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表計算ソフトを用いた初等函数の有限区間定積分の求め方
─ 正規分布・マックスウェル - ボルツマン分布・異なる径のクロス管の体積 ─髙見知秀＊ 1

Estimation of the finite interval definite integral ofan elementary function using spreadsheet software
─ for normal distribution, Maxwell-Boltzmann distribution, andthe estimation of the volume of cross tubes with different diameters ─TAKAMI Tomohide＊

抄録和訳
ガウス函数による正規分布、その期待値によるマックスウェル - ボルツマン分布・楕円函数を用いた異なる径のクロス管の体積の算出など初等函数の定積分を求めることは、大学の工学初等教育において必要な修得技能となっている。しかしこれらの初等函数の有限区間における定積分を解析的に求めるには、これらの函数の不定積分を求めることになるが、これは Liouville の定理により否定される。そこで本論文では、大学初年度の学生が表計算ソフトを用いてこれらの積分値を求めるための方法について示す。

Abstract
Calculating the definite integrals of elementary functions, such as the normal distribution by the Gauss function, the MaxwellBoltzmann distribution by its expectation value, and the volume of cross tubes of different diameters by using the ellipticfunction, is a necessary skill to be acquired in elementary engineering education at universities. In order to obtain analytically thedefinite integrals of these elementary functions on finite intervals, indefinite integrals of these functions should be obtained,
however, which is denied by Liouville's theorem. In this paper, the method for students in the first year of universities to estimate
these integrals numerically by using spreadsheet software is described.
Keywords: finite interval definite integral, spreadsheet software, normal distribution, Maxwell-Boltzmann distribution, elliptic
function＊1

工学院大学教育推進機構基礎・教養科教授
2020 年度学習支援センター所長代理

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工学院大学

研究論叢

1．背景

第 59 − ⑴号

殊な場合については解析的に計算できることを示す。そして、このように解析的に求めら大学の初年次教育では、統計では正規分布

れない積分については、表計算ソフトを用いの区間面積、初歩の物理化学と統計力学ではれば近似解が得られることを、具体例を挙げ気体の速さのマックスウェル - ボルツマン分て示す。

布（註：速度「成分」の分布は正規分布であるが、「速さ」の分布は各速度成分の分布に速度の 2 乗を掛けた期待値の分布になること

2．Liouville の定理に注意されたい）の区間比率、そして工学で初等函数に関する Liouville の研究は、黒は幾何学的に様々な形状の物体の体積を求め河によって示されている。1）この Liouville のる、これらの計算が必要とされる。

定理は一般に次のように書ける。

高校数学において、積分によって分布の面積または立体の体積を求めることが出来るこ

f (x) の不定積分が初等函数で示せるためにとは学んでいる。一方、現在の高校数学ではは、複素定数 c , …, cn ∈ と有理函数 g1 (x),修得範囲外ではあるが、以下の各章に示すよ…, gn (x), h (x) が存在して、1

うに、特殊な場合において前記の分布函数の積分値は解析的に求めることができる。しかし、一般にこれらの積分値を近似ではなく正確つまり解析的に求めるには、それらの函数と書けることが必要十分条件である。の不定積分を求めることになる。放物線に代表される二次函数などの初等函数では任意の上記の定理をガウス函数のような場合に特有限区間での定積分は求められる。しかし、化した上で平易にすると、次に示す Liouville

全ての初等函数においてこれらの有限区間で判別法がある。2）の定積分が解析的に計算できるわけではない
ことは、高校数学では教えられていない。こ有理函数 f (x), g (x) について f (x) eのため、もし学生がこれらの積分値を求める積分が初等函数で示せるためには、ある有理ために積分を解析的に計算しようとすると、函数 h (x) が存在して、g (x)の不定求められないことを知らないため「迷宮入り」となる。
そこで本論文ではまず、初等函数に関すると書けることが必要十分条件である。

Liouville の定理を示して、ガウス函数や楕円函数は有限区間での定積分を解析的に求める

この Liouville 判定法を用いると、下記のことが出来ないことを示す。次に、正規分ようにして e x の不定積分が初等函数で書け布、マックスウェル - ボルツマン分布、そしないことが背理法を用いて証明できる。て楕円函数を用いた体積の算出について、特− 2表計算ソフトを用いた初等函数の有限区間定積分の求め方

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まず、Liouville 判定法を満たす有理函数 h (x)いようにするために、定積分が計算できる場があったとし、互いに素な多項式 p (x), q (x)合について、その事例を示す。
積分範囲が無限大、つまり－∞から∞の場を用いて合は、求める積分値の 2 乗について極座標(x = r sinθ, y = r cosθ) と重積分、そして総和と書けたとする。Liouville 判定法より（シグマ）の二重和が分解できる「フビニの定理」

1 = h′(x) − 2h (x) xなので、q (x) {q (x) + 2p (x) x − p′(x)} = −q′(x) p (x)となる。よって q′(x) p (x) は q (x) で割り切を用いると下記のように計算できる。そこでれる。p (x) と q (x) は互いに素なので、q′(x)は q (x) で割り切れる。すると q (x) は定数であり、h (x) は多項式となる。

で与えられる積分（これをガウス積分とい

ここで、1 = h′(x) − 2h (x) x を考えると、左辺は 0 次の多項式であるが、右辺は h (x) ≠ 0う）I について、変数 x を y に変えた積分との積を I 2 とすると、である限り 1 次以上の多項式となるので矛盾する。また、h (x) = 0 でも矛盾する。
つまり、Liouville 判定法を満たす有理関数− 2h (x) は存在しない。こうして、e x の不定積分が初等函数で書けないことが証明された。

（∵フビニの定理）

このように、正規分布で用いられるガウス

ここで極座標 (x = r sinθ, y = r cosθ) に変換す

函 数 の 不 定 積 分 は 求 め ら れ な い こ と が、るとヤコビアンは r なので dxdy = rdθdr とな

3）

Liouville の定理から示されている。 同様にり、して、楕円函数の不定積分は求められないことも黒河によって示されている。4） また、この章と同様な記述は他の書籍にもあるので参照されたい。5）

3．正規分布の定積分
前章で示したように、ガウス函数の有限区となるので I =と求められる。なお、ヤコ間での定積分は、解析的には求められない。

ビアンの詳細については大学での解析学の講

しかし、下記に示す条件においては定積分の義に委ねるが、図 1 に示したように平面上に計算はできる。ここでは、初学者が誤解しな

おいて r から r + dr の間にある部分の面積が工学院大学

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第 59 − ⑴号2πr dr と近似できることに由来する。上記のここでは、A 列「A1」に x の値を入力する

積分では、全平面上で積分する際に r を固定

よ う に し て、 平 均 値 μ を セ ル「$O$1」 に、してθで積分し、最後に r で積分している。

標準偏差σをセル「$I$1」に入力している。
なお、Excel で計算する場合にセルをドラッ

r+dr

グ＆ドロップで入力するには、このように記r号「$」を用いていれば、参照先は固定化されるので憶えておくとよい。また、この式において=1/(SQRT(2*PI())*$I$1)*EXP(-(A1-$O$1)^2/(2*$I$1^2))

図1 平
 面デカルト座標 (x, y)から極座標 (r,θ)

として「^2」の「^」がどこまでの範囲なのに変換したときの積分範囲の模式図

かを括弧を用いて明確にしないと、Excel 側が忖度して計算することがあり、ここに示しまた、上記の積分で、0 から∞での積分の場合には半分の値となる。すなわちた場合では Excel 側が「^2/(2*$I$1^2)」と判断して誤った計算結果となる。なお、上記の場合においてとなる。以上の定積分が解析的に求められる例となる。

=1/(SQRT(2*PI())*$I$1)*EXP(-1*(A1-$O$1)^2/(2*$I$1^2))と代入すると、Excel 側が忖度して正しい計

しかし、一般的に上記以外の定積分を解析算結果になることも確認している。このよう的に求めることはできない。例えば高校数学

な「( )」の忘れは Excel の初学者で起こしやにおいて、標準偏差 ±σ の範囲はおよそすいミスなので注意されたい。

68% であることは教えられているが、この上記の入力式を用いて、具体例として百点値は解析的に求めることはできない。そこで満点のテストの結果が正規分布になると想定

ここでは、Microsoft 社の Excel を用いて正規して Excel でグラフを描かせると、図 2 のよ分布のグラフを描き、標準偏差の値を求めたうになった。

例を示す。
平均値μで標準偏差σの正規分布は次式から求められる。

これを Excel に入力する式にすると次のようになる。
=1/(SQRT(2*PI())*$I$1)*EXP(-1*((A1-$O$1)^2)/(2*$I$1^2))

表計算ソフトを用いた初等函数の有限区間定積分の求め方

ボルツマン分布において、気体分子の速さが0.10

正規化頻度 / arb. units

270.08

系列1v から v+dv の間にある割合が f（v）dv となる

系列2ときの分布は、次に示す式で表される。6）

系列30.06

系列40.04

ここで M は気体分子 1 mol あたりの質量 [kg/0.02mol]（註：初学者の多くは分子量と混同して

0.00

図202040点数6080

100

1000 分の 1 の数値を代入するので注意されたい）、R は気体定数 8.31446261815324 [J K−1Excel を用いて描いた正規分布のグラフ

mol−1]（ 註：、2019 年 5 月 20 日 に 発 効 し た系列 1：平均値 50 標準偏差 10系列 2：平均値 50 標準偏差 5▲ 系列 3：平均値 30 標準偏差 5□ 系列 4：平均値 80 標準偏差 5

SI 基本単位の再定義によって、アボガドロ●○

定数とボルツマン定数は定義定数となったので、ここに示した数値が正確な気体定数である）、T は絶対温度 [K] である。

実際の Excel での表計算では、0 から 100 まアトキンスの教科書の統合問題 6） では、で 1 点刻みで行った。この 1 点刻みで台形公速さが 100 m s と 200 m s の間にある分子式を用いて、図 1 の ● 系列 1 に示した正規分の割合を数値計算によって求める問題が出題

布で ±σの範囲での積分の近似値されている。当然この問題は数学ソフトウェ−1−1ア、表計算ソフトウェアを利用するように指示されている。もしこの問題で、を とに分けて部分積分をすると、を求めると、68.2286% と求められた。より精密な値は 68.2689492% であり、1 点刻み程度の粗い近似計算でも有効数字 2 桁までは合う計算結果となることがわかった。なお、となり、第 1 項は計算できるが、第 2 項は第± 2 σの範囲での積分の近似値を同様にして3 章で示したガウス函数の有限区間定積分で求めると 95.432% と求められ、より精密なあり、Liouville の定理により解析的な計算は値 95.4499736% と 比 較 し て 有 効 数 字 3 桁 ま不可能である。このガウス関数は第 3 章でもでは合う計算結果が得られた。

示したように－∞から∞の範囲の定積分ならば極座標変換で求める方法がある。しかしこ

4．マックスウェル - ボルツマン分布の定積分
物理化学そして統計力学において初学者が学ぶ気体分子運動論で習うマックスウェル -の場合は 100 から 200 の直方領域を極座標の帯状の領域に変換することになり、極座標変換しても計算はできない。なお、誤差函数を使うと計算できるが、この場合も解析的ではなく数値積分の計算となる。

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28研究論叢第 59 − ⑴号

マックスウェル - ボルツマン分布の式を刻みで台形公式を用いて計算を行ったとこ

Excel のセルに代入するには、次のような式

ろ、300 K では 0.28133、1000 K では 0.06629を用いればよい。と求められた。出版されているアトキンス教=4*PI()*SQRT(($I$1*0.001/(2*PI()*8.31446261815324*$P$1))^3)*A1*A1*EXP(-1*$I$3*0.001*A1*A1/(2*8.31446261815324*$P$1))

科書解答集（英語版）7） をみるとそれぞれ、ここでは、A 列「A1」に速さ v の値を入力す0.281 と 0.066 となっているので、10 刻みというおおらかな計算でも十分妥当な結果を得ることができた。

るようにして、分子量（SI 単位系でのモル質量 M の 1000 分 の 1 の 値 ） を セ ル「$I$1」に、絶対温度 [K] をセル「$P$1」に入力して4．異なる径のクロス管の体積の計算いる。また、第 3 章で示した、「^」の範囲を例えば真空工学において、次のような問題括弧で指示を忘れる、というミスへの対策法が考えられる「内径 23 mm 長さ 100 mm のとしてこのように「A1^2」を「A1*A1」としパイプと、内径 17.5 mm 長さ 100 mm のパイて「^」を用いないやり方もある。

プが十字にクロスした管の内容積を求めよ」。

こ の 入 力 式 を 用 い て、 速 さ v が 0 か ら

このクロスするパイプの径が同じ半径 r のまでの範囲でのマックスウェル -場合であれば、高校数学で習った積分で計算ボルツマン分布を Excel でグラフに描かせるできる。この円筒が重なった部分の体積を求と、図 3 のようになった。

めるのは、受験数学において頻出の問題であ−11000 m s

り、筆者は受験生のときは答の 16r3/3 は暗記していた。その導出方法は次のようになる。

正規化頻度 / arb. units

0.005
系列10.004

2 つの直交している円柱の式をそれぞれ x2

系列20.0030.002

系列3+ z2 ≦ r2, y2 + z2 ≦ r2 とする。z = t のときの系列4切り口はの 4 つの点を頂点とする正方形で、その一辺0.0010.000（複号任意）の長さは0200400600800であるから断面積はである。よって求める体積は1000

速さ/ m s−1

図3Excel を用いて描いたマックスウェル ボルツマン分布のグラフ（分子量は 100）
絶対温度●

系列 1：200 K,▲

系列 3：1000 K, □ 系列 4：2000 K○

系列 2： 500 K,である。
しかし与えられた問題のように、パイプの径が異なる場合には、楕円積分を計算することになる。この楕円積分が解析的に求められな

そして、速さが 100 m s と 200 m s の間にいのは、第 2 章で示した。そこで、これまである分子の割合を数値計算によって求める問と同様に Excel を用いて計算した結果を示

−1

題5）

−1

について、Excel で 100 から 200 まで 10す。

表計算ソフトを用いた初等函数の有限区間定積分の求め方29

この章の最初に与えた問題を一般化すると次のようになる。「半径 a 長さ 2L の円筒と半径 b 長さ 2L のパイプが十字にクロスしたを 求 め る と、7552.25 mm3 と 求 め ら れ た。

管の内容積を求めよ」。

よって求める体積はこの 2 × 4 倍なので22 つの直交している円柱の式をそれぞれ x60418 mm3 と求められた。クロスさせる前の+ z2 ≦ a2,（－ L ≦ x ≦ L）, y2 + z2 ≦ b2（－ L

内径 23 mm（半径 11.5 mm）長さ 100 mm の≦ y ≦ L）、但し 0 < a < b < L とする。z = t のパ イ プ の 体 積 は 41547 mm3、 内 径 17.5 mm

場合で 2 つのパイプの交点は（半径 8.75 mm）長さ 100 mm のパイプの体（複号任意）の 4 点積は 24053 mm3 なので、重なり部分の体積となる。

は 41547+24053−60418 = 5182 mm3 と求めら

ここで x > 0, y > 0 の範囲の断面を図 4 に示す。

れた。

y5．おわりにL

工学者は、理想的には解決できない問題でも現実的に解決しなければならない。本論文
では、積分が解析的に計算できない場合でも、表計算ソフトウェアを用いれば、工学的には問題なく実用的に解決できる例として、
L

0x2

そして異なる径のパイプのクロス管の体積をExcel で数値解を求める方法を示した。初学

図42正規分布、マックスウェル - ボルツマン分布、2異なる半径 a, b の円筒 x + z ≦a , (−L≦x≦L) および
y2 + z2≦b2 (−L≦y≦L), ( 但し 0 < a < b < L) の、z = tにおける第一象限 (x > 0, y > 0) での断面図

者のために、台形公式を用いておおらかな区間刻みでの計算を示したが、より精密な計算については他の講義や書籍 5）に委ねたい。

図 4 より、この断面の面積 S1(t) は(0 < t < a) となる。また、交わっていない部分の断面積 S2(t) は(a < t < b)となる。

6．謝辞
第 2 章での議論で、参考文献 1 を紹介してくださった基礎・教養科数学の長谷川研二先

実際の Excel での表計算では、0 から b =生 に 感 謝 い た し ま す。 ま た、 第 3 章 で の23/2（=11.5）mm まで 0.25 mm 刻みで各 z = t

Excel での計算式入力ミスの記述についてはにおける断面積を計算した。この 0.25 mm 刻

基礎・教養科化学の徳永 健先生との議論がみで台形公式を用いて、次に示す積分近似値役立ちました。

30

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参考文献
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会誌 , 1, 17-27（1927）．
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7． C. Trapp, M. Cady, and C. Giunta：アトキン
ス 物理化学 問題の解き方（学生版）第 10 版
英語版 , 東京化学同人 , 2017, pp. 13-14.

（たかみともひで

教育推進機構基礎・教養科教授）