ムーア・立川多様体と 4D/2D 双対性
荒川知幸

1. イントロダクション
1.1. 頂点作用素代数 (VOA), あるいは1頂点代数 (VA) は Borcherds[Bor86] によって二次元のカイラル共型場理論の数学的記述を与える代数系として導入された. VOA
は Borcherds によるムーンシャイン予想の解決や, 曲線のモジュライ理論, 幾何学的
Langlands 予想などに応用された. 一方, もともと二次元の場の理論から生まれた代数系であるため, 三次元以上の場の理論に VOA が登場することは想定されていなかった. ところが, 最近になってさまざまなところで高次元の場の理論に VOA が現れる
ことが観察されており, 素粒子論におけるホットなトピックの一つとなっている. そのような, 高次元の場の理論と VOA の関係を与える理論の一つに Beem 等物理学者のグループ [BLL+ 15] が発見した 4D/2D 双対性がある.
1.2. Beem 等 [BLL+ 15] は, 任意の四次元の N = 2 超対称性を持つ超共型場理論 (4D
N = 2 SCFT) T の不変量として, VOAV(T ) を構成した:(1)

V : {4D N = 2 SCFTs} → {VOAs},

T 7→ V(T ).

さらに, V(T ) は単に四次元理論の不変量というだけではなく, 次の性質を満たすこと
を示した.

(2)

Schur(T ) = χV(T ) (q).

ここで, 左辺の Schur(T ) は Schur 指標と呼ばれる四次元の N = 2 SCFT の不変量（観測可能量）であり, χV (q) は VOA V の (正規化された）指標である ((12) 参照).
つまり, 写像 V により, 四次元理論の Schur 指標を, 対応する VOA の表現論を用いて計算することが可能になった.

1.3. Beem 等の写像 V は理論の次元を二つ落とすことによって得られる. そのように聞くと, 情報が相当失われるのではないかと思いがちだが, 研究が進むにつれ, V(T )が四次元 N = 2 SCFT の非常に良い不変量であることが分かってきた. 現在, 専門家の間では, V(T ) が 4D N = 2 SCFT の完全不変量であると期待されているようである.
1.4. 四次元の N = 2 SCFT は非常に豊かな理論であり, 従って上記 4D/2D 双対性
により, 四次元理論に対応する興味深い VOA が大量に存在していることになる. 一
方で, 四次元理論から現れる VOA は, これまでに中心的に研究されてきた VOA とは趣が異なる. 理由の一つは以下の事実による ([BLL+ 15]):(3)c2d = −12c4d .

ここで, c4d , c2d はそれぞれ四次元の N = 2 SCFT 及び対応する VOA の中心電荷である. 中心電荷はユニタリーな理論では正の値をとるが, 物理模型は当然ユニタリー
本研究は JSPS 科研費 No. 20340007 and No. 23654006 の助成を受けたものです.
1
厳密には VOA は VA の特別な場合になるが, ここでは両者を明確には区別しないことにする.
1

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である. 従って c4d は正, 故に c2d は負, よって V(T ) は決してユニタリーとはならな
い2. また V(T ) は有理的とも限らない.
四次元理論から得られる VOA がどのように特徴付けされるのか, またそれらがどのような性質をもつのかは非常に興味深い問題だか, 現時点では完全な回答は得られていない.

1.5. さて, 四次元の N = 2 SCFT には Schur 指数の他にも重要な数学的不変量（観測可能量）が複数存在する. その一つがヒッグス枝と呼ばれる幾何学的不変量である.
ヒッグス枝はその非特異部分が hyperkähler 構造を持つ, アフィン代数多様体である.
一方, VOA V に対し, 随伴多様体と呼ばれるアフィンポアソン代数多様体 XV をその不変量として定義することができる ([A12]).
予想 1 (Beem-Rastelli[BR18]). 任意の四次元の N = 2 SCFT T に対し, 次が成立する.
Higgs(T ) ∼= XV(T ) .
つまり, 次の次の可換図式が成立する.
V/ {VOAs}{4D N = 2 SCFTs}
VVVV
j
j
j
VVVV
jj
VVVV
jjjj
⟳
j随伴多様体VVVVjjj
Higgs 枝VV+tjj
{ アフィンポアソン代数多様体 }VOA の随伴多様体は一般には単にポアソン多様体なのだが, Beem-Rastelli 予想によれば四次元理論から得られる VOA は「その随伴多様体がハイパーケーラー錐である」という, 著しい性質を持つことになる.
1.6. 例えば, 良く知られているハイパーケーラー錐として, 冪零軌道の閉包, より一般に, 冪零 Slodowy 横断片がある. ここで, 冪零 Slodowy 横断片とは, 単純リー環の g の冪零軌道の閉包 O と Slodowy 横断片 Sf = f + ge との交わり O ∩ Sf をいう([松 03, FJLS17] 参照). ここで, {e, h, f } は g の sl2 トリプル, ge = {x ∈ g | [x, e] = 0}.
これまでに, 冪零 Slodowy 横断片3 が Argyres-Douglas 理論 ([AD95]) と呼ばれる四次元の N = 2 SCFT の Higgs 枝として現れ, 対応する VOA は W 代数 ([FF90,
KRW03]) となることが知られている4([XYY, WX, XYb, XYa19]).
1.7. 本稿では, 上記 Argyres-Douglas 理論とは異なる, クラス S 理論 ([Gai12, GMN13])と呼ばれる四次元の N = 2 SCFT の場合を取り扱う. クラス S 理論に関しては,Moore-立川 [MT12] がある数学的予想 (Moore-立川予想) の下で, ヒッグス枝の（シンプレクティック代数多様体としての）数学的定式化を与えた. Moore-立川予想は
最近 Braverman-Finkelberg-中島 [BFN19] によって解決されたため, クラス S 理論のヒッグス枝には数学的定義が存在する.
クラス S 理論のヒッグス枝として現れるシンプレクティック代数多様体を Moore立川多様体と呼ぶ.
1.8. 一方, クラス S 理論の V による像として得られる VOA をクラス S のカイラル代数と呼ぶ ([BPRvR15]). Beem 等 [BPRvR15] は, クラス S のカイラル代数も Moore立川多様体と同様な数学的定式化を持つことを予想した.
24D/2D 対応に限らず, 高次元の場の理論に現れる VOA はどうやら非ユニタリーになるようである.
3全てではない. 分類については予想がある ([XYa19].
4これらの W 代数の随伴多様体が冪零 Slodowy 横断片となることは, 数学的な定理である [A15].

ムーア・立川多様体と 4D/2D 双対性

31.9. 論文 [A18] において, クラス S のカイラル代数に関する Beem 等 [BPRvR15] の予想が肯定的に解決され, さらにクラス S 理論に対する Beem-Rastelli 予想 (予想 1)
も肯定的に解決された. これら結果の解説が, 本稿の目的である.
1.10. 謝辞. この原稿は第 17 回岡シンポジウムで行った講演に基づいています. 講
演の機会を与えて下さった組織委員の方々、特に松澤淳一先生と吉川謙一先生に感謝します. また、原稿の提出が大幅に遅れてしまったことを, この場をお借りしてお詫
びいたします.
2. ムーア・立川シンプレクティック多様体
通常の二次元の位相的場の理論 (2dTQFT) ではベクトル空間をターゲットとする([Ati88]) が, Moore-立川 [MT12] は正則シンプレクティック多様体をターゲットとする 2dTQFT が存在することを予想した. この予想は最近 Braverman-Finkelberg-中
島 [BFN19] によって肯定的に解決された. ムーア・立川シンプレクティック多様体とは, この 2dTQFT のターゲットとして現れるシンプレクティック多様体を言う.

2.1. 2-bordisms の圏. B2 を 2-bordisms の圏, すなわち, 次の対象と射を持つ圏とする (詳しくは, 例えば [Koc04] を参照のこと）.
対象: コンパクトな向き付けされた一次元多様体（つまり, いくつかの S 1 のdisjoint sum).
射: Hom(B1 , B2 ) = { コンパクトな向き付けされた一次元多様体Σであって∂Σ =B1 ∪ −B2 をみたすもの }/ ∼例えば, B1 を二つの S 1 の disjoint sum として, B2 = S 1 とすると,は B1 から B2 の射を与える.
圏 B2 での射の合成は自然に定義される.

また, S 1 から S 1 への恒等射 idS 1 はシリンダーであることに注意する.

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disjoint union をテンソル積と見ることにより, 」, B2 には対称モノイダル圏の構造が入る.
2.2. 複素シンプレクティック多様体のなす圏. S を次の対象と射を持つ圏とする([MT12]).
対象: 複素半単純リー群の同型類.
射: Hom(G1 , G2 ) = {G1 ×G2 ×C∗ が作用するシンプレクティック代数多様体 X |G1 × G2 の作用はハミルトニアン, t.ω = t2 ω, t ∈ C∗ }/ ∼.
ここで, ω は X のシンプレクティック形式.
圏 S での二つのシンプレクティック多様体 X ∈ Hom(G1 , G2 ), Y ∈ Hom(G2 , G3 )の合成 X ◦ Y は, G2 の対角作用に関する X × Y のシンプレクティック商として定義される5.
X ◦ Y := (X × Y )///∆(G2 ) = {(x, y) ∈ X × Y | µX (x) = µY (y)}/∆(G2 ).
ここで, µX : X 7→ g∗2 , µY : Y 7→ g∗2 は G2 の作用に関するモーメント写像である.
圏 S での G から G への恒等射 idG は余接束 T ∗ G である. 実際, T ∗ G のモーメン
ト写像は単に射影 T ∗ G = G × g∗ → g∗ であるので,
T ∗ G ◦ Y = {(g, x, y) ∈ G × g∗ × Y | x = µY (y)}/G = G × Y /G ∼=Yとなる. ここで, µY : Y → g∗ は Y のモーメント写像.
圏 S もまた, 積をテンソル積とみなすことで対称なモノイダル圏の構造が入る.

2.3. Moore-立川予想. 次の定理は, Moore と立川 [MT12] によって予想され, BravermanFinkelberg-中島によって証明された.
定理 2.1 ([BFN19]). 各半単純群 G について, 以下の条件を満たすモノイダル関手
BF N
ηG: B2 −→ Sが存在する.
BF N(i) ηG(S 1 ) = G,
BF N
(シリンダー) = T ∗ G,(ii) ηG

BF N(iii) ηG
(キャップ) = G × S. ここで, S は Kostant-Slodowy の横断片 e + gf ⊂∗g = g である. ただし, {e, f, h} は g の正則な sl2 トリプルである.

BF N
関手 ηG
の 2-bordism の像として得られるシンプレクティック多様体を Moore立川多様体と呼ぶ.

2.4. 定理 2.1 の証明について. 任意の 2-bordism は, キャップ, シリンダー, パンツ

BF Nの合成で表すことができる. 従って, 定理 2.1 を示すには, ηG(パンツ) を与え, 整
合性条件
5本来は Derived シンプレクティック商を考えなければならないが ([Cal14]), (少なくとも対応する
リーマン面の種数が零のときは）実は問題なく定義されることがあとから分かる.

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5を示せば十分である. 特に, 2-bordism の種数が零の場合を考えれば良い.
定理 2.2 ([BFN19]). 各半単純群 G と r ≥ 1 について, 同変コホモロジー群∗
HǦ[[t]](GrǦ , i! (A⊠r
R ))には可換環の構造が入る. ここで, Ǧ は G の Langlands 双対群, GrǦ はアフィングラ
スマニアン Ǧ((t))/Ǧ[[t]], AR は幾何学的佐竹対応 ([MV07]) によって G の正則表現
C[G] に対応する GrǦ の偏屈層, i : GrǦ → GrǦ × · · · × GrǦ は対角な埋め込み. そこで,∗
MTr := Spec(HǦ[[t]](GrǦ , i! (A⊠r
R ))と定めると, 以下が成立する.

(i) MTr は Gr によるハミルトニアン作用を持つ（一般には特異性を持つ）シ
ンプレクティック多様体である.
(ii) MT2 = T ∗ G.
(iii) MT1 = G × S.
(iv) (MTr × MTs )///∆(G) ∼= MTr+s−2 .
定理 2.2 から, 種数が零で境界が r 個の S 1 である連結な 2-bordismBr に対し,
BF N
ηG(Br ) = MTr
BF N
定めれば, ηGはとが分かる.

BF N
定理 2.1 の条件を満たす関手 ηG: B2 −→ S に拡張されるこ2.5. Moore-立川多様体の例 ([MT12, BFN19]). 最も簡単な G = SL2 場合を考える. まず, r = 3 の場合は
BF N
MT3 = ηSL(パンツ) = C2 ⊗ C2 ⊗ C2
2となる. ただし, (C2 )⊗3 には C2 の自然なシンプレクティック構造から誘導されるンプレクティック構造を入れる. SL2 の C2 への自然なハミルトニアン作用は,SL2 × SL2 × SL2 の (C2 )⊗3 へのハミルトニアン作用を誘導する.
次に, r = 4 の場合を考えると,BF N
MT4 = ηSL
(B4 ) = Omin
2

in D4

となる. ここで, Omin は D4 = so8 の極小冪零軌道である. そのザリスキー閉包 Ominに SL2 × SL2 × SL2 × SL2 の作用が入ることは, D4 の拡大 Dynkin 図形から見て取ることができる.

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ここで, Omin が特異点を持つ代数多様体であることと, G = SL2 の場合を考えているのにも関わらず, D4 が出てきていることに注意したい.
B2 の中では恒等式が成立するので, S の中では同型(C2 ⊗ C2 ⊗ C2 ) ◦ (C2 ⊗ C2 ⊗ C2 ) ∼= Ominが成立する (上の (iv) の r = s = 3 の場合に対応). この非自明な同型は, D4 の極小冪零軌道の閉包の ADHM 構成法として物理学者にはよく知られている.
次に, G = SL3 の場合を考えると,
BF N
ηSL(パンツ) = Omin in E6
3となる. E6 の極小冪零軌道の閉包に SL3 × SL3 × SL3 が作用することはやはり E6の拡大 Dynkin 図形から見て取ることができる.

しかし, 一般の Moore-立川多様体に対しては簡易な記述は知られていない.

2.6. クラス S 理論のヒッグス枝としての Moore-立川多様体. イントロダクション
で述べたように, 四次元の N = 2 SCFT にはクラス S 理論と呼ばれる理論が存在す
る. ここで, S は six を表す. つまり, クラス S 理論とは, さらに高次元の, 六次元の理論を, 点付きリーマン面 Σ 上で「コンパクト化」して得られる四次元の理論である.
この様にして得られる理論は, コンパクト化するのに用いた点付きリーマン面 Σ と,flavor symmetry group と呼ばれる半単純リー群 G をパラメータに持ち, SG (Σ) と表される.
Σ を連結な点付きリーマン面とし, B を連結な, Σ と同じ種数を持ち, Σ の点の数と同じだけの境界を持つ 2-bordism とする.
Moore-立川 [MT12] によると, クラス S 理論のヒッグス枝について次が成立する.
(4)

BF N
Higgs(SG (Σ)) = ηG
(B).

故に, Braverman-Finkelberg-中島 [BFN19] の結果により, クラス S 理論のヒッグス
枝の数学的定義が与えられたことになる.

ムーア・立川多様体と 4D/2D 双対性

72.7. 三次元理論のクーロン枝としての Moore-立川多様体. 四次元の N = 2 SCFT
T の「S 1 コンパクト化」を行い, 三次元の N = 2 ゲージ理論 T3D を得ることができる. このとき, T の四次元理論としてのヒッグス枝 Higgs(T ) は, T3D の三次元理論としてのヒッグス枝 Higgs(T3D ) に一致する6. さらに, 三次元ミラー対称性より,
Higgs(T3D ) は T3D のミラーの理論 Ť3D のクーロン枝 Coulomb(Ť3D ) と一致する:(5)

Higgs(T ) = Higgs(T3D ) = Coulomb(Ť3D ).

三次元理論のクーロン枝の数学的定義は最近 Braverman-Finkelberg-中島によって与えられたが ([Nak18] 参照), G = SLN の時は Higgs(SG (Σ)) は星形の箙に対応した三次元理論ゲージ理論のクーロン枝と一致することが知られている ([BFN19]).

3. クラス S カイラル代数と Beem-Rastelli 予想
節 (2.6) で、クラス S 理論のヒッグス枝の数学的定義を与えた. この章の目的は,
これを VOA の場合にアップグレードすることである.

3.1. 頂点代数. 頂点代数 (VA) とは, ベクトル空間 V であって, 真空ベクトルと呼ばれるベクトル |0 >∈ V , translation operator と呼ばれる作用素 T ∈ End(V ), 頂点作用素と呼ばれる線形写像
V
a

−1
→
(End V )[[z,∑ z ]]
7→
Y (a, z) = a(z) = n∈Z a(n) z −n−1を持ち, 以下の公理を満たすものをいう.

(i) 任意の a, b ∈ V に対して, Y (a, z)b ∈ V ((z)), すなわち, 十分大きな n に対し a(n) b = 0.
(ii) Y (|0⟩, z) = idV . また任意の a ∈ V に対して, Y (a, z)|0⟩ ∈ a + V [[z]]z.
(iii) 任意の a ∈ V に対して, [T, Y (a, z)] = Y (T a, z) = ∂z Y (a, z).
(iv) (局所性) 任意の a, b ∈ V に対して, 非負整数 N が存在して,(6)(z − w)n [Y (a, z), Y (b, w)] = 0(n ≥ N ).

3.2. Borcherds の関係式. 上の公理のうち, 局所性 (6) は次の交換関係と同値である.
∑ (m)
(7)
[a(m) , b(n) ] =(a(j) b)(m+n−j) .
jj≥0

また, V が頂点代数のとき, 次が成立する.
( )
∑
)
m (
(8)
(a(m) b)(n) =(−1)ja(m−j) b(n+j) − (−1)m b(m+n−j) a(j) .
jj≥0(a, b ∈ V, m, n ∈ Z). (7), (10) を Borcherds の関係式という.

6物理の話です. 理解して書いているわけではありません.

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3.3. 頂点代数の表現. ベクトル空間 M が頂点代数 V の表現であるとは, 線形写像
Va→(End V )[[z,∑z −1 ]]M−n−1
7→
YM (a, z) = a (z) = n∈Z aM(n) zが存在し, YM (a, z)m ∈ M ((z)) (a ∈ V , m ∈ M ), YM (|0⟩, z) = idM ,
∑ (m)
N
M
(9)
(a(j) b)M[a(m) , b(n) ] =(m+n−j) ,
j
j≥0
( )(
)
∑
M
j m
(a(m) b)(n) =
(−1)
(10)
aM
bM
− (−1)m bM
aN
.
(m−j)
(n+j)
(m+n−j)(j)jj≥0を満たすことを言う.
勿論, V 自身は V の表現である.
N を T の作用で不変な V の真の部分加群とすると, V /N には商頂点代数の構造が入る. これは, 頂点代数には次の関係式 (skew-symmetry) が成立することから分かる.

Y (a, z)b = ezT Y (b, −z)a(11)(a, b ∈ V ).

3.4. 例 (普遍アフィン頂点代数). g をリー環, κ を g 上の不変対称双一次形式とする
とき, 対応する Kac-Moody 代数をbgκ = g⊗C[t, t−1 ] ⊕ C1
で定義される. ただし, 交換関係は[x⊗tm , y⊗tn ] = [x, y]⊗tm+n + mκ(x, y)1,

[1, bgκ ] = 0で与えられる. ここで,V κ (g) = U (bgκ )⊗U (g[t] ⊕ C1) Cと定める. ここで, C を g[t] が自明に, 1 が 1 で作用する g[t] ⊕ C1 の自明表現とみなしている.
以下では, 埋め込み g ∋ x 7→ (x⊗t−1 )1⊗1 ∈ V κ (g) により, g を V κ (g) の部分空間とみなす.
V κ (g) には |0⟩ = 1⊗1 を真空ベクトルとし,Y (x, z) = x(z) :=∑(x⊗tn )z −n−1(x ∈ g)n∈Zとなる唯一の頂点代数の構造が入る. V κ (g) を (g, κ) に付随した普遍アフィン頂点代数という.
普遍アフィン頂点代数 V κ (g) の表現 M には, x ⊗ tn 7→ xM(n) により, 滑らかなbgκ 加群の構造が入る. ここで, bgκ の表現 M が滑らかであるとは, x(z)m ∈ M ((z))(x ∈ g, m ∈ M ) を満たすことを言う. 逆に, M が滑らかな bgκ 加群であれば, M にはY M (x, z) = x(z) (x ∈ g) となる唯一の V κ (g) 加群の構造が入る. 従って, bgκ 加群とは滑らかな bgκ 加群に他ならない.

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3.5. 例 (普遍 Virasoro 頂点代数). L =
ち交換関係

⊕

9

z∈Z CLn ⊕ CC を Virasoro 代数, すなわ

m3 − mδm+n,0 C, [C, L] = 024⊕で定義される無限次元リー環とする. L≥−1 =z∈Z CLn ⊕ Cc ⊂ L とし, c ∈ C に
対し,[Lm , Ln ] = (m − n)Lm+n +Virc = U (L)⊗U (L≥−1 ) Ccと定める. ここで, Cc は Ln (n ≥ −1)0 が自明に, C が c で作用する L≥−1 の一次元表現である.
Virc には |0⟩ = 1⊗1 を真空ベクトルとし,∑
Y (L−2 |0⟩, z) = L(z) :=Ln z −n−2 (x ∈ g),n∈Z

T = L−1 となる唯一の頂点代数の構造が入る. Virc を中心電荷 c の普遍 Virasoro 頂
点代数と呼ぶ.
Virc 加群とは中心電荷 c の滑らかな L 加群に他ならない.
3.6. コンフォーマル頂点代数. 頂点代数の準同型写像 ϕ : V1 → V2 とは, ϕ(|0⟩) = |0⟩,ϕ ◦ T = T ◦ ϕ, ϕ(a(n) b) = ϕ(a)(n) ϕ(b) (a, b ∈ V , n ∈ Z) を満たす線形写像のことである.
頂点代数の準同型写像 Virc → V が存在し, V 上で L0 が半単純に作用し, T = L−1となるとくき, V を (中心電荷 c の) コンフォーマル頂点代数と呼ぶ⊕ .
V が中心電荷 c のコンフォーマル頂点代数のとき, 分解 V = d∈C Vd , Vd = {v ∈V | L0 v = dv} が存在する. 全ての Vd が有限次元の時, 形式的冪級数∑(12)
χV (q) = q −c/24(dim Vd )q ddが定義される. これを V の正規化された指標と言う.

3.7. 可換な頂点代数. 頂点代数 V が可換であるとは,[Y (a, z), Y (b, w)] = 0(a, b ∈ V )を満たすことをいう. これは[a(m) , b(n) = 0(a, b ∈ V, m, n ∈ Z)

a(n) b = 0(a, b ∈ V, m ∈ Z≥0 )と同値であり, さらにとも同値である.
可換な頂点代数 V にはa · b = a(−1) b
によって T を微分作用素する微分代数 (diﬀerential algebra)7の構造が入り, 逆に微分代数には自然な可換な頂点代数を入れることができる ([Bor86]). これにより, 可換な頂点代数と微分代数を同一視することが出来る.
7微分代数とは微分作用素付きの可換な C 代数のことである.

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3.8. アーク空間. 有限型スキーム X に対し, J∞ X を X のアーク空間とする. J∞ X
は,Hom(Spec(A), J∞ X) ∼= Hom(Spec A[[t]], X)(A は C 代数) で特徴付けされるスキームである. X がアフィンスキームのとき,
O(J∞ X) には微分代数の構造が入り, 従って可換な頂点代数である ([EM09] など)8.
対応 X ⇝ J∞ X は functorial であり, 自然な同型
J∞ (X × Y ) ∼= J∞ X × J∞ Y
は頂点代数の構造と整合的である.
注意 3.1. X がアフィンスキームのとき, O(J∞ X) の頂点代数としての加群と微分代数としての加群は異なる. 実際, O(J∞ X) の頂点代数としての加群とは滑らかなO(LX) 加群に他ならない. ここで, LX は X のループ空間, すなわち,Hom(O(LX), A) ∼= Hom(O(X), A((t)))
を満たす ind スキームである.

3.9. 例 (G 上の cdo). G をアフィン群スキーム, g = Lie(G), κ を g 上の対称不変双一次形式とする. このとき, J∞ G = G[[t]] であり, J∞ G のリー環は J∞ g = g[[t]] で
ある.
さて,
ch
DG,κ
= U (bgκ )⊗U (g[t] ⊕ C1) O(J∞ G)と定める. ここで, O(J∞ G) に g[t] ⊂ g[[t]] は左不変ベクトル場として作用し, 1 は 1
chには次を満たす頂点代数の構造が唯一定まる ([MSV99,で作用する. このとき, DG,κBD04, AG02, GMS01]).
埋め込みch
O(J∞ G) ,→ DG,κ

(13)
(14)

V

κ

ch
(g) ,→ DG,κf 7→ 1⊗f,u|0⟩ 7→ u⊗ idJ∞ G ,は頂点代数の射であり,[x(m) , f(n) ] = (xL f )(m+n)(x ∈ g, f ∈ O(G) ⊂ O(J∞ G), m, n ∈ Z).

ここで, xL は x に対応する左不変ベクトル場.
ch
頂点代数 DG,κ
は G 上のカイラル微分作用素 (cdo) と呼ばれる.

3.10. 頂点代数の特異台と随伴多様体. 任意の頂点代数 V に対し, フィルター付け
V = F 0V ⊃ F 1V ⊃ F 2V ⊃ . . . ,がF p V = spanC {a1(−n1 −1) a2(−n1 −2) . . . ar(−nr −1) |0⟩ | ai ∈ V, ni ≥ 0,∑ni ≥ p}i

8, X がアフィンポアソンスキームのときは（つまり O(X) がポアソン代数のとき）, O(J X) には∞
自然にポアソン頂点代数の構造が入る ([A12]).

ムーア・立川多様体と 4D/2D 双対性

11⊕と置くことで定まり, 付随する次数付けされたベクトル空間 gr V = p F p V /F p+1 Vには可換な頂点代数の構造が入る9([Li05]). 特に, gr V は可換環であるので, V の特
異台 SS(V ) を
SS(V ) = Spec(gr V )で定義するができる.
一方, gr V のポアソン頂点代数の構造を部分空間

RV = V /F 1 (V ) ⊂ gr Vに制限すると, RV には次で記述されるポアソン代数の構造が入る ([Zhu96]).

ā · b̄ = a(−1) b,{ā, b̄} = a(0) b (a, b ∈ V ).

RV を Zhu の C2 代数という. V の随伴スキーム X̃V , 随伴多様体 XV はそれぞれ次で定義される ([A12]).
(15)

X̃V = Spec(RV ),XV = Specm(RV ).

命題 3.2 ([Li05]). 次のが成立する.

SS(V ) ⊂ J∞ X̃V .
すなわち, 頂点代数の全射 O(J∞ X̃V ) ↠ gr V が存在する.
命題 3.2 から次が分かる.
補題 3.3 ([A12]). SS(V ) が零次元であることと, XV が零次元であることは同値.

3.11. 随伴多様体の例. V が V κ (g) の商の時,
RV = V /t−2 g[t−1 ]Vである. 対応x1 x2 . . . xr 7→ (x1 ⊗t−1 )(x2 ⊗t−1 ) . . . (xr ⊗t−1 )|0⟩ + t−2 g[t−1 ]V(xi ∈ g0∗

は C[g ] = S(g) から RV = へのポアソン代数の全射を定める. 従って, この写像の核を I と書くと RV = C[g∗ ]/I となり,

XV = {λ ∈ g∗ | p(λ) = 0

p ∈ I}.

∗

特に, XV は g の G 不変な錘となる.
例えば, V = V κ (g) のとき, I = 0 なので XV κ (g) = g∗ である.
∨
g が単純のとき, k ∈ C で V k (g) で κ = kκg /2h∨ の普遍頂点代数 V kκg /2h (g) を表し, Lk (g) でその唯一の単純商を表す. ここで, h∨ は g の双対 Coxeter 数. k がgeneric のとき, Lk (g) = V k (g) なので

XLk (g) = g∗ .
一方, 次が成立する.
定理 3.4 ([Zhu96, DM06]). 次は同値(i) dim XLk (g) = 0.
(ii) Lk (g) は可積分表現 ( ⇐⇒ k ∈ Z≥0 ).

G 上の cdo に対しては次が成立する.
(16)
X ch ∼= T ∗ G(= MT2 ).
DG,κ

9実際にはさらに強く, ポアソン頂点代数 [FBZ04] の構造が入る ([Li05]).

荒川

12

知幸

3.12. 例 (Drinfeld-Sokolov 簡約). g を半単純とする. KL(bgκ ) を, tg[t] が局所冪零で, g が半単純で作用する加群からなる滑らかな bgκ 加群の充満部分圏とする. V κ (g)やその商は KL(bgκ ) の対象である.
KL(bgκ ) の頂点代数的対象とは, 頂点代数の準同型
V κ (g) → Vを持つ頂点代数 V であって, bgκ 加群としては KL(bgκ ) に属するものを言う. 例えば,chV κ (g) や DG,κは KL(bgκ ) の頂点代数的対象である.
0KL(bgκ ) の頂点代数的対象 V に対して, その Drinfeld-Sokolov 簡約 HDS(V ) が頂点代数として定義される ([FF90]).
とする.
定理 3.5 (Ara09b). KL(bgκ ) の頂点代数的対象 V に対して次が成立する.
0 (V ) ∼XHDS= XV ×g∗ S.

(S は Kostant-Slodowy の横断片).
定理 3.5 と (16) から特に,

∼ ∗
∼
XHDS
0 (D ch ) = T G ×g∗ S = G × S(= MT1 )
G,κ

(17)

となることが分かる.
注意 3.6. Kostant-Slodowy の横断片を一般の Slodowy の横断片に代えることにより,一般の冪零元の付随した Drinfeld-Sokolov 簡約 [KRW03] についても定理 3.5 の主張は成立する ([A15]).

3.13. 主定理. 半単純リー環 g のキリング形式を κg とし,1κc = − κg2
とおく. すると bgκc は臨界レベルのアフィンリー環となる.
節 2.2 で導入したシンプレクティック多様体の圏 S の代わりに, 次で定義される頂点代数の圏 VA を考える.
対象: 複素半単純リー群の同型類（S の対象と同じ).
射: Hom(G1 , G2 ) = {KL((g\1 ⊕ g2 ) ) の頂点代数的対象 }/ ∼. ここで, gi =κcLie(Gi ).
圏 VA において, V1 ∈ Hom(G1 , G2 ), V2 ∈ Hom(G2 , G3 ) の合成 V1 ◦V2 ∈ Hom(G1 , G3 )は次の双対 semi-infinite cohomology で定義される.
dV1 ◦ V2 = H ∞/2+• ((g2 )−κg , g2 , V1 ⊗V2 ).
2

次の結果は Beem 等によって予想された ([BPRvR15], [Tac] も参照のこと) .
定理 3.7 ([A18]). 任意の複素半単純リー群 G について, 次を満たす唯一モノイダル
関手ηG : B2 → VA
が存在する.

(i) ηG (S 1 ) = G,
BF Nch(ii) ηG(シリンダー) = DG,κ,c0ch(iii) ηG (キャップ) = HDS (DG,κ).
cムーア・立川多様体と 4D/2D 双対性

13

さらに, 任意の 2-cobordism B に対して
BF N
ηG
(B) ∼
= XηG (B) .

すなわち, 次の可換図式が成立する.
ηG
/ VA
B2 @
}
@@
}
@@ ⟳
}}
}
@
@@ }} 随伴多様体
BF N
ηG
 ~}
S

3.14. 定理 3.7 の証明について. 定理 2.1 の場合と同様に, 定理 3.7 は次の定理から従う.
定理 3.8 ([A18]). 複素半単純リー群 G と r ≥ 1 について, 次の満たす頂点代数の族{Vr | r ≥ 1} が唯一存在する.
⊕r ) ) の頂点代数的対象である.
\(i) Vr は KL((gκcch(ii) V2 = DG,κc .
ch
0
(DG,κ
).
(iii) V1 = HDSc∞/2+i(iv) H(bg−κc , g, Vr ⊗Vs ) ∼= δi,0 Vr+s−2 .

さらに,(i) 各 Vr は単純かつコンフォーマル. 中心電荷はdim(MTr ) − 24(r − 2)(ρ|ρ∨ )= r dim g − (r − 2) rk g − 24(r − 2)(ρ|ρ∨ ).
∑∑で与えられる. ここで, ρ = 1/2 α∈∆+ α, ρ∨ = 1/2 α∈∆+ α∨ , ∆+ は gの正ルートの集合.
(ii) T を G の極大トーラスとすると, (z1 , . . . , zr ) ∈ T r について,
trVr (qL0z 1 z2 . . . z r ) =

∑
λ∈P+

(

∨

q ⟨λ,ρ ⟩
∏

∏∞

α∈∆+

j rk gk=1 (1 − q )(1 − q ⟨λ+ρ,α∨ ⟩ )

)r−2

r
∏

trVλ (q −D zk )k=1

ここで, Vλ は最高ウエイト λ の bgκc のワイル加群: Vλ = U (bgκc )⊗U (g[t] ⊕ C⊮) Eλ ,Eλ は最高ウエイト λ の g の既約表現, D は Kac-Moody 代数の標準的な degree
作用素.
(iii) 各 r について,

XVr ∼= MTr .
BF N
定理 3.8 から, ηGの場合と同様に、種数が零で境界が r 個の S 1 である連結な
2-bordismBr に対し,

ηG (Br ) = Vr
定めれば, ηG は定理 3.7 の条件を満たす関手 ηG : B2 −→ VA に拡張されることが分
かる.

荒川

14

知幸

3.15. クラス S のカイラル代数と Beem-Rastelli 予想. クラス S 理論の V による像として得られる頂点代数は, クラス S のカイラル代数と呼ばれる ([BPRvR15]). Beem
等 [BPRvR15] によると, クラス S のカイラル代数について次が成立する.
V(SG (Σ)) = ηG (B).
ただし, 節 2.6 の場合と同様に, Σ は連結な点付きリーマン面としたとき, B を連結
な, Σ と同じ種数を持ち, Σ の点の数と同じだけの境界を持つ 2-bordism.
従って、定理 3.7 の最後の主張により, Beem-Rastelli 予想 (予想 1) がクラス S 理論に対して証明されたことになる.

3.16. クラス S のカイラル代数の例. G = SL2 場合を考える. まず, r = 3 の場合は
BF N
MT3 = ηSL(パンツ) = C2 ⊗ C2 ⊗ C22であったが,

V3 = ηSL2 (パンツ) = βγ(C2 ⊗ C2 ⊗ C2 )となる. ここで, βγ(M ) はシンプレクティックベクトル空間 M に付随する βγ 系 (=ワイル代数の自然なアフィン化). XV3 ∼= MT3 はすぐに確かめられる.
次に, r = 4 の場合は
BF N
MT4 = ηSL
(B4 ) = Omin
2

in D4

であったが,

V4 = ηSL2 (B4 ) = L−2 (D4 )となる. 定理 3.8 によると

XL−2 (D4 ) ∼= Ominin D4が成立するが, これは先に [AM18] によって証明された事実の別証明を与える.
次に, G = SL3 の場合は,
BF N
ηSL(パンツ) = Omin in E6
3であったが,

V3 = ηSL3 (パンツ) = L−3 (E6 )となる. 随伴多様体の同型

XL−3 (E6 ) ∼= Ominin E6

は, 先に [AM18] によって証明された事実の別証明を与える.
一般のクラス S のカイラル代数に対しては簡易な記述は知られていない.

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荒川

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