パーシステントホモロジーと機械学習
ディープラーニングと物理学/学習物理領域セミナー
2024-02-15
九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所
池 祐一• 富士通研究所およびInriaとの共同研究• 学術変革領域 (A)データ記述科学の創出と諸分野への横断的展開
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自己紹介
池 祐一（いけ ゆういち）1990年新潟生まれ◼東大数理で博士取得◼東京大学に異動（層理論とシンプレクティック幾何）◼富士通研究所入社

2018

2020

◼教科書を出版

2022

富士通
2019

◼九州大学に異動

九大IMI

東京大学
2021

2023

◼フランスInriaとの共同研究のため2ヶ月フランス滞在◼ACT-X採択
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位相的データ解析• パーシステントホモロジー (PH)• フィルトレーションとパーシステンス図• PHと機械学習のつながりいろいろ
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位相的データ解析 (TDA) のアイデア◼データの大まかな形（トポロジー）を用いて解析する手法

穴がない

穴が1つ

◼Q. どうやって離散的なデータから「トポロジー」を取り出すか？

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位相的データ解析 (TDA) のアイデア◼データの大まかな形（トポロジー）を用いて解析する手法

穴がない

穴が1つ

◼Q. どうやって離散的なデータから「トポロジー」を取り出すか？
◼アイデア1：データ点中心の閉球の和集合を考える

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位相的データ解析 (TDA) のアイデア◼データの大まかな形（トポロジー）を用いて解析する手法

穴がない

穴が1つ

◼Q. どうやって離散的なデータから「トポロジー」を取り出すか？
◼アイデア1：データ点中心の閉球の和集合を考える→ どのように半径を設定すればよいか分からない

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位相的データ解析 (TDA) のアイデア◼データの大まかな形（トポロジー）を用いて解析する手法

穴がない

穴が1つ

◼Q. どうやって離散的なデータから「トポロジー」を取り出すか？
◼アイデア1：データ点中心の閉球の和集合を考える→ どのように半径を設定すればよいか分からない◼アイデア2：すべての半径を考えてトポロジーの発展を追跡する
パーシステントホモロジーと呼ばれる道具
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位相的データ解析 (TDA) のアイデア◼データの大まかな形（トポロジー）を用いて解析する手法

穴がない

穴が1つ

◼Q. どうやって離散的なデータから「トポロジー」を取り出すか？
◼アイデア1：データ点中心の閉球の和集合を考える→ どのように半径を設定すればよいか分からない◼アイデア2：すべての半径を考えてトポロジーの発展を追跡する
パーシステントホモロジーと呼ばれる道具→ ノイズと本質的な特徴量を区別できる・マルチスケールの解析
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フィルトレーションとパーシステンス図
フィルトレーション: 単体的複体の増大族◼単体的複体: 有限集合𝑉の部分集合の集合𝐾であって次を満たす：
𝜎 ∈ 𝐾, 𝜏 ⊂ 𝜎 ⇒ 𝜏 ∈ 𝐾◼𝒦 = 𝐾𝑟 𝑟 , 𝐾𝑟 ⊂ 𝐾が𝐾のフィルトレーション: ⇔ 𝐾𝑟 ⊂ 𝐾𝑠 (𝑟 ≤ 𝑠), ‫𝐾 = 𝑟𝐾 𝑟ڂ‬↔ 関数𝐹: 𝐾 → ℝ s.t. 𝜎 ⊂ 𝜏 ⇒ 𝐹 𝜎 ≤ 𝐹(𝜏), 𝐾𝑟 = {𝜎 ∈ 𝐾 ∣ 𝐹 𝜎 ≤ 𝑟}∞

20210101001

消滅する時間連結成分
ループ
生まれる時間2⇝ パーシステンス図 (PD): 各連結成分やループといった「穴」の生成・消滅時刻を2Dにプロット
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データからパーシステンス図までデータからフィルトレーションを定めることでPDを計算する

データ

フィルトレーション

Čechフィルトレーション
𝑥0 , … 𝑥𝑘 : 単体:⇔ ‫∅ ≠ 𝑟 ; 𝑖𝑥 𝐵 𝑖ځ‬

パーシステンス図

劣位集合
Ripsフィルトレーション
フィルトレーション
𝑥0 , … 𝑥𝑘 : 単体 :⇔𝐵 𝑥𝑖 ; 𝑟 ∩ 𝐵 𝑥𝑗 ; 𝑟 ≠ ∅ ∀𝑖, 𝑗 𝑓: 𝑉 𝐾 → ℝ 頂点上の関数
𝐹 𝜎 ≔ max 𝑓(𝑣)𝑣∈𝜎
グラフ・画像データで使われる

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PDは何がうれしいのか (1/2)◼対角線の遠くが本質的な形をあらわし，対角線の近くはノイズであると区別ができる◼パーシステンス図の各点が，データのどのような「形」を意味するかも分かる

連結成分
小さい穴
大きい穴

ループ
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PDは何がうれしいのか (2/2)
もっと直接的には．．．
「形」が異なるデータをパーシステンス図で区別できる
穴がない

連結成分

穴がある
ループ

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PHの簡単な使用例
連結成分が3つある
大きさの違うループが3つある

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PHと機械学習のつながり (1/2)
1. PHを機械学習へ応用する◼PHを機械学習の入力に使う◼ネットワークからPH的特徴量を取り出す◼PHを損失関数に組み込む

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PHと機械学習のつながり (2/2)
2. 機械学習からPHへフィードバックする◼フィルトレーションを学習する◼PDを計算する関数を機械学習で近似する
データ

本物の出力

機械学習で近似15/51

PHを機械学習の入力に使う• トポロジー情報を使って機械学習を行う• パーシステンス図のベクトル化• いろいろな応用
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PHを機械学習の入力とするパイプライン
データ例• シミュレーションで生成された点群• センサーによる振動• グラフ・画像

フィルトレーション

パーシステンス図Software
Ripser, GUDHI,
HomCloud, …

機械学習

機械学習に入力するためにベクトル化

Figures from K. Fukumizu, Persistence Weighted
Gaussian Kernel for Topological Data Analysis
17/51パーシステンス図のベクトル化 1
パーシステンス図のベクトル化手法が多く提案されている◼PHと機械学習を組み合わせる際に有用◼パーシステンスイメージ (PI) : ガウス関数によるカーネル密度推定：
1𝑧−𝑢 22 →ℝ
𝜌 𝐷 𝑧 ≔ ෍𝑤 𝑢 ⋅exp−,𝑤:ℝ≥0
2𝜋𝜎 22𝜎 2𝑢∈𝐷

領域を分割してそこで𝜌(𝐷)を積分することで有限次元ベクトルを得る◼パーシステンスランドスケープ (PL) : 三角状の関数を用いて定義
𝜆𝑘 𝐷 𝑡 ≔ 𝑘 − max min 𝑡 − 𝑏𝑖 , 𝑑𝑖 − 𝑡 + ,𝐷 = 𝑏𝑖 , 𝑑𝑖 𝑖

◼Weighted Gaussian kernel, …

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シリカガラスの相転移温度解析
G. Kusano, K. Fukumizu, Y. Hiraoka: Persistence weighted
Gaussian kernel for topological data analysis, 2016
◼SiO₂が液相からガラス相に変化する温度を原子配置の点群から推定◼点群をPDに変換して，それが変化する温度を調べる※点が多いのでPDを密度で表示

液相
PD
ガラス相
1次の穴

変化点は従来手法で説明される相転移温度に合致（カーネル法を利用）

Figures from K. Fukumizu, Persistence Weighted
Gaussian Kernel for Topological Data Analysis 19/51

シリカガラスの解析：PDの意味
SiO₂のガラス相のPDに特徴的な曲線の意味を調べる
PDの点が原子配置点群のどの形に対応するかを出力可能（逆解析）◼ 𝐶𝑃 : …-O-Si-O-Si-O-…という共有結合によるリング◼ 𝐶𝑂 : Si原子をまたぐ3つのO原子が作る三角形◼ 𝐵𝑂 : いろいろな構造が混在
たとえば，Si原子をまたいだ
4個以上のO原子のなす多角形◼ 𝐶𝑂 , 𝐵𝑂 , 𝐶𝑃 が中距離秩序に対応すると信じられている
Figure from Obayashi et al., Persistent homology
analysis for materials research and persistent
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homology software: Homcloud金属ガラスの解析
Hirata et al., Structural changes during glass formation extracted bycomputational homology with machine learning, 2020

Pd 80%とSi 20%からなる金属ガラスの解析◼高速冷却のシミュレーションで原子配置を用意◼複数の冷却速度でデータを生成◼原子配置のPDと冷却速度の関係を調べた（ベクトル化+線形回帰）
遅い冷却速度𝑻𝟏 の原子配置

PD1𝑻𝟏中間の冷却速度𝑻𝟐 の原子配置

PD2

𝑻𝟐早い冷却速度𝑻𝟑 の原子配置

PD3

どのような関係？

𝑻𝟑

1. PDをパーシステンスイメージに変換する2. 冷却温度とパーシステンスイメージに対して線形回帰を行う
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金属ガラスの解析
1. PDをパーシステンスイメージに変換する
2. 冷却温度とパーシステンスイメージに対して線形回帰を行う
Pd原子配置の2次元の穴に関するPD

Si原子配置の1次元の穴に関するPD

回帰係数が正か負かで，その範囲のPDの点が冷却温度に正に効くか負に効くか分かる◼冷却温度が早いほど，赤い領域の点が多く，青い領域の点が少ない
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金属ガラスの解析
逆解析により具体的にどの原子配置の構造が冷却速度に関係するかもわかる
Pd原子配置の2次元の穴に関するPD

Si原子配置の1次元の穴に関するPD

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2次元画像分類への応用 1
Garin and Tauzin, A Topological "Reading" Lesson:Classification of MNIST using TDA, 2019
◼手書き文字画像データセット (MNIST) の分類にPHを用いる◼様々なフィルトレーションとベクトル化手法で特徴量を生成◼ 画素を頂点として，縦横の辺，囲まれる四角形で複体を作る◼ ベクトル化はPLに加えてベッチ曲線・生存時間の長さの和・エントロピーを使用◼ランダムフォレストを用いて分類◼ 重要度が高いPD特徴量を使うと，画素値よりも少ない特徴量で精度よく分類可能

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パーシステンス図のベクトル化 2
PDのベクトル化は機械学習で学習することも可能◼Hofer et al., Deep Learning with Topological Signatures, 2017
◼ 中心𝜇𝑖 ・共分散行列𝜎𝑖 のガウス関数の値をPDの各点にわたって和を取り，ベクトル化◼ これら𝝁𝒊 および𝝈𝒊 たちをタスクに応じて学習させる◼Carrière et al., PersLay, 2020: DeepSetに基づく構造
PersLay 𝐷 ≔ op 𝑤 𝑝 ⋅ 𝜙 𝑝 𝑝∈𝐷◼ 𝜙: ℝ2 → ℝ𝑞 点変換写像，たとえば
1.

𝜙Γ : 𝑝 ↦ exp

𝑝−𝒄𝒌 2− 2𝜎2𝑞ガウス関数
𝑘=1𝑞2. 𝜙Λ : 𝑝 ↦ max 0, 𝑦 − 𝒕𝒌 − 𝑥 𝑘=1 三角形の関数
𝑞3. 𝜙𝐿 : 𝑝 ↦ 𝑝, 𝒆𝒌 + 𝒃𝒌 𝑘=1 直線からの符号付き距離◼ 𝑤: ℝ2 → ℝ 重み関数，◼ op: 任意の置換不変な操作（和・最大・最小・𝑘番目に大きい値など）◼ タスクに応じて𝝓が持つパラメータを学習させる

最近はTransformerを用いたベクトル化学習も提案されている

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2次元画像分類への応用 2
Hofer et al., Deep Learning with Topological Signatures, 2017
◼白黒画像の分類にPHとベクトル化学習を用いる
Animal20クラス

MPEG-770クラス◼白い画素の格子点が頂点と見て，それらを縦横でつなぎ単体的複体を作る◼円周上に32個等角度に点を取り，それらの方向に増加する1次関数の劣位集合フィルトレーションのPHを計算◼出来た32個の0次PDをベクトル化してCNNに入力0次PDのみでも表現を学習することで良い精度
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グラフ分類への応用
グラフがたくさんあるときに，それらを分類したい◼たとえばタンパク質グラフから種類を分類するなど◼各点に何本辺があるかなどの近傍情報だけを使うことが多い

PHを使うとグラフの全体的な構造を分類に使える
すべての点につながっている辺は2本

連結成分は1つ
ループは1つ連結成分は2つループは2つ◼たとえば，頂点の次数関数や熱の伝導に関係する関数に対する劣位集合
フィルトレーションのパーシステントホモロジーを使う
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グラフ分類への応用
PDを使うと分類精度が実際に向上する場合がある
PersLay：単純なネットワークにベクトル化学習したPDを入力⇝PDしか使わずに（当時）最先端の分類器と同等の精度を達成※10-foldの交差検証

トポロジー情報を上手く使うことは有効
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ネットワークのPH的特徴量

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ネットワークのPH的特徴量：TU
学習済み分類器 (NN) は最終層が予想確率をあらわす◼予想確率の最大はどのデータに対しても高く，全く別のデータが来ても自信をもって間違えてしまう（左図）

ネットワークの活性度を表す重み付きグラフのPDを使う（右図）[Gebhart and Schrater, 2017],[Gebhart et al., 2019],[Rieck et al., Neural persistence,2019],[Lacombe et al.,Topological Uncertainty, 2021]

学習データでの活性度と似ているかをPD同士を比較してはかる
Figures from [Lacombe et al.,Topological Uncertainty, 2021]

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ネットワークのPH的特徴量：TU◼入力の変化に対して敏感：NNの性能保持に役立つと期待◼ 分布外データ検出：全然別のデータが来た時にアラートを出せる

Figures from [Lacombe et al.,Topological Uncertainty, 2021]

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ネットワークのPH的特徴量：他の試み
その他にもNNそのものをPH的な特徴量で調べるアプローチがある◼Carlsson and Bruel-Gabrielsson, Topological approaches
to deep learning, 2020
◼ CNNのフィルターをPHとMapperで調べている◼ 浅い層と深い層のフィルターのをトポロジー的に比較◼Barannikov et al., Representation topology divergence: A method
for comparing neural network representations, 2022
◼ NNによる潜在表現同士の差をはかる指標RTDをPHで構成◼ 右図：90個の単語埋め込み表現の比較． log perplexityと整合．

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PHを損失関数に組み込む• トポロジー的損失関数の利用• 微分可能性と勾配法による最適化

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トポロジー的損失関数の利用
PHを損失関数に組み込んで学習器をトポロジー的にコントロール
データℒ: 損失関数◼A Topology Layer for Machine Learning, AISTATS2020: 点群の変形◼Topological Autoencoders, ICML2020: 位相的性質も保つ次元圧縮

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おもちゃの例 (1/2)
点群をループの個数が多くなるように変形する◼1次（ループに関する）のPD 𝐷1 (𝑋)を考えて,ℒ 𝑋 =− ෍𝑝 − 𝜋Δ 𝑝2∞ + 𝑑 𝑋, 𝐶𝑝∈𝐷1 𝑋とする．ここで𝜋Δ は対角線への射影で𝐶は正方形．
◼勾配降下法 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝛼𝑘 ∇ℒ 𝑥𝑘 により最適化
𝓛で最適化

実はパーシステンス図を与える写像は，ほとんど至るところで微分可能で，劣微分を使って最適化を行うことができる
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パラメータ付けられたフィルトレーション
復習：単体的複体𝐾のフィルトレーション↔ 関数𝐹: 𝐾 → ℝ s.t. 𝜎 ⊂ 𝜏 ⇒ 𝐹 𝜎 ≤ 𝐹(𝜏)𝐾に順序を与えると↔ ベクトル𝐹 ∈ ℝ|𝐾| s.t. 𝜎 ⊂ 𝜏 ⇒ 𝐹𝜎 ≤ 𝐹𝜏Filt 𝐾 ≔ 𝐹 ∈ ℝ 𝐾 𝜎 ⊂ 𝜏 ⇒ 𝐹𝜎 ≤ 𝐹𝜏 }定義 𝐴 ⊂ ℝ𝑑 でパラメータ付けられたフィルトレーションとは関数𝐹: 𝐴 → Filt 𝐾 のこと
例◼劣位集合フィルトレーション 𝐹: ℝ|𝑉 𝐾 | → ℝ|𝐾| , 𝐹𝜎 𝑓 ≔ max𝑖∈𝜎 𝑓𝑖◼Ripsフィルトレーション 𝐹: (ℝ𝑑 )𝑁 → ℝ|Δ𝑁 | , 𝐹𝜎 𝑥 ≔ 1Τ2 max𝑖,𝑗∈𝜎 ‖𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ‖◼MLのパラメータ 𝑓𝜃 : ℝ𝑑 → ℝ𝐷 𝜃 ∈ Θ , 𝑃 ⊂ ℝ𝑑 : 有限集合
𝐹: Θ → ℝ|Δ𝑁 | , 𝐹𝜎 𝜃 ≔ 1Τ2 max𝑖,𝑗∈𝜎 ‖𝑓𝜃 (𝑥𝑖 ) − 𝑓𝜃 (𝑥𝑗 )‖36/51

パーシステンス図の対応の微分可能性
Q. パーシステンス図を与える写像を微分することはできるか？
A. 多くの点では（ほとんど至るところで）微分できる
20

Loops

2100

消滅時刻

100

1. 生成・消滅単体の組 𝜎𝑏𝑖 , 𝜎𝑑𝑖e.g.

21：生成単体𝑖1

生成時刻を見つける（組合せ的）：消滅単体

2. 各組にフィルトレーションの値を対応させる 𝐹 𝜎𝑏𝑖 , 𝐹 𝜎𝑑𝑖◼𝐹が滑らかにパラメータ付けられている ⇒ 微分 𝑥 ↦を単体の順序が変わらない範囲で考えることが可能

𝑖e.g. (1,2)∇𝑥 𝐹 𝜎𝑏𝑖 , ∇𝑥 𝐹 𝜎𝑑𝑖𝑖
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応用例 (1/2)：画像の劣位集合
画像を変形して染みをのせたMNIST画像から染みを削除したい◼損失関数としてℒ1 (𝐼) = σ𝑝∈𝐷0(𝐼) 𝑝 22 を用いて勾配法を適用すると，連結成分を減らすように働き中央の画像のようになる◼ピクセル値が0か1になるようにℒ2 𝐼 = ෍𝑝∈𝐷0 (𝐼)𝑝 22 + ෍ max 𝑥𝑖 , 1 − 𝑥𝑖𝑖を用いると結果は右の画像のようになる
元画像ℒ𝟏 の結果ℒ 𝟐 の結果

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応用例 (2/2)：埋め込みのTDA的統制
Vandaele et al., Topologically Regularized Data Embeddings,
2022: データ埋め込み 𝐸: 𝕏 → ℝ𝑑 に応用◼𝐸のPDの点を𝑑𝑘 − 𝑏𝑘 が降順になるように並べて
𝑘=𝑗ℒtop 𝐸 ≔ 𝜇 σ𝑘=𝑖,𝑑𝑘<∞ 𝑑𝑘 − 𝑏𝑘 , 𝜇 ∈ ±1 を考える◼ℒemb 𝐸, 𝕏 + 𝜆top ℒtop 𝐸 を最適化することで𝐸のトポロジーを統制

𝑥−1σ𝑦∈𝐸 𝑦𝐸≥𝜏を満たす点のPDを用いる
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トポロジー情報の機械学習• フィルトレーションを学習する• PDを計算する関数を機械学習で近似する

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PH損失関数の別の応用：フィルター学習
分類に用いるTDAのフィルターで最適なものを学習する◼MNIST画像を劣位フィルトレーションに関する0次PDで分類する問題◼ある方向への1次関数の族をとり
σ𝑦𝑖 =𝑦𝑗 =𝑙 𝑑(𝐷0 𝐼𝑖 , 𝑓 , 𝐷0 𝐼𝑗 , 𝑓 )ℒ 𝑓 =෍
σ𝑦𝑖 =𝑙 𝑑(𝐷0 𝐼𝑖 ; 𝑓 , 𝐷0 𝐼𝑗 ; 𝑓 )𝑙を最適化する．最適化前と後でのランダムフォレストでの分類精度は下の表

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グラフのフィルトレーション学習 (1/2)
Hofer et al., Graph Filtration Learning, 2020
◼フィルター関数をエンドツーエンドに学習◼頂点上の関数はグラフの劣位集合フィルトレーションを与える
213⊂⊂⊂411234◼頂点上の関数をグラフニューラルネットワーク (GNN) として実現してそれをタスクに応じて学習させる◼ 𝑉 ∋ 𝑣 ↦ GNN(𝐺, 𝑙 𝑣 ), 𝑙: 𝑉 → ℝ𝑛 はノードの表現◼ 実験では隠れ層64次元の1-GINを用いて，後ろに2層のMLPを使っている
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グラフのフィルトレーション学習 (2/2)
Hofer et al., Graph Filtration Learning, 2020
◼フィルター関数をエンドツーエンドに学習◼出来上がったPDのベクトル化は分類に用いられる◼微分可能性により，PDの情報を含んだ損失関数を勾配法で最適化できる

SparseDense

フィルトレーションを学習した方が精度が高まる場合がある

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Topological Graph Layer
Horn et al., Topological Graph Neural Networks, 2022◼トポロジー的情報を含めて頂点上のベクトルを変換する層を提案◼フィルトレーション学習とベクトル化学習を両方行うパイプライン◼ Φ: ℝ𝑑 → ℝ𝑘 フィルトレーション学習を行う（たとえば2層のNN）◼ Ψ: PDのベクトル化（たとえばDeepSets, rational hat function, PersLayなど）◼GNNに簡単に組み込むことが可能◼単純なGNNでは区別できないグラフを区別可能にできる
Figures from B. Rieck, Topology-Based Graph
Representation Learning
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点群のフィルトレーション学習 (1/2)
Nishikawa et al., Adaptive Topological Feature via Persistent
Homology: Filtration Learning for Point Clouds, 2023
◼分類タスクに応じて点群のフィルトレーションを学習◼ 球の膨張の開始時刻を点ごとに学習◼ 等長変換不変な構造を提案

ユーザがフィルトレーションを指定しなくても，データから自動的に学習タンパク質分類の精度

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点群のフィルトレーション学習 (2/2)◼各点𝑥の球の膨張の開始時刻を点群𝑋と点𝑥を入力とするニューラルネットワーク𝑓𝜃 (𝑋, 𝑥)で定める◼𝑓𝜃 (𝑋, 𝑥)が満たす条件
1. 点の順序について不変
2. 点群全体𝑿の性質と各点𝒙の性質の両方を反映
3. 等長不変変換：𝑓𝜃 𝑇𝑋, 𝑇𝑥 = 𝑓𝜃 (𝑋, 𝑥)（𝑇: 等長変換）◼距離行列とDeepSetsを用いてこれらの条件を満たすように構成◼PersLayでベクトル化して分類に使用全体をタスクに合わせて学習46/51

PDの厳密計算の問題点
TDAの実応用においては以下のパイプラインを使うことが多い：
点群 ↦ PD ↦ ベクトル化

このパイプラインにおいては２つの問題点がある
1. 点群に対するPDを計算するための計算量◼（ナイーブな）アルゴリズムの計算量は𝒪 𝑛3 , 𝑛 =#単体◼Čech・Ripsフィルトレーションの場合: 𝑛 = 2#𝑃 − 1!

2. 低レベルの外れ値に対しても敏感（1点の変更で大きく変化）
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RipsNet: NNによるPDの推定
de Surrel et al., RipsNet, ICLR Workshop on Geometrical andTopological Representation Learning 2022
(cf. Zhou et al., 2022; 3次元点群データ，Kaji, 2019; Som et al., 2020; 画像データ，Yan et al., 2022; グラフデータ)◼点群 ↦ PD ↦ ベクトル化のパイプラインを学習するデータドリブンな手法◼ニューラルネットワークでPDを推定する
PIRN

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RipsNet: 構造と学習◼PDベクトル化手法 𝐏𝐕: 𝑿 ↦ 𝑫 𝑿 ↦ 𝐏𝐕(𝑿) を固定（主にPIとPL ）◼点群𝑋 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ⊂ ℝ𝑑 からPVを学習するRN：
RN: 𝑋 ↦ 𝜙2 op 𝜙1 𝑥 𝑥∈𝑋
𝜙1 : ℝ𝑑 → ℝ𝑑1 , 𝜙2 : ℝ𝑑1 → ℝ𝑑2 MLP，opは置換不変な作用素◼PDのベクトル化とL2損失で学習：minimize σ𝑖 RN 𝑋𝑖 − PV 𝑋𝑖（PHは学習データ生成のみに使用）◼学習後のRNは効率的にPVを推定
計算時間の比較
PI2RN

実際のPD計算

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実験：分類タスク◼分類タスクにおいて比較

PIRN

෩ P෪L: ノイズありの結果◼PI,◼人工データ
◼ℝ2 内の円状データ（ノイズなし・あり）◼ 𝑁 = 600, 𝜆 = 1/3◼PIまたはRipsNet + XGBoost◼直接DeepSetsを使う手法とも比較◼RipsNetがノイズありの状況では他手法に勝った

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まとめ1. PHを機械学習の入力に使う• PDをベクトル化して機械学習に入力することでトポロジー情報を使える• ベクトル化を学習する手法もある

2. NNからPH的特徴量を取り出す• NNの状況を調べたり監視したりできる

3. PHを損失関数に組み込む最適化• PDの関数を損失関数に組み込むことによって学習機をトポロジー的にコントロールできる• TDA損失関数の設計が今後の課題

4. トポロジー的情報の機械学習• フィルトレーションをデータから学習• データをPDに変換する関数をNNで学習する試み
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