論 文

長岡高専和算倶楽部オリジナル算額について
山田 章1・谷口 悠2・加藤 祐樹2・長谷川 柊太3
平田 大成3・中山 雅友美1・冨樫 瑠美1・涌田 和芳4
1 一般教育科（Division of General Education, National Institute of Technology, Nagaoka College）
2 電気電子システム工学科（Department of Electrical and Electronic Systems Engineering,

National Institute of Technology, Nagaoka College）
3 電子制御工学科（Department of Electronic Control Engineering,

National Institute of Technology, Nagaoka College）
4 長岡工業高等専門学校名誉教授（Professor Emeritus, National Institute of Technology, Nagaoka College）

On the original Sangaku produced by the Wasan Club of NIT, Nagaoka College
Akira YAMADA1, Yu TANIGUCHI2, Yuki KATO2,Shuta HASEGAWA3, Taisei HIRATA3, Mayumi NAKAYAMA1,
Rumi TOGASHI1 and Kazuyoshi WAKUTA4Abstract
A mathematical tablet called sangaku is a historical work that shows the wasan—the traditional Japanesemathematics in the Edo period of Japan. Our Wasan Club is an activity of the unique research andeducational activity ''pre-lab" system of NIT, Nagaoka College. This time we consider the original problem
with reference to the sangaku dedicated to the Suwa Shrine in Mishima and produce a sangaku. In thispaper, we explain two solutions of the problem.
Key Words : wasan, sangaku, original sangaku, solution

多い 16) ～18)．算額では問と答，答の説明（術）は書

１．はじめにかれているが，和算家の解法は書かれていないので，和算は主に江戸時代に発展した日本独自の数学で当時の解法を推測したり，算額を復元したりする研ある．和算については，明治以降，科学史の立場か究が第 8 著者らも含め熱心にされてきている 19)～23)．

ら研究が行われ，その成果は海外にも紹介され反響

長岡高専では，低学年からの研究活動を活発化さを呼んだ

1)～4)

せるために平成 27 年度にプレラボ制度を制定した．近年は学術的な研究のみならず，一24), 25)

般の人々への紹介や数学教育の立場からの研究も盛んにされている．この制度を利用して，第 1，第 6，第 7，第 8

著者は平成 28 年 12 月に「江戸時代の数学を楽しも5)～15)．

算額は，江戸時代の和算の様子を知ることの出来う！長岡高専和算俱楽部」を立ち上げ活動してきてる貴重な資料である．算額で現存するものはそれほいる 26)．長岡高専和算倶楽部は平成 29 年度から，ど多くなく，文献資料の中のみに残っているものが江戸時代に和算が盛んだった長岡市三島地域の事業
41

（平成 29 年度ふるさと創生基金事業「和算・算額３．問題と額文の解説編」，平成 30 年度ふるさと創生基金事業「和算の里みしま」，令和元年度地域の宝磨き上げ事業「和三島諏訪神社に奉納された算額の問題は，直角三算の里みしま」）に協力した．これらに協力する中角形に内接する正方形の最小の辺の長さを求める問

で和算に関するワークショップ，算額の復元27)

題であった．今回は条件を「直角三角形」から「正，三三角形」に変えた問題を考えた．

島郷土資料館の算額コーナーの解説パネル作成，パンフレット制作等を実施してきた．

[問題]

今回，我々はこれまでの知見を基にオリジナル算額の制作に取り組んだ（図-1 参照）．嘉永 2（1849）

今，図のように，正三角形に内接する正方形があ年に長岡市（旧三島郡三島町）七日市の三島諏訪神る．ここで，内接するとは正方形の少なくとも 3 つ社に奉納され，現在は三島郷土資料館で展示されての頂点が正三角形の辺上にあることである．ただし，21)

いる算額の問題（図形の問題） を参考に問題を作

正三角形の辺の長さは任意に与えられる．正方形のり，その解を求めた．その解法は幾通りか考えたが，辺の長さを最小にしたい．その方法を述べよ．

本論文ではそのうちの 2 つの解法を解説する．

答．術の通りである．
術．3 の平方根を 3 から引き，これに 2 の平方根（斜率）を掛け，4 で割る．これに正三角形の辺の２．算額の図

長さ 𝑎𝑎 を掛けて，最小の正方形の辺の長さ 𝑘𝑘 を得る．答えは題意に合う．
現存する当時の他の算額を参考に額文や図の色，配置等を考えて制作した．大きさを縦 44.0 cm，横𝑘𝑘 =61.4 cm とした．描画ツール（Adobe Illustrator cs3）を用いて作成した図を図-1 に示す．

�3 − √3�√2𝑎𝑎
4

三島諏訪神社に奉納された算額を参考に漢文を作文し，図-1 のように制作した．この額文の書き下

図-1

オリジナル算額の図42

し文は次のようになる．和算の用語については説明Aをしないが，問題と比較すれば、その意味が分かる．
[書下し文]
今，図の如く，三角の内に方形を容るる有り．只D云ふ，三角面若干．方面の最少を欲す．その術如何と問ふ．

図-3

答へて曰く，左術の如し．

MG解法 1 の図(2)

術に曰く，三箇を置く．平方にこれを開きて以って三箇を減じ，斜率を乗ず．四箇を以ってこれを除IC = BC − BH − HE − EIす．三角面を乗じ小極の方面を得て問ひに合す．

= 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − √3𝑥𝑥∠LCI = 60° だから，

４．解法の解説
４．１

解法 1（江戸時代と同様と推測される解法）

図-2 のように，正三角形 ABC に内接する正方形

CL＝2IC = 2𝑎𝑎 − 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 2√3𝑥𝑥∠LGJ = 60° だから，

LG＝2JG = 2𝑦𝑦を DEFG とし，正三角形の辺の長さを 𝑎𝑎 ，正方形の辺の長さ 𝑘𝑘 とする．正方形 DEFG に外接し 1 辺が辺AG = AC − CL − LG

BC 上にある正方形 HIJK を作る，すなわち，辺 HI= −𝑎𝑎 + 2𝑥𝑥 + 2√3𝑥𝑥

は辺 BC 上にあり，辺 IJ は点 F を通り辺 BC に垂直な辺，辺 JK は点 G を通り辺 BC に平行な辺，辺 KH

ここで，図-3 のように，三角形 ADG において，点は点 D を通り辺 BC に垂直な辺とする．また，辺 IJ

D から辺 AG に垂線 AM を引くと，∠DAM = 60° だと辺 AC との交点を L とする．BH＝𝑥𝑥，HE＝𝑦𝑦 とすからる．∠DBH = 60° だから，DB＝2𝑥𝑥 ，DH＝√3𝑥𝑥 ．正方形 HIJK の作り方から

AM =IF = JG = KD = HE = 𝑦𝑦

EI = FJ = GK = DH = √3𝑥𝑥
AD = AB − DB = 𝑎𝑎 − 2𝑥𝑥

DM =

またD

B

H E

図-2

√3 AD √3𝑎𝑎 − 2√3𝑥𝑥=22

MG = AG − AM

= −𝑎𝑎 + 2𝑥𝑥 + 2√3𝑥𝑥 −AKAD 𝑎𝑎 − 2𝑥𝑥
=22=

GJ

三平方の定理より*1LIF

解法 1 の図(1)−3𝑎𝑎 + 6𝑥𝑥 + 4√3𝑥𝑥
2𝑎𝑎 − 2𝑥𝑥2DG2 = DM 2 + MG2=�

2−3𝑎𝑎 + 6𝑥𝑥 + 4√3𝑥𝑥√3𝑎𝑎 − 2√3𝑥𝑥
� +��22= 12�2 + √3�𝑥𝑥 2 − 6�2 + √3�𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎2C43𝑎𝑎 2 3𝑎𝑎2= 12�2 + √3� �𝑥𝑥 − � +�2 − √3�
442が成り立つ*2 *3．したがって，正方形の辺の長さ DG垂線をそれぞれ GH，EIとする．∠HDG の大きさを𝜃𝜃 とする．辺 GF が辺 AC に重なったとき 𝜃𝜃 は最小が最小になるのは

𝑥𝑥 =のときで，最小値はDG = �3𝑎𝑎24

�2 − √3� =である*4．また，𝑥𝑥 =𝑎𝑎値30° をとり, 辺 EF が辺 BC に重なったとき 𝜃𝜃 は最𝑎𝑎4

大値 60° をとるので，30° ≤ 𝜃𝜃 ≤ 60° である．
HG = 𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃，∠HAG = 60° だから

�3 − √3�√2𝑎𝑎
4HD = 𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃𝑎𝑎のとき DB＝ となるので，42∠IDE = 90° − 𝜃𝜃 だから

点D は辺 AB の中点であり，3 点 D，F，C は一直線

DI = 𝑘𝑘 cos(90° − 𝜃𝜃) = 𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃

上に並ぶことが分かる．

EI = 𝑘𝑘 sin(90° − 𝜃𝜃) = 𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃 ，∠IBE = 60° だから

なお，𝑥𝑥 は辺 EF が辺 BC に重なったとき最大値
𝑥𝑥 =𝑎𝑎IB =2 + √3をとり，辺 GF が辺 AC に重なったとき最小値

AB = AH + HD + DI + IB

2�2 + √3�

𝑥𝑥=をとる．近似値では の範囲は𝑎𝑎である．

𝑥𝑥0.2320 ⋯ ≤ ≤ 0.2679 ⋯𝑎𝑎

４．２

解法 2（現代の数学による解法）=BE

図-4𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃� 𝑘𝑘(sin 𝜃𝜃 + cos 𝜃𝜃)√3√3𝑘𝑘 ∙ √2 sin(𝜃𝜃 + 45°)AB

√3 + 1√2 sin(𝜃𝜃 + 45°)√3

�3 − √3�√2𝑎𝑎∙
4sin(𝜃𝜃 + 45°)が成り立つ*3．正方形の辺の長さ 𝑘𝑘 を最小にするには，右辺の分母にある sin(𝜃𝜃 + 45°) を最大にすればよ い ． 30° ≤ 𝜃𝜃 ≤ 60° よ り 𝜃𝜃 = 45° の と き 最 大 値
sin(𝜃𝜃 + 45°) = sin 90° = 1 を取るから，𝑘𝑘 の最小値はGF
解法 2 の図√3=AI1√3 + 1𝑘𝑘 =辺の長さを 𝑘𝑘 とする．点 G，E から辺 AB に引いたD√3+ 𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 +したがって，AB = 𝑎𝑎 だからを DEFG とし，正三角形の辺の長さを 𝑎𝑎 ，正方形の𝜃𝜃

𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃= �1 +

図-4 のように，正三角形 ABC に内接する正方形

H𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃 𝑘𝑘 cos 𝜃𝜃=tan 60°√3

よって，三角関数の合成より√3 𝑎𝑎

𝑥𝑥 =𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃
=tan 60°√3AH =𝑘𝑘 =C

�3 − √3�√2𝑎𝑎4である．また，𝜃𝜃 = 45° のとき AD＝DB となるので，
点 D は辺 AB の中点であり，3 点 D，F，C は一直線上に並ぶことが分かる．
44注書，2003 年．

*1 三平方の定理は，鉤股弦の術あるいは単に鉤13) 平山諦：和算の歴史―その本質と発展，ちくま文庫，2007 年．

股弦として和算ではよく使われる．
*2 和算においては，現在のような角の概念はな

14) 小寺裕：だから楽しい江戸の算額，研成社，2007 年．

かった．角は特別なもの（30°，45°，60°）以外は

15) 桜井進：江戸の数学教科書，集英社，2009 年．

あまり用いられていなかった．しかし，特別な角に16) 藤田嘉言：神壁算法，寛政元（1789）年，（東北大学

ついては解法 1 で 辺 AD と辺 AG の長さから辺 DG

附属図書館データベース）東北大学デジタルコレクシ
ョン（以下，東北大学 DB）．の長さを求めたように，現代の余弦定理に相当する

17) 藤田嘉言：続神壁算法，文化 4（1807）年，東北大学

ものが辺の長さを求めるものとしてあった．

*3 今回求めた解法はいずれも正方形の辺の長さDB．

を解法 1 では 𝑥𝑥 の，解法 2 では 𝜃𝜃 の関数で表すこと

18) 中村時万：賽祠神算，天保 2（1831）年，東北大学 DB．

が出来ている．最小になるところを求めるだけでな

19) 道脇義正，八田健二：新潟の算額，私家版，1967 年．

く，値の変化の様子も見られる良い解法が見つけら

20) 涌田和芳，外川一仁：柏崎椎谷観音堂の算額，長岡工業高等専門学校研究紀要，第 43 巻第 2 号，pp.17-22，れたと考える．
*4 ここでは 2 次関数の標準形を用いて最小値を求2007 年．
21) 涌田和芳，外川一仁：三島諏訪神社の算額，長岡工業

めたが，和算では極値を求める方法として適尽方級

高等専門学校研究紀要，第 44 巻第 2 号，pp.11-14，法を用いるのが一般的である．

2008 年．
22) 涌田和芳，外川一仁：与板八幡宮の紛失算額，長岡工謝辞：オリジナル算額の制作にあたり，長岡高専プ業高等専門学校研究紀要，第 48 巻，pp.1-5， 2012 年．

レラボ制度から予算をいただき活用しました．謝意

23) 涌田和芳，外川一仁：新潟の復元算額から和算の独創を表します．

性を知る，考古堂，2020 年．

また，今回制作したオリジナル算額は，長岡市三24) 土田泰子，外山茂浩，村上祐貴，赤澤真一，桐生拓，島上岩井にある根立寺に奉納し，掲額していただけ

池田富士雄，井山徹郎，床井良徳：SDIC による分野る予定です．

横断型教育・研究推進活動，長岡工業高等専門学校研究紀要，第 51 巻，pp.87-96，2015 年．
25) 赤澤真一，田原喜宏，桐生拓，土田泰子，床井良徳，村上祐貴，池田富士雄，井山徹郎，外山茂浩：プレラ

参考文献

ボ制度を活用した全学的な教育研究活動の推進，長岡

1) 三上義夫：文化史上より見たる日本の数学，岩波文庫，工業高等専門学校研究紀要，第 52 巻，pp.78-82，2016

1991 年．

年．

2) 深川英俊，ダン・ペドー：日本の幾何―何題解けます26) 山田章，冨樫瑠美，中山雅友美，涌田和芳：長岡高専か？，森北出版，1991 年．

プレラボ「和算倶楽部」の活動について―低学年から

3) 深川英俊，ダン・ソコロフスキー：日本の幾何―何題の研究活動と地域貢献―，第 67 回北陸四県数学教育解けますか？（上）（下），森北出版，1994 年．

研究（小松）大会要項，p.49，2018 年．

4) 深川英俊，Tony Rothman：Sacred Mathematics―Japanese27) 涌田和芳，山田章，島津大，若山想思，市野梨保子，

Temple Geometry，Princeton Univ. Press，2008 年．

矢野敦大，山崎瑠聖：長岡金峰神社の紛失算額，長岡5) 小倉金之助：日本の数学，岩波新書，1940 年．

工業高等専門学校研究紀要，第 55 巻，pp.39-44, 20196) 大矢真一：和算入門，日本評論社，1987 年．

年．

7) 平山諦：和算の誕生，恒星社恒星閣，1993 年．
8) 佐藤健一：日本人と和江戸庶民の数学，東洋書店，(2021. 10. 4 受付)

1994 年．
9) 深川英俊：日本の数学と算額，森北出版，1998 年．
10) 佐藤健一：新和算入門，研成社，2000 年．
11) 小川束，平野葉一：講座数学の考え方 24 数学の歴史，
朝倉書店，2003 年．
12) 伊藤洋美：手づくり選択数学 5 おもしろ和算，明治図45