令 和 ２ 年 度
和歌山県高等学校入学者選抜学力検査問題

数学（11時35分〜12時25分）

数学

（注意）

１

「始め」の合図があるまで，問題を見てはいけません。

２

問題冊子と別に解答用紙が１枚あります。答えは，すべて解答用紙に記入しなさい。

３

問題冊子と解答用紙の両方の決められた欄に，受検番号を記入しなさい。

４

計算にあたっては，問題冊子の余白を使いなさい。

５

印刷が悪くて分からないときや筆記用具を落としたときなどは，黙って手を挙げなさい。

６

時間内に解答が終わっても，その場に着席していなさい。

７「やめ」の合図があったら，すぐに解答するのをやめ，解答用紙を裏向けにして机の上に置きなさい。

受検番号

１

次の〔問１〕～〔問５〕に答えなさい。
〔問１〕

次の（１）～（５）を計算しなさい。

（１） －８＋５（ ）（２） １＋３× −２
７（３） ２（a ＋４b）＋３（a －２b ）
（４）

27−

６
３２＋（５）（x ＋１）（x －４）（x ＋２）〔問２〕

次の式を因数分解しなさい。
９x２－４y２〔問３〕〔問４〕

10− n の値が自然数となるような自然数 n を，すべて求めなさい。
右の図のように，長方形 ABCD を対角線 AC をE折り目として折り返し，頂点 B が移った点を E とする。
∠ACE ＝20° のとき，∠ x の大きさを求めなさい。

xAD20°B

C〔問５〕 和夫さんと花子さんが，それぞれ１個のさいころを同時に投げて，自分の投げたさいころの出た目の和夫

数と同じ数だけ階段を上るゲームをしている。
右の図は，和夫さんと花子さんの現在の位置を示
花子している。
この後，２人がさいころを１回だけ投げて，花子さんが和夫さんより上の段にいる確率を求めなさい。
ただし，さいころの１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

−1−

立面図

２

次の〔問１〕～〔問４〕に答えなさい。
すい〔問１〕

右の図は，円錐の投影図である。この円錐の立面図は１辺の平面図

長さが６㎝の正三角形である。
このとき，この円錐の体積を求めなさい。
ただし，円周率は πとする。

y〔問２〕

右の図のように，２点 A（２，６），B（８，２）がある。
次の文中の（ア），（イ）にあてはまる数を求めなさい。

A

直線 y ＝ ax のグラフが，線分 AB 上の点を通るとき，Ba の値の範囲は，（ア）≦ a ≦（イ）である。
〔問３〕

O

右の図は，あるクラスの生徒 30 人が４月と５月に図書室で（人）121086420

借りた本の冊数をそれぞれヒストグラムに表したものである。
たとえば，借りた本の冊数が０冊以上２冊未満の生徒は，４月では６人，５月では３人であることを示している。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（人）
1210
86420（１） ４月と５月のヒストグラムを比較した内容として正しいものを，次のア～オの中からすべて選び，その記号をかきなさい。
ア

階級の幅は等しい。

イ

最頻値は４月の方が大きい。

ウ

中央値は５月の方が大きい。

エ

４冊以上６冊未満の階級の相対度数は５月の方が大きい。

オ

借りた冊数が６冊未満の人数は等しい。

さいひん ちx

0 2 4 6 8 10（冊）４月

0 2 4 6 8 10（冊）５月（２） ５月に借りた本の冊数の平均値を求めなさい。
〔問４〕

右の図は，ある中学校における生徒会新聞の記事の一部である。
この記事を読んで，先月の公園清掃ボランティアと駅前清掃ボラン
ティアの参加者数はそれぞれ何人か，求めなさい。
ただし，答えを求める過程がわかるようにかきなさい。

清掃ボランティア
参加者数大幅増加!

★公園清掃ボランティアの参加者数先月より50％増加！

★駅前清掃ボランティアの参加者数

先月より20％増加！

★公園清掃ボランティアの参加者数と駅前清掃ボランティアの参加者数の合計

先月より− 2 −30％増加！

〇先月は公園清掃ボランティアの参加者数が、駅前清掃ボランティアの参加者数より30人も少なかったので、公園清掃ボランティアヘの参加の呼びかけを強化しました。

その結果、今月は先月に比べ、どちらも参加者数が増加しました。

★ご協力ありがとうございました。

３

図１のように，同じ大きさの立方体の箱をいくつか用意し，箱を置くための十分広い空間のある倉庫に箱を規則的に置いていく。倉庫の壁 A と壁 B は垂直に交わり，２つの壁の面と床の面もそれぞれ垂直に交わっている。
各順番における箱の置き方は，まず１番目として，１個の箱を壁 A と壁 B の両方に接するように置く。
２番目は，４個の箱を２段２列に壁 A と壁 B に接するように置く。このように，３番目は９個の箱を３段３列に，４番目は 16 個の箱を４段４列に置いていく。なお，いずれの順番においても箱の面と面をきっちり合わせ，箱と壁や床との間にすき間がないように置いていくものとする。
このとき，次の〔問１〕，〔問２〕に答えなさい。
図１
１番目

２番目
壁B

壁A

３番目
壁B

壁A

４番目
壁B

壁A

…
壁B

壁A

…
床
〔問１〕

床

床

床

各順番において，図１のように，置いた箱をすべて見わたせる方向から見たとき，それぞれの箱は１面が見えるもの，２面が見えるもの，３面が見えるもののいずれかである。
表１は，上の規則に従って箱を置いたときの順番と，１面が見える箱の個数，２面が見える箱の個数，３面が見える箱の個数，箱の合計個数についてまとめたものである。
下の（１）〜（３）に答えなさい。

表１
順番（番目）

１２３４５６…

nn ＋1…

１面が見える箱の個数（個）０１４９＊＊…

＊＊…

２面が見える箱の個数（個）０２４６ア＊…

＊＊…

３面が見える箱の個数（個）１１１１＊＊…

＊＊…

箱の合計個数（個）１４９16＊

イ…

＊

＊

…

＊は，あてはまる数や式を省略したことを表している。

（１） 表１中の ア ， イ にあてはまる数をかきなさい。
（２） ８番目について，１面が見える箱の個数を求めなさい。
（３）（ n ＋１）
番目の箱の合計個数は， n 番目の箱の合計個数より何個多いか， n の式で表しなさい。
− 3 −

〔問２〕

図２は，図１の各順番において，いくつかの箱を壁 B に接するように移動して，壁 A と壁 Bにそれぞれ接する階段状の立体に並べかえたものを表している。
このとき，下の（１），（２）に答えなさい。

図２２番目

１番目
壁B

壁A⬇

⬇

階段状の立体

壁B

壁A

床

床

床

⬇
壁B

壁A

壁B

壁A

床

⬇
壁B

壁B

壁A

床

床

壁A

壁B

壁A

４番目

３番目…
壁B

壁A

床

床

（１） ６番目について，移動した箱の個数を求めなさい。

（２） 階段状の立体には，壁や他の箱に囲まれて見えない箱もある。
表２は，各順番における階段状の立体の見えない箱の個数，見えている箱の個数，箱の合計個数についてまとめたものである。

x 番目のとき，見えている箱の個数が 111 個であった。 x の値を求めなさい。
ただし，答えを求める過程がわかるようにかきなさい。
表２
順番（番目）

１２３４５…

x…

見えない箱の個数（個）０１２３＊…

＊…

見えている箱の個数（個）１３７13＊…

111…

箱の合計個数（個）１４９16＊…

＊…

＊は，あてはまる数や式を省略したことを表している。

− 4 − 㸯[ ࠉࠉࠉࠉࡢࢢࣛࣇୖ࡟Ⅼձ$㸦㸲㸪㸫㸲㸧㸲 ࠉᅗ㸯ࡢࡼ࠺࡟㸪㛵ᩘ\ 㸲１４ 図１のように，関数 y ＝ − ４ x 2  ･･･ ① のグラフ上
%㸦㸫㸰㸪㸫㸲㸧ࡀ࠶ࡿࠋࡀ࠶ࡾ㸪[㍈ୖ࡟Ⅼ3ࡀ࠶ࡿࠋࡲࡓ㸪Ⅼ㸯\  [  ࠉࠉࠉࠉࡢࢢࣛࣇୖ࡟Ⅼ$㸦㸲㸪㸫㸲㸧に点 A（４，−４）があり，軸上に点 P がある。また，点㸲 ࠉᅗ㸯ࡢࡼ࠺࡟㸪㛵ᩘxձ㸲ࠉḟࡢࠉၥ㸯 ࠉ㹼ࠉၥ㸲 ࠉ࡟⟅࠼࡞ࡉ࠸ࠋ
B（−２，㍈ୖ࡟Ⅼ−４）がある。
3ࡀ࠶ࡿࠋࡲࡓ㸪Ⅼࡀ࠶ࡾ㸪[ %㸦㸫㸰㸪㸫㸲㸧ࡀ࠶ࡿࠋ㸯ࠉᅗ㸯ࡢࡼ࠺࡟㸪㛵ᩘ
\  [  ࠉࠉࠉࠉࡢࢢࣛࣇୖ࡟Ⅼ$㸦㸲㸪㸫㸲㸧㸲ձ
次の〔問１〕～〔問４〕に答えなさい。
㸲 ࠉ㹼ࠉၥ㸲 ࠉ࡟⟅࠼࡞ࡉ࠸ࠋࠉḟࡢࠉၥ㸯ᅗ㸯
図１y\ᅗ㸯\P3O2x[ᅗ㸯B%ࡀ࠶ࡾ㸪[㍈ୖ࡟Ⅼ3ࡀ࠶ࡿࠋࡲࡓ㸪Ⅼ%㸦㸫㸰㸪㸫㸲㸧ࡀ࠶ࡿࠋ ၥ㸲 ࠉ࡟⟅࠼࡞ࡉ࠸ࠋ㸯 ࠉ㹼ࠉၥ㸯ࠉḟࡢࠉ\ [ ࡟ࡘ࠸࡚㸪[ࡢኚᇦࡀ㸫㸴 [ 㸯ࡢ࡜ࡁ㸪\ࡢࠉ㛵ᩘၥ㸯㸲
１x 2 について，x の変域が〔問１〕関数ࠉࠉࠉኚᇦࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋ
 y ＝ −㸯ၥ㸯 ࠉ㛵ᩘ\  [  ࡟ࡘ࠸࡚㸪[ࡢኚᇦࡀ㸫㸴 [ 㸯ࡢ࡜ࡁ㸪\ࡢ４㸲x ≦１のとき， y の変域を求めなさい。
－６≦㸯ࠉࠉࠉኚᇦࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋၥ㸯 ࠉ㛵ᩘ\  [  ࡟ࡘ࠸࡚㸪[ࡢኚᇦࡀ㸫㸴 [ 㸯ࡢ࡜ࡁ㸪\ࡢ%\2323[A$[$ձ①$%

㸲ձࠉࠉࠉኚᇦࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋၥ㸰 ࠉ‫ڹ‬3$%ࡀ஧➼㎶୕ゅᙧ࡜࡞ࡿ3ࡣ࠸ࡃࡘ࠶ࡿ࠿㸪ồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋࠉ

ձ〔問２〕 △ PAB が二等辺三角形となる P はいくつあるか，ၥ㸰 ࠉ‫ڹ‬3$%ࡀ஧➼㎶୕ゅᙧ࡜࡞ࡿ3ࡣ࠸ࡃࡘ࠶ࡿ࠿㸪ồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋࠉ
求めなさい。
ၥ㸰 ࠉ‫ڹ‬3$%ࡀ஧➼㎶୕ゅᙧ࡜࡞ࡿ3ࡣ࠸ࡃࡘ࠶ࡿ࠿㸪ồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋࠉၥ㸱 ࠉᅗ㸰ࡢࡼ࠺࡟㸪ձࡢࢢࣛࣇ࡜┤⥺$3ࡀ㸪㸰Ⅼ$㸪&࡛஺ࢃࡗ࡚

ᅗ㸰\ࠉࠉࠉ࠸ࡿࠋ&ࡢ[ᗙᶆࡀ㸫㸰ࡢ࡜ࡁ㸪3ࡢᗙᶆࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋᅗ㸰ၥ㸱 ࠉᅗ㸰ࡢࡼ࠺࡟㸪ձࡢࢢࣛࣇ࡜┤⥺$3ࡀ㸪㸰Ⅼ$㸪&࡛஺ࢃࡗ࡚
〔問３〕 図２のように，①のグラフと直線 AP が，２点図２ ᅗ㸰3ᅗ㸰ࡢࡼ࠺࡟㸪ձࡢࢢࣛࣇ࡜┤⥺$3ࡀ㸪㸰Ⅼ$㸪&࡛஺ࢃࡗ࡚
ࠉࡢၥ㸱 &ࠉࠉࠉ࠸ࡿࠋ
[ᗙᶆࡀ㸫㸰ࡢ࡜ࡁ㸪3ࡢᗙᶆࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋ
A，C で交わっている。C の x 座標が－２のとき，ࠉࠉࠉ࠸ࡿࠋ&ࡢ[ᗙᶆࡀ㸫㸰ࡢ࡜ࡁ㸪3ࡢᗙᶆࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋ

P の座標を求めなさい。

3P\y2\&[2O

3$ [ x[2C%&&A$%B$%ձ①ձձၥ㸲 ࠉᅗ㸱ࡢࡼ࠺࡟㸪㛵ᩘ\D[  D! ղࡢࢢࣛࣇୖ࡟[ᗙᶆࡀ㸫㸱ᅗ㸱\ࠉࠉࠉ࡛࠶ࡿⅬ'ࡀ࠶ࡿࠋ3ࡢ[ᗙᶆࡀ㸲ࡢ࡜ࡁ㸪ᅄゅᙧ3$%'ࡢ㠃✚ࡀᅗ㸱ၥ㸲 ࠉᅗ㸱ࡢࡼ࠺࡟㸪㛵ᩘ
\ DD[D!
（ղ＞０）
ࡢࢢࣛࣇୖ࡟[ᗙᶆࡀ㸫㸱aၥ㸲 ࠉᅗ㸱ࡢࡼ࠺࡟㸪㛵ᩘ\ D[!ղᗙᶆࡀ㸫㸱y ＝ax
図３ ᅗ㸱
〔問４〕
図３のように，関数2ࡢࢢࣛࣇୖ࡟
･･･[②ࠉࠉࠉࠉ࡜࡞ࡿࡼ࠺࡞
Dࡢ್ࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋࠉࠉࠉ࡛࠶ࡿⅬ'ࡀ࠶ࡿࠋ
3ࡢ[ᗙᶆࡀ㸲ࡢ࡜ࡁ㸪ᅄゅᙧ3$%'ࡢ㠃✚ࡀࠉࠉࠉ࡛࠶ࡿⅬ'ࡀ࠶ࡿࠋ
3ࡢ[xᗙᶆࡀ㸲ࡢ࡜ࡁ㸪ᅄゅᙧ
3$%'
ࡢ㠃✚ࡀのグラフ上に，座標が－３である点 Dがある。

࡜࡞ࡿࡼ࠺࡞Dࡢ್ࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉ
࡜࡞ࡿࡼ࠺࡞
D座ࡢ್ࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋ
P の x
標 が４の と き，四 角 形 PABD の 面 積 が50 となるような a の値を求めなさい。

'\y\ղղղ②D''322O% 2B%%P33A$[$$ ձձ
①ձ− 5 −

[[x2ࢆ୰ᚰ࡜ࡋ⥺ศ$%ࢆ┤ᚄ࡜ࡍࡿ༙ᚄ㸱੉ࡢ༙෇ࡀ࠶ࡿࠋ$%ୖ࡟㸰Ⅼ3㸪4ࡀ࠶ࡾ㸪$࡟㸳 ࠉᅗ㸯ࡢࡼ࠺࡟㸪Ⅼ５ 図１のように，点 O を中心とし線分 AB を直径とする半径３㎝の半円がある。A⌒B 上に２点 P，Q があ㏆࠸᪉ࢆⅬ3㸪%࡟㏆࠸᪉ࢆⅬ4࡜ࡍࡿࠋࡲࡓ㸪⥺ศ%3࡜⥺ศ24࡜ࡢ஺Ⅼࢆ5࡜ࡍࡿࠋ
り，A に近い方を P，B に近い方を Q とする。また，線分 BP と線分 OQ の交点を R とする。
ࠉḟࡢࠉၥ㸯 ࠉ㹼ࠉၥ㸱 ࠉ࡟⟅࠼࡞ࡉ࠸ࠋ
次の〔問１〕〜〔問３〕に答えなさい。

〔問１〕 PQ ＝３㎝，PQ // AB のとき，線分 QRの長さᅗ㸯
図１3Pを求めなさい。
ၥ㸯 ࠉ34㸻㸱੉㸪346$%ࡢ࡜ࡁ㸪⥺ศ45ࡢ㛗ࡉࢆ

4Qࠉࠉࠉồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋ

R5$A

ၥ㸰 ࠉᅗ㸰ࡢࡼ࠺࡟㸪43%㸻ࡢ࡜ࡁ㸪࠾࠺ࡂᙧ42%〔問２〕 図２のように，∠QPB＝36° のとき，おうぎ形
ࠉࠉࠉࡢ㠃✚ࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋ
OBQ の面積を求めなさい。
ࠉࠉࠉࠉࡓࡔࡋ㸪෇࿘⋡ࡣS࡜ࡍࡿࠋ
ただし，円周率は πとする。

O2

図２ᅗ㸰

PB%

Q
436 °

3R5A$

ၥ㸱 ࠉᅗ㸱ࡢࡼ࠺࡟㸪⥺ศ$4࡜⥺ศ%3ࡢ஺Ⅼࢆ6࡜
〔問３〕 図３のように，線分 AQ と線分 BP の交点をSࠉࠉࠉࡍࡿࠋとする。
ࠉࠉࠉࠉḟࡢ㸦㸯㸧㸪㸦㸰㸧࡟⟅࠼࡞ࡉ࠸ࠋ
次の（１），（２）に答えなさい。

O24Q

ᅗ㸱
図３3PS6ࠉࠉ㸦㸯㸧ࠉ‫ڹ‬5464‫ڹ‬534ࢆド᫂ࡋ࡞ࡉ࠸ࠋ
（１） △ RQS ∽△ RPQ を証明しなさい。

B%

5R$A2Oᅗ㸲
図４4QB%ࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉࠉ㸦㸰㸧ࠉᅗ㸲ࡢࡼ࠺࡟㸪42%㸻㸪266%4࡜࡞
（２）
図４のように，∠QOB ＝90° ，OS // BQ とࡿ࡜ࡁ㸪⥺ศ%5ࡢ㛗ࡉࢆồࡵ࡞ࡉ࠸ࠋなるとき，線分 BR の長さを求めなさい。
3P
6S$
A− 6 −



5RO2%B

令和２年度学力検査

数学科解答用紙

受検番号

（１）

（１）

個（２）

（２） （求める過程）〔問１〕（３）（４）１（５）

３ 〔問２〕〔問２〕〔問３〕 n ＝〔問４〕 ∠ x ＝

度

〔問５〕

x＝


〔問１〕

cm 3
〔問１〕

（ア）
〔問２〕

４（イ）

〔問２〕

個〔問３〕 P（，）（１）
〔問４〕 a ＝〔問３〕（２）

冊（求める過程）〔問１〕 QR ＝

cm〔問２〕 cm 2（１） （証明）

２〔問４〕

５〔問３〕
先月の公園清掃ボランティア参加者数人

先月の駅前清掃ボランティア参加者数人

ア（１）

３ 〔問１〕

イ（２）

個（３）

個（２）

BR ＝

cm

令和２年度学力検査
問〔問１〕

１

題

配点（１）

３（２）

３（３）

３（４）

３（５）

３〔問２〕

３〔問３〕

３〔問４〕

４

正（３x ＋２y ）（３x －２y ）n ＝ １，６，９∠ x ＝ 140（度）

（ cm 3）〔問１〕

４９ ３ π

（ア）

２（イ）

２

１
４
３（１）

３

ア，ウ（２）

３

６

６

先月の公園清掃ボランティア参加者数を x 人，先月の駅前清掃ボランティア参加者数を y 人とする。
⎧ y － x ＝ 30⎨
⎩1. 5 x ＋1. 2 y ＝ 1. 3（ x ＋ y ）これを解いて , x ＝ 30 ， y ＝ 60
よって，
先月の公園清掃ボランティア参加者数 30 人
先月の駅前清掃ボランティア参加者数 60 人

ア２８イ２36（２）

２49

（３）

３（１）

３〔問４〕

（１）
〔問１〕

採 点 上 の 留 意 点

２x 2 －７

４２

解

３〔問５〕

〔問３〕

（１００点満点）－３
１
７
５a ＋２b１
６〔問２〕

数学科採点表

段階的に評価する。
（冊）

２n ＋１
15

正解は一例を示したものである。段階的に評価する。

（個）
（個）
（個）

x 番目について，箱の合計個数は，x 2（個）
見えない箱の個数は，x －１（個）である。

３〔問２〕

（２）

６〔問１〕

３〔問２〕４４ 〔問３〕

４〔問４〕

５〔問１〕

３〔問２〕

３x ＝ 11－９ ≦ y ≦ ０５（個）Ｐ（－４，０）８a＝９３QR ＝２９π５ （１）

６△ RQS と△ RPQ で，∠ QRS ＝∠ PRQ ・・・①⌒
B
Q に対する円周角の定理より，∠ RPQ ＝∠ OAQ ・・・②
△ OAQ は OA ＝ OQ の二等辺三角形だから，∠ OAQ＝∠ RQS ・・・③②，③より，∠ RQS ＝∠ RPQ ・・・④①，④から，２組の角が，それぞれ等しいので，△ RQS ∽ △ RPQ（２）

５BR ＝

５〔問３〕

見えている箱の個数は，箱の合計個数から，見えない箱の個数をひけばよい。
よって，見えている箱の個数は 111個であることから，x２－（ x －１）＝ 111
x２－ x －110 ＝ ０（ x ＋10 ）（ x －11）＝ ０
x ＝ －10，11
x は自然数だから，x ＝ －10 は問題にあわない。
x ＝ 11 は問題にあっている。
したがって，x ＝ 11

10 

正解は一例を示したものである。段階的に評価する。

（ cm ）（ cm 2）

正解は一例を示したものである。段階的に評価する。

（ cm ）