代用電荷法による等角写像の研究
2009SE195 永田知史
指導教員：杉浦 洋

1

はじめに代用電荷法は，２次元ラプラス方程式の数値解法として提案された．２次元領域 D におけるラプラス方程式の解である調和関数を，領域の外に配置された２次元点電荷の作る電場と想定し，境界条件に合わせて点電荷の電荷量を調整する．天野は，近似解の共役調和関数が簡単に得られることに注目し，代用電荷法を数値等角写像の計算法に発展させた．
本研究では，任意の単連結領域 D を単位円に写す等角写像を取り上げ，天野の方法を学び，小山田のプログラムを最小２乗法を用いて改良し，その効果を調べることを目的とする．

2

天野のアルゴリズム

拘束点を増やすことにより，拘束点上で誤差を 0 にすることは不可能となる．しかし，より多くの拘束点で一様に誤差を減らすことができ，誤差特性が安定となることが期待できる．また，方程式数を増やせば条件数は減少するとしても増加はしない．特に，天野の方程式 (1) が非常に悪条件となるときには条件数の大きな改善が期待できる．

4数値実験 (Cassini の橙形)

数値実験として小山田 [2] で失敗の多かった Cassini の橙形 (図 1) から単位円への等角写像を求める問題を取り上げる．Cassini の橙形は 2 定点 (−1, 0)，(1, 0) からの距離の積が一定値 a4 であるような点の軌跡

C : {(x + 1)2 + y 2 }{(x − 1)2 + y 2 } = a4

天野は，複素平面の原点を含む有界単連結領域 D から，である．C の内部を単位円の内部，原点を原点に写す等単位円板への近似等角写像 fn を角写像 w = f (z) で，f ′ (0) > 0 を満たすものを求める．
Pn (z)
fn (z) = ze
写像関数は，
aznn∑∑f (z) = √z4a − 1 + z2Pn (z) = −qi log |z − ζi | − iqi arg(1 − )ζii=1i=1であることが知られている．a の値はで表現する．fn (0) = 0，fn′ (0) > 0 である．これを天野
a = 21/2 , 21/8 , 21/32の近似モデルという．ここで，ζi は D の外部にとられ，√電荷点と呼ばれる．qi は，電荷量である．とした．ここでは，凹型領域の例として，1 < a ≤ 2 の範囲を取り上げた．
RePn (z) = 0 (z ∈ ∂D)
4.1 拘束点と電荷点の配置なら，fn (z) は真の等角写像である．天野は，この条件を離散化した

log |zj | −n∑qi log |zj − ζi | = 0 (1 ≤ j ≤ n)

(1)

i=1

により，電荷量を qi を決定する．zj は ∂D 上にとられ，拘束点と呼ばれる．

3

最小 2 乗法による改良

小山田の実験 [2] によれば，線形方程式 (1) は頻繁に悪条件方程式となる．極端な場合には，方程式が数値的に解けなくなる．これを改善するために，本研究では拘束点数を電荷点数より大きくし方程式 (1) を過剰条件方程式とし，それを最小 2 乗法で解くことにした．具体的には，電荷点数 n に対し拘束点数 m > n とし過剰条件方程式

log |zj | −n∑

図 1 Cassini の橙形と拘束点・電荷点

Cassini の橙形を極座標表示すると(x, y) = r(cos t, sin t)，√r=

qi log |zj − ζi | = 0(1 ≤ j ≤ m)(2)i=1を最小 2 乗法で解く．数値実験では，m = 2n と m = 4nの二通りを試みた．

2 cos2 t − 1 +√(2 cos2 t − 1)2 + a4 − 1．

したがって，領域拡大法 [1] による拘束点 zj (1 ≤ j ≤ m)，
電荷点 ζj (1 ≤ j ≤ n) はzj = r(θj )eiτj ， θj =2πj (0 ≤ j < m),m

表 1 Cassini の橙形 (m = n)n = 16
aRQ
1.2
1.4

21/2

1.6
1.8
1.2

21/8
1.4
1.2
21/32
1.4

1.59 × 10−2
1.59 × 101
5.23 × 10−3
8.07 × 101
2.23 × 10−3
3.53 × 102
1.22 × 10−3
1.33 × 103
3.82 × 10−2
1.05 × 101
1.47 × 10−2
4.14 × 1014.64 × 10−2
1.60 × 101
1.14 × 10−2
4.48 × 101

n = 32ER
条件数6.72 × 10−4
1.75 × 102
2.21 × 10−4
1.16 × 104
3.37 × 10−4
4.27 × 105
2.91 × 10−4
6.83 × 106
7.22 × 10−3
1.30 × 102
6.16 × 10−2
1.61 × 105
1.65 × 10−2
1.62 × 102
3.39 × 10−2
8.86 × 104

表 2 Cassini の橙形 (m = 2n)n = 64a3.36 × 10−6
2.80 × 105
3.08 × 10−5
6.81 × 109
7.79 × 10−5
4.03 × 1012
7.97 × 10−55.30 × 1014
6.71 × 10−2
3.70 × 108

1.2
1.421/2
1.6
1.8
1.221/8

1.69 × 1015
6.09 × 10−2
1.26 × 108

1.4
1.221/32

1.15 × 1017

2πj (0 ≤ j < n)nとなる．ここで，RQ > 0 は領域拡大率である．
計算結果の誤差を観測する点を
ζj = RQ r(θj )eiθj ， θj =

RQ

1.4

5n = 16m = 32

1.05 × 10−2
2.16 × 101
3.21 × 10−3
9.38 × 101
9.43 × 10−4
3.31 × 102
3.96 × 10−4
1.00 × 103
2.53 × 10−2
1.43 × 101
4.87 × 10−3
4.25 × 101
4.10 × 10−2
2.23 × 101
3.02 × 10−3
5.83 × 101

n = 32m = 64ER
条件数3.80 × 10−4
1.92 × 102
4.21 × 10−5
3.19 × 103
1.55 × 10−5
3.80 × 104
8.62 × 10−6
3.42 × 105
3.18 × 10−3
1.32 × 102
2.97 × 10−4
1.55 × 103
1.32 × 10−2
2.10 × 102
5.84 × 10−4
2.07 × 103

n = 64m = 128

2.07 × 10−6
8.08 × 103
6.77 × 10−92.14 × 106
5.97 × 10−9
3.04 × 108
6.26 × 10−92.49 × 1010
2.56 × 10−4
6.02 × 103
3.30 × 10−6
1.19 × 106
3.28 × 10−3
9.80 × 103
1.02 × 10−4
1.60 × 106

おわりに代用電荷法による等角写像について研究した．まず基礎的な実験として，複素平面の原点に電荷量 −1 の 2 次元π点電荷を置き，それが作る複素ポテンシャルを補助電荷
itj
ξj = r(tj )e ，tj =j (0 ≤ j < 4m)2mを用いて変形する実験を行った．その結果，比較的少ない補助電荷数で，等電位線の形状が多様に変化することとする．そして、最大絶対誤差をがわかった．代用電荷法では，複素ポテンシャルと指数
ER = max |fn (ξj ) − f (ξj )|(3) 関数の合成関数で単位円板への等角写像を構成する．そ0≤j<4mの際，電位 0 の等電位線が単位円に写像される．上記の基礎実験で代用電荷法の可能性が実感できた．
で計算する．
電荷数 n より拘束点数 m を大きくし，最小 2 乗法問
4.2 実験結果
題を解いて等角写像を求める代用電荷法のプログラムを・m = n の場合
Mathematica 上で実現した．天野の代用電荷法と比較す
m = n のときは，従来の線形方程式による解法 (小 るために，原像を Cassini の橙形とした問題を取り上げ，山田の方法) と同値である．表 1 に各 n，RQ ，a に対す 天野の数値例を 24 例を全て追試した．その結果，今回のる fn (z) の誤差 ER と線形方程式 (1) の係数行列の条件 方法によりすごく精度が向上することを発見した．また，数を示す．この表で n = 64, a = 21/8 , RQ = 1.4 と 天野で悪条件のために計算ができなかった例が，我々のn = 64, a = 21/32 , RQ = 1.4 の欄は条件数以外のデータ 実験では正常に計算できた．
がない．これは，条件数が大きすぎて線形方程式が解け以上から，最小 2 乗法により代用電荷法の安定性と精なかったことを示す．今回の研究の目的は，このような 度が大きく改善されることがわかった．
欠点を克服すると共に精度を向上させることである．
この問題では，拘束点数は電荷点数の 2 倍で十分であっ・m = 2n の場合たが，一般的な原則は未知である．今後の課題は，適切
この場合は，電荷量の方程式は最小 2 乗法問題となる． な拘束点数の決定法を定めることである．
設定した全ての条件で方程式は正常に解けた．小山田の実験で解法が破綻した二例も問題なく解けた．解の精度 6 参考文献
は全て小山田（m = n）の結果を上回った．また，条件 [1] 天野要：代用電荷法に基づく等角写像の数値計算法．情数は全てより小さくなり，方程式の悪条件性を回避でき
報処理学会論文誌，vol.28，No7，pp.697-704，1987.
た．拘束点を増加させる戦略は非常に有効であった．
[2] 小寺平治：複素解析．共立出版株式会社，2010．
・m = 4n の場合[3] 山口昭男：岩波 数学辞典 第４版．岩波書店，2007．
拘束点数をさらに倍増して実験を行ったが，実験結果は m = 2n の場合とほとんど変わらなかった．この問題 [4] 小山田麻祐子：代用電荷法による等角写像の計算．南山大学数理情報学部情報システム数理学科 2011 年度
においては m = 2n で十分であると判断される．
卒業論文集 2012．