確率統計 前回の解答

2019.12.17 分

２標本の平均の差の検定
消費電力が低くなるように電球に改良を加えた結果、改良前後の消費電力は次の通りであった。
改良前 (x)
改良後 (y): 7.3 7.8 7.5 7.7 8.2 8.0: 7.5 6.9 6.4 7.2 7.1（単位 W ）

消費電力の分布は同じ母分散を持つ正規分布であるとするとき、次の問いに答えよ。

1) 標本平均 (x̄, ȳ)・標本分散 (s2x , s2y ) を求めよ。
x̄ = 7.75, s2x = 0.107, ȳ = 7.02. s2y = 0.1672) 共通の母分散の推定量 s2 を求めよ。
1.2031(5 × 0.107 + 4 × 0.167) == 0.13366 · · ·s2 =5+493) 消費電力が低くなるといえるかどうか有意水準１％で検定せよ。
消費電力が低くなるかどうかなので、帰無仮説と対立仮説は下記のようになる。
帰無仮説：消費電力が高くなるか同じである
対立仮説：消費電力が低くなる

H0 : µx ≧ µyH1 : µx < µy

実際の検定のときは H0 : µx − µy = 0 v.s. H1 : µx − µy < 0 として検定する。
帰無仮説（µx − µy = 0）が真のときの統計量の値を求めると下記のとおりである。

(7.75 − 7.02) − (0)
0.73
√
t= √
== 3.2971 · · ·0.2214
0.1337 × 16 + 15（精密に計算した場合 3.2974 · · · ）t は自由度 (6 − 1) + (5 − 1) = 9 の t 分布に従うことを使って判定を行う。
この問題は対立仮説が「＜」の片側検定なので、棄却域はグラフの片側に作る。t が自由度 9 の t 分布に従うことから、片側１％（＝両側２％）の点を表から求めると 2.8214である。|t| = 3.297 > 2.8214 なので、帰無仮説を棄却する。
つまり、改良後の方が消費電力が下がっていると言える。
注）今回の問題は「消費電力が低くなる」なので、対立仮説は µx < µy の片側検定である。
「消費電力に違いがあるかどうか」の検定の場合、両側検定になる。
何を調べているのか問題文から読み取って正しい検定を行うこと。
区間推定の場合の結果は両側１％の点を用いて−3.2498 <(7.75 − 7.02) − (µx − µy )√< 3.2498 ⇒ 0.0105 < µx − µy < 1.45√
0.1337 × 16 + 51

確率統計

相関係数と回帰直線

第１３回

・１変量から２変量（多変量）への拡張
今までは、身長なら身長だけ、体重なら体重だけのように、１つの変数に対して統計解析を行ってきた。しかしながら、身長と体重の間の関係を調べる場合、２つの変数を同時に扱う必要がある。そこで身長を x、体重を y で表し、(x, y) の組を１つの変量として扱うことを考える。n 人分のデータを得た場合、(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) となる。このとき、xi とyi は i 番目の人の（身長, 体重）の組であり、他人の身長・体重が組になることはない。
さらに（身長, 体重, 胸囲, 座高,…）のような多変数を組として１つの変量として扱うことも可能である。一般には p 変量を取り扱う場合、下記のようにベクトルと行列で表記するのが一般的であるが、ここでは２変量しか扱わないのでベクトル表記はしない。

x1
 x2 
x= .  .. µ1
 µ2 
平均ベクトル：µ =  .  .. xpµp


σ11 σ12 · · · σ1p
 σ21 σ22 · · · σ2p 
分散共分散行列：Σ =  .
.
.
.
..
..
..  ..
σp1 σp2 · · · σppµi ：i 番目の変数の母平均（E[X]）σii = σi2 ：i 番目の変数の母分散（E[(X − µ)2 ]）σij ：i 番目の変数と j 番目の変数と共分散（E[(Xi − µxi )(Xj − µxj )]）・相関係数とは(x, y) の間に次のような関係があるとき・x が増えると y も増える

・x が増えると y が減る

その関係の強さをはかるものさしとして、相関係数 ρ（ギリシャ文字：ロー）が用いられる。
一般に n 個の標本 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) が得られたときの標本相関係数 r は∑n∑ni=1 xi yi − nx̄ȳi=1 (xi − x̄)(yi − ȳ)√∑n=r = √∑n22(n − 1) × sx × syi=1 (xi − x̄)
i=1 (yi − ȳ)のように、x, y の標本平均・標本分散と積和で表される。−1 ≦ r ≦ 1 の値を取り、絶対値が１に近いほど直線的な関係が見えるほか、・r が正のとき：x が増えると y も増える。
・r が負のとき：x が増えると y が減る。

散布図が右肩上がり散布図が右肩下がりのような関係性がわかる。注意する点は相関係数は直線的な関係しかはかることができない
ので、２次関数上や円の上にある点のように、曲線的な関連性があっても相関係数の値は低くなる。
多変量の場合にも同様に定義することが可能で、i 番目の変数と j 番目の変数の相関係数
ρij と分散 σi2 , σj2 、共分散 σij の関係は次のとおりになる。

√ √σij = ρij σii σjj = ρij σi σj
相関係数を並べた行列（形式上 ρii = 1）を相関行列と呼ぶ。

・相関係数の求め方
次のデータが与えられたときの、相関係数を求める。
番号
xy12345789101164.5 64.8 48.3 45.2 40.7

x と y のそれぞれの標本平均、標本分散を求めると
x̄ = 9.00, s2x = 2.50
相関係数を求めるためにȳ = 52.7, s2y = 126.315 = 126.3
nn∑∑(xi − x̄)(yi − ȳ) =xi yi − nx̄ȳ の値を求めると。
i=1i=1n∑《(xi − x̄)(yi − ȳ) の場合》
i=1

番号
xyx − x̄y − ȳ
積

12345
計789101164.5
64.8
48.3 45.2
40.7
−2−10
1
20
11.8
12.1 −4.4 −7.5 −12.0
0−23.6 −12.1 0.0 −7.5 −24.0 −67.2

n∑《xi yi − nx̄ȳ の場合》
i=1

番号xy
積

17
64.5
451.5

2
8
64.8
518.4

3
948.3
434.7

4
1045.2452.0

51140.7447.7

計2304.3n∑(xi − x̄)(yi − ȳ)i=1=n∑xi yi − nx̄ȳi=1= 2304.3 − 5 × 9.00 × 52.7= −67.2
上記の結果を使って、相関係数を求めると

r=−67.2√√(5 − 1) 2.50 126.3= −0.94544 · · · = −0.945と求めることができる（四捨五入の場所によっては −0.9455 · · · となるので −0.946 も正解）。散布
図を書くと右図の通り強い負の相関があることが分かる。
注）途中計算では有効数字４桁以上使用してください。

2019 年度 確率統計

小テスト解答用紙

2019.12.23・相関係数
次のデータが与えられたときの、相関係数を求めよ。
番号xy

2019 年度神奈川工科大学

1234
51113151719
58.3 43.2 39.7 31.9 22.9

学科学年組

学

籍番号氏名

確率統計演習問題
提出先：K3-3309 号室前

17 番のボックス 提出期限：１月６日（月）１７時まで【時間厳守】