数学 A

■ 数学Ａ●ねらいと特色
本書は，高校の重要科目である数学Ａの内容を，基本的な事柄を中心に，じっくり時間をかけて理解することを目標として編集されています。
数学Ａは高校数学の土台となる重要な科目であり，その内容をおろそかにしたままでは，あとで学習する上級の科目の理解はおぼつかなくなります。ですから，数学Ａの基礎を確実に固めておくことはとても大切なのです。そのためには，基本となる事柄をしっかり把握したうえで，個々の問題の考え方，定理・公式の使い方に慣れることが何よりも大切です。
本書では，各単元の重要な学習項目，新しい学習項目，定理・公式・
計算方法などを各項目ごとに例を用いてわかりやすく示したり，例題の考え方や解答を示したりすることで修得が速やかになるように工夫しました。また，理解を確かなものにするために，例や例題のあとでは精選された類題を生徒自身が解くようにしてあります。
さらに，いくつかの関連する項目をまとめて繰り返し問題を解くことで復習が絶えず可能となり，理解が定着できるようにしてあります。
本書を最大限に活用することで，数学Ａの基礎力を大いに養ってくだ
さい。
●構成と使い方
例 ・ 例 題 … 例 は，重要な学習項目，新しい学習項目，重要な定理・公式・計算方法などを確実に修得するために設けてあります。
また， 例 題 は，新しく学習する項目の基本的かつ最重要な問題です。じっくり時間をかけて読み，理解することが大切です。
類 題 … 例 や 例 題 で学習した考え方，解き方を時間をおかずに自分自身の力で解くことで，理解を確かなものにします。
問題 A・B …いくつかの関連する項目をまとめて反復練習します。A問

題は類題と同一レベル，B問題はやや発展した問題を収録してあります。
章 末 問 題 …各章のまとめの問題です。基本問題・発展問題の 2 段階構成で，やや程度の高い問題も含まれています。各章の学習の仕上げとしてアタックしてください。

もくじ
もくじ
1
第1章

場合の数
場合の数

1

集合の要素の個数

2

場合の数

3

順列

組合せ

4

問題A・B
章末問題

問題A・B

2
第2章
51
62

確率
確率
条件付き確率 3724

確率の基本性質

28

5 問題
期待値
A・B

39

32

問題 A・B 
章末問題

41

34

章末問題 

43

問題A・B
73

84

事象と確率

独立な試行の確率

3
第3章

図形の性質
図形の性質

91

三角形の辺の比

46

6
14

2 つの円

67

2
10

三角形の外心・内心・重心

51

7
15

作図

69

3 チェバの定理，メネラウスの定理
11

54

問題A・B

71

問題A・B

56

空間図形

73

問題A・B

80

8
16

4
12

円に内接する四角形

58

5
13

円と直線

63

章末問題

81

6
21


元 1 次不定方程式
n2 進法
7 分数と小数
遊びと数学 22
8 n進法
測量と数学 23
問題 A・B 問題A・B
章末問題 

97

4
第4章

数学と人間の活動
整数の性質

1
17

約数と倍数

84

2
18

最大公約数，最小公倍数

86

3
19

整数の割り算と商・余り

88

問題A・B

93

4
20

ユークリッドの互除法

95

52 元 1 次不定方程式 

96

重要事項 

平方・立法・平方根の表 

三角比の表 

99
101
103
105

107
109
110

1

場合の数

場合の数

1 1 集合の要素の個数
11 集合の要素の個数
集合の要素の個数❶

一般に，集合Aの要素の個数を n(A) で表す。

❷

集合の要素の個数

U

全体集合Uの部分集合 A，B に対して，

An(A⁄B)B

SA⑴ n(A¡B)=n(A)+n(B)-n(A⁄B)⑵ n( A )=n(U)-n(A)例

全体集合Uの部分集合 A，B について，n(U)=50，

n(A)
)
U

n(A
( )=27，n(A( ⁄B)=3，n(B)=18 であるとき，

A

n(B)

n(A
( ¡B)=n(A( )+n(B)-n(A( ⁄B)=27+18-3=42n( A )=n(U)-n(A( )=50-27=23A⑴

n( B )

M

上の例の集合 U，A，B について，次の個数を求めよ。

1

⑵

⑶

n( A¡B )n( A¡B )22 倍数の個数
倍数の個数100から200までの整数のうち，3の倍数でない整数はいくつあるか。

考え方

集合の要素の個数を求める問題として考える。

解 答100から200までの整数の集合をU，そのうち，3の倍数である整数の集合をAと

PL

例 題

すると，n(U)=101，A={3·34，3·35，……，3·66} より，n(A( )=333の倍数でない整数の集合は A だから，n( A )=n(U)-n(A( )=101-33=68
（個） 答

2

1から100までの整数のうち，次のような数はいくつあるか。
⑵⑶ 15との間に，1以外の公約数をもたない数

3

15の倍数

E

⑴ 3の倍数100から200までの整数のうち，次のような数はいくつあるか。
⑴

5の倍数でない整数⑵ 3と5の少なくとも一方で割り切れる整数⑶ 3の倍数でも5の倍数でもない整数

1 集合の要素の個数
集合の要素の個数  5集合の応用①33 集合の応用①
例 題

40人のクラスで生徒の使っている辞書を調べたところ，辞書Aを使っている人は26人，辞書Bを使っている人は17人，辞書Aと辞書Bを両方使っている人は11人であった。このとき，次の問いに答えよ。
⑴

辞書Aも辞書Bも使っていない人は何人いるか。

⑵

辞書Bだけを使っている人は何人いるか。

考え方

図をかいて，求める集合を共通部分や和集合で表せるようにする。

解 答

クラスの40人の集合を U，辞書Aを使っている人の集合を A，辞書Bを使っている
人の集合をBとすると，n(U)=40，n(A( )=26，n(B)=17，n(A( ⁄B)=11 である。
⑴

U

SA

n( A¡B )=n(U)-n(A( ¡B)A=n(U)-{n(A( )+n(B)-n(A( ⁄B)}

B=40-(26+17-11)=8（人） 答⑵

辞書Bだけを使っている人の集合は，A⁄B である。
Un( A⁄B)=n(B)-n(A( ⁄B)A=17-11=6
（人） 答

B

M

上の 例 題 において，さらに次の問いに答えよ。

4⑴

辞書Aを使っていない人は何人いるか。

⑵

辞書Aか辞書Bのうち，どちらか1冊だけを使っている人は何人いるか。

集合の応用②44 集合の応用②

Uを全体集合とし，その部分集合を A，B とする。

PL

例 題

n(U)=100，n(A( ¡B)=62，n(A( ⁄B)=9，n( A⁄B)=35 で あ る と き， 次 の ものを求めよ。
⑴
考え方n(A( ⁄B )⑵n(A( )n( A⁄B)+n(A( ⁄B )=n(A( ¡B)-n(A( ⁄B) であることを利用する。
(上の式は，図をかくと確かめることができる。)

解 答⑴

n( A⁄B)+n(A( ⁄B )=n(A( ¡B)-n(A( ⁄B) より，n(A( ⁄B )=n(A( ¡B)-n(A( ⁄B)-n( A⁄B)

⑵

答

n(A
( )=n(A( ⁄B )+n(A( ⁄B)=18+9=27

答

上の 例 題 において，さらに次のものを求めよ。

5
⑴

n(B)

⑵

n( A⁄B )E=62-9-35=18

6

第1 章 場合の数
第１章
場合の数

2 2 場合の数
55 樹形図
樹形図

起こりうるすべての場合の数を数えるとき，樹形図を用いると便利である。
1 ， 1 ， 2 ， 3 の4枚のカードから3枚

例を取り出して1列に並べるとき，並べ方の総数を調べてみよう。
右の樹形図のように場合分けされて，次の12通りがある。

1
1─
─2
3

SA

112，113，121，123，131，132，

2
3

1
2

1

2

3

3─1

3
1

1

1
3

1
2

2─1

211，213，231，311，312，321

次の5個の文字から3個を選んで並べる場合をすべて求めよ。

1⑴

a，a，a，b，b⑵

a，a，a，b，c⑴

M

大中小3個のさいころを投げるとき，次の場合は何通りあるか。

2

目の和が5

⑵

目の和が7

和の法則
66 和の法則

PL

和の法則

事柄 A，B は同時には起こらないとする。Aの起こり方が m 通り，B の起こり方がn通りとすると，AまたはBのどちらかが起こる場合は，m+n 通りある。

大小2個のさいころを同時に投げるとき，目の和が6の倍数になる場合の数を求例

めてみよう。
［1］ 目の和が6右の表から，5通り［2］ 目の和が12

大1 2 3 4 5小

5 4 3 2 1(6，6)の1通り［1］，［2］は同時に起こらない。

E

［1］
，
［2］
から，和の法則により，5+1=6(通り)

大小2個のさいころを投げるとき，次の場合は何通りあるか。

3⑴

目の和が5の倍数⑵

目の和が3の倍数⑶

目の和が10以上⑷

目の和が4または5

2 場合の数  
場合の数
7

積の法則
77 積の法則
積の法則
事柄Aの起こり方が m 通りあり，そのおのおのの場合について事柄Bの起こり方がn通りあるとすると，A，B がともに起こる場合は，m*n 通りある。
例⑴

5種類の国語辞典，10種類の英和辞典の中から，それぞれ1種類ずつ選んで，計2冊の組を作る方法は，国語辞典の選び方の1通りに対して，英和辞典の選び方は10通りずつある。
積の法則により，5*10=50(通り)⑵(a+b+c+d)(≈+¥) を展開したときの項の個数は，SAaについて，a≈，a¥ の2つの項があり，b，c，d についても同様だから，積の法則により，4*2=8(通り)4

生徒Aの家から生徒Bの家まで4通りの道があり，生徒Bの家から学校まで3通りの道があるとき，生徒Aの家から生徒Bの家に寄って学校に行く方法は何通りあるか。

5

次の式を展開した式の項の個数を求めよ。

6⑵(a+b+c)(≈+¥+z)M⑴(a+b)(p+q)(≈+¥)

大中小3個のさいころを投げるとき，出る目について，次の場合は何通りあるか。
⑴ すべての場合

PL約数の個数
88 約数の個数⑵ すべて異なる場合

例 題

200の正の約数は何個あるか。

考え方

200を素因数分解すると，200=23·52 と な る か ら，200の 正 の 約 数 は，23 の 約 数と 52 の約数の積の形で表される。したがって，23 の約数の個数と 52 の約数の個数の積を求めればよい。約数には1とその数自身を含むことに注意する。

解 答

まず素因数分解をする。

2 の正の約数は，1，2，2 ，2 の4通り

(3+1)通り

5 の正の約数は，1，5，5 の3通り

(2+1)通り

3
2

2

3

2

よって，求める個数は，積の法則により，
4*3=12（個） 答

7E200を素因数分解すると，200=23·52

次の数の正の約数は何個あるか。
⑴

24

⑵

27

⑶

108

8

第
1 章 場合の数
第１章
場合の数

3 3 順列
99 順列
順列❶

いくつかのものを，順序をつけて1列に並べた配列を順列という。
例

a，b，c から2個を取って並べた順列は，ab，ac，ba，bc，ca，cb❷ n個の異なるものからr個を取り出して1列に並べた順列を，n個からr個取る順列といい，その総数を n Pr で表す。
2番目

SA
n通り

……… r番目

3番目(n-1)通り(n-2)通り{n-(r-1)}通り
=

1番目

n-r+1

積の法則により，n Pr＝n(n-1)(n-2)………(n-r+1)

例

次の値を求めよ。

⑴

2

5人から3人選んで1列に並べる順列の総数は，5P3=5·4·3=60(通り)

9

P2

M

1

r個の積

⑵

7

⑶

P3

5

⑷

P4

6

P1

次の順列の総数を求めよ。

⑴ 1から9までの数字から3個取って1列に並べる順列
a，b，c，d，e，f の6個の文字から4個取って1列に並べる順列

10 nnの階乗
の階乗
10
❶

n

PL

⑵

Pr の式で，とくに，n=r のとき，1からnまでのすべての自然数の積となる。

これをnの階乗といい，n ! で表す。

n !=nPn=n(n-1)(n-2)……·3·2·1

a，b，c，d の4個の文字全部を1列に並べる順列の総数は，
4 !=4·3·2·1=24(通り)

❷

3

n

Pr の式を階乗の記号を用いて表すと，n Pr=n!
(n-r) !

E

例

0 !=1 と定める。

次の順列の総数を求めよ。
⑴ 1から5までの5個の数字全部を1列に並べてできる5桁の整数の個数⑵ 7人を1列に並べてできる順列

3 順列  順列9

11 順列の利用
順列の利用
11
例 題

8人の委員の中から，委員長，副委員長，書記を各1人ずつ選ぶ方法は何通りあるか。ただし，兼任は認めないものとする。

考え方

8人の中から3人を選んで，委員長，副委員長，書記の順に並べると考える。

解 答

8人から3人を選んで並べる順列の総数と考えられるから，
8

4

P3=8·7·6=336（通り） 答12の駅がある鉄道で，発駅，着駅を書いた切符をつくるとき，切符の種類は何通りある
か。

SA
5

10人の候補選手の中から，リレーの第1走者から第4走者までを選ぶとき，4人の走者の選び方は何通りあるか。

12 00を含む数字の順列を含む数字の順列
12

例 題

M

5個の数字 0，1，2，3，4 がある。この中の異なる数字を使ってできる次のような整数は何個あるか。
⑴⑵ 3桁の奇数

3桁の整数

考え方

百の位に0が使えないことに注意する。

解 答⑴

百の位の数字は 1，2，3，4 の中から選ぶので，4通り十の位，一の位は残りの4個の数字から2個を取って並べる方法で 4P2 通り

PL

よって，求める3桁の整数の個数は，4*4P2=4*4·3=48
（個） 答
別解

0，1，2，3，4 の5個の数字から3個取って並べる方法は，5P3 通りで，
このうち，0が百の位となるのは残り4個から2個を取る順列となるから，
5⑵

P3-4P2=5·4·3-4·3=60-12=48(個)一の位が奇数となるのは，1か3の2通りで，百の位は3個のうちから1個選び，十の位を残り3個のうちから1個選ぶ場合だから，
2*3*3=18（個） 答

一の位が1か3のとき，百の位と十の位の並べ方は 4P2-3P1 通りだから，
2*(4P2-3P1)=2*(4·3-3)=2*9=18(個)

6

E

別解

上の 例 題 において，さらに次のような整数は何個できるか。
⑴ 4桁の整数⑵ 4桁の偶数⑶ 5桁の整数⑷ 5桁の5の倍数

10

第1 章 場合の数
第１章
場合の数

13 条件付きの並び方
条件付きの並び方
13
男子4人と女子3人が1列に並ぶとき，次のような並び方は，それぞれ何通りあ

例 題

るか。
⑴

両端に男子が並ぶ。

⑵

女子3人が隣り合うように並ぶ。

並び方に決まりのある部分は別に考えて，積の法則により求める。

考え方⑴

まず，男子2人の両端の並び方を求め，そのおのおのに対する残り5人の並び方を考える。

⑵

女子3人をひとまとめにする。まず，女子のひとまとめと男子4人の並び方を求め，そのお

男

男

男

残り

5人

男

男

男

女

女

女

SA

のおのに対する女子3人の並び方を考える。

解 答⑴

両端の男子の並び方は，4P2 通りある。
間に並ぶ残り5人の並び方は，5 ! 通りある。

よって，並び方の総数は，積の法則により，
4⑵

P2*5 !=4·3*5·4·3·2·1=1440（通り） 答

女子3人のひとまとめと男子4人の並び方は，5 ! 通りある。
このおのおのに対する女子3人の並び方が 3 ! 通りある。

よって，並び方の総数は，積の法則により，
5 !*3 !=720（通り） 答⑴

両端に女子が並ぶ。

⑵ 男子4人が隣り合うように並ぶ。

⑶

中央に女子3人が並び，左右に男子が2人ずつ並ぶ。

PL

8

M

上の 例 題 において，さらに次のような並び方は，それぞれ何通りあるか。

7

A，B を含む5人が1列に並ぶとき，次のような並び方は，それぞれ何通りあるか。
⑴ Aが中央に並ぶ。

⑶ A，B が隣り合うように並ぶ。

⑵ A，B が両端に並ぶ。

⑷ A，B が隣り合わないように並ぶ。

E

男子3人と女子3人が1列に並ぶとき，次のような並び方は，それぞれ何通りあるか。

9⑴ 男子3人，女子3人それぞれ隣り合うように並ぶ。
⑵

女子が隣り合わないように並ぶ。

⑶

男子と女子が交互に並ぶ。

3 順列  順列11

14 円順列
円順列
14❶

いくつかのものを円形に並べたものを円順列という。
例

A，B，C，D，E の5人が手をつないで輪をつくるとき
A

D

E

E

B

D

A

D

C

C

B

C

C
B

E

B

A

A

B
D
E

A

C

E

D

上のように回転して同じ順序になるものは，同じものと考える。
この円順列の総数は， 5❷

P5 5 !
= =4 !=4·3·2·1=24(通り)55SA

n個のものを円形に並べてできる円順列の総数は，(n-1)! 通り

10 両親と4人の子どもが円形のテーブルに着席するとき，次の問いに答えよ。
⑴ 6人が着席する方法は何通りあるか。
⑵

両親が向かい合うように着席する方法は何通りあるか。

⑶

両親が隣り合うように着席する方法は何通りあるか。

M

15 重複順列
重複順列
15

n個の異なるものから重複を許してr個取って並べる順列を，n個からr個取る
重複順列という。n個からr個取る重複順列の総数は，nr 通り
例①

5個の数字 1，2，3，4，5 を重複を許して使ってできる2桁の数の個数は，52=25(通り)PL

５通り ５通り② 2個の数字 1，2 を重複を許して使ってできる5桁の数の個数は，25 =32(通り)２通り ２通り ２通り ２通り ２通り

11 次のような整数は何個あるか。ただし，数字は重複して使ってよい。
⑴ 4個の数字 1，2，3，4 を使ってできる3桁の整数

E⑵ 3個の数字 1，2，3 を使ってできる4桁の整数

12 4人でじゃんけんをするとき，手の出し方は何通りあるか。

13 記号○，*，△，□を重複を許して並べる順列を作る。次のような順列の総数を求めよ。
⑴

合計3個の記号を並べる順列の総数⑵ 1個以上3個以下の記号を並べる順列の総数

12

第1 章 場合の数
第１章
場合の数( )=20，1 ［集合の要素の個数］ 集合 U の部分集合 A，B について，n(U)=50，n(An(B)=15，n(A( ¡B)=28 であるとき，次の値を求めよ。
⑴

⑵

n(A
( ⁄B)

⑶

n( A )n( A⁄B )2 ［樹形図］ 8を3個の自然数の和で表す方法をすべて求めよ。ただし，加える順序は考えず，また，同じ数が含まれてもよいものとする。

SA

3 ［和の法則・積の法則］ 次の問いに答えよ。
⑴ 大小2個のさいころを投げるとき，目の和が8または9になる場合は何通りあるか。
⑵ 男子5人，女子4人の中から，男女1人ずつ委員を選ぶとき，選び方は何通りあるか。

4 ［約数の個数］ 次の数の正の約数は何個あるか。
⑴ 32

⑵

⑶ 400

135

M

5 ［nPr ，n の階乗］ 次の値を求めよ。
⑴

6

P3

⑵

8

⑶

P2

⑷

3 !+4 !

8!
5!

PL

6 ［順列の利用］ 4個の数字 1，2，3，4 がある。この中の異なる数字を使ってできる次のような整数は何個あるか。
⑴ 3桁の整数⑶

3000より大きい4桁の整数⑵ 4桁の整数

7 ［円順列］ 男子2人と女子5人が円形のテーブルに着席するとき，次の問いに答えよ。

E⑴ 7人が着席する方法は何通りあるか。

⑵ 男子2人が隣り合うように着席する方法は何通りあるか。

8 ［重複順列］ 次のような整数は何個あるか。ただし，数字は重複して使ってよい。
⑴ 4個の数字 1，2，3，4 を使ってできる4桁の奇数⑵ 4個の数字 0，1，2，3 を使ってできる4桁の整数

問題  13問題

1 1から100までの整数のうち，次のような数の個数を求めよ。
⑴ 3または5で割り切れる数⑵ 4で割り切れないかまたは6で割り切れない数

2 60人の生徒に数学と英語の試験を行ったところ，数学の合格者は50人，英語の合格者は30人，2科目とも不合格であった人は8人であった。2科目とも合格した人は何人か。

SA

3 大小2個のさいころを投げるとき，次のようになる場合は何通りあるか。
⑴

目の積が奇数⑵

目の積が偶数⑶

目の和が偶数⑷

目の和が奇数

4 次の数の正の約数は何個あるか。
⑴ 30⑵⑶ 1008360M

5 7個の数字 0，1，2，3，4，5，6 がある。この中の異なる数字を使ってできる次のような整数は何個あるか。
⑴ 4桁の整数⑵ 3桁の奇数⑶ 3桁の5の倍数⑷

PL

両端が奇数である6桁の整数

6 A，B，C，D，E，F の6文字すべてを並べるとき，次のような並べ方は何通りあるか。
⑴ AとBが隣り合わないように1列に並べる。

⑵ AとBの間に他の文字が1個だけはいるように1列に並べる。
⑶ A，B，C が隣り合うように円形に並べる。

E

7 右の図は，正方形を2つの対角線で4等分したものである。赤，青，
黄，緑の4色全部を使って，4つの部分を色分けする方法は何通りあるか。ただし，回転させて一致する場合は同じものと考える。

8 文字 a，b，c，d，e の集合{a，b，c，d，e}について，次の問いに答えよ。
⑴

部分集合の総数を求めよ。

⑵

a，b を含む部分集合の総数を求めよ。

22

第1 章 場合の数
第１章
場合の数

1から100までの自然数のうち，次のような数はいくつあるか。

1⑴⑵ 35との間に，1以外の公約数をもたない数35で割り切れる数ある地区に住む住人100人のうち，75人がA新聞を，50人がB新聞を購読していた。A

2

新聞とB新聞を両方とも購読している人は30人であった。このとき，両方とも購読していSA
ない人は何人いるか。

数字 1，2，3，4 を使って3桁の自然数を作るとき，次の場合は何個できるか。

3⑴

数字の重複を許さない場合⑵

数字の重複を許す場合

6個の数字 0，1，2，3，4，5 がある。この中の異なる数字を使ってできる次のようなM

4

整数は何個あるか。
⑴ 3桁の奇数PL⑴

両端に男子が並んで1列に並ぶ。

⑶ 8人が円形に並ぶ。
⑸

全体から5人を選ぶ。

⑺

男女1人ずつの組を4組作る。

⑵ 女子4人が隣り合って1列に並ぶ。

⑷

男女が交互に円形に並ぶ。

⑹

男女各2人ずつ選ぶ。

⑻ 2人ずつ4組に分ける。

⑴

交点はいくつあるか。

⑵

E

平面上の8本の直線が，どの2直線も平行でなく，どの3本の直線も1点では交わらな
いとき，次の問いに答えよ。

7410以上の3桁の数

男子4人，女子4人がいるとき，次のような場合は何通りあるか。

5

6

⑵

いくつの三角形ができるか。

立方体の6つの面を，赤，白，黒，緑，黄，青の6色で塗り分けるとき，異なるものは全部で何通りできるか。

章末問題  章末問題23

集合 A，B について，n(A( )+n(B)=10，n(A( ¡B)=7 であるとき，

8n( A⁄B)+n(A( ⁄B ) の値を求めよ。

100から200までの自然数のうち，次のような数はいくつあるか。

9⑴ 6で割り切れる数⑵ 5で割ると余りが2にならない数SA
10

等式 ≈+2¥+3z=12 を満たす自然数の組(≈，¥，z)は何組あるか。

11

次の問いに答えよ。

⑴

10円，50円，100円の硬貨を使って，200円を支払う方法は何通りあるか。ただし，使わない硬貨があってもよいものとする。

⑵

10円硬貨4枚，100円硬貨3枚，500円硬貨3枚がある。これらの全部または少なくとMも1枚を使って，何通りの金額をちょうど支払うことができるか。

次の式を満たす自然数nの値を求めよ。

12

⑴

n

P2 =56⑵n

C2 =21PL

A，B，C，D，E の5文字を用いてできる120個の順列を ABCDE から EDCBA まで辞13

書式に並べるとき，次の問いに答えよ。
⑴

BECDA は何番目になるか。

70番目にくる順列を書け。

⑴ 9個全部を1列に並べる。

E

赤玉4個，青玉3個，白玉2個を次のように並べるとき，何通りの並べ方があるか。

14

15

⑵

⑵ 8個を取り出して1列に並べる。

0，1，1，1，2，2，3 の7個全部を使って7桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ。
⑴

全部で何通りできるか。

⑵

偶数は何通りできるか。

確率

2

確率

1 5 事象と確率
11 試行と事象
試行と事象❶ 「さいころを投げる」などのように，同じ状態のもとで繰り返すことのできる実験や観察を試行といい，試行の結果として起きる事柄を事象という。
❷

ある試行の結果において，これ以上細かく分けることのできない事象を根元事象

SAという。また，根元事象の全体からなる事象を全事象という。
例

1つのさいころを投げる試行において，

根元事象は，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}

事象は集合の形で表す。

全事象は，{1，2，3，4，5，6}，偶数の目が出る事象は，{2，4，6}

例

白玉3個，赤玉2個が入った袋から2個を同時に取り出す試行において，3個の白玉を a1，a2，a3，2個の赤玉を b1，b2 で表して，たとえば，a1，a2 を取り出すことを(a1，a2)と表すものとするとき，根元事象は，{(a1，a2)}，{(a1，a3)}，{(a2，a3)}，{(a1，b1)}，{(a1，b2)}，1

M{(a2，b1)}，{(a2，b2)}，{(a3，b1)}，{(a3，b2)}，{(b1，b2)}

10円硬貨1枚と100円硬貨1枚の2枚の硬貨を投げる試行において，表が出ることを1，
裏が出ることを0で表し，10円が裏，100円が表が出ることを(0，1)のように書くものとさいころと確率①
22 さいころと確率①❶PLする。このとき，すべての根元事象を書き表せ。

ある試行において，どの根元事象が起こることも同程度に期待できるとき，これらの根元事象は同様に確からしいという。

❷

試行の根元事象のうち，どれが起こることも同様に確からしいとき，n(U)：全事象Uに属する根元事象の数

n(A( )：事象Aに属する根元事象の

P(A)=
例

n(A)
事象Aの起こる場合の数=
n(U) 起こりうるすべての場合の数

E数として，事象Aの起こる確率 P(A( )を次のように定める。

1個のさいころを投げるとき，6の約数の目が出る確率は全事象をU，6の約数の目が出るという事象をAとすると，

U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，6} より，n(U)=6，n(A( )=4
よって，P(A
( )=

n(A
( ) 4
2
= =
n(U) 63

1 事象と確率
事象と確率  255

2

1個のさいころを投げるとき，次の場合の確率を求めよ。
⑴ 奇数の目が出る。

⑵ 3の目が出る。

⑶ 3以下の目が出る。

⑷ 素数の目が出る。

さいころと確率②
33 さいころと確率②
例 題
考え方

2個のさいころを同時に投げるとき，出る目の和が4以下になる確率を求めよ。
まず，全事象Uの根元事象の数 n(U)，すなわち，起こりうるすべての場合の数を
求める。

SA

解 答

2個のさいころを同時に投げるときの目の出方は，6*6=36(通り)
このうち，目の和が4以下になる場合は，
1
2
3
4
5
6

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)の6通りである。

よって，求める確率は，

答2個のさいころを同時に投げるとき，次の場合の確率を求めよ。

M

3

6
1
=
36 6

1 2 3 4 5 6⑴

目の和が5になる。

⑵ 2個とも同じ目が出る。

⑶

目の和が偶数になる。

⑷

PL

硬貨と確率
44 硬貨と確率目の積が5の倍数になる。

例 題

3枚の硬貨を同時に投げるとき，そのうち1枚だけ表が出る確率を求めよ。

考え方

1枚について，表，裏の2通りの出方がある。

解 答

3枚の硬貨に，それぞれ表，裏の2通りの出方がある。

よって，起こりうるすべての場合の数は，2*2*2=8(通り)
このうち，1枚だけ表が出る場合は，(表，裏，裏)，(裏，表，裏)，(裏，裏，表)の3通りである。
よって，求める確率は，

答

E

4

3
8

3枚の硬貨を同時に投げるとき，次の場合の確率を求めよ。
⑴ 3枚とも表が出る。

⑵ 1枚だけ裏が出る。

26

第2 章 確率
第２章
確率

順列と確率
55 順列と確率
例 題

A，B，C，D，E の5文字を1列に並べるとき，AとBが隣り合う確率を求めよ。

考え方

分母と分子を順列の計算により求める。

○

AB

○ ○

解 答

5文字の並べ方は，全部で，5 ! 通りある。

○

BA

○ ○

AとBが隣り合う場合の数は，2*4 ! 通りある。
よって，求める確率は，

2*4 ! 2*4·3·2·1 2==
5!
5·4·3·2·1
5

答

約分のしやすい形にする。

SA

A，B，C，D，E の5文字を1列に並べるとき，次の確率を求めよ。

5⑴ まん中にAがくる確率⑶⑵

両端が A，B になる確率

A，B，C の3文字が隣り合う確率

5，6，7，8，9 の5個の数字から異なる3個を選んで，3桁の整数をつくるとき，次の6ような整数ができる確率を求めよ。
奇数である確率⑵M⑴

900以上の数である確率66 組合せと確率①
組合せと確率①

白玉6個，赤玉2個が入っている袋から，よくかき混ぜて2個を同時に取り出す

例 題

⑴

PL

とき，次の確率を求めよ。

⑵

2個とも白玉である確率

白玉と赤玉が1個ずつである確率考え方 「選ぶ」あるいは「取り出す」場合の数は，組合せで求める。同じ色の玉でも区別して考える。
解 答

8個の玉から2個の玉の取り出し方は 8C2 通りである。
⑴

2個とも白玉である場合は 6C2 通りより，求める確率は， 6⑵

白玉と赤玉が1個ずつである場合は 6C1*2C1 通りより，

8

C1 *2 C1 3
=
7
8 C2

答

答

E

求める確率は， 6

C2 15
=
C2 28

白玉5個，赤玉4個が入っている袋から，よくかき混ぜて3個を同時に取り出すとき，7次の確率を求めよ。
⑴ 3個とも赤玉である確率⑵ 3個とも白玉である確率⑶⑷ 白玉2個と赤玉1個である確率

白玉1個と赤玉2個である確率

1 事象と確率
事象と確率  275

組合せと確率②
77 組合せと確率②
例 題

10本のくじの中に当たりくじが4本入っている。このくじを同時に3本引くとき，次の場合の確率を求めよ。
⑴

3本とも当たりくじである。

⑵ 2本だけ当たりくじである。

10本のくじの中に，当たりくじが4本，はずれくじが6本ある。
「3本の引き方」は，考え方3本の選び方となる。
10本のくじから3本のくじの引き方は，10 C3 通りである。

解 答⑴

3本とも当たりくじとなる場合は，4C3 通りある。
よって，求める確率は， 4

C3
4
1
=
=
C3 120 30

答

10

SA
⑵

2本だけ当たる場合は，4C2*6C1 通りある。
よって，求める確率は， 48C2*6C1 6*6
3
=
=
120
10
10 C3

答

16本のくじの中に当たりくじが5本入っている。このくじを同時に3本引くとき，次の場合の確率を求めよ。

⑴ 3本ともはずれくじである。

⑵ 1本だけ当たりくじである。

M

88 組合せと確率③
組合せと確率③
例 題

男子8人，女子3人の中から3人の委員を選ぶとき，次の場合の確率を求めよ。
⑴ 男子2人，女子1人が選ばれる。

考え方⑴ 男子2人，女子1人の選び方は積の法則による。
⑵

解 答

PL

⑵ 特定の男子 A，B の2人を含んで3人を選ぶ。
A，B 以外の9人から残り1人を選ぶ。

11人から3人の委員の選び方は，11 C3 通りである。
⑴

男子2人，女子1人の選び方は，8C2*3C1 通りである。
よって，求める確率は， 8

C2*3C1 28*3 28
=
=
165
55
11 C3

答

⑵ A，B 以外のもう1人の選び方は，9C1 通りある。
C1
9
3
=
=
C3 165 55

11

答

E

よって，求める確率は， 9

上の 例 題 について，さらに，次の場合の確率を求めよ。

9⑴ 男子だけ3人が選ばれる。
⑶⑵

男子1人，女子2人が選ばれる。

11人の中の特定の A，B，C，D，E から3人が選ばれる。

図形の性質

3

図形の性質

1 9 三角形の辺の比11 内分と外分
内分と外分❶

線分 AB 上の点Pが，AP：PB=m：n (m，n は正の数)mを満たすとき，Pは AB を m：n に内分するという。
❷

n
P

A

B

線分 AB の延長上に点Qがあり，AQ：QB=m：n (m，n は異なる正の数)を満SAたすとき，Qは AB を m：n に外分するという。
・m>n

A

例

⑴

⑵
⑶

n
Q m A

B n Q

AB を 3：2 に内分する点P

3
A

B

2
P

B

AB を 3：1 に外分する点Q

3
BA

AB を 1：4 に外分する点R

1

Q

4
R 1 A

B

M

1

・m<n

m

右の図で，線分 AB を 1：2 に内分する点 P，4：1 に外分する点Q，1：3 に外分する点Rを

B

A

それぞれ示せ。

PL

22 三角形と平行線の性質
三角形と平行線の性質△ABC の辺 AB，AC 上又は，辺 AB，AC をAの方向に延長

Qした直線上にそれぞれ点P，Qがあるとき，次のことが成り
立つ。

P

[1]

PQ™BC

AP：AB=AQ：AC

[2]

PQ™BC

AP：PB=AQ：QC

[3]

PQ™BC

AP：AB=PQ：BC

例

特に，△ABC の辺 AB，AC の中点をそれぞれ M，N とすると，

QB(逆は成り立たない。
)

C

A
N

E

M

1
[2]より，MN™BC 更に，[3]より，MN= BC (中点連結定理)
2
B

2

P

A

右の図の△ABC において，AD：DB=1：1，AF：FC=1：3，

C

A

F

AB™FG，AC™DE であるとき，次の線分の比を求めよ。
⑴ BE：EC⑶ BC：GE

⑵

D

BG：GC
B

G

E

C

1 三角形の辺の比三角形の辺の比  479三角形の角の二等分線と比33 三角形の角の二等分線と比△ABC の∠A の二等分線と辺 BC との交点をDとするとき，

A

次のことが成り立つ。
c

BD：DC=AB：AC
AB=3，BC=4，CA=2 の△ABC において，

例

B

AD が∠A の二等分線であるとき，
⑴

3

3
3+2

SA
BD=4*
=

c

b

D

C

A

BD：DC=AB：AC
=3：2

⑵

b

B

12
5

2

4

C

D

△ABC の∠A，∠B，∠C に向かい合う辺 BC，CA，AB の長さを，それぞれ a，b，

注

c で表す。また，向かい合う辺のことを対辺ということもある。

3△ABC の∠A の二等分線と辺 BC の交点をDとするとき，BD：DC=AB：AC が成り〔証明〕にあてはまるものを記入せよ。

M立つことを，次のように証明した。

△ABC において，辺 BA の延長上に AE=AC となる点Eをとると，△ACE は二等辺三角形であるから，
∠ACE=

E

⑴

∠BAC は△ACE の外角であるから，

PL

A∠BAC=∠ACE+∠AEC=2⑵

また，∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠CAD
よって，∠ACE=∠CAD
⑶

B

D

C

が等しいから，AD™EC

したがって，BD：

⑷

=

⑸

：AE

AE=AC であるから，BD：DC=AB：AC

AB=6，BC=12，CA=10 である△ABC において，∠A の二等分線と辺 BC の交点をDとする。次のものを求めよ。
⑴ BD：DC⑵ BD の長さ

E

4

A

10

6

B

D

C
12

48

第
3 章 図形の性質
第３章
図形の性質

三角形の外角の二等分線と比44 三角形の外角の二等分線と比AB—AC である△ABC の∠A の外角のA二等分線と辺 BC の延長との交点をDとc

するとき，次のことが成り立つ。

bb

BD：DC=AB：AC

B

D

C
c

AB=6，BC=5，CA=4 の例△ABC において，AD が∠A の外角

Aの二等分線であるとき，
6

SA

⑴

BD：DC=AB：AC

4

=6：4

B

=3：2

⑵

5

D

C

BD：BC=3：(3−2)
=3：1

⑶

注

AB=AC である△ABC では，∠A の外角の二等分線は辺 BC に平行になる。

M

5BD=3BC=3*5=15

AB>AC である△ABC の∠A の外角の二等分線と辺 BC の延長との交点をDとするとき，BD：DC=AB：AC が成り立つことを次のように証明した。
を記入せよ。
〔証明〕にあてはまるもの

PL△ABC において，辺 BA の延長上に点Fをとる。
∠FAC の二等分線と BC の延長との交点をDと
すると，

F

A

E

∠CAD=

……①

⑴

Cを通り AD に平行な直線と辺 AB との交点をE

B

C

D

とすると，AD™EC であるから，
∠CAD=

⑵

(錯角)
⑶

)

……③

①，②，③から，∠ACE=∠AEC
よって，

⑷

=

⑸

したがって，BD：DC=BA：AE=AB：AC

6

E∠FAD=∠AEC(……②

AB=8，BC=6，CA=4 である△ABC の∠A の外角の二等分線と辺 BC の延長との交点をDとする。次のものを求めよ。
⑴ BD：DC⑵

BD：BC⑶ BD の長さ

1 三角形の辺の比三角形の辺の比  499三角形の辺と角の大小関係
55 三角形の辺と角の大小関係△ABC において，次のことが成り立つ。

例

∠B>∠C

b>c

∠B=∠C

b=c

∠B<∠C

b<c

A
b

c
小
大

大
小

B

C

a

AB=2，BC=3，CA=4 である△ABC の3つの角の大小関係を調べる。
AB<BC より，∠C<∠A

BC<CA より，∠A<∠B

よって，∠C<∠A<∠B
例∠A=80°，∠B=60°，∠C=40° である△ABC の3辺の大小関係を調べる。

SA∠C<∠B より，AB<CA∠B<∠A より，CA<BC

よって，AB<CA<BC△ABC において，b>c ならば ∠B>∠C が成り立つことを証明した。次の7にあてはまるものを記入せよ。
〔証明〕△ABC において，b>c とすると，辺 AC 上に AD=AB とA

M

なる点Dがとれる。

△ABD は二等辺三角形であるから，∠ABD=……①⑴∠B=∠ABD+⑵

より，∠B>∠ABD

また，∠ADB=⑵+∠C より，∠ADB>∠C

……②

D

……③

①，②，③より，∠B>∠C
⑶

ならば

⑷

B

C

が成り立つ。

PL

よって，

b

c

次の△ABC において，3つの角の大小関係を調べよ。

8⑴

AB=4，BC=6，CA=5⑶∠B=90°，AB=1，BC= 3⑵

AB=11，BC=7，CA=7⑷

BC=2，CA=5，∠C=110°

次の△ABC において，3辺の大小関係を調べよ。

9∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°⑶ ∠A=45°，∠B=90°⑵∠A=30°，∠B=110°，∠C=40°⑷∠B=55°，∠C=60°E⑴

10 AB=AC である二等辺三角形 ABC において，BA の延長上に点Pをとる。

PA

このとき，PB>PC が成り立つことを証明せよ。
B

C

50

第
3 章 図形の性質
第３章
図形の性質

三角形の33辺の長さの大小関係
辺の長さの大小関係
66 三角形の△ABC の3辺の長さを a，b，c とするとき，次のことが成り立つ。
A|b-c|<a<b+cc△ABC の3辺の長さが 3，4，5 のとき

例b|4-5|<3<4+5
B|3-5|<4<3+5C

a|3-4|<5<3+4が成り立つ。

SA

逆に，正の数 a，b，c が上の不等式を満たすとき，3辺の長さが a，b，c である三角形が存在する。
3辺の長さが 2，3，4 である三角形が存在するかどうか調べてみよう。

例|3-4|<2<3+4が成り立つので，三角形は存在する。

注|b-c| は b-c の絶対値を表し，b>c のとき b-c，
b<c のとき -(b-c)=c-b

M

11 「三角形の2辺の長さの和は，他の1辺の長さよりも大きい。」ということを，次のように証明した。
〔証明〕にあてはまるものを記入せよ。

△ABC において，b+c>a を証明する。

D

BD=AD+AB=b+c

PL

辺 BA の延長上に AD=AC=b であるような点Dをとると，……①

A

また，△ACD は二等辺三角形であるから，
∠D=

c

b

⑴

△BCD において，∠BCD=∠BCA+∠ACD>∠ACD
すなわち，∠BCD>∠D
よって， 5 により，BD>
⑷

>a

>b

12 3辺の長さが次のような三角形は存在するかどうかを調べよ。
⑴ 3，5，7

⑵

a

C

……②

⑵

⑶

B

E

したがって，①，②より，同様にして，a+b>c，

b

3，6，9

⑶ 5，8，5

数学と人間の活動

4

整数の性質

117 約数と倍数
11 約数と倍数
約数と倍数2つの整数 a，b について，ある整数kを用いて，a=bk と表されるとき，bはaの約数であるといい，aはbの倍数であるという。
例⑴

10の約数は

SA
⑵

1

5の倍数は

……，-15，-10，-5，0，5，10，15，……

無数にある。

次の数の約数をすべて求めよ。

⑴ 92

負の整数を含む。

1，2，5，10，-1，-2，-5，-10⑵15

次の数の負の倍数を大きいものから3個求めよ。

⑴ 3

⑵

7

M

倍数の判定
22 倍数の判定

自然数 Nについて，Nがある自然数の倍数であるかどうかは，次の 例 のように判
定できる。
例

⑴

2の倍数…一の位が 0，2，4，6，8補足PL⑵ 5の倍数…一の位が 0，5Nの一の位をaとすると，負でない整数kを用いて，N=10k+a=2·5k+a と表せることから，一の位の数により判定できる。
⑶ 3の倍数…各位の数の和が3の倍数⑷ 9の倍数…各位の数の和が9の倍数
補足

例えば，Nが3桁の自然数のとき，Nの百の位をa，十の位をb，一の位をcとすると，

N=9(11a+b)+(a+b+c) と表せることから，各位の数の和により判定できる。

3

次の3桁の自然数は，9の倍数である。□にあてはまる数を求めよ。
⑴ 12 □

4

E

3および9の倍数※自然数と整数のちがいに注意すること。

⑵

6□7

次の4桁の自然数は，3の倍数かつ5の倍数である。□にあてはまる数を求めよ。
⑴ 111 □⑵

721 □

1 約数と倍数  
17
約数と倍数
85

素因数分解
33 素因数分解❶

2以上の自然数で，1とその数以外に正の約数をもたない数を素数という。
また，2以上の自然数で，素数でない数を合成数という。

❷

自然数を素数だけの積の形に表すことを素因数分解するという。

例 題

90n が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。

考え方

90n が自然数になるには，90n がある自然数の2乗になればよい。

解 答

90を素因数分解すると，90=2·32·5
90に 2·5 を掛けると，2 ·3 ·5 =(2·3·5) になる。
2

2

2

2

よって，求める自然数nは，n=2·5=10

答2 ) 903 ) 453 ) 155SA

次の数が自然数となるような最小の自然数nを求めよ。

5

⑴

27n

⑵

72n

⑶

150n

⑷

504n

44 正の約数の個数
正の約数の個数M

自然数 Nの素因数分解が N=pa·qb·r c ·…… となるとき，Nの正の約数の個数は(a+1)(b+1)(c+1)·…… である。
例⑴

81の正の約数の個数を求める。
81を素因数分解すると，81=34

よって，81の正の約数の個数は，4+1=5(個)81の正の約数は，素因数3を4個以下もつ数であるから，PL

補足

30，31，32，33，34 の5個である。
注

一般に，自然数nに対して，n0=1と定める。

⑵

600の正の約数の個数を求める。

600を素因数分解すると，600=23·3·52

よって，600の正の約数の個数は，(3+1)(1+1)(2+1)=24(個)補足

600の正の約数は，次のように表すことができる。
2a·3b·5c (a=0，1，2，3；b=0，1；c=0，1，2)

E

ここで，指数 a，b，c の選び方について，aが4通り，bが2通り，cが3通りあると考えると，正の約数の個数は，4*2*3=24(個)次の数の正の約数の個数を求めよ。

6

⑴ 32

⑵

108

⑶

⑷

540

175

86

第
4 章 数学と人間の活動
第４章
整数の性質

218 最大公約数，最小公倍数
55 最大公約数と最小公倍数
最大公約数と最小公倍数

公約数は最大公約数の約数，公倍数は最小公倍数の倍数である。
例 題

24と252の最大公約数と最小公倍数を求めよ。

考え方

共通する約数，共通する倍数を素因数分解の指数を利用して求める。

解 答

24，252を素因数分解すると，それぞれ次のようになる。
24=23·3

252=22·32·7[最大公約数][最小公倍数]3

24= 23 · 3SA

24= 2 · 3

252= 22 · 32 ·7↓↓
よって，22 · 3 =12

1

答

答

共通な素因数は2と3。
共

すべての素因数 2，3，7 を含指数は小さい方を選ぶ。

み，指数は大きい方を選ぶ。

次の2つの整数の最大公約数と最小公倍数を求めよ。
27，45

⑵

M

⑴

2

252= 22 · 32 ·7↓↓
よって，23 ·32 ·7=504

240，168

次の3つの整数の最大公約数と最小公倍数を求めよ。
⑴⑵

56，80，224

50，175，140

PL最小公倍数から整数の決定
66 最小公倍数から整数の決定
例 題

nを正の整数とする。nと18の最小公倍数が252であるようなnをすべて求めよ。

考え方

まず，18と252を素因数分解する。

解 答

18，252を素因数分解すると，
18=2·32 252=22·32·7

よって，18との最小公倍数が252である正の整数は，
22·3a·7 (a=0，1，2) と表される。
n=22·30·7，22·31·7，22·32·7
すなわち，n=28，84，252

3

答

E

したがって，求める整数nはnを正の整数とする。nと50の最小公倍数が300であるようなnをすべて求めよ。

2 最大公約数，最小公倍数
最大公約数，最小公倍数  8718

互いに素77 互いに素2つの整数 a，b について，共通な素因数がないとき，a，b の最大公約数は1である。2つの整数 a，b の最大公約数が1であるとき，a，b は互いに素であるという。
⑴ 35=5·7，48=24·3 であるから，35と48の最大公約数は1である。

例

よって，35と48は互いに素である。
⑵

15=3·5，24=23·3 であるから，15と24の最大公約数は3である。
よって，15と24は互いに素ではない。

4

次の2つの整数が互いに素であるかどうかを答えよ。

SA⑴ 6と10⑵⑶ 45と66

21と32

互いに素な整数の性質
88 互いに素な整数の性質

a，b，c は整数で，a，b は互いに素であるとする。このとき，次のことが成り立つ。

[1] ac がbの倍数であるとき，cはbの倍数である。

例 題

aの倍数であり，bの倍数でもある整数は，ab の倍数である。

M[2]

aは自然数とする。a+2 は3の倍数であり，a+4 は7の倍数であるとき，a+11は21の倍数であることを証明せよ。

考え方

自然数 m，n を用いて，まず a+2 と a+4 を表してみる。

解 答

a+2，a+4 は，自然数 m，n を用いてPL

a+2=3m，a+4=7n と表される。

a+11=(a+2)+9=3m+9=3(m+3)……①

また，a+11=(a+4)+7=7n+7=7(n+1) ……②

よって，①より a+11 は3の倍数であり，②より a+11 は7の倍数である。
3と7は互いに素であるから，

a+11 は 3·7 の倍数，すなわち，21の倍数である。

aは自然数とする。a+1 は4の倍数であり，a+4 は5の倍数であるとき，a+9 は20の倍数であることを証明せよ。

6

E

5

aは自然数とする。a+2 は5の倍数であり，a+8 は7の倍数であるとき，a+22 は35の倍数であることを証明せよ。

高校ゼミ
Standard

数学 A

解答編

場合の数
章 場合の数
1 第１章

第

p.4
p.
4〜
〜5
5

1

p.6
p.
6〜
〜7
7
②2 場合の数
場合の数⑴ 右の樹形図から，次の7通りである。
a1①1 場合の要素の個数
集合の要素の個数

aaa，aab，aba，abb，
baa，bab，bba

n(U)=50，n(A( )=27，n(A( ⁄B)=3，n(B)=18 より，⑴ n(B)=n(U)-n(B)=50-18=32
⑵
⑶

b
a
a─b
c
a
a─b
c
a
c
b

⑵

n(A
( ¡B)=n(U)-n(A( ¡B)=50-42=8n(A( ¡B)=n(A( ⁄B)=n(U)-n(A( ⁄B)=50-3=47

2

1から100までの整数の集合をU，3の倍数のbc集合をA，5の倍数の集合をBとする。

上の樹形図から，次の13通りである。

⑴

aaa，aab，aac，aba，abc，aca，acb，n(A( )=33(個)

SA

⑵ n(A
( ⁄B)=6(個)⑶ 15=3*5 であるから，求める自然数の個数は，baa，bac，bca，caa，cab，cba⑴

2

右の樹形図から，

6通り

n(U)-n(A( ¡B)

100から200までの整数の集合をU，そのうち3の倍数である整数の集合をA，5の倍数である整数の集合をBとする。
⑴ B={5·20，5·21，…，5·40} より，n(B)=21⑵5の倍数でない整数の集合は B だから，

Mn(B)=n(U)-n(B)=101-21=80(個)A⁄B は15の倍数である整数の集合だから，⑵A⁄B={15·7，15·8，…，15·13}，n(A( ¡B)=n(A( )+n(B)-n(A
( ⁄B)

3

=33+21-7=47(個)⑶n(A( ⁄B)=n(U)-n(A( ¡B)=101-47=54(個)あ り， 辞 書Bだ け を 使 っ て い る 人 の 集 合 はA⁄B である。よって，どちらか1冊だけを使⑴⑵

n(B)=n(A( ⁄B)+n(A( ⁄B)=35+9=44

2

1─3
3─2─2
3─1

4

小

1─4
2─3
3─2
4─1

1─2
2─1
5─1─1

上の樹形図から，15通り
⑴[1]

目の和が5

大 1 2 3 4
小 4 3 2 1

右の表から，4通り[2]目の和が10

大 4 5 6小 6 5 4
右の表から，3通り[1]，[2]から，和の法則により，
4+3=7(通り)

⑵[1]

目の和が3

[2]

目の和が6

(1，2)，(2，1)の2通り

[3]

目の和が9

右の表から，4通りn(A( ⁄B)=n(A( ¡B)=n(U)-n(A( ¡B)=100-62=38

1─5
2─4
1─3─3
4─2
5─1

右の表から，5通りn(A( ⁄B)+n(A( ⁄B)=(26-11)+6=21(人)

5

中

PL

( )=n(U)-n(A( )=40-26=14(人)4 ⑴ n(A⑵ 辞書Aだけを使っている人の集合は A⁄B でっている人の人数は，

大

1─3
1─2─2
3─1
1─2
2
2─1
3─1─1

=n(U)-{n(A( )+n(B)-n(A( ⁄B)}=100-(33+20-6)=53(個)

3

a
b
a
b
b
a
a
b
b─a
a
a
c
c─a
a
a
b
b─a
a

[4]

大 1 2 3 4 5
小 5 4 3 2 1
大 3 4 5 6
小 6 5 4 3目の和が12 (6，6)の1通り

E[1]，[2]，[3]，[4]から，和の法則により，

2+5+4+1=12(通り)⑶[1] 目の和が10 ⑴から，3通り[2]

目の和が11 (5，6)，(6，5)の2通り[3]目の和が12⑵から，1通り[1]，[2]，[3]から，和の法則により，
3+2+1=6(通り)
⑷[1]

目の和が4

右の表から，3通り

─2─

大 1 2 3小 3 2 1

目の和が5⑴から，4通り

3+4=7(通り)ので4通りある。百の位，十の位，一の位は残り4個 の 数 字 か ら3個 を 取 っ て 並 べ る 方 法で 4P3 通りだから，求める4桁の整数の個数は，〔別解〕 下のような表をかいて求める。

4*4P3=4*4·3·2=96(個)⑴〔別解〕 5 P4-4P3 =5·4·3·2-4·3·2[2][1]，[2]から，和の法則により，

小

⑵

小

1 2 3 4 5 6
1
○
2
○
3
○
大
4 ○
○
5
○
6
○

1 2 3 4 5 6
1
○
○
2 ○
○
3
○
○
大
4
○
○
5 ○
○
6
○
○

⑶

⑷

小
1 2 3 4 5 6

4

[2]

4

○
○○
○○○

1 2 3 4 5 6
1
○○
2
○○
3 ○○
大
4 ○
5
6

[1]，[2]から，求める4桁の偶数の個数は，和の法則により，24+36=60(個)〔別解〕 4 P3+2*(4P3-3P2 )=24+2*(24-6)=60(個)3通りあるから，学校に行く方法は，積の法則により，4*3=12(通り)⑶

4*4P4=4*4·3·2·1=96(個)⑷

一の位が0となる場合だから，求める5桁の5の倍数の個数は，4P4=4·3·2·1=24(個)7 ⑴ 3P2*5 !=3·2*5·4·3·2·1=720(通り)⑵ 男子4人のひとまとめと女子3人の並び方は
4 ! 通りある。このおのおのに対する男子4人⑴ 3*3=9(個)⑵の並び方が 4 ! 通りあるから，積の法則により，
4 !*4 !=4·3·2·1*4·3·2·1=576(通り)M

2*2*2=8(個)⑴ 6*6*6=216(通り)6⑵⑶の法則により，

23 の正の約数は，1，2，22，23 の4通り
3 の正の約数は，1，3 の2通り

8

3 !*4 !=3·2·1*4·3·2·1=144(通り)⑴ 4 !=4·3·2·1=24(通り)⑵ A，B 以外の3人の並び方は 3 ! 通りあり，

PL

よって，求める個数は，積の法則により，そのおのおのに対して，A，B の並び方が 2 ! 通

4*2=8(個)⑵ 27=33 であるから，正の約数の個数は，
3+1=4(個)⑶③3 順列
P2 =9·8=72

p.8
p.
8〜
〜 11
11

⑴

1

9

7

P3=7·6·5=210⑶

5P4=5·4·3·2=120

2

6

⑴

3
⑵

7

び方は 2 ! 通りあるから，積の法則により，
4 !*2 !=48(通り)⑷

男子3人の並び方は 3 ! 通りあり，そのおのおのに対して，△男△男△男△

右の図の4か所から3か所を選んで女子3人がP5 =5 !=5·4·3·2·1=120(個)並ぶ場合だから，4P3 通りある。
よって，求める並び方の総数は，

P7=7 !=7·6·5·4·3·2·1=5040(通り)P4=10·9·8·7=5040(通り)⑴

120-48=72(通り)⑴ 2 !*3 !*3 !=72(通り)⑵

12 P2 =12·11=132(通り)10

5人の並び方は，5 !=120(通り)⑶から，求める並び方の数は，

9P4=6·5·4·3=360(通り)5

A，B のひとまとめと残り3人の並び方は 4 !

通りあり，そのおのおのに対して，A，B の並

6 P1 =6⑴ 9 P3 =9·8·7=504(通り)

⑵

⑶

E

⑵
⑷

4
5
6

りあるから，積の法則により，

3 !*2 !=12(通り)108=22·33 であるから，正の約数の個数は，(2+1)*(3+1)=12(個)

女子の並び方は 3 ! 通りあり，そのおのおのに対して男子の並び方は 4 ! 通りあるから，積

6*5*4=120(通り)⑴ 24=23·3 である。

7

P3=4·3·2=24(個)一の位が2または4のとき，通りだから，
2*3*3P2=2*3*3·2=36(個)小

生徒Aの家から生徒Bの家までの道の1通りに対して，生徒Bの家から学校までの道の選び方は

5

一の位が0のとき，それぞれ千の位は3通り，百，十の位は 3P2

SA

1
2
3
大
4
5
6

=120-24=96(個)⑵[1]

3 !*4 P3=3·2·1*4·3·2=144(通り)

千の位の数字は 1，2，3，4 の中から選ぶ

─3─

⑶

右の図のように，左端に男子が並ぶ場合と，女子が並ぶ場合があるので， 男 女 男 女 男 女

求める並び方の総数は，女男女男女男⑶

3 !+4 !=3·2·1+4·3·2·1=6+24=30⑷

8!
=8·7·6=336
5!

3 !*3 !*2=72(通り)

6 ⑴

10 ⑴ 6人の円順列より，⑵⑶(6-1)!=5 !=120(通り)⑵

父の席を決めると母の席も決まるので，5人の円順列として考えて，(5-1)!=4 !=24(通り)⑶⑵ (6-1)!*2 !=120*2=240(通り)8 ⑴ 千，百，十の位は4通り，一の位は 1，3の2通りだから，4*4*4*2=128(個)の並び方が 2 ! 通りあるので，⑵

千の位は3通り，百，十，一の位は4通りずつあるので，3*4*4*4=192(個)(5-1)!*2 !=4 !*2=48(通り)SA

11 ⑴ 43=64(個)問題Ｂ
1 1から100までの整数の集合をU，そのうち3
p.13
p.
13

34=81(個)12 1人につき，グー，チョキ，パーの3通りの手の出し方があるので，34=81(通り)で割り切れる整数の集合をA，5で割り切れる整

13 ⑴ 43=64(通り)数の集合をBとする。
⑴

求める整数の個数は n(A( ¡B) であり，n(A( ¡B)=n(A( )+n(B)-n(A( ⁄B)

4+42 +43 =84(通り)問題Ａ( ¡B)=n(A( )+n(B)-n(A( ⁄B) より，
1 ⑴ n(Ap.12
p.
12

ここで，n(A( ⁄B) は3と5の公倍数の個数，
すなわち，15の倍数の個数であり，{15·1，15·2，……，15·6} より，n(A( ⁄B)=n(A( )+n(B)-n(A
( ¡B)

M

=20+15-28=7⑵n(A( )=n(U)-n(A( )=50-20=30⑶

n(A( ⁄B)=n(A( ¡B)=n(U)-n(A( ¡B)

次の5通りである。
1+1+6，1+2+5，

3 ⑴[1] 目の和が8右の表から，5通り
[2]

目の和が9

右の表から，4通り

1─6
1─2─5
3─4
2

⑵

5*4=20(通り)

2 生徒全体の集合をU，数学の合格者の集合をA，英語の合格者の集合をBとする。

求める人数は，n(A( ⁄B)であり，

大 3 4 5 6
小 6 5 4 3n(A( ⁄B)=n(A( )+n(B)-n(A( ¡B)=50+30-(60-8)=28(人)3 ⑴ 2個とも奇数の目が出る場合で，3*3=9(通り)⑵ (すべての場合)-(目の積が奇数になる場合)
により求められる。⑴から，
6*6-9=27(通り)

135=33·5 であるから，正の約数の個数は，⑶ 2個とも奇数の目か，2個とも偶数の目が出る場合で，3*3*2=18(通り)(3+1)*(1+1)=8(個)⑶

400=24·52 であるから，正の約数の個数は，⑷ (すべての場合)-(目の和が偶数になる場合)
により求められる。⑶から，(4+1)*(2+1)=15(個)5 ⑴ 6P3=6·5·4=120⑵ 8P2=8·7=56

数は，n(C¡D) であり，C¡D=C⁄D であるから，C⁄D={12·1，12·2，……12·8} より，n(C¡D)=n(C⁄D)=n(U)-n(C⁄D)=100-8=92(個)

正の約数は，1，2，22，23，24，25 の6通り，
すなわち，1，2，4，8，16，32の6個⑵=33+20-6=47(個)E

4 ⑴ 32=25 であるから，

2─4
3─3

大 2 3 4 5 6
小 6 5 4 3 2[1]，[2]から，和の法則により，
5+4=9(通り)

よって，n(A( ¡B)=n(A( )+n(B)-n(A
( ⁄B)

PL

1+3+4，2+2+4，
2+3+3

n(A
( ⁄B)=6(個)⑵ 4で割り切れる整数の集合をC，6で割り切れる整数の集合をDとすると，求める整数の個=50-28=22

2 右の樹形図から，

P4=4 !=4·3·2·1=24(個)千の位が 3，4 のものはそれぞれ 3P3 個ずつ4あるから，3 !*2=12(個)(5-1)! 通りあり，そのおのおのに対して父母⑵

P3=4·3·2=24(個)7 ⑴ (7-1)!=6 !=6·5·4·3·2·1=720(通り)

父母をひとまとめとしたとき，円順列は⑵

4

6*6-18=18(通り)4 ⑴ 30=2·3·5 であるから，正の約数の個数は，

─4─

(1+1)*(1+1)*(1+1)=8(個)⑵⑻

360=23·32·5 であるから，正の約数の個数は，(3+1)*(2+1)*(1+1)=24(個)⑶ 1008=24·32·7 であるから，正の約数の個数は，(4+1)*(2+1)*(1+1)=30(個)⑵〔別解〕 7P4 -6P3=7·6·5·4-6·5·4=840-120=720(個)⑵ 一の位が 1，3，5 の3通りで，百の位は0と通りだから，3*5*5=75(個)〔別解〕 3*(6P2 -5P1)=75(個)⑵

一の位が0のとき，6P2=6·5=30

3

8

⑵

6 ⑴ (すべての場合)-(AとBが隣り合う場合)

10

4通り，またB○Aとなる場合も考えて，の2通りがある。(すべて含まれないときは z，

C3 =

⑵
8

9

⑴

10·9·8·7 7·6·5·4
4·3·2·1
4·3·2·1

C3 =10·9·8=120(個)3·2·1

C2-10=45-10=35(本)C2 *5 C2 =12

8·7 5·4*=280(個)2·1 2·1

C5 *7 C4 =12·11·10·9·8 7·6·5·4*
5·4·3·2·1
4·3·2·1

12

C4 *8 C4 =12·11·10·9 8·7·6·5*
4·3·2·1
4·3·2·1=34650(通り)⑶

求める組分けを≈通りとすると，組分け1つにつき3室に分ける方法は 3 ! 通りあるから，

23 =8(個)⑵より，≈*3 !=34650④4 組合せ{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，
p.14
p.
14 〜
〜 19
19

≈=

⑷

12

34650
=5775(通り)3!

C
12·11·10·9·8·7
6·5·4
C6 * 6 3 =*2!
6·5·4·3·2·1
2·3·2·1E{b，c，d}，{b，c，e}，{b，d，e}，=9240(通り){c，d，e}
4·3
=6
2·1

⑵

7

C3 =

7·6·5
=35
3·2·1

10 ⑴

9

⑷

6 C1 =6⑸⑺

8

C6 =8 C2 =

8·7
=28
2·1

7 C7 =1

10

C4 * 6

C2*4C2 10·9·8·7 15*6=*3!
4·3·2·1
3·2·1=3150(通り)

9·8·7·6=126
4·3·2·1

⑶

C4 =

9·8·7
=84(通り)3·2·1=27720(通り)⑵

含む部分集合となるので，その総数は，

C2 =

10

10

8

よって，部分集合の総数は，25 =32(個)⑵ {c，d，e}の部分集合は 23 個ある。
この部分集合と{a，b}との和集合が，a，b を

4

8·7·6
*3=168(通り)
3·2·1

PL

すべて含まれるときは全体集合Uであり，これらは部分集合とみなされる。
)⑴

11·10·9·8·7=462(通り)
5·4·3·2·1

C4 -7 C4 =

⑴

7

M

7 円順列として考える。(4-1)!=3 !=6(通り)8 ⑴ 各要素について，含まれるか含まれないか

2

9

6·5
=15(通り)2·1=210-35=175(通り)A，B，C のひとまとめと，D，E，F の円順

列は (4-1)! 通りあり，A，B，C の並べ方が3 ! 通りあるので，(4-1)!*3 !=36(通り)

1

C5 =

P4 *4*2=4·3·2·1*4*2=192(通り)

⑶

12·11
=66(試合)2·1

男子だけから4人を選ぶとき，7C4 通りであるから，求める選び方の総数は，A○Bの3つの文字を1つの文字と考えると4つの文字の並べ方で，さらに○に入る文字は4

C2 =全体から4人を選ぶ方法は，10C4 通りある。

より，6 !-5 !*2 !=480(通り)⑵

20·19·18=1140(通り)3·2·1

C3 *3 C2 =⑴

6

P2*5 P4=3·2*5·4·3·2=720(個)11

12·11·10
=220
3·2·1

10·9·8·7=210(通り)
4·3·2·1

C4 =6 C2 =

⑴
⑵

SA
⑷

12

6

C4 =

C3 =

⑴

5

一の位が5のとき，6P2-5P1=30-5=25
よって，30+25=55(個)

10

20

4

一の位の数字以外の5通り，十の位は残りの5C9=12 C3=⑴

3

5 ⑴ 6*6P3=6*6·5·4=720(個)

⑶

12

⑹

⑵

3 C0 =110

C2*8C2 *6 C2*4C2 45*28*15*6=
5!
5·4·3·2·1=945(通り)─5─

⑵

黒玉2個をまとめて1個と考えればよいから，n(U)-n(B¡C)

赤玉3個，白玉2個，黒玉1個の合計6個を1列に並べる並べ方を求めることになる。

=n(U)-{n(B)+n(C)-n(B⁄C)}=100-(20+14-2)=68(個)26!
=60(通り)3!2!1!

4 ⑴ →5個と↑5個の順列の総数を求めて，A新聞を購読している人の集合をA，B新聞を購読している人の集合をBとする。
求める人数は n(A( ⁄B) であり，A⁄B=A¡B で
あるから，

10 !
=252(通り)5!5!

n(A( ⁄B)=n(A( ¡B)(AからPまでの最短の道順の総数)*(PからBまでの最短の道順の総数)より，=100-{n(A( )+n(B)-n(A( ⁄B)}=100-(75+50-30)=5(人)

⑵

⑶

⑴

3

5!
5!
*
=10*10=100(通り)
3!2! 2!3!

⑵

PQ 間は1通りだから，⑴

4

一の位の数字は 1，3，5 の3通りある。

SA

十の位は，残り4通りだから，
3*4*4=48(個)

5!
4!
*1*
=10*1*4=40(通り)
3!2!
1!3!

⑵[1]

5 ⑴ 3人を，A，B，C とする。

たとえば，りんご10個をAに3個，Bに3個，組合せである。
よって，この分け方の総数は，4個だから，5P2-4=5·4-4=16(個)百の位が5のとき
5 P2 =5·4=20(個)[2][1]，[2]から，和の法則により，
16+20=36(個)⑴M

5

3人に1個ずつ分けておき，残り7個の分け6方を考えればよい。
⑴と同様にして，

女子4人を1人としたとき，5人の並び方は，

6 ⑴ 6冊の選び方が 7C6=7(通り) あるから，残りの5冊を1冊，2冊，2冊に分けると考えて，5C1 * 4[2]

C2 *2 C2=15(通り)2!

aとbが2冊の組に入る場合

よって，(8-1)!=7 !=5040(通り)⑷

男子の円順列を作り，その間に女子が入ると考える。男子の円順列は，(4-1)!=3 !=6C3*2C2 =10(通り)

女子の間への入り方は，4P4 =4 !=24

よって，15+10=25(通り)求める並び方は，6*24=144(通り)

章末問題
章末問題

1から100までの自然数の集合をUとする。
35で割り切れる数の集合をAとすると，求める自然数の個数は n(A( ) であり，⑸

8

C5 =8 C3 =8·7·6=56(通り)
3·2·1

⑹

4

C2 *4 C2 =4·3 4·3*=36(通り)2·1 2·1⑺

男子4人を固定して考えれば，女子4人の順
列で，男女2人ずつの組の数が求められる。

n(A( )=2(個)⑵35=5·7 であるから，1から100までの自然数のうち，5，7 で割り切れる数の集合をそれ
ぞれ B，C とおくと，求める自然数の個数は，

─7─

E

p.22
p.
22 〜
〜 23
23

⑴

よって，求める並び方は，
120*24=2880(通り)⑶ 円順列だから，(n-1)! により，求められる。

残りの5冊を3冊，2冊に分けると考えて，
5

1

5 P5 =5·4·3·2·1=120
女子4人の並び方は，4P4 =4·3·2·1=24

PL

7*6C2*4C2*2C2 =630(通り)⑵[1] aとbが3冊の組に入る場合

P6=6·5·4·3·2·1=720

よって，求める並び方は，
12*720=8640(通り)⑵

C7 =9C7 =9 C2=36(通り)

両端の男子の並び方は，4P2 =4·3=12

間に入る残り6人の並び方は，

10+3-1 C10 = 12 C 10 = 12 C 2 =66(通り)

7+3-1

百の位が4のとき

410より小さい数は，401，402，403，405のCに4個分けるとき，AAABBBCCCC のように表すとする。
これは，3個のものから重複を許して10個取る⑵

P3=4·3·2=24(個)百の位は，0と一の位の数字以外の4通りあり，(AからPまでの最短の道順の総数)*1*(QからBまでの最短の道順の総数)=

4

4*4*4=64(個)よって，4 P4=4 !=24(通り)⑻

8

C2 *6C2*4 C2 28*15*6==105(通り)
4!
24

⑴

6

⑵

8

8

C2 =

C3 =

nは自然数より，n>0

8·7=28(個)
2·1

よって，n=88·7·6=56(個)
3·2·1

n(n-1)=21 より，n2 -n-42=02⑵

1つの面の色を決めると対面の色は5通りであ7(n+6)(n-7)=0

り，側面は4色の円順列となるので，nは自然数より，n>0
よって，n=7⑴ Aが左端にくるのは，4 !=24
BA，BC，BD が左にくる順列は全部で，5*(4-1)!=5*3·2·1=30(通り)右の図より，n(A( ⁄B)+n(A
( ⁄B)

8

U
A

13

B

=n(A
( ¡B)-n(A( ⁄B)

3*3 !=3*6=18=n(A( ¡B)-{n(A
( )

A⁄B

+n(B)-n(A( ¡B)}BEA が左にくる順列は2

A⁄B

BECDA の前は BECAD
よって，BECDA の前の順列の総数は，=7-(10-7)=4100から200までの自然数全体の集合をU，6でSA

924+18+2+1=45だから，BECDA は46番目割り切れる数の集合をA，5で割ると余りが2に⑵なる集合をBとする。
⑴ A={6·17，6·18，…，6·33} より，n(A( )=33-17+1=17(個)n(U)=101 より，
B={102，107，…，197}

⑴

14

⑵

赤玉 3，青玉 3，白玉 2[2]

赤玉 4，青玉 2，白玉 2[3]

赤玉 4，青玉 3，白玉 1={5·20+2，5·21+2，5·39+2}より，の場合があるので，=101-20=81(個)

8!
8!
8!
+
+
=1260(通り)
3!3!2! 4!2!2! 4!3!1!

M≈≥1，¥≥1 より，≈+2¥≥3
よって，1≤z≤3⑴ 7個全部を使った順列の総数は，

15[1] z=1 のとき，≈+2¥=9 より，(≈，¥)=(1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)の4通り(≈，¥)=(1，1)の1通り
よって，求める(≈，¥，z)の組は，
4+2+1=7(組)
⑴

11

100円
0
50円 0 1 2 3
10円 20 15 10 5上の表から，9通り

420-60=360(通り)⑵20

一の位が0である場合

6!
=60
3!2!1!

2
0
0

一の位が2である場合

0がはじめにくるものを除いて，10円硬貨の使い方は，0枚，1枚，2枚，3のように求められる。
ただし，3種類の硬貨すべてが0枚である場合を除く。
5*4*4-1=79(通り)
⑴

6!
=60
3!2!1!

よって，求める7桁の整数は，枚，4枚の5通り，100円硬貨，500円硬貨はそれぞれ4通りとなるから，積の法則を用いて次120がはじめにくるものの総数は，n(n-1)=56 より，n2 -n-56=0(n+7)(n-8)=0

─8─

6!
5!
=120-20=100
3!1!1!1! 3!1!1!

E

⑵

1
4 0 1
0 10 57!
=420
1!3!2!1!

PL[2] z=2 のとき，≈+2¥=6 より，(≈，¥)=(2，2)，(4，1)の2通り[3] z=3 のとき，≈+2¥=3 より，

9!
=1260(通り)
4!3!2!

⑵[1]n(B)=39-20+1=20
よって，n(B)=n(U)-n(B)

10

CEDBA が72番目にくる順列だから，71番

目は CEDAB，70番目は CEBDA

よって，60+100=160(通り)2

第よって，求める確率は，⑴

A以外の4個の文字の並べ方は，4 ! 通りある。

奇数の目が出るという事象をAとすると，
A={1，3，5} より，その根元事象の数は3
よって，P(A( )=⑵

よって，求める確率は，
⑵

n(A
( ) 3
1
= =
n(U) 6
2

4! 1
=
5! 5

両端の A，B の並べ方は，A○○○B，
B○○○Aの2通りある。間の3文字の並び方

3の目が出るという事象をAとすると，
A={3} より，その根元事象の数は1は 3 ! 通りあるから，両端が A，B になる並び

n(A
( ) 1
よって，P(A( )==n(U) 6

よって，求める確率は，方は，2*3 ! 通りある。

SA
⑶

⑷

の並べ方が 3 ! 通りある。

n(A
( ) 3
1
= =
n(U) 62

よって，求める確率は，素数の目が出るという事象をAとすると，
A={2，3，5} より，その根元事象の数は3
よって，P(A
( )=

3

6

n(A
( ) 3
1
= =
n(U) 62

つできるから，求める確率は，
3*4P2 3*4·3 3
=
=
5·4·3
5
5 P3

M

は，6*6=36(通り)

目の和が5になる場合は，(1，4)，(2，3)，⑵(4，1)，(3，2)の4通りである。
4
1
よって，求める確率は， =
36 9
⑵

7

9

める確率は， 5

C3 10
5
= =
C3 84 42

白玉1個と赤玉2個である場合は 5C1 *4 C2通りより，求める確率は，
5

1 2 3 4 5 6
1
○
2
○
3
○
11
4
○
て，求める確率は，
36
5 ○○○○○○○
3枚の硬貨の表裏の出方は， 6

C1 *4C2 5*6
5
=
=
84
14
9 C3

⑷ 白玉2個と赤玉1個である場合は 5C2 *4 C1通りより，求める確率は，
58E⑷ 目の積が5の倍数になる場合は，右の図のように，11通りである。よっ

C3
4
1
= =
C3 84 21⑵ 3個とも白玉である場合は 5 C3 通りより，求

⑶

18 1
=
36 2

P2
4·3
1
=
=
P3 5·4·3 5

9個から3個の玉の取り出し方は 9C3 通りであ93*3+3*3=18(通り)
よって，求める確率は，5

める確率は， 4

2個とも偶数の目が出るか，2個とも奇数の目が出るかの場合で，よって，求める確率は， 4PL(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)の6通りである。

⑶

900以上の数は，4P2 個できる。

る。
⑴ 3個とも赤玉である場合は 4 C3 通りより，求2個とも同じ目が出る場合は，

61
よって，求める確率は， =36 6

3 !*3 !
3=
5!
10

3桁の整数は全部で 5P3 個できる。
⑴ 一の位が 5，7，9 のとき，それぞれ 4P2 個ず

2個のさいころを同時に投げるとき，目の出方

⑴

2*3 !
1
=
5!
10

⑶ A，B，C のひとまとめと D，E の並べ方は
3 ! 通りあり，そのそれぞれに対して，A，B，C

3以下の目が出るという事象をAとすると，
A={1，2，3} より，その根元事象の数は3
よって，P(A
( )=

4

3
8

5文字の並べ方は，全部で，5 ! 通りある。

5{(0，0)}，{(0，1)}，{(1，0)}，{(1，1)}
全事象 U={1，2，3，4，5，6}⑴

1枚だけ裏が出る場合は，(表，表，裏)，(表，裏，表)，(裏，表，表)の3通りである。

⑤1 事象と確率
事象と確率

p.24
p.
24 〜
〜 27
27

1
2

⑵

第２章
確率 確率
章

C2 *4C1 10*4 10
=
=
84
21
9 C3

16本のくじから3本のくじの引き方は 16C3 通り

2*2*2=8(通り)

である。

⑴

⑴ 3本ともはずれである場合は，11C3 通りある。

3枚とも表が出る場合は1通りだから，求め
る確率は，

1
8

よって，求める確率は， 11
16

─9─

C3
33
=
C3 112⑵1本だけ当たりくじである場合は，
5

よって，求める確率は， 5

⑴

⑶

5

3個とも青玉である確率は， 33つの事象は互いに排反だから，求める確率は，
56
4
1
61
+
+
=
455 455 455 455⑥2 確率の基本性質
確率の基本性質⑵

A={2，3，5，7}，B={3，6，9}，

SA
2

⑵

A¡B={2，3，5，6，7，9}A¡C={1，2，3，5，7，9}⑶

A⁄B={3}⑷A⁄C={3，5，7}

白玉と赤玉を合わせた12個から2個と，青玉3個から1個を取り出す場合だから，求める確率は， 12⑴7⑵集合で表すと，
A={2，4，6，8，10}，B={1，2，3，6}，

C2 *3C1 198
=
455
15 C3

同じ目が出る。
2回とも奇数の目が出る。

偶数の目が少なくとも1個出る事象の余事象は

82個とも奇数の目が出る事象である。

C={4，8}，D={2，3，5，7}

2個とも奇数が出る場合は，3*3=9(通り)

よって，B⁄C=z，C⁄D=z より，互いに排反である事象は，B と C，C と D

その確率は，

18個の玉から2個の玉の取り出し方は 18C2 通り。

2個とも白玉である確率は， 10

18

C2
5
=
C2 17

9

C
28
2個とも赤玉である確率は， 2 =
153
18 C2
8

⑵

2つの事象は排反事象であるから，求める確率は，ジョーカーを除いた1組のトランプは52枚であ4る。

エースは4枚あるから，その選ぶ確率は，

A，Bが隣り合うという事象の余事象の確率だから，1-

2*5 !
1
2
=1- =
6!
3
3

3人とも男子が選ばれるという事象の余事象
7

⑷

4
52

C3
4
31
=1- =
C3
35 35

3個とも赤玉が出るという事象の余事象の確率だから，1- 4
9

C3
1
20
=1- =
C3
21 21

10 ⑴ 6の倍数であるという事象をA，8の倍

E

B={8·1，8·2，…，8·12}，

13
52

A⁄B={24·1，24·2，24·3，24·4} より，

1
スペードのエースの出る確率は，
52

P(A
( )=

2つの事象は排反事象であるから，求める確率
は，

1
1
7
率だから，1- 3 =1- =288数であるという事象をBとすると，
A={6·1，6·2，…，6·16}，

12
4
16
4
は， + = =52 52 52 13
ハートの札の出る確率は，⑴ 3枚とも裏が出るという事象の余事象の確の確率だから，1- 4

2つの事象は排反事象であるから，求める確率

⑵

⑶

12
絵札は12枚あるから，その選ぶ確率は，
52

⑴

1
3
=
4
4

PL

5
28
73
+
=
17 153 153

9
1
=
36 4

よって，求める確率は，1-

M

3

5

C3
1
=
C3 45515

C={1，3，5，7，9} である。
⑴

C3
4
=
C3 455

15

C3
10
2
=
=
C3 165 33

p.28
p.
28 〜
〜 31
31

C3
56
=
C3 45515

3個とも赤玉である確率は， 4111

3個とも白玉である確率は， 8

8

8*3
8
8 C1 *3 C2
=
=
165
55
11 C3

⑵

3
5
20
28
7
+
+
=
=
100 100 100 100 25

15個の玉から3個の玉の取り出し方は 15C3 通り。

6

C1 *11C2
55
=
112
16 C3

C3
56
=
165
11 C3

⑴

9

確率は，

C1*11C2 通りある。

13
1
14
7
+ = =
52 52 52 26

各等に当たる事象は互いに排反だから，求める

─ 10 ─

16
12
4，P(B)=，P(A( ⁄B)=
100
100
100

よって，P(A( ¡B)=
=

16
12
4
24
+
=
100 100 100 100
6
25

6
16

第

から，求める確率は，

1

2

1

事象をA，2回目

APとすると，求める2，8⑴より，BE=171÷ =28 28 7

象をA，Bから玉

4

⑷

⑵

BA

⑷

AC(AE)⑴ BD：DC(C)=AB：AC
=8：4
=2：1
⑵

16
27

⑶
⑶

8
⑵

^ACE

⑸

AE(AC)

⑶

C

^DBC

b>c
⑷ ^B>^C⑴ AB<CA<BC であるから，^C<^B<^A
BC=CA<AB であるから，^A=^B<^C

⑷

⁄B) 1
5
8
= ÷ =
3
8 15
A)

1
2

D

p.49
p.
51 〜
〜 51
53

⑴ 両端
⑷ 頂点
⑴

AC= AB2+BC2 = 1+3 =2

1
1
ar+ br2
2

よって，S=⑩2 三角形の外心三角形の外心･内心･重心
・内心・重心⑵ OC⑶ 垂直二等分
⑸ 等距離

⑸

7

OとAを結ぶと，△OAB，△OBC，

1
(
2

⑴ 中点

6

ED

⑹

⑴ CE=AE
BG：GE=2：△OCA は二等辺三角形である。

よって，¥=1⑵

BG：GE=≈：(24-≈)=

よって，

A

これを解いて^≈=25°+45°=70°≈

CG：GF=2：

また，^OBC=^OCB=a
とすると，

25°

B

11：(¥-11)=
O
¥

45°

これを解いてC

70°+(25°+a)

p.52 〜 53+(a+45°)=180°

2a+140°=180°より，a=20°

よって，^¥=180°-20°*2=140°△ABC は鈍角三角形であり，^C が最大角。

うに，求めることができる。
^¥=2^≈=2*70°=140°⑶△OAB，△OBC，△OCAは二等辺三角形

AR

⑵
⑷

チェバの定理2であるから，⑴

BP 5 1· ·PC 3 1

よって，BP：^≈=180°-34°*2=112°△ABC において，

─ 20 ─

⑴ BP

1〔別解〕 ^¥ は円周角の定理を用いて，次のよ⑵⑴ ^A<^B<^C であるから，
BC<CA<AB⑵ ^A<^C<^B であるから，

─ 18 ─存在する。

^OAB=^OBA=25°

また，BC<CA より，^A<^B
よって，^A<^B<^C

9S=⑶ |5-8|<5<5+8 が成り立つので，三角形は同位角△ABC=△IB5

立たないので，三角形は存在しない。

よって，AB<BC<CA
したがって，^C<^A<^B

1
3

よって，^≈=

E

⑶

( ⁄B)
(A

^≈+2(^IBC^≈+2*65°=^OAC=^OCA=45°

BD=2BC=2*6=12
⑵

⑷ a+c

b+c

⑵ |6-9|=3 となり，|6-9|<3<6+9 が成り

46^≈+2^IBC

形は存在する。

8BBC

12 ⑴ |5-7|<3<5+7 が成り立つので，三角

A

BD：BC
=2：(2-1)=2：1⑴ ^ADB

7

⑵

⑵

PL

あるから，

象は A で表される
であり，

⑶
錯角

M

⑴ ^FAD6=

11 ⑴ ^ACD

3
3
9
BD=12*=12* =
3+5
8
2

5

から，

⑸

DC

⑶

^ACE

△ABC におい

よって，PB>PC1BC4⑴ AD は^A の二等分線であるから，
BD：DC=AB：AC=6：10=3：5

赤玉を取り出すとい出すのは，Aの袋⑵

よって，^¥=△IBC にお^IBC+^IC⑵①，②より，^PCB>^B

よって，BC：GE=4：1⑴ ^AEC△IBC におい^PCB=^ACB+^PCA であるから，^PCB>^ACB …②

1
1
BC ⑵より，BG= BC
24であるから，GE=BE-BG=

3

よって，^≈=

10 AB=AC であるから，^B=^ACB …①

AB™FG より，BG：GC=AF：FC=1：3⑶⑴ △ABC に
80°+20°*2+

よって，^B<^C<^A
したがって，CA<AB<BC

B⑴ AC™DE より，
BE：EC=BD：DA=1：1
⑵

⑴ 等距離
⑷ 角
⑸

4

=65°

R 1 A

1
2

^¥=^OC3=180°-(55°+60°)

SA

6
7
=
28 28

^ACB=

3

のは，1回目が当場合があるから，(B)〔別解〕 円周=45°
よって，^A=^C<^B

B1Q

A

2

A

=180°-(45°+90°)

したがって，BC=AB<CA⑷ ^A=180°-(^B+^C)B
4

1回目がはずれで34°*2+30°*
これを解いて⑶⑨1 三角形の辺の比三角形の辺の比

p.44
〜 50
48
p.
46 〜

，P(A
( )=

BC<AB<CA^C=180°-(^A+^B)

図形の性質
章 図形の性質
3第３章

─ 19 ─

よって，AB=12)+38°+90°=180°…①^≈+40°C=^≈ であるから，

15[1] 辺 PR の中点を M とすると，点 A，B はそれぞれ△PQR，△PRS の重心であるから，

p.82
p.
84 〜
〜 83
85

1

平面 MQS 上にあり，

=^BQP

=80°

…①

よって，AB=

1
QS
3

…①

AB™QS

…②

同様に，BC=

1
RT
3

…③

BC™RT

…④

4

①，③より，AB=BC②，④より，AB_BC

同様に考えると，四角形 ABCD は正方形であ≈=100°

り，多面体 ABCD EFGH のすべての面は合5同な正方形である。

…①…②[2] 8つの頂点に集まる正方形の数はすべて3で等しい。
[1]，[2]から，多面体 ABCD EFGH は正六面分線であるから，

=^ECP

体である。

⑴ 1，3，9，-1，-3，-9⑵ 1，3，5，15，-1，-3，-5，-15⑴ 27=33 より，n=3⑵ 72=23·32 より，n=2

6

a+2，a+8 は
a+2=5m，a+a+22=(a+2)+=5(m+4a+22=(a+8)+=7(n+2)
よって，①より
り，a+22 は7の5と7は互いにわち35の倍数であ

150=2·3·52 より，n=2·3=6(2+1)(3+1)=12(個)175=52·7 より，正の約数の個数はM⑶(2+1)(1+1)=6(個)⑷ 540=22·33·5 より，正の約数の個数は

により，

B=PT2

接線の長さは等しQ(2+1)(3+1)(1+1)=24(個)p.86 〜 90
p.84
p.
86 〜
〜 85
87

⑱2 最大公約数，最大公約数，最小公倍数
最小公倍数⑴ 27=33，45=32·5 であるから，最大公約数は，32=9
最小公倍数は，33·5=135⑵ 240=24·3·5，168=23·3·7 であるから，

PL

1

最大公約数は，23·3=24^APQ⑴ 31=4·7+⑵ -24=3·(⑶ -15=9·(⑷ -46=10·(2 a，b は整数 ka=5k+2，b=5

1⑴

最小公倍数は，24·3·5·7=1680

BPQ

2)+^PBQ=180°=180°⑴ 56=23·7，80=24·5，224=25·7であるから，最大公約数は，23 =8
最小公倍数は，25·5·7=1120

⑵

9
P
H

9

50=2·52，175=52·7，140=22 ·5·7であるから，最大公約数は，5最小公倍数は，22·52·7=700
3 50と300を素因数分解すると
50=2·52，300=22 ·3·52

E

O'
4

a+1，a+4 は
a+1=4m，a+a+9=(a+1)+=4(m+2)a+9=(a+4)+=5(n+1)
よって，①より②より，a+9 は4と5は互いにわち20の倍数で⑷ 504=23·32·7 より，n=2·7=14
6 ⑴ 32=25 より，正の約数の個数は
5+1=6(個)⑵ 108=22·33 より，正の約数の個数は

…④

=^AED

であるから，

55の倍数は一の位が0か5である。
1+1+1+0=3，1+1+1+5=83の倍数となるのは，□=0⑵ 7+2+1+0=10，7+2+1+5=153の倍数となるのは，□=5⑶

よって，50との最小公倍数が300である正の整数
は，22 ·3·5a (a=0，1，2) と表される。

B

したがって，求める整数nはn=22 ·3·50，22·3·51，22·3·52

定理により，

─ 31 ─

高校数学スタンタ

数A̲KKp30-39.indd 30=5(5kl+
よって，ab を⑷ a2+b2=(5k=5(5よって，a2 +b─ 30 ─

ート

a+b=(5k+=5(k+よって，a+b⑵ 3a+2b=3(=5(
よって，3a+⑶ ab=(5k+2=52kl+=52k

すなわち，n=12，60，300

─ 29 ─

21=3·7，3るから，互いに⑶ 45=32·5，6

⑴

SA

°

°

⑵

⑰1 約数と倍数
約数と倍数⑴ -3，-6，-9⑵ -7，-14，-21
3 ⑴ 1+2+□=9 より，□=6⑵ 6+□+7=18 より，□=5

QS=RT，QS_RT であるから，

6=2·3，1あるから，互2

MA：MQ=MB：MS=1：3

⑴

4

整数の性質
章 数学と人間の活動
4第４章

第

1
PQ=AQ=BQ より，PQ= AB=6
2

⑵

6

ある。
+5=8

の個数は

数の個数は
個)

約数，最小公倍数であるから，

⑵

⑴

=2 ·7
23 =8
2

=2 ·5·7，500である正の整数

される。

6の倍数の
よって，5

2

=(4k +12k+9)-(4k +4k+1)+4数の個数は=8k+12=4(2k+3)
ここで，2k+3 は整数であるから，4(2k+3)[2] 54以下のものの個数

は4の倍数である。
また，2k+3 は奇数であるから，4(2k+3) は⑵ 160=25·5 で自然数は，28の倍数ではない。
よって，連続する2つの奇数の2乗の差に4を数である。

たした数は，4の倍数であるが8の倍数ではな[1] 160以下
数を求める
2の倍数の

い。
⑴ nは整数であるから，整数kを用いて，

4n=3k，n=3k+1，n=3k+2 のいずれかの形

5の倍数ので表される。

10の倍数の[1]

n=3k のとき

よって，1
数の個数は

n2 =(3k)2=9k2 =3·3k2[2]

n=3k+1 のとき
2

2[2] 160以下る自然数の

2

n =(3k+1) =9k +6k+1=3(3k2+2k)+1[3]

n=3k+2 のとき

3の倍数の個数32 の倍数の個数
33 の倍数の個数n2 =(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1

34 の倍数の個数

よって，Nを素いずれかの形で表される。
[1]

数は，66+22+

n=4k+1 のとき

よって，12100
割った余りに

2=8(2k +2k)+3

n=4k+3 のときしたがって，⑵(4k+3)(4k+5)=16k2+32k+15=8(2k2+4k+1)+7

余りは3か7である。
m3n-mn3=m3n-mn+mn-mn3

った余りに等=n(m3-m)-m(n3-n)

したがって，=n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1)(m-1)m(m+1)，(n-1)n(n+1) は 連 続 す る

250 =(22)25

よって，250 をった余りに等
4を3で割った
よって，425 をよって，連続する2つの奇数の積を8で割った

5⑴ 12を11で8(4k+1)(4k+3)=16k2+16k+3[2]

3，32，33，34 の7

よって，n2 を3で割った余りは0か1である。
⑵ 奇数は，整数kを用いて，4k+1，4k+3 の=5(5kl+4k+2l+1)+3
よって，ab を5で割ったときの余りは3⑷ a2+b2=(5k+2)2+(5l+4)2

9a~4(mod 6)，=52k2+2·5·2k+22+52l2+2·5·4l+42

3つの整数の積であるから，6の倍数で，6k，6l，

a+b~4+2(mo=5(5k2+4k+5l2 +8l+4)(k，l は整数)と表せる。

a+b を6で割っ

よって，m n-mn =n·6k-m·6l

a-b~4-2(moよって，a +b を5で割ったときの余りは02─ 30 ─

2の倍数の
3の倍数の

E

a+b=(5k+2)+(5l+4)=5(k+l+1)+1
よって，a+b を5で割ったときの余りは1⑵ 3a+2b=3(5k+2)+2(5l+4)=5(3k+2l+2)+4
よって，3a+2b を5で割ったときの余りは4⑶ ab=(5k+2)(5l+4)=52kl+5k·4+2·5l+2·4

5[1] 54以下で数を求める

連続する2つの奇数は，整数kを用いて，
2k+1，2k+3 と表される。
(2k+3)2-(2k+1)2 +4
2⑲3 整数の割り算と商・
整数の割り算と商・余り
余り
31=4·7+3 より，商は7，余りは3⑵ -24=3·(-8) より，商は -8，余りは0⑶ -15=9·(-2)+3 より，商は -2，余りは3⑷ -46=10·(-5)+4 より，商は -5，余りは 4
2 a，b は整数 k，l を用いて
a=5k+2，b=5l+4 と表される。

80

数である。

したがって，n2+2n は8の倍数である。

PL

から，

a+2，a+8 は，自然数 m，n を用いて
a+2=5m，a+8=7n と表される。
a+22=(a+2)+20=5m+20=5(m+4) …①
a+22=(a+8)+14=7n+14=7(n+2) …②
よって，①より，a+22 は5の倍数であり，②より，a+22 は7の倍数である。
5と7は互いに素であるから，a+22 は 5·7 すな
わち35の倍数である。

⑴

自然数は，2

よって，4k(k+1) は8の倍数である。

a+1，a+4 は，自然数 m，n を用いて
a+1=4m，a+4=5n と表される。
a+9=(a+1)+8=4m+8=4(m+2) …①
a+9=(a+4)+5=5n+5=5(n+1) …②
よって，①より，a+9 は4の倍数であり，②より，a+9 は5の倍数である。
4と5は互いに素であるから，a+9 は 4·5 すな
わち20の倍数である。

p.86
p.
88 〜
〜 90
92

1

したがって，m3
6 ⑴ 54=2·33 で連続する2つの整数の積 k(k+1) は2の倍数
である。

M

の個数は

21=3·7，32=2 より，最大公約数は1であ5

SA6

偶数は，整数kを用いて 2k と表される。

n2 +2n=(2k)2 +2·2k=4k2+4k=4k(k+1)

であるから，互いに素ではない。

5

=14
の個数は

⑴

3

るから，互いに素である。
⑶ 45=32·5，66=2·3·11 より，最大公約数は3

9-5，-15=6

6=2·3，10=2·5 より，最大公約数は2であるから，互いに素ではない。

倍数

+5=15

⑴

4

の性質

2

3

─ 32 ─

13.3.21 10:21:43 AM

3

─ 31 ─