総合研究大学院大学物理科学研究科天文科学専攻

五年一貫制博士課程
平成 26 年度 4 月入学に係る筆記試験（専門科目）問題(2013 年 8 月 26 日 13 時 00 分～16 時 00 分)※開始の指示があるまで問題冊子を開かないこと。

以下の第１問から第６問までの６題から、４題を選択し解答せよ。
解答用紙は各問題２枚ずつ（第６問のみ３枚）ある。解答とともに問題、下書用紙も回収するので、問題表紙、解答表紙に氏名と受験番号を、すべての解答用紙、下書用紙に受験番号を記入せよ。

受験番号：

氏名：

第1問
次の設問に答えよ。

1. 確率分布 X が以下のような確率密度関数 f (x) に従う場合に以下の (i) から (iv) の値を求めよ。但し、P (x1 ≤ x ≤ x2 ) とは、x が x1 ≤ x ≤ x2 である場合の確率を意味し、E(X)、V (X) は確率分布 X の平均と分散を意味するものとする。
⎧⎪0⎪⎪⎨(x ≤ −1)
3 3 2f (x) =− x (−1 ≤ x ≤ 1)
⎪
⎪
44
⎪
⎩
0(x ≥ 1)(i) P (0.2 ≤ x ≤ 0.8)(ii) P (−1 ≤ x ≤ 1)(iii) E(X)(iv) V (X)
2. 以下の行列について固有値とそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めよ。
⎛

⎞

2 3 2
⎜
⎟
⎜ 0 4 −3 ⎟
⎝
⎠
0 0 1

3. 以下で定義される周期 2π の関数について次の問に答えよ。
f (x) = |x|(−π ≤ x ≤ π)(i) この関数のフーリエ (Fourier) 級数を求めよ。ここで Fourier 級数は以下のように記述できることとする。
∞a0+f (x) =(am cos(mx) + bm sin(mx))
2m=1(ii) (i) の結果を用いて以下の式を証明せよ。
1+111π2+++.
.
.
=32 52 72
82

第2問

1. 関数 f (x) と g(x) は微分可能である。微分の定義に従って次の式 (2.1) を示せ。
df (x)dg(x)d[f (x)g(x)] =g(x) + f (x)
dx
dx
dx

(2.1)

2. 次の積分を求めよ（不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい）。
x2dx(x2 + 1)2(i)(ii)

10

xdx
1−x

3. 次の f (x) に関する常微分方程式の一般解を求めることを考える。
d2 f2 df+ f = 0 (x = 0)+2dxx dx∞(i) 常微分方程式 (2.2) は整級数（べき級数）u(x) =(2.2)

ak xk の形に表される解を持つ (a0 =k=00)。u(x) を解として常微分方程式 (2.2) に代入し、各項の係数 ak を求めることにより整級数で表現された解 u(x) を求めよ。ただし、 lim u(x) = 1 とする。
x→0(ii) 上で求められた整級数 u(x) がsin xに等しいことを示せ。
x(iii) 上の u(x) を使って、f (x) = g(x)u(x) と置いた時、g(x) に関する常微分方程式を求めよ。
sin xであることを用いて式を書き下せ。）（この時、u(x) =x(iv) 上で求めた g(x) に関する常微分方程式を解き、与えられた常微分方程式 (2.2) の一般解を求めよ。

3

第3問

YyP3axΩtP2XOP1質点 P1 (質量 m1 ) と質点 P2 (質量 m2 ）の 2 体の重力場で運動する質点 P3 (質量 m3 ) の運動を考える。m1 , m2  m3 とし、P1 と P2 の運動への P3 の重力の影響は無視できるとする。P1 とP2 の運動は円運動とし、P1 と P2 の間の距離を a とする。P3 の運動は P1 と P2 の軌道面内とする。重力定数を G とする。以下の問に答えよ。

1. P1 と P2 の軌道面を X-Y 面とし重心を原点とする慣性系 (X, Y ) を考える。P1 、P2 の座標
1 = (X1 , Y1 )、R2 = (X2 , Y2 )、P3 の座標を R
 = (X, Y ) とするとき、P3 の運動方程式をRを書け。
2. P1 と P2 の円運動の角速度 Ω を求めよ。
3. P1 と P2 の軌道面を x-y 面、重心を原点とし、P1 と P2 を結ぶ軸を x 軸とし、Ω で回転する回転系 (x, y) を考える。P1 、P2 の座標を r1 = (x1 , y1 )、r2 = (x2 , y2 )、P3 の座標を r = (x, y)とする。回転系 (x, y) での P1 と P2 の座標 (x1 , y1 ) と (x2 , y2) を求めよ。
4. 回転系 (x, y) での P3 の運動方程式を導け。時間を t として回転系 (x, y) と慣性系 (X, Y ) の関係は次のようになる。
XY

=cos Ωt − sin Ωtsin Ωtcos Ωtxy

5. 回転系 (x, y) で P3 の運動が静止する平衡点をラグランジュ点とよぶ。ラグランジュ点の条件を求めよ。
6. x 軸上にないラグランジュ点の位置を求めよ。

4第4問

1. ある温度 T におけるエネルギー E のフェルミ (Fermi) 粒子 (化学ポテンシャル μ) の分布関数 f (E) は、 次のようになる。
f (E) =1eβ(E−μ) + 1(4.1)

ただし、β = kB1T で、kB はボルツマン (Boltzmann) 定数である。
(i) 温度 T が 0 K に近づく極限について、f (E) を図示せよ。
(ii) フェルミ (Fermi) 粒子の例を 3 つあげよ。

図 4.1: 解答欄の例

2. 温度 T の平衡状態にある同一の粒子からなる系を考える。量子状態 s にある (一つの) 粒子のエネルギーを s とする。量子状態 s にある粒子の数を ns とする。すべての量子状態をR であらわす。このとき分配関数 Z は、
e−βER =Z=Re−β(n1 1 +n2 2 ...)

(4.2)

Rとなる。
(i) 量子状態 s にある粒子の数 ns の平均値 ns を分配関数をもちいてあらわせ。
(ii) (i) を使って、次式
1 ∂ ln Z
ns = −β ∂s

(4.3)

を導け。
(iii) 量子状態 s の粒子の数 ns の分散 Δns は次のようにあらわされる。

(Δns )2 = (ns − ns )2 = n2s − (ns )2次の式を示せ。

(Δns )2 = −5

1 ∂ nsβ ∂s

(4.4)

(4.5)

(iv) ここから、粒子が光子の場合について考える。光子はボーズ (Bose) 粒子なので ns =0, 1, 2, 3, ... の場合を考えればよい。この時の光子の分配関数を求めよ。
(v) 前問の分配関数をもちいて、光子の平均数 ns がボーズ (Bose) 分布となることを示せ。
(vi) 光子の分散について、次の式が成り立つことを示せ。
(Δns )2 = ns (1 + ns )6(4.6)

第5問

1. 図 1 に示す回路において、抵抗 R1 、 R2 、 R3 に流れる電流 i1 、 i2 、 i3 を、(1) 合成抵抗を求めることによる方法、及び 、(2) キルヒホッフ (Kirchhoﬀ) の法則を用いる方法により求めよ。
i1

䊻

R1i2Ei3

䊼

䊼

R2R3

図 5.1:

2. 図 2 に示す 3 つの交流回路に角周波数 ω の正弦波電流を流すことを考える。このとき、複素電流 I とその実効値、位相角を求めよ。ただし、複素電圧 V の実効値を Ve 、位相角を 0、とする。
䊻I䊻I䊻IR(a)RRCL(b)CL(c)

図 5.2:

3. 真空中におかれたヘルツ (Hertz) ダイポール（微小ダイポール）から r[m] の距離の点 X における電界強度 E[V/m] は、ダイポールに流れる実効電流を I[A]、ダイポールの長さを l[m]、ダイポールの軸方向と点 X の位置ベクトルとのなす角を θ、波長を λ[m] とすれば、次式で表される。
E=60πlIsin θλr

このとき、ヘルツダイポールから放射される全電力 P [W] 及び放射抵抗 Rr [Ω] を求めよ。た
だし、真空の特性インピーダンスは Z0 = μ00 = 120π[Ω] とせよ。0 [F/m] は真空の誘電率、また、μ0 [H/m] は真空の透磁率を表す。

7

第6問
図 (6.1) のような円筒座標系 (z, θ, φ) をとり、表面からの入射光がない半無限平行平面の恒星大気を考える。全ての物理量は大気の高さ z (大気表面; z = 0) のみの関数とし、角度 θ 方向に進む、単位面積、単位時間、単位立体角当たりの放射強度を I(z, θ)、大気の単位長さ当たりの波長に依存しない吸収係数を κ(z)、大気の単位体積、単位時間、単位立体角当たりの放射率を j(z) とする。放射強度 I(z, θ) の輸送方程式は

cosθ

dI(z, θ)= −κ(z)I(z, θ) + j(z)dzと記述される。ここで、光学的深さ τ (dτ ≡ −κ(z)dz 、大気表面; τ(μ ≡ cosθ) を用いて整理すると、放射強度 I(τ, μ) の輸送方程式、

μdI(τ, μ)= I(τ, μ) − S(τ ),dτS(τ ) ≡= 0)、方向余弦 μj(τ )κ(τ )(6.1)

図 6.1: 半無限平行平面大気の変数・座標軸設定。表面（τ = 0）からの入射はないものとする。
が得られる。S(τ ) は源泉関数と呼ばれる。また、放射強度 I の μ に関する 0 次、1 次、2 次のモーメントをとり、以下のように定義する。

1 1I(τ, μ)dμ2 −1
1 1 2K 積分 : K(τ ) ≡μ I(τ, μ)dμ2 −1

平均強度 : J(τ ) ≡放射流束 : H(τ ) ≡812

1−1μ I(τ, μ)dμ≡F (τ )
4

以下の問いに答えよ。

1. 有限の光学的深さ τ = τ0 の大気層から上層に向けて、等方的な放射 I0 : I(τ0 , μ) ≡ I0 (0 ≤μ ≤ 1) があり、この層より上層の大気の再放射が無視できる（S(τ ) = 0; τ0 ≥ τ ≥ 0）
場合、大気表面からの出射強度分布 I(0, μ) (0 < μ ≤ 1) を求めよ。

2. 源泉関数 S(τ ) が、光学的深さ τ の関数として既知である大気を考える。
(i) 大気表面からの出射強度分布 I(0, μ) (0 < μ ≤ 1) を求めると、以下の式 (6.2) が導かれることを示せ。

I(0, μ) =∞0

S(t)e−t/μdt
μ(0 < μ ≤ 1)

(6.2)(ii) 源泉関数 S(τ ) が光学的深さ τ の線形な関数として記述できる場合、即ち、S(τ ) = a + bτ（a, b は定数）とした時、大気表面からの出射強度分布 I(0, μ) (0 < μ ≤ 1) を求め、
I(0, μ) = S(τeb ) となる光学的深さ τeb を求めよ。
(iii) 大気表面より上空へ鉛直に伝わるエネルギ流束（放射流束）F は、F ≡ 2

1−1μI(0, μ)dμ(6.3)と見積もることができる。源泉関数 S(τ ) が S(τ ) = a + bτ （a, b は定数）と記述されるとして、F = S(τef f ) となる有効な光学的深さ τef f を求めよ。

9

3. 放射輸送方程式（6.1）の μ に関する 0 次、1 次のモーメントをとると、
dH(τ )
1 dF (τ )== J(τ ) − S(τ )dτ
4 dτ

(6.4)

F (τ )dK(τ )= H(τ ) =dτ4(6.5)の 2 式が得られる。更にこの時、次の 3 つの仮定：
4πF (τ ) ＝ const. = σTeff[放射平衡](σ はシュテファン・ボルツマン (Stefan − Boltzmann) 定数、Tef f は有効温度)
πS(τ ) = πB(τ ) = σT 4 (τ ) [局所熱平衡] (T (τ ) は光学的深さτ における温度)
J(τ ) = 3K(τ ) [エディントン (Eddington) 近似]が成立するものとして、式 (6.4)、(6.5) を連立して解き、3 42T 4 (τ ) = Teff (τ + )43が導かれることを示せ。

10(6.6)