実性をもたる、らす要素よりも多くの危険資産が取引されている

まず，摩擦のない市場とその不確実性の確率空間（m≧〃）市場は完備市場（c㎝p1ete㎜arkets）と呼（Ω，F，P）の仮定，及び原資産価格∫1（丘），無危険資

ばれ，その場合行列Oはフルランクであり（11）式の産価格∫o（入は一意に求められるが（詳しくはDu川e［19921，

証券価格x（f）の定義はそれぞれこれまでと同様とす

Brody［2000］などを参照），不確実性をもたらす要素

る．次に，），無危険利子率r，オプション等の派生よりも少ない数の危険資産しか取引されていない市場（㎜く〃）は非完備市場（incomplete

markets）と呼ばれ，Oは縮退が生じ入は一意に求められない．

3、（f）目汕、∈［。，、1，∫。（1）

実際，ウェザーデリバティブの市場を考えると，気温等の不確実性は存在するものの，それが資産としを定義すると，31（f）は（3），（4）で定義された確率測て取引されていないことから非完備市場における価度ρのもとでマルチンゲールとなる．（2）のポートフ

格評価となり，リスクの市場価格が一意に求められォリオC（f）において派生証券価格X（f）と等価となる

ないことから，（1O）式を用いた評価もできない．しポートフォリオは，

たがって，ウェザーデリバティブは，これまでの金
融デリバティブのフレームワークでの評価は困難と刈一π。（・）∫。（f）・π、（f）∫、⑫），1∈1O，τ1，

言わざるを得ないI
であり，さらに／π。（・）・π、（f）3、（・）1・∈［・，τ1／も確率測

5ウェザーデリバティブのプライシン
グ理詰に関する研究
前章までに金融デリバティブの手法がウェザーデ

度ρのもとでマルチンゲールとなることから，派生
証券価格x（τ）の現在価格x（f）は

州一π。（・）∫。（f）・π、（f）∫。⑫）

リバティブで利用できない理由とその価格評価の困
難性を明らかにした．すなわち，対象となる気温等

一∫。（f）［π。（・）・π、（・）3。（f）1の気象要素が市場で取引されないことから，ポートフォリオの構築ができず無裁定価格評価は困難であり，同時にその市場は非完備市場でありリスクの市

一∫。（炉1π。（τ）・π、（τ）3、（τ）1形1

一∫。（柘ρ［∫。（τ）（π。（τ）∫。（τ）・

場価格が一意に決まらないことから価格評価自体が困難なものとなる．

しかしながら，これらの事1音を踏まえた上でいくつ

π1（τ）∫1←）川

4［ゼ・ト三）x（τ）1巧1

かの評価手法が研究・提起されている．もちろん，現段階では試行錯誤的な部分もあり標準的な理論は存在しないが，実際の取引は行われており，それをとなり（ここで，亙ρは確率測度gでの期待値を表裏付ける形で一定の方向性は示されつつあると考えす），満期時点の派生証券価格のキャッシュ・フロー

ることができる、本章では，これらの研究の成果をを無危険利子率で割り引いたものを確率測度ρのも紹介しその方向性を示唆したい．

とでの期待値をとることによって求められる．なお，

なお，先行研究を紹介する前に，ここでリスク中立化法による評価法の概要を確認しておく．それは，31（f）ならびにπO（f）十π1（f）31（f）が確率測度ρのもとでマルチンゲールとなることについては，一般的なリスクと保険27

金融工学の教科書に解説があるが，例えば岩城［1998］などを参照されたい．

5．1Cao舳dCaoandHeiモデル外ψC★小シ1一つ・Wei［2000］は，市場で取引される原資産が存在せず，裁定理論による価格付けが困難であるこ

ここで，ζ（f）はf〃．で，気温以外の要因による誤差とから，代表的投資家の効用に基づく均衡アプロー

項，ρは配当δ（f）と気温丁（f）の相関係数である・つチをとっている．

まり，配当の誤差成分は，気温とそれ以外の成分でその概要は，経済における基本的な不確実性が総配

当と気象要素によって産み出されるとの仮定のもとで均衡価格を求め，更にリスク・プレミアムとの関係を考察する．

構成され，気温については現時点ばかりでなく過去の気温とも関係する構造を考える．

一方，投資と消費における代表的投資家の期待効用最大化の問題から導かれる有価証券

具体的な展開は以下の通りである．なお，原著にお｛X（f）：f∈｛O，1，…，τ｝｝の価格は，確率的な限界代替

いては，契約形態としては主に先渡取引を中心に議率で割り引かれた配当の合計の期待値に等しく次式論を展開しているが，本稿においてはオプション取によって与えられる．fく∫とすると，引を対象として議論する．
まず，日次平均気温｛r（士）：f∈｛O，1，…，τ｝｝を次のようにモデル化する．

州一万

班田川

Z（f）一r（f）一〇（f），

ここで，叫ば時点fまでの累積配当，σ。（c，Z⑫）一Σμ⑫一・）・σ⑫）・ε⑫）・』1）はσ（C，f）のCに関する偏微分を表し，その均衡条件から，満期τに乃（τ）のペイオフを持っf時点の条件付請

σ（f）・σ。一σ、1・i・（洲65・わ）1，

求権の均衡価格x⑫，τ）は，ε（1）一〃．M（O，1），

外1）τ（、1、），、）万［州・τ昨1
ここで，⑤（f）はf日の平均的（標準的）気温である一次に代表的投資家のf時点の効用関数σ（c⑫），エ）は次の通りと仮定する．

となり，したがって，σ。（δ（f），立）＝e■〜（げ，ぴ、（昨），τ）＝ε■βτ昨γで，約定期間の累積HDD値をσ（、（州、、一u，f∈／。，1，…，、／，

γ十1H←），ストライク㎜DをK，！DDあたりの単位金額（ticksize）を〃とすると，㎜DコールオプションX〃C（
ここで，c（立）は時点fにおける消費，βは時間選好）の価値は，そのペイオフが乃（τ）＝max（M（H←）一K），O）であることから，（割引率），γはリスク回避度（γ∈1−1，O1）である・
そして，総配当｛δ（f）：f∈｛O，い・，τ｝｝は次の過程を仮定する．

1・g州一α1・α。1・gδ（f−1）・川，XH。（f）一七出）伽［1（1γ…（・（・（1）一・州・（12）である．満期τで消費財1単位の支払いのある無リス

28

ウェザーデリバティブの価格決定とその方向

ク債券のf時点での均衡価格助，τ）が，となるが，この共分散の項がリスク・プレミアムと・（1・τ）一町（、1、），、）五［州・τ）1耳1

して配当と気温の相関の度合いに応じてオプションの価格に付加される．いわば，前節で議論したリス

一七へ肘［1（小1クの市場価格を定式化することになる訳であるが，この場合，想定される確率分布は複雑となり解析的に解を求めることはできない．CaoandWei［2000コでと表されることから，配当過程と気温過程が完全には，先渡の評価式として，正規分布を仮定し相関は独立の場合，すなわち，ρ＝O，η

ない（すなわちρ岩O，ηドO）として解析解を求め，＝Oの場合，（12）式はさらに相関のあるケースについては，相関係数の他，

リスクパラメータγを変化させ数値計算することにX。。←）一郎，τ同㎜・（M（昨）一K），O）1η1，（11）よりその関係をシミュレーションしている、

なお，以上の議論はCDDの場合も同様にあてはまる．

となり，HDDコールオプションの現在価値は将来のペイオフを無危険利子率で割り引いたものとなる．し5，2D洲i5モデル
Cao−andWei［2000コが，代表的な投資家に視点をおたがって，㎜DプットオプションX冊（f）も同様にしいたのに対し，Davis［2000コは，そのビジネスて，てDavis［2000］ではガス取引を想定している）が気象

リスクに直面した投資家を仮定した．彼らはその効
X〃（1）一生同m・・（〃（K−H（τ）），O）1巧1，（14）用を最大イζするためにウェザーデリバティブを利用するとしてモデソレを考案するI以下，Davis［2000コのモデルを詳述する．

となる．将来のペイオフを正規分布等の特定の確率

まず，時点における1ヶ月単位の累積分布と仮定すれば，上式から解析的に解を求めるこ

HDD｛〃（f）：f∈【O，τ］｝が対数正規分布に従い，次の確とも可能である．一方，配当過程と気温過程が完全率微分式に従っていると仮定する．

に独立ではない場合，（13），（14）式に共分散の項
CoΨ［・，・］がついて，

X∬C（f）一〃（f）一μ〃州加σH〃（f）㎡剛・），

ここで，μHはドリフト係数，σHは拡散係数，〜は標準ブラウン運動である．

助，τ同㎜・（M（州一K），・）1巧1・

次に，ガスの消費量｛o（f）：f∈［O，τ」｝は㎜Dの値

H（
ゼβ（τ■f B一γC・ソ［δ（τγ，㎜・（〃（∬（τ）一K），O）1，）と線形関係にあると仮定する．すなわち。（fトわ〃（f）とし，また，ガスのスポット・プライス｛∫o（f）：∈一〇，τ］｝も対数正規分布に従い，下記の確率微分式に従うとするとx冊（f）一∂∫。⑫）一μ。∫。⑫）伽σ。∫。（f）仰G）

助，τ同m・・MK一昨）），O）1η1・ゼβ（τ■＝）δ（・）一1C・ソ［δ←γ，m・・（M（K一∬（τ）工O）1，

ここで，μoはドリフト係数，σGは拡散係数，％は標準ブラウン運動である．すると，資産としてのガリスクと保険29

スェ（）＝〃（f）∫G（f）は，次の確率微分式に従う．

叶伽・

肌（1）一μ工工（柚・σ〃レ市），^／ん一計・柵）〕・

州一服（O）∫。（O〕，となることから，

なお，線形関係にあることから，係数bは∫o（）の単位として捉えることが可能で，わ＝1と仮定することができる．ここで，ユヶ月間のHDD値と，ガスの州十・）十一字ン・州1

スポット・プライスのブラウン運動の相関が珂d吻d陀卜ρ肥〃とすると，
白1・1（・）・^κ一外

μ工日μH＋μG＋ρH0σHσG・
一109工（o）十。舳i．，

2 ＋σ02 ＋2ρHGσ∬σ0・
σ工＝ σH1㎡竹≡一（σ〃〜十σ♂％），となる．したがって，

σ正州・））一⊥
工（O）となる．

以上を仮定し，モデル化のべ一スは，限界代替率としてのポートフォリオに対するオプションの価値で，となり，所有するポートフォリオの一部をオプションの購買にまわした時の効用が最大となるオプションの最適小））一（・・州・赤

価格X←）を求める下記公式（Davis［1998］）において，

外）一町ぴ（c；（τ））乃（τ）1，

γ（

から，

）

ここで，

万1州τ））

C＃ iτ）：初期賦存量エでの取引可能な資産の最

昨）一

ム（τ）

1

珊

適ポートフォリオ，エ：初期賦存量，
一万

m拷州1・

（15）

〆（・）：珂σ（c＃（τ））1，

ゐ（τ）：満期τにおけるオプションのペイオフ，となる．ここで，乃（H（τ））は㎜D値H（τ）のオプショ

ンのペイオフである．続いて，
C幸 iτ）としてエ（τ）を仮定し，σ（γ）一〇gγとすると，／（1）9切σ（c＃（τ））1であることから，初期賦存量
一九（O）に対し，γ（エ（O））＝41og尤（τ）］で，

舳、工（・），

川を定義すると，伊藤の公式から次式が導かれる．

30

ウェザーデリバティブの価格決定とその方向

は㎜D値と線形関係にあるガス資産の効用最大化ポ剛・）一一｛（伽一σ工η（巾竹（・），巧（O）一1，

ートフォリオを単位として測った㎜D値のウェザー
デリバティブの評価を行っている．したがって，ガス資産の効用最大化ポートフォリオ比工（0）の確率
z（f）

ここで，

過程引f）の拡散係数σエが先述のリスクの市場価格λに相当し，これを補正する形で確率測度を変換す
ア＝μ〃十μo一σHσG■ρ〃GσHσo・るとそれはマルチンゲールとなり評価が可能となる、
つまり，限界代替率の概念を導入することにより，である．さらに，ラドン・ニコディム微分を，ガスという取引のある資産からみた，気温リスクを扱うオプション取引の相対価格を定式化し，取引資産としてのガスを代替として，マルチンゲール測度

傍一叶手一柵）〕・

変換によりウェザーデリバティブの価格評価を行う1
ただ，このことが成立するためには，ガス資産ポー
トフォリオがHDD値と線形関係にあることが前提にと定義すると．（15）式から，なる．

以上の議論は，後述するオプションのベンチマー外）一万〆叶与柵）〕榊））ク・プライシング（Plat㎝andWestモデル）の概念を理解するとさらに明快となるのだが，Davisモデル

は，市場でウェザーデリバティブの対象となる気象

一｛

s㈹）

η1

，

（16）

要素は取引がないとしても，それと相関のある取引可能な資産（ポートフォリオ）があり，それが市場参加者にとって誰でも自由に利用（取引）できれば，

なお，亙ργは新たな確率測度ργでの期待値を表す。

その価格を基準としてウェザーデリバティブそのもそして，Davis（2000）では㎜D値〃（f）が対数正規分布のの無裁定価格評価が可能であるということを示唆に従うという仮定から評価式を導出している．また，している．

ダは先述したリスク中立化法との対比でそれを見易

5，3P1州6n舳destモデル

くするためにrに＊を付して表記したが，無危険利子

PlatenandWest［2003］は，benchmarkapproachと率rとは全く異なるものであることに注意していた呼ばれる手法を用いて，金融工学の手法であるリス

だきたい．

ク中立化法と保険数理的なプライシングを統合する

ここで，（15）式と（16）式の解釈を考えてみる．

形でウェザーデリバティブの価格評価手法を提案しDavisモデルは，資産としてのガスψ）をポートフォている．ここで，benchmark

リオとして利用し，満期時にその一部をオプション

Plat㎝［2002］やBuh1mamandPlat㎝［2002］においの購買にまわした時の期待効用が最大となるようにて示された手法で，growth

価格評価しているが，実はこの満期の効用最大化ポの期待成長率が市場において最適となるようなポーートフォリオム（τ）は，先述のリスク中立化法に用いトフォリオをベンチマークとして価格評価を行うもた無危険利子率rと同じニューメレール（numeraire）のである．

に相当する．つまり，リスク中立化法においては，

approachとは，

optimalまず，ポートフォリオの価格を∫

portfo1io（GOP）（f）と表す．ここニューメレールすなわち市場の基準となる指標とし

で，添え字j∈｛O，エ，…，d｝は保有資産の種類を表し0て市場共通の債券価格を利用したが，Davisモデルで番目は無危険資産とし，fは離散時点∈｛O，1，…，τ｝

リスクと保険31

とする．次に，f番目の資産のf＋1時における資産成
長率Z（f＋1）を，ナンシングポ］トフォリオの集合をΨと表し，
Cπ（f）∈Ψとなるポートフォリオの期待成長率（9rowthrate）を川∴∴

9π（1）一｛9（・皿（f・1））1η1とし，最適期待成長率（optjmalとする．したがって，番目の資産のf時点におけるgrowthrate）

呈（f）…p・π（・）

価格は，

Cπ∈Ψ

を導入する。そして，8（f）＝gπ（f）となるような保有

洲一斗（Ψ（）・割合過程互（）で構成されたポートフォリオ

Cπ（f）∈ΨをCπ（と表すことができる．また，自己ファイナンシングとなるような保有割合の過程を

π昌｛π（）＝（πo（f），π1（f），…，πパf））1）で表すとすると，Cπ（O）＝1で，・π（f・1）く。o，・、（f・1）∈｛O，1，…，τ｝｝とすると，となるようなポートフォリオが市場に存在するとす

ると，Cπ（f〕は最適期待成長率ポートフォリオ
Σ巧（c）一I（growth

opti㎜lportfolio，GOP）であり，その市

場は可積分（integrab1e）であると言うこととする．

投資において，GOPはその成長率の点でこれを超で，そのような保有割合で構成された∫時点におけるえる他の正の自己ファイナンシングポートフォリオ

自己ファイナンシングポートフォリオの価値をが存在しないことから，最良のベンチマーク・ポー｛C、（f）：

トフォリオ（benchmark∈｛O，1，…，τ｝｝と表すと，f時点のポートフ

ォリオの成長率Zπ（f＋1）は，

portfo1io）という解釈が可能である．

BublmamandP1aten［2002］は，Cπ（f）∈ΨがGOPであるための必要十分条件は，・すべてのポートフ㌦（f・工）一ｰ巧（f一則ォリオCπ（C）∈ΨがCπ（f）単位で表現された時，それらが優マルチンゲール，すなわち，で，∫時点のポートフォリオの価値は，・、（1・1）・π（1・1）ら（f）≦1

ら（O）螂㌦（f）・であることを証明している．また，このことから，

GOPでベンチマークされたポートフォリオと表せる、ここで，その価値が正となる自己ファイ32

ウェザーデリバティブの価格決定とその方向（bencbmarked

portfolio）を，

ε、（、）、ら（f）とすると，その。時点のオプションのGOPでベンチC川マークされた価値左（f）は，とすると，それは優マルチンゲール，すなわち，

ζ（f）・中刈η1・1−1・州一州1巧1・であり，立時点のオプションの価値x（r）は，であり，これがマルチンゲール，すなわち，

X（互）＝Cπ（f）左（f），（17）

δ一（f）一中π（1）1野1一一1・と表すことができる．

ここで，GOPでベンチマークされた無危険資産を，となる場合，Cπ（f）はフェアーな価格過程（fairpri㏄pr㏄eSS）であると言い，ここで，θ∈ミ（O，1／2）で3。⑫）、剛C互（f）・θ，π（・・1）一θ・・π（・・1）・（1一θ）・・、（刈，とすると，Platen［2002］によれば，確率測度Pと等価となるリスク中立確率測度ρの存在を仮定すると，を導入し，さらに

ラドン・ニコディム微分過程
・θ，、（f）一心・（・θ，π（1・1））1引・、（、），1出（O）∫。（O）Cπ（・）

島（f）

3。（Oジ

とすると，可積分な市場（integr伽e㎜rket）において，Cπ（f）がフェアーな価格過程であるための必要

はマルチンゲールで，十分条件は，
生一・（τ）dP∂gθπ（・）

自。
∂θ

θ＝O

であることをBuh1mam

である．そして，（17）をandPlaten［2002コは示していCπ（1）x（・）一亙

る．

煎昨）以上の議論を踏まえ，満期τにおけるオプションのペイオフを此（τ）とし，そのGOPでベンチマークさ
れたものを

と表すと，

左（、），ゐ（1）C互（τジ

リスクと保険33

これまで異なるアプローチで評価されてきたウェザ

l1

小伸紗）

ーデリバティブのプライシング理論を統合し体系付ける契機を与える理論として注目すべきである．

一1

m知州

11

6ウェザーデリバティブのフフイシン
グ理論の方向性刊紗） 11・以上，これまで研究されてきたウェザーデリバテ
ィブのプライシングモデルのうち，リスクの市場価格に関してポート7オリオと気象変動の関係から定が導かれ，これはリスク中立化法による公式である．

式化の方向性を示す3つのモデルを紹介した．ここ

なお，亙ρは確率測度ρでの期待値である．

で，これらの各理論を体系付け，ウェザーデリバテ

さらに，ウェザーデリバティブの場合そのペイオ
フ局（τ）とGO

Pは独立であると仮定すると，（17）はィブのプライシング理論について！つの方向性を示
すこととする．

何度も言うように，ウェザーデリバティブのプラ
イシング理論における最大の問題は，取引対象の気外ψ［赤瓦［ゐ（τ）1巧1，

象要素インデックスが市場で取引されていないという非完備性がリスクの市場価格の評価を困難にするとともに，定式化をどう図るかが様々な理論が登場となり，満期τで消費財1単位の支払いのある無リスしてきた背景になっている．Cao

ク債権のf除煮での価値助，τ）は，均衡理論というアプローチを用いて代表的投資家のandWeiモデルでは求めるウェザーデリバティブのプライシング理論を「糾小｛展開した．Davisモデルは限定的な投資家の効用とい1／」・う観点から測度変換を用いた方法で理論を展開した．
さらに，Plat㎝andWestモデルは，ベンチマークというアプローチで，リスク中立化法とアクチュア
ル・プライシングを統合する形で理論を展開していであることから，る．

州一助，τ）亙［ゐ（τ）1巧」，（18）

ここで，注目したいのがPlatenの（18）式とCaoandandWestモデル

Weiモデルの（13）式が同じものであるということである．すなわち，将来のウェザが導かれこれはアクチュアル・プライシングである．

で割り引くというものであるが，異なるアプローチ

オフ月（τ）の分布について，気温のヒストリカルデー

から同一のものが導出されている．これには前提とタから推定する方法と正規分布を仮定する方法でウして市場参加者の富と気象要素の相関がないというandェザーデリバティブの価格評価を行っている．

ことがある．ここで市場参加者の富とは，Plat㎝andPlatenWestモデルではGOandWest［2003］の方法は，GOPというニュ

ーメレールを仮定し，金融工学の手法であるリスク中立化法と保険数理的なアクチュアル・プライシン
グを統合している点で興味深いものであると同時に，

34

ーデリバティブのペイオフの期待値を無危険利子率

West［2003］では，さらに（18）式のペイP1atenウェザーデリバティブの価格決定とその方向

P

Cπ（立）であり，Cao

and

Weiモ

デルでは配当δ（f）である。

それでは，富と気象要素に相関がある場合はどうなるか．CaoandWeiモデルでは，その共分散の項が

付加，つまりリスク・プレミアムが付加されてリスクの市場価格が定式化されている．一方，Davisモデ

ルでは，市場参加者の富はそれが気象インデックスと線形関係にある資産としてのガスェ（f）で，ポートフォリオとして市場参加者の効用が最大となるψ）①ウェザーデリバティブの市場参加者が所有するポートフォリオの特定②①のポートフォリオと気象要素との関係（相関）の定式化Westモデルで言うところのGOPで③気象要素との関係（相関）を定式化されたポーある．そして，それをベンチマークすなわちニュー

トフォリオについてニューメレールとなるようメレールと位置付けることで，その割引過程互⑫）のな価格過程の導入

はPlat㎝and

拡散係数σエをリスクの市場価格としてラドン・ニコ④③のニューメレールを用いたリスクの市場価

ディム微分を構成し新たな確率測度で定式化してい格の導出とそれを用いた確率測度変換による価る．つまり，富である資産としてのガスが気象イン

格式の導出

デックスと線形関係にあるという仮定から，相関についてニューメレールを与えることで割引過程の拡

確かに気象要素のインデックスは市場で取引など

散係数として構成し測度変換によってリスクの市場はなされていない．一方，これまでの金融デリバテ
ィブの価格評価のフレームワークはその取引されて価格を定式化している．

ペイオフの期待値にリスク・プレミアムを付加すいる資産（株や預金）のみによって構成されたポーるというのは，そのキャッシュ・フローが不確定なトフォリオに基づいて構成されている．その理由は保険やデリバティブの基本的な価格算出方法である．

モデルの必要概念として，市場の参加者は取引されただ，問題はそのリスク・プレミアムをどう推定すている資産のみに限定して評価すれば足りるため，るかであり，金融工学では確率測度変換を用い，保当然，投資資産という金融デリバティティブの枠組

険数理手法では，例えば期待値原理（eXpeCtati㎝

みから見れば，ポートフォリオの構成要素ではない

prinCiple），分散原理（varia㏄e

prinCiple），標準

気象要素のインデックスは明らかに異質であり，市

deviati㎝principle），半分散場以外のリスクすなわち非完備市場という概念で対偏差原理（slandard

原理（s㎝i−varian㏄princip1e）などが用いられる．

処せざるを得ない、そこで，．その市場参加者の富のそういう意味では，第5章で，Davisモデルは金融工概念であるポートフォリオを従来の金融デリバティ

学の確率測度変換の立場で，Cao

Weiモデルは均

ティブの構成から拡張し，気象要素のインデックス

衡理論から導出された保険的手法に近い立場で，まと関連した形で構成あるいは関連づける必要がある．

た，Plat㎝andWestモデルは確率測度変換と保険的

つまり，ポートフォリオとは市場参加者の富であり，手法を一般化した立場でリスク・プレミアムを捉えその市場参加者がウェザーデリバティブの取引を行ている．実際，取引の行われているウェザーデリバ

うのは，富あるいはその一部が気象変動によってリ

and

ティブはペイオフの期待値に何らかの形でリスク・スクにさらされている．つまり富の一部が特定の気プレミアムをのせてプライシングが行われていると象要素と相関をもって変動しているためである．そ考えられるが，リスク・プレミアムは，個々のリスのような市場参加者のポートフォリオはどういうも

ク・デイカーによって異なるのが実態であろう．

のかを特定することが必要である．そこで，まず①

それでは，どのような形でリスクの市場価格を捉と，そして②のステップが必要となる．Cao

and

Wei

え，それをプレミアムとして定式化していくべきか．

モデルでは配当δ（f）を富（ポートフォリオ）としてつまり，全ての市場参加者が利用できる標準的なフ

捉え，それが気温と過去も含めた形で相関があるとェアー・プライスはどのような形で定式化されるべ

仮定している、また，Davisモデルでは資産としてのきなのか．その答えは第5章で紹介したモデルから，

ガスェ（丘）を富（ポートフォリオ）と仮定しそれが気

次のステップで構成されることになろう．

温と単純な線形関係にあると仮定し定式化している．

リスクと保険35

だが，これらの仮定は実証されていない．現在ウェ

解析的に求めることは困難となるであろう．しかし，ザーデリバティブ市場が発展途上にあり，代表的な

この点は昨今のコンピュータの性能とシミュレーシ

市場参加者がどのようなものか判然としない部分がョン技法の進歩によって容易に克服されるものと考あるため，その富（ポートフォリオ）が気象とどのえる．また，測度変換に関しては，金融工学と保険ような関係（相関）があるかを実証・特定すること

数理の融合という立場から，エッシャー変換（Gerber

は困難な状況にあるIここに標準的なモデルが存在andしない理由があるのであるが，今後，市場が成長しウェザーデリバティブは保険の立場から代替的リス

代表的な市場参加者が特定され，富がどのようなポク移転（altemative

ートフォリオとして表され，富がどのような形で気置付けがなされており，金融工学と保険数理の融合

象リスクと闘っているか，つまりどのような相関関というテーマの題材として，ウェザーデリバティブ係があるか，（それは，Davisモデルのように単純にのプライシングの議論が発展することも期待される．

線形関係の相関でモデル化されるかもしれないし，
cao

and

we1モデルような多重マルコフ的な相関関係

risk

transfer（ART））という位

7最後にでモデル化されるかもしれない．さらに言えば非線

以上，ウェザーデリバティブのプライシング理論

形な関係が導出されるかもしれない．）明らかになれ

に関する数理ファイナンスの側面における取り組み

ば定式化は可能であろう．

とその方向性について展望した．これは，端的に言続いて，③のステップであるが，これについては，

PlatenandWestモデルにおけるGO

えば，将来のキャッシュ・フローの期待値を割り引くPの構築に該当というものであった．次の課題は，キャッシュ・フロ

する．また，Davisモデルにおいては市場参加者の効ーの期待値をどう求めるかという問題である．言い用が最大となるガスψ）で，①及び②のポートフォ

換えれば，キャッシュ・フローの確率分布をどのよう

リオにおいて市場の共通の基準となる価格過程，つに求めるかということである．ただし，これについまりその割引過程がマルチンゲールとなるような価ては，第1章で述べたように，その詳細を本稿では格過程の探索である．Platen

議論しない．ここでは，その概観を示すことによっ一

growth36

Shiu［1994］）等の議論がなされている．この点，andWestモデルでは，

optimalという条件によって，また，Davis

で，次の議論の機会への橋渡しとしたい．

モデルではポートフォリオとなるガスL（f）が対数正キャッシュ・フローの確率分布を求める取り組み

規分布に従うという仮定を与えるによってこの点をに関しては，実際には，ピストリカル・データを分保証している．特に，Platen［2002］とBuh1ma㎜and

析することによって行われる．その方法としては大Platen12002コが与えたgrowth

opti㎜1という条件

きく2つに分けられる．1つは，burnanalisysといは一般化された概念であり，実際①及び②においてう方法で、ピストリカル・データから直接㎜DやCDD

どのようなポートフォリオが構築されるかによるが，のインデックス値を計算し平均するという方法であ多様なポートフォリオに対し応用が可能ではないかる．また，もう1つは，いわばシミュレーション・と考える．

アプローチで，ピストリカル・データから確率モデ

最後に④のステップであるが，③のニューメレー

ルや統計モデルを構築してシミュレーションによりルによって基準を与えることによりプレミアムとし確率分布を求める方法である．簡潔で計算が容易とて評価されるべきリスクが定量化される．すなわち，いう点ではburn

富の過程の成長，つまり期待値と基準（ニューメレ

考えるとシミュレーション・アプローチの方が優位ール）との差を，富の過程の変動幅，例えば分散値であることは明白であろう．

anai

isysが有効であるが，応用を等と定量的に比較することによって得られる、ただ，

ただ，一言でシミュレーション・アプローチといこれについては，富と気象要素の関係（相関）が非っても，様々な方法が提案されている．この分野に線形な関係にある場合や複雑な関係にある場合は，おけるこれまでの先行研究は主に気温過程によるもウェザーデリバティブの価格決定とその方向

のであるが，例えばDomier

and

朝倉書店．

Querue1［2000］

では平均回帰過程を拡張したモデルを示しており，

刈屋武昭，遠藤良輔，牛山史郎［2003コ，r分散変動

Dischel［1999］も平均回帰過程をべ一スにしたDl−（SV）モデルによる東京の日次平均気温の予測分

Modelというモデルを考案している．また，ARモデ

布（第1版）一気温デリバティブ・プライシング

ルでは，Moreno［2000］や，先のCaoandモデルー」，http1／／｝㎜町．kier．kyoto−u．ac．jp

Wei［20001にも用いられているし，Davis［2000コもシミュレート／fe−tにあたってはARモデルを用いている．一方，Torro，

2004／09／16．

Meneu

and

Valor［2001］では条件付分散変動構造（conditional

ngpapers／KlER＿fe＿wp04．pd

f，

派生証券の価格付け理論』，日科技連出版社．
土方薫［2000］

は東京のデータを用いて分散変動モデルを提案している．さらに，気温データは長期の自己相関すなわ／worki

木島正明［1994］，rファイナンス工学入門，第n部：

heteroskedasticity）を取り入れたモデルを提案しており，刈屋，遠藤，牛山［2003］でokyo『天候デリバティブ』，シグマベイズ

キャピタル．

宮崎浩一［2003］，「天候デリバティブにおけるマル

ち長期記憶（1㎝g皿emory）を持つとされており，こコブ連鎖型モデルに基づく評価法の提案j，『オの視点から，Brody，Syroka

ペレージョンズ・リサーチ』，48，218−230．

and整数ブラウン運動（fractioml

Zervos［2002］では非Brownianmotj㎝）

Black，F．and

M．Scholes［1973］，

によるモデル化を，そしてCaba11ero，Jews㎝andOPti㎝sandCorPorate口ab川tjes

Brjx［2002］では非整数AR1MAモデル（fractioml。Poノ∫

AR1MAmodel）を用いたモデルを提案している．また，Pricing，∫o〃〃ノ。∫

万。o〃。迦y；3，637−654．

B｝ody，D［2000］，『現代ファイナンス数理』，日本評論宮崎［2003］では気温パスのモデル化としてマルコフ型モデルを採用している．

ブ。身ノ

The

社．

Brody，D．，

ウェザーデリバティブのプライシングの手法はJ．Syroka，andM．Zervos［2002］，

DynamicalPrici㎎ofweatherderivatives

未だ発展途上にあると言える．それは，ウェザーデ，

ψ舳fωルθ〃胴ncθ，2，189−／98．

リバティブが気象と金融・保険という複合的な領域

Buhlmann，の新たな産物であり，その市場が完全に形成されて

Time

H．，

and

E．Platen

Benchmark

Approach［2002］，

A

DjscreteforFinanceandいないことが要因と考えられる．今後，電力市場の

1nsuran㏄，児冊肌カア∂ρθr5θ〃es，74，

自由化等による新たなプレイヤーの参加が増大し，

Quant

i

tat

ive

Finance

気象リスクというものに対する考え方がさらに一

UniversityofTechno1ogy，

般的になることによって，ウェザーデリバティブ市

Caba

l

l

ero，R．，

り，ウェザーデリバティブのプライシング理論がさ

detectらに洗練されたものとなることを期待する、

derivalive

Centre，Sydney．

S．Jewson，

L㎝9me㎜ry

場がより完成されたものになるであろうIそれによ

Research

a口d

A．Br

i

x，［2002］，insurfa㏄air

t㎝perature1

ing

and

ion

ion，model

valuati㎝

aPPl

jcat

to

weather，C〃〃舳κθ∫、，21，127−

140．

謝辞

Cao，M．
o

本稿をまとめるにあたり，査読者の方々より有益

Unなコメントを頂きました．ここに謝意を表します、

u

and

f
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t

o

J，We

Weatber
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i［2000］，
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Valuaい。nworkingtdpaper，

P1ノ／www．ro
d

c

ng

i

d

d．pd

t
f

man．
，

2004／

09／16）．

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markets

，M臼

i

n

i

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S．R．P−iska，Cambri

リスクと保険dge

37

UniversityPress，216−226．

Davis，M．［2000］，

Pricing

bymarginalva1ue

weatherderivatives，ρ枷〃〃冊〃〃〃θ，1，

305−308．

Dischel，B
Takes［1999］．
Off

Temperature

−

Par

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Mode

l

For

andOPti㎝s
APri

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5：

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The

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MarkettochasWeathert

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Futures，切〃〃〃ル〃γθ∫アr冴舳9，l．

Dornier，F．

Wind

and

M．Queruel［2000］．

Caut

icn

to

the

，肋εrgymゴ戸。附〃∫火〃；温〃8θ〃〃，August．

Gerber，B．口．and

Shiu，E．S．W．［1994コ，

PricingbyEsscherTransforms．

0Pti㎝，〃伽〃〃。〃o∫f加∫oc〃yo∫M〃〃ノθ3，66，99−140．
Duf

f

i

e，D．

［1992］，〃yη∂〃ノ。

Moreno，M、［2000］，

R

FOW，

al

Princeton1］niversity

Spec

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／3∫θ

アr∫c∫刀8rカθory，spress．
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Supp1ement

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（December）．

P1aten，E．［2002コ，

ComPゆeMarkets，舳〃。θs〃切∫〃〃。加〃川y，34，3，540−558．
P1aten，E．

andWeather
106，

J．Wes

t［2003］，

Derivat

ives，

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of

Technology，Torro，H．，

38

V．Meneu

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Stochastic

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Research

QuantuniversiApp

FaiFinanceResearchWe，working
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SeriesCentre，at，SingleWith

Seasonality

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paper
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Sydney．

Models
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Paper

E，Valor［2001］

i

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on．

ウエザーデリバティブの価格決定とその方向

va

t

i

ve

European

The

TheoryanaMethodoIogyofWeather
Masatsugu

Department

ofStatistica1Science，The

Derivatives

Pricing

WakauraGraduate

University缶rAdvanced

Sもudies，

4−6−7，Minami−Azabu，岬inato−ku，Toky0106・8569，Japan
EImai1addresses：wakaura＠ism．ac，jp

Abstract

Weatherderivatives

arecontingentc｝aimswhichare

wri七tenmeteoro1ogica1e1emen七s（e．9．air−temperature，rain・fai1etc．）．Using

on

the

pro趾f1uctuation

however，nocannotrisk

standa−rd

causedpricingtheoryuti1izetheB1ack・Scho1es

theoエy，sincetheind−ices

markets．This

paper

accounts

incomp1ete
for

the

pricingKeymarkets，and七hat
pricing．From

methodofweatherwords：weather

those

by

of

ofweather

ofmeteoro1ogica1e1ements，Thereis，

formu1a，that

meteoro1ogica1e1ements

thereason，and

formu1ation

pointsderivatives

of
is

of

in

risk

reasonwby

one

is，no−arbitrage

pricing

nottradab1e

asse七s

in

the

shows

that

weatherderivatives

are

the

market

this

price

studies

are

of

risk

is

necessaryinterpreted，andthepaper．

derivatives，opt三〇n・pricing，market

market，ART（a王temative

the

are

view，preceding
shown

of

hedge

is

them，one

index
can

derivatives．That

option−pricing

for
the

the且uctuation

the

price

of

risk，incomp1ete

transfer）

リスクと保険39