論 文

摩擦抵抗の低減を目的としたへリングボーンテクスチャの形状最適化- 摺動速度変更モデルに対する数値実験 -新田 大晃1・岸田 真幸2・倉橋 貴彦3・井山 徹郎41

長岡技術科学大学大学院 工学研究科 工学専攻 機械工学分野（Mechanical Engineering, Master’s Program, Graduate School of Engineering,
Nagaoka University of Technology）
2

長岡技術科学大学大学院 工学研究科 技術科学イノベーション専攻（Science of Technology Innovation, 5-year Integrated Doctoral Program, Graduate School of Engineering,
Nagaoka University of Technology）
3

長岡技術科学大学 技学研究院 機械系（Department of Mechanical Engineering, Institute of GIGAKU, Nagaoka University of Technology）
4

機械工学科

（Department of Mechanical Engineering，National Institute of Technology，Nagaoka College）

Shape optimization of herringbone texturesfor minimization of the friction coefficient- Numerical experiments by changing magnitude of sliding velocity Hiroaki ARATA1，Masayuki KISHIDA2, Takahiko KURAHASHI3
and Tetsuro IYAMA4
Abstract
In this study, we present numerical results of texture shape optimization analysis for minimization of thefriction coefficient. The Reynolds equation is introduced as the governing equation and discretized in spaceby the finite element method. The performance function is defined by the friction force. The objective of
this study is to find the distribution of the oil film thickness in the textured part i.e., the design variables, inorder to minimize the performance function. Here, the adjoint variable method is introduced to replace theconstrained optimization problem with an unconstrained optimization problem, and the Lagrange function
is derived. The traction method is introduced to obtain the soothed gradient distribution, and the shape
update is carried out by using the smoothed gradient. In this study, shape optimization analysis of oil film
thickness was performed for a herringbone texture model. Numerical experiments were also conducted for
different sliding speeds. In addition, the results are compared with the results of shape optimization of oil
film thickness for circular texture by Sasaoka et al2).
Key Words : Shape optimization, Adjoint variable method, Finite element method, Traction method,
Friction coefficient, circular texture, herringbone texture.
1１．はじめに
従来から産業機器や機械部品の設計において，摺動部の摩擦低減が課題となっている．摩擦を低減する方法の一つとして，摺動面に規則的な微細形状を加工する方法がある．これは，一般的に表面テクスチャリングと呼ばれている．近年，表面テクスチャリングは，レーザー加工などの微細加工技術の向上による加工コストの低減により，摺動面の表面改質技術の一つとして注目されている．

図-1 計算モデルの簡略図

また，表面テクスチャリングにおいて，摺動面の規則的な微細形状をテクスチャと呼ぶ．

３．随伴変数法の導入以前より，最適なテクスチャの形状を得るために様々な研究が行われてきた．これらの研究は，「深さの最適化」と「表面形状の最適化」の二つに３．１

目的関数と制約関数の定義分類される．前者はテクスチャ領域の最適な油膜分

本解析では，随伴変数法を導入する．随伴変数法

布を得ることであり，後者はテクスチャの深さを一とは，随伴変数を導入し，制約条件下の目的関数の定として最適な表面形状を得ることである．

最適化問題を，無制約条件のラグランジュ関数の最最近の研究では，負荷容量の最大化を目的として，適化問題に置き換える手法である．

表面形状の最適化をすることにより，ヘリンボーン

𝜂𝜂𝜂𝜂 ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕∫Ω � ℎ + 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 � 𝑑𝑑Ω
𝐹𝐹
𝜇𝜇 ==𝑊𝑊∫ 𝑝𝑝 𝑑𝑑Ωのような形状が得られている 1)．本研究では，ヘリンボーンテクスチャについて，摩擦係数の最小化を(1)Ω

目的に深さの最適化および摺動速度を変更した場合の数値実験を行った．また，笹岡らが実施した円形テクスチャの最適化結果 2)との比較も行った．

𝐹𝐹 = � �

最適化の計算は，随伴変数法に基づいて行った．

Ω

また，最適化によって荷重が変化することから，基𝜂𝜂𝜂𝜂 ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕+� 𝑑𝑑Ω = 𝐽𝐽ℎ2 𝜕𝜕𝜕𝜕(2)

本解析では，摩擦係数の最小化を目的としている．

本油膜厚さの調整によって荷重を一定とする計算を式(1)に示すように摩擦係数𝜇𝜇は，分子に摩擦力𝐹𝐹，3)加えた．尚，解析には，FreeFEM++を用いた ．

分母に荷重𝑊𝑊の値を取る．荷重は，圧力𝑝𝑝を領域で積分して得られるが，領域内の圧力は油膜厚さの最適化によって変化する．したがって，本来は摩擦係

２．計算モデルと各領域の定義数を目的関数とするべきであるが，本解析では式(2)に示すように摩擦力を目的関数𝐽𝐽とし，基本油膜

図-1に計算モデルの簡略図を示す．正方形領域を厚さℎ0 の調整によって荷重を一定とする．ここで，Ω，その境界をΓ1 として定義する．また，円形領域

𝜂𝜂は粘性係数，𝑈𝑈は流速，ℎは油膜厚さ，𝑝𝑝は圧力ををテクスチャと仮定して，その領域をω，境界をΓ2示す．

として定義する．ここで，領域Ωは，領域ωを含んでいる．尚，領域Ωでの油膜厚さをℎ0 とし，領域ω𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕∂ℎ�ℎ3 � +�ℎ3 � = 6𝜂𝜂𝜂𝜂 in Ω𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
∂𝑥𝑥

での油膜厚さをhとする．ここでは，ℎ0 を基本油膜厚さと呼ぶ．

(3)

支配方程式を式(3)に示すレイノルズ方程式とする．ここでは，レイノルズ方程式を制約関数とする．
また，式(3)の境界条件は，式(4)のように与える．
実際には，テクスチャ内の負圧部にはキャビテーションが発生すると考えられることから，式(5)のように負圧をゼロとする4)．
2

𝑝𝑝 = 0 on Γ1

𝑝𝑝 = 0 in p < 0３．２

境界条件および式(10)に示す感度方程式が導かれる．
尚，式(10)中の𝜕𝜕𝜕𝜕⁄𝜕𝜕ℎ は，油膜厚さの勾配を表す．

(4)
(5)

𝜕𝜕𝜕𝜕1 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕 2 𝑦𝑦 𝜕𝜕 2 𝜆𝜆=−++𝜕𝜕𝜕𝜕2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝜕𝜕𝑦𝑦 23 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ+�− �ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕3𝜆𝜆 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕ℎ+�+ 2�ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕23𝜆𝜆 𝜕𝜕 ℎ 𝜕𝜕 2 ℎ− � 2 + 2�ℎ 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦
= 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝛺𝛺

ラグランジュ関数の導出とその第一変分随伴変数法により，式(2)に示す目的関数および式(3)に示す制約関数，随伴変数λを用いて，ラグランジュ関数𝐿𝐿を式(6)のように定義する．
𝐿𝐿 = 𝐽𝐽+ � 𝜆𝜆 ��Ω𝜕𝜕 2 𝑝𝑝 𝜕𝜕 2 𝑝𝑝
3 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ+ 2� + �+�2𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕6𝜂𝜂𝜂𝜂 ∂ℎ− 3
� 𝑑𝑑Ω
ℎ ∂𝑥𝑥

𝜆𝜆 = 0 on 𝛤𝛤1(6)式(6)を全変数について，偏微分することにより式(7)に示すラグランジュ関数の第一変分を導く．尚，停留条件として，第一変分をゼロとする．
𝜕𝜕 2 𝑝𝑝 𝜕𝜕 2 𝑝𝑝 3 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ++ �+�𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝛺𝛺6𝜂𝜂𝜂𝜂 𝜕𝜕ℎ− 3
� 𝑑𝑑𝛺𝛺ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕1 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕 2 𝜆𝜆 𝜕𝜕 2 𝜆𝜆+ � 𝛿𝛿𝛿𝛿 �−++2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝜕𝜕𝑦𝑦 2𝛺𝛺3 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ− �+�ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕3𝜆𝜆 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕ℎ+�+ 2�ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕3𝜆𝜆 𝜕𝜕 2 ℎ 𝜕𝜕 2 ℎ− � 2 + 2 �� 𝑑𝑑𝛺𝛺ℎ 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦𝜂𝜂𝜂𝜂 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 3 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕+ � 𝛿𝛿ℎ �− 2 +− �+�ℎ2 𝜕𝜕𝜕𝜕 ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝛺𝛺3𝜆𝜆 𝜕𝜕 2 𝑝𝑝 𝜕𝜕 2 𝑝𝑝
− � 2 + 2�𝜕𝜕𝑦𝑦ℎ 𝜕𝜕𝑥𝑥6𝜂𝜂𝜂𝜂 𝜕𝜕𝜕𝜕� 𝑑𝑑𝛺𝛺+ 3ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕3𝜆𝜆 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+ � �𝛿𝛿𝛿𝛿 �− � + 𝛿𝛿 � � 𝜆𝜆ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
𝛤𝛤13𝜆𝜆 𝜕𝜕𝜕𝜕+ 𝛿𝛿ℎ ��� 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑑𝛺𝛺ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕ℎ 3𝜆𝜆 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕− � + 𝛿𝛿 � � 𝜆𝜆+ � �𝛿𝛿𝛿𝛿 � +𝜕𝜕𝜕𝜕ℎ𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕ℎ𝛤𝛤13𝜆𝜆 𝜕𝜕𝜕𝜕 6𝜂𝜂𝜂𝜂+ 𝛿𝛿ℎ �− 3 �� 𝑛𝑛𝑦𝑦 𝑑𝑑𝛺𝛺ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕ℎ=0(9)(10)

４．勾配の平滑化および形状更新式の導入

𝛿𝛿𝛿𝛿 = � 𝛿𝛿𝛿𝛿 �３．３𝜕𝜕𝜕𝜕𝜂𝜂𝜂𝜂 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 3 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕=− 2 +− �+�𝜕𝜕ℎℎ2 𝜕𝜕𝜕𝜕 ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕223𝜆𝜆 𝜕𝜕 𝑝𝑝 𝜕𝜕 𝑝𝑝6𝜂𝜂𝜂𝜂 𝜕𝜕𝜕𝜕− � 2 + 2� + 3ℎ 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕(8)本解析では，笹岡らが実施したテクスチャの油膜厚さに関する数値計算におけるポアソン方程式を用いた勾配の平滑化法および式(11)に示す形状更新更新式を用いる2)．チルダ記号の付いた勾配が平滑化後の勾配を示す．尚，式(12)は平滑化後の勾配の境界条件を示す．
ℎ𝑙𝑙+1 = ℎ𝑙𝑙 − ∆𝛼𝛼 �(7)�� 𝑙𝑙𝜕𝜕𝜕𝜕�𝜕𝜕ℎ� 𝑙𝑙−1 ∆𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕� 𝑙𝑙∆𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕+� � −� �2 𝜕𝜕ℎ2 𝜕𝜕ℎ�𝜕𝜕𝜕𝜕� = 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛤𝛤2𝜕𝜕ℎ(11)(12)

５．計算の手順
本研究では，目的関数に設定している摩擦係数の計算における荷重が一定となるように，油膜厚さを調節しながら，テクスチャ部分における油膜厚さの分布の最適化を行う．図-2に計算のフローチャートを示す．

随伴方程式および感度方程式の導出

式(7)より，式(8)に示す随伴方程式と式(9)に示す
3図-3 有限要素モデル

図-2 フローチャート

本研究では，荷重判定を加えている．圧力の積分値が設定荷重に等しい場合は，次の段階に進む．
等しくない場合は，基本油膜厚さを更新し，状態解析に戻る． また，収束判定では，式(13)に示す収束判定式を使用する．式(13)を満たした場合に，解析が終了する．
𝐽𝐽(𝑙𝑙+1) − 𝐽𝐽(𝑙𝑙)�� < 𝜀𝜀
𝐽𝐽(0)

(13)

図-4 油膜厚さの初期形状

７．計算結果６．解析条件図-5，図-6，図-7に，最適化後の油膜厚さの形状を示す．また，図-8に摩擦係数の履歴を示す．

表-1に解析条件を示す．ここで，初期テクスチャ深さは，基本油膜厚さℎ0 およびテクスチャ領域の油膜厚さℎと式(14)に示す関係にある．また，図-3に有限要素モデル，図-4に油膜厚さの初期形状を示す．
表-1

解析条件

節点数
要素数
荷重 𝑊𝑊 [N]
摺動速度 𝑈𝑈 [mm/s]
収束判定定数 𝜀𝜀 [-]粘性係数 𝜂𝜂 [Pa ∙ s]
初期テクスチャ深さℎ𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 [mm]
面積率 [%]ℎ = ℎ0 + ℎ𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

20511
40700
10500,1000,2000
10−40．080．0135

図-5 最終形状(𝑈𝑈 = 500 [mm/s])(14)4擦係数の履歴の比較を示す.

図-6 最終形状(𝑈𝑈 = 1000 [mm/s])

図-9 へリングボーンテクスチャと円形テクスチャの摩擦係数の比較

笹岡らが実施した円型テクスチャに対する油膜厚さの形状最適化では，放物型の油膜形状が得られている2)．この傾向は，へリングボーンテクスチャでも同様である．また，円型テクスチャでは，円の中央部の油膜が最も深くなるが，へリングボーンテクスチャでは，先端部の三角部の油膜が最も深くなっている．加えて，図-9に示すように円形テクスチャに比べて，へリングボーンテクスチャの方が低い摩擦
図-7 最終形状(𝑈𝑈 = 2000 [mm/s])係数であることがわかる．

９．まとめ
本論文では，ヘリンボーンテクスチャについて，摩擦係数の最小化を目的に深さの最適化および摺動速度を変更した場合の数値実験を行った．以下に得られた知見を示す．
・いずれの摺動速度においても，摩擦係数は減少し，テクスチャの中央部が窪み，先端部の三角部が最も深くなる形状が得られる．
・摺動速度が速いほど，摩擦係数は高くなり，形状

図-8 摩擦係数の履歴最適化に摩擦係数の低減効果が大きい．
・円形テクスチャよりも，摩擦係数が低い.

図-8より，摺動速度が速いほど，摩擦係数は高くなり，形状最適化による摩擦係数の低減効果が大きいことがわかる．また，図-5，図-6，図-7より，摺動速度が速いほど，テクスチャ全体の深さが増すこ

謝辞：本研究を行うにあたり，長岡技術科学大学機とがわかる．

械創造工学専攻2021年度修了の笹岡修太氏から多くの助言を受けた．記して謝意を表する．

８．円形テクスチャとの比較による考察

参考文献
1)

Tu Zhirong，Meng Xiangkai，Ma Yi，Peng Xudong，Shape optimization of hydrodynamic textured surfaces for

図-9に円形テクスチャとへリングボーンの摩5

enhancing load-carrying capacity based on level set
method， Tribology International Vol．162， pp107-136，2021．
2)

笹岡 修太， 倉橋 貴彦， 井山 徹郎， 摩擦低減を目的としたテクスチャの形状最適化 (速度の大きさが最適化形状に与える影響) ， 長岡工業高等専門学校研究紀要， Vol．56， pp．51-56， 2020．

3)

大塚厚二， 高石武史， 有限要素法で学ぶ現象と数
理 FreeFem++数理思考プログラミング， 共立出版，
2014．

4)

小田真輝，岩本勝美，田中健太郎，藤野俊和，“窪みおよび溝形状のテクスチャリングを有する平面しゅう動部の潤滑特性 - 平行平面間に表面テクスチャリングを施した場合”，日本マリンエンジニアリン
グ学会誌，Vol．53，No．5， pp．727-736， 2018．
(2022. 8. 8 受付)

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