トーリック多様体のミラー対称性
入谷 寛(京都大学 数学教室)∗
概要

トーリック多様体の大同変量子コホモロジー (big equivariant quantum cohomology) のミラーをシフト作用素を使って構成する．本稿の内容は論文[13, 14] に基づく．

1. 序
トーリック多様体に対するミラー対称性は Givental [10] や Hori-Vafa [12] らによって提唱され，広く研究されてきた．特に Gromov-Witten 不変量については Givental [9] や LianLiu-Yau [15] によるミラー定理がよく知られている．近年，Okounkov-Pandharipande[17], Braverman-Maulik-Okounkov [2] らによって同変量子コホモロジーの同変変数をシフトする「シフト作用素」なるものが導入されている．本稿ではシフト作用を用いて，同変量子コホモロジーに対するミラーの “tautological” な構成を与える．この構成においてはミラーの Landau-Ginzburg ポテンシャル，原始形式，I 関数，等が GromovWitten 不変量の言葉で記述され，ミラー対称性の証明は（ミラーが構成できれば）定義からほとんど明らかになる．また，この構成ではトーリック多様体のコンパクト性や c1 (X) の半正値性などの技術的仮定が必要ではないことも利点である．

2. トーリック多様体の同変ミラー
まず，トーリック多様体の Givental [9] による同変ミラーについて紹介したい．トーリッ
ク多様体 X のミラーは Landau-Ginzburg 模型と呼ばれる多様体 Y とその上の関数 f の組 (Y, f ) で与えられる．f は Landau-Ginzburg ポテンシャルと呼ばれる．トーリック多様体の場合は Y = (C× )n である（ただし n = dim X).
トーリック多様体は扇 (fan) と呼ばれる Rn の有理凸多面錐の集まりを使って記述されることを思い出そう．b1 , . . . , bn ∈ Zn を X の扇に属する 1 次元錐の原始的な生成元とするとき，X のミラーは次の形をしている．

f (x) = Qβ1 xb1 + Qβ2 xb2 + · · · + Qβm xbm .
bb

ここで bi = (bi,1 , . . . , bi,n )，x = (x1 , . . . , xn ) ∈ (C× )n とするとき xbi = x1i,1 · · · xni,n とおいた．また，β1 , . . . , βm ∈ H2 (X, Z) は適当な曲線のクラスであり，Q は Novikov 変数
である．係数 Qβi は形式的には群環 C[H2 (X, Z)] の元と解釈できるが，しばらくは Q はrank H2 (X) 個の C× 変数と考えることにする．
（すなわち環順同型 C[H2 (X, Z)] → C×をとって Qβi を複素数と見なす．) β1 , . . . , βm は扇から決まる次の完全列(b1 ,...,bm )0 −−−→ H2 (X, Z) −−−→ Zm −−−−−→ Zn −−−→ 0の分裂 (β1 , . . . , βm ) : Zm → H2 (X, Z) を与えるものである．分裂のとり方はたくさんあるが，互いに x 座標の座標変換でつながるのでどれをとってもよい．
本研究は日本学術振興会，科学研究費 25400069, 26610008, 23304002 の支援を受けた．
∗
606-8502, 京都市左京区北白川追分町
e-mail: iritani@math.kyoto-u.ac.jp

トーリック多様体 X には同じ次元の代数トーラス T = (C× )n が作用している．この作用に関する同変ミラーは，同変変数を λ1 , . . . , λn として次で与えられる．

fλ (x) = Qβ1 xb1 + · · · + Qβm xbm − λ1 log x1 − · · · − λn log xn
同変ミラーは座標変換を考慮しても分裂 β1 , . . . , βm の取り方に依存するが，fλ (x) はQ のみに依存する定数差を除いて決まるため，以下に説明する Jacobi 環や twisted deRham コホモロジーは分裂のとり方によらない．
例 2.1 複素射影平面 CP2 の扇は次である．

·

·

·

·

·

·

·

· b2

·

·

·

·

·

-·
b1

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

6

b3

従って同変ミラーは

f (x) = x1 + x2 +Q
− λ1 log x1 − λ2 log x2
x1 x2

定理 2.2 (Givental [9]) X はコンパクトトーリック多様体で c1 (X) ≥ 0 なるものとする．適当な Q 変数のミラー変換の下で，次が成り立つ．
(1) 同変小量子コホモロジー環 QHT∗ (X) と fλ の Jacobi 環は同型である．

QHT∗ (X) ∼= Jac(fλ )±ここで Jac(fλ ) = C[x±1 , . . . , xn ]/(∂1 fλ , . . . , ∂n fλ ) は Jacobi 環．
(2) さらに同変小量子 D 加群 QDMT (X) と fλ の twisted de Rham コホモロジーは同型である．
QDMT∗ (X) ∼= H n (Ω•(C× )n [z], zd + dfλ ∧)注意 2.3 (同変) 小量子コホモロジー環とは (同変) コホモロジー環を Novikov 変数 Q により変形したものであり，具体的にはベクトル空間 HT∗ (X) に Q に依存する可換・結合的な量子積 ⋆Q を導入したものである．同変小量子 D 加群とは量子積で与えられる次の平坦接続（量子接続）のことである．

1∑
dQi
∇=d+
(pi ⋆Q )
z i=1
Qi
r

(1)

ただし p1 , . . . , pr は Novikov 変数 Q1 , . . . , Qr に双対な HT2 (X) の基底であり，z は C× に値をとる変数．twisted de Rham コホモロジーは Q 方向に Gauss-Manin 接続と呼ばれる平坦接続が入っており，(2) の同型はこの二つの平坦接続の同型である．また twisted
de Rham コホモロジーの元[]
dx1 . . . dxn±
ϕ(x)∈ H n (Ω•(C× )n [z], zd + dfλ ∧),ϕ(x) ∈ C[x±1 , . . . , xn ]x1 . . . xn
は f (x) の Lefschetz thimble Γ に対して次の “exponential period” を定める．
∫
dx1 . . . dxn
efλ (x)/z ϕ(x).
x1 . . . xn
Γ...dxn...dxnefλ (x)/z ϕ(x) dxx11 ...xが d-exact になるのは丁度 ϕ(x) dxx11 ...xが (d + z −1 dfλ ∧)-exact になnn
るときであることに注意されたい．従って twisted de Rham コホモロジーはこのような exponential period を解としてもつ D 加群である．

例 2.4 コンパクトではないが，ミラー変換が必要な例を挙げておく．

·
·
·
·

·

·

·

·


b1 ·
b2 ·
b3 · ·*6 

·
·
·
·

·

·

·

·

ここに挙げた扇は A1 特異点 C2 /(Z/2Z) のクレパント解消 OP1 (−2) を与える．この場
合，ミラー変換後の Landau-Giznburg ポテンシャルは

fλ (x) = x2 (1 + (1 + Q)x1 + Qx21 ) − λ1 log x1 − λ2 log x2で与えられる．中央の項の係数 (1 + Q) がミラー変換の効果である．Chan-Lau-LeungTseng [3] らにより，ミラー変換後のポテンシャル関数はラグランジアントーラスファ
イバーに境界を持つ holomorphic disc の数え上げ (open Gromov-Witten 不変量）の母関数としてあらわされることが分かっている．
ミラーの大量子コホモロジーへの拡張は Barannikov [1] や Douai-Sabbah [5] らによって考えられた．大量子コホモロジーとは Novikov 変数 Q の他にさらにコホモロジーの
変数 τ ∈ H ∗ (X) がパラメータとして入る大量子積 ⋆Q,τ によって定まる環である．彼らは Jacobi 環 Jac(f ) の基底となる関数の代表元 ϕ1 (x), . . . , ϕN (x) を選び，ミラーとして
次の f (x) の miniversal deformation を考えた．

F (x; t) = f (x) +N∑ti ϕi (x)i=1

ミラーのパラメータ (t1 , . . . , tN ) と大量子コホモロジーのパラメータ τ は非自明なミラー写像によってつながり，miniversal deformation に伴う ﬂat structure (Frobenius
manifold structure) と大量子コホモロジーの Frobenius manifold structure が同型になる（X = CPn の場合など）．本稿では彼らの構成を同変な場合に拡張する．同変コホモロジーは C 上無限次元なので一見複雑になるように思えるが，実は同変版が理論的には最も単純な形をしている，というのが本稿における主要な観察である．

3. Seidel 表現とシフト作用素
Seidel [18] はシンプレクティック多様体 X の Hamilton 微分同相群の π1 の元 γ に対して量子コホモロジーの可逆元 Sγ を定義した 1 ．これは群順同型
π1 (Ham(X, ω)) → QH ∗ (X)× /⟨Qβ : β ∈ H2 (X, Z)⟩,

γ 7−→ Sγを定め，Seidel 表現と呼ばれる．また Sγ を Seidel 元と呼ぶ．π1 (Ham(X, ω)) の元が X への C× 作用から来ているときに，Seidel 表現を同変量子 D 加群に持ち上げたものがシフト作用素と呼ばれるもので，Okounkov-Pandharipande [17] や Braverman-OkounkovPandharipande [2] によって導入された．
X をT ∼= (C× )n 作用を持つ滑らかな代数多様体で，T 固定点を持ち，自然な写像

X → Spec(H 0 (X, O))が射影的であるものとする．さらに H 0 (X, O)T = C であり，H 0 (X, O) の T 表現としての weight のなす集合は Hom(T, C× ) ⊗ R のなかである厳密に凸な錐に含まれているものとする．k : C× → T を群順同型であって，k と H 0 (X, O) の任意の T -weight のペアリングが非正となるもの 2 とする．この k に対して「Seidel 空間」Ek を次のように構成する．

Ek := (X × (C2 \ {(0, 0)}))/(x, (v1 , v2 )) ∼ (sk · x, (s−1 v1 , s−1 v2 ))第 2 成分への射影により Ek は P1 上の X 束となる．この X 束は自明な積 X × D2 を二
つとり，k(C× ) 作用によってねじって張り合わせることで得られるものである．つまりEk = (X × D2 ) ∪φ (X × D2 ),φ(x, eiθ ) = (k(eiθ ) · x, e−iθ )と書くことができる．Seidel は Seidel 空間の holomorphic section を数え上げることでSeidel 表現を定義した．まずシフト作用素の定義を与えよう．Ek への Tb = T × C× 作
用を次で定義する．
(t, u) · [x, (v1 , v2 )] = [t · x, (v1 , uv2 )]ここで (t, u) ∈ Tb, [x, (v1 , v2 )] ∈ Ek である．Ek の 0 = [1 : 0] ∈ P1 でのファイバーを X0 ，
∞ = [0 : 1] ∈ P1 でのファイバーを X∞ とおく．X0 , X∞ への Tb 作用は次で与えられる．

(t, u) · x = t · x

x ∈ X0(t, u) · x = tuk · x x ∈ X∞
従って X∞ への Tb 作用は X0 への Tb 作用より丁度 k : C× → T の分だけずれていることになる．このことがシフト作用素の定義における要点である．Ek の holomorphic sectionの空間のコンパクト化（Ek への安定写像のモジュライを使う）を使って作用素

e
Sk : HT∗b (X0 ) → HT∗b (X∞ )1

Seidel は monotone と呼ばれる特別な場合に定義した．その後の McDuﬀ らによる一般化とシンプレ
クティックトポロジーへの応用については [16] などを参照．
2
この条件は lims→0 sk · x が存在することに対応する．

が定義される．より具体的には同変 Gromov-Witten 不変量を使って e
Sk は次の式で与え
られる．
ˆ
(
)
∑
Qd−σmin
Ek ,Tbe
Sk α, β =⟨ι0∗ α, τ̂ , . . . , τ̂ , ι∞∗ β⟩0,n+2,
dˆ
n!
n≥0,
dˆ: section classof Ek

ここで τ ∈ HT∗ (X) は大量子コホモロジーのパラメータであり，τ̂ ∈ HT∗b (Ek ) は τ̂ |X0 = τ ,τ̂ |X∞ = Φk (τ ) なる性質で特徴づけられる τ のリフトである（Φk については以下を見よ）．左辺の (·, ·) は HT∗ (X) の同変 Poincaré ペアリングであり，σmin は minimal section
class と呼ばれるものである（詳細は [13] を参照）．
さらに X0 と X∞ は共に X と同型であるので，自然な同型写像

Φk : HT∗b (X0 ) ∼= HT∗b (X∞ )がある．ただしこの写像は HT∗b (pt) 加群の写像にはならず，Φk (f (λ, z)α) = f (λ + kz, z)Φk (α)
を満たす．ここで f (λ, z) ∈ C[λ1 , . . . , λn , z] = HT∗b (pt) であり λi は T 同変変数，z は C×
同変変数である．
（この z は量子接続 (1) に現れるものと同じである．)
最後にこの Φk の逆写像と e
Sk とを合成してシフト作用素
∗
∗
∗
∗
e
Sk := Φ−1k ◦ Sk : HTb (X0 ) = HT (X)[z] −→ HTb (X0 ) = HT (X)[z]を得る．Seidel 元はこの非同変極限として定義する．

Sk := lim Sk 1 ∈ HT∗ (X).
z→0

注意 3.1 X はコンパクトと仮定していないので，この e
Sk の定義は equivariant localization を用いる必要がある．しかしながら，X および k に対する上述の過程の下で，eSkは同変変数を局所化しないところで定義されていることが分かる．このことは証明の中で重要である．
シフト作用素の重要な性質は次の通りである．
命題 3.2 ([2, 13]) (1) Sk は同変変数 λ を −kz だけシフトする．

Sk ◦ λi = (λi − ki z) ◦ Sk
(2) Sk は量子接続と可換．量子接続を ∇α = ∂α + z −1 (α⋆) とおくとき∇α ◦ Sk = Sk ◦ ∇α
ただし α ∈ HT∗ (X) であり，(α⋆) はパラメータ τ ∈ HT∗ (X) に依存する α の大量子積，∂α は τ の関数 f (τ ) に対して方向微分 (∂α f ) = limh→0 (f (τ + hα) − f (τ ))/h で作用するものとする．
(3) Sk は格子 Hom(C× , T ) の作用になる．k, l ∈ Hom(C× , T ) に対してSk ◦ Sl = Qd(k,l) Sk+l
ただし d(k, l) ∈ H2 (X, Z) は k, l に関して対称な元．

注意 3.3 以上は同変量子コホモロジー（A モデル）におけるシフト作用素であった．
ミラーの B モデル側でのシフト作用素は非常に単純である．つまり exponential periodの λ 変数を単純にシフトすればよい．λi → λi − ki z の下で，∫∫
dx1 · · · dxn
dx1 · · · dxn
fλ (x)/z−→eϕ(x)efλ (x)/z xk11 · · · xknn ϕ(x)x1 · · · xn
x1 · · · xnΓΓとなるので，B モデルにおけるシフト作用素は単項式 xk = xk11 · · · xknn の掛け算である
ことが分かる．(実際には Novikov 変数の単項式の掛け算だけずれる．
）このことは以下のミラーの構成の動機となっている．

4. 大同変ミラーの構成
X をあるベクトル空間の GIT 商として得られる滑らかなトーリック多様体とする．このようなトーリック多様体は aﬃnization Spec(H 0 (X, O)) 上射影的である．また X には X と同じ次元の代数トーラス T = (C× )n が作用しているが，X は T 固定点をもち，H 0 (X, O)T = C で，H 0 (X, O) の T -weight 全体の集合はある厳密に凸な錐に含まれる．
（すなわち前節の条件が満たされる．
）
×
N = Hom(C , T ) とおく．X に対応する扇 Σ はベクトル空間 N ⊗ R 内の有理凸多面錐の集まりである．|Σ| ⊂ NR で扇の台 (support) を表す．すなわち扇に含まれる全ての錐の合併集合である．N ⊗ C× 上の次のような「普遍関数」を導入する．
∑
yk xk Qβ(k)F (x; y) =k∈N∩|Σ|ここで y = {yk : k ∈ N ∩ |Σ|} は無限個のパラメータであり，β(k) ∈ H2 (X, Z) は 2 節で導入した β1 , . . . , βm を使って)(∑∑
ci bi と書くとき(2)β(k) =
ci βi
k を含む Σ の錐 σ を使って k =
i∈σ

bi ∈σ

により与えられる．正確にはここでは Novikov 変数 Q および y を形式的変数とみて，F (x; y) を C[(N ∩ |Σ|) × H2 (X, Z)eﬀ ][y] の適当な完備化の元と見なす（詳細は [14] 参照）．この普遍関数は次の特殊化{
1 k ∈ {b1 , . . . , bm } のとき
yk =0 それ以外の下で 2 節でのミラーのポテンシャル関数 f (x) を回復している．さらにFλ (x; y) = F (x; y) − λ1 log x1 − · · · − λn log xn
とおく．
注意 4.1 k ∈ N に対して k ∈ |Σ| は k と H 0 (X, O) の任意の T -weight とのペアリング
が非正であることと同値である．

注意 4.2 このような非常に大きな変形族 F (x; y) を考える理由は，N ∩ |Σ| の各点 k が同変コホモロジー HT∗ (X) の C 上の基底のクラスに対応しているからである．つまり
b1 , . . . , bm に対応するトーリック因子の定める同変類を u1 , . . . , um ∈ HT2 (X) と書くと∏き，k ∈ N ∩ |Σ| に対して ϕk = i∈σ uci i とおくと（ここで (2) と同じ記号を用いた），{ϕk : k ∈ N ∩ |Σ|} は HT∗ (X) の C 上の基底をなす．
定理 4.3 ([14]) 微分 zd + dFλ (x; y)∧ の定める twisted de Rham コホモロジーと X の大同変量子 D 加群は同型である．
n [z]/(zd + dF (x; y)∧)Ω\
n−1 [z] ∼[Θ: Ω= QDMT (X)λ

ここで twisted de Rham cohomology のパラメータ y と大同変量子コホモロジーのパラ
メータ τ ∈ HT∗ (X) はある可逆な変数変換 (ミラー写像)

τ = τ (y)で関係する．さらに次が成り立つ．

1. A モデルと B モデルのシフト作用素を関係づける．
Θ ◦ xk Qβ(k) = Sk ◦ Θ
2. Gauss-Manin 接続 ∇GM と大同変量子接続 ∇QC とを関係づける．
Θ ◦ ∇GM = ∇QC ◦ Θ
3. Θ は自然な次数付けについて斉次 (homogeneous) である．
• [z] は Novikov 変数 Q，パラメータ y，同変[
注意 4.4 ここでは詳しく説明しないが Ω
変数 λ, z が生成するある形式べき級数環上の加群であって，変数 x1 , . . . , xn についての微分形式からなるものである．詳しくは [14] を参照．

この定理における同型写像 Θ およびミラー写像 τ (y) の構成を簡単に説明する．実際
これらの写像は定理の性質からほとんど決まってしまう．次の「普遍的」exponential
form を考えよう．


∞
∑ ∑
dx1 · · · dxn
ω(y, y+ ) = exp yk,i xk Qβ(k) z i−1  x−λ/z
x1 · · · xnk∈N∩|Σ| i=0


∞
∑ ∑
dx1 · · · dxn= exp yk,i xk Qβ(k) z i−1  eFλ (x;y)/zx1 · · · xni=1k∈N∩|Σ|ここで yk,0 := yk は今までのパラメータであり，y+ := {yk,i : k ∈ N ∩ |Σ|, i ≥ 1}は新しい無限個のパラメータである．ω(y, y+ ) から因子 eFλ (x;y)/z を除くと Fλ (x; y) に付随する twisted de Rham コホモロジーの元になるので，記号の濫用により ω(y, y+ )を twisted de Rham コホモロジーの元と見なすことにする (注意 3.3 を見よ)．このとき，定理の条件が満たされるためには，ミラー写像 τ (y) および ω(y, y+ ) の Θ による像
Θ(ω(y, y+ )) が次の微分方程式を満たさなければならないことが分かる．

∂τ (y)= Sk (τ (y))∂yk∂Θ(ω(y, y+ )) [ i−1 ]= z Sk + Θ(ω(y, y+ ))
∂yk,i

(3)
(i ≥ 0)

ここで Sk (τ ) = limz→0 Sk · 1 は Seidel 元であり，[z i−1 Sk ]+ := z i−1 Sk − δi,0 z −1 (Sk ⋆) である．これらの微分方程式は()
τ (y), Θ(ω(y, y+ )) ∈ HT∗ (X) × HT∗b (X)

上の無限個の可換なベクトル場を定めていることが，シフト作用素の一般的性質 (命題3.2) から従う．従って τ (y) および Θ(ω(y, y+ )) はこれらの微分方程式の解で適当な漸近条件を満たすものとして定めればよい．
（そのような解が存在することは少し議論が必要である．
）
注意 4.5 式 (3) の前半は González 氏との共同研究 [11] で (c1 (X) ≥ 0 の場合に) 得られたものの一般化になっている．
注意 4.6 同型写像 Θ で量子コホモロジーの単位元 1 を引き戻すことで（齋藤恭司氏の意味での）原始形式
ζ = Θ−1 (1)が得られる．同変変数 λ を含まない形に書きなおすことで，ζ は微分形式のレベルで定まっているとみなせる．この原始形式は無限個の変数 y でパラメトライズされているが，非同変理論における原始形式の不定性は，少なくとも，この族の中から dim H ∗ (X)
次元の族をとりだす方法分存在する．
（実際には mod λ で 1 になるクラスを引き戻しても非同変理論での原始形式が得られるので，不定性はより多い．後で議論するように全ての不定性は x 変数の reparametrization で説明できる．
）
注意 4.7 この定理から量子コホモロジーと Jacobi 環の間の同型

QHT∗ (X) ∼= Jac(Fλ (x; y))が従う．
注意 4.8 ミラー写像の逆写像 yk = yk (τ ) によってミラーの Landau-Ginzburg ポテン
シャル F (x, y) は τ の関数と見なされる．Chan-Lau-Leung-Tseng [3] の結果からこれはFukaya-Oh-Ohta-Ono [7, 8, 6] らによる bulk-deformed ポテンシャルになっていることが期待される．

5. Givental cone 上のベクトル場と I 関数
微分方程式 (3) は HT∗ (X) × HT∗b (X) 上のベクトル場を定めているが，これは Givental による Lagrangian cone 上の線形ベクトル場と思うことができる．大同変量子接続の基本解 L(τ ) ∈ End(HT∗b (X)loc )[[Q]] を次の式で定める．

L(τ )α = α +∑ Qd ⟨d,n,in!

α
ϕi , τ, . . . , τ,−z − ψ

⟩X,T
ϕi
0,n+2,d

ここで {ϕi }, {ϕi } は T 同変 Poincaré ペアリングに関する双対基底である．また添え字の loc は localization を表しHT∗b (X)loc = HT∗b (X) ⊗H ∗b (pt) Frac(HT∗b (pt)).
T

この基本解は任意の α, ϕ ∈ HT∗ (X) に対して ∇ϕ (L(τ )α) = 0 を満たす．Givental cone は∪zL(τ )−1 HTb (X)L=τ ∈HT∗ (X)で定義される HT∗b (X)loc [[Q]] 内の Lagrangian 錐 3 である．

HT∗ (X) × HT∗b (X) ∋ (τ, Υ) 7−→ zL(τ )−1 Υ ∈ L
によって Givental cone は HT∗ (X) × HT∗b (X) と同一視することができる．この同一視の下で微分方程式 (3) の定めるベクトル場は L の次の線形ベクトル場と同一視される．

L ∋ f 7−→ z i−1 Sk f ∈ Tf L
ここで Sk は τ に依存しない定数シフト作用素であって次の性質で特徴づけられるもの
である 4 ．

• Sk ◦ λi = (λi − ki z) ◦ Sk
• δx ∈ HT∗ (X)loc を固定点 x ∈ X T のみに台 (support) をもつ同変類 (x, y ∈ X T に対して δx |y = δx,y となるもの) とすれば)
( n ∏∏ c≤0 ρi + cz∏
δx
Sk δx = Qσx −σmin
ρ
+
cz
i
c≤−ρ
·k
i
i=1
ここで σx は x ∈ X T に付随する Ek の section class であり σmin は minimal section
class. また ρ1 , . . . , ρn は点 x での接空間 Tx X の T -weights である．

Givental cone 上のベクトル場の積分曲線を求めることで，次の定理が従う．
定理 5.1 ([14]) (τ (y), Θ(ω(y, y+ ))) ∈ HT∗ (X) × HT∗b (X) の Givental cone における像は拡張 I 関数 [4] (extended I-function) I(y(z), z) である．すなわち拡張 I 関数は次の微分方程式を満たす．
∂I(y(z), z)= z i−1 Sk I(y(z), z)∂yk,i3HT∗b (X)loc [[Q]] には次のシンプレクティック形式 Ω が定まり，L はこれについて Lagrangian である．
Ω(f, g) = − Resz=−∞ (f (−z), g(z))dz4

ただし f, g ∈ HT∗b (X)loc [[Q]] で (·, ·) は T 同変 Poincaré pairing．
簡単のため T 固定点の集合 X T が有限と仮定している（X がトーリック多様体のときは成立）．

この定理に現れる拡張 I 関数は無限変数の超幾何級数で与えられ，元々の Giventalのミラー定理 [9] にある I 関数を拡張したものである．
注意 5.2 写像 (y, y+ ) 7→ (τ (y), Θ(ω(y, y+ )) 7→ I(y(z), z) は Givental cone L の座標を与える．すなわちこの写像は L と Spf C[[Q]][[y, y+ ]] の間の formal scheme としての同型を与えている．

6. 非同変極限と reparametrization group
定理 5.1 の非同変極限 λ → 0 をとることで Barannikov 流の大量子コホモロジーのミラーが得られる．ポテンシャル関数については逆ミラー写像 y(τ ) を使って τ ∈ HT∗ (X)でパラメトライズされる族

HT∗ (X) ∋ τ 7→ F (x, y(τ ))を考えることができるが，ここで任意の (非線形かも知れない) section s : H ∗ (X) →HT∗ (X) をとって変形族

H ∗ (X) ∋ σ 7→ s∗ F (x; σ) = F (x, y(s(σ)))
を考えると s∗ F の定める twisted de Rham コホモロジーと X の大量子コホモロジーが同型になる [14].
このように非同変極限のとり方には大きな不定性があるが，それらは全て x 変数のreparametrization で関係していることが分かる．同変 Givental cone を Lequiv で表し，非同変版を Lnoneq で表そう．次の (x1 , . . . , xn ) の形式的座標変換のなす形式群 JG を考
える．


∑
ϵk,i,j xk Qβ(k) z j 
xi 7→ xi exp k∈N∩|Σ|,j≥0

ここで変数 ϵk,i,j は形式群 JG の座標である．形式群 JG は exponential form ω(y, y+ ) に
座標変換で作用し，したがって同変 Givental cone Lequiv に作用する．
定理 6.1 ([14]) 非同変極限 λ → 0 によって定まる写像

Lequiv → Lnoneq
により Lnoneq は商空間 Lequiv /JG と同一視される.

参考文献[1] Serguei Barannikov. Semi-inﬁnite Hodge structure and mirror symmetry for projective
spaces. arXiv:math.AG/0010157, 2001.
[2] Alexander Braverman, Davesh Maulik, and Andrei Okounkov. Quantum cohomology of
the Springer resolution. Adv. Math., 227(1):421–458, 2011.
[3] Kwokwai Chan, Siu-Cheong Lau, Naichung-Conan Leung, and Hsian-Hua Tseng. Open
Gromov-Witten invariants, mirror maps, and Seidel representations for toric manifolds.
arXiv:1209.6119, 2012.
[4] Tom Coates, Alessio Corti, Hiroshi Iritani, and Hsian-Hua Tseng. A mirror theorem fortoric stacks. arXiv:1310.4163 [math.AG], 2013.

[5] Antoine Douai and Claude Sabbah. Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures. II. In Frobenius manifolds, Aspects Math., E36, pages 1–18. Vieweg,
Wiesbaden, 2004.
[6] Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian ﬂoer theory
and mirror symmetry on compact toric manifolds. arXiv:1009.1648, 2010.
[7] Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian Floer theory
on compact toric manifolds. I. Duke Math. J., 151(1):23–174, 2010.
[8] Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian Floer theory
on compact toric manifolds II: bulk deformations. Selecta Math. (N.S.), 17(3):609–711,
2011.
[9] Alexander Givental. A mirror theorem for toric complete intersections. In Topologicalfield theory, primitive forms and related topics (Kyoto, 1996), volume 160 of Progr.
Math., pages 141–175. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1998.
[10] Alexander B. Givental. Homological geometry and mirror symmetry. In Proceedings ofthe International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), pages 472–480.
Birkhäuser, Basel, 1995.
[11] Eduardo González and Hiroshi Iritani. Seidel elements and mirror transformations.
Selecta Math. (N.S.), 18(3):557–590, 2012.
[12] Kentaro Hori and Cumrum Vafa. Mirror symmetry. arXiv:hep-th/0002222, 2000.
[13] Hiroshi Iritani. Shift operators and toric mirror theorem. arXiv:1411.6840 [math.AG],
2014.
[14] Hiroshi Iritani. A mirror construction for the big equivariant quantum cohomology of
toric manifolds. arXiv:1503.02919 [math.AG], 2015.
[15] Bong H. Lian, Kefeng Liu, and Shing-Tung Yau. Mirror principle. III. Asian J. Math.,
3(4):771–800, 1999.
[16] Dusa McDuﬀ and Susan Tolman. Topological properties of Hamiltonian circle actions.
IMRP Int. Math. Res. Pap., pages 72826, 1–77, 2006.
[17] Andrei Okounkov and Rahul Pandharipande. The quantum diﬀerential equation of theHilbert scheme of points in the plane. Transform. Groups, 15(4):965–982, 2010.
[18] Paul Seidel. π1 of symplectic automorphism groups and invertibles in quantum homology
rings. Geom. Funct. Anal., 7(6):1046–1095, 1997. arXiv:dg-ga/9511011.