ニュートン算の特訓・解答と解説
解答

１ ４２(1) ２０(2)

３３(1)
４(1)

(2)
(2)

８
１３，２０(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)

３０
１０
１２９６
１１７
２１９，３６６２２２８８５８５ ２
１１６(1) ７２０７(1) １２０８(1) １０９(1) ６10(1) ９０11(1) １５12(1) ９，３０13(1) １０４14(1) ７

解
１１
１３(3)
(3)

４，４８６(3)

４(3)
(3)
(3)

９，８
１６１０説

牛が草を食べている間にも，草は毎日生え続けることに注意しながら，次の解説を１つずつ，しっかり読んでいこう。
１頭の牛が１日に食べる草の量を１㎏とする。
６頭の牛が９日間に食べる草の量は，１×６×９＝５４(㎏)。 …(ア)
８頭の牛が６日間に食べる草の量は，１×８×６＝４８(㎏)。 …(イ)(ア)と(イ)では，草の量が ５４－４８＝６(㎏)違う。
よって，９－６＝３(日間)で，６㎏の草が生えたことがわかる。
１日あたり，６÷３＝２(㎏)ずつ，草は生えていく。 …(ウ)ところで，(ア)で求めた５４㎏は，はじめに生えていた草の量だけではない。
はじめに生えていた草だけでなく，９日間に生えてきた草も，牛は食べたはずだ。
よって，(はじめに生えていた草の量)＋(９日間に生えた草の量)＝５４㎏ となる。
ところが(ウ)により，１日に草は２㎏ずつ生えていくのだから，９日間では，２×９＝１８(㎏)の草が生えた。
よって，はじめに生えていた草の量は，５４－１８＝３６(㎏)。…(エ)わかったことを整理すると，次のようになる。
１頭の牛が１日に食べる草の量を１㎏とする。
１日あたり，２㎏ずつ，草は生えていく。
はじめに生えていた草の量は，３６㎏。
この問題は，１１頭の牛を放したときに，何日間で草を食べつくすかという問題だった。
１頭の牛は１日に１㎏の草を食べるとしたのだから，１１頭の牛は１日に１１㎏の草を食べる。
ところが，１日あたり，２㎏ずつしか，草は生えない。ということは，草が生えていく量よりも，草がなくなっていく量の方が多いことに気づく。
１日あたり，１１－２＝９(㎏)ずつ，草の量が減っていくのだから，はじめにあった３６㎏は，３６÷９＝４(日間)で，食べつくしてしまう。
答え ４日間- 1 -

２１の問題と同じように解けばよい。
１の草にあたるのが，この問題では行列の人数で，牛にあたるのが，この問題では入場口になる。
(1) １つの入場口が１分に入場させる人数を，１人とする。
２ヶ所の入場口が１０分で入場させた人数は，１×２×１０＝２０(人)。…(ア)４ヶ所の入場口が４分で入場させた人数は，１×４×４＝１６(人)。…(イ)(ア)と(イ)では，２０－１６＝４(人)ちがう。
よって，１０－４＝６(分間)で，４人増えたことがわかる。
２
１分あたり，４÷６＝ (人)ずつ，増えていく。 …(ウ)３
ところで，(ア)で求めた２０人は，入場口を開いたときに並んでいた人たちだけではない。１０分で増えた人たちも，入場させたはずだ。
よって，(入場口を開いたときに並んでいた人数)＋(１０分で増えた人数)＝２０人となる。
２
ところが(ウ)により，１分間に行列の人数は 人ずつ増えていくのだから，３
２２０１０分では， ×１０＝(人)が増えた。
３
３２０ ４０
よって，入場口を開いたときに並んでいた人数は，２０－＝(人)。
３３
わかったことを整理すると，次のようになる。
１つの入場口が１分に入場させた人数を１人とする。
２
１分あたり， 人ずつ，人数は増えていく。
３４０
入場口を開いたときに並んでいた人数は，人。
３

ところで，ずっと前は，入場口には，だれも並んでいなかったはずだ。
２
そして，１分に 人ずつ，行列が並んでいって，
３４０
入場口を開いたときには，すでに人が並んでいたはずだ。
３ということは，行列ができはじめたのは，入場口を開く時刻の，４０ ２÷ ＝２０(分)前，ということになる。
３３(2)

答え２０分前

１つの入場口は，１分間に１人ずつ入場させると，はじめに決めた。
入場口を５ヶ所にすると，１分間に５人ずつ入場させることになる。
２
ところで，１分あたり， 人ずつ，人数は増えていく。
３
２ １３ということは，行列の人数は，１分間に ５－ ＝(人)ずつ，減っていくことになる。
３
３４０１３
入場口を開いたときには人がいて，１分間に人ずつ減っていくのだから，
３３４０ １３
１÷＝３(分)後に，行列はなくなってしまう。
３３
１３１答え ３分後
１３- 2 -３(1)

１つの窓口が１分に受け付ける人数を，１とする。
４つの窓口が３２分で受け付けた人数は，１×４×３２＝１２８。…(ア)
５つの窓口が２４分で受け付けた人数は，１×５×２４＝１２０。…(イ)(ア)と(イ)では，１２８－１２０＝８ ちがう。
よって，３２－２４＝８(分間)で，８増えたことがわかる。
１分あたり，８÷８＝１ ずつ増えていく。
ところで，(ア)で求めた１２８は，はじめの人数だけではない。３２分で増えた人数も，ふくまれている。
１分あたり１ずつ増えていって，３２分のときには１２８になったのだから，はじめの人数は，１２８－１×３２＝９６。

わかったことを整理すると，次のようになる。
１つの窓口が１分受け付けた人数を１とする。
行列は１分あたり，１ずつ増えていく。
はじめの人数は，９６。
ところで実際は，問題文に「１分間に３人の割合で入場者が行列に加わっていきます。」と書いてあるので，１＝３人，であることがわかる。
すると，はじめの人数は９６にあたるので，３×９６＝２８８(人)。
答え ２８８人(2) (1)の解説で，ワクの中に書いたことを使ってみよう。
はじめの人数は，９６にあたる。１分あたり１ずつ増えていくので，１５分では，９６＋１×１５＝１１１ になる。
これだけの人数を，１５分でなくさなければならないので，１分あたり，１１１÷１５＝７.４ ずつ，なくしていかなければならない。
ところで，１つの窓口では，１ずつなくしていけるのだから，７.４÷１＝７.４(個)の窓口があれば，ぴったり１５分で行列がなくなる。
１５分以内で行列をなくすためには，窓口は７.４個よりも多く必要だから，７.４をこえる整数の中で最も小さい，８個が正解になる。
答え ８個
４(1)

窓口を一つあけた場合，はじめに並んでいた８０人だけの受付をしたのではなくて，あとから毎分４人ずつ８０分で並んだ人たちの受付もしたはず。
よって，８０＋４×８０＝４００(人)の受付をしたことになる。
窓口一つが，８０分で，４００人の受付をしたのだから，窓口一つは，１分間に，４００÷８０＝５(人)ずつ受付をしたことになる。
答え ５人(2) (1)で求めたように，窓口一つでは，１分間に５人ずつ受付をすることができる。
窓口を二つあけると，１分間に ５×２＝１０(人)ずつ受付をすることができる。
つまり，窓口二つの場合は，１分間に１０人ずつ行列を減らしていけることになる。
ところが，行列には毎分４人ずつ加わっていくのだから，１０－４＝６(人)ずつ，行列は減っていくことになる。
はじめに８０人並んでいて，６人ずつ行列が減っていくのだから，
１８０÷６＝１３ (分) → １３分２０秒で，行列はなくなる。
３
答え １３分２０秒

- 3 -

５

１台のポンプが１分間にくみ出す水の量を１とする。
１台のポンプが１５分間にくみ出す水の量は，１×１５＝１５ となる。…(ア)２台のポンプが６分間にくみ出す水の量は，１×２×６＝１２ となる。…(イ)(ア)と(イ)では，１５－１２＝３ ちがう。その理由は，(ア)の方が，１５－６＝９(分)だ
けよけいに時間がかかったので，その間に水は３だけ入ってきたから。
１
９分間に３だけ水が入ってくるので，１分あたり，３÷９＝ずつ，水が入ってくる。
３(ア)では，１５分間で１５の水をくみ出したのだが，この中には，１５分で蛇口から入って１きた量である， ×１５＝５ の水もふくまれている。
３
よって，はじめの水の量は，１５－５＝１０ となる。
わかったことを整理すると，次のようになる。
１台のポンプが１分間にくみ出す水の量を１とする。
１１分あたり， ずつ，水が入ってくる。
３
はじめの水の量は，１０。
ポンプを４台使うと，１分間に４ずつ水をくみ出すことになるが，水は１ずつ入ってくる
３

１ １１＝ずつ，水は減っていくことになる。
３３１１
８はじめの水の量は１０だったから，１０÷＝２(分後)に，水そうは空になる。
３
１１８
答え ２分後１１

ので，４－６(1)

はじめに２４０人が並んでいて，毎分４０人ずつ増えていく。
１２分後には，２４０＋４０×１２＝７２０(人)になる。

答え ７２０人(1)により，２つの入口を，１２分で通過した人数は，７２０人であることがわかった。ということは，２つの入口を，１分あたりに通過した人数は，７２０÷１２＝６０(人)になる。
よって，１つの入口を，１分あたりに通過した人数は，６０÷２＝３０(人)。
答え ３０人(3) (2)により，１つの入口を，１分あたりに通過した人数は，３０人であることがわかった。
もし入口を３つにしていたら，１分あたりに通過する人数は，３０×３＝９０(人)になる。
毎分４０人の割合で人が増えるが，毎分９０人の割合で入口を通過させるのだから，１分に ９０－４０＝５０(人)ずつ，行列の人数は減っていく。
はじめに２４０人が並んでいて，５０人ずつ減っていくのだから，
２４０÷５０＝４.８(分)。
０.８×６０＝４８ だから，４.８分＝４分４８秒。
答え ４分４８秒
(2)

- 4 -

７(1)

１秒間に１人ずつ ＝ １分間に６０人ずつはじめに１８００人が並んでいて，１分間に６０人ずつ増えていくのだから，３０分後には，１８００＋６０×３０＝３６００(人)を入場させた。
３０分で３６００人を入場させたのだから，１分あたり，３６００÷３０＝１２０(人)ずつ，入場させたことになる。
答え １２０人(2) (1)により，１か所の入場口は，１分あたり１２０人ずつ入場させることがわかった。
入場口の門を２か所開けると，１分あたり １２０×２＝２４０(人)ずつ入場させることができる。
ところで，１分間に６０人ずつ並ぼうとする人がいるのだから，２４０－６０＝１８０(人)ずつ，行列の人数は減っていく。
はじめに１８００人が並んでいて，１分間に１８０人ずつ減っていくのだから，
１８００÷１８０＝１０(分)で，行列はなくなる。
答え １０分
この解き方を，１つの式にすると，次のようになる。
１８００÷(１２０×２－６０)＝１０(3) (2)は入場口が２か所の場合だった。入場口の数を□か所とすると，３分で行列がなくなるときの式は，１８００÷(１２０×□－６０)＝３となる。あとは逆算をすればよい。
１８００÷３＝６００
６００＋６０＝６６０
６６０÷１２０＝５.５
よって，入場口が５.５か所あれば，ちょうど３分で行列がなくなる。
３分以内で行列をなくすためには，入場口の数を５.５か所よりも多くすればよい。
したがって，入場口の数を６か所にすればよい。
答え ６か所

８(1) はじめに１００人がいて，毎分５人ずつ列に加わるのだから，２０分間に発売した人数
は，１００＋５×２０＝２００(人)。
１つの売り場は，２０分間で，２００人にチケットを販売したのだから，１分間に販売した人数は，２００÷２０＝１０(人)。
答え １０人(2) 毎分５人が列に加わっていくが，(1)で求めたように売り場は１０人ずつチケットを販売していくので，１０－５＝５(人)ずつ，行列は減っていく。
はじめに６０人がいたのだから，６０÷５＝１２(分)で，行列はなくなる。
答え １２分９「宿題をため込む」という，とても現実感あふれる問題だ。
この問題を通じて，ニュートン算の意味をしっかり理解してほしい。
(1) １日に１０問ずつ解くと２４日間かかるのだから，２４日間で，１０×２４＝２４０(問)を解くことになる。
しかし，この２４０問という問題数は，いまため込んでいる問題数だけではない。
２４日間解いているうちにも，毎日何問かずつ宿題は出されるのだから，いまため込んでいる問題数＋２４日間で増える問題数＝２４０問となる。…(ア)また，１日に１８問ずつ解くと８日間かかるのだから，８日間で，１８×８＝１４４(問)。これも同様に，いまため込んでいる問題数＋８日間で増える問題数＝１４４問となる。…(イ)(ア)と(イ)では，２４０－１４４＝９６(問)ちがう。そのわけは，(ア)の方が，宿題をやり終えるのに，２４－８＝１６(日間)だけ，多く日数がかかったから。
１６日間で，９６問が宿題として出されたのだから，１日あたり，９６÷１６＝６(問)。
答え ６問

- 5 -

(2)

(1)によって，毎日６問ずつ宿題が出されることがわかった。
(ア)において，２４日間で増える問題数は，６×２４＝１４４(問) だから，いまため込んでいる問題数は，２４０－１４４＝９６(問)。
答え ９６問(3) (1)によって，毎日６問ずつ宿題が出されることがわかった。
１日に３０問ずつ解くと，３０－６＝２４(問)ずつ，ため込んでいる問題が減っていくことになる。
(2)によって，いまため込んでいる問題数は９６問であることがわかっているから，９６÷２４＝４(日間)で，宿題をすべて終わらせることができる。
答え ４日間10(1)グラフを見ると，４ゲートの場合は１５分間で行列がなくなり，６ゲートの場合は，５２.５－４５＝７.５(分間)で行列がなくなることがわかる。
ここで，１ゲートを，１分間に通過した人数を１とする。
４ゲートを１５分間で通過した人数は，１×４×１５＝６０， …(ア)６ゲートを７.５分間で通過した人数は，１×６×７.５＝４５。…(イ)(ア)と(イ)では，６０－４５＝１５ ちがう。その理由は，ゲートを開けていた時間が，１５－７.５＝７.５(分)ちがうから。
この７.５分間で，行列は１５だけ増えたのだから，１分あたり，１５÷７.５＝２ ずつ，行列は増えることになる。
はじめに何人かいて，１分に２ずつ増えて，(ア)のように，１５分では６０になったのだから，はじめの人数は，６０－２×１５＝３０ になる。
以上整理すると，１ゲートを１分間に通過した人数を１とすると，１分あたり２ずつ，行列が増える。
はじめの人数は，３０。

ところが実際には，１分あたり６人の割合で人が訪れたと書いてあるから，２にあたるのが６人だとわかった。
１あたり，６÷２＝３(人)で，はじめの人数は３０にあたるのだから，３×３０＝９０(人)。
答え ９０人(2) (1)によって，前の日のはじめの人数は９０人とわかった。
また，前の日の開場から３０分後の人
数は，右のグラフの☆の部分だが，３０分後というのは１５分後と４５分後の真ん中だから，９０÷２＝４５(人)。
よって，次の日の，開場から３０分後の人数は，４５÷５×３＝２７(人)。
ところで，(1)では１ゲートを１分間に通過した人数を１としたが，１あたりは３人だから，３つのゲートでは，３×３＝９(人)ずつ，ゲートを通過したことになる。
１分あたり６人ずつ人が訪れるのだから，９－６＝３(人)ずつ，行列は減っていく。
そして３０分後には，行列は２７人になったのだから，はじめに行列にいた人数は，２７＋３×３０＝１１７(人)。
答え １１７人- 6 -11(1)

発売口１つが１分間に発売する人数を１とする。
発売口３つが１５分間に発売した人数は，１×３×１５＝４５。…(ア)
発売口６つが５分間に発売した人数は，１×６×５＝３０。…(イ)(ア)と(イ)では，４５－３０＝１５ ちがう。その理由は，発売した時間が，１５－５＝１０(分)ちがうから。
よって，１分あたり，１５÷１０＝１.５ ずつ，行列に人が加わっていくことがわかった。
(ア)の，４５という人数は，はじめに行列に並んでいた人数だけではなく，１５分間に行列に加わった人数もふくまれている。１分間に１.５ずつ加わるのだから，１５分間では，１.５×１５＝２２.５ だけ増えて，４５になった。
よって，はじめに行列に並んでいた人数は，４５－２２.５＝２２.５ となる。
以上整理すると，発売口１つが１分間に発売する人数を１とする。
１分間に１.５ずつ，行列に加わる。
はじめに行列に並んでいた人数は，２２.５。

人が並び始めてからは，１分間に１.５ずつ，行列に加わり，開館のときには２２.５だけ並んでいたのだから，２２.５÷１.５＝１５(分)前から並び始めたことになる。
答え １５分前(2) 発売口１つが１分間に発売する人数を１としたのだから，発売口６つでは，１分間に６ずつ発売する。１分間に１.５ずつ，行列に人が加わっていくのだから，６－１.５＝４.５ ずつ，行列の人数は減っていく。
はじめに行列に並んでいた人数は２２.５だから，３分後には，２２.５－４.５×３＝９になる。
その後は，発売口を２つにしたので，１分間に２ずつ発売する。１分間に１.５ずつ，行列に人が加わっていくのだから，２－１.５＝０.５ ずつ，行列の人数は減っていく。
発売口を２つにしてから，９÷０.５＝１８(分)後に，行列はなくなることになる。
よって，行列がなくなったのは，開館してから，３＋１８＝２１(分)後。
答え ２１分後12(1)１つの窓口で１分ごとに入場券を買っていく客の人数を１とする。
窓口を３つ開くと，１０時３０分までの９０分間に買った客の人数は，３×９０＝２７０。…(ア)
窓口を５つ開くと，９時１８分までの１８分間に買った客の人数は，５×１８＝９０。 …(イ)(ア)と(イ)では，２７０－９０＝１８０ ちがう。よって，９０－１８＝７２(分間)に，客は１８０だけ並んだことになる。１分あたり，１８０÷７２＝２.５ ずつ並ぶ。
(ア)によって，９０分後の客の人数は２７０であることがわかっているから，はじめの客の人数は，２７０－２.５×９０＝４５ になる。
以上整理すると，１つの窓口で１分ごとに入場券を買っていく客の人数を１とする。
１分あたり２.５ずつ，客が行列に並ぶ。
はじめの客の人数は，４５。
いま，窓口を４つ開いたのだから，客は１分あたり４ずつ入場券を買っていく。
１分あたり２.５ずつ客が行列に並ぶのだから，４－２.５＝１.５ ずつ，行列の人数は減っていく。はじめに４５いたのだから，４５÷１.５＝３０(分)後に，行列はなくなる。
答え ９時３０分- 7 -(2) 休日は，はじめの客の人数が２倍，１分ごとに入場券を買っていく客の人数は３倍だか
ら，次のようになる。
１つの窓口で１分ごとに入場券を買っていく客の人数を１とする。
１分あたり７.５ずつ，客が行列に並ぶ。
はじめの客の人数は，９０。
いま，窓口を１０個開いたのだから，客は１分あたり１０ずつ入場券を買っていく。
１分あたり７.５ずつ客が行列に並ぶのだから，１０－７.５＝２.５ ずつ，行列の人数は減っていく。はじめに９０いたのだから，９０÷２.５＝３６(分)後に，行列はなくなる。
答え ９時３６分(3) 窓口を１０個開いたのだから，客は１分あたり１０ずつ入場券を買っていく。
９時１５分までの１５分間で，１０×１５＝１５０ の客が，入場券を買ったことになる。
入場券を売り始める９時００分には，９０の客がいたのだから，９時から行列に並んだ人の中で，１５０－９０＝６０(番目)までに並べばよいことがわかる。
１分あたり７.５ずつ客が行列に並ぶのだから，６０÷７.５＝８(分)までに並べばよい。
答え ９時８分
13(1)

上映の６０分前は，行列は１６４人だった。
その１５分後，つまり上映の４５分前には，行列は１３４人になった。
１５分間で，１６４－１３４＝３０(人)だけ，行列が減った。
さらに１５分たつと，上映の３０分前になるが，その１５分間でも同じように３０人だ
け行列が減るはず。
よって，上映の３０分前の行列は，１３４－３０＝１０４(人)になっている。
答え １０４人(2) はじめに１６４人いたのが，窓口３つのときは１５分後には１３４人になったのだから，１５分間で，１６４－１３４＝３０(人)だけ，行列が減った。
１分あたり，３０÷１５＝２(人)ずつ，行列を減らすことがわかる。
その調子で上映３０分前までチケットを売っていくと，さらに３０人だけ行列が減ることになるから，行列の人数は，１３４－３０＝１０４(人) になる。
ここで窓口を２つ増やして５つにしたら，その５分後には３４人になったのだから，５分間で，１０４－３４＝７０(人)だけ，行列が減った。
１分あたり，７０÷５＝１４(人)ずつ，行列を減らすことがわかる。
以上整理すると，次のようになる。
窓口が３つのときは，１分あたり２人ずつ，行列を減らす。
窓口が５つのときは，１分あたり１４人ずつ，行列を減らす。
行列に加わっていく人数は，窓口を３つにしようが５つにしようが変わらないので，１４－２＝１２(人)が，窓口２つで，１分間に入場させた人数になる。
窓口１つあたり，１分間で，１２÷２＝６(人)ずつ，入場させたことになる。
答え ６人(3) (2)によって，窓口１つあたり，１分間で，６人ずつ入場させることがわかった。
窓口が３つならば，１分間で，６×３＝１８(人)ずつ，入場させることになる。
ところが(2)で整理したように，窓口が３つのときは，１分あたり２人ずつしか，行列は減っていない。
その理由は，窓口で１８人も入場させても，行列にどんどん加わっていくから。
行列に加わっていく人数は，１分あたり １８－２＝１６(人) になる。
答え １６人- 8 -14(1)

はじめに５５０人がいて，毎分１０人ずつ行列に加わっていくのだから，５０分後には，５５０＋１０×５０＝１０５０(人)になる。この人数を，窓口３つが，５０分間で受け付けをした。
窓口３つは，１分あたり，１０５０÷５０＝２１(人)ずつ受け付けたことになる。
窓口１つは，１分あたり，２１÷３＝７(人)ずつ，受け付けをした。
答え ７人(2) 整理すると，次のようになる。
はじめに５５０人がいた。
１分あたり，１０人ずつ行列に加わる。
窓口１つは，１分あたり，７人ずつ受け付けをした。
いま，窓口を５つにしたのだから，１分あたり，７×５＝３５(人)ずつ，受け付けをする。
１分あたり，１０人ずつ行列に加わっていくので，３５－１０＝２５(人)ずつ，行列の人数は減っていく。
はじめに５５０人がいたのだから，５５０÷２５＝２２(分)で，行列はなくなる。
答え ２２分(3) 受け付けを開始してから１０分では，５５０＋１０×１０＝６５０(人)の受け付けをしなければならない。
１分あたり，６５０÷１０＝６５(人)ずつ，受け付けをする必要がある。
窓口１つでは，１分あたり７人ずつ受け付けをするので，６５÷７＝９.２…(か所)の窓口があれば，ちょうど１０分で行列がなくなる。
１０分以内に行列をなくすためには，窓口の数は９.２か所より多く必要。
よって，最低の窓口の数は，１０か所になる。
答え １０か所- 9 -