切り欠き位置最適化手法を適用した kerf bending ベンチの制作報告
Production Report of a Kerf Bending Bench
Applying the Notch Position Optimization Method◦ 齋藤 魁利 ∗1 ，渡辺 哲平 ∗1 ，小林 広樹 ∗1 ，遊佐 太貴 ∗2 ，藤田 慎之輔 ∗3Kairi SAITO∗1 , Teppei WATANABE∗1 , Hiroki KOBAYASHI∗1 , Taiki YUSA∗2 , Shinnosuke FUJITA∗3∗1 北九州市立大学大学院 国際環境工学研究科 大学院生
Graduate Student, Faculty of Environmental Engineering, The University of Kitakyushu∗2 北九州市立大学 国際環境工学部 学士課程
Under Graduate Student, Faculty of Environmental Engineering, The University of Kitakyushu∗3 北九州市立大学 国際環境工学部 准教授 工博
Associate Professor, Faculty of Environmental Engineering, The University of Kitakyushu, Dr. Eng.
キーワード
キーワード：Kerf bending; 形状最適化; Kangaroo; Galapagos; 進化的アルゴリズム
Keywords：Kerf bending; shape optimization; kangaroo; galapagos; evolutionary algorithm.

1. 概要
曲面を作る方法として，kerf bending を用いる方法がある．kerf bending とは，平板を図 3 のように互い違いに切欠いて元の平板と違う特性とする手法で，メタマテリアルの一種とよぶこともできる．大嶋らの研究 1) では，切欠き位置が同一幅なモデルの構造的な特性について述べられている．SLUSH BENCH2) では，kerf bendingを利用した 3 次元曲面のベンチが制作されている．この報告では，それらの研究，構造物を参考に目標となる形

図1

モデル状に沿うように切欠きの位置を最適化し，CNC ルーター頭部である木工加工機 ShopBot3) 4) （以降 CNC ルーターと腹部呼ぶ）で切り出し，組立したベンチを紹介する．

脚部
図2

2. モデル
今回のモデルは図 1 のようなモデルを想定しており，人が横になったり，座ったりとすることができるようなデザインとしている．このモデルの曲率は図 2 のようになっており，脚部から腹部までは緩やかな曲率で，頭部に大きい曲率となるモデルである．

モデルの曲率とができる．

L = (m − 1) g +m∑

ja

(1)

j=0

大嶋らの論文 1) では，j a は全て同じ幅としていたが，それらの幅が個々に変形することで局所的な梁の剛性が3. 最適化
今回の最適化では，大嶋らの論文 1) を参考に，パラメーターを図 3，4 のように設定した．ここで j a は「局所的な梁」と呼ばれる変形可能な梁の幅，b は板厚を示し（b ≤ j a），l は梁の長さ，S は梁どうしをつなぐ剛体変わり，目標となる形状に沿うよう結果が得られるとして，a = {1 a, 2 a, · · · , m a} と直し，a を設計変数とする最適化を行った．なお，a が実数だと最適化や解析に時間がかかるため a ∈ Nm のように自然数とした．

部分の空き，g は切欠きの幅，A は全体の幅，L は全体の長さ，m は局所的な梁が並ぶ本数を示している．さらに L は図 3 の形状から得られる式 (1) により算定するこ
日本建築学会情報システム技術委員会
第 44 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 327-330 ， 2021 年 12 月，京都
Proceedings of the 44th Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 327-330 ， Dec. ， 2021 ， Kyoto－ 327 －mLAsjaminimize
nf +clsubject toamin ≤ j a ≤ amax
(j = 1, · · · , m)gb
図3

パラメータ設定

図4a∈N(3)ここでパラメータ設定詳細

f=m−1
∑

θi2

i=1
35

 (L − Lmin ) × 10 + 10c=
(Lmax − L) × 103 + 105
0(L ≤ Lmin )(Lmax ≤ L)
(それ以外)(4)

4. 試作 14.1. 解析概要
29≤ j a ≤47 で無作為に決定した梁を配置した長手方
向長さ 1734.27mm の解析モデル，解析モデルにおける

θi − i 関係を図 6 に示す．梁同士の間隔を CNC ルーターのビットの大きさから g は 6.35mm，局所的な梁の個数
図5𝜃𝑖m は 40 とする．物理演算は Kangaroo8) を使用し，局所勾配の変形角的な梁でのねじれモーメントの合計値を示している．

0.12

次に隣り合う梁の勾配差から表される変形角に着目す

0.10

る．梁の勾配とは図 5 の一点鎖線の勾配のことでその勾0.08i配差を表したものが変形角 θi である．θi が全体的によ0.04

り小さい値を取ることがとれば，目的の形状に収束しや

0.02

すい．θi の総和の最小化とする最適化では端部の梁の勾配差が支配的となり目的の形状に収束せず，θi の分散の0.06

0.00

05101520i253035

θi − i 関係

鳥瞰図

最小化とする最適化では平均値に引っ張られ曲率の低い部分の変形角が大きくなってしまう．そこで，θi の二乗和の最小化（面勾配の勾配差二乗和 5) ）を使用することで，目的の形状に収束する目的関数を得られた．それらを考慮した目的関数の式を式 (2) に示す．

立面図図6minimizena∈Nsubject to

f=m−1
∑

θi2

4.2. 最適化結果

i=1

Lmin ≤ L ≤ Lmax
amin ≤ j a ≤ amax

解析モデル

amin =12mm，amax ＝100mm, Lmin =1734.27mm，(j = 1, · · · , m)

Lmax =1800.00mm として式 (3)，(4) を解いて得られた(2)

ここで，amin ，amax は局所的な梁の幅 j a の上下限値であり，Lmin ，Lmax は全体の長さの上下限値である．
最 適 化 ソ ル バ ー は Grasshopper3d6) の Galapagos7) ，evolutionary algorithm をデフォルトの設定で使用する．
Galapagos は制約なしの最適化しかできないため，制約条件を入れるためのペナルティ関数 c を追加した．(式kerf bending モデルと θi − i 関係を図 7 に示す．Lmin ，Lmax はカーブの長さ，3 × 6 板の長手方向長さから，amin は板厚 b から決定している．図 6 の θi − i 図を見ると頭部の θi が大きくなっていることがわかる．これは，モデル頭部の曲率が高いためであり，θi の値が大きく出てしまったからだと思われる．一方，最適化後は初期条件と比較し小さな値となっていた．図 6 立面図では(3)，(4))

最適化後は初期条件に比べて赤い円の大きさで示す局所報告 H14－ 328 －0.120.10

i0.08
0.06
0.04
0.02
0.00

05101520

i253035

θi − i 関係

鳥瞰図写真 3SLUSH BENCH2) ，設計・施工：VUILD 株式会社，構造設計：藤田慎之輔 (北九州市立大学)，大嶋 泰介(Nature Architects 株式会社)

立面図図7

最適化結果

minimizenf +c

subject toamin ≤ j1 a ≤ amax
(j1 = 1, 3, 5, · · · , mODD )j2 a = amin
(j2 = 2, 4, 6, · · · , mEVEN )

a∈N

写真 1

組み立て後

写真 2

詳細

的な梁のねじりモーメントの合計値が頭部で大きくなっているが，これは，頭部の梁の j a が下限値をとり，変形しやすい（コンプライアンスの高い）形状になったと考えられる．

4.3. 試作
CNC ルーターで切欠き，組み立てを行ったものを写
真 1 に示す．試作は板厚 12mm の合板を使用した．しかし，合板に写真 2 に示すような割れが生じたため，さらに最適化や素材などを検討する余地があると確信した．

(5)

ここで，{mEVEN = m, mODD = m − 1
mEVEN = m − 1, mODD = m(m が奇数)(m が偶数)(6)

5.2. 解析概要
29≤ j1 a ≤47 で無作為に決定した梁と j2 a = amin の梁を交互に配置した長手方向長さ 1734.27mm の解析モ
デル解析モデルにおける θi − i 関係を図 8 に示す．梁同士の間隔を CNC ルーターのビットの大きさから g は6.35mm，局所的な梁の個数 m を今回は 59 とする．こ
ちらも物理演算は Kangaroo8) を使用し，局所的な梁でのねじりモーメントの合計値を示している．

5. 試作 20.120.105.1. 修正0.08i

試作 1 では，板厚 12mm の合板を使用したが，試作2 では板厚 9mm のＭＤＦ (中密度繊維板) を使用するこ

0.060.040.02ととした．また，試作 2 では m の数を増やし，求める0.000形状に収束させるようにした．さらに，写真 3 に示す

SLUSH BENCH2) を参考にし，a の偶数番号時が amin

102030i4050

θi − i 関係鳥瞰図となる梁を互い違いに入れた．
以上のことを式 (3)，(4) に適応し，定式化しなおした
ものを式 (5)，(6) に示す．
立面図
図8報告 H14

解析モデル－ 329 －

5.3. 最適化結果

amin = 9mm，amax ＝ 100mm, Lmin = 1734.27mm，
Lmax = 1800.00mm として式 (5)，(6) を解いて得られた
kerf bending モデルと θi − i 関係を図 9 に示す．

写真 50.12

本来は図 1 を目的として制作をしていたが，図 10 の0.10ように座面下部材の曲線を座面の曲線より低くし座面を0.08i

karf bending の浮きの様子

0.06

浮かせることで，座面に弾力をもたせ，体へのフィット0.04

感を促そうとした．しかし，写真 5 のように湿気により0.020.000102030i4050

θi − i 関係

鳥瞰図座面下部材へ接した．
これは，最適化の中で偶数番号の a を小さくしたことが原因だと考えられる．大嶋らの動画 9) でも，塑性破壊をさせるために行っていたため，この試作 2 でも塑性破壊が起こり，ばねのような弾力は失われてしまったと考えられる．

立面図
図9

最適化結果

6. まとめ
この報告では kerf bending を使用したベンチを紹介

図 8，9 の θi − i 図は試作 1 同様，最適化後は初期条した．kerf bending のベンチは変形角の二乗和やＭＤＦ件と比較し小さな値となっていた．立面図でも最適化後を使用することで，目指した変形ができ制作が行えた．

は初期条件に比べて局所的な梁のねじりモーメントの合

kerf bending は実施事例が少ないため，様々な使用方法計値も頭部で大きくなっている．

について模索したいと考える．

5.4. 試作
CNC ルーターで切欠き，組み立てを行ったものを写
真 4 に示す．

写真 4

図 10

報告 H14

組み立て後[参考文献]
1） T. Ohshima, T. Tachi, H. Tanaka, and Y. Yamaguchi. Analysis anddesign of elastic materials formed using 2d repetitive slit pattern. IASSSymposium 2015, 2015.1.
2） 設計・施工：VUILD 株式会社：構造設計, 藤田慎之輔 (北九 州 市 立 大 学),
大嶋泰介(Nature Architects 株 式 会 社).
SLUSH BENCH，https://architects.vuild.co.
jp/works/slush-bench/. (accessed 2021-9).
3） VUILD 株式会社. ShopBot，https://shopbot.vuild.co.
jp/. (accessed 2021.9).
4） ShopBot Tools ,Inc. ShopBot，https://www.shopbottools.
com/. (accessed 2021.9).
5） 藤田慎之輔, 齋藤魁利. 面勾配の変化量を用いた四角形要素で構成される離散曲面の形状制御汎関数の提案. 日本応用数理学会 2020
年 年会講演予稿集, 2020.9.
6） D. Rutten. Grasshopper -computing architectural concepts-. the conference Advances in Architectural Geometry, Vienna, Austria, pp. 18–21, 2010.9.
7） D. Rutten. Galapagos: On the logic and limitations of generic solvers.
Architectural Design, Vol. 83, No. 2, pp. 132–135, 2013.3.
8） Daniel Piker. Kangaroo –a live physics engine for interactive simulation, form-ﬁnding, optimization and constraint solving–, http://kangaroo3d.com/. (accessed 2021.9).
9） NatureArchitects 株式会社. 溶接なしで板金に動きをデザインする nature architects の設計技術，https://www.youtube.com/
watch?v=Rjz7VQyII5U. (accessed 2021.9).

立面図－ 330 －