論文

相当応力に基づく感度フィルタリングを用いたトポロジー最適化
今北 智之1・岸田 真幸2・倉橋 貴彦3・井山 徹郎41

長岡技術科学大学大学院 工学研究科 工学専攻 機械工学分野（現：松定プレシジョン株式会社）（Mechanical Engineering, Master’s Program, Graduate School of Engineering,Nagaoka University of Technology）
2

長岡技術科学大学大学院 工学研究科 技術科学イノベーション専攻（Science of Technology Innovation, 5-year Integrated Doctoral Program, Graduate School of Engineering,Nagaoka University of Technology）
3

長岡技術科学大学 技学研究院 機械系（Department of Mechanical Engineering, Institute of GIGAKU, Nagaoka University of Technology）
4

機械工学科

（Department of Mechanical Engineering, National Institute of Technology, Nagaoka College）

Topology optimization using sensitivity filtering based on equivalent stressTomoyuki IMAKITA1, Masayuki KISHIDA2,Takahiko KURAHASHI3 and Tetsuro IYAMA4
Abstract
In this study, we propose a sensitivity filtering method based on equivalent stress in topology optimization
analysis. It is necessary to apply the sensitivity filtering technique to obtain the optimal structure topology
without checkerboard pattern. In general, the filtering radius is given as constant value in the topology
optimization, and an optimal structure topology with gray scale is sometimes obtained. Therefore, in thisstudy, we focus on the difference of equivalent stress distribution in case of each optimal structure topology,
and propose a filtering radius adjustment method based on the value of equivalent stress in each structureelement. A cantilever beam model is introduced as a numerical example, and some numerical results areshown in this paper.
Key Words : topology optimization, density method, sensitivity filtering, equivalent stress

１． はじめにがっている状態であるため，実際の製造を考慮すると好ましくない構造である．フィルタリング処理に密度法に基づくトポロジー最適化では，図-1に示よる重みづけによってチェッカーボードパターンをすようなチェッカーボードパターンと呼ばれる材料回避することができるが，得られる構造の境界は中と空洞が交互に分布している市松模様のような構造間材料であるグレースケールの分布が多く，ぼやけが創出される場合がある1) ．要素の点と点でのみ繋た構造が得られる 2) 3) ．フィルタリング処理は計算
13モデル毎に適切なパラメータを設定する必要がある．
先行研究により感度に対するフィルタリング処理にり，設計変数を要素𝑖𝑖に与えられる無次元密度𝜌𝜌𝑖𝑖 とする．

おける適切なパラメータ設定について検証がされている4)．従来では，フィルタリング処理による重み２．１感度の導出づけを行うためのフィルタリング半径は設計領域内式(1)に示したひずみエネルギーの最小化を行うで一様に設定されていたが，要素毎に可変的なフィため，式(2)に示した支配方程式を制約として，ラルタリング半径を設定した報告5)は提案されているグランジュ未定乗数法を適用することでラグランジが研究例が少ない事が現状である．本論文では，ひュ関数𝐽𝐽∗ が式(5)のように得られる．

ずみエネルギー最小化を目的としたトポロジー最適化において相当応力を基準とした可変的なフィルタ𝐽𝐽∗ =リング半径の設定方法を提案し，フィルタリング処理が応力値に及ぼす影響を考察する．

12

�{𝐹𝐹}𝑇𝑇 {𝑈𝑈} + {𝜆𝜆}𝑇𝑇 ([𝐾𝐾]{𝑈𝑈} − {𝐹𝐹})�

(5)

ラグランジュ関数の要素𝑖𝑖に対する感度を計算する．
𝜕𝜕𝐽𝐽∗ 1
𝜕𝜕{𝑈𝑈}
𝜕𝜕[𝐾𝐾]
𝜕𝜕{𝑈𝑈}{𝑈𝑈} + [𝐾𝐾]
= �{𝐹𝐹}𝑇𝑇+ {𝜆𝜆}𝑇𝑇 ���𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖 2𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖
𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖２．２(6)フィルタリング処理

フィルタリング処理のイメージ図を図-2に示す．
要素𝑖𝑖を中心としてフィルタリング半径𝑅𝑅内に含まれ図-1

る要素𝑗𝑗に対して距離に応じて重みづけを行い，感度を平滑化する 6) 7) ． 𝑤𝑤�𝑥𝑥𝑗𝑗 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 � は重み係数であり，式(8)によって計算される．フィルタリング半径𝑅𝑅は，チェッカーボードを含んだ構造

メッシュサイズより大きく設定することでチェッカーボードパターンを回避することができるが，条件によってはグレースケールが多く分布した不明瞭な

２． トポロジー最適化のための定式化構造が得られる．
本研究では，ひずみエネルギー最小化を目的とし𝜕𝜕𝐽𝐽∗∑𝑗𝑗∈𝑀𝑀𝑗𝑗 𝑤𝑤�𝑥𝑥𝑗𝑗 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 �𝜌𝜌∗����𝜕𝜕𝜌𝜌𝑗𝑗 𝑗𝑗
𝜕𝜕𝐽𝐽=𝜕𝜕𝜌𝜌𝚤𝚤
𝜌𝜌𝑖𝑖 ∑𝑗𝑗∈𝑀𝑀𝑗𝑗 𝑤𝑤�𝑥𝑥𝑗𝑗 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 �

た密度法に基づくトポロジー最適化を行う．目的関数と制約を以下のように設定する．
1
𝐽𝐽 = {𝑈𝑈}𝑇𝑇 [𝐾𝐾]{𝑈𝑈}
2

(1)

1
� 𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖 − ���𝜌𝜌0 = 0𝑉𝑉total(3)0 ≤ 𝜌𝜌𝑖𝑖 ≤ 1 (𝑖𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁𝑁)(4){𝐹𝐹} = [𝐾𝐾]{𝑈𝑈}

𝑉𝑉 =2𝑤𝑤�𝑥𝑥𝑗𝑗 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 � = 𝑅𝑅 − ��𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 � + �𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑦𝑦𝑖𝑖 �(2)(7)2Ω

ここで，{𝑈𝑈}は変位ベクトル，[𝐾𝐾]は全体剛性行列，

図-2{𝐹𝐹} は外力ベクトル，𝜌𝜌���0 は設計領域Ω内における初期密度の平均とする．また，𝑉𝑉は体積制約条件であ14フィルタリング処理のイメージ

(8)

２．３

最適性基準法ィルタリングは，基準となるフィルタリング半径𝑅𝑅𝑠𝑠と各要素で計算される上限値𝑎𝑎，下限値𝑏𝑏の間で正フィルタリング処理で平滑化した感度を使用し，規化された相当応力𝜎𝜎 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 との積によって各要素に体積制約を加えたラグランジュ関数を再定義する．

対してフィルタリング半径を設定する．下限値はフ要素密度に対する感度を式(9)に示す．
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝐽𝐽∗
=+ 𝛬𝛬
=0𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖
𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖ィルタリング半径𝑅𝑅𝑠𝑠 とし，上限値は2𝑅𝑅𝑠𝑠 ，4𝑅𝑅𝑠𝑠 ，6𝑅𝑅𝑠𝑠としている．

(9)

𝑅𝑅(𝜎𝜎 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ) = 𝑅𝑅𝑠𝑠 × 𝜎𝜎 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉

再定義したラグランジュ関数をもとに最適性基準法8)による密度の更新式を式(10)に示す．

𝜌𝜌𝑖𝑖(𝑘𝑘+1)⎛= 𝜌𝜌𝑖𝑖 (𝑘𝑘) ⎜(𝑘𝑘)

𝜕𝜕𝐽𝐽∗� �𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖

⎞(𝑘𝑘) ⎟
𝜕𝜕𝜕𝜕−𝛬𝛬(𝑘𝑘) � �𝜕𝜕𝜌𝜌𝑖𝑖
⎝⎠

𝜎𝜎 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 =𝜂𝜂(12)

Case2 の部分フィルタリングは，材料領域にのみ(10)フィルタリング処理を適用する．材料領域では，フ

ここで，𝑘𝑘は反復回数， 𝜂𝜂はダンピングパラメータ，𝛬𝛬はラグランジュ未定乗数であり，二分法を用いて𝛬𝛬の探索を行う．
２．４

𝜎𝜎𝑖𝑖 − 𝜎𝜎min(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) + 𝑏𝑏
𝜎𝜎max − 𝜎𝜎min(11)ィルタリング半径は𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑠𝑠 とし，空洞領域では，𝑅𝑅 = 0 と す る ． こ こ で 要 素 に お け る 相 当 応 力 が0.5[MPa]以下を空洞領域と定義する．

Case3 は Case1 の可変フィルタリングと Case2 の部分フィルタリングの組み合わせである．各設定方法は図-3 のように表すことができる．

計算手順

以下にトポロジー最適化の計算アルゴリズムを示
す．
1.

固定設計領域や境界条件の設定を行う．

2.

トポロジー最適化に必要な計算条件の設定を行う．

3.

有限要素解析を行い，変位を求める．

4.
5.

求めた変位から評価関数を算出する．
収束判定：�𝐽𝐽 (𝑘𝑘+1) − 𝐽𝐽(𝑘𝑘) �⁄𝐽𝐽(1) < ς を計算し，収束判定定数 ς より小さい場合は計算を終了する．

そうでなければ，次のステップへ進む．

6.

ラグランジュ関数の各要素密度に対する感度の7.

前のステップで求めたラグランジュ関数の感度

図-3フィルタリング半径設定法のイメージ図計算を行う．

４． 数値解析に対してフィルタリング処理を行う．
8.

最適性基準法により体積制約を満たしながら，４．１無次元密度の分布の更新を行う．その後，反復回数を更新し，ステップ 3 に戻る．

解析条件

本解析は，図-4に示すような2次元片持ち梁モデルを対象としている．左端を完全固定し，右端の先端 に 10[N/mm] 等 分 布 荷 重 を 与 え て い る ． 寸 法 は60[mm]×40[mm]とし，各要素の一辺は0.5[mm]とな

３． 提案するフィルタリング半径の設定方法

るように分割している．計算条件は表-1に示す．
前述したように本検討では，ミーゼスの相当応力に基づいたフィルタリング半径𝑅𝑅の設定方法を提案する．設定方法は，Case1 に可変フィルタリング，Case2 に部分フィルタリング，Case3 に部分可変フィルタリングを提案し，比較を行う．Case1 の可変フ15図-4

計算モデル

表-1

計算条件

要素数
節点数
メッシュサイズ[mm]×[mm]
初期密度平均収束判定定数ヤング率[MPa]
ポアソン比
ダンピングパラメータ
ムーブリミット
基準フィルタリング半径[mm]図-5(b)𝑁𝑁

9600
9801
0.5×0.5���0𝜌𝜌𝜍𝜍
𝐸𝐸00.51×10-31.0-𝜈𝜈𝜂𝜂𝛭𝛭𝑅𝑅𝑠𝑠

従来法における相当応力分布(𝑅𝑅 = 0.75[mm])表-2 従来法における相当応力に関する分析

単位従来法

0.30.750.250.75

フィルタリン
グ半径mm0.75

相当応力の最大値
MPa852.15相当応力の分散
MPa214530.32

グレース
ケールの割合%26.83

Case1 の可変フィルタリングによる密度分布および相当応力分布の結果を図-6，図-7，図-8 に示し，評価関数の履歴を図-9 に示す．また，相当応力に関する分析による結果を表-3 に示す．それぞれ上限値を2𝑅𝑅𝑠𝑠 ，4𝑅𝑅𝑠𝑠 ，6𝑅𝑅𝑠𝑠 となるように設定している．
従来，フィルタリング半径を大きく設定するとグレ４．２ 解析結果
フィルタリング半径を設計領域内で一様に設定した従来法による結果を図-5に示す．(a)に密度分布，(b)に相当応力分布を示している．また，相当応力ースケールの分布が増加し，ぼやけた構造となるが，可変フィルタリングでは，グレースケールの分布が増加することなく材料の境界を維持した構造が得らに関する分析による結果を表-2に示す．

れた．また，フィルタリング半径の上限値を大きく設定すると，構造内部の分割されていた支持部材が統合される特徴も得られた．密度分布は変化しているが，相当応力の大きな変化は見られなかった．

図-5(a)

従来法における密度分布(𝑅𝑅 = 0.75[mm])図-6(a)

Case1における密度分布(𝑅𝑅 = 0.75～1.5[mm])16図-8(a)図-6(b)

Case1における相当応力分布(𝑅𝑅 = 0.75～4.5[mm])(𝑅𝑅 = 0.75～1.5[mm])図-7(a)

Case1における密度分布

図-8(b)(𝑅𝑅 = 0.75～3.0[mm])図-7(b)

Case1における密度分布

Case1における相当応力分布(𝑅𝑅 = 0.75～4.5[mm])Case1における相当応力分布

図-9(𝑅𝑅 = 0.75～3.0[mm])17Case1における評価関数の履歴表-3 Case1 における相当応力に関する分析
フィルタリ
ング半径mm
0.75～1.50.75～3.00.75～4.5単位
Case1

相 当
応 力の 最大値
MPa854.21861.46857.63

相 当 応
力 の 分散グレース
ケールの割合MPa214529.50
14546.89
14495.37%
27.2228.6327.04

Case2の部分フィルタリングによる密度分布および相当応力分布の結果を図-10に示し，評価関数の履歴を図-11に示す．また，相当応力に関する分析

図-11による結果を表-4に示す．材料と空洞の境界におけるグレースケールが減少している．しかし，相当応

Case2における評価関数の履歴

表-4 Case2 における相当応力に関する分析

力の最大値が増大し，それに伴って分散も増加している．

単位
Case2

フィルタリン
グ半径mm
0，0.75相当応力の最大値
MPa954.06

相当応力の分散
MPa214843.81

グレース
ケールの割合%3.56

Case3の部分可変フィルタリングによる密度分布
および相当応力分布の結果を図-12，図-13，図-14に示し，評価関数の履歴を図-15に示す．また，相当応力に関する分析による結果を表-4に示す．それ
ぞれ上限値を2𝑅𝑅𝑠𝑠 ，4𝑅𝑅𝑠𝑠 ，6𝑅𝑅𝑠𝑠 となる設定している．
フィルタリング半径の上限値を大きく設定すること
図-10(a)で分割された支持部材が統合されるCase1で得られCase2における密度分布(𝑅𝑅 = 0，0.75[mm])た特徴と，材料と空洞の境界におけるグレースケールが減少したCase2で得られた特徴を組み合わせた結果が得られた．相当応力についてはCase2と同様な傾向が得られている．

図-10(b)Case2における相当応力分布(𝑅𝑅 = 0，0.75[mm])図-12(a)Case3における密度分布(𝑅𝑅 = 0，0.75～1.5[mm])18図-12(b)Case3における相当応力分布

図-14(a)(𝑅𝑅 = 0，0.75～1.5[mm])(𝑅𝑅 = 0，0.75～4.5[mm])図-14(b)
図-13(a)Case3における密度分布

Case3における相当応力分布(𝑅𝑅 = 0，0.75～4.5[mm])(𝑅𝑅 = 0，0.75～3.0[mm])図-15
図-13(b)Case3における密度分布

Case3における相当応力分布(𝑅𝑅 = 0，0.75～3.0[mm])19

Case3における評価関数の履歴表-5 Case3 における相当応力に関する分析
フィルタリン
グ半径単位
Case3mm0，0.75～1.5
0，0.75～3.00，0.75～4.0

相 当
応 力の 最大値
MPa937.73937.49
943.07

相 当 応
力 の 分散MPa214773.51
14752.0814764.95

謝辞：本論文に示した数値計算を行うにあたり，九グレー
スケー
ルの割合%
3.39
3.71
4.19

州大学情報基盤研究開発センターの高性能演算サー
バシステムを利用させて頂いた．ここに謝意を表す．
参考文献
1)

西脇眞二, 泉井一浩, 菊池昇. 計算力学レクチャーコー
ス トポロジー最適化. 丸善出版, 2013.

2)

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グレースケールが多く分布している従来法およびCase1の可変フィルタリングは強度性能が高くなる

No. 1, pp. 40–45, 1995.
3)傾向にあると考えられる．しかし，グレースケール

高橋陽也, 吉原健太, 倉橋貴彦, 大塚雄市, 笹崎淳. ポア
ソン方程式による感度分布の平滑化を用いたひずみは材料と空洞の中間的な意味合いを持つため実際のエネルギー最小化構造に対するトポロジー最適化解製造は困難である．提案したCase2の部分フィルタ析 (ステント構造モデルを想定したトポロジー最適

リングとCase3の部分可変フィルタリングでは，製化). 計算力学講演会講演論文集 2019.32, p. 014. 一 般造に向けた構造が得られている．

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4)

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一定の体積の下でひずみエネルギー最小化を密度5)法に基づき解析を行った．トポロジー最適化によっ鎌田浩基, 干場大也, 加藤準治, 京谷孝史. インフィル
構造の応力制約付きトポロジー最適化. 土木学会論て得られるチェッカーボードパターンとフィルタリ

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Ole Sigmund. Design of material structures using
topology optimization. PhD thesis, Technical University of

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BlaiseBourdin.

Filtersin

topology

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International journal for numerical methods in engineering,

内部に及ぼす影響について得られた知見を以下に示

Vol. 50, No. 9, pp. 2143–2158, 2001.

す．

8)

Luzhong Yin and Wei Yang. Optimality criteria methodfor topology optimization under multiple constraints.

・可変フィルタリングを導入することで，不明瞭なComputers & Structures, Vol. 79, No. 20, pp. 1839–1850,構造にならず材料境界を維持したままシンプルな構2001.

造が得られた．
・部分フィルタリングを導入することで，材料境界(2022. 8. 8 受付)におけるグレースケールの大幅な減少効果が見られた．
・部分可変フィルタリングでは，可変フィルタリングおよび部分フィルタリングの両方の特徴を持った構造が得られた．
・材料境界に発生していたグレースケールは数値上の強度性能を高めている．
・本検討で提案した部分フィルタリングおよび部分可変フィルタリングは，グレースケールが減少したことで製造に向けた構造が得られた．

20