第 3 章 高専学生の行った試行錯誤

3.1

連分数の値

3.1.1

この課題の意図1 年生は，式の計算の箇所で繁分数の計算の仕方を学ぶ。その計算の仕方をなかなか修得できない学生もいるので，そのような繁分数への関心を持ってもらうと同時に，複雑そうに見えながらある程度の規則性を含む内容として，次の連分数の値を計算させた。平成 16 年
度の 1 年生の夏季休業の課題 (p.118) とし，複数の課題の中から選択できるようにした。
'

$

繁分数の値
次の繁分数の値を求めてみてください。そして，同様のことをもうちょっと続けてください。そして，一般に，どのような値になるかを考えてください。たとえば，

3 番目の値の場合は，「1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1)))」となります。数ナビで確認する
ときは，括弧の対応関係に注意してください。

1
,
1+1

1
1+ 1
1+1

,

1
1+

1

1+ 1
1+1

,

1
1+

&

3.1.2

1
1+

1+

1

1
1+1

%

連分数の規則性に関する学生の発見

この課題は，32 名の学生が選択した。この問題を考えるには，まず，できるだけ多くの値を計算してみることが必要である。次のような値となる。

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , · · ·2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
この値を見ながら，その規則性について考えることになるが，選択した学生のほぼ全員が分子と分母の和が次の分数の分母であることに気づいた。また，分母が次の分数の分子になっていることも，多数の学生から指摘されてきた。しかし，他の性質については，それぞれ数名からの指摘に留まった。具体的には，以下のような指摘である。
• 最初の分数 1 が分かるだけで，他の分数を次々に求めることができる。
2• 隣りあう 2 つの分数の分子の和と，分母の和は，その次の分数の分子と分母になっている。したがって，最初の 2 つの値が分かれば，次々と値を求めることができる。

138 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例• それぞれの分数の分母にある 1 + · · · の · · · の部分は，1 つ前の分数の式と同じ式であ8 の次の分数は次のように求められる。
る。したがって，たとえば
13
1
1+ 8
13

=

13 = 13
13 + 821• 1 以外の自然数で考えると，分子と分母の和が次の分数の分母になるということは成立しない。実際，

4 , 5 , 14 , 19 , 52 , · · ·5 7 19 26 71
6 , 7 , 27 , 34 , 129 , · · ·7 9 34 43 163(2 にした場合)(3 にした場合)• 1 の代わりに自然数 a で考えると，最初の値は a がどんな値でも 1 である。
2
• 1 以外の自然数 a で考えると，分母が次の分数の分子になることと，分母の a 倍が次の分数の分子になることが交互におきる。

• 1 以外の自然数 a で考えると，前の分数の分母が次の分数の分子になっているとき，前の分数の分母の a 倍と分子の和が次の分数の分母になり，前の分母の a + 1 倍と分子の和は，2 つ目の分数の分母になる。

• 数の大小を比較すると，奇数番目の値はその前後の値より小さく，偶数番目の値はその前後の値より大きい。つまり，次のような状況になっている。

1 < 2 > 3 < 5 > 8 ···
2
3
5
8
13
• 1 だけではなく，どこか 1 箇所を 2 にしても類似の規則性がある。
(注) この学生は，以下のタイプについて，同様のことを考えている。
2
1
1+
1+1

,

1
1
2+
1+1

1

,
1+

1
1+2

平成 17 年度の 1 年生の指摘事項

1 としてしまったので，平成 17 年度の夏季休業の課
1+1
1 から始まるようにした。
題 (p.140) では
1
平成 16 年度は，最初の分数を

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , · · ·1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
この値に関して，平成 16 年度に指摘された事柄以外では，次のことが指摘されている。
1• 前の値を x とすると，次の分数は
である。
1+x
A
B の前の分数は A − B である。
，
• B の次の分数は
A
A+B A
B

12

高専学生の行った試行錯誤

139

1という関係にある。分母が次の分数の分
1 + an−1βとおくと，子になり，分数と分子の和が次の分数の分母になるは，an−1 =α• n 番目の分数を an と表すと，an =

an =

1
β
1+
α

=

α
(an−1 の分母)=α+β(an−1 の分子) + (an−1 の分母)となるからである。
• 最初の分数を b とすると，その続きの分数は次のようになる。
a

b,
a

a
,
a+b

a+b
,
2a + b2a + b,···3a + 2b• 現れてくる数字の並び方 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · · は，フィボナッチ数列である。
• 先に行くにつれ，増加・減少の幅がどんどん狭まっていく。
このことを，値が増加・減少を繰り返すグラフを書いて確認した学生もいる。

• 1 番目，2 番目を，それぞれ a1 , a2 , · · · のように表すと，a1 > a2 < a3 > a4 < a5 >a6 < · · · となっているが，偶数番目だけで考えると，a2 < a4 < a6 < · · · であり，奇数番目だけで考えると，a1 > a3 > a5 > · · · である。a7 の値が分からなくとも，

a6 < a7 < a5 という関係になる。
• 偶数番目は番号が若いほど小さく (つまり，増加)，奇数番目は番号が若いほど大きい(つまり減少) している。
• ジグザグを繰り返しながら，一定の値になろうとしている。
先に行くにつれ，ある値 (0.618· · · ) に近づいていく。たぶん，無理数だと思う。
増減を繰り返しながら，0.61〜0.62 の間で安定する。

• 詳しい値は，0.61803398874989 である。
'

$

&

%

13

140 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例• 隣りあう分数の分母の比は，その分数の逆数と一致する。
3 では， 5 = 1 である。
2
たとえば， と
3533/5
• 分数にしたとき，分母の数はどんどん大きくなる。
• 繁分数で表すとき，1 の個数は 2 個ずつ増えていく。
• 分数に直したとき，分子は奇数・奇数・偶数の順，分母は奇数・偶数・奇数の順に繰
り返されている。

3.1.3

教育効果・反省点

単純に 1 だけから構成される分数であるが，フィボナッチ数列と関連する分数であることもあり，非常に多くの指摘がなされてきた。分数に直せば誰でもすぐに気がつく部分を含んでいるため，学生にとっても取り組みやすかったと思われる。
また，文字式に直して考える者や，問題を自分で再設定して考える者など，この種の課題の良さが現れている。平成 17 年度の学生は，最後に次のような感想を記していた。この課
題の意図を見事に見抜かれたことになる。
この自由研究では，何より「気づく」ことが重要な役割をしていたことが分かった。何かに気づくことによって何らかの規則性や証明ができるのであって，そのことが重要な私たちの能力なのだということを思い知らされた。この自由研究で得た，この「気づく」という能力を他のことでもっと伸ばしていきたいと思う。そして，ここで分からなかったことを解明した。
平成 17 年度は小数に直している学生が多いが，それは解説の中で「その分数の値はどのような値に近づいていくのかなどを考えてください。」として，小数の値も調べてみるよう誘導したためと思われる。ただし，小数に直していながら，「だんだん 0 に近づいていく」「0.6に近づく」「1 に近づいていく」とする学生も少なからずおり，これらの学生は数値の大小に対する感覚が十分ではないように感じられる。
また，数ナビは浮動小数点で 12 桁までしか表示できない。標準では 6 桁の数しか表示しないので，「最終的には 0.618034 に近づいていく」とか「15 番目以降の数値は変わらない」とする学生もいた。電卓としての機能の説明も必要であったと反省された。

3.2

二項定理

3.2.1

この課題の意図

1 年の「数と式の計算」では 2 乗や 3 乗の展開公式を学ぶので，その延長で二項定理を考えさせることができる。組み合わせの記号は学習していないが，この二項定理の中には多くの規則性が含まれており，数式処理機能を利用して展開された式を書き写すだけで誰でも何らかの気づきが得られ，低学年に対してはきわめて適切な題材と思われる。福井高専 3) など，すでに多数の学校で実践されている題材である。以下は，平成 17 年度の 1 年生に提示した内容である。

14

高専学生の行った試行錯誤

141

$

'

(x + 1)n の展開
数ナビを利用すると，具体的な自然数 n について (x+1)n の展開式を表示させるこ¤¡とができる。たとえば，(x+1)4 であれば，基本画面 ( £HOME ¢を押して現れる画面)
¤

¡

¤

¡

で £F2 ¢3:expand を押し，入力行 (一番下の行のこと) で expand((x + 1)4 ) £ENTER ¢とすればよい。括弧が 2 つ必要なので注意すること。
この機能を利用して，できるだけ多くの n について (x + 1)n の展開式がどうなるかを調べてください。そして，展開式の係数の現れ方に，何かの規則性がないかどうかを考えてください。展開式をそのまま書かないで，係数だけを書き出した方が規則性を見抜きやすいです。この中には，沢山の規則性が含まれています。2 つ 3
つ見つけただけで安心しないで，できるだけ多くの規則性を発見してください。そして，可能なら，なぜそうなるのか，その理由を考えてください。
&

3.2.2

%

二項定理に関する学生の発見

二項定理のついて考察するには，最初にできるだけ多くの n について，その展開式を書き出すことが必要である。その作業を促すために，平成 16 年度の課題提示では「(x + 1)n の展開を，できるだけ多くの自然数 n について行い，その結果を書き写してください。」と明記している。

(x + 1)1 =x+1(x + 1)2 =x2 + 2x + 1(x + 1)3 =x3 + 3x2 + 3x + 1
44(x + 1) =x + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
55(x + 1) =x + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1
66(x + 1) =x + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1
77(x + 1) =x + 7x6 + 21x5 + 35x4 + 35x3 + 21x2 + 7x + 1(x + 1)8 =x8 + 8x7 + 28x6 + 56x5 + 70x4 + 56x3 + 28x2 + 8x + 1
99(x + 1) = x + 9x8 + 36x7 + 84x6 + 126x5 + 126x4 + 84x3 + 36x2 + 9x + 1
学生は，このような式を多数書き出して係数の間の規則性を考察した。係数だけを三角形状に書き出せば規則性の発見が容易と思われたが，平成 16 年度の学生には，そのようなヒントは与えなかった。平成 16 年度は，夏季休業の課題 (p.119) とし複数題から選択する形としたが，半数以上の学生 (72 名) がこの課題を選択した。平成 17 年度は，授業中にある程度の考察を行わさせ (p.137)，1 週間後に提出させた。多くの学生が，「最大次数の項は n 次である」「最後の係数は 1 である」「次数が 1 つずつ小さくなる」「係数は左右対称である」「nが奇数のときは中央に同じ係数がある」「xn−1 と x の係数はいずれも n である」ことに気づいた。以下は，学生から指摘された事項を，2 年度分まとめたものである。多くの指摘なされていることが分かる。

15

142 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例(1) 項の個数について• n が偶数のときの項の数は奇数，n が奇数のときの項の数は偶数である。
• n が 1 つ増えると，展開式の項の数も 1 つ増える。
• x を含む項の数は n 個である。
• 展開式の項の数は n + 1 個である。
(2) 最大の係数について• n が奇数のときは最大の係数が 2 つあり，偶数のときは 1 つである。
• 係数が最大になるのは，次数が n のときである。 n が小数のときは，その前後の22
整数のときである。たとえば，n = 6 のときは x3 の項の係数が最大であり，n = 5
5 = 2.5 の前後の x2 , x3 の項の係数が最大になる。
のときは
2• n が偶数のときは次数が n + 1 のときの係数が最大になる。n が奇数のときは次2nn+ 1 (小数点以下切り上げ) のときの係数が最大になる。
数が ,2 2• n が偶数のときは，中心の項の係数が最大になる。
• n が奇数 2k + 1 のとき，係数が最大になるのは次数が n − k のときである。
• n が素数のとき，係数の最大値は 2 つある。
• n が偶数のとき，中央の係数は偶数である。
• 指数が奇数のとき，1 番大きい係数を 2 倍すると，次の展開式の係数の最大の数になる。

• 指数が偶数のとき，1 番大きい係数と 2 番目に大きい数を足すと，次の展開式の係数の最大の数になる。

(3) 係数の対称性について• 降べきの順に展開しても昇べきの順に展開しても係数の並び方は同じである。
• 次数が奇数のとき，(n + 1)/2 個ずつに分けると，左右の数が対称に並んでいる。
(4) 係数の値について• 両端の隣りの係数は指数と同じ数がくる。2 番目の係数は，指数 n と同じである。
• 左から 3 番目の係数 1, 3, 6, 10, 15, · · · は，それぞれ 2, 3, 4, 5, · · · ずつ増加している。
• (x + 1)n+1 の左から 3 番目の係数は，(x + 1)n の左から 3 番目の係数に指数 n を加えたものである。

• 左から 3 番目の係数は，1 から n − 1 までを足した数である。たとえば，n = 5 のとき 3 番目の係数 10 は，1 + 2 + 3 + 4 = 10 である。

• 左から 3 番目と右から 3 番目の係数を足して n で割ると，n − 1 になる。
• n が奇数 2k + 1 のとき，左と右から 3 番目の係数は，n = 2k + 1 に k を掛けた数である。

• 左から 4 番目の係数 1, 3, 6, 10, 15, · · · は，それぞれ 2, 3, 4, 5, · · · ずつ増加している。
• n = 2k のとき，左から 2 番目の係数を k − 1 倍して k を加えると 3 番目の係数になる。n = 2k + 1 のときは，左から 2 番目の係数を k 倍すると 3 番目の係数にな

16

高専学生の行った試行錯誤る。たとえば，n = 6 = 2 × 3 のときは，6 × (3 − 1) + 3 = 12 + 3 = 15 が 3 番目の係数であり，n = 7 = 2 × 3 のときは，7 × 3 = 21 が 3 番目の係数である。
• 左から 3 番目の項 (xn−2 ) の係数は 1 n(n − 1) である。
2
• 左から 3 番目の項の係数は，左から 2 番目の項の係数を 1 (n − 1) 倍したもので2ある。

• (x + 1)n の展開式の x2 の係数は，(x + 1)n−1 の展開式の x2 の係数に n − 1 を足したものである。

• (x + 1)n の展開式に含まれる x の数 (展開式の xk の指数 k の和) は，(x + 1)n−1 の展開式の x の数と n の和である。

• 上述の和は，(x + 1)n の x2 の係数になっている。
• (x + 1)n の左から 3 番目の項の係数は，(x + 1)n−1 の左から 3 番目の項の係数に
n − 1 を加えたものである。
• 前の展開式の隣り合う項 (xk と xk−1 ) の係数の和は，次の展開式の xk の係数である。

• 前の展開式の左から k 番目の項の係数と，次の展開式の左から k 番目の項の係数との差は，前の展開式の左から k − 1 番目の項の係数である。
1倍して m + 1 をか
• xm を左半分の項とすると，その係数は xm+1 の係数をn−mけたものである。

• 左から数えて k 番目の項の係数と指数をかけて k で割ると，次の項の係数になる。
たとえば，(x + 1)4 の展開式の 2 番目の項 4x3 では 4 × 3 ÷ 2 = 6 が 3 番目の項の係数である。
[注] この学生は，最初の係数が 1 であることを自明とすると，二項定理の係数の現れ方を完全に把握したことになる。実際，(x + 1)n の展開式の最初の項は
1 · xn であるので，2 番目の xn−1 の係数は3 番目の xn−2 の係数は4 番目の xn−3 の係数は1×n÷1=nn × (n − 1) ÷ 2 = 1 n(n − 1)2
1 n(n − 1) × (n − 2) ÷ 3 = 1 n(n − 1)(n − 2)22·3などとなる。

(5) 係数の和• 係数の和は，n を 1 つ増やすごとに 2 倍になる。係数の和を 2 倍した値は，次の式の係数の和である。

• 係数の和は偶数である。係数の和は 2 の倍数である。
•n>= 2 のとき，係数の和は 4 の倍数である。
• (x + 1)n の係数の和は 2n である。
• 斜めに係数を加えると，右下の係数がその和になる。たとえば，1 + 3 + 6 = 10,
1 + 4 + 10 = 15 であり，10, 15 はいずれも右下にある。

17

143

144 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例(6) その他• 中央にいくほど，係数は大きくなる。係数は中央に行くほど大きくなり，中央から離れるほど小くなる。

• n が 1,2 のとき，3,4 のとき，5,6 のときというように，n が 2 つ増えるごとに同じ係数の組の数が増えていく。

• 両端の 1 以外の係数は，n を素因数分解したときの素因数のどれかで割り切ることができる。

• n = 4 までは，係数を繋げてできる数は 11n である。たとえば，112 = 121, 113 =
1331 である。
• 数ナビは，(x + 1)128 まで計算できる。

3.2.3

教育効果・反省点

このような単純な展開式の係数の中に多くの規則性があることには，多くの学生が驚いたようである。規則性を見つけることができて「楽しかった」「おもしろかった」という学生がいる反面，単純な展開式を多数書き写す作業が「面倒だった」「嫌になってきた」という学生もいた。
平成 17 年度は，規則性に気づきやすいようプリントに最初から n が 1 から 3 までの場合の係数を三角形状に書いて配布したが，その配慮に気づかずに考察を進めた学生も少なくな
い。また，あまり三角形状にこだわりすぎると，左端を揃えた場合の別な規則性に気づかなくなるので，書き出し方も含めて全てを学生に任せた方がよいかもしれない。

1 年の前半で課した課題ということもあり単純な部分の指摘が多いが，中には二項係数の現れ方を完全に把握した学生も現れた。二項係数の性質としては「パスカルの三角形」以外
1のべき級数展開の係にも，11n の値，フラクタル図形，フィボナッチ数列，そして(1 − x)n数など，多様な性質が含まれている 15) 。
いずれにしろ，「式の展開」という単純なことの中にも多数の数学的性質が含まれていることを実感させるには最適の教材と思われる。

3.3

xn − 1 の因数分解

3.3.1

この課題の意図

1 年の「数と式の計算」では，x2 − 1 や x3 − 1 の因数分解の公式を学ぶ。数式処理の因数分解の機能を利用すれば，その延長で xn − 1 の因数分解を考えさせることができる。多数の自然数 n について xn − 1 が因数分解された式を書き写すだけで，誰でも何らかの気づきが得られるので，低学年には適した題材と思われる。以下は，平成 17 年度の 1 年生に提示した内容である。なお，清風高校の公庄は，TI–89 と同様の数式処理機能をもつグラフ電卓

TI–92 を高校生に貸与したときの，高校生の発見を報告している 1) 。関西の有名進学校の生
徒ということもあり，下記の内容を上回る発見がなされている。

18

高専学生の行った試行錯誤

145

$

'

xn − 1 の因数分解
数ナビを利用すると，具体的な自然数 n について xn − 1 を因数分解させること¤¡ができる。たとえば，x4 − 1 であれば，基本画面 ( £HOME ¢を押して現れる画面)
¤

¡

¤

¡

で £F2 ¢2:factor を押し，入力行 (一番下の行のこと) で factor(x4 − 1) £ENTER ¢ とすればよい。
この機能を利用して，できるだけ多くの n について xn − 1 の因数分解がどのような式になるかを調べてください。そして，指数 n と因数分解された式との間に，何かの規則性がないかを考えてください。この中には，沢山の規則性が含まれています。2 つ 3 つ見つけただけで安心しないで，できるだけ多くの規則性を発見してください。そして，可能なら，なぜそうなるのか，その理由を考えてください。 %
&

3.3.2

xn − 1 の因数分解に関する学生の発見

この課題を考察するには，最初にできるだけ多くの n について，xn − 1 が因数分解された式を書き出すことが必要である。

x1 − 1 = x − 1
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
x4 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
x6 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 − x + 1)(x2 + x + 1)
x7 − 1 = (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
x8 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)
x9 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1)
x10 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x4 − x3 + x2 − x + 1)
x11 − 1 = (x − 1)(x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
x12 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)(x4 − x2 + 1)
これを見ながら，指数 n と右辺の式の形との関連性について考えることになる。
「x − 1 が含まれる」「n が偶数のときは (x − 1)(x + 1) が含まれる」というようなことについては，ほぼ全員が気がついた。他にも，以下のことが指摘されている。平成 16・17 年度の高専 1 年
生からの指摘である。

(1) 指数が奇数・偶数のとき• n が偶数のとき，(x + 1)(x − 1) 以外の因数の最高次数は偶数である。
• n が偶数 n = 2m で，m が奇数のとき，xn − 1 の因数分解した式は，xm − 1 を因数分解した式を含む。

• n が偶数のとき，(x − 1)(x + 1) 以外の式を展開すると，xn−2 + xn−4 + · · · + x2 + 1になる。この式に x を含む項は n/2 − 1 個ある。

• n が奇数のとき，x − 1 以外の式を展開した式の係数は 1 である。
• n が奇数 2k + 1 のとき，因数分解された式の真ん中に xk の項がある。
• n が奇数のとき，x2n − 1 の因数分解の式には，xn − 1 の因数分解に現れた式で係19

146 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例

数が −1 ののものが含まれる。たとえば，x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) に対して，

x6 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) である。
(2) 指数がある数の倍数のとき• n が 3 の倍数のときは，x2 + x + 1 が必ず含まれる。
• x3n − 1 = (xn − 1)(x2n + xn + 1) である。
• n が 4 の倍数のときは，(x − 1)(x + 1)(x2 + 1) が必ず含まれる。
• n が 5 の倍数のときは，(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) が含まれる。
• n が 6 の倍数のときは，x2 − x + 1 が必ずある。
• n が 7 の倍数のときは，x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 が必ずある。
• n が 8 の倍数のときは，x4 + 1 が必ずある。
• n が 9 の倍数のときは，(x − 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1) が必ずある。
• n が 10 の倍数のときは，(x − 1)(x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x4 − x3 + x2 − x + 1)が必ずある。

• 指数が nm の形の式は，xm − 1 を因数にもつ。
(3) 素数に関連するとき• n が素数のときは，(x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1) である。
• p を素数として n = 2p のときは，
x2p − 1 = (x − 1)(x + 1)(xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1)(xp−1 − xp−2 + · · · + x − 1)という形である。

(4) 指数がべき乗のとき
n• 指数が 2n のときは，x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) · · · となり，下線部
は n − 1 個の積である。
n• n が 2 のべき乗のときは x 2 + 1 が含まれる。
たとえば，x8 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) である。
n

• x2 − 1 の因数分解の式で，因数の数は n + 1 個である。
n• 指数が 3n のときは，x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1)(x18 + x9 + 1) · · ·の形である。

(5) その他• 因数分解した式の x − 1 以外の項をまとめると xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 になる。
• n の約数の数と，因数分解された式の因数の数とは一致する。
• n = 3 のときから 5 つの式を挟んだ次の式には x2 + x + 1 が含まれる• 因数分解された式の最高次数の和は n である。
• 因数分解した全ての項の最後の数は 1 である。

20

高専学生の行った試行錯誤

3.3.3

147

教育効果・反省点

xn − 1 の因数分解は，二項定理のときのような左右対称性がないので，一つ一つの式の特徴をじっくりと調べていくことが求められる。学生の感想を見ても，二項定理と比べてxn − 1 の因数分解の式の特徴は掴みにくかったようである。その分，「自分の見つけたこと以外にどのような規則性があるのかを早く知りたい」という強い思いを感想に書いている学生も多い。複素数を学んでいる場合は，z n = 1 の解の図形的な意味と関連させることもできるだろう。
しかし，多くの指摘がなされる一方，誤った指摘も幾つかなされてきた。いずれも，その指摘が自分の書き出した以外の式について成立するかどうかの検証が不足しいるためと思わ
れる。
誤った指摘

• 因数分解できたときの式の係数は ±1 だけである。

(反例がある 1) )• n が奇数のときは (x − 1)(x2 + x + 1) が含まれる。

(n = 5 のとき含まれない)n• n が偶数のときは x2n − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) · · · (x 2 + 1) である。

(n = 6 のとき異なる式になる)• n が 8 の倍数のときは，x2 + 1, x4 + 1, x6 + 1, · · · のような因数の積になる。
(n = 24 のときは異なる式になる)• n が偶数のとき，同じタイプで係数の符号の違う式が含まれる。
(n = 8 のときはそうではない)• グラフで表すと，y 軸と平行な直線になる。

3.4

xn + a の因数分解

3.4.1

この課題の意図「数と式」の箇所では，x3 + a3 の因数分解や，工夫すれば x4 + 4 も因数分解できることを学ぶ。数式処理機能を利用すると，この延長として xn + a が因数分解できるための自然数 n, a の条件について考察させることができる。以下は，平成 16 年度の 1 年の冬季休業の課題 (p.129) として出したものである。これは，清風高校の公庄が行った x4 + n の因数分解についての教材 19) を一般化させたものである。
$'

xn + a の因数分解
x4 + 4 は，一見すると因数分解できないように見えますが，
x4 + 4 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2)と因数分解できます。一般に，xn + a が因数分解できるのは，指数 n や定数項 a がどのようなときでしょうか。指数 n や定数項 a は自然数とし，因数分解された式の係数は整数とするとき，xn + a が因数分解できるための n, a の条件について考えてみてください。

&%

21

148 第Ⅱ部

3.4.2

グラフ電卓の活用事例

学生の発見

冬季休業中の自由研究は 3 題の中から 1 題選択させたが，この因数分解の課題は 41 名が選択した。この課題を考察するには，まず，いろいろな n, a について xn + a の因数分解を幾つか書き出してみることが必要である。それらを眺めていると，容易に何らかの規則性に気づくと思われる。x4 + 4 の因数分解の変形過程を記したのは，式変形を自分で考える際のヒントにもなっている。

(1) xn + 1 について
• n が素数のときは，xn + 1 = (x + 1)(xn−1 − xn−2 + xn−3 − · · · ) とプラスとマイナスが交互に現れる。
n\ 2k のとき因数分解できる。
• x2 + 1 は因数分解できない。xn + 1 は，n =• n が偶数で 2k のタイプではないとき，n の約数の最大の偶数を m とすると，
xn + 1 = (xm + 1)(xn−m − xn−2m + xn−3m − · · · − xm + 1) であり，n が奇数のときは xn + 1 = (x + 1)(xn−1 − xn−2 + xn−3 − · · · − x + 1) である。
• n = 2, 6, 10, · · · のときの因数には，x2 + 1 がある。
nn−1

• x3 + 1 の因数分解の式には，x2·3

n−1 +1− x3が含まれる。

(2) xn + 4 について• xn + 4 は，n が 4 の倍数のときに因数分解できる。
• xn + 4 が因数分解できるときは，3 つの式からなる 2 つの因数に分解される。
n

n

n

n

• n が 4 の倍数のとき，xn + 4 は xn + 4 = (x 2 + 2x 2 + 2)(x 2 − 2x 2 + 2) と因数分解できる。

• n = 22k+4 (k > 0) のとき，xn + 4 は因数分解できる。
• x4n + 4 が因数分解されることの証明は次のとおり。
x4n + 4 = (x2n )2 + 4 = (x2n )2 + 4x2n + 4 − 4x2n
= (x2n + 2)2 − (2xn )2 = (x2n + 2xn + 2)(x2n − 2xn + 2)
(3) xn + 8 について• xn + 8 は n が 3 の倍数のとき因数分解できる。
x3n + 8 = (xn )3 + 23 = (xn + 2)(x2n − 2xn + 4) である。
n

2n

n

n が 3 の倍数のとき，xn + 8 は xn + 8 = (x 3 + 2)(x 3 − 2x 3 + 4) と因数分解できる。

• x3 + a は，a = b3 のタイプのときに因数分解できる。
x3n + a3 は，x3n + a3 = (xn )3 + a3 = (xn + a)(x2n − axn + a2 ) と因数分解できる。

22

高専学生の行った試行錯誤

149

'

$

&

%

(4) xn + an について• xn + 2n は，n が 2 の累乗の数 (2k ) のときは因数分解できない。
• xn + 3n は，n = 2k のタイプのときは因数分解できない。
• xn + an が因数分解できれば，因数分解された式は a の値によらず同じ形である。
? たとえば，x6 + a6 = (x2 )3 + (a2 )3 = (x2 + a2 )(x4 − a2 x2 + a4 )• xn +nn で n が素数の場合は，xn +nn = (x+n)(xn−1 −nxn−2 +n2 xn−3 −· · ·+nn−1 )の形に因数分解される。

• xn + 32 は n が 5 の倍数のとき，xn + 64 は n が 3 の倍数のとき，xn + 128 は n が7 の倍数のとき因数分解できる。
(5) その他• xn + a は，n = 1, 2 のときは因数分解できない。
• x2 + a は因数分解できない。
• xn + 2, xn + 3 は因数分解できない。
• x3 + a3 は因数分解できる。
• x4 + 42k+1 = (x2 + 2k+1 x + 22k+1 )(x2 − 2k+1 x + 22k+1 ) である。
• x4 + a が因数分解される a は，a = 4, 64, 1024, 16384, · · · であり，前の値を 16 倍した値のときである。

• x5 + a5 は，(x + a)(x4 − ax3 + a2 x2 − ax3 + a4 ) と因数分解される。
• x5 + 55k は因数分解できる。x5 + 32n は因数分解できる。
• x6 + a3 は，x3 + a3 のときの因数分解と同じタイプに因数分解される。
• x6 + 63k は因数分解できる。x6 + a3 = (x2 + a)(x4 − ax2 + a2 ) である。
• x3n + a3 は因数分解できる。
• x7 + a7 = (x + a)(x6 − ax5 + a2 x4 − a3 x3 + a2 x4 − ax5 + a6 )• x8 + 42k−1 は因数分解できる。
• x9 + a3 , x9 + a9 は因数分解できる。
• xn + n は，n = 42k−1 のとき因数分解できる。
• xn + a は，n が 4 の倍数で，a = 4 · 16k のタイプのとき因数分解できる。

23

150 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例• xn + a が 1 次式との 2 つの積に因数分解できるとき，1 次式でない方の式の項の数は n 個である。

√• 下記より，xn + a は n が 4 の倍数で 4 4a が整数になるときに因数分解できる。
µq¶´³√ √ n ³√ n √ ´2
√ √ n 2
√ √ nnn
x + a −
2 a x
x +a= x +2 a x +a −2 a x =
¶µ
¶
µ
q
q
√
√
√
√ √
√
√ √
xn + a + 2 a xn
xn + a − 2 a xn=³√√√
√ ´ ³√√ ´√√
44xn + a + 4a 4 xn
xn + a − 4a 4 xn=
• 下記により，xn + a は√ 1√
a と (2 a) 2 が整数になるときに因数分解できる。

¶
µq
´
√ n 2
√ n ³ n √ ´2
√ n
2 ax 2x + a = x + 2 ax 2 + a − 2 ax 2 = x 2 + a −
¶µ
¶
µ
q
q
√ n
√ n
√
√
n
n
2
2
2
2
= x + a + 2 ax
x + a − 2 ax
n

?

3.4.3

³

n

√ n
n
x 2 = x 4 のルートがはずれる必要があるので，「n が 4 の倍数である」という条件も必要である。

教育効果・反省点

この因数分解に関しても，これまでと同様に多様な発見がなされてきた。その多様性は，

xn − 1 の因数分解は指数 n を変えるだけであるが，xn + a の因数分解では，指数 n と定数
項 a とを変えながら考察することが必要なためではないかと思われる。学生のレポートを見ると，できるだけ一般性のある表現で記述しようとしているほか，式による証明を加えてきた学生も少くない。すでに，2 回の自由研究の経験を経て，その書き方等について慣れてきたためと思いたい。
しかし，これまでと同様，自分の見つけた性質が一般性のあるものかどうかの検証にかける指摘も見られた。これらの誤りについては，反例等を示しながら学生に解説した (p.130)。
誤った指摘• xn + a は，a = 1, 4, 8 のときしか因数分解できない。
• 因数分解した式の係数に奇数はない。
• xn + a は，a が奇数のときは因数分解できない。
• x2n + 1 は因数分解できる。
• n が 4 の倍数のとき，xn + 1 は次のいずれかに因数分解される。
(x2 + 1)(xn−2 − xn−4 + · · · + 1), (x4 + 1)(xn−4 − xn−8 + · · · + 1)
• x4n + a が因数分解できるのは a = 4 のときだけである。
• xn + an は因数分解できる。
• 2 つにすると，(x + b)(· · · ), (x2 + b2 )(· · · ) の形になる。

24

高専学生の行った試行錯誤

3.5

三平方の定理3.5.1

この課題の意図151

三平方の定理は，中学校 3 年生で学ぶ内容である。直角三角形の 3 辺の間に a2 + b2 = c2という関係があることを学生はよく知っている。しかし，このような関係をみたす a, b, c の√具体的な値については，32 + 42 = 52 , 52 + 122 = 132 のときや，3 辺の比が 1 : 1 : 2 と√
2 : 1 : 3 のときくらいしか知らない場合が多い。
そこで，平成 16 年度の 1 年生の冬季休業の課題の中で，三平方の定理をみたす自然数 a, b, cについて考察させた。学生に提示した内容は，以下のような内容である。
$'

三平方の定理三平方の定理を成立させる簡単な自然数として，32 + 42 = 52 や 52 + 122 = 132
が良く知られています。このような自然数は，他にどのようなものがあるでしょう
か。3, 4, 5 のように，連続する 3 つの自然数で三平方の定理を満たすものは他にあるでしょうか。5, 12, 13 のように，3 つのうち 2 つが連続するような数で三平方の定理を満たすものは，他にあるでしょうか。つまり，a2 + b2 = c2 が成立する
ような自然数 a, b, c をできるだけたくさん見つけてください。そのような自然数
では，a2 = c2 − b2 も成立しています。そして，そのような自然数 a, b, c は，どのような仕組で作り出されているのか，それを作り出す仕組について考えてみてください。数ナビの操作ばかりではなく，ある程度の手計算も交えながら考えてみく
ださい。

&

%

この課題は，冬季休業中の自由研究 (p.129) として複数題の中から選択させた。167 名中94 名がこの課題を選択した。学生の発見した内容は，外部発表論文「試行錯誤で三平方の定理を考える」(p.87) で詳述したが，ここではその中から幾つかの結果を紹介する。

3.5.2

三平方の定理に関する学生の発見• A2 + x2 = (x + 1)2 を満たす x について，x の 1 の位の数は 0,2,4 のときに限られる。
• a2 + b2 = c2 で b, c が連続する数のとき，a は奇数である。32 + 42 = 52 を既知とする
とき，次の式は 52 + b2 = c2 のタイプであるが，この b は (52 − 32 ) ÷ 2 = 8 を 4 に加えた値である。以下，同様のことを繰り返せばよい。

• a2 + b2 = c2 において b, c が連続する場合は，次のようになっている。
32 + (4 × 1)2 = {(4 × 1) + 1}2(4 = 3 + 1)

52 + (6 × 2)2 = {(6 × 2) + 1}2(6 = 5 + 1)

2

(8 = 7 + 1)

2

2

7 + (8 × 3) = {(8 × 3) + 1}..
.

つまり， a は必ず奇数 (a >= 3) で，b は a を 2 で何回割れたかという回数を a + 1 に掛けた数である。

25

152 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例

'

$

&

%

• b, c が連続するとき，32 + 42 = 52 から数えて k 段目の式の b は，b = ak + k である。
たとえば a = 9 は 4 段目なので b = 9 × 4 + 4 = 40 である。

• a2 + b2 = (b + 1)2 に対して，その次の式を (a + 2)2 + B 2 = (B + 1)2 とすると，
B = ((a + 2)2 − a2 )/2 である。
• b, c が連続するとき，次のことが成立する。(2n + 1)2 + (4(n + (n − 1) + · · · + 1))2 =(4(n + (n − 1) + · · · + 1) + 1)2 。
• b, c が連続するとき，そのような a, b, c は，60 の倍数になっている。
• b, c が連続する a, b, c の和 a + b + c の第 2 階差は 8 になり一定である。
• a, b が連続する場合として
32 + 42 = 52
202 + 212 = 292
1192 + 1202 = 1692
6962 + 6972 = 9852
40592 + 40602 = 57412
である。n 段目の式を a2n + b2n = c2n とすると，

an = 6 × an−1 − (an−2 − 2),cn = 6 × cn−1 − cn−2という関係がある。

• 32 + 42 = 52 であることから，3332 + 4442 = 5552 や 33332 + 44442 = 55552 も成立

26

高専学生の行った試行錯誤

153する。さらに，33332 = 55552 − 44442 = (5555 + 4444)(5555 − 4444) = 9999 · 1111
44442 = 55552 − 33332 = (5555 + 3333)(5555 − 3333) = 8888 · 2222
であり，右辺の 2 数の和は，いずれも 11110 となって一致する。

• 3a = b+c のとき，a : b : c = 3 : 4 : 5 である。さらに，3a = b+c, 4a = b+c, 5a = b+cとなるものが存在するので，na = b + c となるものが存在するはずである。

• a, b, c の中には，一定量ずつ増えているものがある。たとえば，62 + 82 = 102 は 2 ずつ増えている。12 ずつ増えるのは，a2 + (a + 12)2 = (a + 24)2 を解いて a = 36 である。

3.5.3

教育効果・反省点

この課題の考察には，数ナビを特に必要としない。実際，数ナビを使用しないで考察した学生もいた。通常の四則計算と根号機能のある電卓があれば十分と思われるが，いろいろな試行錯誤をするには，数ナビの履歴機能が役にたったと思われる。
いずれにしろ，既知の定理である「三平方の定理」を調べてみて，実に多様な性質があることに感動した学生が多い。

3.6

3 次関数のグラフ

3.6.1

この課題の意図1 年生は，2 次関数 y = ax2 + bx + c のグラフを前期に学んでいるが，3 次以上の整関数は
y = axn のグラフに触れる程度である。一般の整関数のグラフを描くには微分法によらなければならないが，グラフ電卓を利用すれば，試行錯誤を通してグラフの特徴をある程度把握させることができる。一般の整関数のグラフが 1 年で必要になることはないが，そのグラフの形状を知っていることは，高次不等式の解法の際に役立つと思われる。そこで，平成 16
年度の 1 年生に対して，秋季課題として 3 次関数のグラフの形状と係数 a, b, c との間の関係について考察させた (p.124)。
'$[課題] 3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c のグラフ
3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c のグラフは，係数 a, b, c がどのようなときに，どのようなグラフになるかを調べよ。

y = x3 + ax2 + bx + c を考えるとき，3 つの係数 a, b, c を同時に変化させるのも大変なので，y = x3 + ax2 , y = x3 + bx, y = x3 + c などについて調べて，少しずつ係数の数を増やしながら考察することもできる。係数 a, b, c は，グラフのどのような変化と関連しているのか。軸との共有点はどのようなときか。共有点の数
は，a, b, c の値のあり方によりどのように変わるか。グラフの山や谷の頂点の座標を a, b, c の式で表せないか。放物線では y = ax2 を平行移動するだけであった。3次関数について同様のことを考えることはできるか。グラフの対称性について何か

&

%

27

154 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例$'

特徴はないか，などなど，いろいろグラフを表示させる中で，各自の関心を持った部分について考察せよ。 まとめ方としては，各自がどのような問題意識をもったか。それに対して，数ナビにどのようなグラフを表示させ，それを見て何を思い，どのようなことを予想し，その予想をどのようにして確かめたか。というような，
各自の思考の経過をまとめればよい。なお，a, b, c は整数とは限らない。
課題提示：10 月 28 日，提出〆切：11 月 19 日&%

考えやすいよう，y = x3 + ax2 や y = x3 + bx などから調べていけばよいことに触れ，どんな学生でも何かに気づくことができるように配慮した。3 次関数のグラフをいろいろ表示
させてみることにより，各係数の意味を感覚的につかんでほしい，ということを意図した課
題である。

3.6.2

3 次関数のグラフに関する学生の発見

学生から指摘された事項については，平成 15 年度の結果と併せて外部発表論文「3 次関数の性質に関する高専 1 年生の自由研究」(p.73) で詳述したので，ここでは概略のみ述べる。
なお，学生の指摘してきた全事項は，学生向け配布資料 (p.125) にある。

(1) y = x3 + ax2 のグラフ変化させるのが a だけであるので，グラフがどのように変化するかはすぐに気がついたと思われる。ただし，a > 0 の場合しか試さない学生も多かった。

a = 1, 2, 3

a = −1, −2, −3

a の値を変化させると山や谷の部分が大きくなることや，原点と (−a, 0) が x 軸との共有点であることには多くの学生が気づいた。曲線の揺れの幅が「広くなる・狭くなる」´³
4 a3 である
2という形でも表現されている。a > 0 のときの山の頂点の座標は − a,327
ことを見抜いた学生もいる。
グラフの対称性についても指摘があり，「y = x3 + ax2 は偶関数でも奇関数でもない
ので，対称性はない」ことや，「y = x3 + ax2 と y = x3 − ax2 とは原点に関して対称である」「y = −x3 + ax2 と y = x3 + ax2 とは y 軸に関して対称である」ことが指摘されている。グラフの対称の中心点の x 座標は，a が増えるにつれ減少するとの指摘もあった。また，「y = x3 + ax2 のグラフを平行移動すると y = x3 − ax2 になる」という形の指摘もあった。

28

高専学生の行った試行錯誤(2) y = x3 + bx のグラフ
b を正の方に変化させるとグラフは y 軸に近づき，b を負の方に変化させると山や谷の部分が大きくなることや，グラフが原点に関して対称であることには多くの学生が気がついた。y = −x3 + bx のグラフは y = x3 − bx のグラフと y 軸に関して対称であるとの指摘もある。

b = 1, 2, 3

b = −1, −2, −3x 軸との共有点についても正しく指摘され，b > 0 のときは 1 個，b < 0 のときは 3個，そして b = 0 のときの共有点は原点だけであることが指摘されている。共有点の√x 座標は，b < 0 のときは 0, ± −b である。また，b > 0 のとき，b を 1 ずつ増すと

y = x3 + bx の値は x 座標の分だけ減り b < 0 のときに b を 1 ずつ減らすと x 座標の分だけ増えるとの指摘もある。

(3) y = x3 + c のグラフ
このグラフは y 軸方向に c だけ平行移動しているだけである。多くの学生がそのこと√に気づいた。y 軸との共有点が (0, c) であり，x 軸との共有点は ( 3 −c, 0) であることも指摘されている。

(4) y = x3 + ax2 + bx のグラフ
今度は，a, b の 2 つの値をいろいろと変えながらグラフの変化を眺めなければならな
い。やみくもに a, b の値を変えるのではなく，いずれか一方を固定して考えればグラフの特徴が見えてくる。

a = 1, 2, 3, b = 1

a = −1, −2, −3, b = 1

この関数の場合は，2 次方程式 x2 + ax + b = 0 の判別式との関連性に気づくことを期待したものである。共有点の個数は 1〜3 個で必ず原点を通ること，それ以外の共有√
a2 − 4b−a±である点を持つのは a2 − 4b >= 0 のときであり，共有点の x 座標は x =2
ことが正しく指摘された。

29

155

156 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例

a = 1, b = 1, 2, 3

a = 1, b = −1, −2, −3グラフの対称性に関しては，y = x3 + ax2 + bx と y = x3 − ax2 + bx のグラフは，原点に関して対称であること，y = x3 + ax2 + bx が点 (p, q) を通れば y = x3 − ax2 + bx
は点 (−p, −q) を通ること，なども指摘されている。

(5) y = x3 + ax2 + bx + c のグラフ
この関数は，y = x3 + ax2 + bx のグラフを y 軸方向に平行移動しただけなので，

y = x3 + ax2 + bx のグラフが分かれば十分であることに気づくことを期待したものである。そのことは正しく指摘されている。また，y = x3 + ax3 + bx + c の a, b, c の役割
は，y = x3 + ax2 , y = x3 + bx, y = x3 + c の a, b, c の役割と同じであるとの指摘もあった。この関数の変曲点の x 座標は x = −a/3 でであるが，a が対称の中心の x 座標を決めていることを見抜いた学生もいる。

y = x3 + ax2 + bx + c = x(x2 + ax + b) + c であることより，この式は次のように表せる。

Ãy =x x−

−a +

!Ã
!
√
√
a2 − 4b−a − a2 − 4b
+c
x−
2
2

√
√
a2 − 4b−a − a2 − 4b
, B =とおくと，グラフは 3 点
したがって，A =22(B, c), (A, c), (0, c) を通る。このことから，y = x(x − p)(x − q) + c と表わされる−a +とき，グラフは 3 点 (0, c), (p, c), (q, c) を通ることを指摘した学生もいる。

(6) その他の指摘
上述のこと以外では，y = x3 + ax2 と y = −x3 + ax2 のようなグラフの対称性に関する指摘や，y = x3 + ax2 は必ず 3 点 (−1, a − 1), (0, 0), (1, a + 1) を通るなど，関数の式の形により必ず通る点を指摘してきた学生もいる。また，x 軸との共有点の数について，まとめた学生もいる。

(7) 誤った指摘事項
数ナビの表示するグラフをみて，誤った指摘をしてくる学生もいる。たとえば，次頁の左側のグラフをみて，y = x3 + ax2 のグラフは，0 < a < 1 のときは山や谷が現れな
いと書いてきた学生がいる。

30

高専学生の行った試行錯誤

y = x3 + 0.8x2−1.5 <=x<= 1.5, −0.5 <
=y<
= 0.5

グラフの拡大，座標のテーブル表示，あるいは，x 軸との交点を考えれば，このような誤りは起こりえないはずである。グラフに過度に頼りすぎることの危険性を示している。

3.6.3

いろいろな感想この 3 次関数の課題は，複数題の中から選択させるのではなく全員に課した。単に式を入れてグラフを眺めて，そこから規則性を考えるわけであるが，1 次関数や 2 次関数と違い，係数をちょっと変えるだけでグラフが大きく変化する様子には，多くの学生が驚いたようである。学生のレポートを見ると，自分の発見した事をワクワクしながら書いていることが推測された。以下に，このレポートに記されている学生の感想を幾つか紹介する。

• 係数 a, b, c を大きくするとグラフも大きくなると思ったが，そうではなかった。
• y = x3 + bx で b > 0 だと直線に近づいていくのがおもしろいと思った。
• 係数を変えるだけで，まったく異なる特徴を持つグラフになり，とてもおどろいた。
• 係数が負のときは，グラフがただ反対になるだけだろうと思っていたけど，やってみると全く違うグラフになったりしてびっくりした。

• 最初は法則が分からなくて，ただグラフを書くだけだったが，進むにつれ法則が分かり面白くなった。

• 係数が平方根や分数のときは，整数のときのグラフとはかなり違うグラフになると思ったのに，そんなに変わらないのは意外だった。

• たった 3 次式のグラフでさえ，こんなに色々な形をしていて，私の見つける事のできない法則がまだ幾つも隠されているのかと思うと，凄いと思った。

• y = x3 とは何か？ このようなグラフになることを見い出した数学者達の思いがヒシ
ヒシと伝わってくるのが，研究をしている中での第 1 の感想。例えば，Weierstrass，
彼の言った「幾分なりとも詩人でないと数学者は完全な数学者とはいえない」この言
葉が心を巡った。関数という一つの点からできる線。それは宇宙 (そら) の星を 1 つ 1つパズルのように組み合わせる，そんな研究だった。

• 関数のグラフについて，ここまで深く考えたことは初めてで，いろいろ考えてみると気づくことが多く，自分が今気づいたことよりも，まだ規則性的なことがあると思う。
やってみると意外と楽しかった。

• 初めは難しそうで面倒くさそうで全くやる気が起きなかったけれど，やっていくうちに，いろいろ考えるのがとても楽しくなってきた。

31

157

158 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例

3.7

絶対値関数のグラフ

3.7.1

この課題の意図

学生は，「絶対値」を非常に苦手としている。そこで，絶対値に関する理解を深め，それを含む関数のグラフを容易にイメージできるようになることを目標として，以下のような課題
を平成 16・17 年度の夏季休業の課題 (p.119, p.140) とした。
$'

絶対値関数のグラフ (平成 17 年度)

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y = |x| のグラフは，数ナビでは £¨ ¢£F1 ¢で，たとえば y1 = abs(x) として入力
¨

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§

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¡¤

¤

¡

します。abs は alpha を利用します。あるいは， £CATALOG ¢£= ¢を押しても出てきます。y = |x| は，x >= 0 のときは y = x であり，x < 0 のときは y = −x ということです。
そこで，y1 には適当な関数を定義し，y2 は y2 = abs(y1(x)) として y1 と y2 のグラフを比較してください。y2 = |y1(x)| としたことになります。グラフを表示させ
¤ ¡¤

¡

¡

¤

るには £¨ ¢£F3 ¢です。グラフがうまく表示されないときは， £F2 ¢4 を押してみてく
¤ ¡¤

¤ ¡¤

¡

¡

ださい。たとえば， £¨ ¢£F1 ¢で y1 = x2 −1, y2 = abs (y1(x)) として £¨ ¢£F3 ¢でグラフを表示させると，どのようなグラフが表示されるでしょうか。これは，y = x2 − 1と y = |x2 − 1| のグラフを表示させたことになります。ただし，2 つのグラフが重¤ ¡¤ ¡なって分かりにくいので， £¨ ¢ | で Leading Cursor の箇所を ON に変更した方が£ ¢グラフが分かりやすくなります。

y1 にいろいろな関数を定義して，y1 と y2 = |y1(x)| のグラフを比較してください。そして，一般に y = f (x) と y = |f (x)| のグラフの間にはどのような関係があ¯¯
f (x) + |f (x)|
f (x)
, y=
, y = ¯|f (x)| − p¯
るかを考えてください。さらに，y =|f (x)|
2などは，どのようなグラフになるでしょうか。それは，何故でしょうか。
絶対値を含む関数や，それらの和・差・積・商を利用すると，いろいろなグラフを描くことができます。次のグラフは，どのような関数のグラフでしょうか？ また，絶対値を利用して，もっとおもしろいグラフはできないでしょうか。
&
y
y
y
y

O

O

x

O

(1)

(2)

(3)

y

y

y

O

(5)

32

x

x

O

(6)

x

O

(7)

x

%

x

O

(4)
y

x

x

O

(8)

高専学生の行った試行錯誤

y = f (x) のグラフで，x 軸より下側のグラフの符号を反対にしたものが y = |f (x)| のグラ
フであることを，いろいろな関数のグラフを見るなかで実感させようと意図した。しかし，残念ながら，この課題を選択したのは，平成 16 年度は 4 名，平成 17 年度は 3 名だけであった。「絶対値」というだけで拒絶反応が起きているのかもしれない。

3.7.2

絶対値関数に関する学生の指摘事項

この課題に取り組んだ学生の数は少かったものの，例示したグラフについて，取り組んだ
学生からは以下のような式が提示されている。

(1) y = −|x| + 1，y = −|f (x)| + p (p > 0)，y =(x+1−x + 1(x < 0)(x >= 0)(2) y = −|x − 1| + |x + 1|
|x + p| |x − p|+−p(3) y = |x + 1| + |x − 1| − 2，y =22¯¯(4) y = ¯|x| − p¯ − q ，y = |x + 4| + |x − 4| − |x| − 5
x
|x|
，y =
(5) y =−x|x|
|x + 1| |x − 1|
− 1 がある。
(6) この関数についての指摘はなかった。たとえば y =
−
x+1
x−1
(7) y = |x2 − 3| − 2(8) y = |x2 − 2| − |x2 | + 1

3.7.3

教育効果と反省点

絶対値を含むいろいろな関数のグラフを調べることにより，絶対値に関する拒絶反応を薄めようと意図したものであったが，各年度とも数名からしか選択されなかった。絶対値に焦点を絞るのであれば，他に選択する余地を与えず，この課題だけを単独で課した方がよかったかもしれない。また，取り組んだ学生の中には，y = |ax| のグラフしか試さなかった学生もいた。具体的な式を幾つかあげて，もう少し誘導する必要があることを反省させられた。
なお，数ナビで絶対値関数と無理関数を含む関数のグラフを表示させるときは，ちょっと注意が必要である。それは，数ナビは複素数の計算も可能であることによる。たとえば，数√√ナビで y(x) = | x + 4 − 2| のグラフを表示させると，x < −4 の部分は x + 4 − 2 の複素数としての絶対値を計算して表示してくる (右図)。正しく表示するには，定義域の x >= −4を指定する必要がある。

y=

√
x+4−2

√
y = | x + 4 − 2|

33

159

160 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例

3.8曲線で囲まれた図形の面積

3.8.1

この課題の意図

図形の面積を扱うには区分求積法の考え方が必要になってくる。微分・積分について何も知らない 1 年生が，この問題をどこまで考えることができることができるかを見るために，
以下の課題を平成 17 年度の冬季休業の課題とした。冬季休業では学生に 5 つの課題を提示して選択させたが，面積の課題を選択した学生は 9 名だけであった。
なお，石川高専の阿蘇 2) は，高専の 2 年の微分法学習中に y = x2 と x 軸 (0 <= 1) と=x<の間で囲まれた図形の面積について同様の考察を行わさせ，区分求積法の考えが自然に出てきたことを報告している。

$

'

図形の面積
皆さんが面積の求め方として知っているのは，

y1

長方形，平行四辺形，台形，そして三角形の面積です。これらの図形を組み合わせることで，他の−1図形の面積を求めることはできないでしょうか。

1xO

たとえば，y = 1 − x2 のグラフは，y = −x2 のグ
ラフを y 軸方向に 1 だけ平行移動したグラフなので右図のグラフです。このグラフと x 軸との間で囲まれた図形の面積を求めるにはどうすればよいでしょうか。できるだけ正確な近似値を求める方法を考案してください。そして，具体的にその値を計算してください。
また，一般に，関数 y = f (x) のグラフと x 軸との間で囲まれた図形の面積を計算するには，どのようにすればよいでしょうか。その一般的な方法についても考えてみてください。そして，自分で適当な関数のグラフを考え，そのグラフと x 軸との間で囲まれた図形の面積を計算してみてください。

&

3.8.2

%

曲線で囲まれた面積に関する学生の考察

解説で，長方形や台形の面積など既知の図形の面積を組み合わせることに触れたこともあり，簡単な図形で外側と内側を囲もうとしているのが 5 名，区分求積の考え方で考察している者が 4 名であった。以下に，その主な概要を紹介する。
既知の図形の面積による近似(1) 2 名の学生は，求める図形は台形 ABCD で近似できると考yえて，まず，x < 0 の側の台形 EBCO の面積 3/4 を求める。

2

そして，与えられた図形と 4BCE の共通部分の面積は，図Bを眺めることにより 4BCE の面積のほぼ半分とみる。台形

BCOE の面積 3/4 から 4ECO の面積 1/2 を引くと 4BCEの面積は 1/4 となるので，

34

C

E A

O

D

x

高専学生の行った試行錯誤

求める図形の面積は´³
4BCE × 1 + 4ECO × 2
2

5 であるとしている。
4(2) 2 名の学生は，この図形は単位円の上半分に近いことから，近似値として半円の面積を計算してπ/2 ; 1.57 を考えている。
(3) ある学生は，求める図形の面積は 4ECD の面積と半円の面積の中間にある考え，´³
1 + π ÷ 2 ; 1.285
2としている。
区分求積の考え方による考察
区分求積の考え方で図形を幾つかの図形に細かく分けて面積を求めようとしたのは 4 名である。そのうち 2 名は関連する参考書を見て書いているが，残りの 2 名は「自分で考えた」と述べている。自分で考えた学生の考え方は，以下のとおりである。

(1)

ある学生は，縦長の台形で近似できると考え，左側の部分を 10 個の台形に分割して，その面積を実際に計算する。

1 {(0.99 + 1) · 0.1 + (0.96 + 0.99) · 0.1 + · · · + (0.19 + 0.36) · · · 0.1} = 0.6652となるので，全体では 0.665 × 2 = 1.33 とし，この値は4 であることを見抜いている。
3
この学生はレポートを直接研究室まで持ってきたのyで，「すごいね！」と言うと，「べつに〜，誰でもやるんxO

じゃないですか？」と言い，自分で考えて自然に出てきた考えであることがうかがわれた。

(2)

別な学生も同じように台形に分割するが，縦長ではなく横長の台形で分割する。ただし，上段は三角形で近似する。最初は 3 分割した図形で考え方を固め，次に，「近似値を求めるには，より多くの図形に分けることが必要である」として，10 分割した図形で実際の計算を行っている。
yO

y 軸を等分した場合

y

x

O

x

x 軸を等分した場合

ただし，y 軸を 10 等分するのではなく，x 軸を 10 等分して考えている。そのため，
2 < x < 3 の部分
台形の高さはすべて異なる図形で考えたことになる。たとえば，
10 = = 1035161

162 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例の台形の面積は
½µ³
¶ µ³
¶¾ ³
´2
´2
´
2
3
+1 −
+1
−
−
× 2 + 3 ×2× 1
10
10
10
10
2
として計算し，10 分割して計算した面積の合計として 1.33 を得る。また，その計算過程から，

1 (12 + 32 + 52 + · · · + 172 + 192 ) = 1330 = 1.33
1000
1000

となることに気づいている。
学生のレポートの図は y 軸を分割したかのような図であったが，具体的な計算式を見ると，上述のように x 軸を分割した計算である。

3.8.3

'

$

&

%

教育効果・反省点

曲線で囲まれた図形の面積を求める課題は 9 名しか選択しなかったが，2 名の学生は自分の力で区分求積の考え方に至っている。そこでは，以下のような定積分導入時の基本となる考え方が自然になされている。この課題を全員に考えさせた場合は，同じ考え方をする学生
が，さらに多く現れたであろうことが予想される。

(1) 求める図形を既知の図形で外側と内側から挟もうとしていること(2) 求める図形を既知の図形で分割して，その面積の和として求めようとしていること(3) 求める図形の面積を求めるには，分割を細かくする必要があるとしていること
区分求積法による定積分の定義は，ややもすると敬遠されがちであるが，このような課題を経た後に説明すれば，十分に学生の理解が得られるのではないかと思われる。その意味では，定積分の導入前に考えさせるのが効果的かもしれない。また，課題を与えるときに面積の値も示しておけば，さらに考察の継続につながったかもしれない。

3.9

グラフ・アートの作成「グラフ・アート」とは，数ナビ TI–89 のグラフ機能を利用して，関数のグラフを繋ぎ合わせて何らかの「絵」を作成するものである。何かの問題を考察するわけではないが，自分

36

高専学生の行った試行錯誤の思い描いた絵を作成するには，どのような関数のグラフが適切であるか，また，そのグラ
フのどの部分 (範囲) を採用すればよいかを自分で判断することが求められる。つまり，関数の式と範囲を自分で決めながら一つ一つの曲線が描かれる。そして，その総合として一つの絵が完成する。その過程で，学生は関数の式とグラフとの対応関係を身をもって体験することになる。また，関数の式の係数や平行移動の量は，ある程度の試行錯誤を伴いながら決定していくので，関数の総復習としての意味合いも持っている。日本では金沢高専で最初に行われた。その後，福井高専が中心になってグラフ・アートの全国大会を開催するまでになっている。
この課題は，平成 16 年度と平成 17 年度の 1 年生に対して行った。課題を与える前には，範囲の指定の仕方や個々の曲線の表示方法の種別指定などにについて説明した (pp.116–117)。
次頁に学生の主な作品を紹介する。いずれも，関数のグラフをつなぎ合わせて作成されている。平成 16 年度の作品のうち，6 作品が第 1 回全国グラフ・アートコンテストに入選した。
また，平成 17 年度の作品では，クラス投票などの結果をもとに各クラスから 3 作品を応募した。
第 1 回全国グラフ・アートコンテスト入賞作品 (平成 16 年度)
優秀作品 2 位[D3] 八面体

優秀作品 3 位[E4] アメリカ大陸の断面図

佳作 B[A1] はさみ，[C2] y = x ，[C4] 音符，[C6] ORI ON THE

第 2 回全国グラフ・アートコンテスト応募作品 (平成 17 年度)
機械工学科[A1] 笑う富士山，[A2] ドラえもん，[A7] かぁーびー

制御情報工学科[B1] 釣られる寸前の魚，[B2] 流し目，[C1] がらがら

電気情報工学科[D1] EZ Web，[D5] call，[E2] ウェーブ

物質化学工学科[F3] バラ，[F4] PM1:26，[F5] 海と樹海と雲と山学生がグラフ・アートをどのような関数を用いて作成しているかをみるため，以下に平成

17 年度の幾つかの作品について，その構成関数をみてみよう。
笑う富士山√(1) y = −| 22 − x2 | + 3
r³ ´
1 2 − (x − 2)2(3) y =
4√(2) y = | 22 − x2 | − 3−3<x<3r³ ´
1 2 − (x + 2)2(4) y =
4

この作品は，僅か 4 個の関数で定義されている。個々の関数のグラフについて，そのグラフの上側・下側の塗りつぶしや，線の太さなどを指定できるので，そのような機能も利用されている。絶対値を利用することで根号内が負になる場合のグラフも表示されているが，そのことを学生が意図的に行っているのかどうかは不明である。
流し目(1) y =

p102 − (x + 5)2p(2) y = − 102 − (x + 5)2

37

163

164 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例(3) y = 3(x + 1)

0.5 < x < 3(4) y = −3(x + 8)

− 13 < x < −10.5(5) y = 6(x + 6)

− 4.5 < x < −3.5(6) y = −1/2x + 13

− 15 < x < 5(7) y = (x − 7)3 − 5(8) y = sin x− 10 < x < 0

この作品は，8 個の関数で構成されている。右側は (7) の関数の下側を塗りつぶしたものであり，目の中では目玉がサインカーブを描きながら動く。
ウェーブ(1) y = 3 sin(16x)
この作品は，1 個の関数だけである。液晶ドットの精度の関係で，このように表示されてしまう。これを作成した学生はコンピュータに強い学生であることもあり，ドットの精度の関係だろうことに気づいていた。
バラ(1) y = 2x+3.2 − 9− 0.5 < x < −0.2 (2) y = −2−x+3.1 + 8
x < −0.1√(3) y = − −3x + 5 + 0.7− 0.2 < x (4) y = −9−x+0.2 + 0.5 − 0.2 < x < 1.6√(5) y = −3(x + 1.1)2 + 1 − 0.9 < −0.2 (6) y = 2x + 2 + 1
x < −0.8(7) 以下、省略する。
この作品は，全部で 30 個の関数が利用されている。使用されている関数は，指数関数，無理関数，2 次関数である。指数関数としては 2x , 20x , 30x などが，無理関数は√ax + b のタイプであるが，a = −100 の場合のグラフも含まれている。
いずれにおいても，学生はこのような関数を自分で選択して，その係数や範囲なども自分で決定している。通常の授業の中で，このような関数を学生が自分の意志で取り扱うことはないであろう。関数グラフの総復習として有効と思われる 11) 。

38

F

E

D

C

B

A

発音練習

砂時計

スパイダーマン

ポイすて

アハハハ

ハサミ

1

ウルトラマン

クレヨンしんちゃん

カバラ

y=x

シャトル

あいモード

2

ウサギ

岩手県のマーク

八面体

ダイハツ

道

HUNTER3

平成 16 年度夏季休業課題

数ナビ

アメリカ大陸の断面図

L.VITTON

音符第 5 使途ラミエル

SAS2004 ロゴ

4

まゆじいさん自然

ちょうちん

ノートパソコン

禁煙マーク

HONDA

5

数ナビ「TI{89」によるグラフ・アート

男

未知の世界へ

T.K の彼女

ホンダ

プーさん☆

ベースボールプレーヤー

7(一関工業高等専門学校 1 年生の作品)

花が咲いた

クモ

むぎわらしゃっぽORI ON THE

オリンピックタ値イリ禁シ

6

高専学生の行った試行錯誤

39

165

40

F

E

D

C

B

A

顔文字

時計

EZ Web

がらがら

釣られる寸前の魚笑う富士山？

1

狙撃手の視界

ウェーブ

電波発生！

お化けキノコ

流し目

ドラえもん

2

平成 17 年度

バラ

ピアノ

川

ネコ

ゆりいす

ギロチン

3

PM1:26

HY

侵略者

大海原

数学

富士山の反射4

数ナビ「TI{89」によるグラフ・アート

海と樹海と雲と山カサall

魚のパックに入っている緑のヤツ

東京

ベジータかネコか5(一関高専、1 年生の主な作品)

紳士

横断歩道

PUMA

天使

おさかなさぁん

電波状況

6

NOTE BOOKS

未知の生物

Fran e木に近づく虫

日の出

かぁびー

7

166 第Ⅱ部
グラフ電卓の活用事例