論文

コンクリート打撃時における表面変位応答波形の実測値と有限要素解析結果の比較
坂井 研斗1・吉原 健太2・倉橋 貴彦2・村上 祐貴3
外山 茂浩4・池田 富士雄5・井山 徹郎5
1 長岡技術科学大学 機械創造工学課程（Department of Mechanical Engineering, Nagaoka University of Technology）
2 長岡技術科学大学大学院 機械創造工学専攻（Department of Mechanical Engineering, Graduate School of Nagaoka University of Technology）
3 環境都市工学科（Department of Civil Engineering, National Institute of Technology, Nagaoka College）
4 電子制御工学科（Department of Electronic Control Engineering, National Institute of Technology, Nagaoka College）
5 機械工学科（Department of Mechanical Engineering, National Institute of Technology, Nagaoka College）

Comparison of history of measurement displacement
and numerical result of displacement by finite element analysis
on concrete surface in hammering test
Kento SAKAI1, Kenta YOSHIHARA2, Takahiko KURAHASHI2, Yuki MURAKAMI3,Shigehiro TOYAMA4, Fujio IKEDA5 and Tetsuro IYAMA5
Abstract
In this paper, we present the comparison of history of measurement displacement and numerical result ofdisplacement by finite element analysis on concrete surface in hammering test. The rectangular concrete
test piece was employed as the experimental model and the numerical one, and the analysis for the three
dimensional oscillation was carried out. The Galerkin procedure and the Newmark β method were applied
to discretize the finite element equation for the three-dimensional oscillation in space and time, respectively.
Key Words : hammering test, finite element Galerkin procedure, Newmark β method.

１．はじめに

少子高齢化による労働人口の減少に伴い点検者が減少していることが問題視されている 1)．そこで，技日本国内では橋梁の老朽化が進んでおり，構造物術者の経験的な技量に依らず，構造内の欠陥を定量の点検保全業務の重要性が高まっている．しかし，的に把握する技術開発が行われている．先行研究で
1

𝑛 + 1 とする．

は，マイクロフォンで打音時の音圧波形を計測し，対象物内の欠陥位置と大きさを同定するシミュレー

1𝒅𝑛+1 = 𝒅𝑛 + Δ𝑡𝒅̇𝑛 + Δ𝑡 2 ( − 𝛽) 𝒅̈𝑛2+Δ𝑡 2 𝛽𝒅̈𝑛+1𝒅̇𝑛+1 = 𝒅̇𝑛 + Δ𝑡(1 − 𝛾)𝒅̈𝑛 + 𝛾Δ𝑡𝒅̈𝑛+1

ションが行われた 2)．一方で，マイクロフォンは周辺の音も収録するため，構造物内の音圧を用いるためには静音である必要がある．そこで数値実験にて，打撃による表面振動の変位からコンクリート構造内部の欠陥深さを同定する逆解析手法について検討さ

(2)
(3)

ここで，𝛽, 𝛾 はニューマーク𝛽法におけるパラメータである．また，時間ステップ𝑛 + 1の加速度𝒅̈𝑛+1れた3)．
したがって，文献 3)の手法において，実際の構造は以下の式(4)により求められる．

物の空洞位置同定の問題への適用性を確認する必要(𝑴𝑛 + 𝛾Δ𝑡𝑪𝑛 + Δ𝑡 2 𝛽𝑲𝑛 )𝒅̈𝑛+1= 𝑭𝑛+1 − 𝑪𝑛 (𝒅̇𝑛 + Δ𝑡(1 − 𝛾)𝒅̈𝑛 )1−𝑲𝑛 (𝒅𝑛 + Δ𝑡𝒅̇𝑛 + Δ𝑡 2 ( − 𝛽) 𝒅̈𝑛 )2がある．そのためには，振動解析の結果と実測の値の一致性について事前に検証を行う必要がある．
そこで本研究では，インパルスハンマによる打撃力の測定値を用いて，図-1 に示す健全なコンクリ(4)ート供試体（空洞の無い供試体）に対して,実測の加速度から得た変位応答と解析により得られた変位

３．コンクリート表面における打撃試験応答（第 1 ピーク周波数と振幅）の比較を行う．打撃試験では，コンクリートの下に 2 本のアルミアン

本研究では，図-2の直方体コンクリート供試体を3体作製し，これらに対して打撃試験を行った．まグルと 2 枚の天然ゴムを図-1 のように置き，地盤からの反射を極力無視できる実験モデルとしている．

た，各供試体を①～③の番号を付けて区別する．

寸法の単位：mm

図-1 コンクリート供試体の写真

図-2 コンクリート供試体のメッシュ図

２．三次元有限要素法による定式化
３．１

三次元モデルに対する振動方程式を有限要素法に測定器具

打撃力測定では小野測器製のインパルスハンマ「 GK-3100 」 ， 加 速 度 測 定 で は 加 速 度 セ ン サ

より離散化した方程式を計算モデル全体で重ね合わせた式を式(1)に示す．なお，質量行列𝑴，剛性行列「NP3331N20」が使われた．実際の測定器具および𝑲，減衰行列𝑪 = 𝜅1 𝑴 + 𝜅2 𝑲（𝜅1 , 𝜅2 はレイリー減

コンクリート供試体は，図-3の通りである．

衰の係数），節点変位ベクトル𝒅，節点荷重ベクトル𝑭とする．
𝑴𝒅̈ + 𝑪𝒅̇ + 𝑲𝒅 = 𝑭(1)

また，時間方向の離散化手法として，ニューマーク𝛽法を適用する．結果として変位および速度の時間進展式は，式(2)および式(3)のようになる．なお，現在の時刻の時間ステップを 𝑛 とし，その時刻から

図-3 コンクリート供試体と測定器具

時間増分量 Δ𝑡 後の時刻に対応する時間ステップを2

３．２

コンクリートにおける測定データ

各供試体の質量を体積により除して算出された平均密度𝜌 を表-1に示す．
表-1 コンクリート供試体の平均密度

供試体番号
①②③

平均密度𝜌, kg/m32356.25
2375.002408.75「JIS A-1108」に基づいてコンクリートの圧縮試

図-6 供試体③：打撃力の経時変化験を実施して得られた応力-ひずみ線図より導出したヤング率𝐸 を表-2に示す．ここで表-2の手法1のヤング率𝐸は，「JIS A-1149」に基づいて導出した3４．数値実験による解析値と実測値の比較つの試料の平均値であり，手法2のヤング率𝐸 は，弾性域の応力-ひずみ関係から算出したヤング率に４．１おける3つの試料の平均値である．

また，図-7に打撃点および観測点の位置と固定支持

表-2 ヤング率の測定値

手法12

解析条件

図-7に示す計算モデルを用いて振動解析を行う．の境界条件，表-3にメッシュ条件，表-4 にポアソ

ヤング率𝐸, MPa35096
39582

ン比および離散化に関する条件を示す．

本測定にて各供試体に加えられた打撃力の経時変化を，図-4～図-6に示す．

図-7 打撃点，観測点の位置および境界条件（三面図）
表-3 メッシュ条件

図-4 供試体①：打撃力の経時変化

要素タイプ𝑥, 𝑦, 𝑧方向の要素分割幅, mm
総節点数
総要素数

四面体 1 次10.0296912288

表-4 ポアソン比および離散化に関する条件

ポアソン比ν
時間刻み∆𝑡, μs
パラメータ𝛽パラメータ𝛾
図-5 供試体②：打撃力の経時変化

30.16
39.0625
0.25
0.50

４．２

観測加速度履歴の変位履歴への変換

３．２の表-1の供試体①の場合における観測加速度の経時変化を図-8，観測変位の経時変化を図-9に示す．なお，観測変位は観測加速度を2度台形則にて数値積分して得られる変位とする．図-9より，時間進展とともに観測変位が負の方向に大きくなっている．これは，高周波成分が数値積分によって減衰される一方，低周波成分は減衰しにくいためである．そこで，観測加速度の低周波成分をハイパスフィルタによって減衰させてから観測変位に変換することを考える．
図-10 供試体①：加速度の経時変化（フィルタの有無における比較）

図-8 供試体①：加速度の経時変化

図-11 供試体①：加速度波形に対する周波数解析結果（フィルタの有無における比較）

次に，前段落と同じく適用した観測変位の経時変化を図-12，周波数応答を図-13に示す．これらの図は，カットオフ周波数が0.3kHz, 0.7kHz, 1kHzのハイパスフィルタを適用したものである．図-12より，ハイパスフィルタを適用した観測変位が，前段落で述べた通りに経時変化とともに負の方向に大きくならないことが分かる．図-13より，ハイパスフィル

図-9 供試体①：変位の経時変化

タにおけるカットオフ周波数以下の周波数成分が減はじめに，カットオフ周波数を1kHzに設定した衰することが分かる．したがって本研究では，全てハイパスフィルタを適用した場合における観測加速の観測変位はカットオフ周波数が1kHzのハイパス度の経時変化を図-10，同様の高速フーリエ変換にフィルタを適用した観測加速度から得られるとする．

よる周波数応答を図-11に示す．図-10より，ハイパスフィルタの有無による観測加速度-時間応答の違いがほぼ無いことが分かる．図-11より，加速度応答の第1ピーク周波数がフィルタの有無で変わらないことが分かる．また，加速度の大きさに関しても同じことがいえる．
4

変位の時間応答を図-14～図-19に示す．これらより，時間経過における観測変位と解析変位の周期が一致しないことが分かる．また，時刻0.008秒程までは，観測変位における振幅の大きさが解析変位より小さいことが分かる．
次に，周波数応答を図-20～図-25に示す．これらの図より，観測変位と解析変位の第1ピーク周波数が一致しないことが分かる．また，その周波数における振幅の大きさにおいて，観測変位の方が解析変位より小さいことが分かる．
したがって，観測変位と解析変位の周期・振幅が一致するときの各物性値を探す必要がある．そこ
で，次節にて物性値の大きさ変化における解析変位

図-12 供試体①：変位の経時変化 (フィルタ付)の周期および振幅の違いを調べる．

図-13 供試体①：変位波形に対する周波数解析結果(フィルタ付)図-14 供試体①：変位の経時変化（観測波形とCase-aの比較）

４．３

実測の物性値を用いた FEM 解析結果に関する考察

３．２の打撃試験で測定した供試体①～③における観測データ（表-1, 表-2）に基づいて，FEM 解析を行う．実測における密度 ρ およびヤング率 E の組み合わせは，表-5 の Case-a～Case-f が考えられる．
また，レイリー減衰の係数は，𝜅1 = 600, 𝜅2 = 0を全ての条件に適用する．
表-5Caseabcdef

Case-a～Case-fのヤング率・密度

供試体
番号

密度𝜌,kg/m3①2356.25②2375.00③2408.75

ヤング率𝐸,MPa
35096
39582
35096
39582
35096
39582

図-15 供試体①：変位の経時変化（観測波形とCase-bの比較）

5図-16 供試体②：変位の経時変化

図-19 供試体③：変位の経時変化（観測波形とCase-cの比較）（観測波形とCase-fの比較）

図-17 供試体②：変位の経時変化

図-20 供試体①：変位に関する周波数解析結果（観測波形とCase-dの比較）（観測波形とCase-aの比較）

図-18 供試体③：変位の経時変化

図-21 供試体①：変位に関する周波数解析結果（観測波形とCase-eの比較）（観測波形とCase-bの比較）

6図-22 供試体②：変位に関する周波数解析結果

図-25 供試体③：変位に関する周波数解析結果（観測波形とCase-cの比較）（観測波形とCase-fの比較）

４．４

FEM 解析における各パラメータ変化による変位波形の違いに関する評価

表-6の物性値を基準とし，それぞれの値を増減させた場合の検討結果を以下に整理する．
表-6 物性値（Case-1）

ヤング率𝐸 , MPa
密度𝜌, kg/m係数𝜅1係数𝜅2335096
16306000

表-7 ヤング率𝐸の増減における物性値の条件

Case1y1y2

図-23 供試体②：変位に関する周波数解析結果（観測波形とCase-dの比較）

図-24 供試体③：変位に関する周波数解析結果

ヤング率𝐸 , MPa35096
3309637096

図-26 供試体①：変位の経時変化（観測波形とCase-eの比較）（Case-1とCase-y1の比較）

7

図-27 供試体①：変位の経時変化

図-29 供試体①：変位の経時変化（Case-1とCase-y2の比較）（Case-1とCase-d2の比較）

はじめに，ヤング率Eの増減による変位応答の違

次に，密度の増減による変位応答の違いを調べる．

いを調べる．ヤング率Eの条件を表-7に示す． また，
Case-1とCase-y1における変位の経時変化を図-26 に，密度の条件を表-8に示す．また，Case-1とCase-d1にCase-1とCase-y2の場合を図-27に示す．ヤング率をの場合を図-29に示す．密度を小さい値に設定した

小さく設定すると振幅は増加し，周期が短くなる傾場合は，振幅は増加し，周期が長くなる傾向にある

向にあることがわかる．

ことがわかる．

おける変位の経時変化を図-28 に，Case-1とCase-d2

続いて，係数𝜅1 の増減による変位応答の違いを調べる．まず，調べた係数𝜅1 の条件を表-9に示す．ま表-8 密度𝜌の増減における物性値の条件

Case1d1d23

密度𝜌, kg/m16301430
1830

た，Case-1とCase-cm1における変位の経時変化を図-30 に，Case-1とCase-cm2の場合を図-31に示す．
係数𝜅𝟏 を小さく設定した場合は振幅が増加する傾向にあることがわかる．
表-9 係数𝜅1 の増減における物性値の条件

Case1cm1cm2係数𝜅1600500700

図-28 供試体①：変位の経時変化（Case-1とCase-d1の比較）

図-30 供試体①：変位の経時変化（Case-1とCase-cm1の比較）

8

４．５

数値実験による解析値と実測値が変位－周波数応答の第１ピーク周波数において一致する例

供試体を実際に打撃して得られた実測の変位とFEM解析により得られた変位について，変位－周波数応答の第1ピークが概ね一致する場合の例を示す．
なお，比較対象とする実物モデルは供試体①とする．
供試体①の変位－周波数応答が一致した場合における解析上の材料物性値および計算パラメータを表11に示す．また，実物モデルで計測された入力打撃
図-31 供試体①：変位の経時変化

波形は図-33であり，これをFEM解析の入力打撃に（Case-1とCase-cm2の比較）用いた．変位の経時変化を図-34に，周波数解析結果を図-35に示す．

最後に，係数𝜅2 の増減による変位応答の違いを調べる．まず，調べた係数𝜅2 の条件を表-10に示す．

表-11 物性値（Case-m）

ヤング率𝐸 , MPa

また，Case-1とCase-ckにおける変位の経時変化を，3密度𝜌, kg/m
係数𝜅1係数𝜅2図-32に示す．係数𝜅1 と同様に，係数𝜅𝟐 を小さく設定した場合は振幅が増加する傾向にあることがわかる．

35096
1630
6000

表-10 係数𝜅2 の増減における物性値の条件（Case-1との比較）

Case1ck

係数𝜅100.00001

図-33 供試体①：打撃力の経時変化

図-32 供試体①：変位の経時変化（Case-1とCase-ckの比較）

次節では，前段に述べた結果を利用して，変位周波数応答の第1ピーク周波数において，解析値と実測値を一致させた例を挙げる．

図-34 供試体①：変位の経時変化（観測波形とCase-mの比較）

9場合もあると考えられる．

謝辞：本研究を進めるにあたり，長岡工業高等専
門学校の村上研究室の学生皆様に２章における実験の補助やコンクリート供試体の作製等をしていただ
いた．また，本研究の解析結果は，九州大学情報基盤研究開発センターの高性能アプリケーションサーバを使わせていただいた上で計算を行ったものである．ここに謝意を表す．
参考文献

図-35 供試体①：変位応答に対する周波数解析結果

1)（観測波形とCase-mの比較）

国土交通省, “老朽化の現状・老朽化対策の課題”.
https://www.mlit.go.jp/road/sisaku/yobohozen/
torikumi.pdf (参照 2019-09-20).

2)

５．おわりに松岡瑛喜, 廣瀬陽一, 倉橋貴彦, 村上祐貴, 外山茂浩, 池田富士雄, 井山徹郎, 井原郁夫, “打音検査による欠陥定量的評価の高精度化に対する随伴変数法の適用”,

本研究では，矩形のコンクリート供試体を用いた打撃試験を行い，加速度センサにより得られた応答波形を数値積分することで算定される変位応答値と有限要素解析による変位の経時変化について比較を行った．結果を以下に整理する．

材料. 2018, vol.67, no.9, pp.869-876.
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsms/67/9/67_869/_pdf/-char/ja. (参照 2019-09-20)
3)吉原健太, 倉橋貴彦, 村上祐貴, 外山茂浩, 池田富士雄,井山徹郎, 井原郁夫, “随伴変数法に基づくコンクリー(1) 実測の加速度から得た変位波形に対してハイパスフィルタを適用しない場合，時間経過後，変位の値は零に収束しない．
(2) コンクリート供試体の平均密度は実測値に対して約 70%の値，またヤング率は「JIS A-1149」に基づいて導出された値を用いて有限要素解析を行った場合，実測の加速度から得た変位波形と解析により得られた変位波形の第 1 ピーク周波数がおおむね一致する．
(3) 本研究では，解析時間を 0.01 秒までと設定したが，解析時間をより長く設定した場合，対象とする時間区間全体において実測加速度より求めた変位応答値と解析により得られた変位の経時変化を完全に一致させることは困難であると考えられる．

ト構造内部における欠陥深度の推定解析 （打音検査による観測変位量を想定した数値実験）”, 日本機械学会論文集. 2019, vol.85, no.869, pp.1-13.
https://www.jstage.jst.go.jp/article/transjsme/85/869/85_1
8-00371/_pdf/-char/ja. (参照 2019-09-20)(2019.9.25 受付)

上記の結果より，実測の加速度から得た変位波形と解析により得られた変位波形の第 1 ピーク周波数を一致させられることが分かった．しかし，変位の時間応答を見た場合，対象とする時間区間によっては，実測値から得た変位応答値と，解析によって得られた変位応答値が必ずしも一致しないということが分かった．このため，変位応答の実測値を使用した構造内部における空洞位置の同定解析では，対象とする解析時間区間によっては，周波数帯における変位応答値を使用し，解析によって得られる変位応答値との一致性を評価するように改良した方が良い10