発展的思考・態度を促す
授業モデルの改善
黒田 大樹

重松 敬一

佐藤 学

新木 伸次

皇學館中学・高等学校

奈良教育大学名誉教授

秋田大学

国士舘大学

問題の所在・教師の世代交代が急速に進んでいる都市部などでは「課題学習」を知らない教師も増えている（永田（2017），p.158）

・価値観の多様化する現代社会においては，特定の見方・考え方に固執するのではなく，柔軟に思考し，事象を多様な視点から捉え，それらを比較するなどして新しい考えを創造する資質・能力を，数学を通して育成することが重要となっている（大谷（2017），p.21）（永田潤一郎編著（2017）．中学校新学習指導要領の展開．明治図書）

研究の背景・統合的・発展的に考えることを重視
・数学的な見方・考え方を働かせた数学的活動を通して学習を展開することを重視（平成29年

中学校学習指導要領解説数学編）

発展的思考・態度の育成を目指した数学的活動を実現することがより一層重視される

研究の目的

中3生を対象とした授業実践の分析から，黒田他（2019）が開発した発展的思考・態度を促す
授業モデルの改善を図る

本発表の概要
１．発展的思考・態度を促す授業モデルの開発
２．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業実践の概要と考察
３．発展的思考・態度を促す授業モデルの改善
４．今後の課題

１．発展的思考・態度を促す授業モデルの開発（１）

先行研究の考察佐藤他（2017）
学習者が発展的に考えることを支援するモデルプレートの開発

学習者が主体的に数学的活動を遂行するには，佐藤他（2017）が開発したモデルプレートに示された教師の働きかけを援用することは有効１．発展的思考・態度を促す授業モデルの開発（２）

発展的思考・態度を促す授業モデルの開発【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？

【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

発展的思考・態度を促す授業モデル
発展的思考・態度を促す教師の働きかけ

教師の“発展”への意識
発見的発展のきっかけをつくる

数学・社会の事象

子どもは何を思い浮かべるかな？
どういったことを考えさせたらよいかな？

【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

数学化

発見的発展の定着を図る
思い浮かべたことをどうすれば実行できるようになるかな？

数学的に表現した問題【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

構造的発展のきっかけをつくる
前の学習と関連付けさせるためには？
数学的構造を明らかにするためには？
構造的発展の定着を図る

焦点化した問題【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

簡潔・明瞭・的確に表すためには？
一般化させるためには？

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？

新たな発展のきっかけや定着を図る
結果他の場面を考えさせるためには？
さらに発展させるためには？

意活
味用
づ・け／統体合系・化発
展

数学・社会の事象【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

２．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業実践の概要と考察（１）

検証授業の概要【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

支点から5円硬貨の中心までの距離が20mのとき、周期はどうなるだろうか。

以下の手順で実験してみよう。

実験結果から、気付いたことやわかったことをまとめてみよう。
【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？

5円硬貨にひもを結びつけ、ひもの適当なところを支点として5円硬貨を揺らしてみる。
このとき、5円硬貨の周期（1往復にかかる問題1で考えたことを実験して確かめてみ時間）を2倍にするにはどうすればよいか予よう。
想してみよう。
実験を通して気付いたことをまとめよう。 【発展的思考・態度（新たな発展）【発展的思考・態度（新たな発展）
今回の学習を通して、学んだことや感じたを促す】
を促す】 ことをまとめてみよう。
条件を変えてみると？
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？
場面を変えてみると？

発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業

５円硬貨にひもを結びつけ、ひもの適当なところを支点として５円硬貨を揺らしてみる。このとき、５円硬貨の周期（１往復にかかる時間）を２倍にするにはどうすればよいか予想してみよう。

数学化

問題１で考えたことを実験して確か学習者が主体的に数学的活動過程を遂行するめてみよう。実験を通して気付いたことをまとめよう。

授業デザインを行うことが可能
以下の手順で実験してみよう。
実験結果から、気付いたことやわかったことをまとめてみよう。
支点から５円硬貨の中心までの距離が２０ｍのとき、周期はどうなるだろうか。

活づ意用
け味・体発統系展合化／・

今回の学習を通して、学んだことや感じたことをまとめてみよう。

発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業案

５円硬貨にひもを結びつけ、ひもの適当なところを支点として５円硬貨を揺らしてみる。このとき、５円硬貨の周期（１往復にかかる時間）を２倍にするにはどうすればよいか予想してみよう。

数学
化

問題１で考えたことを実験して確かめてみよう。実験を通して気付いたことをまとめよう。
以下の手順で実験してみよう。
実験結果から、気付いたことやわかったことをまとめてみよう。

検証

授業の支点から５円硬貨の中心までの距離が２０ｍのとき、周期はどうなるだろうか。

活づ意用
け味・体発統系展合化／・

今回の学習を通して、学んだことや感じたことをまとめてみよう。

考察Ⅰ～Ⅲ

２．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業実践の概要と考察（２）

検証授業の考察Ⅰ
５時間目の授業開始から２分後のやりとり（A：生徒A，T：教師）• A：私の班は10cmのときに計って，1周期が0.56秒だったんですね．
• T：10cmのときが，はい，0.56．
• A：で，40cmのときに1.17秒だったんです．
• T：1.17秒．はい．
• A：で，それが10cmより倍にしたのが1.12で，まあ近いじゃないですか．その2倍したのと．
• T：あっ，この秒をね．はいはいはい．
• A：なんで，長さを4倍にしたら時間が2倍になることが分かりました．
• T：なるほど．それはいつでもいえますか？

一般化を促す構造的発展に関する発問を行う• A：いつでも？
• T：うん，いつでもっていう意味分かる？
• A：いつでも？

一般化を促す構造的発展に関する発問を行う• T：うん．今，えっと，この前から話に出てるもとの長さっていうことをちょっと使えば．
例えばその，10cmを40cmにしたときは確かに．他のとこ分かる？
• A：あっ．どうでしょうか，分かんないです．

一般化に意識が及んでいない２．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業実践の概要と考察（３）

検証授業の考察Ⅱ
５時間目の授業開始から６分後のやりとり（B：生徒B，T：教師）• T：同じ質問します，B君．それはいつでもいえますか？
• B：今ごめんなさい．それで20cmのとき．
• T：20cmのとき一般化を促す構造的発展に関する発問を行う• B：20cmの4倍が80cmじゃないですか．そのとき見たんですけど．
まあ，でもやっぱり4.5ぐらい．

教師の発問を受けて一般化への意識が進む

学習者の状況に応じて，数学的活動を遂行するために適切な働きかけを行っている

２．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業実践の概要と考察（４）

検証授業の考察Ⅲ
一般化を促す構造的発展に関する発問を行う

５時間目の授業開始から３２分後のやりとり（B：生徒B，T：教師）• T：いつでも求められるようにするにはどうしたらいい？B君？

学習者の主体性に反して，教師主導で一般化を促す構造的発展に関する発問を行う• B：いつでも？

• T：うん．私は20mと言いましたけど，例えば30mとか40mとか45mとか，やろうと思ったら，どんなときでも求めようと思ったら？

授業が展開される場面も見受けられる• B：んーっと，同じようにするってことじゃないんですか？
• T：同じようにする？
• B：じゃなくて，何か公式みたいな．
• T：おっ，公式を作りたい？
• B：はい．

一般化の意識が生まれるものの学習者主体とは言い難い学習者の発展の状況を読み取ることや，状況に• T：式を作る？よし，作りましょう．式が欲しい．式があったらどんな時でも言えるね．
• B：はい．
応じて気付きを価値付けたり，学習者全体に共• T：じゃあ，長さと周期，式にするってことは文字でおく？
有したり，一般化することを奨励する場面を取り• B：そうですね．
入れることが重要３．発展的思考・態度を促す授業モデルの改善（１）

検証授業から得られた成果①②

学習者が主体的に数学的活動を遂行する授業
デザインを行うこと
学習者の発展の状況に応じて，教師が適切な働きかけを行うこと＜考察Ⅰ＞
T：なるほど．それはいつでもいえますか？
A：いつでも？
T：うん，いつでもっていう意味分かる？
A：いつでも？
T：うん．今，えっと，この前から話に出てるもとの長さっていうことをちょっと使えば．
例えばその，10cmを40cmにしたときは確かに．他のとこ分かる？
A：あっ．どうでしょうか，分かんないです．

＜考察Ⅱ＞
T：同じ質問します，B君．それはいつでもいえますか？
B：今ごめんなさい．それで20cmのとき．
T：20cmのとき
B：20cmの4倍が80cmじゃないですか．
そのとき見たんですけど．
まあ，でもやっぱり4.5ぐらい．

３．発展的思考・態度を促す授業モデルの改善（２）

検証授業から得られた授業モデルの改善への課題①②

発展的思考・態度を促す教師の働きかけは，学習者の主体性に反して，教師主導で授業が展開される場面も見受けられる授業をデザインする上での重要な視点
教師の“発展”への意識は，発展的思考・態度＜考察Ⅲ＞
T：いつでも求められるようにするにはどうしたらいい？B君？
B：いつでも？
を育成する授業を展開する上で重要．
T：うん．私は20mと言いましたけど，例えば30mとか40mとか45mとか，やろうと思ったら，どんなときでも求めようと思ったら？
さらに，学習者の発展の状況を読み取ること
B：んーっと，同じようにするってことじゃないんですか？
T：同じようにする？
や，状況に応じて気付きを価値付けたり，学B：じゃなくて，何か公式みたいな．
T：おっ，公式を作りたい？
B：はい．
習者全体に共有したり，一般化することを奨
T：式を作る？よし，作りましょう．式が欲しい．式があったらどんな時でも言えるね．
励する場面を取り入れることが重要．
B：はい．
T：じゃあ，長さと周期，式にするってことは文字でおく？
B：そうですね．

発展的思考・態度を促す授業モデル
発展的思考・態度を促す教師の働きかけ

教師の“発展”への意識
発見的発展のきっかけをつくる

数学・社会の事象

子どもは何を思い浮かべるかな？
どういったことを考えさせたらよいかな？

発展的思考・態度を育成する授業を展開する上で重要な視点【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

数学化

発見的発展の定着を図る

思い浮かべたことをどうすれば実行できるようになるかな？

数学的に表現した問題

構造的発展のきっかけをつくる＜具体例＞
・学習者の発展の状況を焦点化した問題
読み取る
構造的発展の定着を図る
・状況に応じて気付きを簡潔・明瞭・的確に表すためには？
価値付ける一般化させるためには？
・学習者全体に共有したり，新たな発展のきっかけや定着を図る
一般化することを奨励する 結果
場面を取り入れる
他の場面を考えさせるためには？
統前の学習と関連付けさせるためには？
数学的構造を明らかにするためには？

さらに発展させるためには？

意活
味用
づ・け／
体合系・化発展

数学・社会の事象

授業デザインを行う上で重要な視点【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

＜具体例＞
・学習者が主体的に数学的活動過程を遂行するための課題を設定する【発展的思考・態度（構造的発展）・学習者の反応を予想するを促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？

【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

発展的思考・態度を促す授業モデル（改訂版）
発展的思考・態度を促す教師の働きかけ

教師の“発展”への意識
発見的発展のきっかけをつくる

発見的発展を促す

子どもは何を思い浮かべるかな？

【教師の範となる発展的思考・態度の例】
どういったことを考えさせたらよいかな？
発展の状況を読み取る
数量関係の考察対象を明確にすることを奨励
発見的発展の学習者の気付きを価値付ける定着を図る
問いの発生を奨励
学習者全体に共有化
思い浮かべたことをどうすれば実行できるようになるかな？

構造的発展を促す

数学・社会の事象

発見的発展を促す課題をつくる
日常生活や社会の事象【発展的思考・態度（発見的発展）
数 数学の事象を促す】
学化

何か気が付いた？
数学何に目をつける？
化

数学的に表現した問題

構造的発展を促す課題をつくる
数学的に表現した問題【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】【学習者が持つべき発展的思考・態度の例】
おもしろい考えだね。 わかったことは何かな？
やってみようか。
前の学習と似ているところは何かな？

構造的発展のきっかけをつくる【教師の範となる発展的思考・態度の例】
発展の状況を読み取る
前の学習と関連付けさせるためには？
学習者の発展的に考えようとする態度を奨励
数学的構造を明らかにするためには？
数学的構造を明らかにするための方法を示す
構造的発展の学習者全体に共有化【教師の範となる発展的思考・態度の例】
発展の状況を読み取る
簡潔・明瞭・的確に表すためには？
一般化させるためには？
簡潔・明瞭・的確に表すことを奨励
一般化することを奨励
新たな発展の学習者全体に共有化

結果きっかけや定着を図る

新たな発展を促す【教師の範となる発展的思考・態度の例】
学習したことのよさを活かそうとすることを奨励・価値付け
学習者全体に共有化【発展的思考・態度（構造的発展）【学習者が持つべき発展的思考・態度の例】
何かわかった？算数（または数学）らしく表すと？
前の学習と似ているところはある？
他にあるかな？ いつでもいえるかな？

焦点化した問題を促す】

焦点化した問題定着を図る

他の場面を考えさせるためには？
さらに発展させるためには？

【学習者が持つべき発展的思考・態度の例】
何に目をつければいいかな？
何を考えればいいかな？ 何を調べればいい？

結果
づ意活
統
意活 け味用 ／合・体味用
系・
づ・化発け展【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？
体発統系展合化／・

日常生活や社会の事象
数学・社会の事象
数学の事象

新たな発展を促す課題をつくる【学習者が持つべき発展的思考・態度の例】【発展的思考・態度（新たな発展）
条件を変えてみると？
を促す】
場面を変えてみると？
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

４．今後の課題（１）「発展」と「教師の関わり」の指摘
発展的に学習を進めたいという生徒を育てることができるかどうかは，私たち数学教師の力量にかかっている（根本，1999，p.22）

教師のかかわりは，時に積極的であり，次第にあるいは状況に応じて個別的，間接的になり，最終的には生徒自身が自力でする営みの機会を設けることが必要である（文部科学省，2008，p.53）

４．今後の課題（２）

今後に向けて学習者自ら主体的に数学的活動過程を遂行する授業を設計し，展開するためには，授業を展開する際に必要な教師の関わり方に焦点化して分析する必要がある．よって，短期的な授業の分析に加えて，長期的な授業分析から教師や学習者の変容を捉え，発展的思考・態度を促す授業モデルの更なる改善を図ることが課題である．

謝辞
本研究は，JSPS科研費18K02518の助成を受けて行われたものである

引用・参考文献
黒田大樹・重松敬一・佐藤学・新木伸次・椎名美穂子（2019a）．発展的思考・態度を促す授業モデルの開発的研究．全国数学教育学会第49回研究発表会，発表資料．
黒田大樹・重松敬一・佐藤学・新木伸次・椎名美穂子（2019b）．発展的思考・態度を促す授業モデルの開発とその検証．日本数学教育学会第７回春期研究大会，当日配布資料．
文部科学省（2008）．中学校学習指導要領解説数学編．教育出版．

文部科学省（2018）．中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編．日本文教出版．
永田潤一郎（2018）．中学校新学習指導要領数学的活動の授業デザイン．明治図書．
根本博（1999）．中学校数学科数学的活動と反省的経験―数学を学ぶことの楽しさを実現する―．東洋館出版社．

佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017）．学習者が発展的に考えることを支援するモデルプレートの開発とその検証．日本数学教育学会誌，99，数学教育学論究，臨時増刊
9-16．