Université Claude Bernard–Lyon I
Licence 3 de Mathématiques : Géométrie élémentaireAnnée 2012–2013

Applications affines

On se place le plus souvent dans un plan affine ou un espace affine de dimension 3, – euclidien
lorsqu’il le faut – muni d’un repère – orthonormé lorsqu’il le faut – ou, ce qui revient au même,dans R2 ou R3 – muni du produit scalaire euclidien si nécessaire.

I

Applications affines

1◦On se place dans le plan R2 .
a) Déterminer une application affine qui envoie le parallélogramme P de sommets (0, 0), (1, 0),(0, 1), (1, 1) sur le parallélogramme P 0 délimité par les droites d’équations 2x − y + 1 = 0,2x − y − 1 = 0, x + y = 2, x + y = 5.
b) Existe-t-il une application affine qui envoie P sur le quadrilatère Q dont les sommets sont
(1, 1), (−1, 1), (2, 0), (−1, 0) ?
c) Combien existe-t-il d’applications affines qui envoient P sur P 0 ?

2◦

On se place dans l’espace R3 . Déterminer une application affine qui envoie le parallélépipède desommets {(±1, ±1, ±1)} et celui que délimitent les plans d’équations x+y+z = −1, x+y+z = 2,−x + z = 1, −x + z = 3, 2x + y − z = −2, 2x + y − z = 3.

3◦

Applications affines et sous-espaces affinesa) Montrer que l’image d’un sous-espace affine par une application affine est un sous-espace
affine. Montrer que l’image réciproque d’un sous-espace affine par une application affine est unsous-espace affine.
b) Montrer que pour tout sous-espace affine, on peut trouver une application affine et un point
dont c’est l’image réciproque (pour tout s.e.a. F d’un e.a. E , il existe f : E → E 0 affine etv 0 ∈ E 0 tels que F = f −1 (v 0 )).
Montrer que pour tout sous-espace affine, on peut trouver une application affine et un sousespace affine dont c’est l’image (pour tout s.e.a. F d’un e.a. E , il existe f : E 0 → E affine et
F 0 ⊂ E 0 tels que F = f (F )).

IIProjections1◦

Deux calculs explicitesa) Soit D la droite d’équation x + y = 1 et ∆ la droite d’équation x − 2y + 1 = 0. Déterminerles coordonnées de l’image d’un point du plan par la projection sur D parallèlement à ∆ (resp.
sur ∆ parallèlement à D). Quelle relation entre les deux projections ?
b) Soit D la droite passant par A = (1, 2, 3) et dirigée par v = (1, 1, 1) et soit P le pland’équation x + y + z = 1. Déterminer les coordonnées de l’image d’un point du plan par la
projection sur D parallèlement à P (resp. sur P parallèlement à D). Quelle relation entre lesdeux projections ?

2◦

Soit p une application affine d’un espace affine E dirigé par E dans lui-même telle que p ◦ p = p.
Montrer que p est une projection. Préciser ses éléments caractéristiques. Contre-exemple si on
ne suppose plus p affine ?

1

III

Plus sur les applications affines
Les exercices de cette page sont tirés du livre Géométrie de Michèle Audin (de même que certainsdes précédents).

1◦

Un  truc  utile
Soit ϕ un endomorphisme linéaire d’un espace vectoriel E. On suppose que l’image de tout
vecteur est un vecteur qui lui est colinéaire. Écrire cette hypothèse en termes de ∀, ∃. Écrireen termes analogues la définition d’une homothétie vectorielle. Comparer les deux écritures etmontrer que ϕ est quand même une homothétie vectorielle.

2◦

Principe de conjugaison (premier avatar)a) Étant donnés un point O dans un espace affine et un scalaire l, on note hO,l l’homothétie decentre O et de rapport l. Pour ϕ affine, décrire ϕhO,l ϕ−1 .
b) Soient F et F 0 deux sous-espaces affines dont les directions sont supplémentaires. On peut
donc parler de la projection pF ,F 0 sur F parallèlement à F 0 . Pour ϕ affine, décrire ϕpF ,F 0 ϕ−1 .

3◦Centre du groupe affine
Quelles sont les applications affines ϕ telles que pour toute application affine ψ, on ait : ϕ ◦ ψ =ψ ◦ ϕ?

4◦

Homothéties-translations
Montrer que l’ensemble des transformations affines d’un espace affine qui sont soit une homothétie, soit une translation, est stable par composition et passage à l’inverse. Comment sereprésentent ces transformations en coordonnées ?

5◦

Problème de Varignon
Étant donnés n points A1 ,. . ., An d’un plan affine P, existe-t-il n points B1 ,. . ., Bn tels que
A1 ,. . ., An soient les milieux respectifs des segments [B1 B2 ], [B2 B3 ],. . ., [Bn B1 ] ? (On étudiera
en particulier les cas n = 3 et n = 4.)2