事例Ⅲ

実験「ペランの方法によるアボガドロ数の測定」

１

ねらい
アインシュタインによるブラウン運動の理論に基づき、大きさの分かっているラテックス球のブラウン運動について、時間と変位の関係を調べることにより、アボガドロ数を測定する。

２

準 備
顕微鏡、顕微鏡用CCDカメラ、ミリカン実験用1μｍラテックス球、VHSビデオデッキ、スライドガラス（マイクロメーター付）、カバーガラス、ＰＣ、ビデオキャプチャー、
測長ソフト「挟むものさし Ver1.15」、注射器、スポイト

３

原 理
水中にあって、ブラウン運動をする質量ｍの粒子の運動を考える。この粒子の運動は３次元であるが、ここでは簡単のために x 方向の運動のみを考える 。 粒子は、多数の水分子の衝突による不規則な力 F と、速さに比例する抵抗力を水から受けているものとし、抵抗力の比例定数をμとすると、この粒子の運動方程式は、
md 2xdx=F-ldtdt 2となり、この式の両辺に x をかけると、
mxd 2xdx= Fx-lx2dtdtとなる。ここで、
d4 x0 dx/dt 1 5dx=dtdtであるから、式①の左辺は、

8 9mx2+x…①d 2xdt 2d 2xd x d x/d t 1 5=m 4 0-mdt
dt 28 9dxdt2となり、右辺の第２項は、
dx
l d 0 x 21
d 0 x 21dx== 2x+ - lx
dt
dt2dtdt
したがって、式①は、
d x d x / d t) 1 5dx 2
l d 0 x 21
m 4 0-m= F x･②dtdt
dt …
28 9となる。
次に、ブラウン運動をする多くの粒子について、この式全体の平均を考える。
まず、左辺の第１項に着目する。粒子の位置と速度の積は時間とともに変化しないと考えられるから、この項を多数の粒子について平均したものは０である。というのは、粒子は絶えず不規則な運動をしており、ある位置に１つの粒子があるとき、それ以前の粒子の位置や速度に関する情報は、完全に失われているからである。
dx222v=d t とし、v の平均を v とすると、左辺の第２項の平均値は、-m v と表され、気体分子子運動論より、絶対温度Ｔの物質を構成する分子や原子の、１方向当たりの平均運動エネルギ
ーは、アボガドロ数NＡ、気体定数Ｒを用いて、
1RT
m v2=2N A2（ た だ し 、 vは 1次 元 ）と表され、このような平均運動エネルギーをもつ多数の水分子からの衝突を受けてブラウン運動をしている粒子についても、この関係が成り立っているはずだから、-m v2=-RTNAが成り立つと考えられる。

- 11 -

次に、右辺の第１項の平均値を考える。Ｆは不規則な力であり、Ｆの大きさや向きは、粒子の位置 x と無関係であるから、それらの積 Fx を多数の粒子に対して平均したものは０となる。
以上より、②式を多数の粒子について平均することにより、
l d x22 RTdt
m v2 = ･ 0 1 +x2 =･2dt

Ql NAという式が得られる。ここで、時刻 t =0 のとき x =0 とすると、
x2 =2RT･tlN Aと表され、変位の２乗が時間ｔに比例することが分かる。
また、粒子が水から受ける抵抗力の係数 l は、粒子が半径 a の球のとき、l =6pga（ただし、g は水の粘性率）で与えられることが知られているから、これを上式に代入すると、RT2RTx2 =･t=･ t …③6pgaN A
3pgaN Aという関係式が得られ、一定時間 t における粒子の変位の２乗 x 2 を多数測定し、その平均値 x 2を用いることによって、アボガドロ数を求めることができる。

４実験の手順（１）スポイトを使ってラテックス球溶液を、スライドガラス上に適量置き、カバーガラスをのせる。
（２）スライドガラスを顕微鏡ステージに置く。
（３）顕微鏡に取り付けたＣＣＤカメラからの画像をディスプレーで見ながら、測定に適した位置にあるラテックス球にピントを合わせる。
（４）ラテックス球の運動の様子を、ビデオで数分間録画する。
（５）ビデオキャプチャーを用いて、（４）で録画された画像データを、ＰＣに取り込む。
（６）ＰＣに取り込まれた画像をコマ送りしながら、測長ソフトを用いることにより、着目したラテックス球について、画面上の x 座標を１ｓ毎に、２分間測定する。
（７）スライドガラスに刻まれたゲージを用いて（６）で得られたデータの校正を行う。

- 12 -

５

実験結果の例
ＰＣに取り込まれた画像をコマ送りしながら再生し、５つのラテックス球（粒子１～粒子５）2について、その水平方向の変位 x を30ｓ毎に測定した。次の表は、時刻ｔと x、x の 関 係 を まとめたものである。
粒子１粒子２
粒子３粒子４粒子５ｔ[ ｓ]x [μｍ] xx [μｍ]xx [μｍ] xx [μｍ] xx [μｍ] x
0000000000030 -3.45 11.9 -8.19 67.1 -0.43 0.19 -6.04 36.4 7.77 60.37
60 -8.62 74.3 -3.01 9.06 4.74 22.5 -7.75 60.1 10.4 107.2
90 -6.89 47.5 -13.4 178.5 7.33 53.7 -11.2 125.5 7.34 53.9
120 -0.85 0.71 -24.5 602.5 -2.59 6.73 -15.9 254.3 2.59 6.73
22222

また、時刻ｔと x の 関 係 を グ ラ フ に 表 す と、以下のようになり、粒子 に よ っ て 運 動 の 様子は大きく異なっていることが分かる。
260050040030020010000306090120ｔ

次に、５つの粒子について x 2 の平均 x 2と時刻ｔの関係をグラフに示す。
200180160y = 1.2408x14012010080604020ｔ00204060- 13 -80100120このグラフを見ると、アインシュタインの理論通り、x2が時刻ｔに比例する傾向があるため、個々の粒子はランダムな運動をしていることが窺われる。また、最小二乗法による直線フィッティングを行うと、その傾きは1.24 (μｍ)２/s であった。次に、この値を用いてアボガドロ数を求める過程を示す。
アボガドロ数ＮＡと x 2の関係は次の式（３ 原理 ③）で表され、RTx2 =･t
3pgaN A
右辺のｔの係数を1.24×10-12 ｍ２/s とする。実験時の気温18℃のときの水の粘性係数は、理科年表を参照してη＝1.05×10-3とし、Ｒ＝8.31 J･s、a ＝0.50×10-6ｍを代入すると、
1.24 % 10 -12 =8.31 % 291
3 % 3.14 % 1.05 % 10 -3 % 0.50 % 10 -6 % N Aとなり、アボガドロ数として、
N A =3.94 % 10 23が得られた。データの数が少ないため、誤差が大きいもののオーダーは合っており、気体分子運動論の正しさを示す結果と考える。
さらに25個のラテックス球（粒子６～粒子30）について、その水平方向の変位 x を30ｓ毎に測定2した。次の表は、時刻ｔと x、x の 関 係 を まとめたものである。
粒子６粒子７粒子８粒子９粒子10x [μｍ] xx [μｍ]xx [μｍ] xx [μｍ] xx [μｍ] x0000000000030 6.04 36.5 -3.89 15.1 3.44 11.9 -1.29 1.67 10.8
116
60 0.00 0.00 -6.91 47.7 -3.03 9.16 -0.02 0.00 4.74 22.5
90 -6.04 36.5 -9.49 90.1 -1.30 1.70 2.15 4.62 8.19 67.1
120 -6.47 41.9 -15.5
241 1.28 1.65 0.00 0.00 -1.7 2.99ｔ[ ｓ]22222粒子11粒子12粒子13粒子14粒子15x [μｍ] xx [μｍ]xx [μｍ] xx [μｍ] xx [μｍ] x
00000000000
30 10.8
1167.32 53.6 0.86 0.75 -3.45 11.9 -0.9 0.748
60 6.46 41.7
7.32 53.6 2.60 6.76 3.02 9.13 -3.0 9.19
90 11.2
12519.4
376 -5.17 26.7 7.34 53.8 -3.9 15.2
120 13.4
178
22.0
483 -16.0
255 0.441 0.194
-13
157

ｔ[ ｓ]

22222粒子16粒子17粒子18粒子19粒子20x [μｍ] xx [μｍ]xx [μｍ] xx [μｍ] xx [μｍ] x
00000
00000030 -5.18 26.9 0.419 0.175 0.41 0.17 2.17 4.71 -2.2 4.65
60 -7.78 60.5
6.02 36.2 0.41 0.17 0.45 0.21 -4.3 18.7
90 -6.92 47.9
17.6
311 5.57 31.0 8.21 67.4 6.01 36.1
120 -0.89 0.78
11.6
135 4.28 18.3 9.93 98.6 11.6
135ｔ[ ｓ]22222粒子21粒子22粒子23粒子24粒子25
x [μｍ] xx [μｍ]xx [μｍ] xx [μｍ] xx [μｍ] x
00000000000
30 6.46 41.8
2.15 4.63 0.01 0.00 -3.88 15.1 1.73 2.98
60 13.8
190
11.2
125 -3.87 15.0 0.86 0.74 3.88 15.1
90 18.5
344
13.8
190 -0.42 0.18 -2.58 6.68 -1.7 3.00
120 13.4
1799.90 98.0 -15.5
241 -3.88 15.1
-15216ｔ[ ｓ]222- 14 -22粒子26粒子27粒子28粒子29粒子30
x [μｍ] xx [μｍ]xx [μｍ] xx [μｍ] xx [μｍ] x
00000000000
30 -1.73 3.00 -0.86 0.74 -0.87 0.75 7.32 53.7
-1111660 -3.45 11.9
9.92 98.5 -12.9
168 14.2
202-13
168
90 -3.88 15.1
9.06 82.0 -9.06 82.1 9.48 89.9 -4.8 22.8
120 -5.19 26.9
16.8
283 0.43 0.18 11.6
135 -5.7 31.9

ｔ[ ｓ]

22222

次に、30個の粒子（粒子１～粒子30）について、x の平均 x 2と時刻ｔの関係をグラフに示す。

〈ｘ＾2〉〔（μｍ）＾2〕

2200180160140120100806040200y = 1.0042x020406080100120140

時間〔ｓ〕
５個の粒子（粒子１～粒子５）のグラフと比較すると、x2が時刻ｔに比例する傾向がさらに明確になっており、最小二乗法による直線フィッティングを行うと、30ｓ、60ｓ、90ｓ、120ｓのデータはいずれも原点を通る、傾き1.00 (μｍ)２/s の直線に接近している。この結果を用いてアボガドロ数を求めると、

N A =4.89 % 10 23が得られた。真の値と比較すると、なお20％弱のずれがあるが、４つのデータが同一直線によくフィットしていることから、その原因は各粒子の位置の読み取り誤差よりも、温度測定の精度不足に伴う水の粘性率の誤差、ラテックス球半径のカタログデータに含まれる誤差の影響が大きいと考えられる。
さらに信頼性の高い結果を得るためには、ペランがアインシュタインのブラウン運動理論を検証する際行ったように、コロイド粒子の種類や半径を変えたり、水以外の液体を用いたりしても、得られるアボガドロ数の値に変化がないことを確かめることが考えられる。
顕微鏡用のＣＣＤカメラ以外、高価な材料は必要がなく、理論式を導く過程も、学習の進んでいる生徒であれば十分理解することが可能であるので、部活動等で取り組む探求活動の素材として適していると考える。

６

参考文献
・「だれが原子をみたか」江沢洋・「ブラウン運動の定量解析」日本物理学会
・「ブラウン運動と原子の実在」慶応大学日吉物理学教室
・ファインマン物理学 第２巻- 15 -