１章 数と式
１節 式の計算

➊ 整式 – 単項式と多項式 -(教科書 p.8)

数，文字およびそれらの積として表される式を( 単項式 )という。
単項式において，掛け合わされている文字の個数を( 次数 ）といい，数の部分をその( 係数 )という。

➊ 整式 – 単項式と多項式 -(教科書 p.8)

例１ (1) 2xの次数は( 1 )，係数は( 2 )(2) －3x2の次数は( 2 )，係数は( －3 )(3) 4x2y3の次数は( 5 )，係数は( 4 )➊ 整式 – 単項式と多項式 問１ 次の単項式の次数と係数を答えよ。

(1) 4x2

次数は2，係数は4(2)

次数は1，係数は(3)

次数は5，係数は(4) －x2y次数は3，係数は－1(教科書 p.8)

➊ 整式 – 単項式と多項式 -(教科書 p.8)

例２ 2x＋1の項は2xと13x2－2x－4の項は( 3x2，－2x，－4 )である。

➊ 整式 – 単項式と多項式 問２ 2x3－x2＋5x－3の項をすべて答えよ。

2x3，－x2，5x，－3(教科書 p.8)

➊ 整式 – 整式の整理 (同類項(教科書 p.8))：2x2＋4x＋3x2 における 2x2，3x2 のように，文字の部分が同じ項。
( 同類項 )は1つにまとめることができ，まとめることを，整式を( 整理する )という。

➊ 整式 – 整式の整理 -(教科書 p.9)

例３ 4x2＋x3－2x－x2＋5＋3x3を整理すると

4x3＋3x2－2x＋5
例3のように，整式を整理し，項を次数の高いもの
から順に並べることを，( 降べきの順 )に整理するという。

➊ 整式 – 整式の整理 問３ 次の整式を降べきの順に整理せよ。

(1) x＋5x2－2＋7x3－4x＝7x3＋5x2＋(1－4)x－2＝7x3＋5x2－3x－2(2) 5x－x2＋3x3＋6x2＋3－2x3＝(3－2)x3＋(－1＋6)x2＋5x＋3＝x3＋5x2＋5x＋3(教科書 p.9)

➊ 整式 – 整式の整理 -(教科書 p.9)( 次数 )：整理された整式で，各項の次数のうち最も高いもの。
( n次式 )：( 次数 )が n の整式。
( 定数項 )：整式の項の中で，文字を含まない項。

➊ 整式 – 整式の整理 -(教科書 p.9)

例４ 2x＋1は( 1 )次式，定数項は( 1 )－5x3＋7x－3は( 3 )次式，定数項は( －3 )➊ 整式 – 整式の整理 問４ 次の整式は何次式で，定数項は何か。

(1) 3x4－x3＋5x2＋7x－1
4次式，定数項は－1(2) x－5x2＋2－7x3
3次式，定数項は2(教科書 p.9)

➊ 整式 – 整式の整理 -(教科書 p.9)

整式 4x2＋ax－2x＋3a において，文字xに着目して，文字aを定数として扱うと，この整式は4x2＋(a－2)x＋3aと変形できる。
このことを，xについて( 降べきの順 )に整理するという。
この整式は，xについては( 2 )次式で，定数項は( 3a )である。
また，この整式をaについて降べきの順に整理すると，( (x＋3)a＋(4x2－2x) )となるから，aについては( 1 )次式で，定数項は( 4x2－2x )である。

➊ 整式 – 整式の整理 問５(教科書 p.9)

次の整式をxについて降べきの順に整理せよ。また，xについては何次式で，その場合の定数項は何か。

(1) x2＋ax＋a2－x－1＝x2＋(a－1)x＋(a2－1)2次式で，定数項はa2－1(2) x2＋2xy－3y2－3x－5y＋2＝x2＋(2y－3)x＋(－3y2－5y＋2)2次式で，定数項は－3y2－5y＋2

➋ 整式の加法・減法・乗法– 整式の加法・減法 -例５ 整式A＝5x2－6x＋4， B＝2x2－3について
A＋B＝(5x2－6x＋4)＋(2x2－3)＝5x2－6x＋4＋2x2－3＝(5＋2)x2－6x＋4－3＝7x2－6x＋1
A－B＝ (5x2－6x＋4)－(2x2－3)＝5x2－6x＋4－2x2＋3＝(5－2)x2－6x＋4＋3＝3x2－6x＋7(教科書 p.10)

➋ 整式の加法・減法・乗法
問６– 整式の加法・減法 -次の整式A，Bについて，A＋B，A－Bを求めよ。

(1) A＝4x2－3x＋10，B＝x2＋x＋6
A＋B＝(4x2－3x＋10)＋(x2＋x＋6)＝4x2－3x＋10＋x2＋x＋6＝(4＋1)x2＋(－3＋1)x＋10＋6＝5x2－2x＋16
A－B＝(4x2－3x＋10)－(x2＋x＋6)＝4x2－3x＋10－x2－x－6＝(4－1)x2＋(－3－1)x＋10－6＝3x2－4x＋4(教科書 p.10)

(2) A＝x3－x2＋1，B＝x2＋x－1
A＋B＝(x3－x2＋1)＋(x2＋x－1)＝x3－x2＋1＋x2＋x－1＝x3＋(－1＋1)x2＋x＋1－1
＝x3＋x
A－B
＝(x3－x2＋1)－(x2＋x－1)＝x3－x2＋1－x2－x＋1＝x3＋(－1－1)x2－x＋1＋1＝x3－2x2－x＋2➋ 整式の加法・減法・乗法– 整式の加法・減法 -(教科書 p.10)

例題 A＝x2＋3x－1，B＝2x2－x＋5のとき，A－2Bを求

１

めよ。

解

A－2B＝ (x2＋3x－1)－2(2x2－x＋5)＝x2＋3x－1－4x2＋2x－10＝(1－4)x2＋(3＋2)x－1－10＝－3x2＋5x－11

➋ 整式の加法・減法・乗法
問７– 整式の加法・減法 -(教科書 p.10)

A＝3x2－2x＋5，B＝2x2－4x－1のとき，次の式を計算せよ。
(1) A＋2B＝(3x2－2x＋5)＋2(2x2－4x－1)＝3x2－2x＋5＋4x2－8x－2＝(3＋4)x2＋(－2－8)x＋5－2＝7x2－10x＋3(2) 2A－3B＝2(3x2－2x＋5)－3(2x2－4x－1)＝6x2－4x＋10－6x2＋12x＋3＝(6－6)x2＋(－4＋12)x＋10＋3＝8x＋13

➋ 整式の加法・減法・乗法– 指数法則 -aの( 累乗 )：aをいくつか掛けたもの。
a をn個掛けたものをaの( n乗 )といい，anと表す。
このとき，nをanの( 指数 )という。
a2×a3＝(a×a)×(a×a×a)＝a5(a2)3＝a2×a2×a2＝(a×a)×(a×a)×(a×a)＝a6(ab)3＝ab×ab×ab＝(a×b)×(a×b)×(a×b)＝(a×a×a)×(b×b×b)＝a3b3(教科書 p.11)

➋ 整式の加法・減法・乗法– 指数法則 -(教科書 p.11)

m，nを正の整数とするとき，次の( 指数法則 )が成り立つ。

➋ 整式の加法・減法・乗法
例６– 指数法則 -a3×a5＝ a3＋5＝a8(a4)3＝ a4×3＝a12(a2b)4＝(a2)4b4＝a2×4b4＝a8b4(教科書 p.11)

➋ 整式の加法・減法・乗法– 指数法則 -問８ 次の計算をせよ。
(1) a6×a3 ＝a6＋3＝a9(2) a×a7 ＝a1＋7＝a8(3) (a5)3 ＝a5×3＝a15(4) (a4)8 ＝ a4×8＝a32(5) (ab4)2 ＝a2(b4)2＝a2b4×2＝a2b8(6) (a3b5)6 ＝(a3)6(b5)6＝a3×6b5×6＝a18b30(教科書 p.11)

➋ 整式の加法・減法・乗法– 指数法則 -(教科書 p.11)

単項式の積は，係数，文字の部分の積をそれぞれ計算すればよい。
例７(3x)2×5x4＝ 32x2×5x4＝(32×5)×(x2×x4)＝45x6

➋ 整式の加法・減法・乗法– 指数法則 -問９ 次の計算をせよ。
(1) 2x3×3x5＝(2×3)×(x3×x5)＝6x8(2) 9xy×(－5x4)＝{9×(－5)}×(xy×x4)＝{9×(－5)}×{(x×x4)×y}＝－45x5y(教科書 p.11)

(3) (3x3)4×10x2＝34(x3)4×10x2＝(34×10)×{(x3)4×x2}＝(81×10)×(x12×x2)＝810x14(4) (－2xy3)2×(3xy)3＝(－2)2x2(y3)2×33x3y3＝{(－2)2×33}×(x2×x3)×{(y3)2×y3}＝(4×27)×x5×(y6×y3)＝108x5y9➋ 整式の加法・減法・乗法– 式の展開 -整式の積を計算するには，次の分配法
則を用いる。
A(B＋C)＝AB＋AC(A＋B)C＝AC＋BC(教科書 p.12)

➋ 整式の加法・減法・乗法
例８– 式の展開 -(教科書 p.12)

➋ 整式の加法・減法・乗法– 式の展開 -問10 次の計算をせよ。
(1) 4x(x2＋4x－3)＝4x・x2＋4x・4x＋4x・(－3)＝4x3＋16x2－12x(2) (3x2－2x＋5)×(－2x)＝3x2・(－2x)－2x・(－2x)＋5・(－2x)＝－6x3＋4x2－10x(教科書 p.12)

➋ 整式の加法・減法・乗法– 式の展開 -(教科書 p.12)( 展開 )：整式の積を単項式の和の形に表すこと。
例９(4x＋5)(x2＋3x－2)＝4x(x2＋3x－2)＋5(x2＋3x－2)＝4x3＋12x2－8x＋5x2＋15x－10
①

②

③

④

⑤

⑥

＝4x3＋(12＋5)x2＋(－8＋15)x－10＝4x3＋17x2＋7x－10

➋ 整式の加法・減法・乗法
問11 次の式を展開せよ。
(1) (x＋6)(2x＋3)＝x(2x＋3)＋6(2x＋3)＝2x2＋3x＋12x＋18＝2x2＋(3＋12)x＋18＝2x2＋15x＋18(2) (3x－2)(x－1)＝3x(x－1)－2(x－1)＝3x2－3x－2x＋2＝3x2＋(－3－2)x＋2＝3x2－5x＋2– 式の展開 -(教科書 p.12)

(3) (x＋5)(2x2－3x－6)＝x(2x2－3x－6)＋5(2x2－3x－6)＝2x3－3x2－6x＋10x2－15x－30＝2x3＋(－3＋10)x2＋(－6－15)x－30＝2x3＋7x2－21x－30(4) (2x－3)(4x2－x＋2)＝2x(4x2－x＋2)－3(4x2－x＋2)＝8x3－2x2＋4x－12x2＋3x－6＝8x3＋(－2－12)x2＋(4＋3)x－6＝8x3－14x2＋7x－6

➋ 整式の加法・減法・乗法– 乗法公式 -(教科書 p.13)

➋ 整式の加法・減法・乗法– 乗法公式 -(教科書 p.13)

例10 (1) (3x＋y)2＝(3x)2＋2･3x･y＋y2＝9x2＋6xy＋y2(a＋b)2＝a2＋2･a･b＋b2(2) (5x－1)2＝(5x)2－2･5x･1＋12＝25x2－10x＋1(a－b)2＝a2－2･a･b＋b2(3) (2x＋3y)(2x－3y)＝(2x)2－(3y)2＝4x2－9y2(a＋b)(a－b)＝a2－b2

➋ 整式の加法・減法・乗法
問12 次の式を展開せよ。
(1) (x＋2)2＝x2＋2・x・2＋22＝x2＋4x＋4(2) (x－5)2＝x2－2・x・5＋52＝x2－10x＋25(3) (x＋3y)2＝x2＋2・x・3y＋(3y)2＝x2＋6xy＋9y2– 乗法公式 -(教科書 p.13)

(4) (3x－4y)2＝(3x)2－2・3x・4y＋(4y)2＝9x2－24xy＋16y2(5) (3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4(6) (5x＋2y)(5x－2y)＝(5x)2－(2y)2＝25x2－4y2

➋ 整式の加法・減法・乗法– 乗法公式 -(教科書 p.13)

例11 (1) (x＋3)(x＋2)＝ x2＋(3＋2)x＋3･2＝x2＋5x＋6(2) (x－2y)(x＋y)＝ x2＋(－2y＋y)x＋(－2y)･y＝x2－xy－2y2

➋ 整式の加法・減法・乗法– 乗法公式 -問13 次の式を展開せよ。
(1) (x＋5)(x＋3)＝x2＋(5＋3)x＋5・3＝x2＋8x＋15(2) (x－3)(x＋6)＝x2＋(－3＋6)x＋(－3)・6＝x2＋3x－18(教科書 p.13)

(3) (x＋4y)(x－7y)＝x2＋(4y－7y)x＋4y･(－7y)＝x2－3xy－28y2(4) (x－y)(x－5y)＝x2＋(－y－5y)x＋(－y)･(－5y)＝x2－6xy＋5y2

➋ 整式の加法・減法・乗法– 乗法公式 -例12 (1) (2x－3)(4x＋1)＝2･4x2＋{2･1＋(－3)･4}x＋(－3)･1①②③④＝8x2－10x－3(2) (3x＋2y)(2x－y)＝3･2x2＋{3･(－y)＋2y･2}x＋2y･(－y)＝6x2＋xy－2y2(教科書 p.14)

➋ 整式の加法・減法・乗法– 乗法公式 -(教科書 p.14)

問14 次の式を展開せよ。
(1) (3x＋4)(2x＋3)＝3・2x2＋(3・3＋4・2)x＋4・3＝6x2＋17x＋12(2) (4x＋1)(5x－2)＝4・5x2 ＋{4・(－2)＋1・5}x＋1・(－2)＝20x2－3x－2(3) (2x－3y)(x＋5y)＝2・1x2＋{2・5y＋(－3y)・1}x＋(－3y)・5y＝2x2＋7xy－15y2(4) (3x－2y)(4x－3y)＝3・4x2＋{3・(－3y)＋(－2y)・4}x＋(－2y)・(－3y)＝12x2－17xy＋6y2

➋ 整式の加法・減法・乗法 – 置き換えによる展開の工夫 - (教科書 p.14)
例13 (x－y＋1)(x－y－1)を展開せよ。
x－y＝Aとおくと(x－y＋1)(x－y－1)＝(A＋1)(A－1)＝A2－1＝(x－y)2－1＝x2－2xy＋y2－1

➋ 整式の加法・減法・乗法 – 置き換えによる展開の工夫 - (教科書 p.14)
問15 次の式を展開せよ。
(1) (a－b＋3)(a－b－7)
a－b＝Aとおくと(a－b＋3)(a－b－7)＝(A＋3)(A－7)＝A2－4A－21＝(a－b)2－4(a－b)－21＝a2－2ab＋b2－4a＋4b－21

(2) (x＋y)(x＋y－z)
x＋y＝Aとおくと(x＋y)(x＋y－z)＝A( A－z)＝A2－Az＝(x＋y)2－(x＋y)z＝x2＋2xy＋y2－xz－yz

➋ 整式の加法・減法・乗法 – 置き換えによる展開の工夫 - (教科書 p.15)
例題 次の等式が成り立つことを示せ。

２
証明(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
a＋b＝Aとおくと(a＋b＋c)2＝(A＋c)2＝A2＋2Ac＋c2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca

➋ 整式の加法・減法・乗法 – 置き換えによる展開の工夫 - (教科書 p.15)
例14 (a＋2b－1)2を展開する。
(a＋2b－1)2＝a2＋(2b)2＋(－1)2＋2･a･2b＋2･2b･(－1)＋2･(－1)･ a＝a2＋4b2＋1＋4ab－4b－2a➋ 整式の加法・減法・乗法 – 置き換えによる展開の工夫 - (教科書 p.15)
問16 次の式を展開せよ。
(1) (a－b－2)2＝a2＋(－b)2＋(－2)2＋2・a・(－b)＋2・(－b)・(－2)＋2・(－2)・a＝a2＋b2＋4－2ab＋4b－4a(2) (a－3b＋2c)2＝a2＋(－3b)2＋(2c)2＋2・a・(－3b)＋2・(－3b)・2c＋2・2c・a＝a2＋9b2＋4c2－6ab－12bc＋4ca

発展 – 3次式の乗法公式 -(教科書 p.16)

発展 – 3次式の乗法公式 問１ 公式[1]，[2]が成り立つことを確かめよ。
[1](a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)2＝(a＋b)(a2＋2ab＋b2)＝ a･a2＋a･2ab＋a･b2＋b･a2＋b･2ab＋b･b2＝a3＋2a2b＋ab2＋a2b＋2ab2＋b3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(教科書 p.16)

[2](a－b)3＝(a－b)(a－b)2＝(a－b)(a2－2ab＋b2)＝a･a2＋a･(－2ab)＋a･b2－b･a2－b･(－2ab)－b･b2＝a3－2a2b＋ab2－a2b＋2ab2－b3＝a3－3a2b＋3ab2－b3

発展 – 3次式の乗法公式 例１(教科書 p.16)(1) (x＋2)3＝ x3＋3･x2･2＋3･x･22＋23＝x3＋6x2＋12x＋8(2) (3x－2y)3＝(3x)3－3･(3x)2･2y＋3･3x･(2y)2－(2y)3＝27x3－54x2y＋36xy2－8y3

発展 – 3次式の乗法公式 問２ 次の式を展開せよ。
(1) (x＋1)3＝x3＋3・x2・1＋3・x・12＋13＝x3＋3x2＋3x＋1(2) (2x－3)3＝(2x)3－3・(2x)2・3＋3・2x・32－33＝8x3－36x2＋54x－27(教科書 p.16)

(3) (3x＋y)3＝(3x)3＋3・(3x)2・y＋3・3x・y2＋y3＝27x3＋27x2y＋9xy2＋y3(4) (x－2y)3＝x3－3・x2・2y＋3・x・(2y)2－(2y)3＝x3－6x2y＋12xy2－8y3

発展 – 3次式の乗法公式 -(教科書 p.16)

発展 – 3次式の乗法公式 -(教科書 p.16)

問３ 公式[3]，[4]が成り立つことを確かめよ。
[3](a＋b)(a2－ab＋b2)＝a･a2＋a･(－ab)＋a･b2＋b･a2＋b･(－ab)＋b･b2＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3[4](a－b)(a2＋ab＋b2)＝a･a2＋a･ab＋a･b2－b･a2－b･ab－b･b2＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3

発展 – 3次式の乗法公式 例２(教科書 p.16)(1) (x＋2)(x2－2x＋4)＝(x＋2)(x2－x･2＋22)＝x3＋23＝x3＋8(2) (3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)＝(3x－2y){(3x)2＋3x･2y＋(2y)2}＝(3x)3－(2y)3＝27x3－8y3

発展 – 3次式の乗法公式 問４ 次の式を展開せよ。
(1) (x＋5)(x2－5x＋25)＝(x＋5)(x2－x・5＋52)＝x3＋53＝x3＋125(2) (4x－3y)(16x2＋12xy＋9y2)＝(4x－3y){(4x)2＋4x・3 y＋(3 y)2}＝(4x)3－(3y)3＝64x3－27y3(教科書 p.16)

➌ 因数分解(教科書 p.17)(x＋1)(x＋2)を展開すると，x2＋3x＋2になる。
逆に，x2＋3x＋2を(x＋1)(x＋2)のような積の形にすることを( 因数分解 )といい，x＋1や x＋2を x2＋3x＋2の( 因数 )という。
因数分解とは，与えられた整式を1次以上の整式の積の形に表すことである。

➌ 因数分解 – 共通因数のくくり出し -(教科書 p.17)

整式の各項に共通な因数があるとき，分配法則を用いて，整式を因数分解することができる。
AB＋AC＝A(B＋C)
AC＋BC＝(A＋B)C
例15(1) ab＋ac－ad＝ a(b＋c－d)(2) 2xy－y＝ 2x･y－1･y＝(2x－1)y(3) 4x2y－6xy2＝ 2xy･2x－2xy･3y＝2xy(2x－3y)➌ 因数分解 – 共通因数のくくり出し 問17 次の式を因数分解せよ。
(1) xy＋xz＝x(y＋z)(2) 3a2b＋b＝(3a2＋1)b(3) abc－acd＝ac・b－ac・d＝ac(b－d)(4) 12x2y＋18xy2＝6xy・2x＋6xy・3y＝6xy(2x＋3y)(教科書 p.17)

➌ 因数分解例16– 2次式の因数分解 -(教科書 p.18)(1) x2＋6x＋9＝ x2＋2･3･x＋32＝(x＋3)2(2) 4x2－4xy＋y2＝(2x)2－2･2x･y＋y2＝(2x－y)2(3) x2－16y2＝x2－(4y)2＝ (x＋4y)(x－4y)➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 問18 次の式を因数分解せよ。
(1) x2＋4x＋4＝x2＋2・2･x＋22＝(x＋2)2(2) 4x2－20xy＋25y2＝(2x)2－2・2x・5y＋(5y)2＝(2x－5y)2(教科書 p.18)

(3) 9x2－25＝(3x)2－52＝(3x＋5)(3x－5)(4) 36x2－49y2＝(6x)2－(7y)2＝(6x＋7y)(6x－7y)➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 -(教科書 p.18)

x2＋2x－8を因数分解するには
積 ab＝－8
和 a＋b＝2となる2つの数a，bの組を見つければよい。このような2つの数は( －2，4 )であるから

x2＋2x－8＝(x－2)(x＋4)
例17 x2－10x＋21＝(x－3)(x－7)

➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 問19 次の式を因数分解せよ。
(1) x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2･3＝(x＋2)(x＋3)(2) x2－x－12＝x2＋{3＋(－4)}x＋3・(－4)＝(x＋3)(x－4)(教科書 p.18)

(3) x2－9x＋18＝x2＋{(－3)＋(－6)}x＋(－3)・(－6)＝(x－3)(x－6)(4) x2＋5x－24＝x2＋{(－3)＋8}x＋(－3)･8＝(x－3)(x＋8)

➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 例18x2－8xy＋15y2を因数分解してみよう。
xについての2次式とみると
x2－8xy＋15y2＝ x2－8y･x＋15y2＝(x－3y)(x－5y)(教科書 p.19)

➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 -(教科書 p.19)

問20 次の式を因数分解せよ。
(1) x2＋6xy＋8y2＝x2＋6y・x＋8y2＝(x＋2y)(x＋4y)8y2＝2y･4y
6y＝2y＋4y(2) x2－3xy－18y2＝x2－3y・x－18y2＝(x－6y)(x＋3y)－18y2＝(－6y)･3y－3y＝(－6y)＋3y➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 -

5x2＋13x＋6を因数分解するには
公式[5]より
ac＝5･･････①
ad＋bc＝13 ･･････②
bd＝6･･････③を満たすa，b，c，d を見つければよい。

(教科書 p.19)

まず，①と③に注目し，そのなかで②を満たすものをさがす。

a＝1，b＝2とすれば，条件①，②，③を満たす。
c＝5，d＝3
したがって
5x2＋13x＋6＝(x＋2)(5x＋3)( たすき掛け )：このような因数分解の方法のこと。

➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 例19

6x2－7x－3＝(2x－3)(3x＋1)(教科書 p.20)

➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 問21 次の式を因数分解せよ。
(1) 2x2＋3x＋1＝(x＋1)(2x＋1)(2) 5x2－12x＋4＝(x－2)(5x－2)(3) 8x2＋2x－3＝(2x－1)(4x＋3)(教科書 p.20)

(4) 4x2－11x＋6＝(x－2)(4x－3)(5) 12x2－x－6＝(3x＋2)(4x－3)(6) 6x2－13x＋6＝(2x－3)(3x－2)

➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 -(教科書 p.20)

例題 3x2－13xy＋4y2を因数分解せよ。
例19

３
考え方

解

xについての2次式とみると，xの係数は－13y，定数項は4y2である。
3x2－13xy＋4y2＝3x2－13y･x＋4y2＝(x－4y)(3x－y)➌ 因数分解 – 2次式の因数分解 -(教科書 p.20)

問22 次の式を因数分解せよ。
(1) 4x2＋3xy－7y2＝4x2＋3y・x－7y2＝(x－y)(4x＋7y)(2) 8x2－2xy－15y2＝8x2－2y・x－15y2＝(2x－3y)(4x＋5y)

1

－y

－4y

4

7y

7y
3y

➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 -(教科書 p.20)

整式の一部を別の文字に置き換えると，共通因数でくくったり，公式にあてはめたりすることで因数分解できることがある。
例20 y(x－1)＋2(1－x)を因数分解してみよう。

x－1＝Aとおくと
y(x－1)＋2(1－x)＝y(x－1)－2(x－1)＝yA－2A＝A(y－2)＝(x－1)(y－2)

➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 問23 次の式を因数分解せよ。
(1) x(x＋y)＋5y(x＋y)
x＋y＝Aとおくと
x(x＋y)＋5y(x＋y)＝xA＋5yA＝A(x＋5y)＝(x＋y)(x＋5y)(2) (a－b)2－3(a－b)
a－b＝Aとおくと(a－b)2－3(a－b)＝A2－3A＝A(A－3)＝(a－b)(a－b－3)(教科書 p.21)

(3) x(a－b)＋b－aa－b＝Aとおくと
x(a－b)＋b－a＝x(a－b)－(a－b)＝xA－A＝A(x－1)＝(a－b)( x－1)

➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 例題 (x－y)2－6(x－y)＋8を因数分解せよ。
例19

４
解

x－y＝Aとおくと(x－y)2－6(x－y)＋8＝A2－6A＋8＝(A－2)(A－4)＝(x－y－2)(x－y－4)(教科書 p.21)

➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 問24 次の式を因数分解せよ。
(1) (x＋y)2＋7(x＋y)＋10
x＋y＝Aとおくと(x＋y)2＋7(x＋y)＋10＝A2＋7A＋10＝(A＋2)(A＋5)＝(x＋y＋2)(x＋y＋5)(教科書 p.21)

(2) (x＋2y)2－6(x＋2y)＋9
x＋2y＝Aとおくと(x＋2y)2－6(x＋2y)＋9＝A2－6A＋9＝(A－3)2＝(x＋2y－3)2(3) x2－(y＋z)2
y＋z＝Aとおくと
x2－(y＋z)2＝x2－A2＝(x＋A)(x－A)＝{x＋(y＋z)}{x－(y＋z)}＝(x＋y＋z)(x－y－z)➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 -(教科書 p.21)

例題 2ab＋b2＋4a－b－6を因数分解せよ。
例19

５
考え方

解

この式はaについて1次式，bについて2次式であるから，次数の低いaについて整理する。

aについて整理すると
2ab＋b2＋4a－b－6 ＝2a(b＋2)＋(b2－b－6)＝2a(b＋2)＋(b＋2)(b－3)＝(b＋2)(2a＋b－3)

➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 問25 次の式を因数分解せよ。
(1) x2＋xy－x＋y－2
yについて整理すると
x2＋xy－x＋y－2＝y(x＋1)＋(x2－x－2)＝y(x＋1) ＋(x＋1)(x－2)＝(x＋1){y＋(x－2)}＝(x＋1)(x＋y－2)(教科書 p.21)

(2) 2ab＋2b2－a＋b－1
aについて整理すると
2ab＋2b2－a＋b－1＝a(2b－1) ＋(2b2＋b－1)＝a (2b－1) ＋(2b－1)(b＋1)＝(2b－1)(a＋b＋1)

➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 -(教科書 p.22)

最も次数の低い文字が2つ以上あるときは，そのうちの1つの文字について整理する。
例題
例19

2x2＋3xy＋y2＋x－y－6を因数分解せよ。

６
考え方

解

xについての2次式とみて，降べきの順に整理する。次に，定数項にあたるyの式を因数分解し，教科書19ページの公式[5]を利用する。
2x2＋3xy＋y2＋x－y－6＝2x2＋(3y＋1)x＋(y2－y－6)＝2x2＋(3y＋1)x＋(y＋2)(y－3)＝{x＋(y＋2)}{2x＋(y－3)}＝(x＋y＋2)(2x＋y－3)➌ 因数分解 – 因数分解の工夫 問26 次の式を因数分解せよ。
(1) x2＋4xy＋3y2－4x－14y－5＝x2＋(4y－4)x＋(3y2－14y－5)＝x2＋(4y－4)x＋(y－5)(3y＋1)＝{x＋(y－5)}{x＋(3y＋1)}＝(x＋y－5)(x＋3y＋1)(教科書 p.22)

(2) 3x2＋2xy－y2－x＋3y－2＝3x2＋(2y－1)x－(y2－3y＋2)＝3x2＋(2y－1)x－(y－1)(y－2)＝{x＋(y－1)}{3x－(y－2)}＝(x＋y－1)(3x－y＋2)

発展 – 3次式の因数分解 -(教科書 p.22)

教科書16ページの公式[3]，[4]から，次の3次式の因数分解の公式が成り立つ。

例１(1) x3＋27＝ x3＋33＝(x＋3)(x2－x･3＋32)＝(x＋3)(x2－3x＋9)(2) 8x3－125y3＝(2x)3－(5y)3＝(2x－5y){(2x)2＋2x･5y＋(5y)2}＝(2x－5y)(4x2＋10xy＋25y2)

発展 – 3次式の因数分解 -(教科書 p.22)

問１ 次の式を展開せよ。
(1) x3＋64(2) x3－1＝x3＋43＝x3－13＝(x＋4)(x2－x・4＋42)＝(x－1)(x2＋x・1＋12)＝(x＋4)(x2－4x＋16)＝(x－1)(x2＋x＋1)(3) 27x3＋y3＝(3x)3＋y3＝(3x＋y){(3x)2－3x・y＋y2}＝(3x＋y)(9x2－3xy＋y2)

Training – トレーニング -(教科書 p.23)

１ A＝x2＋x－3，B＝2x2－x＋4，C＝－3x2＋5のとき，次の式を計算せよ。
(1) A－B－C＝(x2＋x－3)－(2x2－x＋4)－(－3x2＋5)＝x2＋x－3－2x2＋x－4＋3x2－5＝(1－2＋3)x2＋(1＋1)x－3－4－5＝2x2＋2x－12(2) 3(2A＋B)－2(3A－C)＝6A＋3B－6A＋2C＝3B＋2C＝3(2x2－x＋4)＋2(－3x2＋5)＝6x2－3x＋12－6x2＋10＝－3x＋22

Training – トレーニング ２ 次の計算をせよ。
(1) 4a5×3a2＝4・3・a5＋2＝12a7(2) －x3×(－x)4＝－x3・x4＝－x3＋4＝－x7(教科書 p.23)

(3) 5a3b×(－7a4b5)＝5・(－7)・a3＋4・b1＋5＝－35a7b6(4) (－2xy)3×(3x2y3)2＝(－2)3x3y3×32(x2)2(y3)2＝{(－2)3・32}×{x3・(x2)2}×{y3・(y3)2}＝－72x7y9

Training – トレーニング ３ 次の式を展開せよ。
(1) 5xy(x2－xy＋3y2)＝5xy・x2＋5xy・(－xy)＋5xy・3y2＝5x3y－5x2y2＋15xy3(2) (3x－1)(x2＋7x＋5)＝3x(x2＋7x＋5)－(x2＋7x＋5)＝3x3＋21x2＋15x－x2－7x－5＝3x3＋20x2＋8x－5(3) (9x＋2y)2＝(9x)2＋2・9x・2y＋(2y)2＝81x2＋36xy＋4y2(4) (6x－7y)2＝(6x)2－2・6x・7y＋(7y)2＝36x2－84xy＋49y2(教科書 p.23)

(5) (3x＋10y)(3x－10y)＝(3x)2－(10y)2＝9x2－100y2(6) (x－8y)(x＋6y)＝x2＋(－8y＋6y)x－8y・6y＝x2－2xy－48y2(7) (5x－2y)(3x－y)＝5・3x2＋{5・(－y)－2y・3}x－2y・(－y)＝15x2－11xy＋2y2(8) (4x＋5y)(5x－4y)＝4・5x2＋{4・(－4y)＋5y・5}x＋5y・(－4y)＝20x2＋9xy－20y2

Training – トレーニング -(教科書 p.23)

４ 次の式を展開せよ。
(1) (a＋b＋c)(a－b＋c)a＋c＝Aとおくと(a＋b＋c)(a－b＋c)＝(A＋b)(A－b)＝A2－b2＝(a＋c)2－b2＝a2＋2ac＋c2－b2＝ a2－b2＋c2＋2ac(2) (2a－3b＋1)2＝(2a)2＋(－3b)2＋12＋2・2a・(－3b)＋2・(－3b)・1＋2・1・2a＝4a2＋9b2＋1－12ab－6b＋4a＝4a2－12ab＋9b2＋4a－6b＋1

Training – トレーニング ５ 次の式を因数分解せよ。
(1) 3a3b2－6a2b3＋12a2b2c＝3a2b2・a－3a2b2・2b＋3a2b2・4c＝3a2b2(a－2b＋4c)(2) x2－8x＋16＝x2－2・4・x＋42＝(x－4)2(3) 16a2＋24ab＋9b2＝(4a)2＋2・4a・3b＋(3b)2＝(4a＋3b)2(教科書 p.23)

(4) 16x2－81y2＝(4x)2－(9y)2＝(4x＋9y)(4x－9y)(5) x2－11x＋10＝x2＋(－1＋10)x＋(－1)・(－10)＝(x－1)(x－10)(6) x2＋3xy－54y2＝x2＋3y・x－54y2＝x2＋{9y＋(－6y)}x＋9y ･(－6y)＝(x＋9y)(x－6y)(7) 10x2＋17x＋6＝(2x＋1)(5x＋6)(8) 8x2－13x－6＝(x－2)(8x＋3)

(9) 15x2－22xy＋8y2＝15x2－22y・x＋8y2＝(3x－2y)(5x－4y)(10) 6x2＋23xy－18y2＝6x2－23y・x－18y2＝(2x＋9y)(3x－2y)

Training – トレーニング ６ 次の式を因数分解せよ。
(1) 2x3－12x2＋18x＝2x(x2－6x＋9)＝2x(x－3)2(2) ax2－9ay2＝a(x2－9y2)＝a{x2－(3y)2}＝a(x＋3y)(x－3y)(教科書 p.23)

(3) x(x－3y)－4y(3y－x)x－3y＝Aとおくとx(x－3y)－4y(3y－x) ＝x(x－3y)＋4y(x－3y)＝xA＋4yA＝(x＋4y)A＝(x＋4y)(x－3y)(4) (2x＋y)2＋6(2x＋y)－7
2x＋y＝Aとおくと(2x＋y)2＋6(2x＋y)－7＝A2＋6A－7＝(A＋7)(A－1)＝(2x＋y＋7)(2x＋y－1)

(5) 2(x－y)2＋(y－x)－3
x－y＝Aとおくと
2(x－y)2＋(y－x)－3＝2(x－y)2－(x－y)－3＝2A2－A－3＝(A＋1)(2A－3)＝(x－y＋1)(2x－2y－3)(6) a2b－3ab＋a＋2b－2bについて整理すると
a2b－3ab＋a＋2b－2 ＝(a2－3a＋2)b＋(a－2)＝(a－2)(a－1)b＋(a－2)＝(a－2){(a－1)b＋1}＝(a－2)(ab－b＋1)

(7) 2x2＋5xy＋2y2－5x－y－3xについて整理すると
2x2＋5xy＋2y2－5x－y－3＝2x2＋(5y－5)x＋(2y2－y－3)＝2x2＋(5y－5)x＋(y＋1)(2y－3)＝{x＋(2y－3)}{2x＋(y＋1)}＝(x＋2y－3)(2x＋y＋1)

(8) x2－y2＋4x＋6y－5xについて整理すると

x2－y2＋4x＋6y－5＝x2＋4x－(y2－6y＋5)＝x2＋4x－(y－1)(y－5)＝{x＋(y－1)}{x－(y－5)}＝(x＋y－1)(x－y＋5)