論文

長岡金峰神社の紛失算額
涌田 和芳1・山田 章2・島津 大3
若山 想思4・市野 梨保子3・矢野 敦大4・山崎 瑠聖4
1 長岡工業高等専門学校名誉教授（Professor Emeritus, National Institute of Technology, Nagaoka College）
2 一般教育科（Division of General Education, National Institute of Technology, Nagaoka College）
3 機械工学科（Department of Mechanical Engineering, National Institute of Technology,Nagaoka College）
4 電子制御工学科（Department of Electronic Control Engineering, National Institute of Technology,Nagaoka College）

The Sangaku Lost from the Kinpu Shrine in Nagaoka
Kazuyoshi WAKUTA1, Akira YAMADA2, Dai Shimazu3,Soshi Wakayama4, Rihoko Ichino3, Atsuhiro Yano4 and Ruki Yamazaki4Abstract
A mathematical tablet called sangaku was dedicated to the Kinpujinjya—the shinto shrine in Nagaoka
in 1795. The sangaku is a historical work that shows the wasan—the traditional Japanese mathematics inthe Edo period of Japan. However, this sangaku does not currently exist and remains only in the literature.
Then, we try to reproduce the sangaku through the drawing by computer. The sangaku is constituted oftwo problems. We infer the solutions at the time.
Key Words : wasan, sangaku, reproduction by computer, solution

１．はじめに算額は，江戸時代の和算の様子を知ることの出来る貴重な資料である．残念ながら金峰神社の算額は中村時万編『賽祠神算』 の中に，「北越長岡蔵現存していないが，幸い『賽祠神算』に額文が残っ王権現社」とあり，寛政 7（1795）年に奉納された算額が集録されている．蔵王権現社は，金峰神社のていたので，これを描画ソフトを用いて復元した．
算額の問いは 2 つで，ともに図形の問題である．第ことである．この算額は現存しない．算額の奉納者

一問は楕円と円の問題である．和算家の解法は知らは長岡市（旧三島郡三島町）新保の米持矩章である．

れていないので，当時の解法を推測する．第二問は米持矩章は同じ年に柏崎市の椎谷観音堂にも算額を円錐の中に球を規則的に沢山いれたときの問題であ奉納しているる．こちらについては道脇義正，八田健二著『新潟1)2)．また，その門人の片桐總盈，原村の算額』4) を参考に当時の解法を推測する．

本の二人が寛政 12（1800）年に与板八幡宮に算額

和算については，明治以降，科学史の立場から研を奉納しており 3)，当時三島では数学の研究が盛ん究が行われ，その成果は海外にも紹介され反響を呼だったことが窺える．
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んだ 5)～8)．近年は学術的な研究のみならず，一般の答へて曰く，等円径八寸．

人々への紹介や数学教育の立場からの研究も盛んで術に曰く，短径を置き，長径冪を乗じ，子と名づある 9)～19)．

く．短径冪を置き，これを倍し，長径冪を加へ，以て子を除し等円径を得て問ひに合す．

２．算額復元図[現代語訳]
今，図のように，楕円の中に 3 個の等円がある．

金峰神社の算額は現存していないため，その大き左右の 2 円は，それぞれ，楕円の周の 2 か所に接し，さ，図の色などは不明である．現存する当時の他の算額を参考に大きさを縦 78.0cm，横 114.1cm，奥行

中央の円は楕円の上周および隣の円周に接している．

き 2.6cm で復元した．図の色も当時用いられていた
色 か ら 推 測 し た ． 描 画 ツ ー ル （ Adobe Illustrator

9 寸とする．等円の直径を求めよ．

ただし，楕円の長軸の長さは 36 寸，短軸の長さは答．等円の直径は 8 寸である．

cs3）を用いて作成した復元図を図-1 に示す．

術．楕円の短軸の長さに長軸の長さの 2 乗を掛けて子と名づける．短軸の長さの 2 乗を 2 倍し，長軸の長さの 2 乗を加え，これで子を割って，等円の直３．額文の解説

径を得る．答えは題意に合う．

３．１

３．２

第一問の額文について額文の書き下し文を一案として書き，その現代語第二問の額文について[書下し文]訳を示す．和算の用語については説明をしないが，今，図の如く円錐の内に累球を容るる有り．たが現代語訳と比較すれば、その意味が分かる．

ひに六球を累ぬ．只し云ふ，甲球径若干，高若干．
逐球径を求むる術如何と問ふ．
答へて曰く，左術に依り逐球径を求む．

[書下し文]
今，図の如く側円の内に等円三箇を容るる有り．

術に曰く，三箇を置き，平方にこれを開き，甲球二円はおのおの側円周の二処に切し，交円は側円の径を乗じ，天と名づく．高を置き，これを自らし，上周及び隣の円周に切す．只し云ふ，長径三十六寸，甲球径を以てこれを除す．得たる内，高を減じ，地短径九寸．等円径幾何と問ふ．と名づく．甲球径を加へ，人と名づく．天を置き，図-1 算額復元図

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地を加へ，人を以てこれを除す．一箇を加へ，これO3を二除し，法と名づく．これを自らし，内，一箇を減じ，余りは平方にこれを開き，商を得．以て法をO1H減じ，余りを円法とす．甲球径を置き，円法を乗じ，O2乙球径を得．円法を乗じ，丙球径を得．円法を乗じ，丁球径を得．この如く逐て，逐球径を求めて問ひに図-2 第一問の解法図合す．
[現代語訳]

これを整理して今、図のように，円錐の中に球があり，6 球ずつ

p 2  b 2  2br  3r 2  0

互い違いに重なっている．ただし，円錐の高さと甲球の直径は任意とする．重ねられた球の直径を順次(2)公式より*2求める方法を求めよ．
答．左の方法により，順次に，球の直径を求める

p2 ことができる．
術． 3 に甲球の直径を掛け天と名づける．高さ(b 2  r 2 )( a 2  b 2 )b2(3)

これを(2)に代入して整理するとの 2 乗を甲球の直径で割って，高さを引き，地と名(a 2  2b 2 )r 2  2b3r  a 2b 2  0

づける．地に甲球の直径を加え，人と名づける．天と地を加え，これを人で割る．1 を加え，これを 2(4)

因数分解してで割って法と名づける．これを 2 乗して 1 を引いた余りの平方根を取る．法からこれを引いた余りを円{(a 2  2b2 )r  a 2b}(r  b)  0法とする．甲球の直径に円法を掛け，乙球の直径を得る．乙球の直径に円法を掛け，丙球の直径を得る．
丙球の直径に円法を掛け，丁球の直径を得る．このr  b は不適当なので

r

ようにして，順次に，重ねられた球の直径を求めることができる．

(5)a 2ba  2b 22(6)これが術で述べられている．今， a  36 ， b  9 なので， r  8 ．

３．３

奥付について算額奉納者は，前述のように米持矩章で，三島新４．２

第二問について保の農民である．米持矩章は，江戸の町人出身で関図-3 のように，甲球を O1,  , O6 ，甲球 6 個の中流宗統五伝の地位についた日下誠の門人である．

心を O ，乙球を P1,  , P6 ，乙球 6 個の中心を P とする．

４．術の解説４．１

第一問について図-2 のように，楕円の中の 3 等円を O1, O2 , O3 とし， O3 から直線 O1O2 に引いた垂線を O3 H とする．

a ：楕円の長軸の長さ， b ：楕円の短軸の長さ

r ：等円の直径p  O1O2とおく．図-2 の O1HO3 について，三平方の定理 *1より
pb r( )2  (  )2  r 222 2x ：甲球の直径， y ：乙球の直径
h ：円錐の高さとおく．図-4，5 において， O1 から AC に引いた垂線を O1O' とし， P1 から AC ' に引いた垂線を P1P' とする． OO1 : O1O'  PP1 : P1P' より， AOO1 ∽ APP1 *3．
したがって， OO1  x, PP1  y なので， h'  PO とおくとxx yx
yh'  (h  )  (h  )   (h  )(1  )
22 x
2x(7)

図-6 において， O1O2 の中点を D とし， P1 から ODに引いた垂線を P1E とする． OO1O2 は正三角形なので， OD  3x / 2 ．また， OE  y ．したがって，(1)P1ED について，三平方の定理より

41

PP1O1O(P)O1OP1EO2D

O2
図-6 第二問の解法図(4)図-3 第二問の解法図(1)(A3x y 2xx  y ) 2  ( h' ) 2  ()  ( )2222(8)

これを整理すると( h' ) 2  

3 2 3 2 1x  y  (  3 ) xy
442(9)(7)，(9)より

xy(h  ) 2 (1  ) 22x
O'OB

3 2 3 2 1x  y  (  3 ) xy
442(10)

これを整理すると

O1(h 2  hx  x 2 ) y 2  x{2h 2  2hx  (1  3 ) x 2 }yCH (h 2  hx  x 2 ) x 2  0

図-4 第二問の解法図(2)(11)

これを解いて*4A
1 h 2  hx  3 x 2y  x  ( 2 1)
2 h  hx  x 2

1 h 2  hx  3 x 22
 { ( 2 1)}  1 2 h  hx  x 2

h21 x  h  3x
 x ( 2 1)
2 h h xx
P'
PB'

P1

H

h21 x  h  3x
 { ( 2 1)}2  1  (12)2 h h xx
C'図-5 第二問の解法図(3)42次に，丙球の直径を z とし，乙球の直径 y から zを求める．乙球の直径 y を求める式(12)において，新しい円錐の高さを h1 ， x を y とおいて

Op

O1

h1 2

1 y  h1  3 y
z  y ( 1)
22 h1  h  y1
y

図-7 第 84 番の公式の説明図

h1 2
1 y  h1  3 y2
 { ( 2 1)}  1  (13)2 h1  h  y

1y

A

ここで，新しい円錐の高さは

h1  h  h'

x yy  h
2 2xO2A"C1

BO1(14)なのでOh2 h  3x1z  y  ( x 2 1)
2 h h xx
C2O2h2
1 x  h  3x
 { ( 2 1)}2  1  (15)2 h h xx
A'

図-8 第 84 番の公式の解説図同様にして，丁球の直径が求められる．このことが術に述べられている．

する．図-8 はその側面図である．このとき，図-7が得られる．
図-8 において， AA' と円 C1 との交点を B とし，
C1, C2 か ら AA' に 引 い た 垂 線 を ， そ れ ぞ れ ，
C1O1, C2O2 とする．

注
*1 三平方の定理は，鉤股弦の術あるいは単に鉤股弦として和算ではよく使われる．

s C1O1 ， t  A' A"
2とおく． C1O1B について，三平方の定理よりp  O1O2 ，*2 山本賀前著『算法助術』20)の第 84 番の公式である．図-7 のように，長軸の長さ a ，短軸の長さ bの楕円内に，直径 r の 2 つの円 O1 ， O 2 が，それぞbrs( )2  ( )2  ( )2222れ，2 点で楕円に接している．このとき， O1 と O 2の距離を p とすると

(b 2  r 2 )( a 2  b 2 )p b22(17)したがって(16)b2  r 2  s 2(18)また， AA" A' について，三平方の定理より

これを川北朝隣著『算法助術解義』 21)に従って解a 2  b2  t 2説する．底円の直径が b の円柱に，球 C1 , C 2 が内接している． A, A" は円柱の側面上の点であり，直線AA" は底円に平行で， AA"  b とする． A' を， A' A"が底円に垂直で AA'  a となるように取る．そして，更に， AA" A' ∽ C1O1O より
AA": A" A'  C1O1 : O1O ．すなわち

bp  stAA' A" に垂直で， A と A' を通る平面で円柱を切断
43(19)(20)

4) 道脇義正，八田健二：新潟の算額，私家版，1967 年．

(20)よりb 2 p 2  s 2t 25) 三上義夫：文化史上より見たる日本の数学，岩波文庫，(21)

1991 年．
6) 深川英俊，ダン・ペドー：日本の幾何―何題解けます(18)，(19)，(21)より

b 2 p 2  (b 2  r 2 )( a 2  b 2 )か？，森北出版，1991 年．

(22)7) 深川英俊，ダン・ソコロフスキー：日本の幾何―何題

したがって解けますか？（上）（下），森北出版，1994 年．

(b  r )( a  b )(23)b2*3 相似記号を用いて説明したが，和算では，明らかに相似であることが分かる三角形について，直接，比例関係を述べる．
*4 2 次方程式の解の公式は知られていた．解の公式の複号 () の () は， y  x となり不適当である．
2p2 2228) 深 川 英 俊 ， Tony Rothman ： Sacred Mathematics ―Japanese Temple Geometry，Princeton Univ. Press，2008
年．
9) 小倉金之助：日本の数学，岩波新書，1940 年．
10) 大矢真一：和算入門，日本評論社，1987 年．
11) 平山諦：和算の誕生，恒星社恒星閣，1993 年．
12) 佐藤健一：日本人と和* 長岡高専では，低学年からの研究活動を活発化

江戸庶民の数学，東洋書店，1994 年．

させるために平成 27 年度にプレラボ制度を制定し

13) 深川英俊：日本の数学と算額，森北出版，1998 年．

た14) 佐藤健一：新和算入門，研成社，2000 年．

22), 23)．この制度を利用して，第 1，第 2 著者らは平成 28 年 12 月に「江戸時代の数学を楽しもう！
長岡高専和算俱楽部」を立ち上げ活動している

15) 小川束，平野葉一：講座数学の考え方 24 数学の歴史，．

24)

本研究はその活動の一環で取り組んだもので，第 1，第 2 著者が指導をしている教員，第 3～第 7 著者が朝倉書店，2003 年．
16) 伊藤洋美：手づくり選択数学 5 おもしろ和算，明治図書，2003 年．

和算倶楽部の学生メンバーである．
* 長岡高専和算倶楽部は，平成 29 年度から長岡

17) 平山諦：和算の歴史―その本質と発展，ちくま文庫，

市三島地域の事業（平成 29 年度ふるさと創生基金
事業「和算・算額編」，平成 30 年度ふるさと創生

18) 小寺裕：だから楽しい江戸の算額，研成社，2007 年．

基金事業「和算の里みしま」，令和元年度地域の宝

20) 山本賀前：算法助術，天保 12（1841）年，東北大学

2007 年．
19) 桜井進：江戸の数学教科書，集英社，2009 年．

磨き上げ事業「和算の里みしま」）に協力している．

DB．

本研究で作成したデータを提供して制作された復元

21) 川北朝隣：算法助術解義，東北大学 DB．

算額は，三島郷土資料館の算額コーナーに令和元年10 月から常設展示されている．解説パネル作成に

22) 土田泰子，外山茂浩，村上祐貴，赤澤真一，桐生拓，池田富士雄，井山徹郎，床井良徳：SDIC による分野も協力した．

横断型教育・研究推進活動，長岡工業高等専門学校研究紀要，第 51 巻，pp.87-96，2015 年．
23) 赤澤真一，田原喜宏，桐生拓，土田泰子，床井良徳，

謝辞：復元算額の制作にあたり，長岡高専プレラボ

村上祐貴，池田富士雄，井山徹郎，外山茂浩：プレラ制度から予算をいただき活用しました．謝意を表し

ボ制度を活用した全学的な教育研究活動の推進，長岡ます．

工業高等専門学校研究紀要，第 52 巻，pp.78-82，2016年．
24) 山田章，冨樫瑠美，中山雅友美，涌田和芳：長岡高

参考文献

専プレラボ「和算倶楽部」の活動について―低学年か1) 中村時万：賽祠神算，天保 2（1831）年，（東北大学らの研究活動と地域貢献―，第 67 回北陸四県数学教附属図書館データベース）東北大学デジタルコレクシ

育研究（小松）大会要項，p.49，2018 年．

ョン（以下，東北大学 DB）．
2) 涌田和芳，外川一仁：柏崎椎谷観音堂の算額，長岡工(2019. 10. 3 受付)

業高等専門学校研究紀要，第 43 巻第 2 号，pp.17-22，2007 年．
3) 涌田和芳，外川一仁：与板八幡宮の紛失算額，長岡工業高等専門学校研究紀要，第 48 巻，pp.1-5， 2012 年．

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