小ハロー軌道の生成と維持
2011SE297 山本大智 2011SE098 岩井勇磨
指導教員：市川朗
球, 月の間の距離である. ここで回転座標系よりはじめに

1Ẍ − 2nẎ − n2 X = −月と地球, もしくは地球と太陽といった二天体と宇宙機による三体問題では, 天体の質量に対して宇宙機の質量は無視できるほど微小である. したがって, 宇宙機が天体の運−動に与える影響も無視でき, 宇宙機は二天体による既存のGM(X − D2 ) + ux ,r3(2)重力場内を運動していると考えることができる. この重力GMeGMŸ + 2nẊ − n Y = − 3 Y − 3 Y + uy ,rer2

場の力学的平衡点はラグランジュ点と呼ばれ L1 から L5まで存在することが知られており, これらの点の周りをまZ̈ = −わる周期軌道をハロー軌道と呼ぶ. 月の自転周期は地球の周囲を回る公転周期と同期しているため, 月の裏側を地球から観測することが出来ない. そのため, 本研究では月の裏GMe(X + D1 )re3GM
GMeZ − 3 Z + uz ,re3rが得られる. ここでは, re , r を,側を通る小ハロー軌道を生成し, 月の裏側に宇宙機を維持

re = [(X + D1 )2 + Y 2 + Z 2 ]1/2 ,する軌道制御について考える.

r = [(X − D2 )2 + Y 2 + Z 2 ]1/2 ,2軌道方程式の導出

2.1

宇宙機の運動方程式とおく.

2.2慣性座標系の原点を O-{I,J ,K} とし、地球と月と宇宙機の制限三体問題を考える. 慣性座標系における原点 O から地球, 月, 宇宙機の位置ベクトルをそれぞれ Re , RM ,Rm とする. ここで, Me , M , m はそれぞれ地球, 月, 宇宙機の質量であり, G は万有引力定数, 月と地球の重心を原点とする回転座標系を ob − {ib , j b , kb } とする. また, r eと r はそれぞれ地球, 月から宇宙機への位置ベクトルであり,D=|D|, re =|r e |, r=|r| とおく. ob から宇宙機への位置ベクトルを R とする. このとき, 宇宙機の運動方程式

R̈ = −GMGMer e − 3 r + u,
3rer

(1)

方程式の無次元化

計算を簡単にする為に, τ = t/(1/n), X̄ = X/D0 ,Ȳ = Y /D0 , Z̄ = Z/D0 , ūx = ux /n2 D0 , ūy = uy /n2 D0 ,ūz = uz /n2 D0 , r̄e = re /D0 , r̄ = r/D0 とし, (2) 式を無次元化する. ′ は τ に関しての微分を意味する. (2) 式より,1−ρρ(X̄ + ρ) − 3 (X̄ − 1 + ρ) + u¯x ,r¯e 3r̄ρ
1−ρȲ − 3 Ȳ + ūy ,Ȳ ′′ + 2X̄ ′ − Ȳ = −(3)r¯e 3r̄
1−ρρZ̄ ′′ = −Z̄ − 3 Z̄ + ūz ,3r¯er̄

X̄ ′′ − 2Ȳ ′ − X̄ = −が得られる. ここで,r¯e ,r̄ をr¯e = [(X̄ + ρ)2 + Ȳ 2 + Z̄ 2 ]1/2 ,r̄ = [(X̄ − 1 + ρ)2 + Ȳ 2 + Z̄ 2 ]1/2 ,が得られる. ここで, u は制御加速度である. 地球と月の運動は共通重心のまわりの円運動であると仮定し,パラメータの値をとおく.

2.3D0 = 384, 748 [km]Me = 81.2801Mµ = G(Me ＋ M ) = 403402[km3 /s2 ]n = (µ/D03 )1/2 = 2.661365 × 10−6 [rad/s]
ρ = M/(Me + M ) = 0.01215
D1 = ρD0 = 4674 [km]D2 = (1 − ρ)D0 = 380, 072 [km]方程式の線形化

以下では, 小ハロー軌道生成のための方程式を導出する.
（3）式はラグランジュ点と呼ばれる静止点 Li を持ち,

1−ρρ(X̄ + ρ) + 3 (X̄ − 1 + ρ),
3r¯er¯e1−ρρȲ =X̄ + 3 (Ȳ ),r¯e 3
r¯eZ̄ = 0,X̄ =(4)で 与 あ り え ら れ る. 月 の 裏 側 の ラ グ ラ ン ジ ュ 点 をとする. D0 は, 地球の中心から月の中心までの距離であり,n は円運動の角速度である. D1 と D2 はそれぞれ重心と地L2 = (l2 (ρ), 0, 0) と 置 く.(4) 式 は 、ρ の 値 を 変 え る
こ と に よ っ て, 一 般 の 三 体 シ ス テ ム の 定 常 点 も 求 め

ら れ, 地 球 ー 月 系 で は ρ = 0.0121536 で (l1 , l2 , l3 ) =数制御を例にあげる. 初めに, (5) 式の解を,(0.83692, 1, 15568, −1, 00506) となる.(3) 式の L2 点周りで一次の項までテイラー展開し, 線形化した方程式を以下に示す.

X̄(τ ) = −(ā/k) sin ωxy τ,Ȳ (τ ) = −ā cos ωxy τ,(6)Z̄(τ ) = ā sin ωz τ,X̄ ′′ − 2Ȳ ′ − (2σ + 1)X̄ = u¯x ,の形で求めると,Ȳ ′′ + 2X̄ ′ + (σ − 1)Ȳ = u¯y ,(5)Z̄ ′′ + σ Z̄ = u¯z ,ω 2 + 2σ + 12ωk=

これを用いて、小ハロー軌道を生成する。ここで σ =となる. このとき特殊解は (6) 式の自由運動を満たし, 図 2ρ1−ρ(l2 (ρ)−1+ρ)3 + (l2 (ρ)+ρ)3 = 3.19043 である。のようなリサージュ軌道を形成する.

3

周波数制御
面内運動, 面外運動はそれぞれ周期解をもつが, (5) 式の3 次元運動の周期解は存在しない. 本研究では常に地球の裏側を安定的に観測するために, 解の周波数を面内運動の
ωxy , 面外運動の ωz , または周波数 ω = 2 に合わせ, 三次元周期解を生成する制御を行う. (5) 式の状態方程式は,ẋ = Ax + Bu, x(0) = x0 ,図 1 リサージュ軌道である. ここで,[x = X̄

X̄ ′Ȳūyu = [ūxY¯′Z̄

Z̄ ′]T,Tūz ] ,ā=0.0091 のとき, 最大の振幅は 3500[km] となり, この軌道上の宇宙機は地球から観測することができる. なお,(Ȳ , Z̄) 運動は, 地球からの概観である.
周期解を求めるため, まず面外運動の周波数を面内運動の00 2σ + 1
A=0000001−σ00100−20001200000000−σ00 0 ,0 1 0≡ diag[Ain , Aout ],


0 0 0
 0 0 0 
 1 0 0 
B =  0 1 0 ,
 0 0 0 0 0 1≡ diag[Bin , Bout ],周波数に合わせる制御をおこなう. フィードバック制御により, 特殊解が (5) 式の第２式を満たすためには,ūy = f Ȳ ,となる. ここで,

f=2ωxy2+ σ − 1 + ωxy,kである. 面外運動の周波数を面内運動の周波数に合わせるには,
2ūz = −(ωxy− ωz2 )Z̄,とおく. 以上より (6) 式が満たされる,とする. 面内運動, 面外運動のシステム行列の特性方程

4シミュレーション

式は,4.1

最適レギュレータ|λI − Ain | = λ − (σ−2)λ − (2σ + 1)(σ − 1) = 0,42|λI − Aout | = λ2 + σ = 0,となる.

ẋ = Ax + Bu, x(0) = x0 ,である. そのときの評価関数は以下に表す.

面内運動の周波数は解の虚数根である ωxy =1.86265 であ√σ=ωz =1.78618 の正弦波である.
周波数制御をするにあたり, 本研究では 3 つの周波数に合わせる制御を行った. ここでは, 任意の周波数 ω での周波り, 面外運動は周波数(6) 式の状態方程式より,∫ ∞J(u; x0 ) =[xT Qx + uT (t)Ru(t)]dt,0

Q は状態にかかる重みであり, 6 × 6 の半正定対称行列である. また, R は入力にかかる重みであり, 3 × 3 の正定対称行列である. 本研究では Q を固定して考えているため,評価関数を最小にする u(t) を求める. そのために以下の代数リッカチ方程式より適切な X を求める.

AT X + XA + Q − XBR−1 B T X = 0,フィードバックゲイン K は上の式より,

K = R−1 B T X,となる.

4.2

図 3 維持制御 (ω ＝ωxy )

誤差方程式

制御軌動を ẋ = Ax+Bu, 目標軌道を x˙f = Axf +Bufとするとき, 制御軌道と目標軌道の誤差は,4.4

e = x − xf移行制御

制御対象を L2 点から目標軌道へ移行させる制御を行う.
３つの周波数に対して r を変えたときのノルムの比較を行となり,う. ここでは, 誤差が 10−5 以内のとき収束とした.

ė = Ax + Bu − Axf − Buf

表 1 ３つの周波数における最小のノルム= Ae + B(u − uf ),ωxyz2となる. ここで, フィードバックを u − uf = −Ke とすると,ė = (A − BK)e,となる.

4.3

維持制御

以下のシミュレーションでの目標軌道（維持軌道）と制

ノルム

2.6119 × 10−2
2.9371 × 10−2
3.8985 × 10−2

表より, 移行制御において最小のノルムの周波数は ω =ωxy であった. このときの軌道のシュミュレーション結果を図４に示す.

御軌道の初期値はそれぞれ,xf 0 = [0 āāω/k0 0āω]

Tx0 = [0 āāω/k0 0āω]

Tであり, Q = 10 × I6 とする. 図２は周波数制御をおこなった目標軌道であり４周期目までは収束しているが, ４周期目以降で発散していくことが分かった.

図 4 移行制御（ω = ωxy ）4.5

出力レギュレーション

これまで生成してきたグラフを出力レギュレーション理論を用いて生成する. 一般的な周期軌道を考えると

w1 (τ ) = w10 cos ω1 τ + s1w20sin ω1 τω1

目標軌道を維持させるため、４周期までに目標軌道の値1(−w10 ω1 sin ω1 τ + s1 w20 cos ω1 τ )s1
w40sin ω2 τw3 (τ ) = w30 cos ω2 τ +ω2を初期値に戻す制御を行う必要がある。この制御結果を図となる. 任意の角周波数に同期した軌道への追従を行うた４に示す。

めに w10 = 0,w20 = a0 ,s1 = ω/k, w30 = 0, w40 = a0 ω と

図 2 周波数制御 (ω ＝ωxy ４周期以降発散)

w2 (τ ) =する. この軌道を生成する外部システムは

表 2 ３つの周波数における最小のノルム

ω ′ = Sω, ω(0) = ω0

ω
xyz2

ここで

0
 s2
S= 00s1000000−ω22
00 21  , s1 s2 = −(ω1 ) , ω2 > 00

ノルム

4.29 × 10−2
4.281 × 10−2
5.16 × 10−2

以上より, 出力レギュレーション理論を用いた移行制御(x, y, z) を (ω1 , ω2 , ω3 ) 追従させるには, フィードバック

において最小のノルムの周波数は ω = ωz であった. このときの軌道のシュミュレーション結果を図７に示す.

u = −Kx + (Γ + KΠ)ωを用いる, ここで Γ, Π はレギュレータ方程式

AΠ − ΠS + BΓ = 0CΠ + D = 0の解である. ここで,[C=101010[D=000100000010000001001000]]

000

図 6

出力レギュレーションによる移行制御（ω = ωzr=0.375）

実際, 出力5z = Ce + Dω

おわりに
本研究では、地球-月系の円制限三体問題における L2 点が 0 に収束する,Π, Γ の解は


Π=

[Γ=1 00 10 s1s2 00 00 0

近傍の小ハロー軌道を生成し、宇宙機をその軌道に乗せて0000100 観測を行うために, 周波数制御と収束周期内に加える制御0 0 0 01を用いて目標軌道を維持させ,L2 点から人工衛星を目標軌

s1 s2 − 2s2 − 2σ − 100 00 s1 s2 + 2s1 − 1 + σ0 000 −ω22 ∗ σ 0道へ移行させる制御を行った. そして, ３つの周波数に合わせた制御を行い, 制御にかかるノルムを比較した結果, 周波数を ωxy に合わせたとき最小となった. また, 出力レギュ]

レーション理論を用いた場合では, 周波数を ω = omegazに合わせた時, 最小となった. 更に、移行制御では周波数制御よりも出力レギュレーション理論を使用することで, 燃料消費が抑えられることがわかった. その結果, 月の裏側で与えられる.

を観測するなどのミッションを行うにあたり, 観測しやす３つの周波数に対して r を変化させたときのノルムのグラフを以下に示す.

くかつ燃料消費も抑えられる制御方法を見つけることができた.

参考文献[1] ’Formation Flying Near the Libration Points of
CR3BP” Akira Ichikawa Mai Bando[2] ラグランジュ点近傍における小ハロー軌道の生成 伊藤凌平 小出和直 宮沢龍太郎 （南山大学 2013 年度卒業研究）[3] 円制限三体問題におけるハロー軌道への移行とその維
持 廣村達哉 宇佐美元啓 （南山大学 2013 年度卒業研究）
図 5 ノルムの比較