Université Claude Bernard Lyon 1
L3 - Mathématiques pour l’enseignement – Géométrie élémentaire 2015-2016

Contrôle no 3 : mardi 17 mai 2016
Durée : 2 heures— Les documents, calculettes et téléphones portables ne sont pas autorisés.
— Aucun point ne sera attribué aux réponses non justifiées.
— On traitera les exercices dans l’ordre que l’on voudra et on pourra utiliser librement lesrésultats d’un exercice dans un autre.
Questions de cours
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A. Dans un espace
affine,soit(A1 , α1 ), . . . , (Ar , αr ) un système de points pondérés. On supPr
pose que i=1 αi 6= 0. Donner une égalité vectorielle qui caractérise le barycentre G de ce
système et ne faisant intervenir que G, les αi et les Ai .
B. On munit R2 de son produit scalaire canonique. Soit la base de R2 donnée par (1, 0), (5, 2) .
Déterminer la base orthonormale associée à cette base par le procédé de Gram-Schmidt.
Exercice 1 : Bissectrices
Soit D une droite d’un plan euclidien. Soient M un point du plan, M 0 son projeté orthogonal
sur D et N un point de D.
1. Montrer brièvement que M N > M M 0 , avec égalité si et seulement si N = M 0 .
On note M M 0 = d(M, D) : ce réel est appelé la distance de M à D.
2. On suppose le plan muni d’un repère orthonormé  dans lequel D a pour équation cartésienne|ax + by + c|
xax + by + c = 0 et M a pour coordonnées. Montrer que d(M, D) = √.
ya2 + b2Désormais, on fixe deux droites sécantes D et D0 .
3. Montrer l’existence d’un repère orthonormé dans lequel D a pour équation y = 0 et D0une équation de la forme x sin α − y cos α = 0. Que représente α ?
4. Montrer que l’ensemble des points M tels que d(M, D) = d(M, D0 ) est la réunion dedeux droites perpendiculaires. Préciser leurs équations en fonction des données. [On feraapparaı̂tre α/2.]
On appelle ces droites les bissectrices de D et D0 .
−→−→AB
5. Soient A, B, C trois points non alignés. Montrer que AB+ AC
AC est un vecteur directeurd’une des deux bissectrices de (AB) et (AC).
\ du triangle ABC. L’autre bissectrice deOn l’appelle bissectrice intérieure de l’angle BAC\(AB) et (AC) est appelée bissectrice extérieure de l’angle BAC.

6. Montrer que l’intersection de deux bissectrices d’angles différents du triangle appartient à
une bissectrice du troisième angle.
Ainsi, les trois bissectrices intérieures du triangle se coupent en un point I.
ABC
7. (a) Montrer que I est le barycentre.
BC CA AB(b) Déterminer les coordonnées barycentriques de l’intersection des bissectrices extérieures\ et ABC.
\de BAC1

Exercice 2 : Un tétraèdre régulier
Soit E un espace affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct. On introduit lespoints suivants par leurs coordonnées :      01
0011/2
O : 0 , A : 0 , B : 1 , C : 0 , D : 1 , K : 1/2 .
000111/2
1. (a) Dessiner les points O, A, B, C, D ainsi que les symétriques C 0 (resp. B 0 , A0 ) de C
(resp. B, A) par rapport à K.
(b) Que peut-on dire du solide OAC 0 BDA0 CB 0 ? Le faire apparaı̂tre sur le dessin.
(c) Que peut-on dire du tétraèdre ABCD ?
2. Soit I le milieu du segment [CD].
(a) Justifier que I est le projeté orthogonal de A sur la droite (CD).
[(b) Calculer une mesure de l’angle AIB.
[On pourra faire intervenir la fonction arc cosinus dans le résultat.]−−→ −−→
3. Soit E le milieu de [BD] et soit P le plan contenant E et dirigé par Vect(AB, CD).
(a) Donner une équation cartésienne de P.
(b) Déterminer l’intersection de P avec la droite (BD).
(c) Déterminer l’intersection F de P avec la droite (BC).
4. Soit s l’application qui à un point M de coordonnées (x, y, z) associe le point de coordonnées (y, x, z).
(a) Justifier brièvement que s est la réflexion par rapport au plan (OCD).
(b) Calculer les coordonnées de H = s(E) et G = s(F ).
5. Démontrer que EF GH est un carré.
6. Dessiner un patron du solide EF GHDC.
−−→
7. Soit ∆ la droite contenant K et dirigée (et orientée) par OC. Soit r la rotation d’axe ∆et d’angle π/2, soit s0 la réflexion de plan P et soit f = s0 ◦ r.
(a) Quelle est la nature de f ?
(b) Montrer que le tétraèdre ABCD est stable par f .

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