/Magnetics Jpn. Vol. 15, No. 3, 2020

トピックス 特集：マイクロ電源に関する最新動向
パワーインダクタのシミュレーション技術―均質化法とモデル縮約法
Simulation Methods for Power Inductors: Homogenization and Model Order Reduction
五十嵐一，比留間真悟，佐藤駿輔

北海道大学大学院

情報科学院，札幌市北区北 14 条西 9 丁目（〒060–0814）

Hajime Igarashi, Shingo Hiruma, and Hayaho Sato, Graduate School of Hokkaido University

E-mail: igarashi@ssi.ist.hokudai.ac.jp

Recently, the development of high-speed devices using GaN
and SiC has allowed magnetic devices such as power inductors
and high-frequency transformers to be miniaturized. The risein the operating frequency, however, increases the eddy current and hysteresis losses in the winding coils and soft magnetic composite widely used for magnetic cores. The computational cost of directly computing eddy currents in the coils andmagnetic particles is large because of their ﬁne structure. This
paper reports a homogenization method that replaces
small-structured material with homogenous material withcomplex permeability to allow for the fast analysis of thoseeddy currents. Moreover, this paper reports a method based on
the homogenization method and model order reduction thatmakes it possible to perform an effective time-domain computation of eddy current effects in inductors and other magnetic
devices.

的特性を解析することは困難であった．この問題を解決す

Key words: homogenization, complex permeability, model order reduction, continued fraction expansion, Cauer circuit

る．

1.

はじめに

るために，著者らは多数の粒子からなる媒質を等価な電磁気的特性を持つ均質材料で置き換える均質化法を開発してきた．またこの均質化法により，巻線やリッツ線を効果的にモデル化することもできる．本稿では，このような均質化法の概要と応用事例について述べる．
一方，インダクタ等の磁性デバイス解析において，巻線中の渦電流の効果を含めた動作解析が必要となることがある．このとき，巻線も軟磁性複合材のように細かな空間分割が必要であるため，特に 3 次元モデルの有限要素解析は難しかった．筆者らは均質化法とモデル縮約法 (model order reduction) を用い，巻線の渦電流効果を含めた磁性デバイスの有限要素解析を効率的に行う方法を開発した．本稿の後半では，この方法の概要と応用事例について述べ

2.

均質化法による圧粉磁心のモデリング

軟磁性複合材料は，基本周波数の表皮厚に比べて小さな

近年，GaN や SiC デバイスの出現により高周波駆動が磁性粒子で構成される．このような微細構造は，リッツ線可能となってきている．このような高周波化は磁性部品のや積層鋼板でも採用されている．これら材料中の電磁界を小型化につながるが，一方，渦電流損失やヒステリシス損

有限要素法で解析するためには，表皮厚以下に空間分割す失の増加という負の側面もある．このため磁性コア・巻線

ることが必要になる．この解析は膨大な未知数の方程式をの損失や渦電流による反磁界効果を考慮した設計がますま

解くことが必要であり，現実的ではない．このようなデバす重要となってきている．

イスに比べ微小な空間スケールを持つ材料の解析には，均

上記のような背景から，高周波領域での特性に優れた軟質化法が有効である．

磁性複合材料（SMC: Soft Magnetic Composite またはメ

均質化法では，ミクロな構造を持つ材料を，それと等価

タル系コア材料）がインダクタをはじめ種々の電気電子デなマクロ特性を持つ均質な材料で置き換える．均質化されバイスの磁気コアに使用されている（これは圧粉磁心ともた材料は，表皮厚を考えることなく粗い有限要素で離散化呼ばれる）．軟磁性複合材料は表面に絶縁層を有する微小できる．本節では均質化法の鍵となる複素透磁率を導入な磁性粒子から構成されている．よって低周波領域では渦し，均質化法の例として Ollendorff の式による方法，単位電流損失を低く抑えることができる．しかし，表皮厚が粒

セル法，離散粒子法を用いる方法を紹介する．
複素透磁率子の半径程度になると粒子中の渦電流損失や反磁界による2.1

透磁率の低下が現れる．軟磁性複合材料の設計においてはFig. 1 は後述の離散粒子法により作成した軟磁性複合材

初期透磁率や磁気飽和特性，損失などの電磁気的特性を考料の 3D モデルである．この材料に一様交番磁界を印加し慮して，平均粒径や粒径分布を最適化する必要がある．したときの応答を考える．軟磁性複合材料を構成する粒子にかし膨大な数の粒子を直接モデル化して，マクロな電磁気は外部磁界と，周辺の磁性球の磁化がつくる磁界が作用す

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Table 1 Complex permeability, where J1 (z) denotes ﬁrst
order Bessel function, and z is deﬁned in eq. (3).

Fig. 1 3D model of soft magnetic composite generated bydiscrete element method.

Fig. 2 Cauer circuit, which is equivalent to continued
fraction.

る．まず一様な交番磁界 H0 を仮定し，その中に置かれたひとつの磁性粒子を考える．電磁気学でよく知られるように周波数が十分低い場合，球内の磁化は
μr －1
M＝
H0
1＋ N ( μr －1)(1)で与えられる．ここで μr＝μ/μ0 は粒子の比透磁率，N は反磁界係数であり，球の場合 1/3 の値を取る．外部磁界の周波

Cauer 回路による表現は軟磁性複合材のみならず巻線や数を増加すると球内に渦電流が流れ，渦電流による反磁界

リッツ線，あるいは磁気デバイス全体に対しても行うことと外部磁界の和により，球の磁化が決まる．準定常 Max-ができる．

well 方程式を解くことで，このような磁化を求めることがTable 1 に示すように，球状粒子の場合と同様，薄板 3）

できる．この解析を行うと，式 (1) と同じ形式の関係
μ r －1
M＝
H0(2 )1＋ N ( μ r －1)

や円柱 4）の複素透磁率を求めることができる．これら複素を得る．ここで μ̇ r は複素比透磁率であり Table 1 の下段

すなわち粗い有限要素分割で任意の周波数の渦電流を考慮(sphere) の関数形を取る．関数の引数はできる．円柱の複素透磁率は，3 章でも述べるように多重

z ＝ a － jωμσ ＝ (1－ j )

a

(3 )

δ

であり，a, ω, μ, σ, δ, j は粒子半径，角周波数，粒子の透磁率と導電率，表皮厚，虚数単位を表す．Table 1 に示すよ

透磁率においては，球の場合と同様，渦電流の効果が考慮されているため，表皮厚を考慮した離散化は不要となる．

巻線 4）やリッツ線 5）の均質化に有効である．Table 1 のよ
うに，全く異なる関数形で表現された複素透磁率を連分数で表すと，整数分の違いのみとなる．
2.2

Ollendorff の式による均質化

前章では一様交番磁界中の孤立した物体の複素透磁率にうに μ̇ r は連分数で表示することもできる．
さて，Fig. 2 の Cauer 回路のインピーダンスは
1
Z＝
1
1
＋
1
jω L1
R1 －
1
1
＋

jω L 2

ついて述べた．軟磁性複合材料などでは粒子の周りに多数の粒子があり，これらの磁化による磁界が粒子に作用す(4 )る．静磁界の場合，このような効果を考慮したマクロ透磁と表せる．したがって電圧と磁束の関係 V＝jωB＝jωμ̇ H

率〈μr〉は Ollendorff の式 6）
η ( μr －1)
 μr  ＝1＋
1＋ N (1－η )( μr －1)

より，H ↔ I, jωμ̇ ↔ Z のように磁界と回路を対応させるから求めることができる．ここで 0 ≤η≤ 1 は充填率である．

と，Z と μ̇ r から，L1＝μ, R1＝10/(σa ), L2＝2 μ/7, …のよう

なお，式 (5) は，誘電体のマクロ誘電率を求めるために使

2

(5 )

に回路素子値を得る．よって Fig. 2 の Cauer 回路の時間応われてきた Clausius–Mosotti の式や，高周波解析で用い答を回路シミュレータなどで求めることにより，磁性粒子

られてきた Maxwell–Garnett の式と等価である 4）．渦電の 時 間 域 特 性 が 得 ら れ る．後 述 の よ う に，こ の よ う な

流の効果を含めたマクロ複素透磁率〈μ̇ r〉は，式 (5) の μr に174

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Table 1 の複素透磁率を代入すればよい．
マクロ複素透磁率〈μ̇ r〉の Cauer 回路表現を求めるためには，Table 1 の連分数展開を式 (5) に代入して有理多項式〈μ r〉＝

b0 ＋b 1s ＋…b n－1sn
a0 ＋ a 1s ＋…＋ an sn(6)により表現し，次に式 (6) に Euclid の互除法を適用することで連分数表現を求めればよい 7）．
2.3

単位セル法

軟磁性複合材の粒子配位に空間的な周期性を仮定できるとする．その 1 周期分の構造を単位セルΩとする．単位セルから成る材料が一様な交番磁界中に置かれたとする．このときΩの境界に適当な境界条件を課すことで，Ω内部の電磁界を解析できる．単位セルの複素透磁率を定義するために，電磁界解析で求められるΩ中のエネルギーと，Ωを複素透磁率の均質材料で置き換えた場合のエネルギーが等しいと仮定する．すなわち
2
2


B
B0
2
 jω
＋σ E  d v ＝ jω  ∗ d v
µ
〈µ 〉

Ω
Ω



∫

∫

(7)

ここで * は複素共役である．式 (7) より複素透磁率は
〈µ 〉
＝

∫

Fig. 3 2D Models of SMC particles generated by discreteelement method for different random seeds. There are 80
particles, with average radius of 5 μm and standard deviation of 1.2 μm, in model. Magnetic ﬂux lines tend to go
through contact between particles.

jω |B0|2 d v
Ω(8) |B|22
jω－σ|E|  d v

μ
Ω


∫

と求められる 8）．ここで B0 は均質化された材料領域の磁束密度を表す．式 (8) は磁性粒子周辺の非磁性体部分の磁界を含めた透磁率であるから，Ollendorff の式 (5) による
マクロ複素透磁率に対応する．
2.4

離散粒子法

上で述べた均質化法では磁性粒子サイズの不均一性や粒子間の接触を考慮することが難しい．そこで，離散粒子法
を用いて軟磁性複合材料のモデル化を行うことを考える 9）．モデリングでは，重力が作用する有限領域に粒子をランダムに生成する．粒子半径は想定した確率密度関数に従うとする．さらに質量壁により上部から粒子を圧縮する．そして粒子群の運動が静止した状態を軟磁性複合材料を表すモデルとする．Fig. 3 に離散粒子法で構成した 2 次
元モデルを示す．乱数シードの違いにより，最終的な配置が異なるため，複数の試行を行った上で，マクロな電磁気的特性の平均値を求める．
離散粒子法では数値誤差により粒子同士が僅かにオー
バーラップする．これを粒子間の接触とみなす．粒子表面には非磁性層があるため，生成した粒子の表面の非磁性層の厚さを変えることで，接触の程度や充填率をコントロー

Fig. 4 B–H and frequency characteristics of 2D SMC
models in Fig. 3.

ルすることができる．Fig. 3 には一様磁界を印加した場合の磁束線を示している．磁気的に接触している部分に集中粒子法でモデリングした磁気コアの複素透磁率は，単位的に磁束が通っていることがわかる．ただし磁気飽和によセル法と同様に式 (8) から求めることができる．このときりこのような集中は緩和される．

Ωは Fig. 3 の領域全体とする．Fig. 4(a) に Fig. 3 のモデル

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の B–H 特性を示す．電磁界解析には有限要素法を用いた．

を支配方程式とする．式 (9) から乱数シードの違いにより，僅かに変動がある．また Fig.

（K＋sN）x＝B0b4(b) に複素透磁率の弱磁界に対する周波数特性を示す．

の形の有限要素方程式を導くことができる．ここで A＝Fig. 1 の 3 次元モデルを用いた場合，磁束が通る経路が増えるため，同じ充填率でも初期透磁率は 2 次元モデルよりやや大きく評価される．3 次元モデルによる周波特性の∑ kNkxk，x＝(x1, x2, …)t，B0 は外部磁界であり，右辺は式(9) の弱形式の境界項から来ている．
さて式 (7) の左辺で表される単位セル領域Ω中のエネル
ギーは Poynting ベクトルを用い解析は今後の課題である．
3.

(10)

 |B|2∫  s μ ＋s|E|  d v ＝－ ∫ ( E × H ∗)・n d S

モデル縮約法2Ω

インダクタなどの磁性デバイス，モータなどの電気機器を有限要素法で解析する場合，数千から数百万程度の連立方程式を解くことになる．これらデバイス・機器の設計においては駆動回路と接続した動的な解析が必要となる．こ

∂Ω

(11)

と表現できる．ここで jω → s と置き換えた．式 (11) の右辺を有限要素法で離散化すると－∫ ( E × H ∗) ⋅ n d S ＝ sc x ∗B
t

∂Ω

(12)

0

こで有限要素方程式を解く時間は回路解析に要する時間にの形で表せる（c は定ベクトル）．式 (10)〜(12) と式 (8) よ比べて長いため，回路シミュレータに有限要素モデルを組

り，単位セル領域Ωの複素透磁率はみ込むと，全体の計算時間が大きく増大してしまう．このため近似精度を保ったまま有限要素方程式を低次元の方程
モデル縮約法は，大規模な連立方程式を少数変数の方程式に置き換える手法である．モデル縮約法には，いくつかの解ベクトルからなるデータ行列を特異値分解し，解を表す少数の基底を構成する固有直交分解法 (POD: Proper10）〜12）すると μ  ＝1

κ0

や，三重対角行列を生多項式近似（Padé 近似）を導く PVL (Padé via Lanczos)
法(13)積を表す．さらに式 (13) に CVL アルゴリズム 8）, 14）を適用成する Lanczos アルゴリズムにより，系の伝達関数の有理10）, 13）|Ω|c t (K ＋ s N)−1 bと表せることがわかる．ここで |Ω| は単位セル領域Ωの体式に縮約することが望ましい．

Orthogonal Decomposition)

〈μ〉
＝

1
＋

(14)

1

1
1
＋
1
1
sκ1
＋
κ2
⋅⋅⋅

の形に連分数展開できる．連分数は Fig. 1 の Cauer 回路のインピーダンスに対応するため，複素透磁率式 (13) を表すなどがある．

本章では，巻線を均質化した際に得られる複素透磁率を等価回路が生成できたことになる．この手法は 2.4 節で述

Cauer 型等価回路に変換することで，デバイスの時間応答

べた，粒子法により生成したモデルにも適用できる．このを効率的に解析する方法について述べる．Fig. 5 にモデル場合には，Ωをモデル領域全体とする．

縮 約 法 の 関 係 を 示 す．こ こ で 述 べ る CVL (Cauer via
Lanczos) 法

8）
, 14）

は有限要素方程式から直接的に連分数および等価な Cauer 回路を生成する方法である．
3.1

3.2

インダクタ解析3.1 節で述べた方法を用いて Fig. 6 に示すインダクタモ
デルを解析する．ここで均質化は巻線領域について行い，定式化 8）

磁気コアの渦電流は無視できると仮定する．インダクタの2.3 節で述べた単位セルΩ中の電磁界を考える． Laplace

物理パラメータを Table 2 にまとめる．単位セルは 1 本の素線断面を囲む正方形とした．Fig. 7 に通常の有限要素法

変換された準定常場の Maxwell 方程式
1

∇ ×  ∇ × A  ＋ sσ A ＝0
μ



(9 )

で解析した巻線の渦電流を示す．近接効果により素線中に渦電流が分布していることがわかる．
Fig. 8 左にオリジナル，右に巻線を均質化した 2D モデルを示す．均質化した巻線の複素透磁率は式 (14) から求め，Fig. 1 の Cauer 回路で表した（素子値を Table 3 に示
Table 2

Fig. 5

176

Methods in model order reduction.

Copyright

Inductor parameters.

Window height
Window width
Diameter of winding coil
Number of turns
DC resistance
Filling factor of windings
Unit cell size

© 2020 by The Magnetics Society of Japan

4
7
0.5
74
0.298
0.519
0.615

［mm］
［mm］
［mm］
turns
［Ω］
［̶］
［mm］

Fig. 6

2D and 3D models of inductor.
Fig. 9 Frequency dependence of complex permeability〈μ̇〉.
Abscissa represents normalized frequency deﬁned by δ/a.

Fig. 7

Eddy currents in winding coil at 10 kHz.

Table 3 Circuit parameters of Cauer circuit equivalent towinding coil shown in Fig. 7.
Inductance L［H］
i
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10

1.000×10
7.809×10−1
2.050×100
5.002×100
4.751×101
9.385×100
8.714×101
1.785×101
6.739×101
1.347×102
0Conductance Gi＝1⁄R［S］
）
i
G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
G8
G9
G10

5.885×10−7
5.296×10−8
9.646×10−9
3.728×10−8
2.836×10−97.174×10−9
1.110×10−9
2.364×10−9
7.066×10−10
9.157×10−10

Fig. 10Frequency dependence of eddy current loss.

Fig. 11 Time evolution of dissipated power due to eddy
current.

Fig. 8

Original and homogenized 2D models.

うことができる．Fig. 10 に 2D モデルの渦電流損失の周波数特性を示す．また Fig. 11 にジュール損失の時間発展を示す．Fig. 10, 11 のように，均質化法による結果は均質化す）．Fig. 9 に 2D モデルの複素透磁率の周波数特性を示を行わない通常の有限要素法による結果とよく一致しておす．横軸は表皮厚で規格化した素線半径 a/δ である（周波り，均質化は十分な精度を有することがわかる．

数の 1⁄2 乗に比例）．Ollendorff の式 (5) に Table 1 の円柱のFig. 12 に 3D モ デ ル に 方 形 波 電 圧 を 印 加 し た 場 合 の

複素透磁率を代入した結果と式 (14) から求めた結果はよジュール損失の時間発展を示す．3D モデルの場合，巻線く一致している．なお式 (14) を用いることにより，式 (5)の渦電流を考慮した解析は数百万未知数以上の大規模問題

では取り扱いが難しい角線のような非円形断面コイルも扱となるが，均質化法を導入することで未知数を大幅に削減

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れは 100 MHz の時間周期 10 − 8 s より極めて短く，膨大な回数の時間ステップを繰り返す必要がある．今後はこのような問題を解決することが必要である．
References

Fig. 12 Contributions from DC and eddy current losses
computed from 3D inductor model.

することができる．過渡状態のため全体の損失が時間的に増加しており，スイッチングに起因する短いタイムスケー
ルの渦電流損が重畳されている．
4.

まとめと今後の展望

均質化法およびモデル縮約法を用いた電磁界解析について述べた．均質化法を用いることにより，軟磁性複合材料

1） A. Berthault, D. Rousselle, and G. Zerah: J. Magn. Magn.
Mater., vol. 112(1–3), 477 (1992).
2） Y. Sato and H. Igarashi, IEEE Trans. Magn., 53(6),7402204 (2017).
3） Y. Shindo and O. Noro: IEEJ Trans. Fundamentals andMaterials, 134(4), pp. 173, (2014).
4） H. Igarashi, IEEE Trans. Magn., 53(1), 7400107 (2017).
5） S. Hiruma, Y. Otomo, and H. Igarashi, IEEE Trans.
Magn., 54(3), 7001404 (2018).
6） F. Ollendorff: Arch. Elektrotechnik, 25(6), 436, (1931).
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Magn., 53(6), 1100204 (2017) .
8） S. Hiruma, H. Igarashi, and H. Igarashi: IEEE Trans.
Magn., 56(2), 7505805 (2020) .
9） A. Maruo and H. Igarashi: IEEE Trans. Magn., 55(6),2002205 (2019) .
10） W. H. Schilders, H. A. van der Vorst, and J. Rommes(eds.): Model Order Reduction: Theory, Research Aspects
and Applications (Springer, 2008).
11） D. Schmidthäusler and M. Clemens: IEEE Trans. Magn.,
48(2), 567 (2012).
12） Y. Sato and H. Igarashi: IEEE Trans. Magn., 49(5), 1697
(2013).
13） Y. Sato and H. Igarashi: IEEE Trans. Magn., 52(3), Art.
1100304 (2016).
14） S. Hiruma and H. Igarashi: IEEE Trans. Magn.,
DOI:10.1109/TMAG.2019.2962665, 2020.
15） Y. Otomo, Y. Sato, S. Fujita, and H. Igarashi: IEEE
Trans. Magn., 54(3), 7401005 (2018).
16） T. Shimotani, H. Igarashi, E. Hashimoto, and H. Imanari:IEEE Trans. Magn., 56(2), 7505405 (2020).
17） Y. Sato, Kenji. Kawano, D. Hou, J. Morroni, and H. Igarashi: IEEE Trans. Power Electronics, DOI:10.1109/
TPEL.2020.2968749 (2020).
（2020 年 2 月 21 日受理）や巻線などを均質材料としてモデル化することができる．
またモデル縮約法を用いることにより，均質化された材料
を Cauer 回路で表現できるため，時間応答解析を効果的に行うことができる．この方法は非接触給電装置
導加熱装置

16）

15）

や誘

の解析にも有効である．

五十嵐

一

いがらし

はじめ

1984 年 北 海 道 大 学 工 学 研 究 科 修 士 課 程 修 了，博 士（工 学）．
2004 年より同大情報科学研究院教授，現在に至る．
専門 計算電磁気学，最適設計

本論では渦電流損失に注目してきたが，Cauer 回路を用いることにより，非正弦波に対するヒステリシス損失の解析も可能となる

17）．

最近の高周波化に伴い，巻線間の静電容量の効果を考慮する必要がでてきている．しかし一般にインダクタは電磁波の波長に比べて小さいため，通常の有限要素法による解析は難しい．たとえば，インダクタを 0.1 mm の要素で分

比留間真悟

ひるま

しんご

2019 年 北海道大学情報科学研究科修士課程修了．同大博士課
程在籍中．日本学術振興会特別研究員 (DC1)．

佐藤駿輔
2020 年
中．

さとう

はやほ

北海道大学工学部卒業．同大情報科学院修士課程在籍

割すると，時間幅を 10 − 12 s 以下にする必要があるが，こ178

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