Gamma回帰によるデフォルト債権回収額推計モデルの実証研究

今井健太郎, 尾藤剛
日本リスク・データ・バンク株式会社

2014/8/2 JAFEE2014夏大会

日本リスク・データ・バンク株式会社

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本分析で提案する回収推計モデルの特徴

中小企業向け融資のデフォルト債権からの回収を推計

1. 回収源泉別に仕分け

2. 回収率ではなく回収額を推計
回収率

回収額

3. 金融機関側の意思決定を考慮
2014/8/2 JAFEE2014夏大会

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予想損失額に必要なパラメータ

EL ＝ PD× LGD×EAD＝ PD×(1-RR)×EAD
予想損失額

EL(Expected Loss)

デフォルト確率PD(Probability Default)

デフォルト時損失率LGD (Loss Given Default)

回収率

RR

デフォルト時貸出残高

EAD (Exposure at Default)

PD推計モデル⇒確立された手法が存在

回収率推計モデル⇒手法はまだ未確定

2014/8/2 JAFEE2014夏大会(Recovery Rate) = 1-LGD日本リスク・データ・バンク株式会社

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回収率の分布はbimodal型
Dermine and Carvaloho(2006)

伊藤, 山下(2007)

尾木, 戸城, 枇々木(2012)

日本リスク・データ・バンク

2014/8/2 JAFEE2014夏大会

日本リスク・データ・バンク株式会社

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回収率推計モデルの先行研究

技術的課題

推計対象の回収率がbimodal型の分布
負の回収率の推計

Gupton, Stein(2005)

回収率をBeta分布に近似した回帰モデル
Moody’ｓ LossCalc™ V2

Grippa, Iannoti, Leandri(2005) 回収率をロジット変換 TRR=log(RR/(1-RR)) F-logit回帰
Dermine, Carvalho(2006)

log-log 関数による回帰モデル

伊藤, 山下(2008)

回収率0%,0%超50%未満, 50%超100%未満,100%の順序
ロジットモデル

森平(2009)

0%と100%で打ち切りがある両側Tobitモデル

Douglas, Irina(2009)

回収率の推計値が0から1に入るような”final transform”
Moody’ｓ LossCalc™ V3.0

Bellotti, Crook(2009)

回収率を変換したOLS,Tobit, Decisiton Tree, othersを比較

川田, 山下(2012)

正常復帰確率、毀損発生確率,LGD推計の多段モデル

尾木, 戸城, 批々木(2012)

回収率0%,0%超100%未満,100%の順序ロジットモデル

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実務における回収率推計は掛目中心

掛目
優良担保(保証,預金)保証協会に代位弁済請求実行すればほぼ100%
保全率

EAD

一般担保(不動産)

非保全(事業からの収入)

実務的な課題2014/8/2 JAFEE2014夏大会

担保評価額によって担保処分

X%
保守的に信用回収

0%

信用回収率

保全率を推計回収率とした場合、非保全の割合が増加すると推計回収率は低下（無担保無保証債権では0%）
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源泉別の回収金額①優良担保からの回収
優良担保
回収率100%回収率0%2014/8/2 JAFEE2014夏大会

日本リスク・データ・バンク株式会社

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源泉別の回収金額②一般担保からの回収
一般担保
回収率100%回収率0%2014/8/2 JAFEE2014夏大会

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源泉別の回収金額③信用による回収
非保全

150%超

2014/8/2 JAFEE2014夏大会

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源泉別の回収モデル

優良担保

実行すれば100%実行しなければ0%2項ロジスティックモデル(金融機関の判断項目)

一般
担保実行すればほぼ100%実行しなければ0%2項ロジスティックモデル(金融機関の判断項目)

非保全？

？

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推計対象を回収率ではなく回収額にして扱いやすく

(再掲)

150%超

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超11/38

回収額はGamma分布に従うとしてモデル推計

Gamma分布の確率密度関数
1 𝑠 𝑠−1𝑓 𝑦 =𝑟 𝑦 exp⁡(−𝑟𝑦)Γ(𝑠)s： shapeパラメータr： rateパラメータ1/r： scaleパラメータ

確率変数のとりうる範囲が0超の連続型確率分布

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保険の分野ではクレーム額の推計にGamma回帰を用いられる“Today GLMs are widely recognized as industry standard method
for pricing passenger auto and other personal lines and small
commercial lines insurance in the European Union and manyother markets.” Duncan, et al.(2007)“Continuous insurance variables are usually non-negative andskew to the right.”, ”Generalized linear modeling, using aresponse distribution that is concentrated on the non-negative axis.
Examples are the gamma and inverse Gaussian distributions.”
Jong and Heller(2008)““損害保険でのGLMの利用”, ”保険金単価の誤差は期待値の大きさに比例するものと考えられるエラー関数としてガンマ分布を選択“
日本アクチュアリー会 パネルディスカッション『GLMは日本に定着するか』(2013)2014/8/2 JAFEE2014夏大会

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Lienar Model 線型モデル
McCullagh and Nelder(1989)

線型モデル

𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺

別の表現

𝑬 𝒀 = 𝝁 = 𝑿𝜷線型モデルの仮定
LM1：𝒀の成分は互いに独立で正規分布、分散𝜎 2 は均一（等分散）LM2: 𝑿𝜷は線形予測子𝜼

LM3: 𝑬(𝒀)と線形予測子𝜼は恒等式で関連づけられている
𝑬 𝒀 ≡𝝁=𝜼

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Generalized Linear Models 一般化線型モデル
McCullagh and Nelder(1989)

一般化線型モデルへの拡張
GLM1: Yの成分は互いに独立で、指数型分布族に含まれる分布であればよい
GLM2: 𝑿𝜷は線形予測子𝜼

GLM3: 𝑬(𝒀)と線形予測子𝜼はリンク関数𝒈で結びつけられている
𝑬 𝒀 ≡ 𝝁 = 𝒈−1 (𝜼)または𝒈(𝑬 𝒀 ) ≡ 𝒈(𝝁) = 𝜼※gは微分可能な単調関数
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Gamma分布のGLM

平均回収額𝜇𝑖 は財務指標𝑧𝑖 の単調増加関数
𝜇𝑖 = 𝐴𝑧𝑖 𝑏
𝐴 = exp⁡(𝑎)とおいてから、全体を指数でまとめる
𝜇𝑖 = exp 𝑎 𝑧𝑖 𝑏 = exp⁡(𝑎 + 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑧𝑖 )⁡𝑙𝑜𝑔⁡(𝜇𝑖 ) = 𝑎 + 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑧𝑖

線形予測子

𝜂𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑧𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑖

リンク関数

𝑙𝑜𝑔

(久保 2012)
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比較するモデル構築手法
No.

被説明変数

1

回収額 Recovery Amount

GLM,Gamma,対数リンク2

回収額 Recovery Amount

GLM,Normal,対数リンク

3

回収額 Recovery AmountLM

4

回収額 Recovery Amount5

回収率 Recovery Rate6

回収率 Recovery Rate

100%と0%に丸め処理

LM

7

回収率 Recovery Rate

Logit変換LM

8

回収率 Recovery Rate

Beta変換LM

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被説明変数の変数変換

対数変換

手法

LM
LM

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比較するモデル構築手法
No.

モデル式

被説明変数の変数変換

被説明変数Y1log 𝑬 𝒀

= 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗 + log 𝝃

誤差構造はGamma分布

回収額 RA

2log 𝑬 𝒀= 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗 + log 𝝃

誤差構造は正規分布

回収額 RA

3𝑬(𝒀) = 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗

回収額 RA

4𝑬(log 𝒀 ) = 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗

回収額 RA

5𝑬(𝒀) = 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗

回収率 RR

6𝑬(𝒀) = 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗

回収率 min(max RR, 0 , 1))

7𝑬(𝒀) = 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗

回収率 log( RR )8𝑬(𝒀) = 𝒂 + ∑𝒃𝑗 𝒙𝑗

回収率
Φ−1 [𝐵𝑒𝑡𝑎 𝑅𝑅, 𝛼, 𝛽 ]2014/8/2 JAFEE2014夏大会

1−RR

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推計対象は金融機関が回収行動に移った後の回収額

正常復帰
デフォルト
発生

回収金額0円
回収率100%

回収金額0円
回収率0%

滞留
回収実行

債権譲渡
1円、額面の1%
保証請求
担保処分

信用回収
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回収行動に移るのは実質破綻以下になってから正常化した割合

正常化時の累積回収額*が0円の割合*：36カ月累積回収額

要管理、破綻懸念では回収額が0円から正常化しやすい
金融機関は回収行動に消極的
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債権譲渡先は除外

1円,10円,100円,・・・
切り額による定額回収

EADに対して0.01%,0.1%,1%
定率回収

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分析に使用したデータ

日本リスク・データ・バンク株式会社のデフォルト債権回収データベース*から抽出した4,367件*日本の19金融機関が参加するLGD共同データベース「金融機関が本格的な回収行動に移った後」を想定• 実質破綻以下になってからの36カ月累積回収額/回収率– 累積回収金額が10万円以下は除外• 除外対象– 正常復帰：ランクアップして担保解除– 滞留：条件変更を実施して長期間据え置き （回収率は0%）– 債権譲渡による処分 (回収率は債務者の属性に依存しない)– デフォルト基準時点における貸出残高が1百万円未満• データ期間はデフォルト時点が2005年4月から2009年10月
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説明変数

類型

変数名

財務情報

売上高、総資産、自己資本、有利子負債、現預金比率、自己資本比率、etc

貸出情報

貸出残高、貸出シェア、貸出規模ダミー、メイン行ダミー、保全状態、etc

属性情報

業種、金融機関ダミー、etc

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モデル構築結果①

変数名

定数項
規模小規模中model1
GLM, Gamma, RA
p値
係数
0.884
0.0003-0.1520.13960.004
0.9451model2
GLM, Normal, RA
p値
係数-0.168<.0001-0.0180.9913-0.0230.8675model3
LM, RA係数
63.63127.93633.167p値<.00010.0003<.0001model4LM, log(RA)p値
係数-0.4780.02660.327
0.01460.262
0.0014

金融機関1
金融機関2

-0.474-0.432<.0001<.0001-0.844-0.377<.0001<.0001-144.084-129.465<.0001<.0001-0.4660.176<.00010.0194

有担保有保証無担保無保証
保証のみ有
貸出残高P_1
現預金対貸出残高P比率_1
優良保証比率_1-1.3940.218-1.202-0.0970.052
0.196<.00010.0075<.0001<.0001<.0001<.0001-0.1760.081-0.138<.0001<.0001<.000126.68356.48946.1110.0149<.0001<.0001

0.338
0.055
0.344

0.00630.62690.00370.183-0.0710.030<.0001<.0001<.00010.368-0.2540.004<.0001<.0001<.00010.650
0.900-0.031-9166.6-8467.7-8050.6<.0001<.0001<.0001

純有利子負債対貸出残高比率_1
自己資本比率_1
有形固定資産対負債比率_1
純有利子負債シェア相当分_4
流動資産シェア相当分_4
経常運転資金_4
貸出残高P_3
現預金シェア相当分_2
収益弁済対象有利子負債シェア相当分_3
対数尤度 定数項のみ
対数尤度 共通モデル
対数尤度

2014/8/2 JAFEE2014夏大会-19703.4-17169.4-17068.2-30901.4-27880.7-27027.8

日本リスク・データ・バンク株式会社-30901.4-30715.6-27663.0

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モデル構築結果②model5
LM, RR
変数名

model6
LM, min,RR
係数
p値
0.4897<.0001
0.02180.52940.01990.2793model7
LM, RR logit
係数
p値
0.852
0.01420.073
0.86380.206
0.3616model8
LM, RR Beta係数
p値
-0.1550.0341-0.0690.38510.050
0.2706係数
0.369-0.268-0.077p値<.0001<.00010.0084

金融機関1
金融機関2-0.277-0.195<.0001<.0001-0.294-0.203<.0001<.0001-3.284-2.163<.0001<.0001-0.666-0.468<.0001<.0001

有担保有保証無担保無保証
保証のみ有優良保証比率_2
保証担保合計_4
貸出残高P_1-0.2500.015-0.0960.278
0.001-0.097<.00010.71820.0431<.0001<.0001<.0001-0.0474
0.03410.01580.12270.18410.5994-0.5360.682
0.011

0.15620.03100.9765-0.0230.141
0.120

0.75280.02730.0702-0.04730.02000.1671<.0001<.0001<.0001-0.7260.291
2.083<.0001<.0001<.0001-0.1380.045
0.001-6080.9-5576.6-5462.6<.0001<.0001<.0001定数項
規模小規模中

貸出残高P_1
現預金_1
優良保証比率_2
貸出残高P_1
現預金_1
優良保証比率_2
貸出残高P_1
現預金対貸出残高P比率_1
保証担保合計_4
対数尤度 定数項のみ対数尤度 共通モデル
対数尤度

2014/8/2 JAFEE2014夏大会-4087.6-3875.6-3646.2-2224.4-1764.3-1664.7

日本リスク・データ・バンク株式会社-13209.0-12764.5-12629.4

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モデルの比較方法

A) 実績値と推計値の誤差
21 𝑛
平均二乗誤差MSE= ∑𝑗=1 𝑅𝑗 − 𝑃𝑗𝑛
1 𝑛
平均絶対値誤差MAE= ∑𝑗=1 𝑅𝑗 − 𝑃𝑗𝑛

𝑅:実績値、 𝑃: 推計値
モデルが回収額を推計する場合、回収額*÷EADで回収率*にモデルが回収率を推計する場合、回収率*×EADで回収額*に変数変換した場合には再変換して、回収額/回収率に戻す

B) 実績値𝑅と推計値𝑃のSpearmanの順位相関係数10交差検証法によって統計量を評価
データを10分割して、9個のサブセットでパラメータ推計
残った1つのサブセットで統計量を算出
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モデル評価1/5 回収額RAに対するMAE、MSE

MAE
good

Model1が良好

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MSE
badgoodbadModel2,3が良好で、Model1が準ずる
回収率を推計値にしたモデルは低性能
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モデル評価2/5 回収額のMAE,MSE 規模別

EAD1億円超(N=598)bad

大きなEADではModel1が有効

good

MSE

bad

EAD1千万円以下

MAE

EAD1億円超

EAD1千万円以下

good(N=1579)
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モデル評価3/5 回収率RRに対するMAE、MSE

MAE
goodMSEbad

回収額を推計値にしたモデルはModel1を除き低性能
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goodbadModel1が比較的高い性能

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モデル評価4/5 回収率のMAE,MSE 規模別

EAD1億円超(N=598)bad

goodMSEbad

EAD1千万円以下

MAE

大きなEADではModel1が有効

EAD1億円超

EAD1千万円以下

good(N=1579)
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モデル評価5/5 Spearmanの順位相関係数

回収額
bad

回収率
good

Model1、Model4が高い性能

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bad

good

Model1、Model7が高い性能

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モデル評価(参考) Pearsonの相関係数

回収額
bad

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回収率
good

bad

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good32/38

逸脱度残差C) 逸脱度残差(Deviance residual)を用いたモデル診断
デビアンス𝐷 = 2 ∑ 𝑑𝑖 = 2 ∑ 𝑙(𝑦𝑖 ) − 𝑙(𝜇𝑖 )
逸脱度残差𝑟𝑑 = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑦 − 𝜇) 𝑑𝑖
個々のレコードの尤度の差を足し合わせたものを残差とみなす
線型モデルにおける残差プロットに相当

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モデル別逸脱度残差

Model2~5は推計値が大きくなるに従い、残差の分散が大きくなる
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本分析で提案したこと

1. 回収源泉別に仕分け
2. 推計対象は回収率ではなく回収額
Gamma回帰モデルの利用

3. 金融機関側の回収行動、意思決定を考慮
データを実質破綻以下に限定
滞留、正常復帰、債権譲渡先の除外

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まとめ

Gamma回帰モデルは回収額、回収率のどちらの評価結果でも安定して良いパフォーマンス

特にEADの大きい先でより有効1億円のEADと100万円のEADでは前者の推計精度が高い⇒金融機関の回収運用の効率化に貢献2014/8/2 JAFEE2014夏大会

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参考文献
 Anderson, Feldblum, Modlin, D.Schirmacher, E.Schirmacher, Thandi(2004)”A Practitioner’s Guide toGeneralized Linear Models”, Casualty Actuarial Society Discussion Paper Program Annette J.Dobson(2008)[著], 田中豊, 森川敏彦, 山中竹春, 冨田誠[訳]『一般化線形モデル入門 原著 第２版』,共立出版
 Asarnow and Edwards(1995) “Measuring LGD on commercial loans: an 18-year internal study”,
Journal of Commercial Lending , Vol. 77, No. 7 ,pp.11-23
 Dermine and Carvalho(2006) "Bank loan losses-given-default: A case study", Journal of Banking &Finance, pp.1243-1291
 Dwyer, Korablev(2009) “Moody‘s KMV LossCalc™” V3.0” , Moody's Analytics, manuscript Felsovalyi and Hurt(1998) "Measuring Loss on Latin American Defaulted Bank Loans: A 27-Year
Study of 27 Countries",Journal of Lending & Credit Risk Management, Vol. 81, No. 2, (October1998), pp. 41-46.
 Franks, Servigny, Davydenko(2004) "A comparative analysis of the recovery process and recovery
rates for private companies in the UK, France and Germany", Standard and Poor‘s Risk Solutions
 Grippa, Iannoti, Leandri(2005)” Recovery rates in the banking industry: stylised facts emerging fromthe Italian experience” in Recovery risk : the next challenge in credit risk management edited byEdward, Altman, Resti, Sironi, Risk Books Gupton, Stein(2005)” LossCalc v2: Dynamic prediction of LGD”, Moody’s KMV Investors Services
 Jong and Heller(2008), Generalize Linear Models for Insurance Data, Cambridge University Press
 McCullagh and Nelder(1989)”Generalized Linear Models, Second Edition”,Chapman & Hall

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参考文献
 伊藤有希, 山下智志(2007)「中小企業に対する債権回収率の実証分析」金融庁FSAリサーチ・レビュー
2007第4号 上野大(2006)「バーゼルⅡにおけるLGDの扱い」『債権回収率・LGDモデルシンポジウム』
 尾木研三, 戸城正浩, 枇々木規雄(2012)「小企業向け保全回収率モデルの構築と実証分析」JAFEE冬季大会予稿集、pp.33-44
 川田章広, 山下智志(2012)「回収実績データに基づくLGDの要因分析と多段階モデルによるLGDおよびEL推計」金融庁金融研究センター ディスカッションペーパー DP2012-6
 久保拓弥(2012)『データ解析のための統計モデリング入門』,岩波書店
 尾藤剛(2011)『ゼロからはじめる信用リスク管理』,きんざい,p.297
 三浦翔, 山下智志、江口真透(2010)「内部格付手法における回収率・期待損失の統計型モデル : 実績回収率データを用いたEL・LGD推計」金融庁FSAリサーチ・レビュー2010第6号
 森平爽一郎(2009)「信用リスクモデリング-測定と管理」朝倉書店,pp.137-158

本資料については、作成時点における著者らの見解を示しており、日本リスク・データ・バンク株式会社の意見を表明するものではない。また、ありうべき誤りは全て著者たち個人に属する。

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