外力に対するロバスト性を考慮したトラス構造物の最適化
修正 PSO の多目的最適化問題への応用

Optimization of Truss Structures considering Robustness to Load
Application of modified PSO to multi-objective optimization problem○曽我部 博之 *Hiroyuki SOGABE** 愛知工業大学工学部建築学科教授

工博

Professor, Department of Architecture, Faculty of Engineering, Aichi Institute of Technology, Dr. Eng.
Summary: In order to ensure the stable performance and quality of structures, it is important to design structures with properties
that are not easily affected by uncertain design parameters, so-called robust properties.

This paper discusses a multi-objective

optimization problem for truss structures subjected to uncertain loads by introducing a robust inde x to describe the robust
performance. The objective function in this problem is the weight and robustness index of the truss structure, and the member
cross-section and topology are optimized under stress constraints.

Recently, Particle Swarm Optimization (PSO) is often used inengineering as an algorithm to search for optimal solutions, but it has been pointed out that the search performance of conve ntional
PSO is greatly degraded when the objective function is multimodal or the design variables are high -dimensional.

This paper

applies the single-objective mPSO (modified PSO) proposed by the author to a multi-objective optimization problem and showsthat it improves the search performance over conventional PSO.

Furthermore, the robustness of the Pareto-optimal truss structure

obtained by mPSO is investigated by running numerical experiments using the Monte Carlo method.
キーワード: ロバスト性; 多目的最適化; トラス構造; 位相最適化; 粒子群最適化
Keywords: Robustness; multiple objective optimization; truss structures; topology optimization; PSO.

1. はじめに（PSO：Particle Swarm Optimization）を僅かに修正した mPSO

最適化問題における設計パラメータには不確定さが内(modified PSO)12)を用いる．PSO はアルゴリズムが非常に単在することから，求められた最適解が必ずしも実際の最適純であること，さらには目的関数の勾配情報が不要である

解になるとは限らない．構造物の性能や品質を常に安定しことなどからさまざまな工学分野で利用されている．しかて確保するためには，不確定なパラメータに影響され難いしながら，目的関数が多峰性となる場合や設計変数が高次性質，すなわちロバストな性質を持った最適解を選択する

元となる場合の最適化問題に対しては，最適解を探索することが重要である．

性能が大きく低下することが指摘されている．このような構造物におけるロバスト性については，ロバスト構造の問題を改善するために，著者は粒子の軌道を僅かに修正し概念を示した山川等 1) の研究をはじめ，ロバスト性を考慮た mPSO を提案し，単目的のベンチマーク問題や構造最適したトラス構造物の位相最適化に関する研究 2~5)，さらに連化問題に適用することによって本手法の有効性を示した．

6-8) が本論では単目的用の mPSO を応用して多目的なロバスト

報告されている．また，骨組構造物の重量とロバスト性を最適化問題に適用し，トラス構造物のロバスト性について

目的関数にした多目的な最適塑性設計 9,10) が，著者によっ考察する．さらに，モンテカルロ法による数値実験を行うて報告されている．

ことによってロバスト指標の信頼性についても検証する．

続体の形態創生においてロバスト性を考慮した研究

本論はロバスト性を評価するロバスト指標を導入し，不確定な荷重を受けるトラス構造物の多目的最適化問題につ

2．外力に対するロバスト性

いて述べる．目的関数はトラスの重量（体積）と平均コン

2.1.ロバスト性を表す指標

プライアンスの感度（ロバスト指標の逆数）とし，応力制本論では，ロバスト性を表す指標 R を不確定な入力パラ

約下における部材の断面最適化と位相最適化を行う．2 つ

メータ p の分散 Var[p]と特性値 z の分散 Var[z] の比で次のの目的関数はトレードオフの関係にあることからパレートように定める．

最適解の集合を求める問題となるが，本論ではこれらの最適解を探索するアルゴリズムとして，粒子群最適化法 11）
日本建築学会情報システム技術委員会
第 44 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 167-172 ， 2021 年 12 月，京都
Proceedings of the 44th Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 167-172 ， Dec. ， 2021 ， Kyoto

𝑅2 =𝑉𝑎𝑟[𝑝]
𝑉𝑎𝑟[𝑧](1)－ 167 －

上式のロバスト指標 R は，入力パラメータ p のばらつきに

Ai に比例し，感度 S は式(5)より剛性マトリックス内の断面よって特性値 z がどのようにばらつくかを示す量である．

積 Ai に逆比例する．したがって，2 つの目的関数はトレー

ロバスト指標が大きければ，特性値のばらつきが小さいこ

ドオフの関係になり，この最適化問題ではパレート最適解とを表し，逆にロバスト指標が小さければ，特性値のばらの集合を求めることが必要になる．

つきが大きいことを表している．

さらに，式(6)の制約条件付きの多目的最適化問題を次式のように制約条件のない形式に置き換える．

2.2.平均コンプライアンスのロバスト指標

𝑛𝑚

トラス内部の 1 つの節点 k に作用する不確定な荷重 F(k)を入力パラメータとし，平均コンプライアンス C をトラスの特性値すると，式(1)のロバスト指標 R は次のように求められる．
𝑉𝑎𝑟[𝐹(𝑘) ]
𝜕𝐶
𝑅=√
=|
|
𝑉𝑎𝑟[𝐶]
𝜕𝐹(𝑘)

i=1

(7)

𝑛𝑚

σi 2
min 𝑓2 = βS + ∑ 𝜆i √( )
σa
i=1

−1

(2)

ここで，一次近似二次モーメント法 13)による次の関係式を用いた．

上式(7)における λi は，
λi = {0 (σ2i ≤ σ2a )1 (σ2i > σ2a )(8)と与え，係数 α，β は 2 つの目的関数 f1，f2 が制約条件を満2

𝜕𝐶𝑉𝑎𝑟[𝐶] = () 𝑉𝑎𝑟[𝐹(𝑘) ]
𝜕𝐹(𝑘)

(3)

さらに，トラス構造物の平均コンプライアンス C は，次式のように与えられる．

足した場合に概ね 1 となるように設定した．
4. 最適化手法
4.1. mPSO の概要

𝑛𝑝

mPSO は通常の PSO と同様に位置，速度及び評価値の情

𝐶 = ∑ 𝐾𝑗𝑖−1 𝐹𝑖 𝐹𝑗

(4)

𝑖,𝑗

報を持つ複数の粒子が，探索空間を運動することによって最適解の近似解を求める手法である．各粒子の運動は，以ここで，Kij はトラス構造物の全体剛性マトリックス成分であり，Fi は全体座標系における荷重ベクトル成分である．
平面トラスの場合，荷重は節点毎に 2 つの成分があることから np は節点数の 2 倍となる．式(2)における平均コンプラ
イアンス C の感度の大きさ S は，式(4)より次のように求めることができる．
𝜕𝐶−1−1| = |∑(𝐾(𝑘)𝑖+ 𝐾𝑖(𝑘)) 𝐹𝑖 | = |2𝑈(𝑘) |𝜕𝐹(𝑘)下の漸化式を繰り返すことによって行われる．
𝑣𝑗𝑖 (𝑡 + 1) = 𝑤𝑣𝑗𝑖 (𝑡) + 𝑐𝑟 𝑖 (𝑡) (𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗 (𝑡) − 𝑥𝑗𝑖 (𝑡))+ 𝑐𝑟 𝑖 (𝑡) (𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡) − 𝑥𝑗𝑖 (𝑡))(9)𝑥𝑗𝑖 (𝑡 + 1) = 𝑥𝑗𝑖 (𝑡) + 𝑣𝑗𝑖 (𝑡 + 1)

𝑛𝑝

𝑆=|

σi 2
min 𝑓1 = αW + ∑ λi √( )σa(5)
ここで， 𝑥𝑗𝑖 (𝑡), 𝑣𝑗𝑖 (𝑡)は，それぞれ粒子の位置ベクトル，速𝑖

成分である．

度ベクトルであり，各添え字はステップ t における粒子 i(=1～m)の j (=1～n) 成分を表している．さらに，𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗 (𝑡)3. 多目的最適化問題の定式化

はステップ t 迄における粒子全体の最良解を表し，
𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡)はステップ t 迄における粒子 i 自身の最良解を表

ここで，U(k)は全体座標系における荷重点 k の変位ベクトル

本論におけるトラス構造物の多目的最適化問題は，設計している． また，w は慣性係数，c は学習係数，𝑟 𝑖 は区間変数を部材の断面積 Ai とし，重量 W と平均コンプライア[-1, 1] の一様乱数である．漸化式(9)を既定回数だけ繰り返したときの𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗 (𝑡max )が最適解となる．

ンスの感度の大きさ S を応力制約条件下で最小化する問題

本手法の mPSO と通常の PSO との主な違いは，式(9)のとして，次のように定式化することができる．

学習係数 c にかかる一様乱数 ri の取り方とその範囲にある．

𝑛𝑚

mPSO では粒子毎に乱数を生成しているだけであるのに対

min W = ∑ 𝜌𝐴𝑖 ℓ𝑖
i=1

min S =

1
= |2𝑈(𝑘) |𝑅(6)subject to |σi | ≤ σa
ここに，ρ は密度，ℓi は部材長さ，nm は部材数である．さらし，通常の PSO では粒子毎そして式(9)の右辺の 2 項目，
3 項目のベクトル成分毎に乱数を生成し変更している．さらに，一様乱数の範囲は mPSO で [-1,1] であるのに対し，
PSO では[0,1]としている．両者の粒子の挙動を 2 次元の場に，σi は部材の応力度，σa は許容応力度である．応力度の合で模式的に Fig.1 に示す．この図で示すように，mPSO では設計変数に対応する位置ベクトル𝑥𝑗𝑖 (𝑡)を線分 CE 内で探制約条件は上下限値 σa のみで，トラス部材の座屈は考慮し索するのに対し，通常の PSO では平行四辺形 ABCD 内をていない．なお，トラスの重量 W は式(6)より部材の断面積探索している．すなわち，設計変数の多い高次元の最適化

論文 R24－ 168 －

問題に対しても，常に 1 次元空間を探索する mPSO の方が，最適解に接近しやすいといえる．さらに，mPSO では一様
乱数が負になると粒子の運動が不安定になることから，局所解に陥った場合でも抜け出して大域的な探索を継続することができる．すなわち，多峰性の目的関数を持つ最適化問題に対しても，mPSO の方が有利になる．
4.2. 多目的最適化問題における mPSO
単目的の最適化問題に mPSO を適用する場合，ステップ毎の最良解𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗 (𝑡)と𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡)は，目的関数を評価することによってそれぞれ１つに定めることができる（最小の目
的関数値が同じ場合はランダムに決定）．しかしながら，多Fig.1 Behavior of particles in mPSO and PSO

目的な最適化問題では，一般的に解がパレート最適解の集合になることから，最良解の粒子もそれぞれ複数存在する
ことになる．本論では, これらの最良解を Coello 等 14)によ以下のように定めた．
(1) 𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗 (𝑡)の更新

f2って提案された MOPSO (Multi-Objective PSO) に基づいて，

ステップ t における粒子群（粒子数 m）の位置ベクトル
𝑥𝑗𝑖 (𝑡)からパレート最適解を抽出しアーカイブを作成する．
さらに，前ステップ t-1 のアーカイブと併せてパレート最f1

適解を更新する．Fig.2 はアーカイブにおけるパレート最適

Fig.2 Objective space

解の集合を目的空間上に示したものである．
次に,アーカイブの 2 つのパレート最適解(𝑓1 max , 𝑓2 min ),(𝑓1 min , 𝑓2 max )から，Fig.2 のように分割数 da で均等に分割された空間内の粒子数 md を求める．最適解はパレートフロ
ント上に均一に得られることが望ましいことから，疎な空間の粒子が選ばれ易いように，1/md を適応度にしてルーレ
ット選択を行う．さらに，選択された空間内に複数の粒子が存在する場合には，ランダムに 1 つの粒子を選んで𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗 (𝑡) に設定した．

Fig.3 Truss with 10 members

なお，アーカイブの粒子数が，予め設定された最大粒子数を超えた場合には，アーカイブの中の隣り合う粒子の距

c = 1.0, 粒子数を m=100，繰り返し回数を tmax=1000，アー

離を計算し，近接している順に粒子を削除する．
(2) 𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡)の更新

カイブの最大粒子数を mmax =100， アーカイブの分割数をステップ t における粒子 i の目的関数𝑓𝑘 (𝑥𝑗𝑖 (𝑡))と前ステ
ップ t-1 における𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡 − 1)の目的関数𝑓𝑘 (𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡 − 1))を比較して，𝑓𝑘 (𝑥𝑗𝑖 (𝑡)) < 𝑓𝑘 (𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡 − 1))となっていれば𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 (𝑡 − 1)を更新する．
5. ロバスト性を考慮した断面最適化問題
5.1. 計算モデル
Fig.3 に示す節点数 6，部材数 10 のトラス構造物における断面最適化問題について考える．各部材の材料特性は，

da = 20 と設定した．
5.2. 計算結果
Fig.4 はパレート最適解の収束状況で，アーカイブにおけるパレート最適解𝑓1𝑖 , 𝑓2𝑖 の近傍距離 di の平均値 dAvg と標準偏差 dSD を次式のように定義して，ステップ毎に示したも
のである．
𝑚𝑎 −1

1
𝑑𝐴𝑣𝑔 =
∑ 𝑑𝑖
𝑚𝑎

(10)

𝑖=1

ヤング係数を E=69.0kN/mm2，密度を ρ= 2.77×10-6 kg/mm3，
許容応力度を σa =172N/mm2 とした．さらに，部材断面積の最小値及び最大値をそ れぞれ Amin=1.00×103mm2 ， Amax=
2.20×104mm2 と設定した．なお，この計算モデルは参考文
献 15) から荷重だけを変更して引用したものである．
mPSO のパラメータは，慣性係数を w = 0.7, 学習係数を

論文 R24

𝑚𝑎 −1

𝑑𝑆𝐷 =√1
2∑ (𝑑𝑖 − 𝑑𝐴𝑣𝑔 )
𝑚𝑎

(11)

𝑖=1

2

𝑑𝑖 =√(𝑓1𝑖+1 − 𝑓1𝑖 ) + (𝑓2𝑖+1 − 𝑓2𝑖 )

2

(12)

－ 169 －

こで，ma はアーカイブにおけるパレート最適解の個数であで収束するのに対し，近傍距離の標準偏差は多くのステッ
プが必要になっている.これは，パレートフロントが少ない
繰り返し回数で得られるのに対し，パレート最適解の集合を均一に得るためには，より多くの繰り返し回数が必要になることを示している．

0.08

Neighborhood distanceる．パレート最適解の近傍距離の平均値は少ないステップ

dAvg
Avg

0.06

dSD
SD
0.04

0.02
0.00

次に，mPSO の探索性能を通常の PSO と比較して検証す

0

る．Fig.5 はパレート最適解における重量 W に対する平均

200

コンプライアンスの感度 S を示したものである．さらに，

400

step

600

800

1000

Fig.4 Convergence histories

Table1 は 50 回の試行計算を実行して得られたパレート最350

適解の個数 ma と式(10)，(11) における近傍距離の平均値
dAvg と標準偏差 dSD の統計量を示したものである．パレート

300

最適解の個数はどちらも指定した個数 mmax に到達してい

250

mPSO
PSO

が通常の PSO より大きくなっている．これは，Fig.5 で表されているように，mPSO がパレート最適解を広範囲に探S [mm]

るが，パレート最適解の近傍距離の平均値 Avg は，mPSO
200
150

索しているためである．逆に，近傍距離の標準偏差 SD は
mPSO が小さくなっているが，これは mPSO がパレート最100

適解の集合を均一に求めているためである．このように

50

mPSO の特長は，パレート最適解の集合を広範囲にしかも0均一に求められることにある．

0

本手法によって得られたパレート最適解のトラスを 2 つ

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

W [kg]

選んで Fig.6 に示す．図中の数値は各部材の断面積である．

Fig.5 Pareto optimal solution

さらに，2 つのトラスの重量 W，平均コンプライアンス C，
ロバスト指標 R を Table 2 に示す．Fig.6 (a)は重量 W 及びロ

Table1 Statistics of ma, davg, dSD

バスト指標 R が最小となるトラスで，同図(b)は重量 W 及びロバスト指標 R が最大となるトラスを示したものである．
この最適化問題では，全ての部材断面が最大(2.20×104 mm2)であるときにロバスト性が最も高くなっているが，これはmPSO

式(2)及び式(5)で示されるように部材断面の増加に伴ってロバスト指標 R も増加するためである．
6. ロバスト性を考慮した位相最適化問題

PSO

6.1. 計算モデル
Fig.7 に示す節点数 35，部材数 170 のグランドストラク

ma

dAvg

dSD

Min

100

1.43E-02

2.96E-03

Max

100

1.53E-02

5.50E-03

Avg

100

1.48E-02

3.79E-03SD

0

2.50E-04

5.60E-04

Min100

1.11E-02

3.98E-03

Max100

1.41E-02

1.22E-02

Avg

100

1.26E-02

7.39E-03

SD

0

6.79E-04

2.18E-03

チャーにおける位相最適化問題について考える．各部材の材料特性は，ヤング係数を E=200kN/mm2， 許容応力度を0.457

σa =200N/mm2，密度を ρ=1（式(6), (7)における W を体積 V

0.113に置き換える）とする．さらに，部材断面の最小値，最大値をそれぞれ Amin=1.0×10-5mm2，Amax=1.0×102

mm2 とした．

0.100
0.316
0.115

2.20
2.20

0.101

0.268

2.20

0.100

2.20
2.20

2.20

2.20

2.20

2.20

2.20

なお，部材の配置は上下対称としたことから，設計変数の次元数は 88 となる． mPSO のパラメータは，慣性係数を
w = 0.7, 学習係数を c = 1.0, 粒子数を m=100，繰り返し回
数を tmax=10000，アーカイブの最大粒子数を mmax =100，ア

0.357

0.214

(a) Wmin&Rmin(b) Wmax&Rmax

Fig.6 Optimal truss [×104mm2]ーカイブの分割数を da = 20 とした．

Table2 Characteristic values

6.2. 計算結果

W [kg]C [N･ｍｍ]

R [mm-1]

Fig.8 は，本手法で得られたパレート最適解を表したもの(a) Wmin&Rmin

6.26E+02

7.65E+07

2.91E-03

で，トラスの体積 V に対する平均コンプライアンスの感度(b) Wmax&Rmax

6.49E+03

9.61E+06

2.32E-02

論文 R24－ 170 －

16
No.1

14

12

S [mm]

10
8
No.36

6

No.43
No.44
No.48

4

No.57

No.1002

Fig.7 Ground structure
S を示している．Fig.9 は 100 個のパレート最適解から 600つを選んでトラスの位相を示したもので，Table 3 はこれら

2

4

6
8
10
V [x106 mm]

1214

Fig.8 Pareto-optimal solutionのトラスに対する特性値を示している．体積が最小（感度
S が最大）となる No.1 のトラスからロバスト性が徐々に高くなるのに従い，トラスの位相は Fig.9(a)～(f)のように部材が増えて複雑に変化している．なお，Fig.8 及び Table 3 に示した No.100 のパレート最適解は，ロバスト性が最も高い
トラスで，中央の水平材を除いて全ての部材断面が最大(1.0×102 mm2) になっている．
Fig.10 は体積比（最大体積との比）に対するロバスト比（最大のロバスト指標との比）を示したものである．体積比(a) No.1(b) No.36(c) No.43(d) No.44(e) No.48(f) No.57の小さい領域では，傾きが大きいことから体積の増加に伴ってロバスト指標も大きく変化している．一方，体積比が大きい領域では，傾きが緩やかになっていることから体積の増加に伴うロバスト指標の変化は小さくなっている．したがって，勾配の小さい領域からパレート最適解を選べば，ロバスト性をなるべく損なわずに体積（コスト）の小さい
トラスを選択することができる．多目的最適化問題においては，意思決定者（設計者）が複数のパレート最適解から一つの解を選択することになるが，このような勾配情報を示すことも有効であると考える．
6.3. モンテカルロ法によるロバスト指標の検証
Fig.8 及び Table3 に示した 7 つのトラスに対してモンテ
カルロ法を適用し，ロバスト指標 R の信頼性について検証

Fig.9 Optimal truss structures

する．荷重は，平均値-1000N，標準偏差 100N の正規分布に基づく乱数を発生させることによって与え，10000 回のTable3 Characteristic values

数値実験を行った．この数値実験による平均コンプライア
ンスの度数分布を Fig.11 に示す．ロバスト指標が大きくな

V [mm3]

C [N･mm]R[mm-1]

るに従い急峻で高い山になり，ばらつきの小さい高品質な

No.1

1.62E+05

7.25E+03

6.90E-02

トラスが得られていることがわかる．さらに，Table 5 はロ

No.36

7.87E+05

1.37E+03

3.66E-01

バスト指標を検証したもので，式(1)で定めた荷重と平均コNo.43

1.58E+06

7.04E+02

7.10E-01

ンプライアンスの分散の比からロバスト指標 R を求めたも

No.44

1.77E+06

6.71E+02

7.45E-01のである．感度 S から求められたロバスト指標とモンテカ

No.48

2.47E+06

4.63E+02

1.08E+00

ルロ法によって得られたロバスト指標の差はいずれも１％

No.57

4.27E+06

3.38E+02

1.48E+00

以下となっており，よく一致していることがわかる．

No.1001.31E+07

2.78E+02

1.80E+00

なお，No.1 のトラスでは応力度が許容応力度を上回って

論文 R24－ 171 －

1400

1.0

No.100

1200

No.57

0.8
No.100No.44

0.6Frequency

Robust ratio

No.48

1000

No.57
No.48

No.44

0.4

No.43

800

No.43

600

No.36

No.1

400
No.36

0.2
200

No.1

0

0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1.0

2000
4000
Mean compliance [N･mm]

Volume ratio

6000

Fig.11 Histogram of mean compliance

Fig.10 Robust ratio vs. Volume ratio

Table4 Robust index using the Monte Carlo method
しまう場合が，4.78%の確率で認められた．これは平均コン

Var[F]

Var[C]

R [mm-1]

Error

プライアンスのばらつきが大きくなり応力度のばらつきも

No.1

9.86E+03

2.08E+06

6.89E-02

0.082%

大きくなってしまうためである．このような不良率を制御

No.36

1.01E+04

7.60E+04

3.65E-01

0.247%

する方法については今後の研究課題としたい．

No.43

9.90E+03

1.97E+04

7.09E-01

0.192%

No.44

1.00E+04

1.81E+04

7.44E-010.140%

No.48

1.03E+04

8.90E+03

1.08E+00

0.389%

No.57

1.00E+04

4.60E+03

1.48E+00

0.290%

No.1001.02E+04

3.17E+03

1.79E+00

0.400%

7. おわりに
本論はロバスト性を考慮したトラス構造物の多目的最適化問題に mPSO を適用し，本手法の有効性と荷重に対する平均コンプライアンスのロバスト性について考察した．
ロバスト性を考慮した断面最適化問題では，著者が提案した mPSO を適用することによって，通常の PSO よりパレート最適解の集合を広く均一に探索できることを示した．
さらに，ロバスト性を考慮した位相最適化問題では，ロバットワークを用いた連続体の形状最適化”，構造工学論文集
Vol.55B，2009.
7) 今関俊，大崎 純，山川 誠，“順序統計量を用いた多目的ロバ
スト最適化”，日本建築学会大会学術講演梗概集，2018.

スト性が高くなるに従い，部材数が増えて位相も複雑に変8) Dunning P.D., Kim H.A. and Mullineux G.,”Introducing Loading

化することを示した．さらに，モンテカルロ法による数値

Uncertainty in Topology Optimization”, AIAA Journal, Vol.49, No.4,

実験を行うことによって，本論で定めたロバスト指標の有効性を確認することができた．

2011.
9) 曽我部博之，“遺伝的アルゴリズムによる平面骨組のロバスト性を考慮した塑性設計”，構造工学論文集，Vol.44B，1998．

［参考文献］
1) 山川宏，宮下真，“ロバスト構造に関する研究”，日本機械学会
論文集（C 編）57 巻 544 号，1991.
2) Ben-Tal A. and Nemirovski A., “Robust truss topology design via
semidefinite programming”, SIAM Journal Optimization Vol.7, No.4,
1997.
3) 大森博司，早稲倉章吾，河村拓昌，石山達士，“ファジィ理論に基づく不確定性を考慮した空間構造物の形態創生関する研究”，日本建築学会構造系論文集，第 578 号，2004.
4) 寒野善博，竹脇出，“剛性および外力の不確定性を考慮したトラスのロバストネス関数に対する近似アルゴリズム”，日本建築学会構造系論文集，第 591 号，2005.
5) 高田 豊文，“複数荷重条件を有するトラス・トポロジーの多目的最適化”，理論応用力学講演会講演論文集 57，2008.
6) 瀧圭佑，曽我部博之，三井和男，“改良型ホップフィールドネ

論文 R2410) 曽我部博之，“非線形感度によるロバスト性を考慮した平面骨組の最適塑性設計－PC クラスタを用いた並列 GA の多目的最適設計への応用－”，日本建築学会構造系論文集，第 556 号，
2002.
11) J. Kennedy and R.C. Eberhart, “Particle Swarm Optimization”, IEEE
International Conf. on Neural Networks, 1995.
12) 菅谷明誉，曽我部博之, “修正 PSO による建築骨組構造物の高次元最適化”, 日本計算工学会論文集，2016.
13) Ang, A.H-S, ”Probability Concepts in Engineering Planning and
Design”, McGraw-Hill, 1975（伊藤，亀田訳，“土木・建築のための確率・統計の基礎”，丸善，1977）
14) Coello C.A.A., Pulido G.T., and Lechuga M.S., “Handling Multiple
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on Evolutionary Computation Vol.8, No.3, 2004.
15) Rajeev,S. and Krishnamoorthy,C.S.：Discrete Optimizationof Structures using Genetic Algorithms, J. of Structural
Eng., ASCE, Vol.118, 1992.

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