社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

予測にもとづくネットワーク化制御系の安定化
永原正章†† 京都大学情報学研究科 〒 606–8501 京都市左京区吉田本町
あらまし

本稿では，ネットワーク化制御におけるパケットロスに対してロバストな制御手法であるパケット化予測制御を紹介し，その枠組みにもとづき，通信帯域の制約に対処するために，制御ベクトルのスパース表現を提案する．
フィードバック系を漸近安定にする制御ベクトルを特徴付け，そのなかで最もスパースなベクトルを求める 0 最適化として設計問題を定式化する．この問題はそのままでは組み合わせ最適化であり，その近似解を求めるための高速解法として OMP (Orthogonal Matching Pursuit) 法，および 1 /2 最適化による緩和とその高速解法である FISTA(Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm) を導入する．数値例により従来法である 2 最適化と比較した提案手法の有効性を示し，さらに OMP 法および 1 /2 最適化の利点と欠点を明らかにする．
キーワード ネットワーク化制御，モデル予測制御，スパース表現

Stabilization of networked control systems based on prediction
Masaaki NAGAHARA†† Graduate School of Informatics, Kyoto University Sakyo-ku, Yoshida-Honmachi, Kyoto, 606–8501 Japan
Abstract In this article, we introduce packetized predictive control that is known to be robust against packet
dropouts in networked control, and based on the control we propose sparse representation of control vectors to
overcome rate-limitedness of networks. We ﬁrst characterize the control vectors that asymptotically stabilize thefeedback control system, and then formulate the control problem as an 0 optimization to obtain the sparsest vector
among the stabilizing control vectors. This problem is combinatorial optimization that is diﬃcult to solve, andhence we adopt the OMP (Orthogonal Matching Pursuit) method and relaxed 1 /2 optimization with FISTA (FastIterative Shrinkage-Thresholding Algorithm). Examples show the eﬀectiveness of the proposed methods comparedwith the conventional 2 optimization method, and make clear advantages and disadvantages of the two proposed
methods.
Key words Networked control, model predictive control, sparse representation

1. は じ め にトワーク制御系が得られる．
送信する制御入力系列は長ければ長いほど，より多くのパネットワーク化制御系 [2], [4], [10] とは，無線通信などのネッケットロスに対応できるが，ネットワークは帯域制限されておトワークを介して制御対象を制御するシステムのことである．

り送信できるビットレートは限られるので，あまり長くはでき

現実のネットワークにはパケットロスや帯域の制限などがあり，ない．そこで本稿では，圧縮センシング等の研究で用いられてしたがってネットワーク化制御系では，それらによる安定性やいるスパース表現のテクニック [3] を導入し，送信パケットのス制御性能への影響を考慮する必要がある．本稿では，パケット

パース表現を試みる．この枠組みでのスパースな送信パケットロスに対してロバストな制御手法であるパケット化予測制御 [9]は，OMP (Orthogonal Matching Pursuit) 法 [6] または 1 /2

を紹介し，その枠組みにもとづき，通信帯域の制約に対処する

最適化 [11] により効率的に計算可能であることを示す．また数ための新しい安定化手法を提案する．

値例により，提案手法の有効性を示す．

パケット化予測制御では，モデル予測制御 [5] において計算さ記法

れる未来の制御入力信号系列をパケット化して送信する．送信

本稿では，以下の記法を用いる．N0 で非負整数の集合を表す．

が成功すれば，それを受信側のバッファで保存する．保存されすなわち，N0 := {0, 1, 2, . . . } である．Rn は n 次元実ベクトル

た制御入力系列は，以降，パケットロスが生じたときに使用さ空間であり，n = 1 のときは R と略記する．ベクトル x ∈ Rn√と正定値対称行列 P > 0 に対して，xP := x P x と定義れる．この方式により，パケットロスに対してロバストなネッu(x(k))u(k)Controller

x(k)

Buﬀer

Plant

(
F(x) ,u∈RN: xN 2P +

N−1
X

)

xi 2Q <= x Wx.

i=0

この集合は，N ステップまでの未来の状態の予測値が次の不
図 1 Networked Control System with PPC. The dotted line indi-

等式

cates an erasure channel.

xN 2P +N−1Xxi 2Q <= x Wxi=0

する．ただし， は転置を表す．特に P = I （単位行列）のとを満たすような制御入力 u = (u0 , u1 , . . . , uN−1 ) ∈ RN の集合

きは xI := x2 と表す．対称行列 A に対して，最小およびである．

最大固有値をそれぞれ，λmin (A), λmax (A) と表す．ベクトル次の各行列を定義する．

x = [x1 , . . . , xn ] ∈ Rn に対して，supp{x} を x の非ゼロ要| 0}
素の添え字の集合とする．すなわち，supp{x} := {i : xi =と定義する．

2. パケット化予測制御
本稿では，制御対象として以下の線形時不変系を考える．

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),k ∈ N0 ,x(0) = x0 , (1)

ここで x(k) ∈ Rn , u(k) ∈ R とし，(A, B) は可到達であると仮定する．この制御対象に対して，パケットロスが発生する信頼性の低いネットワークを介して制御を行うことを考える．
パケット化予測制御 [9] とは，時刻 k ∈ N0 での (1) の状態

x(k) の観測から，N ステップ未来までの制御入力を計算する．
通常のモデル予測制御 [5] では，計算された制御入力のうち，一2

uN−1 (x(k))

i

∈ RN

見よ）
．もし時刻 k+1 で送信パケットがロスしたとすると，入力u(k + 1) として，バッファに記憶された u1 (x(k)) を用いる．同

Φ0

3

n
o

F(x) = u ∈ RN : Gu − Hx22 <= x Wx .

［定理 1］ 行列 P > 0, Q > 0, W > 0 を次の手順で与えるとする．
（ 1 ） Q > 0 を任意に与える．
（ 2 ） P > 0 を次の Riccati 方程式の解とする:

P = A P A −とする．パケット化予測制御のより詳細な定式化は [9] を参照
せよ．上記の操作は N 回連続でパケットロスが起こるまで可A P BB  P A
+ Q.
BP B

(4)

（ 3 ） 次の各定数を求める．

能である．

c1 ,

［仮定 1］ 本稿では，N + 1 回以上連続でパケットロスは起こ

max

i=0,...,N−1

˘

−1 ¯
λmax Φ,i P Φi (G G)

ρ , 1 − λmin (QP −1 ),らないと仮定する．

3. パケットロスのもとでの安定化
本節では，仮定 1 を満たす任意のパケットロスに対して，
フィードバック系が漸近安定となるような制御ベクトルを特徴c,(1 − ρN )c1,1−ρ（ 4 ） 次の不等式を満たす行列 E を与える．

0<E <

付ける．
状 態 ベク ト ル x ∈ Rn が 与 え ら れた と き ，制 御入 力 を

u = (u0 , u1 , . . . , uN−1 ) としたときのモデル (1) にもとづく状態の予測 {xi }N−1
i=0 は以下のように与えられる．

i = 0, 1, . . . , N − 1. (3)

ここで，与えられた正定値対称行列 P , Q, W に対して，次のような集合を定義する．

2

このとき，集合 F(x) は次のように表すことができる．

様に時刻 k +2 でパケットロスが起これば，u(k +2) = u2 (x(k))

xi+1 = Axi + Bui ,3以上の準備のもとで，次の定理が成り立つ．

(2)

送信されたパケットは受信側でバッファに記憶される（図 1 を

x0 = x,0

G , Q̄1/2 Φ, H , −Q̄1/2 Υ.

すべての制御入力を次式のようにパケット化し送信する．

...

...

0

7 6
7
6
6
7
6 AB
B
... 077 6 Φ1 76=Φ,6
7 6 . 7,
.
.
.
.
6
..
..
. . .. 7 6 .. 7
5 4
5
4
N−1
N−2
B A
B ... BΦN−1Ahi
Φi , Ai B, Ai−1 B, . . . , B, 0, . . . , 0 , i = 0, 1, . . . , N − 1,
3
2
A
6 27
6A 7
7
6
Υ , 6 . 7 , Q̄ , blockdiag{Q, . . . , Q, P },| {z }
6 .. 75
4N−1AN

番はじめのもののみを送信するが，パケット化予測制御では，hu(x(k)) , u0 (x(k))

B

1−ρ
P.
c

（ 5 ） 行列 W を W = P − Q + E とする．
このとき，任意の x ∈ Rn に対して，集合 F(x) は少なくとも一つの要素を持ち，かつ各時刻 k ∈ N0 において，送信パケッ
トを

u(x(k)) ∈ F(x(k))
を満たすように選べば，仮定 1 を満たす任意のパケットロスに対して，図 1 のネットワーク化制御系は漸近安定，すなわち，

Algorithm 1 OMP for sparse control vector u(x)Algorithm 2 FISTA for sparse control vector u(x)Require: x ∈ Rn {observed state vector}

Require: x ∈ Rn {observed state vector}

Ensure: u(x) {sparse control packet}

Ensure: u(x) {sparse control packet}

k := 0.

k := 1.

u[0] := 0.

u[0] := 0.

r[0] := Hx − Gu[0] = Hx.

ũ[1] := 0.

S[0] := supp{x[0]} = ∅.

β[1] := 0.

while r[k]22 > x W x do

repeatfor j = 1 to N dogj r[k]= arg min g j z − r[k]22 .
zj :=g j 22z∈R
ej := g j zj − r[k]22 .

u[k] := shrinkν1
β[k + 1] := 12 +Find a minimizer j0 ∈ S[k] such that ej0 <= ej , for all j ∈ S[k].
S[k + 1] := S[k] ∪ {j0 }arg minsupp{u}=S[k+1]´G (Hx − Gũ[k]) + ũ[k] .

1+ β[k]2 .
4´
β[k]−1 `ũ[k + 1] := u[k] + β[k+1] u[k] − u[k − 1] .

end foru[k + 1] :=`1qκk := k + 1.
until u[k − 1] − u[k − 2]2 <= MAXITER.
= EPS or k >return u(x) = u[k − 1].

Gu − Hx22 .
v

r[k + 1] := Hx − Gu[k + 1].
k := k + 1.
end while
return u(x) = u[k].
−ν1 /κ

u0

lim x(k) = 0

ν1 /κ

k→∞

を満たす．

˜

証明: 省略．

4. スパースな制御パケットの設計
図 1 のパケット化予測制御において，ネットワークを介して送信される制御パケットがスパースであれば，パケットを符号`´
図 2 Single shrinkage function v = sgn(u) |u| − ν/κ + inshrinkν1 (u)化するときに，密なパケットよりもより効率的なデータ圧縮が可能である．そこで，時刻 k ∈ N0 での状態の観測値 x(k) にu(x) = arg min ν(x)u1 +u∈RN

もとづいて決定される制御パケット (2) をスパースにする，す1
Gu − Hx22 .
2

なわち，パケット u(x(k)) の要素 ui (x(k)) がなるべく 0 とな

ただし，ν(x) は上記の最適解が集合 F(x) に入るように適切るような制御を考える．定理 1 の条件を満たす正定値対称行列に決定する必要があるが，これを求めるのは困難であるので，P , Q, W をあらかじめ決めておき，時刻 k ∈ N0 における送信問題を緩和し，定数値 ν(x) = ν1 を採用する．このとき，定パケット u(x(k)) を F(x(k)) の中から選べば，フィードバッ

理 1 に示したような漸近安定性は失われるが（注 1） この 1 /2

ク系の漸近安定性が保証される．これにもとづき，送信パケッ

最適化は FISTA (Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Al-

ト u(x(k)) として，集合 F(x(k)) のなかで最もスパースなも

gorithm) と呼ばれる高速アルゴリズムにより OMP 法よりものを選ぶ．すなわち，次の最適化問題を考える．

さらに効率的に解くことができる [1]．FISTA のアルゴリズ

u(x(k)) = arg min u0 , k ∈ N0 .

ムを Algorithm 2 に示す．ただし，Algorithm 2 の中の κ は(5)u∈F (x(k))

この最適化問題は，組み合わせ最適化であり，ベクトル u のサ
イズ N が大きくなると，指数関数的に計算量は増大する [8]．
しかし，(5) の最適化は各時刻 k ∈ N0 においてオンラインで計算する必要があり，その計算時間はなるべく短いほうが望ましい．そこで，(5) の近似解を高速に求めることが可能な OMP(Orthogonal Matching Pursuit) 法 [6] を導入する．状態ベク
トル x が得られたときに，スパースな送信パケット u(x) を得るための OMP アルゴリズムを Algorithm 1 に示す．

κ > λmax (G G) を満たす定数であり，また関数 shrinkν1 (·)
は，スカラー ν1 ∈ R およびベクトル u = [u0 , . . . , uN−1 ] に
対して，

2

3
`
´
sgn(u0 ) |u0 | − ν1 /κ +
6
7
..
6
7
shrinkν1 (u) , 6
7,
.
4
`
´ 5
sgn(uN−1 ) |uN−1 | − ν1 /κ +で定義される．ここで，u ∈ R に対して，sgn(u) := u/|u|,(u)+ := max{u, 0} である（図 2 を参照せよ）．

スパースな送信パケットを得るもう一つの方法として，次の1

 /2 最適化がある:（注 1）：Practical 安定性，すなわち原点を含むある有界閉集合への収束は示すことができる [7]．

Control performance

5. 設 計 例

5.6

本節では提案法の有効性を確認するために，数値例題を示す．

5.5

制御対象として，次の状態空間行列をもつ線形時不変システ

5.4

ム (1) を考える（注 2）:−0.12426
6 −2.5415
A=66
4 0.2772−0.1962−0.6071−0.3057−0.8284−1.1289
0.1942−0.1960
2

5.3

3−1.1221||x||22

5.2

0.535870.0460 77,7−1.2386 5

0.10950.63825

3−0.12426
7
6 −2.5415 7
6
7.
B=6
7
4 0.2772 5

5.1

4.9 −3
10

−1

ν

10

0

10

1

2

10

for 1 /2 optimization (solid) and 2 optimization (dash).

状態予測の長さ，すなわち制御パケット (2) のサイズを N = 10とする．次に，正定値対称行列 Q を単位行列，すなわち Q = Iとして，定理 1 の手順に従って，正定値対称行列 Q, P , W を

さらに，上の 2 最適化で ν2 = 0 とおいた理想的な制御パケッ
ト（注 3）u (x) = (G G)−1 G Hx.

選ぶ．Riccati 方程式 (4) の解は

6
6
P =6
6
4

10

図 3 Regularization parameter ν versus control performance x2

−0.1960

2

−2

10

0

3

1.00000002.9856−0.69910−0.6991

1.85487
2.1910 77,7
0.1418 502.19100.14184.7892

も比較の対象とする．
まず，1 /2 最適化および 2 最適化における正則化パラメー
タ ν1 > 0 と ν2 > 0 を決定する．これらのパラメータを 10−3から 102 まで変化させて，制御性能，すなわち，状態 {x(k)}99
k=0の 2 ノルムを計算したものを図 3 に示す．この図より，制御で与えられ，また定数 ρ と c は ρ = 0.8406 および c = 5.1685

性能が最も良くなる ν1 = 8.5 と ν2 = 0.25 をそれぞれ 1 /2となった．これらの定数を用いて，最適化および 2 最適化の正則化パラメータとして採用する．

E=

シミュレーションは 500 回行った．それぞれのシミュレー

2 1−ρ
1−ρ
·
·P <
·P
3
c
c

ションにおいて，パケットロスは仮定 1 の条件を満たすように
ランダムに生成し，また制御対象の初期状態 x(0) = x0 は，そとし，行列 W = P − Q + E を計算すると

2
6
6
W =6
6
4

0.02060002.0470−0.71350−0.713502.23610の要素を平均 0，分散 1 の正規分布から独立にランダムサンプ

3

ルして選ぶ．

0.89307
2.2361 7770.1447 5

す．この図より，OMP 法および 2 最適化による制御パケッ

0.14473.8877

トと理想的な制御パケットはほぼ指数安定性を示しているが，

図 4 に時刻 k における状態 x(k) の 2 ノルムの平均値を示

1 /2 最適な制御パケットによる制御はある値以下にはならなとなる．
以上の準備のもと，Algorithm 1 で与えられる OMP 法，および ν(x) = ν1 > 0 （定数）として Algorithm 2 の FISTA で計算される 1 /2 最適な制御パケットを用いてパケット化予測
制御のシミュレーションを時刻 k = 0 から 99 まで行う．比較のため，従来法である次の標準的な 2 最適化による制御パケットの設計も考える:い．これらの結果は，本稿の定理 1 および文献 [7] で示された

1 /2 最適パケットによる安定性定理の結果と一致している．
特に，提案法である OMP 法による制御と従来法である 2 最適化による制御で，制御性能はほぼ互角であることが図 4 よりわかる．
図 5 に OMP 法および 1 /2 最適化による制御パケットのス
パースさ，すなわち 0 ノルムの平均値を示す．なお，1 /2 最1
ν2
u22 + Gu − Hx22 .
min
2u∈RN 2

適化による制御パケットおよび理想的な制御パケットは，常に

ここで ν2 > 0 は定数である．なお，この最適解 u2 (x) は以下より，OMP 法で約 40% の，1 /2 最適化で約 75%の要素が 0のように解析的に求めることができる:となることがわかる．1 /2 最適化では，制御ベクトルの計算

u2 (x) = (ν2 I + G G)−1 G Hx.

密なベクトル，すなわち 0 ノルムが N = 10 となる．この図(6)のために漸近安定性を犠牲にしたが，その分，漸近安定性を示
す OMP 法による制御ベクトルよりもはるかにスパースなベク（注 2）：これらの行列の各要素は，平均 0，分散 1 の正規分布から独立にランダ（注 3）：この制御パケット u (x) は誤差 Gu − Hx2
2 を最小にするという意

ムサンプルされたものである．

味で理想的である．

以上のシミュレーション結果をまとめる．OMP 法によるパ

2−norm of the state x(k)1010ケット化予測制御では，フィードバック系を漸近安定性にしつつ，スパースな制御ベクトルを効率的に求めることができる．

010

いっぽう，1 /2 最適化による制御では，漸近安定性は成り立−10

10

たないが，OMP 法に比べ，はるかにスパースな制御ベクトル||x(k)||

2

がより高速に求まる．従来法の 2 最適化も漸近安定を達成す

−20

10

ることができ，また制御ベクトルの計算は行列の掛け算だけで−3010あるので非常に高速であるが，制御ベクトルはスパースとはな

OMP
−40

10

らず，効率的なデータ圧縮には向かないと考えられる．

L1/L2
Ideal

6. お わ り に

L2
−50

10

0

10

20

30

40

50
k

60

70

80

90

100

本稿では，パケットロスに対してロバストな制御手法である
パケット化予測制御を紹介し，その枠組みにもとづき，通信帯

図 4 Average 2-norm of the state x(k).

域の制約に対処するために，制御ベクトルのスパース表現を提Sparsity ||u(k)||0

案した．フィードバック系を漸近安定にする制御ベクトルを特徴付け，そのなかで最もスパースなベクトルを求める 0 最適

109化として設計問題を定式化した．この問題はそのままでは組み

OMP||u(k)||08

合わせ最適化であり，その近似解を求めるための高速解法とし

L1/L2

7

て OMP 法，および 1 /2 最適化による緩和とその高速解法で6ある FISTA を導入した．数値例により従来法である 2 最適

5化と比較した提案手法の有効性を示し，さらに OMP 法および

4

1 /2 最適化の利点と欠点を明らかにした．
文

3
2
0

10

20

30

40

50
k

60

70

80

90

100

図 5 Average sparsity of the control vectors.
Computational time

−2

10

OMP
L1/L2
−3

L2

Time (sec)

10

−4

10

−5

10

−6

10

0

10

20

30

40

50
k

60

70

80

90

100

図 6 Average computational time.

トルが得られていることがわかる．
次にそれぞれの方法による最適制御ベクトルの計算時間の平均値を図 6 に示す．FISTA アルゴリズムを用いた 1 /2 最適化のほうが OMP 法よりも約 5 倍ほど早く計算できることがわ
かる．なお，2 最適化の計算は，(6) で与えられる公式により，
行列 (ν2 I + G G)−1 G H をオフラインであらかじめ計算しておいて，それを状態の観測ベクトル x(k) に掛けるだけであるので，非常に高速に計算できる．

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