長方形領域の再利用可能積分公式
2008MI020 古田 純也
指導教員：杉浦1

洋定理 3 s ≥ 1 が奇数のとき，Qn が s 次であるための条
件は，x2k x2l (0 ≤ k < 2s , 0 ≤ l ≤ min{k, s−2k2 }) を正確に積分することである．//

はじめに長方形領域における本研究では，適応型積分法を考える．適応型積分法のアルゴリズムは「精度が低いと判定さ標本アトム α1 , · · · , αn の重みを w1 , · · · , wn とするれた小長方形を２分する」という操作を繰り返して，必要とき，Qn が s(奇数) 次であるための条件をもう少し具体な精度を達成する．このような数値積分法に用いる効率{ s−2k }sで，の良い積分公式を設計することが，本研究の目標である． 的に書けば，0 ≤< 2 , 0 ≤ l ≤ min k, 2n∑
この研究は，長方形領域の完全対称再利用公式に関す
2k 2lQxy=wi m2k,2l (αi )nる伊藤の研究 [1] の発展である．
i=12FS(Fully Symmetric：完全対称) 集合

基本領域 ∆ = [−1, 1] × [−1, 1] をそれ自身に移すアフィン変換 (x, y) = φ(u, v) は φ(u, v) = (±u, ±v)，(±v, ±u)の計 8 個ある．復号 ± は，変換ごとに自由に選べる．FS集合は 8 つのアフィン変換で不変な集合である．
点 p = (x, y) ∈ ∆ を上記 8 個のアフィン変換で移した点全体の集合を⟨p⟩ = ⟨x, y⟩ = {(±x, ±y), (±y, ±x)}

4

再利用性

長方形領域 D=D[a, b] × [c, d] 上での近似積分 In (D)fの精度が悪いときは，x 軸あるいは y 軸と平行な直線で小長方形 D0 と D1 に２等分し，より精度の高い近似積分DD0D1

図 1 分割の図

標本アトム α1 , · · · , αn ，重み w1 , · · · , wn の FS 則
Qn は次のように書ける.
n∑wl∑

f (x).

(1)

x∈αl

l=1

Qn (2.4) が s 次則である条件を調べる．
∫∫xk y l dxdy =Ikl =∆(2)となる．線形方程式 (2) を重み w1 , · · · , wn について解いて，s 次則 Qn が定まる．

FS 則の重みの決定

Qn f =

x2k y 2l .

(x,y)∈αiと書き，アトムと呼ぶ．FS 集合はアトムの和集合である．
標本点集合が FS 集合である積分公式で，重みが同一アトム内で等しいものを FS 公式と呼ぶ．アトムを単位とするので，同一標本点数の一般の公式と比べ，FS 公式のパラメーター数は少なく，設計も実装も容易となる．

3∑m2k,2l (αi ) =1+(−1)k 1+(−1)l·.
k+1l+1と書く．アトム α の (k, l) 次モーメントを∑
mk,l (α) =xk y l .

(x,y)∈αで定義する．以下の定理が証明された．
定理 1 奇数次単項式 xk y l (k + l は奇数) に対して，∫∫k l
Qn (x y ) =xk y l dxdy.//∆定理 2 Qn (xk y l ) = Ikl なら Qn (xl y k ) = Ilk である．//
定理 1 より FS 則が 2k(偶数) 次則なら，自動的に 2k + 1次則である．また定理 2 より次の次数条件が導かれる．

In (D0 )f + In (D1 )f ∼= Q(D)f を得る．この領域分割をD0 , D1 以下にも再帰的に繰り返し，十分精度の高い近似積分値が得られる．このような領域分割による近似積分法を適用型積分則という．
アトム ⟨p⟩ が In (D) の標本アトムであるとする．⟨p⟩ の全ての点が In (D0 ) か In (D1 ) の標本点にもなっていれば，⟨p⟩ は再利用可能であるという．In (D) の全ての標本点が再利用可能であるとき In (D) を R(Reusable：再利用可能) 公式と言う．またその標本点集合を R 集合という．R公式は標本点上で一度計算した関数値が，領域分割の過程で再利用できるため効率的である．
標本アトムの再利用性について次の定理が成り立つ．
定理 4 標本アトム ⟨ξ, η⟩ が再利用可能であることの必要十分条件は ⟨ξ, φ(η)⟩ , ⟨η, φ(ξ)⟩ がともに標本アトムであることである．ここでφ(η) = |2η − 1|(3)である．//
この依存関係をグラフ的に表現し，⟨p⟩ → ⟨pi ⟩(0 ≤ i ≤ 2)と矢印で結ぶ．また ⟨pi ⟩ を ⟨p⟩ の親，⟨p⟩ を ⟨pi ⟩ の子と呼ぶ．In (D) が R 公式であるための必要十分条件は，In (D)の標本アトム ⟨p⟩ から出る二本の矢印の終点が再び In (D)の標本アトムであることである．

表 1 1 次則の優良な FSR 公式No12

表 2 3 次則の優良な FSR 公式

αn m Er{1, 1} 4 2
2.
{1 1}
4 4 0.66
3, 35

アトムとギルド

5.1

アトムとギルドの理論

No124

α{1, 1}, {0, 1}{1 1},, {1, 1}{ 13 3} { 1 1 },1,33, 3n m
8 58 612 10Er
4.66
1.620.74

表 3 5 次則の優良な FSR 公式

No1561129

α{}{0, 0}, {0, 1}, {1, 1}, 31 , 13
{ 1} {1 } {1 1}{1, 1}, 0, 3 , 3 , 1 , 3 , 3{} {}{0, 1}, {1, 1}, 1 , 2 , 1 , 1{ 1 } { 3 } {3 1 3 } {3 3 3 }0,, 0,, ,1 , ,1
{ 2 5} { 1 5} { 15 2 } { 51 1 }3, 1 , 3, 1 , 3, 3 , 3, 3n1320202428m1016172024Er0.740.490.360.190.12

R 集合に含まれるアトムの座標は有理数である．以後，座標が有理数のアトムのみを考える．アトムの親子関係はアトムの集合にグラフ構造を導入する．これを親子関係グラフと言う．2 つのアトム a, b について，親子関係グ
ラフで双方向に有向パスが存在するとき，a と b は兄弟であるという．特別に a は a の兄弟であると約束する．aの兄弟の集合を G(a) と書きギルドと呼ぶ．
定理 5 A が R 集合でアトム a ⊂ A なら，G(a) ⊂ A．// ある．そのすべてについて方程式 (2) は解を持ち，FSR則が構成できる．
5.2 ギルド間の関係
3 次則に用いる FSR アトム集合は，アトム 2 個からな定理 6 G(a) ̸= G(b) について，a から b へのパスが存在 る．そのような集合は全部で 9 種である．そのすべてにするなら，b から a へのパスは存在しない．
ついて方程式 (2) は解を持ち，FSR 則が構成できる．
5 次則に用いる FSR アトム集合は，アトム 4 個からな
G(a) ̸= G(b) で a から b へのパスが存在するとき，G(a)る．そのような集合は全部で73 種である．これらのうち，を G(b) の親ギルド，G(a) は G(b) の子ギルドと言い，G(a) → G(b) と書く．以下の定理の証明は簡単である． 方程式 (2) に解が存在し，実際に 5 次則が構成できるア定理 7 A が R 集合，G(a) ⊂ A かつ G(a) → G(b) ⇒ トム集合は 36 種である．従って 5 次の FSR 積分則は 36種である．
G(b) ⊂ A．
//
各次数についてすべての FSR 則を求め，それぞれの分親を持たないギルドを根ギルドと言う．根ギルドは，そ割コストm と誤差指数 Er を計算した．そして，優良公れ自身 R 集合である．
式を選出して表 (1), 表 (2), 表 (3) に示した．
6 FSR 則の構成
表の第 1 行は通番 (No) である．第 2 行は標本アトムの集合α である．第 3 行は標本点数 n，第 4 行は分割コスト
伊藤は座標の分母が 8 以下のアトムの集合を構成し，その中のギルド間の親子関係グラフを作成した．そのグラ (積分領域を 2 等分したときに発生する関数評価回数)m．
フから得られるすべての 1 次則，3 次則，5 次則のための 第 5 行は誤差指標 Er である．
ここに挙げなかった公式はどれかの優良公式より，コFSR 標本アトム集合を手で拾い出した．そして，方程式(2) を解き，FSR 公式を作成し，その中から優良な公式 ストと精度の両方の基準で劣っている．
を選抜した．
s 次 FSR 則の誤差指標を∑∑k=0

l=0(s+1)/2 min{k,(s+1)/2−k}

Er =7Qn (x y ) − I2k,2lI2k,2l2k 2lで定義する．s + 1 次までの偶数次単項式 x2k y 2l (k ≥ l)に対する相対誤差の総和である．Er が小さいほど Qn は高精度である．
また，標本点数を n，領域を 2 等分したときに発生する
関数評価回数 (分割コスト) を m とする．積分領域の長方形を N 回分割して必要な精度に達したとすると，N + 1個の分割領域ができ，総標本点数は n + N m となる．よって，N が大きいとき (要求精度が高いとき) には，分割領域 1 つあたりの標本点数はほぼ m となる．m が小さいほど公式は効率的である． 1 次則に用いる FSR アトム集合
は，アトム 1 個からなる．そのような集合は全部で 3 種おわりにR 集合をギルドの和集合として捉え，ギルドの親子関係
グラフから得られるすべての 1 次則，3 次則，5 次則のための FSR 標本アトム集合を手で拾い出した．そして，方程式 (2) を解き，FSR 公式を作成し，その中から優良な公式を選抜した．これからの課題は構成した公式を，実際に適応型積分則に組み込み，その適合性を調べる．

8

参考文献

[1] 野田恭代, 二次元完全対称積分則の設計, 南山大学数理情報学部数理科学科 2006 年度卒業論文 (2007).
[2] 伊藤加奈恵, 長方形領域における再利用可能型積分公式の設計, 南山大学数理情報学部情報システム数理学科 2011 年度卒業論文 (2012).
[3] H. SUGIURA and T. SAKURAI: J. Comp. Appl.
Math., vol.28, no.1-3, pp.367-381(1989).