日本地震工学会論文集 第 7 巻、第 6 号、2007

統計的グリーン関数の最大加速度・最大速度の距離減衰特性

佐藤智美 1)
1) 正会員 清水建設技術研究所、主任研究員、博士(工学)e-mail: toshimi.satoh@ shimz.co.jp

要 約
複数の Q 値モデルと経時特性モデルを用いて地震基盤における中規模地震相当の統計的グリーン関数を計算し、その最大加速度と最大速度の距離減衰特性と既往の距離減衰式(経験式)との比較を行ない、Q 値・経時特性モデルの適用性について検討した。その結果、海溝型地震に対して、佐藤(2004、2006)の地域性を考慮した Q 値モデルと散乱理論に基づく経時特性モデルを用いた統計的グリーン関数は距離減衰式と整合することがわかった。一方、海溝型地震に対して、Boore(1983)の経時特性モデルを用いた場合には震源距離が遠くなるほど過大評価、佐藤・他(1994)の経時特性モデルを用いた場合には 100km 以下で半分程度の過小評価となり、両者とも距離減衰式より距離減衰が小さい。

キーワード：統計的グリーン関数、距離減衰、経時特性モデル、Q 値

1. はじめに
統計的グリーン関数法 1),2)は、予測対象サイトにおいて地震観測波形がない場合でも断層モデルを用いて強震動が予測できる手法であり、
国 3),4)や地方自治体 5)が実施する強震動評価でも用いられている。
例えば、
3)
4)
文部科学省地震調査研究推進本部 (以下、推本と略す)や内閣府中央防災会議 (以下、中央防災会議と略す)では、統計的グリーン関数法、あるいは、ハイブリッド法 6),7)の周期 1～3 秒程度以下の短周期地震動予測に統計的グリーン関数法を用いて、広域多点での強震動予測を実施している。また、名古屋市の建築構
造物の設計用入力地震動策定のためのプロジェクト 5)でも、短周期地震動予測に統計的グリーン関数法を用いたハイブリッド法が用いられている。また、2006 年 9 月には、「発電用原子炉施設に関する耐震設計審査指針」が改定され、従来の応答スペクトルに基づく評価手法に加え、断層モデルを用いた強震動予測手法により、地震動を評価するように明示された 8)。対象サイトに適切な中小地震の観測波形がある場合には、経験的グリーン関数法により地震動評価が可能である。しかし、活断層による地殻内地震の地震動評価の場合など、対象サイトにおいて適切な観測波形が得られていない場合には、統計的グリーン関数法が用いられるものと考えられる。このように、現在、統計的グリーン関数法は、地震防災や耐震設計のための地震動評価手法として重要な手法となっている。
推本や中央防災会議で実施されている断層モデルに基づく強震動予測 3),4)では、断層モデルのパラメータ
は、入倉・三宅 9)により提案されている設定手法に基づき設定されている。断層モデルが決まれば、統計的グリーン関数法による強震動予測で重要となるのは、中小地震波形の代わりとなる統計的グリーン関数
が、どれだけ中小地震波形を再現できるものになっているかということである。つまり、想定地震から対
象サイトまでの伝播経路特性と地盤増幅特性が、統計的グリーン関数にいかに適切に反映されているかと-1-

いうことである。中小地震波形を精度よく再現できない統計的グリーン関数では、大地震の強震動波形を精度よく再現・予測できないことは言うまでもない。
統計的グリーン関数は、フーリエ振幅スペクトルモデルと経時特性モデル例えば 10),11),12),13)(あるいは、フーリエ位相スペクトル)から作成されるため、両者が適切にモデル化される必要がある。従来の応答スペクト
ル法による地震動評価手法(模擬地震波作成手法)でも、経時特性モデル(あるいは、フーリエ位相スペクト
ル)は必要であったが、応答スペクトルにフィッティングするように模擬地震波が作成されるため、経時特性モデルによらず最大加速度がほぼ同じ模擬地震波が得られる。一方、フーリエ振幅スペクトルが用いられる統計的グリーン関数法では、経時特性モデルの違いにより統計的グリーン関数の最大加速度や最大速度は異なってくるため、経時特性モデルの重要性がより大きい。波形合成法では、スケーリングを考慮して統計的グリーン関数を線形に足し合わせるため、統計的グリーン関数の最大加速度や最大速度の違いは想定地震の予測波形の最大加速度や最大速度に線形にその影響が及ぶ。
統計的グリーン関数法における経時特性モデルの重要性に着目して、筆者 12),13)は、中規模海溝型地震(気象庁マグニチュード MJ=5～6.5)の強震記録から、震源特性が Boore11)の経時特性モデル、伝播経路特性が散乱理論に基づく経時特性モデル１4)からなるモデルを提案した。そして、提案経時特性モデルを用いて作成した統計的グリーン関数の方が、Boore11)や佐藤・他 10)のモデルを用いた場合より、短周期(1 秒以下)の観測加速度波形をより再現できることを示した。また、Saito et al.15)は、Saito et al.14)による散乱理論に基づ
く経時特性モデルにより、小規模海溝型地震 (MJ =3.6～4.3)の短周期(0.5 秒以下)の狭帯域フィルター波の観測最大加速度と継続時間が統一的に説明できることを示している。しかしながら、これまで、統計的グリーン関数法では、Boore11)や佐藤・他 10)のモデル等の異なる経時特性モデルが適用されているが、異なる
経時特性モデルで作成された統計的グリーン関数の最大加速度や最大速度の距離減衰特性が、経験式である距離減衰式の距離減衰を再現できるか否かという観点で経時特性モデルの適用性の検討が行われた例はない。また、統計的グリーン関数の距離減衰特性には、当然ながら、フーリエ振幅スペクトルモデルが寄与するため、Q 値モデルも含めて距離減衰特性を検討する必要がある。
そこで、本研究では、複数の Q 値モデルと経時特性モデルを用いて中規模地震相当の地震基盤における統計的グリーン関数を計算し、その最大加速度と最大速度の距離減衰特性と既往の最大加速度・最大速度の距離減衰式(経験式)との比較を行うことで、Q 値モデルと経時特性モデルの適用性について考察する。
また，推本の想定宮城県沖地震の断層モデル(モーメントマグニチュード Mw7.6)と地盤モデル 3),16)を用いて、異なる経時特性モデルを適用した統計的グリーン関数法により 3 観測点での強震動予測を行ない，経時特性モデルの違いによる最大加速度・最大速度の違いを示す。なお、本研究では水平動を対象とする。
2. 手法及び解析条件
中規模地震相当の地震基盤における統計的グリーン関数の計算で用いる統計的グリーン関数法と解析条件について記述する。フーリエ振幅スペクトルモデルは Boore11)のモデルに基づく式とする。経時特性
モデルは、中央防災会議 4)などで用いられている Boore11)のモデル、推本 3)などで用いられている佐藤・他
10)のモデル、散乱理論に基づく佐藤 12),13)のモデルの 3 種類を対象とする。いずれも、加速度波形に対する経時特性モデルである。フーリエ振幅スペクトルモデルと経時特性モデルを用いて地震基盤で統計的グリーン関数を作成する手順は、Boore11)と佐藤・他 10)の経時特性モデルを用いた場合は佐藤・他 2)、佐藤 12),13)の経時特性モデルを用いた場合は佐藤 12)と同じとする。また、波形合成法は、壇・佐藤 17)の手法を用いる。
なお、想定宮城県沖地震の強震動予測の際の統計的グリーン関数法及び設定パラメータは、経時特性モ
デルを 3 種類とする以外は推本で用いられているものと同じである 3),16)。
2.1 フーリエ振幅スペクトルモデル
地震基盤での S 波のフーリエスペクトルモデルは、ω-2 モデルに基づく震源スペクトル S(f)に、伝播経路
スペクトル P(f)式をコンボリューションしてモデル化される 11)。

-22

S( f ) =Rθφ Fs PRTITN
4πρβ 2m2
ρβ (2πf ) M 0 ⎡ ⎛ f ⎞ ⎤
⎢
⎜
⎟
⎥
+
1
2
⎜
⎟
ρzβz
⎛ f ⎞ ⎢ ⎝ f max ⎠ ⎥1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎣⎝ f0 ⎠⎛ − πfX ⎞1⎟
P ( f ) = exp⎜⎜⎟
X⎝ QVs ⎠

−1 / 2(1)⎦(2)

中規模地震相当の地震基盤における統計的グリーン関数作成の際の(1)、(2)式の各パラメータは以下のように設定した。自由地表面の効果を表す定数 Fs は 2、水平 2 成分へのエネルギー分配を表す係数 PRTITN は
水平 1 方向対象とすることから 1/20.5 とする 11)。また、Rθφ はラディエーションパターン係数であり、Boore
and Boatwright18)の S 波のラディエーションパターン係数の対数での平均値 0.55 とする。β、ρは、震源での S 波速度、密度であり、海溝型地震に対しては 4.0km/s、3.0g/cm3、地殻内地震に対してはβ=3.4km/s、
ρ=2.7g/cm3 とした 19)。βz、ρz は、地震基盤での S 波速度、密度であり、3.0km/s、2.6g/cm3 とした。Vs は伝播経路の平均 S 波速度でありβと同じとした。X は震源距離である。fmax は、海溝型地震では主に福島県沖や宮城県沖の MJ5～7 程度の海溝型地震から推定されている 13.5Hz20)、地殻内地震では鳥取県西部地
震 21)や兵庫県南部地震 22)に対して推定されている 6Hz とした。m は、佐藤・他 20)に基づき 4.2 とした。fは周波数、M0 は地震モーメント、f0 はコーナー周波数である。中規模地震の震源パラメータは、佐藤 12)と同様に、2002 年 1 月 27 日の岩手県沖の地震(Mw5.2)の震源パラメータを用いた。すなわち、M0 は F-netの推定値である 8.7×1023dyne-cm 、応力降下量Δσは佐藤 19)の推定値である 197bar である。したがって、
f0 は、海溝型地震で 1.2Hz、地殻内地震で 1.0Hz となる。
Q 値については、海溝型地震の計算の際には、深さ 60km 以下の海溝型地震の強震記録からスペクトルインバージョンに基づき推定されている 3 つの地域に対する式 13),19)を用いる。
Q=154f 0.91 (≧0.5Hz)
Q=392f 0.37 (≧1Hz)
Q=114f 0.67 (≧1Hz)(東日本太平洋岸の海溝型地震) (3)（東海・東南海沖の海溝型地震）(4)（日向灘周辺の海溝型地震）(5)

統計的グリーン関数の計算の際には、(3)式の 0.5Hz 以下では 0.5Hz での Q 値、(4)式、(5)式の 1Hz 以下では 1Hz での Q 値で一定と仮定する。地殻内地震については、既往の研究で推定されている Q 値を回帰分析して平均的 Q 値を求めた。表 1 には、地殻内地震の震源距離 100km 以内でかつ火山フロントをまたがない強震記録のみからスペクトルインバージョンに基づき推定されている既往の Q 値モデル 23)～30)を示す。
Q 値モデルの傾きを共通とした層別因子を用いた方法で回帰分析した結果、以下の回帰式が得られた。
Q=40f 1.0

（日本全国の地殻内地震、震源距離 100km 以内）(6)

表１ 地殻内地震の震源距離 100km 以下の記録から推定された Q 値モデル
地域
大阪周辺
大阪周辺
九州南西部
小田原周辺
新潟県中越
新潟平野
九州北部
北海道留萌周辺
若狭湾周辺

Q 値モデル 周波数(Hz)0.84
0.5～10Q ＝37f1.0
0.33～10
Q ＝33f0.63
1～10
Q ＝104f
Q ＝20f1〜20
0.89
0.6〜10Q ＝21f
Q ＝50f0.5〜201.5
1〜10
Q ＝56f0.89
1〜10
Q ＝43f1.40
1〜10
Q ＝30f

-33

参考文献
23)
古和田・他
24)
Moya et al.
加藤25)
26)
植竹・工藤
27)
畑山・他
28)
金谷・他
29)
佐藤・川瀬
30)
佐藤
佐藤30)

-1

回帰モデル：Q=40f
既往の Q 値モデル

図 1 地殻内地震に対する既往の Q 値モデル 23)～30)(青線)とこれらを回帰した平均的 Q 値モデル(赤線)
なお、震源距離を 100km 以内に限ったのは、防災や耐震設計のための強震動評価では震源近傍が重要であること、100km 以遠では後述するように距離減衰特性が変化することが指摘されていることである。図 1には、既往の Q 値モデルと回帰式を示す。回帰式を用いた統計的グリーン関数の計算では 1Hz 以下では、
1Hz での Q 値で一定と仮定した。回帰式は、平均的モデルであるが、実際には既往の Q 値モデルが示すように地域性がある。そこで、Q 値の違いによる統計的グリーン関数の最大加速度・最大速度の距離減衰特性の感度をみるため、Q=20f、Q=80f、Q=160f と、周波数依存の係数を変化させた Q=40f 0.7、Q=40f 1.3 のケースについても計算を行い、比較検討を行う。
2.2 経時特性モデル
Boore11)の経時特性モデル BENV(t)は次式で表される。
b −ct

BENV(t) = Ct e

ここで、

(7)

H(t)

b = − p ln q / [1 + p(ln p − 1)]c = b /( pTw )

(8)
(9)
(10)

C = [e /( pTw )]bである。Tw はコーナー周期 Tc の 2 倍であり、q は 0.05 である。Boore11)では、Saragoni and Hart31)が主にカ
ルフォルニアの地殻内地震の観測波形にフィッティングするように推定した係数が説明できるとして、
p=0.2 としている。Boore11)の経時特性モデルは、釜江・他 1)の地殻内地震の強震動予測や、中央防災会議
4)による海溝型地震・地殻内地震の強震動予測で用いられている。Boore11)の経時特性モデルは Tc の関数であり、伝播経路の影響が含まれていない。
佐藤・他 10)のモデルは、(11)～(13)式で定義される Jennings 型 32)モデル ENV(t)に基づいている。
ENV(t)= ((t - ta)/(tb - ta))2
ENV(t)=1.0
ENV(t)= exp[-(ln10) (t- tc)/(td - tc)](ta≦t≦ tb)(tb≦t≦ tc)(tc≦t≦ td)

(11)
(12)
(13)

ta =0 とし、立ち上がり部(tb - ta)、主要動部(tc - tb)、減衰部(td - tc)が(14)～(16)式の回帰式で与えられる。

-44

log(tb - ta)=0.229MJ -1.112
log(tc - tb)=0.433MJ -1.936
log(td - tc)=0.778log(X)-0.340

(14)
(15)
(16)

立ち上がり部と主要動部が MJ 依存であり、減衰部が震源距離 X 依存となっている。この関係は、主に福島県沖や宮城県沖の海溝型地震の仙台の工学的基盤波での加速度波形記録から作成され、統計的グリーン関数法による 1978 年宮城県沖地震の強震動の再現・予測に適用された 2)。その後、地震基盤での経時特性モデルとみなして、関東地震 33）や想定東海地震 5)、推本例えば 3)による地殻内地震と海溝型地震の強震動予測に適用されている。なお、計算の際には、MJ=Mｗとみなした。
佐藤 12),13)の経時特性モデルは、震源特性が Boore11)の経時特性モデル、伝播経路特性が散乱理論 14)に基づく経時特性モデルとなっている。(8)式の p の値は、東海・東南海沖周辺と日向灘周辺では Boore11)と同
じ 0.2、東日本太平洋岸では 0.34 と推定されている。散乱理論に基づく伝播経路特性の経時特性モデル
TENV(t)は次式で表される 14)。

TENV (t ) = I ( X , t ) exp(−2πftQ −1 )(17)

ここで、I(X,t)はI ( X , t) =⎡ n 2π 2 (t − X / Vs ) ⎤1
π2 ∞n +1 2
(
)
(
t
V
)
1
n
exp
H
X
/
−
−
⎢−
⎥
s
2t M n =1
4t M
4πX 2
⎣
⎦

∑

(18)

である。H はステップ関数である。t は発震時からの時間である。tM は、経時特性モデルの幅(継続時間)を表す特徴的時間であり、von Karman 型でκ≒(κは波数)の場合には X の 2 乗に比例し、tM =D (κ )ε 2 a ⎛ X ⎞⎜ ⎟2V s ⎝ a ⎠(19)で表される。ここで、εは伝播経路の S 波速度 Vs の二乗平均値の平方根(RMS)であり速度構造の不均質の大きさを意味する。a は相関距離であり、D(κ)≒1.5 である。なお、n は 1000 程度でよい 12)。Q 値は 3 つの地域に対して(3)～(5)で与えられている 12),13)。佐藤 12),13)は、Vs を 4km/s と仮定し、深さ 60km 以下の中規模
海溝型地震の強震記録から、3 つの震源域に対する周波数 1～16Hz の範囲のε2/a を以下のように求めている。

ε2/a=10− 2.84［km-1］
ε2/a=10− 3.18〜− 2.99［km-1］
ε2/a=10− 2.76〜− 2.72［km-1］(a) 東日本太平洋岸(b) 東海・東南海沖(東日本太平洋岸) (20)
（東海・東南海沖） (21)（九州日向灘周辺） (22)(c) 九州日向灘周辺

図 2 3 つの地域における散乱理論に基づく伝播経路の経時特性モデル（佐藤 13）の図をカラー化）(赤が１Hz の場合、青が 16Hz の場合であり、振幅はすべて同じとなるように基準化して表示)-55

(21)、(22)式のべき乗は周波数依存の係数として与えられている。図 2 には、周波数 1Hz と 16Hz の場合の伝播経路の経時特性モデルを示す。地域性がみられるが、周波数依存性は小さい。なお、佐藤 12),13)の経時特性モデルの適用範囲は、震源距離 50km 程度以上、周波数 1～16Hz である。しかし、震源近傍では、これまで統計的グリーン関数法に最も利用されている Boore11)の経時特性モデルとほぼ一致するという観点から、0.25Hz 以下では 0.25Hz での値を用いて全周波数帯域に適用して計算を実施する。
3. 中規模地震に対する統計的グリーン関数の距離減衰特性
2002 年 1 月 27 日の岩手県沖の地震(MJ5.5、深さ 46.3km)の KiK-net 地中観測点における加速度波形と、3つの経時特性モデルを用いて計算した地震基盤における統計的グリーン関数(加速度波形)の比較を示す。
これは、佐藤 12)の計算結果に、(d)の Boore11)の経時特性モデルによる計算結果を加えたものであり、いずれも 1～20Hz のフィルター波形である。Q 値は(3)式で共通であるので、フーリエ振幅スペクトルも同じである。なお，KiK-net 地中観測点の波形には，上昇波と下降波が含まれており，露頭基盤波とは異なるため，サイト特性の群遅延時間の平均値が 0 に近い地中観測点を選んで比較している。しかし，地中観測点
では露頭基盤よりフーリエ振幅がやや小さくなるため，観測波形の最大加速度は小さめになる。 (c)の佐藤・他 10)の経時特性モデルは、観測波形にみられる距離が遠いほど継続時間が長くなる傾向は表現されてIWTH21
IWTH03

MYGH11

AOMH12(a) 観測波形(b) 佐藤 12) の経時特性モデル(c) 佐藤・他 10)の経時特性モデル（d）Boore11)の経時特性モデル

図 3 Mw5.2 の岩手県沖の地震の KiK-net 地中観測点における加速度波形と、フーリエ振幅特性を共通とし、3 種類の経時特性モデルを用いて計算した統計的グリーン関数の比較（数字は最大加速度。佐藤
12)に(d)を追加）-66

いるが、(b)の佐藤 12)の経時特性モデルと比較すると特に近距離において観測波の再現性は悪い。(d)のBoore11)の経時特性モデル(p=0.2)を用いた場合は、継続時間は震源距離によらずコーナー周期の 2 倍程度と短いため、距離が遠いほど継続時間が長くなる傾向は表現できず、最大加速度も他の経時特性モデルを用いた場合より大きくなっている。佐藤 12)の経時特性モデルは、広い震源距離の範囲で、最もよく観測加速度波形の経時特性を表現している。
次に、同じ条件で、断層最短距離 10～200km の範囲を対数軸で 26 等分した距離で統計的グリーン関数を計算し、最大加速度と最大速度の距離減衰特性について検討した。同じ距離において、乱数位相を 10通り変えて統計的グリーン関数を計算し、その最大加速度と最大速度の平均値を図 4(a)に示す。図 4(b)、図 6(a)、(b)に示した、他の条件により計算された統計的グリーン関数の距離減衰特性も、同様に 10 個の乱数位相で計算された波形の最大加速度と最大速度の幾何平均値である。
図 4、図 6 で比較対象として用いている距離減衰式は、(23)式でモデル化されている片岡・他 34)と片岡・
佐藤 35)の距離減衰式である。
log10 Yij = a1M w + a2 log10 A − bR + c0 − log10 ( R + d ⋅100.5 M W ) + ∑ δ kj ck ± e

(23)

k

ここで、Yij は i 番目の地震の j 番目の観測点における最大加速度、最大速度、加速度応答スペクトル、
SI 値、計測震度である。R は断層最短距離，A は短周期レベル 36)、e は標準偏差である。a1、a2、b、c0、ck、d は回帰係数である。ck は k 番目の観測点の地点補正値であり、c0 は ck の平均が 0 となるよう求められる。地殻内地震に対しては、R が 80km 以遠では、R の代わりに(80R)0.5 となる。
本研究で、片岡・他 34)と片岡・佐藤 35)の距離減衰式を比較対象として選択した理由は、以下の通りである。まず、地殻内地震と海溝型地震で距離係数 b が異なる距離減衰式が提案されていること、海溝型地震
は東日本と西日本の 2 つの地域に分かれており、東日本については火山フロント前孤側の記録のみを用いているため、火山フロント直下付近の高減衰の領域の影響がないことである。また、データセットが日本の地震の記録のみであるため、日本とは異なる大陸性地殻を伝播する波の影響がある米国西海岸の記録等が含まれていない。さらに、統計的グリーン関数作成に用いる短周期レベルを(23)式に代入することにより、絶対値の議論も可能となる利点もある。実際に，上述の地震モーメントと応力降下量から算出される
短周期レベル(海溝型地震で 5.0×1025dyne-cm/s2，地殻内地震で 3.6×1025dyne-cm/s2)を代入し，距離減衰を計算した。ただし、工学的基盤(Vs=700m/s 程度)と I 種地盤、II 種地盤、III 種地盤に対する地盤補正係数が用意されているが、地震基盤に対する補正係数はない。また、最大加速度、最大速度とも、水平 2 成分合成の最大値から作成されている。一方、統計的グリーン関数は、地震基盤における水平 1 成分のものである。そこで、工学的基盤の距離減衰式を以下のように補正して比較を行なった。水平 2 成分合成の最大値と水平 1 成分の最大値の違いは、水平 1 成分の応答スペクトルに対する水平 2 成分合成の応答スペクトルの比 37)の短周期領域の平均的値である 1.3 倍を補正に用いた。また、高橋・他 38)の応答スペクトルの地盤増幅率補正式(経験式)は、Vs =2200m/s の層からの増幅率で定義されているため、Vs =2200m/s の層から Vs=700m/s の層までの増幅率を計算すると、周期範囲 0.2～0.5 秒で 1.53 倍となる。周期範囲 0.2～0.5 秒は、
片岡・他 34)と片岡・佐藤 35)の地殻内地震と東日本の海溝型地震の加速度応答スペクトルの距離減衰式の b
値が最大加速度・最大速度の距離減衰式の b 値と同じとなる周期範囲に相当する。松岡・翠川 39)による最大速度の増幅率の経験式は、地下 30ｍから地表までの平均 S 波速度 AVS30 の適用範囲が 1500ｍ/s までであるため、AVS30 が 1500m/s の層から 700m/s の層までの増幅率を求めると 1.65 倍となる。Vs＝3000m/s の地
震基盤から Vs =700m/s の工学的基盤までの増幅率は、これらより大きくなるものと考えられため、1.7 倍として補正を行った。したがって、図 4、図 6 に示す距離減衰式は、工学的基盤での距離減衰式を(1.3×1.7)
で除した値となっている。なお、統計的グリーン関数の最大加速度・最大速度は、片岡・他 34)、片岡・佐藤 35)の距離減衰式で用いられている周期 0.1〜5 秒のバンドパスフィルターを通して求めた。
図 4(a)において、佐藤 12)の経時特性モデルを用いた統計的グリーン関数の最大加速度・最大速度の距離
減衰特性は、片岡・佐藤 35)の距離減衰式と整合している。佐藤 12)の経時特性モデルは、片岡・佐藤 35)の距
離減衰式とは独立な手法で算出されているが、この経時特性モデルで最大加速度・最大速度の距離減衰特性も統一的に表現できることがわかる。一方、Boore11)、佐藤・他 10)の経時特性モデルを用いた場合は、佐-77

(a) 3 種類の経時特性モデルによる比較（Q 値は共通）(b) 3 つの地域固有の散乱理論に基づく経時特性
モデル・Q 値モデルによる比較

図 4 Mw5.2 の海溝型地震に対する片岡・佐藤 35)の最大加速度と最大速度の距離減衰式(地震基盤相当に補正)と地震基盤での統計的グリーン関数の距離減衰特性の比較
藤 12)の経時特性モデルを用いた場合より距離減衰の傾きが小さく、片岡・佐藤 35)の距離減衰式との整合性はよくない。図 4(a)の比較を、片岡・佐藤 35)の距離減衰式に対する統計的グリーン関数の距離減衰特性の比として表示した結果を図 5 に示す。佐藤 12)の経時特性モデルを用いた場合、この比はほぼ１である。しかし、Boore11)の経時特性モデルを用いた場合の比は、50km 程度以下ではほぼ 1 であるが、距離が遠くなるほど大きくなり、
200km でほぼ 2 倍の過大評価となる。
佐藤・他 10)の経時特性を用いた場合の比は、Boore11)、
12)
佐藤 の経時特性モデルを用いた場合より小さく、100km 以内で約半分の過少評価となる。震源距離 150～200km 付近で比は 1 に近づくが、これは、佐藤・他 10)の主なデータの震源距離の範囲と対応している。
図 4(b)は、散乱理論に基づく 3 つの地域固有の経時特性モデル 12),13)と Q 値モデルを用いた場合の統計的
グリーン関数の距離減衰特性と片岡・佐藤 35)の東日本と西日本の海溝型地震の距離減衰式の比較である。

-88

（a） 最大速度の場合(b) 最大加速度の場合

図 5 Mw5.2 の地震に対する片岡・佐藤 35)の東日本の海溝型地震の距離減衰式(地震基盤相当に補正)に対する 3 つの経時特性モデルを用いた地震基盤での統計的グリーン関数の距離減衰特性の比
Q 値モデルは、(20)〜(22)式である。上述のように、震源特性の経時特性のパラメータ p は、東海・東南海
沖と九州日向灘周辺では同じであるが、東日本太平洋側では異なっている。図 4(b)の東日本の海溝型地震の距離減衰式と、東日本太平洋側の海溝型地震の経時特性モデルを用いた統計的グリーン関数の距離減衰特性は図 4(a)と同じであり、両者はほぼ一致している。また、西日本の海溝型地震の距離減衰式は、式作成の際のデータセットの範囲である断層最短距離 20km 以上では、九州日向灘周辺地域の経時特性モデルを用いた場合の統計的グリーン関数の距離減衰特性と類似している。これは、西日本の海溝型地震の距離
減衰式作成の際のデータセットの大半が九州日向灘周辺地域の海溝型地震の記録である 35)ことと調和的である。以上のように、地域により異なる距離減衰式は、散乱減衰が考慮されている佐藤 12),13)の経時特性モ
デルと Q 値の地域性を考慮することでほぼ説明可能であることがわかった。
図 6 には、片岡・他 34)の地殻内地震に対する距離減衰式と、Q 値を変化させた場合の地殻内地震に対する統計的グリーン関数の距離減衰特性の比較を示す。散乱理論に基づく経時特性モデルは実体波に対するものであるため、海溝型地震に比べ表面波やモホ反射波の影響の大きい地殻内地震に対しては適用が困難である 40）。そこで、Boore11)の経時特性モデルを用いて統計的グリーン関数の計算を行った。
図 6(a)は、Qを地殻内地震の震源距離 100km以内のデータに基く平均的モデルであるQ=40fの場合とQ=20
f、Q =80 f、Q =160 fの場合の統計的グリーン関数の距離減衰特性の比較である。遠方ほどQ値の違いによる最大加速度・最大速度の差が大きくなることがわかる。最大加速度についてみると、統計的グリーン関
数の距離減衰の傾きは、Q＝160fの場合に片岡・他 34)の距離減衰式と同程度である。これは、震源距離 150km以内の全国の地殻内地震 41）や震源距離 200km以内の東日本の地殻内地震 19),42)の記録から推定されているQ
がQ＝160f程度であるという結果と調和的である。つまり、片岡・他 34)の地殻内地震に対する距離減衰式
は断層最短距離 250km以内という比較的遠方までのデータを用いて作成されているため、Q＝160f程度の場合と同程度になったものと考えられる。一方、Q=40fを用いた場合の最大加速度の距離減衰は距離減衰
式より大きく、断層最短距離 40km以内では過大評価、40km以遠では過少評価となっている。なお、既往の距離減衰式の傾きを参考にして傾きの係数が決められている司・翠川 43)の距離減衰式の傾き(b=0.003)や浅い地震の記録から求められている福島・田中 44)の距離減衰の傾き(b=0.0033)は、片岡・他 34)の地殻内地
震の距離減衰の傾き(b=0.00395)よりやや緩いため、これらと比較すると、Q=40f の場合の距離減衰特性との差がさらに大きい。仮に、Boore11)の経時特性モデルの代わりに佐藤・他 10)の経時特性モデルを用いても、
図 4 や図 5 から類推できるように距離減衰の傾きはBoore11)の経時特性モデルとほとんど変わらず、散乱理論に基づく佐藤 12)の経時特性モデルを用いると距離減衰式との隔離がさらに大きくなる。
この原因として、上述のように、既往の距離減衰式は 200km 程度かそれ以上までのデータを用いて作成されているため、以下で説明するような波の影響を受けて、平均的に距離減衰が小さくなっていることが考えられる。火山フロントの前弧側では震源距離 80〜100km 以遠で距離減衰が小さくなるという特徴が指摘されるなど 45)、モホ反射波や地殻内でトラップされる波の影響により、100km 以遠で距離減衰が小さく-99

(a) Q 値モデルの１Hz での値を変化させた場合(b) Q 値モデルの周波数依存性を変化させた場合

図 6 Mw5.2 の地殻内地震に対する片岡・他の最大加速度と最大速度の距離減衰式(地震基盤相当に補正)と、Boore11)の経時特性モデルを用い、Q 値を平均的モデル(Q=40f)を中心に変化させた場合の地震基盤での統計的グリーン関数の距離減衰特性の比較なる。また、米国のような大陸性地殻を伝播する波ほど顕著ではないものの、日本でも地殻内地震の波形の震央距離 150km 程度以上において Lg 波がみられることが確認されており 46),47)、この場合も距離減衰は小さくなる。さらに、浅い地震では深い地震と比較して表面波が励起されやすく、遠方で距離減衰が小さくなる傾向がある。最大速度の場合に、Q＝160f でも片岡・他 34)の距離減衰式より傾きが大きいのは、特に表面波の寄与が大きいものと考えられる。
一方、近距離では、減衰が大きい浅い地殻を伝播するため、震源距離 100km 以内のデータから得られる
平均的 Q 値モデルは Q=40f となり、統計的グリーン関数の方が距離減衰が大きくなったと考えられる。なお、距離減衰式は、(23)式の d・100.5Mw の項等により近距離で頭打ちするようにモデル化されていることも一因として考えられる。しかし、Mw5.5 程度までであれば、福島・田中 44)、司・翠川 45)、片岡・他 34)のい-1010

ずれの距離減衰式でも頭打ちの距離は 5km 以内となるので影響は小さい。このように、地殻内地震に対する統計的グリーン関数は、距離減衰特性が距離減衰式とは異なるが、適当な Q 値を設定すれば、実体波部については強震動予測に適用可能と考えられる。ただし、統計的グリーン関数法では表面波は考慮できな
いため、震源深さが浅い地殻内地震の強震動予測の際には、理論的手法等により表面波を別途評価することが望ましいと考えられる。
図 6(b)は、Q=40f の場合と Q=40f 0.7、Q=40f 1.3 の場合の統計的グリーン関数の距離減衰特性であり、Q=40fと Q=40f1.3 ではほとんど差がないことがわかる。表 1 に示した若狭湾付近や九州北部の地殻内地震の他、
日本海東縁の地震の震源距離 100km 以内の強震記録から推定されている Q 値には、f のべき乗が 1 以上となる特徴があるが 30)、fmax=6Hz の仮定の下では、f のべき乗が 1 以上では最大加速度・最大速度の距離減衰特性に与える感度は小さい。
4. 想定宮城県沖地震の強震動予測
図 7 には、推本による想定宮城県沖地震の断層モデル(A1 断層)と、推本により統計的グリーン関数法で予測波形が計算されている 3 つの観測点位置を示す 3),16)。開北橋と樽水ダムは旧建設省土木研究所 48)、東北大学は旧建設省建築研究所の観測点である 3),16),49)。本研究では、経時特性モデルを推本と同じ佐藤・他
10)とした場合と、Boore11)、佐藤 12)とした場合について、3 観測点において統計的グリーン関数法で強震動予測を行い、その違いについて考察する。3 観測点は、1978 年宮城県沖地震の観測波形が得られている観測点であるが、観測波形の再現性は、設定する断層モデルや地下構造モデルにも依存するため、観測波形との合致度についての議論は行わない。表 2 には、40 通りの乱数位相を用いた予測波形の最大加速度・最大速度の平均値と対数標準偏差を示す。図 8 には、横軸に断層最短距離をとり、最大加速度・最大速度の平均値±標準偏差の範囲を示した。Boore11)のモデルを用いた場合の最大加速度・最大速度の平均値は、佐藤・他 10)の経時特性モデルの場合の 1.5～1.8 倍大きい。乱数位相の違いによるばらつきを考慮しても、こ第 1 アスペリティ
290bar

第 2 アスペリティ
破壊開始点
730bar

図 7 推本による想定宮城県沖地震の断層モデルと統計的グリーン関数による強震動予測地点 3),16),49)
表 2 想定宮城県沖地震(Mw7.6)に対して、3 つの経時特性モデルを用いて統計的グリーン関数法により推定した乱数位相の異なる 40 波の予測波の最大速度・最大加速度の平均値と対数標準偏差
経時特性
佐藤・他10)2
最大加速度[cm/s ]の平均値
12)佐藤(対数標準偏差)11)
Boore
佐藤・他10)
最大速度[cm/s]の平均値
佐藤12)(対数標準偏差)
11)
Boore

-1111

開北橋
樽水ダム
東北大学
DKHB
DTMD
THUV
302.6 (0.047) 125.5 (0.039) 328.7 (0.047)
402.2 (0.047) 156.5 (0.046) 420.9 (0.045)
440.0 (0.059) 204.1 (0.056) 512.6 (0.062)
22.9 (0.044) 14.1 (0.054) 26.7 (0.055)
25.8 (0.056) 14.2 (0.064) 35.1 (0.057)
35.7 (0.077) 23.2 (0.071) 46.7 (0.086)

東北大学

東北大学
開北橋

開北橋

樽水ダム

樽水ダム

(a) 最大速度（PGV）(b) 最大加速度（PGA）

図 8 想定宮城県沖地震(Mw7.6)に対して、3 つの経時特性モデルを用いて統計的グリーン関数法により推定した乱数位相の異なる 40 波の予測波の最大速度・最大加速度の平均値±標準偏差の範囲の比較の差は有為である。平均値で比較すると、例えば、東北大学では、Boore11)のモデルを用いた場合の最大加速度・最大速度は、それぞれ、512.6cm/s2、46.7cm/s であるのに対して、佐藤・他 10)の経時特性モデルを用いた場合、327.8cm/s2、26.7cm/s である。対数指標である震度等の評価であれば大きな差とはいえないが、予測波形を構造物の耐震設計等に用いる場合、このような差は無視できるものではないと考えられる。上
述の中規模地震(Mw5.2)の統計的グリーン関数の距離減衰特性からいうと、この地域については佐藤 12)の経時特性モデルが最も適したモデルであり、この場合の最大加速度・最大速度は、Boore11)と佐藤・他 10)の経時特性モデルを用いた場合の間の値となっている。
5. 結論
複数の Q 値モデルと経時特性モデルを用いて地震基盤における中規模地震(Mw5.2)の統計的グリーン関数を計算し、その最大加速度と最大速度の距離減衰特性と既往の最大加速度・最大速度の距離減衰式(経験式)との比較を行ない、Q 値モデルと経時特性モデルの適用性について検討した。その結果、以下のことがわかった。
・ 海溝型地震に対しては、佐藤 12),13)の東日本太平洋岸、東海・東南海沖周辺、日向灘周辺の 3 つの地域に対して提案されている散乱理論に基づく経時特性モデルと Q 値モデルを用いて計算される統計的グリーン関数の最大加速度・最大速度の距離減衰特性は、片岡・佐藤 35)の地域性を考慮した海溝型地震の距離減衰式の距離減衰特性を震源距離 200km 程度までよく説明できる。
・ 東日本太平洋岸の海溝型地震に対しては、震源距離 150〜200km の遠方であれば、佐藤・他 10)の経時特性モデルも適用可能であるが、100km 程度以下では最大加速度・最大速度が距離減衰式の半分ほどの過小評価となる。一方、Boore11)の経時特性モデルは、50km 程度以下では佐藤 12),13)の経時特性を用いた場合及び距離減衰式とほぼ整合するが、遠方ほど継続時間が過小評価、最大加速度・最大速度が過大評価となり、200km 程度で最大加速度・最大速度が距離減衰式の倍程度の過大評価となる。
・ 日本の地殻内地震の震源距離 100km 以内の記録から推定されている既往の Q 値モデルから回帰分析に
より Q=40f という平均的関係を求めた。Q=40f と Boore11)の経時特性モデルを用いて計算される統計的グリーン関数の最大加速度・最大速度の距離減衰は、既往の地殻内地震あるいは浅い地震の距離減衰
式の距離減衰より大きく、片岡・他 34)の距離減衰式と比較して震源距離 50km 程度以下で過大評価、50～100km 程度で過小評価となることを示した。これは、既往の距離減衰式は震源距離 200km 程度かそれ以上の観測記録から作成されているため、この距離までの平均的な距離減衰が求められているの-1212

に対して、震源距離 100km 以内の記録から推定されている Q=40f は地殻の浅い部分の減衰を反映しているためと考えられる。
さらに、Boore11)、佐藤・他 10)、佐藤 12)の 3 つの経時特性モデルを用いて、統計的グリーン関数法により、想定宮城県沖地震の 3 つの地点(震源距離 50～100km 程度)で強震動予測を行なった。そして、Boore11)の経時特性モデルの場合の最大加速度・最大速度は、佐藤・他 10)の経時特性モデルの場合の 1.5～1.8 倍となる
こと、この地域に対して最適である佐藤 12)の経時特性モデルを用いた場合の最大加速度・最大速度は、
Boore11)と佐藤・他 10)の経時特性モデルを用いた場合のそれらの間にあることを示した。
以上のように、本研究では、水平動の統計的グリーン関数の Q 値モデルと経時特性モデルに着目して、その適用性について検討を行った。しかし、統計的グリーン関数法では、他にも、ラディエーションパターンやサイト特性などのパラメータ・モデルが予測波形に影響する。また、震源近傍の統計的グリーン関数の適用性についても、観測波形に基づき十分に検証されているとはいえない。さらに、上下動の統計的グリーン関数については、その評価手法も確立しておらず、観測波形に基づく検証もほとんどなされていない。したがって、統計的グリーン関数法を、対数軸での精度で可能な震度等の評価のみならず、線形軸での精度が要求される耐震設計のための入力地震動としての時刻歴波形の評価に用いるためには、
今後も、
中小地震の観測波形を説明できるように、さらに高精度化していく積み重ねが必要となると考えられる。
謝辞
本研究では、気象庁による震源情報、(独)防災科学技術研究所の地震ハザードステーション J-SHIS で公開されている想定宮城県沖地震の断層パラメータを使用しました。また、一部の図の作成には、GMT50)を用いました。記して、感謝致します。なお、本研究は、科学研究費補助金(基盤研究(C)課題番号 17560527)
によりサポートを受けたものです。
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Attenuation of Peak Ground Acceleration and Peak Ground Velocityof Statistical Green’s Function-1515

SATOH Toshimi1)
1) Member, Senior Researcher, Institute of Technology, Shimizu Corporation, Dr. Eng.
ABSTRACT
Attenuation of peak ground acceleration (PGA) and peak ground velocity (PGV) of statistical Green’s functions with
Mw=5.2 calculated by different kinds of Q models and envelope models is compared with previous empiricalattenuation relations. The attenuation of the statistical Green’s function calculated by the region-specific Q model andenvelope model based on scattering theory for subduction-zone earthquakes proposed by Satoh (2004, 2006) agrees
with the region-specific empirical attenuation relation for subduction-zone earthquakes. On the other hand, Boore’s(1983) envelope model tends to overestimate the empirical PGAs and PGVs as larger hypocentral distances are. Satohet al’s (1994) envelope model underestimates them by nearly 50 % in the hypocentral distances of less than 100 km.
Key words: Statistical Green’s function, Attenuation, Envelope model, Q value-1616