THÉORIE DES NOMBRES / NUMBER THEORY

UN ANNEAU DE DÉFORMATION UNIVERSEL EN CONDUCTEUR SUPÉRIEUR
JAKUB BYSZEWSKI, GUNTHER CORNELISSEN ET FUMIHARU KATO

R ÉSUM É . Soit k un corps parfait de caractéristique 5. Nous démontrons que l’anneau versel del’action d’un élément d’ordre 5 et de conducteur de Hasse 2 comme automorphisme d’un anneau
de séries formelles k[[t]] calculé par Bertin et Mézard, est en fait universel. C’est le premier
exemple d’anneau non-trivial de déformation universel en conducteur supérieur.

A universal deformation ring in higher conductor
A BSTRACT. Let k denote a perfect field of characteristic 5. We show that the versal deformation
ring of an element of order 5 and Hasse conductor 2 as automorphism of a ring of formal power
series k[[t]], computed by Bertin and Mézard, is in fact universal. This provides the first example
of a non trivial universal deformation ring in higher conductor.

1. I NTRODUCTION
On ne connait que quelques anneaux de déformation formelle pour les actions de groupes finis
par automorphismes (continus) d’un anneau de séries formelles en caractéristique positive : pourles actions de conducteur de Hasse 1 (dites  faiblement ramifiées , [1], [5], [6], [4]), et pourl’action d’un élement d’ordre 5 et conducteur 2 en caractéristique 5 ([1]). Néanmoins, ces actions sont interessantes ; par exemple, le principe  local-global  de Henrio, Green-Matignon
et Bertin-Mézard ([8], [7], [1]) implique que les questions de déformations et de relèvements
des actions de groupes sur les courbes algébriques se réduisent à des questions similaires pourles actions par automorphismes de k[[t]]. Dans cette note, nous démontrons que l’anneau versel
de déformation d’une action d’ordre 5 et conducteur 2 en caractéristique 5 est universel. Ceci
donne un premier exemple non trivial d’un anneau universel pour une action non faiblement
ramifiée. Les foncteurs de déformations locales admettant une infinitude d’automorphismes infinitésimales, ce résultat peut être une surprise. La démonstration d’universalité pour les actions
faiblement ramifiées dans [4] utilise des méthodes qui ne se généralisent pas aux cas de conducteur supérieur et donc ne donne pas de raisons évidentes pour établir l’universalité dans une
situation plus générale. Pour ces raisons, nous espérons que notre résultat, qui n’est au fondqu’un calcul, serve à illuminer la question de l’universalité en conducteur supérieur.
Pourquoi s’interesser à l’universalité ? Remarquons que, pour les questions géométriques,la versalité des anneaux de déformation suffit souvent pour obtenir les résultats désirés. Parcontre, en théorie des nombres, on a besoin d’établir l’universalité. Si les déformations dereprésentations linéaires d’un groupe sont comprises ( Lemme de Schur , cf. [9]), les représentations par automorphismes des séries formelles restent souvent plus mystérieuses. Pourtant
Date: 14 octobre 2009 (version 1.0).
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l’universalité est parfois essentielle. Par exemple, dans [4, Remark 3.3]) pour calculer l’anneauversel de la déformation d’une action faiblement ramifiée de Z/p ⊕ Z/p, on utilise l’universalité
de l’action de Z/p. Un autre exemple : pour établir des résultats de  dévissage  pour lesfoncteurs de déformations locales il est parfois nécessaire de supposer que les anneaux dedéformations sont universels [3, Theorem 6.4.7], [2].
2. U NIVERSALIT É
Soit k un corps parfait de caractéristique 5 et soit W (k) l’anneau des vecteurs de Witt de k.
Tout automorphisme de l’anneau de séries formelles k[[t]] d’ordre 5 et de conducteur (de Hasse)
ordt ( σ(t)t − 1) égal à 2 est conjugé à :(1)σ : t 7→ √tt2 + 1.

(Voir [1, 4.2.1]).) Bertin et Mézard ([1]) ont étudié le foncteur de déformations formelles infinitésimales de σ. Soit Artk la catégorie des W (k)-algèbres locales artiniens de corps résiduel k.
Pour un anneau A de Artk , on appelle relèvement de σ à A une série formelle σe(t) ∈ AutA A[[t]]d’ordre 5 (pour la composition) et telle que σe(t) ≡ σ(t) mod mA . On dit que deux relèvements
σe1 et σe2 de σ à A sont équivalents s’ils sont conjugués par un élément ξ de AutA A[[t]] tel que
ξ(t) ≡ t mod mA . On définit le foncteur de déformations formelles infinitésimales de σDσ : Artk → Ens,qui associe à un anneau A de Artk l’ensemble des classes d’équivalence de relèvements de σ àA.
Rappelons quelques notions de théorie infinitésimale des foncteurs (voir aussi [10]). On dit
qu’un foncteur D : Artk → Ens est pro-représentable, s’il existe un anneau local noetheriencomplet R de corps residuel k tel que D est isomorphe à un foncteur Hom(R, ·), qui associe à
un anneau A de Artk l’ensemble des homomorphismes locaux de W (k)-algèbres de R dans A.
Si un tel anneau existe, on appelle R l’anneau universel de σ. Parfois, il n’est facile que d’établir
un condition plus faible : on dit qu’un foncteur D : Artk → Ens admet un anneau versel R, siD(k) est réduit à un seul élément et s’il existe un foncteur pro-représentable F = Hom(R, ·)et un morphisme lisse ϕ : F → D, c.-à-d., tel que pour tout morphisme surjectif A0 → A dans
Artk , l’application induite
F (A0 ) → D(A0 ) ×D(A) F (A)est surjective ; de plus, on demande que l’application F (k[ε]/ε2 ) → D(k[ε]/ε2 ) soit bijective.
Lorsqu’il en est ainsi, on appelle ϕ un morphisme versel. L’anneau R et le morphisme ϕ sontalors unique (à un isomorphisme non-unique près), et le foncteur D est pro-représentable si etseulement si le morphisme versel est un isomorphisme. On appelle l’action verselle une classede conjugaison d’une série formelle σe ∈ AutR R[[t]] telle que l’image de σe dans D(R/ mnR ) estégale à l’image par le morphisme versel de projection canonique R → R/mn .
Bertin et Mézard ont démontré ([1, Théorème 4.2.8]) que Dσ admet un anneau versel
Rσ = W (k)[y]/h1 + y + y 2 + y 3 + y 4 iavec l’action versellet.
σy : t 7→ p
t2 + yUN ANNEAU DE DÉFORMATION UNIVERSEL EN CONDUCTEUR SUPÉRIEUR

3Le cas de caractéristique 5 et conducteur 2 est le seul cas du conducteur > 1 dans lequel l’anneauversel d’une action d’un groupe cyclique a été complètement déterminé.
Théorème. L’anneau Rσ est universel.
Démonstration. Soit A un anneau de la catégorie Artk , mA son idéal maximal. Nous prouvons
que le morphisme versel est un isomorphisme. Supposons que y1 , y2 ∈ A satisfont y14 + y13 +y12 + y1 + 1 = y24 + y23 + y22 + y2 + 1 = 0, y1 ≡ y2 ≡ 1 mod mA et qu’il existe une série formelleg(t) ∈ A[[t]] inversible (pour la composition) tel que g(t) ≡ t mod mA et
σy2 ◦ g = g ◦ σy1 .
Pour démontrer l’universalité, il suffit de montrer que y1 = y2 — la seule complication étantque l’on considère un anneau A ∈ Artk arbitraire (le résultat est trivial sur un corps). Si l’onpose g(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + O(t3 ), on observe que a0 ∈ mA et a1 ∈ A∗ . Les termes d’ordre
0 et 1 du développement en t de l’égalité
!
g(t)
tp(2)
=g p
.
g(t)2 + y1
t2 + y2donnent les formules :a0
a0 = p 2
a0 + y1

(3)
et(4)

1
a0
1
a1 p 2− 2a a = a1 √ .
3/2 0 1y2(a+y)
a 0 + y110Dans (4), on a a1 inversible et on peut utiliser (3) pour simplifier (4), ainsi
11p(5)− √ = a20 .
2y2
a 0 + y1
Les termes d’ordre trois dans (2) donnent
a0 a1 2a0
a0 2 a1 2
1
a0 2 a1 2
a1 2 + 2a0 a2−p+−
a 0 2 + y1
a0 2 + y1 (a0 2 + y1 )2 2 (a0 2 + y1 )2(a0 2 + y1 )3/2
a2
a2− .
=p2
y2
a0 + y1
En utilisant (3) et (5),(6)1a2 √y21
3−
1= (a20 − 1)a0 a21 .
√y22Comme 23 (a20 − 1)a21 est inversible, on aa0 ∈
1√ − 1 A.
y2Multipliant (5) par a0 et utilisant (3), on obtient
1a0 √ − 1 = a30 ,y2

4

J. BYSZEWSKI, G. CORNELISSEN, F. KATOet par suite a20 ∈ a30 A. Comme l’anneau A est local, cela entraı̂ne a20 = 0 ; la conclusion résultede (5).
R ÉF ÉRENCES
1. J. Bertin and A. Mézard, Déformations formelles des revêtements sauvagement ramifiés de courbes algébriques,Invent. Math. 141 (2000), no. 1, 195–238. MR MR1767273 (2001f :14023)
2. J. Byszewski, Dévissage for local deformation functors, Preprint 2009.
, Cohomological aspects of equivariant deformation theory, Ph.D. thesis, University of Utrecht, 2009,
igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2009-0520-200657/UUindex.html.

3.

4. J. Byszewski and G. Cornelissen, Which weakly ramified group actions admit a universal formal deformation ?,Ann. Inst. Fourier 59 (2009), no. 3, 877–902.
5. G. Cornelissen and F. Kato, Equivariant deformation of Mumford curves and of ordinary curves in positive
characteristic, Duke Math. J. 116 (2003), no. 3, 431–470. MR MR1958094 (2004c :14044)
6. G. Cornelissen and A. Mézard, Relèvements des revêtements de courbes faiblement ramifiés, Math. Z. 254(2006), no. 2, 239–255. MR MR2262702 (2007k :14040)
7. B. Green and M. Matignon, Liftings of Galois covers of smooth curves, Compositio Math. 113 (1998), no. 3,237–272. MR MR1645000 (99k :14045a)
8. Y. Henrio, Arbres de Hurwitz et automorphismes d’ordre p des disques et des couronnes p-adiques formels,Thèse Université Bordeaux 1, télécharge : http ://www.math.u-bordeaux.fr/˜matignon/preprints.html, 1999.
9. B. Mazur, Deforming Galois representations, Galois groups over Q (Berkeley, CA, 1987), Math. Sci. Res. Inst.
Publ., vol. 16, Springer, New York, 1989, pp. 385–437. MR MR1012172 (90k :11057)
10. M. Schlessinger, Functors of Artin rings, Trans. Amer. Math. Soc. 130 (1968), 208–222. MR MR0217093 (36#184)
M ATHEMATISCH I NSTITUUT, U NIVERSITEIT U TRECHT, P OSTBUS 80.010, 3508 TA U TRECHT, N EDERLAND
E-mail address: j.j.byszewski@uu.nl
M ATHEMATISCH I NSTITUUT, U NIVERSITEIT U TRECHT, P OSTBUS 80.010, 3508 TA U TRECHT, N EDERLAND
E-mail address: g.cornelissen@uu.nl
D EPARTMENT OF M ATHEMATICS , FACULTY OF S CIENCES , U NIVERSITY OF K YOTO , K YOTO 606-8502, JA PAN

E-mail address: kato@math.kyoto-u.ac.jp
AUTEUR CORRESPONANT : G. C ORNELISSEN , T ÉL . +31 30 253 1476, FAX +31 30 251 8394