第 1 回北見数理科学研究会
日時：2024 年 8 月 26 日 (月) 10 時 ∼ 27 日 (火) 17 時
場所：北見工業大学 多目的講義室 (北海道北見市公園町 165 番地)
幹事：澤田 宙広 (北見工業大学)

プログラム
8 月 26 日 (月) 10 : 00 ∼開会挨拶

10 : 00 ∼ 11 : 00 小薗 英雄 (早稲田大学／東北大学)
11 : 00 ∼ 12 : 00 可香谷 隆 (室蘭工業大学)
昼食休憩

13 : 00 ∼ 14 : 00 山崎 昌男 (早稲田大学)
14 : 00 ∼ 15 : 00 瓜屋 航太 (岡山理科大学)
コーヒーブレイク

15 : 30 ∼ 16 : 30 山本 征法 (新潟大学)
18 : 00 ∼懇親会

8 月 27 日 (火) 10 : 00 ∼ 11 : 00 柳澤 卓 (奈良女子大学)
11 : 00 ∼ 12 : 00 渡邊 圭市 (公立諏訪東京理科大学)
昼食休憩

13 : 00 ∼ 13 : 45 石井 宙志 (北海道大学)
13 : 45 ∼ 14 : 30 祐川 翼 (京都大学)
コーヒーブレイク

14 : 45 ∼ 15 : 30 青木 基記 (京都大学)
15 : 30 ∼ 16 : 15 出口 直人 (東京工業大学)
16 : 15 ∼ 17 : 00 牧田 慎平 (北海道大学)
17 : 00 ∼閉会挨拶

講演の題目と概要
小薗 英雄 (早稲田大学／東北大学)
題目： 一般化された準地溝流方程式に対する臨界ローレンツ・ベゾフ空間における最大正則性定理
概要： n 次元ユークリッド空間における準地溝流方程式の初期問題の適切性を考察する. まずは線形化方程式に対して, ローレンツ・ベゾフ空間における最大正則性定理を確立する. 次に時空間における最大正則性ノルムを基礎として, 非線形項に附随する双線形評価式を導出する. ここで得られた双線形評
価式は, 方程式から自然に決まるするスケール変換に関して不変な最大正則性ノルムであることに注意されたい. その応用として, n 次元準地溝流方程式に関して, 任意の初期値に対する時間局所適切性, 及び小さな初期値に対する時間大域的適切性が示せる. 本講演は, Reer Kunstmann 氏（Karlsruhe大）と清水扇丈氏（京都大） との共同研究に基づくものである.
可香谷 隆 (室蘭工業大学)
題目： Sharp interface limit for a quasi-linear large deviation rate function
概要： 本講演では, 大偏差原理で現れるある汎関数に対する特異極限問題を考察する. 汎関数の特徴として, Allen-Cahn 方程式の解が最小解であることが挙げられる. Allen-Cahn 方程式の解は, 近似パラメータの極限を取ると, Sharpinterface が現れ, 平均曲率流によって動くことが知られている. 本講演で扱う汎関数に対しては, 一般の曲面流に対し, 曲面流を Sharp interface として生成するある関数の形に制限すると, その関数クラス上で, 汎関数が平均曲率流を最小解とする曲面流に対するある汎関数にガンマ収束することを示す. 本講演の内容は, 九州大学の角田謙吉氏との共同研究に基づく.
山崎 昌男 (早稲田大学)
題目： structural damping 項を持つ半線形波動方程式の aincient solution
概要： structural damping 項を持つ半線形波動方程式でスケール不変性を持つものを考える. 特に時間に依存する外力項が全ての時間で与えられている場合が考察の中心である. 空間次元が 3 以上で, パラメータが次元に応する定数より大きい場合, 小さい外力に応する小さい定常解が一意的に存在することを示す. 典型的な場合としては時間周期的あるいは概周期的な外力に対し, 解もこれらの性質を持つ. またこの解の初期摂動に対する安定性, および初期値問題に対する結果も成り立つ. さらに上に与えた小ささ, 次元, パラメータに対する過程が本質的であることも条件が成り立たない場合は解が爆発することを証明することで示す. 本研究は山崎多恵子氏（東京理科大学）との共同研究である.

瓜屋 航太 (岡山理科大学)
題目： Asymptotic behavior of the solution to a system of cubic nonlinear Schrödinger
equations in one dimension
概要： In this talk, we consider the asymptotic behavior of the solution to general
two-component system of cubic nonlinear Schrödinger equations in one dimension. We give the asymptotic behavior of the solution depending on thecoeﬃcients of the nonlinearity. In particular, certain quadratic quantities
for the solution to the approximate system of ordinary diﬀerential equations
play a role in our analysis. This is a joint work with S. Masaki (HokkaidoUniv), J. Segata (Kyushu Univ).
山本 征法 (新潟大学)
題目： 非圧縮性 Navier–Stokes 流の時間大域挙動に現れる放物型スケーリングについて
概要： 全空間における非圧縮性 Navier–Stokes 流の時間大域挙動について考察する. この初期値問題については, 初期条件に十分な小ささや滑らかさを仮定すれば時間大域的な解を構成できることが知られており, さらには Carpio (1996), Fujigaki–Miyakawa (2001) による Escobedo–Zuazua (1991) 型の漸近近似が知られている. Navier–Stokes 流においては, 非圧縮性に起因して流速が瞬時に遠方に伝わるが, これに起因して Escobedo–Zuazua 型の漸近近似には宿命的な精度の限界がある. 具体的には流速の成分を時間減衰の遅いものから順に並べたとき, 空間次元を n として λ2n U (λ2 t, λx) =U (t, x) のスケーリング項までしか導出することが出来ない. 一方, Biot–Savart 則を通して流速と同値な渦度については, 伝播の特性の違いからこのような問題は起こらない. 渦度の展開を経由して, 空間遠方での流速を近似する研究が Kukavica–Reis (2011) により成されているが, このアイデアに繰り込み法を併せると流速の時間大域挙動について従来よりも精密な評価が得られる. 具体的には, 滑らかな函数 Um , Km でスケーリング
λn+m (Um , Km )(λ2 t, λx) = (Um , Km )(t, x) を持ち, 流速 u に対し u(t) ∼∑2n∑2nm=1 Um (t) +m=n+1 Km (t) log t (t → +∞) を満たすものが存在する. これらの展開項は, 係数が解のモーメントから成る煩雑なものであるが, 概ね
gaussian の Riesz 変換を m 階微分したものである. なお, Carpio, Fujigaki–Miyakawa の誤差評価には対数発展が見られるが, その正体が Kn+1 (t) log tであり, 先行研究の評価はシャープなものであることが分かる.
柳澤 卓 (奈良女子大学)
題目： Modiﬁed heat kernels and the application to the Stokes equations概要： We present scaled modiﬁed heat kernels with the time and spatial shifts
as appropriate long-time asymptotic proﬁles of the initial value problem tothe n-dimensional heat equation. More precisely, we introduce a new ansatz
which puts eﬀectively the information of the higher order initial moments
into the heat kernel by using Taylor’s formula systematically, and show thatsuch modiﬁed heat kernels give ﬁne long-time asymptotic proﬁles to thesolution of the initial value problem of the n-dimensional heat equation byestimating the error terms carefully. We then obtain long-time asymptotic
proﬁles of the Stokes equations by means of our modiﬁed heat kernels.
渡邊 圭市 (公立諏訪東京理科大学)
題目： Free boundary problem of the Navier-Stokes equations in maximal L1 regularity class
概要： ナビエ・ストークス方程式の自由境界問題の適切性を最大 L1 正則性の枠組みで考える. 本研究では線形化作用素のスペクトル解析及び実補間理論を組み合わせることで線形化作用素の最大 L1 正則性を示す. さらに縮小写像の原理と組み合わせることで非線形問題の時間局所及び大域適切性を示す.
本研究は柴田 良弘 氏（早稲田大学・名誉教授）との共同研究に基づく.
石井 宙志 (北海道大学)
題目： 時間非整数階微分を持つ Fisher-KPP 型方程式の解の伝播について
概要： 本講演では, 時間非整数階微分として Caputo 微分を持つ反応拡散方程式の解の伝播について考える. 主に, Fisher-KPP 型方程式として単安定な非線形性を持つ場合を扱う. 本研究では解の伝播を特徴づけるために, 漸近的に解が進行波解に近づいていくという仮定の下で漸近進行波解の概念を導入し, 単調反復法を用いてその存在を示した. 本講演では存在を示すために用いた数学的な手法を紹介するとともに, 漸近進行波解が解の伝播を特徴づける解であることを示唆する数値計算結果を報告する.
祐川 翼 (京都大学)
題目： 保存量をもつ反応拡散コンパートメントモデルの線形化固有値問題
概要： 保存量をもつ反応拡散系は細胞極性現象の数理モデルとして知られており,数値シミュレーションにおいて, 複数のピークをもつパターンが空間的に単調なパターンに遷移するダイナミクスがみられる. 筆者達はこのダイナミクスを理解するため, 反応拡散コンパートメントモデルを導入した. このモデルは元の反応拡散系が定めっている区間を複数の区間に分割し, 各区間の境界条件として拡散結合を課したものである. 本研究では先述の遷移ダイナミクスの理解を動機として, 反応拡散コンパートメントモデルにおける線形化固有値問題を扱う. 講演ではこの問題についてこれまで得られた結果について紹介する. 本講演は城西大学の栄伸一郎氏との共同研究に基づく.

青木 基記 (京都大学)
題目： On the ill-posedness for the full system of the compressible Navier–Stokes
equations in the Besov spaces
概要： 本講演では, 理想気体の運動を記述する温度付き圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式の初期値問題の適切性について考察する. 温度付き圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式は質量保存則, 運動量保存則, エネルギー保存則により構成される方程式である. 近年, 本方程式の初期値問題の適切性は尺度不変性から定まる臨界ベソフ空間で考察されてきた. 実際, 2 次元空間においては任意の可積分指数において初期値問題が非適切になることが Iwabuchi–Ogawa(2021) によって示されている. また, 3 次元以上の空間においては, 可積分指数が次元より真に小さい場合は一意可解的になることが Chikami–Danchin(2015) によって, 可積分指数が次元より真に大きい場合は初期値問題が非適切になることが Chen–Miao–Zhang (2015) によってそれぞれ示されている.
しかし, 可積分指数が次元に一致する場合における初期値問題の適切性・非適切性は明らかになっていなかった. 本結果では, 可積分指数が次元と一致するとき 尺度不変となる Besov 空間で初期値連続依存性が成立しないことを示す. 本講演は, 岩渕 司 氏 (東北大学) の共同研究に基づく.
出口 直人 (東京工業大学)
題目： 定常外力付き圧縮性 Navier-Stokes 方程式の低 Mach 数極限
概要： 3 次元全空間における定常外力付き圧縮性 Navier-Stokes 方程式の低 Mach 数極限について考察する. 外力が時間減衰するときは Klainerman-Majda (1981)
や Lions-Masmoudi (1998) により圧縮性 Navier-Stokes 方程式の速度場が非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の解に収束することが既に示されている. 本
講演では定常外力付きの方程式の定常問題と非定常問題それぞれについて低マッハ数極限問題を考察し, 得られた結果を紹介する.
牧田 慎平 (北海道大学)
題目： Stability of metric viscosity solutions under Hausdorﬀ convergence
概要： We establish a stability result for metric viscosity solutions of HamiltonJacobi equations for a sequence of domains converging in the Hausdorﬀ
sense. A background of this study is domain perturbation problems for
Hamilton-Jacobi equations. A key to the proof of the stability of metricviscosity solutions is a characterization of the metric viscosity solutions by
the squared distance functions. This talk is based on a joint work with
Atsushi Nakayasu (Univ. of Tokyo).