ニューラルネットワークによるサロゲートモデルを用いた構造最適化
2 次元橋梁モデルの曲げひずみエネルギ最小化

Structural Optimization Using Surrogate Models with Neural Networks
Bending strain energy minimization for 2D bridge models○久住呂 大志*1，横須賀 洋平*2，本間 俊雄*3
Taishi KUJURO＊1, Yohei YOKOSUKA＊2, Toshio HONMA＊3*1 鹿児島大学大学院理工学研究科工学専攻建築学プログラム

大学院生

Graduate Student, Graduate School of Science and Engineering, Kagoshima University*2 鹿児島大学大学院理工学研究科工学専攻建築学プログラム

准教授・博士(情報科学)

Associate Professor, Graduate School of Science and Engineering, Kagoshima University, Ph.D.
*3 鹿児島大学

名誉教授・工学博士

Emeritus Professor, Kagoshima University, Dr.Eng.
キーワード：ニューラルネットワーク、サロゲートモデル、構造最適化
Keywords: Neural network, surrogate model, structural optimization

1. はじめにトワーク（以下 NN）を採用する。NN は脳機能に見られ近年最適化や機械学習の技術進展により、計算機によるいくつかの特性に類似した数理的モデルであり、そのる意思決定プロセスが身近な存在となっている。建築構

概要や定式化については文献 3)を参照されたい。また、造物の設計において、構造部材の総重量や部材配置、設NN の学習において、過学習という訓練データに対して計形状の最適化問題は、これまでに多数の研究報告があは適合できているが、未学習の未知データに対して適合

1)。建築構造の形態創生における解探索手法には発見できていないという問題がしばしば発生する。そこで過的手法が有用な手法として適用される 2)が、これらの手学習を防止する手法として、ドロップアウトという手法

法は目的関数の微分計算が必要ではないため、汎用性がが提案されている。これは学習に用いるユニットを制限高い手法として知られている。しかし、最適化問題の高する手法であり、学習中にドロップアウトさせるユニッ

次元化に伴う探索性能の低下や計算コストの増加などのトをランダムに交代させることで、一種のアンサンブル問題が存在している。そこで著者らは、サロゲートモデ学習を行うことが可能になる。本稿ではドロップアウト

ルにニューラルネットワークを採用し、最適化問題に組の有無による、近似解の比較を行っている。また学習時、み込むことで計算コストを削減する最適化手法の提案を

未知データの損失関数値に改善が見られない、もしくは行った 3)。建築構造の最適化問題への適用例として、SVM悪化し続ける場合、その時点で学習を早期終了する。

るや決定木などの手法を用いた最適ブレース配置の研究が報告されている 4)が、最適化問題に対する提案手法の適用範囲や、その近似精度に関する検討が必要である。

3. 人工蜂コロニーアルゴリズム(Artificial Bee Colony)
本稿では構造最適化の解探索手法に、人工蜂コロニー

本稿では、2 次元橋梁モデルの曲げひずみエネルギ最アルゴリズム(以下 ABC)を用いる。ABC はミツバチの採小化問題を扱い、本手法により最適化問題を解くことで、餌行動に基づいて提案された最適化アルゴリズムである。

その最適解や解空間の近似精度を検証することを目的と

本稿ではその中でも解探索の向上を目的として提案されする。まず、2 次元橋梁モデルについて、各応力の検定た改良型 ABC5)を採用する。以下にその計算手順を示す。

比を教師信号としたニューラルネットワークの学習を行

step0) 計算準備

い、サロゲートモデルを構築する。そして、最適化プロ

反復回数カウンタ k を初期化し、k = 1 とする。また、セスにおいて有限要素解析を行わずに、サロゲートモデ

適合度上位の探索点数  、解への収束状況パラメータ dr、ルによって目的関数を評価し探索を行い、その近似精度

許容限界値 fbound 、 fbound に対する制度値 f accuracy 、総反復回と計算コストの数値結果により、本手法の妥当性を示す。

数 Tmax 、「段階 1」の最低反復回数 T1min を設定する。
step1) 初期食糧源決定

2. ニューラルネットワーク(Neural Network)
本稿では、サロゲートモデルの構築にニューラルネッ
日本建築学会情報システム技術委員会
第 44 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 323-326 ， 2021 年 12 月，京都
Proceedings of the 44th Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 323-326 ， Dec. ， 2021 ， Kyoto

食糧源を設計変数空間にランダムに配置する。また、初期状態における最良解(best0)を決定し、全食糧源の平－ 323 －表1

図1

ABC パラメータ

employed bee
onlooker bee
αdrfboundfaccuracy
T1min

Model A (m)Tmax

表2NN パラメータ

ユニット構成活性化関数
学習データ数epoch
バッチサイズ
早期終了判定の epoch 数

200
200
60
0.9
0.0
1.0×10-16500
50000(FEM)
10000(NN)

図 2 目的関数値の遷移 ABC-FEM

図 3.1 解形状 1 試行目 f = 5.57.E-02

図 3.2 解形状 2 試行目 f = 7.06.E-02

図 3.3 解形状 3 試行目 f = 6.25.E-02

均評価値 finit を算出する。食糧源一つ Xi0 (i = 1,2,, n) に

9-200-200-45
Sigmoid100000
最大 10000100300

step3) onlooker bee による探索

対して一匹 eb X を割り当てる。

onlooker bee の 探 索 カ ウ ン タ l を 初 期 化 す る 。

step2) employed bee による探索(k  T1min ) &( f judge  dr) の場合は、相対価値確率 Pi k に基0i

各食糧源 Xik の目的関数値 f ( Xik )から、各食糧源の適合

そうでない場合は、適合度の高い上位  の食糧源中から度 fitik を次式により計算する。

1k f ( Xik ) − fbound , f ( Xi ) − fbound  f accuracy
fitik = 1
, f ( Xik ) − f bound  f accuracy
 f accuracy

づくルーレット選択により一つの食糧源 Xick を選択し、ランダムに一つの食糧源 Xick を選択する。ここで、下添(1.1)

字 ic は選択された食糧源番号を表す。そして、選択された食糧源 Xick についてのみ、式(1.2)と同様に更新候補点
obXick を生成し、この食糧源のみ更新する。l が onlooker

全食糧源 X に対して、それらの更新候補点を次式によりbee 数でなければ、 l = l + 1 として、更新候補点 ob Xick を生計算する。

成し、解を更新する。

kieb

Xihk = Xihk +  (Xihk − Xkjh ) , eb Xizk = Xizk

(1.2)

step4) 最良探索個体の更新

ここで、下添字 h は探索点ごとにランダム選択された一つの設計変数番号を表し、下添字 z は選択された番号以外の設計変数番号を表す。また、 は[-1,1]の一様乱数であり、下添字 j は、 (k  T1min ) &( f judge  dr) の場合は食糧最良解(bestk)を更新する。
以上の step2-4 を指定した反復回数だけ繰り返し、最も適合度が高い個体を解個体とする。以上が改良型 ABC の計算フローである。

源ごとに食糧源番号 i 以外で相対価値確率 Pi k に基づくルーレット選択により選択された参照点番号を表し、そうでない場合は食糧源番号 i 以外で適合度上位  の食糧源中からランダム選択された参照点番号を表す。また、反復回数 k  T1min において、 f judge  dr であれば式(1.3)によって f judge の値を更新する。

finit − f (best k )f judge =finit − fboundi =14.1 最適化定式化
数値実験例として、節点座標移動量を設計変数とした2 次元橋梁モデルの曲げひずみエネルギ最小化を扱う。

(1.3)

要素数:29)であり、有限要素解析には梁要素を用いる。

(1.4)

最適化の定式化を以下に示す。
FindRnf (R) =  k =0Vk ( M ki T ki + M kj T kj )to minimize

この更新値が f judge  dr となれば、適合度を用いて各食糧源 Xik の相対価値確率 Pi k を次式(1.4)より計算する。上記のように更新候補点を計算し、 f ( eb Xik )  f (Xik −1 ) ならば

Xik = eb Xik を記憶し、そうでなければ Xik −1 を保持する。

報告 H132 次元橋梁モデルの曲げひずみエネルギ最小化

解析モデルの初期形状は図 1 に示す Model-A(節点数:22、nPi k = fitik /  fitik

4.

subject to   k (R )  L(2.1)(2.2)

U(2.3)(2.4)
R RR
ここで、R：節点座標移動量ベクトル、Vk：k 部材体積、M ki ,kj ：k 部材 i 端 j 端曲げモーメント、  ki ,kj ：k 部材 i 端L

U－ 324 －図 4.1 損失関数値の遷移 ドロップアウト無図 5.1 解形状 NN1
f = 5.47.E-02 (8.51.E-01)

図 5.2 解形状 NN2
f = 4.39.E-02 (2.68.E-01)

図 6.1 損失関数値の遷移 ドロップアウト有

図 7.1 解形状 NN1
f = 3.21.E+00 (4.52.E-01)

図 4.2 目的関数値の遷移 ABC-NN ドロップアウト無図 5.3 解形状 NN3f = 7.30.E-02 (8.72.E-01)

図 6.2 目的関数値の遷移 ABC-NN ドロップアウト有

図 7.2 解形状 NN2f = 2.89.E+00 (4.31.E-01)

図 7.3 解形状 NN3f = 3.17.E+00 (3.21.E-01)

j 端曲率、  k ：k 部材応力度である。応力制約は短期許遷移、図 3,5,7 に解形状および目的関数値を示す。数値情

容応力度を用い、座屈を考慮した鋼構造設計基準式を用

報は f：目的関数値、（NN については推定値、かっこ内いる。R は Y 座標移動量：RL = -30m，RU = 30m、X 座標が解析値）、iteration number：反復回数、loss：損失関数

移動量：RL = -6.5m，RU = 6.5m の側面制約を与える。荷値、epoch：学習回数である。
また、図や表に示す ABC-FEM

重条件は分布荷重と自重を考慮し、材料条件は断面一定

は有限要素解析、ABC-NN は NN による最適化の結果をの角形鋼管を想定、弾性係数 E = 2.05 10−8 kN/m2 、質量表している。

密度  = 78.5kN/m と設定する。また、設計変数は対称2性を考慮する。

ABC-FEM の結果について、図 2 に示す目的関数値の遷移より、1 試行目は十分な収束が見られ、その他も次に NN について、入力値は設計変数、教師信号は各50000 回時点で概ね収束していることが判る。図 3 に示応力を許容応力度で除した検定比とする。また NN を用す解形状より、試行によって設計変数、目的関数値に微いた最適化の際、目的関数値の算出は曲げモーメントの小な差があるが、いずれの試行も得られた最適解はアー推定値から曲率を計算し関数値の算出を行う。

チ型の解形状であることを確認した。

ABC,NN の計算パラメータは表 1,2 に示す値を採用し、ABC-NN の結果について、各 NN について 1 試行目のNN の学習はドロップアウトを考慮して 3 回ずつ行う。

結果を抜粋して示す。図 4,6 に示す損失関数値、目的関最適化は有限要素解析、各 NN を用いて 3 試行の数値実数値(推定値)の遷移より、NN の学習は両手法とも早期終験を行う。最適化の反復回数は各手法の目的関数値の遷了判定を満たしており、目的関数値はいずれも十分に収移を考慮しそれぞれ決定しており、NN の学習における束している。また、目的関数値(推定値)は学習手法によ学習データは、設計変数空間に乱数を用いて発生させたりオーダーに差が見られ、ドロップアウト無の方が小さランダムデータ(50000)と、その内応力制約を満足していな値をとる結果となったが、解析値ではその傾向は見らる許容解データ(50000)の計 100000 データを学習データれない。次に図 5,7 に示す解形状、目的関数値より、ドとして用いる。これは、本最適化問題の許容解比が約ロップアウト無の場合 NN によって得られる最適解形状0.3%程度と非常に許容解の割合が低いことから、学習デが異なり、アーチ型、サスペンション型の 2 種の解形状ータの許容解データ割合を増やし、最適化の近似精度をが得られた。一方で、ドロップアウト有の場合、NN に向上させることを目的としている。

よらず得られた解形状はサスペンション型の形状であっ4.2 数値結果と考察た。ドロップアウト無では、ABC-FEM と同様のアーチ

数値結果として図 2,4,6 に目的関数値と損失関数値の報告 H13型の解形状が得られたが目的関数値(解析値)には差があ－ 325 －

9.5% (19/200)

9.5% (19/200)
13% (26/200)
31% (62/200)
16% (32/200)
11% (22/200)
図 8.1 各クラスタの平均形状及び割合 ABC-FEM (1 試行目)

3.5% (7/200)

8% (16/200)
17.5% (35/200)
27% (54/200)
8% (16/200)
1.5% (3/200)
34.5% (69/200)
図 8.2 各クラスタの平均形状及び割合 ABC-NN (ドロップアウト有 NN1 1 試行目)
表3ることが判り、サスペンション型の方が目的関数値は小さい。ドロップアウト無の場合、NN によって最適解形状が異なることは、解探索の安定性に欠けると考えられ

ABC-FEM
100.0010% (20/200)

1 試行計算コスト(%)

NN 学習
24.83

ABC-NN
25.33

SUM
50.16る。しかし、ドロップアウトを用いることで、NN によと考えられる。各クラスタの割合が異なることや、最適らず同様の最適解を得ることができ、解探索の安定性の解の目的関数値に差があることは、NN の近似精度の限観点から有意であるといえる。しかし、最適解のみを比度が主な要因であると考えられるが、ドロップアウト有較すると、アーチ型とサスペンション型とで最適解形状の場合、最適化の解探索が安定し、解空間が適度に汎化が大きく異なる結果となった。

性能を保ちつつ近似されている。このことは、最適化問

4.3 計算コスト

題の設計変数を同定する本手法において、元の問題の極表 3 に各手法の 1 試行計算コストを示す。ABC-FEM値の位置が再現できていれば有意であると考える。の反復回数 10000 回を基準とし、ABC-NN は学習データ

従って、解空間全体の近似ができていることや、計算の作成及び学習のコストを考慮する。数値結果より、NNコストの点で優位であることから、効率的に解空間の把の学習コストを含めても約 50%であり、計算コストの優握を行う方法として、本手法は有用であると考えられる。

位性を示している。
6. まとめ5. 解空間の近似精度

本稿では、2 次元橋梁モデルの曲げひずみエネルギ最前章で ABC-FEM,NN で最適解の形状が大きく異なる小化問題を、NN によるサロゲートモデルを用いて最適結果を示した。このように、NN の学習モデル及び学習化を行った。NN の学習時ドロップアウトを用いること方法で試行ごとに異なった最適解が得られてしまう。そは、解探索の安定性や汎化性能の観点で有意であるといこで、解空間全体の近似精度を検証するために、探索終える。また、効率的に解空間全体を把握する方法として了後の探索個体群の比較を行う。

も本手法は有用であることを示した。今後の展望として、

5.1 クラスタリングによる解空間の比較

位相を設計変数として扱う鋼構造骨組みのブレース配置比較方法として、ABC-FEM,NN の探索終了後の探索個問題などへの適用を検討する。

体群 200 個体について、k-means 法を用いてクラスタリングを行い、その結果より解空間を比較検証する。また、
k-means 法のクラスタ数は 7 とする。数値結果として、謝辞
本研究は、JST，CREST，JPMJCR1911 の支援を受けた。

図 8 に各クラスタの平均形状及び探索個体全体における割合を示す。ABC-FEM は１試行目、ABC-NN は NN1(ドロップアウト有)の 1 試行目の探索個体群を対象にクラスタリングを行った結果を示している。
5.2 数値結果と考察
図 8.1 に示す ABC-FEM の結果より、各クラスタの平均形状はアーチ型以外にサスペンション型の形状を多く含むことが判った。各クラスタで割合は異なるが、クラスタごとに形状に差があることが確認できる。次に図 8.2に示す ABC-NN の結果より、各クラスタの割合に差はあるが、アーチ型の形状も含むことが判り、ABC-FEM と概ね同様の傾向を示していた。以上の結果から、最適解
形状は ABC-FEM,NN で異なるが、探索個体群全体は同様の傾向を示しており、解空間全体の近似ができている

報告 H13［参考文献］
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2） 本間俊雄，野瑞憲太：解の多様性を考慮した遺伝的アルゴリズムによる構造形態の創生，日本建築学会構造系論文集，614，pp.35-43，2007
3） 久住呂大志，横須賀洋平，本間俊雄：ニューラルネットワ
ークによるサロゲートモデルを用いた構造最適化-2 次元
橋梁モデルの断面・形状最適化-，第 15 回コロキウム構造
形態の解析と創生 2020，pp.41-46，20204） 田村拓也，大崎純，高木次郎：機械学習を用いた鋼構造骨組のブレース配置の分析，日本建築学会近畿支部研究発表
会，57，pp.83-84，2017
5） 宇谷明秀,西本雅明,山本尚生：高次元工学設計問題のための最適化手法,知能と情報(日本知能情報ファジィ学会誌),Vol24,No3,pp.791-802,2012－ 326 －