原子核物理入門
中務 孝
筑波大学 計算科学研究センター 原子核物理研究部門
理化学研究所 仁科加速器研究センター 中務原子核理論研究室

2014.8

1

はじめにみてください。

2011 年は、原子核発見から 100 年という記念すべき年でした [1]。これは、ラザフォード (Ernest
Rutherford）が執筆した 1911 年の論文 [2] から 100年にあたることによります。その後の 100 年で、人類の原子核への理解は大きな進歩を遂げましたが、原子核は非常に量子性が強く、その相互作用である
核力は特異な性質をもつため、今なお多くの未解決問題があります。さらに近年の実験技術の進歩とともに新たな課題・謎が現れてきています。これらの問題に理論的にチャレンジするため、量子多体系の理論を駆使した大規模な数値計算を行ったり、新たな有効模型を開発したりといった研究が現在世界中で行われています。これら最先端の研究内容にも講義の最後には少し触れたいと思いますが、量子多体系の理論の簡単な解説には場の理論を使った記述がどうしても必要で、内容をきちんと解説することは困難です。今回の講義は２コマ、対象が学部 3 年生ということですので、古典力学と初歩的な量子力学の知識で理解できる内容で、原子核の姿にできるだ
け迫ってみようと思います。まず 2 節で 100 周年を迎えた原子核の発見の話をして、3 節では原子や原子核の世界では量子力学がいかに重要であるかを簡単に説明します。続いて、4 節は準備として量子力学の１次元井戸型ポテンシャルの問題です。5 節では、4 節の結果を使って、アルファ崩壊、中性子散
乱断面積、中性子共鳴の実験データから原子核の性質についてどういうことが分かるのかを考えます。
最後の 6 節では、Bohr-Mottelson 等によって発展させられた統一模型と対称性の自発的破れについて簡単に考察します。内容の理解を助けると思われることを演習問題として挿入しました。ぜひ解いて

2

原子核の発見19 世紀末のフランスでは、ウラン鉱石から何かが放出されていることを発見したベクレルに続いて、キュリー夫妻によってラジウムやポロニウムといった放射性の新元素が発見されていました。放射能 (radioactivity) という言葉はこのとき作られています。放射線が分子ではなく、原子そのものから放出されていることまで彼らは突き止めていました。20 世紀になり、この放射線の一つである α 粒子を使った実験が 100 年程前のイギリス・マンチェスター大学において行われました。ラザフォードの指導の下、Geiger と Marsden が金膜に α 粒子を当てる実験を行い、驚くべき発見をします。それは、後のラザフォード自身の言葉を借りれば、
It was quite the most incredible event that has
ever happened to me in my life. It was almost as
incredible as if you fired a 15-inch shell at a pieceof tissue paper and it came back and hit you.というものです。現代の物理学を知る我々には想像できない驚きであったようです。
当時、多数の電子が原子の中に安定な状態で静止している状況が実現でき、おおよその原子の大きさである 1Å= 10−10 m と矛盾せずに、原子が放出する光の振動数をうまく説明するように考え出されたのが、トムソンの原子模型です。同じ頃、日本の長岡半太郎による土星型原子模型も提案されましたが、古典力学で考える限り、原子全体に一様に正の電荷が分布したトムソン模型の方が色々な点で優れていたため、ヨーロッパではこれが主流の考え方でした。
1

ラザフォードは実験は失敗すると考えていて、学力学で真面目に解いてもいいですし、もっと簡単に生であった Marsden の訓練としてやらせたようでオーダーを見積もっても構いません。

す。実験は、ラドン (222 Rn) からの放出される約 5.5

問題 2：標的である金 (Z = 79) は α 粒子 (Z = 2) と比MeV (MeV は 100 万電子ボルト) の α 線を使って、薄い金の膜 (金は原子番号 Z = 79) に衝突させて、後方に散乱してくる α 粒子を検出するというものでした。トムソン模型に基づいて、電子の２倍の正電荷 (Z = 2)、約 8 千倍の質量をもつ α 粒子が高速で衝突したときに何が起きるか考えてみて下さい。
原子の中に電子が一様に分布していると考えると、どこを切り取っても電気的に中性ですから、クーロ
ン力による散乱はほとんど起きないと予想されます。また、原子の中の電子が個別的に α 粒子と衝突したとしても、電子は圧倒的に軽いので α 粒子はまったく影響を受けないでしょう。そうすると、後方に散乱させるためには、小さな角度の散乱を何度も繰り返す必要があり、その確率はとてつもなく小さいものになってしまい、実験では観測されないはず、というのがラザフォードの予想でした。まさに、「fired 15-inch shell at a piece of tissue paper」という状況で、跳ね返る訳がないのです。ところが、Marsden は跳ね返った α 線を観測して、Geiger は
驚いてラザフォードに報告したそうです。皆さんの中にも将来物理学の研究を志す人がいると思いますが、このような驚きに出会えることは研究者にとって喜びです。

較して十分に重いと考え、入射 α 粒子のエネルギーをE = 5.5 MeV とする。後方散乱が起きるための、原子核の大きさの上限を概算で求めよ。

答の求め方によって数倍の違いはあるかもしれませんが、およそ 4 × 10−4 Å になると思います。少な
くとも、原子核の大きさは原子のサイズよりも４桁小さいということになります。

図 1: 散乱角 θ = 60◦ における鉛 (Z = 82) による α粒子の弾性散乱断面積。点線は Ze の点電荷を仮定した場合のラザフォード断面積。金 (Z = 79) の場
合もほぼ同じ結果が得られている。文献 [3] より。

問題 1：仮想的に電子が完全に剥ぎ取られた金の原子(Z = 79) を考える。これがクーロン力によって α 粒子
に対して最大の反発を与えられる。5.5 MeV の α 粒子
はこれでも簡単にすり抜けてしまうことを示せ。

Geiger-Marsden はさらに実験を重ねて、(1) ター
ゲット (金属膜) を変えると、反射される α 線の数は金属の原子番号が大きいほど増加すること、(2) 金
膜を重ねて厚くしても、ある厚さ以上では後方散乱される α 粒子が増加しないこと、を確認して 1909
年に論文を発表します。ラザフォードはその 2 年後に、上記の記念すべき論文 [2] で、これらのデータ
は原子核が原子の中心に存在することを意味すると結論し、原子核の大きさの上限を示しました。こ
こで 100 年前に戻ったつもりで、Geiger-Marsdenのデータから原子核の大きさを見積もって下さい。
点電荷のクーロンポテンシャルによる散乱問題 (現在では「ラザフォード散乱」と呼ばれます) を古典

加速器を使って入射粒子のエネルギーを変化させることができるようになると、例えば図 1 のような測定が可能です。点線がターゲットの原子核が点電荷であると仮定した場合の断面積のエネルギー依
存性ですが、α 粒子のエネルギーが E ≈ 27 MeVを越えると、この予想曲線から大きくずれ始めることが分かります。ラザフォード散乱を古典力学で解いてみて下さい。α 粒子がもっとも中心に近づいた
ときの原子の中心からの距離は散乱角 θ の関数としてZ 1 Z 2 e2
rmin =
2E

2

(
)
−1 θ
1 + sin.
2(1)

で与えられます。図 1 は、E ≈ 27 MeV での最近接

そしてプランクが発見した定数 h を使って、これを距離あたりまでは点電荷の近似がよいことを示して説明する条件 (量子化条件) にたどり着きます。こいるので、鉛 (金) の原子核と α 粒子の半径の和はれが 1913 年。いよいよ量子力学が原子の世界に登

これよりも小さいと予想できるでしょう。これで、場することになります。

原子核の半径がだいたい 10 fm かそれ以下であるということが分かります。フェムトメートル (fm)3.1という単位は原子核物理で通常使われる長さの単位です (1 fm = 10−15 fm = 10−5 Å)。

原子

ボーア自身、古典力学との対応原理を考えたもラザフォードの業績は、原子核の発見だけに留のの、彼の理論が最終的な形であるとは考えておらまりません。彼は 1908 年には既に別の業績でノーず、真に正しい理論が明らかになったときには、こベル賞をもらっていました。さらに、彼に師事したの理論に導入した仮説は自然に導出されるものだと研究者で後にノーベル賞を受けた学者の数は膨大考えていたようです。現代の我々はそれが量子力学です。彼に影響を受けた物理学者となれば、その数であることを知っています。量子力学の本質を知っは計りしれないでしょう。高エネルギーの粒子線をていれば、電子が原子核の大きさ (fm) で運動する

使って微細な構造を研究するという素粒子・原子核ことは不可能であることがすぐに分かります。

物理の実験手法は、100 年後の現在まで変わらず続必要なのはハイゼンベルグの不確定性原理だけけられています。まさに、「原子核物理学の父」とです。水素原子 (Z = 1) を考えることにします。

呼ぶにふさわしい人物だと思います。

r0 = 1 fm という大きさに電子の運動を閉じ込めたとしましょう。そうすると、位置と運動量の不確定性から電子は不可避的に運動量 p ∼ ℏ/r0 程度を持ってしまいます。つまり、電子 (質量 mc2 ≈ 500
keV) の運動エネルギーは

3原子・原子核と量子力学の発展
原子核を発見したラザフォードは、当然ながら原子核を中心に据えた原子模型を作りました。我々がT =今日よく見る原子の模型図はこれに基づいたものです。しかしながら、上で述べたように、原子の半径p2ℏ2∼∼ 4 × 103 MeV = 4 GeV (3)
2m
2mr02

という巨大なものになってしまいます。(T ≫ mc2

は Å のオーダー、原子核の半径は fm のオーダー
なので、なぜ原子がそんなに大きいのかという大きなので、本当は相対論的な式にする必要がありまな謎が出現します。ラザフォードの原子模型では、

すが、以下の論旨は変わりません。) 電子の感じる
ポテンシャルエネルギーは、せいぜい −e2 /r0 ∼ 1

Z 個の電子は原子核からのクーロン力を受けてそのまわりを回っているわけですが、エネルギー的にはより安定な原子核のすぐそばの軌道や原子核内部に入ることを避けて、なぜか原子核からはるかに離れたところを回っていると考えざるを得ません。困っていた彼のところに、原子核発見の翌年の 1912 年、
ボーア (Niels Bohr) がマンチェスター大学に赴任してきます。悩み抜いたボーアは、ラザフォードの原子模型で水素原子の光におけるスペクトル線の
波長 λ に成り立つパルマー公式 (m = 2) やライマン公式 (m = 1) といったものを説明するためには何が必要なのかを考えました。
(
)
1
1
1
=R
−
, R: 定数, m < n: 自然数.
λ
m2 n2
(2)

MeV 程度ですから、これでは電子は瞬く間に遠方に飛び去ってしまい、水素原子は壊れてしまいます。
ここで、電子を閉じ込める半径の大きさ r0 を変化させて、全エネルギーが最小になるようにしてみ
ます。
e2
ℏ2
−
(4)
E = T0 − V0 ∼2mr02 r0
で、変分条件 dE/dr0 = 0 からすぐに

Emin = −

2
me4
2 mc
=
−α
,
2ℏ2
2

at r0 =

ℏ2
. (5)
me2

ここで、α ≈ 1/137 は微細構造定数、r0 はボーア半径と呼ばれます。ボーア半径程度に電子の運動が広がることではじめて、(5) 式のエネルギーの値が負になる、つまり電子を束縛することができるので3

す。たまたまですが、この荒っぽい見積りで得られ3.2

た (5) 式はシュレディンガー方程式を正確に解いた

次に、ラザフォードは原子核が何から構成されて値と一致しています。

いるのかを解明するための研究を開始します。図 2

ここで重要なのは、電子波動関数の広がりは、電のラザフォードの写真を見て下さい。彼が手に持っ子の零点運動エネルギーを小さくするために必然ているのが、彼の作った核変換装置です。当時はこ的に大きくなっているということです。すなわち、

んな小さな装置で原子核物理の最先端の実験をし量子効果が原子の大きさを決めているのです。(5)ていたんですね。この中に α 線源と窒素ガスを入式で与えられる r0 を用いて、(4) 式中の T0 と V0 をれて衝突させ、人工的な核変換に世界で初めて成功

評価すると、

1
T0
∼
V0
2

原子核

します。これが(6)

α +14 N → p +17 O

であることが分かります。この運動エネルギーとポ(7)

テンシャルエネルギーの比は、量子性の強さを表すという反応です。その後 Chadwick とともに色々な指標になります。T0 /V0 ≪ 1 であれば、系を古典標的に対して同様の実験を繰り返し、やがて一つの的に扱うことが近似的に許されるようになり、粒子

重要な仮説にたどり着きます。それが中性子の存在はポテンシャルの底の近傍に静止しているという近です。1920 年の講演の中で、原子核と非常に短距似が許されます。

離でのみ相互作用する電気的に中性の粒子が存在

クーロンポテンシャルに対するシュレディンガー

すれば、色々なデータがうまく説明できることを示

方程式の厳密解はラゲール多項式を用いて解析的しています。電気的に中性の粒子を見つけることはに表現できるため、量子力学は、ボーアが導入した

困難を極めましたが、やがて弟子の Chadwick がこ

仮説に頼ることなく、水素原子のエネルギースペク

れを果たします (1932 年)。中性子は電荷ゼロ、質トルを見事に説明することに成功しました。この事

量は陽子とほぼ同じであることが分かりました。

実は、量子力学の正しさを検証したもので、その後これで原子核が陽子と中性子 (総称して核子) がの発展に大きく貢献しました。

束縛した系であることが分かりました。その核子を結合させて原子核を作る相互作用、「核力」は、皆問題 3：電子の質量が陽子 (mc2 ≈ 1 GeV) と同じであっさんも知っていると思いますが、日本初のノーベル

たら、原子の大きさはどの程度になるか。

賞受賞者である湯川秀樹によって解明されました。
場の理論と摂動論の知識が必要なため、その中間子論の詳細をここで紹介することはできませんが、
粒子 (中間子) の交換によって相互作用が働き、その交換する粒子の質量で相互作用のレンジが決まるという基本的アイデアは、現代の素粒子論の標準模型においても変わることなく生きつづけています。湯川の予言した中間子は、10 年以上遅れてパウエルが宇宙線の中に発見し、現在はパイ中間
子（パイオン）と呼ばれています。この粒子には荷電状態が異なる３種類 (π ± , π 0 ) があってわずかに質量が異なりますが、およそ mπ c2 ≈ 140 MeV です。質量 m の粒子が核子から放出されたとき、不確定性関係 (∆t · ∆E ≲ ℏ) より、このような状態

図 2: 人工核変換装置を手にを持つラザフォード。
http://www.sciencephoto.com/より。

は ∆t ≲ ℏ/(mc2 ) の短い時間しか存在できないので、最大でも ℏ/(mc) 程度の距離にしか到達しないと考えられます。この長さ λm = ℏ/(mc) をコンプトン波長と言いますが、パイ中間子のコンプトン波

4長は、λπ ∼ 1.4 fm となります。つまり、核力のレンジはおよそこの程度の短距離だと結論付けられます。
問題 4：湯川ポテンシャルと呼ばれる次の量のフーリエ変換を求めよ。
g2
V (⃗r) = e−µr .
r
ここで、 µ−1 をコンプトン波長 λm = ℏ/(mc) とした場
合と m → 0 (µ → 0) の極限とを比べることで、質量ゼロの光子が媒介する相互作用 (クーロン力) と有限の質量の粒子が媒介する相互作用とを比較せよ。

では、次に核力のおおよその大きさを見積ってみましょう。我々は、重陽子が陽子と中性子の束縛状態として存在することを知っています。核力の到達

図 3: 原子間ポテンシャル (左) と核子間ポテンシャ
ル (右) の模式図。

距離が λπ 程度であることから、再び不確定性原理
を使うと、陽子ー中性子間の相対の運動量はおおま
かに p ∼ ℏ/λπ ∼ mπ c と見積もれます。したがっ核力ポテンシャルを模式的に示すと、図 3 の右て、零点運動エネルギーは、相対運動の換算質量を図のような形です。左の原子間ポテンシャルと比較µ として、

すると、その形は良く似ていることが分かります。

p2
T0 ≈∼ 20 MeV.
2µ

しかし決定的な違いがあります。それは、量子性の(8)強さです。左の分子の場合は、原子の波動関数はポ

換算質量は、核子の質量を mN とすると、µ =テンシャルの底の部分に局在しています。したがっmN /2 です。したがって、重陽子が存在するという実験的事実は、少なくとも T0 よりも深い引力のポテンシャルが核力にあるということを示唆します。ここから、原子核の典型的なエネルギースケー
ルは MeV という単位で表されるであろうことが予想されます。
湯川にはじまる核力の研究は、核子・核子散乱の詳しい解析を通して精密化されました。現在では核力は以下のような性質をつことが知られています。

て、これは古典近似を使うことができて、実際、分子動力学という手法で、原子の運動を古典的に記述する計算手法が確立しています。一方、重陽子の束
縛エネルギーはわずかに 2 MeV 程度で、図のポテ
ンシャルの深さ (V0 ∼ 100 MeV) に比べると非常に小さな量であることが分かります。(6) 式に示した指標でみれば、

T0 /V0 ∼ 1(9)であり、非常に量子性の強い系であることが分かり

1. r ≫ λπ のような遠方では、1 つのパイ中間子の交換から得られる湯川ポテンシャルで良く記述されます。

ます。強い量子性の帰結として、原子核は極低温において結晶化しない、つまり固体にならずに液体として留まることが予想されます。

2. r ≲ 0.5 fm の近距離では、強い斥力が働きます。

問題 5：物性では、液体ヘリウムがほぼ唯一極低温で液体に留まる系として知られる。なぜ液体ヘリウムが特別

3. 粒子間の距離のみの関数である中心力 V (r) に加えて、核子スピン・アイソスピンに依存する
非中心力が存在します。

なのか、理由を述べよ。

近距離で単純な湯川ポテンシャルから大きくずれる

4

理由は、このような近距離では、パイ中間子よりも１次元の量子力学演習
前にも述べたように、量子力学的多体問題を解く

さらに重い粒子の交換が効いてくるためと考えらことは様々な困難があって、大変難しい問題です。

れます。

5

しかし、いくつかの重要な原子核の性質は、簡単な

この領域 (II) の解の第一項が入射波、第二項が反射

１粒子の量子力学の解の性質から解析することが波だと解釈できます。定常状態の波動関数は時間に可能です。ここで、そのための準備として１次元の依存する位相因子 e−iEk t/ℏ があるためこれを考慮

量子力学演習をやってみます。量子力学を勉強する

すると、この解の重ね合わせから作った波束中心のと誰もが１度は習うのが「井戸型ポテンシャル中の動きは、vk = ℏk/m として、入射波は x = −vk t、粒子」です。時間に依存しないシュレディンガー方

反射波は x = vk (t − τ ) で与えられます。ここで、

程式

{
}
ℏ2 d2
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)−2m dx2

τ = 2ℏ(10)

時間的遅れは量子論に特有の現象です。
(波束中心について)
実関数 f (k) は k = 0 で幅 ∆k 程度のピークをもつ関数とする。平面波 eikx−iφ(k) を k のまわりで重ね合わせて
作った波束
∫
′
′
ψk (x) = f (k − k ′ )eik x−iφ(k ) dk ′反射と透過

まず、質量 m の粒子がポテンシャル0
領域 (I) x < 0
V (x) =
V0 < 0 領域 (II) 0 < x(15)は、反射による時間の遅れを表します。この反射のの解の性質を調べてみましょう。

4.1

dϕ
dE

(11)

を考える。k ′ に関する積分によって、被積分関数の位相が k ′ = k の周辺で定常的でない場合は積分は消えるとにしたがって運動する系を考察してみましょう。

考えられる。したがって波束中心は、x = dφ/dk ′ |k′ =kで与えられると考えてよい。

4.1.1

V0 < E < 0 の場合

それぞれの領域内における解は、
Aeκx
領域 (I)
ψ(x) =
sin(kx + ϕ) 領域 (II)4.1.2

V0 < 0、E > 0 の場合

この場合は、遠方での振る舞いを決める必要が(12)あります。ここでは、領域 (I) には左 (x → −∞) の√で与えられます。ここで、κ = −2mE/ℏ、k =√2m(E − V0 )/ℏ で与えられます。エネルギー E は方向に進む波しか存在しないとしましょう。
T e−ik1 x
領域 (I)
ψ(x) =.
(16)
e−ik2 x + Reik2 x 領域 (II)

連続スペクトルで、V0 < −E < 0 の任意の値が取
り得ます。

√
√
2mE/ℏ、k2 = 2m(E − V0 )/ℏ で与えられます。ここでもエネルギー E は連続スペクトルで、0 < E の任意の値が可能です。
x = 0 における対数導関数の連続性から、

x = 0 における対数導関数の連続性から、ϕ =tan−1 (k/κ) が得ら、これが位相 ϕ を決定します。
次に、x = 0 での関数の連続性から、A = sin ϕ となり、定数 A も決定されます。このとき、領域 (I)への波動関数の浸み出しの度合いを表す因子 A は、()
E − V0 1/2
k
=
.
(13)
A = sin ϕ = 2
k + κ2V0

ここで、k1 =R=

k2 − k1.
k1 + k2(17)

領域 (II) の波動関数は、ノルム 1 の波が右から左へ

シュレディンガー方程式の解は、定数をかけても伝搬して、x = 0 で反射してノルム |R|2 の波が反対同値な解を与えるので、(12) 式は次のように書く

方向へ進んでいると解釈できます。つまり、PR =こともできます。

−2iAeκx+iϕ
ψ(x) =
e−ikx − eikx+2iϕ|R|2 は反射率を表します。
次に、x = 0 での関数の連続性から、
領域 (I)
領域 (II)(14)

T =1+R=6

2k2
k1 + k2(18)

であることが分かります。領域 (I) へ透過した波は、透過率（トンネル確率）は、PT = |T |2 で与え波数が k2 から k1 へと変化し、粒子の速度が変化すられることはすぐに分かると思います。前と同様のるため、領域 (II) から (I) へ波が侵入する透過率は、手続きで解とその導関数の連続性から以下の答を次のように定義できます。

求めることができます。皆さんも一度解いてみて下

PT =

k1 2
4k1 k2|T | =.
k2(k1 + k2 )2

さい。

(19)

特に k1 = k2 の極限では、R = 0、T = 1。k1 ≪ k2

PT

=

PT

=

の場合には、

4k1,
PR ≈ 1 −
k2

4k1
PT ≈
.
k2

(20)

問題 6：次の関係が成り立つことを示せ。

PR + PT = 1.

4E(V0 − E),
(25)
4E(V0 − E) + V02 sinh2 κLfor 0 < E < V0
4E(E − V0 ),(26)
4E(E − V0 ) + V02 sin2 k ′ L
for E > 0, E > V0

問題 7：(25)、(26) 式は E = V0 > 0 のときにゼロになってしまうように見えるが、そうはならない。その値を求

(21)

めよ。
また、透過率 PT が |T | ではなく、係数 k1 /k2 が必要な
2

ここで、(25) 式で、トンネル現象が起こる 0 <理由を述べよ。

4.2

E < V0 の場合について考察してみましょう。κL ≫1 の場合は、sinh κL ≈ eκL /2 と近似でき、分母の第一項は第二項に比べて無視できます。したがって、
このとき次のような近似が成り立つでしょう。

トンネル現象と散乱 (E > 0)

次に、質量 m の粒子がポテンシャル
領域 (I) x < 00

V (x) =

V0



0

領域 (II) 0 < x < L

16E(E − V0 )exp(−2κL)
V02
(
)
2L √
16E(E − V0 )exp −=2m(V0 − E)
ℏ
V02
(27)

PT ≈
(22)

領域 (III) x > Lの場合を考えてみましょう。E > 0 の場合を考察す

ここでエネルギー依存性に注目し、exponential のることにします。ここでも境界条件が必要ですが、前の因子の E-依存性は exponential に比べて無視

今度は領域 (III) には右向き (x → ∞) に進む波しできると考え、この部分を 1 と置くと、
(
)
∫
2 L√
2m(V (x) − E)dx
PT (E) ∼ exp −
ℏ 0
(28)

か存在しないとします。

0 < E < V0 の場合、解は、

ikx
−ikx

e + Re
ψ(x) = A2 eκx + B2 e−κx


 ikx
Te

領域 (I)
領域 (II)と指数関数的な E-依存性を示すことが分かります。

(23)

この (28) 式は、定数ではない V (x) に対して WKB

領域 (III近似を使って求めたトンネル確率と等しいもので√す。WKB 近似についての解説は量子力学の教科書で与えらます。ここで、κ = 2m(V0 − E)/ℏ、k =√2mE/ℏ で与えられます。また、0 < V0 < E の場に載っていますので、そちらを参照して下さい。

合、あるいは V0 < 0 の場合には、領域 (II) の解が以下に変更されます。

ψ(x) = A2 e
で、k ′ =√

ik′ x

+ B2 e5−ik′ x領域 (II)(24)

原子核への簡単な応用例
ここで、前節の結果を使って原子核の性質のいく

つかを解析し、原子核を理解する上で、量子効果が2m(E − V0 )/ℏ です。

いかに重要かを理解することにしましょう。

7

5.1

アルファ崩壊と液体的性質

壊を起こす重い原子核では、このクーロン障壁の高さは 30 MeV という大きさを持ちます。すなわち、ラザフォード達が原子核発見に用いた MeV オー

E ≲ 30 MeV の α 粒子は、古典力学にしたがえば核内に閉じ込めることができるのです。しかし、量子力学ではトンネル効果で確率的に飛び出して来るでしょう。これがアルファ崩壊の姿だと Gamowは考えたのでした。
(28) 式を見て下さい。ここで、座標 x を今の問
題の動径座標 r に置き換えて適用してみましょう。
核半径を R、E = 2Ze2 /rE と置くと、
√
[
) ]
(
∫
2Ze2
2 rE
2m
− E drPT (E) ∼ exp −
ℏ R
r
√(
[ √
) ]
∫
4 mZe2 rE
1
1= exp −
−
dr
ℏ
r rE
R

ダーのエネルギーの α 粒子は、加速器ではなく、放射性元素のアルファ崩壊から出てくる α 線を用いました。アルファ崩壊は偶発的で確率法則に従い、放射性原子核ごとに決まった崩壊確率 λ が与えられていることが知られています。この崩壊確率の逆数が平均寿命 τ であり、よく使われる半減期はT1/2 = (ln 2)τ = ln 2/λ で与えられます。
アルファ崩壊する原子核の寿命は様々です。例えば、238 U の半減期は地球の年齢とほぼ同じ約 50 億年ですが、212 Po の半減期は 300 ナノ秒という短いものです。同じ現象であるにも関わらず、何十桁もの違いを生み出すメカニズムは何でしょうか。この謎は、George Gamow によって 1928 年に解明されました。量子力学を当時まったくの未知のミクロ物体であった原子核に適用し、古典力学では理解できない現象を解明した画期的な出来事でした。

(29)
この積分を実行すると、指数関数の引数は、x =R/rE として、(−32mZ 2 e4ℏ2 E)1/2 (cos−1)√
x − (x − x2 )1/2

(30)となります。エネルギーがクーロン障壁の高さに比べて十分低い場合、rE ≫ R (x ≪ 1) となるので、√(30) 式の後ろの括弧の中は π/2 − 2 x と近似できるでしょう。したがって、
[ {
]
√
}1/2
8π 2 mZ 2 e48e ZmRPT (E) ∼ exp −
+
ℏ2 E
ℏ
(31)
崩壊の半減期は、このクーロン障壁の透過率の逆数に比例すると考えられるため、比例定数を t0 として、

図 4: α 粒子に対するポテンシャルの模式図。

t0
PT (E)[{]√}1/2
8π 2 mZ 2 e48e ZmR∼ t0 exp−ℏ2 Eℏ

T1/2 =

今から見ればアイデアは実に単純です。原子核内部の α 粒子には、核力による引力とクーロン力による斥力が働いています。したがって α 粒子に対するポテンシャルは、原子核表面付近とその外側で(32)

は主に斥力のクーロンポテンシャル、内部では核力による引力ポテンシャルと考えられ、図 4 のような問題 8：実際に積分を実行し (30) 式を示せ。(factor 等

状況が想像できます。このポテンシャルは核表面付に間違いがあるかも）。

近でピークをもつ障壁を作り出し、これをクーロン障壁と呼びます。他の正電荷をもつ粒子 (例えば半減期が数十桁も異なるアルファ崩壊ですが、半陽子) にも同じような障壁が現れます。アルファ崩減期と放出される α 粒子のエネルギーとの間に良8

は非常によい精度で成り立っていることが分かります。

Geiger-Nuttall の法則のパラメータが (34)、(35)式のように与えられたので、図 5 にあるような多数の観測された実験データをもとに逆に核半径 R を求めることができます。その結果は、
R = r0 A1/3 ,r0 ≈ 1.5 fm(36)で良く近似できるというものでした。ここで、A =Z + N は陽子数と中性子数の和で、核子数あるいは質量数と呼ばれます。この関係式は原子核の体積が質量数 A に比例するということを表していて、言い換えると、内部の核子密度は原子核の種類によらず、おおよそ 3/(4πr03 ) で与えられるということを意味します。この事実を「核密度の飽和性」(saturationof nuclear density) と呼び、原子核の液滴模型をサポートする一つの傍証です。定量的には、上の r0の値はやや大きすぎて、その後の µ 原子のスペク
トル解析や次に述べる電子散乱実験などによってさらに詳細に調べられました。
高エネルギーの電子を加速器で作りだし、電子散乱実験によって原子核中の電荷分布を詳細に解明したのは、Hofstadter を中心とするグループです。
自然界に存在するいわゆる安定核と呼ばれる原子
核については、電荷分布が良く調べられ、図 6 のような結果が得られています。核内の核子密度について次のようなことが分かっています。

図 5: アルファ崩壊の半減期と α 粒子のエネルギーの関係。
く成り立つ法則があることを、Geiger と Nuttall が1911 年には見つけていました。図 5 に、半減期と放出される α 粒子のエネルギーとの関係がプロットされています。この図は、E −1/2 に比例するエネ
ルギー依存性がある場合に直線になるように横軸が調整されています。Geiger-Nuttall の法則と呼ばれる式は、
Zlog10 T1/2 = a √ + b
E

1. 原子核の中心付近の密度は原子核によらず一定で、ρ0 ≈ 0.17 fm−3 。「通常密度」(normal
density) と呼ばれます。

(33)

2. 核子密度分布は、フェルミ分布関数で近似でき、というものです。これは、(32) 式の両辺の対数をρ(r) =

取ったものに他なりません。次元のある量の対数をとるのは私の好みではありませんが、(33) 式に従っρ0.
1 + e(r−R)/a(37)

ここで、R = r0 A1/3 、r0 = 1.1 ∼ 1.2 fm で与て対数の形にしてみると、定数 a、b は次のようにえられます。

なります。

(
a = log10 e

8π 2 me4
ℏ2

)1/2
,

√
8e ZmRb = log10 t0 − log10 e.
ℏ

3. 密度分布 (37) 式の表面の厚さを表すパラメー
タ a はほぼ一定で、a ≈ 0.54 fm。

(34)

原子核にまつわる飽和性は核密度だけではありま(35)

せん。束縛エネルギー B = −E を調べてみると、

図 5 の直線は、平均的な Z の値をとったものなので、1 核子あたりの束縛エネルギー B/A が原子核によらずほぼ定数であるという性質が明らかになりま

異なる元素 (Z) ごとに線でつないでみると、(33) 式9

図 7: 鉛、カドミウム、銅の原子核にエネルギーを変化させた中性子を入射し測定された中性子散乱の全断面積。断面積の単位 barn は 100 fm2 。文献[5] より。
の下、1932 年に Cockcroft と Walton が加速器によ図 6: 電子散乱実験によって測定された色々な原子
核の電荷分布。文献 [4] より。

る人工核変換に成功します。これは Li に 500 keV程度に加速された陽子を衝突させたもので、クーロン障壁よりも低いエネルギーで起こしたものです。

した。密度とエネルギーの飽和性は、原子核を液体として記述する模型の発展を促しました。その中で問題 9：p+7 Li の反応におけるクーロン障壁のおおよそも最も成功しているのは、Bethe-Weizäcker によるの高さを見積もれ。

質量公式でしょう [5]。原子核の束縛エネルギーを、A(体積) に比例する部分、A2/3 (表面積) に比例する部分、(N − Z)2 /A に比例する対称エネルギー、陽子同士の電気的反発によるクーロンエネルギー、対相関による偶奇性に依存する部分、などに分けて記述した単純な式で、驚く程うまく原子核の質量が再現できます。はじめの A に比例する部分が液体の凝固熱に対応するもので、1 核子あたり、B/A ∼ 16
MeV です。原子核の液滴模型は、飽和性だけでなく、原子核の集団運動の記述においても大きな役割を果たしました [7]。
Gamow によるアルファ崩壊のトンネル現象としての記述は、原子核にも量子力学が適用できることを示した画期的な成果で、その後の核物理の発展に大きく貢献しました。また、アルファ崩壊が量子トンネル効果であれば、その逆にクーロン障壁以下のエネルギーの荷電粒子で核変換反応を起こすことも可能だろうと予想され、その後の加速器による核反応研究を推進する契機にもなっています。実際、ラザフォードは 3.2 節で述べたように α 線源を使って人工核変換に成功した後、加速器を使った研究へ力を注ぎました。そしてラザフォードの強力な支援

5.2

中性子散乱と気体的性質

原子核に中性子を照射すると何が起きるでしょうか。弾性散乱に加えて、捕獲反応（γ 線や α 線を放出して中性子を捕獲する反応) があり、場合によっては原子核が２つに分裂してしまう核分裂も起きます。ここでは、これらすべての反応の断面積をすべて足し合わせた中性子散乱の全断面積についてみてみましょう。図 7 に、実験データを集めた結果を示します。
この図から分かることとして、まず断面積の大きさが簡単な予想よりも数倍大きいことが分かります。中性子は電荷を持たないので、遠距離で相互作用するクーロン力が働きません。したがって、ラザフォード散乱のような大きな断面積は持たず、古典力学で予想すれば、核半径を R として σtot = πR2程度と考えられます。この大きさを見積もってみて下さい。図 7 の値より相当小さいはずです。また、エネルギーとともに断面積が小さくなっています
が、この振舞いも古典的に理解することは難しいのです。さらに特徴的なのは、全断面積がエネルギー10の関数として振動していることです。これはどのよます。この考えに基づいて透過率を実際に計算してうに考えられるでしょうか。古典的に理解することみましょう。

はほぼ不可能です。古典力学の散乱問題は、粒子が注意すべきことは、異なる経路の “確率” を足しどの軌道 (衝突係数) で入射してきたかで散乱が決合わせて計算してはいけないということです。これ定されるため、全断面積にこのような特徴的なエネ

では干渉は起こりません。振幅を足し合わせて計算

ルギー依存性をつくるメカニズムが考えにくいのし、最後にそれを 2 乗して確率を出します。まず、です。ところが量子力学では、どちらも起こり得る

x = L を透過する第一の波は、ことなのです。皆さんはまだ量子散乱問題には慣れ′T1→2 eik L T2→3ていないと思いますので、ここでは簡単に定性的な話で説明したいと思います。

(38)という振幅を与えます。ここで、領域 (i) から (j) へ問題 10：半径 R の井戸型ポテンシャルの古典散乱断面の透過振幅を Ti→j と記しています。領域 (II) を余

積を求めよ。角度積分した全断面積はエネルギーによら計に 1 往復した第二の波は、x = L で

2

ず πR になることを確かめよ。

′

′

′

T1→2 eik L R2 eik L R2 eik L T2→3

まず、図 7 の点線を見て下さい。“black nucleus”(39)と図に書かれていますが、これは半径 r = R で内という振幅を持ちます。R2 は領域 (II) における反向きの境界条件を課してシュレディンガー方程式を

射振幅を表します。ここで、波が進んでいる間の位解くことに対応します。その意味は、中性子が一度相の変化 (eik L ) を取り入れて計算する必要がある

核内 (r < R) に入り込んだら二度と出られないとことに注意してください。これがないと干渉が現れ考えるということです。この考え方は、次節のボーません。このようにして、これらを無限に足し合わ

アの複合核模型のアイデアと合致します。図から分せていくと、′{′′
T = T1→2 eik L T2→3 1 + (R2 )2 e2ik L

かるように、この考え方で大体の大きさと、エネル
ギーとともにゆるやかに断面積が現象することは}′+(R2 )4 e4ik L + · · ·
{
}−1
′
′
= eik L T1→2 T2→3 1 − (R2 )2 e2ik L再現できています。これは、中性子が de Broglie 波
長で特徴付けられる長さの位置の不確定性をもつために断面積は πR2 よりも大きくなるからです。しかしもう一つの特徴である特徴的な振動パターン(40)となり、これが透過率を与える振幅になります。

は現れません。これは、波のもう一つの特徴である(18) 式より T1→2 = 2k/(k + k ′ )、T2→3 = 2k ′ /(k +k ′ )、(17) 式より R2 = (k ′ − k)/(k + k ′ ) と分かるので、これを代入して計算します。(19) 式をここでは
P0 と書くことにすると、結果は
{
}−1
′
′
T = eik L P0 1 − (1 − P0 )e2ik L(41)

干渉効果によって産み出されていると考える他なさそうです。

1 次元問題で考察した井戸型ポテンシャルの透過率 (26) 式を参考にして考えてみましょう。今、入射する中性子のエネルギーは E > 0、核内では核子を束縛するポテンシャルがあるでしょうから、
V0 < 0 という状況が想定できます。(26) 式の分母に V02 sin2 k ′ L という項があるので、透過率はエネ
ルギーの変化に対して、[1 + V02 /{4E(E − V0 )}]−1と 1 の間を振動します。この透過率の振動も干渉効果と理解できます。左からやってきた波は x = 0 を透過し、距離 L だけ進んだ x = L で再び透過した
第一の波、x = L で反射、x = 0 で再反射、x = Lで透過した第二の波があり、この第一と第二の波は
x > L で干渉するでしょう。実際には、領域 (II) を往復する回数を増やした無限個の波が干渉していとなります。PT = |T |2 を計算すると、確かに (26)式に一致します。これで、(26) 式の振動的振舞いの起源が、異なる経路の足し合わせからくる干渉であることが明白です。ここで示した振幅の計算
法は、量子力学を経路積分という形で定式化した

Feynmann のアイデアの特別な場合と見ることができます。経路積分の考え方では、量子力学における２つの状態間の遷移振幅があらゆる可能な経路を足し合わせることで求められます [6]。

11W (⃗r) = 0 であれば、ハミルトニアンはエルミート
で、 連続の式を満たすことはよく知られていますが、W ̸= 0 のときには、問題 11：ここと同様のやり方で反射の振幅 R を計算し反射率 PR を求めよ。また PT + PR = 1 を確かめ、計算の正しさを検証せよ。

こ こ で 中 性 子 散 乱 の 断 面 積 に 戻 り ま しょう。

∂
⃗ · ⃗j(⃗r, t) = − 2 W (⃗r)ρ(⃗r, t)ρ(⃗r, t) + ∇∂tℏ“black nucleus” として原子核を記述すると、原子核の中に入った中性子は外に出てこられません。一方、ポテンシャルによる散乱のように、核内に入った中性子が外に出てくることができれば、もとの入射波と核内を通って外へ出てきた波との間に干渉が起こり、図 7 のような振動パターンが現れるのです。
1 次元の井戸型ポテンシャルでは、干渉を起こす′
波と波の間の位相差が e2ik L の整数倍でした。これが振動の周期の元になっていることは明らかでしょう。現実の散乱は 3 次元空間で起きているため全く同じではありませんが、似たような解析が可能です。この場合は、核内を通らなかった波と核内を通過した波の位相差が問題になります。原
子核の外では k 2 = 2mE/ℏ2 で、核内では中性子が引力のポテンシャル V0 < 0 を感じているとす
2 = 2m(E − V )/ℏ2 に波数が増加します。
ると、kin0
原子核の直径を 2R とすると、位相差はおおよそ
ei2(kin −k)R になると考えられます。原子核の半径 R
は r0 A1/3 で近似的に決められるので、図 7 の振動の周期 (波長) から kin − k の大きさ、すなわちポテ
ンシャルの深さ V0 を見積もることができます。
定性的には図 7 の振舞いをこれでおおよそ理解できましたが、定量的に断面積の振動の振幅の大きさを再現するためには、通常の実数のポテンシャ
ル V (⃗r) だけではうまくいきません。干渉効果が強すぎて、振動の振幅が大きくなりすぎるのです。一方で、“black nucleus” の近似では干渉効果が見えなかったので、現実はこの中間だろうと予想できます。つまり、核内に入った中性子はある有限の確率でターゲットの原子核の内部自由度 (核子の運動や集団運動等) を励起させ、中性子はエネルギーを失い “吸収” されます。この効果を複素ポテンシャルとして取り入れたのが、光学模型です。
複素数のポテンシャルの意味は時間依存シュレ
ディンガー方程式で理解できます。
{ 2
}
p
∂
+ V (⃗r) − iW (⃗r) ψ(⃗r, t).
iℏ ψ(⃗r, t) =
∂t
2m
(42)

(43)

と変更されます。これは、中性子が単位時間あたり 2W (⃗r)/ℏ の確率で原子核との相互作用でエネル
ギーを失うことを表しています。エネルギーを失った中性子は弾性散乱としては “失われた” と見ることができるため、これを減衰として近似的に扱うのが、光学ポテンシャルなのです。この原子核の内部自由度との “衝突率” の逆数が、核内で中性子が衝突するまでの平均時間

τcoll =ℏ
2W (⃗r)(44)を表します。τcoll はこの定義では厳密には位置に依存しますが、平均的な大きさをとることにします。
これに中性子の速度 v をかければいわゆる平均自由行程です。

λ = τcoll v =

ℏv
.
2⟨W ⟩

(45)

様々なエネルギーの中性子散乱（陽子散乱）から光学模型のポテンシャル V (⃗r)、W (⃗r) は決定されます。
どちらも (37) 式と同形の Woods-Saxon ポテンシャ
ルで記述され、その深さ V0 、W0 はエネルギーと共に変化します。実ポテンシャルは、E ≲ 80 MeV く
らいまでは−V0 = 52 − 0.3E MeV(46)

でよく近似できます [5]。虚部にもエネルギー依存性がありますが、E ≲ 80 MeV の領域では W0 ≲ 10

MeV で、中性子のエネルギーを下げるとより小さくなります。このことは、図 7 で、断面積の振動振幅の大きさが低エネルギーでより大きくなっていることからも分かります。実際、E ≈ 0 の熱中性子 1 に対しては W0 ∼ 1 MeV 程度になります。このとき、中性子の核内での速度は、v 2 = |2V0 |/m ≈ c2 /10で与えられると考えられるので、(45) 式より、
λ=ℏv
∼ 30 fm.
2W0(47)

典型的には室温 T ∼ 300 K に対応する熱エネルギー kT ∼25 meV 程度の低エネルギー中性子のこと。
112この大きさは核半径の数倍の大きさです。従って、

まず、5.2 節で考えたように、中性子が原子核か核内に入った熱中性子は衝突せずに “かなり” 自由

らのポテンシャルを感じて運動するという考え方に飛び回っていると考えて良さそうです。

で何が言えるか考えてみます。(47) 式の平均自由

さらにエネルギーを下げて負のエネルギーを持行程が示すように、中性子は比較的自由に核内をつ束縛された中性子はさらに大きな平均自由行程

運動するので、核内に入った中性子は R/v 程度のをもつと考えられます。それは、中性子がフェルミ

時間で原子核を通過していくだろうと予想できま粒子であるためパウリ原理が働き、原子核の内部す。熱中性子は低速ですが、一旦原子核に入ると、自由度と相互作用して散乱されても、その行き先

50 MeV 程度の引力のポテンシャル V (⃗r) < 0 を感じて加速されます。したがって、この時間スケール√
は R/v ∼ 10R/c となり、おおよそ数 fm/c∼ 数
十 fm/c だと考えられます。皆さんにもなじみのある単位を使うと、10−22 秒程度ということができます。また、この値は核子のフェルミ運動 (vF ) の時
間スケールと同じオーダーです。

が無くて散乱が禁止されることに由来します。したがって、このような束縛された核子には、実ポテン
シャル V (⃗r) だけを用いた記述がよい近似になるのです。これが、Mayer-Jensen が提唱し成功した殻模型 (shell model) を与えるポテンシャルと考えてよさそうです [8, 5]。殻模型については、原子核物
理のどんな教科書にも必ず載っていますので、そちτF ∼らを参照してください。
ここまでの解析から、低エネルギーの核子に対R∼ 10−22 s.
vF

(48)

これが核内核子の独立粒子運動の時間スケールで、して、原子核は一体場の平均ポテンシャル V (⃗r) を原子核の代表的な時間スケールの１つと考えるこ

提供し、その中を核子は自由に運動しているといとができます。不確定性関係を使ってエネルギース

う “気体” 的な姿が見えてきました。その後の研究ケールにすると、∆E ∼ ℏv/R ∼ 10 MeV のオーによっても、独立粒子運動は原子核を理解する上でダーです。

非常に重要な要素であることが分かってきました。

問題 12：(以下フェルミ統計による簡単なフェルミ気体

5.1 節では、原子核は飽和性を代表として液体的性質を示すことを述べましたが、ここで述べた気体的性質と整合するのでしょうか。これは殻模型が提唱された後の原子核物理の大きな課題でした。次節では、独立粒子運動と一見矛盾する複合核模型を取り上げます。これもまた、中性子散乱の実験データを理解するために考えだされた模型なのですが、強結合な液体的性質を表す模型です。

を知っていると仮定）原子核の飽和性の性質（通常密度）からフェルミ運動量 kF を求めよ。さらに、核半径のだ
いたいの大きさから、(48) 式を確かめよ。

フェルミ等の実験によって、熱中性子の散乱実験
では、ほとんどの中性子が散乱されずにガンマ線を出して捕獲されてしまうということが分かりました。ガンマ線の放出は電磁気相互作用で起こされるので、古典力学的にその確率を見積もることができ5.3ます。ここで見積もった τF ∼ 数十 fm/c 程度の短中性子共鳴と複合核模型・量子カオス

い時間でガンマ線を出す可能性は、実験で観測され中性子散乱の初期の実験は、1935 年ころにフェルた確率よりもはるかに小さいことが分かりました。

ミのグループによって行われました。中性子はクー

さらに、実験では非常に多くの共鳴状態が観測され

ロン障壁がないために原子核に容易に到達することました。この共鳴状態は eV オーダーの間隔で現ができ、ラザフォードのグループが苦労して行った

れ、そのエネルギー幅は eV よりも小さい幅で現れ

人工核変換でしたが、フェルミ達はわずか２、３ヶることがあります。∆E ∼ 1 eV のエネルギー幅は月の間に５０近い新しい原子核を作り出すことに時間にすると成功しています。さらに中性子散乱についての詳しτcomp ∼ ℏ/∆E ∼ 107 × τF

い実験が行われ、この結果はボーアの複合核模型・(49)

液滴模型、さらには量子カオスの研究へと発展してという時間スケールですので、ポテンシャル中を運いく理論物理の一つの流れを作り出しました。

動する中性子の時間スケール τF とは全く異なる時

13間スケールだということが分かります。どうやって原子核は 7 桁以上も異なる時間スケールを内在できるのでしょうか。
アルファ崩壊の場合、Gamow は量子力学によるトンネル効果を使って、核種によって何十桁も異なる半減期を説明することに成功しました。ところ
が、中性子は電荷を持たないため、ポテンシャルにクーロン障壁がありません。遠心力ポテンシャルで
図 8: 熱中性子共鳴を説明するボーアの複合核模型のアイデア。文献 [9] より。

障壁を作ることも可能ですが、そのためには大きな角運動量をもった中性子を核内に入れる必要があり、その確率は非常に小さくなってしまいます。
また実験では s 波 (l = 0) 共鳴が多く観測されています。乱雑行列理論の紹介は、文献 [5] に見つけるます。しかも、eV 程度の間隔で大量の共鳴状態がことができます。
ボーアのアイデアは、5.2 節で述べたポテンシャ

現れることをポテンシャル模型で説明するのは無理

ル中を自由に運動する核子とは対極的です。原子核です。
フェルミ等の実験の翌年 (1936)、ボーアがこのは非常に強く結合した系であって、系の励起は核問題に解決の糸口を与えました。彼は、核内に入っ子の運動が独立に励起されるのではなく、“コヒーた中性子は原子核の内部自由度と相互作用し原子核レント”（一緒）に動く運動になると考えられます。

を励起させ、中性子はその分のエネルギーを失うだ

これは液体の運動を連想させ、液滴模型の発展へ

ろうと考えました。熱中性子は E ≈ 0 で入射してとつながっていきます。しかしここに大きな問題がいるので、少しでもエネルギーを失うと原子核からあることに気づくと思います。核内に入った中性子

出られなくなってしまいます。その結果として非常は原子核から飛び出すことなく、他の核子にエネルに長い時間 (これを τcomp とここでは呼びます) 核

ギーを分け与えてしまうということは、中性子の平内に閉じ込められ、その間にガンマ線を出して捕獲

均自由行程は、原子核の大きさよりも小さいと考えされてしまう確率が大きくなると考えられます。こたくなります。これは、(47) 式と矛盾してしまいまのメカニズムをボーアは図 8 のビリヤードで表現しす。どのように考えるべきでしょうか。

ました。核子をビリヤードの玉にたとえて、核内に熱中性子は原子核の外では 1 eV というオーダー

入った中性子は次々と他の核子に衝突して、持ち込の非常に小さなエネルギーを持っているために運動量 (波数) は k1 ∼ 10−4 fm−1 程度になります。しまれたエネルギーは瞬く間に多数の核子 (自由度)に分配されると考えます。多くの核子 (自由度) がかし核内では引力ポテンシャルのため k2 ∼ 1 fm−1

励起された状態になるため、この状態は非常に複雑程度です。この核表面で起きる運動量の大きな変な状態だと考えられます。このように、ボーアは、

化は、古典力学では単に中性子が核内から核外に原子核に τF よりも遥かに長い時間スケール τcomp

出るときに遅くなるというだけですが、量子力学が現れる起源が多粒子が励起された複雑な状態にあではそれだけに留まりません。1 次元の量子力学でるとして、この状態を複合核 (compound nucleus)

見たポテンシャルの壁の透過率 (19) 式、もしくはk1 ≪ k2 で成り立つ近似式 (20) を見てください。
中性子が原子核表面から飛び出す確率は、古典的には E > 0 であれば PT = 1 ですが、量子力学では PT ≈ 4k1 /k2 になります。上の 1 eV の中性子の場合を考えると、PT ∼ 10−3 という小さな確率になってしまいます。実際の原子核のポテンシャルはWoods-Saxon 型に近いものですから、ここでの評
価はやや PT を小さく見積もり過ぎているかもしれと名付けました。その後、核反応が複合核を経由して起こると考えることで、統計的な反応模型が発展しました。また複合核の理論として有名なのが、1955 年にウィグナーが提唱した乱雑行列理論(random matrix theory) です。これは複雑な系のエネルギー準位を統計的に扱うことを可能にし、その後の量子カオスの研究において中心的な役割を果たしました。現代では様々な分野に応用されてい14

ませんが、表面がはっきりしたポテンシャルに対しの系は低温で結晶化しますが、陽子・中性子を沢山て定性的には同じことが言えます。つまり、中性子集めた核物質は零度でも結晶化しないと考えられはポテンシャル障壁がなくても、de Broglie 波の波ています。原子核に類似した系をあえてあげるとす

数（波長）が表面で大きく変化すると、量子効果にれば、液体ヘリウムでしょう。つまり、原子核の変よって、核内にかなり長い時間 (これを τconf とこ

形とは、分子の変形とは全く異なり、液体ヘリウム

こでは呼びます) 閉じ込められてしまうのです。中の液滴が絶体零度で変形するかどうかという問題

性子が飛び出すまでには、PT−1 回程度核表面にぶに近いのです。この強い量子性を認識しておくこと

つかる必要があるので、核内を往復運動するその距は、原子核を理解する上で欠かせない要素です。

離は PT−1 R ∼ 103 R (R: 核半径) 程度と考えられま

5.2 節でも述べたように、Mayer-Jensen によって、3 次元等方調和振動子ポテンシャルに基づく殼
模型 (シェルモデル) が提唱され、核子の一粒子運動 (独立粒子運動) という側面から様々な原子核の性質が解明されていきました。その一方で、どうしても球形のポテンシャルでは解決できない謎も残されました。やがて、そのポテンシャルを変形させた
変形殼模型で謎を解決しようとする考えが生まれてきます。しかし、原子核が変形するメカニズムを理解するためには、核子を閉じ込めているポテン
シャル自体が逆に核子の運動そのものから作られていること（平均場）を考慮する必要があります。これは言い換えると、核子の一粒子運動と平均場との間の結合効果であり、原子核の統一模型 [7] の背後にある「対称性の自発的破れ」のアイデアに直結します (図 9)。変形を表わす集団的自由度と一粒子運動との結合がなぜ原子核を変形させることができるのか、次に統一模型（集団模型とも呼ばれる）を単純化した模型で、問題を具体的に考察してみましょう。

す。すると量子的閉じ込め時間は、

τconf ∼

R
∼ 103 × τF
PT v

(50)

です。これではまだ τcomp には 4 桁程度足りません
が、これだけの時間があれば、(47) 式の平均自由行程よりは遥かに長い距離を中性子は核内を運動するので、衝突によってエネルギーを失い、ボーアの複合核が実現されるのです。

6

原子核の変形

5 節で見たように、原子核には様々な時間スケー
ルが共存しています。一体問題、二体問題、多体問
題がそれぞれに異なる時間スケールを生み出していて、そこには量子効果が非常に重要な役割を果たしていることを見ました。ここで最後にもう一つ別の時間スケールを議論したいと思います。それは核変形・表面振動に関わる時間スケール τvib です。
原子核は fm スケールの小さな物体ですが、現在では多くの原子核が球形からずれた形をしていると考えられています [7]。ミクロな物体の変形で代表的なものが分子の形でしょう。皆さんも化学の実験室等で、分子模型を一度は見たことがあると思います。2 原子分子がダンベル型、水や二酸化炭素等の3 原子分子が三角形になるということは幾何学的に考えて当然のように思われます。しかし、ここでまず強調したいことは、原子核の変形は “古典的” な原子配置による分子の形や結晶構造とは全く異なるものだということです。これは図 3 で議論したこと、すなち古典系と量子系の違いです。2 原子分子の場合、原子間距離はポテンシャルの底 R に固定されていますが、重陽子の場合、陽子・中性子間の距離は量子的な零点運動のために大きく揺らいでいます。したがって、原子を沢山集めるとほとんど

6.1

統一模型と対称性の自発的破れ

まず、比較的重い原子核の基底状態近傍では、次の時間スケールの分離が近似的に成立しまず。一粒子運動 xi (i = 1, · · · , A) は「早い運動」で、その時間スケールは (48) 式の τF 。一方でポテンシャル
形状が振動する自由度 β は「遅い運動」で、その時間スケールは 1 桁程度大きくなります。

τvib ∼ 10 × τF .

(51)

10 倍というスケールは、前にみた τF と τcomp との差に比べると小さいですが、ここでは τF よりも十分に長いとして、断熱近似で取り扱うことにします。
15

が形状振動 (集団自由度) を決定する方程式となります。異なる一粒子状態 |n(β)⟩ 毎に異なるポテン
シャル・エネルギー曲線 V (β) + ϵn (β) が対応し、チャンネル間の結合が tnm (β) で与えられます。この段階では、V (β) + ϵn (β) は球形 (β = 0) で最小の値をとります。もし、一粒子状態 (早い自由度) の固有エネルギーのうち基底状態が他から分離され、ϵn − ϵ0 ≫ tn0 であれば、(54) 式において tnm が無視できて、有効ポテンシャル (V (β) + ϵ0 (β)) は
β = 0 で最小になり、基底状態において原子核は丸いということになります (図 9 での a に対応)。しかし、ϵ0 が他の ϵn と β = 0 で近似的に縮退する場
合は tn0 が無視できません。
ここで、問題を具体的にするため、n = 0, 1 の２準位のみ (ϵ0 (β) ≈ 0, ϵ1 (β) ≈ eβ)、β ≥ 0 のみを考え、β = 0 の球形の周りで展開し、定数項を除く最低次の項のみが有効であるとします。

図 9: 原子核の有効ポテンシャルを変形パラメータβ の関数としてプロットしたもの。文献 [10] において、閉殻配位の原子核にバレンス核子を加えること
で、ポテンシャルは a から d へと変化することを示すために用いられている。

1
V (β) ≈ Cβ 2 ,
2t10 (β) ≈ q ∗ β.
(55)
上の仮定から、C > 0、e > 0。(54) 式で Tβ を無視した有効ポテンシャルは、2×2 行列の対角化により簡√単に求められ、β = e( 1 + 4|q|2 /e2 −1)/(2C) > 0
において最小となることが分かります。つまり、対称性の自発的破れが実現したことになります (図 9での c または d に対応)。
ここでの考察は、断熱近似を用いた簡単なもの
ですが、原子核が回転対称性を破るメカニズムを端的に表現しています。まず、振動と核子の自由度の間の結合項 Hcoupl (x, β) が無ければ、有効ポテン
シャル V (β) + ϵn は常に球形 (β = 0) で最小となる
ため、原子核は変形しません。これが、先に、統一模型の本質がこの結合項にあると述べた所以です。
次に、核子の一粒子運動 ϵn (β) が球形で近似的に縮退する状況が必要です。これは、閉殼 (closed shell)に核子 (空孔) を加えた開殻 (open shell) の原子核が自発的に変形することを示唆します。
こうして原子核が変形すると、球形の原子核には存在しない「回転」という集団的自由度が出現します。これによって、原子核のスペクトルには特徴的な回転スペクトルが現れ、その回転の時間スケー
ルは、先ほどの振動運動よりもさらに遅いため、系のハミルトニアンは、形状振動に関わる部分

Tβ + V (β) と独立粒子運動部分 h(x)、およびその間の結合項 Hcoupl (x, β) で与えられ、H(x, β) = Tβ + V (β) + h(x) + Hcoupl (x, β), (52)と書けるとします。まず、β を固定した断熱 (Born-

Oppenheimer) 近似の下での x に関するシュレディ
ンガー方程式、{h + Hcoupl (β)}|n(β)⟩ = ϵn (β)|n(β)⟩(53)

を解きます。h(x) としては球対称の殼模型ポテンシ
ャルのハミルトニアンを考えます。この解 |n(β)⟩ は、
核変形が β における核子の独立粒子運動状態を与え∑ます。系全体の状態を Ψ(x, β) = n |n(β)⟩⊗ψn (β)と書き、集団自由度の運動エネルギー項からくる非対角要素を tnm (β) = ⟨n(β)|Tβ |m(β)⟩ (m ̸= n) とすれば、チャンネル結合方程式 2∑{Tβ + V (β) + ϵn (β)} ψn (β)+
tnm (β)ψm (β)
m̸=n= Eψn (β),(54)
2対角要素 tnn (β) は ϵn (β) に繰り込み、集団変数 β は１自由度としました。集団変数が複数存在する場合には、対角要素だけでも、準位交差に伴うベリーの位相に関わる問題などがありますが、本筋からはずれるのでここでは触れません。

t01 (β) ≈ qβ,

τrot ∼ 10 × τvib ∼ 102 × τF .
16

(56)

程度となります。

が参考になると思います。さらに詳しく勉強したい

ここでは触れられませんでしたが、核子が対を人は、大学院レベルになりますが、組んだクーパー対が凝縮することで発生する「核子P. Ring and P. Schuck, “Nuclear many-body problems” (Springer-Verlag)
が最近のこの分野のスタンダードな教科書となっています。原子核理論で培われた様々な多体理論のアプローチが紹介されています。これにも飽き足らない人は、ぜひ参考文献 [5]、[7] を読んでみて下さい。読みやすい本とは言えませんが、原子核物理を研究する人にとって、今でも非常に示唆に富んだ名著です。

超流動」の現象も、ここの議論と同じように考えることが可能です。有効ポテンシャルが対称性の高い状態 (β = 0) において縮退を引き起こすとき、その対称性は自発的に破られるのです。

7

最後にここまで、原子核に内在する沢山の時間スケー

ルが登場しました。核子の一粒子運動 (フェルミ運動) の時間スケール (τF )、集団運動の時間スケール(τvib 、τrot )、熱中性子が核内で衝突してエネルギーを失うまでの時間 (τcoll )、熱中性子の量子的閉じ込
め時間 (τconf )、複合核の共鳴時間 (τcomp )。これらの異なる時間スケールが現れるためには、量子力学が本質的であることも理解できたかと思います。
何桁にもわたって異なる時間スケールを持っていることが、原子核が液体的性質を示したり、気体的性質を示したりすることを理解する上では重要です。
また、原子核のような有限の系で、核変形といった対称性の破れを正確に理解する上でも重要です。
原子核物理の教科書を読むときには、ぜひこのことを頭に入れた上で読んで下さい。教科書の中には誤った記述もあります。これらの誤りは、原子核に対する間違ったイメージに基づいているので、正しいイメージを持っている人は、何かおかしいとその誤りに気づくはずです。こういったことは、原子核物理に限らずすべての分野に当てはまることですが、残念ながら特に核物理には混乱が多いように
感じます。

参考文献
[1] 拙著、「ラザフォードによる原子核発見 100 周年」, 化学 Vol. 66, No. 11, (2011) 39.
[2] E. Rutherford, Phil. Mag. 21 (2011) 669.
[3] R.M. Eisberg and C.E. Porter, Rev. Mod.
Phys. 33 (1961) 190.
[4] B. Frois and C. Papanicolas, Ann. Rev. Nucl.
Part. Sci. 37 (1987) 133.
[5] A. Bohr and B. R. Mottelson, Nuclear Structure Vol. 1 (Benjamin, 1969).
[6] R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum
Mechanics and Path Integrals (McGraw Hill,
1965).
[7] A. Bohr and B. R. Mottelson, Nuclear Structure Vol. 2 (Benjamin, 1975).

最後に原子核物理に関する教科書を紹介してお[8] M. G. Mayer and J. H. D. Jensen, Elementary theory of nuclear shell structure, (Wiley,
1955).

きます。まず、「原子核と放射」

八木浩輔著(朝倉書店)
が量子力学が核現象にどう応用できるのかを知る上では参考になります。5.1 節のアルファ崩壊については、WKB 法についても詳しく解説されています。上記の教科書は原子核物理の内容の一部抜粋について解説したものですが、全般的な教科書としては、同じ著者の「原子核物理学」 八木浩輔著 (朝倉書店)[9] N. Bohr, Nature 137 (1936) 344.
[10] K. Alder et al., Rev. Mod. Phys. 28 (1956)
432.

17