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iv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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࿦จूʮߴઐ‫ڭ‬ҭʯɼୈ 27 ߸ɼ2004.3ɼpp.191–197

57

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3 ࣍ؔ਺ͷੑ࣭ʹؔ͢Δߴઐ 1 ೥ੜͷࣗ༝‫ڀݚ‬਺ֶ‫ڭ‬ҭ‫ڀݚ‬ɼୈ 7 ߸ɼ2005.1ɼpp.71–83

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2

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਺ֶ‫ڭ‬ҭ‫ڀݚ‬ɼୈ 8 ߸ɼ2006.1ɼpp.113–12577

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ୈ II ෦ άϥϑి୎ͷ‫༻׆‬97ʮී௨ͷत‫ۀ‬ʯʹ͓͚Δάϥϑి୎ͷར༻ྫ
T3 Japan ୈ 16 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2012.8, pp.52–57

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άϥϑి୎ͷ୹‫ظ‬ར༻ʔάϥϑɾΞʔτͷ࡞੒ʔ
T3 Japan ୈ 7 ճ೥ձ (େࡕେձ)ɼ2003.8ɼpp.122–127

105

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2

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T3 Japan ୈ 11 ճ೥ձ (େࡕେձ)ɼ2007.8ɼpp.130–1351111͸͡Ίʹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2

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T3 Japan ୈ 11 ճ೥ձ (େࡕେձ)ɼ2007.8ɼpp.84–89

117

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2

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T3 Japan ୈ 6 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2002.8ɼpp.136–139

123

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2

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3

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Apps ”StudyCards”ͷ࢖͍ํͱ‫ࡐڭ‬ͷ࡞੒
T3 Japan ୈ 14 ճ೥ձ (ۚ୔େձ)ɼ2010.9ɼpp.20–231271͸͡Ίʹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2”StudyCards” ͷ࢖͍ํ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3

ΤΫηϧʹΑΔ‫࡞ࡐڭ‬੒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4”StudyCards Creator” ͷ࢖͍ํ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5͓ΘΓʹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Stats/List Editor Ͱ֬཰ɾ౷‫ܭ‬ΛֶͿ
T3 Japan ୈ 15 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2011.8ɼpp.26–31

1311͸͡Ίʹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2

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3

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ฏ੒ 16ɾ17 ೥౓Պ‫ݚ‬අใࠂॻɼୈ 3 ষɼ2006.3ɼpp.11–30

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137

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T3 Japan ୈ 6 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2002.8ɼpp.180–185

169

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3

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175

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T3 Japan ୈ 13 ճ೥ձ (‫౎ژ‬େձ)ɼ2009.8ɼpp.48–53

181

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3

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207

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グラフ電卓が切り開く数学教育の新世界
梅野 善雄∗On the Possibility of a New Mathematical Education
Using Graphing Calculators
Yoshio Umeno∗
Abstract:
When we talk of graphing calculators, we are apt to think of theones which enable us to compute various functions and plot graphs. Some of thelatest models, TI-92 and TI-89 types for example, however, have advanced built-in
software for the symbolic manipulation of algebra and calculus. As a matter of fact,
the function performances of these calculators range over almost all the mathematics
taught in the colleges of technology and the universities. Unfortunately, this fact isstill unfamiliar to most math teachers in Japan.
If we can teach students how to make full use of these graphing calculators, it
might bring about not only a considerable change in traditional math teaching, which
has long laid special emphasis on the student’s ability to compute acurately with apaper-and-pencil, but also to gain a footing with a new method of math teaching inwhich we lay more stress than ever on a mathematical way of thinking.
The aim of this paper will be to discuss ﬁrstly what we can do with these calculators, secondly the advantage in using them in math classes, thirdly the circumstances
regarding the spread of graphing calculators in the foreign countries, and lastly several problems with introducing them.
Keywords:

Graphing Calculators, Mathematics Education.

はじめに

1

近年のテクノロジーの発展にはすさまじいものがある．最新の数式処理ソフトは，単なる式の計算のみならず微分積分の数式計算や微分方程式の解析的な解でさえ求めることができる．3次元空間の曲面も簡単なコマンドで表示でき，それを回転させることもマウス操作だけで自在である．高専や大学で学生に教えている程度の数学は，すべて計算機に行わさせることができるといっても過言ではない．
この機能を教室で手軽に利用することができれば，学生の数学的概念の理解を深める上において格段の効果が期待される．そのためには，数式処理ソフトを組み込んだパソコンを教室に持ち込むか，あるいは電子計算機室の端末からそのようなソフトを利用することが考えられるが，本格的な数式処理ソフトを 1 クラスの人数分そろえるのは，いかに教育機関用の価格であっても相当の予算処置を伴なう．
∗

一関工業高等専門学校一般教科, 岩手県

Ichinoseki National College of Technology, Ichinoseki-shi, 021–8511, Japan1‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

近年のグラフ電卓の中には，数式処理機能を持つものがある．テキサス・インスツルメント社の TI–89, TI–92Plus，ヒューレット・パッカード社の HP–49G，そしてカシオの CFX–9970G，Algebra FX 2.0 である [1]．これらの電卓は高度の数式処理を行うことができ，高価な数式処理ソフトと比較して極めて安価に入手できる．学生個々に購入させることも可能な価格帯にある．
この論考では数式処理機能を持つグラフ電卓として TI–92Plus を取り上げ，その機能の概要
を既成の数式処理ソフトと比較すると共に，この電卓を数学教育の中で利用することは数学教
育にどのような効果をもたらすかを考察したい．

2

数式処理可能なグラフ電卓

2.1

機能の概要

最初に，数式処理機能を持つグラフ電卓 TI–92Plus は，具体的にどのようなことが可能であるかを概観したい．

TI–92Plus は縦 12cm，横 21cm，厚さ 3cmの大きさであるが，その中にはパソコン用の数式処理ソフト Derive の機能が詰め込まれている．このソフトの開発者も参加してTI–92 は開発された．CPU にはモトローラの68000(10MHz) を使用．メモリーは 500K バ
イト以上あり，ユーザーエリアは約 188K バ
図 1: グラフ電卓 TI–92Plus

イト．約 384K バイトのフラッシュROM を内蔵している．

この電卓の機能は多岐にわたるが，例えば微積分関連では以下の機能を持つ．
微分・積分： 関数や数列の極限値，微分係数の値，(偏) 導関数の計算，（高次) 導関数の計算，接線の方程式，極値，変曲点，テイラー展開，指定された範囲における関数の最大値と最小値，総和 (有限和と無限和)，不定積分，定積分，多重積分，特異積分，数値積分
関数とグラフ： 1 変数関数のグラフ表示（陽関数，陰関数，媒介変数，極座標），グラフと座標軸との交点の座標，二つのグラフの共通部分の陰影表示，2 変数関数のグラフ表示 (陰線処理，ワイヤーフレーム，等温線図，円柱座標），グラフの拡大・縮小・回転
微分方程式： 1 階常微分方程式の一般解，定数係数 2 階線形常微分方程式の一般解，連立 1 階
微分方程式の解曲線表示，高階微分方程式を 1 階連立微分方程式に変換することによる解法，初期条件・境界条件を与えた解法，ベクトル（勾配) 場の表示，解曲線のグラフ表示
他にも，数と式，方程式，線形代数，集合演算，統計解析，表計算等に関して多くの機能を持つ．幾何機能 (カブリジオメトリ) を備えており，これは初等幾何教育に極めて有効と思われる．この電卓の液晶画面は，簡単な器具（LCD パネル) を OHP に載せるだけでスクリーンに投影することができる．

2

ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

文字列操作にも優れている．If 文，For 文，While 文，Loop 文などによる構造化プログラミ
ングが可能であり，変数は局所変数と大域変数とを区別できる．パソコンとのデータ通信ができるので，WWW 上で入手した様々なプログラムを TI–92Plus に転送することができる．特に，別売オプションのデータ収集器 CBL(Calculater–Based Laboratory) を利用すれば，いろいろなセンサーを通して温度・圧力・速度・距離等の実データを収集でき，それらのデータに統計処理を施して即座にグラフ化することができる (ただし収集できるデータ数には限りがある)．この機能は，現実世界と数学との関わり方を示す上において，数学のみならず工学系専門科目の導入段階で極めて有効な機能と思われる．
なお，TI–89 は TI–92Plus の機能から幾何機能 (カブリジオメトリ) を除いたものである．TI–

92Plus より小型のため液晶画面がやや小さいが，以下で述べられる例は TI–89 でも可能である．
この論文ではカブリジオメトリについて詳しく述べることはできないが，中学校の幾何教育で利用すれば画期的な教育効果が見込まれる [2]．

2.2

幾つかの画面例

TI–92Plus は具体的にどのような計算を行うことができ，その結果をどのように表示するかを見るため，以下に幾つかの例を上げる．
図 2 では，複素数を含む繁分数式の計算や因数分解が行われている．繁分数式は「見たまま」の表示がなされる．因数分解では，実数と複素数の範囲の分解を区別させることができる．図3 は，y = x5 − 3x3 + 1 のグラフを表示して x 軸との交点の座標を求めたものである．交点の存在する x の範囲を指定するだけでカーソルが移動し，その x 座標の値を表示する．この画面のまま，最大値・最小値・接線・変曲点・x 軸とで囲まれた部分の面積・曲線の長さなどを簡単な操作で求めることができる．半角のテキスト文字を任意の位置に埋め込むことができ，表示されているグラフの座標データを瞬時に表データに変換することもできる．

図 2: 繁分数式と因数分解の計算

図 3: グラフと x 軸との交点

図 4 では微積分の計算がなされている．極限値が正の無限大に発散するときは ∞ が返される．微分する階数を指定すれば高階の導関数が求められ，微分する変数を指定すれば偏導関数を求めることができる．結果を分数や無理数で表すことができるときはそのような表示がなさ
れ，電卓の能力で計算不能のときは入力式がそのまま返される．また，数値的にしか求めること
 ∞2ができないときは，自動的に数値解が計算される．例えば，
e−x dx を計算させると，8 秒
0√
後に π/2 ではなく .886227 が返される．図 5 では，テイラー展開や 2 階定数係数線形微分方3‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

程式の一般解が求められている．テイラー展開では指定された点において指定された次数までの展開式が降べきの順に表示される．その関数を即座にグラフ表示することも容易である．高階の非線形微分方程式を一階の連立微分方程式に直して，その解曲線を表示させることもできる．なお，@1 や@2 は任意定数を表す．

図 4: 微積の計算

図 5: テイラー展開・微分方程式

図 6 は，複素関数の絶対値関数 z = |(x + iy)3 | を表示したものである．この曲面を拡大・縮小・回転することも容易である．軸の分割数を指定することもできるが，分割数を多くするとグラフが表示されるまでにかなりの時間がかかるのはやむをえない．図 6 の曲面は −1.5 <=x<= 1.5,−1.5 <=z<= 2 の部分を表示したものである．x, y の分割数を 20(標準では=y<= 1.5 の範囲で −1 <14) にして計算させると表示されるまでに 55 秒を要した．図 7 は，画面を左右に 2 分割して表示したものである．左側は，ロトカ・ヴォルテラの微分方程式 dx/dt = −y +0.1xy, dy/dt = 3y −xyのベクトル場と x(0) = 2, y(0) = 3 のときの解曲線である．この画面は約 28 秒で表示された．
右側では個々の解曲線 x = x(t), y = y(t) が示されている．デフォルトではルンゲ・クッタ法で近似解が求められるが，オイラー法で求めさせることもできる．画面は上下に分割することもできる．

図 6: 曲面の表示

3

図 7: ベクトル場と解曲線

数式処理ソフトとの比較
数式処理ソフトとしては，Mathematica, Maple 等，長年の使用実績をもつものがある．これらのソフトの機能は豊富であり，専門研究の一つのツールとしても利用されている．このような本格的数式処理ソフトとグラフ電卓の数式処理能力とを比較するのはフェアではないが，機能的側面から TI–92Plus について若干の比較を試みてみたい．

4ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

3.1

OHP への投影教室における OHP への投影方法について考える．数式処理ソフトの表示画面を OHP に投影するには，数式処理ソフトが組み込まれたパソコンとその CRT 画面をスクリーンに投影する装置 (液晶プロジェクター，あるいは OHP 投影用の機器) が必要であり，それを教室まで運ばなければならない．機器の大きさもさることながら，その投影装置はかなりの高価格であり，高性能パソコン 1 台分以上の投資が必要である．電子計算機室の端末で数式処理ソフトを利用させる場合はそのような装置は不用であるが，学生を端末室まで移動させることが必要となる．
グラフ電卓の液晶画面をスクリーンに投影する場合も，投影用の機器 (LCD パネル) が必要である．この電卓のオプションとして用意されているそれは，液晶プロジェクターなどと比べると極めて軽量，価格も安価である．

LCD パネルとの接続コードは標準でも長さが 2m 以上はあるので，教師はグラフ電卓を手に持って OHP の近くを歩き回りながら操作・説明することができる．このことは，実際の授業現場では重要なことである．

3.2

操作性

教室で数式処理ソフトを利用するには，まず幾つかのコマンドをマウスやキーボードで一つ
一つ打ち込まなければならない．端末室で学生に利用させる場合では，主要なコマンドについてあらかじめ説明しておくことが必要となる．
それに対してグラフ電卓では，数式や関数式の入力時を除けば，ほとんどのコマンドは幾つかのキーを押すだけで実現できる．すべてのコマンドが辞書的に整理されて登録済みである．小型・軽量であるので片手に持って立ったまま操作できる．
特に，グラフ電卓を学生一人一人に利用させる場合，ハンドヘルドなため机の上で操作できる．しかも，キー操作だけでほとんどの機能が実現可能である．学生は入力コマンドを覚える
必要がなく，スペルミスで悩むこともない．電卓を与えて幾つかのキー操作を説明するだけで，学生は即座にその電卓のメインの機能を利用することができる．
また，グラフ電卓を学生一人一人に利用させる場合，学生は教室を移動する必要はない．ハンドヘルドであるため，学生はどこでもそれを利用することができる．通学途上の列車内や家に帰ってからでも数式処理機能を利用できることになる．

3.3

機能

処理速度，機能の豊富さ，そしてカラー表示可能という面からみると，パソコン塔載の数式処理ソフトが優るのはいうまでもない．しかし，TI–89 や TI–92Plus は，数式処理ソフトには無い幾つかの機能を持っている．
たとえば，これらの電卓はグラフ画面を即座に表データに変換することができる．この機能
はグラフと数値データとの対応関係を明確にし，関数に対する理解を深めさせるときに有効と思われる．また，センサーから実データを収集してグラフ化したり，そのデータに統計処理を施して回帰曲線を表示させる等を，新なプログラムを書くことなく幾つかのキーを押すだけで5‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

実現できる．この機能は現実の現象と数学との関わり方を理解させ，学生自身に自分で現象を解析させることを可能にするものである．
さらに例を上げると，1 変数関数のグラフを表示させ，指定した範囲における最大値・最小値，定積分の値，そして曲線の弧の長さなども，幾つかのキーを押すだけで求められる．x 軸との交点や変曲点の座標，指定されたグラフ上の点における微分係数の値や接線のグラフと方程式も表示する．これらの機能は，学生がグラフに対する総合的な理解を深める際に極めて有効と思われる．
他にも教育的な配慮に基づく多くの特徴的な機能を持っている．
また，TI–92 は，数式処理ソフトの国際コンペで Mathematica と並び首位タイになったことがある [3]．それは，定めれた時間内に例えば以下のような問題を高精度で解くものである．

(1)

∞


(nπ + n2 +√n + 1)−1/3 の値を求める．

n=1(2) (x + 1)2000 (x2 + x + 1)1000 (x4 + x3 + x2 + x + 1)500 で x3000 の係数を求める．
(3) 1000 次のラゲール多項式の最大の零点を求める．
なお，ラゲール多項式は，次の漸化式で定義される．

n−1
2n − 1 − x
Ln−1 (x) −Ln−2 (x), L0 (x) = 1, L1 (x) = 1 − x
n
n


 1
∞

1
zk
2
のとき，
x
Li
を求める．
(4) Lin (z) =
3
kn
x+1
0
k=1
 1
(5)
exp(x + y + x2 + xy + y 2 + x2 y 2 )f (y)dy = λf (x) を満たす最大の固有値を求める．
Ln (x) =0

TI–92 がこのような問題に耐えうることは，その数式処理機能は教育用だけに留まるものではないことを示している．

3.4

教師にとっての有用性

数式処理可能なグラフ電卓は，教室での利用ばかりではなく，教師の教材作りにとって極めて有用なツールとなりうる．いろいろな計算結果や関数のグラフを容易な操作で表示させることができる．数と式，方程式の解法，微分積分，微分方程式，ベクトルと行列，統計等の計算問
題やその解答を作るとき，教師がその繁雑な計算をいちいち自分で行う手間が省ける．関数や方程式の係数等を変えながら，その結果を即座に見ながら問題作りを行うことができる．数式処理ソフトにおいてもそれは可能であるが，パソコンを起動させることなく，机上での手軽なキー操作だけで各種の計算やグラフを表示させることができる．教師の教材作りにおいて，極めて有用なツールといえる．
この電卓の計算能力に信頼感を持てた場合は，教材作りばかりではなく，論文等に出てくる
単純ではあるが煩雑な計算の実行やフォローに利用することができる．前節のような問題に耐えうることは，単純計算ばかりではなく，かなり高度の数学にも活用できることを示している．
有効に活用すれば，論文によっては，その作成や読解に要していた時間が相当効率化されることが期待される．

6

ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

4

従来の数学教育4.1

計算力中心の授業

高専における従来の数学教育では，微分積分や微分方程式等，いわゆる解析系の計算ができるようにさせることに力点が置かれている．どちらかというと「思考力」よりも「計算力」を重視した教育が行われてきた．それは，基本的な計算ができなければ，その先の応用や思考を問う話題には進めないからである．限られた授業時間の中では，とりあえず工学で必要とされる計算ができるようにさせることで精一杯であるというのが現状であろう．
しかし，学生は，新な計算手法を学習するたびに既習の内容を忘れていく．彼等の忘却の仕方は徹底していて，その週に学んだことさえ忘れる者もいる．それを忘れさせないために，教師は計算問題を中心とするさまざまな練習問題を学生に課す．学生は次第に計算自体が目的となり，その計算の目的や意味を忘れていく．そして，計算はできてもその意味が分からないという状態が生じてくる．あるいは，与えられた式の計算はできても，問題内容を解釈して解くべき式を自分で見い出すことができない場合もある．このような計算中心の授業では，学生は与えられた問題を解く (計算する) ことだけが数学の勉強であるかのような錯覚を起こすことになる．また，計算問題中心の授業では，いろいろな計算手法ばかりが頭に残り，数学上の概念や意味についての理解が不十分になりかねない．
数学教育では，本来どのような能力を育成することが求められているのだろうか．単にいろ
いろな式や微分積分の計算ができたり，微分方程式が解ければよいというものではないであろう．ある目的のために，必要があって計算したりグラフをかくのである．本来は，基本的な計算の仕方を学んだ後は，種々の条件を勘案して問題を数学的に定式化できる能力の開発にこそ重点がおかれるべきである．そして，その定式化された式の計算結果やグラフを見ながら，さらに種々の検討を加えることに重点がおかれるべきであろう．
従来の数学教育は，そのための「基本的計算」ができるようにさせるだけで精一杯であったといえよう．
「応用」にかける時間は決定的に少ない．触れる時間がないからである．しかも，工学の応用に触れる時間が取れたとしても，そこでは数学の授業におけるような簡単な計算ではない場合が多い．計算自体が複雑のみならず，その結果も複雑な式となり，学生にはそこで現れる関数のグラフさえ容易にはかけない場合が多い．工学における実際の解析では微積分を学
習中の学生が自力で解けそうな問題がそう多くはないことも，応用にあまり触れることができ\ 計算練習」を承知しつつも，ない原因の一つと思われる．それゆえ，「数学教育 =
「数学教育 = 計算練習」と学生に誤解されてもやむをえないような授業であったといえば言い過ぎであろうか．

4.2

教師中心の授業

従来の教授スタイルは，教壇で教師が説明し，それを学生がノートに取って覚える，というスタイルである．授業が分からないとき学生は質問すればよいわけであるが，実際に授業中に質問する学生は少ない．また，分からないからといって後で復習するわけでもない．学生からの反応が少ないと，授業は教師中心で進行せざるをえなくなる．また，最近の学生は説明を聞

7‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

きながらノートを取ることができない．教師の説明はそっちのけで，ひたすら板書に熱中している場合がある．その場合は，教師が幾ら「分かりやすさ」を心掛けた説明をしても意味がな
い．学生は，後で教科書やノートを見ながら独学で理解を試みることになるが，それでは理解できないのも当然である．分からない箇所が積もり重なってくると，結局は机につっぷして眠るしかないことになる．

グラフ電卓が可能にする数学教育

5

グラフ電卓は，単なる OHP への表示ツールとして利用されるべきものではない．表示ツール
であるならば，数式処理ソフトを組み込んだノートパソコンの方がより高速に多くの情報を表示できるであろう．この電卓は，学生一人一人に所持させてこそ最高の効果が期待される．以下で見るように，学生がこの電卓を使いこなす状況になったとき，そこには数学教育のかってない新世界が広がっているのではないかと思われる．

5.1

グラフ電卓を利用した授業例

この電卓を個々の学生が利用できる状態になったとき，具体的にどのような授業が可能になるかを概観したい．
なお，本校では，数式処理機能を持つグラフ電卓 (TI–89) を 1 クラスの人数分用意できたばかりであり，この電卓を利用した教育実践は平成 12 年度に予定されている．以下は，効果的な利用法としての想定例として述べる．
例 1 方程式の解法
連立方程式 2x + y = 3, x2 + y 2 = 5 を考える．通常は，第 1 式を y = 3 − 2x と変形して第 2式に代入し，それを解いて x を求める．この方法は解法のアルゴリズムと計算方法とを混在して教えることになるが，学生は計算方法にばかり目を奪われアルゴリズムに対する理解は疎かになりがちである．第 1 式を変形して係数が複雑になると，途中計算のミスが生じて正答率は低下する．このようなミスを避けるため，問題演習などでは解が簡単な整数や分数になるものが多い．しかし，工学などで現れる現実の応用場面では解が簡単な形になるとは限らない．数学の授業で解が簡単な問題ばかりやっていると，実際の問題に応用できない場合がある．
一方，数式処理機能を持つ電卓を利用すると，図 8 の 1 行目のように解くべき方程式と変数の組を指定して solve(2x + y = 3 and x2 + y 2 = 5, {x, y}) と打ち込むだけで即座に 2 組の解が表示される．このような「解け (solve)」という指示だけで解が表示されるのでは，従来のような方程式を解く問題は意味がなくなるのだろうか．
方程式の解法をまだ学習していないとき，solve コマンドを使用して方程式を解かせるべきでないことは言うまでもないことである．この電卓は，方程式の解法のアルゴリズムを理解させる場合に有効である．図 8 の 2 行目以降がそれである．この過程では，第 1 式を y について解き，それを第 2 式に代入した式を x について解き，その解を y について解いた式に代入して yの値を求めている．図 9 では，第 2 式に代入した式を展開し，両辺から 5 を引いて因数分解し8ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬ている過程が示されている．
「何をどうするか」を電卓に明確に指示しながら解いており，学生は指示した計算を自分で行う必要はない．アルゴリズムに焦点を絞った解法といえる．その理解を得た後に筆算による計算練習を行えば，従来のような筆算だけの計算より解法のアルゴリ
ズムに対する理解は増すのではないかと思われる．また，筆算で解いた結果と一致しないとき
は，どの過程で誤ったのかも容易に発見できる．
そして，解法の仕方について十分な理解が得られた後では，solve コマンドを利用して直接問題を解くことには何の問題もないであろう．方程式の学習では，その解法の計算練習を多数行わさせることよりも，むしろ問題内容を解釈して適切な方程式を立てることの方がより重要ではないだろうか．従来は，どちらかというと，この前半の計算練習に比重が置かれていたように思われる．解法の仕方を理解させた後は，この電卓の機能を積極的に活用して，様々な応用問題を解かせることに多くの時間を費す方が数学本来の姿ではないかと思われる．

図 8: 連立方程式の解法

図 9: 2 次方程式の解法

例 2 関数のグラフ

2 次関数の授業では，初めに y = ax2 のグラフを x, y の値を表を作らせて確認させ，次に
y = a(x − p)2 , y = ax2 + q についても同様の形でグラフを描かせる．そして，数値的に平行移動であることを理解させ，その後に一般的な説明を行って「y = a(x − p)2 + q のグラフは y = ax2のグラフを平行移動したものである」ことを定理の形で提示することになる．
学生に表を作成させてグラフを描かせることは，新しい関数の導入段階では必要である．しかし，その作業を多数の関数や少し複雑な関数について課すのはあまり教育的とは思われない．
この作業は，数例の簡単な関数についてだけ行われることが多い．その後，学生は定理として提示された内容を覚えようとするが，それは時間が経つにつれ忘れ去られることになる．
グラフ電卓を利用すれば，この平行移動に関する性質を学生に発見的に見い出させることができる．y = ax2 , y = a(x − p)2 , y = ax2 + q のグラフを a, p, q の値を適当に変えながら数多く
電卓の画面に表示させれば，式の形によりグラフがどう変わるかを学生は容易に見い出すであろう．その発見は，グラフの座標データを表データに変換して数値的に確認することもできる．
このような発見をさせた上で一般的な説明を行えば，視覚的な理解と自ら発見した事実である
こととが相まって，理解の定着度は格段に向上することが期待される．
同様のことは，他の関数の平行移動，グラフの座標軸や原点に関する対称変換，あるいは

y = kf (ax) や y = |f (x)| などのグラフでもいえる．3 次関数の係数をいろいろ変えながらグラフを表示させ，この関数のグラフの特徴を学生に分類させることも可能であろう．いろいろな

9‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

整関数 f (x) に対して y = f (x) と y = 1/f (x) のグラフとを同時に表示させれば，分母が 0 になる点での関数の挙動についての理解も深まる．

図 10: 2 次関数のグラフ

図 11: 座標のデータ

例 3 媒介変数で表された関数
媒介変数で表された関数 x = f (t), y = g(t) の授業では，最初に t, x, y の表を作成させ，それを元にこの関数のグラフを描かせるのが普通である．それにより，このような関係が与えられ
ると，x, y の間に関数関係があることを学生に理解させようとする．あるいは，媒介変数を消去した x, y の関係を導くことにより理解させようとする．しかし，すべての関数についてこのような表を作成するわけにはいかず，すべての関数について x, y の直接的な関係が導けるわけでもない．学生は，最初の簡単な例をもとに，このような場合も x, y の関数であることを「覚える」ことになる．
グラフ電卓は，媒介変数表示された関数のグラフも表示する．シミュレーション機能を利用して曲線上をクロス状のカーソルが移動するようにもできる．この機能を利用すれば，曲線上の点の動きを実際に見ることができる．媒介変数の箇所では，x, y に関して同じ関数でも，媒介変数による表示の仕方を変えると点の動き方が変わることを理解させることが最も重要と思われる．従来の方法では教師が黒板に図を書きながら言葉で説明し，それを学生が自分の頭の中にイメージ構成することを期待するしかなかった．しかし，グラフ電卓を利用すれば，このことを成績下位の学生にも体験的・視覚的に理解させることができる．
例えば，図 12 は，ある高さからボールを真上に投げ上げたときの軌跡 (右側) と時間を横軸に取ったときの軌跡 (左側) とを同時に表示させたものである．軌跡をドット表示させてある．キーを押すと，これらのグラフ上を 2 つのクロス状のカーソルが同時に動くようにでき，媒介変数 t の刻み幅を

図 12: 数直線上を運動する点の軌跡

変えるとボールが向きを変える点でカーソ
ルが一瞬停止するようにできる．そこでは速度が 0 であることを学生は簡単に「見る」ことができる．このような動きのある画面を学生に見せるには，従来は教師が自分でプログラムを書いて行っていた．グラフ電卓では，この程度のことでプログラムを組む必要はなく，関数やグ10ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

ラフ表示の仕方を指定するだけですむ．同様の視覚に訴える手法は他の様々な場面で可能であり，学生が数学上の概念を理解する際に劇的な効果を発揮することが期待される．
例 4 不定形の極限値
不定形の極限値の計算は，ロピタルの定理を学ぶまでは分数式の変形により行われるのが通例である．例題や問題演習を通じて学生は一応は極限値を求めることができるようにはなるが，どの程度の学生が lim f (x)/g(x) = k のとき f (x)  kg(x) (x  a) であることを理解してx→aいるのだろうか．計算結果の意味を正しく理解できなければ，応用場面のどのようなときに極限値の計算を行うべきかが分からないことになる．極限値を教える際は，x = a の近くで 2 つの関数 f (x), g(x) の挙動の違いを比較していることを理解させることが必要であろう．
このことを従来の教授法で確認させるには，まず x = a の近くで関数 f (x), g(x) のグラフを描かせる必要がある．しかし，この作業を課しただけで学生は「難しい」と感じてしまうであろう．グラフがうまく描けない学生の場合には，極限値の計算自体まで身につかなくなる恐れがある．
数式処理機能を持つグラフ電卓は，このような不定形の極限値も計算できる．∞ への極限値でもかまわない．関数のグラフ描画を即座に行い，その座標データを表データとして表示する．
図 13,14 は， lim (1 − cos x)/x2 = 1/2 の場合の f (x) = 1 − cos x, g(x) = x2 のグラフと表をx→0示したものである．図 14 では y1 = 1 − cos x, y2 = x2 , y3 = y1/y2 である．ただし，y3 では\ 0 という条件をつけている．表の数値データからも，x  0 のとき 1 − cos x  x2 /2 であx=

ることが予見できる．数値の刻み幅は任意に設定できるので，表だけからでも，かなりの精度
で極限値の値を求めることができる．あるいは，直接 f (x)/g(x) のグラフを表示し，トレース機能を利用して y 軸との交点の座標を表示させてもよい．この機能では，カーソルがその点のx, y の座標値を表示しながらグラフ上を移動する．

図 13: 曲線の表示

図 14: 表データ

これらの機能を利用すれば，学生は自分の計算した極限値の意味をグラフと数値データの両面から確認できる．逆に，極限値を数式の計算から求めることができなくとも，グラフや数値
データを調べてかなりの精度でその値を数値的に予想することができる．これまでは，計算方法が分からないと，学生は「分かりません」の一言を免罪符としていた．この電卓を利用すれば，計算ができない学生でもそれなりに納得できる形で極限値を求めることが可能となる．

11‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

5.2

グラフ電卓を利用した数学教育

グラフ電卓の利用により，数学教育はどのような変貌を遂げるのだろうか．次節で述べられるように，グラフ電卓を利用した数学教育は海外 (特に欧米諸国) ではもはや常識化しており，
長年にわたる実践から，その効果等について数多くの研究結果が報告されている [4]．以下では，それらの報告をもとに，グラフ電卓を利用した数学教育の姿を概観してみたい．
「計算中心」から「思考中心」の授業
数学教育で数式処理電卓を利用することについては，おそらく幾つかの懸念が出されるであろう．最大の懸念は，「このような電卓の使用は，基礎的計算力や数学的思考力の低下につながるのではないか」というものだと思われる．
確かに，現状の教育体系のまま，安易にこの電卓を利用させることは多少の問題があるかもしれない．学生は数式処理電卓を単なる「解答表示機能付き電卓」と理解し，自らの計算意欲を停止させる可能性は十分に考えられる．特に，数学の演習問題の多くは計算問題で占められる．
米国で電卓を利用した数学教育の改革を押し進めてきたオハイオ州立大学の Franklin Demana
教授と Bert K. Waits 教授は，
「数学カリキュラムの 85%は紙と鉛筆による計算からなる」と述べている [5]．それらの問題の多くは，この電卓を利用すれば単なるキーの押し方の問題になりかねない．
しかし，いくら単純計算はキー一発で求められるとはいっても，自分で基本的な計算ができなくてもよいということにはならない．それを自力で行うことのできる能力は当然必要である．
したがって，授業の中で実際に利用させるには，どのようなときに電卓を使い，どのようなときに手計算で求めさせる必要があるかを十分検討することが必要となる．

Demana 教授と Waits 教授は，従来の数学教育で行われてきた計算を(1) Mental computation(2) Paper-and-pencil computation(3) Computation done with technologyの 3 つに分類する．そして，これらは，いずれもテクノロジーが利用可能な現在でも必要な能力であり，各場面でどのような計算方法によるべきかという判断が重要であると述べる [5]．つまり，数式処理電卓は，単に教育内容をそのままにして漠然と使用させるのではなく，その教育内容の理解を深めさせるためにはどのような使用のさせ方をすべきかという検討が不可欠である．その使用のさせ方について，Demana 教授と Waits 教授は次の 3 点のバランスが重要であることを強調する [6]．

(1) 筆算で問題を解かせ，その結果をグラフ電卓で確認させること．
(2) グラフ電卓で問題を解かせ，その結果を筆算で確認させること．
(3) 筆算，グラフ電卓，あるいはこれらの併用のいずれによるのが適切かを学生に判断させて問題を解かせること．
そして，数学教育に電卓を使用することには根強い批判がありながらも，グラフ電卓を活用

12ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

した海外での長年の教育実践は，計算のアルゴリズムに対する理解や数学的思考力が逆に大きく向上することを報告している [7]．

• 電卓を使用した授業を受けた学生は，電卓を使用しないで授業を受けた生徒と比較して，(電卓を使用しないテストにおいても) 基礎的計算力の向上が見られる．
• グラフ電卓の使用は，学生の数学概念や問題解決能力を向上させる．難しい問題を恐れな
くなり，数学に対して自信を持つようになる．また，問題解決に対する持続力が高まり，数学に対する態度が改善される．

• グラフ電卓の使用は，関数とグラフに対する理解を著しく向上させ，関数の大域的な性質
やグラフ全体の特徴などのグラフ全般に関する学生の理解を深めさせる．
これを前節の例で考えてみる．学生は式の変形を何の方針もなく行っている場合がある．例 1のように一つ一つ計算手順を指示する形で電卓を利用させれば，計算のアルゴリズムに対する理解は逆に向上することが十分予想できる．その理解をさせた後に電卓を使わせない計算をさせれば，従来よりは手際よく計算できるであろう．そして，そのような理解を得た後は，電卓を利用して直接解を表示させることには何の問題もないであろう．グラフ電卓のこのような使い分けは，オーストリアの Bruno Buchberger 教授により「White-Box/Black-Box の原理」と呼ばれた [5]．手順を一つ一つ指示しながら利用するのが White-Box であり，直接解を表示させるのが Black-Box である．
しかも，グラフ電卓は，例 1 の 2 つの方程式のグラフを容易に表示する．従来，方程式の個所では，グラフ上での意味について説明はなされたとしても，実際には数式変形による解法練習に力点が置かれていた．2 つのグラフの交点の座標を求めているという意識は学生には希薄だったといえよう．それゆえ，いざ後の章でグラフの交点を求める場面になっても，何をすればよいのか分からない学生も出てくることになる．
学生にとっては，グラフを描くという作業自体が大変な作業である．グラフを用いた理解をさせたくとも，式が複雑になると現実にはそのような作業を学生に課す授業は難しいという事情もあった．しかし，この電卓のグラフ機能を利用すれば，方程式の解についてグラフと一体化した理解をさせることができ，方程式の解に対する意味理解が視覚的に強化されることが期待される．しかも，学生自身の計算力では解けないような方程式でも，そのグラフや数値的側面を調べることにより，学生自身が納得できる形で解を求めることができるのである．
このような形で「計算の仕方と意味」を理解させ，その理解の確認のため (電卓を利用しない) 計算練習をある程度経た後は，もはや従来のような問題演習を延々と行う必要はないであろう．そのような問題演習の節約で生じた時間は，方程式を自分て立てる応用のために利用することができる．
この電卓のグラフ機能を積極的に活用すれば，数学の本質的な概念を学生にストレートに理解させることも可能になる．例えば「微分可能性」が「線形近似可能性」に他ならないことを，どの程度の学生が理解しているだろうか．グラフ電卓を利用すれば，これはグラフ上のある点の近くを拡大表示させるだけですむ．何度か拡大していくと，そのグラフは直線で表示される．

13‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

学生に幾つかの関数のグラフに対してこの作業を行わさせれば，成績下位の学生でも「微分可能」の意味を容易に理解できるであろう．Demana 教授と Waits 教授は，グラフ電卓のこのような機能を「Power of Visualization」と呼んでいる．接線のグラフを同時に表示させて表デー
タに変換すれば，「数値」の上からの確認もできる．このように，数学を「数式」「グラフ」「数値」の 3 つの側面から多角的に理解させることができるので，数学的な概念への理解は大きく向上すると思われる [8]．
数学の問題の多くは，「計算せよ」「解け」「描け」という問題で占められている．しかし，単に与えられた数式，方程式，そして関数に対してこのような問題ができたとしても，それは現実の問題ではどの程度役に立つのだろうか．現実の問題では，問題内容を解釈して「何を計算すればよいのか」，「どのような方程式を解けばよいのか」，あるいは「どのような関数を考えればよいのか」を見出すことがまず必要であり，その部分こそが最も重要な個所のはずである．
電卓の利用で節約される単純計算時間は，このような数学本来の「考える問題」にあてることができる．
「教師中心」から「学生中心」の授業
これまでの授業のスタイルは，教師が教壇に立って教えを垂れ，それを学生が板書して覚えるというスタイルであった．グラフ電卓のグラフ機能や数式処理機能を積極的に活用すれば，学生に数学的な探究活動を行わさせることができる．
例 2 では，グラフ機能を利用して平行移動の概念を学生に体験的に発見させようとしている．
同様の手法によれば，y = sin nx のグラフから，この関数の周期について考えさせることもできる．いろいろな関数に対して y = f (x) のグラフと y  = f  (x) のグラフとの関係を考えさせれ
ば，導関数の符号が関数 f (x) の増減と関わっていることを学生に発見させることもできるだろう．極座標によるグラフも表示できるので，様々な関数 r = f (θ) についてそのグラフを表示させるなどすれば，極座標に対する理解が劇的に向上することが見込まれる．
グラフに関することばかりではなく，この手法は他の様々な個所で適用できる．
例えば，幾つかの具体的な係数について (ax + b)(cx + d) の展開を電卓で行わせ，その展開式の一般形を学生が発見するように仕向けることができる．この展開式は，初等的ではあるがなかなか学生に定着しない式である．展開や因数分解の個所の学習が終わると，この公式によらずに一つ一つ展開しようとする学生が多い．展開前後の係数間の関係を自分で発見できれば，その後の定着率は向上することが見込まれる．逆に xn − 1 の因数分解をいろいろな n について
電卓で行わせ，n の値による因数分解の一般的な形を予想させてその証明を考えさせるという授業も可能である [9]．
また，log a, log b, log a + log b, log(a + b), (log a)(log b), log ab の値をいろいろな a, b について
電卓で計算させ，数値の上から log a + log b = log ab であることを学生が発見するように仕向けることができる．いろいろな関数について {f (x)g(x)} を電卓に計算させれば，関数の積の微分公式を発見させることができるだろう．幾つかの連立一次方程式を solve 機能を用いて解かせて，その解の一般的規則 (クラメールの公式) を発見させることも可能と思われる．

14

ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

定積分を和の極限値として

 bf (t)dt = lim
a

n→∞

n


f (xk )Δxkk=1と定義するとき，この極限値を具体的に求めるのは f (x) = x, x2 等の簡単な関数についてしか行うことはできなかった．しかし，この電卓の数式処理機能を利用すれば，それ以外の関数についても部分和の収束する様子や xk の取り方の違いによる収束の違いまで，新なプログラムを組むことなくグラフ化することができる．数列の和や極限値を求める機能もあるので，微積分の基本定理を学生が発見するように導くことも可能である．
このように，数式処理電卓を利用すれば，教師が教壇で学生に教えていた主要な公式や定理を，学生自身が発見するよう導くことが可能となる．それは，教師による演繹的な授業から，学生による帰納的な発見への変化である．授業の進め方が「教師中心」から「学生中心」に大きく転換することになる [10]．これは，まさに「数学教育の革命」である．
しかし，この変化はあまりに大きすぎる．それを最初に行う教師にとってはかなりの負担となるであろう．Linda K. Griﬃth は，(意訳すると) 次のように言う [11]．
この変化は，教師にとっては非常に困ったことかもしれない．しかし，中学・高校の生徒達は，これまで椅子に真っすぐ座ってノートに目をやり，呼ばれた時だけ答える「スクールゲーム」を何如に演じるかを学んできた．このゲームは，生徒達にはあまり居心地のよいものではなかったかもしれない．ゲームのルールが変われば，彼らはこのゲームに参加しなくてよいかもしれない．
教師にとって負担となる授業でも，それは「学生中心」の授業である．そして，海外の多くの実践結果は，それにより教室の雰囲気が大きく変わることを示している．学生が非常に活動的になり，グラフ電卓を相談相手に問題解決や探究活動を共同で行うようになるという [7]．難しい問題を恐れなくなる，数学に対して自信を持つようになる，問題に長時間取り組もうとすることなども報告されている [12]．
グラフ電卓を学生に使わせる最初の時間は，この「電卓の機能」に対して学生の歓声がうずまくであろう．そして，この電卓を有効に活用すれば，電卓の機能ではなく「数学そのもの」に対する感動を起こさせることができるだろう．そのことを目前に予見できる以上，数学教師たる者，自らの負担増を恐れるべきではないと思われる．

6グラフ電卓の利用に関する海外の状況
グラフ電卓を使用した数学教育は，欧米各国を中心に急速に普及しつつあり，アジア各国でも電卓を活用した数学教育に取り組みつつある．
この運動の発祥の地は米国である．オハイオ州立大学の Bert K. Waits 教授と Franklin Demana
教授を中心とするグループは，1980 年代初頭から数学教育にコンピューターを活用する研究を行っていた．しかし，コンピューターは教室で手軽に利用できるわけではない．すべての学生にそのよ15‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

うな環境を提供できる学校も限られていた．このような中で，1986 年にカシオが世界で初めてグ
ラフ電卓 fx-7000G を開発し，続いてシャープ，ヒューレットパッカード，テキサスインスツルメ
ントもグラフ電卓を発売した．1985 年に始まった C2 CP プロジェクト (Calculator and Computer

Precalculus Project) はグラフ電卓の数学教育における革新性に着目する．NSF(National Science
Foundation) による多額の資金援助も得て，微積分の改革運動に火がついた．そして，1989 年には米国数学教師協議会 (NTCM) による数学カリキュラムの基準に「適切な電卓がすべての児童・生徒にいつでも利用可能であるべきである」ことが盛り込まれるに至る [13]．テキサスイ
ンスツルメントは，これらの運動の中から出されてきた多くの要望に応える形でグラフ電卓の改良を重ね，1996 年には数式処理機能と幾何機能 (カブリジオメトリ) を備えた TI-92 を発売した．また，このような改革では現場教師の啓蒙やトレーニングが必要であることから，1988 年には T3 (Teachers Teaching with Technology) と呼ばれる組織も設立された．T3 への参加者は年々増加し，1999 年の第 11 回大会 (シカゴ) では，25 ケ国から 65 名の招待者を含め 2,700 名以
上の参加者で盛況だったという [5, 8, 14]．
このような運動の結果，米国では数学教育へのグラフ電卓の導入が加速する．そして，幾つかの州では，家計の高低で教育に差が生じてはならないという観点から，州予算で州内全生徒のグラフ電卓購入を決める州まで現れた．今や数学の授業でグラフ電卓の使用は常識化していると言われる [15]．米国高校数学の最上位レベルにあり大学数学の単位を高校在学中に取得できる AP Calculus の講座では，数式処理電卓の浸透率が 90%にも及び日常的に電卓を活用した教育が行われている．高校でグラフ電卓を使いこなして進学してきた学生に押される形で，大学の側もそれに対応せざるを得なくなっているという [16]．電卓を利用した教育は小学校低学
年にまで及んでいるが，それには種々の批判も出されて論争は現在も継続している．
このような米国の数学教育の改革に押される形で，フランス，オーストリア，デンマーク，北
欧三国，スペイン，ポルトガル，カナダなど多くの国が，グラフ電卓の活用に取り組んでいる．
デンマーク，ノルウエー，ポルトガルなどでは，国のカリキュラムでグラフ電卓の使用を義務化している．特に，スウェーデン，デンマーク，ポルトガル，そしてフランスでは，国家試験
でグラフ電卓の使用が認められている [6]．
オーストリアでは 1991 年の段階でパソコン用の数式処理ソフト Derive を利用した数学教育
を全高校生に対して行っている [17]．このソフトは TI–92 に組み込まれているソフトである．このような数学教育へのテクノロジーの利用にはアジアのシンガポール，マレーシア，そしてタ
イでも関心を高め，一部の学校では電卓を活用した教育実践が始まった．韓国や中国でも，数学教育へのテクノロジーの活用に向け真剣な検討が行われつつあるという [15]．
これに対して日本では，1997 年に T3 Japan が設立されたが，この電卓の意義を理解した教
育現場や教育センター，あるいは教育系大学の一部の人々によって情熱的な実践や研究が行われているにすぎない．筑波大学では，1990 年代前半から数学教育へのテクノロジーの活用に向けた継続的な研究が行われている．グラフ電卓の数学教育への活用に関する本も出版されているが [18]，一般には数式処理可能な電卓が存在することさえあまり知られていない．このような日本での関心の薄さからか，カシオやヒューレットパッカードの数式処理電卓は日本では発16ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

売されていない．高校や大学への「受験」に向けた教育を行わざるをえない日本の教育現場は，
この数式処理電卓がいかに画期的なものであったとしても，受験のあり様が変わらない限り電卓を活用した教育には躊躇があるであろう．
世界におけるグラフ電卓の普及状況は，今や指数関数の急勾配部分にさしかかっていると言われている [6]．その一方，日本では，逆に数学の時間数を減少させようとしており，大学受験においても数学が受験科目から敬遠される傾向にある．その結果は「分数ができない大学生」
として問題になっている [19]．現在社会では理工系のみならず様々な分野で数学の必要性が求
められており，世界各国が急速にグラフ電卓を取り入れた数学教育の改革を押し進めつつあるのと比較すると，日本の現状には肌寒いものがある．
関数電卓の出現で，我々はもはや数表や計算尺を必要とはしなくなった．文字式の計算や 2 変数関数のグラフ描画が可能で微分方程式の解析解まで求めてくれる電卓があるのであれば，それを利用しない手はない．世界におけるグラフ電卓の浸透状況を見ると，この電卓の活用法に関する研究は，もはや一時の猶予もならない状況にあるのではないだろうか．

7

数学教育への電卓導入に関わる問題点
これまで見てきたように，数式処理電卓は数学教育にとっては画期的な機能を持つ．この電卓を単なる「電卓」と捉えて見すごすことは大きな誤りである．この電卓を利用した数学教育
は従来の数学教育のあり方を革命的に変える．海外では，その革命が現在急速に進行中であることを忘れてはならない．
この電卓を数学教育に利用するにあたっては色々な懸念が出されるであろうが，その多くは現状の教育内容をそのままにして，その中でこの電卓を使用させた場合のものではないだろう
か．数式処理電卓を学生に利用させるということは，授業のあり方を「計算中心」から「思考中心」に，そして「教師中心」から「学生中心」に大きく転換するということである．それは従来の教育内容を抜本的に変えるということではない．教えるべき項目自体には殆ど変化はな
いと思われるが，教え方の重点が「思考中心」に，そして授業の進め方が「学生中心」に転換することになる．そこでは単純計算の占める割合は大きく低下することになろう．
我々は，学生に「数学」を教えるべきである．これまでは，そのために必要となる「計算の仕方」を教えてきたといえば言い過ぎであろうか．この電卓を有効に活用すれば，我々は学生に「数学」を味あわせることができる．そのためには，どのような場面でどのように利用させるべきかの研究が不可欠である．この電卓は，「学生に教授しなければならない数学とは何か？」を我々に根本から問い直すことを求めていると言えよう．
米国では，数学力の向上が国力向上に繋がるという明確な目的のもとに，すでに 10 年以上前からグラフ電卓を利用した数学教育が積極的に行われてきた．数式処理可能なグラフ電卓まで開発され，それを利用した教育実践のノウハウはすでに十分すぎるほど蓄積されている．グラ
フ電卓の使用を前提とした数学の教科書も数多く出版されている．この改革運動を主導してきた Demana 教授と Waits 教授達は，その共著の教科書 (第 3 版) の序文で「第 2 版の出版以来，

17‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

我々は 20,000 名の教師を含む 400 以上のワークショップに参加してきた」と述べている [20]．これだけ多くの数学教師の実践と研究会の中から生み出された蓄積が米国にはある．日本では数式処理可能な電卓の存在すらあまり知られていないことを考えると，暗澹たる思いにならざるを得ない．技術立国を唱える日本にとって，数学的思考力を強化することは不可欠である．米国との差がこのまま拡大すれば，両国の数学力の差は，ひいては国力の差はとんでもないことになるのではないかという危機感が感じられてならない．
数式処理機能を持つグラフ電卓の数学教育への導入は早急に押し進められるべきであり，決して一部の教師だけの関心事とすべきことではない．しかし，この電卓の普及を考えるにあたっては，幾つかの問題がある．
第一に，指導する教師側の問題である．関心を持った一部の教師が，特定の学年や特定のクラスで電卓を利用した授業を一時的に行ったとしても，あまり大きな効果は期待できないであろう．少くとも，通年で継続的に使用する体制が必要である．そのためには，その学校の数学
教師が一丸となって取り組むことが必要と思われるが，そのような意志統一を図れるかどうかである．特に，この電卓を授業で利用するには教え方を抜本的に変えることが必要であり，それは手探りで見出していくしかないであろう．慣れ親しんだ従来の教授法を捨て，事前に相当の準備を必要とする新しい教授法を探り当てなければならない．そのような新規の授業を行う
ことには教師側に相当の覚悟が必要である．ある意味では，電卓利用に対して，学校の数学科
内の体制を整え得るかどうかが最大の問題となるかもしれない．
第二に，予算上な問題である．この電卓は，学生一人一人に所持させて家庭でも自由に使える状態にあることが望ましいが，そのような状態を取り得るかどうかである．数式処理のできる電卓としては安価であるが，電卓そのものの価格としては高価な部類に属するこの電卓を学生全員に購入させるには，学校側としてもその教育効果についてある程度の見通しが必要であろう．少くとも，通年で継続使用できる体制を取り得なければ，学生個々に負担させることには問題があるかもしれない．とりあえずは 1 クラス分 (できれば 1 学年分) の電卓を学校側で用意し，そのつど学生に利用させるのが現実的であろう．パソコン数台分の投資 (約 100 万) があれば，1 クラス分の台数をそろえることは可能と思われる．そして，そのような予算処置を行うには，学校管理者や行政管理者の理解を得ることが必要となる．場合によっては，この管理者側の理解を得ることが問題になることも考えられる．
第三に，この電卓の利用法に関する教材研究の問題である．この電卓を有効利用するには，どのような題材のときにどのような使用のさせ方をすべきかという，事前の教材研究が不可欠である．そのための教材研究が決定的に不足している．日本にはグラフ電卓の利用を前提とした教科書は存在しないので，教師はすべてを一から行わなければならない．それを個々の教師がすべての分野に渡って行なうのでは負担が大きすぎる．共同で教材研究を行うこと，そして電卓の利用を前提とした教科書を早急に作成することが必要であろう．
第四に，この電卓の普及促進の主体者の問題である．世界におけるこの電卓の普及状況を考えると，関心を抱いた一部の教師が個人的に電卓を用いた授業を行ったり普及に努めるレベルの問題ではない．その普及には国 (文部省)，教育委員会，あるいは学会などが，組織として強18ॢছইਗ਼ཬऋજॉ৫ऎਯ৾ઇ୘भৗ਼ੀ‫ؙ‬

い決意で取り組むことが必要である．数学教師に長年親しんだ教授法を変えてもらうには，この電卓の威力を実感してもらうのが一番であろう．それには，これらの組織が中心となった強力な啓蒙活動や講習会が必要になってくると思われる．
第五に，中学や高校で導入する場合は，さらに指導要領や受験対策との兼ね合いが問題となる．この電卓の使用が指導要領で述べられていることの達成に有効であること，あるいは受験指導に有効であることを明らかにすることが必要となろう．この電卓の革新性を理解できたとしても，指導要領や受験対策との関連に不安を持たれる限り学校現場への普及は望み薄と思われる．中高の学校現場はやり直しが効かない．何らかの不安がある限り，この電卓の積極的活
用には躊躇があるであろう．これらの不安を，具体的な事例で一つ一つ払拭する作業が必要になると思われる．
以上の問題はそれぞれが複雑に絡み合っており，いずれもそう簡単に解決できそうには思われない．かといって問題を放置することは，世界との格差を一層拡大させるだけである．今まさに，日本の数学教育をどうするかが問われていると言えるのではないだろうか．

8

おわりに
高専創設時の学生は，三角関数や対数関数の値を計算尺や数表を用いて求めていた．しかし，関数電卓の出現で，そのような計算は不要になった．そして，現代のテクノロジーは，数式処理ソフトをハンドヘルドの電卓に詰め込むことを可能にした．今や，いろいろな式の計算や微積分の計算のみならず，微分方程式の解析解ですらキー操作だけで解法可能な時代にすでに突入しているのである．
金沢高専では，1996 年度よりグラフ電卓 TI–83 を新入生に購入させ，CBL の活用による数学・物理を総合した先駆的な授業が行われている．石川高専では，1999 年度に 2 クラス分の数式処理電卓 TI–89 を購入し，授業で利用し始めた．福井高専では，2000 年度の新入生全員にTI–89 を購入させることが決定されている．一関高専でも，1 クラス分の TI–89 を購入して 2000
年度より使い始める予定である．
数式処理可能なグラフ電卓の出現は画期的であり，それは従来の「電卓」の範疇を越えるものである．この電卓の機能を有効活用した数学教育は「数学教育の革命」を引き起こす．世界
ではその革命が急速に進行中であり，日本だけが取り残されることは許されない．グラフ電卓の普及と，それを活用した数学教育の研究は急務である．

参考文献[1] 各電卓の詳細は，以下の URL を参照されたい．
http://www.casio.com/calculators/
http://www.naoco.com/
http://www.hp.com/calculators/

19‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

[2] カブリジオメトリの中学校数学での利用法としては，例えば以下の URL を参照されたい．
http://www.ies.co.jp/chugaku/menu.html[3] TI-92 Wins System Challenge at Math Software Conference,
http://www.ti.com/calc/docs/swh/ti92wins.htm[4] Edward D. Laughbaum (ed): Hand-Held Technolgy in Mathematics and Science Education: A Collection of Papers, The Ohio State University, 2000
[5] Franklin Demana and Bert K.Waits: The Evolution of Instructional Use of Hand Held
Technology. What we wanted? What we got., 1997
http://www.math.ohio-state.edu/˜waitsb/papers.html[6] Bert K.Waits and Franklin Demana: Calculators in Mathematics Teaching and Learning:
Past, Present, and Future, in [4], pp.2–11[7] Penelope H. Dunham: Hand-Held Calculators in Mathematics Education: A Research
Perspective, in [4], pp.39–47[8] Bert K.Waits and Franklin Demana:

The Calculator and Computer Precalculus

Project(C2 PC): What have We Learned in Ten Year?, in [4], pp.12–32[9] 公庄庸三：M.T.T.(Mathematical Thinking with Technology) の実践報告, T3 Japan 第 3会年会冊子, pp.98–104, 1999

http://seifu.ac.jp/Math/[10] Vlasta Kokol-Voljc: Exam Questions When Using CAS for School Mathematics Teaching,in [4], pp.192–200[11] Linda K. Griﬃth: Impact of Technology on Pedagogy, in [4], pp.76–77[12] Heidi Pomerantz (ed.): The Role of Calculators in Math Education, 1997
http://www.ti.com/calc/docs/therole.htm[13] 能田伸彦, 清水静海, 吉川成夫監修: 「21 世紀への学校数学の創造〜米国 NCTM による『学校数学におけるカリキュラムと評価のスタンダード』〜」, 丸善 (筑波大学出版会), 1997[14] Bert K.Waits and Franklin Demana: The Role of Hand-Held Computer Symbolic Algebrain Mathematics Education in the Twenty-First Century: A Call for Action!, 1998
http://www.math.ohio-state.edu/˜waitsb/papers.html[15] 「いま，世界のくにぐにでは · · · 」，T.I.M.E，vol. 14，テキサスインスツルメント社，1999
http://www.naoco.com/calc/time.htm「米国大学教育界の苦悩」，T.I.M.E，vol. 13，テキ サスインスツルメント社，1999[16] 渡邊信：

http://www.naoco.com/calc/time.htm[17] Bernhard Kutzler: The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics, 1999

http://www.kutzler.com/bk/a-pt/ped-tool.html[18] 佐伯昭彦, 磯田正美, 清水克彦偏： テクノロジーを活用した新しい数学教育, 明治図書, 1997[19] 岡部恒治，戸瀬信之，西村和雄：分数ができない大学生，東洋経済新報社，1999[20] F. Demana, B. K. Waits, S. R. Clements, and G. D. Foley: Precalculus, Functions andGraphs, Third Edition, Adison-Wesley, 199920

数式処理電卓を用いた微積分教育の改善
梅野 善雄∗

Improvement of Teaching Method on Calculus
with Algebraic Calculators
UMENO Yoshio∗
Abstract: A great change in mathematics education, world wide, has been causedby the use of graphing calculators. In Japan, however, graphing calculators are rarely
used in mathematics classes, as most mathematics teachers have little knowlegde
about the functions or signiﬁcance of them. To conﬁrm the eﬀects of graphingcalculators on mathematics classes, we lent algebraic calculators to our students andused them in calculus almost all year. We noticed the following results;(1) The students’ attitude towords mathematics progressed dramatically. For
example, they said that they gained a better understanding of mathematics. (2)It was possible, by the use of algebraic calculators, that students discovered, bythemselves, some properties of calculus which had been, prior to calculator use,taught by the teacher. (3) Students gained a better and quite obvious understandingof calculus by the use of the visuallization property of algebraic calculators. (4) It
was possible, by the use of algebraic calculators, for mathematics teachers to settasks which needed mathematical trial and error. This suggests a new educational
method for mathematics.
After having used algebraic calculators in calculus all year, most students appreciated them very much. The vertiﬁcation of these calculators on several points ofview must be done immedeately, and must be wide spread as well.
Keywords:

Algebraic Calculators, Calculus.

はじめに

1

今，世界の数学教育では，グラフ電卓を活用した大きな変革が進行中であり [1]，その動きは
すでに 10 年以上も前に始まっている．日本でもグラフ電卓の機能やその数学教育上の意義に関する先駆的な出版が行われてはいるが [2]，大部分の教育現場では，世界で起きている「数学教育の革命」とも呼ばれる大きな変化を，あまり知らないように思われる．その変化とは，教師が一方的に「教える」授業から，学生自らが「学ぶ」授業に転換した授業である．グラフ電卓
は，学生自身がいろいろな思考実験や数学的な試行錯誤をすることを可能にし，学生の数学に対する興味・関心や能力を大きく進展させる可能性を持つものである．
最新のグラフ電卓は，高度の数式処理機能を持つ [3]．それは，単なる「関数電卓」の延長線上で把えられるべきではない．むしろ，Mathematica や Maple のような数式処理ソフトの小型∗

一関工業高等専門学校一般教科, 岩手県
Ichinoseki National College of Technology, Ichinoseki-shi, 021–8511, Japan13

1;‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

版と理解した方が，この電卓の能力や意義を正しく伝えている．その数式処理能力は極めて高度であり，数式処理ソフトの国際コンペで，数式処理電卓 TI–92 は Mathematica と並んで首位タイになったこともある [4]．
本校では，このようなグラフ電卓を活用した数学教育の効果を確認するため，平成 12 年度の本校 2 年生に対してグラフ電卓を活用した微積分の授業を試行した．使用したのは，数式処理機能を持つグラフ電卓 TI–89 である．平成 12 年 6 月より平成 13 年 2 月末の学年末試験終了日まで，著者の担当する 2 年生 2 クラスの全学生にマニュアル付きで貸与した† ．以下では，この数式処理電卓を用いた 1 年間の実践結果について報告する．この電卓の数学教育上の意義を考えるとき，何らかの参考になれば幸いである．

2

高専における数式処理電卓の利用状況
はじめに，数式処理電卓を活用した日本の数学教育の状況を述べる．この電卓を活用した数

学教育は，日本ではまだ数えるほどしか行われていない．しかし，この電卓は，数学教育にとって極めて大きな意義を持つものである．その利用法等を検討するための研究会 (数ナビ活用研
究会‡ ) も結成され，メーリングリストで様々な情報が交換されている．平成 12 年度時点では，以下の高専で，グラフ電卓や数式処理電卓を活用した授業が試みられている．
なお，高校では，大阪の私立清風高校において，数式処理電卓 TI–92 を長期貸与した授業が一部のクラスで平成 10 年より試行されている [5]．
石川高専

平成 11 年度に，数式処理電卓 (TI–89) を購入して授業で試行．平成 12 年度からは

2 クラス (1 年と 3 年) に長期貸与して，この電卓を本格利用した授業を実践中である．
一関高専 平成 11 年度に数式処理電卓 (TI–89) を購入し，平成 12 年の 2 年生の微積分の授業と 4 年の応用数学 (フーリエ級数) の授業で使用．同年 6 月から平成 13 年 3 月までは，2 年
生 2 クラスに TI–89 を長期貸与した授業を試行した．
福井高専 平成 12 年度の新入生全員に数式処理電卓 (TI–89) を購入させ，1 年の全クラスでこの電卓を活用した授業が行われた．
金沢高専 平成 8 年度よりグラフ電卓 (TI–83) を新入生全員に購入させ，数学と物理を融合した総合科目「数物ハンズオン」で活用されている．
その他 日本数学教育学会高専・大学部会では，平成 12 年度の日本数学教育学会全国算数・数学教育研究 (千葉) 大会において，数式処理電卓の実践報告会を開催した．そこでは，上記

4 高専の実践報告が行われると共に，参加者に数式処理電卓 (TI–89) を貸与して，これらの高専教官が中心となった講習が行われた．約 50 名の参加があり盛況であった．

†
これらの電卓は，テキサスインスツルメント社から研究助成として貸与を受けたものである．ここに深甚なる謝意を表する．
‡
この研究会では，数式処理可能なグラフ電卓を含むハンドヘルドコンピューターは，もはや「電卓」ではなく数学上の「思考のツール」であるということから，「数学ナビゲータ」(略して「数ナビ」) と呼ぶことを提唱し，学生にもそのように呼ばせている．このように命名して研究会を発足させたのは，石川高専の阿蘇和寿教授である．

14ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬1x

3

高専における微積分の授業内容
本校の 2 年の微積分 (4 単位) で使用した教科書は，高専用の教科書である「微分積分 I」(田河成長他著，大日本図書) である．日本で数式処理電卓を利用した授業を行っているところはまだ少ないので，授業の指針や他校での長期的な実践例は皆無に近い．したがって，実際の授業
は，この電卓をどのような場面でどのように利用させるべきかを，手探りで探し求めながら行
わざるをえない．並行する他クラスでは，電卓を利用しない普通の授業が行われている．年度
末で進度のずれを生じるわけにはいかないので，授業の進行状態は他クラスとほぼ同一レベルに保つことが必要となる．そのため，授業の内容はできるだけ教科書に添い，その内容をよく理解させるためのツールとして利用した．
具体的な教授項目は以下の通りである．この年度では，4 章§2 の「極座標による図形」まで終えることができた．

大日本図書「微分積分 I」の内容
1 章 微分法§1 関数の極限と導関数関数の極限，関数の連続，微分係数，導関数，導関数の公式，合成関数の導関数§2 いろいろな関数の導関数
三角関数の導関数，逆三角関数，逆三角関数の導関数，対数関数・指数関数の導関数
2 章 微分法の応用§1 関数の変動
平均値の定理，関数の増減と極値，関数の最大・最小，高次導関数，曲線の凹凸§2 いろいろな応用
媒介変数表示の微分法，接線と法線，不定形の極限値，速度と加速度
3 章 積分法§1 定積分と不定積分
定積分の定義，定積分の性質，不定積分，定積分と不定積分の関係，定積分の計算§2 積分の計算
不定積分の置換積分法，定積分の置換積分法，部分積分法，分数関数・無理関数の積分，三角関数の積分
4 章 積分の応用§1 面積・曲線の長さ・体積
図形の面積，曲線の長さ，立体の体積，回転体の表面積§2 いろいろな応用
媒介変数表示による図形，極座標による図形，変化率と積分，広義積分，数値積分

4

微積分の授業における数式処理電卓の利用
数式処理電卓を，微積分の授業で具体的にどのように利用したかを以下に述べる．すべての授業を再現するわけにはいかないので，典型的な使用例の幾つかを紹介する．特徴的なことは，
従来は教師が板書をしながら説明していた内容を，電卓を通した思考実験をさせることにより

15

1E‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

学生自身に発見させ，その後に通常の説明をするということである．

4.1

微分と積分の計算練習

数学で数式処理電卓を利用させることに対しては，大きな誤解を受けることが多い．微分や積分などの計算を電卓のキー操作だけで行わさせるのではないか，それでは微分・積分の計算力が身につかないのではないか，というものである．
数式処理電卓を学生に貸与して以来，極限値の計算，微分の計算，そして積分の計算などでこの電卓を利用してきた．教科書やプリントの計算問題は，電卓を使えばキー操作だけで即座に答が表示される．
「計算のときに電卓を使ってはいけない」と注意したのは，電卓を貸与後の計算練習の最初の時間のとき，1 回だけである．それは，電卓の表示する答を書き写すだけで問題解きを終えたような錯覚をしている学生が数名いたからである．この注意は，それ以降は一度も言う必要はなかった．学生は，自分の計算結果の答え合わせとして利用している．試験のときの持ち込みは認めていないので，「その計算を自分でできるようにならなければいけない」
ことは，どの学生も当然の如く弁えているといえよう．
不定積分の計算のときは，電卓による不定積分の求め方をまだ教えていないにもかかわらず，
かなりの学生がこの電卓を利用していた．電卓による不定積分の求め方をすでに知っていたわ
けではない．自分で行った積分計算の結果を電卓の数式処理機能を利用して微分し，元の関数に戻るかどうかを確かめていたのである．従来の授業でも，積分の計算が正しいかどうかを微分して確かめさせてはいたが，それは簡単な場合についてだけである．しかし，数式処理電卓を利用すれば，積分結果が複雑な式であっても，いつでも結果を微分して確かめることができる．このような目的で電卓を使うことは，微分と積分の関係を正しく身につけさせるためにも有効と思われる．

4.2

極限値

lim

0

教科書の説明の概略

sin x
x

=1

x → 0 のときを考えるので，|x| < π の2ときを考えれば十分であることに触れた上
π の場合を考える．右図のよで，0 < x <2
うな単位円において角 x の動径を考え，AT

y
1
P
x

は点 A における単位円の接線とする．面積

O

T
A
1 x

の大小関係は，

POA < 扇形 OAP < TOAであることから，

sin x < x < tan x∴ sin x < x <

sin x
cos x

0 < x < π/2 では sin x > 0 より両辺を sin x で割り，さらに，その逆数をとることにより，
1>

sin x
> cos xx
16ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬1

を導く．次に，−

π < x < 0 のときは，−x = t とおくと 0 < t < π であり，
2
2
sin t
sin(−x)− sin x
sin x
=
=
=
t
−x
−x
x

となることから，x < 0 のときも上の不等式が成立することを導き，その上で，x → 0 のとき

cos x → 1 であることから，挟み撃ちの原理により，次式を得る．
lim

sin x

0

x

=1

数式処理電卓のグラフ機能を利用した説明
この部分は，数式処理電卓のグラフ機能を利用して次のような流れの授業を行った．

(1) 2 つの関数 y = sin x, y = x のグラフをグラフ電卓で表示させる．(図 1)(2) それを原点を中心として何度か拡大させる．(図 2)
sin xの値はどのような値であるかを予想させる．
(4) 拡大された画面から，
x(5) 使用しているグラフ電卓は，2 つのグラフの座標データを即座に表に変換する機能がある．
(2) で拡大された画面の座標データを表に変換させる．(図 3)(6) 表から，x → 0 につれて y1 = sin x, y2 = x の値がどのように変化していくかを考えさせる．

(7) 次に，y3 = sin x/x の数値も表に同時に表示させ，気づいたことを書かせる．(図 3)(8) さらに，y = sin f (x), y = f (x) の f (x) をいろいろな関数に変えて，f (x) → 0 のとき，
sin f (x)/f (x) のグラフや値がどのようになるかを考えさせる．

図1

図2

図3
y1 = sin x, y2 = x, y3 = sin x/x以上を，学生に数式処理電卓を操作させることにより行った．具体的な人数は調べなかったsin x= 1 であることに気づいた．この後で，通常の説明を行った．
x→0 xが，多数の学生が lim

4.3

合成関数の微分の公式

教科書の説明合成関数の微分公式は，導関数の定義に基づき，式の変形だけで次のように行われる．

y = f (u), u = g(x) が微分可能のとき，x の増分に対する u の増分を Δu とし，それに対する
y の増分を Δy とすると，
Δu = g(x + Δx) − g(x),Δy = f (u + Δu) − f (u)171M‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

である．微分可能なら連続であることから，Δx → 0 のとき Δu → 0 であることに注意した上\ 0 のときは
で，Δu =

Δy
Δu
dy du
dy
Δy Δu
Δy
= lim
= lim
·
= lim
· lim
=
·
dx Δx→0 Δx Δx→0 Δu Δx Δu→0 Δu Δx→0 Δx
du dxとなることを導き，Δu = 0 のときも証明できるとする．
しかし，増分を表す記号である Δy, Δu, Δx を多数混在させた式による「証明」を行っても，どの程度の学生が真の理解を得たかは疑問である．そして，その後は，ともかく公式であるとして，これに基づいた多数の計算練習を行わさせて，この公式の定着を図ることになる．
数式処理電卓の数式処理機能を利用した説明
数式処理電卓の数式処理機能を利用し，次のような流れで合成関数の微分の公式に気づかせようとした．

(1) 具体的な関数を，y = f (u), u = g(x) という 2 つの関数に分解させる．
√
その関数は，y = (3x − 5)4 , y = 3x + 4 などである．
(2) y = f (u), u = g(x) の導関数を自分で計算させる．
√
この段階で，y = xn , y = x の導関数については，すでに学んでいる．
(3) y = f (g(x)) の導関数を，数式処理機能を利用して求めさせる．
dy dy duの間にどのような関係があるかを考えさせる．
(4),,dx du dx
dy dudyに気づいた．中には，3 つに分解する場合も同様であることを
=
dx
du dx
自分で確かめ，自分の発見に「すごい」とほくそえんでいる学生もいた．このような発見をさ約半数の学生がせた後で，普通の証明を行った．

4.4

定積分の定義教科書の説明高専用の教科書である大日本図書の「微分積分 I」では，積分法の最初に和の極限として定積
分を次のように定義する．

 baf (x)dx = lim

Δxk →0nf (xk )Δxk

k=1

ここで，xk は区間 [a, b] を n 個の小区間に分割したときの分点であり，Δxk は小区間の幅である．この定義に基づき，f (x) = x や f (x) = x2 などの関数について区間 [0, 1] を n 等分した
場合について和や極限値の計算を行う．そして，この定義から定積分の性質を導く．その後で不定積分について説明し，積分の平均値の定理を経てから，定積分と不定積分の関係として微積分の基本定理の証明が行われる．
数学の立場から見ると正統的な説明方法であるが，2 年生に定積分をこのような和の極限として理解させることは，実際にはなかなか難しいものがある．それは，理論的な話が連続することもさることながら，そこでは 1 年で学んだ和の記号 Σ が現れ，そのときに学んだ数列の和18ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬1

の公式を知っていなければならず，さらには半年前に学んだ極限値の計算も必要になるからである．
数式処理電卓を利用した説明
数式処理電卓の数式処理機能とグラフ機能を複合的に利用して，次の流れで和の極限としての定積分を理解させようとした．関数 f (x) = x2 を区間 [0, 1] で考え，n 等分した場合を考えている．

(1) 区間 [0, 1] を 2 等分して，長方形の高さを小区間の右端に対応する f (x) の値で定めたときの，長方形の面積の和を計算させる．

(2) 3 等分，4 等分した場合の計算をさせる．
(3) n 等分した場合の，長方形の面積の和の式を書かせる．
 
n

k 1
を定義して s(2), s(3), s(4) を表示させる．
(4) 数式処理電卓に f (x) = x2 , s(n) =
f
n n
k=1

(1)〜(2) で求めた値と一致することを確認させる．(図 4〜6)(5) n = 10, 50, 100, 500 の場合の s(n) の値を電卓を利用して分数と少数で求めさせ，表に書き入れさせる．

(6) グラフの表示の仕方を数列用に変更させ，数列 s(n) のグラフを表示させる．x = n, y = s(n)の場合のグラフが表示される．グラフ上を移動すると，点の座標が下段に表示される．その値が (4)(5) で求めた値と一致することを確認させる．(図 7)(7) グラフの座標データを表で表示させ，(4)(5) と一致することを確認させる．(図 8)(8) s(n) を表示させて書き写させ，n → ∞ のときの極限値を自分で計算させる．(図 9)

図4

図7(9) 以上のことより，

 1
0

図5

図6

図8

図9

x2 dx = 1 であることを確認させる．
319n(‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

(10) 同様のことを区間 [0, x] で行わさせ，s(n, x) =

 
n

kx x
f
, g(x) = lim s(n, x) とし
n→∞
n
n
k=1

て，いろいろな f (x) に対して g(x) を求めさせ，g(x) と f (x) との間にどのような関係があるかを考えさせる．(図 10〜12)

図 10

図 11

図 12

xn+1
以上の手順により，f (x) = xn のとき g(x) =であることに，かなりの学生が気づいた．
n+1

クラスによっては，g (x) = f (x) であることに 10 名近くが気づいている．この後で，全体をもう一度おさらいする感じで通常の説明を行った．
この部分は手順が多くて若干複雑だったかもしれず，微積の基本定理にまで気づいた者はそれほど多くはなかった．しかし，手順をもう少し工夫して時間を多く取れば，多くの学生が気づくようにさせることも可能と思われる．

5

数式処理電卓を活用した授業の有効性
数式処理電卓が数学教育の中でどのような有効性があるかを，前節の例は如実に示している．

前節の例は，従来は，いずれも教師が黒板で一方的に説明する部分である．しかも，その内容について，どの程度の理解が得られたかは不明であり，単に計算公式としての記憶が残るだけの場合が多いのが実態ではないだろうか．
sin x= 1 であることは，y = sin x, y = x グラフを単に拡大するだけで一目瞭然の理解
lim
x→0 x
が得られる．また，区間の分割数を増やすにつれて定積分が収束する様子を見ることが，これまでの数学教育の中で，これほどの容易さで可能であっただろうか．2 年生に微積分の基本定
理にまで気づかせることが可能なのは，数式処理電卓ならではのことである．
このように，数式処理電卓のグラフ機能や数式処理機能を利用すれば，教授すべき内容をよりストレートに学生に理解させることが可能であり，しかも，これまで教師が説明していたことを学生自身が気づくように導くことも容易に可能になる．このことが，世界中で「数学教育の革命」と呼ばれる所以である．

6

数式処理電卓と数学的思考力
この電卓を利用すると，前節で述べたような教科書に記述されている内容を理解させるために有効なばかりではなく，学生自身に数学的な試行錯誤をさせることが可能になる．これは従来の教科教育法では見落とされていた部分であり，この電卓の活用により，数学教育に関して全く新しい側面からのアプローチが可能になると思われる．

20

ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬ndたとえば，3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c のグラフを係数 a, b, c を変えながら数式処理電卓
で表示させ，係数 a, b, c とグラフの形状との関係について考察させることが可能になる．通常の数学の問題は，いろいろな計算問題や典型的な応用問題を解かせることが多く，学生にいろ
いろな試行錯誤をさせて，その中から何らかの規則性を発見させるような課題が出されることはなかった．というより，出したくても出せなかったというべきであろう．数式処理電卓を利用させれば，このような課題を出すことが可能になる．
この 3 次関数の課題について，学生はいろいろな調べ方をしている．

(1) ある学生は，y = x3 + 2x2 + 4x + 6 を基本にして，係数の一つを少しずつ変えながら，どの部分の係数をどう変えるとグラフがどのように変わるかを詳細に調べている．

(2) ある学生は，a, b, c の中に 0 が含まれるかどうかにより，いろいろなケースを細かく分類して調べている．

(3) ある学生は，a, b, c の符号のあり方により，いろいろなケースを細かく分類して調べている．
(4) ある学生は，係数 c はグラフの形状には関係がないことを見抜き，y = x3 + ax2 + bx について調べている．
「係数 b の部
そして，学生は，具体的には「係数 a が増えると，グラフは山なりになること」
分が増えるとグラフの傾きが急になること」「グラフの形状は係数 b の符号で決まること」「係数 c は y 切片であること」などに気づいている．
このような課題を何度も繰り返していけば，数学的思考力が大きく鍛えられるだろうことは容易に想像できる．そのような課題は既存の問題集にはないので，必要に応じて教師側が適切な課題を見い出すことが必要になる．学生に解答可能な内容の課題を見出すのは容易ではないかもしれない．学生の側も，そのような課題への解答の仕方には慣れていないので，どのように解答すべきかの戸惑いがあるであろう．提出されたレポートには細かい個別指導が必要かもしれない．しかし，適切な課題と適切な指導・助言のもとに，このような課題を長期的に何度も繰り返した場合，一体どのような学生が育つことになるのだろうか．
このような利用法で日本で最も進んだ実践が行われているのは，大阪の私立清風高校においてである．具体的な課題やそれに対する生徒の解答，そして 2 年間の長期実践を経た生徒の感想などがホームページで公開されている [5]．この電卓を長期間有効活用した場合の教育効果の大きさを垣間見ることができる．

7

数式処理電卓を利用した授業に対する学生の感想

7.1

アンケート調査からみた学生の意識

学生が，この電卓や，それを利用した授業をどのように思っているかを調査するため，数度にわたるアンケート調査を実施した．以下には，最後の授業 (平成 13 年 2 月中旬) で調査したときの結果を述べる．回答数は 2 クラスで 73 名である．なお，この電卓を，学生には「数ナビ」と呼ばせている (2 節参照)．

21n1‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

表1

数式処理電卓の使用に関する学生の意識(平成 13 年 2 月下旬調査)

数式処理電卓 (「数ナビ」) に関する意識

はい

中間

いいえ

数ナビを家や寮でも使っている

63.0%

21.9%

15.1%

数ナビを使う授業はおもしろい

49.3%

42.5%

8.2%

数ナビは復習するとき便利だ

82.2%

13.7%

4.1%

数ナビはできるだけ使わないようにしてきた

6.8%

42.5%

50.7%

数ナビのおかげで，いろいろな計算が楽しくなった

27.4%

67.1%

5.5%

数ナビを使うと数学がよけいに分からなくなる

6.8%

32.9%

60.3%

数ナビのおかげで数学が前よりおもしろくなった

30.1%

64.4%

5.5%

数ナビを使うようになって前よりも計算力が落ちた

11.0%

53.4%

35.6%

数ナビの操作は，結局よく分からなかった

19.2%

43.8%

37.0%

数ナビを私は授業のときしか使わない

15.1%

19.2%

65.8%

数ナビを通して友達と数学の話をする機会が増えた

19.2%

41.1%

39.7%

数ナビを使わないで普通の授業をしてほしかった

11.0%

31.5%

57.5%

数ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる

63.0%

35.6%

1.4%

数ナビに頼って，自分であまり計算しなくなった

19.2%

39.7%

41.1%

数ナビを使って，数学が前より分かるようになった

35.6%

58.9%

5.5%

数ナビのおかげで，理論的なことへの関心が高まった

31.5%

54.8%

13.7%

数ナビを使うと，難しい内容も簡単に見えてくる

37.0%

32.9%

30.1%

数ナビがあると難しい計算も自分でやってみる気になる

35.6%

38.4%

26.0%

数ナビを使うことにより数学が嫌いになった

0.0%

30.1%

69.9%

数ナビを使って数学について前より考えるようになった

32.9%

53.4%

13.7%

数ナビに出会って，数学の楽しさを知った

17.8%

64.4%

17.8%

数ナビを 1 年のときから使いたかった

64.4%

21.9%

13.7%

「中間」は，「どちらともいえない」に対する回答である．有効回答は 73 名．
このアンケートを調査した時期の授業内容は，積分の応用として媒介変数や極座標による面積や長さを扱っているときである．2 年生にとって，これらの内容を理解してきちんと計算ができるようになることは，そう容易なことではない．実際，「数ナビを利用すると難しい内容も簡単に見えてくる」という項目に「いいえ」と否定的な回答をする者は 30.1%もいる．なお，前回の調査 (平成 12 年 10 月) では，この項目に否定的な回答をする者は 19.7%であった．
しかし，それにもかかわらず，「数ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる」(63.0%)，「数ナビを使う授業はおもしろい」(49.3%)，「数ナビを利用すると難しい内容も簡単に見えてくる」(37.0%) と回答している．しかも，これらの項目への肯定的な回答は，前回の調査よりも増えている．特に，「数ナビを使って数学について前よりも考えるようになった」(32.9%) とあり，学生の数学に対する意識が相当向上したことがうかがわれる．

22

ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬nn

ただし，「数ナビを使うようになって前よりも計算力が落ちた」(11.0%)，「数ナビに頼って，自分であまり計算しなくなった」(19.2%) という学生がいることには注意が必要である．これらの学生の計算力が実際に低下したことを示す変化は試験の成績には現れていないが，この電卓の長期的な使用では，その使い方に十分な注意が必要であることを示している．
以下では，学生の生の声を幾つか紹介しておく．
電卓使用に肯定的な意見• 難しそうな計算も，数ナビがあればすぐあきらめずに「自分でやろう」という気になる．1
年間で全部までとはいかないが，ある程度使えるようになったのでいい方だと思う．1 年のときから使っていれば，もう少し理解できたかもしれない．

• 数ナビにはいろいろスゴイ機能があって，ちょっと感動した．数学は好きだけど面倒くさそうな計算を後回しにしていた私は，数ナビを使うことによって，より難しい計算もできるようになった気がする．

• 数ナビを使用することによって，今まで理解出来なかった計算でも少しずつ分るようになってきたと思う．数学の授業以外でも，よく家などで使っていた．

• 難しい積分は数ナビで答えが分かると，何となく解き方が予想できて解きやすくて良かったと思う．あんまり使わなかったけど，あって良かったと思う．

• 中学校では数学が最も得意な分野だったのに，高専に入ってから成績ががっくり落ちて少し落ち込んでいたけど，数ナビを使ってから数学が前よりできるようになった気がした．

• 一つの関数で，いろいろな見方ができるのでとてもおもしろかった．できれば，もっと使い方をマスターしておけばよかった．この 1 年間は数ナビのおかげで，けっこう楽しい数学ができました．

• 数ナビを使ってから sin x や cos x のグラフが分かるようになった．グラフに関してよく使えて役に立った．

• まあまあグラフとは分かるようになった．そして，この式がどういうグラフかと感覚的に分かるようになった．
計算力の低下を懸念する意見• 数ナビのおかげで難しい計算も自分で答えを出せるようになり，自学自習に大いに役立った．特にグラフが表示できる機能は頭の中のイメージを確かめることができるので，すごく良いと思う．ただ，数ナビを使っていると自分の計算力が低下するのではないかと気になる．数ナビを使用すべきところを見きわめるのが重要だと思った．

• 何でも数ナビに頼ってしまう時がある．ボタン一つで計算できるという簡単なものなので，自分の力だけでの計算ができなくなってしまうと思ったこともあった．あくまでも数ナビ
は補助的な道具として使いたい．また，復習する際にも大いに役に立った．

• 1 年間数ナビを使ってきましたが，一人で使いこなせたという域には達っしなかった思います．数学は計算練習が大切ですが，数ナビの便利さに頼ってしまうこともありました．数23

n;‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

ナビはいろいろなことができます．もっと，教えられるのではなく，自分で覚えていきた
かったと思いました．

• 使い方をすぐ忘れてしまったりすることが多かったので大変だった．数ナビに頼ってばかりだったので，いざとなったらグラフとかが描けなくなっていた．数ナビで答え合わせをしたけど，途中計算が分からなく自分で見直しても理解できなく大変なときもあった．

7.2

クラス間の学力差とアンケートへの反応

2 年の 2 クラスで使用したが，これらのクラス間には平均で 10 点近い学力差がある．その学
力差は，アンケートへの反応にも現れている．電卓の使用のさせ方や授業中の説明などはほぼ同一の授業を行ったが，アンケートの項目によっては，その回答の仕方に大きな差がみられた．
回答の仕方にクラス間で大きな差のみられた項目は，以下の項目である．なお，試験の成績では，B クラスの成績の方が A クラスの成績よりも約 10 点高い．

表2

クラス間の回答数に差が大きい項目

数ナビを使う授業はおもしろい

A

B

全体

数

1) はい

24.4%

66.7%

49.3%

36

2) どちらともいえない

55.9%

30.8%

42.5%

31

3) いいえ

14.7%

2.6%

8.2%

6

A

B

全体

数

1) はい

17.6%

5.1%

11.0%

8

2) どちらともいえない

35.3%

28.2%

31.5%

23

3) いいえ

47.1%

66.7%

57.5%

42

A

B

全体

数

1) はい

17.6%

43.6%

31.5%

23

2) どちらともいえない

70.6%

41.0%

54.8%

40

3) いいえ

11.8%

15.4%

13.7%

10

A

B

全体

数

1) はい

55.9%

69.2%

63.0%

46

2) どちらともいえない

44.1%

28.2%

35.6%

26

3) いいえ

0.0%

2.6%

1.4%

1

数ナビを使わないで普通の授業をしてほしい

数ナビを使って，理論的なことへの関心が高まった

数ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる

成績の良い B クラスの方が，「数ナビを使う授業はおもしろい」(66.7%) と思い，普通の授業
よりも数ナビを使った授業を求めている．
「数ナビを利用して数学の理解がさらに深められた」
者は 69.2%，「理論的なことへの関心が高まった」者は 43.6%である．
このことは，学生の学力レベルに応じて，その使わせ方には配慮が必要であることを示している．学力レベルの高いクラスでこの電卓を長期にわたり使用すれば，相当の効果が期待できるであろう．一方，学力レベルが低い A クラスでは，否定的な意見が B クラスよりは多いもの

24ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬nxの，それはこの電卓の使用自体を否定するほどのものではない．A クラスにおいても，この電卓に関しては肯定的な意見が多数である．表 3 以外の項目では両クラスに大きな差はみられないので，全般的にみると，学力レベルの低いクラスにおいてもこの電卓の効果が現れていることは歴然としていよう．学力レベルによる電卓の使わせ方を工夫すれば，その効果はさらに高まることが期待される．学力が高いクラスでは数学的内容の深化を図る方向での利用，そして，
低いクラスでは基礎を定着させる方向での利用が望ましいと思われる．

8

試験の成績からみた他クラスとの比較
2 年の他のクラスでは，電卓を使わない通常通りの授業が行われた．数式処理可能な電卓を学生に利用させることに対しては，学生の計算力が低下するのではないかという懸念の声が多く出される．前節のアンケートでは，学生自身の中からも，そのような声があがっている．そこで，数式処理電卓の使用の有無により計算力に変化が生じるかどうかを，定期試験の成績を通して確認することとした．従来型の授業を行っている他クラス担当の教官と協議して，定期試験の問題の一部 (2 枚のうち 1 枚) を共通問題として実施した．
表 3 は，年 4 回行われた定期試験のうち，共通問題の得点を 100 点満点に換算した成績である．共通問題の配点は，前期の中間試験では 64 点，期末試験では 50 点，後期の中間試験では50 点，そして期末試験では 48 点である．クラス間の格差を見るため，1 年時の成績も示した．
「1 年数学」は，2 科目ある 1 年の数学の平均である．ただし，それは学年を通した評価としてのものであり，単なる試験点の平均ではない．
著者が担当しているのは A と B のクラスである．試験のときは，数式処理電卓の持ち込みは認めていない．問題の内容は，微積分で通常出題されるような問題である．授業中に学生に課す問題は特に協議しているわけではないので，教え方の違いによる差が出ないよう，共通問題
はできるだけ教科書にある問題やその類題で構成されている．

表 3 共通問題のクラス間の成績比較
クラス

A

B

C

D

1 年数学

64.9(15.0)

70.7(9.2)

72.6( 7.3)

79.9(0.0)

備考

前期中間試験

58.8(17.3)

68.6(7.5)

69.5( 6.6)

76.1(0.0)

微分の計算

前期期末試験

59.6(17.6)

69.6(7.6)

61.8(15.4)

77.2(0.0)

微分の応用

後期中間試験

50.2(18.0)

64.2(4.0)

58.0(10.2)

68.2(0.0)

積分の計算

後期期末試験

61.7(14.8)

69.8(6.7)

67.5( 9.0)

76.5(0.0)

積分の応用

括弧内の数値は，D クラスの成績との差である．
クラス間の差をみるため，最も成績のよい D クラスとの差を括弧内に示した．
前期の中間試験は，数式処理電卓を使用し始めてまだ間もない時期である．年間を通すと，Cクラスの変動が少し大きいが，A クラスや B クラスの成績と D クラスとの差は，特に拡大する
傾向はみられない．むしろ，少し差が縮まったのではないかと思われる．特に，表 2 にあるよ
うに，電卓利用により数学に対する理解や関心が高まったと思われる B クラスの成績と D クラ

25

nE‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

スの成績との差は注目に値する．このデータだけから結論を出すのはまだ早計であるが，少くとも，数式処理電卓の使用により学力低下を示す傾向は，このデータにはみられない．

実践上のいろいろな問題点

9

数式処理電卓を個々の学生に貸与した授業を約 1 年間実践し，学生の反応や試験成績の結果などを前節で述べた．表 1 の結果を見ても，その教育効果には歴然としたものがあり，このような電卓の活用は早急に押し進められるべきであろう．しかし，その活用や普及を図る上においては，解決しなければならない幾つかの問題がある．

9.1

数式処理電卓の価格と認知度

多くの高専では，入学時に関数電卓を学生に購入させている．数式処理電卓の価格が関数電卓と同程度であれば，関数電卓の代わりにそれを購入させることは容易であろう．しかし，数式処理電卓は，高機能であるがゆえに通常の関数電卓の数倍以上の価格である．学生に購入させるには，それを購入させた場合の教育効果について教師側がある程度の確信を持つことが必要であり，それを活用できる内部の体制が整っていることも必要となる．
日本では，このような電卓を活用した数学教育には，なぜか冷淡な態度が取られてきた．数式処理可能な電卓が存在することすらあまり知られておらず，それを学生に購入させることに対しても，「計算力が低下するのではないか？」という危惧の声が根強い．
数式処理電卓は，単に購入させて放置するのではなく，その正しい使い方を学生に指導することが必要である．授業でも，それを活用して教育効果を高めるような工夫が求められる．し
たがって，学生に購入させる前に，この電卓の機能や教育効果，あるいはそれを活用した授業の方法などについて，教官側にある程度の共通理解が必要となろう．しかし，「グラフ電卓」の機能やその教育効果に対する認知度が低い現状では，そのような理解を形成するのは容易なことではない．

9.2

教室の中だけでの利用の限界

学生に個人購入させることが難しい場合は，学校側で学生の人数分の電卓を用意して利用させることになる．全学生分を購入するのは難しいと思われるので，現実には数クラス分の購入になると思われる．
数式処理電卓はかなりの多機能であり，それを学生が使いこなすには相当の習熟期間が必要である．授業のたびに教室で電卓の配布と回収を繰り返す方式では，この電卓の操作についての習熟を図るのは容易なことではない．電卓の使用を前提としたプリントを作成しても，全員が時間内に終えることができるわけではない．やり残したプリントを家に持ち帰っても，電卓が回収されてしまった後ではやりようがない．そのプリントは，電卓がなければ家で復習することすらできない．特に，この電卓により数学的な試行錯誤などを通して「思考力の強化」を図るには，学生に十分な時間が必要である．教室の中だけの利用でそのようなことを求めるのは，実際にはなかなか難しいものがある．

26

ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬n

その意味でも，数式処理電卓は学生一人一人に購入させて (または貸与して)，学校でも自宅でも自由に使える環境にあることが望ましい．

9.3

教授学年

2 年の微積分の授業で試行したが，微積分では，まず基本的な関数の性質を熟知していることが前提となる．しかし，必ずしもそれを前提にできないのが現実である．微分積分を理解させようとしても，学生は，それ以前の関数そのものの理解でつまずいている場合がある．
また，数式処理電卓でいろいろな探究をさせるには，教師側は適切なテーマを学生に与えることが必要となる．微積分のテーマは，グラフを描いたり極値を求める等，総合的な考察を必要とするものが多い．微分積分でこの電卓を活用させるには電卓の機能にある程度習熟していることが必要である．しかし，現実には，電卓の操作への習熟を図りながら 2 年の微積分の授業をするのは，実際にはなかなか大変なものがある．
以上の 2 点の困難を避けるには，その使い方を 1 年次から少しずつ習得させながら使用させることが望ましいと思われる．1 年であれば，単純な因数分解だけでも，かなりのことを学生に考えさせることができる．たとえば，数式処理機能を利用して xn − 1 の因数分解をさせ，自然数 n と因数分解された式の形との関係について考察させると，相当高度の内容にまで学生は
気づいてくる [6]．また，グラフ機能を利用させれば，従来は教師が説明していたいろいろな関数の性質を，学生に発見させることができる．平成 12 年度の新入生全員に数式処理電卓を購入させた福井高専の実践では，この電卓を利用させて 2 次関数 y = ax2 + bx + c のグラフの特徴について学生に考察させたところ，教師が教えるべき内容のほとんどを指摘されてしまったことが報告されている [7]．

9.4

使用教科書

日本には，数式処理電卓の利用を前提とした教科書は存在しない．この電卓を利用した授業を行うには，既存の教科書に沿いながら利用するか，あるいは教科書の内容と関係なく独自の教材にもとづいて行うことになる．しかも，電卓を使用しない他クラスとある程度進度をそろえることも必要となる．
授業で電卓を利用するには，「操作説明の時間」＋「学生が操作する時間」＋「教師がまとめる時間」が必要である．これらの時間を既存の内容をこなしながら捻出するのはなかなか容易ではない．既存の教授内容について思い切った取捨選択が必要であるが，同じ学年の特定のクラスだけでそれを行うことには問題があろう．教師は，電卓を利用して学生に伝えたい数学知
識と，ある程度の進度を保たねばならない焦燥感との板ばさみに会うことになる．場合によっては，両方が中途半端なものになりかねない．
その意味でも，数式処理電卓の使用を前提とした新しい数学教科書の作成が早急に望まれる．

9.5

学生の能力差

学力差の大きい 2 クラスで試行したが，同じ内容のプリント教材で電卓を使わせても，操作の仕方やそれによる内容理解の程度に差が現れる．理解力のある学生は，電卓の使用によりさ

27nM‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

らに上のレベルの理解を得ることが容易に可能になるが，そうでない者にとっては電卓の操作自体が難儀なことであり，そこで理解させようとしている教師側の意図がなかなか伝わらない傾向がある．つまり，学生の能力差は，電卓の操作への理解力と，学習中の数学への理解力との両面で影響を及ぼしてくる．
したがって，クラス間の学力差が大きい場合には，電卓の使わせ方にも配慮が必要である．学
力レベルが低いクラスでは，探究活動よりもむしろ内容理解を確実にさせる方向の使わせ方が望ましいと思われる．

9.6

単純計算時間の省略

数式処理電卓を利用すれば，単純計算はキー操作だけで解が表示される．しかし，学生は自力である程度の計算ができることは是非とも必要であり，そのための練習時間をそう簡単に削るわけにはいかない．つまり，数式処理可能な電卓を所持させたとしても，これまで単純計算の練習のために費やしていた時間を省略することは簡単にはできない．そのような計算練習を行った上で，なおかつ思考力重視の授業時間を確保することは，限られた時間の中ではそう簡単ではない．結局は，思い切った内容の取捨選択しかないのではないかと思われる．

9.7

教師側の負担と意識革命

この電卓を利用した授業では，どのようなときに，電卓をどのように使用させるべきかを事前に検討することが必要である．国内には参考になるべき資料はほとんど何もない．米国のグ
ラフ電卓の利用を前提とした教科書を取り寄せてみても，日本の教科書を使わせながらの授業では，そのまま素直に参考になるわけではない．結局は，授業のたびに，どのような使い方をさせるべきかについて教師側が事前の思考実験を行い，それをもとに教材プリントを自作することになる．日常の公務の合間に，これまで行ったこともない授業の準備をするのは，実際にはなかなか大変なものがある．特に，電卓の操作の仕方は，教室で口頭で説明してもなかなか全員には伝わらない．したがって，プリント教材には，電卓の操作説明をあらかじめ書き込むことが望ましい．できれば，数式の扱い (TEX が望ましい) や電卓の液晶画面 (tiﬀ, eps 画像) のプリントへの貼りつけができることが理想であるが，そのような教材をすべての数学教師が自作できるとは限らない．
また，多忙な日常業務の中で，自主的にこのような新しい授業を一から作り上げる作業を行
うには，教師側の意識にそれなりの必然性が必要である．グラフ電卓を活用した授業では，教師を駆りたてる何かがある．それは，7 節に見られるような学生の反応であり，授業の中で本来伝えたい数学の知識を，よりストレートに伝えることができることに対する教師としての喜びである．そのための教材準備は楽ではないが，それは決して苦痛ではない．むしろ，楽しみながら行うことができる．グラフ電卓の活用は，このような教師自身の意識革命をも同時に引き起こすものである．授業を変えるには教師自身が変わることが必要であり，米国の実践でも，
まず教師自身に変化が起きることが報告されている．

28

ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑৷ःञ๶஋ীઇ୘भ੝ఒ‫ؙ‬n

10

高専における数式処理電卓の意義

高専では，高校から大学までの数学が教授される．昨今の高校の教授内容の変遷にもかかわらず，高専における教授内容は，大筋では高専創設時の内容がそのまま教授されている．それは，在学中の工学系専門科目で数学が駆使されるため，そこで必要となる数学の内容をそう簡
単には変更できないからである．専門科目では，単なる数学の知識ばかりではなく，数学上の高度の計算が必要となり，さまざまな場面で数学を使いこなすことが求められる．その内容は大学レベルであり，学年が上がるほど数学を使いこなす場面は増すことになる．つまり，小・中・高・短大・大学の中で，数式処理電卓の必要度や使用頻度が最も高いのは高専であるといえるのではないだろうか．しかも，5 年という長期間の使用が可能であり，進学すればその期間はさらに増えることになる．したがって，高専では学生に個人購入させる必然性がある．
このように，高専では，数式処理電卓を数学と工学の両面から活用した教育が可能であり，この電卓の有効性を最も高く実現できる環境にあると思われる [8]．しかも，高専での実践結果は，高校から大学工学部まで幅広く活用できる．入学時から，数学と工学の両面でこの電卓を 5 年間有効活用させた場合，卒業時には学生の能力はどのようなレベルにまで高まるのだろうか．すべてはこれからの実践に依るが，相当すごいレベルの学生が育つだろうことは想像に難くない．
以上のことから，数式処理電卓は，まず高専においてこそ普及させるべきである．そのためには，数学の教官のみならず，専門学科の教官にも，この電卓の有効性を啓蒙することが必要になってくると思われる．

11

おわりに

高専 2 年の微積分の授業で，4 月から既存の教科書に添った内容で数式処理電卓を利用してきた．その実践から言えることは，世界で起きているグラフ電卓を活用した数学教育の革命は，日本でも十分に起こりうるということである．
グラフ電卓や数式処理電卓を活用した数学教育は，現状では関心を持った一部の教官が個人的に実践しているに過ぎない．そのような状況にある理由の多くは，この電卓の機能や教育上の意義，あるいは世界で起きている数学教育の大きな変化ついて，ほとんど知られていないことにあると思われる．他にも，ある程度の台数を用意しなければならないという予算上の問題
や，新規の教材準備など多くの問題がある．しかし，いろいろな困難はありながらも，数式処理電卓を有効に活用した数学教育は，従来の方法では得られないほどの大きな効果をもたらすものである．困難を避けるのではなく，その困難を乗り越える方向での検討が必要であろう．
最後に，この実践を行うにあたっては，共通問題での試験実施等において本校教官高橋知邦
助教授の協力を得た．また，この論文の粗稿には，数ナビ活用研究会の皆様から貴重なご意見をいただいた．ここに，深甚なる感謝の意を表します．

29;(‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

参考文献[1] 梅野善雄：グラフ電卓が切り開く数学教育の新世界, 日本数学教育学会高専・大学部会論
文誌, 第 7 巻, 第 1 号, pp.1–20, 2000

[2] 佐伯昭彦, 磯田正美, 清水克彦偏： テクノロジーを活用した新しい数学教育, 明治図書, 1997[3] 各社の数式処理電卓の詳細は，以下の URL を参照されたい．
http://www.casio.co.jp/edu/index.html
http://www.naoco.com/
http://www.hp.com/calculators/[4] TI-92 Wins System Challenge at Math Software Conference,
http://www.ti.com/calc/docs/swh/ti92wins.htm[5] 大阪の清風高校の数式処理電卓を利用した数学教育の内容は，清風高校数学教育研究所のホームページで公開されている．http://www.seifu.ac.jp/math/[6] 清風高校の生徒が，xn − 1 を数式処理電卓 TI–92 で因数分解させて，どのようなことに気づいたかが紹介されている．http://www.seifu.ac.jp/math/Resources/factor1.pdf[7] 井之上和代：TI–89 を利用した 2 次関数の学習から見る高専の数学教育, 福井工業高等専
門学校研究紀要 自然科学・工学, 第 34 巻, pp.95–105, 2000

[8] 梅野善雄：数式処理電卓は工学教育に何をもたらすか？, 工学教育, 第 48 巻, 第 4 号, 2000

30

論文集「高専教育」第 25 号 2002.3

数式処理電卓の利用による数学に対する学生の意識変化
梅 野 善 雄∗(一関工業高等専門学校)

Changes of Students’ Thoughts on Mathematics
by The Use of An Algebraic Calculator
UMENO Yoshio(Ichinoseki National College of Technology)
Last year, we lent algebraic calculators to all our calculus students, throughout the year. With thestudents’ use of the calculators, in the calculus class, the following were observed: (1) The class wasfun. (2) The understanding of mathematics was deepened. (3) Motivation to tackle tough problems
was accelerated even with low-achieving students. (4) The students who were good calculator operators
increased their knowledge and understanding of theoretical concerns of mathematics. (5) The anxiety
about learning mathematics was less in comparison with classes not using calculators.
The long-term use of algebraic calculators improved students’ thoughts on mathematics in various
ways, so we should make full use of these calculators in mathematics classes.
Keyword: algebraic calculator, Calculus, students’ thoughts on Mathematics.

1. はじめに
最近のグラフ電卓には数式処理機能を持つものがある。その数式処理機能はかなり高度であり，数式処理ソフトの国際コンペで Mathematica と並んで首位タイになったこともある。そして，世界の数学教育は，このようなグラフ電卓を活用した数学教育に大きく転換しつつある 1) 。
この電卓は，関数のグラフを簡単に確認できる。
グラフ画面の上から最大値・最小値，座標軸との交点の座標，あるいは微分係数や定積分の値などを簡単に求めることができ，関数にかかわるいろ
いろな事柄を総合的に理解させる場合に極めて有用である。そして，従来は教師が説明していたような定理・公式を，学生が自分で発見するよう導くことも可能になる 2) 。
∗

一般教科

本校では，平成 12 年度の 2 年生 2 クラスに数式処理電卓 TI–89 を貸与して微積分の授業を行った。以下では，この電卓を学生個々に貸与して長期間使用させた場合，数学の授業に対する学生の意識がどのように変化するのか，そして，電卓を使用しない他クラスの学生の意識とどのような違いがあるのかなどを分析し，数学教育におけるこの電卓の意義について考察する。

2. 調査の方法
数式処理電卓 TI–89(テキサスインスツルメント社) を学生に貸与したのは，平成 12 年 6 月中
旬から平成 13 年 2 月末までである。この期間中，学生は授業のみならず自宅や寮でもこの電卓を活用できる環境を得たことになる。この状況で，数

umesan@ichinoseki.ac.jp175‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

学の授業で電卓を利用することに対する学生の意
識がどのように変化するかを，以下のような質問紙で調査した。

たとえば，定積分
 1
n
 

x2 dx = lim
f k 1
n→∞
n n
0
k=1

(1) 電卓を利用した授業に対する意識調査
数式処理電卓を利用した数学の授業に対する意識を平成 12 年 7 月中旬 (25 項目)，平成 12
年 10 月下旬 (13 項目)，そして平成 13 年 2 月
下旬 (26 項目) に記名式で調査した。
(2) 数式処理電卓の習熟度に関する調査
数式処理電卓の操作にどの程度習熟している
かを，平成 12 年 7 月中旬 (20 項目) と平成 13
年 2 月下旬 (25 項目) に記名式で調査した。使用時期により主たる操作方法に違いがあるので，項目は調査時期に応じて変更した。
(3) 数学の学習で感じる不安感に関する調査
数学の学習のいろいろな場面で感じると思われる不安感を 34 項目設け，それぞれについて 5 件法で回答を求めた。平成 12 年の 6 月
上旬と平成 13 年の 2 月下旬に，同じ質問紙で記名式で調査した。
また，この電卓が数学の成績に及ぼす効果を調べるため，他クラスの数学担当教官の協力を得て，定期試験 (年 4 回) の問題の 1 部 (2 枚のうちの 1 枚) を，2 年生全体で共通問題で実施した。配点は各試験により異なるが，100 点満点では 48〜
64 点の間にある。そして，電卓の使用の有無に
より数学の授業に対する意識や数学に対する不安感がどのように変化するのか，また，それらと数学の成績との関連性等について分析した。

3. 数式処理電卓の授業での利用
学生に貸与した数式処理電卓を，すべての時間で使用したわけではない。電卓を積極的に利用させる授業と，それを使用しない通常の授業の時とがある。どちらかというと，新規概念の導入時に多く利用したといえる。学生は，電卓を使用しない授業のときでも電卓を持参し，必要に応じて利用していた。授業で必要なときに忘れてくる学生もあるので，そのような学生には，学校購入分の電卓をその時間だけ貸し出した。
授業の中では，大きく分けて次のような使わせ方をした。詳細は参考文献 2) を参照されたい。

(1) 微積の概念を効果的に教授するための利用
176

が区間 [0, 1] の分割数 n を増すごとに収束していく様子を，グラフや表を通して簡単に確かめさせることができる。
(2) 定理・公式を学生に発見させるための利用
たとえば，y = sin x, y = x のグラフを原点付近で拡大させれば，lim sin x/x = 1 である
x→0

ことを学生自身に気づかせることができる。
(3) 微積の計算の答え合わせとしての利用
たとえば，不定積分の計算で，その結果を電卓の数式処理機能を利用して微分させれば，積分が微分の逆演算であることを理解させると同時に，複雑な関数の場合でも積分結果を容易に確かめさせることができる。
(4) いろいろな関数に習熟させるための利用
たとえば，媒介変数表示された関数の場合に，媒介変数表示の仕方を変えることによりグラフ上の点の動き方がどのように変化するかを，簡単に確かめさせることができる。
積極的な活用を図るため，長期休業の課題では，電卓を利用しなければ解けないような課題も出している。当初は，電卓を使用することに拒否反応を示す学生が現れることを恐れたが，幸いにも，そのような学生はほとんどいなかった。数式処理
電卓を数学の授業で使うことには，微分や積分の計算問題をすべて電卓で行わさせるのではないかという誤解を受けることが多いが，そのような問題では学生は自分の計算の確認のために使用しており，電卓の表示する解を書き写すだけの学生は皆無であった。自分で計算できなければならない
ことは，どの学生もわきまえているといえよう。
次節の調査結果は，この状況を 6 月から翌年の2 月末まで経験させた中で得られたものである。

4. 意識調査の結果と考察
4.1 電卓を使用した授業に対する意識の変化
数式処理電卓を利用した授業をどのように感じているかを調査するため，幾つかの項目を変えな
がら 3 回の調査を行った。「数ナビを使う授業はおもしろい」「数ナビを使うと数学がよけいに分からなくなる」などの項目を設け，各項目に対して「はい」「どちらでもない」「いいえ」の 3 件法ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभਹ৷पेॊਯ৾पৌघॊ৾েभਔ௙૗৲‫ؙ‬

論文集「高専教育」第 25 号 2002.3

で回答を求めた。表 1 は，2 月における調査項目
である 2) 。
表 2 は 3 回の調査の共通項目に対する回答である。なお，学生には，この電卓を「数ナビ」(「数学ナビゲータ」の略) と呼ばせている 2) 。
「(14) 数ナビを利用すると，数学
表 2 をみると，の理解がさらに深められる」を肯定する者が，使用期間が延びるごとに増えていることが分かる。

表1

学生の意識調査の項目(1) 数ナビを家や寮でも使っている(2) 数ナビを使う授業はおもしろい(3) 数ナビは復習するとき便利だ(4) 数ナビはできるだけ使わないようにした(5) 数ナビでいろいろな計算が楽しくなった(6) 数学がよけいに分からなくなる(7) 数学が前よりおもしろくなった(8) 数ナビのおかげで計算力が落ちた(9) 数ナビの操作はよく分からなかった(10) 電池が無くなったので自分で交換した(11) 数ナビを私は授業のときしか使わない(12) 友達と数学の話をする機会が増えた(13) 数ナビを使わない普通の授業をしてほしい(14) 数学の理解がさらに深められる(15) 自分であまり計算しなくなった(16) 数学が前より分かるようになった(17) 専門科目の勉強や実験のときも役立った(18) 理論的なことへの関心が高まった(19) 難しい内容も簡単に見えてくる(20) 難しい計算も自分でやってみる気になる(21) 数ナビを使う課題をもっと出してほしい(22) 数ナビを使って数学が嫌いになった(23) 数学について前より考えるようになった(24) 数ナビに出会って数学の楽しさを知った(25) 数ナビを 1 年のときから使いたかった

表 2: 電卓を使用する授業への意識(2) 数ナビを使う授業はおもしろい
時期 全体 (数) は い 中 間 いいえ
7 月 100.0(74)
39.2
48.6
12.2
10 月 100.0(71)
46.5
47.9
5.6
2 月 100.0(73)
49.3
42.5
8.2
(14) 数学の理解がさらに深められる
時期 全体 (数) は い 中 間 いいえ
7 月 100.0(74)
45.6
50.0
4.1
10 月 100.0(71)
49.3
49.3
1.4
2 月 100.0(73)
63.0
35.6
1.4
中間 = どちらともいえない%

表 2 にあげた以外の項目でも，授業で電卓 (数ナビ) を利用することには肯定的な意見が多い。

「どちらともいえない」という中間回答が半数近くを占める項目もあるが，否定的な意見がきわめて少ないことに注目すべきであろう。なお，ここでは，字数の関係で問題文を多少簡略化している。
表 3 は，このような意識を成績別にみたものである。学年末試験の共通問題に対する成績により「上位」「中位」「下位」に 3 分し，2 月の意識調
査との関連性をみた。表 2 の各項目について，上段は「はい」と肯定した者，そして下段は「いいえ」と否定した者である。成績の各区分ごとの百分率で示し，「どちらでもない」に回答した者の割合は省略した。
表 3 をみると，成績下位の者でも，57.1%は「(14) 数ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる」を肯定している。この項目を否定す
る者は極めて少ない。他の項目でも同様の傾向がみられ，この電卓を利用することは数学を理解する上で有効であると，成績の上下によらずに受け止められていることが分かる。

表 3: 成績別にみた授業に対する意識
項目
数

全 体
73

上 位
23

中 位
29

下 位
21

(2)

49.3
8.2

47.8
4.3

51.7
13.5

47.6
4.8

65.5
57.1
63.0
56.5
1.4
4.3
0.0
0.0
上段は「はい」，下段は「いいえ」 %(14)

表 4 は，2 月の調査で新に設けた項目である。
「(18) 数
これをみると，成績上位者の 43.5%は，ナビを使うようになって，理論的なことに関心をもつようになった」としている。理論的な側面への関心が強まったことがうかがわれ，この電卓の利用により成績上位者の能力をさらにレベルアッ
プさせることが可能であることが示唆される。
一方，成績下位者の 52.4%は「(20) 数ナビがあると難しそうな計算も自分でやってみようという気持になる」，47.6%は「(23) 数ナビを使うことにより前よりも数学について考えるようになった」としている。この電卓の長期使用で数学に対する意識がプラスの方向に変化したであろうことがうかがわれる。それが成績下位者の意識にも現れていることは注目すべきことである。
表 2〜4 の結果から，数式処理電卓を授業で利用することは，成績の上下によらず好意的に受け177‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

表 4: 数学に対する意識の変化(18) 理論的なことへの関心が高まった
全体
上 位 中 位 下 位
100.0
100.0
100.0
100.0
全 体
(73)
(23)
(29)
(21)
は い
31.5
43.5
27.6
23.8
中 間
54.8
47.8
55.2
61.9
いいえ
13.7
8.7
17.2
14.3
(20) 難しい計算もやってみる気になる全体
上 位 中 位 下 位
は い
35.6
34.8
24.1
52.4
中 間
38.4
39.1
44.8
28.6
いいえ
26.0
26.1
31.0
19.0
(23) 数学を前よりも考えるようになった全体
上 位 中 位 下 位
は い
31.5
30.4
20.7
47.6
54.8
60.9
65.5
33.3
中 間
13.7
8.7
13.8
19.0
いいえ
中間 = どちらともいえない (%)

とめられているといえよう。特に，大多数がこの電卓の利用で「数学の理解がさらに深められる」と感じ，成績上位者が「理論的なことへの関心が高まった」と感じていることは，この電卓が単なる計算ツールではなく，数学理解を深化させるためのツールとして受けとめられたことを示していると思われる。

4.2 数学の学習に対する不安感の変化
数学の学習で感じると思われる「数学不安」が
数式処理電卓の利用で軽減されるのではないかとの予測のもとに，6 月と翌年の 2 月に数学不安に関する調査を行った。質問項目は既存の調査研究を参考にしながら 3) ，高専の数学の学習場面に合うよう内容変更や項目の追加・削除を行った。そして，数学の学習で感じると思われる不安項目として，「これから数学の授業が始まるとき」「数学のテスト勉強をするとき」などの 34 項目を設定
し，それぞれについて「全く不安ではない」「あまり不安ではない」「どちらともいえない」「すこし不安である」「とても不安である」の 5 件法で調査した。その回答にそれぞれ 0 点から 4 点を与え，全項目の合計得点で数学に対する不安感を測定した。調査は 2 回とも同じ質問紙で行った。
この全項目に対して，主成分解・バリマックス
回転法による因子分析を行ない，各調査ごとにそ178

れぞれ 2 因子 (F1, F2) を抽出した。2 回の調査で所属する因子が異なる項目が 5 項目あり，また，
質問内容が重複する項目が 1 項目あったので，それら 6 項目を除いた 28 項目で再度同様の因子分析を行った。表 5 は，2 月調査の結果である。数値はそれぞれの因子に対する項目ごとの因子負荷量であり，数値が大きいほど，対応する因子への依存度が高いことを示している。ただし，ここでは問題文は多少簡略化している。
第 1 因子 (F1) は「説明を受けても分からないとき」「解き方が分からないとき」「数学のテスト
結果が悪いとき」などのように，数学が分からないことに関連した項目に高い因子負荷がみられる
ので「数学理解不安」と命名する。第 2 因子 (F2)は，
「次は数学の授業だと思うとき」「先生が教室に入ってきたとき」「これから数学の授業が始まるとき」などのように，数学の勉強が始まること

表 5: 数学不安感 (2 月) の因子分析結果
項 目
説明を受けても分からないとき
解き方が分からないとき
数学のテスト結果が悪いとき
明日が数学のテストのとき公式や定理を忘れたとき
テスト結果が返されるとき
先生が黒板を消したとき
公式の意味が分からないとき
数学のテストを受けるとき宿題をやってこないとき
テスト範囲が広いとき先生の質問に答えるとき
数学の授業を欠課したとき分からない問を友が解いたとき次は数学の授業だと思うとき
先生が教室に入ってきたとき
これから数学授業が始まるとき
先生が板書を始めたとき方程式の解法のとき数学で新しい章に入るとき
文字式の計算のとき
数学の課題を出されたとき関数のグラフをかくとき
数学のテスト勉強をするとき
分数などの数値計算のとき
自分で数学の勉強をするとき
1 週間後にテストがあるとき専門科目で数学が使われたとき

F1
.719
.718
.707
.661
.659
.652
.640
.618
.615
.598
.583
.582
.530
.370
.157
.140
.179
.038
.223
.207
.321
.435
.278
.386
.198
.239
.420
.445

F2
.251
.211
.225
.301
.115
.238
.203
.181
.300
.095
.410
.337
.217
.364
.811
.750
.750
.732
.724
.650
.573
.572
.554
.531
.511
.500
.493
.462

ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभਹ৷पेॊਯ৾पৌघॊ৾েभਔ௙૗৲‫ؙ‬

論文集「高専教育」第 25 号 2002.3に関連する項目で高い因子負荷がみられるので「数学

これをみると，電卓の使用の有無によらず，成績下

学習不安」と命名した。そして，「数学理解不安」と位群の数学学習不安はきわだって高い傾向が認められ「数学学習不安」の合計得点を「数学不安」とした。

る。成績下位群では，電卓使用の有無により若干逆の

表 6 は，この調査を 2 回とも受けている学生につい変化が見られる。成績中位群でも，電卓使用クラスとて，電卓使用の有無でこれらの不安感がどのように変非使用クラスとでは逆の変化が認められる。特に，電化するかをみたものである。表 5 の 2 因子を構成する

卓使用クラスの成績中位群の数学学習不安の低下は有各項目に対して，それらの項目への回答の仕方により意 (有意水準 5%) である。以上のことから，電卓の使0〜4 点を付与し，各因子ごとの合計点を求めた。表 6用の有無による数学学習不安の変化は，主に成績中位

は，電卓の使用・非使用クラス別の平均値を示したも群の変化に依存しているといえよう。

のである。
これをみると，数学理解不安の変化には電卓使用の4.3 電卓操作の習熟度別にみた意識有無による差はみられない。微分積分の授業は時期を追うごとに内容が難しくなっていくと思われるが，数貸与された電卓を利用して数学の理解を深めるには，

学理解不安は，電卓使用の有無によらず低下している。

その電卓を使いこなせることが前提となる。せっかく本校の調査では，数学に限らず，全般に学年が上がる

長期貸与されても，使用方法が分からないと宝の持ちにつれて成績や試験に対する関心が薄れていく傾向が腐れに等しい。

みられるので4)，そのような傾向と関連しているのか

そこで，電卓の操作にどの程度習熟したかを調べるため，「表示されたグラフを拡大・縮小することができもしれない。
それに対して数学学習不安は，電卓非使用クラス (81る」「関数の導関数を求めることができる」「グラフの名) では 2 月は 6 月より増加しているのに対し，電卓

x, y 座標を表で表示させることができる」などの項目

使用クラス (74 名) では逆に減少している。この変化をあげて，その操作ができるかどうかを「はい」「いには有意差 (有意水準 5%) が認められた。電卓の長期「はい」と回答しいえ」の 2 件法で調査した。そして，使用により，数学学習不安が軽減されたのではないか

た項目の数で電卓操作の習熟度を測定し，2 月調査のと思われる。

結果をもとに全体を「良好」「中間」「不良」の 3 つに

表 6: 電卓使用の有無と数学不安感の変化
調査
電卓

理解

数学

学習

非使用
81 名

時期
6月
2月

不安
42.62
39.90

不安
23.09
23.96

不安
65.70
63.86

使用
74 名

6月
2月

42.35
39.66

24.69
22.93

67.04
62.59

表 7 は，数学学習不安の変化を学年末試験の共通問
題の成績別にみたものである。電卓の使用，非使用ク
ラスごとに，それぞれの成績を「上位」
「中位」
「下位」
に 3 分し，2 度とも調査を受けた学生について数学学
習不安の平均を示した。

表 7: 成績別にみた数学学習不安の変化
電卓
非使用

数
6月
2月

全体
81
23.09
23.96

上位
25
23.40
22.80

中位
36
21.22
23.39

下位
20
26.05
26.45

使 用

数
6月
2月

74
24.69
22.93

23
21.48
21.30

28
23.82
20.04

23
28.96
28.09

区分した。
表 8 は，その習熟度区分別に，電卓を利用した授業に対する意識 (2 月) との関連性をみたものである。これをみると，どの習熟度区分でも半数以上は「(14) 数
ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる」こ
とを肯定している。そして，電卓の操作によく習熟した者ほど，「(18) 数ナビを使うようになって，理論的なことへの関心が高まった」と答えている。

表 8: 操作習熟度と電卓利用授業への意識(14) 数ナビ利用で理解がさらに深められる
習熟度 全体 (数) は い 中 間
いいえ
不良
100.0(24)
58.3
41.7
0.0
中間
100.0(27)
51.9
44.4
3.7
良好
100.0(22)
72.7
27.3
0.0
(18) 理論的なことへの関心が高まった
習熟度 全体 (数) は い 中 間
いいえ
不良
100.0(24)
25.0
54.2
20.8
中間
100.0(27)
7.4
81.5
11.1
良好
100.0(22)
68.2
22.7
9.1
%
179

‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

表 9 は，電卓の操作習熟度と成績との関係をみたもとに対する不安感が成績上位者と同レベルにまで軽減のである。成績が良くなるほど電卓の操作習熟度も上されている。授業運営において，この変化のもつ意味がる傾向が認められる。

は大きい。また，成績下位の者にとっては，分からな

表 10 は，電卓の操作習熟度と数学の授業に対する意

かった箇所が分かるようになる可能性を持つツールで識との関連性を 2 月調査に対してみたものである。こある。しかし，成績下位者は操作習熟度が不良の割合

れをみると，「(13) 数ナビを使わないで普通の授業をしも高いので，その指導には特に留意が必要であろう。

てほしかった」は操作不良群においてさえ，その半数

いずれにしろ，この電卓の使用を否定する者は極め以上が否定している。操作不良群は，うまく操作はでて少数である。成績の上下や操作習熟度の良・不良にきなかったが，この電卓を利用すると数学の理解が深

よらず，いずれも半数以上が「数ナビを利用すると数められると感じていることを示していると思われる。

学の理解がさらに深められる」と答えていることは驚

表 9: 成績別にみた電卓操作習熟度

くべきことである。これまでの数学教育において，こ

成績
下位
中位
上位

良 好
9.5
27.6
52.2
%

れ程の効果を示すツールが果たして存在したであろ

表 10: 操作習熟度と授業に対する意識は，これが決して誇張ではないことを示している。数(13) 数ナビ使わない普通の授業をしてほしい
習熟度 全体 (数) は い 中 間 いいえ
不良100.0(24)
20.8
25.0
54.2
中間
100.0(27)
7.4
40.7
51.9
100.0(22)
4.5
27.3
68.2
良好
%

式処理電卓は工学での利用も可能であり，工学系科目

5. まとめては，平成 12 年度の本校電気工学科と物質化学工学

全体 (数)
100.0(21)100.0(29)100.0(23)

不 良
52.4
31.0
17.4

中 間
38.1
41.4
30.4

うか。
世界ではグラフ電卓が数学教育に取り入れられてすでに久しい。それは数学教育に革命を引き起こすとも言われているが，この 1 年間の授業経験と学生の反応でも同様の効果が期待される。この電卓は，高専教育
においてこそ大いに活用されるべきツールである。

6. おわりに
この電卓を学生個々に貸与した授業を行うにあたっ
科の 2 年生の協力を得た。利用した数式処理電卓は，以上の調査結果により，数式処理電卓を約 1 年間長テキサスインスツルメント社より貸与を受けたもので期貸与して授業で使用することは，学生が微積分を理ある。また，定期試験の共通問題の実施においては，解する上で効果があり，数学の学習に対する学生の不

本校の高橋知邦助教授にご協力いただいた。いずれも，安感を減少させていることが認められる。特に，成績ここに深甚なる感謝の意を表する。

中位の学生に対する効果が大きい。操作に習熟した者ほど大きな効果がみられるが，その習熟度には成績と参考文献の関連性がみられる。うまく使えなかった学生においても，この電卓の使用を否定する者は少い。特に，成(1) 梅野善雄：グラフ電卓が切り開く数学教育の新世

績の上下や操作の習熟度によらず，この電卓の利用で界, 日本数学教育学会高専・大学部会論文誌, 第数学の理解が深まると考える者が多い。成績上位の者

7 巻, 第 1 号, pp.1–20, 2000

ほど理論的な側面への関心が高まり，成績の下位の者(2) 梅野善雄：数式処理電卓を利用した微積分教育

でも数学について前より考えるようになり，難しい計の改善, 日本数学教育学会高専・大学部会論文誌,

算を恐れなくなってきている。

第 8 巻, 第 1 号, pp.13–30, 2001

このように，この電卓の長期使用は，いろいろな側(3) 藤井義久：数学不安尺度 (MARS) に関する研究,

面での効果が見込まれる。成績上位の者がこの電卓を教育心理学研究, 第 42 号, 第 4 号, pp.86–92, 1994

活用すれば，相当高度のところまで自力で到達する可(4) 梅野善雄：高専入学後の学業意識の推移と技術能性もある。成績中位の者は，数学の学習が始まるこ

者志向, 高専教育, 第 14 号, pp.174–181, 1991180

関数教育における数式処理電卓の短期利用とその効果
梅野 善雄∗

Several Eﬀects on Function Class
with the Short-term Use of Algebraic Calculators
UMENO Yoshio∗
Abstract:
We lent algebraic calculators to our students, for one month, in the function
class. Students used the calculators for help or to comﬁrm their answers. With
the students’ use of the calculators, the following was observed: (1) The class wasfun. (2) Mathematical understanding was deepened. (3) Low-achieving students felt
their mathematical questions were solved, so they often used the calculators. (4)The more they used the calculators, the more they grew accustomed to understandmathematics. (5) The students who were poor at operating a computer were alsopoor at operating calculator.
The short-term use of algebraic calculators, in the function class, was very effective, however we need to study how eﬀective the calculator would be for othermathematics classes, in the same situation.
Keyword: algebraic calculator, function, short-term use

はじめに

1

近年，高専の数学教育においてグラフ・数式処理電卓の活用報告が増えてきた．グラフ電卓
は関数のグラフを簡単に表示でき，数式処理機能を持つものは数学的な試行錯誤を学生に行わさせることもできる．福井高専では数式処理電卓を学生に個人購入させている [1]．その電卓を利用した授業では，教師が説明すべき 2 次関数のほとんどの主要な性質を学生 (新入生) に指摘されたことが報告されている [2]．石川高専では，入学時から数式処理電卓を 2 年間貸与し，いろいろな探求活動を行う中で，積分を学習前の学生に区分求積法の考え方が自然に芽生えてきたことを報告している [3]．金沢高専では，グラフ電卓を学生に個人購入させて実データを利用した特色ある授業が行われている．そこでは，学生が実データの収集や数学的モデル化を行い，その式の妥当性の検討まで行っている [4]．著者も，平成 12 年度の本校 2 年生に数式処理電卓を貸与し，授業内容への理解度の高まりや，電卓を貸与しないクラスと比べて数学の授業に対する不安感が有意に減少するなどの効果を得ている [5, 6]．
グラフ・数式処理電卓を活用した数学教育では，このような多くの効果が報告されている．しかし，このようなテクノロジーの活用が効果的なのはどのような学生に対してであるのか，その効果に成績による差はあるのか，学生に個人購入させることができない場合は学生に貸与し∗一関工業高等専門学校，一般教科, 岩手県
Ichinoseki National College of Technology, Ichinoseki-shi, 021–8511, Japan1

;M‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

て利用させることになるが，短期間の貸与ではどの程度の効果が期待できるのだろうか．そも
そも，この電卓を効果的に使用させるには，どのような教材を用意すべきでなのだろうか．実際に利用しようとすると，検証すべきことは山積している．したがって，このような新規の機器を使用した数学教育を行うには，その効果をもう少し詳細に検討することも必要と思われる．
著者は，このうち，短期貸与の効果を調査すべく，平成 13 年度の本校 1 年生の関数の授業で，1ヶ月間数式処理電卓を貸与した．ここでは，その実践例をもとに，この電卓を関数の授業で利用した場合の効果を，さまざまな角度から分析する．

2

数式処理電卓を貸与した授業

2.1

数式処理電卓と，その貸与目的

ここで使用する電卓は，テキサス・インスツルメント社の数式処理電卓 TI–89 である．この電卓は，関数のグラフを簡単に表示できるのみならず，高度の数式処理を行うことができる† ．
本校では，平成 13 年度当初で TI–89 を 90 台購入済みであるが，1 年生全員に貸与できるだけの台数ではない．そこで，不足分はメーカーの無償貸与制度を利用した．無償貸与が可能な期間は限られているので，貸与時期を年度末の 1ヶ月前 (1 月下旬) とし，その時期までは電卓を使用しない普通の授業を行った．
ただし，電卓を貸与後に電卓を利用させる十分な時間を確保するため，学生には板書をノートを取らせない授業を心掛けた [7]．つまり，その時間の授業内容をあらかじめプリントに作成して配布し，板書を写すことよりも説明を聴くことに集中させた．このプリント主体の授業は学生からも好評で，授業はきわめて効率的に進んだ．そして，電卓を貸与予定の 1 月下旬には教科書の内容を終えることができた．
著者の平成 12 年度の実践 [5] では，この電卓を学生にできるだけ活用させる方向の授業を試みた．この電卓の活用法を考えながら，日々の教材を新規に作成するのは容易なことではなかったが，それに見合うだけの効果は得られたと考えている．そして，そのときの学生の反応から，新な教材を作成して教師側が電卓利用を働きかけなくとも，単純な「答え合わせ」として学生に使用させるだけでも十分大きな効果が得られるのではないかと思われた．
そこで，平成 13 年度は，1ヶ月間単純な「答え合わせ」として使用させた場合の効果の検証を目的として電卓を貸与した．また，平成 12 年度の実践では，電卓の操作に最後までなじめない学生もいた．そのような学生は，コンピューター操作も苦手とする学生ではないかと推測されるので，そのことの調査も併せて行うこととした．

2.2

高専 1 年の「関数」の内容

本校の 1 年生の数学 (6 単位) は，基礎数学 I と基礎数学 II の 3 単位ずつに分割され，関数は
基礎数学 II で扱っている．著者は平成 13 年度の本校 1 年生の基礎数学 II を担当し，全 4 クラ
スで授業を行った．使用教科書は，森北出版の「新編高専の数学 1(第 2 版)」である．関数の内
容は，2 次関数，べき関数，無理関数，分数関数，逆関数，指数関数，対数関数，そして三角†機能の詳細は，メーカーの HP を参照されたい．

http://www.naoco.co.jp/2ঢ়ਯઇ୘पउऐॊਯૄ૪৶ਗ਼ཬभಢ਋ਹ৷धजभ஍ટ‫;ؙ‬関数である．高専の専門科目の学習で必要となる初等関数の大半は 1 年で学ぶことになる．そこでは，これらの関数の基本的な性質やグラフ，そして一般の関数 y = f (x) のグラフの平行移
動や対称移動などについて学ぶ．x 軸との交点の座標を求めるときは，いろいろな方程式の解法についても触れることになる．なお，自然対数，逆三角関数，そして双曲線関数については，

2 年以降の微積分の学習の中で現れる．

2.3

数式処理電卓を利用した授業の内容

学生に電卓を貸与しても，学年末試験までは 1ヶ月（12 時間）しかない．貸与期間が短いこともあり，数学の理解度に電卓操作の習熟度による差が出ることは好ましくない．そこで，電卓貸与中の時間は既習の関数の総復習の時間として位置付け，必ずしも電卓を必要としない問題内容を心掛けた．問題の作成では，米国の教科書も参考にした [8]．学生には，特に，以下の理解を得させようとした．

• 基本的な関数のグラフや，その特徴に対する理解• グラフの平行移動や対称移動に対する理解• グラフと座標軸との交点の求め方に対する理解• 関数記号 f (x) に対する理解• 関数と，その座標データを示した表に対する理解
図 1 は学年末試験の問題である．電卓貸与中の授業内容は，この問題を解けるようになるため

図 1: 学年末試験の問題

3x(‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

の問題演習を行ったことになる．いずれも，電卓がなければ解けないような問題ではない．学生は，このタイプの問題を考える中で，答えあわせや思考の補助として電卓を利用した．

3

数式処理電卓の利用効果

3.1

数式処理電卓の利用に対する学生の反応

数学の学習に数式処理電卓を利用したことに対する学生の感想や，使用頻度による学習上の効果などを調べるため，最後の授業時間に質問紙調査を行った．有効回答は 160 名である．以下に，その主な項目への反応を示す．なお，学生には，この電卓を「数ナビ」と呼ばせている‡ ．
表 1: 電卓使用に関する学生の感想
質問項目

は い

中 間

いいえ

(1) 数ナビを使う授業はおもしろい

79.4

18.8

1.9

(4) 数ナビを家や寮で勉強するときも使った

53.1

20.0

26.9

(9) 数ナビを使って新しく発見したことがある

37.5

43.1

19.4

(12) 数ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる

57.5

40.0

2.5

(13) 数ナビのおかげで数学が前よりおもしろくなった

43.8

50.6

5.6

(15) 数ナビを使って数学が前より分かるようになった

51.3

45.6

3.1

(17) 数ナビを使うと難しい内容も簡単に見えてくる

51.9

32.5

15.6

(19) 数ナビは，数学上の疑問をすぐに解決してくれる

30.6

53.8

15.6

(20) 数ナビがあると，自分で考えなくなる

25.0

46.3

28.8

(22) 数ナビが近くにあると，問題を解くとき安心だ

73.1

21.3

5.6

有効回答は 160 名．
「どちらともいえない」は「中間」とした．

(%)

これを見ると，多くの学生はこの電卓の使用を好意的に受けとめていることが分かる．否定的な回答が極めて少いことが特徴としてあげられるであろう．特に，「(1) 授業がおもしろい(79.4%)」「(12) 数学の理解がさらに深められる (57.5%)」「(15) 数学が前よりも分かるように「分かる」という方向に強い反応が現れている．その反面，「(20) 自分でなった (51.3%)」など，
考えなくなる (25.0%)」という声もあり，使用のさせ方には注意が必要と思われる．以上の傾向は，平成 12 年度の調査でも同様であった [5]．

3.2

電卓の使用状況からみた学生の意識

ここでは，成績，電卓操作への習熟度，そして電卓の使用頻度を軸に，電卓の利用はどのよ
うな学生にどのような効果があるかをみてみたい．
まず，成績は，関数の学年末試験の成績により全体を「上位 (40 名)」「中の上 (42 名)」「中の下 (38 名)」「下位 (41 名)」に区分した．なお，学年末試験の問題は，電卓を貸与後に行った‡
数式処理電卓のような高度の数式処理が可能なハンドヘルドテクノロジーは，数学の問題を考える場合の思考のツールとして利用できることから，このような機器を数学ナビゲーター（略称，「数ナビ」）と呼ぶことを石川高専の阿蘇和寿教授は提唱している．

4ঢ়ਯઇ୘पउऐॊਯૄ૪৶ਗ਼ཬभಢ਋ਹ৷धजभ஍ટ‫ؙ‬xd「関数の総復習」としての問題である (図 1)．
電卓操作の習熟度は，貸与した電卓に関して具体的な操作項目を上げ，その各項目の操作ができるかどうかを「はい」「いいえ」の 2 件法で回答させた．そして，「はい」の数が多いほど，電卓の操作に習熟しているとみなした．具体的な操作項目としては，たとえば，「私は，y = sin xのような関数を定義して，そのグラフを表示させることができる」「私は，グラフ画面の x, yの範囲を，自由に変更することができる」などの，計 16 項目である．これらの項目に対する回答から，個々の学生ごとに「はい」の数の合計を求めた．その数は 0〜16 の範囲に分布し，平均は 11.76，標準偏差は 3.060 であった．そして，その数をもとに，全体を「良好 (37)」「やや良好 (37)」「やや不良 (47)」「不良 (39)」の 4 つに区分した．
一方，この電卓をどの程度利用したかは，次の 3 つの質問項目への反応からみようとした．

(4) 数ナビを家や寮で勉強するときも使った．
(10) 数ナビを私は授業で使うときしか使用しない．
(24) 数ナビはできるだけ使わないようにしてきた．
(4) は「はい」「どちらでもない」「いいえ」の回答にそれぞれ 2 点，1 点，0 点を与え，(10)(24)
では逆に 0 点，1 点，2 点を与えた．そして，3 項目への回答の合計値を求めた．その値は 0〜6の範囲で分布し，値が大きいほど電卓の使用頻度が高いと判断することにした．全体の平均値
は 3.68，標準偏差は 1.824 である．この合計値をもとに，0〜1 を「低い (28 名)」，2〜4 を「中間 (63 名)」，そして 5〜6 を「高い（69 名)」として区分した．
図 2 は，成績と電卓の習熟度との関係をみたものである．成績上位の者は，電卓の操作によく習熟している者が多いといえるだろう．70.0%が「良好」または「やや良好」である．それ以外の成績区分では，「良好」「やや良好」を合わせても 40%以下である．特に，成績「下位」の者では，電卓操作の習熟度が「不良」に区分される者が 34.1%もいる．
図 3 は，同様のことを電卓の使用頻度との間でみたものである．これをみると，電卓操作の習熟度が良好とはいいがたい成績下位の者ほど，使用頻度が高いことが分かる．成績下位に区分される学生の 56.1%は，この電卓をかなりの頻度で使用している．一方，この成績下位の者
は，使用頻度が低い者の割合も他の成績区分と比べると多い．中間に位置する者が少ないことから，成績下位の学生の電卓使用のあり方は，両極端に分離していることがうかがわれる．
図 2 と図 3 の結果は一見すると矛盾しているように見えるが，これを電卓使用に関する学生の感想と重ね合わせてみるとその理由が浮かび上がってくる．図 4 と図 5 を見ると，成績が下

図 3: 成績区分と電卓の使用頻度

図 2: 成績区分と電卓の習熟度

5x1‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

位にある者ほど「数ナビを使って数学が前より分かるようになった」「数ナビは数学上の疑問をすぐに解決してくれる」と答える者が多い．成績下位の学生は，他の成績区分にある学生と比べて分からない部分を多く抱えていると思われるが，下位にある学生ほど自力で解決することは困難であろう．そして，下位にある学生ほど，教師に質問に来る学生は少数である．成績が下位にある多くの学生は，分からないまま放置してしまうのが実状ではないだろうか．
学生に貸与した電卓は，関数を定義すれば即座にグラフが表示される．必要があれば拡大・縮小も容易で，x 軸との交点の座標や最大値・最小値を求めることもできる．つまり，学生は，
この電卓を利用することにより，自分の分からない部分を自分で調べることが可能になる．そのことが，図 3 のような結果として現れたのではないかと推測される．

図 4: 前より分かるようになった

図 5: 数学上の疑問を解決してくれる

一方，図 6 は，図 4 と同じ質問項目に対する回
答を電卓の使用頻度別にみたものである．使用頻度が高まるにつれ，「数学が前よりも分かるよ
うになった」と答える割合が増加している．電卓の使用頻度の高い者の 63.8%は「数学が前よりも分かるようになった」と答えているのに対して，使用頻度の低い者では 28.6%にしかすぎない．電卓の使用頻度が高まるにつれ，この電卓を利用すると分からなかった部分が分かるよ

図 6: 前より分かるようになった

うになることを，使用した学生自身が実感してきたのではないかと思われる．
このように見てくると，数式処理電卓を関数の学習で短期貸与して利用させたときの効果は，成績が下位にある学生にほど強く現れているように思われる．そこで，成績下位の学生が実際にどのように感じたのかを，質問紙調査の自由記入欄に記載された学生の生の感想でみてみたい．以下は，学年末の成績が平均以下の学生の主な感想である．特に恣意的に選択した感想ではないことを付記する．いずれも，電卓を利用することで「分かるようになった」ことが述べられている．
なお，括弧内の数値は，平均 50，標準偏差 10 の偏差値に変換したときの学年末の成績である．

• 数ナビはグラフの変化とか交点とかも分かるし，想像しにくかったり分かりにくいグラフ
6ঢ়ਯઇ୘पउऐॊਯૄ૪৶ਗ਼ཬभಢ਋ਹ৷धजभ஍ટ‫ؙ‬xn

もすぐ分かるし，ちょっと使い方が分からないところもあるけど，私にしたら結構「いいもの」です (32)

• 数ナビを使ったことにより，グラフの移動がとてもよく分かった (37)
• 今まであいまいだったグラフが，数ナビのおかげで減ったと思う (38)
• 数ナビは座標や交点などを求めるのが便利で，数ナビを使った授業は，理解や復習に役立ちました (39)• 数ナビがあると，自分で答え合わせができるので便利 (40)
• 数ナビを使って，分からないところが分かるようになってきた (43)
• 数ナビを使うことで，関数の理解度が高まったと思う (45)
• 数ナビは使いこすまでに少し時間がかかるが，使いこなせるようになれば数学の能力が上がるので，もっと授業で取り入れるようにしてほしい (47)

• 数ナビを使うことで，普通の授業のときよりもよく理解できました (48)3.3

電卓の習熟度とコンピューターへの苦手意識

この電卓を使いこなすには，電卓に何をさせたいかを学生は明確に意識することが必要である．
自分の意図することを実行させるには，電卓のどのキーを押せば良いかを学生は自分で判断しな

ければならない．たとえば，関数の x 座標と y 座標とをテーブル表示するには，まず  F1 を








押して関数を定義し，次に  F5 を押すことになる．このとき，必要に応じて  F4 を押

して表示を開始する x の値や刻み幅を変更しなければならない． ESC や ENTER など，貸与した電卓のキーにはコンピューターのキーボードと重複するものも多い．このようなキー操作を不得手とする学生にとっては，数学の理解以前に，電卓を操作すること自体が一つの関門になっている可能性がある．
そこで，質問紙調査の中では，コンピューター操作への苦手意識を問う項目も設けた．
「私はコンピューターは苦手だ」という項目に対して，
「全くそう
ではない」
「あまりそうではない」「ど
ちらともいえない」「まあそうである」「全くそうである」の 5 件法で回答を求めた．ただし，学生の回答は「そうで図 7: コンピューター操作と電卓習熟度はない」「どちらともいえない」「そうである」の 3 つに分け，それぞれ「得意 (54 名)」「中間 (65 名)」「苦手 (41 名)」として区分した．
図 7 は，この項目への反応別に電卓の習熟度をみたものである．図 7 をみると，コンピュー「良好」
ター操作を苦手とする学生の 90.2%は電卓の操作も「不良」または「やや不良」であり，の者は皆無である．コンピューター操作を苦手とする学生の多くは，電卓の操作にも非常に苦労していることがうかがわれる．
しかしながら，コンピューターを苦手とする学生であっても，図 8 で電卓の使用頻度をみると，それなりに電卓を使用していることが分かる．電卓の操作に習熟できていないとはいって

7x;‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

も，関数を定義して単純にグラフを表示させる程度の操作はできている．そして，図 9 をみると，コンピューター操作を苦手とする学生でも，その半数は，この電卓を使って「数学が前よりも分かるようになった」と答えている．電卓をうまく使いこなせないでいるとしても，単純な機能だけの使用でも，十分学生の理解に寄与していることがうかがわれる．

図 9: 前より分かるようになった

図 8: 電卓の使用頻度

3.4

電卓利用に懸念を示す学生

グラフ表示や数式処理が可能な電卓を数学教育で利用することに対しては，「学生が考えなくなる」等の批判的な意見が寄せられることがある．確かに，この電卓の示す結果をそのまま丸写しするような使い方をすれば，学生は考えなくなり思考力は低下するであろう．そして，表1 の項目「(20) 数ナビを利用すると，自分で考えなくなる．
」に対する回答をみると，学生自身もそのような危険性をある程度感じているように思われる．
しかし，これを電卓の使用頻度別にみてみると，異なる様相が見えてくる．
図 10 を見ると，電卓の使用頻度の高い学生ほど「数ナビがあると，自分で考えなくなる」ことを否定している．反対に，使用頻度が低いほどこの項目を肯定する学生が多い．図 6 によれば，電卓の使用頻度が高い学生ほど「数学が前よりも分かるようになった」と答

図 10: 電卓利用は，自分で考えなくなる

える学生が多い．使用頻度が高まるにつれ，この電卓は，単に「解答を表示させるツール」としてではなく，「数学を分かるためのツール」として利用すべきであることを，学生自身が理解し始めてきたのではないかと思われる．
一方，使用頻度の低い学生は，「どちらともいえない」という中間回答が他の区分の学生より少なく，「自分で考えなくなる」ということを 45%は「はい」と肯定している．使用頻度が低いのは，この電卓を使用すると自分で考えなくなってしまうことを恐れるがゆえに，意図的に使用しないでいたとも考えられる．あるいは，答え合わせとしてではなく，最初から答えを表示させる使い方をしていたのかもしれない．使用頻度が低い場合は，どのような電卓の使い方をしていたのか，また，どのような理由で使用しないのかを，今後さらに検証する必要がある．

8

ঢ়ਯઇ୘पउऐॊਯૄ૪৶ਗ਼ཬभಢ਋ਹ৷धजभ஍ટ‫ؙ‬xx

4

まとめと考察
数式処理電卓 TI–89 を学年末試験の直前に学生 (1 年生) に貸与し，関数の通常の問題演習の中で，単純な「答合わせ」として利用させた．学生は，主にグラフを描く問題の答え合わせとして，あるいは自分の考えた関数が，問題が要求している条件を満たすことを確認するために利用した．1ヶ月間の短期貸与ではあったが，この電卓を貸与した効果は十分にあったと判断される．
たとえば，この電卓を利用することにより，半数以上が「(15) 数学が前より分かるようになった」「(12) 数学の理解が深められる」と答えている (表 1)．特に，8 割近くが，「(1) 電卓を使う授業はおもしろい」と答えている．通常の数学の授業形態でこのような反応を得るためには，一体どのような授業を行えばよいのだろうか．貸与期間中に何か特別な教材を用意したわけではない．既習の関数のグラフやその性質を復習させる問題演習をさせただけであり，しかもその問題は，電卓がなくともすべて解答可能な問題ばかりである．1ヶ月の短期貸与，しかも単純な使用のさせ方でこのような反応が得られたことには著者としても驚きを禁じ得ない．
特に，成績下位の学生の理解に寄与していることが重要であろう (図 4, 図 5)．平成 12 年度の長期貸与でも，成績下位学生への効果が認められており，数学について前より考えるようになる，難しい計算を恐れなくなるなどの結果が出ている [6]．
グラフ電卓を利用すると，学生が分からないで悩んでいる関数のグラフも簡単に表示される．
しかも，誰の手をわずらわすことなく，自分で電卓を操作することで理解が進むことは，気軽に質問できないでいる学生にとって朗報といえるのではないだろうか．そのことが，図 3 や図5 のような形で現れているのではないかと推察される．
一方，電卓操作の習熟度が良好な学生は成績上位の学生に大きく偏っており，成績下位の学
生には習熟度が不良の学生が多い (図 2)．このような極端な結果になっているのは，貸与期間が 1ヶ月という短期間であることによるのかもしれない．いずれにしろ，長期貸与の場合でも電卓操作の習熟度と成績との間には明確な関連性がみられるので [6]，これらの間に関連性があることは明らかと思われる．操作方法の説明時には特に留意する必要があるだろう．
そして，さらに留意すべきことは，電卓操作に対する習熟度とコンピューターに対する苦手
意識との関連である (図 7)．コンピューター操作に苦手意識を持つ学生は，電卓の操作でも相当苦労していることがうかがわれる．電卓を貸与する前に，あらかじめコンピューターに対する苦手意識を調べておいて，そのような学生を事前に把握しておくことが必要であろう．そして，それらの学生には，机間巡視などで個別に配慮することが必要と思われる．
僅か 1ヶ月の単純な利用のさせ方ではあったが，関数の授業では，この電卓を単に持たせておくだけでも十分大きな効果があることを学生の感想は示している．主にグラフ機能だけの利用ではあったが，電卓による「グラフ表示」の威力を改めて垣間見た思いがする．特に，成績下位の学生に対しては，単なる「答え合わせ」以上の効果があるのではないだろうか．それは，分からない問題の解法を考えるヒントにもなる．教師に質問できないでいる簡単な事柄でも，自分で電卓を操作すれば容易に確かめることができる．それは，「数学が分かるようになる」ための一つのツールとして位置づけることができるだろう．

9xE‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

5

おわりに多忙な公務の傍で「電卓の活用」を目指して新な教材を開発しようとすると，教師側には大きな負担がかかる．今回のような単純な利用法による短期貸与でも効果が得られたことは，この電卓の活用の幅をさらに広げることになるだろう．ただし，このような単純利用で効果があるのは，どのような学習内容のときであるのかは今後さらに検討が必要と思われる．

参考文献[1] 長水壽寛他 6 名：テクノロジーを用いた数学教育の理論と実践, 論文集「高専教育」, 第 26号, pp.339–344, 2003

[2] 井之上和代：TI–89 を利用した 2 次関数の学習から見る高専の数学教育, 福井工業高等専
門学校研究紀要 自然科学・工学, 第 34 巻, pp.95–105, 2000

[3] 阿蘇和寿：数学の授業における学生の探究活動—テクノロジーの効果的な活用に向けて—,
日本数学教育学会高専・大学部会論文誌, 第 9 巻, 第 1 号, pp.31–50, 2002

[4] 佐伯昭彦・氏家亮子：数学的モデル化過程における学習者の実データ解析法, 日本数学教育
学会誌, 数学教育 57–2，第 85 巻, 第 3 号, pp.12–21, 2003

[5] 梅野善雄：数式処理電卓を用いた微積分教育の改善, 日本数学教育学会高専・大学部会論
文誌, 第 8 巻, 第 1 号, pp.13–30, 2001

[6] 梅野善雄：数式処理電卓の利用による数学に対する学生の意識変化, 論文集「高専教育」,
第 25 号, pp.175–180, 2002

[7] 梅野善雄：大容量・高速ネットワーク時代の授業像—板書をノートに取らせない授業—, 平
成 14 年度高等専門学校教育教員研究集会講演論文集,pp.65–66, 2002

[8] F. Demana, B. K. Waits, S. R. Clements, and G. D. Foley: Precalculus, Functions andGraphs, Third Edition, Adison-Wesley, 1999

10

論文集「高専教育」第 27 号 2004.3

グラフ電卓を利用したグラフ・アートと関数理解
梅野善雄∗(一関工業高等専門学校)

Graph Arts and Understanding of Function
by The Use of Graphing Calculators
UMENO Yoshio(Ichinoseki National College of Technology)

Abstract:
We lent algebraic calulators(TI–89) to our ﬁrst-year students in the class of function from midDecember to the end of February. We gave students the work to create the graph arts by the use ofgraphing calculators, in winter holidays. They must consider what type of a function is the best to
apply to their ﬁgure, and what range of the function is desirable, and so on. We show some theirgraph arts and functions used in their arts. We made students describe what contents they learned tounderstand about the graph of a function by the use of graphing calculators. They gained a variety ofunderstanding. And it was observed that the possibility to solve mathematics problems for themselves
increased, and that an opportunity to feel the amusingness of mathematics increased, too.
It would be sure that graphing calculators were eﬀective in the class of function, and we could expect
more eﬀectiveness in case of a long-term use.
KEYWORDS: algebraic calculator, function, short-term use, mathematical understanding
著者も，微積分の授業で数式処理電卓を長期貸与し，授業内容への理解度の高まりや，電卓を貸

1. はじめに与しないクラスと比べて数学の授業に対する不安感が有意に減少するなどの効果を得ている 4)5) 。

高専においていろいろな工学現象を取り扱うにまた，平成 13 年度はグラフ電卓を 1 年生に貸与は基本的な関数の性質を熟知していることが必要(1ヶ月間) して関数の授業を行い，単純な答え合わである。その意味でも高専における関数教育は重せとして使用させた。短期間の，しかも単純な使要であり，その基本的な性質を学生に定着させる

用のさせ方にもかかわらず，学生の感想は好意的ために多くの試みがなされている。

なものが大多数であった。関数のグラフに対して

中でも，近年，グラフ電卓の利用例が報告され理解が深められたと答える者が多く，成績下位の始めた。石川高専では，数式処理可能なグラフ電学生ほど数学が前よりも分かるようになったと答卓を入学時から 2 年間学生に貸与し，その電卓をえている 6) 。しかし，この電卓の利用で学生がど

1)。福のような理解を得たのか，その具体的な内容まで

井高専では新入生全員に数式処理電卓を購入させは調査しなかった。この学生の理解の内容を具体ている 2) 。その中では，たとえば，教師が説明す的に知ることは，この電卓の利用効果を考える上べき 2 次関数の主要な性質のほとんどを，学生 (新では重要である。

活用したいろいろな探求活動を行っている入生) に指摘されたことが報告されている 3) 。
∗ 一般教科，umesan@ichinoseki.ac.jp191

xM‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

そこで，ここでは，グラフ電卓の効果的な活用法を探ると共に，学生が得た理解の内容を調査し，

表 1: 学生に説明した電卓の機能

1 時間目

主要なキーの使い方，通常の関数電卓としての使い方，関数定義の仕方，グラフの描画方法，x と y の範囲の定め方

2 時間目

グラフの拡大・縮小の仕方，x 軸との交点の求め方，最大値・最小値の求め方，座標を表形式で表示
する方法

3 時間目

個々の関数の描画範囲の指定方法，
グラフの描画スタイルの指定方法，
ファイルの保存方法

関数教育における効果や意義について考察したい。

2. グラフ電卓を貸与した授業
2.1

グラフ電卓

学生に貸与したのは，テキサスインスツルメン
ト社のグラフ電卓 (TI–89) である。この電卓は，関数のグラフを簡単に描画できるのみならず，高度の数式処理や統計処理を行うこともできる。特に，99 個の関数を定義でき，その一つ一つの関数に描
画範囲を指定できる。学校所有の台数では 1 学年全せた。以下では，その内容をもとに，関数教育に員に貸与するには不足するので，一部にメーカーのおけるグラフ電卓の効果や意義について考察する。

無償貸与制度を利用した。なお，この電卓 (TI–89)の機能の詳細は，Web Page7) を参照されたい。

2.2

3. グラフ・アート

電卓を貸与した授業の概要

この調査の対象とする学生は，平成 14 年度の本

3.1

グラフ・アートの目的

校 1 年生（4 クラス，169 名）である。授業科目は「グラフ・アート」は，関数のグラフを繋ぎ合

著者の担当する「基礎数学 II(3 単位)」であり，関

わせて絵 (アート) を作成するものである。高専で数を主たる学習内容とする。

は金沢高専で最初に行われ，他にも幾つかの高専

グラフ電卓は，三角関数のグラフを終えた 12 月

で実施されている。本校でも平成 12 年度に行った中旬に学生に貸与し，貸与直後の 3 時間でグラフことがあるが，いずれも教師側の予想を上回る作

機能の使い方を説明した。表 1 は，その時間で説品が作成されている 8) 。

明した内容をまとめたものである。

グラフ・アートを作成するには，学生はいろい

それ以前の授業は，黒板を利用した普通の授業

ろな関数やその描画範囲を自分で主体的に決定しである。冬季休業前に貸与したのは，休業中に自なければならない。それを作成させることは，既由に使わせて電卓の使用方法に習熟させようとし

習の関数グラフの総復習としての意味合いがある。

たからである。そして，その電卓を使用しなければその作成にはある程度の試行錯誤を伴い，まとまっ

ならないよう，関数のグラフをつないでできる絵た時間も必要になってくる。平常の授業の中で作(グラフ・アート) の作成を冬季休業の課題とした。

成させることは困難と思われることから，冬季休

冬季休業以降の授業内容は，加法定理と三角形

業の課題としたものである。

の性質である。この中では，電卓を必要とする場
面は特にない。2 月上旬には教科書を終え，その後

3.2

学生の作品

は関数のグラフの総復習を行った。問題の内容は休業明けの 1 月上旬には，学生の作成したグラ

通常の問題であるので，必ずしも電卓を必要とす

フ・アートを教師側のグラフ電卓にファイルをコるものではない。前年度と同じ使用方法とするた

ピーする形で提出させた。提出率は 97%である。学め，通常の授業の中での答え合わせとして使用さ生に対しては，提出された全作品の鑑賞会も行っせた。学生は，必要に応じて，問題の答え合わせている。以下に，学生の作成した幾つかの作品と，として，あるいは思考の補助としてこの電卓を使それを構成している個々の関数を示す。作成時間用した。

は，構想を考えてから作品が完成するまでに要し

そして，電卓の返却時 (2 月下旬) にはアンケー

た時間であり，学生が自己申告した時間である。

ト調査を行い，グラフ電卓の利用でどのような理図 1 では，べき関数，無理関数，指数関数，対解を得たのか，学生の理解の内容を自由に記述さ数関数，そして正接関数など，多様な関数が使用

192

ॢছইਗ਼ཬ॑ਹ৷खञॢছই‫ॺش॔؞‬धঢ়ਯઇ୘‫ؙ‬x

論文集「高専教育」第 27 号 2004.3

図 1: KAME

図 2: チューリップ

図 1: KAME (作成時間は 2 時間 10 分)−5<x<5(1) y = − 1 x2 + 4.5
71
2
x − 0.2− 0.5 < x < 5(2) y =
3031(3) y =
log(x + 7.8) − , −7.75 < x < −4.5
2
2
1
− 7 < x < −6.5
(4) y = x + 2.2
2x+5.5(5) y = 1.3− 2.8− 7.6 < x < −4

− 4.5 < x < −3282(6) y = tan(x)(7) y = tan(x + 1.6)

− 3 < x < −2.45

4− 4.6 < x < −2.8(8) y = 4(x + 3.65) − 4.5(9) y = − tan(x − 1.6)
(10) y = − tan(x)2.45 < x < 33.282 < x < 4.5(11) y = 4(x − 3.65)4 − 4.5
2.8 < x < 4.6√(12) y = − x − 2.5 + 0.25
3.9 < x < 6.759√(13) y = 2.5 −x + 7.3 − 3.6
4.7 < x < 6.759− 4.23 < x < −5(14) y = 1 x2 − 2.3
30− 2.51 < x < 2.51
(15) y = 1 x2 − 2.5301x2 − 2.3
4.22 < x < 5.2(16) y =30
図 2: チューリップ (作成時間は 5 時間)(1) y = 2x4 + 1.5− 1.2 < x < 1.2(2) y = 10xx < 0.3
π
<x< π
−
2
2.7

(3) y = cos(2πx) + 4

図 3: 野球グランド(4) y = 1
− 3 < x < −0.2
x
1
− 3.5
− 2.8 < x < 0.1(5) y =
x+3
3.5
x − 3.5− 2.8 < x < 0(6) y = −3
1
−2
− 0.8 < x < 1.8(7) y =
x+1
− 0.5 < x < 1.8(8) y = − 1 − 5
x−2
3.5
x−4
− 0.5 < x < 1.8(9) y =
3
図 3: 野球グランド (作成時間は 2 時間)(1) y =  1 x − 42(2) y = − 1 x + 2−6<x<62
1
3.8 < x < 5.2(3) y = x − 321(4) y = − x + 1
3.5 < x < 5.2
2
1− 5.2 < x < −3.8(5) y = x + 1
2− 5.2 < x < −3.8(6) y = − 1 x − 3
 12 

x +1− 1.2 < x < 1.2(7) y =
2(8) y = −x100 − 3.3− 1.05 < x < 1.05
(9) y = −(x − 2)100 − 3(10) y = −(x + 2)100 − 31x−1(11) y =1000001x(12) y = 8 cos
12−1<x<1− 14 < x < 14

され，それらのグラフに対して平行移動や対称移

図 3 は，一見すると単純な直線を組み合わせて動が行われている。対数関数は首の先端部分，正いるように見えるが，絶対値関数を利用して効率

接関数は足の部分である。関数の形や範囲の指定

よく作成されている。ホームベースから 1・3 塁にをみても，思い通りの曲線を得るまでに，いろいいたるライン，内野のライン，そしてセカンドベーろな関数について相当試行錯誤したことがうかがスは絶対値関数である。バッターボックスは，100われる。学生の感想には，「イメージ通りに作るの乗のべき関数，外野のラインは余弦関数である。いが難しかった」とある。成績は上位の学生である。

ずれも，基本的な関数のグラフを平行移動してい図 2 は，花芯部分が 4 次関数と余弦関数，そしる。また，余弦関数の周期について理解しているて葉の部分は分数関数であり，y = 1/x のグラフをこともうかがわれる。成績は中位の学生である。

平行移動している。学生の感想には，「葉っぱの部

なお，使用したグラフ電卓は，水平線 (y = c) に分を作るのにいろんなグラフを使ってみたが，双は描画範囲を指定できない。図 3 の (11) の関数は，曲線が最もよかった」とあり，葉の形を決めるま

水平線を傾きの小さい直線で代用したものである。

での苦心がうかがわれる。成績下位の学生である。

この方法は学生にも説明してある。

193

E(‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

3.3

学生の感想

グラフ・アートの作成は，電卓の使い方に関して 3 時間の説明を加えただけで課したものである。
説明時間が短かったので，どの程度のものが提出されるか不安もあったが，全くの杞憂に終わった。
完成までに 27 時間をかけたものや，80 個以上の関数により作成されているものもある。アートと(ii) そのグラフが図形の該当部分に表示されるよ
うにするには，どのような平行移動や対称移動を行えばよいかを考えること。

(iii) 係数等を適切に決めて，その関数の式を具体的に決定すること。

(iv) 複数のグラフで構成されるときは，その接続箇所の座標を決めること。

しての完成度にも目をみはるものが多く，学生の(i) の判断を行うには，どのような曲線がどのよ

感性とテクノロジー操作の飲み込みの速さには驚うな関数のグラフであるかを知っていなければなかされた。課題提出時には，この作業の感想も書らない。その基本となる関数のタイプが分かれば，かせている。ここでは，その中から学生の幾つか(ii)(iii) の具体的な式を書き下すために，係数の調の感想を紹介したい。

整，対称移動の有無，あるいは平行移動の量の調• 忘れかけていた指数・対数・無理関数を使って整などを何度も試行錯誤することになる。そこでできたので，思い出せたし，関数の楽しみがは，グラフ電卓の機能がフルに活用できる。(iv) の分った。

接続箇所は，グラフ電卓の機能を利用すれば簡単• 時間がかかったけど，思ったようなグラフがに求められるが，その機能を使いこなした学生は描けるとなかなかうれしいものがある。

少数と思われ，大多数の学生は試行錯誤で求めた• 描いているときはめんどうくさかったけど，勉と思われる。

強にもなったし，楽しかったので良かった。

以上の作業を，紙と鉛筆の作業で行うのは容易• 関数を使ってグラフ・アートをすることによっなことではない。しかし，グラフ電卓を利用するて，今まで習ったいろいろな関数を振り返る

ことで，学生は自分の定義した関数のグラフを即ことができて良かった。

座に確認できる。係数や描画範囲などを調整して• 超めんどくさいと思っていたけど，自分が知っ関数の定義とグラフの確認作業を何度も繰り返している範囲の簡単な関数でもできたのでうれながら図形が作成されていく。単なる「お絵描き」

しかった。作成しているときが，一番勉強しのように見えながらも，その作業の中で学生は関ているという実感がわいた。

数のグラフ，その対称移動の有無，そして平行移• 根気のいる作業だと思った。でも，完成した時には達成感があり，これを自分で作ったんだなあと思うと，うれしくなった。

動の量を自分で意図的に決めなければならない。
作業を行いながら，図形が作成されていく様子が具体的に見えるので，どの程度のことを自分が「意味がない」「関数の勉強とは関係がない」と行い，どの程度の作業がまだ残っているのかも明

いう感想を書く学生も数名あったが，大部分の学確である。
「面倒くさかったけど」「完成したときの生は，「大変だったけどおもしろかった」「勉強に達成感があり」「関数の復習や勉強にもなり」「楽なった」「達成感があった」「つかれた」などといしかった」という学生の感想は，まさに，このグラう感想をのべている。代表的な感想は，概ね上記

フ・アートの教育上の意義を物語るものであろう。

でつくされると思われる。

3.4

グラフ・アートと教育上の意義

通常の授業では，教師が与えた問題を学生に解かせることにより，関数についていろいろな理解を得させようとする。しかし，グラフ・アートの作
成では，学生は作成しようとする図柄と共に，以下の事柄を自分で考えなければならない。

4. 学生の反応と理解の内容
4.1

グラフ電卓利用に対する学生の反応グラフ電卓を貸与されたことによる学生の使用の形態はさまざまである。単純にグラフを表示するだけの学生がいれば，それを拡大・縮小して詳細を見ようとする学生もいる。座標を表形式で表(i) 作成しようとする図形の構成曲線は，どのよ

示させ，数値上の確認をする学生もいる。多くのうなタイプの関数のグラフかを判断すること。

学生は，問題を考える上でのヒントを得たり，自194ॢছইਗ਼ཬ॑ਹ৷खञॢছই‫ॺش॔؞‬धঢ়ਯઇ୘‫ؙ‬Ed

論文集「高専教育」第 27 号 2004.3
表 2: グラフ電卓の利用に対する学生の反応
質問項目

はい

中間

いいえ

(1) 数ナビはグラフを理解する上で役に立つ

92.2

7.8

0

(2) 数ナビを使う授業はおもしろい

68.3

29.3

2.4

(3) 数ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる

65.9

29.9

4.2

(4) 数ナビを家や寮でも利用した

64.0

18.6

17.4

(5) 数ナビを使って数学が前よりも分かるようになった

49.1

45.5

5.4

(6) 数ナビのおかげで数学が前よりおもしろくなった

40.7

50.3

9.0
(%)

分の考えた解答の答え合わせとして利用した。短「とても良く分かった！」と［A］数ナビを使って，期間の貸与であるため，電卓を利用しなければ解いうことがあれば，その分かった内容を具体けないような問題は課していない。電卓を全く使的に書いてください

用しないで問題演習を行う学生もあった。

［B］数ナビが無ければ理解できなかっただろう，と電卓の返却時には，このような形の授業に対すいうことがあれば，どのようなことが理解でる感想を質問紙で調査をした。表 2 は，主な項目

きないと思うかを具体的に書いてください

に対する学生の反応である。回答は「はい」「どちらでもない」「いいえ」の 3 件法で求めた。回答総数は 167 名である。なお，この電卓を，学生には「数ナビ」と呼ばせている。石川高専の阿蘇和寿教
授は，この電卓を数学上の思考のツールとして「数約 40%の学生から何らかの記述が得られた。ただし，記述されている内容は学生により異なり，一般的な傾向は見出せなかった。以下に，学生の記
述内容を幾つか上げておく。

学ナビゲータ」と呼ぶことを提唱している。
「数ナ[A] 電卓を利用して，よく分った内容

ビ」は，その略称である 9) 。

(1) sin(x), sin(2x), 2 sin(x) など変化させてグラ

表 2 を見ると，否定的な反応は少く，肯定的な反フにすると，グラフの違いが分かってために応が多いことが分かる。特に，「(1) 数ナビはグラフ

なるし理解も深まった。

「(3) 数ナビを利を理解する上で役に立つ (92.2%)」(2) 三角関数の合成が良く分った。

用すると数学の理解がさらに深められる (65.9%)」(3) y = |f (x)| のグラフは，y < 0 の部分を x 軸「(5) 数ナビを利用して数学が前よりも分かるように関して対称移動したものであること。

「分かる」といになった (49.1%)」とあるように，(4) f (2x) と 2f (x) の違いや，f (−x) と −f (x) のう方向で強い反応が現れている。この反応は，既違いが分からなかったけど，数ナビのグラフ

存の調査結果とも一致している

4)。

を使って理解できるようになった。

また，この調査の自由記入欄には，「理解に役立っ(5) f (x) の x への値の代入の仕方が分かった。

た」という声ばかりではなく，「今まで分からない(6) いろいろな関数のグラフが，こんなグラフに

ところが分かるようになった」「授業が楽しくなっなるんだ，と何度もやっているうちに分かるた」という記述も多く見られ，関数の授業に対する興味関心が高まったことを示していると思われる。

ようになった。

(7) 数種類のグラフの特徴を見分けるのに，細かい数値を出してくれてとても分かりやすかった。

4.2

グラフ電卓の利用と理解の内容

グラフ電卓の利用で「数学の理解がさらに深められる」と答える学生が多いが，具体的にはどのような理解を得たのだろうか。学生の理解の内容を知るために，電卓回収時に行った質問紙調査では，以下の内容について自由記述を求めた。

[B] 電卓を利用しなければ分からなかった内容(1) 絶対値関数のグラフ(2) グラフの平行移動や対称移動(3) f (x) と f (2x) や 2f (x) のグラフとの関係(4) x · sin x や 2 1のグラフのような，関数ど
x +1
うしの和，差，積，商のグラフ
195E1‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

(5) 三角関数の周期で試行錯誤しながら追及することができる。これ(6) 三角関数と円上の点の動きとの関係

を紙と鉛筆の世界で行うことは，成績下位の学生(7) y = −f (x) + 1 は，y 軸方向に 1 だけ平行移動

ほど困難を伴うことであろう。

してから x 軸に関して対称移動するのか，対第三には，数学の授業が分かる楽しさや，数学

称移動してから y 軸方向に 1 だけ平行移動す的なことについて何かに気付く機会が増えるだろ

るのか分からなかったが，数ナビが参考になうことである。自由記述の学生の感想からも，そりました。

のことがうかがわれる。

[A](5) は，f (x) の式を与えて，f (a − 1) などの式を求めさせたときのことを述べていると思われ

6. おわりにる。この電卓は，グラフ上の点の座標を表形式で表示できる。[A](7) は，その機能を利用して理解を得た学生の感想と思われる。

約 2ヶ月間のグラフ電卓の貸与であったが，単純な使用法にもかかわらず，学生は数学上の疑問をいずれにおいても，その記述内容は三者三様で自分で解決できる可能性が高まったことや，数学あり，特定の傾向のようなものは見出せなかった。

のおもしろさを感じる機会が増えたであろうこと

また，学生が「電卓を利用して分かったこと」とがうかがわれる。この電卓を 1 年間，あるいはさして記述している内容は，授業中にすでに説明ず

らに長期間の貸与をした場合は，さらに大きな効みの内容である。同じ説明は何度も繰り返してい果が期待される。その効果を引き続き検証しているが，それでも理解できずにいる学生もいる。理きたい。

解できないでいる部分は個々の学生により異なると思われるので，そのことが一般的な傾向として抽出できない理由ではないかと思われる。

参考文献

5. 関数教育におけるグラフ電卓の意義(1) 阿蘇和寿：数学の授業における学生の探究活

学生にグラフ電卓を貸与したが，グラフ・アー

日本数学教育学会高専・大学部会論文誌, 第トの課題を除けば，単に電卓を貸与して，後は各自の使用に任せただけである。学生は，答え合わ
せや解答のヒントを得るために使用した。
単純な貸与方法であるにもかかわらず，電卓の動—テクノロジーの効果的な活用に向けて—,

9 巻, 第 1 号, pp.31–50(2002)(2) 長水壽寛他 6 名：テクノロジーを用いた数学
教育の理論と実践, 論文集「高専教育」, 第26 号, pp.339–344(2003)

使用に関しては好意的な反応が多い (表 2)。学生(3) 井之上和代：TI–89 を利用した 2 次関数の学の理解の内容を問う自由記述の内容などを総合す

習から見る高専の数学教育, 福井工業高等専

ると，関数教育でグラフ電卓を利用することの意

門学校研究紀要 自然科学・工学, 第 34 巻,

義は次のことにあるのではないかと思われる。
第一に，関数のグラフに対する理解が容易に深pp.95–105(2000)(4) 梅野善雄：数式処理電卓を用いた微積分教育

められることである。式を定義するだけで即座にの改善, 日本数学教育学会高専・大学部会論

グラフが表示される。どのような式がどのような文誌, 第 8 巻, 第 1 号, pp.13–30(2001)

グラフになるのか，また各係数の意味などを理解(5) 梅野善雄：数式処理電卓の利用による数学にすることも容易であろう。しかも，それらを座標

対する学生の意識変化, 論文集「高専教育」,

データを通して理解することもできるので，各自の関心の持ち方により，いろいろな角度からの理解が可能になる。
第二に，自分で問題を解決できるようになるこ

第 25 号, pp.175–180(2002)(6) 梅野善雄：数式処理電卓の短期利用とその効
果, 日本数学教育学会誌第 84 回総会特集号,
第 84 巻 (臨時増刊)，p.454(2002)とである。分からない箇所を質問に来る学生は一(7) http://www.naoco.com/

部であり，そのまま放置してしまう学生が多い中(8) http://www.mathnavi.org/contest/index.htm

で，学生は自分の分からない部分を，グラフ電卓
196(9) http://www.mathnavi.org/proﬁel/index.htm

3 次関数の性質に関する高専 1 年生の自由研究
梅野善雄∗

一関工業高等専門学校

1

はじめに

通常の数学の授業では，まず教師が数学的概念を説明する。そして，幾つかの例題をやってみせた上で学生に類似の問題を課す形の授業が多い。ある程度の理解が得られたときは，さらに応用問題を課して理解の定着と深化を図ることになる。いずれにおいても，学生は「〜を解け。」「〜を証明せよ。」という形で，教師から与えられた問題を考えることになる。限られた範囲の問題を多数こなしていく中では，幾つかの解答パターンが見えてくる場合もある。そう
すると，今度は，効率的に解答するために「その解答パターンを覚える」という形で学習する学生も現れてくる。それは，短期的に乗り超えなければならない学習目標がある場合は，極めて効率的な学習方法であるということもできよう。
一方，「数学をする」という立場に立つと，何らかの試行錯誤を伴う問題を考えさせることが有効と思われるが，そのような課題を課すことは現実にはなかなか難しいものがある。特に，基礎力ができていない学生の場合はなおさらである。十分に能力のある学生であっても，相当の計算力や思考力がないと，それを実行するのはなかなか困難であろう。
しかし，計算や複雑な関数のグラフ表示など，学生にとって困難な部分を数式処理機能に任せてしまえば，ある程度の試行錯誤を行わさせることが可能になる。本校では，学生に数式処理可能なグラフ電卓 (テキサスインスツルメント社，TI–89) を貸与している。この電卓の機能を利用すると，関数の式を定義するだけでグラフが表示される。その描画範囲を変更したり，x軸との共有点や極値を与える点の座標も簡単に求められる。また，数式処理機能を利用すると，式の展開・因数分解や方程式の解法などもキー操作だけで可能である。
以下では，平成 15 年度の本校 1 年生がグラフ電卓を利用して行った自由研究の内容について紹介する。学生は，3 次関数のグラフの性質に関して，成績の上下によらず何らかの規則性がないかどうかを考察した。基礎力に難のある学生であっても，グラフ電卓が表示するグラフ
から何かを考えることができる。成績上位の学生の場合は，自分で思考を押し進めて数学の世界にはまっていく学生も出てきた。数学教育におけるグラフ電卓の意義や有効性について，再認識させられた思いがある。
なお，この論考は，「数学教育の会，2004 年夏の集会」(学習院大学，2004.9) における発表と，

T3 Japan 第 8 回年会 (筑波大学附属駒場中・高等学校，2004.8) における発表をもとに，加筆修正したものである。

∗

021–8511

岩手県一関市萩荘字高梨、

http://www.ichinoseki.ac.jp/gene/mathnavi/

71

E;‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

2
2.1

3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c に関する自由研究
学生に与えた課題

平成 15 年度の本校 1 年生 (163 名) に，夏季休業の課題として，通常の問題練習の他に次のような課題を出した。

(1) y = x3 + ax2 + bx + c のグラフは，a, b, c がどのようなときにグラフがどのようになるか，できるだけ一般的な性質を見い出せ。

(2) y = f (x) と y = |f (x)| のグラフとの関係はどのようになっているかを考察せよ。
(3) y = 1/(x2 + ax + b) のグラフはどのようになるか，できるだけ一般的な性質を見出せ。
(4) (x + 1)n の展開式を調べて，それらの係数の間にどのような関係があるかを考察せよ。
この課題を出した時点で，2 次関数，y = xn のタイプのべき関数，分数関数，無理関数，そして逆関数について学生は学習済みである。この中から 1 問を選択させたが，大部分の学生は(4) を選択した。(1) を選択したものは 12 名，(2) は 11 名，そして (3) は 4 名だけであった。

図1

図2

図3

課題 (1) の意図は，a, b, c にいろいろな値をいれてグラフを表示させることにより，3 次関数のグラフには基本的に 3 つのパターンがあることに気づかせようとすることにあった。3 次関
数の増加・減少や極値を調べることは微分法を学習する 2 年まで待たなければならないが，単に係数をいろいろ変えながらグラフを表示させるだけで，学生は次のようなことを指摘してきた。以下では，(1) を選択した 12 名の学生のレポートの概略を紹介する。

2.2

係数 a の意味

図 1 のタイプはどのようなときかに関して，「a の値を大きくしていくと山が大きくなる。」というような表現で係数 a の役割が指摘されている。ある学生は，「b, c を固定して a を増加させていくと左側に山ができ，反対に a を減少させていくと右側に谷ができる。」(図 4, 図 5) ことに気づいている。
この指摘は正しい。実際，y = f (x) = x3 + ax2 + bx + c とおくと，y  = 3x2 + 2ax + b より，極値を持つのは D/4 = a2 − 3b > 0 のときである。したがって，b を固定して |a| を増加させて

図4
a = 1, 2, 3
b=c=1

図5
a = 1, −2, −3
b=c=1

図6
b = 1, 2, 3
a=c=1

72

図7
b = −1, −2, −3
a=c=1‫گ‬ઃঢ়ਯभਙସपঢ়घॊৈ௧‫ڭ‬ফেभঽ૓ଢ଼஢‫ؙ‬Ex

いくと D > 0 となり f (x) は極値を持つようになる。x = α, β のときに極値を取るとすると，(a2 − 3b)3 であることより，b を固定して |a| を増加させていくと極大値|f (α) − f (β)| = 427と極小値との差は増加していく。また，極大値・極小値の一方があまり変化しないことは，微分法を利用すると次のようにして確認できる。
今，b, c を固定して a を変化させる場合を考える。f  (x) = 3x2 + 2ax + b であるから，極小√−a + a2 − 3bのときである。そこで，極小値 f (α) を a の関数とみて a で値を取るのは α =3
微分すると，d f (α) = 3α2 dα + α2 + 2aα dα + b dα
da
da
da
da
dα
2
2
+α
= (3α + 2aα + b)da
= α2 = − 2 aα − b3322= a · (a − a − 3b) − b
93
これより，a → ∞ のときは，

3bd f (α) = 2 a ·
√
− b
da
9
3
a + a2 − 3b
3b

= 2 ·
9 1+

1 − 3b/a2− b →03である。したがって，a → ∞ となるにつれ，極小値はあまり変化しなくなることが分かる。

a → −∞ のときは，極大値に関して同様である。
多数のグラフを表示させてみる中で，それらのグラフは全て点対称であることに気づいた学生もいる。その学生は，「対称点の位置は a > 0 のときは x 軸の負の側にあり，a < 0 のときは

x 軸の正の側にある。」ことを指摘している。この指摘も正しい。実際，y  = 6x + 2a である
aことから，変曲点の x 座標は − である。対称性を指摘してきた学生も，その x 座標を求めよ
3
うとすればさらに考察が深まったと思われる。

2.3

係数 b の意味

係数 b については，「b の値を大きくすると直線に近づいていく。」(図 6) というような表現で，「b が大きく
その役割が指摘されている。ある学生は b だけではなく a との関係にも注目して，て a が小さい場合は直線に近いグラフになる。」としている。実際，b が大きくても，たとえば

a = b = 5 であれば D > 0 となり極値が現れる。
また，ある学生はグラフ電卓の機能を利用してグラフと x 軸との交点の座標を求めている。
「b が大きくな
そして，b を大きくしていくと交点の x 座標が 0 に近づいていくことなどから，
ると y 軸に近づいていく。」としている。反対に，b の値を小さくすると「グラフの波が大きくなる。」(図 7) ことも指摘されている。

73

EE‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

これらの指摘も正しい。実際，y  = 3x2 + 2ax + b = 0 の判別式は D/4 = a2 − 3b であるの
a 2 − D > 0 であで，b を正の側に増加させていくと D < 0 となる。このとき y  = 3 x +33
るから，y は単調増加になり b が大きいほど接線の傾きも大きくなる。
逆に，b → −∞ のときは D = a2 − 3b > 0 となるので，y は極値を持つようになる。今，x = α, β (α < β) のときに極値を取るとすると，α, β は 3x2 + 2ax + b = 0 の解であるから，√√d f (β) = β = −a + a2 − 3bd f (α) = α = −a − a2 − 3b ,
db
db
3
3
となるので，b → −∞ につれ極値の変化の割合も大きくなる。つまり，この場合は，極大値と極小値の両方の絶対値が大きくなる。

2.4

学生の考察の仕方

数学の学習で，このような試行錯誤を通して何かを発見するような課題は，学生にとっても初めての体験だったと思われる。その考察の仕方は，大きく分けると次の 3 つパターンに分類できる。

(1) 2 つの係数を固定して残りの 1 つの係数だけを変化させてグラフの変化を調べたたもの。
例えば，y = x3 + ax2 + x + 1 において a の値を変えてグラフの形状を比較する。

(2) 係数の符号により場合分けして調べたもの。
例えば， 係数はすべて |a| = |b| = |c| = 1 の場合だけを考え，それらの符号の違いによるグラフの形状変化を比較する。

(3) 脈絡のないままグラフを表示させて，その特徴を述べたもの。
全般的に，グラフ電卓が表示するグラフの特徴を述べているだけの内容が多かったが，考え方次第では，1 年生でも極値などについて気づくことが可能であったと思われる。たとえば，

y = x3 + ax2 , y = x3 + bx, y = x3 + c として，問題を簡易化して考えていけば，x 軸との共有点や極値のあり様について容易に気づくことができたであろう。また，グラフが図 1 と図 2 のタイプに分かれるのは係数がどのようなときであるかを追及していけば，それが a2 = 3b のときであることを試行錯誤的に突きとめることも可能であったと思われる。
対象学生は微分法をまだ学んでいないので，「何故か？」という部分に考察を進めることはできなかった。また，数学的な考え方自体に慣れていないこともあり，限られた例だけから「a > 0のときは」というような一般的な述べ方をしている者も多かった。また，y = x3 + ax2 で考える等，問題を限定して考えた学生はいなかった。作業としては，グラフ電卓の表示する内容を単純に眺めるだけのことであるが，それでも学生は次のような感想を書いている。

• 僕は最初，y 軸と交わる点が決まるのは c の値だと予想していたが，全くその通りだったので自分で自分をすごいなあと思いました。

• こういう電卓みたいなものでやっていると，勉強みたいじゃなくて，楽しかったので，これ以上もっと調べてみたいと思った。

74‫گ‬ઃঢ়ਯभਙସपঢ়घॊৈ௧‫ڭ‬ফেभঽ૓ଢ଼஢‫ؙ‬E

教師側が「あたり前」と感じている部分でも，それを学生が自分で気づいた場合は大きな感動として残ることを改めて実感させられる。また，このようなツールを利用することで，楽しみながら数学に触れさせることができることの意義も大きいものがあると思われる。

33 次関数 y = (x − a)(x − b)(x − c) に関する自由研究

前節で与えた関数 y = x3 + ax2 + bx + c は，3 つの係数 a, b, c について考えなければならない
ので，学生はグラフの特徴を捉えにくかったかもしれない。この課題を選択した学生が少かったことも，そのことを暗示しているように思われる。
そこで，今度は，因数分解された形でグラフの特徴を捉えさせることにした。時期は 11 月下旬である。なお，この時期，別な教員の担当する科目では，表を作成することによる高次不等式の解法を扱っている。

3.1

学生に与えた課題

学生に与えた課題は，以下のような内容である。
次のグラフは，a, b, c, d がどのようなときに，どのようなグラフになるか。1 つ以上を選択して，各自の考察結果をまとめて提出せよ。

(1) y = (x − a)(x − b)(x − c)(2) y = x(x2 + ax + b)(3) y = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d)(4) y = x2 (x2 + ax + b)

この課題には 1ヶ月の考察期間を与えた。これらがどのようなグラフであるかは，授業では一切触れていない。半数以上の学生は (1) を選択した。課題 (1) の意図は，次の 3 点であり，極めて単純なことを意図しただけである。
1 いろいろな a, b, c についてグラフを表示させてみることにより，3 次関数のグラフの

特徴を捉えてほしいこと。
2 a = b = c のとき，a = b < c のとき，a < b = c のとき，a < b < c のときとで場合分

けして，そのグラフの特徴 (x 軸と交わるのか接するのか等) を押さえてほしいこと。
3 x 軸との共有点は，x = a, b, c であることを確認してほしいこと。


図8

図9

図 10

図 11

なお，前節の夏期休業の課題については，出題者側の意図や解説とともに，誰がどのようなことに気づいたか等をプリントにまとめ，学生に配布した。学年末に書かせた自由研究に関する学生の感想を見ると，そのプリントに自分の名前が載っていると励みになったようである。
また，他の学生がすごい発見をしているのを見て，次は自分も頑張ろうという気持になったよ75EM‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

うである。そのようなこともあってか，全般に，レポートの記述内容は，夏期休業の課題のときよりもレベルアップしているように感じられた。
以下は，課題 (1) に関して学生が気づいた内容である。

3.2

学生による指摘事項

グラフ電卓が表示するグラフを見て，そこから一般性のある特徴を見抜くことを求めたが，実に多くのことが指摘されている。式の形を因数分解された形で提示したことにより，グラフの特徴が捉えやすかったためではないかと思われる。その特徴について理由を添えて言及している学生は少なかったが，何かを「発見した」という思いを，成績の良し悪しに関わらず感じさせることができたことの意義は大きいと思われる。
グラフのタイプ• グラフは，基本的に図 8〜図 11 のパターンしかない。
• a = b = c のときは，y = x3 を x 軸方向に a だけ平行移動したグラフである。
• a, b, c を同じ数だけ変えると，グラフは横にずれる。
• y = (x − a)(x − b)(x − c) の x − a, x − b, x − c が左端とか中央にあるとかの位置は，グラ
フの形とは特に関係がない。

• a < b < c で b − a = c − b = k(定数) のときは，同じグラフを x 軸方向に平行移動しただけである。

• a = ki, b = −ki, c = 0 のときは，|k| が大きくなるにつれグラフの傾きが急になる。
(このとき，y = (x − ki)(x + ik)x = x(x2 + k 2 ) より，y  = 3x2 + k 2 である。)
軸との共有点• x 軸との共有点の x 座標は x = a, b, c である。
• y 軸との共有点の y 座標は −abc である。
• x 軸との共有点は，a, b, c がすべて等しいときは 1 個，2 つが等しいときは 2 個，すべて異なるときは 3 個である。

• a, b, c のうちどれか 2 つが等しいと，そこで x 軸と接する。
\ b = c のときは x = b = c で x 軸に接する。
• a=• y = x2 (x − a) は原点を通り，x 軸との他の共有点は x = a である。
• a, b, c のうちの，どれか一つが 0 だと原点を通る。
グラフの対称性• y = (x − a)(x + a)2 と y = (x + a)(x − a)2 は，原点に関して点対称である。
(実際，f (x) = (x − a)(x + a)2 のとき，−f (−x) = (x + a)(x − a)2 である。)• a, b, c の符号をすべて逆にすると，原点に関して対称なグラフになる。
• y = (x − a)(x + b)(x + c) と y = (x + a)(x − b)(x − c)，それから y = (x + a)(x − b)(x + c)76‫گ‬ઃঢ়ਯभਙସपঢ়घॊৈ௧‫ڭ‬ফেभঽ૓ଢ଼஢‫ؙ‬E

と y = (x − a)(x + b)(x − c) は，原点に関して対称である。

• y = x(x − a)(x + a) は，原点に関して点対称である。
• 3 次関数のグラフは，すべて点対称である。
• グラフの山の部分や谷の部分は，部分的に y 軸と平行な直線に関して対称に見えるが，そのような対称性はない。

• y = (a − x)(b − x)(c − x) のグラフは，y = (a − x)(b − x)(c − x) のグラフと x 軸に関して対称になる。
山と谷• a = b = c 以外のときは，必ず山と谷ができる。
• a, b, c の値の増加，減少により，山や谷の大きさが変わる。
• a, b, c が互いに近づくほど，グラフの山と谷との y 座標の差は小さくなる。
• a, b, c の値の差が大きくなるほど，山や谷が大きくなる。
• a < b < c のとき，a の値が小さいほど左側の山が大きくなり，c の値が大きいほど左側の山は小さくなる。

• a < b < c で b − a = c − b のとき，山と谷の y 座標の絶対値は等しい。
• 山が y < 0，谷が y > 0 となることはない。
• a > 0 のとき，y = x2 (x − a) のグラフは，a が大きいほど y < 0 となる x の範囲が広がり，y の最小値も小さくなる。
• a, b, c を同じ数だけ増減させても，グラフの山と谷の y 座標は変わらない。
その他• c = 0 で a, b が複素数のときは，a = α + βi, b = α − βi の形のとき以外は，グラフが表示されない。

• 3 次不等式でグラフを利用すると，表を書くより簡単に解が求められる。
• a > b = c のとき b < x < a では y < 0 であり，a = b > c のとき c < x < b では y > 0 である。

• 定義域や値域は実数全体である。

3.3

極値に関する言及

提出されたレポートの中で，2 名の学生が，この関数の極値を求める方法について言及してきた。ただし，「極値」という術語はまだ学習していないので，学生は山・谷の頂点とか最大値・最小値という言葉で表現しているが，内容的には極値に関する考察になっている。
阿部裕司君のレポート
阿部君は，x 軸との共有点の座標が a, b, c であることや，y 軸との交点は −abc であることに触れた後，グラフの形には，a, b, c がすべて異なるときや，a = b, b = c, a = b = c のときの 477(‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

つのパターンがあり，a = b = c のときは y = x3 のグラフを x 軸方向に平行移動したものであることをあっさりと見抜く。そして，b − a = c − b のときの極値について考察をすすめる。
まず，b − a = c − b の値 (この値を阿部君は「垣間」と呼んでいる）を少しずつ大きくしながら，極大値をグラフ電卓の機能により求めて表を作成する。そして，3 次関数であること
や，垣間が 1 のときの極大値は 0.3849 であることから，他の場合は 0.3849 × (垣間)3 ではないかと予想し，表から正しいことを確認する。実際，0.3849 × 33 = 10.3923 である。

垣間

極大値

1
2
3
4
5

0.38493.0792
10.3923
24.633648.1125j
1
2
3

頂点の x 座標

次に，極値の y 座標が分かる以上は x 座標も求まるはずであると考え，同じ条件の関数として y = (x − j)x(x + j) を考え，j の値と極大値を与える x 座標との関係を調べる。そして，同様の表を作成する中で，極値を与える点の x 座標は jに比例していて x = −0.57735j であることに気づいている。

−0.57735−1.1547−1.73205

以上を y = (x − a)(x − b)(x − c), (a < b < c) の場合について述べて，次の結論を得る。


b − a = c − b となる式において，山の頂点の座標は (b − 0.57735(b − a), 0.3849(b − a)3 ) であり，谷の最下点の座標は (b + 0.57735(b − a), −0.3849(b − a)3 ) である。



この結論は正しい。実際，平行移動すれば y = x(x2 −a2 ) = x3 −a2 x, (a > 0) のタイプを考え√ることになり，y  = 3x2 −a2 であることから極値をとるのは x = ±a/ 3 のときである。このとき√√√の y 座標は y = ∓(2 3/9)a3 である。この値を小数に直すと，1/ 3 = 0.57735, 2 3/9 = 0.3849
である。
阿部君はこの結論で満足することなく，次には a = b のときの谷の頂点について考察する。
問題を簡単にするため a = b = 0 の場合について考え，y = x2 (x − c), (c > 0) の谷の頂点の y座標と c とを対応させた表を作る。そして，極大値の場合の結果から類推して，容易に x 座標
は 0.666667c であり，y 座標は −0.148148c3 であることを見抜いている。

c
1
2
3
4
5

頂点の x 座標0.666667
1.333332
2.666673.33333⇓
0.666667c

y の最低値−0.148148−1.18519−4−9.48148−18.5185⇓−0.148148c3

yOx

y = x2 (x − c), c < 0 のときの山の頂点についても同様であることから次の結論を得る。

78‫گ‬ઃঢ়ਯभਙସपঢ়घॊৈ௧‫ڭ‬ফেभঽ૓ଢ଼஢‫ؙ‬d'$y = (x − a)2 (x − b), (a < b) となる式において
谷の最低値の座標は (a + 0.66667(b − a), −0.148148(b − a)3 ) であり，y = (x − a)(x − b)2 , (a < b) となる式において
山の最大値の座標は (a − 0.666667(b − a), 0.148148(b − a)3 ) である。

&%

この結論も正しい。実際，y = x2 (x − a) = x3 − ax2 の場合，y  = 3x2 − 2ax であるから，極値を取るのは x = 0, 2a/3 のときである。このときの y 座標は，y = 0, −4a3 /27 であり，小数に直すと 2/3 = 0.666667, 4/27 = 0.148148 である。
阿部君の思考過程を見ると，まず，考えやすいように問題を簡易化し，段階を追って状況を
グラフ電卓を利用して調べ，それをもとに類推し，そして正しいことを確認する。確認した後は，さらに別な問題設定をして，同様のことを繰り返すという，まさに数学的思考そのものが行われている。この学生は，成績上位の学生である。

3.4

熊谷一生君のレポート

この学生は，文字式の計算で極値を求める式を発見してきた。熊谷君は，放物線 y = ax2 +bx+cの場合は y = f (x) = ax2 のグラフを適当に平行移動して y = f (x − p) + q の形に表せたことから，この 3 次関数についても同じような変形ができないだろうか，ということを考える。そして，放物線の場合の変形過程の類似計算を手計算で行うことにより，





3

c − b2d − b3+ax+
ax3 + bx2 + cx + d = a x + b
3a
a
a
3a2
27a2
を導き，(x − a)(x − b)(x − c) の展開式にあてはめて

(∗)(x − a)(x − b)(x − c) =

x−

a+b+c
3

3
+

−(a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + cax3+(a + b + c)3
− abc
27

を得る。放物線の場合の類似で考えると，y 軸方向の平行移動が−(a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca
(a + b + c)3
x+
− abc
3
27
となるが，x が含まれているので，この部分は y 軸方向の平行移動を表すとはいえないことに気づく。そこで，彼は，⎧(a + b + c)3−(a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca
⎪
⎪
x+
− abc
⎪y =
⎪
33
27
⎪

⎨
a+b+c
y = x−⎪
3⎪⎪⎪⎪⎩y = (x − a)(x − b)(x − c)

79

1

2

3


1‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

1 
3 のグラフの共有点のの 3 つのグラフを別々に描いてみて，y

2 のグラフの x 軸との共有点の x 座標と一致するこx 座標は，
1 式に x が含まれているために，それをとに気づく。そして，
2 式に加えると単なる平行移動ではなくグラフ自体が変わってしまうのだと考える。したがって，3 次関数の波の打ち方に

x

O
3


1 の 1 次式の傾きが大きく関わっており，y = f (x − p) + q
は，の式において，(∗) 式の右辺の x の 1 次の項は f (x) の方に含

2


1


めて考えるべきであるとの結論に至る。
そして，f (x) = x3 + Ax の 1 次式の係数 A を求めるため，以下のような変形を行う。

a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
a+b+c
, B=
3
3
(∗) 式の右辺 = (x − A)3 − Bx + A3 − abc

A=

とおくと

= (x − A)3 − B(x − A) + A3 − AB − abcとなることから，以下を得る。
$'

y = (x − a)(x − b)(x − c) のグラフは，
y = x3 −のグラフを，x 軸方向には



a+b+c
3

3

−

a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
x
3

a+b+c
，y 軸方向には
3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)− abc
9

だけ平行移動したものである。

&%

次に，彼は，y = x3 + αx のグラフを考察する。彼は，すでに，3 次関数のグラフの波の打
ち方は，この関数の α の値に依ることを知っている。そして，y = x3 + αx のグラフは α >=0のときは波を打たず，α < 0 のときに波を打つ
ことに気づく。y = (x − a)(x − b)(x − c) の多くのグラフは波を打つことから，この関数の αに相当する式から−(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) <=0という仮説を立てるが，彼は証明はできなかった。しかし，周知のように，この不等式は

1 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  > 0=280

‫گ‬ઃঢ়ਯभਙସपঢ়घॊৈ௧‫ڭ‬ফেभঽ૓ଢ଼஢‫ؙ‬nと変形できるので，熊谷君の仮説は正しい。

y

次に，y = x3 + αx のグラフの極値に関心を寄せ，極小値を与える x 座標をグラフ電卓の機能を利用して求める。
そして，α = −1 のときの極小値は x = 0.57735 のとき，Ox

α = −2 のときの極小値は x = 0.816497 のとき，α = −3のときの極小値は x = 1 のときであり，(0.57735)2 = 0.33333  1 ,3(0.816497)2 = 0.66667  2 ,3であることから，α < 0 のとき y = x3 + αx の極小値は x =12 = 1 = 3
3−α/3 のときであるということを発見する。また，多数のグラフを表示させる中で，この関数は点対称であるということも見抜いている。そして，これらを y = (x − a)(x − b)(x − c) の平行移動に関する事柄と重ね合わせることにより，次の結論を得る。

$

'

a+b+c
X=
, α = − 1 (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) とおくと，
33y = (x − a)(x − b)(x − c) の変曲点の座標は (X, (X − a)(X − b)(X − c)) であり，









α
α
α
α
極大値は X − − , X − − − a X − − − b X − − − c
3
3




 3 
 3


α
α
α
α
極小値は X + − , X + − − a X + − − b X + − − c3333のときである。

&%

変曲点や極大値・極小値という言葉を彼はまだ学習していないが，グラフの山や谷の頂点の座標と点対称となる中心点の座標を，記号も含めて上記の形で明確に表現している。
この学生も成績上位の学生であるが，手計算を交えながら，グラフ電卓をまさに思考のツー
ルとして利用している。学年末に書かせた感想では，「自由研究は，やっているうちに，どんどんおもしろくなってきて，めちゃくちゃ頑張りました。」と書いている。内容的にも立派な数学を行っているといえよう。

4

自由研究に関する学生の感想

貸与したグラフ電卓が返却される学年末には，自由研究を行った感想について自由記述を求めた。以下は，その自由研究を行った高専 1 年生の感想である。

• 数学は奥が深いなあと思いました。
• 数学とはおもしろいものだなあと思いました。
• 自由研究を通して，より数学に興味がもてた。
• 規則性をみつけたとき，とてもうれしかったです。
• 問題演習よりやりがいがあった。
• 問題を解くのではなく，自分で発見するところが苦労でもあり楽しかった。
81;‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

• 通常の課題の倍以上の時間がかかったが，その分，自分で何かを発見できたりするとうれしかった。

• 考えても疑問がまた出てきて，またそれについて考えるのが楽しかった。
• 解説プリントでは，他の人の考え方がのっていて，新しい視点をみつけれた。
• グラフについての特徴，性質などを発見するのが楽しかった。数学とは，調べてみると沢山のことが発見できるんだと思いました。

• グラフの規則性を見つけるのは楽しかったけど，言葉にうまく表せなかった。
• けっこう難しかったが，あたらしい知識を得ることができた。
• どの値がどうなっているときに，どのようなグラフになるかを 1 つ 1 つするのが面倒くさいと思ったけど，達成感が得られました。

• 難しかったけど，いろんな発見があった。
• 普段あまりしない「良く見て考える」といったことをする機会になったと思う。
• ただの式だけだとやる気がしない課題でも，数ナビのグラフ機能を使うと分かりやすいし，楽しいのでやりがいがあった。数学の楽しさが分かったような気がした。

• 解説プリントでは，すごい発見をしている人がいることが分かって，自分ももう少し頑張れば良かったと思った。

• まったくできなかったので，とてもつらかった。

5

数学における自由研究の意義

通常の問題演習では，学生は教師から与えられた問題を「解く」ことが中心になる。そこでは正解か誤答しかない。しかし，この自由研究では，提示された課題の中から自分で関心を持ったことを調べて，それに関する自分の思考過程をレポートにまとめることが求められる。グラ
フを描くことではなく，グラフ電卓に表示されるグラフから何を読み取り，それをどのように考えるかが問われることになる。
ある学生は，単にグラフ電卓の表示する内容を幾つか書いて，その特徴を述べるだけに留まっている。ある学生は，a, b, c のうち 2 つを固定して，一つの値を少しずつ変えながらグラフを表示させ，その値の意味する内容を汲み取ろうとしている。ある学生は，最初に予想を立て，その予想が正しいことをグラフ電卓を利用して確認しようとしている。また，ある学生は，手計算も交えながら考察を進めようとしている。まさに，学生のレベルに応じた様々なまとめ方がなされている。
そして，学生の感想を見ると，通常の問題解法と比べて，「次々に自分で問題を設定して考える」「自分で何かを発見する」という部分に，おもしろさ，達成感，やりがいを感じたようである。グラフ電卓を利用することで，個々の学生の能力に応じてそれなりの発見があった。教師側が「あたり前」と感じる部分でも，それが「あたり前」ではない学生にとっては大きな発見である。そのことを，成績の上下に関わらず体験させることができたことに，特に大きな意義があると思われる。

82‫گ‬ઃঢ়ਯभਙସपঢ়घॊৈ௧‫ڭ‬ফেभঽ૓ଢ଼஢‫ؙ‬x

また，提出されたレポートにどのようなことが書かれていたかは，後でプリントにまとめて学生に報告した。その中では，学生が指摘してきた事項と共に，それに気づいた学生の氏名も含めた。同じ問題を考える中で，他の学生がどのように考えたのかを自分の考えと比較することができる。そのプリントに自分の名前が載ることは大きな励みであると同時に，自分の気づかなかったことを同学年の他の学生が気づいたということには大きな刺激を受けたと思われる。
なお，学生にグラフ電卓を貸与はしているが，実際の授業の中では積極利用することはあまりなかった。授業の内容は関数についてであるので，学生は必要に応じて関数のグラフを確認することに使用した。日常の授業は，黒板を利用した伝統的な数学の授業である。つまり，これらの課題を与えるにあたって，特段の指導は全くしていないことを強調しておきたい。学生に説明したのはグラフ電卓の使用法だけである。与えられた課題をどのように考えてレポートにまとめるべきかは，すべて学生が自分で考えて行ったことである。
しかし，その一方では，「まったくできなかったので，つらかった」という感想も少なからずあった。これらの学生には，何らかの配慮をすることが必要と感じられた。

6

おわりに

学生に与えた課題自体は，特に新規性のあるものではない。グラフと x 軸との共有点のあり方により，グラフの形状に対する感覚をつかんでもらえればということを意図しただけの課題である。単純な課題であるにも関わらず，提出されたレポートは，それぞれが一般性のある性質を求めて探究を試みており，相当に苦心したことがうかがわれるものばかりであった。自分で問題意識をもち，それを解決しようと試みる行為を，多くの学生が体験した。グラフ電卓な
くして，このような体験をさせることはできなかったであろう。既存の単純な課題を与えるだ
けで，学生の方で勝手に問題を膨らませて数学を楽しんでいる趣がある。グラフ電卓の利用法の裾野の大きさと教育上の限りない効果を，改めて感じさせられた思いがする。
なお，この研究の一部は，平成 16・17 年度科学研究費補助金・基盤研究 (C)，課題番号 16500566の支援を受けて行われた。

83

試行錯誤で「三平方の定理」を考える
一関工業高等専門学校
梅野 善雄∗

はじめに

1

数学は，論理的思考の積み重ねにより作り上げられている。いろいろな定理の証明は，理路整然とした論理で構成されているが，その証明の論理は必ずしも最初から備わっていたわ
けではない。いろいろな試行錯誤の中から得られた結論としてのものであることも多い。また，証明を考える以前に，まず「定理」となりうる数学的事実を見出すことが先決であり，それを見出す過程においては，かなりの試行錯誤を伴うものである。
したがって，数学教育でも試行錯誤を伴う課題を中り入れることが望ましいと思われるが，そのような試行錯誤を行うには，いろいろな数・式の計算，方程式・不等式などの解法，さらには，いろいろな関数のグラフをイメージできることなど，数学の基礎が十分備わっていることが必要になってくる。そのため，数学の成績が低迷している学生に，このような課題を課すことは難しくなってくる。
しかし，その基礎的な部分にテクノロジーによる数式処理機能を補助的に活用させることにより，成績が下位にある者にも数学上の試行錯誤を行わさせることが可能である。以下
では，平成 16 年度の一関高専 1 年生に，テクノロジーとして数式処理のできるグラフ電卓(TI–89) を利用させて，三平方の定理について考察させたときの結果を報告する。

2

数式処理電卓と自由研究

2.1

授業内容と数式処理電卓の貸与

平成 16 年度，著者は 1 年生 (167 名) の基礎数学 I (3 単位) を担当した。本校では，数式処理のできるグラフ電卓 (TI–89) を 1 学年分購入している。いろいろな計算の答え合わせや，関数のグラフ表示などの確認のために利用されることを期待して，著者の授業ではこの電卓を貸与している。平成 16 年度の貸与時期は 7 月中旬である。貸与直後に，基本的な使用方
法と代数機能・グラフ機能の使い方を説明した。以後，学生は計算の答え合わせやグラフの確認等で利用した。
担当科目の授業内容を次頁の通りである。その内容から授業中に積極的に活用させる場面は少なかったが，この電卓のグラフ機能や数式処理機能を利用すると学生に数学上の試行錯
誤を行わさせることができる。そこで，夏季休業，10 月下旬，冬季休業の計 3 回にわたり，数学上の試行錯誤を伴いながら何らかの数学的な規則性を見出させる課題を与えた。課題は複数題を与え，その中から自分で選択させるようにした。考察期間は約 1ヶ月，提出率は88%〜95%である。
∗

E-mail: umesan@ichinoseki.ac.jp[URL] http://www.ichinoseki.ac.jp/gene/mathnavi/113

M‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

$'基礎数学 I の授業内容
数と式の計算
整式の計算：整式の加減，乗法，因数分解，整式の除法，剰余の定理と因数定理
いろいろな数と式：分数式の計算，実数，絶対値，平方根の計算，複素数の計算
方程式と不等式
方程式：2 次方程式，解と係数の関係，分数・無理方程式，恒等式，等式の証明
不等式：不等式の性質，1 次不等式，2 次不等式，連立不等式，高次不等式，
不等式の証明，集合，命題
図形と式
点と直線：2 点間の距離と内分点，直線の方程式，2 直線の関係

2 次曲線：円，楕円，双曲線，放物線，2 次曲線の接線，不等式と領域

&

2.2

%

自由研究の内容 (冬季課題)

冬季休業中には，通常の練習問題の他に自由研究の課題も課した。いわゆるオープンエンドの問題である 1) 。しかし，通常の演習問題と自由研究の締切を同一日に設定すると，学生側の心理としては円周問題を解いたことで安心してしまい，自由研究の方がおろそかになるようである。そこで，自由研究については，その締切日を 2 週間ずらして設定した。
学生に提示した課題は，以下の内容である。

(1) 三平方の定理「a2 + b2 = c2 」を成立させる自然数 a, b, c に関する考察(2) 自然数 n, a について，xn + a が因数分解できるための n, a の条件に関する考察(3) 関数 y = (x − a)(x − b)(x − c) のグラフと定数 a, b, c との関係に関する考察(4) 各自が設定した独自の問題に関する考察
数学の通常の問題は，「計算せよ」「解け」「証明せよ」というタイプが多い。この課題のよ
うに，数学に関することで「〜について考察せよ」と言われても，学生は何をしてよいのか
戸惑うと思われた。規則性に気づくことのできない学生でもまとめることができるように，
次のような解説をした。
まとめ方は自由です。数ナビにどのようなことをやらせたらどのような結果が表示されたか。いろいろやっているうちにどのようなことが予想されてきたか。その予想を確かめようとして，どのようなことをしたか。その予想が正しいことを，どのような理由で確信したか。あるいは，その予想が誤りであることを，どのようにして分かったか。あるいは，どのようなことが原因で，その予想の真偽を確かめることができなかったか。などなど，各自の思考の経過をまとめればよいのです。
予想が正しいと確信できるときは，その証明も考えてみてください。また，いろい
ろやってみたが，規則性は分からなかった，というときは，どのようなことをやってみたのか，そのやった内容を書いてください。

114૥ষ჻ෙदَਕ਴্भ৒৶ُ॑અइॊ‫ؙ‬

この課題の提出率は 91%であった。各課題を選択した学生は，それぞれ，(1) 94 名，(2) 42
名，(3) 14 名，そして (4) 2 名である。(1) は「三平方の定理」という，すでに既知の定理に関することなので，学生は取り組みやすいと感じたのであろう，半数強 (56%) が (1) の課題を選択した。
独自に問題を設定して考えてきた 2 名の内容は，「角の 3 等分の作図問題に関する考察」と√「作図不能と聞いていたが，でき「a と a との関係に関する考察」である。前者の学生は，そうに思ったので考えてみた」と書いているが，当然ながら作図はできていない。後者の学生は，「この 2 つの数がどのような関係になっているのか，以前から気になっていた」とのことであった。しかし，いろいろな値を試しているうちに，「単に 2 乗すればよく，極めて簡単なことであった」と自分で気づいている。

3「三平方の定理」に関する学生の発見
冬季休業の課題で，167 名中 94 名の学生が「三平方の定理」に関する課題を選択した。この課題を学生に課したときの解説は，以下のような内容である。
三平方の定理を成立させる簡単な自然数として，32 + 42 = 52 や 52 + 122 = 132
が良く知られています。このような自然数は，他にどのようなものがあるでしょう
か。3, 4, 5 のように，連続する 3 つの自然数で三平方の定理を満たすものは他にあるでしょうか。5, 12, 13 のように，3 つのうち 2 つが連続するような数で三平方の定理を満たすものは，他にあるでしょうか。つまり，a2 + b2 = c2 が成立する
ような自然数 a, b, c をできるだけたくさん見つけてください。そのような自然数
では，a2 = c2 − b2 も成立しています。そして，そのような自然数 a, b, c は，どのような仕組で作り出されているのか，それを作り出す仕組について考えてみてください。数ナビの操作ばかりではなく，ある程度の手計算も交えながら考えてみください。
次頁に，三平方の定理 a2 + b2 = c2 (a < b < c) が成立する具体例を幾つかあげておく。
学生は，まずこのような具体例を書き出して，それを元に，どのような規則性があるかを考えている。
表 1 は，学生から指摘されてきた事項を指摘の多い順にまとめたものである。いろいろ考えてみる中で，三平方の定理に対する認識を深めてもらいたいという意図で出した課題であり，単純な指摘だけしか予想していなかったが，提出されたレポートを見ると，そのまとめ方は千差万別である。友人のレポートを写したと思われるものは数えるほどしかなく，自分なりに精一杯考えて書いていることが感じらる内容ばかりあった。三平方の定理に関して一般的に知られている式の指摘のみならず，学生からの指摘で著者が始めて知る性質もあった。

115

M(‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

32 + 42 = 52

a, b, c が連続するとき：
a, b が連続するとき：

32 + 42 = 52
202 + 212 = 292
1192 + 1202 = 1692
6962 + 6972 = 9852
40592 + 40602 = 57412

b, c が連続するとき

32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
112 + 602 = 612
132 + 842 = 852
152 + 1122 = 1132

連続しないとき62 + 82 = 102
82 + 152 = 172
102 + 242 = 262
122 + 352 = 372
142 + 482 = 502

学生の行った「試行錯誤」

4
4.1

平方数の 1 の位に着目した学生

S 君は，数 x を 1 ずつ増やすとき，その平方数 x2 を x = 53 のときまで求め，それらの 1の位の数の変化に着目する。

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x2

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

差

1

3

−3

5

−1

1

−5

3

−3

−1

x

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x2

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

差

1

3

5

−3

−1

1

3

−5

−3

−1

S 君は，まず，連続する数の平方数を計算して，その 1 の位に注目する。そして，1 の位の数は 0 − 1 − 4 − 9 − 6 − 5 − 6 − 9 − 4 − 1 − 0 が繰り返されていること，それは 5 を中心に対称になっていることに気づく。次に，その 1 の位の数の差をとると ±1 − ±3 − ±5 − ±3 − ±1が繰り返され，やはり 5 を中心に対称になっていることに気づく。

116૥ষ჻ෙदَਕ਴্भ৒৶ُ॑અइॊ‫ؙ‬Md

表 1：三平方の定理に関する学生の発見
三平方の定理 a2 + b2 = c2 に関する学生の発見数
a + b2 = c2 が成立すれば，(na)2 + (nb)2 = (nc)2 も成立する
48
44a, b, c が連続するのは，a = 3, b = 4, c = 5 のときしかない32b, c が連続するとき，a は奇数である
26
b, c が連続するとき，それらは 4 の倍数ずつ増えていく
20b, c が連続するとき，a2 = b + c である
14
b, c が連続するとき，a, b, c のうちの 2 つの数は奇数である
b, c が連続するのは，奇数 a に対して
b = (a2 − 1)/2, c = (a2 + 1)/2 のときである
85(8) b, c が連続するのは，a2 を 2 で割った商を b とすればよい
3(9) 連続する 2 数の平方の差は奇数である(10) b, c が連続する場合として，次の場合がある。
(2n + 1)2 + (2(n2 + n))2 = (2(n2 + n) + 1)2
3
3(11) a, b が奇数のとき，a2 + b2 = c2 は成立しない
2(12) a, b が連続するとき，c2 = 2ab + 1 である(13) b, c が連続するとき，次のことが成立する。
(2n + 1)2 + (4(n + (n − 1) + · · · + 1))2 = (4(n + (n − 1) + · · · + 1) + 1)21
1(14) b, c が連続するとき，(a − 3)/2 + 1 = n とおくと，b = (前の式の b) + 4n222(15) b, c が連続するとき，3 + 4 = 5 から数えて k 段目の式の b は，
b = ak + k である。たとえば a = 9 は 4 段目なので b = 9 × 4 + 4 = 40
11(16) b, c が連続するとき，b は a + 1 を 2 で何回割れたかを掛けた値である。たとえば，17/2 = 8.5 なので，b = (17 + 1) × 8 = 144 より，
172 + 1442 = 1452 である(17) a2 + b2 = (b + 1)2 に対して，その次の式を (a + 2)2 + B 2 = (B + 1)21とすると，B = ((a + 2)2 − a2 )/2 である。
1(18) an , bn が連続するとき，an+1 = 6an − (an−2 − 2) である。
(19) 32 + 42 = 52 が成立するので，3332 + 4442 = 5552 や33332 + 44442 = 55552 なども成立する
1\ 0) は成立しない
1(20) どんなときでも，a2 + 12 = b2 (a =1(21) a, b, c の中には，一定量ずつ増えているものがある。62 + 82 = 102 は2 ずつ増えている。12 ずつ増えるのは，a2 + (a + 12)2 = (a + 24)2 を解いて a = 36 である(22) b, c が連続するとき，a + b + c の第 2 階差は 8 である
11(23) b, c が連続するとき，a > 3 であれば b > 2a である
1(24) b の 1 の位の数が 1,3,6,8 のとき，b, c が連続するようにはできない
1(25) b, c が連続するのは，b の 1 の位の数が 0,2,4 のときだけである
1(26) 3a = b + c のとき，a : b : c = 3 : 4 : 5 である
1(27) 3a = b+c, 4a = b+c, 5a = b+c となるものが存在するので，na = b+cとなるものが存在するはずである
1(28) a + b − c は 2 の倍数である
1(29) b, c が連続するとき，abc は 60 の倍数である
1(30) 連続する 2 数の平方の和の差は，4 の倍数である
1(31) a, b が連続するものより，b, c が連続するものの方が多い。
(以下，省略する)

No
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

2

117

M1‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

そして，平方数の 1 の位の差は ±1, ±3, ±5 だけであることから，A2 + x2 = (x + 1)2 を満
たす x は，x の 1 の位の数が 1,3,6,8 のときは存在しないと結論づける。その理由は，「このとき x2 と (x + 1)2 の 1 の位の差は 3 となり，平方して 1 の位が 3 になる整数は存在しないためである」としている。1 の位の実際の差は ±3 であるので，(x + 1)2 − x2 の 1 の位の数
は 3 か 7 である。平方数の 1 の位が 3 か 7 になることはないので，「x の 1 の位が 1,3,6,8 のときは存在しない」という S 君の結論は正しい。

S 君は，さらに，A2 + x2 = (x + 1)2 を満たす x について，「x の 1 位の数は 0,2,4 のときに限られる」と結論づける。その理由には触れられていないが，このような x は偶数である
ことに気づいた上で，x の 1 の位は 6 と 8 を取り得ないことからの結論と思われる。

S 君は，感想として，「久しぶりに頭がフル回転し，全く苦になりませんでした。考えがどんどん発展していって，とても楽しかったです。」と書いている。かなり細かい考察が必要であり，そこから何らかの規則性を見出していく過程には大きな喜びがあったと思われる。
'

$

&

%

4.2

連続する奇数の平方の差に着目した学生

K 君は，b, c が連続する場合を調べるために，n2 の値を n = 1 から n = 59 のときまで書き出す。そして，その差が平方数になっている場合を探すことにより，三平方の定理が成立する式として，次の式を見出す。

32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412..
.
312 + 4802 = 4812

118

૥ষ჻ෙदَਕ਴্भ৒৶ُ॑અइॊ‫ؙ‬Mn

そして，これらの式から「連続しない数は 2 ずつ増え，すべて奇数である」「連続する数
は 4 の倍数ずつ増えていく」「3 つが連続するものは 32 + 42 = 52 しかない」ことに気づく。
そして，連続しない a の値から連続する b, c の求め方として，次の方法を考案している。
それは，「32 + 42 = 52 と 52 + b2 = c2 において，b は (52 − 32 ) ÷ 2 = 8 を 4 に加えた値である」というものである。そして，「以下，これを繰り返せばよい」と述べている。
実際，a = 2n + 1 のとき b = (a2 − 1)/2 = 2n2 + 2n であり，その次の a = 2n + 3 のときの b は b = 2n2 + 6n + 4 となるが，K 君の方法では，a = 2n + 3 のときの b は，

(2n + 3)2 − (2n + 1)2 ÷ 2 = 4n + 4であるので，b = (2n2 + 2n) + (4n + 4) = 2n2 + 6n + 4 として求められることになる。年度「自由研究をやって，数学を前より深く考えれるようになった」と書い末の感想で K 君は，
ている。

4.3

連続する b, c の求め方を発見した学生

M 君は，b, c が連続する場合を多数書き出した上で，a, c は奇数，b は偶数であることに気づく。さらに，奇数 a の 2 乗をほぼ半分に分けて，小さい方を b，大きい方を c とすればよいことに気づいている。たとえば，72 + 242 = 252 において，72 = 49 をほぼ半分に分けると 24 と 25 であるので，b = 24, c = 25 であることを指摘した上で，もっと大きな数で確認するため，a = 1001 の場合を試している。a2 = 10012 = 1002001 をほぼ半分に分けると，501000 と 501001 であるので，c2 − b2 = a2 が成立することを 50010012 − 50010002 = 10012
により確認している。

4.4

連続する b, c と a との関係に着目した学生

S さんは，b, c が連続する場合として，よく知られている 32 + 42 = 52 と 52 + 122 = 132
を書き出し，これらの間に何かの規則性がないかどうかを考える。そして，この 2 つの式だ
けをもとに，次の関係を見い出した。

32 + (4 × 1)2 = {(4 × 1) + 1}2
2

2

2

2

2

2

5 + (6 × 2) = {(6 × 2) + 1}
7 + (8 × 3) = {(8 × 3) + 1}..
.

152 + (16 × 7)2 = {(16 × 7) + 1}2(4 = 3 + 1)
(6 = 5 + 1)
(8 = 7 + 1)

(16 = 15 + 1)

S さんは，この仕組を，a2 + b2 = c2 の a, b, c を使って，次のように記述している。
• a は必ず奇数で，a >= 3 である• b は a を 2 で何回割れたかという回数を a + 1 に掛けた数である• c = b + 1 である
そして，a = 17 の場合は，(17 + 1) × 8 = 144 であることより，172 + 1442 = 1452 が成立することを確認した上で，次のような感想を記している。

119

M;‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

まず，32 + 42 = 52 のような形の式を見つけるために，ひたすら書き出しました。10, 11, 12 の式まで書き出したときに，102 と 112 を足しても 122 とは全く違う数になることに気がつき，32 + 42 = 52 のような式はそんなに多くはないことを確信しました。すると，32 + 42 = 52 だけだったので，驚きました！
次に 32 + 42 = 52 と 52 + 122 = 132 を照らし合わせて，何か規則性はないかと
いろいろ試しているうちに，上のようなことが分かりました。52 + 122 = 132 のよ・ ・

うな式が他にもたくさんあったことには，また驚きました！

4.5

a, b が連続するときの規則性を発見した学生

A 君は，a, b が連続する場合を考察して，次の式を見い出した。
32 + 42 = 52
202 + 212 = 292
1192 + 1202 = 1692
6962 + 6972 = 9852
40592 + 40602 = 57412
そして，n 段目の式を a2n + b2n = c2n とするとき，内容的に

an = 6 × an−1 − (an−2 − 2),cn = 6 × cn−1 − cn−2という規則性があることを発見している。
一般に，a, a + 1, b が三平方の定理を満たせば，

3a + 2b + 1, 3a + 2b + 2,

4a + 3b + 2

も三平方の定理を満たすことが知られている 2) 。これらの値の次の値を A, A+1, B とすると，

A = 3(3a + 2b + 1) + 2(4a + 3b + 2) + 1 = 17a + 12b + 8
B = 3(3a + 2b + 1) + 2(4a + 3b + 2) + 2 = 24a + 17b + 12となる。A 君の計算方法では

A = 6(3a + 2b + 1) − (a − 2) = 17a + 12b + 8
B = 6(4a + 3b + 2) − b = 24a + 17b + 12となるので，この結果は正しい。A 君は，他にも次のことを見い出している。

(1) x2 + y 2 = z 2 が成立すれば，(nx)2 + (ny)2 = (nz)2 も成立する。
(2) 3 数が連続するのは，32 + 42 = 52 だけである。(証明あり)(3) b, c が連続するとき，a は奇数であり，c は 4 の倍数ずつ増える。
A 君は，提出したレポートの最後の方で「三平方の定理について，殆どのことが理解できたような気がしました」と書いている。

120૥ষ჻ෙदَਕ਴্भ৒৶ُ॑અइॊ‫ؙ‬Mx

4.6

a, b, c が連続的でないときを考察した学生

I 君は，a, b, c が連続的でない場合として，次の式を見い出している。
62 + 82 = 102
82 + 152 = 172
102 + 242 = 262
122 + 352 = 372
142 + 482 = 502
162 + 632 = 652
そして，これらの関係から，c = b + 2 であることや，a2 ÷ 2 = b + c であることを見抜き，

2(b + c) + b2 = c2 としている。

4.7

文字式の計算で考察した学生

T 君は，いろいろな性質を a, b, c という文字式の計算から導いている。
(1) b, c が連続する場合について
b, c が連続すれば c = b + 1 であるので，a2 = c2 − b2 = (c + b)(c − b) = c + b である。
(2) b, c が連続する場合の a について
a2 が偶数 (2x, x は整数) のとき，a2 = (2x)2 = 2(2x2 ) は偶数になるので，a が偶数のときは b, c が連続するようにはできない。a2 = b + c = 2b + 1 であるので，a2 は奇数である。

(3) a から連続する b, c の求め方について
b, c が連続するとき a2 は奇数なので，a2 ÷ 2 = ある整数 n + 1 となる。このとき，
b = n, c = n + 1 とすればよい。
このレポートの作成には 1 日かかったようである。次のような感想を書いている。
普段，さりげなく使っていた三平方の定理を新めて考えることによって，今まで気付かなかった法則に気付いた。とてもおもしろかったし，他にも何か法則があるのか調べてみたいと思った。

4.8

a, b, c の間のおもしろい関係を見い出した学生

H 君は，y 2 = a2 + x2 より y =√x2 + a2 であることから，a の値を 1 から少しずつ増やしていくことにより，b, c が連続する場合の式を幾つか発見した。そして，その過程において，3 つの数が連続するのは，a2 + (a + 1)2 = (a + 2)2 のときであり，これを解くと a = 3, − 1となるので，3 つの数が連続するのは 32 + 42 = 52 しかないことを証明している。さらに，2つの数が連続するのは，a2 + b2 = (b + 1)2 のときであることから，a2 = 2b + 1 となるので，b=a2 − 1
,
2

c=

121

a2 − 1+1
2

ME‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

を導いている。そして，32 +42 = 52 であることから，3332 +4442 = 5552 や 33332 +44442 =55552 も成立することを述べ，さらに，33332 = 55552 − 44442 = (5555 + 4444)(5555 − 4444) = 9999 · 1111
44442 = 55552 − 33332 = (5555 + 3333)(5555 − 3333) = 8888 · 2222
であり，右辺の 2 数の和は，いずれも 11110 となって一致することを見い出している。

4.9

a2 + b2 = c2 の n 倍の式を延々と書き出している学生

N さんは，32 + 42 = 52 について，3, 4, 5 を次々に 2 倍していって，
32 + 42 = 52
62 + 82 = 102
122 + 162 = 202
242 + 322 = 402が成立することを確認する。そして，同様のことが 2 倍だけではなく，3, 4, · · · , 10 倍でも成立することをレポート用紙に 5 枚にわたり書き出して確認している。その後，n 倍ではなくn 乗するとどうなるかを確認しようとするが，2 乗した 92 + 162 = 252 が成立しないこで，そのような場合は成立しないことを確認している。
教師側から見ると単純な部分しか見つけられなかったといえるが，この学生にとっては，
確認のたびに「2 倍しても成立する」「3 倍でも成立する」という「わくわく」感があったのではないかと思われる。

4.10

a, b, c の和や積を考えた学生

三平方の定理を成立させる a, b, c について，それらの和や積を考えた学生もいる。

HS 君は，b, c が連続する場合について考察した後で，「そのような a, b, c は，60 の倍数になっているようだ」と書いている。実際，a = 2n +1 のとき，b = 2n(n +1), c = 2n2 + 2n+1なので，abc = 2n(n + 1)(2n + 1) {2n(n + 1) + 1}となり，abc は 60 の倍数である。

N 君は，b, c が連続する a, b, c について，それらの和 a + b + c を計算する。それらの第 2階差を求めると，すべて 8 になり一定であることを見い出している。実際，

An = an + bn + cn = (2n + 1) + 2n(n + 1) + (2n2 + 2n + 1) = 4n2 + 6n + 2とすると，Bn = An − An−1 = 8n + 2 なので，第 2 階差は 8 である。また，N 君は「a + b − cは偶数である」とも述べている。実際，

an + bn − cn = (2n + 1) + 2n(n + 1) − (2n2 + 2n + 1) = 2nである。なお，この値は a, b, c を 3 辺とする直角三角形の内接円の直径であることが容易に
分かる。

122

૥ষ჻ෙदَਕ਴্भ৒৶ُ॑અइॊ‫ؙ‬M

5

試行錯誤を行った学生の感想
平成 16 年度の 1 年生には，2 節で述べたような形で「自由研究」と題する課題を 3 回ほど課した。年度末の最後の授業で学生にその感想を自由記述式で書いてもらうと，167 名中

142 名から回答があった。その内容を大別すると，以下のように分類される。
(1) 「楽しかった」「おもしろかった」

51 名 (35.9%)(2) 「勉強になった」「理解が深まった」

22 名 (15.5%)(3) 「大変だったけど・難しかったけど・面倒だったけど，
おもしろかった・勉強になった・楽しかった」

33 名 (23.2%)(4) 「分からなかった」「難しかった」

27 名 (19.0%)(5) 「その他の内容」

9 名 ( 6.3%)

繰り返しになるが，学生に課したのは，数式処理のできるグラフ電卓を利用した試行錯誤
を通して，「数学的な性質について考察せよ」という課題である。この種のタイプの課題を与えて，「おもしろかった」「楽しかった」という感想が (1)〜(3) を併せると 70%以上も寄せられたことには，むしろ著者の方が驚かされた。学生の感想をみると，「いろいろやってみて何かに気づいたとき」に大きな喜びを感じたようである。たとえば，以下のような感想が記されている。

• 今までは規則性がないと思っていたものでも，考えてみると色々な規則性があり，その規則性を発見したときはうれしかった。

• 自由研究をやってきて，自分でも数学に対する考え方が変わったのが良く分かった。自由研究は，自分で新しい法則 etc が発見できるので，楽しかったです。

• 今までは，ただ計算し，理解せずに書いていたが，自由研究によって理解しながら解けるようになった。

• 自由研究をやって，数学を前より深く考えれるようになった。
• 始めは面倒だと思っていても，いざ始めると没頭してしまった。
• 面倒な気もしていたけど，どういった仕組でこうなるというのが分かってくると，興味や関心が少し強くなってきたので，数学の内容を深く知ることができたと思った。

• 自由研究は，出されると嫌だったけど，やってみると，とても頭を使うし，解けた時やひらめいた時の喜びがとても印象に残った。来年もやりたい。

• 自由研究をやって，今まで考えなかった考え方をするようになった。
• 数学的な規則性を見つけることはもちろん，何に対しても観察し，何かを発見することができるようになったと思う。

• 普通の数学の授業とは違った，数学の楽しい部分があることを知った。
このような感想が目白押しで続くと，読んでいる著者の方が感動してしまった程であった。
学生によっては，「数学に対する見方が変わった」とする者もおり，「考える」ということに対して，かなりのインパクトを与えたように思われる。

123

MM‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

この自由研究に対する感想は，数学の成績とは関連しているのだろうか。「(4) 分からなかった・難しかった」という学生も 20%弱いる。それが成績下位の学生に集中している場合，自由研究なるものを課すことは，成績下位の学生にとっては苦痛でしかないであろう。
そこで，著者の科目の定期試験 (4 回) の平均点をもとに，全体を 4 つに区分して，この感想との関連性をみてみた。
表 2： 成績区分と自由研究に対する感想自由研究に関する感想(2)(3)(4) (5)

成績

(1)

上位

17

6

中上

12

中下

11

下位
計
%

計

9

5

3

40

7

9

10

1

39

6

5

5

4

31

11

3

10

7

1

32

51
35.9

22
15.5

33
23.2

27
19.0

9
6.3

142
100

表 2 をみると，成績下位の学生は，さすがに「(3) 大変だったけど・難しかったけど · · · 」という感想が他の区分と比べると多いが，それでも結果的には「おもしろかった・楽しかっ
た・勉強になった」という感想になっている。
「(5) 難しかった」という感想はどの成績区分にも存在し，成績下位の学生が突出しているわけではない。この感想は，成績とは全く関連していないことが分かる。

6

自由研究の意義・まとめ
この自由研究は，授業外の時間で考察させている。グラフ電卓を貸与しているとはいえ，著者の授業は黒板を利用した平均的な数学の授業である。著者が学生に対して行ったことは，自由研究の内容を書いたプリントを配布し，「今度は，これをやってきてください」と指示しただけである。つまり，単に問題を提示しただけである。プリント配布時に多少の説明は加えているが，それ以降は特に何の説明も加えていない。学生は，配布されたプリントの解説だけを頼りにして自分なりに考え，レポートにまとめて提出してきた。いろいろ考える中で何かの発見があると，学生はそれによる喜びを感じ，それがさらなる思考を後押ししたのではないかと思われる。
ただし，提出されたレポートは一人ずつチェックして，誰がどのようなことに気づいたか
等をプリントにまとめ，事後に 1 時間かけて学生に解説した。問題提示の負担は少ないが，提出されたレポートをまとめる作業はかなりの負担がある。しかし，提出されたレポートをそのままにしていては，「次の自由研究をやってもらえなくなる」という思いが，逆に教師を奮い立たせたともいえる。
このような自由研究の意義としては，まず，数学の 1 つの問題を長時間考え抜く体験をさせることができることが上げられよう。しかも，時間をかけて考えた結果，多くの学生に数124૥ষ჻ෙदَਕ਴্भ৒৶ُ॑અइॊ‫ؙ‬M

学的な事柄を発見する喜びを成績の上下によらずに感じさせることができた。それは，考えさせた問題が，ちょっと考えると誰でも何かに気づく部分を含んでいたためと思われる。中には，そのような部分に気付いたことで終わることなく，さらに独自の視点で問題設定をして教師側が予想もしない内容に踏み込む学生も現れている。
このことは，学生に与える問題内容を吟味することで，数学に関する発見の喜びを，教師側が意図的に学生に感じさせることができることを示唆しているように思われる。しかも，この効果を得るために，通常の授業体系を大きく変更する必要はないことも特筆されるべきであろう。教師は，単に問題を提示するだけである。
また，成績下位の学生でも何らかの発見ができたのは，課題の内容に関する部分に加えて，数学的な試行錯誤に数式処理電卓を利用できたことも大きく寄与しているように思われる。
このツール無くしては，このような結果は得られなかったであろう。三平方の定理は単なる四則計算のできる電卓でも十分に考察可能と思われるが，グラフ電卓を利用することで入力した式の履歴が残り，さらに考えやすかったのではないかと思われる。
対象とした学生は高専 1 年生ということもあり，自分の発見したことの証明まで考察できた学生は少ない。しかし，まず数学的なことについて何かを発見する体験をさせ，それにより通常の問題解法では得られない喜びを感じさせることができたことだけでも，この自由研究の役割には十分なものがあるように感じられる。
一方，教師側にとっては，問題を提示することは容易でも，提出されたレポートの点検作
業の大きさには，かなりの負担感がある。さらに，提出された多様なレポートの評価をどうするかということも問題として残る。しかしながら，事後の学生の感想を見ても分かるように，このような自由研究を課すことで得られる教育効果には，他では得られない計り知れないものがあるように感じられる。今後は，この効果について，さらに様々な角度から検討を加えていきたい。

参考文献[1] 島田茂編：新訂「算数・数学科のオープンエンドアプローチ」，東洋館出版，平成 7 年[2] B. シェルピンスキー：ピタゴラスの三角形，東京図書，p.21，1993 年[付記]

本研究は、平成 16・17 年度日本学術振興会科学研究費補助金・基盤研究 (C) 課題

番号 16500566 (研究代表者：梅野善雄) による支援を受けている。

125

数学教育における創造力を育む試み
梅野 善雄∗(一関工業高等専門学校)

Some Attempt to Encourage Creativity in Mathematical Education
Yoshio UMENO(Ichinoseki National College of Technology)
Creativity is one of the keywords for education of colleges of technology. If we wish to encourage
students to be creative in mathematical education, they themselves need to notice something aboutmathematical contents. As they need to have enough basic skills of mathematics to do it, they need
to be pretty good at mathematics. However, we have made it possible by using technology such asgraphing calculators we lend to our ﬁrst-year students. We give them several assignments to make themnotice something. In this paper, we would like to introduce their reports about Pythagorean theorem
and their comments about their assignments, and then consider the relation between achievements ofassignments and math examination results.
KEYWORDS: creativity, graphing calculators, open-ended problem

学生の感想などを紹介すると同時に，成績との関連性などについて分析する。

1. はじめに

なお，この研究は，平成 16・17 年度科学研究費補助金・基盤研究 (C)，課題番号 16500566 の高専を取り巻く環境は，JABEE や認証評価等支援を受けて行われたものである。

で激変している。この中では「創造力」が高専教育の重要なキーワードとなってきており，ロボッ

2. 数学教育における「自由研究」

トコンテストを始めとして，主に工学実験に関わる部分で特色ある試みが数多くなされている。
そのような創造性を発揮するには，まず「何か高専における通常の数学の授業は，最初に概念に気づくこと」が全ての出発点と思われる。そしや例題等を解説し，その後は定型的な問題を解かて，その「気づき」を現実化していくには，工学せるスタイルが普通である。総合的な応用問題を等に関する基礎知識の他に，いろいろな要素を関考えさせたくとも，そのような時間はなかなか取連づけて論理的に考えていく数学的思考力が必要れないのが現状と思われる。また，成績下位の学とされるであろう。

生にとっては，分からない問題は友人や教員に聞く以外に解決策はない場合が多い。

従来の数学教育でその部分を取り上げるには，学生が数学の基礎力を十分に持っていることが前

このような数学教育の状況を打破するための一提となる。しかし，そこにテクノロジーを活用す

つの改善策として，数式処理電卓の活用が注目されば，さらに多くの学生に数学的な事柄についてれている。それは数式処理機能 (CAS) を持つグの「気づき」を得させることが可能になる。

ラフ電卓であり，微分方程式の解析解や 3 次以上

著者は，平成 16 年度の本校 1 年生に数式処理の行列の固有値も求めることができる。単純計算

電卓 (TI–89) を貸与し，そのような「気づき」をの部分や単なるグラフ表示を電卓側に任せてしま得させるために「自由研究」としていろいろな課

えば，計算時間を縮めると同時に，個々の学生の題を学生に与えた。以下では，この電卓を利用しもつ能力差の問題もある程度解消できる。

て学生が行った自由研究の内容や，それを行った∗ 一般教科自然科学系

大阪・清風高校の公庄や石川高専の阿蘇は，数

umesan@ichinoseki.ac.jp1351‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

[3] 繁分数の値の間に成立する関係に関する考察
1
1
1
, ···
,
,
1
1+1 1+ 1
1+
1
1+1
1+
1+1
[4] f (x) のグラフと絶対値関数 |f (x)| のグラフ式処理電卓を学生に長期間貸与して数学に関する探究活動を実践し，その結果を報告している

1) 2)

。

福井高専では数式処理電卓を新入生全員に購入させ，数学科全体での活用が試みられている 3) 。いずれにおいても，学生は与えられたテーマにつき
自分の興味・関心にもとづいて自分の考えを発展との関係に関する考察

させ，教師が予想した以上の考察を行っている。

秋季課題

その探究活動は，学生により様々な答え方が可能[5] 3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c のグラフの形と，係数 a, b, c との関係に関する考察であり，一般には「オープンエンドの問題」と呼ばれているものである 4) 。

冬季課題

一関高専でもこの電卓を活用した授業を行い幾つかの実践結果を報告した

5) 6)[6] 三平方の定理 a2 + b2 = c2 が成立するような自然数 a, b, c に関する考察[7] xn + a が因数分解できるための自然数 n, a

。そこでは，数式処理電卓 (TI–89) を主に数学の定理や性質への理解を深めさせるために使用させたが，その経験に関する考察の中で感じたことは，この電卓は単に学生に持た[8] 3 次関数 y = (x − a)(x − b)(x − c) のグラフと a, b, c の値との関係に関する考察せておいて，ときどき課題を与えるだけでも十分な効果が期待できるのではないだろうか，ということである。
そこで，平成 16 年度は，授業の中で特定の理

3. 学生のレポートの内容解を得させるために使用するのではなく，それを授業外で利用させて数学に関する内容で試行錯誤

学生がどのようなことを書いてきたかを示すたを行わさせ，その中から何らかの数学的法則を発め，ここでは，冬季課題の「[6] 三平方の定理」に見させることを目的として貸与することにした。

関して提出されたレポートから，学生が指摘して貸与したのは本校の 1 年生 (168 名) である。平

きた内容を幾つか紹介する。

成 16 年 7 月中旬から平成 17 年 2 月末まで貸与

冬季課題の提出率は 91.0%である。そのうち，し，「自由研究」として 3 回にわたり幾つかの課題

大多数 (94 名) が三平方の定理に関する課題を選を与えた。時期は 7 月下旬，10 月下旬，そして択した。この課題を提示したプリントの解説では，

12 月下旬である。それぞれ約 1 ケ月の考察期間

3 つの数が連続する場合，2 つの数が連続する場を与えた。課題は複数題を与え，その中から自分合など，学生が考えやすいように具体的に考察すの取り組みやすい問題を選択させるようにした。

べき内容にも言及した。

しかし，「数学的な事柄について考察せよ」と言配布プリントでの解説内容

われても，何をどう考察してよいか分からない学

三平方の定理を成立させる簡単な自然数として，

生が多いことも予想された。そこで，グラフ電卓

2

3 + 42 = 52 や 52 + 122 = 132 が良く知られてで具体的にどのような操作をしたのか，その操作います。このような自然数は，他にどのようなもに対してどのような表示がなされ，それを見て何のがあるでしょうか。3, 4, 5 のように，連続すを感じ，どのようなことを予想したのか等々，各る 3 つの自然数で三平方の定理を満たすものは

自の思考経過をまとめればよいことを説明した。

他にあるでしょうか。5, 12, 13 のように，3 つ「いろいろやってみたが何も分からなかった」とのうち 2 つが連続するような数で三平方の定理いうときは，「やった内容を書いてくればよい」こ

を満たすものは，他にあるでしょうか。つまり，とを強調した。

a2 + b2 = c2 が成立するような自然数 a, b, c を各時期の課題は，以下のような内容である。

できるだけたくさん見つけてください。そのような自然数では，a2 = c2 − b2 も成立しています。

夏期課題
n[1] (x + 1) の展開式において，指数 n と展開さ

そして，そのような自然数 a, b, c は，どのようれた式の係数との関係に関する考察な仕組で作り出されているのか，それを作り出す

n[2] x − 1 の因数分解において，指数 n と因数

仕組について考えてみてください。ある程度の手分解された式の形との関係に関する考察

計算も交えながら考えてみください。
136ਯ৾ઇ୘पउऐॊ୳൸ৡ॑୘ि૥ा‫ؙ‬n

S.I. 君は，b, c が連続する場合として，この課題に対して，学生はさまざまなアプロー

52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412

チの仕方をしている。

(1) 3 つの数が連続する場合の指摘
これが成立するのは，32 + 42 = 52 のときだけである。いろいろ調べてみて，この場合しか見つがあることに気づく。そして，けられなかったことから，「この場合だけである」

12 + 13 = 25 = 52
24 + 25 = 49 = 72
40 + 41 = 81 = 92と結論づけている学生も多かったが，13 名の学生はその証明も与えている。

3 つが連続するのは，n2 +(n+1)2 = (n+2)2の場合である。整理すると (n + 1)(n − 3) = 0 となるので，n = 3 の場合しかない。
証であることから，三平方の定理の 2 つの数 b, c が連続する場合は b + c = a2 であるとしている。周知のように，a を奇数とするとき

b = (a2 − 1)/2, c = (a2 + 1)/2

(2) b, c が連続する場合の指摘
この場合は，実に多くの指摘がなされてきた。

であるので，この結果は正しい。

以下に，その幾つかを箇条書きする。

H.O. 君は，b, c が連続する場合を移項して• a を 1 以外の奇数とすると，b, c については
b = (a2 − 1)/2, c = (a2 + 1)/2 である。
• a2 = b + c である。
• a は奇数である。
• a + b − c は 2 の倍数である。
• a = 2n + 1, b = 2(n2 + n), c = 2(n2 + n) + 1• a = 2k + 1 とすると b = (a + 1)k, c = b + 1• a = 2n + 1 とすると，
b = 4(n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 2 + 1)
c = 4(n+(n−1)+(n−2)+· · ·+2+1)+1)

52 − 42 = 32
132 − 122 = 52
252 − 242 = 72
412 − 402 = 92の形の式 c2 −b2 = a2 を考える。右辺は 3, 5, 7, · · ·と奇数から始まって 2 ずつ増えるので奇数である
ことを指摘した後，左辺の 5, 13, 25, · · · の増え方に着目する。その増分は 8, 12, 16, · · · と 4 の倍数で増えているので c は 4n + 1 の形であるとする。さらに，n の値は，52 − 42 = 32 を 1 段目

(3) a, b が連続する場合の指摘
32 + 42 = 52 の次は，202 + 212 = 292 であり，その次は 1192 +1202 = 1692 となるなど，値がどとして k 段目にある場合は，1 から k までの総和が平方数となるような n について考えればよく，

1 + 2 + · · · + k である。たとえば，412 − 402 = 92
は 4 段目にあるので，4n + 1 = 4(1 + 2 + 3 + 4) + 1 = 41であるとしている。実際，a = 2k + 1 とすると，
1 + 2 + · · · + k = k(k + 1)/2 であるから，
c = 4n + 1 = 2k(k + 1) + 1 = (a2 + 1)/2

そのような n に対して a = n, b = n + 1 であるとなるので，この結果も正しい。

んどん大きくなるので，学生はかなり苦労したようである。大きな数では，40592 +40602 = 57412が指摘されている。n2 +(n+1)2 = 2n(n+1)+1

ことも指摘されている。

M.A. 君は，a, b が連続する場合を考え，次の場合を見出している。

(4) その他の指摘

32 + 42 = 52
202 + 212 = 292
1192 + 1202 = 1692
6962 + 6972 = 9852

三平方の定理を成立させる式として，次の式が指摘されてきた。

(a2 − b2 )2 + (2ab)2 = (a2 + b2 )2
以下のような指摘もある。

• a = (b + c)/3 であれば a : b : c = 3 : 4 : 5• a2 + b2 = c2 が成立すれば，a, b, c を n 倍した an, bn, cn についても成立する。
• 32 + 42 = 52 に 112 , 1112 などを乗ずれば332 +442 = 552 , 3332 +4442 = 5552 も成立

そして，この数値の現れ方を考察した結果，aは 1 つ前の値を 6 倍した値から，2 つ前の値から2 を引いた値を引けばよいこと，そして，c は 1
つ前の値を 6 倍した値から，2 つ前の値を引けばよいことを発見する。たとえば，

119 = 20 × 6 − (3 − 2)
169 = 29 × 6 − 5

具体的にどのような形で発見に到ったかをみる
ため，以下に，学生のレポートの一部を紹介する。
137;‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

である。一般に，a, a + 1, b が三平方の定理を満(2) 「勉強になった」「理解が深まった」• 今までは，ただ計算し，理解せずに書いていたせば，3a + 2b + 1, 3a + 2b + 2, 4a + 3b + 2 も三平方の定理を満たすことが知られているので 7) ，たが，自由研究によって理解しながら解ける

その次の値を A, A + 1, B とすると，ようになった。

• 自由研究をやって，数学を前より深く考えれA = 17a + 12b + 8, B = 24a + 17b + 12

るようになった。

である。M.A. 君の計算方法では• 自由研究をやることで，数学的なことを発見

6(3a + 2b + 1) − (a − 2) = A
6(4a + 3b + 2) − b = B

することができたし，レポートをまとめることで国語の文章作成の勉強にもなった。

• 今までに学習してきたことを復習しながら，となるので，M.A. 君の結果は正しい。

いろいろ応用させていけるので自分のために

このように多数の指摘がなされたが，その一方

なった。

では，
「120 組も調べたのに，規則性はさっぱり分(3) 「大変だったが，勉強になって良かった」

かりませんでした」と書いてきた学生もいる。

• 難しかったけど，進めていくうちにもっと調
べたいという考えが出てきて，時間がもっと

4. 「自由研究」に関する学生の感想

あれば，と思った。

• 始めは面倒だと思っていても，いざ始めると

冬季課題 [6] は，三平方の定理という良く知ら没頭してしまった。

れた定理について考察するものであるが，前節のように実に多くの事柄を学生は指摘してきた。他• いろいろな法則を見つけたりするのが大変の課題でも，同様に多数の指摘がなされている。

だったけど，柔軟な考えを養うことができた
ので良かった。

学年末の最後の時間には，1 年間の授業の感想をアンケート調査した。その自由記述欄で，3 回行っ• 自由研究は，出されると嫌だったけど，やった自由研究の感想について記述するよう求めたとてみると，とても頭を使うし，解けた時やひらめいた時の喜びがとても印象に残った。

ころ，168 名中 142 名から記述が得られた。その内容は，大きく分けると次のように分類される。

(4) 「難しかった」「分からなかった」• 全々分からなかった。
• 自分なりに考えて取り組んだが，内容が濃く(1) 楽しかった，おもしろかった，良かった(2) 勉強になった，理解が深まった(3) 大変だった・面倒だったが，おもしろかった・て難しかった。

• 友達と一緒にやって，その友達はどんどん新勉強になった・良かった

しい共通点などを発見したのに，自分はほと(4) 分からなかった，難しかった(5) その他の内容

んどできなかった。

• 問題の意味から答え方まで，何をやったらい

以下に，その代表的なものを紹介する。

いのか，分からなくて最悪だった。

(5) その他の感想(1) 「楽しかった」「おもしろかった」• 1 つの発見を見つけるまでに時間がかかるが，• 意外に法則性が沢山あるので，凄いと思った。
• 最初はとまどったが，これをやることによっ発見したときの喜びが大きい。

• 今までは規則性がないと思っていたものでも，て仕組が分かり，意欲も高まると思いました。

考えてみると色々な規則性があり，その規則• 自由研究をやって，今まで考えなかった考え性を発見したときはうれしかった。

方をするようになった。

• 自由研究によって，数学の法則性を見つける• 数学的な規則性を見つけることはもちろん，ことの楽しさを知り，また，友人との協調性

何に対しても観察し，何かを発見することがも高めることができました。

できるようになったと思う。

• 始める前は，すっごいイヤなんだけど，一度5. 成績との関連性

始めてみると，こうすればもっとよくなる，
この場合はどうなんだろう？と，どんどんそこの自由研究では，前節で示したように非常にの課題にのめり込んでいました。
138ਯ৾ઇ୘पउऐॊ୳൸ৡ॑୘ि૥ा‫ؙ‬x

多くの学生が数学に関する事柄を「発見した喜いる。図 2 でも同様に，成績の上下によらず，どび」を語り，「数学のおもしろさ」を実感した。この区分でも 4 割以上が「自由研究をやってみて，こで，この学生の感想と成績との関連性をみてみ数学的なことで新しい発見があった」としている。

よう。数学の成績は，著者の担当科目である基礎

では，学生が発見した内容とはどの程度の内容

数学 I の年 4 回の試験点の平均点として，それをなのか，その数学としての到達度をみてみよう。

もとに 4 段階に区分した。表 1 は，この成績区分

学生から指摘のあった内容について，「よくそこと，前節で示した自由研究に対する感想との関連まで気づいた」という内容を到達度が「高い」，

性をみたものである。

ちょっと考えればすぐ気づく内容を到達度が「低「(4) 分からなかった，難しかっ
表 1 を見ると，

い」，それ以外の指摘を「中間」として区分した。

た」とする学生は全体の 2 割未満であり必ずしも指摘内容が誤っている場合でも，それなりの根拠

成績が下位にあるわけではない。むしろ，成績のをもとに指摘されている場合は，その根拠の内容

上下にはよらないことが分かる。他の (1)〜(3) のにより到達度を判断した。なお，著者の判断結果

感想に対しても同様であり，それらは成績の上下は，本校の他の 3 名の数学教員にも見てもらい，
2 名以上の教員から指摘のあった項目については到達度を変更した。そのような項目は全体の約 1とは関連していない。
図 1 と図 2 は，自由研究に対する感想を，学年割である。

末に行ったアンケート調査の質問項目からみたも

表 2 は，三平方の定理に関する課題について，
表 1： 成績区分と自由研究に対する感想

このような到達度と成績との関係をみたものである。表 2 を見ると，成績と数学の到達度との間に

自由研究に関する感想
成績
上位
中上
中下
下位
計

%

(1)
17
12
11
11
51
35.9

(2)
6
7
6
3
22
15.5

(3)
9
9
5
10
33
23.2

(4)
5
10
5
7
27
19.0

(5)
3
1
4
1
9
6.3

計

若干の関連性は認められるものの，それほど大き

40
39
31
32
142
100

なものではない。このうち，成績下位で到達度の高い 3 名の学生は，次のような指摘をしている。

A 君は，「ただ単に数字を代入していくだけでは時間がかかるので，仕組みを考えることにした」と述べ，3 辺のうち 2 辺が分かれば他の 1 辺は自表 2： 成績区分と指摘内容の到達度
成績
上位
中上
中下
下位
計

%

図 1： 自由研究は，おもしろかった

数学としての到達度
低い 中間
高い

4
5
7
6
22
23.4

15
13
11
12
51
54.3

8
6
4
3
21
22.3

計

27
24
22
21
94
100.0

ずと分かるから，変数 a, b と和・差・積・商・累乗などを駆使して 32 + 42 = 52 を表せないかを考え，a = 2, b = 1 のとき

22 − 12 = 3,

2 · 2 · 1 = 4,

22 + 12 = 5であることに気づく。そして，そのことから

x = a2 − b2 , y = 2ab, z = a2 + b2
を見出し，a, b に具体的な値を代入して次々に三平方の定理を満たす式を作り出している。

図 2： 数学的なことで新しい発見があった

B 君は，連続する自然数の 2 乗の値を 3 から26 まで書き出して，それらの差を計算する。そして，その差は奇数 (2n + 1) であることに気づのである。図 1 を見ると，成績の上下によらず 4割以上が「自由研究はおもしろかった」と答えて139

E‫ؙ‬ਸ਼⋛৖‫ؙ‬ਯ৾ઇ୘धॢছইਗ਼ཬ

き，そのことから，適当な奇数 a に対して連続すを考えることの「おもしろさ」「楽しさ」を実感

2

る数の平方の差が奇数 a となる数を見つければ，した。このような形で，じっくり考えて何かに気その連続する数が b, c であるとする。そして，a2づくことの喜びを何度も体験させることは，数学に対して b, c は具体的にはのみならず他の科目での取り組みにも影響を与え22

b = (a − 1)/2,2

2

c = (a + 1)/2

ることが予想される。創造性も，このような積みであることを見出している。

重ねの中から育まれてくるのではないだろうか。

C 君は，a2 + b2 = c2 において b, c が連続する

1 年生なので自分の発見に証明を与えている学生

場合の式を書き出した上で，それらの規則性につは少ないが，このような課題を継続的に課していいて考える。そして，b は 4 の倍数であることにくことで，証明への関心も高まっていくことが期

気づいた上で，「すべての式にあてはめることが待される。

できる式を求めることができた」として，(2n + 1)2 + (2(n2 + n))2 = (2(n2 + n) + 1)2

参考文献を見い出している。この式が唐突に現れた印象はあるが，文面を読む限りは自分で気づいた式のよ

1) 公庄庸三：数式処理電卓は数学教育を蘇生さうに思われる。

せることができる，日本数学教育学会高専・

このように，自由研究を考えることで，大多数

大学部会論文誌，Vol.7，No.1，pp.146–150，の学生が数学的な事柄について何らかの気づきを2000得ており，そのような気づきを得ることができた

績が下位の学生でも感じることができたことの意

2) 阿蘇和寿：数学の授業における学生の探究
活動–テクノロジーの効果的な活用に向けて–，日本数学教育学会高専・大学部会論文
誌，Vol.9，No.1，pp.31–50，2003
3) 長水壽寛他 6 名：テクノロジーを用いた数学

義には大きいものがあるだろう。適切な課題を継教育の理論と実践，論文集「高専教育」，第続的に与えていけば，学生の数学に対する見方が26 号，pp.339–344，2003
4) 島田茂編：新訂「算数・数学科のオープンエ
ンドアプローチ」，東洋館出版，平成 7 年5) 梅野善雄：数式処理電卓を利用した微積分教ことへの喜びを語っている。その喜びは数学に関する一般的な規則性を発見できたことから来ていると思われるが，それを成績の上下によらず，成大きく変わることも期待され，数学教育における新な可能性が示唆されているように思われる。

育の改善，日本数学教育学会高専・大学部会

6. おわりに

論文誌，Vol.8，No.1，pp.13–30，2001

6) 梅野善雄：グラフ電卓を利用したグラフアー
トと関数理解，論文集「高専教育」，第 27 号，pp.191–196，2004
7) B. シェルピンスキー：ピタゴラスの三角形，
東京図書，p.21，1993 年

学生に課した課題の多くは，数式処理のできる
グラフ電卓があって始めて可能になったものである。それを利用した自由研究で，多くの学生は数学的な事柄に関して何らかの気づきを得て，数学

140

ୈ II ෦άϥϑి୎ͷ‫ྫࣄ༻׆‬ୈ II ෦ͷ֓ཁ ͜͜Ͱ͸ɼओʹ T3 Japan Ͱͷൃද಺༰͔Βɼάϥϑి୎ͷ࢖͍ํ΍༷ʑͳΞϓϦέʔγϣϯͷ֓ཁͱ‫ํ༻׆‬๏Λऩ࿥ͨ͠ɽ·ͨɼՊ‫ݚ‬අͷࢧԉΛडֶ͚ͯੜʹߦΘ͍ͤͨ͞Ζ͍Ζͳࢼߦࡨ‫ޡ‬ͷ಺༰ͱֶੜͷ൓ԠΛͱΓ·ͱΊͨɽ(1) ʮී௨ͷत‫ۀ‬ʯʹ͓͚Δάϥϑి୎ͷར༻ྫ [T3 Japan ୈ 16 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2012.8]
਺ࣜॲཧ͕Մೳͳάϥϑి୎Λʮී௨ͷत‫ۀ‬ʯͷதͰͲͷΑ͏ʹ‫͍ͯͭʹ͔͖΂͢༻׆‬ɼ୅਺‫ࢉܭ‬ɾඍੵ‫ࢉܭ‬ɾάϥϑඳըͳͲ͔Βར༻ͷ۩ମྫΛ঺հͨ͠ɽ

(2) άϥϑి୎ͷ୹‫ظ‬ར༻ʔάϥϑɾΞʔτͷ࡞੒ʔ[T3 Japan ୈ 7 ճ೥ձ (େࡕେձ)ɼ2003.8]
άϥϑి୎Λି༩͔ͯ͠Β 3 ࣌ؒͷत‫Ͱۀ‬ɼάϥϑి୎ͷ࢖͍ํ΍άϥϑɾΞʔτͷ࡞੒ํ๏Λઆ໌ͨ͠ɽ͜͜Ͱ͸ɼͦͷ 3 ࣌ؒͷत‫಺ۀ‬༰ΛऔΓ·ͱΊͨɽ(3) ഔհม਺Λར༻ͨ͠άϥϑɾΞʔτͷ࡞੒

[T3 Japan ୈ 11 ճ೥ձ (େࡕେձ)ɼ2007.8]

ഔհม਺දࣔΛར༻͢Δͱɼଟ࠼ͳάϥϑɾΞʔτΛ࡞੒ͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽഔհม਺දࣔ
͞Εͨؔ਺ͷཧղΛͤ͞ͳ͕ΒɼάϥϑɾΞʔτΛ࡞੒ͤ͞Δ·Ͱͷखॱʹ͍ͭͯղઆͨ͠ɽ

(4) TI-Nspire CX ͷεϥΠμʔΛར༻ͨؔ͠਺άϥϑͷࢦಋ[T3 Japan ୈ 17 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2013.8]
ΧϥʔදࣔՄೳʹͳͬͨ TI-Nspire CX ʹ͸εϥΠμʔ‫ػ‬ೳ͕௥Ճ͞Εͨɽͦͷ‫ػ‬ೳͷ֓ཁΛղઆ͢Δͱͱ΋ʹɼؔ਺άϥϑΛࢦಋ͢ΔࡍͷࢦಋྫͳͲʹ͍ͭͯ঺հͨ͠ɽ

(5) TI–89 ΁ͷ APPS(SMG) ͷΠϯετʔϧํ๏ͱͦͷ‫༻׆‬[T3 Japan ୈ 6 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2002.8]
਺ࣜॲཧՄೳͳάϥϑి୎ͷΞϓϦέʔγϣϯͱͯ͠ɼํఔࣜͷղ๏Λࢧԉ͢Δ SMG(Symbolic

Math Guide) ͷΠϯετʔϧํ๏ͱɼͦͷ‫ํ༻׆‬๏ʹ͍ͭͯ঺հͨ͠ɽ

(6) Apps ”StudyCards”ͷ࢖͍ํͱ‫ࡐڭ‬ͷ࡞੒

[T3 Japan ୈ 14 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2010.8]

άϥϑి୎ͷΞϓϦέʔγϣϯʹɼબ୒ࣜ໰୊ͷఏࣔπʔϧͰ͋Δ”Study Cards” ͕ඪ४ఴ෇͞Ε͍ͯΔɽ͜ͷπʔϧͷ࢖͍ํͱɼ‫ࡐڭ‬ͷొ࿥ํ๏ʹ͍ͭͯղઆͨ͠ɽ

(7) Stats/List Editor Ͱ֬཰ɾ౷‫ܭ‬ΛֶͿ

[T3 Japan ୈ 15 ճ೥ձ (౦‫ژ‬େձ)ɼ2011.8]

͜ͷ Editor Λར༻͢ΔͱɼϦετ‫Ͱࣜܗ‬อଘ͞ΕͨσʔλʹΤΫηϧͱಉ༷ͷॲཧΛߦ͏͜ͱ͕Ͱ͖ɼ͞Βʹଟ༷ͳ౷‫ॲܭ‬ཧΛࢪ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜ͷ Editor ͷ֓ཁΛղઆͨ͠ɽ

(8) ߴઐֶੜͷߦͬͨࢼߦࡨ‫ޡ‬[ฏ੒ 16ʙ17 ೥౓Պ‫ݚ‬අใࠂॻɾ՝୊൪߸ 16500566ɼ2006.3]
ʮߴઐʹ͓͚Δʰࢼߦࡨ‫ޡ‬ʱΛ൐͏਺ֶ‫ࡐڭ‬ͷ։ൃɾධՁʹؔ͢Δ࣮ફత‫ڀݚ‬ʯͱ୊͢ΔՊ‫ݚ‬අใࠂॻͷୈ 3 ষͰ͋ΔɽֶੜʹߦΘ͍ͤͨ͞Ζ͍Ζͳࢼߦࡨ‫ޡ‬ͷ಺༰ΛऔΓ·ͱΊͨɽʮී௨ͷत‫ۀ‬ʯʹ͓͚Δάϥϑి୎ͷར༻ྫക໺ ળ༤ ∗
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2

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2.1

ࣜͷల։ (expand)ࣜͷల։͸ F2 3: expand Λར༻͢Δɻͨͱ͑͹ (x + 1)3 Λల։͢Δʹ͸, ʮexpand ((x + 1)3 )ʯͱ͢Δɻจࣈ܎਺͕‫·ؚ‬Ε͍ͯͯ΋
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͍͍ͪͪάϥϑి୎ʹදࣔͤ͞ͳ͍Ͱॻ͖࢝ΊΔऀ΋ग़ͯ͘ΔͩΖ͏ɻதʹ͸, x ͸লུͯ͠܎਺
͚ͩΛॻ͖ग़͢ऀ΋͍Δ͔΋͠Εͳ͍ɻೋ߲܎਺Λॻ͖ग़ͨ͠ύεΧϧͷࡾ֯‫ʹܗ‬͸, ਺͑੾Εͳ͍΄Ͳͷ͍Ζ͍Ζͳੑ࣭͕Ӆ͞Ε͍ͯΔɻϑΟϘφον਺ྻ΍ϑϥΫλϧਤ‫Ͳͳܗ‬, ͦͷͱ͖ͷঢ়‫ʹگ‬Ԡͯ͡࿩Λൃలͤ͞Δ͜ͱ͕ՄೳͰ͋Δɻ

2.2

ࣜͷҼ਺෼ղ

จࣈࣜͷҼ਺෼ղͰ͸, ֻ͚͚ͨ͢ͷख๏΍ 1 ͭͷจࣈʹ͍ͭͯ߱΂͖ͷॱʹ੔ཧ͢ΔͳͲͷํ๏͕ඞཁʹͳΔɻࣜม‫ʹܗ‬ର͢Δ‫׳‬Ε΍จࣈࣜʹର͢Δ͋Δछͷ‫֮ײ‬΋ඞཁʹͳͬͯ͘ΔͷͰ, ੜెʹΑͬͯ͸૬౰ͷࠔ೉Λ‫͡ײ‬Δ৔ॴͰ͋ΔɻҼ਺෼ղ͸, F2 2: factor Λར༻͢Δɻ੔਺ͷൣғͰͷҼ਺෼ղ, ࣮਺ͷൣғͰͷҼ਺෼ղ, ͦͯ͠ෳૉ਺΋‫ؚ‬ΊͨҼ਺෼ղΛࢦఆ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ·ͨ, ੔਺ʹରͯ͠ߦ͏ͱ, ૉҼ਺෼ղ͕ฦ͞ΕΔɻ

୯ͳΔ౴͑߹Θͤͱͯ͠ͷར༻ʹͱͲ·Βͣ, ͜ͷ୯७ͳ‫ػ‬ೳ͚ͩͰ୳‫׆ٻ‬ಈΛߦΘͤ͞Δ͜ͱ
΋ՄೳͰ͋Δɻੜె͸ x2 − 1, x3 − 1, x4 − 1 ͷҼ਺෼ղ͸ֶश͢ΔͱࢥΘΕΔ͕, ͦΕҎ্ͷ࣍਺ͷҼ਺෼ղʹग़ձ͏͜ͱ͸͋·Γͳ͍ͱࢥΘΕΔɻͦ͜Ͱ, xn − 1 ͷҼ਺෼ղͷࣜΛ͍Ζ͍Ζͳࣗવ਺ n ʹରͯ͠ߦΘͤ, ͦΕΛϊʔτʹ‫ه‬࿥ͤ͞Δɻͦͯ͠, ࢦ਺ n ͱҼ਺෼ղ͞Εͨࣜͱͷؔ܎ΛோΊΔ͜ͱʹ͜ͱʹΑΓ, ԿΒ͔ͷ‫ن‬ଇੑΛൃ‫͢ݟ‬ΔΑ͏ʹ࢓޲͚ͯΈΑ͏ɻ͍Ζ͍Ζͳ͜ͱ͕ग़͞ΕͯདྷΔͩΖ͏ɻ͋Δఔ౓ཧղྗͷ͋ΔੜెͰ͋Ε͹, ͜ͷΑ͏ͳ਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳΛར༻͢Δ͜ͱͳࣗ͘෼ͷ಄Ͱߟ
͑Δ͜ͱ΋Ͱ͖ΔͱࢥΘΕΔ͕, ࣜͱͦͷҼ਺෼ղΛॻ͖ग़ͤ͞Δ͜ͱʹΑΓ, ਺ֶ͕ಘҙͰ͸ͳ͍ੜెʹରͯ͠΋਺ֶʹؔ͢Δ୳‫׆ٻ‬ಈΛߦΘͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖, ͔͠΋੒੷͕ԼҐͷऀͰ͋ͬͯ
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ඍ෼ੵ෼ͷ‫݁ࢉܭ‬Ռͷ֬ೝΛ, ࣗ෼Ͱ͙͢ʹߦ͑Δ͜ͱͷҙٛ͸େ͖͍ɻ‫͕ؒࢉܭ‬ҧ͍ͬͯΔͱ͖͸, Ͳ͜ͷ‫͕ؒࢉܭ‬ҧ͍ͬͯΔ͔Λൃ‫͢ݟ‬Δ͜ͱ΋༰қʹͳΔɻ·ͨ, ඍ෼ͱੵ෼͕‫ٯʹ͍ޓ‬ԋࢉͰ͋Δ͜ͱͷ͔֬Ί΋༰қͰ͋Δɻ

3.1

ඍ෼ͷ‫ࢉܭ‬ඍ෼ͷ‫Ͱࢉܭ‬͸ඍ෼͢Δม਺Λࢦఆ͢ΔͷͰ, ࣮࣭తʹ͸ภඍ෼ͷ‫ࢉܭ‬ΛߦΘͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖
Δɻ·ͨ, ඍ෼͢Δճ਺Λࢦఆ͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖ΔͷͰ, ߴ࣍ಋؔ਺Λ‫ٻ‬ΊΔࡍʹ΋ར༻Ͱ͖Δɻ

53

َ൤ৢभ౸঵ُपउऐॊॢছইਗ਼ཬभਹ৷୻‫ؙ‬d(d͜ͷ౴͑߹Θͤͱͯ͠ͷ‫ػ‬ೳ͸, ܾͯܰ͠ࢹ͞Εͯ͸ͳΒͳ͍ɻཧղྗͷ௿͍ੜెʹͱͬͯ, ʮ෼͔Βͳ͍ʯͱ͖͸Ͳ͏͠Α͏΋ͳ͍ɻͦͷΑ͏ͳੜెʹ‫࣭ͯͬݶ‬໰͠Α͏ͱ΋͠ͳ͍ɻʮ෼͔Βͳ͍ʯҎ্, त‫ۀ‬Λฉ͍͍ͯͯ΋ҙຯ͕ͳ͘, ໰୊ԋश΋ʮ෼͔Βͳ͍ʯҎ্͸Ͳ͏͠Α͏΋ͳ͍ɻಥͬ෬ͯ͠৸Δ͔͠ͳ͍ͱࢥΘΕΔ͕, ͜ͷ਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳ͕ख‫͋ʹݩ‬Ε͹, গͳ͘ͱ΋ࣗ෼ͷࢦఆͨؔ͠਺Λඍ෼͢ΔͱͲͷΑ͏ʹͳΔͷ͔Λࣗ෼Ͱ؆୯ʹ͔֬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ
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ͨ۩ମతͳؔ਺Λඍ෼͢Δͱ, ͲͷΑ͏ͳؔ਺ʹͳΔ͔ʯΛࣗ෼Ͱ֬ೝͰ͖Δ͜ͱͷҙٛ͸େ͖͍ͱࢥΘΕΔɻ
ར༻ͷ࢓ํʹΑͬͯ͸, ߹੒ؔ਺ͷඍ෼๏Λੜెࣗ਎ʹൃ‫ͤ͞ݟ‬Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͋Δɻલఏͱ͠
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͜ͷͱ͖, ͨͱ͑͹, ؔ਺ y = (2x + 3)3 Λ y = u3 ͱ u = 2x + 3 ͷ߹੒ؔ਺ʹ෼ղͤ͞, ͦΕͧΕͷಋؔ਺Λੜెࣗ਎ʹ‫ͤ͞ࢉܭ‬Δɻͦͯ͠, y = (2x + 3)3 ͷಋؔ਺͸਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳΛར༻ͯ͠‫ࢉܭ‬
ͤ͞Δɻಉ༷ͷ͜ͱΛ, ‫͔ͭز‬ͷ؆୯ͳؔ਺ʹରͯ͠ߦΘ্ͤͨͰ, y = f (u), u = g(x) ͷಋؔ਺ͱ y = f (g(x)) ͷಋؔ਺ͷؒʹͲͷΑ͏ͳؔ܎͕͋Δ͔Λߟ͑ͤ͞Δɻ༰қʹ, y = f (u), u = g(x)ͷಋؔ਺ͱ y = f (g(x)) ͷಋؔ਺ͷੵʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱʹ‫͋Ͱ͘෇ؾ‬Ζ͏ɻͦͷ্Ͱ, ‫໌ূ͕ࢣڭ‬΍આ໌Λߦ͑͹, ߹੒ؔ਺ͷඍ෼๏ʹର͢Δཧղ͕ਂ·ΔͱࢥΘΕΔɻஶऀͷ࣮ફͰ͸, ࣗ෼Ͱ 3ͭͷ৔߹ʹ෼ղͰ͖Δͱ͖΋ಉ༷Ͱ͋Δ͜ͱʹ‫͖෇ؾ‬, ࣗ෼ͷൃ‫ʹ )͖෇ؾ( ݟ‬ʮੌ͍!ʯͱ‫ͯͬݴ‬΄ͦ͘সΜͰ͍Δੜె΋͍ͨɻ

3.2

ੵ෼ͷ‫ࢉܭ‬਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳ͸, ඍ෼ͱಉ༷ͷํࣜͰੵ෼ͷ‫Ͱࢉܭ‬΋ར༻Ͱ͖Δɻಛʹ, ੵ෼๏Λෆఆੵ෼͔ΒֶΜͩ৔߹͸, ༩͑ΒΕͨؔ਺ͷੵ෼Λ‫ͤ͞ࢉܭ‬Δ͹͔ΓͰ͸ͳ͘, ࣗ෼Ͱ‫ٻ‬Ίͨੵ෼݁ՌΛඍ෼
͢Δ͜ͱͰ΋, ౴͑߹Θ͕ͤՄೳͰ͋Δɻ·ͨ, F3 ʹ͸γάϚ‫ࢉܭ‬΍‫ݶۃ‬஋ͷ‫ࢉܭ‬΋‫·ؚ‬Ε͍ͯΔͷͰ, ؆୯ͳؔ਺Ͱ͋Ε͹, ఆੵ෼ͷఆٛʹ‫ࢉܭ͍ͨͮج‬Λͤͯ͞, ඍੵ෼ͷ‫ج‬ຊఆཧʹ·ͰཧղΛ‫ٴ‬͹ͤ͞Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͋Δɻ
ͨͱ͑͹, f (x) = x2 Λ۠ؒ [0, 1] Ͱߟ͑ͨͱ͖ͷखॱ͸, Լ‫ه‬ͷ௨ΓͰ͋Δɻ(1) ۠ؒ [0, 1] Λ n ౳෼ͯ͠, ߴ͞Λ֤খ۠ؒͷӈ୺ͷ఺Ͱऔͬͨ৔߹,
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ͱͯ͠ఆٛ͠, n = 2, 3, 4 ͷ৔߹ͷ݁Ռ͕ (1) ͱҰக͢Δ͜ͱΛ֬ೝͤ͞Δɻ͞Βʹ, ͦͷάϥϑΛදࣔͤͯ͞ऩଋ͢Δ͜ͱΛ֬ೝ͢Δɻ(3) (1) ͷ࿨ͷ n → ∞ ͱͨ͠ͱ͖ͷ‫ݶۃ‬஋Λ‫͢ࢉܭ‬Δɻ࿨ͷެࣜ͸͢Ͱʹ஌͍ͬͯΔ͸ͣͳͷͰ,ࣗ෼Ͱ‫ͤ͞ࢉܭ‬Δɻ͋Δ͍͸, ‫ݶۃ‬஋ͷ‫ػࢉܭ‬ೳ F3 3: (limit) Λར༻ͯ͠‫ͤ͞ࢉܭ‬Δɻ1(4) Ҏ্ʹΑΓ, 0 x2 dx ͷ஋Λ, ఆੵ෼ͷఆٛʹ͕ͨͬͯ͠‫ͳʹͱͨ͜͠ࢉܭ‬Δɻ(5) ಉ༷ͷ͜ͱΛ, ࠓ౓͸ؔ਺ f (x) Λ۠ؒ [0, x] Ͱߟ͑Δ͜ͱʹΑΓߦ͏ɻ࠷ॳʹ, ؔ਺ͷఆٛ‫ػ‬ೳ F4 1:(Deﬁne) Λར༻ͯ͠ f (x) = x2 Λఆ্ٛͨ͠Ͱ, s(n, x) ΛDeﬁnes(n, x) = sum(f (k ∗ x/n) ∗ (x/n), k, 1, n)ͱͯ͠ఆٛ͠, s(2, 1), s(3, 1) ͳͲ͕ (1) Ͱ‫ͨ͠ࢉܭ‬஋ͱಉ͡ʹͳΔ͜ͱΛ֬ೝͤ͞Δɻ(6) ࣍ʹ, ‫ݶۃ‬஋ͷ‫ػࢉܭ‬ೳΛར༻ͯ͠ n → ∞ ͱͯ͠ಘΒΕΔؔ਺Λ࣍ͷΑ͏ʹఆΊΔɻ
Deﬁneg(x) = limit(s(n, x), n, ∞)(7) Ҏ্ͷ͜ͱΛ f (x) = x2 ʹରͯ͠΍ͬͯΈͤͨ‫ʹޙ‬, f (x) Λ࠶౓ x3 , x4 ͳͲʹఆٛ͠ͳ͓͠
ͯ g(x) Λදࣔͤ͞, f (x) ͱ g(x) ͷؒͷؔ܎ʹ͍ͭͯߟ࡯ͤ͞Δɻ͜ͷΑ͏ʹ, άϥϑి୎ͷ਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳͱάϥϑ‫ػ‬ೳΛซ༻͢Δ͜ͱʹΑΓ, ఆੵ෼ͷఆ͔ٛΒඍ෼ੵ෼ͷ‫ج‬ຊఆཧ·Ͱѻ͏͜ͱ͕ՄೳͰ͋Δɻஶऀͷ࣮ફͰ͸, ࠷ॳʹී௨ͷઆ໌Λߦͬͨ‫ʹޙ‬෮शΛ݉Ͷͯάϥϑి୎Λར༻ͤͨ͞ɻิॿϓϦϯτ౳Ͱิ଍͢Δඞཁ͸͋Δ͕, ໿ 1/4 ͷੜె͕
ඍ෼͢Δͱ‫ʹݩ‬໭Δͱ͍͏͜ͱʹ‫͍͍ͯ෇ؾ‬Δɻ
ͳ͓, ຊߍͰ͸, ੵ෼๏͸࠷ॳʹఆੵ෼͔Β‫ڭ‬त͍ͯ͠Δɻ

4

άϥϑ‫ػ‬ೳͷར༻ྫάϥϑి୎Ͱ͸, MODE Λมߋ͢Δ͜ͱʹΑΓ, y = f (x) ͷάϥϑ͹͔ΓͰ͸ͳ͘ഔհม਺ද
ࣔ΍‫࠲ۃ‬ඪͰද͞Εͨؔ਺ͷάϥϑ΋ඳըͰ͖Δɻ
ؔ਺ͷάϥϑΛΠϝʔδͰ͖ͳ͍ੜెʹͱͬͯ, ͜ͷάϥϑ‫ػ‬ೳ͸େ͖ͳखॿ͚ͱͳΔͰ͋Ζ
͏ɻಛʹ, ͍Ζ͍Ζͳؔ਺ͷάϥϑΛඳը͍ͤͯ͞Δ͏ͪʹ, ؔ਺ͷࣜͱάϥϑͱͷରԠؔ܎ʹ͍ͭͯͷཧղ͕ମ‫ظ͕ͱ͍ͯͬ͘͜·ਂͯ͠ͱײ‬଴͞ΕΔɻͦͷҙຯͰ͸, άϥϑి୎Λ࣋ͨͤͯࣗ
༝ʹར༻ͤ͞Δ͚ͩͰ΋े෼ͳޮՌ͕‫ظ‬଴͞ΕΔɻ

55

َ൤ৢभ౸঵ُपउऐॊॢছইਗ਼ཬभਹ৷୻‫ؙ‬d(n4.1ؔ਺ͷάϥϑͷҠಈάϥϑి୎Ͱ͸ؔ਺‫ ߸ه‬f (x) ʹ͍Ζ͍ΖͳࣜΛఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻఆٛͷ࢓ํ͸ 2 ௨Γ͋Γ, STO Λར༻͢Δํ๏ͱ F4 1: (Deﬁne) Λར༻͢Δํ๏͕͋Δɻ͍ͬͨΜఆٛ͢Ε͹, ͦͷ ࣜ͸อ࣋͞ΕΔͷͰ, ͨͱ͑͹ؔ਺ఆٛը໘ (  F1 ) Ͱ΋ f (x) Λར༻͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷ‫ػ‬ೳ͸, ฏߦҠಈ y = f (x − p) + q ΍ରশҠಈ y = −f (x), f (−x) ͳͲΛཧղ͢Δͱ͖ʹ༗ޮͰ͋Δɻؔ਺ f (x) Λ͋Β͔͡Ίఆ্ٛͨ͠Ͱ, ؔ਺ఆٛը໘Ͱ

f (x),f (x − p),f (x) + q,

−f (x),f (−x)

ͱͯ͠άϥϑΛඳըͤ͞Δɻؔ਺Λఆٛ͠ͳ͓ͯ͠, ͍Ζ͍Ζͳؔ਺ʹରͯ͜͠ΕΒͷάϥϑΛඳըͤ͞Ε͹, ฏߦҠಈ΍ରশҠಈʹ͍ͭͯੜెࣗ਎͕‫ͮ͘ؾ‬Α͏ʹ࢓޲͚Δ͜ͱ΋Ͱ͖ΔͩΖ͏ɻ

4.2

ഔհม਺දࣔ͞Εͨؔ਺ͷάϥϑഔհม਺දࣔ͞Εͨؔ਺ x = f (t), y = g(t) Λཧղ͢Δ্Ͱ͸, ഔհม਺Λফ‫ͯ͠ڈ‬୯ͳΔ x, yͷࣜΛಋ͚ͩ͘Ͱ͸ෆे෼Ͱ͋Γ, ఺͕‫ۂ‬ઢ্ΛͲͷΑ͏ʹಈ͍͍ͯΔ͔ͱ͍͏͜ͱͷཧղΛಘ͞
ͤΔ͜ͱ͕ඞཁͰ͋Δɻάϥϑి୎Λར༻͢Δͱ, ͜ͷཧղΛ༰қʹಘͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ
ͨͱ͑͹, x = cos t, y = sin t ͱͯ͠୯Ґԁ͕ඳը͞ΕΔ͜ͱΛ֬ೝ্ͤͨ͞Ͱ, άϥϑ͕࣍ͷΑ͏ʹදࣔ͞ΕΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸, ͜ͷ x, y ͷؔ਺ͷఆٛΛͲͷΑ͏ʹมߋ͢Ε͹Α͍͔Λߟ͑
ͤ͞Δ͜ͱ͸༗ӹͱࢥΘΕΔɻͨͩ͠, t ͷൣғ͸ 0 <=t<= 2π Ͱߟ͑Δ΋ͷͱ͢Δɻ
͍ͣΕ΋, x, y ͕ͦΕͧΕͲͷΑ͏ʹมԽ͢Δ͔Λ‫ۃݟ‬ΊΔ͜ͱ͕ॏཁͰ͋Δɻ·ͨ, ҰఆͷൣғΛԟ෮͢Δಈ͖͕ࡾ֯ؔ਺Ͱද‫͖Ͱݱ‬Δ͜ͱͷཧղ΋ඞཁʹͳͬͯ͘Δɻ(1) t ͕ 0 ͔Β 2π ·ͰมԽ͢Δͱ, ఺͕௚ઢ y = x ্Λ(0, 0) → (1, 1) → (0, 0) → (−1, −1) → (0, 0)
ͱมԽ͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸, x, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻ(2) t ͕ 0 ͔Β 2π ·ͰมԽ͢Δͱ, ఺͕์෺ઢ y = 1 − x2 ্Λ
(1, 0) → (0, 1) → (−1, 0) → (0, 1) → (1, 0)
ͱมԽ͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸, x, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻ(3) t ͕ 0 ͔Β 2π ·ͰมԽ͢Δͱ, ఺͕ (1, 0) Λग़ൃͯ͠ࠨपΓʹӔΛ 2 ճ‫͕ͳ͖ר‬Β
౸ୡ͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸, x, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻ

56

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4.3

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άϥϑ‫ػ‬ೳΛར༻͢Δͱʮֆ (Ξʔτ)ʯΛ࡞੒ͤ͞Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɻ
ͨͱ͑͹, ௚ઢ΍์෺ઢͳͲΛ૊Έ߹ΘͤΔ͚ͩͰ, ӈଆͷΑ͏ͳάϥϑ͕࡞੒ՄೳͰͰ͋Δɻ͜ͷ࡞඼͸, ฏ੒ 14 ೥౓ͷຊߍ 1 ೥ੜ͕ౙ‫ۀٳظ‬ͷ՝୊ͱͯ͠࡞੒ͨ͠΋ͷͰ͋Δɻ
ʮϦϯΰ੾Γʯͱ͍͏λΠτϧ͕͚ͭΒΕ͍ͯΔɻඳըൣғ͸, −7.9 <=x<= 7.9, −3.8 <
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√y1 = − x + 7.5 + 1.7
y4 = 22 − (x + 4.8)2 − 4.8

y2 = −1/7 · x + 0.7 | x > −7.7
y3 = −x + 1/5 · sin(3 · x) | x > −7.655

y5 = (x + 4.9)2 − 3.5 | − 5.5 < x < −4.4√
y6 = x + 4.9 − 3.3 | x < −3.5͓ΘΓʹ਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳΛ࣋ͭάϥϑి୎͸, ͦΕΛར༻ͯ͠৽ͨͳ‫ࡐڭ‬Λ։ൃ͠Α͏ͱ͠ͳͯ͘΋, ख‫ݩ‬ʹ͓͍ͯ౴͑߹ΘͤͳͲʹ࢖ΘͤΔ͚ͩͰ΋े෼ͳར༻Ձ஋͕͋Δɻʮ͜ͷΑ͏ͳ‫ثػ‬Λ࣋ͨͤΔͱ, ࣗ෼Ͱߟ͑ͳ͘ͳΔʯͱ͍͏ͷ͸, ·ͬͨ͘ͷ‫ޡ‬ղͰ͋Δɻ࢖͍ํʹ‫׳‬Εͯάϥϑి୎ͷՁ஋͕෼͔ͬͯ͘Ε͹, ੜెࣗ਎͕ࣗ෼ͷࢥߟΛൃలͤ͞ΔͨΊʹ࢖͏Α͏ʹͳ͍ͬͯͩ͘Ζ͏ɻʮ਺ֶΛ෼͔Γ͍ͨʯͱࢥ͍ͬͯΔͷ͸, ଞͳΒ͵ੜెࣗ਎Ͱ͋Δɻʲࢀߟʳάϥϑి୎Λར༻ͨ͠‫ࡐڭ‬͸, Լ‫ه‬ͷ Web αΠτͷϦϯΫूΛࢀর͍ͯͩ͘͠͞ɻ
ʮ਺φϏͷ෦԰ʯhttp://www.ichinoseki.ac.jp/gene/mathnavi/57άϥϑి୎ͷ୹‫ظ‬ར༻—άϥϑɾΞʔτͷ࡞੒—ക໺ ળ༤ ∗
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∗021–8511 Ұؔࢢഡ૳ࣈߴས Ұؔ޻‫ߴۀ‬౳ઐ໳ֶߍ,122

E–mail: umesan@ichinoseki.ac.jp

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3.1

 

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http://www.ge.fukui-nct.ac.jp/~math/graph_art/[2] ෱ҪߴઐɾάϥϑΞʔτͷ෦԰: http://www.ge.fukui-nct.ac.jp/~nagamizu/graphart.htm[3] Ұؔߴઐɾ਺φϏͷ෦԰ɿhttp://www.ichinoseki.ac.jp/gene/mathnavi/index.html

135

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4: Intersection

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5: Inﬂectionม‫఺ۂ‬ͷ࠲ඪΛ‫ٻ‬ΊΔ

6: dy/dxࢦఆ͞Εͨ఺Ͱͷඍ෼܎਺ͷ஋Λ‫ٻ‬ΊΔ

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87

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88

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89

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ͦͷΠϯετʔϧͷ࢓ํ͸ҎԼͷखॱʹΑΔɻTI–89 ʹ৔߹ʹ͍ͭͯड़΂Δɻ(1) ҎԼͷαΠτʹɼTI–89 ʹ͍ͭͯఏ‫͞ڙ‬Ε͍ͯΔ APPS ͷҰཡ͕͋Δɻ
http://education.ti.com/product/tech/89/apps/appslist.html(2) ͦͷҰཡ͔ΒʮSymbolic Math GuideʯΛΫϦοΫ͢Δɻ్தͰɼ‫ܖ‬໿ॻ΁ͷಉҙ΍ɼϝʔϧΞυϨεɾύεϫʔυͷೖྗΛ‫ٻ‬ΊΒΕΔͷͰɺࣗ෼ͷΞυϨεΛ
ೖྗͯ͠ύεϫʔυΛద౰ʹઃఆ͢Ε͹ɺҎ‫ޙ‬ɺϢʔβʔొ࿥͞ΕΔɻ(3) ʮTismg.89k(209Kb)ʯΛɼύιίϯʹμ΢ϯϩʔυ͢Δɻ(4) Graph Link Λར༻ͯ͠ɼμ΢ϯϩʔυͨ͠ϑΝΠϧΛ TI–89 ʹసૹ͢Δɻ
ͳ͓ɼSMG Λ࣮ߦ͢Δʹ͸ɼTI–89 ͷ OS ͷόʔδϣϯ͕ 2.05 Ҏ্͕ඞཁͰ͋Δɻ‫͍ݹ‬όʔδϣϯͷ৔߹͸ɼSMG ΛΠϯετʔϧ͢ΔલʹɼOS ͷόʔδϣϯΞοϓΛ͢Δඞཁ͕͋Δɻ
∗†

021–8511 Ұؔࢢഡ૳ࣈߴས Ұؔ޻‫ߴۀ‬౳ઐ໳ֶߍ, E–mail: umesan@ichinoseki.ac.jp
http://www.naoco.com/calc/connectivity-tools-connect.htm

136d1;‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻3

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TI–89 ͷ਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳΛར༻͢Δͱɼํఔࣜͷղ͸ଈ࠲ʹ‫ٻ‬ΊΒΕΔɻ͔͠͠ɼͦͷղ๏աఔ͸දࣔ͞Εͳ͍ɻSMG ͸ɼTI–89 ͷ਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳΛར༻ͯ͠ɼ͍Ζ͍Ζͳࣜม‫ܗ‬΍ํఔࣜͷղ๏Λࢧԉ͢ΔιϑτͰ͋Γɼͦͷํఔࣜ΍ࣜʹͲͷΑ͏ͳม‫ܗ‬Λߦ͏ͷ͔ɼҰͭҰͭͷม‫ܗ‬Λ۩ମతʹࢦఆ͠ͳ͕ΒղΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻҎԼʹɼ෼਺ํఔࣜͷղ๏ΛྫʹͱΓɼSMG Λར༻ͨ͠ղ๏ͷखॱΛड़΂Δɻ
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5ͷΑ͏ͳ͕ࣜͦΕͧΕ 0, 1, x ʹ؆໿Խ͞ΕΔ (ਤ 5)ɻ
͜ͷΑ͏ʹɼSMG Ͱ͸ F4 Λར༻ͯ͠ɼߦͳ͓͏ͱ͢Δࣜม‫ܗ‬ΛҰͭҰͭࢦఆ͢Δ͜ͱʹͳΔɻ෼฼Λ෷͏ʹ͸྆ลʹ෼฼ͷࣜ 3x−7 Λֻ͚Ε͹Α͍ɻ΋͏Ұ౓ F4 Λԡͯ͠ʮ2:multiply eachside by ?ʯΛબ୒͢Δͱɼ৐͡Δ΂͖ࣜͷೖྗΛ‫ٻ‬Ίͯ͘Δɻ෼฼ͷࣜ 3x − 7 Λೖྗͯ͠ ENTER Λԡ͢ͱɼ྆ลʹͦͷࣜΛ৐͚ͨͩ͡ͷ͕ࣜදࣔ͞ΕΔ (ਤ 6)ɻ ENTER Λԡͯࣜ͠Λ؆໿Խ͢
7 ͕௥Ճ͞ΕΔ (ਤ 7)ɻࣜม‫ܗ‬ͷલ‫Ͱޙ‬ఆٛҬ͕Ұக͠ͳ͍ͱ͖͸ɼ͜ͷ
\Δͱɼࣜͷ࠷‫ ʹޙ‬x =3Α͏ͳ‫Ͱܗ‬ఆٛҬʹରͯ͠஫ҙ͕ଅ͞ΕΔɻਤ 4: ྆ลʹ −5 ΛՃ͑ͨ

ਤ 5: ࣜΛ؆໿Խ͢Δ

ਤ 6: ෼฼Λ෷͏࣍ʹɼӈลΛల։͢ΔͨΊʹɼͲͷΑ͏ͳల։ެࣜΛར༻͢Δ͔Λબ୒͢Δɻ͜ͷঢ়‫ Ͱگ‬F4 Λʮ4:distribute multiplicationʯΛબ୒͠
ԡ͢ͱɼ3 छྨͷల։ެ͕ࣜදࣔ͞ΕΔ (ਤ 8)ɻ͜͜Ͱ͸ɼͯࣜΛ؆໿Խ͢Δ (ਤ 9)ɻ
ʮ
ɼ6:A(B+C)=AB+ACʯͳ͓ɼਤ 8 Ͱʮ5:(A+B)C=AC+BCʯΛબ୒͢Δͱʮ2 = 3x(2x−5)−7(2x−5)ʯ
Λબ୒͢Δͱʮ2 = (3x − 7)2x − (3x − 7)5ʯͱͳΔɻ

137

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ਤ 7: ఆٛҬ͕มߋ͞ΕΔ

ਤ 8: 3 छྨͷల։ࣜਤ 9: ӈลΛల։͢Δ͜ͷ‫ޙ‬͸ɼ2 ΛҠ߲ͯ͠ࠨลͱӈลΛަ‫( ͠׵‬ਤ 10)ɺͦΕΛΒҼ਺෼ղ͢Δ (ਤ 11)ɻͦͯ͠ɼ

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11 ͕ಘΒΕΔ (ਤ 12)ɻ࣍ํఔࣜΛղ͍ͯɼ΍ͬͱղ x = 3,6

ਤ 10: Ҡ߲ͯ͠ลΛަ‫׵‬4

ਤ 11: Ҽ਺෼ղਤ 12: ࠷ऴతͳղ

SMG ͷ࢖͍ํ

4.1

SMG ͷ‫ى‬ಈ
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3

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28

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ʮdataʯ
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ਤ 18: ਪఆ৚݅ೖྗ

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ਤ 22: ؔ਺ఆٛ30

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31

第 3 章 高専学生の行った試行錯誤
3.1

連分数の値

3.1.1

この課題の意図1 年生は，式の計算の箇所で繁分数の計算の仕方を学ぶ。その計算の仕方をなかなか修得できない学生もいるので，そのような繁分数への関心を持ってもらうと同時に，複雑そうに見えながらある程度の規則性を含む内容として，次の連分数の値を計算させた。平成 16 年
度の 1 年生の夏季休業の課題 (p.118) とし，複数の課題の中から選択できるようにした。
$

'

繁分数の値
次の繁分数の値を求めてみてください。そして，同様のことをもうちょっと続けてください。そして，一般に，どのような値になるかを考えてください。たとえば，

3 番目の値の場合は，「1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1)))」となります。数ナビで確認する
ときは，括弧の対応関係に注意してください。

1
,
1+1

1
1+ 1
1+1

1

,
1+

1
1+ 1
1+1

1

,

&

3.1.2

1

1+

1

1+
1+

1
1+1

%

連分数の規則性に関する学生の発見

この課題は，32 名の学生が選択した。この問題を考えるには，まず，できるだけ多くの値を計算してみることが必要である。次のような値となる。

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , · · ·2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
この値を見ながら，その規則性について考えることになるが，選択した学生のほぼ全員が分子と分母の和が次の分数の分母であることに気づいた。また，分母が次の分数の分子になっていることも，多数の学生から指摘されてきた。しかし，他の性質については，それぞれ数名からの指摘に留まった。具体的には，以下のような指摘である。
• 最初の分数 1 が分かるだけで，他の分数を次々に求めることができる。
2• 隣りあう 2 つの分数の分子の和と，分母の和は，その次の分数の分子と分母になっている。したがって，最初の 2 つの値が分かれば，次々と値を求めることができる。

dnM‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

• それぞれの分数の分母にある 1 + · · · の · · · の部分は，1 つ前の分数の式と同じ式であ8 の次の分数は次のように求められる。
る。したがって，たとえば
13
1
1+ 8
13

=

13 = 13
13 + 821• 1 以外の自然数で考えると，分子と分母の和が次の分数の分母になるということは成立しない。実際，

4 , 5 , 14 , 19 , 52 , · · ·5 7 19 26 71
6 , 7 , 27 , 34 , 129 , · · ·7 9 34 43 163(2 にした場合)(3 にした場合)• 1 の代わりに自然数 a で考えると，最初の値は a がどんな値でも 1 である。
2
• 1 以外の自然数 a で考えると，分母が次の分数の分子になることと，分母の a 倍が次の分数の分子になることが交互におきる。

• 1 以外の自然数 a で考えると，前の分数の分母が次の分数の分子になっているとき，前の分数の分母の a 倍と分子の和が次の分数の分母になり，前の分母の a + 1 倍と分子の和は，2 つ目の分数の分母になる。

• 数の大小を比較すると，奇数番目の値はその前後の値より小さく，偶数番目の値はその前後の値より大きい。つまり，次のような状況になっている。

1 < 2 > 3 < 5 > 8 ···
2
3
5
8
13
• 1 だけではなく，どこか 1 箇所を 2 にしても類似の規則性がある。
(注) この学生は，以下のタイプについて，同様のことを考えている。
2
1
1+
1+1

,

1
1
2+
1+1

1

,
1+

1
1+2

平成 17 年度の 1 年生の指摘事項

1 としてしまったので，平成 17 年度の夏季休業の課
1+1
1 から始まるようにした。
題 (p.140) では
1
平成 16 年度は，最初の分数を

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , · · ·1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
この値に関して，平成 16 年度に指摘された事柄以外では，次のことが指摘されている。
1• 前の値を x とすると，次の分数は
である。
1+x
A
B の前の分数は A − B である。
，
• B の次の分数は
A
A+B A
B

12

ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dn

1という関係にある。分母が次の分数の分
1 + an−1βとおくと，子になり，分数と分子の和が次の分数の分母になるは，an−1 =α• n 番目の分数を an と表すと，an =

an =

1
β
1+
α

=

α
(an−1 の分母)=α+β(an−1 の分子) + (an−1 の分母)となるからである。
• 最初の分数を b とすると，その続きの分数は次のようになる。
a

b,
a

a
,
a+b

a+b
,
2a + b2a + b,···3a + 2b• 現れてくる数字の並び方 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · · は，フィボナッチ数列である。
• 先に行くにつれ，増加・減少の幅がどんどん狭まっていく。
このことを，値が増加・減少を繰り返すグラフを書いて確認した学生もいる。

• 1 番目，2 番目を，それぞれ a1 , a2 , · · · のように表すと，a1 > a2 < a3 > a4 < a5 >a6 < · · · となっているが，偶数番目だけで考えると，a2 < a4 < a6 < · · · であり，奇数番目だけで考えると，a1 > a3 > a5 > · · · である。a7 の値が分からなくとも，

a6 < a7 < a5 という関係になる。
• 偶数番目は番号が若いほど小さく (つまり，増加)，奇数番目は番号が若いほど大きい(つまり減少) している。
• ジグザグを繰り返しながら，一定の値になろうとしている。
先に行くにつれ，ある値 (0.618· · · ) に近づいていく。たぶん，無理数だと思う。
増減を繰り返しながら，0.61〜0.62 の間で安定する。

• 詳しい値は，0.61803398874989 である。
'

$

&

%

13

d;(‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

• 隣りあう分数の分母の比は，その分数の逆数と一致する。
3 では， 5 = 1 である。
2
たとえば， と
3533/5
• 分数にしたとき，分母の数はどんどん大きくなる。
• 繁分数で表すとき，1 の個数は 2 個ずつ増えていく。
• 分数に直したとき，分子は奇数・奇数・偶数の順，分母は奇数・偶数・奇数の順に繰
り返されている。

3.1.3

教育効果・反省点

単純に 1 だけから構成される分数であるが，フィボナッチ数列と関連する分数であることもあり，非常に多くの指摘がなされてきた。分数に直せば誰でもすぐに気がつく部分を含んでいるため，学生にとっても取り組みやすかったと思われる。
また，文字式に直して考える者や，問題を自分で再設定して考える者など，この種の課題の良さが現れている。平成 17 年度の学生は，最後に次のような感想を記していた。この課
題の意図を見事に見抜かれたことになる。
この自由研究では，何より「気づく」ことが重要な役割をしていたことが分かった。何かに気づくことによって何らかの規則性や証明ができるのであって，そのことが重要な私たちの能力なのだということを思い知らされた。この自由研究で得た，この「気づく」という能力を他のことでもっと伸ばしていきたいと思う。そして，ここで分からなかったことを解明した。
平成 17 年度は小数に直している学生が多いが，それは解説の中で「その分数の値はどのような値に近づいていくのかなどを考えてください。」として，小数の値も調べてみるよう誘導したためと思われる。ただし，小数に直していながら，「だんだん 0 に近づいていく」「0.6に近づく」「1 に近づいていく」とする学生も少なからずおり，これらの学生は数値の大小に対する感覚が十分ではないように感じられる。
また，数ナビは浮動小数点で 12 桁までしか表示できない。標準では 6 桁の数しか表示しないので，「最終的には 0.618034 に近づいていく」とか「15 番目以降の数値は変わらない」とする学生もいた。電卓としての機能の説明も必要であったと反省された。

3.2

二項定理

3.2.1

この課題の意図

1 年の「数と式の計算」では 2 乗や 3 乗の展開公式を学ぶので，その延長で二項定理を考えさせることができる。組み合わせの記号は学習していないが，この二項定理の中には多くの規則性が含まれており，数式処理機能を利用して展開された式を書き写すだけで誰でも何らかの気づきが得られ，低学年に対してはきわめて適切な題材と思われる。福井高専 3) など，すでに多数の学校で実践されている題材である。以下は，平成 17 年度の 1 年生に提示した内容である。

14ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬d;d$'(x + 1)n の展開
数ナビを利用すると，具体的な自然数 n について (x+1)n の展開式を表示させることができる。たとえば，(x+1)4 であれば，基本画面 ( HOME を押して現れる画面)で F2 3:expand を押し，入力行 (一番下の行のこと) で expand((x + 1)4 ) ENTER とすればよい。括弧が 2 つ必要なので注意すること。
この機能を利用して，できるだけ多くの n について (x + 1)n の展開式がどうなるかを調べてください。そして，展開式の係数の現れ方に，何かの規則性がないかどうかを考えてください。展開式をそのまま書かないで，係数だけを書き出した方が規則性を見抜きやすいです。この中には，沢山の規則性が含まれています。2 つ 3
つ見つけただけで安心しないで，できるだけ多くの規則性を発見してください。そして，可能なら，なぜそうなるのか，その理由を考えてください。
&

3.2.2

%

二項定理に関する学生の発見

二項定理のついて考察するには，最初にできるだけ多くの n について，その展開式を書き出すことが必要である。その作業を促すために，平成 16 年度の課題提示では「(x + 1)n の展開を，できるだけ多くの自然数 n について行い，その結果を書き写してください。」と明記している。

(x + 1)1 =x+1(x + 1)2 =x2 + 2x + 1(x + 1)3 =x3 + 3x2 + 3x + 1
44(x + 1) =x + 4x3 + 6x2 + 4x + 1(x + 1)5 =x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1(x + 1)6 =x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1
77(x + 1) =x + 7x6 + 21x5 + 35x4 + 35x3 + 21x2 + 7x + 1(x + 1)8 =x8 + 8x7 + 28x6 + 56x5 + 70x4 + 56x3 + 28x2 + 8x + 1(x + 1)9 = x9 + 9x8 + 36x7 + 84x6 + 126x5 + 126x4 + 84x3 + 36x2 + 9x + 1
学生は，このような式を多数書き出して係数の間の規則性を考察した。係数だけを三角形状に書き出せば規則性の発見が容易と思われたが，平成 16 年度の学生には，そのようなヒントは与えなかった。平成 16 年度は，夏季休業の課題 (p.119) とし複数題から選択する形としたが，半数以上の学生 (72 名) がこの課題を選択した。平成 17 年度は，授業中にある程度の考察を行わさせ (p.137)，1 週間後に提出させた。多くの学生が，「最大次数の項は n 次である」「最後の係数は 1 である」「次数が 1 つずつ小さくなる」「係数は左右対称である」「nが奇数のときは中央に同じ係数がある」「xn−1 と x の係数はいずれも n である」ことに気づいた。以下は，学生から指摘された事項を，2 年度分まとめたものである。多くの指摘なされていることが分かる。

15d;1‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

(1) 項の個数について• n が偶数のときの項の数は奇数，n が奇数のときの項の数は偶数である。
• n が 1 つ増えると，展開式の項の数も 1 つ増える。
• x を含む項の数は n 個である。
• 展開式の項の数は n + 1 個である。
(2) 最大の係数について• n が奇数のときは最大の係数が 2 つあり，偶数のときは 1 つである。
• 係数が最大になるのは，次数が n のときである。 n が小数のときは，その前後の22
整数のときである。たとえば，n = 6 のときは x3 の項の係数が最大であり，n = 5
5 = 2.5 の前後の x2 , x3 の項の係数が最大になる。
のときは
2• n が偶数のときは次数が n + 1 のときの係数が最大になる。n が奇数のときは次2n n + 1 (小数点以下切り上げ) のときの係数が最大になる。
数が ,2 2• n が偶数のときは，中心の項の係数が最大になる。
• n が奇数 2k + 1 のとき，係数が最大になるのは次数が n − k のときである。
• n が素数のとき，係数の最大値は 2 つある。
• n が偶数のとき，中央の係数は偶数である。
• 指数が奇数のとき，1 番大きい係数を 2 倍すると，次の展開式の係数の最大の数になる。

• 指数が偶数のとき，1 番大きい係数と 2 番目に大きい数を足すと，次の展開式の係数の最大の数になる。

(3) 係数の対称性について• 降べきの順に展開しても昇べきの順に展開しても係数の並び方は同じである。
• 次数が奇数のとき，(n + 1)/2 個ずつに分けると，左右の数が対称に並んでいる。
(4) 係数の値について• 両端の隣りの係数は指数と同じ数がくる。2 番目の係数は，指数 n と同じである。
• 左から 3 番目の係数 1, 3, 6, 10, 15, · · · は，それぞれ 2, 3, 4, 5, · · · ずつ増加している。
• (x + 1)n+1 の左から 3 番目の係数は，(x + 1)n の左から 3 番目の係数に指数 n を加えたものである。

• 左から 3 番目の係数は，1 から n − 1 までを足した数である。たとえば，n = 5 のとき 3 番目の係数 10 は，1 + 2 + 3 + 4 = 10 である。

• 左から 3 番目と右から 3 番目の係数を足して n で割ると，n − 1 になる。
• n が奇数 2k + 1 のとき，左と右から 3 番目の係数は，n = 2k + 1 に k を掛けた数である。

• 左から 4 番目の係数 1, 3, 6, 10, 15, · · · は，それぞれ 2, 3, 4, 5, · · · ずつ増加している。
• n = 2k のとき，左から 2 番目の係数を k − 1 倍して k を加えると 3 番目の係数になる。n = 2k + 1 のときは，左から 2 番目の係数を k 倍すると 3 番目の係数にな16ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬d;nる。たとえば，n = 6 = 2 × 3 のときは，6 × (3 − 1) + 3 = 12 + 3 = 15 が 3 番目の係数であり，n = 7 = 2 × 3 のときは，7 × 3 = 21 が 3 番目の係数である。
• 左から 3 番目の項 (xn−2 ) の係数は 1 n(n − 1) である。
2
• 左から 3 番目の項の係数は，左から 2 番目の項の係数を 1 (n − 1) 倍したもので2ある。

• (x + 1)n の展開式の x2 の係数は，(x + 1)n−1 の展開式の x2 の係数に n − 1 を足したものである。

• (x + 1)n の展開式に含まれる x の数 (展開式の xk の指数 k の和) は，(x + 1)n−1 の展開式の x の数と n の和である。

• 上述の和は，(x + 1)n の x2 の係数になっている。
• (x + 1)n の左から 3 番目の項の係数は，(x + 1)n−1 の左から 3 番目の項の係数に
n − 1 を加えたものである。
• 前の展開式の隣り合う項 (xk と xk−1 ) の係数の和は，次の展開式の xk の係数である。

• 前の展開式の左から k 番目の項の係数と，次の展開式の左から k 番目の項の係数との差は，前の展開式の左から k − 1 番目の項の係数である。
1倍して m + 1 をか
• xm を左半分の項とすると，その係数は xm+1 の係数をn−mけたものである。

• 左から数えて k 番目の項の係数と指数をかけて k で割ると，次の項の係数になる。
たとえば，(x + 1)4 の展開式の 2 番目の項 4x3 では 4 × 3 ÷ 2 = 6 が 3 番目の項の係数である。
[注] この学生は，最初の係数が 1 であることを自明とすると，二項定理の係数の現れ方を完全に把握したことになる。実際，(x + 1)n の展開式の最初の項は
1 · xn であるので，2 番目の xn−1 の係数は1×n÷1=n

3 番目の xn−2 の係数はn × (n − 1) ÷ 2 = 1 n(n − 1)2
1 n(n − 1) × (n − 2) ÷ 3 = 1 n(n − 1)(n − 2)2
2·3

4 番目の xn−3 の係数はなどとなる。

(5) 係数の和• 係数の和は，n を 1 つ増やすごとに 2 倍になる。係数の和を 2 倍した値は，次の式の係数の和である。

• 係数の和は偶数である。係数の和は 2 の倍数である。
•n>= 2 のとき，係数の和は 4 の倍数である。
• (x + 1)n の係数の和は 2n である。
• 斜めに係数を加えると，右下の係数がその和になる。たとえば，1 + 3 + 6 = 10,
1 + 4 + 10 = 15 であり，10, 15 はいずれも右下にある。

17d;;‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

(6) その他• 中央にいくほど，係数は大きくなる。係数は中央に行くほど大きくなり，中央から離れるほど小くなる。

• n が 1,2 のとき，3,4 のとき，5,6 のときというように，n が 2 つ増えるごとに同じ係数の組の数が増えていく。

• 両端の 1 以外の係数は，n を素因数分解したときの素因数のどれかで割り切ることができる。

• n = 4 までは，係数を繋げてできる数は 11n である。たとえば，112 = 121, 113 =
1331 である。
• 数ナビは，(x + 1)128 まで計算できる。

3.2.3

教育効果・反省点

このような単純な展開式の係数の中に多くの規則性があることには，多くの学生が驚いたようである。規則性を見つけることができて「楽しかった」「おもしろかった」という学生がいる反面，単純な展開式を多数書き写す作業が「面倒だった」「嫌になってきた」という学生もいた。
平成 17 年度は，規則性に気づきやすいようプリントに最初から n が 1 から 3 までの場合の係数を三角形状に書いて配布したが，その配慮に気づかずに考察を進めた学生も少なくな
い。また，あまり三角形状にこだわりすぎると，左端を揃えた場合の別な規則性に気づかなくなるので，書き出し方も含めて全てを学生に任せた方がよいかもしれない。

1 年の前半で課した課題ということもあり単純な部分の指摘が多いが，中には二項係数の現れ方を完全に把握した学生も現れた。二項係数の性質としては「パスカルの三角形」以外
1のべき級数展開の係にも，11n の値，フラクタル図形，フィボナッチ数列，そして(1 − x)n数など，多様な性質が含まれている 15) 。
いずれにしろ，「式の展開」という単純なことの中にも多数の数学的性質が含まれていることを実感させるには最適の教材と思われる。

3.3

xn − 1 の因数分解

3.3.1

この課題の意図

1 年の「数と式の計算」では，x2 − 1 や x3 − 1 の因数分解の公式を学ぶ。数式処理の因数分解の機能を利用すれば，その延長で xn − 1 の因数分解を考えさせることができる。多数の自然数 n について xn − 1 が因数分解された式を書き写すだけで，誰でも何らかの気づきが得られるので，低学年には適した題材と思われる。以下は，平成 17 年度の 1 年生に提示した内容である。なお，清風高校の公庄は，TI–89 と同様の数式処理機能をもつグラフ電卓

TI–92 を高校生に貸与したときの，高校生の発見を報告している 1) 。関西の有名進学校の生
徒ということもあり，下記の内容を上回る発見がなされている。

18ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬d;x$'xn − 1 の因数分解
数ナビを利用すると，具体的な自然数 n について xn − 1 を因数分解させることができる。たとえば，x4 − 1 であれば，基本画面 ( HOME を押して現れる画面)で F2 2:factor を押し，入力行 (一番下の行のこと) で factor(x4 − 1) ENTER  とすればよい。
この機能を利用して，できるだけ多くの n について xn − 1 の因数分解がどのような式になるかを調べてください。そして，指数 n と因数分解された式との間に，何かの規則性がないかを考えてください。この中には，沢山の規則性が含まれています。2 つ 3 つ見つけただけで安心しないで，できるだけ多くの規則性を発見してください。そして，可能なら，なぜそうなるのか，その理由を考えてください。 %
&

3.3.2

xn − 1 の因数分解に関する学生の発見

この課題を考察するには，最初にできるだけ多くの n について，xn − 1 が因数分解された式を書き出すことが必要である。

x1 − 1 = x − 1
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
x4 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
x6 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 − x + 1)(x2 + x + 1)
x7 − 1 = (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
x8 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)
x9 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1)
x10 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x4 − x3 + x2 − x + 1)
x11 − 1 = (x − 1)(x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
x12 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)(x4 − x2 + 1)
これを見ながら，指数 n と右辺の式の形との関連性について考えることになる。
「x − 1 が含まれる」「n が偶数のときは (x − 1)(x + 1) が含まれる」というようなことについては，ほぼ全員が気がついた。他にも，以下のことが指摘されている。平成 16・17 年度の高専 1 年
生からの指摘である。

(1) 指数が奇数・偶数のとき• n が偶数のとき，(x + 1)(x − 1) 以外の因数の最高次数は偶数である。
• n が偶数 n = 2m で，m が奇数のとき，xn − 1 の因数分解した式は，xm − 1 を因数分解した式を含む。

• n が偶数のとき，(x − 1)(x + 1) 以外の式を展開すると，xn−2 + xn−4 + · · · + x2 + 1になる。この式に x を含む項は n/2 − 1 個ある。

• n が奇数のとき，x − 1 以外の式を展開した式の係数は 1 である。
• n が奇数 2k + 1 のとき，因数分解された式の真ん中に xk の項がある。
• n が奇数のとき，x2n − 1 の因数分解の式には，xn − 1 の因数分解に現れた式で係

19

d;E‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

数が −1 ののものが含まれる。たとえば，x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) に対して，

x6 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) である。
(2) 指数がある数の倍数のとき• n が 3 の倍数のときは，x2 + x + 1 が必ず含まれる。
• x3n − 1 = (xn − 1)(x2n + xn + 1) である。
• n が 4 の倍数のときは，(x − 1)(x + 1)(x2 + 1) が必ず含まれる。
• n が 5 の倍数のときは，(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) が含まれる。
• n が 6 の倍数のときは，x2 − x + 1 が必ずある。
• n が 7 の倍数のときは，x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 が必ずある。
• n が 8 の倍数のときは，x4 + 1 が必ずある。
• n が 9 の倍数のときは，(x − 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1) が必ずある。
• n が 10 の倍数のときは，(x − 1)(x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x4 − x3 + x2 − x + 1)が必ずある。

• 指数が nm の形の式は，xm − 1 を因数にもつ。
(3) 素数に関連するとき• n が素数のときは，(x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1) である。
• p を素数として n = 2p のときは，
x2p − 1 = (x − 1)(x + 1)(xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1)(xp−1 − xp−2 + · · · + x − 1)という形である。

(4) 指数がべき乗のとき
n• 指数が 2n のときは，x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) · · · となり，下線部
は n − 1 個の積である。
n• n が 2 のべき乗のときは x 2 + 1 が含まれる。
たとえば，x8 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) である。
n

• x2 − 1 の因数分解の式で，因数の数は n + 1 個である。
n• 指数が 3n のときは，x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1)(x18 + x9 + 1) · · ·の形である。

(5) その他• 因数分解した式の x − 1 以外の項をまとめると xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 になる。
• n の約数の数と，因数分解された式の因数の数とは一致する。
• n = 3 のときから 5 つの式を挟んだ次の式には x2 + x + 1 が含まれる• 因数分解された式の最高次数の和は n である。
• 因数分解した全ての項の最後の数は 1 である。

20ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬d;

3.3.3

教育効果・反省点

xn − 1 の因数分解は，二項定理のときのような左右対称性がないので，一つ一つの式の特徴をじっくりと調べていくことが求められる。学生の感想を見ても，二項定理と比べてxn − 1 の因数分解の式の特徴は掴みにくかったようである。その分，「自分の見つけたこと以外にどのような規則性があるのかを早く知りたい」という強い思いを感想に書いている学生も多い。複素数を学んでいる場合は，z n = 1 の解の図形的な意味と関連させることもできるだろう。
しかし，多くの指摘がなされる一方，誤った指摘も幾つかなされてきた。いずれも，その指摘が自分の書き出した以外の式について成立するかどうかの検証が不足しいるためと思わ
れる。
誤った指摘

• 因数分解できたときの式の係数は ±1 だけである。

(反例がある 1) )• n が奇数のときは (x − 1)(x2 + x + 1) が含まれる。

(n = 5 のとき含まれない)n• n が偶数のときは x2n − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) · · · (x 2 + 1) である。

(n = 6 のとき異なる式になる)• n が 8 の倍数のときは，x2 + 1, x4 + 1, x6 + 1, · · · のような因数の積になる。
(n = 24 のときは異なる式になる)• n が偶数のとき，同じタイプで係数の符号の違う式が含まれる。
(n = 8 のときはそうではない)• グラフで表すと，y 軸と平行な直線になる。

3.4

xn + a の因数分解

3.4.1

この課題の意図「数と式」の箇所では，x3 + a3 の因数分解や，工夫すれば x4 + 4 も因数分解できることを学ぶ。数式処理機能を利用すると，この延長として xn + a が因数分解できるための自然数 n, a の条件について考察させることができる。以下は，平成 16 年度の 1 年の冬季休業の課題 (p.129) として出したものである。これは，清風高校の公庄が行った x4 + n の因数分解についての教材 19) を一般化させたものである。
$'

xn + a の因数分解
x4 + 4 は，一見すると因数分解できないように見えますが，
x4 + 4 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2)と因数分解できます。一般に，xn + a が因数分解できるのは，指数 n や定数項 a がどのようなときでしょうか。指数 n や定数項 a は自然数とし，因数分解された式の係数は整数とするとき，xn + a が因数分解できるための n, a の条件について考えてみてください。

&%

21

d;M‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

3.4.2

学生の発見

冬季休業中の自由研究は 3 題の中から 1 題選択させたが，この因数分解の課題は 41 名が選択した。この課題を考察するには，まず，いろいろな n, a について xn + a の因数分解を幾つか書き出してみることが必要である。それらを眺めていると，容易に何らかの規則性に気づくと思われる。x4 + 4 の因数分解の変形過程を記したのは，式変形を自分で考える際のヒントにもなっている。

(1) xn + 1 について
• n が素数のときは，xn + 1 = (x + 1)(xn−1 − xn−2 + xn−3 − · · · ) とプラスとマイナスが交互に現れる。
n\ 2k のとき因数分解できる。
• x2 + 1 は因数分解できない。xn + 1 は，n =• n が偶数で 2k のタイプではないとき，n の約数の最大の偶数を m とすると，
xn + 1 = (xm + 1)(xn−m − xn−2m + xn−3m − · · · − xm + 1) であり，n が奇数のときは xn + 1 = (x + 1)(xn−1 − xn−2 + xn−3 − · · · − x + 1) である。
• n = 2, 6, 10, · · · のときの因数には，x2 + 1 がある。
nn−1

• x3 + 1 の因数分解の式には，x2·3

n−1 +1− x3が含まれる。

(2) xn + 4 について• xn + 4 は，n が 4 の倍数のときに因数分解できる。
• xn + 4 が因数分解できるときは，3 つの式からなる 2 つの因数に分解される。
n

n

n

n

• n が 4 の倍数のとき，xn + 4 は xn + 4 = (x 2 + 2x 2 + 2)(x 2 − 2x 2 + 2) と因数分解できる。

• n = 22k+4 (k > 0) のとき，xn + 4 は因数分解できる。
• x4n + 4 が因数分解されることの証明は次のとおり。
x4n + 4 = (x2n )2 + 4 = (x2n )2 + 4x2n + 4 − 4x2n
= (x2n + 2)2 − (2xn )2 = (x2n + 2xn + 2)(x2n − 2xn + 2)
(3) xn + 8 について• xn + 8 は n が 3 の倍数のとき因数分解できる。
x3n + 8 = (xn )3 + 23 = (xn + 2)(x2n − 2xn + 4) である。
n

2n

n

n が 3 の倍数のとき，xn + 8 は xn + 8 = (x 3 + 2)(x 3 − 2x 3 + 4) と因数分解できる。

• x3 + a は，a = b3 のタイプのときに因数分解できる。
x3n + a3 は，x3n + a3 = (xn )3 + a3 = (xn + a)(x2n − axn + a2 ) と因数分解できる。

22ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬d;

'

$

&

%

(4) xn + an について• xn + 2n は，n が 2 の累乗の数 (2k ) のときは因数分解できない。
• xn + 3n は，n = 2k のタイプのときは因数分解できない。
• xn + an が因数分解できれば，因数分解された式は a の値によらず同じ形である。
 たとえば，x6 + a6 = (x2 )3 + (a2 )3 = (x2 + a2 )(x4 − a2 x2 + a4 )• xn +nn で n が素数の場合は，xn +nn = (x+n)(xn−1 −nxn−2 +n2 xn−3 −· · ·+nn−1 )の形に因数分解される。

• xn + 32 は n が 5 の倍数のとき，xn + 64 は n が 3 の倍数のとき，xn + 128 は n が7 の倍数のとき因数分解できる。
(5) その他• xn + a は，n = 1, 2 のときは因数分解できない。
• x2 + a は因数分解できない。
• xn + 2, xn + 3 は因数分解できない。
• x3 + a3 は因数分解できる。
• x4 + 42k+1 = (x2 + 2k+1 x + 22k+1 )(x2 − 2k+1 x + 22k+1 ) である。
• x4 + a が因数分解される a は，a = 4, 64, 1024, 16384, · · · であり，前の値を 16 倍した値のときである。

• x5 + a5 は，(x + a)(x4 − ax3 + a2 x2 − ax3 + a4 ) と因数分解される。
• x5 + 55k は因数分解できる。x5 + 32n は因数分解できる。
• x6 + a3 は，x3 + a3 のときの因数分解と同じタイプに因数分解される。
• x6 + 63k は因数分解できる。x6 + a3 = (x2 + a)(x4 − ax2 + a2 ) である。
• x3n + a3 は因数分解できる。
• x7 + a7 = (x + a)(x6 − ax5 + a2 x4 − a3 x3 + a2 x4 − ax5 + a6 )• x8 + 42k−1 は因数分解できる。
• x9 + a3 , x9 + a9 は因数分解できる。
• xn + n は，n = 42k−1 のとき因数分解できる。
• xn + a は，n が 4 の倍数で，a = 4 · 16k のタイプのとき因数分解できる。

23

dx(‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

• xn + a が 1 次式との 2 つの積に因数分解できるとき，1 次式でない方の式の項の数は n 個である。

√• 下記より，xn + a は n が 4 の倍数で 4 4a が整数になるときに因数分解できる。

2

√

√ √
√ 2
√ √
√ √
xn + a −2 a xnxn + a = xn + 2 a xn + a − 2 a xn =





√
√
√
√ √
√
√ √
=
xn + a + 2 a xn
xn + a − 2 a xn√√√√  √√ √√
44xn + a + 4a 4 xn
xn + a − 4a 4 xn=
• 下記により，xn + a は√√ 1
a と (2 a) 2 が整数になるときに因数分解できる。





√ n  n √ 2
√ n 2
√ n
2 ax 2xn + a = xn + 2 ax 2 + a − 2 ax 2 = x 2 + a −





√
√ n
√
√ n
n
n
= x 2 + a + 2 ax 2
x 2 + a − 2 ax 2


3.4.3

√ n
n
x 2 = x 4 のルートがはずれる必要があるので，「n が 4 の倍数である」という条件も必要である。

教育効果・反省点

この因数分解に関しても，これまでと同様に多様な発見がなされてきた。その多様性は，

xn − 1 の因数分解は指数 n を変えるだけであるが，xn + a の因数分解では，指数 n と定数
項 a とを変えながら考察することが必要なためではないかと思われる。学生のレポートを見ると，できるだけ一般性のある表現で記述しようとしているほか，式による証明を加えてきた学生も少くない。すでに，2 回の自由研究の経験を経て，その書き方等について慣れてきたためと思いたい。
しかし，これまでと同様，自分の見つけた性質が一般性のあるものかどうかの検証にかける指摘も見られた。これらの誤りについては，反例等を示しながら学生に解説した (p.130)。
誤った指摘• xn + a は，a = 1, 4, 8 のときしか因数分解できない。
• 因数分解した式の係数に奇数はない。
• xn + a は，a が奇数のときは因数分解できない。
• x2n + 1 は因数分解できる。
• n が 4 の倍数のとき，xn + 1 は次のいずれかに因数分解される。
(x2 + 1)(xn−2 − xn−4 + · · · + 1), (x4 + 1)(xn−4 − xn−8 + · · · + 1)
• x4n + a が因数分解できるのは a = 4 のときだけである。
• xn + an は因数分解できる。
• 2 つにすると，(x + b)(· · · ), (x2 + b2 )(· · · ) の形になる。

24

ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dxd

3.5

三平方の定理3.5.1

この課題の意図

三平方の定理は，中学校 3 年生で学ぶ内容である。直角三角形の 3 辺の間に a2 + b2 = c2という関係があることを学生はよく知っている。しかし，このような関係をみたす a, b, c の√具体的な値については，32 + 42 = 52 , 52 + 122 = 132 のときや，3 辺の比が 1 : 1 : 2 と√
2 : 1 : 3 のときくらいしか知らない場合が多い。
そこで，平成 16 年度の 1 年生の冬季休業の課題の中で，三平方の定理をみたす自然数 a, b, cについて考察させた。学生に提示した内容は，以下のような内容である。
$'

三平方の定理三平方の定理を成立させる簡単な自然数として，32 + 42 = 52 や 52 + 122 = 132
が良く知られています。このような自然数は，他にどのようなものがあるでしょう
か。3, 4, 5 のように，連続する 3 つの自然数で三平方の定理を満たすものは他にあるでしょうか。5, 12, 13 のように，3 つのうち 2 つが連続するような数で三平方の定理を満たすものは，他にあるでしょうか。つまり，a2 + b2 = c2 が成立する
ような自然数 a, b, c をできるだけたくさん見つけてください。そのような自然数
では，a2 = c2 − b2 も成立しています。そして，そのような自然数 a, b, c は，どのような仕組で作り出されているのか，それを作り出す仕組について考えてみてください。数ナビの操作ばかりではなく，ある程度の手計算も交えながら考えてみく
ださい。

&

%

この課題は，冬季休業中の自由研究 (p.129) として複数題の中から選択させた。167 名中94 名がこの課題を選択した。学生の発見した内容は，外部発表論文「試行錯誤で三平方の定理を考える」(p.87) で詳述したが，ここではその中から幾つかの結果を紹介する。

3.5.2

三平方の定理に関する学生の発見• A2 + x2 = (x + 1)2 を満たす x について，x の 1 の位の数は 0,2,4 のときに限られる。
• a2 + b2 = c2 で b, c が連続する数のとき，a は奇数である。32 + 42 = 52 を既知とする
とき，次の式は 52 + b2 = c2 のタイプであるが，この b は (52 − 32 ) ÷ 2 = 8 を 4 に加えた値である。以下，同様のことを繰り返せばよい。

• a2 + b2 = c2 において b, c が連続する場合は，次のようになっている。
32 + (4 × 1)2 = {(4 × 1) + 1}2
2

2

5 + (6 × 2) = {(6 × 2) + 1}

2

2

2

2

7 + (8 × 3) = {(8 × 3) + 1}..
.

(4 = 3 + 1)
(6 = 5 + 1)
(8 = 7 + 1)

つまり， a は必ず奇数 (a >= 3) で，b は a を 2 で何回割れたかという回数を a + 1 に掛けた数である。

25

dx1‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

'

$

&

%

• b, c が連続するとき，32 + 42 = 52 から数えて k 段目の式の b は，b = ak + k である。
たとえば a = 9 は 4 段目なので b = 9 × 4 + 4 = 40 である。

• a2 + b2 = (b + 1)2 に対して，その次の式を (a + 2)2 + B 2 = (B + 1)2 とすると，
B = ((a + 2)2 − a2 )/2 である。
• b, c が連続するとき，次のことが成立する。(2n + 1)2 + (4(n + (n − 1) + · · · + 1))2 =(4(n + (n − 1) + · · · + 1) + 1)2 。
• b, c が連続するとき，そのような a, b, c は，60 の倍数になっている。
• b, c が連続する a, b, c の和 a + b + c の第 2 階差は 8 になり一定である。
• a, b が連続する場合として
32 + 42 = 52
202 + 212 = 292
1192 + 1202 = 1692
6962 + 6972 = 9852
40592 + 40602 = 57412
である。n 段目の式を a2n + b2n = c2n とすると，

an = 6 × an−1 − (an−2 − 2),cn = 6 × cn−1 − cn−2という関係がある。

• 32 + 42 = 52 であることから，3332 + 4442 = 5552 や 33332 + 44442 = 55552 も成立

26

ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dxn

する。さらに，33332 = 55552 − 44442 = (5555 + 4444)(5555 − 4444) = 9999 · 1111
44442 = 55552 − 33332 = (5555 + 3333)(5555 − 3333) = 8888 · 2222
であり，右辺の 2 数の和は，いずれも 11110 となって一致する。

• 3a = b+c のとき，a : b : c = 3 : 4 : 5 である。さらに，3a = b+c, 4a = b+c, 5a = b+cとなるものが存在するので，na = b + c となるものが存在するはずである。

• a, b, c の中には，一定量ずつ増えているものがある。たとえば，62 + 82 = 102 は 2 ずつ増えている。12 ずつ増えるのは，a2 + (a + 12)2 = (a + 24)2 を解いて a = 36 である。

3.5.3

教育効果・反省点

この課題の考察には，数ナビを特に必要としない。実際，数ナビを使用しないで考察した学生もいた。通常の四則計算と根号機能のある電卓があれば十分と思われるが，いろいろな試行錯誤をするには，数ナビの履歴機能が役にたったと思われる。
いずれにしろ，既知の定理である「三平方の定理」を調べてみて，実に多様な性質があることに感動した学生が多い。

3.6

3 次関数のグラフ

3.6.1

この課題の意図1 年生は，2 次関数 y = ax2 + bx + c のグラフを前期に学んでいるが，3 次以上の整関数は
y = axn のグラフに触れる程度である。一般の整関数のグラフを描くには微分法によらなければならないが，グラフ電卓を利用すれば，試行錯誤を通してグラフの特徴をある程度把握させることができる。一般の整関数のグラフが 1 年で必要になることはないが，そのグラフの形状を知っていることは，高次不等式の解法の際に役立つと思われる。そこで，平成 16
年度の 1 年生に対して，秋季課題として 3 次関数のグラフの形状と係数 a, b, c との間の関係について考察させた (p.124)。
'$[課題] 3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c のグラフ
3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c のグラフは，係数 a, b, c がどのようなときに，どのようなグラフになるかを調べよ。

y = x3 + ax2 + bx + c を考えるとき，3 つの係数 a, b, c を同時に変化させるのも大変なので，y = x3 + ax2 , y = x3 + bx, y = x3 + c などについて調べて，少しずつ係数の数を増やしながら考察することもできる。係数 a, b, c は，グラフのどのような変化と関連しているのか。軸との共有点はどのようなときか。共有点の数
は，a, b, c の値のあり方によりどのように変わるか。グラフの山や谷の頂点の座標を a, b, c の式で表せないか。放物線では y = ax2 を平行移動するだけであった。3次関数について同様のことを考えることはできるか。グラフの対称性について何か

&

%

27

dx;‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

$'特徴はないか，などなど，いろいろグラフを表示させる中で，各自の関心を持った部分について考察せよ。 まとめ方としては，各自がどのような問題意識をもったか。それに対して，数ナビにどのようなグラフを表示させ，それを見て何を思い，どのようなことを予想し，その予想をどのようにして確かめたか。というような，
各自の思考の経過をまとめればよい。なお，a, b, c は整数とは限らない。
課題提示：10 月 28 日，提出〆切：11 月 19 日&%

考えやすいよう，y = x3 + ax2 や y = x3 + bx などから調べていけばよいことに触れ，どんな学生でも何かに気づくことができるように配慮した。3 次関数のグラフをいろいろ表示
させてみることにより，各係数の意味を感覚的につかんでほしい，ということを意図した課
題である。

3.6.2

3 次関数のグラフに関する学生の発見

学生から指摘された事項については，平成 15 年度の結果と併せて外部発表論文「3 次関数の性質に関する高専 1 年生の自由研究」(p.73) で詳述したので，ここでは概略のみ述べる。
なお，学生の指摘してきた全事項は，学生向け配布資料 (p.125) にある。

(1) y = x3 + ax2 のグラフ変化させるのが a だけであるので，グラフがどのように変化するかはすぐに気がついたと思われる。ただし，a > 0 の場合しか試さない学生も多かった。

a = 1, 2, 3

a = −1, −2, −3

a の値を変化させると山や谷の部分が大きくなることや，原点と (−a, 0) が x 軸との共有点であることには多くの学生が気づいた。曲線の揺れの幅が「広くなる・狭くなる」

4 a3 である
2という形でも表現されている。a > 0 のときの山の頂点の座標は − a,327
ことを見抜いた学生もいる。
グラフの対称性についても指摘があり，「y = x3 + ax2 は偶関数でも奇関数でもない
ので，対称性はない」ことや，「y = x3 + ax2 と y = x3 − ax2 とは原点に関して対称である」「y = −x3 + ax2 と y = x3 + ax2 とは y 軸に関して対称である」ことが指摘されている。グラフの対称の中心点の x 座標は，a が増えるにつれ減少するとの指摘もあった。また，「y = x3 + ax2 のグラフを平行移動すると y = x3 − ax2 になる」という形の指摘もあった。

28ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dxx(2) y = x3 + bx のグラフ
b を正の方に変化させるとグラフは y 軸に近づき，b を負の方に変化させると山や谷の部分が大きくなることや，グラフが原点に関して対称であることには多くの学生が気がついた。y = −x3 + bx のグラフは y = x3 − bx のグラフと y 軸に関して対称であるとの指摘もある。

b = 1, 2, 3

b = −1, −2, −3x 軸との共有点についても正しく指摘され，b > 0 のときは 1 個，b < 0 のときは 3個，そして b = 0 のときの共有点は原点だけであることが指摘されている。共有点の√x 座標は，b < 0 のときは 0, ± −b である。また，b > 0 のとき，b を 1 ずつ増すと

y = x3 + bx の値は x 座標の分だけ減り b < 0 のときに b を 1 ずつ減らすと x 座標の分だけ増えるとの指摘もある。

(3) y = x3 + c のグラフ
このグラフは y 軸方向に c だけ平行移動しているだけである。多くの学生がそのこと√に気づいた。y 軸との共有点が (0, c) であり，x 軸との共有点は ( 3 −c, 0) であることも指摘されている。

(4) y = x3 + ax2 + bx のグラフ
今度は，a, b の 2 つの値をいろいろと変えながらグラフの変化を眺めなければならな
い。やみくもに a, b の値を変えるのではなく，いずれか一方を固定して考えればグラフの特徴が見えてくる。

a = 1, 2, 3, b = 1

a = −1, −2, −3, b = 1

この関数の場合は，2 次方程式 x2 + ax + b = 0 の判別式との関連性に気づくことを期待したものである。共有点の個数は 1〜3 個で必ず原点を通ること，それ以外の共有√−a ± a2 − 4bである
点を持つのは a2 − 4b >0のときであり，共有点の
x
座標は
x
=
=
2
ことが正しく指摘された。

29

dxE‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

a = 1, b = −1, −2, −3

a = 1, b = 1, 2, 3グラフの対称性に関しては，y = x3 + ax2 + bx と y = x3 − ax2 + bx のグラフは，原点に関して対称であること，y = x3 + ax2 + bx が点 (p, q) を通れば y = x3 − ax2 + bx
は点 (−p, −q) を通ること，なども指摘されている。

(5) y = x3 + ax2 + bx + c のグラフ
この関数は，y = x3 + ax2 + bx のグラフを y 軸方向に平行移動しただけなので，

y = x3 + ax2 + bx のグラフが分かれば十分であることに気づくことを期待したものである。そのことは正しく指摘されている。また，y = x3 + ax3 + bx + c の a, b, c の役割
は，y = x3 + ax2 , y = x3 + bx, y = x3 + c の a, b, c の役割と同じであるとの指摘もあった。この関数の変曲点の x 座標は x = −a/3 でであるが，a が対称の中心の x 座標を決めていることを見抜いた学生もいる。

y = x3 + ax2 + bx + c = x(x2 + ax + b) + c であることより，この式は次のように表せる。

y =x x−

−a +



√
√
a2 − 4b−a − a2 − 4b
+c
x−
2
2

√
√
a2 − 4b−a − a2 − 4b
, B =とおくと，グラフは 3 点
したがって，A =22(B, c), (A, c), (0, c) を通る。このことから，y = x(x − p)(x − q) + c と表わされる−a +とき，グラフは 3 点 (0, c), (p, c), (q, c) を通ることを指摘した学生もいる。

(6) その他の指摘
上述のこと以外では，y = x3 + ax2 と y = −x3 + ax2 のようなグラフの対称性に関する指摘や，y = x3 + ax2 は必ず 3 点 (−1, a − 1), (0, 0), (1, a + 1) を通るなど，関数の式の形により必ず通る点を指摘してきた学生もいる。また，x 軸との共有点の数について，まとめた学生もいる。

(7) 誤った指摘事項
数ナビの表示するグラフをみて，誤った指摘をしてくる学生もいる。たとえば，次頁の左側のグラフをみて，y = x3 + ax2 のグラフは，0 < a < 1 のときは山や谷が現れな
いと書いてきた学生がいる。

30

ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dx

y = x3 + 0.8x2−1.5 <=x<= 1.5, −0.5 <
=y<
= 0.5

グラフの拡大，座標のテーブル表示，あるいは，x 軸との交点を考えれば，このような誤りは起こりえないはずである。グラフに過度に頼りすぎることの危険性を示している。

3.6.3

いろいろな感想この 3 次関数の課題は，複数題の中から選択させるのではなく全員に課した。単に式を入れてグラフを眺めて，そこから規則性を考えるわけであるが，1 次関数や 2 次関数と違い，係数をちょっと変えるだけでグラフが大きく変化する様子には，多くの学生が驚いたようである。学生のレポートを見ると，自分の発見した事をワクワクしながら書いていることが推測された。以下に，このレポートに記されている学生の感想を幾つか紹介する。

• 係数 a, b, c を大きくするとグラフも大きくなると思ったが，そうではなかった。
• y = x3 + bx で b > 0 だと直線に近づいていくのがおもしろいと思った。
• 係数を変えるだけで，まったく異なる特徴を持つグラフになり，とてもおどろいた。
• 係数が負のときは，グラフがただ反対になるだけだろうと思っていたけど，やってみると全く違うグラフになったりしてびっくりした。

• 最初は法則が分からなくて，ただグラフを書くだけだったが，進むにつれ法則が分かり面白くなった。

• 係数が平方根や分数のときは，整数のときのグラフとはかなり違うグラフになると思ったのに，そんなに変わらないのは意外だった。

• たった 3 次式のグラフでさえ，こんなに色々な形をしていて，私の見つける事のできない法則がまだ幾つも隠されているのかと思うと，凄いと思った。

• y = x3 とは何か？ このようなグラフになることを見い出した数学者達の思いがヒシ
ヒシと伝わってくるのが，研究をしている中での第 1 の感想。例えば，Weierstrass，
彼の言った「幾分なりとも詩人でないと数学者は完全な数学者とはいえない」この言
葉が心を巡った。関数という一つの点からできる線。それは宇宙 (そら) の星を 1 つ 1つパズルのように組み合わせる，そんな研究だった。

• 関数のグラフについて，ここまで深く考えたことは初めてで，いろいろ考えてみると気づくことが多く，自分が今気づいたことよりも，まだ規則性的なことがあると思う。
やってみると意外と楽しかった。

• 初めは難しそうで面倒くさそうで全くやる気が起きなかったけれど，やっていくうちに，いろいろ考えるのがとても楽しくなってきた。

31

dxM‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

3.7

絶対値関数のグラフ

3.7.1

この課題の意図

学生は，「絶対値」を非常に苦手としている。そこで，絶対値に関する理解を深め，それを含む関数のグラフを容易にイメージできるようになることを目標として，以下のような課題
を平成 16・17 年度の夏季休業の課題 (p.119, p.140) とした。

$'

絶対値関数のグラフ (平成 17 年度)



y = |x| のグラフは，数ナビでは  F1 で，たとえば y1 = abs(x) として入力












します。abs は alpha を利用します。あるいは， CATALOG = を押しても出てきます。y = |x| は，x >= 0 のときは y = x であり，x < 0 のときは y = −x ということです。
そこで，y1 には適当な関数を定義し，y2 は y2 = abs(y1(x)) として y1 と y2 のグラフを比較してください。y2 = |y1(x)| としたことになります。グラフを表示させ

るには  F3 です。グラフがうまく表示されないときは， F2 4 を押してみてく








ださい。たとえば，  F1 で y1 = x2 −1, y2 = abs (y1(x)) として  F3 でグラフを表示させると，どのようなグラフが表示されるでしょうか。これは，y = x2 − 1と y = |x2 − 1| のグラフを表示させたことになります。ただし，2 つのグラフが重なって分かりにくいので，   | で Leading Cursor の箇所を ON に変更した方が 

グラフが分かりやすくなります。

y1 にいろいろな関数を定義して，y1 と y2 = |y1(x)| のグラフを比較してください。そして，一般に y = f (x) と y = |f (x)| のグラフの間にはどのような関係があf (x) + |f (x)|
f (x)
, y=
, y = |f (x)| − p
るかを考えてください。さらに，y =|f (x)|
2などは，どのようなグラフになるでしょうか。それは，何故でしょうか。
絶対値を含む関数や，それらの和・差・積・商を利用すると，いろいろなグラフを描くことができます。次のグラフは，どのような関数のグラフでしょうか？ また，絶対値を利用して，もっとおもしろいグラフはできないでしょうか。
&
y
y
y
y

O

O

x

O

(1)

(2)

(3)

y

y

y

O

(5)

32

x

x

O

(6)

x

O

(7)

x

%

x

O

(4)
y

x

x

O

(8)

ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dx

y = f (x) のグラフで，x 軸より下側のグラフの符号を反対にしたものが y = |f (x)| のグラ
フであることを，いろいろな関数のグラフを見るなかで実感させようと意図した。しかし，残念ながら，この課題を選択したのは，平成 16 年度は 4 名，平成 17 年度は 3 名だけであった。「絶対値」というだけで拒絶反応が起きているのかもしれない。

3.7.2

絶対値関数に関する学生の指摘事項

この課題に取り組んだ学生の数は少かったものの，例示したグラフについて，取り組んだ
学生からは以下のような式が提示されている。

x+1(x < 0)(1) y = −|x| + 1，y = −|f (x)| + p (p > 0)，y =−x + 1 (x >= 0)(2) y = −|x − 1| + |x + 1|
|x + p| |x − p|+−p(3) y = |x + 1| + |x − 1| − 2，y =22(4) y = |x| − p − q ，y = |x + 4| + |x − 4| − |x| − 5
x
|x|
，y =
(5) y =−x|x|
|x + 1| |x − 1|
− 1 がある。
(6) この関数についての指摘はなかった。たとえば y =
−
x+1
x−1
2
(7) y = |x − 3| − 2(8) y = |x2 − 2| − |x2 | + 1

3.7.3

教育効果と反省点

絶対値を含むいろいろな関数のグラフを調べることにより，絶対値に関する拒絶反応を薄めようと意図したものであったが，各年度とも数名からしか選択されなかった。絶対値に焦点を絞るのであれば，他に選択する余地を与えず，この課題だけを単独で課した方がよかったかもしれない。また，取り組んだ学生の中には，y = |ax| のグラフしか試さなかった学生もいた。具体的な式を幾つかあげて，もう少し誘導する必要があることを反省させられた。
なお，数ナビで絶対値関数と無理関数を含む関数のグラフを表示させるときは，ちょっと注意が必要である。それは，数ナビは複素数の計算も可能であることによる。たとえば，数√√ナビで y(x) = | x + 4 − 2| のグラフを表示させると，x < −4 の部分は x + 4 − 2 の複素数としての絶対値を計算して表示してくる (右図)。正しく表示するには，定義域の x >= −4を指定する必要がある。

y=

√

x+4−2

√
y = | x + 4 − 2|33dE(‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

3.8

曲線で囲まれた図形の面積

3.8.1

この課題の意図

図形の面積を扱うには区分求積法の考え方が必要になってくる。微分・積分について何も知らない 1 年生が，この問題をどこまで考えることができることができるかを見るために，
以下の課題を平成 17 年度の冬季休業の課題とした。冬季休業では学生に 5 つの課題を提示して選択させたが，面積の課題を選択した学生は 9 名だけであった。
なお，石川高専の阿蘇 2) は，高専の 2 年の微分法学習中に y = x2 と x 軸 (0 <= 1) と=x<の間で囲まれた図形の面積について同様の考察を行わさせ，区分求積法の考えが自然に出てきたことを報告している。

$

'

図形の面積
皆さんが面積の求め方として知っているのは，

y1

長方形，平行四辺形，台形，そして三角形の面積です。これらの図形を組み合わせることで，他の図形の面積を求めることはできないでしょうか。

−1

1
x

O

たとえば，y = 1 − x2 のグラフは，y = −x2 のグ
ラフを y 軸方向に 1 だけ平行移動したグラフなので右図のグラフです。このグラフと x 軸との間で囲まれた図形の面積を求めるにはどうすればよいでしょうか。できるだけ正確な近似値を求める方法を考案してください。そして，具体的にその値を計算してください。
また，一般に，関数 y = f (x) のグラフと x 軸との間で囲まれた図形の面積を計算するには，どのようにすればよいでしょうか。その一般的な方法についても考えてみてください。そして，自分で適当な関数のグラフを考え，そのグラフと x 軸との間で囲まれた図形の面積を計算してみてください。

&

3.8.2

%

曲線で囲まれた面積に関する学生の考察

解説で，長方形や台形の面積など既知の図形の面積を組み合わせることに触れたこともあり，簡単な図形で外側と内側を囲もうとしているのが 5 名，区分求積の考え方で考察している者が 4 名であった。以下に，その主な概要を紹介する。
既知の図形の面積による近似(1) 2 名の学生は，求める図形は台形 ABCD で近似できると考yえて，まず，x < 0 の側の台形 EBCO の面積 3/4 を求める。

2

そして，与えられた図形と BCE の共通部分の面積は，図Bを眺めることにより BCE の面積のほぼ半分とみる。台形

BCOE の面積 3/4 から ECO の面積 1/2 を引くと BCEの面積は 1/4 となるので，

34

C

E A

O

D

x

ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dEd

求める図形の面積はBCE × 1 + ECO × 2
2

5 であるとしている。
4(2) 2 名の学生は，この図形は単位円の上半分に近いことから，近似値として半円の面積を計算してπ/2  1.57 を考えている。
(3) ある学生は，求める図形の面積は ECD の面積と半円の面積の中間にある考え，
1 + π ÷ 2  1.285
2としている。
区分求積の考え方による考察
区分求積の考え方で図形を幾つかの図形に細かく分けて面積を求めようとしたのは 4 名である。そのうち 2 名は関連する参考書を見て書いているが，残りの 2 名は「自分で考えた」と述べている。自分で考えた学生の考え方は，以下のとおりである。

(1)

ある学生は，縦長の台形で近似できると考え，左側の部分を 10 個の台形に分割して，その面積を実際に計算する。

1 {(0.99 + 1) · 0.1 + (0.96 + 0.99) · 0.1 + · · · + (0.19 + 0.36) · · · 0.1} = 0.6652となるので，全体では 0.665 × 2 = 1.33 とし，この値は4 であることを見抜いている。
3
この学生はレポートを直接研究室まで持ってきたのyで，「すごいね！」と言うと，「べつに〜，誰でもやるんxO

じゃないですか？」と言い，自分で考えて自然に出てきた考えであることがうかがわれた。

(2)

別な学生も同じように台形に分割するが，縦長ではなく横長の台形で分割する。ただ「近似値をし，上段は三角形で近似する。最初は 3 分割した図形で考え方を固め，次に，求めるには，より多くの図形に分けることが必要である」として，10 分割した図形で実際の計算を行っている。
yO

y 軸を等分した場合

y

x

O

x

x 軸を等分した場合

ただし，y 軸を 10 等分するのではなく，x 軸を 10 等分して考えている。そのため，
2 < x < 3 の部分
台形の高さはすべて異なる図形で考えたことになる。たとえば，
10 = = 1035

dE1‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

の台形の面積は
 


2
2
3
2
+1 −
−
+1
−
10
10

×



2 + 3
10
10



×2× 1
2

として計算し，10 分割して計算した面積の合計として 1.33 を得る。また，その計算過程から，

1 (12 + 32 + 52 + · · · + 172 + 192 ) = 1330 = 1.33
1000
1000

となることに気づいている。
学生のレポートの図は y 軸を分割したかのような図であったが，具体的な計算式を見ると，上述のように x 軸を分割した計算である。

3.8.3

'

$

&

%

教育効果・反省点

曲線で囲まれた図形の面積を求める課題は 9 名しか選択しなかったが，2 名の学生は自分の力で区分求積の考え方に至っている。そこでは，以下のような定積分導入時の基本となる考え方が自然になされている。この課題を全員に考えさせた場合は，同じ考え方をする学生
が，さらに多く現れたであろうことが予想される。

(1) 求める図形を既知の図形で外側と内側から挟もうとしていること(2) 求める図形を既知の図形で分割して，その面積の和として求めようとしていること(3) 求める図形の面積を求めるには，分割を細かくする必要があるとしていること
区分求積法による定積分の定義は，ややもすると敬遠されがちであるが，このような課題を経た後に説明すれば，十分に学生の理解が得られるのではないかと思われる。その意味では，定積分の導入前に考えさせるのが効果的かもしれない。また，課題を与えるときに面積の値も示しておけば，さらに考察の継続につながったかもしれない。

3.9

グラフ・アートの作成「グラフ・アート」とは，数ナビ TI–89 のグラフ機能を利用して，関数のグラフを繋ぎ合わせて何らかの「絵」を作成するものである。何かの問題を考察するわけではないが，自分36ৈ௧৾েभষढञ૥ষ჻ෙ‫ؙ‬dEnの思い描いた絵を作成するには，どのような関数のグラフが適切であるか，また，そのグラ
フのどの部分 (範囲) を採用すればよいかを自分で判断することが求められる。つまり，関数の式と範囲を自分で決めながら一つ一つの曲線が描かれる。そして，その総合として一つの絵が完成する。その過程で，学生は関数の式とグラフとの対応関係を身をもって体験することになる。また，関数の式の係数や平行移動の量は，ある程度の試行錯誤を伴いながら決定していくので，関数の総復習としての意味合いも持っている。日本では金沢高専で最初に行われた。その後，福井高専が中心になってグラフ・アートの全国大会を開催するまでになっている。
この課題は，平成 16 年度と平成 17 年度の 1 年生に対して行った。課題を与える前には，範囲の指定の仕方や個々の曲線の表示方法の種別指定などにについて説明した (pp.116–117)。
次頁に学生の主な作品を紹介する。いずれも，関数のグラフをつなぎ合わせて作成されている。平成 16 年度の作品のうち，6 作品が第 1 回全国グラフ・アートコンテストに入選した。
また，平成 17 年度の作品では，クラス投票などの結果をもとに各クラスから 3 作品を応募した。
第 1 回全国グラフ・アートコンテスト入賞作品 (平成 16 年度)
優秀作品 2 位[D3] 八面体

優秀作品 3 位[E4] アメリカ大陸の断面図

佳作 B[A1] はさみ，[C2] y = x ，[C4] 音符，[C6] ORI ON THE

第 2 回全国グラフ・アートコンテスト応募作品 (平成 17 年度)
機械工学科[A1] 笑う富士山，[A2] ドラえもん，[A7] かぁーびー

制御情報工学科[B1] 釣られる寸前の魚，[B2] 流し目，[C1] がらがら

電気情報工学科[D1] EZ Web，[D5] call，[E2] ウェーブ

物質化学工学科[F3] バラ，[F4] PM1:26，[F5] 海と樹海と雲と山学生がグラフ・アートをどのような関数を用いて作成しているかをみるため，以下に平成

17 年度の幾つかの作品について，その構成関数をみてみよう。
笑う富士山√(1) y = −| 22 − x2 | + 3 
1 2 − (x − 2)2(3) y =
4√(2) y = | 22 − x2 | − 3−3<x<3 
1 2 − (x + 2)2(4) y =
4

この作品は，僅か 4 個の関数で定義されている。個々の関数のグラフについて，そのグラフの上側・下側の塗りつぶしや，線の太さなどを指定できるので，そのような機能も利用されている。絶対値を利用することで根号内が負になる場合のグラフも表示されているが，そのことを学生が意図的に行っているのかどうかは不明である。
流し目(1) y =

102 − (x + 5)2(2) y = − 102 − (x + 5)237

dE;‫ؙ‬ਸ਼⋜৖‫ॢؙ‬ছইਗ਼ཬभણ৷হ୻

(3) y = 3(x + 1)

0.5 < x < 3(4) y = −3(x + 8)

− 13 < x < −10.5(5) y = 6(x + 6)

− 4.5 < x < −3.5(6) y = −1/2x + 13

− 15 < x < 5(7) y = (x − 7)3 − 5(8) y = sin x− 10 < x < 0

この作品は，8 個の関数で構成されている。右側は (7) の関数の下側を塗りつぶしたものであり，目の中では目玉がサインカーブを描きながら動く。
ウェーブ(1) y = 3 sin(16x)
この作品は，1 個の関数だけである。液晶ドットの精度の関係で，このように表示されてしまう。これを作成した学生はコンピュータに強い学生であることもあり，ドットの精度の関係だろうことに気づいていた。
バラ(1) y = 2x+3.2 − 9− 0.5 < x < −0.2 (2) y = −2−x+3.1 + 8
x < −0.1√−x+0.2(3) y = − −3x + 5 + 0.7+ 0.5 − 0.2 < x < 1.6− 0.2 < x (4) y = −9√(5) y = −3(x + 1.1)2 + 1 − 0.9 < −0.2 (6) y = 2x + 2 + 1
x < −0.8(7) 以下、省略する。
この作品は，全部で 30 個の関数が利用されている。使用されている関数は，指数関数，無理関数，2 次関数である。指数関数としては 2x , 20x , 30x などが，無理関数は√ax + b のタイプであるが，a = −100 の場合のグラフも含まれている。
いずれにおいても，学生はこのような関数を自分で選択して，その係数や範囲なども自分で決定している。通常の授業の中で，このような関数を学生が自分の意志で取り扱うことはないであろう。関数グラフの総復習として有効と思われる 11) 。

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[T3 Japan ୈ 13 ճ೥ձ (‫౎ژ‬େձ)ɼ2009.8]

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άϥϑి୎ͷ਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳ͸ඇৗʹߴ౓Ͱ͋ΓɼԠ༻਺ֶ΍Ԡ༻෺ཧʹؔ͢Δ໰୊ʹରͯ͠΋ରԠՄೳͰ͋Δɽͦͷ͜ͱΛଟ਺ͷྫΛ‫ͨࣔ͠ྫͯ͛ڍ‬ɽ۩ମతʹ͸ɼϑʔϦΤ‫਺ڃ‬ɾϑʔϦΤม‫׵‬ɼϥϓϥεม‫׵‬ɼϕΫτϧղੳɼෳૉؔ਺࿦ɼඍ෼ํఔࣜɼ౷‫ܭ‬ɼԠ༻෺ཧɼͦͯ͠
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021–8511 Ұؔࢢഡ૳ࣈߴས Ұؔ޻‫ߴۀ‬౳ઐ໳ֶߍ,180

E–mail: umesan@ichinoseki.ac.jp

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3

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181

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4

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ਤ 5: ࣗಈ‫ࢉܭ‬ͷઃఆ

182

ਤ 6: άϥϑදࣔͷઃఆd1‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

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183

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y = 58.06(0.988142856586)x + 25.14

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1 ͷҰൠղ͸ɼt, θ Λ༻͍Δͱ
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3···················· θ(t) = C · exp(−kt) + 25.14

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83.2 = C · e0 + 25.14,

43.1053 = C · e−99k + 25.14

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1 ͷղ͸ɼ
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ਤ 13: ղ‫ۂ‬ઢ

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ਤ 14: ղ‫ۂ‬ઢ

184

5
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Ͱ͋Δɻ͕ͨͬͯ͠ɼ͜ͷ৔߹ͷԹ౓ θ(t) ͸ɼθ(t) = 53.066 · exp(−0.011384 t) + 25.14

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185

論

Paper

文

ハンドヘルドテクノロジーとセンサーを活用した高専における化学工学実験
Chemical Engineering Experiments Utilizing Handheld Technology
and Sensors at National College of Technology

梅 野 善 雄※１
Yoshio UMENO

貝 原 巳樹雄※１
Mikio KAIHARA

梁 川 甲 午※１
Kogo YANAGAWA

福 村 卓 也※１
Takuya FUKUMURA

長 田 光 正※１
Mitsumasa OSADA

We conducted new chemical engineering experiments by using an algebraic calculator. The
algebraic calculator is a handheld technology equipment. Data collecting equipment and variety
sensors can be connected to the calculator. The recording method of experimental data could bechanged from manual to automatic by the calculator. As a result, the complicated experimental
procedure became simple and the experimental data range was expanded. In addition, the students
were able to make new analytical or measurement instruments by themselves, combining both thealgebraic calculator and the sensors. The introduction of the algebraic calculator could expand thecontent of chemical engineering experiments.
Keywords：Algebraic Calculator, Sensors, Chemical Engineering Experiments
キーワード：数式処理電卓，センサー，化学工学実験

１．はじめに
筆頭著者は，本誌で数式処理可能なグラフ電卓について何度か紹介し，工学教育における有用性について訴えてきた１），２）．特に，この電卓のオプションとして用意されているデータ収集器を利用すると，各種のセンサーを通して実データを収集して即座にグラフ化することができる３）．この機能は，高専や大学工学部など高等教育機関における工学実験でも十分に活用できると思われ，それにより新たな工学教育が可能になるのではないかと考える．
本校の物質化学工学科は，基本的には化学プラントの設計・運転のための化学技術者養成を目的とし，化学工学を基盤としたカリキュラムが構成されている．
化学プラントの中では化学物質が次々に変化していく．その変化を辿るには複雑な計算が必要となるため，
物質化学工学科では，平成17年度からそれまで使用してきたポケコンに代わり数式処理可能なグラフ電卓（TI‑89Titanium４））を購入させている．そして，幾つかの工学実験の中で，この電卓とセンサーとを組み合わせた実験を試行し始めた．
2012 年 11 月 28 日受付※１一関工業高等専門学校
工学教育（J.of JSEE), 61‒4(2013）

ここでは，その実験の概要について報告すると共に，この電卓を活用した新たな工学実験のあり方について考察する．

２．グラフ電卓の概要
この電卓には，数式処理ソフト「DERIVE」の簡易版が組み込まれ，微分方程式の解析解や線形代数の固
有値計算，
あるいは２変数関数のグラフ表示もできる．
構造化言語（TI‑BASIC）によるプログラミングも可能である．
また，オプション機器であるデータ収集器５）を利用すると，多数のセンサー６）を接続して簡単に実データを収集することができる．距離，速度，加速度，圧力，温度，光，pH，電圧など，50種類以上のセンサーが用意されている．精度も，通常の授業や実験で利用するには十分な精度をもっている．
ただし，
このセンサー群はこのオプション
機器専用のセンサーである．市販されている汎用のセンサーを接続することはできない．データ収集の開始と終了を指示すれば，収集 図１ グラフ電卓
43

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されたデータがリストデータとしてグラフ電卓に転送され，描画範囲が自動調整されてグラフ表示される．

３．物質化学工学科の概要
本校の物質化学工学科は，昭和44年に全国高専の中で３校にだけ設置された化学工学科が前身である．当時の社会問題でもあった，化学工業の発展と公害対策の両方に対応できる技術者の養成が期待され，半世紀近くにわたり一千名以上の人材を世に送り出してきた．
平成７年には化学工学分野を学ぶ「プロセス工学コース」と，バイオ分野を学ぶ「生物工学コース」を併せ持つ物質化学工学科として改組され，４年次からはそれぞれのコースによる選択制となっている．
４年次の科目を下記に紹介する．括弧内は単位数である．卒業研究は４年次の後期から配置している．
【必修科目】
応用数学（1），微分方程式（1），応用物理Ⅱ（2），
情報処理（2），物理化学Ⅱ（2），創成化学工学実験（2），物質化学工学実験実習（3），卒業研究（1）【選択必修科目】
化学プロセス工学Ⅰ（2），無機材料工学（2），生化学Ⅰ（2），生化学Ⅱ（2）【選択科目】
基礎化学工学Ⅲ（2），反応工学（2），機器分析（1），
有機化学Ⅲ（1），実践創造技術（2），化学プロセス
工学Ⅱ（1），微生物工学（1）なお，１〜５年の実験・実習は次のように配置されている．５年における実験・実習は，コースによりプ
ロセス工学と生物工学のいずれかを選択する．
【実験・実習科目】
１年：もの作り実験実習，基礎化学実験
２年：分析化学実験，無機化学実験
３年：有機化学実験，物理化学実験
４年：創成化学工学実験，物質化学工学実験実習
５年：プロセス工学実験実習・生物工学実験実習

係性を徹底的に身につけさせようとする．
一般に，蒸気圧(P)と温度( t )との関係はアントワン式と呼ばれ，log10P ＝ A − B/(t+C）で表される．Ａ，
Ｂ，Ｃはアントワン定数と呼ばれ物質により異なる値をとる．
この実験を，従来は上部を閉じた比較的大型の瓶を直接加熱して蒸気を発生させ，その蒸気圧を水銀を封入したＵ字管マノメータで目視観測してきた（図２）．
この方式は，瓶全体を均一に加熱することが難しく，測定した圧力がアントワン式の圧力よりも低くなる傾向があった．また，水銀マノメータの長さの関係上，40℃程度までのデータしか取ることができず，その温度を超えると圧力が大きくなって水銀がＵ字管からト
ラップに流出するなどの問題があった．
そこで，棒状温度計を温度センサーに，Ｕ字管マノ
メータを圧力センサーに置き換えて実験を行った（図３）．温度センサーの測定範囲は−40 〜 135℃であり，精度は０〜 40℃の範囲では0 03℃，40 〜 100℃の範囲
では0 1℃である．また，ガス圧力センサーの測定範囲
は０〜 210kPa であり，精度は0 05kPa である．
実験は，小型のガラス瓶内をポンプを用いて真空状
態にし，そこへエタノールまたはメタノールの液を入れてドライヤーで加熱する．そして，温度とガラス瓶
内の蒸気圧をセンサーを用いて測定した．センサーを利用することで実験装置が小型化された．また，水銀流出の心配をする必要がないので加熱できる温度範囲が広がり，アントワン式へのあてはまりも良く適切な
温度・蒸気圧曲線を得ることができた．

４．センサーを利用した化学工学実験
物質化学工学科における学生実験のうち，３年，５年，そして専攻科における実験でこの電卓とセンサーとを組み合わせた実験を導入した．利用したのは，圧図２

蒸気圧測定に関する従来の実験装置

力，温度，塩素イオン，光，そして角度を測定するセンサーである．以下では，それぞれの実験の概要と学生の感想について紹介する．
４．１ 温度と蒸気圧との関係
この実験は，温度と蒸気圧との関係を見るものであり，３年の物理化学実験で行われる．周知のように，熱力学によれば平衡物理量は温度の上昇とともに上昇
する．その上昇の仕方は，広い温度範囲で見ると直線的な上昇ではなく右上がりの曲線になる．物理化学実験では，温度と溶解度や温度と反応速度など，この関

図３

CBL2 利用による蒸気圧測定実験装置

44

工学教育（J.of JSEE), 61‒4(2013）ঁথॻঊঝॻॸॡঀট४‫ش‬ध७থ१‫॑ش‬ણ৷खञৈ௧पउऐॊ৲৾ੵ৾ৰୡ‫ؙ‬d

図５
図４

連続攪拌層の残余濃度実験装置

丁寧な実験をしたグループの測定結果

図４は，丁寧に落ち着いて実験を行ったグループの結果である．メタノールとエタノールの２つの物質について実験をして，いずれもアントワン式によくあてはまる結果を得ている．従来の方法では60℃まで熱す
ることはできなかったが，センサーを利用することで加熱できる範囲を広げることができた．
比較のため，従来の方法でも実験をさせた．□記号は，エタノールに関する図２による従来型の実験方法で得たデータである．曲線ではなく直線的なデータになっている．おそらくは容器上部に蒸気が凝縮するためと考えられる．
学生の主な感想は，以下のようなものである．
−精度の高いデータを得るにはセンサーを用いた方が良いと考える．人間の目で温度計やマノメータの圧力差を読むのは誤差が生じやすい．
− TI‑89は精度が高いデータが得られる．旧装置はＵ字管マノメータを用いるため，圧力の変化が感覚的に分かることがメリットと考える．
−表記が英語であるため方法を覚えるのに時間がかかるが，操作に慣れてしまえば CBL を利用した方がよいと考える．
−英語表記のため慣れるのに時間がかかる．また，トラブルが起きた場合の対処に時間がかかる．
実験担当教員は，当初は圧力センサーがうまく機能するかどうか半信半疑であった．しかし，実験結果はアントワン式の推算結果と良好に一致した．このセンサーにはある程度の信頼性があることを実感し，電流計，電圧計，電気伝導度計などを導入した実験テーマに内容を改善していきたいとの感想をもった．また，圧力を実感しやすい従来の U 字管マノメータでの圧力測定も併せて実施していく必要があると述べている．
学生がもっとも困難を感じたのは，グラフ電卓のメ
ニューがすべて英語表示であることである．途中でトラブルが生じると解決にかなりの困難を伴う傾向があるが，学生達はグループで力を合わせて英語を理解しながら操作していった．そのようなトラブル体験は，
就職後の製造現場で海外製品を取り扱う場合にも生かされると思われ，指導教員はあえて手を差しのべることなく学生が自分たちで解決するように仕向けた．

工学教育（J.of JSEE), 61‒4(2013）４．
２ 連続攪拌槽の残余濃度の測定
この実験は，連続攪拌槽の残余濃度を測定する実験であり，５年のプロセス工学実験において行われる．
この実験の目的は，化学プラントにおける反応器の性質として完全混合流れについて理解させようとするものである．周知のように，完全混合流れとは，濃度が異なる流体が流れ込むと槽全体が瞬間的に撹拌混合されて均一濃度に変わり，槽から出る流れの濃度は常に槽内の濃度に等しい流れをいう．
図５は，実験装置の概要である．この装置は，容積約3 4×10‑３m３の透明アクリル樹脂製の容器３槽をチューブで直列に連結したものである．
これらの槽に同一濃度のチオ硫酸ナトリウム（Na２S２O３）水溶液を満たし，図５の左端のヘッドタ
ンク（定水位槽）から約１×10‑５m３/s の一定流量で水道水を供給するとき，右端の槽から出るチオ硫酸ナト
リウ溶液の濃度低下を測定するものである．
従来は，右端の槽から流出する水溶液をホールピペ
ットを用いて正確に５cc 採取し，これにビュレットからヨウ素溶液を滴下する．そして，反応式
２Na２S２O３+I２ → Na２S４O６+２NaIの完結に要するヨウ素の滴定量をデンプン指示薬の呈色の変化から読み取る．この操作を，２分間隔にサンプリングして滴定量が最初の１/20になるまで繰り返
して濃度の変化を求めていた．煩雑で時間を要する実験である．滴定回数が40回程度にもなって時間通りには終わらない場合もあった．
そこで，濃度変化を自動測定するために，溶液をチ
オ硫酸ナトリウムから食塩に変え，水道水の代わりに
イオン交換水を供給し，塩素イオンセンサーを利用して濃度を自動測定する形に変更した．食塩は安価であり，水に溶解すると濃度によらずほぼ100％電離して塩素イオンを生成する．毒物であるヨウ素を使わなくて済むのもメリットである．塩素イオンセンサーは，
電圧 (E) の変化により濃度 (C) を C[ppm] ＝ A × BE により判定する．実験を始める前に，定数 A，B を1000
pppm と10ppm の２液を用いてあらかじめ決定しておく必要がある．このセンサーで測定できる範囲は1 8 〜
35,500ppm である．pH 範囲は２〜 12，温度範囲は０〜45dM‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

50℃の範囲で測定できる．
実際の実験では，測定データはグラフ電卓側に自動的に転送され，
液晶画面にリアルタイムで表示される．
この仕組みは，工場での工業計測と同じものである．
また，自動計測することにより，長時間の測定も可能になる．
図６は，１〜３槽の場合の濃度低下の測定結果と理論値とを比較したものである．測定値は，比較的よく理論値と一致している．従来の測定方法と比較しても変わらない精度である．
また，１槽単独の場合は単に指数関数的に減少するだけであるが，２槽連続,３槽連続と槽の数が増えると,最初はほぼ初期濃度と同じ時間帯が生じ，濃度低下も
ゆったりするという特徴的な変化も測定できている．
センサーを利用することで，２分間隔にサンプリン
グして滴定する作業が不要になり，２日に分けて行っていた実験が１日ですむようになった．また，空いた時間を利用して流量や撹拌の仕方を変えてみるなどの自由な実験をする時間が生まれた．非常に余裕をもって実験を行うことができるようになった．
デメリットとしては，水道水の代わりに塩素イオンを含まないイオン交換水を全体で９×10‑２m３ 程度必
要とすることである．
また，学生がこのような実験に慣れていないこともあり，操作の面でやや苦労したグループが見られた．しかし，センサーを利用して測定を自動化することは，もの作りの現場における計測・制御を疑似体験することにもなるので，このような実験を体験させることのメリットは大きいと考えられる．
多様なセンサーがあるので，圧力などの時間により変化する現象の実験にも利用できる．機器に不慣れな部分は，いろいろな実験テーマでこの手法を使うことにより解消されていくものと考えられる．
４．３ 粉末の粒度分布の測定
この実験は，物質化学工学専攻の専攻科１年生（４名）の特別実験として行われた．与えられた実験テーマに対して，その目的を達成するにはどのような実験を行うべきかを検討させる．そして，具体的な実験装

図６46

センサーによる残余濃度の測定値と解析解

置の組立て段階から考察させて実験が行われる．
学生に与えたテーマは，粉末の粒度分布に関する簡
便な測定方法を考案することである．従来，粉末の粒度分布は，それを水などの溶媒に分散させてレーザーを照射する．粒子に光を照射すると粒子径により散乱
光量やパターンが異なるので，それを測定することにより粒度の大きさを推定する方式が一般的である．しかし，この方法では水に溶ける粉末は測定できないので，試料と溶媒の組み合せを検討する必要がある．
そこで，溶媒に分散させないで，粉末のまま粒度分
布に関する情報を取得する方法について開発することを実験目標とした．その際，グラフ電卓のオプション機器である CBL2 を利用すると，様々なセンサーを接続して容易にデータを取得できること，また，簡易なレーザー光としてレーザーポインターが使用できること，センサーとしては光センサーと角度センサーが利用できることを伝え，これらの機器を利用して実験装置を考案するよう指示した．
学生達は，まず，このような測定は通常どのように行われているか等の文献調査を手分けして行った．そして，レーザーを照射すると，粒子の大きさにより散乱光量にパターンの違いがあり，角度依存性があることを確認した．実際，粒子径が大きいほど全周方向に散乱強度が強く，特に前方への散乱強度が強い．一方，粒子径が小さくなるにつれ全体的に散乱強度が弱まり，前方散乱光も弱まることが知られている．
学生達は，以上のことを踏まえた上で，与えられた機器でどのような実験を行うべきかを検討した．
まず，与えられた機器で粒子の大きさによる角度依存性を測定できるかどうかを確かめるため，次のような装置を考案した．
⑴レーザーポインターを固定する．
⑵その先に試料を置いてレーザーポインターと一緒に回転させ，ロータリーモーションセンサーで角度を測定する．
⑶外部に固定した光センサーで，回転する試料からの散乱光量を測定する．
図７は，学生達が作製した装置である．右側がレーザーポインター，中央に試料を置いて一緒に回転させ

図７

学生達が作製した装置
工学教育（J.of JSEE), 61‒4(2013）ঁথॻঊঝॻॸॡঀট४‫ش‬ध७থ१‫॑ش‬ણ৷खञৈ௧पउऐॊ৲৾ੵ৾ৰୡ‫ؙ‬d

る．散乱光量は左側に固定された光センサーで検出する．下部にはロータリーモーションセンサーがあり，回転角を検出する．使用したレーザーポインターの出力は１mW，波長は635nm（赤色光）である．光センサーの感度は０〜 600lux のモードを利用した．
これにより，角度と散乱光量の２つのデータが同時に取得される．CBL2は複数のセンサーを接続して，それらのセンサーからのデータを同時に取得することができる．角度は０°〜 360°が０〜１の値として測定される．データ取得後は描画範囲が自動的に最適化され，２つのデータの関連性がグラフ表示される．
実際の実験では，試料として砂粒とカニキチン粉末を使用し，それらの角度依存性を測定した．砂粒は篩
にかけてサイズ（mm）別に，0 59以下，0 84 〜 1 64，
1 68 〜 2 00，
そして2 00以上の４種類に分級した．キチン粉末はコンバージミル（800rpm）で粉砕し，20min
粉砕と120min 粉砕の２種類のサイズを用意した．
図８と図９は，その測定結果である．砂粒とキチン粉末の違いについては明らかな差異がみられる．砂粒については，サイズの大きさによる差異がある程度現れており，粒子径が大きいほど散乱光量が強く，特に前方への散乱強度が強い傾向が読み取れる．
溶媒に分散させないことから，同種試料の粒度別のグループ間の差異が明瞭に判別できたとは言えないが，粒度が大きいほど前方散乱強度が増大する傾向，
あるいはその逆の傾向が見られることは確認される．
粒子を１層とするなどの工夫を加えれば，さらなる可能性が示唆される．
以下に，この実験を行った学生の感想を紹介する．
−初めは，こんなレーザーポインターでは測定なんて絶対できないと思っていました．こんなので出来るのだったら，普通使っているような分析装置はいらないと思っていたけど，やってみると簡易な装置でもそれなりの結果が出て驚きました．
−数式処理電卓とセンサーとを積極利用した場合，これらを使った実験方法が研究されしっかりと確立さが難しいものが多いが，小型で簡易な実験装置が増えれば工学実験のあり方も変わってくると思う．
−従来の装置ではできないという思い込みを捨てて，実験方法などを工夫してやってみようと思いました．これまでやったことのない，装置を開発するというような実験で楽しかったです．

５．グラフ電卓の利用で可能となる化学工学実験
一関高専の物質化学工学科におけるグラフ電卓とセンサーを利用した学生実験の概要を紹介してきた．一部の実験テーマでの利用にしか過ぎないが，センサーを利用することにより実際の工場と類似した形でデータが採取され，煩雑な単純作業が省力化されて短時間でデータを採取することができた．データの取得範囲も拡大することができる．水銀やヨウ素などの毒物を使わなくて済むのも大きな利点である．
グラフ電卓とセンサーの利用は，単に従来の測定機
器をセンサーに置き換えただけの効果ではない．化学系の実験教育において，これらの機器の利用には以下のような大きな可能性が秘められていると考える．
５．
１ 反応・プロセス変化の可視化
これまで，平衡や過渡現象などは目視に頼っていたといえる．しかし，センサーを利用することで，このような反応やプロセスの時間的変化が数値で記録されてグラフ表示される．途中の変化をより意識させることができ，変化の「見える化」に有効といえる．時間変化による記録が残ることにより，何がどのように変化しているのかを実験後に細かく分析することができ
る．いろいろな条件を変えて実験させれば，その変化を特徴づけている原因が何であるかを究明させることも可能となる．
５．
２ 「実験づくり」での利用
本校では，「実験をつくる」科目として，４年次に創成化学工学実験７）を設置している．学生の工夫による

れれば，これまで費用が高くついていた分析などを手軽に行うことができ，コストの大幅な削減を行う

実験を行わせると，最初は必ず失敗をする．しかし，その実験のいろいろな条件を振り返らせることで，学生は実験の意味をより深く理解できるようになる．この実験ではまだセンサーは使われていないが，多様なことができると思う．現在の分析などは大型で操作センサーを活用させることで，学生の自由な発想でい

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60
50

光度［Lx］

光度
［Lx］

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150

100

40
30
20

50

0

10
0

0

0.1

図８

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

砂粒の散乱光強度の角度依存性

工学教育（J.of JSEE), 61‒4(2013）

0.8

0

図９

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

キチン粉末の散乱光強度による角度依存性
47

dM(‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

ろいろな実験づくりが可能になると期待される．
たとえば，酸素を液体に溶かす基本的な現象を考える．液体中の酸素濃度は溶存酸素計により測定できる．
このセンサーを利用することで，時間変化にともない酸素がどのように溶けていくのか，溶ける速度を速めるにはどのようにすれば良いのか，酸素濃度はどこまで高めることができるのか，圧力や温度を変えると溶ける速さがどのように変化するのか等々の実験を，簡単に実現することができる．いろいろな条件を変えながら試行錯誤的に実験することで，学生が何らかの基本原理への気づきを得る可能性もある．
５．３ 分析・測定機器の試作と小型化
物質化学工学科には，ガスクロマトグラフ質量分析計や赤外分光計など多数の分析機器がある．そこで得られた分析結果を解釈する上では，これらの分析機器の仕組みも同時に理解しておく必要がある．その意味
で，グラフ電卓と多様なセンサーを組み合わせて，分析機器そのものを基本原理に基づいて学生に試作させることは有意義である．データ収集器は同時に複数のセンサーを接続してデータを取得できるので，いろいろな分析・測定機器を学生に試作させることや，小型化を検討させることも十分に可能と考える．
実際，簡易な機器を組み合わせるだけで，粉体の粒度分布についてある程度のデータを測定することができた．どのような方法でデータを取得するかを検討する過程は，その現象の基本原理の確認をさせることになる．そのような装置の作製には広範な専門分野の知識が必要である．工業技術者として，特定の分野だけの知識だけでは不十分であることを実感させることにもなる．また，測定方法に関する検討過程からは，従来とは全く異なる新しい測定方法が提案される可能性もあり，場合によっては実用化可能な簡易測定器の開発に繋がることも期待される．
５．４ エンジニアリング・デザイン教育
工学教育の最終場面では，学生は自らの創意工夫を加えて何らかの創造性のあるものを作り上げることが求められる．そのような創意工夫の発端は，まず何かに気づくことである．次に，その気づきをもとに速やかに実験等を行って試してみることである．
「このような場合はどうなるか？」という疑問を，実験や計算で一つ一つ確認する作業を積み重ねることになるが，化学系の場合，その実験で何がどのように変化するかを調べるための設定はそう簡単ではない．
しかし，グラフ電卓と多様なセンサーを組み合わせる
ことで，それを容易に実現できると考える．理論計算が必要な場合であっても，数式処理機能やグラフ機能を利用すれば思考を途切れさせることがない．
機械系や電気情報系では，それまでに学んだ知識・技術をもとに自由に設計させる実験がある．化学系に

48

おいても，低学年でセンサーの有用性と物理現象の正しい理解を得させ，座学で主要な数式処理機能やグラフ機能の使い方を修得させておけば，高学年や専攻科で自由な発想による実験が可能になると考える．自由な発想をいかにして具現化するかが重要である．グラ
フ電卓は，その具現化の敷居を大きく引き下げる，いわばエンジニアリング・デザイン教育において触媒のような働きをするのではないかと考えられる．

６．おわりにグラフ電卓をセンサーと組み合わせて幾つかの実験で利用することにより，
以上のような結果を得た．
これ
らの機器を利用することで，前節で述べたように，化学工学実験の内容を大きく広げられる可能性がある．
今後も，さらにいろいろな可能性について試していきたい．
なお，本研究は，JSPS 科研究費 22500830の助成を受けたものである．
参 考 文 献１）梅野善雄：数式処理電卓は工学教育に何をもたらすか？, 工学教育, 48−4, pp 9−15, 2000
２）梅野善雄：数式処理電卓を最大限活かした工学教
育の可能性, 工学教育, 58−2, pp 2−7, 2010３）梅野善雄：工学教育における数式処理電卓の利用
例−実データの収集と解析−, 平成14年度工学・工業教育講演会講演論文集, pp 83−86, 2002
４）TI‑89titanium, http://www naoco com/calc/ti‑
89t̲summary htm, 参照日：2012‑11‑1
５）データ収集器CBL2, http://www naoco com/data/cbl2̲summary htm, 参照日：2012‑11‑1
６）CBL2で利用できるセンサー , Webページ, http://
www vernier com/products/sensors/, 参 照 日：
2012‑11‑1
７）梁川甲午, 福村卓也, 佐藤和久, 他11名：学生による化学工学実験づくりによる実践的・創造的技術
者教育の試行, 論文集「高専教育」, 33, pp 275−
280, 2010…………………………………………………
著 者 紹 介
梅野 善雄
1974年，東北大学大学院理学研究科修士課
程修了．
現在，一関工業高等専門学校一般教科教授．テクノロジーを活用した数学教育の研究に従事．日本数学教育学会，日本工学教育協会などに所属．
2001年，日本工学教育協会賞（論文論説賞）
受賞

工学教育（J.of JSEE), 61‒4(2013）਺ࣜॲཧ‫ػ‬ೳͷϦϝσΟΞϧ‫ڭ‬ҭ΁ͷར༻ക໺ ળ༤ ∗
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http://www.ichinoseki.ac.jp/gene/mathnavi/file/eng_H13b.pdf
53数式処理電卓の応数・応物での利用
一関高専

1

散布図・箱ひげ図などの描画／各種の統計回帰 (10 種類) 等

はじめに

数式処理ソフトの Mathematica のような機能を持つグラフ電卓がある。その機能はかなり高度であり、数式処理の国際コンペで Mathematica と並んで首位タイになったこともある。そして、世界では、グラフ電卓を活用した数学教育が急速に普及しつつある。数式処理可能なグラフ電卓を高専や工学部の専門科目で活用すれば、数学教
育のみならず工学教育においても相当の教育効果が見込まれる。

2

梅野 善雄

その他 プログラミング (数式処理機能を利用可能) ／センサーを通した実デー
タの収集／パソコンとのデータ通信

3

予想される教育効果

高専や工学部で数式処理電卓を使用した
場合に考えられる教育効果について、以下に述べる。ただし、教師が使用法等について学生に適切に指導・助言することを前提とする。単に学生に購入させただけの場合
は、逆効果になる場合も考えられるので注意が必要である。

数式処理電卓の概要

ここで取り上げる数式処理電卓は、テキサスインスツルメント社の TI–89 である。
以下のような機能をもつ。詳細は販売代理店の HP(http://www.naoco.com/) を参照
されたい。

3.1

簡便であることの意義

Mathematica や Maple などの数式処理ソフトは、工学の授業や専門研究にも使用され、端末室や研究室で使用可能な状況にあるところも多いであろう。しかし、それを使いこなすにはパソコンや WS のある部屋に行き、その前に座ることが必要になる。
数式処理電卓は、多機能関数電卓と同程度の大きさである。Mathematica ほどではなくとも、それと同様の機能が納められており、いろいろな機能は幾つかのキーを押すだけで実現できる。パソコンや WS の前に座らずとも、ノートパソコンを広げずとも、思いついたときに数式処理機能をいつでもどこでもキー操作だけで利用できることの意義は大きい。
これにより、あるレベル以上の学生の場
合は、数学上の何かのアイデアが浮かんだ
とき、それを即座に試すことができる。数式処理を含むシミュレーションを自分でプ
ログラムを組んで行うこともできるであろう。繁雑な単純計算時間を短縮して、工学の本質的な部分に思考を集中させることができることになる。

代数機能 文字式の計算／分数式の計算／複素数の計算／方程式の解法 (非線形、連立) ／行列・行列式の計算／固
有値・固有ベクトルの計算／単位の付いた計算／ 2 進数・16 進数の計算等
解析機能 微分・積分の計算／偏微分・多重積分の計算／極限値の計算（片側極の計算／関限や無限大も可）／和数の級数展開／最大値・最小値／接線の方程式／変曲点／微分方程式の解法（解析解、ベクトル場の表示）等
グラフ機能
関数のグラフ表示 (y =f (x)、媒介変数表示 x = f (t), y =g(t)、極座標 r = f (θ)、2 変数関数z = f (x, y)、陰関数 f (x, y) = 0) ／グラフの拡大・縮小／グラフ上から面積・長さの計算／グラフ上の点の座標(x, y) を表に変換等
統計・テーブル機能 表計算機能 (99 列
999 行) ／セル内で数式処理が可能／

1

dMM‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

3.2

この電卓は、高次方程式や連立方程式の解も求めることができる。解を正しく求められないときは、自動的に数値解として求めようとする。複素数解と実数解とを区別し、ある程度は文字係数の方程式の解も解法可能である。

関数グラフへの理解

いろいろな関数のグラフを簡単に描画できることは、関数の理解を深める上で極めて有効と思われる。即座にグラフを確認でき、2 変数関数のグラフ (曲面) を回転させることも容易である。グラフ上から極値や軸との交点の座標を求めることもできる。
特に、グラフの拡大・縮小が簡単にできる
ので、大域的・局所的な状況を容易に把握することができる。
工学上のいろいろな見通しを得るとき、グラフに対する理解力・洞察力は不可欠であろう。この電卓のグラフ機能を使いこなすことができれば、関数に対する理解が大きく向上することが期待される。

3.3

方程式の解法に限らず、文字式を含むいろいろな式の代入変形にも利用できるので、そのような場合の計算を効率的に行うことができる。自分の計算のチェックに利用することもできるので、いろいろな計算の確実性を増すこともできるだろう。

3.5

この電卓のプログラミング言語は、通常の構造化言語とほとんど同様である。特に、この電卓の持つ数式処理機能をプログラミ
ングの中に利用できるので、機能的にはかなり強力である。この電卓のプログラムを組むことができれば、C や FORTRAN 等の構造化言語のプログラムは容易に組むことができるであろう。また、その逆もいえる。プログラム作りは、いろいろ細かい試
行錯誤的な部分も多い。パソコンの前に座らずとも、思いついたときに、いつでもどこでもそのようなチェックができることは、
プログラムを習得する上では非常に重要と思われる。

微積分計算の補助としての利用

単なる微分や積分の計算のみならず、テイラー展開、偏微分・重積分の計算、そして微分方程式の解法なども行うので、工学で現れる微積分全般で活用できる。微積分を学習中の学生にとっては、この数式処理機
能は、いろいろな計算問題の答合わせや、
途中計算の確認に利用できるだろう。
また、高校で微分・積分の習得が十分でなかった学生においては、その復習の補助として利用させることができる。グラフ描
画が簡単にできるので、微積分を視覚的に理解させるときに有効と思われる。
特に、微分方程式は、2 階の定数係数であれば、その解析解まで求めることができる。高階や非線形の方程式の解析解は求められないが、そのような場合でも数値解を求めて解曲線を描画できる。勾配場や位相平面図の描画機能もあり、工学で現れる微分方程式をさまざまな角度から扱うことができる。これは、工学上のいろいろな見通
しを得る場合に極めて有効と思われる。

3.4

プログラミング教育での利用

3.6

データ解析ツールとしての利用

この電卓のオプション機器であるデータ
収集器 CBL を利用すると、いろいろなセ
ンサーを通して実データを収集できる。収集されたデータは表データとして蓄積され、そのデータに対してさまざまな統計解
析を行うことができる。エクセルのような表計算機能があり、そこでは数式処理を含めた計算も行わさせることができる。電卓にデータを収集後は、その解析はいつでもどこでも行うことができることになる。プ
ログラム作成・データ収集・データ解析という一連の作業をこの電卓とその附属の機器だけで行わさせることができるので、工学実験等での効果も期待される。

代数計算の補助としての利用

工学では、繁雑な式の変形や、いろいろな方程式の解法が必要となる。そこでは、数学の演習問題のように簡単な答になるとは限らない。特に、非線形の方程式のような場合は、学生はお手上げであろう。

2ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभૢਯ‫ૢ؞‬੟दभਹ৷‫ؙ‬dM

4

応数・応物での利用例

以下では、応用数学や応用物理での数式処理電卓の利用例を上げる。工学教育でも、十分、活用可能であることが分かるであろう。

4.1

フーリエ級数とフーリエ積分

図 1∼4 (フーリエ係数の計算とフーリエ級数)−(π + x)/2 (−π <x<0)=関数 f (x) =のフーリエ係数を計算する。
(π − x)/2 (0 <
x
<
π)
=
 π
 π
π − x sin nxdx = 1
f (x) sin nxdx = 2
f (x) は奇関数なので an = 0。bn = 2
π 0
π 0
2
n
プログラムの中で整数宣言をすることはできるが、計算画面では n が整数であることを認識させることはできない。したがって、次頁の図 1 で sin nπ が 0 であることは自分で見抜くこ
10
sin nxのグラフである。フーリエ級数が収束する状況を簡単にとが必要になる。図 3 はnn=1確認できることは、フーリエ級数の意味を理解する上において重要と思われる。次頁の図 420
sin nxのグラフについて原点付近を拡大し、その最大値を表示させたものである。画は
nn=1

面の範囲は、−0.2 < x < 0.5, 1 < y < 2 である。項数を増やすごとにグラフの状況を観察させれば、学生にギブス現象について気づかせることもできるだろう。

図1
図2
図3
図 5〜6 (フーリエ積分)⎧⎪⎨ −(π + x)/2 (−π <= x < 0)関数 f (x) =のフーリエ積分を計算する。
(π − x)/2 (0 <x < π)=⎪⎩
0 (それ以外)
f (x) のフーリエ積分は、
 ∞1{A(u) cos ux + B(u) sin ux}duf (x) ∼ √
2π −∞
 ∞
 ∞
1
1
f (t) cos utdt, B(u) = √f (t) sin utdt
A(u) = √
2π −∞
2π −∞
と表される。f (x) は奇関数なので A(u) = 0 であり、B(u) は

  π
  ∞
2
2
π − t sin utdt =2 πu − sin πu
f (t) sin utdt =B(u) =
π 0
π 0
2
π
2u2
であるので (図 5)、

f (x) ∼ 1π ∞0

πu − sin πu
sin uxduu2

図 6 は、フーリエ正弦変換 B(u) のグラフである。そのグラフを手軽に確認できる。

3d(‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

図4

4.2

図5

図6

ラプラス変換図 1〜2 (ラプラス変換)

 ∞関数 f (x) のラプラス変換は、

0e−st f (t)dt により定義される。s は一般論では複素数であるが、実数で考えれば関数のラプラス変換を計算することができる (図 1)。文字定数を含んでいてもかまわない (図 2)。

図1
図2
図3
図 3〜6 (部分分数分解)
ラプラス逆変換の計算はできないが、部分分数への分解に利用することができる。たとえば、

17sabs + c=+(2s − 1)(s2 + 4)
2s − 1 s2 + 4を定義して (図 3)、分母を払うと 17s = (a + 2b)s2 − (b − 2c)s + 4a − c となる (図 4)。両辺の係数を自分で比較すると a + 2b = 0, −b + 2c = 17, 4a − c = 0 を得る。この連立方程式
を solve 機能を利用して解いて、a = 2, b = −1, c = 8 が得られる (図 5)。このような形での利用は、部分分数への分解の手順を理解させるときに有効と思われる。その手順の理解が得られ、自分である程度の計算ができるようになった後は、最初から電卓を利用して分解させることもできる (図 6)。これは、自分の計算のチェックにも利用できる。

図4

図5

図6

ラプラス変換やフーリエ級数は工学では重要である。学生は基本的な計算は自分でできる必要があり、すべての計算をこの電卓に任せるべきではないことは当然のことである。学生には、計算練習の答え合わせとして利用させるべきであろう。手軽にグラフを確認できるので、理解が深まると思われる。また、微積分の計算で四苦八苦しているような学生に対しては、その計算の補助として活用させることができるだろう。それにより、計算力が劣る学生でも、フーリエ・ラプラ
スを理解することが可能になると思われる。

4ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभૢਯ‫ૢ؞‬੟दभਹ৷‫ؙ‬dd

4.3

ベクトル解析

図 1 (ベクトルの演算)√
a = (2, 3, 4), b = (4, 5, 6) のとき、a · b = 47, a × b = (−2, 4, −2), |a × b| = 2 6 である。このように、ベクトルの内積、外積、大きさの計算ができる。それらを入れ子にすれば、三重積の計算もできる。
図 2 (座標変換)√√√
a = (1, 2, 3) のとき、a の円柱座標は (r, θ, z) = ( 3, tan−1 2, 3)、球座標は (r, θ, φ) =√√(2 3, tan−1 2, π ) である。なお、これは単に座標を表示するだけの機能であり、座標変換6の関数としては利用できない。関数として利用したい場合は、自分でその座標変換の関数を定義することが必要になる。その定義は簡単にできる。

図1
図2
図 3,4 (ベクトル関数の微分)a(t) = (t2 , t, −t3 ), b(t) = (sin t, − cos t, 0) のとき、

図3d(a(t) · b(t)) = (t2 − 1) cos t + 3t sin t
dt
発散や回転の計算式を自分で定義すれば、その計算を行わさせることもできる。
図 5,6 (ベクトル関数の積分)a(x, y, z) = (3x2 + 6y, −14yz, 20xz 2 ), r(t) = (t, t2 , t3 ) のとき、

 1drdt = 5a · dr =a·dt
C0
累次積分の積分範囲を指定してやれば、面積分の計算も可能である。

図4

4.4

図5

図6

複素関数論

図 1〜2 複素数の計算
虚数単位 i がキーに割り当てられているので、複素数の計算が容易である。四則計算のみなら√ず、絶対値、偏角、実部、虚部などの計算ができる。図 1〜2 は、z = 1 + 3i, w = 1 + i の
場合のいろいろな計算を表示したものである。
図 3 初等関数の値
初等関数の値も計算される。ただし、主値が表示される。

5d1‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

図1
図2
図3
図 4〜6 正則関数の導関数、絶対値関数のグラフ
正則関数の導関数は、通常の微分機能で計算できる。cos(z) などは、cos x cosh y −i sin x sinh yの形で表示される。正則性をチェックすることなく、実関数の微分と同様の計算を形式的に行うだけなので、微分可能性や正則性に問題があるような場合には注意が必要である。図 5 の例は、いずれも微分可能ではない。
複素関数 w = f (z) において、z 平面から w 平面への写像の様子を表示することはできないが、その絶対値関数 |f (z)| であれば、曲面として表示することができる。図 6 は、| sin z| を
−2π < x < 2π, 0 < y < 3, 0 < z < 5 の範囲で x 軸の分割数を 20、y 軸の分割数を 15 にとって表示したものである。約 40 秒で表示された。この曲面を回転させることも簡単にできる。

図4
図5
図6
図 7〜8 複素関数の積分
原始関数が存在する場合は、通常の積分機能で複素関数の積分も計算できる。図
7 では、



2+i

πi

z 2 dz,ie−z dz,cos zdz の計算が行われている。曲線 C : r = r(t), (α <=t<= β) に βdzf (z(t)) dt を計算することになる。
沿って積分する場合は、 f (z)dz =
dt
C
α

dz
<
2π)
= 2πi を計算している。
図 8 は、曲線 C: z = α + reit (0 <
t
に沿って、
= =
z
−α
C
図 9 留数の計算
複素関数の極とその位数を見抜けば、留数は微分と極限値の計算機能を利用して求めること
z sin zは z = i を 2 位の極として持つので、留数は、ができる。たとえば、関数 f (z) =(z − i)2
−i

0

0

d2
Res(f, 2) = 1 lim 2 (z − i)2 f (z)2! z→i dzを計算すれば求められる。ただし、複素関数としての極限値の存在が仮定される。

図7

図8

6

図9

ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभૢਯ‫ૢ؞‬੟दभਹ৷‫ؙ‬dn

4.5

微分方程式

図 1〜3 (1 階の微分方程式)
変数分離形、1 階線形 (図 1)、同次形 (図 2) 、完全微分形 (図 3) の微分方程式であれば、解析解を求めることができる。@1, @2 は積分定数である。解析解が求められない場合は、入力した微分方程式がそのまま返される (図 4 の上段)。

図1
図2
図3
図 4 (2 階の微分方程式)
2 階の定数係数線形微分方程式の解析解を求めることもできる。非同次であってもかまわない。
図 5 (初期条件と境界条件)
解析解が求められるときに初期条件や境界条件を与えると、積分定数が決定される。図 5 では、y  = −y の初期条件 y(1) = 1 の条件のもとでの解と、y  + 2y  + 2y = 0 の初期条件
y(0) = 0, y  (0) = 1 のもとでの解 y = e−x sin x が表示されている。解くべき変数を指定する
ので、x, y 以外の変数であってもかまわない。全体が表示されるよう簡単な場合を示しているが、文字係数であってもかまわない。
図 6 (解曲線のグラフ)
図 6 は、図 5 の解 y = e−x sin x を 0 < x < 2π, −0.1 < y < 0.5 の範囲で表示させたものである。このように、解のグラフがどのような曲線であるかを、簡単に確認できる。また、グラフの座標データを図 8 のような形に表示することも容易である。

図4
図5
図6
図 7 (勾配場と解曲線)
微分方程式の勾配場を表示させることもできる。図 7 は、y  = 10 − y の勾配場を表示したものであり、下側の曲線は初期条件 y(0) = 0 のもとでの解曲線である。この解曲線上を、座標を表示させながら移動することもできる。この画面上で別な初期値を指定し、その点を通る解曲線を描画させることも容易である。上の描画途中の曲線は、点 (2, 20) を指定して、そこを通る解曲線を描画させようとしている。
図 8 (解曲線の座標データ)
解曲線の座標データを表で表示させることができる。出発点や刻み幅は任意に設定できる。
カーソルを上方や下方に移動すれば、t < 0 のときや t > 0.4 のときの数値が次々に計算されて表示される。
図 9 (高階や非線形の場合)
方程式が 3 階以上や非線形の方程式の場合は、解析解は求められない。しかし、その位相平面や解曲線を表示させることはできる。それは、連立微分方程式の形に直すことにより行わ

7

d;‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

れる。たとえば、y = y(t) において、y  − 0.2(y 2 − 1)y  + y = 0 であれば、y1 = y として、
y2 = y1 とおけば、この微分方程式は、

dy1= y2 ,
dt

dy2= 0.2(y12 − 1)y2 − y1dtという連立微分方程式で表される。

図7
図8
図9
図 10 (位相平面)
図 9 の連立微分方程式の、横軸を y1 、縦軸を y2 としたときの位相平面である。曲線は、初期
条件 y1 (0) = 1, y2 (0) = y1 (0) = 1 のもとでの軌道 (y1 (t), y2 (t)) である。
図 11 (解曲線)
図 10 の 2 つの曲線 y = y1 (t), y = y2 (t) が描かれている。つまり、これらの曲線は、図 9 のdyのグラフである。このように、解析解が求微分方程式の解曲線 y = y(t) と、その導関数
dt
められない場合でも、その解曲線であれば非線形でも高階の場合でも描くことができ、その曲線の座標データを簡単に表の形で表示させることができる。3 階以上の微分方程式では、
y(t), y  (t), y  (t) などのうち、どの曲線を描くかも指定できる。
図 12 (解曲線の座標データ)
図 11 の曲線の座標データは、即座にこのような表で表すことができる。ただし、この表は画像として表示されるので、このデータを加工して別な計算をさせることはできない。通常の表計算は別な機能として備わっているので、この解の数値データを利用したいときは、表計
算機能で図 12 と同じ表を別途作成することが必要である。その表では、図 9 で定義した関数をそのまま利用できるので、まず t の値を適当な初期値から、定められた刻み幅で 1 つの列に定義し、2 列目と 3 列目には y1(t), y2(t) を指定するだけでよい。あとは、自動的に対応する
y1(t), y2(t) が計算されて表が埋められる。

図 10

図 11

図 12

このように、工学では必須の微分方程式について、その解をさまざまな角度から追及することが可能になる。特に、解曲線、勾配場、位相平面などが簡単に描画されることは、学生の微分方
程式に対する理解を大きく進展させるものと期待される。

8ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभૢਯ‫ૢ؞‬੟दभਹ৷‫ؙ‬dx

4.6

統計

データ処理では必須の統計での利用例を説明する。次のようなデータを例にとる。
身長
体重

168
56

178
64

164
53

172
63

172
61

170
59

162
57

169
60

176
70

173
57

166
62

167
56

170
53

183
93

図 1 (データの入力)
これらのデータは、データ / 行列エディターで入力する。99 列× 999 行までのデータを扱える。
図 2 (基本統計量)
基本統計量は簡単に計算される。
図 3 (散布図)
散布図やヒストグラムも容易に表示される。はこひげ図も表示できる。

図1
図2
図3
図 4〜6 (統計回帰)
回帰直線を理解させるには、その前段階として、データを近似する直線 y = ax + b を試行錯
誤的に決めさせるのも有益かもしれない (図 4)。右側の画面で直線の方程式を定義すれば、即座に左側でその直線が描画される。各データとの誤差の 2 乗和を計算させることもできる。統計機能を利用すれば回帰直線の係数 a, b の値は直接求められる (図 5)。データ回帰は、直線ばかりではなく、指数回帰や対数回帰など 10 種類の中から選択できる (図 6)。

図4
図5
図6
図 7 (数式処理の活用)
表データでは、エクセルと同様の表計算が可能である。数式処理が可能であるので、個々のセルに文字列や関数を定義して、別な列でそれらに対する数式処理をさせることもできる。
図 7 では、1 列目で定義した関数に対して、2 列目ではそれらの微分、3 列目では積分が自動計算されている。内蔵関数だけではなく自分で定義した関数も使えるので、この機能はさま
ざまなシミュレーションをする際に極めて有用と思われる。

図7

図8

9

図9

dE‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

図 8〜9 (最小自乗法 1)
最小自乗法は、与えられたデータ {(xn , yn )} (n = 1, 2, · · · n) と指定された関数値との誤差の二乗和が最小になるような関数を決定するものである。簡単のため、直線 f (x) = ax + b で近似する場合を考える。各 xi についての誤差は |yi − f (xi )| なので、その二乗和をg(a, b) =n
(yi − f (xi ))2i=1とおく。図 1 のデータ名を sintai とすると、(i, j) 成分は (sintai[i])[j]、i 列目の成分は sintai[i]で参照されリスト表示される (図 8)。その成分の総計は sum で計算されるので、関数 g(a, b)は、g(a, b) = sum((sintai[2] − (a ∗ sintai[1] + b))2 )だけで定義される (図 9)。
図 10〜12 (最小自乗法 2)
図 10 は、g(a, b) を a, b で微分したものである。g(a, b) を最小にする a, b は、gx (a, b) = 0, gy (a, b) =0 となる点として決定されるが、図 11 ではこの連立方程式が解かれている。当然ながら、この値は図 5 で表示させた値と一致する (図 12)。

図 10

図 11

図 12

このような形で数式処理電卓を利用することは、最小自乗法がどのようなものかを理解させ、その計算手順を理解させるときに有効と思われる。教科書にあるような簡単なデータばかりではな
く、実データをそのまま取り扱わさせることができる。最小自乗法についてある程度の理解が得られた後は、図 5 のように結果のみを直接表示させて利用させればよいであろう。
センサーを通して収集されたデータは、このような表データとして収集される。散布図の状況から適切な回帰方法を選択させて、実験式を自分で考えさせることもできる。また、乱数を発生させることもできるので、いろいろな確率分布を容易にシミュレートすることもできる。

10ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभૢਯ‫ૢ؞‬੟दभਹ৷‫ؙ‬d

4.7

応用物理

図 1〜3 (放物運動)
点が水平角 θ、初速度 v0 で投げ上げられたとき、投げた点を原点にとり水平方向を x 軸、垂1
直方向を y 軸にとると、t 秒後の変位は x = (v0 cos θ)t, y = (v0 sin θ)t − gt2 である。グラ2
フ電卓は、このような媒介変数表示された関数のグラフも容易に表示できる。図 1 では、この関数の式を、文字係数のまま定義している。図 2 は、画面を左右に分割し、右側では値の代入、左側ではそのグラフを描画している。角の単位は度 (degree) にしてある。このように、値を変えながら、すぐに具体的な軌道を見ることができる。これにより、たとえば水平飛行
物体と衝突させるには初速度や投げ上げる角度をどのように定めればよいかを、実験的に確かめさせることも可能である (図 3)。

図1
図2
図3
図 4〜6 (円運動)原点を中心とする半径 r の円上を角速度 ω で運動する点の座標は、時刻 t = 0 で点 (r, 0) を出発したとすれば、x = r cos ωt, y = r sin ωt である。円上の点の運動と、y の変化とを同時に表示させれば、sin ωt は円運動の y 座標の変化であることが一目瞭然である (図 4)。ω の異なる円運動を同時に表示させれば、角速度の意味についての理解も深まるであろう。図 5 では
ω = 1, 2 の場合の運動が表示されている。
このような運動で 2 点間の距離が最大・最小になるのはどこかを求めることも容易である。
図 5 は x = cos t, y = sin t と x = 3 + cos 2t, y = sin 2t のグラフであるが、この運動の 2 点間の距離を f (t) とすると、

f (t) =

(cos t − cos 2t − 3)2 + (sin t − sin 2t)2である。従来の教育では、このような関数の最大・最小を学生に求めさせることはできなかった。図 6 は、この関数のグラフを表示したものである。この電卓は、グラフ画面の中で関数の最大・最小を容易に求めることができる。画面では最小を与える点の座標が表示されている。
この値は、数式処理機能を利用すれば、方程式 f  (t) = 0 を解くことによっても求められる。

図4
図5
図6
図 7 (自由振動)
一端を固定したばね定数 k のコイルばねに質量 m の物体をつけて振動させるとき、その運
dx2dxk(0) = v0 を与えると、その解は動方程式は 2 = − x である。初期変位 x(0) = x0 ,
m
dt
dt
2
x = A cos pt + B sin pt (p = k/m) である。図 7 では、x0 = 0, v0 = 1, m = 1, k = 4 とした

11dM‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

ときの振動の様子が示されている。垂直方向の動きと、時間軸を横軸にとったときのグラフとを同時表示している。右側の画面で、ばね定数や初期変位を変えることにより、振動の様子がどのように変わるかを簡単に確かめることができる。
図 8 (強制振動)
強制的な外力 mF cos ωt を与えると、運動方程式は

d2 x+ k x = F cos ωtmdt2
Fcos ωt であるので、これを図 7 の解に加え
p2 − ω 2たものが一般解である。p  ω のときは「うなり」を生じる。図 8 は p2 = 4, ω = 2.2, F = 1の場合である。
図 9 (減衰振動)dxが働くとき、運動方程式は速度に比例した減衰力 2ndtとなる。この微分方程式の特殊解は xp =d2 x
dx
+ k x = F cos ωt
+ 2n
m
dt2
dt
である。n2 < p2 のときは減衰振動であり、その解は

x = Ce−nt cos(p2 − n2 t − δ) + X cos(ωt − φ)(p2 = k )mの形である。図の上段は x0 = 0, v0 = 1, p2 = 4, n = 1, F = 1, ω = 3 の場合の解曲線であり、下段は x0 = 0, v0 = 1, p2 = 4, n = 1, F = 0 の場合の解曲線である。

図7

図8

図9

このような微分方程式では、特殊解を求めたり、初期条件を満すような積分定数の決定にはかなりの計算力を必要とするので、従来の教育方法では、あまり繁雑な計算を学生に課すことはできない。微分方程式の解法や解に対する変形などは教師側が行い、振動の様子も教師が説明して学生に理解させていたと思われる。
しかし、この電卓を利用させれば、係数や初期変位を変えると振動の様子がどのように変化す
るかを、学生に実験的に調べさせることが可能になる。
ある程度のことを学生に気づかせてから式変形による説明を行えば、理解のレベルが向上する
ことが期待される。

12ਯૄ૪৶ਗ਼ཬभૢਯ‫ૢ؞‬੟दभਹ৷‫ؙ‬d

4.8

プログラム

TI–89 のプログラミング機能は、かなり強力である。通常の構造化言語のプログラムを組むことができるのであれば、TI–89 のプログラミングは容易である。
方程式 f (x) = 0 の実数解
以下は、方程式 f (x) = 0 が区間 [a, b] の中に 1 個の実数解を持つ場合に、その実数解を求めるものである。関数 f (x) はすでに定義済みであるものとし、a, b は f (a)f (b) < 0 であるように指定するものとする。

: kai(a,b): Func: Local aa, bb, ee, mm, yy: a→aa: b→bb: (a+b)/2→mm: 10 ˆ (−6)→ee: While abs(f(mm))>ee: If f(aa)∗f(mm)>0 Then:
mm→aa
: Else:mm→bb: EndIf: (aa+bb)/2→mm: EndWhile: Return approx(mm): EndFunc

プログラム名を kai とする。引数は、区間 [a, b]関数であることを宣言
ローカル変数の宣言
a の値を aa に代入する
b の値を bb に代入する(a + b)/2 の値を mm に代入する
誤差の限界を 10−6 にして ee に代入する|f (mm)| > ee ならば以下を実行する
f (aa) と f (bb) が同符号ならば、以下を実行する
mm の値を aa に代入する
f (aa), f (bb) が同符号でないときは、以下を実行する
mm の値を bb に代入する
If 文終わり(aa + bb)/2 を mm に代入する
While 文終わり
誤差 10−6 以内で求めた実数解 mm を返す
関数定義の終了

通常のプログラム言語の理解があれば、以上の内容は明らかであろう。代入の記号に → が利用されるので、分かりやすいといえる。デフォルトのまま mm を表示させると分数で表示される場合があるので、approx を利用して小数表示させている。
以上のプログラムは通常のアルゴリズムに添ったものであるが、TI–89 は数式処理が可能であるので、方程式の解は、このようなプログラムを組むことなく容易に求められる。単に、
solve(f (x) = 0, x) と方程式と変数を指定するだけで、その解が表示される。csolve を用いれば、複素数解まで表示する。このコマンドはプログラムの中でも利用できるので、方程式を解くたびに上記のようなプログラムを作る必要はない。
シンプソンの公式
もう一つのプログラム例として、数値積分の場合をあげる。シンプソンの公式は、区間 [a, b]
を 2n 等分して分点を (xk , yk ) (0 <=k<= 2n)、区間の幅を h = (b − a)/2n とするとき、

 baf (x)dx  h {y0 + 4(y1 + y3 + · · · + y2n−1 ) + 2(y2 + y4 + · · · + y2n−2 ) + y2n }3n−1である。右辺は、

k=0

h (y + 4y2k+1 + y2k+2 ) を計算することにより得られるので、たとえ3 2kば以下のようなプログラムになる。ただし、f (x) はすでに定義済みとする。

13

1((‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

: simp(aa,bb): Prgm: local ee,hh,ii,nn,sa,sb: local xa,xb,xd,ya,yb,yd: 10 ˆ (−6)→ee: (bb−aa)/2→hh: aa→xa:(aa+bb)/2→xb:bb→xd: f(xa)+4f(xb)+f(xd)→sa: hh∗sa/3→sa: Disp approx(sa): 2→nn: Loop: 0→sb:aa→xa: (bb−aa)/(2∗nn)→hh: For ii, 1, nn, 1:f(xa)→ya:f(xa+hh)→yb:f(xa+2∗hh)→yd:
sb+(ya+4∗yb+yd)/3→sb:
xa+2∗hh→xa: EndFor: hh∗sb→sb: If abs(sa−sb)<ee Then:
Exit
: Else:Disp approx(sb):sb→sa:nn+1→nn: EndIf: EndLoop: Disp approx(sb): EndPrgm

プログラム名を simp とし、区間 [aa, bb] での積分を考える
プログラムであることを宣言
ローカル変数であることの宣言
xc, yc はシステム変数で利用されるので省く
誤差の限界を 10−6 にし、ee に代入
区間の中点の座標を hh に代入
区間を 2 等分したときの座標を求める
sa を計算sa は区間を 2 等分した場合の値
sa の値を小数表示する
nn = 2 として 4 等分から繰り返し計算を開始
以下の内容を繰り返す
初期値の設定区間の幅の計算
繰り返し変数を ii とし、以下を nn 回繰り返す
ya = f (xa) とする
yb = f (xa + hh) とする
yd = f (xa + 2hh) とする(ya + 4yb + yd)/3 を sb に加える
計算する小区間の左端を次の計算用に変更する
ii による繰り返しの終了
sb が、2nn 等分した場合の面積
直前の面積 sa との差が ee 以下なら以下を実行する
Loop から脱出する|sa − sb| >= ee のときは以下を実行
sb を表示する
sb を直前の値 sa とし、分割数を増やす
If 文を終了する
Loop 文を終了する
最終結果を表示するプログラムの終了

通常のプログラムと全く同様であることが分かる。プログラムの作成練習や計算のアルゴ
リズムを理解させるためには、このようなプログラムの作成は有用である。しかし、単に定 b
積分f (x)dx の値を求めたいのであれば、 (f (x), x, a, b) というコマンドを打ち込むだけaで済む。このような数式処理のコマンドをプログラムの中でも利用できるので、作成できるプログラムの範囲が大きく広がることになる。

5

おわりに

数式処理電卓の機能は、単なる教育用に留まるものではない。理解力の優れた学生の場合は、学生は自分の思考をどんどん押し進めることが可能になるであろう。逆に、理解力の乏しい学生の場合には、その理解を助けるツールとして利用できる。有効に活用できれば、いずれにおいても極めて大きな効果が期待される。その活用法に関する研究が早急に望まれる。

14

論 説

数式処理電卓を最大限活かした工学教育の可能性
Possibility of Engineering Education That Makes Use of Algebraic Calculators by Various Scenes

梅 野 善 雄※１
Yoshio UMENO
Algebraic calculators are graphing calculators with a feature of computer algebra system. It
can be said that we can solve mathematics only by pushing some keys of these calculators intechnical colleges or universities. They also possess another feature, so we can make extensive
use in engineering education. For example, we can use them for a basic education, a programming
education, English education, and creative thinking tools for excellent students.
In this paper, we will introduce the summary of algebraic calculators, then, consider how weutilize them in engineer education.
Keywords：Algebraic Calculators, Engineering Education, Basic Education, Creative Thinking
キーワード：数式処理電卓，工学教育，基礎教育，創造的思考

１．はじめに
少子化傾向が加速する中で，大学全入化の時代が現実のものになりつつある．この状況では，入学時に厳しい選抜方法を課すことは学生から敬遠される．大学にとっては入学定員を確保することが最重要課題である．しかも，高校における学習指導要領の改訂により入学する学生の知識量は以前とは比べものにならないくらい多様になってきた．特に，数学において顕著であり，微積分について十分な知識を学ばないまま理工系の学部に入学してくる場合も少なくない．受験科目を増やすと今度は受験者数の減少に繋がるおそれがあり，そう簡単に科目数を変更することもできない．
中央教育審議会の答申にも見られるように，大学教育においては卒業時の学力保証の厳格化が求められてきている．このような中では，いったん入学させた以上，大学教育に必要な学力は全て大学が入学後に身につけさせなければならない．各大学とも，新入生の能力の多様さに戸惑いつつも，大学教育を行うために必要な導入教育・基礎教育を，手探りをしながら必死で進めているというのが現状ではないだろうか．
著者は，本誌で，数式処理可能な電卓について紹介
し，工学教育における有用性について訴えたことがある１），２）．最近の大学における導入教育の大変さを目TOEICなどの英語教育においても十分活用できるのではないかと思われる．
そこで，この電卓の工学教育における有用性について再度紹介させていただくと同時に，積極活用した場
合の工学教育の可能性について考察したい．

２．数式処理電卓の概要
数式処理のできるグラフ電卓としては，カシオのClassPAD，テキサスインスツルメントのvoyage200と TI‑89 titanium，そしてヒューレットパッカードのHP‑50Gがある ３）．ここでは，図１に示すvoyage200を例にとり，その機能を概観する．
この電卓には，パソコン用の数式処理ソフトDERIVEが組み込まれている．メモリーはRAM（188KB），
フラッ
シュ ROM（2.7MB）である．QWERTYキーボードであるのでプログラムを組むのも容易である．構造化プログ
ラミング（TI‑BASIC）の機能があり，数式処理の機能をプログラムの中で利用できる．単４アルカリ乾電池４本で稼働する．

にするとき，この電卓は大学の導入教育・基礎教育において使用すれば，大きな威力を発揮するのではないかと思われてならない．さらには，その後の工学系専門科目の学習やプログラミング教育，そして，
平成 21 年 11 月９日受付※１一関工業高等専門学校
2

図１

数式処理電卓 voyage200
工学教育（J.of JSEE), 58‒2(2010）

1(1‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

数式処理の機能としては，式の展開，因数分解，方程式の解法機能や，微分積分に関する各種の機能，グラフの描画機能（曲面のグラフも描画可能）がある．
外部機器（別売）と接続すると，多様なセンサーを通して実データを直接収集することもできる．距離，
音，温度，PH，圧力，速度等の多数のセンサーが用意されている．また，統計機能も充実しており，必要なデータが入力されていれば，統計上の推定・検定等の主要な計算を電卓のキー操作だけで行うことができる．その機能は，数式処理ソフトであるMathematica
やMapleの小型版と捉えた方がイメージしやすいかもしれない．計算速度（CPUはモトローラ68000）やグラフの表示精度（モノクロ128×240ピクセル）に目をつぶる必要はあるが，パソコンを開かずとも「何時でも・何処でも」携帯電話の感覚で数式処理や統計機能を利用できることの利点は大きい．
特に，単なる式の計算ばかりではなく，その計算の意味をグラフ上から考えたり，座標を表で示して数値の変化の上から考えることもできる．式・グラフ・数値の３つの側面からの総合的な理解を容易に得ることができることが，この電卓の特徴的なことである．
以下に微積に関する画面例を示す．図２ではテイラー展開と微分方程式の解析解が表示されている．図３ではVan der Pol 微分方程式のベクトル場と解曲線が表示されている．

図２

微分の計算例な教育指導が行われており，そのような指導のできる教員の確保が重要になってくる．高校の退職教員の活用など，各大学で様々な工夫がなされている４），５）．
数学や物理の基礎部分での学生のつまずきには様々なタイプがあり，授業で全体に注意しただけで全員に伝えることは不可能に近い．そのため，学習支援セン
ター等の名称で，疑問に思う箇所を学生が自由に質問に行ける仕組みを整えているところも多い．そのようなセンターを設置するには，必要な施設や教員の確保など，大学側にも相当の経営努力が求められる．
しかし，そのような努力をしても，自分で質問に行き疑問を解消しようとする学生は一部の学生に過ぎないのが現状であろう．分からない箇所は自分で考えた
り友人に聞くなどして解決を図っている者も多いと思われるが，疑問をひたすら蓄積していくだけの学生も少なくないと思われる．
数式処理のできる電卓は，他の人に質問しにくい学生でも自力で疑問を解消できる可能性を秘めている．
例えば，数学ではいろいろな計算をしなければならな
いが，その計算過程が全て細かくテキストに記載されているわけではない．自明と思われる箇所や，ちょっと自分で計算すれば容易に分かると思われるところは省略した記述になっていることも多く，そのような箇所でつまずく学生も多い．計算過程は理解できても，その計算の意味が理解できていない場合もある．
そのようなとき，数式処理ができグラフ描画もできる電卓は，いろいろな計算やグラフの確認のために利用できる．途中の計算過程が明示されていない場合でも，対応する計算式を入力すれば途中経過をある程度知ることができる．グラフを表示させたり座標を表で表示させることも容易である．自分の行った計算結果が正しいのかどうか，自分で描いたグラフが正しいのかどうか，いつでも簡単に確かめることができる．
そのようにして，個々の学生が自分の疑問内容に応じて電卓を操作すれば，自分でその疑問を解決できる場合が増えるだろうことが予想される．学生には理解の「壺」があり，それは個々の学生により異なるものである．この電卓は，学生側の多様な理解の壺に，十分対応できるのではないかと思われる．
数式処理ソフトでも同様のことは可能であるが，それを行うには，パソコンを起動させて数式処理ソフト

図３

ベクトル場と解曲線

３．導入教育・基礎教育での利用
多様な数学力を持つ新入生に対応するため，その学部で必要とする数学を学習してこなかった者，あるいは学習はしてきたが十分な理解が得られていない者を対象に，多くの大学では高校レベルの数学を学ばせる
機会を与えている．そこでは高校の授業並みの細やか
工学教育（J.of JSEE), 58‒2(2010）

を動かし，必要なコマンドを打ち込む必要がある．市
販の数式処理ソフトは，教育用ではあっても気軽に購入できる価格ではない．MaximaやXcasなどフリーの
数式処理ソフトもあるが，そのようなソフトを使い慣れていない初学者に使用させることには躊躇がある．
電卓であれば，気になったとき「何時でも・何処でも」幾つかのキーを打ち込むだけでよい．パソコン室に出向く必要もなければ，その場でノートパソコンを広げる必要もない．微分・積分や行列・行列式の表示
3ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑ਈপ଒ણऊखञੵ৾ઇ୘भ૭ચਙ‫ؙ‬1(nも「見たまま」の表示である．導入教育等で基礎部分を確認する場合においては，機能性よりもこの利便性の重要性の方が上回るのではないだろうか．
特に，理工系の学生であれば，さらに線形代数，微分方程式，フーリエ変換，ラプラス変換，統計解析，
プログラミングなども学ぶことになる．この電卓は，応用数学や応用物理などで出てくる計算にもある程度対応可能であり，導入教育・基礎教育に留まらず，卒業時まで十分利用できるレベルにあると思われる．

４．工学系専門科目での利用
数式処理機能のあるグラフ電卓は，入学時の基礎教
育のみならず，その後の専門科目の学習においても大きな教育効果が期待される．理工系の専門科目で現れる関数や方程式は，数学の教科書にある簡単な係数や解ばかりではない．その時点で必要な数学について基礎的な理解や計算力が身についている場合は，単に煩雑なだけの計算に時間を費やすよりは，その先の思考のために時間を費やすべきであろう．数学が工学において一つの道具として利用されるのであれば，そのような場合は数式処理機能を積極的に活用することに躊躇する必要はないのではないだろうか．たとえば，文字式を含む，単純ではあるが煩雑な長い計算を行う必要が出てきたときは，即座に数式処理機能を利用して結果を出力させ，その結果の考察に時間を費やすべきではないだろうか．
著者が学生だった頃は，各種の計算には計算尺や対数表などが不可欠であった．現在，それは過去の遺品となり，関数電卓に置きかわっている．その後，数式処理を行う電卓が現れてから早10数年になる．どのような数式処理を行うべきかは人間が考える部分である．その本質部分を押さえている限り，そして工学上の問題意識を持っている限り，パソコンや電卓の数式処理を利用させることに支障があるとは思えない．数学では一瞬の閃きが本質的である．思いついたとき，「何時でも・何処でも」数式処理を試すことのできる
電卓の利便性には，計り知れない可能性があるように思えてならない．
たとえば，工学で頻出する微分方程式にしても，２階定数係数線形であれば解析解を表示し，初期値を与えると解曲線も描画できる．ベクトル場を表示させて大域的な様子を把握したり，数値解を表で出力することも可能である．さすがに非線形方程式の解析解を求めることはできないが，それでも数値解の表示や，それをもとにした解曲線は描画することができる．
定型的な微分方程式では解き方自体は容易である．
所与の初期条件や境界条件をもとに必要な係数を定めて解を確定できたとしても，そのグラフ上の振る舞い
こそが工学では重要である．微分方程式の解法からグ
ラフ描画までの一連のことが，手軽な電卓で可能に4なっていることの意義は大きい．学生が数学や専門科
目の内容を理解してその先に思考を進める上で，この機器は大きな助けになるのではないだろうか．
このような電卓の利用に関しては，学生が考えなくなるのではないかとの懸念がよく聞かれる．しかし，「分かりたい」と最も切実に思っているのは学生自身であることを忘れてはならない．学生は「分かるためのツール」として利用するだろう．試験時にも使用させれば，従来は計算量が多くて出題できなかったような問題も出題できることになる．
むしろ，計算は積極的に電卓側に任せれば，従来よりも思考を問う問題を多く出題できることになる．そのような問題は計算の仕方や計算の意味を理解していないと考えることすらできない．この電卓の使用を認めた試験では，問題の出題のあり方自体を大きく変更する必要が出てくるだろう．単に公式を覚えているか
どうか，その公式にあてはめた計算ができるかどうかを問うような問題はあまり意味がなくなる．それらの式を使いこなして，その先の思考を問う問題の出題が可能になる．学生が考えなくなるというのは，杞憂に過ぎないのではないかと思われる．必要な公式を覚えているかどうか，あるいは自力での計算ができるかど
うかを確かめたいときは，この電卓の持込みを認めな
い試験を行えば済むだけのことではないだろうか．
すでに，電気工学や機械工学に関する定型的なケースを集めて，必要とするモデル式を選択して条件値を入力すれば結果を返してくるアプリケーションもフリーで公開されている６），７）．電気工学では700以上，
機械工学では1000以上のモデル式が登録されている．
図４は，ME＊Pro（機械工学）の表示例である．

図４

ME＊Proの表示画面例

なお，福井大学工学部の機械工学科では，この電卓（voyage200）の機能に注目して新入生に購入させ，実際の講義でも利用し始めた．線形制御の解析・設計用のライブラリを自主開発するなどして，学生実験でも使用されている８）．

５．創造的思考ツールとしての利用工学で現れる関数や方程式は，係数も複雑で解も簡単な数とは限らない場合が多い．しかし，数式処理のできる電卓が身近にあれば，パソコンを起動することなく手軽に結果を確認できる．何かを考えているとき
工学教育（J.of JSEE), 58‒2(2010）

1(;‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

「何時でも・何処でも」計算結果を確認できることの利点は大きい．その結果を受けて，「では，こういう
場合はどうなるだろうか？」と，その先に思考を進めることができる．学生に何らかのテーマを与えて，数式処理やグラフ機能を多用させて思考を促した場合，学生によっては相当高度のところまで到達できるのではないかと思われる．
著者は高専の数学教員であるが，「自由研究」として，ときどき数式処理電卓を利用した課題を学生に与えている．数学に関するテーマではあるが，電卓を操作すれば成績下位の学生でも解答可能な内容としている．出題側としては単に基本的な性質に「自分で気づくこと」をねらったものであるが，提出されたレポー
トを見ると，出題者の予想以上の内容が提出されることも多い９）．以下に，幾つかの例を紹介する．
（例１）

高専１年生に，３次関数のグラフの形状ととの関係について考察させる課題を出した． の値を具体的に定めてグラフを表示させれば，成績下位の学生でもある程度の性質には気づくことができる．その中で，ある１年生は，グラフ機能の他に自力の計算も交えて考察することにより，次の結論に至った．
「
のグラ
だけ平

行移動したものである．」
この学生は，この関数の変曲点や極値の座標を文字式で表現することにも成功している．１年生なので微分法はまだ学んでいない．グラフ機能と手計算でいろ
いろな類推を行い，その真偽を電卓で確かめる．そして，さらに次の思考に進むことを繰り返してこの結果を得ている．事後の感想では，「自由研究は，やっているうちにどんどん面白くなってきて，めちゃくちゃ頑張りました．
」と書いている．
（例２）

この自由研究の後で，その感想を学生に書かせてみた．その記述内容を大まかに分類すると，次のような結果になる．168名中142名の回答である．
表１

のグラフ

とおくと，この関数のグラフは，フを， 軸方向に， 軸方向にであるが，この学生によれば，３番目のの項はとなる．以下，同様のこと
項の係数は，を繰り返せば，全ての係数を計算することができる．
数学について「○○について考察せよ」という問題
は，これまで成績上位の学生に対してしか出題することはできなかった．しかし，数式処理やグラフ機能を利用させれば，数学に関して「このような場合はどうなるか？」という試行錯誤を成績下位の学生に対しても行わせることができる．これらの例は，そのような試行錯誤を通じて，予備知識の十分ではない学生でも，一般性のある規則性に十分気づくことができることを示唆している．

自由研究に対する学生の感想（1）楽しかった・面白かった（2）勉強になった・理解が深まった（3）大変だが，面白かった・勉強になった（4）分からなかった（5）その他

35.9％
15.5％
23.2％
19.0％
6.3％

表１を見ると，数学の問題に関して考察する課題であるにも関わらず，（1)〜(3)を併せると７割以上の学生が，結果としては「面白かった・勉強になった」と回答していることに，むしろ出題した著者の方が驚かされた．この回答結果に，成績による差は現れていな
い．事後のアンケートで「自由研究は面白かったかどうか」を問うても同様であり，図５に示すとおり成績による差は現れていない．通常の問題と異なり，いろいろ試行錯誤をして自分で気づく体験をしたことで，このような結果になったのではないかと思われる．

の展開

高専１年の夏季休業の課題として，この展開式の係数と次数  との間の関係について考察する課題を出した．その時点で，二項定理についてはまだ学んでいない．数式処理の展開（expand）の機能を利用して，いろいろな  について展開式を表示させれば（降べきの順に表示される），成績下位の学生でもある程度の事には気づくことができる．ある学生は，この係数の現れ方の規則性として次のことに気づいた．
「左から数えて  番目の項の係数とその項の次数を掛けて  で割ると，その次の項の係数になる．
」
この学生は，二項定理の係数の規則性を完全に把握したことになる．例えば，の展開式の２番目
工学教育（J.of JSEE), 58‒2(2010）

図５

自由研究は面白かった

同様のことを，工学専門への導入として，工学で現れる関数や数式を考察させて，何らかの工学的な性質について考えさせることはできないだろうか．この電卓は数式処理を含むプログラム（TI‑BASIC）も可能
であり，プログラムを通してシミュレーションすることもできる．いろいろな試行錯誤を通して何らかの気づきを得たときの喜びは，通常の問題を解いた時とは異なるものがあるであろう．そのような気づきは，工学を学習する上においても，強い動機付けになるので
5ਯૄ૪৶ਗ਼ཬ॑ਈপ଒ણऊखञੵ৾ઇ୘भ૭ચਙ‫ؙ‬1(xはないだろうか．

６．プログラミング教育での利用
この数式処理電卓では，構造化言語（TI‑BASIC）
によるプログラミングが可能である．CやFortranなどのプログラミング言語を習得済みの場合は，この電卓のプログラムは容易である．例えば，表２に示すような命令語がある．
表２ TI‑BASICの命令語
If‑EndIf, While‑EndWhile, For‑EndFor,
Loop‑EndLoop, Goto, Lbl, Exit, Cycle, Local

代入や変数値の置き換えは，通常は「x＝x+1」のような書式であるが，この電卓では「x+1→x」という書式になる．プログラム初心者には，この書式の方が分かりやすいのではないだろうか．さらに，いろい
ろな数式処理のコマンドをプログラムに組み込めるので，通常のプログラム言語よりは強力であるといえる．
ここで取り上げている電卓（voyage200）はフルキー
ボードを備えている．電卓上でプログラムを組むことも容易であるが，行数が長いときは，やはりパソコン側で作成して電卓に転送する方が効率的である．パソ
コンとの接続用ソフトウェア（TI Connect）がフリーで提供されている．
しかし，この電卓のプログラムになじみすぎることは本来習得しなければならないＣなどの言語を習得する上で妨げになるかもしれない．また，込み入ったプ
ログラムを作成しようとするとBASIC では限界があるかもしれない．そのような場合は，電卓用の実行ファイルをパソコン上のＣで作成するアプリケーショ
ン（SDK：Software Development Kits）が提供され

6

図６

SDKによる「Hello」プログラム

図７

TI‑92Plusのシミュレート画面ている．それを利用すると，電卓用のプログラムをＣで作成することができ，アセンブリプログラム（この電卓のCPUはモトローラ68000）も組み込むことができる．作成したプログラムが電卓側で正常に動くかど
うかは，パソコン上で簡単にシミュレートでき，正常動作を確認した上で実行ファイルを電卓に転送することになる．SDKのマニュアルは約1400ページあり，
膨大なライブラリが用意されている．
なお，
シミュレー
ト画面では旧機種（TI‑92Plus）の画面が表示されるが，voyage200とは互換性があるので動作上の問題はない．
このSDKを利用すると，普通のＣのプログラム演
習として，「電卓側で指定された機能を持つ実行ファ
イルを作れ」という課題を出すこともできるだろう．
それは，本来のＣのプログラム学習と何ら矛盾するものではない．ただし，その場合は，SDKのライブラ
リの内容について事前に説明しておく必要がある．
図６はSDKにすでに用意されている「Hello」プロ
グラム，図７はそのシミュレート画面である．このプ
ログラムを作成後，図７のパソコン上の電卓に転送して電卓側で「hello（ ）」と打ち込むと，（パソコンに表示されている）電卓の液晶画面に，このようなダイアログが表示される．

７．英語の学習ツールとしての利用
日本語表記がなされた数式処理可能な電卓は，日本
では販売されていない．
したがって，
メニューやエラー
は全て英文で表示される．単純な英文なので，大学生であれば理解に苦しむことはないと思われる．
ここで取り上げている電卓（voyage200）には，選択式問題の提示ツールである「Study Cards」という

図８

図９

Study Cardの問題例

Study Cardの解答画面例
工学教育（J.of JSEE), 58‒2(2010）

1(E‫ؙ‬ਸ਼⋝৖‫ॱشॹؙ‬ઽૐधੵ৾ઇ୘दभણ৷

アプリケーションが標準添付されている．そこで提示する問題はパソコン上で作成でき，問題作成ソフト「Card Creator」がフリーで提供されている．所定の書式を満たしていれば，表計算ソフト（エクセル等）
で作成した内容をカットアンドペーストしてもよい．
例えば，図８はサンプルで提供されているサイエンスに関する問題である．問題文が長いときは幾つかの画面に分けて表示され，画像を貼り付けることもできる．選択肢の数や問題のレベルは問題作成者が指定でき，選択肢の表示画面も幾つかに分割表示できる．解
答する番号はプルダウンメニューから選択する．図９のように，正解の場合は解説文が表示され，その内容も作成者が自分で作成できる．問題のレベル順に出題
したり，シャッフルしてランダムに出題することもできる．
正解表示に併せて解説文も表示できるので，各問題に細かい解説文（英文）を付加すれば，英語による自主学習教材としての利用が可能である．数学の問題のみならず，専門科目での英語表現や術語の学習ツールとしても利用できるだろう．TOEICなど英語の問題演習としても利用できる．また，選択肢を設けた問題としなくても，いろいろな基礎事項や重要事項に対する，英文の解説集として利用することもできるだろう．

８．おわりに数式処理のできる電卓が，導入教育や基礎教育，工学系専門科目での利用，プログラミング教育，さらには英語教育にいたるまで幅広く利用できることを述べてきた．同じことはパソコン上のアプリケーションでも可能であり，パソコンの方が機能も豊富で表示もカラフルである．しかし，それを利用するには各種のソ
フトウェアを用意した上でパソコンの前に座らなければならず，思いついたときに「何時でも・何処でも」というわけにはいかない．パソコン用ソフトウェアと比較して電卓側の機能に劣る面はあるが，電卓はハンドヘルドであるがゆえに，思い立ったときに「何時でも・何処でも」さまざまな利用の仕方ができる．低学
力者の理解の補助としても，上位学生の創造的思考を援助するためにも利用できる．特に，数式処理の機能
は，論文購読の効率化に繋がることも期待される．
ただし，単に学生に所持させて放置した場合は，電卓に頼って考えなくなる学生が出てくることも懸念される．その使用の仕方については十分な指導が必要と思われる．また，このような電卓の使用を認めた試験
問題のあり方についても検討が必要になるだろう．数式処理可能な電卓の使用を認めた試験では，問題の内容や質を大きく転換することが必要になる．従前の試験問題は大幅に作り直すことになるが，教育の質の改善を図るためには必要な転換と思われる．

キーを押すだけで済むようになった．数式処理のできる電卓は10年以上前に出現しているが，このような機能を持つ電卓の存在すら，未だによく知られていないのが実情である．理工系の教育において，この電卓の必要性は疑いようが無い．教育の中でどのように生かしていくべきなのか，早急な検討が必要とされているのではないだろうか．
なお，本研究の一部は，平成19 〜 21年度科学研究費補助金・基盤研究（C）課題番号19500769（研究代
表者：梅野善雄）の支援を受けている．記して謝意を表する．
参 考 文 献１）梅野善雄：数式処理電卓は工学教育に何をもたらすか？ , 工学教育, 48−4, pp.9−15, 2000
２）梅野善雄：数式処理電卓の応数・応物での利用例
案と予想される教育効果, 工学教育, 50−1, pp.22−27, 2002
３）各電卓の詳細は, 下記URLを参照されたい．
http://www.casio.com/products/
http://www.naoco.com/
http://www.hp.com/country/us/en/#Product
参照日：いずれも, 2009‑ 9 ‑9４）遠藤銀朗：大学工学教育における導入教育の必要性と役割, 工学教育, 57−1, pp.24−29, 2009５）青木克比古：自主的・自発的な工学基礎教育の学
習支援の効果とこれからの展開, 工学教育, 57−3,
pp.44−49, 2009６）EE*Pro guidebook for TI‑89/TI‑92Plus
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/
apps/89ee̲pro/eepro.pdf, 参照日：2009‑ 9 ‑9７）ME*Pro guidebook for TI‑89/TI‑92Plus
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/
apps/89me̲pro/dvmepro.pdf, 参照日：2009‑ 9 ‑9８）川谷亮治, 高田直人：学生実験におけるグラフ電卓の活用, 工学教育, 55−2, pp.43−47, 2007９）梅野善雄：高専における数式処理電卓を利用した
数学教育, 数式処理, 15−2, pp.39−47, 2008…………………………………………………
著 者 紹 介
梅野 善雄
1974年東北大学大学院理学研究科修士課
程修了
2001年一関工業高等専門学校一般教科教授．テクノロジーを活用した数学教育の研究に従事．日本数学教育学会，日本工学教育協会などに所属．2001年に日本工学教育協会賞（論文論説賞）受賞

関数電卓が出現して，三角関数や対数関数の値は
工学教育（J.of JSEE), 58‒2(2010）7ࢿྉʮ਺ֶ‫ڭ‬ҭֵ໋ʯ஗Εͨ೔ຊ਺φϏͷ࢖͍ํʹؔ͢Δ഑෍ࢿྉࢿྉͷ֓ཁ ͜͜Ͱ͸ɼಡച৽ฉͷʮ࿦఺ʯʹ‫͞ࡌܝ‬Εͨ‫ͱࣄه‬ɼάϥϑి୎Λत‫Ͱۀ‬ར༻͢Δ
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ॳʹࢦఆͨ͠఺ͱର֯ઢͷ൓ରଆͷ఺Λࢦఆͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻ• Ҏ্ʹΑΓɺࢦఆ͞Εͨ௕ํ‫ܗ‬ͷ಺෦͕ը໘Ұഋʹදࣔ͞ΕΔɻx ࣠ͱͷަ఺ F5 2 (Zero)• දࣔ͞Εͨάϥϑͱ x ࣠ͱͷ‫ڞ‬༗఺͕͋Δͱ͖͸ɺͦͷ x ࠲ඪΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ• F5 2 ENTER Λԡ͠ɺ‫ڞ‬༗఺ͷࠨଆͱӈଆΛࢦఆ͢Δඞཁ͕͋Δɻ • ·ͣɺʮLower Boundʁʯͱฉ͍ͯ͘ΔͷͰɺ   Ͱ‫ڞ‬༗఺ͷ ͪΐͬͱࠨଆ ʹΧʔιϧΛҠಈͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻ 2nd Λԡ͠ͳ͕Β΍ΔͱҠಈྔ͕େ͖͘ͳΔɻ• ࣍ʹɺʮUpper Boundʁʯͱฉ͍ͯ͘ΔͷͰɺ  ͰΧʔιϧΛ‫ڞ‬༗఺ͷ ͪΐͬͱӈଆ ʹҠಈͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻLower ͸খ͍͞ํɺUpper ͸େ͖͍ํɺBound ͸୺ͱ͍͏͜ͱɻ• ʮZeroʯ͕දࣔ͞ΕͯΧʔιϧ͕ x ࣠ͱͷ‫ڞ‬༗఺ʹҠಈ͠ɺͦͷ࠲ඪ͕Լஈʹදࣔ͞ΕΔɻ࠷খ஋ F5 3 (Minimum)ɺ࠷େ஋ F5 4 (Maximum)• ࢦఆ͞Εͨൣғʹ͓͚Δɺy ͷ࠷খ஋΍࠷େ஋Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ• ࠷খ஋͸ F5 3 ENTER ɺ࠷େ஋͸ F5 4 ENTER Λԡ͠ൣғͷࠨͱӈ୺Λࢦఆ͢Δɻ • ʮLower Boundʁʯ͕ग़ͨΒɺ   Ͱࠨ୺ʹΧʔιϧΛҠಈͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻ࣍ʹɺʮUpper Boundʁʯ͕දࣔ͞ΕΔͷͰɺ  Ͱൣғͷӈ୺ʹҠಈͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻ• ࢦఆ͞Εͨ࠷খ஋ (࠷େ஋) ΛऔΔ఺ʹΧʔιϧ͕Ҡಈ͠ɺͦͷ఺ͷ࠲ඪ͕Լஈʹදࣔ͞ΕΔɻ
2 ͭͷάϥϑͷަ఺ F5 5 (Intersection)• F5 5 Λԡ͢ͱɺ2 ͭͷάϥϑͷަ఺ͷ࠲ඪΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ • ʮ1st CurveʁʯͰ͸ɺ   ͰάϥϑͷؒΛҠಈ͠ɺ࠷ॳͷάϥϑ্ʹΧʔιϧΛҠಈ͠ͯ ENTER Λԡ͢ɻάϥϑ͕ 2 ͔ͭ͠දࣔ͞Ε͍ͯͳ͍ͱ͖͸ ENTER ͚ͩͰΑ͍ɻ

 
• ࣍ʹɺ
ʮ2nd Curveʁʯ͕දࣔ͞ΕΔͷͰɺ   Ͱ 2 ͭ໨ͷάϥϑʹҠಈͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻάϥϑ͕ 2 ͔ͭ͠දࣔ͞Ε͍ͯͳ͍ͱ͖͸ ENTER ͚ͩͰΑ͍ɻਯॼঅ‫ڵڴٕھۉ‬भઞः্‫ؙ‬ • ͦͷ‫Ͱޙ‬ɺʮLower BoundʁʯͰ͸   Ͱަ఺ͷࠨ୺Λࢦఆͯ͠ ENTER ɺʮUpperBound?ʯͰ͸ಉ༷ʹͯ͠ަ఺ͷӈଆΛࢦఆͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻ• ͦ͏͢ΔͱɺΧʔιϧ͕ࣗಈతʹަ఺ʹҠಈͯ͠ɺͦͷ఺ͷ࠲ඪ͕Լஈʹදࣔ͞ΕΔɻ࠲ඪΛදʹ͢Δςʔϒϧ‫ػ‬ೳάϥϑදࣔ͞Ε͍ͯΔؔ਺ͷ x ࠲ඪͱ y ࠲ඪΛɺදͱͯ͠දࣔͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ   F4 ⇐⇒ දͷ։࢝Ґஔ΍ࠁΈ෯ͷઃఆ, F5 ⇐⇒ x, y ࠲ඪΛදͰදࣔςʔϒϧ‫ػ‬ೳ F5 (Table)  •  F3 Ͱάϥϑ͕දࣔ͞Ε͍ͯΔঢ়ଶͰ  F5  Λԡ͢ͱɺͦͷάϥϑͷ x ࠲ඪͱ y࠲ඪ͕ද (ςʔϒϧ) Ͱදࣔ͞ΕΔɻ • 5 ߦ෼ͷσʔλ͔͠දࣔ͞Εͳ͍͕ɺ   Ͱ্ํʹ΋Լํʹ΋ࣗ༝ʹҠಈͰ͖Δɻ •   ͰදͷࠨӈͷҠಈ΋Ͱ͖ΔɻԼஈʹ͸ɺࠇ͘ͳ͍ͬͯΔՕॴͷৄࡉͳ஋͕දࣔ͞ΕΔɻ •  F4 Λར༻͢Δͱɺ࠷ॳʹදࣔ͞ΕΔදͷࠨ্ͷ x ͷ஋΍ x ͷࠁΈ෯ΛมߋͰ͖Δɻද͕දࣔ͞Ε͍ͯΔঢ়ଶͷͱ͖͸ɺ  Λԡͣ͞ʹ F2 ͚ͩΛԡͯ͠΋Α͍ɻςʔϒϧηοτ F4 (Tblset)  •  F4 Λԡ͢ͱɺ  F5 Ͱ࠷ॳʹදࣔ͞ΕΔදͷࠨ্ͷ x ͷ஋΍ x ͷࠁΈ෯ΛมߋͰ͖Δɻ •  F4 Λԡͯ͠ɺ࠷ॳʹʮtblStartʯΛࢦఆ͢Δɻදͷ࠷ॳͷ x ͷ஋Λࢦఆ͢Δ͜ͱʹͳΔɻ• ࣍ʹɺ  ͰԼͷߦʹਐΈɺʮΔtblʯͷՕॴͰɺx ͷࠁΈ෯Λࢦఆ͢Δɻ• Ҏ্ͷ 2 ͭͷ஋Λࢦఆͨ͠Βɺ ENTER Λ 2 ճԡ͢ɻ• ͢Δͱɺද͕ઃఆͨ͠Α͏ͳ։࢝ҐஔͱࠁΈ෯Ͱදࣔ͞ΕΔɻ

1਺φϏͰ࣍ͷૢ࡞Λߦ͑ɻͦͷૢ࡞͕Ͱ͖͔ͨɺͰ͖ͳ͔͔ͬͨɺ֘౰͢Δ߲໨Λ˓ͰғΊɻ√(1) y1 = x − 1, y2 = x + 2 Λఆٛͯ͠άϥϑΛදࣔͤ͞Αɻ ૢ࡞͕ Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

(2) ඳըൣғ͕ −3 <= 3 ͱͳΔΑ͏ʹͤΑɻ=y<=x<= 5, − 2 <ૢ࡞͕Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

(3) y2 ͷάϥϑ͚͕ͩදࣔ͞ΕΔΑ͏ʹͤΑૢ࡞͕ Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ
√(4) τϨʔε‫ػ‬ೳͰɺy2 = x + 2 ͷάϥϑ্ΛҠಈͯ͠ΈΑɻ ૢ࡞͕ Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ
(5) (4) ʹ͓͍ͯɺx = 3 ͷͱ͖ͷ y ࠲ඪΛ‫ٻ‬ΊΑɻ

x = 3 ͷͱ͖ͷ y ࠲ඪ͸ɺ(6) y1 ͱ y2 ͷ 2 ͭͷάϥϑ͕දࣔ͞ΕΔΑ͏ʹ໭ͤɻૢ࡞͕Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

(7) x ʹରԠ͢Δ 2 ͭͷ y ࠲ඪΛɺදͱͯ͠දࣔͤ͞Αɻૢ࡞͕Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

(8) දͷࠨ্ͷ x ͷ஋͕ 1ɺx ͷࠁΈ෯͕ 0.1 ͱͳΔΑ͏ʹͤΑɻૢ࡞͕Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

(9) දͰɺy1 > y2 ͱͳΔͷ͸ x ͕ͲͷΑ͏ͳͱ͖͔ɻ

ͷͱ͖ y1 > y2 ͱͳΔx>(10) ࠶౓ɺάϥϑΛදࣔͤ͞Αɻૢ࡞͕Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

(11) 2 ͭͷάϥϑͷަ఺෇ۙΛɺ֦େͤΑɻૢ࡞͕Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

(12) 2 ͭͷάϥϑͷަ఺ͷ࠲ඪΛ਺φϏͷૢ࡞Ͱ‫ٻ‬ΊΑɻ(13) 2 ͭͷάϥϑͷަ఺Λࣗ෼Ͱ‫֬ͯ͠ࢉܭ‬ೝͤΑɻ

x=

ɺy =
֬ೝ͕

Ͱ͖ͨɺͰ͖ͳ͔ͬͨ

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 
 
 
 

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[ૢ࡞] (1)  F1 ͱ  F3 ɺ(2)  F2 ɺ(3)  F1 Ͱ y1 ͷ Λ F4 Ͱ͸ͣ͢ɺ(4)  F3 ͱ
 



√
 

Λ͚ͭ
͔ͯ͠Β F3 Ͱ   ͰҠಈɺ(5) (4) ͷঢ়ଶͰ 3 ENTER ɺ(6)  F1 Ͱ y1 ʹ F4 Ͱ
 
 
 
 


Δɺ(7)  F5 ɺ(8)  F4 ɺ(9)  F5 ͱͯ͠  ͰԼͷํΛௐ΂Δɺ(10)  F3 ɺ(11) F2 1ɺ







(12) F5  5(Intersection) Λར༻͢Δ͔ɺ·ͨ͸ HOME  Ͱ‫ج‬ຊը໘ʹ໭Γ F2  (1:Solve) Λར༻͢Δɻ√(13) x − 1 = x + 2 Λࣗ෼Ͱղ͘ɻ྆ลΛฏํ͢Ε͹Α͍ɻ‫ؙ‬ৱમάϥϑؔ࿈‫ػ‬ೳͷ·ͱΊ • ؔ਺Λఆٛ͢Δ =⇒  F1  • ඳըൣғΛ‫ݟ‬Δɾࢦఆ͢Δ =⇒  F2 
 • άϥϑΛඳը͢Δ =⇒  F3 ԡ͢• άϥϑΛ࠶ඳը͢Δ =⇒ F4 Λԡ͢• y ࠲ඪΛ‫ٻ‬ΊΔ =⇒ F3  Λԡ͠Χʔιϧ͕఺໓ঢ়ଶͰ x ͷ஋Λࢦఆ͠ͯ ENTER Λԡ͢• x ࣠ͱͷަ఺ =⇒ F5 2 Ͱަ఺ͷલ‫ޙ‬• දͷ࢝఺΍ࠁΈ෯Λࢦఆ͢Δ =⇒  F4 • ά ϥ ϑ ͷ x, y ࠲ ඪ Λ ද ʹ ͢ Δ
 
Λࢦఆ

=⇒  F5  • ࠷খ஋ͷ࠲ඪ =⇒ F5 3 Ͱࠨ୺ͱӈ୺• ඳը͢Δؔ਺Λࢦఆ =⇒  F1 ͷը
Λࢦఆ

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
໘Ͱɺ   Ͱؔ਺Λࢦఆ͠ɺ F4 •࠷େ஋ͷ࠲ඪ =⇒ F5 4 Ͱࠨ୺ͱӈ୺√Ͱ Λࢦఆ͢ΔΛࢦఆ• ௕ํ‫ࢦܗ‬ఆͰάϥϑΛ֦େ =⇒ F2 1• 2 ͭͷάϥϑͷަ఺ =⇒ F5 5 Ͱɺ2 ͭ• ඪ४࠲ඪͰάϥϑΛඳը =⇒ F2 4 ΛͷάϥϑΛࢦఆ͔ͯ͠Βɺަ఺ͷલ‫ޙ‬
ԡ͢
Λࢦఆ͢Δ

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
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  
 
஫ 1)
(−) ͱ − ͷ࢖͍෼͚ʹ஫ҙ͢Δ͜ͱɻઌ಄ͷϚΠφε΍‫ހׅ‬ͷ͙͢‫ޙ‬ͷϚΠφε͸ (−) ɻ    ஫ 2) ‫ ) ( ހׅ‬ͷରԠؔ܎ʹ΋஫ҙ͢Δ͜ͱɻࠨ‫ͱ ( ހׅ‬ɺӈ‫ )ހׅ‬ͷ਺͸Ұக͢Δඞཁ͕͋Δɻ ྫ 1)  F1 Ͱɺy1 = x2 − x − 1 ͱ͢Δɻ
ؔ਺ͷఆٛ

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
 
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άϥϑඳը

 

 F3 Λԡ͢ͱάϥϑ͕දࣔ͞ΕΔɻඪ४ঢ়ଶͷൣғͱ͢ΔͨΊ F2 4Λԡ͢ͱɺ−7.9 <=x<= 7.9ɺ−3.8 <=y<= 3.8 ͷൣғͰάϥϑ͕දࣔ͞ΕΔɻ໨੝͸ x, y ࣠ͱ΋ 1 ࠁΈʹࢦఆ͞Ε͍ͯΔɻ
ൣғࢦఆ

 
 F2 Λԡ͢ͱɺͲͷΑ͏ͳൣғͰάϥϑ͕ඳը͞Ε͍ͯΔ͔͕෼͔

Δɻ F2 4 Λԡ͢ͱɺඞͣɺӈͷΑ͏ͳൣғʹͳΔɻඞཁͰ͋Ε͹ɺ͜ͷ஋͸ࣗ༝ʹม͑ͯΑ͍ɻͨͩ͠ɺxmin<xmaxɺymin<ymax ͱͳΔΑ͏ʹ͢Δɻ
τϨʔε

 

 
 F3 ͰάϥϑΛදࣔͤ͞ɺͦͷঢ়ଶͰ F3 Λԡ͢ͱɺ   Λར༻ͯ͠άϥϑ্ΛҠಈͰ͖ΔɻԼஈʹ͸ɺͦͷ఺ͷ࠲ඪ͕දࣔ͞ΕΔɻx ͷ஋ΛଧͪࠐΜͰ ENTER Λԡ͢ͱɺͦͷ஋Λ x ࠲ඪʹ࣋ͭ఺ʹҠಈ͢Δɻӈਤ͸ɺx = 2 Λࢦఆͨ͠ͱ͖Ͱ͋Δɻ2 ENTER ͱ͢Ε͹Α͍ɻ

ZoomBoxάϥϑ͕දࣔ͞Ε͍ͯΔঢ়ଶͰɺ௕ํ‫ܗ‬ঢ়ͷ۠ըΛࢦఆͯ͠ɺͦͷ෦෼͚ͩΛ֦େදࣔͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ F2 1 Λԡ͢ɻʮ1st Cornerʁʯ   Ͱ͸ɺ੨͍         Λར༻ͯ͠௕ํ‫ܗ‬ͷ௖఺ͷ 1 ͭΛࢦఆͯ͠ ENTER  ɺʮ2nd CornerʁʯͰର֯ઢͷ൓ରଆͷ௖఺Λࢦఆ͠ͯ ENTER Λԡͤ͹Α͍ɻӈਤ͸ 2 ͭ໨ͷ௖఺Λࢦఆ͍ͯ͠Δͱ͜Ζɻਯॼঅ‫ڵڴٕھۉ‬भઞः্‫ؙ‬࠲ඪΛදͰදࣔ   F1 Ͱؔ਺͕ఆٛ͞Ε͍ͯΔͱ͖ɺ  F5 Λԡ͢ͱɺͦͷؔ਺√ͷ࠲ඪΛදͰදࣔ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻؔ਺ͷఆٛը໘Ͱ
ҹͷ͍ͭͨؔ਺ͷ࠲ඪ͕දͰදࣔ͞ΕΔɻӈਤ͔Βɺ1 < x < 2 ͷՕॴͰ y = 0 ͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔ΔɻࠁΈ෯Λมߋ

 
ʮtblStartʯʹ͸ F4 Λԡ͢ͱɺx ͷࠁΈ෯Λมߋ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻදͷ։࢝ҐஔΛɺ
ʮΔtblʯʹ͸ x ͷࠁΈ෯Λ͍ΕΔɻ਺஋ΛೖΕͯ  ͰԼͷ߲໨ʹҠಈ͢Δɻ͜ͷ 2 ͭͷ਺஋Λ͍ΕͨΒ ENTER Λ 2 ճԡ͢ɻӈਤͰ͸ɺ࠷ॳͷ։࢝ҐஔΛ 1 ʹɺx ͷࠁΈ෯Λ 0.1 ʹઃఆͨ͠ɻ
มߋ‫ޙ‬ͷදલͷՕॴͰɺࠁΈ෯Λมߋͯ͠ ENTER Λ 2 ճԡ͢ͱɺมߋͨ͠ઃ

ఆͰද͕දࣔ͞ΕΔɻ  ͰԼʹߦ͘͜ͱʹΑΓɺy = 0 ͱͳΔͷ͸ 
1.6 < x < 1.7 ͷՕॴͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ  F4 ͰࠁΈ෯Λ΋ͬͱࡉ͔͘͢Δͱɺ͞Βʹৄ͍͠ൣғ͕෼͔Δɻx ࣠ͱͷ‫ڞ‬༗఺  F3 Ͱ࠶ͼάϥϑΛදࣔͤ͞Δɻͦͷঢ়ଶͰ F5 2(Zero)Λԡ͢ͱɺx ࣠ͱͷ‫ڞ‬༗఺ͷ࠲ඪ͕‫ٻ‬ΊΒΕΔɻ
ʮLower BoundʁʯͰ͸ɺ   Λར༻ͯ͠‫ڞ‬༗఺ͷࠨଆΛࢦఆͯ͠ ENTER ɺʮUpper BoundʁʯͰ͸‫ڞ‬༗఺ͷӈଆΛࢦఆͯ͠ ENTER Λԡ͢ͱɺͦͷؒʹ͋Δ‫ڞ‬༗఺ͷ࠲ඪ͕දࣔ͞ΕΔɻӈਤ͸݁࿦Λද͍ࣔͯΔɻx  1.618 Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ
τϨʔεը໘Ͱ΋֬ೝ

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x2 − x − 1 = 0 ͷղ͸ɺx =Δɻղͷ֬ೝ͸ɺ HOME Λԡͯ͠‫ج‬ຊը໘ʹ໭Γɺ F2 1 (1:Solve)Ͱʮsolve(x2 − x − 1 = 0, x))ʯɺ·ͨ͸ʮsolve(y1(x) = 0, x)ʯͱͯ͠΋Α͍ɻ࠷খ஋ (࠷େ஋΋ಉ༷)

 

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 F3 ͰάϥϑΛදࣔͤ͞Δɻͦͷঢ়ଶͰ F5 3(Minimum) ͱɺy ͷ࠷খ஋͕‫ٻ‬ΊΒΕΔɻ
ʮLower BoundʁʯͰ͸ɺ   Λར༻ʮUpper Boundʁʯͯ͠࠷খ஋͕͋ΔՕॴͷࠨଆΛࢦఆͯ͠ ENTER ɺͰ͸ӈଆΛࢦఆͯ͠ ENTER Λԡ͢ͱɺy ͷ஋͕࠷খʹͳΔ఺ʹΧʔιϧ͕Ҡಈ͠ɺͦͷ఺ͷ࠲ඪ͕දࣔ͞ΕΔɻӈਤ͸݁࿦Λද͍ࣔͯ͠Δ
ͱ͜ΖͰ͋Δɻ‫ج‬ຊը໘ 
HOME Λԡ͢ͱɺ‫ࢉܭ‬Λߦ͏‫ج‬ຊը໘ʹ໭Δɻ  F1 Ͱఆٛͨ͠

ؔ਺͸ɺ͜ͷը໘Ͱ΋ੜ͖͍ͯΔɻτϨʔεͷը໘Ͱ͸ɺάϥϑ͕දࣔ͞Ε͍ͯΔൣғ֎ͷ x ͷ஋Λࢦఆ͢ΔͱΤϥʔͱͳΔ͕ɺ‫ج‬ຊը໘Ͱ͸ఆٛҬ಺ͷ஋Ͱ͋Ε͹ԿͰ΋ࢦఆͰ͖Δɻӈਤ͸ɺy1 = x2 − x − 1 ʹ͓͍ͯɺx ʹ 1000 Λ୅ೖͯ͠ y1(1000) Λ‫ٻ‬Ί͍ͯΔɻy1(1000) ENTER ͱ͢Δɻ‫ؙ‬ৱમ͢͏਺φϏ TI–89 ͷ࢖͍ํ (3)ؔ਺‫߸ه‬ͷఆٛؔ਺‫ ߸ه‬f (x)• HOME Λԡ͠‫ج‬ຊը໘ʹ໭Δɻ F4 ENTER Λԡ͢ͱʮDeﬁne ʯͱදࣔ͞ΕΔͷͰɺͦͷ‫ʹޙ‬ଓ͚ͯɺͨͱ͑͹ f (x) = x2 − 2x ͱͯ͠ ENTER Λԡ͢ɻDeﬁne ͱ f (x) ͷؒʹ͸ۭന͕ඞཁͰ͋Δɻ F4 ENTER ͷஈ֊Ͱۭന͕͍͍ͭͯΔͷͰɺͦͷۭന͸࡟আ͠ͳ͍͜ͱɻf (x) ͷ f ͸ alpha ΩʔΛར༻͢Δɻ Deﬁne ͸ʮఆٛ͢Δʯͱ͍͏͜ͱɻ• ͜ΕͰɺʮDeﬁne f (x) = x2 − 2xʯ͕දࣔ͞Εɺ਺φϏʹ f (x) = x2 − 2x ͕ఆٛ͞Εͨɻ• ଓ͍ͯɺf (3) ENTER , f (x − 1) ENTER ͳͲΛ࣮ߦͯ͠ΈΑɻ• f (x) ʹผͳࣜΛఆٛ͢Ε͹ɺؔ਺ f (x) ͷ಺༰Λ‫׻‬଴ʹมߋͰ͖Δɻ • ͜͜Ͱఆٛͨ͠ f (x) ͸ɺ  F1 ͷؔ਺ఆٛը໘Ͱ΋ར༻Ͱ͖Δɻ• F4 Λར༻ͨ͠ Deﬁne f (x) = ͷ‫Ͱܗ‬͸ͳ͘ɺ ON ͷ্ʹ͋ΔΩʔ STO Λར༻ͯ͠
ʮx2 − 2x STO f (x) ENTER ʯͱͯ͠΋Α͍ɻʮx2 − 2x → f (x)ʯͱදࣔ͞ΕΔɻ

άϥϑؔ࿈‫ػ‬ೳͷ·ͱΊ (࠶‫)ܝ‬ • ؔ਺Λఆٛ͢Δ =⇒  F1 • ؔ਺Λมߋ͢Δ =⇒   F1 Ͱɺมߋ͍ͨؔ͠਺ʹΧʔιϧΛ߹Θͤͯ ENTER  • ؔ਺Λফ‫͢ڈ‬Δ =⇒   F1 Ͱɺফ‫ڈ‬͍ͨؔ͠਺ʹΧʔιϧΛ߹Θͤͯ ←  • ͢΂ͯͷؔ਺Λফ‫͢ڈ‬Δ =⇒   F1 Ͱɺ F1  8 ENTER ͱ͢Δͱશ෦ফ͑Δ • ඳըൣғΛ‫ݟ‬Δɾࢦఆ͢Δ =⇒  F2 
 • άϥϑΛඳը͢Δ =⇒  F3 
• άϥϑ͕͏·͘ग़ͳ͍ =⇒ F2  4 Λԡ͢• Τϥʔը໘͕ग़ͨ =⇒ ESC Λԡ͢• දͷ࢝఺΍ࠁΈ෯Λࢦఆ͢Δ =⇒  F4  • x, y ࠲ඪΛදʹ͢Δ =⇒  F5   • ඳը͢Δؔ਺Λࢦఆ =⇒  F1 Ͱ   Ͱ√ؔ਺Λࢦఆ͠ɺ F4 Ͱ Λࢦఆ͢Δ• ௕ํ‫ࢦܗ‬ఆͰάϥϑΛ֦େ =⇒ F2 1Ͱɺର֯ઢͷ௖఺Λࢦఆͯ͠ ENTER • ඪ४࠲ඪͰάϥϑΛඳը =⇒ F2 4• άϥϑ্Λಈ͘ =⇒ F3 Ͱ  ,  Λԡͯ͠ࠨӈʹҠಈ͢Δɻ• άϥϑΛ࠶ඳը͢Δ =⇒ F4 Λԡ͢• y ࠲ඪΛ‫ٻ‬ΊΔ =⇒ F3 Λԡ͠Χʔιϧ఺໓ঢ়ଶͰ x Λࢦఆͯ͠ ENTER ؔ਺ f (x) = x2 − 2x ͷάϥϑͷฏߦҠಈͱରশҠಈ (ରশม‫)׵‬ɻ
f (x) ͷ ఆ ٛ · ͣɺ HOME Λ ԡ ͠ ͯ ‫ ج‬ຊ ը ໘ ͱ ͢ Δ ɻͷ‫ ʹޙ‬f (x) = x2 − 2x Λೖ
F4  ENTER  Λԡͯ͠ɺDeﬁneΕͯ ENTER Λԡ͢ɻf ͸ alpha ΩʔΛར༻͢Δɻؔ਺ f (x)ͱͯ͠ f (x) = x2 − 2x ͕ఆٛ͞Εͨ͜ͱʹͳΔɻ
f (x) ͷ֬ೝ ೖྗߦͰɺf (3) ENTER ΍ɺf (4) ENTER ͳͲ
ͱͯ͠ɺf (x) ͷ x = 3 ΍ x = 4 ͷͱ͖ͷ஋͕ਖ਼͘͠‫͞ࢉܭ‬Εͯ

ྫ 2)

͍Δ͜ͱΛ֬ೝ͢Δɻf (a) ͸ɺؔ਺ f (x) ͷࣜͷ x ʹ a Λ୅ೖͨ͠΋ͷͰ͋Γɺf (3) = 32 − 2 · 3 = 9 − 6 = 3 Ͱ͋Δɻf (x − 1) ͷ‫ ࢉܭ‬f (x) ͷ x ͷՕॴʹ x − 1 Λ୅ೖ͢ΔͱͲ͏ͳ
Δ͔ʁf (x − 1) ENTER Λදࣔͤͯ͞ΈΑɻ͜Ε͸ɺf (x) ͷ x ͷՕॴ͕ x − 1 ʹͳ͍ͬͯΔͷͰɺf (x − 1) = (x − 1)2 − 2(x − 1) =x2 − 2x + 1 − 2x + 2 = x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) ͱͳΔɻਯॼঅ‫ڵڴٕھۉ‬भઞः্‫ؙ‬  F1 Ͱؔ਺ఆٛը໘ʹҠΔɻ
y1 = f (x), y2 = f (x) + 1, y3 = f (x − 2), y4 = f (x − 2) + 1 Λఆٛ͢Δɻ
y = f (x) ͷฏߦҠಈϑΛදࣔͤ͞Δɻ  F3 Ͱ ά ϥ

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r2 − (x − a)2 +b

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4. άϥϑͷอଘ࡞੒ͨ͠ਤΛอଘ͢Δʹ͸ɺ F1 2(Save Copy As · · · ) ͱ͠ɺʮTypeʯͷՕॴΛʮGDBʯɺ ͰʮVariableʯͷՕॴʹ͍͖ɺద౰ͳ໊લΛࢦఆ͢ΔɻϑΝΠϧ໊͸ɺgm45 ͷΑ͏ʹ g ͷ‫ޙ‬͸ࣗ෼ͷֶՊͷΞϧϑΝϕοτͱग़੮൪߸ͱ͢Δɻಉ͡Α͏ʹͯ͠ɺ
ʮTypeʯΛʮPictureʯɺϑΝΠϧ໊͸ gm45p ͷΑ͏ʹ࠷‫ ʹޙ‬p Λ͚ͭͨϑΝΠϧͰ΋อଘ͢Δɻอଘը૾Λ‫ͼݺ‬ग़͢ʹ͸ɺ F1  1(Open) ͱͯ͠ Variable ʹࣗ෼͕อଘ໊ͨ͠લΛೖΕ ͯ ENTER Λԡ͢ɻͨͩ͠ɺ‫  ࡏݱ‬F1 ͷը໘Ͱ ఆٛ͞Ε͍ͯΔؔ਺͕͢΂ͯ࡟আ͞Εɺ৽ʹΦʔϓϯ͢Δը૾ͷఆٛؔ਺Ͱஔ͖‫׵‬ΒΕΔͷͰ஫ҙ͢Δ͜ͱɻਯॼঅ‫ڵڴٕھۉ‬भઞः্‫ؙ‬5. ‫ݸ‬ʑͷؔ਺ͷඳըελΠϧͷઃఆؔ਺ͷάϥϑ͸ɺ௨ৗ͸গͣͭ͠ઢ෼ (Line) Ͱ݁͹Εͯ‫ۂ‬ઢ͕දࣔ͞ΕΔɻ఺ (Dot) ͷ࿈ଓͰදࣔͤͨ͞Γɺଠ͍ (Thick) ઢͰදࣔͤͨ͞ΓɺΧʔιϧ͕ಈ͘ (Animate) ͚ͩͰ‫ۂ‬ઢ͕࢒Βͳ͍Α͏ʹͨ͠Γɺ‫ۂ‬ઢͷ্ΛࣼઢͰృΓͭͿͨ͠Γ͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɻ (1) ؔ਺ͷఆٛը໘ (  F1 ) ʹؔ਺͕ఆٛ͞Ε͍ͯΔͱ͢Δɻ(2)  ,  Ͱදࣔํ๏Λࢦఆ͍ͨؔ͠਺ʹ߹Θͤɺࠇ͘ͳͬͨؔ਺ͷදࣔํ๏͕มߋͰ͖Δɻ(3) F6  ( 2nd F1 ) Λԡ͢ͱάϥϑͷඳըελΠϧΛࢦఆͰ͖Δɻ(4) લʹมߋ͍ͯ͠ͳ͚Ε͹ɺʮ1:LineʯʹνΣοΫҹ͕͍͍ͭͯΔɻ(5)  ,  ͰҠಈ͠ɺ఺ (Dot) ͷ࿈ଓͰද͍ࣔͤͨ͞ͱ͖͸ʮ2ɿDotʯɺ఺ • ͷ୅ΘΓʹ࢛֯˙Λ࢖͍͍ͨͱ͖͸ʮ3:Squareʯɺଠઢ (Thick) Ͱද͍ࣔͤͨ͞ͱ͖͸ʮ4ɿThickʯʹɺΧʔιϧ͕ಈ͚ͩ͘Ͱ‫ۂ‬ઢ͕දࣔ͞Εͳ͍Α͏ʹ͢Δʹ͸ʮ5ɿAnimateʯʹ߹Θͤͯ ENTER Λԡ͢ɻ
ʮ7:Aboveʯ͸‫ۂ‬ઢͷ্ଆʹࣼઢΛҾ͖ɺ
ʮ8:Belowʯ͸ԼଆʹࣼઢΛҾ͘ɻ(6) ࠶౓ 2nd F1 ΛԡͤɻνΣοΫҹͷҐஔ͕มߋ͞Ε͍ͯΔ͸ͣͰ͋Δɻ (7)  F3 Λԡ͢ͱɺࢦఆ͞Εͨදࣔํ๏Ͱάϥϑ͕ඳը͞ΕΔɻ(8) Ҏ্ͷ͜ͱΛɺ‫ݸ‬ʑͷؔ਺͝ͱʹࢦఆͰ͖Δɻ

6. άϥϑը໘ͷඳը‫ࣜܗ‬ͷઃఆෳ਺ͷάϥϑΛಉ࣌ʹඳըͤͨ͞Γɺ࠲ඪ࣠Λফͨ͠Γ͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɻ
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(1)  F1 ɺ  F2 ɺ  F3 ͷ͍ͣΕ͔ͷը໘ʹ͓͍ͯɺ   | (·ͨ͸ F1 9) Λԡ͢ɻ (2) ʮCoordinateʯͷ RECT ͸ɺมߋ͠ͳ͍͜ͱɻ‫͍ͯͬ࢖ࡏݱ‬Δͷ͸௚ަ࠲ඪ (rectangularcoordinates) Ͱ͋Δɻ(3) ʮGraph OrderʯΛ SIMUL ʹ͢Δͱɺෳ਺ͷάϥϑ͕ಉ࣌ʹ (simultaneously) ඳը͞ΕΔɻSEQ Ͱ͸ɺఆٛͨ͠ॱ൪ʹ (in sequence) ඳը͞ΕΔɻ(4) ʮGridʯΛ ON ʹ͢Δͱɺը໘શମʹ֨ࢠࣶ͕‫ݱ‬ΕɺOFF ʹ͢Δͱফ͑Δɻ(5) ʮAxesʯͷՕॴΛ OFF ʹ͢Δͱ࠲ඪ͕࣠ফ͑ΔɻON ʹ͢Δͱ࠲ඪ͕࣠දࣔ͞ΕΔɻ(6) ʮLeading CursorʯΛ ON ʹ͢Δͱɺάϥϑඳըͷࡍͷઌ୺ʹेࣈΧʔιϧ͕‫ݱ‬ΕΔɻ(7) ʮLabelʯΛ ON ʹ͢Δͱɺ࠲ඪ࣠ͷ໊લͷ x, y ͕දࣔ͞ΕΔɻ
7. ͦͷଞ
(1) ࠇ͍ృΓͭͿ͠͸ɺؔ਺ΛଠઢͰඳը͠ɺͦͷؔ਺Λগͣͭͣ͠Β͠ͳ͕ΒృΓͭͿ͢͜ͱʹͳΔɻଠઢ͸ɺଠ͍ͨ͘͠άϥϑΛࠇ͘൓స͔ͤͯ͞Βɺ 2nd F1 Ͱʮ4:ThickʯΛબ୒͢Δɻ(2) ͢΂ͯͷؔ਺Λ࡟আ͢Δʹ͸ɺ F1 8 Λԡ͢ɻ(3) άϥϑΛඳըͤ͞Δؔ਺͸ɺ F4 ͰνΣοΫҹͷ͚ͭΒΕͨؔ਺Ͱ͋Δɻؔ਺͕૿͑ͯ

͘Δͱɺ‫ݸ‬ʑͷؔ਺ʹνΣοΫΛ͚ͭͨΓऔͬͨΓ͢Δͷ͸໘౗Ͱ͋Δɻ͢΂ͯͷؔ਺ʹνΣοΫҹΛ͚ͭͨΓɺऔͬͨΓ͢Δʹ͸ F5 Λར༻͢Δɻ F5 1 Ͱ͢΂ͯͷؔ਺ͷνΣοΫΛ͸ͣ͠ɺ F5 2 Ͱɺ͢΂ͯͷؔ਺ʹνΣοΫ͕෇͚ΒΕΔɻ

8. ࢀߟྫͷؔ਺ྫࣔͨ͠ਤ͸ɺҎԼͷؔ਺Ͱඳը͞Ε͍ͯΔɻ‫ݸ‬ʑͷؔ਺ʹɺଠઢ΍ࣼઢʹΑΔృΓͭͿ͠ͳͲͷࢦఆΛߦ͍ɺࠨ্ͷਤͷΑ͏ʹදࣔ͞ΕΔΑ͏ʹͤΑɻ

√
y1 = − x + 7.5 + 1.7
y2 = −1/7 · x + .7 | x > −7.7
y3 = −x + 1/5 · sin(3 · x) | x > −7.65y4 = 22 − (x + 4.8)2 − 4.8
y5 = (x + 4.9)2 − 3.5 | − 5.5 <x and x < −4.4√
y6 = x + 4.9 − 3.3 | x < −3.5‫ؙ‬ৱમ਺φϏͰάϥϑɾΞʔτʹ௅ઓʬ ഔհม਺൛ ʭ

1: ഔհม਺
਺φϏͰഔհม਺දࣔ͞Εͨؔ਺ͷάϥϑΛඳը͢Δʹ͸ɺ࣍ͷΑ͏ʹ͢Δɻ(1) ؔ਺ϞʔυΛഔհม਺ʹ੾Γସ͑Δɻ MODE ͰʮGraphʯͷՕॴΛʮ2. Parametricʯʹ͢Ε͹Α͍ɻ͋ͱ͸ɺy = f (x) ͷ࣌ͱಉ༷Ͱ͋Δɻͨͩ͠ɺม਺͸ඞͣ t Λ࢖༻͢Δ͜ͱɻ
 
 
 
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(2)  F1  Ͱؔ਺ఆٛɺ  F3 Ͱάϥϑඳըɺ  F2 Ͱൣғࢦఆɺ  F5 Ͱ࠲ඪΛ ද‫Ͱࣜܗ‬දࣔɺ  F4 ͰදͷࠁΈ෯ͷࢦఆ͕Ͱ͖Δɻ (3)  F1 Ͱͷؔ਺ఆٛͰ͸ɺx = (t ͷࣜ), y = (t ͷࣜ) ͱɺt ͷࣜͰఆٛ͢Δɻ (4)  F2 Ͱͷൣғ͸ɺ࣍ͷΑ͏ʹࢦఆͤΑɻ
tmin= 0, tmax= 2π, tstep= π/24, xmin= −3.2, xmax= 3.2, xscl= 1

ymin= −1.6, ymax= 1.6, yscl= 1 (5) άϥϑͷඳըঢ়‫گ‬Λ೺Ѳ͢ΔͨΊɺ   | ͰʮLeading CursorʯͷՕॴΛʮONʯʹͤΑɻ 
2: ഔհม਺දࣔʹΑΔάϥϑྫ‫ۂ‬ઢ x = cos t, y = sin t ΛఆٛͤΑɻ͜Ε͸൒‫ ܘ‬1 ͷԁͰ͋Γɺt ͕૿͑ΔʹͭΕԁ্Λࠨ֬ೝͨ͠ ෼͔Βͳ͔ͬͨճΓʹ 1 ճస͢Δɻ·ͣɺ͜ͷ͜ͱΛ֬ೝͤΑɻ࣍ʹɺ F4 ͰԁΛ࠶ඳըͤ͞ x ࠲ඪͷมԽ͚ͩʹ஫ҙ͢Δͱɺx ࠲ඪͷมԽ͸ίαΠϯͱಉҰͰ͋Δ͜ͱΛ֬ೝͤΑɻy ࠲ඪͷมԽ͚ͩʹ஫ҙ͢Δͱɺy ࠲ඪͷมԽ͸αΠϯͷมԽͱಉҰͰ͋Δ͜ͱΛ֬ೝͤΑɻ֬ೝͨ͠෼͔Βͳ͔ͬͨ

Ҏ্Λ֬ೝ‫ޙ‬ɺ఺͕࣍ͷಈ͖Λ͢ΔΑ͏ʹࣜΛมߋͤΑɻൣғ͸มߋ͠ͳ͍͜ͱɻ

(1) ఺͕ԁ্Λ 2 ճస͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺx, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻx=y=(2) ࣌‫ܭ‬ճΓʹԁ্Λ 1 ճస͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺx, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻx=y=(3) ఺͕ਤ 1 ͷΑ͏ͳ௚ઢ্Λ (0, 0) → (1, 1) → (0, 0) → (−1, −1) → (0, 0) ͱมԽ͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺx, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻx=y=(4) ఺͕ਤ 2 ͷΑ͏ͳ์෺ઢ y = 1 − x2 ্Λ (1, 0) → (0, 1) → (−1, 0) → (0, 1) → (1, 0) ͱมԽ͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺx, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻx=y=(5) ఺͕ਤ 3 ͷॎͷαΠϯΧʔϒ্Λ (0, −π) → (−1, −π/2) → (0, 0) → (1, π/2) → (0, π) ͱมԽ͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺx, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻx=y=(6) ఺͕ (1, 0) Λग़ൃͯ͠ࠨपΓʹӔΛ 2 ճ‫͕ͳ͖ר‬Βx, y ΛͲͷΑ͏ʹఆΊΕ͹Α͍͔ɻx=

ਤ1y = 1 − cos2 t,


1 , 0 ʹ౸ୡ͢ΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺ
2

y=

ਤ2

(1) x = cos 2t, y = sin 2t,

(2) x = cos(−t), y = sin(−t),(5) x = sin t, y = t,

ਤ3(3) x = sin t, y = sin t,

ਤ4(4) x = cos t,(6) x = ((1 − t/4π)) ∗ cos 2t, y = ((1 − t/4π) ∗ sin 2tਯॼঅ‫ڵڴٕھۉ‬भઞः্‫ؙ‬

3: ֤छͷؔ਺ఆٛ(1) y = f (x) ͷάϥϑ Λഔհม਺ͷϞʔυͰඳը͢Δʹ͸ɺx = t, y = f (t) ͱͯ͠ఆٛ͢Ε͹Α͍ɻྫ͑͹ɺy = ex ͸ɺx = t, y = et ͱ͢Ε͹Α͍ɻ(2) y = f (x) ͷ‫਺ؔٯ‬ͷάϥϑ͸ɺx, y Λަ‫ ͨ͠׵‬x = f (y) Ͱ͋ΔͷͰɺx = f (t), y = t ͱ͢Ε͹Α͍ɻྫ͑͹ɺy = sin x ͷ‫਺ؔٯ‬͸ɺx = sin(t), y = t ͱ͢Ε͹Α͍ɻ(3) ‫࠲ۃ‬ඪ r = f (θ) ͸ ഔհม਺දࣔͰ͸ x = r cos θ = f (θ) cos θ, y = r sin θ = f (θ) sin θ Ͱ͋ΔͷͰɺม਺Λ t ʹม͑ͯ x = f (t) cos t, y = f (t) sin t ͱఆٛ͢Ε͹Α͍ɻྫ͑͹ɺ‫࠲ۃ‬ඪͷ r = sin 2θ ͸ɺx = sin(2t) · cos(t), y = sin(2t) · sin(t) ͱ͢Ε͹Α͍ɻ
4: ൣғมߋͷ࢓ํ ࠷ॳʹઃఆͨ͠ 0 <= t <= 2π Ҏ֎ͷඳըΛߦ͏৔߹͸ɺԼ‫ه‬Λࢀߟʹͯͩ͘͠
͍͞ɻ

 
(1) ؔ਺ఆٛͷՕॴ (  F1 ) Ͱɺ | Λར༻ͯ͠ t ͷൣғΛࢦఆ͢Δɻͦͷ৔߹͸ɺx, y ͷ͍ͣ Ε͔Ͱൣғࢦఆ͢Δɻྫ͑͹ɺπ/2 < t < π ͷൣғΛඳը͍ͤͨ͞ͷͰ͋Ε͹ɺx, y ͷ͍ͣ Ε͔ͷࣜͷ‫Ͱޙ‬ʮ | π/2 < t and t < π ʯͱ͢Δɻand ͷલ‫ʹޙ‬͸ۭന ( alpha (−) )

 
 
͕ඞཁͰ͋Δɻͨͩ͠ɺ͜ͷํࣜͩͱɺt < 0 ͷՕॴ΍ t > 2π ͷՕॴ͸දࣔ͞Εͳ͍ɻ(2) ͦ͜ͰɺൣғΛࢦఆ͠ͳ͍Ͱɺؔ਺ࣗମΛมߋ͢Δ͜ͱͰରԠ͢Δɻྫ͑͹ɺt ͷൣғΛม͑ͳ͍Ͱ π/2 < t < π ͷ෦෼͚ͩΛදࣔͤ͞Δʹ͸ɺt ͕ 0 ͔Β 2π
·ͰมԽ͢Δͱ͖ɺx, y ͷ t ૬౰෦෼͕ π/2 ͔Β π ·ͰมԽ͢ΔΑ͏ʹมߋ͢Ε͹Α͍ɻͦΕ͸ɺt ͕ 0 ͷͱ͖ π/2 Ͱɺt ͕ 2π ͷͱ͖ π ʹͳΕ͹Α͍͔Βɺx, y ͷࣜͷ t ૬౰෦෼Λ t/4 + π/2 ʹมߋ͢Ε͹Α͍ɻྫ͑͹ɺ୯Ґԁ x = cos t, y = sin t ͷ π/2 < t < π ͷ෦෼͚͕ͩදࣔ͞ΕΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺx = cos(t/4 + π/2), y = sin(t/4 + π/2) ͱ͢Ε͹Α͍ɻ(3) ಉ༷ʹ͢Δͱɺα < t < β ͷՕॴ͕දࣔ͞ΕΔΑ͏ʹ͢Δʹ͸ɺt ͕ 0 ͷͱ͖ αɺt ͕ 2π ͷͱ͖ β ʹͳΔΑ͏ʹ͢Ε͹Α͍ͷͰɺx, y ͷ t ૬౰ՕॴΛ β−α2π · t + α ʹมߋ͢Ε͹Α͍ɻ
5: ॎઢͱԣઢ
(1) ԣઢΛඳ͘ʹ͸ɺx = t, y = a ͱ͢Δɻa ͷ஋͸ࣗ෼͕ඳ͖͍ͨ৔ॴͷ਺஋Ͱ͋ΔɻԣઢͷҰ෦͚ͩΛඳ͘ʹ͸ɺ | Λར༻ͯ͠ t ͷൣғΛࢦఆ͢Δ͔ɺ͋Δ͍͸લड़ͷํࣜͰ x ͷՕ ॴͷࣜΛมߋ͢Δɻྫ͑͹ɺ−1 < x < 2 ͷൣғͷԣઢͰ͋Ε͹ɺt ͕ 0 ͷͱ͖ −1 ʹͳΓɺ3t ͕ 2π ͷͱ͖ʹ 2 ʹͳΕ͹Α͍͔Βɺx ͷࣜͷ t ͷՕॴΛ 2π· t − 1 ʹมߋ͢Ε͹Α͍ɻ(2) ॎઢΛ֩ʹ͸ɺx = a, y = t ͱ͢Δɻa ͷ஋͸ࣗ෼͕ඳ͖͍ͨ৔ॴͷ਺஋Ͱ͋ΔɻॎઢͷҰ෦͚ͩΛඳ͘ʹ͸ɺ | Λར༻ͯ͠ t ͷൣғΛࢦఆ͢Δ͔ɺ͋Δ͍͸લड़ͷํࣜͰ y ͷ ՕॴͷࣜΛมߋ͢Δɻྫ͑͹ɺ−1 < x < 1/2 ͷൣғͷԣઢͰ͋Ε͹ɺt ͕ 0 ͷͱ͖ −1 ʹ
3· t − 1 ʹมߋ͢ΕͳΓɺt ͕ 2π ͷͱ͖ʹ 1/2 ʹͳΕ͹Α͍͔Βɺy ͷࣜͷ t ͷՕॴΛ 4π

͹Α͍ɻ

6: ͍Ζ͍Ζͳؔ਺(1) ඍੵ෼Ͱ‫ݱ‬ΕΔର਺ؔ਺ y = log x ͸ɺఈΛ e = 2.71828 ͱ͢Δର਺ؔ਺ (ࣗવର਺) Ͱ͋Γɺ਺φϏͰ͸ʮLNʯ( 2nd X ) ʹׂΓৼΒΕ͍ͯΔɻ
ʮLOGʯΛར༻͢Δͱ 10 Λఈͱ͢Δର਺ (ৗ༻ର਺) ͳͷͰ‫ؾ‬Λ͚ͭΔ͜ͱɻఈΛ 2 ͱ͢Δର਺͸ɺఈͷม‫ࣜެ׵‬Λར༻ͯࣗ͠વର਺͔ৗ༻ର਺ʹ௚ͯ͠ߟ͑Δɻྫ͑͹ɺlog2 (x) ͸ɺlog(x)/ log(2) ͔ɺln(x)/ ln(2)ͱ͢Δɻ(2) x ͷઈର஋ |x| ͸ɺʮabs(x)ʯͱ͢Δɻabs ͸ alpha Λར༻͢Δɻ(3) ৚݅൑அͷίϚϯυʮWhenʯΛར༻͢Δͱɺ1 ͭͷؔ਺ͷதͰɺ͍Ζ͍Ζͳ৚݅ʹԠͯ͡ෳ਺ͷࣜΛ੾Γସ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻWhen ͷॻࣜ͸ʮWhen(৚݅, ਅͷ৔߹ͷࣜ, ِͷ৔߹ͷࣜ)ʯͰ͋Δɻྫ͑͹ɺ0 < t < π Ͱ͸୯Ґԁͷ্൒෼ x = cos t, y = sin t Ͱ͋Γɺπ < t < 2π Ͱ͸์෺ઢ x = cos t, y = 1 − cos2 t ͷ৔߹͸ɺx = cos(t), y = when(t <π, sin(t), 1 − (cos(t))2 ) ͱ͢Δɻwhen ͸ೖΕࢠʹ͢Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δɻ
7: ͦͷଞ(1) F6 ར༻Ͱ༷ʑͳઢछͰάϥϑΛඳըͰ͖Δ͕ɺʮృΓͭͿ͠ʯͷ‫ػ‬ೳ͸ར༻Ͱ͖ͳ͍ɻ

著者略歴梅野善雄
昭和 47 年 3 月
昭和 49 年 3 月
昭和 49 年 4 月
平成 25 年 3 月
平成 25 年 4 月
平成 27 年 3 月

弘前大学理学部数学科卒業
東北大学大学院理学研究科修士課程修了
一関工業高等専門学校・一般教科
一関工業高等専門学校・定年退職
一関工業高等専門学校・特任教授・名誉教授
一関工業高等専門学校・再雇用期間満了につき退職

数学教育におけるグラフ電卓の活用〜教育効果・意義・活用事例〜
平成 27 年 7 月 30 日発行
著者【本書の無断転載を禁ず】

梅野 善雄
E-mail: umenoy ＠ nifty.com[URL] http://yunavi.la.coocan.jp//

c UMENO Yoshio, 2015,, Printed in Japan⃝
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