2 次元 MPX 点上の超補間2009SE285

飛永 千寿

指導教員：杉浦 洋

はじめに

13µ-MPX 則

関数近似は数値解析の基礎的で中心的な課題である．ここ こ で は Morrow，Patterson，Xu が 提 案 す る ，2

こでは，2 次元長方形領域における多項式補間について研次 元 正 方 形 領 域 Ω = [−1, 1]2 上 の 重 み 付 き 積 分

究する．Morrow，Patterson，Xu は直積型チェビシェフ

則 MPX(Morrow-Patterson-Xu) 則 を 紹 介 す る ．Ω =測度 µ をもつ長方形領域における近似積分則を提案した． [−1, 1]2 上の連続関数 f の重み付き積分を，その標本点を MPX 点と呼んだ．本論文では彼らの近似法∫∫を研究し，それを用いた長方形領域の数値積分公式を導く．

Qf =f (x) dµ2

Chebyshev 多項式基底2.11 変数 Chebyshev 多項式基底(2)Ω

また，数値実験を行い，その特性を調べる．

dµ(x) =π2dx1 dx2√√,
1 − x21 1 − x22

x = (x1 , x2 )とする．Xu は式 (2) に対する近似積分則

n 次 Chebyshev 多項式は，
N∑∫

Tn (x) = cos n(cos−1 x)(1)√である. これから T̂0 (x) = 1/ 2T0 (x)，T̂n (x) = Tn (x) と書き，T̂ を正規化 Chebyshev 多項式という．関数 f ，g のを提案した．それは，パラメータ n が偶数のときは，標本内積を点数 N = (n + 2)2 /2，奇数のときは N = (n + 1)(n + 3)/22(f, g) =π∫ 1f (x)g(x) dµ,−1dxdµ = √1 − x2

QN f =する．ここでは Xu の積分則を MPX 則，または，積分の重み µ にちなんで µ-MPX 則と呼ぶ．

[定理]

MPX 則はすべての p ∈2 変数 n 次多項式全体を，
k+l≤n∑∏2∑4∫ωξ p(ξ) =−1n (Ω) への µ-直交射影は，Sn f (x) =Kn (x, y) =−1π2√4 dx dy√
1 − x2 1 − y 2

Tkl (x)Tkl (y)(5)は再成核と呼ばれる．この積分を µ-MPX 則で近似するとSn の近似Ln f =N∑

ωi Kn (x, ξi )f (ξi ) ∼= Sn f(6)i=1が得られる．これを MPX 超補間 (MPX Hyperinterpola-と定義すると，(T̂mn , T̂kl ) = δmk δnlということができる．すなわち，{T̂mn } は µ-正規直交系である．

k+l≤n∑
k≥0,l≥0とする．2 次元正規化 Chebyshev 多項式をT̂mn (x, y) = T̂m (x)T̂n (y)(4)と書ける．ここで，とする．ここで，x = (x, y) とし，

dµ(x) =Kn (x, y)f (y) dµ(y)Ωf (x)g(x) dµ(x)(f, g) =∏2∫

y | akl ∈ R}

∫ 1∫ 1p(x) dµ(x).//Ωk lと書く．Ω = [−1, 1]2 とし，f, g ∈ C[Ω] の内積を2n+1 をMPX 超補間C(Ω) からakl xn ={k=0,l=0∏2

正確に積分する．すなわち，

ξ∈Ξ

2 変数 Chebyshev 多項式基底(3)である．Morrrow と Patterson が提案した積分則と一致であり，{T̂m } は µ-正規直交系となる．

2.2f (x) dµΩ

i=1と定義すると，{1 m=n(T̂m , T̂n ) == δm,n0 m=
̸ n

ωi f (ξi ) ∼=tion) という．[定理] パラメータ n の MPX 超補間の次数は n である．すなわち任意の p ∈ Π2n に対して，Ln p = pが成立する．//(証明) (a)µ-MPX 則 Qn は 2n + 1 次である．また，再成核 Kn (x, y) は y について n 次である．ゆえに，p ∈ Π2n なErら，(b) Kn (x, y)p(y) は y について 2n 次である．また，0.001µ-直交射影 Sn の性質より，(c) Sn p = p．以上より，
Ln p = Qn (Kn (x, ·)p(·))(a), (b)

10-5

∫∫

(c)

=Kn (x, y)p(y) dµ(y) = Sn p = p

10-7Ωとなる．//

50

150200250N

図 1 ピーク関数の補間誤差

MPX 超補間のアルゴリズム

5100Er0.001

MPX 超補間の具体的なアルゴリズムにつて述べる．式(6) に式 (5) を代入すると

10-6Ln f (x) =N∑k+l≤n∑

ωii=1

Tkl (x)Tkl (y)f (ξi )

10-9(7)k≥0,l≥010-12となる．総和の順序を入れ替えて，
50ckl =N∑ωi Tkl (y)f (ξi )

100150200250N

図 2 振動関数の補間誤差(8)i=1とおくと，Ln f (x) =k+l≤n∑の補間を行い，両者を比較した．a = 1 のときの結果を図ckl T̂kl (x)(9)k≥0,l≥02 に示す．超補間のが精度が良いことがわかる．N が大き
いとき丸め誤差の影響によりグラフが水平になる．超補間の方が早く水平になるのは，超補間が丸め誤差の影響を受となる．ckl はあらかじめ計算しておくことにすると，式けやすいことを示す．

(7) より大幅に計算量を減らすことができる．

7数値実験

6

おわりに
本研究では，Mathematica を用いて MPX 超補間のア式 (8)，(9) に基づくアルゴリズムを Mathematica 上にルゴリズムを実現した．直積型 Chebyshev 補間と精度を実現し，実験を行った．この実験は FUJITSU のノート比較し，その特徴を調べた．テスト関数としてピーク関数
パソコン FMV-S8370，CPU は intel Core2 Duo T8100， と振動関数を取り上げた．同じ項数で比較すると，MPX2.10GHz である．OS は Windows vista で Mathematica 超補間が優れていた．しかし，近似関数を構成する時間ver8.0.1.0 上でのプログラムを作成した．
直積型 Chebyshev 補間 (C 補間) と MPX 超補間 (超補間) の性能を比較した．C 補間の次数 n は 4 ≤ n ≤ 15 で補間多項式の項数は N = (n + 1)2 ，超補間の次数 n は5 ≤ n ≤ 20 で超補間多項式の項数 N = (n + 1)(n + 2)/2である．近似多項式の計算コストは項数 N に比例する．
6.1

ピーク関数の補間ピーク関数

f (x, y) = e−a(x +y )22の補間を行い，両者の精度を比較した．a = 1 のときの結果を図 1 に示す．横軸は項数 N ，縦軸は最大絶対誤差である．破線は C 補間，実線は超補間の結果である．項数を揃えて比較すると，超補間は C 補間より精度が良いことがわかる．また，項数が多くなるにつれてその差は広がる．

6.2振動関数の補間振動関数

f (x, y) = sin a(x + y)

(Chebyshev 係数の計算時間) は MPX 超補間の方が圧倒的に長かった．原因は直積型 Chebyshev 補間が FFT による高速アルゴリズムを使用しているせいである．今度MPX 超補間のその面での高速化が望まれる．

8

参考文献

[1] Marco Caliari，Marco vianello，Stefano De Marchi，Roberto Montagna：Hyper2d:a numerical code for
hyperinterpolation on rectangles, Applied Mathematics and Computation, vol. 183, no. 2, pp. 11381147(2006).
[2] 杉浦洋：数値計算の基礎と応用 [新訂版]，サイエンス社，pp.14-17(2009)