3. 重力波と沿岸・赤道ケルビン波

２０１４年9月30日16:35

重力波見えるかな？

見延 庄士郎（海洋気候物理学研究室）
予習課題
http://www.sci.hokudai.ac.jp/~minobe/class/po_clm/03_ex_propagation.pdf を(印刷)解答の上，授業冒頭で提出してください．予習のための課題なので，冒頭のみ提出を受け付けます．
また以下のyou tubeのビデオを見ておくこと．個々のビデオは全部は見ずに，雰囲気がつかめる程度見ればいいです．
大気の重力波： http://www.youtube.com/watch?v=yXnkzeCU3bE (30秒)
津波シミュレーション：http://www.youtube.com/watch?v=BUHKMIr5E1E の３：５０から日
本海の津波
沿岸ケルビン波シミュレーション：https://www.youtube.com/watch?v=jSWmhkcPsHw
赤道ケルビン波，海面高度観測 https://www.youtube.com/watch?v=cCxQUqnaQnA(1997年1月～4月に赤道ケルビン波が伝播しエルニーニョのきっかけとなった様子）
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本日の目的

伝播方程式（一階線形偏微分方程式）の基礎1/2• 波は離れた場所に，物質が移動することなく，エネルギーを伝えるので，さまざまな波動現象は社会生活でも非常に重要である．

• 空間一次元(x, t)の場合，ut+cux=0の伝播方程式と呼ぶ．
• この式の特徴を理解するために， u= u (ξ)=u(x-ct), ξ=x-ctを上式に代入し，解となることを確認しよう．
• なお解がu(x-ct)で表されるということは次のスライドに示すように，x-t平面上の直線上を伝搬することを意味する．

• 電磁波：視覚（可視光），電波（TV, 携帯), 赤外線(ヒーター，輻射熱)• 音波：聴覚• 右の式変形の中で，下に示す偏微分についての合成関数の微分を使う．

• 地球流体（大気・海洋）にも，いくつかの重要な波が存在する．これらの波が離れたところにエネルギーを伝えることが，多くの大気・海洋現象で重要な役割を果たす．
• 本日は，エルニーニョ理論でも重要となる，赤道ケルビン波とその近縁である，沿岸ケルビン波，そして重力波について学ぶ．これらの波はいずれも前スライドの浅水方程式系で記述でき，その場合の伝播速度はとなる．

u= u (ξ)=u(x-ct)であるということは，左図の依存関係があるので，uξx• 扱う順序は，重力波⇒沿岸ケルビン波⇒赤道ケルビン波t∂∂ξ duu (ξ ) =∂t∂t d ξ∂∂ξ duu (ξ ) =∂x∂x d ξ
ここで ξ=x-ct なので• 地球流体には，もう一つロスビー波または惑星波と呼ばれる重要な波が存在する．それについては次回学ぶ．

∂ξ∂ξ
=1 ,= −c∂x∂t

下付き添え字は微分の意味です．たとえば，ut =∂∂∂2u , u x = u , utt = 2 u∂t∂x∂tut + cu x∂∂u( ξ ) + c u( ξ )∂t∂x∂ξ du∂ξ du=+c∂t d ξ∂x d ξdudu= −c+c=0dξ
dξ
=67

波動方程式

伝播方程式（一階線形偏微分方程式）の基礎2/2• 空間二次元(x, y)の場合は utt−c2 (uxx+ uyy )=0 を，空間一次元(x)の場合， utt−c2uxx=0 を 波動 方程式と呼ぶ(uは未知変数，cは定数)• 空間一次元では，xの正の方向と負の方向にそれぞれcの速度で伝播する．このことは，以下のように簡単に理解できる• u=u(ξ)=u(x-ct)でξ=x-ctが解であるということは，x-ct=一定であれば，ξが一定で，したがってu(ξ)も一定となる．
• x-ct=一定とは，x-t平面の直線にほかならない．
左右の図は同じ情報を色塗りと(左)，俯瞰した高さと色(右)で描いている．

∂∂∂  ∂∂ ∂u − c 2 2 u = 0 なら − c   + c  u = 0 なので2∂t∂x∂x   ∂t∂x  ∂t• ut−cux=0 または ut+cux=0 が解である．
• これらは二つ前のスライドから，それぞれ，xの 負の方向に速度 c で伝播, 正 の方向に速度 c で伝播する解をもつ．

x• 結局，ut+cux=0 (cは正の定数)という方程式は， u(x – ct ) という解をもち，その解は速度 c で 正 の方向への伝播を表す．
• 同様に，ut-cux=0 (cは正の定数)という方程式は， u(x + ct ) という解をもち，その解は速度cで 負 の方向への伝播を表す．

正か負を入れる

正か負を入れる
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伝播・波動方程式のまとめ

出発方程式系• ut+cux=0 (cは正の定数)という方程式は， u(x – ct )という解をもち，この解は速度 c で 正 の方向への伝播を表す．
• ut-cux=0 (cは正の定数)という方程式は， u(x + ct )という解をもち，この解は速度 cで 負 の方向への伝播を表す．
• 空間一次元(x)の場合， utt−c2uxx=0 を 波動 方程式と呼ぶ．
• この式は ut+cux=0 または ut− cux=0 を解として持ち，それぞれ，xの 負 の方向に速度 c で伝播, 正 の方向に速度 c で伝播を表す．

• 波動の基本的な性質を考える上で，運動方程式(2.4ab)にあった外力である風応力および(2.5ab)にあった摩擦力は無視しよう．したがって，出発方程式系は運動方程式∂v∂h∂u∂h(3.1b)(3.1a)= − fu − g= fv − g∂t∂y∂t∂x• および連続の式 ∂u ∂v ∂h= −H  +  (2.6)再掲∂t ∂x ∂y • である．
10運動方程式のスケール解析1/3• 運動方程式（摩擦，風応力は無視，右の式）に３つ項があるけれど，場合によっては主な２項のバランスで近似できて，話が簡単になる．
• そこでどの場合にどのバランスとなるのかを，スケール解析よって調べよう．
• 現象のスケールを• 長さスケールL, 時間スケー
ルT, 速度スケールU，と置く．

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運動方程式のスケール解析2/3• Q1．コリオリ項と圧力傾度項がバランス（地衡流バランス）するための，Tの条件はなにか？な∂u∂h
ずっと大きい を使お，記号= fv − gおう．
∂t∂x
• A1．加速度項以外の他の２項U?
, fU , gのバランスとなるなら，加速度項TLがコリオリ項よりはるかいに小さいことが必要十分条件．従って 加速度 コリオリ 圧力∂u∂h= fv − g∂t∂x
U?
, fU , gTL
加速度 コリオリ 圧力
傾度バランスが成り立つように決まると考えて，積極的にスケール解析には使わない．

傾度

≪
∴
12

≫

113

運動方程式のスケール解析3/3• Q1．加速度項と圧力傾度項がバランスするための，Tの条件はなにか？
• A1．加速度項がコリオリ項よりはるかいに大きいなら，加速度項と圧力傾度項のバランスとなる．
この場合
≫∴

≪

時間スケールが長い場合の運動方程式∂u∂h= fv − g∂t∂xU?
, fU , gTL• この場合(3.1a)(3.1b)から

v=u=−g ∂hf ∂yとなり，これは気象学でも学んだ 地衡 風(流) を表している．

加速度 コリオリ 圧力
傾度

1g ∂hf ∂x

時間スケールが 1/f よりも十分短い．おおざっぱに言えば，１日 よりも十分短い．
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時間スケールが短い：非回転重力波

時間スケールが短い場合の支配方程式
東向き運動方程式(3.1a)から北向き運動方程式(3.1b)から

ut = − ghx(3.2a)

vt = − ghy(

連続の式は(2.6)のまま ht = −H ux + vy

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htt − gH ( hxx + hyy ) = 0(3.2b)(3.3再掲)• この波の復元力は重力であるので，この波を（非回転）重力波と呼ぶ．
• 重力波には，海洋の津 波，大気の 山岳 波などがある．
• 重力波の伝播速度は(3.4)
c = ± gH)

• 1式1変数の式に帰着させる．そのためには，(3.2ab)の対称性から，hを残すのがよさそう．
• ∂(2.6)/∂t←(3.2ab)から未知変数にhのみを含む式が得られる(3.3)
htt − gH ( hxx + hyy ) = 0• である．
• 水深が4000 mで，重力加速度を10 m/s2 とすると，重力波の伝播速度は 200 m/s である．

• これは二次元の波動方程式にほかならない．
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長さスケールは？

ロスビー変形半径• 空間一次元で，長さLに渡って初期水位を与えたとする．すると盛り上がりを逃がすように，圧力傾度力の向きに流体が加速される．
• コリオリ力は無視できる L « Ro
なら，単なる波動方程式の初L
圧力傾度力期値問題で，非回転重力波が重力波応答の加速左右両方向に伝搬する（稲津さんの数学授業）• コリオリ力が重要な L » Ro なら， 外に向かう速度がコリオリL
圧力傾度力力で曲げられて，やがてコリオリ力内向きになって圧力傾度
コリオリ力力でバランスして定常となる．

• ここまでは，時間スケールの大小を考えた．では長さスケールではどうだろうか？
• 日常生活ではコリオリ力の効果を感じることが無い
一方，天気図では地衡風が重要であることから，長さスケールが大きいとコリオリ力が効き，小さいとスケールでは効かないと判断できる．
• では境目となる長さスケールは？
• それは非回転重力波が 1/f の時間で，伝播する距
離で，ロスビーの変形半径 と呼び，Roで表す．
RO =gH
f(3.5)

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地衡流の収束・発散？（f一定の場合）
１）初期水位２）流れは？

北h高

h高

赤道東３）収束発散？

４）移動方向？

h高h高収束発散は ゼロ，伝播は しない
2021

岸に沿う波どういう流れができる？
コリオリが効く流れ岸

どんな水平収束発散分布？

元の水位はどっちに移動？

収束h高h高発散

この波を 沿岸ケルビン波 という沿岸ケルビン波の解の形
北半球 では岸を右に見る
方向に伝播しようとする• コリオリ力によって，流体粒子の運動が曲げられる．
• しかし岸があると，岸に流が当たってしまい，異なる運動をするだろう．
• 岸にくっついて，水位が盛り上がっている状況を考えよう．コリオ
リが効くとどうなるか？

• 岸に平行な速度成分uのみ存在する（直交成分はゼロv=0）解が存在する．
• このとき速度uと水面高度hは，岸に直交する
距離yについて，一定の形状をとる(u , h)( x, y, t ) = Y ( y )(uɶ ( x, t ), hɶ ( x, t ))• その形状は，指数関数的減少で，その1/eになる距離はロスビーの変形半径である
Y = Y0 exp(− y / RO )• 一方，岸に平行方向には重力波の速度で，北半球では岸を右に見る向き(xの正の向き)に伝播する．

次は定量的理解に式を使おう
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赤道に沿う波ケルビン波の補足• 岸が支える沿岸ケルビン波のように，両半球の水位が互いに支えることによって，赤道にも同様の波が生じる• 導出時の概念図では分かりやすさのために，静止状態から考えたので，岸（赤道）に直交する流れもあるように描いたが，その流れはケルビン波によるのではない．
• 純粋なケルビン波では，伝播方向の速度成分のみを持つ．

• この波を 赤道ケルビン波 と呼ぶ．
１）初期水位２）流れは？

北
h高23

h高赤道

収
束

東高３）収束発散？

４）移動方向？
発散

h高収束

伝播は東向き．速度はやはり流れ
コリオリ力
圧力傾度力

発散

h高収束

発散

h高収束

発散

gH
2425

第3回のまとめ• おおざっぱにいうと，時間スケールが 1日 よりも短い現象では，コリオリ項を無視することができる．その場合に重要となる波は， （非回転）重力波である．
• 層厚がHの1層モデルでは重力波の伝播速度は．

• 上の波が1/fの時間で伝播する距離を，ロスビーの変形半径と言い，これよりも大きいスケールでは一般に地衡流バランスが成り立つ．このスケールは RO = gH / f• 岸があることで生じる波が，沿岸ケルビン波 で，1層モデルの伝播速度はで，岸を 右 に見る方向に伝播する．
• それと近い関係にあるのが，赤道ケルビン波で， 1層モデルの伝播速度はで赤道に沿って 東 向きに伝播する．
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