みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1

最適輸送を用いた量子状態学習宇野 隼平i，手塚 宙之ii,iii，山本 直樹iv

Learning Quantum States using Optimal Transport
Shumpei UNO, Hiroyuki TEZUKA, Naoki YAMAMOTO
近年, 既存のデータにもとづいて新たなデータを生成する機械学習モデル（生成モデル）が注目を集めており, 画像生成, 異常検知, 分子構造の生成等, 幅広い分野への活用が期待されている. 本稿では, 通常のデータの代わりに, 量子状態を量子コンピュータにより生成する機械学習モデルについて概説する. 特に損失関数として最適輸送距離を用いて, 比較的低次元に量子状態が局在する場合の学習手法を示す.
(キーワード): 量子コンピュータ，量子アルゴリズム，学習理論，生成モデル，異常検知

1 はじめになどが期待される. 少量の実験回数による高精度な予測は, 網羅的に材料探索を行うハイスループット

近年の量子コンピュータのハードウェアの進展に実験で必要不可欠な要素であり, 今後, 量子実験技

伴い, 将来の活用に向けた量子アルゴリズム開発が術やロボティクスとの組合せなどにより, さらなる急速に進展している. 特に, 量子コンピュータを用発展が望まれる.

いた機械学習（量子機械学習）は近い将来の量子コン

機械学習の手法は, その目的に応じて, 回帰, 分類,ピ ュ ー タ で あ る NISQ （ Noisy Intermediate-Scale

生成等の種類に分別される. 近年, 特に, 古典データ

Quantum Computer）において活用が有力視されていの生成に関して, 例えば, 画像生成 5)-7), 異常検知 8),

る適用領域の一つである 1--4).

分子構造 9)の生成等において, 高い性能を示す学習

量子機械学習は, 教師データとして量子データをモデルが提案されており, 大きな注目を集めている.

扱うものと, 古典データを扱うものに大別される.

量子データにおいても, 生成モデルによる量子状態

古典データは文書や画像データのような, 日常的にの異常検知や量子状態の生成は, 将来的の量子コン

既存のコンピュータで取り扱っているデータである.

ピュータ, 量子通信, 量子計測などにおいて, 量子状

一方で, 量子データは, ミクロな物理現象等の量子態を精密に制御するための重要な要素技術の一つに状態をデータとして取り扱うものである. 特に量子成ると考えられる. 例えば, 量子通信において, 送ら

機械学習では, 量子データを用いた場合,既存のコンれる量子状態は周辺の環境の影響により大きくノイピュータを用いた機械学習（古典機械学習）と比較しズを受ける可能性があり, ノイズを受けた量子状態て大きな優位性を有することが期待されている. 量を検知し, 除去することは, 実用化に向けた大きな子データを用いた機械学習では, 例えば, 分光実験

鍵となると考えられる.

などで得られる光を直接量子コンピュータで処理す

本稿では, 量子状態を生成する生成モデルの新たることで, 既存の機械学習より遥かに少ない実験回なフレームワーク 10)を紹介する. これまでの量子状数で, 高精度な原子構造や物性値の計測を行うこと

態の生成モデルでは, 主に単一の状態を学習するもi

サイエンスソリューション部 デジタルエンジニアリングチーム

学）
ii

ソニーグループ株式会社

iii

慶應義塾大学

量子コンピューティングセンターiv

慶應義塾大学

量物理情報工学科

R&D センター

先端研究部
共同研究員

教授

1

上席主任コンサルタント

博士（理みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1のであったため, 適用先には大きな制限があった.

に記述せずに, 生成モデルに従うサンプルを生成す

本稿の手法では, 高次元の全ヒルベルト空間中の比る. 暗黙的モデルの利点としては, 広大な全標本空較的低次元の部分空間上にのみ量子状態が分布する間のうち, 比較的低次元の超平面上にデータセットと仮定することで, 量子状態の分布を学習出来るよが分布するような現象を容易に表すことができるこ

うなフレームワークを提供する.

と, データを生成する物理的なプロセスとして解釈

本稿の構成は以下のとおりである. まず 2 章におできること等がある. 暗黙的モデルの代表的な例といて, 生成モデルや最適輸送損失の基礎的な事項にしては,や Generative Adversarial Networks11)などが挙ついて簡単に述べる. 次に, 3 章において, 最適輸送

げられる. 本稿では, 暗黙的モデルに注目して議論損失を用いた量子状態の分布の学習アルゴリズムにをすすめる.

ついて述べる. 4 章では, 生成モデルの応用例として,

暗黙的モデルでは, 多くの場合, 全標本空間のう

量子状態の異常検知アルゴリズムについて述べる.

ち, データは比較的低次元の多様体上に存在すると最後に, 5 章において, まとめと今後の展望を述べる.

仮定する. つまり, 標本空間𝒳の次元𝑁 に比べて十分次元が低い次元𝑁 (≪ 𝑁 )の潜在空間𝒵上のランダ
ム潜在変数𝒛 = {𝑧 } を仮定し, 潜在変数𝒛を標本空

2 Preliminaries

間に移す複雑な写像(Generator 𝐺𝜽 (𝒛) ∈ 𝒳 )として確
本章では, まず, 古典機械学習における生成モデ率モデルを表す(図 1 を参照). ここで, ランダム変数

ルの問題設定をレビューし, 暗黙的な生成モデルの𝒛はガウス分布や一様分布等の既知の分布𝛾(𝒛)に従量子モデルについて述べる. その後, 生成モデルのうと仮定される. 暗黙的モデルでは, 適当なコスト学習におけるコスト関数の有力な候補の一つである,関数を用いて, Generator のパラメータ𝜽をデータに適最適輸送損失について述べる. 最後に, ビット数が合させることで学習を行う.

多い場合の学習において問題となる勾配消失問題に𝜽⋆ = arg min ℒ(𝛼 , 𝛽𝜽, )ついて簡単に述べ, 解決策の一つであるローカルコ(1)𝜽

スト関数を紹介する.
ここで, 𝛽𝜽,は push-forward operator #12)を通じて標

2.1 暗黙的な生成モデル

本空間上に定義された確率分布𝐺𝜽 #𝛾 を表しており,生成モデルは, 教師なし学習の主要なタスクの一つであり, 与えられたデータセット{𝒙 } をもとに,大まかに言えば, 潜在変数 𝒛 ∈ 𝒵に対して定義されそのデータの背後にある分布を近似することを目的ている確率分布𝛾を Generator 𝐺𝜽 を通じて標本空間𝒳上の確率分布に移したものである. 𝛼 (𝒙), 𝛾 (𝒛)はとする. より具体的には, 与えられたデータセット

それぞれ確率分布α(𝒙)及びに𝛾(𝒛)従うデータ 𝒙の背後にある確率分布α(𝒙)を仮定し, 確率モデルを𝜃

及び 𝒛

でパラメトライズされた確率分布𝛽𝜽 (𝒙)としたときを用いて定義される経験分布である：に, 適切な損失関数ℒ(𝛼, 𝛽, 𝜽)をなるべく小さくする
ようにパラメータ𝜽を学習する. 古典機械学習において, 生成モデルは異常検知, データの生成, データ構

𝛼 (𝒙) =1𝑁𝛿(𝒙 − 𝒙 )(2)

𝛾 (𝒛) =1𝑁𝛿(𝒛 − 𝒛 )(3)造の学習, 次元削減などの目的で広く研究されているが, 量子コンピュータへの適用事例はほとんどない.
生成モデルは大きく, 明示的モデル （prescribedmodel）と暗黙的モデル（implicit model）に分類され潜在空間→標本空間

る. 明示的モデルでは, パラメータ𝜽を用いて, デー
タセット 𝒙：生成モデルの分布の背後にある確率密度𝛽𝜽 (𝒙)を関数として明示的に記述する. このため, 明示的モデル

潜在変数

では, 対数尤度を計算することが可能であり, 最尤：データの経験分布推定などにより, パラメータ𝜽を求めることが可能と標本空間なる. 一方で, 暗黙的モデルでは, 確率密度を明示的

2

みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1
図 1 暗黙的な生成モデルのイメージ. 低次元の潜在空間上の確率変数を既知の分布𝜸に従って発生, Generator𝑮𝜽 (𝒛)により標本空間に写像する. 写像した分布がデータセットに近づくようにパラメータ𝜽の学習を行う.

Generator 𝑈(𝒛, 𝜽)を構成する階層の数である. このGenerator 𝑈(𝒛, 𝜽)では, 同じ構造を持つ層を𝑁 回繰
り返し作用する.

2.2 暗黙的な生成モデル
量子コンピュータを用いて, 量子状態の暗黙的な𝑈(𝒛, 𝜽) =生成モデルを構築するにあたり, 量子データのGenerator として, パラメータ付きの量子回路を用いることが考えられる. 例えば, 量子コンピュータを

ここで, 𝜽 = 𝜃ℓ,

用いた量子 GAN13)では, パラメータ付きの量子回路, 𝝃 = 𝜉ℓ,及び𝜼 = 𝜂ℓ,は, すべて𝑛次元のパラメータであり, 𝜽={𝜽ℓ }ℓ , 𝝃 = {𝝃ℓ }ℓ 及び𝜼 = {𝜼ℓ }ℓ である. 式(6)のパ

𝑈(𝜽)を用いて, 以下のように暗黙的な生成モデルを定義することが提案されている.
|𝜓𝜽 (𝒛)⟩ = 𝑈(𝜽)|𝒛⟩(6)

𝑊𝑉𝝃ℓ,𝜼ℓ (𝒛, 𝜽ℓ )ℓ

ラメータのうち, 𝜽は学習する対象のパラメータであり, 𝒛は潜在変数である. 𝝃及び𝜼は学習が始まる前に(4)

ランダムに初期化され, 学習中には変化しないパラメータである.
ℓ番目の層内ではまず, 演算子𝑉𝝃ℓ,𝜼ℓ (𝒛, 𝜽ℓ )により, 𝑗
番目のビットに角度𝜃ℓ, × 𝑧 ℓ, , 方向𝜉ℓ, の単一量子ビ

ここで, |𝜓𝜽 (𝒛)⟩は量子データの分布を表している.
この状態を量子データの分布として用いるとすると,
潜在変数𝒛の値がわずかに異なる量子データ同士がットのパウリ回転を作用し, その後, 演算子𝑊によ直交することとなるが, これは,連続的な量子空間上り全ビットに対する ladder controlled Z ゲートを作用の分布を表すことが困難であり, 現在の目的と合わする. すなわち,ない.
そこで, 本稿では, 以下のように, 潜在変数𝒛をパ𝑊=

ラメータ付き量子回路に含めた形で, 量子状態の暗

(7)

𝐶𝑍 ,

黙的な生成モデルを定めることとする.
|𝜓𝜽 (𝒛)⟩ = 𝑈(𝒛, 𝜽)|𝟎⟩𝑉𝝃ℓ,𝜼ℓ (𝒛, 𝜽ℓ ) =(5)

𝑅 ℓ, (𝜃ℓ, 𝑧 ℓ, )(8)

ール 14),15)を使うことで, 潜在変数𝒛に関する微分を計

ここで, 𝐶𝑍 , は, 𝑖番目及び𝑖 + 1番目のビットに作用する controlled Z ゲートである. また, 𝑅 ℓ, (𝜃ℓ, 𝑧 ℓ, )は, 角度𝜃ℓ, × 𝑧 ℓ, , 方向𝜉ℓ, のパウリ回転である. 方

算できるという利点がある. 潜在変数𝒛に関する微分向 𝜉ℓ, ∈ {𝑋, 𝑌, 𝑍} 及 び 潜 在 変 数 の 成 分 番 号 𝜂ℓ, ∈を活用する例は, 生成モデルを用いた異常検知の例{0,1,2, … , 𝑁 }は学習が始まる前にランダムに初期化（4 章）で示す.

される. ここで, 便利のため, バイアス項𝑧 を導入しこの形には, 量子空間上の連続的な状態を表すことが出来るということ以外にも, パラメータシフトル

た.

パラメータ付き量子回路の具体例としては, 例えば, 図 2 の形が考えられる. 図 2 では, 「𝑁 」は,

図 2 Generator 𝑼(𝒛, 𝜽)に用いるパラメータ付き量子回路の例. この回路では, 同じ構造を持つ層を繰り返し𝑵𝑳 回作用
する. 各層では, 全ビットにランダムな方向の単一ビットパウリ回転をし, その後, 全ビットに対する ladder controlled
Z を作用する.

3

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2.3 最適輸送損失
既存の機械学習における生成モデルでは, 損失関数 と し て最適 輸 送損 失 /ワ ッ サ ー シ ュ タ イン 距 離（Optimal Transportation loss/Wasserstein distance）が注
目されており, 画像解析, 自然言語処理, 金融等様々な分野で活用されている 16)-20). 最適輸送損失は, 特に, 尤度が計算できない場合や, 2 つの確率分布のサポート同士が一致しない場合にも適用可能なこと,
標本空間上の距離を自然に取り込めること等の利点
20)-26)がある. 最適輸送損失は, 確率分布𝛼(𝒙)を別の確率分布𝛽(𝒙)に移す最小のコストとして, 以下で定義される.

図 3 最適輸送距離の empirical estimator のイメージ. 𝜶からサンプルした点を𝜷からサンプルした点に移すとした
ときの”距離”の総和として定義される.

定義 1 (最適輸送損失 27))
ℒ (𝛼, 𝛽) = min 𝑐(𝒙, 𝒚)𝑑𝜋(𝒙, 𝒚)

定義 3 (最適輸送損失の empirical estimator28))

subject to ∫ 𝜋(𝒙, 𝒚)𝑑𝒙 = 𝛽(𝒚),ℒ (𝛼, 𝛽 ) ≃ ℒ(9)𝛼 , 𝛽𝜽,,∫ 𝜋(𝒙, 𝒚)𝑑𝒚 = 𝛼(𝒙),=𝜋(𝒙, 𝒚) ≥ 0min,,

ここで, 𝑐(𝒙, 𝒚) ≥ 0は, データ𝒙から𝒚への“輸送コスsubject to𝑐(𝒙 , 𝐺𝜽 (𝒛 )) 𝜋 , ,

,

,

𝜋, =

1
,
𝑁

ト”を表す𝒳 × 𝒳上の関数であり, ground cost と呼ば

𝜋, =

(11)

1
,
𝑁

𝜋, ≥0

れる. また, 式(9)を最小化する coupling 𝜋の集合を最適輸送計画と呼ぶ. 一般には最適輸送損失は, 確率分布の間の“距離”の性質を満たさないが, 以下の

この empirical estimator（図 3 を参照）は, サンプル

ように, ground cost を距離から構成することで, 確数が無限大極限（𝑁 , 𝑁 → ∞）で, ℒ

率分布の間の距離を構成できる.

ℒ (𝛼, 𝛽 )と収束することが知られている. ただしこ

𝛼 , 𝛽𝜽,→の収束速度は一般には非常に遅い 29). ただし, 定義 2
定義 2 (p-Wasserstein 距離 28)) ground cost 𝑐(𝒙, 𝒚)がの p-Wasserstein 距離の empirical estimator に関しては,

距 離 の 性 質 を 満 た す 関 数 𝑑(𝒙, 𝒚) を 用 い て ,以下の収束法則が成り立つことが知られている 30).

𝑐(𝒙, 𝒚) = 𝑑(𝒙, 𝒚) で表される時, p-Wasserstein 距離
𝑊 (𝛼, 𝛽)は以下で定義される.
𝑊 (𝛼, 𝛽) = ℒ (𝛼, 𝛽) /
(10)

定理 4

確 率 分 布 𝛼 の upper Wasserstein 次 元

𝑑 (𝛼) (文献 30) の Definition 4)に対して, もし𝑠 >∗𝑑 ∗ (𝛼)であれば, 以下の関係式が成り立つ.
このように定義される p-Wasserstein 距離𝑊 (𝛼, 𝛽)は,𝔼 𝑊 (𝛼, 𝛼 ) ≲ 𝑂 𝑁

距離の 性質を満たす, すなわち , 任 意の 確 率分 布
𝛼, 𝛽, 𝛾 に 対 し て , 正 値 性 （ 𝑊 (𝛼, 𝛽) ≥ 0 ） , 対 称 性（𝑊 (𝛼, 𝛽) = 𝑊 (𝛽, 𝛼)）, 非退化性（𝑊 (𝛼, 𝛽) = 0 ⟺(12)

ここで, upper Wasserstein 次元𝑑 ∗ (𝛼)は, 大まかにいえ

𝛼 = 𝛽）, 三角不等式（𝑊 (𝛼, 𝛾) ≤ 𝑊 (𝛼, 𝛽) + 𝑊 (𝛽, 𝛾)） ば, 確率分布𝛼のサポートの次元(データの存在する次元)である. p-Wasserstein 距離が距離の性質を満たを満たす.
すことを使うと, 以下の補題が直ちに導かれる：

実際に, 暗黙的な生成モデルの損失関数として,最適輸送損失を使う状況においては, データの背後にある分布𝛼や Generator の生成する分布𝛽𝜽 を直接扱

補題 5 確率分布𝛼, 𝛽 の upper Wasserstein 次元がとえるわけではない. その代わりに, 通常は以下のよ

もに𝑑 ∗ (𝛼)であるとすると, もし𝑠 > 𝑑 ∗ (𝛼)であれ

うに, 式(2)および式(3)の経験分布を用いて, 最適輸

ば, 以下の関係式が成り立つ.

送損失の近似値を求める.

𝔼 |𝑊 (𝛼, 𝛽 ) − |𝑊 𝛼 , 𝛽 _𝜃 | ≲ 𝑂 𝑁

4

(13)

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値がビット数𝑛に対して指数関数的に0に近づくこと
この補題により, データの内部次元や潜在次元𝑁 がと成る（図 4）. これは, ビット数𝑛が大きい場合には,十分小さければ, empirical estimator（式(11)）は最適輸

ほとんどの𝜽の値において, コスト関数の勾配の値が送損失の精度のよい推定値となることがわかる.

ほぼ0となり, 学習が困難になるということを意味している.

2.4 変分量子回路の勾配消失問題
最適輸送損失を量子状態の生成モデルの損失関数

勾配消失問題を回避する方法として, コスト関数として採用するにあたり, ある量子状態|𝜓⟩をある量子状態|𝜙⟩に輸送する際の ground cost 𝑐(|𝜓⟩, |𝜙⟩)を何を局所的な測定のみの測定から構成する方法が知られている 34),35). 状態|𝜙𝜽 ⟩ = 𝑈(𝜽)|0⟩の学習における局にするかを検討する必要がある. 量子状態の輸送の所的な測定のみから構成されるコスト関数としては,最も単純なものとしては, 量子状態間の距離である

以下の式が提案されている.

トレース距離が考えられる.
定義 7 (局所的な測定のみから構成されるローカル
31)

コスト関数 36),37))

定義 6 (純粋状態間のトレース距離 ) 量子状態
|𝜓⟩と|𝜙⟩の間のトレース距離は以下のように定義
される.
𝑐 (|𝜓⟩, |𝜙⟩) =𝑐(|𝜓⟩, |𝜙⟩) =(14)

1 − |⟨𝜓|𝜙⟩|1𝑛(1 − 𝑝 ( ) )(15)𝑝( ) = Tr[𝑃 𝑈 (𝜽)|𝜓⟩⟨𝜓|𝑈(𝜽)]トレース距離𝑐 (|𝜓⟩, |𝜙⟩)は距離の性質を満たすため,
𝑃 = 𝛪 ⨂𝛪 ⨂ … ⨂ |0⟩⟨0| ⨂ … ⨂𝛪

これを用いることにより, 前章で示した収束速度（定理 4）のような便利な性質を持つ p-Wasserstein 距離を

ここで, 𝑛はビット数であり, 𝛪 は𝑖番目のビットに定義することが出来る. また, トレース距離は, swap

対する恒等演算子を表している, すなわち𝑝( ) は𝑘
番目のビットを観測した際に, 0が出力される確率 を 表 し て い る . 式 (14) の ト レ ー ス 距 離
𝑐 (|𝜓⟩, |𝜙⟩) は, 距離の性質を満たす一方で式(10)(|𝜓⟩, |𝜙⟩)は, 距離の性のローカルコスト関数𝑐質を満たさない（対称性及び三角不等式を満たさない）. このため, ローカルコスト関数(|𝜓⟩, |𝜙⟩)を ground cost として用いた場合の最𝑐
適輸送損失 ℒは距離の性質を満たさない. ただし, 以下のように, ℒ
は, ダイバージェンス
としての性質を有することを示すことが出来る.

テスト 32)や inversion テスト 33)等により, 量子コンピ
ュータを用いて容易に算出することが可能である.

グローバルコストの場合

ローカルコストの場合

図 4 グローバルコストの場合のコスト関数は, ビット数が多くなると, ほとんどの𝜽でコスト関数𝐜(𝜽)が平坦であり, 微分をもとにした最適化が困難である. ローカルコス
トでは, この問題が解決する可能性があることが知られている.

命題 8 ground cost 𝑐(𝒙, 𝒚)が以下の性質を満たすとする.
𝑐(𝒙, 𝒚) ≥ 0,(16)𝑐(𝒙, 𝒚) = 0 𝑖𝑓𝑓 𝒙 = 𝒚
この性質を持つ𝑐(𝒙, 𝒚)を ground cost とした最適輸
送損失ℒ (𝛼, 𝛽)は, 以下の性質を満たす.

一方で, トレース距離は, グローバル測定(全部のビットを測定しないと得られない物理量)により得られる量であるため, 勾配消失による次元の呪いを受けることが知られている

34),35)ℒ (𝛼, 𝛽) ≥ 0,
ℒ (𝛼, 𝛽) = 0 𝑖𝑓𝑓. すなわち, ランダムなパラメータ𝜽を持つ量子回路𝑈(𝜽)を用いて作成した量子状態|𝜙𝜽 ⟩ = 𝑈(𝜽)|0⟩を, ターゲットの量子状態

(17)

𝛼=𝛽

|𝜓⟩に近づけるように学習を行うときに, もしトレー

この命題から, ローカルコスト𝑐ground cost として用いた最適輸送損失

ス距離をコスト関数として学習すると, 微分の期待

イバージェンスの性質を満たすため, 確率分布の比5(|𝜓⟩, |𝜙⟩) をℒは, ダみずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1
較に用いることが出来ることがわかる.
以下, この最適輸送損失 ℒを使った量子状態て, 量子回路のパラメータ𝜽と潜在変数のサンプル𝒛𝒋とから, 量子状態のサンプル{𝑈(𝜽, 𝒛 )|0⟩} をの確率分布の学習アルゴリズム及びそれを利用した生成する. 次に, 量子コンピュータにより, サンプル{𝑈(𝜽, 𝒛 )|0⟩} と, 量子データセット{|𝜓⟩} とから,

異常検知のアルゴリズムを紹介する.

ground cost 𝑐

3 量子状態の分布の学習アルゴリズム
ここで, 対象とする量子状態の分布の学習は, 𝑁から, その量個からなる 量子データセット {|𝜓⟩}表す生成モデルを学習することである. ここで各量

1𝑛|𝜓 ⟩, 𝑈 𝜽, 𝒛 |0⟩ =𝑐

子データの背後にある分布やデータの隠れた構造を

( )

1−𝑝,

(18)

( )

𝑝 , = Tr 𝑃 𝑈 𝜽, 𝒛𝒋 |𝜓 ⟩ 𝜓 |𝑈 𝜽, 𝒛

子デー タは有限個のコピー（例えば𝑘 個 のコピー
|𝜓⟩⊗を算出する. これには, 式(15)を使用する, すなわち, 以下の量の計算を実施する：）が用意できることを仮定する. もし, 𝑘 →𝑃 = 𝛪 ⨂𝛪 ⨂ … ⨂ |0⟩⟨0| ⨂ … ⨂𝛪∞ であれば, トモグラフィ等により, 完全にすべて
この ground cost 𝑐の成分を確定することが出来るため, 既存の機械学習モデルに帰着することに留意する

38)

は量子状態のコピーが無限個準備出来るときに算出可能な量であり, 実際には,.

𝑁 ショット（同一の状態を用意する個数）によりこの量子コンピュータを用いた暗黙的な生成モデルとしては, 式(5)のモデルを採用することとする. 式(5)ground cost の近似値 𝑐̃の生成モデルを, 最適輸送損失を用いて, なるべくデータセット{|𝜓⟩} に近くなるようにパラメータ𝜽

(

,

)
,,

を算出する. ここで,,「𝑁 」は量子データセットのデータ数, 「𝑁 」は潜在変数のサンプル数, 「𝑁 」はショット数である. この( )ground cost の近似値は, 確率（1 − 𝑝 , ）のベルヌーの学習を行う. 学習アルゴリズムのフローチャート
を図 5 に示す.

( )

( )

イ分布Be(1 − 𝑝 , )に従う確率変数𝑋 , , を用いて以下のように算出される.

量子データセットの分布の学習処理( )②

最適輸送計画及び最適輸送損失を算出④

パラメータシフトルールを用いて、ground costの勾配を算出⑤

𝑐̃

ground costを推定③( )𝑋 , , (𝑠 = 1,2, … , 𝑁 ) ~ Be 1 − 𝑝 ,① 潜在空間において、既知の分布から潜在変数をサンプリング

収束するまで
①～⑥を
繰り返し

(

)

,, ＝

1
𝑛

1
𝑁

(19)

( )

𝑋, ,

次に, ステップ③において, 得られた ground costの近似値 𝑐̃

(

,

)
,,

を用いて, 既存のコンピュー,タにより, 以下の線形計画問題を解くことで, 量子回路𝑈 𝜽, 𝒛 のパラメータ𝜽を固定したときの, 最適

量子回路パラメータの更新

輸送計画及び最適輸送損失の算出を行なう：
学習処理の終了

図 5ℒ ̃(

最適輸送損失を利用した量子データセットの学習
アルゴリズムのフローチャート){|𝜓⟩ }, 𝑈 𝜽, 𝒛𝒋 |0⟩,=
このアルゴリズムでは, まず, 既存のコンピュー,タを用いて, 既知の分布から潜在変数を生成する（ステップ①）. 具体的には,サンプル数𝑁 個の潜在変数のサンプル 𝒛𝒋𝑚𝑖𝑛,subject to

𝜋, =

1
,
𝑁

𝜋, =

1
,
𝑁

を生成するものとする.

次に, ステップ②においては, ground cost の推定値の算出を行う. ここでは, 量子コンピュータを用い

6

,

𝑐̃

(

)

,, 𝜋,

,

(20)

𝜋, ≥0

みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1
ここでℒ ̃ ()

は, 最適輸送損失, 𝜋 , は, データセットて, 直接量子情報処理を実施することで, 異常検知をの𝑖番目のデータ|𝜓⟩ とサンプル𝑈 𝜽, 𝒛𝒋 |0⟩の間の輸行う.

送計画である.

一般に, 異常検知は以下の流れで実施される 42).

次に, ステップ④では, 量子コンピュータを用い( )て, ground cost𝑐̃, , の勾配の算出を行なう. ここで① (Distribution estimation): （主に）正常なデータをもとに , 正常データの確率分布モデルを構成する.

は, 例えば, パラメータシフトルール 14),15)を用いる.

② (Anomaly score design):
得られた確率分布モデ
ル を も と に , 新 た な デ ー タ の 異 常 度 （ Anomaly
Score）を定義する.

𝑁 ショットにより得られる, ground cost の勾配の近似
値を

𝑐̃

(

,

)
,,

,

と表記する. ここで, 「𝑁 」は,, ,③ (Threshold determination): 異常度がある値より大きい場合に異常 , と 判定できるような閾値を設定
する.

パラメータ「𝜽」のパラメータ数である.
次に, ステップ⑤において, 既存のコンピュータ
により, ground cost の勾配
適輸送計画 𝜋 ,
配

ℒ

,
,

𝑐̃

(

,

)
,,

,

及び最

今回は, 上記の 3 ステップのうち, ステップ①を前述, ,を使って, 最適輸送損失の勾のアルゴリズムで学習する. ステップ③の閾値は問題に応じて, 運 用時に適切 な値を決める 必要がある .

を計算する.

ステ ップ ② に 関 して , こ こでは , 古 典 機 械 学 習 の最後に, ステップ⑥において, 計算した勾配を用

AnoGAN43) と同様の方法により異常検知を行う . す

いて, パラメータ𝜽をアップデートする.

なわち , 新たなデータ|𝜓 ( ) ⟩ と , 学習した生成モデルから得られるサンプル 𝑈(𝒛, 𝜽)|0⟩ をもとに 損失関数
ℒ 𝑈(𝒛, 𝜽)|0⟩, |𝜓 ( ) ⟩ を定義し , その損失関数の潜在収束するまで, 以上のステップ①からステップ⑥の処理を繰り返し, 得られたパラメータを𝜽とすると,最終的に最適輸送損失を（局所的に）最小化するような量子状態の分布𝑈(𝒛, 𝜽)|0⟩を得ることが出来る.

変数𝒛に関する最小値を異常度として用いる:

本学習アルゴリズムの性能の理論的・数値的な評(anomaly score)= min ℒ 𝑈(𝒛, 𝜽)|0⟩, |𝜓 ( ) ⟩価については, 筆者らの最近の論文 10)に示されてい

(21)

𝒛

る.

損失関数としては, 例 え ば , 式 (14)の ト レ ー ス 距

4 量子状態の異常検知アルゴリズム

離 や 式 (15)の ロ ー カ ル コ ス ト を使用することが考えられる. 式(21)において, 𝒛に関する最小化は, 𝒛に

次に, 量子状態の生成モデルの応用例として, 量関する微分を使って勾配法等により実施可能である.

子状態の異常検知の例を示す. 異 常 検 知 は , 過 去𝒛に関する微分は𝜽に関する微分と同様に, パラメーの デ ー タ 𝒙 , (𝑖 = 1, 2, … , 𝑀 )から得られた情報を基

タシフトルールを用いて実施可能である.

に , 新たなデータ𝒙( ) が異常（レアデータ）か正常

具体的な異常検知アルゴリズムを図 6 に示す.

データかを判定する問題ある. 過去のデータのほとんどは正常データであり, 異常データと正常データ

量子状態の異常検知処理の間に大きな偏りがあるという点が, 通常 の二値分類問題と大きく異なる点であり , 分類問題とは異なる①

手法が発展してきた 39).

新たな量子データの取得

量子コンピュータを始め , 量子通信, 量子計測な②

どの量子技術では , 量子状態を精密に制御すること

生成モデルの取得が必要となる. 一方で, 量子状態は非常に繊細であり,③

周辺環境の僅かな変化により, 大きくノイズを受ける.

異常度の算出

この異常を検知し, ノイズを受けた状態を除去することは, 量子技術の実用化に向けた重要な鍵である. こ④

れまでの量子異常検知手法は主に, 量子状態を観測し図 6て得られる古典的なデータをもとにして, 異常検知を実行する 40),41). 一方で, 本手法では, 量子状態に対し

7

異常判定

量子状態の異常検知処理のフローチャート

みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1
Distance 等の Entropy Regularized Wassestein Distance45)-

このアルゴリズムでは, まずステップ①において,新たな量子データの取得を行なう. 具体的には, 学

49)

習に用いたデータセットとは別の新たな量子データ習において, 勾配消失を避けるためにローカルコス

( )

( )

への拡張も重要な課題である. ただし, 量子機械学⟩ とし

トを ground cost として使う場合には, ground cost が距ては, 観測により外部から入力されるデータや, 量離の定義を満たさないため, これまで提案されてい子計算により出力される量子状態等が考えられる.

る Sinkhorn divergence 等をそのまま使うだけでは,|𝜓⟩ を取得する. この新たな量子データ |𝜓

次に, ステップ②では, 通常時（正常時）の量子デ

divergence の性質を満たさず, 確率分布を比べる指標

ータセット（教師データセット）を用いて, 3 章の方法により予め学習した生成モデル𝑈(𝒛, 𝜽)|0⟩を取得すとして不適切となる. 例えば指数カネールなどによる.

適用する等の処方箋が考えられる.

り半正定値性を回復した上で, Sinkhorn divergence を次に, ステップ③において, 異常度の算出を行なう. 例えば, 𝑈(𝒛, 𝜽)|0⟩を用いて出力される量子状態

そのほか, 本手法の応用例のさらなる探索も必要不可欠である. 応用例としては例えば, 以下のようの内, 新たな量子データに最も近いデータ（式(21)をな方向性が期待される.

最小化する𝑧の値）を探索する. 新たな量子データと,最も近いデータとの距離として異常度を定める.

外部から入力された量子状態の異常検知(量子コンピュータの異常検知, 重力波検知, 量子セ

最後にステップ④において, 算出した異常度と,ンシングなど)

予め定めた異常判定値とを比較し, 比較結果に基づ

量 子 コ ンピ ュ ー タ の 計算結 果 の 学習 ( 過 去 の
VQE 結果の波動関数の学習・初期値の設定, Born

いて, 異常の有無を判定する.

machine の波動関数の転移学習, 量子シミュレー

この異常検知アルゴリズムを用いた実際の数値実験の結果やその他の応用例については筆者らの最近ションのサロゲートモデルなど)の論文 10)に示す.



古典データを埋め込んだ量子データ(例えば近似的な振幅埋め込み等による埋め込んだ状態を

5 おわりに使った異常検知など)

本稿では, 将来の量子時代に向けて, 量子データを

引 用 文 献用いた生成モデルのアルゴリズムの提案を行った.
最適輸送損失を用いた学習モデルを定義するととも

1) Maria S. & Francesco P.: Machine learning withに, 応用先として, 量子状態の異常検知の応用例を

quantum computers (Springer 2021).

示した.

2) Dorit Aharonov, Jordan Cotler, Xiao-Liang Qi.

本稿の手法は量子コンピュータを用いた生成モデ

Quantum

ルの研究の第一ステップであり, 今後さらなる発展

algorithmic

measurement,

NatureCommunications, 13(1) (2022) 1–9,.

が期待される. 量子データを用いた生成モデルでは,

3) Yusen W. & Bujiao W. & Jingbo W. & Xiao Y.:

実験等により得られる量子状態を教師データにする

Provable advantage in quantum phase learning via

ことにより, 既存のコンピュータを用いた生成モデ

quantum kernel alphatron, arXiv:2111.07553, (2021).

ルに比べて, 遥かに少ない実験回数で学習出来ると

4) Hsin-Yuan H. et al.: Quantum advantage in learning

期待されている.

from experiments, arXiv:2112.00778, (2021)

今回の提案では量子状態を個別に処理するような

5) Jianmin B. & Dong C. & Fang W. & Houqiang L. &アルゴリズムを考えたが, 今後の方向性として, 量Gang H.: Cvae-gan: fine-grained image generation

子状態へのコヒーレントアクセスを許す場合
子メモリを使う場合

4)

2)

や量

through asymmetric training, In Proceedings of theへの拡張することにより, 更IEEE international conference on computer vision,に学習に必要な量子データの個数を減らすことが期待される. その他, online learning や混合状態学習(2017), 2745–2754.

44)へ6) Andrew B. & Jeff D. & Karen S.: Large scale ganの拡張も必要不可欠である.

training for high fidelity natural image synthesis,

また, 既存の機械学習において, より高次元のデ

arXiv:1809.11096 (2018).

ータに対して有効なことがしられている, Sinkhorn7) Tejas D K. & William F W. & Pushmeet K. & Josh T.:8みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1
Deep

convolutional

inversegraphics

network,

special issue on optimal transport in data sciences.

Advances in neural information processing systems, 28,

Information and Inference, A Journal of the IMA, 8(4)(2015).

(2019), 655–656, 12.

8) Chong Z. & Randy C P.: Anomaly detection with robust21) Gregoire M. & Klaus-R. M. & Marco C.: Wasserstein

deep autoencoders, In Proceedings of the 23rd ACM

training of restricted boltzmann machines, Advances in

SIGKDD international conference on knowledge

Neural Information Processing Systems, 29, (2016).

discovery and data mining, (2017) 665–674.

22) Espen B. & Pierre E J. & Mathieu G. & Christian P R.:

9) Rafael G-B & Jennifer N W. & David D. & Jose M. H.-

Inference in generative models using the Wasserstein

L. & Benjamin S.-L. & Dennis S. & Jorge A.-I. &distance. arXiv:1701.05146, (2017).

Timothy D H. & Ryan P A. & Alan A.-G.: Automatic23) Martin A. & Soumith C. & Leon B.: Wassersteinchemical design using a data-driven continuous

generative adversarial networks. In International

representation of molecules, ACS central science, 4(2),conference on machine learning, (2017), 214–223.

(2018), 268–276.

24) Ilya T. & Olivier B. & Sylvain G. & Bernhard S.:

10) Hiroyuki T. & Shumpei U. & Naoki Y.: Quantum

Wasserstein auto-encoders. arXiv:1711.01558, (2017).

Generative model with Optimal Transport, XXXXX,

25) Aude G. & Gabriel P. & Marco C.: GAN and VAE from(2022).

an optimal transport point of view, arXiv:1706.01807,11) Ian G. & Jean P.-A. & Mehdi M. & Bing X. & David(2017).

W.-F. & Sherjil O. & Aaron C. & Yoshua B.: Generative

26) Olivier B. & Sylvain G. & Ilya T. & Carl-J. S.-G. &adversarial nets, Advances in neural information

Bernhard S.: From optimal transport to generative

processing systems, 27, (2014).

modeling: the VEGAN cookbook. arXiv:1705.07642,

12) Gabriel P. & Marco C.: Computational OptimalTransport: With Applications

to

Data

(2017).

Science27) Leonid V K.: On the translocation of masses, In Dokl.

(Foundations and Trends in Machine Learning), (2019).

Akad. Nauk. USSR (NS), 37, (1942), 199–201.

13) Pierre-L. D.-D. & Nathan K.: Quantum generative

28) Cedric V.: Optimal transport: old and new, 338,

adversarial networks, Physical Review A, 98(1), (2018),(Springer, 2009).

012324.

29) Richard M. D.: The speed of mean Glivenko-Cantelli14) Kosuke M. & Makoto N. & Masahiro K. & Keisuke F.:

convergence. The Annals of Mathematical Statistics,

Quantum circuit learning, Physical Review A, 98(3),40(1), (1969), 40–50.

(2018), 032309.

30) Jonathan W. & Francis B.: Sharp asymptotic and finite-15) Maria S. & Ville B. & Christian G. & Josh I. & Nathan

sample rates of convergence of empirical measures in

K.; Evaluating analytic gradients on quantum hardware,

Wasserstein distance, Bernoulli, 25(4A), (2019), 2620–

Physical Review A, 99(3), (2019), 032331.

2648.

16) Danilo R. & Shakir M.: Variational inference with31) Michael A. N. & Isaac L. C.: Quantum Computation

normalizing flows, In International conference on

and Quantum Information Cambridge Series onmachine learning, (2015), 1530–1538.

Information and the Natural Sciences, (Cambridge17) Gabriel P. & Marco C.: Computational OptimalTransport: With Applications

to

Data

University Press, 2000).

Science32) Harry B. & Richard C. & John W. & Ronald D. W.:(Foundations and Trends in Machine Learning), (2019).

Quantum fingerprinting, Physical Review Letters,18) Yann O. & Pajot H. & Cedric V. editors.: OptimalTransport:

London33) Vojtech H. & Antonio D C. & Kristan T. & Aram W H.

Mathematical Society Lecture Note Series, (Cambridge& Abhinav K. & Jerry M C. & Jay M G.: Supervised

University Press, 2014).

learning with quantum-enhanced feature spaces.

19) Filippo

TheoryS.:

andOptimalApplications.

87(16), (2001), 167902.

transport

forappliedNature, 567(7747), (2019), 209–212

mathematicians, Birkauser, NY, 55(58-63), (2015), 94.

34) Kouhei N. & Naoki Y.: Expressibility of the alternating20) Gabriel P. & Marco C.: Information and Inference

layered ansatz for quantum computation, Quantum,9みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1
5:434, (2021).

generative adversarial networks to guide marker35) Marco C. & Akira S. & Tyler V. & Lukasz C. & Patrick

discovery. In International conference on information

J C.: Cost function dependent barren plateaus inprocessing in medical imaging,. (Springer, 2017), 146–

shallowparametrized

quantum

circuits,

Nature157.

communications, 12(1), (2021), 1–12.

44) Nic E. & Elliott M. B. & Aliza U. S. & Mark M. W. &36) Sumeet K. & Ryan L. & Alexander P. & Lukasz C. &Andrew T. S. & Patrick J. C. & Zoë H.: Quantum Mixed

Andrew T S. & Patrick J C.: Quantum-assisted

State Compiling, arXiv:2209.00528, (2022).

quantum compiling. Quantum, 3, (2019), 140.

45) Marco C.; Sinkhorn distances: Lightspeed computation

37) Kunal S. & Sumeet K. & Marco C. & Patrick J C.:

of optimal transport, Advances in neural information

Noise resilience of variational quantum compiling.

processing systems, 26, (2013), 2292–2300.

New Journal of Physics, 22(4), (2020), 043006.

46) Jean F. & Thibault S´. & Francois-X. V. & Shun-ichi A.

38) Esma A. & Gilles B. & Sebastien G.: Machine learning& AlainT. & Gabriel P.: Interpolating between optimal

in a quantum world. In Conference of the Canadiantransport and MMD using Sinkhorn divergences,

Society for Computational Studies of Intelligence,arXiv:1810.08278, (2018).

(Springer, 2006), 431–442.

47) Aude G. & Lenaic C. & Francis B. & Marco C. &39) Varun C. & Arindam B. & Vipin K.: Anomaly

Gabriel P.: Sample complexity of Sinkhorn divergences,

detection: A survey. ACM computing surveys (CSUR),

In The 22nd International Conference on Artificial

41(3), (2009), 1–58.

Intelligence and Statistics, (2019), 1574–1583.

40) Satoshi H. & Takafumi O. & Ryo O. & Takashi W. &48) Shun-ichi A. & Naotsugu T. & Masafumi O.: Geometry

Shigeki T.: Anomaly detection in reconstructedof information integration. In Information Geometry

quantum states using a machine-learning technique,and its Applications IV, (Springer, 2016), 3–17.

Physical Review A, 89(2), (2014), 022104.

49) Shun-ichi A. & Ryo K. & Masafumi O.: Information

41) Satoshi H. & Takafumi O. & Ryo O. & Takashi W. &geometry

connecting

Wasserstein

distance

andShigeki T.: Quantum-state anomaly detection for

Kullback–Leibler divergence via the entropy-relaxed

arbitrary errors using a machine-learning technique.

transportation problem, Information Geometry, 1(1),Physical Review A, 94(4), (2016), 042341.

(2018), 13–37.

42) Tsuyoshi I.: Introduction to anomaly detection using50) Kohei N. et al.: Approximate amplitude encoding inmachine learning – a practical guide with R (inshallow parameterized quantum circuits and its

Japanese), (Corona Publishing , 2015).

application to financial market indicators, Phys. Rev.

43) Thomas S. & Philipp S. & Sebastian M W. & Ursula S.-

Research 4, (2022), 023136.

E. & Georg L.: Unsupervised anomaly detection with

10