2020/06/11

深層ボルツマンマシンを用いた量子多体波動関数の厳密な構築

野村 悠祐
理研 CEMS

量子多体問題
H| i = E| i<latexit sha1_base64="6U6vIKPNQAk5aO44uIcfIDT5Gqc=">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</latexit>

固有量子状態

ハミルトニアン

量子多体ハミルトニアンの例：ハイゼンベルグ模型 (スピン1/2の量子スピンが最近接磁気相互作用で相互作用しあう模型、モット絶縁体の有効模型)

H=J<latexit sha1_base64="+aC91gqGwHDLDbCuko+2mvLkiWs=">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</latexit>

X

(i,j)

i·j

基底状態：ハミルトニアン（指数関数的に大きな次元の行列）の最低エネルギー固有状態（指数関数的に大きな次元のベクトル）→ 絶対零度において最も安定な量子状態で物質の低温の性質を記述する

H|<latexit sha1_base64="REhqCA9kAzRqB3g3lXwQD0wmHOk=">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</latexit>

GS i = E0 |GS i

基底状態の高精度計算： 物性物理のグランドチャレンジであり、素粒子、原子核、量子化学と共通の課題→ 広範な波及効果| i=<latexit sha1_base64="yWA6aPgjNaoLO95+dsRYqgkbjBs=">AAACk3ichVHLShxBFD12jDHja6IEBDdFBkU3w20JKJGAqAs3gVEzKjgydLc1Y2G/6O4ZRsf8QNaCC1cKEsQ/cKsLf8CFnyAuFdy48E5PE1FRb9NVp86959apKtO3VRgRXbZoH1o/tn1q/5zq6Ozq7kl/6V0MvUpgybzl2V6wbBqhtJUr85GKbLnsB9JwTFsumRvTjfxSVQah8tzf0aYvVx2j7KqSsoyIqWI6uy0KuVCJQmC4ZVuKn0IUwopTrMX0cG1EbIva/6wopjOUpTjES6AnIIMkcl76HwpYgwcLFTiQcBExtmEg5G8FOgg+c6uoMxcwUnFe4g9SrK1wleQKg9kNHsu8WklYl9eNnmGstngXm/+AlQKDdEFHdEPndExXdP9qr3rco+Flk2ezqZV+sedv/8LduyqH5wjrj6o3PUcoYTz2qti7HzONU1hNfXVr92bhx/xgfYgO6Jr979MlnfIJ3OqtdTgn5/eQ4gfQn1/3S7A4mtUpq899z0xOJU/RjgF8wzDf9xgmMYsc8rzvDk5wijPtqzahTWkzzVKtJdH04Ulovx4Aj9CZjA==</latexit>

X

xとΨ(x)の間の関係性をモデル化（機械学習）(x)|xi<latexit sha1_base64="8AKoe7VkU99plAe/YaOF4nNncEY=">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</latexit>x

ハイゼンベルグ模型の場合、2N個の和|xi = | 1z ,<latexit sha1_base64="KTxnYlDYLQ1g5qUeNrmQ5zN9HUI=">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</latexit>

z2, . . . ,zNi(x) ⇡(x)γは有限個のパラメータ機械学習を用いた量子状態表現
G. Carleo and M. Troyer Science 355, 602 (2017)

制限ボルツマンマシン(RBM)

RBM
スピン配置

隠れ層が一層 + 層間の相互作用のみ

波動関数の値

zMag. Field (bias term) bj( z)<latexit sha1_base64="VYykaxCJEAhEg4XXUkOkJvCQ4WA=">AAACa3ichVG7SgNBFD1Z3/GRqI2ohRgiVuGuCIqVaGOZh9GAL3bXMQ7ui91NQIM/YGljERsFEfEzbPwBi3yCiJWCjYU3mwVRUe8yO2fO3HPnzB3dNaUfEDViSlt7R2dXd0+8t69/IJEcHFrznYpniKLhmI5X0jVfmNIWxUAGpii5ntAs3RTr+sFyc3+9KjxfOvZqcOiKLUsr23JPGlrAVGnTl2VL2z7aSaYoQ2FM/ARqBFKIIuskr7GJXTgwUIEFARsBYxMafP42oILgMreFGnMeIxnuCxwjztoKZwnO0Jg94H+ZVxsRa/O6WdMP1QafYvLwWDmBND3QDb3QPd3SI73/WqsW1mh6OeRZb2mFu5M4GSm8/auyeA6w/6n603OAPcyHXiV7d0OmeQujpa8enb0UFvLp2hRd0hP7v6AG3fEN7OqrcZUT+Tri/ADq93b/BGszGZUyam42tbgUPUU3xjCJae73HBaxgiyKYZ9PUcd57FkZVkaV8VaqEos0w/gSSvoDocWNCw==</latexit><latexit sha1_base64="Cg45e9Ms0cxZsdc31ouSyricbU8=">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</latexit>

RBM波動関数(z)=Interaction W ijz={hj }

⇣X

z1,z
2, . . . ,Xexp

ai iz +iX

zi Wij hj +i,jz
Nhj = ±1X

b j hjj⌘: 実空間スピン配置: 隠れ層のスピン自由度

Mag. Field (bias term) ai

１次元ハイゼンベルグ模型(8サイト)の基底状態波動関数<latexit sha1_base64="Cg45e9Ms0cxZsdc31ouSyricbU8=">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</latexit>

量子相関はニューラル・ネットワークによって取り込まれる( z)

量子状態を求める問題が非線形関数(RBM)の最適化に帰着

隠れ自由度の数が無限大でどんな波動関数も表現可能(万能近似)
z<latexit sha1_base64="VYykaxCJEAhEg4XXUkOkJvCQ4WA=">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</latexit>

RBM波動関数の精度
G. Carleo and M. Troyer Science 355, 602 (2017)

1次元横磁場イジング模型

1次元反強磁性ハイゼンベルグ模型

2次元反強磁性ハイゼンベルグ模型

80サイト, 周期境界条件

80サイト, 周期境界条件

10 10, 正方格子, 周期境界条件

h: 横磁場 (h=1: critical)
EPS: entangled-plaquette states
PEPS: projected entangled-pair states

α = (隠れ変数の数)/(# 物理自由度の数)

最も強力な手法の一つであるテンソル・ネットワークよりも良い精度

実際の強相関系への適用に向けてボソン系

フェルミオン系

量子スピン系（モット絶縁体などの局在系）
フラストレーションなし

遍歴強相関電子系（ハバード模型）（ハイゼンベルグ模型）
Carleo and Troyer (2017), …

電子格子結合系

YN et al., (2017), …

（ハバード・ホルシュタイン模型）

フラストレーションあり

YN JPSJ (2020)（J1-J2ハイゼンベルグ模型）

Editorʼs Choice

YN and Imada arXiv, …

分子（H2, LiH, …）Han et al., Choo and Carleo, …

ボース・ハバード模型（遍歴系）
Saito (2017), …

強相関模型の高精度解析 : ベンチマークから応用へ
ハバード模型、フラストレート磁性模型の未解決相図・物理解明
強相関系の現実的な模型への適用も視野※ なぜ機械学習が量子状態表現に強力か？
→ 深層ボルツマンマシンを用いた厳密な量子古典対応（cf. 制限ボルツマンマシンを用いた近似的量子古典対応）
G. Carleo, YN, and M. Imada, Nat. Commun, 9. 5322 (2018)

深層ボルツマンマシンを用いた量子多体波動関数の厳密な構築
深層ボルツマンマシン(DBM)による波動関数
deep layer

d1d2d3…

dM 00Wjk( )=h1h2

h3

hidden layer…

z2z
3visible layer

…

d2d3

h1h2h3z
1z2z3h,dhM

…

dM 0…

hM…

zN

PPPPX P0ai iz + i,j iz Wij hj + j bj hj + j,k hj Wjk
dk + k b0k dki=eWijz1X

d1h,dzN

キーアイデアハミルトニアンによる虚時間発展を深層ボルツマンマシンのパラメータを変化させることで厳密に追う(数値的最適化は不要。解析的にパラメータが求まる。隠れ層自由度の数は虚時間に比例)⌧⌧| (⌧ )i = e H1 2 e H2 ⌧ . . . e H2 ⌧ e H1 2 |0i

量子統計力学における新たな次元(虚時間方向) ＝ 深層ボルツマンマシンにおける新たな隠れ層物理量計算には可視層と隠れ層の自由度の状態のモンテカルロサンプリングが必要

新たな量子古典対応手法
G. Carleo, Y. Nomura, and M. Imada, Nat. Commun. 9, 5322 (2018) (see also N. Freitas et al., arXiv:1803.02118)