R パッケージ “Extended-Cross-Data-Matrix”マニュアル(Last Modified: June 20, 2020)
パッケージの説明

1与えられるデータ行列 X = [x1 , ..., xn ] に対して，拡張クロスデータ行列法 (Extended-CrossData-Matrix Methodology，略して ECDM 法) による tr(Σ2 ) の推定，および，高次元無相関性の検定を実行する．ただし，x1 , ..., xn は，平均に p 次のベクトル µ，共分散行列に p 次の非負定値対称行列 Σ をもつ母集団からの無作為標本とする．

1.1

tr(Σ2 ) の推定

データ行列 X に対して，ECDM 法による tr(Σ2 ) の推定を実行する．以下の関数を定義する．

W(X)

入力:
• “X”: p × n データ行列．ここで，p はデータの次元数，n(≥ 4) は標本数．

出力:• “Wn”: tr(Σ2 ) の推定量 Wn ．
なお，Wn の詳細は，3 節を確認のこと．

1.2

高次元無相関性の検定

各 xj を p1 次ベクトル x1j と p2 (= p − p1 ) 次ベクトル x2j に分割し1 ，xTj = (xT1j , xT2j ) とおき，各 i で X i = [xi1 , ..., xin ] とする．x1j と x2j の相関行列を Corr(x1j , x2j ) = P ∗ とおく．そのとき，データ行列 X 1 と X 2 に対して，ECDM 法による検定

H0 : P ∗ = Ovs.

H1 : P ∗ ̸= O

(1)

を実行する．以下の関数を定義する．

Tecdm(X 1 , X 2 )入力:• “X i ”: pi × n データ行列 (i = 1, 2)．ここで，pi はデータの次元数，n(≥ 4) は標本数．

出力:• “TestStatistics”: 検定統計量 (Tn /δ̂)．
• “pvalue”: p 値．
1

p1 = 1，または，p2 = 1 の場合も含む．

1

• “Tn”: ECDM 法による ∆ の不偏推定量 Tn ．
• “delta”: Tn の標準偏差の推定量 δ̂ ．
上記の４つを，上から順にリストとして出力する．なお，∆ と δ̂ の詳細は，4 節を確認のこと．

2

拡張クロスデータ行列法

Yata and Aoshima [5] は，拡張クロスデータ行列法 (ECDM 法) という方法論を開発した．2つの集合 Vn(1)(k) , Vn(2)(k) (k = 3, ..., 2n − 1) を次のように定義する．
{{⌊ k2 ⌋ − n(1) + 1, ..., ⌊ k2 ⌋},Vn(1)(k) ={1, ..., ⌊ k2 ⌋} ∪ {⌊ k2 ⌋ + n(2) + 1, ..., n},{{⌊ k2 ⌋ + 1, ..., ⌊ k2 ⌋ + n(2) },Vn(2)(k) ={1, ..., ⌊ k2 ⌋ − n(1) } ∪ {⌊ k2 ⌋ + 1, ..., n},⌊ k2 ⌋ ≥ n(1) のとき,それ以外⌊ k2 ⌋ ≤ n(1) のとき,それ以外

ここで，n(1) = ⌈n/2⌉, n(2) = n − n(1) , ⌊x⌋ は x 以下の最大の整数，⌈x⌉ は x 以上の最小の整数を表す．そのとき，k = 3, ..., 2n − 1 について，#Vn(l)(k) = n(l) ，l = 1, 2，Vn(1)(k) ∩ Vn(2)(k) = ∅，Vn(1)(k) ∪ Vn(2)(k) = {1, ..., n} となること，及び，j < k (≤ n) についてj ∈ Vn(1)(j+k) ,k ∈ Vn(2)(j+k)となることに注意する．ここで，#S は集合 S の要素の個数を表す．Vn(1)(j+k) と Vn(2)(j+k) に対応してデータ集合を 2 分割し，それらに基づいて不偏推定量を 1 つ計算する．これを，j < k (≤ n)のすべての組合せで繰り返し，得られる不偏推定量の平均をとる．これが拡張クロスデータ行列法である．
拡張クロスデータ行列法は，高次元統計解析の様々な場面で応用できる．例えば，Aoshimaand Yata [3, 4] は，高次元における推定・検定・判別分析などの各種統計的推測を考え，それらの高次元統計量の構成に拡張クロスデータ行列法を応用した．さらに，Yata and Aoshima [5, 6]は，高次元パスウェイ解析に拡張クロスデータ行列法を応用した．

3

拡張クロスデータ行列法による tr(Σ2 ) の推定tr(Σ2 ) は，高次元データの推測に精度を保証するための鍵となるパラメータである．それゆえ，このパラメータの推定は重要である．詳細は，青嶋・矢田 [1, 2]，Yata and Aoshima [5, 6]を参照のこと．拡張クロスデータ行列法を使えば，tr(Σ2 ) の不偏推定量は次のように構築できる．各 k (= 3, ..., 2n − 1) で 2 分割した集合について，標本平均をx̄n(1)(k) =1n(1)∑xj ,x̄n(2)(k) =j∈Vn(1)(k)1n(2)∑j∈Vn(2)(k)とし，ある j, k (j < k) について tr(Σ2 ) の不偏推定量

cn {(xj − x̄n(1)(j+k) )T (xk − x̄n(2)(j+k) )}22xj

を計算する．ここで，cn = (n(1) − 1)−1 (n(2) − 1)−1 n(1) n(2) である．すべての組合せの平均をとりWn =2cnn(n − 1)n∑{(xj − x̄n(1)(j+k) )T (xk − x̄n(2)(j+k) )}2(2)j,k=1(j<k)

を定義する．Wn は，母集団分布に依らずに，不偏性 E(Wn ) = tr(Σ2 ) をもつ．

[拡張クロスデータ行列法による tr(Σ2 ) の推定量 Wn の計算アルゴリズム](Step 1) x̄n(l)(k) , l = 1, 2 を各 k (= 3, ..., 2n − 1) で計算する．
(Step 2) すべての j, k (1 ≤ j < k ≤ n) について (Step 1) で計算した x̄n(l)(j+k) を代入して
cn {(xj − x̄n(1)(j+k) )T (xk − x̄n(2)(j+k) )}2 を計算し，それらの平均をとった Wn で tr(Σ2 )を推定する．

なお，Wn の漸近的性質は Aoshima and Yata [3]，Yata and Aoshima [6] を参照のこと．

拡張クロスデータ行列法による高次元無相関性の検定

4

第一種の過誤 α ∈ (0, 1/2) を設定し，高次元のもと検定 (1) を考える．なお，検定 (1) は x1jと x2j における偏相関に関する無相関性の検定にもなっている2 ．
いま，xTj = (xT1j , xT2j ) について，各 i の共分散行列を Var(xij ) = Σi とおき，相互共分散行列を Cov(x1j , x2j ) = Σ∗ とおく．すなわち，)(Σ1 Σ∗
Σ=ΣT∗ Σ2と表記する．行列のフロベニウスノルムを用いて，∆ = ∥Σ∗ ∥2F = tr(Σ∗ ΣT∗ )とおく．H0 のもと ∆ = 0 であることに注意する．拡張クロスデータ行列法を使えば，∆ の不偏推定量は次のように構築できる．各 k (= 3, ..., 2n − 1) で 2 分割した集合について，各 i で標本平均をx̄i,n(1)(k) =1n(1)∑xij ,

x̄i,n(2)(k) =j∈Vn(1)(k)

1n(2)

∑xij

j∈Vn(2)(k)とし，Tn =2cnn(n − 1)n∑(x1j − x̄1,n(1)(j+k) )T (x1k − x̄1,n(2)(j+k) )j,k=1(j<k)× (x2j − x̄2,n(1)(j+k) )T (x2k − x̄2,n(2)(j+k) )(3)を定義する．Tn は，母集団分布に依らずに，不偏性 E(Tn ) = ∆ をもつ．Tn の分散の推定量として，
W1,n W2,nδ̂ 2 = 2n22

Yata and Aoshima [6] の 1 節を参照のこと．

3を考える．ここで，Wi,n は (2) 式に従って計算する tr(Σ2i ) の不偏推定量である．高次元 (p → ∞)のもと Tn /δ̂ は漸近的に正規分布に従う3 ．

[仮説 (1) の検定方式の構築](Step 1) x̄i,n(l)(k) , l = 1, 2 を各 k (= 3, ..., 2n − 1) と i (= 1, 2) で計算する．
(Step 2) すべての j, k (1 ≤ j < k ≤ n) について (Step 1) で計算した x̄i,n(l)(j+k) を代入して
cn (x1j − x̄1,n(1)(j+k) )T (x1k − x̄1,n(2)(j+k) )(x2j − x̄2,n(1)(j+k) )T (x2k − x̄2,n(2)(j+k) ) を計算し，それらの平均をとった Tn を求める．
(Step 3) Wn の計算アルゴリズムと同様に，各 i で Wi,n を計算し，δ̂ を求める．
(Step 4) 標準正規分布の上側 α 点 zα を用いて，仮説 (1) を次のように検定する4 ．
H0 を棄却 ⇐⇒Tnδ̂> zα(4)

Yata and Aoshima [6] は，上記の検定方式を用いて，マイクロアレイデータのパスウェイ解析を行った．

References[1] 青嶋誠，矢田和善 (2013). 日本統計学会研究業績賞受賞者特別寄稿論文：高次元データの統計的方法論, 日本統計学会誌, 43, 123-150.
[2] 青嶋誠，矢田和善 (2019). 高次元の統計学，共立出版，東京.
[3] Aoshima, M. and Yata, K. (2014). A distance-based, misclassiﬁcation rate adjusted classiﬁer for multiclass, high-dimensional data. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 66, 983-1010.
[4] Aoshima, M. and Yata, K. (2015). Asymptotic normality for inference on multisample,
high-dimensional mean vectors under mild conditions, Methodology and Computing inApplied Probability, 17, 419-439.
[5] Yata, K. and Aoshima, M. (2013). Correlation tests for high-dimensional data using extended cross-data-matrix methodology, Journal of Multivariate Analysis, 117, 313–331.
[6] Yata, K. and Aoshima, M. (2016). High-dimensional inference on covariance structures
via the extended cross-data-matrix methodology, Journal of Multivariate Analysis, 151,151–166.

34Yata and Aoshima [6] の 3 節を参照のこと．
本検定方式の検出力は，Yata and Aoshima [6] の 4 節を参照のこと．

4