令和３年度（１０月期入学）及び令和４年度

金沢大学大学院自然科学研究科

博士前期課程入学試験

解 答 例
専

攻名

試験科目名

機械科学専攻（一般選抜，外国人留学生特別選抜）
専門科目 ①材料力学－I（１／１１）［解答例］
問１ R'A＝P･･･①，'1＝(P･2L）／(２A･E) ＝PL／(AE) ･･･②，

問２ R''A＝Q･･･④，''1＝(Q･2L）／(2A･E) ＝QL／(AE) ･･･⑤，'2＝0 ･･･③''2＝(Q･3L）／(A･E) ＝3QL／(AE) ･･･⑥
問３'1＋ '2＋ ''1＋ ''2＝0 ･･･⑦

問４②，③，⑤，⑥式を⑦式に代入

PL＋4QL＝0→∴ RA＝R'A ＋R''A＝3P／4， RB＝Q＝-P／4，Q＝- P／4
1='1＋ ''1＝3PL／(4AE)令和３年度（１０月期入学）及び令和４年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

攻名

博士前期課程入学試験

答 例

機械科学専攻（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

試験科目名

専門科目 ①材料力学－II（２／１１）

［解答例］
問１

力の釣り合いより

問２

力の釣り合いより

問３

力の釣り合いよりモーメントの釣り合いより=モーメントの釣り合いより=0=−

たわみの基礎式より=−

重複積分法によりℓ +ℓ +=ℓで= 0 よりℓ+=−= 0 より従って，式①より

式③に = 0を代入し

問５= ℓ /2(2)はりの曲げモーメントは

境界条件は=モーメントの釣り合いより= ℓ(1)
問４= ℓ=== 0,
ℓ

=−

=−

=−(3)

・・・①++・・・②−ℓ+=−ℓ=+= 0 である。これを式①②に代入して ,ℓ +ℓ =ℓ ・・・③ℓℓ =ℓ

式②より

式④に = 0を代入し==

図２－１のはりで，P が逆向きに作用した場合，点Ａのたわみは

図２－３のはりにおける点Ａのたわみは 問４ の解答より=を求める。

が求まる。

ℓℓℓ ・・・④

図２－４のはりを図２－１と図２－３の重ね合わせとし，点 A のたわみがゼロとなる荷重 Pを求める。即ち=+= 0 より

式⑤より P を求めると−=ℓℓ +ℓ =0・・・⑤

支持点Ａにおける反力は，点 A でのたわみがゼロとなる荷重 P と等しいので，
問６

図２－１と図２－２のはりで，− と=が作用した場合，点Ａのたわみは

図２－３のはりにおける点Ａのたわみは 問４ の解答より=ℓ=ℓℓ −ℓ

図２－４のはりを図２－１，２－２，２－３の重ね合わせとし，点 A のたわみがゼロになるとする。即ち=+= 0 よりℓ −ℓ +

また，図２－１と図２－２のはりで，− とℓ =0から−ℓ+が作用した場合，点Ａのたわみ角は

図２－３のはりにおける点Ａのたわみ角は 問４ の解答より=−ℓℓ = 0・・・⑥=−ℓ+ℓ

図２－４のはりを図２－１，図２－２と図２－３の重ね合わせとし，点 A でのたわみ角がゼロになるとする。
=+= 0 より−ℓ+ℓ −ℓ =0から−+ℓ−ℓ = 0・・・⑦

令和３年度（１０月期入学）及び令和４年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

攻名

専門科目 ①材料力学－II（３／１１）

式⑥⑦より P を消去すると=答 例

機械科学専攻（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

試験科目名

従って，ℓ− ℓ+ℓ −2+ ℓ−ℓ =−+固定点Ａにおける反モーメントは，たわみとたわみ角がゼロとなるモーメントで，=ℓ

博士前期課程入学試験ℓ =0と等しいの令和３年度（１０月期入学）及び令和４年度

解専

攻 名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

博士前期課程入学試験

答 例

機械科学専攻（一般選抜，外国人留学生特別選抜）
専門科目 ②振動工学－Ⅰ（４／１１）

問１ 4 つのばねは並列に接続されているので，等価ばね定数は 4k。したがって，固有角振動数は n =問２ 運動方程式は (m + M ) x = −4kx 。両辺 m + M で割り整理すれば， x +問３ n =4k。
M

4kx=0。
M +m4k。
M +m

問４ おもりの初速を v0，おもりが剛体ブロックに衝突する直前の速さを v とすると， v 2 − v0 2 = 2 gl と表される。いまおもりを静かに落下させたためその初速 v0 は 0。したがって v = 2 gl 。
問５おもりが衝突した直後の剛体ブロックの変位は x(0) = −mgである。また，そのときの剛体ブロックの速4k度 x(0) は，運動量保存則 (M + m) x(0) = mv より， x(0) =m2 gl となる。よってこれらの初期値につM +mいて運動方程式の解を求める。
問２で得た運動方程式の一般解は， x = A cos nt + B sin nt であるから，−なり， A = −mg= A cos n  0 + B sin n  0 と4kmmg。また， x = − An sin nt + Bn cos n t より，2 gl = − An sin n  0 + Bn cos n  0M +m4kとなり， Bn =m
2 gl ， B =M +m

したがって， x = −M +m m
2 gl =
4k M + m

glm 2。
2k ( M + m)

mg
glm 2cos n t +sin n t ，ただし n =4k
2k ( M + m)

4k。
M +m

令和３年度（１０月期入学）及び令和４年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

攻 名

試験科目名

博士前期課程入学試験

答 例

機械科学専攻（一般選抜，外国人留学生特別選抜）
専門科目 ②振動工学－Ⅱ（５／１１）

問1
おもりの半径方向速度は𝑥̇ ，円周方向速度は(𝑙 + 𝑥)𝜃̇ なので，全運動エネルギは
1
1
2
𝑇 = 𝑚𝑥̇ 2 + 𝑚[(𝑙 + 𝑥)𝜃̇ ]22

問2
点 O を含む水平面からおもりまでの下向きの距離は(𝑙 + 𝑥) cos 𝜃であるので，位置エネルギが 0 の点からおもりまでの高さは𝑙 − (𝑙 + 𝑥) cos 𝜃となる．全ポテンシャルエネルギはばねのポテンシャルエネルギとおもりの位置エネルギの和なので
1
𝑈 = 𝑘𝑥 2 + 𝑚𝑔[𝑙 − (𝑙 + 𝑥) cos 𝜃]2

問3
問１，２よりラグランジュ関数は
1
1
12
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 𝑚𝑥̇ 2 + 𝑚[(𝑙 + 𝑥)𝜃̇ ] − 𝑘𝑥 2 − 𝑚𝑔[𝑙 − (𝑙 + 𝑥) cos 𝜃]
222𝑑 𝜕𝐿
𝑑( ) = (𝑚𝑥̇ ) = 𝑚𝑥̈𝑑𝑡 𝜕𝑥̇𝑑𝑡
𝜕𝐿= 𝑚(𝑙 + 𝑥)𝜃̇ 2 + 𝑚𝑔 cos 𝜃 − 𝑘𝑥𝜕𝑥𝑑 𝜕𝐿𝑑( ) = [𝑚(𝑙 + 𝑥)2 𝜃̇] = 2𝑚(𝑙 + 𝑥)𝜃̇𝑥̇ + 𝑚(𝑙 + 𝑥)2 𝜃̈𝑑𝑡 𝜕𝜃̇𝑑𝑡𝜕𝐿= −𝑚𝑔(𝑙 + 𝑥) sin 𝜃𝜕𝜃
ラグランジュの方程式は𝑑 𝜕𝐿𝜕𝐿( )−=0𝑑𝑡 𝜕𝑥̇𝜕𝑥𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿( )−=0𝑑𝑡 𝜕𝜃̇𝜕𝜃であるので，𝑥についての運動方程式は，
𝑚𝑥̈ − 𝑚(𝑙 + 𝑥)𝜃̇ 2 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝑘𝑥 = 0
𝜃についての運動方程式は，2𝑚(𝑙 + 𝑥)𝜃̇ 𝑥̇ + 𝑚(𝑙 + 𝑥)2 𝜃̈ + 𝑚𝑔(𝑙 + 𝑥) sin 𝜃 = 0令和３年度（１０⽉期⼊学）及び令和４年度 ⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

解専

攻名

試験科⽬名
I答例

機械科学専攻（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）
専⾨科⽬ ③流れ学−I（６／１１）

⽔平に置かれた半径 R の円管内における流体（密度 ρ，粘度 μ）の定常状態における層流流れについて以下の設問に答えなさい。ただし，図 1 に⽰すように流れの向き（左から右）を正として x 軸をとり，流れは完全に発達しているものとする。
問１

断⾯平均流速を U として体積流量 Q を求めなさい。
! = #$! %問２

図 1 に⽰すように円管と同⼼上に中⼼軸をもつ半径 r，⻑さ dx の微⼩な円柱状の流体要素を考える。微⼩流体要素の左右断⾯にはたらく圧⼒を p，p+(dp/dx)dx，円柱側⾯にはたらくせん断応⼒を τ（>0）として，次の(1)〜(3)に答えなさい。

(1) 微⼩円柱状流体要素にはたらく圧⼒による⼒の⼤きさ Fp を求めなさい。
&" = #' ! ( − #' ! *( +,(,(,-. = #' ! *− . ,,,-

(2) 微⼩円柱状流体要素にはたらくせん断応⼒による⼒の⼤きさ Fτを求めなさい。
&# = (2#',-)2(3) (1)，(2)より，Fp と Fτの⼒の⽅向を考慮して，せん断応⼒ τ を p，x，r で表しなさい。
#' ! ( − #' ! *( +,(,-. − (2#',-)2 = 0,-1,(2 = *− . '2,-

問３

問２ (3)より，円管内の速度分布を u(r)とした場合の速度勾配(du/dr)を求めなさい。
ニュートンの粘性法則より
2 = −μ,6,',61 ,(=* .',' 27 ,-問４円管内の速度分布 u(r)を p，R，r，x，μで表しなさい。
速度勾配を r で積分し、r=R で速度 u=0 の境界条件を⽤いると
6=1,(*− . ($! − ' ! )47,-令和３年度（１０⽉期⼊学）及び令和４年度 ⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

解専攻名

試験科⽬名答例

機械科学専攻（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）
専⾨科⽬ ③流れ学−I（７／１１）

問５ ⻑さ L の円管における圧⼒勾配がΔp/L [=(-dp/dx)]であった。圧⼒差Δp をμ，L，R，Q で表しなさい。
$1 ∆(#$& ∆(#$& ∆(* . ($! − ' ! )2#',' =
* .=
87 ;
87 ;
% 47 ;!=9∴ ∆( =

問６87;
!
#$&

最⼤流速が発⽣する位置を答えなさい。さらに，最⼤流速 umax を U で表しなさい。
最⼤流速は du/dr=0 の点で⽣じる。つまり r=0 で最⼤値を取る。
ゆえに問 4 の式に r=0 を代⼊すると6'() =

1,(*− . $!
47,-

また問５より$1,(#$&,(#$!
*− . ($! − ' ! )2#',' =*− . =6,87,2 '()% 47! = #$! % = 9∴ 6'() = 2%

令和３年度（１０⽉期⼊学）及び令和４年度 ⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

解専

攻名

試験科⽬名
Ⅱ答

例

機械科学専攻（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）
専⾨科⽬ ③流れ学−II（８／１１）

図２―１のような摩擦が⽣じない⾞輪が付いた⼤きなタンクに⽔(密度 ρ)が⼊っている。⽔⾯から深さ Hのタンク右側壁に出⼝直径 d の滑らかなノズルが設置されており，⽔平⽅向に⽔が流出している。ただし，空気の密度は⽔の密度に⽐べて無視でき，⽔⾯の⾼さ H は変化しないものとする。なお，タンクは⼤気圧中（ゲージ圧⼒ p0＝0）にあり，重⼒加速度を g として，以下の設問に答えなさい。
問１

タンク⽔⾯から深さ H の静⽌した⽔中の点 A におけるゲージ圧⼒ pA を記号で表しなさい。

⽔⾯にかかるゲージ圧は０なので，深さ H での⽔圧はpA＝ρgHとなる。
問２

タンクの⽔⾯（点①）とノズル出⼝（点②）の間での同⼀流線上でのベルヌーイの式を書きなさい。

ただし，点①の⾼さ z1，流速 v1，圧⼒ p1 であり，点②の⾼さ z2，流速 v2，圧⼒ p2 とする。ただし，ノズルから⽔が噴出する際の損失はないものとする。

同⼀流線上においてエネルギーが保存されることより，点①と②の間において!!
$"!
$"+ ! + "& = " + " + "%"#%#"#%#① v1 p1 z1が成⽴する。

水g
H

問３

ノズルから噴出する⽔の流速 v2 を記号で表しなさい。

タンクが⼤きいため，⽔⾯が変化しないことより，② d

点Av1＝0v2
p2z2

タンクが⼤気中にあることより

p1＝p2＝p0＝0
ノズルの⾼さが H よりz1− z2=H

図２−１以上を，問２のベルヌーイの式に代⼊すると，$"

0 + 0 + % = 0 + %#"問４∴ (% = )2+%ノズルから噴出する⽔によってタンクが受ける⼒ F を記号で表しなさい。また，タンクは左右のどちらの⽅向に移動するか答えなさい。

図２−１の検査体積において，運動量の変化はノズル出⼝のみである。従って，⽔によってタンクが受ける⼒ F は，流量を Q とすると, ='("'("(% であり，問３の v2 を代⼊して整理すると)- = ., ((% − 0) = . ∙ ) (% ∙ (% ='"(" $" "'"(" ∙%#+'"#(" +==))%となる。なお，タンクは，左⽅向に移動する。

令和３年度（１０⽉期⼊学）及び令和４年度 ⾦沢⼤学⼤学院⾃然科学研究科 博⼠前期課程⼊学試験

解専

攻名試験科⽬名問５

答

例

機械科学専攻（⼀般選抜，外国⼈留学⽣特別選抜）
専⾨科⽬ ③流れ学−II（９／１１）

図２―１のノズル出⼝直径を d/2 に⼩さくした場合，噴出する⽔によってタンクが受ける⼒は，問４の何倍になるか答えなさい。

ノズル出⼝直径が d/2 と⼩さくなっても，問３のように深さが同じであるため，噴出する⽔の速度 v2は変わらない。⼀⽅，ノズルの⾯積が⼩さくなるため流量が減少する。よって，流量は%⁄ %,=3(4 2)34(% =(416 %

したがって，噴出する⽔によってタンクが受ける⼒ F’ は34 %
3.4 % (% % 1-′ = ., ((% − 0) = . ∙(% ∙ (% == -16164

従って，１／４倍になる。
問６

図２−２のようにタンク左側壁に出⼝直径 3d/4 のノズルを新たに設けた。タンクが移動しないためには，タンク左側壁のノズルを⽔⾯からどれだけの深さ h に設置しなければならないか答えなさい。なお，タンク右側壁のノズル⾼さを H とし，タンクは噴出する⽔による⼒で浮き上がらないものとする。

タンクが移動しないためには，２つのノズルによる⼒が等しくなる必要がある。従って，- = -′′.,(% = .,(,%3.+4 % %
3 (34 ⁄4)=.∙(, ∙ (,24%3.+4 % %
3 (34 ⁄4)=.∙∙ 2+ℎ2
43.+4 % % 93.+4 % ℎ=232
16ℎ=% ≈ 1.78%
9h は，H よりも 1.78 倍深いところにノズルを設置する必要がある。

水hg

H
d3d/4v3

図２−２v2令和３年度（１０月期入学）及び令和４年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解専

攻 名

博士前期課程入学試験

答 例

機械科学専攻（一般選抜，外国人留学生特別選抜）

試験科目名

専門科目 ④熱力学－I（１０／１１）

I問１
定圧比熱：𝑐𝑝 =𝜅𝑅[J/(kg∙K)]

𝜅−1

問２2𝑉

仕事 L [J]は，𝐿 = ∫𝑉 1 𝑝0 𝑑𝑉 = 𝑝0 (2𝑉1 − 𝑉1 ) = 𝑝0 𝑉1 [J]1

問３
気体の質量 m [kg]は，𝑚 =𝑝0 𝑉1
𝑅𝑇0[kg]

加熱終了後の気体の圧力，体積，温度を𝑝′ [Pa]，𝑉′ [m3]，𝑇′ [K]とすると
𝑝0 𝑉1𝑇0=𝑝′𝑉′𝑇′=

3𝑝0 ×2𝑉1𝑇′=

6𝑝0 𝑉1𝑇′

より，𝑇′ = 6𝑇0 [K]内部エネルギーの変化量∆𝑈 [J]は， ∆𝑈 =𝑚𝑅
𝜅−1∆𝑇 =5𝑚𝑅
𝜅−1𝑇0 =5𝑚𝑅
𝜅−1𝑝 𝑉

5𝑝0 𝑉1𝑚𝑅

𝜅−1× 01=[J]

よって加熱量 Q [J]は，𝑄 = ∆𝑈 + 𝐿 =5𝑝0 𝑉1𝜅−1+ 𝑝0 𝑉1 =(𝜅+4)𝑝0 𝑉1
𝜅−1[J]

問４
エントロピーの変化量∆S [J/K]は，𝑇′𝑝′

6𝑇0𝑇0𝑝0𝑇0∆𝑆 = 𝑚∆𝑠 = 𝑚 {𝑐𝑝 ln ( ) − 𝑅ln ( )} = 𝑚 {𝑐𝑝 ln (= 𝑚{𝜅𝑅

𝜅−1ln(6) − 𝑅ln(3)} =𝑚𝑅
𝜅−1) − 𝑅ln ({𝜅ln(2) + ln(3)} =𝑝0 𝑉1(𝜅−1)𝑇03𝑝0𝑝0)}{𝜅ln(2) + ln(3)} [J/K]

問５
加熱終了後の内部エネルギー，エントロピーを 𝑈′ [J]，𝑆′ [J/K]とし，周囲と温度，圧力が等しい平衡状態の内部エネルギー，エントロピー，体積を 𝑈0 [J]，𝑆0 [J/K]，𝑉0 [m3]とすると
𝐸 = (𝑈′ − 𝑈0 ) − 𝑇0 (𝑆′ − 𝑆0 ) + 𝑝0 (𝑉′ − 𝑉0 ) [J]
したがって，
𝐸=

5𝑝0 𝑉1𝜅−1𝑝 𝑉𝑝 𝑉

𝜅−1

𝜅−1− 0 1 {𝜅ln(2) + ln(3)} + 𝑝0 𝑉1 = 0 1 {𝜅 + 4 − 𝜅ln(2) − ln(3)} [J]令和３年度（１０月期入学）及び令和４年度

解専

攻 名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

博士前期課程入学試験

答 例

機械科学専攻（一般選抜，外国人留学生特別選抜）
専門科目 ④熱力学－II（１１／１１）II

問１ (a) 燃焼：2→3(b) 断熱圧縮：1→2(c) 吸気：5→1𝑉

問２ 過程 1→2 は断熱であるため𝑇𝑉 𝜅−1 = 一定である．ゆえに，𝑇2 = ( 1)𝜅−1𝑉2問３ 過程 2→3 は等圧であるため

𝑇𝑉

𝑇1 = 61.5−1 𝑇1 = √6 𝑇1

𝑉= 一定である．ゆえに，𝑇3 = 3 𝑇2 = 2𝑇2 = 2√6 𝑇1
𝑉2

問４ 熱が加えられるのは等圧変化の過程 2→3 のみであるため，𝑄𝐻 = 𝑚𝑐𝑝 (𝑇3 − 𝑇2 )となる．
𝜅

問２，３の温度を用いて𝑄𝐻 = 𝑚𝜅−1

𝑅√6 𝑇1 = 𝑚𝑅

1.50.5√6 𝑇1 = 3√6𝑝1 𝑉1

問５ 熱が排出されるのは等積変化の過程 4→1 のみであるため，1 サイクルで排出される熱量は
𝑄𝐿 = 𝑚𝑐𝑣 (𝑇4 − 𝑇1 )となる．
さらに，熱効率は 𝜂 =𝜂 = 1−𝑄𝐿
𝑄𝐻= 1−𝐿𝑄𝐻

𝑚𝑐𝑣 (𝑇4 −𝑇1 )𝑚𝑐𝑝 (𝑇3 −𝑇2 )=1−𝑄𝐿
𝑄𝐻=1−で求められるため，
𝑇 4 −𝑇 1

1.5(𝑇 3 −𝑇 2 )が得られる．

問６ 加熱過程は S が増加，冷却過程では減少，断熱過程では変化しないことを考慮すれば以下になる．
1： b ，2： c ，3： d ，4： a