サンプル値制御理論による適応フィルタ設計

Design of Adaptive Filters via Sampled-Data Control Theory
京都大学○ 永原 正章

山本 裕

M. Nagahara and Y. Yamamoto
Abstract
Design and analysis of adaptive algorithms such as LMS (Least Mean Square) areconventionally done by assuming that the adaptive systems are discrete-time systems. However,in real systems such as active noise control, systems to be adapted are continuous-time ones.
Therefore, such systems should be designed and analyzed as sampled-data systems. In this article,
we propose a design of adaptive systems taking account of continuous-time behaviors via lifting
technique in sampled-data control theory.

1

はじめに

xc (t)

P (s)

e(t)

d(t)

本研究では，アクティブ消音で通常よく用いられる

w(t)filtered-x 適応アルゴリズム [2] を考察する．この filteredx 適応アルゴリズムのほとんどは，対象システムを離散−F (s)Sh時間システムと仮定して議論が進められている．

Hh

しかし，アクティブ消音で考察する対象システム（ダx[n]クトやマイク，スピーカ等）は連続時間システムであり，K(z)y[n]それらの連続時間特性を考慮した解析や設計が望ましい．
そこで本研究では，サンプル値制御理論 [1] を用い，連図 2: アクティブ消音システムのブロック線図

続時間特性を考慮した離散時間の適応フィルタ設計法を提案する．

おいて，P (s) は図 1 の A 点から C 点までの一次経路の伝達関数，また，F (s) は B 点から C 点までの二次経アクティブ消音における適応アルゴリズム

路の伝達関数であり，ともに連続時間システムである．

図 1 のアクティブ消音システムを考える．この図に

AD 変換器は，サンプル周期 h で動作する理想サンプ

おいて，xc (t) はダクトに入力する雑音（参照信号）でラ Sh によってモデル化し DA 変換器は周期 h で動作2あり，連続時間信号である．この信号を A 点に設置したマイクにより測定し，AD 変換器によりディジタル信するゼロ次ホールド Hh とする．
本研究では，以下の問題を考える．

号に変換する（これを x とする）．フィルタ K(z) に問題 1 与えられた実数 T > 0 （ただし T = mh, mより，この信号が処理され，DA 変換器を介してスピーは自然数とする）に対して，次の連続時間評価関数
 T
J=|e(t)|2 dt(1)

カ B から音として出力される．このシステムの目的は，ディジタルの処理系 K(z) をうまく設計することで，C点での誤差信号 e(t) をなるべく小さくすることである．
このシステムのブロック線図を図 2 に示す．この図に

xc (t)0を最小化する離散時間適応フィルタ

K[n](z) =AxDAK(z)n = 0, 1, 2, . . . , m(2)を求めよ．

e(t)
AD

ak [n]z −k ,k=0CBN−1y

図 1: アクティブ消音システム

この問題は，従来の適応フィルタの問題と異なり，連続時間の評価関数を最適化する離散時間フィルタを求める問題である．また，取り扱う信号を従来のような確率過程でなく，確定的な信号としているのも本問題の特徴である．このような問題に対するアプローチとしては，サンプル値制御理論が有効である．

201.5010.5

Gain (dB)−200−40−0.5−60−1−8002π46Frequency (rad/s)

810−1.5020

図 3: F (s) （実線）と P (s) （破線）の周波数応答．点40608010080100

図 4: 入力 xc (t)線は Nyquist 周波数を示す．
0.35

サンプル点間応答を考慮した適応フィルタ

3

サンプル値制御理論におけるリフティング [1] により，

L2 の連続時間信号は関数空間 L2 [0, h) に値を持つ離散（無限次元の）時間信号となり，図 2 のサンプル値系は，離散時間系として記述できる．また連続時間の評価関数

0.3
0.25
0.2
0.15

(1) も等価的に離散時間信号に対する評価関数に変換される．離散時間信号のとる値の無限次元性に注意すれば，0.1

適応アルゴリズムは，従来の離散時間系の場合と同じよ0.05

うに導出でき，フィルタ (2) の係数 ak [n] の更新則は以下で与えられる [3]．

 nhak [n + 1] = ak [n] + µ0k = 0, . . . , N − 1,e(t) u(t − kh)dt,

204060

図 5: 誤差 |e(t)|: 提案手法（実線），従来法（破線）(3)

n = 0, 1, 2, . . . , m.

ただし u = F Hh Sh xc である．ここで，(3) の積分計算
は，誤差信号 e(t) をサンプル周期 h/L （L は自然数）で高速サンプルすることにより，近似計算が可能である[4]．

400する．図 5 に誤差信号の絶対値 |e(t)| を示す．同時に従来法の filtered-x 適応アルゴリズムによるシミュレーション結果も示す．この結果より，ナイキスト周波数より高い周波数にピークを持つような連続時間システムに対して，サンプル点間応答を考慮した本手法は従来法よりも有効であると言える．

数値例
ここでは，数値例により提案手法の有効性を示す．サンプル周期を h = 1 とし，区間の長さを T = 50 とする．
積分の近似計算のための高速サンプル比を L = 8 とする．
適応フィルタのタップ数を N = 8 とする．伝達関数 F (s)と P (s) をそれぞれ ω = 1, 2, 3, 4 と ω = 1.2, 2.4, 3.6, 4.8にピークを持つ振動系とする（図 3）ここで，ナイキス
ト周波数は ω = π であるが，これらのシステムはその周波数以上にもピークを持っていることに注意する．入力 xc (t) を周期 T = 50 の矩形波とする（図 4）．時刻t > T でのフィルタ係数は ak [51] (k = 0, . . . , 7) で固定

参考文献[1] T. Chen and B. A. Francis: Optimal Sampled-DataControl Systems, Springer (1995)[2] 西村, 宇佐川, 伊勢: アクティブノイズコントロール,コロナ社 (2006)[3] 永原, 山本: サンプル値制御理論による適応アルゴリ
ズムの設計; 第 8 回 SICE 制御部門大会 (2008)[4] M. Nagahara and Y. Yamamoto: Hybrid designof filtered-x adaptive algorithm via sampled-data
control theory; ICASSP2008 (2008)