本日の目的

４. ロスビー波と1.5層モデル• 今日は，ロスビー波，そして1.5層モデルを導入する．
• 地球流体の特徴は，コリオリ力を受けることで，しかもコリオリパラメータ(f=2Ω sinθ)が 緯度 の関数であることから明白なように，コリオリ力の効果が緯度によって違う．この緯度変化の効果から生じる２つの波がある．
一つが前回学んだ赤道を東に進む赤道ケルビン波
で，もう一つが中緯度を西に進むロスビー波である．
• またエルニーニョを含めて多くの風が海を駆動する現象で，海洋の運動は上層に限られるので，海が上から下まで動くという１層モデルでは都合が悪い．この問題を解決する，上層だけ動く1.5層モデルを導入しよう．

見延 庄士郎（海洋気候物理学研究室）

式番号について：異なるスライドで式を引用するときには，(3.1)などと(章番号.式番号）としています．一つのスライドの中，あるいはすぐ次のスライドだけで使うなら①などとしています．

12

地衡流の収束・発散？（f一定の場合）
１）初期水位２）流れは？

北h高

h高

赤道

東３）収束発散？

ロスビー波４）移動方向？

h高h高収束発散は ゼロ，伝播は しない45

ロスビー波のメカニズム．北半球の場合
１）初期水位

ロスビー波のメカニズム．南半球の場合

２）流れは？

１）初期水位２）流れは？

円の中心で圧力が高いことを仮定．

北円の中心で圧力が高いことを仮定．

北h高
コリオリパラメー
タの絶対値は

東

h高

h高
東

北 側で大きい．
３）収束発散？

収束

南 側で大きい．
３）収束発散？

４）移動方向？

h高

発散

h高

コリオリパラメー
タの絶対値は収束
収束h高４）移動方向？

h高発散

発散

伝播方向は，西 向き

収束

h高発散

伝播方向は，西 向き
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海に見えるロスビー波
海面高度（海の表面のでこぼこ）

赤道で東へ伝播→赤道ケルビン波
赤道外では西へ伝播→ロスビー波25Nと12Nで，後者の波の速度が速いのは12Nである．
89長波ロスビー波の伝播速度定量的に理解するために式を使おう．
前回学んだ，摩擦・風応力を考えない浅水方程式系は，東向き運動方程式

ut − fv = − ghx①

北向き運動方程式vt + fu = − ghy②連続の式

ht = −H (ux + vy )③d f /d y ≡ β ≠0に注意− fv = − ghx①②
北向き運動方程式 + fu = − ghy
ht = −H (ux + vy ) ③連続の式• クロス微分の定跡: ∂②/∂x-∂①/∂yで，必ず圧力項を消すことができる．
f (u x + v y ) + β v = 0•→βh=Hvt• これを③に代入してf• これに①を代入してvを消すとgH
ht − β 2 hx = 0 (4.1)
f
前回登場のロスビーの東向き運動方程式• 簡素化のために，運動方程式の時間変化項を無視（消去）したい• 前回のスケーリングの議論を踏まえると，時間変化項を無視できるのは，以下の二つの等価な場合である• 時間スケールが 1日 よりも十分長い• 空間スケールが ロスビーの変形半径 よりも十分大きい• これは一階線形偏微分方程式（伝播方程式）．

• 今回導出するロスビー波は，長波 ロスビー波と呼ばれる

変形半径ROを使うと• 伝播方向は西．伝播速度は β gH = β RO2
f2
1011

海のロスビー波の速度を計算しよう• Q. 水深4000 m, 重力加速度 10 m/s2，として25Nでのロスビー波の伝搬速度を求めよ．なお，f=2Ω
sinθ = 6×10-5 s-1, β=(2Ω/a) cosθ =2×10-11 m-1 s-1
を用いよ(aは地球半径） ．また，スライド９の図より
25Nの伝搬速度を求めよ．この際，経度１度当たりの距離が，25Nで100 kmであることを用いる.両者の結果は一致するといえるか？
• A ロスビー波の伝搬速度は， β gH / f 2=220 m/s.
一方，図の伝搬は経度120度を６年で伝播するので，c=120*100*1000/(６*365*24*60*60)=0.063 m/sとなって，全然合わない．

1.5層モデル1213

海洋成層と運動の鉛直構造
混合層0m

1.5層モデル1/3０• 密度が少し異なる，２層流体を考える.
• 2層目の厚さが，無限だと仮定する．→２層目は動かない．

上層

流体表面

η1H

η2p2, ρ2境界面

温度躍層x(4.2a)

vt + fu = − g ' hy(4.2 b)t１０００0°C
10°C
WOA94，SODA7

深層

この場合，上層の流速をu, v とすると，以下の浅水方程式と同じ形の
u − fv = − g ' h５００1000 mz=0u,v, 上層
h p1, ρ1３０N

20°C

４５Ncm/s

海洋の運動の多くは，上から下まで一様（１層）ではなく，上（上層）だけ速い．

→２層のうち上層だけ動く，1.5 層モデル が有効．

ht + H (u x + v y ) = 0(4.3)

方程式系が得られることを示そう．ここで，g’は 低減重力 と呼ばれる量である．

g'= gρ 2 − ρ1
ρ0(４.４)141.5層モデル2/3
上層の（線形）運動方程式は１層モデルと一緒で

ut − fv = − gη1x
vt + fu = − gη1 yH①a①bη2① ab境界面• 一方連続の式は明らかに次式が成り立つ

ht + H (u x + v y ) = 0,1.5層モデル3/3

流体表面

η1

h = H + η1 − η 2

z=0
u,v,
h p1, ρ1 上層
p2, ρ2• 一つ前スライドの運動方程式①abに，②を代入すると

深層

ut − fv = − g ' hx

下層が動かないので，p2はゼロ．

vt + fu = − g ' hy

• となって求める運動方程式(4.2ab)が得られた．(導出完了）• 1.5層モデル方程式系は 低減 重力モデルとも呼ばれる．
• １層浅水方程式の,重力加速度が 低減重力 に，全水深が上層の厚さ に，置き換わっただけ．

• したがって， η1をhのみで表せればよい．この関係を出すのに，２層目が動かないという条件を使う．まずp2は(水平変化成分のみに着目して）

p2 = p1 + ρ0 g 'η 2 = ρ0 gη1 + ρ 0 g 'η2 ←四角にη1かη2を入れようη2 = −η1 g / g ',• なので，これがゼロとなるには• gはg’よりもずっと大きいので

15

η2 >> η1

• したがって，hから水平変化に寄与しないHを取り除いて考えるとh ≈ −η 2 , η1 = hg '/ g②1617

1層モデルvs1.5層モデル• １層モデルの層厚をH=4000 m，重力加速度をg=10 m/s2とし，1.5層モデルの層厚さをH=300 m，低減重力を g’=0.03 m/s2とする．
• 共通のパラメータとして， f=2Ω sinθ = 6×10-5 s-1, β=(2Ω/a) cosθ =2x10-11 m-1 s-1とする．（aは地球半径）• Q1 1.5層モデルで重力波の速度を表す式を書き，速度を求めよ．

• A1 1.5層モデルの重力波の速度は，=3 m/s

大気のロスビー波• Q2 1.5層モデルで長波ロスビー波の速度を表す式を書き，速度を求めよ．この速度は，上で求めたロスビー波速度の観測値と一致すると言えるか？

• A1 1.5層モデルの長波ロスビー波の速度は，=2×10-11 × 0.03 ×300 /(6×10-5)2=2×9/36×10-1=0.05m/s

18

ジェット気流の蛇行

19

Nino3.4と200 hPa等圧面高度の相関

200 hPa 等圧面高度(単位 m)
第一回
スライド
再掲

エルニー
ニョの影
響は中高緯度に及ぶ• 北半球冬季には，ジェット気流の速度が速くチベッ
ト高原やロッキー山脈が影響する地形効果と，海洋から大気への熱供給が強いために，ロスビー波によるジェット気流の蛇行が，北半球夏季よりも大きい．
20

21

大気のロスビー波

テレ・コネクション
温暖寒冷• テレ･コネクション（遠隔結合）• ある場所の気候状態が離れた地点の気候状態に影響• 代表格が，エルニーニョに伴って生じる太平洋/北米パターン（左図）• 中緯度の大気では，東西方向に地球を一周する西風（東向き）の成分が強い．
• 陸があるので，海流は地球を東西方向に一周できない．

• その強い西風と，静止流体では西に伝播しようとするロスビー波の速度が逆方向で大きさが等しいと，波の伝播が風に押しとどめられ，定在ロスビー 波が生じる．
• 実際には，ロスビー波は様々な速度（とそれに対応した波長）を持つので，定在する波が選択的に励起される．

• 定在ロスビー波の存在には西風が不可欠なので，貿易風などの東 風領域では，ロスビー波は存在できない．
• 定在ロスビー波はエネルギーを必ず 東 に伝えるので，エルニーニョに伴う大気のロスビー波はアメリカ大陸を直撃するけれど，日本には来ない．日本へのエルニーニョの影響は間接的なメカニズムによる．
22

数日スケールではロスビー波の伝播が見える

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9月11日 TBS あさちゃん

台風9号

台風10号

カリフォルニアに熱波2020/9/7
コロラドに雪をもたらした2020/9/8
2425

2021年北海道熱波 1/2
2021年7月17日-8月7日平均の規格化

2627

第４回のまとめ1/2

2021年北海道熱波 2/2 2021年7月偏差ヨーロッパ，北米西部，日本付近で熱波が生じたそれぞれの地域
で200 hPa等圧面高度が高偏差となっており，このパターンは
Circumglobal
teleconnection
pattern として知られているものである．

• 赤道に沿って 東 に伝播する波が 赤道ケルビン波 ， 1層モデルの伝播速度は．岸に沿うのは沿岸ケルビン波．
• 長波ロスビー波は，西に伝播し，その速度はロスビーの変形半径をROとすると， β RO2 である．ロスビーの変形半径は，重力波が１日のスケールで伝播できる距離を表し，１層モデルではである．
• 流体が動く上層と，動かない無限の厚さを持つ２層からなるモデルを，1.5層モデルという．このモデルでの重力波の伝である．
播速度は低減重力を で表すと，• 海面水位の凹凸が赤道外で西へ伝播する様子は，1.5層モデルの ロスビー 波でよく説明できる．
2928

第４回のまとめ2/2• 1.5層モデルは１層浅水方程式の重力加速度が 低減重力に，全水深が上層の厚さ に，置き換わったものであり，外力・摩擦がない場合の式は，以下のとおりである．

ut − fv = − g ' hx

(4.2a)

vt + fu = − g ' hy

(4.2 b)ht + H (u x + v y ) = 0g'= g

ρ 2 − ρ1
ρ0(４.４)(4.3)• 月よりも長い時間スケールの大気のロスビー波は，位相が空間的に固定される 定在 波である．
• 大気のロスビー波は，ジェット気流の 蛇行 ，およびある場所の気候状態が離れた地点の気候状態に影響する
テレコネクション で重要である．
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