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補足資料：確率測度の一意性と構成oDynkinので入定理： ある集合族上で同じ確率を与える 2つ 7
確率測度は、その集合族で生成される6-加法族上でも一致する.

応用例：同じ分布関数を持つ測度は脈）上で一意一意性→

oHopfの拡張定理： ある直隆加法族上の確率測度はその有限加法族を含む最小の 6 加法族上の確率測度に拡張される.
t存在性（もっとも、その拡張が一意であることも含めてHopf の拡張定理と通常は言う。）
演習問題も参照↳-

Dynkinので入定理

目標： 分布関数F が与えられれば対応する確率測度 P が一意に定まることを言いたい。

つまり、2 つの確率測度 R .B がP.（はい）= B (C-P, ( A )を示したU .

'#.たシステム：

一九一システム：=Pz (A)a]） F K ) をみたすなら、=(KAE B 側）

（ただし、そのような測度が存在することは仮定）

Hopf の 拡 張 定 理

集合族P がたシステム
集合族人が九一システムも(Dynkin族）となること

A.B P ならA nB E DE

（有限回の共通部分を取る操作について閉じている）{（1） RE Lに 1 A B E L , ACB

BH:=13 が」

BHEL(3）AKAKA,C - E L☆ 6-加法族はたシステムでも入システムでもある.

確率測度の構成と一意性 (2023)

Y AnE Ly1 / 11

6（P）：P を含む最小の 6-加法族

LP）：P を含む最小の入・システム型（Dynkin の定理）い） P はたシステムで、 人は P を含む入・システム（PCL） であるとする。
（2）

すると、 6 （ P ) C Lである。

たシステム P に対し、

G ( P ） = LCP）

が成り立つ.

/言正明 は後で与えるが. （りいに）はすぐにわかる。 なぜなら、 いつより6（P)C 人（P）は示されており、かつ任意の 6-加法族は入シ
6（P）は P を含むがシステムでもある。つまり 6（PDL(P）が成り立っステムでもあるので、た 2 6（P）=LLP） である。

Dynkinの定理より次の命題が示せる。（証明は次のページ）に「（r.F）上の確率測度
し AE Pをみたす なら、で

R . B が 、 あるたシステム PCF において.

RCA）=BCA）「BE6（P）で R（13）=13（13）が成り立つ.

X

さらに、この系として、 分布関数が共通な 2 つの確率測度が（IRB 側）上で一致することが示せる.に 2（R,BURD 上の石隺率測度 R.B がlike,as）=B Goes）=Fla） （を ER） をみたすなら、DLR）上で P、二に である。
（Cor2 の証明）

/P=1（一・，a)laER｝ はたシステムである.仮定より. YEP で脈に脈）である。よって

CorI より RCB）沼（13） に BEG）でもある こ こ で 、、6（P）=日（R）であることに注意すると、これは B(R）上で PER であることに確率測度の構成と一意性 (2023)

他ならない.y2 / 11

(CorI の 証 明 ）まずむ ニ ｛AEFTP：//t）=ル（Al｝ とすると. L は入・システムになっていることを示す.

（I) P，（r）=1， R(r）=1 より. I

E d .に） A . B E L , A C B とすると. P.（A）=B(A）が P.（B）=BCR） である。

確率測度の性質（加法姓）より.
P，（BIA）=R(B）-PCA） =

よって、
（3）

B I AE Lを得る。

なので.

==12（BIA）.

確率の連続性より
P.（An）fig= f y R(An） B ( I An）

A .C A 2 c Asc . . . E d

P，（IAn）

B(D-RCA）とする、=I AnE dである

以上より、 人は九一システムであることがわかった.

仮定より PCL なので、 Dynkin の定理から、 6 （ P C L である.

L 上で R とには 一致するので、6（P）上でも両者は一致する.gr/

これから. Dynkin の定理を示すが、その前に次のことを注意しておく.

したんが九一システム（

（証明）

|

（1）'s E L
（2）
'A E dA ' e 2（3）'Ann Am=中に吽 n）， AnEd なら、I AnE L である.

yにつのみ示す）（1）'は定義から自明.

が従う.

（ら）'を示す。に 1'も n E d な の で R I A EL.つ ま り A'EL

そのため、まずはA.BEL,An13=4 に対し、RIA なので.
G I A ) I BE んでもある。ここで（RIA）|B=AS が なので. A hB E L .に）'よ り . A h BE よ な ら （AhB'）EAUB E L である.

A uBEL であることを示す.

（2）より RHEL である。また B C

10］※，_灬 あとは出た，にも熱T（3）よyり.
Am（AndIt)

嚞？𧸐！！least
が確率測度の構成と一意性 (2023)

単調増大 3 / 11

(Dynkin の定理の証明）

証明の方針： f(P）がたシステムであることを示す。実は入システムがたシステムであるなら、それは 6-加法族であることが示せる、つまり、6（P)CL(P）が成り立つ、レである集合族のが.たシステムでもがシステムでもB はあるとき、6-加法族である.
（証明）

（l) n

ER は入・システムの定義が明らか.に） A ER なら ACE B であることも性質になり従う（ろ）まず有限和について 閉じていることを示す.
A.BE よとする.A と B は互いに疎であるとは限らないので'を使えない、しかし、B はたシステムなので、An B EB である。

（う）

AiiA では BI(AnRKB で もある。 また.（り、（2）より 4=に）CEB であるので.

よって、入システムの性質より

i入・システムの性質（3）'より、

A u B=（Al(AnB））v(Bl(AnB））v(AnB)uh t . . .

互いに蘞いな まい ま し いる る'

BEである。このことから.

が、AnE BAT
A . . A n . . . E B なら、 （Annとは限らない）である。よって、騑た響が出築いる'人に含まれる.

なお.最後の YinE B は A i cA I C . . E B に性質（3）を適用した
以上より、B は確率測度の構成と一意性 (2023)6-加法族である.

/4 / 11これより、 LCP）がたシステムになることを示す

これが示されば、 f(P）前の Lem より LCP）が 6-加法族にか がであり、
7 . LとLCP）の定義より、鬚Lつよ（P）である. よって. L76（P）が従う人（P）がたシステムであることの証明：

GA：= 1 BE6（D1AnBed）｝とする。

（i) AEHP）なら GA は入・システムである。
なぜなら、（l）''（2）（ろ）'R E GAf ! r n A= A

E※※ 獄B E G A な ら . A n BEL(P）であり、 A Ed(P）であることとあわせて. Al(AnB） = A n BCELCP）でもある。

つまり、 B'EGA である.

Ba E GA が互いに排下であるとする.

I B r GA を示した a.
E

A n ( I Bn）= Y(AnBn） であるが. B nEa より、AnB nE N Dである。しかも. （AnBn)nは互いに押阪であるのでY ( A nBn)E L CP）. つまり. I、BnEGA である。

よって GA は九・システムである.

（ii) A EP なら LCP)CGA である。

なぜなら、まず AEL(P）でもあることから（i）より私は入・システムであることに 注意する。 今、P はなシステムなので「BEP は B nA EP である。つまり、P を含む九・システムなので、LCP)CGA である.

「BEP は BEGA である （PCGA）. よってな A はI、このことから. A E P . B E LCP） に対し、 A nB ELCP）である。

あとは A を AEHP）まで広げた u.

（iii) A E N D なら、 LCP）は Aである。

i）より、 UBEP に対し. A nB E
（iなぜなら、LCP）であることは示されているので、P C GA である。また（i）より A は（P）なら私は入・システムなので、LCP)CGA でもある。 よって、AEd ）なら、名は印）で A BEND）をみたす
nつまり、と（P）はたシステムである.

確率測度の構成と一意性 (2023)/ /5 / 11$!
oHopf の拡張定理.

こちらは長くなるので言正明はしない。
ステートメントだけ述べる.

Dd（有限加法族）☆ が有限加法族や咀防災？！た。
→A'etA（2）

E t（集合半代数）（半環は RES を要請しない）

だ Am e t「有限和まで./S が集合半代数や） い） 4 . I E S|に）

S はたシステム（A.BE S い An B E D

AES なら、AC は有限個の互いに排なな集合 B.....，RES に分割される
A E YIB a ( B iE S , B i n

B Eli.は
j = 1-e
中でな必 asb ea｝ は集合半代数.に業合半代数 S を含む最山の有限加法族は.
有限和の族として 表せる

d(S）

=

1 品 Bil I：有限，RES, B i nBat にな，i.geI）｝

なを含む最小の有限加法族

確率測度の構成と一意性 (2023)

Sの互いに排なな元達の，6 / 11

$西 'S :r 上の集合半代数

一航寺庄鈴巍市が礫鑼で爀嚇P(r）=1， AnESが出 AnES かつ互いに排なな［Plan）=EN）=う］

すると. P の d(S）への拡張 P'が一意に存在し.

M i i Ai）= E PA ）（AnE S.I：有限， （An）壮は互いに排な）で与えられる. P'は A(S）上の 6-加法的な確率測度になっている，有限加法族 t 上の 6 加法嚩親6（A）1 の拡張が一意に存在する.
鸞がジ ※ 籩鬜に）PCA）=1-HAC），（3）A、，Az....Et（互いに排可たこの一対中に Dynkin の超鋻う.
（構成法は次のページ）
上の 2 つの Thin を合わせると、次の定理を得る。
。

凸集合半代数 S 上の6-加法的な集合関数 P:S→191］で PG）=1 をみたすものは、6（S）上に一意に拡張できる.

gがより正確には、この段階では Jordan 測度

例 え ば 10.1］区間上のルベーグ測度は S = 1lab］10EE に 1｝上で6-加法的になることが示せる、 つまり.NKa.に）=b-a とおくと.

（a,b］= 点（a：.b：］の ？ ※ら、が示せる、これより.
d'（（o，冂）=1.

（互い disjoint） に対し、

Mla.い）=Jolla.hit）
つまりb-a=I(bea）（10.1），B（（o.冂））上の確率測度がでt'（（abi）=N(labs）=b-aであるものが唯一存在することが従う. に 6（S）二日（10.1］））
確率測度の構成と一意性 (2023)

7 / 11❤
60）上の確率測度の構成方法（概要）

任意の部分集合 Act に対し、 P より定まる外測度 P*を以下のように定める：

MA）：= i n HIP(B：） I B i E S , A c YI｝.
t可算無限個.
（これを、有限和にした場合、つまり PTA）=とすると、望ましい拡張が得られない、

int1 燄（Bi)I B:ES,AC Y B：.

MII）
例えば、r=10.11， P:Co.7 上の一様分布，S：半開区間全体.、とすると、 有理数全体 Qn、1）に対し. が（ n 、13）=Iなってしまう しかも

P*（InG、1］）=1 でもあり、no，1）を"測れてない".

この場合、 門（ no,D）=0 となっ ほしい.の算無限和まで考えることで、 これは 0 になる）
w eてこ こ でとする。

@ i - . l D c r I M D ) t M Dd）= I｝

すると、 次が成り立つ.

EH. & は 6 - 加 法 族
2 .

がのもへの制限は （n.8）上の確率測度になっている、「塾証明の前にy門が連続性をみたすことは認める：

A ,C A I - . - cr に 対 し 、 A=YAn としたとき、PCA）
lin が（An）=である.

確率測度の構成と一意性 (2023)

8 / 11!
1.

が（r）=1， P*（01=0 はすぐに確認できる.

MR）+ がn . t o o） 1

よって=であり.

である。

2 . D E D なら 定義よりPYD）+ が CDC）= I

なので、

D ' G O でもある.

よって、

3.

P*（DC）+p*（りく）= でもある。
1

まず 0 が 有 限 の 法 的 で は も D 上で有限な法的である
ことを示す。

D 2 E D なら、

まず、D、，P * （ D V D ) t が（Din B)E が（Di）十 M（に） - a ,P*（（DivR D tが成り立つ

が（（RnR D E 𨸟（RC）+P（にリーになな！！！！？だが成一ii.

が（DiuD 2 ） t M(DinD a ) t M（（RUDD'）t が（（Rn Pz）'）

E=PCP，）t 門（B）+P*（MC）+P*（Di）I + I=2.に Di,RED）

一方、 P * （ A ) tM C A ) Z I は常に成り立つので、左辺と 2は常に成り立つ よって、特に、

p*CD、u に）t が（（D，いた）く）=1

M ( D, n P . ） t PT(Rn にノリ=1である、 これらより.

DiuD z , DinR E Dである。
いい（2）が等号で成り立つことも上のギロンよりわかる
また、
ので、D i n D i d な る D、，REDに対し、M R u Dz）

を得る.

確率測度の構成と一意性 (2023)=が（Di）+1 が（に）9 / 111つまり、 Dは有限加法的であり、P'''も D上で有限加法性をみたす。

あとは. & が " 単 調 族 " であることを示せば、 O は 6-加法族であることが示される （単調族定理：単調族が有限加法的単調族とは、

ここで、（a) A i6 加法族）

E D , A C A t - _ - のとき. Y i E D(b) A : E D ,IA:EDAPA D - . - の と きをみたす集合族である、

今、D は有限加法族なので （a）が満たされれば（b）も成り立つ.
よって（9）を示せば良い、

E D U D n t D のとき （D、CBC・かつ Y Dn=1 つのとき

つまり、 Dn

Dad を示す.

D n tD と書く）

まず証明の冒頭で述べたがの単調性よりである。

一方'橋が（Dn） =p*（IDn）= p*（D）p*（De）=p*（！Di) E P ( D E ）（Km）であり、EMD）+ が（D"なので.
IE

G M Dn)t が（Di）である. mについても木を限を取ればが（D） + が（DC)
IE

ESP"（Dn）+ LP*（Di） =橋（MR）+ が（Pi））

じ DnGO.tn）を得る。 このことから PMP）+が（PC）=1 なので. D G O である。
=1

よって. 0 は 単調族であり、単調族定理より6-加法族.

あとは P*の 6-加法性を示せば良い.

DnE D (n=1，2....）を、互いに抖叛な集合列とする。

1 次 air
確率測度の構成と一意性 (2023)

10 / 11MI,Dn）=が （ I I De）=

f y が（出 De）に他の単調性より）さらに、1では有限加法的であることはすでに示しているので門（Y De）である。

あと、二書が（De）

M E Dn）= 協会が（De）=&がいた）である.

f./p*の構成法より、（l)（2）

S C AC Dが（A）=P(A）であることは確認できる.

は AES）

D は 6-加法族なので、 6（S)CD でもある.
はは 8 上で確率測度なので。 それを 6（S）に制限した Mas）も6（S）上の確率測度になる。

さ ら に . た入定理より、そのような拡張は一意に定まるので、（r.6（S），Me） は Pの 6（S）への一意的な拡張を与える.

確率測度の構成と一意性 (2023)

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