特異点解消定理と局所ゼータ関数の有理型解析接続
神本 丈 (九州大学)

岡シンポジュウム

2022 年 12 月 18 日

次の積分について考える：∫Z(s) =Rnf, φ ∈ C ∞ (U ),|f (x)|s φ(x)dx,s∈C

U : 原点の開近傍 ⊂ Rn ;Supp(φ)⊂ U .
積分の収束から, Z は右半平面上の正則関数とみなすことができる（Z ∈ O({Re(s) > 0})）．
ImO

Re上の正則関数を (f , φ に関する) 局所ゼータ関数 とよぶ.

Z はより広い領域に解析接続されることが多い．

問題
局所ゼータ関数は，どのように解析接続されるか？

f ̸= 0 on U =⇒ すべての s ∈ C について積分が収束する．
=⇒ Z ∈ O(C) (自明な場合).
f の零点集合が Z の解析接続の障害になる．
V (f ) = {x : f (x) = 0} の幾何学的な性質が，Z の解析接続の様子に強く影響を及ぼす．
上の問題について，以下の仮定を課して考える:

f (0) = 0, ∇f (0) = (0, . . . , 0) (臨界点),
f は平坦でない at 0;
φ(0) > 0, φ(x) ≥ 0 on U .

観察 (n = 1 の場合)
n = 1 の場合， 陰関数定理より f (x) = xl の場合を調べれば十分, i.e.
∫ ∞xls φ(x)dx.
Z+ (s) =0

積分の収束から, Re(ls) > −1 のとき，Z+ は正則に拡張される, i.e.,

Z+ ∈ O({Re(s) > −1/l}).
ImRe(s) = −1/l−1/lORe部分積分を用いると，Re(s) > −1/l のとき,
∫ ∞∫ ∞−1lsxls+1 φ′ (x)dx.
Z+ (s) =x φ(x)dx =ls + 1 00ImRe(s) = −2/l−2/l−1/lOReZ+ ∈ M({Re(s) > −2/l}).
{Re(s) > −2/l} 上，Z+ は s = −1/l において高々1 位の極をもつ．

部分積分を何回も繰り返すことにより，Re(s) > −k/l (k ∈ N) のとき,
∫ ∞(−1)kxls+k φ(k) (x)dx.
Z+ (s) =(ls + 1) · · · (ls + k) 0
ImPolesO

Re定理 (n = 1 の場合)
Z は C 全体に有理型関数として解析接続できる, i.e., Z ∈ M(C).
さらに, {Z の極 } ⊂ {−k/l : k ∈ N} が成り立つ.

n が一般の場合 (n ≥ 2)１次元の場合と比べてかなり難しい!! · · · 面白い.

I.M.Gel’fand (1954, ICM 招待講演)
予想: f が多項式 =⇒ Z ∈ M(C)?

Bernstein-Gel’fand, M. Atiyah (1970 年前後)
f ∈ C ω =⇒ Z ∈ M(C).
彼らの証明において, 広中の特異点解消定理 が使われている．

定理 (広中の特異点解消定理, 1964)∃ 原点の開近傍 U , ∃ C ω 多様体 X, ∃ 固有 C ω 写像 π : X → U s.t.
1π は X \ π −1 (0) から U \ {0} への同型写像.

2∀P ∈ π −1 (0), ∃ C ω 局所座標系 y = (y1 , . . . , yn ) near P s.t.
(f ◦ π)(y) = ±n∏lyjj ,Jπ (y) = u(y)j=1n∏

m −1yj jj=1

ただし， lj ∈ Z+ , mj ∈ N，u ∈ C ω with u(0) ̸= 0.

∫|f (π(y))|s φ(π(y))Jπ (y)dy =Z(s) =XZα (s),αwith∫Zα (s) = ±

∑Rn
n
∏
j=1


|yj |lj (α)s+mj (α)−1  φα (y)dy.

,n = 1 の場合の計算から, 累次積分をすることで次が得られる．

定理 (Bernstein-Gel’fand, M. Atiyah (1970 年前後))
f ∈ C ω =⇒ Z ∈ M(C). さらに詳しく, {Z の極 } ⊂ P ． ただし，{}mj (α) + k
P := −: α, j = 1, . . . , n, k ∈ N .
lj (α)
ImPolesOReこの定理から，振動積分の挙動に関して詳細な結果が得られる．

系 (振動積分の漸近展開)∫itf (x)eRnφ(x)dx ∼n∑ ∑cpk tp (log t)k−1

as t → ∞.

p∈P k=1

この結果はすばらしいが，解析的な研究の側面からすると，抽象的で応用面における重要性が低い．

問題
より定量的に Z の極の位置と位数について調べよ!!
(特に，主要極について詳しく調べよ.)A. Varchenko (1976)：
f のニュートン多面体 に基づくトーリック多様体の理論−→ 極の位置や位数に関する定量的な決定 (アルゴリズムの構成)．

ニュートン・データ
f (x) ∼∑

cα xαα∈Zn+(f の原点におけるテイラー級数 ).

Sf := {α ∈ Zn+ : cα ̸= 0}.
∪N+ (f ) :={α + Rn+ : α ∈ Sf } の凸包.
（f のニュートン多面体）
df := min{t > 0 : (t, . . . , t) ∈ Γ+ (f )}（f のニュートン距離）κ0 (f ): 点 (df , . . . , df ) を含む最小の面.
mf := n − dim(κ0 (f )).
注意:

df は選ぶ座標系 (x) に強く依存する.
δ0 (f ) := sup(x) df . (f の高さ)

8 66 22 42 610
例：f (x1 , x2 ) = x12
1 + x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 + x2

ξ2
ニュートン多面体 N+ (f )(0, 10)(2, 8)(8, 6)
mf := n − dim(κ0 (f ))(2, 4)

κ0 (f )

df(6, 2)
Odf(12, 0)

ξ1

定理 (Varchenko 1976)f ∈ C ω ，f はニュートン非退化，df > 1 のとき，12極の位置や位数は，f のニュートン多面体の幾何学的な情報により記述される.
主要極は s = −1/df に存在し，その位数は mf となる.
ImPoles−1/dfORe系 (振動積分の漸近展開の主要項)
f ∈ C ω ，f がニュートン非退化，df > 1 であるとき，∫eitf (x) φ(x)dx ∼ c(φ)t−1/df (log t)mf −1 as t → ∞.
RnVarchenko の研究以降，多くの重要な結果が得られている．
12(数論，特異点論)
Denef, Sargos, Nicaise, Veys (Belgium),Zúñiga-Galindo, Léon-Cardenal, Gómez-Morales, Fuensanta (Mexico).
(実解析)
Phong-Stein, Ikromov-Müller, Greenblatt, Collins-Greenleaf-Pramanik.
“よい” 特異点解消定理 =⇒ “よい” 結果!!!

特に，Greenblatt と Ikromov-Müller は，f が C ∞ 関数の場合について結果を得ている．

f が C ∞ 級の場合
n = 1 の場合は，実解析と同様に扱うことができるので，以後
n ≥ 2 の場合のみ考える.
C ∞ 級の場合には，一般に特異点解消定理のような定理はない．i.e.,
有限回のブロー・アップを繰り返しても，V (f ) = {x : f (x) = 0}の特異点が解消できない場合がある．

定理 (Greenblatt, 2005, n = 2 の場合)
Z ∈ O({z ∈ C : Re(s) > −1/δ0 (f )})．ただし，この評価は最良．
ImRe(s) = −1/δ0 (f )ORe

正則に拡張される領域は実解析的な場合と同様である．

C ∞ 級の場合に，有理型解析接続について考察しよう！

定理 (神本-野瀬, 2016)f ∈ Ê ，f はニュートン非退化 =⇒ Z ∈ M(C).
さらに，Varchenko の結果は f ∈ Ê の場合にも自然に一般化される.
ここで， 関数のクラス Ê ⊂ C ∞ はニュートン多面体を用いて定義され，次の場合を含む：
1n = 1 の場合;

2

Denjoy-Carleman 準解析クラス (⊃ C ω );3

利便な場合.

予想：Ê は Varchenko の結果が自然に成立する 最大の クラスであろう．

問題
Ê 以外の場合には，どのようなことが起きるか?

Z ∈ M(C) に関する反例
次の実解析的でない C ∞ 関数 (̸∈ Ê) を考えてみよう:f∗ (x, y) = xa y b + xa y b−q e−1/|x| ,pa, b, q ∈ Z+ は次をみたす：a < b, 2 ≤ b, 1 ≤ q ≤ b, q: 偶数，p > 0.
β

Newton polyhedron of fb(a, b)(b, b)(∞, b − q)Oa∞αd(f∗ ) = δ0 (f∗ ) = b (ニュートン距離と高さは b)．

定理 (神本-野瀬, 2019)f∗ の場合, Z は s = −1/b において極ではない特異性をもつ.
ImRe(s) = −1/b−1/bSORe問題
Z は s = −1/b においてどんな特異性をもつか?
現在までのところ，この問題に関してはほとんど成果が得られていない．
(孤立特異点かどうかも解っていない．)

このような現象をより一般的に理解するために，次のような不変量を導入する．

{}
Z が有理型に解析接続される領域
m0 (f, φ) := sup σ :,が半平面 Re(s) > −σ を含む
m0 (f ) := inf {m0 (f, φ) : φ ∈ C0∞ (U )}.

m0 (f ) 座標変換に関して不変である.
m0 (f ) = ∞ for f ∈ C ω (Bernstein-Gelfand, Atiyah).
m0 (f∗ ) = 1/b < ∞ (Kamimoto-Nose).

問題
f ∈ C ∞ に対して, m0 (f ) の値を f の適切な情報を用いて記述せよ（または評価せよ）.

上の問題を，次の単純な場合に関して考えてみよう．

f (x, y) = u(x, y)xa y b ＋ (平坦な関数).
a, b ∈ Z+ は a ≤ b をみたし, u ∈ C ∞ (U ) は u(0, 0) ̸= 0 をみたす.
次の４つの場合を考えれば十分:(A) f (x, y) = u(x, y)xa y b ,(B) f (x, y) = u(x, y)xa y b + g(x, y),(C) f (x, y) = u(x, y)xa y b + h(x, y),(D) f (x, y) = u(x, y)xa y b + g(x, y) + h(x, y).

g(x, y) =b−1
∑y j gj (x),h(x, y) =j=0

ただし， hj , gj 平坦関数で，h, g ̸≡ 0.

a−1∑j=0xj hj (y),β∞bh(x, y)Newton polyhedron of f(a, b)(b, b)
g(x, y)Oa∞d(f ) = δ0 (f ) = b (ニュートン距離と高さは b)．

αGreenblatt の結果から以下がわかる:

m0 (f )

(A)

(B)

(C)

(D)

∞sharp≥ 1/bsharp≥ 1/b??

≥ 1/bsharp

定理 (神本-野瀬 2020)(C) の場合に, Z ∈ M({Re(s) > −1/a}) (i.e., m0 (f ) ≥ 1/a).
a < b のとき, {Z の極 } ⊂ {−k/b : k ∈ N}.
Re(s) = −1/aRe(s) = −1/bIm

極−1/a−1/bORe上の結果から，次のような表が得られる．

m0 (f )

(A)

(B)

(C)

(D)

∞sharp≥ 1/bsharp≥ 1/asharp≥ 1/bsharp

ただし，上の “≥ 1/a” が sharp であることは，最近野瀬により示された．

ββ

∞

∞

Newton polyhedron of fb(a, b)b(b, b)βh(x, y)∞Newton polyhedron of f(a, b)b(b, b)

Newton polyhedron of f(a, b)(b, b)
g(x, y)

∞

aOα

O

∞

a(A)

Re(s) = −1/a Re(s) = −1/bImRe(s) = −1/a Re(s) = −1/b

∞

aO

(C)

Poles−1/aαα(B)ImRe(s) = −1/a Re(s) = −1/bIm

Pole−1/bO

Re−1/a−1/bO

Re−1/a−1/bORen = 2 の一般な場合の研究
f (x, y) ∈ R[[x, y]]：f (x, y) の原点における形式的テイラー級数.
f (x, y) は形式的 Puiseux 級数を用いて次のように表される：
f (x, y) = u(x, y)xm0r∏(y − ϕj (x1/N ))mj .

j=1N ∈ N, m0 ∈ Z+ , mj ∈ N,u(x, y) ∈ C[[x, y]] 非零な定数項をもつ,ϕj (t) ∈ C[[t]] 互いに違っている (i.e., ϕj (t) ̸= ϕk (t) if j ̸= k).
R(f ) := {j : ϕj (t) ∈ R[[t]]} ∪ {0};µ0 (f ) := max{mj : j ∈ R(f )}.
µ0 (f ) は幾何学的には “形式的零因子の多重度” と呼ぶべき量である.

定理 (神本, preprint)
1µ0 (f ) = 0, 1 =⇒ m0 (f ) = ∞;2µ0 (f ) ≥ 2 =⇒ m0 (f ) ≥ 1/µ0 (f ).

µ0 (f ) < δ0 (f ) のとき, Re(s) > −1/µ0 (f ) の上の極は有限個の等差数列の中に含まれる．

Re(s) = −1/δ0 (f )Re(s) = −1/µ0 (f )ImPoles−1/µ0 (f )−1/δ0 (f )ORe

定理の証明1

幾何的な道具 · · · 概特異点解消定理

2

解析的な道具 · · · Van der Corput の定理

ブローアップを繰り返すことにより，一般の C ∞ 関数は，局所的に先に考えた (単項式) ＋ (平坦関数) の形に表される．
この場合には，Van der Corput の定理を用いることで、解析接続の様子がわかる．

C ∞ 級関数に関する概特異点解消定理
F を原点の近傍で定義された 2 変数の C ∞ 関数とする.
F (x, y) のテイラー級数 F (x, y) ∈ R[[x, y]] は次をみたしているとする：
r∏
F (x, y) = u(x, y)(y − ϕj (x))mj .
j=1mj ∈ N,u(x, y) ∈ C[[x, y]] 非零な定数項をもつ；
ϕj (t) ∈ C[[t]] は互いに違っている (i.e., ϕj (t) ̸= ϕk (t) if j ̸= k).
一般的な C ∞ 級の場合を思い出して比較しよう:f (x, y) = u(x, y)xm0r∏(y − ϕj (x1/N ))mj .

j=1(上の違いは解析に影響を与えない!! )定理 (概特異点解消定理)∃ 原点の開近傍 U , ∃ C ∞ 実多様体 Y , ∃ C ∞ 固有写像 π : Y → U s.t.
12π は Y − π −1 (O) から U − {O} への局所微分同相写像;
j ∈ R(F ) に対して, ∃ Pj ∈ π −1 (O) かつ ∃C ∞ 級局所座標(x, y) at Pj s.t.
)(mj∑
εjk (x)y mj −k ,(F ◦ π)(x, y) = uj (x, y)xaj y mj +k=1Jπ (x, y) = x

Mj,

ただし，aj ∈ Z+ , mj ∈ N, εjk (x) ∈ RC ∞ ((x)) は平坦関数,uj (x, y) ∈ RC ∞ ((x, y)) は uj (0, 0) ̸= 0 をみたす; Mj ∈ Z+ .
3Q ∈ π −1 (O) \ {Pj } に対して,∃ C ∞ 局所座標 (x, y) at Q s.t.
(F ◦ π)(x, y) = uQ (x, y)xAQ y BQand Jπ (x, y) = xCQ ,ただし， uQ (x, y) ∈ RC ∞ ((x, y)) は uQ (0, 0) ̸= 0 をみたし，AQ , BQ , CQ ∈ Z+ .

参考文献

V. I. Arnold, S. M. Gusein-Zade and A. N. Varchenko: Singularities ofDiﬀerentiable Maps II, Birkhäuser, 1988.
F. Aroca, M. Gómez-Morales and E. León-Cardenal: On Archimedeanzeta functions and Newton polyhedra, J. Math. Anal. Appl. 473(2019), no. 2, 1215–1233.
M. F. Atiyah: Resolution of singularities and division of distributions,Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 145–150.
I. N. Bernstein and S. I. Gel’fand: Meromorphy of the function P λ ,Funktsional. Anal. Prilozhen. 3 (1969), 84–85.
K. Cho, J. Kamimoto and T. Nose: Asymptotic analysis of oscillatory
integrals via the Newton polyhedra of the phase and the amplitude, J.
Math. Soc. Japan, 65 (2013), 521–562.

T. C. Collins, A. Greenleaf and M. Pramanik: A multi-dimensional
resolution of singularities with applications to analysis, Amer. J. Math.
135 (2013), 1179–1252.
J. Denef, J. Nicaise and P. Sargos: Oscillating integrals and Newton
polyhedra, J. Anal. Math. 95 (2005), 147–172.
s . I, J.
J. Denef and P. Sargos: Polyèdra de Newton et distribution f+
Anal. Math. 53 (1989), 201–218.
s . II,J. Denef and P. Sargos: Polyèdra de Newton et distribution f+
Math. Ann. 293 (1992), 193–211.

M. Greenblatt: Newton polygons and local integrability of negative
powers of smooth functions in the plane, Trans. Amer. Math. Soc.
358 (2006), 657–670.

J. Kamimoto: Resolution of singularities for C ∞ functions andmeromorphy of local zeta functions, preprint, arXiv:2209.05657.
J. Kamimoto and H. Mizuno: Asymptotic expansion of oscillatory
integrals with singular phases, To appear in Kyushu Journal of Math.,
arXiv:2209.05663.
J. Kamimoto and T. Nose: On oscillatory integrals with C ∞ phases,
Recent development of micro-local analysis for the theory ofasymptotic analysis, 31–40, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B40, Res.
Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2013.
J. Kamimoto and T. Nose: Toric resolution of singularities in a certainclass of C ∞ functions and asymptotic analysis of oscillatory integrals,
J. Math. Sci. Univ. Tokyo 23 (2016), no. 2, 425–485.
J. Kamimoto and T. Nose: Newton polyhedra and weighted oscillatory
integrals with smooth phases, Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016),
no. 8, 5301–5361.

J. Kamimoto and T. Nose: On the asymptotic expansion of oscillatory
integrals with smooth phases in two dimensions, Several aspects ofmicrolocal analysis, 141–157, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B57, Res.
Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2016.
J. Kamimoto and T. Nose: Asymptotic limit of oscillatory integralswith certain smooth phases, Regularity and singularity for partial
diﬀerential equations with conservation laws, 103–114, RIMS
Kôkyûroku Bessatsu, B63, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2017.
J. Kamimoto and T. Nose: Non-polar singularities of local zetafunctions in some smooth case, Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019),
no. 1, 661–676.
J. Kamimoto and T. Nose: Meromorphy of local zeta functions insmooth model cases, J. Funct. Anal. 278 (2020), no. 6, 108408, 25
pp.
T. Nose: Meromorphic continuation and non-polar singularities oflocal zeta functions in some smooth cases, preprint, arXiv:2206.10246.

T. Okada and K. Takeuchi: Coeﬃcients of the poles of local zetafunctions and their applications to oscillating integrals, Tohoku Math.
J. 65 (2013), 159–178.
E. M. Stein: Harmonic Analysis. Real-variable methods, orthogonality
and oscillatory integrals, Princeton University Press, Princeton, NJ,
1993.
A. N. Varchenko: Newton polyhedra and estimation of oscillating
integrals, Functional Anal. Appl., 10-3 (1976), 175–196.