讒蠶礜鬜讐鬱鬱讜鷹！麤麤
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翠熟藩爕

石隺率委文理工学 6.大数の法則と中心極限
情報学工学物理学など

定理

7- 確率過程（8.マルコフ過様々な場面で現れる「確率」. 程）との数学的な基礎さを学ぶ。
y2 .

確率変数

3 . 期待値と母関数

確率不等式
5. 確率変数の収束

4.

確率数理工学(1) 2

評価期末試験のみ。佐藤坦・はじめての確率論、測度から確率。共立出版。舟木直久・確率論。朝倉書店。伊藤清・確率論。岩波書店

を！！！！！！
霽！憥：！犛など
1 / 13

、列・嘉護邐鬱
靍彦鬱鬱|蘞：麤！..籤！鬱o「確率」とは？

で確率測度の定義

咀（確率事象）.

「サイコロをふる」といったの1つの試行の結果、観測される事象の確率

.

を定める.
.

試 行( t r i a l )鼠試行：サイコロをふる
R:W E
確率数理工学(1) 2

11，2，3，4，5，6}（サイコロの目の全体）

r ! " 2 "等

でA c n : 事 象 (event)に標本空間の部分集合

A

A:余事象
r= { w e n t w e tA )@パな

A N Az:=1w e n tWEA、主だよ。EASA、=1サイコロの目が偶数） A n A」=161=12，4，6）A i[サイコロの目が3の倍数}=13.6}A uA E鬱"{ 2 - 3. 4 6 }

a, じ
1 2 3

2 / 13饠た簽：：鑾た（橆丸？！！
.：.
3
籮算：.：：：

事象に「確率」を定めた
4.

標本空間が有限集合なら

t

難しくない

t''連糸売"." 無限も抜いたu .

下手にやると矛盾が起きること

1近（6- 加法族）の部分集合族が6- 加法族

R⇐>（1）IE集合族集合の集合

Fに） A E F

A、，A z . . . .

AC E でE F（蟬無限個））確率を定義しても矛盾がい）：標本空間全体には確率を定めたい

生じない"入れ物"を用意する に）： Aの確率が定まっていれば、パになり4.
ACCAが起きない）右隺率も定めた

it「6- 加法族」「吋測空間」 （3）：確率の定まっ2いる事象を可算無限個「石隺率測度」
確率数理工学(1) 2

寄せ集めたものにも確率は定まって欲しい.
（これがないと極限操作ができない）
離散と連続をつなげない3 / 13e

た荘は！！！！！！
篪・曜：篰：譱
⑤
た麤籗鬱鬱鬱鬱..
上の性質を満たすF は 全2 6 加 法 族を名乗る資格がある.

低s e{1.2/3}A . =111， A tに}， A i 131，A、，F
1 A s A、中}も6- 加法族になることを石隺かわよ。

6- 加法族の中でも. Borel̲集合族は重要である（最初はあまり気にしないで約集合族）にはAs=11.33.AE吐(Borel4=11.24，
A（一般の位相空間に対しても同様に定義できる）

でかい懟麤饠間長は。

こんな開区間Cab)の面積（確率）は定まって確率数理工学(1) 2

い て ほ し い.

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嚚：：爨と麓鬮籭澪、：：：：：：麤〇〇を含む最小の6- 加法ーー族？

た、た加法族がともに任意の開集合を含むとする.

が開集合ならA E F , A e た）
(Aにもなっている。

じ。

（1）に）

でF、左よりも"小さい"と言える。

なので、開集合を全て含む6- 加法族を全て集めてきて、それらの共通部分を構成のしかたから含む6- 加法族）

、左ページと同様の加法族ギ ロ ン で は な.
た（1）BCR) はG
はいたならH E たがたなのに）が仞は任意の開集合を含む

D E T . I E たよりR E

A

私 の は F..たの部分集合なので、ACE F n たさらに脈）より小さくてそのような条件をみたす
6加法族は存在はたなら！化のかつ(3） A . A n - . - E F（最初はこういうものがあるというこたでもあるのでた左）とを知っておくことが大事）
Are
At
IfI

確率数理工学(1) 2

5 / 13

I

麤：麤！！
蕋籬測度！
魚？蠡鬱鬱とその上の6- 加法族下の糸血互いに排反に、F ) を叮測空間と言うで O f PCA)=1個確率数理工学(1) 2P( Y An)= E P A )（たきま）

家 可算和が[2 P に）1 幞無限⑧ A.. Az,... E F が互いに排反） ニ）
3）

A。=0

それぞれの確率，咀（確率測度）

KAE Fi n（3）の性質を6- 加法性とよぶ。
定全加法性）

この叶測空間に"確率を定める。

⇐ >くりA/測り、それを足し合わせたものが元の全体の確率となる。
G加法族として変なあを持って来るとこれが成り立たない（ルベーグ非で測集合. BanachT a s k )6-51法性が成り立つに.邗）に興

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！ 鬱鬱鬱：：！ 鱸鱲淼！な鬱 鬱鬱
先のBorel集合族はその一例である。

啞：線分nでAn（1）=[ a l] C R ,地箱は，=[1-前に主）=ー

確率数理工学(1) 2

P i n 上の一様分布 （2）I B n には1 BERRYO[1確率測度の基本公式]

13）P）=PCA)=1-PCA)

MYAn)=1-HIAn)c

KA E

IIール年）[かこ と も な. .

（ち）

'の0

An E FrでPCA)=& MtnBn)（に1.2....）：互いに持版とはMY DEEP(An)？

（劣加法性）

7 / 13

な籤鸝：
關！！
籙、籅珏

16） 和の公式：

PA , u Are に PAD t-（7）

P( A n A2）

その一般化（包除原理）

確率数理工学(1) 2

PA)（8 ）確率の連続性I :A nE F とする.

A , C A I As C-.- ：事象の列

A=に注意）とすると.(AEFAnYnP ( I An)=想 R A n )この2つは超重要.

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（証明）い）.

た Pに）= P h u t u t u du-̲-）

排 反 ーによって.

=（2）

EPH) E l

た t . c h 中=0）

H r ) t H t t p（い んrIu= >sert-̲-.

6でなく2はいけないでもあるので. R 0）=0である.

duALtu..-）(AuPに）=Pにニ）(う）

on=eset=PCA)+1が）+ P G ) + . . .

互いに抖を反（水）PCA)+PにP ( I An)= 1-Nt e p e eOによりプ）=1-RIAi)(Morganの法則（自分で示してみよ）.

確率数理工学(1) 29 / 13

(8）.

B TA . .

B E ATA , ，Bn=An-Amとすると.

一四〇-がいるかを..な蠶、EPC〇"？
If"=him!
（R)に？

は 互 い に な 非 反.

i===

確率数理工学(1) 2meﬁg

P(Bn)

As

A T--I（たP ， Bn)

ftp.P(Am)

̲？

Bn)

PCA)=

tBi

y10 / 1351測空間に、F)とその上の確率測度P の 組( R F P ) を確率空間と言う。
一記法の補足：あるn o W E Any,GN={wI Anと EA がACBWEB

（眩に IAE が成り立っ.
（：'確率数理工学(1) 2

W E

(YAn)

hでW EI

An = 1W Erl

全てのn o w GAn ではないか会のみでw eAnyが# e ! 的11 / 13演習問「確率測度の基本公式」を全て証明せよ。
題-11）(2） h i l l .

I、3）上の以下の集合族を考える。それぞれ
6 加法族になっているかどうか

答えよ：① た14113、11.31，11.21，②

た1中、 N③ F（う）

14）=10， {2/33，11}， I

6- 加法族 F

に対し、

「r}}

A . . A..... E F

I Are?」 を示せ.

6 - 加 法 族 の，F z に対し、 F u たが6- 加法族にならない例を作れ(ち） G加法族の列のc た C - . -(6） S E R .

FをであってI Fが6- 加法族にならない例を作れ.

または化が可算集合となる任意の集合からなるの部分集合でA
R.（1. F P ) は人親族とする. PCA)=0（1が蝉），RAH （水が蝉）としたとき右幅率空間になることを示せ。

確率数理工学(1) 212 / 13

(7）
(8）

.
Borel 集合族BCR) は任意の閉集合を含むことを示せb ] = HERl a s t E b らを半開区間(a,BCR)
は集合族
Bored含むことを示せ.
(9）

（に）

C a b ) (ah)を含む集合族
BR)は任意の開区間
Bored最小の6- 加法族であることを示せ。
が{1.2/3}. た が（い），はに、下）上の確率測度
Pの部分集合全体）.
(d（11.21） の値が定まっているとき、 K A E F に対し、

pplf

（0，1一方 IPCA)が一意に定まるか？
(い）

答えよ。

確率数理工学(1) 2.
は 10.1）か （0 .1 ] がそれはどちらでもないか

同様に目（0.1+方） も求めた

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