報告n次元球面の中心に関する公式
石川 杏1・恩田 詩緒梨2・伊藤 雅友美3
1 電気電子システム工学科(Department of Electrical and Electronic Systems Engineering, NIT, Nagaoka

College）
2 物質工学科(Department of Materials Engineering, NIT, Nagaoka College）
3一般教育科－数学(Liberal Arts-Mathematics, NIT, Nagaoka College）

A Formula On A Center Of A General Dimensional Sphere.
An ISHIKAWA1, Shiori ONDA2, Mayumi ITO3
Abstract
There exists inﬁnite spheres through n ﬁxed linearly independent points on the n dimensional Euclidean
space ℝn. We shows that if one is given n linearly independent points on ℝn, there exists precisely onesphere through the origin and all of the points. In this report we give a formula about the center of thesphere. This result shows that on the Euclidean space ℝn an 𝑛𝑛 − 1 dimensional sphere passing through 𝑛𝑛 +1 linearly independent points is only one.

Key Words : euclidean space, sphere, center of sphereでは， 2 次元球面の中心を計算する過程で得られた

１．はじめに次の計算結果を紹介する．
2

直交座標平面ℝ において，一直線上にない異なる 3 点を通る円はただ一つに定まる．このことは，補題 0.1．直交座標平面ℝ2 において，1 直線上にな与えられた 3 点から等距離にあるℝ 上の点はただ一2い異なる 3 点(0,0)，(𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 )，(𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 ) を通る円の中心の座標はつに決まることから示される．同様にして，直交座標空間ℝ3 において，同一平面上にない異なる 4 点を通る球面はただ一つに定まることも示される． つまり，一次独立な 3 点とそれらとは異なるある 1 点を固定したとき，これら 4 点を通る球面はただひとつに決まる．本稿では，n 次元数ベクトル空間 ℝ𝑛𝑛(n は自然数) において，原点および一次独立な n 個の点を通る𝑛𝑛 − 1次元球面の中心について考察する．
§2 では n 次元数ベクトル空間ℝ𝑛𝑛 の定義とℝ𝑛𝑛 上の距離および球面の定義についてまとめている．§ 3

69𝑎𝑎1
𝑏𝑏1
𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎22 𝑏𝑏12 + 𝑏𝑏22
� 1
� � 2
�22
𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏22 ⎞𝑏𝑏2
⎛ 𝑎𝑎2
， 1𝑎𝑎 𝑏𝑏1
𝑎𝑎 𝑏𝑏12� 12� 1
��𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
𝑎𝑎2 𝑏𝑏2⎝⎠で与えられる．
§4 では，§3 を一般化した計算結果を報告する．

２．n 次元ユークリッド空間と n-1 次元球面で定め，aの大きさをℝを実数全体からなる集合とする．ℝの2つの要素
x ， y か ら な る 対 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) を 考 え ， 2 つ の 対 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) とで定める．

対に対しても， 同様にして直積集合は互いに直行する．

(𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) が等しいとは， 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥′かつ𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′が成り立つ

𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 0のとき，aとbは直行するいう．
𝑒𝑒1 = (1,0, ⋯ ,0), 𝑒𝑒2 = (0,1,0, ⋯ ,0), ⋯ , 𝑒𝑒3 = (0, ⋯ ,0,1)ときに限ると定める．対全体の集合{(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)|𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℝ}
をℝの直積集合といい， ℝ2 で表す． n個のℝの元のℝ𝑛𝑛 = {(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )|𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ ℝ, 𝑖𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛𝑛}

定 義 0.5 ． n 次 元 実 ベ ク ト ル 空 間 ℝ𝑛𝑛 上 の 2 点 𝑎𝑎 =(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )，𝑏𝑏 = (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )に対して，a，bの距離を𝑛𝑛が定義できる．このように定義した直積集合ℝ 上に和と実数倍，および距離を以下で定義する．

|𝑎𝑎| = √𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎

|𝑎𝑎 − 𝑏𝑏| = �(𝑥𝑥1 − 𝑦𝑦1 )2 + (𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 )2 + ⋯ + (𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑦𝑦𝑛𝑛 )2

定 義 0.2 ． 直 積 集 合 ℝ 上 の 2 つ の 要 素 𝑎𝑎 =𝑛𝑛

で 定 め る ． 𝑎𝑎 = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 )，0 = (0,0, ⋯ ,0) の 距
離|𝑎𝑎 − 0|は単にaの大きさ|𝑎𝑎|である．

(𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 )，𝑏𝑏 = (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , ⋯ , 𝑏𝑏𝑛𝑛 )に対して，和を
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = (𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 , 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 )上の距離を定めたn次元ベクトル空間ℝ𝑛𝑛 をn次元任意の実数 λ に対して， 実数倍をユークリッド空間という．以下，断りのない限りℝnはn次元ユークリッド空間を表すこととする．

𝜆𝜆𝜆𝜆 = (𝜆𝜆𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 , ⋯ , 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑛𝑛 )注意0.6．2次元ユークリッド空間ℝ2 は直行座法平面と，3次元ユークリッド空間ℝ3 は直行座標空間と同で，また，零ベクトルを一視される．

で定める．

0 = (0,0, ⋯ ,0)ℝ𝑛𝑛 の部分集合

𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 = {𝑎𝑎 ∈ ℝ𝑛𝑛 ||𝑎𝑎| = 1}

上記の和と実数倍が定まった直積集合ℝ𝑛𝑛 をn次元を𝑛𝑛 − 1次元単位球面，または単に球面という3)．球実ベクトル空間といい，その要素をベクトルまたは面𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 の方程式は以下で与えられる．

点と呼ぶ．
定義0.3．n次元実ベクトル空間ℝ𝑛𝑛 上のm個のベクト𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛2 = 1

ル 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , 𝑎𝑎3 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑚𝑚 が 一 次 独 立 で あ る と は ，𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 , ⋯ , 𝑡𝑡𝑚𝑚 を m 個 の 実 数 と し た と き ， 𝑡𝑡1 𝑎𝑎1 +ℝ𝑛𝑛 の部分集合
𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 (𝑐𝑐) = {𝑎𝑎||𝑎𝑎 − 𝑐𝑐| = 𝑟𝑟, 𝑐𝑐 ∈ ℝ𝑛𝑛 }𝑡𝑡2 𝑎𝑎2 + 𝑡𝑡3 𝑎𝑎3 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 0 な ら ば 𝑡𝑡1 = 𝑡𝑡2 = 𝑡𝑡3 =⋯ = 𝑡𝑡𝑚𝑚 = 0が成り立つことをいう．

𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , 𝑎𝑎3 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑚𝑚 が一次独立であるときそこに零ベを中心c，半径rの𝑛𝑛 − 1次位球面という．中心𝑐𝑐 =(𝑐𝑐1 , 𝑐𝑐2 , ⋯ , 𝑐𝑐𝑛𝑛 )とすると，𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 (𝑐𝑐)の方程式は以下で与定 義 0.4 ． n 次 元 実 ベ ク ト ル 空 間 ℝ𝑛𝑛 上 の 2 点 𝑎𝑎 =(𝑥𝑥1 − 𝑐𝑐1 )2 + (𝑥𝑥2 − 𝑐𝑐2 )2 + ⋯ + (𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑐𝑐𝑛𝑛 )2 = 1

えられる．

クトル0は含まれないことに注意する．

(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )，𝑏𝑏 = (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )に対して，内積を𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 + 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛

70𝑎𝑎𝑖𝑖 = (𝑎𝑎𝑖𝑖1 , 𝑎𝑎𝑖𝑖2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 )３．円の中心に関する公式ℝ2 において，一次独立な2 点と原点を通る1 次元とおき，球面の中心について考察する．

𝑗𝑗

𝑎𝑎𝑖𝑖 = �𝑎𝑎𝑖𝑖1 , 𝑎𝑎𝑖𝑖2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑗𝑗−1) , |𝑎𝑎𝑖𝑖 |, 𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑗𝑗+1) , ⋯ , 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 �

補題0.7. ℝ2 上において， 原点𝑜𝑜 = (0 , 0) および一次独立な2 点𝑎𝑎 = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 ), 𝑏𝑏 = (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 ) を通る円は𝑗𝑗

𝑎𝑎1
𝑎𝑎1⎛ 𝑗𝑗 ⎞𝑎𝑎2
𝐴𝐴 = � ⋮ � , 𝐴𝐴𝑗𝑗 = ⎜ 𝑎𝑎2 ⎟⋮𝑎𝑎𝑛𝑛𝑗𝑗𝑎𝑎⎝ 𝑛𝑛 ⎠

ただ1つに決まり，中心は以下で与えられる．
𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎22 𝑎𝑎2
𝑎𝑎 𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎22
� 12
� � 1
�2
⎛ 𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏2 𝑏𝑏2
𝑏𝑏1 𝑏𝑏12 + 𝑏𝑏22 ⎞⎜𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ，
𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ⎟2 �𝑏𝑏 𝑏𝑏 �2 �𝑏𝑏 𝑏𝑏 �
1212⎝⎠

とおく．ℝ𝑛𝑛 上のn個の点𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 および原点oを通る𝑛𝑛 − 1球面の中心cは，証明． 求める中心の座標を𝑐𝑐 = (𝑐𝑐1 , 𝑐𝑐2 )とおく．

𝑐𝑐 =|𝑐𝑐 − 𝑎𝑎| = |𝑐𝑐 − 𝑎𝑎| = |𝑐𝑐|より，1(det𝐴𝐴1 , det𝐴𝐴2 , ⋯ , det𝐴𝐴𝑛𝑛 )2det𝐴𝐴で与えられる．

証明．求める中心の座標を𝑐𝑐 = (𝑐𝑐1 , 𝑐𝑐2 , ⋯ , 𝑐𝑐𝑛𝑛 )とおく．

(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎1 )2 + (𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 )2 = 𝑐𝑐12 + 𝑐𝑐22
� 1
(𝑐𝑐1 − 𝑏𝑏1 )2 + (𝑐𝑐2 − 𝑏𝑏2 )2 = 𝑐𝑐12 + 𝑐𝑐22

任意の𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛に対して，|𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑖𝑖 | = |𝑐𝑐|

これを整理し行列で表すと

すなわち
𝑎𝑎1
2 �𝑏𝑏
1

𝑎𝑎2 𝑐𝑐1
𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎22���=��
𝑏𝑏2 𝑐𝑐2
𝑏𝑏12 + 𝑏𝑏22

𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑘𝑘=1𝑘𝑘=1

�(𝑐𝑐𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 )2 = � 𝑐𝑐𝑘𝑘 2

2 点a，b が一次独立なのでc はただ1つに定まることがわかり，クラメールの公式より，が成り立つ．よって，
𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎22 𝑎𝑎2
𝑎𝑎� 12� � 1⎛ 𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏22 𝑏𝑏2
𝑏𝑏1(𝑐𝑐1 , 𝑐𝑐2 ) = ⎜𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ，⎝2 �𝑏𝑏

1𝑏𝑏2 �

𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎22
�𝑏𝑏12 + 𝑏𝑏22 ⎞𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ⎟2 �𝑏𝑏

1𝑏𝑏2 �が導かれる1), 2)．

𝑎𝑎11
𝑎𝑎212� ⋮𝑎𝑎𝑛𝑛1

⎠

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
⋮
𝑎𝑎𝑛𝑛2

⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛|𝑎𝑎1 |
𝑐𝑐1⋯ 𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝑐𝑐2|𝑎𝑎2 |⋱⋮ �� ⋮ � = � ⋮ �𝑐𝑐𝑛𝑛
⋯ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛|𝑎𝑎𝑛𝑛 |

である．𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 は一次独立なので，cはただ1

補題0.7． から次のことが直ちに言える．

つに定まり，クラメールの公式より，

2系0.8. ℝ 上において一直線上にない3 点が与えられれば，その3 点を通る円はただ一つに定まる．

𝑐𝑐 =４．n 次元球面の公式

1(det𝐴𝐴1 , det𝐴𝐴2 , ⋯ , det𝐴𝐴𝑛𝑛 )2det𝐴𝐴であることが導かれる．

補題0.9．nは自然数とし，𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 をℝ𝑛𝑛 上のn個ℝ𝑛𝑛 上のn個の点𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 および原点oを通る𝑛𝑛 −の一次独立なベクトルとする．

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1球面がただ1つ存在することは，その中心がただ1つに決まること（補題0.9.）より直ちに言える．
定理0.10．ℝ𝑛𝑛 上に一次独立なn個の点と異なるもう1点が与えられれば，その𝑛𝑛 + 1個の全ての点を通る𝑛𝑛 − 1球面Sはただ一つ存在する．

証明．与えられた一次独立な点を𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ，もう 1 点 を 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 と お く ． 𝑛𝑛 + 1 個 の こ れ ら の 点
𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 をそれぞれ−𝑎𝑎𝑛𝑛+1 だけ平行移動させた′′ものを𝑎𝑎1′ , 𝑎𝑎2′ , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛+1とおく．ここで，𝑎𝑎𝑛𝑛+1= 0であ′るので，𝑎𝑎1′ , 𝑎𝑎2′ , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛+1を通る球面S’が補題0.10からただ1つに決まる．S’を𝑎𝑎𝑛𝑛+1 だけ平行移動してできる球面は，明らかに𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 を通る球面である．他に与えられた𝑛𝑛 + 1個の全ての点を通る𝑛𝑛 − 1
球面𝑆𝑆̅が存在したとすると，𝑆𝑆̅を−𝑎𝑎𝑛𝑛+1 だけ平行移動させればそれはS’であり，さらに𝑎𝑎𝑛𝑛+1 だけ平行移動させると𝑆𝑆̅にもどる．よって𝑆𝑆 = 𝑆𝑆̅である．以上より，Sはただ一つ存在する．

５．おわりに本稿では，n 次元ユークリッド空間と𝑛𝑛 − 1次元空間上 n 個の点を定めれば，その点を通る𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 はただひとつに定まることを証明した．楕円など，球面同様の対称性のある図形についても今後さらなる検討をしたい．

謝辞：本研究活動するにあたり，長岡高専プレラボ制度から予算をいただき活用しました．謝意を表します．
参考文献
1) 高遠節夫ほか：「新線形代数」，大日本図書，2012.11
2) 田代嘉宏編：「新編高専の数学2 問題集」，森北出版，2001.1
3) Thomas F. Banchoff 著・永田昌雅宜・橋爪道彦訳：「目で見る高次元の世界」，東京科学同人，1994.5(2020.10.5 受付)

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