Stats/List Editor で確率・統計を学ぶ
梅野 善雄 ∗
一関工業高等専門学校

はじめに

1

グラフ電卓 TI-89titanium と voyage200 には，”Stats/List Editor” というアプリケーションソフトが付随している．”Data/Matrix Editor” は EXCEL タイプの処理を可能にするが，”Stats/ListEditor” は確率・統計での利用に特化して，さらにその機能強化を図ったツールといえる．そこでは，いろいろな回帰に加え，推定・検定や，いろいろな確率分布のグラフを表示させることもでき，さらには分散分析まで行うことができる．
与えられたデータから平均や分散を求めて推定や検定の式にあてはめる作業は，単純な四則計算が連続するため学生にとっては大変な箇所である．このアプリケーションを利用して種々の計算部分をグラフ電卓に任せることで，確率や統計の本質部分に集中させることができるのではないかと思われる．以下では, TI-89titanium の場合を例にとり，この APPS の使い方や授業での利用方法などについて検討する．

Stats/List Editor の概要

2

Data/Matrix Editor
グラフ電卓 TI-89titanium は，「data」「matrix」「list」の 3 種類のデータを扱うことができる．
いずれも，「Data/Matrix Editor」で操作することができる．
「data」形式のデータでは EXCEL と同様の操作が可能であり，99 列 999 行のデータまで扱うことができる．列に計算式を定義して自動計算させることも可能である．その計算に数式処理を取り混ぜることもできるという意味では，EXCEL より強力な機能といえる．しかし，基本統計量の計算結果は，事後に利用できるような形では保存されない．

matrix 形式のデータでは，列に計算式を定義することはできない．
list 形式のデータは 1 行だけのデータである．CBL を利用して収集されたデータは，単なる数値列として l1, l2, l3 などの list 形式のデータでグラフ電卓に転送される．そのデータを Data/Matrix

Editor で読み込むと，1 つの列データとして読み込まれる．data 形式のファイルの列に list 形式のデータを読み込めば，列に対して種々の計算をさせることができる．しかし，計算結果を 1 つの list 形式のデータとして保存するには，多少の煩雑な手続きが必要になる．

Stats/List Editor は，List 形式のデータに Data/Matrix Editor の操作性を加味し，さらに確率・統計での利用に焦点をおいて機能強化を図ったツールといえる．

Stats/List Editor
以下に，Stats/List Editor で可能になることを箇条書きする．次のような機能がある．

(1) 種々の統計計算をさせたとき，その値を保持する変数がある．それらの変数は「statvars」というフォルダーに保存される．たとえば 1 変数の場合は，次の値が保存される．2 変数の場∗

021–8511 岩手県一関市萩荘字高梨 一関工業高等専門学校 一般教科自然科学系[URL] 「数ナビの部屋」http://www.ichinoseki.ac.jp/gene/mathnavi/26132 第Ⅱ部

グラフ電卓の活用事例∑合は，変数 y に関する値の他に積和∑
平均x̄
合計 x
データ数 n最大値 MaxX

最小値 MinX∑
偏差 (x − x̄)2xy も保存される．
∑2 乗和 x2
標本 sx

第 1 四分位 q1

メディアン Me

不偏σx
第 3 四分位 q3(2) 統計回帰の種類が豊富にある．次のような回帰を行うことができ，その変数や残差がフォルダー「starvars」に保存される．特に，残差 (resid) は list データで保存される．

y = a + bx

y = ax + b

メディアンメディアン法

y = ax2 + bx + c

y = ax3 + bx2 + cx + dy = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

y = a + b log xc
y=
1 + a · e−bx
重回帰分析 (10 変数まで)

y = a · bx
ay=+d1 + b · ecx

y = a · xb
y = a sin(bx + c) + d(3) 種々の乱数を発生させることができる．たとえば，次の乱数を発生させることができる．
rand83(n) :区間 (0, 1) 内の値を持つ n 個の乱数を列データで発生させる．

randInt(k, m, n) :整数 k から 整数 m までの間の n 個の整数乱数を列データとして発生させる．

.randNorm(µ, σ, n) : N(µ, σ) にしたがう n 個の乱数を列データとして発生させる．
成功確率が p (0 < p < 1) である試行を n 回行ったときの成功

randBin(n, p, k) :回数を k 個だけ列データとして発生させる．
リストデータ (listi) の中から n 個のデータをランダムに抽出しrandSamp(listi, n) :て，新たな列データとして発生させる．

n は整数を指定する．n > 0 のときは [1, n] の中の整数を，n < 0rand(n) :のときは [−n, −1] の中の整数が 1 個返される．
乱数の種 (Seed) を変更する．

RandSeed(n) :(4) 複数のリストデータ (20 個まで指定可能) を指定して，相関行列を作成することができる．
(5) いろいろな確率密度関数 f (x) に対して，次の値を求めることができる．そして，これらの値は，フォルダー「Statvars」にも保存される．

(a) x の値を指定したとき f (x) の値∫ b(b) x の範囲を指定したときの積分の値

f (x) dxa

積分の値だけを表示するか，グラフの該当部分を塗りつぶして表示するかを選択できる．
∫ p(c) 積分の値 α を指定してとき
f (x) dx = α となる p の値−∞取り扱える確率密度関数 (Probavility density function) は，正規分布 N(µ, σ 2 )，二項分布
B(n, p)，t 分布，F 分布，ポアソン分布，そして幾何分布である．そのコマンドは CATALOG 

にも追加されており， CATALOG  F3  で参照できる．たとえば，(a) は次のような関数により実現できる．(b) は 「Pdf」の箇所を「Cdf」に変更する．(c) は，正規分布の場合はTIstat.invNorm(α, µ, σ) という関数を利用することになる．
正規分布 TIStat.normPdf(x, µ, σ)t 分布 TIStat.tPdf(x, df )

χ2 分布 TIStat.chi2Pdf(x, df )F 分布 TIStat.FPdf(x, n, m)

二項分布 TIStat.binomPdf(n, p, x)

ポアソン分布 TIStat.poissPdf(λ, x)幾何分布 TIStat.geomPdf(p, x)

27

Ｓｔａｔｓ／Ｌｉｓｔ Ｅｄｉｔｏｒ で確率・統計を学ぶ

133(6) 与えられたリストデータに対して，いろいろな検定を行うことができる．次のような検定を行うことができ，それぞれについて，両側検定，右側検定，そして左側検定のいずれで検定するかを指定できる．p の値が直接返されるので，有意水準を指定する必要はない．
平均の検定： 母分散既知の場合，母平均未知の場合
等平均の検定： 母分散既知の場合，母平均未知の場合
比率の検定： 母比率の検定，母比率の差の検定

χ2 検定： 適合度の検定，分割表の検定
F 検定： 等分散の検定
線形回帰 y = α + βx の β に関する検定 ( t 検定)(7) 与えられたリストデータをもとに，いろいろな区間推定を行うことができる．有意水準は自分で指定する．
母平均の推定： 母分散既知の場合，母平均未知の場合平均の差の推定： 母分散既知の場合，母平均未知の場合比率の推定： 母比率の推定，母比率の差の推定
線形回帰 y = α + βx の β の推定(8) 1 要因分散分析，2 要因分散分析の機能もある．

3

Stats/List Editor の利用法

Editor の起動



グラフ電卓の電源を入れ，”Stats/List Editor” のアイコン (図 1) を選択して ENTER を押すとフォルダーの選択画面が現れるので，使用するファイル (list 形式) があるフォルダーを選択する．フォルダーを新たに作成するときは，「variable」の箇所に適当なフォルダー名を入れる．フォ
ルダーを指定すると，List1, List2, · · · , List6 からなる空のファイルが表示される (図 2)．

List1, List2, · · · は list 形式のファイル名である．すでにその名前のファイルが存在していれば，その内容が表示される．この Editor は個々のリスト形式のデータを 1 つの画面にまとめて表示しているだけであり，Data/Matrix Editor のように表全体が 1 つのファイルになるわけではない．
新たな列を作れば，その列につけた名前で list 形式のファイルが自動的に保存される．
データの入力
データを入力するには，個々のセルに 1 つずつ値を入れていくか，あるいは上段のファイル名
にカーソルをおいて ENTER  を押すと，中括弧で囲まれた空ファイルが表示される．その括弧内にデータをカンマ区切りで入力していってもよい (図 3)．

list 形式で保存されている既存のファイルを読み込むには，読み込もうとしている列の最上段に


カーソルをおいて 2nd  − (var-link) を押す．保存されているファイルの一覧が表示されるので
(図 4)，読み込もうとしているファイルにカーソルを当てて ENTER を押せばよい．

図 1: アイコン

図 2: 空のリスト

図 3: 入力28

図 4 ファイル選択

134 第Ⅱ部グラフ電卓の活用事例

列データに関する操作と統計量 F3  List

指定した列に関しては， F3 「3: Math」を押すことで最大値，最小値，平均値などの様々な統計量を求めることができる (図 5)．ただし，計算結果を置くセルに事前にカーソルを移動させておく必要がある．これらの値をまとめて求めるには， F3 ではなく F4 を利用するのがよい．求められた値は変数としてフォルダー statvars に保存される (図 6)．

minmaxmean

mediansum

product

stdDevvariance

stDevPop varPop

この Editor は，個々の列に何らかの計算式を定義しても計算式は保存されず，計算結果の数値列だけが残される．計算式を残すには， F3 「4: Attach List Formula」を利用して式を定義する必要がある．この計算式を定義しておくと，使用した列の値を変えると，計算結果に自動的に反映される．


いろいろな統計計算 F4  Calc

基本統計量の計算やいろいろな回帰を行わせる機能は F4 に登録されている (図 7)．種々の乱数の発生は，「4: Probavility」の箇所に登録されている (図 8)．
また，これらの機能を利用した結果は，statvars というフォルダーに保存される (図 6)．









図 6: 2nd − 

図 5: F3 3

図 7: F4 

図 8: F4 4

いろいろな確率分布 F5 
範囲を指定して確率密度曲線と x 軸との間の面積 (確率) を求めたり，逆に (−∞, p) における面積から p の値を求めるには， F5 を利用する (図 9)．
たとえば，正規分布 N(µ, σ) で範囲を指定して，その範囲を塗りつぶし曲線下の面積を求める
には， F5 1 の「1: Shade Normal」を利用する (図 10)．µ, σ の他に範囲を求める画面が現れる
ので (図 11)，必要な値を入力して最後にある「Auto-Scale」で「Yes」を選択すると，グラフが表示されて指定した範囲が塗りつぶされ，下段にその面積が表示される (図 12)．

x の値を与えて確率密度関数 f (x) の値，範囲 [a, b] を与えたときの確率密度
F5 の箇所では，∫∫関数の積分値ba f (x) dx，そして，面積 α を与えてp−∞ f (x) dx = α となる α の値を求めることができる．



図 9: F5 

図 10: F5 1, 1

図 11: 範囲入力29

図 12: グラフ描画

Ｓｔａｔｓ／Ｌｉｓｔ Ｅｄｉｔｏｒ で確率・統計を学ぶ

135

いろいろな検定 F6 Tests

帰無仮説を指定していろいろな検定を行うには F6 を利用する (図 13)．検定の仕方は細かく指定することができる．列データからの計算ばかりではなく，すでに求められている値を利用した検定を行うこともできる．また，単に結果を表示するばかりではなく，指定されて検定の仕方により棄却域が確率密度曲線のどの部分になるかをグラフ表示することもできる．


たとえば，t 検定を行う場合は F6 2 を押すと，データのタイプが問われる (図 14)．list 形式のデータを利用するか，それともすでに計算済みの平均値などを利用するかを指定する．
「data」
利用を指定すると，検定すべき母平均の値と list 形式のデータの入力が求められる (図 15)．両側検定か片側検定であるかを指定する．最後に，「Results」で「Draw」を指定すると結果がグラフ表示される (図 16)．この場合は，p = 0.226176 であるので仮説は採択される．



図 13: F6 

図 14: データタイプ

図 15: 検定条件入力

図 16: 結果表示

いろいろな推定 F7 Ints

区間推定は F7 を利用する (図 17)．指定の仕方は検定の場合と同様である．列データからの計算ばかりではなく，すでに求められている値を利用した区間推定を行うこともできる．信頼度のレベルは自分で指定することになる (図 18)．画面に表示される結果 (図 19) はフォルダー statvarsに出力されるので，事後に参照することができる．



図 17: F7 

図 18: 推定条件入力

図 19: 結果表示

いろいろな確率密度関数

Stats/List Editor は標準添付されている APPS である．この Editor が利用する種々の確率・

統計に関するコマンドは， CATALOG を押して現れる画面の F3  (Flash Apps) に登録されている (図 20)． F3 を押すと，この Editor で利用している種々のコマンドや関数の一覧が表示される (図 21)．カーソルを移動させると，そのコマンドや関数の引数が下段に表示される．
これらの関数は，基本画面でも普通に利用することができる．たとえば，χ2 分布で自由度が増えた場合のグラフを簡単に確かめることができる．図は，df = 1, 3, 5 の場合である．



図 20: CATALOG 

図 21: Flash Apps

図 22: 関数定義30

図 23: χ2 分布

136 第Ⅱ部

4

グラフ電卓の活用事例

確率・統計での利用確率・統計の授業を行う場合は，多数のデータの合計や 2 乗した値の合計等を求めなければならない．それを計算する生徒のみならず，出題する教師にとっても煩雑な計算が求められる．通常は EXCEL などを利用して問題作成を行っていると思われるが，この Stats/List Editor が持つ確率密度関数やグラフの塗りつぶし機能などを利用して教室で提示すれば，生徒の理解度の向上にも大いに役立つことが期待される．
特に，多彩な乱数の発生機能は，いろいろなシミュレーションを行うときの有益な機能である．
また，種々の機能を Editor を起動させることなく，通常の計算モードでも利用できることの利点は大きい．教師側にとっては，いろいろなシミュレーションが可能になり，生徒の理解度の向上，並びに教員側の教材作成の容易化に繋がるツールなのではないかと思われる．

31