光の波面の幾何学から
20th Oka Symposium
奈良女子大学

宮岡礼子 ∗（東北大学）

概要
等径超曲面の概要，分類から始め，Gauss 写像の像の作る Lagrange 部分多様体の交叉に関する Arnold-Givental 予想の部分解決に触れる．さらに過剰決定系として知られる Pompeiu 問題との関わりについて，講演では述べなかったことも含め記す．最後に筆者のこの他の研究概要に関するスライドを掲載する．

序1

イタリアの幾何光学者が 1920 年代に始めた光の波面の幾何学である等径超曲面は，É. Cartan により系統的に研究され，ユークリッド空間と双曲空間では同心球面族と同心シリンダー族で尽くされることが示された．
他方，球面内では非自明な無限個の例が現れることが知られ，Münzner は
その研究の基礎を築き，分類は 2020 年に漸く完成した．
その面白さをひとつだけ述べれば，群作用（対称性）のある空間の作用不変な微分方程式が軌道空間に落とすことで単純化されるように，等径超曲面族により生じる特異フォリエーションによってある種の解析が容易になることである．
そこであまり知られていないこの等径超曲面を紹介し，その幾何学的側面を述べた後，解析的観点からは Pompeiu 問題に関する最近の結果を紹介する．
後半では筆者のこれ以外の研究にも触れる．

∗

科研費 基盤研究 C 21K03214

1

2

等径超曲面の紹介

以前，数学 [21]，RIMS 講究録 [22] で等径超曲面について解説しているので，ここではより直感的な説明を簡潔に行う．
リーマン多様体上の平行超曲面族とは，法方向へ速度一定で膨らむ（縮む）超曲面族のことである．したがって図１の左二つはユークリッド空間内の平行族であるが，図２の曲線は法方向への進行速度が一定でないか
ら，平行族ではない．

図 1: 平行

図 2: 非平行

平行性は Huygens の原理「進行波面は各出発点での小波面の包絡面として得られる」ことを，波の進行速度一定の場合に数学的に述べたものである（図３）．

図 3: Huygens の原理

図 4: E n と H n の等径超曲面

定義．リーマン多様体 N の平均曲率一定 (CMC) 超曲面からなる平行族があるとき，その各超曲面を等径超曲面という．ここで平均曲率とは法方向への変分が超曲面の面積を減らす（増やす）率を表す量で，型作用素のトレースで与えられる．特に平均曲率０のとき，極小部分多様体という．
定理 2.1 (É. Cartan [3] 1938) E n と H n の等径超曲面は, 同心超球面
S n−1（全測地的を含む） と円筒 S k−1 × E n−k , S k−1 × H n−k のみである（1 < k < n，図４）．いずれも等質超曲面（群作用の軌道）である．
対照的に, 球面S n = {x = (x0 , . . . , xn ) | |x| = 1}
2

には，無限個の等質，非等質な等径超曲面が存在する．Cartan は等質例
をいくつか見つけ，尾関秀樹-竹内勝は無限個の等質例および非等質例を発見した [31]．

3球面の等径超曲面

S n の等径超曲面 M には波源にあたる焦部分多様体とよばれる部分多様体 M± が必ず二つ存在して，M は M± を心棒とする半径一定のチュー
ブの表面で与えられる．チューブの半径が変化していくことにより，S n
を覆い尽くす．
以下の図では M± を記している．最も簡単な例が，M+ = 北極，M− =南極で，波面はそこから発する超球面 S n−1 である（図５）．

図 5: S n の波源

図 6: Clifford 超曲面の波源

次に簡単なのは，Clifford 超曲面とよばれる二つの球面の直積 M =√1 − r2 ) であり，焦部分多様体は全測地的球面 M+ =S k−1 (1) と M− = S n−k (1) である（1 < k < n，図６）．
以後鍵となる数が，相異なる主曲率の個数 g である．主曲率とは型作用素の固有値のことであり，g は直感的には曲がり方の種類を表す．S n−1 (r)√なら g = 1, S k−1 (r) × S n−k ( 1 − r2 ) なら g = 2 である．E n と H n では
g は１か２のみである [3] のに対して，S n では, さらに g = 3, 4, 6 をもつ
等径超曲面が存在して，g はこれ以外の値はとらない [28]．
以降，図は M± の任意の法測地線ののっている平面に射影して表す（図５ ∼ ９は，元々M＋ を出発して M− に至る波面の動画で，藤森祥一広島大学教授による）．
g = 3 の等径超曲面は，焦部分多様体 M± が Veronese 曲面とよばれる
射影平面 FP 2 (F = R, C, H, O) の S 4 , S 7 , S 13 , S 25 への標準埋め込みであり，M はその上のチューブである．N は等質で，Cartan により発見，分類がなされたので，Cartan 超曲面とよばれている（図７）.
g = 4 の場合は最も豊富で興味深く，無限個の等質，非等質な等径超曲面が現れる．これらは Clifford 環の表現に関係している（図８, 7 節参照）．

S k−1 (r) × S n−k (3図 7: g = 3 の波源：Veronese 曲面

g = 6 の等径超曲面は二つのみ，いずれも等質で，対称空間 G2 /SO(4)または G2 × G2 /G2 のイソトロピー軌道である（図９，8 節参照）．

図 8: g = 4 の波源

4図 9: g = 6 の波源

イソトロピー軌道

空間形では, 等径超曲面は主曲率一定超曲面と同値であることが知られている．等質超曲面の主曲率は一定であるから，任意の等質超曲面は等径超曲面である. S n の等質超曲面は，階数２のコンパクト型対称空間のイ
ソトロピー軌道で与えられ（Hsiang-Lawson [14] 1971），すべて分類されている ([14], Takagi-Takahashi [39] 1972, et al.）．
イソトロピー軌道を説明しよう．G/K を階数２のコンパクト型対称空
間とする．
g=k+p
を G の Lie 環 g の Cartan 分解, ここに k は K の Lie 環，p は Killing 形式による自然な計量に対する k の直交補空間とする．このとき K は随伴作用で p に等長的に作用する．よって AdK 軌道が p の単位球面 S n 上に現れ，一般軌道は S n の超曲面となる．
定理 4.1 (Hsiang-Lawson [14]) S n の全ての等質超曲面は，こうして
得られる

4

5

等径関数と Cartan-Münzner 多項式

等径超曲面族は等質か否かに関わらず，次の (a), (b) をみたす等径関数とよばれる関数 f の等位面として記述できる．

(a)
(b)

∆f + p(f )=02|∇f | + q(f ) = 0

ここに p, q は 1 変数関数．またラプラシアンは ∆f = −div∇f で定義しておく．
（Ferus らの論文 [9] では符号が逆のラプラシアンを使っているが問題は生じない．
）(b) は等位面が互いに平行であることを意味し（図 10），(a) は (b) とあわせると等位面が CMC であることを意味する．

図 10: 等位面

S n の等径関数 f は，ふたつの PDE をみたす Rn+1 上の次数 g の斉次多項式：Cartan-Münzner 多項式 F を S n に制限して得られる：f =F |S n : S n → [−1, 1]．M± = f −1 (±1) に注意しよう.
!
g = 1: F (x) = ni=0 ai xi , x = (x0 , . . . , xn )．
g = 2: F (x) = |u|2 − |v|2 , x = (u, v) ∈ Rk ⊕ Rn−k+1
g = 3: R5 , R8 , R14 , R26 上の斉次 3 次式
g = 4: 無限個の斉次４次式 (7 節参照)
g = 6: R8 , R14 上の斉次６次式

6Clifford 環と Clifford 系
g = 4 では Clifford 環が現れる．Rl 上の Clifford 環 Cm−1 は，Ei Ej + Ej Ei = −2δij id(1)をみたす Rl の歪対称直交変換 E1 , ..., Em−1 ∈ O(l) からなる. R2l =Rl ⊕ Rl の対称直交変換を

P0 (u, v) = (u, −v), P1 (u, v) = (v, u), P1+j (u, v) = (Ej v, −Ej u)5(2)で定めると，Pj ∈ O(2l) は

Pi Pj + Pj Pi = 2δij id,

i, j = 0, ..., m(3)をみたす．{P0 , ..., Pm } を Clifford 系とよぶ.
Clifford 系は Clifford 環の表現と１対１に対応している．

7

OT-FKM 型等径超曲面
Clifford 系に付随して，4 次の Cartan-Münzner 多項式はF (x) = |x|4 − 2

m
"
i=0

)Pi x, x*2(4)で与えられ，0 < l − m − 1 のとき g = 4 の等径超曲面 F −1 (t) ∩ S 2l−1 ,t ∈ (−1, 1) を得る．
対 (m, l) は無限に存在し，m ≤ l をみたすが，さらに 0 < l − m − 1 を仮定すると，主曲率 λ1 > … > λ4 の重複度は modd = m, meven = l−m−1
で与えられる.
こうして得られる等径超曲面を OT-FKM 型 (Ozeki-Takeuchi [31]，Ferus-Karcher-Münzner[9]) という．(4) は本質的に尾関-竹内により得られ，これが無限個の等質，非等質超曲面を含んでいることも，彼らにより初めて指摘された [31]．

8

S n の等径超曲面の完全な分類
S n の等径超曲面は次で尽くされる．
g = 1 : S n−1 ，超球面
g = 2：S k−1 × S n−k (1 < k < n), Clifford 超曲面
g = 3 : Cartan 超曲面 : FP 2 (F = R, C, H, O) 上のチューブの表面
g = 4：OT-FKM 型か，OT-FKM 型でない 2 つの等質な超曲面
Cecil-Chi-Jensen, Ann. of Math. 2007, Chi, J.D.G. 2020
g = 6：重複度は mi = m = 1 または 2 [1] で，どちらも等質
m = 1：Dorfmeister-Neher, 1985
m = 2：宮岡, Ann. of Math. 2013, 2016

g = 4 では最終的に４元数，８元数を扱う場合が残り，複雑で注意深い計算が必要となる [6]．
最後の (g, m) = (6, 2) の等質性の証明は非常に困難である．m = 1 であれば主曲率方向からなるフレームは向きを除いて一意に決まるが，m = 2
6

では主曲率分布においてフレームの取り方に S 1 の自由度があり，さらにその主曲率分布が６つもあるので，よいフレームを見つけることがほぼ等
質性の証明となる．そのためには超曲面の大域性質，各リーフが互いにどう交わるかといったことを調べねばならない [24], [25]．

9等径超曲面の位相

S n の等径超曲面 M の位相は，Münzner が H ∗ (M, Z2 ), H ∗ (M± , Z2 )を計算した [29]．これは S n が M± = f −1 (±1) 上の２つの円板束 Ω±t ={f ≷ t} に分解されることを用いて示され，g = 1, 2, 3, 4, 6 が導出された．
ここに f : S n → [−1, 1] は等径関数，t ∈ (−1, 1) である．
他方，M は球面上の球面束の繰り返しで得られるので, Thom-Gysinの完全系列を用いた新しい証明もある [26]．この別証のきっかけは M のGauss 像の位相を調べることである．

10

S n の超曲面の Gauss 像

S n の超曲面 M の単位法ベクトル場を n とする. M の x ∈ M における Gauss 写像 G はG(x) = x ∧ n ∈ Gr+ (2, Rn+1 )で与えられる．ここに有向平面の作る Grassmann 多様体 Gr+ (2, Rn+1 )は複素２次超曲面

Qn−1 (C) = {[z0 , ..., zn ] ∈ CP n | z02 + · · · + zn2 = 0}とx ∧ n .→ [x +#− 1n] ∈ Qn−1 (C)により同一視される．
さて， Qn−1 (C) は Kaehler 多様体であるから，symplectic 多様体である．
定理 10.1 (B. Palmer [32]) M が S n の等径超曲面のとき, Gauss 像
L = G(M ) は Qn−1 (C) の極小 Lagrange 部分多様体である.
この結果により，等径超曲面が Gauss 写像を通じて symplectic 幾何と関わってくる．特に次の予想は興味深い．

7

【Lagrange 部分多様体 L の交叉に関する Arnold-Givental 予想】#(L ∩ ϕ(L)) ≥ SB(L, Z2 )(5)

ここに ϕ は Hamilton 微分同相 (12 節), SB は Betti 数の総和 (Z2 係数)，
交叉は横断的であるとする．

11

Symplectic 幾何の復習

非退化閉２形式 ω を持つ多様体 (X 2n , ω) を symplectic 多様体という．
また，ι : L → X が Lagrange 部分多様体であるとは，dim L = n で,ι∗ ω = 0 をみたすことである．
例１．任意の Kahler 多様体，従って任意の曲面は symplectic 多様体. 曲
面上, 任意の曲線は Lagrange 部分多様体.
例２．余接束．L を多様体 とするとき，余接束 π : T ∗ L → L は symplectic
多様体．そもそも力学の相空間が symplectic 幾何の起源である．ここに(x1 , …, xn , ξ1 , …, ξn ) を T ∗ L の標準座標とするとき，ω = dxi ∧ dξi ．
【T ∗ L の Lagrange 部分多様体の例】
1. L: 底多様体．
2. π −1 (x), x ∈ L 上のファイバー．
3. f ∈ C ∞ (L) に対して Lf = {(x, df (x))} を Lagrange グラフという．
実際 df = fi dxi であるから ω|L = dxi ∧ dfi = dxi ∧ fij dxj = 0.
このとき L ∩ Lf = {(x, 0)} より, L ∩ Lf は f の臨界点. よって L が閉
で，f が Morse 関数ならば直ちに次を得る．

#(L ∩ Lf ) ≥ SB(L, Z2 ).
Lf は L の Hamilton 変形（次節）の特別な場合と思えるので，T ∗ L を
一般の symplectic 多様体 X に，L を X の Lagrange 部分多様体に，そして Lf を L の Hamilton 変形 ϕ(L) に一般化する．

図 11: Lagrange グラフ

図 12: 一般化

8

12

Hamilton 微分同相と Arnold-Givental 予想(X, ω) を閉 symplectic 多様体，H : [0, 1] × X → R を時間依存する
Hamilton 関数で，dHt = ω( , XHt ), ここに XHt は Ht = H(t, ) の Hamilton ベクトル場，ϕH
t を XHt の Hamilton フローとする．
定義. t = 1 のときの ϕ = ϕH
1 を X の Hamilton 微分同相という．
∞
Ham(X, ω) = {ϕ = ϕH
1 | H ∈ C ([0, 1] × X)}⊂ Sym0 = { 恒等写像にアイソトピックな symplectic 写像 }である．
ϕ ∈ Ham(X, ω) に対して ϕ∗ ω = ω であるから, L が Lagrange 部分多様体ならば ϕ(L) も Lagrange 部分多様体である．

【Arnold-Givental 予想】
交叉が横断的ならば次が成り立つ：#(L ∩ ϕ(L)) ≥ SB(L, Z2 ),ϕ ∈ Ham(X, ω).

(6)

注意 12.1 一般にはこの予想は成り立たない.
実際，S 2 の小円 S 1 については，ある ϕ ∈Ham(S 2 , ω) が存在して #(S 1 ∩ϕ(S 1 )) = 0 < 2 = SB(S 1 , Z2 ).

図 13: 小円，大円
1 に対しては, ϕ(S 1 ) は S 1 と必ず交わる．なぜなら ϕ は他方，大円 Seqeqeq
1 ∩ ϕ(S 1 )) ≥ SB(S 1 , Z ).
面積を保つから．よって #(Seq2eqeq

このように微妙な Arnord-Givental 予想の解決のため Floer (co)homology
HF (L) が導入された．HF (L) は交叉 L ∩ ϕ(L) で生成されるので L ∩ϕ(L) = ∅ ならば HF (L) = 0 と自明になる. よって次の概念が重要となる．
定義.
1. ある ϕ ∈ Ham(M, ω) に対して L∩ϕ(L) = ∅ のとき, L は Hamilton
交叉解消性をもつという. 例. S 2 の小円.
2. どの ϕ ∈ Ham(M, ω) に対しても, L ∩ ϕ(L) 2= ∅ のとき, L は
Hamilton 交叉非解消性をもつという. 例. S 2 の大円.

9

13

等径超曲面の Gauss 像

S n の等径超曲面 M の Qn−1 (C) 内の Gauss 像 L = G(M ) は L ∼= M/Zgをみたすことが容易に示せる [19]．
g = 1 のとき M = S n−1 , L = S n−1 ⊂ Qn−1 (C) は実型．
g = 2 のとき M = S k−1 × S n−k , L = S k−1 × S n−k /Z2 (1 < k < n) は
実型
定理 13.1 (Y. G. Oh [30] 1995, 入江博-酒井高司-田崎博之 [16] 2013)
g = 1, 2 のとき次がなりたつ：

HF (L) ∼= H ∗ (L, Z2 ) および #(L ∩ ϕ(L)) ≥ SB(L, Z2 ).
g ≥ 3 のときはどうか？

命題 13.2 (Münzner [28]) g ≥ 3 のとき, 主曲率 λ1 > . . . λg の重複度
mi は (m1 , m2 ), mi+2 = mi で与えられる.
定理 13.3 (入江-H.Ma-宮岡-大仁田義裕 [15] 2016) (1) g = 3 のとき
L = G(M ) は Z2 -homology 球面である．また m = mi ≥ 2 のとき,

HF (L) ∼= H ∗ (L, Z2 ) および #(L ∩ ϕ(L)) ≥ SB(L, Z2 )がなりたつ．
(2) g = 4, 6 で m2 ≥ m1 ≥ 2 のとき L は Hamilton 交叉非解消性をもつ.
証明の概要：M の位相はよくわかっているので，被覆 M → L = M/Zgに Damian の lifted Floer homology [7] と spectral 系列を使い (入江氏のアイディア)，HF (L) = 0 を仮定して矛盾を導く．
注意 13.4 HF (L) を定めるには, L は monotone が必要だがこれは常にみたされる．他方，最小 Maslov 数 NL が 2 より大きいことが必要.
このため次の未解決部分がある．
【未解決部分】NL = 2 となる次の場合は未解決である．
(1) g = 4, (m1 , m2 ) = (1, k)(2) g = 6, m1 = 1(3) HF (L) は g = 3, m1 = 1, g = 4, 6 の場合，得られていない.
注意 13.5 実は g = 4, 6 については, 特異 cohomology H ∗ (L, Z2 ) も簡
単には求まらない．L ∼= M/Zg において，g が素数でない場合の考察は非自明である [26]．

10

14

解析の話題

以下では等径超曲面に関係する解析の問題について A. Savo らの研究を紹介する．
【Pompeiu 問題 [33] 1929】 （2023 年現在未解決）
E n の単連結 Lipschitz 領域 Ω (n ≥ 2) を考える．u ∈ C 0 (E n )，u 2≡ 0が存在して， E n のすべての運動 τ に対して
$
u=0
τ (Ω)

をみたすならば, Ω は球体である．
定義．N を等長群 G をもつ Riemann 多様体とするとき，N の有界領域Ω が Pompeiu 性質をもつとは，N の連続関数 u が，すべての τ ∈ G%に対して τ (Ω) u = 0 をみたすならば u ≡ 0 であること.
事実．u を図 14 の鉄板の密度を表す関数 (Bessel 関数を用いて得られる:
小林俊行氏 [17] から引用）とする. このときある半径を持つ円板 Ω と%全ての運動 τ に対して，u は τ (Ω) u = c，一定で，Ω の面積が１ならば%
τ (Ω) (u − c) = 0 をみたすが，u − c 2≡ 0．

図 14: 鉄板
よって E 2 の円板は Pompeiu 性質を持たない．
注意 14.1 Pompeiu 性質をもたない E n の領域の既知の例は次の二つだけ（単連結なら球体のみ）
1. E n の球体.
2. 大きい球体からある半径の球体を除いた領域

図 15: 球体図 16: 穴の空いた球体11

定理 14.2 (気まぐれな定理 Ungar[42]) B(r) を S 2 の半径 r の円板とするとき，集合S = {r ∈ (0, π) | B(r) は Pompeiu 性質をもたない }は 加算かつ (0, π) で稠密.

よって B(r) は r ∈ (0, π) において確率１で Pompeiu 性質をもち，E 2のときとは大きく異なる．
次に Pompeiu 問題と同値 (1976,[44]) な Schiffer 予想を述べる．
【Schiffer 予想 (N)】 （2023 年現在未解決）
E n の領域 Ω が連結境界をもつとき，次の方程式が非自明な解∆u = k 2 u, k 2= 0
[N ]u = c, ∂u = 0 ∂Ω 上∂ν

(7)をもてば Ω は球体である．以下では ν は ∂Ω の内向き単位法ベクトルとする．
注意 14.3 ユークリッド球体上，任意の放射固有関数（16 節）で，この Dirichlet 版∆u = k 2 u, k 2= 0[D](8)u = 0, ∂u = c ∂Ω 上
∂νの解を見つけるのはたやすい．

15

再び等径関数

Riemann 多様体 N の領域でも Pompeiu 問題が議論されている．とくに N がコンパクト，たとえば N = S n のとき，Savo らは等径関数を用いて球体以外の Pompeiu 性質を持たない領域を見つけた．
Riemann 多様体 N 上の等径関数 f ∈ C ∞ (N ) とは(a)∆f + p(f ) = 0,(b)|∇f |2 + q(f ) = 0(9)をみたすものであった.
N = S n では (a) の p(f ) は 1 次式 [28]. 等位面 f −1 (t) では, (b) は ∂f∂νが定数であることと同じである．つまり f は適当な等位面を境界として分解された S n の領域 Ω 上の Schiffer 方程式 [N] あるいは [D] の解に関係している.
次の定理の証明は易しい．

12

定理 15.1 (Provenzano-Savo [34] 2022) 球面 S n の領域 Ω は対点対称ならば，Pompeiu 性質をもたない．

!
証明: Ω の座標関数の一次結合 ψ =ai xi は ψ 2= 0 だが，対点で符号が%反対だから τ (Ω) ψ = 0, τ ∈ G (Ω = Ω± ) をみたす．
定理 15.2 (P-S [34] 2022) f を S n の g = 2, 3, 4, 6 なる等径関数とする．このとき Ω±t = {f ≷ t}, t ∈ (−1, 1) は Pompeiu 性質をもたない．
定義．t ∈ (−1, 1) に対して Ω±t を等径チューブとよぶ．

証明は次節以下で与えるが，g = 2, 4, 6 のときは Cartan-Münzner 関数
は偶関数であるから，等径チューブ Ω±t が対点対称となり，定理 15.1 を適用してもよい．

16

ラプラシアンのスペクトルと放射スペクトル

以後，閉 Riemann 多様体 N を考える．N のスペクトル（[2]）を

0 = λ1 < λ 2 ≤ · · · ≤ λk ≤ · · · 4 ∞とする．Spec1 (N ) で相異なる固有値の集合を表す．
定義．Riemann 多様体 N 上に等径関数 f が存在するとき，N は平行 CMC
超曲面族による（特異）フォリエーション (N, F) をもつ．これを等径フォリエーションという．N がコンパクトの時は f (N ) = [a, b] とおくと，M+ = f −1 (a)，M− = f −1 (b) は焦部分多様体とよばれるスムースな部
分多様体になる．特にどちらも余次元２以上のときはプロパーとよばれ，
N = S n のときと同じような議論ができる [13] ので，以後その場合のみを考える．

(N, F) を焦部分多様体 M± をもつ等径フォリエーションとするとき，
M+ （または M− ）からの距離 ρ(x) のみによる関数を N 上の放射関数 ϕとよぶ．つまり ρ(N ) = [0, D] のとき，ϕ(x) = ψ(ρ(x))，ここに ψ : [0, D] → R.
放射関数を固有関数にもつ固有値を放射固有値とよび，Spec(N, F) を放射固有値の集合として，放射スペクトルとよぶ．
注意 16.1

ρ は任意の等位面 f −1 (c) からの距離関数でよい．

13

定理 16.2 (P-S [34]) (N, F) を等径フォリエーションとする．
（１）Spec(N, F) が Spec1 (N ) の真の部分集合のとき，F の任意の等径チューブは Pempeiu 性質を持たない．
（２）Spec(N, F) =Spec1 (N ) のとき，ある可算稠密集合 S(F) ⊂ (0, D)が存在して，t ∈ S(F) なる等径チューブ Ωt = {f > t} は Pompeiu 性質を持たない．

(1) の証明は次節で与える．
次はよく知られている．

Spec1 (S n ) = {k(k + n − 1) : k ∈ N}.

(10)

定理 16.3 (P-S [34]) (S n , F) を g 個の主曲率をもつ等径フォリエーショ
ンとするとき，放射スペクトルはSpec(S n , F) = {gk(gk + n − 1) : k ∈ N}

(11)

である．
よって g ＞ 1 のとき Spec(S n , F) は Spec1 (S n ) の真の部分集合で，定理
16.2 (1) が適用できて，定理 15.2 を得る．

17

放射化

(N, F) を焦部分多様体 M± をもつ等径フォリエーション，ρ を M+ からの距離関数とする．
定義．N の関数 u の放射化 Au とは x ∈ N に対して t = ρ(x) とおいて，
等位面 ρ−1 (t) で u の値を平均化すること:$
1
Au(x) = − 1u|ρ (t)| ρ− 1 (t)である．ここに |ρ− 1 (t)| は体積．すると Au(x) は放射関数である．

ここで定理 16.2 の (1) を証明しよう．任意の t ∈ (0, D) に対して Ω =Ωt = {f > t} とおいて，λ ∈Spec1 (N )\Spec(N, F) の固有関数 ψ が
$
ψ=0
τ (Ω)

をみたすことをいおう．これを否定すると，余面積公式から
$ t)$
$
*
ψ dr =
ψ 2= 00ρ−1 (r)

τ (Ω)

14

%
となり，ある r0 について ρ−1 (r0 ) ψ 2= 0 より ψ の放射化が消えないから,λ が放射固有値となり，λ ∈Spec1 (N )\Spec(N, F) に矛盾する．

次の定理では等径性を本質的に使い，さらなる議論を進めているが結果だけ述べる．
定理 17.1 (P-S, Theorem 2.6 [34]) (N, F) を等径フォリエーションとするとき，∆(Au) = A(∆u).

ここに ∆ は N のラプラシアン．特にラプラシアンは放射関数の空間を保存する．
定理 17.2 (P-S)(N, F) を等径フォリエーションとするとき，Spec(N, F)⊂Spec1 (N ) は無限部分集合（一致することもある）で，放射固有値の重複度はどれも１である．
注意 17.3 [34] では放射固有関数のみたす ODE も具体的に記しているが，ここでは略す．他にも第２固有値の評価などを得ている．

18

Serrin の方程式

関連して，もう一つ古い問題を述べる．Ω が Riemann 多様体 N の領域で C 1 境界 ∂Ω をもつとき，偏微分方程式
∆u = p(u), u > 0 Ω 上[Serrin](12)u = 0, ∂u = 定数 ∂Ω 上
∂νを考える．ここに p は１変数の C 1 関数．

定理 18.1 (Serrin [38], Molzon [27], Kumaresan-Prajapat [18])N = E n ，H n ，または開半球のとき，(12) が解をもつならば Ω は n 次元球体である.
【Serrin のアイディア】
Serrin は E n の領域上で，最大値原理，Alexandrov の反射原理, そして動平面法を用いた. Molzon, Kumaresan-Prajapat はそれを拡張した．

S n では半球に含まれない領域にはこの議論は使えない．実際 S n の等
径関数 f は Ω = {f > 0} 上で，[Serrin] をみたすが，g = 2, 3, 4, 6 ならば，
Ω は球体ではない S n の半球に含まれない領域である．

15

以下，本来の Serrin の方程式:
∆u = 1, Ω 上
u = 0, ∂u = c (定数)
∂ν

∂Ω 上

(13)

について述べる．

定義．この解 u ∈ C 2 (Ω) が存在する境界付き多様体 Ω を調和領域という．
実際，Stokes より（∆f = −div∇f ，ν は内向き単位法ベクトル）
$
$
$
∂f
∆f =
)∇f, ν* =
Ω
∂Ω
∂Ω ∂ν

である．Ω の調和関数 h について f = uh とおいて，h = ∆u · h = ∆(u ·h) + 2∇u · ∇h を積分すると，u と h の L2 直交性と (13) の境界条件を
使って
$
$
$ )
$
* $ ∂uh=∆u · h =∆(u · h) + 2∇u · ∇h =
h=c
h
Ω
Ω
Ω
∂Ω ∂ν
∂Ω
を得る．つまり（定数倍を除き）h の Ω 上の平均値 = ∂Ω 上の平均値となる．
次の定理は結果のみ述べる．

定理 18.2 (M.M. Fall, I.A. Minlend and T. Weth [11] 2018) S n の調和領域で，等径チューブでないものが存在する．これは全測地的超球面
S n−1 上の半径が一定でないチューブ領域で与えられる．
つまり球面の等径関数は，過剰決定系である (13) の解より真に限定的な関数である．実際，(9) の (b) だけをみたす transnormal 関数は多様体に強い条件を与え，その位相や大域構造がかなり決定されてしまうので，(b) は (a) 以上に本質的な条件のように思える [43]，[23]．

19Constant Flow Property と等径チューブ

このように強い条件である等径性と同値な別の概念を与えよう．条件(b) に深く関わるものである．スムースな境界を持つコンパクト Riemann多様体 (Ω, g) 上の熱方程式の解 u = u(t, x) : [0, ∞) × Ω → R

∂u



∆u + ∂t = 0 Ω 上(14)u(0, x) = 1 ∀x ∈ Ωu(t, y) = 0 ∀y ∈ ∂Ω, t > 016を考える．
定義．Ω が Constant Fow Property (CFP と略す) をもつとは，すべ∂uての t > 0 に対して
(t, ·) : ∂Ω → R が一定であることをいう．
∂t定理 19.1 (Savo [37]) Ω が解析的 Riemann 多様体のコンパクト領域のとき，{CFP をもつ領域 } = { 等径チューブ }(15)
証明には ∂u∂t (t, ·) の t に関する k 階微分が，∂Ω 上 k のみによる定数である
ことを帰納的に示す計算が必要であり，ここには述べきれない．

20

自由境界極小超曲面

次に調和領域の例として自由境界極小超曲面をあげる．
定義．B n を Rn の球体とする．自由境界極小超曲面とは B n の極小超曲面 Ω で ∂Ω ⊂ ∂B n をみたし，Ω が ∂B n と直交するものをいう．
定理 20.1 (S.[37]) ユークリッド球体 B n の自由境界極小超曲面 Ω は調和領域である．
証明: B n を Rn の原点中心の単位球体とする．ν を x ∈ ∂Ω の Ω における
内向き単位法ベクトルとすると，Ω が ∂B n と直交することから ν = −x で1ある．r を原点から y ∈ Ω への距離とするとき，u(y) = 2(n−1)(1 − r(y)2 )が (13) をみたすことをみるのはたやすい [37]．

Fraser-Schoen[12] は B 3 において任意の正整数 k 個の境界を持つ極小曲面の存在を示している．スムースなチューブ（定義は下記）は高々２つの境界をもつ（P が余次元１のとき以外境界は連結）ので次を得る．
系 20.2 B 3 の自由境界極小超曲面で３つ以上の境界をもつ Ω は調和領域
だが等径チューブではない．
定義．一般に Riemann 多様体 N の領域 Ω がチューブであるとは，Ω のコンパクト連結部分多様体 P と R > 0 が存在して，Ω = {x ∈ N | ρ(x) =dist(x, P ) ≤ R} であり，各 s ∈ (0, R] に対して Σs = ρ−1 (s) がスムースな超曲面であることをいう．特に Σs が CMC のとき等径チューブという．
Savo は空間形を含む一般の多様体において次のことを示した．

17

定理 20.3 (S. [37]) Ω が解析的 Riemann 多様体のコンパクト領域のとき，{CFP をもつ領域 } = { 等径チューブ } ! { 調和領域 }．

(16)

Savo はさらに CFP をもつ領域，したがって等径チューブは Serrin 方程式(12) および，Schiffier 方程式 (8) の解を持つことを示している．

21

まとめ

以上に述べたように，等径超曲面自体の研究に加え，それを題材として
Floer ホモロジーの計算や，Pompeiu 問題の部分解決などの位相や解析の結果が導かれる．このほかの顕著な結果には次のものがある．
定理 21.1 (Yau 予想の部分解決, Z. Tang and W. Yan [40])極小等径超曲面の第一固有値は n − 1 である．

Sn のまた Schoen-Yau-Gromov-Lawson の手術理論をヒントに，等径超曲面が S n を二つの円板束に分解することを用いて，スカラー曲率正の計量をもつ非自明な多様体が得られる（Z. Tang, W. Yan and Y. Xie [41]）．さらに OT-FKM 型等径超曲面の議論から，球面の高次ホモトピー類が調和写像で代表されるための条件が示されるなどの最近の発展がある [35]．

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ISBN:

ISBN: 9784000052504

ISBN: 9784320114692 (2022).

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23

2023/2/26

第２部

研究を振り返る
2022.12.18

宮岡礼⼦（東北⼤学）

原点︓極⼩曲⾯
M1で購読: R. Osserman: Survey of minimal surfaces
突然ですが

2023年，E. Calabi は 100歳 です（⽣存︕）
2021年出た Calabi 全集について，「科学」(岩波）に記事を書き，2023年2⽉号に掲載．
Calabi の研究で，⾃分の研究と関係する部分に少しだけ触れます．
2

1

2023/3/18

ケーラー多様体の剛性【Calabi, Ann. of Math. (1953)】

解析的 Kähler 計量をもつ複素多様体の複素空間形への等⻑埋め込みの存在は diastasis 条件とよばれる厳格な条件できまる。
*これは J. F. Nash の実 Riemann 多様体の等⻑埋め込み定理に先⽴って得られた⾮常に強い結果である。
特に正則曲線の剛性は，極⼩曲⾯論において，B.Lawson による次の結果を導いた．

3

Ricci 条件
【B.Lawson (1971)】
R3 の極⼩曲⾯の計量 ds2 の特徴である Ricci 条件（ −"ds2は平坦，K はガウス曲率）をみたすRn の極⼩曲⾯は，本質的に R3，または その複素化
R3＋R3 でのみ実現される.
∵) Rn の極⼩曲⾯は Cn のある正則曲線 Ψ の実部で表される．
曲⾯がRicci 条件をみたすと，Ψ の微分 Φ で表されるガウス像は複素２次超曲⾯ Qn-2(C)⊂ % n-1C の曲率１の正則曲線となる．
剛性定理を⽤いると， Ψ は C6 に⼊っていることが導かれる．

42

2023/2/26

Lawson の問題【問題】球⾯ S3 の極⼩曲⾯の計量は球⾯ Ricci 条件( 1 − #ds2 は平坦）をみたす．
Sn の極⼩曲⾯の計量が球⾯ Ricci 条件をみたすとき，
これは S3 の極⼩曲⾯の直和に分解するか︖
Calabiは当時 Sn の極⼩曲⾯の jet を⽤い，⾼階微分列を構成
して極⼩曲⾯を解析する⼿法を開発
調和列やTwistor 理論に発展．
Lawson は Sn の極⼩曲⾯の解析にこれを使い，私もそれをヒントに次の部分解決を得た．
5【M. (1978)】平坦トーラスと異なる Sn の極⼩曲⾯ M の計量が球⾯
Ricci 条件をみたすとき，(1) n<6ならば M は S3に⼊っている．
(2) コンパクト，種数>1で，n<10ならば，M は S3の極⼩曲⾯の直和になる．
これを1977年の S.S.Chern と⼤槻富之助 教授による⽇⽶セミナーで，Lawson 他多くの幾何学者（Yau，Uhlenbeck，Berger，Nitche…）の前で発表し，Klingenberg に Bonn ⼤学によんでもらうことになった．
注意. 球⾯の極⼩曲⾯は正則曲線論にはのらない.
6

3

2023/2/26

⼾⽥⽅程式との関係
後に可積分系を学んでいるうちに，これが ２次元 Aﬃne⼾⽥⽅程式の周期解に本質的に関わることが判り，次の結果を得た．

【M., Crelle (1996)】
奇数次元の球⾯ Sn の超共形的とよばれる極⼩曲⾯の計量は２次元 Aﬃne ⼾⽥⽅程式の周期解からなり，その最⼩周期に対応するある球⾯ Sk の極⼩曲⾯の直和に分解する．
特に Lawson の問題は k=3 の場合に相当する．

7

極⼩曲⾯のガウス写像の除外値問題
事実 R3 の曲⾯が極⼩ガウス写像がリーマン球⾯への(反)正則写像．

【藤本坦孝 (1988)】
R3 の完備極⼩曲⾯のガウス写像は⾼々４点を除外する（シャープ).

84

2023/2/26【Osserman (1964)】
代数的極小曲面のガウス写像の除外値は高々３点．
代数的極小曲面
穴あきリーマン面上で定義される完備極小曲面で，Weierstrass データが閉リーマン面まで拡張される．

未解決問題*３点除外の例は発見されていない．
9ガウス写像が２点を除外する例【M.-佐藤勝憲, Archiv der Math.(1994)】
ほとんど全ての位相型でガウス写像が２点を除外する代数的極小曲面が
存在する．
懸垂面

除外方向が変化する例

トーラスから４点を除いた例

1052023/2/26

現状
M が双曲型，つまり普遍被覆⾯が円板 D の時が本質的．
ガウス写像をリフトして，g: D → S2 とするとき，
M の基本領域 F の⾯積は，Fubini-Study 計量の引き戻しで計った AFS(F) と，D のポアンカレ計量で計った Ahyp(F) のふた通りで測れる．これらの⽐R=が重要な役割を果たす．

AFS(F)Ahyp(F)11【川上裕-⼩林亮⼀-M., Forum Math.(2008)】
⽐ R を⽤いてOssermanの定理よりも精密な結果を得た（完全分岐値数の評価）.
挑戦中

普遍被覆⾯ D 上の Nevanlinna 理論の構築

D 上に Fucks 群作⽤がある場合に⼩林⽒と研究中
12

6

2023/2/26

Dupin 超曲⾯と Lie 接触構造
ここからは前半の等径超曲⾯につながる研究について述べる．
(*) 空間型の超曲⾯ M の主曲率がその分布に沿って⼀定のとき，主曲率分布のリーフ=曲率曲⾯ は球⾯となる．
ここに主曲率とは型作⽤素の固有値．
主曲率の重複度が⼀定で，かつ(*) をみたす
超曲⾯を Dupin 超曲⾯という．
特に等径超曲⾯はDupin超曲⾯．

13

Dupin 超曲⾯は数種の球⾯でフォリエート
された超曲⾯(1) これは共形変換で不変な性質である．
(2) さらに膨張変換で不変な性質である．
膨張変換とは法⽅向に⼀定距離ずらす変換．
共形変換と膨張変換を合成して得られる変換をLie の接触変換という．
Lie の接触変換で不変な性質を扱う幾何を Lie の球幾何，あるいは Lie の接触幾何という．

7

2023/2/26

Tautness
球⾯の部分多様体上，任意の点からの球⾯距離関数がMorse の不等式の等号を与えるとき，taut 埋め込みという．
（外のユークリッド空間の⾼さ関数が Morseの不等式の等号を与える tight 埋め込みと同値）．
Tautness は Lie の接触変換で不変な性質である．

【Thorbergsson (1983)】
球⾯ Sn に埋め込まれたコンパクト Dupin 超曲⾯ M はSn の等径超曲⾯と同じホモロジーをもつ．
よって主曲率の個数や重複度も⼀致する．
また M は taut である.

【M. (1984), Pinkall (1986)】
球面に埋め込まれたコンパクト超曲面は，taut ならば
Dupinである．
16

8

2023/2/26

M: Sn に埋め込まれたコンパクト Dupin 超曲⾯
g =相異なる主曲率の個数∈ {1,2,3,4,6}
事実

g=1,2では M は等径超曲⾯と Lie 接触変換で移り合う．

【M., Math.Z. (1984)】g=3 でもこれがなりたつ．
【Cecil-Ryan 予想 (1985)】
Sn に埋め込まれたコンパクト Dupin 超曲⾯は，等径超曲⾯と Lie 接触変換で移り合う．

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Lie 曲率の発⾒と Cecil-Ryan 予想の否定的解決【M. (1989)】
Sn の超曲⾯の主曲率の個数が４以上の時，任意の４つの主曲率の複⽐は Lie の接触変換で不変である．
これを Lie 曲率という．

【⼩沢哲也-M. (1989) 】
g =4, 6 の Cecil-Ryan予想には反例がある．
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この業績で2001年の幾何学賞をいただきました．
• Lie の球幾何の情報を初めてくれたのは
TU.Berlin の U. Pinkall です(1981).
• 現在，曲⾯論でも U. Jeromin や，
W. Rossman により Lie の球幾何を⽤いた研究がなされています．
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Lie 接触構造と佐藤肇⽒の問題の解決
n 次元多様体の等⻑変換群︓O(n)リーマン幾何，リーマン接続

n 次元多様体の共形変換群︓O(n,1)

共形幾何，共形接続

n 次元多様体の Lie 接触変換群︓O(n,2)

Lie 接触幾何，⽥中接続

注意： Lie 接触幾何は多様体の接空間上の幾何構造
共形接続は第１種階別 Lie 環に付随する接続
⽥中接続は第２種階別 Lie 環に付随する接続10

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佐藤肇⽒の問題
事実 共形平坦な多様体は Lie平坦である．
(平坦

曲率が全て消える)問題 逆はなりたつか？

【M. (1991)】
Lie平坦な多様体は共形平坦である．
∵) ⽥中接続の曲率をすべて計算した．
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まとめ

このあと，徐々に等径超曲⾯の研究に興味をち，⾊々な問題と絡んでいて⾯⽩いことに気づきました．
⾮等質なものが無限にあることは，尾関-⽵内の⾰命的発⾒です．
Floer homology の具体的計算はトーリックなどを除きあまりありません．
また，等径関数は過剰決定系の解の具体例を⾊々与え，楕円型
偏微分⽅程式，さらには熱⽅程式との関係から，放物型の観点からも，坂⼝茂⽒らの結果などあり，とても興味深いです．
⽂献は前半にまとめて載せてあります．

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1977年９⽉ ⽇⽶セミナー

Minimal Submanifolds and Geodesics (ed. by M. Obata), Kaigai Pub. Ltd. (1978) 掲載写真

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S.T.Yau (before after)

2018年6月 東北大学

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17年継続している⽇中幾何学研究集会
2015年9⽉ RIMSと奈良⼥⼦⼤で開催

G. Tian

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著書

曲がった空間の幾何学(BB)は広く読まれているようで，４版まで増刷されています．
右上の２冊は手に入りにくいようですが，数理科学には電子版があります．

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