論文集「高専教育」第 27 号 2004.3

グラフ電卓を利用したグラフ・アートと関数理解
梅野善雄∗(一関工業高等専門学校)

Graph Arts and Understanding of Function
by The Use of Graphing Calculators
UMENO Yoshio(Ichinoseki National College of Technology)

Abstract:
We lent algebraic calulators(TI–89) to our first-year students in the class of function from midDecember to the end of February. We gave students the work to create the graph arts by the use ofgraphing calculators, in winter holidays. They must consider what type of a function is the best toapply to their figure, and what range of the function is desirable, and so on. We show some theirgraph arts and functions used in their arts. We made students describe what contents they learned tounderstand about the graph of a function by the use of graphing calculators. They gained a variety ofunderstanding. And it was observed that the possibility to solve mathematics problems for themselves
increased, and that an opportunity to feel the amusingness of mathematics increased, too.
It would be sure that graphing calculators were effective in the class of function, and we could expect
more effectiveness in case of a long-term use.
KEYWORDS: algebraic calculator, function, short-term use, mathematical understanding
著者も，微積分の授業で数式処理電卓を長期貸与し，授業内容への理解度の高まりや，電卓を貸

1. はじめに与しないクラスと比べて数学の授業に対する不安感が有意に減少するなどの効果を得ている 4)5) 。

高専においていろいろな工学現象を取り扱うにまた，平成 13 年度はグラフ電卓を 1 年生に貸与は基本的な関数の性質を熟知していることが必要(1ヶ月間) して関数の授業を行い，単純な答え合わである。その意味でも高専における関数教育は重せとして使用させた。短期間の，しかも単純な使要であり，その基本的な性質を学生に定着させる用のさせ方にもかかわらず，学生の感想は好意的ために多くの試みがなされている。

なものが大多数であった。関数のグラフに対して中でも，近年，グラフ電卓の利用例が報告され理解が深められたと答える者が多く，成績下位の始めた。石川高専では，数式処理可能なグラフ電学生ほど数学が前よりも分かるようになったと答卓を入学時から 2 年間学生に貸与し，その電卓をえている 6) 。しかし，この電卓の利用で学生がど活用したいろいろな探求活動を行っている

1)。福のような理解を得たのか，その具体的な内容まで

井高専では新入生全員に数式処理電卓を購入させは調査しなかった。この学生の理解の内容を具体ている 2) 。その中では，たとえば，教師が説明す的に知ることは，この電卓の利用効果を考える上べき 2 次関数の主要な性質のほとんどを，学生 (新では重要である。

入生) に指摘されたことが報告されている 3) 。
∗ 一般教科，umesan@ichinoseki.ac.jp

191

58 第Ⅰ部

数学教育とグラフ電卓

表 1: 学生に説明した電卓の機能

そこで，ここでは，グラフ電卓の効果的な活用法を探ると共に，学生が得た理解の内容を調査し，

1 時間目

主要なキーの使い方，通常の関数電卓としての使い方，関数定義の仕方，グラフの描画方法，x と y の範囲の定め方

2 時間目

グラフの拡大・縮小の仕方，x 軸との交点の求め方，最大値・最小値の求め方，座標を表形式で表示する方法

3 時間目

個々の関数の描画範囲の指定方法，グラフの描画スタイルの指定方法，ファイルの保存方法

関数教育における効果や意義について考察したい。

2. グラフ電卓を貸与した授業
2.1

グラフ電卓

学生に貸与したのは，テキサスインスツルメン
ト社のグラフ電卓 (TI–89) である。この電卓は，関数のグラフを簡単に描画できるのみならず，高度の数式処理や統計処理を行うこともできる。特に，99 個の関数を定義でき，その一つ一つの関数に描画範囲を指定できる。学校所有の台数では 1 学年全せた。以下では，その内容をもとに，関数教育に員に貸与するには不足するので，一部にメーカーのおけるグラフ電卓の効果や意義について考察する。

無償貸与制度を利用した。なお，この電卓 (TI–89)の機能の詳細は，Web Page7) を参照されたい。

2.2

3. グラフ・アート

電卓を貸与した授業の概要

この調査の対象とする学生は，平成 14 年度の本

3.1

グラフ・アートの目的校 1 年生（4 クラス，169 名）である。授業科目は「グラフ・アート」は，関数のグラフを繋ぎ合著者の担当する「基礎数学 II(3 単位)」であり，関わせて絵 (アート) を作成するものである。高専で数を主たる学習内容とする。

は金沢高専で最初に行われ，他にも幾つかの高専

グラフ電卓は，三角関数のグラフを終えた 12 月で実施されている。本校でも平成 12 年度に行った中旬に学生に貸与し，貸与直後の 3 時間でグラフことがあるが，いずれも教師側の予想を上回る作機能の使い方を説明した。表 1 は，その時間で説品が作成されている 8) 。

明した内容をまとめたものである。

グラフ・アートを作成するには，学生はいろい

それ以前の授業は，黒板を利用した普通の授業

ろな関数やその描画範囲を自分で主体的に決定しである。冬季休業前に貸与したのは，休業中に自なければならない。それを作成させることは，既由に使わせて電卓の使用方法に習熟させようとし習の関数グラフの総復習としての意味合いがある。

たからである。そして，その電卓を使用しなければその作成にはある程度の試行錯誤を伴い，まとまっならないよう，関数のグラフをつないでできる絵た時間も必要になってくる。平常の授業の中で作(グラフ・アート) の作成を冬季休業の課題とした。

成させることは困難と思われることから，冬季休

冬季休業以降の授業内容は，加法定理と三角形業の課題としたものである。の性質である。この中では，電卓を必要とする場面は特にない。2 月上旬には教科書を終え，その後3.2は関数のグラフの総復習を行った。問題の内容は休業明けの 1 月上旬には，学生の作成したグラ通常の問題であるので，必ずしも電卓を必要とす

フ・アートを教師側のグラフ電卓にファイルをコるものではない。前年度と同じ使用方法とするたピーする形で提出させた。提出率は 97%である。学め，通常の授業の中での答え合わせとして使用さ生に対しては，提出された全作品の鑑賞会も行っせた。学生は，必要に応じて，問題の答え合わせている。以下に，学生の作成した幾つかの作品と，として，あるいは思考の補助としてこの電卓を使それを構成している個々の関数を示す。作成時間用した。

は，構想を考えてから作品が完成するまでに要し

学生の作品

そして，電卓の返却時 (2 月下旬) にはアンケーた時間であり，学生が自己申告した時間である。

ト調査を行い，グラフ電卓の利用でどのような理図 1 では，べき関数，無理関数，指数関数，対解を得たのか，学生の理解の内容を自由に記述さ数関数，そして正接関数など，多様な関数が使用

192

グラフ電卓を利用したグラフ・アートと関数教育

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論文集「高専教育」第 27 号 2004.3

図 1: KAME

図 2: チューリップ

図 1: KAME (作成時間は 2 時間 10 分)(1) y = − 1 x2 + 4.5−5<x<57− 0.5 < x < 5(2) y = 1 x2 − 0.230(3) y = 3 log(x + 7.8) − 1 , −7.75 < x < −4.5221(4) y = x + 2.2− 7 < x < −6.52(5) y = 1.3x+5.5 − 2.8− 7.6 < x < −4(6) y = tan(x)− 4.5 < x < −3282(7) y = tan(x + 1.6)

− 3 < x < −2.454− 4.6 < x < −2.8(8) y = 4(x + 3.65) − 4.5(9) y = − tan(x − 1.6)
(10) y = − tan(x)2.45 < x < 33.282 < x < 4.54(11) y = 4(x − 3.65) − 4.5
2.8 < x < 4.6√
3.9 < x < 6.759(12) y = − x − 2.5 + 0.25√
(13) y = 2.5 −x + 7.3 − 3.6
4.7 < x < 6.759
12x − 2.3− 4.23 < x < −5(14) y =30
1x2 − 2.5− 2.51 < x < 2.51(15) y =30
12x − 2.3(16) y =4.22 < x < 5.230
図 2: チューリップ (作成時間は 5 時間)(1) y = 2x4 + 1.5− 1.2 < x < 1.2(2) y = 10xx < 0.3π<x< π−22.7(3) y = cos(2πx) + 4

図 3: 野球グランド(4) y = 1− 3 < x < −0.2x1(5) y =− 3.5− 2.8 < x < 0.1x+3
3.5x − 3.5− 2.8 < x < 0(6) y = −31(7) y =−2− 0.8 < x < 1.8x+1− 0.5 < x < 1.8(8) y = − 1 − 5x−2− 0.5 < x < 1.8(9) y = 3.5 x − 43
図 3: 野球グランド (作成時間は 2 時間)¯¯(1) y = ¯ 1 x¯ − 42¯¯(2) y = −¯ 1 x¯ + 2−6<x<62(3) y = 1 x − 3
3.8 < x < 5.22
3.5 < x < 5.2(4) y = − 1 x + 121(5) y = x + 1− 5.2 < x < −3.82
1− 5.2 < x < −3.8(6) y = − x − 3¯ 12 ¯(7) y = ¯ x¯ + 1− 1.2 < x < 1.22100(8) y = −x − 3.3− 1.05 < x < 1.05(9) y = −(x − 2)100 − 3(10) y = −(x + 2)100 − 3
1x−1(11) y =100000´³1x(12) y = 8 cos
12−1<x<1− 14 < x < 14

され，それらのグラフに対して平行移動や対称移

図 3 は，一見すると単純な直線を組み合わせて動が行われている。対数関数は首の先端部分，正いるように見えるが，絶対値関数を利用して効率接関数は足の部分である。関数の形や範囲の指定よく作成されている。ホームベースから 1・3 塁にをみても，思い通りの曲線を得るまでに，いろいいたるライン，内野のライン，そしてセカンドベーろな関数について相当試行錯誤したことがうかがスは絶対値関数である。バッターボックスは，100われる。学生の感想には，「イメージ通りに作るの乗のべき関数，外野のラインは余弦関数である。いが難しかった」とある。成績は上位の学生である。

ずれも，基本的な関数のグラフを平行移動してい図 2 は，花芯部分が 4 次関数と余弦関数，そしる。また，余弦関数の周期について理解しているて葉の部分は分数関数であり，y = 1/x のグラフをこともうかがわれる。成績は中位の学生である。

平行移動している。学生の感想には，「葉っぱの部

なお，使用したグラフ電卓は，水平線 (y = c) に分を作るのにいろんなグラフを使ってみたが，双は描画範囲を指定できない。図 3 の (11) の関数は，曲線が最もよかった」とあり，葉の形を決めるま水平線を傾きの小さい直線で代用したものである。

での苦心がうかがわれる。成績下位の学生である。

この方法は学生にも説明してある。

193

60 第Ⅰ部

3.3

数学教育とグラフ電卓

学生の感想

グラフ・アートの作成は，電卓の使い方に関して 3 時間の説明を加えただけで課したものである。
説明時間が短かったので，どの程度のものが提出されるか不安もあったが，全くの杞憂に終わった。
完成までに 27 時間をかけたものや，80 個以上の関数により作成されているものもある。アートと(ii) そのグラフが図形の該当部分に表示されるよ
うにするには，どのような平行移動や対称移動を行えばよいかを考えること。

(iii) 係数等を適切に決めて，その関数の式を具体的に決定すること。

(iv) 複数のグラフで構成されるときは，その接続箇所の座標を決めること。

しての完成度にも目をみはるものが多く，学生の(i) の判断を行うには，どのような曲線がどのよ

感性とテクノロジー操作の飲み込みの速さには驚うな関数のグラフであるかを知っていなければなかされた。課題提出時には，この作業の感想も書らない。その基本となる関数のタイプが分かれば，かせている。ここでは，その中から学生の幾つか(ii)(iii) の具体的な式を書き下すために，係数の調の感想を紹介したい。

整，対称移動の有無，あるいは平行移動の量の調• 忘れかけていた指数・対数・無理関数を使って整などを何度も試行錯誤することになる。そこでできたので，思い出せたし，関数の楽しみがは，グラフ電卓の機能がフルに活用できる。(iv) の分った。

接続箇所は，グラフ電卓の機能を利用すれば簡単• 時間がかかったけど，思ったようなグラフがに求められるが，その機能を使いこなした学生は描けるとなかなかうれしいものがある。

少数と思われ，大多数の学生は試行錯誤で求めた• 描いているときはめんどうくさかったけど，勉と思われる。

強にもなったし，楽しかったので良かった。

以上の作業を，紙と鉛筆の作業で行うのは容易• 関数を使ってグラフ・アートをすることによっなことではない。しかし，グラフ電卓を利用するて，今まで習ったいろいろな関数を振り返ることで，学生は自分の定義した関数のグラフを即ことができて良かった。

座に確認できる。係数や描画範囲などを調整して• 超めんどくさいと思っていたけど，自分が知っ関数の定義とグラフの確認作業を何度も繰り返している範囲の簡単な関数でもできたのでうれながら図形が作成されていく。単なる「お絵描き」

しかった。作成しているときが，一番勉強しのように見えながらも，その作業の中で学生は関ているという実感がわいた。

数のグラフ，その対称移動の有無，そして平行移• 根気のいる作業だと思った。でも，完成した動の量を自分で意図的に決めなければならない。

時には達成感があり，これを自分で作ったん作業を行いながら，図形が作成されていく様子

だなあと思うと，うれしくなった。

が具体的に見えるので，どの程度のことを自分が「意味がない」「関数の勉強とは関係がない」と行い，どの程度の作業がまだ残っているのかも明

いう感想を書く学生も数名あったが，大部分の学確である。
「面倒くさかったけど」「完成したときの生は，「大変だったけどおもしろかった」「勉強に達成感があり」「関数の復習や勉強にもなり」「楽なった」「達成感があった」「つかれた」などといしかった」という学生の感想は，まさに，このグラう感想をのべている。代表的な感想は，概ね上記

フ・アートの教育上の意義を物語るものであろう。

でつくされると思われる。

3.4

グラフ・アートと教育上の意義

通常の授業では，教師が与えた問題を学生に解かせることにより，関数についていろいろな理解を得させようとする。しかし，グラフ・アートの作成では，学生は作成しようとする図柄と共に，以下の事柄を自分で考えなければならない。

4. 学生の反応と理解の内容
4.1

グラフ電卓利用に対する学生の反応グラフ電卓を貸与されたことによる学生の使用の形態はさまざまである。単純にグラフを表示するだけの学生がいれば，それを拡大・縮小して詳細を見ようとする学生もいる。座標を表形式で表(i) 作成しようとする図形の構成曲線は，どのよ示させ，数値上の確認をする学生もいる。多くのうなタイプの関数のグラフかを判断すること。

学生は，問題を考える上でのヒントを得たり，自194グラフ電卓を利用したグラフ・アートと関数教育

61

論文集「高専教育」第 27 号 2004.3
表 2: グラフ電卓の利用に対する学生の反応
質問項目

はい中間

いいえ

(1) 数ナビはグラフを理解する上で役に立つ

92.2

7.80(2) 数ナビを使う授業はおもしろい

68.3

29.3

2.4(3) 数ナビを利用すると数学の理解がさらに深められる

65.9

29.9

4.2

(4) 数ナビを家や寮でも利用した

64.0

18.6

17.4

(5) 数ナビを使って数学が前よりも分かるようになった

49.1

45.5

5.4

(6) 数ナビのおかげで数学が前よりおもしろくなった

40.7

50.3

9.0
(%)

分の考えた解答の答え合わせとして利用した。短［A］数ナビを使って，「とても良く分かった！」と期間の貸与であるため，電卓を利用しなければ解いうことがあれば，その分かった内容を具体けないような問題は課していない。電卓を全く使的に書いてください

用しないで問題演習を行う学生もあった。

［B］数ナビが無ければ理解できなかっただろう，と電卓の返却時には，このような形の授業に対すいうことがあれば，どのようなことが理解でる感想を質問紙で調査をした。表 2 は，主な項目きないと思うかを具体的に書いてくださいに対する学生の反応である。回答は「はい」「どちらでもない」「いいえ」の 3 件法で求めた。回答総数は 167 名である。なお，この電卓を，学生には「数ナビ」と呼ばせている。石川高専の阿蘇和寿教
授は，この電卓を数学上の思考のツールとして「数学ナビゲータ」と呼ぶことを提唱している。
「数ナビ」は，その略称である9)。

表 2 を見ると，否定的な反応は少く，肯定的な反約 40%の学生から何らかの記述が得られた。ただし，記述されている内容は学生により異なり，一般的な傾向は見出せなかった。以下に，学生の記述内容を幾つか上げておく。

[A] 電卓を利用して，よく分った内容(1) sin(x), sin(2x), 2 sin(x) など変化させてグラフにすると，グラフの違いが分かってために応が多いことが分かる。特に，「(1) 数ナビはグラフなるし理解も深まった。

を理解する上で役に立つ (92.2%)」「(3) 数ナビを利(2) 三角関数の合成が良く分った。

用すると数学の理解がさらに深められる (65.9%)」(3) y = |f (x)| のグラフは，y < 0 の部分を x 軸「(5) 数ナビを利用して数学が前よりも分かるように関して対称移動したものであること。になった (49.1%)」とあるように，「分かる」とい(4) f (2x) と 2f (x) の違いや，f (−x) と −f (x) のう方向で強い反応が現れている。この反応は，既違いが分からなかったけど，数ナビのグラフ存の調査結果とも一致している 4) 。

を使って理解できるようになった。

また，この調査の自由記入欄には，「理解に役立っ(5) f (x) の x への値の代入の仕方が分かった。

た」という声ばかりではなく，「今まで分からない(6) いろいろな関数のグラフが，こんなグラフにところが分かるようになった」「授業が楽しくなっなるんだ，と何度もやっているうちに分かるた」という記述も多く見られ，関数の授業に対するようになった。

興味関心が高まったことを示していると思われる。

(7) 数種類のグラフの特徴を見分けるのに，細かい数値を出してくれてとても分かりやすかった。

4.2

グラフ電卓の利用と理解の内容

グラフ電卓の利用で「数学の理解がさらに深められる」と答える学生が多いが，具体的にはどのような理解を得たのだろうか。学生の理解の内容を知るために，電卓回収時に行った質問紙調査では，以下の内容について自由記述を求めた。

[B] 電卓を利用しなければ分からなかった内容(1) 絶対値関数のグラフ(2) グラフの平行移動や対称移動(3) f (x) と f (2x) や 2f (x) のグラフとの関係(4) x · sin x や 2 1のグラフのような，関数どx +1
うしの和，差，積，商のグラフ
195

62 第Ⅰ部

数学教育とグラフ電卓(5) 三角関数の周期で試行錯誤しながら追及することができる。これ(6) 三角関数と円上の点の動きとの関係を紙と鉛筆の世界で行うことは，成績下位の学生(7) y = −f (x) + 1 は，y 軸方向に 1 だけ平行移動ほど困難を伴うことであろう。

してから x 軸に関して対称移動するのか，対第三には，数学の授業が分かる楽しさや，数学称移動してから y 軸方向に 1 だけ平行移動す的なことについて何かに気付く機会が増えるだろるのか分からなかったが，数ナビが参考になうことである。自由記述の学生の感想からも，そりました。のことがうかがわれる。

[A](5) は，f (x) の式を与えて，f (a − 1) などの式を求めさせたときのことを述べていると思われ

6. おわりにる。この電卓は，グラフ上の点の座標を表形式で表示できる。[A](7) は，その機能を利用して理解を得た学生の感想と思われる。

約 2ヶ月間のグラフ電卓の貸与であったが，単純な使用法にもかかわらず，学生は数学上の疑問をいずれにおいても，その記述内容は三者三様で自分で解決できる可能性が高まったことや，数学あり，特定の傾向のようなものは見出せなかった。のおもしろさを感じる機会が増えたであろうこと

また，学生が「電卓を利用して分かったこと」とがうかがわれる。この電卓を 1 年間，あるいはさして記述している内容は，授業中にすでに説明ずらに長期間の貸与をした場合は，さらに大きな効みの内容である。同じ説明は何度も繰り返してい果が期待される。その効果を引き続き検証しているが，それでも理解できずにいる学生もいる。理きたい。

解できないでいる部分は個々の学生により異なると思われるので，そのことが一般的な傾向として抽出できない理由ではないかと思われる。

参考文献

5. 関数教育におけるグラフ電卓の意義(1) 阿蘇和寿：数学の授業における学生の探究活

学生にグラフ電卓を貸与したが，グラフ・アー

日本数学教育学会高専・大学部会論文誌, 第トの課題を除けば，単に電卓を貸与して，後は各自の使用に任せただけである。学生は，答え合わせや解答のヒントを得るために使用した。
単純な貸与方法であるにもかかわらず，電卓の動—テクノロジーの効果的な活用に向けて—,

9 巻, 第 1 号, pp.31–50(2002)(2) 長水壽寛他 6 名：テクノロジーを用いた数学教育の理論と実践, 論文集「高専教育」, 第26 号, pp.339–344(2003)

使用に関しては好意的な反応が多い (表 2)。学生(3) 井之上和代：TI–89 を利用した 2 次関数の学の理解の内容を問う自由記述の内容などを総合す

習から見る高専の数学教育, 福井工業高等専

ると，関数教育でグラフ電卓を利用することの意

門学校研究紀要 自然科学・工学, 第 34 巻,

義は次のことにあるのではないかと思われる。

pp.95–105(2000)

第一に，関数のグラフに対する理解が容易に深(4) 梅野善雄：数式処理電卓を用いた微積分教育

められることである。式を定義するだけで即座にの改善, 日本数学教育学会高専・大学部会論グラフが表示される。どのような式がどのような文誌, 第 8 巻, 第 1 号, pp.13–30(2001)

グラフになるのか，また各係数の意味などを理解(5) 梅野善雄：数式処理電卓の利用による数学にすることも容易であろう。しかも，それらを座標対する学生の意識変化, 論文集「高専教育」,データを通して理解することもできるので，各自

第 25 号, pp.175–180(2002)の関心の持ち方により，いろいろな角度からの理解が可能になる。
第二に，自分で問題を解決できるようになるこ(6) 梅野善雄：数式処理電卓の短期利用とその効
果, 日本数学教育学会誌第 84 回総会特集号,第 84 巻 (臨時増刊)，p.454(2002)とである。分からない箇所を質問に来る学生は一(7) http://www.naoco.com/部であり，そのまま放置してしまう学生が多い中(8) http://www.mathnavi.org/contest/index.htm

で，学生は自分の分からない部分を，グラフ電卓
196(9) http://www.mathnavi.org/profiel/index.htm