みずほリサーチ＆テクノロジーズ 技報 Vol.1

ノイズのある量子コンピュータ上での量子振幅推定宇野 隼平i

Amplitude Estimation Algorithm on Noisy Quantum Device
Shumpei UNO
近年, 高速計算が可能な次世代のコンピュータの候補として, 量子コンピュータに大きな注目が集まっている. 本稿では, 数値積分 (モンテカルロ積分) 等に応用可能な, 基礎的な量子アルゴリズムである量子振幅推定法のノイズ状況下(Depolarizing noise) における性能について議論する.

(キーワード): 量子コンピュータ, 量子アルゴリズム, 量子振幅推定, Depolarizing noise

1 はじめにケーリングに従う. 一方で, Quantum Metrology では, エンタングルした N 個の Probe を用意する, ま

量子コンピュータは既存のコンピュータの限界をたは 1 つの Probe に対して N 回の操作を行う等の超える可能性を秘めた計算機モデルであり, これまで

方法を用いることで, (ノイズがない場合には)1/N

精力的・継続的に研究が進められてきた. 特に量子振程度の誤差 (Heisenberg Limit, HL と呼ばれる) と幅推定アルゴリズム (以下, QAE という) [1–6] は数なることが知られている. これは, QAE アルゴリズ

値積分 [7–14], 機械学習 [15–21] など, 幅広い応用分

ム [1–6] と類似した状況 (QAE では, 何もしなけれ野を持つ基礎アルゴリズムとして注目を集めている.

ば推定誤差は演算子の呼び出し回数 N に対して, 推

これまで研究されている量子アルゴリズムの多く

定誤差は 1/ N に対して, 振幅増幅を利用すること√は, ノイズの無い, 理想的な量子コンピュータ上で動で, 1/N 程度の誤差) であり, 何らかの関連性が感じ作するアルゴリズムであり, 近い将来のエラー訂正られる.

の無い量子コンピュータ上での性能は明確では無い.

本稿では Quantum Metrology と QAE アルゴリ

ノイズ状況下におけるアルゴリズムの性能評価は, 量ズムの類似性を利用し, ノイズ環境下での QAE の子コンピュータが共用され始めた近年の状況を鑑み推定精度を評価することを目的とする. 本稿の構成

ると, 今後も重要な研究課題の一つであると考えらは以下のとおりである. まず, 2 節において, 背景知れる.

識として, Quantum Metrology, 特に QAE に関連

本稿では, ノイズ状況下における QAE の性能につする Quantum Frequency Estimation [33] のノイズ

いての筆者らの最近の研究 [22] を紹介する. 特に,状況下での代表的な結果について述べる. 次に, 実

この研究の背景にある, Quantum Metrology の分

機上でのノイズがほぼ Depolarizing noise でモデル

野でのノイズの取り扱いの紹介から始める [23–32].

化出来ること [35] を鑑みて, 3 節において, QAE のQuantum Metrology における代表的な問題として,Depolarizing noise 状況下での性能について述べる.

量子状態の操作に埋め込まれたパラメータを推定する問題が挙げられる [33, 34]. 一般に, 量子状態

2 Preliminaries on Quantum Metrology(Probe) を独立に N 個用意し, それぞれの Probe に対して独立に操作した上で測定を行うと, 中心極限定
理により, パラメータの推定誤差 (二乗平均平方根誤√差) は, 漸近的に, 1/ N 程度 (Standard Quantum
Limit, SQL または単に shot noise と呼ばれる) のス

本節では, Quantum Metrology の基礎的な事項について簡単にまとめる. まず, 2.1 節において, パラ

メータを有する確率モデルの (古典) パラメータ推定について述べる. 次に量子状態がパラメトライズされている場合に, パラメータを推定を行う量子状態推定理論について 2.2 節において述べる. 次に, 2.3 節

i サイエンスソリューション部 上席主任コンサルタント 博

士 (理学)

291

において, チャンネル推定理論について述べ, 純粋状

No.1

みずほリサーチ＆テクノロジーズ 技報 Vol.1

No.1

態において, 推定精度が HL を達成するエンタングル

かし, Cramér–Rao 不等式の下限は, 最尤推定法によエンタングルを利用した方法と, 純粋状態においてはている [44]. 最尤推定法は, 実現値 x1 , x2 , . . . , xN をを利用した方法を紹介する. その後, 2.4 節において,り, 漸近的 (N → ∞) に到達可能であることが知られ同等の性能を示す別の方法 (Coherence を利用した
Sequential Strategy) を紹介し, 最後に, 2.5 節において, Sequential Strategy の Depolarizing noise 下での推定精度について紹介する.
なお, 本節では, Quantum Metrology で研究されている成果のうち, 主に, QAE で重要となると思われる帰結についてのみを述べる. より詳細な理論や実験との関連性については, Metrology に関する
Review(例えば, [36–40] 等) を参照. また, 本稿では,簡単のため, 推定するパラメータが 1 つの場合についてのみ述べる. 多パラメータの量子推定に関する研究 (例えば [41–43]) は, 本稿のスコープの対象外とする.
2.1 Classical Estimation Theory
実数 R に値を取る確率変数 X が, 未知のパラメー
タ θ を含む確率モデル (確率密度関数)fθ (x) に従うとする. この確率変数に対して, N 回の独立な試行を行い, N 個の測定結果 ⃗x = (x1 , x2 , . . . , xN ) が得られたとしたときに, θ を推定する問題を考える. これ
らの測定結果から構成される θ の推定量 θ̂(⃗x) が不偏用いて, 以下により推定値 θML を求める方法である.

θML (x1 , . . . , xN ) = arg max
θ

2.2 Quantum State Estimation Theory

推定理論の量子への単純な拡張として, 確率モ

デル fθ (x) の代わりに, 密度演算子 ρθ が単一パラ

メータ θ によって特徴づけられている状況を考える. このとき, ρθ を N 個の独立に用意した量子状態に対して, 任意の POVM 測定を行い測定結果⃗x = (x1 , x2 . · · · , xN ) が得られた時, θ の不偏推定量
θ̂ に対して, 以下の量子 Cramér–Rao 不等式が成り立つことが知られている [45–47].
V(θ̂) ≥FQ (ρθ ) = tr ρθ LS (ρθ )2 .

tive(SLD) と呼ばれており, 以下を満たすエルミート演算子として定められるii .
ρ̇θ =とが知られている.

∂fθ (x)
1dxfθ (x)∂θx
2 ∂ ln fθ (X)
= EX
∂θ

(2.7)

ここで, overdot は, パラメータ θ に関する微分を表近的に達成するような adaptive な測定戦略が存在す

ここで, Fcl (fθ ) は, 以下で定義されるフィッシャー

Fcl (fθ ) =1(ρθ LS (ρθ ) + LS (ρθ )ρθ )2

す. 一般に, 量子 Cramér–Rao の不等式の下限を漸

(2.2)

2

(2.6)

ここで, LS (ρθ ) は Symmetric Logarithmic Deriva-

散 V(θ̂) は, 以下の Cramér–Rao 不等式を満たすこ



(2.5)

ャー情報量である.

を満たし, かつ確率モデルが正則である場合には, 分1.
N FQ (ρθ )ここで, FQ (ρθ ) は以下で定義される量子フィッシ(2.1)

情報量である.

(2.4)

張について簡単に紹介する.

θ = EX (θ̂)

= dx1 dx2 · · · dxN fθ (x1 )fθ (x2 ) · · · fθ (xN )θ̂(⃗x)

1.
N Fcl (fθ )fθ (xi )i=1

以下では, ここで導入した古典推定理論の量子への拡性条件

V(θ̂) ≥N
ることが存在することが知られており [49], 式 (2.5)のバウンドは, 最適な POVM 測定を選んだ場合には達成することが出来る. ここで, FQ (ρθ ) は, N とは無関係であるため, 式 (2.5) から, 明らかに, 推定誤差


はO

(2.3)

に従い, 最適な POVM 測定を行ったとしても, HL のスケーリングを達成することは出来ない [23].

ここで, EX は確率モデル fθ (x) の下での x に関する期待値を表す.

ii SLD 以外を用いた量子フィッシャー情報量の定義もある

一般に, 式 (2.2) の Cramér–Rao 不等式の下限値を達成する不偏推定量を構成出来る保証は無い. し

√1
N

30

2

が, 1 パラメータ推定の場合には, SLD が最もタイトなバ
ウンドを与えることが知られている [46, 48]

みずほリサーチ＆テクノロジーズ 技報 Vol.1

量子状態が純粋状態として, ρθ = |ψθ ⟩ ⟨ψθ | と表される場合には, 量子フィッシャー情報量の表式 (2.6)
は以下のように簡単化される.

FQ (|ψθ ⟩ ⟨ψθ |) = 4
一 方 で,

    2 ψ̇θ  ψ̇θ −  ψ̇θ  ψθ 

混 合 状 態 の 場 合 に は,

(2.8)

一般的に

は, SLD(LS (ρθ )) 及 び 量 子 フ ィ ッ シ ャ ー 情 報 量

図 1 Quantum State Estimation の設定のイメー
ジ. ここで Λ は任意の TPCP 写像, {Ex } は任意の POVM 演算子を表す.

(FQ (ρθ )) は, ρθ の固有値を pi 及び固有ベクトルを {|i(θ)⟩} と書くとすると,
LS (ρθ ) ={i|pi ̸=0}+

{i,j|pi +pj ̸=0}

FQ (ρθ ) =

{i,j|pi +pj ̸=0}

たす.




2(pi − pj )|i(θ)⟩ i(θ)  j̇(θ) ⟨j(θ)|
p i + pj

{i|pi ̸=0}+

きには, 量子フィッシャー情報量は以下の関係式を満ṗi (θ)|i(θ)⟩ ⟨i(θ)|
pi (θ)(2.9)と表すことが出来る [36]. 式 (2.9) を用いて量子フィッシャー情報量を計算するためには ρθ の固有値分解が必要となり, 現実的には計算を実行するのが困難なことが多い. このため, 多くの場合には, 量子

フィッシャー情報量の計算に式 (2.9) は用いられず,

別の定式化 (例えば purification-base) を使って計算されることも多い [24, 50].

ここで, 量子フィッシャー情報量の特に重要な性質

を 3 点紹介する [51]. 1 点目は単調性 (Monotonicity)である. 量子フィッシャー情報量はパラメータ θ と独立な任意の CPTP 写像 Λ に対して, 以下の関係式を満たす.

FQ (ρθ ) ≥ FQ (Λ(ρθ ))(2.10)

これは推定するパラメータに無関係なノイズにより,情報は増加しないことを示している. 2 点目は, 凸性(Convexitiy) である. 密度演算子 ρ, ρ0 , ρ1 に対して,
ρ = pρ0 + (1 − p)ρ1 , (p ∈ [0, 1]) が成り立つとき, 量子フィッシャー情報量は以下の関係式を満たす.
FQ (ρ) ≤ pFQ (ρ0 ) + (1 − p)FQ (ρ1 ).

F(Λθ ) = max FQ (Λθ (|ψin ⟩ ⟨ψin |))(2.13)|ψin ⟩

ここで, 量子フィッシャー情報量の凸性 (式 (2.11))
により, 入力状態としては純粋状態のみを考えれば良い.

(2.11)

次に、N 個の TPCP 写像 Λθ を, 並列に, 独立

最後の性質は加法性 (Additivity) である. 量子状態

が 2 つの密度演算子 ρ 及び σ の直積状態で書けると(2.12)

Monotonicity 及び Additivity から, パラメータが埋め込まれている状態を複数用意し, 任意の戦略をとったとしても (図 1 参照), 量子 Cramér–Rao 不等式 (2.5) を用いると, 推定誤差は SQL に従い, HLを達成することは出来ないことがわかる. 以下では,Quantum Metrology が対象とするように, TPCP 写
像 (チャンネル, 操作) にパラメータが埋め込まれている場合を考え, この場合には HL を達成する可能性があることを見る.
2.3 Quantum Channel Estimation Theory
ここでは, 問題設定として, パラメータ θ が TPCP
写像 Λθ により特徴づけられている場合に, θ を推定する問題を考える (図 2). 以下, 状況に応じて, TPCP
写像 Λθ を, 状況に応じて, チャンネルと呼ぶ. チャンネルへの入力状態を ρin = |ψin ⟩ ⟨ψin | とすると, θの推定精度は, 量子フィッシャー情報量 FQ (Λθ (ρin ))を用いて, 量子 Cramér–Rao 不等式 (2.5) によりバウンドされる. 量子状態に対して, 単一のチャンネ
ルを作用させるとした時, チャンネルフィッシャー
情報量は, チャンネルに対して最適な入力状態及びPOVM 測定を選んだものとして, 以下のように定義
される.

ṗi (θ)2pi (θ)
2(pi − pj )2 i(θ)  j̇(θ) pi + pj

FQ (ρ ⊗ σ) = FQ (ρ) + FQ (σ).

31

3に掛けられるような状況を考える. この N 個のNo.1

みずほリサーチ＆テクノロジーズ 技報 Vol.1

No.1

図4

図 2 単一チャンネル推定の設定のイメージ. 推定するパラメータ θ は TPCP 写像 Λθ に埋め込まれている.

Sequential Estimation の設定のイメージ

このような, ユニタリ演算子の場合には, チャン

ネルフィッシャー情報量を陽に計算することが比較的容易であるが, 一般の TPCP 写像に対しては直接計算を行うのは困難なことが多い. このため,

図3

Metrology の分野では, チャンネルフィッシャー情報量を直接計算するのでは無く, チャンネルフィッ
シャー情報量の上限を抑える方法が発展している. 代
表的なものとしては, 例えば, Classical Simulation[25, 52], Quantum Simulation [25, 52](=Channel
Programmabiligy [23]), Channel Extension [25,50]
等が挙げられる.
2.4 Sequential Strategy
前節では, エンタングルを使うことで, Probe の数
N に対して, SQL を超えるスケーリング (HL) を達成できる場合があることを見た. 一方で Λθ の呼び出
し回数をコストと考えた場合には, エンタングルを使わずに, Sequential に Λθ を掛けた場合 (図 4) にも同様のスケーリングを達成できる [27, 33].
例えば, 前節と同様に, 既知の有効ハミルトニア
ン H を用いたユニタリ演算子 Uθ = exp (iθH) のθ を 推 定 す る 問 題 (Quantum Frequency Estimation Problem) を考える. この時, |ψin ⟩ = (|λ0 ⟩ +√|λ1 ⟩)/ 2 を初期状態として, Uθ を N 回作用させ
 
 √

た状態 ψ N = eiN λ0 θ |λ0 ⟩ + eiN λ1 θ |λ1 ⟩ / 2 のフィッシャー情報量は,   
2(2.17)
FQ ψ N ψ N  = N 2 (λ1 − λ0 )N チャンネル推定の設定のイメージ

 N
TPCP 写像に対する入力状態を ψin
, 出力状態を   N ⊗N  NNρθ = Λ θψin ψin とすると (図 3), N チャン
ネル量子フィッシャー情報量は以下で定義される.
 N   N ψin ψin  (2.14)
FQ Λ⊗NF(Λ⊗Nθ ) = max
θ
N
⟩
|ψin
このチャンネルフィッシャー情報量が, N 2 に比例す

る時に HL, N に比例するときには SQL となる. 例Nえば, 入力状態として, N 個の独立な状態 ψin= ⊗N 
⊗N=を考えた場合には, 式 (2.14) は F Λθ|ψin ⟩N F(Λθ ) と SQL となるため, 以上の問題設定において HL を達成するためには, 何らかの方法でエンタングルを利用する必要があることがわかる.
例えば Λθ としてユニタリ演算子 Uθ = exp (iθH)
を考えることとする (Quantum Frequency Estimation Problem). ここで, H は既知の有効ハミルトニ
アンであるとする. この時, 有効ハミルトニアンの固有値 λ0 , λ1 に対応する固有状態 |λ0 ⟩ , |λ1 ⟩ を用いて
 N  |λ0 ⟩⊗N + |λ1 ⟩⊗Nψin =√
2であり, 2.3 節で示したエンタングルを用いた方法(2.15)

を入力状態とすることで, 量子フィッシャー情報量は   
2FQ ψ N ψ N  = N 2 (λ1 − λ0 )(2.16)となり, HL を達成することが可能となる. 特に, この問題設定においては, |λ0 ⟩ , |λ1 ⟩ の代わりに, 最大固有値と最小固有値に対応する固有状態 |λmax ⟩ , |λmin ⟩を使うことで, 式 (2.16) は, チャンネルフィッシャー

情報量となる (量子フィッシャー情報量が最大値をとる) ことも知られている [26].

32

4(Parallel Strategy) の結果 (2.16) と一致して, HL を達成する.
Sequential Starategy は, ユニタリー演算子の場合以外にも, ユニタリ演算子と可換なノイズを考えた
場合には, Parallel Strategy と一致することが知られている [27, 29]. 一方で, その他のノイズのある場
合には, Parallel と Sequential Strategy が異なる推定精度を示す場合があり, 例えば, 一般には, Parallel
Strategy の方がノイズ耐性があるという Conjectureがある [29]. ただし, ancilla を加えた Sequential
Strategy は, Parallel Strategy を超えることも確認されており, 現在精力的に研究が行われている分野の一つである [29, 31, 32] が, 本稿ではこれ以上言及しみずほリサーチ＆テクノロジーズ 技報 Vol.1を得られるような回数) は n = −2/ ln p であり, そのない.

時のフィッシャー情報量の値は 16/(e2 ln2 p) である.

なお, 後ほど見るように, QAE は, Frequency Es-

以上により, QAE の精度へのノイズの影響を解析

timation Problem の Sequential Strategy の一種と見ることが可能である.
2.5 Eﬀect of Depolarizing Noise on Channel Esti-

するために必要な Quantum Metrology の基本事項を紹介した. 以下では、本節により紹介した事項を用いて, Depolarizing noise 状況下における QAE の精

mation Theory
ここでは, 具体的なノイズモデルとして, Depolarizing noise により, Sequential Strategy がどの程度の影響を受けるのかについて示す. 2.3 節及び 2.4 節と同様に, 既知の有効ハミルトニアン H を用いたユニタリ演算子 Uθ = exp (iθH) の θ を推定する問題
を考えることする. また, Depolarizing noise としては, ユニタリ変換 Uθ を行う毎に, パラメータ θ に依存しないような pure noise がかかるようなモデルを度を評価した結果を示す.

3 Quantum Amplitude Estimation underDepolarizing Noise
この節では, 前節で述べた Quantum Metrology の知識を活用し, QAE の Depolarize noise 状況下での性能及び既存の QAE に比べてノイズ状況下において (古典フィッシャー情報量の観点から) より高い性

考える；

能を示す方法について紹介する [22].

量子振幅推定 (QAE) の問題設定は以下のとおり

ρθ = Λθ (ρin )= pUθ ρin Uθ† + (1 − p)である.

(2.18)

Idd

ここで, p はノイズの大きさを特徴づけるパラメータ

Problem 1（Quantum Amplitude Estimation）
Inputs:(θ とは独立なパラメータ), d は全系の Hilbert 空間の次元, Id は d 次元の単位行列である. このノイズモ
デルでは, ユニタリ変換 Uθ を n 回作用させた後の状• Xgood ⊆ [N = 2n ] という部分集合を考える.
この時, 以下を満たすような n ビットに作用する演算子 A が存在すると仮定する.

態はnρθ,n = pn Uθn ρin Uθ† + (1 − pn )

となる.

Id
d

(2.19)

A |0⟩n = cos(θ) |ψ0 ⟩n + sin(θ) |ψ1 ⟩n (3.1)

ここで, θ, |ψ0 ⟩ , |ψ1 ⟩ は以下を満たす

この時, (2.19) の状態に対して, (2.7) で定義される SLD 演算子は,

2pn
 ρ̇θ
LS (ρθ,n ) = 2 2nd + 1− d p|ψ0 ⟩ =

(2.20)

1|ψ1 ⟩ =
sin θで与えられる [53, 54]. ここで overdot は, パラメータ θ に関する微分を表す.



例 え ば ハ ミ ル ト ニ ア ン が, 2 つ の 固 有 状 態

j∈Xgood|λ0 ⟩ , |λ1 ⟩ に対して, H = |λ0 ⟩ ⟨λ0 | − |λ1 ⟩ ⟨λ1 | と書けることとする. この時. 量子フィッシャー情報量(2.6) は, 初期状態が 2 つの固有状態の等重重ね合わ√
せ状態 (例えば, (|λ0 ⟩ + |λ1 ⟩)/ 2) の時に以下の最大値をとる.
4n2 p2n .
2nd + 1− d p

FQ (ρθ,n ) = 2j̸∈Xgoodj∈Xgood

αj |j⟩ (3.2)
αj |j⟩ (3.3)|αj |2 = sin2 θ, 0 ≤ θ ≤

π
2

(3.4)

• 以下を満たすような n + 1 ビットに作用する演
算子 Uf が存在するとする.
Uf |ψ1 ⟩ = |ψ1 ⟩

Uf |ψ0 ⟩ = − |ψ0 ⟩Output: sin2 (θ) の推定値

(2.21)

こ の 問 題 設 定 に お い て,

ユニタリ演算子 Uθ の呼び出し回数をコストと考える(3.5)

特 に A |0⟩n=|j⟩ の場合は Quantum Counting [55] に相当する. また, モンテカルロ法の高速化としてのと, フィッシャー情報量の観点で最適な Uθ の呼び出

し回数 (1 回の呼び出しで最大のフィッシャー情報量

1
cos θ

√1
N

33

5

N −1
j=0

No.1

みずほリサーチ＆テクノロジーズ 技報 Vol.1

No.1

利用が期待される平均値算出 [7–10] では, |ψ0 ⟩ , |ψ1 ⟩A の呼び出し回数を M = 2k + 1 と表すと, (3.8) の量子フィッシャー情報量は, (2.8) から以下のように計算される.

の n ビット目の値がそれぞれ 0, 1 である状態に相当

する. QAE の問題設定においては, A または A† の

呼び出し回数 M をコストとしてカウントする. 式(3.1) の状態をそのまま観測した場合には, sin2 (θ) の√推定誤差が O(1/ M ) 程度であるのに対して, QAE
アルゴリズムを使用することで, 推定誤差が O(1/M )程度になることが知られている [1–7].
QAE アルゴリズムの基本にあるものは, 式 (3.1)の状態に対して, 演算子
G = AU0 A† Uf ,(3.6)

U0 = Id − 2 |0⟩n ⟨0|n

(3.7)

2
2
FQ (ρGk ) = 4(2k + 1) = 4M

一方で, 計算機基底での測定を行った場合の古典
フィッシャー情報量は,2
Fcl (ρGk ) = 4M

シャー情報量が一致することから, QAE において,ノイズが無い場合には, 計算基底が, 最も良い測定基底の一つであることを示している. 以上により, QAE

アルゴリズムにおける θ の推定誤差が, A の呼び出しある；

回数 M に対して, O(1/M ) と HL 程度のスケーリン
グを示すことが, Sequential Strategy におけるチャkρGk = G A |0⟩nンネルフィッシャー情報量の観点から理解すること= cos ((2k + 1)θ) |ψ0 ⟩n + sin ((2k + 1)θ) |ψ1 ⟩nが出来る.

(3.8) とは異なる振幅増幅演算子の選び方として,以下のものが考えられる.

(3.8)

式 (3.8) は, 演算子 G が |ψ0 ⟩n 及び |ψ1 ⟩n で張られる部分空間における回転演算子であることを示している. すなわち, |ψ0 ⟩n 及び |ψ1 ⟩n で張られる部分空Q = U0 A† Uf A

間 Hψ においては,子であることが容易に確かめられる. |0⟩n はこの 2次元空間の基底の 1 つである. |0⟩n に直交するもう(3.9)

一つの基底を, |ϕ⟩n = sin12θ A† Uf A + cos 2θ |0⟩nと表すとすると, この基底において Q はFrequency Estimation Problem(H を既知の有効ハ
ミルトニアンとした θ の推定問題) と QAE が同じ問題であることを示唆している. Quantum Frequency
Estimation Problem において, Sequential Strategyを用いて HL を達成するには入力状態として, H の固有状態の重ね合わせ状態が必要である [27]. 有効
ハミルトニアン H の固有状態は以下のように表される.
|ψ0 ⟩n + i |ψ1 ⟩n√
2|ψ0 ⟩n − i |ψ1 ⟩n√|ψ− ⟩n =2

Q|Hϕ = exp(−2iθH)


0 −i
H̃ =
i 0

(3.15)態はkρQ
k = Q |0⟩n = cos(2kθ) |0⟩n + sin(2kθ) |ϕ⟩n(3.16)となる. また, Q の 2 つの固有状態は(3.10)|0⟩n + i |ϕ⟩n√2|0⟩n − i |ϕ⟩n√|ϕ− ⟩n =2|ϕ+ ⟩n =等重重ね合わせ状態であることがわかる;

e−iθ |ψ+ ⟩n + e−iθ |ψ− ⟩n√2と書き表せ, 初期状態 |0⟩n に, Q を k 回作用した状

この基底で表すと, (3.1) の状態は, 2 つの固有状態のA |0⟩n =(3.14)

この演算子 Q も, ある 2 次元平面 Hϕ 内の回転演算と表される. これは, Metrology における, Quantum|ψ+ ⟩n =(3.13)と表される. 古典フィッシャー情報量と量子フィッを作用することで, 振幅増幅を行うということでG|Hψ = exp(−2iθH)


0 −i
H=
i 0

(3.12)(3.17)

であり, 初期状態 |0⟩n は, 固有状態の等重重ね合わ(3.11)
34

6

せ状態であることがわかる. この時, 量子及び古典

みずほリサーチ＆テクノロジーズ 技報 Vol.1

フィッシャー情報量はそれぞれ以下のように計算さ
れる.

3000
Fcl(ρkQ)

2
2
FQ (ρQk ) = 4(2k) = 4M

Classical Fisher Information/Oracle Call

2500

(3.18)

2
Fcl (ρQk ) = 4M

これらの量は, G を用いた場合の量子及び古典フィッシャー情報量 (3.12) 及び (3.13) と, M 依存性が一致している. つまり, A の呼び出し回数をコストとして数えた場合には, G を使うか Q を使うかに性能の差
次にノイズ状況下における G と Q を用いた方法の差について比較する. A を作用させる毎に以下のイズモデルを考える.

Id,(3.19)d
ここで, ρ は任意の密度行列, p はノイズの強さを表す既知のパラメータ, Id は d 次元の単位行列, d = 2n
は n ビット系のヒルベルト空間の次元である.
Dp (ρ) = pρ + (1 − p)

= 4M p

3000

3500

4000

(3.22)

は d に近い場合に限って, ビット数 n が大きい時に

古典フィッシャー情報量が量子フィッシャー情報量に近くなることがわかる. 一方で, Q を用いた場合にFcl (ρG
k,p )

2

1500
2000
2500
Number of Oracle Calls/shot

この式から, G を用いた場合には, |Xgood | が 0 またに求められる.

Fcl (ρQ
k,p )
2 2M

1000

4M 2 p2M

Fq (ρQ
)
=
k,p
2
2
M
d + 1− d p

行った場合の古典フィッシャー情報量は以下のよう

1

500

4M 2 p2M


2
M
+
1
−
d
d p

Id
d
ここで, ρA = A |0⟩ ⟨0| A† , ρ0 = |0⟩ ⟨0| である. このノイズモデルの状況下において, 計算機基底で測定を

d−|Xgood |(1 − pM )pM sin2 (M θ) +d0Fq (ρGk,p ) = 2

= p2k Qk ρ0 (Q† )k + (1 − p2k )

×

500

以下のように求められる.

Idd (3.20)= 4M 2 p2M sin2 (M θ) cos2 (M θ)
1

×
|X
|
M)
(1
−
p
pM cos2 (M θ) + goodd1000

量子フィッシャー情報量は, 2.5 節と同様にして,kρGk,p = (Dp G) (ρA )kρQk,p = (Dp Q) (ρ0 )1500

図 5 式 (3.21) で定義される Depolarizing noise
状況下における古典フィッシャー情報量 F⌋↕ (ρGk,p )と F⌋↕ (ρGk,p ) の比較. ここでは, 推定量 θ = 0.1,
ビット数 n = 10, ノイズパラメータ p = 0.999, 集
合の元の個数 |Xgood | = d2 とした. 横軸は A の呼び出し回数, 縦軸は 1 回の A の呼び出しあたりのフィッシャー情報量を示す.

ような Depolarization noise Dp を受けるようなノ= p2k+1 Gk ρA (G† )k + (1 − p2k+1 )

2000

0

異は無いことになる.

Fcl(ρkG)

は, M を適切に選べば, n が大きい極限で古典フィッシャー情報量と量子フィッシャー情報量を一致させることが出来る. |Xgood | が 0 または d から十分離れていて, 特にビット数 n が大きい場合には G と Q の差は顕著になる (図 5 を参照). この差異の直感的な理由としては, Q を使う場合には, 基底の一つが計算(3.21)

機基底の一つの基底 |0⟩n であるため, 観測によりノイズと信号を識別することが可能である一方で, G の

2

sin (M θ) cos (M θ)1
× M
p cos2 (M θ) + d1 (1 − pM )
1

× M
2
M
p sin (M θ) + d−1
d (1 − p )作用する基底は (|Xgood | が 1 または d − 1 以外では)複数の計算基底の重ね合わせ状態であるため, ノイズの成分が識別しにくいと考えられる. なお, (3.22) において, G と Q の量子フィッシャー情報量の M 依存性が一致することは偶然ではなく, これらのフィッ

ここで, |Xgood | は集合 Xgood の元の個数である. まシャー情報量は演算子 A を用いた任意の方法におけた, k の代わりに A の呼び出し回数 (G に対しては

M = 2k + 1, Q に対しては M = 2k) を用いた.

35

7

る最大のフィッシャー情報量を与えている [22].

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4 まとめ

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以上のように, QAE と Quantum Metrology のSequential Strategy が同一の問題であることを示した. この同一性を利用することにより, これまで,
Quantum Metrology の Sequential Strategy において行われてきたノイズの影響に関する解析結果 (例えば [29, 40] 等) を流用できる可能性がある. また, 2 種
類の振幅増幅演算子に対して, Depolarizing noise 下での振幅推定精度と関連するフィッシャー情報量を評価し, 既存の方法 (G) に比べて提案手法 (Q) を用いるほうが良い精度を示すことを示した.

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