研究ノート

企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：
数値例に基づく考察
A Note on Present-Value Identities as Valuation Models:
Numerical Examples

椎葉淳（大阪大学）

Atsushi Shiiba, Osaka University
論文要旨

本稿では、Campbell–Shiller と Vuolteenaho の現在価値恒等式を企業価値評価モデルとして用いることができることを示す。具体的には、数値例に基づいて、割引配当モデルと残余利益モデルに加えて、これら2つの現在価値恒等式によっても株主価値の評価を行ない、公式の適用可能性や線形近似から生じる評価誤差の大きさについて調査する。主要な結果は次の通りである。Campbell–Shiller の現在価値恒等式は、将来の利益、負債、株主資本、配当が一定のケースでも一定成長のケースでも、割引配当モデルや残余利益モデルと同じ評価値を与え、導出の過程で線形近似をしているにもかかわらず、誤差は生じない。一方、Vuolteenaho の現在価値恒等式は、導出過程で2つの線形近似における基準点を等しくしていることから、通常は評価誤差が生じる。ただし、数値例において常識的な範囲の成長率と割引率を仮定した場合、この評価誤差は概して3% 以内であり十分に小さいと判断できる。なお、2つの線形近似の基準点を別々にすれば、誤差なしで株主価値評価を行なうこともできる。

SummaryThis study shows that Campbell–Shiller and Vuolteenaho present-value identities can be used as valuation models suchas discounted dividend model (DDM) and residual income model (RIM). To do so, researchers are expected to be able tounderstand these present-value identities more clearly. In particular, these two identities are employed to derive equity
values using some numerical examples, and the applicability of the formulae based on these identities and the significanceof valuation errors are investigated. Main results are as follows. When future profits, debt, shareholders’equity, anddividends are constant or increase constantly, Campbell–Shiller present-value identity leads to exactly the same equity value
as DDM and RIM though one uses linear approximation in the process of the derivation of this identity. On the other hand,some valuation errors occur when Vuolteenaho present-value identity is used due to two linear approximations in theprocess of the derivation of this identity. Sensitivity checks are also made by changing growth rates and discount rates, andvaluation errors are found to be within about three percent and can be judged as not economically significant. In addition, it
is possible to make the valuation without error by using another version of Vuolteenaho present-value identity.

椎葉 (2017) において指摘されているように、よ１．はじめにく知られた企業価値評価モデルとの関係でいえ本 稿 で は、Campbell–Shiller と Vuolteenahoば、Campbell–Shiller の現在価値恒等式は割引配の現在価値恒等式をより深く理解することを目的

当モデルに対応し、Vuolteenaho の現在価値恒等として、これらの現在価値恒等式を企業価値評価

式は残余利益モデルに対応するものと解釈できモデルとして用いることができることを示す 。

る。本稿では、織田・福井 (2002) の数値例とそ

１)

謝辞：本稿の内容を整理するにあたって、村宮克彦氏（大阪大学）から多くの貴重なコメントを頂いた。また、2017年３月11日に開催された日本組織会計学会の研究会参加者、および2017年７月27日に開催された分析的会計研究会の参加者から有益なコメントを頂いた。ここに記して感謝の意を表したい。なお、本稿における誤りはすべて筆者個人に帰するものである。本研究は，JSPS科
研費15K03769、および文部科学省私立大学戦略的研究基盤形成支援事業（平成26年度－平成30年度）の助成を受けている。
連絡先：椎葉 淳 〒560-0043 大阪府豊中市待兼山町1-7（大阪大学大学院経済学研究科）
TEL：06-6850-5227 FAX：06-6850-5227 E-mail：shiiba@econ.osaka-u.ac.jp– 49 –

年報 経営ディスクロージャー研究

2018年３月

第17号

こでの仮定を変更したいくつかの数値例を用い

を t + j 期における配当として、それぞれの対数をて、割引配当モデルと残余利益モデルに加えて、とったものを pt ≡ ln(Pt) および dt+j ≡ ln(Dt+j ) と現在価値恒等式によっても企業価値評価を行な

定義している。また、t + j 期の株式リターン Rt+j

う。

を Rt+j ≡ (Pt+j + Dt+j － Pt+j －1)/Pt+j －1と し、t + j 期

なお、本稿では、現在価値恒等式の持つ本質的の対数株式リターンを rt+j ≡ ln(1 + Rt+j) と定義しに重要な特徴には焦点を当てていないことには注ている３ )。なお、ρp は１より小さい正の定数、意してほしい。つまり、期待リターン（割引率）

kp も定数であり、それぞれ以下で定義する。

が変動する状況を前提としていること、対数変換

この (1) 式の導出は椎葉 (2017) において詳し

した変数を用いることで実証分析において重要とく説明されているので、ここでは概要だけ説明しなる変数の定常性を考慮していること、および線ておく。まず、t + 1 期のグロスの対数株式リター形近似することで変数について線形の式となって

ン rt+1 は次のようにあらわすことができる。

おり、よく用いられる計量経済学の手法を適用しやすくなっていること、などについてはほとんど触れていない２）。

+1 = ln

+1 +

 (2)

+1

本稿の構成は次のようである。まず第２節におこの式は次のように書きかえることができる。
(3)+1= ln(1+exp(+1 )) +Δ +1

いて、Campbell–Shiller の現在価値恒等式、およ

ここで、対数配当利回り dpt+1を dpt+1≡ ln(Dt+1/

び Vuolteenaho の現在価値恒等式を示し、その内Pt+1) とし、またΔpt+1≡ pt+1－ pt としている。

容について簡潔に説明する。第３節では、数値例

この(3)式には非線形であるln(1+exp(dpt+1))を用いて、割引配当モデルと残余利益モデルに加の項が含まれているが、dpt+1の定常状態におけ

えて、現在価値恒等式によっても企業価値評価をる値 dp を基準点とすると、テイラー展開するこ行なう。第４節ではこれらの現在価値恒等式を企とで次のように線形近似することができる。

業価値評価モデルとして用いることで得られた含ln(1+exp(

意について議論することで、本稿のまとめとする。

+1 )) = ln(1+ exp(

+

exp(

))
)

1+ exp(

)

+1−

(

)

 (4)

なお、近似誤差は省略している。

２．現在価値恒等式

実証研究においては、配当利回り dpt+1の定常
2.1. Campbell–Shiller の現在価値恒等式

状態における値 dp として、過去の平均値を用い

CampbellandShiller(1988)で示されたCampbell–

ることが多い。具体的には、配当利回りの過去平

Shiller の現在価値恒等式は次のようにあらわす

均を D/P とあらわせば、たとえば Campbell et

ことができる。なお、ここでは t + 1 期の期首（時al. (1996, Ch.7) では1926年から1994年までのア

点 t ）において期待値をとった式を示す。また、メリカのデータに基づき D/P=0.04(4%) として、導出の途中で近似しているが、読みやすさのため

dp=ln(D/P)=ln(0.04)= －3.2189を用いている。
線形近似した ln(1+exp(dpt+1)) をさらに式変等号を用いている。
=

1 −ρ

+

∞

ρ −1 E ((1−ρ )

=1

−

)

 (1)

ここで、Pt を時点 t における株式時価総額、Dt+j– 50 –

形すると、次のようにあらわすことができる。
ln(1+ exp(+1 )) =+ (1−ρ )

+1

 (5)

企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：数値例に基づく考察（椎葉）こ こ でρp ≡1/(1+exp(dp))(< 1 )、 お よ び kp ≡さらに、後で用いるため、(1) 式の Campbell–－ lnρp － (1－ρp)ln(1/ρp －1) で あ る。 な お、Shiller の現在価値恒等式を次のようにもあらわ

D/P=0.04とすると、ρp=1/(1+exp(dp))=1/(1+しておく。

D/P)=1/(1+0.04)=0.9615であり、kp=0.1630とな=る。
(5) 式を (3) 式に代入して整理すると、rt+1は次のようにあらわすことができる。



1 −ρ

+E (

∞

−1
+1− +1 )− ρ E ( + −Δ

+ )



=2



(11)

これは (8) 式において、シグマ記号 (Σ) の項につ(6)

いて j = 1 のときの値のみを外に出し dt を消去す

ここでΔdt+1≡dt+1－ dt としている。この式は、

るように整理すれば導出できる。この式では、対対数株式リターンを線形近似したものである。

数配当そのものではなく対数配当の変化Δdt+j を(6) 式は次のようにあらわすことができる。

用いてあらわすとともに、時点 t における株主価

+1 =

−ρ

+1 +Δ

+1 +



(7)

値を評価する際には t + 1 期以降の配当のみが重一期ずらした式を右辺の dpt+1に代入し、これ要になるので、t 期の配当に関する項を消去して

+1−Δ

=− +ρ

+1 +

+1

いる。

を繰り返すと次式を得る。なお、N →∞のとき
Np

また、将来の (rt+j －Δdt+j)( j=2, 3,…) が一定でρ dpt+N → 0を仮定している。
=−

1−ρ

+

∞
=1

ρ −1 (−Δ + ++ )あると予想するとき、(11) 式は次のようにあら (8)わすことができる。

(8) 式左辺の対数配当利回り dpt に dt － pt を代=入して、左辺が pt になるように整理すると、次の+( 1−ρ ) E (ρ E ( +2−Δ
+1− +1)−
1−ρ

+2)

(12)

ようになる。
∞

=

1−ρ

+

=1

ρ −1 ((1−ρ )+− + )

2.2. 株主資本簿価に関する現在価値恒等式

 (9)株主資本簿価に関する現在価値恒等式は次のよ
うにあらわすことができる４)。

時点 t においてこの (9) 式の期待値をとると、(1) 式が得られる。

=

なお、ρp は線形近似をする際に定義したもの

1−ρ

+

∞
=1

−1

ρ E ((1−ρ )

+−

+ )

(13)

であるが、実証研究においては上述のように１よここで、Btを時点 t における株主資本簿価として、

り小さい１に近い値としており、(1)式に示される

この対数をとったものを bt≡ln(Bt) と定義していように割引係数 (discount coefficient) と解釈でる。また Xt+j を t + j 期における利益として、t + j

きる定数となっている(CampbellandShiller1988,

期におけるグロスの対数 ROE を roet+j であらわ

Vuolteenaho 2002, Campbell and Vuolteenaho

し、roet+j≡ln(1+Xt+j/Bt+j －1) と 定 義 し て い る。

2004)。

なお、ρb は１より小さい正の定数、kb も定数でまた、将来の ((1－ρp)dt+j － rt+j)( j=1, 2,…) があり、それぞれ以下で定義する。
Campbell–Shiller の現在価値恒等式は、対数株一定であると予想するとき、(1) 式は次のように式リターンの定義を変形して導出しているため、あらわすことができる。
=+E ((1−ρ ) +1− +1 )
1−ρ

(10)

全く同じ手続きによって、対数会計リターンの定義を変形して株主資本簿価に関する現在価値恒等– 51 –

年報 経営ディスクロージャー研究

式 を 導 出 す る こ と が で き る (Muramiya and
Shiiba2016,椎葉2017)。

また、将来の (roet+j －Δdt+j)( j=2, 3,…) が一定
らわすことができる。

なわちグロスの対数 ROE は次のようである。

+ (1−ρ )E (

=

(14)

+1

1+

第17号

であると予想するとき、(17) 式は次のようにあ

まず、t + 1 期のグロスの対数会計リターン、す+1≡ln

2018年３月

+1−

ρE (
+1 )−
1−ρ



Δ
+2−

+2 )



(18)

クリーン・サープラス関係 Bt+1=Bt+Xt+1－Dt+1
を仮定すると、対数会計リターンは次のようになる。

2.3. Vuolteenaho の現在価値恒等式
Vuolteenaho(2002)において示されたVuolteenaho

+1=ln

+1+

(15)

+1

この (15) 式の対数会計リターンを (2) 式の対数株式リターンと比較すると、対数会計リターンは対数株式リターンにおける株式時価総額の現在価値恒等式は次のようにあらわすことができる。ここでは、時点 t において期待値をとった
式を示す。
= +

∞

−1

ρ E (

+− + )=1

(19)Pt(Pt+1) を株主資本簿価 Bt(Bt+1) に置きかえたも

ここで、ρpb は１より小さい正の定数であり、以のであることが分かる。したがって、Campbell–

下で定義している。

Shiller の現在価値恒等式を導出したのと同様の

この式を導出する一つの方法は次のようである

式展開をすれば、pt を bt に、rt+j を roet+j にそれぞ(MuramiyaandShiiba2016,椎葉2017)。まず、

れ置きかえた (13) 式が成り立つ。また、線形近(1) 式から (13) 式を辺々引いて、bt を右辺に移項似の際には、対数配当利回り dpt+1の定常状態にすると次のようになる。

おける値 dp ではなく、対数株主資本配当率 dbt+1
の定常状態における値 db を基準点とし、ρp, kp
に対応する変数をそれぞれρb, kb とあらわす。な

=

1−ρ
+

∞

−

1 −ρ

+

E ρ −1((1−ρ )+ − + )

(20)=1

お、導出の途中で、対数株主資本配当率 dbt+1を−ρ −1 ((1−ρ )dbt+1≡ln(Dt+1/Bt+1) と定義している。

+ −

+ )

また、将来の ((1－ρb)dt+j － roet+j)( j =1, 2,…)

次に、対数株式リターンおよび対数会計リター

が一定であると予想するとき、(13) 式は次のよ

ンを線形近似する際に、同じ基準点において近似

うにあらわすことができる。

したとすると、ρp=ρb=ρpb および kp=kb=kpb とお=+E ((1−ρ ) +1−
1−ρ

+1 )

(16)

くことができる。このとき、(19)式のVuolteenaho
の現在価値恒等式が成り立つ。なお、同じ基準点

さらに、(11) 式の Campbell–Shiller の現在価としては、dpt+1と dbt+1の定常状態における値の値恒等式と同様に、対数配当の変化Δdt+j を用い

加重平均、すなわち wdp+(1－ w)db とすることて、次のようにあらわすこともできる。

が考えられる。ここで０ <w< １であり、dp と db

=



1 −ρ

+E (

+1−

+1 )−

∞
=2

ρ −1E (

+ −Δ

+ )



(17)
– 52 –

はそれぞれ dpt+1と dbt+1の定常状態における値とする。
ま た、rroet+j≡roet+j － rt+j と 定 義 し、 こ の企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：数値例に基づく考察（椎葉）rroet+j を t + j 期における対数残余 ROE と呼ぶこ

３．数値例とにする。(19) 式において、将来の rroet+j( j=1,
この節では、織田・福井 (2002) を参考にした2,…)が一定であると予想するとき、Vuolteenaho
の現在価値恒等式は次のようになる。
= +いくつかの数値例に基づいて、割引配当モデルと

E(
+1)
1−ρ

残余利益モデルに加えて、Campbell–Shiller と(21)Vuolteenaho の現在価値恒等式によっても、企業価値評価を行なう。本稿では特に、株主価値の評

２つの線形近似の基準点を別々にした場合で価に焦点を当てる６)。

も、(20) 式 に お い て、 将 来 の dt+j , rt+j , お よ び
roet+j( j=1, 2,…) が一定であると予想するときには、(20) 式は次のようにあらわすことができる。
−E ( +1)
−E (
−
1−ρ
1−ρ

= +

+1)

3.1. ケース１：将来の利益、負債、株主資本、配当が一定の数値例

(22)最初に織田・福井 (2002) と同じ数値例を考察

なお、この (22) 式は (10) 式と (16) 式から dt+1をする。この数値例を以下ではケース１と呼ぶ。株

消去しても導出することができる 。

主資本400と有利子負債600の合計1,000の資金調

５)

さらに、対数配当の変化Δdt+j を用いてあらわ

達をして、活動を開始した企業を考える。株主資した (11) 式の Campbell–Shiller の現在価値恒等

本コストは８ % であり、有利子負債の資本コス式から、(17) 式の株主資本簿価に関する現在価トは利子率と等しく５ % とする。また有利子負値恒等式を辺々引くと、次式が成立する。

債の価値は簿価と等しいと仮定する。定常状態を

=

1−ρ
−

∞

−

1−ρ

+ +E (

ρ −1E ( + −Δ + )+=2

予想しており、期待営業利益は100、償却費と同+1− +1 )
∞

−1

ρ E (

Δ
+−

+ )



=2

実効税率は40% とする。このとき、定常状態における損益計算書は次の表１のように予想されるこ

(23)



額を再投資し、税引後利益はすべて現金配当する。

とになる。

また、将来の(rt+j －Δdt+j)および(roet+j －Δdt+j)

表１：ケース１における損益計算書( j =2, 3,…) が一定であると予想するとき、(23)

営業利益

100

式は次のようにあらわすことができる。

支払利息

30 (=600×５ %)

税引前利益

70

税金

28 (=70×40%)

税引後利益

42

=

+E (
−

+1− +1 ) +−ρ E (Δ+2−
1−ρ−ρ E ( +2−Δ +2 )
1−ρ

+2 )

(24)

この式はΔdt+2という配当に関する項が残って

3.1.1 割引配当モデル
割引配当モデルは一般に次式のようである。

いるが、ここでは Vuolteenaho の現在価値恒等式
に関する公式の一つと位置づけておくことにす

=

る。

∞

E( +)
(1+ )
=1

(25)

ここで R は割引率であり、毎期一定と仮定している７)。
– 53 –

年報 経営ディスクロージャー研究

割引配当モデルは、次期以降の配当が毎期一定

2018年３月

2.1節で示した次の公式を用いることができる。

であると予想するときには、次式のようにあらわ=

すことができる。
=

E (

1)

(26)

第17号

+E ((1−ρ ) +1− +1 )
1−ρ

(29)

数 値 例 で は Et(dt+1)=ln(Et(Dt+1))=ln(42)=
3.7377である８ )。また、割引率は８％で一定であ

この割引配当モデルによって株主価値を評価す

るから Et(Rt+1)=0.08が成り立つ。したがって、

ると、毎期の配当が42で一定であり株主資本コスEt(rt+1)≡ln(1+Et(Rt+1))=ln(1+0.08)=0.0770とト（割引率）は８％であることから、Pt= 42/なる。以上から、(29) 式を計算するためには、

0.08=525となる。

後はρp の値だけが必要となる（kp は定義からρpのみに依存している）。

3.1.2 残余利益モデル

ρp を計算するためには、定常状態における対残余利益モデルは一般に次式のようである。
=+∞

E ( +)(1+ )=1

数配当利回り dp が必要となる。実証上は過去の(27)配当利回りの平均を用いることが多いと指摘したが、この数値例では次のように定常状態の値を求

ここで、RIt+j は t + j 期の残余利益であり、RIt+j

めることができる。すなわち、この数値例では株≡Xt+j － R × Bt+j ー1である。

価も定常状態となるため、株主資本コストが８％

残余利益モデルは、次期以降の残余利益が毎期

で あ る こ と を 用 い て、R*=(P*+D*－P*)/P*=

一定であると予想するときには、次式のようにあD*/P*=0.08が成り立つ９ )。ここで、アスタリス

らわすことができる。

ク(＊)は定常状態の値であることを意味している。

=

+

E(

+1)

(28)

したがって、定常状態では、配当利回りと株主資
本コストは等しくなる。このとき、dp=ln(0.08)、

ここでの数値例では将来の残余利益も毎期一定

ρp≡1/(1+exp(dp))=1/(1+0.08)=0.9259となる。

となり、その値は42－0.08×400=10である。した

つまり、定常状態ではρpは 1+株主資本コスト（割

がって、残余利益モデルによって株主価値を評価

引率）の逆数になっており、通常の割引係数の定すると、Pt=400+10/0.08=525となる。この値は

義 に 一 致 す る。 な お、kp≡－lnρp－(1－ρp)

割引配当モデルによって求めた株主価値と一致しln(1/ρp－1) はρp に応じて、図１のような値をていることが確認できる。

と る。 図 １ に は、 こ の 数 値 例 に お い て、ρp=
0.9259のとき、kp=0.2641の値をとることも示し

3.1.3 Campbell–Shiller の現在価値恒等式ている。

数値例に基づくここまでの株主価値評価の計算
は織田・福井 (2002) と同じであるが、次にこの以上から、(29) 式を計算すると次のようになる。

数値例において、Campbell–Shiller の現在価値恒等式を用いて株主価値を評価することを考える。
まず、この数値例では、割引率 R と配当 Dt は将=

0.2641+（1−0.9259）
×3.7377−0.0770= 6.2634
1− 0.9259

来にわたって一定であるから、将来の ((1－ρp)

対数をとらない Pt を計算すると、Pt=exp(pt)

dt+j － rt+j) も一定と予想されている。このため、=exp(6.2634)=525となり、割引配当モデルおよ– 54 –

企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：数値例に基づく考察（椎葉）

05
04
03
0 264102
01
0

0 9 0 9259

0810

図１：kp= － lnρp － (1－ρp) ln(1/ρp －1)
3.1.4 Vuolteenaho の現在価値恒等式

び残余利益モデルを用いて求めた株主価値と一致することが分かる。確かに Campbell–Shiller の現

Vuolteenaho の現在価値恒等式は次のようであ

在価値恒等式は導出の過程で (4) 式のように線形った。

近似をしているが、過去の実績値に基づく推定値= +などではなく将来期待する定常状態の値そのもの

∞

−1

ρ E (

=1

+− + )

(30)を用いた場合には、(4) 式は等号で成立する10)。

Campbell–Shiller の現在価値恒等式とは異な

また、この数値例において、実証研究でよく用り、Vuolteenaho の現在価値恒等式は、導出の際いられるように、配当利回りの過去平均としてに dpt+1と dbt+1の定常状態における値をその加重

D/P=0.04を用いると、ρp=1/(1+0.04)=0.9615と平均、すなわちwdp+(1－w)dbに置きかえている。

なる。このとき、Pt=393.5849となり、20％以上

このため、これらの定常状態の値が等しくなけれの大きな誤差が生じる。つまり、少なくとも現在

ば、このことから誤差が生じることになる。以下、

価値恒等式を株主価値評価モデルとして用いる場

数値例を用いて確認する。

合には、ρp をどのように設定するかは評価値に

まず、数値例では将来の roet+j および rt+j は一

大きな影響を与える。ただし、配当利回りの過去定であると予想していることから、2.3節で示し平均が D/P=0.04のときに、数値例の配当利回り

た次の公式を用いることができる。

は0.08(=42/525) と２倍の値を将来にわたって予= +想していることには注意が必要である。つまり、

E(
+1)
1−ρ

(31)

将来の配当利回りが過去平均に近くなると予想す数値例では株主資本簿価 Bt は400であるから、ることが妥当なのであれば、数値例の予想の方を

この式の右辺第１項は bt=ln(400)=5.9915である。

修正すべきということになるだろう。そしてそのまた、第２項の分子の対数残余ROEの期待値は、ように予想を修正すれば、評価誤差は小さくなる。

Et(rroet+1)=Et(roet+1)－Et(rt+1)=ln(1+42/400)
－ ln(1+0.08)=0.0998－0.0770=0.0229である。
以上から、(31) 式を計算するためには、後は– 55 –

年報 経営ディスクロージャー研究ρpb の値だけが必要となる。このために、定常状態における対数配当利回り dp と対数株主資本配
当率 db を求める。まず、定常状態における対数

2018年３月

第17号

具体的には、次のようになる。
= 5.9915 +0. 2641−0.0770 0.3140−0.0998−= 6.2634
1−0.9050
1−0.9259

配当利回りは前節と同様に dp=ln(0.08) である。

ここで、ρb=1/(1+exp(db))=1/(1+0.105)=0.9050

また、定常状態における対数株主資本配当率はであり、kb≡－lnρb－(1－ρb)ln(1/ρb－1)=0.3140

db=ln(42/400)=ln(0.105) と計算できる。加重平である。

均のウェイト w を0.5とすると、ρpb は次のように
なる 。
ρ =
=

余利益モデル、および Campbell–Shiller の現在価

11+exp(+(1− )

値恒等式によって求めた株主価値と一致すること)

1= 0.9160
1+exp(0.5×ln(0.08)+ 0.5×ln(0.105))が確認できる。

以上から、この数値例において、Vuolteenaho
の現在価値恒等式を用いて株主価値を計算すると+3.1.5 株主資本簿価に関する現在価値恒等式
ケース１の数値例の最後に、株主価値評価ではないが、株主資本簿価に関する現在価値恒等式が次のようになる。
=

対数をとらない Pt を計算すると、Pt=exp(pt)
=exp(6.2634)=525となり、割引配当モデル、残11)成立していることを、参考までに確認しておこう。

E(0.0229+1)= 5.9915 += 6.26401−ρ
1−0.9160

なお、数値例では、株主資本簿価が400と分かっ

対数をとらない Pt を計算すると、Pt=exp(pt)

ていることから、以下は株主資本簿価に関する現=exp(6.2640)=525.3354となる。割引配当モデル、

在価値恒等式の成立を確認することのみを目的と残余利益モデル、および Campbell–Shiller の現在している。

価値恒等式を用いて求めた株主価値525との誤差

まず、数値例では、利益 Xt、株主資本簿価

は (525.3354－525)/525か ら0.0639％ と な り、 こ

Bt、および配当 Dt は将来にわたって一定であるの数値例では誤差は十分に小さいと言えるだろから、将来の ((1－ρb)dt+j － roet+j) が一定である

う。また、この数値例では定常状態におけると予想されている。このため、2.2節で示した次PBR は525/400=1.3125であり、この値が１によの公式を用いることができる。

り近いケースでは対数配当利回り dp と対数株主
資本配当率 db が近い値となるため、誤差はさらに小さくなる。

=+E ((1−ρ ) +1−
1−ρ

+1 )

(33)

数 値 例 で は Et(dt+1)=ln(Et(Dt+1))=ln(42)=

このケース１の数値例では将来の dt+j,rt+j,およ

3.7377である。また、Et(roet+1)=ln(Et(1+Xt+1/Bt))

び roet+j が一定であると予想しているので、導出=ln(1+42/400)=0.0998で あ る。 さ ら に、3.1.4節

過程における線形近似の２つの基準点を別々にすの 最 後 で み た よ う に、ρb=0.9050で あ り、kb=

れば、誤差なしで株主価値評価を行なうこともで

0.3140である。

きる。つまり、2.3節で示した次の公式を用いて、正確に評価値を導出することもできる。
=+−E ( +1)
−E (
−
1 −ρ
1−ρ

+1)

以上から、(33) 式を計算すると次のようにな
る。

(32)

– 56 –=

0.3140 +（1−0.9050）
×3.7377−0.0998= 5.9915
1 −0.9050

企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：数値例に基づく考察（椎葉）表２：ケース２における予測財務諸表
2017

2018

2019

2020

2021

2022

負債

600

618

636.5

655.6

675.3

695.6

株主資本

400

412

424.4

437.1

450.2

463.7

負債・資本合計

1,000

1,030

1,060.9

1,092.7

1,125.5

1,159.3

営業利益

－

100

103

106.1

109.3

112.6

支払利息

－

30

30.9

31.8

32.8

33.8

税引前当期純利益

－

70

72.1

74.3

76.5

78.8

法人税等

－

28

28.8

29.7

30.6

31.5

当期純利益

－

42

43.3

44.6

45.9

47.3

期首株主資本

－

400

412

424.4

437.1

450.2

当期純利益

－

42

43.3

44.6

45.9

47.3

配当

－

30

30.9

31.8

32.8

33.8

期末株主資本

400

412

424.4

437.1

450.2

463.7

貸借対照表（期末）損益計算書

株主資本等変動計算書

対数をとらない Bt を計算すると、Bt=exp(bt)

3.2.1 割引配当モデル
このケース２の数値例では、表２から、利益、=exp(5.9915)=400となり、確かに株主資本簿価

負債、株主資本、配当は一定成長することが分かに一致することが確認できる。

る。
3.2. ケース２：将来の利益、負債、株主資本、

ここで、次期以降の配当が毎期100g％成長す

配当が一定成長の数値例

ると予想するときには、割引配当モデルは次式の前節の数値例と初年度は同じだが、次年度以降、

ようにあらわすことができる。

営業利益が持続的に３％成長するケースを考え=る。また次年度以降、負債と株主資本もそれぞれE ( +1 )−(34)３％成長するものとし、資本構成の比率は変化しこの割引配当モデルによって株主価値を評価すないと仮定する。
税引後利益はすべて配当とせず、ると、2018年度の配当が30であり、次期以降は

配当はクリーン・サープラス関係を満たすように

毎期３％成長すると予想していることから、2017決まるものとする。

年度末時点における株主価値は P2017=E2017(D2018)

このケースでは、仮に初年度を2018年度とす/(R － g)=30/(0.08－0.03)=600となる。

ると、予測財務諸表は表２のようになる 。ただな お、E2017(P2018)=E2017(E2018(D2019))/(R－g)

し、2017年の欄は2017年度末時点の値であり、=(1+g)E2017(D2018)/(R－g)=(1+g)P2017と な る か2018年度の期首と同じ意味である。以下では、こら、株主価値も配当などの成長率と同じ率で成長の数値例をケース２と呼ぶ。

することが予想されている。

12)– 57 –

年報 経営ディスクロージャー研究

2018年３月

第17号

表３：ケース２における残余利益
2018

2019

2020

2021

2022

税引後利益 Xt

42

43.3

44.6

45.9

47.3

R × Bt －1

32

33.0

33.9

35.0

36.0

残余利益 RIt

10

10.3

10.6

10.9

11.3

3.2.2 残余利益モデル重要となる、将来の ((1－ρp)dt+j － rt+j) は一定に

ケース２の数値例では残余利益も表３のようにも一定成長にもならない。このことを確認するために作成したのが表４である。

３％成長することが分かる。
ここで、次期以降の残余利益が毎期100g％成

この表４は、配当 Dt、対数配当 dt、((1－ρp)

長すると予想するときには、残余利益モデルは次

dt－rt)、およびそれらの成長率を示したものであ式のようにあらわすことができる。

る。この表から分かるように、配当の成長率は３

=

+

E(

−

+1)

％であり一定成長になっていても、対数配当 dt

(35)は一定成長にはならない。また、((1－ρp)dt－rt) の値も一定にも一定成長にもならない。

この残余利益モデルによって株主価値を評価す
ると、2017年度末の株主資本簿価が400、2018年

ただし、2.1節では Campbell–Shiller の現在価

度末の残余利益が10であり、次期以降は毎期３％

値恒等式について、次式のように対数配当の変化

成長すると予想していることから、2017年度末

Δdt+j を用いてもあらわすことができることを指時 点 に お け る 株 主 価 値 は P2017= B2017+E2017

摘した。

(RI2018)/(R－g)=400+10/(0.08－0.03)=600となる。

=

この値は割引配当モデルによって求めた株主価値

1−ρ

+E (

+1− +1)−∞=2

ρ −1E ( + −Δ + )と一致していることが確認できる。



(36)

この式を用いた場合、株主価値を計算するために
3.2.3 Campbell–Shiller の現在価値恒等式

重要となるのは、将来の (rt+j －Δdt+j) である。こ次に、この数値例について、Campbell–Shiller

こでケース２の数値例では、配当の成長率は毎期の現在価値恒等式を用いて株主価値を評価するこ

３％で一定であるから、対数配当の変化もΔdt+jとを考える。この数値例では、割引率 R は一定で=ln(Dt+j /Dt+j －1)=ln(1.03)=0.0296と な り 一 定 とあり、配当 Dt は将来にわたって一定成長となっなる。また、割引率は毎期一定であるから、将来ている。しかし、(1) 式の Campbell–Shiller の現の (rt+j －Δdt+j) も一定であると予想しているこ

在価値恒等式を用いて株主価値を計算するためにとになる。したがって、2.1節の最後に示した次

表４：ケース２における配当 Dt、
対数配当 dt、(1－ ρp)dt － rt、
およびそれらの成長率
配当 Dt
配当成長率
対数配当 dt
対数配当成長率(1－ρp)dt－rt((1－ρp)dt－rt) の成長率

2018
30
－
3.4012－0.0805
－

2019
30.9
3％
3.43080.869％
0.08191.700％– 58 –

2020
31.8
3％
3.46030.862％
0.0832
1.672％

2021
32.8
3％
3.48990.854％
0.08461.644％

2022
33.8
3％
3.51940.847％
0.08601.617％

企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：数値例に基づく考察（椎葉）

資本コストそのものではなく、株主資本コストかの公式を用いることができる。
=+(1−ρ )E (

+1−

ρE
+1 )−

1−ρ

( +2−Δ

ら成長率を引いた値になっていることである。つ+2 )まり、3.1.4節で指摘したように、ケース１のよう(37)に将来の利益、負債、株主資本、および配当が一数値例では2018年度の配当が30であり、E2017

定の場合には、配当利回りと株主資本コストは等(d2018)=ln(E2017(D2018))=ln(30)=3.4012で あ り、

しくなるが、ケース２のようにこれらの変数が一E 2017(Δd 2019)=ln(E 2017(D 2019/D 2018))=ln(1.03)=

定成長の場合には、期首株価に対する配当利回り

0.0296である。割引率は一定であり、E2017(r2018)=

は株主資本コストから成長率を引いた値に等しく

E2017(r2019)=0.0770となる。以上から、(37) 式をなる。この意味で、割引係数ρpb は株主資本コス計算するためには、後はρp の値だけが必要とな

トそのものではなく、成長率を考慮した割引率にる。

対応するものと理解することができる14)。

ρp を求めるために必要となる定常状態におけ以上から、(37) 式を計算すると次のようになる。

る対数配当利回り dp は、次のようにして求めることができる。すなわち、この数値例では3.2.1節

2017 =

で確認したように、株価も３％成長を予想してい0.1875+（1−0.9537）（3.4012−0.0770）−0.9537×（0.0770−0.0296）= 6.3969
1 −0.9537

るため、株主資本コストが８％であることに注意

対 数 を と ら な い P2017を 計 算 す る と、P2017=

す る と、Et(Rt+1)=(Et(Pt+1)+Et(Dt+1)－Pt)/Pt

exp(p2017)=exp(6.3969)=600となり、割引配当モ=Et(Dt+1)/Pt+(1.03Pt－Pt)/Pt=Et(Dt+1)/Pt+0.03

デルおよび残余利益モデルによって求めた株主価=0.08という関係が成り立つ。つまり、このケー値と一致することが分かる。

スでは、期首株価に対する配当利回り Et(Dt+1)/
3.2.4 Vuolteenaho の現在価値恒等式

Pt は株主資本コスト0.08から株価の成長率0.03を引いた0.05となる 。したがって、近似の際の基

Vuolteenaho の現在価値恒等式では、将来の値準点を求めるために用いる対数配当利回りは dp

が必要なのは対数残余 ROE(rroet+j≡roet+j－rt+j)

=ln(Et(D t+1/P t+1))=ln(E t(D t+1)/(P t×1.03))=

である。このケース２の数値例では rt は一定であln(0.05/1.03)=ln(0.0485) となる。またこのことり、また税引後利益と株主資本簿価が両者ともにから、ρp≡1/(1+exp(dp))=1/(1+0.0485)=0.9537、３％成長することから roet は毎期一定となっていkp≡－lnρp－(1－ρp)ln(1/ρp－1)=0.1875となる。

る。したがって、対数残余 ROE である rroet も毎

ここで注意すべき点は、このケース２では、定常期一定となる。具体的には表５のようになる。

13)

この表から分かるように、ケース１と同様、ケ状態における期首株価に対する配当利回りは株主

表５：ケース２における対数残余 ROE
税引後利益 Xt
株主資本 Bt
Xt/Bt －1roet(≡ln(1＋ Xt/Bt －1))rtrroet(≡roet－rt)

2017
－
400
－
－
－
－

2018
42
412
0.105
0.09980.07700.0229– 59 –

2019
43.3
424.4
0.105
0.09980.07700.0229

2020
44.6
437.1
0.105
0.09980.07700.0229

2021
45.9
450.2
0.105
0.09980.07700.0229

2022
47.3
463.7
0.105
0.09980.07700.0229

年報 経営ディスクロージャー研究

2018年３月

第17号

ース２の数値例においても、将来の roet+j およびの現在価値恒等式を用いて株主価値を計算すると

rt+j は一定であることから、次のVuolteenahoの現次のようになる。

在価値恒等式に関する公式を用いることができる。
=

+

E(
+1)
1−ρ

2017 =

(38)2017 +E 2017 (2018)
1−ρ

0.0229= 6.3993= 5.9915 +
1−0.9439

(39)

この数値例では2017年度末の株主資本簿価B2017

対数をとらないP2017を計算すると、P2017=exp(p2017)

は400であるから、この式の右辺第１項は b2017=

=exp(6.3993)=601.3991となる。割引配当モデル

ln(400)=5.9915である。また、第２項の分子の対および残余利益モデルを用いて求めた株主価値

数 残 余 ROE の 期 待 値 は、E2017(rroe2018)=0.0229

600との誤差は (601.3991－600)/600から0.2332%

である。なお、これらはケース１と同じ値になっとなり、誤差は十分に小さいと言えるだろう。なていることは注目に値する。つまり、利益、負債、

お、この数値例では定常状態における PBR は

株主資本、配当が毎期一定（０％成長）と一定成

600/400=1.5であり、この値が１により近いケー

長（３％成長）の２つのケースにおいて、このスでは対数配当利回り dp と対数株主資本配当率(38) 式における対数株主資本 bt と対数残余 ROE

db が近い値となるため、評価誤差はさらに小さの期待値 Et(rroet+1) は等しくなっている。そしくなる。

て以下でみるように、これらのケースの評価値 pt

このケース２の数値例では、将来の rroet+j は一は、割引係数ρpb によって調整され、異なる値に定であるものの、前節で確認したように、将来のなるのである。

dt+j および将来の ((1－ρp)dt+j － rt+j) は一定ある

さて、(38) 式を計算するためには、後はρpb

いは一定成長にはならない。このため、3.1.4節での値が必要となる。このために、定常状態におけ考察したケース１の数値例とは異なり、導出過程

る対数配当利回り dp と対数株主資本配当率 db をにおける線形近似の２つの基準点を別々にした求める。まず、対数配当利回りは前節と同様に、(22) 式の公式は適用できない。ただし、対数配当

dp=ln(0.0485) である。次に、株主資本配当率はの変化はΔdt+j=ln(Dt+j/Dt+j －1)=ln(1.03)= 0.0296

株主資本も配当も３％成長すると予想しているたと一定になるから、(24) 式で示した次の公式をめ、どの期で計算しても同じになり、たとえば期適用することができる。

首 株 主 資 本 に 対 す る 株 主 資 本 配 当 率 は、E2017
(D2018)/B2017=30/400=0.075と求めることができる。
したがって、近似の際の基準点を求めるために用いる対数株主資本配当率は、db=ln(E2017(D2018)
/E 2017(B 2018))=ln(E 2017(D 2018)/(B 2017×1.03))=ln(0.075/1.03)=ln(0.0728) となる。加重平均のウ
ェイト w を0.5とすると、ρpb は次のようになる。
ρ =1+exp(1+ (1− ))

1=
= 0.9439
1+exp(0.5×ln(0.0485)+0.5×ln(0.0728))以上から、この数値例において、Vuolteenaho– 60 –=+E (+1− +1 ) +−ρ E (
Δ
+2−
1−ρ

−

−ρ E ( +2−Δ +2 )
1−ρ


+2 )

(40)

具体的には、次のようになる。
2017 = 5.9915 + 0.998−0.0770+

0.1875−0.9537×（0.0770−0.0296）
1− 0.9537−

0.2481− 0.9321×（0.0998 −0.0296）= 6.3969
1− 0.9321

ここで、ρb=1/(1+exp(db))=1/(1+0.0728)=0.9321
であり、kb≡－lnρb－(1－ρb)ln(1/ρb－1)=0.2481
である。

企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：数値例に基づく考察（椎葉）対 数 を と ら な い P2017を 計 算 す る と、P2017=

対 数 を と ら な い B2017を 計 算 す る と、B2017=

exp(p2017)=exp(6.3969)=600となり、割引配当モ

exp(b2017)=exp(5.9915)=400となり、確かに2017

デル、残余利益モデル、および Campbell–Shiller

年度末の株主資本簿価に一致することが確認できの現在価値恒等式によって求めた株主価値と一致る。

することが確認できる。
3.3. その他のケース
3.2.5 株主資本簿価に関する現在価値恒等式

3.2.4節でみたように、将来の利益、負債、株主

ケース２の数値例においても、2017年度末の資本、配当が一定成長する場合、将来の roet+j は

株主資本簿価 B2017は400と分かっているが、株主一定になることから、また割引率も一定と仮定し資本簿価に関する現在価値恒等式が成立しているて お り 将 来 の rt+j も 一 定 に な る こ と か ら、

ことを、参考までに確認しておこう。

Vuolteenaho の現在価値恒等式に関する (21) 式

3.2.3節の Campbell–Shiller の現在価値恒等式をの公式を適用することができる。そして、３％成用いる際に指摘したように、ケース２では対数配長のケースにおいては、この公式を用いた評価誤当の変化がΔdt+j=ln(Dt+j/Dt+j －1)=ln(1.03)=0.0296

差は十分に小さいと判断できた。ここではまず、となり一定となる。また、将来の roet+j も一定とこれまでの数値例をベースにして、３％成長以外

予想している。したがって、2.2節の最後に示しのケースについて、前節とまったく同様の方法でた次の公式を用いることができる。

計算したとき、誤差がどのくらいの大きさになる=+ (1−ρ )E (

+1−

Δ
+2−

ρE (
+1 )−
1−ρ

かを確認しておく。次の表６は、利益などの成長+2 )率を１％ごと変更したとき、割引配当モデルによ



(41)

る評価値（表では DDM）
、Vuolteenaho の現在価数値例では2018年度の配当が30であるから、

値恒等式に関する (21) 式の公式を適用したときE2017(d2018)=3.4012と な る。 ま た、E2017(Δd2019)=

の評価値（表では Vuolteenaho）、その評価誤差0.0296であり、E2017(roe2018)=E2017(roe2019)=0.0998

(%)、および PBR を示している。なお、成長率となる。さらに、3.2.4節の最後でみたように、

０％のケースは3.1.4節、成長率３％のケースは

ρb=0.9321、kb=0.2481である。

3.2.4節の計算結果と同じである。
この表６から分かるように、この数値例では成以上から、(41) 式を計算すると次のようにな長率を変更しても、評価誤差は概ね３％以内である。
0.2481+（1−0.9321）（3.4012−0.0998）−0.9321×（0.0998−0.0296）
1−0.9321= 5.9915

2017 =

り、Vuolteenaho の現在価値恒等式に関する公式
は、株主価値評価モデルとしても十分に使えると判断できるだろう15)。なお、PBR が大きくなる

表６：成長率を変化させたときの評価誤差
成長率 (%)

0

1

2

3

4

5

6

7

DDM

525

542.9

566.7

600

650

733.3

900

1,400

Vuolteenaho

525.3

543.4

567.5

601.4

652.7

734.4

918.7

1,515.0

評価誤差 (%)

0.06390.09350.14320.23320.41350.83242.0745

8.2165

PBR

1.31251.35711.41671.5

1.625

1.83332.25

3.5– 61 –

年報 経営ディスクロージャー研究

2018年３月第17号

表７：割引率と成長率を変化させたときの評価誤差
成 長 率 (%)

割
引
率
(%)

5
6
7
8
9
10
11

0
1.38
0.58
0.21
0.06
0.01
0.00
-0.00

1
2.28
0.91
0.32
0.09
0.02
0.00
-0.00

2
4.17
1.52
0.52
0.14
0.02
0.00
-0.00

3
9.10
2.85
0.89
0.23
0.04
0.00
-0.00

4
29.94
6.41
1.72
0.41
0.06
0.00
-0.00

5

6

7

8

9

10

21.93
4.04
0.83
0.12
0.00
-0.00

14.62
2.07
0.25
0.01
-0.00

8.22
0.68
0.01
-0.01

3.14
0.04
-0.02

0.27
-0.09

-1.36

え る。 次 に、 割 引 配 当 モ デ ル に 対 応 す ると評価誤差は増加傾向にあることも分かる。
次に、成長率に加えて、割引率も変更した場合

Campbell–Shiller の現在価値恒等式は、その導出に、評価誤差がどのように変化するかについて考過程において対数株式リターンについて線形近似

察する。この結果を示したのが表７である。なお、している。したがって、この式を用いて株主価値

この表では評価誤差 (%) のみを示している。表

評価を行なうと評価誤差が生じるのが一般的であに示しているように、縦軸は割引率であり５％かると予想できる。また、残余利益モデルに対応す

ら11％まで、また横軸は成長率であり０％からる Vuolteenaho の現在価値恒等式は、対数株式リ

10% まで、いずれも１ % ずつ変化させている。まターンに加えて、対数会計リターンについても線

た、割引率が８ % の結果は表６と同じである。

形近似しており、また両者の近似の基準点を等し

この表７からはまず、割引率が５ % から11%の範囲では、概して割引率が小さいほど誤差は大い値にしているため、評価誤差はさらに大きくなると予想される。

きくなっていることが分かる。また、成長率と割

本稿では、このような理論予想をいくつかの数引率が近い値をとる一部の組み合わせでは大きな値例を用いて確認してきた。主要な結果は次の通誤差が生じている。ただし、それ以外の多くの組りである。まず、将来の利益、負債、株主資本、み合わせでは誤差は概ね３%以内となっており、配当が一定であれ一定成長であれ、割引配当モデ

また１ % 以内の誤差となる組み合わせも多く、ルと残余利益モデルはまったく同じ株主価値評価

全体としては誤差は十分に小さいと判断できる。

値となる。この点はこれまでの多くの文献で既に指摘されてきたことである。次に、Campbell–
Shiller の現在価値恒等式は、各変数が一定のケ

４．要約と含意ースでも一定成長のケースでも、割引配当モデル
割引配当モデル、残余利益モデル、Campbell–と同じ評価値を与え、導出の過程で線形近似をしShiller の現在価値恒等式、および Vuolteenaho のた式であるにもかかわらず、誤差は生じなかった。

現在価値恒等式の４つを株主価値評価モデルとし

これは、近似の基準点としている定常状態におけてみたとき、それぞれによって導出される評価値

る対数配当利回りとして、将来予想そのものの値について、理論的には次のような特徴を持つと要を用いれば、誤差が生じなくなることが理由であ約することができる。まず、割引配当モデルを前った。ただし、将来の利益、負債、株主資本、配提にすると、クリーン・サープラス関係を仮定す

当が一定成長のケースでは、対数配当は一定成長

れば、残余利益モデルは同じ株主価値評価値を与にならないことに起因して、対数配当を用いた– 62 –

企業価値評価モデルとしての現在価値恒等式：数値例に基づく考察（椎葉）Campbell–Shiller の現在価値恒等式に関する公式

より有用となる可能性がある。実際、Campbell–は適用できなかった。最後に、Vuolteenaho のShiller の現在価値恒等式を応用した実証研究に

現在価値恒等式は、導出過程で２つの線形近似においては、対数配当利回り (dpt) と、対数株式リおける基準点を等しくしていることから、通常はターンから対数配当の変化を引いた値(rt －Δdt)の誤差が生じることが明らかとなった。ただし、数２変数のベクトル自己回帰(VectorAutoregressive;

値例において常識的な範囲の成長率と割引率を仮VAR) モデル、あるいは対数配当利回り (dpt)、

定した場合、この評価誤差は概して３ % 以内で対数配当の変化 (Δdt)、および対数株式リターンあり十分に小さいと判断できた。なお、２つの線(rt) の３変数の VAR モデルが用いられることが形近似の基準点を別々にすれば、誤差なしで株主多い(CampbellandShiller1988,Cuthbertsonand

価値評価を行なうこともできた。

Nitzsche 2004)。同じことは Vuolteenaho の現在

このような数値例を用いた考察によって得られ

価値恒等式についても言える。そこでは鍵となる

る含意は次のようである。まず、割引配当モデル

変数は対数 ROE(roet) と対数株式リターン (rt)、よりも残余利益モデルを用いた株主価値評価の方

あるいは対数残余 ROE(rroet) である。そして、が誤差が小さくなる可能性について、福井 (2008,

Vuolteenaho(2002) においては、対数株式リターp.40) が、「過去のデータをもとに将来を予測するン (rt)、対数 ROE(roet)、および対数簿価時価比

場合、会計利益の方が配当あるいはキャッシュフ

率 (bmt) の３変数の VAR モデルが用いられていローより単純な予測しやすい時系列特性を持ってる。また、Lyle and Wang (2015) などの近年のいるならば、我々はこの真のデータ生成過程を知研究でも、対数株式リターンと対数会計リターン

らずに有限の標本で実証分析を行うので、配当に（対数 ROE）の時系列特性を仮定していることが比べ会計利益の予測誤差が小さくなる結果を得る

ある17)。したがって、企業価値評価の研究におい可能性が高い」と指摘していることは注目に値すても、このような対数をとった変数について将来る 。実際に配当よりも利益の方が予測しやすい予測をすることも考慮すべきであると言えるのでかどうかは実証上の問題ではあるが、このようなはないだろうか18)。

16)

視点に立てば、さまざまな株主価値評価モデルを導出することには価値があると考えられる。つまり、Campbell–Shiller の現在価値恒等式に関する
一定成長の公式において鍵となるのは、対数配当《注》１）こ れら２つの現在価値恒等式については、たとえば椎葉(2017)において、導出の過程とともに説明されている。また、
現在価値恒等式を応用したファイナンス分野のこれまでの(dt)、あるいは対数配当の変化(Δdt)である。より実証研究については、たとえば Campbell(2017) のテキスト

正確には、((1－ρp)dt －rt)、あるいは(rt －Δdt)という変数である。したがって、上記の福井(2008) の指摘からすれば、これらの変数が対数

第５章（“Present Value Relations”）において説明されている。
２）たとえば、本稿の数値例では割引率が毎期一定のケースしか扱っていない。

をとらない利益や配当それ自体よりも単純な予測

３）リターンは、以下では文脈によっては、株主資本コスト、しやすい時系列特性を持っているときには、評価

４）この式は Muramiya and Shiiba(2016)、椎葉 (2017) におい

誤差がより小さくなるという意味で、Campbell–
Shiller の現在価値恒等式は割引配当モデルや残割引率とも言いかえている。
て示されている。
５）したがって、将来の dt+j, rt+j、および roet+j(j=1, 2, …) が一定であると予想するという条件よりも少し緩く、将来の余利益モデルよりも、株主価値評価モデルとして((1－ρp)dt+j － rt+j) および ((1－ρb)dt+j － roet+j)(j=1,2,…)

– 63 –

年報 経営ディスクロージャー研究

2018年３月

第17号

が一定であると予想するとき、この (22) 式は成り立つ。

対数株式リターンと対数会計リターンのそれぞれが AR(1)

６）企業価値は株主価値と負債の価値の合計と定義している。

にしたがう場合の Vuolteenaho の現在価値恒等式も示され以下の数値例では負債の価値は簿価と等しいと仮定しておており、これを本稿で考察してきたような株主価値評価モ

り、また各数値例において負債の価値が与えられているため、株主価値にその負債の価値を加えることで企業価値も直ちに求めることができる。

デルとして用いることもできる。
18）Campbell(2000, pp.1532-1533) や Cochrane (2011, p.1101)
などが指摘するように、Vuolteenahoの現在価値恒等式は、

７）割引率の記号には小文字の r を使うことが多いが、本稿では配当がゼロの可能性もある個別企業の株式リターンについ

対数株式リターンに小文字の r を用いているため、対数をとて考察する際に有用であるとされている。このこともあり、らない割引率は大文字の R であらわしている。

企 業 価 値 評 価 の 研 究 に つ い て で は な い が、 福 井 (2008,

８）本文では読みやすさを重視して、小数第５位を四捨五入して小数第４位までの値を示す一方で、等号を用いてあらわ

p.40、脚注33) も Vuolteenaho の現在価値恒等式に基づくことが望ましいとしている。

している。
９）定常状態における対数配当利回りは、3.1.1節における割引
配当モデルの計算結果から、Dt+1/Pt+1=42/525=0.08となる《参考文献》

ことを用いても計算できる。
10）このようなケースで誤差が生じないことは、Campbell et

Campbell, J. Y., 2000. Asset pricing at the millennium, TheJournalofFinance55(4),1477–1900.

al.(1996,訳書 p.274)においても指摘されている。
11）加 重平均のとり方としては、ρ'pb=exp(ln(wD/P+(1－ w)
D/B))=wD/P+(1－w)D/Bも考えられる。この場合、w=0.5
とすると、ρ'pb=0.5×0.08+0.5×0.105=0.0925となる。このと き pt=6.2617、Pt=524.1336と な り、 誤 差 は (524.1336－
525)/525であり－0.1650％と絶対値で少し大きくなる。
12）表２以降の財務諸表の項目については小数第２位を四捨五

Campbell, J. Y., 2017. Financial Decisions and Markets,
PrincetonUniversityPress.
Campbell, J. Y., Shiller, R. J., 1988. The dividend-price ratio
and expectations of future dividends and discount factors,
ReviewofFinancialStudies1(3),195–228.
Campbell, J. Y., Vuolteenaho, T., 2004. Bad beta, good beta,
AmericanEconomicReview94(5),1249–1275.

入している。
13）3.2.1節における割引配当モデルの計算結果から、期首株価

Campbell, J. Y., Lo, A. W., MacKinlay, A. C., 1996. Theに対する配当利回りはD2018/P2017=30/600=0.05となることを

Econometrics of Financial Markets, Princeton University

用いても計算できる。なお、第２節で定義したように、現Press.（祝迫得夫・大橋和彦・中村信弘・本多俊毅・和田賢治

在価値恒等式では対数配当利回りを dpt+1≡ ln(Dt+1/Pt+1) として、分母分子ともに同じ時点としている。
14）先にみたように、次期以降の配当が毎期100g% 成長すると予想するとき、割引配当モデルは次式のようにあらわすこ

訳 .2003.『ファイナンスのための計量分析』，共立出版）.
Cochrane, J. H., 2011. Presidential address: Discount rates,
TheJournalofFinance66(4),1047–1108.
Cuthbertson, K., Nitzsche, D., 2004. Quantitative Financial
Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange, 2ndとができる。
=

edition, Wiley.（吉野直行監訳 , 菅原周一・上木原さおり訳．

E ( +1 )−2013．
『ファイナンスの基礎理論－株式・債券・外国為替』，

こ の評価値は、次期以降の配当が毎期一定成長ではなく毎期一定と予想し、割引率は成長率を考慮した R － g であるとしたときの評価値に一致する。成長率を考慮した割引率とは、このように解釈し直した割引率のことである。
15）成長率をおおよそ6.4% より大きくすると評価誤差は３ % を超える値となる。ただし、割引率８ % のときに、永続成長率を6.4% より大きく設定することは通常行なわれないであろう。
16）な お、ここで指摘している時系列特性の例として、福井(2008, p.40) は、脚注において「たとえば、ある会計システ
ムの下で、利益は１階の自己回帰過程 AR(1)、配当は10階の自己回帰過程 AR(10) に従っている場合など」と述べている。
17）ただし、Lyle and Wang(2015) は期待値をとった変数についての時系列を仮定している。この点については小野・村
宮 (2017) も参照のこと。また、椎葉 (2017) の4.3節では、– 64 –

慶應義塾大学出版会）.
福井義高，2008.
『会計測定の再評価』，中央経済社．
Lyle,M.R.,Wang,C.C.,2015.Thecrosssectionofexpected
holdingperiodreturnsandtheirdynamics:Apresentvalue
approach,JournalofFinancialEconomics116(3),505–525.
Muramiya,K.,Shiiba,A.,2016.Whatmovesfirmvalues?日本
ディスクロージャー研究学会，第１回 JARDIS Workshop，
2016年３月21日報告論文 .
織田恭司・福井義高，2002.「 残余利益に基づく業績評価－
EVA® を中心に」，『企業会計』，第54巻，第４号，119–126．
小野慎一郎・村宮克彦，2017.「クリーンサープラス関係を利用
した時間的に変動する期待リターンの推計」，『証券アナリス
トジャーナル』，第55巻，第10号，70–81．
椎葉淳，2017.「会計情報に基づく現在価値関係」，『年報 経営ディスクロージャー研究』，第16巻，133–149．
Vuolteenaho,T.,2002.Whatdrivesfirm-levelstockreturns?
TheJournalofFinance57(1),233–264.