長さ 24 の自己双対重偶符号の重み多項式について1
高知大学・理学部

大浦 学 (Manabu Oura)2

Department of Mathematics
Kochi University
今回の内容はIdentities among second order theta constants(仮題)M. Oura, C. Poor, D. Yuen
から取りました. この原稿を書いている時点では, まだプレプリントとして出回ってはいません. どういう結果を述べるか, を先に言っておきますと,9 個ある長さが 24 の自己双対重偶符号の種数 g の重み多項式がはじめて線形独立になるのは g が 6 の時であるというものです. この事実と Φ 作用素の理論により g ≥ 6 なら常に線型独立であることが従います. 問題の由来について少し述べておきます. 同値な符号は同じ重み多項式を持ちますが, たとえ非同値な符号であっても同じ重み多項式を持つ場合があります. しかし一般に知られている重み多項式ではなく, 種数の概念を採り入れた重み多項式を考えると, 十分高い種数になると必ず異なることがわかります. 問題を一般化します.
与えられた符号達の重み多項式が線型独立となるのは種数がいくつのときか.

ここでは符号と重み多項式, というペアでしたが, 格子とテータ級数, というペアも考えられます.
この二つのペアは多くの類似点があります. 上で述べた問題の “格子とテータ級数版” に関してはWitt, Kneser, Igusa, Erokhin, Borcherds-Freitag-Weissauer といった人達の結果が知られており,次にまとめておきます. Even unimodular lattice が存在するための必要十分条件は rank が 8 の倍数のときであり, 分類は 24 のときまで知られています. Lattice の rank が 16, 24 の場合, テータ級数達がはじめて線型独立となるのは種数がそれぞれ 4, 12 のときです. Rank が 8 の場合は even

unimodular lattice は E8 lattice のみですので, 考える必要がありません. Witt の論文に関しては小関先生による解説 “Witt の identity を巡って” 「仙台数論及び組合せ論小研究集会 2004」

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/˜taya/sendaiNC/2004/program.html
を紹介しておきます.
まず, 符号理論について述べます. ここで取り扱われるのは二元体上の線型符号で自己双対かつ重偶なものです. Type II code と呼ぶことにしましょう. Type II code は長さが 8 の倍数のときに存在し, またその時のみ存在することが知られています. 非同値な Type II code の分類は長さm が 32 の場合まで知られており, その数は1(m = 8), 2(m = 16), 9(m = 24), 85(m = 32)です. m = 24 の場合だけ順番も含めて記号を固定しておきます.
3d212 , d10 e27 , d38 , d46 , d24 , d64 , a24
1 , d16 e8 , e8 .
1 研究集会「組合せデザインとその周辺における数理的基礎およびそれらの応用」(研究代表者 篠原聡), 平成 17 年 8 月
3 日〜8 月 5 日, 京大数理研, における講演記録
2 この研究は文部科学省科学研究費補助金 (若手研究 (B)) を受けています.

1種数 g の重み多項式は 2g 変数の多項式環 C[Fa : a ∈ Fg2 ] の m 次斉次多項式であり, 次で定義されます.

(g)

WC (F ) =X Yx∈C g

Frowi (x) .

i

ただし, 符号の元は縦ベクトルで書き, rowi (x) は x の第 i 番目の横ベクトルを表します. 詳しく書くと, xj = t (x1j , x2j , . . . , xnj ) ∈ C, 1 ≤ j ≤ g, に対して n × g 行列x11 x21x = (x1 x2 · · · xg ) =  ..
 .
xn1ができますのでYix12x22..
.
xn2·········

x1g
x2g .. . xngFrowi (x) = Fx11 x12 ···x1g Fx21 x22 ···x2g · · · Fxn1 xn2 ···xngと計算します. 長さ m の Type II code の種数 g の重み多項式全体で生成される C 上の有限次元(g)(g)(g)ベクトル空間を Pgm と書くことにします. 関係式 WC1 ⊕C2 = WC1 WC2 より次数付き環

Pg = Pg0 ⊕ Pg8 ⊕ Pg16 ⊕ Pg24 ⊕ · · · , Pg0 = C,が定義されます. 我々が知りたいのは dim Pg24 = 9 となる最小の g です. これまでに知られていたのは dim P124 = 2, dim P224 = 3, dim P324 = 5, dim P424 = 7 です.
次にある特別な有限群の不変式環について議論します. S が対称な整数係数 g × g 行列全体を動ga·bくとき, DS = diag(iS[a] ) と (Tg )ab = ( 1+iで生成される群 Hg とします. これは 2g × 2g2 ) (−1)

行列からなる有限群です. Hg は自然に C[Fa : a ∈ Fg2 ] に作用します. Hg は 1 の原始 4 乗根を含んでいるので 4 の倍数でない次数の斉次多項式は Hg 不変とはなり得ません. Hg -不変な m 次斉次多項式達のなす有限次元ベクトル空間を Rgm とし, 次数付き環をRg = Rg0 ⊕ Rg4 ⊕ Rg8 ⊕ · · · , Rg0 = Cと書きます. このとき, 各ベクトル空間の次元は次で計算されます.
∞
Xm=0(dim Rgm )tm =1 X
1.
|Hg |det(1 − tσ)σ∈Hg

今回, g = 5 の場合を計算しました. 上の等式に従って計算すると H5 の元すべてに対して行列式を計算していくことになりますが, H5 の位数 (+ 1020 ) が大きすぎます. そこで一般種数 g で成り立つ Hg /Ng ∼= Sp(2g, F2 ), ∃ Ng C Hg , という同型を利用して計算を行いました. いずれにせよ結果は∞Xm=0(dim R5m )tm = 1 + t8 + 2t16 + 2t20 + 8t24 + · · ·となります. これから dim R524 = 8 がわかります.
さて, 本題に入ります. 我々は dim Pg24 = 9 となる最小の g を知りたいのでした. ところで B.

Runge は任意の種数 g に対して m ≡ 0 (mod 8) ならば Pgm = Rgm が成り立つことを示しました.

上の計算とあわせて dim P524 = 8 がわかります. よって dim Pg24 = 9 となる最初の g は g ≥ 6 で2

す. 実は dim P624 = 9 が成り立ちます. この最後の部分について述べましょう. dim P624 = 9 を示
すには 9 個の重み多項式の適当な係数をとってきて, 独立性を示せばよい訳です. 例えば単項式として(062 , 24, 0),(032 , 4, 029 , 20, 0),(2, 029 , 2, 0, 18, 029 , 2, 0),(1, 0, 1, 025 , 1, 0, 1, 0, 17, 0, 1, 025 , 1, 0, 1, 0),(028 , 2, 0, 2, 0, 16, 027 , 2, 0, 2, 0),(024 , 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 16, 023 , 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0),(2, 029 , 2, 03 , 2, 0, 2, 0, 2, 023 , 14, 0),(2, 07 , 12, 019 , 2, 05 , 2, 0, 2, 0, 2, 021 , 2, 03 ),(1, 0, 1, 013 , 1, 0, 1, 04 , 4, 012 , 22 , 06 , 1, 0, 1, 05 , 14 , 05 , 3, 2, 1)
をとってきてます. この記号の意味は, まず 26 個の F62 の元を(0 · · · 00), (0 · · · 01), (0 · · · 10), (0 · · · 11), . . . , (1 · · · 11)の順番で固定し, 変数達 Fa もこの順番で固定します. すると例えば, (032 , 4, 029 , 20, 0) は単項式
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F(011111)F(111110)を意味します. 行を 9 個の Type II code, 列を上の単項式に対応させ, 重み多項式の係数を行列の形で表しますと
1 30 2400
1 24 144336
1 18 720
1 12 240
M =16613200
1 6001 0001 42 504 1344

1 425044032

720
120001440120720000011880
0000095040
001848
504

1344
4032

6720
0


16588800
27095040
023887872

018164736

665280007741440 

00
20160
0

00
1440
0となります. この行列は行列式が 0 ではないので, 9 個の重み多項式が線型独立であることがわかりました.

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