非整数遅延フィルタの最適設計

An optimal design of fractional delay filters
京都大学大学院 情報学研究科○ 永原 正章, 山本 裕

M. Nagahara and Y. Yamamoto
Graduate School of Informatics, Kyoto University
Abstract A fractional delay filter is a digital filter which is designed to have a delay which is lessthan the sampling time. Conventionally fractional delay filters have been designed in discrete-time
domain assuming that the input signals were bandlimited. However, in real system the input signals
are not bandlimited and the operation is an interpolation between samples, therefore we have totake account of intersample, that is, the systems have to be desired as sampled-data systems. We
propose an optimal design of fractional delay filters via sampled-data H ∞ method. We show thatby the lifting method the problem can be reduced to one in the discrete-time domain, and theoptimal filter is obtained easily. Moreover an explicit formula of the optimal filter is given under
an assumption.

1

はじめに非整数遅延フィルタ (fractional delay filter) とはディ最後に数値例によって本設計の有効性を確認する．

2

非整数遅延フィルタの設計問題

2.1

非整数遅延フィルタ

ジタルフィルタの一種であり，サンプル周期以下の遅延を達成するように設計されたフィルタである．このフィルタは信号処理のさまざまな分野で実際に用いられてお連続時間信号 x(t) を考える．図 1 の (a) は連続時間り，ディジタル通信や音声信号処理，楽器のディジタル信号にたいする遅延，(b) は離散時間信号にたいする遅モデリング等に応用されている [2, 3]．例えば，ディジ延である．ただし，遅延の幅を D とし，任意の実数 (たタル通信においては，受信信号の連続時間パルス信号列

だし D < h) をとるものとする．通常，離散時間信号にをサンプリングしてビットやシンボルを決定するが，そたいする遅延は，サンプル幅の整数倍，すなわち z −mのパルス列の周期とサンプラの周期を同期させるためにの z 変換であらわされるシステムである．しかし，応非整数遅延フィルタが用いられる [2, 3]．

用によっては整数倍ではなく，任意の実数だけ遅らせた

従来の非整数遅延フィルタの設計は理想特性を近似すい場合がある．すなわち図 1 において，(b) の上側の信る手法が主であり，その設計は入力信号がナイキスト周号 x(n)（すなわち，そのままサンプルした信号）から波数以下に帯域制限されているという仮定の元での離散時間領域における設計である．しかし，実際のアナログ(b) の下側の信号 x(n − D) （連続時間の遅延をほどこした後に，サンプルした信号）を得ることを考える．こ信号を考えると，信号が完全に帯域制限されているといれは信号 x(n) を入力とし x(n − D) を出力とするフィ

う仮定は妥当ではなく，また非整数遅延フィルタの処理ルタを考えることに相当する．この働きをするフィルタにはサンプル点間の応答を考慮する必要があるため，設を非整数遅延フィルタと呼ぶ．

計はアナログ信号とディジタル信号が混在したサンプル値系ととらえる必要がある．
したがって本論文では，非整数遅延フィルタの設計問
題をサンプル値系の設計問題として定式化する．すなわ
ち理想的な非整数遅延フィルタと設計フィルタの誤差系を考え，アナログ信号を含めた上で誤差を最小化するようなフィルタを設計する．ここで最適化には H ∞ 評価規範を用いる．このサンプル値 H ∞ 最適化問題はリフティング [4] を用いることにより離散時間の H ∞ 最適化問題に帰着させることができる．さらに，入力信号の周波数特性が１次のローパス特性であると仮定した場合，最適なフィルタを陽に求めることができることを示す．

2.2

非整数遅延フィルタ設計の問題設定

上のように考えると，非整数遅延フィルタ設計は図 2の誤差系を考えることによって定式化できる．この誤差系において F (s) は入力信号（連続時間信号）の周波数特性をあらわす．したがって信号 v が非整数遅延フィルタの入力信号となる．誤差系の上側のパスは，理想的な非整数遅延フィルタをあらわす．すなわち，入力信号 vが時間 D だけ遅らされ，そしてサンプラ Sh によって離散時間信号 zd を得る．下側のパスは，実際に実装される非整数遅延フィルタの信号の流れをあらわす．すな

x(t)号をリフティングしたことにより，図 2 のサンプル値誤x(n)差系は図 3 の離散時間系に変換できる．

w
x(t − D)vLF L−1Sh e−Ds L−1

Sh L−1x(n − D)ydKd

zdu d + ed−

図 3: リフティングされた誤差系(a)(b)

このとき図 3 のリフティングされた誤差系の状態空間

図 1: (a) 連続時間における遅延，(b) 離散時間における表現は以下のようになる．

x[n + 1] = Ad x[n] + Bw[n],
遅延w

F (s)

v

evD

−DsSh

yd

Sh

Kd (z)

ed [n] = Ce x[n] − ud [n],zdyd [n] = Cy x[n],u d = Kd y d ,u d − ed+Ad :=

図 2: 非整数遅延フィルタ設計の誤差系

Bw :=

わち入力信号 v は，まず Sh によってサンプルされた

eAh00

(2),CeA(h−D) h A(h−τ )eB w(τ )dτ0 h−D A(h−D−τ ),CeB w(τ )dτ0

Ce := [0, I],

Cy := [C, 0].

のち，フィルタ Kd (z) によって処理され，出力信号 ud3.2を得る．
理想出力 zd と実際のフィルタ出力 ud の誤差を ed :=等価離散時間系による設計

状態空間表現 (2) で表されるシステムは無限次元の作

zd − ud とおくと，設計問題は ed をなるべく小さくするようにフィルタ Kd (z) を設計する問題となる．

用素 B を含む離散時間系であるが，B の双対作用素 B∗

そこで本論文では，図 2 の誤差系にたいしてサンプルに有限次元の離散時間系へ変換することができる．ここ値 H ∞ 最適設計を行う．すなわち，図 2 において w から ed までのシステムを Tew とおくと，設計問題は次のように定式化できる．

TT(1)を最小化するディジタルフィルタ Kd (z) を求めよ．

3非整数遅延フィルタの設計

3.1

リフティングによる誤差系の表現

まず図 2 における F (s) の実現を {A, B, C, 0} とおく．
図 2 における連続時間信号 w および v にたいしてリフティング [4] をほどこす．すなわち，リフティングの変 := Lw，v := Lv とおく1 ．連続時間信換を L とし，w
1 このとき w[n](θ)
= w(nh + θ) と書く．v
 も同様．

で B の双対作用素 B∗ は次式で表される．
B∗ = B∗1 B∗2 ,B∗1 u := B T eA (h−θ) u,

問題 1 図 2 の誤差系 Tew に対して

ed l2Tew ∞ := sup2w
L2w∈Lを導入することにより，システムの誘導ノルムを変えず

B∗2 u := χ[0,h−D] (θ)B T eA (h−d−θ) C T u,
θ ∈ [0, h],⎧⎨1χ[0,h−D] (θ) :=⎩0(θ ∈ [0, h − D]),(otherwise).

この作用素 B にたいして次の補題が成り立つ．
補題 1 作用素 B にたいして，行列 Bd が存在してBB∗ = Bd BdT が成り立つ．ここで，M (h)eAD M (h − D)C T
T
Bd Bd =,TCM (h − D)eA D
CM (h − D)C Tt

M (t) :=0

遅れ D を可変とした場合の設計

3.3

前節で求めた離散時間系を用いて H ∞ 設計を行う場
合，遅れパラメータ D は固定しなければならない．しかし，実際の応用では，遅れパラメータ D は可変であTeAθ BB T eA θ dθ.

ることが望ましい場合が多い．すなわち，遅れパラメー(3)タ D を固定せずに最適なフィルタ Kd (z) を求めたい．
この節では，図 2 における F (s) を 1 次のローパスフィルタ，すなわち証明

文献 [1] の第 10 章などを参照のこと．2

F (s) =
この補題を用いると，サンプル値系 Tew とノルムが等しい離散時間系 Tew を得ることができる．
定理 1 サンプル値系 Tew にたいして，離散時間系 Tewb0 ωc e−ωc (h−D) + (z − e−ωc h )b1 (D),b0 ω c z

1 − e−2ωc hb0 :=,2ωcωc e−ωc D (1 − e−2(h−D)ωc )√b1 (D) :=·2
1 − e−2ωc hKd (z) =が成り立つ．
状態空間表現 (2) にたいして，wd := Bw とおき，wd から ed までのシステムを Td とおくと，Tew = Td Bであり Td は離散時間系となる．したがって補題 1 を用いれば

Tew 2 = Td B2 = Td B(Td B)∗ = Td BB∗ Td∗  = Td Bd BdT Td∗  = Td Bd 2となり，Tew := Td Bd とおくことによって離散時間系を得る．2に置き換えたものとなる．すなわち図 4 の離散時間系にたいして離散時間 H∞設計をして，フィルタ Kd (z) を求めればよい．

⎡Ad⎢⎣ CeCyBd000⎤⎥−I ⎦0 wd ud- Kd (z)となる．
まず，簡単な計算により (3) の Bd BdT はBd BdT=1−e−2ωc h2ωce−ωc D (1−e−2ωc (h−D) )2e−ωc D (1−e−2ωc (h−D) )22(1−e−2ωc (h−D) )ωcと書ける．これを Cholesky 分解すれば

0b0
Bd =
b1 (D) b2 (D)となる．ただし，b0 ，b1 (D)，b2 (D) は定理の中で定義された値である．ここで，図 4 の離散時間系 Tew は次のようになる．

図 4: ノルム等価離散時間系(4)で与えられる．さらに，このときの最適値は
ωc sinh(ωc D) sinh(h − D)ωc(5)Tew  = b2 (D) :=sinh(ωc h)証明

離散時間系 Tew の状態空間表現は (2) において B を Bdydとができることを示す．すなわち，次の定理が成り立つ．とする．このとき，(1) のノルムを最小化するフィルタは

Tew  = Tew edと仮定することにより，このようなフィルタを求めるこ定理 2 連続時間フィルタ F (s) を上記の１次フィルタが存在して証明ωcs + ωc

Tew (z) = (Ce − Kd (z)Cy ){(zI − Ad )−1 Bd }
1=,G(z)G(z)12z(z − e−ωc h )G1 (z) := b0 ωc e−ωc (h−D) + (z − e−ωc h )b1 (D)w(t) = sin(0.5t) としたときの設計フィルタの出力 udおよび vD := e−Ds w の時間応答を図 7 に示す．この時− b0 ωc zKd (z),G2 (z) := b2 (D)(z − e−ωc h ).

Time Response
0.80.60.4

システムであるから，Tew  の最小値は G2 (z) = 0 と0.2Time [s]

ここで G2 (z) は Kd (z) によって変えることができないとることによって達成される．すなわち，(4) が得られ0-0.2る．このときのノルムは-0.4-0.6

Tew  = G2 (z) = b2 (D)-0.8

1520253035404550Amplitudeとなる．2

図 7: 時間応答

この最適フィルタは 1 次の FIR フィルタとなることに注意されたい．

間応答より，最適フィルタによってもとのアナログ信号が復元されており，非整数遅延が達成されていることが設計例

4わかる．

本節ではこれまでで示した手法を用いて，非整数遅延フィルタの設計例を示す．ここで，サンプリング周期は
h = 1[sec] とし，F (s) としては ωc = 0.5[rad/sec] にカットオフ周波数を持つ 1 次ローパスフィルタを用いる．定理 2 の公式を用いて，フィルタ Kd (z) を求める．
ただし D = 0.8 とする．得られたフィルタの周波数応答を図 5，6 に示す． 次に図 2 の w を正弦波，すなわち5おわりに
本稿では，非整数遅延フィルタ設計をサンプル値 H ∞最適設計を用いて定式化した．この設計問題は，リフティングを用いることにより，ノルムを変えることなく離散時間系の設計問題に帰着される．また，入力の連続時間信号が 1 次のローパスフィルタでモデル化できると1.1仮定すれば，遅れ時間 D を可変とした最適フィルタが1設計できることを示した．2 次以上の場合については今Gain

後の課題としたい．

0.9

Gain0.8

参考文献

0.7

0.6

[1] T. Chen and B. A. Francis, Optimal Sampled-data0.50.4

Control Systems, Springer (1995)
00.5

1

1.5

22.5

33.5

Frequency [rad/sec][2] T. I. Laakso, V. Välimäki, M. Karjalainen and U.
K. Laine, Splitting the unit delay, IEEE Signal
Process. Mag., , vol. 13, no. 1, pp. 30–60 (1996)

図 5: 最適フィルタのゲイン線図[3] V. Välimäki and T. I. Laakso, Principles of frac-Phase
0tional delay filters, IEEE ICASSP’00, pp. 3870–3873 (2000)-20-40Phase [degree]-60-80[4] Y. Yamamoto, “New approach to sampled-data-100systems: a function space method,” Proc. 29thConf. on Decision and Control, pp. 1881–1887,-120-140-160-180

1990.
00.5

11.5

22.5

Frequency [rad/sec]

図 6: 最適フィルタの位相線図

33.5