研 究 会・学 会 スケジュール

名古屋大学理学部･大学院理学研究科広報誌［理フィロソフィア］
spring _ summer 2011

編 集だより

第219回アメリカ電気化学会「新奇なナノカーボン物質に関するシンポジウム」
The 219th ECS Meeting: Symposium on Novel Nanocarbon Materials
（日）
〜6日
（金）
開 催 日 ： 2011年5月1日（カナダ）
開 催 場 所 ： モントリオール
主催 ：アメリカ電気化学会
問い合わせ ： 篠原久典 理学研究科 教授
noris@nagoya-u.jp／052-789-2482

20

今回の特集は多元数理科学研究科が担当することになり、「 未知なる結晶格子の数理 」と題して内藤先生と松本先生に講演していただいた。多忙にもかかわらず快く講演を引き受けてくださった両氏に、この場を借りて深くお礼申し上げたい。ところで、自然科学の中でも数学

K3曲面、
カラビ・ヤウ多様体の数論的および幾何学的研究集会

Workshop on Arithmetic and Geometry of K3 surfaces and Calabi-Yau threefolds
（火）
〜25日
（木）
開 催 日 ： 2011年8月16日（カナダ）
開 催 場 所 ：トロント
主催 ：フィールズ研究所
金銅誠之 多元数理科学研究科 教授
問い合わせ ： kondo@math.nagoya-u.ac.jp／052-789-2815

は、調べたい現象や対象をまずモデル化・抽象化し、それを計算するという方法をとる。そのため数学者の話は最初から最後まで抽象的であることが多い。私は抽象的な話を聞いている方が生きた心地がする。そういう環境に長年

http://www.fields.utoronto.ca/programs/scientific/11-12/CalabiYau/index.html

上田良二先生生誕百年記念講演会「科学する精神と日本社会」（土）
開 催 日 ： 2011年10月1日
開 催 場 所 ： 名古屋大学IB電子情報館大講義室
主
催 ： 応用物理学会・日本物理学会名古屋支部
問い合わせ ： 齋藤弥八 工学研究科 教授
ysaito@nagoya-u.jp

身を置いてきたからである。極端な話、私の専門分野である「数論幾何」では具体例といえば「特定の（数学的な）
対象 」という意味で、つまるところ抽象的なモノである。
大抵は絵にかけない。このような私にとって理学部広報委員としての活動は悪くいえばストレスであったし、良くいえば刺激であった。ちなみに名古屋大学には私と同じ

第48回日本細菌学会中部支部総会

数論幾何の研究者が多いのだが、この分野で「 特集 」を

（金）
・22日
（土）
開 催 日 ： 2011年10月21日
開 催 場 所 ： 名古屋大学シンポジオン
主催 ：日本細菌学会中部支部
問い合わせ ： 本間道夫 理学研究科 教授
g44416a@cc.nagoya-u.ac.jp／052-789-2991

組むのはまず無理だな、と思うと少し寂しい。
（ 佐藤周友 ）日本測地学会第116回講演会「六花」は「りっか」「ろっか」「むつのはな」

表紙説明とも読む雪の別 名であり、由来は雪の結

（水）
〜28日
（金）
開 催 日 ： 2011年10月26日
開 催 場 所 ： 高山市民文化会館（高山市）
主
催 ：日本測地学会
問い合わせ ： 鷺谷 威 環境学研究科 教授
sagiya@seis.nagoya-u.ac.jp／052-789-3046

晶が六角形であることによる。ほかにも「六辺 香 」という異 称もある。しかし雪の結晶は本当に六角形しか存在しないのだろうか。未知なる結晶格子の世界を探る。

日本測地学会公開講座「測地学が解明する飛騨・高山の地震、火山と地球ダイナミクス」（土）
開 催 日 ： 2011年10月29日
開 催 場 所 ： 高山市民文化会館（高山市）
主
催 ：日本測地学会
問い合わせ ： 鷺谷 威 環境学研究科 教授
sagiya@seis.nagoya-u.ac.jp／052-789-3046

No .20広報委員

國枝秀世（研究科長）

spring _ summer 2011
2 0 1 1 年 4月1 5日発 行

篠原久典（副研究科長）
松本邦弘（評議員）
佐藤周友（数理学科）
福井康雄（物理学科）※委員長

組織図

飯嶋

理学部・理学研究科・多元数理科学研究科・環境学研究科（地球環境科学専攻）
理学部（学科名）

大学院研究科（専攻名）

多元数理科学研究科
数理学科

多元数理科学専攻
理学研究科

大木靖弘（化学科）
杉山 伸（生命理学科）

関連施設等
附属南半球宇宙観測研究センター

瀧口金吾（生命理学科）

附属タウ・レプトン物理研究センター

川邊岩夫（地球惑星科学科）
伊藤正彦（事務長）

太陽地球環境研究所
エコトピア科学研究所

物理学科

素粒子宇宙物理学専攻

素粒子宇宙起源研究機構

化学科

物質理学専攻物質科学国際研究センター

生命理学科

生命理学専攻

編集発行

本誌の原稿執筆や取材などにご協力いただける方を求めています。
広報委員会までご連絡ください。

遺伝子実験施設
環境学研究科
地球環境科学専攻

名古屋大学理学部・大学院理学研究科広報委員会〒464 -8602 名古屋市千種区不老町
ご意見、ご感想をお待ちしています。

附属臨海実験所
附属構造生物学研究センター

地球惑星科学科

徹（物理学科）

岡本祐幸（物理学科）

なお、
ご投稿などの採否については当委員会にお任せください。
次号は2011年10月頃発行の予定です。

生物機能開発利用研究センター
附属地震火山・防災研究センター

株式会社電通株式会社コミニケ
株式会社ティ・エム・シー

事務部

年代測定総合研究センター

制作
編集協力
デザイン

技術部

地球水循環研究センター

・本誌記事、写真等の無断複写、転載を禁じます。

博物館

I S S N 1884 _ 8486

特集

「未 知なる結 晶 格 子の数 理」

04 _ 五角形の雪はつくれるか◇松本正和
08 _ 数学で結晶格子を探そう◇内藤久資
02 _ 時を語るもの〈 中西香爾 博士 〉 ◇上村大輔

03 _ 理のエッセイ◇庄司俊明
12 _ 理の先端をいく◇五島剛太／古本宗充／中野敏行
18 _ 理学部交差点

時を語るもの

中西香爾博士◎ 理のエッセイ＿

例 外 的なものと普 遍 的なものと天然物化学の風雲児

庄司俊明

多元数理科学専攻教授

なかにしこうじ

中西香爾（1925 _ ）名古屋大学理学部卒、同大学院特別研究生後期修了（1952）
元名古屋大学助教授（1955 _ 1958）
コロンビア大学センテニアル教授（1980 _ ）コロンビア大学名誉教授（2007 _ ）名古屋大学特別教授（2010 _ ）
文化勲章（2007）

Illustration: Mikan Tenmyo

数学の発展の歴史は、常に例外的なものに強い関心を示してきたように私には思われる。私の専門は代数群とよばれる群の生態を研究するもので、表現論の一分野である。1980年代にこれらの群の表現を統括する理論が完成したが、その理論の核心は最も特殊な群である E 8 に現れる特異な現象を理解することにあった。すべてが解明された後で見ればこの例外的な現象こそが、完成された標準的な構造をもっており、他はすべて、それがつぶれてできたものに過ぎないのである。その意味でこの現象の現れる空間の次元 4480に代数群の表現論のすべてが凝縮されているといってもよい。大般若経 600 巻が 300 字に満たない般若心経にまとめられ、1 行の陀羅尼に凝縮されたようなものである。
1980 年代のもう1 つの大きな出来事は有限単純群の分類の完成である。
分類の結果、有限単純群の無限系列と、散在型単純群とよばれる26 個の単純群が確定した。26 個の中の最大のものは、モンスターとよばれる元の個数が10の53 乗もある巨大な群である。有限単純群の分類の最大の功績は、例外中の例外であるこの怪物を世に送り出したことにあるといっても過言ではない。
90 年代以降、モンスターはムーンシャイン予想と関連して数学世界を興奮の◇写真の説明中西香爾博士は1947 年 9月、旧制の名古屋大学理学部をのハーバード大学留学中には遺憾なくその才能を発揮した。

卒業した。中西博士を指導したのは、当時助教授になった

当時のアメリカの有機化学は、赤外吸収スペクトルや紫外吸収ばかりの平田義正＊1 博士であった。中西博士の卒業研究はスペクトルが構造決定に利用され始めたころであり、帰国後の抗生物質アクチノマイシン副産物の構造決定であったが、引き博士はこの研究分野のパイオニアとして注目された。その後、続き大学院特別研究生として平田博士のもとに残り、1949 年

東京教育大学、東北大学、コロンビア大学と異動し、動くたびに蚕の色素ヒドロキシキヌレリンの構造決定と合成を完成させに大きな研究成果をあげてきた。その功績は日米両国で讃えた。中西博士は1925 年香港生まれで、ご父君が世界各地をられ、日本化学会唯一の人名を冠した賞 Nakanishi Prizeと転勤し、英語教師をつけて教育されたこともあり、語学力にして日米両化学会にその名が刻まれている。60 年前に出現し長け、当時の博士と外国人講演者との議論のやり取りを聞いた天然物有機化学分野の申し子、風雲児であった中西香爾

た旧帝大の化学者が、「いったいあの若造はどこのものか 」と博士は、現在まさに待望されている人材の好例といえよう。

驚いたというエピソードがある。そんなこともあり、1950 年から（ 名古屋大学名誉教授・神奈川大学教授

02 時 を 語 るもの

上村大輔 ）

渦に巻き込んだ。

左上は有機化学者のバイブルとなった名著

私は、数学の研究の目標は普遍性の追求にあると思う。例外を取り込んでより「 赤外吸収スペクトル」。右上は、1957 年の普遍的な理論の構築をめざすのである。普遍性の立場からは、その対象が平田研究室、長良川での写真＊2。右から
2 人目が平 田 博 士。3 人目が中 西 博 士。

自然界に存在しているかどうかというのは、自然な条件ではない。自然科学の

右下は、2010 年 11 月に名古屋大学豊田

目的がこの世界をつくった神様の心の中をのぞくことにあるとしたら、数学の目的

講堂で開催された名古屋大学レクチャー

は別の世界をつくった神様たちの心も、ともに理解することにある。そして神様

2010 での 1コマ。中西博士は「 彷徨える
天 然 物 化 学 者 」と題 する講 演で得 意の手品を披露して締めくくった。

たちの心が織りなす「 数学的自然 」とでもいうべき世界が実在すると数学者は信じているのである。普遍性を羅針盤にこの世界を駆け巡り、未知の大陸に足を踏み入れることこそ数学の醍醐味ではないだろうか。

＊1 平田義正（1915 _ 2000）
元名古屋大学理学部教授（本誌 5号 P. 2、16号P.4 参照）＊2 写真提供
奥村保明 静岡大学名誉教授

1947 年静岡県生まれ。東京大学大学院修了。東京理科大学教授をToshiaki Shoji

経て2003 年より現職。専門は代数群の表現論。
「 数学的には存在せず、その表現の痕跡のみを残す奇妙な群の表現論を、化石から恐竜を復元するようにつくりあげるのが夢 」と語る。
No.20 spring _ summer 2011

03

特集

未知なる結 晶格子の数理

水晶や雪の結 晶など、我々の目に見える結 晶の美しさは分 子や原 子が規 則 正しく並んでいることから生まれる。
そしてその「 規 則 正しさ 」には数学的な美しさが隠されている。
結晶格子、その未 知なる可能性について、化学者と数 学 者、それぞれの視 点から語っていただいた。
（ 2010 年 12 月 3 日、第 2 0 回理学懇話会より）

このようなタイリングは、ペンローズ＊1 に

この図形はどういう意味をもつのでしょうか。

衝 撃を受け、またこの発 見によって大きなよって再発見され、ペンローズ・タイリングとペンローズ・タイリングの規則性に従って、飛躍を遂げました。その後、数々の合金でいう名で広く知られています。ペンローズ・タイ

原子を並べることができれば、その物質は巨準結晶が発見され、現在では100 種類も知ら

リングでは、2 種類の菱形のタイルが、ある視的な5 回対称性や10 回対称性をもちます。

れています。

規則に沿って、整然と並んでいますが、決しこのような物質は、準結晶とよばれています。

て周期的な構造にはなりません。こういうタイ

そんなに都合よく原子を並べることができる

リングを準周期タイリングといいます。準周期のでしょうか。実は、1984 年に、シェヒトマン＊2

雪は、六花ともよばれ、美しい六角形のタイリングでは、2 種類のタイルはランダムには、実際に5 回対称性をもつ準結晶を現実の結晶で知られていますが、雑誌やディスプ並んでいるように見えますが、必ず 5 つの方合金でつくってしまいました。現実にこのよう

金 属などの結 晶のかたちを決めるのは、レイのデザインでは、五角形や八角形の雪を向のいずれかを向いています。

な物質がつくられたことで、結晶学は大きな原子の「つめあわせ」
です。一番簡単なケース

五角形の雪はつくれるか
松 本 正 和 岡山大 学大学院自然科学研究科 准教授

五角形の結晶はつくれるのか

準結晶の構造を考える
準結晶の構造の中で、原子がどんなふうに並んでいるかを見てみましょう。

見ることがあります。氷や雪の研究者は、デザとして、球のつめあわせを考えます。最もすきイナーが描いた五角形の雪の結晶を見ると、まが小さくなるように、三角形に球をつみあげ「また間違った雪を描いている」と笑うので

（a）

（c）

（b）

たかたちを最密充填構造とよびます（ 図 2 ）。

しょうが、本当にこういう雪はありえないので

この最 密 充 填 構 造を分 解 すると、球がしょうか。我々の生活している環境では、たま

正四面体型に4 つ組み合わされている部分

たま雪は六角形ですが、遠い宇宙のどこかにと、正八面体型に 6 つ組み合わされているは、圧力や温度が違う環境があって、そこで部分が混在していますが、厳密には、正四面

は雪は五 角形なのかもしれません。本当に体のほうが、すきまが少しだけ小さいのです。

五 角形の結 晶をつくることはできないのか、

それでは正四面体だけで空間を埋めつく

あらゆる可能性を考えてみたいと思います。

すことができたら、超最密充填構造ができる

雪の結晶について考える前に、そもそものではないでしょうか。

図1 イスファハンの寺院のタイリングとペンローズ・タイリング

五角形の結晶はつくれるのでしょうか。答えは（ a ）イスラム寺院のタイリング。正五角形のモチーフが随所に現れる。
（ b ）ペンローズ・タイリング。
（ c ）2 種類の菱形タイル。2 辺のなす角度はどれも180 ÷ 5 = 36 度の倍数である。

イエスでありノーでもあります。

（a）

まずは、五角形の結晶がつくれない理由を説明しましょう。結晶とは、原子が周期的に並んだ構造です。周期的に並んだ構造は、ある角度回転すると、元の構造に重ねること

Masakazu Matsumoto

できます。このギャップは、四面体をどんどん
はりあわせていくほど開いていき、つなげればつなげるほど、ごまかせなくなります。この（c）

では、5 回対称性はどうか、というと、結晶

かっています。イランのイスファハンにあるこの結晶の回転対称性には、6 回対称性以外の点の間隔をどんなに調節しても、72 度回転

寺院のタイリングには、至るところに五角形やに、4、3、2 回の対称性があり、それぞれ 60、して元の格子に重なるような格子をつくること

10 回対称性が見られる一方、通常のタイルの90、120、180 度回すと元の格子に重なります。

はできないことが幾何学的に示されます。

ような、周期構造が見えません。かといって、回転しても元の格子に重ならない、回転対称性のない構造というのもあります。

04 特 集 ＿ 未 知 なる 結 晶 格 子 の 数 理

ところが、イスラム寺院を飾る多種多様な

同心円状の模様のように、どこかにタイリング

タイリングの中には、変わったタイリングが見つの中心があるわけでもありません（ 図 1 ）。

正四面体をあわせていくと、2 面角が 70.5 度
なので、5 個で352.5 度になり、少しギャップが1967 年生まれ、1995 年総合研究大学院大学大学院数物科学研究科博士課程中退。名古屋大学助手、同助教を経て2010 年より現職。 専門は分子動力学の理論的研究。
とくに、水および水溶液系の基礎物性の解明。多数の分子が関与する複雑な現象を、過度に単純化することなくとらえる解析手法を追究している。

ができます。回 転してもとの構 造に重なる性質のことを、回転対称性とよびます。

しかし、この構 造には無 理 があります。

（b）

ため、正四面体では空間をうめつくすことはできません（ 図 3 ）。

図2

最密充填構造球を最も密につめあわせた構造（ 最密充填構造 ）は、正四面体（ 緑 ）と正八面体（ 赤 ）でできている。

図3

ギャップのある双五角錐、双五角錐、双六角錐（ a ）正四面体を5 つくっつけるとすきまができてしまう。
（ b）
外周の辺（ 赤線 ）を少し伸ばして、すきまを埋めると双五角錐になる。
（ c ）外周の辺を少し縮め、
もう1 つ四面体を入れると双六角錐ができる。

＊1 R. ペンローズ（ 1931_ ）イギリスの数学者。
＊2 D.シェヒトマン（ 1941_ ）イスラエルの科学者。

No.20 spring _ summer 201105

特集_ 未 知なる結 晶 格 子の数 理

図5

ハイドレートの構造

左図は水分子の配置を、中図は水の水素結合ネット
ワークがかたちづくるカゴ構造を示す。それぞれのカ
ゴにメタン1 分子が含まれる。右図はカゴの立体的なつめあわせ状態を表している。4 つのカゴが四面体型につめあわせられている。

このギャップを克服するために、四面体をは、水分子約6に対しメタン1の割合でいっしょ

いえば、A15とよばれる四面体充填構造と5 回対称性をもつハイドレートの透明準結晶

すこしだけ歪めてもいいことにしましょう。1 つに凍ったものです。メタンハイドレートに含まれ同じです。四面体充填構造は、合金のデータはつくれるだろうと見込んでいます。

は、すこしだけ辺を伸 ばすことを許 せば、ているメタンガスの量は、炭酸水に溶けてベースをさがせばほかにいくらでもあります。

5 回対称性をもつ氷をつくって何かの役に双五角錐がつくれます。
もう1 つは、逆に辺をいる二酸化炭素の量の、実に100 倍にものぼ

理論的には、どんな四面体充填結晶構造

立つのか、と必ず聞かれます。私は3 つの答

少し縮め、ギャップに四面体を1つ余分に押しります。ガス分子の密度でいえば、ガスボンベ

からも、ガスハイドレートの結晶構造をつくりをもっています。

こむと、双六角錐もつくれます。双五角錐と双（ 150 気圧 ）に匹敵するほどの量です。天然

だすことができます。

六角錐をうまい比率で組みあわせると、ギャッのハイドレートは、雪か霜のような真っ白のそして、四面体充填構造の合金の中には、準結晶は、熱伝導性が低く、非常に固くてプをつくることなく、四面体だけをつめあわせ

固体ですが、実験室で時間をかけて結晶化

準結晶もありますから、この合金の原子の強靭、電気抵抗が非常に大きいといった、

1 つは、未知の物性の発見です。合金のた結晶構造をつくることができます。このよう位置をうまく選ぶと、ペンローズ・タイリングをつあります。この四面体の 2 つに 1 つを選んでさせると、きれいな透明の単結晶をつくること

位置にガス分子を並べ、それを囲むように通常の結晶にはない性質をもちますが、準結な構造のことを、四面体充填構造とよびます。

くることもできます（ 図 4 ）。これが、準結晶

新しい球を追加すると、氷の構造ができます。

ができます。

水 分 子のカゴをつくれば、準 結 晶のハイド

晶ハイドレートがどんな性質をもつかはまだ

合金の基本的な構造です。

これはダイヤモンド構造ともよばれます。

レートをつくることができるはずです（ 図 6 ）。

わかりません。

四面体のかたちを歪めるということは、辺の長さがまちまちになるということです。2 種類

五角形の結晶はつくれるのか、という質問

これと同じ要 領で、四面 体 充 填 準 結 晶

以 上の大きさの球を組 み合わせるほうが、の答は、幾何学的な理由では 5 回対称性

構造の四面体のいくつかに球を追加すること

つめ合わせがよくなることになります。実 際、結晶は不可能ですが、合金のような準結晶

四面体充填構造は、合金の構造でよく見られる構造です。また、双五角錐と双六角錐の2 つめは、結晶構造設計の可能性です。

この結晶の中で、水分子同士は水素結合ために、コンピュータシミュレーションで、合金準結晶を実現する方法を見つけだすことで、で、準結晶氷構造をつくれるのではないか

でつながって、多面体型のカゴ構造をつくっの構造から、準結晶ハイドレートの構造をつく

結果的に、ハイドレートの結晶構造を自在にを考えれば 5 回対称性の構造は可能、というと考え、いろんな可能性を試してみました。

ています。それぞれのカゴに、黒い球で示しり、安定性を予測しました。

つくりわける技術が得られます。実用的にはことになります。

しかし、残念ながら、今のところそのような構造たメタン分子が 1 つずつ含まれています。ここ

計算の結果、この構造は、最安定構造にをデザインすることには成 功していません。

で大事なことは、メタンを包むカゴが、全部四はなりませんが、別の最 安 定 結 晶に次ぐ、水だけで、準結晶をつくるのは難しそうです。

面体型に組み合わされているということです

準安定構造になりうることがわかりました。

5 回対称性をもつ構造は、ある特殊な条件
ではつくれることもあることはわかりました。
しかし、氷でそんなかたちをつくることはできる四面体によるペンローズ・タイリング

メタンハイドレートの可能性
発想を変えましょう。これまでに見つかった

そして最後が、常識への挑戦です。準結晶ハイドレートは、誰もまだ見たことがないもの（図5）。それぞれのカゴにメタンが1分子ずつ

通常の方法で結晶をつくると、必ず最もですから、それを理論で予測し、実験で実際入っているので、メタン分子の位置に注目する安定な結晶が生成しますから、準安定構造につくることができれば大きな驚きです。氷がと、四面体充填構造になるということです。

を実際につくるためには、実験上の工夫が＊35 回対称性 をもつわけがない、という常識をたとえば、メタンハイドレートの結晶の中でいろいろ必要になります。実際の製造方法に

打ちやぶることこそ理学の使命と私は考えて氷の結 晶には、圧 力によっていくつものれなら、水と何か別の混ぜ物といっしょに凍らの、メタン分子の配置は、合金の結晶構造でついては、まだ研究途上ですが、いずれはいます。本日はご静聴ありがとうございました。

種類が存在しますが、
もちろん、5 回対称性をせれば、準結晶になるのではないか、と考えまもつ準結晶はこれまで見つかっていません。

した。
しかし、これも一筋縄ではいきません。

そのような構造を理論的に予測するために、

食塩のように、水によく溶けるものでも、氷

まず、普通の氷の中で、水分子がどんなふうが凍るときには必ず溶質は排除されて水だけに並んでいるかを見てみましょう。実は、氷のの結 晶 ができてしまいます。水に少し他の構造は、さきほど紹介した最密充填構造と分子が混ざった結晶は、通常つくれません。

深い関係があります。最密充填構造には、

ところが、水にはまったく溶けないのに、水と4 つの球が四面体型につまっている部分と、いっしょに結晶になる物質が存在します。それ

6つの球が八面体型に合わさっている部分がはメタンハイドレートです。メタンハイドレート

図6

準結晶ハイドレートの構造

左半分には、カゴのつめあわせ方が描かれている。右半分には、図 4を重ねた。正五角形の局所構造がわかりやすいように、赤い補助線を引いた。

岡山大学大学院自然科学研究科分子科学専攻
理論化学研究室ウェブページ
06 特 集 ＿ 未 知 なる 結 晶 格 子 の 数 理

これが最も重要です。

準結晶は、必ず 2 成分以上の合金です。そのでしょうか。

双五角錐と双六角錐をうまくつめあわせると、
ペンローズ・タイリング（太線）を模倣することができる。現実の原子の大きさにより、
理
想的なタイルのかたちから多少ずれる。

のかを説明します。

現実にそんな構造がありえるのかを確かめる

氷の準結晶はつくれるか

図4

水とメタンはどんな風に結晶をつくっている＊3 5 回対称性
今回の理学懇話会の質疑応答において、樋口敬二名古屋大学名誉教授より、正五角形以外の広い意味の五角形の結晶が存在することが紹介された。
（ Contributions from Inst. Low Temp. Sci., Hokkaido
Univ. 1957, Jour. Met. Soc. Japan、39, No.5、1961 ）http: //theochem.chem.okayama-u.ac.jp/
No.20 spring _ summer 201107

特集_ 未 知なる結 晶 格 子の数 理

数学で結 晶 格 子を探そう
内 藤 久 資 名 古 屋 大学大学院多元数理科学研究科准教授
図1

被覆グラフ

X1 はX0 の被覆グラフの1 つの例である。X0 は1 個の頂点と青と赤の自己ループをもっている。Xでは頂点が 2 個あるが、いずれもX0 に“ 落とす ”と同一の頂点に対応する。また、X1 の赤の辺・青の辺のいずれも
X0 で考えると同一の頂点間を結ぶ自己ループに落ちることがわかる。よって、X1 はX0 を2 枚被覆している
ことがわかる。X1 はX0 の 2 枚の被覆となっている例であるが、X2 は“ 無限枚 ” の被覆となっている。X2 のHisashi Naito

1961 年生まれ。大阪大学理学部卒業。名古屋大学大学院理学研究科修了。理学博士。名古屋大学理学部助手を経て1995 年より現職。専門は微分幾何学、非線型偏微分方程式。幾何学的オブジェクトの視覚化、離散幾何解析に関連する数値計算、コンピュータネットワーク認証システムなどの研究も行っている。

図2

頂点に…,−1,0,1,…と番号をつけることができ、“1 つ右へ移動する”ことと、番号を+1 することが対応する。整数全体 は、加算によって群をなしていることを考えあわせれば、被覆変換群が となることがわかる。同様に、X3 は X0 の 2={(n,m) : n,m∈ } 被覆となっている。X0 に含まれる本質的な閉路の数が 2であることは容易にわかる。従って、X0 からつくることのできる最大次元の結晶格子は X3となる。

六角格子の基本グラフと種々の周期的実現

上の 3 つのグラフは、いずれも黒・白の頂点の間を赤・緑・青の 3 本の辺が結んでいる構成は同一であるので、上のグラフを基本グラフとする結晶格子の周期的実現である。
他にも周期的実現は数多く考えることができるが、右の実現が最も“ 美しい ”（ 対称性が高い ）実現であると考えられる。

結晶格子を数学的に考えてみる
本日は、数学において結晶構造をどのよう対称性と考えます。2 次元空間群は17 種類、何 かの量を最 小 にするように現 れるという準実 現 」とよびます。すなわち、結 晶 格 子

頂 点のつながりの様 子が、局所 的に X 0 のグラフとなります。図では正方形の格子を描いに考えるべきか、についての話をさせていた

3 次元空間群は230 種類に分類されることが「 変分原理 」（ 最小作用の原理 ）に従っていの標準実現を、数学的には、自然界に存在

それと一致しているものです。グラフX0を与えていますが、この段階では結晶格子は抽象だきます。数学では対称性を表す群の言葉を1900 年代前半には知られていました。ここでます。この変分原理が 2 つ目の“ 欠けている”

する結晶に対応するものであると考えます。

たとき、その被覆グラフとして多くのグラフが的に定義されたグラフに過ぎません。すなわ

使って、空間中の結晶を表す群がどれくらいの次元とは、独立な平行移動の方向がどれことです。自然界の現象の1 つとして得られる

ここからは、グラフの話からはじめて、結晶考えられます（ 図 1 ）。このような種々の被覆

ち結晶格子とだけいった場合には、抽象的なあるのかが古くから研究されてきました。今日だけあるかを表しています。つまり、2 次元空結晶も何らかのエネルギーが最小になるもの

格 子 の標 準 実 現とは何 かを説 明します。

グラフの中で、結晶格子を表すと考えられる

頂 点と辺の情 報しか与えられていません。

は、そのような古典的な結晶の話ではなく、間群とは、平面上に無限に広がる規則的なとして得られているわけですから、変分原理

数学でいうグラフとは頂点の集合と、頂点をものを選びだすために、被覆グラフを考えるとですから、“ 結晶格子のかたちをみる”には、結晶構造と変分原理との関係を明確に表す

図形の規則性を表し、それは17 種類に限ると関係づけて考えるのが自然です。

結ぶ辺の集合の組のことです。グラフを考え

自然に現れる「 被覆変換群 」とよばれる群を

それを d 次 元 空 間に配 置する必 要があり、＊1

結晶格子の概念とそれを通じて砂田利一

ことがわかります。古典的な日本の文様とよばる際には、わかりやすい図を描いて説 明し利用します。被覆変換群は、被覆グラフ X のそれを「 結晶格子の実現 」とよびます。なお、

先生が “ 発見 ”された K4 結晶格子についてれる図柄も、その規則性を空間群を用いてますが、実際には抽象的なグラフを考えて中で、同じ X0 の部分に対応する部分を移し有限グラフからつくることのできる結晶格子の紹介したいと思います。

表すことが可能です。

いて、図はそれをわかりやすく表しているもの

合う群であって、その群の “ 大きさ”は“ 被覆最大の次元は、その有限グラフに含まれる＊3の枚数 ”に一致します 。図 1では X0 の 2 枚

本質的な閉路の数に一致します。もう1 つの結晶格子を数学的に定義する
結 晶 構 造を点のつながりの様 子や変 分

はじめに、数学における対称性について

さて、ここまでの結晶の話では欠けている問題と関連づけて考えるために、結晶格子を考えましょう。その簡単な例として正 n 角形をと考えられることが 2 つあります。我々は結晶

数学的に定義し、その標準実現という概念をの被覆グラフだけでなく、“ 無限枚 ”の被覆を例として図 2 には、結晶格子の実現の例を考えます。正 n 角形は、角度 2π/ n の回転変の図を描くとき、点だけではなく点のつながり紹介します。この研究は、砂田先生と小谷もつ被覆グラフが描いてあります。この時の3 種類描いてあります。これらの結晶格子はに過ぎません。

換と対称軸に関する鏡映変換で図形が自の様子も描きます。
ところが、結晶を数学的に

元子 先生によって2001年に発表されました。

被覆変換群は整数全体の加算による群 とすべて同じ有限グラフの分自身に映り合っています。正 n 角形を動か表したと考えている空間群は点配置の対称結晶格子は、ある条件を満たす抽象的な一致します。さらに、もう1 つの“ 方向 ”に無限抽象グラフとしては同じものです。このように、さない変換全体は、変換の合成を演算と考え性のみを表していて、点のつながりは表してグラフとして定 義されます。これはあくまで回の被覆をとることにより、被覆変換群として同じ結 晶 格 子であってもその実 現 方 法は＊2ることによって“演算のできる集合”となります。

いないと考えられます。ですので、点のつな

抽象的な概念であり、次元や具体的なかた

2 つの整 数の組 全 体の加 算による群

このような集合を数学では「 群 」とよびます。

がりも含めた結晶構造を表す数学的対象をちはもたず、単に点とその間 のつながりのもつ被覆グラフを得ることができます。

逆に、この群で動かない図形は正 n 角形と見つけることが必要です。これが上で “ 欠け情報だけが与えられています。そこで、抽象的

このように、有限グラフ（ 点と辺の数が同じ対 称 性をもつと考えます。このように、ている”といったことの 1 つ目です。

に定義された結晶格子をしかるべき次元の有限個のグラフ）X0 から出発して、被覆変換

数学では図形の対称性を群の言葉に置き2を空間に“ 書き込む”ことを考え、それを「 実現 」

グラフに対する数学的または情報科学的目を向けるとわかります。光は、その通過時間とよびます。つまり、抽象的に定義された結晶な問題としては、2 点を結ぶ最短路を求めなす群

次に “ 結 晶 ” について考えてみましょう。

が最 小となるような経 路を進みます。また、格子は実現を行わないと、その “ かたち” はたり、隣り合う頂点を異なる色で塗り分けたりとする「 d 次元結晶格子 」とよびます。今日の結晶と聞くと「 原子 」が “ 規則正しく無限に”

古 典 力学での運 動は、そのエネルギーがわからないと考えます。一方で、1 つの抽象的という問題がよく知られていますが、結晶格子

話では、有 限グラフからつくることのできる並んでいるイメージを思い浮かべます。その

最 小となるように実 現されることを表す運 動な結晶格子に対しても、その実現の方法はを定義するために、ここでは、「 被覆グラフ」

最大の次元をもつ結晶格子の話に限ることにイメージを数学では「 空間群 」とよばれる方程式によって記述されます。これらに代表

数多く（ 無限に）あり、その中でも最も“きれいを考えましょう。あるグラフ X が、グラフ X 0 のしましょう。すると、図 1 の X 0 からつくられる群に置き換え、それを結 晶の原 子 配 置のされるように、自然界に現れる多くの現象は、な”ものを変分原理を通して探し、それを「 標

被 覆グラフであるとは、図 1 のように、X の結晶格子は、右上の正方形の格子が表す

08 特 集 ＿ 未 知 なる 結 晶 格 子 の 数 理

被覆グラフで、無限にあり、その中で “ 最も対称性が高いもの”の特徴づけを考える必要があります。

群が X0 から決まるある数 d 個の整数の組のもう1 つの “ 欠けている”ことは自然界に換えて考えます。

2dとなる被覆グラフを X0を基本グラフ＊1 砂田利一（ 1948_ ）明治大学理工学部教授・東北大学名誉教授。元名古屋大学
教授・東京大学教授。
＊2 小谷元子（ 1960 _ ）東北大学理学部教授。
＊3 正しくは、被覆変換群の大きさが被覆の枚数に一致するのは、正則被覆とよばれる場合に限られる。

No.20 spring _ summer 201109

特集_ 未 知なる結 晶 格 子の数 理

図3

数式1

平行移動の基本領域

図 2 の基本グラフは、六角格子では左図の青で示した部分に対応する。それを、左図で示した2 つのベクトルによる2 方向への平行移動を繰り返すと六角格子が現れる。このときの「 基本領域 」が灰色で示した部分であり、この領域の体積を一定に保って変分問題を考える必要がある。頂点間の距離の 2 乗和をエネルギーとする変分問題を考えることは、右図のようにバネで頂点がつながれているときの釣り合いの位置を求めることに相当する。

結晶格子の標準実現が満たす条件

第 1 式は、結晶格子の各頂点で “ 力の釣り合い ” がとれていることを表している。第 2 式の意味は少々把握することが難しい
が、正三角形・正四面体の重心から各頂点へのベクトルが満たす性質に一致している。

図5 ダイアモンド格子・六角格子・K 4 格子の性質

対称性が高いものを探すために、周期的を基本グラフとする結晶格子の標準実現は、「 等方性 」と言い換えるべき言葉で、結晶な実現の中で探そうと考えることは自然です。

ダイアモンドの結晶と一致し、標準実現は格子が等方性をもつためには、結晶格子の「 周期的 」とは、結晶格子の中で、基本グラ

自然界に現れる結晶を表しているといっても

各 頂 点から出ている辺の数が一 定である

フが平行移動によって移り合っていることをよいでしょう。

べきです。さらに、標準実現された結晶格子表す言葉で、被覆変換群dが平行移動として働いていることに対応します。次に、与えらこの中で実現の方法に依存するのは「 鏡像対称性 」のみである。炭素で結晶をつくることを考える場合、ダイアモンド格子の1 つの炭素原子は他の4 つの炭素原子と結合していることになる。一方、K4 格子の場合、結合する炭素原子は3 つである
ので、六角格子（グラファイト）と同様に、sp2 軌道で結合することが期待でき、第一原理計算によると、事実そうなっていることがわかる。

に関して、1 つの頂 点から出る辺の順 序をK 4 格子の発見

任意に入れ替える結晶格子を不変にする

れた基本グラフに対する結晶格子の周期的

ここまでの話では、与えられた結晶格子の合同変換が存在するとき、その結晶格子は

強等方的なものは、2 次元の場合には六角て結晶を構成することができることを示していしかしながら、K 4 炭 素 結 晶は機 械 的には実現に対して、前に述べた、自然界の基本実現の中で、最もエネルギーが小さいものを強い等方性をもつといってもよいでしょう。ある

格子に限り、3 次元の場合にはダイアモンド格ます。また、K4 格子の標準実現は鏡像非対不安定であることがわかるため、簡単な方法

原 理と考えられる変 分 原 理を適 用します。

特 徴づけることで、標 準 実 現という概 念を結 晶 格 子 がこの 2 つの条 件を満 たすとき子と「 K4 格子 」に限ることを証明されました

称性をもちます。
「強等方性をもつ結晶格子」

で実際にモノをつくることは容易ではないととして見つけ出した K4 格子が鏡像非対称で考えられます。

あることは非常に興味深い事実です。

変分 原 理を考えるためには、結 晶 格 子の得ることができました。そこで、標準実現さ「 強等方的 」であるとよび、美しい結晶格子（ 図 4（ b ））。ここでいう「 K4 格子 」とは、抽実現に対して「エネルギー」を考える必要がれた結晶格子が “より美しい対称性をもつ ”となっていると考えます。

象的な結晶格子ではなく、3 次元空間に標準あります。結晶格子の実現のエネルギーを、ための条件を考えましょう。美しい対称性とは

数学は、それ自身が重要な研究対象で実現されたものを意味します。K4 格子は結晶最 後に、K 4 格 子のかたちをした結 晶 がある一方で、“ 数学は何の役に立つのか ”と学の分 野では古くから知られていたのです

実在するか、考えてみましょう。図 6の K4 格子

質問されることがあります。物理学・情報科学

が、ダイアモンド格子と同様な強い等方性を以外の2つの炭素のみからなる結晶は、ダイアなどの元々数学と深い関わりをもつ学問だけもつという認識は必ずしももたれていなかった

モンドとグラファイト（グラフェン）として古くかでなく、純粋に数学的な興味から出発して、よって小さくしていくと、エネルギーも小さくなるようです。その意味で K4 格子は砂田先生にら知られています。また、そのほかの炭素結材料科学との関わりが得られたことも、このため、
平行移動のベクトルがつくる格子の体積より再発見され「 Sunada 格子 」ともよぶべき晶としては、ロンズデーライトとよばれる隕石中

研究の 1 つの側面であり、上の質問への答の1 つではないかと考えています。

砂田先生は、標準実現された結晶格子で実現の中にある1 つの基本グラフに対応する部分の各辺の長さの 2 乗和と定義します。
この時、実現された結晶格子を相似変形に

（a）

（b）

＊4

（ 面積 ）を一定に保つ制約条件の下で、格子対象です 。ここで、K 4 格子・ダイアモンド

で発 見された鉱 物 が知られています。そこも自由に変形させたとき、エネルギーが最小と格子・六角格子の性質を比較してみましょう

で、私たちは K 4 格子のかたちをした炭素に

最後に、この記事をまとめるにあたり、砂田なる実現を「標準実現」とよびましょう（図3）。

（ 図 5 ）。K4 格子はある頂点を通る10 員環をよる結晶のコンピューターによる計算を行いま利一先生と小谷元子先生には有益なコメント

すると、その結果得られる結晶格子の標準15 個もちます。この事実は標準実現でなくてした。この計算は「 第一原理計算 」とよばれをいただいたことを感謝します。

実現は、数式 1で示す 2 条件を満たすことがも成り立つ性質なのですが、基本グラフだけるもので、シュレディンガー方程式を用いて、わかり、最も対称性が高い実現であることがを見てわかる性質ではなく、現時点では実際電子の波動関数の密度分布や結合エネルに実 現を描いてはじめてわかります。また、ギーを計算するものです。その結果として、炭「 2 色塗り分け可能 」という意味は、隣り合う素によるK4 結晶が理論的には存在する可能

頂点を異なる色に塗り分けることができること性があり、その結晶は金属的なふるまいをする

で、仮想的に（ 数学的に）2 種類の原子によっ（ 電気伝導性がある）ことがわかりました。

わかります。このようにして、有限グラフから出発して、被覆グラフ（ 群作用 ）と変分原理を用いることにより、結晶格子の標準実現をつくることができました。図 4（ a ）左上のグラフ

図4 ダイアモンド格子とK 4 格子
（ a ）の上側の2 つのグラフは、それぞれ、ダイアモンド格子・K4 格子の基本グラフである。それらのグラフから結晶格子の標準実現をつくると、結晶格子の中での基本グラフは、それぞれ、下の形となる。これらを基本グラフから決まる3 方向の平行移動でコピーしたものが、それぞれ、ダイアモンド格子・K4 格子となる。ダイアモンド格子では、基本グラフが正四面体の重心と頂点となることがわかる。K4 格子は抽象的な結晶格子ではなく（ b ）のように3 次元空間に標準実現されたものを意味する。K4 格子では、各頂点とそのまわりの3 つの頂点は、正三角形の重心と頂点となる。

内藤久資ウェブページ
10

特 集 ＿ 未 知 なる 結 晶 格 子 の 数 理＊4 砂田自身は“Diamond Twin”というよび方をしている。
「 K4 格子 」とよぶ理由は、その基本グラフが「 4 点からなる
正則グラフ」（ K4グラフ）であることに由来して、砂田が命名した。古くは「 Net1 」または「（ 10,3 ）_a 」などともよばれていた。
◎参考文献「ダイアモンドはなぜ美しい〜離散調和解析入門〜」
砂田利一著／シュプリンガー・ジャパン刊

http: //www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/
No.20 spring _ summer 201111

理 の 先 端を いく Ⅰ

細 胞 分 裂 装 置スピンドルの研究フロンティア
五 島 剛 太 生 命 理 学専攻教授
スピンドルに魅せられる

スピンドル研究、「 次の一手 」は？

構成因子を同定する細胞分裂は生命現象の最も根本的なプロ
セスの 1 つであり、約 130 年前の発見以来、多くの細胞生物学者を魅了してきた。細胞の

染色体
中心体

微小管
図1

分裂異常と癌化の因果関係も古くから示唆

分裂期スピンドル像

動物細胞の分裂期中期スピンドル像。ショウジョウバエ細胞の染色体 DNA（ 青 ）、微小管（ 緑 ）、中心体（ 赤 ）を染色し、蛍光顕微鏡で撮影した。スピンドル中央に整列した染色体 D N Aは、微小管繊維によって中心体とつながっている。
この後、分裂後期に入ると、染色体の分離、スピンドルの伸長が起こり、遺伝情報 D N A が 2 つの細胞へと均等に分配される。写真は大学院生の李文静による。

されており、その解明は、我々人間の疾患の理解の観点からも重要だと考えられている。
細 胞 分 裂を司る「 装 置 」とよばれるのが「 スピンドル（ 紡錘体 ）」という複雑な構造体である（ 図 1 ）。スピンドルは微小な管状繊維

そこで、100 年以上にわたるスピンドル研究

細胞内で起こっている現象は、細胞外でも内で再構成できていない。したがって、主ににおける最重要テーマの1 つ（と私が考えた

再 現できてはじめてそのメカニズムが理 解細胞観察を通じて立てられてきたスピンドル

もの ）に取りかかることにした。動物細胞のされたこととなる。したがって、我々もオーグ形成の理論の多くは、実際には真偽が確か

スピンドルをつくるのに必 要なタンパク質をミンによる微小管増幅の様子を試験管内でめられていないことになる。我々は今後、スピ

片っ端から同定しようというものである。戦略

再現することをめざしている。すなわち、オーンドル内で起こっているさまざまな事象の試験は単純で、ショウジョウバエの培養細胞をグミン複合体と微小管を試験管内で混ぜると管内再構成をめざして研究を展開したい。

用いて全ゲノムRNAiスクリーニング（ハエが本当に微小管の枝分かれ構造がつくり出さでは、再構成が成功すればいよいよ教科

もつ約 1 万 5000の遺伝子の機能を逐一阻害れるのか、検 証したいと思っている。実は、書は完成し、スピンドル研究は終わるのか。

する手法 ）を行い、スピンドルのかたちが異常

微小管増幅だけに留まらず、スピンドル内で私は研究室の学生に、「そんなはずはないぞ。

（ 微小管 ）を中心とする数多くのタンパク質にな問題はもう解かれているから先はないよ」とを考えた。でも見てみろ、今のスピンドル研究になるものを探すことにした。それまでにも、起きていると思われている現 象の大 半は、

おれも数年前にそう思ったこともあったけど、よって構成され、1つの細胞を2つに分裂させ、思われる方もいらっしゃるだろう。実は私もは当時よりずっと面白いじゃないか 」。このより単純な生物種を用いて、種を超えて保存

構成因子が同定されていながら、まだ試験管そのときにあの先生がな… 」と語っている。

染色体 D N Aを分配する際に必須の役割を

学位取得後、数年前にそういう懸念を抱いた

アドバイス、即座に聞き入れた。
「 偉い人のされたスピンドル構成因子は相当数同定され果たす。我々の研究室は、どうやって精巧なことがある。そのとき、この分野で長年活躍をいうことは、ともあれ黙って聞くもんですよ」とていたこともあり、果たして我々が新規の遺伝

スピンドル構造がつくり出されるのかに関心をされているアメリカの先生がアドバイスをくだいう大学院時代の恩師の至言もあったから子を見 つけられるのかどうかは不 安 だった

もっている。しかしこのテーマ、中学でも基礎さった。
「 剛太、心配するな。研究を続けろ。

である。よし、スピンドル研究で飯を食っていが、共 同 研 究 者に恵まれたおかげもあり、的な知識として習うぐらいであるから、「 重要

俺もおまえくらいの年だった30 年前、同じこと

こう（ 研究を続けよう）と決めた。

10 以上も見つけることができた。

図2 オーグミンによる微小管生成

分 裂 中の細 胞

染色体

オーグミン複合体とスピンドル微小管の増幅
その中で今最も注目しているのが、「オー

中心体に依存しない
微小管中心体グミン」と命名したスピンドル微小管増幅に細胞の中央付近で微小管（ 緑 ）が中心体に依存せず生まれている様子。微小管は、チューブリンという球状のタンパク質が重合してできる繊維である。この細胞は、分裂後期にいったん
微小管繊維を脱重合させたのちに再形成させて撮影した。
中心体から離れた位置で微小管が生成されている様子がわかる。オーグミン複合体を欠失した細胞に対して同様の処理を行うと、このような微小管はほとんど生まれない。すな
わち、この像で見られる微小管の大半は、オーグミン依存的に生み出されたことになる。なお、微小管重合の核となる因子を赤色で染色しており、中心体以外に、生成された微小管上にも存在が認められる。オーグミンは、この重合核形成因子を
微 小 管 上 に集 積 させる働きを担 うと考 えている。
（図 はJournal of Cell Biology 誌 2010 年 10月号表紙を改変 ）関わるタンパク質複合体である。
大半のスピンドル微小管は「 中心体 」というスピンドル極

従来のモデル

新モデル
中心体に存 在する構 造 体から生み出されるというのがこれまでの定説だったが、どうやらそうでなく、多くのスピンドル微小管はスピンドル内部
でオーグミンに依存してつくり出されることが明らかになった（ 図 2 ）。つまり、地球儀の極

オーグミン複合体
微小管架橋因子（ 中心体 ）から派生する経線よりは、線香
花火の火花の枝分かれする軌跡のイメージに近 いのではないかと我 々は考 えている。
「 すでにわかりきっていること」だったはずの、教科書に出てくるスピンドル像は、将来、書き換えが必要かもしれなくなった（ 図 3 ）。

Gohta Goshima
12

理 の 先 端 をいく Ⅰ

1974 年生まれ。1997 年京都大学理学部卒業。2002 年京都大学大学院理学研究科修了。2002 年カリフォルニア大学
サンフランシスコ校（ UCSF ）ポスドク。2007 年名古屋大学高等研究院特任准教授。2010 年 4月より現職。

機能調節学講座
細胞内ダイナミクスグループウェブページ

図3 スピンドル微小管生成の新モデル
左は教科書でおなじみのスピンドルの模式図。長い微小管繊維が中心体と染色体をつないでいる。右は、オーグミン（ 黄 ）によってスピン
ドル内部で生み出された短い微小管が架橋され（ 青 ）、全体として安定な構造をとるという最新のモデル。この両モデルの違いを際立たせるには、それぞれ中心体を取り除いてみると良い。左の図では、中心体が微小管の大半を生み出しているため、中心体の除去は微小管の消失を引き起こすはず。一方、右の図では、スピンドル構造はおおむね維持されるはず。実際に行われた中心体消失実験は、後者を支持した。では、右の図が正しいとして、中心体とオーグミンを同時に除去するとどうなるか。これは私が 4 年前に行った実験であるが、大半の微小管が消失し、スピンドルは崩壊する。オーグミンは、中心体と同等に重要だったわけである。
（左図は平成21年センター試験問題を改変。
右図はGoshima and Kimura, 2010, Current Opinion in Cell Biology, 22, 44-49を改変）

http: //bunshi4.bio.nagoya-u.ac.jp/% 7etenure2/goshima.html
No.20 spring _ summer 201113

理 の 先 端を いく

Ⅱ

待ち続けた瞬間2010 年 6月13日23 時頃、オーストラリアのが動かない可能性もある。それに備えて何種に衝突する現象は小の流星からクレーターを地震計に記録された衝撃波である。個人的

ウーメラ砂漠に小惑星探査機「はやぶさ」

類かの予備観測が行われ、その最後の手段

つくるような大衝突まである。幸いにして記録には、天体と地震計という予想外の組み合わが帰還した。南半球では初冬でかなり寒いが衝撃波による軌道の決定である。我々のに残る範 囲で被 害を出した衝 突は少ない

せが面白いと気に入ったテーマであるが、なか、待ち続けたその瞬間がきた。真っ暗の

実際の出番はないと考えていたが、現地ではが、将来大きな衝突に見舞われる可能性が余人はどうだろうか。

平原で見る美しい星空の一点から、「はやぶ

帰還日の前日まで曇天が続き、少し現実味をある。しかしこうした衝突現象についてよくはさ」が湧き出るように出現し明るさを増しな感じたときもあった。

わかっていない。また盾になっている大気中

がらゆっくり流れた。
「はやぶさ」が文字通り

もう1 つの（ 我々としては主な）目的は衝撃での様子もよくわかっていない。この様子をこのような研 究で問 題となるのは、地 震

燃え尽きる姿であり寂しさもあったが、非常に波の強さの測定である。微小な天体が地球

少しでも理解しようとして利用しているのが、計から推定した衝突物体の大きさが本当に正しい値になっているかである。地球に飛び美しかった。
「はやぶさ」の冒険譚や「イトカワ」探査込んできた微小天体の大きさは不明である

における工学・科学的な成果はさまざまなとこので、研究結果の正しさの確認ができない。

ろで紹介されているが、「はやぶさ」の計画

場 合によっては隕 石として手にすることがは幅広い裾野をもっており、ほとんど知られてできるが、大気との衝突・摩擦により摩耗していないさまざまな工 夫や努 力そして研 究がキャンベラ

行われている。ここではそのようなあまり知ら

ウーメラ砂漠帰還時の観測について述べたい。
「 はやぶ

図1 ウーメラ砂漠内の観測点付近の風景

場合でも同じ理論が適用できるか確かめないさ」の大気圏突入時に、カプセル回収を目的「はやぶさ」の突入経路のほぼ下にあたる
場所の何カ所かで観測した。灌木が点々とあり、カンガルーの足跡・尾の跡などもあったがここではカンガルーは見なかった。ただ、何か野生動物がいて、夜間に観測機器の信号線を噛み切られるという不測の事態もあった（ 古本撮影 ）。

うちは意味がない。

行われた。大学研究者および流星観測熟練者からなる我々のチームの観測は、JAXAと「はやぶさ」の最 後の声を観 測する
古 本 宗 充 地 球 環 境科学専攻教授

一遇のチャンスである。形状、質量、速度、そして軌 道がわかった物 体が突 入してくるのであり、推定法の正しさの検定にはもってるかたちで行われた。

こいである。これが数年間 「 はやぶさ」の我々が行ったのは、「 はやぶさ」やその帰還を待ちわびた理由である。最近流行のカプセルが超高速（突入時 12k m / 秒 ）で大衛星擬人化で表現すれば、「 はやぶさ」君が気を突っ切るときに出る衝撃波を微気圧計「 帰 宅 」して大 気のドアを強く押し広げてや地震計で捉える観測である。強い衝撃波

叫んだ声が、数年間待ったデータだったわけが起きると、その圧力変動で地面が揺すらである。公 式の成 果にはまだほとんど入れ

れ、地震計に「妙な振動」として捉えられる。

られることのない研究であるが、「はやぶさ」

逆に考えると、地震計の記録を解析すること

が最後に残した科学的データの 1 つである。

で、大気中を突っ切る物体の性質を調べるこ

天体衝突の科学や太陽系の科学に少しでもとができる。今回の観測ではその物体が「は新たなデータを付け加えたいと考えている。
最後に、この観測に関わって面倒な手続き

やぶさ」やそのカプセルである。
1 つの目的は衝撃波データからカプセルのなどをすすめてくださった大学事務、J A X A

落 下 軌 道を決めることである。カプセルの関係者、そして同じ観測チームのメンバー

落下点決定の手段はカプセルからの電波（ 高知工科大、金沢大、国立天文台、日本

すみやかにされた。
しかしながらこのシステム

図2

流星研究会 ）に感謝します。

観測点の1つから見た「はやぶさ」の帰還

地表や雲が写っているのは「はやぶさ」の光に照らされたからである。写真は観測チームの石原吉明（ 国立天文台 ）による。

地球惑星物理学講座ウェブページ
理 の 先 端 をいく Ⅱ

その意味で「 はやぶさ」の帰還は千載の共同研究として、この回収隊の一部に加わ信 号 利 用であり、今回正 常に働き回収が14ある。またジェット機などによる衝撃波の解析はできるが、20k m / 秒という速度で突入したとする観 測に合 わせていろいろな観 測 がMuneyoshi Furumoto

いるので突 入 時 の大きさはやはり不 明 で1000km

れていない研究の 1 つである「 はやぶさ」

1951 年岐阜県大野郡（ 現高山市 ）生まれ。1976 年名古屋大学大学
院理学研究科博士課程中退。名古屋大学教務員、助手、金沢大学助教授、教授を経て2005 年より現職。専門は地震学・地球惑星物理学。

千載一遇のチャンス

http://www.eps.nagoya-u.ac.jp/geophys/introduction.html
No.20 spring _ summer 201115

理 の 先 端を いくⅢ

ニュートリノに質量はあるのか
ニュートリノという素粒子は、1930 年にニュートリノの物質との反応のしにくさから、振動により変化した1 個のタウニュートリノ反パウリ＊1 がβ崩壊におけるエネルギー保存

用意した 1200トンの検出器（ 図 1 ）をもって応の候補を検出することができている（図4）。

則 を成立させるためにその存在を仮定してしても5年間に期待できるタウニュートリノの数

確実な結論を得るには複数の同様な反応から、ライネス＊3とコーワン＊4 によって実験的はわずかに10 個程度である。

＊2を捉えなければならないが、実験もなかばでに存在が証明されるまでに26 年を要した。その後の研究でニュートリノには複数の種類

Toshiyuki Nakano

1969 年愛知県生まれ。1998 年名古屋大学大学院理学研究科博士 ( 後期 ) 課程終了。
2000 年日本学術振興会特別研究員、2002 年科学研究費補助金による研究員を経て、2004 年より現職。

ニュートリノ振動を直接検出する
中 野 敏 行 素 粒 子 宇宙物理学専攻助教

あることから今後順調に増加するものと期待できる。また、高速化した原子核乾板解析技

はじめての検出に成功があることがわかったが、3 番目のニュートリノ

タウニュートリノを検出し、その種類を同定術をさらに発展させるとともに、開発が進行であるタウニュートリノを検出し存在を証明すすることは容 易ではない。唯 一の方 法は、している位置分解やエネルギー測定能力をることができたのは、さらに44 年後の2000 年

そのタウニュートリノと物質との反応後に発生より高性能化した原子核乳剤を用い、ニューである。これほどまでに年月がかかった理由

するタウ粒子を検出することである。タウ粒子

トリノとその反ニュートリノの同一性を検証

は、ニュートリノが物質を構成する陽子・中性

は電子によく似た性質をもつが、質量は3500

するニュートリノレス二重β崩壊＊11 の検出や、子・電子とほとんど反応せず、地球ですらほ倍ほどもあり、約 0.3ピコ秒＊10と極めて短時間

この宇宙の最大の謎の一つともいえる暗黒

とんど貫通してしまうからである。

で崩 壊してしまう不 安 定な素 粒 子 である。

物質＊12 の探索への展開を計っている。

一方で、この宇宙には1c m3 に300 個ほど

ニュートリノが反応起こすのに十分な量ののニュートリノが存在していると考えられてい標的となる物質を実現しながらも、このようなる。これは水素のような原子の数の 10 億倍

同定が行えるのは、銀塩写真技術を元につくにもなり、ニュートリノの性質を知ることは宇宙られサブマイクロメーターを超える3 次元空間の進化・物質の成り立ちを理解する上で非分解能で素粒子の飛跡を記録することがで常に重要である。
とくにその質量は標準模型

きる原子核乾板しかない（ 図 2 ）。その使用では長らくゼロとされていたが、牧二郎＊5、中量は 10 万 m2 にも及ぶことから、この実験の坂田昌一＊7により提唱されたニュー
川昌美＊6、最大の難点は記録された飛跡を高速高精度

トリノ振動という現象を通じて、有限の値をもに読み取ることにあった。私たちは、3 次元画

つことがわかってきた。ニュートリノ振動とは、像解析による自動化された原子核乾板読み

ニュートリノがゼロでない質量をもてば、3 種取りをはじめてタウニュートリノの存在を証明

類のニュートリノが相互に入れ替わることがあしたときよりも2 桁高速化し、この実験の遂行＊8るというものである。これは、デイビス によを可能にした（ 図 3 ）。昨年 5月にははじめて＊1 W. パウリ（ 1900 _1958 ）オーストリアの物理学者。
ノーベル物理学賞（1945年）を受賞。
＊2 β崩壊におけるエネルギー保存則
β崩壊では電子とニュートリノを放出するため、電子のみを観測すると始状態と終状態で、一見エネルギー保存則が成立していないように見える。
＊3 F.ライネス（ 1918 _1998 ）アメリカの物理学者。ノーベル物理学賞（ 1995 年 ）を受賞。
＊4 C.コーワン（ 1919 _1974 ）アメリカの物理学者。
＊5 牧二郎（ 1929 _2005 ）元名古屋大学理学部助教授。
＊6 中川昌美（ 1932 _2001 ）元名古屋大学理学部助手。
＊7 坂田昌一（ 1911_ 1970 ）元名古屋大学理学部教授（ 本誌 2 号 P.2、16 号 P.4 参照 ）＊8 R.デイビス（ 1914 _2006 ）アメリカの化学者、物理学者。ノーベル物理学賞（ 2002 年 ）を受賞。
＊9 スーパーカミオカンデ
岐阜県飛騨市にある地下 1000mに設置された世界最大のニュートリノ検出器。
＊10 ピコ秒
1ピコ秒は1 兆分の1 秒。

図2

原子核乾板による素粒子飛跡の記録例

原子核乾板の 150μm×120μmを拡大した顕微鏡写真。ほぼ中心にある原子核にニュートリノが衝突したものと考えられ、放射状に延びる濃い線は破壊された原子核の破片による飛跡である。実物の飛跡は立体的に記録されており、ニュートリノのエネルギーにより生成された素粒子の飛跡が主には紙面垂直方向に記録されている。これらは高分解能の顕微鏡光学系による断層撮影により3 次元観察および測定が可能である。

＊11 ニュートリノレス二重β崩壊
ニュートリノは正粒子と反粒子の区別がない可能性が指摘されており、その場合ある種の核種では2 つの中性子が同時にβ崩壊を起こし、かつ、ニュートリノを放出しないことが予想される。
＊12 暗黒物質
宇宙にある星間物質のうち電磁波では観測できない仮説的物質。宇宙全体の物質エネルギーの22％を占める。

る太陽中の核融合から発生するニュートリノ
の数の観測値が期待値より少ないことの発見に端緒を発している。その後スーパーカミオカ
ンデ＊9 による大気ニュートリノの観測でも特定のニュートリノの減少が観測され、これらはニュートリノ振動によるものと考えられている。
私たちは、加速器により人工的に発生させたミューニュートリノを730k m 離れた位置に設置した検出器で測定し、減少を測定するのではなく、振動がなければ含まれていない
図1 ニュートリノ検出器
イタリアのグランサッソに設置した原子核乾板と鉛で構成したニュートリノ検出器。ニュートリノを反応させる標的重量は1200トン。8.3kg単位に分割した標的を12万個使用する。
スイスのジュネー
ブにあるCERN の加速器を用いて生成したミューニュートリノを照射することで、一日あたり約 30のニュートリノ反応が起こる。そのほとんどが振動していないミューニュートリノによる反応である。

はずのタウニュートリノを捉えることで振 動現象の存在を確実なものとしようとしている。
このような、変化して生じた別種のニュートリノ
を直接検出した実験はいまだにない。
しかし、

図4
図3

超高速原子核乾板自動飛跡読み取り装置

原子核乾板に記録された素粒子の飛跡情報を3 次元画像解析により高速かつ高位置分解能で読み出すために開発した装置。高速な撮像素子とFPGA（ 書き換え可能な大規模集積回路 ）による並列画像処理によって、従来の2 桁の処理能力の向上を果たした。

基本粒子研究室ウェブページ
16

理 の 先 端 をいく Ⅲ

原子核乾板から読み出された飛跡情報

ニュートリノ振動によってミューニュートリノがタウニュートリノへ変化したものを捉えたと考えられる
最初の候補。色は粒子の違いを表現するために着色したものである。左から右向きに加速器によって生成されたニュートリノが入射し標的物質（ 鉛 ）と衝突し反応を起こしている。ニュートリノの運動
エネルギーの一部が、タウニュートリノの反応の特徴であるタウ粒子（ 赤 ）を生成し約 2m mで他の粒子（ 青 ）に崩壊している。さらに崩壊点からはガンマ線が発生していると考えられる。

http://flab.phys.nagoya-u.ac.jp/2005/intro/index.html
No.20 spring _ summer 201117

理 学 部 交 差点
同 窓 生から

書籍紹介

名誉教授だより

キャンパス通信「宇宙史を物理学で読み解く— 素粒子から物質・生命まで —」大沢文夫名誉教授がネイチャーメンター賞を受賞

理学図書室オープン

NSA合同会社サイエンスアカデミー教務

現象解析研究センター教授

生命理学専攻助教

事務部図書掛長佐光裕康（Hiroyasu Sakou）

飯嶋

杉山

河合成典（Shigenori Kawai）

科学の芽がにょきにょきと

徹（Toru Iijima）

伸（Shin Sugiyama）

8 月の名 古 屋は夏の真っ盛り。名 古 屋 大 学 東山

現代物理学は、相対性理論と量子力学の発見を大学院での伝統的な教育のあり方を「 徒弟制度 」

2010 年 7月15日、学科毎に設置されていた図書室

キャンパスは、緑が多いとはいえ、木陰にいても、熱い基礎として20 世紀に飛躍的に進歩し、素粒子、宇宙、と批判する声もあるが、より適切な表現がメンターリング

は統 合され理 学 図 書 室として新たにオープンした。

ねっとりした空気の底にいるようである。野依記念物質

物質、生命現象といった各分野に専門化されてきた。

だと思う。メンターの語源は、ギリシャ神話でユリシーズ

場所は改修・改装が終わった A 館の西側 1 階および科学研究館から森へ向かうと、涼しそうなガラスの21 世紀においては、
こうして先鋭化された研究の融合・が息子の育成を委ねたメントルの名前に由来し、1 対 12階。面積は約1900㎡、蔵書冊数は約19万冊（収容能外観の野依記念学術交流館が姿を現す。中からは連携が新しい物理世界を切り開くと期待される。たとえの師弟関係を指していた。欧米の高等教育はメンター

力は25 万冊以上 ）、雑誌は約 3,000タイトルを収蔵して楽しそうな子どもたちの声が聞こえてくる…。

ば素粒子と宇宙の境界では、2001 年に打ち上げられリングを欠かせないものとし、その充実を図る努力がいる。これら資料は主に1 階南側の開架スペースおよ

私たちN S A 合同会社のスタッフは、夏休み後半

たWMAP 衛星による宇宙背景輻射の精密データが、現在は制度的にもなされている。そんな中で、大沢び北側の新着雑誌室、集密書庫に排架されている。

の 2日間、小学生とその保護者を対象に「 サイエンス

宇 宙の構 成 成 分の 23 % および 73 % が、それぞれ文夫名誉教授のネイチャーメンター賞の受賞はうれ

2 階には多目的室、AV 室、貴重書室（ヒルベルト

アカデミー夏の理科実験教室 」を開いている。参加型

ダークマター、ダークエネルギーとよばれる未知の物質

しい出来事である。同時に見過ごされがちなメンター

文庫 ）、地図・地質図室、閲覧室等、さまざまな用途ののサイエンスショーと工作教室を組み合わせた内容

やエネルギーであることを示し、素粒子物理の最先端

リングにおける功績を表彰することで、教育研究の部屋を備え、多目的室はセミナー、グループ学習等ので、2日間で100 名前後の参加者があり、毎年ご好評

研究がこの宇宙の最大の謎の解明につながると期待発展を促そうとするネイチャー誌の編集方針は流石だ

目的で予約して利用でき、予約のない時は自由に使用いただいている。

されている。

と感心させられる。

できる。

学習塾サイエンスアカデミーの小学生部門に、理科

本書には、宇宙の形成と進化を軸として、名古屋

大沢名誉教授は日本の生物物理学の立ち上げに安全対策として、集密書架には免震装置、開架書

実験教室を開講したのが 2009 年 4 月。この授業とは大学が展開する素粒子や宇宙から、物質、そしておいて果たした功績で有名だが、独特な人の育て方

架には感震式書籍落下防止装置、また出入口・非常別に、サイエンスショーのようなイベントを開いて、もっと生命におよぶ最先端研究の数々が紹介されている。

に関するお話もよく耳にする。当時の研究室は「 おお口に防犯カメラ、各部屋には防犯ブザーを設置した。

多くの子どもたちに科学を楽しんでもらおうと話がふくそのもとは、
名古屋大学 21 世紀 COEプログラム「 宇宙さわ牧場 」として有名だったが、人材育成において、サービス面では貸出・返却処理が電算化（バーコーらみ、「 サイエンスアカデミー夏の理科実験教室 」にと物質の起源：宇宙史の物理学的解読 」の研究教育

自由を許しながらも、しっかり力強く育てる「 放牧 」スタド読み取り方式 ）されたことで手続きが大幅に簡略化なった。2009 年度は「 色・イロいろ」と題して色と光の活動である。そこでは、最先端の先鋭研究だけでなく、イルに成功する研究室はいつの時代も少なく、１つのされ、貸出予約、文献複写依頼もW e b からの申し込

織りなす世界を、2010 年度「サウンド・オブ・サイエンス」

分野を超えた交流と連携が大きな目標であり、「 たこ

理想といえる。

みが可能となった。
また、コピー機 3 台（ 職員証・学生では手づくり楽器を鳴らして音の世界を楽しんだ。

つぼ化 」しがちな研究に分野横断の新風を送り込ん

ネイチャーメンター賞は毎年対象国を変え、第 5 回と証で利用可能 ）、検索用パソコン（ 12 台 ）、無線 LAN

そして今年、2011 年度も「 夏の理科実験教室 」はだ。本書はこうした活動の集大成といえる。
「 宇宙史をなる2009 年はアジアで初めての日本での開催となり、も図書室内のどこからでもつながるようになった。開室

開催される。タイトルは「はっ! とトリック ? ! サイエンス

物 理 学で読み解く」という壮 大なテーマもさること「 中堅キャリア賞 」を受賞したソニーコンピュータサイ

時間は月・火・木は午前 9 時から午後 5 時まで、水・金ショー ! ! 」。目を輝かせて「なぜ 」「どうして 」と問いながら、名大物理研究の最先端の現場を紹介し、エンス研究所の北野宏明氏とともに大沢名誉教授はは午後 8 時まで夜間開館を行っている。

かけてくる子どもたちを思 い浮 かべながら準 備を

今 後 の分 野 連 携 の可 能 性 や重 要 性を提 示 する

「 生涯功績賞 」に選ばれ、同じ、この東山の地でこのように広いスペースに資料、設備、職員がまとまり、進めている。

一冊である。

「牧場主」
を志す研究教育者たちの励みとなっている。

サービスも拡大した理学図書室をぜひ利用してほしい。

宇 宙 史を物 理 学で読み解く—素粒子から物質・生命まで—
福井康雄監修名古屋大学出版会
2010 年 5 月発行／ 3,675 円
昨年の「サイエンスアカデミー夏の理科実験教室」の様子

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理学部交差点

ネイチャーメンター賞の授賞式にてNo.20 spring _ summer 201119