第44回測量調査技術発表会

空間分析が歩んで来た道、これから先の道
東京大学名誉教授／青山学院大学名誉教授
公益財団法人日本測量調査技術協会 顧問

岡部

篤行

ご紹介いただいた岡部篤行です。今日のお話のタイ

その後、ぼちぼちと空間分析の研究は現れ始めま

トルは「空間分析の歩んで来た道、これから先の道」

す。列挙していると切りがなさそうですから、あと3人です。私の50年間に渡る個人的研究をふり返り、又そだけ紹介しましょう。まず現在のコロナ感染とのかか

こから先の道を眺めてみようと思います。私の専門はわりで言えば、スノーが1849年に出版した本On the

広くいうと地理情報科学です。地理情報科学とは、作Mode of Communication of Choleraを挙げないわけ

業プロセスから見ると、地理データを系統的に、取得にはゆきません。伝染病の地理情報科学の先駆者とも→管理→分析→総合→伝達する方法を研究する学問いえる人です。当時、コレラは悪い空気で感染するとといえるでしょう。私の専門をこの構成要素の中でも考えられていました。しかし、スノーはそれを疑った

う少し絞ると、分析、その中でも今日のテーマである、のです。そこで彼は、死者一人一人を街路にそって地空間分析で、特に汎用的な方法である統計的・計算

図にプロットしました。そして、その分布と井戸水ポン的方法が専門です。

プの位置関係から、コレラの感染源が井戸水ポンプ

お話の内容は5つあります。最初に「デタラメ」で空間であることを突き止めたのです。この方法は、後のネッ分析、第2に「かっちり」した空間での、第3に「ぐにゃトワーク・クロスK関数法の先駆けとなった空間分析

ぐにゃ」した空間での、第4に「時が流れる空間」での法です。

空間分析をお話します。そして最後に「協働」する空間分析で締めくくりたいと思います。

20世紀前半に入ると、様々な分野で空間分析の研究は増え始めます。一例として、スチューデントの「赤球計の計測エラー」の論文を挙げておきましょう。
「学

1 「デタラメ」で空間分析

生」なんて変わった名前ですよね。実は、本名はゴッ空間分析と言うと、何かしら現代的な響きがありまセットです。彼は、ビール会社のギネスに勤めていませんでしょうか。空間分析とは、平たく言うと、どのよした。当時、ギネスは論文を投稿することを禁じていうな特色の所に、どのようなモノがあるかを探ることました。そこで、ゴッセットは「学生」という名前で論です。だから人類がこの世に現れたときから使ってい文を発表していたのです。空間分析でよく使われるセた方法でしょう。例えば先史時代、獲物たるヘラジカ

ルカウント法は、彼の発案です。

が、どのような植生の所に、いつごろやって来るかを

そして何と言っても空間分析のみならず、統計学に探ることは、当時の狩猟者だってやっていたに違いあ

大きく寄与したのは、近代統計学を築いた巨匠の一人りません。

であるフィッシャーでしょう。空間分析に関わる記述は、それを深化させ、地理的データを使って客観的な空1935年に出版した本The Design of Experimentsの間分析を行った先駆者は、一体いつ頃の、誰だった

第4章にあります。現代の空間分析はフィッシャの考えのでしょうか。クレッシーの本Statistics for Spatial

方を基礎にしています。

Dataによると、ハレーが1686年に出版した季節風のフィッシャー以降、多くの社会科学と自然科学で空論文であろうとのことです。ところで皆さん、ハレー

間分析のための統計的方法が開発されました。そしてを知っていますか。17世紀の昔の人なんて知らないと20世紀後半には、それらを統合する「空間統計」が思うかもしれませんね。ですが、ハレー彗星の発見者

確立されます。その代表的な本と言えば、リプレーがと聞けば、あ〜あの人か、と思いだす方も多いのでは1982年に出版した本Spatial Statisticsでしょう。空間

ないでしょうか。

分析でよく使われるK関数法の発案者でもあります。

15

空間分析の第1の目的は、空間現象の空間的「規則

この方法で作成した点分布を「完全空間ランダム」

性」を見つけることです。地物を点で表現することがと呼んでいます。完全空間ランダムは、確率過程分野

できる場合を考えると、空間分析の目的は、平面上のでは「均一ポアソン点過程」と呼んでいます。均一と点分布に空間的「規則性」を見つけることになります。

いうのは、ある領域に点が入る確率は、その領域の空間的「規則性」があると思う点分布は、人によって面積だけに依存し、領域がどこにあっても、形が異なっ違いますから、その数は原理的に無限数ありえます。

ても同じと言うことです。つまり、均一な平面が想定となると空間的「規則性」を定義するには無限数の定されているということなのです。

義をしなければならなくなります。そんなことは無理で完全空間ランダムを基本とする方法については、次すね。ハレー以来、300年間、ああだ、こうだと多くののような批判がよく出されます。作る方法は一つだと人が、空間的「規則性」とは何かを考えてきました。

言ったって、この世の空間現象が完全空間ランダムで

そして、行き着いた空間的規則性とは、どう定義したないのは、当り前じゃないですか。そもそも、現実のと思いますか。なんと、空間的規則性とは、空間的に空間は均一空間ではありません。完全空間ランダムで「デタラメ」でないことである、ということに至ったのないかどうかは、見ればすぐ分かりますよ。

です。
「デタラメ」というと、何かいい加減に聞こえまなるほど、この批判はもっともなところがあります。

すね。ですが、日本の統計学の祖と言われた増山先

確かに、現実の空間現象が完全空間ランダムでなく規生の本が『デタラメの世界』というタイトルです。統計則性を示すことは、とても多いですね。ですが、完全学の基礎となる概念が「デタラメ」なので、このタイト空間ランダムの役割は、空間現象が完全空間ランダム

ルにしたのでしょう。

だということを示すために使われているのではありま

さて、空間的規則性とは「デタラメ」の否定だと言せん。空間現象が完全空間ランダムからどの程度、離うのですから、まずは「デタラメ」を作ればよいことにれているかを評価するために使われているのです。例なります。そこで、私が図1に「デタラメ」と思う分布をえていえば、室温がどの程度かは、氷点と比較して測っ3つ描いてみました。

ているのに似ています。ところで、見ただけで、空間現象が完全空間ランダムでないと、断言できるでしょうかね。
図1を、もう一度、見てください。私が「デタラメ」と思う分布を描いたと言いました。実は、これは乱数を使って発生させた完全空間ランダムなのです。しか図1 「デタラメ」な点分布し、皆さんの中には空間規則性があると見えたのではありませんか。現象が完全空間ランダムでないと視覚

図1の左図の分布は「デタラメ」に見えますかね。

的に判断するのは、そう容易なことではないのです。

ちょっと力んで右に偏りすぎたようです。真ん中の分

みなさん、夜空の星を眺めたことがあるでしょう。

布は、どうでしょうか。中央に持ってきましたが、二星の分布は、ある意味でランダムな分布です。ですが、つに集まり過ぎたようです。右の分布ならどうですか。

北の夜空を眺めたとき、柄杓型をした星の並びを見つ

中央の4点が線上に並びすぎましたかね。

けて大熊座があると思ったのではないでしょうか。人このように空間的「デタラメ」な点分布を、その人任せで作ると、その作り方は、無限数ありますね。先に間はランダムな分布に規則的な意味を見つけてしてしまう傾向があるようです。

述べたように、空間的に規則的な分布も、作る方法は

さて、図2の分布はどうでしょうか。かなり空白地域

無限数あります。しかし、完全に空間的「デタラメ」があるので、空地に規則性の意味付けをしたくありまな分布を作る方法は一つしかない、ということに落ちせんか。

着いたのです。その方法とは、点の座標（x, y）のxとy

実は、この分布は完全空間ランダムなのです。それを、独立に乱数で作成して作ればよい、ということだっでは、図3の分布はどうでしょうか。明らかに空地が広たのです。

くなって、線状に点が並んでいるように見えますね。

16

先端測量技術 117号

ネットワーク上の空間分析ツールに限らず、空間分析は
GISツールを提供するまでが仕事です。
先に述べたように、空間分析は均一空間を前提としている方法です。だから、現実の不均一空間の空間分析には役立たないのではないか、という批判があります。確かにその面はあります。しかし、幸いネットワーク上の分析の場合、均一空間での空間分析法を不均一空間でも使えるようにできる「マジック」のような方法があるのです。その「マジック」は、ネットワーク上やネットワーク沿いの空間現象分析に使えます。一例
として自動車交通事故分析の場合で見てみましょう。
図2

点分布 その1だから完全空間ランダムではない、と判断したくなるでしょう。

図4 交通事故発生地点の空間分析（Okabe and Satoh, 2006）

図4の左図で、線は道路で、線の太さは交通量に比例しています。線上の点は事故発生地点です。一つの仮説として、交通事故は交通量に比例する、ということで考えてみましょう。図4の左図を見てのとおり、交通量は不均一ですから、事故の発生分布は不均一空間を想定することになります。それだと均一空間を前提とする空間分析法が使えません。そこで、「マジック」を使って均一空間へ変換することにします。その方法を図5の簡単な一区間の道路の例で説明しましょう。
図3

点分布 その2

実は、これも完全空間ランダムなのです。ただし、一次元、道路上の完全空間ランダムなのです。完全空間ランダムでも、空間の次元によって見え方は変わってきます。
ネットワーク上の空間分析については、私と杉原さんで書いた本Spatial Analysis along Networksで体系化を試みました。交通事故や路上犯罪の空間分析でよく引用されています。加えてネットワーク上の空間分析

図5

ネットワーク・トランスフォーメーションのGISツールボックスSANETも、研究仲間と開発しま

図5の道路1は一区間の道路です。道路1にそって交した。このサイトからダウンロードできますのでご利用

通量を現したグラフがグラフ1です。交通量が場所にください。

よって異なっており、不均一な交通量分布です。です

http://sanet.csis.u-tokyo.ac.jp/index_jp.html

から、完全空間ランダムを前提とする方法が使えませ17

ん。そこで、次の方法で交通量を道路に沿って均一なた空間とあえて呼んだのは、次のテーマの「ぐにゃぐ分布に変換するのです。グラフ1の累積交通量である

にゃ」した空間と対比させたかったからです。現在の空

濃い水色の三角形の面積と、グラフ2の濃い水色の長間分析は、ユークリッド空間での分析がほとんどです。

方形の面積が同じになるように、道路を点aから点a’に

話は私的になりますが、私が学部学生のころ受講し引き延ばします。同様にして点bから点b’に、点cからた「都市解析」の授業で、恩師である下総薫先生がこ

点c’に道路を引き延ばしてゆくと、グラフ2のように道う述べたのがとても頭に残りました。
「空間を解明する路2に沿って交通量が均一となります。この変換は、一番の基礎概念は近傍ですよ!卑近な例でいえば、まフィッシャの積分変換の応用で、ユニフォーム・ネット

ず、一番目に近い、二番目に近いといった最寄りです。

ワーク変換と呼んでいます。道路2は長くなってしまい

次に、駅勢圏、商圏といったある核の周辺の圏域がますので、元の道路に合わせるため、便宜上、道路3

そうです。」私はその当時、近傍の重要性については、のようにジクザク化して表現します。図4の実例では、全く理解が及びませんでした。そこで、卑近な例から

右図のような表現となります。

研究を始めたのです。まずは、最寄りの空間分析につ交通量が均一となった道路2では、完全空間ランダ

いて一例を見てみましょう。

ムを前提とする多くの空間分析法を使うことができま

図6の地区は、渋谷・表参道・原宿周辺地区で、ファッす。例えば、最近隣法を適用したら、道路2の点d’のションで有名な青山地区です。この地区には、NTTタ付近が他の所と比べて交通事故が多かったとしましょウンページによると、2019年7月の時点で906種類の店う。道路2のd’地点は仮想的な均一交通量の道路上のがありました。その中で一番多い種類の店は、何だと点ですから、d’を逆変換して実際の道路1上に地点を思いますか。

求めます。そうするとd地点となります。このことから、道路1上のd地点付近が他の所と比べて交通量以上に交通事故が多いと推定できるのです。
このユニフォーム・ネットワーク変換という手法は、
ネットワークや、後で述べる視覚空間の場合に使える方法です。しかし、現在のところ、前提とする空間が限られています。これから先の道として、第1に、より一般的な空間変換法を開発することでしょう。第2に、

図6

青山地区の美容院分布 Data：NTT Town Page

完全空間ランダムではなく、構造的要因と空間ランダムが複合した場合の空間分析法の開発があります。確

実は美容院で、なんと452軒もあります。この図6に率過程で言えば、均一確率過程から不均一確率過程

示した美容院分布には何かしら空間的な規則性があるを前提とした空間分析法を開発することでしょう。こでしょうか。それを調べるために、美容院の数と同じの開発には、不均一を引き起こしている構造的要因が452の点をこの地区の道路網上に完全空間ランダムにある程度、分かっていることが必要となります。それ

分布させました。その地図が図7となります。

には、関連分野との協働が欠かせません。これについては最後テーマで述べることにします。
2 「かっちり」した空間での空間分析
では次のテーマに進みましょう。私達が日頃から慣れ親しんでいる空間と言えば、例えば家の間口とか、家の高さとか、家の前の道路の幅などを直角座標系を下敷きにして、2点間の距離は2点を結ぶ直線距離で測

図7

青山地区の道路上の完全空間ランダム分布るリアルな「かっちり」した空間、すなわちユークリッド
空間を想定していることが多いでしょう。
「かっちり」し

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先端測量技術 117号

さあ、図6と図7を比較して、美容院は完全空間ラン

ダムに分布していると言えるでしょうか。それを調べる

院の近くに貸しビルは多いともとも少ないとも言えませために、ぞれぞれの美容院から最寄りの美容院の平ん。しかし逆に、貸しビルの近くに美容院は多くあり

均距離を求めました。そうしたら36mでした。完全空

ます。やはり「片思い」の関係にあります。

間ランダムの場合は54mです。現実の方が、ずいぶん

さらに別の関係もあります。美容院の最寄りにイン

短いですね。それを統計的に検定する方法が最近隣

ターネット・ソフトウェア関連の施設は多いとも少ない法です。それを適用すると、有為水準5%で美容院はとも言えません。しかし、インターネット・ソフトウェア

完全空間ランダムではなく、空間集積するという空間

関連の施設の近くには美容院は少ないのです。いわば、的規則性があると分かります。

「排他的」な関係にあることが分かります。以上は青

図8は、ピンクの点が美容院で、青の点が歯科医院

山地区での店舗立地傾向ですが、地区を広げて渋谷です。この図から美容院分布と歯科医院分布の相互区・港 区での立 地傾向については、Morioka et al.

関係が見えるでしょうか。

（2022）をご覧ください。
今まで見てきた最近隣法やK関数法は、最寄り関係で分析しています。これらの方法にかぎらず、空間分
析では、非常に多くの方法が最寄り関係で分析をしているのです。
次に、もう一つの卑近な例である駅勢圏で圏域の空間分析法を見てみましょう。もし駅まで真っすぐ飛んで行けるとすると、渋谷の駅の駅勢圏とは直線距離で

図8 美容院（ピンク）と歯科医院（青）の分布 Data：NTT Town Page

渋谷の駅が一番近いという点で構成される領域となります。

異なる施設間の空間関係を分析する方法にクロスK関数法があります。それを使うと美容院から200メート
ル以内の最寄りに歯科医院は有為に多いことが分かります。今度は見方を逆にして、歯科医院から200メート
ル以内の最寄りに美容院が多いかどうかを調べると、
これまた有為に多いことが分かります。つまり、美容院と歯科医院の空間相互関係は、美容院の近くには歯科医院があり、歯科医院の近くには美容院がある、といういわば、「相思相愛」の関係にあることが分かります。
美容院と「相思相愛」の関係があるのは、歯科医院
だけではありません。青山地区では、美容院とエステ
ティック、衣料品店、化粧品店、婦人服、衣料製造、

図9

面ボロノイ図レストランが「相思相愛」の関係にあります。これらの施設群が「青山らしさ」を醸し出しているのではないで

そうすると、地域は、それぞれの駅を核としたポリゴ

しょうかね。都市経済学の観点からすれば、都市集

ンで図9のように分割されます。これらポリゴンの集合

積の経済が働いていると言えそうです。

を、面ボロノイ図と呼んでいます。

異なる施設の空間関係は、常に「相思相愛」である

直線距離ではなく、最短道路距離で一番近い駅ととは限りません。実例を挙げると、美容院の最寄りにすると、地区にある道路網は図10のように分割され、バー・クラブは多くあります。しかし逆に、バー・クラこれをネットワークボロノイ図と呼んでいます。

ブの最寄りに美容院が多いともとも少ないとも言えませボロノイ図の名の由来は、空間分割を代数的整数ん。いわば「片思い」の関係にあります。また、美容論で厳密に研究した20世紀初頭の数学者ボロノイの

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図10

ネットワークボロノイ図

業績を称えて名付けられました。ボロノイの墓はウクライナにあり、ウクライナではとても有名な人で、ボロノイの顔が描かれたコインまであります。
ボロノイ図の厳密な定義は、1908年に出版されたボ

図11

ジャイアント・コーズウェの海岸の石柱

図11に見られるようなボロノイ模様をしています。
これは、ボリビアある、ウユニ湖で塩の湖です。
http://www48.tok2.com/home/sawakon/8presents/
wallpaper48B.jpg

ロノイの論文で定式化されたのですが、それ以前に、干上がると塩が模様を創り出し、このような幻想的ボ

ボロノイ図らしき図を使って空間分析した人は結構多ロノイ模様となります。

くいました。その最初の人であろうと言われている人

これは、皆さが動物園で見慣れたキリンで、ボロノは、皆さんが良く知っている人です。誰だと思いますか。

イ図ぽい模様をしていますね。

なんと1644年にデカルトが 書 いた、 か の有名な本

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AD%E3%

Principia Philosophiae『哲学原理』に遡ります。そ83%AA%E3%83%B3の本でデカルトはボロノイ図らしき図をつかって、宇宙

このキリンの個々のボロノイ領域の大きさに注目してくは星を核とした「渦」の圏域で空間分割されると述べださい。その分布に特色があることに気が付きましたています。

でしょうか。首の所のボロノイ領域は、足のところより

ボロノイ図らしき図は、実世界で驚くほど多くの様々大きいですよね。そこから何か思いつくことはありませな空間現象に現れています。例を挙げると、ヤマトフ

んか。動物学者は、その違いからキリンの原種がどのタマタゴケの細胞はような恰好をしていたかを推測しています。その研究

http://fungi.sakura.ne.jp/moss_photos/photos21/によると、これがキリンの原種であろうということです。

2017_04_01q.jpg

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/

とてもボロノイ図らしく見えますね。

thumb/0/0 5/MEPAN_ Sivatherium.jpg/2 5 0px

皆さんご存知のトンボはその羽模様をよくみるとhttps://static.scientificamerican.com/blogs/assets/

MEPAN_Sivatherium.jpg
これは、バーローの論文（1974）に掲載された魚のImage/Butterflies（1）.jpg

写真で、マウスブルーダーという魚です。

部分的にボロノイ図らしくなっています。

http://public.lanl.gov/ringler/Voronoi.html

これはジャックフルーツの表面ですがこの魚は口に砂を含んで、お互いに周りの魚に砂を吹

ht t ps : //t humbs .d rea mstime .com / b/text u re -きかけ、縄張りを主張する習性があります。その結果、jackfruit-skin-27760229.jpg

吹きかけ合った砂がかち合う境界で砂が盛り上がり、

よくみると、このようにボロノイ図らしくなっています。

ボロノイ模様の縄張り領域ができるのです。

アイルランド北部のジャイアント・コーズウェイには、

このボロノイ図の規則性については、長谷川・種村

岩の海岸がありますが、その個々の岩をよく見ると、さんの論文（1976）で議論されています。空間規則性

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先端測量技術 117号

があるかどうかを見つけるには、ボロノイポリゴンの核

表2

異なる幾何的要素間の空間関係分析になっている点が、空間完全ランダムである場合を考え、それと実際を比較することで見つけ出します。その結果、この魚の個々の縄張り領域の面積分布は、かなり均一であるという空間規則性を明らかにしています。さらに、縄張り争いの様子をシミュレーションして、最終的に個々の縄張り領域面積が均一化することを示しています。
対象は異なりますが、同様な分析を私と鈴木さんの論文（1987）で行いました。ホテリングの店舗立地競表2のように（点、線、面）×（点、線、面）でクロス

争モデルを使い商圏争いのシミュレーションを行ってセクション化し、それぞれの1例を挙げておきました。

みたのです。その結果、商圏が均一化することが分

これら二つの表に挙げた同種類、異種類の空間関かりました。実際には店の種類によって均一化する場

係の分析手法は、ポイント以外ではほとんどが未開発

合と、そうでない場合があります。青山地区のコンビ

で、体系的かつ汎用的な空間分析法やそのツールのニの分布は均一化する傾向がみられます。

開発は、これから先の道となります。

このようにボロノイ図を適用した研究は、自然科学、工学、社会科学、人文学など、非常に数が多くあります。

3 「ぐにゃぐにゃ」した空間での空間分析

さらには建築デザイン、アートや、なんとアクセサリー

それでは、次のテーマに進みましょう。
「ぐにゃぐの分野まで、とても広く拡がっています。それらの応用にゃ」した空間とは、聞きなれない言葉ですが、後でについては、私とブーツさん、杉原さん、チウさんの本紹介する本の題名からとりました。
「ぐにゃぐにゃ」しSpatial Tessellations：Concepts and Applicationsた空間とは、「かっちり」した空間=ユークリッド空間

of Voronoi Diagramsに書きました。この本を引用しではない空間、すなわち、非ユークリッド空間を指した学術論文は、現在までに7500を越しています。ボロ

ています。非ユークリッド空間には、いろいろな空間

ノイ図の応用範囲が極めて広いのに驚いています。

があります。まずは、距離を直線距離ではない距離で今まで見てきたように、空間分析の目的は、店舗を測る距離空間があります。次には、そもそも距離空間

ポイントで表現したり、道路をラインで表現したり、ではない空間があります。さらには、もっと「ぐにゃぐ公園をポリゴンで表現して、これらの要素の空間的規

にゃ」度が増した空間があります。その先の行き着く

則性を見つけることです。その空間分析法を分類する

空間は、どんな空間なのでしょうか。

と、まず、同じ幾何学的要素間の空間分析法がありまさて、なぜ非ユークリッド空間が重要なのでしょうす。それをさらに細分化すると、同じ種類同志と異なか。それは、人の行動は主観的空間をもとに行動するる種類同志に分けることができます。その分類を表1

ことが多く、その主観的空間は、非ユークリッド空間のように（点、線、面）×（同種、異種）でクロスセク

がとても多いからです。まずは、視覚空間から考えてション化して、それぞれの1例を挙げておきました。

みましょう。

加えて、異なる幾何的要素間の空間分析があります。

星空を眺めて、例えば大隈座の柄杓を形作っている
七つの星の中で、一番遠い星はどれでしょうか。実は

表1

同じ幾何的要素間の空間関係分析

柄の端点の星です。星のようにその大きさを知らなくて、かつ非常に遠いところにあるようなものは、視覚で距離は区別ができなくなり、同じ距離と認知されてしまうのです。
それでは、そんなに遠くはないような日常的空間ではどうでしょうか。一例として、
ビルバオにあるゲーリーの建てたグッゲンハイム美術館の例で見てみましょう。

21

図12の二つの階段をみてください。まず建物の横にある左図の階段を登ります。登るとそこには巨大な花でできた犬のオブジェがあります。それを眺めてから、
右図の階段を下ります。さあ、どちらの階段が長く見
えますか。

図14

視覚距離とユークリッド距離の関係

視覚距離とユークリッド距離の関係は、実験から図14のグラフのような関係であることが分かっています。視図12

ビルバオ・グッゲンハイム美術館横の階段

覚空間で等間隔に並んだ柱は、ユークリッド空間では、
柱は等間隔に並んでいないのです。

階段2の方が短く見えますよね。実は、同じ階段を

この関数関係をつかうと、先のネットワーク・トラン

下からと上から撮ったのです。トリックはと言うと、こスフォーメーションの図4で述べた変換と似たようなの階段の幅が上に行くほど狭くなっているからです。

「マジック」が使えます。視覚空間での空間完全ランダ空間では、このようなイルージョンが起きることがあり

ムが、ユークリッド空間ではどのような配置であるかます。

は、逆変換すると分ります。

視覚イルージョンといえば、杉原さんが国際コンペ
Illusion of the year 2010で優勝しました。

私たちは日頃、視覚空間で生活していますから、視覚空間での空間分析は重要です。最近、自動車の自動運転開発で動的な視覚空間の研究は重要度が増してきました。これから先の道として、Rosinol et al.
（2019）の論文が試みているように、ロボットがとらえる3次元視覚空間での空間分析技術開発が必要となってくるでしょう。

図13 Illusion of the year 2010 で優勝した杉原厚吉さんの作品

さて、次のサブテーマに移りましょう。主観的空間の研究の中で視覚空間の研究と並び重要なのが、認

図13の左図を見てください。中央に向かって4つの知空間での空間分析です。その先駆者は、1948年の坂が上がって行くのが見えますね。ですから坂の途中

トールマンの論文「ねずみと人の認知地図」で、そののボールは、当然、下がってきますよね。ですが、ア

後、空間認知の研究は急速に進みました。

ニメーション

それらの研究から、人が認知する距離はユークリッ

https://www.youtube.com/watch?v=fYa0y4ETF

ド距離ではないことが多いと分かってきました。例えを見ると、なんとボールが坂を上がって行くではない

ば、二つのアイスクリーム屋が出発点からユークリッド

ですか。しかし、それは錯視で、反対側から4つの坂

距離で等距離の所にあっても、等距離ではないと認知を見ると図13の右図のようになっていることが分かりされることが多くあります。実験心理学研究の例を挙ます。

げると、Sadalla and Mangl（1980）は、同じ長さの杉原さんが、このように視覚イルージョンを作ること

道でも曲がる回数で長さが違うと認知される、と報告ができるのは、杉原さんの本『立体イルージョンの数理』

しています。 また、Sadalla and Staplin（1980）は、で述べているように、視覚空間とユークリッド空間の同じ長さの道でも交差点の数で長さが違うと認知され間の空間変換、射影空間が数学的に分かっているかる、と報告しています。その他、公園から街中に入るらです。

といった景観の変化、道沿いの看板、道の曲がり具合

3次元ですと、少し複雑ですから、1次元の簡単な場合を図14で考えてみてみましょう。

22

先端測量技術 117号などが人間の距離感に影響を与えることが報告されています。このような要因が人の距離の認知に影響を与え、認知距離はユークリッド距離ではないことが非常間の山手線にぴったりと一致しているわけではありまに多いのです。

せん。認知空間はさらに「ぐにゃぐにゃ」した空間のよ

認知空間は、もっと「ぐにゃぐにゃ」した空間かもしれません。因みに、山手線はどのような形か、ちょっと思い描いてみてください。

うです。
ぐにゃぐにゃという用語を使っているのは、ひと昔
前、幼稚園生用の本をみていたら『ぐにゃぐにゃ世界の冒険』という変わったタイトルの本があったからです。
中をみたら「ぐにゃぐにゃ世界」では、ホースを切ったり穴を開けたりしないで、連続的にぐにゃぐにゃと変形してゆくと、ホースとドーナツは「同じ」になります、と描いてありました。幼稚園生には、いや〜普通の大人にとっても、
衝撃的ではないですかね。もっとも、今じゃ
ネット上でコーヒーカップの「ぐにゃぐにゃ」アニメが有名なようです。何と同じになるかお分かりでしょうか。

図15

山手線

ユークリッド空間での山手線の形は、図15の左図のhttps://mathrelish.com/mathematics/homeomor
phism
やはりドーナツなんですね。

形をしています。おそらく皆さんが思い描いているより

今までユークリッド空間、ユークリッド距離以外の距細長いのではないでしょうか。カンターの『場所の心離空間、アフィン空間、「ぐにゃぐにゃ」空間と、空間理学』によれば、認知している平均的な山手線は、右の源流へとさかのぼってきました。さて、その空間の図のように、かなり横に膨らんでおり、人によってはもっ源は、一体どんな空間なのでしょうか。それは、18世と丸に近い場合もあると報告しています。

紀のオイラー多面体定理が糸口を作った位相幾何学にその変形を表現する方法の一つとして、図16のようあると言われています。それから研究が進み、現在はに、山手線の形（上段中央）を縦（下段中央）、横（上一般位相空間general topologyとして確立しています。

段左）、斜め（上段右）に縮めたり延ばしたりすることそれによると、空間の源は、なんと、たった二つの公で変形するアフィン変換があります。

理で出来ているのです。それを簡単に説明してみましょう。
まず、点の集合Xを考え、次にその部分集合族Fをつくります。一番単純で特殊な場合としてXの部分集
合を、空集合Øと全集合Xとし、部分集合群Fを、それら二つの集合よりなるF =｛Ø, X｝としましょう。

位相空間の第1公理は、集合族Fの要素である部分集合の和集合は、集合族Fの要素であることです。上図16

アフィン変換の特殊な例の場合、空集合Øと全集合Xの和集合は、全集合Xで、これは集合族Fの要素ですから、第1公

このように変形しても「同じ」図であると認知する空理を満たしています。第2公理は、集合族Fの要素で間を、アフィン認知空間と呼んでおきましょう。私達のある部分集合の有限な積集合は、集合族Fの要素で山手線の認知傾向を考えると、アフィン認知空間に近あることです。上の特殊な例の場合、集合族Fの要素

そうです。しかし、図16下段左でよく比較してみると、たる空集合Øと全集合Xの積集合は空集合Øで、これアフィン変換でユークリッド空間の山手線が、認知空は集合族Fの要素ですから、第2公理も満たしていま23す。一般に、この二つの公理を満たしている集合族F述べています。

をXの位相とよびます。上の特殊なFの場合は、密着

私を温かく包み込んでいるかけがいのないこの屋

位相indiscrete topologyと呼んでいます。また、点の根裏屋は、私と私の周辺ある使い慣れたモノ：椅子、近傍とは、その点を含む集合族Fの要素を含むような

ベッド、ランプ、湯沸かし・・・が、私の手足のようXの部分集合と定義されています。上の特殊な例であ一体となり、「距離」を超えて一つに結び付けられている密着位相の場合、例えば、ピンクの点を含むXは、る空間である。

これを満たしています。ですからピンクの点の近傍は、これが前田さんの密着位相の現実世界での解釈で集合Xの中の全ての点となります。そうすると集合Xのす。これに続くT0空間、T1空間、・・・についても、中の全ての点がindiscrete、すなわち密着して区別でとても興味深い解釈を展開しています。

きず、全ての点が一体化していることを意味していま前田さんの密着位相空間の解釈に刺激されてちょっす。これが空間の源なのです。数学に精通されていたと寄り道したくなってしまいました。数分、お付き合い

下総先生が言いたかったことは、このことだったに違ください。私は、かねてから天国の空間について興味いなく、私がそれを理解したのは、5年後のことでした。

を持ってきました。文化や宗教によって、実にいろいということで空間の源を見てきましたが、そこを源とろな天国があります。キリスト教の天国については、マ

して、いろいろな空間が導出されます。その過程は、クグラスの本『キリスト教の天国』に詳しく書かれていアニメ制作で使われているノッペリした立方体に「目ます。また、天国の絵についても、いろいろ描かれて鼻」を加えて、3次元の人の顔を作り上げるリトポロジー

おり、一例を挙げると、ドレがダンテの『神曲』を題に似ています。位相空間の場合も、密着位相というノッ材に描いた天国の絵があります。

ペリした空間に、図17のように徐々に色々な条件を付

https://kawasaki-brand-design.com/?p=9260

加してゆくと、T0空間、T1空間、ハウスドルフ空間、

この天国の絵を見ていると、ベアトリーチェとウェウギ

正則空間、正規空間、・・・、と具体化し、最後には、

リウスと天使たちが織りなす空間は、それらが一体化

ユークリッド空間に行き着くのです。

した密着位相空間ではないか、と言えなくもないのではないでしょうか。日本の例では、例えば、三千院の天井に描かれた極楽の絵があります。
https://ameblo.jp/dokidokilin/entry-11595766464.
html
天女や花びらが混然一体となった空間で、密着位相とは言えませんでしょうかね。
先ほどの山手線の空間認知で、空間のぐにゃぐにゃ
度は、アフィン変換しても「同じ」と認識されるかどうかによるということを見てきました。天国、極楽を縦に1/3ほど縮小するアフィン変換してみても、このよう

図17

密着位相空間からユークリッド空間へにさして変わったようには見えませんね。天国、極楽は密着位相空間とまでは言えなくても、かなり柔軟な

さて、位相空間の源たる密着位相空間なんて現実空間と言えそうです。ところで、密着位相空間が天国の空間でありうるのか、と思いの方も多いのではない

なら、ユークリッド空間でそれに対峙するところは、でしょうか。実は位相空間の意味づけは、文学や現象

何だとお思いでしょうか。地獄ですよね。この地獄絵

学でいろいろと議論されています。例えば、前田愛さを見てお分かりのように、んは『都市空間のなかの文学』で、日常生活におけるhttps://images-na.ssl-images-amazon.com/images/

密着位相の解釈に挑戦しています。立原道造の「私のI/A17i%2BBKKtaL.jpg

かへつて来るのは」というソネットを題材に、実際のユークリッド空間的な表現です。これを天国と同じよ

生活の中での密着位相空間とは、次のような空間だと

うにアフィン変換したらどうなると思いますか。天国と24

先端測量技術 117号

は違って、このように様相が変わってしまい、分らなです。ここにWiFiアンテナを13本設置し、受信システ

くなってしまいますね。リアルな空間を表現するには、ムを備え、電源ケーブルを張り巡らせ、鶏に位置セン

ユークリッド空間じゃなきゃならないようです。天国のサをつけて、その鶏の動きを観察しました。実験場に空間と地獄の空間は、位相空間の両極端と言えそうでは3か所に鶏小屋をつくり、どの小屋も、雄鶏1羽、雌すね。

鶏5羽の構成としました。ただし、雌鶏については、

さて、文学や現象学の位相空間論を、より実証的な小屋1と2の雌鶏1羽は子ずれ、小屋2の雌鶏2羽は若鳥

分析して行くにはどうしらよいでしょうか。その手掛かとしました。この構成で1か月間、小屋に閉じ込めるりとしては、空間の発達心理学を打ち立てたピアジェと小屋飼いをしました。その後、小屋から解放して自由

インヘルダの本The Children’s Conception of Spaceにし、鶏の時空間行動を観察したのです。その様子を挙げることができます。おそらく生まれたての子にの一場面が図18です。同じ小屋にいた鶏の色は、同とっては、世界は未分化の密着位相空間でしょう。

じにしてあり、濃い色が雄鶏です。これらの鶏の時空

さすがこれは実験的に示すことは出来ません。です

間行動から時空間的規則性を見つけるのが時空間分

が2歳、3歳・・・となるにつれての子供の位相空間

析の目的となります。

認識の発達過程は、実験的研究が進められています。
ピアジェとインヘルダは、人の空間認知の発達は、ト
ポロジー的、射影的、そして最後にユークリッド的へと発達すると述べています。
さて、これから先の道です。空間現象は物理的空間と主観的空間の相互インターラクションで生じますか
ら、主観的空間の分析は、とても重要となります。主
観的空間での空間規則性を見つける空間分析法は、
体系的に整理された位相空間数学を下敷きにしなが

図18 鶏の時空間行動（プログラム佐藤俊明、WiFiシステムNESIC）

ら、視覚空間、認知空間の研究蓄積を踏まえ開発して行く道となるでしょう。さらには近年、脳科学が空二次元だと、動きが込み入ってしまいますから、まず間認知の神経的メカニズムを明らかにしてきました。

単純な直線道路での鶏の動きを図19で見てみましょう。

脳には、空間を認知するグリッドセル、場所セル、境界セルなどがあることが明らかになってきました。それを考慮したAI的空間分析手法が出てくるかもれません。これから先の道は、これらの研究成果を統合するような空間分析法と、そのツールの開発が期待されます。
4 「時間が流れる」空間での空間分析
さて次のテーマに話を進めましょう。地理学における時空間分析の先 駆者は、1981年に出版された本Space and Time in Geographyの著者であるヘーゲ

図19

道路の上の鶏の動き

ルシュトランドでしょう。今となっては、人流分析は流行となっています。しかし、20年ほど前には、軌跡デー

まず図19の左図で、一羽の鶏の動きを見てみましょ

タを取得するのは容易でありませんでした。そのころう。横軸が直線道路で、縦軸が時間です。最初、鶏の手間のかかった私たちの 研究を紹 介しましょう

は原点にいました。その後、左図のように動きました。

（Okabe et al., 2009）。

この動きを見て、この鶏には、どんな空間的規則性が実験場は、タイのチェンライ家畜技術移転センター

あると思いますか。この時間範囲では、この鶏はほと25

んど原点の左側にいますね。これから、この鶏は、原点の左の道路をうろつくという空間的規則性があると判断してよいでしょうか。
実は、このニワトリの動きは、右に一歩動く確率が1/2、左に一歩動く確率が1/2でシミュレーションした図なのです。このような場合、ニワトリの行動はランダ
ムでも、周期的な偏りがでてくることが証明されています。時空間的動きのランダムは、今まで考えてきた

図20 鶏の密度分布（プログラム佐藤俊明、WiFiシステムNESIC）

時間を考えない完全空間ランダムと大きく異なっている
ことが分かります。ある時点での完全空間ランダムと、体系は金融工学となっています。しかし時空間の場合

連続時間でのランダムウォークは別ものの空間ランダム

は、株価の場合の1次元と異なって2次元となりますか

で、分けて考える必要があります。

ら、時空間分析方法は一段と難しくなります。特に複連続時間での時空間ランダムの研究は、ブラウンが数個体の相互作用のある確率的ウォークは、いくつか

1828年に発表した、いわゆるブラウン運動の論文に遡方法が提案されてはいるものの、実用的方法やツールります。その確率過程的な定式化は、近代統計学をの開発は、これからの先の道で、おそらくAIを利用

築いたもう一人の巨匠、ピアソンが1905年に発表したするようになるでしょう。

論文「ランダムウォークの問題」で、たった1ページの論文でした。

ということで、厳密な方法による鶏群の時空間的規則性の分析は先のことになります。そこで、ほどほど

今度は、図19の右図を見てください。この図は、A、の方法で分析してみました。図21は、1か月の小屋飼い

B、Cから出発した時の3羽の鶏の動きを示した図です。

の後、自由に放し飼いにした時の行動を図示したもの

これら3羽の鶏は、相互に関連して動いているのでしょです。

うか。T1からT2時点では、3羽の鶏は一緒に行動しているように見えますね。また他の時間帯でも2羽が連動しているように見えます。ですから、それぞれの鶏が独立してランダムウォークしているとは言えない気がしてきますね。
実は、これら3羽は全て相互無関係にランダムウォー
クで歩いているのです。視覚的に相互関係を判断する
ことは、かなり難しそうですね。その難しさを先ほどの実験の鶏たちの密度分布で見てみましょう。密度分
布を推定する手法として、カーネル密度法を適用してみます。この方法を簡単に言えば、鶏に籠を被せ、重なったところは上に積み上げるといった方法です。鶏

図21

18 羽の鶏の日中と夜が集まると、高さが高くなります。この方法を二次元に拡張し18羽の鶏に適用しました。その1時点での密昼間、小屋1の鶏は、子連雌鶏が小屋1に一緒にい度分布が図20です。動画でみると、集まったり分散した鶏たちとは別行動をとりました。小屋2の鶏は、雄鶏たりを繰り替えしているのが良く見て取れます。しかし、と行動を一緒にしたのは、たった一羽の雌鶏で、子ず

この動きから、18羽の鶏の密度に空間的規則性を読れ雌鶏と、若鳥2羽は別行動をとり、もう1羽の雌鶏はみ取るのは、素人にはなかなか難しいですね。

小屋3の鶏群と一緒に行動しました。小屋3の鶏は全て

その分析方法の基礎的な部分は、確率微分方程式のおかげで大きく進展しました。特に、株価の時系列
分析法や予測方法は実用的な方法にまでなり、その26

先端測量技術 117号

が一団となって行動し、加えて小屋2の雌鶏までその一団に加わりました。
夜になると、小屋1の鶏は全部が小屋1に戻り寝ました。小屋2の鶏はというと、小屋2に戻ったのは子づれります。この分析方法はほとんど未開発で、これから

雌鶏と若雌鶏だけで、後はばらばらとなって寝ました。

先の道となるでしょう。

具体的には、雄鶏は家の下に潜り込み、その雄鶏と一緒にいた雌鶏は木の上で寝ました。そして小屋3の5 「協働する」空間分析

集団に流れた雌鶏は木の上で寝ました。小屋3の鶏は、さて最後に、この最後のテーマで締めくくりましょう。

全部が小屋3に戻ったのですが、1羽の雌鶏だけが外「きょうどう」の漢字は、共同、協同とありますが、協の屋根の上で寝ました。これが概要ですが、これらの働です。協働とは、同じ目的のために、異なる強みを時空間行動を厳密に分析する方法は、これから先の道持つ主体が、共通の目標の下に、新しい価値やアイディとなります。

アの創出を目指す作業という意味です。同じ強みを持

今まで鶏のように動くモノの空間分析方法を考えてつ主体が仕事をすると、1+1は、2にはならず、1が大きましたが、都市活動などを考えると、人のように動くきくなるだけです。協働のとりえは、異なる強みを持

モノと、店のように動かないモノの空間関係を時空間つ主体が協働することで、その場合、1+1は、3と質的分析することが重要となってきます。例えば、店舗のに変容をして2以上に大きくなるということです。新し立地は何曜日の何時の人の動きに対応しているのか、

い価値やアイディアの創造の仕方については、有名なといった空間分析が挙げられます。具体的に青山地区

本があります。ヤングの『アイディアの作り方』というで一例を見てみましょう（水谷・岡部2018）。現在、メッ

本です。その本でヤングは次のように喝破しています。

シュ単位では毎時間、毎日のデータが容易に入手でき「アイディアの創造とは、既存の要素の新しい組み合るようになりました。このデータと、店舗分布のデータ

わせ以外のなにものでもない。
」ということは、異なるから関係を分析すると衣料品関連の店舗分布は、土強みを持つ主体との協働が、新たな価値の創造に不曜日の16-17時の流動人口と関連が強いことが分かり可欠だということでしょう。

ます。

これを空間分析の文脈で考えてみましょう。空間分

次に、動くモノと動かないモノの発生・消滅の関連

析の第1の目的は、既に述べましたように、例えば、を分析する空間分析があります。店舗は動くモノでは美容院と歯科医院は相思相愛的な立地である、といありませんが、長期的には開店・閉店があります。図20

うような空間的規則性を見つけることです。第2の目的は1995年7月の美容院の密度分布です。この地区の美は、何故そのような空間現象が起きるのか、を解明す

容院の平均寿命は何年ぐらいだと思いますか。

ることです。そして第3目的は、将来、この立地傾向はどうなるのかを予測することです。これら目的2、目的3に対して、空間分析はどう対応しているのでしょうか。
実は、これらの目的達成は、空間分析だけでは出来ないのです。その理由は、時空間現 象は、経済的、社会的、歴史的、心理的、文化的・・・といった多くの要因が相互に関係し合って生じるのですからです。

図20

1995年7月の青山地区の美容院密度（森岡渉作成）ですから、それらの解明を行っている諸学問と協働しなければ解明できません。
その意味で、
空間分析は様々

NTTタウンページデータを使うと、毎月ごとの美容院の変化がわかります。そのデータを使って1995年7月

な分野の研究と協働することが不可欠な学問といえます。

から2019年7月までの月ごとの美容院変化をアニメで見最後に、測技協の協働について考えてみましょう。

てみると、変動がとても激しいことが分かります。こ

測技協の目的の一つに、先端的な測量技術の開発がの地区の美容院の平均寿命は、なんと6−7年ほどなあります。先端的技術を生み出すには、異なる強みをのです。

持つ異分野との協働が不可欠です。足元から見ますと、このような分析を一般化すると、動くモノと、動かな測量技術は、
地理情報科学の構成要素の中の空間デー

いモノの発生・消滅の関連を時空間分析する方法とな

タの取得にあたりますが、それに続く、管理、分析、27

総合、伝達の技術との協働が必要でしょう。さらに、

analyzing co-location on a street network and its

測量データが使われる業種は非常に広く、異業種との

implementation , Int e r n a t i o n a l Jo ur n a l of

協働が先端的測量技術を生み出すことになるでしょう。

Geographical Science, 36（4）,773-798.

山は裾野が広くないと高くなりません。皆様方が測量

Okabe, A. and Suzuki, A.（1987）Stability of spatial

研究開発は言うに及ばず、多くの異なる研究分野と協competition for a large number of firms on a

働しながら、広く社会に恩恵を与える先端技術の研究

bounded two-dimensional space. Environment開発を進めることを願っています。

and Planning A：Economy and Space, 19, 1067-

最後になりましたが長年、私の研究を支えてくださっ

1082.

た多くの方々、また12年間、測技協の会長職を支えて

Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K. and Chiu, S.N.

いただいた会員、賛助会員、職員の方々、また40数年（20 0 0）Spatial Tessellations：Concepts and間、測技協のもとに集われた多くの方々に、深く感謝

Applications of Voronoi Diagrams. John Wiley.

をいたします。そして、私的になりますが49年間、協Okabe, A. and Satoh, T.（2006）Uniform network

働して研究してきた私のパートナー佳世にも感謝をし、

transformation for points pattern analysis on a

私の講演をしめくくりたいと思います。ご清聴、ありがnon-uniform network. Journal of Geographical

とうございました。

Systems, 8, 25-36.

なお、ご質問やご意見、問い合わせは、

Okabe, A., Okunuki, K. and Shiode, S.（ 2006）

atsu@csis.u-tokyo.ac.jpにお送りください。

SANET：A toolbox for spatial analysis on a
network. Geographical Analysis, 38（1）,57-66.

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本稿は2022年9月14日に新宿区立牛込箪笥区民ホールで開催された、当協会主催「第44回測量調査技術発表会」における、岡部篤行氏の記念講演の内容をまとめたものです。

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