Proceedings of the 14th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 1-3, 2017, Sapporo, Japan

PASJ2017 WEP051

HOM カップラー4 本付き空洞の対称性と共振モードの分類
SYMMETRY OF AN RF CAVITY HAVING FOUR HOM COUPLERS AND
CLASSIFICATION OF ITS RESONANT MODES
坂中章悟#, A)
Shogo Sakanaka #, A)
A)
High Energy Accelerator Research Organization (KEK)

Abstract
In an axially symmetric rf cavity, its eigenmodes (resonant modes) are expressed by the TEnmp-like and TMnmp-likemodes. Even when the axial symmetry of the cavity is weakly broken, the eigenmodes of the cavity are approximately
expressed by the TEnmp-like and TMnmp-like modes, as is widely applied. However, if the axial symmetry is strongly
broken, the eigenmodes of the cavity cannot be no longer expressed by the TEnmp-like and TMnmp-like modes. In such acase, we can express the symmetry of the cavity by a group of its symmetry operations. Then, the eigenmodes can beclassified according to the irreducible representations of the group. Using this method, we can classify the eigenmodes inany cavity having an arbitrary symmetry. This method is also useful for predicting which pair of original eigenmodes canbe coupled, or mixed, after a perturbation is applied to an axially symmetric cavity. We apply above-mentioned method
to a 1.5-GHz harmonic cavity having four HOM couplers.

1.

はじめに2.

軸対称（回転対称）な空洞共振器の固有モード（共振モード）は、TEnmp-like, TMnmp-like モードで表される。多くの加速空洞では、入力カップラーや高次モード（HOM）カップラー等のために軸対称性が破れているが、近似的に軸対称であると見なせる事が多い。このため、これらの空洞でも固有モードを TEnmp-like, TMnmp-like モードで近似して扱われる。
しかし、高次モード（HOM）を強く減衰させる減衰空洞（damped cavity）などでは、軸対称性の破れが無視できない場合がある。特に、２つの固有モードの共振周波数が近い場合には、軸対称性を破る摂動（例えば、HOM減衰用導波管）のため、２つの固有モードが結合し、混合モードになる事がある。例えば、ATF ダンピングリング
用 714 MHz 減衰空洞[1]の設計過程では、HOM 減衰用の導波管を付けると２つの高次モードが結合し、複雑な電磁場パターンを持った高次モードが現れた事があった。
この場合、導波管を付けた後の空洞の対称性により、２つの高次モードが結合するか、しないかが決まる。
軸対称性が強く破れた空洞では、固有モードをTEnmp-like, TMnmp-like モードで表すことはできない。このような場合、空洞の幾何学的な対称性を対称操作の群で表し、その群の既約表現を用いて固有モードを分類することができる[2]。この方法では、任意の対称性を持つ空洞の固有モードを系統的かつ厳密に分類することができる。また、軸対称空洞に対して、導波管等による摂動が加わった場合に、軸対称空洞の固有モードと摂動付き空洞の固有モードを対応させる事ができる。本稿では、検討中の HOM カップラー4 本付き高調波空洞[3,4]を例に取り、群の既約表現を用いて固有モードを分類する方法を説明する。
___________________________________________# shogo.sakanaka@kek.jp

高調波空洞の対称操作の群

検討中の高調波空洞[3,4]を Figure 1 に示す。4 本のロッド型 HOM カップラー（Port 3～6）が片側の端板に取り付けられている。この空洞では加速に TM020 モードを用いる予定で、それ以外の寄生モードをこれらの HOMカップラーで減衰させることを目論んでいる。図中の Port1, 2 は電磁場シミュレーションのため便宜的に付けたプローブで、実際にはビームポートとなる。
この空洞では、HOM カップラーを大きく突き出すため、これらによる軸対称性の破れが無視できない可能性がある。特に、共振周波数が近い複数の高次モードは結合する可能性が大きい。どのモード同士が結合するか予め判っていれば、電磁場解析で寄生モードの減衰を調べる際に役に立つ。
この空洞の形状をビーム軸側から見た図を Figure 2 に示す。ビーム軸を z 軸とし、x 軸と y 軸をそれぞれ水平、垂直方向に取る。

Figure 1: Harmonic cavity equipped with HOM couplers.

- 961 -

Proceedings of the 14th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 1-3, 2017, Sapporo, Japan

PASJ2017 WEP051

Figure 2: Shape of the HOM-coupler equipped cavity andits symmetry operations.
Figure 2 に示した形状は、次の 8 つの操作に関して対称である：{E, C4, C42, C43, σx, σy, σd, σd’} ≡ C4v 。ここで Eは何もしない恒等操作、C4 は z 軸の周りの角度π/2 の回転、C42 と C43 はそれぞれ C4 を 2 回と 3 回続けて行った
回転、σx は x 軸に垂直な平面（y-z 面）に関する鏡映、σyは y 軸に垂直な平面（z-x 面）に関する鏡映、σd は斜めの面に関する鏡映、σd’はもう一つの斜めの面に関する鏡映、を表す。上記の 8 つの操作は、積に関して閉じており、結合法則が成り立ち、単位元と逆元が存在するため、数学的な群を作る。このように、対象物の 1 点（この場合原点）を動かさない対称操作の群を点群と呼び、物質科学で広く用いられる[5,6]。上記の 8 つの操作の群は、シェーンフリス記号で C4v という名前が付けられている。ここで C4 は 4 回対称軸がある事を示し、添字の v は垂直鏡映面がある事を表す。

3.

せて、4 通りの対称性があり得る。これは実際正しく、群{E, C2, σy, σx}の既約表現は 4 つあり、全てが 1 次元表現（対応する行列が一次元、即ち数値）であることが知られている。
点群 C2v の既約表現を Table 1 に示す。Table 1 の各行は、異なる既約表現を表し、左端の欄にその既約表現をマリケン記号（物質科学などで用いられる表記）で示してある。Table 1 の各列は、群の各元（E, C2, σy, σx）に対し、表現行列の跡（指標と呼ぶ）を示す。この例のように 1 次元表現の場合には、指標は表現行列そのものである。表現行列を直接載せないで指標を用いるのは、指標が基底の取り方によらない不変量のためである。
Table 1 で操作σy, σx に対応する欄に注目すると、それぞれに対して偶、奇の対称性の組み合わせ、合計 4 通りが掲載されている事がわかる。回転 C2 の欄は、関係 C2= σxσy と矛盾のないように決められている。既約表現は
A1, A2, B1, B2 と名付けられた 4 つがあるが、例えば、既約表現 A1 は、4 つ全ての対称操作について対称であるという事を表している。
上記の点群 C2v では既約表現が全て一次元、即ち表現行列が全て数値であった。これは、この点群が可換群（元の積の順を変えても結果が同じ）であることから来ている。より一般に、群が非可換の場合には、２次元以上の既約表現が必ず現れる。物理の問題では、これは縮退があり、１つの固有値に複数の固有モードが属することに対応する。

Figure 3: A rectangle and its symmetry operations.

群の既約表現による変換性の分類

群の各元（要素）に対して、元の積の関係を保ちながら行列を対応させることができる（準同型写像）。これを群の表現、または行列表現と呼ぶ。ある群に対して可能な表現は無数にあるが、それらのうちで本質的に異なる、基本的な表現を既約表現（irreducible representation）と呼ぶ[5,6]。大まかに言えば、既約表現は、ある対称操作の群のもとであり得る対称性（変換性）のパターンを示す。
簡単な例として、Figure 3 に示す長方形を考える。この形状は、x 軸に関する鏡映（σy）と y 軸に関する鏡映（σx）の操作に対して対称である。また、z 軸周りの角度πの回転 C2（= σxσy）と恒等操作 E に対しても対称である。従って、形状の対称性を表す操作の群は、{E, C2, σy, σx} ≡ C2v で表される。C2v は前述したシェーンフリス記号によるこの点群の名称である。
Figure 3 に示した長方形の内部で定義された任意の関数 f(x,y)を考える。任意の関数は何の対称性も持たないが、上記 4 つの対称操作に関して何らかの対称性を持つ関数を挙げると、何種類あるだろうか？直感的にわかるように、σy とσx の２つの鏡映について、それぞれ偶、奇の対称性を持つものが考えられる。それらを組み合わ

Table 1: Irreducible Representations of the Point Group C2v[5]4.

EC2σyσxA11111A211-1-1B11-11-1B21-1-11

高調波空洞の固有モードの分類

Figures 1,2 に示した空洞の対称性を表す点群 C4v の既約表現を Table 2 に示す。この群は非可換群であり、2次元の既約表現 E を持つ。これは 2 重縮退したひと組の固有モードに対応する。そのうちの 1 つの固有モードに8 つのうちの任意の対称操作を施すと、その結果は２つの固有モードの一次結合で表される。
Table 2 に示す 4 つの 1 次元表現（A1, A2, B1, B2）は縮退のない固有モードに対応する。例えば、既約表現- 962 -Proceedings of the 14th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 1-3, 2017, Sapporo, JapanPASJ2017 WEP051

A1 は、全ての対称操作に関して対称であることを示す。
Figures 1, 2 に示した空洞の固有モードは、これら 5 つの既約表現、A1, A2, B1, B2, E のいずれかに分類される。
これらの既約表現と、HOM カップラーを付ける前の軸対称空洞の固有モード（TEnmp-like, TMnmp-like）との対応関係をこの後で示す。
Table 2: Irreducible Representations of the Group C4v [5]5.

EC4, C43

C42

σx , σyσd , σd’A1111

11A2

1

11-1-1B11-111-1

B21-11-11E20-200

軸対称空洞の固有モードの分類

まず初めに、半径 a、長さ d の円筒空洞（ピルボックス空洞）の固有モードを考える。これは解析的に解くことができ、TEnmp モードと TMmnp モードで表される[7]。ここで n,m, p は 0 または正の整数である。円筒空洞の形状は次の操作に対して対称である： {E, C(α), σv, I, IC(α), Iσv}
≡ D∞h 。ここで E は恒等操作、C(α)は空洞の軸（z 軸とする）に関する任意の角度αだけの回転、σv は z 軸を含む
任意の平面に関する鏡映、I は原点（円筒空洞の中心）に関する反転、IC(α), Iσv はそれぞれ反転と C(α), σv の積である。回転と鏡映は無数にあるため、群の元は無数にある。この点群はシェーンフリス記号で D∞h と名前が付いている。D は Dihedral group の略で、添字の∞は任意角度の回転対称性を持つこと、添字の h は z 軸に垂直な面（z 軸を垂直に取った場合、horizontal 面）の鏡映に関して対称であることを示す。点群 D∞h は等核 2 原子分子の対称性も示し、分子科学で用いられる。
点群 D∞h の既約表現、即ちこの形状を保つ対称操作に関する基本的な変換パターンの組、を Table 3 に示す。
この表でも、左端の列に既約表現を、各対称操作の下に既約表現の表現行列の跡（指標）を示してある。恒等操作 E の列にある数字が、表現の次元を示す。この点群の既約表現は、1 次元表現が 4 つ（A1g, A1u, A2g, A2u）、2次元表現が Eng, Enu で、n は任意の自然数であるからこれらは無数にある。添字の g, u はそれぞれ偶、奇を示す
ドイツ語の頭文字で、反転 I に関する対称性を示す。
解析的に解かれた TEnmp モードと TMnmp モードの電場（または磁場）を示す関数が D∞h の対称操作に対してどのように変換されるかを調べ、それぞれのモードがどの既約表現に対応するかをまとめた結果を Table 4 に示す。
縮退のない TE0mp と TM0mp モードの対称性は、1 次元表現（A1g～A2u）で表される。2 重縮退のある TEnmp, TMnmp
モード（n ≥ 1）は、2 次元表現 Eng または Enu に分類される。
円筒空洞の場合には固有モードが解析的に解かれているため、その解をわざわざ既約表現で分類するメリットはあまり無い。しかし一般の軸対称空洞を考えると、事情が変わってくる。一般的な軸対称空洞で、平面 z=0 に関して鏡映対称なものを考える。例えば、Figure 1 で HOMカップラーが無い場合がこれに当たる。この空洞形状を対称に保つ操作は、円筒空洞のものと全く同じで、その点群は D∞h である。その既約表現は Table 3 の通りである。軸対称空洞の固有モードはいわゆる TEnmp-like、TMnmp-like モードで表される。これらのモードを点群 D∞hの既約表現で分類することを考えると、その結果は Table4 の右側の列で、TMnmp 等を TMnmp-like 等と読み替えれば良いことがわかる。
一般の軸対称空洞では、固有モードを解析的に解くことが難しいため、数値計算で解いた解を円筒空洞の固有モードと対応付け、TMnmp-like モード等と呼んでいるのである。このような対応付けは、n, m, p の数値が小さな場合にのみ可能である。より高次の固有モードになると対応付けが上手くできず、モードを EM-1 のように番号で呼ぶことが多い。この場合、固有モードが持っている対称性の情報が名称から抜け落ちてしまう。このような場合、
Table 4 の左の列に示した既約表現を同時に示せば、そのモードがどのような対称性を持つかを、適切に示すことができる。物理や化学の分野では、群の既約表現が同様の目的で用いられる。
Table 3: Irreducible Representations of the Point Group
D∞h [5,6]EC(α)σvΙΙC(α)Ισv

A1g111111A1u

11-1-1-11A2g

11-111-1A2u

1

11-1-1-1E1g

22cos α022cosα0E1u22cos α0-2-2cosα

0

...

...

...

...

...

...

...

Eng

22cos(nα)

022cos(nα)

0Enu22cos(nα)

0-2-2cos(nα)

0

...

...

...

...

...

...

...

Table 4: Classification of Eigenmodes in a Pillbox Cavity[2] according to the Irreducible Representations of D∞h- 963 -Irreducible Repre. of D∞hEigenmodeA1gTM0mp (p: odd)

A1u

TE0mp (p: even)

A2g

TE0mp (p: odd)

A2u

TM0mp (p: even)

Eng (n ≥ 1)

TEnmp, TMnmp (n+p: odd)

Enu (n ≥ 1)

TEnmp, TMnmp (n+p: even)

Table 4 の下の 2 行によれば、軸対称空洞では、n が 1

Proceedings of the 14th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 1-3, 2017, Sapporo, Japan

PASJ2017 WEP051

以上の場合に TEnmp-like モードと TMnmp-like モードが同じ既約表現に属することがわかる。空洞共振器の理論では、n が 1 以上の場合には TE モードと TM モードは一般に混じっている事が知られている。この事は Table 4 に矛盾なく組み込まれている。

6.

HOM カップラーあり・なし空洞の固有モードの対応関係

第 4 章で、HOM カップラー付き空洞の形状の対称性が点群 C4v で表され、この空洞の固有モードは Table 2 に示す既約表現のどれかに属することを説明した。この空洞から 4 本の HOM カップラーを取り除くと、第 5 章で扱った軸対称空洞になり、その固有モードは Table 3 に示す既約表現のどれかに属する。従って、Table 3 とTable 2 の既約表現の間の対応関係がわかれば、固有モード同士の対応を付けることができる。
HOM カップラーを付けた空洞は軸対称空洞より対称性が低いため、点群 C4v の元（要素）は、点群 D∞h に全て含まれる。即ち、C4v は D∞h の部分群である。この場合、
点群 D∞h の既約表現は点群 C4v の表現としては一般に可約になり、点群 C4v の既約表現に分解できる。
やや専門的になるが、対称性の高い方の群 D∞h のある表現 D が、その部分群 C4v の既約表現 D(α)の直和として、D =  qα D (α )(1)4, ...）のモードは、HOM カップラーを付けると縮退が解け、２つのモードに分裂する。
HOM カップラーを付ける事による固有モード同士の結合（混合）についても、Table 6 から知ることができる。
HOM カップラーを 4 本付けた空洞では、同じ既約表現に属する固有モード同士が結合し得る。即ち、Table 6 の右側の列にある既約表現が同じモード同士が結合し得る。これより、次の事がわかる。(1) もとの軸対称空洞のTM0mp-like モードと TE0mp-like モードが結合することはない。(2) 軸対称空洞の TM0mp-like モードと n が 4 の倍数の場合の TMnmp-like, TEnmp-like モードは結合し得る。(3)軸対称空洞の TE0mp-like モードと n が 4 の倍数の場合の TMnmp-like, TEnmp-like モードも結合し得る。(4) 軸対称空洞の TMnmp-like, TEnmp-like モードで n が奇数のもの同士は互いに結合し得る。
最後に述べたモードの結合が実際に起こるかどうかは、もとの固有モード同士の共振周波数の近さと、加えられた摂動の大きさで決まると思われる。共振周波数が近く、摂動が大きいほど、モードの結合が起こりやすい。
Table 5: Compatibility Relations between the Irreducible
Representations of the Point Group D∞h and those of C4vαで表される場合、その係数 qαは、
*1qα =  χ (α ) ( R ) χ ( R )g R∈C4 v(2)で求められる[5]。ここで g は群 C4v の位数（元の数、この場合 8）、R は群 C4v の任意の元、χ(R)は元 R に対する群 D∞h の表現 D の指標、χ(α)(R)は元 R に対する群 C4vの既約表現αの指標、* は複素共役を表す。具体的には、点群 D∞h の既約表現の指標の表（Table 3）から、点群 C4v の元に対応する指標を抜き出し、式(2)のχ(R)を求める。これに対し、群 C4v の各既約表現の指標χ(α)(R)の複素共役をかけ、全ての元 R について和を取って係数qαを求める。このようにして求めた、点群 D∞h と点群 C4vの既約表現の適合関係を Table 5 に示す。
Table 5 と Table 4 を用い、軸対称空洞の固有モード（TEnmp-like, TEnmp-like）と、4 本の HOM カップラーを付けた空洞の固有モードとの対応をまとめたのが Table 6 である。例えばこの表の 1 行目からは、軸対称空洞のTM0mp-like モードは HOM カップラー4 本を付けた場合に既約表現 A1 に分類される固有モードになることがわかる。また表の 4 行目からは、軸対称空洞で 2 重縮退のある TM2mp-like モードは HOM カップラーを付けると縮退が解け、既約表現 B1 に属するモードと B2 に属するモードに分かれる、ということがわかる。
Table 6 より、縮退に関しては次の事がわかる。 (i)TM0mp-like と TE0mp-like モードは HOM カップラーあり・なしにかかわらず縮退がない。(ii) TMnmp-like と TEnmplike のうち、n が奇数（1, 3, ...）のモードは 2 重縮退したままで、HOM カップラー付きの空洞では既約表現 E に属する。(iii) TMnmp-like と TEnmp-like のうち、n が偶数（2,Irreducible Repre. of D∞hIrreducible Repre. of C4v

A1g

A1A1uA2A2g

A2A2u

A1Eng, Enu (n=4m+1, m ≥ 0)

EEng, Enu (n=4m+2, m ≥ 0)

B1+B2

Eng, Enu (n=4m+3, m ≥ 0)

E

Eng, Enu (n=4m, m ≥ 1)

A1+A2

Table 6: Correspondence between the Eigenmodes of theCavities without and with the Four HOM Couplers

7.

Without HOM couplers (D∞h)

With HOMcouplers (C4v)

TM0mp-like

A1

TE0mp-like

A2

TEnmp-like, TMnmp-like (n=4m+1, m ≥ 0)

ETEnmp-like, TMnmp-like (n=4m+2, m ≥ 0)

B1+B2

TEnmp-like, TMnmp-like (n=4m+3, m ≥ 0)

ETEnmp-like, TMnmp-like (n=4m, m ≥ 1)

A1+A2

まとめ

物理の様々な問題では、系の持つ対称性を対称操作の群で表し、系の状態の対称性をその群の既約表現で表す、という方法が良く用いられる。この方法は、空洞の固有値問題にも適用できる。空洞の形状の対称性を、記法が確立している点群で表せば、教科書等に掲載され- 964 -

Proceedings of the 14th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 1-3, 2017, Sapporo, Japan

PASJ2017 WEP051ている点群の既約表現をそのまま用いることができる。この方法を、HOM カップラーを 4 本付けた高調波空洞（Figure 1）を例にとり説明した。
加速空洞として最も一般的な、軸対称かつ中央の面で鏡映対称な形状の対称性は、点群 D∞h で表すことができる。軸対称空洞の固有モードは、点群 D∞h の既約表現に矛盾なく対応させることができる。また、軸対称空洞に対して、HOM カップラー4 本を付けた場合には、空洞の対称性を示す群（この例では点群 C4v）は、点群 D∞h の部分群になる。点群 D∞h のそれぞれの既約表現を、点群C4v の既約表現に分解することにより、軸対称空洞の各固有モードと HOM カップラー付き空洞の各固有モードを対応付けることができる。この方法で、HOM カップラー等を付けた場合の縮退の分裂やモード同士の結合（混合）について、電磁場解析をせずに予言することができる。
多少の予備知識は必要とされるが、この方法は様々な空洞の固有モードの性質を調べ、整理する際に有用であると思われる。

参考文献[1] S. Sakanaka, F. Hinode, K. Kubo, and J. Urakawa,“Construction of 714 MHz HOM-free accelerating cavities”,
J. Synchrotron Rad., vol. 5, pp. 386-388, 1998.
[2] S. Sakanaka, “Classification of eigenmodes in rf cavities
using the group theory”, Phys. Rev. ST Accel. Beams, vol. 8,pp. 072002, 2005.
[3] T. Takahashi, S. Sakanaka, N. Yamamoto, “Design Study ofDamped Accelerating Cavity based on the TM020-mode andHOM Couplers for the KEK Light Source Project”, inProceedings of IPAC’17, Copenhagen, May, 2017, pp. 41724175.
[4] T. Takahashi, S. Sakanaka, N. Yamamoto, “ア ン テ ナ 型
HOM カプラを有する 1.5 GHz TM020 モード型高調波空洞の検討”, in Proceedings of the 14th Annual Meeting ofParticle Accelerator Society of Japan, Sapporo, Aug. 1-3,2017, paper WEP052, this conference [in Japanese].
[5] 犬井鉄郎, 田辺行人, 小野寺嘉孝, “応用群論（増補版）”,（裳華房, 1976）.
[6] Morton Hamermesh, “Group Theory and Its Application toPhysical Problems” (Dover, New York, 1989).
[7] Peter A. Rizzi, “Microwave Engineering: Passive Circuits”(Prentice-Hall, 1988), Sec. 9-3.

- 965 -