筑波大学数理物理系

粒子加速器
衝突型加速器、大強度陽子加速器
大見 和史
高エネルギー加速器研究機構（KEK）
加速研究施設

円形衝突型加速器• 電子陽電子衝突加速器• 電子、陽電子が対消滅し、新たな粒子、反粒子ペアが生成される。

• 陽子反陽子衝突加速器• 陽子内クオーク、反陽子内反クオークが対消滅し、新たな粒子、反粒子ペアが生成される。

• 陽子陽子衝突加速器• クオーク、クオーク反応により新たな粒子が生成される

電子陽電子衝突加速器• SuperKEKB 2015~ (KEKB 1999-2009)• エネルギー ４GeV(e+)ｘ７GeV(e-)• e+e-が対消滅しB中間子対ができる。その崩壊を観測（Bell測定器)

電子陽電子衝突加速器• 中国北京 BEPC 1.5GeVx1.5GeV t-charm factory• イタリアフラスカティ 0.5GeVx0.5GeV f中間子ファクトリー• SLAC SPEAR charm quakの発見• SLAC PETRA• ドイツDESY DORIS• ドイツ DESY PETRA• コーネル大学 CESR 5GeVx5GeV B中間子ファクトリー
• フランス DCI

陽子反陽子衝突加速器• 陽子にも反クオークが含まれる(仮想的)ため素粒子反応は陽子陽子と変わらない。
• 反陽子を作るのは難しい。陽電子は電子を標的に当てると容易に作れるのと対照的。
• FermilabのTevatron、CERNのS𝑝𝑝Sは陽子反陽子衝突器だった。(すでに停止）。反陽子ビームは陽子に比べ少ない。
• LHCでは陽子陽子衝突が採用されている。

LHC 陽子衝突加速器• CERN、7 TeVx7 TeV, 周長26.7km• ヒッグス粒子の発見(126GeV)

ルミノシティ
バンチ内粒子数
𝑁1 𝑁2
𝐿=
𝑓𝑟𝑒𝑝
2𝜋𝜎𝑥 𝜎𝑦

衝突点繰り返し
衝突点でのビームサイズ• 1秒あたりのイベント数=ルミノシティｘ衝突断面積
𝑁𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 = 𝐿𝜎

• ルミノシティを上げるために• ビームサイズが小さく• バンチ内粒子数が多い• 衝突繰り返しが多い
𝜎𝑥 =

𝛽𝑥 𝜀𝑥

𝜎𝑦 =

𝛽𝑦 𝜀𝑦

衝突点前後の位相空間分布• ドリフト空間での変換
𝑦
1 𝑠
=
𝑦′
0 1

𝑦
𝑦′ 0

y’

衝突点での分布y衝突点での分布x’(ge)1/2x(be)1/2
衝突点でa=0でビームサイズ
bが極小になるようにする。

衝突点を起点とした周回行列
cos 𝜇 + 𝛼(𝑠) sin 𝜇
𝑀𝑟𝑒𝑣 (𝑠) =−𝛾(s) sin 𝜇𝛽(𝑠) sin 𝜇
cos 𝜇 − 𝛼(𝑠) sin 𝜇• 𝛽を小さくする 𝛽 = 𝛽 ∗ 。
• 𝛼を0にする。
cos 𝜇
𝑀𝑟𝑒𝑣 (𝑠) =− sin 𝜇 /𝛽∗

1 + 𝛼2𝛾=𝛽𝛽∗ sin 𝜇cos 𝜇• x,y両方を小さくすることは難しい。収束磁石はy方向に収束させると、x方向は発散• 電子陽電子衝突器では𝜀𝑥 ≫ 𝜀𝑦 なのでyを特に収束
𝛽𝑥 ≫ 𝛽𝑦 。詳しくは後述。
• 陽子衝突器では𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 なので𝛽𝑥 = 𝛽𝑦 にし、円形ビー
ムで衝突。

衝突点近傍の磁石と光学系(b)• 電子陽電子衝突器• y方向を強く絞る。エミッタンスもy方向がxの1/100
x
y

x:収束
y:発散

x:発散
y:収束

x:発散
y:収束

• KEKB 𝛽𝑥∗ = 0.6 m, 𝛽𝑦∗ = 6 mm,• 一般的 𝛽𝑥∗ ≈ 1 m, 𝛽𝑦∗ ≈ 1 cm

x:収束
y:発散

衝突点近傍の磁石と光学系(b)• LHC、陽子陽子衝突器• 進行方向が異なる同種粒子は収束、発散が入れ替
わる。
x
y

x:発散
y:収束

x:収束
y:発散

x:発散
y:収束

x:収束
y:発散

• 𝛽𝑥∗ = 𝛽𝑦∗ = 0.5 m• 陽子はエネルギーが高いので絞るのが難しい。強い磁石が必要衝突点で生じる色収差• エネルギーが高い粒子は曲がりにくい。
• 焦点距離が短いレンズ(磁石)ほど色収差が大きい。
• 加速器では𝛽 ∗ を小さくするほど色収差が大きい。
色収差補正が性能を決める。

色収差補正• 衝突点の収束磁石でエネルギーの小さい粒子を発散するようにpy>py,光学系を設計。
• 6極磁石を使用。エネルギーに対して線形なベータ
トロン光学系は修正できる。
• 高次は補正が難しくなる。

6極磁石
• 磁場
𝐵𝑥 = 𝑏2 𝑥𝑦
𝑒𝑏2 2
∆𝑝𝑥 =
𝑥 − 𝑦2
2𝑝0

𝑏2 2
𝐵𝑦 =
𝑥 − 𝑦22𝑒𝑏2∆𝑝𝑦 = −𝑥𝑦𝑝0

• ビーム軌道がエネルギーによる場所において

ビームビーム効果と空間電荷効果• ビームビーム衝突の際のマクロな電磁力により、ビームは電子陽電子衝突では収束力、陽子陽子衝突では発散力を受ける。この力により光学系が崩れる。
• 空間電荷効果。陽子ビームにおける自己電磁場
による発散力。低エネルギーで重要。電子ビーム
でも電子発生時、高エネルギーでもごく低エミッタ
ンスでは重要になる。

光速で運動する粒子間の電磁力• 光速で走る粒子の電磁場は進行方向に垂直な面内に形成される。

• 光速で同じ方向に運動する2つの電子は相互作用しない。

• 光速で反対方向に運動する2つの電子は相互作用する。
• 光速で同じ方向に運動する電子、陽電子は相互作用しない。
• 光速で反対方向に運動する電子、陽電子は相互作用する。

電磁場のローレンツ変換• 電磁場テンソル
𝐹=

0
𝐸𝑥
𝐸𝑦
𝐸𝑧

−𝐸𝑥
0
−𝑐𝐵𝑧
𝑐𝐵𝑦

−𝐸𝑦
𝑐𝐵𝑧
0
−𝑐𝐵𝑥

−𝐸𝑧
−𝑐𝐵𝑦
𝑐𝐵𝑥
0

• ローレンツ変換, z方向に𝛽で運動する系への変換
𝐿=

𝛾
0
0
−𝛾𝛽

0
1
0
0

0 −𝛾𝛽
0
0
1
0
0
𝛾

• 電磁場のローレンツ変換
𝐹 = 𝐿−1,𝑡 𝐹0 𝐿−1

𝑐𝑡
𝑥
𝑦
𝑧

𝑐𝑡
𝑥
=𝐿
𝑦
𝑧

0

𝛽で運動する電子の形成する電磁場• 電子の静止系での電磁場。電子は原点に存在、電場のみ存在𝑒 𝑥0
𝐸𝑥,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03

𝑒 𝑧0
𝐸𝑧,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03

𝑒 𝑦0
𝐸𝑦,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03
𝑟03 = 𝑥02 + 𝑦02 + 𝑧02• z方向に𝛽で運動する実験室系での電磁場
𝐸𝑥 = 𝛾𝐸𝑥,0 + 𝛾𝛽𝑐𝐵𝑦,0

𝐵𝑥 = 𝛾𝐵𝑥,0 − 𝛾𝛽𝐸𝑦,0 /𝑐

𝐸𝑦 = 𝛾𝐸𝑦,0 − 𝛾𝛽𝑐𝐵𝑥,0

𝐵𝑦 = 𝛾𝐵𝑦,0 + 𝛾𝛽𝐸𝑥,0 /𝑐

𝐸𝑧 = 𝐸𝑧,0

𝐵𝑧 = 𝐵𝑧,0
𝐵𝑥,0 = 0 → 𝑐𝐵𝑥 = −𝛽𝐸𝑦
𝐵𝑦,0 = 0 → 𝑐𝐵𝑦 = 𝛽𝐸𝑥
𝐸𝑥 = 𝛾𝐸𝑥,0𝐸𝑦 = 𝛾𝐸𝑦,0実験室系での電磁場• 静止系、クーロン場
𝑒 𝑥0
𝐸𝑥,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03

𝑒 𝑦0
𝐸𝑦,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03

𝑒 𝑧0
𝐸𝑧,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03• 実験室系𝑧0 = 𝛾(𝑧 − 𝛽𝑐𝑡)𝑒 𝛾𝑥
𝐸𝑥 = 𝛾𝐸𝑥,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03

𝑟02 = 𝑥 2 +𝑦 2 +𝛾 2 (𝑧 − 𝛽𝑐𝑡)2𝑒 𝛾𝑦𝐸𝑦 = 𝛾𝐸𝑦,0 =
4𝜋𝜖0 𝑟03
𝑒 𝛾(𝑧 − 𝛽𝑐𝑡)
𝐸𝑧 = 𝐸𝑧,0 =
4𝜋𝜖0
𝑟03

𝑐𝐵𝑥 = −𝛽𝐸𝑦𝑐𝐵𝑦 = 𝛽𝐸𝑥• 𝑧 = 𝛽𝑐𝑡で
𝑒
𝛾𝑥
𝐸𝑥 =
4𝜋𝜖0 𝑥 2 +𝑦 2 3/2

•

𝑧−𝛽𝑐𝑡
𝑥 2 +𝑦 2𝑒𝛾𝑦𝐸𝑦 =4𝜋𝜖0 𝑥 2 +𝑦 2 3/2> 1/𝛾 𝐸𝑥,𝑦,𝑧 減衰• 電磁場は進行方向垂直面内に形成される。
• 積分値、力積、運動量変化
∞

∞
𝑒
𝛾𝑥𝑑𝑡
𝐸𝑥 𝑑𝑡 =
4𝜋𝜖0 −∞ 𝑥 2 +𝑦 2 +𝛾 2 (𝑧 − 𝛽𝑐𝑡)2 3/2
−∞

𝑒
𝑥
1
=
2𝜋𝜖0 𝑥 2 +𝑦 2 𝛽𝑐

∞

𝑑𝑡
2
=
2 3/2
𝑎 𝑏
−∞ 𝑎 + 𝑏𝑡

光速で運動する粒子の場
2次元電磁場と等価• 線密度𝜆のバンチが通過するときの電場
𝜆𝑒
𝑥
𝐸𝑥 =
2𝜋𝜖0 𝑥 2 +𝑦 2

𝜆𝑒 2
𝑥 𝑑𝑧
𝑑𝑝𝑥 = 𝑒𝐸𝑥 𝑑𝑡 =2𝜋𝜖0 𝑥 2 +𝑦 2 𝛽𝑐

電場は放射状に磁場は囲むようにビームビーム衝突力• 反対方向に進行する異（同）種粒子
𝜆𝑒 2
𝑥 𝑑𝑧
𝑑𝑝𝑥,𝐸 = 𝑒𝐸𝑥 𝑑𝑡 = ∓2𝜋𝜖0 𝑥 2 +𝑦 2 𝛽𝑐𝑑𝑝𝑥,𝐵 = 𝑒𝛽𝑐𝐵𝑦 𝑑𝑡 = 𝑒𝛽2 𝐸𝑥 𝑑𝑡• 電場と磁場が足される。
𝑑𝑝𝑥,𝐸 + 𝑑𝑝𝑥,𝐵 = 𝑒(1 + 𝛽2 )𝐸𝑥 𝑑𝑡

衝突力、２次元ガウスの法則• 半径R=0.5mm、長さ=12mm、粒子数N=5x1010の光
速で走る一様バンチの作る電場、磁場• バンチ内• バンチ外衝突によるx’,y’の変化• 電子陽電子衝突

2 𝑥 (1 + 𝛽 2 )𝑑𝑠
𝑑𝑝
𝑁𝑒𝑥𝑑𝑥 ′ ==−𝑝0
2𝜋𝜖0 ℓ 𝑅2 𝑚𝛾𝛽2 𝑐 2• 互いに𝛽𝑐で運動しているので、 𝑑𝑠 = ℓ/2.
2 𝑥 (1 + 𝛽 2 )Δ𝑝𝑁𝑒2𝑁𝑟𝑒 𝑥
𝑥
′
Δ𝑥 =
=−
≈−
2
2
2
𝑝0
2𝜋𝜖0 𝑅 2𝑚𝛾𝛽 𝑐
𝛾 𝑅2𝑒2
𝛽 = 1, 𝑟𝑒 =4𝜋𝜖0 𝑚𝑐 2

円形ガウス分布の場合• 陽子陽子衝突では実際に円形ガウスビーム衝突
𝑁𝑒 2 𝑟 1𝑟′2
2𝜋𝑟𝐸𝑟 =
exp − 2 2𝜋𝑟′𝑑𝑟′2
𝜖0 ℓ 0 2𝜋𝜎𝑟
2𝜎𝑟
𝑁𝑒 2 1𝑟2
𝐸𝑟 =1 − exp − 22𝜋𝜖0 ℓ 𝑟
2𝜎𝑟
2
2𝑁𝑟
Δ𝑝
𝑥
𝑟
𝑝
𝑥
Δ𝑥 ′ ==
1 − exp − 2
2
𝑝0
𝛾 𝑟
2𝜎𝑟

1
𝑥
= 𝑁𝑟𝑒 1
𝑥′
𝛾 𝜎𝑟2

0

1

𝑁𝑟𝑒 𝑥
≈
𝛾 𝜎𝑟2
𝑥, 𝑦 < 𝜎𝑟

𝑥
𝑥′ 0

非線形力
• 力Dx’にｘに対して高次の項が含まれる。

𝑁𝑟𝑒 1
この傾きは
𝛾 𝜎𝑟2

x3,x5…の項がある

ここでは線形項のみ扱う。
非線形項は本質的な影響を及ぼす。カオス…

扁平楕円ガウス分布ビーム
フラットビーム• 電子陽電子衝突器ではシンクロトロン放射の際、ｘ方向に振動が誘起されるため、ex>>ey.
• 後述のチューンシフトのためbx>>by,ゆえに sx>>sy• 線形力
𝜎𝑥,𝑦 = 𝛽𝑥,𝑦 𝜀𝑥,𝑦2𝑁𝑟𝑒𝑥Δ𝑥′ ≈ −
𝛾 𝜎𝑥 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )2𝑁𝑟𝑒𝑦Δ𝑦′ ≈ −𝛾 𝜎𝑦 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )yx

フラットビームによる非線形力•

Dx’• やはり非線形項が存在

Dy’

周回行列への影響
cos 𝜇
𝑀𝑟𝑒𝑣 (𝑠) =− sin 𝜇 /𝛽∗𝛽∗ sin 𝜇cos 𝜇• ビームビーム力を追加(円形),両側に振り分け
1
0
𝑘/2 1

=

cos 𝜇
− sin 𝜇 /𝛽∗𝛽∗ sin 𝜇
cos 𝜇

1
0
𝑘/2 1

𝑘 ∗
cos 𝜇 + 𝛽 sin 𝜇2𝛽∗ sin 𝜇

×××𝑘 ∗cos 𝜇 + 𝛽 sin 𝜇
2• チューンシフトが起こる。

𝑁𝑟𝑒 1
𝑘=
𝛾 𝜎𝑟2

ビームビームチューンシフト(円形ビーム)𝑘 ∗cos(𝜇 + ∆𝜇) = cos 𝜇 + 𝛽 sin 𝜇2∆𝜇𝑘 ∗ 𝑁𝑟𝑒 𝛽∗
∆𝜈 =
＝
𝛽 =
2𝜋 4𝜋
4𝜋𝛾 𝜎𝑟2∆𝜈, 𝑘𝛽∗ ≪ 1• ∆𝜈, 𝛽 ∗ 𝑘が大きくなるとチューンが虚数になる(不安定)。 ν＋∆𝜈は0.5や1を超えられない。 ∆𝜈<0.5• チューンシフトをどこまで大きくできるかが、高いル
ミノシティのために重要。
• 一般に陽子ビームで∆𝜈<0.005-0.02、電子ビーム
で0.05-0.1が目標値とされる。Nを増やしても、𝜎𝑟 が大きくなり∆𝜈は上がらなくなる。ビームビーム限界という。

陽子陽子衝突器設計の戦略
ルミノシティとビームビームチューンシフト
𝑁2
2𝑁𝛾∆𝜈
𝐿=
2 𝑓𝑟𝑒𝑝 = 𝑟 𝛽 ∗ 𝑓𝑟𝑒𝑝
2𝜋𝜎𝑟𝑒

𝑁𝑟𝑒 𝛽∗𝑁𝑟𝑒∆𝜈 ==24𝜋𝛾 𝜎𝑟4𝜋𝛾𝜀• チューンシフト(Dn)の設定、• エミッタンス(e)、バンチ粒子数(N)の選択。
• 低ベータカオスを見よう• 以下の変換を繰り返す。
cos 𝜇𝑥𝛽∗ sin 𝜇𝑥 𝑥
𝑥
=
𝑥′ 1
𝑥′ 0
− sin 𝜇𝑥 /𝛽∗
cos 𝜇𝑥2𝑁𝑟𝑝 1𝑥12𝑥′2 = 𝑥′1 +1 − exp − 2
𝛾 𝑥1
2𝜎𝑟

特異性がないようにしてね

例、上のモデルとは違う
カオスによって粒子が逃げてしまうのがビームビームによる衝突器性能限界の原因

𝑁𝑟𝑒 𝛽∗> 0.1• チューンシフト(後述)を0.1以上に選ぶ。 ∆𝜈 =24𝜋𝛾 𝜎𝑟• Nをsin(0.001*i)で揺らしたらどうなるでしょう。

LHC• E=6.5TeV, g=6930, L=26,700m• E=4TeV, g=4264 (2012年まで)• N=2.5x1011, e=0.3x10-9 m, b*=0.5m, sxy=12mm• sz=7cm (10cm)• バンチ数 1400-2800
𝑁𝑟𝑝
𝑁𝑟𝑒 𝛽∗∆𝜈 === 0.004524𝜋𝛾 𝜎𝑟4𝜋𝛾𝜀𝐿 = 1 − 2 × 1034 𝑐𝑚−2 𝑠 −1
𝐿 = 0.7 × 1034 𝑐𝑚−2 𝑠 −1

𝑟𝑝 = 1.5347 × 10−18 𝑚

ビームビームチューンシフト(フラットビーム)• 電子陽電子衝突器では円形ビーム衝突は使われない。
• ex>> ey,なので𝛽𝑥∗ ≪ 𝛽𝑦∗ が必要だが、∆𝜈𝑥 ≪ ∆𝜈𝑦 になってしまう。

• ∆𝜈𝑥 ≈ ∆𝜈𝑦 のためには𝛽𝑥∗ ≫ 𝛽𝑦∗ でなければならない。

• フラットビームが妥当𝜎𝑥 ≫ 𝜎𝑦
𝑁𝑟𝑒
𝛽𝑥∗
∆𝜈𝑥 =
2𝜋𝛾 𝜎𝑥 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )

𝛽𝑦∗
𝑁𝑟𝑒
∆𝜈𝑦 =
2𝜋𝛾 𝜎𝑦 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )• 2ビームのエネルギーが違う場合
∗
𝛽𝑦±
𝑁∓ 𝑟𝑒
∆𝜈𝑦± =
2𝜋𝛾± 𝜎𝑦∓ (𝜎𝑥∓ + 𝜎𝑦∓ )自分のg,b相手のN,sで表す。
両方同じ値にするのがバラ
ンスがいい電子陽電子衝突器設計の戦略
ルミノシティとビームビームチューンシフト• チューンシフトの設定• エミッタンス(ex)、バンチ粒子数(N)の選択。
• 𝛽𝑦∗ は小さいほどいいが、バンチ長𝜎𝑧 までが限界
𝑁𝛾∆𝜈𝑦
𝑁2
𝐿=
𝑓𝑟𝑒𝑝 =∗ 𝑓𝑟𝑒𝑝2𝜋𝜎𝑥 𝜎𝑦
𝑟𝑒 𝛽𝑦
𝑁𝑟𝑒
∆𝜈𝑥 =
2𝜋𝛾𝜀𝑥

𝛽𝑦∗
𝑁𝑟𝑒
∆𝜈𝑦 =
2𝜋𝛾 𝜎𝑦 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )

KEKB
• E=3.5GeV(e+)x8GeV(e-), g+-=6850,15656, L=3,160m• N+-=8x1010, 5x1010,
𝑁𝑟𝑒
-9
∆𝜈𝑥 =
= 0.12• ex=18x10 m, bx*=1m, sx=130mm
2𝜋𝛾𝜀𝑥• ey=18x10-11 m, bx*=0.006m, sxy=1mm
𝛽𝑦∗
𝑁𝑟𝑒
∆𝜈𝑦 =
= 0.08• sz=0.6cm
2𝜋𝛾 𝜎𝑦 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )• バンチ数 1600
𝐿 = 2.12 × 1034 𝑐𝑚−2 𝑠 −1

SuperKEKB• E=4GeV(e+)x7GeV(e-), g+-=6850,15656, L=3,160m• N+-=8x1010, 8x1010,• ex=3x10-9 m, bx*=0.02m, sx=130mm• ey=1x10-11 m, bx*=200mm, sxy=1mm
𝛽𝑦∗
𝑁𝑟𝑒
∆𝜈𝑦 =
= 0.08• sz=0.6cm
2𝜋𝛾 𝜎𝑦 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )• バンチ数 2500
𝐿 = 8 × 1035 𝑐𝑚−2 𝑠 −1

ビームビーム効果のシミュレーション• LHC round beam、ガウス分布で粒子を初期化。
cos 𝜇
𝑀𝑟𝑒𝑣 (𝑠) =− sin 𝜇 /𝛽∗𝛽∗ sin 𝜇
cos 𝜇

2
2𝑁𝑟
Δ𝑝
𝑥
𝑟
𝑝
𝑥
Δ𝑥 ′ ==
1 − exp − 2
2
𝑝0
𝛾 𝑟
2𝜎𝑟

• この２つの変換を繰り返す。

// gcc bb.c –lm –o bb#include <stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#define nmp 10000#define pi 3.14159265358979324#define pi2 2.*pi#define rp 1.5347e-18#define Mp 938.272e6#define c 299792458.

適当な乱数を組み合わせる。

int main(){double bx=0.55,mux=64.311*pi2,by=0.55,muy=59.321*pi2;
double Ep=7.e12, Np=1.6e11, emx=0.5e-9,emy=0.5e-9,circumf=26700.;
double Tx[4],Ty[4] , sigr,sigr2,Kcoeff;
double x[nmp],px[nmp],y[nmp],py[nmp],xtmp,r2;
int it,i,nturn=10;
Tx[0]=cos(mux); Tx[1]=bx*sin(mux); Tx[2]=-sin(mux)/bx; Tx[3]=cos(mux);
Ty[0]=cos(mux); Ty[1]=bx*sin(mux); Ty[2]=-sin(mux)/bx; Ty[3]=cos(mux);sigr=sqrt(emx*bx); sigr2=sigr*sigr;
Kcoeff=2*Np*rp*Mp/Ep;
for(i=0;i<nmp;i++) {x[i]=sigr*tgauss(); px[i]=sigr/bx*tgauss();y[i]=sigr*tgauss(); py[i]=sigr/by*tgauss();// printf("%d %le %le %le %le¥n",i,x[i],px[i],y[i],py[i]);}for(it=0;it<nturn;it++) {// transfer matrix
for(i=0;i<nmp;i++) {
xtmp=x[i]; x[i]=Tx[0]*xtmp+Tx[1]*px[i]; px[i]=Tx[2]*xtmp+Tx[3]*px[i];xtmp=y[i]; y[i]=Tx[0]*xtmp+Tx[1]*py[i]; py[i]=Tx[2]*xtmp+Tx[3]*py[i];}// beam-beam kickrum=0.;
for(i=0;i<nmp;i++) {r2=x[i]*x[i]+y[i]*y[i];xtmp=Kcoeff/r2*(1-exp(-r2/2./sigr2));px[i]+=xtmp*x[i]; py[i]+=xtmp*y[i];rlum=rlum+0.5*exp(-r2/2/sigr2)/pi/sigr2;// printf("%d %le %le¥n",i,x[i],y[i],xtmp);}
printf("L=%le cm^-2s-1¥n",lum/nmp*Np*Np*c/circum*1e-4);}}

レポート-2• １０個の粒子をx=0.2,0.4,0.6….2s,px=y=py=0で初期化し、1000周分のx-pxをプロットせよ。
• Np=0, 1.6e12, 5e12について同様のプロットをせよ。

大強度陽子加速器• ビームを取り出してターゲットにあて、特殊粒子を作り、実験に使用。RCSは中性子、MRはK中間子、ニュートリノ
• エネルギーの条件さえ満たせば、ビームパワーが大事• ビームパワー＝エネルギーｘ平均電流• 加速器内のビーム電流は時間構造を持つ。
• ビーム入射、バンチ構造、出射𝑃 = 𝐸𝑝 𝐼𝑎𝑣

ビーム電流• J-PARC MRではNp=4.17x1013, ℓ=52m、Nb=8バンチのビームがL=1567mの円形加速器を回っている。
• バンチ電流𝜆𝑝 :線密度

𝐼𝑏𝑢𝑛𝑐ℎ = 𝜆𝑝 𝑒𝑐 = 𝑁𝑝 𝑒𝑐 ℓ = 38 A

• ビーム電流𝐼𝑏𝑒𝑎𝑚 = 𝑁𝑏 𝑁𝑝 𝑒𝑐 𝐿 = 10 𝐴
• ビームをfrep=0.45Hzで取り出しているので平均電流は
𝐼𝑎𝑣𝑒 = 𝑁𝑏 𝑁𝑝 𝑒𝑓𝑟𝑒𝑝 = 24 𝜇𝐴• よってビームパワーは𝑃 = 𝐸𝑝 𝐼𝑎𝑣 = 30 × 109 × 24 × 10−6 = 720 kW

ビームロスの問題• 加速器でビームの入射、周回、出射中に何らかの原因でビームが加速器壁に当たって失われる。
• ビーム粒子のエネルギーに応じて、放射化される。

• 全体の放射化を避けるためコリメータを入れ、ロスを局所化させる。
• 放射化を考慮する(メンテナンス、交換)と1kW程度のロスが限界。
• 1kW/1MW、ビームパワーの0.1%

ビームロスの原因• ビーム不安定性• 急激なロス 避けなければならない• フィードバックによりビーム振動を抑える。

• 空間電荷力によるエミッタンス(ビームサイズ)増大• ゆっくりとしたロス、• 低エネルギーすなわち入射時、加速初期段階で深刻

空間電荷力• 同方向に進行する同種荷電粒子間の力
𝜆𝑒 2
𝑥 𝑑𝑧
𝑑𝑝𝑥,𝐸 = 𝑒𝐸𝑥 𝑑𝑡 =2𝜋𝜖0 𝑥 2 +𝑦 2 𝛽𝑐𝑑𝑝𝑥,𝐵 = −𝑒𝛽𝑐𝐵𝑦 𝑑𝑡 = −𝑒𝛽2 𝐸𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑝𝑥,𝐸 + 𝑑𝑝𝑥,𝐵 = 𝑒(1 − 𝛽2 )𝐸𝑥 𝑑𝑡 = 𝑒𝐸𝑥 𝑑𝑡/𝛾 2• 電場と磁場力がキャンセルし1/𝛾 2 でエネルギーが高いほど相互作用が弱くなる。
• GeVクラスの電子では一般に無視できる。
• GeVクラスの陽子では重要な効果

空間電荷力によるチューンシフト
𝑑𝑝𝑥,𝐸 + 𝑑𝑝𝑥,𝐵 = 𝑒(1 − 𝛽2 )𝐸𝑥 𝑑𝑡 = 𝑒𝐸𝑥 𝑑𝑡/𝛾 2
2𝐿
2
𝑒𝐸
Δ𝑡
𝜆𝑒
1
𝑟
𝑥
Δ𝑥 ′ ==
1 − exp − 2
2
2
2
3
𝑝0 𝛾
2𝜋𝜖0 𝑚𝑐 𝛽 𝛾 𝑟
2𝜎𝑟𝜆𝑟𝑒 𝐿 𝑥
≈ 2 3 2𝛽 𝛾 𝜎𝑟• チューンシフト𝑘 ∗𝜆𝑟𝑒 𝐿 𝛽∗
∆𝜈 =
𝛽 =
4𝜋
4𝜋𝛽2 𝛾 3 𝜎𝑟2• 大強度陽子加速器では0.1-0.2を設計値とする。

J-PARC MR• T=3-30 GeV(p) g=4.2-33, L=1567m• Np=4x1013, 1.3x1013• ex=40x10-6/4p m, bx~12m, sx=6mm, ℓ=52m• バンチ数 8
𝜆𝑟 𝐿 𝛽∗∆𝜈 =𝑒= 0.66 (0.22)2234𝜋𝛽 𝛾 𝜎𝑟

RCS
• T=0.4-3 GeV(p) g=1.43-4.2, L=300m• Np=4x1013• ex=100-200x10-6 m, bx~12m, sx=3cm, ℓ=100m• バンチ数 2

ビームロスのシミュレーション• 空間電荷力は加速器内あらゆる場所で、そのビームサイズに応じてビームに働く。
• 加速器リングを1mごとに区切って、ビームビーム力と同様の運動量キックを与える。
• 正確には分布に対してポアッソン方程式を解き、電磁場を求め運動量キックを与える。ガウス分布を仮定しない。

ポアッソン方程式を数値的に解く

ビームロスの実際• J-PARC MR 500kW相当• チューンを変えて時間に対するビームロスをプロット。

Summary• 高ルミノシティ衝突器でのビームビーム力、高強度陽子加速器での空間電荷力はそれら加速器の性能限界を決めている。
• それらの力によるチューンシフトが性能限界に対する指標になっている。
• それらの力による非線形力によるエミッタンス増大が• 加速器設計ではチューンシフトを設定し、性能仕様を決める。
• 運転時にはそのチューンシフトを目指してチューニング、
ビーム実験をするのが、加速器、ビーム学者の仕事。