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偏心球状介在物を有する丸棒の曲げ
鶴 秀登*・柏原 一仁**

Bending of a Cylindrical Bar
with an Eccentric Spherical Inclusion
Hideto Tsuru*,

Kazuhito Kashihara**

Abstract

The bending problem of a cylindrical bar containing a spherical inclusion located eccentrically fromthe center line is treated by finite element method (FEM). Stresses on the bonded boundary and theouter boundary of the bar are given for various locations and elastic moduli of the inclusion, andnumerical results are examined.

１． 緒 言機械や構造物を安全に保つために、その部材の強度評価は欠かせない．部材の破壊現象を定量的にとらえるには材料試験とその形状の応力解析が重要である[1]。応力解析では，コンピュータの高性能化と有限要素法などを用いた計算ソフトの多機能化と高精度化、およびプリ・ポストプロセッサ技術の進展により，複雑な形状や多くの条件を与える問題が取扱えるようになり，精度良い結果を与えてきている．
また、実験が行えない場合や現象を可視化したい場合にも、数値解析は有効な手段となり得る[2]、[3]。
本研究では，偏心球状介在物を有する丸棒の曲げ問題を市販の有限要素法解析ソフトを用いて数値解析し，3 次元弾性応力問題における応力集中について設計に有益なデータを提供する．具体的には、曲げ応力場の空かも含む介在物境界上の応力集中と、中立軸から最も離れた丸棒外周上の最大曲げ応力の関係について、球状介在物の大きさを一定としその剛性と偏心量の影響を考察する。

係数 Em=206GPa,ポアソン比ν=0.3 とし、球状介在物の直径２ａ=60mm の一定に取り、偏心量ｅおよび縦弾性係数 Ei を種々変化させて行った。ただし、介在物のポアソン比は母材と同じにした。
また問題を解析する上で、球状介在物と母材の境界面は完全に接合しているとし、変形後も接合条件は保たれているとした。

２． 解析方法
取り扱った偏心球状介在物を持つ丸棒の曲げ問題を図 1 に示す。図中の記号は結果の整理に用い、数値計算は、丸棒直径２R=200mm,丸棒の長さで荷重間距離２L=800mm,支点間距離２c=600mm、丸棒の縦弾性*電子機械工学科**神戸大学大学院海事科学研究科

丸棒中央断面極座標

介在物局所座標

図 1 4 点曲げを受ける球状介在物を持つ丸棒
平成 25 年 9 月 30 日受理

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弓削商船高等専門学校紀要

この問題の数値解析には市販の有限要素法解析ソフトウエア（プリ・ポストプロセッサ MSC.Patran、ソルバ MD.Nastran）を用い、４面体要素の４節点で計算した。なお、問題の対称性を考慮して図１の形状の１/４領域を用いた。

第 36 号（平成 26 年）に取り、丸棒外周と空か縁の y 方向応力σｙを縦軸に取って示せば、空かの大きさ a/R=0.3 の場合、偏心量が大きくなると空か縁の応力分布が丸棒外周の応力分布より常に大きい。これらの結果を、丸棒中央に置いた座標系のｘ軸の値を横軸にとって示せば３． 数値解析結果と検討
偏心量 e の介在物が空かである場合、丸棒中央断面（xz 面）の図心（中立軸との交点）は、x 軸からｘG だけ離れた次式で示す位置になる。そして丸棒外周の最大曲げ応力σｂは次式で与えられる。

ここで Z は断面係数、Iz はｚ軸周りの断面 2 次モーメントである。
まず、4 点曲げによる空かをもつ丸棒中央断面の曲げ応力場を検討した。図 2 に丸棒の直径方向分割数 80、空かの半円周の分割数 160 程度を用いた数値解析結果と上述の式の理論結果を比較して示す。
空かの偏心位置によらず、数値解が精度良い結果を与えることがわかる。
なお上述の式からも分かるが、
図 2 の結果が示すように空かによる中立軸の円断面中央からのずれは小さい。
次に、要素分割と解の安定性の関係を検討するた
め、丸棒の断面中央に空かがある問題について、その半円周の分割数を変えて解の安定性を見た。着目点は図 1 に示す空か縁の点 A の y 方向応力σy と z方向応力σｚである。なお丸棒直径方向の分割数は80 に固定した。結果を表 1 に示す。半円周の分割数160 程度で解が安定していることがわかる。これを踏まえて、すべての計算を丸棒直径方向の分割数 80、半円周の分割数 160 程度で行った。図 3 に FEM 解析のための要素分割例を示す。
図 4、図 5、図 6 に球状介在物を空かとし、その大きさ a/R=0.3 を一定にして空かの偏心量による応力分布の変化を示す。図 1 の極座標θ、θ´を横軸

図２ 空かをもつ丸棒中央断面の応力分布（4 点曲げ）

a/R=0.3,e/R=0.3
図３ 解析領域（1/4 丸棒）の要素分割例

表１ 空か縁の要素分割と解の安定性（a/R=0.5,e/R=0）
半円周の要素分割数σｙ/σｂ（点 A）
σｚ/σｂ（点 A）

80

160

240

0.878

0.876

0.879

0.06880.06180.0715

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偏心球状介在物を有する丸棒の曲げ（鶴・柏原）

図４ 丸棒外周と空か縁の y 方向応力分布

図７ 丸棒外周と空か縁の y 方向応力分布（a/R=0.3,e/R=0.2）（a/R=0.3,e/R=0.2）

図５ 丸棒外周と空か縁の y 方向応力分布

図８ 丸棒外周と空か縁の y 方向応力分布（a/R=0.3,e/R=0.3）（a/R=0.3,e/R=0.3）

図６ 丸棒外周と空か縁の y 方向応力分布

図９ 丸棒外周と空か縁の y 方向応力分布（a/R=0.3,e/R=0.5）（a/R=0.3,e/R=0.5）

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弓削商船高等専門学校

図 7、図 8、図 9 となる。これらの結果を見れば丸棒外周と空か縁に沿った y 方向応力は、中立軸からの距離にほぼ比例するような応力変化を示し、その変化の割合は空か縁の方が大きいことがわかる。
次に、介在物の大きさ a/R=0.3 の場合で、偏心量を e/R=0.2,0.3,0.5 に変化させ、それぞれ介在物と母材の剛性比 Ei/Em=0,1,5 として、xz 面上（丸棒と球状介在物の中央を縦断する面上）の x 軸上の y 方向応力σｙを図 10,図 11、図 12 に示す。横軸に丸棒中央に置いた座標系の x 軸の値（丸棒中心からの距離）を取り、縦軸の応力σｙは介在物のない（Ei/Em=1）丸棒外周の曲げ応力σｂで無次元化している。これらの結果から、空かの場合にその縁で大きな応力集中が起きることがわかる。一方、剛性の大きい介在物の縁では、応力が小さくなる。それらの傾向は、球状介在物の偏心量によって異なり、球状介在物が丸棒中心位置から偏心するほど大きくなる。そして空かの場合に、空か縁の最大応力が丸棒外周の曲げ応力より大きくなる場合があることがわかる。なお、丸棒中心から介在物と離れている側の応力には、介在物の影響がほとんどない。

紀要

第 36 号（平成 26 年）

図１０ 丸棒と介在物中央縦断面の応力分布（a/R=0.3,e/R=0.2）

４． 結 言偏心球状介在物を有する丸棒の曲げ問題を市販の有限要素法解析ソフトを用いて数値解析し，曲げ応力場の空かも含む介在物境界上の応力集中と、中立軸から最も離れた丸棒外周上の最大曲げ応力の関係について考察した。概要を以下に示す。
１．丸棒外周と空か縁に沿った応力は、中立軸からの距離にほぼ比例するような応力変化を示し、その変化の割合は空か縁の方が大きい。
２．丸棒と球状介在物の中央を縦断する面に垂直な方向の応力は、空かの場合にその縁で大きな応力集中が起きる。一方、剛性の大きい介在物の縁では、応力が小さくなる。それらの傾向は、球状介在物の偏心量によって異なり、球状介在物が丸棒中心位置から偏心するほど大きくなる。
３．球状介在物、特に空かの偏心量によって空か縁の最大応力が丸棒外周の曲げ応力より大きくなる場
合がある。なお、丸棒中心から介在物と離れている側の応力には、介在物の影響がほとんどない。

図１１ 丸棒と介在物中央縦断面の応力分布（a/R=0.3,e/R=0.3）

参考文献[1] 改訂 材料強度学、日本材料学会(2005).
[2] 矢川 元基、破壊力学、培風館(1988).
[3] 村上 敬宜、応力集中の考え方、養賢堂(2005).

図１２ 丸棒と介在物中央縦断面の応力分布（a/R=0.3,e/R=0.5）