讒蠶礜鬜讐鬱
鬱讜鷹！麤麤
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翠熟藩爕

石隺率委文理工学 6.大数の法則と中心極限定理

情報学工学物理学など様々な場面で現れる「確率」.との数学的な基礎さを学ぶ。

2 .

確率変数

3 . 期待値と母関数

確率不等式
5. 確率変数の収束

4.

確率数理工学(1) 2y7-確率過程（8.マルコフ過程）

評価期末試験のみ。佐藤坦・はじめての確率論、測度から確率。共立出版。舟木直久・確率論。朝倉書店。伊藤清・確率論。岩波書店

を！！！！！！
霽！憥：！犛など

1 / 13o"!
、列・嘉護邐
靍彦鬱鬱|蘞：！..籤！鬱「確率」とは？

で確率測度の定義

咀（確率事象）
Acn:事象(event)に標本空間の部分集合.

「サイコロをふる」といったの1つの試行の結果、観測される事象の確率.

で試行(trial)

試行：サイコロをふる
R:W E
確率数理工学(1) 2

鼠11，2，3，4，5，6}（サイコロの目の全体）

r ! " 2 "等r= { w e n t w e tA )

を定める.
.

A:余事象

A@パ○
なA N Az:=1 w e n t WEA、主だよ。EASA n A」=161

A、=1サイコロの目が偶数）=12，4，6）A i

A uA E[サイコロの目が3の倍数}=13.6}

鬱"{ 2 - 3. 4 6 }

a,☹じ
1 2 3

2 / 13饠た簽：：鑾た𠂢（橆丸？！！.：.
3
籮算：.：：：
𥱤

事象に「確率」を定めた4.
標本空間が有限集合なら

t

難しくない

t''連糸売"."無限も抜いた u .

1近（6-加法族）の部分集合族が6-加法族

R⇐ >※集合族集合の集合（1）

IEFに） A E F

下手にやると矛盾が起きること

A、，A z . . . .

ACE でE F（蟬無限個））確率を定義しても矛盾が→い）：標本空間全体には確率を定めたい

生じない"入れ物"を用意する に）： Ait「6-加法族」「吋測空間」「石隺率測度」

確率数理工学(1) 2の確率が定まっていれば、パになりACCAが起きない）右隺率も定めた4.

（3）：確率の定まっ2いる事象を可算無限個寄せ集めたものにも確率は定まって欲しい.
（これがないと極限操作ができない）
離散と連続をつなげない 3 / 13e#!
上の性質を満たす荘は！！！！！！
篪・曜：篰：譱
⑤
た麤籗鬱鬱鬱鬱..
Fは全26加法族☆

を名乗る資格がある.

低s e

6-加法族の中でも. Borel_集合族は{1.2/3}A . =111， A t

A、，F
1 A s A、中}も6-加法族になることを石隺かわよ。に}， A i131，重要である（最初はあまり気にしないで約集合族）にはAs=11.33.AE吐(Borel4=11.24，
A（一般の位相空間に対しても同様に定義できる）

でかい懟麤饠間長は。

こんな開区間 Cab)の面積（確率）は定まって確率数理工学(1) 2

いてほしい.

4 / 13

嚚：：爨と麓鬮籭澪、：：：：：：麤!

〇〇を含む最小の6-加法ーー族？
た、 た

加法族がともF、左よりも"小さい"と言える。に任意の開集合を含むとする.

が開集合ならA E F , A e た）
(Aにもなっている。

じ（1）に）

私 の は F..たの部分集合なので、D E T . I E たより R E ☹ たなので、開集合を全て含む6-加法族を全て集めてきて、それらの共通部分を構成のしかたから（1）含む6-加法族）

加法族BCR)は G、左ページと同様のたがたなのに）が仞は任意の開集合を含むはいたならHEAでACE F n た

ギロンではな.

さらに脈）より小さくてそのような条件をみたす6加法族は存在はたなら！化のかつ(3） A . A n - . - E F（最初はこういうものがあるというこたでもあるのでた左）とを知っておくことが大事）
Are
AtIfI

確率数理工学(1) 25 / 13

I

麤：麤！！
蕋籬測度！
魚？蠡鬱鬱
!とその上の6-加法族下の糸血に、 F ) を叮測空間と言う☆互いに排反※家

咀（確率測度）[2 P に）1 幞
無限が互いに排反⑧E F
A..
Az,...
） ニ）
KAE F

で O f PCA)=1個3）P( Y An)= E P A )確率数理工学(1) 2i nA。=0（たきま）（3）の性質を6-加法性とよぶ。
定全加法性）

この叶測空間に"確率を定める。

⇐ >くりA/それぞれの確率，可算和が測り、それを足し合わせたものが元の全体の確率となる。
G加法族として変なあを持って来るとこれが成り立たない（ルベーグ非で測集合. BanachT a s k )6-51法性が成り立つに.邗）に興
6 / 13

鬱鬱鬱：：
鱸鱲淼！な鬱鬱

先の Borel集合族はその一例である。

啞：線分nでAn1確率測度の基本公式]（1）= [ a l ] C R ,P i n 上の一様分布

I B n には1 BERRY

地箱は，=[1-前に主）P）=（2）

PCA)=1-PCA)

13）

MYAn)=1-HIAn)cKA E=ー

確率数理工学(1) 2O[IIール年）[かこともな..

0（ち）'のAn E FrでPCA)=& Mtn Bn)（に1.2....）：互いに持版とはMY DEEP(An)？

（劣加法性）

7 / 13な籤鸝：關！！
籙、籅珏16） 和の公式：☆（8）確率の連続性 I :PA , u Are に PAD t-（7）PA)

P( A n A2）

A , C A I As C-.-：事象の列A

その一般化=に注意）とすると.(AEFAnYn

P ( I An)=想 R A n )（包除原理）※

確率数理工学(1) 2

A nE F とする.

この2つは超重要.

8 / 13

（証明）い）.

た Pに）= P h u t u t u du-_-）排 反 ーに

よって.

=（2）oEPH) E lH r ) t Http（い んた t . c h 中=0）

ニ）

Iu= >

st-_-e.

r6でなく2はいけないでもあるので. R 0）=0である.

duALtu..-）(AuPに）=Pにr(う）

n=ese=PCA)+1が）+ P G ) + . . .

t

互いに抖を反（水）PCA)+
Pに

t e p e e
OによりP ( I An)= 1-N※プ）=1-RI A i )(Morgan の法則（自分で示してみよ）.

確率数理工学(1) 2

9 / 13

(8）.

B T A . . B E ATA , ，Bn=An-Amとすると.

一四〇-がいるかを..な蠶、EPC〇"？
If"=him!
（R)に？

は互いにな非反.

i=m==確率数理工学(1) 2efig

P(Bn)（たP，_AsA T？

Bn)PCA)=tIBiBn)

ftp.P (Am)--y10 / 13

51測空間に、F)とその上の確率測度 P の 組 ( R F P ) を確率空間と言う。
一記法の補足：IAn ={wG N

ある n oW E Any,と EA がACB

確率数理工学(1) 2W E

(Yrl

全ての n o w GAnyWEB

（眩に IAE が成り立っ.
（：'I

An = 1 W EAn)で 全ての h で W E An ではないか会のみで w eが#e!的11 / 13

演習問
「確率測度の基本公式」を全て証明せよ。
題-11）(2） h i l l .

I、3）上の以下の集合族を考える。それぞれ6加法族になっているかどうか

答えよ：① た14113、11.31，11.21，②

た1中、 N③ F（う）
14）=10， {2/33，11}， I

6-加法族 F

6-加法族(ち） Gに対し、「Fを}A . . A..... E F

I Are?」 を示せ.の， F z に対し、 F u たが6-加法族にならない例を作れ

加法族の列 の c た C - . -(6） S E R .

r}

であってI Fが6-加法族にならない例を作れ.

または化が可算集合となる任意の集合からなるの部分集合でAR人親族とする. PCA)=0（1が蝉）， RAH （水が蝉）としたとき.（1. F P ) は右幅率空間になることを示せ。

確率数理工学(1) 212 / 13

(7）
(8）

Borel 集合族 BCR)は任意の閉集合を含むことを示せ.
b ] = HERl a s t E b らを半開区間(a,BCR)は集合族Bored含むことを示せ.
(9）C a b ) (ah)を含む集合族BR)は任意の開区間Bored最小の6-加法族であることを示せ。
（に）{1.2/3}. た ががp（い），pはに、下）上の確率測度
Pの部分集合全体）.
(d（11.21） の値が定まっているとき、K A E F に対し、PCA)が一意に定まるか？
(い）

lf（0，1一方 I答えよ。
確率数理工学(1) 2

は 10.1）か （ 0 .1 ] がそれはどちらでもないか.

同様に目（0.1+方） も求めた
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