2018/5/9

発展的思考の関連図を活用した授業づくりの試行―中学校第１学年「比例」の場合―
佐藤 学

重松 敬一

赤井 利行

秋田大学

奈良教育大学名誉教授

大阪総合保育大学

杜 威

新木 伸次

椎名 美穂子

秋田大学

国士舘大学

秋田県総合教育センター

東北数学教育学会 第49回年会
平成29年11月25日（土）13:30～14:00

index

岩手大学学生センターＢ棟

１．研究の経緯と目的
２．発展的に考えること
３．発展的思考の関連図の開発
４．関連図を活用した授業づくり
５．考察と改善
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１．研究の目的と経緯
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951941511609433057270365759591
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研究の目的と経緯
全ての学習者が発展的に考える算数・数学の授業の構築
2016年

 教師対象の意識調査の実施と分析。
→授業の構築に向けて障壁となっている教師の意識を明らかにした。（佐藤他，2016）2017年

 発展的に考えることの定義。
→「発見的発展」「構造的発展」「新たな発展」に整理。（佐藤他，2017a）

 発展的に考える授業のモデルを開発。
→iQed法をもとに開発した。（佐藤他，2017b）

 学習者が発展的に考えることを支援するモ
デルプレートの開発。
→モデルプレートが機能することを明らかにした。（佐藤他，2017c）

 モデルプレートによる授業改善→モデルプレートが授業改善を図る機能を有していることを明らかにした。（佐藤他，2018）
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2

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学習者が発展的に考えることを支援するモデルプレート
モデルプレート（学習者の範）

具体的な数学的活動の局面

発見的発展

ａ．数量や図形及びそれらの関係に着目する（問題解決の対象化）

学習者の心理
気付き

必ず
言う

できたら
時間があったら言う
言う

ａ１ ．何 に目 をつけ る？ （幹 ）ａ２．何（何と何）を調べる？

的ｂ．着目した数量や図形及びそれらの関係について
分析する

知

発展の状況

気付き

ｂ１ ．何 か 気付 いた ？ （幹 ）ｂ２．調べてみたいことがある？
ｂ３．考えてみたいことがある？

興

構造的発展

ｃ．発見的発展の過程を振り返って数学的構造を明らかにする。

ｂ４．今までとどこが違う？
ｈ１．面白い考えだね。

気付き

奮

ｈ．数量や図形及びそれらの関係について無意図的に着目・分析する。

ｈ２．やってみようか。
ｃ１．何か分かった？

困
難

ｄ．既知を振り返って統合する。
確信
ｅ．簡潔・明瞭・的確に表す。

ｃ２．何から分かった？
ｃ３ ．前 の 学 習と 似ている と こ ろ は あ る ？
ｄ１ ．同 じとこ ろ は あ る ？
ｄ２．他にあるか？
ｅ１．簡単に分かりやすく表すと？
ｅ２．算数（または数学）らしく表すと？

新たな発展

ｆ．一般化する。
ｇ．明らかにした数学的構造と既知や身の回りの問題を振り返って、さらに発展的に考える。

ｆ１．いつでもいえる？

ｇ１ ．この 後 どんなこ と ができ るの か 。（幹 ）ｇ２ ．数 量を 変 えてみ る と ？

気付き

ｇ３ ．条 件を 変 えてみ る と ？
ｇ４ ．場 面を 変 えてみ る と ？
ｇ５ ．視 点を 変 えてみ る と ？

（佐藤他，2017cを加筆） 5/32

これまでの研究からの知見と本発表の目的＜これまでの研究からの知見＞
 「発見的発展」から「新たな発展」に向けてモデルプレートが機能する。
 上記の成果は全ての検証授業で得られたものではなく，本研究が構想する授業の具現化は容易ではない。
 教師の発展的な思考や態度，内容についての理解は不十分である。

＜本稿における目的＞
発展的思考を視点にした学習内容の考察を支援する手立てとして発展的思考の関連図を開発し，一定期間の試行からその機能の検証と改善を行う。
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２．発展的に考えること
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975665933446128475648233786783
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360011330530548820466521384146
951941511609433057270365759591
953092186117381932611793105118
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本研究における「発展的に考えること」の捉え方
発見的発展
構造的な発展のきっか
けを生み出す，当面の問題（狭義の意味）から次の問題（狭義の意
味）へと発見的な気付
きの過程。

構造的発展

新たな発展

構造化に向けて新しく見出した概 発見的発展の過程で得念や性質をより広い立場にも適用 た知的欲求により，構造
しようとすることの「統合」の働きと， 化した概念や性質を，その構造化に向けた「簡潔・明瞭・ 「数値を変える」「場面を的確」と「一般化」の働きと，その変える」「数値と場面を過程。
変える」「考察の視点を変える」を行い，新たに発展させる過程。
・統合的，発展的に考察（文部省，1968・1969）
・統合的・発展的に考察する力（文部科学省，2017）
・統合といった観点による発展的な考察（中島，1982）
・数学はものごとを発展的，統合的にみてより簡潔・明瞭・的確なものを求め続ける態度に支えられている。（清水，2006）
・内包的一般化と外延的一般化（Dörfler，
1991）

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327950288419716939937510582097
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３．発展的思考の関連図
559644622948954930381964428810の開発
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920962829254091715364367892590
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951941511609433057270365759591
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問題から問題へ「問題づくり」に向かう学習者の
心理の検討

意
原問題
図

から出発し
て

実 ・はじめの問題
際の ・この問題
発
問 ・今やった問題
例・最初の問題・と・に発展して考えられる問題をつくっていく・似た・似たような・同じような

・新しい
・ほかの

・いろいろ
・いくつか
・できるだけたく
さん

問題を
・を

・もとにして・ヒントとして・参考にして・の・どこか少し変えて・一部を変えてつくりなさい。

・数量変更
・条件変更
・場面変更

＊竹内芳男・沢田利夫（1984）．問題から問題へ－問題の発展的な扱いによる算数・数学科の授業改善－，東洋館出版社．

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g2．数量変更
第１時「比例を表す式」

第２時「範囲を広げる」

教科書の展開による
発展
変数や比例定数を正の数から負の数へと発展する
変域や比例定数の範囲を負の数まで広げる。
（藤井他，2015）11/32

g3．条件変更
第１時「比例を表す式」

第３時「１組の値からの式表現」

教科書の展開による発展

比例定数について，
比例関係の考察による式表現から１組の値から式表現する
ことへの発展(問題)
𝑦は𝑥に比例し，𝑥＝２のとき𝑦＝６です。
このとき，𝑦を𝑥の式で表
しなさい。
(まとめ)
比例定数𝑎とすると，
𝑦=𝑎𝑥と表すことができる。
𝑥＝２のとき𝑦＝６である
から，
６＝𝑎×２
𝑎＝３
∴𝑦=３𝑥

12/32

6

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g5．視点変更
第２時「範囲を広げる」

第５時「比例のグラフ」(問題)

教科書の展開による 𝑦＝２𝑥について，どんなグラフになるか調べてみ
発展
ましょう。
(まとめ)

式からグラフへと視点を変えて発展

変域や比例定数の範囲を負の数まで広
げる。

𝑦

Ｏ

𝑥

点の集まりが直線となっていることを捉え
る。
13/32

暫定的に開発した発展的思考の関連図

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3.1414159265358979323846264338
327950288419716939937510582097
494459230781640628620899862803
482534211706798214808651328230
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812881117450284102701938521105
４．関連図を活用した
559644622948954930381964428810
授業づくり
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165271201909145648566923460348
610454326648213393607260249141
273724587006606315588174881520
920962829254091715364367892590
360011330530548820466521384146
951941511609433057270365759591
953092186117381932611793105118
548074462379962749567351885752
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発展的思考を視点にした考察の内面化モデル① 授業者が，発展的思考を考える気持ちになっている。
② 授業者に発展的思考の関連図を示す。
③ 授業者が，発展的思考を視点に関連性を捉えるよさに気付き，一時的に記憶する。
④ 授業づくりのプロセスにおいて一時的に記憶された発展的思考を視点に関連付けることを意識する。
⑤ 授業づくりのプロセスにおいて意識している発展的思考を視点にした関連付けを行う。
⑥ ⑤によって発展的思考を視点にした関連付けができ，
実際の授業でも展開がうまくいったことを確認する。
⑦ 授業者が，この発展的思考を視点にした関連付けを獲得する。
（重松他，1993を基に作成） 16/32

8

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調査の方法
調査期間 2017年10月25日～11月２日
指導内容 中学校第１学年「比例」（全６時間）
対象生徒 秋田県公立Ｎ中学校第１学年生徒32人
授業者

Ｎ中学校に勤務する教職約20年の数学教師Ａ

調査手順 ①教師Ａに発展的に考える授業と発展的思考の関連図について説明。
②全６時間の指導案を教師Ａが作成。
③指導案の検討。
④生徒を対象に意識調査を実施。
⑤授業の記録を教室後方よりビデオ撮影し，発展の状況を確認。（機器故障のため，第２時はビデオ撮影ができていない。第２時は教師からの聞き取り。）⑥生徒を対象に意識調査を実施。
17/32⑦教師に事後インタビューを実施。

授業実践の実際（第１時）

18/32

9

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授業実践の実際（第３時）

19/32

授業実践の実際（第４時）

20/32

10

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モデルプレートへの反応
モデルプレート（学習者の範） [％]１時

２時
3.1 32.3

6.5 37.5

9.4 46.9

0 50.09.4 46.9

3.1

ａ２．何（何と何）を調べる？

31.3

3.1 38.7

6.5 31.3

0 15.6

0 15.6

6.3 40.6

6.3

ｂ１． 何か気 付い た ？（ 幹）

12.5

3.1

9.7

9.4

9.4 15.6

0 28.1

3.1 18.8

0ｂ２．調べてみたいことがある？

18.8 18.8 19.4 12.9

9.4

9.4

9.4

9.4

9.4

9.4 40.6

3.1

ｂ３．考えてみたいことがある？

15.6

6.3

6.3

3.1 18.8

3.1

3.1

9.4

ｂ４．今までとどこが違う？

21.9

9.4 25.8

3.2 21.9

3.1 28.1

3.1 15.6

ｈ１．面白い考えだね。

3.1

3.1

9.7

ｈ２．やってみようか。

21.9

3.1 32.3

ｃ１．何か分かった？

12.5 15.6

ｃ２．何から分かった？

6.3

0

34.4

0 38.70

0 19.4

3.2
3.2

3.2

ⅱ

0

ⅰ

0

ⅱ

3.1 18.8

9.7

6.5 28.1

0 31.3

3.2

3.2

0

9.4

9.7 15.6
0

6.3

0

3.1

6.3

0

3.1

3.1 25.0

3.1

3.1 18.8 12.5 18.8

6.3

0

0

3.1

3.1 15.60

3.1 15.6

0 18.8

6.3

9.4

0

3.2 16.1

3.1 18.8ｅ１．簡単に分かりやすく表すと？

6.3

6.3

6.5

3.2

6.3 15.6 12.5 15.6

ｅ２．算数（または数学）らしく表すと？

6.3

3.1

3.2

3.2

ｆ１．いつでもいえる？

3.1

9.4

3.2

6.5

3.1 31.3

12.5 31.3

6.5 35.5

3.1 34.4

ｇ２．数 量を 変 えてみる と？

9.4 21.9

3.2 29.0

ｇ３．条 件を 変 えてみる と？

0.0 18.8

3.2 22.6

ｇ４．場 面を 変 えてみる と？

3.1 21.9

0 29.0ｇ５．視 点を 変 えてみる と？

－

ｇ １． この後どんなこと ができ るのか 。（ 幹）

－

－

－

－

3.1 18.8
6.3

3.1

0 21.93.1 18.8

0

ⅱ

3.1

ｄ２．他にあるか？

0

ⅰ

6.3

3.1

0 12.5ⅱ

3.1 25.00

3.2 18.8

ⅰ

６時

50.0

9.7

ⅰ

５時

ａ １． 何に 目をつ ける？（ 幹）ｄ１．同 じところは ある？

ⅱ

４時

ⅱ

ｃ ３．前 の学 習と似ている ところは ある？

ⅰ

３時

ⅰ

6.3

0

6.3

3.1

9.4 18.8

6.3

6.3

9.4

6.3

3.1

3.1

0

6.3

0

3.1

6.3 12.5

3.1

0

9.4

0 12.5

3.1 40.6 12.5 50.0

0 43.8

0 31.3

3.1 37.5

3.1 62.5

0 28.1

0 15.6

0 40.6

0 21.90 28.1

0 12.5

0 18.80 18.8

－

－

－

－

－

 幹となるモデルプレートへの反応が30％を上回っている。

0 31.3－－

21/32

発展的思考の関連図が授業づくりに機能した点
例えば，
 第１時で示された問題場面は，第２時で指導する変域と比例定数が負の数の場合を想定したものであり，生徒も「新たな発展」として意識されていた。
 また，第１時で比例であることを調べるにあたって，小学校「比例」の学習を想起することを求める場面が見られた。
 前時の振り返りをもとに，本時の学習を始める展開が多く見られた。
 小学校「比例」を振り返って，学習が発展していることを意識させる場面が見られた。
 中学校数学の既習を振り返って，学習が発展していることを意識させる場面が見られた。
22/32

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教師Ａのインタビュー
小学校での学習内容が把握でき，授業のねらいを明確にすることができたのは，関連図があったおかげだと思います。関連図の内容については特に変更することはないと思いました。
→教師Ｍは，本実践において，発展的思考を視点にした関連付けができ，実際の授業でも展開がうまくいったことを確認している。
【内面化モデルの⑦に相当】→発展的思考の関連図にはなかった正負の数における数直線との関連付け等が見られ，発展的思考を視点にした関連付けの獲得も進んでいると推察できる。【内面化モデルの⑧に相当】
23/32

本実践において改善可能な点
例えば，
 第３時では，生徒から「ア．𝑥＝１のときの𝑦の値が比例定数になること」，「イ．𝑦＝𝑎𝑥に１組の値を代入して求めること」が示された。アは第１時の逆であること（g5．視点変更），イは方程式の活用（g5．視点変更）であるが，いずれも教師Ａによる説明であったが，生徒の気付きを待ってもよかった。
 小学校「比例」の学習を振り返って，𝑦＝𝑎𝑥の式から値の組を調べてグラフに表すという見通しが教師Ａによって示されたが，生徒の気付きを待ってもよかった。
→教師Ｍは発展的思考の関連付けはできていたが，発展的に考えることの営みは，教師が主導する場面もみられた。発展的思考・態度についてもあわせて，検討する必要がある。
→また，発展的思考の関連付けは行われていたが，関連付けがな
されていない場面もみられた。発展的思考の関連図の活用に工夫が必要である。
24/32

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3.1414159265358979323846264338
327950288419716939937510582097
494459230781640628620899862803
482534211706798214808651328230
664709384460955058223172535940
812881117450284102701938521105
５．モデルプレートの559644622948954930381964428810
有効性と改善975665933446128475648233786783
165271201909145648566923460348
610454326648213393607260249141
273724587006606315588174881520
920962829254091715364367892590
360011330530548820466521384146
951941511609433057270365759591
953092186117381932611793105118
548074462379962749567351885752
724891227938183011949129833673

発展的思考の関連図の活用方法の改善
本調査における手順（内面化モデル参照）

改善した手順

① 授業者に発展的に考える授業について ① 授業者に発展的に考える授業について説明し，発展的思考を考える気持ちにな説明し，発展的思考を考える気持ちになってもらう。
ってもらう。
② 授業者に，発展的思考の関連図を示す。 ② 授業者に，発展的思考の関連図を示す。
③ 授業者が，発展的思考を視点に関連③ 授業者が，発展的思考を視点に関連性を捉えるよさに気付き，一時的に記憶性を捉えるよさに気付き，一時的に記憶する。
する。
④ 授業者が，授業づくりのプロセスにおい ④ 授業者が，授業づくりのプロセスにおいて一時的に記憶された発展的思考を視て一時的に記憶された発展的思考を視点に関連付けることを意識する。
点に関連付けることを意識する。
⑤ 授業者が，授業づくりのプロセスにおい ⑤ 授業者が，授業づくりのプロセスにおいて意識している発展的思考を視点にしたて意識している発展的思考を視点にした関連付けを行う。
関連付けを行う。
⑥ 授業者が，⑤によって発展的思考を視 ⑥ 授業者が，⑤によって発展的思考を視点にした関連付けができ，実際の授業で点にした関連付けができ，実際の授業でも展開がうまくいったことを確認する。
も展開がうまくいったことを確認する。
⑦ 授業者が，この発展的思考を視点にし ⑦ 授業者が，この発展的思考を視点にした関連付けを獲得する。
た関連付けを獲得する。
⑧ ②に戻って，発展的思考の関連図を改善する。さらに，②→③→④→⑤→⑥→⑦→⑧へと繰り返す。
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3.1414159265358979323846264338
327950288419716939937510582097
494459230781640628620899862803
482534211706798214808651328230
664709384460955058223172535940
812881117450284102701938521105
今後の課題
559644622948954930381964428810
975665933446128475648233786783
165271201909145648566923460348
610454326648213393607260249141
273724587006606315588174881520
920962829254091715364367892590
360011330530548820466521384146
951941511609433057270365759591
953092186117381932611793105118
548074462379962749567351885752
724891227938183011949129833673

今後の課題 発展的思考の関連図を改善していく過程の検証。
 中学校数学におけるモデルプレートによる授
業改善。

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謝辞
本研究は，JSPS科研費15K04390の助成を受けたものです。
本研究の授業実践にご理解とご協力をいた
だきました秋田市立秋田西中学校数学科教諭の川口 淳 先生と第１学年生徒の皆さんに感謝申し上げます。
ありがとうございました。
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引用・参考文献(1)
佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木第46回研究発表会発表資料．

伸次（2016）．「発展的に考えること」

佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木の指導に関する教師の意識に関する

伸次・椎名美穂子（2017c）．学習者が調査，全国数学教育学会第43回研究

発展的に考えることを支援するモデル

発表会発表資料．

プレートの開発とその検証，数学教育

佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017a）．発展的に学論究，99巻，臨時増刊号，pp.9～
16．

考える授業展開の研究－発見的発展

佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木の視点－，東北数学教育学会年報，

伸次・椎名美穂子（2018）．数学教育

48号，pp.34～44．

における教材開発の研究Ⅵ－モデルプ

佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木

レートを活用した授業改善の試み－，秋伸次・椎名美穂子（2017b）．児童が発

田大学教育文化学部研究紀要， 73

展的に考えることを支援する授業モデ

巻，投稿中．

ルの開発と実践，全国数学教育学会
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引用・参考文献(2)竹内芳男・沢田利夫（1984）．問題から問題へ－問題の発展的な扱いによる算
数・数学科の授業改善－，東洋館出
版社．
藤井斉亮・俣野博・他37名（2015）．新編
新しい数学１，東京書籍，pp.110～
123．
重松敬一・勝美芳雄・上田喜彦（1993）．
数学教育におけるメタ認知の研究(8)―子どもへのメタ認知の内面化に関する調査研究－．第26回数学教育
論文発表会論文集，pp.97-102．

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