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測定と誤差論物理学実験 講義 その１
2008年4月21日
千代 勝実

誤差とは何か？
• （私たちが信じている）正しい値と実際の（測定された）値との差
例：自動車・電車の本当の速度と速度計との差
リンゴの本当の重さとハカリの読みとの差
鉛筆の本当の長さと定規の読みとの差
本当の実力と実際のテストの点数の差？？

正しい値と、誤差の種類、取り扱いや計算について勉強していく

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本当の値とは何か？
• 本当の値はどうやって決めるのか？
– 絶対的に与えられる数• 光の速度や真空の誘電率などの自然定数(定義定数)• 整数・無理数、円周率・自然対数の底などの抽象的な数– 測定で求める（測定値）• 物の長さや速度、質量など– 理論的に計算される（理論値・計算値）• 物体の描く放物線など物理理論によってx = x0 + v x t ,y = y0 +8πGGμν + Λg μν = 4 Tμν
c

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放物運動
一般相対性理論34

絶対的に決まっている量への誤差• 誤差＝測定した量ー本当の量– 誤差＝測定した光の速度ー本当の光の速度• 310,000,000m/sー299,792,458 m/s＝10,207,542m/s＝10,000,000m/s
下の桁は意味（自信）がないので右が正しい– おかしな例• バイトの給料(5000円のはずが4000円！）
誤差＝4000円－5000円＝－1000円？？
• 郵便番号(4648601) 誤差は求められない。

測定によって求める本当の値• 何度も計って平均すると本当の値に近くなる– 偶然誤差は何度も計ると減る– 系統誤差は何度計っても減らない
1 nx = ∑ xin i =1n回計ったときの平均値

1 n
1 n
2
2n回計ったときの分散()
σ = ∑ (xi − x ) ≈x−x∑
in i =1n − 1 i =1σ = σ 2 標準偏差 → 統計誤差
本当の値
平均値
25

測定の誤差6• どの数字に信頼が置けるかが重要– 絶対の確信が持てる数字より一桁下までが測定値！

矢印の長さは？ 7.2cmでしょうか？7.25cmでしょうか？
読み取り誤差 ★7.25cmぽいけど読み取れにくい。4か6かも。
→7.25cmで自信がない部分を7.2 5±0.01cmとしよう

測定の誤差7• 正しく置いて計れるか（ずれ・斜め）→偶然誤差• 目盛りを正しく読めるか→偶然誤差• 定規が曲がってないか→系統誤差
何回か計ったら変わるよくわからない誤差（偶然誤差）と最初から偏っている誤差（系統誤差）がある。

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統計誤差ー数学的に厳密に取り扱える• 偶然誤差の一種で、確率論的にしか測定できない場合に発生（ほとんどすべての測定に存在する）
例）日本の男性と女性の本当の人口比： 0.49対0.51
適当に10人捕まえて性別を聞いたら男6人、女4人だった→6対4 この誤差は？
答え）二項分布の誤差 6±σ：4±σ＝6 ±1.5：4±1.5

σ = np(1 − p ) = 10 × 0.6 × (1 − 0.6) =1.5

p~0.5のとき σ ~ np = p n例）滅多に起きない事象(流れ星に当たってけがをする)確率の誤差

σ = pn（上の式で(1-p) ~ 1とする)

1000人の世論調査でA総理の支持率50%、統計誤差は？ → 1.5%(1000の平方根の1/2)1000人の世論調査でB総理の支持率は5%、統計誤差は？ → 0.7% (5%の平方根)

どちらにしても統計誤差は~ √n / n = 1/√n で減っていく

偶然誤差
•

なぜ発生するのか––––•

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測定する対象自身が少しずつ変動する
測定条件が微妙に変動する測定装置自身が微妙に変動する
統計誤差 等

何度も測定すると、偶然誤差の分布は正規分布になることが多い（中心極限定理）

本当の値

頻度（回数）– 誤差をプラスマイナス考慮して平均するとゼロに近づく– 本当の値に近い測定値が多くなる

正規分布
標準偏差σを考えると測定値は（本当の値）±σに68.3%、（本当の値）±2σに95.4%、（本当の値）±3σに99.7%、の確率で収まる。
実際はそこまでうまくいかない
LTCMという投資会社は正規分布的には数百年に1回しか起きないような国債の暴落で破綻した

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測定によって求める本当の値(まとめ)• 測定によって求める本当の値には、そもそも誤差が入っている• 何度も測ると減る誤差と減らない誤差がある– 曲がった定規で何度測ってもダメ– とはいえ、偶然誤差は減るので何度も測る意味はある（１/√ｎで誤差は小さくなる）

測定によって欲しい値を求めることを直接測定という直接測定の数値の書き方

11• 絶対的に自信のある数字のひとつ下まで書く– 目盛りがなくてもがんばって読む、根性で読む– デジタルの場合、出てきた数字を書く• 誤差は自分で決める(一桁でよい）– 124,125,126くらいの場合は125±1など– デジタルの場合、最小目盛りの半分が誤差• 変化が決まっている(0.25ごととか）、測定器に誤差が書いてある• 誤差から逆に自信のある桁を求める– ストップウォッチは0.01秒まで出ますが、訓練されてないとせいぜい0.1秒くらいの精度。この場合、誤差を求めてから逆に12.53秒ではなく12.5±0.1秒とする(3は四捨五入する)

測定数値の書き方の例

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他の人（教員・TA・同級生）からみて、あなたにどこまで自信があるかわかるように記入します。とにかく他人から見た目が重要。
結果は、 （[測定値]±[誤差]）《指数》 単位と書きます。

◎ (1.090±0.006)×103 kg 非常によい○ 1090±6 kg
間違いではないが、上の方がよりよい
× (1.090±0.006)×103
単位を書く
× (1.09±0.006)×103 kg 測定値の誤差の桁をはっきり書く
× 1.090±0.006×103 kg 括弧を忘れないこと
× 1090±0.006×103 kg わかりにくい13

理論（数式）から求める本当の値• 理論に代入するすべての数値が絶対的に決まっている場合– 計算結果は理論値といいます。誤差は（まず）ゼロ• 理論に代入する一部の数値が測定によって求められている場合– 計算結果は間接測定といいます。誤差は測定の誤差から計算されます• 例えば重力加速度測定実験の場合
式はh：振り子の長さ、T:振り子の周期としてh hとTに測定誤差が含まれる
g = 4π 2 →重力加速度gにも測定誤差が含まれる
T

h

T秒で往復

間接測定の誤差14• 原始的には、代入する測定値を誤差の範囲でいろいろ動かしてみて、どれくらい計算結果が変わるかみる(TをT±σ、hをh±σの範囲で変化させて代入する）• いろいろ動かす代わりに、個々の測定値を誤差の範囲で変化したときの変化量を加える– 求めたい物理量A、誤差δAで個々の測定値x,y,z、誤差δx…求めるための式A=f(x,y,z)の場合、Aは単純に計算して求める。誤差は∂f∂f∂f
δA =∂xδx +∂yδy +∂zδz

ちょっと動かした量（誤差）
xをちょっと動かした時のAの変化量

間接測定の具体例

15• 重力加速度測定(h=137.55±0.05cm, T=2.3538±0.0002s)– メートル・秒・キログラムに直す。角度はラジアンか度か気をつける– 計算過程は定数(πなど)も含め、十分長い桁で計算する。実際は自信のある桁＋2桁で問題ない。最後に自信のある桁＋1桁に直す（四捨五入）。
– 誤差は同様に計算し、最後に1桁に直す（四捨五入）。
測定値
測定誤差

h
1.3755m
2=4×3.
141593×= 9.801246m / s 22(2.3538s )Tδg δhδT= +2(全体を g で割っていることに注意する)
ghT
δg52=+ 2×= 3.6 ×10 − 4 + 1.7 ×10 − 4 = 5.3 ×10 − 4g 1375523538
g = 4π 2∴δg = g ×δgg

= 9.80m / s 2 × 5.3 × 10 − 4 = 5.2 ×10 −3→まず誤差を一桁にする(5×10-4=0.005)→測定値を誤差の桁とあわせる

結局、測定値は9.801±0.005 m/s2

桁だけで考える
意味のある桁（誤差が含まれている最初の桁）を意識する
足し算・引き算の場合（大きい方の桁にあわせる）
174.6cm－32.813mm = 174.6cm－3.2813cm=171.3187 cm = 131.3 cm（四捨五入）
かけ算・割り算の場合(少ない方の桁数にあわせる）
L 732.19cm=T0.23s= 3183.4cm/s= 3200cm/s= 3.2 × 103 cm/s

指数・対数計算には適用できませんので注意してください。

1617演習•

ストップウォッチで5秒を測定
–
–––

•

右のような表を作成
最低20回測定
平均・誤差・分散、標準偏差を求める
測定値を決定する

この測定で、––

10秒やそれ以上測ったときに標準偏差は大きくなるか、小さくなるか考えよ
重力加速度測定ではストップウォッチで振り子の10周期を測定し10で割って1周期を求める。1周期だけを測る場合と比べて精度が高くなるが、なぜか。

•

問3（15ページ)の(1)(2)を計算せよ。誤差はつけずに桁で考えること。

•

テキストの後ろの演習用紙（好きなものを使って良い）に名前・答えを書いて教員まで提出。
内容を確認して、正解してから受け取ります。
出席の代わりになります。

回数

読み（秒）

5秒との差

その2乗

15.10

0.10

0.010025.05

0.050.0025

34.86-0.140.0196

4

4.91

-0.09

0.0081

5

5.05

0.05

0.0025

6

4.80

-0.20

0.0400

7

4.86

-0.14

0.0196

8

4.94

-0.06

0.0036

9

4.89

-0.11

0.0121

10

5.04

0.04

0.0016計49.50

0.1196

平均値:4.950、分散:0.01196、標準偏差:0.109
測定値：5.0±0.1