知られざる

女性数学者の素顔

第11回

ヒュパティア〜歴史に残る最古の女性数学者〜
サイエンスナビゲーター ® 桜井 進／さくらい すすむ『ディオファントスの天文学の法則』についての原文の一部が，15 世紀に，ヴァチカン図書館で発見された。
般向けに著したものである。ユークリッドについての論文は父との共著であった。これらの著書の多くは，自分の学生のための教科書として書いたものである。
ヒュパティアのもっとも優れた弟子の１人がキレネのシュ

2009 年に公開されたスペイン映画「アレクサンドリア」

ネシウスである。彼の手紙の中に師ヒュパティアについてのの主人公が女性数学者ヒュパティア。映画の中では彼女は天

記述を見つけることができる。冒頭に述べたアストロラーベ

文学者として描かれている。1 世紀の天文学者プトレマイオ

およびプラネティカがヒュパティアによる発明であるというスの『アルマゲスト』で展開された天体の運行理論が天動説。

記述がその１つである。手紙には，水蒸留装置，水位測定装『宇宙体系』とも呼ばれるこの本は，プトレマイオス自身に置，液体の比重計もヒュパティアによる発明であることが書よる天体観測データおよび天体の位置計算に必要とされる球かれてある。

面三角法，幾何学，宇宙論を広く網羅した 13 巻からなる大数学者ヒュパティアのもう一つの顔が哲学者である。彼女

著で，ヒュパティアはその注釈書を著している。アストロラー

は，新プラトン主義と呼ばれるギリシャ思想の一派に属して

ベ（天体観測機器・アナログ計算機）およびプラネティカ（惑いた。学術的・科学的で神秘主義を廃した科学的理性主義を星儀）がヒュパティアの発明だとする説もあるほどヒュパ

第一に掲げたものだった。それゆえにこの派は，当時支配的

ティアは天文学者として活躍した。天文学者ヒュパティアのだったキリスト教の教条的信仰に真っ向から逆らうもので，偉大なる天分を支えたのが自身の数学であった。

キリスト教指導者をひどく脅かした。彼らをはじめ教徒は哲

ヒュパティアは紀元 370 年頃にエジプトで生まれた。当学者ヒュパティアを異端と考えた。多くの数学者，哲学者ら時，世界で最も学問の栄えていた国際都市がアレクサンドリが描かれたラファエルの名画「アテネの学園」にヒュパティアであった。アレクサンドリア大学の数学教授であった父テアが入っていないのはヒュパティアが教会と仲が悪かったか

オンは娘に数学をはじめ十分なまでの教育──美術，文学，

らかもしれない。

科学，哲学──を与え，演説法（雄弁術）を習得させ，さら

当時，ローマ帝国皇帝テオドシウス 1 世はキリスト教徒には水泳，乗馬，登山を習わせた。果たして，ヒュパティア

として，異教と異端派に対してローマ帝国全域で迫害の方針

は健全な身体と驚異的な精神を持つ人間へと成長する。

を定めた。アレクサンドリアでもユダヤ人の違法で強制的なヒュパティアは長い（10 年ほどと言われている）旅行の追放運動が巻き起こっていた。果たして，神を冒涜する異端後（30 歳頃），アレクサンドリアに帰ると大学で数学と哲学派ヒュパティアにも魔の手が襲ってきた。415 年，狂信者を教え始めた。その講義にはヨーロッパ，アジア，アフリカの暴徒によってヒュパティアは殺害され非業の死を遂げた。

から熱心な青年らが聴きに集まった。それほどに彼女の講義

享年 45 歳（ないし 65 歳）。

は魅力あるものだった。

により，後世に多数の作家による文学作品として語り継がれカ）』である。3 世紀にディオファントスによって書かれたる伝説となった。モザンは 1913 年の本の中でヒュパティア

古代ギリシャの数学書は『原論』と並ぶ数学の古典。そのラを次のように讃えた。

テン語版を読みながら整数論の考察を深めていったのが 17

彼女は古代女性の中で，詩におけるサッフォー，哲学と雄世紀のフェルマーであった。有名なフェルマーの最終予想は弁術におけるアスパシアにも比すべき者で，女性の中の最高

この本の余白にフェルマーがメモ書きしたものである。

の栄光である。学識の深さ，才能の多面性において，彼女にヒュパティアの数学上の業績については，冒頭で述べたア並ぶ者は，同時代にはほとんどなく，プトレマイオス，ユー

ルマゲストについての注釈書以外に論文を著したようだが現

クリッド，アポロニウス，ディオファントス，ヒッパルコス

存するものはほとんどない。多くはアレクサンドリアのプトなどの輝かしい科学者の間でも，特に異彩を放つ地位を占め

レマイオス図書館とともになくなってしまった。ただ，論文る資格がある。

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特集

数学と産業 ⅡE-mail : info@rimse.or.jp

https : //www.rimse.or.jp※本冊子は，上記ホームページでもご覧いただけます。

印刷所：岩岡印刷株式会社

デザイン：株式会社 アートグローブ
東京都文京区向丘2丁目3番10号

TEL.03-3814-5204©Rimse 2021

2021

No.31

（リムス）

/

FAX.03-3814-2156

本文イラスト：株式会社 アートグローブ

表紙写真 : ⓒ Roy Scott/Ikon Images /amanaimages
2021年6月20日発行

31
June

ヒュパティアの人生は，その見事なキャリアと劇的な最期

ヒュパティアが大学で教えたのが『算術（アリスメティ

大阪オフィス

日本の理数科教育をサポートする『アポロニウスの円錐曲線について』はヒュパティアが一（財）
理数教育研究所

巻

Contents
表紙裏

巻頭言
子どもにとっての「新しい生活様式」を考える
京都大学大学院 教育学研究科 教授

特 集

Kantougen明和 政子

Ⅰ 位相的データ解析の現在
Ⅰ

7

Ⅱ 可視化やコンピュータグラフィックスに現れる数学Ⅱ

岡山大学 サイバーフィジカル情報応用研究コア 教授
九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所 教授

12

大林 一平

落合 啓之

Ⅲ 社会連携における逆問題の数学Ⅰ
東京大学大学院 数理科学研究科 教授

17

言

数学と産業 Ⅱ

2

頭

連 載

山本 昌宏

１枚の図から地球を考える～地球はどんなところか～ 第 5 回火山分布図から見えること
開成中学校・高等学校 教諭

20

連 載

有山 智雄

統計の見方・読み方・使い方

第8回

未来の可能性を測る 確率とオッズ
立正大学 データサイエンス学部 教授

23

連 載

物理法則の科学史

渡辺 美智子

第8回

エネルギー保存の法則（前編）一橋大学大学院 言語社会研究科 准教授

26

28

有賀 暢迪

京都大学大学院 教育学研究科 教授

教育に新しい風を来るべき十八歳成年時代に向けて

明和 政子 / みょうわ まさこ

武庫川女子大学 教授・教学局次長

京都大学大学院教育学研究科博士後期課程修

橋本 光能

広 場 地域教育で活躍する人々 第 30 回
子どもたちに科学するよろこびとたのしさを～金沢子ども科学財団の活動紹介～
公益財団法人 金沢子ども科学財団 理事長

裏表紙

知られざる女性数学者の素顔
ヒュパティア〜歴史に残る最古の女性数学者〜
サイエンスナビゲーター ®

桜井 進

山崎 光悦

了。博士（教育学）。文部 科 学省 科 学 技 術・学術審議 会委員，日本学術 会議連携会員。ヒトとヒト以外の霊長類を胎児期から比較し，ヒト特有の脳と心の発達およびその生物学的基盤を明らかにする「比較認知発達科学」という分野を開拓した。単著に『まねが 育むヒトの心』（岩波書店），『ヒトの発達の謎を解く―胎児期から人 類 の 未 来まで』
（筑 摩 書 房）など多 数。

第 11 回

2016 年放送の NHK スペシャル 2 編『ママたちが 非常事 態⁉

～ 最 新 科 学で迫るニッポンの子育て 1・2 ～』，2017 年放送の『ニッポンの家族が非常事態⁉

～第 1 集 わが子がキレる本当のワケ～』などの監修・出演など，現代社会の子育てに関する様々な問題を，最新の科 学的知見から理 解する活動にも力を注いでいる。

子どもにとっての「新しい生活様式」
を考える
新型コロナウイルス感染症の世界的大流行から既に一年以に目にしながら脳と心を発達させていきます。こうした経験を積上が経とうとしています。コロナ禍で求められてきた「新たな生み重ねることで，多様な表情を区別する能力や，その背後にあ活様式」は，長期化の様相を呈しています。感染症の拡大を最る感情を理解する能力を獲得していきます。また，誰かが話し

小限に食い止めるために，他者と身体的距離をとる，密を避けている場面では，その人の目だけでなく，音声が発せられる口る，マスクを着用するなどの実践は，今後も長期戦で求められの動きにも注意を向けます。これらの視聴覚情報を統合し，自ていくでしょう。また，コロナ禍で，オンライン（仮想空間）でらの身体を使って模倣しながら言語を身に付けていくのです。

のコミュニケーションが私たちの日常の一部となったことも大きマスクの着用が日常となった今，目の前の他者の表情は覆い隠な変化でした。

され，子どもたちは表情を経験する機会を急激に減らしていま

感染症の拡大を最小限に食い止めるために，新しい生活様

す。特に，脳発達の感受性期にある子どもたちの脳と心の発達

式の実践は大切です。仮想空間でのコミュニケーションには，に，何かしらの影響が生じるリスクを否定することはできません。

便利な面がたくさんあることを知りました。しかし，生物としてマスクをしていても目でコミュニケーションはできるから大丈夫，のヒトの脳の発達，特に，環境の影響を強く受けながら脳をと考えてしまうのは，まったく大人目線の解釈でしかありません。

発達させていく時期の子どもたちにとっては，話は別です。こ仮想空間でのコミュニケーションが主流となっていく日常

れほどコロナ禍が長期化すると，生物としてのヒトの脳と心のにも懸念を抱いています。仮想空間でのコミュニケーション

発達を研究している者として危惧を感じられずにはいられませ

経験は，現実空間での身体を介したやりとりとは全く異なるん。ヒトは，他者との「密・接触」を基本とする社会的環境にものだからです。現実空間では，他者との身体接触をともな

適応しながら，長い時間をかけて進化してきた生物だからでうコミュニケーションによって，セロトニンやドーパミン，

す。個体は，社会的環境との相互作用を繰り返しながら，種オキシトシンなどの神経伝達物質が脳内から放出されます。

特有の脳と心を発達させていきます。その過程において重要

それは，身体内部に「心地よい感覚」を生じさせます。他者となるのは，以下の 3 点です。
（1）ヒトを含む哺乳類動物は，とのコミュニケーションに心地よさを感じる脳と心が，他者

他個体との身体接触なしには生存できない，（2）特に，発達と身体接触を経験することで発達していくのです。他方，仮初期の脳の発達には他個体との身体接触が不可欠である，

想空間でのやりとりは視聴覚の情報に偏っています。これら（3）発達初期の経験は，その後の脳と心の発達に直接的に影は，光や音などの強い刺激はもたらしますが，身体内部に心響する。現行の新しい生活様式のもと，私たちはヒトの育ち

地よさを感じさせるものではありません。

の根幹を守る生活との両立をどのように果たしていくことができるでしょうか。

コロナ禍が長期戦となる今，大人にとってだけではなく，「子どもたちにとって必要な」新たな生活様式とは何かを考える必コロナ禍で育つ子どもたちの脳と心の発達について懸念し要があります。そして，進化の過程で際立った前頭前野を獲得ていることのひとつは，マスクを着用する他者との日常が脳してきたヒトでは，それが可能なのです。私たちは，自分が見と心の発達に与える影響です。脳が発達する過程では，環境て感じる世界，「今・ここ」という時空間の制約を超えて想像すの影響を特に受けやすい，ある特別の時期（脳発達の感受性る能力をもっています。これは，次世代の人類に思いをめぐら期）があります。例えば，大脳皮質にある視覚野や聴覚野は，すことにもつながります。地球規模の問題が深刻化するなか，比較的早期に成熟する脳部位です。特に，生後数か月頃から，持続的な世界を維持・発展するためにグローバルな課題の解

環境の影響を大きく受けて変化します。そして，就学を迎え決が目指されています。多様な価値観，立場からひとつの解決る頃までに成熟します。大きくなってから第二外国語を身に策を見出すことは決して容易ではありません。しかし，子ども付けるのが難しくなるのは，聴覚野の発達の感受性期を過ぎにとっての新しい生活様式を考えてみることは，多様性を尊重てしまったから（環境の影響を受けにくくなるから）です。

し，受容する心の働きでもあります。コロナ禍でのこの困難を，

この時期までに，子どもたちは，相手の「動く」表情を豊か

人類未来への好機として生かす経験とすることが必要です。 ❖

No.31

1

特 集

数学と産業 ⅡⅠ 位相的データ解析の現在

岡山大学 サイバーフィジカル情報応用研究コア 教授

大林 一平 / おおばやし いっぺい

京都大学理学研究科数学教室にて博士を取得後，京都大学にて研究員として力学系の応用に関する研究に従事，その後，東北大学 AIMR に異動して位相的データ解析の理論，ソフトウェア開発，材料科
学への応用といった研究に従事。2018 年からは理研 AIP の研究員として引き続き位相的データ解析の研究を推進。2021 年 4 月から現職。

1

孔の個数が同じである。(c) は孔の個数は同じだが 2 つに分はじめにかれている所が違い，(d) とは孔の個数が違う。これを別のここで紹介するのは「位相的データ解析（Topological Data

視点から見ると，(a) を粘土細工のように徐々に変形すると

Analysis，TDA）」という数学のトポロジーを利用したデータ(b) にまで変形できるが，(c) や (d) にしようとすると不連続解析手法の総称である。ある特定の手法ではなくてさまざま的な変形（切断や孔を開けるなど）が必要である。こういうな 手 法 の 総 称 で，パ ーシステントホモロジ ー（Persistent

ことを指して「形のつながり具合を調べる数学」と言ってい

Homology，PH）やマッパーといった手法がその中でも特にるわけである。

有力な手法である。
本稿では，数学に興味があるがトポロジーにはそれほど詳

1.2

ネットワーク構造

しくないという人を想定して，位相的データ解析について解ではこのトポロジーに注目したデータというのがどういう説する。特に筆者が強い興味を持っているパーシステントホのかというと，古典的にはネットワークやグラフと呼ばれるモロジーを中心に解説する。数学的なアイデアから応用面まものがある。抽象的には図 2 のような丸（頂点と呼ぶ）をで解説しよう。

線（辺と呼ぶ）で結んだ構造である。例えばコミュニティを1.1

分析するための人間関係を表

トポロジーのアイデア現するためにこういうデータ

まずはトポロジーのアイデアについて簡単に説明しよう。

が使われる。人間が頂点でそトポロジーの説明には色々あり「連続変形で不変な性質を調の間のコミュニケーションがべる数学」「形のつながり具合辺である。会話のデータやオ

(b)

図2

ネットワーク，グラフを調べる数学」「孔，リングやンラインコミュニケーションのデータ（LINE など）があっ

空洞を数える数学」などいろて，ある 1 ヶ月間に会話があった人同士を線で結ぶとこういろ言える。例えば図 1 のよいうネットワークができる。この場合会話の内容などは無視

うな 4 つの図を考えよう。す

(c)

(d

してつながりだけに注目しているわけである。こうして得らる と (a) と (b) の 組 は (c)，(d)れたネットワークを解析する，というのはそれなりに長い歴よりも共通点があるように見史のある方法論である。例えばこの構造からつながりの強いえる。実際 (a) と (b) は連結で

2

No.31

図1

トポロジーのアイデア

グループを抽出する手法などが開発されている。

数学と産業 Ⅱ
ネットワークによるデータ解析はこのように丸と線ででき(a)た「形のつながり具合」を解析するわけである。TDA はあ

(b)

(c)

Y
X

る意味でネットワーク解析の発展型で，より多様な構造を数学のトポロジー分野で培われてきたアイデアを援用して解析

半径b
半径 b11する方法論である。

1.3

特集

半径b
半径 b22(e)(d)

パーシステントホモロジー（PH）

ここでは TDA のツールの中でも特に重要な PH について

半径dd22半径

解説していこう。PH は 2002 年の Edelsbrunner らの論文 *1で提案されたアイデアで，トポロジー分野の特にホモロジー

図3

半径dd11半径

半径を変えると孔の個数が変わるという概念を利用する。Edelsbrunner らの論文の後にも数(c)，(d)，(e) は膨らます程度（つまり半径 r）を変えた図で学的定式化や数学的性質，アルゴリズム，といった理論面かある。r を大きくすると，孔の個数が変わってしまっているらソフトウェアの開発，そして各種の応用までこの 20 年でのがわかるだろう。この問題を解決するのが PH である。膨急速に発展しつつある。

らます程度を (b)，(c)，(d)，(e) と徐々に変えていくことによっ

筆者の意見としては，トポロジーをデータ解析に使う利点て孔が発生消滅するプロセスを見出すことができる。このプとして以下の 2 つが挙げられる : (1) 形の詳細の情報を捨て，ロセスを観察すると，孔 X は (b) で発生して (e) で消滅する，つながりだけを見ることでよりデータの本質的な部分を抽出

孔 Y は (c) で発生して (d) で消滅する，ということがわかる。

できる (2) 平行移動や回転で不変で，ノイズに強い。トポロ

それぞれの孔を発生と消滅をそのタイミングで特徴付けるこ

ジーは「孔や空洞を数える数学」なので，例えば触媒や消臭とが PH の理論の肝である。このタイミングにおける半径パ剤で使われる多孔質の解析などに利用できる可能性がある。

ラメータを見ることでそれぞれの孔の大きさや点の分布密度

一方，トポロジーをそのままデータ解析に使うには情報量の情報がわかる。プロセスを考えることで異なるスケールのを減らし過ぎるという欠点もある。トポロジーは孔や空洞のトポロジーの情報を統合的に取り扱うことが可能となるので個数は数えられるがその形や大きさの情報を捨ててしまう。

ある。

それは図 1 を見てもわかるだろう。一方で多孔質の解析の実際にこのデータを可視化するときには，それぞれの孔の例など考えても孔の大きさなどの情報は是非欲しい所である。

発生半径と消滅半径を X，Y の値とした散布図やヒストグラ

こういった情報を捨ててしまうことはある意味トポロジーのムで表現する。これはパー

本質的な部分なので，何らかの工夫が必要である。この問題

システント図（PD）と呼を「フィルトレーション」という構造を用いて解決したのがばれる（図 4）。この図はPH である。

データの形の情報をうまつな

く縮約していると期待さよう。トポロジーを使うためにはデータの「繋がり」が必要

れ， こ の 図 を さ ら に 調 べであるが，このデータは全部ばらばらである。しかし遠目にることでデータの形の特見ると X と Y の 2 つの孔があるように見える。そこで (b)徴を調べていくこととなる。

孔の消滅半径ここでは例として図 3 の (a) のような点集合データを考え

d11
d
d
d22

X
Y

b11 b
b22 孔の発⽣半径b
図4

パーシステント図のようにこのデータを膨らませてやることでつながりを作り

ここでは入力データとして点集合データを考えたが，それだす（ここでは各点を半径 r の円に置き換えている）。する

以外のデータでも PH は利用可能である。画像（二値画像，と実際に孔があることがわかる。ホモロジーを使うとこの孔

グレイスケール画像）やある種のグラフ構造などに適用可能の情報を取り出すことができる。

である。点集合データは空間データの解析に利用される。何ここで問題になるのが，どの程度膨らませるかである。(b)，らかの方法で得られた原子配置の情報を点集合とみなして解

No.31

3

特 集
析するというのが典型的な利用法である。画像は何次元のまずは研究の問題意識について解説しよう。ここで考える

データにも利用可能であるが，3 次元データ ( ボクセルデーのは「ガラス」や「アモルファス」と呼ばれる物質である。

タ ) などはさまざまな計測（MRI や CT など）で得られ，さガラスというと通常は窓にはめこんである透明な物質のこと

らにデータの大きさゆえに解析が大変なため PH による解析

だが，ここでいうガラスはもっと一般的な物を考えている。

が有効である。グラフ構造はウイルスの遺伝的進化の解析なアモルファスというのは実は定義が困難な物質であるのだが，どで利用されている。遺伝子間の類似性をグラフの辺にのせ結晶と対比的な構造を持つ物質というのが無難な定義だろう。

ることで PH による解析を行っている。

結晶は明確な繰り返し構造を持つ固体のことである。化学のPH の一つの利点はホモロジーという数学に基づいている

教科書に出てきた塩化ナトリウムの構造（正方形の頂点に塩ことで，これによりさまざまな性質を数学的に理論保証をす

素原子とナトリウム原子が交互に並んでいる構造）などが代ることが可能となる。特に重要なのが (1) PH の基本定理，

表的な構造である。一方，アモルファスは周期的な構造を持もしくは構造定理と呼ばれる定理*2と (2) PH の安定性定理と呼ばれる定理 *3 である。

たない，乱れた構造を持つ固体である。アモルファスの原子配置を見ると液体とよく似た構造をしている。実はアモル

一つ目の定理は原理的にはどんなデータからでも PD が計

ファスが固体かどうなのかも現在論争の的（あの窓ガラスも算できることと，そして同じデータからは同じ結果が得られ液体の仲間だ，という意見も強い）である，説明しづらい物

ることを数学的に保証してくれる。言いかえると，孔の発生質である。

と消滅の対応付けが一通りに決まるということである。これ

ここで調べたい問題は金属ガラスと呼ばれるガラスの原子は当然のことのようにも思われるが，解析手法に乱数を使う

配置の乱雑さの具合である。液体を冷却すると通常は結晶構

ような方法では保証できない性質である。例えばよく使われ造になる（そのほうが安定であるため）のだが，急速な冷却るデータ解析法の一つであるクラスタリングでは，同じ入力速度だと液体の乱雑な構造を残したまま固体となる。この乱

データでも出力が異なる事態がしばしば生じる。二つ目の定雑な構造がアモルファスの特徴であり，これを特徴付けたい

理は入力データに対するノイズの出力の PD への影響範囲をというのがこの研究の目標である。こういった特徴付けのた述べた定理で，PH 解析が得意とするノイズ，不得意とする

めには何らかの比較対象が必要であるので，ここでは冷却速ノイズの特徴などがこの定理からわかる。このような数学的度を変えたときの構造変化を捉えることを直接的な目標とす保証が可能なのは理論研究が先行してきた PH の利点であるる。冷却速度をゆっくりにしていくとアモルファスであってと言える。

もより結晶に近付く，つまり秩序性が高まると信じられてお1.4

り，この秩序性の具体的な内容を知りたいというのがここでPHの応用事例の問題である。

PH は既にさまざまな分野で応用されている。生命科学分

アモルファスのような乱雑な原子配置を計測することは現野ではウイルスの遺伝的進化の解析やタンパク質の立体構造

状では不可能なので，原子配置は数値計算（分子動力学シ

解析，材料科学ではガラスの原子配置や粉体の空間分布解析，

ミュレーションと呼ばれる）によって構築している。数値計

またセグメンテーション処理のような画像処理などへの応用

算内で冷却速度を変えるのはパラメータを変えるだけで容易も提案されている。

に実行できる。その原子配置を点集合データとみなし計算し

本稿では筆者の最新の仕事である，金属ガラスの原子配置

た PD に統計的手法を適用することで，冷却速度と相関の大構造の解析に関する研究成果を紹介する *4。この研究は PH

きい特徴的な形を抽出する。PD によって形の情報を定量化に統計的手法を組合せ，さらに逆解析と我々が呼んでいる手することで統計的な取扱いが可能となるのである。さらにこ法を活用することでデータの形に関する深い解析を実現しての特徴的な形を元データにマッピングする逆解析によって冷いる。筆者としても完成度の高いと感じる，お気に入りの結却速度と相関のある局所的な原子配置構造を抽出した（図 5，

果である。

論文 *4 より引用）。

4

No.31

特集

数学と産業 Ⅱ手法であるマッパーについても簡単に紹介したい。

マッパー *5 はデータからグラフを構築するための手法である。背景にある数学的理論はリーブグラフという図形のト
ポロジカルな情報を縮約したグラフである。リーブグラフをデータ解析に輸入するための課題は PH で述べた課題と似ていて，「離散的な点の集まりからつながりの情報を取り出す
図5

冷却速度と相関のある局所的な原子配列構造にはどうすればよいか」というものである。マッパーのアイ
デアはフィルター関数と呼ばれる関数を経由し，クラスタリ

左のほうが冷却速度が遅い場合により典型的に見られる構

ングアルゴリズムを利用することでこの問題を解決する。

造で，右のほうが冷却速度が速い場合により典型的に見られマッパーは主に探索的データ解析に用いられている。探索る構造である。両方とも 20 面体的な構造がいくつか連なっ的というのはデータの特徴が不明のときにさまざまな可視化た構造をしているが，右のほうが 20 面体的構造の個数が大などを行ってデータの特徴に関する仮説を探すものである。

きい。この傾向は統計的にも確かめられた。

適用例としては乳癌に関する遺伝情報の特徴付け *6 やサイ

この結果と「乱雑さ」の関係を直感的にしよう。左のよう

バー攻撃のログ解析 *7 などがある。図 6 は乳癌の論文 *6 かに 20 面体的構造が 3 個くっついた構造と右のように 6，7ら引用した図表で，細胞の遺伝子発現データからいくつかの個くっついた構造を考えると，その構造の多様性には大きなグループを抽出し，その間の類縁関係を取り出したものであ差がある。この多様性の差が「乱雑さ」の大小と関係があるる。この種のデータ解析でよく使われるクラスター分析法でと示唆される。冷却速度が遅いほうが乱雑さが小さいというは発見の難しいグループを見いだすことに成功している。

仮説にも整合している。実はこの局所的構造はよく知られた実験結果（ガラスの回折実験）とも整合性がある。この実験
はガラスの中間的秩序構造と関連があると考えられており，そういう意味でもこの PH による解析結果はガラスの原子レベルの構造の謎に迫る結果と言えるだろう。

1.5

ソフトウェア

ここで筆者が中心になって開発している PH によるデータ
解析ソフトウェア HomCloud（URL: https://homcloud.dev/）
について紹介 ( 宣伝 ) させてもらおう。PH によるデータ解析ソフトウェアは世界中で開発され，10 以上ある。それぞれ得意分野があるが，HomCloud は材料科学を中心とした応用にフォーカスして開発が進められている。HomCloud の機

図62

リーブグラフTDAの産業界への広がり

能の中でも逆解析（PD の点に対応する構造を元データに

ここまで解説したように，TDA は学術研究においては実マッピングする機能）は特に他のソフトウェアにない特徴的

際的なデータ解析にも活躍している。一方産業分野への適用な機能である。現在誰でも自由にダウンロードして利用可能については学術分野ほどは進んでいない。しかし産業方面へである。日本語の解説が多いのも利点と言える。

も TDA は進出しつつある。ここではいくつかの動向につい1.6て紹介したい。

マッパー

これまで PH について紹介してきたが，TDA の他の代表的

まずは Ayasdi*8 という企業について紹介する。Ayasdi は
企業向けの AI プラットフォーム，AI ソリューションを提供

No.31

5

特 集
する企業で，標準的な AI 技術に加えて TDA に注力している。

アと幅広い内容が紹介されており，この論文を起点に調べて

Ayasdi は元々アメリカのスタンフォード大学の数学者たち

いくとよい。

によって設立された企業で，現在は企業向け AI 技術に関す

謝辞る企業グループ SymphonyAI グループの一員である。Ayasdi

事例で紹介した金属ガラスの研究の素晴しい結果についてはの技術は金融データやヘルスケアのデータの解析に使われて3名の共著者のおかげである。またこの研究事例やおり，こういった方面に TDA の手法が活用されている。企

HomCloudの開発については以下の研究助成を受けている：

業向けにチューニングされた TDA のプラットフォームが彼

JSPS科研費 19H00834，20H05884，

らの事業の強みとなっている。

JSTさきがけJPMJPR1923，JST CREST JPMJCR15D3．

日本においては，TDA は特に材料科学方面で注目を集めており，研究成果も増えつつある。この組み合わせに関する

参考，引用文献*1 Edelsbrunner, H., Letscher, D., Zomorodian, A.: Topologicalpersistence and simplification. Discrete Comput Geom 28:511-

企業からの関心が高まりつつある。最近この TDA による材料科学研究開発のためのコミュニティを筆者，赤木，平岡の533 (2002).
*2 Zomorodian, A., Carlsson, G.: Computing persistent homology.

3 人を中心に設立した *9。このコミュニティは企業にも広く参加を呼びかけ，マテリアル TDA の発展と活用のための学

Discrete Comput Geom 33:249-274 (2005).
*3 Cohen-Steiner, D., Edelsbrunner, H., Harer, J.: Stability ofpersistence diagrams. Discrete Comput Geom 37:103-120

びの場，相互の情報共有の場とすることを企図している。まだスタートしたばかりのコミュニティであるが，既に企業や(2007).
*4 Hirata, A., Wada, T., Obayashi, I. et al.: Structural changes
during glass formation extracted by computational homology

大学から数十の会員が集まっている。このコミュニティはマテリアル TDA の普及の一つの拠点になると期待している。

❖

with machine learning. Commun Mater 1, 98 (2020).
*5 Singh, G., Mémoli, F., & Carlsson, G. E.: Topological methods
for the analysis of high dimensional data sets and 3d object

3

recognition. In Proceedigns of the Symposium on Point Based

おわりにGraphics 07 (2007).

本稿で紹介したとおり，TDA は既に数理的な理論の段階*6 Nicolau, M., Levine, A. J., Carlsson, G.: Topology based data
analysis identifies a subgroup of breast cancers with a uniquemutational profile and excellent survival. PNAS 108 (17) 7265-

から学術的な応用へと進んでおり，産業分野へも広がり始めている。読者の皆さんもこういった応用数学の新しい動向に興味を持ってくださると幸いである。

7270 (2011).
*7 Bihl, T. J., et. al.: Topological Data Analysis forEnhancingEmbedded Analyticsfor Enterprise Cyber Log
Analysisand Forensics. In Proceedings of the 53rd HawaiiInternational Conference on System Sciences 2020 (2020).

文献ガイド
ここでは TDA をより詳しく知りたい方のための文献紹介*9 https://www.wpi-aimr.tohoku.ac.jp/TDA/*10  平岡裕章 . タンパク質構造とトポロジー ―パーシステントホモロをする。
まずは日本語の文献について紹介する。PH については平岡氏の教科書 *10 がある。この教科書は主に数学理論の部分を丁寧に解説している。PH のソフトウェアに関しては筆者の書いた原稿 *11 がある。HomCloud の宣伝が主な内容だが，他のソフトウェアの紹介も載せてある。マッパーに関しては
TDA workshop のウェブサイト *12 からリンクされている E. G.
Emerson 氏による解説スライドが参考になる。
英語の文献は近年かなりの数が書かれている。N. Otter らによるサーベイ論文

6*8 https://www.ayasdi.com/

No.31

*13

は理論の基礎部分，応用，ソフトウェ  ジー群入門―. ( シリーズ・現象を解明する数学 ) 共立出版 (2013)*11  http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/    pdf/2166-23.pdf*12  https://sites.google.com/view/tda-tutorial/*13  Otter, N., Porter, M.A., Tillmann, U. et al.: A roadmap for thecomputation of persistent homology. EPJ Data Sci. 6, 17 (2017).
＜訂正のお知らせ＞
前号（No.30）の特集 p.2 左段 12 行目の「分離性の統計力学における〜」は「磁性の統計力学における〜」の誤りでした。お詫びして訂正いたします。

数学と産業 Ⅱ

特集

Ⅱ 可視化やコンピュータグラフィックスに現れる数学

九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所 教授

落合 啓之 / おちあい ひろゆき

埼玉県川越市生まれ，
東京大学理学部数学科卒業，同大学院理学系研究科修士課程修了。博士（数理科学）。
立教大学，東京工業大学，名古屋大学を経て，2009 年 11 月より，九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 教授。2014 年度 科学技術分野の文部科学大臣表彰科学技術賞（研究部門）を受賞。数学，
特に，代数解析学，表現論，特殊関数論を研究している。それと合わせて，CG，アクチュアリ，量子情報などの隣接分野でも活動している。

1

百聞不如一見CGし情報

百聞は一見に如かず。この古代中国のことわざが端的に表し

画像ているように，言葉を尽くして説明するよりも一つの絵を見せるCVことで伝わる情報がある。可視化とは，そういった特性に着目し
図1

生かし切ること，つまり，平たく言えば絵で表すことである。絵CG と CV

で表したい情報は，そもそも写真や絵であることもあれば，もっなお，ここでは CG と CV を相対する形で説明したが，「ポケと抽象的な，データ・概念・関係性のようなものであることもあ

モン GO」のように日常生活に CG が入り込んで来る場合には，り，多岐にわたる。したがって，可視化の方法も目的や対象にCV で把握した環境に CG で作ったキャラクターを違和感なく貼応じてさまざまであり，そのそれぞれに，蓄積されたノウハウとり付ける（統合する）というコラボレーションが必要となる。こ

深い技術が隠れている。この文章では，その中でも CG と数学を中心に関連事項を述べる。

れが AR（拡張現実）である。VR（仮想現実）は全部が CG で，b
MR（複合現実）はaVR と AR を混ぜて，というように，混ぜ具

1.1

合もさまざまな可能性があるので，これら全部を合わせて XR
s=0という名称も使われ始めている。
s=1

CG

CG（コンピュータグラフィックス）で作られた画像または映像を見たことのない人はいないであろう。入道雲の絵とか，猫の1.2

順問題と逆問題歩く様子とか。では，CG の定義とは何だろうか？ CG とはデCG と CV は対象は似ているものの，方向性が異なり，問題

ジタルの画像や動画の形式で情報を伝達する手段である。大意識にも差がある。CG は順問題，CV は逆問題といえよう。た胆に言えば，情報（つまり意味や意図）を入力とし，画像や動いてい逆問題は難しい（本号の山本氏の記事参照）。したがって，画を出力とするような写像が CG である。

CV では大量のデータを活用した統計的手法が主流である。一3D

2D

シーンデータレンダリング

画像

これと似て非なるものが画像認識（CV，コンピュータビジョン）

方，CG では，人が手作業でしてきた単純作業を機械に置き換である。本誌 30 号の河原氏の記事の 1 節に登場した例で言ええていく時代から，少ないデータや乏しいリソースや厳しい時間

ば，画像を見てそこに映っているのは猫だ，とか，書かれてい的制約の中で多彩な手段が用いられている。現在でも，
建物（剛る数字が 4 だ，とか。つまり，画像を入力とし，情報（意味）体）や雲（流体）や人や動物（生物）が一つの絵の中に入ってを出力とするものが CV である。この立場で見ると，CG と CV

いて，それらが異なった詳細度（LOD, level of detail）で作られはちょうど逆向きの写像の役割を果たしていることがわかる（図ているという状況はしばしばある。例えば，目の動きや顔の表1）。

情は難しく，細心に作り込んでも実写と CG の区別がついてしま

情報

CG

映像

人間

情報

No.31

7

情報

画像
CV

特 集
うことがある。ちなみに CG への最高の褒め言葉は「綺麗で感を思い出せばよい。この方法では，等間隔にブレンドしたものが動する CG でしたね」ではなく，「え？ どこに CG を使っていた得られる。これを線形補間という。

の？」である。建物や家具や食器は実物と CG を見分けることは難しいほどの出来栄えだが，煙や爆発のシーン，動物の毛や髪の毛，瞳，動くカーテンやスカート，湿った雪，蜂蜜など，現a在でも研究されている素材もまだまだ多い。これらの研究に離b

散微分幾何学，アフィン変換，結合代数，ポテンシャル論，再生核など数学を使ったアプローチも活発である。

s=0
図2

2

2.1

動画

線形補間

s=1

三角形の頂点は一直線上に等間隔に並んでいる。中程の三角

時間の離散化形はやや小さくなっている。

ビデオカメラで撮影したものでも CG で作ったものでも，動画たいていは線形補間で事足りるのであり，それが計算機を使っにはフレームレート（fps）という数値があり，それは 24 や 30，て実装されていることで映像制作のアーティストの単純作業が大きくても 120 である。例えば，映画でよく使われる 24fps は

大きく減った。もちろん，線形補間では済まない箇所や状況が1 秒の動画が 24 枚の画像で構成されていることを意味する。

あり，そこをどう作るのかがアーティストやエンジニアの腕の見つまり，ボールが連続的に飛んで行ったり，水が連続的に流れ

レンダリング
シーンデータ
画像
せ所である。例えば，投手が投球するシーンで腕を線形補間したりしても，データとしては 1/24 秒おきの静止画があり，これたら，途中で腕が短くなってしまい，不自然である。こういったをパラパラ漫画のように見せているのが動画である。発明以来

運動の補間をサポートする数学も開発利用されており，一例を100 年以上変わらない形式である。人間の目にはこの程度でも挙げれば，四元数に対する球面線形補間がある：

3D

2D

動いているように見えるのである。
枚数がそう多くはないとはいえ，1 枚 1 枚を独立に作っていくのは大変なので，コンピュータを使って作業を効率化しよう。で残念

腕や脚の関節などの動きのみならず，
回転などの運動はロボッ
CG
人間
情報
映像
情報

ながら現実はそのイメージとは程遠い。アニメ，
映画やコンピュー

ト工学とも共通の数学である。複素数平面では絶対値が 1 のタゲームの制作会社では，たくさんのエンジニアやアーティスト

複素数が回転を表している。3 次元でも同じ考えを拡張し，四がディスプレイに向かって映像制作の作業をしている。映像制

元数を用いて回転を表すことができる。また一般の次元では行

作には時間も人手もたくさんかかる。近年はアジア各国に進出列が使われる。ルービックキューブで実感するように 3 次元のし制作を行っている企業も増えてきていることが，テレビアニメ

回転は非可換，すなわち，操作の順序によって結果が異なる。

や映画のクレジットから見てとれる。

このような複雑さを持った対象を記述するために，リー群の理は CG はコンピュータが自動で作ってくれるのだろうか？

2.2

論が登場する。群はガロアが方程式の根の入れ替えを表すとき

中割り（キーフレーム法）

漫画のような時間間隔の開いた絵の途中の絵を補ってアニメーションにする作業を中割りという。図 2 のように，時刻 s ＝に発見した概念であるが，今や幾何や解析のみならず，理学・工学のあらゆるところに登場している。
また，関節の位置を決めて投げる動作のポーズができたとき，

0 では a，時刻 s ＝1 では b というデータが与えられているとそれに肉をつける技法を CG ではスキニングという。解剖学をしよう。これをキーフレームという。このとき，途中の時刻 s に使えばこの問題がすべて解決するかというとそうなっていないとおけるデータを作るには，内分点の公式

ころが CG の面白いところで，運動を記述する骨（リグ）が解
剖学と一致しているとは限らない，実際の動きよりも誇張した

8

No.31

CG

情報

画像
CV

数学と産業 Ⅱ

表現が好まれる（例えば，運動選手や戦闘シーンでの筋肉の動特集

三角関数は積分に関する直交性き），ピカチュウなどのように骨があるのかないのかわからない生物（?）も動かしたい，などの要請が制作現場から来るのである。スキニングの不具合の調整には，双対四元数や幾何代を持つ。このように物体の特性に合わせた特別によい関数たち

数など，より高度な数学が登場している。

を使うことで，多くの積分値が0 になり，積分の計算を回避する

2.3

撮影

ことが可能である。これはフーリエ変換の理論，より一般にはba

調和解析の成果を活用することができる。

以上のようにモデリングとアニメーションが済んで，計算機のs=0
s=1中に設定した仮想的な 3 次元空間に多種多様な物体の位置や一般には積分の厳密な計算は困難であるが，対称性がある
場合には和よりも積分のほうが簡単になることもある。例えば，材質などの情報が指定され，また，光源（の位置や種類）やカ
メラ（の視点，視線，画角）の情報も与えられたとしよう。この仮想物体を計算機内で撮影し，2 次元のデジタル画像を得るプ
ロセスをレンダリングという（図 3）。
3D
シーンデータ図3

2D
レンダリング画像

レンダリングを鑑賞してみよう。

2.4

技術が社会を変える

技術は，人間の行動様式を変え，社会を変えてしまう力を秘

1 枚の画像は，縦 1080，横 1920 の配列の各成分に RGB（赤めている。例えば，スマートフォン。今まで日常的には手紙を緑青）の 3 色の情報をそれぞれ 256 階調で表す数値情報で与書いたり作文したりをしてこなかった人たちが，短いメッセージえられる。光源から出た光が，物体に衝突して反射・屈折を繰

を 1 日に何通も作成し，文字でコミュニケーションを取るように

CG
人間
情報
映像
情報
り返してカメラまで到着したものすべてを足し上げたものが画なった。キーボードを覚えずとも，使いやすい UI（ユーザーイ像となる。高精度の画像をなるべく短い時間で得るために，物

ンターフェース，入力支援）によって，正確に書くのが難しい

体や光源の特性に合わせたさまざまな手法（いくつか名前だけ

漢字，例えば「推薦」といった漢字も普通に使えるようになった。

を挙げると，レイトレーシング，ラジオシティ，フォトンマップ）

CG による映像制作でも同じことが言える。補間にしても“ 速が提案され使われている。この足し上げを式で表したものがレ

い安いうまい ” ツールがあればあるほど作業が捗る。そしてそンダリング方程式である。

れは時間の短縮やコスト削減だけでなく，質の向上に直結する。
映画監督が，「カット！

主人公を追いかける煙をもっと多くして！」という指 示を出したとしよう。煙のシーンは，Navierこの式の右辺に出てくる積分をいかに効率的に計算するかがStokes 方程式（本誌 30 号の水藤氏の記事参照）という非線

一つのポイントとなる。考え方を 2 つだけ述べる。一つ目は区形の偏微分方程式を解くことで作られる。スタート時点での初分求積法のように積分を和で近似して足し上げる方法である。

期値を与えて煙の時間変化を追跡することは物理シミュレー

足し算の計算は容易ではあるが，項の数が多ければ計算コスト

ションで得られる。ところが，3 秒後，5 秒後の絵コンテ通りが上がる。一方で，ある程度たくさんの項を足し上げないともの煙を得るのは逆問題であり，初期値を微妙に調整することでとの連続の積分との近似がよくならない。このジレンマを解決

事後を合わせようとすると，NS 方程式が非線形であることもするためにモンテカルロ法を始めとする数値積分のさまざまな

起因して数学的にも実用上もそれぞれ難しい。ここで補間のア技法を活用し発展させて使っている。二つ目は，球面調和関数

イディアをうまく使うことで，NS 方程式の厳密解ではないもの

や球面ガウス関数といった特殊関数を用いる方法である。これの，与えられた制約条件を満たす煙を制作する手順が開発さは大雑把に言えば三角関数を発展させたものと言えるだろう。

れている *1。
「では監督，3 日後に仕上げます」では，どちらか

No.31

9

特 集
の映像を選ぶことしかできないが，「15 分で作り直します」なてはずっと多い石や不純物を取り除くことで，目的とするネオジ

らば，その映像を見てさらに注文をつけることができる。
「数

ウムを取り出すような工程である。もとの鉱石の塊を見ただけで秒でできる」のであれば，映像を見ながら，「ここ，もうちょっは想像もつかないようなものを取り出せるのである。ホモロジーと荒々しく」のような対話的な（interactive）微修正さえ可能

群の階数はベッチ数と呼ばれ，図形を表す基本的な量として重である。この例でわかるように，CG の制作では，指示を出す要である。そんな大切な量なので，現実のデータの解析に応用

人と作業する人が違うということがしばしば起こる。また，したいというニーズは高かったのだが，ホモロジー群はデータ過指示が脳内の漠然としたイメージにとどまっていて，うまく敏であり，ノイズに弱く適用が難しかった。この問題点を解決し定量化・言語化されておらず，他人に伝達したりそのまま計たのがパーシステントホモロジーである。例えば，ガラスの原子算機に入力することが難しかったりするものへの対応も可能の配置から，パーシステント図（あるいはバーコード）と呼ばれになる。このように，ツールの開発が制作の形態や最終製品る図を得ることができる。今まではデータを読み取るプロの職の品質にまで影響を与えるのである。

人技が必要であったものが，パーシステント図を見れば，誰にで2.5もガラスとそれ以外を区別できるようになった。これを位相的作業工程の管理

データ解析（本号の大林氏の記事参照）という。議論の途中に今までモデリング・アニメーション・レンダリングの説明をし非可換多元環の加群の直既約分解という代数学が控えている。

てきたが，それ以外にも実に多様なプロセスを分担することで温度を変化させることでガラスがどう変わるかを記述するには，

CG は作られる。したがって，映画の制作などでは，作業工程ス用いている代数学の最新の定理を拡張発展させる必要がある

ケジュール，データの共有，あるいは，修正やフィードバックなことがわかっていて，多方面から研究されている。

どを統合的に立案管理することも必要となる。これは，パイプラ
インと呼ばれ，実際に，プロダクションと合同での CG の研究会

3.2

科学的可視化と演出

で，パイプラインに関する研究発表もある。CG の要素技術から科学的可視化（scientific visualization）とは，科学的なデー

見ると一つ上の階層に属する研究であり，圏論や数理論理学・

タを視覚的に記述することである。例えば，NASA が “ 撮影 ”

プログラミング論などに通じる高度な数学が背後に控えている。

したブラックホールの写真 *2 は観測で得られたデータを元に作られた映像である。科学的という形容詞が付いているので，

3

3.1

可視化の諸相断捨離

情報処理とは捨てる技術である。例えば，偏差値は，現象をありのままに再現しているだけと考えがちであるがそうではない。ブラックホールの例を続ければ，データのスペクト
ルが可視光の範囲にないので，そのままでは本来は見えない。
得られた数値を何らかの合理的な変換で見える色に変えているのである。そこには任意性あるいは恣意性がある。色使いを変更すれば見たときの印象は大きく変わり，伝わるメッセージという式で与えられる。試験も多様だし，答案もたくさんあるのも大きく変わる。また，土星のような形状であることを表すとに，それらをたった2つの数値「平均と標準偏差」で表すというきに，輪の影が本体にできると立体感がありリアリティが増す

大胆さがそこにある。上手に捨てるということは，本当に要るもが，太陽のように外から照らす光がなければ本来は影ができるのだけを残すということを意味する。捨てると言えば，大学3年ことはない。しかし，影をつけることで読み取れる情報を増や生で学習する位相幾何学の基本概念としてホモロジー群というしている。立体感といえば，どちらから見た映像を作るかといものがある。閉じた鎖と呼ばれるたくさんの幾何学的な組み合

う視線方向の選択も重要である。例えば，立方体を図示する

わせのうち，完全な鎖と呼ばれるたくさんの組み合わせを捨てとき，真横から見ると単なる正方形になり立体感に乏しい映像

去った残りがホモロジー群である。例えると，レアメタルを含有になる。普通は斜め方向から見た絵を描くことで人間には立体する鉱石を，砕いて薬液をかけ，温度や圧力を変えて，体積とし的に見える。これらの特徴抽出にはモース理論や実特異点論

10

No.31

b

a
s=0

s=1
数学と産業 Ⅱ

特集

が深く関わっている。最近では，我々の住む 3 次元よりも次元しないかとは無関係に成立する自然現象である。一方で，自動の高いデータを可視化するニーズも高く，高次元の特異点分類

車のデザイン，例えば，座席やハンドルの大きさ，運転可能なも可視化に寄与している。

速度などは我々が人間であることに大きく依存している。これ

3.3

デザインとSTEAM教育

は，どちらが良い悪いという優劣ではなく，特性である。
3D
2D

2015 年， 当 時 MIT メディア ラ ボ の 伊 藤 穰 一 は，Art，

CG も我々人間がどのように認識し，理解し，感動するか，
レンダリング
シーンデータ画像ということに強く依存している。これはつまり，人間とは何な

Design，Science，Technology（芸術，デザイン，科学，技術）のかを理解することに直結している。避けられない。冒頭にの頭文字 A，D，S，T を東南西北に置き，「隣は近い，向かい

書いたことの繰り返しになるが，CG は目的ではなく，手段では遠い。でも，これからは，4 つの分野を結びつけることが必ある。作った絵を人間が見て意味を理解するプロセスまでが要である。そのために科学とデザインを結びつけていく」と述目的なのである（図 4）。

*3

べた 。この括りでは数学は科学に属するとみなすと，芸術に情報

近く，デザインから遠いという感覚は納得のいくものである。数

CG

映像

人間

情報

学はあまりにも美しく，デザイン性や機能性の優先順位は高い

図4とは言えなかった。3.2 に述べた演出も，数学からは審美性に振り返ってみると，リーマンがリーマン面上の調和関数の存基づく芸術的直観的なものと考えがちであるが，デザインや設在問題を提起し，それがディリクレ境界値問題に昇華した。こ計に基づく論理的な面が大きい。一方，テクノロジーはデザインの問題は，関数のなす無限次元の空間に内積と長さを入れたに近い。CG はこの ADST の 4 者のいずれにも深く関与している。

ヒルベルト空間という概念を構想し，直交射影（正射影）を無

本誌の読者はこれらの頭文字から STEAM 教育 *4 がピンとき

限次元空間に拡張することで解決された。微分方程式の解とたのではないだろうか。STA の 3 つが上と共通であり，それにいう関数を見つけるために，関数を要素とする空間を用意し，Engineering, Mathematics（工学と数学）が加わっている。音そこに内積を導入して角度の概念を拡張することで，幾何的な楽と数学の関係は中島さち子氏，あるいは本誌 30 号の有賀直観を使うことが可能になり，問題を見通しよく言い換えるこ氏の記事でも触れられているように歴史的にも深く，これは Aとができたのである。このように，可視化は人間の理解を高めと M の関係の一つと考えられる。設計やデザイン的な部分は深めることを助けることができる。

絵を人間が見て意味を理解するプロセス

E に相当すると考えられる。ただし，エンジニアリングとデザインという二つの語感を対比すると，指し示す範囲も方向性も異なる印象である。
教育の話に戻ろう。CG に限らないが，数学を専門としない
けれど数学を必要とする分野で必要な資質は，微分積分学やこの文章に興味を持っていただけたら，日本数学会の市民講
演会での講演のビデオ *5 やスライド *6 も参考になる。 専門的な内容に興味があるときは，[*1] が日本語での本格的な解説である。

❖

線形代数のようなレガシーな学問を，現実のさまざまな問題に対して実践的に対応していく能力である。例えて言えば，電気自動車のような高級な機械を扱うとしても，ラジオや自転車を分解して組み立てられるような力があるかどうかが，結局は生きる。微分やベクトルは無双であり，それらで理解し説明できることはどこまでも限りがない。

3.4

参考・引用文献*1 安生健一，落合啓之「コンピュータグラフィックスの数学」雑誌『数学』2021 年 7 月号掲載予定。
*2 https://www.nasa.gov/feature/goddard/2019/nasa-visualizationshows-a-black-hole-s-warped-world*3 https://wired.jp/2016/03/28/mit-media-labs-journal-designscience-radical-new-kind-publication/*4 本誌 26 号，27 号の特集

我々が人間であることに根ざした学問

水が摂氏 100 度で沸騰するとか鉄が磁石にくっつくとか 57が素数ではないという事実は，人類がこの世の中に存在するか*5 日本数学会市民講演会ビデオアーカイブ
https://mathsoc.jp/videos/2018autumn/0923ochiai.html*6 数学通信 23 巻 4 号
http://mathsoc.jp/publication/tushin/index23-4.html

No.31

11

特 集

Ⅲ 社会連携における逆問題の数学

東京大学大学院数理科学研究科 教授

山本 昌宏 / やまもと まさひろ
1983 年東京大学大学院理学系研究科数学専攻修士課程修了，理学博士（東京大学）。同大学院数理科学研究科教授，1992-1993 年ミュンヘン工科大学フンボルト・フェロー，メッス大学，エクス・マルセイユ大学，ストラスブール大学，ミラノ大学，パルマ大学，ローマ大学，ローマ大学 II 客員
教授，ロシア諸民族友好大学上級研究員，東南大学，東華理工大学名誉教授。ルーマニア科学者ア
カデミー名誉会員。メッシーナ学士院（イタリア）外国人会員。

1である。この法則は，質点に関する条件がわかっているとし逆問題の根本発想て，その結果として生じる力を表しているもので，問題 (1)

単純な 2 つの問いから始めよう。次の？を求めよ。

に近い。次に (3) を違う視点から眺めると逆問題がただちに90 × 2 ＝ ?

(1)

現れる。

200 × ? ＝ 1,000(2)● 質量 M を求める＝「地球の重さを測る！」

現実と関係づけて解釈すると，最初の問いは，1 個 90 円の玉ねぎを 2 つ買ったらいくら支払わなくてはならないか？
2 番目の問題では，手持ちが 1,000 円であり，1 パック
200 円の鳥肉パックをできるだけ多く買いたいがいくつ買えるか？ という状況と関連づけられる。最初の問題は，今の

M=

Fr 2
Gm

(4)

● 万有引力定数 G を求める＝「物理定数を決定する」
G=

Fr 2
Mm

(5)

状況（単価，いくつ買うか）がわかっていて結果（レジでの問題 (4) は，重力計の逆問題といわれるもので現在でも地計算結果）を求める問題であり，二番目の問題は，結果また質探査の重要な技術の基礎である。この考え方は，既にニューは目的が規定されていて，そうなるためにはどうすればよい

トンが主著『プリンキピア』で示唆したものであるが，平均かを決める問題である。

値からかけ離れた密度をもつ質量が分布している場合に，そこれらは，取るに足らない単純な問題であるが，逆問題とれが引力に及ぼす影響を正確に計測して，その平均値からのそれと対比される順問題の発想を代表している。順問題は，ずれを求めるというというものである。山頂では引力すなわ「どうなるか？」（いくら支払いをしなくてはならないか）を

ち重力は，高い山の分だけ我々の足の下の質量 M が大きい問う問題である。一方，逆問題は，望ましい結果が規定されので，平地に比べて重力 F がわずかに大きいであろう。そている場合に「どうすればよいか」に関わる問題といえる。

のような重力のずれは山の上で静止している振り子に影響を数学的にはかけ算とその逆の作用であるわり算で解決できる。

与え，ふつうなら地球の中心に向かって真っすぐに（鉛直方

さて，万有引力の法則を考えてみよう。M，m を r だけ

向という）垂れるはずの振り子が鉛直方向からわずかにずれ

離れた 2 つの質点の質量とし，F を 2 つの質点の間に働くるので，そのずれから山の質量を求めることができるのでは万有引力の大きさ，万有引力定数と呼ばれる比例定数を Gないか，という考えである。この考えに基づきピエール・ブーとするとゲーによる 1738 年のペルーのアンデス山脈での実測などの

F=

12

GMm
r2

No.31

(3)

試みがなされた。そのながれで，1774 年にネヴィル・マス
ケリン（Maskelyne) らはスコットランドにあるシェハリオ

特集

数学と産業 Ⅱ
ン山（Mt. Schiehallion）で振り子のずれを計測し山の質量，
すなわち密度を計算した *1。現在では，正確に測定するため

2逆問題の微分方程式による定式化には，振り子のずれではなく，重力計を飛行機に積んで重力

第 1 節では，法則などが (3) のように 1 つの式で記述されるの平均値からのずれを上空から高精度で観測して，地下の資場合に対して逆問題を考えてみた。しかしながら，多くの現象

源探査などに利用されている。

は，(3) のように条件となる量を代入すれば求めたいものが計

問題 (5) はイギリスの物理学者であるキャヴェンディッ
シュが取り組んだ問題である。
また，質点の自由落下で，時間が t だけ経過したときに落1
下した距離 h は h =gt 2 であることを高校などで習うが，
2
これは時間 t と重力加速度 g がわかったときに h を求める

算できるような，完結した方程式で表されないことがふつうである。
さまざまな現象を支配する法則は，通常は微分方程式と呼ばれるもので記述される。微分方程式の単純な例としてはマルサスの人口モデルがある：

順問題と考えることができる。それでは，g をそもそもどう
やって決めたのか，ということであるが，実験から決めよう
2hとすれば，これもやはり，これまでの発想と同じく，g = 2tと変形して，時間 t だけ経過したときの落下距離 h から求めるということになる。
順問題では，原因がわかっているとして結果がどうなるか

u' ( t ) ＝ au ( t ) t ＞0(6)

ここで，u' ( t ) は t に関する u の導関数である。
さて u ( t ) は時刻 t における人口で，定数 a は人口の増加率である。(6) は人口増加の割合が人口に比例するという前提で立てられた 1 つのモデルである。

に主な関心がある。逆問題においては，結果がわかっている

これは求めたい関数 u ( t ) が満たすべき方程式で微分方としてそのための条件や原因を求める，という方向性がある：

程式と呼ばれる。順問題は，最初の人口 u ( 0) と増加率 a が順問題＝どうなるか？ の予測

わかっているとして，u ( t ) を求めるものである。逆問題は逆問題＝なぜか？ という原因を知る，または，望ましい

人口のデータ，例えば現在の人口から，直接知ることがで状態になるように（制御）量やプロセスを決める

きない増加率や最初の人口を求めるものである。人口の正万有引力の法則に関連した逆問題 (4)，(5) を思い出して確な予測にもそのような逆問題は重要である。第 1 節と異もわかるように，逆問題を考えるためには，順問題を正しくなり u ( t ) は直接求まっていないが，指数関数を使って書き考察しなくてはならず，逆も真である。さらに，早いうちか表すことができるので，考えを進めやすい。

ら小中高生も，順問題的な発想だけではなく逆問題的に物事以上の考え方は，現象を解析する際に，モデル方程式に基をとらえる習慣をつけ，慣れておくと，多様なものの見方をづく通常の考え方である。次に，社会連携に現れる逆問題の身につけられると思う。高校のカリキュラムで理解できる逆例を説明しよう。それらは，微分方程式でモデル化されるが，問題の例は参考文献 [*1] でも紹介されている。

便利な解の表示式を求めにくいものである。

数学の研究でも，「逆に考える」ことは大いに役に立つ。
一例であるが，19 世紀における数学の重要な課題であった
楕円積分の研究において，有名なフランスの数学者のルジャ

3

製鋼工程における取鍋の熱画像による欠陥検出

ンドルが長年にわたり苦闘していたが，ノルウェーの偉大な

製鉄プロセスはいくつかの過程から成り立っている。高炉

数学者であるアーベルが逆関数の観点から考えて鮮やかに解（溶鉱炉）で得られたもろい鉄（銑鉄と呼ばれる）から炭素決に導いた例もある。これは，「ルジャンドルは，前進したを除去し鍛えて強くした「鋼」とし，それを特定の大きさにかったのであるが，馬車の前に馬ではなく，馬の前に馬車を固める（連続鋳造）までの製鋼工程を考える。そこでは，高おいて前進しようとして失敗した」ともいわれる。しかも，圧の酸素を吹き込むことによって銑鉄から炭素を除去する転(4) や (5) からわかるように，1 つの順問題に対応する逆問炉といわれる装置から，高温の溶けた鋼を取り出して，次の題は 1 つとは限らず，たくさん出てくるという多様性もある。

連続鋳造のプロセスへ運搬することが必要となる。その入れ

はがね

No.31

13

特 集
とり べ

物は「溶鋼鍋」または「取鍋」と呼ばれる。

図 1 の左下はサーモグラフィーによる取鍋側面の表面の温度

転炉から連続鋳造機までは溶けた鋼で満たされ，帰りは空分布を示しており，内壁の溶損部の真横の点 u c における温度の状態となり，このような往復を繰り返す。したがって，比は溶損がない部位に対応する u a より温度が高くなっている。

較的短い時間間隔で溶けた鋼で満たされた状態と空の状態を

第 1 節の説明と対応させると，耐火煉瓦の厚みがわかっ

繰り返すことになり，内壁への熱的なダメージが大きいと想ているとして表面の温度を求めるのが順問題であり，我々の定される。取鍋は，外側が鉄，そのすぐ内側が耐火煉瓦と呼課題は，その逆問題ということになる。煉瓦の中の熱の流ればれる特殊な煉瓦で保護されている。

は詳しくは述べないが，熱伝導方程式と呼ばれる微分方程式

運搬そのものは工場の建屋の中に限定されるものの，取鍋によってモデル化できる。それは，温度が時間と場所の座標の上側面にあるフックで建屋の天井に吊して移動させるので，に依存する関数であって，その関数が満たすべき微分方程式

空の状態と溶けた鋼で満杯の状態の繰り返しによって熱的なである。図 1 の左側の中程の図で言うと溶損部から真横（深ダメージにさらされた鍋が，万が一にでも破損すると高温のさ方向）だけに熱が伝わって場所 u c や u a に到達するので内容物が降り注ぎ，たいへん危険である。

はなく，縦方向なども含めて 3 次元的に拡がるので，d など

そこで，常時，取鍋の内壁の状態を確認する必要がある。
上記のような操業過程からそのようなモニタリングを直接での溶損部のサイズで，場所によって異なる表面温度を簡単に求める式はなく，数学解析の取り扱いが一層必要になる。

きるのは，取鍋が転炉に空の状態で戻るときである。溶けた

さらに問題となるのは，熱伝導現象には強い平滑化の作用

鋼を連続鋳造機に入れた後なので空の状態であるとはいえ，があるということである。微分方程式の理論で厳密に証明さ内壁は依然として高温であり白熱しており，人間の眼で内壁れている性質であるが，直観的には次のように理解できる：の状態の確認をすることは強い輻射熱などの影響もあって困

鉄板焼きのプレートを我々が囲んで焼肉を楽しんでいるとし難かつ安全でない。

よう。鉄板のどこかに熱源があり，鉄板全体に均等に熱を加えているわけではないが，鉄板は均等に熱せられ，肉は平等にうまく焼けている。さて，溶損部には溶けた鋼が入りこんでいるので，余分な熱源と考えることができ，特定の場所に限定されている。そのような熱源の影響は少し離れた場所では，鉄板焼きのプレートのように，平均化されて検知されてしまう。これが熱伝導方程式の平滑化の作用である。
平滑化はフィルタリングともいえるが，我々の逆問題では，
そのようにフィルターがかかって，ぼやけたデータから，もとの対象の特徴，例えば，溶損部（＝熱源）の形状や場所，

図1

サーモグラフィーによる取鍋のモニタリング

特に角のようなエッジを抽出しなくてはいけない。溶損深さ
d がちょっと違ったくらいでは，表面の温度に大した影響を

人間の眼のかわりに，サーモグラフィーを使って鍋の側面

与えそうもないことが想像できる。これが逆問題を解く際のの温度を測る。これは熱画像ともいわれ，空港の検疫などで「不安定性」と言われるもので，信頼性のある逆問題の解をも，通過する乗客の体温測定に使われている。例えば，図 1得るために克服しなくてはいけない難関であり，数学上の課の左上にあるように，内壁に欠損（赤い点線で囲まれた部分 )題であるとともに研究の醍醐味ともいえる。

があるとすると，そこは，煉瓦の厚さが薄くなっているので，そのような特質を解析し，困難に対処する方法論は逆問題

そこに対応する取鍋表面の温度は回りと比べて高くなっていの数学理論として蓄積されているので，それを適材適所に活るなど，異なる振る舞いをしていると想定できる。また，表用して，取鍋溶損の推定手法を確立し，操業の安全と効率化

面の温度も溶損の深さ d などによって変わると予測できる。

につなげることができたのである。

14

No.31

数学と産業 Ⅱ

特集

実は，不安定性とは別に，結果（表面温度分布の異常）か

は移流拡散方程式と呼ばれるが，数学上は同一である。地表ら原因（溶損部の状況）が一通りに決まるとは限らない難し

面でセシウムが流入するのか流出するのかなどといったいわさもある。これは逆問題の「非一意性」と呼ばれる。例えば，

ゆる境界条件をどのようにモデル化するのかも重要である。

深さが d の溶損が 1 つの場合と，やや浅い溶損が複数個あ

さらに移流拡散方程式には，拡散の度合いを表す係数や雨水る場合でも表面温度が区別できないほどの違いしかなくなるが地中に浸透することによって起こる地中の流れなどの物理可能性はある。異なる原因でも同じ結果をもたらすことはよ

的に重要な係数が含まれている。

くあり，大雑把な例えであるが，体温だけで病気の診断ができないことと似ている。

これらの係数，境界条件，さらに初めはどういうセシウムの分布であったかという初期条件などが決まれば，移流拡散方程式を解いて，与えられた時間と深さでのセシウム濃度を4セシウムによる土壌汚染

2011 年の福島原発の事故でセシウム 137（放射性同位元素）などが大気中に放出された。

計算できる。これは，原因や係数が規定されたとして，解を時間の経過とともに求めるという順問題である。
しかし，実際は，方程式の係数などはよくわからない。地面の状態を記述する境界条件も，畑，牧草地，森林などの状況で大きく異なり，予め規定することは困難である。順問題をよりよく解くためにも，観測データから境界条件などを決めるという逆問題のプロセスが必要になる。実際には観測データを使って係数や境界条件を決める逆問題を解くことと並行して順問題も解いていくプロセスとなる。
細部を省略するかわりに，羽田野祐子・筑波大学教授との共同研究における逆問題による濃度予測値と実測値の比較を1 つ紹介する。羽田野氏は，地表面からのセシウムの流入・流出を仮定していない境界条件であった従来型の地中拡散モデル方程式を改良し，境界条件を一般化した。

図2

環境中への汚染物質の拡散逆問題としては，境界条件も観測データから適切に決定す

図 2 のように，放出されたセシウム 137 の一部は地表面る必要が新たに生じた。従来型のモデル，羽田野モデルによや地中の浅い場所に沈着し，空間の放射線量に大きな影響をる数値結果と実測値の比較のために図 3 をあげる。これは，与え続けていると想定される。空間の線量は健康に大きな影響を与える。土地の除染のためにも深さ 20 cm 程度までの地中の浅い場所に沈着したセシウム濃度が深さ方向にどのように分布しているかを推定することが重要である。浅い場所とはいえ，実際の観測は，少しずつ掘ってサンプル用の土壌のセシウム濃度を深さごとに計測するのでたいへんな手間がかかるし，広い範囲で濃度推定が必要なので実地の計測だけに頼るわけにはいかない。
そこで，セシウムの地中への浸透のモデルを立てて考えることが 1 つの手となる。ある粒子（ここではセシウム）が媒質（ここでは土壌）に拡がっていく現象は，第 3 節で述
べた熱伝導方程式と同類の方程式で記述される。現象面から

図3

事故から約 530 日後におけるセシウム 137 の土中濃度（縦軸）と深さ（横軸）の関係（斎藤公明（JAEA）ら，筑波大学・
羽田野研究室・岡宏樹の協力による）

No.31

15

特 集

数学と産業 Ⅱ

特集

福島県西白河郡西郷村のある水田の一地点における深さとセなどと敬遠されることがあるが，社会連携などに力を発揮す

シウム 137 の濃度のグラフであり，福島原発事故後，約る数学の特質に触れて記事を閉じたいと思う。数学における530 日後の観測値と予測値である。横軸は重量深度（単位は

真理は定理という形で表現されるが，これは万国共通で，ひg/cm2）であるが，大雑把に地表面からの深さと考えてよい。

とたび証明されれば，時代が変っても変更されることはない。

縦軸はセシウム 137 の適切に規格化された濃度を表してい後付けの規則もなく，仮定さえ満たされれば，常に結論が成る。DATA と表示された点は深さを決めて地面を掘ってそのり立つ。
「正しく」考える能力があれば，経験の多寡に左右都度，計測した濃度の実測値であり，新 ADE とある太い曲される部分が少ない。したがって，数学は例えば権威のよう線は羽田野モデル，旧 ADE とある細い曲線は従来型のモデなものと無縁であり，実はたいへん自由な学問である。また，

ル式による計算結果である。以下のことがわかる：この場所

数学的手法には一般性があり，数学モデルは全く異なる現象

では，地表面からの流出がかなりあったようである。地表面でも同一であることがしばしばある。このことは第 3，4 節

での流出を無視した旧来モデルでは計算結果が点で示されてで見たように，見かけ上別種の現象でも数学モデル式は同一いる実測値を地面の浅い場所で大きく上回っているが，我々であることが多く，数学で一気にまとめて解決できる。

のモデルでは，実際には流出分だけ低くなったセシウム濃度をよく反映している。

5

数学の真理は基本的には永遠不変のものであるので，人類の知的活動の結果として蓄積され続ける。例えば三平方の定理は古代ギリシャ時代から常に正しかったしこれからもそう

異分野連携のコアとしての数学－数学研究である。現代に生きる我々は，過去の成果を最新の研究にもの現場から使える。自分が何らかの定理を初めて証明した場合，ごくさ「宇宙は数学という言語で書かれている」というガリレ

さやかな成果かもしれないが，それは永遠の真理を増やした

オ・ガリレイの言葉がある。さまざまな現象を解明し，対策ことになるので，正しいかどうかについての責任は重大であを秩序立って考え，考察していくための必須言語は数学である。しかも，その上に次の成果が積み重なっていくので，なるということである。さまざまな現象からの課題の解決としおさらである。数学の真理やその有効性は，時の流れや大多ては，前の節で説明した製鋼工程の安全性・効率性を目指す

数の意見や論争などによることなく，基本的には自分の頭でことや，原発事故後のセシウム 137 による汚染の予測や例考えて自分の責任で創造して立証していくものである。

えば感染症の拡大のより正確な予測とそれに基づいた有効な社会連携でも威力を発揮し，しかも自由で世界のどこでも対策の創出が含まれる。第 4 節のセシウムによる環境汚染

通用する国際的な研究も許容する数学には一定の思考様式との長期予測の問題は日々の健康や，人々のふるさとがいつ安言語があるので，その習熟のためには，小学校以来，訓練が全になるのかなどに直結した課題である。このように，課題必要である。そのためのカリキュラムを構築することは，言によっては，多くの人々の強い願いと結びつき，当事者にとっうまでもなくたいへん難しい。しかしながら，そのような数て身を切るような切実なものがある。

学の修行の先に何があり得るのか，について 1 つのありよ

一方で，我々は数学研究者であり，数学を使って社会のいうを生徒の方々に示すことは，現役の数学研究者の重要な責

ろいろな課題の解決に寄与することが期待されている。そこ

務であると信じている。ささやかなこの記事によって，数学

で，日常のちょっとした便利さを目指すような課題から悲惨が一見数学と関係なさそうな課題解決にも威力を発揮するだな状況の打開につながるような課題まで，客観的に定量的に，

けでなく，数学自身も異分野の課題解決や社会連携を通じてできるだけ厳密に立ち向かうことが責務となる。

一層発展していくことを少しでも感じ取っていただければ幸

「真実と公正さに関わることであれば，大きな問題であろ
うと小さな問題であろうと，違いはない」というアインシュ
タインの言葉があるが，そのよりどころの 1 つが数学である。
最後に，数学は，ともすれば無味乾燥とかとっつきにくい

16

No.31

いである。

❖

参考文献
*1 C.W. グロエッチュ，『はじめての逆問題

具体例で学ぶ逆からの思考法』，サイエンス社，2002 年（大西和榮，田沼一実，山本昌宏訳）

連載

１枚の図から地球を考える ～地球はどんなところか～

第5回 火山分布図から見えること

開成中学校・高等学校

有山 智雄

教諭

ありやま ともお/1960年生まれ。開成高等学校時代に地学の授業でプレートテクトニクスや地震予知に興味を持つ。東京大学理学部地質学科卒業，同修士課程修了。修士での研究テーマは活断層の活動性の評価。1985年より東京学芸大学附属高等学校で，1989年より開成中学校・高等学校で地学を教える。高校地学の教科書の執筆にも携わる。趣味はトレッキングとロードバ
イク。常々伝えたいと思っていることは「地球に住むなら地球のことを知っていたほうがいい」

能性のある火山のことで，火山噴火予知連絡会によると ｢概ね火山大国日本

過去 1 万年以内に噴火した火山及び現在活発な噴気活動のあ

連載の第１回が 「地震大国日本」 という書き出しで始まり，る火山｣ と定義されています。

第 4 回まで地震の話が続きました。 今回は，日本は地震大国

Ｑであるだけでなく，火山大国だという話です。

地球全体ではおよそいくつの活火山があるで

図１は日本の火山分布図です。非常に多くの火山があること

しょうか？

がわかります。富士山や箱根山，阿蘇山など日本の有名な山の① 1,500

多くは火山であり，日本には 111 の活火山があります。

駒ヶ岳

十勝岳

わかると思います。

ちょうかい

鳥海山

あ づま

な す

那須岳

だいせん

あさ ま

大山

浅間山
富士山

あ そ

阿蘇山

はこ ね

箱根山

うんぜん

雲仙岳

い おう

硫黄島
す わ

の せ

太平洋プレート

おんたけ

御嶽山

桜島

に限られており，日本はいかに多くの火山が集中しているかが

と かち

吾妻山

さくらじま

三原山
お

三宅島（雄山）
フィリピン海プレート

諏訪之瀬島

図１

ですから，面積に比例すると考えれば約 200 万個の火山があ

２は世界の火山の分布です。 地球上で火山がある場所は本当

こま が海溝・トラフ

25,000る計算になりますが，実際には約 1,500 個しかありません。図

有珠山・昭和新山

火山前線④

日本の面積が 38 万 km ，地球全体の面積が 5.1 億 km2

う すその他の主な火山③ 12,0002

ちなみに活火山とは現在活動中，あるいは今後も活動する可1900年代以降に噴火したことのある火山② 5,000

日本の火山分布 『地学基礎参考文献
・出雲弥生の森博物館「伝説の教科書を作った郷土の偉人『塩野直道物      語』」2017 年．

図2

改訂版』
（啓林館）より引用

世界の火山分布 『地学基礎改訂版』（啓林館）より引用。

・金沢大学資料館「塩野直道と『緑表紙』」2019 年．

なお，海嶺での火山活動は火山として記入していない。

No.31

17

連載

１枚の図から地球を考える ～地球はどんなところか～になります。沈み込んだプレートのようすは深発地震面から推日本に火山が多い理由

定できることは連載の第４回でも触れました。火山前線と海図２を見ると火山は環太平洋地域に多くあり，これは地震

溝の距離は 100 km ～ 300 km と場所によって違いがありまの分布と似ています。連載第 1 回で地震がプレート境界で発すが， 世界 各地の火 山 前 線 の多くは， 深 発 地 震 面の 深 さ生しているという話をしましたが，火山の分布もプレートと関100 km の等深 線とほぼ一 致しているのです。この事 実は，連させて説明することができるかもしれません。図２の火山の海溝から沈み込んだ海のプレートが深さ 100 km くらいまで沈分布と図３のプレートの分布図を比べてみましょう。

み込んだ所で，岩石が融け，マグマが発生していると考えればうまく説明できそうです。図４は，プレートの沈み込みに伴う
拡大する境界

ユーラシアプレート

北 アメリカプレ ート

収束する境界（三角のほうに沈み込む）
すれ違う境界

PH

アフリカ
プレート

太平洋プレート
南 アメリカプレート

火山前線

ふ めい りょうPH：フィリピン海プレート

改訂版』（啓林館）より引用

陸のプレート

プレートの分布 『地学基礎に離れた図４（ａ）付近で岩石が融けてマグマが発生しています。

不明瞭なプレート境界
アフリカ大陸を不動としたときの各プレートの運動の向き

南極プレートマグマの発生のようすを示したもので，海溝から陸側へ明らか

付加体

海溝

海洋地殻

大陸地殻
モホ面

海のプレートナスカ
プレート

インド・オー
ストラリア
プレート

図3

ユーラシア
プレート

沈み込むプレート(a)Ｑ

海洋地殻からの
H2O の供給

火山の分布はどの種類のプレート境界の分布に最も一致しているか？
火山の分布は，図３の収束する境界（青い線）とほぼ一致しています。よく見ると完全には一致していませんが，収束する境界（沈み込み境界）には必ず火山があるということは言えそうです。日本はプレートの沈み込み境界に位置しているため，火山が多いと言えそうです。

島弧でのマグマの発生

図4

島孤でのマグマの発生 『地学基礎改訂版』（啓林館）より引用（一部改変）Ｑ

そこで岩石が融け始めるのは温度が高くなるからか？
温度が高くなれば岩石が融けるのは間違いありません。そして地下深くなるほど温度は高くなっているので，「温度が高それでは，日本の火山の分布をもう少し詳しく見てみましょくなったから融け始めた」と説明するのは悪くないようにも思う。図１を見ると日本の火山は決して一様に分布しているわけ

えます。しかし（ａ）と同じ深さの両側（陸側と海側）では岩ではありません。火山は帯状に海溝とほぼ平行に分布してい石が融けていないので，温度だけでは説明できません。

ます。ここで注目すべきことは四国や紀伊半島，三陸など，海

地表より高温の地下で岩石が融け始める温度は，図５の青溝に比較的近い所には火山がないということです。海溝に最線Ａのように，深くなるほど高くなっていくことがわかっていも近い火山を結んだ線を火山前線といいますが，火山前線はます。これは圧力が高くなると物質の融点も高くなり，融けに海溝とほぼ平行で，およそ 100 km ～ 300 km ほど海溝からくくなるからです。また，地下の温度は図５の赤線のようにや離れています。なぜこのような火山の分布になるのでしょうか。

はり深い所のほうが高くなっています。ここで注目すべきは，

ここで一つ確認しておきたいのは，「マグマが発生した場所にどの深さにおいても地下温度は岩石が融け始める温度より低火山ができている」ということです。
「地下深くにはどこにでいということです。このことは，地下での普通の状態ではマグもマグマがあるわけではない」のです。

マは発生しないということを意味しています。それでは，どう

それでは日本のようなプレートの沈み込み境界，つまり島弧いうときにマグマは発生するのか，図５で考えてみましょう。

ではどのようにしてマグマが発生しているのでしょうか。このわかりやすいのは②の矢印に示されるような温度の上昇で発生の仕組みを考えるうえで火山前線の存在が大きなヒント

す。もう一つは①の矢印に示されるような圧 力の低下です。

18

No.31

圧力が低い所では融点が下がるので，岩石が融け始めマグマ

存在しています。図３と比較すると海嶺の位置にあることがわが発生するわけです。それではプレートの沈み込みに伴うマグかります。また海嶺では新しいプレートが生産されますが，プマの発生は①，②のどちらかで説明できるでしょうか。プレー

レートは玄武岩や斑れい岩などの火成岩でできており，そこ

トは沈み込みで深い所に入っていき温度が上昇しますが，そのでは多量のマグマが発生しています。このマグマはどのように変化は赤線に沿ったものとなり，通常②のような変化にはなりして発生しているのでしょうか。海嶺付近では，高温のマントません。過去には摩擦による発熱を検討した研究者もいまし

ル物質が圧力の低い浅い部分に上昇してきています。ここでたが，プレートの移動速度が数 cm ／年と非常に遅いため，は , 図５の①の矢印が示すような圧力の低下によりマグマが発岩石を融かすほどの温度上昇は起こらないことが示されたよ

生しているわけです。

うです。また，沈み込みでは圧力が高い所に入っていくので，① のように 圧 力 が温低下するということ

0

0

500

場合

融け 始める温 度 で

地下温度
分布

B H 2O過剰の場合べると低くなっていま す。 そして 深 さkm〕
図5をプレート境界との関連で説明することはできそうにありません。ここでは移動していくプレートより深い部分に，マントルに固定されたマグマの供給源があり，火山が形成されていると

4
②

150

す。 水 が な い 場 合（青い実線Ａ）に比3

力する場 合 の 岩石が

①

100

圧

ずかでも水と共 存

イは太平洋プレートのほぼ中央に位置しており，マグマの発生

2さす。これは岩石がわ

図２を見るとハワイに火山があります。図３を見ると，ハワ

1

50
深

線Ｂが書かれていま

1500〔℃〕
0

A 無水のも考えられません。
図５に は 青 い 破

ホットスポット

度

1000

考えられています。このような場所はホットスポットと呼ばれ5ています。ハワイだけでなく，北米のイエローストーン国立公園周辺など , ホットスポットは 20 ～ 40 ほどあります。ホット

6〔×10 Pa〕
9

島孤でのマグマの発生 『地学基礎改訂版』（啓林館）より引用（一部改変）

スポットでのマグマの発生はプルームと呼ばれるマントル対流の上昇部と関連づけて説明できると考えられています。

100 km 付近より深い所では地下温度（赤い実線）のほうが日本にいると火山はごく当たり前の存在ですが，地球全体高くなっており，岩石が融け始めることがわかります。海洋地を見ると，火山のある場所，つまりマグマが発生する場所は殻が沈み込み，深さ 100 km ほどに達すると，圧力が高いた

非常に限定されていることがわかります。火山の分布図を見る

めに角閃石などの鉱物の結晶に（水酸基 OH の形で）取り込ことでプレート境界やマントル対流のようすまで伺い知ることまれていた水が分離されて放出されます。図４の水色の矢印がができるわけです。

水の放出を示しています。この水により沈み込むプレートのす噴火が災害に結びつくケースも多く，火山は困った存在とも

ぐ上の部分の岩石の融点が下がり溶融が始まり，マグマが発言えますが，温泉があったり，富士山のような対称性の高い美生するのです。地下 100 km に存在する岩石はかんらん岩でしい山が見られるなど，火山の存在にはプラスの面もあります。

すが，発生するマグマは玄武岩質です。これは部分溶融といっ日本は地球上の火山の 1 割近くが存在するまさに火山大国でて，岩石全体ではなく , 融点の低い鉱物から順に溶融し始めす。火山災害のリスクを十分に理解したうえで，火山と共存しるからです。

ていくことが大切なのではないでしょうか。

❖

このようにして日本のようなプレートの沈み込み境界の地下ではマグマが発生し，多数の火山ができているわけです。

海嶺でのマグマの発生
図２を見ると，大西洋北部のアイスランドには多数の火山が

図６

富士山

火山だからこその対称性

No.31

19

連載

統計の見方・読み方・使い方

第8回 未来の可能性を測る

確率とオッズ

立正大学データサイエンス学部 教授

渡辺 美智子/

わたなべ みちこ

九州大学大学院総合理工学研究科修士課程修了。理学博士。九州大学理学部附属基礎情報学研究施設文部教官助手，関西大学経済学部専任講師，助教授，東洋大学経済学部教授，慶應義塾大学大学院教授を経て，2021年より現職。専門は統計学，特に多変量解析（潜在構造分析法）と統計教育。日本学術会議連携会員，2012年度日本統計学会賞受賞，2017年度科学技術分
野の文部科学大臣表彰「科学技術賞（理解増進部門）」受賞。おもな著書として，『21世紀の統計科学Ⅲ 数理・計算の統計科学』（東大出版会 分担執筆），『身近な統計（改訂新版）』（放送大学教育振興会 共著）など。放送大学「身近な統計」
主任講師，統計グラフ全国コンクール審査委員長，「算数・数学の自由研究」作品コンクールの中央審査委員を務める。

未来の可能性を測る指標
新型コロナウイルスの脅威は依然続いており，まだ先が見えどのメディアで，プロスポーツチームが次の試合に勝つオッズ
は，というように，オッズは身近な指標になっています。
今回は，この確率とオッズについて，学習してみましょう。

ているとはいえません。一方で，収集されたこれまでのデー
タから，男性，高齢者，糖尿病，脂質異常症，高尿酸血症などが重症化に至るリスク因子であることがわかり，対策に活か

確率とオッズされ始めています。コロナ感染に限らず，脳卒中のリスク因子「雨が降る」か「降らない」か，外出前によくその可能性を評が肥満やストレスであることや，肺がんのリスク因子が喫煙習価します。「雨が降る」というような事象 Aの生起確率は，事慣であるなど，医療・公衆衛生の領域では，将来の疾患発生

象Aが起きる場合の数と事象Aも含めてそれ以外のすべてのの危険性を高める要素をリスク因子として見いだす研究が盛ん

事象が起きる場合の数の比率として，すべての事象が同様にに行われています。このような未来の可能性を測り，将来の不確からしく起こる場合に，次のような分数で定義します。

確実性をリスクとして評価する文脈では，重症化率や疾患の罹患率のような確率的な指標と併せて，オッズと呼ばれる確率と同様に可能性の程度を測る指標が多く使われています。

P（A）=

事象Aが起きる場合の数すべての事象が起きる場合の数

この定義から，P（A）は，０から１の間の数になることがわ

医師は，患者がある疾患に罹っている可能性を「検査前オッ

かります。一方，事象 A が生じるオッズは，事象 A が起きる

ズは１だったけれど，検査後オッズは８になった」というよう場合の数と事象 A 以外の事象が起きる場合の数の比またはな会話で，リスクの大きさを表現します。０から１の間しか取比率として定義されます。比率の場合は，らない確率と異なり，１を超える値をとるオッズは，なかなか意味をとらえることが難しい専門的な指標に思えるかもしれま
せんが，海外の数学教育では，オッズは確率と一緒に，遅くとも中学 校で学習する内容のようです。毎朝の天気予報で，日常的に降水確率が出てくるように，欧米では新聞やテレビな

20

No.31

事象Aのオッズ =事象Aが起きる場合の数
事象A以外の事象が起きる場合の数となります。また，このとき，オッズと確率の関係は，
オッズ =

P（ A）
，なぜなら，
1−P（ A）

=

事象Aが起きる場合の数／すべての場合の数
事象A以外の事象が起きる場合の数／すべての場合の数

したが，対数変換したオッズ（対数オッズ）は，オッズが１のとき０，そしてオッズが 0 に近づくほど負の大きな値となる指確率とオッズの計算をいろいろな事例で見てみましょう。
計算例１

標です。つまり，対数オッズは，０を基準にマイナス無限大か

サイコロを振って，1か２の目が出たら「勝ち」，それ以外の目が出たら「負け」とします。このとき，

私たちが日常で感覚的に，確率 0.99 と 0.999 や 0.01 と2
1=
勝つ確率は，（約０. ３３）6
30.001 の可能性を区別することは難しいのですが，AI の世界
でリスクの予測にオッズや対数オッズが使用されるのは，可能

12（１：２，または０. ５）=
4
2

勝つオッズは，

らプラス無限大までの値をとる指標となります。

性を表す数量として，確率のように 0 から 1 の間であるという計算例２ 袋の中に，赤の球が3個，青の球が2個，黄色の球が制約を付けずにモデル化が可能だからです。

1個入っていて，袋の中から無作為に1個の球を抜き取るとき，
3
1=（０. ５）
6
2
3
赤い球であるオッズ ＝= 1 （１：１，または，１. ０）
3

冒頭で述べたとおり，医療や公衆衛生の領域では，将来のオッズは，このような１：１（one to one），つまり１のとき疾患発生の危険性を高めるリスク因子を特定することは重要

赤い球である確率 ＝２×２のクロス集計表とリスク比，オッズ比をイーブン（公平）と言っています。

な課題です。では，糖尿病の既往歴が新型コロナ感染後の重計算例３症化のリスク因子であることやよく知られた喫煙と肺がんとの雨が降る確率が４０％のとき，雨が降らない確率は６０％なので，関連，コーヒーの飲酒習慣とがんの発症率との関連などをどの
40
2=（２：３，約 0.67）
60
3

雨が降るオッズ ＝

ようにデータで検証したらいいのでしょうか？ 何かの有無と何かの有無に関連があるのかどうかをデータで検証する際に，確率は０以上１以下の数ですが，オッズは，０以上，無限大の値をとります（図 1）。

よく使用される表が，2 × 2 のクロス集計表です（表１）。
表１

喫煙習慣と疾病発生（肺がん）の関連（クロス集計表）
疾病の発生（肺がん）

確率とオッズ

喫煙習慣

600
10

500

9
8

オッズ

400
300
200

オッズ

7
6
5
4

なし

計

あり

a

b

a+b

なし

c

d

c+d

計

a+c

b+d

3
1
0

a+b+c+d※セル内は人数（度数）

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
確率p

0.6

0.7

0.8

0.9

1

表から，
「喫煙習慣」 がリスク因子として想定されている場

100
0
0

あり

合，肺がんの発生リスク（発生率）は，下の比率で評価されます。
0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

確率p

図１ 確率とオッズの関係
したグラフ

・喫煙習慣ありのグループの発生率a（ a+b）

・喫煙習慣なしのグループの発生率c（ c+d）

中の図は，オッズの小さい部分を拡大

確率は０以外で，常にオッズよりも小さな値をとります。確率が小さいほど，確率とオッズはほぼ同じ値となります。例え

さらに，喫煙習慣がある場合は喫煙習慣がない場合に比べば，宝くじに当選する確率が1千万分の１，
つまり，0.0000001て，疾病（肺がん）発生率がどの程度大きくなるのかは，上記

では，オッズもほぼ 0.0000001 です。逆に，確率が大きいの発生率の比をとって，リスク比（相対危険度）として評価します。

ほど，確率とオッズとの差が大きくなり，確率が１に近くなるほど急激にオッズの値が大きくなります。確率 0.9 ではオッズは 9 ですが，0.99 では 99，0.99999 では 99,999 です。
オッズの場合，１がイーブン，基準であることはお話ししま

リスク比 =a（ a+b）c（ c+d）

・・・・①

No.31

21

連載

統計の見方・読み方・使い方

リスク比は１のとき，肺がんの発生リスクは喫煙習慣の有無

前向き研究で取られたデータを表１のようにまとめれば，とは無関係であることになり，例えば，リスク比が 2 であれば，発生率およびリスク比を求めることで，喫煙習慣などの想定発生率が 2 倍，すなわち，喫煙習慣があれば，ない場合に比したリスク因子と肺がんなどの疾病発生との関連を示すこ

べて，肺がんになるリスクが 2 倍になることを意味します。

とができます。しかし，前向き研究は将来どうなるかを調べ同様に，オッズの立場で，これを見てみましょう。

るため，調査が長期に渡ることで，研究費用（コスト）が大・喫煙習慣ありのグループが肺がんになるオッズab

きくなる，脱落する症例が出る，難病などの発生率が小さい

・喫煙習慣なしのグループが肺がんになるオッズ

c
d

ります。

疾病はデータを多く集めることができないなどの難点があ

一方，後ろ向き研究では，既に肺がんを発症した患者のグとなることから，喫煙習慣があることで喫煙習慣がない場合

ループを症例（ケース）グループとして例えば 100 人，同に比べて，肺がんになるオッズがどの程度，大きくなるのかは，時に，肺がんに罹っていない健常者のグループを比較対照

次のオッズ比によって測ることになります。

（コントロール）グループとして例えば 200 人集め，両方

abのグループの過去の喫煙習慣を調べることで，データが収集

オッズ比 =

c
d

=

a×d
b×c

・・・・②

できます。前向き研究ほど時間やコストもかからず，発生率が低い患者のデータも多く集めやすいというメリットがあります。ただし，後ろ向き研究では，病気に罹っている人を何

オッズ比は，2 × 2 のクロス集計表の４つのセルの度数を人とるのか，罹っていない人を何人とるのかは，研究者が自いわゆる，たすき掛けをすることで簡単に求めることができる

由に設定できる数なので，発生率やリスク比は意味をなしま指標です。リスク比同様，オッズ比も１のとき，肺がんの発生せん。つまり，後ろ向き研究でまとめられた表では，行（横）リスクは喫煙習慣の有無とは無関係であることになり，オッズ

方向の比率は意味をなさず，列（縦）方向の比率のみ意味が比が 2 であれば，喫煙習慣があればない場合に比べて，肺があります。つまり，肺がんの患者グループ，肺がんではない

んになるオッズが 2 倍になることを意味します。

グループそれぞれで，喫煙習慣を有しているかどうかのオッ
ズを求め比較することは，次のオッズ比

前向き研究と後ろ向き研究
リスク比とオッズ比，定義が違うだけでどちらも同じような指標に見えますが，実はこのような疫学研究では，同じクオッズ比 =

a
c

b
d

=

a×d
b×c

・・・・③

ロス集計表に見えても，研究データがどう取られたのかの違で可能となります。②と③は，オッズ比として，最初の意味

いによって，オッズ比は求めることができても，リスク比は付けは違っても，どちらも同じ値になります。この性質から，

意味をなさない指標になることがあります。

リスク比とは異なり，オッズ比は，どちらの研究デザインでその研究デザインの違いが，前向き研究（コホート研究）

取られたデータであっても，想定されるリスク因子と疾病発か後ろ向き研究（ケースコントロール研究，症例対照研究）症との関連を調べるための指標として活用できるということかです。前向き研究では，肺がんに罹患していない集団の中で，医療現場では欠かせない指標となっています。

から，喫煙習慣のあるグループを例えば 1,000 人，喫煙習
慣のないグループを例えば 2,000 人などを集めて研究対象

今回は，確率とオッズ，リスク比とオッズ比のことを紹介集団とし，10 年後などの将来に向かって肺がんを発症するしました。未来の予測に力を発揮する AI の世界では，医療・かどうかを追跡調査していく方法で，データを収集していき

公衆衛生の分野に限らず多くの領域で，予測ルールの検証にます。時間の進行方向に沿って調査を進めることから，前向

オッズの概念を利用した数理モデルが使われています。ぜひ，

き研究と言っています。

オッズでも未来を測ってみてください。

22

No.31

❖

連載

物理法則の科学史

第8回 エネルギー保存の法則（前編）

一橋大学大学院言語社会研究科
准教授

有賀 暢迪

/

ありが のぶみち

1982年生まれ。京都大学総合人間学部卒業（2005年），京都大学大学院文学研究科博士後期課程研究指導認定退学（2010年）。国立科学博物館勤務を経て，2021年より現職。高校では「理系」を選択し，大学では物理学を主専攻としていたが，大学院から「文系」に転じて科学史を修めた。現在は，物理学・数理科学の歴史と，近現代日本の科学技術史という二つの領域で，幅広
い研究・教育・実践を行っている。著書に，『力学の誕生』（単著，名古屋大学出版会），『20世紀物理学史』（共訳，名古屋大学
出版会），『サイエンス5000年史』（監訳，ニュートンプレス）などがある。京都大学博士（文学）。

教科書に登場する物理法則の原典を訪ねる連載です。今回

力学的エネルギーと次回は，エネルギーについての基本法則を取り上げます。
そもそも「エネルギー」とは何でしょうか。私たちはこの言

エネルギー保存の法則

葉を日常的に，何となく使っていて，どういう意味かと改めて聞かれても答えにくいところがあります。これに対して物理の物理にはさまざまな法則がありますが，とりわけ重要なのが世界では，「エネルギー」とは「仕事をする能力」であるといエネルギー保存の法則です。この法則を学習する中学校 3 年

う明確な定義があります。ここでの「仕事」は，日常的な意味の理科教科書には，次のように書かれています。

ではなくて，物体に力を加えてその向きに動かすという特定の操作を指します。

◉中学校理科教科書に出ている具体的な例で説明しましょう。 例えばハンエネルギーが移り変わっても，エネルギーの総量は変化

マーを振り下ろしてくいを打つと，くいが地面に食いこみます。

せず，つねに一定に保たれる。これをエネルギー保存の法

このとき，ハンマーはくいに力を加えて動かしているので 「仕則といい，自然界のもっとも基本となる法則の1つである。

事」をしたと言えます。そうすると，振り上げたハンマーは仕事をする能力を持っていることになりますから，
エネルギーを持っこの法則が登場する中学校理科の教科書では，その説明がているというわけです。このように，高い所にある物体が持つ2 段階で行われています。最初に「力学的エネルギー保存のエネルギーを，中学校理科では位置エネルギーと呼んでいます。

法則」があり，その後で，さらに一般的な法則として「エネル別の例として，ボウリングを考えてみます。投げたボールがギー保存の法則」が登場するのです。

ピンに当たってピンが倒れるとき，ボールはピンに力を加えてそこで，今回はまず「力学的エネルギー保存の法則」を取動かしているので「仕事」をしたと言えます。したがって先ほり上げて，教科書に書かれている説明と，その原典を見ていどと同様に，動いているボールはエネルギーを持っていることきます。一般的な「エネルギー保存の法則」については次回になります。このような，運動している物体が持つエネルギー

説明することにします。

が運動エネルギーです。

No.31

23

連載

物理法則の科学史

力学的エネルギーとは，いま説明した 2 種類のエネルギー，「位置エネルギー」と「運動エネルギー」の和をいいます。そして，ある条件の下ではこれがつねに一定に保たれるというのが力学的エネルギー保存の法則です。

距離にのみ依存する強さをもつ相互の引力および斥力の影
響のもとにある自由な質点系の運動のすべての場合について，張力の量における消失はつねに活力における取得に等
しく，前者の取得は後者の消失に等しい。すなわち存在す
存在す
る活力と張力の和はつねに一定である。

「力の保存の原理」

ここに出てきた「張力」，「活力」とは，位置エネルギーとそれでは，力学的エネルギー保存の法則はいつ，誰が最初運動エネルギーのことだと思って差し支えありません。実際に述べたのでしょうか。意外に思われるかもしれませんが，実に，ヘルムホルツはこれらを数式で書いているのですが，こはあまりはっきりしません。

れは今日でもそのまま通じます（高校レベル以上の物理学を「位置エネルギー」，「運動エネルTreatise on
NaturalPhilosophy

Thomson & Tait
1867の後半にイギリスの物理学者たちが知っている読者のために，現代的な記号を使って書くと
1
F・dr とmv2 になります）。
2
したがって，「活力と張力の和がつねに一定」というのは広めたものです（英 語では「ポテン「運動エネルギーと位置エネルギーの和がつねに一定」とい

シャル・エナジー」，「キネティック・う意味なのですが，ヘルムホルツは「エネルギー」でなくエナジー」といいます）。例えば，こ「力」という表現を使っていました。そのため，この法則のギー」という言 葉自体は，19 世紀の時代の有名な教科書である W・トムソン（1824-1907）とことを「力の保存の原理」と呼んでいます。

P・G・テイト（1831-1901）の『自然哲学論』（1867 年）にこのように「エネルギー」のことを「力」と言っていたのは，力学的エネルギー保存の法則にあたる内容が次のようには，ヘルムホルツだけではありませんでした。実のところ，書かれています（§278）。

「活力」という考え方は，ヘルムホルツに先立つこと 150 年
近くも前からあったのです。

したがって，もし物質宇宙のどこか一部分を完璧に隔離す「活力」の生みの親は，ニュートン（1643-1727）のライることができ，その外側にある物質にエネルギーを与えた

バルとしても知られる哲学 者・数学 者ライプニッツ（1646-

り，エネルギーを受け取ったりしないようにできたとした1716）です。ライプニッツは，17 世紀の終わり頃に，運動しなら，その一部分の位置エネルギーと運動エネルギーの和ている物体には「活力」が備わっていると考え，その「力」

はつねに同じだったであろう，と結論される。

の大きさは質量（m）と速度の 2 乗（ v2 ）に比例するという説を唱えました。これが運動エネルギー概念の出発点です。

ですが，このことは，それ以前から知られていました。特ただ，ライプニッツには，「活力」（運動エネルギー）と対にに有名なのは，ドイツの物理学者・生理学者ヘルムホルツ

なる「張力」（位置エネルギー）という発想はなかったようです。

（1821-1894）が 1847 年に発表した『力の保存について』「張力」という用語は，ヘルムホルツが独自に導入したとです。

思われます。この意味で，「活力と張力の和はつねに一定」

Über die
Erhaltung der
Kraft
Helmholtz
1847

この論考は，一般的なエネルギーと述べたのはヘルムホルツが最初です。ですが，ヘルムホル保存の法則を最初に述べたものとさツよりも前に，誰かが別の言葉で力学的エネルギー保存の法

れていて，詳しい内容は次回紹介し則を述べていた可能性も否定はできないように思います。そます。ここでは，その一部として，

れというのも，次のような例があるからです。

力学的エネルギー保存の法則にあたる部分だけを見ておきましょう。ヘルムホルツは次のように言っています（強調は原文のもの
です）。

24

ガリレオと力学的エネルギー保存の法則
再び，中学校理科の教科書に戻ります。この連載で参照して

No.31

いる啓林館の教科書では，力学的エネルギー保存の法則の説

A

明で，振り子の運動を取り上げていました（図 1）。振り子
が往復運動するとき，おもりの位置が低くなると速さは大きくなり，位置が高くなると遅くなります。とりわけ，図 1の点 A と点 C の高さが同じであることから，おもりが行っEたり来たりする間，力学的エネルギーは一定に保たれているD

ことがわかります。

G

C

I
F
B

図2

ガリレオ『新科学論議』の振り子の運動の図……このことから，弧CBに沿って下降したときに鉛球が点Bで得たインペトゥスは，同様の弧BDに沿ってこの球が再び同じ高さまで上昇するのに足るものだったという結論が実際に導けます。
図１

振子の運動

発光間隔 0.025 秒。
『未来へひろがるサイエンス ３』（啓林館）より引用……こうして一般に，ある弧に沿った下降によって得られたモメントゥムは，どれも同一の可動体を同じ弧に沿って科学史の観点から面白いのは，振り子を使ったこの説明

再び上昇させることができるものに等しいのです。

が，ガリレオ（1564-1642）の主著の一つである通称『新科学論議』（日本では『新科学対話』とも呼ばれる）に登場

今度は「エネルギー」でも「力」でもなく，「インペトゥス」，

することです。この本の出版は 1638 年で，ヘルムホルツ「モメントゥム」という聞きなれない言葉が出てきました。このが「力の保存の原理」を発表するよりも 200 年以上前に当２つは，ここではほぼ同じ意味で使われていて，近い日本語たります。

を探すなら「勢い」くらいかと思います。

Discorsi

Galileo1638

図 2 は，ガリレオの本に出てくガリレオが言っているのは，下降して得られた「勢い」によっる図を描き直したものです。糸 ACて物体は最初と同じ高さまで持ち上がる，ということです。この先に鉛球 C がついており，A は

こには，「一定である」，「保存される」といった発想がありま

釘で固定されています。鉛球を放すせん。しかしそれにもかかわらず，ガリレオは，力学的エネルと，球は弧 CBD に沿って進み，ほギーが保存される状況を正しく認識していたのです。

ぼ水平線 CD の高さまで到達します

どうやら，力学的エネルギー保存の法則は，誰かが特定の（「ほぼ」というのは，空気の抵抗や摩擦があるためです）。

時期に発見したものではないようです。長い時間をかけて，少次に，E や F に釘を打って，同様の実験をします。すると，
球は C から下降して B に来た後，G や I まで上昇します。
つまり，同じく水平線 CD の高さまで上がるわけです。このガリレオの実験（図 2）と，教科書の実験（図 1）が，まっ
たく同じものであるのは明らかです。
では，ガリレオはこの実験から何がわかると言っているのでしょうか。関係する 2 箇所を抜き出してみましょう。

しずつ，形作られてきたと言うべきなのでしょう。

❖

原典についての参考情報○ Hermann von Helmholtz, Über die Erhaltung der Kraft, 1847. /   【日本語訳】高林武彦訳「力の保存についての物理学的論述」，『世界
   の名著 現代の科学 1』（中央公論社，1973 年）所収．
○ Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche, 1638. /【日      本語訳】伊藤和行・斎藤憲訳「新科学論議［抄］」，伊東俊太郎『ガリ   レオ』（講談社，1985 年）所収．

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改正公職選挙法の成立

教育に
新しい風を

2015 年 6 月に改正公職選挙法が成立したことは記憶に新しいでしょう。その 1 年後の施行により選挙権年齢が 20 歳
以上から 18 歳以上に引き下げられ，高校生（高等部生も含来るべき十八歳成年時代に向けてむ。以下同）の一部も選挙権を有することとなりました。実に 70 年振りの改正であったことから，社会の大きな関心を集めました。
改正法が成立した同年の大阪府議会 9 月定例会では，選挙権年齢の引き下げに関して各会派から多くの質問が出され，熱い議論が交わされました。当時，私は大阪府教育委員会で高等学校課長の職にあったので，教育常任委員会で答弁する機会が多くありました。議論の主な論点は「政治的教養を育む教育」そのものの重要性はもちろんのこと，「高校生の政治活動」や「教職員の政治的中立性の確保」への懸念，「外国籍の生徒に対する配慮」などでした。とりわけ「高校生の政治活動」については，高校生が学校外で政治活動に参加する場合，参加届を学校に提出させるか否かについて全国的な議論を呼んでいたこともあり（国の通知は，届出制の採否は都道府県の判断に委ねるというものでした），府として判断を迫られることになりました。届出制を採るという選択をした県もありましたが，大阪府は採らないとの方針をいち早く決定し，他府県に先んじて打ち出すこととなったのです。
大阪府が届出を不要としたのは，「放課後や休日等に学校外で行われる選挙運動や政治活動は，家庭の理解の下に生徒が判断し行うもの」との考えに立ったからですが，選挙権年
齢だけでなく成年年齢引き下げに関する議論があることを踏
まえ，生徒の主体性を重視したという面が大きかったと思います。

改正民法の成立
その後，選挙権年齢に引き続いて成年年齢も引き下げられることが決まりました。2018 年に改正民法が成立し，2022
年 4 月から施行されることになっています。1876 年の太政官布告にて 20 歳と決められた成年の定義が，146 年の時を武庫川女子大学教授・教学局次長

橋本 光能
26

No.31

/

はしもと みつよし

経て抜本的に変わります。
これにより，高校 3 年生は，選挙権の有無のみならず，
成年者と未成年者とが混在する状況が生じることとなります。

教 育に新しい 風 を民法等の法律により，成年になったらできることが種々規定

割以上が「知識・技能」面での指導の域を出ていないのです。

されていますので，高校 3 年生で今までできなかったのに

これでは「政治的教養を育む教育」の取り組みが不十分と言新たにできるようになる事柄が増えるということになります

わざるを得ません。勿論，国からの通知にあるように「特定（例えば，親の同意がなくても契約ができる等）。そして，その見方や考え方の偏った取り扱いとならないこと」に十分留のことに伴い，保護者や学校現場からは不安の声が聞かれます。

意することは大変重要ですが，そのことに十分留意した上で，その典型的なものとして，保護者の不安には「子どもが，国論を二分するような政治的事象を題材として取り上げ，生

親の知らないところで勝手に契約をしないか不安でたまらな徒に考えさせたり議論させたりすることが必要なのではないい」「親権が及ばなくなったら，子どもと意見が対立した際でしょうか。そのように「生徒としっかり向き合うこと」が，にどのように対応すればいいのか」といったものが挙げられ

政治的教養を育んでいくことに繋がっていくのだと思うのます。一方，学校現場には「親権に服さない 18 歳（高校 3です。

年生の一部）に対する進路面談はどうなるのか」といった懸念があると聞きます。つまり，「従来は三者面談で本人・保来るべき 18 歳成年時代に向けて護者・学校それぞれが合意をして進路を決定していたのに，新しい学習指導要領は 2020 年度から小学校で，2021 年

親権に服さないことを根拠に生徒が保護者の面談への同席を度から中学校で実施されており，2022 年度からは高校で実拒否し，自らの意思のみをもって進路決定をしたいと申し出施されます（高校は年次進行）。この新要領では「主体的・た場合に学校はどう対応するのか」という懸念です。

対話的で深い学び」の重要性が謳われています。この「主体生徒としっかり向き合うこと
18 歳成年時代を目前にして，保護者や学校現場が不安に的・対話的で深い学び」は，社会を生き抜く力を育むためのものであるのは勿論のこと，18 歳成年を育成していく上においても大きなキーワードであると考えています。

思う気持ちはよく理解できます。きっと，この問いに対するあと 1 年後には 18 歳成年時代がやってきます。18 歳の正解はないのでしょう。ただ，正解はないとしても，保護者誕生日を迎えた日から高校生は成年になるのです。親権に服や教員が「正面から生徒と向き合う」「生徒の悩みや思いをさなくなり，自身で契約行為ができるようになるのです。そしっかりと受け止める」ということが，ひとつの納得解となのためには，「知識・技能」にとどまらず，「思考力・判断力・り得るのではないでしょうか。

表現力」「学びに向かう力」を生徒に確実に身に付けさせ，

ここで一旦，選挙権年齢の引き下げに話を戻します。前述
したように，改正公職選挙法が成立した直後は，さまざまな権利を行使するとともに義務を遂行する成年に育てていくことが求められます。

心配や懸念の声がありました。しかし，私としては，選挙権具体的な方策として，ひとつは，高校の新学習指導要領で年齢が 18 歳以上に引き下げられたことは，政治が若者の方新設された必履修科目「公共」を有効活用することです。まを向いた絶好のチャンスと捉えていました。だからこそ，学さに「自立した主体としてよりよい社会の形成に参画する」

校外での政治活動への参加について，許可制にも繋がりかね「持続可能な社会づくりの主体となる」ことをめざす科目だない届出制は採らないという方針を立てたのです。

からです。公民科の先生方の力量が問われることになります

ただし，そのためには高校生に「政治的教養を育む教育」

が，是非とも頑張っていただきたいと切に願っています。そをしっかりと行っていく必要があります。そうでないと，折してもうひとつは，教員も保護者も，生徒としっかり向き合角やってきた絶好のチャンスを生かすことができませんから。

うことです。政治的事象について議論するのに臆することは文部科学省が 2020 年 3 月に公表した「主権者教育（政ありません。政治の話も，社会の話も，そして生き方や人生治的教養の教育）実施状況調査」という調査があります。こそのものについて，生徒と膝を交えて議論しようではありまれによると，2019 年度に高校第 3 学年に在籍した生徒へのせんか。それが 18 歳成年時代を迎える今，最も必要なこと

主権者教育実施率は 95.6％と高いものの，内容を見ると 8に思えてなりません。

❖

No.31

27

地域教育で活躍する人々

第30回

子どもたちに科学する
よろこびとたのしさを～金沢子ども科学財団の活動紹介～

公益財団法人 金沢子ども科学財団理事長

山崎 光悦 / やまざき こうえつ
はじめに

①児童科学教室

私たちのまち金沢は，アドレナリンを発見した高峰譲吉博

昭和 40 年から金沢士や天文学者の木村栄博士など，世界に通じる偉大な科学者

市教育委員会が主体とを多数生み出しています。しかし，近年，子どもたちが直接なり行ってきた事業を

自然にふれたり，実験を楽しんだりする機会が少なくなって継承したもので，金沢きていると言われています。このままでは，これまで培われ市内の小学 5 年生のてきた金沢の科学に触れ親しむ土壌が失われてしまうのでは中から理科に興味を持

ないかと心配されていました。

つ児童を集め，２年間

児童科学教室の様子

そこで，子どもたちの科学に対する知的好奇心や，独創的のカリキュラムを通じて科学的な態度・能力の向上を図るこ

で柔軟な発想を育むための環境を提供することを目的に平成とを目的としています。現在は泉，中央，明成の３小学校で12 年に「金沢子ども科学財団」は誕生しました。平成 23

活動を展開しており，令和２年度の 55 期生までに 6,015

年度には公益財団法人に認定され，地域の教育機関を始め幅名の修了生を送り出しています。金沢市近郊の小学校に勤務

広い方々のご協力のもと，今では児童生徒の課外における科

する理科に堪能な教員や，大学生・大学院生のボランティア

学的な活動を支援し発展させるさまざまな事業を展開していが指導にあたり，５年生は基礎的な技能を習得するための基ます。

礎実験に，６年生は数人のグループで年間を通して自由研究に取り組みます。

主な事業
事

28

業

名

対

象

年間開催
回数

②中学校サイエンスクラブ
科学に興味や関心を

子ども科学スタジオ

年長児～小学２年と保護者

45

出前科学スクール

保育園～小中学校50

児童生徒科学研究作品展，表彰式

小学１年～中学３年

１

おもしろ実験・観察教室

小学３年～中学３年

各12

学習を通して，科学的

ジュニア科学者養成講座

小学３年～中学３年

14

なものの見方・考え方

児童科学教室

小学５・６年各18などの豊かな科学的素

算数・数学チャレンジクラブ

小学５年～中学３年

各12

養を育成すること」を目的として平成 12 年に開設しました。

算数・数学オリンピック支援講座

小学５年～中学３年

各11

交流事業

小学５年～中学３年

４

中学校サイエンスクラブ

中学１年～３年

10

No.31

持つ金沢市内の中学生に対して，「観察・実験，探究活動などの体験的

糸魚川－静岡構造線の露頭を見学

金沢市立小将町中学校を拠点に，中学校の先生だけでなく，高校や大学の先生も講師として招き，日頃学校で学ぶ内容をより発展させた実験・観察や自由研究，野外での自然環境調査などの探究活動を行っています。

③おもしろ実験・観察教室⑤子ども科学スタジオ

毎回，一般公募した未就学の年長児及び小学３年生から中学３

小学 1・2 年生の児童

年生までの子どもたちとその保護者を対象に，を 対 象 に， 大 学 教 授，

毎週異なる内容で科学

大学生，小・中・高等

実験や自然観察を行う

学校の教員などが講師となり，物理・化学・教室を開催しています。
液体窒素を用いた科学実験

平成 19 年から開始し，人工イクラづくり

生物・地学などの専門性の高い科学実験・観察の楽しさやお令和元年には参加者累計が５万人に到達しました。音・光・

どろき，よろこびを体験する場を提供しています。

空気・水・力・電気・化学変化などによる身の回りで生じる

講座の例

現象や，動植物・化石・宇宙などをテーマに，身近にある物

・金沢大学角間の里山自然探検（小学３年生～中学生）

を使ったものづくりや科学遊び，科学的な内容に関する実験・手取川周辺の地層を掘り，化石を発掘のほか，野外での自然観察会も行っています。

（小学４年生～中学生）

講座の例

・テルミット反応などによる鉄のうつりかわり・お菓子の箱を用いたバズーカ砲づくり（小学５年生～中学生）

・冬の渡り鳥などの野鳥観察④算数・数学チャレンジクラブ
将来の科学・技術をおわりに担う人材の育成をめざ

金沢子ども科学財団は令和 2 年度に 20 周年を迎えました。

し，算数・数学に興味

小・中・高等学校や高等専門学校・大学の諸先生方，大学や関心を持つ小学 5

生・大学院生，さらに民間のボランティアなどの幅広い方々

年生から中学 3 年生に講師をお引き受けいただき，事業の内容を充実・発展させまでを対象に，学校の授業では味わえないユ・人工イクラづくり

歩いた軌跡をグラフに変換

ニークな学習を通して，算数・数学の知識や技能に加え，「考える力」や「創造力」，「独創性」の基礎を培います。さらに，
より発展的で高度な算数オリンピックに向けた支援講座も開講しています。
講座の例
・４色問題に挑戦（小学５年生）
・ポリドロン（小学６年生）

ることができたお蔭もあって，毎年 8,000 名を超える子どもたちがさまざまな科学活動を楽しめるようになりました。
今後も子どもたちの科学する心を育み，創意と工夫によって科学の進展に貢献する“科学好きな子どもたち”を一人でも増やしていけるよう，独創性ある事業活動に努めてまいります。
金沢子ども科学財団 HP
https://kodomokagaku.or.jp/❖

・循環小数からのプレゼント（中学１年生）
・一刀切り（中学２年生）
・音楽と数学（中学３年生）
編集後記
コロナ禍の中，1 人 1 台のタブレットやオンライン授業など学校にも新たな様式が導入されました。
私たちは，今まさに時代の変わり目にいるのだと，前向きに捉えましょう。
今年も「算数・数学の自由研究」作品コンクールを開催いたします。多数のご応募をお待ちしております。
次号では「令和の日本型学校教育」について特集します。

( 財 ) 理数教育研究所 事務局

No.31

29

知られざる

女性数学者の素顔

第11回

ヒュパティア〜歴史に残る最古の女性数学者〜
サイエンスナビゲーター ® 桜井 進／さくらい すすむ『ディオファントスの天文学の法則』についての原文の一部が，15 世紀に，ヴァチカン図書館で発見された。
般向けに著したものである。ユークリッドについての論文は父との共著であった。これらの著書の多くは，自分の学生のための教科書として書いたものである。
ヒュパティアのもっとも優れた弟子の１人がキレネのシュ

2009 年に公開されたスペイン映画「アレクサンドリア」

ネシウスである。彼の手紙の中に師ヒュパティアについてのの主人公が女性数学者ヒュパティア。映画の中では彼女は天

記述を見つけることができる。冒頭に述べたアストロラーベ

文学者として描かれている。1 世紀の天文学者プトレマイオ

およびプラネティカがヒュパティアによる発明であるというスの『アルマゲスト』で展開された天体の運行理論が天動説。

記述がその１つである。手紙には，水蒸留装置，水位測定装『宇宙体系』とも呼ばれるこの本は，プトレマイオス自身に置，液体の比重計もヒュパティアによる発明であることが書よる天体観測データおよび天体の位置計算に必要とされる球かれてある。

面三角法，幾何学，宇宙論を広く網羅した 13 巻からなる大数学者ヒュパティアのもう一つの顔が哲学者である。彼女

著で，ヒュパティアはその注釈書を著している。アストロラー

は，新プラトン主義と呼ばれるギリシャ思想の一派に属して

ベ（天体観測機器・アナログ計算機）およびプラネティカ（惑いた。学術的・科学的で神秘主義を廃した科学的理性主義を星儀）がヒュパティアの発明だとする説もあるほどヒュパ

第一に掲げたものだった。それゆえにこの派は，当時支配的

ティアは天文学者として活躍した。天文学者ヒュパティアのだったキリスト教の教条的信仰に真っ向から逆らうもので，偉大なる天分を支えたのが自身の数学であった。

キリスト教指導者をひどく脅かした。彼らをはじめ教徒は哲

ヒュパティアは紀元 370 年頃にエジプトで生まれた。当学者ヒュパティアを異端と考えた。多くの数学者，哲学者ら時，世界で最も学問の栄えていた国際都市がアレクサンドリが描かれたラファエルの名画「アテネの学園」にヒュパティアであった。アレクサンドリア大学の数学教授であった父テアが入っていないのはヒュパティアが教会と仲が悪かったか

オンは娘に数学をはじめ十分なまでの教育──美術，文学，

らかもしれない。

科学，哲学──を与え，演説法（雄弁術）を習得させ，さら

当時，ローマ帝国皇帝テオドシウス 1 世はキリスト教徒には水泳，乗馬，登山を習わせた。果たして，ヒュパティア

として，異教と異端派に対してローマ帝国全域で迫害の方針

は健全な身体と驚異的な精神を持つ人間へと成長する。

を定めた。アレクサンドリアでもユダヤ人の違法で強制的なヒュパティアは長い（10 年ほどと言われている）旅行の追放運動が巻き起こっていた。果たして，神を冒涜する異端後（30 歳頃），アレクサンドリアに帰ると大学で数学と哲学派ヒュパティアにも魔の手が襲ってきた。415 年，狂信者を教え始めた。その講義にはヨーロッパ，アジア，アフリカの暴徒によってヒュパティアは殺害され非業の死を遂げた。

から熱心な青年らが聴きに集まった。それほどに彼女の講義

享年 45 歳（ないし 65 歳）。

は魅力あるものだった。

により，後世に多数の作家による文学作品として語り継がれカ）』である。3 世紀にディオファントスによって書かれたる伝説となった。モザンは 1913 年の本の中でヒュパティア

古代ギリシャの数学書は『原論』と並ぶ数学の古典。そのラを次のように讃えた。

テン語版を読みながら整数論の考察を深めていったのが 17

彼女は古代女性の中で，詩におけるサッフォー，哲学と雄世紀のフェルマーであった。有名なフェルマーの最終予想は弁術におけるアスパシアにも比すべき者で，女性の中の最高

この本の余白にフェルマーがメモ書きしたものである。

の栄光である。学識の深さ，才能の多面性において，彼女にヒュパティアの数学上の業績については，冒頭で述べたア並ぶ者は，同時代にはほとんどなく，プトレマイオス，ユー

ルマゲストについての注釈書以外に論文を著したようだが現

クリッド，アポロニウス，ディオファントス，ヒッパルコス

存するものはほとんどない。多くはアレクサンドリアのプトなどの輝かしい科学者の間でも，特に異彩を放つ地位を占め

レマイオス図書館とともになくなってしまった。ただ，論文る資格がある。

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2021年6月20日発行

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June

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