試験実施日：2020 年 9 月 6 日

2021 年度
立教大学大学院人工知能科学研究科修士課程 入学試験
筆記試験問題試験時間 120 分（オンライン）

1.
問 (i)∼(vi) に答えよ。解答は解答用紙の所定欄に日本語で記すこと。導出過程も簡潔に記すこと。

Let the function f (n) be defined as( π),f (n) = cos2 n!
λwhere n and λ are positive integers (greater than 0).
(i) Assuming n ≥ 1000 and 42 ≤ λ ≤ 76, determine f (n).
(ii) Assuming λ0 is a prime number, determine the smallest n such that()π2= 1.
f (n) = cos n!
λ0

以下は架空の設定である。2100 年、未知のウイルス X が世界中に蔓延し始めた。各国の感染者数は時間の経過とともに急増していった。t を時間とした場合、A 国、B 国、C 国の初期の感染者数はそれぞれ、関数 g1 (t) = γt, g2 (t) = 6γt2 , g3 (t) = 5γt3 でよく近似できた。ここで、γ は正の定数、t ≥ 0 である。これらを

g1 (t)

t

 

G(t) =  g2 (t)  = γ  6t2 5t3g3 (t)のようにベクトルの形でまとめる。G(t) は変数 t に応じて値が変化するベクトルであり、ウイルス X の感染者数を近似する数理モデルの一種である。この数理モデルに基づいて、次の問(iii)∼(vi) に答えよ。なお、(iv) と (vi) において、「変化率」は「単位時間当たりの感染者数の増加人数」を意味するものとする。

(iii) 時刻 t = 1 におけるベクトル G(t) の大きさを求めよ。
(iv) 時刻 t = 1 において感染者数の変化率が最も大きい国はどこと言えるか？理由を添えて答えよ。

(v) 時刻 t = 0 から t = 2 までの A、B、C の 3 か国の累積感染者数は∫ 2()
g1 (t) + g2 (t) + g3 (t) dt0で与えられる。この値を求めよ。

(vi) D 国の初期の感染者数が関数 g(t) = γ(t3 + at2 ) でよく近似できたとする。ここで、a はa > 6 を満たす定数である。「D 国の初期の感染者数の変化率」が「A 国、B 国、C 国の初期の感染者数の合計の変化率」を常に下回るための a の値の範囲を求めよ。

1

(ii) 「すず」という名の女性は、「修造」という名の男性の行方を捜している。修造は、(A) 尾道市の親戚の家、(B) 南条家、(C) 呉市の友達の家、(D)Eva の実家のいずれかに居ることが分かっている。以下では、簡単のため、上記 4 つの場所を A〜D で記載する。「すず」はＡ〜Ｄのいず
れか 1 つを捜索先として選択しようとしている。

1. まず、「すず」は A〜D のうちの 1 つを選ぶ。それを x とする。
2. 次に、突如として現れた天使が、「すず」が選んだ x 以外の場所のうち、修造が居ない場
所の 1 つを「すず」に教えてくれる。ここで、天使が教えてくれた情報は正しい。また、「すず」は天使が教えてくれた情報が正しいことを知っている。

3. その後、「すず」は A〜D を選び直すことができる。その結果として選んだ捜索場所を y と書くことにする。「すず」が捜索場所を変えなかった場合、y は x を意味する。
このとき、「すず」さんは捜索先を選び直した方がいいかどうかを知りたい。この状況を数学的に次のように定式化する。

X1 を「すず」が最初に選択した捜索場所 x に修造が居ることを表す確率変数、X2 を「すず」が 2 回目に選択した捜索場所 y に修造が居ることを表す確率変数とする。確率変数 X1 およびX2 は集合 U = {0, 1} 上の値を取るものとし、0 は「修造が居ないこと」、1 は「修造が居ること」を表す。また、Y を「すず」が捜索場所を変更することを表す確率変数とする。確率変数 Y は集合 V = {0, 1} 上の値を取るものとし、0 は「捜索場所を変更しないこと」、1 は「捜索場所を変更すること」を表す。このとき、２つの条件付き確率 P (X2 = 1 | Y = 0) と P (X2 = 1 | Y = 1)を計算し、「すず」さんは捜索先を選び直した方がいいか否かを述べよ。導出過程も簡潔に記すこと。
（ヒント）S, T, V を整数値をとる確率変数とする。P (T = t | S = s) は、S = s という条件のもN∑とで T = t となる確率である。正の整数 N に対してP (V = v) = 1 が成り立つとき、任意v=1の整数 s, t に対してP (T = t | S = s) =N∑

P (T = t, V = v | S = s)v=1が成り立つ。

34.
問 (i), (ii) に答えよ。解答は解答用紙の所定欄に記すこと。

International flights are almost cancelled for months, while you must go back to Japan fromLos Angeles as soon as possible, with the following information.
There is a flight from Los Angeles to Taipei every Monday.
There is a flight from Los Angeles to Manila every Wednesday and every Sunday.
There is a flight from Los Angeles to Singapore every Tuesday.
There is no direct flight from Los Angeles to Bangkok.
There is no direct flight from Los Angeles to Narita.
There is a flight from Manila to Taipei every Wednesday and every Saturday.
There is a flight from Manila to Singapore every Monday and every Friday.
There is a flight from Manila to Bangkok every Tuesday and every Friday.
There is no direct flight between Manila and Narita.
There is a flight from Taipei to Manila every Friday.
There is a flight from Taipei to Singapore every Thursday.
There is a flight from Taipei to Bangkok every Tuesday and Saturday.
There is no direct flight between Taipei and Narita.
There is a flight from Singapore to Taipei every Wednesday.
There is a flight from Singapore to Bangkok every Tuesday.
There is a flight from Singapore to Narita every Friday.
There is a flight from Bangkok to Manila every Thursday.
There is a flight from Bangkok to Singapore every Tuesday and Saturday.
There is a flight from Bangkok to Narita every Monday and Thursday.
Any flight from Los Angeles to an Asian city arrives at the destination on the next day of thedeparture. Any flight from an Asian city arrives at an Asian destination on the same day as thedeparture. You can transit from a flight to a connection flight on the same day at each airport.
Due to political concerns, you consider only the flights and the airports appearing above.
(i) Draw a route graph with nodes of the cities and operation day(s) on the directed edges.
(ii) It is Saturday. How many days does the fastest way take to arrive at Narita? How many
possible fastest ways are there?

55.
次の文を読み、指示に従い解答を解答用紙の所定欄 (1 行は 20 字) に日本語で 400 字以内で記せ。

【出典】https://www.microsoft.com/en-us/research/wp-content/uploads/2017/03/SSRN-id2886526.pdf

Describe a concrete example of biases and inaccuracies concerning social data, and its societal
concerns.

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