演示用ツールとしての CBL の活用
梅野 善雄 ∗
一関工業高等専門学校

はじめに1

グラフ電卓とデータ収集器 CBL とを併用すれば，現実世界の中で「関数」がどのように現れるているかを，その場で収集した実データをもとに理解させることができる。幾つかの高校や高専
では，データ収集から解析までを生徒に実験させ，グループごとに結果を発表させる新しいスタイルの授業が行われている。数学と物理とを融合させた画期的な試みといえよう。
しかし，そのような授業に関心があったとしても，グラフ電卓を生徒の人数分取り揃えること自体が大きな難問になっているのが，多くの学校の現状ではないだろうか。そして，実験グループの数だけ CBL 一式を取り揃えるというのは，さらなる難問として残ることになる。また，多くの数学教師は，このような機器を利用して実験を伴う授業を行ったことがない。その意味では，機器類の整備以前に，それを自分で行ってみようと思うまでの教師側の意識の問題が最大の問題であるかもしれない。
本校では，数式処理電卓 TI–89 はある程度の台数が揃ったが，CBL は 2 台しかない。したがって，著者自身も，CBL を利用した授業経験は数えるほどしかないが，その数少い授業経験だけからでも，生徒の反応は十分すぎるほど感じ取ることができた。生徒の目前で収集されたデータが実際の関数とあてはまることをその場で示すことができれば，それだけでも教室には大きな感動が湧きあがる。その意味では，グラフ電卓と CBL が 1 台ずつしか無い場合でも，十分大きな効果を見込むことができるだろう。そのデータ解析に数式処理機能も併用できれば，さらに大きな効果が期待できる。
そこで，ここでは，教師がグラフ・数式処理電卓 TI–89(または，TI–92Plus) と CBL とを各 1台ずつ所有しているが，それらを生徒に利用させるだけの台数はない場合について，その利用例を紹介したい。

2

データ収集器 CBL 2

2.1

データ収集器 CBL 2

グラフ電卓のオプション機器として，データ収集器 (CBL, Calculator-Based Laboratory) が用意されている。それを TI–89 と接続すれば，CBL にいろいろなセンサーを接続して実データを簡単に収集できる。最新型の CBL 2 はより利便性が向上し，TI–89 と一体化させて利用できる。従来は各種のセンサーごとに用意されていたデータ収集用プログラムがある程度共通化された。また，プログラムの知識がなくともデータ収集のタイミングを簡単に変更できるようになっている。

CBL 2 は，最大 50, 000 個/秒 の速度でデータを収集できる。電卓と接続しているときは，データは電卓側に自動的に送信されるが，CBL 2 単体でもデータを収集できる。4 個の接続用チャネ∗

021–8511 一関市萩荘字高梨 一関工業高等専門学校,

180

E–mail: umesan@ichinoseki.ac.jp

170 第Ⅲ部

データ収集と工学教育での活用

表 1: 使用できるセンサー
距離センサー
熱電対温度センサー
2 レンジ力センサー
イオン分離電極
磁界センサー
低-g 加速度計
CO2 センサー
電流・電圧センサーシステム
相対湿度センサー
空気圧センサー
心電図センサー直付け温度センサー

圧力センサーディジタルコントロールユニット
伝導率センサー
イオン分離電極増幅器
計測器電圧増幅器
25-g 加速度計
O2 センサーフォトゲート
溶解酸素センサー
呼吸圧センサー
運動心拍数
温度センサー (超長形)

音センサー
色センサー
力センサー
流率センサー
水の濁りセンサー
加速度センサーpH システムステンレス製温度センサー
生物圧力センサー
呼吸モニターベルト
気圧計
放射能モニタールがあり，3 個はセンサー用のアナログチャネル，1 個は音波・双方向のデジタルチャネルである。
複数のチャネルを使って，異なるデータを同時に収集することもできる。表 1 のような多数のセンサーが使用でき，それらは自動認識される。

2.2

グラフ電卓と CBL 2 との接続

旧型の CBL では，センサーを接続するごとに，そのセンサーを通したデータ収集に必要なプログラムを手動でオープンして実行する必要があった。CBL 2 は，接続されているセンサーを自動認識し，必要とされるプログラムが自動的に組み込まれる。以下は，CBL 2 をグラフ・数式処理
電卓 TI–89 と接続後，センサーが自動認識されるまでの流れを述べたものである。

(1) TI–89 と CBL 2 をコードで接続する。
(2) CBL 2 のtransfer を押すと，CBL 2 は接続されているグラフ電卓を自動認識し，対応するデータ収集用の基本プログラム群 (DataMate) をグラフ電卓に転送する。

(3) CBL 2 にセンサーを接続する。
(4) グラフ電卓側で，転送されたプログラム「DataMate」を実行すると，CBL 2 は接続されているセンサーを自動認識し，そのセンサーによるデータ収集のタイミング等を適切に設定する。また，グラフ電卓の液晶画面の上部には，認識されたセンサーの種別が表示される。

3

CBL 2 によるデータ収集例—温度センサー—
温度センサーを例にとり，ニュートンの冷却の法則について考える。周知のように，物体の温度を θ，周囲の温度を θ0 ，そして時間を t で表すと，ニュートンの冷却の法則は，dθ= −k(θ − θ0 ) (k > 0)dt

1···················· ⃝という微分方程式で表される。簡単な微分方程式の応用例として取り上げられるが，この法則を実際に実験することはあまり多くはないと思われる。しかし，CBL 2 を利用すると，温度変化の様子を教室で簡単に実演してみせることができる。データ収集用のプログラム DataMate が TI–89側に転送済みの場合，データ収集の手順は以下のとおりである。

181

演示用ツールとしてのＣＢＬの活用

図 1: CBL との接続

図 2: 温度変化の様子

171

図 3: 温度変化のデータ(1) CBL 2 と温度センサーを接続する (図 1)。
(2) TI–89 側でデータ収集プログラム DataMate を実行する。
(3) メニュー画面で「2: START」を押すとデータが収集されてリアルタイムでグラフ表示され，そのデータは TI–89 に CBLDATA というファイル名で自動的に転送される。
使用した温度センサーは，−20◦ C〜125◦ C の範囲の温度を測定できる。測定誤差は，0◦ C では±0.2◦ C，100◦ C では ±0.5◦ C である。−200◦ C〜1400◦ C まで測定可能なセンサーもある。複数 (最大 3 個まで) のセンサーからデータを一度に収集でき，それらの相互関係について考察することも容易である。
図 2 は，温度センサーを熱して，その後に大気中に放置した場合の温度変化を表している。図3 は，TI–89 に自動転送されたデータ行列である。c1 は時間，c2 は温度であり，1 秒ごとに 99 秒までのデータが得られている。1 秒当たりに収集するデータ数や収集時間は，簡単に変更できる。

4

収集したデータの解析例収集したデータに対しては，いろいろな統計処理が可能である。エクセルと同じような表計算が可能なので，データにいろいろな加工を施して分析することができる。
図 4 は，c3, c4, c5 を以下の式で計算したものである。
列計算式

c3

∆θ = θ(t) − θ(t − 1)

c4c5

コマンド

θ(t) − θ0 , θ0 = 25.14∆θ−θ(t) − θ0

図 4: 温度変化と温度差

c3 = seq(c2[i] − c2[i − 1], i, 2, 100)c3 = shift(c3)c4 = seq(c2[i] − 25.14, i, 1, 99)
c5 = seq(−c3[i]/c4[i], i, 1, 99)

図 5: 自動計算の設定

182

図 6: グラフ表示の設定

172 第Ⅲ部

データ収集と工学教育での活用

図 4 の c3 は，1 秒ごとの温度変化を求めた後に，行を 1 つずつずらした (Shift) ものである。c4は室温 (25.14◦ C) との温度差，そして，c5 はそれらの比である。室温 θ0 は，センサーを熱する前に室内温度のデータを 100 個収集し，その平均として求めた。なお，デフォルトではヘッダーに


計算式を定義しても計算されない。計算式を定義後は， ♦  | を押して自動計算機能を ON に しておく必要がある (図 5)。

ニュートンの冷却の法則は，単位時間あたりの温度変化 (c3) が，その時間の物体の温度と周囲の温度との差 (c4) に比例するというものである。そこで，この温度変化と周囲の温度差との比 c5をグラフ表示させてみよう。表データの特定の列をグラフ表示させるには，表画面で F2  (PlotSetUp) を押し，グラフ表示の設定を記憶させたい Plot 番号を ▲ ▼  で選択して F1 (Define)を押す。図 6 は，Plot 2 に，c1 を x 軸，c5 を y 軸にとり，dot 印を直線 (xyline) で結んでグラフ
を描画するように指定したものである。指定したグラフを表示させるには， ENTER を何回か押

して表データの画面に戻ってから ♦ F3 を押す。
このとき，c1 と c5 の行数が合わないとエラーになるので，あらかじめ行数を揃えておく。この
データの場合は，次のデータとの差を取ってからデータをシフトをしているので，データ数が 1 つずれている。そこで，表画面の 100 行目を削除する。行を削除するには，100 行目にカーソルをあてて F6 2 を押して「2: row」を選択すればよい。ただし，ヘッダーの計算式に削除しようとする行が使用されていると，その列の該当するセルは削除されない。表データはヘッダーの計算式を削除しても残るので，一つの行全体を削除するには，ヘッダーの計算式を削除してから行った方がよい。



さて，行数がそろっていれば，c1 と c5 の関係を表すグラフは， ♦  F2  で描画範囲を指定すれば即座に描画される。図 7 は，−10 <= x <= 100, − 0.01 <= y <= 0.03 の範囲で描画させた。時間がたつにつれて増加・減少する傾向は特に認められない。念のため，c5 のデータを直線

y = ax + b で回帰してみる。 APPS  6 で「1: Current」 を選択して表データに戻る。 F5  を押して統計機能の直線回帰「5: LinReg」を選択し (図 8)，x には c1 を，そして y には c5 を指定


して ENTER  を押すと，y = ax + b の形の直線回帰が行われ a, b の値が表示される (図 9)。

a = −8.57033 × 10−5 ,b = 0.1617 であり，この回帰直線の傾きは，ほとんど 0 であることが分かる。そこで， F5 1(OneVar) を利用して，比例定数 k を c5 の平均として求めると，k ≒ 0.011925となる。
以上のことより，温度変化に関して，単位時間あたりの変化率が室内との温度差に比例し，そ1 の微分方程式が成立するこの比例定数は k = 0.011925 であることが予想される。これにより，⃝とが実験的に確かめられたことになる。そこで，次に，TI–89 の数式処理機能を利用して，この

図 7: 比例定数の変化

図 8: 実データと回帰直線

183

図 9: 回帰係数の値

演示用ツールとしてのＣＢＬの活用

図 10: 微分方程式の解法

図 11: 境界条件と定数決定

173

図 12: 指数回帰

微分方程式を解いてみよう。あるいは，簡単な変数分離形であるから生徒に解かせてもよい。
図 10 では，dy= −0.01925(y − 25.14),
dxy(0) = 83.2を解いて，2···················· ⃝y = 58.06(0.988142856586)x + 25.14が得られている。なお，0.98814 = exp(−0.011925) である。図 11 の最初では，θ0 = 25.14 のもと1 の一般解を求めている。@1 は任意定数である。つまり，⃝1 の一般解は，t, θ を用いるとで，⃝3···················· ⃝θ(t) = C · exp(−kt) + 25.14と表される。図 11 の後半の部分では，求められた解 y = C · exp(−k · x) + 25.14 に対して，境界条件により定数 C, k の値を求めている。それは，y(0) = 83.2, y(99) = 43.1 より，連立方程式

43.1053 = C · e−99k + 25.14

83.2 = C · e0 + 25.14,を解くことになる。この部分も，生徒に求めさせることができるだろう。k = 0.01185 であり，c5の平均として求めた値とかなり近い値であることが分かる。したがって，この境界条件より求め1 の解は，た⃝4···················· ⃝θ(t) = 58.06 · exp(−0.011849 t) + 25.14である。



一方，TI–89 の表データに対する統計機能 F5  を利用して，時間 c1 に対する周囲との温度差c4 を y = a · bx の形で指数回帰 (4: ExpReg) すると，a = 53.066, b = 0.98868 が得られる (図 12)。
(0.988681)t = exp(ln(0.988681t )) = exp(−0.011384 t)
であり，c4 は周囲との温度差であることから，

2
図 13: 解曲線⃝4
図 14: 解曲線⃝1845
図 15: 解曲線⃝

174 第Ⅲ部

データ収集と工学教育での活用

図 16: MODE の変更

図 17: 微分方程式の定義

図 18: 勾配場と解曲線

θ(t) − 25.14 = 53.066 · (0.988681)t = 53.066 · exp(−0.011384 t)である。したがって，この場合の温度 θ(t) は，θ(t) = 53.066 · exp(−0.011384 t) + 25.14

5···················· ⃝と表される。図 13〜15 は，これら 3 つの解曲線を，収集されたデータ曲線と比較したものである。
1 についての理解を深めるには，その勾配場について理解することも必
さて，一階微分方程式⃝

要であろう。TI–89 は，微分方程式の勾配場や位相平面図も描画できる。

それには，まず，グラフモードを微分方程式に変更することが必要である。 MODE を押して，Graph の箇所で「6: DIFF EQUATION」を選択する (図 16)。次に微分方程式を定義するため， ′♦ F1 を押して，y = −0.011925(y − 25.14), y(0) = 83.2 を指定する (図 17)。図 18 は，この微分方程式の勾配場と，初期条件 θ(0) = 83.2 のもとでの解曲線を描画したものである。勾配場を表示している画面上で初期値を指定すれば，そこを出発点とする解曲線を描画させることもできるので，微分方程式の意味を理解させるときに極めて有効である。

5

予想される教育効果
以上で述べたように，数式処理電卓とデータ収集器とを利用すると，実データが容易に収集でき，即座に統計的に解析することができる。このような電卓とデータ収集器とを併用すれば，授業の途中で簡単な実験を実際にやってみせることができるだろう。黒板でいろいろな式変形の後に導かれた式が，実際のデータと合致していることをその場で実演してみせることができれば，生徒の理解度が大きく向上することが期待される。
逆に，ある法則を導きたいときに，収集された実データをさまざまに加工してグラフ表示しながら，その法則を導くにいたる思考過程を説明することもできる。この電卓を全員が所持している場合は，その法則性を考察させる方向で，データ解析の演習をさせることもできるだろう。あるいは，データ収集から法則発見までを課題とすることもできる。ただし，具合のよいデータを収集するには，ある程度の試行錯誤が必要なときもある。そのようなときは，あらかじめ教師側が収集したデータを転送して，データ解析だけを課すことも考えられる。
いずれにしろ，実データの収集やそのさまざまなデータ解析が，パソコンに向かわずとも可能になることの意義は大きい。教師の演示用としてだけの利用であったとしても，数学と実データとの関りを理解させる上で極めて効果的なツールと思われる。

185