93［エッセイ］

微分積分学基礎教育における複索数とオイラーの公式の積極的な利活用について
見山友裕
山陽小野田市立山口東京理科大学

共通教育センター

UtilizationofcomplexnumberandEuler'sformulaontheedu
cationofcalculus
TomohiroMIYAMA
CenterforLiberalArtsandS
ciences,Sanyo‑OnodaC
ityUniversity要約
私は本学において長らく 1年生を対象とした「微分積分学および演習」「工学数学および演習」を担当してきましたが、この両科目では実数の範囲の微分、積分を扱い、そこに複素数の要素が入ってくることはほとんどありません。ただ使用している教科書1)の最後の章で定数係数 2階微分方程式の解の説明（最近発売されている微分積分の教科書では、微分方程式まで扱われている微分積分の教科書はほとんど見かけません）でオイラーの公式が出現し、微分方程式の解に複素数の解が現れます。ご存じのようにオイラーの公式はその後の専門教育では頻繁に出てくる重要な式でありますが、複素年生数を扱う数学となると「複素関数論」という別の科目として扱われ、複素空間から始まり、複素積分までの範囲までと 1にとっては難しい内容であり、応用化学科ではこのような科目は開講されていません。しかし現在ある微分積分学の内容に複素数の虚数単位である iを特殊な性質を持った係数として扱うだけで、複素関数論で扱うような難しい内容とする必要はなく、三角関数の加法定理や微積分、マクローリン展開や各種の微分積分の公式が理解できると考えます。本論文（エッセイ）ではオイラーの公式および複素数を含めた各種の微分積分から始め、減衰振動の現象などの応用までについて思いついたまま記述していきます。
キーワード：微分積分学、複素数、オイラーの公式KeyWords:calculus,complexnumber,Euler'sformula94

見山友裕

1.オイラーの公式
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世紀の数学者レオンハルト・オイラーが見い出した公式
認 ＝cos0+isin0iは虚数単位
は、指数関数を通して、複素数の世界と 三角関数の世界を結びつけるものです 。この式から泣＋ l=Oが得られますが、この式には数字の基礎、 0と1および超越数e，冗が虚数単位を通して結びつけられており、世界で一番美しい公式と呼ばれています 。

2．オイラーの公式を用いた各種の公式の導出(1)三角関数の加法定理

複素平面において＝四｛~-- ~ ＝ご

z=a+iba． b}+ir：絶対値8：偏角□isin02) に対して2つの複素数 a=1i砂 ＝ 1j̲(cos01+isin01), f
J=r2
e免＝ r2(cos0

これら 2つの複索数の積は忍い）

a/3＝r1r2e%迩 =nr□

゜(cos8+isin8)=re'Real＝伍{cos(01噂）＋ isin(01造）｝

一方、 実際に積を行うことにより

a{
J=1j̲
r2(cos01+isin01)(cos02+isin02)＝れ {(cos01cos02-sin~ sin02)+i(sin01cos02+cos01sin02)}が得られます 。両者の実部、虐部の比較により

cos(B1喝） ＝cos01cos02‑sin01sin02, sin(01辺） ＝sin01cos02+cos01sin02が得られ、 三角関数の加法定理が証明されます。高校では加法定理は図を用いて証明されることが一般的です。
2つの複素数の商により

tie＝‑＝知い） =~{cos(01‑02)+isin(01喝）｝
fJr2e r2r2a叫叱

一方、 実際に商の計算を行うことにより

a̲'i(cos01+isin01)̲r1(cos01+isin01)(cos砧ー isin02)＝＝/3r2(cos02+isin02) r2(cos02+isin02)(cos02‑isin02)

1i(cos01cos02+sin01sin02)+i(sin01cos02‑cos01sin02)＝
ー・22r2coso
2+sino2r＝外(cos01cos02+sin01sin02)+i(sin01cos02‑cos01sin02)}
r2が得られます。両者の実部、虚部の比較により

cos(01‑02)=cos01cos02+sin01sin02, sin(01‑02)=sin01cos02‑cos01sin02が得られます 。
(2)マクローリン展開

12 1 32 3!

1n!

指数関数がのマクローリン展開 ex=l+x+‑X +‑X 十・・・＋ーが＋・・． において変数xの箇所に純虚数 ixを代入すると

eix=l+ix+½(ix)2 心(ix)3 + ＋恥）+• ＝ ［-；が＋杞—=COSX+ismxとなり、 三角関数のマクローリン展開の式を得ることができます 。

（い贔が＋嘉x‑xs‑.
.
.
)

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微分租分学基礎教育における複素数とオイラーの公式の積極的な利活用について(3)指数部が複素数である指数関数の微分・積分(i)f(x)=/a+ibx)(a,b：実数）の微分

土(a+ib)x ； ； ； ：X に •eibx} ； ； ； はバ 戸＋ eax ・ （土バ
ここでd eax :;ae—匹dx

1=e•bx =‑4:‑{cosbx+isinbx}=‑bs
inbx+ibcos
bx=ib{isinbx+cosbx}=ibe如dxdxi e(a＋山）X:::;(aeaX)・eibx+ e匹 • (ibewx ) :::; ala＋山）ェ ＋ ibe(a+ib)
x;:(a+ib)
la＋力）
ェ』

d

となり公式―̲
e芦 ＝ pePx p=a+ib：任意の複素数が得られます。これは教科害りこも証明が杏かれています。

dx(ii)f(x)=ia+bi)x(a,b：実数）の積分

fJ(x)dx=fe
Ca+,b)
xdx=feax{cos(bx)+isin(bx)}dx=feaxcos(bx)dx+ifeaxs
in(bx)
dxeaxe=~{acos(bx)+bsin(bx)}+iが＋b2{asin(bx)‑bcos(bx)}a2+b2e=h[{cos(bx)+isin(bx)}‑ib{cos(bx)+isin(bx)}]
a2+b2aeeax(a+ib)ェ
=｛cos(bx)＋isin(bx)
｛｝
a‑
ib}＝
ebt
ェ＝ea2十がa+ib‑ a+ib心ば

匹e=
‑‑:
‑
‑‑ P=a+ibI
炉 dx=‑p加ゆえに任意の複素数が得られます。

上記の証明において feaxcos(bx)dx, fE茫 sin(bx)dxの積分の過程を省略していますが、教科書では部分積分の例題として多 くの問題が書かれています。

(4)em"cosnx,em"sinnxの微分・積分について
Imag

オイラーの公式を利用するために

m+innI‑‑‑‑‑‑‑‑‑.̲

f(x,m,n)＝
戸 cosnx+iemxsinnx=emx(cosnx+isinnx)=emx
einx=em9nx=e(m土）X
年とおきます 。ここでパラメータm,nについて

m+in＝ 戸 （m＋iに笠)＝ 戸 (cos<p+isinrp)＝ 戸 炉

ふ ふとおきます 。ただし、 COS￠=mm .
，sino=n戸 ぷ(i)微分df(x,m,n) de(m+in)エ=(m+in)e(m+in)ェ
＝（品:兌り）
戸e'dx
dx＝戸 戸e(in:urp)＝品て 戸 {cos(nx+(fJ)+isin(nx+(f))}
工Real

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見山友裕

ゆえにd応 cosn叫＝品亡戸戸cos(nx+rp),dx

d｛戸 sinn｝
エ＝ 戸戸 sin(nx+rp)
dxとなり徴分により大きさが ↓盃:：元― 倍、位相がrp(rad)ほど進む事がわかります。
(ii)積 分(m+in)工emxeJf(x,m,n)dx=fe<m-+ in):rdx = ~==‑‑‑‑=ei(n:r—m+in ‑~eifJ 戸emェ e•nx9')em:r= ~{cos(nx-rp) + isin(nx‑rp)}

ふゆえに

l戸emxemxcosnxdx=~ cos((nx‑rp), jIemxsinnxdx=）

ぃふ.

SIIlln(nx‑rp)となり／占がエ;5 倍となり、位相がqi(rad)ほど遅れる事がわかります。

栖分により大きさが 1/(5)応用例：平面 内運動についてバネの振動のように減衰振動となる運動を考えるとき、これを複素平面内の運動として問題を解くことが可能です。

i1Y=(IJt の運動をする時、複素位慨ベクトル

原点からの距離 r=J戸丁 す＝炉 方 位 0=tan―X

X=X+iy＝ 炉 cos（成 ）＋ieotsin（成）＝炉e畑t=e位 ＋畑）t=eμt μ＝ 品 可 亙e必を考える（ぷ0のとき減衰振動となる）と、速度ベクトルv=(v砂 y)、加速度ベクトルa=(a，ェay)は、上記（ 4）の計算と同様に求めることができ、複素速度ベクトル V=
Vx+iv=（ふ 戸 ： 記―ei6)＊e人リ1皿g

複素加速度ベクトル=（記） eμt+t26=（ 記e;;;f*eμt

a=a,,+iaY2V=V計切 y̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲"""X=X丑 yと求めることができます 。
減衰振動 (a<O，炉面2)はこれらベクトルの実数軸または虚数軸への射影として求めることができます。

，，，，，，，I，I，Realまとめ
紙面の関係で簡単な例のみについて述べてきましたが、複素数とオイラ ーの公式を利用することにより計算が簡単に行え、学生の微分積分学の理解に有効であろうと結論することができます 。

参考文献
1.「理工系入門

微分積分」石原繁、浅野重初共著

裳華房