高水準の数学的リテラシー教育ハンドブック[最終更新: 2023/03/28 ]

高水準の数学的リテラシー教育研究会

i

目次
はじめに

iii

第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

1

第 2 章 授業の作り方・教え方

15

第 3 章 授業運営・指導の課題と解決のヒント

57

第 4 章 教材集

63

付 録 A 授業デザインの枠組み
99
A.1 活用場面での数学の役割を捉えるためのフレームワーク . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.2 認識枠組みに基づく授業デザイン手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
執筆者一覧

113

iii

はじめに

本書は，現実世界で数学を思考ツールとして活用できる力を育む数学教育を大学レベルで実践するためのハンドブックです．
このハンドブックでは，なぜそのような教育が必要なのか，どのような能力を育てようとしているのか，それを実現するための授業とはどのようなものか，これまでの数学の授業と何が違うのか，教員のなすべきこと考えるべきことはなにか，などについて，これから授業実践をする教員向けに Q&A 形式で示すとともに，具体的な教材例も豊富に掲載しています．
本書では，現実世界で数学を思考ツールとして活用できる力を育む大学レベルでの数学教育を「高水準の数学的リテラシー教育」とよんでいます．第１章から第３章までは Q&A 形
式で書かれています. 第１章では，「高水準の数学的リテラシー」とは何かから説明しています. まずはここからお読みいただければと思います．第２章では，授業の作り方や教え方について具体的なポイントをまとめました．第３章では，このような教育で教員が不安に感じることについて我々なりの回答をまとめました．順に読めるように問い（Q）を配置していますが，各章の扉に問い（Q）のリストを掲載していますので，第２章や第３章については気になる問い（Q）から読んでいただいてもかまいません．第４章には授業で使える教材例を多数掲載しています．付録には授業デザインのフレームワークと手順を示しました．
現実世界で数学を思考ツールとして活用できる力を育む教育は，大学でこれまで行われてきた数学の学問体系や論理構造を重視する伝統的な数学教育とはいろいろな面で異なります．このような教育を実践するにあたっては不安も大きいかもしれませんが，新しい教育をつくる喜びもまた大きいと思います．失敗をおそれず，オープン・マインドで，一歩を踏み出しましょう！

1

第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

Q1-0: 高水準の数学的リテラシーとは何か
Q1-1: 「高水準」の前に、そもそも「数学的リテラシー」とは何か
Q1-2: 高水準の数学的リテラシー教育は何を目指した教育かQ1-3: 中等教育での数学的リテラシー教育と何が違うのか
Q1-4: 数学的モデリング教育とどう違うのか
Q1-5: 数理・データサイエンス・AI 教育とどういう関係があるのか
Q1-6: 現実の問題を用いた教育は必要なのか
Q1-7: 既存の数学科目に応用問題を入れるだけとどう違うのか
Q1-8: 具体的な文脈を使った教育で本当に汎用的な能力が身につくのか第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

2

Q1-0: 高水準の数学的リテラシーとは何か
高水準の数学的リテラシーとは何かに答える前に，少し一般的な話をしましょう．わたしたちは生物学的な存在として自然法則の支配を受けると同時に，社会的な存在としてさまざ
まな社会経済上の制約を受けています．この事実は日常生活のあらゆる場面に数学を役立てる機会があることを示唆します．しかし実際に数学を使おうとすると，たとえば入手可能なデータが不完全であったりノイズにまみれていたりで，数学を適用することがためらわれる
かもしれません．また数学の問題を解く以前に，近似的な扱いや適当な数理モデルを見つけることが必要になるかもしれません．いずれの場合でも数学の役割は問題解決のプロセスを論理的で誰の目にも明らかな形で前進させることです．そうやって得られる解は多くの場合非常に価値のあるもので，数学を使わなかったら決して得られない情報をもたらすことがあるものですが，だからといって手放しで受け入れてもよいということにはなりません．現実の世界は入り組んだ複雑な状況から成り立っており，わたしたちはそのなかに置かれた問題
を数学的な興味や視点で切り取っているにすぎないからです．多くの場合，最終的なゴール
は数学を超えたところにあります．
数学を教室のなかだけで語られる抽象的な議論で終わらせないためには，言い換えれば数学の力と可能性を理解し，数学をよき助言者として仕事や生活に役立てるためには，ここに述べたような意味での現実の世界のなかの数学から目をそらすことはできません．そのような数学を志向し実践する態度や能力は一般に「数学的リテラシー」とよばれますが (数学的リテラシーの詳しい定義は Q1-2 を参照)，このような態度や能力について大学レベルで身につけるべきものをわたしたちは「高水準の数学的リテラシー」（Advanced Mathematical

Literacy，以降，AML と略す）とよびます．数学を専門としない技術者や一般市民にとってこのようなリテラシーのもつ価値は繰り返し述べるまでもありませんが，数学の専門家にとっても，それが数学の存在価値を高め，また数学を新たな視点からとらえなおすきっかけになるといえば，その意味は理解しやすいでしょう．以下に紹介する問題はここで述べた考えを例示するものです．これらの問題を一読すれば，読者はこのハンドブックの方向性や射程を容易に想像することができるにちがいありません．

事例①：限られたデータから環境汚染の実像に迫る 1
海浜に面した化学工場から異臭がするという通報があり市の環境局が調査したところ，
風の弱い昼間に，工場より陸側に位置する市街地でとくに異臭が強いことがわかった．問題となっている化学工場は石油化学製品を製造しており，月に一度，深夜にプラントの清掃をするが，その過程で少量のベンゼンが大気中に放出される可能性が従来から指摘されていた．そこで環境局は，工場から 1.5km ほど離れた小学校の屋上で，プラントの清掃が行われる日にあわせて大気中のベンゼン濃度を測定した．結果は下に記すようなものだった．なお測定は午前７時〜８時と，10 時〜11 時，午後 10 時〜11 時の三つの時間帯で 1 年
1 ここでのベンゼンによる土壌汚染の問題は Des W. Connell, ’Basic Concepts of Environmental Chemistry,’
2nd Ed., CRC Press, Boca Raton, Florida 2005, pp.342-343 を参考にして作成しました．

3間継続して行った．濃度は µg/m3 で示してある．ベンゼンの大気中濃度の環境基準は３µg/m3 以下である．
表 1. 大気中のベンゼン濃度の測定結果（単位：µg/m3 ）
６月
７月
８月
９月
10 月
11 月
12 月
1月
2月
3月
4月
5月

7:00-8:00
2.30
2.24
2.23
2.22
2.23
2.24
2.23
2.22
2.21
2.10
2.24
2.23

10:00-11:00
3.00
2.99
2.98
2.96
2.97
2.98
2.97
2.95
2.90
2.80
2.98
2.97

22:00-23:00
1.26
1.24
1.21
1.22
1.22
1.20
1.20
1.18
1.19
1.20
1.23
1.23

工場は環境基準を遵守していると主張しており，異臭の原因については今後社内で詳しい調査を行って適正に対応したいとしている．市はこのような工場側の主張をそのまま受け入れることができるだろうか．またこれとは別に市は工場へ立ち入り検査を行って土壌中のベンゼン濃度も測定した．その結果，場所によっては基準値 0.04 mg/kg を大幅に上回る 150mg/kg という値を観測した．この値が基準値まで下がるにはどれくらい時間が必要だろうか．土壌中のベンゼンの分解速度はベンゼン濃度に比例し，比例定数 k と半減期T1/2 のあいだには k ＝ 0.693/T1/2 の関係が成り立つことがわかっている．土壌中ベンゼンの半減期 T1/2 は 16 日である．
毎月１回しか測定機会がなくデータが少ないため，これだけで確定的なことをいうのは難しいですが，仮にこれを正規分布とみなせば時間帯によっては基準値を超える可能性があります．午前 10 時から 11 時に大気中のベンゼン濃度が高いのは海風に乗って工場から市街地に向かってベンゼンが運ばれてくるからかもしれません．もしそうだとしたら，海側ではより高濃度のベンゼンが大気中に存在する可能性があります．またこのデータは小学校の屋上で測定しているにもかかわらず，基準値ぎりぎりの値が観測されています．通常は学校や保育園などが存在する地区では一般的な基準値を少なくとも 10 ％ほど下回るように安全係
数を設定するのが一般的であり，そのような目で見ると工場側の主張は問題なしとはいえません．
土壌汚染については，ベンゼンの消失速度はベンゼン濃度にのみ比例するので，時間 t（単位は日，150mg/kg を観測した日を t  0 とする）におけるベンゼンの濃度 C t [mg/kg] は，
dC t
dt −kC t より C t  C 0 e −kt （両辺の自然対数をとれば ln C t  ln C 0 − kt ）と表すことができ，k  0.693/T1/2  0.693/16  0.04 だから，ln 0.04  ln 150 − 0.04t となります．これ

第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

4

より t  206(日) である．大気中のベンゼンは強風で吹き払われることもありますが，土壌にしみ込んだベンゼンは容易には分解せず，長期間にわたって土壌に残り，蒸発したり地下水に混入して汚染を拡げる恐れがあります．たとえ工場の敷地内であっても，このような高濃度の土壌汚染が起きていることを見逃すことができません．

事例②：新型コロナウィルス感染症（COVID-19）の感染拡大
2020 年に始まった新型コロナウィルス感染症（COVID-19）の感染拡大が引き起こした世界的な「パンデミック」では，図 1 のような累積感染者数の推移のグラフがしばしばマスメ
ディアに登場しました．しかし，感染症の拡大が基本的には「指数関数的増大」であるとい
うこと，そして「指数関数的増大」は爆発的な増加を引き起こすこと，の 2 点を理解していないと，1 日あたり平均何人増加している，といった議論をしてしまいがちで，そしてそのような議論はその後の感染拡大を見誤ることにつながります．どれくらい見誤ることにな
るか，図 1.1 から日本の累積感染者数が 1000 人に到達する日を予測する状況で考えてみま
しょう．
350
300
250
200
150
100
50

10

20

30

40

50

図 1.1. 日本で COVID-19 の感染者が出てから 50 日間の累積感染者数の推移

日本の COVID-19 累積感染者数の推移について，図 1 のようなデータからこの後の推移を予測しようとするとき，累積感染者数が 1000 人に到達するのがいつ頃と予測されるか．

1 日あたり平均何人増加しているというような見方は，図 1.1 で 30 日目から 50 日目の推移を直線的な変化ととらえることにあたります．ここでこの直線的変化を，たとえば，(x, y)  (30, 20), (50, 330) の 2 点を通る直線で近似してとらえたとすると，30 日目から 50
日目の推移を近似する直線の方程式が y  330−20
20 (x − 30) + 20 で与えられます．そしてこの変化がその後も続くと仮定して， 330−20
20 (x − 30) + 20  1000 を解くことになりますが，これを解いて x を求めると，x  93.2 となります．しかし，実際には，66 日目に 1000 人を超え，
ここで求めた 93 日目には 9944 人で，1000 人どころかその 10 倍の約 1 万人に達しようとしていたのです．なお，ここでの直線近似では最小二乗法を使うべきだという人もいるでしょ5うが，直線で近似しようとしている時点で，その後の予測は大きく外れることになります．
では，指数関数的にとらえたら，このような間違いを起こさないのでしょうか．その場合も，図 1.1 のグラフを見ているだけではどんな指数関数で表せるかはわかりません．そのためには，図 1.1 のデータを片対数グラフで表すことが必要になります．片対数グラフでプロットされた点から，30 日目から 50 日目の変化を，たとえば (x, lo g 10 y)  (30, 1.4), (50, 2.5) の2 点を通る直線として近似すると（図 1.2）， log10 y  2.5−1.4
20 (x − 30) + 1.4 が得られ，このとき，log10 1000  2.5−1.4
20 (x − 30) + 1.4 を解くと， x  59.1 が得られ，実際に 1000 人を超えた日である 66 日目に近い予測が得られます（ちなみに，このとき y  100.055x−0.25 となります）．指数関数や常用対数（log10 ）は，高校の数学 II の内容であり，文系の学生でもほとんどが高校で学習しています．感染拡大が指数関数でとらえられる現象であることの理解と片対数グラフの使い方の理解があれば，文系の大学生でも十分この程度の議論は可能であると思われますし，また，多くの数学教員は，この程度の議論は文系理系にかかわらずできて欲しいと思うのではないでしょうか．

図 1.2. 日本で COVID-19 の感染者が出てから 50 日間の累積感染者数の推移（片対数グラフ）

さらに，理系の学生ならば，感染状況の推移を表すモデルとして知られている SIR モデルを使った議論も理解できて欲しいと多くの数学教員は思うのではないでしょうか．SIR モ
デルにはいろいろなバリエーションがありますが，初学者向けによく紹介されるモデルでは，集団の中で，ある時刻における感受性者（未感染者），感染者，回復者の割合をそれぞれ S(t)，I(t)，R(t) で表し，次の微分方程式で与えられます（詳しくは [1] を参照）．

dS(t) −βS(t)I(t)dtdI(t)
 βS(t)I(t) − γI(t)dtdR(t)
 γI(t)dtβ は感受性者が感染者と接触したときの感染率，γ は回復率を表す定数となります．もちろ第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

6ん，このようなモデルを自力で作れる能力が必要と言っているのではありません．ただ，理系の大学卒業レベルならば，このような専門家が作った数理モデルの意味を理解し，それを使った議論をフォローできる力はあってほしいところです．また，SIR モデルを用いたシ
ミュレーション（差分化して数列によるモデルに落とし込んでシミュレーションするなど）を自ら行う探究心も理系の大学卒業レベルには求められるでしょう．

事例③：市場における顧客の推移 2
A 社と B 社の 2 社のみが参入し，顧客獲得争いをしている市場がある．現在の顧客数はＡ社が 90 万人，B 社が 10 万人で，1 年後に A 社から B 社へ移る顧客が 20%，B 社から A
社へ移る顧客が 30%いるとする．毎年同じ比率で顧客が移ると仮定すると，現在の顧客数と他社へ移る顧客数の割合から，最終的に A 社がこの市場を独占しそうであるが，実際はどうだろうか？
この市場において，すべての顧客は 1 年ごとに A 社または B 社のどちらかと必ず契約することとし，新規顧客や新規会社の参入は考えないこととする．
自然数 n に対して，現在から n 年後の A 社と B 社の顧客数（単位は「万人」）をそれぞれa n , b n とし，まずは n  1 のとき，つまり 1 年後の A 社と B 社の顧客数 a 1 , b 1 を求めてみましょう．

A 社は，現在の顧客数が 90 万人で，そのうち 80%( 0.8) が 1 年後も A 社と契約し (100% −20%  80%)，さらに B 社の現在の顧客数 10 万人のうち，30%が 1 年後に A 社と契約する
ので，1 年後の A 社の顧客数 a 1 は，

a 1  90 × 0.8 + 10 × 0.3  72 + 3  75
より 75 万人です．一方 B 社は，A 社の現在の顧客数 90 万人のうち，20%が 1 年後に B 社と契約し，さらに B 社の現在の顧客数 10 万人のうち，70%が 1 年後も B 社と契約するので，1年後の B 社の顧客数 b 1 は，

b1  90 × 0.2 + 10 × 0.7  18 + 7  25
より 25 万人です．この考察より，A 社の顧客数が最初の 1 年で 15 万人も減っていることがわかります (90 − 75  15)．続けて， n  2 のとき，つまり 2 年後の A 社と B 社の顧客数 a 2 ,b2 を求めてみましょう．A 社は，1 年後の顧客数が 75 万人で，そのうち 80% ( 0.8) が翌年も A 社と契約し，さらに B 社の 1 年後の顧客数 25 万人のうち，30%が翌年に A 社と契約するので，2 年後の A 社の顧客数 a 2 は，

a 2  75 × 0.8 + 25 × 0.3  60 + 7.5  67.5
より 67.5 万人（67 万 5000 人）です．一方 B 社は，A 社の 1 年後の顧客数 75 万人のうち，20%が翌年に B 社と契約し，さらに B 社の 1 年後の顧客数 25 万人のうち，70%が翌年も B
2 この題材は，大枝和浩著「数学基礎プラスγ（線形代数学編）2020」（早稲田大学出版部，2020 年）を参考にしている．

7

社と契約するので， 2 年後の B 社の顧客数 b 2 は，

b2  75 × 0.2 + 25 × 0.7  15 + 17.5  32.5
より 32.5 万人（32 万 5000 人）です．この考察により，A 社の顧客数は 2 年目で 7.5 万人（7万 5000 人）減っていることがわかります (75 − 67.5  7.5)．1 年目の減少数（15 万人）に比べると，2 年目の減少数（7.5 万人）は少なくなっていて，同様の考察を続けることで，このまま減少を続けるものの，ある値に収束していくと思われます．このような考察をする前は，A 社が市場を独占すると思われていましたが，実際は異なる結果となりそうです．さらに数学の知識（数列あるいは線形代数の知識）があれば，連立漸化式を用いたモデル化や，行列によるモデル化ができます．連立漸化式や行列によるモデルを数学的に処理することで， n 年後の顧客数を表す式を得ることが可能になり，それらの式を用いることによって，より確信をもって結論を導き出すことができます．
この項の参考文献：[1] 鈴木絢子・西浦博 (2020)「感染症の数理モデルと対策」, 日本内科学会雑誌 109 巻 11 号,
2276–2280. https://www.naika.or.jp/wp-content/uploads/2020/11/nichinaishi109-11-article_4.pdf[2] 大枝和浩 (2020) 「数学基礎プラスγ（線形代数学編）2020」, 早稲田大学出版部

Q1-1:「高水準」の前に，そもそも「数学的リテラシー」とは何か
数学的リテラシーという言葉はさまざまな意味で用いられてきましたが，21 世紀に入ってからは，OECD の PISA 調査で定義された意味で使用されることが多くなっています．PISA
調査で定義されている意味での数学的リテラシーとは，大雑把にいうと，現実世界の課題状
況で数学を用いて問題解決できる能力のことと捉えられますが，PISA 調査の枠組みでの定義 [2] を正確に引用すると次のようになります．

Mathematical literacy is an individual’s capacity to formulate, employ andinterpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematical concepts, procedures, facts and tools to
describe, explain and predict phenomena. It assists individuals to recognise
the role that mathematics plays in the world and to make the well-foundedjudgements and decisions needed by constructive, engaged and reﬂective citizens. (国立教育政策研究所の資料 [1] による日本語訳：「様々な文脈の中で数学的に定式化し，数学を活用し，解釈する個人の能力．それには，数学的に推論することや，数学的な概念・手順・事実・ツールを使って事象を記述し，説明し，予測することを含む．この能力は，個人が現実世界において数学が果たす役割を認識したり，建設的で積極的，思慮深い市民に求められる，十分な根拠に基づ
く判断や意思決定をしたりする助けとなるもの．」)

第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

8OECD によるこの定義は 2012 年の PISA 調査から 2018 年まで一貫して同じものが使われています (注：PISA2022 の数学の枠組みに関するドラフト原稿 [3] では定義の見直しが行われていますが，決定稿ではないので，ここでは 2018 年までの定義を引用しています)．

PISA 調査の枠組みにおける定義では，現実場面での数学を用いた問題解決過程を数学的モデリング過程としてとらえています．数学的モデリング過程は，現実の現象や課題状況を数学でとらえて数学の問題に翻訳し（数学化），数学的処理を通して得た結果をもとの状況に戻して解釈することで問題解決や予測・意思決定などを行う思考過程のことです（図 1.3
参照）3 ．

図 1.3. 数学的モデリング過程 [4]

現実世界で遭遇する曖昧で厄介な状況の中で，課題解決のために数学を積極的に活用し，数学的推論をはたらかせながら数学的モデリング過程を遂行する能力が数学的リテラシーといえます．PISA 調査は 15 歳時点での数学的リテラシーを測定するものですので，その定義
も 15 歳を想定してつくられています．私たちが「高水準の数学的リテラシー」というときの「高水準」の意味は，PISA 調査の枠組みでの数学的リテラシーを大学レベルで考えたものとなります．なお，私たちは「高水準の数学的リテラシー」の中に統計を活用するリテラシー
も含めています．
「高水準の」と付くことで何が変わるのかということについては，Q1-2 お
よび Q1-3 を参照してください．
この項の参考文献：[1] 国立教育政策研究所「OECD 生徒の学習到達度調査 2022 年調査 パンフレット」https://www.nier.go.jp/kokusai/pisa/pdf/2022/01_point.pdf (最終アクセス：2022.03.10)[2] OECD (2019), PISA 2018 Assessment and Analytical Framework, PISA, OECD
Publishing, Paris, https://doi.org/10.1787/b25efab8-en.
[3] OECD (2018), PISA 2022 MATHEMATICS FRAMEWORK (DRAFT), https://pisa
2022-maths.oecd.org/ﬁles/PISA%202022%20Mathematics%20Framework%20Draft.pdf[4] 三輪辰郎 (1983). 数学教育におけるモデル化についての一考察. 筑波数学教育研究, 第2 号, pp.117-125.
3 数学的モデリング過程で作られる数学的モデルは現実を近似するモデルですので，唯一の正しいモデルや真のモデルというものはありません．現実をうまく近似できていて問題解決に役立つモデルなら「よいモデル」ということになります．数学的モデリング過程では，モデルから得られる結論が現実に適合するかどうか吟味しながら何度も作り直して，モデルを改良していくサイクルを含みます．

9

Q1-2: 高水準の数学的リテラシー教育は何を目指した教育か
PISA 調査の枠組みで定義されているような数学的リテラシーを，大学生にふさわしいレベルで身につけることを目指した教育です．ここでの大学生は，理工系だけでなく，文系なども含む全大学生です．そして，大学卒の一般市民としてもつべき能力を身につけること，それに加えて，各学生の専攻分野で必要となる数学的思考力・活用力を身につけることを目指します．文系分野でも統計学を利用する分野は広がってきていますし，経済学や社会学，心理学などの分野では現象を説明するために数学的モデルも用いられますので，文系分野の学生に対しても 1〜2 年次基礎教育段階だけでなく専攻分野での専門教育まで含めた数学的リテラシー教育を通して，端的にいえば，現実場面 (日常生活や大学・大学院を卒業した人が職業人として出会う場面) で数学を問題解決ツールの選択肢の一つとできるような人を育てることを目指しています．こうした能力の育成を目指した教育が，伝統的な数学科目で提供される数学教育とは別に必要となることについては，Q1-7 を参照してください．以下，本
ハンドブックでは，高水準の数学的リテラシー教育を AML 教育（AML は p.2 で述べたよ
うに Advanced Mathematical Literacy の略）とよぶことにします．

Q1-3: 中等教育での数学的リテラシー教育と何が違うのか
中等教育（中学・高校）での数学的リテラシー教育は次の二つの面で限定的なものとなっています．AML 教育ではこれらの限定が解除される点が異なります．
まずは活用される数学的知識の限定の解除です．高校までは学習指導要領が定めるカリキュラムの枠内で授業がされますから，文系コースだからここまでとか高校だからここまでという限定が数学の活用の学習にも付いてきます．大学には学習内容にしばりをかけるよ
うな制限は一切ありませんから，AML 教育ではこのような限定が外れます．さらに，大学の数学の授業で新しい数学を学んでいくからそれらの活用も学ぶというだけでなく，新しい数学を自ら学んで活用することが必要となるような題材を扱うこともありえます．このように，現実場面で活用する数学が限定されないのが中等教育までの数学的リテラシー教育との大きな違いの一つです．とはいっても，高校数学の内容が対象外ということではありません．高校での数学教育の多様化により学生が大学入学時点で持っている前提知識は多様化しています．わかりやすい例でいえば，いわゆる文系コース出身者は，微積分は低次数の多項式に限定され，数列も極限は未習ですが，理系コース出身者は，通常，数学 III を履修しますので，三角関数や指数関数の微積分，数列の極限などを高校で履修済みであることがほとんどです．未習の内容については当然活用も知りませんし，また，既習の内容についても活用までは十分に学習されていないのが現状です．数学的モデリング活動は新しい学習指導要領（高校では 2022 年度から開始）でも意識されていますが，新学習指導要領に基づいた高等学校数学の教科書の内容は，従来とそれほど変わっておらず，数学的知識・技法の教え込みに近い作りとなっています．高校までのカリキュラムに含まれる数学的内容であっても，それを用いた現実場面での数学的モデリングや数学的推論の学習までもが高校までで完了す第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

10

ることは期待できない状況です．高校のカリキュラムに含まれる数学の活用も含めて教える
ことは大学の役割という現状はしばらく変わらないと思われます．したがって，高校のカリキュラムに含まれる内容であっても，その活用についての中等教育での学習を補完し，活用に関わるさらに洗練された思考を身につけさせることも大学教育の役割と考えています．
もう一つの違いは，活用の演習に用いる課題状況に関する限定の解除です．一般に数学の活用の教育では，課題の題材が学習者にとって「リアル」に感じられるものであることが大事とされています．しかし，中学生や高校生にとって「リアル」に感じられる題材と大学生
にとって「リアル」に感じられる題材との間には大きな開きがあります．大学生は現実での現象や問題などへの興味・関心が大きくなり，知識も増えてくる時期であり，高校生では遠い世界の出来事と感じられるような題材にも「リアル」さを感じられるようになります．また，中等教育では，たとえば，高校の数学 A での条件付き確率の教材として，第 2 章で紹介するような病気の検査の問題が教科書に掲載されていたりもしますが，中等教育の現場では，生徒の親族にその病気を患っている人がいるかもしれないという配慮から具体的な病名を使った教材を使うことへの忌避感があり，実際，教科書でも「ある病気」のような書かれ方になっています．大学でこのような配慮が全く不要というわけではありませんが，そのような配慮よりも，現実の課題を直接扱うことによる「リアル」さのほうを大学では重視します．
以上の二つの違いにより，演習に用いる課題状況として中等教育より格段にリアルなものを扱えるようになります．さらに，課題状況がリアルになるということは，課題状況がより込み入った複雑なものになるということでもあります．前半で述べたように，扱える数学が高度になるという面もありますが，むしろ，数学が高校段階までのものであっても，よりリアルな現実的課題を題材として扱えるようになることのほうが，中等教育での数学的リテラ
シー教育との違いとしては本質的ではないかと思われます．

Q1-4: 数学的モデリング教育とどう違うのか
数学的モデリング教育とは，Q1-2 で説明した数学的モデリング過程を学習内容とする教育です．数学的モデリング過程は AML 教育でも重要な学習内容であり，授業でも学習活動の核になっていますが，AML 教育は数学的モデリング教育そのものではありません．むしろ数学的モデリング教育を包含するもっと広い教育を指しています．数学的モデリングの場
面での数学的思考を支える次のような基本的なリテラシーを身につけることも含みます．

• リアルデータを表やグラフでどう可視化するかについての知識やスキル• グラフでの軸の取り方の重要性の認識• 基本的な関数やベクトル，行列，数列などの数学概念の理解やそれらの取り扱いに関する知識・スキル
さらに，ものごとを数量でとらえて数学的に見ようとする態度，数学を忌避しない態度，を身につけることも含みます．

11

Q1-5: 数理・データサイエンス・AI 教育とどういう関係があるのか
現在，国の主導で推進されている数理・データサイエンス・AI 教育は，大学生・高専生を対象に数学的モデリング，統計や AI を活用したデータ分析の基礎的素養を身につけさせることを目標としています．とくにリテラシーレベルとよばれるレベルは，文系も含めた全大学生・高専生を対象としており，重要な修得目標が以下のように述べられています．
「数理・データサイエンス・AI のリテラシーレベルの教育にあたっては，• なぜ，数理・データサイエンス・AI を学ぶのか，理解すること• 社会でどのように活用され新たな価値を生んでいるのか，理解すること• AI の得意なところ，苦手なところを理解し，人間中心の適切な判断が出来ること• 社会の実データ，実課題を適切に読み解き，判断できることなど，日常の生活，仕事等の場で，これらを実際に道具として上手に活用することが出来る基礎的素養を修得させることが重要である．」(「数理・データサイエンス・AI (リテラシーレベル) モデルカリキュラム」より)
数理・データサイエンス・AI のうち，数理では現実場面の切り取り方やモデル化によって数学に持ち込むところが重要となりますし，データサイエンスではデータの見方やデータの取り方が重要となり，データを分析して現象の生起する仕組みや世界の構造を理解するところに主眼があります．「社会の実データ，実課題を適切に読み解き，判断できること」とあるように，数理・データサイエンス・AI 教育が目指している人材育成の観点は，AML 教
育と共通している部分があります．AML 教育には AI に特化した部分が明確にあるわけではありませんが，AI の基礎も数学ですから，AML 教育で AI を扱うこともありえます．この意味で，数理・データサイエンス・AI 教育と AML 教育は，数理・データサイエンスを共通に含みつつ，AI の部分にも重なりをもつ関係にあるといえます．
この項の参考文献：[1] 数理・データサイエンス教育強化拠点コンソーシアム (2020)「数理・データサイエンス・AI (リテラシーレベル) モデルカリキュラム〜データ思考の涵養〜」http://www.mi.utokyo.ac.jp/consortium/pdf/model_literacy.pdf

Q1-6: 現実の問題を用いた教育は必要なのか
大学で数学を教えている教員は，ここで語られているレベルの数学の活用などは特別に教わらなくても，数学をきちんと勉強しさえすればできるようになると考えがちです．しかし，それはみなさんが数学もしくはそれに近い分野の研究者であるからそう思えるのだともいえます．実際，生徒／学生の実情はそうではないことをさまざまな調査が示しています．

第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

12

たとえば，PISA2012 の調査結果は，日本の中学生は，他の OECD 加盟国と比較して，現実の文脈で数学を使用する問題を解くことに自信がない人の割合が多いということを示しています．図 1.4 をみればわかるように，一次方程式や二次方程式を解くことに自信があるという生徒の割合は OECD 平均を上回りますが，日常的な場面で数学を用いるタイプの問題に対しては自信があるという生徒の割合は OECD 平均を大きく下回っています．日本は，他国に比べると，数学的な処理能力は高いのに数学の活用能力は低く，二つのバランスを大きく欠いているといえます．

図 1.4. 数学における自己効力感（[1] より作成）

大学生についても，図 1.5 のような問題を使った調査により，日本の大学生は，現実の問
題を数学の問題として解釈して解く能力が低いことが示されています．

図 1.5. 大学生学生調査 2015 の数学的リテラシー問題 [2]これらの調査結果は，数学だけを応用や活用から離れた内容でいくら勉強しても，数学の活用力が自然に育まれることはないという指摘とも整合します (たとえば，[3] を参照)．数学の活用力の育成には，数学を活用することが必要となる課題状況の中で，実際に数学を活用して問題解決をしながら学習していくことが必要となるのです．
この項の参考文献：

13[1] 国立教育政策研究所 (2013)「OECD 生徒の学習到達度調査〜2012 年調査分析資料集〜」, http://www.nier.go.jp/kokusai/pisa/pdf/pisa2012_reference_material.pdf[2] 高橋哲也・宇野勝博・深堀聰子・水町龍一 (2016)「数理科学分野における共通教育の質保証―成果と課題―」, 大学教育学会誌, 第 38 巻第 1 号, pp.35–41.

[3] Sfard, A. (2014). Reﬂections on mathematical literacy: what s new, why should wecare, and what can we do about it? In M. N. Fried & T. Dreyfus (Eds.), Mathematics& Mathematics Education: Searching for Common Ground (pp.157–174). New York:
Springer.

Q1-7: 既存の数学科目に応用問題を入れるだけとどう違うのか
既存の数学科目の授業で扱う問題に，現実場面での活用に関する応用問題を追加することで AML 教育の要素を付け加えることはもちろんできます．学んだ内容が現実場面で使えることを意識させたい場合，そうすることで一定の効果が期待できます．ただ，既存の科目の
既存の単元の中で応用問題を扱うのでは，その単元で学ぶ知識を応用する問題だということが前提となってしまいます．まずは学んだことが応用できるということでの意味はあります
が，AML 教育が目指しているのは，現実場面でどんな数学が使えるかわからない，さらには，数学的に見れるかどうかもあからさまにはわからない状況で，数学的に考えようとし，
適切な数学を用いてモデル化する能力の育成です．したがって，AML 教育では，数学の活用場面を用いた演習の中で，そこで使われる数学とその現実場面での活用方法を同時に学ぶといった授業，すなわち，応用だけを分けて学ぶことをしない授業も視野に入れています．
究極的には，数学が使えるかどうかすらわからない状況から数学化して考える思考過程を学べるように授業が設計されることが理想と考えています．すべての数学の授業がこうなるべきと主張しているわけではありませんが，このようなタイプの授業が通常の数学の授業を補完する形で実現されるとよいと考えています．AML 教育の要素を取り入れた授業の作り方には，通常の数学の授業の一部に軽く取り入れるタイプのものから，丸ごと AML 教育として設計するタイプのものまで，いろいろなタイプがあります．タイプごとの授業の作り方やそこで用いる問題の具体例は，第 2 章で紹介しています．

Q1-8: 具体的な文脈を使った教育で本当に汎用的な能力が身につくのか
これは難しい問いです．具体的な文脈を使って学んだことは，その文脈の中でしか使えず，別の文脈で使える能力として「転移」することは難しいという指摘もあります．数学の活用力を育むには具体的な文脈で学習することが必要である一方で，その活用力を学習された文脈以外で発揮するのは難しいというジレンマが数学の活用力を育成する教育には常に付いて回ります．数学教育学者 Sfard は，この学習の文脈依存性を乗り越えることが数学的リ
テラシー教育の課題だと指摘しています [1]．簡単ではありませんが，私たちは次のように

第 1 章 高水準の数学的リテラシーとは何か

14

して汎用的な能力育成につなげられるのではないかと考えています．
私たちのアイデアは，次の二段階からなります．まずは，同じ数学を使ってモデル化できる問題を複数の文脈で取り組ませることです．学生はそもそも数学が現実場面で活用できるとは思っていません．授業である一つの現実的文脈を用いて数学が活用できることを学んでも，数学が活用できることに驚きはしますが，同じような活用が別の現実的文脈でもできることまではなかなか思い至りません．同じ数学がいろいろな場面で活用できることを知ってもらうには，まさにいろいろな異なる場面で活用できることを見せる必要があるのです．ここで，同じ数学が異なる場面で活用できることを見せるというのは，たとえば，高校数学の題材で説明すると，以下のような活用を授業や宿題で扱うことです．

• ローン返済で，返済完了までの期間や利子も含めた総支払い額を考える．
• 長期間，薬の定期服用が必要なとき，薬の成分の体内残量が長期的にどのようになる
かを考える．
この二つは，問題の文脈（状況）は全く違いますが，どちらも a n+1  pa n + q というタイプの漸化式により定まる数列でモデル化できる問題です．このように同じ数学がいろいろな文
脈で活用できることを知ることで，他にも活用できる場面があるのではないか，という思考が芽生えることが期待されます．
次に，複数の文脈で同じ数学が活用されることを学んだ後で数学的な振り返りを行うことです．振り返りを重視するのは，活用できることを楽しんで終わりとならないようにするた
めです．この振り返りでは，文脈は違うが数学的構造は同じであることを意識させること，そこで用いられている数学がなぜそれぞれの文脈でモデル化に用いることができたのかを振り返らせることで，異なる文脈に同じ数学が使えたことの本質を理解させることが重要になります．上の数列の活用を例にして説明すると，問題を振り返る際に，文脈は違うが離散的な数量の変化をとらえる問題なので数列が使えた，ということを意識させ，このことから
さらに，数列には離散的な変化をとらえる道具としての機能がある，という認識に至らせることで，現実場面で離散的な量の変化が問題となったときに，数列で捉えられるのではないか，と考えられるようになるのではと期待されます．数列の問題だから数列で考えるのではなく，離散的な量の変化が問われる場面だから数列が活用できると考える，という思考ができるようになることで，汎用的な活用能力へと近づいていくと私たちは考えています．
この項の参考文献：[1] Sfard, A. (2014). Reﬂections on mathematical literacy: what s new, why should wecare, and what can we do about it? In M. N. Fried & T. Dreyfus (Eds.), Mathematics& Mathematics Education: Searching for Common Ground (pp.157–174). New York:
Springer.

15

第 2 章 授業の作り方・教え方
第１章では，高水準の数学的リテラシーとは何か，高水準の数学的リテラシー教育とは何かの説明をしました．この章では，実際に高水準の数学的リテラシー教育としての授業をどう作ればよいか，どう教えればよいか（know-how）について実際の教材の例を使いながら説明していきます．

Q2-1: AML 教育の授業づくりで最初に意識しないといけないことは何か
Q2-2: 授業を実践するにあたって注意すべき点は
Q2-3: 既存の数学の科目でもできるか，どういう入れ方があるか
Q2-4: 新しい科目をゼロから作るにはどうしたらよいか
Q2-5: 習ったことの応用として学ぶのか (使う数学は事前に学習していることが前提か)Q2-6: どういう問題・教材がよいか
Q2-7: 教材はどうやってつくるのか，選ぶのか
Q2-8: 正直言って自分で教材をつくれる自信がないがどうしたらよいか
Q2-9: どういうレベルの数学を扱えばよいか
Q2-10: 授業での演習を学生にどのようにさせるのがよいのか
Q2-11: グループワークは必要か (数学は個人で学習するものでは？ )Q2-12: グループワークのグループはどう作ればよいか
Q2-13: グループワークをうまくやらせる自信がないが，うまくやるコツはあるか
Q2-14: ICT ツールの活用の仕方としてどのようなものがあるか
Q2-15: 数学の活用力はどうやって評価したらよいか
Q2-16: 定期試験で数学の活用力を扱うとしたら，どうしたらよいか
Q2-17: TA，SA をどんなふうに活用すればよいか
Q2-18: チームティーチングをやるとしたら，どんなやりかたがよいか
Q2-19: 大人数授業でできるのか (アクティブ・ラーニングを入れた授業は少人数でないとできないのでは？ )

16

第2章

授業の作り方・教え方

Q2-1: AML 教育の授業づくりで最初に意識しないといけないことは
何か
学生の自主的な取り組みやグループ活動を取り入れて課題解決型の授業に移行しても，すべてが変わるわけではありません．学習目標を達成するための活動の中には講義によって知識を習得すべきところやグループ学習が有効なところがあります．大切なのは，どこで講義を行い，どの部分に学生の自主的な取り組みやグループ活動を取り入れて授業を構成するかになります．そして，授業における学生の自主的な活動を取り入れるときは(1) 学生にテーマとなる質問を投げかけ，問題意識を持たせること．
(2) 問題を具体化してどのように解決するかを考えさせること．
(3) 実際の解決にもっていくまでの流れを実践させること．
などを意識して作ることが重要になります．
このように授業を作る場合，特定の決まりはなく「どのような力を身につけさせたいか」，「どのような部分で自主的な取り組みを入れるか」によって，その形態も変わってきます．
例えば，教科の専門の知識の習得を意識する場合には，従来の講義を中心としながら，演習を中心として組み立てていくことになります．また，そうした専門や知識を活用する能力を養成したい場合には，学生の活動を通じた成果を見極める必要があるので，グループワー
クや授業外の課題を課して，その成果を発表させる形式を取るのが良いといえます．
つまりは，担当する教員が，どこで講義が必要であり，どこでグループ活動などさまざまな手法を取り入れたらよいかを取捨選択して実施していくこと．そして，この流れの中で必要に応じてグループ活動などの手法を取り入れ学生の学習を活性化するかを考えることを意識するのが良いといえます．

Q2-2: 授業を実践するにあたって注意すべき点はまず，学生に意識づけをすることが必要になります．学習目標に対してどうしてこのような問題に取り組むのか，それによって何が明らかになるのかという問題を投げかけるとともに，学生からその意味を引き出すことです．例えば，この問題はどのようなもので，どんなところに特徴があるか，その特徴を明らかにするためにはどのようにモデル化し分析すればよいか，その分析のためにどのような（数学的）知識が必要か，さらに，その問題を明らかにすることにとってどんな役に立つか，などをグループ活動にしろ個人にしろ学生と相談しながら，学生に考えさせることによって授業を進んでいきます．
このような授業の中では教員は教授者でありファシリテータの役割を果たすことになります．時にはポイントとなるところを教え，学生の学習に対する方向づけを行うとともに，最終的な目標を達成するためにさまざまなサポートを行っていきます．とくに学生とは質問に対して質問で投げかけ，学生にできるだけ考えさせる時間を作りながら，学生自身の気づきを促していきます．

17

学生にどのようなサポートをしていくかは教員の判断によりますが，基本的には学生の考えに任せながら学生が行き詰ったり，考えが違う方向へ行ったり，サポートを求めたりした段階でチームや個人に関わればよいと思います．具体例として，どのように数学を活用するかわからない場合は，数学的モデル化による問題解決過程を概念図で示すことで，受験数学のような数学内の文脈の問題を解くこととの違いを認識させることがを促すことができます．
また，実際の演習の際に，各段階での作業が数学的モデル化による問題解決過程のどの段階にあたるのかを概念図に当てはめて示すことで (下図参照)，各作業の意味を理解させることができます．「数学化」は，高校までの数学では従来扱われてこなかった思考なので，ここの重要性を強調するとともに，数学的モデル化の中でもっとも苦労するところであることを伝えることも大事になります（学生は数学化の部分を数学の授業の学習内容とは認識していない）．

加えて，文系のとくに数学が苦手な学生を教えるときは，数学的な説明を，日常的な表現を駆使するなどかなり噛み砕いて行うことなども有効です．数学が苦手な学生の場合，数式とグラフの表現の切り替えなどはゆっくりやらないと学生がついてこれなくなります．また，表現を切り替えるときには，表現の切り替えをすることの意味をしっかり伝えることが大事になります．

Q2-3: 既存の数学の科目でもできるか，どういう入れ方があるか
理工系や経済系では，既存の数学の科目があります．理工系では微積分や線形代数，微分方程式などの伝統的な科目が多数ありますし，経済系では経済数学という名称で数学の授業がカリキュラムに配置されているでしょう．こうした既存の数学の科目に AML 教育の学習
活動を組み込んでいくことで，学生に数学の活用を意識させたり，数学の活用力を身に付けさせたりといった要素を加えることが可能です．既存の科目に AML の要素を組み込む方法には，(1) 単元の最後に AML 教育としての例題（いわゆる応用例題）や演習を入れる，(2)単元の最初の導入で動機付けに使う（概念の導入の意味づけに使う），(3) 1 回の授業を AML
教育の授業として特別に作ってみる，などいろいろなやり方があります．できるところから始めてみましょう．以下，それぞれのやり方を具体的な例題を使って説明しましょう．

(1)：単元の最後に AML としての例題（いわゆる応用例題）や演習を入れる

第2章

18

授業の作り方・教え方（微分／単元：極値問題）1 変数関数の極値問題として「短期利潤における最適労働投入量を求める例」が考えられる．経済系の学生であれば用語の意味が理解できるが，経済系以外の学生であっても教員側で用語の補足をすることにより，1 変数関数の微分の興味深い応用例
として紹介できる．
一つの消費財を生産する生産者 (企業など) について，以下の状況を考える.

• 生産財の産出量 (生産量) y• 労働投入量 ℓ(ℓ ≥ 0)• 労働コスト (賃金) w• 資本投入量 k( w ≥ 0 ) (定数)(k ≥ 0)

本来は変数だが，短期のためここでは定数 k 0 とする.

• 資本コスト (レンタル料) r• 単価 p(r ≥ 0)(定数)(p > 0)• 生産関数 y  f (ℓ)
単調増加，つまり f ′(ℓ) ≥ 0 と仮定する.
このとき，利潤関数 Π(ℓ) は，総収入から総費用を引けばいいので

Π(ℓ)  p f (ℓ) − ( w ℓ + r k 0 )となる. Π′(ℓ)  0 を満たす ℓ  ℓ ∗ を最適労働投入量あるいは単に最適労働量という. これは Π′′(ℓ ∗ ) < 0 を満たす，つまり ℓ  ℓ ∗ で Π(ℓ) が極大であることを意味する. y ∗  f (ℓ ∗ )を最適生産量という. このとき,y∗ Π(ℓ ∗ ) + w ℓ ∗ + r k 0pであり，右辺は p だけの関数となる. これを供給関数という.
2

問題 2-3-1 一つの消費財を生産する生産者において，生産関数が f (ℓ)  ℓ 3 ，単価が 4 ，賃金が 2 ，資本の費用 (資本投入量と資本コストの積) が 10 のとき，利潤関数 Π(ℓ) と最適労働投入量 ℓ ∗ ，そのときの最適生産量 y ∗ をそれぞれ求めよ.
（西原・瀧澤・玉置著「増補版 経済系のための微分積分」（共立出版）より）（偏微分／単元：極値問題）2 変数関数の極値問題として「長期利潤における最適労働投入量を求める例」が考えられます. 短期利潤との違いは，資本投入量が変数となるために，独立変数が労働投入量と資本投入量の 2 変数関数となる点です.
一つの消費財を生産する生産者 (企業など) について，以下の状況を考える.

• 生産財の産出量 (生産量) y• 労働投入量 ℓ(ℓ ≥ 0)• 労働コスト (賃金) w( w ≥ 0 ) (定数)19

• 資本投入量 k(k ≥ 0)短期のときは定数としていたが，いまは長期の場合を考えるので変数とする.

• 資本コスト (レンタル料) r• 単価 p(r ≥ 0)(定数)(p > 0)• 生産関数 y  f (ℓ, k)ℓ に関して単調増加，かつ， k に関して単調増加と仮定する.
このとき，利潤関数 Π(ℓ, k) は，総収入から総費用を引けばいいので

Π(ℓ, k)  p f (ℓ, k) − ( w ℓ + r k )となる. Π′(ℓ, k) が極大となるような (ℓ, k)  (ℓ ∗ , k ∗ ) について, ℓ ∗ を最適労働投入量, k ∗を最適資本投入量といい, y ∗  f (ℓ ∗ , k ∗ ) を最適生産量という. このとき,y∗ Π(ℓ ∗ , k ∗ ) + w ℓ ∗ + r k ∗p

であり，右辺は p だけの関数となる. これを供給関数という.
1

1

問題 2-3-2 一つの消費財を生産する生産者において，生産関数が f (ℓ, k)  ℓ 3 k 2 ，単価が 2 ，賃金が 3 ，レンタル料が 1 のとき，利潤関数 Π(ℓ, k) ，最適労働投入量と最適資本投入量の組 (ℓ ∗ , k ∗ ) ，そのときの最適生産量 y ∗ をそれぞれ求めよ.
（西原・瀧澤・玉置著「増補版 経済系のための微分積分」（共立出版）より）（線形代数／単元：連立一次方程式）工学系の応用問題はたくさんある．例えば，電気系の学生が対象の授業であれば，キルヒホッフの法則を用いた電気回路の問題を応用問題として連立一次方程式の単元の終わりで扱うことなどが考えられる．
問題 2-3-3 下図の回路において，R 1  2, R 2  1, R 3  4, V  7 のとき，I1 , I2 , I3 を決定せよ．ただし，I i は電流 (アンペア [A])，R i は抵抗値 (オーム [Ω])，V は電池 (ボルト [V]) を表す．

（石井・川添・高橋・山口著「理工系新課程

線形代数[改訂版]」（培風館）より）

より一般の文脈で，ネットワーク解析の問題を使うこともできる．
（線形代数／単元：行列の対角化）問題 2-3-4 A 社と B 社の 2 社のみが参入し，顧客獲得争いをしている市場がある．現在の顧客数はＡ社が 90 万人，B 社が 10 万人で，1 年後に A 社から B 社へ移る顧客が 20%，B

第2章

20

授業の作り方・教え方社から A 社へ移る顧客が 30%いるとする．毎年同じ比率で顧客が移ると仮定すると，現
在の顧客数と他社へ移る顧客数の割合から，最終的に A 社がこの市場を独占しそうである
が，実際はどうだろうか？

!

0.8 0.3
この問題は第１章で事例③として取り上げた問題であり，行列を推移行列とす
0.2 0.7
るマルコフ連鎖の問題であり，P n を P の対角化を用いて求めることでアプローチできる．現実のデータを使うと，より現実味のある演習となるだろう．ただし，現実のデータを使った
場合は，行列の成分が有効数字 3〜4 桁程度の小数で表現されることも多いので，固有値・固有ベクトルはコンピュータを使った近似計算で求めることになる．逆にいえば，コンピュー
タを使うことで，次数の大きな行列の対角化が必要になるような複雑なモデルも扱えることになる．以下に現実のデータを使った問題として使える題材を 4 つ挙げておく．4 つともURL を記載しておくので，数値や推移行列によるモデルの詳細はそちらをご覧いただきたい．オオタカの個体群動態解析は 2 次の推移行列によるモデルを作っており，授業で手軽に使えるだろう．文脈的にも理工系から文系まで使える．同様に生態系を扱ったものにグリー
ンアノールの動態解析があるが，こちらは，外来種の駆除にかかわるものである．推移行列の次数が大きいがコンピュータを使えば十分授業で使えるだろう．アスファルト舗装の破損評価も行列の次数が大きいのと，内容的に工学向けなので，理工系で使うとよいだろう．社
会移動の数理分析は社会科学分野での応用として文系学生の興味を引く題材となるだろう．
その他の事例も巻末に掲載しているので参考にしてほしい．

• 「オオタカの廉価な個体群動態解析」
https://www.jeas.org/modules/backnumber/hokoku/tec/h19/pdf/071206-05.pdf• 「小笠原諸島におけるグリーンアノールの生態と防除」
http://www.airies.or.jp/attach.php/6a6f75726e616c5f31342d316a706e/save/0/0/14_107.pdf• 「マルコフ連鎖モデルによるアスファルト舗装の破損評価」
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jscej1984/1990/420/1990_420_135/_pdf/-char/ja• 原純輔 「社会移動の数理分析」
https://irdb.nii.ac.jp/en/00822/0001820918(2)：単元の最初の導入で動機付けに使う（概念の導入の意味づけに使う）（偏微分／単元：偏微分係数）偏微分係数の導入として, 傾斜角が θ の法面 (のりめん) をもつ堤防を考える (位置 (x, y) における法面の高さが z  f (x, y) ).

21

このとき, 位置 (x, y)  (a, b) における法面の x 方向と y 方向のそれぞれの傾き (微分係
数  高さ z の増加率) を考えてみよう. この法面を, 平面 y  b で切った断面に現れる曲線(今の場合は直線) は z  f (x, b) であるが, これは x の 1 変数関数になっていることに注意( y は b で一定なので). 同じく, この法面を平面 x  a で切った断面に現れる曲線 (今の場合は直線) は z  f (a, y) であるが, これは y の 1 変数関数になっていることに注意 ( x は aで一定なので). これらの様子をみてみると

z の x 方向の微分係数は, 平面 y  b 上のグラフから f (a + h, b)  f (a, b) より
f (a + h, b) − f (a, b)
0
h
h→0
lim

これを z の (x, y)  (a, b) における x 偏微分係数といい, f x (a, b) と表す. z の y 方向の微分係数
は, 平面 x  a 上のグラフから

f (a, b + k) − f (a, b)
 tan θ よりkf (a, b + k) − f (a, b)
 tan θk
k→0
lim

これを z の (x, y)  (a, b) における y 偏微分係数といい, f y (a, b) と表す. つまり, いまの場合,f (a + h, b) − f (a, b)
 0,
h
h→0
f (a, b + k) − f (a, b)
 tan θf y (a, b) : limkk→0
f x (a, b) : limである. この例では，一方の偏微分係数が 0 になってしまうことと，もう一方も定数になってしまって面白味がないが，自分が法面に立って x 軸方向と y 軸方向の傾斜をイメージしやすいので，偏微分係数の導入として用いるにはよいと思われる．

第2章

22

授業の作り方・教え方（微分方程式／単元：変数分離形）微分方程式の導入として，簡単な変数分離形の初期値問
題に帰着できる身近な具体例を挙げる．
問題 2-3-5 80◦ C のコーヒーを，一定気温 20◦ C に保たれている部屋に x 分間置いたときのコーヒーの温度を y ◦ C とする．ニュートンの冷却法則「冷却の温度変化は温度差が大き
いほど速い」を用いると，コーヒーの温度の瞬間変化率 y ′ は，コーヒーの温度と室温の差

y − 20 に比例すると考えられる．この比例定数を k (k > 0) として微分方程式を作り，それを解きなさい．また，その解を使って，比例定数を k  0.07 としたときの 10 分後のコー
ヒーの温度（小数第 2 位を四捨五入した値）を求めなさい．関数電卓を用いてよい．
ニュートンの冷却法則の比例定数を k (k > 0) とすると，コーヒーの温度の瞬間変化率は

y ′，コーヒーの温度と室温の差は x − 20 で表すことができるので，
y ′  −k(y − 20), y(0)  80という微分方程式が作れる．これは変数分離形であり，その知識を用いれば

y  20+60e −kxという解を得る．さらに， k  0.07 として 10 分後のコーヒーの温度を関数電卓を用いて計算すると y(10)  20 + 60e −0.7 ≈ 50.0 より約 50.0◦ C と求まる．
微分方程式が身近な現象を表していることを最初に紹介することで，その後に微分方程式
を考えること，そしてそれを解くことのモチベーションにつながる．
（線形代数／単元：行列の積）行列の積は，多くの教科書では数学的な定義を与えることから始めて，後に，たとえば，行列 A, B の定める一次変換 fA , f B の合成 fA ◦ f B が行列の積

AB の定める一次変換 fAB に対応するなどの説明により，積の定義の合理性を説明することが多い．このような定義の仕方だと，定義の導入時には行列の積の定義の必然性が理解できない．しかし，日常の表計算を使った以下のような例を使うことで，行列の積の概念を身近に感じさせながら教えることができる．
問題 2-3-6 本店と駅前店の 2 店舗をもつパン屋があり，2 店舗のある日の商品別の売り上
げ個数について，次のようなデータがある.
本店
2020-06-01
クロワッサン 450 個
ベーグル
100 個
ロールパン
150 個

駅前店
2020-06-01
クロワッサン 180 個
ベーグル
60 個
ロールパン
100 個

各商品の販売価格，1 個あたりの利益額 (単位:円) は，どちらの店舗も同じで，クロワッサ
ンの売価は 120 円で 1 個あたりの利益は 40 円，ベーグルの売価は 180 円で 1 個あたりの利
益は 60 円，ロールパンの売価は 120 円で 1 個あたりの利益は 60 円である.

(1) 2 店の販売データと，各商品の売価と利益を表にしてみよう.
店舗ごとの各商品の販売個数（単位：個）
店舗
クロワッサン ベーグル ロールパン
本店
駅前店

23

各商品の売価と 1 個あたりの利益（単位：円）
商品名
売価
1 個あたりの利益
クロワッサンベーグル
ロールパン(2) 各店ごとの売り上げ額と利益を集計して次のような集計表をつくるとき，各欄 (ア)〜(エ) の数値を求める計算式を書いてみよう.
店舗
本店
駅前店

売り上げ総額 (円)(ア)(イ)

利益総額 (円)(ウ)(エ)（川添・岡本「思考ツールとしての数学

第 2 版」（共立出版）より）

この演習の (2) をやったあと，ここでの例を使いながら行列の積の定義を紹介することで，行列の積と同じ計算が日常場面にあることを実感させ，行列の積の有用性や合理性を理解させることができる．正方行列のべき乗についても，単に「縦と横のサイズが同じだから自分自身と掛け算できる」ではなく，マルコフ連鎖の推移行列（問題 2-3-4 など）を用いて，初期値のベクトル v と推移行列 P に対して， n ステップ後が P n v となることを考えさせることで，べき乗を用いる現実場面があることの実感をともなった学習が可能である．

(経済系／単元：数列の極限) 経済系の学生の多くは，高校の文系コース出身で，数学は数学
II，数学 B までしか学んでいない．このため，数列の極限が未修である学生が多い．数列の極限を初めて学ぶ学生向けに，その導入の授業で，次のような演習から始めることは，学生の興味を引く上でも，極限の意味や学ぶ意義を理解させる上でも役に立つ．
問題 2-3-7 次の三つの問いについて，数列として考えて，この先，無限に続けるとどうなるかを予想してみよう.
問 1. 年利 2%の複利型の預金に 100 万円預けている. この預金を無限に継続できるとすると，預金額はどうなるだろうか.
預けた年数
預金額 (万円)

1年
100 × 1.02
 102

2年
100 × 1.022
 104.04

3年
100 × 1.023
 106.121······

問 2. 金利は利子をつける期間の区切りを変えると期間の長さの割合で金利も分けられる. たとえば，1 年で 12%の利子がつく金融商品があったとすると，半
年単位で利子をつける場合は半年毎に 6%の利子がつくことになり，月単位で利子をつける場合は毎月 1%の利子がつくことになる. 複利型の金融商品の場
合，同じ 1 年間でも，利子をつける期間を細かく分割していくと，1 年後の金額が増えていくことになる. このとき，さらに細かく期間を分割して分割の数を無限に増やしていくと，1 年後にもらえる金額はどうなっていくだろうか.

第2章

24

利子をつける期間

100 万円預けた場合の1 年後の金額 (万円)

1年
100 × 1.12
 112

半年

100 × 1.062
 112.36

授業の作り方・教え方

1 ヶ月
100 × 1.0112
 112.683······

問 3. 12 時間おきに 1 錠ずつ服用するようにともらった花粉症の薬をずっと飲み続けるとすると，主成分であるフェキソフェナジン塩酸塩の体内残量はどのようになるだろうか. ただし，12 時間毎に服用直後の量で考えるものとし，フェキソフェナジン塩酸塩は 1 錠あたり 60mg 含まれ，服用後 12 時間後に体内に残っているのは約 40%であるとする.
服用回数
体内残量
(mg)

1
60

2
60 × 0.4 + 60
 84

384 × 0.4 + 60
 93.6······

上の三つの問いはどれも数が大きくなっていくが，無限に続くとどうなるだろうか? 次のどちらになるか答えてください.
① 無限に大きくなっていく．
② 大きくはなっていくが， ある限界を超えない．
（川添・岡本「思考ツールとしての数学

第 2 版」（共立出版）より）これを導入で用いることの意図は，無限に続くとどうなるかを考える場面が日常にもある
こと，大きくなり続ける状況にも複数のパターンがあることを認識させて，極限の有用性やそれを学ぶことの重要性に気づかせることにある．この演習では最初に直感で予想させたあと（予想の活動はグループでさせるとよい），表の続きの値を調べていくことで予想が正しかったかどうかを確かめ，その後に，極限の定義を紹介する，という流れで授業をつくることができる．

(3)： 1 回の授業を AML の授業として特別に作ってみる
上の (1) や (2) で紹介した問題を膨らませて発展的な問いを含めることにより，90 分の授業を特別に作ることが可能である．例えば，推移行列の問題を使った特別授業を単元での学びの後に設けるのであれば，単に解くだけでなく，推移行列の成分の値が変わったらどうな
るか，とか，望ましい将来にするためには成分の値がどのように変わるとよいか，またそうなるためには現実の行動としてどのようなことができるか，などを考察させる授業にすることが考えられる．問題 2-3-4 のあとに挙げた参考資料「小笠原諸島におけるグリーンアノー
ルの生態と防除」を題材に，論文のデータから小笠原の外来種トカゲであるグリーンアノー
ルの世代ごとの個体数推移を表す推移行列をつくり，卵を間引くとか成体を捕獲・駆除するといった対策が推移行列の成分をどう変えるか，その結果グリーンアノールの個体数変化にどのような影響を与えられるかを考えさせる活動を入れることで，年間でどれくらいの卵の間引きや成体の捕獲をすればグリーンアノールを減らしていくことができるのかなどを分析・考察する授業をつくることができる．

25

Q2-4: 新しい科目をゼロから作るにはどうしたらよいか
数学の内容やレベルについて，教員のこだわりや外部からの要請はあるでしょうが，数学の活用力や活用しようとする態度の養成を第一に考えて設計するとよいでしょう．ただし，活用といっても数学的モデリングから統計的思考まで幅広く，活用場面も多様であります．
どのような活用を教育内容に含めるか，数学の内容のレベル，数学的モデリングや統計的思考のレベルをどれくらいに設定するかは，学生の現状に合わせて考える必要があり，一般的に定まった授業設計があるわけではありません．以下では，実際に新しい科目を 0 から作った大学の事例をいくつか紹介します．これらの事例を科目づくりの参考にしていただければと思います．
事例①（文系 1 年生向け必修科目）
文系数学では数学を現実的な問題解決のツールとして認識させる事が重要なので，合理的な判断，リスク管理，簡単なモデル化とシミュレーションなど，文系の学生が数学的な発想を求められそうな場面や目的をコース設計の一つの柱にしている．もう一つの柱は（社会に出てから分野を問わず求められる汎用的な知識を授けるという観点から）統計学である．ただ知識の活用に主眼を置いているので，半年のコースで学ばせるのは，正規分布，算術平均
や中央値などの代表値，標準偏差，Z 値などの必要最低限の知識にとどめている．
事例②（文系 1 年生向け科目（前期・必修，後期・選択））
高校の文系コース出身者が 7 割を占めるコース向けの数学科目 (前期 2 単位，後期 2 単位)である．新しい科目を設計する際には，科目の理念をしっかり打ち立ててそれにそって授業を設計することが大事である．2010 年秋〜2011 年度の 1 年半をかけて設計 (2010 年度後期から検討開始，2011 年度にパイロット授業を行い，授業デザインを確立) した．本学の場
合，現実場面で数学を思考ツールとして用いることができるようになることを目標に定め，授業設計の課題として，文系学生の数学に対する苦手意識への対応と，数学が現実場面で役に立つことを実感させて彼ら自身が数学を学ぶ意義を感じられるようにすることの２点をとくに意識した．科目の目標および後者の課題から，現実的な課題として学生にとって現実味のある問題を冒頭に提示して興味をひきつつ，その問題 (提示した段階では数学でどうとらえられるかが定かでない) を数量に着目して数学的にとらえ，数学を用いて解決していくよ
うに授業を展開させて，数学的モデル化のプロセスを学べるように設計した．各回の授業冒頭で示す問題として何をもってくるかが非常に重要と考え，かなりの時間を題材探しに費やした．各回の授業は，いくつかの典型的な展開パターンをつくっておいて，複数の授業で，何度も同じ思考過程 (数学的モデリングなど）をたどらせると，学生が次第にその思考に慣れてくる（それによって，汎用的な能力となっていく）と考えた．数学的モデリングのサイ
クルは科目の最初の授業で図示して，それ以降の授業の中で，演習で行っている作業がどの段階のどういう意味の作業であるかを教員が説明するなどして，モデリングサイクルとの対応を学生が常に意識できるようにした．科目全体としては，各回のトピック同士を関連させることが大事と考え，同じ思考 (表をつくって考える，とか，グラフを用いて視覚化してみ

26

第2章

授業の作り方・教え方

る，とか）が繰り返し出てくることを学生に認識させたり，同じ題材に対する複数の異なる数学化 (離散化して数列でモデル化したり，連続的な変化ととらえて関数でモデル化したりなど) を取り扱うなどして，数学の知識同士を互いに関連づけて数学の知識全体が学生の頭の中で構造化されていくような授業設計にすることを意識した．科目の中で取り扱う数学的内容は，半年または 1 年のコースの中で学習する数学的内容のバランスも考えてつくった．
モデル化によく使われる，数列，関数 (1 変数，多変数)，ベクトル，行列を一通り取り入れ，関数は偏微分，行列は固有値・固有ベクトルまで扱っている．文系学生の数学に対する苦手意識への対応は，彼らの苦手意識の主な原因が教員の数学的な言葉遣いについていけないことにあると考えて，日常的なことばを数学のことばと合わせて用いて意味を伝えることを徹底するようにした．なお，この科目をつくるにあたっては，数学者 1 名と心理学者 1 名の共同作業で行った．AML 教育の授業作りでは，数学以外を専門とする教員との共同作業が有用である．
事例③（全学生対象の自由選択科目（オムニバスとして設計），複数の教員で始めたケース）
全学生対象の自由選択科目を，3 人の教員で担当することになった．カリキュラム上の制
約はなく，内容も自由であったため，それぞれの専門や教えられることなどを挙げていった
結果，数学を共通項として，問題の分析，哲学的な考察，統計（測定）など，数学に関わる
いくつかの観点から講義や演習を行い，それらを通して学生の数学に対する見方・考え方を見直す機会にしようということになり，テーマごとにそれぞれの教員が授業を担当するオム
ニバス形式で実施することにした．数学的リテラシーの育成を目標とした授業を新たに開設する場合も，同様の方法がとれるのではないか．例えば，「数学の活用」を共通の目標に設定し，それぞれの専門（領域）で扱っている数学的な事象を題材にして，専門外の学生でも取り組めるような教材を開発しつつ具体的な到達目標を立てていき，各回の授業内容を構成していくことが考えられる．
事例④（全学生対象の自由選択科目，1 人で始めたケース）
これも全学生対象の自由選択科目の場合である．数学の活用（モデリング，リテラシー）に関わる問題演習を通して，問題の本質を捉え，数学的（数量的）に表現し，筋道立てて考察
し，数学的に解決できるようになることを主なねらいに据え，数学の有用性を深く認識し，数学を活用しようとする態度を養うことを目標にした．文系の学生を主な対象としている
ため，問題の解決や考察のために数学的な処理や思考が伴うような，比較的身近な状況（問題場面）を設定し，数学を使う目的を明確にした．例えば，可能性を吟味する（条件分けな
ど，期待値で考えられる問題を決定木を使って考察する），戦略を立てる（データをもとに，回帰分析など用いて現状の把握や課題発見，今後の方策を検討する）など，数学が問題解決（意思決定）に果たす役割ごとにいくつかテーマを設定し，テーマに関わる問題を（関連するものも含めて）取り上げる形で授業を構成した．
事例⑤（1 年生理系向け（後期・必修）科目）
この科目は理系の 1 年生において専門に向けて意識を高める科目として構築している科目である．このような専門との関係をつなげる科目においては，基礎の教員だけで議論して学27

習内容を決めても長続きはしないことが多い．このような科目では専門基礎にかかわる教員
から専門にかかわる数学としてどのような分野を取り入れればよいかを調査することが必要である．そのため，この新しい科目を作成する際には，担当する教員と関係する専門の教員も入ったワーキングチームを作り，どのような学習内容にするかを，どのような学習項目を採用するかを専門の教員の了解を取りながら作成した．また，授業の中で取り上げるトピッ
クに関しては専門の教員からもらって，そこの数学的な内容を取り入れていくことになる．
具体的な構築方法としては専門として必要な学習項目をピックアップし，そこに必要な数学的知識を前もって学習し，その応用として専門のトピックに取り組む流れを構築した．
事例⑥（1 年生理系向け（後期・選択）科目）
この科目では 1 年生のデータサイエンス実践能力を育成するための各部共通選択科目として構築した．この科目ではデータサイエンスの基本的な考え方を学ぶとともに，世の中にある様々なデータをピックアップし，分析することを目標とした科目である．この科目を作成するにあたっては，担当教員の中の代表者が授業の構成と内容を案として決めたものを，担当教員全員で議論し，決定した．この科目では，15 回中最初の 10 回を個人活動として，
データ分析のための数学的知識とプログラミングも含めた分析技法を学ぶ．そして，学んだ知識をもとに，後半５回でチームを組み，目的を設定し分析する取り組みを行うものとした．
なお，後半の分析ではすべてをチーム学習として実施するとともに，チームごとにポスター
セッションによる発表の形式を取った．

Q2-5: 習ったことの応用として学ぶのか（使う数学は事前に学習していることが前提か）
答えから言うと NO です．Q2-3(2) で紹介したように，単元の導入問題として，その単元での学習目標である数学的概念の学習前に応用場面から始めることもできますし，学習の動機づけの面ではその方が好ましいこともあります．実践事例の中には，現実的な課題状況での問題解決を通して，そこで出てきたものを概念化することにより新しい数学概念を学ぶという順序で学習が進む授業もあります．たとえば，第 4 章に掲載した問題 4-2-7 を使って下図に示すような授業を行うことで，行列の固有値・固有ベクトルを未学習の学生に対して，固有値・固有ベクトルを発見的に教えるような授業も可能です．

第2章

28

授業の作り方・教え方

Q2-6: どういう問題・教材がよいか
身の回りでおこるさまざまな自然現象や人間の活動が引き起こす現象を数学的な問題としてとらえる過程は理系の専門課程で用いる問題解決の考え方と同じであると言えます．このことから，理系の場合においても文系の場合においても，目の前の現実場面で起こる一般的な問題をピックアップすればおのずと教材は作成可能でしょう．
ただ文系の場合は数学を現実的な問題解決のツールとして認識させることが第一の課題になるので，たとえば数学を使って初めて意思決定やリスク管理が可能になるような事例をリアルな文脈のなかから選ぶとよいかもしれません．とくに経験を共有できる身近な場所で起こった出来事（問題 2-6-1）や誰もが関心をもっている話題（問題 2-6-2）は題材に適してい
るといえます．統計量を扱うなら，それを通して社会の実相が見えるような例（問題 2-6-3）
を選ぶとよいでしょう．
問題 2-6-1

感覚的なものを数値化して理解させる問題

29

気象庁のデータによると，1995 年から 2021 年までの 27 年間の名古屋市の 9 月の降水量は平均 223.7mm，標準偏差 143.3 mm でした．特筆すべきは 2000 年 9 月で，1 か月に707.5 mm も降りました．これは東海豪雨（2000 年 9 月 11 日〜12 日）によるものです．東海豪雨では 24 時間に 534.5mm もの雨が降り，1 時間の最大雨量は 97.0mm に達しました．
名古屋駅を中心とする 1km 四方はこの豪雨で大きな浸水被害を受けました．
問１． 降水量が正規分布に従っていると考えると，東海豪雨のような大雨が降る確率はどれくらいか．
問２． 上の結果からみて，過去 27 年間の降水量の分布が正規分布に従っているという仮定は妥当か．理由をつけて答えなさい．
問３． これほどの豪雨は滅多にないとはいえ，備えは万全であるべきです．一つの方策は地下に巨大な貯水槽を設置し，あふれた雨水を一時的に誘導して大規模な浸水を防ぐというものです．東海豪雨を参考にして，名駅地区にはどれくらいの容積の貯水槽を設けるべ
きか答えなさい．
問題 2-6-2

簡単なモデル化と意思決定を含む問題

ウィルス感染が集団のなかに拡がっていく様子を簡単なモデルを使って調べようと思います．いま１人のウィルス保有者が半径 50 センチ以内にいる 4 人に感染を拡げる可能性があるとします．ウィルスが伝搬する確率は接触時間とともに増大し，伝搬したウィルス
が免疫系を突破して初めて感染が成立すると仮定します．その確率が感染確率です．接触
時間が 30 分に満たないときはウィルスは伝搬しないものとします．
接触時間

伝搬確率

感染確率

t < 0.5h
0.5h < t < 1.0h
1.0h < t < 2.0h
2.0h < t < 3.0h
3.0h < t < 4.0h

0.0
0.3
0.4
0.6
0.8

0.0
0.5
0.5
0.5
0.6

ウィルスの保有者はコンサート会場やパーティー会場などの人が集まる場所にいて，固定席に座っているか，30 分ごとに席を変えるかのどちらかとします．それぞれの場合に，3時間で何人が感染すると考えられますか．またこの結果から，ワクチン接種はどのような年代から優先的に進めるとよいか答えなさい．このモデルに問題点があるとすれば，それは何でしょうか．
問題 2-6-3

統計量の基本的な意味を問い，活用法を理解させる問題

金融広報中央委員会「家計の金融行動に関する世論調査」（2019 年/令和元年）∗ によると，2 人以上世帯の金融資産保有額は，世帯主の年齢が 40 歳代の世帯では 1 世帯あたり平均が 694 万円で中央値が 365 万円，50 歳代の世帯では 1 世帯あたり平均が 1194 万円で中央値が 600 万円，世帯主が 60 歳代の世帯では 1 世帯あたり平均が 1635 万円で中央値が 650
万円，70 歳以上では平均が 1314 万円で中央値が 460 万円でした．なおこれらは金融資産

第2章

30

授業の作り方・教え方

非保有世帯を含む平均と中央値です．これらのデータからどんな家計の姿が見えますか．

(*) https://www.shiruporuto.jp/
意思決定の必要に迫られている状況では， 必ずしも明確ではない要素があってもある程
度見積もりをしたうえで判断したり，状況に応じて見積もり自体を見直して再検討したりすることが重要であり，その際にも数学的に考えることは役に立つことを実感させられると良いでしょう．以下にそのような問題を二つ紹介します．
問題 2-6-4：将来遭遇するかもしれない場面を想定した問題
あなたは自動車事故の被害者側の弁護士ですが，加害者側の示談の申し込みを受け入れたほうがよいでしょうか？

• 裁判を起こして，逸失利益（※）も含め，完全に勝利する可能性は 50%で，100 万円を受け取る• 勝利するが逸失利益までは認められない可能性は 30%で，賠償額は 20 万円• 敗訴する可能性は 20%で，1 円の請求も認められない• 裁判には 10 万円の費用がかかる• 加害者側は 40 万円で示談を申し込んできている（※）事故に遭わなければ得られたであろう利益問題 2-6-5：条件設定によって結論が変わり得る，いろいろな考え方があり得るような問題

2019 年に，後に「老後 2,000 万円問題」（※）とよばれるようになる問題が提起されました．この問題には，年齢，貯金，借金，年収，生活費，家賃（持ち家，賃貸），家族構成など，いろいろな状況が関わってきますが，いずれにしても，早くから計画を立てておくことの重要性が指摘されています．
ここで，将来に向けて資金を蓄えておくことを考えるとして，連続複利式を用いた場合，年利，元本，運用年数をどのように設定するとよいでしょうか．
（※）金融庁の金融審議会「市場ワーキング・グループ」は，「老後 20〜30 年間で約1,300 万円〜2,000 万円が不足する」という試算を発表．夫 65 歳以上，妻 60 歳以上の夫婦のみの無職世帯では毎月約 5.5 万円の不足が生じるため，20〜30 年間の不足額が
約 1,320〜1,980 万円に上るという試算に基づく．

問題 2-6-6 2015 年末の記事を読んで，記事の時点で 2016 年度からのシカの捕獲計画を立てるとしたら，どのような計画を立てるべきか考えてみよう．なお，個体数の推定値は，2015 年末の時点では 2011 年度までのデータしかない．
【資料：朝日新聞 2015.12.24 朝刊・社説（以下には要点のみ抜き出して示す）】
野生動物による被害人との関係結び直すには31• 日本各地でシカやイノシシなどの野生動物による被害が目立っており，農業被害は年間 200 億円程度に達する．

• 2011 年度現在のシカ・イノシシの推計頭数はそれぞれ 325 万頭，88 万頭である．

• 環境，農林水産両省はこれらのシカ・イノシシを 2023 年度までに半減させるという目標を掲げており，全国の自治体が捕獲活動を強化している．

• 放っておけばシカは年 20%程度の割合で増えるといわれている．
また学生が身近に感じる問題にも色々なタイプの問題がありますが，次のようなタイプの問題は医療に関するニュースを批判的に読む訓練としても有効でしょう．この例は教材を上手に選べば数学が社会の様々な問題を考えるために有効であり，また時には不可欠のツールであることを学生に実感させられることを示しています．
問題 2-6-7 以下の記事を読んで，このがん検査の有効性を検討してみよう．
【GigaZine 2021 年 06 月 28 日 16 時 00 分掲載（以下には要点のみ抜き出して示す．詳細はリンク先の情報を参照．）】

50 種類以上のがんを検出できる画期的な血液検査がいよいよ大規模テストの段階へ• アメリカのスタートアップ企業 Grail が，2020 年に「AI を用いて 50 種類以上のがんを検出できる血液検査」を開発した．

• Grail の血液検査は，がん患者全体に対して平均 51.5%の感度でがんの存在を検出し，がん患者でない人のグループでは 99.5%の特異度でがんではないと診断したと発表されている．

• がんのステージ数ごとや部位ごとの感度のデータも公表されている．（これらのデータはインターネット上で簡単に入手できる．）

https://gigazine.net/news/20210628-50-types-cancer-blood-test/[用語]
感度=がんである人が陽性と診断される割合 (=陽性判定の正確さ)
特異度=がんでない人が陰性と診断される割合 (=陰性判定の正確さ)

この手の例では，乳がんのマンモグラフィー検査の議論が有名です（問題 4-3-1）．新型コ
ロナウイルスに対する PCR 検査や抗原検査を題材にしてもよいでしょう．
身近な問題であり，かつ，直感で考えると間違えやすいものとして，第 1 章で挙げたシェ
ア動向の問題や COVID-19 の感染拡大の問題を挙げることもできます．
一方，理系の場合には，たとえば工学的な問題を数学的な問題としてとらえる練習を行うことになりますから，専門の学習項目につながりやすいあるいは専門の問題そのものを教材

第2章

32

授業の作り方・教え方

として選ぶことも可能です．以下に比較的身近な話題からかなり専門的な話題まで，いくつかの例を紹介します．
例えば身近な問題として以下の三つの問題を挙げることができます（問題 2-6-8, 問題 2-6-9,
問題 2-6-10）．
問題 2-6-8：地球環境に関する問題（指数関数に関する理解と活用）（1） ある地域の 4 月の平均気温が，一定の温度ずつ毎年上昇していると仮定する．この場
合 2021 年 4 月の平均気温を T0 (◦ C) とし，毎年 ∆T(◦ C) ずつ上昇する．

(a) n 年後の 4 月の平均気温 T(◦ C) を式で表せ．
(b) T0  15.0(◦ C)，∆T  0.015(◦ C) としたときの，10 年後と 100 年後の T(◦ C) を求めよ．
(c) T(◦ C) が 16.0(◦ C)，18.0(◦ C) を超えるのは何年後か（2） ある地域の 4 月の平均気温が，一定の比率で毎年上昇していると仮定する．この場合2021 年 4 月の平均気温を T0 (◦ C) とし，毎年 r(%) ずつ上昇する．
(a) n 年後の 4 月の平均気温 T(◦ C) を式で表せ．
(b) T0  15.0(◦ C)，r  0.1(%) としたときの，10 年後と 100 年後の T(◦ C) を求めよ．
(c) T(◦ C) が 16.0(◦ C)，18.0(◦ C) を超えるのは何年後か．
(d) 2021 年 4 月から 2121 年 4 月までの平均気温の変化をグラフに示せ．
問題 2-6-9：日本の人口に関する課題（指数関数に関する理解と活用）
日本の子供（15 歳未満）の人口は減り続けている．2021 年 5 月 10 日の日本の子供の数
は 1500 万人である．

(1) 毎年 12 万人ずつ減り続けると仮定したときの n 年後の子供の数 p 万人を式で表せ．10
年後と 100 年後の子供の数はどうなるか．また，この場合 1000 万人を割るのは 2021 年 5月から何年後か．

(2) 毎年 0.70(%) の割合で減り続けると仮定したときの， n 年後の子供の数 p 万人を式で表せ．10 年後と 100 年後の子供の数はどうなるか．また，この場合 1000 万人を割るのは2021 年 5 月から何年後か．
問題 2-6-10：哺乳類の大きさと心拍数（生物学の観点から指数関数の理解と活用を考える）
哺乳類にはハツカネズミのような小動物からぞうのように大きな動物が含まれる．その動作を観察するとハツカネズミはせわしく俊敏に動き回るのに対し，インドゾウはゆっく
り悠然と動くのがわかる．実は，哺乳動物の大きさと俊敏性のような外観の特性には密接な関係があることが知られている．また，外観の特性のみならず哺乳類の体重と心拍数（1
分間当たりの心臓の鼓動数）にも強い関係があることが知られている．哺乳類の各種動物のそれぞれの平均的な心拍数を y(回/分) とし，体重を x(g) としたとき

y  ax −0.25 （a は定数） · · · · · · ①と表される (参考 1)．
以下の (1)〜(5) を解答せよ．

(1) ハツカネズミの心拍数を 600(回/分)，体重を 30(g) インドゾウの心拍数を 31(回/分)，

33

体重を 3,800(kg) として，このハツカネズミかインドゾウのデータを用いて①式の a の値を求めよ．

(2) 上記 (1) で決定した式について，x  100, 1000, 10000, 100000 のときの y の値をそれぞれ求め，log10 x ，log10 y を計算し，表にまとめよ．

(3) 縦軸に log10 x ，横軸に log10 y をとり，log10 x に対応する log10 y をプロットし，グラ
フに示せ．また，どのようなグラフになるか説明せよ．

(4) 上記 (1) で定めた x の関数 y を x で微分した導関数を求めよ．
(5) 体重が x 0 のある動物の心拍数とその動物よりも大きく，体重が 32x 0 の動物の心拍数について考える．体重が x 0 の動物の体重についての心拍数の変化率 (dy/dx) は体重が 32x ０の大きな動物についての変化率 (dy/dx) の何倍になるか．導関数から導け．
【参考 1】本川達雄「ゾウの時間ネズミの時間」pp.3-4（中央公論新社，2006 年）
機械系の力学に微分の問題を取り入れると次のような問題になります．
問題 2-6-11：高速道路を設計するとき，自動車が走行中に転倒しないように，カーブの曲率半径 ρ について規制がなされている．では，ρ をどのように規制すべきか，カーブを円の一部とみなして，力学的に順を追って考える．
１．運動学の観点から水平面上で等速円運動をする物体（質量 M の質点とみなす）の位置，速度，加速度を定式化しておく．ただし，円の中心 O を原点として直交座標（ x y 座標）をとって考える．

半径 ρ の等速円運動をする物体（質点）の時刻 t における位置座標 (x(t), y(t)) はx(t)  ρ cos ωt, y(t)  ρ sin ωt······①と表される．ただし，ω は角速度（正の定数）である．また，時刻 t  0 のとき (x(0), y(0)) (ρ, 0) として式①が与えられている．
上記の考えをもとに以下の問に答えよ．

第2章

34

授業の作り方・教え方(1) 物体の速度 v  (v x , v y ) は
vx 

dy
dx
, vy 
dt
dt······②によって定義される．ただし， v x , v y はそれぞれ速度の x 成分，y 成分である．等速円運
動する物体の v x , v y を求めよ．

(2) 物体の加速度 a  (a x , a y ) は
ax 

dv y
dv x
, ay 
dt
dt······③によって定義される．ただし， a x , a y はそれぞれ加速度の x 成分， y 成分である．等速円
運動する物体の a x , a y を求めよ．
注：答えから (a x , a y )  −ω 2 (x, y) が成り立つことがわかる．すなわち，等速円運動の加速度ベクトル a  (a x , a y ) は位置ベクトル r  (x, y) と逆向きになっており，つねに円の中心に向かっている（これを，向心加速度という）．

(3) v q

v 2x + v 2y で与えられる v を運動する物体の速さという．また，a q

a 2x + a 2y で与えられる a を運動する物体の加速度という．速さ v および加速度の大きさ a を (1)(2) の結果を用いて求めよ．

(4) 上記 (1)(2) の結果から速度 v の向き，加速度 a の向きは時間とともに変化している．これに対し速さ v と加速度 a の大きさはどのように変化しているか．
２．力学の観点から
物体（質量の質点とみなす）が水平面上で等速円運動するためには，物体の加速度およびその大きさは上記 (2)〜(4) で求めた結果（向心加速度）になっていなければならない．さ
らに，そのためには，力学の基本法則である「運動の第２法則 F  Ma …④」にしたがって向心加速度 a と同じ向きの，常に中心に向かう向心力 F が働いていなければならない．

(3) の結果と式④から質量 M ，速さ v の物体が，半径 ρ の等速円運動をするために必要な
2

向心力の大きさ F を求めると F  M vρ （… ⑤）が得られる．

式⑤の向心力の大きさ F を何から得ればよいか．ここでは，水平な路面上の自動車が曲がる場合を考えているので，路面から受ける摩擦力を利用して向心力とする．その大きさが最大摩擦力以下であれば車はすべらない．自動車と路面の摩擦係数を µ とし，重力加速度の大きさを g とすると

F ＝ M g （…⑥）である．

35（5） 式⑤と式⑥から円の変形 ρ を式で表せ．
（6）実際の路面と自動車のタイヤの間の静止摩擦係数は（雨天）0.4 ≦ µ ≦ 0.9（乾燥）の範囲にあるという．ここでは各自摩擦係数を設定し，以下の問題を考えよ．なお，重力加速度の大きさを g  9.8(m/s2 ) とする．

1) v  100(km/h) のときの ρ の限界はいくらか
2) v の数値をいろいろ変えて「 v に対する ρ 」の表を作り，グラフをかけ．この結果から一般道路では曲率半径をどれだけにすべきかを考えよ．

1 変数関数の積分において，建築学・土木工学の構造力学や機械工学の材料力学で扱われる問題を取り入れると，次のような問題が考えられます．
問題 2-6-12 下図に示す半径 r の円形断面の x 軸に関する断面 2 次モーメント I x を求めよ.

y

r

dy
dθ

y

θ
O

r
x

円形断面の面積を A, 問題図中の斜線部の微小面積 (面積要素) を dA とする. この dA の,ππθ が − から まで動いたときの和が A となることに注意する (このことが後半の積分範
22囲を考える際に必要). dθ が微小であれば, dA は下図の台形の面積に近似できる (下図では分かりやすいよう dθ を大きくしている). 以下, 微小の計算では近似記号 ≈ を使わずに等号 を使うことにする.

第2章

36

授業の作り方・教え方yrr cos (θ + dθ)Qr cos θ dθdy

θr cos θ

r dθ

P

dθ
θ

r
x

O

まず dA を r, θ, dy で表せば

dA 



 r

2r cos (θ + dθ) + 2r cos θ

|

{z



上底

} | {z }1|{z} 2· dy ·下底

高さ

cos (θ + dθ) + cos θ dy  rcos θ cos (dθ) − sin θ sin (dθ) + cos θ dyとなる. ここで, dθ は微小であるから, 弧 PQ (  r dθ ) を線分 PQ に近似することによって, 線分 PQ の cos θ 倍が dy になることから (前出の図参照), 以下のように考えられる.

dy  r dθ · cos θ  r cos θ dθ
また, 同じく dθ は微小であるから cos (dθ)  cos 0  1, sin (dθ)  sin 0  0 とすれば,

dA  r rcos θ cos (dθ) − sin θ sin (dθ) + cos θ dy

cos θ · 1 − sin θ · 0 + cos θ r cos θ dθ  2r 2 cos2 θ dθが得られる. よって, 求める x 軸に関する断面 2 次モーメント I x は∫ π∫y dA 

Ix 

2

A

∫ π
 2r 4

2

− π2

2

− π2

( r sin θ )2 ·| {z }



2r 2 cos2 θ dθ|ysin2 θ cos2 θ dθ である.
この項の参考文献：[1] 藤本他著「基礎から学ぶ構造力学」(森北出版)

{z

 dA

1 4
πr
4

}



37

Q2-7: 教材はどうやってつくるのか，選ぶのか教材となる題材については，まずは，教員自身の専門知識や，これまでの取り組みで得たさまざまな経験の中から探すことが考えられます．時には，同様の取り組みをしている他の教員の実施例なども参考になります．今日では，書籍や新聞，雑誌，ネット上のニュースや各種の記事からヒントを得ることもできます．しかし，このようにしてよさそうな題材を見つけたと思っても，そのままでは授業で使えないことも少なからずあります．そこで，授業で扱えるような（教材化できるような）題材を探すためには，二つのアプローチを意識するとよいでしょう．一つは，学生の興味を引きそうな現実問題を探してそれを数学化できない
か，レベルを調整して教材化できないかを考えるというアプローチ，もう一つは，数学のト
ピックを定めてそれが応用・活用される専門分野や現実世界での問題場面を探すというアプローチです．いずれにしても，あらゆるところに題材となる事柄は転がっているので，問題になりそうなものがないか，常にアンテナを張っておくことが大切です．
一つ目のアプローチでは，学生が取り組みやすい（馴染みのある）文脈であることを重視しつつ，学生の実状も踏まえて数学的な考察がどこまで可能か（あるいはどのようにした
ら可能になるか）を吟味します．例えば，文系の場合，極限値を求めるような問題であれ
ば，きちんと極限の計算をさせるか，あるいは計算は省略し結果を提示することにとどめて概念的な考察に注力するか，といった扱いを調整します．計算が煩雑になるような場合
は，電卓やエクセル，あるいは数式処理ソフトウェアや統計ソフトウェア，Web 上のツール（Wolfram|Alpha など）を使ってもよいことにする，問題の数値を簡単にする，複数ある
条件を減らすなどによって作業負担を軽減させることも検討します．また，第 1 章で挙げた

COVID-19 の例（Q1-1 の事例②）のような場合，専門家が使う SIR モデルはかなり高度なため，使用するモデルのレベルを適宜調整します．例えば，文系向けや微分方程式を未習の理工系学生を対象とする場合は，Q1-1 の事例②で述べたような指数関数的増加の見極めや指数関数によるモデル化に片対数グラフを利用する教材にまで単純化することを検討します．
理工系で SIR モデルを用いるときも，SIR モデルを使ってどのように分析するかについて，差分化して差分方程式を使ったシミュレーションに誘導するなどの検討が必要になります．
二つ目のアプローチでは，授業で扱う数学的な内容を活かして問題解決できるような題材を探しつつ，その題材を扱う授業の構成についても留意します．例えば，理系の場合，専門基礎の分野におけるさまざまな現象を物理的，数学的に捉える場面から題材を見つけることができますが，物と物がぶつかることを一つのテーマと考えたとき，車の衝突（問題 2-7４），ビリヤードゲームの玉突き，ゴルフのティーショットなどいろいろな問題から問題をモデル化してそこから数学的な解析にもっていくことが可能です．ここで挙げた問題をどのように簡単化しモデル化するか，どんな物理や数学を使うのか，その解析によってどんなことがわかるのかを順序だてて，教材として作成していくことになります．おおよその教材が作成出来たら，受講生の専門や関心を意識し，専門分野や現実世界でどのように使われているかを調べ，うまく適用できるものは取り込みます．必ずしも受講生の専門と合致しない応

38

第2章

授業の作り方・教え方

用例であっても，他分野や現実社会でも数学が使われることを示すことは受講生のモチベー
ション向上につながるので，積極的に取り入れます．数学科以外でも意欲的な学生に向けては，数学科で扱うような ε-N 論法による数列の極限や微積分学の基本定理の証明などを取り入れて，より興味を持たせる工夫も考えられます．
授業の中で教材をどう位置づけたらよいかわからないような場合は，自分が授業を進めや
すい流れ（導入・定義・例題・問題演習・解説など）を考え，導入時に応用例を出した方がいいのか，あるいは問題演習後の応用例として解かせるのがいいのかなど，状況に応じて判断します．指定の教科書などがあれば，例えばワークシート形式のプリントを作るのがよいでしょうし，教科書がなければ定義なども授業プリントに記しておくことで，受講生の板書の時間を減らし，内容理解のほうに意識を集中させることができます．文系のように扱える数学が限られていたり，題材によっては数学的なレベルの調整がしづらいような場合は，導入や例題で考え方を紹介しておき，問題演習では問題の条件を変更したり，同様に考えられる他の場面を探させたりすることも考えられます．現実場面に数学をどのように応用できるかを考えることを重視する立場からみれば，扱う数学的な内容は限られていてもよく，むしろあえて限ったほうが活用の仕方のほうに意識を集中できるよさもあると言うことができます．
・例 2-7-1：身近な話題の検証
半年間の授業で，学生は正規分布，標準偏差，Z 値などを学ぶので，主にこれらが使える問題を作っていますが，統計データの吟味という観点から数学的モデル化も題材に入れています．問題作成に当たっては，自分が見聞した出来事の真偽や経緯やしくみについて，量的な面まで理解し納得できるかを自問してみると，どの部分が問題になるかが見えてきます．例えば，「「百年に一度の大雨」というが，本当に百年に一度の確率か？」（Q2-6 の問題

2-6-1），「高齢者からワクチン接種を進めるというが，この方針は合理的な根拠をもつか？」（Q2-6 の問題 2-6-2），「日本人は貯蓄率が高いという話にリアリティーを感じるか？」（Q2-6の問題 2-6-3），等々．
また，現実に起こった出来事について試算する際は単純化が必要になるので，数学的モデル化を含む課題は比較的容易に作ることができます．例えば，Q2-6 の問題 2-6-1 では降雨量の分布が正規分布に従うと仮定して計算すると東海豪雨はほぼ起こるはずがない災害であったことがわかります．この結果は，近年の降雨量の分布が過去の分布とは変わってきているのではないかとか，月ごとに降雨量をまとめる統計の取り方に科学的合理性があるのかなど疑問を抱きます．また，地下貯水槽の設計を通して豪雨の恐ろしさを直感的に理解することもできます．様々な検討の余地があるので，この問題はグループワークの教材として利用でき，背景説明やグループごとに意見をまとめる時間などを合わせると，90 分の授業時間にうまく収めることができます．なお，授業では入手可能な過去 100 年分のデータを与え，学生にデータ整理からさせています．
・例 2-7-2：シカの捕獲計画

Q2-6 で挙げたシカの問題（問題 2-6-6）の場合，Google 検索で環境省のウェブサイトに

39

データがあることがわかりますが，検索で出てくるのは報道発表資料のため，報道発表資料
を年ごとに遡って，ほしい年度のデータを見つける必要があります．そうやって探していく
中に，記事に出てくる「放っておくと年 20 ％増加」に関する記述がみつかったり，環境省
が個体数をどう推定しているかの数式がみつかったりします．個体数の推定方法の資料か
らは，個体数 (翌年) 個体数 (ある年)× 自然増加率 − 捕獲数
個体数 (翌年) 個体数 (ある年)× ある年と翌年の指標の変化率という二つの数式を使って推定していることがわかります．とくに上の式が使われていることは，a n+1  pa n + q のタイプの漸化式によるモデルが実際の分析で使用されているモデルとそうかけ離れたものではないことを示唆しています．授業で扱うモデル化が実際のモデルと近いことはよい教材の条件の一つであるため，このことからシカの問題が AML 教育の教材として適していると判断でき，漸化式によるモデル化を想定した授業作りへと進むことになります．環境省には，この記事以降に更新された各年度のシカの個体数の推定値の発表資料もあるので，学生にモデル化させてある程度議論が進んだところで，直近の発表資料をつかってモデルの検証をさせることも可能になります．
・例 2-7-3：がん検査

Q2-6 で挙げた AI によるがん検査の問題 (問題 2-6-7) は，ベイズ推定を使う典型的な問題であり，最新の医療診断技術を報じる記事にしばしば出てくるものです．医療診断の題材は高校の数学 A の教科書にも掲載されていますが，高校では感度と特異度が等しいと仮定した単純な状況設定で扱われています．したがって，AI によるがん診断のような感度と特異度が異なる問題は大学レベルの教材といえますが，文系向けの統計学の授業の中でも扱われる程度の複雑さなので，文系向けの授業でも十分に扱えると判断できます．病気の検査の問題をベイズ推定を使って確率的に議論するためには，罹患率（または有病率）・感度・特異度のデータが必要ですが，通常の記事にはそれらのデータが揃っていることはまれなので，記事のもととなった発表資料や論文などにあたる必要が出てきます．AI によるがん診断の記事は，こういう類の記事には珍しく感度・特異度が示されていますが，その一方で，罹患率のデータがありません．罹患率のデータは Google 検索などでみつけることが可能ですので，学生に探させることも可能と判断して，あえて問題中には入れずに教材化しています．
普段から教材のネタを探しながら生活する中で，例 2-7-2（問題 2-6-6）では新聞，例 2-7-3（問題 2-6-7）ではネットニュースで見かけて，題材として適していると考え，教材化しました．このような問題は，高校レベルの数学の応用でモデル化可能なので，文系学生向けでも数学的なレベル調整はそれほど必要なくそのまま使えます．これら二つの問題の場合，教材化のハードルは，学生に使わせるデータを入手するところにあります．学生が演習を行うのに使えるデータが公開されているか，そのデータを使って学生が数学的モデルを作るとして十分な精度の議論が可能なのかをチェックする必要があります．
・例 2-7-4：車の衝突

第2章

40

授業の作り方・教え方

問題 2-7-4 大型車（A:2000 kg）が先行の小型車（B:800kg）の速度に合わせて平らな道路を 40km/h で走行している．ある瞬間，大型車の運転手が先行の小型車が急ブレーキをかけたことに気づき，急ブレーキを踏んだ．両者は急ブレーキをかけた瞬間からタイヤが停止し滑り出したとする．この 2 台は急ブレーキからどのような速度変化で停止するか．もし，衝突を回避できるとしたら，車間距離を 30m とすると大型車の運転手が小型車の急ブ
レーキに気が付くまでの時間はどの程度許されるのか．なお，タイヤの制動性能は同じで運動摩擦係数は 0.9 とし，車の長さを大型車 5.0m，小型車 3.0m とする．

この問題においては，小型車がブレーキをかけるまでの時間差を考えることを問題としていますが，車間距離を問題にすることや二つの関係を考えさせることも可能です．また，条件設定をいろいろ変えることや，衝突後の運動を考える問題にもすることができます．問題に取り組む際には，まず条件を把握し，その中でどのように問題を単純化（モデル化）していくかを考え，数式として表すかを考えていきます．
さらに，車の空気抵抗などを考えた場合，詳細に流れを書くと，以下のような問題の形式でも作ることができます．
・例 2-7-5：車の空気抵抗問題 2-7-5 有名な車のレースであるル・マン 24 では車の最高速度は 320km/h にも達し，
その平均速度は 240km/h にもなる高速サーキットです．このような高速になると，空気は大きな抵抗として壁のように立ちはだかります．

物体がある速度 v で移動するとき，速度が大きい場合には空気抵抗は1dx
F  πρ 0 a 2 V 2  α′
4
dt

2

となり，速度の 2 乗に比例すると言われている．ここで，ρ 0 は空気の密度，α′ は抵抗係数である．もし，320（km/h）で走っていたレーシングカーはどの程度の空気抵抗を受けるのかを考え，そのうえでアクセルを踏むのをやめたとき，空気抵抗でどんな減速をするかを考えてみよ．
この問題においては，空気抵抗がどの程度影響するのかを考える問題にしてあります．実
際自転車をこぐとき，速度が速ければ速いほど空気抵抗が大きくなって速度を上げにくくな
ります．また，速度が速い時には体をかがめて空気抵抗を小さくする努力をします．このよ41

うな経験をきっかけに，空気抵抗がどの程度影響するのかを考えていきます．実際の問題では車を単純な形状の物体と考え，微分方程式を立てて，いろいろな条件を設定し，速度を解析していきます．その中から，工学的な現実の問題をどのように簡単化（モデル化）し数学的な計算をするのかを考えていきます．

Q2-8: 正直言って自分で教材をつくれる自信がないがどうしたらよいか
気にすることはありません．すでに色々な大学・高専で開発され，授業実践で使われている問題や教材がたくさんあります．このハンドブックの後半にはそういう事例を掲載しています．まずはそういう既存の問題や教材を使うことから始めるとよいでしょう．既存のものを使っているうちに，自分でアレンジしてみたくなったり，新しく作ってみたくなったらチャレンジしてみるというくらいの軽い気持ちでいればよいと思います．自分で作る際には，一人だけで考えるよりも，他の教員と一緒に考えたり，アイデアを聞いてもらったりな
どするとよいでしょう．ハンドブック執筆メンバーに連絡いただければサポートいたします
し，私たちの取り組みに加わっていただけるのでしたら嬉しい限りです．

Q2-9: どういうレベルの数学を扱えばよいか
大学の授業ということで，現実場面で活用する数学も，大学で学ぶ数学でないといけないのではと考える人も多いでしょう．しかし，日本の大学生の場合，Q1-7 で述べたように，高校までに学ぶ数学の知識を現実場面で活用できていないという現実があります．高校までの数学の授業では，近似や単純化をして自分で数学の問題として扱える形に整えるということまでは学習できていません．したがって，高校までの数学が活用される問題を用いて，近似や単純化をして自分で数学の問題に整えること (数学化すること）を学ぶことも大学の授業として重要な学習内容になります．この意味で，数学化の際に用いる数学が，大学の数学の内容である必要はないと言えるでしょう．もちろん，大学レベルの数学（線形代数や微積
分や微分方程式など）もその活用とともに学んでいくことが望ましいので，学生の実情やカ
リキュラムの実情に合わせて，高校以下のレベルから大学レベルまで幅広いレベルの数学がAML 教育の対象に含まれると考えてほしいところです．むしろ，数学としてどのレベルというよりも，数学を活用する場面での「数学的モデル化の思考過程」に焦点を当て，現象を数量でとらえる (とらえようとする)，関数的にとらえる，確率的にとらえる，などの見方を現実場面で発揮できる能力と態度の育成を重視するほうが AML 教育としてにふさわしい教
育と言えます．

42

第2章

授業の作り方・教え方

Q2-10: 授業での演習を学生にどのようにさせるのがよいのか
演習のやり方はいろいろありますが，最も大事なことは，学生が演習内容の意味や必要性を理解して主体的に取り組めるようにすることです．そこで身に付けさせたいことは何かを考えながら，演習の形式 (一人でさせるのか，ペアでさせるのか，グループでさせるのか) も選択していくことが大切となります．AML 教育が扱う数学の活用場面では，多面的に考える必要があるので，多様な考えが出ること，多様な考えに触れること，が大事ですので，複数の学生が考えを出し合う学習環境を構築することが大事になるでしょう．計算などは個人の活動を基本としつつも，クラス全体でディスカッションしながら，少数の学生から出たア
イデアを全員で共有することで進めることもできますし，初めからグループで学習させることでチームで互いに理解を助け合いながら進めさせることもできるでしょう．グループワー
クについてはこの後の項で詳しく説明しますので，参考にしてください．

Q2-11: グループワークは必要か（数学は個人で学習するものでは？）個人として数学に取り組み計算力を高めることも一つの学習のあり方ではありますが，実際の世の中の問題をモデル化し分析していくためには，単に計算問題を解く能力ではなく問題をモデル化し論理的な思考のもとに解決していくことが重要となります．そのため，問題に対してどのように取り組むか，どのように解決していくかを考えるときには個人で考えるのではなく，他人の意見を聞き，グループとして考えを深めながら，解決策を模索していく
ことで，個人で考えるより気づきにくいことに気づけることが期待されます．実際，現実世界ではチームで問題解決をすることがほとんどですから，数学的モデル化に取り組む学習場
面でも同様と考えてみれば良い訳です．
また，グループワークでは，教え合いが活性化されて数学が苦手な学生の理解度が上がるといった効果も期待されます．独力で何も見ないでできる力を意識して授業展開するというよりは，必要ならば他人の力を借りたり，外部の資料にアクセスして新たに勉強したり (その際に他人に教えを乞うてもよい）して問題解決に当たれる力を意識するということになります．同様に教えることも大事な学びになります．自分の考えを整理して他者にわかるように伝えることで学生自身の理解が深まります．多様な考えに触れることができるというのもグループワークの利点で，数学で考えて得られた解答がたとえ同じものであっても，その根拠が違っていたり，検討の観点によっては違う結論や解釈に至るリアルな学習環境が生まれます．また，シミュレーションなどにおいてなるべくリアルな状況を設定する際は，複数人で考えたほうがよりよいものにしやすくなります．

Q2-12: グループワークのグループはどう作ればよいか
まず，グループを作る場合どのくらいの人数で実施するかが一つのポイントになります．
３人にすると，１人休んだ場合は２人になってしまいます．また，2 人で話して１人が浮い43てしまうことが多くなり，ディスカッションの形が取りにくいといえます．反対に 6 人以上になると，グループがまとまりにくくなってしまうとともに，フリーライダーが出てくる可能性があります．また，教室の固定した３人掛けの机で実施することを考えると６人以上いると，縦に間延びして相談がやりにくくなってしまう可能性があります．以上の考え方に基づけば，４人から５人がもっともよい人数になるといえます．
チームをどのように編成するかは一長一短があります．学生に自由に決めさせた場合，チームの議論は活発になりますが，「なあなあ」になってしまい，あまり高みを目指さなくなってしまったり，雑談に終始してなかなかまとまらないことも多くなります．またチーム編成の時にチームに入れない学生を出してしまう恐れもあります．反対に教員がチーム編成を行うと，学生のコミュニケーションが進まなかったり，関係をうまく構築できなかったりします．
以上を考えれば，学生の自由をある程度認めつつ，個々の技量，学生相互の関係，グルー
プワークに対する意識，学力などをうまく考慮して教員の判断でチーム分けするのが，最も妥当なチーム編成になると思われます．
具体的な方法としては，ジグソー法で，課題を幾つかの取り組む内容で分け，それを自らの専門分野と設定して，学習成果を持ち寄ってグループワークで共創させるといった方法や，
プレテストやアンケート調査などで事前に理解度が分かるような場合，理解度の高い学生とそうでない学生を混ぜ，相互に教え合う（教える役割・教わる役割）を行いながら，チームを編成していくような方法が考えられます．
注：ジグソー法はアクティブ・ラーニングの実践方法の一つ．課題遂行に必要な取り組み
を複数の学習活動に分け，活動ごとの学習グループを編成して取り組んだ後，それぞれのグループから 1 名ずつが入るように課題遂行グループを編成して，各人が最初の活動で得た知識を持ち寄って課題に取り組む．詳しくは，https://utokyofd.com/tips/post-297/などを参照．

Q2-13: グループワークをうまくやらせる自信がないが，うまくやる
コツはあるかグループワークをうまく行うためには，まずグループ内の緊張感をほぐし，メンバーを理解し親密度を上げておくことが必要です．とくに初対面でグループを作った場合，各個人が遠慮して議論が始まらない場合があります．このようなときは，アイスブレイクが有効になります．アイスブレイクはメンバーの緊張をほぐすとともに，互いの理解を深めることを目的に行うもので，例えば，メンバー同士で自己紹介を行ったり，お題を出して各自に発表させたり，ちょっとしたゲームをすることになります．例えば自己紹介であれば，4 人グループの場合，一人 15 秒で順番に回していくと 1 分で終わります．このように，アイスブレイ
クは短時間でできることをチョイスすることがポイントになります．
実際のグループ活動を行う場合，グループにおける役割分担を明確にさせ，しかもその役割を交代させて，１人 1 人に絶えず何かの役割を担わせることが重要になります．役割分担

第2章

44

授業の作り方・教え方を決めることによって，学生の各自の取り組みを明確にすることができます．教員はグループに対して作業を具体的かつ明確に指示することが大事になります．また，ディスカッションをさせる場合も，何を話し合って欲しいのかを明確にしておくことがポイントになります．学生にとって難しすぎる課題だとグループワークが停滞気味になる傾向があるので課題のレベルの調整が重要になります．また，各グループの作業だけで閉じさせるのではなく，グループワークの結果をクラスで共有することも議論を深める手段となります．
グループ活動はファシリテーターの助言や介入のよしあしで議論の盛り上がり方がまっ
たく違ってきます．そのため教員はグループワークでの学生の行動・思考を予測してどこでどのような介入をし，アドバイスをしたらよいのかをあらかじめ考えて，グループの活動を
ファシリテートすることが大事になります．想定した結論に無理に誘導せず，話が盛り上がるままにするほうが気づきが生まれてよい場合もあれば，グループで議論がまとまらないこともあります．いずれにせよ，オープンに意見を言える環境を作ることが大事で，まずはこ
こから始めればよいでしょう．自分の想定外のことが起こることを楽しむくらいの気持ちで気軽にやるのがよいと思います．教員もある程度失敗しながら学んでいくことになります．
やっていくうちに教員としてのスキルも上がっていくものです．
以下はグループワークの内容に関する Tips になります．

1. グループワークは時間が長いものを 1 回ではなく，作業時間を区切って短いグループ
ワークを複数入れるほうがやりやすい．

2. 数学的に重たいものだけでなく，データをとる作業や集計作業，シミュレーションの計算を分担するとか，直感で予想するディスカッションとかのように，数学的に高度な内容を含まないグループワークやディスカッションを取り入れていくのもよい．

Q2-14: ICT ツールの活用の仕方としてどのようなものがあるか
数学のような体系的な学問では，知識の習得，活用，応用といった段階的な学習プロセスを経るのが一般的です．AML 教育では必ずしもこの流れで学習を設計しませんが，習得・活用・応用のうちのどの場面かを意識して各場面に応じた ICT の活用を考えるとわかりやすいです．知識の習得のフェーズでは，ICT 活用のメリットである効率性が発揮されます．具体的には，授業外での知識の習得に向けた Web テストやドリルでの活用です．作成や教材選
択の時間は要しますが，一度授業に組み込めば，復習や予習での活用が可能になります．とくに最近では初等中等教育での GIGA スクールの動きに呼応して，Google フォームを使って簡単なテストを作成し，授業の宿題などで活用する事例も増えてきました．文部科学省では，国や地方自治体等の公的機関等が作成した問題を活用し，学習やアセスメントができる

CBT(Computer Based Testing) システムである「文部科学省 CBT システム (MEXCBT：メクビット)」を開発しており，今後多くの教育機関にも公開されることになるでしょう．高等教育機関では，Moodle [1] などのラーニングマネジメントシステム（LMS）が導入されている事例も多く，とくに，コロナ禍の大学教育では，自作のオンライン教材を作成し，オ45

ンデマンドでの授業実践を行った教員も多かったことでしょう．こうした経験からお分かりのように，教材の準備に時間を要しますが，自分のペースでの反復的な学習が可能で，知識の定着には適した教育手法といえます．
知識の活用というフェーズでは，主に ICT を授業中に行うことが多くなります．シミュ
レーション機能を活用して，グラフを動かしてみたり，数値的に値を変化させて結果を予想するなど，試行錯誤を伴う活動に適しています．こうした道具は，授業設計的には，個人で行うワーク以外に，グループ活動の中で多様な結果を出し，それを持ち寄って途中のロジックを考えたり，結果を予想したりすることで，自ら得た数学の知識を効果的に活用させる授業設計が重要となるでしょう．
数学活用やモデリングの授業では，知識の定着から活用を経て，実際の社会課題や自然科学的な課題に適用する，知識応用のフェーズが重要となります．ここでの ICT 活用も様々考えられますが，例えば，実際の課題を解決するには，数学だけではない異分野の知識の融合も必要で，Web を活用した情報活用能力も重要な ICT の素養となります．昨今の初等中等教育での学習指導要領の改訂に伴い，高校の教科情報が必修になりましたが，ここでも主要なテーマが科目を横断した情報活用能力が重要となっています．数学の知識を数学の中だけで活用するのではなく，様々な社会に適用する試みを積極的に行うためにも，上手に Webなどを活用して事例の創出と共有が，授業改善的にも重要となります．

事例①
授業後の基本事項定着のために LMS 上で何度も受験可能なドリルを用意している．それとは別に，LMS 上に一発勝負の小テストも用意して緊張感を持たせている．複雑な内容を講義するときは，対面であったとしてもオンデマンド用のビデオ講義を作成し，受講後に繰り返し視聴できるようにしている．対面試験の代替として，LMS 上で時間制限を設けて試験問題を公開し，解答をノート等に手書きさせてその答案画像を LMS で送付させたこともある．まだ試してはいませんが，短いビデオも LMS で提出させることができるため，口頭試問のように問題の解答解説を受講生にビデオで収録させ，それを提出させることも考えている．多変数関数の微積分では，状況を絵にかくことが難しいため，Mathematica [2] などを用いて立体的な画像を見せている．２変数関数の極値問題，条件付き極値問題などは教員のフォロー次第で比較的容易にグラフをかくことができるので，基本を教えて後は各自で問題の答え合わせをさせている．各自が表示させた画像やプログラムは LMS 経由で提出させ
ている．

事例②
ICT を学生にどのように活用させるかに関しては，大学の教室でのネットワークなどの環境，学生が所有しているデバイスによって可能である範囲がかわってきます．学生が全員パ
ソコンを持っていてネットワーク環境にアクセスできる環境がそろっていれば，Moodle や
自前の LMS などを使って学生の行動を把握したり教材配信やレポート提出，意見交換など，かなりの範囲で ICT を活用することができます，また，Box などのクラウドでのファイル共

第2章

46

授業の作り方・教え方有した相互閲覧，Slack [3] などを使った情報交換なども行うことができ，ICT を使ってチーム活動を活性化する試みを行うことができる．また，GeoGebra [4] などの数式作成ソフトを使った数式の可視化なども積極的に活用でき，フリーソフト「R」[5] などを使えば統計処理を行った取り組みも行うことができる．他方，学生が共通のデバイスを所有してなければ講義の時間に iPad を配ってグループ活動をさせたりスマートフォン等を使ってグループ交流を行うなどの取り組みなどを行うことになる．

事例③
WolframAlpha [6] などのツールを積極的に用いる．授業の中でのグループの結果の共有には，Moodle などの LMS が有効活用できる．各グループで誰か一人が LMS に結果を入力して，教員は全グループの結果をスクリーンに投映して説明を加えたり，次のディスカッションへと誘導したりできる．これらについては，学生は自分のスマートフォンから使える
ので授業への導入は思ったより楽だった．自宅学習では，数学の練習問題の演習にも使える．

Moodle なら数学オンラインテスト用の STACK [7] があるので，これを利用して宿題で計算練習をさせることができる（概念理解を問う問題もつくれる）．計算に関する練習や確認テ
ストを ICT でやることで，紙ベースの課題では，記述を必要とするモデル化問題などに限定
して，教員の採点作業をモデル化問題に集中させることができる．STACK もスマートフォンで使っている学生も多いようだ．PC が必要な場面は思ったより少ないのかもしれない．
この項の参考文献：[1] Moodle, https://moodle.org.
[2] Wolfram Research Inc., Mathematica, https://www.wolfram.com/mathematica/.
[3] Slack, https://slack.com/intl/ja-jp/.
[4] GeoGebra, https://www.geogebra.org/.
[5] The R Project for Statistical Computing, https://www.r-project.org.
[6] Wolfram Research Inc., WolframAlpha, https://www.wolframalpha.com.
[7] STACK|Online Assessment, https://stack-assessment.org.

Q2-15: 数学の活用力はどうやって評価したらよいか
数学の活用力では，数学を活用して何らかの課題（必ずしも数学にとどまらない）の解決を図れる力を求められることから，知識や技能を複合して対処していく力（いわゆるコンピテンシー）が必要となります．一般に，コンピテンシーには，主体性や倫理観・協調性などの学習態度に関わる非認知的な要素や，基礎学力や自らの専門性などの認知的能力に関わる要素があります．数学の学力試験で測れるのは，基礎学力や専門性などの認知的能力になり，一方で，非認知的能力の把握には，学生の何らかの活動成果を可視化して評価するとか，学生自身の学びに対する振り返りや対話が必要となります．例えば，創造力は，記述式の定期試験での記述を見て判断することも可能でしょうが，一般的には，自由課題等を設定して，その取組成果（レポート等）を通じて，取組の着眼点や解決に至るアプローチなどを

47

複合的に見て判断することでしょう．また，協調性や責任感などは，授業設計と一体となりますが，グループワーク等での学生の発言内容から，各自の貢献度合いを見て判断することになるでしょう．一方で，こうした非認知的能力は，学びに対する学習者自身の態度という観点で，教師が評価するよりも，学習者自らが高めていく仕組み作りが重要となります．そのため，学習者に学習の目標設定をさせたり，学んだ後に自らの学びを振り返らせ，教師はそれを奨励する教育方策を検討するのが良いでしょう．
こうしたコンピテンシーは，汎用的な能力であるため，多くの能力養成機関で検討と標準的な枠組みの提供がされています．例えば，JABEE [1] では，JABEE 認定の中で技術者と求められる学習・教育到達目標を９項目で設定しています．また国際団体である ATC21s [2]が定義した 21 世紀型スキルは，文系・理系問わず社会で求められる基本的なスキルを意識して定義をされています．全国の大学でも，こうした標準的なコンピテンシーを意識しつつ，各大学の教育 3 ポリシーに沿って科目毎に学習の目標設定とその振り返りと評価を行う取組が増えてきています．
例えば，一つの学習項目でどの程度理解したかを点数化し，理解度を評価する方法を紹介
してみしょう．ここでは，学習項目を挙げてそれがどの程度理解，活用できるようになっているかを点数化して入力させています．例えば，単に記憶し，理解したレベルから実際にその知識を活用しさまざまな問題に活用できるレベルまで何段階かに分類します．ここで，分類はどこまで目標を達成しているのかを明確にしていることが重要となります．また，上記とは別に，学習項目を細分し，技能と理解（もしくはどちらかのみ）の理解状況にチェックを入れその総合点で評価する方法もあります．この場合は一つ一つの項目が理解している
か，技能として備わったかどうかをチェックすることによって得点化するもので，点数化が容易であるが，理解の深化を考慮しにくいところがあります．
達成度レベル
項目

検定

知識・記憶レベル（1 点）
提示された問題に対して仮説を立て，母平均および母比率の検定を実施することができる．

理 解 レ ベ ル
表現・適用レベル
（2 点）
（3 点）
提示された問題
検定の考え方をを読み解くとと正しく理解する
もに，問題に即しとともに，あらゆた仮説を立てて， る問題に対して適切な手順によ検定の考え方をって正しく検定
適用して，データすることができを分析することる．
ができる．

評価・活用レベル（4 点）
検定の考え方を正しく理解し，検定の考え方を適用して，データを分析するだけでなく，さまざまな
社会的な問題に対して，検定の考え方を活用する試みを行うことができる．

該当する得点を記入せよ．

なお，一連の取組は，実際どの程度理解したかについては結局のところ学生の自らの判断によっていますが，どの方法でも学生自身は自らの理解度についてはある程度正しく認識し評価しているが前提となります．そのため，評価を実施する前に，学生には客観的な評価を実施することや，事前に問題を解いて確認する，明らかに違う評価を行うことへの歯止めを行う，などの工夫を施しておく必要はあります．

48

第2章

授業の作り方・教え方

また，数学力の評価の事例として，評価したい項目それぞれについて，対応する具体的な例を明記する事例もあります．このようにすることで，受講生がイメージしやすなります．
また，下に示すような上のレベルからのフローチャート形式とすると，比較的正しい自己評価ができるようになります ([3]，[4])．

上に挙げた例は，主に認知的能力の評価においてテストによる評価の補完に使えるものといえます．ここではさらに，非認知的能力の評価を見据えた評価の試行例を紹介しましょう．下図に示したのは，数学活用に関するコンピテンシーを測定することを目的に作った簡単な振り返りシートです．

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形式

No.
Q1

選択・記述

Q2

選択・記述

Q3

記述

Q4

記述

質問文
今のあなたにとって数学は大切なものですか？
いずれかの一つを選択してください．
また，そう思う理由を文章で具体的に答えてください．
1. とても大切
2. やや大切3. どちらでもない
4. あまり大切でない
5. 全く大切でない
数学は現実場面でどれくらい役に立つと思いますか？
いずれかの一つを選択してください．
また，そう思う理由を文章で具体的に答えてください．
思いつかない場合は，「思いつかない」と書いてくだ
さい．
1. とても役に立つ
2. やや役に立つ
3. どちらでもない
4. あまり役に立たない
5. 全く役に立たない
この授業で最も興味をもって取り組んだことを文章で具体的に答えてください．
この授業で学んだことを，今後どのような学びにつなげていきたいですか？ 文章で具体的に答えてください．

この振り返りシートは，AML 教育が育てようとする能力・態度に関する私たちの考えに基づいて作られています．以下に挙げる (a)〜(i) は，JABEE [1] の基準などに基づいて，AML
教育が育てようとする能力・態度を私たちなりに整理したものです．

(a) 様々な状況において数学的視点から物事を考える能力とその素養(b) 数学的に考えることの重要性および数学的に考えないことのリスクに関する理解(c) 数学に関する基礎的知識・能力(d) 数学と数学以外の領域 (日常生活など) との関わりの認識(e) 問題解決のための数理的アプローチを組み立てる能力(f) 論理的な記述力、口頭発表力、討議等のコミュニケーション能力(g) 自主的、継続的に学習する能力(h) 与えられた制約の下で計画的に仕事を進め、まとめる能力(i) チームで仕事をするための能力
上の振り返りシートは，このうちの (b)，(d)，(g) の評価を目的としたものです．(a)，(c)，(e)（および (f) の一部）は試験やレポートでみることができ，(f)，(h)，(i) は授業でのグルー
プワークの活動状況などでみることができますので，これら以外の (b)，(d)，(g) に絞っています．Q1 は (b) に関する問いで，数学に関する価値を聞いています．(d) に関する問いである Q2 と合わせて，JABEE 基準で考えると，数学活用と倫理観に関連した項目といえます．
また Q3 は興味関心を確認しており，Q4 と合わせて主体性（上の項目では (g)）に関連した項目といえます．

第2章

50

授業の作り方・教え方

この振り返りシートの使い方ですが，学生には，学期の初めに Q1 と Q2 のみに回答してもらい，学期の終わりに Q1〜Q4 までに回答してもらいます．教員は，Q1〜Q4 の自由記述の内容を Q1, Q2 の選択内容と合わせて，AML 教育が育てようとする力をどれくらい学生が身につけたかを評価します．Q1，Q2 は学期の初めと終わりの両方で聞くので，Q1，Q2を用いて (b)，(d) に関する能力・態度の成長をみることが可能です．
この振り返りシートを用いた評価がどれくらい有効なのかは大変気になるところでしょう．振り返りシートを使った評価を 11 大学の数学の授業で複数年にわたって試行し，教員による評価を分析した結果からは，教員は単純に学生の振り返りの文字の長さやトピック
キーワードを拾っているのではなく，学生自身の評価指標を見ながら，学生が書いた文章を読み込んだ上で評価をしていることが示唆されています．教員の評価を機械学習でどれくらい再現できるかの実験も行いましたが，75%程度の精度で再現できる結果となりました．教員が自らの基準に従ってブレの少ない評価を行なっているものと考えられます．試行段階ですので，まだまだ改良の余地はありますが，このような簡単な振り返りシートである程度非認知的能力が測れる可能性はあります．
振り返りシートに限らず，ここで紹介した複数の例は，学生に紙を配布して記入してもら
うこともできますが，LMS などを用いて電子的に回答してもらうこともできます．電子的に回答してもらうことで，集めたデータの分析がやりやすくなったりしますので，ここでもICT を大いに活用するとよいでしょう．
この項の参考文献：[1] 社団法人 日本技術者教育認定機構: JABEE 認定の意義，
https://jabee.org/about_jabee/concept.
[2] ATC21s: 21st Century Skills, http://www.atc21s.org.
[3] Satoru Takagi, Takeo Nikami, A method of evaluation in calculus classes by rubric,
ICIC Express Letters, Part B: Applications 9 (7) 715-720, 2018 年 7 月.
[4] 高木悟, 林康弘, 二上武生，フルオンデマンド型全学数学基盤教育におけるルーブリッ
クの活用，教育システム情報学会研究報告 34 (2) 109-112, 2019 年 7 月.

Q2-16: 定期試験で数学の活用力を扱うとしたら，どうしたらよいか
Q2-15 で述べたように，数学の活用力の評価では，学力試験では測れない非認知的能力の把握が重要となりますが，活用力の認知的側面を学力試験で測る際にも工夫が求められます．
非認知的能力の測定と同様に，方法論が確立されているわけではありませんが，以下に，定期試験などの学力試験で活用力を扱う場合の工夫や留意点について，いくつかの大学での実際の事例を紹介しますので，参考にしていただければと思います．

事例①
基本的な知識やスキルを確認する問題とは別に，Q2-6 の問題 2-6-3 のような問題に答えさせ，数学的な概念を図示したり言語化しようと試みる姿勢を身につけたかどうかを見る．

51

したがって学期の始めと終わりに同程度の問題を答えさせてアプローチに変化があるかどうかを見る．とくに注目するのは，例えば「在宅勤務がもたらす社会的，経済的な効果を試算するためにはどのような項目について検討する必要があるか，できるだけ具体的に答えなさい」のような問題に対して，利用可能なデータを調査して，数字をあげて定量性のある議論をしているかどうかという点である．このような問題では単に数学的な問題解決ができるだ
けでなく，文脈に即した意味を理解し，日本語で的確に表現する力が求められる．グループ
ワークでは数学的な処理が得意な学生と言語表現が得意な学生が役割を分担して結果を報告するので個々の学生の能力が見えにくいが，このような問題では個々の学生の総合的な能力を測ることができる．文脈に即した問題の理解から数学的な問題解決を経て第三者に理解可
能な形で結果を報告するまでの一連のプロセスを完全に理解させることは初年次の半年間の授業では容易ではないが，複数の授業（たとえば基礎化学実験など）が連携して同様の能力養成を行うことで，また専門課程との連携を強めることで，4 年間で AML 教育の目標を達成できるように努めている．

事例②
授業の目標が現実場面を数学的に考察できるようになるといった類のものであれば，授業で行った活動と同様の考察ができるか（再現できるか）を問うような問題が望ましい．授業
で扱った文脈や条件を変えること以外にも，例えば，授業で，問題 2-16-1 のような，ある
病気の検査結果と陽性／陰性の可能性を踏まえて実際に罹患しているリスクを確率でとらえる問題を取り上げて，いくつかの選択肢を提示して考えさせた場合は，試験では問題 2-16-2のように，「知り合いの**さんから病気（必ずしも病気でなくてもよい）について相談を受けたが，あなたならどのようにアドバイスしてあげますか」などのように問いかけを変える
ことで，結論に至る道筋や根拠の正しさだけでなく，相手に分かるように（相手の状況に合わせて）説明できるかどうかをみることもできる．あるいは，（時間の制約もあるが，場合によっては自分で調べてもよいことにして）同じように考察できる状況を挙げさせるなど，
他にも場面設定ができるか問うことも考えられる．
問題 2-16-1（授業で扱う問題）胃のＸ線検査では，胃がんがある人の 90 ％ほどが「陽性（疑いあり）」になりますが，がんがない人のおよそ 10 ％も「陽性」と判定されるといいます．この検査を受けて「陽性」と判定された場合，本当にがんである可能性はどのくらいあると考えられるでしょうか．以下のうち，最も近いと思うものを選びましょう．（なお，
人口 10 万人あたり，年間約 100 人が新たに胃がんになるものとします．）

1. 90%
2. 9%
3. 1%
問題 2-16-2（問いかけを変える場合）胃のＸ線検査では，胃がんがある人の 90 ％ほどが「陽性（疑いあり）」になりますが，がんがない人のおよそ 10 ％も「陽性」と判定されると

第2章

52

授業の作り方・教え方

いいます．先日，あなたが地域活動サークルの訪問先でとてもお世話になっている方から，この検査を受けたら「陽性」と判定されたと聞きました．このとき，あなたならこの方にどのようにアドバイスしますか．その理由も含めて説明してください．

事例③
数学的モデルを作る力が授業で扱った問題とは違う文脈や見た目の異なる問題でも発揮できるかをみることは大事である．そこで，授業の演習で取り組んだ内容について，授業で扱った問題とは文脈や見た目が違う問題を使って，授業で学んだ考え方の理解度を測る．
たとえば，授業では，第 1 章で示した新型コロナウィルス感染拡大を題材に，片対数プロットを利用して感染拡大の指数関数モデルをつくる演習をしたとする．このとき，授業とは違った文脈として，次のような問題を出題することが考えられる．
問題 2-16-3 下のグラフは，アルコールが運転の安全性に与える影響について，運転者の血中アルコール濃度と事故のリスクの関係を調べた研究結果からとったものである．この研究では，1996 年〜1998 年に米国カリフォルニアとフロリダ州の 2 地点で事故を起こした
運転者と，1 週後の同じ地点・時間帯にランダムに同定したコントロール運転者 (注:現場を通る車をランダムに選んでその運転者に調査に協力してもらう) を対象として， これらの運転者の血中アルコール濃度を測定し，血中濃度と事故リスクとの関係を検討している．
下のグラフの事故リスクは，飲酒していないもののリスクを 1 としたときの値である．以下の問いに答えなさい．

(1) 事故リスクの値を血中アルコール濃度の関数とみたとき，リスクが急速に増大し始めると思われる血中アルコール濃度が 0.1%から先のデータについて， 事故リスク
が血中アルコール濃度に対して指数関数的に増加しているといえるかを検討したい．
そのためには何をすればよいか．結論を出すために必要となる具体的な作業を簡潔に述べなさい．ただし，他人がその説明を読んで作業内容が理解できるように書く
こと．

（樋口進「アルコールの運転におよぼす影響」より）

53(2) (1) で述べた方法に基づいて，21〜24 歳のデータを対象に，血中アルコール濃度が0.1%以上のときに， 事故リスクが血中アルコール濃度に対して指数関数的に増加しているかどうかを調べなさい．ただし，方眼紙 (別紙) に適切なグラフを書き，根拠を明確にして結論を述べること．

(3) 血中アルコール濃度が 0.1%以上のときに， 血中アルコール濃度が 0.01%上がるごとに事故リスクはどれくらい上がると考えられるか．(2) の結果に基づいて答えなさい．
参考：樋口進「アルコールの運転におよぼす影響」(Jpn. J. Alcohol & Drug Dependence,

46(1), pp.127–139, 2011) http://www.j-arukanren.com/ﬁle/12.pdf
上の問題の (1) は，指数関数的な現象かどうかを片対数プロットを用いて判定するというアイデアを理解できているかを問う問題である．授業で直接このような問い方をしていな
いのであれば，この問いを使って片対数プロットの役割に対する理解を測ることが可能である．場合によっては，この部分だけ抜き出して問うてもよいだろう．たとえば，以下のような問題を出題することも考えられる．この問題では感染症という文脈は授業と同じだが，具体的手順を他人に説明する力を問うている．このような問い方は，授業で学んだことを深く理解できているかどうかを測るのに有効であると考えられる．
問題 2-16-4 あなたは医療関係の研究所に勤めている．現在流行の兆しを見せているある感染症について，累積感染者数のデータから感染者数が指数関数的に増加しているかどうかを知りたいと考え，研究所でデータ整理のアルバイトをしている大学生に指示して，感染者数が指数関数的に増加しているかどうか調べてもらうことにした．累積感染者数のデー
タを使って，何をどのようにすればよいのか，大学生に具体的手順を指示しなければならない．大学生に与える指示内容を記述しなさい．

Q2-17: TA，SA をどんなふうに活用すればよいか
グループ学習に限らずアクティブ・ラーニング型の授業全般で言えることとして，SA（ステューデント・アシスタント）
・TA（ティーチング・アシスタント）の存在はきわめて有効であるということです．SA，TA の役割としては，各グループの中でディスカッションをファ
シリテートしサポートするという，学びの支援が中心となります．学生は SA に対しては年も近く，成績評価する立場でないサポート役であるとの認識から，話しやすい立場にもあります．そういう意味では SA や TA を授業を使う場合には，学びを支援する，いわゆるファ
シリテーションの素養を養成するための指導が必要になります．加えて，授業を進めるにあたっては SA，TA と事前相談をすることによって授業の中でどのような役割を担わせるのかを明確にすること，担当した役割には責任を担うこととし，事後報告による振り返りを行わせることが大切であり，SA や TA の教育にもなります．

54

第2章

授業の作り方・教え方

Q2-18: チームティーチングは有効か，有効だとしたらどんなやり方
がよいか
チームティーチングはクラス規模の大小にかかわらず，授業運営の一つの有効な方法です．
もちろん演習形式の授業にグループワークを取り入れる場合などに，教員１名で授業を行うのは難しいと感じることがあり，そのような場合にチームティーチングが有望な解決策になることは事実ですが，チームティーチングの有効性はそれだけにとどまるものではありません．以下の例がこのことをはっきりと示しています．大学ごとに事情が異なりますから，まったく同じようにはできないかもしれませんが，参考にできる部分もあるでしょう．この大学では講師役の教員と補助者の教員の 2 名体制で授業を行っています．クラスの規模は４０人から６０人です．授業は前半を講義，後半を演習（グループワークが中心）に当てています．講義のあいだも補助者は学生のあいだを見て回り，質問に答えたり学生の言葉を講師役に伝えたりしながら授業の進行を支えます．学生による授業評価アンケートを見ると，わからないところをすぐに質問でき，マンツーマンの指導を受けられる点が評価されていることがわかります．補助者の役割は大きく，たとえば学生側から見て講師の板書の仕方や授業の進行などが適切かどうかに気を配り，必要なら適宜修正を求めます．また授業後に学生から受けた質問や学生を観察していて気づいた点などを教師役の教員と共有し，改善策の検討に役立てます．このような授業運営を実現するためには，講師と補助者が自由に議論できる関係を維持することが重要です．

Q2-19: 大人数授業でできるのか (アクティブ・ラーニングを入れた授業は少人数でないとできないのでは？ )アクティブ・ラーニングやグループ学習では，教員が学生個人ごと，あるいはグループごとに学習の個別状況を見極めて支援する必要があることから，大人数の授業ではできないと思われる人も多いと思います．しかし，大人数のクラスなりのやりようはあります．実際に実践している教員の事例を以下に紹介します．各事例でクラスのサイズも異なりますので，参考にして下さい．

事例①：(40〜60 人)
完璧にクラスを掌握するのは難しいというのは事実である．ただ特別な配慮を要する学生のいるクラスもあるため，敢えて完璧を求めず，できる範囲でやっている．教師がこころに余裕をもって気楽にやったほうが，学生も参加しやすいようである．数学に苦手意識を持っている学生は少なくないので，学生と教師の円滑なコミュニケーションが成立することがまず第一に重要と考えている．講師役と補助者の２名体制で授業を行っており，毎回授業の前半は講義，後半は演習（グループワーク中心）にしている．講義のあいだも補助者は学生間を移動しながら質問に答えるなどの補助をしている．演習では講師役も個別指導に当たり，学生が同じように陥る問題点などを発見し，解決するようにしている．また 2021 年からは

55

対面形式の授業でも授業風景を録画し，YouTube で動画配信している．これは様々な理由
で授業に出席できない学生や授業後の復習に役立ててもらうためであるが，これから授業を担当する教員のための教育用にも利用している．担当した教員は授業後に動画を見返して，板書の仕方，演習での補助のありかた，まとめかたを振り返ることができるので，動画記録
は大人数での授業の進め方を考えるのに役立つ．

事例②：(80 人程度)
1 グループ 4 人だとグループが 20 程度できるが，80 人のクラスでできることをやる，という感じで割り切ってやっている．グループワークの作業の仕方で学生が戸惑ったりすると各グループに教員の介入が必要になってしまうので，そうならないよう，作業の指示は
具体的かつ明確に行って，学生たちが円滑にグループワークに入れるように心がけている．
グループワーク中は，全グループに必ず介入しなくてはならないとは考えず，回りながらグ
ループの状況を把握し，声をかけるかどうか決めている．このようなやり方だと，10 分程
度のグループワークでも一言二言程度ならば介入可能である．80 人のクラスだと，グループの結果を各班に発表させる時間はないが，LMS を使うなどすれば，各班の結果を効率よ
く収集・共有することができる．LMS に提出させてスクリーンに映して共有すれば，声をかけなかったグループの結果も含めて授業で言及できる．40 人のクラスと比べればできることは限られるが，80 人だとできないという風には感じない．

事例③：(45〜90 人)「アクティブ・ラーニング＝グループ学習」ではないのでやり方次第で，アクティブ・ラー
ニングを取り入れた授業を大人数で行うことはとくに問題なく実施できると考えている．また，グループ活動をするにしても，最初からチームを分けて機械的に進めるのではなく，テーマを与え，個人で考えることから始め，最初は隣と話し合いをしながら議論を展開し，さらにまわりに広げることによって，まとまりを大きくしていくという自由な形態でチーム活動をすれば勝手にグループ活動でアクティブ・ラーニングの形をとることができる．この場
合，教員は机間巡視しながら学生の意見を取り入れながら，質問やアドバイスについてはできるだけ全体に向けて発信し，意見を共通していくことも有効な手段である．なお，グルー
プ活動についてはすべてにかかわる必要はなく，進捗状況に応じて学生に任せるとともに，ある程度進んだグループにどのように進んでいるかという進捗状況を発表させ，クラス全体
としての議論に持っていくこともグループに緊張感をもたせるポイントになる．なお，このような授業を行った場合には各個人がそれぞれがどのような議論をしていたかを報告書にまとめさせることによって学生のグループ活動の流れを確認することになる．

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第 3 章 授業運営・指導の課題と解決のヒント

高水準の数学的リテラシー教育（AML 教育）は，通常の伝統的な数学教育のイメー
ジからはだいぶ離れたものに感じられると思います．このため，AML 教育にこれから取り組もうとする場合，教える内容や方法に不安を抱いたりしても不思議はありません．この章では，AML 教育に対して教員がしばしば感じる不安にお答えします．

Q3-1: 現実場面を数学でモデル化する際，モデルが現実からどの程度離れていてもよいのかの感覚がつかめず，モデル化の作業に自信がもてない

Q3-2: 現実問題の中でどのように数学問題を意識すべきか
Q3-3: 現実の問題によく適用できるモデルというのはあまりないのでは？（数学が専門ではない学生に教えられるモデルは数学的に高度なものは扱えないのではな
いか？）Q3-4: 題材として用いる現実場面の理解には専門外の知識が必要となるため指導や評価のポイントがわからない

Q3-5: 現実の問題の数学化という教材では現れる数学が限定されレベルも低いのでは?高度な数学的知識が身につかないのでは？

Q3-6: 数学的モデル化の問題で提示される問題は不完全で数学の問題になっていな
いので，学生が戸惑うし，こちらもどう教えてよいかわからない

Q3-7: 現実場面の問題を使うと学生は楽しむかもしれないが，その場限りの楽しい
授業で終わってしまいそう．楽しいだけで終わらず，数学の活用力を身につける授業にするために教員が気をつけるべきことは何か

Q3-8: 問題がオープンになると学生がどのように考えるのかわからず不安

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第 3 章 授業運営・指導の課題と解決のヒント

Q3-1: 現実場面を数学でモデル化する際，モデルが現実からどの程度離れていてもよいのかの感覚がつかめず，モデル化の作業に自信がもてない
現実の問題は複雑ですが，まずは単純化して考えてみましょう．単純化すればするほど元の現実の問題とは離れてしまいますが，まず最初の取り組みとしてはそれで十分です．その後，どの程度の数学が必要かを意識しながら，単純化した箇所の単純化の度合いを調整していけばよいでしょう．単純化といわれてもどうやって考えればよいのか，と悩む人もいるでしょう．その場合，最初から問題を詳細な数学的議論としてとらえるのではなく，そこで必要な数学的作業が何かということから考えてみましょう．数量が関わる問題には，数える，比べる，変化をとらえる，推定する，などの基本的な数学的作業の必要性が見え隠れしています．どういう種類の数学的作業が必要なのかから考えていき，その上で数列を使うのか，関数を使うのか (1 次関数を使うのか／指数関数を使うのか／三角関数を使うのか)，確率を使うのか，行列を使うのかなど，そこで使えそうな具体的な数学的方法を考えてみましょう．
数学の活用場面に現れる基本的な数学的作業とそれぞれの作業に用いられる数学的知識については，付録の認識枠組みで私たちが整理したものを示していますので，付録を参考に考えてもらえると取り組みやすいと思います．単純化の度合いについては，どこまで必要かを気にするよりも，むしろ大事なことは，その単純化がモデルにもたらす制約 (そのモデルで言えることはどれくらいか) を意識することです．どのモデルも現実に完璧に一致しているわけではありませんから，単純化によって現実と離れている部分があることも認めた上で，それでも少なくともこれくらいのことはこのモデルから言える，というふうに考えることが重要になります．

Q3-2: 現実問題の中でどのように数学問題を意識すべきか
現実の問題に触れたときに，「数学的に考えられるか？」という問いを常に意識しておくとよいでしょう．もちろん，すぐによいモデルや数学的な解が導き出せるとは限りません．
現実問題はいろいろな事象が混ざり合った複雑なものですので，そこから，枝葉を排除してどのような数学的問題に落とし込むのかについては，繰り返し経験していく中で徐々に培われていくところが少なくありません．モデル化の結果，最終的にどの選択肢を採用するのかは，それぞれの価値観などにも関わりますので，同じ結論に行き着くこともないかもしれませんが，それも現実的な課題解決のよい経験となります．
ただ，現実問題からどのような数学的な問題に落とし込み，そこでどのような数学的知識やスキルを学ぶかという最終目標はよく確認する（他の教員も担当するような場合は，この点は共通の認識にしておく）必要があります．扱う基本的な数学的知識やスキルなどが決まり，あてはめ方を理解できれば，学生は現実問題の中で数学がどのようにかかわっているのかを把握できるようになると考えられます．

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Q3-3: 現実の問題によく適用できるモデルというのはあまりないのでは？（数学が専門ではない学生に教えられるモデルは数学的に高度なものは扱えないのではないか？）
現実の問題は複雑で，数学的に単純化（理想化）されたモデルで事象を的確に捉えられることは簡単ではありませんので，問題場面への「当てはまり」のよさについては，過度に求めることはできません．むしろ，現実の問題に完全に当てはまるほうが稀と思われます．
また，モデル化における数学的な処理については，数学的なレベルや正確さにこだわると考察が進まなくなる恐れがあります．数学的に高度なものや厳密なものである必要はなく，
むしろ，扱う数学は簡単なものであっても案外よく表現できるのであればそのほうが「洗練」されているともいえるでしょう．
モデリングの教育では，数学的な処理だけでなく，現実問題からいかにして数学化するかというプロセスを学ぶことを重視しています．そこでは，数学化するうえでのさまざまな作
業（数学化の前段階のプレ数学的な作業）が欠かせませんし（付録 A を参照）
，モデルの限界も押さえることも大変重要です．すなわち，問題を構造的に捉え，どのように数学的に（数量的に）表せるかを考える中で，モデルはいくつか出てきてもよく，それらを比較検討し，修正，改善していく中で，モデルのよさや注意点（モデルを使ってできることとできないこと）を確認することも大きな意義があります．

Q3-4: 題材として用いる現実場面の理解には専門外の知識が必要となるため指導や評価のポイントがわからない
数学でできること，できないことを分けて考えましょう．AML 教育では，学生の達成目
標は，あくまでも現実場面の問題を数学を用いてモデル化し，モデルに対して正しい数学的処理を行い，数学的に得られた結果について論理的に考察を行って結論が導けるようになることとして，数学的モデルをつくる過程や数学的処理，最終的な考察が論理的に行えているかどうかだけを問題とし，結論の内容については問わない，というふうに割り切ることが肝要と考えます．現実場面のポイントについて理解しようとする姿勢も大事ですが，あくまでも数学の授業として何が大事かということに集中することで，現実場面のポイントを考える
ことの負担を軽減することができます．

Q3-5: 現実の問題の数学化という教材では現れる数学が限定されレベ
ルも低いのでは？ 高度な数学的知識が身につかないのでは？
第１章の Q1-6 で指摘したように，日本の学生は数学的な処理能力は高いのに数学の活用能力は低いという現状があります．低いレベルの数学も学生が活用できていない現状を直視する必要がありますし，活用できないまま数学の知識だけ高度なものを詰め込んでいく数学60

第 3 章 授業運営・指導の課題と解決のヒント

教育でよいのかということも考える必要があります．活用力は，活用場面を用いた課題を経験していくことでしか身に付きません．少しずつでも，教材を作れる範囲のものに限ってでも数学の活用を授業で扱っていくことが，数学の活用力を育成するために大事になると考えます．無理に活用場面を作る必要はなく，教材の用意が難しいトピックについては，数学として教えるのでもかまいません．変えられる範囲内のものから変えていきましょう．

Q3-6: 数学的モデル化の問題で提示される問題は不完全で数学の問題になっていないので，学生が戸惑うし，こちらもどう教えてよいかわ
からない
数学的モデリングの問題は，そもそも，一見，数学の問題になっていない（数学の問題としては不明確な）ものです．条件が不足していたり（あるいは不明だったり，言及していな
かったり），冗長だったりすることもあります．また，モデル化しても，そのモデルでは現実場面の把握や問題解決には不十分な場合もあるでしょう．しかし，モデリング教育の目的を考えれば，そのような問題を扱うことにも大きな意義があることがわかるでしょう．
不完全な問題については，むしろ慣れていくことが必要ではないでしょうか．現実の問題
はあいまいな部分があったり，いくつかの問題が複雑に絡み合ったりして，根本的な問題がすぐにはわかりにくくなっています．数学的にモデル化する過程においては一つ一つの関連する要素を同定し，最終的に求める事柄とそこにおける数学的な知識やスキルをはっきりさせておけば，数学的な問題として明確にすることができます．目標が定まれば，現実問題から数学的知識に落とし込むための教育目標や授業手法はおのずと明らかになってきます．このような作業を教師自身が繰り返し取り組んで（確かめて）みることで，不完全な問題の扱いも徐々に慣れていき，学生の戸惑いにも対応しやすくなると考えられます．

Q3-7: 現実場面の問題を使うと学生は楽しむかもしれないが，その場
限りの楽しい授業で終わってしまいそう．楽しいだけで終わらず，数学の活用力を身につける授業にするために教員が気をつけるべきことは何か
まず，教員が現実場面の問題を扱うことの楽しさから一歩引いたところに身をおくことが大切です．そして，その問題で数学の何を学ばせようとしているのかをしっかり頭において授業を設計・実践しなくてはなりません．AML 教育では，活用場面で用いられる数学がそ
こでどのような役割を果たしているのかを学生に意識させることが大切だと考えます．たとえば，問題 2-6-6 と例 2-7-2 では，増加し続けるシカを捕獲して減らす政策に関する問題を扱っていますが，そこでは，シカの個体数を「制御する」ために，どれくらい捕獲すると個体数がどのように推移することになるかという「変化をとらえる」ことが必要になり，シカの個体数の「変化をとらえる」ために数列が使われます．ここで，単にこういう具体的な数61

列でモデルがつくれた，で終わるのではなく，数列は個体数の年次変化のような「離散的な量の変化をとらえる」ためのツールであるから数列が使われたのだという認識をもたせることが重要と AML 教育では考えます．そうすることで，別の場面で「離散的な量の変化をとらえる」ことが必要になった際，数列が活用できないか考えるようになると我々は考えています．現実場面の数学化では，さまざまな問題でさまざまな数学がさまざまな目的のために用いられます．教員としては，そのようないろいろな場面での数学の役割を常日頃から整理し，授業デザインに活かすことが重要になってきます．AML 教育では，現実場面の問題に数学を活用する際に，そこで活用される数学的知識がどういう役割を果たしているかに注目
して授業デザインをするための基盤となるフレームワーク (認識枠組み) があります．詳細は，付録 A につけておきますが，我々が仮説的に構築した，数学が現実場面でどのようなツールとして使われているかを整理した参考図もつけていますので，参考にしてください．

Q3-8: 問題がオープンになると学生がどのように考えるのかわからず
不安
学生の反応をすべて予想することはできませんが，事前にできるだけ準備しておくことは円滑な授業進行につながります．
まず，教師自身が実際に問題に取り組み，一通りのプロセスを体験してみましょう．そのプロセスには，モデルを作るまでの活動（モデル化に至るまでの活動），モデルに基づく処理や考察（モデル化後の活動），結果の解釈（振り返り）など，多くのことが含まれます．また，それぞれのプロセスにおいても，いろいろな考えが浮かぶかもしれません．これは，学生の反応を予想する上でも役に立ちます．
もちろん，実際に授業をすると，教師が思いつかないようなことを学生は考えるものです．
話が脱線することもあるかもしれません．その際は，授業の中で，何をさせるかを絞って進めていくようにするとよいでしょう．たとえば，モデル化に取り組むのか，モデルの吟味をするのかなど，作業の重点を明確にします．最初は自由に考えさせておき，折を見て進捗状
況を確認することも考えられます．はじめから教員の考える方向に誘導せず，まずは考え方の根拠を聞くなどしつつ，あまりにも方向が離れている場合は，授業目的や扱っている問題の解決の方向性を意識させるようにするとよいでしょう．また，グループワークの場合は，クラス全体で各グループの取り組みを共有することで，教員による一方的な指示という方法
を用いずに，さりげない形でグループワークの方向性を修正することもできます．
いずれにせよ，授業の目的を忘れず，多様な考えを許容し，想定外もむしろ楽しむくらいの気持ちで取り組むのがよいでしょう．

63

第 4 章 教材集

この章では，高水準の数学的リテラシー教育の教材として用いることのできる題材（問題）を紹介します．収録している題材は，本研究会のメンバーが実際に授業で使ったり，授業に使うことを想定して作り溜めたりしているものになります．各題
材は，タイトル＋ 8 項目の形式で記述されています．

タイトル① キーワード: 現実世界のトピック，数学の領域・単元に関するキーワードを記します．キーワードは巻末の索引（数学用語索引・非数学用語索引）に掲載していますので，索引から教材を探すこともできます．
② 対象学生: 対象となる学習者についての前提条件などを記します．
③ 問題: 具体的な問題や教材の内容を記します．
④ 説明: 上で挙げた問題や教材についての解説や授業で使う際の注意事項などを記します．
⑤ 資料: 文献など参考資料を記します．
⑥ 類題: 同様の考え方でアプローチできる類題があれば記します．
⑦ 実践情報: 実際に授業をした場合は，実践に関する情報を記します．
⑦ 教材提供者: 教材提供者の情報を記します．

題材は，数学の領域・単元に従って 5 つに分類されています（4.1〜4.5）．4.6 には，

AML 教育の題材探しの参考になりそうな本のリストを掲載しています．現実世界のトピックから探したい方は，巻末の索引（非数学用語索引）をご利用ください．

4-1 数列の活用に関する教材
4-2 行列の活用に関する教材
4-3 確率の活用に関する教材
4-4 微分方程式の活用に関する教材
4-5 領域・単元を限定しない教材
4-6 数学の活用例が載っている本

64

第 4 章 教材集

4-1． 数列の活用に関する教材
4-1-1: ニホンジカ半減計画を吟味する① キーワード: 環境保護，個体数推移，ニホンジカ，数列，漸化式② 対象学生: 全学生（高校で数学 B の数列を学習していることを前提）③ 問題:
問題 4-1-1A 日本の森林にシカが増えすぎて森林被害を引き起こすなどの問題が起きている．環境省と農林水産省は 2011 年度時点での個体数を 2023 年度までに半減させる目標を掲げている．2011 年度の全国のシカの個体数の推計値は 325 万頭である．環境省の報告によれば，捕獲しなければ 1 年あたり 20%の割合で頭数が増えていくという．

(1) 2023 年度までに目標を達成するためには，2015 年度時点で考えることのできる具体的方策を検討せよ．

(2) 現在確認できる情報を調べ，(1) で立てた計画と照らし合わせて，今後の見通しについて考察せよ．
問題 4-1-1B 日本の森林にシカが増えすぎて森林被害を引き起こすなどの問題が起きている．2017 年度末の時点で，北海道を除く本州以南に 244 万頭のニホンジカがいると推定されている．環境省の報告によれば，捕獲しなければ 1 年あたり 20%の割合で頭数が増えていくという．一方，2017 年度のニホンジカ捕獲数は 60 万頭と発表されている．環境省と農林水産省は本州以南のニホンジカを 130 万頭まで減らすことを目標にしているが，2018年度以降もこの捕獲数が維持された場合，目標達成はいつになると推定されるか．
④ 説明: 実データを用いた数列によるモデル化の演習ができる題材として，環境省と農林水産省によるニホンジカの削減計画がある．題材の提示の仕方によって本格的な数学的モデ
リングの問題にもなれば，数列の応用演習の問題にもなる．問題 A は数学的モデリングの問題としての使用を想定している．問題 B は数列の応用演習問題としての使用を想定している．数学的モデリング演習，数列の応用演習のいずれの場合も，もっとも単純なモデル化
は a n+1  pa n + b のタイプの漸化式で定まる数列を用いることである．環境省の Web ペー
ジでも，「個体数（翌年）=個体数（ある年）×自然増加率−捕獲数」で推定していることが確認できるため，実際に a n+1  pa n + b のタイプの漸化式で定まる数列でモデル化していることが確認できるが（環境省資料１ 個体数推定の手法（統計手法による個体数推定の概要）について），学生に演習として取り組ませるとこれ以外のモデルも出てくる．たとえば，放っておくと 1 年で 20%増えることから，20%増えた分 +α を捕獲するというモデルを作る学生は意外と多い．その場合も，全体頭数に対する捕獲割合を r (0 < r < 1) で表して

a n+1  1.2ra n とするモデル（0 < 1.2r < 1 となる r を考える）や，年間捕獲数を 0.2a n + b
として a n+1  1.2a n − (0.2a n + b) とするモデルなど多様なモデルが現れる．1 年で 20%増えた分を全部捕獲するのは頭数が多いときには現実的に実行不可能となることがあるが，1 年で何頭捕獲することになるのか？ と問いかけられてはじめて気づく学生がほとんどである．

20%増えた分を全部 1 年で捕獲する考え方はローン返済における元金均等型返済に通じる考65

え方であり，a n+1  1.2a n − b （年間捕獲数を b 頭とする）は元利均等型返済と同じ考え方である．ニホンジカの各年度における個体数の推定値は概ね 2 年遅れではあるが更新されていくし，各年度の捕獲数のデータも取得可能なので，学生に実データを探させるところから取り組ませることで本格的な数学的モデリングの演習教材としても十分使える．自然増加率
が 20%であるということに疑問を抱いたり，また，20%という数値自体を減らすことが可能かどうかを考えたりする学生も出てくるであろう．捕獲数も実際のデータは各年一定ではな
いので，過去十数年の捕獲数のデータを用いて捕獲数の推移自体もモデル化の対象と考えることもできよう．また，環境省と農林水産省はシカだけでなくイノシシに対しても同じ目標を掲げている．イノシシについては自然状態での増加率のデータが省庁の資料でも示されていないため，シカよりも難しい課題になるが，数学的モデリングの授業ならば，シカの問題を扱った後にイノシシについても考えさせるなどの展開があってもよいだろう．
⑤ 資料:[1] 抜本的な鳥獣捕獲強化対策 (環境省, 農水省; 2013)https://www.env.go.jp/nature/choju/eﬀort/eﬀort9/kyouka.pdf[2] 森林におけるシカ被害対策について (林野庁, 2015)
https://www.rinya.maﬀ.go.jp/j/hogo/higai/pdf/h27shikagenjyou.pdf[3] 全国のニホンジカ及びイノシシの個体数推定及び生息分布調査の結果について（令和２年度）https://www.env.go.jp/press/109239.html[4] 朝日新聞 (2015): 社説「野生動物による被害人との関係結び直すには」 12 月 24 日朝刊. 大阪本社版.

[5] 川添充・岡本真彦 (2021)「思考ツールとしての数学 第 2 版」，p.42．
⑥ 類題: a n+1  pa n + b のタイプの漸化式で定まる数列は現実のさまざまな場面に現れる．
個体数推移とは異なる文脈の問題としては，ローン返済での返済完了月や利子も含めた総支払額を考える問題や，薬の定期服用における薬の成分の体内残量の推移を考える問題などが挙げられる．
（川添充・岡本真彦 (2021)「思考ツールとしての数学 第 2 版」(p.35〜42) 参照）⑦ 実践情報: 数学的モデリングに関する教養科目（文系学部生を含むクラス）で，問題 A の前提部分（小問 (1)(2) の前の部分）を示さず，朝日新聞社説を読んでインターネットから情報を探して (1), (2) に取り組む演習（4 人一組のグループ演習，90 分× 4 回）の実践あり．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-1-2: 貯金総額の計算① キーワード: 貯金総額，複利計算，等比数列，等比数列の和② 対象学生: 全学生（高校で数学 B の数列を学習していることが前提）③ 問題:
問題 4-1-2 毎月 1 日に 1000 円を貯金し，それを月利 10%で 1 か月複利運用するとき，3 年
後（36 か月後）の貯金直後の貯金総額はいくらか? ただし，求める貯金総額が整数でない場合は，小数点以下を切り捨てて答えよ．

66

第 4 章 教材集

④ 説明: 複利計算が等比数列になることを事前に講義する必要がある．また，必要に応じて等比数列の和の求め方を復習しておく必要がある．毎月の貯金が複利運用されるので，貯金総額は等比数列の和となる．期間が短ければ単純な足し算でも可能であるが，期間が長いときは等比数列の和の考え方が必要になる．
⑤ 資料: 高木悟・上江洲弘明 (2022)「金利の計算〜解析学への入り口〜」共立出版⑥ 類題:⑦ 実践情報: 全学部生（文系理系問わず・全学年受講可能）が受講可能なフルオンデマンド
科目の中級レベル科目として実施．事前に複利計算が等比数列で表されることと，等比数列の和の求め方は講義していた．
⑦ 教材提供者: 高木悟（早稲田大学）

4-1-3: 元利均等返済のローン計算① キーワード: ローン返済，元利均等返済，数列，漸化式② 対象学生: 全学生（高校で数学 B の数列を学習していることが前提）③ 問題:
問題 4-1-3 T 先生は 305 万円で自動車を購入した. 頭金として 70 万円を先に支払い, 残りの 235 万円に対してローンを組みたい. このローンの 1 か月複利の実質年率は 3.5%で, 元利均等返済での月々返済とするが, 月々の生活費を考慮すると毎回の返済額を 4 万円以下にし, さらに支払う利息をできる限り低くしたい. 返済期間は 6 か月単位で最大 72 か月とするとき, ローンの返済期間は何か月がよいか?
④ 説明: 元利均等返済のローン計算において，0 以上の整数 n に対して，n 回目の返済直後の残高を a n 円とする．ただし，a 0 は元金とする．(n + 1) 回目の返済直後の残高 a n+1 は，a nに (1 + ( 金利 )) を掛けたものから毎回の返済額を引くことにより得られるので，それから漸化式が作れる．返済回数が分かれば，そのときの残高が 0 になることから方程式が得られ，その方程式を解くことにより毎回の返済額を求めることができる．この問題では，それを利用して条件を満たすような返済回数（返済期間）を求める必要がある．返済期間は限られているので，それぞれにおける毎回の返済額や利息を求めて比較してもよいし，返済期間が延びれば延びるほど支払う利息が増えることを示す方法でもよい．受講生の数学力に応じて調整可能である．
⑤ 資料: 高木悟・上江洲弘明 (2022)「金利の計算〜解析学への入り口〜」共立出版⑥ 類題:⑦ 実践情報: 全学部生（文系理系問わず・全学年受講可能）が受講可能なフルオンデマンド
科目の中級レベル科目として実施．この問題は任意提出の発展問題として提示．
⑦ 教材提供者: 高木悟（早稲田大学）

4-1-4: 借入限度額① キーワード: ローン返済，数列，漸化式，極限② 対象学生: 全学生（高校で数列・極限を学習していることが前提）

67

③ 問題:
問題 4-1-4 ある金融業者から，1 か月複利の実質年率 10%で資金の借入を検討しているが，毎回の返済額は 9 万円までしか払えないとき，理論上の借入限度額はいくらか?
④ 説明: 元利均等型返済のローン計算において，漸化式を作ることにより毎回の返済額を求めることができる．返済回数を限りなく大きくすることにより，理論的に借りることのできる上限額を求めることができる．等比数列の極限の知識が必要である．
⑤ 資料: 高木悟・上江洲弘明 (2022)「金利の計算〜解析学への入り口〜」共立出版⑥ 類題:⑦ 実践情報: 全学部生（文系理系問わず・全学年受講可能）が受講可能なフルオンデマンド
科目の中級レベル科目として実施．
⑦ 教材提供者: 高木悟（早稲田大学）

4-1-5: 2 社間の顧客推移① キーワード: 顧客推移，数列，漸化式，連立漸化式，数列の極限② 対象学生: 全学生（高校で数列・極限を学習していることが前提）③ 問題:
問題 4-1-5 A 社と B 社の 2 社のみが参入し，顧客獲得争いをしている市場がある．現在の顧客数はＡ社が 90 万人，B 社が 10 万人で，1 年後に A 社から B 社へ移る顧客が 20%，B 社
から A 社へ移る顧客が 30%いるとする．毎年同じ比率で顧客が移ると仮定すると，現在の顧客数と他社へ移る顧客数の割合から，最終的に A 社がこの市場を独占しそうであるが，実際はどうだろうか？

ただし，この市場において，すべての顧客は 1 年ごとに A 社または B 社のどちらかと必ず契約することとし，新規顧客や新規会社の参入は考えないこととする．
④ 説明: 0 以上の整数 n に対して，n 年後の A 社の顧客数を a n 万人，B 社の顧客数を b n 万
人とすると，問題文から 2 通りの漸化式が得られる．それを解いて n → ∞ とすることで，この状況が続いた場合の最終的な顧客数が分かる．現実の問題としては，このような顧客推移は一定ではないことに注意する必要がある．
⑤ 資料: 大枝和浩 (2020)「数学基礎プラスγ（線形代数学編）2020」早稲田大学出版部⑥ 類題: 同じ問題を行列を使って考察することもできる．
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 高木悟（早稲田大学）

4-2． 行列の活用に関する教材
4-2-1: 現実場面でのベクトルの和，スカラー倍，1 次結合① キーワード: 食品成分，ベクトルの和，ベクトルのスカラー倍，ベクトルの 1 次結合② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）

第 4 章 教材集

68

③ 問題:
問題 4-2-1 食品のエネルギー（熱量）および食品に含まれるビタミン C，カリウム，カル
シウムを，( エネルギー (kcal), ビタミン C(mg), カリウム (mg), カルシウム (mg))のように並べてベクトル（横ベクトル）で表す．食品成分表によれば，トマトとにんじんの各成分の値は以下の通りである．

• トマト (100g): (18, 15, 210, 7)• にんじん (100g): (44, 8, 540, 37)
これらで野菜ジュースをつくる．次の量でつくるとき，カロリー，ビタミン C，カリウム，カルシウムの量をベクトルを使って求める式を書け．

(1) トマト 150g でつくる．
(2) トマト 100g とにんじん 100g でつくる．
(3) トマト 150g とにんじん 50g でつくる．
④ 説明: ベクトルの演算は，数学のテキストでは通常，現実場面でどう役に立つかの説明なしに抽象的に導入される．AML 教育としては，現実場面での有用性から導入することで，行列というものをなぜ学ぶのかの理解をともなった学習を目指したい．ベクトルはデータの１次元配列，ベクトルの演算（加法，スカラー倍）は１次元配列に対する操作として解釈することができる．

[答え] トマト 150g でつくったときのカロリー，ビタミン C，カリウム，カルシ
ウムは1.5(18, 15, 210, 7)  (1.5 × 18, 1.5 × 15, 1.5 × 210, 1.5 × 7)で求められる．トマト 100g とにんじん 100g を合わせると，(18, 15, 210, 7) + (44, 8, 540, 37)  (18 + 44, 15 + 8, 210 + 540, 7 + 37)となる．トマト 150g とにんじん 50g でつくると次のようになる．

1.5(18, 15, 210, 7) + 0.5(44, 8, 540, 37)
 (1.5 × 18 + 0.5 × 44, 1.5 × 15 + 0.5 × 8, 1.5 × 210 + 0.5 × 540, 1.5 × 7 + 0.5 × 37)
食材の食品成分のデータをベクトルで表すとき，食材の量を変えたときの各成分の量はスカラー倍で求められ，複数の食材を合わせるときはベクトルの足し算や一次結合で求められる．上の問題は，ベクトルの演算を学んだ後に現実場面での応用例として取り組ませてもよいし，「ベクトルを使って求める式を書け」の部分を「求めるにはどのような計算をすればよいか」と変えて，ベクトルの演算の導入教材として使ってもよいだろう．

69

⑤ 資料:
⑥ 類題: 食品や栄養素を入れ替えたり増やしたりすることで，多数の類題がつくれる．
⑦ 実践情報: 文系学部 1 年生の線形代数での実践あり．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-2-2: サッカーのランキングポイントと行列とベクトルの積① キーワード: サッカー代表チームのランキングポイント，行列，行列とベクトルの積② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）③ 問題:
問題 4-2-2 サッカーの男子代表チームの FIFA ランキングの基礎となるランキングポイント
は，2006 年から 2018 年の FIFA ワールドカップロシア大会直前までの計算方式では，直近の 48 ヶ月を 12 ヶ月ごとに４つの期間に区切り，各期間での代表の試合結果からルールに従って算出された期間ごとのポイントを，直近の 12 ヶ月間から順に 100 ％，50 ％，30 ％，20 ％の割合で合算して求められていた．下の表は，2014 年の FIFA ワールドカップブラジ
ル大会終了直後の 2014 年 7 月 17 日に FIFA が発表したデータから，ブラジル大会で準決勝まで進んだ４カ国の過去 48 ヶ月における 12 ヶ月ごとのポイントを抜き出したものである．このとき，2014 年 7 月 17 日時点でのこの４カ国のランキングポイントを求める式を行列とベクトルの積を用いて表しなさい．
ドイツ
アルゼンチンオランダブラジル

1〜12 ヶ月前
1113
1029
964
731

13〜24 ヶ月前
497
651
629
637

25〜36 ヶ月前
818
577
264
352

37〜48 ヶ月前
583
390
696
429

④ 説明: 行列は，数学のテキストでは通常，現実場面でどう役に立つかの説明なしに抽象的に導入される．AML 教育としては，現実場面での有用性から導入することで，行列というものをなぜ学ぶのかの理解をともなった学習を目指したい．行列はデータの２次元配列，ベクトル・行列の演算（加法，スカラー倍，ベクトルの内積，行列の積）は，１次元配列や２次元配列に対する操作として解釈することができる．上の問題は，行列とベクトルの積の定義の導入に使うこともできるし，定義を紹介した後に応用例題・演習として使うこともできる．
⑤ 資料: 川添充・岡本真彦 (2021)「思考ツールとしての数学 第 2 版」，pp.68–69．
⑥ 類題:⑦ 実践情報: 文系学部 1 年生の線形代数や数学リテラシー科目での実践あり．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-2-3: 表計算と行列の積① キーワード: 表の集計，行列の積② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）③ 問題:
問題 4-2-3 本店と駅前店の 2 店舗をもつパン屋があり，2 店舗のある日の商品別の売り上

第 4 章 教材集70

げ個数について，次のようなデータがある.
本店
2020-06-01
クロワッサン 450 個
ベーグル
100 個
ロールパン
150 個

駅前店
2020-06-01
クロワッサン 180 個
ベーグル
60 個
ロールパン
100 個

各商品の販売価格，1 個あたりの利益額 (単位:円) は，どちらの店舗も同じで，クロワッサ
ンの売価は 120 円で 1 個あたりの利益は 40 円，ベーグルの売価は 180 円で 1 個あたりの利
益は 60 円，ロールパンの売価は 120 円で 1 個あたりの利益は 60 円である.

(1) 2 店の各商品の販売個数のデータと，各商品の売価と利益を表にしてみよう.
店舗ごとの各商品の販売個数（単位：個）
店舗
クロワッサン ベーグル ロールパン
本店
駅前店
各商品の売価と 1 個あたりに利益（単位：円）
商品名
売価
1 個あたりの利益
クロワッサンベーグル
ロールパン(2) 各店ごとの売り上げ額と利益を集計して次のような表をつくるとき，各欄 (ア)〜(エ) の数値を求める計算式を書いてみよう.
店舗
本店
駅前店

売り上げ総額 (円)(ア)(イ)

利益総額 (円)(ウ)(エ)④ 説明: 行列は，数学のテキストでは通常，現実場面でどう役に立つかの説明なしに抽象的に導入される．AML 教育としては，現実場面での有用性から導入することで，行列というものをなぜ学ぶのかの理解をともなった学習を目指したい．行列はデータの２次元配列，ベクトル・行列の演算（加法，スカラー倍，ベクトルの内積，行列の積）は，１次元配列や２次元配列に対する操作として解釈することができる．(2) の表をつくる計算を行列で表すと，! 120 40ª
450 100 150 ©­180 60®®
­180 60 100«120 60¬となる．上の問題は，行列とベクトルの積の定義の導入に使うこともできるし，定義を紹介した後に応用例題・演習として使うこともできる．
⑤ 資料: 川添充・岡本真彦 (2021)「思考ツールとしての数学 第 2 版」，pp.59–61⑥ 類題:⑦ 実践情報: 文系学部 1 年生の線形代数や数学リテラシー科目での実践あり．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-2-4: 表計算と対角行列

71① キーワード: 表の集計，行列の積，対角行列② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）③ 問題:
問題 4-2-4 本店と駅前店の 2 店舗をもつパン屋があり，2 店舗のある日の商品別の売り上
げ個数について，次のようなデータがある.
店舗ごとの各商品の販売個数（単位：個）
店舗
クロワッサン ベーグル ロールパン
本店
450
100
150
駅前店
180
60
100

各商品の販売価格はどちらの店舗も同じで，クロワッサンの売価は 120 円，ベーグルの売
価は 180 円，ロールパンの売価は 120 円である． 各店舗の商品ごとの販売個数の表を行列で表すとき，次の表をつくるための式を行列を用いて表せ．
店舗ごとの各商品の売り上げ金額（単位：円）
店舗
クロワッサン ベーグル ロールパン
本店
駅前店④ 説明: 上の表をつくるための計算は，次のように対角行列との積で与えられる．

! 120 0!
0 ª
450 100 150 ©­
450
×
120
100
×
180
150
×
120
0 180 0 ®® 
180 60 100 ­180 × 120 60 × 180 100 × 120
0
0
120
«
¬
対角行列の役割は，上のような表をつくる計算を考えさせると納得させやすいだろう．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報: 文系学部 1 年生の線形代数での実践あり．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-2-5: オオタカの世代間推移と行列のべき乗① キーワード: 個体群動態解析，行列のべき乗，固有値，固有ベクトル，行列の対角化② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）の線形代数③ 問題:
問題 4-2-5A オオタカの成長段階には，生まれて 3 年未満の亜成鳥と，3 年以上の成鳥がある．ある地区のオオタカの亜成鳥，成鳥の年ごとの世代間推移について，下記の表のようなデータがある． (注：亜成鳥の間は繁殖をせず，成鳥になると繁殖を行う)
オオタカの世代間推移 (青島正和（2007）より)
比率 (%)
亜成鳥→亜成鳥
33.3
亜成鳥→成鳥16.7
成鳥→亜成鳥
73.0
成鳥→成鳥
85.7

第 4 章 教材集

72

ただし，
「亜成鳥→亜成鳥」は亜成鳥として翌年も生存する割合，「亜成鳥→成 鳥」は亜成
鳥から成鳥になる割合，「成鳥→亜成鳥」は成鳥から生まれる亜 成鳥の個体数の割合，「成鳥→成鳥」は成鳥として翌年も生存する割合を表す．この表の数値にもとづくと，この地区のオオタカの個体数はどうなっていくと考えられるか．
④ 説明: ある年の亜成鳥の個体数を a ，成鳥の個体数を b とし，n 年後の亜成鳥の個体数を

a n ， 成鳥の個体数を b n とするとき， a n , b n についての連立漸化式が，
a n+1  0.333a n + 0.73b n
b n+1  0.167a n + 0.857b n
として得られる．これを行列とベクトルの積で表すと，

!

a n+1
0.333 0.73
b n+1
0.167 0.057

!

an
bn

!

となる．さらに，「ある年」から「 n 年後」の個体数を予測する式は，!

an0.333 0.73
bn
0.167 0.057

!n

a
b

!

のように行列のべき乗を用いて表される．この問題は，現実場面で行列のべき乗が用いられることを実感させる導入教材として用いることもできるが，n 年後どうなるか，n が大きくなるとどうなるかを考察するためには固有値，固有ベクトル，行列の対角化などが重要なツールとなるため，固有値，固有ベクトル，行列の対角化の現実場面での応用を学ぶ教材として使える．
⑤ 資料:[1] 青島正和 (2007)「オオタカの廉価な個体数動態解析」https://www.jeas.org/modules/
backnumber/hokoku/tec/h19/pdf/071206-05.pdf[2] 川添充・岡本真彦 (2021)「思考ツールとしての数学 第 2 版」，共立出版，p.148．
⑥ 類題: 実データが取得できる類題としては，次のようなものもある．
問題 4-2-5B 小笠原諸島で駆除の取り組みが行われている外来種のとかげ「グリーンアノー
ル」の 1 年ごとの生存率は下の表のようになることが知られている．また，孵化後，幼体を経て 1 年で成体になり，成体になった 1 歳以上の雌は，1 匹あたり平均して毎年 15.25個の卵を産む．卵から孵化した時点での雄と雌の比率は 1 対 1 であるとされる．グリーン
アノールの生息数の経年変化はどうなるか．また，グリーンアノールの駆除のための計画やその数値目標を考えてみよう．（前半は単純な行列のべき乗の問題．後半は，成体の捕獲や卵の駆除などを数値目標とともに考える数学的モデリングの問題．）
グリーンアノールの経年生存率 (戸田光彦ほか (2009) より)

73

成長段階
卵から 1 歳
1 歳から 2 歳
2 歳から 3 歳
3 歳から 4 歳
4 歳から 5 歳

生存率 (%)
10.35
44.17
32.97
33.33
34.00

（ 戸 田 光 彦 ，中 川 直 美 ，鋤 柄 直 純 (2009)「 小 笠 原 諸 島 に お け る グ リ ー ン ア ノ ー ル の生態と防除」，地球環境 14 (1), pp.39–46.

http://www.airies.or.jp/attach.php/

6a6f75726e616c5f31342d316a706e/save/0/0/14_1-07.pdf）⑦ 実践情報: 数学リテラシー科目での実践あり．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-2-6: スマートフォン OS シェアの推移と行列のべき乗① キーワード: シェア推移，マルコフ連鎖，行列のべき乗② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）③ 問題:
問題 4-2-6 現在，スマートフォンの OS のシェアは，iOS と Android に二分された状況となっている．この二つの OS の最近のシェア推移動向を調べ，シェアが今後どうなってい
くか予測せよ．
④ 説明: いわゆるマルコフ連鎖の問題である．マルコフ連鎖の問題は，架空の設定を用いたものが多いが，この問題では，現実のデータを取得してモデル化させることも含めた学習活動を展開することができる．スマートフォンの普及率や OS の種類とシェアの現状を踏まえて，新規ユーザや使用をやめるユーザの数などについて，いくつかの仮定をおいて考えることで，インターネット上でみつかるデータ（下記資料参照）を用いて，スマートフォンのOS(
x n+1  ○ x n + △ y nの推移動向のモデル化として，連立漸化式によるモデル化
や推移
y n+1  □ x n + ◇ y n

!

x n+1
○ △
行列によるモデル化

y n+1
□ ◇

!

!

xn
を得ることが可能となる（下図参照）．
yn

And

_
で プ ?%
買い換え
」

"
プ

。

S
買い

?%

櫽

iOS

And

」

買

iOS

三
☐

05
○

xn

?%
買い換え

iOS
?%
」

?%

蠮」

And

And

Android ふなn第 4 章 教材集

74

⑤ 資料:

[1] MMD 研究所 https://mmdlabo.jp/investigation/detail_1831.html[2] 消費動向調査 (2021) https://www.esri.cao.go.jp/jp/stat/shouhi/honbun202103.pdf⑥ 類題:⑦ 実践情報: 数学的モデリングに関する教養科目（文系学部生含むクラス）での実践あり（4人一組のグループ演習，90 分× 4 回）．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-2-7: 最適配分問題と行列① キーワード: 最適配分，レンタサイクル，行列，固有値，固有ベクトル，行列の対角化② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）③ 問題:
問題 4-2-7 某 O 大学では，キャンパスが広大であることからレンタサイクルサービスを開始することにした．正門脇の駐輪場とキャンパス奥の講義棟前の駐輪場にそれぞれレン
タサイクル用指定駐輪場を設置し，この 2 カ所の駐輪場間では相互に乗り捨て自由としてサービスを開始することにしたい．事前のモニター調査の結果から，各駐輪場の自転車の1 週間後の移動の状況が次のようになると予想された (表中の数値は%)．

もとの
場所

正門脇
講義棟前

1 週間後の場所
正門脇 講義棟前
70
30
20
80

自転車を 100 台以上用意して本格サービスを開始するにあたり，二つの駐輪場にどう配分するのがよいだろうか．
④ 説明: マルコフ連鎖の問題である．この問題を用いた授業の進め方の例については第２章

p.28 を参照．
⑤ 資料: 川添充・岡本真彦 (2021)「思考ツールとしての数学 第 2 版」
，共立出版，pp.149–157．
⑥ 類題:⑦ 実践情報: 文系対象の数学リテラシー科目（90 分× 2 回）や，文系対象の線形代数（90分× 1 回）で，固有値・固有ベクトルの導入の授業としての実践あり．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-2-8: 2 社間の顧客推移① キーワード: 顧客推移，連立漸化式，行列，行列の対角化，行列のべき乗，極限② 対象学生: 全学生（高校で数学 B の数列を学習していることが前提）③ 問題:
問題 4-2-8 A 社と B 社の 2 社のみが参入し，顧客獲得争いをしている市場がある．現在の顧客数はＡ社が 90 万人，B 社が 10 万人で，1 年後に A 社から B 社へ移る顧客が 20%，B 社
から A 社へ移る顧客が 30%いるとする．毎年同じ比率で顧客が移ると仮定すると，現在の

75

顧客数と他社へ移る顧客数の割合から，最終的に A 社がこの市場を独占しそうであるが，実際はどうだろうか？

ただし，この市場において，すべての顧客は 1 年ごとに A 社または B 社のどちらかと必ず契約することとし，新規顧客や新規会社の参入は考えないこととする．
④ 説明: 0 以上の整数 n に対して，n 年後の A 社の顧客数を a n 万人，B 社の顧客数を b n 万
人とすると，問題文から 2 通りの漸化式が得られる．ここでは連立漸化式を行列を用いて表し，得られる推移行列のべき乗を計算して求める．行列のべき乗計算をする際に，固有値・固有ベクトル・対角化を事前に講義しておくことで，よりスムースに推移行列の極限を求めることができる．現実の問題としては，このような顧客推移は一定ではないことに注意する必要がある．
⑤ 資料: 大枝和浩 (2020)「数学基礎プラスγ（線形代数学編）2020」早稲田大学出版部⑥ 類題: 同じ問題を漸化式を解くことで解決することもできる．
⑦ 実践情報: 全学部生（文系理系問わず・全学年受講可能）が受講可能なフルオンデマンド
科目の上級レベル科目として実施．行列の固有値・対角化などは事前に講義している．
⑦ 教材提供者: 高木悟（早稲田大学）

4-3． 確率の活用に関する教材
4-3-1: 乳がん検診と条件付き確率① キーワード: 乳がん検診，条件付き確率，ベイズ推定② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）③ 問題:
問題 4-3-1 乳がんに罹患するリスクは年齢と共に増加するため，多くの国で一定年齢以上の成人女性には検診を受けることが推奨されている．検診の方法の 1 つとしてマンモグラ
フィー検診があるが，2009 年にアメリカの防医学作業部会は，40 代の定期的なマンモグ
ラフィー検診は推奨しないと発表し，大きな議論となった．このアメリカでの議論のベースになったのが罹患率や検査の正確さなどのデータに基づいた確率，とくに，検査で陽性となった人が実際に乳がんである確率であった．以下に示すデータにもとづいて，44〜44
歳，45〜49 歳，50〜54 歳，55〜59 歳のそれぞれについて，アメリカの予防医学作業部会
が検討結果を吟味してみよう．
表．アメリカにおける女性の乳がん罹患率とマンモグラフィー検査の精度

年齢

罹患率 (％)

感度 (％)

特異度 (％)

40–44
45–49
50-54
55-59

0.122
0.188
0.223
0.268

73.4
82.5
82.6
85.7

87.7
88.5
90.4
91.7

(注 1) 罹患率=乳がんにかかる人の割合 (10 万人あたりの乳がん発症者数のデータから算出)

第 4 章 教材集76(注 2) 感度=乳がんである人が陽性と診断される割合 (=陽性判定の正確さ)(注 3) 特異度=乳がんでない人が陰性と診断される割合 (=陰性判定の正確さ)④ 説明: 乳がん健診（マンモグラフィー）の有効性に関する有名な議論は海外でもよく使われる題材である．陽性となった人が実際に乳がんである確率（「真陽性率」とよばれる）を計算することになるが，その結果の数値からどう判断するかは，数学を超えた問題となる．
上の問題について，アメリカだけで終わらず，日本でのデータを用いて，日本の乳がん検診の在り方について議論させてもよい．厚生労働省は，この問題を検討した際の議事録や資料を公開しているので，議論のベースとなるデータは取得できるはずである．
⑤ 資料:[1] SEER Cancer Statistics Review, 1975-2008 (Breast), https://seer.cancer.gov/archive/csr/1975_2008/results_merged/ sect_04_breast.pdf[2] Cancer Statistics Review Archive, https://seer.cancer.gov/csr/previous.html[3] Sesitivity, Speciﬁcity, and False Negative Rate for 1,682,504 Screening Mammography Examinations from 2007 - 2013, https://www.bcsc-research.org/statistics/
screening-performance-benchmarks/screening-sens-spec-false-negative[4] 全国がん罹患データ（2016 年〜2019 年）
https://ganjoho.jp/reg_stat/statistics/data/dl/index.html[5] 西野善一「がん検診の精度管理」JACR Monograph No.14 pp.19–21, 地域がん登録全国協議会, 2009. http://www.jacr.info/publicication/Pub/m_14/m_14_nishino.pdf[6] 厚生労働省・第 27 回がん対策推進協議会資料 (平成 23 年 11 月 2 日)https://www.mhlw.go.jp/stf/shingi/2r9852000001tpur.html[7] 資料 7:我が国の乳がん検診〜MMG 検診の現状と問題点〜(園尾参考人)
https://www.mhlw.go.jp/stf/shingi/2r9852000001tpur-att/2r9852000001tq0j.pdf⑥ 類題:⑦ 実践情報: 文系対象の数学リテラシー科目での実践あり（宿題として実施）．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-3-2: 新開発のがん検査の精度と条件付き確率① キーワード: がん検査，条件付き確率，ベイズ推定② 対象学生: 大学 1 年次（文理は問わない）③ 問題:
問題 4-3-2 次のニュースで紹介されているがんの検査方法はどれくらい実用性のあるものとして期待できるだろうか？
「50 種類以上のがんを検出できる画期的な血液検査がいよいよ大規模テストの段階へ」 https://gigazine.net/news/20210628-50-types-cancer-blood-test/

77④ 説明: 医療の検査の精度に関する議論については，データが公開されているものもあるので，学生にデータを取得させるところから始めることのできる題材がたくさんある．上のリ
ンク先のものはその一例である．この問題を使った演習では，検査の精度とは何かを調べさせることから始めてもよい．モデル化の際には，問題の文脈における数学外の用語や概念を理解しないといけないことも多い．この問題では，医学の分野で用いられる検査の精度に関わるさまざまな概念（感度・特異度・陽性的中率・陰性的中率・真陽性率・真陰性率・偽陽
性率・偽陰性率・正診率・有病率・罹患率）を理解する必要があるとともに，条件付き確率の計算をどのデータに適用すべきかについてきちんと理解する必要がある．これらの知識を教員が講義として与えるのではなく，インターネット上の情報を学生たち自身で調べるように仕向けることで，主体的な学習が行われると期待される．また，この問題の検査方法は多数のがんを一度に検査できるため，検査の有効性の議論では，がん全体を対象とするのか，がんの種類を絞るのかによって，多様なアプローチがありうる．公開されているデータで足りないところは仮定をおくなどして考えなくてはならず，数学的モデリングの重要な思考過程を体験させることができる教材である．
⑤ 資料:• 検査の精度に関する一般的な説明– https://www.hc.u-tokyo.ac.jp/covid-19/tests/– https://www.jslm.org/committees/COVID-19/20200427.pdf• Grail の精度に関するデータ (Grail の公開資料・論文)– https://grail.com/newsroom/?module=fact-sheets– https://grail.com/manuscripts/– https://grail.com/presentations/– https://www.annalsofoncology.org/article/S0923-7534(21)02046-9/fulltext• がんの罹患率のデータ（日本）– https://www.mhlw.go.jp/content/10900000/000794199.pdf⑥ 類題:⑦ 実践情報: 数学的モデリングに関する教養科目（文系学部生含むクラス）での実践あり（4人一組のグループ演習，90 分× 5 回）．
⑦ 教材提供者: 川添充（大阪公立大学）

4-3-3: 危険な廃液処理装置① キーワード: 廃液処理，標準偏差，確率② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-3-3 ある化学工場では強酸性の廃液を中和して廃棄するための処理装置を新たに開発し実験的に運転しています．この装置は毎分 50.0 L の廃液を受け入れて中和処理するよ第 4 章 教材集

78

うに設計されていますが，排出される処理済み廃液の量を計測してみると，平均処理速度は 48.9 L/分で，標準偏差は 3.9 L/分でした．装置が正常に作動しているかぎり排出量の分
布は正規分布に従っています．処理速度が下がると，タンク内にまだ中和されていない廃液が相当量残っている上に新たに 50 L の強酸性廃液が加わることになります．タンク内の未処理の廃液が一時的に 70 L を超えると中和反応の反応熱によってタンク内の温度が急激に上昇し，最悪の場合は装置が破裂します．そうでなくても未処理の廃液がそのまま排出されることになります．このような危険な事態が発生する確率はどれくらいあるでしょう
か．またこのような事態を未然に防ぐにはどのような安全策を講じればよいでしょうか．
④ 説明: データの含意を正しくつかみ，それをもとにして予測したり何かを推測したりする力を養うのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-4． 微分方程式の活用に関する教材
4-4-1: 微分方程式を使って大気圧を予測する① キーワード: 大気圧，吊り橋，微分方程式，変数分離形② 対象学生: 大学 1 年次（理工系）③ 問題:
問題 4-4-1A 大気圧は地表面からの高さが増すほど減少する．気体力学の理論から，高さx における大気圧を p ，大気の密度を ρ としたとき，高さ x の変化に対する大気圧 p の変化率は次式で与えられるという．

dp −ρ g （ g は重力加速度）· · · · · · ①dx
以下，地表面での大気圧と大気の密度をそれぞれ p 0  1.013 × 105 [Pa]，ρ 0  1.38 [kg/m3 ]とし，重力加速度を g  9.80 [m/s2 ] とする．
まず，空気の密度が高さによらず一定で，地表面での密度 ρ 0 に等しいと仮定しよう．この仮定は物理的には正しくないが，とりあえず，そう仮定して問 1〜問 3 を解くことにする．
問 1．式①から，高さ x における大気圧はp  p 0 − ρ0 gx · · · · · · ②で表されることを示せ．
問 2．式②から地上 3000[m] における大気圧を求め，この高さでの大気圧が，地表面の気圧 p 0 の何%になるかを計算せよ．

79

問 3．式②が上空まで成り立つとすれば，大気圧が 0 となる高さは何メートルになるか．
実際には，気体の体積は温度や圧力に依存する（ボイル・シャルルの法則）から，密度が一定だとする上の仮定は正しくない．このうち，高さによる温度の変化は 1000 [m] あたり2%程度であることから，以下，簡単のため，温度は高さによらず一定だと仮定しておく．
この場合，気体の体積は圧力に反比例する（ボイルの法則）から，大気の密度は圧力に比例する．そこで，比例定数を k とすると，密度は ρ  kp の形で表すことができ，これを①に代入すればdp
 −k gp（k は定数） · · · · · · ③
dxとなる．
問 4．微分方程式③を変数分離法で解き，その一般解を求めよ．
問 5．地表面における大気圧を p 0 として，③の特殊解を求めよ．
問 6． k  1.22 × 10−5 [s2 /m2 ] として，地上 3000[m] の高さにおける大気圧が，地表面での大気圧 p 0 の何%になるかを計算せよ．
④ 説明: 各問の解答は以下の通り．
問 1． dp  −ρ 0 gdx の積分から p  p 0 − ρ 0 gx
問 2．②より， p  1.013 × 105 − 1.38 × 9.80 × 3000  6.07 × 104 [Pa]．
p
したがって， × 100 ≒ 59.9 [%]．
p0
p
問 3. 気圧が 0 になる高さは x max  ρ00g  7.47 × 103 [m]．
dp

問 4. ③より p  −k gdx ．これを解けば p  Ce −k gx ．
問 5. p  p 0 e −k gxp

問.6 k gx  1.22 × 10−5 × 9.80 × 3000 ≒ 0.359 であるから， p0 ≒ e −0.359  0.698 すなわち69.8%．
⑤ 資料:⑥ 類題:
問題 4-4-1B 「明石海峡大橋」等の吊り橋（Suspention Bridge）のワイヤーの曲線の形を数学的な関数として求めてみよう．

第 4 章 教材集

80

次の文中の

を埋めよ．

図のようにワイヤーの点を (x, y) で表し，ワイヤーの２点 P(x, y) と Q(x + ∆x, y + ∆y)の間の微小部分に働く力のつりあいを考える．まず，この微小部分に働く力は点 P および

Q におけるワイヤーの張力 T(x) および T(x + ∆x) とこの微小部分の重心に鉛直下向きに働く重量 W （ 質量 [kg] × 重力加速度 [m/s2 ]）であることに注意する．それぞれの張力の水平方向とのなす角を α, β (> 0) とすると，この微小部分に働く力の水平方向のつりあ
いの式は



(1)

≡ T0 · · · · · · ①(2)となる．ワイヤーの曲線が緩やかであるとして，ワイヤーの微笑部分の長さ ∆s について∆s ≈ ∆x と仮定すると（ ρ はワイヤーの単位重量 [N/m] を表す），W  ρ∆s ≈ ρ∆x だから，垂直方向の力のつりあいの式は(3)≡ T0 · · · · · · ②(4)である．①より T(x) および T(x + ∆x) を T0 を用いて表すとT(x) 

および T(x + ∆x) 

(5)

(6)

······③だから，これらを②に代入すると



(7)

(8)

≡ T0 · · · · · · ④④で tan α ， tan β はそれぞれワイヤーの曲線 y  f (x) の点 P ， Q における接線の傾きだから

f ′(x)  tan α,⑤を④に代入すると

f ′(x + ∆x)  tan β · · · · · · ⑤

ρf ′(x + ∆x) − f ′(x)······⑥∆xT0

これは関数 f ′(x) の平均変化率が一定であることを意味するが，∆x は任意だから ∆x → 0の極限においてf ′′(x) ρ······⑦
T0

よって，

f ′(x) (9)+ C1 · · · · · · ⑧

f (x) (10)

+ C2 · · · · · · ⑨

従って，

ここで，積分定数 C 1 , C 2 は座標点の選び方によって決定される．

81

もし ∆s ≈ ∆x の仮定をしなければ，微小部分の長さは

∆s 

q

s

∆x 2 + ∆y 2  ∆x



∆y
1+
∆x

2

q

≈ ∆x 1 + f ′(x)2pとなるから，W  ρ∆s  ρ∆x 1 + f ′(x)2 となる．このとき，⑦は ∆x → 0 の極限としてf ′′(x) ρT0q

1 + f ′(x)2 · · · · · · ⑩Tρとなり，この微分方程式を解くことになる．詳しい計算の結果， f (x)  ρ0 cosh T0 x （懸垂線；catenary）という曲線になる．
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 西誠（金沢工業大学）

4-4-2: トンネルの設計① キーワード: 建設，トンネル，分数関数，二次関数② 対象学生: 工学部の初年次の学生③ 問題:
問題 4-4-2A 図 1 に示すように，上部が半径 r[m] の半円形で，下部が高さ h[m] の方形の断面形状のトンネルを作りたい．

トンネル建設用資材の量や，開通後の補修費を節約するため，トンネルの断面積 A[m2 ] と内周の長さ L[m] に関して，つぎの 2 通りの観点から検討したい．

[1] 断面積 A を一定として，内周長 L を最小にしたい．
[2] 内周長 L を一定として，断面積 A を最大にしたい．
以下の手順にしたがい，検討せよ．
手順
問１ 断面積 A と内周長 L を r と h の関数として，それぞれ表現せよ．
問２ 問 1 の両式から h を消去し， L を r と A を使って表現せよ（すなわち， L を r と Aの関数として表現せよ．得られた式を「式①」とする）．また，式①を変形して A について解き， A を L と r を使って表現せよ（A を r と L の関数として表現．得られた式を「式②」とする）．
問３ 問 2 で得られた式①において， A を一定 (定数) とみなして，まず， L が最小となる r
を A を使って表現し，つぎに，その時の h と L も A を使って表現せよ．言い換えれば， A の値が与えられた場合に， L が最小となる r と h ，およびそのときの L の値

第 4 章 教材集

82(L の最小値) を求めることができるように， r と h と L を A の関数として表現する．
問４ 問 2 で得られた式②において， L を一定 (定数) とみなして，まず， A が最大となるr を L を使って表現し，つぎにその時の h と A も L を使って表現せよ． 言い換えれば， L の値が与えられた場合に， A が最大となる r と h ，およびそのときの A (Aの最大値) を求めることができるように， r と h と A を L の関数として表現する．
問５ 問 3，4 の結果も考慮して【1-2】で得られた式①と式②のグラフの概形を，特徴がわかるように描きなさい (漸近線もあれば明記)．ただし，式①では A を定数とみなして， L を r の関数として描き，式②では L を定数とみなして， A を r の関数として描きなさい．
問６ 以上の結果を検討・考察してわかることを箇条書きし，要点をできるだけ分かりやすくまとめなさい．いくつかの興味深い事柄が見えてくるかもしれません．
④ 説明: 問 1〜5 の解答は次の通り．
問 1. A  πr2 + 2rh, L  πr + 2(r + h)  (π + 2)r + 2h
2

A
π+4 2
問 2. L  π+4
2 r + r · · · · · · ①, A  Lr − 2 r · · · · · · ②d問 3. dL
dr  drπ+4A
2 r+ rA
 π+4
2 − r 2  0 より， r 

A πr
A
h
−

2r
4
2
π+4
L
2

r

r

π+4 π
−
2A
4

2A
+A
π+4

結論： r  h q2
問 4. 式②は A  Lr − π+42 r なのでdAddr  dr

r

q

2A
π+4 ．

r

2A

π+4

r

2A
π+4

π+4 p
 2(π + 4)A
2A

2A
π+4 , L p2(π + 4)A

2  L − (π + 4)r  0 より， r  L ．
Lr − π+4
2 r
π+4

L π+2
L π+2
L
L
−
r −
·

2
2
2
2
π+4 π+4

2
L
π+4
L
L2
A
L−

π+4
2
π+4
2(π + 4)h

2LL
結論： r  h  π+4, A  2(π+4)

問 5. 式①と式②のグラフを r > 0, L > 0, A > 0 の領域で描く．さらに， h > 0 の条件も付加して考える．問 1 の二つの式を，それぞれに h について解いてh
より， r <q√2A
π ≒ 0.798

2A − πr 2
> 0,
4r

h

L − (π + 2)r>02LA および r < π+2≒ 0.194L において h > 0 となる．このことから， r > 0, h > 0, L > 0, A > 0 のすべての条件を考慮したグラフは，図 1-5C と図 1-5D で
ある．

83

⑤ 資料:
⑥ 類題: ③ 問題:
問題 4-4-2B 図２に示すように，上部が半径 r[m] の半円形で，下部が高さ h[m] の方形の断面形状で，奥行きが d[m] の収納箱を造りたい．

箱の材料費を少なく収納量を多くしたいとの観点で[1] 容積 V を一定として，表面積 S を最小にしたい．
[2] 表面積 S を一定として，容積 V を最大にしたい．
問 1 容積 V を与えて（一定として），表面積 S を最小にするための r と h と d を V を使用して表現せよ．また，表面積 S の最小値も V を使用して表現せよ．
問 2 表面積 S を与えて（一定として），容積 V を最大にするための r と h と d を S を使用して表現せよ．また，容積 V の最大値も S を使用して表現せよ．
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 西誠（金沢工業大学）

4-4-3: コーヒーの温度変化① キーワード: 温度変化，ニュートンの冷却法則，微分方程式，変数分離形② 対象学生: 全学生（高校で数学 III の微分積分を学習していることが前提）③ 問題:
問題 4-4-3 80◦ C のコーヒーを，一定気温 20◦ C に保たれている部屋に x 分間置いたときのコーヒーの温度を y ◦ C とする．ニュートンの冷却法則「冷却の温度変化は温度差が大き

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第 4 章 教材集

いほど速い」を用いると，コーヒーの温度の瞬間変化率 y ′ は，コーヒーの温度と室温の差 (y − 20) に比例すると考えられる．この比例定数を k (k > 0) として微分方程式を作り，それを解きなさい．また，その解を使って，比例定数を k  0.07 としたときの 10 分後のコーヒーの温度（小数第 2 位を四捨五入した値）を求めなさい．関数電卓を用いてよい．
④ 説明: コーヒーの瞬間の温度変化は，そのときのコーヒーの温度と室温の差に比例することから，微分方程式を作ることができる．変数分離形となるので，その解き方が分かれば解が得られる．詳細は問題 2-3-5 を参照．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報: 政治経済学部 2 年選択科目，理工学部 1 年選択科目．
⑦ 教材提供者: 高木悟（早稲田大学）

4-4-4: バネによる物体の運動① キーワード: バネ，運動方程式，微分方程式，定数係数非斉次 2 階線形微分方程式② 対象学生: 大学 1 年・理工系学部③ 問題:
問題 4-4-4 天井に固定したバネに，質量 m で大きさの無視できる物体をつるし，バネの張力による鉛直方向の物体の運動を考える．時刻 x における物体の位置を y とし，バネの力と物体の重力が釣り合っている位置を y  0 とする．物体の空気抵抗は無視できるが，時
刻 x における外力を g(x) とするとき，正の比例定数 k を用いて運動方程式を記述し，それを解きなさい（積分のままの式でよい）．
④ 説明: 運動方程式を作るための物理学の知識が必要である．また，定数係数非斉次 2 階線
形微分方程式の解き方を理解している必要がある．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報: 教育学部数学科 1 年，理工学部 1 年生，どちらも定数係数非斉次 2 階線形微分方程式の解法を講義した後，フックの法則などの物理学の知識を紹介した．
⑦ 教材提供者: 高木悟（早稲田大学）

4-5． 領域・単元を限定しない教材
4-5-1: 女性衣料のビジネスモデル① キーワード: 衣料，ビジネスモデル，数学的モデル化，シミュレーション② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-1 高級ブランドを別にすれば，一般に女性の衣類は男性のものより安く設定されていることが多いようですが，なぜこのようなビジネスモデルが成り立つのでしょうか．

85

いま，たとえば女性は 1 年間に 3 本の割合でジーンズを購入し平均 3 年着用するとし，男性は 3 年に 1 本の割合でジーンズを穿きつぶすと仮定して考えてみてください．この場合，
男性と女性のどちらがアパレル業界を潤す効果が大きいでしょうか．（ただし女性のジーン
ズは 1 本につき平均 3000 円，男性のものは 1 万円とします．20 代の女性と男性はどちらも

700 万人として経済的な効果を試算してください．また女性のジーンズは原価率が 40 ％，男性のものは 50 ％として利益を比べてみてください．）④ 説明: 数学的モデル化の導入教材として，単純化や仮定の置き方の事例を示すのが目的．
女性は 3 年間で 3000 円 × 9 本 27000 円をジーンズの購入に当て，平均 9 本のジーンズを所有します．男性のジーンズは 1 本につき 10000 円ですが，3 年間で 1 本しか購入しませんか
ら，女性のほうがアパレル業界に貢献していることは確かです．男女とも 700 万人ずつで，仮に全員がこのような購買行動をとるとすれば，売り上げは女性が 1890 億円，男性が 700
億円ですが，原価率を考慮すると，女性のジーンズのもうけは 1890 億円 ×0.6 ＝ 1134 億円，
男性のジーンズは 350 億円ですから，女性のジーンズのほうが 3 倍も利益が大きいことにな
ります．価格を抑えてもたくさん売ったほうが儲かるということです．またたくさん買ってたくさん所有してくれれば，1 本当たりの使用頻度は低いはずですから，耐久性が少々低くても大丈夫かもしれません．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-2: 祭りの人出① キーワード: 祭り，人出，混み具合，数学的モデル化，シミュレーション② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-2 (1) 中央通り商店街で開催される夏祭りの人出を推計しようと思います．どのように考えれば推計できるでしょうか．またその計算にはどんなデータが必要でしょうか．
ちなみに中央通り商店街は長さが 200 ｍで幅が 10 ｍ，祭りのときは全区間が遊歩道になるので，さながら細長い広場のようです．ピーク時にはこの細長い広場が人で埋まります．
上から見ると，駅に近い西側から入って東に向かう人波と，反対方向に向かう人波が両側の店舗に沿って対流しているように見えます．

(2) 焼き物の廉売市が川沿いの東西３ km に及ぶ区間で 2 日間にわたって開催されます（廉売市の開催時間は計 24 時間です）．道幅は４ｍほどです．主催者側の発表では，2 日間で50 万人の人出があったそうです．これはどれくらいの混み具合でしょうか．またこの 50万人という数はどのようにして求めたのでしょうか．
④ 説明: 数学的モデル化の導入教材として，単純化や仮定の置き方の事例を示すのが目的．

(1) ではたとえば１人が占める面積を半径 50cm の円とすると，この細長い広場に入る人数

86

第 4 章 教材集

は，最大で，東に向かう 4000 人と西に向かう 4000 人を合わせた 8000 人です．どのくらいのスピードで人が移動するかは目印になる人の動きを追えばわかります．たとえばその目印の人が西口から入って東まで行き，折り返して出ていくまでに 24 分かかったとすると，時
速１ km/h になります．これは 24 分で 8000 人が入れ替わるということですから，１時間では延べ 20000 人が訪れたことになります．実際の混み具合を知るには，たとえば 1 辺５ mの升目を設定し，写真に撮って人口密度を数え，2000(m2 ) ÷ 25(m2 ) ＝ 80 倍すれば求めることができます．(2) では (1) と同じように１人が占める面積を半径 50 ｃｍの円とすると，廉
売市会場を埋め尽くす人数は 48000 人になります．この人たちが時速１ km/h で移動すると仮定すると，会場の端から端まで行くのに 3 時間かかります．24 時間では延べ 384000 人が訪れたことになります．実際には 50 万人が訪れたというのですから，これより 1.3 倍も多い
わけです．朝早くは人出が少ないとすると，ピーク時には 1 人が占める面積は半径 50cm よりもうんと小さくなるはずです．手を振ると周りの人に当たってしまうくらいの間隔です．
また移動速度を半分にすると，24 時間の客数は延べ 192000 人になってしまいますから，これを 50 万人にするためには当初の仮定より 2.6 倍も過密にしなければなりません．これは人と人がほぼ接している状態で，満員電車並みといえます．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-3: 換気の効率① キーワード: 換気，感染対策，数学的モデル化，シミュレーション② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-3 教室で誰かがくしゃみをしてウィルスを含む飛沫が拡散したとします．換気して教室の空気をきれいにするにはどれくらいの時間が必要でしょうか．いま教室の広さが30 畳（約 100m2 ）で，天井高が 2.5ｍ であるとします．これは小中学校の教室の 1.5 倍くらいの大きさで，大学の一般的な講義室の大きさです．この教室の前と後ろに高さと幅がそれぞれ 2ｍ × 0.9ｍ の出入り口があります．この教室で 1 粒に 100 個のウィルスを含む
飛沫が 1000 個ほど飛散したとき，ウィルスの数を 10 個未満に減らすにはどれくらいの時間が必要か考えてみてください．一方の出入り口からそよ風程度の毎秒 3 ｍの風を送り込
み，もう一方の出入り口から排気するとします．換気によって 1 分ごとにウィルスの数が10 分の 1 に減少する場合と，1 分ごとに 20 分の 1 に減少する場合を考えてみてください．
④ 説明: 数学的モデル化の導入教材として，単純化や仮定の置き方の事例を示すのが目的．
部屋の容積は 250m3 で，一つの出入り口から流入する空気の体積は 1 分間に 3(m/s) × 60(s) ×1.8(m2 )  324(m3 ) です．部屋の容積の 1.3 倍もの空気が流入するので換気は良好と考えられます．ただそれによってウィルスがどれくらい減少するかは，はっきりとはわかりません．妥当な仮定として，ウィルスの数が 1 分ごとに 10 分の 1 に減少するときは，

87

経過時間 (分)ウィルスの個数 (個)0100000

1
10000

2
1000

3
100

4
10

2
250

3
12.5

4
1

5
1

1 分ごとに 20 分の 1 に減少するときは，経過時間 (分)ウィルスの個数 (個)01000001
5000ですから 5 分も換気すればじゅうぶんでしょう．いちばんよいのは，いつもそよ風くらいの強さの風が吹き抜けるようにしておくことです．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-4: 文献を読むのにかかる時間① キーワード: 読み取り速度，数学的モデル化，シミュレーション② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-4 「説明文は平均 20 文字で書かれている．」は 18 文字で，助詞以外の（下線を引いた）単語の数は５つです．「論理的な 説明文は平均 20 文字で書かれている．」は 22
文字で 6 単語です．
「肥満と成人病の関係について各国で研究が行われた．
」は 24 文字で 6
単語です．大学生の数井さんは，学術書に出てくるような論理的な説明文では，一つの単文は 15〜25 文字からなり，そのなかに５ないし６個の単語を含むという経験則を信じています．そうすると，学術書は 1 ページが 800 字前後で組まれることが多いので，1 ペー
ジが 30〜50 の単文で構成され，150〜300 単語を含むことになります．単語数が多いほど提示される概念も多いと考えられますから，読んで理解するのに時間がかかります．上に示したような文では一つの単文を読んで理解するのに 5 秒〜7 秒かかります．そうすると，

30〜50 の単文を含むページを読むには 150 秒〜350 秒かかります．馴染みのある内容なら3 分弱，初めて見る内容なら 5 分か 6 分かかるということです．これは試験前の勉強時間の配分を決める際に重要になります．専門書を 30 ページ読んでレポートを書く場合と 50
ページ読んでレポートを書く場合とでは，かかる時間に大きな違いがあります．それぞれどれくらいの時間を見込んでおけばよいでしょうか．
④ 説明: 数学的モデル化の導入教材として，単純化や仮定の置き方の事例を示すのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-5: 危険な降雨

88

第 4 章 教材集

① キーワード: 降雨，数学的モデル化，シミュレーション② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-5 小川さん宅は敷地面積が 150 坪ほどあります．ここに降る雨の総量は，１時間に 10 mm 程度の雨なら約 5000 L，重さにすれば 5 トン (t) です．うちだけでそんなに大量の雨が降るのか，と驚いた小川さん，家の前を流れる川のことが急に心配になりました．
この川の両岸は道路になっていて，川幅が 5 m ほど，道路面から川底までは深いところで

3 m ほどです．普段は川の中ほどを水がちょろちょろ流れている程度ですが，大雨が降ると護岸の半分以上の高さまで水が来ることもあります．この川には少なくとも上流 10 km，
幅 5 km に降った雨が流れ込みます．つまり流域面積は 50 km2 (50,000,000 m2 ) です．1 時間に 10mm の雨（言い換えると１ m2 あたり１時間に 10 L の雨）が降ったとすると，この面積に降る雨の総量は１時間に 500,000,000 L（500,000 m3 ）です．ただ土地には保水力がありますから，降った雨がそのまま川に流れ込むわけではありません．1 時間に 10 mm
程度の雨だと降雨の 25 %が川に流れ込むと仮定しましょう．（さらに，20 mm の降雨なら40 %が，30 mm の降雨なら 60 %が川に流れ込むと仮定します．いずれもその強さで雨が何時間も降り続いた場合です．
）また水の勢いは川幅によって変化します．川幅が狭いとこ
ろでは流速が増しますから，それだけ大きな負荷が護岸にかかります．小川さんの家の付
近では流速 80 km/h までは耐えられるとしましょう．小川さんの家の前の川は深さが 3 m
で幅が 5 m ですから，1,200,000 m3 /h の流量が上限ということになります．それ以上の水が流れると川は決壊してしまいます．さて，1 時間に 10 mm の雨だと流量は 125,000 m3 /h
ですから心配なさそうですが，20 mm や 30 mm の雨（これはバケツをひっくり返したよ
うな雨です）が降り続いたらどうでしょう．ただ心配して見ているだけでいいでしょうか．
④ 説明: 数学的モデル化の導入教材として，単純化や仮定の置き方の事例を示すのが目的．
河川工学の詳細はおき，考えられるファクターを考慮してモデルを作成することを優先する．作成したモデルと現実を見比べて，モデルを改良していくことの重要性を説く．小川さんの家の前で川の断面積は 3(m) × 5(m)  15(m2 ) ほどあります．護岸の耐久度が流速

80 km/h とすると，流量では 1 時間に 15(m2 ) × 80, 000(m/h)  1, 200, 000(m3 /h) まで耐えられることになります．1 時間に 10 mm の雨が降ると，流域全体で降る雨の量は 500,000

m3 になり，このうち 25%が川に流れ込むとすると 1 時間当たりの流入量は 125,000 m3 /h
です．これがそのまま小川さんの家の近くで観測される川の流量に反映すると仮定すれば，125, 000(m3 /h) < 1, 200, 000(m3 /h) ですから，まったく心配ありません（水深を１ m とす
ると流速は 25 m/h ですし，水深２ m なら 12.5 m/h です．水深は川の形状や上流の川幅などで変わります）．1 時間に 20 mm の降雨では 1, 000, 000(m3 ) × 0.4  400, 000(m3 /h) にな
り，1 時間に 30 mm の降雨では 1, 500, 000(m3 ) × 0.6  900, 000(m3 /h) になります．水深を2.4 m とすると 900, 000(m3 /h) ÷ 12(m2 )  75, 000(m/h)  75km/h でかなり危険ですし，水が道路面すれすれまで来たときは 900, 000(m3 /h) ÷ 15(m2 )  60, 000(m/h)  60(km/h) ですが，こうなると護岸が崩れなくても流れる水の勢いで水が道路面に溢れてくるでしょう．

89

心配してみている場合ではありません．ただ，小川さんが知る限り，過去８０年間にこの川は一度も氾濫したことがありません．その間には大きな台風も来たし記録的な大雨が降り続
いたこともありました．それでも大丈夫だったということは，ここで置いたいくつかの仮定に修正が必要だということを示しています．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-6: 天気を数値で表すと季節が見えてくる① キーワード: 天気，数値化② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-6 天気を次のように数字で表します．
快晴⇒３ 晴れ時々曇り⇒２

曇り⇒１

曇り時々雨⇒０

雨⇒−１

午前と午後で天気がかわることもありますから，午前/午後のように書きます．そうやって毎日，記録をとりました．

1/0, 2/2, 2/2, 2/2, 3/3, 3/3, 2/2, 3/3, 2/2, 2/2, 3/3, 1/1, 1/1, 1/2, -1/0, 2/1,
2/2, 0/0, 2/2, 3/3, 3/3, 2/2, 2/2, 3/3, 3/2, 0/1, 3/3, 2/2, 2/2, -1/0, 3/3, 0/1,
0/-1, 2/2, 1/1, 0/2, 1/1, 3/3, 3/3, 1/-1, -1/2, 3/3, 3/3, 1/0, 3/3, 3/3, 3/3,
2/0, -1/-1, 2/2, 3/3, 3/2, 1/0
朝６時の気温（◦ C）も記録しました．

2, 8, 4, 2, 2, 4, 6, 6, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 9, 7, 6, 0, 1, 4, 6, 7, 10, 3, 2, 7, 5, 6, 8, 14 ,4, 8,
10, 12, 7, 10, 6, 9, 6, 9, 10, 8, 6, 8, 8, 6, 6, 10, 16, 9, 5, 7, 12
この記録からこれはどんな季節か考えてください．
④ 説明: 感覚的なものを数値化することは現実場面で遭遇する様々な問題を数学的に扱うための第一歩であり，そうすることで見えてくるものがあることを理解させるのが目的．10 日
ずつ気温の平均 µ(◦ C) と標準偏差 σ(◦ C) を (µ, σ) のように表すと，(4.1, 2.0), (5.5, 3.2), (6.8, 3.2), (8.1, 2.3), (8.5, 2.9)となり（ただし最後だけ 13 日間の平均と標準偏差），10 日ごとに気温の平均値が上がっていくことがわかります．標準偏差も大きくなる傾向が読み取れ，気温の変化が大きくなっていることがわかります．天気の変化も後半のほうが大きく，雨模様の日も増える傾向があり
ます．これは 2 月から 3 月に特徴的な天候です．
⑤ 資料:

第 4 章 教材集

90

⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-7: レジリエンスを測る① キーワード: レジリエンス，数値化② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-7 目まぐるしく変化する社会環境やパンデミックの発生はひとを不安にします．
精神の安定を失って攻撃的になるひとも出てきます．こういう状況のなかで冷静さを保つには，暮らしのなかに何かほっとできるものが必要です．自分をほっとさせてくれるもの
が身のまわりにどれくらいあるかを数えることによって，わたしたちの精神的な安定性や復元力の強さを推定するスコア（mental resilience score）を作りたいと思います．どうすればよいでしょうか． 一つの方法として，ほっとできる環境や状況，自分をほっとさせてくれるモノなどをリストアップして，それぞれについてイエスかノーを答えてもらうという方法が考えられます．どのような質問項目を用意すればよいでしょうか．（イエスがいくつ以上あれば精神的な復元力があると判定できる，というようなものを作ればよいのです．）たとえば，① 自他ともに認める趣味がある．
② お気に入りのモノ（食べ物も含む）がある．
③ ほっとできるスポット（場所や環境）がある．
④ ほっとできる最強の組合わせ（例：〇〇のときは××で△△をする）を知っている．
⑤ 何でも話せる人が身近にいる．
⑥ 疲れたときに癒してくれるもの（曲や絵や映画など）がある．
⑦ 折に触れ読み返す本をもっている．
⑧ 自分を支える言葉や思想がある．
⑨ ペットがいる．
⑩ 身近なところにいつも自然（広い空，山や海，樹木や草花）がある．
ここで気をつけてほしい点は，ほっとできることと快楽は同じではないということです．
たとえば新しい恋人と会うのはわくわくするし楽しいけれど，必ずしもほっとできるわけではないでしょう．むしろ緊張したり興奮したりするのではないですか．スマホも，ないと不安になりますが，あればほっとできるかというと，そうでもない．あるのが当たり前になっているので，ないと不安になるだけです．刺激が強すぎるものは，その不在がひとを不安にするのです．さあ，この質問に答えてもらうことでレジリエンスを測ることができるでしょうか．ところで「ほっとできる」や「ほっとしたい」という感情が意味をもつのは多少でもストレスのある社会生活を営んでいる場合であり，毎日が退屈でしかたがな
いという人や自堕落な生活をしている人には当てはまらないでしょう．この点を見るために下のような参照項目を設け，上のスコアとかけあわせるか，両スコアをクロスさせてみ91

るといいかもしれません．
⑪ 仕事にやりがいを感じる．
⑫ 規則的な生活をこころがけている．
⑬ 生活に刺激があって退屈しない．
⑭ ３年以内に達成したい目標がある．
⑮ できれば社会に役立つ人間でありたい．
調査項目が出揃ったら，被験者を募って調査に参加してもらいましょう．自他ともに精神的に安定していると認める人やその逆の人のスコアにはっきりした傾向が見られるかど
うかを確認します．
④ 説明: 感覚的なものを数値化することは現実場面で遭遇する様々な問題を数学的に扱うための第一歩であり，そうすることで見えてくるものがあることを理解させるのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-8: さわやか指数① キーワード: 感覚，数値化② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-8 今日はさわやかな日だねとか，蒸し蒸しして不快だ，などと言います．不快指数があるように，爽やか指数を作れないでしょうか？
④ 説明: 感覚的なものを数値化することは現実場面で遭遇する様々な問題を数学的に扱うための第一歩であり，そうすることで見えてくるものがあることを理解させるのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-9: 雲の重さ
① キーワード: 雲，数値化② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-9 空に浮かぶ雲はどれくらいの重量がある（どれくらいの重量の水蒸気でできている）でしょうか．雲の大きさを一辺が 1 km の立方体として考えてみてください．
この雲の体積は 1(km3 )  1.0 × 109 (m3 ) です．雲の温度を ０◦ C (273K）とすると水の蒸気圧は 610.8 Pa ですから，理想気体の状態方程式を適用して，1 m3 の水蒸気に含まれる水の物質量は，610.8(Pa) × 1.0(m3 )  n × 8.31 × 103 (Pa · m3 /K · mol) × 273(K) より，

第 4 章 教材集92

n  2.7×10−4(mol) です．水分子の分子量は 18 ですから，この雲の密度は 2.7×10−4×18 
4.8 × 10 − 3(g/m3 ) です．体積 1 km3 の雲の質量は 4.8 × 106(g) つまり 4.8 トン (t) にもな
ります．これだけの水蒸気がそのままゆっくり（たとえば 1 時間かけて）降りてきたら，どれくらいの降雨になるでしょうか．
④ 説明: 感覚的なものを数値化することは現実場面で遭遇する様々な問題を数学的に扱うための第一歩であり，そうすることで見えてくるものがあることを理解させるのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-10: 専業主婦・専業主夫と GDP① キーワード: 家事労働，GDP，数値化② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-10 誰もが生き甲斐や働き甲斐を感じられる社会はいいけれど，賃金労働だけが価値のある仕事ではありません．子育て期間を専業主婦や専業主夫として過ごすことは，次の世代をよりよくするためにも重要なこと．専業主婦は夫に「食べさせてもらっている」のではなく，外で働く夫を支え，子どもを育てるという大事業に専従しているのだ，と田中さんは考えます．３才の娘と１才の息子を保育園に通わせつつ親の介護で忙しい田中さんですが，長女が生まれるまでは看護師として第一線に立っていました．専業主婦の労働は直接的なかたちで GDP に現れるわけではありませんが，まちがいなく GDP に貢献しているはず．どんなかたちで評価すればいいでしょうか．
④ 説明: 感覚的なものを数値化することは現実場面で遭遇する様々な問題を数学的に扱うための第一歩であり，そうすることで見えてくるものがあることを理解させるのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-11: エレベーターはいまどこにいるか？
① キーワード: エレベーター② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-11 せっかちな人は，遅いエレベーターに乗るくらいなら階段を駆け上がったほうがましだ，と思うかもしれません．せっかちな人が階段を駆け上がる速さは次の通りです．

1 階から 2 階へ：13 秒

1 階から 3 階へ：26 秒

1 階から 4 階へ：38 秒

93

逆に下りるときは次の通りです．

2 階から 1 階へ：13 秒

3 階から 1 階へ：25 秒

4 階から 1 階へ：37 秒

エレベーターに乗ってから行先階で降りるまでにかかる時間は，

1 階から 2 階へ：19 秒

1 階から 3 階へ：24 秒

1 階から 4 階へ：28 秒

逆にエレベーターで下りるときは，2 階から 1 階へ：19 秒

3 階から 1 階へ：23 秒

4 階から 1 階へ：26 秒

こういう状況のとき，エレベーターはどの階に停止していることが多いと思いますか．
ある先生の研究室は 4 階にあります．この先生は自分がエレベーターに乗ろうとすると，
いつもエレベーターが他の階にあるような気がして不満です．そこであるとき思い立って，
エレベーターがどの階に停止しているかを調べてみました．朝 9 時から夕方 5 時まで，1
時間おきに 6 日間調べました．その結果は次のようなものでした．
停止階

１階

２階

３階

４階

回数

24

2

10

14

計 50 回

この結果をあなたはどう説明しますか？
④ 説明: データの含意を正しくつかみ，それをもとにして予測したり何かを推測したりする力を養うのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-12: 日本人の未来① キーワード: 日本の人口，未来予測② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-12 総務省統計局が公開している人口推計 2021 年版（https://www.stat.go.jp）によると，10 代の人口は 1099 万人（女性は 537 万人），20 代は 1264 万人（女性 611 万人），

30 代は 1389 万人（女性 682 万人）です．このデータから，いまの 10 代から 30 代の人の子の世代の人口を想像してみてください．ただし 39 才までに結婚する女性の割合を 76 ％とし，1 人の女性が一生のあいだに産む子の数（合計特殊出生率）を 1.34 とします．
④ 説明: データの含意を正しくつかみ，それをもとにして予測したり何かを推測したりする力を養うのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:

第 4 章 教材集

94⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-13: 電子レンジの特性① キーワード: 電子レンジ，調理② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-13 ジャガイモ（長軸 50mm，短軸 40mm のラグビーボール型）を蒸します．蒸し時間と串の通る深さを計測した結果を下に示します．どのような関係が見いだせるでしょうか．
時間 (分)

2
5

深さ (mm)

3
8

４

5
–

10

6
15

7
20

8
23

9
–

10
25

11
–

12
30

今度は電子レンジ（300 Ｗ）で加熱しました．結果を下に示します．蒸す場合とどのような違いがあるでしょうか．
時間 (秒)
深さ (mm)

30
5

60
7

90
9

120
18

150
40

④ 説明: データの含意を正しくつかみ，それをもとにして予測したり何かを推測したりする力を養うのが目的．
⑤ 資料:
⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-5-14: 日本人の金融資産① キーワード: 金融行動，平均，中央値② 対象学生: 文系初年次③ 問題:
問題 4-5-14 金融広報中央委員会「家計の金融行動に関する世論調査」（2019 年/令和元年）（https://www.shiruporuto.jp/）によると，2 人以上世帯の金融資産保有額は，世帯主の年齢が 40 歳代の世帯では 1 世帯あたり平均が 694 万円で中央値が 365 万円，50 歳代の世
帯では 1 世帯あたり平均が 1194 万円で中央値が 600 万円，世帯主が 60 歳代の世帯では 1
世帯あたり平均が 1635 万円で中央値が 650 万円，70 歳以上では平均が 1314 万円で中央値が 460 万円でした．なおこれらは金融資産非保有世帯を含む平均と中央値です．これらのデータからどんな家計の姿が見えてくるでしょうか．
④ 説明: データの含意を正しくつかみ，それをもとにして予測したり何かを推測したりする力を養うのが目的．
⑤ 資料:

95

⑥ 類題:
⑦ 実践情報:⑦ 教材提供者: 落合洋文（名古屋文理大学）

4-6． 数学の活用例が載っている本
浜田宏，「その問題，数理モデルが解決します」，ベレ出版，2018．
身の回りの問題を数学でモデル化して解決していく過程が，登場人物たちの会話形式で進んでいく．日常の問題解決に数学をどう使えばよいのか，どう使うことができるのか，が具体的な事例で語られているとともに，数学的モデル化過程で大事な「モデルの改良」
もしっかりストーリーに組み込まれており，数学的モデル化のプロセスそのものを味わえる本といえる．数理モデリング（数学的モデル化）に馴染みのない人は，この本で数学的モデル化の感覚を学べるだろう．取り上げられる日常的な問題のタイプは，本書の第４章 4-5 に掲載したものに近い．

浜田宏，「その問題，やっぱり数理モデルが解決します」，ベレ出版，2018．
「その問題，数理モデルが解決します」の続編である．前書と合わせてお薦めしたい．

キース・デブリン，ゲーリー・ローデン (著)，山形浩生，守岡桜 (訳)，「数学で犯罪を解決する」，ダイヤモンド社，2008．
数学者が犯罪捜査に協力するアメリカの TV ドラマ「Numb3rs」に登場する数学を一般向けに解説している．ベイズ推定やネットワーク分析など，AML 教育の教材に使える話題も多い．第一著者のキース・デブリンは数学の啓蒙書を多数執筆している．

川添充，岡本真彦，「思考ツールとしての数学

第 2 版」，共立出版，2021．

数学の活用をテーマに，大学の主に文系学生を対象とした数学のテキストである．数学の基礎をやってから応用という順序ではなく，数学化されていない現実の問題の提示→
数学化→数学で解決→解決に使われた数学の演習という順序で各パートが書かれている．
数学的な内容は，高校から大学初年次までに学ぶ学習内容を含む．

尾山大輔，安田洋祐 (編著)，「[改訂版] 経済学で出る数学」，日本評論社，2013．
経済学に特化しているが，経済学分野での具体的問題から数学に入る流れになっており，
上述の「思考ツールとしての数学」と同じテイストの本といえる．

数理社会学会 (監修)，「社会を〈モデル〉でみる―数理社会学への招待―」，勁草書房，2004．

第 4 章 教材集

96

社会学で使われる数学的モデルが多数紹介されている．入門的内容のため，数学的内容はそれほど高度ではなく，AML 教育の教材のネタ本としても役立つ．

デボラ・ヒューズ=ハレット，アンドリュー・M・グレアソン，ウィリアム・G・マッカラ
ムほか，「概念を大切にする微積分」，日本評論社，2010．
微積分のテキストであるが，現実場面での応用事例が演習問題として多数入っているだ
けでなく，数学的概念の導入や概念理解のための演習問題にも現実場面の事例を使っていることが特徴である．日本語訳は原書の内容を全て網羅していないので，興味のある
人には原書をお薦めしたい．なお，原書の最新版は第７版（2016）のようである．

坂和正敏，矢野均，西崎一郎，「わかりやすい数理計画法」，森北出版，2010．
線形計画法の現実の問題への応用事例が多数掲載されている．

大枝和浩，「数学基礎プラス γ(線形代数学編)2020 –行列の対角化とその応用–」，早稲田大学出版部，2020．
行列の対角化の応用事例が掲載されている．

石井伸郎，川添充，高橋哲也，山口睦，「理工系新課程 線形代数 基礎から応用まで [改訂版]」，
培風館，2011．
章末に工学を中心とした応用事例を掲載している．

高木悟，曽布川拓也，「線形の世界〜線形代数学への入り口〜」，共立出版，2023．

線形計画法を軸にした展開で線形代数の基礎的な内容（行列，連立一次方程式の解法，逆行列）と線形計画法の基礎を扱っている．

高木悟，上江洲弘明，「金利の計算〜解析学への入り口〜」，共立出版，2022．
金利・貯蓄・ローンを軸にした展開で数列・指数・対数を扱っている．

ハウェル・ジャクソン，ルイ・キャプロー他，「数理法務概論 – Analytical Methods for

Lawyers」，有斐閣，2014．
アメリカの法科大学院での数理法務のテキストである．確率を基にした意思決定ツール
である決定木などが解説されている．本書の第４章 4-5 の問題のテイストに近い題材を見つけるネタ本としても役立つだろう．

97

草野耕一，「数理法務のすすめ」，有斐閣，2016．
上の「数理法務概論」ほど網羅的ではないが，実用性が高い内容を選択してより詳しく解説している．前書きによれば，「数理法務概論」よりも数理的分析は若干高度ではあるが高校２年程度の数学で理解可能とのことである．ベイズ推定や決定木による行動分
析のパートが教材のネタ探しの役に立つと思われる．

Oscar E. Fernandez, “Everyday Calculus”, Princeton University Press, 2014.
身の回りで数学が関わる話題を取り上げて，数学の活用例を紹介している．数学的な内
容は高校から大学初年次程度である．

Michael Olinick, “Mathematical Modeling in the Social and Life Sciences”, Wiley, 2014.
社会科学・生命科学での数学的モデリングの事例が載っている．

Alan Garﬁnkel, Jane Shevtsov, Yina Guo, “Modeling Life: The Mathematics of Biological
Systems”, Springer, 2017.
UCLA が生命科学コース向けに開発した微積分の授業のテキストとして作られた本で，生命科学分野での数学の応用事例が豊富に掲載されている．この授業を作ることになった経緯や従来の微積分の授業をどのように変えたのかについての詳細は Scientiﬁc American
掲載の下記の記事で読むことができる．

https://www.scientiﬁcamerican.com/article/to-keep-students-in-stem-ﬁelds-lets-weedout-the-weed-out-math-classes/

Douglas Mooney, Randall Swift, “A Course in Mathematical Modeling”, MAA Press,
1999.
アメリカの大学の数学的モデリングの教科書である．アメリカの大学のカリキュラムで1 年次の微積分のコースを終えた学生を対象としているが，日本とアメリカではカリキュ
ラムが異なるため，日本なら大学１年次の微積分や線形代数と並行して使ったり，微積分や線形代数の授業の中でこの本に掲載されているモデリングの事例を紹介したりすることができるだろう．

99

付 録A

授業デザインの枠組み

第３章でも述べたように（Q3-7），AML 教育では，活用場面で用いられる数学がそ
こでどのような役割を果たしているのかを学生に意識させることを重視しており，その問題で数学の何を学ばせようとしているのかをしっかり頭において授業を設
計・実践することが重要と考えます．これは，数学の活用場面を中心にした学習活動の弱点としてしばしば指摘される「学習の状況依存性」（学んだ文脈（状況）でしか数学を活用できない）に関連します．数学の活用力を養うには活用場面を用いた学習が必要である一方で，そのような学習で身に付く活用力は学習時に用いられた活用場面に限定されてしまいがちであるというジレンマがあります．このジレンマをどうやったら乗り越えることができるか，これに対する私たちなりの見解が「活用場面で用いられる数学がそこでどのような役割を果たしているのかを学生に意識させること」なのです．この付録では，少し理論的になりますが，「活用場面で用いられる数学がそこでどのような役割を果たしているのかを学生に意識させること」を実現する授業を作るための AML 教育の授業デザインのフレームワークを紹介します．このフレームワークは，活用場面での数学の役割を捉えるための見方（数学の体系を重視する見方ではなく，活用の視点からの数学の見方）や，学生にそれを意識させるための学習活動の設計手順を含みます．活用場面での数学の役割を捉えるための見方については，具体的には，数学が活用される際の思考の流れの（授業化しやすい形での）モデルと数学が用いられる場面の分類，さらに個々の数学知識をそれらが用いられる場面と結びつける方法を提示し，高校から大学初年次
レベルの数学をこの枠組みで捉えた分析事例を参考例として紹介します．これからAML 教育に取り組もうとされるみなさんの参考になれば幸いです．

付録A

100

授業デザインの枠組み

A.1. 活用場面での数学の役割を捉えるためのフレームワーク
活用場面で用いられる数学がどのような役割を果たしているのかを捉えるには，問題解決の過程を，各段階でどのような作業が必要になるのかという視点で捉えることが重要と私た
ちは考えます．数学が活用される現実の問題解決場面では，最終的な目標が「予測」であったり「制御」や「最適化」、あるいは「判断」や「意思決定」であったりしますが，最終目的としてのこれらの作業を遂行するために，数学を用いて「測る」「比較する」「関係を捉える」「変化を捉える」などの作業をすることが必要になります．そして，数学を用いたこれらの作業の遂行のために，データを集めたり整理したりグラフや表にしたりといった数学に持ち込む準備といえるような作業（このような作業を「プレ数学的作業」とよぶことにします）が必要になります．問題解決過程を，プレ数学的作業から数学的作業を経て最終的に問題解決の最終目標としての作業へと続く一連の作業として捉えると，数学の役割も具体的な作業と結びつけて捉えられるようになると私たちは考えます．以下では，この捉え方について，AML 教育での問題解決過程の構造の捉え方から説明していきましょう．

A.1.1. 数学が用いられる問題解決過程のモデル
AML 教育では問題解決過程の段階を，最終目標を遂行するための作業の段階，数学に持ち込んで数学的な作業を行う段階，プレ数学的作業の段階の三つの段階に分けて捉え，それぞれの段階を順に問題解決の段階，数学化の段階，状況把握の段階）とよびます．ただし，問題解決場面においては，プレ数学的作業→数学的作業→最終目標の遂行というふうにプレ
数学的作業から始まる単純な流れにはなりません．問題解決のためにどのような作業が必要かを認識して作業の流れを組み立てる必要がありますから，この必要な作業を認識する過程も含めて，課題認識→数学化の必要性の認識→状況把握の必要性の認識→方略の構築→状況
把握→数学化→課題解決の段階のように問題解決過程を捉えます（図 A.1）．

図 A.1. 問題解決過程のモデル

このように問題解決過程を捉えることは，授業の流れをデザインする際にも役に立ちます．学習活動をこの 6 段階に当てはめてデザインすることで，問題解決過程のどの段階の活動なのかが明確になるためです．授業のデザインの仕方については，A.2 で紹介します．

A.1. 活用場面での数学の役割を捉えるためのフレームワーク

101

A.1.2. 数学知識の存在理由を捉える認識枠組み
前項のように問題解決過程を捉えたとき，問題解決に用いられる数学知識を，それがどのような作業（行為）のために用いられるかという観点から捉えることが可能になります．数学知識は「数学化」の中で数学的モデル作成に用いられることから，AML 教育では，数学的モデルを作成する目的は何か，そしてその数学的モデルを作成するためになぜその数学知識が使われるかといった，「数学化」の行為や数学知識の目的に着目します．なぜならば，
この目的こそ，AML 教育の授業デザインにおける 「なぜそれを教えることが重要か」に関わる部分であり，数学知識の本質や「存在理由」（その知識が何のために存在するのか）が現れる場所であると考えるからです．数学知識の活用の観点からの存在理由を捉えるためには，問題解決過程における思考過程の枠組みの中で行為の位置付けと目的を捉え，かつ，数学全体の知識構造の中で相互の関係が見えるようにする必要があるというのが私たちの考えです．この考え方に基づいて，数学知識の存在理由をどのように捉えるかという認識の枠組
みを次のように提案します．ここで提示する認識枠組みは，数学知識が現実世界での問題解
決過程で用いられる目的に焦点を当てて分類し整理する方法の基盤を与えるものです．

図 A.2. 数学知識の存在理由を捉える認識枠組み

認識枠組みは，問題解決の実行過程の段階，（実行される）行為，（行為の中で用いられる）数学知識，数学知識の存在理由の四つの項目で構成されます．行為は，問題解決過程の処理過程における三つの段階「状況把握」「数学化」「課題解決」ごとに，そこで実行される行為の本質的な機能が明確になる形で分類・記述されます．ここでの行為の記述例として
は，課題解決では「予測する」「制御する」「最適化する」などが考えられ，数学化では「数える」「測る」「変化を捉える」などが考えられます．数学知識は数学化の中で担っている機能の本質に従って，数学化に分類された行為に対応させられ，「〜（をする）ためのツールである」という表現でその存在理由が記述されることになります．たとえば，数列は「変化を捉える」に対応させることができ，その存在理由を 「離散的変化を捉えるためのツールである」として記述することができます．図 A.2 は，この枠組みを一つの問題解決過程の場
合に，一つの数学知識を中心に見た最も単純な形で図示したものになります．
図 A.2 では問題解決過程の進む向きが矢印で示されていますが，前項で述べたように，実

付録A

102

問題解決の段階

授業デザインの枠組み

表 A.1. 問題解決過程における行為の分類
行為

課題解決

予測する，判断する，分類する，制御する，最適化する，意思決定する，仕組みや現象を説明する

数学化

数える (組合せ，Σ)，測る (近似，積分，確率・割合)，比較する (統計，微分)，変化を捉える (数列，関数，ベクトル・行列)，関係を捉える (1 変数関数，多変数関数，ベクトル・行列)

状況把握

情報を集める，
情報を整理する (変数を同定する，場合分けする，表を作る，
データをグラフに表す)，
蓋然的に考える，
仮説を立てる際には互いに行き来したり，課題解決から再び状況把握に戻ったりすることもあり得ます．
また，一般には図 A.2 の各段階に複数の行為が入ったり，一つの行為に複数の数学知識が関連づけられたりすることもあります．さらにこれらが共通の行為・数学知識で繋げられることで知識全体が構造化されます．なお，この認識枠組みにおいては，行為，数学知識，存在理由の結びつきは一対一ではありません．数学的知識の存在理由は本来多面的なものである
ため，この認識枠組みに基づく分類において，一つの数学知識が複数の行為と結び付けられたり，複数の異なる存在理由を持ったりすることはあり得えるのです．この認識枠組みは，あくまで数学知識を AML 教育の観点から分類する認識の基盤としての枠組みを提供するものであり，この枠組みに基づいて分類した結果は作業者の視点によって異なるものとなり得ることに注意しておきます．この枠組みの提示の狙いは，数学が用いられる現実世界の課題解決場面における数学的活動の本質を行為とその目的の視点で捉える枠組みを提供すること
によって，授業や教材の位置付けを明確にし，教員の授業デザインや授業分析などの活動を支援することにあります．

A.1.3. 認識枠組みに基づく参照モデルの構築
少し理屈が先行してしまいましたので，前項で示した認識枠組みに基づいて分類を行った
作業例を示しましょう．表 A.1 と表 A.2 は，実際の AML 教育の授業実践を振り返って分析することで作成したものです．繰り返しになりますが，前項の最後に述べたように，この認識枠組みに基づいた分類において，完全で普遍的な唯一の分類はあり得ません．したがって，ここに示すものも，私たちの視点に基づく分類に過ぎませんが，一つの参照モデルとしてご覧いただければと思います．
表 A.1 と表 A.2 は，数学の内容としては，高等学校レベルの数学から大学初年次レベルの微積分・線形代数・ 統計の内容を含んでいます．表 A.1 は，行為の分類と数学化における

A.1. 活用場面での数学の役割を捉えるためのフレームワーク

行為

103

表 A.2. 数学的行為と数学知識およびその存在理由
数学知識存在理由 (〜ためのツールである．)

数える

組み合わせ
Í
数列の和 ( )数え上げる
離散的変化の総和を求める

測る

概算 ∫
積分 ( )
確率，割合

量を見積もる連続的変化の累積を求める
可能性を数値化する

比べる

統計
微分

データ間の違いを調べる
最小値・最大値を調べる

変化を捉える数列関数
ベクトルと行列

離散的変化をモデル化する
連続的変化をモデル化する
複数量の離散的変化をモデル化する関係を捉える

1 変数関数多変数関数
ベクトルと行列

二つの変数間の関係を記述する
変数間の 1 対多の関係を記述する
変数間の多対多の関係を記述する

行為と数学知識の対応を記述したものであり，表 A.1 は，数学化における行為と数学知識，
存在理由の対応を記述したものです．これらの表には論理やコミュニケーション，代数，幾
何，デジタルツールの使用などが含まれていませんが，これは，すべての行為の中で必要とされる最も基礎的なスキルであるとみなしていることによります．表 A.1 と表 A.2 の内容に相互の関連も加えて概念図の形にしたものを図 A.3 に示しておきます．
図 A.3 の中の矢印は問題解決の過程を示していますが，この矢印もまた私たちの見方に基づ く例示にすぎないことを注意しておきます．このような枠組みで AML 教育での教育
内容を捉えることが重要で，完全で普遍的な分類を得ることが主眼でないことを強調しておきます．表 A.1・A.2 や図 A.3 は現実世界の問題解決場面で用いられる数学知識を大まかに外観したものに過ぎません．実際には，それぞれの数学知識はさらに細かい内部構造をもっています．たとえば，「数列」をとってみても，数列には，等差数列や等比数列はもちろん，
様々な漸化式で定義される数列なども含めていろいろな種類がありますし，また，数列に関連する数学知識も， 漸化式や一般項，数列の和や級数といったように，様々なものが存在します．そして，それらの様々な数列や関連する数学知識にもそれぞれの存在理由が付随することになるのです．一部だけ例を述べると，たとえば，漸化式には「次の数を得る規則を表すためのツール」としての存在理由があり，一般項には「数列を関数として表すためのツール」としての存在理由があります (図 A.4)．

付録A

104

授業デザインの枠組み

図 A.3. 問題解決過程と数学知識の関連図

A.1.4. 認識枠組みのまとめ
ここまでで述べた認識枠組みの重要ポイントをまとめておきましょう．

• 数学が用いられる現実世界の問題解決過程を図 A.1 のように捉える．
• 数学知識の存在理由を，図 A.2 の枠組みを用いて，その知識が用いられる問題解決の実行過程の各段階で必要とされる行為の連鎖と結びつけて捉える．

• 問題解決過程における行為と数学知識の分類および数学知識の存在理由を表 A.1・A.2の枠組みで捉える．

• 数学知識同士の関連を図 A.3 の枠組みで捉える．
• 必要に応じて数学知識の下部構造を図 A.4 の枠組みで捉える．

A.1.5. 補足：学習領域・学習単元との関連付け
問題解決過程における行為の分類に基づく数学知識の整理は，現実世界での数学の使われ方の本質を整理するのに役立つ一方で，学校や大学での学習内容 (領域・単元) の分類との関連は見えにくくなります．図 A.5 は，行為の分類と単元の分類を関連付けて数学知識を整理する枠組みを示したものです．図 A.5 のようなマトリックスを利用して，学習内容と活用場
面とを結びつけて数学知識を捉えると，数学知識同士の関連や各知識の存在理由を捉えやす
くなるでしょう．

A.2. 認識枠組みに基づく授業デザイン手順

105

図 A.4. 数学知識と下部構造 (数列を例に)A.2. 認識枠組みに基づく授業デザイン手順
A.2.1. 授業デザインの一般論から...
AML 教育の授業デザインの手順を提示する前に，まずは授業デザインの一般的枠組みについての話から始めましょう．これは私たちの見方にすぎないかもしれませんが，授業デザインは一般的に，授業の内容そのものに関わる「何を教えるか」「どう教えるか」(What-How に関わる部分) と，その内容の決定に関わる「なぜそれを教えることが重要か」(Why に関わる部分)，さらに，授業の検証に関わる「(授業実践や学習到達度を) どう評価するか」(Assessmentに関わる部分) からなります． より具体的は，学習内容，学習目標，学習意義，学習の文脈，
教授方法，評価方法が授業デザインの重要項目となると考えることができます (表 A.3)．

観点

表 A.3. 授業デザインの重要項目
項目

何を教えるか?

学習内容 (教えられる数学知識)
学習目標 (身につける能力の目標)

どう教えるか?

学習の文脈 (授業の教材:現実場面の問題)
教授方法 (効果的な指導法)

なぜそれを教えることが重要か?

学習意義 (知識の存在理由)

どう評価するか?

評価方法 (宿題・試験問題など)

もちろん，授業内容や目標の決定には「社会からの要請」「教育機関内での数学教育への要請」「学習者の知識・能力・態度の現状」「数学教員の数学教育観」などの様々な要因が関わることも忘れてはなりません．授業デザインとはこのような様々な要件が複雑に絡み合う
もとでのタスクであると言えます．

付録A

106

授業デザインの枠組み

図 A.5. 認識枠組みにおける行為の分類と学習内容に基づく単元の分類との関連づけ

AML 教育では，とくに，授業デザインの要素の中の「なぜそれを教えることが重要か」(Why に関わる部分) に着目します．前節の認識枠組みもこの「Why に関わる部分」を捉える作業を支援することを目的としています．

A.2.2. 授業デザインの手順
前節の認識枠組みに基づいた授業デザインの手順を以下に示しましょう．この手順を進めるためには，表 A.1・A.2，図 A.3 に相当するものを作成済みであることが前提となります．
授業デザインの手順(1) 教える知識を定め，その知識の本質 (存在理由) を表 A.1・A.2 と図 A.3 から把握する．
(2) 知識の存在理由に沿った使われ方をする現実の題材を探す．(例:数列ならば，離散的変化のモデル化に数列が用いられる現実の問題を探す．)(3) 図 A.1・A.2・A.3 を用いて，具体的行為の連鎖に着目して授業での学習活動を組
み立てる．
(4) 本質の理解を問う評価方法 (宿題の題材等) を検討する．
この手順に沿って授業デザインを進めるためのワークシート案が図 A.6 です．
上の手順の (1) で「数学知識」「存在理由」「授業目標」の欄を記入し，(2) で「課題の文脈」の欄を記入，(3) で組み立てた学習活動を「学生の活動」の欄に記入して，(4) の検討結果を「評価方法」の欄に記入，というように使うことで，上の手順に沿った授業デザインが行えるようになっています．

A.2. 認識枠組みに基づく授業デザイン手順

107

図 A.6. 授業デザインのためのワークシート

A.2.3. 授業デザインの例
前項の手順に基づく授業デザイン過程を具体的な事例でお見せしましょう．ここでは，数列の活用を学ぶ授業デザインを例に，授業デザインのプロセスが前節の表 A.1・A.2 や図 A.1・

A.2・A.3 のような枠組みを参照しながらどのように進んでいくかを説明してみます．まず，数列の活用を学ぶ授業を構想するにあたって，数列の「存在理由」を考察します．こ こで，
表 A.1 や表 A.2 を参照すると，数列には「離散的変化をモデル化するツール」としての存在理由があることがわかります．そこで，数列を「離散的変化をモデル化するツール」として活用できるようなることを授業目標として設定し，この目標に沿った課題を設定することを考えます．ここで表 A.1・A.2 や図 A.1・A.2・A.3 を離れて，数列を「離散的変化をモデル化するツール」として本質的に活用している現実の問題解決場面の具体例を探します．具体
例は様々なものが見つかるでしょうが，例えば，次のような問題を使うことにしたとして話を進めます．
（問題としては古いですが，2015 年頃にこういう問題を見つけたと想定して以下をお読みください．）
日本の森林で鹿が急増しているという環境問題
日本の森林には，2011 年度末の時点で 325 万頭のニホンジカがいると推測されている．
環境省の報告によれば，放置すれば一年あたり 20%の割合で頭数が増えていくという． このとき次のことを考えてみよう．

(1) 2011 年度末の時点から，このまま放置すると 10 年後にはどうなるか？
(2) 2023 年度末までにニホンジカを半減させるためには毎年どれくらい捕獲する必要があるだろうか？（実際，環境省は 2023 年度末までに約半分の 160 万頭に減らす目標

付録A

108

授業デザインの枠組みを立てている．）（参考資料:新聞記事，環境省の報告など）
それぞれの問いに対して，異なる数列が現れることになりますが，学生の学習活動は，これらの問いを考える中で，まず鹿の頭数の今後の変化を「予測」する必要性，頭数を「制御（抑制）」する必要性を認識するところから始まり，予測や制御のために鹿の頭数の変化をモデル化する必要性を認識し，そのために「数列」を「離散的変化のモデル化ツール」として用いることを認識し，実際にモデルの構築と分析を通して，数列の役割やモデルとして現れる数列の性質を認識しつつ問題解決を図る，という流れで設計されることになります (図 A.7)．

図 A.7. 授業デザイン過程の例

行為・知識の分類の枠組みが直接関わる主要な部分は上に述べた通りですが，授業デザイ
ンではこれ以外に，各学習活動や教員による講義の部分についても，学生の理解過程に配慮した活動の設計や教員による説明で用いる「ことば」の吟味も重要になります．また，問題解決が終わればそれでよし，ということではなく，そこで用いられた数学知識 (ここでは数列) がどのような存在理由をもって現れたかの振り返りを授業の締めくくりとして行うことが重要ですので，授業デザインにおいては振り返りの内容までをきちんと詰めておくことが大事になります．また，一つの文脈だけでの学習は 「文脈依存の罠」に陥ることになりがちなので，同じような数学的考え方でアプローチできる異なる文脈の問題を宿題やテストの課題として準備しておくことも重要です．
参考文献：[1] Blum, W. (2011). Can modelling be taught and learnt? Some answers from empirical research. In: G. Kaiser, W. Blum, R. Borromeo Ferri, & G. Stillman (Eds.) Trends

A.2. 認識枠組みに基づく授業デザイン手順

109

in teaching and learning of mathematical modelling (pp.15–30). Springer.
[2] 川添充・五島譲司・落合洋文．（2018）．数学的リテラシー教育における授業デザインのための認識枠組みの構築について．川添充・編「科研費研究成果報告 「高水準の数学的リテラシー」概念下の教育デザイン・実施・継続的改善とその理論」(pp.55–68)．

http://www.las.osakafu-u.ac.jp/∼kawazoe/kaken2016/Kaken2016-2018_report.
pdf
注：本章は，川添・五島・落合（2018）の内容を授業実践者向けにわかりやすく書き直した
ものです．

110

数学用語索引
GeoGebra, 46
Mathematica, 45
R, 46

中央値, 29, 94
定数係数非斉次 2 階線形微分方程式, 84
等比数列, 65
等比数列の和, 65
二次関数, 81

WolframAlpha, 46
Z 値, 38

2 変数関数の極値問題, 18
標準偏差, 29, 38, 77
微分方程式, 22, 41, 78, 83, 84

1 変数関数の極値問題, 18分数関数, 81

1 変数関数の微分, 18

平均, 29, 94

確率, 29, 77

変数分離形, 22, 78, 83

片対数グラフ, 5, 37

偏微分係数, 20

片対数プロット, 52, 53

ベイズ推定, 39, 75, 76

極限, 66, 74

ベクトルの一次結合, 67

行列, 7, 20, 69, 74

ベクトルのスカラー倍, 67

行列とベクトルの積, 69

ベクトルの和, 67

行列の積, 22, 69, 71

マルコフ連鎖, 20, 23, 73

行列の対角化, 20, 71, 74

面積要素, 35行列のべき乗, 71, 73, 74

連立漸化式, 7, 67, 74

固有値, 20, 71, 74
固有ベクトル, 20, 71, 74
最小二乗法, 4差分方程式, 37
指数関数, 5, 32, 52, 53
指数関数的増大, 4
条件付き確率, 75, 76
常用対数, 5数列, 14, 64, 66, 67数列の極限, 23, 67
正規分布, 29, 38
漸化式, 14, 39, 64, 66, 67
対角行列, 71111

非数学用語索引
21 世紀型スキル, 47
AML 教育, 9
ATC21s, 47
GDP, 92

キルヒホッフの法則, 19
金融行動, 29, 94
薬の定期服用, 14
雲, 91
車の空気抵抗, 40
車の衝突, 37, 39

JABEE, 47
OECD, 7

血中アルコール濃度, 52
建設, 81
降雨, 88PISA 調査, 7, 12
SIR モデル, 5

高水準の数学的リテラシー, 2
高水準の数学的リテラシー教育, 9降水量, 29

X 線検査, 51
衣料, 84
ウィルス感染, 29
運動の第２法則, 34
運動方程式, 84
エレベーター, 92
温度変化, 83
家事労働, 92
花粉症, 24
感覚, 91
換気, 86
環境保護, 64
感染拡大, 4, 52
感染症, 53
感染対策, 86
感度, 31, 39
カーブの曲率半径, 33
がん検査, 31, 39, 76
元利均等返済, 66
供給関数, 18

高速道路, 33
顧客獲得争い, 6, 19
顧客推移, 67, 74
個体群動態解析, 20, 71
個体数推移, 24, 64
混み具合, 85
コンピテンシー, 46
豪雨, 29, 38
最大雨量, 29
最適資本投入量, 19
最適生産量, 18
最適配分, 74
最適労働投入量, 18
サッカー代表チームのランキングポイント,69
シェア推移, 73
シカの捕獲計画, 30
資本投入量, 18
シミュレーション, 84–88
社会移動の数理分析, 20

非数学用語索引

112

車間距離, 40

破損評価, 20

集計表, 23半減期, 3消失速度, 3バネ, 84

食品成分, 67

パンデミック, 4

新型コロナウィルス, 4, 52

人出, 85

事故リスク, 52

非認知的能力, 46

自動車事故, 30

表の集計, 69, 71

推移行列, 20, 23, 24

ビジネスモデル, 84

数学化, 17複利型の預金, 23

数学的モデリング過程, 8複利計算, 65

数学的モデリング教育, 10

ベンゼン, 2

数学的モデル化, 17, 84–88

哺乳類の大きさと心拍数, 32

数学的リテラシー, 7, 12

祭り, 85

数値化, 89–92

未来予測, 93

数理・データサイエンス・AI 教育, 11

有病率, 39

生産関数, 18

読み取り速度, 87

大気圧, 78

罹患率, 39

体内残量, 14, 24

利子, 23断面 2 次モーメント, 35

利潤関数, 18

地球環境, 32

累積感染者数, 4, 53

調理, 94

ル・マン 24, 40

貯金総額, 65

レジリエンス, 90

貯蓄率, 38

レンタサイクル, 74

吊り橋, 78

老後 2,000 万円問題, 30

堤防, 20

ローン返済, 14, 66

天気, 89ワクチン接種, 29, 38

電子レンジ, 94
等速円運動, 33
特異度, 31, 39
トンネル, 81
土壌汚染, 2
ニホンジカ, 64
日本の人口, 32, 93
乳がん検診, 75
ニュートンの冷却法則, 83
認知的能力, 46
廃液処理, 77

113

執筆者一覧

川添 充
落合 洋文
五島 譲司
小松川 浩
高木 悟
西 誠
羽田野 袈裟義

大阪公立大学
名古屋文理大学
新潟大学
公立千歳科学技術大学
早稲田大学
金沢工業大学
山口大学（名誉教授）

本書は JSPS 科研費 JP19H01738 の助成を受けて作成されました．
本書の執筆にあたっては，上記科研費による研究課題での研究協力者の方々にも協力していただきました．深く感謝いたします．