R パッケージ “Cross-Data-Matrix”マニュアル(Last Modified: August 20, 2019)
パッケージの説明

1与えられるデータ行列 X = [x1 , ..., xn ] に対して，クロスデータ行列法 (Cross-Data-Matrixmethodology, 略して CDM 法) による固有値・固有ベクトル・主成分スコアの計算を実行する．
以下の関数を定義する．
CDM(X, split)

入力:• “X”: d × n データ行列．ここで，d はデータの次元数，n (≥ 4) は標本数．
• “split”: ‘True’ または ‘False’．‘True’ の場合，X を無作為に 2 分割する．‘False’ の場合，Xを単純に X 1 = [x1 , ..., xn(1) ]，X 2 = [xn(1) +1 , ..., xn ] と分割する．デフォルトは ‘False’ になっている．

出力:• “values”: CDM 法による第 (n(2) − 1) 固有値までの計算結果．
（リストの i 番目は，i 番目に大きい固有値を表す．
）• “vectors”: CDM 法による第 (n(2) − 1) 固有ベクトルまでの計算結果．
（リストの i 列目は，i 番目の固有値に対応する固有ベクトルを表す．
）• “scores”: CDM 法による第 (n(2) − 1) 主成分スコアまでの計算結果．
（リストの (i, j) 成分は，第 i 主成分について j 番目の標本に対するスコアを表す．
）

クロスデータ行列法による固有値・固有ベクトル・主成分スコアの推定2母集団が，未知の d 次平均ベクトル µ と，未知の d 次共分散行列 Σ（非負定値対称行列）をもつとする．Σ の固有値を λ1 ≥ · · · ≥ λd (≥ 0) とし，各固有値 λi に対する固有ベクトルを hiとする．ここで，h1 , ..., hd は正規直交基底をなすとする．母集団から n (≥ 4) 個の d 次データベ
クトル x1 , ..., xn を無作為に抽出して，大きさ d × n のデータ行列 X = [x1 , ..., xn ] を構成する．
そのとき，第 i 主成分スコアは，j = 1, ..., n に対して

hTi (xj − µ) (= sij とおく)で定義される．
データ行列 X を無作為に 2 つに分割して，d × n(l) 部分行列

X l = [x1,l , ..., xn(l) ,l ], l = 1, 2を定義する1 ．ここで，n(1) = ⌈n/2⌉，n(2) = n − n(1) であり，⌈x⌉ は x 以上の最小の整数を表す．
∑n(l)各 l について，標本平均ベクトル xl = n−1
j=1 xj,l を n(l) 個並べて，X l = [xl , ..., xl ] とおく．
(l)
そのとき，n(1) × n(2) 行列(X 1 − X 1 )T (X 2 − X 2 )S D(1) = √(n(1) − 1)(n(2) − 1)
1

単純に X 1 = [x1 , ..., xn(1) ]，X 2 = [xn(1) +1 , ..., xn ] と分割してもよい．

1

をクロスデータ行列とよぶ．いま，S D(1) の特異値分解をn(2) −1

S D(1) =∑λ́i úi,1 úTi,2i=1とおく．ここで，λ́1 ≥ · · · ≥ λ́n(2) −1 (≥ 0) は S D(1) の特異値，úi,1 = (úi1,1 , ..., úin(1) ,1 )T は左特異ベクトル，úi,2 = (úi1,2 , ..., úin(2) ,2 )T は右特異ベクトルである．Yata and Aoshima [5, 7] は，クロスデータ行列法という高次元主成分分析を考案した．クロスデータ行列法は，固有値・固有ベクトル・主成分スコアを，次のように推定する．

[クロスデータ行列法の計算アルゴリズム](Step 1) 入力されたデータ行列 X に対して，S D(1) = {(n(1) −1)(n(2) −1)}−1/2 (X 1 −X 1 )T (X 2 −X 2 ) を計算する．
(Step 2) S D(1) の特異値 λ́1 ≥ · · · ≥ λ́n(2) −1 (≥ 0) と，対応する左特異ベクトル úi,1 (i =1, ..., n(2) − 1) と右特異ベクトル úi,2 (i = 1, ..., n(2) − 1) を計算する．
(Step 3) 固有値 λi (i = 1, ..., n(2) − 1) を λ́i で推定する．
(Step 4) 固有ベクトル hi (i = 1, ..., n(2) − 1) を h́i∗ = h́i /∥h́i ∥ で推定する2 ．ここで，1h́i = √2 λ́i((X 1 − X 1 )úi,1 (X 2 − X 2 )úi,2√+ √n(1) − 1n(2) − 1)

(Step 5) 第 i 主成分スコアを，xj,l (j = 1, ..., n(l) ; l = 1, 2) に対して√śij,l = úij,l(n(l) − 1)λ́iで推定する．各 i で，śi1,1 , ..., śin(1) ,1 , śi1,2 , ..., śin(2) ,2 に śij , j = 1, ..., n という通し番号を付ける3 ．

クロスデータ行列法の応用例

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クロスデータ行列法は，高次元データの次元削減だけでなく，様々な場面に応用できる．

(1) Aoshima and Yata [1] は，高次元における推定・検定・判別分析などの各種統計的推測を考え，それらの高次元統計量の構成にクロスデータ行列法を応用した．
(2) Aoshima and Yata [3] と Yata and Aoshima [6] は，高次元データの潜在空間の次元推定にクロスデータ行列法を応用した．
(3) Yata and Aoshima [5] は，マイクロアレイデータのクラスター分析に，クロスデータ行列法を応用した．

23∥ · ∥ はユークリッドノルムを表す．
青嶋・矢田 [2, 4] で，λ́i ，h́i ，śij の漸近的性質を解説している．

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References[1] Aoshima, M. and Yata, K. (2011). Two-stage procedures for high-dimensional data, Sequential Analysis (Editor’s special invited paper), 30, 356-399.
[2] 青嶋 誠，矢田和善 (2013). 論説: 高次元小標本における統計的推測, 数学，65, 225-247.
[3] Aoshima, M. and Yata, K. (2018). Two-sample tests for high-dimension, strongly spiked
eigenvalue models, Statistica Sinica, 28, 43-62.
[4] 青嶋 誠，矢田和善 (2019). 高次元の統計学，共立出版，東京.
[5] Yata, K. and Aoshima, M. (2010a). Eﬀective PCA for high-dimension, low-sample-sizedata with singular value decomposition of cross data matrix, Journal of Multivariate
Analysis, 101, 2060-2077.
[6] Yata, K. and Aoshima, M. (2010b). Intrinsic dimensionality estimation of high-dimension,
low sample size data with d-asymptotics, Communications in Statistics. Theory and Methods, Special Issue: Honoring Akahira, M. (ed. Aoshima, M.), 39, 1511-1521.
[7] Yata, K. and Aoshima, M. (2013). PCA consistency for the power spiked model in highdimensional settings, Journal of Multivariate Analysis, 122, 334-354.

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