東京大学ビッグバン宇宙国際研究センター

横山順一

Jun’ichi Yokoyama (The University of Tokyo)
Research Center for theEarly Universe (RESCEU)
Department of Physics

一般相対性理論と重力波（お勉強）
重力波検出とその意義（本論）
宇宙論的重力波（わたしの夢）

協力 坪野公夫、伊藤洋介、ステファン・バルマー

アインシュタインの一般相対性理論
そもそものはじまり：アインシュタインのエレベーターz
エレベーターが上がり始めたとき重くなったように感じ、下がり始めたとき軽くなったように感じる＝慣性力

z

agg

地面g

アインシュタインの一般相対性理論
そもそものはじまり：アインシュタインのエレベーターzz

自由落下系

ワイヤーロープが切れてエレベーターが†自由落下を始めたとすると、乗員は自分の重さがゼロになったように感じる。

自由落下系（  加速系）に移ると局所的に重力を消すことができる

等価原理
慣性質量 mI  mG 重力質量が成り立てば、のはなしgg

地面

これを積極的に指導原理とする† 実際にはロープが切れてもエレベーターは落ちませんアインシュタインの一般相対性理論
そもそものはじまり：アインシュタインのエレベーターzz

重力が考察の対象になると、慣性系と加速系の区別は意味がなくなる。

自由落下系

特殊相対性原理（狭義相対論）
すべての慣性系で物理法則は共変である

一般相対性原理（広義相対論）
すべての座標系で物理法則は共変である

gテンソル方程式で書けるということ

g地面

アインシュタインの一般相対性理論
そもそものはじまり：アインシュタインのエレベーターzz

自由落下系（＝特殊相対論が成り立つ局所慣性系）で見たとき、光はまっすぐ進む。

自由落下系

自由落下系

zz

地上の人が観測する光線
自由落下系

g
重力を感じる地上にいる人から見ると光は曲がって進む

gg
地面g

重力場があると時空間が曲がる！

時間アインシュタインの一般相対性理論
そもそものはじまり：アインシュタインのエレベーターz

一般相対性原理（広義相対論）
すべての座標系で物理法則は共変である

z

自由落下系

自由落下系（＝局所慣性系）から座標変換してみる

X3d2X amI
02d : 固有時間 †d x  d x  よりd2X ad  x X a  d 2 x a dx dx eae 02
 2 dd   x  dd d x逆行列 ea を掛けると、ggd 2 x
 dx dx  02という測地線方程式が出る
d
d d
1
   ea  ea  g    g   g    g 2に対応する式
地面 これが† 固有時間：観測者の静止系の刻む時間

c 2 d 2   ds 2   g  ( x )dx  dxニュートン極限： 光速と比べて遅い、重力が弱い（時空の曲がり小）
d 2 x
 dx dx  
02dd d

x 0  ct は大きい  0 

   ea  ea  g    g   g    g 
121
は小さい
c th  g     は小さい  ct としてよく、     0 のみ効く。 空間座標 i  1, 2,3に対しては、
d 2 xi
2i
c

000
2dt

 00i   ij  2 0 h0 j   j h00     i h0012と比べると、ニュートンの重力ポテンシャル  によりとなり、

h00  122とすれば良いことがわかる。
2cg 00  1 g地面2
だけが重要
c2

重力場の方程式をニュートンから解読する 

ニュートン重力では、重力ポテンシャル  はポアソン方程式にしたがう

GMr

質量密度→エネルギー密度/c21cf 静電ポテンシャルのポアソン方程式  2e ( x)    e ( x) 同様
0
クーロンの法則（逆二乗則）を出す。


相対性理論では、エネルギー密度は
 1pエネルギー運動量テンソルというT   2
p4次元行列の00成分に埋め込まれている。
 3
pp1p2
S ijp3 

2のようにニュートンポテンシャルも計量テンソルの00成分に出てくるので
c2ポアソン方程式を計量テンソルの二階微分からなるテンソル量とエネルギー運動量テンソルを両辺に持つテンソル（行列）量に拡張したのがアインシュタイン方程式である
g 00  1 18 GG  R  g  R  4 T
2cアインシュタイン方程式

18 GG  R  g  R  4 T
2c
物質・エネルギー組成

時空の曲がり・幾何学的性質G アインシュタインテンソル
R リッチテンソル
R スカラー曲率
いずれも計量の二階微分から成る

物質やエネルギーがあるとまわりの空間がゆがむ。
空間の状態を中身の物質（エネルギー）が決める。
重力が弱く h  g     が小さい（しかし遅いとは限らない）とき、

h    h
電磁気学でマックスウェル方程式（右辺は電流ベクトル）
にゲージ変換してゲージ条件  A  0 を課すことにより、波動方程式が得られ、光速で伝わる横波である電磁波の解が得られたのであった。

重力波の場合も、やや複雑だが、事情は同じ。


ゲージ条件  h  0, h   h  0 の下で波動方程式がでてくる。電磁波と同じように重力波も光速で伝播する横波である。
真空中を z 方向に伝播する重力波 h  a e

0 00 aa   0 a0 00a
 a
0ikz

を考えると、物理的な自由度は0  という二つの偏極だけで表される。
022222dscdt

(1h)
dx

(1h)
dy
2hdxdy
dz


0
0

+ polarization

x polarization

重力波の生成

電磁波の場合と同様遅延グリーン関数を使って書ける。

4G T (ct  | r  r  |, r ) 3h (ct , r )  4 d r
cr rエネルギー運動量テンソルの保存則   T   0 のため、四重極モーメントでかける。

cf 運動する電荷からの電磁波放射は、電荷（四元電流）保存則により、双極子放射公式で与えられると同様。
重力波源の質量を M 、 大きさを R、 タイムスケールを T とすると

G MR 2 GGM rg
2h(r) ∼ 4
£ 4 Mc ∼ 2 ∼2rcr Tcr
cr

2GM シュバルツシルト半径rg  2（ブラックホールの地平線）ch( r ) rgrg r

2GM
c2シュバルツシルト半径（ブラックホールの地平線）r

太陽のシュバルツシルト半径と１00メガパーセクの比を取ると h £ g ∼r

3km
-21
∼
103´ 1024 m

コンパクト連星からの重力波m2

本質的にはケプラー問題

m1m2mm 1 2m1  m2m

f GW R  r2  r1s
r1 R   G s m2h2s5323G R G s m1  GM    f GW  
c4r
c4rr  c2   c 
22sM m 352553(m1m2 )232335(m1  m2 )15r2

チャープ質量

232323m1これでお勉強は終わりです重力波研究の歴史• 1916年 アインシュタイン
一般相対性理論から重力波を導く• 1968年 ウェーバー バーアンテナにより銀河中心からの重力波を検出したと主張• 1974年～ ハルス＆テイラー
連星パルサーの観測により間接的に重力波の存在を証明（1993年ノーベル物理学賞）• 2000年～ レーザー干渉計を用いた本格的重力波観測が始まる• 2015年9月に米国のadvanced LIGO検出器が連星ブラックホール合体からの重力波を初検出したと2016年2月に発表

重力波の源•

バースト重力波–––•連星中性子星の合体
ブラックホール連星の合体
超新星爆発

連続重力波
––

•

パルサーの回転、振動連星中性子星の公転運動

背景重力波–––

初期宇宙のインフレーション起源
初期宇宙の相転移や位相的欠陥の運動
白色矮星連星、中性子星連星、ブラックホール連星

レーザー干渉計重力波検出器

1995年基線長300mレーザー干渉計

km-class GW detectors in the world: 2015
LIGO Hanford 4 km, desert

LIGO Livingston 4 km,
forestGEO 600 600 m, university farm

Virgo Cascina 3 km

km-class GW detectors in the world: FY2015
LIGO Hanford 4 km, desert

LIGO Livingston 4 km,
forestGEO 600 600 m, university farm

Virgo Cascina 3 km

iKAGRA Kamioka,
3 km, Michelson
undergroundkm-class GW detectors in the world: near future
LIGO Hanford 4 km, desert

GEO 600 600 m, farm

LIGO India !
Approved by theIndian gov. on
Feb. 16 2016 !!

LIGO Livingston 4 km,forest

Virgo Cascina 3 km

bKAGRA Kamioka,3 km, FPM
cryogenic,undergroundAdvanced LIGOの光学系
ファブリ・ペロー型共振器

20W

100kW

重力波検出器の感度曲線
レーザー干渉計で鏡間の距離を測る©Joshua Smith Slide @ GWPAW2013

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advanced LIGOの実際の感度曲線（初検出当時）
ス
トレ
イン

Sn1/2 ( f )
1
Hz
単位

周波数


ノイズの自乗期待値

Hz単位n 2   df S n ( f ) ノイズのパワースペクトルadvanced LIGOの観測予想

TITLE: GCN CIRCULARNUMBER: 18330
SUBJECT: LIGO/Virgo G184098: Burst candidate in LIGO engineering run data
Dear colleagues,
2016/02/11 press conference
We would like to bring to your attention a trigger identified by the online Burst analysis
during the ongoing Engineering Run 8 (ER8).

G184098 (2015-09-16 06:39 UT)  情報処理学会誌５月号• 2015-09-14 09:50:45 UTC• FAR below ~1/month• < 1/(2.7yr)  < 1/(100yr)  < 1/(22500yr)  < 1/(203000yr)• gstlal/pycbc pipeline were turned-off.
• ER8: O1 not yet started• Calibration not fixed.
• Manual alert to EM follow-up within 3 mins of discovery.
• Importance of low-latency alert.
https://www.ligo.caltech.edu/detection• Identified by cWB & oLIB, confirmed by gstlal & pycbc• 200 deg2 (50 % CL) or 750 deg2 (90 % CL)• Distance not announced.
28

TITLE: GCN CIRCULARNUMBER: 18330
SUBJECT: LIGO/Virgo G184098: Burst candidate in LIGO engineering run data
Dear colleagues,
We would like to bring to your attention a trigger identified by the online Burst analysis
during the ongoing Engineering Run 8 (ER8).
G184098 (2015-09-16 06:39 UT)• 2015-09-14 09:50:45 UTC (18:50:45 JST)• FAR below ~1/month• < 1/(2.7yr)  < 1/(100yr)  < 1/(22500yr)  < 1/(203000yr)• gstlal/pycbc pipeline were turned-off.
• ER8: O1 not yet started (O1:9/19 0:00 JST)• Calibration not fixed.
• Automatic alert to LV within 3 mins of discovery, 2days latency for EM/nu followuppers.
• Importance of low-latency alert.
• Identified by cWB & oLIB, confirmed by gstlal & pycbc• 200 deg2 (50 % CL) or 750 deg2 (90 % CL)• Distance not announced (needs gstlal: 50 sec. latency, 20 = whitening, another bigfactor is calibration).
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GW150914検出までの道程• 2015年9月初旬、最後の試験運用。検出器と解析ソフトの最終調整• 2015年9月14日（月）9：50：45（協定世界時） 早期バースト検出システムcWBがブラックホール連星の合体とおぼしき現象候補を検出。リビングストンの現地時間は午前2:50、ハンフォードは午前4:50だった。
• この候補は3分ほどの遅延で候補リストにアップロードされた• コンパクト天体合体検出の二つのパイプラインは、いずれもその瞬間には検知できなかった。連星の少なくとも一方は中性子星だろうと仮定していたから。
• 9月16日（水）17時頃（協定世界時）電磁波対応天体探索のためのアラートが手動で出された。自動アラートシステムは技術試験運用中はオフになっていた。
• この現象候補の偽警報率を正確に計算し、候補を正式な検出と確認するためには16日間の同時観測が必要であった。

• この16日間の10月12日（月）に二つ目の連星ブラックホール合体候補を検出。
偽警報率はパーセントレベル。これは後にLVT151012と呼ばれる。
• いずれも月曜日だったのでfirst Monday, second Mondayと呼ばれた。

GW150914

31

LSC 2016/2 PRL

Waveform
Waveform:• After whitening,
known line noisenotching,
bandpassing• Consistent with GR32

Matched Filter

つまり観測と理論の相関を最大化するような波形パラメタを見つけることによってフィットする。
もしノイズがランダムガウシアンなら、この量はSN比の自乗を与える

BH連星の距離、方向、質量、自転角運動量

数値相対論
ホライズンの挙動

生成したBHの質量と自転角運動量

理論波形 2通りの計算法を使用して波形パラメタをフィット
IMRPhenom: Inspiral-Merger-Ringdown PhenomenologyEOBNR: Effective one body formalism numerical relativity

m1  m2

質量∼ = 太陽のこと

距
離軌道面の傾きスピンの単位
GM 2 1 2GM1
 M 2 c  Mrg cc2c2ス
ピン

ホライズン半径で光速で回っているような極端な状況で規格化している

合体前

合体後の質量https://losc.ligo.org/events/GW150914/

KAGRAも加わるとこのくらいで決められるはずである

意外にも、初検出は連星中性子星合体ではなく、連星ブラックホール合体だった。
しかし、天文学の歴史は、人類が新しい観測手段を得るごとにそれまで予想もしなかった発見の繰り返しだったので、今回も驚くには当たらない。
今後もさらに多くのイベントが期待される。
連星中性子星の合体も発見されるであろう。
KAGRAが本格稼働するまでは、重力波源の方向を精度良く特定することはできない。また、重力波の偏光を検出することもできない。一般相対論の真の検証はKAGRAまでお預け！
LIGO/Virgoチームとしても今回の結果は一般相対論と無矛盾であると主張しているに過ぎない。
ビッグバン宇宙国際研究センターにKAGRA重力波データ解析国際協力部門を設立し、カナダLIGOチーム代表だったKipp Cannon氏が准教授に就任。

その後2015年12月26日にももう一つのイベントが見つかった

グラビトンの質量に対する制限
mg  1.2  1022 eV  2.2  10 55 g𝑣 𝑐 展開

し一 重
た般
結相 力
果対、論 理
いの論ず
値
れのもから
ゼの テ
ロズ スとト無レ
を矛表
盾す
でさ
あっま
たざ
まな
パラ
メ
タをフィットブラックホールの起源は何か？
まだよくわからない
今後イベント数が増えて、質量分布やスピンがわかるようになれば、絞り込まれていくだろう
これまでX線で観測されてきたブラックホール候補天体は10 M ∼ 程度だったので、3倍以上も重い新種のブラックホールが見つかったことになる。
太陽と同じような金属組成を持つ種族Iの星は、恒星風によって質量を失うので、このような思いブラックホールにはなれない。
種族IIの低金属星か、金属を含まない第一世代の天体（種族III)である可能性が高い。とくに、種族IIIの星を考えると30 M ∼ のブラックホール連星が自然に説明できる。(Kinugawa et al 2014)

初期宇宙の高密度揺らぎから放射優勢期にできた原始ブラックホールかもしれない。(Sasaki et al 2016)

スペースレーザー干渉計B-DECIGOができたら区別できる！

30太陽質量のブラックホール連星を赤方偏移ｚ～30まで検出できる。初代天体説ならｚ～10以遠はないが、原始ブラックホールならｚ～20より遠くのものも存在するので両者を区別できる

ここから先は宇宙論的重力波の話

RESCEU
Research Center for the Early Universe
School of Science, The University of To
Tokyo, 113-0033, JapanINVITATIONTORESCEU
Research Center for the Early Universe
School of Science, The University of Tokyo
Tokyo, 113-0033, Japan現在 138億年

銀河形成
宇宙進化史
初代天体形成晴れ上がり 38万年
元素合成 3分

そど私
れこた
をにち
物行は理こ、学うい
つとに 、よしどってこていか知るらりの来たかてい？、

私たちの宇宙大きい
100億光年  10 cm
28lPl  c

 32

12G  1.6 1033 cm
12

基礎物理定数から作ったプランク長年を取っている
100億年  10 sec
17t Pl  c 52

12G  5.4 1044 sec
12

基礎物理定数から作ったプランク時間

以下c 

 1とします豊かな階層構造を持っている
宇宙背景放射に満たされている

現在 137億年

宇宙はいつ生まれたか？
インフレーションは銀河形成
いつ起こったか？
宇宙進化史
初代天体形成ビッグバンは晴れ上がり 38万年
いつ起こったか？
元素合成 3分
インフレーション

本イ以
質ン上的フ全なレてーに役シ
割ョ対をンし果がて初た
期
して 宇
い 宙る のなぜ重力波宇宙論か？

現在138億年

重力波で見るとインフレーション時代までさかのぼれる

ダークエネルギー

銀河形成

ビッグバン元素合成とインフレーションの間の暗黒時代のこと
が重力波によってわかる

first stardark age

電磁波で見えるのは宇宙の晴れ上がりまで晴れ上がり 38万年
再加熱=ビッグバン

インフレーション
宇宙の多重発生指数関数的膨張宇宙での量子的重力波生成を示した
1979年。インフレーション宇宙論が出るより前!!
A.スタロビンスキー（ビッグバン宇宙国際研究センター永年客員教授）

インフレーション中に生成した原始重力波は宇宙マイクロ波背景放射の偏光を観測することによって検出できる.
その振幅からインフレーションがいつ起こったかがわかる。

LilteBIRD

DECIGOで原始重力波を直接観測できると、宇宙の熱史がわかり、ビッグバンがいつ起こったかわかる。

宇宙の大域的に一様・等方・平坦性はインフレーションによって説明
観測されている曲率ゆらぎはインフレーションの予言と整合的だが、モデルを決定するには至っていない。
そう遠くない将来量子的重力波が見えことが、モデルの自然さからも期待される。すると、インフレーションがいつ起こったかわかる。
CMBによって量子的重力波が観測されたら、スペース重力波干渉計
DECIGOによって宇宙の再加熱温度が測れると期待される。
ビッグバンがいつ起こったかわかる。

まとめ
advanced LIGOが連星ブラックホール合体からの重力波を発見した
ブラックホールが存在する直接の証拠をつかんだ
強重力場中で一般相対論が成り立っている証拠を得た。
重力波が2つの偏光を持っていることは、KAGRAが稼働するまでわからない。
イベントの方向を特定することもまだできていない。
ブラックホールの起源は興味深い問題である。

今後中性子星合体からの重力波が見つかると期待され、中性子星の内部構造や状態方程式がわかるようになる。
いずれ宇宙論的重力波の研究が進む時代になるだろう