数理統計学

前回の解答

第７回分

次のように作成した 18 個のデータに対して、母分散が未知の場合の母平均の99% 信頼区間を求めよ。

> set.seed(学籍番号)> x <- round(rnorm(18,34,5.5),digits=1)
解答例：学籍番号が 1623200 の場合
データから標本平均・標本分散を求めると> set.seed(1825200)> x <- round(rnorm(18,34,5.5),digits=1)> mean(x)[1] 35.26111> var(x)[1] 53.20958> sd(x)[1] 7.294489← 標本標準偏差 s> length(x)[1] 18← データの数 n
母分散 σ 2 が未知なので、T =X̄ − µ√SnX̄ − µ= √S2nで変換すると、T は自由度 17(=18-1) の t 分布に従うことがわかる。ここで、

Pr{−tα ≦ T ≦ tα } = 0.99 = 1 − 0.01となる tα を R を使って求めると> qt(1-0.01/2,18-1)[1] 2.898231であることが求められる。以上のことから、母平均 µ の 95%信頼区間は−2.898 ≦35.26 − µ7.294√
18≦ 2.898

7.294
7.294
35.26 − 2.898 × √≦ µ ≦ 35.26 + 2.898 × √18
1830.277 · · · ≦ µ ≦ 40.242 · · ·30.3 ≦ µ ≦ 40.2であるから、[30.3, 40.2] である。R で計算する場合は> mean(x)-qt(1-0.01/2,18-1)*sd(x)/sqrt(18)のように求められる（上記は下限を求める式で、上限は mean(x)+· · · とすればよい）。
ちなみに 95%信頼区間は tα = 2.109816 を使って [31.6, 38.9] である。
注）レポートもそうであるが、途中計算がある程度分かるように解答を書くこと！
！
（標本平均，標本分散，εα の値と最初の不等式など）

学籍番号による解答一覧
学籍番号15230511723016
1823019
1823038
1823058
1823067
1823068
1823070
1823072
1823076
1823091
1823100
1823102
1823109
1823131

標本平均
34.51
34.76
34.21
34.53
33.68
32.65
36.89
32.41
34.32
34.06
34.57
31.74
36.89
33.72
35.28

標本分散
21.04
22.74
16.85
19.41
25.81
22.46
28.92
29.67
48.17
14.63
30.01
32.84
32.00
28.98
17.31

下限
31.3776
31.4982
31.401431.523930.2074
29.412933.220928.6901
29.581231.442330.824227.8295
33.024730.0450
32.4412上限
37.644638.012937.009737.5428
37.148135.8871
40.5680
36.132139.0633
36.668838.309235.659440.753137.3995
38.1255

下限 (3 桁)
31.4
31.5
31.4
31.5
30.2
29.4
33.2
28.7
29.6
31.4
30.8
27.8
33.0
30.0
32.4

上限 (3 桁)
37.6
38.0
37.0
37.5
37.1
35.9
40.6
36.1
39.1
36.7
38.3
35.7
40.8
37.4
38.1

数理統計学 区間推定

第８回

・平均の区間推定（二標本の差の区間推定）
いままでは、一つの母集団に対して標本平均や標本分散の推定を行ってきたが、男女の平均の差などのように、二つの母集団の平均の差を調べたいこともある。ここでは、二つの母集団がそれぞれ母分散が等しい正規分布 N (µ1 , σ 2 ), N (µ2 , σ 2 ) に従うとき、母平均の差 µ1 −µ2の区間推定を行う。
まず、２つの母集団からそれぞれ(x1 , x2 , · · · , xn ) , (y1 , y2 , · · · , ym )と１つ目の母集団から n 個、２つ目の母集団から m 個の標本が無作為に得られたとする。このとき母平均の差 µ1 − µ2 の点推定はx̄ − ȳ =nm1∑
1 ∑xi −yjn i=1m j=1のように、それぞれの標本平均のを計算した差で求めることができる。次にこの点推定の値を使って区間推定を求める。正規分布の和や差が正規分布に従うことから、x̄ − ȳ も正規分布に2222従うことになる。実際に x̄− ȳ は母平均 µ1 −µ2 、母分散 σn + σm の正規分布 N (µ1 −µ2 , σn + σm )に従うことが理論的にわかっている。よって、母分散が既知の場合と未知の場合で次のように区間推定を行うことができる。

・母分散が既知のとき
22x̄ − ȳ が正規分布 N (µ1 − µ2 , σn + σm ) に従うので、Z=(X̄ − Ȳ ) − (µx − µy )(X̄ − Ȳ ) − (µx − µy )√√=221σσσ+ m1+nnmと変換すれば Z が標準正規分布に従うので、前回同様に次のような zα を決め、

Pr{−zα ≦ Z ≦ zα } = 1 − α
括弧の中の不等式に実際の値 x̄, ȳ を代入し、µ1 − µ2 について解くことで−zα ≦√−zα × σ(x̄ − ȳ) − (µx − µy )√≦ zασ n1 + m111+≦ (x̄ − ȳ) − (µx − µy ) ≦ zα × σn m√(x̄ − ȳ) − zα × σのような区間推定を得る。

√11+n m11+
≦ µx − µy ≦ (x̄ − ȳ) + zα × σn m√

11+n m

・母分散が未知の場合
母分散 σ 2 の代わりに標本分散 s2 を使うことを考える。しかし標本分散の計算は母集団ごとに s2x , s2y と２つ計算できるので、等分散の条件をもとに{}122s =(n − 1)sx + (m − 1)sy(n − 1) + (m − 1)2と計算し、これを共通の母分散 σ 2 の推定量とする。これで、母分散 σ 2 のかわりに s2 を使うことによって、(X̄ − Ȳ ) − (µx − µy )√T =S n1 + m1と変換すると t は自由度 (n − 1) + (m − 1) の t 分布に従うことがわかっている。
後は前回同様に次のような tα を求め、

Pr{−tα ≦ T ≦ tα } = 1 − α
確率の括弧の中身に x̄, ȳ, s2 を代入し µ1 − µ2 について解くことで√√
1111+≦ µx − µy ≦ (x̄ − ȳ) + tα × s+(x̄ − ȳ) − tα × sn mn mのような区間推定を得る。
例．二標本の差の区間推定ある工場で作られた電球 7 個の寿命を調べたところ、下記のような結果を得た。
76.5, 82.4, 93.0, 78.7, 86.6, 94.2, 82.9 (単位：日)
また、これとは別の工場で作られた電球 6 個の寿命を調べたところ下記のようであった。
77.7, 69.5, 79.6, 68.2, 71.4, 67.4 (単位：日)
このとき、母平均の差 µx − µy の 95%信頼区間を求めよ。
解答例）
標本平均と標本分散を計算すると、> x <- c(76.5, 82.4, 93.0, 78.7, 86.6, 94.2, 82.9)> y <- c(77.7, 69.5, 79.6, 68.2, 71.4, 67.4)> cbind( mean(x),mean(y) )[,1] [,2][1,] 84.9 72.3
> cbind( var(x),var(y) )
[,1]
[,2]
[1,] 45.70667 26.384> cbind( sd(x),sd(y) )
[,1]
[,2]
[1,] 6.76067 5.136536となるので、標本平均や標本分散は次のようになる。
標本平均 x̄ = 84.9、標本分散 s2x = 45.7、標本標準偏差 sx = 6.76
標本平均 ȳ = 72.3、標本分散 s2y = 26.4、標本標準偏差 sy = 5.14

母分散が未知なので、共通の母分散の推定量 s2 を求めると

s2 ==1{(7 − 1) × 45.70667 + (6 − 1) × 26.384}(7 − 1) + (6 − 1)
1(274.24 + 131.92) = 36.92364
11となる。また、

T =(s = 6.076483)(X̄ − Ȳ ) − (µx − µy )√S n1 + m1と変換すると、T は自由度 (7 − 1) − (6 − 1) = 11 の t 分布に従うことになる。
したがって、Pr{−tα ≦ T ≦ tα } = 0.95 = 1 − 0.05 となる tα はqt(1-0.05/2,11) = 2.200985となる。よって母平均の 95%信頼区間は−2.200985 ≦(84.9 − 72.3) − (µx − µy )√≦ 2.200985(6.076483) × 17 + 16の不等式を解いて、√−2.200985 × 6.076483 ×13≦ 12.6 − (µx − µy ) ≦ 2.200985 × 6.076483 ×4212.6 − 7.440745 ≦ µx − µy ≦ 12.6 + 7.440745
5.159255 ≦ µx − µy ≦ 20.04075
5.16 ≦ µx − µy ≦ 20.0と求められる。
ちなみに下記のようにして求めることも可能> s <- sqrt((6*var(x)+5*var(y))/(6+5))> s[1] 6.076482> s^2[1] 36.92364> (84.9-72.3)-2.200985*6.076483*sqrt(1/7+1/6)[1] 5.159256> (84.9-72.3)+2.200985*6.076483*sqrt(1/7+1/6)[1] 20.04074
もしくは> (mean(x)-mean(y))-qt(1-0.05/2,6+5)*s*sqrt(1/7+1/6)[1] 5.159256> (mean(x)-mean(y))+qt(1-0.05/2,6+5)*s*sqrt(1/7+1/6)[1] 20.04074√13422019 年度 数理統計学 D 科小テスト解答用紙

2019.11.22

・母分散が未知の場合の母平均の区間推定
次のように作成した x が 9 個, y が 10 個のデータに対して、母分散の値が共通で未知と仮定したとき、母平均の差の 95% 信頼区間を求めよ。

> set.seed(学籍番号)> x <- round(rnorm(9,15,3.5),digits=1)> y <- round(rnorm(10,17,3.5),digits=1)
注）x の 1 番目のデータと y の 10 番目のデータは裏面で確認すること2019 年度神奈川工科大学学科学年組学籍番号氏名

数理統計学演習問題
提出先：K3-3309 号室前

20 番のボックス 提出期限：１１月２５日（月）１７時頃まで

学籍番号別：データの確認
学籍番号1825200
15230511723016
1823019
1823038
1823058
1823067
1823068
1823070
1823072
1823076
1823091
1823100
1823102
1823109
1823131x[1] y[10]16.0 16.2
16.9 20.4
11.9 20.5
18.1 12.0
19.0 17.3
12.3 11.5
17.6 23.2
17.8 17.4
9.7 24.0
22.2 15.2
16.2 15.6
16.2 18.4
13.6 21.3
14.1 14.4
20.9 20.8
22.1 21.4