平成31年度前期選抜学力検査

数学問（ 10時 ～ 10時 45分 ， 45分 間 ）

題

用注意紙

１．「開始」の合図があるまで開いてはいけません。
２．答えは，すべて解答用紙に書きなさい。
３．問題は，からまでで， 6 ページにわたって印刷してあります。

４．「開始」の合図で，解答用紙の決められた欄に受検番号を書きなさい。
５．問題を読むとき，声を出してはいけません。
６．「終了」の合図で，すぐに筆記用具を置きなさい。

1

あとの各問いに答えなさい。（17点）
2⑴－ 18 ÷ 3を計算しなさい。

⑵

4 ( x － 1 ) ＋ 3 ( x － 2 ) を計算しなさい。

⑶

x ＝－ 2 ， y ＝⑷

2 直線 x ＋ y ＝ 5 と x ＋ 2 y ＝ 4 との交点を，直線 y ＝ a x ＋ 1 が 通 る と き， a の13のとき， 6 x y ÷(－ 2 x )2 ×(－12 x 2 y ) の式の値を求めなさい。

値を求めなさい。

⑸(5 ＋ 2 )(5 －7)－5を計算しなさい。

5

⑹

二次方程式

( x － 5 )( x ＋ 2 ) ＝ －10 を解きなさい。

- 1 -

⑺

a は正の数， b は負の数で， a ＋ b が負の数であるとき，次の数を小さい方から順に並べなさい。
a ， b ，－ a ，－ b ， a － b ， b － a⑻

ある中学校のＡ組とＢ組合わせて70人の学年で漢字のテストをしたところ，Ａ組の平均が81点，Ｂ組の平均が88点で，全体の平均は84.4点であった。Ａ組の生徒数を求めなさい。

⑼

次の図で，おうぎ形ＯＡＢの弧ＡＢ上に，∠ＡＯＣ＝135°となる点Ｃを，定 規 と コ ン パ スを用いて作図しなさい。
なお，作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。

ＢＡＯ

次 の ペー ジ へ→- 2 -2あとの各問いに答えなさい。（ 6 点）⑴

右の表は，ある中学校の 1 年生男子25人のハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものである。

階級(ｍ)このとき，次の各問いに答えなさい。
①以上「26ｍ以上30ｍ未満」の階級の相対度数を求めなさい。

②101418222630

中央値が「18ｍ以上22ｍ未満」の階級にあり，最頻値が24ｍであるとき， (ｱ)

， (ｲ)

度数(人)

未満～～～～～～
計1418222630343(ｱ)5(ｲ)4125にあてはまる数を書き入れなさい。

⑵

次の図のような，正六角形ＡＢＣＤＥＦと，文字Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆを 1 つずつ書いた6 枚のカードが入っている袋がある。袋の中から同時に 3 枚のカードを取り出し，取り出した
3 枚のカードに書かれた文字と同じ文字が示す頂点を結んで，三角形をつくる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ＡＦＢＥ

ＡＤＢＥＣＦＣＤ①

このようにしてできる三角形が，正三角形になる確率を求めなさい。

②

このようにしてできる三角形が，二等辺三角形になる確率を求めなさい。
ただし，正三角形になる場合も含むこととする。

- 3 -

3

次の図のような，ＡＢ＝ 8 cm，ＢＣ＝ 4 cmの長方形ＡＢＣＤがある。 2 点Ｐ，Ｑはそれぞれ辺上を移動する点で，点Ｐは，Ａを出発して秒速 1 cmで辺ＡＢ上をＢへ向かい，Ｂに到着後，同じ速さで辺ＡＢ上をＡに向かって移動する。点Ｑは，点ＰがＡを出発するのと同時に，Ｂを出発して秒速 1 cmで辺ＢＣ上をＣへ向かい，Ｃを通って辺ＣＤ上をＤまで移動する。点ＱがＤに到着したと同時に，点Ｐは移動を止める。
2 点Ｐ，Ｑが出発してから x 秒後の△ＡＰＱの面積を y cm2 とするとき，あとの各問いに答えなさい。（10点）
ＣＤＱ4 cmy cm2ＡＢＰ8 cm⑴

2 点Ｐ，Ｑが出発してから 3 秒後の△ＡＰＱの面積を求めなさい。

⑵

4 ≦ x ≦ 8 のとき， y を x の式で表しなさい。

⑶

0 ≦ x ≦12 のとき， x と y の関係を表したグラフはどのようになるか，次のア～エから最も適切なものを 1 つ選び，記号で答えなさい。
アア yイイウウyエエ(cm2)2018161816181816161414141412121212101088108108666644420246810x12(cm2)20y(cm2)202024610(秒)

(秒)

⑷

8x12

△ＡＰＱの面積が長方形ＡＢＣＤの面積のなお，答えの分母に(cm2)20420y246810x1220246810(秒)12x(秒)

1倍になるとき， x の値を求めなさい。
6がふくまれるときは，分母を有理化しなさい。また，の中をできるだけ小さい自然数にしなさい。

⑸

0 ≦ x ≦12 のとき，△ＡＰＱが直角三角形になるとき， x の値をすべて求めなさい。
次 の ペー ジ へ→- 4 -4あとの各問いに答えなさい。（ 8 点）⑴

次の図 1 のように，高さが 6 ㎝で，底面の直径が高さと等しい円柱と，図 2 のように，半径3 ㎝の球がある。図 1 の円柱の体積から，図 2 の球の体積をひいたときの差を求めなさい。
ただし，円周率はπとする。
図1図23 cm6 cm⑵右の図 1 のように， 1 を 3 個並べ，それぞれの図1間に＋か－いずれかの記号を入れて式をつくり，

1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3計算をすると，計算の結果は， 3 ， 1 ，－ 1 とい

1 ＋ 1 － 1 ＝ 1

う異なる 3 つの値のいずれかになる。

1 － 1 ＋ 1 ＝ 1

図 2 のように，自然数 a を n 個並 べ ， そ れ ぞれの間に＋か－いずれかの記号を入れて式をつく

図2n個り，計算をする。

a ＋ a ＋……＋ a ＋ a ＝

このとき，次の各問いに答えなさい。
①1 － 1 － 1 ＝ －1a = 2 ， n ＝ 4 の場合，できる計算式の結果……

は，異なる 4 つの値のいずれかになる。この 4a － a ＋……＋ a ＋ a ＝a － a －……－ a ＋ a ＝つの値をすべて求めなさい。

a － a －……－ a － a ＝②

計算式の結果の最も大きな値から最も小さな値をひいたときの値を， a ， n を使って表しなさい。

③

計算式の結果の最も大きな値から最も小さな値をひいた値が 50 のとき，自然数 a をすべて求めなさい。

- 5 -

5

次の図のように，平行四辺形ＡＢＣＤがある。辺ＣＤと辺ＤＡの中点をそれぞれＥ，Ｆとし，線分ＢＥをひく。辺ＣＤをＤの方に延長した直線と直線ＢＦの交点をＧとし，辺ＢＡをＡの方に延長した直線と直線ＥＦの交点をＨとし，線分ＧＨをひく。
このとき，あとの各問いに答えなさい。( 9 点)
ＧＨＦＡ

ＤＥＣＢ
⑴

△ＢＦＨ≡△ＧＦＥであることを証明しなさい。

⑵

辺ＢＣの長さが 4 cm，平行四辺形ＡＢＣＤの面積が 6 cm2のとき，次の各問いに答えなさい。
①△ＤＧＦの面積を求めなさい。

②

辺ＢＦ上に点Ｉをとり，△ＢＣＩをつくる。△ＤＥＦの面積と△ＢＣＩの面積が等しくなるとき，線分ＢＩと線分ＩＧの長さの比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。

③△ＢＣＩを，線分ＢＣを回転の軸として， 1 回転させたときにできる立体の体積を求めな
さい。
ただし，円周率はπとする。

－お わ り－

- 6 -

受

検番

号

得

点4番

1⑴
⑷

a ＝

⑺

＜⑻

⑵

⑵

⑶

⑸

⑹

＜＜5x ＝

＜cm３⑴
①②③

a ＝

⑴

<証明>

⑵

①

cm２③cm３＜人⑼

ＢＡ

23⑴

①⑵

①② (ｱ)x ＝(ｲ)
②cm２⑴
⑷

Ｏ⑵

y ＝⑶
⑸x ＝②

ＢＩ：ＩＧ ＝：

（数学）前期選抜採点基準
問

１７点

点

「採点基準」で処理できない場合は，各校の統一見解で採点されたい。

題

配正答

⑴

１点－２⑵

１点

７ x －１０⑶

２点

４⑷

２点

a ＝ －⑸２点－９－ ６ ５⑹２点

x ＝ ０， ３⑺２点b － a ＜⑻

２点

３６⑼

３点

（例）

例

備考

１
３b ＜ － a ＜ a ＜ － b ＜ a － b

人

②

①Ｃ

・

①が示せて，１点。

・②が示せて，１点。

＊

数学的な推論をもとに，作図されていればよい。

ＢＡ

⑴
６点

①１点

②２点

Ｏ

０．１６（ア）５＊ （ア），（イ）両方正答の場合のみ，
２点。

（イ）
①

１点

１
１０②２点

２５⑴

２点

９２⑵

２点

y ＝ ２ x⑶

２点

イ⑷

２点

x ＝⑸

２点

x ＝ ６， ８， １２⑵１０点

７

cm2４ ６３＊

すべて正答の場合のみ，２点。

＊

順不同。

（裏面へ続く）

⑴
８点

⑵

①

cm3

２点

１８π

２点

８， ４， ０， －４②

２点

２ a n －２ a③

２点

a ＝ １， ５， ２５⑴４点〈証すべて正答の場合のみ，２点。

＊

順不同。

＊

すべて正答の場合のみ，２点。

＊

順不同。

明〉

（例１）
９点

＊

（例１）

△ＢＦＨと△ＧＦＥにおいて，・①の証明ができて，１点。

対頂角は等しいから，・②の証明ができて，１点。

・・・①・⑦の証明ができて，１点。

・・・②

＊

数学的な推論の過程が，的確に表∠ＢＦＨ＝∠ＧＦＥ
ＢＨ∥ＣＧより，錯角は等しいから，∠ＢＨＦ＝∠ＧＥＦ△ＡＦＨと△ＤＦＥにおいて，対頂角は等しいから，∠ＡＦＨ＝∠ＤＦＥ

現されていればよい。

・・・③

ＢＨ∥ＣＧより，錯角は等しいから，∠ＨＡＦ＝∠ＥＤＦ

・・・④

点Ｆは，ＡＤの中点だから，
ＡＦ＝ＤＦ

・・・⑤

③，④，⑤より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△ＡＦＨ≡△ＤＦＥ・・・⑥⑥より，合同な図形では，対応する辺の長さは等しいから，

ＦＨ＝ＦＥ

・・・⑦

①，②，⑦より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△ＢＦＨ≡△ＧＦＥ
（例２）

（例２）

△ＢＦＨと△ＧＦＥにおいて，・①の証明ができて，１点。

対頂角は等しいから，・②の証明ができて，１点。

・・・①・⑤の証明ができて，１点。

・・・②

＊

数学的な推論の過程が，的確に表∠ＢＦＨ＝∠ＧＦＥ
ＢＨ∥ＣＧより，錯角は等しいから，∠ＦＢＨ＝∠ＦＧＥ

仮定より，四角形ＡＢＣＤは平行四辺形だから，ＦＤ∥ＢＣ・・・③点Ｆは，ＡＤの中点だから，
ＦＤ＝１２

ＢＣ・・・④△ＧＢＣにおいて，③，④より，中点連結定理より，線分の長さが等しいから，
ＢＦ＝ＧＦ

・・・⑤

①，②，⑤より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△ＢＦＨ≡△ＧＦＥ
⑵

合計

①１点

３２②２点

ＢＩ ： ＩＧ ＝ １ ： ７

③２点

３π
１６５０点

cm2cm3

現されていればよい｡