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Mathematical
Complexity of
Simple Economics
by Donald SaariA

lesson learned from modern dynamics is that natural systems can be surprisingly complex. No longer are we
astonished to discover that systems
from, say, biology (e.g., [GOI, Ma1,Ma2]) or the Newtonian n-body problem (e.g.,[MM, Mo, Mk, SX, X]) admit all sorts of previously unexpected dynamical behavior. This seeming randomness, however, sharply contrasts
with what we have been
conditioned to expectfrom economics. On theevening news and talkshows, in the newspapers, and during political debate we hear
about the powerfulmoderating force of themarket which, if just left
alone, would steadily
drives prices toward anequilibrium with the desired balance between
demand and supply.
The way this story is invoked to influence government and even
health policies highlights its important, critical role. But, is it true?
I have no idea whether Adam Smith’s invisible hand holds for the “real world,” but, then, no
one else does either. This is because, even though

this story is used to influence national policy, nomathematical theory exists to justify it. Quite to
the contrary; what we do know indicates thateven the simple models from introductory
courses in economics can exhibit dynamical behavior far more complex than anything found inclassical physics or biology. In fact, all kinds ofcomplicated dynamics (e.g., involving topological entropy, strange attractors, and even conditions yet to be found) already arise in elementary models that only describe how people
exchange goods (a pure exchange model).
Instead of being an anomaly, the mathematical source of this complexity is so common to
the social sciences that I suspect it highlights ageneral problem plaguing these areas. If true, thisassertion explains why it is difficult to achieve
progress in the social sciences while underscoring the need for new mathematical tools. In thisarticle I explain my suspicion by outlining whatgoes wrong with the price adjustment story. To
do so, in Section 2, after quickly introducing theneeded concepts (I recommend [V] for a complete, relaxed description), the price assertion is
described in terms of the structure of vector
fields on a sphere. Then, an explanation and extension of this counter-intuitive result are given.

NOTICES OF THE AMSVOLUME 42, NUMBER 2. . . even simple
economic models
can exhibit
dynamical
behavior far
more complex
than anything
found in classicalphysics or
biology.

222

Donald Saari is a professor in the Department of Mathematics at Northwestern University, Evanston, Illinois.
His e-mail address is d_saari@math.nwu.edu
This is a written version of several conference and colloquia talks. The research was supported by NSF Grant
IRI 9103180.

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A person’s choices at prices p are governed by personal preferences. As a natural ordering doesn’t exist on
R n , n ≥ 2, impose one by assuming
each person’s preferences are captured by a utility function
uk : R+n → R where uk (y) > uk (x)iff the k th agent prefers bundle
y to x . To further simplify themathematics, assume that individual preferences arestrictly convex. This meansthat for any x , those commodity bundles this person
likes as much or better thanx , {y | uk (y) ≥ uk (x)}, is astrictly convex set. Also, assume that all componentsof ∇uk are positive. (Thus,
all commodities are desired
and an agent prefers morethan less of each good.) With
this idealized set-up, the k thagent’s demand at pricep, xk (p) , can be determined byelementary Lagrange multipliertechniques; it is where a uk levelset is tangent to the budget plane.
(See Figure 1.) As this requires ∇uk
to be orthogonal to the budget planeat xk (p) , there is a positive scalar λ so
that

(2.2)

2. The Price Model
In a n ≥ 2 commodity world without production, agents can exchange goods according to(positive) prices. If pj is the price per unit of thej th commodity, the cost of xj > 0 units is pj xj .
So, letting vector p represent the prices of allcommodities, the cost of a commodity bundle
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R+n is computed by the innerproduct (p, x). In an exchange economy, what thek th agent can afford is based on what he cansell—his initial endowment wk —which provides
wealth (p, wk ). Thus at prices p, agent k can afford a commodity bundle xk satisfying the budget constraint (p, xk ) ≤ (p, wk ), or any xk in thebudget set(2.1){xk ∈ R+n | (p, xk − wk ) ≤ 0}.

The boundary plane passing though wk withthe price vector p as a normal is the budget
plane. (See Figure 1)

FEBRUARY 1995

Adam Smith
proposed theeconomic notionof the “invisible
hand”, but doesit have anymathematicalcredibility?

λp = ∇uk (xk (p)).

The k th agent’s excess demand,ξk (p) = xk (p) − wk , is the difference between
what is demanded, xk (p), and what is supplied,
wk . This elementary derivation immediately
leads to the classical propertiesPof the aggregate
excess demand function, ξ(p) = n
k=1 ξk (p), called
Walras’ laws.
1. ξ(p) is single-valued and smooth (because of Figure 1
uk’s convexity and smoothness),
The kth agent’s
2. ξ(p) is homogeneous of degree zero (because demand function
each ξk (p) is defined by
the tangency of the utility function with thebudget plane, and forany positive scalar µ ,both p and µp define
the same budget plane),and3. ξ(p) is orthogonal top (because both wk andxk (p) are in the budget
plane).

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NOTICES OF THE AMS

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What Else Happens?
As only elementary concepts are used, one might
anticipate only well-behaved properties toemerge. But, as already promised, this is nottrue. To place this problem in a mathematicallymore convenient framework, notice that Proposition 2 allows us to scale the prices to norm 1;
so, treat prices as points on the price simplex
S+n−1 —the intersection of the unit sphere S n−1
with the positive orthant R+n . On the price simplex, ξ(p) is a smooth, tangent vector field(Propositions 1, 3).
Independent of how prices may change, it isreasonable to wonder whether equilibria for
Adam Smith’s story exist; namely, is there a pricep∗ whereby ξ(p∗ ) = 0 so supply equals demand?
To see why there must be such p∗ , notice fromthe construction that choosing p nearly orthogonal to an axis forces the budget plane (the constraint for the Lagrange multiplier problem) tobe nearly parallel to this axis. The strict convexity of preferences combined with the optimization procedure, then, forces a large excess
demand for this good. This makes sense; the pchoice significantly reduces the (relative) priceof a desirable good, so its demand should become
unbounded. Mathematically, this forces the vector field ξ(p) to point toward the interior of theprice simplex all along the boundary, so, fromthe Brouwer fixed point theorem (e.g., see [M]),ξ(p) has a zero; thus, price equilibria exist. This
description captures the essence of the important Arrow-Debreu construction [AD, AH, De2],
establishing in quite general settings the existence of Adam Smith’s equilibria.
Price equilibria exist, but do prices tend toward
them? In differential form, the commonly told
story about the price dynamic, where an increasein demand results in an increase in prices, is(2.3)

p0 = ξ(p),with the discrete analogue(2.4)

pn+1 = pn + hξ(pn )for some positive constant h. In either setting,the resulting price dynamic is governed by theproperties of ξ(p) . The natural question posedby Hugo Sonnenschein [So1, 2], then, is to determine all general properties beyond 1 – 3 that
ξ(p) must satisfy. For instance, if Adam Smith’s
invisible hand story holds, then at least one ofthe price equilibria must be a local attractor(where nearby prices converge to it). Or, if Equations 2.3, 4 never are chaotic, or never have positive topological entropy, or never admit an attractor with a particular fractal dimension, or failto satisfy the newest form of chaos yet to be discovered, then these conditions constitute stillother properties enjoyed by excess demand functions.

224

NOTICES OF THE AMS

To re-express Sonnenschein’s question, letΞ(n) be the set of continuous tangent vector
fields on S+n−1 , U the set of continuous (smoothness is dropped as the tangency of a level set andthe budget plane suffices), strictly convex utility functions, and R+n the space for initial endowments. With a agents, the construction of theaggregate excess demand function defines amapping(2.5)

F : [U × R+n ]a → Ξ(n).

Using this notation, we can interpret Sonnenschein’s question as seeking a characterizationof the F image set in Ξ(n) .
Sonnenschein provided an answer, Mantel [M]improved it, and Debreu [De1] proved the version of the SMD theorem which, in our notation,
follows. In this theorem,
n
n−1
S+,
= {p ∈ S+ 1 | each pj ≥ }
is a trimmed price simplex bounding prices awayfrom zero, and Ξ (n) is the set of continuous tann1
gent vector fields on S+,.
SMD Theorem. For n ≥ 2 and  > 0 , the pricemapping(2.6)

F : [U × R+n ]a → Ξ (n)is surjective iff a ≥ n.
In other words, with at least as many agentsas commodities, anything can happen! Whatevern−1 is contemplated, no matter
dynamic on S+,how complex, or how it may imitate a favored
example from physics or the newest form ofchaotic dynamics, the SMD theorem ensures
there exist endowments and continuous, strictly
convex preferences for the a ≥ n agents so that,at least on the trimmed price simplex, the aggregate excess demand function is the chosen
vector field. It now is trivial to dismiss the Smith
story simply by choosing a vector field of the kindillustrated in Figure 2a with a lone, unstableequilibrium. While this economy admits an equilibrium, the prices move away from it. (For supporting preferences, see [Sc].) Of course, as we
also could choose a vector field without a zero,
the zero promised by the fixed point theorem
must be hiding in the excised -region. On theother hand, should the vector field have the correct global index properties on the boundary of
n−1 , preferences can be found where ξ(p) has
S+,
no zeros in the excised region (which restores theoriginal intent of the conclusion) [MC].

3. Consequences of the SMD Theorem
What a mess! Although the SMD Theorem seriously erodes confidence in Smith’s invisible hand,
there are counterarguments. A natural approachis to dismiss SMD by speculating that only patho-

VOLUME 42, NUMBER 2

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excess demand function admitting chaos. To explore this hope, let me provide a quick, intuitive
introduction for “chaos” by using the highly random event of continually flipping a coin. As either “Heads” or “Tails” can follow each event, thecomplexity is manifested by the tree diagram (Figure 2b) where the downward branches list all admissible outcomes. The dynamic governing thepath next taken at each node is decided bychance, and the complexity is manifested by the
rapid growth of the tree size generated by thetwo different choices that follow each event. If
the “chance moves” of a coin flip could be replaced with a deterministic dynamic xn+1 = f (xn ),then the dynamics would admit an equally complicated structure—chaos. This can be accomplished if phase space can be divided into regions
where the f image of each is the full space. (Examples are easy to construct; e.g., for
H = [0, a], T = (a, 1], let the graph of f connect(0, 0) with (a, 1) with (1, 0); this defines the wellanalyzed tent map; e.g., [D, R].) The only difference between the tree diagrams for a flipping
penny and this dynamic is that the path taken
at each juncture is decided by deterministic dynamics; either choice is admissible and decided
by the selection of the initial condition. So, whenever phase space can be divided into several regions where several admissible paths emerge
from each node, the complexity defined by thedeterministic dynamics can make the random
tree of the flipping coin pale in comparison. (Foran example with Newton’s method for finding
zeros of polynomials, see [S2]. In [S2], concepts
from “chaos” are then modified to analyze “static” aggregation paradoxes from statistics, probability, and voting.) Each admissible branch on
this tree for dynamics is called a word; the setof all words (i.e., all admissible branches) is thedictionary.
It now is clear how to construct a dynamic withas complicated a dictionary as desired. The main
ingredient is for the map to be sufficiently expansive so that the f image over a specified region covers several other specified regions. As
the SMD Theorem ensures that this “overreaction” effect occurs with price dynamics, it remains to understand whether it requires thepreferences for agents to be so strained that
economists could reject them—along with thetroubling consequences of the SMD theorem—as being unrealistic. To analyze this inverse problem, notice that (with the exception of the scalarterm λ) Equation 2.2 resembles an inverse function relationship x = g(g −1 (x)) with its derivative
condition (g −1 )0 = 1/g 0 . Thus, one might suspect from Equation 2.2 that expansiveness of individual demands must, in some way, correspond to preferences where the level sets of uk

are fairly flat with small curvature. (While the precise conditions are more complicated [S6], thisintuition is correct.) Now, by browsing throughbooks and journals on mathematical economics,
one discovers that this is a common choice for
utility functions. Thus, the SMD theory cannot
be rejected on these grounds.
Another way to try to save Smith’s story is toaccept the SMD theorem but wonder whether
Equations 2.3, 4 are overly simplistic; maybe themarket works in more complicated and mysterious ways. If so, then how should market mechanisms be modeled and what do they require toensure that some price equilibria always will bereached? The long history of this theme (e.g., see[AH, AHu, H]) includes Smale’s [Sm] “Globalized
Newton Method (GNM)” (which can be viewed asusing Milnor’s [M] proof of the Brouwer fixed
point theorem to extend [KLY].) Smale starts
with a vector field, f (x) , on a k -dimensional simplex, so its normalized form, G(x) = f (x)/kf (x)k,maps the simplex to S k−1. Because Sard’s Theorem ensures that almost all values are regular,
for almost all c ∈ S k−1 the closed set G−1 (c) is
the image of a finite union of circles and closed
line intervals. As the endpoints of an image of aline interval must be in the boundary of the domain of G , they are either boundary points ofthe simplex, or, of more interest, zeros of f . Imposing appropriate boundary conditions on f
(so that, at least generically, the direction defined

FEBRUARY 1995

NOTICES OF THE AMS

Figure 2a Scraf’s example?
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Figure 2b Coin flipping225

saari.qxp 3/16/99 5:30 PM Page 226

by f at each point on the simplex boundary is
unique) forces one endpoint to be a zero of f .
Thus, by parameterizing the curve by α(t) anddifferentiating G(α(t)) = c , a zero is foundby solving the differential equation α0 (t) =−1f (f (α(t)) with an initial condition on the
λDα(t)
simplex boundary; this is a continuous version
of Newton’s method.
The GNM generated interestin economics with its guarantee of finding a zero for ξ(p) .
But, quickly, it was dismissed
as an explanation of price dynamics because there was noway to justify the market behaving in this contrived manner. Equally as important was
the associated informational
overload; not only does GNM
feed on all the market information from ξ(p) , but also
from its Jacobian Dp ξ. Suchinformation, requiring knowledge of, say, how the demand
for steel varies with the price of
bubble gum exceeds all boundsof decency and reasonablenessmaking the GNM an unrealistic
explanation of Smith’s invisible hand.
If the GNM doesn’t work, what does? Simonand I [SS] investigated this question by seeking
the minimal conditions that would allow a market mechanism to work. Instead of a particular
procedure, we assumed the general form

negative assertion; Equation 2.3 does support then = 2 supply and demand story. Here, the pricesimplex is the portion of the unit circle in the first
quadrant. The boundary properties of ξ(p) force
an orbit of p0 = ξ(p) starting near the boundary
to move inward along the circle until it hits oneof the promised price equilibria.) So, trying to preserve the Adam Smith story even in this general
Equation 3.1 framework carries the heavy cost of needing an unrealistic amount of
information. (Among the extensions of [SS], I call attention to [J]. In [SS] we used thegeometric theory of dynamical systems, the structureof GL(n) and some singularity theory; [J] replaces the
singularity theory with a
topological argument.)
There is even more bad
news; by being a differential
equation, Equation 3.1 requires a continuum of market information. Of course,
we would replace Equation 3.1 with a discrete version, but could information
be lost in the gaps? To investigate this question,in [S3] the discrete analogue

Maybe theeconomists’longtime goal ofa universal
pricemechanism is
an impossible
dream.

(3.1)

p0 = M(ξ(p), Dp ξ).

where M is piecewise smooth and where the dynamics stops iff ξ(p) = 0 ; our goal was to findwhat kind of information does M need to ensure
convergence to some price equilibrium.
Notice that Equation 3.1 extends Equation 2.3
by permitting a wide spectrum of possible
choices ranging from where different commodities have different rates of price adjustment (by choosing M = A(ξ(p)) , where A is apositive diagonal matrix) to potentially very complex mechanisms. But even with all this flexibility, our result is discouraging for n ≥ 3 commodities. Namely, should prices adjust as
suspected—with some choice of M —then M
needs most of the differential information required by GNM to always ensure convergence toat least one of the price equilibria. Some minimal informational savings can arise (i.e., someterms from the Jacobian can be dropped) when
designing an M by exploiting the boundary properties of the vector field. (For instance, the integrated information requiring the excess demand
to point inwards along the boundary of the pricesimplex exempts the two-good setting from this226

NOTICES OF THE AMS

pn+1 =(3.2)

pn + M(ξ(pn ), ξ 0 (pn ), . . . , ξ (s) (pn );. . . , ξ(pn−j ), . . . , ξ (s) (pn−j ))was analyzed to find the minimal conditions on
M (the price mechanism), the number of derivatives s of the excess demand function, and thetime lag j needed to ensure convergence of any
exchange economy to some price equilibrium.
(There are, of course, convergent mechanisms
such as the bisection method, but we need Equation 3.2 to investigate Smith’s market pressure
story and whether information is lost by using
a discrete version of the differential equation.)
Again, Equation 3.2, which permits the simplistic approach of Equation 2.4 to be replaced withhighly complex, involved mechanisms, appears
to subsume most, if not all, proposed price theories. Nevertheless, the theorem asserts thatwith n ≥ 2 commodities, no mechanism can always promise convergence to a price equilibria.
Instead, because of the admissible chaotic behavior of Equation 3.2 inherited from the SMD
Theorem, for any choice of M , s , and j , there exists an open set of aggregate excess demand
functions (in any reasonable topology on function space) and an open set of initial conditions
where convergence never occurs. (For an inter-

VOLUME 42, NUMBER 2

saari.qxp 3/16/99 5:30 PM Page 227

ket reactions, the aggregate excess demand funcesting variation of this impossibility assertion,
tion is an important tool used in all sorts ofsee [BK].) Incidentally, the same assertion holds
ways. For instance, in spite of the SMD Theorem,
for numerical methods used to find the real
it is reasonable to use a specified ξ(p) to extract
zeros of real polynomials [S4].
A partial positive conclusion finally was foundvaluable information about the economy. Perhaps
in [SW]. Stated in words, if demands are driven by preferences,
why should the economics ofprices be the same in Rio as in
Chicago, in Moscow as in Stockholm, or in Zurich as in Paris?
Maybe the economists’ long timegoal of a universal price mechanism is an impossible dream; instead, maybe different locales require different mechanisms. To
express this mathematically, saythat a given mechanism M covers
a set of economies (i.e, a set of individual preferences and initialendowments for the agents) if
pn+1 = pn + M(ξ(pn )) converges
to at least one equilibrium should
the prices start sufficiently close toit. So, mimicking the reason, it is
impossible to represent thesphere S 2 with a single chart,maybe the topology of price adjustments requires more than
one mechanism to cover the setof all economies.
While Williams and I found (ina more general setting) that thisis true, we also found that the
Could this represent the dynamics of prices?
Illustration from Complex Dynamical systems: The Mathematics Behind the Mandlebrot and Julia Sets, edited by R. L. Devaney.
space of economies is σ -compact
with this topology where the obwe can learn what to expect should a new comstacles preventing compactness are singularimodity be added, or another suppressed. Simities. So, for any  > 0 , if one is willing to exclude
a set of economies of (an appropriate) measurelarly, an area called consumer surplus computes
the excess demand functions for each commodity
less than  (which eliminates a region around sinand then pieces this information together to obgularities), the remaining set of economies (i.e.,tain conclusions about the full excess demand.
the remaining choices of initial endowments and
The area of macroeconomics, with its concern
preferences) are covered by a finite number ofabout measuring ξ(p) , quickly encounters realprice adjustment procedures. A successful mechism where any attempt to compute ξ(p) for all
anism exists for each economy, but we don’t
ten million commodities would generate Geeknow which one. To relate this assertion to acWhiz comments such as “If a thousand modern
tual practice, notice that the purpose of “market
computers started during the ‘Big Bang,’ . . .”regulations” is to change the price dynamic. So
Consequently they use statistical measures of thethese results imply that while an unregulated freeexcess demand for certain commodities to makemarket might not work as widely advertised, if
inferences about the general situation. All ofcorrect regulations are imposed, the market now
these topics involve the tacit assumption that,might behave as desired. This conclusion probin some way, the excess demand function for difably would not be to Smith’s liking, but it finallyferent sets of economies are related. But, areis a positive assertion and we might not be able
they? Must a well behaved economy of ten goods
to do much better.
remain well behaved if one good is taken off the
4. More Difficulties
market, or could it become highly chaotic? To explore the reality of this assumption, it is natural
Dampening this partial success story is the reto mimic Sonnenschein’s question by seeking
alization that the situation is much more comall possible relationships admitted by the agplex. Start with the fact that by measuring mar-@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W@@@@@@@@gW&@@@H?@@@@@@@@@@(MS@@@@@?gI'@@@Y@@@@@@@@@@@@@@@1e@@@?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(M?e?W2@@@@@H?W&@@@HW&@@HJ@@@@@6?2@?e?
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gregate excess demand functions with changes
in the set of commodities. To describe this issue
with the tree description used to introduce chaos,label the 2n − (n + 1) subsets of two or morecommodities in some manner as C1 , C2 , . . . ,C2n −(n+1) where |Cj | is the cardinality of Cj . As
above, the aggregate excess demand function
for the Cj commodities is a tangent vector field|Cj |−1and the set of all continuous tangent
on S+
vector fields is denoted by Ξ(Cj ). The tree diagram starts with the uncountable number ofchoices from Ξ(C1 ) emerging from the C1 node.
Attached to each choice are the Ξ(C2 ) vector
fields representing all of the C2 choices. This continues until, at the last node, we have theC2n −(n+1) vector fields. Now, if the implicit assumption that the behavior of the aggregate excess demand function for certain choices of commodities affects what happens with others istrue, then certain branches can be pruned off of
this chaotic tree of possibilities.
The answer again involves a trimmed pricesimplex which ignores (relative) prices lower
than a specified  value, and Ξ (Cj ) which denotes the continuous tangent vector fields on thistrimmed simplex. (When the goods from Cj aretraded, each agent holds fixed her holdings of
all other commodities.)
Theorem ([S5]). Let  > 0 be given. For n ≥ 2commodities, the mapping(4.2)

F : [U × R+n ]a →2n −(n+1)
YΞ (Cj )j=1

is surjective iff a ≥ n.
In other words, the “excess demand” tree description is full and chaotic; anything and everything can happen. This permits us to design allsorts of disturbing scenarios, such as where withfour goods the aggregate excess demand function carefully adheres to Smith’s story with a single globally attracting price equilibrium. Then,
withholding commodity cj from the market creates a chaotic three-commodity vector field withan attractor of, say, fractal dimensionsj1+, j = 1, . . . , 4.
5
The reader can choose what happens for eachof the six two-good cases. According to the theorem, this scenario is supported by one of those
deceptively innocent appearing four-agent examples where each agent is assigned a preference
for goods (of the well behaved type described earlier) and an initial endowment. The market pressures, as found by simple Lagrange multiplier arguments, do the rest.
The theorem can be extended to address otherconcerns from economics. Namely, for any positive integer K, choose K continuous, tangent vec-

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NOTICES OF THE AMS

tor fields for each Cj set. Then, there exists an
n-agent example where each agent is assigned
a fixed preference relationship for the n commodities and K different initial endowments.
Computing the aggregate excess demand withthese preferences and the ith assignment of theinitial endowments, we obtain (on the trimmed
simplex) for each Cj its ith assigned vector field.
To illustrate with K = 2 and only the full set ofthree commodities, the three agents’ preferences
could define a well behaved aggregate excess
demand function that would delight Adam Smith
should they use one set of initial endowments,
but, using different endowments with the same
preferences, any imaginable (two-dimensional)
form of chaos can break out!
In other words, the SMD Theorem describes
what happens with the single set of all commodities and a single assignment of initial endowments; the above result extends this disturbing conclusion to all sets of commodities andit shows that the conclusion can vary significantly with changes in endowments. In particular, this more general conclusion not only causes
worry about the invisible hand story, but it forces
us to question those tacit assumptions—assumptions basic to several tools from economics—about how the aggregate excess demand
function for one commodity set relates to thatof others. One might argue (and this is a common reaction during a colloquium lecture—particularly in a department of economics) that
there may exist conditions imposing strong relationships. Yes, but it is obvious from the theorem that such constraints cannot be based upon
the aggregate excess demand function (as is acommon practice); instead they appear to require imposing unrealistically harsh global restrictions on the agents’ preferences—restrictions similar to those shown in [CM] to be needed
to justify the consumer surplus approach.

5. Idea Behind the Proofs
What is going on? The derivation of the aggregate excess demand function and Walras’ laws
is sufficiently elementary to be taught in a firstcourse on vector calculus. So, we must wonder
what a nice, simple model is doing in a complex
place like this. Actually, the source of the difficulty—which is common across the social sciences—is that the social sciences are based on
aggregation procedures. But, even simple aggregation methods, from probability, statistics,
and even voting, admit surprisingly complex
paradoxes. (For a description of some of themand why they occur, see [S1, 2].) One way to envision the aggregation difficulties is to recognizethat even a simple mapping can admit a complex
image should its domain have a larger dimension
than its image space. This is an element of the

VOLUME 42, NUMBER 2

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proof of the last theorem, and it explains the hidden complexity of the social sciences. Namely,
the complexity of the social sciences derives
from the unlimited variety in individual preferences; preferences that define a sufficiently large
dimensional domain that,when aggregated, can generate all imaginable forms ofpathological behavior.
To prove the theorem,
after selecting a tangent vec-

To connect the foliations defined for the various sets of commodities, notice that if a commodity is withheld from the market, the relevant
portion of R+n is an affine plane passing throughwk orthogonal to the axis of the missing com-

|Cj |−1

tor field for each S+, weneed to construct a continuous foliation for each agent sothat the leaves (indifference
sets of preferences; i.e., thelevel sets of the uk functions)have the desired convexity
properties and the excess demand function they define(from the Lagrange multiplierargument) agrees with thespecified vector field on thetrimmed simplex. While theconstruction is technical anddifficult in places, intuition
can be provided why the result holds and why we needas many agents as commodities. Start with a two-commodity utility functionu = xy where the level sets are hyperbolas. By experimenting with the Lagrange multiplier argument and different initial endowments, it becomes clear that the demand based on an initialendowment with a relatively small amount of one
commodity favors this scarce commodity—wewant what we don’t have. Thus, with two agentswith initial endowments emphasizing a different
commodity, their excess demands point in opposing directions with zero in the convex hull.
So, just by changing the magnitude of each individual excess demand at a price p (by flattening the level sets), the sum can realize a specified value of ξ(p).
More generally, with any number of commodities, the excess demand associated with an
initial endowment lacking in a particular commodity tends to favor that good. Therefore, withn commodities, choosing the j th agent to be shy
in the j th good creates an excess demand function pointing in a particular direction; with a ≥ nagents, the convex hull defined by these vectors(in the tangent space at p of the price simplex)
includes the origin as an interior point. Clearly,
this is false for a < n. By varying the lengths ofthese vectors (i.e., by varying the curvature of theleaves of the foliation), their sum can be whatever we desire. In this way a continuous foliation
is defined to do as advertised.

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FEBRUARY 1995

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modity. As such, the budget plane passes througha portion of each level set much different fromthat used to construct the leaves for the larger
sets of commodities. Now, the  restriction forcesa spacing among the foliations constructed forthe different subsets of commodities. Part ofthe proof shows how to exploit this gap to connect the leaves from the different foliations tocreate a single foliation (while preserving theconvexity properties, etc.). It follows immediately from this construction that any assertion
trying to relate the aggregate excess demand
functions from different subsets of commodities
must impose strict restrictions on preferences.
Therefore, constraints based only on the structure of the excess demand (as is typical) are
doomed for failure. Also, since individual preferences drive the social sciences, this situation,with the accompanying troublesome complexity,
undoubtedly extends to most other areas.
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