53［研究ノート］

次元の考え方をもとにした図形概念を育てる数学教育
ー単純図形と計量図形一1 内田陽三、 2 田 中 俊 光
1 山陽小野田市立山口東京理科大学

共通教育センター

2 山口県教育会

MathematicsEducationThatNurturesGeometricConcepts
BasedonTheC
onceptofDimensions‑
SimpleF
igur
eandMeasuringFigure—
1YozoUCHIDA,2ToshimitsuTANAKA
1CenterforLiberalArtsandSciences,Sanyo‑OnodaCityUniversity2EducationalSocietyofYamaguchiPrefecture要約
中学校の平面図形の学習では三角形をもとに考え、空間図形の学習では四面体をもとに考える。ところが、小学校の平面図形の学習では正方形をもとに考え、空間図形の学習では立方体をもとに考える。ここで、平面図形のもとになる図形は三角形・正方形のどちらか、空間図形のもとになる図形は四面体・立方体のどちらか、という疑問が生まれる。
そこで、「単純図形とはその次元の図形を形づくるもとになる最も単純な図形で、 2次元では三角形、 3次元では四面体がそれにあたる」、「計量図形とはその次元の図形の計量をするもとになる図形で、 2次元では数量『面積』を測るもとになの正方形』、 3次元では数量『体積』を測るもとになる『体積 lの立方体』がそれにあたる」と定義する。そして、研る『面積 1究仮説を「各次元の図形のもとになる図形は、『単純図形』と『計量図形』の 2系列があり、それぞれのしくみを考察する手順を生徒の思考に沿った授業づくりレベルで考えることで、形と計量といった図形概念を育てるための手だてを一般化できる」とする。
年の授業「次元を超える一単純図形と計量図形ー」をつくる過程をもとに、授業の流れ「 4次元の図形
本稿では、中学 Iのイメージをつかむ」→「規則を見つける」→「規則が成り立つ理由をつかむ」と、手だて「次元の順に整理する」「比較しやすいように学習プリントを工夫する」の 2つをベースに、「『図形』と『特徴』と『名前』に絞り込んで 4次元の図形をイメージ内田陽三他

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う言葉を使う方が生徒にとって分かりやすいであろう。 41 はじめに次元の構成要素「胞で囲まれる 4次元空間の部分 」には中学校の平面図形の学習では 三角形をもとに考え、空間図形の学習では四面体をもとに考える。ところが、小学名前がないので「？」と表し、 「4次元の小部屋」という 言葉を使う方が生徒にとって分かりやすいであろう。

校の平面図形の学習では正方形をもとに考え、空間図形

表1
では 、4次元の単純図形の点 ・辺・ 面…の数を求めの学習では立方体をもとに考える。ここで、平面囮形のもるにはデータ不足である。そこで、 一度次元を下げてデーとになる図形は三角形・正方形のどちらか、空間図形のもタを増やす必要がある。とになる図形は四面体・立方体のどちらか、という疑問が1次元の図形は 「線分」である 。それを形づくるもとになる最も単純な園形「 1次元の単純図形」も「線分」である。

生まれる。
そこで、「単純図形とはその次元の図形を形づくるもとになる最も単純な図形で、 2次元では三角形、 3次元では0次元の図形は 「点」である 。それを形づくるもとになる最も単純な図形 「0次元の単純図形」も「点」である 。

四面体がそれにあたる」、「計量図形とはその次元の圏形

表 2 単純図形の表の計量をするもとになる図形で、 2次元では数量『面梢』を測るもとになる『面積 1の正方形』、 3次元では数量 r体積』

次元0次元

1次元

2次 元

3次元を測るもとになる『体秋 1の立方体』がそれにあたる」と定

名前点

線分

三角形

四面体

123413614

義する。そして、研究仮説を 「各次元の圏形のもとになる図形は、『単純図形』げ計量図形』の 2系列があり、それぞれのしくみを考察する手順を生徒の思考に沿った授業づくりレベルで考えることで、形と計量といった図形概念を育

点

栴辺成面

要素てるための手だてを一般化できる」とする。

4次元

1胞？

本稿は、これまで実践してきた研究 1)を再構成したものであり、平成 29
年告示中学校学習指道要領解説数学編 2)の第 l学年の内容 B(2)空間図形にある「平面で考察したことを類推によって空間に拡張し、空間についての豊かな感性を育むことも大切である」を発展させたものである 。

表 2は、0次元の単純図形 「点」と1次元の単純図形「線分」を含めた表である。
この表 2で考えると、下の図 1に矢線で表している規則が見つかる 。

以下、中学 1年の授業「次元を超える 一単純図形と計量図形ー」をつくる過程をもとに述べてい く。

次元

0次元

1次元

2次 元

3次元

4次元

名前

点線分

三角形四面体五胸 体

目12 単純図形のしくみ(1) 規則を見つける

表 lは、単純図

表 1 単純図形の表形を次元の順に整理した表である。横項目を 2次元「三角形」 3次元「四面体」•••と整理するだけでなく、縦項目についても、図形の 0次構

次元

2次元

3次元

名前

三角形

四面体

点34

辺36

面

l

4「1」と左斜め上の「 3」をたせばよい 。この規則にした

1がって、 4 次元の単純図形の点・辺・面•••の数を求めると、4次元成要素胞？

図 1 単純固形の表 2「左横と左斜め上の数をたす」という規則である。例えば、 3次元の単純図形 「四面体」の面の数「 4」は、 左横の「胞」の数が 5になる。 4次元の単純図形は「 5つの胞に囲元の構成要素まれた図形」であるので、「五胞体」と名付けることができ「点」、 1次元の構成要素「辺」、2次元の構成要素「面」・・・る。と整理している 。
3次元の構成要素の名前は 「胞（ほう）」と呼ぶ。胞の定義は「面で囲まれる空間の部分」であるが、 「小部屋」といまた、表の空欄部分に 0があると考えれば、 「左横と左斜め上の数をたす 」という規則は、表全体で成り立つといえる。

次元の考え方をもとにした図形概念を育てる数学教育 ー単純囮形と計呈圏形一551次元の単純図形 「線 分」は、 0次元の単純図形 「点」以(2) 4次元の単純図形のイメージをつかむ

次元を超える経験をする授業を数学の指導計画に位懺外の場所にもう 1つ「点 P」をとり、結ぶとできあがる。

付ける場合に大切なことが、「必要感」である。空間図形を2次元の単純図形「 三角形」は、 1次元の単純図形「線発展させ次元を超えるという知的好奇心だけでなく、生徒分 」を含む直線以外の場所に「点 P」をとり、結ぶとできあが 4次元の単純圏形「五胞体」の点・辺・面…の数を求めたがる。

3次元の単純園形「四面体」は、 2次元の単純図形「三くなる 具体的な探究課題が大切になる。
その具体的な探究課題に当たるものとして考えたのが、「4次元の単純図形のイメージをつかむ」である。

角形」を含む平面以外の場所に「点 P」をとり、結ぶとできあがる。したがって、四面体の辺の数は、点 Pと三角形の単純図形の規則を考える前に、「 4次元の単純図形は、点を結んでできる辺の数だけ、 三角形の辺の数より増え図にかくこともできないし模型をつくることもできない。でる。また、四面体の面の数は、点 Pと三角形の辺でつくるも、五胞体という名前で、 5つの胞で囲まれているらしい。

面の数だけ、三角形の面の数より増える。

そんな不思議な図形の点・辺・面•••の数が求められるなんで・・」という気にさせたいのである。

面体」を含む空間以外の場所に 「点 P」をとり、結ぶとできあがる。したがって、五胞体の辺の数は、点 Pと四而体の

表 3 単純図形のイメージ
次元 I1次元4次元の単純図形「五胞体」は、 3次元の単純図形 「四I2次元 I3次元 14次元点を結んでできる辺の数だけ、四面体の辺の数より増える。また、五胞体の面の数は、点 Pと四面体の辺でつくる面の数だけ、四面体の面の数より増える 。

・ •1 乙＼圏形 l

かけなし

これが、 「左横と左斜め上の数をたす 」という表での規則が成り立つ理由である。

2つの点3つの辺4つの面5つの胞特徴 1で囲まれで囲まれで囲まれで囲まれを考えてみよう」というヒントを準備しておくが、初めて 4次た図形

た図形

た函形

た図形

元のことを考える生徒にとって負担が大きすぎるので、授

名前 l線分

三角形

二点形

三辺形

この理由については、「次の次元の単純図形のつくり方業者が紹介してもよいと考える。
1四面体

五胞体

3 計量図形のしくみ
表 3は、「図形 」と「特徴」と「名前」に絞り込んで、次冗に沿った単純図形の流れから考えた 4次元の単純図形の(1) 規則を見つけるイメージである。図にはかけないが、規則をもとに特徴を表 4は、計雇図形を次元の順に整理した表である 。横項

つかみ、その特徴から名前をつけることができるのであ目を 2次元「正方形」、 3次元「立方体」…と整理するだける。

でなく、縦項目についても、図形の 0次 元 の 構 成 要 素(3) 規則が成り立つ理由をつかむ「点」、 1次元の構成要素「辺」、2次元の棉成要素 「面」．
．
．

「左横と左斜め上の数をたす」という表での規則が成りと整理している 。

立つ理由 は、単純図形の成り 立ちを整理する と明らかにな

表 4では、 4

表4 計量図形の表

次元の計量図る。
閑 2は、単純図形の成り立ちを次元に沿って整理したものである 。

形の点・辺・面…の数を求める．

〈0次元の単純函形 「点J〉

(2次元の単純図形〉

.
.
、、、ヽヽ
ヽ
ヽ、
、

「二角形」 p〈1次元の単純図形 「線分」〉●‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑.
.p〈3次元の単純図形〉「四面体」 Pジヽ

図 2 単純図形の成り立ちである 。そこで、一度次元を下げてデータを増や成2次元3次元名前

正立方体

点48

辺412面

164次元

要素

胸1？

す必要がある。

阜、、9,ヽヽ I,‑ヽにはデータ不足

構次元ヽ̀̀

1次元の図形は「線分」である。その長さを測るもとになる図形「 1次元の計量図形」は「長さ lの線分」である。 O次元の図形は 「点」である 。その個数を数えるもとになる図形「 0次元の計景圏形」は「個数 1の点」である。

56

内田陽三他．
．」という 気にさせたいのである 。

表 5 計量図形の表
次元

0次元

1次元

2次元

3次元

因形

点線分

正方形

立方体

正四辺形

正プ而休

248141216

名前
L9J
コcヽ

』

構1辺成
而
要胞

素

表 6 計量図形のイメージ

4次元次元図形特徴1？

名前

表 5は、 0次元の計量図形「個数 1の点」と 1次元の計量圏形「長さ 1の線分」を含めた表である。

1次元

2次元

3次元

4次元．．
ロ⑰

かけない

2つの点4つの辺6つの面8つの胞で囲まれで囲まれで囲まれで囲まれた図形

た囮形

た図形

た図形

線分

正方形

立方体

超立方体

正二点形

正四辺形

誌面体

正八胞体

表 6は、「圏形」と「特徴」と「名前 」に絞り込んで、次元

この表 5で考えると、図 3に矢線で表 している規則が見に沿った計量図形の流れから考えた 4次元の計量図形のイメ ージである 。図にはかけないが、規則をもとに特徴をつかる 叫つかみ、その特徴から名前をつけることができるのであ次元

0次元

1次元

2次元

3次元

4次元

圏形

点線分

正方形

立方体

超立方体

正二点形

正凶辺形

疋六面体

花八胸体

名前構成要
素占』

口辺面胞？

孔吐 回；
亜2‑
I
五屯 2‑I選
目x2ー
目X2→平]x2‑I召
目x2.:̲詞囚［生

図 3 計量図形の表 5る。
(3) 規則が成り立つ理由をつかむ「左横を 2倍 した数と左斜め上の数をたす」という表での規則が成り立つ理由は、計量図形の成り立ちを整理すると明らかになる 。
図 4は、計景闊形の成り立ちを次元に沿って整理したものである 。

1次元の計 量 図形 「長さ 1の線分」は、 0次元の計量図形「個数 lの点 」を長さ lだけ移動させたときの動いた跡である。

「左横を 2倍した数と左斜め上の数をたす 」という規則である 。
例えば、 3次元の計最図形 「体萩 1の立方体」の面．

〈0次元の計登図形「点」〉の数 「6」は、左横の 「l」を 2倍した「 2」と左斜め上の〈1次元の計売屈形「線分」〉.

1「4」をたせばよい。この規則にしたがって、 4次元の計 量〈2次元の計量図形）（3次元の計量図形〉

図形の点・辺・面・・・の数を求めると、 「胞」の数が 8になる 。

「正方形」

「立

4次元の計量即形は「 8つの胞に囲まれた圏形」であるので、「正八胞体」と名付けることができる。
また、表の空欄部分に 0があると考えれば、 「左横を 2倍した数と 左斜め上の数をたす」という規則は、表全体で成り立つといえる 。

(2) 4次元の計量図形のイメージをつかむ
先に述べた単純図形の場合と同様に、次元を超える経験をする授業を数学の指導計画に位懺付ける場合に大切なことが、 「必要感」である。
「4次元の計量図形の イメージをつかむ」ことで、 計 量ーー

図4 計量図形の成り立ち2次元の計量図形 「面 租 1の正方形 」は、 1次元の計最囮形 「長さ 1の線分」をその垂直方向に長さ lだけ移動させたときの動いた跡である 。

図形の規則を考える前に、 「4次元の計量 圏形は、団にか3次元の計景図形「体穂 1の立方体」は、 2次元の計景くこともできないし 模型をつ くることもで きない。でも、正図形「面積 ］の正方形」をその垂直方向（第 3座標軸の方八胞体という名前で、 8つの胞で囲まれているらしい 。そ向）に長さ lだけ移動させたときの動いた跡である 。したんな不思議な図形の点・辺・面•••の数が求められるなんてがって、立方体の辺の数は、「下面の正方形の辺の数十上

次元の考え方をもとにした図形概念を育てる数学教育ー単純図形と計量図形一面の正方形の辺の数十正方形の点が動いてできる辺の57

5 おわりに数」になる。また、立方体の面の数は、「下面の正方形の面の数十上面の正方形の面の数十正方形の辺が動いてできる面の数」になる。

4次元の計量図形「正八胞体」は、 3次元の計量図形「体積 lの立方体」をその垂直方向（第 4座標軸の方向）にこれまで「次元を超える一単純図形と計量図形ー」の授業づくりをもとに、授業の流れと手だてを述べてきた。
授業の流れは、「 4次元の図形のイメージをつかむ」→「規則を見つける」→「規則が成り立つ理由をつかむ」である。

だけ移動させたときの動いた跡である。したがって、
長さ l

そして、手だては、「次元の順に整理する」「比較しやすい

正八胞体の辺の数は、「下空間の立方体の辺の数十上空ように学習プリントを工夫する」の 2つをベースに、「『図間の立方体の辺の数十立方体の点が動いてできる辺の形』と『特徴』と『名前』に絞り込んで 4次元の図形をイ数」になる。また、正八胞体の面の数は、「下空間の立方体メージさせる」→「一度次元を下げてデータを増やす」→の面の数十上空間の立方体の面の数十立方体の辺が動い「図形の成り立ちを整理する」である。てできる面の数」になる。
これが、「左横を 2倍した数と左斜め上の数をたす」という表での規則が成り立つ理由である。
この理由については、「次の次元の計量図形のつくり方以上のことから、「ベースとなる 2つの手だて」と「授業の流れに沿った 3つの手だて」を講じることで、次元を超えて、形と計量といった図形概念を育てることができるといえよう。

を考えてみよう」というヒントを準備しておくが、初めて 4次

年告示高等学校学習指導要領解説数学編理数
平成30

元のことを考える生徒にとって負担が大きすぎるので、授編 4)の数学 I〔課題学習〕に「四平方の定理」の例示があ業者が紹介してもよいと考える。

る。 2次元のピタゴラスの定理を 3次元へ発展させるものである。中学校段階から次元を超える授業を指導計画へ位置

4 しくみを比較する
単純図形も計量図形も、「次元の順に整理する」という考え方をベースに、「 4次元の図形のイメージをつかむ」→「規則を見つける」→「規則が成り立つ理由をつかむ」といった手順で、それぞれのしくみをつかみ、次元を超えることができる。
同じ手順であれば、学習プリントを左右で比較できるものにすればよいと考えた。
次ページの図 5が学習プリントである。これを見れば、授業の全体像と流れがわかる。

づけ、高等学校数学へつなげていくことが大切だと考える。
参考文献l)田中俊光：山口大学教育学部附属山口中学校研究紀要第42号(1998年）

2)文部科学省：中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数 学 編 平 成29年 7月

3)大人になってからの再学習「 4次元立方体の理解」
http://zellij.
hatenablog.
com/entry/
20121201/pl

4)文部科学省：高等学校学習指導要領（平成30年告示）
解 説 数 学 編 理 数 編 平 成30年 7月

内田陽三他

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中学 1年戴学ブリント（単艤図形と計量園形）ー￨lm四

1 2次元の単純固｝f
多「三角形」にあたる図形を考えよう 。
1次元次元

3次元

2次元

I1 2次元の計呈図）杉 f正方形」にあたる図）杉を考えよう．

4次元

1次元次元

乙図形

1年 組 番図形

で囲まれた図形

名前

三角形
面で囲まれた小部屋を 「Il!（ほう） 」 と呼びます.

※

0次元

1次元図形

※ 面で囲まれた小部屋を ［Il!（ほう） 」 と呼びます．

￨l (1) 点・辺 ・面…の数を求めよう 。

点 ・ 辺 ・ 面 • ••の数を求めよう 。

次元

正方形

￨2 それぞれの次元の計益図形について調べよう ．

2 それぞれの次元の単純図形について躙ぺよう .
(1)

ロ

2次元

3次元

4次元次元

0次元

1次元図形

三角形

名Hij

2次元

4次元名 ~iJ

3点

4辺3辺

4面l面l

随龍？

？

包）

3次元

正方形点

※

4次元で囲まれ特徴

た殴形

名前3次元

4つの辺3つ の 辺
特徴

2次元臆 で囲まれた 4次元の小部屋を 「？」と表しました。

※ 胸 で囲まれた 4次元の小部屋を「 ？」と表しました。

次の次元の単純図形の「点 ・辺 ・配 ・胞・？ の数Jを求める(2) 次IT)次元の計呈図形の＂i ’ 辺 , 面 • 胞 . ?の数j を求めるための規則をまとめよう．

ための規則をまとめよう．

(3) そうなる理由を記録しよう 。

I (3） そうなる理由を記録しよう ．

3 感想囮 5 学習プリント