「宇宙測地学」期末試験問題(2017.2.3)
1. 地 球 に 固 定 さ れ て 地 球 と 共 に 自 転 す る 座 標 系 (CTS系:Conventional Terrestrial reference System)から宇宙空間に固定された座標系(CIS 系)に変換するためには，地球の瞬間自転軸が北極付近を貫く点を CTS 系でみた運動として( ア )の効果(図の角度 xp と yp)をまず考慮する必要がある．以下の問いに答えよ．(1) CTS 系をxcts 軸の周りに角度 yp だけ回転させる回転行列を記せ．
但し yp は十分に小さな角度とする．(2) 同様に CTS# cosΘ sin Θ 0 &%(R3 (Θ) = % −sin Θ cosΘ 0 (に右の R3 の行列をかけて地球の自転運動そのものが%001 ('$考慮される．ここに現れるΘは世界時 UT と関連付け
系を ycts 軸の周りに角度 xp だけ回転させた後で，さらられる量で，何と呼ばれるか．(3)前問のΘの観測から地球の自転角速度変動データが得られ，1 日の長さにすると 1 年間では 1ms 程度の季節変動をしている．その主な要因を説明せよ(50 字程度)．(4)空欄（	  ア	  ）に当てはまる語句を記せ．(5)前問(3)の xp と yp の時間変化を見ると，およそ 6 年の周期をもった「うなり」が現れる．
これはなぜか（何を意味しているか）を定量的に説明せよ．	 
2. 右図は，同一緯度にある地表面上に 1 から 7の重力観測点があり，地点 4 の直下に球形の周囲に比べて高密度な物質が含まれている状況を示している．右図を解答用紙に写して，以下の問いに答えよ．(1)地点 1 から地点 7 における重力加速度ベクトルがどうなるか，その概要を図示せよ：定性的でよい．(2) 地点 1 から地点 7 で等ポテンシャル面はどのような形状をとるか，概略を図示せよ．(3)前問(2)はなぜそのようになるのか，根拠を 20-30 字程度で述べよ．(4)惑星探査機に搭載される「高度計」は，探査機と惑星表面間の距離データを与える．その惑星の表面地形の「高さ」を求めるためには，他にどんなデータが必要かを考察し，50-70 字程度で述べよ．	 	 
3. 地球を質量 M の質点と仮定したとき，地球の周りを運動する人工衛星(質量は M よ!

り十分小さい)の運動方程式は ""
r =−!

GM !
r である．この式に左から
r3!
rを外積的! !

にかけて，ベクトル h = r × v が時間変化しないこと（ケプラーの第２法則）を導け．
これは面積速度一定の法則とも呼ばれる．どこの（どういう）“面積速度”のことかを図示して説明せよ．	 

dadedi= 0, = 0, = 0dtdt
星の運動はケプラーの法則から外れてくる．質 dt2点による万有引力以外の効果は“摂動”と呼ば dω = − 3nJ 2 Re
(1 − 5cos 2 i),
2 2 2dt
4(1 − e ) aれる．さまざまな摂動のうちで最も大きな効果

4. 現実の地球は質点とは見なせないため，人工衛は J2 摂動とよばれる．J2 とは極軸と赤道軸の周りの慣性モーメント C と A を用いて
J2=(C-A)/MeRe2 と表せる無次元量である: Me, Re は地球の質量と半径である．地球に固定された座dΩ
3nJ 2 Re2=−cos i,dt2(1 − e 2 )2 a 2dM
3nJ 2 Re2=n+(3cos 2 i −1).
2 1.5 2dt
4(1 − e ) a

標系に対する衛星軌道は，軌道 6 要素（ケプラー要素）を用いて記述され，J2 摂動だけを考慮したときの軌道要素のそれぞれの時間変化は上の 6 つの式に従う．ただ€し，Re は地球の半径，n は「平均運動」（ケプラー第 3 法則から求まる平均公転角速度）で定数である．以下の問いに答えよ．(1) J2 の符号は正か負か，理由とともに 20字程度で述べよ．(2)式中の a, e, i をそれぞれ何とよぶか答えよ．(3)初期時刻 t=t0 でa=a0, e=e0, i=i0 のとき，任意の時刻 t での a, e, i をそれぞれ求めよ．(4) 地球が一年間で公転する間に，人工衛星の軌道面と太陽の方向のなす角度が常に一定になるような軌道を「太陽同期軌道」とよび，dΩ/dt の式からその軌道要素が満たすべき条件が分かる．dΩ/dt がどうなれば良いか，答えよ．(5)前問の軌道において，i はどのような値を取るべきか答えよ．
5. 合成開口レーダーの特徴は高い空間分解能にある．アジマス方向（人工衛星の進行方向）の空間分解能を高めるために，（ア）を利用している。また、レンジ方向（人工衛星の進行方向と直行する方向）の分解能を高めるために（イ）という技術を用いている。さて、人工衛星から射出されるマイクロ波のパルスは以下の式で表される：	 	 	 	 s 𝑡 = 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑥 =!
!!

𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑡 , ただし、𝜑 𝑡 = 2𝜋𝑓! 𝑡 + 𝜋𝐾𝑡 ! 	  また	 1                        (−0.5 ≤ 𝑥 ≤ 0.5)
! !"	  とする．このマイクロ波の瞬間周波数	 	 !! !"0      (𝑥 < −0.5  𝑜𝑟  𝑥 > 0.5)

は𝑓! +（ウ）となる。従って、パルス継続時間𝑇! の間に周波数は（エ）だけ変化することが分かる。
（エ）をバンド幅と呼び、この値が大きいほどレンジ方向の分解能が高くなる。	 	  人工衛星が距離 r だけ離れた点で散乱されたマイクロ波を受信する時、その位相を−!!"!

+ 𝜓!"#$$%& と書くことが出来る。ここでλはマイクロ波の波長、𝜓!"#$$%& は地表の散乱特性が位相に与える影響である。人工衛星が異なる 2 時期に同一の位置から同一の地点にマイクロ波を照射するとき、衛星とこの地点を結ぶ距離が𝑟! から𝑟! に変化したとする。(1)もし地表の散乱特性が 2 回とも同じあれば、位相の変化分を（オ）と書くことができ、地殻変動を検出することができる。これが干渉 SAR(InSAR)の原理である。マイクロ波の波長が長ければ散乱特性は変化しにくいが、(2)短いマイクロ波を用いる利点もある。	 	 	 InSAR 解析で得られた干渉画像には地殻変動に起因する位相変化と、それ以外のノイズが含まれる。ノイズには（カ）などの系統的なものと、(3)時間的にランダムなノイズがある。後者の影響を軽減するために、(4)複数の InSAR 画像を用いた時系列解析が広く行われている。以下の問いに答えよ．	 
問 1	 （ア）・(イ)・（カ）に適した語句と（ウ）～（オ）に適した数式を答えよ。	 
問２	 下線(1)について、地表の散乱特性が変わってしまう事例を 1 つ挙げよ。	 
問３	 下線(2)について、どのような利点があるか答えよ。	 
問４	 下線(3)について、これを引き起こす要因を 2 つ挙げよ。	 
問５	 下線(4)について、主要な手法の名称を 2 つ挙げよ。	 
6. GNSS（特に GPS）による「単独測位」に関する以下の問いに答えよ．(1) GPS 衛星
システムの他の人工衛星との大きな違いの一つは，各衛星に高精度な原子時計が搭載されていることである．何という原子を用いているか，元素名を二つあげよ．(2)
時刻 t=ts に GPS 衛星 1 から発出された電波を，地上（或いは海上や上空）の単一の受信機では時刻 t=t1 に受信したとすると，見かけ上は伝搬時間(t1- ts)であり，電波伝搬速度 c を用いて衛星-受信機間の見かけ上の距離(擬似距離)が得られる．GPS 衛星
1 の位置ベクトルを X1，受信機の位置ベクトルを XR，衛星と受信機の時計の同期誤差を Δt として，これらの間に成り立つ式を記せ．	 
7. 前問６の XR の三成分(x,y,z)と緯度 φ と経度λは右の式で! x = (N + h)cos ϕ cos λ#" y = (N + h)cos ϕ sin λ長半径と短半径，N は卯酉線半径である．また h は楕円体
#z = (Nb 2 / a 2 + h)sin ϕ高である．地上位置は従来通り緯度 φ, 経度λおよび標高 $結びつけられる．ただし a と b はそれぞれ回転楕円体のH を用いるため, (x,y,z)からこれらを導く必要がある．以下の問いに答えよ．(1) 経度λを「度」の単位で求めるための方法を述べよ．(2)緯度 φ と h を近似的に求めるために,まず h=0 として, 仮の緯度 φ1 を求めるための式を(x,y,z)を用いて表せ．(3)前問(2) で求めた緯度 φ1 を使って，仮の h1 を求める式を示せ．(4)標高 H は (x,y,z)の値だ
けでは求められない．h の値から標高 H を求めるために，さらに必要なデータは何か答えよ．z の式が間違っていた	 
8. GNSS を用いた「相対測位（干渉測位）」の基本的アイデアは，受信機と各衛星までの距離を搬送波位相で測定する，ということである．搬送波の波長を λ，衛星 A 受
信機 1 間の距離を ρ1A とすると，この距離に相当する位相角は(a)2πρA1/λ である．
例えば 24356 km の距離を波長 24 cm の搬送波で測ると周期数(サイクル)にして (b)（ あ ）(周期)となる．しかし実際には，時刻 t に受信機 A で受信する衛星 1 からの位相角 Φ1A は[0, 2π]（或いは[-π,+π]）に丸めこまれているため，（ あ ）(周期) では

なく(c)（ い ）(周期)となる．Φ1A は衛星受信機間の距離 ρA1 に相当する位相角そのものから，2π の整数値倍 2πNA1 を引いた量である（NA1 は未知）．また，衛星 A および受信機 1 上の時計は全世界共通の時計と完全に同期しているわけでもないため，同期誤差 δtA と δt1 も未知量になる．真空とは見なせない電離層と対流圏をマイクロ波が伝搬する効Φ1A =2π A( ρ1 − N1A λ ) + 2π f (δ t A − δ t1 ).
λ果は無視できるとすると，現実に測定される位相 Φ1A は右式のように表せる：	  	  	  	  	  	 (1)下線部(a)は 2π が掛かるのに対し，InSAR に関する前問 5 では 4π になっているのはなぜか，20 字程度で説明せよ．(2)空欄（あ）に当てはまる数値を求めよ．(3)空欄（い）に当てはまる数値を求めよ．(4)上式で左辺は観測データとして与えられるが，右辺には未知数がいくつもあり，このままでは解けない．どのような工夫をして解くか，50~100 字程度で適宜数式を用いて説明せよ．ただし，求めたい未知数は固定点に対する地上観測点の相対位置とし，衛星軌道は既知とする．(5)前問(4)の衛星軌
道データとして，単独測位でリアルタイムに用いられるものは「放送暦」と呼ばれるが，二週間後に公表されるデータは何と呼ばれるか．
９. マイクロ波を用いた宇宙測地技術で測位や地表変位観測をする際，電離層や対流圏を通過することに伴う効果は無視できない．しかし地表変位が無視できれば逆に電離層や対流圏に関する情報を得ることができる．関連する以下の問いに答えよ．
(1)電離層における位相速度 vp に対する屈折率は右の式で与えられる．
3	  ここで f はマイクロ波の周波数，Ne は自由電子の数密度(1/m )，C はn p = 1− C

Nef2

正の定数である．真空中と比べた電離層での見かけの伝搬距離変化 ΔS を「電波伝搬経路に沿った単位面積あたりの総電子数(=TEC)」で表せ．(2)二つの周波数 f1 と f2 を用いた同時観測をすれば，TEC が求まることを前問の結果を用いて説明せよ．(3) 対流圏での屈折率 n は気圧 P (hPa), 水蒸気分圧 e (hPa),気温 T (K)を用いた下の式で計算できる．P と e と T の中で，InSARのデータでもっとも顕著に現れるN T ≡ (n −1) ×10 6 = 77.6

Pee− 5.6 + 3.73×10 5 2
T
TTのはどの効果だと考えられるか，理由とともに 30 字程度で述べよ．