確率統計 S

前回の解答

2019.12.20 分

２標本の平均の差の検定
消費電力が低くなるように電球に改良を加えた結果、改良前後の消費電力は次の通りであった。
改良前 (x)
改良後 (y): 7.8 7.5 7.7 8.2 8.0: 6.9 6.4 7.2 7.1（単位 W ）

消費電力の分布は同じ母分散を持つ正規分布であるとするとき、次の問いに答えよ。

1) 標本平均 (x̄, ȳ)・標本分散 (s2x , s2y ) を求めよ。
x̄ = 7.84, s2x = 0.0730, ȳ = 6.90. s2y = 0.12666 · · ·2) 共通の母分散の推定量 s2 を求めよ。
0.6721
1(4 × 0.0730 + 4 × 0.1267) == 0.096014 · · ·s2 =4+373) 消費電力が低くなるといえるかどうか有意水準１％で検定せよ。
消費電力が低くなるかどうかなので、帰無仮説と対立仮説は下記のようになる。
帰無仮説：消費電力が高くなるか同じである
対立仮説：消費電力が低くなる

H0 : µx ≦ µy
H1 : µx > µy

実際の検定のときは H0 : µx − µy = 0 v.s. H1 : µx − µy > 0 として検定する。
帰無仮説（µx − µy = 0）が真のときの統計量の値を求めると下記のとおりである。

0.94(7.84 − 6.90) − (0)√=t= √= 4.5214 · · ·0.2079
0.09601 × 15 + 14（精密に計算した場合 4.5225 · · · ）t は自由度 (5 − 1) + (4 − 1) = 7 の t 分布に従うことを使って判定を行う。
この問題は対立仮説が「＞」の片側検定なので、棄却域はグラフの片側に作る。t が自由度 9 の t 分布に従うことから、片側１％（＝両側２％）の点を表から求めると 2.998 である。
t = 4.521 > 2.998 なので、帰無仮説を棄却する。
つまり、改良後の方が消費電力が下がっていると言える。
注）今回の問題は「消費電力が低くなる」なので、対立仮説は µx > µy の片側検定である。
「消費電力に違いがあるかどうか」の検定の場合、両側検定になる。
何を調べているのか問題文から読み取って正しい検定を行うこと。

確率統計

相関係数と回帰直線

第１３回

・１変量から２変量（多変量）への拡張
今までは、身長なら身長だけ、体重なら体重だけのように、１つの変数に対して統計解析を行ってきた。しかしながら、身長と体重の間の関係を調べる場合、２つの変数を同時に扱う必要がある。そこで身長を x、体重を y で表し、(x, y) の組を１つの変量として扱うことを考える。n 人分のデータを得た場合、(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) となる。このとき、xi と yi は i 番目の人の（身長, 体重）の組であり、他人の身長・体重が組になることはない。
さらに（身長, 体重, 胸囲, 座高,…）のような多変数を組として１つの変量として扱うことも可能である。一般には p 変量を取り扱う場合、下記のようにベクトルと行列で表記するのが一般的であるが、ここでは２変量しか扱わないのでベクトル表記はしない。


x1
 x2 

x= .  .. 


µ1
 µ2 

平均ベクトル：µ =  . 
 .. xpµp


σ11 σ12 · · · σ1p
 σ21 σ22 · · · σ2p 
分散共分散行列：Σ =  .
.
.
.
..
..
.. 
 ..

σp1 σp2 · · · σppµi ：i 番目の変数の母平均（E[X]）σii = σi2 ：i 番目の変数の母分散（E[(X − µ)2 ]）σij ：i 番目の変数と j 番目の変数と共分散（E[(Xi − µxi )(Xj − µxj )]）・相関係数とは(x, y) の間に次のような関係があるとき・x が増えると y も増える

・x が増えると y が減る

その関係の強さをはかるものさしとして、相関係数 ρ（ギリシャ文字：ロー）が用いられる。
一般に n 個の標本 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) が得られたときの標本相関係数 r は∑n∑ni=1 xi yi − nx̄ȳ
i=1 (xi − x̄)(yi − ȳ)√∑n=r = √∑n22(n − 1) × sx × sy
i=1 (xi − x̄)
i=1 (yi − ȳ)のように、x, y の標本平均・標本分散と積和で表される。−1 ≦ r ≦ 1 の値を取り、絶対値が１に近いほど直線的な関係が見えるほか、・r が正のとき：x が増えると y も増える。
・r が負のとき：x が増えると y が減る。

散布図が右肩上がり
散布図が右肩下がりのような関係性がわかる。注意する点は相関係数は直線的な関係しかはかることができないので、２次関数上や円の上にある点のように、曲線的な関連性があっても相関係数の値は低くなる。
多変量の場合にも同様に定義することが可能で、i 番目の変数と j 番目の変数の相関係数 ρij と分散 σi2 , σj2 、共分散 σij の関係は次のとおりになる。

√ √σij = ρij σii σjj = ρij σi σj相関係数を並べた行列（形式上 ρii = 1）を相関行列と呼ぶ。

・回帰直線について
回帰分析はデータの予測に用いられる手法で、いくつかの説明変数 x1 , x2 , · · · , xp から目的変数 y を求める（予測する）関係式 y = f (x1 , · · · , xp ) を推定する。簡単な例として、おもりの重さとばねばかりの伸びは正比例の関係があることが知られている。つまりおもりの重さを x g、ばねばかりの伸びを y cm としたとき、
y = α + βxの関係がある（この直線を回帰直線と呼ぶ）。ばねばかりに関する情報が何も無い場合、何回かの実験によって得られた (xi , yi ) の組で与えられる標本から α, β の値を推定する必要がある。測定にはある程度の誤差が考えられるので、すべての標本が y = α + βx 上に現れるわけではない。
そこで次のような誤差 εi を考慮した関係式

yi = α + βxi + εiを考えて、誤差を最小にする α, β の値を求める。誤差の単純和は正の値と負の値が打ち消しあってしまうため、実際には誤差の２乗和を最小にする α, β の値を計算する。詳しい説明は省くが、関数の最大値を求める問題なので、関数を α, β で偏微分し、0 となる α, β を求めればよい。実際∑に n 個の標本が与えられたとき、 ε2i を最小にする α, β の推定値 α̂, β̂ は次のようになる。

α̂ = ȳ − β̂ x̄
(x1 − x̄)(y1 − ȳ) + (x2 − x̄)(y2 − ȳ) + · · · + (xn − x̄)(yn − ȳ)β̂ =(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · · + (xn − x̄)2∑n∑nxi yi − nx̄ȳ(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1∑n= i=1=2(n − 1)s2xi=1 (xi − x̄)つまり平均および分散と x, y の積和があれば求めることが可能である。ちなみに相関係数はこの回帰直線にどれだけ近いかを表す統計量と考えることも可能である。

例．次のデータの相関係数と回帰直線を求めよ。
番号xy12345634567811.8 19.4 18.5 16.1 20.5 30.1

x と y のそれぞれの標本平均、標本分散を求めると
x̄ = 5.5, s2x = 3.50

ȳ = 19.4, s2y = 37.032nn∑∑
相関係数と回帰直線を求めるためには上記以外に(xi − x̄)(yi − ȳ) =xi yi − nx̄ȳ を求めればよい。

i=1i=1n∑《(xi − x̄)(yi − ȳ) の場合》
i=1

番号xyx − x̄y − ȳ
積123456計34567833
11.8 19.4 18.5 16.1 20.5 30.1 116.4-2.5 -1.5 -0.5 0.5
1.5
2.5
0-7.6
0-0.9 -3.3 1.1 10.7
0190
0.45 -1.65 1.65 26.75 46.2n(∑)(xi − x̄)(yi − ȳ) = 46.2

i=146.2√√= 0.81161 · · ·(6 − 1) 3.50 37.032
46.2
回帰直線：β == 2.64, α = 19.4 − 2.64 × 5.5 = 4.88
(6 − 1) × 3.50
相関係数：r =より回帰直線は y = 2.64x + 4.88n∑《xi yi − nx̄ȳ の場合》
i=1

番号xy積

123456計34567833
11.8 19.4 18.5 16.1 20.5 30.1 116.4
35.4 77.6 92.5 96.6 143.5 240.8 686.4

n(∑)
xi yi = 686.4

i=1

46.2
686.4 − 6 × 5.5 × 19.4√√√√== 0.81161 · · ·(6 − 1) 3.50 37.032(6 − 1) 3.50 37.032
686.4 − 6 × 5.5 × 19.4
回帰直線：β == 2.64, α = 19.4 − 2.64 × 5.5 = 4.88
(6 − 1) × 3.50

相関係数：r =より回帰直線は y = 2.64x + 4.88
関数電卓の種類によってはデータを入力するだけで相関係数及び回帰直線を求めることが可能なものもある（２変数統計機能）。テストの際は使い方を自分で調べて途中計算無しに関数電卓の結果を使ってもかまわない。
（ただし途中計算が無い場合、部分点が付かない〔つまり０点か満点か〕）

資料置場

https://www.gen.kanagawa-it.ac.jp/takeda/class/2019 年度 確率統計 S

小テスト解答用紙

2020. 1.10・回帰直線と相関係数次のデータが与えられたときの、回帰直線と相関係数を求めよ。
番号xy

2019 年度神奈川工科大学

123456791113151762.1 66.6 50.1 46.4 41.3 35.3

学科学年組

学

籍番号

氏名

確率統計 S
演習問題
提出先：K3-3309 号室前

18 番のボックス

提出期限：

１月１５日（水）昼休みまで