J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.7 (2023) 346-355

講座 今更聞けない !? 磁場閉じ込めプラズマの微視的不安定性

4 ．捕捉電子不安定性
4. Trapped Electron Mode
洲 鎌 英 雄 1 ，2 ）SUGAMA Hideo 1 ，2 ）核融合科学研究所， 2 ）東京大学大学院新領域創成科学研究科

1）（原稿受付：2023年 6 月 1 日）

トロイダル磁場配位では，磁場の弱いトーラスの外側領域に捕捉された粒子がバウンス運動を行い，バナナ
軌道を描く．この捕捉粒子のバウンス運動の中心は，歳差運動とよばれるドリフト運動を行い，捕捉粒子不安定性と呼ばれる微視的不安定性を引き起こす原因となる．本章では，イオン温度勾配（ITG）不安定性の波数に近い波数領域で不安定となり，ITG モードと同様にトロイダルプラズマの乱流輸送を引き起こす静電不安定性として関心を集める捕捉電子モード（TEM）について解説する．
Keywords:
trapped electron mode, gyrokinetic theory, precession drift, toroidal plasma, microinstability

4．1

はじめに

（あるいは温度勾配）方向の E×B ドリフトが密度揺動（あるいは温度揺動）を増幅させる（図 2 参照）．これが無衝

トーラス磁場配位では，磁場の弱いトーラスの外側領域にバナナ軌道を描く捕捉粒子が ϵ

1/2

突捕捉粒子不安定性の発生機構である［3］．

程度の割合で存在

し，これに起因する微視的不安定性は捕捉粒子不安定性

ここで，捕捉粒子に対するクーロン衝突の効果につい［1-3］と呼ばれる．ここで，ϵ ≡ r/R はトーラスの小半径 rて，触れておこう．弱磁場領域に存在する a 種の捕捉粒と大半径 R の比を表し，トーラスの逆アスペクト比と呼子の速度の方向もしくはピッチ角がクーロン衝突によりばれる．ここでは，荷電粒子の質量，電荷，温度を，ma，散乱される過程は，ランダムウォークと同様の拡散過程

ea，Ta で表すことにする．下付き添字 a は粒子種を意味し，と見なされ，衝突により ϵ1/2 程度のピッチ角だけ散乱さ

a＝e，i により，それぞれ，電子，イオンを表す．粒子のれ，非捕捉粒子となってしまうのに要する実効的な時間

熱速度は，vta＝（Ta/ma）1/2 で与えられる．a 種粒子によるτeff，a は，（ϵ1/2）2/τeff，a ～12/τa の関係式から見積もられる．

捕捉粒子不安定性が生じるには，バナナ軌道に沿った捕ここで，クーロン衝突時間 τa は，衝突により 90 °あるいは

1 rad の程度のピッチ角散乱が起こる時間に対応する．し捉粒子運動のバウンス周波数 ωba ～ ϵ1/2vta/Rq（q：安全係

たがって，クーロン衝突周波数を νa＝1/τa で表すと，捕捉数）に比べて，揺動の周波数 ω が十分に小さい必要がある．

粒子に対する実効的な衝突周波数は，νeff，a＝1/τeff，a ～ νa/ϵ

捕捉電子のバウンス周波数 ωbe は，捕捉イオンのバウン

ス周波数 ωbi に比べて，（mi/me）1/2 倍程度大きく，ω≪ωbiと見積もられ，νeff，a は，νa＝1/τa に比べて，ϵ－1 の因子の分だけ大きなものとなることに注意しよう．

の低周波数帯における捕捉粒子不安定性は捕捉イオン・
モ ー ド（trapped ion mode, TIM） と 呼 ば れ る． 一 方，ωbi≪ω≪ωbe の周波数帯における捕捉粒子不安定性は捕捉

電 子 モ ー ド（trapped electron mode, TEM） と 呼 ば れ，
捕捉イオンは不安定化に寄与しない．衝突の影響がない
場合，捕捉粒子のバナナ軌道の中心（バウンス中心）はト

ロイダル方向にドリフト運動（歳差ドリフトと呼ばれる）を行い（図 1 参照），捕捉イオンと捕捉電子では歳差ドリフ
トの向きは逆になる．トーラス小半径方向に密度勾配（あるいは温度勾配）がある平衡状態にフルート型（波数ベク
トルが磁力線方向と小半径方向に対して垂直）の密度揺動（あるいは温度揺動）が生じると，捕捉粒子の歳差ドリフト
により揺動振幅の山・谷の間に荷電分離が起こり，それにより生成される静電ポテンシャル揺動が作る平衡密度勾配1

図1

捕捉粒子の歳差ドリフト．

National Institute for Fusion Science, 2Graduate School of Frontier Sciences, The University of Tokyoauthor’s e-mail: sugama.hideo@nifs.ac.jp

346Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

4. Trapped Electron Mode	

H. Sugama2
m a v⊥
μ＝
2B（2）は磁気モーメント，Φ は静電ポテンシャル（ここでは背景
ポテンシャル場のみを含み，揺動成分は含まないとする），
Ωa≡eaB/（mac）はジャイロ周波数を表し，［…］⊥ はベクトルの磁力線垂直方向成分を意味する．荷電粒子の持つエネルギー E は，運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和で与えられ，
E＝
図2

1
mav‖2＋μB＋eaΦ2（3）のように書かれる．上式より，捕捉粒子不安定性の物理機構．
図 1 において，捕捉粒子が存在するトーラス外側部分の水平方向断面を上方から見た図を表す．図の縦方向はトーラ
ス小半径方向に対応し，平衡密度勾配 ∇n，平衡温度勾配∇T が存在する．図の横方向はトーラスのトロイダル方向に対応し，捕捉電子および捕捉イオンが，それぞれ，右向きおよび左向きに，歳差ドリフト運動を行う．

1/2

2（E－eaΦ－μB） 
ma

v‖＝σ

（4）

を得る．ここで，σ ≡ v‖/|v‖| は v‖ の符号を表す．また，式（ 1 ）の最後の行の表式を導くときに注意すべきことは，∇×（（v‖/Ωa）B）における ∇ は，式（ 4 ）を用いて，E および本章では，ωbi≪ω≪ωbe の揺動周波数領域を想定し，まμ を固定しながら，空間変数に関する微分を行うことを意

た，νeff，e≪ωbe が成り立ち，捕捉電子は衝突散乱される前味することである．E および μ は，運動に沿って不変量とに何周ものバナナ軌道を描くことができると仮定し，捕なっている．
ここからは，次式で表されるようなトーラス磁場の配捉電子モード（TEM）不安定性［1-4］の周波数や成長率の位を考えよう．

導出について，詳しく解説する．4．2 節では，捕捉粒子の歳差ドリフト運動を記述する方程式を導く．4．3 節では，

（5）

B＝∇ψ×∇θ＋∇ζ×∇χ＝∇α×∇χ

捕捉電子の歳差ドリフト周波数 ωDe［式（68）参照］に比べて，捕捉電子の実効衝突周波数 νeff，e が十分小さい場合

ここで，θ および ζ は，それぞれ，トーラスのポロイダル

は，衝突の効果が無視され，電子の密度・温度勾配により，

角およびトロイダル角を表す（図 1 参照）．トーラス磁気

無衝突 TEM が不安定化されることを示す．磁力線垂直方面の内部の領域 V において，ポロイダル方向およびトロ

向に熱イオンジャイロ半径 ρti ＝ vti/Ωi（Ωi ＝ eiB/mic：イ

イダル方向の磁束は，それぞれ，

オンジャイロ周波数）程度の波長領域において乱流を生

12π

み出す静電的な不安定性として，無衝突 TEM 不安定性はイオン温度（ITG）モード不安定性（本講座第 3 章お
よび Ref.
［5］参照）とならんで注目され，多くの理論・シ

3

V

3

V

により与えられ，安全係数 q は，

ミュレーション研究がなされている．さらに，4．4 節で

dψ
q＝
dχ

は，ωDe ＜ νeff，e ＜ ωbe の場合は，電子温度勾配によって散逸性 TEM 不安定性が駆動されることが示される．最後に，
4．5 節で本章のまとめを述べる．

4．2

1

 B・∇θ d x＝2πχ， 2π  B・∇ζ d x＝2πψ，（ 6 ）（7）

によって表される．また，
α≡ζ－q θ

捕捉粒子の歳差ドリフトの運動方程式（8）

非一様な磁場 B の下で，質量 ma，電荷 ea をもつ a 種ので あ り， 式（ 5 ）よ り，B・∇ψ ＝ B・∇χ＝B・∇α＝0 が 成

荷電粒子が行うジャイロ運動の中心点（案内中心）は，

り立ち，磁力線は，ψ＝const（あるいは χ＝const）が表磁場に対して垂直方向にドリフト速度 vda を持つ．ドリフ

す磁気面と α＝const が表す曲面の交線として与えられる

ト速度 vda は，曲率ドリフト，∇B ドリフトおよび E×B

ことがわかる．即ち，ψ あるいは χ の磁気面ラベルともうドリフトの和からなり，次式のように表すことができる

一つのラベル α からなる 2 つのラベル変数により，磁力線（Ref.［2］3.4-3.5 節参照）．

は指定される．
さて， 3 次元実空間の一般座標系（u1, u2, u3）により，位

c ˆˆ・∇b＋μ∇B＋eˆ
vda＝b×（mav‖2b
a∇Φ）
eaB

（ ）

v‖
v‖
B
＝
∇×
B
Ωa

置ベクトルを x ＝ x（u1, u2, u3）のように表すと，計量テンソルの成分が，
（1）

⊥

gij≡

上式において，v‖ は磁力線方向の速度成分，
347

∂x ∂x
・
（i, j＝1, 2, 3）
∂ui ∂uj（9）

Journal of Plasma and Fusion Researchに よ っ て 定 義 さ れ， 任 意 の 3 次 元 ベ ク ト ル 場 a は， 反Vol.99, No.7

July 2023の値として定義することができる．いわゆる磁気ミラー

変 ベ ク ト ル 成 分 a ＝a・∇u も し く は 共 変 ベ ク ト ル 成 分

により，θ ＝ θt1，θt2 において，案内中心の運動は反射され，

ai＝a・∂x/∂ui ＝ ∑ j gij a j により表すことができる．ここでv‖ の符号 σ は反転する．因みに，背景静電ポテンシャルは，ii

は，以下の式で表されるように，u1 と u2 として 2 つの磁Φ ＝ Φ（χ）のように磁気面関数として表されるものとして

力線ラベル変数を，また，u3 としてポロイダル角を採用

いる．
捕捉された案内中心のバウンス運動の 1 回の周期におしよう．
（u1, u2, u3）≡（α, χ, θ）いて，u1 ≡ α がどれだけ変化するかを表す量 Δu1 ≡ Δα は（10）次式のように計算される．

この座標系を用いると，磁場は，
B＝∇u1×∇u2＝

Δα＝Δu1＝

1 ∂x∂x＝B3 3
g ∂u3
∂u

（11）

（

a

）

＝
（12）

3

1

3

∂（v‖b3） ∂（v‖b2）
2

‖ 3

2

3

3

a

2

c ∂J

ea ∂χ

（16）

上式（16）において，式（12）が用いられている．磁力線方ˆ・dx ＝ b3du3＝du3/b3＝dθ/bθ で与え
向積分の線素は，dl＝b

で あ り，B ＝B・∇u ＝B・∇θ＝1/ g，B ＝B・∇u ＝0，
3

du

3

a

a

1
1
＝
＝
∇α・
（∇χ×∇θ） B・∇θ

du1/dtdu3
du3/dt Ω g b （ ∂u － ∂u ）
mc ∂
c ∂J
v b du ＝＝） e ∂ue ∂u （＝のように表される．ここで，∂x ∂x ∂xg≡ det（gij）＝ ・×∂α ∂χ ∂θ

du1
dt＝
dt

1

られ，捕捉粒子のバウンス運動に沿った 1 周期分の線積

B2＝B・∇u2＝0 が 成 り 立 つ． ま た， 磁 力 線 方 向 の 単ˆ ≡ B/B に つ い て，bi＝Bi/B，b1＝b2＝0，位ベクトルb分は，

3∑ i＝1bibi＝b3b3＝1，bθ＝b3＝1/b3＝1/bθ が 得 ら れ る． ここ

  θt2

dθ

dl≡ ∑ σ  b

で注意すべきことは，∂x/∂u3＝∂x/∂θ は，u1 と u2 が一定と

θt1

σ＝±1

なる方向，即ち，磁力線方向に平行であり，決してポロ

θ

（17）

イダル方向に平行ではないということであり，この座標で表される．また，式（16）に現れる J は縦の断熱不変量と系では，∂/∂θ≡∂x/∂θ・∇ は，ポロイダル方向ではなく磁呼ばれ，力線方向に沿った空間微分を表す．



座標系（u1, u2, u3）≡（α, χ, θ）を使って，案内中心のドリ
フト運動の方程式を書き表していこう．まずドリフト運動に沿った u3≡θ 成分の時間変化率は，
du3
ˆ・∇u3＝v‖b3＝v‖b
ˆ・∇θ
＝v‖b
dt

と呼ばれるのに対して，J は第 2 の断熱不変量とも呼ばれる．J は 4 つの位相空間変数の関数 J ＝ J（u1, u2, E, μ）＝ J（13）（α, χ, E, μ）と見做されるが，この式を E について解くこと
により，エネルギー関数 E ＝ H（α, χ, μ, J）を定義することができる．これにより，視されている．続いて，u1 ≡ α 成分については次式を得る．

（ ）J（α, χ, H（α, χ, μ, J）, μ）＝J

du
v‖
v‖
B ・∇u1＝vda・∇u1＝ ∇×
dt
B
Ωa
＝

v‖

（

Ωa g

）

∂（v‖b3） ∂（v‖b2）
－

∂u2
∂u3

（19）

を得るが，上式（19）の両辺を（α, χ, μ, J）の関数と見做して，α および χ に関する偏微分をとると，連鎖律により，（14）∂J ∂J ∂H∂J ∂J ∂H
＋
＝0，
＋
＝0
∂α ∂E ∂α∂χ ∂E ∂χ（α, χ）
で指定された磁力線に沿った磁場強度 B＝B（α, χ, θ）の最大値を Bmax（α, χ）≡ maxθ B（α, χ, θ）で表すと，
E－eaΦ（χ）－μBmax（α, χ）＜ 0（18）により定義される．磁気モーメント μ が第 1 の断熱不変量のように書かれる．ここで，vda・∇θ は厳密にはゼロではˆ・∇θ に比べて遥かに小さいとして上式では無ないが，v‖b1

J≡ mav‖b3du3＝ mav‖dl

（20）が得られる．
捕捉粒子のバウンス運動の周期 τ，即ち， 1 つのバナナ（15）

軌道を描くのに要する時間は，の条件が成り立つとき，式（ 4 ）に示された磁力線方向速dl

 v ＝ ∂E 

度 v‖ を定義することができるような θ の領域は局在化さτ≡れ，θt1≤θ≤θt2 のように表される．この場合，案内中心は

∂J

‖

（21）

磁力線方向に沿って自由に動き回ることができず，磁力により与えられる．また，式（16）と同様にして，バウン

線方向の領域 θt1≤θ≤θt2 に捕捉され，バウンス運動を行ス運動の 1 周期の間の捕捉粒子（の案内中心）の座標変

い，いわゆるバナナ軌道を描く．θ ＝ θt1，θt2 は，v‖ ＝ 0 と数 u2≡χ の変化量 Δu2≡Δχ も計算され，その結果は次式

なる軌道の端点を表し，式（ 4 ）の右辺が 0 となるような θのようになる．
348

Lecture Note

4. Trapped Electron Mode	

H. Sugama

比べて |vda| が小さいことを考慮すると，運動エネルギー

c ∂J
c ∂J
Δχ≡Δu ＝－＝－ea ∂u1
ea ∂α

（22）

2

w を近似的な保存量として扱われることが多い．

式（16），（20），（21）および（22）より，捕捉粒子（の案

さ て， 位 相 空 間 上 の 任 意 の 物 理 量 を 位 相 空 間 変 数（α, χ, θ, E, μ）の関数と見做す代わりに，（α, χ, θ, w, μ）の内中心）の 2 つの座標変数（α, χ）の変化率のバウンス平均関数と見做す場合，以下のような偏微分の置き換えを行が以下のように与えられる．

う必要がある．

〈 dt 〉＝ τ ＝ e ∂J/∂E ＝－ e ∂χ ，dχc ∂J/∂αc ∂HΔχ〈 dt 〉＝ τ ＝－ e ∂J/∂E ＝ e ∂α 
dα

Δα

b

c ∂J/∂χ

c ∂H

a

a

b

a

∂/∂E＝∂/∂w，（∂/∂α）E＝（∂/∂α）
w（23）（∂/∂χ）（∂/∂χ）（∂/∂w）
E＝
w－e（∂Φ/∂χ）
a
（24）

a

上式（28）を用いると，式（23）－（24）は以下のように書き換えられる．

ここで，捕捉粒子の条件式（15）を満たす位相空間領域上の任意の関数 A＝A（α, χ, θ, E, μ）に対して，そのバウンス〈 dt 〉＝ e ∂J/∂w －c ∂χ
dα

平均は

b

∑

  θt2

σ＝±1

‖

‖

θt1
  θt2

‖

θt1

c ∂J/∂χb ＝  A dθ/（|v |b ） （25）〈A〉≡A≡（|v |b ）2  dθ/dl/v
A dl/v‖

（28）

θ

∂Φ

a

＝－

c ∂W
∂Φ
－c  ，
ea ∂χ∂χ〈 dt 〉＝－ e ∂J/∂w ＝ e ∂α 

θ

dχ

b

c ∂J/∂α

c ∂W

a

a

（29）
（30）

によって定義される．式（23）－（24）は，エネルギー関数
E＝H（α, χ, μ, J）をハミルトニアンとするハミルトンの正

ここで，縦の断熱不変量 J および運動エネルギー w は，準方程式の形をしていることに注意しよう．Aα ≡－ χ とそれぞれ，関数 J＝J（u1, u2, w, μ）＝J（α, χ, w, μ）および

お く と， 式（ 5 ）よ り，B ＝ ∇×（Aα∇α）と な り，Aα は，

w＝W（α, χ, μ, J）によって与えられている．バウンス運動

ベクトルポテンシャルの共変ベクトルとしての α 座標成する捕捉粒子が描くバナナ軌道の中心（バウンス中心あ分であることがわかる．式（23）－（24）をハミルトンの正

るいはバナナ中心）が磁力線を横切るドリフト運動を行

準 方 程 式，α を 正 準 座 標 と 見 做 す と（ea/c）Aα＝－（ea/c）χ

なっており，式（23）－（24）あるいは式（29）－（30）で与えらが α に 共 役 な 正 準 運 動 量 と な っ て い る こ と が わ か る．

れた〈dα/dt〉b および〈dχ/dt〉b は，それぞれ，バウンス中心|Aα| ＝ |χ| の大きさは，|Aα|＝|χ|～rRBP のように見積のドリフト運動における α と χ の変化率を表すものと解釈もることができる．ここで，r および R は，それぞれ，トーされる．また，ラスの小半径および大半径を表し，BP はポロイダル磁場を表す．また，荷電粒子の位置ベクトル x に共役な正準運

vE・∇α≡

動量に対するよく知られた表式 p ＝ mav＋（ea/c）A の共変

cE×B∂Φ・∇α＝－c
B2
∂χ

（31）

ベクトルとしての α 座標成分 pα ＝ mavα＋（ea/c）Aα においが成り立つことから，式（29）の右辺の第 2 項は，E×B ド

ea Aα|～（v/Ωa）（B/rBP）～q（ρa/r）（R/r）≪1（q： 安 全 係 数，

ことがわかる．vE は粒子種によらない共通の速度であり，て，|vα| ＝ |v・∂x/∂α|～Rv のように見積もると，|cmavα/

リフト速度 vE の反変ベクトルとしての α 座標成分である

ρa：ジャイロ半径）とすれば，pα≃（ea/c）Aα が得られ，先

図 2 で示されたような荷電分離による捕捉粒子不安定性の駆動には寄与しないことを注意しておく．

に述べたことと一致することがわかる．

磁気モーメント μ の代わりによく用いられる変数として縦の断熱不変量の名のとおり，バウンス平均した J の変次式で定義されるピッチ角変数 λ がある．

化率は，式（23）－（24）より，〈 dt 〉＝ ∂α〈 dt 〉＋ ∂χ〈 dt 〉＝0
dJ

∂J dα

b

∂J dχ

b

b

2
2
上 式 と μ お よ び w の 定 義 か ら，λB＝（v⊥/v）＝1－（v‖/v）となるが，これは，磁力線と速度ベクトルのなす角（ピッとなることが確かめられる．

チ角）の正弦（sine）の 2 乗となる．λ を用いると，磁力ところで，エネルギー変数 E の代わりに，w≡

1
1
mav2＝ mav‖2＋μB＝E－eaΦ
2
2

（32）

λ≡μ/w

（26）

線方向速度は，（27）v‖＝σv 1－λB

（33）

で定義される運動エネルギー w が，独立変数としてが用のように書け，上式より，λ≤1/B（α, χ, θ）を満たす必要がいられることが多い．荷電粒子の運動において，E が厳密ある．縦の断熱不変量は，に保存されるのに対して，軌道に沿って χ が変化すると，
背景静電ポテンシャルによるエネルギー eaΦ（χ）が変化す

J＝2

るために，運動エネルギーは厳密には，保存されないこˆ・∇Φ（χ）＝0 であり，|v‖| にとに注意しよう．しかし，b

  θt2

dθ

 m v 1－λB b 
θt1

a

θ

（34）

のように表される．また，非捕捉粒子および捕捉粒子に349

Journal of Plasma and Fusion Research/
用い，安全係数 qに対する表式として，q ＝ rB0（RB用いP）0≤λ ＜ 1/Bmax（α, χ）（untrapped）

ると dχ/dr ＝ RBP ＝ rB0/q および ∂J/∂χ ＝（q/rB0）∂J/∂r の（35）

ように書ける．また，捕捉パラメータ κ をのように書かれ，バナナ捕捉軌道の端点を表す θt1，θt2 は，次式を満足する．
B（α, χ, θt1）＝B（α, χ, θt2）＝1/λJuly 2023

これからは，磁気面ラベルとして χ の代わりに小半径 rを対する条件は，それぞれ，
1/Bmax（α, χ）＜ λ≤1/B（α, χ, θ）（trapped）

Vol.99, No.7

κ≡
（36）

1－λB（1－ϵ）
0
2λB0ϵ

1/2



（41）

により定義すると，捕捉粒子および非捕捉粒子の条件はトカマクのような軸対称トーラス磁場配位では， 3 次

（ 2 ）≤κ＜1（trapped）， κ ＞ 1（untrapped）（42）sin

元実空間座標系として，（χ, θ, ζ）を用いた場合に，B やBθ＝B・∇θ 等の物理変数は，トロイダル角 ζ に依存しな

θい．これは，座標系（α, χ, θ）を用いた場合，α に依存しとなる．また，捕捉粒子（κ ＜ 1）の場合，式（39）および（41）ないことに対応する．このことより，軸対称配位では，

より，式（34）で与えられる縦の断熱不変量 J も α に依存せず，（ ）θt
κ＝sin 　  2〈dχ/dt〉b＝0 と∂J/∂α ＝ 0 となり，したがって式（29）より，なる．これは，バナナ軌道の中心が同一の磁気面にとど（43）

まり続けることを意味する．一方，ヘリカル系のような－1の場合は，θt＝0 でが得られる．κ＝0 即ち λB0＝（1－ϵ）

非軸対称配位では，一般に，〈dχ/dt〉b≠0 であり，バウン

あり，バナナ軌道は一点に収縮する．また，κ ＝ 1 即ちス中心のドリフト運動は磁気面垂直方向に速度成分を持－1
λB0＝（1＋ϵ）の場合は，θt ＝ π であり，バナナ軌道は最

ち，これにクーロン衝突を考慮した新古典拡散は，軸対大となり，κ ＞ 1 では非捕捉粒子へと遷移する．

称配位に比べて大きな粒子・熱輸送を引き起こす．とこ

式（34），（40）および（43）より，縦の断熱不変量 J は，ろが，近年，準対称性を有する磁場配位の研究が進んでおり，B や J の磁力線ラベル α に対する依存性を 0 に近づ

J＝4qRmav 2λB0ϵ

けることにより，新古典輸送を小さい値に抑える先端的なヘリカル磁場配位が考案されるようになっている．

  θt κ －sin（θ/2）dθ220＝8maqRv 2λB0ϵ［E（κ）－（1－κ2）K（κ）］

（44）

ここからは，軸対称配位の場合のみを考えよう．この場合， 1 周期のバウンス運動の間に，χ および θ の値は，のように表される．K（κ）および E（κ）は，それぞれ，第元の値に戻るから，Δα＝Δ（ζ － qθ）は結局， 1 周期間の1 種および第 2 種の完全楕円積分であり，次式によって，トロイダル角の変位 Δζ を表すことになる．したがって，定義される．

〈dα/dt〉b＝〈dζ/dt〉b と書くことができ，これは，トロイダ
K（κ）≡

ル方向に歳差ドリフト運動を行うバウンス中心の角速度を表している．
以下では，同心円形のポロイダル断面をもつ大アスペクト比の軸対称トーラス磁場配位の場合を取り扱う．トーE（κ）≡

ラスの小半径を r，磁気軸位置の大半径を R，逆アスペク
ト比を ϵ ＝ r/R≪1 で表す．すると磁場強度は，－1
B＝B（1＋ϵcos θ）cosθ）
≃B（1－ϵ
0
0

（37）



  π/2

  1

2 2

0

2

x
dx （45）
 1－κ
1－x



1－κ2 sin2φ dφ＝0（ 1－κ －K（κ））

dK（κ）
1
＝
d（κ2） 2κ2

（38）

E（κ）
2

（46）

式（41）からわかるように，捕捉パラメータ κ は，ϵ＝r/R お
よび λ＝μ/w によって定義されているが，κ を（r, w）の関数

（39）

と見做し，

に よ っ て θt を 定 義 す る こ と に よ り， 捕 捉 領 域 は（ 2 －κ ），∂（κ2） 1＝r∂r

－ θt ＜ θ ＜ θt で与えられることになる．式（33）と（37）および（39）より，

1

2

∂（κ2）
1
1
＝
≃
∂w
2μB0ϵ 2wϵcosθ）
v‖＝σv 1－λB（1－ϵ0＝σv λB0ϵ（cosθ－ cosθt）

22＝σv 2λB0ϵ［sin（θ－sin（θ/2）
］
t/2）

0

dE（κ） E（κ）－K（κ）
＝
，
d（κ2）
2κ2

となり，式（36）から
cosθt）＝1/λ
B（1－ϵ
0



  1
dφ
dx
＝
2
2
2
0 （1－x ）1－κ sin φ（1－κ2x2）

また，以下のような公式が成り立つ（Ref.
［2］3.5 節参照）．

で表され，式（35）より捕捉粒子条件は
－1
－1
（1＋ϵ）
＜ λB0≤（1－ϵ cosθ）（trapped）

  π/2

（47）

が得られる．上式において，式（38）から得られる近似式（40）λ ≡ μ/w≃1/B0 を用いた．

を得る．

式（16）および式（44）－（47）を用いると，350

Lecture Note

4. Trapped Electron Mode	の場合である．逆に，∂J/∂χ ＜ 0 の場合，即ち，高密度・

macq2vΔα＝4 2e a B 0r ϵ
× E（κ）－

高温部のプラズマ中心部に向かって，J が大きくなる条件（maximum J の条件）が成り立つ場合は，捕捉粒子モー1K（κ）＋2s{Eˆ （κ）－（1－κ2）K（κ）}
2

for Er＝－∂Φ/∂r＝0

ドは安定化されることになる . また，式（51）より，この安定化条件は，G（s,ˆ κ）＜0 に対応し，図 3 を見ると，負磁気シアー（sˆ ＜ 0）が安定化に寄与することがわかる．

（48）

4．3

が得られる．ここで，s≡ˆ

H. Sugama

r dq

q dr

 捉電子モード（TEM）に対する基本方程捕式系

ここからは，電子（e）と水素イオン（陽子）（i）からな（49）

るトカマクプラズマを考え，いわゆる静電近似を用いて，は，磁気シアパラメータを表す．式（48）は，バウンス運

磁場揺動は存在しないと仮定する．粒子の分布関数は，

動の 1 周期の間の，バウンス中心のトロイダル角の変位

マクスウェル平衡分布 fMa と揺動成分 δfa（a ＝ e，i は粒子の中で E×B ドリフトによる寄与を除いたものを表す．式種を表す）の和からなり，また，磁力線垂直方向に波数（21）および式（44）－（47）より，バウンス運動の周期 τ は，
τ＝4 2ベクトル k⊥ を持つ δfa の成分は，ジャイロ運動論に基づ
いて，

qR
K
（κ）
v ϵ

（50）
δfak⊥＝－

で 与 え ら れ る．式（29），（48）お よ び（50）を 用 い る と，

eaϕk⊥
fMa＋hak⊥e－ik⊥・ρa
Ta

（53）

E×B ドリフトの寄与を含めたバウンス中心の歳差ドリフˆ/Ωa はジャイロ半径ベのように表す．ここで，ρa≡（b×v）

トのトロイダル角速度が次式のように表される．

クトルを表す．本講座の第 2 章では，ジャイロ中心の位置ベクトルを独立変数とした分布関数を用いたのに対し

〈 〉

dα
c
q
cq
Er
wG
＝
（s,
ˆ κ）＋
dt b eaB0 rR
rB0て，式（53）では，Refs.［6，7］に倣って，粒子の位置ベクト（51）

ルを独立変数した分布関数を考え，磁力線垂直方向における変動を表すため，粒子の位置ベクトル変数から波数ˆ κ）は，
ここで，G（s,G（s,ˆ κ）≡2（）

E（κ）
E（κ） 2－1＋4sˆ
＋κ －1 K（κ）
K（κ）

ベクトル変数への変換を行っているため，式（53）は，第 2章の分布関数の表示とは異なり，e － ik⊥・ρa のような因子を（52）含んでいることに注意しよう（粒子分布関数とジャイロ中で与えられる（図 3 参照）．ここで，G（s,ˆ κ）の定義は Ref.

心分布関数の表示の関係についての詳細は，Refs.［8，9］を［4］に従っており，Ref.
［1，2］で定義された関数 G の 2 倍と参照されたい）．バルーニング表示［10］とよばれる WKB

なっていることに注意しよう．

近似の手法では , 波数ベクトルは，アイコナールとよばれ

前 節 の 図 1 や 図 2 を 参 照 す る と， 捕 捉 粒 子 不 安 定 性

る関数 S（x）を用いて，k⊥＝∇S（x）のように表される．この 生 ず る の は，a 種 粒 子 の 歳 差 ド リ フ ト の 向 き に 関 しこで，式（10），（11），および B・k⊥＝B・∇S（x）＝0 の条件て，e〈dα/dt〉
b＞0が成り立つ場合であることがわかaを用いると，∂S（α, χ, θ）/∂θ＝0 が得られ，S＝S（α, χ）ある．ただし，平衡状態の密度・温度勾配が，∂na/∂r ＜ 0，

るいは磁気面ラベルとして χ の代わりに q＝q（χ）を用いる∂Ta/∂r ＜ 0 を満たすと仮定している．また，前述のようにと S＝S（α, q）と書ける．

E×B ドリフト速度は捕捉粒子不安定性に寄与しないこと

α＝ζ－qθ で あ る こ と に 留 意 し， ト ロ イ ダ ル 角 変 数 ζを思い出しておこう．そうすると，式（23）あるいは式（29）に関するフーリエ展開された揺動成分を考えると，トより，上述の捕捉粒子不安定性が起きるのは，∂J/∂χ ＞ 0

ロイダルモード数を表す整数 n とある関数 C（q）用いて，
S＝－nα＋C（q）の形に書かれ，次式が得られる．
k⊥＝∇S＝kα∇α＋kq∇q＝k［∇ζ－q∇θ＋（θk－θ）∇q］
α（54）

こ こ で，kα ＝ ∂S/∂α＝－n，kq ＝ ∂S/∂q ＝ dC（q）/dq お よび θk ＝ kq/kα である．こうして，アイコナール S はdq 
S＝－n α＋ θ（q）
k（55）

と表すことができる .
式（53）の右辺の第 1 項は，静電ポテンシャル揺動 ϕk⊥ に対する断熱応答を表し，第 2 項は，非断熱応答成分を表す．
図3

本章では，線形不安定性解析を行うため，分布関数の非磁気シアパラメータ sˆ ＝ 1，0，ー1の場合の関数 G（sˆ，κ）．

351

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.7

July 2023

断熱成分を表す hak⊥ に対して，以下の線形ジャイロ運動

式（56）および（62）は ITG モードや ETG モード等を含む静論的方程式［6，7］を用いる．

電的な線形不安定性を記述する一般的な基本方程式系を与えるが，ここでは，TEM 不安定性を扱うため，式（56）ˆ・∇］hak［－i（ω－ωE－ωDa）＋v‖b⊥をさらに近似したものを用いる．式（56）を見るとわかる
ように，背景電場の効果は，E×B ドリフトよる周波数eaϕk⊥T＝－i（ω－ωE－ω＊a）fMaJ（k＋ C（GK）
ab （56）
0
⊥ρa）
b
Ta

のドップラーシフト ω－ωE の形を通してのみ現れ，成長∑率には影響しないことがわかる．以下では，簡単のため，上式において，複素周波数 ω が用いられ，時間微分がωE を省略して TEM モードの分散関係を導出するが，その∂/∂t が－ iω に置き換えられており，hak⊥ は，運動エネル

分散関係に現れる ω を単に ω－ωE に置き換えることによ

2/2B の関数とギー w≡mav2/2 と磁気モーメント μ≡mav⊥
ˆ・∇ は，w と μ を固定して，磁力線方向の空みなされ，bり，背景電場の存在する場合の分散関係が得られることを覚えておこう．

T
間微分をとることを意味している．右辺に現れる ω＊a
は，
T
2
ˆ
ω＊a≡ω＊a［1＋η（m］，ω＊a≡k⊥・（cTab/eaB）aav /2T a－3/2）

た磁力線垂直方向の波数は，k⊥ρte≪1 を満たすものとすJ0 は 0 次の第 1 種ベッセル関数を表す．右辺の最後のる．電子の磁力線方向速度 v‖ は大きく，式（56）において，Tˆ・∇ は，ω，ωDe，ω＊ev‖b
や衝突周波数に比べ，支配的な不安定性の周波数の大きさは，ωbi≪|ω|≪ωbe を，ま×∇ln na および ηa≡d ln Ta/d ln na によって定義される．
はジャイロ運動論的衝突項［11］を表す．また，∑bC（GK）
ab
E×B ドリフトおよび曲率－∇B ドリフトに関わる周波数影響を持つと考えられる．したがって，ω/ωbe≪1 を展開パ
ˆ・∇hek ＝0 が得ら
ラメータとした最低次の近似では，v‖b

は，それぞれ，

れ，hek⊥ は，磁力線方向に変動しないことがわかる．非捕⊥捉粒子の場合，磁力線方向の境界条件 hek（θ＝ ±∞）＝0⊥∂ΦωE≡k⊥・vE＝－kαc
∂χを考慮すると，結局のところ，hek⊥＝0 と近似される．捕（57）

捉粒子の場合，hek⊥ の定義域は，－ θt1≤θ≤θt2 に限られる．
この領域では，hek⊥ は一定の値をとるものとみなされるのおよびで，その値をバウンス平均の値 hek⊥＝〈hek⊥〉b によって近

ˆ
cb
ˆ・∇b）
ˆ 
×（μ∇B＋mav‖2b
ωDa≡k⊥・eaB

似する（以下ではバウンス平均を表すため…を用いてい（58）る）．この近似と境界条件（61）と考慮しつつ，ジャイロ運で与えられる．式（57）では，式（31）と（54）が用いられて動論的方程式のバウンス平均を実行することにより，次いる．式（ 1 ）と（54）を使うと，式が得られる．

ωE＋ωDa＝k⊥・vda＝kαvda・∇α＋kqvda・∇q

（59）T（ω－ωDe＋iνeff，e）hek⊥＝－（ω－ω＊e）fMe

であり，捕捉粒子に対する上式のバウンス平均は，

上式（63）では，k⊥ρe≪1 を仮定し，電子の有限ジャイロ半〈 〉 〈 〉 （60）〈ωE＋ωDa〉b＝〈k⊥・vda〉b＝kα

dα
dq
＋kq
dt b
dt

径効果は無視し，J（k≃1 を用いた．また，非捕捉電
0
⊥ρe）

b

子に対する衝突項は，－νeff，ehek⊥ によって近似されている．

と 書 き 表 さ れ る． 上式（60）に お い て，〈dα/dt〉b お よ び〈dq/dt〉b＝（dq/dχ）〈dχ/dt〉b は，それぞれ，式（23）および

こ れ ま で， 述 べ て き た と こ ろ に よ り，|ω|≪ωbe ～ϵ vte/Rq≪νeff，e の条件の下で，電子の分布関数の比断熱（24）［もしくは式（29）および（30）］より求められる．
分布関数の非断熱応答成分 hak⊥ に対する境界条件は，応答部分は，以下の近似式により与えられる．

λ ＝ μ/w が捕捉粒子の条件［式（35）］を満たす場合（trapped）とそうでない場合（untrapped）の場合では異なり，
lim hak（θ,w, μ, σ）＝0 （untrapped）
⊥

θ→±∞



hak（θ
＝hak（θ
ti, w, μ, σ＝＋1）
ti, w, μ, σ＝－1）
⊥
⊥


0
｜
T
hek⊥＝
eϕk⊥
ω－ω＊e｜－fMe T ω－ω ＋iν
De
eff，e
e


（untrapped）（trapped）（64）

一方，|ω|≫vti/Rq，νi（νi：イオンの衝突周波数）を仮定（i＝1, 2）（trapped）
（61）



e
ϕk  （63）Te ⊥することにより，イオンのジャイロ運動論的方程式から
によって与えられる .

次式を得る．

ここでは，Debye 長より長い波長を持つ不安定性を考え（るため，電子とイオンの密度揺動 δna（a＝e, i）が準中性

hik⊥＝ 1－

条件 δne＝δni を満たすとする．これにより，次式を得る．

（ ）

（65）

式（64）と（65）を使って，準中性条件の式（62）における電

eaϕk⊥
ea
－n0
＋ d3v hak⊥J（kδne－δni＝ ∑ －0⊥ρa）
ea ＝ e, i
Ta
＝0

）

T
eϕk
ω＊i
fMiJ（k
 ⊥
0
⊥ρi）
ω
Ti



子とイオンの密度揺動を静電ポテンシャルによって表す
ことにより，次式を得る．

（62）
352

Lecture Note

4. Trapped Electron Mode	（

とおいた．さらに，式（70）では，bi≡（kθ ρti）2，kθ ＝ nq/r）

TeTe ω＊e
ω＊e
b（Γ
1＋ －
＋
Γ0－ηi
i
1－Γ0）ϕk⊥
Ti
Ti
ω
ω
  

T
1
ω－ω＊e
d3v fMe ϕk⊥＝n0 tr
ω－ωDe＋iνeff，e

H. Sugama（n：トロイダルモード数）を用いており，k⊥ に含まれる
θ 依存性を無視した．こうして導かれた TEM の分散関係
式（70）は，元々のジャイロ運動論的方程式（56）と準中性（66）

条件（62）の厳密な数値解や，また θ や κ に対する依存性をexp（ － bi）および Γ1≡I（bexp（－bi）をここで，Γ0≡I（b
i）
i）
0
1

残した近似式（66）を解くことに比べて，極めて簡単化さ用いている．ただし，bi≡（k⊥ρti）2，ρti＝c miTi /eB0 であれ，取り扱いやすくなっており，それでも，密度・温度

る．上式（66）の右辺の捕捉電子領域における速度空間積

勾配の効果以外に，イオンの有限ジャイロ半径や歳差ド分は，リフト運動をする捕捉電子と静電波の共鳴等の運動論的

  



  ∞

 
≃2π 2ϵ ∑  v dv
trd3v＝π ∑

σ＝±1 0

v2dv

  ∞

2

σ＝±1 0

1/B

1/Bmax効果を含んでいるため，より厳密な数値シミュレーショ

Bdλ
1－λB

κdκ
 2
2
sin（θ/2） κ －sin（θ/2）
1

ン結果と比較したり，プラズマ平衡パラメータに対する依存性の傾向を把握するために用いられている．
（67）

4．4

無衝突 TEM

捕捉電子の有効衝突周波数が，歳差ドリフト周波数ににより定義される．上式（67）の最後の表式では，前節の比べて小さく，式（41）で定義した捕捉パラメータ κ を用いており，ここからは，式（37）以下で説明した同心円形ポロイダル断面

νeff，e＝νe/ϵ ＜ ωDeをもつ大アスペクト比の軸対称トーラス磁場配位の場合（73）の結果を示す．この場合，式（54）を用い，ポロイダル波が成り立つ場合，式（70）において衝突の影響が無視され，

数 kθ ＝ nq/r および電子密度勾配長 Ln＝－d ln ne/dr を使っˆ（cTeb/eB）て， 電 子 の ド リ フ ト 周 波 数 は ω＊e≡－k⊥・×次式のような無衝突 TEM に対する分散関係/と書かれ，また，捕捉電子の歳差∇ln ne＝kθ cTe（eBLn）

1＋

ドリフト周波数 ωDe ＝〈ωDe〉b は，
＝

Lnw
G
ˆ κ）
（s,
RTe

ωDe＝ω＊e

（68）

T
ω－ω＊e

 v dv f ω－ω

2ϵ

2

Me

0

De0

（74）

式で与えられる．

となることを使った．歳差ドリフト周波数 ωDe は，捕捉電ωr
Γ0－ηib（Γi0－Γ1）＝ω＊e 1＋（Te/Ti）（1－Γ0）子が描くバナナ軌道の中心のトロイダル方向ドリフト運動（歳差ドリフト運動）の速度とトロイダル方向波数の（75）

次に，捕捉粒子不安定性の成長率 γ ＝ Im（ω）は ϵ に比例積を表す．
式（52）で与えられた G（s,ˆ κ）の κ －依存性を無視して，して小さい値をとるものとして，式（74）の右辺においてPlemelj の公式，

その平均値［12，13］
Gave（s）
ˆ ＝0.64s＋0.57
ˆ

（69）

（66）よ
に置き換え，さらに〈ϕ〉b≃ϕ の近似を用いると，式（くことによって，

）

T
ω－ω＊e

 v dv f ω－ω ＋iν

2ϵ

0

2

Me

De0

eff，e

γ
［1＋（Te/Ti）（1－Γ0）］
ωr（70）（ ） exp（－ ω ）
ω ⎧
ω
3 ⎫
×
－ ）⎬－1 
⎨1＋η（
ω ⎩
ω
2 ⎭

＝2 2πϵで与えられる［4］．式（70）において，ωDe0 は式（68）の右辺
Lnww
Gave（s）
ˆ ＝ωGe 
RTe
Te

（71）

3/2

ωr

Ge

e

r

r

Ge

（77）

が導かれる．上式（77）より，TEM が不安定（γ ＞ 0）となる条件として，によって定義されている．また ,Lnˆ ω＊e ωGe≡Gave（s）
R

ωr
ωGe

＊e

で G（s,ˆ κ）を Gave（s）
ˆ で置き換えたもの，即ち，
ωDe0≡ω＊e1＝P     （76）
－iπδ
（ωr－ωDe0）
ωr－ωDe0を用いた後に，式（74）の両辺の虚部が互いに等しいとおTeTe ω＊e
ω＊e
b（Γ
－
＋
Γ0－ηi
i
1－Γ0）
Ti
Ti
ω
ω
  ∞

1

lim

γ →＋ 0 ωr＋iγ－ωDe0

り，TEM の分散関係が

4π
n0

）

おくことにより，周波数の実部 ωr ＝ Re（ω）は近似的に次用い ,また，軸対称配位では〈dq/dt〉b＝（dq/dr）〈dr/dt〉b＝0

＝

4π
n0

  ∞

が得られる． ϵ ≪1 として，先ず，式（74）の右辺を 0 とによって与えられる．上式（68）の導出には，式
（51）
と
（60）
を

1＋

（

Te
Te ω＊e
ω＊e
b（Γ
－
＋
Γ0－ηi
i
1－Γ0）
Ti
Ti
ω
ω

（

）

ω＊e ⎧
ωr
3 ⎫
－
⎬＞ 1
⎨1＋ηe
ωr ⎩
ωGe 2 ⎭

（72）

（78）

が得られる．以上では，γ≪ωr のような条件を仮定して，353

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.7

式（76）を用いたが，式（75）と（77）に典型的な密度勾配，
温度勾配や逆アスペクト比 ϵ を用いて，ωr と γ の値を見積

γ≃ω＊e

もると，γ≪ωr が満たされず，式（75）と（77）の妥当性が疑われることが多い［4］.

July 2023

3 2ϵ ωGe
1（1＋ηe）－
2
ω＊e
4

1/2



（84）

が導かれる．

上記のような仮定をしない場合，式（74）は，プラズマ

4．5

分散関数（Ref.［2］p.312 参照）
Z（ζ）＝

1
π

＋∞ exp（－t2）

 dt  t－ζ

周波数 νeff，e ＝ νe/ϵ が大きい場合を考えよう．ただし，バ

（79）

－∞

ウンス平均したジャイロ運動論方程式の解が，バウンス
平均する前の元のジャイロ運動論的方程式の近似解としを用いて，次式のように書き直すことができる．

て有効であるためには，有効衝突周波数は捕捉電子のバ

）
⎫
⎧
2 2ϵ
3
（ξ））
＝－
⎬
⎨ω－ω （1－ η ）（1＋ξZ
ω
2
⎭
⎩

1＋

（

Te
Te ω＊e
ω＊e
b（Γ
＋
Γ0－ηi
－
i
1－Γ0）
Ti
Ti
ω
ω

ウンス周波数 ωbe ～ ϵ1/2vte/Rq よりも小さいことが必要で
ある．

e

＊e

Ge

散逸性 TEM

捕捉電子の歳差ドリフト周波数 ωDe に比べて，有効衝突⎧ ω
1 ⎫－ω＊eηe ⎨ （1＋ξZ（ξ））＋ ⎬ 
2 ⎭
⎩ ωGe

ωDe ＜ νe/ϵ ＜ ωbe

この場合，式（70）より次式のような散逸性 TEM［2，3］に（80）

対する分散関係

ここで，ξ＝（ω/ωGe）1/2 であり，複素数の平方根である ξ の

偏角 arg（ξ）は，次式に与られる条件を満たすものとする．
－

π
3π＜ arg（ξ）＜
4
4for ωGe ＞ 0

π
5π
＜ arg
（ξ）＜
4
4

for ωGe ＜ 0

（85）

1＋
＝

（

）

Te
Te ω＊e
ω＊e
b（Γ
－
＋
Γ0－ηi
i
1－Γ0）
Ti
Ti
ω
ω

4π
n0

2ϵ

  ∞



0

v2dv fMeTω－ω＊e
ω＋iνeff，e（86）が得られる．上式（86）において，さらに kθρti≪1 を仮定す

（81）

ると，

複素周波数 ω の平方根 ω1/2 を定義する場合，複素 ω－平面に branch cut を 設 け る 必 要 が あ る が， こ こ で は， 複 素

1－ω－平面の虚軸の下半分（ 0 から－ i∞ に向かう半直線）に

ω＊e 4π
＝
n0
ω

2ϵ

  ∞

T
ω－ω＊e

 v dv f  ω＋iν
2

Me

0

eff，e

（87）

branch cut をとることにすると，上式（81）の条件が得らが導かれる． ϵ ≪1 として，捕捉電子の割合が小さいこれる．因みに，捕捉粒子不安定性や ITG モードのように，とを考慮すると，上式（87）より，散逸性 TEM の周波数は，

速度の 2 乗項を含む ∇B－曲率ドリフトと波動との共鳴がω≃ω＊e であることがわかる．さらに，νeff，e≫ω≃ω＊e の場

関わる問題をラプラス変換を使って解く場合，上述のよ合を考えると，式（87）から，散逸性 TEM の周波数およびうな複素 ω－平面上に branch cut を設ける必要性が生じる

成長率がことに注意しておこう［14，15］．
|ω|≫|ωGe| の場合，即ち，|ξ|≫1 の場合は，漸近展開

ωr＝ω＊e1
3
15 －6
式 1＋ξZ（ξ）＝－ ξ－2－ ξ－4 －ξ －…を用い，また，
2
4
8

γ＝ω＊e

kθρti≪1 を仮定すると，式（80）は，

4π
n0

（88）
2ϵ

  ∞

 v dv f
0

2

Me

T
2
ω＊e
－ω＊e
ω＊e
～ ϵ3/2ηe（89）νeff，eνeのように表される．上式（89）の最右辺の導出では，νeff，e

ω＊e
1－
ω

の速度 v に対する依存性（v が大きくなると，衝突による

（

）（

⎫
⎧
ω＊e
3
3 ωGe
＝ 2ϵ ⎨1－1－ ηe ⎬ 1＋
ω
2
2 ω
⎭
⎩
－

（

3 ω＊e
5 ωGe
ηe
1＋
ω
2
2 ω

（

）

）

ピッチ角散乱周波数は v－3 に比例して小さくなる）が考慮）されている．

4．6

おわりに

本章では，磁場閉じ込めプラズマの静電的な微視的不

ω＊e
3 ωGe
3 ω＊eωGe
1－－（1＋ηe）（82）
ω
2 ω＊e
2 ω2

安定性を記述する基本方程式系として，電子とイオンののように簡単化され，これにより，無衝突 TEM 不安定性

こにバウンス平均等の近似手法を用いることにより，トの実周波数と成長率に対して，式（75）と（77）とは別の簡

ロイダル磁場中の微視的不安定性の典型例である無衝突単な表式として，

TEM および散逸性 TEM の分散関係がどのようにして導＝ 2ϵ 1－

ωr≃

1
ω＊e
2

静電的ジャイロ運動論的方程式と準中性条件を示し，そかれるかを解説した．ここでは，特に同心円形のポロイ
ダル断面をもつ大アスペクト比の軸対称トーラス磁場配（83）位の場合を扱い，捕捉粒子の歳差ドリフト速度を導出し，354

Lecture Note

4. Trapped Electron Mode	［ 3 ］J. Wesson, Tokamaks (Clarendon Press, Oxford,1997), Chap.8.
［ 4 ］J.C. Adam et al., Phys. Fluids 19, 561 (1976).
［ 5 ］洲鎌英雄，矢木雅敏：プラズマ・核融合学会誌 76, 1007
(2000)．
［ 6 ］P.H. Rutherford and E.A. Frieman, Phys. Fluids 11,569 (1968).
［ 7 ］J.B. Taylor and R.J. Hastie, Plasma Phys. 10, 479(1968).
［ 8 ］洲鎌英雄：プラズマ・核融合学会誌 79, 107 (2003)．
［ 9 ］洲鎌英雄：プラズマシミュレーション―多階層複雑現象の解明へ（プラズマ・核融合学会編，京都大学学術出版会，2018），2．2．3節．
［10］R.D. Hazeltine and J. D. Meiss, Plasma Con-finement(Addison-Wesley, Redwood City, Cali-fornia, 1992),
Chap. 7.10.
［11］H. Sugama et al., Phys. Plasmas 16, 112503 (2009).
［12］W.M. Tang, Theory of Fusion Plasmas, edited by J.
Vaclavik et al. (Editrice Compositori, Bologna 1990)
p.31.
［13］J.Li and Y. Kishimoto, Plasma Phys. Control. Fusion
44, A479 (2002).
［14］T. Kuroda et al., J. Phys. Soc. Jpn. 67, 3787(1998).
［15］H. Sugama, Phys. Plasmas 6, 3527 (1999).
［16］G. Rewoldt and W.M. Tang, Phys. Fluids B 2, 318(1990).
［17］S. Brunner et al., Phys. Plasmas 5, 3929 (1998).
［18］J.H.E. Proll et al., Phys. Plasmas 20, 122506 (2013).
［19］M. Nakata et al., Nucl. Fusion 56, 086010 (2016).
［20］M. Nakata et al., Phys. Rev. Lett. 118, 165002 (2017).
［21］S. Maeyama et al., Nat. Commun. 13, 3166 (2022).
［22］T.-H. Watanabe et al., Nucl. Fusion 63, 054001(2023).
［23］Y. Idomura et al., Phys. Plasmas 30, 042508 (2023).

また，周波数や波数に対する幾つかの仮定を用いることにより，式（83）－（84）や式（88）－（89）で示されるように，
密度・温度勾配や衝突周波数に対する無衝突 TEM の散逸
性 TEM の実周波数や成長率の依存性をわかりやすく示す
単純な表式を導いた．しかし，一般的なトーラス磁場配位の場合，数値計算によりジャイロ運動論に基づく基本方程式系を直接解くことによって，定量的に正確な TEMの実周波数や成長率が求められている［16］．実際，そのような数値計算によると，トロイダル磁場配位，密度・温度分布や波数に対する同一の条件下において，無衝突
TEM 不安定性が，トロイダル ITG モード不安定性とは別個に共存したり，あるいは，ITG・TEM 両者のハイブリッ
ド型のモードとして存在することが知られており［16］，これらは，トカマクやヘリカルプラズマのイオンジャイ
ロ半径スケールにおける乱流の主要因として多くの理論・シミュレーション研究がなされている［17-23］.

謝辞本講座記事の執筆にあたって，有益なコメントをいただ
いた名古屋大学の前山伸也講師，渡邉智彦教授，ならびに核融合科学研究所の松岡清吉助教に深く感謝いたします．
本稿の作成は，科学研究費［基盤研究（B）：19H01879］
お よ び 核 融 合 科 学 研 究 所 共 同 研 究［NIFS22KIPT004，
NIFS23KIPT009］の援助を得て行われました．

参考文献［ 1 ］B.B. Kadomtsev and O. P. Pogutse, Sov. Phys. JETP
24, 1172 (1967).
［ 2 ］宮本健郎：核融合のためのプラズマ物理（岩波書店，
1976），第12章．

す

がま ひで

H. Sugamaお

洲 鎌 英 雄自然科学研究機構 核融合科学研究所 研究部 複合大域シミュレーションユニット教授．
東京大学大学院 新領域創成科学研究科 先端エネルギー工学専攻 核融合エネルギー科学講座第一（連携講座）客員教授．京都大学工学博士．専門は，磁場閉じ込め核融合プラズマの物理．特に，ジャイロ運動論に基づくプラズマの微視的不安定性，新古典・乱流輸送の理論研究を行っている．この数年間コロナのため控えていた温泉旅行を楽しみたい．

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