4 兄と姉のどちらかがいる

学級全体
40 人

30人です
人は，（40－10＝）

10 人
26 人
13 人
兄がいる人 姉がいる人 どちらもいない人から，両方いる人は，
26＋13－30＝ 9（人）40－（13＋10）＝17（人）

したがって，兄だけがいる人は，26－ 9 ＝17（人）と求めることもできる。

5 算数も国語も80点以上の人が最も多い場合と，最も少ない場合は，それぞれ右のよう・ 2 つの集まりの問題は，線分図で表

45 人
算数 25 人国語 21 人すことができる。特に，範囲を考える問題では線分図は有効である。

算数 25 人になります。最も多い場合は

国語 21 人

21人で，最も少ない場合は，25＋21－45＝ 1（人）したがって，求める範囲は， 1 人以上21人以下です。
6 全体を①として，線分①

図に表すと右のようにな35ります。これより，「携帯電話を持っている人」
を表す部

20 人
12パソコン

8人

携帯電話（20−8＝）12 人

20－ 8 ＝12（人）
が全体の，
353
1
15 ＋ 2 － 1 ＝10にあたりますから，全体の人数は，112÷10＝120（人）分を，右方向に20人分だけずらして，重なりをなくして考える。

1220 差集め算［45ページ］

18 個

2468枚

5 44人

78枚720円

3180円

6 600円解説1

りんごとなしを 1 個ずつ買ったときの代金の差は，差集め算
全体の差＝ 1 つあたりの差×個数

200－150＝50（円）
この差の集まりが400円ですから，買った個数は，400÷50＝ 8（個）予定の個数買うと，代金の差（全体の差）は，30×12＝360（円）となります。右の図よ34⑳ ⑳ ⑳・・・⑳ ⑳・・・⑳・個数が異なるときは，個数をそろえ㉚ ㉚ ㉚・・・㉚て考える。

予定の個数にそろえると⑳ ⑳ ⑳・・・⑳ ⑳・・・⑳ 全体の差10円（1 個あたりの差）㉚ ㉚ ㉚・・・㉚ ㉚・・・㉚｛2 値上がりした商品を１２個３６0円

そろえた個数＝全体の差÷ 1 つあたりの差り，予定の個数（＝そろえた個数）は，360÷
（30－20）＝36（個）したがって，持っていったお金は，20×36＝720（円）［別解］
1 個20円と30円の商品を，同じ金額で買うときの個数の比は，
1
120：30＝ 3 ： 2
したがって，12÷
（ 3 － 2 ）× 3 ＝36（個）…… 1 個20円の商品の個数
20×36＝720（円）

……持っていったお金

3 ボールペンをあと5 本多く買って，ボールペン，えんぴつ

123１０1５１１えんぴつ ○ ○ ○・・・○ ○ ・・・○
６０円

ボールペン ○ ○ ○・・・○ ○ ・・・○
全体の差
９０0円

ともに15 本ずつ買ったと考えます。このときの全体の差は，60×15＝900（円）60円の差が15個集まって全体の差にになります。これがボールペン 5 本分にあたりますから，ボなる。

ールペン 1 本の値段は，900÷ 5 ＝180（円）［別解］
ボールペン 1 本とえんぴつ 1 本の値段の比は，
1
110：15＝ 3 ： 2
したがって，ボールペン 1 本の値段は，60÷
（ 3 － 2 ）× 3 ＝180（円）4 3 枚ずつ配る場合と，4 枚ずつ配る場合とで，必要な折り紙の枚数の③ ③ ③・・・③ ２３枚あまり

１ 枚（1 人あたりの差）④ ④ ④・・・④ ８ 枚あまり
全体の差
１５枚

全体の差・あまり－あまり・不足－不足差（＝全体の差）は，・あまり＋不足

23－ 8 ＝15（枚）で求められる。

です。この差が， 1 人あたりの枚数の差が集まったものと考えられますから，人数は，15÷
（ 4 － 3 ）＝15（人）したがって，折り紙の枚数は，3 ×15＋23＝68（枚）35

5 1 つの長いすに 6 人ずつすわるとき，あと，⑤ ⑤ ⑤・・・⑤ ４人あまり・人を長いすにすわらせる問題や人を⑥ ⑥ ⑥・・・②部屋に入れる問題では，⑤ ⑤ ⑤・・・⑤ 全体の差

① 「□人がすわれない（入れない）」

あと４人

6 － 2 ＝ 4（人）すわれます。これより， 1 つの長いすに 5 人ずつすわる場

１ 人（1 つあたりの差）⑥ ⑥ ⑥・・・⑥8人

人数のあまり② 「あと□人がすわれる（入る）」（＝合と 6 人ずつすわる場合の，すわることのできる人数の差

人数の不足全体の差）は，4 ＋ 4 ＝ 8（人）したがって，長いすの数は，8÷
（ 6 － 5 ）＝ 8（きゃく）ですから，生徒の人数は，5 × 8 ＋ 4 ＝44（人）6 70円のえんぴつを，㊿ ㊿ ㊿・・・㊿ ㊿ ㊿ ㊿ ㊿

あと 4 本多く買って予・・・

定の本数にそろえます。
このとき，必要な金額

４０円あまり予定の個数にそろえると㊿ ㊿ ㊿・・・㊿ ㊿ ㊿ ㊿ ㊿

20円（1 本あたりの差）

・・・の差（＝全体の差）は，２４０円不足（全体の差）

70× 4 －40＝240（円）ですから，予定の本数（＝そろえた本数）
は，240÷（70－50）＝12（本）したがって，用意したお金は，50×12＝600（円）7 とりちがえて買って代金が安くなっていますから，予定では，値段の高い方の切手（80円の切手）を枚数の差
50円
50円
50円
…
予
定 80 円 80 円 … 80 円 80 円 … 80 円
金額の差はない

とりちがえて買ったときの代金の差＝ 1 個あたりの代金の差×個数の差

取りちがえ

実 50 円 50 円 … 50 円 50 円 … 50 円
際 80 円 80 円 … 80 円

多く買うつもりだったことがわかります。 1 枚あたりの値段の差は，80－50＝30（円）になったと考えられまで，これが集まって，代金の差（＝120円）すから，枚数の差は，
120÷30＝ 4（枚）したがって，予定していた50円切手の枚数は，（20－ 4 ）÷ 2 ＝ 8（枚）

36

個数の差
＝代金の差÷ 1 個あたりの代金の差

※

立方体の切り口

立方体を切断したときの切り口の形

・七角形以上はできない。
・正方形や正六角形はできるが正五角形はできない。

6正六角形

五角形

ひし形

平行四辺形

正三角形

二等辺三角形

台形

長方形

正方形

3 点Ａ，Ｆ，Ｃを通る平面・四角形以上の図形では，平行な辺が必ずある。

Ｃで切ると，切り口の形は右の立方体を積んだ立体の切断・切り口の線を入れる。

Ａ

図のようになります。 3 つの1 段目

段それぞれについて真上から2 段目た平面と切断面との交線をかく。

見た図をかいて考えます。

3 段目

・切断面を真上（正面）から見た図をか・水平（垂直）な平面で分割し，分割しＦ
1 段目

2 段目

3 段目

く。
・対称性，規則性に注目して切断された立方体の数をかぞえる。

印のついた立方体が切断されている。

切断された立方体の数は， 1 段目は 5 個， 2 段目は 3 個， 3 段目は 1 個ですから，全部で，5 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 9（個）42 展開図・投影図［89ページ］

1144度

3

体積…384㎤，表面積…384㎠5①解8㎝

2②

体積…62. 8㎤，表面積…96. 52㎠18㎝

420㎝

6 152㎤，104㎤

説

母線が10㎝，底面の円の半径が 4 ㎝ですから，
4 中心角
10＝ 360
したがって，中心角は，4360×10＝144（度）176

円すいの展開図の公式
母線×中心角＝半径×360↓
半径 中心角＝
母線360

2

この立体は底面が四分円の柱体で柱体の体積す。体積は，底面積×高さ14 × 4 ×3. 14× 4 × 5 ＝62. （8 ㎤）
底面のまわりの長さは，14 × 2 ＋ 4 × 2 ×3. 14× 4＝14. 28（㎝）5㎝

柱体の表面積
底面積× 24㎝＋高さ×底面のまわりの長さですから，この立体の表面積は，14 × 4 ×3. 14× 4 × 2 ＋ 5 ×14. 28＝96. 52（㎠）3Ｐ

この立体は右の図のような8㎝

四角すいです。この四角すいの高さは 8 ㎝ですから，体積ＣＤは，112×12× 8 × 3 ＝384（㎤）
また，投影図の真正面から見Ａ

12 ㎝

四角すいの投影図

10 ㎝

Ｂ8㎝

Ｑ12 ㎝

真正面
ＰＰ

10 ㎝
10 ㎝
ＣＤＡ

12 ㎝

Ｂ8㎝

Ｑ
12 ㎝

た10㎝の長さは，頂点Ｐと辺ＢＣとの最短距離を表していますから，ＰＱとＢＣは垂直になります。したがって，ＰＱは側面12 ㎝真上の三角形の高さになります。表面積は，12×12＋12×10÷ 2 × 4 ＝384（㎠）4

円すいの側面を表すおうぎ形の中心角は，360÷ 4 ＝90（度）ですから，半径 中心角590母線＝360
母線＝ 360
より，母線の長さは，90（㎝）
5 ÷360＝20［別解］

Ｏ
長さは同じ

円すいを転がして 1 周したとき，回転数は，＝母線÷半径（母線× 2 ×円周率）÷（半径× 2 ×円周率）

回転数＝母線÷底面の半径ですから，母線÷ 5 ＝ 4（回転）5 × 4 ＝20（㎝）……母線の長さ5①展開図上でひもの通る直線

ＤＣＧは右の図のようになります。

・立体の表面上の最短距離は展開図上では直線になる。

Ｐ

三角形ＡＢＰと三角形ＡＦＧ12 ㎝の相似比は，6 ：（ 6 ＋ 3 ）＝ 2 ： 3

三角形の相似したがって，ＢＰの長さは，12÷ 3 × 2 ＝ 8（㎝）

Ａ6㎝

Ｂ3㎝ Ｆ

77

②この円すいの側面の展開図

Ａは，右の図のようになります。
3 中心角
18＝ 360
より，中心角は，3360×18＝60（度）したがって，三角形ＡＰ（Ｐ）60°

円すいの展開図
半径 中心角
母線＝ 36018 ㎝

Ｐ（Ｐ）

は正三角形ですから，求める長さは18㎝です。
6

体積が最も大きい場合は（図 1 ）のよ

3 22 22 2うに積んだときで，最も小さい場合はのように積んだときです（数字は（図 2 ）真上から見たときの立方体の個数）。
1 個の立方体の体積は，投影図と立体（図 1 ）2223個・真上から見た図をかき，条件を整理2個する。

2個

3 2 2個 個 個（図 2 ）（例）

2 × 2 × 2 ＝ 8（㎤）
（図 1 ）の立方体の個数は，

3 1
1 2
1 13 ＋ 2 × 8 ＝19（個）ですから，8 ×19＝152（㎤）……最も大きい場合1123個2個2個

3 2 2個 個 個（図 2 ）の立方体の個数は，3 ＋ 2 × 2 ＋ 1 × 6 ＝13（個）ですから，8 ×13＝104（㎤）……最も小さい場合

43 底面積の変化
14㎝

4①解28㎝［91ページ］

32㎤②3①240㎠9㎝②511 6 ㎝

説1 （図 1 ）と（図 2 ）のかげ（図 1 ）（図 2 ）の部分の面積は同じです。
（図 1 ）の長方形を，上底と下底がともに 8 ㎝の台12 ㎝形と見ると， 2 つの台形の上底と下底の和は等しいですから，
x ＋12＝ 8 ＋ 816－12＝ 4（㎝）…… x78

x8 ㎝ 12 ㎝

面積が等しいとき，上底と下底の和は等しい。

4①水の体積は，（㎤）（300－60）×10＝2400ですから，はじめの水の深さは，2400÷300＝ 8（㎝）［別解］
右の図の斜線部分とかげの部分の体積は等しいですから，高さの比は，1160：300＝ 5 ： 1
したがって，はじめの水の深①10 ㎝⑤60 ㎠300 ㎠

さは，10÷ 5 ×（ 5 － 1 ）＝ 8（㎝）②右の図の斜線部分とかげの部分の体積は等しいです。斜①線部分の体積は，60× 4 ＝240（㎤）4㎝④ですから，水面は，240÷（300－60）＝ 1（㎝）だけ下がります。したがって，水の深さは，
10－ 1 ＝ 9（㎝）［別解］
斜線部分とかげの部分の高さの比は，
1
160：300－60＝ 4 ： 1
したがって，
4 ÷ 4 × 1 ＝ 1（㎝）……①あたり
10－ 1 ＝ 9（㎝）

44 水の入った容器［93ページ］

18. 4㎝

2①6㎝

3毎分5. 7Ｌ

4①3：5解説1

水の体積の和は，90×12＋60× 3 ＝1260（㎤）

底面積の和は，90＋60＝150（㎠）ですから，水の深さは，1260÷150＝8. （4 ㎝）

80

②②

18 3㎝
20㎝

10 ㎝

・体積が同じとき，底面積の逆比＝高さの比

2①グラフより， 5 分後の水面の高さが 5 ㎝ですから， 1 分間に入る水の体積は，12×10× 5 ÷ 5 ＝120（㎤）
また，（17－ 5 ＝）12分間で，水面の高さは，8㎝
Ａ

13－ 5 ＝ 8（㎝）Ｂx

上がりましたから，図のＡＢ

10 ㎝

12 ㎝の長さは，120×12÷（ 8 ×10）＝18（㎝）（ 8 ×10）の面を底面と見る。

したがって， x の長さは，18－12＝ 6（㎝）［別解］0 分～ 5 分では，水面は 1 分間に，5 ÷ 5 ＝ 1（㎝）ずつ上がります。 5 分～17分では，水面は 1 分間に，2（17－ 5 ）＝ 3（㎝）（13－ 5 ）÷
ずつ上がりますから，水面が上がる速さの比は，21：3＝3：2
したがって，下の段と上の段の底面積の比は，113：2＝2：3ですから，・一定の割合で水を入れるとき，水面の上昇速度の逆比は底面積の比に等しい。

12÷ 2 × 3 ＝18（㎝）……ＡＢの長さ
18－12＝ 6（㎝）…… x の長さ② 5 分～10分までに入った水の量は，120×（10－ 5 ）＝600（㎤）
したがって，1600÷
（18×10）＝ 3 3（㎝）1
15 ＋ 3 3 ＝ 8 3（㎝）
［別解］25 分～17分では，水面は 1 分間に 3 ㎝ずつ上がりますから，
2
15 ＋ 3 ×（10－ 5 ）＝ 8 3（㎝）3Ａ管から 1 分間に入る水の量は，

（Ｌ）

Ａ＋Ｂ

3716÷ 5 ＝3. （2 Ｌ）

Ａですから，グラフの x の値は， 19. 216
19. 2÷3. 2＝ 6（分）Ａ，Ｂ 2 つの管から 1 分間に05x8（分）入る水の量は，81

（ 8 － 6 ）＝8. （9 Ｌ）（37－19. 2）÷
したがって，Ｂ管から 1 分間に入る水の量は，8. 9－3. 2＝5. （7 Ｌ）
4①仕切りの高さまで水が入る
とき，ＡとＢの部分に入る水の体積の比は，9：（24－ 9 ）＝ 3 ： 5ですから，ＡとＢの部分の底80 ㎝
9分
Ａ

50 分 Ｃx15 分
Ｂ100 ㎝

・一定の割合で水を入れるとき，入れた時間の比＝体積の比
30 ㎝

面積の比も 3 ： 5 です。
50分で水が入っていますから，②図のＣの部分には（74－24＝）
Ｃの部分の横の長さとＡの部分の横の長さの比は，50
980－30：30＝10： 3
したがって，
100÷10× 3 ＝30（㎝）……Ａの部分の横の長さ30÷ 3 × 5 ＝50（㎝） ……Ｂの部分の横の長さですから， x の長さは，100－（30＋50）＝20（㎝）82