14 回 等差数列

第1

とう さ すうれつ

等差数列とは？

次の数の列は，どんなきまりでならんでいるでしょうか？
３ ，10，17，24，31，38，……
左から見ていくと， ３ から ７ ずつふえていくことがわかりますね。
くわこのように，ある数に一定の数を次々に加えたり，ある数から一定の数を次々にひいたりして作られる数の列（数列）
を等差数列といいます。
こう さ

この数列で，次々に加えた ７ のことを公差といいます。
この数列の20番目の数や100番目の数などを，もと７ をくり返し加えて求める

ほうほう

かんたんに求める方法はないでしょうか。のはたいへん！

れい

６ 番目の数（38）を例にして，考えてみましょう。
６ 番目の数は，下の図のように，はじめの数 ３ に，こ７を（ ６ － １ ＝）５ 個加えて作られていますから，３＋７×（６－１）＝38と求めることができます。

01 番目

2 番目

3 番目

4 番目

5 番目

6 番目

31017243138

7777……

77が（ 6 － 1 ＝）5 個間の数は １ 少なくなるね。
このことから，等差数列の□番目の数は，次の式で求められます。
等差数列の□番目の数＝はじめの数＋公差×（□－１）
130

第14回

等差数列

例題1
あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
４ ， ７ ，10，13，16，19，……
左から20番目の数はいくつですか。
解き方

４ に ３ を次々に加えて作られる等差数列ですから，20番目の数は，４＋３×（20－ １ ）＝61

はじめの数が ４ ，



答 61

公差が ３ だね。

類題1
あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
１ ， ８ ，15，22，29，……
左から25番目の数はいくつですか。

例題2
あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
５ ，11，17，23，29，35，……
125は左から何番目にありますか。
解き方

５ に ６ を次々に加えて作られる等差数列です。
加えた ６ の個数
（図のアにふくまれる ６ の個数）
は，（125－ ５ ）
÷ ６ ＝20（個）ですから，125は左から，020＋ １ ＝21（番目）

1 番目

2 番目

3 番目

□番目

511

17

125

6

6

５ ＋ ６ ×（□－ １ ）＝125 の逆算


をすると考えてもいいよ。

……

6ア
答

21番目

類題2
あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
１ ， ９ ，17，25，33，……
201は左から何番目にありますか。
131

等差数列の和

2次に，等差数列の和を求める方法について考えましょう。
３ ，10，17，24，31，38，……という等差数列の １ 番目から ５ 番目までの和は，３ ＋10＋17＋24＋31＝85と求められます。しかし，加える個数がふえると計算がたいへんです。
ぎゃく

そこで，右のように，このたし算を逆3 ＋ 10 ＋ 17 ＋ 24 ＋ 31にならべて，たてに加えてみましょう。

31 ＋ 24 ＋ 17 ＋ 10 ＋ 3

３ ＋31＝34，10＋24＝34，……

34 ＋ 34 ＋ 34 ＋ 34 ＋ 34と，どれも34で等しくなりますね。

逆にならべる

したがって，等差数列の和の ２ 倍が（ ３ ＋31）× ５ とわかりますから，等差数列の和は，（ ３ ＋31）
× ５ ÷ ２ ＝85と求めることができます。
このことから，等差数列の和は，次の式で求められます。
等差数列の和＝（はじめの数＋終わりの数）×個数÷ ２

例題3
あるきまりにしたがって，下のように数を25個ならべます。
６ ，10，14，18，22，……
ならべた数をすべて加えると，その和はいくつになりますか。
解き方

６ に ４ を次々に加えて作られる等差数列ですから，６＋４×（25－ １ ）＝102（ ６ ＋102）×25÷ ２ ＝1350……25番目の数……25番目までの和



答

類題3
あるきまりにしたがって，下のように数を30個ならべます。
４ ， ７ ，10，13，16，……
ならべた数をすべて加えると，その和はいくつになりますか。
132

1350

第14回

3

等差数列

き すう

奇数をならべた数列
ぐうすう

２ でわり切れる整数を偶数といいます。
２ でわり切れない整数（ ２ でわると １ あまる整数）を奇数といいます。
じゅん

偶数，奇数をそれぞれ小さい方から順にならべると，次のように，どちらも公差が２ の等差数列になります。
＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2

偶数

０ ， ２ ， ４ ， ６ ， ８ ，10，12，14，……

★奇数１ ， ３ ， ５ ， ７ ， ９ ，11，13，15，……
＋2＋2＋2＋2＋2＋2

０ は偶数だよ！

＋2

ここで，奇数をならべた数列（★）に注目してみましょう。
この数列は等差数列ですから， 1 と 2 で学習した公式を使えば，「□番目の奇数」や「□番目までの奇数の和」を求めることができますね。
でも，奇数をならべた数列では，次の公式を使うと，もっとかんたんに求めることができます。
奇数を １ から順にならべた数列「 １ ， ３ ， ５ ， ７ ， ９ ，……」について，㋐等差数列の公式にあてはめ□番目の奇数＝ ２ ×□－ １るよりも，かんたんな計算㋑ですむことが多いよ。

□番目までの奇数の和＝□×□

まず，㋐の公式についてたしかめてみましょう。
下の表のように，□を １ ， ２ ， ３ ，……としていくと， ２ ×□は偶数が ２ から順にならび， ２ ×□－ １ は奇数が １ から順にならぶことがわかります。
□（番目）

12345２ ×□

246810 12 … ←偶数が ２ から順にならぶ。

２ ×□－ １135796…

11 … ←奇数が １ から順にならぶ。

133

次に，㋑の公式についてもたしかめてみましょう。
１ から順に奇数だけをたしていくと，次のようになります。
１ 番目

１

←１×１

同じ整数を ２ 個かけて２ 番目までの和１＋３＝４←２×２できる整数を平方数と３ 番目までの和１＋３＋５＝９←３×３いうよ。

４ 番目までの和１ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＝16 ← ４ × ４⋮⋮

このように，□番目までの奇数の和が，□×□に等しいことがわかります。

～奇数の和の公式が成り立つ理由～㋑の公式が成り立つ理由を考えてみましょう。
こう ご右のように，白石と黒石を交互にならべると，左上から，○が １ 個，●が ３ 個，○が ５ 個，●が ７ 個

○●○●
●●○●
○○○●
●●●●

ぺんとなります。全体は １ 辺が ４ 個の正方形ですから，１＋３＋５＋７＝４×４が成り立つことがわかります。
このようにして， １ から順に奇数を□個たしたときの和が，□×□に等しくせつめいなることが説明できます。

例題4
１ から順に奇数をたしていきます。たとえば， ４ 個の奇数をたすと，和は，１ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＝16となります。

134⑴

13個の奇数をたすと，和はいくつになりますか。

⑵

和が400になりました。最後にたした奇数はいくつですか。

第14回

解き方

⑴

⑴を等差数列の公式でとくと，㋑の公式より，

１ ＋ ２ ×（13－ １ ）＝25

13×13＝169⑵

等差数列（ １ ＋25）×13÷ ２ ＝169

400＝20×20

だね。

より，20個の奇数をたしたことがわかります。
したがって，㋐の公式より，最後にたした奇数（20番目の奇数）は，２ ×20－ １ ＝39答⑴

169 ⑵ 39

類題4
１ から順に奇数をたしていきます。
⑴

17個の奇数をたすと，和はいくつになりますか。

⑵

和が576になりました。最後にたした奇数はいくつですか。

ずのう～ 少 年ガウスの頭脳～
せい き

みなさんは，世紀の大数学者，カール・フリードリヒ・ガウス（1777年ドイツ生まれ）を知っていますか？
ガウスは ７ 才のとき，「 １ から100までの数を全部たしなさい。」という問題を出されて，「5050！」とすぐさま答えて，まわりの人をおどろかせたといわれています。少年ガウスは，「 １ ＋100＝101， ２ ＋99＝101，……，50＋51＝101だから，101×50＝5050」というとき方をその場で思いついたそうで，なるほどたいへんな頭脳ですね。

135

基本問題
1

⑴

次の問いに答えなさい。
次の数列の，ア，イにあてはまる数はそれぞれいくつですか。
１ ， ７ ，13， ア ，25， イ ，37，……

⑵

あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
２ ， ５ ， ８ ，11，14，……
左から15番目の数はいくつですか。

⑶

あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
99，95，91，87，83，……
左から20番目の数はいくつですか。

⑷

あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
１ ， ５ ， ９ ，13，17，……
93は左から何番目にありますか。

⑸

１ から10までの整数の和はいくつですか。

⑹

次の式の，ア，イにあてはまる数はそれぞれいくつですか。
１＋３＋５＋７＋９＝ ア × ア ＝ イ

136

第14回
2

等差数列

あるきまりにしたがって，下のように数を25個ならべました。
２ ， ６ ，10，14，18，……

これについて，次の問いに答えなさい。
さい ご⑴

最後にならべた数はいくつですか。

⑵

ならべた数をすべて加えると，その和はいくつになりますか。

3

あるきまりにしたがって，下のように数をならべました。
88，82，76，70，64，……，22

これについて，次の問いに答えなさい。
⑴

全部で数を何個ならべましたか。

⑵

ならべた数をすべて加えると，その和はいくつになりますか。

4

下のように，あるきまりにしたがって， １ 辺が １ ㎝の正方形をしきつめて長方形を作っていきます。
1 番目

2 番目

3 番目

4 番目

これについて，次の問いに答えなさい。
⑴

10番目の長方形のまわりの長さは何㎝ですか。

⑵

まわりの長さが130㎝になるのは，何番目の長方形ですか。

137

練習問題
1

あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
５ ，11，17，23，29，……

これについて，次の問いに答えなさい。
⑴

左から10番目の数はいくつですか。

⑵

89は左から何番目にありますか。

⑶

この数列にあらわれる ２ けたの数をすべて加えると，その和はいくつになりますか。

2

あるきまりにしたがって，下のように数をならべます。
３ ，11，19，27，35，……
いかもっとならべた数のうち，200以下で最も大きい数はいくつですか。また，それは左から何番目にありますか。

3

長さ ９ ㎝のテープを，のりしろの長さをどこも ２ ㎝にして，まっすぐにつないでいきます。これについて，次の問いに答えなさい。
⑴ つなげたテープの本数が ２ 本， ３ 本， ４ 本のとき，全体の長さはそれぞれ何㎝になりますか。
⑵

138

全体の長さが240㎝になるのは，テープを何本つなげたときですか。

第14回
4

等差数列

１ 辺が １ ㎝の正方形をならべて，右の図のような階だんの形をした図形をちょう て ん作っていきます。そして，頂点のところに ● 印をつけます。 ● 印の数は，たとえば， １ だんの場合は ４ 個， ２ だん

1 だん

2 だん

3 だんの場合は ６ 個です。これについて，次の問いに答えなさい。
⑴

10だんのとき， ● 印は何個つきますか。

⑵●5

印が50個ついた図形のまわりの長さは何㎝ですか。

図のように，階だんの形にならべた正方形に， １ から順に整数をかき入れていきます。
これについて，次の問いに答えなさい。   1 だん目
12 だん目
2 3 43 だん目
5 6 7 8 94 だん目 10 11 12 …

⑴ １ だん目から12だん目までに，正方形は全部で何個ならんでいますか。
⑵ 12だん目の正方形にかき入れた整数の和はいくつになりますか。

139