数学教育における創造力を育む試み
梅野 善雄∗(一関工業高等専門学校)

Some Attempt to Encourage Creativity in Mathematical Education
Yoshio UMENO(Ichinoseki National College of Technology)
Creativity is one of the keywords for education of colleges of technology. If we wish to encourage
students to be creative in mathematical education, they themselves need to notice something aboutmathematical contents. As they need to have enough basic skills of mathematics to do it, they need
to be pretty good at mathematics. However, we have made it possible by using technology such asgraphing calculators we lend to our first-year students. We give them several assignments to make themnotice something. In this paper, we would like to introduce their reports about Pythagorean theorem
and their comments about their assignments, and then consider the relation between achievements ofassignments and math examination results.
KEYWORDS: creativity, graphing calculators, open-ended problem

学生の感想などを紹介すると同時に，成績との関連性などについて分析する。

1. はじめに

なお，この研究は，平成 16・17 年度科学研究費補助金・基盤研究 (C)，課題番号 16500566 の高専を取り巻く環境は，JABEE や認証評価等支援を受けて行われたものである。

で激変している。この中では「創造力」が高専教育の重要なキーワードとなってきており，ロボッ

2. 数学教育における「自由研究」

トコンテストを始めとして，主に工学実験に関わる部分で特色ある試みが数多くなされている。
そのような創造性を発揮するには，まず「何か高専における通常の数学の授業は，最初に概念に気づくこと」が全ての出発点と思われる。そしや例題等を解説し，その後は定型的な問題を解かて，その「気づき」を現実化していくには，工学せるスタイルが普通である。総合的な応用問題を等に関する基礎知識の他に，いろいろな要素を関考えさせたくとも，そのような時間はなかなか取連づけて論理的に考えていく数学的思考力が必要れないのが現状と思われる。また，成績下位の学とされるであろう。

生にとっては，分からない問題は友人や教員に聞

従来の数学教育でその部分を取り上げるには，く以外に解決策はない場合が多い。

学生が数学の基礎力を十分に持っていることが前

このような数学教育の状況を打破するための一提となる。しかし，そこにテクノロジーを活用すつの改善策として，数式処理電卓の活用が注目されば，さらに多くの学生に数学的な事柄についてれている。それは数式処理機能 (CAS) を持つグの「気づき」を得させることが可能になる。

ラフ電卓であり，微分方程式の解析解や 3 次以上

著者は，平成 16 年度の本校 1 年生に数式処理の行列の固有値も求めることができる。単純計算

電卓 (TI–89) を貸与し，そのような「気づき」をの部分や単なるグラフ表示を電卓側に任せてしま得させるために「自由研究」としていろいろな課えば，計算時間を縮めると同時に，個々の学生の題を学生に与えた。以下では，この電卓を利用しもつ能力差の問題もある程度解消できる。て学生が行った自由研究の内容や，それを行った∗ 一般教科自然科学系

大阪・清風高校の公庄や石川高専の阿蘇は，数umesan@ichinoseki.ac.jp135

92 第Ⅰ部

数学教育とグラフ電卓[3] 繁分数の値の間に成立する関係に関する考察
1
1
1,,, ···
11+1 1+ 11+1+11+ 1
1+1[4] f (x) のグラフと絶対値関数 |f (x)| のグラフ式処理電卓を学生に長期間貸与して数学に関する探究活動を実践し，その結果を報告している

1) 2)。

福井高専では数式処理電卓を新入生全員に購入させ，数学科全体での活用が試みられている 3) 。いずれにおいても，学生は与えられたテーマにつき自分の興味・関心にもとづいて自分の考えを発展との関係に関する考察させ，教師が予想した以上の考察を行っている。

秋季課題

その探究活動は，学生により様々な答え方が可能[5] 3 次関数 y = x3 + ax2 + bx + c のグラフの形と，係数 a, b, c との関係に関する考察であり，一般には「オープンエンドの問題」と呼ばれているものである 4) 。

冬季課題

一関高専でもこの電卓を活用した授業を行い幾つかの実践結果を報告した

5) 6)[6] 三平方の定理 a2 + b2 = c2 が成立するような自然数 a, b, c に関する考察[7] xn + a が因数分解できるための自然数 n, a。そこでは，数式処理電卓 (TI–89) を主に数学の定理や性質への理解を深めさせるために使用させたが，その経験に関する考察の中で感じたことは，この電卓は単に学生に持た[8] 3 次関数 y = (x − a)(x − b)(x − c) のグラフと a, b, c の値との関係に関する考察せておいて，ときどき課題を与えるだけでも十分な効果が期待できるのではないだろうか，ということである。
そこで，平成 16 年度は，授業の中で特定の理3. 学生のレポートの内容解を得させるために使用するのではなく，それを授業外で利用させて数学に関する内容で試行錯誤学生がどのようなことを書いてきたかを示すたを行わさせ，その中から何らかの数学的法則を発め，ここでは，冬季課題の「[6] 三平方の定理」に見させることを目的として貸与することにした。

関して提出されたレポートから，学生が指摘して貸与したのは本校の 1 年生 (168 名) である。平

きた内容を幾つか紹介する。

成 16 年 7 月中旬から平成 17 年 2 月末まで貸与

冬季課題の提出率は 91.0%である。そのうち，し，「自由研究」として 3 回にわたり幾つかの課題

大多数 (94 名) が三平方の定理に関する課題を選を与えた。時期は 7 月下旬，10 月下旬，そして択した。この課題を提示したプリントの解説では，12 月下旬である。それぞれ約 1 ケ月の考察期間

3 つの数が連続する場合，2 つの数が連続する場を与えた。課題は複数題を与え，その中から自分合など，学生が考えやすいように具体的に考察すの取り組みやすい問題を選択させるようにした。

べき内容にも言及した。

しかし，「数学的な事柄について考察せよ」と言配布プリントでの解説内容

われても，何をどう考察してよいか分からない学

三平方の定理を成立させる簡単な自然数として，生が多いことも予想された。そこで，グラフ電卓

23 + 42 = 52 や 52 + 122 = 132 が良く知られてで具体的にどのような操作をしたのか，その操作います。このような自然数は，他にどのようなもに対してどのような表示がなされ，それを見て何のがあるでしょうか。3, 4, 5 のように，連続すを感じ，どのようなことを予想したのか等々，各る 3 つの自然数で三平方の定理を満たすものは自の思考経過をまとめればよいことを説明した。

他にあるでしょうか。5, 12, 13 のように，3 つ「いろいろやってみたが何も分からなかった」とのうち 2 つが連続するような数で三平方の定理いうときは，「やった内容を書いてくればよい」こを満たすものは，他にあるでしょうか。つまり，とを強調した。

a2 + b2 = c2 が成立するような自然数 a, b, c を各時期の課題は，以下のような内容である。

できるだけたくさん見つけてください。そのよう夏期課題な自然数では，a2 = c2 − b2 も成立しています。

[1] (x + 1)n の展開式において，指数 n と展開さそして，そのような自然数 a, b, c は，どのようれた式の係数との関係に関する考察な仕組で作り出されているのか，それを作り出す

n[2] x − 1 の因数分解において，指数 n と因数仕組について考えてみてください。ある程度の手分解された式の形との関係に関する考察計算も交えながら考えてみください。
136

数学教育における想像力を育む試み

93

S.I. 君は，b, c が連続する場合として，この課題に対して，学生はさまざまなアプローチの仕方をしている。

52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412(1) 3 つの数が連続する場合の指摘
これが成立するのは，32 + 42 = 52 のときだけである。いろいろ調べてみて，この場合しか見つがあることに気づく。そして，けられなかったことから，「この場合だけである」

12 + 13 = 25 = 52
24 + 25 = 49 = 72
40 + 41 = 81 = 92と結論づけている学生も多かったが，13 名の学生はその証明も与えている。

3 つが連続するのは，n2 +(n+1)2 = (n+2)2の場合である。整理すると (n + 1)(n − 3) = 0 となるので，n = 3 の場合しかない。
証であることから，三平方の定理の 2 つの数 b, c が連続する場合は b + c = a2 であるとしている。周知のように，a を奇数とするとき(2) b, c が連続する場合の指摘

b = (a2 − 1)/2, c = (a2 + 1)/2

この場合は，実に多くの指摘がなされてきた。

であるので，この結果は正しい。

H.O. 君は，b, c が連続する場合を移項して以下に，その幾つかを箇条書きする。

• a を 1 以外の奇数とすると，b, c については
b = (a2 − 1)/2, c = (a2 + 1)/2 である。
• a2 = b + c である。
• a は奇数である。
• a + b − c は 2 の倍数である。
• a = 2n + 1, b = 2(n2 + n), c = 2(n2 + n) + 1• a = 2k + 1 とすると b = (a + 1)k, c = b + 1• a = 2n + 1 とすると，
b = 4(n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 2 + 1)
c = 4(n+(n−1)+(n−2)+· · ·+2+1)+1)

52 − 42 = 32
132 − 122 = 52252 − 242 = 72
412 − 402 = 92の形の式 c2 −b2 = a2 を考える。右辺は 3, 5, 7, · · ·と奇数から始まって 2 ずつ増えるので奇数である
ことを指摘した後，左辺の 5, 13, 25, · · · の増え方に着目する。その増分は 8, 12, 16, · · · と 4 の倍数で増えているので c は 4n + 1 の形であるとする。さらに，n の値は，52 − 42 = 32 を 1 段目(3) a, b が連続する場合の指摘
32 + 42 = 52 の次は，202 + 212 = 292 であり，その次は 1192 +1202 = 1692 となるなど，値がどとして k 段目にある場合は，1 から k までの総和が平方数となるような n について考えればよく，

1 + 2 + · · · + k である。たとえば，412 − 402 = 92
は 4 段目にあるので，4n + 1 = 4(1 + 2 + 3 + 4) + 1 = 41であるとしている。実際，a = 2k + 1 とすると，1 + 2 + · · · + k = k(k + 1)/2 であるから，
c = 4n + 1 = 2k(k + 1) + 1 = (a2 + 1)/2

そのような n に対して a = n, b = n + 1 であるとなるので，この結果も正しい。

んどん大きくなるので，学生はかなり苦労したようである。大きな数では，40592 +40602 = 57412が指摘されている。n2 +(n+1)2 = 2n(n+1)+1ことも指摘されている。

M.A. 君は，a, b が連続する場合を考え，次の場合を見出している。

(4) その他の指摘

32 + 42 = 52
20 + 212 = 292
1192 + 1202 = 1692
6962 + 6972 = 9852

三平方の定理を成立させる式として，次の式が2指摘されてきた。

(a2 − b2 )2 + (2ab)2 = (a2 + b2 )2
以下のような指摘もある。

そして，この数値の現れ方を考察した結果，a• a = (b + c)/3 であれば a : b : c = 3 : 4 : 5• a2 + b2 = c2 が成立すれば，a, b, c を n 倍した an, bn, cn についても成立する。
• 32 + 42 = 52 に 112 , 1112 などを乗ずれば332 +442 = 552 , 3332 +4442 = 5552 も成立

は 1 つ前の値を 6 倍した値から，2 つ前の値から2 を引いた値を引けばよいこと，そして，c は 1つ前の値を 6 倍した値から，2 つ前の値を引けばよいことを発見する。たとえば，

119 = 20 × 6 − (3 − 2)
169 = 29 × 6 − 5

具体的にどのような形で発見に到ったかをみる
ため，以下に，学生のレポートの一部を紹介する。
137

94 第Ⅰ部

数学教育とグラフ電卓である。一般に，a, a + 1, b が三平方の定理を満(2) 「勉強になった」「理解が深まった」

たせば，3a + 2b + 1, 3a + 2b + 2, 4a + 3b + 2 も三平方の定理を満たすことが知られているので7)• 今までは，ただ計算し，理解せずに書いてい，たが，自由研究によって理解しながら解ける

その次の値を A, A + 1, B とすると，ようになった。

• 自由研究をやって，数学を前より深く考えれA = 17a + 12b + 8, B = 24a + 17b + 12

るようになった。

である。M.A. 君の計算方法では• 自由研究をやることで，数学的なことを発見

6(3a + 2b + 1) − (a − 2) = A
6(4a + 3b + 2) − b = Bすることができたし，レポートをまとめることで国語の文章作成の勉強にもなった。

• 今までに学習してきたことを復習しながら，となるので，M.A. 君の結果は正しい。

いろいろ応用させていけるので自分のためにこのように多数の指摘がなされたが，その一方なった。

では，「120 組も調べたのに，規則性はさっぱり分(3) 「大変だったが，勉強になって良かった」

かりませんでした」と書いてきた学生もいる。

• 難しかったけど，進めていくうちにもっと調

4. 「自由研究」に関する学生の感想

べたいという考えが出てきて，時間がもっとあれば，と思った。

• 始めは面倒だと思っていても，いざ始めると冬季課題 [6] は，三平方の定理という良く知ら没頭してしまった。

れた定理について考察するものであるが，前節のように実に多くの事柄を学生は指摘してきた。他• いろいろな法則を見つけたりするのが大変の課題でも，同様に多数の指摘がなされている。

だったけど，柔軟な考えを養うことができた

学年末の最後の時間には，1 年間の授業の感想をので良かった。

アンケート調査した。その自由記述欄で，3 回行っ• 自由研究は，出されると嫌だったけど，やった自由研究の感想について記述するよう求めたとてみると，とても頭を使うし，解けた時やひころ，168 名中 142 名から記述が得られた。そのらめいた時の喜びがとても印象に残った。

(4) 「難しかった」「分からなかった」

内容は，大きく分けると次のように分類される。

• 全々分からなかった。
• 自分なりに考えて取り組んだが，内容が濃く(1) 楽しかった，おもしろかった，良かった(2) 勉強になった，理解が深まった(3) 大変だった・面倒だったが，おもしろかった・て難しかった。

• 友達と一緒にやって，その友達はどんどん新勉強になった・良かった

しい共通点などを発見したのに，自分はほと(4) 分からなかった，難しかった(5) その他の内容

んどできなかった。

• 問題の意味から答え方まで，何をやったらい以下に，その代表的なものを紹介する。

いのか，分からなくて最悪だった。

(5) その他の感想(1) 「楽しかった」「おもしろかった」• 1 つの発見を見つけるまでに時間がかかるが，• 意外に法則性が沢山あるので，凄いと思った。
• 最初はとまどったが，これをやることによっ発見したときの喜びが大きい。

• 今までは規則性がないと思っていたものでも，て仕組が分かり，意欲も高まると思いました。

考えてみると色々な規則性があり，その規則• 自由研究をやって，今まで考えなかった考え性を発見したときはうれしかった。

方をするようになった。

• 自由研究によって，数学の法則性を見つける• 数学的な規則性を見つけることはもちろん，ことの楽しさを知り，また，友人との協調性何に対しても観察し，何かを発見することがも高めることができました。

できるようになったと思う。

• 始める前は，すっごいイヤなんだけど，一度5. 成績との関連性始めてみると，こうすればもっとよくなる，この場合はどうなんだろう？と，どんどんそこの自由研究では，前節で示したように非常にの課題にのめり込んでいました。
138

数学教育における想像力を育む試み

95

多くの学生が数学に関する事柄を「発見した喜いる。図 2 でも同様に，成績の上下によらず，どび」を語り，「数学のおもしろさ」を実感した。この区分でも 4 割以上が「自由研究をやってみて，こで，この学生の感想と成績との関連性をみてみ数学的なことで新しい発見があった」としている。

よう。数学の成績は，著者の担当科目である基礎

では，学生が発見した内容とはどの程度の内容

数学 I の年 4 回の試験点の平均点として，それをなのか，その数学としての到達度をみてみよう。

もとに 4 段階に区分した。表 1 は，この成績区分

学生から指摘のあった内容について，「よくそこと，前節で示した自由研究に対する感想との関連まで気づいた」という内容を到達度が「高い」，性をみたものである。

ちょっと考えればすぐ気づく内容を到達度が「低表 1 を見ると，「(4) 分からなかった，難しかっい」，それ以外の指摘を「中間」として区分した。

た」とする学生は全体の 2 割未満であり必ずしも指摘内容が誤っている場合でも，それなりの根拠成績が下位にあるわけではない。むしろ，成績のをもとに指摘されている場合は，その根拠の内容上下にはよらないことが分かる。他の (1)〜(3) のにより到達度を判断した。なお，著者の判断結果感想に対しても同様であり，それらは成績の上下は，本校の他の 3 名の数学教員にも見てもらい，とは関連していない。

2 名以上の教員から指摘のあった項目については到達度を変更した。そのような項目は全体の約 1

図 1 と図 2 は，自由研究に対する感想を，学年末に行ったアンケート調査の質問項目からみたも割である。
表 2 は，三平方の定理に関する課題について，

表 1： 成績区分と自由研究に対する感想

このような到達度と成績との関係をみたものであ

自由研究に関する感想る。表 2 を見ると，成績と数学の到達度との間に

成績上位
中上中下
下位
計%

(1)
171211115135.9(2)67632215.5(3)995103323.2(4)510572719.0(5)314196.3

計

若干の関連性は認められるものの，それほど大き40393132142
100なものではない。このうち，成績下位で到達度の高い 3 名の学生は，次のような指摘をしている。

A 君は，「ただ単に数字を代入していくだけでは時間がかかるので，仕組みを考えることにした」と述べ，3 辺のうち 2 辺が分かれば他の 1 辺は自表 2： 成績区分と指摘内容の到達度
成績上位
中上中下下位計%

図 1： 自由研究は，おもしろかった

数学としての到達度
低い 中間
高い

45762223.4

151311125154.3

86432122.3

計2724222194
100.0

ずと分かるから，変数 a, b と和・差・積・商・累乗などを駆使して 32 + 42 = 52 を表せないかを考え，a = 2, b = 1 のとき

22 − 12 = 3,2 · 2 · 1 = 4,22 + 12 = 5であることに気づく。そして，そのことから

x = a2 − b2 , y = 2ab, z = a2 + b2を見出し，a, b に具体的な値を代入して次々に三平方の定理を満たす式を作り出している。

図 2： 数学的なことで新しい発見があった

B 君は，連続する自然数の 2 乗の値を 3 から26 まで書き出して，それらの差を計算する。そして，その差は奇数 (2n + 1) であることに気づのである。図 1 を見ると，成績の上下によらず 4割以上が「自由研究はおもしろかった」と答えて139

96 第Ⅰ部

数学教育とグラフ電卓

き，そのことから，適当な奇数 a に対して連続すを考えることの「おもしろさ」「楽しさ」を実感2した。このような形で，じっくり考えて何かに気る数の平方の差が奇数 a となる数を見つければ，
2その連続する数が b, c であるとする。そして，aづくことの喜びを何度も体験させることは，数学に対して b, c は具体的にはのみならず他の科目での取り組みにも影響を与え222

b = (a − 1)/2,2c = (a + 1)/2

ることが予想される。創造性も，このような積み重ねの中から育まれてくるのではないだろうか。

であることを見出している。
222C 君は，a + b = c において b, c が連続する

1 年生なので自分の発見に証明を与えている学生

場合の式を書き出した上で，それらの規則性につは少ないが，このような課題を継続的に課していいて考える。そして，b は 4 の倍数であることにくことで，証明への関心も高まっていくことが期

気づいた上で，「すべての式にあてはめることが待される。

できる式を求めることができた」として，(2n + 1)2 + (2(n2 + n))2 = (2(n2 + n) + 1)2

参考文献を見い出している。この式が唐突に現れた印象は

1) 公庄庸三：数式処理電卓は数学教育を蘇生さあるが，文面を読む限りは自分で気づいた式のように思われる。

せることができる，日本数学教育学会高専・大学部会論文誌，Vol.7，No.1，pp.146–150，

このように，自由研究を考えることで，大多数

2000の学生が数学的な事柄について何らかの気づきを績が下位の学生でも感じることができたことの意

2) 阿蘇和寿：数学の授業における学生の探究活動–テクノロジーの効果的な活用に向けて–，日本数学教育学会高専・大学部会論文
誌，Vol.9，No.1，pp.31–50，2003
3) 長水壽寛他 6 名：テクノロジーを用いた数学義には大きいものがあるだろう。適切な課題を継教育の理論と実践，論文集「高専教育」，第続的に与えていけば，学生の数学に対する見方が26 号，pp.339–344，2003

得ており，そのような気づきを得ることができたことへの喜びを語っている。その喜びは数学に関する一般的な規則性を発見できたことから来ていると思われるが，それを成績の上下によらず，成4) 島田茂編：新訂「算数・数学科のオープンエ
ンドアプローチ」，東洋館出版，平成 7 年5) 梅野善雄：数式処理電卓を利用した微積分教

大きく変わることも期待され，数学教育における新な可能性が示唆されているように思われる。

育の改善，日本数学教育学会高専・大学部会

6. おわりに

論文誌，Vol.8，No.1，pp.13–30，2001

6) 梅野善雄：グラフ電卓を利用したグラフアー
トと関数理解，論文集「高専教育」，第 27 号，pp.191–196，2004
7) B. シェルピンスキー：ピタゴラスの三角形，
東京図書，p.21，1993 年

学生に課した課題の多くは，数式処理のできるグラフ電卓があって始めて可能になったものである。それを利用した自由研究で，多くの学生は数学的な事柄に関して何らかの気づきを得て，数学

140