筑波大学数理物理系

粒子加速器
ビームの運動の基礎
大見 和史
高エネルギー加速器研究機構（KEK）
加速研究施設簡単な特殊相対論の式の使い方
E=mc2はv<<cで成り立つ。
• ローレンツ因子• ビームのエネルギーは運動エネルギーで表す

相対論的電気力学• ローレンツ力(同じ式)

接線ベクトル• 周波数はエネルギーによる。

ビーム物理の目的• ビーム粒子を期待した軌道上に閉じこめておき、必要なら希望する方向に取り出す。
• そのためにビーム粒子は加速器の中で安定した運動をしなければならない。安定性の条件、不安定性の除去。

KEKの加速器
Energy 長さ

current#bunch粒子数(bunch)

mm

1010

GeV

ｍ

KEK-Linac

8max

480

KEKB

4&7

3016

1

1600

0.1x0.001
x5

6

KEK-PF

2.5

187

0.5

250

1x0.1x10

0.5

ATF

1.5

139

0.1

1-

0.2x0.02x5

1

J-PARC(RCS)0.2->3 34810

220x20x
70000

4000

J-PARC(MR)3->30 1567108

10x10x
20000

4000

運動エネルギー

A

bunch
shape
（x,y,z）(50Hz)1-10基準（設計）軌道（粒子）を設定• 基準（設計）粒子、基準（設計）軌道を基準（設計）のエネルギーで運動• 磁石（B,Q,S…)の設置、基準（設計）粒子が基準（設計）軌道を通るようにする。

粒子が基準軌道の近傍で安定か（講義の主題）
線形理論
加速器でよく使われる座標変数• 基準軌道（粒子）からのずれを座標変数にとる。
• 運動の変数を時間ではなく、基準軌道の軌道方向の位置にとる。
(x, px, y, py, z, pz; s)x,y: 基準軌道からのx,y(px, py)=(Px,Py)/p0: 力学的運動量/基準粒子の運動量z=s-v0t : sに到着する時刻の基準粒子に対する進み ｘ v0 ,
軌道長の縮み。
pz=(p-p0)/p0=Dp/p0: 運動量のずれの割合

基準軌道と座標系-線形加速器
y
t=s/v

x

s
t 0=s/v0s: 始点からの距離• 加速空洞と収束磁石、偏向磁石からなる。

基準軌道と座標系-円形加速器
y

厳密にいうとこちらは座標軸ではない。Ｚはあくまでも時
刻のすすみ。

t=s/vsx
t 0=s/v0• 磁石を並べて基準軌道を設定する。設計粒子が磁石の中心を通るようにする。

直線軌道での到着時刻• エネルギー差による到着時刻の遅れ• 1GeV位の電子ではDtは多くの場合無視できる。
• Dp/p=0.01, g=2000, L=100m, cDt=0.25mm<<sz=1mm.
• 無視できない場合の典型。自由電子レーザー、周波数が速い(波長が短い)、cDt>l.

それではｚは意味あるのか• エネルギーの異なる粒子は異なる軌道上を運動する(色収差)。軌道長もエネルギーによる。
• エネルギーのずれに対する設計軌道長からのずれを１次まで考慮

𝑑ℓ= 𝛼(𝑠)𝑝𝑧𝑑𝑠a:運動量コンパクション係数• 軌道が長ければ到着が遅くなる、zが負になる。
• zは速度による部分と、エネルギーによる軌道(長)の違いからの部分がある。

≡ −𝜂𝑝𝑧シンクロトロン加速• Radio Freq.電場(正弦波)をつかった加速。どの位相に合わせるか。

バンチ重心の受ける加速電圧

ビーム粒子の到着時刻• 青橙の場合速い粒子は中心より加速が小さい大きい。
• 加速電圧は中心に対する時間差に比例して小さく大きくなる• どちらの位相に乗せると安定かは設計による。いずれにしても重心の周りに単振動させるようにする。

円形加速器での加速• 正弦波の線形部分をつかった加速

𝑒𝑉′
≈
𝑧
𝐸𝐿

𝑑𝑧
= −𝜂𝑝𝑧𝑑𝑠

RFの場所だけでpzは変化するが、周回で一様に変化すると近似• hの符号により、V’の符号(位相)を選び、調和振動
的に安定にz,pzを運動させる。

シンクロトロン振動• ビーム重心は高周波加速装置の周波数に同期した(ある位相の)タイミングで加速装置を通過する。
• ビームはその位相に応じて加速装置からエネルギーを受け取る。
• ビームの個々の粒子はその位相に対して、進んだり遅れたりして振動する。この振動をシンクロトロン振動という。

シンクロトロン周波数、チューン• コンパクションと加速𝑑𝑧= −𝜂𝑝𝑧
𝑑𝑠

まとめると
𝑑2 𝑧
𝜂𝑒𝑉′
=−
𝑧
2
𝑑s
𝐸𝐿

𝑑𝑝𝑧 𝑒𝑉′
=
𝑧
𝑑𝑠
𝐸𝐿

解
𝜂𝑒𝑉 ′ 𝐿 𝑠𝑧 = 𝐴 exp 𝑖
𝐸 𝐿

𝑐 𝜂𝑒𝑉 ′ 𝐿𝜔𝑠 =𝐿
𝐸
1 𝜂𝑒𝑉 ′ 𝐿
𝜈𝑠 =
2𝜋
𝐸

周回あたり振動する回数をチューンと呼ぶ
シンクロトロンチューン

線形加速器での加速• 効率よく加速したい。~p/2に合わせる。

• Sinの曲率でバンチの前部と後部は少しエネルギ
ーが小さくなる。

バンチ長を制御する技術• 正弦波の線形な位相にビームを合わせる。
• バンチの前がエネルギーが低く、後ろが高くする。
Energy chirpという。（鳥のさえずりのように先後で周波数が異なる。
• コンパクション、速度によりエネルギー差でzを変え、バンチ長を縮める。
pz

最初のバンチ長Chirpしたバンチ形状

最初のバンチ形状t

最終のバンチ長ベクトルポテンシャルとマクスウェル方程式• Maxwell方程式
𝜌𝑑𝑖𝑣𝑬 =𝜖0

𝜕𝑬𝑟𝑜𝑡𝑩 = 𝜇0 𝒋 +𝜕𝑡𝜕𝑩rot𝑬 = −𝜕𝑡𝑑𝑖𝑣𝑩 = 0

𝑩 = rot𝑨𝜕𝑨
𝑬 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 −
𝜕𝑡
1 𝜕𝜑
=0
Lorentz ゲージ 𝑑𝑖𝑣𝑨 − 2
𝑐 𝜕𝑡
1 𝜕2
∆− 2 2𝑐 𝜕𝑡

𝑨 = −𝜇0 𝒋

1 𝜕2∆− 2 2
𝑐 𝜕𝑡

𝜌
𝜑=−
𝜖0

横方向(x-y)の運動
電磁石を使って粒子の軌道を曲げる。

• 偏向磁石 粒子をx面内に曲げる。

• 収束磁石 粒子を収束させる。

• 6極磁石 色収差補正。

加速器静磁場を表すベクトルポテンシャル• 偏向磁石、収束磁石 Bz=0、Azのみで表せる。
𝑩 = rot𝑨

𝐴𝑥 = 𝐴𝑦 = 0∆𝐴𝑧 = 0𝜕𝐴𝑧
𝐵𝑦 = −
𝜕𝑥

𝜕𝐴𝑧
𝐵𝑥 =
𝜕𝑦

• ラプラス方程式、多重極展開∞

𝐴𝑧 = −𝑅𝑒𝑛=1

𝑏𝑛−1(𝑥 + 𝑖𝑦)𝑛 = −𝑅𝑒
𝑛!

∞

𝑛=1

𝑏𝑛−1 𝑛𝜁𝑛!

• 加速器の磁石は大抵By(x,-y)=By(x,y), anは実数
𝑏1 2
𝑏2 3
2
𝐴𝑧 = −𝑏0 𝑥 −𝑥 −𝑦 −
𝑥 − 3𝑥𝑦 2 + ⋯2
6
Bx(-x,y)=-Bx(x,y)
Skew成分はエラーとして存在

磁場と磁石𝑏1 2
𝑏2 3
2
𝐴𝑧 = −𝑏0 𝑥 −𝑥 −𝑦 −
𝑥 − 3𝑥𝑦 2 + ⋯
2
6
𝜕𝐴𝑧
𝐵𝑥 =
= −𝑏1 𝑦 + 𝑏2 𝑥𝑦 + ⋯
𝜕𝑦
𝜕𝐴𝑧
𝑏2 2
𝐵𝑦 = −= 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 +𝑥 − 𝑦2 + ⋯𝜕𝑥
2• 加速器ではそれぞれの成分a0,1,2を生じる磁石を別々に作る。（特殊用途には成分を複合させる）実際の加速器(KEKB)• 偏向磁石 b0のみ。粒子をx面内に曲げる。
𝐵𝑦 = 𝑏0• 収束磁石 b1のみ。粒子を収束させる。
𝐵𝑥 = 𝑏1 𝑦

𝐵𝑦 = −𝑏1 𝑥• 6極磁石 b2のみ。色収差補正。
𝐵𝑥 = 𝑏2 𝑥𝑦

𝑏2 2
𝐵𝑦 =
𝑥 − 𝑦22

運動方程式とその扱い• 加速器は部品ごとに役割を分けている。

• それぞれの部品ごとに粒子の運動を解いて、つなげていく。
• 磁場のない空間、ドリフトスペースといっている。
• 磁石内• 高周波加速• 全体を線形理論で扱う。

運動方程式• 変数の１次までを考慮した運動を考える。
調和振動子的d 2x
 K ( s)x  02ds

x=(x,y,z)
px=x’, py=y’, pz=-z’/h• 力がsの関数。
加速器の部品ごとにKは決まる。

a(s): (local) momentum
compaction factor

運動方程式の具体な形• ドリフトスペース, K=0
𝑑2𝒙
=0
2
𝑑𝑡

• 偏向磁石𝑠 = 𝛽𝑐𝑡

𝑑2𝒙
=0
2
𝑑𝑠

解は円運動

𝑑2 𝑥 𝑒𝑐𝛽𝐵𝑦
=
2
𝑑𝑡
𝑚𝛾

𝑒𝐵𝑦
𝑒𝐵𝑦
1 𝑑2 𝑥
= 2=
=
𝜌 𝑑𝑠
𝑚𝑐𝛽𝛾
𝑝

• 収束磁石 𝐵𝑦 = −𝑏1 𝑥
𝑑2 𝑥
𝑒𝑐𝛽𝑏1
=−
𝑥
2
𝑑𝑡
𝑚𝛾

𝑑2 𝑥
= −𝐾1 𝑥2𝑑𝑠
𝑑2 𝑦
= 𝐾1 𝑦
2
𝑑𝑠

𝑒𝑏1
𝐾1 =
𝑝

運動方程式の解• ドリフト空間（何もないところ）: K(s)=0x"  0x '  px  const x1  x0  px sz"  0z '  a ( s) pz  0 z1  z0
zは(1+px2+py2)1/2小さくなるが２次以上なので無視 x  1  
 px   0
 y  0
  
 py   0
 z  0   pz 1  0

s
1
0
0
0
0

0
0
1
0
0
0

0
0
s
1
0
0

0
0
0
0
1
0

0 x  p 
0 x 0 y    s00   py 0 z   1   pz 0

粒子軌道

基準軌道

s1

det 𝑀 = 1

• 偏向磁石 基準軌道はサイクロトロン運動の円周
上にとる。

s
cos



 x 
    1 sin s px    y 0  
 py  0 z    s pz 1   sin


0


 sin
cos
0
0

s


s



0 0 0
0 0 0
1 s 0
0 1 0


s
  1  cos  0 0 1


0
0 0 0

det 𝑀 = 1s 
 1  cos  
 

 x

s
 
sin
  px  y 
 0  py 0  z s sin  s   pz 0



1


• 偏向磁石による変換(x, px)(0,x+)Particle orbit([sin(fq)+sinq],
[cos(fq)-cosq]+x+)Reference orbit

q=px(x1, px,1)


𝜙−𝜃

f
f0


𝜌(sin 𝜙 − 𝜃 + sin 𝜃)tan 𝜙0 =𝜌(cos 𝜙 − 𝜃 − cos 𝜃) + ρ +𝑥(0,0)

• Take 1st order of x,px([sin(fq)+sinq], [cos(fq)+cosq]+x+)= 𝜌 sin 𝜙 + 𝜌(1 − cos 𝜙)𝑝𝑥 , 𝜌 cos 𝜙 + ρsin 𝜙𝑝𝑥 + 𝑥
𝑥1 =𝜌 sin 𝜙 + 𝜌(1 − cos 𝜙)𝑝𝑥 2 + 𝜌 cos 𝜙 + ρsin 𝜙𝑝𝑥 + 𝑥 2 − 𝜌≈ cos 𝜙𝑥 + 𝜌 sin 𝜙𝑝𝑥
tan 𝜙0 =𝜌(sin 𝜙 − 𝜃 + sin 𝜃)𝜌(cos 𝜙 − 𝜃 − cos 𝜃) + ρ +𝑥

𝜌 sin 𝜙 + 𝜌(1 − cos 𝜙)𝑝𝑥
cos 𝜙 − 1sin 𝜙=≈ tan 𝜙 +
𝑝𝑥 −
𝑥
2
2
𝜌 cos 𝜙 + ρsin 𝜙𝑝𝑥 + 𝑥cos 𝜙𝜌 cos 𝜙𝑝𝑥,1 = 𝑝𝑥 + 𝜙0 − 𝜙 = cos 𝜙 𝑝𝑥 −

cos 𝜙
𝑥
sin 𝜙
=
𝑝𝑥 1
−
𝜌

sin 𝜙
𝑥
𝜌

𝜌 sin 𝜙
cos 𝜙

𝑥
𝑝𝑥

det 𝑀 = 1

• 収束磁石 基準軌道は磁石中心を通る直線
磁石の通り方で通過時間も運動量も変わらない（変数の１次までで）
x,y方向の運動方程式

d 2x
 Kx  02ds
 cos K s
 x     px    K sin K s y 0  
 py   z  0  0
 pz 1 

0


eB '
K
p0

1
sin K sK0

cos K s00cosh K s

0

K sinh K s

0
0

0
0

x=(x,y)0 0
 x  
00 0   px  y1sinh K s 0 0    pK y 
cosh K s
0 0 z  
01 0   pz 00
0 1 

det 𝑀 = 10• 加速空洞 基準軌道は空洞中心を通る直線
平均的な加速がない、小さい場合• 長さを無視する x  1  
 px   0
 y  0
  
 py   0
 z  0   pz 1  0

0
1
0
0
0
0

0
0
1
0
0
0

0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0 eV E0 c

0 x  
0   px 0 y  
0   py 0 z   1   pz 0

det 𝑀 = 1

加速器中の粒子の運動の線形理論• 加速器の主な部品での粒子の運動は行列による変換で表される。
• 加速のある場所から別の場所の変換はあらかじ
め行列をかけておけば、その行列を用い変換すればよい。

𝑀 = ⋯ 𝑀𝐷3 𝑀𝐵1 𝑀𝐷2 𝑀𝑄1 𝑀𝐷1

すべての部品に対して

det 𝑀 = 1

その積も det 𝑀 = 1

円形加速器における周回行列• Mを2x2行列、つまり一方向の運動のみ考える。
• 全周分の位相行列を掛け合わせ周回行列を作る。
• 固有値、固有ベクトルにより多周のふるまいを調べることができる。
• 周回行列は 2x2 実行列 det 𝑀 = 1.
𝜆1 𝜆2 = 1
• 2つの固有値の積は 1, なぜなら det 𝑀 = 1.
• 多周回で安定であるために固有値は𝜆1/2 = 𝑒 ±𝑖𝜇 でなければならない。
• 固有値は複素数であるなら複素共役でなければならない。

Parametrization of the revolution matrix𝑎𝑀𝑟𝑒𝑣 =
𝑐

𝑏
𝑑

𝑎−𝜆
𝑐

𝑏
=0
𝑑−𝜆
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 1

𝜆2 − 𝑎 + 𝑑 𝜆 + 1 = 0
𝑎+𝑑
𝑎+𝑑
𝜆=
±𝑖 1−
2
2

2

= 𝑒 ±𝑖𝜇𝑎 = 2cos 𝜇 + 𝑓 𝑑 = 2cos 𝜇 − 𝑓
𝑎 + 𝑑 = 2cos 𝜇−𝑏𝑐 − 𝑓 2 = sin2 𝜇𝑏 = 𝛽 sin 𝜇𝑐 = −𝛾 sin 𝜇𝑓 = 𝛼 sin 𝜇• まとめ
cos 𝜇 + 𝛼 sin 𝜇
𝑀𝑟𝑒𝑣 =−𝛾 sin 𝜇𝛽𝛾 − 𝛼 2 = 1

𝛽 sin 𝜇cos 𝜇 − 𝛼 sin 𝜇固有ベクトル
𝒛1 =

1

𝛽
𝛽 𝑖−𝛼

𝑉 = Re𝒛1−Im𝒛1 =

𝑉 −1 𝑀𝑉 =cos 𝜇− sin 𝜇

𝒛2 =
1

𝛽
𝛽 −𝛼
sin 𝜇
cos 𝜇

1

𝛽
𝛽 −𝑖 − 𝛼

0
1

𝑉

−1

=

1

1
𝛽 𝛼

0
𝛽

𝑃
𝑋
𝑃𝑋
𝑥
𝒙= 𝑝
𝑥

𝑿=

• Normal coordinate 𝑿 = 𝑉 −1 𝒙

𝑋 2 + 𝑃𝑋2 = 𝑊 = 𝛾𝑥 2 + 2𝛼𝑥𝑝𝑥 + 𝛽𝑝𝑥2
クーランシュナイダー不変量と呼ぶ

𝑋

ベータトロン振動、チューン
cos 𝜇 + 𝛼(𝑠) sin 𝜇
𝑀𝑟𝑒𝑣 (𝑠) =−𝛾(s) sin 𝜇• 𝑀𝑟𝑒𝑣 は起点のsに依る。
𝑛
𝑀𝑟𝑒𝑣
(𝑠) =

cos 𝑛𝜇 + 𝛼(𝑠) sin 𝑛𝜇−𝛾(s) sin 𝑛𝜇𝛽(𝑠) sin 𝜇
cos 𝜇 − 𝛼(𝑠) sin 𝜇

1 + 𝛼2𝛾=𝛽𝛽(𝑠) sin 𝑛𝜇
cos 𝑛𝜇 − 𝛼(𝑠) sin 𝑛𝜇𝑥𝑥𝑛
𝑝𝑥 𝑛 = 𝑀𝑟𝑒𝑣 𝑝𝑥• 周回ごとに位相が𝜇 = 2𝜋𝜈進む 。ベータトロン振動。
• 𝜈をベータトロンチューンと呼ぶ。
• a,b関数と呼ぶ。

粒子の運動• リングのそれぞれの場所で設計軌道の周りをベー
タトロン振動している。
• チューンは１周当たりの粒子の振動数• チューンは整数や半整数はだめ。

𝜈 = 2.89

あるｓで見た周回ごとの粒子の運動𝛼(gW)1/2px

𝛾𝑥 2 + 2𝛼𝑥𝑝𝑥 + 𝛽𝑝𝑥2 =

𝑥
𝛽

2

+

𝛼𝑥 + 𝛽𝑝𝑥
𝛽2=W𝑝𝑥 = − 𝑥𝛽(bW)1/2xa2,b10,n5.111で粒子の周回を追跡すると楕円上に乗る。(宿題)ベータ関数• 振動の包絡線
𝑥=2𝑊𝛽(𝑠)sin(𝜙)• 𝜙は１周で𝜇 = 2𝜋𝜈変わる。

𝜈 = 2.89

簡単な加速器モデル• 収束、発散の組み合わせで安定周回行列が得られるか。
• FODOセル
Focus (収束)Defocus (発散)

Focus (収束)Bend (driftと考える)
FODO ユニット(セル)𝑀𝑐𝑒𝑙𝑙 = 𝑀𝐹/2 𝑀𝐿 𝑀𝐷 𝑀𝐿 𝑀𝐹/2
• FODOセルをNユニットで円形リングを構成する。
𝑁
𝑀 = 𝑀𝑐𝑒𝑙𝑙レポート-１• KF-KD平面上でKF=0.01i, KD=0.01jとして安定になるKF、KDを点で打って、安定領域を図示せよ。

レポート-１• KF=KD=0.3において,QF中心でのnx, ny, ax, bx, ay, byを求めよ。
• 初期条件x=1,2,3,4,5,px=0を用い、Mnｘをx-px面にプロットせよ。

粒子分布の変化
初期分布
Particles are transferred by M

det 𝑀 = 1
• M-1x ,s0での密度がx, s での密度に移送される。

ビームの粒子分布• 簡単な例ー位相空間内でのガウス分布

ビーム形状をα、β、γで表す。

規格化

位相空間分布面積𝛾𝑥 𝛼𝑥 𝑡
2
2
•𝒙 𝛼
𝒙
=
𝛾𝑥
+
2𝛼𝑥𝑝
+
𝛽𝑝
𝑥
𝑥 = 𝜀𝑥 で表さ𝛽𝑥𝑥れる楕円の面積
𝑿 = 𝑉 −1 𝒙𝒙 = 𝑉𝑿• Jacobian𝜕𝑥𝜕𝑋𝐽 = 𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑋

𝑉=

1

𝛽
𝛽 −𝛼

0
1

𝜕𝑝𝑥
𝜕𝑋
𝜕𝑝𝑥 = det 𝑉 = 1
𝜕𝑃𝑋

• 面積
𝛾𝑥 2 +2𝛼𝑥𝑝𝑥 +𝛽𝑝𝑥2 =𝜀𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑝𝑥 =2 =𝜀
𝑋 2 +𝑃𝑋
𝑥

𝑑𝑋𝑑𝑃𝑋 = 𝜋𝜀𝑥初期分布• サイズ 1mm, 角度広がり0.5mradのビーム

分布の変化• 位相空間内でのビーム形状（α, β）は変わる。

• 位相空間面積(体積)を表すεx、エミッタンスは変わらない。

加速によるビーム形状の変化
加速空洞(厚さs) で運動量がp0からp1に変化
1
𝑀𝑐𝑎𝑣 =
0𝑝0
det 𝑀 =
𝑝1

𝑠
𝑝0 𝑝1

• 分布の変化
𝛾𝑥,0
1 𝑝0
1 𝑝0
−1
𝜓𝑥 (𝒙, 𝑠1 ) =
exp −
𝒙𝑀
𝛼𝑥,0
2𝜋𝜀𝑥,0 𝑝12𝜀𝑥,0 𝑝1g x  2a xpx  b p  ( x22x g a  x px ) 
 p 
ab
 x 

• 実効的なb,aの変化
𝑀−1

𝛾𝑥,0
𝛼𝑥,0

𝛼𝑥,0
𝑝1 𝛾𝑥,1−1,𝑡=𝛽𝑥,0 𝑀
𝑝0 𝛼𝑥,1𝛼𝑥,0−1,𝑡 𝒙𝑡
𝑀
𝛽𝑥,0

(

𝛼𝑥,1
𝛽𝑥,1

p1
b1 
b0  2a 0 s  g 0 s 2
p0

a1  a 0  g 0 s
p0
g1  g 0p1)

加速によるエミッタンスの縮小
1 𝑝0
1 𝑝0 𝛾𝑥,1
𝜓𝑥 (𝒙, 𝑠1 ) =
exp −
𝒙 𝛼
𝑥,1
2𝜋𝜀𝑥,0 𝑝12𝜀𝑥,0 𝑝1𝑝0
𝛽0 𝛾0
𝜀1 = 𝜀0 = 𝜀0𝑝1
𝛽1 𝛾1
𝜀1 𝛽1 𝛾1 = 𝜀0 𝛽0 𝛾0𝛼𝑥,1 𝑡𝛽𝑥,1 𝒙b0/1 : v/c
g0/1 : relativistic factor
ebg : Normalized emittance• 規格化したエミッタンスは保存する

変換の性質1. エネルギーが変わらない場合
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑀 = 1• x-x’空間での粒子の占める面積(エミッタンス)は変わらない。

2. エネルギーが増えていく場合
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑀 < 1• x-x’空間での粒子の占める面積(エミッタンス)は小さくなる。(断熱減衰) x-px空間では変わらないが、pxが変わらなくてもx’=px/p0でp0が大きくなるためx’は小さくなる。

加速器の設計に重要な点• 円形加速器の設計の第一歩は行列の固有値を𝜆 =exp(±𝑖𝜇)にすること• 円形加速器の設計の次の一歩は𝛽をどうするか。
• 運動量誤差に対して軌道のずれを設計。
• 運動量誤差に対してチューンが変わらないように。

• どのくらい大きな振幅まで粒子がまわせるか、チェッ
ク。
• …..

ビームの(位置)モニター• Measure betatron motion of a bunch centroid turnby-turn.

ビームの(位置)モニター• リングのいろいろな場所にはビーム位置モニター(BPM)をつける、ビームの速い(バンチごと毎周)位置検出を行う。
• リングのある場所でビームの横方向の重心位置を観測す
るとビームがベータトロン振動していると、角周波数|nn0+nb|の振動が観測される。

• シンクロトロン振動しながらベータトロン振動する場合、|nn0+nb+nsns|
nsは整数、あとでまた意味を持って現れる。
Beam Position
Monitorビーム

普通はしていない。
振動数を測定するとき揺する。不安定の時観測される。

モニターで観測される信号
周波数成分• 周回信号• フーリエ変換

ベータトロン振動測定
1. 電気信号をフーリエ変換して表示する装置、ス
ペクトルアナライザー
2. 周回ごとすべてのモニターでの位置を記録して、あとでオフラインでFFT解析• デジタル技術の進歩。ADC高速化、メモリー大容量化。

モニターで観測されるベータトロン振動
周波数成分• ベータトロン振動• フーリエ変換モニターで観測されるシンクロトロン
振動、周波数成分• シンクロトロン振動、ビームの到着時間が振動∞
𝑆(𝑡) =

𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇0 + 𝜏 cos(𝜔𝑠 𝑛𝑇0 )
𝑛=−∞
∞

∞

• Fourier変換

𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑆(𝑡)𝑑𝑡 =−∞exp 𝑖𝜔 𝑛𝑇0 − 𝜏 cos(𝜔𝑠 𝑛𝑇0 )𝑛=−∞• 微小振動(𝜔𝜏 ≪ ∞1)とすると∞

𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑆 𝑡 𝑑𝑡 = −𝑖
−∞

= −𝑖

𝜔0 𝜏
2

∞

𝜔𝜏
2

𝑒 𝑖𝑛𝑇0(𝜔+𝜔𝑠 ) + 𝑒 𝑖𝑛𝑇0(𝜔−𝜔𝑠 )𝑛=−∞(𝑝𝜔0 − 𝜔𝑠 )𝛿(𝜔 − 𝑝𝜔0 + 𝜔𝑠 ) + (𝑝𝜔0 + 𝜔𝑠 )𝛿(𝜔 − 𝑝𝜔0 − 𝜔𝑠 )𝑝=−∞

• シンクロトロンサイドバンド

𝜔 = 𝑝𝜔0 ± 𝜔𝑠

測定例

周回周波数とシンクロトロン振動ベータトロン振動

時刻
周回周波数
ベータトロン振動
周回周波数
シンクロトロン振動

周波数• 20年前はスコープの画像をポラロイドカメラで撮った。
• 今は測定器もWindowsベース。Jpeg保存。
• 加速によって周波数が時刻とともに速くなっている。

ターン毎の位置解析• ｘ方向に振動を与える(ビームの入射時に設計軌道からずらして入射）。
• 位置モニターで通過位置を時々刻々記録。デジタル
データとして保存し、オフライン解析• 振動データにFFTをかけることでチューンがわかる。

全モニター、ターン毎の位置解析

1周目

多周の重ね合わせモニター番号• 全周に配置したモニターで通過位置を時々刻々記録。
• 場所ごとに最大振幅が決まっている。包絡線、ベータ関数がわかる。
𝑥=

2𝑊𝛽(𝑠)sin(𝜙)ビーム全体の振動と不安定性• ビーム内の個々の粒子はベータトロン、シンクロトロン振動をする。
• バンチ全体としての運動

1 cm(電子)~100 m(陽子)• バンチ列としての運動s
加速器長ないし周長• Z方向の相関• 全体としての振動が大きくなる現象ービーム不安定性

多バンチ振動モード (snap shot)• モード番号とその振幅で不安定性の程度を表す。
• n=0
•

s
m=M-1

m=0

• n=１

• n=2

s
周長

• 各バンチはベータトロン周波数(wb)で振動しつつ、光速で右に運動する。

バンチ振動• モードnによるバンチm (=0...M-1)の振動• バンチmのモニターへの到着時刻

2

1• モニターの観測するバンチ位置

64

m=0

M-1

Fourier amplitude

• 公式

65

バンチ結合型不安定性• それぞれのバンチの重心が所定の位置の周りを振動している。ベータトロン振動• 振動にバンチ間の相関ができる。
s~m• ある瞬間にリング全体のバンチの位置を見たとき、周期的であるはずで、その周長/波長を不安定性のモード数(n)という。

単バンチ不安定性• バンチ内での振動。同様にモード番号が定義される。
• バンチ内の粒子は全体としてはほぼ光速で運動しつつ、進行方向にも重心の周りを振動している。（シンクロトロン振動(ws))

1 cm(電子)~100 m(陽子)• ベータトロン振動wbとシンクロトロン振動wsが複合した振動、シンクロベータトロン振動という。
• BPMで観測される振動数、 wb + mws 、nはバンチ内の波数(正確に言うとz-pz位相空間での波数)

どうなったら不安定が起きる• リングのある場所に|nw0+wb|の周波数で振動しビームと結合する何かがある。
• 何かとは真空パイプに誘起された電磁場、イオン、
電子...

68

68

バンチ結合型不安定性(x-y)• バンチは均等に同じ粒子数(N)が詰まっている。

δz: 参照時刻からのずれ

z0=0 zm=mL/M s=ct

2
1

振動源
l=0

M-1

航跡場(W)• 運動方程式左辺
W:三角行列• Wがある周波数成分を持つ場合、前方のバンチ(xl)がその周波数で振動していれば大きな効果を与える。共鳴。

解、不安定モード

Im(mn) < 0 のモード n が不安定

nb=wb/w0単バンチ不安定性• リング全体にビーム粒子が満たされていると考える。(coasting beam)• M→∞の極限• 航跡場の相関距離が短い場合、ビーム粒子が一部に存在している場合と同じと考える。

Landau damping (phase mixing)• Coherent motionの位相が混じって不安定が成長できない。
x,y,zs
波形の歪みは意味ありません。

エネルギーの違いによるdzの違い。Slippage factor (h)Transition energy: あるgでhが0になる。Landau dampingがなくなり、ビームは不安定になる。