令和４年度 A日程
学 力 検 査 問 題

3数学

注意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３

問題用紙は表紙を除いて７ページで，問題は １ から ６ まであります。

４

開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に志願先高等学校名と受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

志願先高等学校名高等学校

受検番号

１ 次の（1）～（8）の問いに答えなさい。
（1） 次の ① ～ ④ を計算しなさい。
①3 ＋（− 6）−（− 8）②5x−yx−y−32③8 a 2b ÷（− 2 a3b2）×（− 3 a）④

126＋33 ×（－ 2 ）（2） ある高校で，スキー研修に参加する生徒に対して，スキーの経験があるかどうかを調べた21ところ，男子 a 人のうちの，女子 b 人のうちのがスキーの経験があると答え，スキー54の経験がある生徒の合計は 35 人であった。このとき，b を a の式で表しなさい。

（3） 次の関数のうち，x ＞ 0 の範囲において，x の値が増加すると y の値が減少する関数はどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。
アy ＝− 3 xイ

y＝−3xウy ＝ x−3エy ＝− 3 x22「（x ＋ ）＝●」の形に変形し（4） 2 次方程式 x2 ＋ 2 x − 14 ＝ 0 の解を求めなさい。ただし，て平方根の考え方を使って解き，解を求める過程がわかるように，途中の式も書くこと。

−1−

（5） 関数 y ＝ 3 x2 について，x の変域が a ≦ x ≦ 1 のとき，y の変域は 0 ≦ y ≦ 12 である。このときの a の値を求めなさい。

（6） 下の図のように，四角形ＡＢＣＤがあり，対角線ＡＣと対角線ＢＤの交点をＥとする。
∠ＡＢＥ＝ 34°，∠ＢＡＤ＝ 90°，∠ＢＣＥ＝ 56°，∠ＢＥＣ＝ 80°であるとき，∠ＣＤＥの大きさは何度か。

ＡEBDC（7） 右のグラフは，ある中学校の 3 年生男子 50 人について，立ち幅とびの記録をヒストグラムで表したものである。このヒストグラムでは，例えば，立ち幅とびの記録が 170 cm 以上 180 cm 未満の男子生徒が 3 人いることがわかる。
このヒストグラムにおいて，3 年生男子 50 人をもとにした，立ち幅とびの記録が 200 cm 以上
230 cm 未満の生徒の人数の割合は何％か。

（人）
14121086420

3 年生男子の立ち幅とびの記録

160 170 180 190 200 210 220 230 240（cm）（8） 下の図のような，三角形ＡＢＣがある。２辺ＡＢ，ＡＣから等しい距離にあり，２点Ａ，Ｂから等しい距離にある点Ｐを，定規とコンパスを使い，作図によって求めなさい。ただし，定規は直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
ＡB−2−C２

れいさんは，下の表をもとにした数学の問題に取り組んだ。この表は，1 行目 1 列目に 1 を置き，右の列に移るごとに数が 2 増え，下の行に移るごとに数が 3 増えるように並べたもので

列目

列目

列目

列目

１行目

13579…

行目

4681012…

言えることを，文字式を使って説明することに行目

79111315…

した。次の【れいさんのノート】は，れいさんが行目

1012141618…

行目

1315171921…

…

…

…

…

（1） れいさんは，右の表の中ので示された4 つの数に注目した。右の表では，で示された 4 つの数で，右上の数と左下の数の積から，左上の数と右下の数の積を引くと 6 となる。れいさんは，がどの位置にあっても，このことが正しく説明したノートの一部であり，は，説明の続きが入る。

ああにに入る内容を，言葉と式を使って書き，説明を完成させなさい。

…

１列目

…

…

ある。このことについて，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。

【れいさんのノート】〔説明〕
表の中ので示される，左上の数，右上の数，左下の数，右下の数の 4 つの数のうち，左上の数を x とおくと，あ（2） れいさんは，次に表の中の数を文字式を使って表してみようと考えた。次の【れいさんのノート】は，れいさんが表の中の数を文字式で表すための考えを正しく書いたノートの一部である。このとき，れいさんのノートのいに当てはまる文字式を，最も簡単な形で書きなさい。
【れいさんのノート】〔表の中の数を文字式で表すための考え〕
表の中の 5 行目 4 列目の数である「19」について考えると，
1 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 1 ＋ 3 × 4 ＋ 2 × 3 ＝ 19となる。
この考え方を使って，m 行目 n 列目の数を，m，n を用いた文字式で表すと，

いとなる。ただし，m，n は自然数とする。
（3） 表の中の 5 列目に注目し，縦に連続して並んだ 4 つの数の和を考えると，例えば，2 行目から 5 行目までの数の和は，12 ＋ 15 ＋ 18 ＋ 21 ＝ 66 である。
5 列目の縦に連続して並んだ 4 つの数の和が 222 になるとき，この 4 つの数の中で最も大きい数は，5 列目の何行目にあるか。
−3−３

次の図のように， あ ， い ， う ， え ， お の 5 つのマスがあり，こまを あ のマスに置く。
１個のさいころを 2 回投げて，下の【ルール】にしたがって，こまを矢印の向きに移動させる。
・（2）の問いに答えなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様
このとき，下の（1）に確からしいものとする。

あおいうえ【ルール】①

1 回目に出たさいころの目の数だけ，こまを移動させる。

②

2 回目に出たさいころの目の数の 3 倍の数だけ，こまを移動させる。ただし，2 回目に移動させるときは，1 回目に移動させたマスから移動させるものとする。

〔例〕 1 回目に出た目の数が 3，2 回目に出た目の数が 2 のとき，こまは次のように動き，お のマスに移動する。
・ 1 回目に出た目の数が 3 より，こまは あ → い → う → え と移動する。
・ 2 回目に出た目の数が 2 より， 2 の 3 倍の 6 だけ移動するため，こまは， え → お → あ → い → う → え → お と移動する。

（1）【ルール】にしたがって，さいころを 2 回投げてこまを移動させたとき，こまが あ のマスにある確率を求めなさい。
（2）【ルール】にしたがって，1 回目にさいころを投げてこまを移動させたときと，1 回目に続けて 2 回目にさいころを投げてこまを移動させたときとで，こまが異なるマスにある確率を求めなさい。

−4−

４

下の図のように，四角形ＡＢＣＤがあり，ＡＢ＝ 32 cm ，ＢＤ＝ 12 cm，ＢＣ＝ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ 45°，∠ＢＣＤ＝ 90°である。点Ｐは，点Ｂから対角線ＢＤ上を毎秒 1 cm の速さで動き，点Ｄで止まる。また，点Ｐを通り対角線ＢＤと垂直な直線ℓが，辺ＡＢまたは辺ＡＤと交わる点をＱ，辺ＢＣまたは辺ＣＤと交わる点をＲとして，点Ｐが点Ｂから動き始めて x 秒後の線分ＱＲの長さを y cm とする。ただし，0 ≦ x ≦ 12 とし，x ＝ 0，x ＝ 12 のときは，y ＝ 0 とする。このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） x ＝ 3 のときの y の値を求めなさい。
（2） 3 ≦ x ≦ 6 のとき，y を x の式で表しなさい。
（3） y ＝ 4 となる x の値をすべて求めなℓA
3 2 cm
Bさい。

Q45° P
RD12 cm

C−5−５下の図において，①は関数 y ＝ a x 2（a ＞ 0），②は関数 y ＝ 2 x 2 のグラフである。点Ａは①のグラフ上に，点Ｂは②のグラフ上にあり，点Ａの座標は（6，12），点Ｂの x 座標は− 2 である。
このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。

（1） a の値を求めなさい。

y（2） 2 点Ａ，Ｂを通る直線の式を求めなさい。

12（3） 直線ＡＢと y 軸との交点をＣとする。このとき，点Ｃを通り，三角形ＯＡＢの面積を 2 等分②①ABする直線の傾きを求めなさい。

−2 O−6−6x６下の図のような，平行四辺形ＡＢＣＤがある。辺ＡＤ上に，ＡＥ：ＥＤ＝ 1：2 となる点Ｅをとり，辺ＢＣ上にＢＥ // ＦＤとなる点Ｆをとる。線分ＡＣと線分ＢＥの交点をＧ，線分ＡＣと線分ＦＤの交点をＨとする。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。

（1）EＡ

ＡＢＧ≡ ＣＤＨを証明しなさい。

G（2） 線分ＦＤと線分ＣＥの交点をＩとしたとき，H

平行四辺形ＡＢＣＤの面積は，三角形ＩＨＣの面積の何倍か。

B−7−DFC令和４年度

問題正①（1）

②③

数学A日程

答配点

各2225
7 x＋y612b－ 68a ＋140（2） b ＝－5④（3） ア，エ（例）x 2 ＋ 2 x － 14＝ 0
x 2 ＋ 2 x ＝ 142（4） x ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 14 ＋ 12＝ 15（x＋1）
x ＋ 1 ＝ ± 151
x ＝ － 1 ± 15（5） a ＝－ 2（6） 46 度
（7） 60 %（例）

Ａ（8）BPC（例）

右上の数は x ＋ 2，左下の数は x ＋ 3，右下の数は x ＋ 5 と表されるので（x ＋ 2）（x ＋ 3）－x（x ＋ 5）
22＋5x＋6－（x＋5x）＝x（1）＝62各2
したがって，右上の数と左下の数の積から，左上の数と右下の数の積を引くと6 となる。
（2）3m＋2n－4（3）18 行目

6（裏面に続く）

問
3題（1）
（2）

正答

73656（3）13
1x＋95 （2） y ＝
25（3） －2

点各24各26各26y＝6（1）
4 （2）

配y＝

2x＋4
3x＝2，9（1） a ＝【証明】（例）
ＡＢＧと ＣＤＨにおいて平行四辺形ＡＢＣＤの 2組の対辺はそれぞれ等しいから
ＡＢ＝ＣＤ･･･････････････････①
ＡＢ//ＤＣより，錯角が等しいから∠ＢＡＧ＝∠ＤＣＨ･･･････････②ＡＤ//ＢＣより，錯角が等しいから∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ･･･････････③
ＢＥ//ＦＤより，同位角が等しいから∠ＣＢＥ＝∠ＣＦＤ･･･････････④③，④より∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ･･･････････⑤（1）
6
平行四辺形ＡＢＣＤの 2組の対角はそれぞれ等しいから∠ＢＡＤ＝∠ＤＣＢ･･･････････⑥
また∠ＡＢＧ＝180°－∠ＡＥＢ－∠ＢＡＤ∠ＣＤＨ＝180°－∠ＣＦＤ－∠ＤＣＢ⑤，⑥より∠ＡＢＧ＝∠ＣＤＨ･･･････････⑦①，②，⑦より
1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
したがってＡＢＧ≡ ＣＤＨ

472 倍

2（2）

6

令和４年度 B日程
学 力 検 査 問 題

2数学

注意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３

問題用紙は表紙を除いて５ページで，問題は １ から ４ まであります。

４開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に志願先高等学校名と受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

志願先高等学校名高等学校

受検番号

１ 次の（1）～（6）の問いに答えなさい。
（1） 次の ① ～ ④ を計算しなさい。
①2 − 9 ＋ 11②

7 − 5 ×（− 2）2③4 a×（− 3 b 2）÷ 6 a2b④

3 28 − 14 ×

2（2） バスケットボールの試合で，2 点シュートを a 本，3 点シュートを b 本決め，合計で 21 点をあげた。このとき，b を a の式で表しなさい。

（3） 2 次方程式 x2 ＋ 4 x − 21 ＝ 0 を解きなさい。

−1−（4） 関数 y ＝−2 2x のグラフを，次の放物線ア～エから 1 つ選び，その記号を答えなさい。
3yアイ5−55 xＯ−5エウ（5） 右の図のように，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上にあり，線分ＢＤは円Ｏの直径，∠ＡＢＤ＝ 64°である。このとき，∠ＢＣＡの大きさは何度か。

ABＯCＤ（6） 2 つのさいころＡ，Ｂを投げるとき，さいころＡの出た目の数を a，さいころＢの出た目のa＋bが整数となる確率を求めなさい。ただし，さいころはどの数を b とする。このとき，3目が出ることも同様に確からしいものとする。

−2−２下の図のように，ＡＢ＝ 10 cm，ＢＣ＝ 8 cm の直角三角形ＡＢＣにおいて，辺ＡＢ，辺ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとし，点Ｍと点Ｎを結ぶ。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。
A（1） 線分ＭＮの長さを求めなさい。
（2） 四角形ＡＭＮＣを，線分ＭＮを軸として10ｃｍ1 回転させてできる立体の体積を求めなさMい。ただし，円周率はπを用いること。

B−3−N8ｃｍC３

1x ＋ 6 のグラフであり，2①と②の交点をＡ，Ｂとする。また，y 軸に平行な直線をℓとし，直線ℓと②，①，x 軸との下の図において，①は関数 y＝a x2（a > 0）のグラフ，②は関数 y ＝交点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとする。点Ａ，Ｂの x 座標がそれぞれ −4，6 であるとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 点Ｂの y 座標を求めなさい。

yℓ①（2） a の値を求めなさい。

②6xＰ（3） 点Ｐが線分ＡＢ上にあるとき，ＰＱ＝ＱＲとなる点Ｐの x 座標をすべて求めなさい。

ＢＡＱ−4−4−ＯＲ４ ひまりさんは，次の【ルール】にしたがって数を並べたとき，並べた数にはどんなきまりがあるかを予想し，予想したことについて，文字式を使って証明した。下の【ひまりさんのノート】は，ひまりさんが正しく証明したノートの一部である。このとき，下の（1）・（2）の問いに答えなさい。
【ルール】
下の図のように，三角形の内側に，上，左下，右下の順に数を入れる。
・1 番目の三角形には，上に 1，左下に 2，右下に 3 を入れる。
・2 番目の三角形には，上に 4，左下に 5，右下に 6 を入れる。
・3 番目の三角形には，上に 7，左下に 8，右下に 9 を入れる。
以下，4 番目以降の三角形にも，同じように連続する自然数を順に入れていく。
１24
35

１番目

76

8

9………

3 番目

2 番目

【ひまりさんのノート】
例えば，【ルール】の 2 番目の三角形では，「上の数」が 4，「左下の数」が 5，「右下の数」が 6なので，「上の数」と「右下の数」の積は，4 × 6 ＝ 24となり，これは「左下の数」の 5 の 2 乗から 1 引いた数となっている。
このことから，三角形の内側の「上の数」，「左下の数」，「右下の数」において，2− 1 となると予想できる。
「上の数」×「右下の数」＝（「左下の数」）【予想したことの証明】
n 番目の三角形の「上の数」，「左下の数」，「右下の数」を，n を使ってそれぞれ表すと，「上の数」＝

ア，「左下の数」＝イ，「右下の数」＝ 3n となる。
ア

このとき，予想した等式の左辺の「上の数」×「右下の数」は，（で表すことができ，これを展開するとウとなる。

また，予想した等式の右辺の（「左下の数」）2 − 1 は，（とができ，これを展開するとウ）× 3nイ）2 − 1 で表すことなる。

したがって，予想した等式の左辺と右辺が等しいので，「上の数」×「右下の数」＝（「左下の数」）2 − 1 が成り立つ。

（1）

ア～ウに当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。

2（2）【ひまりさんのノート】により証明された，「上の数」×「右下の数」が（「左下の数」）−1と等しいことを利用して，「上の数」×「右下の数」が 1023 となるのは，何番目の三角形かを求めなさい。ただし，答えを求める過程がわかるように，途中の式を必ず書くこと。
−5−令和４年度問

題（1）

正①4②－13③－④4 7

1 （2） b ＝ －

数学

B日程

答

配点

2ba
2a＋73

各 3 27（3） x ＝－ 7，3（4） ウ（5） 26 度
（6）213（1）

3 cm3（2）80π cm347（1） 93 （2） a ＝

14

各39（3） － 3，4ア

3n－2（1） イ

3n－1ウ

9n2－6n3（例）「上の数」×「右下の数」＝ 1023 なので，（「左下の数」）2 － 1 ＝ 1023 となる。

4（2）

よって
2＝ 1024 ＝ 25 × 25 ＝ 322（「左下の数」）「左下の数」は自然数であるから「左下の数」＝ 32
また，「左下の数」＝ 3n － 1 なので
3n － 1 ＝ 32n ＝ 11
したがって，11 番目の三角形である。

74