《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）

強は異なり：電磁場と物質の超強結合による超放射相転移に向けて
科学技術振興機構 さきがけ

馬場 基彰

bamba.motoaki.8a@kyoto-u.ac.jp

第 64 回物性若手夏の学校 集中ゼミ 加筆修正版テキスト (2019 年 9 月 28 日)「多は異なり (More is Diﬀerent)」という言葉があるように，個々の粒子の性質だけでなく，粒子や自由度が多数 (More) ある
ことによって初めて現れる多彩な (Diﬀerent) 現象が物性物理学，特に凝縮系物質の研究で探求される．一方，光科学の研究では，物質の自由度の多さよりも，物質に照射する電磁波の強度，波長，スペクトル幅，量子ゆらぎなどの制御により，多彩なダイナミ
クスの観測・発現・制御が探求される．近年，この光科学から発展し，電磁場と物質の相互作用を「超強結合」と呼ばれる領域まで強くすることによって，多彩な現象を発現しようとする研究が進んでいる．ここでは特に，熱平衡下において電磁場と電磁気分極が自発的に静的で有限の期待値を獲得する「超放射相転移」と呼ばれる現象を中心に解説する．
本テキストで示すのは「古典論を再現できない量子論で遊ぶのはやめましょう」という，超放射相転移の研究で見られる歴史的な教訓である．具体的には，電磁波と物質のダイナミクスが古典論的また量子論的に，これまでどのように記述されてきたのかを，

Lorentz 力を感じる荷電粒子の Newton 運動方程式と Maxwell 方程式から出発して説明する．その後，量子光学における標準的なモデルでは超放射相転移が起こるという結果が導かれるものの，古典論の結果をきちんと再現する Hamiltonian を真面目に導けば，超放射相転移が起こらないという結果が得られたという歴史を紹介する．超伝導回路や磁性体などによって超放射相転移を実現しようとする最近の試みについては，第 5 節で紹介する文献を参照のこと．

らぎや量子相関などの量子論的な性質の制御がある．そ1 電磁場と物質の非平衡ダイナミク
スを記述する古典論と量子論の際には，注目する電磁波の振動数に応じて，粒子や物質が選ばれ，それらが示すダイナミクスによって，電磁波の制御などが行われる．また，パルス幅や量子ゆらぎ

光は電磁波の一種である．電磁波とは，時間的・空間などの性質を精度良く制御した電磁波を用いて，関心の的に振動する電磁場の波であり，その振動数に応じて，ある物質のダイナミクスを制御・観測することも光科学

電波，マイクロ波，赤外線，可視光，紫外線，X 線，ガの関心の一部である．

ンマ線などに区別される．可視光領域の電磁波が特に光

このように光科学では，電磁波と物質の両方，そして，と呼ばれるが，いわゆる光科学では，あらゆる振動数のそれらの相互作用が肝心である．また，光科学は主に，

電磁波に注目する．

非平衡下における電磁場と物質のダイナミクスを議論す

そもそも真空中では，いかなる振動数の電磁波も光速c ≈ 3 × 108 m/s で伝搬し，古典的には Maxwell 方程式
によって統一的に記述される．では，振動数 ω ごとに，
なぜ電磁波の名称があるのかというと，注目する粒子や物質に応じて特徴的な振動数が異なるためである．
電波は電気回路で発信や受信が可能な波長域であり，地球スケールの距離での通信や観測に使われる．マイク
ロ波は，水などの極性分子が追随して配向できる振動数の電磁波であり，電子レンジでの水分の加熱などに利用

図 1: 光科学では，非平衡下 (外部からのエネルギー流のある状

される．赤外線は例えば，結晶中のイオンが追随できる況) での電磁波と物質のダイナミクスが議論される．例えば，振動数 (光学フォノンの振動数) の電磁波である．可視同一原子の集団を考えると，光子の吸収によって 1 つの原子

光や紫外線は，原子中の外殻電子の遷移振動数，X 線はが励起され，励起された原子が再び光子を放出するという過程が繰り返される．本テキストでは単純に，電磁波が 2 枚の鏡に内殻から外殻電子準位への遷移振動数に相当し，ガンマよって閉じ込められた共振器構造を考える．このような電磁場線となると原子核などの物理現象が関わってくる．

と原子集団の系で，非平衡下ではなく熱平衡下において，電磁光科学の関心の一部に，電磁波の発生や検出，強度やスペクトル幅などの古典論的な波の性質の制御，量子ゆ場や電磁気分極が自発的に静的で (時間的に振動しない) 有限の期待値を獲得するかどうか議論する．

《講義ノート》

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るものと言える．非平衡とは，図 1 のようなエネルギーのは現実的でない．そこで，光科学では，以下のようなの流れのある状況であり，光源から電磁波が放出され形で統一的な記述が試みられてきた．

ている時点で非平衡である．時間的に振動する外場 (電磁場など) があっても非平衡であり，何らかの方法で励起された物質から電磁波が放出される状況も非平衡である．
本節ではまず，このような電磁場と物質の非平衡なダ
イナミクスを，どのような方程式もしくはモデル (Hamil-

tonian) で記述するのかを紹介する．そして次節にて，同じ Hamiltonian にて，熱平衡下の相転移が理論的には導かれることを見ていく．

1.2 物質を比誘電率などで特徴づける
知りたいのは，電磁波の電場 E と磁束密度 B に対して，電気分極 P や磁気分極 M がどのように応答するかである．それが分かれば，あとは Maxwell 方程式と連立して解ける．ここでは，物理量の時間変化の代わりに，その ω-Fourier 成分についての方程式を考える．例
えば，分極 P (t) の ω-Fourier 成分 P (ω) は以下のように定義されるものとする．

1.1 電磁場ダイナミクスを古典論的に記述

P (ω) ≡

まず，電磁波 (電磁場のダイナミクス) は古典的には，

1
2π

∫ ∞

dt eiωt P (t)

(4)

−∞

いま単純に P や M の ω-Fourier 成分がそれぞれ以下の Maxwell 方程式によって統一的に記述できる．

(1a)∇·B =0(1b)∇ × E = −Ḃ
∇ × B = µ0 J + Ė/c2χm (ω) B(ω)
1 + χm (ω) µ0(5b)のように E や B に対して線形に変化するものとする．

(1d)χe と χm はそれぞれ，電気感受率と磁気感受率 (磁化はそれぞれ真空中の誘電率，透磁率，光速である．電場 E と磁束密度 B で記述したが，電気分極 (分極密度) P と磁気分極 (磁化) M を用いて表される電束密度

D = ε0 E + P や磁場 H = B/µ0 − M で記述してもよい．もしくは，

B =∇×AM (ω) = χm (ω)H(ω) =(1c)

変数の上の ˙ は時間に関する偏微分を表す．ε0 , µ0 , c

E = −Ȧ − ∇ϕ,(5a)P (ω) = ε0 χe (ω)E(ω)∇ · E = ρ/ε0(2)率) である．このような関係が近似的に成り立つ状況での電磁波と物質のダイナミクスは，線形光学応答と呼ばれる．これらを Maxwell 方程式 (1) に代入すれば，以下の波動方程式が得られる．

[

]
1
ω2
∇×
∇ × E(ω) − 2 εr (ω)E(ω) = 0µr (ω)c(6)

ここで，εr (ω) ≡ 1 + χe (ω), µr (ω) ≡ 1 + χm (ω) は，それぞれ比誘電率と比透磁率であり，電束密度と電場のように，ベクトルポテンシャル A と Coulomb ポテン

を D(ω) = ε0 εr (ω)E(ω)，磁束密度と磁場を B(ω) =シャル ϕ を用いてもよい．注目する物質の他に電荷や電µ0 µr (ω)H(ω) で繋ぐ．バルク結晶を仮定し，波動方程流がないとすれば，P や M は，電荷密度 ρ と電流密度式 (6) をさらに空間的にも Fourier 変換すれば，物質中

J との間に以下の関係がある．

での電磁波の波数 k と振動数 ω は

ρ = −∇ · P ,J = Ṗ + ∇ × M(3)では，物質のダイナミクスを記述する方程式は何か？

c2 k 2= εr (ω)µr (ω)(7)ω2√という分散関係 (屈折率 n(ω) = εr (ω)µr (ω) の ω 依存

Maxwell 方程式と連立して解くことになるので，ρ や J

性を通じて，プリズムなどによって単色でない光線がど(もしくは P や M ) のダイナミクスを記述する方程式がのように分散するか) を示すことが分かる．つまり，物必要となる．統一的に記述したいなら，Dirac 方程式な質中で電磁波の位相速度は vph (ω) = c/

どを使って素粒子レベルから始めればよい．ただし，先波長は 2πvph (ω)/ω となる．

√
εr (ω)µr (ω)，

に示したような実際の粒子や物質，特に凝縮系物質につこのような線形光学応答の場合，入射した電磁波の電

いて具体的なダイナミクスが知りたいのであれば，「多場 E(t) (もしくは磁束密度 B(t)) がどのような波形では異なり」の精神に則り，各物質に適した方程式を使用あっても，それを ω-Fourier 成分 E(ω) に分解し，各 ωすることになる．ただし，基底状態すら解くのが困難なに対する分極 P (ω) などを計算すれば，逆 Fourier 変換

物質のダイナミクスを Maxwell 方程式と連立して解く

によって P (t) などを求めることができる．つまり，物《講義ノート》

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質の電磁場応答は εr (ω) と µr (ω) によって特徴付けられ関数) は一般に以下のように表される．

る．これらの値は，反射率や透過率の測定によって実験∫ ∞例 え ば ，中 心 振 動 数 ω0 で 時 間 幅 ∆t の Gaussianeiωt⟨[P̂ (r, t), P̂ (r ′ )]⟩mat
iℏε0
(10)

パルス E(t) ∝ exp[−iω0 t − t2 /(2∆t2 )] は，スペクト

こ こ で ，P̂ (r, t) ≡ eiĤmat t/ℏ P̂ (r)e−iĤmat t/ℏ で あ り,ル 幅 ∆t−1 の Gaussian ピ ー ク E(ω) ∝ exp[−(ω −⟨. . .⟩mat は物質の初期状態についての期待値を表す．

χ′e (r, r ′ , ω) = −的に決定することができる．

dt0ω0 ) ∆t /2] に Fourier 変換される．これを入射電磁波といま，物質系の基底状態を |0⟩，励起状態を |i⟩ (i ≥ 1)，した際の，反射波や透過波は εr (ω) と µr (ω) と Maxwell

それらの間のエネルギー差を ℏωi0 とする．つまり，物方程式によって計算することができる．ただし，このよ

質系の Hamiltonian は以下のように書ける．

2

2

2

うな線形光学応答の範囲内では，電磁波の強度 (|E(ω)|などで定義される) やスペクトル幅 ∆t−1 を自在に制御

Ĥmat =∑

ℏωi0 |i⟩ ⟨i| + const.

(11)

i

することは難しい．また，電磁波の発生自体を議論する

また，物質系の初期状態は基底状態とする．さらに，原ことも難しい．

子間には相互作用がないものとし，図 1 のように，物

電磁波の強度やスペクトル幅などを自在に制御する質系全体の励起状態 |i⟩ を単純に，N 個ある同一原子のためには，非線形な光学応答が必要となる．例えば，

うちの j 番目の原子が，n 番目の準位に励起された状態(1)

電気分極が電場に対して，P (ω) = ε0 χe (ω)E(ω) +∫∞(2)
ε0 0 dω ′ χe (ω, ω ′ )E(ω − ω ′ )E(ω ′ ) などと誘起される場合は，2 次の非線形光学応答と呼ばれる．一般に 3次以降の応答も存在する．また，電場に対する摂動とし|j, n⟩ と考える (|i⟩ = |j, n⟩, ωi0 = ωn0 )．このとき，電気分極演算子の行列要素は近似的に (第 3 節参照)．

⟨j, n|P̂ (r)|0⟩ ≈ dn0 δ(r − Rj )(12)て近似できない非摂動な応答もあり，レーザー発振などと書ける．Rj は j 番目の原子の位置を表す．電磁波にはその典型である．非線形応答，非摂動応答，どちらもよって遷移する粒子の電荷を e として，dn0 ≡ ⟨n|er̂|0⟩

現在の光科学での重要な現象だが，紙面の都合上，ここは双極子演算子 er̂ の原子の基底状態 |0⟩ から n 番目のでは割愛する．以下では，線形光学応答の延長線にある励起状態への行列要素であり，遷移双極子能率と呼ばれ「電磁場と物質の相互作用」の物理に焦点を当てていく．

る．いま，原子の集合を均質な媒質と見なすことにし，物質の体積を V として，

1.3 物質の比誘電率を量子論的に導く∑N

j=1 δ(r − Rj ) ≈ N/V と近似する．また，物質が等方的であるとする．このとき，反射率や透過率などの線形光学応答の範囲内の測定によって，注目する物質の比誘電率 εr (ω) と比透磁率µr (ω) を実験的に決定することができる．では，それらは典型的にどのような ω 依存性を示すのか？ここでは，非局所な電気感受率は χe (r, r ′ , ω) = δ(r − r ′ )χe (ω) と局所的になり，結局，電気感受率として

χe (ω) =∑nωn0

fn ωp 22 − (ω + i0+ )2(13)

電磁波と相互作用する粒子や物質の詳細にできるだけ依が得られる．ω = ±ωn0 − i0+ は遷移する粒子の Green

存しないモデルで，εr (ω) = 1 + χe (ω) を導いてみる．

関数の極にあたる (ただし，物質のみの系での)．遷移す

簡単のために，以降では χm (ω) = 0, µr (ω) = 1 とする．

る粒子の質量を m として，ωp ≡電気分極 P の電磁波応答のみに着目した場合，電磁∫Ĥint = −dr P̂ (r) · E(r)(8)

これを，外場 E(r, t) に対する物質の応答と考えれば，

fn ≡P (r, ω) = ε0

dr ′ χ′e (r, r ′ , ω)E(r ′ , ω)で与える非局所的な電気感受率 (応答関数，遅延 Green(14)

一般に，Coulomb 相互作用を V ({r̂j }) として，物質系の Hamiltonian が単純にĤmat =
(9)2mωn0
|dn0 |2e2 ℏは振動子強度と呼ばれる無次元量である．

線形応答理論 [1] によって，電気分極を∫

e2 N /(mε0 V ) はプ

ラズマ振動数であり，波と物質の相互作用の Hamiltonian は近似的に，以下のような電気分極と電場の積で表される (第 3 節参照)．

√

N
∑
p̂j 2
j=1

2m

+ V ({r̂j })(15)と表されるとすれば，(m/ℏ2 )[r̂j , [Ĥmat , r̂j ]] = 1 の等式から，Thomas–Reiche–Kuhn 総和則 [2] と呼ばれる

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物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）

以下の関係が成り立つことが知られている．

∑

S は x−y 面の面積である．第 1 項は電場の，第 2 項は磁(16)fn = 1n

実際の物質では，励起状態にエネルギーや位相の散逸がある．n 番目の励起準位の散逸レートを γn とすれば，電気感受率 (13) はχe (ω) =∑n

束密度のエネルギーである．式 (2) から，x 方向のベクト
ルポテンシャル A(z) を用いて，電場は E(z) = −Ȧ(z)，磁束密度は B(z) = ∂A(z)/∂z と表される．
いま，A(z) に共役な運動量として Π(z) = −ε0 E(z)を導入し，それらの演算子についての交換関係[]
Â(z), Π̂(z ′ ) = iℏδ(z − z ′ )

2

fn ωp
2
ωn0 − ω 2 − iγn ω

(19)

(17)
を導入する．Heisenberg の運動方程式を導くとに 変 更 さ れ る ．つ ま り ，実 験 で 測 定 さ れ た 比 誘 電 率

εr (ω) = 1 + χe (ω) をこの Lorentz 関数の和でフィッ
ティングすることにより，原理的には遷移振動数 ωn0 や散逸レート γn ，振動子強度 fn などの物質の電磁場応答∂
Π̂(z)Â(z) == −Ê(z)
∂t
ε0
1 ∂2
∂
1 ∂
Π̂(z) =B̂(z)Â(z) =∂t
µ0 ∂z 2
µ0 ∂z

(20a)
(20b)

に関する情報を抽出することができる．また，詳細は述が得られ，1 つ目の式から E(z) = −Ȧ(z) が，2 つ目の式

べないが，非線形光学応答では，エネルギーと位相それから式 (1d) が再現される．他の Maxwell 方程式は自動ぞれの散逸レートなど，より詳細な情報を抽出できる．

的に満たされる．このように，確かに Π(z) = −ε0 E(z)電気感受率 (13) を導くにあたり，原子間に相互作用

が A(z) に共役な運動量であることが分かる．

がないなど様々な近似を用いた．そういった近似は実際光子という概念は，以下の手順で出てくる．より詳の物質では一般に成り立たない．近似をできる限り使わ細な説明が必要な場合は，文献 [3, 4] などの教科書をずに比誘電率などを計算し，実験で得られたそれと比較参照のこと．z = 0 と z = L の鏡において電場やベすることで，モデルや計算法の妥当性を判断できる．物

クトルポテンシャルがゼロとなる境界条件を考える

質の電磁波応答の第一原理的な計算法も，現在の光科学(A(0) = A(L) = 0)．この境界条件と，式 (20b) から得の重要なテーマの 1 つである．

られる波動方程式

一方，電磁波の量子論的なダイナミクスに注目する量
子光学においては，上で用いた近似が十分に成り立つ物∂ 2 A(z, t)
1− 2 Ä(z, t) = 0∂z 2c

質 (例えば，孤立原子の集団など) が好まれる．これは，を満たす電磁波の固有モード (共振モード) は，z 方向の電磁波の量子論的な性質を制御するにあたり，素性のよ閉じ込め波数を km = mπ/L (m = 1, 2, 3, . . .) として，く分かった (原子間の相互作用などがない) 物質の方が固有振動数 ckm ，固有関数 fm (z) =望ましいからである．次項では，量子光学における電磁表される．つまり，共振器内に閉じ込められた電磁波は，

波 (光子) と物質のダイナミクスの典型的な記述法を紹

m 番目のモードの複素振幅を Am とすれば，A(z, t) =[ −ick t]∑∞m
Am fm (z) と表される．調和振動子
m=1 Re e

介する．

√

(21)

2/L sin(km z) での量子化と同様，このような複素振幅の代わりとなるの

1.4 電磁場ダイナミクスを量子論的に記述
前項までは，電磁場を Maxwell 方程式に従うものとして古典量として扱ったが，ここでは電磁場も量子化す
る．いま単純に，図 1 のように，x 方向の電場 E(z) とy 方向の磁束密度 B(z) が z にのみ依存する電磁波を考える (つまり，x − y 面内の波数をゼロとする)．また，が，光子の消滅演算子 âm と生成演算子 â†m であり，無次元化された電磁場の振幅の演算子に相当する．いま，†これらの演算子は Boson の交換関係 [âm , âm′ ] = δm,m′を満たすものとする．Â(z) と Π̂(z) を，それらの交換関係 (19) を満たすようにÂ(z) =

z = 0 と z = L に位置する x − y 面に平行な 2 枚の鏡によって，電磁波の共振器が構成されるとする．このとき，共振器内部の電磁場の Hamiltonian は以下のように表される (第 3 節参照)．

∫ L
HEM = S0

Π̂(z) =

∞
∑

√

m=1
∞ √
∑
m=1

ℏ
âm + â†m√
fm (z)
ε0 ckm S2(22a)ℏε0 ckm âm − â†m√
fm (z)
S
i 2

(22b)

と表すことにすれば，共振器内の Hamiltonian は確かに]
B(z)2
ε0 E(z)2
+
dz
2
2µ0
[

(18)

(
)
1
†
ĤEM =ℏckm âm âm +
2
m=1
∞
∑

(23)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）と書き直すことができる．

さて，量子化した電磁場と物質の相互作用を考える．

式 (23) に見られるように，âm で光子の消滅が表現

前項と同様に，同一原子が N 個あるとし，原子間に相互される m 番目の電磁波モードには，ℏckm /2 のゼロ点作用はないものとする．また，各原子の状態として基底エネルギーがあり，光子 1 個あたり量子化エネルギー

状態と 1 つの励起状態のみに着目することにし，j 番目ℏckm を持つ．また，式 (22) に見られるように，熱平の原子の基底状態を |0⟩j ，励起状態を |1⟩j と表すことと衡か非平衡かに関わらず，光子の消滅演算子 âm の期

する．各原子について Pauli 演算子

待値の実部がベクトルポテンシャル A(z, t) に，虚部がそれに共役な運動量 Π(z, t) (つまり電場 E(z, t)) に対応する．共振器内が，âm |0⟩ph = 0 を満たす真空状
態 |0⟩ph (光子数がゼロ) の場合，ベクトルポテンシャ
ルや電場の期待値は ⟨0|Â(z)|0⟩ph = ⟨0|Ê(z)|0⟩ph = 0σ̂j ≡ |0⟩jj ⟨1|(25a)

σ̂jx ≡ σ̂j† + σ̂j(25b)

σ̂jy ≡ i(σ̂j† − σ̂j )(25c)

σ̂jz ≡ |1⟩jj ⟨1| − |0⟩jj ⟨0|(25d)となる．しかしながら，相関 ⟨0|Â(z, t)Â(z ′ , t′ )|0⟩ph やを導入すれば，物質の Hamiltonian (11) は以下のよう⟨0|Ê(z, t)Ê(z ′ , t′ )|0⟩ph はゼロでない．つまり，量子ゆに近似される．

らぎがある．
ここからは簡単のために，ある特定のモードにのみ着Ĥmat ≈

目し，m の添字を省略する．真空状態 |0⟩ph に生成演

√

N
∑
ℏω10

2

j=1

σ̂jz + const.

(26)

算子 â† を作用させていった状態 |n⟩ ≡ (â† )n |0⟩ / n!

前項と同様に，電磁場と物質の相互作用として電気分は Fock 状態や数状態と呼ばれ，光子が n 個存在する

極 P (z) と電場 E(z) の積 (8) を考える．電場は E(z) =状態を表す．Fock 状態は â |n⟩ =−Π(z)/ε0 と式 (22b) で記述される．一方，電気分極は√n |n − 1⟩, â† |n⟩ =√n + 1 |n + 1⟩, ⟨n|â† â|n⟩ = n を与え，ĤEM の固有状

その行列要素 (12) から態だが，⟨n|â|n⟩ = 0 となり，電磁場の期待値はゼロとなる．Maxwell 方程式 (1) は光子数や相関ではなく，電P̂ (r) ≈磁場に対する方程式であり，Fock 状態を記述すること

N∑

d10 σ̂jx δ(r − Rj )

(27)

j=1

ができない．つまり，Fock 状態は量子論的な電磁場のと表される．ただし，d10 が実数となるように |1⟩j と状態である．

|0⟩j の位相差をとった．よって，電磁場と物質の相互作

古典的な電磁場の状態は，Fock 状態の重ね合わせ|α⟩ ≡ e−|α| /2
2

∞
∑

αn
√ |n⟩
n!
n=0

用 Hamiltonian (8) は近似的に以下のように書ける．

(24)

Ĥint ≈

N∑iℏgj σ̂jx (â† − â)
(1)

(28)

j=1

で表されることが知られている [5]．この状態はコヒーレント状態と呼ばれ，â |α⟩ = α |α⟩, ⟨α|â|α⟩ = α のように，â の期待値として複素数 α を与える．つまり，αは無次元化された電磁場の期待値 (複素振幅) にあたる．
例えば，レーザー光はコヒーレント状態に近い状態であ(1)

ここで，gjは光子 1 個と j 番目の原子との相互作用の強さを特徴付ける値であり，以下のように定義した．

√(1)
gj ≡ d10ck
f (Zj )
2ℏε0 S(29)

ることが知られており，Maxwell 方程式で良く表現でき

Zj は原子位置 Rj の z 成分である．結局，電磁場と物る状態となっている．電磁場が有限の期待値を得るため

質，またそれらの相互作用の Hamiltonian を合わせるとには，式 (24) のように，必ず隣り合う Fock 状態 (|n⟩ と|n ± 1⟩) の重ね合わせ状態でなければならず，また，それらが一定の位相差をとらなければならない．一般に，Ĥ ≈ ℏckâ† â +

N [
∑
ℏω10
j=1

2

]
(1)
σ̂jz + iℏgj σ̂jx (â† − â) (30)

式 (24) のような位相差の固定された重ね合わせ状態 (純と な る ．こ の よ う な Hamiltonian は ，1954 年 に粋状態) は，コヒーレントである (可干渉性がある) とR. H. Dicke によって導かれ [6]，Dicke モデルと呼ばれ形容される．対して，熱平衡下での電磁場の状態は，光ている．このモデルによって，原子が集団として電磁波子の Fock 状態の混合状態となり，位相差はランダムにを放射する際に，放出レートが原子数 (密度) の増加となってしまう (密度行列の非対角要素がゼロとなってし共に高まることを Dicke は示した．そのような集団的な

まう)．このとき，電磁場の期待値はゼロとなる．

放出現象は Dicke の超放射もしくは超蛍光として，現在

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）

1

化された Hamiltonian やその拡張版によって，超放射やレーザー，単一光子やスクイーズド光の生成など，光科学の研究で頻繁に議論される物理現象，つまり非平衡

㉸ᙉ⤖ྜ

2g
ᙉ⤖ྜ

྾཰⋡

でも盛んに研究されている [7, 8]．式 (30) のような単純ᙅ⤖ྜ

下の電磁波と物質のダイナミクスが量子論のレベルでも0

良く再現されてきた [3, 4]．

0

式 (30) から，Heisenberg の運動方程式0.51
᣺ືᩘ ω / ω10

1.5(27) に見られるように，σ̂j の期待値の実部は j 番目の

図 2: 原子集団を含む電磁波共振器の吸収スペクトル．ω10 =ck, κ = γ = 0.005ω10 とし，文献 [9] を参考に計算した．電磁場と物質の相互作用によって，2 ピークが間隔 2g で現れる．実線 g = 0.4ω10 (≳ ω10 ) は超強結合，破点線 g = 10κ
(≫ κ, γ) は強結合と呼ばれる．一方，破線 g = 0.2κ (≪ κ, γ)は弱結合と呼ばれ，g がスペクトル幅より小さく，1 ピークとなる．式 (33) の α∗ や β ∗ の存在により，超強結合では 2 ピー
クの中心が ω10 からずれ，スペクトル幅やピーク値も非対称と原子の電気双極子 erj に対応する．式 (31) は以下のよ

なる．

N
∑
∂
(1)
â = −ickâ +gj (σ̂j† + σ̂j )
∂t
j=1

(31a)

∂
(1)
σ̂j = −iω10 σ̂j − gj σ̂jz (â† − â)
∂t

(31b)

が得られる．â が電磁場の振幅に対応するのと同様，式

うに理解できる．電磁場 â と分極 σ̂j はそれぞれ，固有振動数 ck と ω10 で振動すると同時に，各式の第 2 項に見られるように，お互いに振幅をやり取りする．連成振(1)動子と同様，相互作用の強さ gj

は光子 1 個と j 番目の原子との振幅のやり取りのレートにあたる．つまり，を導くことができる．ただし，原子の励起や光子の散逸レートとして κ と γ を導入した．このように，1 光子と原子集団としての振幅のやり取りのレートは√N g (1)となる．とはいえ，波長よりも小さな領域に原子を限り(1)|gj | が大きいほど高速に振幅をやり取りする．
ただし，光子は実際には N 個の原子と相互作用している．原子が波長よりも小さな領域に密集し，すべての原子が同じ強さで電磁場と相互作用するものと近似でき(1)≈ g (1) )，光子 1 個と原子集団全体との振幅√のやり取りのレートは，以下で見るように N g (1) となる場合 (gj

り，原子数 N の平方根に比例して，高速に振幅をやり取りする．

なく押し込められるわけではない．例えば，凝縮系物質における原子密度でおおよそ上限が決まると考えればよい．以降では，原子集団としてのやり取りのレートがその密度 N/(SL) で決まると考え，g (1) の代わりに√g ≡ N g (1) = d10√

ckN
f (Zj )
2ℏε0 S(34)が固定されると考え，議論していく．

いま，電磁場と電気分極が外部からのコヒーレントな共振器の振動数を ck = ω10 に合わせた際の吸収ス

電磁波などでごく弱く励起された状況，例えば各原子のペクトルを図 2 に示す．紙面の都合上，詳細な計算方

状態が，絶対値が |β| ≪ 1 の無次元の複素数 β を用いて法は [9] に任せるが，以下の手順でも，吸収ピークの|0⟩j + β(t) |1⟩j

振動数とスペクトル幅を見積もることができる．まず，(32)と近似的に表される状況を考える．この β は原子 1 個あたりの電気分極や電流の振幅 β =∑N

j=1 ⟨σ̂j ⟩ /N に相当

する (実部が電気分極 P ，虚部が電流 J = Ṗ に相当する)．原子が基底状態 |0⟩j や励起状態 |1⟩j にあるのではなく，式 (32) のようなそれらの重ね合わせ状態にある
時に，電気分極や電流は有限の期待値を示す．このような原子の状態もコヒーレントであると形容される．
一 方 ，原 子 1 個 あ た り の 電 磁 場 の 期 待 値 を√
α ≡ ⟨â⟩ / N (1 原 子 あ た り の 光 子 数 が â† â/N )と表すことにすると，式 (31) から√α̇ = (−ick − κ)α + N g (1) (β ∗ + β)√β̇ = (−iω10 − γ)β + N g (1) (α∗ − α)

式 (33) を ω-Fourier 成分 α(ω) と β(ω) に対する式に書き換える．式には外場が入っていないので，通常はα(ω) = β(ω) = 0 が定常解となるが，振動数 ω として複素数を認めれば，非自明な定常解が得られる．その際の ω の実部が吸収ピークの振動数に，虚部がスペクトル
幅 (−Im[ω] が緩和レート) に対応する．この複素数の ωは，光子と原子が相互作用する場合における，それらのGreen 関数の極に相当する．
さて，図 2 のように，電磁場と原子集団の相互作用の結果，吸収のピーク振動数は ck = ω10 からずれる．具
体的には，2 つの吸収ピークが 2g の間隔になるまでシフ(33a)トする．これらが明瞭に見える g ≫ κ, γ を強結合，逆(33b)に重なって 1 ピークに見える g ≪ κ, γ を弱結合と呼ぶ．

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）

一方，g ≳ ω10 , ck を超強結合や深強結合と呼ぶ．

ཎᏊ㸯ಶ࠶ࡓࡾࡢ
㟁☢ሙࡢᮇᚅ್ αeq

ᗘ kBT / ħω10

4

この超強結合の領域においては，電磁波や物質の振動数と同程度かより速い時間で振幅がやり取りされる特異な非平衡ダイナミクスが得られる (解説記事 [10, 11] を参照のこと)．また，次節で示すように，熱平衡下で電磁3㌿⛣ ᗘ Tc

1

2

0.5

1

場と物質が相転移を示す可能性が知られている．

0002 量子光学の標準的なモデルでは熱平衡下での相転移が導かれる
電磁場と物質の超強結合領域の理論解析や物質系の提案は 2005 年に C. Ciuti らによって研究され始めた [12]．
実験については，2009 年に半導体量子井戸中の電子のサブバンド間遷移とテラヘルツ (THz) 波 [13]，2010 年に超伝導回路中の人工原子とマイクロ波 [14]，2011 年に色素分子と可視光 [15]，2012 年にサイクロトロン遷移とTHz 波 [16]，2014 年にマグノンとマイクロ波 [17, 18]，

0.5

1

1.5

┦஫స⏝ࡢᙉࡉ g / ω10
図 3: Dicke モデル (30) で記述される系の原子数無限 (N →∞) の極限での相図．電磁場と物質の相互作用の強さ g と
温度 T を，原子の遷移振動数 ω10 で，それぞれ g/ω10 と
kB T /ℏω10 に無次元化して横軸と縦軸とし，原子 1 個あたり√の電磁場の期待値 αeq = ⟨â⟩ / N を濃淡でプロットした．太線で示す臨界温度 Tc において超放射相転移が起こり，電磁場が熱平衡下で自発的に静的で有限の期待値を獲得する．ここでは，共振器の共鳴振動数を単純に ck = ω10 としており，g>√

ω10 ck/2 = ω10 /2 において超放射相が現れる．

2016 年に分子振動と赤外光 [19] などが超強結合すると報告された．詳しくは，解説記事 [10, 11] を参照のこと．

度 Tc を境に電磁場が有限の期待値を獲得した相 (超放光科学の主な関心は非平衡ダイナミクスであり，物質射相) が現れる [20]．g の増大と共に，臨界温度 Tc は高や (共振器内の) 電磁場の初期状態として，基底状態か熱まっていく．図示してはいないが，各原子の分極や電流平衡状態を考える．有限温度 T > 0 での熱平衡状態でも期待値 βeq = ickαeq /(2g) を獲得する．αeq と βeq がは，一部の原子が励起状態 |1⟩j にあり，共振器内の電磁有限な値になることで，式 (30) の第 3 項を通じて，系の場も光子数がゼロでない状態 |n > 0⟩ph を取りうる．しエネルギーが下がる．これにより，超放射相が安定化さかし，熱平衡状態では，式 (24) や式 (32) のような量子れるというメカニズムである．

論的な重ね合わせ状態は得られず (コヒーレントではな

式 (30) では，準粒子の総数 (光子と励起の総数) につ∑Nく，混合状態となる)，電磁場や電気分極 (もしくは電流)

いてのパリティ exp{−iπ[â† â +の期待値 α や β は通常ゼロとなる．

存量となっている．超放射相転移が起こり，電磁場な

2しかしながら，g > ckω10 /4 という超強結合の領域でどが熱平衡下で有限の期待値を獲得するということは，は，電磁場と電磁気分極が，N → ∞ の極限において，熱パリティの保存則が自発的に破れることを意味してい

平衡下で自発的に有限の期待値を獲得する可能性，つまる [23, 24]．

z
j=1 (σ̂j + 1)/2]} が保り相転移する可能性がある．これは超放射を示す Dicke

これまで光科学では，水晶振動子やレーザー装置など

モデル (30) にて導かれる相転移であることから，超放によって，コヒーレントな電磁波を発振させてきた．ま射相転移と呼ばれ，1973 年に K. Hepp と E. H. Lieb

た，そのような電磁波によって，物質のコヒーレントなによって示された [20]．また，同年，Y. K. Wang と状態を制御してきた．どちらも，非平衡な電磁場と物質

F. T. Hioe によって，明快な計算法が示された [21]．

のダイナミクスである．一方，レーザー装置とほぼ同じ

図 3 に相図を示す．これは式 (30) の Dicke Hamilto−ĤDicke /(kB T )モデルである Dicke モデルが示す超放射相転移では，熱] を，Wang–

平衡下にて電磁場や原子がコヒーレントな状態となり，Hioe の計算法 [21, 22] によって評価することで，簡単

時間的に振動しない静的な電磁場や電磁気分極 (もしくに計算できる．縦軸は温度 T を kB T /ℏω10 として無は電流) が自発的に生じる．このように，Dicke モデル

次元化し，横軸は g/ω10 として，熱平衡下での 1 原子

では，非平衡と熱平衡のどちらでも，自発的にコヒーレ

nian で表される分配関数 Tr[e√あたりの電磁場の期待値 αeq = ⟨â⟩ / N を濃淡でプロットした．ここでは単純に ck = ω10 としており，g>√

ω10 ck/2 = ω10 /2 において，太線で示した臨界温ントな状態が生じうる．

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）

が考えられる．Lagrangian と Lagrangian 密度に対す

3 古典論を再現する Hamiltonian では

る Euler-Lagrange 方程式 [30]d ∂Lmin∂Lmin=
dt ∂ ṙj∂rj

相転移は得られない
前節では，式 (30) の Dicke モデルから出発すれば，原子数無限 N → ∞ の極限で超放射相転移が得られることを示した．この結論自体は正しいと考えられている．相転移に必要な g 2 > ω10 ck/4 という非常に強い相互作用も近年実現されており，特に超伝導回路では g/ω10 ≈ 1.34 が報告され [25]，2 次元電子系のサイクロトロン共鳴とテラヘルツ波共振器からなる系では

g/(ck) ≈ 1.43 が報告されている [26]．

∑∂Ldensd ∂Ldens
min
min
=
−
dt ∂ Ȧξ∂Aξ′ξ ={x,y,z}

物理法則 (Maxwell 方程式と Newton 運動方程式) を正しく再現する Hamiltonian から出発すれば，g ≳ ω10 , ckの領域では，Dicke モデル (30) は得られず，超放射相転移が起きないことである．本節では，Maxwell 方程式とNewton 運動方程式から出発して Hamiltonian を導くことで，どのような近似が Dicke モデルを与え，超放射相転移の有無に深刻な影響を与えるのかを見ていく．

クトルポテンシャルは ∇ · A = 0 を満たす横場となり，電場は横成分 E⊥ ≡ −Ȧ と縦成分 E∥ ≡ −∇ϕ に綺麗に分けられる．この時点で Poisson 方程式が式 (1a) からのように決まる．

∫ϕ(r) =

N 個の荷電粒子の集団を考え，j 番目の粒子の質量を∫V ({rj }) ≡ρ(r)ϕ(r)
dr
=
2

Ldens
min =

荷電粒子集団が形成する電荷密度と電流密度ej δ(r − rj ),J (r) =∂Lmin
= mj ṙj + ej A(rj )
∂ ṙj

(44)

Π≡

∂Ldensmin= ε0 Ȧ = −ε0 E⊥
∂ Ȧ

(45)

と呼ばれる

Hmin =+を感じる．

∫
Lmin =

ε0 E⊥ (r)2
B(r)2
+
2
2µ0

N
∑
[pj − ej A(rj )]2

2mj

dr Ldens
min +

2mj

ε0 E(r)2
B(r)2−+ J (r) · A(rj ) − ρ(r)ϕ(rj )
2
2µ0
(38)

+ V ({rj })(46)iℏδj,j ′ , [Â(r), Π̂(r ′ )] = δ⊥ (r − r ′ ) を導入する．た∫δ⊥ (r) = δ(r)1 −

(37)

]

が得られる [30]．量子論的に議論する際は，[r̂j , p̂j ′ ] =
だし，

N
∑
ṙj 2
j=1

Ldens
min =

[
dr

j=1

れる Lagrangian として，

(42)形として，最小結合 (minimal-coupling) Hamiltonian(36)

程式が本節の出発点である．これらの運動方程式が得ら

ε0 E∥ (r)22となる．Legendre 変換すれば，Hamiltonian の 1 つのj=1

式 (35) の Newton 運動方程式と式 (1) の Maxwell 方

dr

pj ≡

∫

ej ṙj δ(r − rj )∫と書ける．rj と A に共役な運動量はそれぞれ

rj は Newton 運動方程式に従う．一方，電磁場は Maxwell 方程式 (1) に従って，(41)

ε0 E⊥ (r)2
B(r)2−
+ J (r) · A(rj )22µ0
ρ(r)ϕ(r)(43)−
2の下で各粒子は Lorentz 力を感じ，j 番目の粒子の位置(35)

ρ(r ′ )
4πε0 |r − r ′ |と表されるので，Lagrangian 密度 (38) は

mj ，電荷を ej とする．電場 E(r) および磁束密度 B(r)mj r̈j = ej E(rj ) + ej ṙj × B(rj )dr ′また，Coulomb ポテンシャルは

3.1 電磁場と荷電粒子の Hamiltonian

j=1

(40)

は，Coulomb ゲージを採用することにする．つまり，ベ指摘された [27–29]．問題とは，電磁場と荷電粒子が従う

ρ(r) =∂Ldensmin∂(∂ξ′ Aξ )によって，式 (35) と式 (1) を再現できる [30]．ここで1975 年から 1981 年にかけて K. Rzążewski らによって

N
∑

∂ξ ′

得られ，スカラーポテンシャルは電荷密度によって以下

ただし，超放射相転移の有無に関する根本的な問題が，

N
∑

(39)

dk kk ik·re(2π)3 k 2

(47)

は横場成分についてのデルタ関数である [30]．これを用いると，例えば電場の横成分は∫E⊥ (r) =dr ′ δ⊥ (r − r ′ ) · E(r ′ )(48)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）と表される．

では次に，式 (46) と式 (52) の Hamiltonian から，式式 (46) の第 1 項と第 2 項は，式 (18) で想定したように，電場の横成分と磁束密度のエネルギーである．第 3(30) の Dicke Hamiltonian が出てくるかどうか確かめてみる．

項は各粒子の運動エネルギーであり，これを展開した一部と，最終項の粒子間の Coulomb エネルギーから，物質の Hamiltonian (15) が得られる．しかしながら，展開した際の他の項 −ej pj · A(rj )/mj と ej 2 A(rj )2 /(2mj )は，式 (8) で想定した相互作用 Hamiltonian とは異なる形をしている．式 (8) は以下のような手順で導かれる．
まず，j 番目の荷電粒子の位置を原子位置 Rj で近似
した電気分極の演算子としてP̂ (r) ≡N∑

ej r̂j δ(r − Rj )(49)を定義する．これは，同様の近似 (rj ≈ Rj ) の下での式(36) の電荷密度と電流密度について，確かに式 (3) の関係を満たす．この P̂ (r) を用いてユニタリ演算子

1
Û ≡ expiℏ

第 1.4 項と同様のモデルを考えると，同じ手順によって，電磁場の Hamiltonian は

[

∫
dr

B̂(r)2Π̂(r)2
+
2ε0
2µ0

]

∫
dr Â(r) · P̂ (r)

(50)

N
∑
pj 2

2mj
j=1

+ V ({rj }) ≈

N
∑
ℏω10

2

σ̂jz + const.

(54)となる．ただし，式 (46) と式 (52) のそれぞれの相互作
用項を考えると，2 つの Hamiltonian は結局，Ĥmin /ℏ ≈ ckâ† â +

N
∑
ω10

2

σ̂jz +

N∑g√ v σ̂jy (â† + â)N
j=1

gv 2 †(â + â)2
(55a)
ω10
N
N
∑
ω10 z ∑ ig x †√ σ̂j (â − â)σ̂j +Ĥdip /ℏ ≈ ckâ† â +
2
N
j=1
j=1
+

Û Π̂(r)Û † = Π̂(r) + P̂⊥ (r)(51a)

Û p̂j Û † = p̂j + ej Â(Rj )(51b)

これを用いて，最小結合 Hamiltonian (46) をユニタリ+変換すると，r̂j ≈ Rj の近似の元ではN ∑N∑
g2 x xσ̂ σ̂ ′
N ck j j
j=1 ′

(55b)

j =1

Ĥdip ≡ Û Ĥmin Û †
(52a)
}
{
∫
B̂(r)2[D̂(r) − P̂⊥ (r)]2
+
= dr
2ε0
2µ0
+

≈ ℏckâ† â + const. (53)

j=1

j=1

を定義すれば，以下の関係が得られる．

N∑]と近似できる．また，物質系の Hamiltonian も

j=1[

3.2 Dicke モデル＋αと近似される [9]．式 (55a) を導くに当たっては総和則(16) を用い，gv ≡ (ω10 /ck)g を新たに導入した．第 1.4
項と同様に，Heisenberg 方程式から電磁場や電気分極などに対する運動方程式を書き出し，それらの ω-Fourier2p̂j+ V ({r̂j })
2mj
j=1

(52b)

成分についての方程式を解けば，クトルポテンシャル Â(r) に共役な運動量は Π̂(r) =c2 k 2
4g 2 (ω10 /ck)=1+
ω2
ω10 2 − (ω + i0+ )2−D̂(r) のように電束密度に対応する [30]．第 1 項はの関係が得られる．これはまさに µr (ω) = 1 での分散関依然として電場 E(r) の横成分のエネルギーだが，こ係 (7) であり，右辺は確かに電気感受率が式 (13) の場合

れを展開することで，相互作用 Hamiltonian (8) に似の比誘電率 εr (ω) = 1 + χe (ω) となる (共振器のせいで

dr [−D̂(r) · P̂⊥ (r)/ε0 + P̂⊥ (r) /(2ε0 )] が得られ振動子強度に 2 倍の違いがでるが，バルクを想定するとる．これや式 (8) を P⊥ (r) で偏微分すれば，どちらでもまったく同じになる)．一方で，同様の計算をしてみる−E⊥ (r) が得られ，電磁場を古典的に扱う場合には，式と，Dicke モデル (30) では εr (ω) をきちんと再現できな(8) が正当化される [30]．

いことが分かる．

が得られる．ただし，この Hamiltonian においては，ベ

た

∫

2

(56)

ちなみに，上で用いた rj ≈ Rj という近似 (長波長近このように，式 (55) の Hamiltonian は古典論の結果

似と呼ばれる) を用いない場合についても同様の議論がをきちんと再現するという意味で，Dicke モデルより信あり，Power-Zienau-Woolley 変換と呼ばれる [30]．た用できる．そして，前節と同じ計算法により熱平衡下でだし，複雑な Hamiltonian となってしまうため，本テキの電磁場の期待値を計算してみれば，超放射相転移が得

ストでは割愛する．

られないことが分かる．これは，電磁場や電気分極 (も《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 8, No. 1, 081206（2020年2月号）

しくは電流) が自発的に期待値を獲得した際，式 (55) のな Hamiltonian となる．これらは，電気感受率 (13) やそれぞれの最終項が付加的なエネルギーコストになって分散関係 (7) など，古典電磁気学の結果をきちんと再現

しまい，超放射相を不安定にするからである．このことするようになっており，それらを再現できない Dicke モ

は，Rzążewski らによって 1975 年に指摘された [27]．

デルよりも信用できる Hamiltonian である．そして，そ2

係数が g に比例することから，Dicke やその後の量子れを解析してみると，残念ながら，超放射相転移は起こ

光学での多くの議論で想定された g ≪ ω10 , ck では，こらないという結果が導かれる．結局，Dicke モデルではれらの項は無視できたが，超強結合領域 g ≳ ω10 , ck で無視されてきた式 (55) の最終項が，超放射相転移の有起こる超放射相転移を議論する際には，それらを無視す

無について深刻な影響を与える．

ることが結果に深刻な影響を与えてしまう．
その後，Rzążewski らは，2 準位原子などの具体的な

5 最近の試み

物質系を想定せずとも，最小結合 Hamiltonian から出発すれば，超放射相転移は原理的に起きないと主張し本テキストでは紙面の都合上，否定的な結果のみを示た [28, 29]．no-go 定理と呼ばれるこの主張が正しいのしたが，熱平衡下ではなく非平衡下における超放射相転

かどうか現在でも議論が続いているが [31–35]，ここで移が，2007 年に理論的に提唱され [38]，2010 年には冷は深くは立ち入らない．その代わり，J. M. Knight らが却原子にレーザー光を照射した実験において観測されて1978 年に示したように [36]，最小結合 Hamiltonian のいる [39]．非平衡下においては温度を定義できないが，最小エネルギー状態を古典的に解析することで，電磁場レーザー光強度を変えることで光子と原子集団との相互が絶対零度において自発的に期待値を獲得しないことを作用の強さ g を実効的に変えることができる．パラメー

確かめてみる．

タ変化による相転移的な (閾値的な) 振る舞いであるこ

まず，式 (46) の第 3 項である荷電粒子の運動エネル
ギーの最小化を考えると，荷電粒子の運動量 (つまり電とから，『量子』相転移として議論されている．最近の進展については文献 [40] などを参照のこと．

流) とベクトルポテンシャル (つまり電束密度) の期待値

一方，熱平衡下の超放射相転移は未だ観測された例がは pj = ej A(rj ) のように釣り合う．一方，第 2 項の磁ない．しかしながら，2009 年頃より超強結合を示す物

束密度のエネルギーを最小化するためには，A(r) = 0質系の実験 [10, 11, 13–19, 25, 26] が盛んに報告されるよであるべきである．第 1 項の電場の横成分のエネルギー

うになったのに伴い，熱的な超放射相転移の実現に向けや最終項の Coulomb ポテンシャルは pj や A(r) を含また研究が近年盛んになっている．

ないので，結局，pj = A(r) = 0 が古典的には最小エネ

超伝導回路において超放射相転移に類似の相転移を起ルギー状態を与えることが分かる．つまり，絶対零度でこせるかどうかが，2010 年頃より議論され始め [41–44]，

も電磁場は有限の期待値を獲得せず，超放射相転移は起2016 年に著者らによって類似の相転移が起こりうる回

きない．これはもちろん古典的な解析であり，実際には路が 1 つ，Kirchhoﬀ の法則を満たす Lagrangian を

量子ゆらぎが存在し，量子論的な解析でのみ得られる何Legendre 変換して Hamiltonian を導くという解析の下らかの相転移が存在する可能性は否定できない．より量で，理論的に提唱された [45]．本来の電磁場の代わり

子論的な議論から導かれる no-go 定理の証明の試みにつに，超伝導回路中に永久電流が自発的に現れる相転移でいては，Rzążewski らの論文 [28, 29] もしくは文献 [37]ある．本テキストの執筆現在，未だ実験検証はなされてに記載したその概略を参照のこと．

いないが，理論的にも否定されていない．詳細について
は原論文，もしくは日本語の解説記事 [46, 47] を参照の

4 本テキストのまとめ
量子光学で標準的に用いられる式 (30) の Dicke モデ
ルから出発すると，図 3 の相図に見られるように，電こと．
一方，本来の超放射相転移 (熱平衡下での電磁場と電磁気分極の相転移) の実現に向けても，理論・実験の両面から研究が進んでいる．

磁場と電磁気分極 (や電流) が自発的に有限の期待値を

まず，Rzążewski らによる no-go 定理 [28, 29] への反獲得する超放射相転移が導かれる．ただし，Dicke モ

論，つまり最小結合 Hamiltonian でも超放射相転移が起デルを導くにあたっては多くの近似が使われており，

こりうるという主張が，2016 年 [35] および 2019 年 [48]

Maxwell 方程式 (1) と荷電粒子の Newton 運動方程式になされている．ただし，文献 [48] に関しては，否定的(35) から真面目に導けば，より正確には式 (55) のような見解が示されている [49,50]．2 次元正孔系のサイクロ《講義ノート》

トロン共鳴とテラヘルツ波共振器からなる系において，超放射相転移の兆候が見えたとする報告もあるが [51]，
未だ議論の余地があると受け止められている．

no-go 定理 [28, 29] を回避する明快な手段は，スピンなど，最小結合 Hamiltonian に含まれない自由度が物性に明確に現れる物質を用いることである．スピンの重要性は，J. M. Knight らによって 1978 年に既に示されていたが [36]，電気的な物質と電磁場との相互作用に比べて，磁気的なそれは基本的に小さいため，注目されるようになったのはごく最近である．2018 年には，ErFeO3という磁性体で起こる磁気相転移が，超放射相転移に類似の相転移である可能性を暗示する実験結果が著者らによって報告された [52]．また，2019 年には，Rashba のスピン軌道相互作用によって引き起こされる磁気的な不安定性 (Condon ドメインの形成) が超放射相転移に相当するのではないかと理論的に示唆されている [50]．
以上が超放射相転移に関する研究の現状である．類似の相転移も含め，熱平衡下での超放射相転移は未だ観測された例がないものの，理論・実験の両面から研究が進められている．

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