２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待
オリヴィア・ドゥーミトレスク (OLIVIA DUMITRESCU) AND 村瀬元彦 (MOTOHICO MULASE)

Abstract. 本稿第１部では、２次元位相的場の量子論をリボングラフの圏からモノイド圏上の自己函手圏へのモノイド函手として捉えるという定式化を与える。ポイントはリボングラフ圏がこの函手
を通して全てのフロベニウス対象を決定するという事実にある。予備知識として必要なフロベニウス
代数や、位相的場の量子論・コホモロジー的場の理論からの基礎的な事項には丁寧な解説を与える。フロベニウス代数係数の位相的漸化式についての一結果を与えて第１部を終える。
第２部では量子曲線の幾何理論を解説する。議論の焦点は、量子化のプロセスがヒッチンのスペク
トル曲線の変形族からオパーの族への移行であると理解する点にある。簡潔な説明を与えるために、種数２以上のコンパクトリーマン面 C 上のヒッグズ束と SL2 (C) オパーの場合に限定して話を進める。
この場合、量子曲線もオパーも全て古典的な概念である C 上の射影構造と全く同じものであることが分かる。ここでも、射影座標系やヒッグズ束、オパー、非アーベル的ホッジ対応などの予備知識として必要な事項には簡単な解説を与える。最近得られたオパーの構成に関するガイオットの一予想の解決を紹介して本稿を終える。

Contents0.

序章： 古代の息吹き

1Part 1. 位相的場の量子論
1. フロベニウス代数
2. 位相的場の量子論
3. グロモフ－ウィッテン理論のシルエット
4. コホモロジー的場の理論
5. セルグラフの圏
6. セルグラフから 2D TQFT へ
7. TQFT-係数の位相的漸化式

6
6
9
12
17
22
27
29

Part 2. ヒッグズ束の量子化
8. 量子曲線
9. 射影構造・オパー・ヒッグズ束10. SL2 (C) オパーの準古典（WKB）近似
11. 異なるヒッチンモジュライ空間の間の非アーベル的ホッジ対応
References

34
34
37
47
49
51

0. 序章： 古代の息吹き
紀元前４世紀から前１世紀ごろのものと推定される粘土板に、時間－運動量空間の幾何を用いて木星の軌道が近似的に計算されていたのではないか、と示唆する論文が最近出版されました [93]。この興味深い論文には新バビロニア時代の積分計算を示すとされる楔形文字が刻まれた粘土板の写真が掲載されています。
木星の軌道は時間－座標空間内のグラフです。運動量を時間－運動量空間でのグラフとして表すことによって、バビロニア人は運動量の積分をグラフと時間軸との間の面積として可視化することに成功しました。その面積を台形近似で求めることによって、運動量の2010 Mathematics Subject Classification. Primary: 14H15, 14N35, 81T45; Secondary: 14F10, 14J26, 33C05,
33C10, 33C15, 34M60, 53D37.
Key words and phrases. 位相的場の量子論；量子曲線；オパー；ヒッチンモジュライ空間；ヒッグズ束；ヒッチン切断；量子化；位相的漸化式.
1― 49 ―

2

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

Figure 0.1. 時間－運動量空間での積分を示す楔形文字の刻まれた粘土板 [93]。

積分、すなわち座標空間での位置を、かなり正確に計算することができたのです。これはまさにニュートンによる微分積分論の基本定理の原型がすでに知られていたことを意味します。木星の天空における軌道の解析と、時間－運動量空間の幾何とを関係させるというこの新バビロニア時代のアイディアにはハッとさせられます。そこではすでに座標空間と運動量空間とが同等に扱われており、まさにシンプレクティック幾何学の原点がそこにあったのではないかと思わされるからです。
ここ半世紀の間に発見された、数学的数値や代数的公式を示唆する楔形文字が記された
多くの粘土板は私たちの想像をかき立ててくれます。その中で最も有名なものは、およそ紀元前１８００年頃（古代バビロニア時代）に作られたとみられるプリムトン３２２です。
そこには１５のピタゴラス数が、直角三角形の斜辺の角度が４５度から６０度に増えていく順に並べて記されています。

Figure 0.2. プリムトン３２２[96]√
古代バビロニア人は平方根の計算アルゴリズムを知っていました。 2 の６０進数展開近似を記した楔形文字粘土板が見つかっています。プリムトン３２２の実用的用途やピタゴラス数を計算するアルゴリズムを知っていたか、などいろいろ議論はあるようですが [96]、
私たちのイマジネーションは粘土板の作者が感じたであろう驚きに向けられます。２番目と３番目の列に記された数の組 (y, z) について z 2 − y 2 を計算すると、常に完全平方が得られます。したがって、この数に対して平方根の計算アルゴリズムを当てはめると、計算は有限回で終わり、厳密な値が得られます。こうして無限が続く森の中で有限性の花に出会う。複雑な函数が現れると思われる所で多項式に遭遇する時に私たちは同じ感動を覚えます。有限性に美しさを見出す感性は数学をする私たちの心の中に今も宿っているのです。
図 0.1 の粘土板にはなんの絵も描かれていません。[93] の著者は、なんの意味もないよ
うに見える数字の羅列の中に、惑星運動の深い幾何学的探求が秘められているのだと説得力を持って訴えかけます。この発見にも私たちのイマジネーションがそそられます。代数、幾何、天文学の織りなすタペストリー、そして運動量座標と位置座標とを同等に扱う素晴― 50 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

3

らしい視点。この粘土板に数値を書き込みながら、作者は何を考え、何を感じていたのでしょうか？それは私たちを取り巻く天界の現象が、数学によってピタリと記述できるのだ、という「発見の鋭い喜び」ではなかったでしょうか？今私たちは、岡潔の言葉を思い出します。「発見には必ず発見の鋭い喜びが伴う。この『発見の鋭い喜び』という言葉は物理の寺田寅彦先生の言葉です（岡潔講義録１５）。」
粘土板に絵がないこともさることながら、新バビロニア時代の計算値の正確さには驚愕させられます。これは、ほぼ同じ頃に完成したユークリッドの原論と好対照をなします。
原論には、私たちがよく知っている美しい幾何学図形のみならず、数々の驚くべき証明が描かれています。その中で、公理的方法論が確立されたのでした。ここに、様々な方法を用いて未知の量を高度の正確さで計算できる技術と、その公式を有限性の原理に基づいて証明するという行為の二項対立が、すでに見られます。この二項対立こそが、本稿の著者
二人の共同研究の出発点、動機だったのでした。私たちの研究分野の中で、理論物理学者たちの研究から鋭い公式が発見されてきました。そのいくつかには著者たちによって証明が与えられました。それでも今なお、私たちは全てを理解しているわけではないのです。
本講義録の第１部ではセルグラフによる２次元場の量子論の新しい定式化を与えます。
タイプ (g, n) のセルグラフとは、種数 g ≥ 0 の向きづけられた境界のないコンパクト位相
曲面の単体分割の 1-切片（1-スケルトン）のことをさします。ここで、n は順序付けられた０次元単体の数を表します。０次元単体はセルグラフの頂点を与えます。この概念には他にもいろいろな呼び名があります。例えば、リボングラフ、デッサン・ダンファン、地図、埋め込まれたグラフ、曲面グラフ、等々。私たちがセルグラフという呼び名を使うのは、曲面の静的性質ではなく、動的性格、特に複素構造の変形と退化とに現れる性格を表したいからなのです。グラフというのは１次元の対象ですが、セルグラフでは曲面の単体分割に現れる２次元単体として、「面」の概念が生きています。
単体分割の１次元単体を辺と呼びます。少しぎこちない言い方ですが、half-edge の訳語として、「半辺」を使うことにします。これは、各辺の中点で辺を２等分したものです。
各頂点に繋がっている半辺の数が、その頂点の次数です。著者たちの前のレクチャーノー
ト [33] で説明されているように、次数 2m の頂点を一つだけ持ったタイプ (0, 1) のセルグ
1
ラフの数は 2m
Cm で与えられます。ここで、
( )
1
2m
Cm =
m+1 m
は m 次カタラン数です。カタラン数の母函数

z = z(x) =

∞
∑

Cm

m=0

1
x2m+1

は代数方程式

(0.1)

x=z+

1
z

を充します。前のレクチャーノート [33, Section 2] で展開されたストーリーは、任意のタ
イプ (g, n) のセルグラフの数え上げ問題が代数曲線 (0.1) の量子化によって解決される、というものでした。量子化の鍵を与える公式は、[33, Catalan Recursion, Section 2.1] で得られた組み合わせ論的方程式のラプラス変換に由来します。そして、この組み合わせ論の方程式はセルグラフの辺縮約変換が数え上げにどう影響するかを解析することで得られたのでした。
本稿で展開したい新しいストーリーは、セルグラフのなす圏が全ての２次元位相的場の量子論の情報を含んでいる、という話です。そのために、2D TQFT を公理的方法でセルグラフの圏からのある函手として与えます。基本となるアイディアは簡単なもので、上述したのと全く同じ辺縮約変換がフロベニウス代数を特徴づけている、ということに尽きます。２頂点を結ぶ辺を縮めると、２点が衝突して１点になります。これは積を表します。
もし辺がループなら、それはセルグラフが描かれた曲面のサイクルなので、それを縮める
ことは繋がれた頂点を二つの新しい頂点に分裂する操作になります。こうして余積を表す― 51 ―

4

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

ことができます。グラフが曲面上に描かれているので、積と余積との間に関係が生じ、それがフロベニウス構造を定めるのです。
本稿では、まずフロベニウス代数の定義から始め、続く節で位相的場の量子論（TQFT）とコホモロジー的場の理論（CohFT）を解説します。セルグラフの圏を導入した後、それが全てのフロベニウス代数を生成することを説明します。セルグラフと 2D TQFT との直接の関連も明らかにされます。
上述した組み合わせ論的方程式のラプラス変換は位相的漸化式 [42, 76, 77] の名で呼ばれるもので、本稿のライトモチーフを為します。本稿の主役である量子化の過程を位相的漸化式の観点から見ることもできます。著者たちのものも入れて [9, 33, 40] すでに多くの解説記事が位相的漸化式の話題について書かれているので、本稿では軽く触れるだけにとどめますが、第１部の最後で 2D TQFT 係数の位相的漸化式に関した新しい結果を紹介します。
新バビロニアの政治体制はは紀元前５３９年にペルシャのキュロス大王によって滅ぼされました。同じペルシャの地に２５世紀後に生まれる天才マリアム・ミルザハニ（１９７
７–２０１７）の名前を著者の一人（MM）が初めて耳にしたのは、２００４年５月のことでした。夜遅くフランスから到着したマキシム・コンツェヴィッチを空港まで迎えに行き、デービスへ帰る途中で寄ったサンフランシスコで寿司をつまみながら彼は熱っぽくミルザ
ハニの仕事 [76, 77] を語り聞かせてくれました。その興奮した語り口は彼女の仕事が彼に与えたインパクトを如実に物語っていました。その３ヶ月後、著者はリスボンで開かれた研究会でミルザハニの定理を紹介し、[83] で結実する可積分系との関連を述べました。一
番前のかぶり付きで熱心に聞いていたのは物理学者のマルコス・マリニョです。マリニョ
はフルヴィッツ数の母函数がミルザハニの発見した境界付き双極曲面のモジュライのヴェ
イユ－ピーターソン体積の充す漸化式のラプラス変換と全く同じ関係式を充すことを後に共同研究者と共に予想し [13]、その解決の鍵の一つとして [83] を挙げました。挑戦を受けたように感じた著者は２年をかけてその予想を解決しました [41, 86]。そこで確立された
フルヴィッツ数の新しい漸化式の応用の一例として、ヴィラソロ関係式を与えるウィッテ
ン予想 [101] の証明が純粋に代数幾何の範囲内でたった半ページで与えられること、同時に λg -予想 [43] がやはり半ページで証明できることを示しました [86]。二つの大定理が瞬く間に証明できたのは、[86] でフルヴィッツ数のラプラス変換が多項式になることを発見したことによります。
ミルザハニの扱ったヴェイユ－ピーターソン体積 [76, 77] も自然に双極曲面の境界の長さの多項式で与えられます。これはものすごい驚きでした。この多項式性を用いて、彼女はウィッテン予想のヴィラソロ版を初めて純粋に幾何学的手法で証明したのでした。全く直接の関連のないヴェイユ－ピーターソン体積とフルヴィッツ数とが同じ多項式性を持つのは、点付き安定代数曲線のモジュライ空間のコホモロジー類の交叉理論が背景にあるからなのです。ミルザハニによるヴェイユ－ピーターソン体積も、カタラン数も、フルヴィッ
ツ数も、ラプラス変換をすると全く同じ形の漸化式、すなわち位相的漸化式を充します。
位相的漸化式がこれらの隠れた関連を示唆している。ここで、ラプラス変換はミラー写像に対応し、位相的漸化式が一般種数の B モデルを与える、というのがマリニョに由来する
私たちの理解です [11, 12, 44]。ところで、後者二つについてはその量子曲線が知られています [84, 85, 104] が、ミルザハニ理論に対応する量子曲線は未だに分かっていません。
[42] の著者の一人オランタンの学位審査員でもあったコンツェヴィッチは、位相的漸化式の発展の中で早くからそのシンプレクティック構造に注目していました。新バビロニアを下ること２５００年、２１世紀の幾何であるシンプレクティック幾何がここで再び登場します。境界のない向きづけられた多様体 X のコホモロジー環はフロベニウス代数の一例です。もし多様体が偶数次元で、偶数次のコホモロジー(0.2)

A = H even (X, Q)

だけを考えるなら、可換なフロベニウス代数が得られます。それは 2D TQFT と等価です。
今 X をシンプレクティック多様体としましょう。その種数０のグロモフ－ウィッテン不変量は、シンプレクティック構造を本質的に使うことによって大量子コホモロジー環と呼ばれる A の量子変形を決めます。さらに、この量子構造は X のミラーである複素解析空間 Y を定義します。Y の複素幾何が X の量子コホモロジーを捉えているわけです。とこ― 52 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

5

ろで、グロモフ－ウィッテン不変量は任意の種数で定義することができるので、次の疑問がわきます。
問い 0.1. 複素解析空間 Y の上のどんな構造がシンプレクティック多様体 X の種数１以上のグロモフ－ウィッテン不変量に対応するのでしょうか？
もし X のグロモフ－ウィッテン不変量を種数０から高種数へと移行させることを量子化と捉えるなら、Y の上では複素幾何の量子化を考えることになります。その候補となるのが D 加群の理論です。この設定でピタリとくる概念のなかで一番簡単なのが量子曲線と呼ばれるものです。量子曲線と B モデル幾何との関連は [2, 22, 20, 30, 31, 33, 54, 55] などで考察されました。量子曲線のアイディアがうまくいくのは、X の種数０のグロモフ－
ウィッテン理論に対応する複素解析空間 Y の情報が、代数的あるいは解析的曲線で捉えられる場合です。この曲線は、他の数学の分野、例えば可積分系の理論やランダム行列の理論、ヒッグズ束のモジュライ上のヒッチン系の理論などでは、スペクトル曲線とよばれるものに他なりません。スペクトル曲線は底曲線と呼ばれる別の曲線への射影写像を伴って現れます。つまり底曲線の被覆曲線になっているわけです。量子曲線は、シンプレクティッ
ク曲面のラグランジアン部分多様体であるスペクトル曲線を量子化して得られる、底曲線
上の D 加群なのです。
フロベニウス代数 A = H even (X, Q) 上の CohFT は X のグロモフ－ウィッテン理論と似た役割を果たすので、CohFT は 2D TQFT を量子化していると考えることができます。
このプロセスは量子化の二つの段階を経て完成します。一つ目は古典的コホモロジー環
A から量子コホモロジー環への移行で、ミラー対応を与えます。もしミラーの複素幾何が曲線で与えられるなら、量子化の第二段階はスペクトル曲線から量子曲線への量子化と平行なものになっているはずです。CohFT を、安定曲線のモジライの０次コホモロジー群
H 0 (Mg,n , Q) へ制限して得られる 2D TQFT から位相的漸化式を使って回復するという[39] の定理も、量子曲線構成のアナロジーで理解することができるだろうと考えられます。
本稿第２部では量子曲線を扱います。著者たちは既に量子曲線と位相的漸化式との関連を解説したレクチャーノート [33] を出版したので、本稿ではヒッチンのスペクトル曲線の量子化の過程をオパーの立場から見た幾何として捉える視点に絞って解説することにしました。私たちの研究論文 [28, 29, 34] で展開された一般論ではなく、ここでは群を SL2 (C)に限って理論のアイディアを説明します。この場合には、ガニング [56] による種数２以上のコンパクトリーマン面上の射影構造が、SL2 (C) オパーやヒッチンスペクトル曲線に対応する量子曲線の概念と実は全く同じものになっていることを解説しようと思います。非アーベル的ホッジ対応とオパーの構成とを結ぶ物理学者ガイオットのある予想 [47] と、私たちの共同研究で得られたその解決 [29] とを紹介して、本稿を締め括ります。
謝辞. 本稿は著者の一人が２０１６年度岡シンポジウムで行った講演を敷衍し拡大したものです。同シンポジウムの組織委員の皆様、特に松澤淳一教授に感謝いたします。著者たちはまた、本稿の英語版の出版を勧めてくださった畏友ピオトル・スウコフスキー教授に深く感謝の意を表します。
本稿で解説した著者たちの共同研究は数々の研究機関に滞在していた時に進められたものです。ここで機関名を列挙して、支給された研究助成と素晴らしい研究環境を与えられたことに対して謝意を表したいと思います。The American Institute of Mathematics in
California, the Banﬀ International Research Station, Institutul de Matematică “Simion
Stoilow” al Academiei Romane, Institut Henri Poincaré, Institute for Mathematical Sciences at the National University of Singapore, 神戸大学, Leibniz Universität Hannover,
Lorentz Center Leiden, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Max-PlanckInstitut für Mathematik-Bonn, 大阪市立大学数学研究所.
上記の共同研究の補助以外に、O.D. は GRK 1463 Analysis, Geometry, and String
Theory (Leibniz Universität Hannover) と Perimeter Institute for Theoretical Physics、および MPIM-Bonn から研究助成を受けました。M.M. は IHÉS, MPIM-Bonn, Simons
Foundation, Hong Kong University of Science and Technology, Université Pierre et Marie
Curie, NSF grants DMS-1104734, DMS-1309298, DMS-1619760, DMS-1642515, NSFRNMS: Geometric Structures And Representation Varieties (GEAR Network, DMS1107452, 1107263, 1107367) から研究助成を受けました。

― 53 ―

6

O. DUMITRESCU AND M. MULASEPart 1. 位相的場の量子論
1. フロベニウス代数
標数０の体 K を一つ固定します。本稿では K = Q か K = C の場合をおもに考察します。K 上定義された有限次元の、単位元を持った結合的代数 A を考えましょう。A が双代数の場合には余積を含む幾つかの構造が追加されます。有限群 G の群環 A = K[G] は双代数の一例です。群環 K[G] の代数構造は群 G の積から自然に決まりますが、余大数としては二つの相異なる構造が存在します。一つはフロベニウス代数の構造で、もう一つはホップ代数の構造です。その違いは、どの次元の位相不変量を考察しているかを反映しています。２次元トポロジーを扱うならフロベニウス代数が便利です。３次元ならホップ代
数が自然です。
それではフロベニウス代数の定義から始めましょう。
定義 1.1 (フロベニウス代数). K 上有限次元で、単位的かつ結合的な代数 A に跡と呼ばれる線型写像 ϵ : A −→ K が存在して、ϵ(ux) = 0 または ϵ(xu) = 0 が全ての元 x ∈ A について成り立つような元 u ∈ A は u = 0 に限る場合に、A をフロベニウス代数といいます。

命題 1.2. A1 と A2 がフロベニウス代数ならば、その直積 A1 ⊕ A2 やテンソル積 A1 ⊗ A2はともにフロベニウス代数です。K 上のフロベニウス代数の圏 A から作られた三つ組
C = (A, ⊗, K) はモノイド圏になります。
証明. Ai , i = 1, 2 の跡を ϵi : Ai −→ K で表すと、(A1 ⊕ A2 , ϵ1 + ϵ2 ) はフロベニウス代数になります。同様に、跡ϵ1 · ϵ2 : A1 ⊗ A2 ∋ u1 ⊗ u2 �−→ ϵ1 (u1 )ϵ2 (u2 ) ∈ K

は A1 ⊗ A2 にフロベニウス代数構造を与えます。

□

例 1.3. １次元ベクトル空間 A = K に跡を ϵ(u) = u で定めたものは可換単純フロベニウ
ス代数です。また、A = K ⊕n に跡を ϵ(u1 , . . . , un ) = u1 + · · · + un ∈ K で与えると、可換
半単純フロベニウス代数が得られます。
例 1.4. n × n 次全行列環 A = Matn (K) に通常の行列の跡 ϵ(u) = trace(u) を入れたもの
は n ≥ 2 なら非可換単純フロベニウス代数になります。

例 1.5. 上述したように、有限群 G の群環 A = K[G] はフロベニウス代数です。その跡
ϵ : K[G] −→ K は g ∈ G の函数{
1g=1ϵ(g) =
0g ̸= 1を群環上に線型拡張したものです。

注意 1.6. もし全ての g ∈ G に対して ϵ(g) = 1 と定義し、逆元を取る操作を線型に拡張して対合射を与えれば、群環はホップ代数の構造を持ちます。
例 1.7. 向きづけられた境界のない n 次元コンパクト微分可能多様体のコホモロジー環H ∗ (M, R) に跡写像
ϵ : H ∗ (M, R) −→ H n (M, R) = R
を入れたものはフロベニウス代数です。

上記のコホモロジー環の例は、一般のフロベニウス代数にもポアンカレペアリングに当たるものがあるのだろうかという疑問を抱かせます。実際、跡 ϵ : A −→ K を使って定義されるフロベニウス双線型形式(1.1)

η : A ⊗ A −→ K,η(u, v) = ϵ(uv)がその対応物になっています。それはフロベニウス結合律(1.2)

η(uv, w) = η(u, vw),

― 54 ―u, v, w ∈ A

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

7を満たします。定義 1.1 で要請される跡 ϵ の条件は、まさにフロベニウス形式が非退化であることを意味します。したがって、それは自然な同型

(1.3)

∼

λ : A −→ A∗ ,⟨λ(u), v⟩ = η(u, v),

を定めます。可換図式

(1.4)

δ

A

u, v ∈ A

 A⊗A
λ⊗λ

λ





A∗

m∗

 A∗ ⊗ A∗

によって、この同型は余積 δ : A −→ A⊗A を引き起こします。ここで、m∗ : A∗ −→ A∗ ⊗A∗
は積写像 m : A ⊗ A −→ A in A の双対です。私たちは積の可換性を仮定していないので、ペアリング(A∗ ⊗ A∗ ) ⊗ (A ⊗ A) −→ Kはテンソルの内側から計算されます。例えば、α, β ∈ A∗ と u, v ∈ A に対して、(1.5)⟨α ⊗ β, u ⊗ v⟩ = ⟨α, ⟨β, u⟩v⟩ = ⟨β, u⟩⟨α, v⟩と計算します。結合的な積の双対として、余積 δ は余結合律

A ⊗ A

(1.6)
δ

δ⊗1



A⊗
 A⊗A

A
δ

1⊗δ



A⊗A
を充します。同様に、単位元 1 ∈ A の λ による双対は跡 ϵ ∈ A∗ になります。つまり
λ(1) = ϵ が成り立ちます。これは

η(1, u) = η(u, 1) = ϵ(u)から分かります。こうして双代数を構成する全ての構造 (A, 1, m, ϵ, δ) が決まりました。
命題 1.8. 双代数 (A, 1, m, ϵ, δ) の代数構造と余代数構造の間に次の両立条件が成り立ち
ます。

(1.7)
1⊗δ

A⊗A

A⊗
 A⊗A

m

δ⊗1

m⊗1


 A ⊗ A.


δ

A

1⊗m



A⊗A⊗A
注意 1.9. 逆に、フロベニウス代数を, 両立条件 (1.7) を充し、非退化なフロベニウス形式(1.2) を持つような双代数として定義することもできます。
証明. A の次元を r = dimK A だとし、その K 基底 ⟨e1 , e2 , . . . , er ⟩ を一つとります。双線
型形式 η は r × r 行列

(1.8)

η = [ηij ],η −1 = [η ij ],ηij := η(ei , ej )を定めます。元 v ∈ A の基底展開は
∑
∑
(1.9)
v=
η(v, ea )η ab eb =η(ea , v)η ba eb
a,b

a,b

― 55 ―

8

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

で与えられます。

(1.10)

δ(1) =∑

η ab ea ⊗ eba,bに注意して、(1.4) と (1.5) とから余積を∑δ(v) =
η(v, ei ej )(η jb eb ) ⊗ (η ia ea )i,j,a,b=∑i,j,a,b=∑i,aη(vei , ej )(η jb eb ) ⊗ (η ia ea )(vei ) ⊗ (η ia ea )= (m ⊗ 1)(v ⊗ δ(1))と計算することができます。従って、

(1 ⊗ m) ◦ (δ ⊗ 1)(u ⊗ v) = (1 ⊗ m) =∑i,j,a,b=i,j,a,b∑∑i,a,c,d=∑c,dが得られます。同様に、

η(u, ei ej )(η jb eb ) ⊗ (η ia ea ) ⊗ v 

η(uei , ej )(η jb eb ) ⊗ (η ia ea v)

i,j,a,b,c,d=∑η(uei , ej )(η jb eb ) ⊗ η ia η(ea v, ec )η cd eduei ⊗ η ia η(ea , vec )η cd ed(uvec ) ⊗ η cd ed= (m ⊗ 1)(uv ⊗ δ(1)) = δ(uv)(m ⊗ 1) ◦ (1 ⊗ δ)(u ⊗ v) = (m ⊗ 1) u ⊗=∑i,j,a,b

=

∑
i,a

∑

i,j,a,bη(v, ei ej )(η jb eb ) ⊗ (η ia ea )

uη(vei , ej )(η jb eb ) ⊗ (η ia ea )uvei ⊗ η ia ea= (m ⊗ 1)(uv ⊗ δ(1)) = δ(uv)が従います。これで、命題 1.8 の証明ができました。

注意 1.10. 次節以降で使うので、ここで、もし A が可換なら、()(1.11)
η ei1 · · · eij , eij+1 · · · en = ϵ(ei1 · · · ein ),1≤j<nは添字の置換について完全対称であることに注意しておきます。
定義 1.11 (オイラー元). フロベニウス代数 A の元(1.12)

e := m ◦ δ(1)をオイラー元と呼びます。その基底展開は∑(1.13)e=η ab ea eb
a,b― 56 ―□

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

9で与えられます。
オイラー元は 2D TQFT の種数展開を定めます。つまり、TQFT の種数０の部分から、任意種数の相関函数を計算することを可能にするのです。
基底展開 (1.9) 別の応用として、積と余積とを関係させる式(1.14)(λ(u) ⊗ 1) δ(v) = uv

を挙げておきます。これは次のように計算されます。
∑(λ(u) ⊗ 1) δ(v) = (λ(u) ⊗ 1)(vη ab ea ) ⊗ eb

=

∑

a,b

η(u, vea )η ab eb

a,b

=

∑

η(uv, ea )η ab eb = uv.

a,b2. 位相的場の量子論
この節では、TQFT の簡単なおさらいをします。この１０年ほどの間に、一般次元、および次元をミックスした位相的場の量子論に数学上の爆発的な進展がありました。（例えば [15, 72] や、これらに触発された最近の文献を参照してください。）本稿ではそれには触れず、２次元の特殊性に限って議論を展開したいと思います。特に、フロベニウス代数
は今後は有限次元かつ可換なものに限ることにします。すでに [1, 19] で示されたように、
2D TQFT はこのタイプのフロベニウス代数で分類されることが知られています。実は、以下でセルグラフの圏を展開する理由の一つは非可換なフロベニウス代数を考慮するためなのですが、その点については私たちの論文 [36] で考察する予定です。
共形場の理論と位相的場の量子論の公理的定式化は１９８０年代にアティヤー [4] とシーガル [97] によって発見されました。(d − 1) 次元の TQFT は、(d − 1) 次元の向きづけられた微分可能閉（すなわちコンパクトで境界のない）多様体のなすモノイド圏から、K 上の有限次元ベクトル空間のなすモノイド圏へのモノイド函手 Z として定義されます。(d − 1)次元の微分可能多様体のなす圏のモノイド構造は多様体の直和で与えます。これは可換な作用です。空集合との直和が単位作用です。従って、ベクトル空間のモノイド圏の作用は対称テンソル積で与えて函手 Z を定義します。体 K がテンソル積の単位作用なので、函手は非自明条件
Z(∅) = Kを充し、(d − 1) 次元微分可能多様体の直和をベクトル空間の対象テンソル積に対応させます。d 次元の向きづけられた境界付きの多様体が定める境界の間のコボルディズムが (d−1)
次元多様体の圏の射を与えます。函手 Z はコボルディズムを線型写像に対応させます。
向きづけられた (d − 1) 次元閉微分可能多様体 M の向きを変えたものを M op と書くことにします。函手 Z には双対条件

Z(M op ) = Z(M )∗を課します。ここで、Z(M )∗ はベクトル空間 Z(M ) の双対空間を表します。N が d 次元の向きづけられた境界付き微分可能多様体であるとは、境界 ∂N が (d − 1) 次元閉微分可能多様体で、補集合 N \ ∂N が d 次元の向きづけられた開微分可能多様体になっていることを意味します。境界 ∂N に N から誘導された向きを与えるならば、TQFT 函手 Z はベ
クトル空間 Z(∂N ) の元Z(N ) ∈ Z(∂N )を定めます。もし N が閉多様体なら ∂N = ∅ で、数は N の位相不変量です。
今度は多様体 N1 の境界がZ(N ) ∈ Z(∅) = K∂N1 = M1op ⊔ M2

― 57 ―

10

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

で与えられているとしましょう。M2 には N1 から誘導された向きを与え、M1 にはその反対の向きを与えます。これは、N1 が M1 から M2 へのコボルディズムを与えると解釈できます。この時、函手 Z は元 Z(N1 ) ∈ Z(M1 )∗ ⊗ Z(M2 ) を定めます。これは線型写像

Z(N1 ) : Z(M1 ) −→ Z(M2 )を与えることと同値です。さらに境界∂N2 = M2op ⊔ M3を持った多様体 N2 があって、線型写像

Z(N2 ) : Z(M2 ) −→ Z(M3 )を定めているなら、N1 と N2 を共通の境界成分 M2 に沿って微分可能性を保つように縫い合わせ、新しい微分可能多様体
N = N1 ∪ M2 N 2を作ることができます。その境界は明らかに∂N = M1op ⊔ M3で、N は M1 から M3 へのコボルディズムを与えます。アティヤー・シーガルの縫合公理[4] は図式(2.1)

Z(M1 )∥

Z(N1 )

Z(M1 )

 Z(M2 )Z(N2 )Z(N ) Z(M3 )∥ Z(M3 )が可換であることを要請します。
このように、d 次元 TQFT は d 次元閉多様体一つ一つにその位相不変量を対応させる函手です。その真髄は、d 次元閉多様体 N を (d − 1) 次元部分多様体に沿って単純な構造を持った部分に切り分け、位相不変量 Z(N ) をその分割から再構成するところにあります。
２次元の位相的場の量子論の場合は特殊な事情が生じます。まず、私たちは向きづけ可能な閉曲面のあらゆる位相不変量を既に知っています。というのも、それは単純に種数 g の函数として書けるからです。種数の研究に新しい理論が必要なわけではありません。さらに、１次元の連結閉多様体は円しかないので、2D TQFT はたった一つのベクトル空間

Z(S 1 ) = A(2.2)とそのテンソル積のみを扱うだけです。そこから一体何が得られるというのでしょうか？
一番の驚きは、2D TQFT がさらに量子化されて [17, 27, 53, 68]、古典的な方法では捉えられなかった高次元多様体の新しい不変量を与えてくれることです。このプロセスはフロベニウス代数 (0.2) から出発します。それが、まず量子コホモロジー環へ、そしてさらにグロモフ－ウィッテン不変量へと量子化されていくのです。この変遷にはスペクトル曲
線の構成を経て量子曲線に至る道筋と繋がるものがあります。この点が、私たちが展開したいストーリーです。第１部では量子化の逆の手順、すなわち、量子論から始めて古典論に至る道筋のスナップを解説します。
種数 g の向きづけられた微分可能な閉曲面から m + n 個の小さくて互いに疎な（交わらない）開円盤を取り除いた境界付きの曲面を考えましょう、境界も微分可能曲線だという条件を置けば、それは m + n 個の互いに疎な円になります。そのうちの n 個には曲面から誘導された向きを入れ、残りの m 個には反対の向きを入れます。こうして得られた境界付き曲面を Σg,m̄,n で表します。この曲面は m 個の円から n 個の円へのコボルディズムを与えます。こういった種類の境界付き曲面の向きを保つ微分同相類は、種数 g と境界の向きづけの具合を示す二つの数 m と n とで決まります。従って、m 個の円と n 個の円の間の向きづけられた微分可能コボルディズムの同値類も (g, m, n) で分類されます。それゆえ、
コボルディズム Σg,m̄,n に多重線型写像
defωg,m̄,n = Z(Σg,m̄,n ) : A⊗m −→ A⊗n― 58 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

11を対応させる TQFT 函手 Z もラベル (g, m, n) で完全に決まります。
今、k 個の円から m 個の円への種数 h のコボルディズムが別の曲面 Σh,k̄,m で与えられているしましょう。私たちは、この二つのコボルディズムを結合させたものを、m 個の円に沿って二つの曲面を縫い合わせることによって定義します。曲面 Σh,k̄,m の m 個の円と曲
面 Σg,m̄,n の m 個の円はちょうど反対の方法で向きが与えられているので、双方から円を一つづつ取って作る円の m 組を共通の向きに沿って縫い合わせれば、出来上がった新しい曲
面には元の二つの曲面と整合する向きが自然に決まります。こうして、種数 g + h + m − 1の新しい境界付きの向きづけられた曲面 Σg+h+m−1,k̄,n が得られます。種数が元の曲面の種数の話より増えるのは、円の m 組を互いに貼り合わせるときに、曲面に m − 1 個のハ
ンドルを新たに作るからです（Figure 2.1 参照)。アティヤー・シーガルの縫合公理は函手
Z がコボルディズムの結合に線型写像の結合を対応させることを要請します。今の局面では、縫合されたコボルディズム Σg+h+m−1,k̄,n に線型写像が対応します。

ωg,m̄,n ◦ ωh,k̄,m = ωg+h+m−1,k̄,n : A⊗k −→ A⊗n

Figure 2.1. 弦の相互作用。閉じた弦の相互作用を記述する簡単な物理モデルがアティヤー・シーガルの縫合公理 [4] へと発展した。

この縫合原理は、向きが同じ m 組の円のうちの幾つかだけを貼り合わせるという一般化を許します。例えば、もし j ≤ ℓ かつ j ≤ m なら、j 組の円だけを縫合して写像(2.3)

ωg,m̄,n ◦ ωh,k̄,ℓ = ωg+h+j−1,k+m−j,n+ℓ−j : A⊗k+m−j −→ A⊗n+ℓ−jを作ることができます。さらに、TQFT はコボルディズム自体の連結性を仮定してはいな
いので、互いに疎なコボルディズムを積み重ねて部分的な縫合をすれば様々な A⊗m から
A⊗n への線型写像が得られます。
ダイクグラーフは 2D TQFT と可換フロベニウス代数の間の同値性を指摘しました [19]。
この二つのものが似ていることはすぐに分かります。ベクトル空間 A にはフロベニウス代数に現れる演算(2.4)

1 = ω0,0̄,1 : K −→ A,
ϵ = ω0,1̄,0 : A −→ K,η = ω0,2̄,0 : A⊗2 −→ Km = ω0,2̄,1 : A⊗2 −→ A,δ = ω0,1̄,2 : A −→ A⊗2 ,が直ちに定義できます。m 個の円が入ってきて、n 個の円が出て行く過程が連結したコボ
ルディズムで与えられるなら、それは曲面の種数だけで決まることを前に注意しました。
つまり、コボルディズムの過程で円がどんな風につぎはぎされたかという歴史は、曲面の種数が同じである限り、最終的に得られる線型写像には反映されません。従って、コボル
ディズムの合成で得られる曲面のトポロジータイプ (g, m, n) が同じであれば、(2.4) に出てくる演算の間に関係が生じます。 例えば

ω0,1̄,0 ◦ ω0,2̄,1 = ω0,2̄,0 =⇒ ϵ ◦ m = ηが成り立ちます。これは (1.1) に他なりません。積の結合律は、種数０の向きづけられた曲面 Σ0,3̄,1 で誘導された向きの円一つと反対の向きの円が三個からなる境界を持ったものの微分同相類は一つしかないことに由来します。境界円の向きを反対にすれば余積の余結― 59 ―

12

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

合律が得られます。こうして A = Z(S 1 ) には双代数の構造が入ります。代数構造と余代数構造の双対性を成り立たせるために演算 η = ω0,2̄,0 が非退化であることを条件として課せば、A はめでたく可換フロベニウス代数になります。
逆に、有限次元の可換フロベニウス代数 A から出発して 2D TQFT を構成することもできます [1]。まず (2.4) にリストされた写像 ω0,m̄,n を A の代数演算で定義します。もっと一般の写像 ωg,m̄,n は既に作られたものから部分縫合 (2.3) を繰り返し用いて作って行きます。この方法で全ての数の組 (g, m, n) が得られるので、作られた写像はその構成からして円のコボルディズムに対応します。こうして 2D TQFT が構成できました。
この考察に基づいて、次の定義を与えましょう。
定義 2.1 (２次元位相的場の量子論). K 上有限次元のベクトル空間 A と、自明でない線型∼写像 ϵ : A −→ K 、さらに線型同形 λ : A −→ A∗ とからなる三つ組 (A, ϵ, λ) を考えましょう。A とそのテンソル積の間の写像

ωg,k̄,ℓ : A⊗k −→ A⊗ℓ ,0 ≤ g, k, ℓ,の集合 {ωg,k̄,ℓ } とが次の公理系を充すときにデータ (A, {ωg,k̄,ℓ }) は２次元位相的場の量子論であると定義します。
• TQFT 1. 対称性公理:

ωg,k̄,ℓ : A⊗k −→ A⊗ℓ

(2.5)

(2.6)

は定義域への対称群 Sk の作用で不変。
• TQFT 2. 非自明性公理:

ω0,1̄,0 = ϵ : A −→ K.

• TQFT 3. 双対性公理:
(2.7)

A⊗m
λ⊗m



(A∗ )⊗m

ωg,m̄,n A⊗n(ωg,n̄,m )∗



λ⊗n .

 (A∗ )⊗n

• TQFT 4. 部分縫合公理:(2.8) ωg,m̄,n ◦ ωh,k̄,ℓ = ωg+h+j−1,k+m−j,n+ℓ−j : A⊗k+m−j −→ A⊗n+ℓ−j ,j ≤ m, j ≤ ℓ.

注意 2.2. 既に上で注意したように、この公理系を充すベクトル空間 A には可換フロベニ
ウス代数の構造が入ります。逆に、A が可換フロベニウス代数ならば、(2.4) に列挙された
写像 ω0,m̄,n を一般の ωg,m̄,n に拡張することによって、TQFT 公理を充す函手 Z を作ることができます。

3. グロモフ－ウィッテン理論のシルエット
向きづけられた閉多様体 X のコホモロジー環 H ∗ (X, K) には自然にフロベニウス代数の構造が入ったことを思い起こしましょう。多様体が偶数次元なら、偶数次のコホモロジーだけを取り出して可換フロベニウス代数 A = H even (X, K) が得られます。それは前節で述べた対応で 2D TQFT を一つ定めます。一般次元 TQFT の役割は高次元多様体の位相不変量を取り出すことでした。私たちが目にしているのは、多様体 X の古典的位相不変量
が 2D TQFT だということです。
ここで視点を変えて、そのような X から始めてどのようにして対応する 2D TQFT が得られるのか、と問うてみましょう。もちろん、第 2 節で見たように、コホモロジー環のフロベニウス構造は自動的に 2D TQFT を定めます。でもこの代数的定式化ではコボルディ
ズムを縫い合わせるというような描像は失われてしまいます。高次元多様体 X を調べる
上で、円のコボルディズムは一体どんな役割を果たすのでしょうか？
１９９０年代の始めに晴天の霹靂のように現れた展望は、2D TQFT がさらに量子化されてグロモフ－ウィッテン理論へと発展し、それが、古典的なトポロジーの方法では捉え― 60 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

13

られない新たな量子位相不変量を構成する、というものでした。この歴史的発見は、今な
お続く弦理論と幾何学の実り多い交流の決定的な出来事の一つに数えられています。
一番原始的な弦理論は時空多様体 X の中を飛び回る弦を扱います。動く弦の軌道は、多様体 X に埋め込まれた天井裏の空調パイプのような曲がりくねったシリンダーの形をしています。弦が量子的対象ならば、その間に相互作用が生まれます。Figure 2.1 は連続する弦の相互作用の一例だと見ることができます。時間が左から右へ流れているとすると、まず三つの弦が衝突して複雑な相互作用を起こし、二つの弦を生み出します。相互作用の複雑度は左の曲面の種数が「g = 2」であることで測られます。こうして生じた二弦はさらに衝突してもっと複雑な（つまり「g = 3」の）相互作用を起こし、最終的に４個の弦に分かれてしまいます。この連続相互作用の軌道は、時空多様体 X の中に埋め込まれた７個の境界円を持つ種数６の曲面だと見ることができます。
弦理論の初期のモデルは、時空 X が弦の相互作用にどんな制限を与えるかを調べるために導入されました。この過程で、弦理論が物理理論として整合的であるための条件として、カラビ－ヤウ多様体の重要さが認識されたのです。さらに、この視点を１８０度転換することによって、物理学者たちは弦の相互作用の単純なモデルが X それ自体の全く新しい種類の位相不変量を与えうることに気づいたのでした。この新しい不変量は従来のホモロジー・コホモロジー群やホモトピー群では必ずしも捉えられるものではありません。弦
理論から得られた不変量は量子位相不変量と呼ばれています。
グロモフ－ウィッテン理論は量子弦理論のモデルに数学的に厳密な解釈を与えます。Xの中で相互作用する弦の軌道は境界付き曲面 Σg,m̄,n の写像(3.1)

f : Σg,m̄,n −→ Xによる像だと考えることができます。ちょっと話が変わりますが、X の基本群 π1 (X, x0 )は点付きループ空間)(
L(X, x0 ) = C ∞ (S 1 , ∗), (X, x0 )の連結性で定義されることを思い出しましょう。ところで、このループ空間は定められた点 ∗ ∈ S 1 を x0 ∈ X に写す円 S 1 から X への微分可能写像のモジュライ空間です。同じ精神で、グロモフ－ウィッテン不変量は Σg,m̄,n から X への写像のしかるべきモジュライ空間の古典的、つまり通常の、位相不変量として定義されるのです。弦に長さの概念が付与される場合には、その軌道 Σg,m̄,n には曲面としての計量が入ります。外空間 X が、例
えばシンプレクティック構造や複素構造、あるいはケーラー構造といった幾何構造を持つならば、写像 f は当然その定義域と値域の幾何構造に関して整合的であるべきでしょう。
実際、X がケーラー多様体なら、曲面 Σg,m̄,n にはその計量の共形類で決まる複素構造を入れて、複素解析写像 f を考えるのが自然です。ただ、こういった写像のモジュライ空間を定義しようとするまさにその時点で、私たちは技術的困難に遭遇するのです。たとえう
まくモジュライ空間を見つけられたとしても、それは従来の多様体論で扱われた対象とはかなり違ったものであることが多いので、私たちは多様体概念そのものの拡張を迫られます。したがって、そういった拡張された空間概念の古典的位相不変量を定義すること自体が、また困難な問題になってしまいます。
いろいろある困難を回避するために、ここで一番単純なケースを考えてみましょう。空間 X がただ一点だけの時を考えるのです。もちろん一点の位相構造を調べるのがポイン
トではありません。そんなの誰でも知っている。一点のグロモフ－ウィッテン理論を調べることで、私たちは理論自体の構造を知りたいのです。ちょっと考えてみれば、どんなものでも一点に写像できるので、ひょっとしたら一点というのはそんなに単純なものではな
いのかもしれません。これは物理で真空を扱うのと似ています。実際、何であれ真空に放り込むことができるので、真空の量子論はどうしたって豊かな理論になるわけです。
X = pt が一点なら、入射する弦も出て行く弦も大きさは無限小だと考えます。したがって、軌道は閉曲面になり、境界があったところにはただ曲面上の点が指定されているだけです。閉曲面の計量は自然な複素構造を定め、こうしてコンパクトリーマン面が得られます。それはさらに射影代数曲線の構造を獲得します。相互作用する弦はその過程で無限に小さくなっても構わないので、軌道には、埋め込まれた円 S 1 が点に収束し、そこからまた瞬時に大きくなっていく、というようなプロセスが含まれていることもあるでしょう。こ― 61 ―

14

O. DUMITRESCU AND M. MULASEのプロセスは複素代数幾何で代数曲線の通常二重点と呼ばれるものに当たります。局所的には、代数曲線の通常二重点は特異平面曲線{(x, y) ∈ C2 | xy = 0}の原点の近傍として定義されます。もちろん私たちはここで軌道概念を抽象的に捉えています。X = pt の中では何も動けないからです。写像の観点 (3.1) からすれば、値域が点ならどんな射影代数曲線であってもそこから一点への代数多様体としての射 f が唯一存在します。この場合、写像のモジュライ空間とは定義域のモジュライに他なりません。
後で定義するように、安定曲線とは、非特異あるいはたかだか通常二重点のみを特異点として持つ射影代数曲線で、滑らかな点が幾つかその上に指定されており、各指定点を固定するような自己同型写像が有限個しかないようなもののことをさします。 １次元複素射影空間 P1 の正則自己同型群はAut(P1 ) = P SL2 (C)で、P1 に三重可遷的に作用することを思い起こしましょう。指定点が２個までなら、その各点を固定する自己同型は無限にあります。P SL2 (C) はコンパクトで複素３次元の群なので、相異なる３点を指定し、その一つ一つを固定する P1 の自己同型を考えれば、その数は有限になります。この場合は実はたった一つしかありません。したがって３点が指定された射影直線は安定曲線です。次に楕円曲線の場合を考えてみましょう。楕円曲線 E はそれ自体可換群で、群 E の曲線 E への作用は可遷的です。この平行移動の自由度を無くす
ためには点を一つ指定すればいいのですが、その点を E の単位元とみなすことにします。
一点を固定する楕円曲線の自己同型群は有限群になります。
コンパクトリーマン面 C の種数が g = g(C) ≥ 2 なら、その正則自己同型群の位数は|Aut(C)| ≤ 84(g − 1)という上限を持つことが知られています。曲面の双曲幾何を用いればこの評価式を導くことができます。有限性だけを示すのはより簡単です。まず C の普遍非覆面は上半面

H = {z ∈ C | Im(z) > 0}であることを思い起こしましょう。したがって、C の基本群を H の自己同型群内に(3.2)

ρ : π1 (C) −→ P SL2 (R) = Aut(H)で忠実に表現すれば、C を商空間

(3.3)

∼

C −→ H/ρ(π1 (C))

として実現できます。ここで、C の正則自己同型は普遍被覆 H の自己同型に拡張できることに注意します。次に、C の連続な正則自己同型は微分することによって C 上の正則ベク
トル場 v を誘導します。ここで、閉曲面上の微分可能ベクトル場のトポロジーを思い起こしましょう。ベクトル場の０点には指数が与えられています。今の場合 v は正則なので、０点の周りでは局所的に z n d/dz と書かれます。この n が指数なのです。ベクトル場の０点の指数を全て足し合わせたものは C のオイラー標数 χ(C) = 2 − 2g < 0 に等しい、というのがトポロジーの一定理です。ところで、正則ベクトル場はもし０点を持てばその指数は正なので、その和であるオイラー標数は非負でなければなりません。これは矛盾です。
したがって C 上には正則ベクトル場は存在しません。ということは C の自己同型群は離散群ですが、コンパクト群に Aut(C) ⊂ P SL2 (C) として埋め込まれるので、|Aut(C)| の有限性が従います。
代数曲線が安定であるとは、（１）特異点としては通常二重点のみを許し、（２）C の各
既約成分 C ′ は有限個の自己同型しか持たない、ことを意味します。第２条件は、C ′ 上にある指定された滑らかな点（正則点）と特異点との合計が、もし g(C ′ ) = 0 なら３以上、g(C ′ ) = 1 なら１以上、であることと同値です。既約成分の種数が２以上なら何の条件もありません。安定領域 2g − 2 + n > 0 にあり g ≥ 0 と n ≥ 1 を充す整数の組 (g, n) について、
種数 g でその上に n 個の指定された非特異点を持つ安定曲線のモジュライ空間 Mg,n が定義されます。これは 3g − 3 + n 次元複素オービフォルドになります。一点 X = pt の量子
位相不変量は Mg,n 上の古典的な位相不変量として実現されます。ところで、今日なお全― 62 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

15ての i, g, n の値に対して H i (Mg,n , Q) を決定することはなされていません。ただ、Mg,nがモジュライ空間であるというその定義そのものからトートロジー類と呼ばれる具体的なコホモロジー類を沢山作ることができます。今なお分からないのはこうして得られるコホモロジー類にあと何を付け加えたら H i (Mg,n , Q) 全体を生成できるのかという点です。もちろんある程度小さな g のコホモロジーは知られています。ウィッテン予想 [101] とそれに続くコンツェヴィッチの定理 [67] が大きな驚きだったのは、余接類と呼ばれるトートロ
ジー類の完全な交叉関係式が全ての g と n で具体的に書ける、という点にあったのです。
ウィッテン予想のこれまでに得られた様々な証明（例えば [66, 67, 76, 77, 86, 91] 参照)の中で、[77, 86] の二つでは TQFT に見られるのとよく似た精神に基づく曲面に関する漸化式が用いられます。この漸化式によるウィッテン予想の解釈は [23] で指摘されました。
位相的漸化式とウィッテン予想の関連は [33] で詳しく扱われています。
異なる (g, n) の値をもつ Mg,n の間には簡単な幾何学的意味を持つ関係が成立します。
n 点付きの滑らかな曲線のモジュライを Mg,n で表すことにしましょう。Mg,n の境界

Mg,n \ Mg,nは特異曲線を表す点から成っています。一番簡単な特異曲線は通常二重点を一つ持ちます。
それは二つの滑らかな点が衝突して生成されたという風に記述できます。曲線の退化で特異点がどのように生成されるかを調べると、モジュライ空間 Mg,n の間には三種類の自然な射があることが分かります。その一つは安定曲線上の指定点をただ消してしまうという
忘却射

(3.4)

π : Mg,n+1 −→ Mg,nです。あとの二つは貼り合わせの射

(3.5)
(3.6)

gl1 : Mg−1,n+2 −→ Mg,ngl2 : Mg1 ,n1 +1 × Mg2 ,n2 +1 −→ Mg1 +g2 ,n1 +n2

で、Mg,n の境界成分を構成します。貼り合わせ射によって滑らかな２点が重ね合わされて通常二重点を生成します。第一の射 gl1 では一つの曲線上の２点が貼り合わされ、gl2 では異なる曲線上の２点が貼り合わされます。
次に射 π による安定曲線 (C, p1 , . . . , pn ) ∈ Mg,n でのファイバーが何かを調べてみましょう。n + 1 番目の指定点は曲線 C のどこに取ることもできるので、ファイバーは C 自体であることが分かります。したがって、π はモジュライ Mg,n をパラメター空間とする普遍曲線族になっています。もう少し詳しく見てみましょう。指定点 pn+1 を pi , i = 1, . . . , nに重ねて取るときは、Mg,n+1 の点として表されているのは C と P1 とを点 pi ∈ C のある場所で貼り合わせ、二つの指定点 pi , pn+1 を P1 上に置いた特異曲線です。この２点と通常二重点とは P1 上の３点を成しますが、前に見たように P1 上の３点はモジュライを持たな
いので、この特異安定曲線がただ一つ決まるのです。(C, p1 , . . . , pn ) にこうしてできた特異曲線を対応させて切断
σi : Mg,n −→ Mg,n+1が定義されます。これは π の右逆射です。幾何学的には、σi は (C, p1 , . . . , pn ) をファイ
バー C = π −1 (C, p1 , . . . , pn ) 上の点 pi に写します。明らかに、π ◦ σi : Mg,n −→ Mg,nは恒等射です。ファイバーの構成は (C, p1 , . . . , pn ) が特異安定曲線 C から成るときも同様
ですが、pn+1 を C の特異点に取ろうとするときにはどんな曲線がモジュライの点として対応しているのか注意が必要です。まず通常二重点を解消して局所的に曲線を非特異化します。次に元の特異点があった場所を直線 P1 で繋ぎます。最後に pn+1 を P1 上の第３点としてとるのです。したがって、切断 σj による特異曲線の像がファイバーの特異点の場
合は、それは特異点の数が一つ増えた特異曲線を表す点に対応します。忘却射は pn+1 を消すのですが、そうすると P1 成分には特異点２点しか残らないので、安定曲線にはなりません。この場合は、π は P1 成分そのものを１点に潰してしまうのです。この操作を安定化と呼びます。

― 63 ―

16

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

ケーラ多様体 X のグロモフ－ウィッテン理論 [17] はモジュライ空間�{}
Mg,n (X, β) = f : (C, p1 , . . . , pn ) −→ X � [f (C)] = βのトポロジー構造を扱います。このモジュライは、安定とは限らない通常二重点のみを持
つ n 個の滑らかな点 p1 , . . . , pn ∈ C を持った曲線 C から X への安定複素写像 f で、その像 f (C) が決めるホモロジー類があらかじめ与えられたホモロジー類 β ∈ H2 (X, Z) に一致するようなもの全体の成す空間として定義されるべきものです。ここでも写像の安定性
は自己同型の有限性として定義されます。このモジュライ空間の定義を厳密に与えることは本稿の目標とする範囲を超えてしまうので、詳しくは教科書 [17] を参照してください。
モジュライ空間が定義されたならば、それは二つの自然な射
eviMg,n (X, β) −−−−
→ X


ϕ�

Mg,n

を伴います。忘却射 ϕ は写像 f を忘れてしまい、f にその定義域 (C, p1 , . . . , pn ) の安定化を対応させます。そして、)(
evi f : (C, p1 , . . . , pn ) −→ X = f (pi ) ∈ X,
i = 1, . . . , n,

は i 番目の指定点 pi ∈ C に f のその点での値を対応させます。上に見たように、安定化とは安定でない (C, p1 , . . . , pn ) の成分一つ一つを１点に潰す操作です。実際にもしモジュラ
イ空間 Mg,n (X, β) が決定され、そのコホモロジー理論が期待通りに振る舞うなら、コホモロジー間の写像) ev∗(
H ∗ Mg,n (X, β), Q ←−−i−− H ∗ (X, Q)


ϕ! �

H ∗ (Mg,n , Q)が得られるでしょう。ここで、ϕ! はファイバーに沿っての積分で定義されるギジン写像です。もし仮に Mg,n (X, β) が多様体であったとし、また、 射 ϕ : Mg,n (X, β) −→ Mg,nがファイバー束だったなら、Mg,n (X, β) は局所的には直積で、ϕ のギジン写像 ϕ! は実際
Mg,n (X, β) のド・ラムコホモロジー類を ϕ のファイバーに沿って積分して得られたことでしょう。それなら X の任意のコホモロジー類 v1 , . . . vn ∈ H ∗ (X, Q) を選んで、グロモ
フ－ウィッテン不変量を積分
∫
)
(
X,β
GWg,n (v1 , . . . , vn ) :=ϕ! ev1∗ (v1 ) · · · ev ∗ (vn )Mg,nで定義することも可能だったはずです。しかしながら、一般のモジュライ理論ではこのギジン写像の構成を期待通りに行うことは不可能なのです。これは、モジュライ空間 Mg,n (X, β)の複雑な性質に由来します。この空間はリーマン・ロッホ理論で期待される次元とは異なる次元の成分を持つことがあるのです。その救済策として考案されたのが、期待値と同じ次元を持つ仮想基本類 [Mg,n (X, β)]vir の構成によって ϕ! の使用を回避し、グロモフ－
ウィッテン不変量を
∫
X,β
(3.7)
GWg,n (v1 , . . . , vn ) :=ev1∗ (v1 ) · · · ev ∗ (vn )[Mg,n (X,β)]virとして定義する流儀です。教科書 [17] でその詳細を勉強することができます。
さて、A = H even (X, Q) はフロベニウス代数であることを思い起こしましょう。グロモ
フ－ウィッテン理論は [Mg,n (X, β)]vir という巨大なブラックボックスを経て定義されるのですが、私たちが望んでいるのは写像Ωg,n : H even (X, Q)⊗n −→ H ∗ (Mg,n , Q)

― 64 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

17

で、その Mg,n での積分が X の量子不変量を与えてくれるようなものです。グロモフ－
ウィッテン不変量の充すべき性質とは何なのでしょうか？その性質を写像 Ωg,n の公理系として定式化し、そのことでグロモフ－ウィッテン不変量を特徴づけることはできないものでしょうか？これがコンツェヴィッチとマニンによるコホモロジー的場の理論の導入 [68]の動機の一つだったのです。以下で見るように、2D TQFT は CohFT の特殊な場合として得られます。CohFT をその TQFT への制限から再構成するというギヴェンタルとテレマンの素晴らしい理論 [53, 99] は、[3, 39, 44, 73] などに見られる最近の様々な発展の基礎となっています。その幾つかは位相的漸化式とも深く繋がっているのです。

4. コホモロジー的場の理論
代数曲線のモジュライ空間はリーマンの１８５７年の論文 [95] で代数曲線の双有理同値類のパラメター空間として導入されました。「モジュライ」という用語もリーマンによるものです。彼はまたモジュライ空間の点が周期行列として捉えられることも示しました。
時代が降り、１９５０年代の小平・スペンサーの複素構造の変形理論を通して無限小のレ
ベルではモジュライ空間とは何であるかが次元によらず理解されるようになりました。大
域的な概念としてのモジュライ空間は曲線の場合に Mg を代数的スタックとして定義した[18] で確立されました。ひとたびモジュライの概念が確定すれば、その位相構造を問うことが可能になります。それでも、点付き曲線のモジュライがネットワークを形成し、それによって帰納的に Mg,n の位相構造を調べることができるというアイディアに到達するま
でに数学界はさらに数十年を費やしたのでした。
ピクストン [94] に従って安定グラフを導入しましょう。この名前は「安定曲線の双対グラフ」に由来します。安定グラフ γ = (V, E, L) は頂点の集合 V と辺の集合 E 、それに足の集合 L が加わった三つの集合の間の隣接関係に幾つかの条件がつけられたものとして定義されます。各辺は二つの頂点を結びます。この２点は同一点でもいいので、辺はループを成すことも許されます。２頂点は二本以上の辺で結ばれることも可能です。各頂点 v ∈ Vには種数と呼ばれる非負整数 g(v) が与えられます。足は幾つかの頂点から出る線分です
が、その終点は頂点には数えません。頂点 v から出る足の数とその頂点の次数（隣接する半辺の数）との合計を n(v) で表します。グラフの安定性条件とは、各頂点で不等式

2g(v) − 2 + n(v) > 0(4.1)

が成立すること、と定めます。1 次元位相空間としてのホモロジー群 Hi (γ, Q), i = 0, 1 の次元を hi (γ) で表します。
{∑
g = v∈V g(v) + h1 (γ)(4.2)
n = |L|が成り立つ時安定グラフ γ のタイプは (g, n) であるということにします。それは算術種数g で n 個の指定点を持った安定曲線を表します。その曲線には |V | 個の規約成分があり、頂点 v ∈ V に対応する規約成分の幾何種数は g(v) で与えられ、各成分は |E| 個の通常二重点で繋がれています。足はどの規約成分に指定点が置かれているかを表しています。２頂点 v, w ∈ V を結ぶ辺は対応する二つの規約成分の交点として作られる通常二重点を表します。また、ループは規約成分が自分自身と交わる時に生じます。
5

5

5

1

4

3

3

0

1

1

Figure 4.1. タイプ (12, 3) の安定グラフ。矢は安定曲線の退化を示す。辺縮約
変換は矢を逆に辿ることを意味する。ある頂点に付随するループが縮約されると、その頂点の種数は 1 増える。２頂点間の辺の縮約では種数は加算される。

― 65 ―0

18

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

種数 g で n 個の指定点を持った滑らかな曲線にはたった一つの頂点に種数 g と n 本の足が付与された安定グラフが対応します。曲線上に特異点がないので、このグラフには辺がありません。一般に、安定グラフの辺の数 |E| は対応する安定曲線が属する Mg,n 境界
滑層の余次元を表します。従って、タイプ (g, n) の安定曲線が持ちうる辺の数の最大値は3g − 3 + n です。グラフ γ のオイラー標数は

h0 (γ) − h1 (γ) = 1 − g

なので、頂点数の最大値は 2g − 2 + n で与えられます。この場合、各頂点 v ∈ V は種数 0で、常に n(v) = 3 が成り立ちます。

0

0

0

2

0

0

0

Figure 4.2. タイプ (2, 3) の安定グラフ。頂点数を最大にする退化と、頂点数１のままで種数を０にする退化とを示す。

同じタイプの安定曲線の成すネットワークは辺縮約変換で繋がっています。次節で私たちはセルグラフの辺縮約を扱います。同じ辺縮約といっても、セルグラフに適応された場
合と安定グラフの場合とではその性格にかなりの違いがあります。安定グラフでは辺は安定曲線の通常二重点を表すので、その縮約は特異点を生み出した退化の過程を逆方向に辿ることに対応します。Figure 4.1 に示すように、安定グラフ γ = (V, E, L) の２頂点 v と wとを繋ぐ辺を縮約する場合には、新しくできた頂点には種数 g(v) + g(w) が割り当てられます。頂点 v に隣接するループを縮約すると、v の種数は１増えます。タイプ (g, n) のどのグラフも全ての辺を縮約してしまえば滑らかな曲線に対応するグラフが得られます。従って同じタイプの安定グラフのネットワークは辺縮約の作用でつながっているわけです。
定義 4.1 (コホモロジー的場の理論 [68]). 基底 {e1 , . . . , er } を持つ有限次元可換フロベニ
ウス代数 A を一つ固定します。安定領域 2g − 2 + n > 0 に属する指数 (g, n) について定義された線型写像Ωg,n : A⊗n −→ H ∗ (Mg,n , K)

(4.3)

の成すシステム (A, {Ωg,n }) がコホモロジー的場の理論であるとは、このシステムが次の公理系を満たすことと定めます。

Ωg,n は Sn 不変で、Ω0,3 (v1 , v2 , v3 ) = η(v1 v2 , v3 ).

CohFT 0:Ωg,n+1 (v1 , . . . , vn , 1) = π ∗ Ωg,n (v1 , . . . , vn ).
∑CohFT 2: gl1∗ Ωg,n (v1 , . . . , vn ) =Ωg−1,n+2 (v1 , . . . , vn , ea , eb )η ab .

CohFT 1:a,bgl2∗ Ωg1 +g2 ,|I|+|J| (vI , vJ ) =CohFT 3:∑a,b

η ab Ωg1 ,|I|+1 (vI , ea ) ⊗ Ωg2 ,|J|+1 (vJ , eb ),ここで I ⊔ J = {1, . . . , n} は指数集合の分割を表し、右辺のテンソル積はコホモロジー環のキュネット公式による同型
H ∗ (Mg ,n +1 × Mg ,n +1 , K) ∼= H ∗ (Mg ,n +1 , K) ⊗ H ∗ (Mg ,n +1 , K)
1

1

2

2

1

1

2

2

で左辺と同一視します。

注意 4.2. 条件 Ω0,3 (v1 , v2 , v3 ) = η(v1 v2 , v3 ) はフロベニウス代数の積構造がグロモフ－
ウィッテン不変量の (0, 3) 値で決まることを示します。

― 66 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

19

注意 4.3. 貼り合わせ射の条件は、貼り合わせによってできた特異点にフロベニウス代数の単位元 1 を与え、特異点を生ずる前の二つの正則点に (1.10) を割り振ったものと同一視する、というものです。安定グラフの言葉で言い換えると次のようになります。タイプ(g, n) のグラフで辺を一つだけ持ったものを考えましょう。まずこの辺に単位元 1 を割り当て、そしてその辺を切断します。切断によって新たに足が二本追加されます。この辺切断の過程は、安定曲線の唯一の特異点を解消し、得られた正則点２点を指定点に追加する
ことに対応します。次に δ(1) を新たな二本の足に割り当てます。こうして得られた値をΩg,n の貼り合わせの射による引き戻しと同一視するのです。
命題 4.4 (2D TQFT が CohFT の例であること). 2D TQFT は H 0 (Mg,n , K) に値を取る
CohFT です。2D TQFT (A, ωg,m̄,n ) を一つ取りましょう。すると、ωg,n = ωg,n̄,0 は CohFT
公理を充します。ここで、K = H 0 (Mg,n , K) と同一視します。
証明. Mg,n は連結なので、三種類の射 (3.4) と (3.5) と (3.6) とは全て 0 次コホモロジーの同型を引き起こします。従って、公理 CohFT 1–3 はより簡単な

(4.4)
(4.5)

ωg,n+1 (v1 , . . . , vn , 1) = ωg,n (v1 , . . . , vn ),∑ωg−1,n+2 (v1 , . . . , vn , ea , eb )η ab ,ωg,n (v1 , . . . , vn ) =
a,b

(4.6)

ωg1 +g2 ,|I|+|J| (vI , vJ ) =∑a,bη ab ωg1 ,|I|+1 (vI , ea ) · ωg2 ,|J|+1 (vJ , eb )に帰着されます。証明したいのは、ωg,n = ωg,n̄,0 を仮定すると、(4.4)-(4.6) が TQFT の部
分的縫合公理 (2.8) の帰結として導かれるということです。
ω0,0̄,1 = 1 なので、 (2.8) から

ωg,n+1,0 ◦(n+1) ω0,0̄,1 = ωg,n̄,0 = ωg,n : A⊗n −→ Kが従います。すなわち (4.4) です。ここで、◦(n+1) は ωg,n+1,0 の独立変数の (n + 1) 番目の場所で合成をすることを表します。次に、ω0,0̄,2 : K −→ A ⊗ A を決めねばなりません。
∑
ω0,0̄,2 = ω0,1̄,2 ◦ ω0,0̄,1 なので、ω0,0̄,2 (1) = δ(1) = a,b η ab ea ⊗ eb と計算されます。改めて◦(n+1,n+2) で最後の二つの変数での合成を取ることを表すとすると、(4.5)、すなわち

ωg−1,n+2,0 ◦(n+1,n+2) ω0,0̄,2 = ωg,n̄,0 : A⊗n −→ Kが得られます。もし互いに疎な変数の集合 vI と vJ とが与えられたならば、ω0,0̄,2 との合成を二つの異なる写像に作用させて、()
ωg1 ,|I|+1,0 ⊗ ωg2 ,|J|+1,0 ◦ ω0,0̄,2 = ωg1 +g2 ,|I|+|J|,0 : A⊗(|I|+|J|) −→ Kが得られます。これは (4.6) です。
ここで、線型写像
ωg,m+n : A⊗m ⊗ A⊗n −→ K

は A⊗m −→ (A∗ )⊗n と同値であることに注意します。従って ωg,m̄,n を from ωg,m+n から

(4.7)

A⊗m
∥



A⊗m

ωg,m+n (A∗ )⊗n(λ−1 )⊗nωg,m̄,n

 A⊗n


∥

 A⊗n

∼

を用いて再構成できます。ここで、λ : A −→ A∗ は同型 (1.3) です。g = 0、m = 2、n = 1の場合に (4.7) を当てはめれば、

λ−1 ω0,3 (v1 , v2 , · ) = ω0,2̄,1 (v1 , v2 ) = v1 v2が全ての v1 , v2 ∈ A に対して成り立ちます。すなわち、(4.8)

ω0,3 (v1 , v2 , v3 ) = η(v1 v2 , v3 ) = ϵ(v1 v2 v3 )― 67 ―

20

O. DUMITRESCU AND M. MULASE□が成立します。これで証明が完了します。
逆に CohFT を０次コホモロジーに制限したものは 2D TQFT です。

命題 4.5 (CohFT の０次コホモロジーへの制限). フロベニウス代数 A 上の CohFT (A, Ωg,n )を一つ固定します。フロベニウス代数 A 自体一つの 2D TQFT(A, ωg,m̄,n ) を定めます。 今r : H ∗ (Mg,n , K) −→ H 0 (Mg,n , K) = K
でコホモロジー環からその０次部分への制限を表し、

ωg,n = r ◦ Ωg,n : A⊗n −→ K

(4.9)

と定義しましょう。この時、写像間の等式(4.10)

ωg,n = ωg,n̄,0 : A⊗n −→ Kが 2g − 2 + n > 0 の範囲の (g, n) について成立します。すなわち、CohFT の０次コホモ
ロジーへの制限はフロベニウス代数 A で定められた 2D TQFT に一致します。
証明. 私たちはすでに (A, ωg,m̄,n ) が H 0 (Mg,n , K) に値を持つ CohFT を定めることを上に見ました。証明したいのは、この CohFT が、私たちが出発した与えられた CohFT の０次部分への制限と一致していることです。まず、ωg,n を非安定領域へ(4.11)

ω0,1 = ϵ : A −→ K,ω0,2 = η : A⊗2 −→ K

として拡張します。(2.4) と (4.11) とから (4.10) が ω0,1 と ω0,2 については成立することが分かります。一般の場合の (4.10) は 3g − 3 + n に関する数学的帰納法で証明されます。こ
こで、ω0,3 の定義が正しくなされていることが肝心です。これは (4.5) と (4.6) とが ωg,n を
3g − 3 + n がより小さいような g と n とから帰納的に定義していることによります。実際• Case of (4.5): 3g − 3 + n = [3(g − 1) − 3 + (n + 2)] + 1,
• Case of (4.6): 3(g1 + g2 ) − 3 + |I| + |J| = [3g1 − 3 + |I| + 1] + [3g2 − 3 + |J| + 1] + 1

なので、帰納的定義では右辺の複雑度 3g − 3 + n が常に 1 だけ小さくなっています。
最後に、M0,3 が一点であることを思い起こしましょう。これは前に Aut(P1 ) を調べた
時に注意しました。従って、コホモロジーは０次元だけなので、ω0,3 = Ω0,3 が成り立ちます。よって(4.12)

ω0,3 (v1 , v2 , v3 ) = η(v1 v2 , v3 )が成立し、(4.10) は全ての (g, n) について正しいことが分かります。こうして証明が完成□しました。
注意 4.6. すでに私たちは 2D TQFT が、(1) 可換フロベニウス代数 A、(2) TQFT 公理系を充す写像のシステム {ωg,m̄,n }、のどちらを使っても同じように定義されることを見ました。上述した二つの命題はさらに(3) CohFT の０次部分 (A, ωg,n )が同様に 2D TQFT を与えることを示しています。以下では最も扱いやすい (A, ωg,n ) を用いて 2D TQFT を表すことにします。
命題 4.7. 2D TQFT の種数０の値は(4.13)

ω0,n (v1 , . . . , vn ) = ϵ(v1 · · · vn )で与えられます。
証明. これは CohFT 3 と (1.9) とからの直接の帰結です。

― 68 ―□

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

21

TQFT[4, 97] のもともとの目的の一つは閉多様体 N の位相不変量 Z(N ) を同定することでした。２次元の場合には種数 g の向きづけられた閉曲面 Σg の位相不変量が()(4.14)Z(Σg ) := ϵ λ−1 (ωg,1 )∼として得られます。ここで ωg,1 : A −→ K は A∗ の元で、λ : A −→ A∗ は (1.3) で与えた自然な同型です。
命題 4.8. 位相不変量 (4.14) は (1.12) で定義したオイラー元 e ∈ A を用いてZ(Σg ) = ϵ(eg ),(4.15)と計算されます。
補助定理 4.9. オイラー元は次の式でも与えられます。

e := m ◦ δ(1) = λ−1 (ω1,1 ).

(4.16)
証明. これはω1,1 (v) =∑ω0,3 (v, ea , eb )η ab =a,b∑η(v, ea eb )η ab = η(v, e)a,bが全ての v ∈ A で成り立つことから従います。

□

命題 4.8 の証明. g = 1 の場合は上の補助定理から (4.15) の成立が分かります。一般には∑
ωg,1 (v) =ωg−1,3 (v, ea , eb )η ab
a,b

=

∑

ω0,4 (v, ea , eb , ei )ωg−1,1 (ej )η ab η ij

i,j,a,b=∑η(vea eb , ei )ωg−1,1 (ej )η ab η ij

i,j,a,b=∑η(ve, ei )ωg−1,1 (ej )η ij

i,j= ωg−1,1 (ve)= ω1,1 (veg−1 )= η(veg−1 , e) = η(v, eg )なので種数に関する数学的帰納法が使え、証明が完了します。

□

位相幾何学的には、種数 g の閉曲面は g 個の入力境界円を持った種数０の曲面に g 個の種数１で１個の出力円を持った曲面を縫い合わせて構成されます。オイラー元は種数１で一つだけ出力円を持った曲面の出力値なので、それを入力させて同じ結果
g� �� �
Z(Σg ) = ω0,g (e, . . . , e)を得ることができます。
定理 4.10. 2D TQFT の値は(4.17)
で与えられます。

ωg,n (v1 , . . . , vn ) = ϵ(v1 · · · vn eg )証明. 命題 4.8 の証明と同じ方法で

ωg,n (v1 , . . . , vn ) = ω1,n (v1 eg−1 , v2 , . . . , vn )∑=
ω0,n+2 (v1 eg−1 , v2 , . . . , vn , ea , eb )η aba,b= ϵ(v1 · · · vn eg )― 69 ―

22

O. DUMITRESCU AND M. MULASE□が得られ、証明が完了します。

注意 4.11. モジュライ空間 Mg,n は連結で、その０次コホモロジー群をどの次元の連結境界滑層に制限しても同型なので、ωg,n を計算するのに一番都合の良い安定グラフを使うことができます。例えば、Figure 4.2 の右端のグラフを用いてみましょう。それは種数０の頂点一つを持ち、それに n 個の足と g 個のループが付けられています。ループの一つ一つにフロベニウス代数の単位元 1 を付与し、ループをその中央で切断します。その効果を
CohFT 2 と (4.13) とを用いて計算すれば、やはり同じ結果 (4.17) が得られます。

5. セルグラフの圏
上述した 2D TQFT の構成では、積と余積の演算は三つの境界円を持った種数０の向きづけられた曲面に対応付けられました。本節ではすべての有限次元のフロベニウス代数の情報を含む対象としてリボングラフの圏を導入します。不必要な混乱を避けるため、リボングラフの代わりに本稿ではセルグラフという用語を使います。リボングラフは位相曲面。私たちが曲面上のグラの複素構造を統一して表現するのに向いています（[67, 81] 参照）
フを使うのは安定曲線の退化を表すためであり、また、リボングラフの時のように各面を指定するのではなく、各頂点を指定するのです。
定義 5.1 (セルグラフ). 種数 g の向きづけられた境界のないコンパクト連結位相曲面の単体分割の 1-切片（1-スケルトン）のことを位相タイプ (g, n) を持つ連結セルグラフと呼びます。ここで、n は順序付けられた０次元単体の数を表します。グラフ理論での呼び名に従って、０次元単体を頂点、１次元単体を 辺、２次元単体を面と呼びます。タイプ (g, n)の連結セルグラフすべての集合を Γg,n で表します。各辺はその中点で二つの半辺が繋がったものと考えます。
注意 5.2.
• リボングラフ、あるいはグロタンディークのデッサン・ダンファンの双対がセルグラフです。セルグラフで頂点に順序を与えることは、リボングラフで各面を順序付けることに対応します。リボングラフは埋め込まれたグラフ（embedded
graph）や地図（map）などと呼ばれることがあります。
• 二つの曲面の位相同型が一つの単体分割をもう一つの単体分割に移し、０次元単体の順序を保つ時、二つのセルグラフを同一視することにします。セルグラフの自己同型は従って各頂点の周りでの半辺の巡回群の直積の元に限られます。
定義 5.3 (有向セルグラフ). セルグラフが有向グラフでもある時、有向セルグラフと言います。有向グラフとは各辺に矢印がつけられたグラフです。それは辺をなす二つの半辺に
Γg,n で表します。
順序を入れることと同じです。タイプ (g, n) の有向セルグラフの全体を ⃗注意 5.4. 有向セルグラフは箙の一種です。箙自体が向きづけられた曲面上に描かれているので、その分の情報が付加されています。

n 個の頂点を順序付けるのに普通は n-集合[n] := {1, 2, . . . , n}を用いますが、n 元からなるどんな全順序集合を用いても同じです。頂点を名付ける理由
は各頂点に K-ベクトル空間 A の元を付与するためです。本稿ではセルグラフ γ ∈ Γg,n が
線型写像

(5.1)

Γg,n ∋ γ : A⊗n −→ Kを与える場合のみを考慮しますが、[36] で扱われるような場合には写像 γ の値域をもっと一般にすることも必要となります。
辺縮約変換は漸化式を通して様々なグラフの数え上げに有効な手段を与えます。私たちは、同じ辺縮約変換に代数的な意味を与えることを考えます。
定義 5.5 (辺縮約変換). セルグラフには次の二つの種類の辺縮約変換が作用します。

― 70 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

23−→⃗ = pi pi• ECO 1: セルグラフ γ ∈ Γg,n に図 5.1 のような pi から出て pj に至る有向辺 E⃗が含まれているならば、γ の中で E を縮約して、pi を pj に重ねることができます。
ラベル i を新しい頂点に与え、それをまた pi と呼ぶことにします。こうして頂点数が一つ少ないグラフ γ ′ ∈ Γg,n−1 が得られます。このプロセスではグラフが描かれた曲面の位相は変わらないので、種数も保たれます。

E
p

p

i

p

j

i

Figure 5.1. 辺縮約変換 ECO 1。異なる２点 pi と pj とを結ぶ辺が一点 pi に縮約されている。

⃗ を用いて縮約作用• 辺と同じ記号 E⃗ : Γg,n ∋ γ �−→ γ ′ ∈ Γg,n−1(5.2)
Eを表します。
⃗ になっ• ECO 2: グラフ γ ∈ Γg,n の頂点 pi から出る向きづけられた辺がループ Lているとしましょう。曲面の単体分割の１-切片に含まれたループは位相的サイクルなので、それを縮約すれば曲面の位相構造が必然的に変化します。まず曲面上の⃗ の矢印が上向きになるように曲面を置きます。pi の周りで点 pi の近傍でループ L⃗⃗ に属さない pi に繋がった半辺も同L は近傍を左右二つの領域に分割するので、L⃗ を縮約するに当たって、pi を２点
じように左右二つのグループに分けられます。L
pi1 と pi2 とに分離し、ループに関して左側の半辺は pi1 に繋がり、右側のものはpi2 に繋がるようにします。こうしてできたグラフ図 5.2 を γ ′ で表しましょう。

p

i

p

i1

L

p

i2

⃗ の場合。頂点 pi の周Figure 5.2. 辺縮約変換 ECO 2。縮約される辺がループ L
りでループの矢印が上向きになるようにする。pi は左側の pi1 と右側の pi2 とからなる新しい２頂点に分離する。pi に繋がっていた半辺は左右どちらかの新頂点に繋がる二つのグループに分けられる。

⃗ をハンドルループと呼び• もし γ ′ が連結ならそれは Γg−1,n+1 に属します。ループ L⃗ で辺縮約変換ます。同じ記号 L⃗ : Γg,n ∋ γ �−→ γ ′ ∈ Γg−1,n+1(5.3)
Lを表します。
• もし γ ′ が連結でないなら、種数 g と頂点 pi の補集合の分割{
g = g1 + g 2(5.4)
I ⊔ J = {1, . . . , �i, . . . , n}(5.5)

が存在して、γ ′ = (γ1 , γ2 ) ∈ Γg1 ,|I|+1 × Γg2 ,|J|+1 となります。辺縮約変換を同じ記号⃗ : Γg,n ∋ γ �−→ (γ1 , γ2 ) ∈ Γg ,|I|+1 × Γg ,|J|+1
L1― 71 ―

2

24

O. DUMITRESCU AND M. MULASE⃗ を切断ループと呼びます。ラベルの集で表すことにします。この場合、ループ L
合 I に属する頂点は種数 g1 の連結成分をなし、J でラベルづけられた頂点は種数
g2 の連結成分に属します。(I− , i, I+ ) (あるいは (J− , i, J+ )) で I ⊔ {i} を (あるいは J ⊔ {i} を) 増加する順に並べ替えたものとしましょう。pi を分離した後 i1 , i2という二つのラベルを与えましたが、それは二つの相異なるグラフに属するので、
pi1 ∈ γ1 のラベルにも pi2 ∈ γ2 のラベルにも全く同じ i を与えることができます。
⃗ の矢印は２頂点 pi and pi の順序に翻訳されたわけです。
ループ L
1
2
注意 5.6. グラフ γ ∈ Γg,n の複雑度を表す量 m(γ) = 2g − 2 + n を導入しましょう。辺
縮約変換は、どのタイプであれ複雑度 m(γ) を丁度 1 だけ減らすことがわかります。実際
ECO 1 なら、m(γ ′ ) = 2g − 2 + (n − 1) = m(γ) − 1となります。また、ECO 2 をハンドルループに作用させるなら

m(γ ′ ) = 2(g − 1) − 2 + (n + 1) = m(γ) − 1となり、切断ループの場合には+)

2g1 − 2 + |I| + 1
2g2 − 2 + |J| + 1
2g1 + 2g2 − 4 + |I| + |J| + 2 = 2g − 2 + n − 1となるので、確かに複雑度は１だけ減少しています。
有向セルグラフを導入する動機は非可換フロベニウス代数を扱うためです。共通部分を持たない二つの集合の和集合を取る操作は対称的です。したがって、2D TQFT は必然的に可換フロベニウス代数を与えます。有向グラフを用いる私たちの定式化の利点は非可換
フロベニウス代数とその非可換テンソル積を扱うことができる点にあります。
以下では、理論展開を簡単なものに保つため、矢印なしのセルグラフだけを扱います。
従って私たちは通常の 2D TQFT と可換フロベニウス代数だけを回復することになります。
一般論は [36] で展開される予定です。
いよいよセルグラフの圏の導入に進むことにしましょう。私たちがこれから展開する話で一番型破りなのは、セルグラフ間の射として単体写像を採用しない点ではないかと思われます。セルグラフ γ から γ ′ への単体写像 f : γ −→ γ ′ とは１次元単体複体の間の単体構造を保つ写像のことであることを思い起こしましょう。写像 f は γ の頂点を γ ′ の頂点に写し、γ の辺は γ ′ の辺あるいは頂点に元の繋がり具合を保つように写します。特に、単体
写像はセルグラフが描かれた曲面の位相から誘導されるセルグラフ自体の位相に関して連続です。
定義 5.7 (セルグラフの圏). 次の要領でセルグラフの圏 CG を定義します。

• 圏 CG の対象の集合はセルグラフ全体の集合⨿(5.6)
Ob(CG) =Γg,ng≥0,n>0と定めます。
• セルグラフ間の射 f ∈ Hom(γ, γ ′ ) は辺縮約変換とセルグラフの自己同型の有限個の合成写像として定義します。特に Hom(γ, γ) = Aut(γ) です。もし辺の縮約と自己同型の合成とで γ を γ ′ に変換することができないならば、たとえセルグラフ間に単体写像があったとしても、Hom(γ, γ ′ ) = ∅ と定義することにします。
注意 5.8. 三つ組 (CG, ⊔, ∅) は対称モノイド圏を為します。
注意 5.9. セルグラフの自己同型と ECO １とは単体写像ですが、ECO 2 はそうではありません。ECO 2 を合成成分に含む射は一般には単体写像ではありません。連続写像です
らないのです。

― 72 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

25

例 5.10. ここで射の例を幾つか与えます。頂点の集合は順序付けられており、自己同型は順序を保つことに注意します。

Hom (•, •) = {id}.
()
Hom •, • • = ∅.

(5.7)
(5.8)

E 1 E2Hom(• • •, • •) = {E1 , E2 }.

(5.9)

E 1 E2Hom(• • •, •) = {E1 E2 = E2 E1 }.
()
E1
Hom •⃝•, •⃝ = {E1 , E2 = σ(E1 )}.

(5.10)(5.11)(

E2
E1

Hom •⃝•, • •(5.12)E2)= {E1 E2 = E2 E1 }.

例 (5.10) では、合成射 E1 E2 := E1 ◦ E2 と E2 E1 := E2 ◦ E1 とは同じものです。これは両者とも同じ結果 • • • → • • → • を引き起こす事から分かります。例 (5.11) と (5.12)の左側のセルグラフは E1 と E2 を入れ替える自己同型を持っています。それは辺縮約変換
としての等式 E2 = E1 ◦ σ = σ(E1 ) を誘導します。例 (5.11) には 2 : 1 の被覆写像があるE1

事に注意しましょう。この単体被覆写像は •⃝• の辺 E1 と E2 とを •⃝ のたった一つのルーE2プに写し、また、左のグラフの二つの頂点を右のグラフの唯一の頂点に写します。この写像は辺縮約変換ではないので、セルグラフ間の射ではありません。例 (5.12) の射は連続写像ではないので、単体写像ではありません。
記号 Vect で K 上の有限次元ベクトル空間のなす圏を表します。三つ組C = (Vect, ⊗, K)

はモノイド圏になります。簡単のため、私たちは対称テンソル積のみを考慮しているので、C は対称モノイド圏です。Vect の K-対象とはベクトル空間 V と線型写像 ϵ : V −→ K の組 (V, ϵ : V −→ K) の事を指します。Vect の K-対象の為す圏を Vect/K で表します。この圏は唯一の終対象 (K, id : K −→ K) を持つので、()
C/K = Vect/K, ⊗, (K, id : K −→ K)
はまたモノイド圏になります。モノイド圏 C/K の自己函手圏をFun(C/K, C/K)

(5.13)

で表す事にしましょう。これはモノイド函手 α : C/K −→ C/K をその対象とし、モノイ
ド函手間の自然変換を射とする圏です。その関係を可換図式を用いて

V

h



α(h)

W

β(f )
β(h)



K
g

 β(V )

α(f )

f



τ

α(V )

α(g)

K



τ

α(W )

τ


 β(W )


K

β(g)

と表す事ができます。ここで、左側の三角形は C/K の二つの対象 (V, f : V −→ K) と(W, g : W −→ K) と、その間の射 h を示します。右側のプリズム型の図式はその三角形の二つのモノイド自己函手 α と β による像

V �−→ α(V ),V �−→ β(V )― 73 ―

26

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

W −→ α(W ),W −→ β(W )と、それらの間の自然変換 τ : α −→ β を表しています。自己函手圏 Fun(C/K, C/K) の
終対象は

ϕ : (V, f : V −→ K) −→ (K, idK : K −→ K)(5.14)

で、それは定義域 C/K の全ての対象を C/K の終対象に写す自己函手です。

定義 5.11 (自己函手圏のモノイド圏構造、 [36]). 自己函手圏 Fun(C/K, C/K) に、テンソ
ル積と自己函手終対象 (5.14) を単位対象として再びモノイド圏構造を導入します。

注意 5.12. 任意の圏 C の自己函手圏 Fun(C, C) は自然に函手の合成と恒等函手とによってモノイド圏を為しますが、ここで私たちが扱うモノイド圏の構造はそれとは全く違うものであることに留意してください。本稿では自己函手圏 Fun(C/K, C/K) は常に定義 5.11で与えられたモノイド圏の構造を入れたものとして扱います。
定義 5.13 (ECO 函手、[36]). ECO 函手を、モノイド函手

ω : CG −→ Fun(C/K, C/K)

(5.15)

であって次の条件を充すものとして定義します。
• 頂点一つだけで辺を全く含まないグラフ • ∈ Γ0,1 は恒等函手

ω(•) = id : C/K −→ C/K(5.16)に対応します。
• 各グラフ γ ∈ Γg,n は函手

ω(γ) : (V, ϵ : V −→ K) −→ (V ⊗n , ωV (γ) : V ⊗n −→ K)(5.17)に対応します。
• 射としての辺縮約変換は函手の間の自然変換に対応します。

ここで、フロベニウス対象の定義を与えましょう。

定義 5.14 (フロベニウス対象). 対称モノイド圏 (C, ⊗, K) のフロベニウス対象とは、対象
V ∈ Ob(C) と射

m : V ⊗ V −→ V,

1 : K −→ V,δ : V −→ V ⊗ V,

ϵ : V −→ Kの組 (V, m, 1, δ, ϵ) であって、次の条件を充すものとして定義されます。
• (V, m, 1) は C のモノイド対象を為します。
• (V, δ, ϵ) は C の余モノイド対象を為します。
さらに、射 m と δ とは両立条件 (1.7)
id⊗δ

V ⊗V

m

δ⊗id

を充します。

V ⊗ V ⊗V
V


m⊗id
δ


 V ⊗V

id⊗m

V ⊗V ⊗V

私たちは Vect の K-対象からなるモノイド圏を考えているので、アプリオリには V の中に 1 という概念は含まれていません。射 1 : K −→ V の存在は非退化条件を要求します。次の定理は [36] で証明されました。
定理 5.15 (フロベニウス対象の生成、 [36]). 剛性モノイド圏 C/K の対象 (V, ϵ : V −→ K)
は、函手 ωV (• •) : V ⊗ V −→ K が V 上に非退化対称双線型形式を定めるとき、フロベ
ニウス対象となります。

― 74 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

27

6. セルグラフから 2D TQFT へ
第 4 節の結果から、2D TQFT はフロベニウス代数 A と、全ての g ≥ 0、n ≥ 1 について与えられた線型写像(6.1)

ωg,n : A⊗n −→ Kの組 (A, ωg,n ) で然るべき条件を充すものとしても定義されることが分かります。その条件とは次にようなものでした。まず、2g − 2 + n > 0 のとき (A, ωg,n ) は CohFT の公理を充します。さらに、条件
ω0,1 = ϵ : A −→ K,(6.2)
ω0,2 = η : A ⊗ A −→ Kを課します。この節では、2D TQFT の全く別の新しい定式化を与えます。私たちのアイ
ディアはセルグラフを基にした別の公理系を与えることです。最終目標は、2D TQFT、
CohFT、ミラー対称性、位相的漸化式、量子曲線といった概念を統一的に関連付けて捉えることにあります。量子曲線は本稿の第２部で導入されます。上に述べた関連は [36] で展開される予定です。
定理 6.1 (グラフ不変性、 [32]). 今、(A, ϵ : A −→ K) が定義 5.13 で与えられた ECO 函手ω に関してフロベニウス対象であるとしましょう。この時、全ての連結セルグラフ γ ∈ Γg,nは常に同じ写像(6.3)

ωA (γ) : A⊗n ∋ v1 ⊗ · · · ⊗ vn �−→ ϵ(v1 · · · vn eg ) ∈ Kを引き起こします。ここで、e は (1.12) で与えられたオイラー元です。
系 6.2 (ECO は 2D TQFT を導く). 任意の γ ∈ Γg,n によって

ωg,n (v1 , . . . , vn ) = ωA (γ)(v1 , . . . , vn )と定義すれば、{ωg,n } は 2D TQFT を与えます。

証明. 写像 (6.3) の値は (4.17) と同じなので、{ωg,n } は 2D TQFT を与えるのです。

□

それでは定理 6.1 の証明に移りましょう。まずグラフ不変性の三つの例を与えることから始めます。

Figure 6.1. 円盤の境界に置かれた辺の除去。

補助定理 6.3 (円盤の境界上の辺の除去). セルグラフ γ ∈ Γg,n を一つとります。
• Case 1. 円盤を囲むループ L が γ に含まれている場合。γ から単純にループ L を取り除いたグラフを γ ′ ∈ Γg,n で表します。私たちはループを縮約しているわけではないので、グラフのタイプは変わりません。
• Case 2. グラフ γ の相異なる２頂点 pi 、pj が円盤を囲む２辺 E1 と E2 の境界を為す場合。 辺 E2 を γ から消し去ったグラフを γ ′ ∈ Γg,n で表します。ここでも、E2を縮約しているわけではありません。
• Case 3. γ 内の互いにイソトープな二つのループ L1 、L2 が頂点 pi に繋がっている場合。ループ L2 を γ から取り除いたグラフを γ ′ ∈ Γg,n で表します。
図 6.1 を参照してください。上のどの場合でも、(6.4)

ωA (γ)(v1 , . . . , vn ) = ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vn )が成り立ちます。

― 75 ―

28

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

証明. Case 1. 頂点 pi に繋がったループ L の縮約は、非連結なグラフ (γ0 , γ ′ ) ∈ Γ0,1 × Γg,nを引き起こします。ここで、γ0 はただ１点のみからなるグラフです。ECO 1 に対応する
自然変換から求める等式が導かれます。
∑
ωA (γ)(v1 , . . . , vn ) =η(vi , ek eℓ )η ka η ℓb ωA (γ0 )(ea )ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , eb , vi+1 . . . , vn )a,b,k,ℓ=∑η(vi , ek eℓ )η ka η ℓb η(1, ea )ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , eb , vi+1 . . . , vn )a,b,k,ℓ=∑η(vi , ek eℓ )δ1k η ℓb ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , eb , vi+1 . . . , vn )

b,k,ℓ

=

∑

η(vi , eℓ )η ℓb ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , eb , vi+1 . . . , vn )b,ℓ= ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , vi , vi+1 . . . , vn ).
Case 2. γ 内で辺 E1 を縮約すると、E2 は円盤を囲むループになるので、Case 1 を用いて取り除くことができます。縮約で得られた新しい頂点には変数 vi vj が付与されています。ここで辺 E1 を回復すれば、グラフは γ から E2 を取り除いたものと同じになります。
したがって、(6.4) が成り立ちます。
Case 3. ループ L1 の縮約で L2 は円盤を囲むループになるので、また Case 1 を用いて取り除くことができます。そのあとで L1 を回復すれば、グラフは γ から L2 を取り除いた□ものと同じになり、(6.4) が成り立ちます。
注意 6.4. この三つのケースは双対リボングラフの言葉では、まさに次数１と２の頂点を取り除くことに他なりません。
（[81] 参照。）
定義 6.5 (被約セルグラフ). どのループや二角形も円盤を囲まないとき、セルグラフを被約セルグラフと呼ぶことにします。その双対リボングラフは次数１と２の頂点を持ちません。
補助定理 6.3、Case 1 から Γ0,1 の全てのグラフ γ は同じ写像(6.5)

ωA (γ)(v) = ϵ(v)を与えることが分かります。同様に Case 2 と 3 から γ ∈ Γ0,2 は常に

ωA (γ)(v1 , v2 ) = η(v1 , v2 )を与えます。これは、γ から 2 頂点をつなぐ辺一つ以外の全ての辺とループとを取り除くことができるからです。ECO 1 に対応する自然変換から、ωA (γ) の値が ϵ(v1 v2 ) = η(v1 , v2 )であることが導かれます。
定理 6.1 の証明. m = 2g − 2 + n に関する数学的帰納法で証明を行います。初期命題は
m = −1、つまり (g, n) = (0, 1) の場合で、(6.5) により成立することがわかります。そこ
で、2g − 2 + n < m を充す全ての (g, n) について (6.3) が成立すると仮定しましょう。今、
2g − 2 + n = m であるようなタイプ (g, n) を持つセルグラフ γ ∈ Γg,n を一つとります。もし γ が相異なる 2 頂点 pi と pj を繋ぐ辺を持っているなら、その辺を縮約したものを γ ′ とすれば、帰納法の仮定から

ωA (γ)(v1 , . . . , vn ) = ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , vi vj , vi+1 . . . , v�j , . . . , vn ) = ϵ(v1 . . . vn eg )が従います。もしある頂点 pi に繋がったループを縮約するなら、ECO 2 に対応する自然変換はハンドルループか切断ループかによって二つの異なる結果を導きます。前者の場合は連結グラフ γ ′ が得られ、(1.9) と (1.13) とから∑
ωA (γ)(v1 , . . . , vn ) =η(vi , ek eℓ )η ka η ℓb ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , ea , eb , vi+1 , . . . , vn )a,b,k,ℓ=∑η(vi ek , eℓ )η ka η ℓb ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , ea , eb , vi+1 , . . . , vn )a,b,k,ℓ― 76 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

=

∑

29

η ka ωA (γ ′ )(v1 , . . . , vi−1 , ea , vi ek , vi+1 , . . . , vn )

a,k

=

∑
a,k

η ka ϵ(v1 · · · vn eg−1 ea eb )= ϵ(v1 · · · vn eg )が従います。切断ループの場合には、ECO 2 はグラフの分割 γ → (γ1 , γ2 ) を誘導し、
∑
(
(
)
)
ωA (γ)(v1 , . . . , vn ) =η(vi , ek eℓ )η ka η ℓb ωA (γ1 ) vI− , ea , vI+ ωA (γ2 ) vJ− , eb , vJ+
a,b,k,ℓ=∑(η(vi , ek eℓ )η ka η ℓb ϵ ea

a,b,k,ℓ

=

∑

ka ℓb

η(vi ek , eℓ )η η η

a,b,k,ℓ

=

∑

ka

η η

a,k

(

= ϵ vi∏c∈I(vc e , e av c eg 1v d eg 2

c∈I

∏

d∈J

v c eg 1c∈I∏

vc , e a e

) (

ϵ eb

g1

c∈I

) (

∏

g1

(

∏

ϵ vi e k

)

∏

) (
g2

)

v d eg 2

d∈J

ϵ eb

vd e

d∈J

∏

∏

d∈J

vd e

)

g2

)

= ϵ(v1 · · · vn eg1 +g2 )が導かれます。従って、どのように ECO 1 や ECO 2 を作用させても常に同じ結果が得ら□れます。これで証明が終わりました。

7. TQFT-係数の位相的漸化式
フロベニウス代数 A が多様体の大コホモロジー構造で与えられている時にはそれはグロ
モフ－ウィッテン理論と直接の繋がりを持っています。この場合、フロベニウス代数は基礎体上無限次元なので、第１部で考察している 2D TQFT には対応しません。ただ、対象とする空間が０次元なら、グロモフ－ウィッテン理論は完全に TQFT で捉えられます。基
本的な例の一つは空間が一点の場合、つまり A = Q の場合で、それは Mg,n 上のトートロ
ジー類 ψ の交叉数の関係式を与え、今の私たちの観点からは [32, 33] で扱われました。もう一つは有限群 G の群環の中心 A = ZC[G] の場合で、分類空間 BG のグロモフ－ウィッ
テン不変量を与えます。これについては [36] で詳述します。
この節で扱いたいのは各頂点が v ∈ A で着色されたセルグラフの数え上げ問題です。私たちは辺縮約変換が組み合わせ論的関係式を与え、そのラプラス変換が位相的漸化式になることを見ます。フロベニウス代数による着色が定義 5.5 で与えられる辺縮約変換のもとで函手的であるという条件を課すと、前節で証明したように、色付けの過程がグラフと独立になるので、数え上げ問題は大幅に簡単化されます。答えは、タイプ (g, n) ごとにグラフの数を ϵ(v1 · · · vn eg ) に掛けたものになります。
ところがここで問題が生じてしまいます。私たちは、重辺やループを許しているので、位相タイプを決めてもグラフの数は無限大なのです。数えているものが無限になってしまう時に用いる標準的手法がラプラス変換です。これはまさにラプラスによって、無限大を数えるために導入されたのでした。朝永の言う無限大のくりこみを, ファインマン図形で数え上げるのも同じ原理です。次数 (µ1 , . . . , µn ) の順序付けられた頂点を持つセルグラフ
の数を

(7.1)

Γg,n (µ1 , . . . , µn )で表しましょう。d = 0, 1, 2 として、種数 g∑の曲面の単体分割の d 次元単体の数を cd で表
すと、オイラー標数の公式から、n = c0 、 ni=1 µi = 2c1 、2 − 2g = n − c1 + c2 が成り立ちます。即ち、 (7.1) が有限集合であることが従います。

― 77 ―

30

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

数え上げの問題は、数えている対象が自明でない自己同型を持たない時の方が簡単です。
同型なものが二つあれば、同型類は一つとして数えるのが自然です。従って、位数２の自己同型を持つ対象は、２分の１と数えることになります。どの対象の自己同型も一度に整理できればいちばん楽なわけです。ところで、自己同型を無くすにはいくつか方法があります。条件をなるべく少なくする方法もあれば、大量の条件を一律に課して如何なる自己同型の可能性をも抹殺することも可能でしょう。実際、パラメターの数が大きければ、(7.1)に含まれるセルグラフのほとんどは自己同型を持ちません。前に述べたように、セルグラ
フの自己同型は各頂点の周りで繫がっている半辺の回転群の直積の部分群に含まれるので、自己同型を許さないようにするもっとも手っ取り早い方法は、各頂点の周りで、連結された半辺のどれか一つに外向きの矢印をつけることです。これは [37, 85] で採用された方法です。でも箙を考えているわけではありません。矢印付きのセルグラフの自己同型は、矢印のついた半辺をも保たねばならないので、頂点の周りでの回転はもはや許されません。
次数 (µ1 , . . . , µn ) の順序付けられた頂点を持ち、連結で、上に述べたように矢印がつけ� g,n (µ1 , . . . , µn ) の元の数をられたタイプ g, n のセルグラフの集合 Γ
�
�
��
�
(7.2)
Cg,n (µ1 , . . . , µn ) := �Γ
(µ
,
.
.
.
,
µ
)
g,n 1
n �
(2m)
1
と表します。これは常に非不正数で、例えば C0,1 (2m) = m+1
m は m 次のカタラン数�です。グラフ γ ∈ Γg,n (µ1 , . . . , µn ) に対応する系 6.2 の写像を ωg,n = ωA (γ) : A⊗n −→ Kとするとき、重み Cg,n (µ1 , . . . , µn ) を持つ TQFT

Cg,n (µ1 , . . . , µn ) · ωg,n : A⊗n −→ K

(7.3)

が辺縮約変換のもとでどのように変化するのかを調べてみましょう。まず、γ の第一頂点
p1 から出る辺の中で、矢印を持ったもの E を選び、図 5.1 に従って縮約します。どこで辺を縮約したかを記憶しておくために、γ が描かれた曲面の向きで定まる巡回順序に従って次に来る半辺に E の矢印を移します。E が２頂点 p1 と pj を繋いでいたならば、pj の周りの µj 個の半辺のどれかについていた矢印を消してしまいます。もし E がループなら、図5.2 に従ってそれを縮約し、頂点 p1 を二つに分離します。ここでも、新しい頂点それぞれの周りで、巡回順序に従って次に来る半辺に矢印を付けます。このプロセスから、次に述べる命題が得られます。
命題 7.1. 矢印付きセルグラフの数で重みづけられた 2D TQFT は方程式

Cg,n (µ1 , . . . , µn ) · ωg,n (v1 , . . . , vn )
=

n
∑
j=2

(7.4)

+

µj Cg,n−1 (µ1 + µj − 2, µ2 , . . . , µ�j , . . . , µn ) · ωg,n−1 (v1 vj , v2 , . . . , v�j , . . . , vn )∑α+β=µ1 −2+∑α+β=µ1 −2()
Cg−1,n+1 (α, β, µ2 , . . . , µn ) · ωg−1,n+2 δ(v1 ), v2 , . . . , vn∑∑

η(v1 , ek eℓ )η ka η ℓb

g1 +g2 =g a,b,k,ℓI⊔J={2,...,n}()()× Cg1 ,|I|+1 (α, µI ) · ωg1 ,|I|+1 (ea , vI ) Cg2 ,|J|+1 (β, µJ ) · ωg2 ,|J|+1 (eb , vJ )を充します。

この式は、[37, 85, 100] で得られた一般カタラン数 Cg,n (µ1 , . . . , µn ) の関係式に

ωg,n (v1 , . . . , vn ) = ϵ(v1 . . . vn eg )を掛けたものと同じ形をしています。序節で述べたように、一般カタラン数はラプラス変換をすると位相的漸化式を充たすので、フロベニウス代数係数の位相的漸化式を考えることができます。式の煩雑さを解消ために、f, h : A −→ K がフロベニウス代数 A 上の線型写像のとき、∑(7.5)(f ⊗ h) ◦ δ =η(•, ek eℓ )η ka η ℓb f (ea )h(eb )
a,b,k,ℓ― 78 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

31と書くことにします。
初めに、[42] に従って最も簡単な場合の位相的漸化式を概観しましょう。スペクトル曲線として、複素２次元 xy 空間内の種数０の開リーマン面 Σ を取り、そのグローバル座標z を一つ定めます。射影 x : Σ −→ C は単純分岐写像であると仮定し、その単純分岐点を{p1 , . . . , pr } ⊂ Σ で表します。もう一つの射影 y(z) は各 pα の近傍で１対１であるとしま
す。さらに、Σ 上のコーシー核の役割を果たすものとして、

ω a−b (z) =

(7.6)

dz
dz
−
+ ω(z)
z−a z−bを一つ定めます。ここで、a, b ∈ Σ は任意の２点、ω(z) は Σ 上の正則１形式です。各分岐
点 pα の周りの開円盤 Uα を、正則函数 x : Uα −→ C が 2 : 1 写像となるように選びます。
そうすれば、Uα の位数２の正則自己同型で x の値を保つもの()
x σα (z) = x(z)σα : Uα −→ Uα ,(7.7)

が存在します。Σn 上の有理型対称 n 重１次微分形式

Wg,n (z1 , . . . , zn ) = wg,n (z1 , . . . , zn )dz1 ⊗ · · · ⊗ dzn ,2g − 2 + n > 0が位相的漸化式を充たす、とは方程式
r(7.8) Wg,n (z1 , . . . , zn ) =


1 ∑
2πi

α=1

�

ω σα (z)−z (z1 )))( (∂Uα y σα (z) − y(z) dx(z)


(
)
×
Wg−1,n+1 z, σα (z), z2 , . . . , zn +No (0,1)∑

g1 +g2 =g
I⊔J={2,...,n}()Wg1 ,|I|+1 (z, zI )Wg2 ,|J|+1 σα (z), zJ が成り立つことを意味します。ここで、zI = (zi )i∈I で、「No (0, 1)」は和をとるときに、種数の分割 g = g1 + g2 と添字集合の分割 I ⊔ J = {2, . . . , n} が g1 = 0 かつ I = ∅ の場合
も g2 = 0 かつ J = ∅ の場合も含まないことを要請します。積分変数は z ∈ ∂Uα です。式(7.8) の括弧 [ ] 内の微分形式は、z の対称２重１次微分（２次微分とも呼ばれることもあります）で、それに 1/dxα (z) が掛け算されます。この普段用いられない正則１形式の逆数−1の掛け算は、正則ベクトル場の為す層 KΣ
の有理型切断 1/dxα (z) を対称２重１次微分、⊗2
即ち KΣ の有理型切断に掛けて、KΣ の有理型切断、即ち有理型１形式を作る操作を表します。その有理型１形式の各分岐点での留数をとる、と言うのが漸化式の右辺の意味です。１形式 W0,1 は(7.9)

W0,1 (z) := y(z)dx(z)で与えます。式 (7.8) の中で W0,1 は分母に現れています。２形式 W0,2 は(7.10)

W0,2 (z1 , z2 ) := dz1 ω z1 −b (z2 )で定めます。定数 b ∈ Σ は何でもよく、結果には影響しません。漸化式の [ ] 内の和の中に W0,2 が露わに現れています。
注意 7.2. 位相的漸化式は、Wg,n (z1 , . . . , zn ) が対称 n 重１次微分だと仮定しているので、
式 (7.8) の右辺が対称式でなければ意味を為しません。[42] の付録で実際幾つかの仮定のもとで右辺が自動的に対称になることが示されています。位相的漸化式が対称式であることを初めから明白に分かるように定式化するべきだと言うのが [70] の動機の一つです。

― 79 ―

32

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

定義 7.3. 上記の記号を踏襲し、さらにフロベニウス代数 A を一つ固定します。フロベニ
ウス代数係数位相的漸化式とは対称写像 Wg,n = Wg,n (z1 , . . . , zn ) : A⊗n −→ K の関係式
r �
∑ (
)
1 ∑
K z, σα (z), z1 ; ek , eℓ , v1
Wg,n (z1 , . . . , zn ;v1 , . . . , vn ) =2πi
α=1 ∂Uα a,b,k,ℓ

(7.11)

(×Wg−1,n+1 z, σα (z), z2 , . . . , zn ; ea , eb , v2 , . . . , vn )No (0,1)+∑

g1 +g2 =g
I⊔J={2,...,n})(Wg1 ,|I|+1 (z, zI ; ea , vI )Wg2 ,|J|+1 σα (z), zJ ; eb , vJ 
のことであると定義します。積分核はフロベニウス形式を用いて() ω σα (z)−z (z1 )η(ek eℓ , v1 )η ka η ℓb))
(7.12)
K z, σα (z), z1 ; ek , eℓ , v1 = ( (y σα (z) − y(z) dx(z)で与えられます。形式的に簡単化して (7.11) を
r �
(
)
1 ∑
K z, σα (z), z1
Wg,n =
2πi
α=1 ∂Uα(7.13)
No (0,1)
∑

(
) 
◦
δ
+
Wg1 ,|I|+1 ⊗ Wg2 ,|J|+1 ◦ δ ×W
g−1,n+1
g1 +g2 =g
I⊔J={2,...,n}と表すこともできます。この場合、積分核は通常のものと同じです。
()
ω σα (z)−z (z1 )))K z, σα (z), z1 := ( (.
y σα (z) − y(z) dx(z)定理 7.4. (A⊗n )∗ に値を持つ対称 n 重１次形式 Wg,n (z1 , . . . , zn ) がフロベニウス代数係数
位相的漸化式 (7.11) を充すとします。もし (7.10) の２形式 W0,2 によって初期値がW0,2 (z1 , z2 ; v1 , v2 ) = W0,2 (z1 , z2 ) · η(v1 , v2 )で与えられているならば、位相的漸化式 (7.8) の解 {Wg,n } と 2D TQFT{ωg,n } が存在して、(7.14)

Wg,n (z1 , . . . , zn ; v1 , . . . , vn ) = Wg,n (z1 , . . . , zn ) · ωg,n (v1 , . . . , vn )が全ての 2g − 2 + n > 0 を充す g, n について成立します。

証明. m = 2g −2+n に関する数学的帰納法で証明を与えます。初期条件は m = 0 の場合です。今、2g−2+n < m の範囲の全ての (g, n) について、(4.17) で与えた ωg,n = ϵ(v1 · · · vn eg )によって (7.14) が成り立つとしましょう。この時、漸化式 (7.11) と ECO 2 のもとでの函手性から、2g − 2 + n = m であるような全ての (g, n) について (7.14) が成立することが従□います。
注意 7.5. 余積に対応する ECO 2 は上で見たように位相的漸化式の中に現れていますが、積に対応する ECO １は出てきていないように見受けられます。実はそれは (1.14) の積を余積に変える操作を通して、分割の和の中の g1 = 0, |I| = 1 か g2 = 0, |J| = 1 を含む項の中に現れているのです。I = {i} の場合を見て見ましょう。帰納法の仮定からそれは()
W0,2 (z, zi ; ea , vi )Wg,n−1 σα (z), z2 , . . . , z�i , . . . , zn ; eb , v2 , . . . , v�i , . . . , vn()
= W0,2 (z, zi )Wg,n−1 σα (z), z2 , . . . , z�i , . . . , zn

· ω0,2 (ea , vi )ωg,n−1 (eb , v2 , . . . , v�i , . . . , vn )― 80 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

33

として和の中に含まれていますが、同時に∑
η(ek eℓ , v1 )η ka η ℓb ω0,2 (ea , vi )ωg,n−1 (eb , v2 , . . . , v�i , . . . , vn )a,b,k,ℓ

=

∑
b,ℓ

=

∑
b,ℓ

η ℓb ω0,2 (v1 eℓ , vi )ωg,n−1 (eb , v2 , . . . , v�i , . . . , vn )η ℓb η(v1 vi , eℓ )ωg,n−1 (eb , v2 , . . . , v�i , . . . , vn )= ωg,n−1 (v1 vi , v1 , . . . , v�i , . . . , vn )が成り立ち、積に対応した項となっているのです。
セルグラフの数え上げ問題に戻りましょう。[37, 85] で展開された手法を用いて、組み合わせ論的方程式 (7.4) のラプラス変換を求めることができます。その結果として、フロベニウス代数係数位相的漸化式 (7.11) の解DWg,n = Wg,n(z1 , . . . , zn ) · ωg,n

D はスペクトル曲線 (0.1) [37, Theorem 4.3] に対応する位相的が得られます。ここで、Wg,n
漸化式の解 [37, (4.14)] で、ωg,n はフロベニウス代数 A に対応する TQFT です。

― 81 ―

34

O. DUMITRESCU AND M. MULASEPart 2. ヒッグズ束の量子化
8. 量子曲線
ケーラー多様体 X のコホモロジー環 H ∗ (X, C) は Z/2Z 次数付き Z/2Z 可換な C 上のフ
ロベニウス代数です。X の種数０のグロモフ－ウィッテン不変量はコホモロジー環の量子変形である大きな量子コホモロジー環を与えます。もし X のミラー対称が確立しているとするならば、この大きな量子コホモロジーは X のミラー双対空間 Y の複素解析構造に反映します。グロモフ－ウィッテン不変量は 2g − 2 + n > 0, g ≥ 0, n > 0 であるようなす
べての (g, n) について定義されるので、自然な疑問が湧きます。
問い 8.1. 一体 Y のどんな複素解析幾何がミラー対称を通して X のすべての種数に渡る
グロモフ－ウィッテン不変量に対応しているのでしょうか？
種数０から g ≥ 0 への移行は正に場の量子論で言う量子化の過程ですから、X の全種数のグロモフ－ウィッテン不変量に対応する情報は Y 複素解析的な量子幾何とでも言うべきものでしょう。素朴に考えれば、それは多様体 Y を古典極限として持つような D 加群だ
ろうと思われます。そうだとすれば、D 加群は Y 上に定義されているわけではありません。ではどこに D 加群があるのでしょうか？また、量子変形のパラメター ℏ の幾何学的位
置付けをどう定めたら良いのでしょうか？
量子曲線の概念は、ミラー対称多様体 Y の幾何情報が代数的あるいは解析的複素曲線で捉えられているという特別な場合に現れます。ミラーが曲線になる例の典型的なものは X
が３次元トーリックカラビ－ヤウ軌道体の場合です。そのミラー対応 Y はやはり３次元カラビ－ヤウ多様体ですが、幾何情報はミラー曲線と呼ばれるリーマン面とその C∗ × C∗ への埋め込みで完全に決まります。カラビ－ヤウの例とはかなり性格が違いますが、P1 のフルヴィッツ型被覆や実曲面に埋め込まれた様々な種類のグラフなどの数え上げ問題では、
ミラー曲線に当たるものが現れます。この場合、X に当たる「空間」は無いのですが、ミラー対称は確かに存在し複素曲線を与えます。こういうミラー曲線はもっと一般な概念であるスペクトル曲線の一例となっています。
ミラー対称以外にスペクトル曲線は数学のいろいろな場面で現れます。例えば、完全積分可能系の理論、ランダム行列理論、位相的漸化式論、ヒッチンによるヒッグズ束の理論など。スペクトル曲線 Σ は二つの特徴を持っています。一つはそれが複素シンプレクティッ
ク曲面のラグランジアン部分曲線になっているということ、もう一つは底曲線と呼ばれる別の曲線 C への射影 π : Σ −→ C を持つ、ということです。そして、量子曲線を、底曲線
C 上の D 加群であって、その準古典極限が余接束 T ∗ C 内のスペクトル曲線 Σ ⊂ T ∗ C として実現されるもの、と捉えることができます。
ミラー対応の観点からすれば、スペクトル曲線は量子コホモロジーに対応しており、すでに量子化された対象です。2DTQFT と CohFT のアナロジーで言えば、可換フロベニウ
ス代数 H even (X, C) がスペクトル曲線に対応するのではなく、種数０に制限した CohFT
がスペクトル曲線の情報を持っているわけです。
注意 8.2. 大量子コホモロジー環そのものはフロベニウス代数ですが、ノビコフ環を使って定義されるので、基礎体上有限次元ではありません。そのため、偶数次部分は可換フロ
ベニウス代数であっても、第１部で扱った 2D TQFT にはなりません。
私たちが第２部で扱う量子化の代表例はシュレーディンガー方程式です。今、質量１、エネルギー E 、バネ定数 1/4 の１次元調和振動子を考えましょう。それは、実軸の余接空間であるフェーズ平面内の等角運動量楕円運動として幾何的に捉えることができます。ス
ペクトル曲線は実シンプレクティック平面内の楕円
1 2
x + y2 = E
4です。その量子化は調和振動子の量子化そのもので、時間に依らない 空間１次元のシュレーディンガー方程式
(
)
2
1 2
2 d
(8.1)
−ℏ
+ x − E ψ(x, ℏ) = 0
dx2 4― 82 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

35で与えられます。第２部の量子曲線論はこの調和振動子の量子化と完全な調和を保ちます。
私たちは、複素シンプレクティック曲面として (C2 , dx ∧ dy) を用います。平面２次曲線

1 2x − y2 = 1
4がラグランジアンとしてのスペクトル曲線の例です。複素座標では虚数単位は不要なので、
y = d/dx と同一視します。２次曲線 (8.2) の量子化はシュレーディンガー方程式
((
)
)
d 2
1
1 2
(8.3)
ℏ
+ 1 − ℏ − x ψ(x, ℏ) = 0
dx
2
4
(8.2)

で、本質的には量子調和振動子 (8.1) と同じものです。これはエルミート－ウエーバー方
程式で、その解もよく知られています。
問い 8.3. なぜ私たちはよく知られた古典微分方程式を問題にしているのでしょうか？
この問いの [31, 33, 37, 85] で展開された驚くべき答えは、解の漸近展開を通して Mg,n 上のコホモロジー交叉数が得られる、というものでした。まず方程式にゲージ変換
)
((
)
1 2
1 2
1
1 2
d 2
− 4ℏ
x
+ 1 − ℏ − x e 4ℏ x Z(x, ℏ)
ℏ
e
dx
2
4
(8.4)
( 2
)
d
d
= ℏ 2 + ℏx
+ 1 Z(x, ℏ) = 0
dx
dx
1

2

を施してみましょう。ここで、Z(x, ℏ) = e− 4ℏ x ψ(x, ℏ) です。前節 (7.2) で調べた整数値
函数 Cg,n (µ1 , . . . , µn ) の母函数（ラプラス変換）を∑ Cg,n (µ1 , . . . , µn ) −µn
(8.5)
Fg,n (x1 , . . . , xn ) :=x1 1 · · · x−µnµ1 · · · µ nµ1 ,...,µn >0とします。その微分 Wg,n = d1 · · · dn Fg,n がスペクトル曲線 (0.1) に基づく位相的漸化式
を充たし、 それが量子曲線 (8.4) の準古典極限であることが [37, 85] で見出されました。
(g, n) = (0, 1) と (0, 2) の値をしかるべく与えれば、無限次完全 WKB 展開()∑ 1
2g−2+nℏ(8.6)
Z(x, ℏ) = exp
Fg,n (x, . . . , x)n!
g,nがえられます [33, 37, 85]。さらに [37] で著者たちは座標変換(8.7)

x = x(t) =t+1 t−1+t−1 t+1()のもので、2g − 2 + n > 0 の範囲の (g, n) については Fg,n x(t1 ), x(t2 ), . . . , x(tn ) がロー[37])ではミステリーだった座標変換 (8.7) はそのあラン多項式であることを発見しました。
(と [31] でヒルツェブルフ曲面 P KP1 ⊕ OP1 内の特異曲線 (0.1) のブローアップによる特異点解消であることが明らかにされました。このローラン多項式の最高次項は 6g − 6 + 3n同次多項式(( )2di +1 )
n
∏
∑
(−1)n
ti
highest|2di − 1|!!
(8.8) Fg,n(t1 , . . . , tn ) = 2g−2+n⟨τd1 · · · τdn ⟩g,n22i=1

d1 +···+dn=3g−3+nで、その係数がモジュライ空間 Mg,n 上の交叉係数∫(8.9)⟨τd1 · · · τdn ⟩g,n =ψ1d1 · · · ψndnMg,nで与えられるのです。位相的漸化式は単独の方程式 (8.3) から全ての Fg,n (x1 , . . . , xn ) を計算する方法と見ることができます。つまり、量子曲線 (8.3) はあらゆる交叉数 (8.9) の情報― 83 ―

36

O. DUMITRESCU AND M. MULASEを含んでいるのです！こういったトピックは著者たちの以前のレクチャーノート [33] に詳しく描かれています。
本稿では深入りしませんが、量子曲線を話題にする時に述べるべき重要な概念の一つに[16] で導入された組紐理論の A 多項式があります。A 多項式 AK (x, y) はその０点集合として複素シンプレクティック曲面 (C∗ × C∗ , d log x ∧ d log y) 内にやはり同じ名前で呼ばれる代数曲線を定めます。それを私たちはスペクトル曲線と捉えるのです。もう少し詳しく見てみましょう。与えられた組紐 K ⊂ S 3 の補集合の基本群の SL2 (C) 指標多様体から、３次元球面内の組紐 K の開近傍の補集合の境界として現れるトーラス T 2 = S 1 × S 1 の基本群の SL2 (C) 指標多様体への自然な制限写像()()
Hom π1 (S 3 \ K), SL2 (C) SL2 (C) −→ Hom π1 (T 2 ), SL2 (C) SL2 (C)(8.10)∼= (C∗ )2 /(Z/2Z)を考えましょう。私たちは GIT（幾何学的不変式論）商を取っているので、値域は安定開集合を SL2 (C) の共役作用で割ったものですから、SL2 (C) 内の二つの対角行列の組の同値類の集合になります。写像 (8.10) の像で１次元のものを集め、(C∗ )2 に引き戻せば、アフィン代数曲線 Σ が得られます。その定義方程式 AK (x, y) ∈ Z[x, y] は整数環上定義されており、それを [16] の著者たちはアフィン曲線に因んで A 多項式と呼んだのでした。さらに、この曲線そのものが組紐 K の位相不変量であること、また、その射影コンパクト化の)(函数体 C(Σ) の２次代数的 K 群 K2 C(Σ) の元としてスタインバーグシンボル {x, y} が捻れ元となっていること、など様々な深い性質が [16] で証明されています。
A 多項式の量子化はワイルの量子化を通して行われます。文献 [46, 49] に従って、２変数 (q, n) ∈ C∗ × Z+ の函数 f (q, n) に作用する掛け算作用素と差分作用素を{(�
xf )(q, n) := q n f (q, n)(8.11)(�y f )(q, n) := f (q, n + 1)で定めると、それらの間には交換関係x
� · y� = q�y·x�が成立します。置換え x −→ x
�, y −→ y� がワイル量子化と呼ばれるものです。さて、今組
紐 K の色付きジョーンズ多項式 JK (q, n) を考えましょう。色 n は SL2 (C) の既約表現の次元です。ガルファリディス [49] は A 多項式の量子化が存在して、(8.12)

�K (�Ax, y�; q)JK (q, n) = 0が成り立つであろうという驚くべき予想（AJ 予想と呼ばれる）をたてました。ここで言�K (�x, y�; q) で、う量子化とは、差分作用素 A

�K (x, y; 1) = AK (x, y)Aを充すもののことを指します。この関係式は準古典極限そのもので、WKB 近似の初項を与えるものです。グーコフとスウコフスキー [55] は、スペクトル曲線 Σ の (8.12) を充すよ
{x, y} が２次代数的 K
うな量子化が存在することと、上で述べたスタインバーグシンボル()
群 K2 C(Σ) の捻れ元となっていることの間に, ブロック調節子 [8] を通して深い繋がりがあることを指摘しました。この状況を Σ は K2 ラグランジアンであると言い表すことにします。プランクの量子化が連続であるはずのエネルギーがとびとびの値を取ること、即
ち整数性にあることを思い起こせば、K2 ラグランジアン条件と量子化の間の関係は、コンツェヴィッチの K2 条件と整数性の関連と呼応しているようです。
ジョーンズ多項式を圏化したホヴァノフは、予想 (8.12) の事をまだ知らなかった時に著者の一人の説明を喜んで聞いていました。説明の後、彼は著者に、「おそらく A 多項式の圏化をする必要があるんだと思うなあ。(8.12) は二つの圏の間の直交関係のようなものとして、捉えられるんだと思う。」と話してくれました。A 多項式が整数係数なのは、組紐群の生成関係式の自然な帰結なので、彼の言っていることは生成関係式そのものの圏化です。差分方程式 (8.12) には A 多項式の量子化が必要ですから、圏の量子化を考える事になります。圏の量子化というのは寧ろ良く知られた対象ですから、こういった観点から AJ― 84 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

37

予想の解決が進むのかもしれませんね。量子曲線の理論はこうしたケースからも示唆されるように、深い内容を含んでいると考えられています。
ヒッチンスペクトル曲線の量子化に由来する量子曲線の幾何学的定義は、ガイオットのある予想を解決した論文 [29] に基づいて、[34] で与えられました。量子曲線の WKB 解
析は、位相的漸化式 [42] の応用や類似物を用いて、[30, 31, 33, 62, 63] などで扱われました。上に述べたエルミート－ウエーバー方程式も、この幾何学的理論の例を与えます。文献 [55] は位相的漸化式の、(8.12) を含む低次元トポロジーへの応用を示唆しています。一方で、[25, 65, 103] に現れたモジュラー性が位相的漸化式に関係しているのかもしれないというような話も聞こえてきます。方程式 (8.4) はヒッチンの幾何の範囲で捉えられます
が、今のところ (8.12) をヒッチンスペクトル曲線の量子化として理解する事はまだ為されていません。
以下の数節で私たちは趣きの違った量子曲線の物語を展開しようと思います。スペクト
ル曲線 (0.1) から量子曲線 (8.4) への移行と全く同じ道筋が幾何学の中に実はあるのです。
そのプロセスは、著者の一人の講演 [28] で、ヒッチンスペクトル曲線のモジュライ空間から、オパーの為すモジュライ空間への旅立ちとして紹介されました。(8.4) に現れるプラン
ク定数 ℏ は、その過程で変形パラメターとして幾何学的意味 (9.31) を獲得します。私たちはこの旅立ちの物語を、コンパクトリーマン面上で座標に依らない２階の複素解析的線型
常微分方程式を大域的に与えるにはどうしたらよいか、という問いから始める事にします。

9. 射影構造・オパー・ヒッグズ束
文献 [30] で、著者たちはヒッチンスペクトル曲線の場合に適合する位相的漸化式の偏微分方程式版を提唱しました。そして、スペクトル曲線が２重被覆の時には、WKB 漸近展
開を用いて PDE 版位相的漸化式が局所的に量子曲線を決めることを示しました。ミルザ
ハニ漸化式や辺短縮変換と同じ構造を持つ PDE 版位相的漸化式が次数毎に WKB 展開を決めて行くのを発見して驚いた事を思い起こします。そのメカニズムは [31, 33] に詳しく述べられています。
WKB 展開は量子力学の発展時に開発された量子化の方法です。漸近展開の方法である
以上、それは局所的な結果しか与えません。それに対して、ヒッチンスペクトル曲線の量子化は純粋に幾何学的なプロセスで、大域的に行えるはずのものです。著者たちはこの観点を、ガイオットの予想 [47] を解決した論文 [29] に基づいて、[34] で採用しました。そこで得られた結果は、量子化のプロセスとはヒッチンスペクトル曲線のモジュライ空間から
オパー [6] のモジュライ空間への双正則写像である、というものでした。この節では、オパーの概念を導入し、量子化としての双正則写像を構成します。理論展開の過程で、プランク定数 ℏ が実はコホモロジーの元であって、リーマン面上のベクトル束や接続形式の変形パラメターとして解釈される、という視点が得られます。解説の簡潔さを保つ為に、本稿では SL2 (C) オパーだけを扱います。一般の場合については [29, 34] を参照して下さい。
コンパクトリーマン面 C 上で２階以上の常微分方程式を大域的に扱う為に、私たちは射影座標系を導入します。もちろん微分概念は座標には依りませんが、微分作用素の座標表
示形を簡単にする為に射影座標を使うのです。１階微分の場合は話は簡単です。C 上の有理型１形式 ω で定まる１階線型常微分方程式(9.1)(d + ω)f = 0

は大域的に定義されています。なぜなら、微分作用素 d + ω は OC から KC への（特異点を許す）準同型だからです。ここで、KC は C 上の正則１形式の為す層を表わします。次に、局所座標 z を用いて与えられる２階方程式
( 2
)
d
(9.2)
− q(z) f (z) = 0
dz 2
2

d
を考えましょう。２階微分 dz
2 は (9.1) に現れる外微分 d のような大域的な意味を持ってはいません。方程式 (9.2) の形が別の座標系でも同じに保たれる為の条件とは何なのでしょ― 85 ―

38

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

うか？この問いに答える為に、次の条件を課してみましょう。
[( )
[( )
]
]
2
2
d
d
(9.3)
dz 2
− q(z) f (z) = 0 ⇐⇒ dw2− q(w) f (w) = 0.
dz
dw
⊗2
１階の場合 (9.1) のアナロジーから、係数 q ∈ H 0 (C, KC) は C 上大域的に与えられた２次微分だとします。つまり、q は座標変換 w = w(z) で q(z)dz 2 = q(w)dw2 と変化します。
２階方程式 (9.2) の解 f とは一体何なのでしょうか？１階の場合には ω = −d log f な
ので、f ∈ OC です。一般には f が属する C 上の複素直線束 L を決める必要があります。
今、座標変換 w = w(z) に対応する直線束 L の推移函数を e−g(w(z)) で表すことにします。
方程式の解 f は座標条件
(
) (
)
(9.4)
e−g w(z) f w(z) = f (z)を充します。実際に条件 (9.3) を計算してみましょう。
]() [( )2dg w(z)
2
2
0 = dz · e− q(z) f (z)dz]() [( )2() ()
dg w(z)
2
2= dz · e− q(z) e−g w(z) f w(z)
dz
( (
)
(
) )2 ()
g w(z) d −g w(z)2ef w(z) − dw2 q(w)f (w)= dz · e
dz
)2
(
(
)
d
− gw (w)w′ f w(z) − dw2 q(w)f (w)= dz 2 ·
dz
]
[( )
((
)
) (
) ) (
d 2
2
′ d
′ ′
′ 2
= dz ·− gw (w)w − gw (w)w
f w(z) − dw2 q(w)f (w)− 2gw (w)w
dz
dz
]
[(
((
)
)′ (
)2 )
′
= dz 2 · fw (w)w′ − 2gw (w)w′ fw (w)w′ − gw (w)w′ − gw (w)w′
f (w)− dw2 q(w)f (w)( )2
dw
dz 2 + fw (w)w′′ dz 2 − 2gw (w)fw (w)dw2= fww (w)
dz
((
)′ (
)2 )
f (w)dz 2 − dw2 q(w)f (w)− gw (w)w′ − gw (w)w′
[( )
]
(
)
d 2
2
= dw ·− q(w) f (w) + fw (w) w′′ − 2gw (w)(w′ )2 dz 2
dw
((
)′ (
)2 )
− gw (w)w′ − gw (w)w′
f (w)dz 2 .

ここで、w′ = dw/dz と略記しました。従って、(9.3) の必要十分条件は

(9.5)
(9.6)
です。(9.5) から(9.7)

w′′ − 2gw (w)(w′ )2 = 0
)′ (
)2
(
gw (w)w′ − gw (w)w′ = 0
gw (w)w′ =

1 w′′
2 w′

が従います。それを (9.6) に代入すると()( ′′ )′
1 w′′ (z) 2
w (z)
(9.8)
sz (w) :=−=0w′ (z)
2 w′ (z)― 86 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

39が得られます。こうして私たちは思いもかけず古典的なシュワルツ微分 sz (w) に遭遇するのです。(9.7) は)′
1(
log(w′ )g(w)′ =
2と同値ですから、g(w) = 12 log w′ が分かります。積分定数が０なのは w = z の時 g(z) = 0だからです。従って直線束 L の推移条件 (9.4) は√dz− 12 log w′
f (w)
f (z) = ef (w) ⇐⇒ f (z) =dwとなり、f (z) が属する複素直線束は逆標準束の平方根−1

L∼= KC 2(9.9)

であることが従います。また、シュワルツ微分が C 上恒等的に消えることを保証するためには、複素射影座標を採用すればよい、というわけです。
逆標準束の平方根は計算から出てきたのですが、もちろんそれには幾何学的な理由があります。その理由を調べてみましょう。局所的には単独高階線型常微分方程式はベクトル値関数についての１階線型常微分方程式で表すことが出来ます。１階微分を外微分を使って大域化すれば、この対応で大域高階微分が定義できないものでしょうか？こうして私た
ちは C 上の D 加群、即ち複素解析的接続の概念に行き当たります。
C 上の正則ベクトル束 E に作用する C 線型写像 ∇ : E −→ KC ⊗ E でライプニッツ則∇(f s) = f ∇(s) + df ⊗ s を充すものを複素解析的接続と定義します。ここで、f ∈ OC 、s ∈ E です。C は複素１次元なので、C 上の複素接続は自動的に平坦です。それゆえ ∇ は
基本群 π1 (C) からベクトル束 E の構造群 G へのホロノミー表現(9.10)

ρ : π1 (C) −→ Gを与えます。接続 ∇ はホロノミー表現 (9.10) の像が代数群 G の中でザリスキー稠密の時、既約であると定義します。私たちは G = SL2 (C) の場合だけを考えているので、既約性はIm(ρ) が G の可換でない二つの元を含むことと同値です。G ベクトル束 E とそれに作用。
する既約接続 (E, ∇) の為すモジュライ空間 MdeR を構成することが出来ます（[98] 参照）
定義 9.1 (SL2 (C) オパー). ベクトル束 E の部分直線束 F ⊂ E が存在して、正則 SL2 (C)接続 ∇ : E −→ E ⊗ KC が OC 加群の同型(9.11)∼∇ : F −→ (E/F ) ⊗ KC

を引き起こすとき、(E, ∇) ∈ MdeR は SL2 (C) オパーである、と定義します。

オパーの概念はリーマン面上の射影構造の拡張になっています。コンパクトであってもなくてもリーマン面上にはその複素構造と整合する射影構造が入ります ([56] 参照)。以下
で、正則ヒッグズ束に対応するヒッチンスペクトル曲線を扱うので、g(C) ≥ 2 と仮定して話を進めます。（ヒッグズ場が特異点を持つ場合には種数０や１の場合を考えることが出来ます。
）C の複素射影座標系を、局所座標 zα を持った座標近傍 Uα による C の覆い尽し
∪
C=
Uα
α

で、各共通部分 Uα ∩ Uβ で１次分数変換(9.12)

aαβ zβ + bαβzα =,cαβ zβ + dαβ]
aαβ bαβ∈ SL2 (C)fαβ :=
cαβ dαβ[が成り立ち、コサイクル条件 [fαβ ][fβγ ] = [fαγ ] を充たすもの、として定義します。（後の）ここで、[fαβ ] は
議論を簡単にするため、各 Uα は C 上の小さな開円盤であるとします。
行列 fαβ の(9.13)

0 −→ Z/2Z −→ SL2 (C) −→ P SL2 (C) −→ 0による射影像で、１次分数変換を決める同値類を表します。各 Uα ∩ Uβ 上で符号 ± の選択
は H 1 (C, Z/2Z) = (Z/2Z)2g の元を定めるので、[fαβ ] から fαβ への引き揚げは 22g 個ある― 87 ―

40

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

ことが分かります。私たちは、引き揚げを fαβ を一つ決め、SL2 (C) 値の１コサイクルと見做します。
1dzα =dzβ(cαβ zβ + dαβ )2{}なので、KC の推移函数は１コサイクル (cαβ zβ + dαβ )2 で与えられます。テータ指標、或いはスピン構造と呼ばれるものは、１コサイクル(9.14)

ξαβ = cαβ zβ + dαβ11で定まる KC の平方根 KC2 の選択のことです。ここでも、KC2 の推移函数として、22g 個の選択 {±ξαβ } が可能です。私たちは既に fαβ を取るときに符号の選択をしたので、以下に1述べるように (9.14) を唯一整合的に選ぶことができます。従って、引き揚げ (9.13) は KC2
で決まることが分かります。(9.14) から∂β2 ξαβ = 0(9.15)

が従います。この性質は後で C 上に大域接続を構成するときに本質的役割を果たします。
まず、(9.15) が (9.12) を導くことを見ましょう。
1

命題 9.2 (射影座標であることの条件). C の座標系は KC2 の推移函数の２階微分が消滅するならば、射影座標系を与えます。
1

証明. 条件 (9.15) は KC2 の推移函数が１コサイクル条件を充す１次式 cαβ zβ + dαβ で与えられることを意味します。従って

1
dzα
=
dzβ
(cαβ zβ + dαβ )2が成り立ちます。これを微分方程式と見て解けば、(9.16)za =mαβ (cαβ zβ + dαβ ) − 1/cαβ
cαβ zβ + dαβが得られます。ここで、mαβ は積分定数です。こうして、各 Uα ∩ Uβ 上で SL2 (C) の元[]
mαβ cαβ mαβ dαβ − 1/cαβ∈ SL2 (C)cαβ
dαβが構成できました。(9.16) はコサイクル条件を充すので、(9.12) が得られたことになりま□す。
行列 fαβ は SL2 (C) を構造群とする C 上の２次元ベクトル束 E を定めます。各 fαβ は定数行列なので、座標近傍に依らない E の定数切断が意味を成します。従って、各 Uα 上で ∇α = d と定めれば、∇ は E の大域接続になります。ここで、C の射影座標系を一つ取り、E を上で与えたベクトル束とします。その射影化 P(E) は E に付随する P1 束です。
Aut(P1 ) = P SL2 (C) であることに注意すれば、(9.12) の局所座標系 {zα } は P(E) の大域切断を与えることが分かります。この切断は写像(9.17)

zα : Uα −→ P1を与え、P1 の射影構造を Uα に引き戻します。有理型函数と見たとき (9.17) は定数函数ではありません。というのは、dzα が Uα ∩ Uβ 上で決して０にならないからです。P(E) の大域切断は部分直線束 F ⊂ E に対応し、それは直線束の拡大を定めます。恒等式(9.18)

0 −→ F −→ E −→ E/F −→ 0

[
][ ]
[ ]
1
aαβ bαβ zβza=
11cαβ zβ + dαβ cαβ dαβ― 88 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

41

[ ]
−1
za
がベクトル束 KC 2 ⊗ E の大域切断を与え、その射影化像が F に対応する P(E) の1
大域切断 {zα } であることを示しています。ここで、(9.14) の符号の不定性と１次分数変換の fαβ ∈ SL2 (C) への引き揚げの不定性とがうまく消し合うようにテータ指標を取る必要が有ります。大域切断 (9.18) は決して０にならないので、自明な部分直線束
は

−1

1

−1

OC = KC 2 ⊗ F ⊂ KC 2 ⊗ E−1を生成します。故に F = KC2 が従います。det E = OC なので、E/F = KC 2 となり、E
は拡大
1

−1

0 −→ KC2 −→ E −→ KC 2 −→ 01)
( −1
で与えられ、コホモロジー Ext1 KC 2 , KC2 ∼= C の元を定めます。この拡= H 1 (C, KC ) ∼大 (9.19) はオパーに直接繋がっています。
(9.19)

1

定理 9.3 (射影座標系とオパー). 各射影座標系 (9.12) は定義 9.1 で F = KC2 とした場合のオパー (E, ∇) を定めます。
証明. (9.14) の ξαβ を用いて、σαβ = −(d/dzβ )ξαβ = −cαβ と置きましょう。簡単な計算

aαβ − cαβ zα =
から

] [
]
ξαβ σαβ−cαβ
cαβ zβ + dαβ=−1ξαβ(cαβ zβ + dαβ )−1
]
][
][
[
1 aαβ bαβ zβ −1=1−1 zα cαβ dαβ

gαβ : =
(9.20)aαβ (cαβ zβ + dαβ ) − cαβ (aαβ zβ + bαβ )1=(cαβ zβ + dαβ )(cαβ zβ + dαβ )[が得られるので、fαβ と gαβ とは同じベクトル束 E を決める事が分かります。行列 gαβ の形から直ちに (9.19) が従います。E の接続 ∇ は推移函数 fαβ に関しては各 Uα 上で単に
外微分 d なので、 推移函数 gαβ に関する Uα 上の微分作用素としては
]
[
]
] [
[
0 0
z −1
1
=d−
dzα
d α
(9.21)
∇α :=
1
1 0
−1 zα
で与えられます。接続行列の (2, 1) 成分 dzα は決して０にならないので、写像の合成
1(9.22)

1∇

F = KC2 −→ E ⊗ KC −→ (E/F ) ⊗ KC ∼= KC2は同型を与えます。こうして, (E, ∇) が SL2 (C) オパーであることが従います。

□

注意 9.4. この証明の最終段階で (E, ∇) がオパーであることを示すには、(9.22) が OC 加群としての準同型を与えることを言わねばなりません。それが成り立つのは、(9.22) で部
分直線束の商を取るときに、E に作用する二つの接続 ∇ と ∇|F の差を使うからなのです。
より一般に、与えられたベクトル束 E に作用する二つの接続 ∇1 と ∇2 があれば、f ∈ OCと s ∈ E に対してライプニッツ則から∇1 (f s) − ∇2 (f s) = f ∇1 (s) − f ∇2 (s)が従い、∇1 − ∇2 : E −→ E ⊗ KC が OC 加群準同型になることが分かります。

注意 9.5. 層としての拡大類 (9.19) は H 1 (C, KC ) = C の元で決まりますが、拡大 E のベ
クトル束としての複素構造は σαβ = 0 であるかどうかだけに依ります。これは、推移函数
をゲージ変換
][
][
]
[
] [
ξαβ σαβ λ−1ξαβ λ2 σαβλ(9.23)
=
−1
−1
ξαβ
ξαβ
λ−1
λ

― 89 ―

42

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

によって σαβ = 0 か σαβ = 1 の場合に標準化出来るからです。前者の場合は自明な拡大
1−1

E = KC2 ⊕ KC 2 が得られます。この場合、σαβ = cαβ = 0 なので、射影座標系 (9.12) はア
フィン座標系に退化します。私たちは g(C) > 1 と仮定しているので、C はアフィン構造を持ち得ません。ということは、後者の場合のみが起こっているわけです。そして、σαβ = 1の場合には自明拡大の場合と比べて実際に複素構造が違うことを後で示します。
さて、今 C の複素構造と整合的な別の射影構造があったとしましょう。(9.13) の引き揚げで生ずる符号 ± と (9.14) の平方根の取り方を調節することによって (9.19) を充す全
く同じベクトル束 E を構成する事が出来ます。ただ、私たちは C の同じ複素構造を表す
二つの違った座標系を扱っているので、E の局所定数切断の概念は変化します。ということは、座標系の取り方が正則接続 ∇ の取り方に反映されている。つまり、同じベクトル束
E に作用する二つの正則接続が得られるのです。上で注意したように、これら二つの正則接続の差として OC 加群準同型 E −→ E ⊗ KC が一つ定まります。こうして私たちはヒッチンの定義 [57, 58] に導かれます。
定義 9.6 (ヒッグズ束 [57, 58]). C 上定義された r 次元正則ベクトル束 E と、ヒッグズ場と呼ばれる OC 加群準同型
ϕ : E −→ E ⊗ KCとからなる組 (E, ϕ) を r 次元ヒッグズ束と呼びます。特に、SL2 (C) ヒッグズ束 (E, ϕ) とは、２次元ベクトル束 E が det E = OC を充し、ヒッグズ場が trϕ = 0 となっている場合をいいます。２次元ヒッグズ束の安定性を、ϕ 不変なあらゆる部分直線束 F ⊂ E 、つまり、
ϕ : F −→ F ⊗ KC を充すような直線束、の次数が必ず負であること (degF < 0) として定義します。
安定ヒッグズ束のモジュライ空間は [98] で構成されました。記号 MDol で C 上の安定
正則 SL2 (C) ヒッグズ束のモジュライ空間を表すことにしましょう。この空間は、既約正則 SL2 (C) 接続 (E, ∇) の為すモジュライ空間 MdeR と微分同相である事が知られています [26, 57, 98]。第 11 節で非アーベル的ホッジ対応と呼ばれる特別な微分同相(9.24)∼

ν : MDol −→ MdeRを構成します。
標準直線束 KC の全空間は C の余接束 π : T ∗ C −→ C です。記号 η ∈ H 0 (T ∗ C, π ∗ KC )でトートロジー切断π ∗ KC
KC
η

T ∗C

=


 T ∗CπCを表します。それは T ∗ C 上の正則１形式です。ヒッグズ場 ϕ は End(E) に値を持つ正則１形式なので、その固有値は C 上の正則１形式です。したがって、ϕ の固有値の集合は射
影 π : T ∗ C −→ C の多価切断を定めます。この多価切断の像 Σ ⊂ T ∗ C がヒッチンスペク
トル曲線で、C 上の分岐被覆曲線となっています。より正確には、Σ は特性多項式

det(η − π ∗ ϕ) ∈ π ∗ KC⊗2の０点からなる T ∗ C の因子として定義されます。正則写像(9.25)µH : MDol ∋ (E, ϕ) �−→ det(η − π ∗ ϕ) ∈ B,()
B := H 0 C, KC⊗2をヒッチンファイバー空間 [57]、B をヒッチン底空間といいます。それは代数的完全積分
1

可能ハミルトニアン系を MDol 上に定めます。ヒッチンは [57] でスピン構造 KC2 を選べば自然な切断 κ : B �→ MDol が構成できることを示しました。今、
[
]
[
]
[
]
0 0
0 1
1 0
t
(9.26)X− :=,X+ := X− =,H := [X+ , X− ] =
1 0
0 0
0 −1
と置きましょう。これは３次元リー環 ⟨X+ , X− , H⟩ ∼= sl2 (C) を生成します。

― 90 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

43⊗2) に対して、安定 SL2 (C)補助定理 9.7. ヒッチン底空間 B の任意の点 q ∈ B = H 0 (C, KC
ヒッグズ束 (E0 , ϕ(q)) を次のように構成する事が出来ます。
( 1 )⊗H
1−1(9.27)
E0 := KC2
= KC2 ⊕ KC 2 ,(9.28)

ϕ(q) := X− + qX+ =

[

]
0 q
.
1 0

証明. まず、X− : E0 −→ E0 ⊗ KC が大域的に定義された End(E0 ) 値１形式であることに注意します。それは恒等写像
1

−1

=

1 : KC2 −→ KC 2 ⊗ KC

(9.29)

で与えられているからです。また、２次微分の掛け算は大域的写像
−1

3

1

q : KC 2 −→KC2 = KC2 ⊗ KCを与えます。従って、ϕ(q) : E0 −→ E0 ⊗ KC は E0 に作用する大域的ヒッグズ場です。
ヒッグズ束が安定なのは、q = 0 でない限り E0 には ϕ(q) 不変な部分直線束が存在しない−1

ことに因ります。そして、もし q = 0 ならば、不変部分直線束は KC 2 であり、その次数−g + 1 は g ≥ 2 と仮定しているので常に負の値をとります。
□
ヒッチン－コスタント切断を(9.30)

κ : B ∋ q �−→ (E0 , ϕ(q)) ∈ MDolと定義します。これは B と κ(B) ⊂ MDol の間の双正則同型を与えます。

注意 9.8. より一般に、G を任意の複素単純代数群とする時、安定 G ヒッグズ束のモジュライ空間、即ち G ヒッチンファイバー空間に、ヒッチン－コスタント切断を構成する事ができます。その構成にはコスタント [71] に依る主要３次元部分群 (TDS) の概念を用います。TDS が量子化の過程で重要な役割を果たすことが [29, 34] で指摘されました。
ヒッチン－コスタント切断 κ(B) は正則シンプレクティック多様体 MDol のラグランジア
ン部分空間です。MDol の正則シンプレクティック構造はその開稠密部分集合 T ∗ SU(2, C)の自然な正則シンプレクティック構造に由来します。ここで、SU (2, C) は C 上の２次元
ベクトル束で、行列式の自明化を固定したもののモジュライ空間です。開集合 T ∗ SU(2, C)の MDol での余次元は２なので、余接束の自然な正則シンプレクティック形式は MDol に必然的に拡張されます。
ヒッチンスペクトル曲線 Σ の量子化の構成の第一段階は ℏ に解析的に依存する C の ℏ
接続を定義する事です。私たちは、ベクトル束の１パラメター変形族 E

Eℏ

E




 C × H 1 (C, KC )C × {ℏ}と、０でない ℏ ∈ H 1 (C, KC ) ∼= C に正則に依存する C 線形１階微分作用素 ℏ∇ℏ : Eℏ −→Eℏ ⊗ KC を用います。量子論のプランク定数 ℏ は幾何学的に
(
)
1
− 12
1
1
2
(9.31)ℏ ∈ H (C, KC ) = Ext KC , KC ∼=Cと解釈され、それは拡大

1(9.32)−10 −→ KC2 −→ Eℏ −→ KC 2 −→ 0

をただ一つ定めます。これは (9.19) と同じ物です。拡大 Eℏ は各 Uα ∩ Uβ 上の推移函数]}{[
ξαβ ℏσαβ(9.33)
Eℏ ←→
−1
0
ξαβ

― 91 ―

44

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

で与えられます。推移函数のコサイクル条件から−1
σαγ = ξαβ σβγ + σαβ ξβγ(9.34)
1

が従います。KC2 のコサイクル条件 ξαγ = ξαβ ξβγ を微分すると、

dξαβ
dξβγ
dξαγ
dzγ =
dzβ ξβγ + ξαβ
dzγ
dzγ
dzβ
dzγ
dz

β
2 =
が得られます。ξαβdzα に注意して

σαβ := −(9.35)dξαβ= −∂β ξαβdzβと定めれば、それは (9.34) の解を与えます。(9.23) から{E1ℏ ̸= 0,
1
Eℏ ∼
=
− 12
2
E0 = KC ⊕ KC
ℏ = 0.
である事が分かります。推移函数は
]
(
[
])
(
[
])
[
ξαβ ℏσαβ
1 0
0 1
=
exp
log
ξ
exp
−ℏ∂
(9.36)
log
ξ
−1
αβ
β
αβ
ξαβ
0 −1
0 0
とも表されます。従って、拡大類は ∂β log ξαβ で決まっていると考えることもできます。
補助定理 9.9. (9.35) の拡大類 σαβ は非自明な拡大 (9.32) を与えます。
証明. 層の完全系列

0

0

0


Z

0


C


 OC

0


 C∗


 O∗


Z

=



0
d


 KC

0

d log

C


 KC

0

0

0



0



から誘導されるコホモロジー完全系列

H 1 (C, C) H 1 (C, OC )

H 1 (C, C∗ )

 H 1 (C, KC )∼

 H 2 (C, C)∥ H 1 (C, O ∗ )
C

d log


 H 1 (C, KC )

c1

0



H 2 (C, Z)= H 2 (C, Z)
d log∗ ) −→ H 1 (C, K ) による像であることを示
はコサイクル {σαβ } が {ξab } の写像 H 1 (C, OC
C
1
しています。もし d log{ξαβ } = 0 ∈ H (C, KC ) ならば、{ξab } は H 1 (C, C∗ ) に属するコサイクルの像なので、前節でも引用したブロックの論文 [8] で説明されているように、正則― 92 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

45

接続を伴った正則直線束を決めます。如何なる正則接続も C 上平坦ですからその曲率形式は消滅し、g(C) ≥ 2 だとするとチャーン－ヴェイユ公式から矛盾( 1)
0 = c1 KC2 = g − 1 > 0を生じます。従ってコサイクル {σαβ } は非自明な拡大を定めます。

□∼ C を一つ定め、変形のパラメ(9.35) のコサイクル {σαβ } を用いて同型 H 1 (C, KC ) =⊗2
1
ター ℏ ∈ C とコホモロジー類 {ℏσαβ } ∈ H (C, KC ) = C とを同一視します。直線束 KC∪⊗20を座標系 C = α Uα に従って局所的に自明化し、２次微分 q ∈ H (C, KC ) を推移関係式4(q)α = (q)β ξαβ(9.37)

を充す局所表示の類 {(q)α } で表わします。自明拡大 E0 の推移函数はH
ξαβ= exp(H log ξαβ )(9.38)

で与えられます。大域的ヒッグズ場 X− : E0 −→ E0 ⊗ KC の局所表示 {X− dzα } は各Uα ∩ Uβ 上で推移関係式(9.39)

X− dzα = exp(H log ξαβ )X− dzβ exp(−H log ξαβ )を充します。同じ関係式がヒッグズ場 ϕ(q) についても成立します。

(9.40)

ϕα (q)dzα = exp(H log ξαβ )ϕβ (q)dzβ exp(−H log ξαβ ).

定理 9.10 (SL2 (C) オパーの構成). 各 Uα ∩ Uβ 上で推移函数
[
)
(
ξαβ
ℏ
(9.41) gαβ := exp(H log ξαβ ) exp − ℏ∂β log ξαβ X+ =] []1 −ℏ∂β log ξαβ
−1 ·
ξαβ
1

を定義します。ここで、∂β = dzdβ と表わし、ℏ∂β log ξαβ ∈ H 1 (C, KC ) です。この時、次に述べる諸性質が成立します。

ℏ } はコサイクル条件• 推移函数 {gαβ(9.42)

ℏ
ℏ
ℏ
gαβ
gβγ
= gαγ

を充し、(9.32) の正則ベクトル束 Eℏ を決めます。
• ℏ ̸= 0 の時、各 Uα 上の局所表示(9.43)1∇ℏα (0) := d − X− dzaℏは Eℏ に作用する大域正則接続を定めます。特に、射影座標系を一つ固定すると、
(
)( )
−1
1
1
ℏ
ℏ
gαβ
(9.44)
d − X− dzα = gαβ d − X− dzβℏℏが成り立ちます。
• (9.30) のヒッチン－コスタント切断の各点(E0 , ϕ(q)) ∈ κ(B) ⊂ MDol は、１パラ)(
メター SL2 (C) オパーの族 Eℏ , ∇ℏ (q) ∈ MdeR を誘導します。つまり、上で固定された射影座標を用いれば、各 Uα 上の局所表示(9.45)1∇ℏα (q) := d − ϕα (q)dzαℏ

は ℏ ̸= 0 の時 Eℏ の大域正則接続(9.46)( )−1ℏℏ∇ℏα (q) = gαβ∇ℏβ (q) gαβを与え、それがオパーの定義条件を充すのです。

― 93 ―46

O. DUMITRESCU AND M. MULASE• ドリーニュの ℏ 接続ℏ∇ℏ (q) : Eℏ −→ Eℏ ⊗ KC

(9.47)

はヒッグズ束とオパーとを補間します。つまり、ℏ = 0 の時族((9.47) はヒッグズ束)(E, −ϕ(q)) ∈ MDol を与え、ℏ = 1 の時それは SL2 (C) オパー E1 , ∇1 (q) ∈ MdeRを与えるのです。
• ℏ に依存するあるゲージ変換の下で、オパー ∇ℏ (q) の ℏ → ∞ での極限が存在し、それは ∇ℏ=1 (0) と同じになります。これはヒッチン－コスタント切断の C∗ 作用による不動点に対応します。
証明. gαβ のコサイクル条件は既に (9.35) と (9.36) で示されました。(9.44) の証明は次の共役作用のベキ展開を用いた直接計算で得られます。

(9.48)

e

ℏA

Be

−ℏA

=

∞
∑
1

n=0

ベキ展開を用いて
( )−1
ℏ
ℏ
gαβ
X− gαβn!

nnℏ (adA ) (B) :=

∞
∑
1
n=0

n!

n

�
��
�
ℏ [A, [A, [· · · , [A, B] · · · ]]].
n

= exp(H log ξαβ ) exp (−ℏ∂β log ξαβ X+ ) X− exp (ℏ∂β log ξαβ X+ ) exp(−H log ξαβ )= exp(H log ξαβ )X− exp(−H log ξαβ ) − ℏ∂β log ξαβ H− ℏ2 (∂β log ξαβ )2 exp(H log ξαβ )X+ exp(−H log ξαβ )が従います。(9.15) は

(
)
−1
−2
∂β ∂β log ξαβ = ∂β ξαβ∂β ξαβ = −ξαβ(∂β ξαβ )2 = −(∂β log ξαβ )2と同値です。従って、それは
( )−1
ℏ
ℏ
∂β gαβ= ∂β log ξαβ H + ℏ(∂β log ξαβ )2 exp(H log ξαβ )X+ exp(−H log ξαβ )gαβとも同値となります。(9.39) に注意すれば、(9.15) が(( )−1( )−1 )1 ℏ
1ℏℏℏgαβ X− gαβdzβ = exp(H log ξαβ )X− dzβ exp(−H log ξαβ )gαβ+ ∂β gαβℏℏ1= X− dzαℏを与えます。(9.44) が射影座標での関係式であることは命題 9.2 から分かります。
(9.46) の証明には (9.44) に加えて
( )−1
ℏ
ℏ
(9.49)(q)α X+ dzα = gαβ(q)β X+ dzβ gαβを示さねばなりませんが、(9.49) は (9.40) と (9.41) から明らかです。
1

SL2 (C) オパーの定義に必要な部分直線束 F は、単純に KC2 を取れば済みます。要請される同型 (9.11) は (9.29) の帰結です。
最後に、各座標近傍 Uα 上で与えられたベクトル束自己同型
]
[ 1
−2
H
ℏ
(9.50)ℏ− 2 =
1ℏ2による接続 ∇ℏ (q) のゲージ変換は(9.51)

H1d − ϕ(q) �−→ ℏ− 2
ℏ

)
(
)
H
1
q
d − ϕ(q) ℏ 2 = d − X− + 2 X+ℏℏ(となります。これは、共役公式 (9.48) から直ちに従うHHℏ− 2 X− ℏ 2 = ℏX−と― 94 ―

HH

2 2
2ℏ− 2 X +ℏ = ℏ−2 X+２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待の帰結です。故に47

lim ∇ℏ (q) ∼ d − X− = ∇ℏ=1 (0)ℏ→∞である事が分かります。ここで、記号 ∼ はゲージ同値であることを意味します。こうして□定理の証明がことごとく完了しました。
この構成定理からさらに次の定理が得られます。
定理 9.11 (ヒッチンスペクトル曲線の双正則量子化). C を種数２以上のコンパクトリー
マン面とし、その複素構造に整合的な射影座標系を一つ固定します。MDol で C 上の安定正則 SL2 (C) ヒッグズ束のモジュライ空間を表し、MdeR で既約正則 SL2 (C) 接続のモ1

ジュライ空間を表わします。テータ指標 KC2 を固定し、(9.30) で与えたようにヒッチン－1

コスタント切断 κ(B) ⊂ MDol を選びます。定義に必要な直線束として F = KC2 を選んだ
SL2 (C) オパーのモジュライ空間を Op ⊂ MdeR で表します。このとき、ℏ = 1 での写像()
γ(9.52)
MDol ⊃ κ(B) ∋ (E0 , ϕ(q)) �−→ Eℏ , ∇ℏ (q) ∈ Op ⊂ MdeRは、κ(B) から Op への双正則写像を与えます。定義域と値域の複素構造はそれぞれ MDolと MdeR とから誘導されたものです。
双正則量子化写像 (9.52) は、さらに C∗ 同変です。λ ∈ C∗ の κ(B) への作用は ϕ �−→ λϕで与えられます。(E0 , λϕ(q)) ∈ κ(B) に対応するオパーは d − λℏ ϕ(q) です。

証明. C∗ 同変性はゲージ変換 (9.50)、 (9.51) と同じ議論から従います。ヒッチン－コスタ
ント切断への作用 ϕ �−→ λϕ は写像 µH を通してヒッチン底空間の重み付き作用B ∋ q �−→ λ2 q ∈ B( )Hを誘導します。こうして、ゲージ変換 λℏ 2 によるゲージ同値( )H () ( )− H
)
(
2
λ
λ 2
λ
λ
λ2 q
d − ϕ(q)d − ϕ(q) ∼= d − X− + 2 X+
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
が得られます。

□

注意 9.12. 構成定理の中で射影座標系を用いたことは本質的です。この座標系でのみ定義
式 (9.45) が意味を為すのです。これは (9.14) によって ξαβ の２次微分が消滅することに由来します。また、上で見たように射影座標系はオパーのモジュライ空間 Op の原点 ∇1 (0)⊗2を決めます。他のオパー ∇1 (q) は、単に原点の q ∈ H 0 (C, KC) による平行移動で与えられるのです。

10. SL2 (C) オパーの準古典（WKB）近似
繰り返しになりますが、コンパクトリーマン面 C 上の正則接続は平坦です。従って、それは C 上に D 加群を定めます。前節の議論を踏襲し、C の射影座標系を一つ固定します。
()
ヒッチン－コスタント切断 (9.30) の点 (E0 , ϕ(q)) = κ(q) はオパーの ℏ 変形族 Eℏ , ∇ℏ (q)を一つ決めます。この節では、ドリーニュの ℏ 接続 ℏ∇ℏ (q) が B をパラメター空間とする
C 上の D 加群の変形族を与えること、そして、その準古典極限が B 上定義されるスペクトル曲線の普遍変形族と一致すること、を示します。
準古典極限を計算するために、ベクトル束 Eℏ を各座標近傍 Uα 上で自明化し、そこでの射影座標を zα とします。Eℏ |Uα の平坦切断 Ψα は微分方程式[ ]ℏψℏ(10.1)ℏ∇α (q)Ψα := (ℏd − ϕα (q))=0ψ αℏ Ψ なので、 U 上の函数 ψ は推の解です。ここで、ψ は未知函数を表します。Ψα = gαβ
α
β
−1

−1
移関係 (ψ)α = ξαβ(ψ)β を充します。つまり、ψ は実は直線束 KC 2 の局所切断であったわ― 95 ―

48

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

けです。q は Uα 上正則関数で表されるので、(10.1) は二つの１次独立解を持ちます。ϕ(q)は ℏ によらず[]
0 q(10.2)
ϕ(q) =
1 0−1という形を取るので、(10.1) は未知関数 ψ ∈ KC 2 の２階微分方程式ℏ2 ψ ′′ − qψ = 0(10.3)と同値です。私たちは射影座標を用いているので、接続 ∇ℏ (q) はどの座標近傍 Uα でも同じ形をしています。ということは、ψ の方程式 (10.3) もどこでも同じ形を取る、ということになります。これはまさに (9.2) で実現したかった事です。こうして、私たちはスペク
トル曲線に対応する量子曲線と呼ぶに相応しい微分方程式を得ることができました。ここまで来れば、ℏ∇ℏ (q) の決める D 加群の準古典極限を求めることは容易です。
定理 10.1 (オパーの準古典極限).
( 定理 9.11 )と同じ設定のもとで、(9.52) で与えられたオパーの族に対応する D 加群の族 Eℏ , ℏ∇ℏ (q) を E(q, ℏ) で表します。その準古典極限は特性方程式 det(η − ϕ(q)) = 0 で定まるスペクトル曲線 Σ ⊂ T ∗ C で与えられます。

Uα 上の正則函数 S0 (zα ) を dS0 = ydzα となるように選び、T ∗ C|Uα の自明化を与えます。この函数を用いて、(10.3) の準古典極限を求めると、結果は
[ (
]
)
1
d 2
− ℏ1 S0 (zα )2ℏ(10.4)
lim e− q e ℏ S0 (za ) = y 2 − q
ℏ→0
dzα
1

となります。準古典極限の計算は対角行列 e− ℏ S0 (zα ) I2×2 での共役を接続 ℏ∇ℏ (q) に施した
後その行列式を取り、さらに ℏ を０にする極限操作を行うことと全く同じです。
スペクトル曲線の普遍変形族 SC −→ C × B は(10.5)T ∗C × B C ×B (())
det η − ϕ(q) 0

SC 
=





⊃

C ×B 

C × {q}()
で定義されます。任意の ℏ ∈ H 1 (C, KC ) に対応して、(9.47) で与えた ℏ 接続 Eℏ , ℏ∇ℏ (q)は Eℏ に大局的 DC 加群の構造を定めます。C にスピン構造と射影構造とを与えれば、このようにして DC 加群の族 EC が(10.6)⊃EC C × B × H 1 (C, KC ) (Eℏ , ∇ℏ (q)

C × {q} × {ℏ}.

として決まります。準古典極限は可換図式(10.7)

EC

 SC




 C ×BC × B × H 1 (C, KC )に他なりません。

― 96 ―)

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

49

11. 異なるヒッチンモジュライ空間の間の非アーベル的ホッジ対応
双正則写像 (9.52) は底曲線 C の射影構造を固定して得られました。ガイオット [47] は
この対応が、非アーベル的ホッジ対応のスケール極限として自動的に構成されるだろうと予想しました。この予想は [29] で、任意の複素単純単連結リー群 G を用いた正則 G ヒッ
グズ束のモジュライ MDol のヒッチン－コスタントラグランジアン部分多様体と、既約正
則 G 接続のモジュライ MdeR 内のオパーの空間との間の同型として解決されました。この節では、[29] の主要結果を G = SL2 (C) の場合に解説し、今まで述べてきた量子化との関連を明らかにします。
記号 E top で種数２以上のコンパクトリーマン面 C 上の位相的に自明な複素２次元ベクトル束を表わします。C 上の代数的ベクトル束の安定性条件と微分幾何的函数が充す偏微分方程式との同値対応は、ナラシムハン－セシャドリ [89] によって安定ベクトル束のモ
ジュライ空間の位相不変量の導出に有効に使われました ([5, 88] も参照)。この古典的結果に倣い、SL2 (C) ヒッグズ束 (E, ϕ) の安定性をヒッチンの方程式と呼ばれる偏微分方程式
系で定義することが出来ます [26, 57, 98]。方程式の未知函数は、 E top のエルミートファ
イバー計量 h とその計量に関するユニタリ接続 D、そして C 上の可微分 sl2 (C) 値１形式
ϕ です。ヒッチンの方程式は次の式で与えられます。
{
FD + [ϕ, ϕ† ] = 0(11.1)
D0.1 ϕ = 0.
ここで、FD はユニタリ接続 D の曲率２形式、ϕ† は ϕ の h についてのエルミート共役、そして D0,1 は底曲線 C の複素構造で定まる D のコーシー－リーマン成分を表わします。
D0,1 は E top に複素構造を誘導します。それを単に E で表すことにします。(11.1) の第２式は ϕ のコーシー－リーマン方程式ですから、ϕ は E の正則ヒッグズ場になります。ヒッチンの方程式の解からこうして構成された (E, ϕ) は安定ヒッグズ束です。逆に、安定ヒッ
グズ束 (E, ϕ) はヒッチンの方程式を充す調和エルミート計量 h と、それに伴ったチャーン
接続 D とを与えます [98]。正則ヒッグズ束 (E, ϕ) の安定性はこうして (11.1) に翻訳される訳です。
可微分接続の１パラメター族を次の式で定義しましょう。
1(11.2)
D(ζ) := · ϕ + D + ζ · ϕ† ,
ζ ∈ C∗ .
ζ

D(ζ) が全ての ζ で平坦であることと (11.1) とは同値です。非アーベル的ホッジ対応 [26,57, 78, 98] とは微分同相写像
� ∇)� ∈ MdeRν : MDol ∋ (E, ϕ) �−→ (E,を指します。この二つのモジュライ空間の微分同相を示す事は本稿の範囲を遥かに超えてしまうので、ここでは写像 ν の定義を与えるだけに留めます。まず、安定ヒッグズ束 (E, ϕ)に対応するヒッチンの方程式の解を (D, ϕ, h) としましょう。それは平坦接続の族 D(ζ) を誘導します。その ζ = 1 での値のコーシー－リーマン成分 D(ζ = 1)0,1 を使って E top に複� と表します。接続 D(ζ) は平坦ですから、∇
� := D(ζ = 1)1,0 は自動的に素構造を与え、E� に作用する正則接続になります。(E, ϕ) の安定性はこの接続が既約であることを保証すE� ∇)� ∈ MdeR が得られました。この対応は実ユニタリ接続 D を経由するので、るので、(E,� への移行は複素解析的変形ではありません。
複素構造 E から E
リーマン－ヒルベルト対応は、接続にそのホロノミー表現を対応させることによって複素解析的同型()(11.3)
MdeR ∼= Hom π1 (C), SL2 (C)  SL2 (C)を与えます。π1 (C) は簡単な有限表示を持つ群ですから、(11.3) の右辺はアフィン代数多様体です。ところで、MDol はヒッチンファイバー空間ですから、非特異なスペクトル曲線
Σ −→ C に対応するコンパクトなプリム多様体 P rym(Σ → C) がファイバーとして含まれています。アフィン代数多様体はコンパクト複素部分多様体を持ち得ないので、非アー
ベル的ホッジ対応 (9.24) は複素解析同型ではありません。複素構造が違うという点が本質― 97 ―

50

O. DUMITRESCU AND M. MULASE

的で、MDol はハイパーケーラー多様体として扱われるべきものなのです。この方面での近年の爆発的発展の一つのきっかけはカプスティンとウィッテンによる物理学からの影響[64] でした。
物理学者ガイオットは、１パラメター族 (11.2) を拡張して次に述べる予想を立てました。
予想 11.1 (ガイオット [47]). 安定ヒッグズ束 (E0 , ϕ(q)) がヒッチン－コスタント切断上の点であるとし、それに対応するヒッチンの方程式 (11.1) の解を (D, ϕ, h) で表わします。
平坦接続の２パラメター族(11.4)

D(ζ, R) :=1· Rϕ + D + ζ · Rϕ† ,ζζ ∈ C∗ , R ∈ R +を考えましょう。このとき、任意の ℏ ∈ C∗ に対してスケール極限(11.5)

lim

R→0,ζ→0
ζ/R=ℏD(ζ, R)は収束し、その極限はオパーの ℏ 変形族を為します。
注意 11.2.
(1) R → 0 の極限でエルミート計量 h は発散するので、スケール極限の存在は自明ではありません。また、非アーベル的ホッジ対応と違って、ガイオット極
限はヒッチン－コスタント切断上の点のみに有効です。
(2) 元々の予想は ϕ が特異点を持った場合に定式化されました。
定理 11.3 ([29]). 任意の複素単純単連結代数群 G で定義される正則ヒッグズ束の場合にガイオットの予想は成立します。
表現 (3.2) が忠実ならば C を普遍被覆面 H の商空間 (3.3) として実現することを思い起しましょう。
/ ()
C∼= H ρ π1 (C) .
忠実表現 ρ は埋め込み SL2 (R) ⊂ SL2 (C) によって H から誘導された C 上の射影構造を引
き起こします。これがフックス型モデルと呼ばれるものです。

系 11.4 (ガイオット対応と量子化 [29]). C 上のフックス型射影構造をひとつ固定します。
予想 11.1 の設定のもとで、極限オパー (11.5) は(11.6)

lim

R→0,ζ→0
ζ/R=ℏで与えられます。対応

1
D(ζ, R) = d − ϕ(q) = ∇ℏ (q),ℏℏ ̸= 0,()γ(E0 , ϕ(q)) �−→ Eℏ , ∇ℏ (q)は、ℏ ̸= 0 を固定したとき双正則写像になります。

定理の証明. 基本的なアイディアは、ベクトル束 E0 が KC を用いて構成されているので、ファイバー計量 h が自然に C 自体の計量で与えられる、という点です。q = 0 の場合のヒッチンの方程式 (11.1) は C のケーラー計量に対する調和方程式になります。その解はもちろん負定曲率双極計量に他なりません。さらに、この調和計量が C のフックス型射影
構造を定めます。定曲率双極計量から決まるファイバー計量を背景計量として、一般の場
合を摂動展開で解析し、スケール極限の挙動を調べるのです。詳しくは、原論文 [28, 29]を参照してください。
□
注意 11.5. 第２部で展開したお話は、より一般の単純単連結代数群 G で成立します [29, 34]。
鍵となるのはコスタントの３次元部分群 [71] です。TDS を用いて SL2 (C) の場合の構成をG に拡張するというアイディアがうまく働くのです。

― 98 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

51

References[1] L. Abrams, Two-dimensional topological quantum field theories and Frobenius algebras, Journal of Knot
Theory and Ramiﬁcations 5, 335–352 (2000).
[2] M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Mariño, and C. Vafa, Topological Strings and Integrable Hierarchies, [arXiv:hep-th/0312085], Commun. Math. Phys. 261, 451–516 (2006).
[3] J.E. Andersen, S. Gukov, and D. Pei, The Verlinde formula for Higgs bundles, arXiv:1608.01761 (2016).
[4] M.F. Atiyah, Topological quantum field theory, [arXiv:hep-th/0312085], Publications Mathématiques del’I.H.É.S., 68, 175–186 (1988).
[5] M.F. Atiyah and R. Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Phil. Trans. Royal Soc. London
A 308, 523–615 (1982).
[6] A. Beilinson and V. Drinfeld, Opers, arXiv:math/0501398v1 [math.AG] (2005).
[7] A. Beauville, M. S. Narasimhan, and S. Ramanan, Spectral curves and the generalized theta divisor, J. reine
angew. Math. 398, 169–179 (1989).
[8] S. Bloch, The dilogarithm and extensions of Lie algebras, in “Algebraic K-theory Evanston 1980,” 23 pages(1981).
[9] G. Borot, Lecture notes on topological recursion and geometry, arXiv:1705.09986 (2017).
[10] V. Bouchard, D. Hernández Serrano, X. Liu, and M. Mulase, Mirror symmetry for orbifold Hurwitz numbers,arXiv:1301.4871 [math.AG] (2013).
[11] V. Bouchard, A. Klemm, M. Mariño, and S. Pasquetti, Remodeling the B-model, Commun. Math. Phys. 287,
117–178 (2009).
[12] V. Bouchard, A. Klemm, M. Mariño, and S. Pasquetti, Topological open strings on orbifolds, Commun. Math.
Phys. 296, 589–623 (2010).
[13] V. Bouchard and M. Mariño, Hurwitz numbers, matrix models and enumerative geometry, Proc. Symposia
Pure Math. 78, 263–283 (2008).
[14] K. Chapman, M. Mulase, and B. Safnuk, The Kontsevich constants for the volume of the moduli of curves
and topological recursion, Communications in Number Theory and Physics 5, 643–698 (2011).
[15] R. Cohen and P. Norbury, Morse field theory, Asian Journal of Mathematics 16, 661–712 (2012).
[16] D. Cooper, D.M. Culler, H. Gillet, D. Long, and P. Shalen, Plane curves associated to character varieties of
3-manifolds, Invent. Math. 118, 47–84 (1994).
[17] D. Cox and S. Katz, Mirror symmetry and algebraic geometry, Mathematical Surveys and Monographs 68,
469 pps, American Mathematical Society (1999).
[18] P. Deligne and D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus, Publications
Mathématiques de l’I.H.É.S. 36, 75–109 (1969).
[19] R. Dijkgraaf, A geometrical approach to two-dimensional Conformal Field Theory, Ph.D. Thesis, Universiteit
Utrecht (1989).
[20] R. Dijkgraaf, H. Fuji, and M. Manabe, The Volume Conjecture, Perturbative Knot Invariants, and Recursion
Relations for Topological Strings, Nucl. Phys. B849,166–211 (2011).
[21] R. Dijkgraaf, L. Hollands, and P. Su�lkowski, Quantum curves and D-modules, Journal of High Energy Physics
0810.4157, 1–58 (2009).
[22] R. Dijkgraaf, L. Hollands P. Su�lkowski, and C. Vafa, Supersymmetric gauge theories, intersecting branes andfree Fermions, Journal of High Energy Physics 0802.106, (2008).
[23] R. Dijkgraaf, E. Verlinde, and H. Verlinde, Loop equations and Virasoro constraints in non-perturbative
two-dimensional quantum gravity, Nucl. Phys. B348, 435–456 (1991).
[24] T. Dimofte, D. Gaiotto, and S. Gukov. 3-manifolds and 3d indices, Adv. Theor. Math. Phys. 17, 975–1076(2013).
[25] T. Dimofte and S. Garoufalidis, Quantum modularity and complex Chern-Simons theory arXiv:1511.05628[math.GT] (2015).
[26] S.K. Donaldson, A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri, Journal of Diﬀerential Geometry,
18 (2): 269–277, (1983).
[27] B. Dubrovin and Y. Zhang, Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds andGromov-Witten invariants, arxiv:math/0108160 [math.DG] (2001).
[28] O. Dumitrescu, A journey from the Hitchin section to opers, To appear in “Proceedings of the String-Math
2016,” American Mathematical Society (2018).
[29] O. Dumitrescu, L. Fredrickson, G. Kydonakis, R. Mazzeo, M. Mulase, and A. Neitzke, Opers versus nonabelian Hodge, arXiv:1608.03994 (2016).
[30] O. Dumitrescu and M. Mulase, Quantum curves for Hitchin fibrations and the Eynard-Orantin theory, Lett.
Math. Phys. 104, 635–671 (2014).
[31] O. Dumitrescu and M. Mulase, Quantization of spectral curves for meromorphic Higgs bundles throughtopological recursion, arXiv:1411.1023 (2014).
[32] O. Dumitrescu and M. Mulase, Edge-contraction operations on cell graphs and 2D TQFT, to appear in
Journal of Algebra (2018).
[33] O. Dumitrescu and M. Mulase, Lectures on the topological recursion for Higgs bundles and quantum curves,to appear in IMS Lecture Notes Series, National University of Singapore. arXiv:1509.09007 (2015).
[34] O. Dumitrescu and M. Mulase, Interplay between opers, quantum curves, WKB analysis, and Higgs bundles,
arXiv:1702.00511 (2017).
[35] O. Dumitrescu and M. Mulase, Mirror of orbifold Hurwitz numbers as a spectral curve, preprint (2017).
[36] O. Dumitrescu and M. Mulase, Category of cell graphs and cohomological field theory, in preparation.

― 99 ―

52

O. DUMITRESCU AND M. MULASE[37] O. Dumitrescu, M. Mulase, A. Sorkin and B. Safnuk, The spectral curve of the Eynard-Orantin recursion via
the Laplace transform, in “Algebraic and Geometric Aspects of Integrable Systems and Random Matrices,”
Dzhamay, Maruno and Pierce, Eds. Contemporary Mathematics 593, 263–315 (2013).
[38] P. Dunin-Barkowski, M. Mulase, P. Norbury, A. Popolitov, and S. Shadrin, Quantum spectral curve for theGromov-Witten theory of the complex projective line, arXiv:1312.5336 [math-ph] (2013).
[39] P. Dunin-Barkowski, N. Orantin, S. Shadrin, and L. Spitz, Identiﬁcation of the Givental formula with thespectral curve topological recursion procedure, arXiv:1211.4021 [physics.math-ph (math.AG, physics.hep-th)](2012).
[40] B. Eynard, A short overview of the “Topological recursion”, arXiv:1412.3286 (2014).
[41] B. Eynard, M. Mulase and B. Safnuk, The Laplace transform of the cut-and-join equation and the BouchardMariño conjecture on Hurwitz numbers, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 47,
629–670 (2011).
[42] B. Eynard and N. Orantin, Invariants of algebraic curves and topological expansion, Communications in
Number Theory and Physics 1, 347–452 (2007).
[43] C. Faber and R. Pandharipande, Hodge integrals, partition matrices, and the λg conjecture, Ann. of Math.
157, 97–124 (2003).
[44] B. Fang, C.-C. M. Liu, and Z. Zong, All genus open-closed mirror symmetry for aﬃne toric Calabi-Yau
3-orbifolds, arXiv:1310.4818 [math.AG] (2013).
[45] B. Fang, C.-C. M. Liu, and Z. Zong, On the Remodeling Conjecture for Toric Calabi-Yau 3-Orbifolds,
arXiv:1604.07123 (2016).
[46] C. Frohman, R. Gelca, and W. Lofaro, The A-polynomial from the noncommutative viewpoint, Trans. Amer.
Math. Soc. 354, 735–747 (2002).
[47] D. Gaiotto, Opers and TBA, arXiv:1403.6137 [hep-th] (2014).
[48] D. Gaiotto, G.W. Moore, and A. Neitzke, Wall-crossing, Hitchin systems, and the WKB approximation,
arXiv:0907.3987 [hep-th] (2009).
[49] S. Garoufalidis, On the characteristic and deformation varieties of a knot, Geometry & Topology Monographs
7, 291–309 (2004).
[50] S. Garoufalidis and T.T.Q. Lê, The colored Jones function is q Ð holonomic, Geometry and Topology 9,1253–1293 (2005).
[51] S. Garoufalidis and R. Kashaev, From state integrals to q-series, arXiv:1304.2705 (2013).
[52] S. Garoufalidis and R. Kashaev, Evaluation of state integrals at rational points, Commun. Number Theory
Phys. 7, (2015).
[53] A. Givental, Gromov-Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians, Moscow Mathematical
Journal 1, 551–568 (2001).
[54] A. Grassi, Y. Hatsuda, and M. Mariño, Topological strings from Quantum Mechanics, arXiv:1410.3382.
(2014).
[55] S. Gukov and P. Su¦lkowski, A-polynomial, B-model, and quantization, arXiv:1108.0002v1 [hep-th] (2011).
[56] R.C. Gunning, Special coordinate coverings of Riemann surfaces, Math. Annalen 170, 67–86 (1967).
[57] N.J. Hitchin, The self-duality equations on a Riemann surface, Proc. London Math. Soc. (Ser. 3) 55, 59–126(1987).
[58] N.J. Hitchin, Stable bundles and integrable systems, Duke Math. J. 54, 91–114 (1987).
[59] A. Hodge and M. Mulase, Hitchin integrable systems, deformations of spectral curves, and KP-type equations,
Advanced Studies in Pure Mathematics 59, 31–77 (2010).
[60] L. Hollands, Topological strings and quantum curves, Ph.D. Thesis, University of Amsterdam arXiv:0911.3413[hep-th] (2009).
[61] D. Huybrechts and M. Lehn, Stable pairs on curves and surfaces, arXiv:alg-geom/9211001 (1992).
[62] K. Iwaki, O. Marchal, and A. Saens-Rodriguez, Painlevé equations, topological type property and reconstruction by the topological recursion, arXiv:1601.02517 (2016).
[63] K. Iwaki and A. Saens-Rodriguez, Quantum Curve and the First Painlevé Equation, arXiv:1507.06557 (2015).
[64] A. Kapustin and E. Witten, Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program, Communications
in Number Theory and Physics 1, 1–236 (2007).
[65] R. Kashaev and M. Mariño, Operators from mirror curves and the quantum dilogarithm, arXiv:1501.01014[hep-th], (2015).
[66] M. Kazarian and S. Lando, An algebro-geometric proof of Witten?s conjecture, Journal of the American
Mathematical Society 20, 1079–1089 (2007).
[67] M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Communications in Mathematical Physics 147, 1–23 (1992).
[68] M. Kontsevich and Y.I. Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry,
Communications in Mathematical Physics 164, 525–562 (1994),[69] M. Kontsevich and Y. Soibelman, Wall-crossing structures in Donaldson-Thomas invariants, integrable systems and Mirror Symmetry, arXiv:1303.3253 [math.AG] (2013).
[70] M. Kontsevich and Y. Soibelman, Airy structures and symplectic geometry of topological recursion, arXiv:
arXiv:1701.09137 [mathAG] (2017).
[71] B. Kostant, The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group,Amer. J. Math., 81, 973–1032 (1959).
[72] J. Lurie, On the classiﬁcation of topological ﬁeld theories, Current Developments in Mathematics 2008,
129–280 (2009).

― 100 ―

２次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待

53[73] A. Marian, D. Oprea, R. Pandharipande, A. Pixton, and D. Zvonkine, The Chern character of the Verlinde
bundle over Mg,n , arXiv:1311.3028 (2013).
[74] M. Mariño, Open string amplitudes and large order behavior in topological string theory, J. High Energy
Physics 0803-060, 1–33 (2008).
[75] M. Mariño, Spectral Theory and Mirror Symmetry, arXiv:1506.07757 (2015).
[76] M. Mirzakhani, Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces,
Invent. Math. 167, 179–222 (2007).
[77] M. Mirzakhani, Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli space of curves, J. Amer.
Math. Soc. 20, 1–23 (2007).
[78] T. Mochizuki, Wild harmonic bundles and wild pure twistor D-modules, arXiv:0803.1344, 621 pages (2010).
[79] M. Mulase, Cohomological structures in soliton equations and Jacobian varieties, Journal of Diﬀerential
Geometry 19, 403–430 (1984).
[80] M. Mulase, Algebraic theory of the KP equations, in “Perspectives in Mathematical Physics,” R. Penner and
S.-T. Yau, Editors, International Press Company, 157–223 (1994).
[81] M. Mulase and M. Penkava, Ribbon graphs, quadratic diﬀerentials on Riemann surfaces, and algebraic
curves deﬁned over Q, The Asian Journal of Mathematics 2 (4), 875–920 (1998).
[82] M. Mulase and M. Penkava, Topological recursion for the Poincaré polynomial of the combinatorial moduli
space of curves, Advances in Mathematics 230, 1322–1339 (2012).
[83] M. Mulase and B. Safnuk, Mirzakhani’s Recursion Relations, Virasoro Constraints and the KdV Hierarchy,
Indian Journal of Mathematics 50, 189–228 (2008).
[84] M. Mulase, S. Shadrin, and L. Spitz, The spectral curve and the Schrödinger equation of double Hurwitz
numbers and higher spin structures, Communications in Number Theory and Physics 7, 1–19 (2013).
[85] M. Mulase and P. Su�lkowski, Spectral curves and the Schrödinger equations for the Eynard-Orantin recursion,
arXiv:1210.3006 (2012).
[86] M. Mulase and N. Zhang, Polynomial recursion formula for linear Hodge integrals, Communications in
Number Theory and Physics 4, 267–294 (2010).
[87] D. Mumford, Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves, in “Arithmetic and Geometry,”
M. Artin and J. Tate, eds., Part II, 271–328, Birkhäuser, 1983.
[88] D. Mumford, J. Fogarty, and F. Kirwan, Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete, 294 pages, Springer-Verlag (1994).
[89] M.S. Narasimhan and C.S. Seshadri, Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface,
Annals of Mathematics, Second Series, 82, 540–567 (1965).
[90] T. Nakatsu and K. Takasaki, Open string amplitudes of closed topological vertex, arXiv:1507.07053 [math-ph](2015).
[91] A. Okounkov and R. Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and matrix models, I, Proc.
Symposia Pure Math. 80, 325–414 (2009).
[92] H. Ooguri, P. Sulkowski, M. Yamazaki, Wall Crossing As Seen By Matrix Models, arXiv:1005.1293 (2010).
[93] M. Ossendrijver, Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a timevelocity graph, Science 351, Issue 6272, 482–484 (2016).
[94] A. Pixton, The tautological ring of the moduli space of curves, Princeton Ph.D. Thesis, June 2013.
[95] B. Riemann, Theorie der Abel’schen Functionen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 54,
101–155 (1857).
[96] E. Robson, Words and pictures: New light on Plimpton 322 , Mathematical Association of America Monthly
109, 105–120 (2002).
[97] G. Segal, Geometric aspect of quantum ﬁeld theory, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Kyoto, Japan 1990, 1387–1396 (1991).
[98] C.T. Simpson, Higgs bundles and local systems, Publications Mathématiques de l’I.H.E.S. 75, 5–95 (1992).
[99] C. Teleman, The structure of 2D semi-simple ﬁeld theories, Inventiones Mathematicae 188, 525–588 (2012).
[100] T.R.S. Walsh and A.B. Lehman, Counting rooted maps by genus. I, Journal of Combinatorial Theory B-13,
192–218 (1972).
[101] E. Witten, Two dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surveys in Diﬀerential Geometry 1, 243–310 (1991).
[102] E. Witten, Mirror symmetry, Hitchin’s equations, and Langlands duality, arXiv:0802.0999 (2008).
[103] D. Zagier, Quantum modular forms, in “Quanta of maths,” Clay Math. Proc., vol. 11, Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, pp. 659–675 (2010).
[104] J. Zhou, Quantum Mirror Curves for C3 and the Resolved Conﬁold, arXiv:1207.0598v1 [math.AG] (2012).
Olivia Dumitrescu: Department of Mathematics, Central Michigan University, Mount Pleasant,MI 48859, U.S.A., and Simion Stoilow Institute of Mathematics, Romanian Academy, 21 Calea Grivitei
Street, 010702 Bucharest, Romania
E-mail address: dumit1om@cmich.edu
Motohico Mulase: Department of Mathematics, University of California, Davis, CA 95616–8633,
U.S.A., and Kavli Institute for Physics and Mathematics of the Universe, The University of Tokyo,
Kashiwa, Japan
E-mail address: mulase@math.ucdavis.edu― 101 ―