論 文

𝑆𝑆1 -fibred nil Bott 曲面とその基本群
中山 雅友美一般教育科－数学（Liberal Arts-Mathematics, National Institute of Technology, Nagaoka College）

𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott surfaces and the fundamental groups.
Mayumi NAKAYAMAAbstract
Torus and Klein Bottle are compact quotient manifolds R2/Γ by an action of a torsionfree discrete
properly discontinuous normal subgroup Γof R2⋊O(2) on the Euclidean plane R2. It is well known that afundamental group of a compact quotient manifold R2/Γ is isomorphic to Γ. In this paper, I verify that thefundamental group of Klein Bottle has a faithful representation to R2⋊ O(2) in terms of an 𝑆𝑆 1 -fibred nil
Bott manifold.
Key Words : 𝑆𝑆1 bundle, fundamental group, Klein Bottle

１．𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 多様体

２．2次元𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 多様体の分類
2 次元 𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 多様体 M2 は，コンパクト

𝑍𝑍, 𝑅𝑅 をそれぞれ整数全体，実数全体からなる集合とする．{𝑝𝑝}を 1 点からなる空間， 𝑆𝑆 1 = 𝑅𝑅/𝑍𝑍とす

な非球形閉曲面なので，曲面の分類定理よりトーラ
ス T かクラインの壺 K のいずれかに微分同相である．

る． 𝑆𝑆 1 束を繰り返して得られる非球形多様体の列

逆に，トーラス及びクラインの壺 𝑀𝑀2 は，𝑆𝑆 1 束 ;𝑆𝑆 1 → 𝑀𝑀2 → 𝑆𝑆 1 を持つので，2 次元の𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott

𝑀𝑀𝑛𝑛 → 𝑀𝑀𝑛𝑛−1 → ⋯ → 𝑀𝑀2 → 𝑀𝑀1 → 𝑀𝑀0 = {𝑝𝑝}は 𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott タワーと呼ばれる．つまり，こ多様体である．以下，トーラス T かクラインの壺 Kを𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 曲面と呼ぶことにする．の列の各𝑀𝑀𝑘𝑘 → 𝑀𝑀𝑘𝑘−1 は𝑀𝑀𝑘𝑘−1 を底空間，𝑀𝑀𝑘𝑘 を全空間とする Seifert 𝑆𝑆 1 束で，特に 𝑀𝑀0 は {𝑝𝑝}で，𝑀𝑀1 は𝑆𝑆 1 と微分同相である．また，𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott タワーを構成する𝑛𝑛次元多様体を𝑛𝑛次元 𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 多様体

３．トーラスとクラインの壺の基本群の表示

fibred nil Bott 多様体はすでに分類が完了している 3)．

についてまとめておく 4)．
トーラス𝑇𝑇の基本群 𝜋𝜋1 (𝑇𝑇)の表示はと呼ぶ．𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 多様体は，これまで様々な人により研究され，infra 冪零多様体と微分同相であることが知られている 1), 3) . また，3 次元以下の𝑆𝑆 1 -

ここで，トーラスとクラインの壺の基本群の表示

本稿では，2 次元の𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 多様体であるクラインの壺の基本群について，詳細に考察する．

21

𝜋𝜋1 (𝑇𝑇, 𝑥𝑥) ≅< 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 | 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−1 𝑏𝑏 −1 >≅ 𝑍𝑍 × 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏= �𝑛𝑛･𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚)･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽), 𝛼𝛼𝛼𝛼�(𝑙𝑙, 𝛾𝛾)= �(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)(𝑚𝑚, 𝛽𝛽)�(𝑙𝑙, 𝛾𝛾).

𝑎𝑎(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)(1,1) = �𝑛𝑛･𝜑𝜑(𝛼𝛼)(1)･𝑓𝑓(1, 𝛼𝛼), 𝛼𝛼� = (𝑛𝑛, 𝛼𝛼).

クラインの壺の基本群 𝜋𝜋1 (𝐾𝐾)の表示は𝜋𝜋1 (𝐾𝐾, 𝑥𝑥) ≅< 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 | 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 >
4)

である ．

𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏(1,1)(𝑛𝑛, 𝛼𝛼) = �1･𝜑𝜑(1)(𝑛𝑛)･𝑓𝑓(1, 𝛼𝛼), 𝛼𝛼� = (𝑛𝑛, 𝛼𝛼).

𝑎𝑎(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)(𝜑𝜑 −1 (𝛼𝛼)(𝑛𝑛−1 · 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛼𝛼 −1 )−1 ), 𝛼𝛼 −1 ) = (1,1).

よって 𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,𝜑𝜑) 𝑄𝑄 は単位元を(1,1)，(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)の逆元を(𝜑𝜑 −1 (𝛼𝛼)(𝑛𝑛−1 · 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛼𝛼 −1 )−1 ), 𝛼𝛼 −1 )とする群である．

４．群の完全系列
𝐾𝐾をクラインの壺とする．𝑆𝑆 1 →𝐾𝐾→𝑆𝑆 1 から引き起注意 4.2. 𝐺𝐺 × 1 = 𝐺𝐺は𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,𝜑𝜑) 𝑄𝑄 の正規部分群で，完こされる基本群の完全系列

全系列0→ 𝑍𝑍 →𝜋𝜋1 (𝐾𝐾)→ 𝑍𝑍 →0を用いて，K の基本群𝜋𝜋1 (𝐾𝐾)は，集合𝑍𝑍 × 𝑍𝑍に積を,準同型写像 𝜑𝜑: 𝑍𝑍→ Aut(𝑍𝑍)={±1}と写像 𝑓𝑓: 𝑍𝑍 × 𝑍𝑍 → 𝑍𝑍を持つ．

1 → 𝐺𝐺 → 𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,𝜑𝜑) 𝑄𝑄 → 𝑄𝑄 → 1を用いて注意 4.3. 𝑓𝑓≡1 で𝜑𝜑が準同型写像のとき，𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,𝜑𝜑) 𝑄𝑄は半直積となり， 𝐺𝐺 ⋊𝜑𝜑 𝑄𝑄 で表す．

(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)･(𝑚𝑚, 𝛽𝛽) = (𝑛𝑛 + 𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚) + 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽), 𝛼𝛼𝛼𝛼)で定めた群であることを復習する 2)．

注意 4.4. 𝐺𝐺が可換群の場合，(i)より𝜑𝜑は準同型写像である 2)．

命題 4.1. 2 つの群𝐺𝐺, 𝑄𝑄と，次の(i)𝜑𝜑(𝛼𝛼)�𝜑𝜑(𝛽𝛽)(𝑛𝑛)� = 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)･𝜑𝜑(𝛼𝛼𝛽𝛽)(𝑛𝑛)･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)-1

命題 4.5. 群の完全系列 1→𝐺𝐺→𝐸𝐸→𝑄𝑄→1 に対して，
命題 4.1. の(i), (ii), (iii) を満たす 𝑓𝑓: 𝑄𝑄 × 𝑄𝑄 → 𝐺𝐺 および
写像 𝜑𝜑: 𝑄𝑄 → Aut(𝐺𝐺) が存在し，𝐸𝐸 は𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,𝜑𝜑) 𝑄𝑄 で表さ(ii) 𝑓𝑓(1, 𝛽𝛽) = 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 1) = 1

れる．

(iii) 𝜑𝜑(𝛼𝛼)�𝑓𝑓(𝛽𝛽, 𝛾𝛾)�･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽𝛽𝛽) = 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)･𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝛾𝛾)

証明 𝑠𝑠 ∶ 𝑄𝑄 → 𝐸𝐸 を 𝑠𝑠(1) = 1 ∈ 𝐸𝐸 を満たす切断とする．𝐸𝐸 の任意の元は, 適当な元 𝑛𝑛 ∈ 𝐺𝐺, α ∈ 𝑄𝑄 を用を満たす関数 𝑓𝑓: 𝑄𝑄 × 𝑄𝑄 → 𝐺𝐺 及び写像 𝜑𝜑: 𝑄𝑄 → Aut(𝐺𝐺)

いて𝑛𝑛 ⋅ 𝑠𝑠(𝛼𝛼)と書けるので, 𝑠𝑠(𝛼𝛼) = (1, α)，𝐸𝐸の任意の元を(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)とおく．写像 𝑓𝑓 ∶ 𝑄𝑄 × 𝑄𝑄 → 𝐺𝐺をが与えられれば，𝐺𝐺 × 𝑄𝑄は積；(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)･(𝑚𝑚, 𝛽𝛽) = �𝑛𝑛･𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚)･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽), 𝛼𝛼𝛼𝛼�

𝑠𝑠(𝛼𝛼) · 𝑠𝑠(𝛽𝛽) = 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) · 𝑠𝑠(𝛼𝛼𝛼𝛼),で群をなす．この群を，𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,𝜑𝜑) 𝑄𝑄 と表す．

𝜑𝜑: 𝑄𝑄 → Aut(𝐺𝐺) を証明(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)�(𝑚𝑚, 𝛽𝛽)(𝑙𝑙, 𝛾𝛾)�𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑛𝑛) = 𝑠𝑠(𝛼𝛼) · 𝑛𝑛 · 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼)= (𝑛𝑛, 𝛼𝛼)�𝑚𝑚･𝜑𝜑(𝛽𝛽)(𝑙𝑙)･𝑓𝑓(𝛽𝛽, 𝛾𝛾), 𝛽𝛽𝛽𝛽�( 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼) は 𝑠𝑠(𝛼𝛼) の逆元) で定めると，𝑓𝑓,𝜑𝜑は以下の通り 命題 4.1.の (i), (ii), (iii) を満たす.

= �𝑛𝑛･𝜑𝜑(𝛼𝛼) �𝑚𝑚･𝜑𝜑(𝛽𝛽)(𝑙𝑙)･𝑓𝑓(𝛽𝛽, 𝛾𝛾)� ･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽𝛽𝛽), 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼�

𝜑𝜑(𝛼𝛼)�𝜑𝜑(𝛽𝛽)(𝑛𝑛)�

= �𝑛𝑛･𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚)･𝜑𝜑(𝛼𝛼)�𝜑𝜑(𝛽𝛽)(𝑙𝑙)�･= 𝑠𝑠(𝛼𝛼) · 𝑠𝑠(𝛽𝛽) · 𝑛𝑛 · 𝑠𝑠 −1 (𝛽𝛽) · 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼)𝜑𝜑(𝛼𝛼)�𝑓𝑓(𝛽𝛽, 𝛾𝛾)�･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽𝛽𝛽), 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼�= �𝑛𝑛･𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚)･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)･𝜑𝜑(𝛼𝛼𝛼𝛼)(𝑙𝑙)･𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝛾𝛾), 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼�= 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) · 𝑠𝑠(𝛼𝛼𝛼𝛼) · 𝑛𝑛 · 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼𝛼𝛼) · 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)−122= 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) · 𝜑𝜑(𝛼𝛼𝛼𝛼)(𝑛𝑛) · 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)−1 ,るものが存在する．実際， 0 ∈ 𝑍𝑍 に対し，𝑠𝑠(0)を𝐸𝐸の単位元 𝑒𝑒に対応させる． 𝑟𝑟(𝑔𝑔1 ) = 1 ∈ 𝑍𝑍を満たす

𝑓𝑓(𝛼𝛼, 1)

𝑔𝑔1 ∈ 𝐸𝐸を一つ固定し，𝑠𝑠(1) = 𝑔𝑔1 とする．𝐸𝐸 はトーシ

= 𝑠𝑠(𝛼𝛼) · 𝑠𝑠(1) · 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼)ョンフリーなので， 𝑠𝑠 ∶ 𝑍𝑍 → 𝐸𝐸 を𝑠𝑠(𝑛𝑛) = 𝑠𝑠(1)𝑛𝑛 ，(𝑛𝑛は整数 ) とおくと， 𝑠𝑠 は単射準同型写像であり，= 1,𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑖𝑖𝑖𝑖 を満たす．よって，命題 4.5.の𝑓𝑓 として，𝑓𝑓(1, 𝛽𝛽)𝑓𝑓 ≡ 0 が取れて，𝐸𝐸 は𝑍𝑍 ⋊ 𝑍𝑍に同型である．

= 𝑠𝑠(1) · 𝑠𝑠(𝛽𝛽) · 𝑠𝑠 −1 (𝛽𝛽)= 1,５．𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 曲面の基本群

𝜑𝜑(𝛼𝛼)�𝑓𝑓(𝛽𝛽, 𝛾𝛾)� · 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽𝛽𝛽)

2 次元 𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott タワー= 𝑠𝑠(𝛼𝛼)𝑠𝑠(𝛽𝛽)𝑠𝑠(𝛾𝛾)𝑠𝑠 −1 (𝛽𝛽𝛽𝛽)𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼)𝑠𝑠(𝛼𝛼)𝑠𝑠(𝛽𝛽𝛽𝛽)𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼)

𝑀𝑀2 →𝑆𝑆 1 →{p}= 𝑠𝑠(𝛼𝛼) · 𝑠𝑠(𝛽𝛽) · 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼𝛼𝛼) · 𝑠𝑠(𝛼𝛼𝛼𝛼) · 𝑠𝑠(𝛾𝛾) · 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼)において，𝑆𝑆 1 束 ; 𝑆𝑆 1 → 𝑀𝑀2 → 𝑆𝑆 1 が存在する．この𝑆𝑆 1以上で，𝑓𝑓, 𝜑𝜑は (i), (ii), (iii) を満たす．また，E の積が引き起こされ，定理 4.8. より 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) ≅ 𝑍𝑍 ⋊𝜑𝜑 𝑍𝑍束から基本群の完全系列= 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) · 𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝛾𝛾).

0 → 𝑍𝑍 → 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) → 𝑍𝑍→0である．よって，𝜑𝜑(1) = 1 の と き は ， 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) ≅ 𝑍𝑍 2はなので， 𝑀𝑀2 はトーラスである． 𝜑𝜑(1) = −1のとき，(5.1)は中心拡大の引き戻し(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)･(𝑚𝑚, 𝛽𝛽)= 𝑛𝑛 ⋅ 𝑠𝑠(α) ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠(β)= 𝑛𝑛 ⋅ 𝑠𝑠(𝛼𝛼) ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 (𝛼𝛼)⋅ 𝑠𝑠(𝛼𝛼) ⋅ 𝑠𝑠(𝛽𝛽)

↑𝑍𝑍2

↑

↑

(5.2)

0 → 𝑍𝑍 → 𝑍𝑍 × 2𝑍𝑍 → 2𝑍𝑍 →0= 𝑛𝑛 ⋅ ･𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚)･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) ⋅ 𝑠𝑠(αβ)

を持つ．よって𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 )は群拡大

𝑛𝑛 ⋅ 𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚)･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) ∈ 𝐺𝐺 なので

0 → 𝑍𝑍 × 2𝑍𝑍→ 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) → Z2 →0(𝑛𝑛, 𝛼𝛼)･(𝑚𝑚, 𝛽𝛽) = �𝑛𝑛･𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚)･𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽), 𝛼𝛼𝛼𝛼� .

を持つ．また，可換図式(5.2)において，0 → 2𝑍𝑍 → 𝑍𝑍→ Z2 →0

以上より，𝐸𝐸 = 𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,𝜑𝜑) 𝑄𝑄 である．

は中心拡大で，𝑍𝑍 ≅ 2𝑍𝑍 ×𝑓𝑓′ 𝑍𝑍2 とおくと，注意 4.6. G が可換群で，𝜑𝜑≡1 のとき完全系列 1→𝐺𝐺→𝐺𝐺 ×(𝑓𝑓,1) 𝑄𝑄→𝑄𝑄→ 1 は中心拡大である．

𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) ≅ 𝑍𝑍 ⋊𝜑𝜑 �2𝑍𝑍 ×𝑓𝑓′ 𝑍𝑍2 �であり，�𝑛𝑛, (𝑧𝑧, α)�, �𝑚𝑚, (𝑤𝑤, β)� ∈ 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 )に対して，注意 4.7. 𝐺𝐺が可換群のとき, 命題 4.5.における 写像

は，𝜑𝜑 ∶ 𝑄𝑄 → Out(𝐺𝐺) であり，𝜑𝜑 は

�𝑛𝑛, (𝑧𝑧, 𝛼𝛼)� ⋅ �𝑚𝑚, (𝑤𝑤, 𝛽𝛽)�abstract kernel と呼ばれる 2) ．

= �𝑛𝑛 + 𝜑𝜑(𝑧𝑧, α)(𝑚𝑚), (𝑧𝑧, 𝛼𝛼)(𝑤𝑤, 𝛽𝛽)�定理 4.8. 群の完全系列0 → 𝑍𝑍 → 𝐸𝐸 → 𝑍𝑍 → 0が与えら= �𝑛𝑛 + 𝜑𝜑(𝑧𝑧, 𝛼𝛼)(𝑚𝑚), (𝑧𝑧 + 𝑤𝑤 + 𝑓𝑓 ′ (α, β), α)�．

れたとき，𝐸𝐸は半直積 𝑍𝑍 ⋊ 𝑍𝑍である．
証明 与えられた完全系列を 0 → 𝑍𝑍� → 𝐸𝐸 → 𝑍𝑍 → 0 とおく．完全系列の切断 𝑠𝑠 ∶ 𝑍𝑍 → 𝐸𝐸 で準同型写像な𝑍𝑍2↑↑0 → 𝑍𝑍 → 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 )→ 𝑍𝑍 →0= 𝑛𝑛 ⋅ 𝑠𝑠(𝛼𝛼) ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1 (𝛼𝛼) ⋅ f(α, β) ⋅ 𝑠𝑠(αβ).

𝜑𝜑: 𝑄𝑄 → Aut(𝐺𝐺)

(5.1)

23

ここで， 𝑓𝑓’(0, 0) = 𝑓𝑓’(1,0) = 𝑓𝑓’(0,1) = 0, 𝑓𝑓’(1,1) = 1,

𝜑𝜑�(𝑧𝑧, 1)� = −id𝜑𝜑�(𝑧𝑧, 0)� = id,𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) は，集合としてであり，積を定 理 5.1. ク ラ イ ン の 壺 の 基 本 群 は 𝑅𝑅2 ⋊ O(2) のtorsion free な離散正規部分群である．

である．よって,𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) ≅ (𝑍𝑍 × 2𝑍𝑍) × 𝑍𝑍2定理 5.2.

2 次元 𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott タワー
𝑀𝑀2 →𝑆𝑆 1 →{p}から引き起こされる基本群の完全系列
�(𝑛𝑛, 𝑧𝑧), 𝛼𝛼� ⋅ �(𝑚𝑚, 𝑤𝑤), 𝛽𝛽�0 → 𝑍𝑍 → 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) → 𝑍𝑍 →0= ��𝑛𝑛 + 𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚), 𝑧𝑧 + 𝑤𝑤 + 𝑓𝑓 ′ (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)�, 𝛼𝛼 𝛽𝛽�の abstract kernel 𝜑𝜑 ∶ 𝑄𝑄 → Out(𝐺𝐺) が 𝜑𝜑 ≡ 1のとき 𝑀𝑀2はトーラスで， 𝜑𝜑(1) = −id のとき𝑀𝑀2 はクラインの壺と微分同相である．

= ((𝑛𝑛, 𝑧𝑧) + 𝜑𝜑(𝛼𝛼)(𝑚𝑚, 𝑤𝑤) + 𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽), 𝛼𝛼 𝛽𝛽)で定めた群である．ここで，𝜑𝜑(0) = �10−1𝜑𝜑(1) = �00�,1６．終わりに
𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 曲面の分類は曲面の分類定理より明らかであるが，3 次元以上の 𝑆𝑆 1 -fibred nil Bott 多様0
�,1𝑓𝑓(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = �0, 𝑓𝑓 ′ (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)�.

体についての分類方法の一つとしては，Seifert 束の理論を用いる方法が知られている 3)．

群コホモロジーの理論より，𝜋𝜋1 (M2)が半直積𝑍𝑍 2⋊ 𝑍𝑍に同型でるための必要十分条件は，
Δλ(α, β) = 𝑓𝑓(α, β),𝜆𝜆(0) = (0,0)

(5.3)

参考文献
1) J. B. Lee and M. Masuda, Topology of iterated S1 -bundles,を満たす λ ∶ 𝑍𝑍2 → 𝑍𝑍 × 2𝑍𝑍 が存在することである 2)．
今，Osaka. J. Math. 50 (2013) no.4, 847-869.
2) K. B. Lee and F. Raymond, Seifert Fiberings (Am. Math.
Soc., Providence, RI, 2010) , Math. Surv. Monogr. 166.

𝛿𝛿𝛿𝛿(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = 𝜆𝜆(𝛼𝛼) + 𝜑𝜑(𝛼𝛼)�𝜆𝜆(𝛽𝛽)� − 𝜆𝜆(𝛼𝛼𝛼𝛼)3) M. Nakayama, On the S1 -fibred nilBott tower, Osaka. J. Math.

なので，51 (2014) no.1, 67-87.
4) 小林一章,曲面と結び目のトポロジー, 数学ぶっくす 11,𝛿𝛿𝛿𝛿(0,0) = 𝛿𝛿𝛿𝛿(1,0) = 𝛿𝛿𝛿𝛿(0,1) = (0,0) ,朝倉書店𝛿𝛿𝛿𝛿(1,1) = 𝜆𝜆(1) + 𝜑𝜑(1)�𝜆𝜆(1)� .

(2021. 9. 28 受付)

𝜆𝜆(1) = (0, 2𝑚𝑚) とおくと，これを満たす m は1m = ∉ 2𝑍𝑍 である．よって，(5.3)を満たす𝜆𝜆2は存在しないので，𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) ≇ 𝑍𝑍 2⋊ 𝑍𝑍 2 である．
そこで， pushout
0 → 𝑍𝑍 × 2𝑍𝑍→ 𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) → 𝑍𝑍 2 →00→を考えると，

↓R2 →

↓

↓

𝜋𝜋1→ 𝑍𝑍 2 →0𝜋𝜋1 (𝑀𝑀2 ) ≤ 𝜋𝜋1 ≅ 𝑅𝑅2 ⋊ 𝑍𝑍2 < 𝑅𝑅2 ⋊ O(2)である．以上で，定理5.1.，定理5.2.を得る．

24