Coherent Beam-beam
instability in collision with alarge crossing angle
K. Ohmi, N. Kuroo, K. Oide (KEK)
Aug 1-3, 2017, Sapporo
Thanks to D. Shatilov, D. Zhou, F. Zimmermann

Collision with a large crossing angle• クラブウェストと組み合わせて、最近の円形電子陽電子衝突加速器の設計に広く使われるようになった。
(P. Raimondi)• 特徴づける量、Piwinski角szq/sx. 衝突領域に対するバンチ長• 実証実験DAFNA szq/sx=2, with crab waist• SuperKEKB szq/sx=20、この方式での初めての本格的な加速器(without crab waist)
q: half crossing anglesx/qこの衝突方式に死角はないか？
• DAFNEの実験はPiwinski角が２と小さい。KEKBは１。
SuperKEKB szq/sx=20• Beam-beam simulationによる検討がされてきたが、ほとんどはweak-strong simulationだった。片(強)ビーム固定、他(弱)のインコヒーレント効果を調べることができる。
• コヒーレント振動の研究にはstrong-strong simulationが必要。
• バンチを進行方向にスライスするがその数が大きくなる。
Nsl=10szq/sx• SuperKEKBのstrong-strong simulationは衝突当たり
Nsl2=200x200=40,000回のポテンシャル計算。
• クラブウェストと組み合わせると、weak-strong simulationではビームビームパラメータ、x=0.1は簡単に越えられる。
• これは本当かBeam-beam limit• Luminosity

𝑁 2 𝑓𝑟𝑒𝑝𝜎𝑧𝜎𝑥 𝜃𝑐 𝜎𝑧
𝐿=𝑅or,4𝜋𝜎𝑥 𝜎𝑦𝛽𝑦
𝜃𝑐 𝛽𝑦 𝜎𝑥

N=N+=N-: bunch population
frep: collision freq.
qc: half crossing angle

𝜎𝑧𝜎𝑥• or: hourglass (衝突領域とbyの比),𝛽𝑦
𝜃𝑐 𝛽𝑦𝜃𝑐 𝜎𝑧: normalized crossing angle (Piwinski angle)
𝜎𝑥• Tune shift

𝛽𝑦
𝑁𝑟𝑒𝜎𝑧
𝜎𝑥 𝜃𝑐 𝜎𝑧𝜉𝑦 = Δ𝜈𝑦 =𝑅or,2𝜋𝛾 𝜎𝑦 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )𝛽𝑦
𝜃𝑐 𝛽𝑦 𝜎𝑥

• Nを増やすとビームサイズ特にｙが大きくなりtune shiftは飽和し、ルミノシティはN2で増えなくなる。この状態をBeam𝑁𝛾𝑓𝑟𝑒𝑝
beam limit.
𝐿=

2𝑟𝑒 𝛽𝑦𝜉𝑦𝜎𝑥 ≫ 𝜎𝑦• この式はまたアワーグラスが効かなければ、byが小さいほどルミノシティが大きくできることを示す。大衝突角• SuperKEKBはcrab waistを使わない。IR非線形が強すぎて、crab waist
sextupoleの非線形がIRでキャンセルできず、DAが小さくなってしまう。

Strong-strong simulation for Largecrossing angle
zizj• Two colliding bunches are divided into many slices,Nsl~10xszq/sx.
• Sort slices with their positons zi+zj, collision order.
• Each slice contains >10,000 macro-particles• Solve potential slice-by-slice collision, or Gaussian
approx.

Coherent beam-beam instability• A coherent beam-beam instability in head-tailmode was found to start beam-beam studies using
strong-strong simulation.
• In Strong-strong simulation, both beams which are
represented by macro-particles, interacts with eachother in their classical EM field.
• The instability is cross-checked by D. Shatilov using
quasi-strong-strong simulation.

Parameters studied by early 2017

Simulation for H

2𝑟𝑒 𝛽𝑦𝜉𝐿 =𝐿
𝑁𝛾𝑓𝑟𝑒𝑝• PA=1.5 in the design. Safe for the instability

Error bars correspond toamplitude of the coherent motion

Strong-strong simulation for Z factory
𝐿target = 2.2 × 1036 cm−2 s−1

𝜉target = 0.17

x limit is around 0.06-0.07.
Coherent instability is strong.

Simulation for Z• Larger PA is more serious• s mode of head-tailmotion, in which headtail phases of two beams
are in phase, is seen.

Strong-strong simulation in SuperKEKB
𝜃𝑐 𝜎𝑧= 20𝜎𝑥𝜉𝑥/𝑦 = 0.0028/0.088

𝜈𝑠 = 0.025

Strong-head-tail instability isseen only in limited tune. Thestopband seems narrow.
s modeSuperKEKB Phase 2
bx=8xbx0, by=8xby0 and bx=4xbx0, by=8xby0
I+=1mA, I-=0.8mA, Crab waist

bx0=0.03m, by0=0.3mm,
This instability can be observed in SuperKEKB Phase IIcommissioning. Phase II starts from 2018.

Study of the mechanism of theinstability• Cross-Wake force during collision

Analytic expression of the cross-wake force• Slice-slice force
Z+Z-qc: half crossing angle

Cross-Wake force due to beam-beam collision

Minimum

Maximum W

Simulation result using the cross-wakes mode

Correlated wake simulation, notbeam-beam simulation.
Both beams have the same
distribution. s mode oscillation.

Instability theory• Two beams had the same (identical) distribution in
the simulation, s mode head-tail.
• The two beam cross-wake force is treated as asingle beam wake force for s mode.
s mode• For p mode, the sign of wake is inversed.
p mode• Conventional instability theory can be applicable.
s modep modeImpedance• The wake is symmetric for z.
• The impedance is pure imaginary and symmetricfor w.

W and Z are multiplied by Nre/g.

Simulation of single beam instability
using the wake force
The growth disappears ns/n, W/n, n->∞ns/n, W/n
W/n

W/8 is stable independent of ns. Strength of the localized
W is essential.
 The wake with opposite sign is stable. p mode head-tail isstable.
Theory for instability due to a localizedbased on the bunch lengthening theory bywake force
K. Oide, Part.Accel. 51, 43 (1995)• Synchrotron 位相空間 (J,f)上でのダイポールモーメント.
Synchrotron motion• Revolution of the dipole moments• Wake force• Solve eigenvalue problem• Real matrix, 2xnJxns

Eigenvalues and eigenvectors
s/p modes, all p modes are stable

Wake strength scan,
all modes are stable at W/10

Eigenvector with largest growth• s modes are unstable at n=0.5+mns.
for nx=0.54

02sx0f

2p 02sp• All p modes are stable.
• Threshold exists for strength of thewake.
• Everything is consistent with thesingle beam simulation• p modes are unstable in pp collision.

Scan for wake strengths mode, nx0=0.54, ns=0.018.
nx+ns
nx-5nsnx
nx-4nsnx-ns
nx-3nsnx-2ns• W=0で振動モードはnL=nx0+Lnsに縮退• 基本的にモードのチューンシフトは負。nL<0.5のモードは1-nL>0.5に現れ、正のチューンシフト。
• 偶奇の同じモードがnL=0.5+mns近くにおいてモード結合し不安定になる。

Detailed behaviors mode, nx0=0.54, ns=0.018.
nxnx

nx-ns

-(nx-3ns)• 偶奇の同じモードが結合。Impedanceがwに対し対称的のため。
• Modes merge at W=0.1W0.
• Radial modeによってチューンシフトが異なる。

Imaginary part- Growth rate
• Threshold W=0.1W0s mode, nx0=0.54, ns=0.018.

p mode, nx=0.54, ns=0.018• W=-aW0, 0<a<1. Wakeの符号を変える. チューンシ
フトは正になる。
• No coupling between different parity modes.
nx-4nsnx+ns
nx-5nsnx
nx-4nsnx-ns
nx-3nsnx-2nsnx-ns

Summary• Strong-strong beam-beam simulationは大衝突角での衝突に際し強いコヒーレント head-tail不安定性を示した。
• このビームビーム不安定性は将来の大衝突角、crabwaistを基本とした衝突加速器のパラメータを左右する。
• FCCパラメータはこの不安定性を避けるべくパラメータ決定がされている。それでもchallengingなパラメータではこの不安定性が問題となる。
• この不安定性は2ビームの間のcross-wake forceによって説明できる。
• またこのcross-wakeはIPのみで働くことが理論上重要である。
• モード解析を使った理論はこの不安定性をよく説明する。

Thank you for your attention