平成３１年度 名古屋大学大学院環境学研究科
地球環境科学専攻 大気水圏科学系
博士前期課程 普通入試 筆記試験問題【専門科目】
試験日時： 平成３０年８月２１日（火） １３：３０～１６：３０（注意事項）（１）解答開始の合図があるまでこの問題冊子を開いてはならない．
（２）下記の７科目のうちから２科目を選択し，解答しなさい．
・地球環境学・地球物理学

・地球化学

・物理学

・化学

・生物学

・数学
（３）解答用紙は問題冊子とは別に配布する．
（４）解答用紙は各科目につき２枚ずつである．「地球環境学」・「物理学」・「生物学」については，問題ごとに別の解答用紙を使用すること．
（５）解答用紙は所定の枚数以上を使用してもかまわない．配布された解答用紙では不足する場合，監督者まで申し出ること．
（６）解答用紙のすべてに受験番号および科目を記入すること（氏名は記入しない）．
（７）解答には黒の鉛筆かシャープペンシルの使用を推奨する．
（８）試験に際して，監督者が配付する電卓を使用してもよい．
（９）携帯電話や PHS の電源を切ってカバン等にしまうこと．身につけていてはいけない．
（１０）試験時間は１３時３０分から１６時３０分までである（開始後３０分までは入室可）．
（１１）試験中に気分が悪くなるなど，必要な場合は監督者に申し出ること．
（１２）試験問題の内容に関する質問は一切受け付けない．
（１３）試験終了後, 問題冊子は持ち帰ってよい．

・選択した２科目を○で囲みなさい．
地球環境学

地球物理学

地球化学

化学

生物学

数学

物理学

・下欄に受験番号と提出する解答用紙の枚数を記入し，この表紙を問題冊子から取り外して，解答用紙の上に重ねて提出しなさい．
受験番号提出する解答用紙の枚数枚

地球環境学
以下の問題１～問題２を全て解答しなさい．
問題 1

生態系が人間にもたらす様々な便益，いわゆる自然の恵みを「生態系サービス」と呼ぶ．生態系サービスには，調整サービス，供給サービス，文化的サービスが含まれる．図 1 は，生態系サービスの提供レベルと生物多様性および土地利用の関係性を例示した模式図である．この図を見て以下の問１～問３に答えなさい．

図 1．生態系サービスの提供レベルと生物多様性，土地利用の関係性
MSA（Mean Species Abundance）は生物多様性指標の一つで，手つかずの自然状態を 1 とした相対値で表される．出典：Braat, L. and ten Brink, P. (Eds.) (2008): Alterra report を元に作成．

問１ 図 1 のパターン A，B，C のうちの二つは，調整サービスの一つである土壌侵食の抑制と，文化的サービスの一つであるレクリエーションの提供について，それぞれ表している．それら二つのサービスがどのパターンに当てはまるかを，理由とともに述べなさい．（それぞれ 100 字以内）
問２ 図 1 のパターン A，B，C のいずれかに当てはまる供給サービスの具体例を一つ挙げ，そのようなパターンになる理由を述べなさい．（100 字以内）問３

中国では，1998 年に長江流域等で発生した大洪水を契機に，急傾斜地にある耕作地を植林地に転換する政策が広く実施されている．この政策により，調整サービスおよび供給サービスがどのように変化すると考えられるか，具体的なサービスの例を挙げ，両サービスの変化の連動性にも言及しながら説明しなさい．（150 字以内）

問題２

PM2.5 とは，直径 2.5μm 以下の微小粒子状物質のことである．地表面付近の大気中における PM2.5 について，以下の問１～問３を全て解答しなさい．

問１

PM2.5 の濃度について，世界のさまざまな国で大気環境基準が設けられている.
この環境基準が必要とされている理由について述べなさい.（100 字以内）

問２

図２は，全世界の陸上における大気中の PM2.5 濃度の分布を示している．高濃度地域が a 地域と b 地域にみられるが，両地域における PM2.5 の主要な発生原因について述べなさい．（各地域につき 100 字以内）ab

図２．地表面付近の大気中における PM2.5 濃度の分布（2001-2010 年の平均値）
衛星観測，地上観測，数値シミュレーションを利用して作成．白い破線で囲まれた地域は a，b 地域を示す．出典：van Donkelaar et al. (2016): Environmental Science & Technology を元に作成.

問３

図３は，北アフリカ・中東とヨーロッパ西部における，人口密度と PM2.5 濃度の関係を示している.

（１）北アフリカ・中東では，人口密度の低いところに PM2.5 濃度の極大がある．
このような分布になる理由を述べなさい．（100 字以内）
（２）ヨーロッパ西部では，人口密度と PM2.5 濃度が正の相関になる理由を述べな
さい．（100 字以内）

図３．北アフリカ・中東とヨーロッパ西部における，人口密度（2010 年）と PM2.5 濃度（2010 年）の関係
人口密度と PM2.5 濃度のメッシュデータから作成．出典：van Donkelaar et al. (2016): Environmental
Science & Technology を元に作成.

地球物理学
以下の問題１～問題５を全て解答しなさい. また, 導出過程も示しなさい.
問題１

以下の問１～問２を全て解答しなさい.

問１ 図 1 のように大気中に底面が単位面積の気柱があり, 高さ 𝑧 と少し高い 𝑧∆𝑧 の直方体の気層を考える. 高さ 𝑧 での気圧を 𝑝, 高さ 𝑧の気圧を 𝑝∆𝑧 で∆𝑝 とする. この気層では静水圧平衡が成り立っており, 気層にかかる重力と気層の鉛直気圧差が釣り合っている. 密度を 𝜌, 重力加速度の大きさを 𝑔 として, 静水圧平衡の式を書きなさい.

図 1. 底⾯が単位⾯積の気柱と厚さ ∆𝑧 の気層

問２ 海上に中心気圧が 930 hPa の台風がある. 台風の外側の気圧が 1020 hPa のとき, 台風の外側と中心付近との海面高度の高低差を, 静水圧平衡の式を用いて求めなさい. ただし, 海水の密度は 1000 kg m–3, 重力加速度の大きさ 𝑔 は 10m s–2 とする.
問題２

以下の問１～問２を全て解答しなさい.

問１ 式 (1) は気圧座標系における地衡風平衡を表す. 𝑓 はコリオリパラメータ,

V は地衡風の風速, 𝑔 は重力加速度の大きさ, ∆𝑧 は等圧面の高度差, ∆𝑛 は∆𝑧 の等高度線間の水平距離である. 式 (1) の物理的な意味を 50～100 字で説明
しなさい.

𝑓𝑉

𝑔

Δ𝑧
Δ𝑛

(1)

問２ 等圧面上の等高度線が東西方向に一様な大気を考える. 同じ経度上に北緯 40度の地点 A と北緯 50 度の地点 B がある. 地点 A と地点 B の水平距離は 1100 kmとする. 地点 A の上空の等圧面高度は 12.2 km, 地点 B の上空の等圧面高度は11.6 km とする. このとき, 地点 A と地点 B の中間地点 C の地衡風の風向と, 風
速を有効数字 2 桁で求めなさい. 緯度 𝜙 において 𝑓

2Ω sin 𝜙 である. 地球の⾃転⾓速度 Ω は 7.3×10‒5 s‒1, 重⼒加速度の⼤きさ 𝑔 は 10 m s–2 とする.

問題３ 台風の特徴を,温帯低気圧と比較しながら 200～300 字で説明しなさい. ただ
し, [ ]内の語句を全て用いること.
[ 海面水温, 傾圧不安定, 水平温度傾度, 潜熱, 前線 ]問題４以下の問１～問２を全て解答しなさい.

問１ 地上（高度 0 m）気温が 33℃で, 高度 2000 m の気温が 18℃のとき, 地上の未飽和空気塊 A と B が強制的に持ち上げられ, 高度 2000 m に達した. 空気塊 A
は地上から未飽和のまま高度 2000 m に達したとする. 一方, 空気塊 B は, 高度
500 m で凝結しはじめ, 雲を形成しつつ高度 2000 m に達したとする. 高度 2000m における空気塊と周囲の大気との温度差を, 空気塊 A と空気塊 B についてそれぞれ求めなさい. ただし, 空気塊は周囲の大気と混合せず断熱的に上昇するものとし, 乾燥断熱減率は 10℃ km–1, 湿潤断熱減率は 5℃ km–1 とする.
問２ 地球大気の湿潤断熱減率が乾燥断熱減率よりも小さい理由を 100～200 字で説明しなさい.
問題５

地球規模の海洋の流れは風成循環と熱塩循環に分けて考えることができる.

風成循環の特徴を, 熱塩循環と比較しながら 200～300 字で説明しなさい. た
だし, [ ]内の語句を全て用いること.
[ 海水の冷却, 海面の風応力, 時間スケール, 深層, 表層 ]

地球化学
以下の問題１～問題３を全て解答しなさい．解答には，導出過程も書きなさい．
問題１

表１に，地球の大気を構成する主な成分とその体積比濃度を ppmv ( =10−6 )単位で示す．以下の問１～問６にすべて答えなさい．
表１

地表付近における大気組成

成分

体積比濃度 (ppmv)

N2

780,800①

209,500

②

9,340

CO2

360

Ne

18

He

5.2

CH4

1.7

Kr

1.1

出典：地球化学概説，松久幸敬・赤木 右（2005）を改変

問１

表 1 の①と②に相当する成分を化学式で答えなさい．また，それらの主要な発生源（ソース）を 30 字以内で答えなさい．
問２①の成分が紫外線を吸収することにより生成される物質で，成層圏において

体積比濃度が最も高くなり，地表付近では光化学スモッグの原因物質となる物
質を化学式で答えなさい．
問３

CH4 の総量が 4.95×1015 g である大気圏への供給量が年間で 5.42×1014 g の場

合，大気中における CH4 の平均滞留時間を答えなさい．ただし，大気圏における CH4 の収支は定常状態にあり，年間の除去量と供給量が等しいとする．
問４

大気に対する CH4 の主要発生源を一つ挙げなさい．また，その発生源における CH4 の生成過程を 50 字以内で答えなさい．

問５

地球大気を構成する主要成分であるが，濃度の時空間的な変動が激しいため

表１に記載されていないものが一つある．その成分を化学式で答えなさい．さらに，その成分が地球環境に果たす重要な役割を一つ答えなさい．
大気中には人為的に生成される放射性核種の 85Kr が 1.5 Bq m−3 程度含まれて問６いる．85Kr の半減期は 10.7 年である．密閉容器に採取した大気試料中の 85Kr 原子の数が採取時の 12.5％に減少するのは何年後であるか，答えなさい．

問題２

大気中の NO2 濃度を測る方法の一つとして，ザルツマン法がある．これは試料大気中の NO2 を試薬溶液に吸収させることにより一定の割合で生じる NO2－を，吸光光度法で定量する手法である．以下の問１～問４にすべて答えなさい．
なお，気体は理想気体として取り扱えるものとし，1 mol の気体の圧力 p，体積
V，および絶対温度 T の間には，気体定数を R とすると pV = RT という関係が成り立つものとする．R は 0.082 atm L K－1 mol－1 （= 8.3 J K－1 mol－1），原子量
は N = 14，O = 16，Na = 23 を用いなさい．
問１

NO2－濃度の定量には標準溶液が必要である．高純度の NaNO2 試薬を用いて，NO2－濃度が 10 µmol L－1 の標準溶液を作成する手順を，250 字以内で答えなさい．
問２

ザルツマン法では，545 nm における吸光度から NO2－濃度を求める．以下の五つの用語をすべて 1 回以上用いて，吸光度の測定から NO2－濃度を求める方法
を 100 字以内で説明しなさい．
ランベルト・ベールの法則，吸光度，モル濃度，
標準溶液，検量線
問３

温度が 20 ℃，気圧が 1 atm の状態において 5 L の試料大気を 5 mL の試薬溶

液へ少しずつ通気した．試料大気中の NO2 のうち 80％が溶液中で NO2－として存在しているとする．試薬溶液中の NO2－濃度を測定したところ，4 µmol L－1 であった．試料採取時の大気中の NO2 の体積比濃度を ppbv ( =10−9 ) 単位で答えなさい．
問４

大気中の NO2 は NO の酸化により生成したものが大部分である．この NO の主要な発生源を一つ答えなさい．

問題３

海洋に関する下記の文を読み，以下の問１～問５に答えなさい．

海洋における物質循環には，生物活動が大きな影響を持つ．海洋表層で植物プラン
クトンが光合成により有機物を作るには，硝酸やリン酸などのる．植物プランクトンの平均的な組成と海水中の

①

①

が必要であ

との間には，下記のような関係がある．
A

CO2 +B

HNO3 + H3PO4 +
⇔

C

H2O

(CH2O)106 (NH3)16 H3PO4 + 138 O2（1）光合成では，左辺に示された各成分から，右辺に示される平均元素組成をもつ有機物が生産される．一方，こうして生産された有機物を②

して二酸化炭素や硝酸，

リン酸へ戻すのに 276 個の O 原子が必要となる．これらの原子比は，③と呼ばれる．(1)式のプロセスとそれに伴う鉛直下方への炭素をはじめとする物質の輸
送過程は，

④

と呼ばれる．

問１

空欄

①

～

問２

(1)式の

問３

海洋におけるA～④にあてはまる語句をそれぞれ答えなさい．

Cにあてはまる数字をそれぞれ答えなさい．

①の濃度の鉛直分布について，その特徴を 100 字以内で答えなさい．
問４

深層水中でのリン酸濃度を，北大西洋と北太平洋で比較すると，一般的にどちらが高濃度となっているか，その理由とともに 100 字以内で答えなさい．
問５(1)式のプロセスが右に進むためには，(1)式に用いられていない元素も重要であることが知られている．そのような元素を一つ，答えなさい．

物理学
以下の問題１，問題２，問題３を，それぞれ別の解答⽤紙に分けて，全て解答しなさい．
問題１ 空欄

(ア)

から

(ケ)

にはあてはまる式を， （コ） にはあてはまる⽂を⼊れて，慣性モーメントに関する下の⽂章を完成させなさい．
「質量 M の剛体の，質量中⼼ G を通るある軸のまわりの慣性モーメント IG が知られているとき,この軸と平⾏で距離 d 離れた軸のまわりの慣性モーメントを I とすると，𝐼 = 𝐼# + 𝑀𝑑 ' ，が成り⽴つ．」
この定理は以下のように証明することができる．
図１のように，𝑍軸が質量中⼼ G を通る 𝑋𝑌𝑍直交座標系，およびこれを平⾏移動した 𝑥𝑦𝑧直交座標系

図１をとる．𝑍軸と𝑧軸の距離を d とし，それぞれの軸のまわりの慣性モーメント 𝐼# と 𝐼 を考える．剛体内の任意の点 P について，それぞれの座標系での座標を， (𝑋0 , 𝑌0 , 𝑍0 ) ，(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )とする．また，𝑥𝑦𝑧座標系における質量
中⼼ G の座標を(𝑥# , 𝑦# , 𝑧# )とする． 点 P と 𝑍軸および 𝑧軸との距離をそれぞれ R，rとし，点 P 近傍の微⼩部分の体積を 𝑑𝑣，密度を𝜌とすると，これらの量を⽤いてそれぞれの軸のまわりの慣性モーメントは，定義によって，
𝐼# =（ア） 𝑑𝑣, 𝐼 =（イ） 𝑑𝑣，と表される．ただし積分は剛体の全体積に関する積分である．𝑅' と 𝑟 ' をそれぞれ
𝑋𝑌𝑍座標系と 𝑥𝑦𝑧座標系における点 P の座標を⽤いて表すと
𝑅' =, 𝑟' =(ウ)(エ)

ここで 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥# , 𝑦# を⽤いて，𝑋0 , 𝑌0 は 𝑋0 =よって 𝑟 ' =

(エ)

(カ)

と表される．

．

（イ） 𝑑𝑣 に代⼊すると，(ク)と表される．ここで，𝑀 =𝜌𝑑𝑣, 𝑥# ' + 𝑦# ' = (ケ)，であり， 𝑋0 𝜌𝑑𝑣， 𝑌0 𝜌𝑑𝑣 はという理由でゼロであることから，
𝐼 = 𝐼# + 𝑀𝑑 ' ，が求まる．

， 𝑌0 =

(キ)

𝐼 =
(コ)

(オ)

の右辺を 𝑋0 , 𝑌0 , 𝑥# , 𝑦# を⽤いて表すと，𝑟' =これを 𝐼 =．

問題２

質点の運動に関する以下の問１～問２に答えなさい．

問１

一様重力場（重力加速度 g の大きさ g）のもとで，摩擦の無い下に凸な曲面に沿って滑る質点（質量 m）の運動を考える．図２に示す通り，点 O を原点とし，x 軸を水平方向，y 軸を鉛直方向とする座標系において，曲面の形状が y =x22l（l は定数）と表されるとする．質点の運動は，xy 平面内に限られるとする．以下の（１）～（３）の問いに答えなさい．

図２（１）質点についての運動方程式を示しなさい．ただし，質点が曲面から受ける垂直抗力の大きさを N とする．
（２）質点の力学的エネルギーが保存されることを示しなさい．
（３）質点が x = 0 付近で微小振動するときの周期を求めなさい．このとき，微小振動は単振動として近似できるものとする．
問２ 問１において，曲面の形状が一般的に y = u (x) と表される場合を考える．ただし，u (x) は x = 0 で極小値 u (0) = 0 をとり，かつ二階導関数が u ′′(0) ≠ 0 である滑らかな関数とする．質点が x = 0 付近で微小振動するときの周期を求めなさい．このとき，微小振動は単振動として近似できるものとする．

問題３

気体の準静的断熱過程に関する以下の問１〜問４に答えなさい．ただし，次の二つの熱力学関係式

TdS = dU + pdV⎛ ∂U ⎞⎛ ∂p ⎞⎜⎟ =T⎜ ⎟ − p⎝ ∂V ⎠T⎝ ∂T ⎠Vを用いてよい．ここで， V ， p ， T ， U ， S はそれぞれ，体積，圧力，温度，
内部エネルギー，エントロピーとする．また，気体定数を R とし，理想気体お⎛ ∂U ⎞
よび van der Waals 気体における 1 mol あたりの定積熱容量 CV = ⎜⎟ は定数⎝ ∂T ⎠Vとみなしてよい．
問１ 状態方程式 pV = RT に従う 1 mol の理想気体では， dU = CV dT となることを示しなさい．

問２ 1 mol の理想気体の準静的断熱過程（ dS = 0 ）において， TV

RCV= const.(定数)の関係が成り立つことを示しなさい．
⎛
a ⎞問３ 状態方程式 ⎜ p + 2 ⎟ V − b = RT （ a ，b は定数）に従う 1 mol の van der Waals
V ⎠
⎝

(

)

R

(

)

気体の準静的断熱過程（ dS = 0 ）において， T V − b CV = const. (定数)の関係が成り立つことを示しなさい．
問４

次に，光子の集団により熱放射場を表現する光子気体の準静的断熱過程について考える．状態方程式 pV =Uに従い，内部エネルギーが U = αT 4V（ α は定数）3となる光子気体の準静的断熱過程（ dS = 0 ）において， T 3V = const. (定数)の関係が成り立つことを示しなさい．

化学
以下の問題１〜問題３を全て解答しなさい．解答用紙には導出過程も書きなさい．解答にあたり，必要ならば次の値を用いなさい．原子量：H = 1.0，C = 12.0，N = 14.0，O = 16.0，
Si = 28.0，S = 32.0，Ca = 40.0，Ge = 72.6，Se = 79.0，Sn = 118.7，Te = 127.6.
問題１ 炭酸カルシウムを密閉容器に入れ, 容器内を真空にした後で高温にすると，熱分解反応が起こり，気体 A と白色固体 B が生成される．十分多量の炭酸カルシウムを密閉容器に入れて温度を変化させながら熱分解実験を行い，反応が平衡に達したときの気
体 A の圧力を測定したところ，800 K, 1000 K, 1200 K, 1300 K の場合で，それぞれ 4×101
Pa, 3×103 Pa, 1×105 Pa, 4×105 Pa であった．以下の問１〜問３に答えなさい．
問１ 下線部の気体 A および白色固体 B の化学式を答えなさい．
問２−1(a)0.02 mol L の水酸化カルシウム飽和水溶液に気体 A を反応させると，(b)水溶液は白濁した．この白濁した水溶液に, さらに気体 A を吹き込み反応させると，(c)水溶液は透明になった．水のイオン積を 1×10−14 mol2 L−2，log102 = 0.3 として，以下の（１）〜（３）に答えなさい．
（１）下線部(a)の pH を求めなさい．
（２）下線部(b)の反応式を書きなさい．
（３）下線部(c)の反応式を書きなさい．
問３

炭酸カルシウム 1 g を容積 2 L の密閉容器に入れ，容器内を真空にした後，800 K，1000 K，1200 K，1300 K にした時のそれぞれの密閉容器内の圧力(Pa)を有効数字一桁で答えなさい．ただし，気体は全て理想気体として取り扱えるものとし，1 mol の気
体の圧力 p，体積 V，および絶対温度 T の間には pV = RT という関係が成り立つものとする．また，気体定数 R は 8.3 J K−1 mol−1 とする．

問題２ 次の表は，周期表 14 族元素および 16 族元素の水素化合物と，1013 hPa におけるその化合物の沸点を示している．これに関する以下の問１〜問６に答えなさい．

14 族元素の水素化合物

16 族元素の水素化合物

分子式

沸点（oC）

分子式

沸点（oC）

CH4

−162

H2O

100

SiH4

−112

H2S

−61

GeH4

−90

H2Se

−41

SnH4

−52

H2Te

−2

問１ 太枠で囲った四つの分子のうち，臭気のある分子を二つ挙げ，分子式で答えなさい．
問２ CH4 と H2O の分子構造について，それぞれ説明しなさい．図を用いてもよい．
問３ 水溶液中で H2S と反応して沈殿物を生成し得るイオンを以下より五つ選び，それらの沈殿物の化学式を答えなさい．
Li+, Mg2+, Ag+, Hg2+, Ca2+, Cd2+, K+, Pb2+, Cu2+, Na+
問４ CH4 を標準温度(25 oC)で燃焼させたときのエンタルピーの変化(ΔHo)が −891 kJ mol−1，
CH4 および H2O の標準温度における標準生成エンタルピー(ΔHmfo)が，それぞれ−75 kJ
mol−1 および −286 kJ mol−1 であるとき，CO2 の標準温度における標準生成エンタルピー(ΔHmfo)を求めなさい．
問５ 14 族元素の水素化合物について，CH4，SiH4，GeH4，SnH4 の順に沸点が高くなる
理由を 100 字程度で説明しなさい．
問６ 同周期の 16 族元素の水素化合物と 14 族元素の水素化合物を比較した場合, 前者が後者に比べて沸点が高い理由を 200 字程度で説明しなさい．

問題３ カルボキシル基 1 個を有し，炭素，水素，酸素，窒素から成る中性アミノ酸 X がある. X を使って次の三つの実験を行った. これに関する以下の問１〜問５に答えな
さい．
【実験 1】15.0 mg の X を十分多量の酸化銅(Ⅱ)CuO と混ぜて加熱燃焼させたところ，
水が 9.0 mg，二酸化炭素が 17.6 mg 得られた．
【実験 2】15.0 mg の X に，硫酸，硫酸カリウム及び硫酸銅を加えて加熱して分解した
ところ，含まれていた窒素は全て硫酸アンモニウムとなった．続いて，水酸
化ナトリウム水溶液を加えてアルカリ性にして蒸留し，発生した全てのアンモニアを25 mmol L−1 の塩酸50 mL中に吸収させた．
その溶液全てを，
50 mmol
L−1 の水酸化ナトリウム溶液で滴定したところ，21.0 mL を要した．
【実験 3】1.00 g の X を無水酢酸と反応させたところ，以下の反応が完全に進行し，Xの窒素原子に結合している水素原子がアセチル基で置換された化合物 Y が1.56 g 生成された．
X + (CH3CO)2O → Y + CH3COOH
酸性物質である化合物 Y を 1.00 g とって水に溶かし，0.50 mol L−1 の水酸化ナトリウム溶液で滴定したところ，17.1 mL を要した．

問１ 実験 1 の結果を用いて, X の水素および炭素含有率(重量％)を求めなさい．
問２ 実験 2 の結果を用いて, X の窒素含有率(重量％)を求めなさい．
問３ X の組成式を求めなさい．
問４ 実験 3 の結果を用いて, X の分子量を求めなさい．
問５ X の分子式と構造式および名前を答えなさい．






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数学
以下の問題１～問題５を全て解答しなさい．答案には計算過程も書きなさい．
問題１

問１

問題２

次の行列の行列式の値と逆行列を求めなさい．

2
1
1

3
0
2

log

1
2
2

0
1
0

問２

2
√4

次の常微分方程式を解きなさい．

2

問１

問題４

問２

2
1
4

次の定積分の値を求めなさい．

問１

問題３

1
2
5

関数

cos

問２

のフーリエ変換

ここでは虚数単位，

は実数である．以下の問いに答えなさい．

のフーリエ変換をそれぞれ,とするとき，,の線形結合のフーリエ変換は，それぞれのフーリ
エ変換の線形結合となることを示しなさい．なお， ,は定数である．

問１,とを次のように定義する．

,のフーリエ変換をそれぞれ,とするとき，∗,のたたみ込み積分のフーリエ変換は，それぞれのフーリエ変換の積となることを示しなさい．なお，たたみ込み積分は次の式で定義される．

問２∗とし，事象 A が起きたかどうかに着目して試行を繰り返す．その試行が独立試行である場合には，確率関数は以下の二項分布で表現される．

問題５ある事象 A が起きる確率を1
ここで， は試行の回数，
えなさい．

(1)

は事象 A が起きる回数である．以下の問いに答

問１ 二項分布において，≡ と定義し， を有限のまま を小さく（ を大きく）した極限の確率関数は，以下の式で示されるポアソン分布となる．

!

(2)

式(1)から式(2)を導きなさい．なお，実数 λ に対し指数関数極限を用いて次の式で定義される．

は自然数

の

lim 1
→

問２ 容積
の容器内に
個の気体分子がランダムに存在するとき，容器内の体積の領域に個の気体分子が存在する確率を求めなさい．