論 文

3Dプリンティング技術に基づく自動車のシャシー用部品のトポロジー最適化構造の作製および加振試験による実験的評価
岸田 真幸1・倉橋 貴彦2・井山 徹郎3・小林 正成4・加藤 遼41

長岡技術科学大学 技術科学イノベーション専攻（Department of Science of Technology Innovation, Nagaoka University of Technology）
2

長岡技術科学大学大学院 機械創造工学専攻（Department of Mechanical Engineering, Graduate School of Nagaoka University of Technology）
3

機械工学科

（Department of Mechanical Engineering, National Institute of Technology, Nagaoka College）
4

オイレス工業株式会社（Oiles Corporation）

Fabrication of topology optimization structure for the automobile’s chassis parts
based on 3D printing technology and experimental evaluation by vibration tests
Masayuki KISHIDA1, Takahiko KURAHASHI2, Tetsuro IYAMA3
Masanari KOBAYASHI4 and Ryo KATO4
Abstract
In this paper, we present the result of vibration test using the automobile chassis parts fabricated by 3Dprinter based on the topology optimization results. In the topology optimization analysis, the strain energy
minimization analysis was carried out, and the optimized shapes were obtained by changing the initial
density conditions. The shapes were fabricated by 3D printer, and the practical vibration tests wereperformed. Consequently, it was found that same tendency can be obtained between numerical andexperimental results.
Key Words : Vibration test, Chassis parts, 3D printer, Topology optimization analysis

１．はじめに困難である．また，炭素繊維を含んだ樹脂（CFRP）が多くの樹脂部品に使われおり，その樹脂は金属よ

近年，世界各地域における CO2 削減要求から自動りも比強度および比剛性が高い．一方で，高コスト車の燃費向上のための様々な研究が行われているおよび低生産性といった問題点がある．このような．その一つに金属部品を樹脂化する技術が自動問題点から，樹脂化した場合においても軽量化や材車部品の軽量化として用いられている．一方で，樹料の削減が必要であると言える．しかし，繊維を含脂は金属と比べ弾性率が小さいことから，強度に劣んだ樹脂部品は射出成型など金型を必要とする製造る点があるため，金属部品と比べ肉抜きすることが方法により製造されることから，軽量化の試行錯誤

1),2),3)21

をする際にコストを要してしまう．このような点か
ら鑑み，数値計算を用いた軽量化の検討が必要とされている．
しかし，軽量化による強度低減が懸念される．本
研究では，トポロジー最適化により算出した自動車のシャシー用部品を 3D プリンタにて作製し，作製したモデルを加振試験にかけて，材料の削減割合に対する振動評価を行う．
図-3

ZORTRAX M200

２．自動車のシャシー用部品の概要
表-1

ZORTRAX M200 と材料の主な仕様

２．１ シャシー用部品の仕様

スペック
3D プリンタ種類
積層ピッチ
充填率
材料
引張強さ
比重

本研究で対象とする自動車のシャシー用部品を図-1に示す．また，シャシー用部品の寸法を図-2に示す．

熱溶解積層型
0.09 [mm]100 [%]
Z-ABS
30.46 [MPa]1.195 [g/cm3]

２．３ 試験モデルの種類
本検討では，図-4に示した軽量化前のモデル(以降，供試体1と略す)，図-5，図-6および図-7に示した軽量化したモデル3種類(以降，供試体2，供試体3，供試体4と略す)の4種類のモデルを使用する．それぞれの供試体の質量を表-2に示す．本検討において，

図-1 自動車のシャシー用部品材料の密度は一定であるため体積比率は，質量比率と同じ意味であると考える．軽量化のための最適化手法としては，トポロジー最適化手法を用いた．

図-2 シャシー用部品の寸法
図-4

3D プリンタで作製した供試体 1

図-5

3D プリンタで作製した供試体 2

２．２ 使用した3Dプリンタ
試験モデルを作製するために使用した3Dプリンタを図-3に示す．3Dプリンタは，ZORTRAX M200を使用した．また，3Dプリンタと材料の仕様を表1に示す．

22図-14 に示す．ここで，図-14 に示された部品上面を固定とし，赤色の矢印が荷重とする．拘束条件は，部品上面すべてを完全拘束とし，荷重条件は治具と接する箇所に限り働くものとする．最後に，加振試験の条件について説明する．本検討における加振試
験の条件を表-3 に示す．ここで，自動車のロードノイズ領域である 400[Hz]までスイープ加振を行う
図-6

3D プリンタで作製した供試体 3

図-7

3D プリンタで作製した供試体 4

ため，周波数の上限値を 400[Hz]と設定する．

表-2 各供試体の質量供試体 1
供試体 2
供試体 3
供試体 4

質量[g]

体積比率（質量比率）

92.8
74.3
69.962.9

1.00
0.80
0.750.68

図-8 加振試験装置の外観

３．振動測定のための加振試験
本論文では，トポロジー最適化を用いて導き出されたモデルを3Dプリンタにより作製し，作製したモデルに対して加振試験を行う．
３．１

図-9 加振試験装置の拡大図

試験装置の仕様

本検討では，図-8 および図-9 に示した加振試験装置を用いる．加振試験装置の下から振動を与え，図-9 に示した 2 つの加速度センサを用い，固有振動数を測定する．加速度試験と関連装置を図-10 に示
す．制御装置にて加速度試験装置を制御し，加速度試験装置に取り付けられた 2 つの加速度センサの値を FFT アナライザにより読み取り，観測用 PC を用いてグラフ化を行う．次に，治具と 3D モデルの設
図-10 加振試験装置と関連装置置について説明する．図-11，図-12 および図-13 に治具，治具と 3D モデル，拘束のためのプレートの外観をそれぞれ示す．本検討では，3 点荷重が加わった際の評価を行う．図-12 のように 3D モデルを載せ，それに，図-13 で示した固定用の金属製プレートを上に乗せる．荷重や固定に関する境界条件を
23

３．２

加振試験の手順

以下に加振試験の手順を示す．
①

治具に供試体を設置する．

②①の上に金属製のプレートを設置する．

③

加振試験装置の上の部分を外し，②で用意した供試体を加振試験装置の中央部分に設置す
る．

④

加振試験装置の上の部分を元に戻し，供試体を挟み込む．この時，上の部分のばねの縮み

図-11 治具の外観距離が同じになるようにナットを締める．
⑤制御装置で加振試験を実行する．

⑥加振試験中に FFT アナライザを用いて観測用PC で記録を取る．

⑦加振試験終了後，供試体を取り外す．

３．３

加振試験の結果加振試験の結果を図-15 に示す．ここで，横軸は入力側の周波数で，縦軸は図-9 で示した入力側と図-12 治具と 3D モデルの外観出力側に取り付けられた 2 つの加速度センサの伝達率である．また，体積比率に対するひずみエネルギーおよび固有振動数の関係を図-16 に示す．図-15のグラフより，それぞれの第 1 ピークの周波数の値を固有振動数とする．ここで，横軸は供試体 1（初期モデル）に対する体積比率（質量比率）で，第 1縦軸は解析により求めた総ひずみエネルギーで，第2 縦軸は図-15 より得られる固有振動数である．さらに，式(1)および式(2)に固有振動数およびひずみ(1)エネルギーの変動率の式を示す．ここで，𝑓𝑛 は体(𝑚)図-13 拘束のためのプレートの外観

積比率１の固有振動数，𝑓𝑛 は体積比率𝑚の固有振動数，𝐽(1) は体積比率１のひずみエネルギー，𝐽(𝑚)は体積比率𝑚のひずみエネルギーである．加えて，
図-15 の結果より式(1)および式(2)を用いて標準化したグラフを図-17 に示す．ここで，横軸は供試体 1（初期モデル）に対する体積比率（質量比率）で，縦軸は式(1)および(2)を用いて求めた変動率である．

体積比率𝑚の固有振動数の変動率[%](𝑚)(1)|𝑓𝑛 − 𝑓𝑛 |=× 100(1)𝑓𝑛

図-14 境界条件
表-3 加振試験の条件

供試体 1

周波数の上限値
[Hz]

総荷重
[N]

加速度
[m⁄s2 ]

400

1961.39.8

体積比率𝑚のひずみエネルギーの変動率[%]|𝐽(𝑚) − 𝐽(1) |=× 100
𝐽(1)

24(1)

(2)

るひずみエネルギーおよび固有振動数の関係性について考察する．図-16 を見て分かる通り，体積比率すなわち質量比率が小さくなるにつれて，固有振動数は小さくなり，ひずみエネルギーは大きくなる．
また，図-17 より，体積比率に対するひずみエネルギーの変動率と固有振動数の変動率は同様な傾向にあることが分かり，解析で得られるひずみエネルギーと実験で得られる固有振動数には密接な関係があることが言える．

図-15 加振試験の結果以上のことから，解析上でひずみエネルギーを算出することで，実験をする前に解析で得られた結果の固有振動数を予測することができると考えられる．
このことから，固有振動数もしくはひずみエネルギーの許容値をあらかじめ設定することで，シャシー用部品の肉抜き構造の最適設計ができると考えられる．

４．結論
本研究では，軽量化した自動車のシャシー用部

図-16 ひずみエネルギーおよび固有振動数品を 3D プリンタにて作製し，作製したモデルを加振試験にかけて，材料の削減割合に対する振動評価を行った．結果として軽量化を行うことにより，固有振動数は下がり，ひずみエネルギーは上がる傾向が確認できた．この傾向より，固有振動数もしくはひずみエネルギーの許容値を設けることで，最適な軽量化を行えることができると考えられる．

謝辞：本研究を行うにあたり，科学研究費補助金（基盤(C)）18K03897 の援助を受けた．また，本論文中に示した実験を行うにあたり，オイレス工業株

図-17 体積比率に対する変動率式会社の加振試験装置を利用させて頂いた．加えて，まず，図-15 より，すべての供試体において第 1

本論文に示した数値計算を行うにあたり，九州大学

ピークは 150[Hz]から 250[Hz]に入っており，第 2 ピ

情報基盤研究開発センターの高性能演算サーバシス

ークは 250[Hz]から 350[Hz]に入っている．第 1 ピー

テムを利用させて頂いた．ここに謝意を表す．

クはシャシー用部品が共振した際に生じるものであり，第 2 ピークはナットやばねなどの加振試験装置の部品が共振した際に生じるものである．そのため，

付録

本検討では，シャシー用部品の固有振動数を第 1 ピ
１．ラグランジュ関数

ークのみに着目する．それぞれの第 1 ピークより，

本検討で用いたトポロジー最適化手法 4) 5)につい周波数の高い供試体の順番として，供試体 1，供試て説明する．

体 2，供試体 3，供試体 4 の順になる．これは，表2 より，質量が小さいほど固有振動数が高くなると１．１いうことが言える．

ラグランジュ関数の感度の誘導

等方線形弾性体の応力－ひずみ支配方程式および次に，図-16 および図-17 より，体積比率に対す
25

ひずみ―変位支配方程式を式(3)および(4)に示す．

𝜕𝐽∗
=
𝜕𝜌𝑖
1
𝜕{𝑈}
𝜕[𝐾]
𝜕{𝑈}
{𝑈} + [𝐾]({𝐹}𝑇+ {𝜆}𝑇 ())
2
𝜕𝜌𝑖
𝜕𝜌𝑖
𝜕𝜌𝑖
1
𝜕[𝐾]
𝜕[𝑈]
{𝑈} + ({𝐹}𝑇 + {𝜆}𝑇 [𝐾])= ({𝜆}𝑇)2
𝜕𝜌𝑖
𝜕𝜌𝑖

ここで，{𝜎}は応力ベクトル，[𝐷]は弾性行列，[𝐵]はひずみ作用素マトリックス，{𝜀}はひずみベクトル，{𝑢}は変位ベクトルである．本論文では 3 次元のマトリックスおよび行列系で考える．
{𝜎} = [𝐷]{𝜀}(3){𝜀} = [𝐵]{𝑢}(9)

式(9)より，随伴方程式{𝐹}𝑇 + {𝜆}𝑇 [𝐾] = {0}𝑇 の[𝐾]が対称行列であることから，[𝐾]{−𝜆} = {𝐹}となる．

(4)

式(6)の有限要素方程式と比較すると{−𝜆} = {𝑈}が得

式(3)に式(4)を代入し，その式に仮想変位ベクトル{𝑢∗ }を乗じ，さらにガウスの発散定理を適用するこられ，随伴方程式を解く必要がなくなる．よって，
式(9)は式(10)のように表すことができる．とで弱形式を得る．ここで，𝛺は領域全体，𝛤は境𝜕𝐽∗ 1 𝑇 𝜕[𝐾]{𝑈}
= {𝜆}
𝜕𝜌𝑖 2
𝜕𝜌𝑖1
𝜕[𝐷]
[𝐵]{𝑈}= {𝜆}𝑇 [𝐵]𝑇2
𝜕𝜌𝑖1
𝜕[𝐷]
[𝐵]{𝑈}= − {𝑈}𝑇 [𝐵]𝑇2
𝜕𝜌𝑖

界，{𝑓}は外力ベクトル，添え字𝑇は転置行列である．
∫ {𝑢∗ }𝑇 [𝐵]𝑇 [𝐷][𝐵]{𝑢}𝑑𝛺 = ∫ {𝑢∗ }𝑇 {𝑓}𝑑𝛤𝛺𝛤(5)

式(5)をガラーキン法により離散化を行うと式(6)の有限要素方程式が得られる．ここで，[𝐾]は剛性行

本研究では，式(11)に示す密度法（SIMP 法）を導列，{𝑈}は全節点の変位ベクトル，{𝐹}は全節点の荷入する．ここで，𝐸𝑖 は要素𝑖のヤング率，𝐸0 は材料重ベクトルである．また，離散化には 3 次元の四角のヤング率，𝐸𝑚𝑖𝑛 は計算不安定性を回避するためのパラメータ，𝑝はペナルティパラメータである．

形 8 節点アイソパラメトリックス要素を使用した．
[𝐾]{𝑈} = {𝐹}(6)𝑝𝐸𝑖 = (𝐸0 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 )𝜌𝑖 + 𝐸𝑚𝑖𝑛

外力によるひずみエネルギーの最小化を目的とする(11)

等方線形弾性体の D マトリックスを[𝐷] = 𝐸𝑖 [𝐶]と表ことから，評価関数𝐽を式(7)のように定義する．
11
𝐽 = {𝐹}𝑇 {𝑈} = {𝑈}𝑇 [𝐾]{𝑈}22(10)

し，式(10)に式(11)を代入することで式(12)が得られる．

(7)

𝜕𝐽∗
1𝑝−1
= − 𝑝(𝐸0 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 )𝜌𝑖
𝜕𝜌𝑖
2× {𝑈}𝑇 [𝐵]𝑇 [𝐶][𝐵]{𝑈}

式(6)の制約条件のもと式(7)である評価関数の最小化を行うため，式(8)のようにラグランジュ未定乗(12)数法を用いる．ここで，{λ}は随伴変数ベクトルである．
𝐽∗ =

１．２
1
({𝐹}𝑇 {𝑈} + {𝜆}𝑇 ([𝐾]{𝑈} − {𝐹}))2

感度に対するフィルタリング処理の導入

式(11)のような密度法（SIMP 法）を使用したトポロジー最適化では，隣接する要素での無次元密度(8)の値は不連続となる．また，ラグランジュ関数の密ラグランジュ関数の無次元密度に対する感度ベクト度感度も要素によって定義されることから不連続とルは式(9)のように表される．また，無次元密度はなる．このことから，最適化後の密度分布がチェッ要素に与える．ここで，𝜌𝑖 は要素𝑖の無次元密度でカーボード状になり，工業的に不可能な構造となっある．てしまう．こういったチェッカーボードを回避するために，式(13)のようなラグランジュ関数の感度に対してフィルタリング処理を導入する．ここで，𝑤は重みパラメータ，𝑣𝑖 は要素𝑖の体積である．

26

を行う．ここで，𝜍は密度の更新におけるムーブリ𝜕𝐽∗∑𝑗∈𝑀𝑖 𝑤(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑗 )𝜌𝑗
/𝑣
̅̅̅̅𝜕𝜌𝑗 𝑗
𝜕𝐽∗
=
𝜌𝑖𝜕𝜌𝑖
∑
𝑤(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑗 )𝑣𝑖 𝑗∈𝑀𝑖

ミットである．

(13)

(𝑘+1)

𝜌𝑖

重みパラメータ𝑤(𝒙𝒊 )は𝑖番目の要素から半径𝑅内に含まれる要素を対象とし，𝑖番目の要素からの距離る式を示す．

𝜌𝑖𝑈(𝑘)

𝜌𝑖 (𝐴𝑖 ) ≥ 𝜌𝑖𝑈(𝑘)22= 𝑅 − √(𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 ) + (𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 ) + (𝑧𝑗 − 𝑧𝑖 )2(𝑘) 𝜂(𝑘)

𝜂(𝑘)

(𝑘) 𝜂

𝜌𝑖𝐿(𝑘) ≤ 𝜌𝑖 (𝐴𝑖 ) ≤ 𝜌𝑖𝑈(𝑘)(𝑘)(𝑘) 𝜂𝜌𝑖𝐿(𝑘)𝜌𝑖 (𝐴𝑖 ) ≤ 𝜌𝑖𝐿(𝑘)0𝜌𝑖 (𝐴𝑖 ) ≤ 0{𝑤(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑗 )１．３

𝜌𝑖 (𝐴𝑖 ) ≥ 1= 𝜌𝑖(𝑘) (𝐴(𝑘)𝑖 )に応じた値とする．式(14)に重みパラメータを求め(𝑘) 𝜂(𝑘)1(𝑘)(𝑘) 𝜂(14)(18)(𝑘)+ 𝜍, 1}(19)(𝑘)− 𝜍, 0}(20)

𝜌𝑖𝑈(𝑘) = Min{𝜌𝑖最適性基準法に基づく無次元密度の更新

本研究では，最適性基準法（OC 法）に基づく無次元密度の更新式を反復計算において用いる．密度𝜌𝑖𝐿(𝑘) = Max{𝜌𝑖の更新を行う際に制約式となる式を式(15)に示す．
ここで，𝑉𝑓 は体積制約量である．
１．４∫ 𝜌𝑖 𝑑𝛺 − 𝑉𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝛺

トポロジー最適化の計算の流れ

以下にトポロジー最適化の計算アルゴリズムを示

(15)

す．

式(15)の制約式を課した式(16)に示す修正ラグラ

1.

固定設計領域や境界条件の設定を行う．

ンジュ関数を導入する．ここで，𝑘は反復回数，𝛬2.

トポロジー最適化に必要な計算条件の設定を行う．

は修正ラグランジュ未定乗数である．
𝐽∗∗(𝑘)= ̅̅̅̅̅̅𝐽∗(𝑘) + 𝛬(𝑘) (𝑉(𝜌(𝑘) ) − 𝑉𝑓 )

(16)

3.

等方線形弾性体の有限要素解析を行う．

4.

評価関数であるひずみエネルギーの総和と質量（体積に無次元密度をかけた値）の総和を計算

式(16)の修正ラグランジュ関数の第一変分を計算すする．

ると，式(17)のように表すことができる．
𝛿𝐽∗∗(𝑘)̅̅̅̅̅̅̅𝜕𝐽∗(𝑘)𝜕𝑉(𝜌(𝑘) )=+ 𝛬(𝑘)
=0
𝜕𝜌𝑖
𝜕𝜌𝑖

5.

収束判定：|𝐽(𝑘+1) − 𝐽 (𝑘) |⁄𝐽(1) < 𝜖 を計算し，収束判定定数𝜖より小さい場合は計算を終了する．
そうでなければ，次のステップへ進む．

(17)
6.

ラグランジュ関数の各要素密度に対する感度の計算を行う．

式(17)で示した修正ラグランジュ関数の第一変分を7.

もとに式(18)に示す各要素における無次元密度の更前のステップで求めたラグランジュ関数の感度に対してフィルタリング処理を行う．

新式を導入する．
𝜂̅̅̅̅̅̅̅𝜕𝐽 ∗(𝑘)𝜕𝜌𝑖(𝑘+1)(𝑘)𝜌𝑖= 𝜌𝑖𝜕𝑉(𝜌(𝑘) )−𝛬(𝑘)𝜕𝜌𝑖 )
((𝑘)

8.

最適性基準法により体積制約を満たしながら，無次元密度の分布の更新を行う．その後，反復回数を更新し，ステップ 3 に戻る．

(17)(𝑘) 𝜂= 𝜌𝑖 (𝐴𝑖 )参考文献1)

本検討では修正ラグランジュ未定乗数𝛬は 2 分法に

保谷敬夫, “自動車の燃費向上のための軽量化（<シより求める．また，式(17)に示した式を用いて密度

リーズ>身近な材料・商品と GSC-持続可能な社会を更新を行う際に，設計変数である無次元密度に対し目指す化学技術の過去・現在・未来-）”,化学と教育,て上下限値を設け，式(18)～(20)の条件のもと更新

公益社団法人 日本化学会,第 54 巻第 4 号,pp.228231,2006.

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2)

播摩一成,山田浩明,栃岡信由,高垣有紀,仲井朝美,大谷章夫,濱田泰以, “炭素繊維強化ポリプロピレンの界面せん断強度と機械的特性”,科学・技術研究,科学・技術研究会,第 5 巻第 2 号,pp.163-168,2016.

3)

堂坂健児, “自動車における樹脂材料の活用と ASR 減量化の課題”,廃棄物資源循環学会誌,一般社団法人 廃棄物資源循環学会,第 29 巻第 2 号,pp.108-115,2018.

4)

西脇眞二,泉井一浩,菊池昇, “トポロジー最適化”,丸善出版,2013.

5)

K. Yoshihara, T. Kurahashi and M. Kobayashi,“Numerical and practical experiments for maximally stiff
structure based on the topology optimization theory and theFEM”, The Japan Society for Industrial and Applied
Mathematics, Vol.10(2018), pp.73-76.
(2019. 9. 20 受付)

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