20差集め算〜 和と差の問題⑤ 〜

基 本 例 題
例

題
あるお店ではえんぴつと，それより 40 円高いボールペンを売っています。えんぴつを 9 本買える

お金でボールペンを買うと 6 本買えます。えんぴつ 1 本の値段は何円ですか。
えんぴつとボールペンの本数をそろえて考えます。

1236789

えんぴつ ○ ○ ○・・・○ ○ ○ ○全体の差＝ 1 本の差×本数40円ですから，えんぴつとボールペンを 6 本ずつ買うと，・・○
ボールペン ○ ○ ○・全体の差240円

代金の差は，40× 6 ＝240（円）
この差が，えんぴつ（ 9 − 6 ＝）3 本分の代金にあたります。したがって，えんぴつ 1 本の値段は，240÷ 3 ＝80（円）例

題
子どもたちにみかんを配るのに， 1 人に 3 個ずつ配ると 12 個あまり， 1 人に 5 個ずつ配ると 2 個不足します。みかんは全部で何個ありますか。
人数＝全体の差÷ 1 人あたりの差③ ③ ③・・・③ 12個あまりですから，子どもの人数は，⑤ ⑤ ⑤・・・○ ２ 個不足（ 5 − 3 ）＝ 7（人）（12＋ 2 ）÷

③ ③ ③・・・③ （全体の差）したがって，みかんの個数は，2 個（1 人あたりの差）⑤ ⑤ ⑤・・・⑤

3 × 7 ＋12＝33（個）
例

14個

題
1 個 80 円のドーナツと 1 個 100 円のケーキを合わせて 15 個買う予定でした。しかし，ドーナツとケーキの個数を予定とは逆にしたため，60 円安くなりました。ドーナツは何個買いましたか。
予定より安くなりましたから，実際には，安い方（ドーナツ）を多く買ったことがわかります。ドーナツとケーキの個数の差は，60÷（100−80）＝ 3（個）ですから，実際に買ったドーナツの個数は，和差算を利用して，（15＋ 3 ）÷ 2 ＝ 9（個）44個数の差
予 80 円定 100 円

80 円 …
100 円 …

80 円
100 円 100 円 … 100 円

金額の差はない
実 80 円際 100 円

80 円 …
100 円 …

80 円
100 円

取りちがえ
80 円 … 80 円

第3章

和と差の問題ポイントチェック
解答は34ページ

1 個 150 円のりんごと 1 個 200 円のなしを同じ個数ずつ買ったところ，りんごとなしの代金の差が 400 円になりました。それぞれ何個ずつ買いましたか。

1 個 20 円の商品をいくつか買う予定でお金を持っていきましたが， 1 個 30 円に値上がりしていたため，買えた個数は予定よりちょうど 12 個少なくなりました。持っていったお金は何円ですか。

あるお店ではボールペンとえんぴつを売っています。ボールペン 1 本の値段はえんぴつ 1 本の値
段より 60 円高くなっています。また，ボールペンを 10 本買えるお金でえんぴつを買うと 15 本買えます。ボールペン 1 本の値段は何円ですか。

折り紙を 1 人に 3 枚ずつ配ると 23 枚あまり， 1 人に 4 枚ずつ配っても 8 枚あまります。折り紙は全部で何枚ありますか。

あるクラスの生徒が長いすにすわるのに， 1 つの長いすに 5 人ずつすわると 4 人がすわれなくなりました。そこで， 1 つの長いすに 6 人ずつすわると，最後の長いすには 2 人がすわることになりました。このクラスの人数は何人ですか。

1 本 50 円のえんぴつを何本か買う予定でお金を用意しましたが， 1 本 70 円のえんぴつしかなかったので，予定より 4 本少なく買ったところ，40 円あまりました。このとき，用意したお金は何円ですか。

50 円切手と 80 円切手を合わせて 20 枚買う予定でしたが，買う枚数を取りちがえてしまったので，予定より 120 円安くなりました。予定では，50 円切手を何枚買うつもりでしたか。

4542

展開図・投影図～ 立体図形の問題③ ～基 本 例 題例

題

9㎝

右の図は，円すいの展開図です。側面を表すおうぎ形のx中心角は何度ですか。

3㎝

こ

側面のおうぎ形の弧の部分と底面の円の円周が等しくなります。
x9 × 2 ×円周率×360＝ 3 × 2 ×円周率
9 × x ＝ 3 ×360（度）…… x3 ×360÷ 9 ＝120
例

母線×中心角＝半径×360
中心角＝（半径母線360 ）題
右の図は，ある立体を真正面と真上から見た図です。

真正面真上から見た図は， 1 辺が 6 ㎝の正方形です。この立体の体積と表面積を求めなさい。

4㎝

5㎝
3㎝3㎝

真上見取図は，右の図のような四角すいになります。このとき，6㎝6㎝

題Ｄ

右の図の立体は直方体で，ＡＢ＝ 6 ㎝，ＢＣ＝ 6 ㎝，ＡＥ＝ 2 ㎝です。ＡからＰを通ってＧまでひもをかけるとき，ひもの長さが最も短くなるのは，ＢＰが何㎝のときですか。

ひもが通る面の展開図を考えます。ひもの長さが最もＰＨＡＥＦＤＣ……相似比

6 ÷ 4 × 3 ＝4. （5 ㎝）……ＢＰＧＰす。三角形ＡＢＰと三角形ＡＦＧは相似ですから，
6：（ 6 ＋ 2 ）＝ 3 ： 4ＣＧＢ

短くなるのは，ＡからＧまでひもが一直線になるときで885㎝4㎝

真正面から見た三角形は図のかげをつけた三角形になります。
16 × 6 × 4 × 3 ＝48（㎤）……体積
6 × 5 ÷ 2 × 4 ＋ 6 × 6 ＝96（㎠）……表面積
例6㎝6㎝

Ａ6㎝

Ｂ2 ㎝ Ｆ

第7章

立体図形の問題ポイントチェック
解答は76ページ1 右の図は，円すいの展開図です。側面を表すおうぎ

10 ㎝

形の中心角は何度ですか。
4㎝

2 （図 1 ）は，ある立体を真正面と真上から見た（図 2 ）（図 1 ）図です。この立体の体積と表面積を求めなさい。
円周率は 3. 14 とします。

3 （図 2 ）は，ある立体を真正面と真上から見た図です。この立体の体積と表面積を求めなさい。

真正面

真 10 ㎝
5㎝ 正面

真上

真上

8㎝

12 ㎝

4㎝12 ㎝4 底面の円の半径が 5 ㎝の円すいを，頂点を中心にしつくえてすべらないようにして机の上を転がしたところ，4Ｏ回転してもとの位置にもどりました。この円すいの母線の長さは何㎝ですか。

5 次の問いに答えなさい。

（図 1 ）のような直方体で，ＡからＧまでひ① （図 1 ）もをピンと張ったときのＢＰの長さは何㎝ですか。
② （図 2 ）のような円すいで，底面の円周上のＢ3㎝
6㎝

Ｃ（図 2 ）

Ｇ18 ㎝

ＰＨＡＥ

Ｄ12 ㎝
ＰＦ

点Ｐから，側面上にひもをピンと張って 1 周3㎝したときの長さは何㎝ですか。

6 右の図は， 1 辺が 2 ㎝の立方体を積み重ねた立体を，正面

右横

正面，真上，右横から見たものです。この立体の体積が最も大きいとき，その体積は何㎤ですか。また，最も小さいとき，その体積は何㎤ですか。

真上89

44

水の入った容器～ 立体図形の問題⑤ ～基 本 例 題
例題
右の図のような 2 つの角柱の容器Ａ，Ｂがあります。

Ａは底面積が 60 ㎠で 10 ㎝の深さまで水が入っていて，Ｂは底面積が 40 ㎠で 3 ㎝の深さまで水が入っています。
Ａの容器の水をＢに移して水の深さを等しくすると，

10 ㎝
3㎝

水の深さは何㎝になりますか。

ＡＢ

60×10＋40× 3 ＝720（㎤）…… 2 つの容器に入っている水の体積の和
60＋40＝100（㎠）……ＡとＢの容器の底面積の和

したがって，等しくなったときの水の深さは，
720÷100＝7. （2 ㎝）例

題
右の図のように，底面のたてが 50 ㎝，横が 80 ㎝，深さが50 ㎝の直方体の水そうがあります。この水そうには，はばが10 ㎝の直方体の仕切りがあります。グラフは，Ａの部分に一定の割合で水を入れたときの時間と，Ａの部分の水の深さの関係を表したものです。
①

ＡとＢの部分の底面積の比を求めなさい。

②

グラフの x にあてはまる数を求めなさい。

10 ㎝
50 ㎝
Ａ（㎝）
50Ｂ

80 ㎝

50 ㎝

x0

①153595

水を入れた時間の比と入れた水の体積の比は等しいです。
15：（35−15）＝3：4
仕切りより下のＡとＢの部分は高さが等しいですから，体積の比は底面積の比と等しくなります。したがって，ＡとＢの部分の底面積の比は 3 ： 4 です。

②50 ㎝

ウ 60 分
10 ㎝
ア15 分

イ 20 分80 ㎝①より，アの部分の横の長さを求めると，80−10＝70（㎝）……アとイの横の長さの和

70÷
（3＋4）
× 3 ＝30（㎝）……アの部分の横の長さ（95−35＝）60 分かかっていますから，水を入れるのに，アの部分に 15 分，ウの部分に15 60
30：80＝ 2 ： 3 ……アとウの部分の高さの比したがって，仕切りの高さ（x）
は，50÷
（2＋3）
× 2 ＝20（㎝）

92（分）

第7章

立体図形の問題

ポイントチェック
解答は80ページ1 右の図のような 2 つの角柱の容器があります。Ａは底面積が 90 ㎠で 12 ㎝の深さまで水が入っていて，Ｂは底面積が 60 ㎠で 3 ㎝の深さまで水が入っています。

12 ㎝

Ａの容器の水をＢに移して水の深さを等しくすると，3㎝
ＢＡ水の深さは何㎝になりますか。

2 右の図のような，直方体を組み合わせた（㎝）
13形の水そうに一定の割合で水を入れました。
右のグラフは，水を入れ始めてからの時間と水そうの底面から水面までの高さの関係を表したものです。

5x12 ㎝①

図の x の長さは何㎝ですか。

②

水を入れ始めてから 10 分後の水面の高10 ㎝

0（分）
175

さは何㎝ですか。

3 Ａ管，Ｂ管のついた直方体の水そうがあります。この（Ｌ）
37

水そうに，はじめ，Ａ管だけで水を入れ，途中からＡ管とＢ管で水を入れました。右のグラフは，水を入れ始め

19．2
16てからの時間と水そうに入った水の量の関係を表しています。Ｂ管からは毎分何Ｌの水が入りますか。

04 右の図のような，横が 1 ｍ，深さが8（分）（㎝）
8080 ㎝の直方体の水そうがあります。この水そうには直方体の仕切りがあり，底面がＡ，Ｂ 2 つの部分に分けられて5x80 ㎝います。右のグラフはＡの部分に一定の割合で水を入れたときの時間と，ＡＡ

30Ｂ1m

092474（分）の部分の水の深さの関係を表したものです。
①

ＡとＢの部分の底面積の比を求めなさい。

②

図の x の長さは何㎝ですか。

93