－2－■ 投稿 ■内惑星の華麗なダンス～驚くような軌道傾斜の妙味～加藤賢一（星学館）
1. はじめに

水星位置(2020年1月－6月）
10

一つの試みとして火星の位置データから軌道黄緯差高等学校レベルで扱える教材として惑星運動がとり上げられることがある。筆者もその0要素を求める手法を本誌に紹介したことがあ-10る[1]。

-20
東-100
黄経差

1020

西30

この種の教材の対象には火星が選ばれることが多く、水星や金星に注目する場合は最大

図1離角を使う場合がほとんどで、内惑星に正面水星、2020 年 1 月～6 月

太陽に対する相対的な位置切って取り組むような教材が少ないように感じられる。プトレマイオスやコペルニクスが金星位置(2019-2020年）
10

きっと教材には向かないのだろうと思いながらも、少し気になった。そこで、水星と金星

黄緯差

水星には手を焼いたことが知られているから、0の運行を少し調べてみたので、教材開発の試-10みとしてご報告したい。

-40-20東2. 太陽からの離角

図202040黄経差

西金星、2019 年～2020 年

水星と金星の位置データは理科年表などの
暦 に あ る が 、 こ こ で は [1] と 同 様 に Van

いかがだろうか。何とも複雑で、しかも、

Flandern & Pulkkinen（1979）[2]の手法をいとも華麗な動きを見せている。初めて見た用いて計算することにした。これは計算精度

時、間違いではなかろうかと思ったほどであが数分と、精度は低いが、一応、惑星間の摂る。

動も考慮されている。

これをどのように解釈したら良いか。惑星

これで太陽との黄経差と黄緯差を求めた結軌道と地球軌道との組み合わせである。ある

果を図示しておこう。天文年鑑等で毎年紹介

面上を動きまわる１点からもう１つの面上のされているようなものと同じである。図 1 と点を見ているだけで、こんな複雑な軌跡がで

図 2 に短期間の変化を示したが、これからできるものだろうか。

もいろいろなことを考えさせられる。2000 年

水星（図 3）を見ると、まず黄道面に対し前、これを提示されたらどのような系を考え非対称で、黄緯差は-5°から+4°に分布しているだろうか。

る。しかし、水星の軌道面は黄道面と太陽で図 3 と図 4 はもう少し長い期間（2001 年

交差しているのだから、短期間ではそのようから 2020 年まで）の様子を計算した結果でに見えることがあったとしても長期間では平ある。

均化されて対称的になるべきではなかろうか。
天文教育 2021 年 7 月号（Vol.33 No.4）

内惑星の華麗なダンス－3－

それはさておき、円軌道上を巡る惑星と地

水星位置 (2001年－2020年）

球の組み合わせでこうした動きをどこまで説5黄緯差明できるだろうか。
03. モデル計算の手続き-5-30-20-100102030黄経差

図3

ここで、簡単化のため軌道を円で近似し、それが傾斜しているとして黄経、黄緯を求め水星、2001 年～2020 年てみることにした。

金星位置 (2001-2020年）

黄緯差

100-10-40-2002040

図5黄経差

図4

軌道の概念図金星、2001 年～2020 年
図 5 で中心が太陽、点線で描いた円が水星、金星（図 4）では軌跡の系列が 2 つあるよ

金星の軌道で、中心 C が太陽からずれた離心うに見える。どのような視点の移動を考えれ円とする。E が地球で、黄道面上の円軌道を回る。黄道面上に xy 座標軸をとり、図のようばこうなるのだろうか。
1900 年前、プトレマイオスは惑星運行論をに z 軸を考える。それぞれは一様回転すると作る時、ヒッパルコスらが行った西方、東方し、距離は天文単位で計る。

最大離角時のデータ（図 1－4 で言えば両端・軌道と位置点のデータ）だけを用いて、途中の軌跡を想初め、太陽を原点とする。

像しながらそのメカニズムを考えた。さすが地球の位置（𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ）：偏角は𝜔 𝑡と、時の彼にも十分難しく、この問題がアルマゲス間𝑡に比例する。𝜔

ト[3]の最後の 13 巻に残されたことから推察である。
𝑥𝑦𝑧

されるように、残念ながら、素直に納得できような理論は作れなかった。プトレマイオスcos 𝜔 𝑡sin 𝜔 𝑡
0360°/𝑃（𝑃365.25 日)(1)の地球中心説における惑星軌道は誘導円とその上に乗っている周転円の 2 つから成っていて、誘導円は地球を含む軸で黄道面と交差するとした（地球中心なるがゆえに他に選択肢がなかった）から、今から見れば根本的に的外れで（太陽で交差しなければならない）、う：太陽からの距
惑星の原点位置（𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ）離を𝑟 、偏角（近日点黄経）を𝜃 とする。
𝑥𝑦𝑧𝑟 cos 𝜃𝑟 sin 𝜃0

まくいくわけはなかった。
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(2)

－4－

■ 投

惑星の位置（𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ）：原点から惑星までの距離を𝑟、偏角を𝜔 𝑡としておく。𝜔 = 360°/
𝑃で、水星では𝑃 = 88 日、金星で𝑃 = 225 日。
𝑥𝑦𝑧𝑟 cos 𝜔 𝑡𝑥= 𝑟 sin 𝜔 𝑡 − 𝑦𝑧0(3)稿 ■・太陽の黄経と惑星との差
太陽の黄経は−𝜔 𝑡であることから、黄経差
𝜆 + 𝜔 𝑡、黄緯差𝛽を求めることができる。
4. モデル計算の結果－水星
以上の手続きにより、計算を行った例を図6、図 7 に掲げる。軌道長半径は 0.39、離心率は 0.21、傾斜角は7°、近日点黄経77°、昇交・昇交点まで座標回転（𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ）
軌道面が傾斜する軸となる交点まで向くよ

点黄経48°というパラメータを考慮した。

うに軌道面を回転させることとし、その角度

水星位置 (モデル計算）を𝜆 （昇交点黄経）とする。それは、以下の10黄緯差ように、z 軸の周りに𝜆 だけ回転させる座標回転で行う。
𝑥𝑦𝑧

cos 𝜆= sin 𝜆0−sin 𝜆cos 𝜆0𝑥𝑦𝑧00
1(4)0-10-30-20

図6-100黄経差102030

水星、半年分のモデル計算

・軌道の傾斜（𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ）昇交点・降交点を結ぶ交点線で軌道傾斜角

水星位置 (10年間）𝑖だけ回転させることにしよう。
10= 0 cos 𝑖0 sin 𝑖0− sin 𝑖
cos 𝑖𝑥𝑦𝑧(5)

黄緯差𝑥𝑦𝑧

50-5-30-20・原点を地球に移動（𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ）ことにし、(5)式から(1)式を引く。
𝑥= 𝑦𝑧

102030

図7

水星、10 年間のモデル計算

細部を除き、ほぼ図 1、図 3 の雰囲気を再𝑥− 𝑦𝑧(6)現している。図 3、図 7 に見られる２重構造は離心の効果で、最大離角に大きな差がある

以 上 で (𝑥, 𝑦, 𝑧)座 標 系 で の 位 置 が 得 ら れ た
ので、次の操作によってこれを極座標系(𝑅, 𝜆, 𝛽)へ変換する。
𝑥𝑦𝑧

0
黄経差

視点を地球に置くため、原点を地球に移す

𝑥𝑦𝑧-10

ことに符合していて、これはこれまで知られてきたことである。また、黄経差の上下幅の大きさは軌道傾斜角によるもので、これも予想通りであった。顕著に目立っていた黄緯の𝑅 cos 𝛽 cos 𝜆= 𝑅 cos 𝛽 sin 𝜆𝑅 sin 𝛽(7)上下の非対称性は近点離角と昇交点黄経の効果であった。昇交点黄経を0°に設定した場合の結果を図 8 に示しておいた。

これで惑星の黄経𝜆、黄緯𝛽が得られる。
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内惑星の華麗なダンス－5－

6. おわりに

水星位置 (公転離角＝0°）5

このような複雑な運行となるのは惑星の摂黄緯差動の影響があるからではないか、と当初疑っ0たが、豈図らんや、2 つの惑星の単純な組み合わせの結果に過ぎなかった。軌道面が傾斜-5-30-20-100102030

黄経差

図8しているだけでこれだけのバラエティが生じるのである。幾何学的な効果の華やかなこと水星、昇交点黄経を0°に設定した場に今更ながら驚いてしまった。
プトレマイオス[3]は金星が図 2 のように合のモデル計算

波打つかのように動くことから、軌道面が振動するとして運行論を作っていった。地球は5. モデル計算の結果－金星
金星の軌道長半径は 0.72、離心率は 0.07、動かないとしているから、運行の原因を各惑

傾斜角は3.4°、近日点黄経132°、昇交点黄経77°星が全て担うことになり、複雑な運行論になとなっている。これらに基づいた計算結果がった。私たちには太陽中心という見方があっ

図 9、図 10 である。て、この複雑な動きを造作なく再現できたことを確認したい。
ここで用いた数学は三角関数、極座標表示、金星位置 (2年分のモデル計算）

黄緯差

10

座標回転、行列などである。座標回転は少し高級かもしれないが、その他は高校数学の範0囲である。数値計算には表計算ソフトが使えるだろうし、教材化を図って戴ければありが-10-40-2002040たいと思っている。

黄経差

図9

金星、半年分のモデル計算

献[1]加藤賢一（2019） 天文教育普及研究会 会
誌 161 号，p.5．

金星位置 (10年のモデル計算）[2]Van Flandern, T. C., & Pulkkinen, K. F.（ 1979）

10黄緯差

文ApJS, 41:391．
[3]薮内清訳（1982）プトレマイオス著『アル0マゲスト』，恒星社厚生閣．

-10

加藤賢一
-40-2002040

黄経差

図 10

keirumba@aria.ocn.ne.jp

金星、10 年間のモデル計算

金星の振る舞いも水星に同じで、軌道要素が異なることで結果に違いが生じているだけのことである。

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