MINISTERUL EDUCAŢIEI, CULTURII ŞI CERCETĂRII
AL REPUBLICII MOLDOVACURRICULUM NAȚIONAL

MAТЕМАТИКА
Clasele V-IX

			• Curriculum disciplinar			• Ghid de implementareChişinău, 2020

1

CURRICULUM DISCIPLINAR
Aprobat:- Consiliul Național pentru Curriculum, proces-verbal nr. 22 din 05.07.2019- Ordinul Ministerului Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019
COORDONATORI:
 Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECC
 Valentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator
al managementului curricular Valentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului delucru  EXPERȚI-COORDONATORI:
 Vladimir GUȚU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator general Anatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,
expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și
Tehnologii
GRUPUL DE LUCRU:
 Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, Chișinău   Ludmila BAȘ, grad did. superior, IPLT „Constantin Stere”, Soroca   Andrei BRAICOV, dr., conf. univ., US Tiraspol
 Iulia CABINA, grad did. doi, Gimnaziul „Sergiu Rădăuțan”, com. Iezărenii
Vechi, r. Sângerei Roman COPĂCEANU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Hâncești
 Aliona LAȘCU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Chișinău
Traducere: Ion ACHIRI, dr., conf. univ., IȘE, Chișinău
Математика : Curriculum naţional : Clasele 5-9 : Curriculum disciplinar : Ghid de
implementare / Ministerul Educaţiei, Culturii şi Cercetării al Republicii Moldova ;coordonatori: Angela Cutasevici, Valentin Crudu, Valentina Ceapa ; grupul de lucru:
Ion Achiri (coordonator) [et al.] ; traducere: Ion Achiri. – Chişinău : Lyceum, 2020 (F.E.-P.
"Tipografia Centrală"). – 196 p. : fig., tab.
Referinţe bibliogr.: p. 194-196 (55 tit.). – 300 ex.
ISBN 978-9975-3439-0-9.
373.4.091:51(073)
М 340

2

GHID DE IMPLEMENTARE
Elaborat în conformitate cu prevederile Curriculumului disciplinar, aprobatla ședința Consiliului Național pentru Curriculum, prin ordinul Ministerului
Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019
COORDONATORI:
 Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECC
 Valentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator
al managementului curricular Valentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului delucru
EXPERȚI-COORDONATORI:
 Vladimir GUȚU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator general Anatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,
expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și
Tehnologii
GRUPUL DE LUCRU:
 Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, Chișinău
 Aliona LAȘCU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Chișinău
Traducere: Ion ACHIRI, dr., conf. univ., IȘE, Chișinău

3Введение
Куррикулум для школьной дисциплины Математика, наряду со школьным
учебником, методологическим гидом, образовательными софтами и т. д., является составной частью совокупности продуктов/курикулумных документов и представляет собой существенную составляющую Национального куррикулума.
Разработанный на основе требований Кодекса об образовании Республики Молдова (2014), Основ Национального Куррикулума (Cadrul de referință al
Curriculumului Național) (2018), Базового куррикулума: система компетенцийдля общего образования (2018) и в соответствии с Рекомендациями Европейского
парламента и Совета Европы относительно ключевых компетенций, которые
должны быть сформированы на протяжении всей жизни (Брюссель,2018), Куррикулум для школьной дисциплины Математика является регламентирующим
документом, включающим концептуальные, телеологические, содержательные иметодологические основы, с акцентом на формирование системы компетенцийкак новой системы отсчёта конечных образовательных результатов.
Школьный куррикулум по математике для V-IX классов является основным дидактическим инструментом и нормативным документом, содержащим основные требования к изучению математики и результаты, которые
должны быть достигнуты учащимися гимназии, выраженные соответствующими компетенциями, единицами компетенций, содержаниями и видами
учебной и оценочной деятельности.
Куррикулум для школьной дисциплины Математика обосновывает и направляет деятельность учителя, способствует реализации творческого подхода кдолгосрочному и краткосрочному планированию, а также к реализации процесса преподавания – учения – оценивания.
Школьная дисциплина Математика, представленная данным куррикулумом,играет важную роль в формировании/развитии личности учащихся, в формировании компетенций, необходимых для учения на протяжении всей жизни, а такжедля интегрирования в общество, основанное на познании.
В процессе разработки Куррикулума для школьной дисциплины Математика
были учтены: современные трактовки и тенденции развития куррикулума на национальном и международном уровнях; необходимость адаптации школьного куррикулума к ожиданиям общества,к потребностям учеников, а также к традициям национальной школы; значимость школьной дисциплины в формировании трансверсальных испецифических компетенций;4 необходимость обеспечения преемственности и взаимосвязи между ступенями общего образования: дошкольное образование, начальное образование, гимназическое образование и лицейское образование.
Куррикулум для школьной дисциплины Математика имеет следующую
структуру: Введение, Концептуальные основы, Администрирование школьной
дисциплины Математика, Специфические компетенции школьной дисциплины
Математика, Единицы содержания, Методологические основы преподавания –учения – оценивания, Библиография. (Куррикулум содержит и конечные результаты, которые должны быть получены в конце каждого учебного года, представляющие собой определённый уровень формирования компетенций и имеющие
функцию определения целей финального оценивания).
Куррикулум для школьной дисциплины Математика имеет следующие функции:• концептуализации куррикулумных предпосылок специфических дисциплине Математика;• регламентации и обеспечения взаимосвязи данной школьной дисциплиныс другими дисциплинами из куррикулумной области, между преподаванием – учением – оцениванием, между куррикулумными продуктами, специфическими дисциплине Математика, между структурными компонентами
школьного куррикулума, между стандартами и конечными результатами,предусмотренными куррикулумом.
• проектирования образовательного процесса (на уровне конкретного класса);• оценки учебных результатов и др.
Основной бенефициар этого документа является ученик, имеющий в этомсмысле особый статус.
Куррикулум для школьной дисциплины Математика адресован педагогическим кадрам, авторам учебников, проверяющим, методистам, другим заинтересованным лицам.
Одновременно Куррикулум для школьной дисциплины Математика ориентирует учителя к организации образовательного процесса на основе единиц обучения (единицы компетенций — единицы содержания — виды учебной деятельности).

5

I. Концептуальные основы
Кодекс об образовании Республики Молдова посредством статьи 11 определяет: "Главной образовательной целью является формирование гармоничной
личности и развитие системы компетенций, включающей знания, навыки иценностные отношения, обеспечивающие возможность активного участия
индивидуума в социальной и экономической жизни". [1]Основными целями математического образования на уровне обязательного образования являются как формирование и развитие логического мышления
учащихся, так и формирование, и развитие компетенций, способствующих максимальной реализации творческого потенциала выпускника гимназии и необходимых для продолжения им учения на следующей ступени образования и/или дляоптимальной социальной или профессиональной интеграции.
Школьная компетенция – это целостная система знаний, навыков и ценностных отношений, добытых, сформированных у учащихся и развитых впроцессе обучения, мобилизация которых позволит идентифицировать и решить различные проблемы, в различных контекстах и ситуациях. [2]Итоговые приобретения учащихся в контексте формирования компетенций –это не совокупность информации, которую надо запомнить. Для формирования
соответствующей компетенции необходимо, чтобы ученик:- овладел системой фундаментальных знаний в соответствии с проблемой,которую необходимо, в итоге, решить;- владел навыками для их осознания и способностями использования/применения в простых/стандартных условиях, осуществив, тем самым, функциональность добытых знаний;- находил решения различных проблемных ситуаций, осознавая, тем самым,используемые им функциональные знания;- решал возникающие, в различных контекстах, проблемы окружающей действительности, используя, в итоге, необходимые знания, способности, навыки и отношения, т. е. применяя соответствующую компетенцию.
В основу проектирования куррикулума по математике заложены следующие
принципы: Принцип преемственности на уровне классов и образовательных cтупеней; Принцип личностно-ориентированного обучения, учитывающего личные
особенности ученика; Принцип ориентирования на развивающее (формирующее) обучение; Принцип реализации межпредметной и внутрипредметной корреляции (оптимальное распределение тем по математике в корреляции с учебными

6дисциплинами куррикулумной области, обеспечивая, тем самым, взаимосвязь в образовании по вертикали и по горизонтали); Принцип систематичности и поэтапного подхода в формировании и развитии компетенций; Принцип создания благоприятных условий для реализации качественного образования; Принцип четкого центрирования всех компонентов куррикулума на конечные результаты – специфические компетенции и единицы компетенций
учебной дисциплины Математика.
Такого рода проектирование стратегически ориентирует куррикулум и образовательный процесс на конечные результаты – на формирование компетенций уучащихся в результате прохождения определенных учебных ситуаций и приобретения соответствующего опыта.
Фундаментальными в построении куррикулума по математике для гимназии
и, в целом, образовательного процесса по математике в школе являются следующие принципы:I. Принцип конструктивизма (структурности), предусматривающий систематическое повторение изученного материала и основных понятий, как значимый аспект преподавания – учения. Согласно этому принципу современный
образовательный процесс по математике осуществляется концентрическипо спирали, основываясь на конкретном математическом понятии и формировании, в итоге, специфических для математики мыслительных структур.
II. Формирующий принцип, предусматривающий непосредственное формирование личности учащегося в образовательном процессе по математике.
В контексте формирования и развития межличностной, социальной, нравственной компетенции и компетенции в плане культуры, куррикулум по математике предусматривает формирование у учащихся в образовательном процессе поматематике следующие ценностные отношения: формирование привычки открытого, гибкого, творческого мышления, чувства объективности и толерантности; стимулирование любознательности и воображения в выборе стратегий,проблем, планов действий, при их решении или их выполнении; проявление упорства, настойчивости, уверенности в собственных силах,способности при необходимости сконцентрироваться, стремлении к реализации собственного интеллектуального потенциала, ответственности засобственное формирование; поощрение инициативы и готовности решать различные задачи; проявление независимости в мышлении и действиях;7 развитие чувства эстетического и критического подходов; оценивание строгости, порядка и элегантности в построении решения задачи, в применении соответствующего метода, алгоритма или в построении некоторой теории; формирование потребности в использовании математических понятий иметодов при рассмотрении различных ситуаций или при решении повседневных проблем или проблем возникших, в реальных и/или смоделированных
ситуациях; формирование и развитие мотивации к изучению математики как значимой области для социальной и профессиональной жизни; стимулирование положительного отношения к науке и познанию в целом; использование научной математической терминологии при общении; проявление настойчивости при поддерживании собственных идей и точек
зрения путём приведения аргументов и/или путем формулирования вопросов; кооперирование в рамках групповой учебной деятельности; включение в критические и конструктивные дискуссии по поводу определенных математических тем; восприятие различных точек зрения и ориентирование на формирование
собственной точки зрения.
Единицы компетенций представляют собой приобретения, которые должны
быть добыты учениками в конце изучения главы или в конце учебного года. Онислужат и в качестве элементов/шагов в формировании специфических компетенций. Единицы компетенций будут оценены посредством формирующего и/илисуммативного оценивания в конце главы и/или учебного года.
Тематические содержания, включенные в куррикулум, представляют собой
средства для добывания приобретений, предусмотренных запланированными
единицами компетенций, для формирования специфических и ключевых/трансверсальных компетенций.
Виды учебной деятельности и её результаты/продукты – это открытый
список значимых контекстов, способствующих добыванию приобретений, запланированных единицами компетенций. Учитель может выбрать те или иные видыучебной деятельности и рекомендуемые результаты/продукты для примененияна уроках, а также может дополнить этот список в зависимости от специфики класса и от наличия необходимых средств и т. п.
Центрирование образования на формирование компетенций не исключает
значимость понятия образовательная цель. Наоборот, при составлении дидактического проекта урока наиболее важным и значимым является система целей
урока, кореллированных с единицами компетенций, выбранных для соответствующего урока.
8Куррикулум задуман так, чтобы не ограничивать свободу учителя в организации собственной профессиональной деятельности. Следовательно, при формировании специфических компетенций и для добывания приобретений, предусмотренных запланированными единицами компетенций, и при прохождении обязательных тем в рамках одного и того же класса учитель имеет право:• изменить последовательность прохождения учебного материала, еслине нарушается научная и дидактическая логика;• распределять время для изучения учебного материала в зависимостиот математической подготовленности учащихся на соответствующем этапе обучения;• группировать учебный материал различными способами, не нарушая
логику развития математических понятий;• выбрать и организовать виды учебной деятельности, адекватные конкретным условиям класса.
Школьные учебники, разработанные на основе данного куррикулума, должны
соответствовать общей куррикулумной концепции и удовлетворять следующим
требованиям: быть доступными для учащихся, быть функциональными, операциональными, а также выполнять не столько информативную, сколько формирующую функцию, функцию учения посредством самостоятельного изучения, исследования и выполнения открытий, стимулирования, самообразования, самооценивания и, в итоге, формирования компетенций.

9

II. Администрирование школьной
дисциплины Mатематика
Статус

Куррикулумная область

КлассОбязательная
дисциплина

Математика иестествознание
(Математика, Физика,Познание мира, Химия,Биология, Информатика)V класс
VI класс
VII класс
VIII класс
IX класс

Кол-во часовв неделю
44
4
4
4

Кол-во часов вучебном году
136
136
136
136
132

III. Специфические компетенции
школьной дисциплины Mатематика
1. Использование действительных чисел для выполнения вычислений в различных контекстах, проявляя интерес к строгости и точности в вычислениях.
2. Изложение на математическом языке высказывания, ситуации, решения,формулируя ясно и кратко высказывание.
3. Применение математических рассуждений для идентифицирования и решения проблем, проявляя ясность, правильность и краткость в рассуждениях.
4. Исследование совокупности данных, используя адекватные инструменты, втом числе цифровые, и математические модели, для изучения/описания отношений и процессов, демонстрируя настойчивость и аналитический дух.
5. Применение геометрических понятий, отношений и инструментов для решения проблем, проявляя последовательность и дедуктивный подход.
6. Экстраполирование математических приобретений для выявления и описания процессов, явлений в различных областях, прибегая к математическим
понятиям и методам при анализе и решении различных ситуаций.
7. Обоснование математического высказывания или результата, используя
аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения.

10

11

Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности иеё результаты/ продукты
1.1. Распознавание и
I. Натуральные числа Решение упражнений и задач на:применение в реальных
- распознавание натуральных чисел в различных контекстах;и/или смоделированных
• Запись и чтение натуральных чисел - запись и чтение натуральных чисел в десятичной системе
ситуациях терминологиив десятичной системе счисления
счисления;и символики,Изображение натуральных чисел
- упорядочивание, сравнение и изображение натуральных
соответствующих понятиямна оси
чисел на оси;число, множество,• Сравнение и упорядочивание
- округление натуральных чисел;делимость.
натуральных чисел. Округление
- выполнение действий с натуральными числами, учитывая
1.2. Распознавание,натуральных чисел
порядок действий и применяя в вычислениях скобки;записывание и чтение
• Сложение натуральных чисел.
- применение изученных свойств действий с натуральными
натуральных чисел вСвойства
числами для оптимизации вычислений в различных
различных контекстах.
• Вычитание натуральных чисел.
контекстах;1.3. Изображение
• Умножение натуральных чисел.
- применение алгоритма определения неизвестного
натуральных чисел наСвойства. Общий множитель
компонента действия сложение, вычитание, умножение,оси, классифицирование, • Деление натуральных чисел.
деление (неизвестное слагаемое, уменьшаемое,сравнение,• Деление с остатком
вычитаемое, неизвестный множитель, делимое, делитель);упорядочивание и• Понятие степени натурального
- решение задач, в том числе практического характера,округление натуральных
числа с натуральным показателем.
с применением изученных действий с натуральными
чисел.
Квадрат и куб натурального числа
числами, в том числе задач с элементами сбора и
1.4. Применение алгоритмов, • Порядок выполнения действий иобработки данных;свойств действий
применение скобок
- решение задач на множестве натуральных чисел, в томдля выполнения и• Решение задач на множестве
числе задачи на движение, применяя изученные методы;оптимизации вычислений снатуральных чисел:- запись и чтение множеств;натуральными числами.
- методом сведения к единице;- нахождение кардинала множества;- методом обратного ходаV класс

IV. Единицы содержания

12

1.5. Нахождение неизвестного • Множества. Способы задания
компонента действий
множеств. Отношения
сложение, вычитание,принадлежности. Кардинал  умножение, деление
конечного множества
натуральных чисел.
• Делитель. Множество делителей
1.6. Перевод реальной и/илинатурального числа
смоделированной ситуации • Кратное. Множество кратныхна математический язык,натурального числа
используя натуральные
• Признаки делимости на 10, на 5 ичисла, множества,на 2. Чётные и нечётные числа
делимость, решение
полученной задачи иНовые элементы математической
интерпретирование
терминологии:полученного результата.
переместительный закон, сочета1.7. Применение признаков
тельный закон, распределительный
делимости на 10, 5 и 2 при закон умножения относительно
решении задач.
сложения (вычитания), множество,1.8. Обоснование иэлемент, принадлежит, не принадаргументирование
лежит, пустое множество, кардиполученных результатов с нал множества, делитель, кратное,натуральными числами.
признак делимости, чётное число,нечётное число, степень, показатель степени, основание степени,метод сведения к единице, метод
обратного хода.
- использование терминологии и символики
соответствующих понятиям число, множество, делимость вразличных контекстах, в том числе при общении;- перевод множеств из одного способа задания на другой
способ;- нахождение истинностного значения математического
высказывания;- дополнение последовательности чисел по заданным и/иливыявленным правилам;- выявление, какому числовому множеству, множеству
объектов принадлежит заданное число, объект;- нахождение делителей и кратных заданного натурального
числа;- применение признаков делимости в решении задач;- обоснование и аргументирование полученных результатов.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к натуральным
числам, множествам и делимости и решение полученных
задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местности,по применению натуральных чисел, множеств и делимости.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения натуральных чисел, множеств и делимости вразличных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения натуральных чисел, множеств иделимости в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания натуральных чисел, множеств иделимости.

13

2.1. Распознавание и применение терминологии,относящейся к понятиям
обыкновенная дробь, конечное десятичное число вразличных контекстах.
2.2. Распознаваниеи представление
обыкновенных дробейи конечных десятичных
чисел в различных формах.
2.3. Изображение на числовой
оси, классифицирование,сравнение и упорядочивание обыкновенных дробейи конечных десятичных
чисел.

Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай, с практическим уклоном; Устный ответ; Письменный ответ; Решённый пример; Решённое тестовое задание (итем); Решённая задача; Составленная схема; Составленный план идей; Проект "Множество вокруг меня"; Проект "Ось событий из моей жизни"; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
II. Обыкновенные дроби.
 Решение упражнений и задач на:Десятичные числа
- запись, чтение и изображение обыкновенных дробей,десятичных чисел;• Дроби. Понятие дробь.
- применение терминологии, относящейся к понятиям
Правильные и неправильные
обыкновенная дробь, десятичное число в различных
дроби. Равные дроби.
контекстах, в том числе при общении;Изображение дробей с помощью
- распознавание и классификацию чисел в реальных и/илирисунков
смоделированных ситуациях;• Выделение целой части из  дроби. - применение основного свойства и сокращения дробей;Представление смешанного числа - построение последовательностей равносильных дробейв виде неправильной дроби
посредством применения основного свойства дроби,• Равносильные дроби. Основное
сокращения дробей, выделения целой части из дроби,свойство дроби. Сокращение
представления смешанного числа в виде неправильной
дробей
дроби;• Приведение дробей к общему зна- - нахождение истинностного значения высказывания;менателю (один из знаменателей - изображение обыкновенных дробей и десятичных чисел наявляется кратным другого)числовой оси;• Изображение дробей на числовой - упорядочивание, сравнение обыкновенных дробей иосидесятичных чисел;14

2.4. Применение алгоритмов
• Сравнение дробей с одинаковыми - включение обыкновенных дробей и конечных десятичныхи свойств для выполнения
знаменателями или одинаковыми
чисел между двумя последовательными натуральнымии оптимизации действий счислителями
числами;обыкновенными дробями • Cложение и вычитание дробей
- вычисления с использованием обыкновенных дробей ии конечными десятичнымис одинаковыми знаменателями,десятичных чисел;числами, округления
сложение и вычитание дробей,- применение алгоритмов и свойств для выполнения
десятичных чисел.
наименьший общий знаменатель
действий с обыкновенными дробями и конечными
2.5. Нахождение неизвестного
которых можно определить явнодесятичными числами, учитывая порядок действий;компонента действийили простыми вычислениями,- выполнение округлений результатов вычислений ссложение, вычитание,используя основное свойство
конечными десятичными числами;умножение, деление
дроби и сокращение дробей
- решение задач, в том числе задач с практическим уклоном,(неизвестное слагаемое,• Умножение дробейс применением изученных действий с числами (в том числе
уменьшаемое, вычитаемое, • Обратная дробь. Деление дробей.
применяя элементы сбора и обработки данных);неизвестный множитель,• Нахождение дроби от- решение задач на нахождение дроби от натурального
делимое, делитель)натурального числа
числа;
обыкновенных дробей и• Понятие десятичное число.
- нахождение отношений двух соразмерных величин, двухдесятичных чисел.
Конечные десятичные числа:несоразмерных величин и их применение при решении
2.6. Перевод реальной и/илизапись дробей со знаменателями
задач;
смоделированной ситупредставляющими собой степени - решение задач на движение;ации на математический
10 в виде десятичных чисел. Запись - решение задач методом сведения к единице, методом
язык, решение полученнойи чтение десятичных чисел
обратного хода;задачи и интерпретирова- • Сравнение, упорядочивание,- обоснование полученных результатов, используяние полученных результаизображение на оси конечных
аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения.
тов, используя натуральдесятичных чисел. Округления Исследование конкретных случаев из реальных и/илиные числа, обыкновенные • Сложение двух и более конечных
смоделированных ситуаций, относящихся к обыкновенным
дроби и конечные десятичдесятичных чисел. Вычитание двухдробям и десятичным числам, и решение полученныхные числа.
конечных десятичных чисел
задач.
2.7. Составление плана для• Умножение конечного десятичного  Выполнение практических работ, в том числе на местности,решения реальной и/иличисла на 10, 100, 1000; умножениепо применению обыкновенных дробей и десятичных чисел
смоделированной задачи,на натуральное число; умножениев практической деятельности.
используя обыкновенные
двух конечных десятичных чисел Реализация исследований/изысканий относительно
дроби и/или десятичные
• Деление конечных десятичных
применения обыкновенных дробей и десятичных чисел вчисла.
чисел на 10, 100, 1000различных областях.

15

2.8. Решение изученных
• Квадрат и куб конечного Реализация индивидуальных/групповых проектов втипов задач, используя
десятичного числа
контексте применения обыкновенных дробей и десятичных
адекватные методы.
• Порядок выполнения действий
чисел в реальных
2.9. Обоснование полученных • Решение задач методом сведения
и/или смоделированных ситуациях.
результатов в вычисленияхк единице, методом обратного Применение дидактических игр в процессе преподавания –с обыкновенными дробями
ходаучения – оценивания обыкновенных дробей и десятичныхи десятичными числами,чисел.
используя аргументы,Новые элементы математической
Рекомендуемые результаты/продукты:поддерживая собственные терминологии: Исследуемый случай, с практическим уклоном;идеи и мнения.
правильные дроби, неправильные Устный ответ;дроби, равносильные дроби, основное  Письменный ответ;свойство дроби, сокращение дробей,  Решённый пример;обратная дробь, конечное десятич-  Решённое тестовое задание (итем);ное число, обыкновенные дроби.
 Решённая задача; Составленная схема; Аргументация устная/письменная; Составленный план идей; Проект "Десятичные числа в нашей жизни"; Дидактическая игра "Домино равносильных дробей"; Проект "Дроби в музыке"; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
3.1. Распознавание и приIII. Элементы геометрии Решение упражнений и задач на:менение терминологии,и единицы измерения
- распознавание, вербальное и письменное описание,относящейся к изученным • Геометрические фигуры: точка,используя соответствующую терминологию и символику,геометрическим фигурам
прямая, отрезок, полупрямая, угол,изученных геометрических фигур;и единицам измерения втреугольник, четырехугольник, пя- - изображение изученных геометрических фигур, используя
различных контекстах, втиугольник, окружность (представчертёжные инструменты, инструменты ИКТ;том числе при общении.
ление путем описания и чертежа); - применение изображений геометрических фигур приэлементы геометрических фигур
решении задач;(стороны, вершины, углы, центр,- построение перпендикулярных и параллельных прямых,радиус, хорда, диаметр), внутрениспользуя линейку и чертежный треугольник;няя область, внешняя область.

16

3.2. Распознавание, описание • Чертёжные инструменты: линейка - изготовление из различных материалов изученных
различных геометрическихс делениями, линейка без делений,геометрических фигур и выполнение измерений, используя
конфигураций, фигур, телциркуль, угольник, полоска
адекватные инструменты;и их элементов в реальныхдля измерения. Изображение
- распознавание элементов (стороны, вершины, углы, центр,и/или смоделированных
геометрических фигур и измерение
радиус, хорда, диаметр, внутренняя область, внешняя
ситуациях.
длин отрезков, используя
область) геометрической фигуры в реальных и/или
3.3. Применение чертежных
чертежные инструменты
смоделированных ситуациях;инструментов для измере- • Пересекающиеся прямые.
- вычисление периметров, площадей (квадрата,ния или построения/изоПерпендикулярные прямые.
прямоугольника) и объемов (куба, прямоугольного
бражения геометрической
Параллельные прямые
параллелепипеда), используя адекватные единицы
конфигурации в различных • Геометрические тела: куб, прямоуизмерения;контекстах.
гольный параллелепипед (кубоид), - анализирование и интерпретирование результатов,3.4. Изготовление из различпирамида, сфера, прямой круговой
полученных при решении практических задач сных материалов изученных
цилиндр, прямой круговой конус
использованием изученных геометрических фигур ипланиметрических фигур
(описание, выделение элементов:единиц измерения;и тел.
вершины, ребра, основание, центр, - выполнение, указанных в содержаниях, преобразований
3.5. Нахождение периметров,радиус, образующая)основных единиц измерения длины, площади, объема,площадей (квадрата,• Основные единицы измерения
массы, времени;прямоугольника) идлины (км, м, дм, cм, мм);- применение национальных и/или региональных единиц
объёмов (куба, кубоида),преобразования этих единиц.
измерения в различных контекстах;выполняя приближения
Длина отрезка, длина ломанной.
- обоснование заданного или полученного математическогои округления измерений
Периметр треугольника ирезультата с использованием геометрических фигур,объектов из окружающей
четырехугольника
используя аргументы;действительности,• Основные единицы измерения
- нахождение истинностного значения утверждения,применяя международную
площади (км2,м2, cм2, га, сотка);высказывания с помощью примеров, контрпримеров.
и/или национальную
преобразования этих единиц.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисистему мер.
Площадь квадрата и прямоугольсмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
3.6. Выполнение, указанных вника (без доказателств)геометрическим фигурам и телам, и решение полученных
содержаниях, преобразо• Основные единицы измерения
задач.
ваний основных единиц изобъема (м3, cм3, дм3); преобра Выполнение практических работ, в том числе на местности,мерения длины, площади,зования этих единиц. Объём куба ипо применению изученных геометрических фигур и тел вобъема, массы, времени.
прямоугольного параллелепипеда
практической деятельности.
(без доказательства)17

3.7. Анализирование иинтерпретирование
результатов, полученныхпри решении практических
задач с использованием
изученных геометрических
фигур и тел.
3.8. Использование изученных
единиц измеренияпри решении задач изразличных областей.
3.9. Обоснование полученногоили заданного результата,вывода, относительно
изученных геометрических
фигур, тел и единиц
измерения, используя
аргументы.
3.10. Нахождение истинностного значения предложения, высказывания,используя примеры, контрпримеры.

• Основные единицы измерения Реализация исследований/изысканий относительно
емкости (л, мл); преобразования
применения изученных геометрических фигур и тел вэтих единиц
различных областях.
• Основные единицы измерения Реализация индивидуальных/групповых проектов вмассы (т, кг, г, мг); преобразования
контексте применения изученных геометрических фигур иэтих едиництел в реальных и/или смоделированных ситуациях.
• Основные единицы измерения Применение дидактических игр в процессе преподавания –времени (секунда, минута, час,учения – оценивания изученных геометрических фигур исутки, неделя, месяц, год, столетие,тел.
тысячелетие); преобразования этихединиц
Рекомендуемые результаты/продукты:• Денежные единицы (националь Исследуемый случай, с практическим уклоном;ные и международные); преобра-  Устный ответ;зования денежных единиц Письменный ответ; Решённый пример;Новые элементы математической Рисунок;терминологии: Практическая работа на местности «Измерение длин иполупрямая, угол, пентагон, вершипериметров»;на, сторона, центр, радиус, хорда, Решённая задача;диаметр, внутренняя область, Составленная схема;внешняя область, пересекающиеся Аргументация устная/письменная;прямые, перпендикулярные прямые,  Составленный план идей;параллельные прямые, прямоуголь-  Проект "Геометрия в кулинарных изделиях";ный параллелепипед, пирамида, сфе-  Проект "Элементы геометрии в молдавских народных
ра, прямой круговой цилиндр, прямой
сказках";круговой конус, образующая, основа-  Проект "Виртуальное путешествие по Республике
ние, ребра, миллилитр, миллиграмМолдова";мы, квадратный километр (метр, Понятийная карта, составленная к главе;дециметр, сантиметр, миллиметр),  Решённый суммативный тест.
кубический метр (дециметр, сантиметр), гектар, сотка.

18

В конце V класса УЧЕНИК МОЖЕТ:• распознавать, читать, писать, изображать на оси, сравнивать, упорядочивать и округлять натуральные числа, дроби, конечные десятичные числа в различных контекстах;• распознавать, читать, писать, изображать заданное различными способами множество;• определить какому числовому множеству/множеству объектов принадлежит заданное число/объект;• применять терминологию, относящуюся к понятиям натуральное число, дробь, конечное десятичное число, множество,делимое, делитель, признак делимости в различных контекстах, в том числе при общении;• выполнять арифметические действия с натуральными числами, обыкновенными дробями, конечными десятичными числами;• применять свойства арифметических действий для оптимизации вычислений;• находить неизвестного компонента указанного действия;• решать задачи, в том числе задачи на движение, изученными методами;• находить дробь от натурального числа;• отбирать, организовывать, интерпретировать данные в различных ситуациях для решения задач, в том числе задач изпрактической деятельности, используя различные источники: текст, таблицу, рисунок, схему, диаграмму и т. п.;• изображать на рисунке и изготавливать из различных материалов изученные планиметрические фигуры;• выполнять измерения, выражать, округлять и сравнивать результаты измерений, используя адекватные единицы измерения длин, площадей, объёмов, ёмкостей, единицы массы, времени, денежные единицы и их преобразования;• описывать изученные планиметрические фигуры, геометрические тела и распознавать их элементы (стороны, вершины,углы, центр, радиус, хорду, диаметр, внутреннюю часть, внешнюю часть);• находить периметры, площади (квадрата, прямоугольника) и объёмы (куба, прямоугольного параллелепипеда), используя единицы измерения, принятые Международной системой, а также соответствующими национальными единицами
измерения;• применять терминологию и символы/обозначения изученных геометрических фигур в различных контекстах;• обосновывать вывод или математический результат, используя аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения.

Обозначения для геометрических
фигур:
 – треугольник, < – угол,‖ – параллельно,ꓕ – перпендикулярно, А – площадь,V – объём, C – окружность.

19Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности и еёрезультаты/продукты
1.1. Распознавание
I. Натуральные числа Решение упражнений и задач на:натуральных чисел,- распознавание и применение терминологии и символики,множества делителей,• Множество натуральных чисел (N,соответствующих понятиям число, множество, делимость,кратных, простого иN*)в том числе при общении;составного числа в• Делитель. Кратное. Простые и- выявление, какому числовому множеству принадлежит
различных контекстах.
составные числа
заданное число;1.2. Распознавание и• Признаки делимости на 2, 3, 5, 9,- распознавание натуральных чисел, множества делителей,применение в различных
10. Чётные и нечётные числа
кратных простого и составного числа в различных
контекстах терминологии
• Разложение натуральных чисел
контекстах;и символики,в виде произведения степеней
- нахождение множества делителей и кратных натурального
соответствующих понятиям
простых множителей (начисла;
число, множество,конкретных примерах)- применение алгоритма разложения натуральных чисел
делимость, в том числе
• Общий делитель двух натуральныхв виде произведения степеней простых множителей,при общении.
чисел. НОД двух натуральных
признаков делимости на 10, 2, 5, 3, 9 в различных
1.3. Применение признаков
чисел. Взаимопростые числа
контекстах;делимости на 10, 2, 5,• Общие кратные двух натуральных - выявление преимуществ применения признаков делимости
3, 9 для оптимизации
чисел. НОК двух натуральных чисели свойств действий с натуральными числами привычислений.
• Степень с натуральным  выполнении вычислений с натуральными числами;1.4. Применение разложения
показателем. Свойства степени
- нахождение НОД и НОК двух натуральных чисел;натуральных чисел в видес натуральным показателем:- решение простых задач на применение отношения
произведения степеней
произведение двух степеней
делимости;простых множителей,с одинаковыми основаниями,- выполнение действий со степенями натуральных чисел,свойств степеней встепень произведения, частное
используя изученные свойства степеней;различных контекстах.
двух степеней с одинаковыми
- решение простых уравнений, используя алгоритм
1.5. Применение алгоритмов
основаниями, степень степени, a0,нахождения неизвестного компонента действия;нахождения НОД и НОКа ≠ 0;  1n- решение задач с помощью уравнений, используя алгоритм
двух натуральных чисел
• Понятие уравнение. Множество
нахождения неизвестного компонента действия;при решении задач.
решений уравнения

VI класс

20

1.6. Моделирование
простой ситуации, в томчисле из повседневной
жизни, используя
отношения делимости намножестве натуральных
чисел, решение
полученной задачи иинтерпретирование
результатов.
1.7. Решение уравнений намножестве N, определяя
неизвестный компонент
соответствующей
операции.
1.8. Составление планадля решения задачи с  натуральными числами ирешение задачи согласно
составленному плану.
1.9. Обоснование иаргументирование
результатов, полученныхпри решении задачи при вычислениях снатуральными числами.
- обоснование и аргументирование математических
рассуждений и полученных при решении задач
результатов.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к натуральным
числам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местности,по применению натуральных чисел в практической
деятельности.
Новые элементы математической Реализация исследований/изысканий относительно
терминологии:применения натуральных чисел в различных областях.
простое число, составное число, Реализация индивидуальных/групповых проектов ввзаимопростые числа, НОД, НОК,контексте применения натуральных чисел в реальных
разложение на простые множители,и/или смоделированных ситуациях.
произведение двух степеней Применение дидактических игр в процессе преподавания –с одинаковыми основаниями,учения – оценивания натуральных чисел.
степень произведения, частное
двух степеней с одинаковыми
Рекомендуемые результаты/продукты:основаниями, степень степени, Исследуемый случай с практическим уклоном;уравнение, решение уравнения, Устный ответ;множество решений уравнения.
 Письменный ответ; Решённый пример; Решённая задача; Решённое тестовое задание; Составленная схема; Аргументация устная/письменная; Составленный план решения задачи; Проект "Натуральные числа в моей жизни"; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

• Решение на множестве Nуравнений типа: x ± a = b; ax = b(a ≠ 0); x : a = b (a ≠ 0); ax + b = 0(a ≠ 0), где a и b – натуральные
числа, определяя неизвестный
компонент указанной операции
• Решение задач с помощью
изученных типов уравнений

21

2.1. Распознавание,II. Целые числа. Действия
записывание, чтение ис целыми числами
применение целых чисел вразличных контекстах.
• Понятие целое число. Множество
2.2. Распознавание ицелых чисел. Изображение наприменение терминологии
числовой оси. Противоположноеи обозначений, соответчисло целому числу. Модуль  ствующих целым числам
целого числа (введенный св различных реальных и/помощью расстояния на числовойили смоделированных
прямой)ситуациях, в том числе при • Упорядочивание и сравнение
общении.
целых чисел
2.3. Сравнение, упорядочива- • Сложение целых чисел.
ние и изображение на осиСвойства (коммутативность,целых чисел.
ассоциативность, нейтральный
2.4. Использование свойств
элемент)действий с целыми
• Вычитание целых чисел
числами, при выполнении • Порядок выполнения действий
вычислений в реальных
• Умножение целых чисел
и/или смоделированных
Свойства (коммутативность,ситуациях.
ассоциативность, нейтральный
2.5. Применение модуля приэлемент, дистрибутивность
выполнении вычислений
умножения относительнос целыми числами всложения и вычитания)различных контекстах.
• Общий множитель
2.6. Решение уравнений на• Деление целых чисел в случае,множестве Z, используя
когда делимое является кратным
свойства изученных
делителя
арифметических операций, • Степень целого числа с  и алгоритм нахождения
натуральным показателем.
неизвестного компонента
Свойства степени целого числа суказанной в уравнении
натуральным показателем
операции.
 Решение упражнений и задач на:- запись, чтение, распознавание, упорядочивание, сравнениеи изображение на оси целых чисел;- применение терминологии и обозначений,соответствующих целым числам, в том числе при общении;- выявление, какому числовому множеству принадлежит
заданное число;- вычисление с целыми числами и применение ввычислениях изученных алгоритмов и свойств;- применение модуля целого числа в различных контекстах;- применение алгоритма определения неизвестного
компонента действий сложение, вычитание, умножение,деление (неизвестное слагаемое, уменьшаемое,вычитаемое, неизвестный множитель, делимое, делитель)с целыми числами;- выполнение действий со степенями с натуральным
показателем на множестве целых чисел, применяя свойства
степени;- выполнение действий с целыми числами, распознавание иприменение порядка выполнения действий, применения
скобок;- применение целых чисел в различных областях, в том числев физике, географии, познании мира, биологии, экономике
и т. п.
- решение на множестве Z уравнений с применением
свойств изученных арифметических действий и алгоритма
определения неизвестного компонента действия;- нахождение истинностного значения (истинно/ложно)простого утверждения, используя примеры, контрпримеры;- обоснование и аргументирование полученных результатов.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к целым числам,и решение полученных задач.

22

2.7. Применение целых
• Порядок выполнения действий Выполнение практических работ, в том числе на местности,чисел и изученных типови использования круглых,по применению целых чисел в практической деятельности.
уравнений в различных
квадратных скобок.
 Реализация исследований/изысканий относительно
областях: в практической
• Решение на множестве Z
применения целых чисел в различных областях.
деятельности, в экономике,уравнений типа: x ± a = b; Реализация индивидуальных/групповых проектов впри изучении других
ax = b (a ≠ 0); x : a = b (a ≠ 0);контексте применения целых чисел в реальных и/илишкольных дисциплин.
ax + b = 0 (a ≠ 0), применяя
смоделированных ситуациях.
2.8. Обоснование иалгоритм нахождения неизвестного  Применение дидактических игр в процессе преподавания –аргументирование
компонента указанной в уравнении
учения – оценивания целых чисел.
результатов, полученных
операции.
при вычислениях с целыми
Рекомендуемые результаты/продукты:числами.
Новые элементы математической Исследуемый случай с практическим уклоном;терминологии: Устный ответ;целое число, положительное число,  Письменный ответ;отрицательное число, противопо Решённый пример;ложное число целому числу, модуль Решённая задача;целого числа, степень целого числа.  Решённое тестовое задание; Составленная схема; Аргументация устная/письменная; Составленный план решения задачи; Проект "Целые числа в моей Жизни"; Проект "Ось исторических событий в античные эпохи"; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

23

3.1. Распознавание, записываIII. Рациональные числа.
 Решение упражнений и задач на:ние, чтение рациональных Действия с рациональными числами - запись, чтение и распознавание Рациональных чисел вчисел в различных контекразличных реальных и/или смоделированных ситуациях;стах.
• Рациональные числа. Множество
- использование терминологии и символики,3.2. Распознавание и применеQ. Изображение рациональных
соответствующих понятию рациональное число,ние терминологии и обочисел на оси. Противоположное
множество в различных контекстах, в том числе призначений, соответствующих
число рациональному числу.
общении;понятиям рациональное
Обратное число ненулевому
- преобразование десятичного числа в обыкновенную дробь
число, множество, в разрациональному числу. Модульи наоборот;личных контекстах, в томрационального числа (введенный с - упорядочивание, сравнение и изображение на осичисле при общении.
помощью расстояния на числовой
рациональных чисел;3.3. Классифицирование, сравоси)- округление результатов вычислений с рациональными
нение, упорядочивание,• Различные формы записи
числами;изображение на оси ирационального числа.
- вычисление с рациональными числами, используя вокругление рациональных
Преобразование десятичного числа
вычислениях изученные свойства действий, порядок
чисел.
в обыкновенную дробь и наоборот
действий, скобки, модуль рационального числа;3.4. Применение свойств из• Сравнение рациональных чисел.
- решение задач, применяя изученные адекватные методы иученных действий с рациОкругление рациональных чисел
операции с рациональными числами;ональными числами при• Сложение рациональных чисел.
- выявление преимуществ применения свойств действий свыполнении вычислений вСвойства (коммутативность,рациональными числами;реальных и/или смоделиассоциативность, нейтральный
- применение алгоритма определения неизвестного
рованных ситуациях.
элемент)компонента действий сложение, вычитание, умножение,3.5. Применение модуля при• Вычитание рациональных чисел.
деление (неизвестное слагаемое, уменьшаемое,выполнении вычислений сПорядок выполнения действий ивычитаемое, неизвестный множитель, делимое, делитель)рациональными числами
использования скобокс рациональными числами;при решении задач.
• Умножение рациональных чисел.
- решение задач, проблемных ситуаций, используя
3.6. Составление плана
Свойства (коммутативность,нахождение дроби от числа, нахождение числа подля решения задачи наассоциативность, нейтральный
заданной дроби;множестве рациональных
элемент, дистрибутивность
- запись и чтение множеств, числовых множеств;чисел и решение задачи
относительно сложения и- нахождение кардинала конечного множества;согласно составленному
вычитания). Общий множитель
- перевод записи множества из одной формы в другую;плану.
- выявление, какому числовому множеству, множеству
объектов принадлежит заданное число, объект;24

3.7. Перевод реальной и/или• Степень рационального числа ссмоделированной ситунатуральным показателем
ации на математический
• Деление рациональных чисел
язык, решение полученной • Порядок выполнения действий изадачи, используя рациоиспользования скобок
нальные числа, множества, • Нахождение дроби от числа.
действия с множествами иНахождение числа по заданной
интерпретирование полудроби
ченных результатов.
• Решение задач на множестве
3.8. Представление множеств
рациональных чисел
различными способами и • Множества. Способы задания
выполнение действий смножества. Отношения
множествами в различных
принадлежности. Равенство
контекстах.
множеств. Подмножества.
3.9. Обоснование и аргументиКардинал конечного множества
рование результатов, полу- • Действия над множествами
ченных при выполнении
(объединение, пересечение,вычислений с рациональразность)ными числами в различных
контекстах.
Новые элементы математической
3.10. Нахождение истинносттерминологии:ного значения (истинно/положительное рациональное числожно) простого утвержде- ло, отрицательное рациональноения с помощью примеров, число, противоположное число раконтрпримеров.
циональному числу, обратное число
ненулевому рациональному числу,равные множества, подмножество,объединение множеств, пересечение
множеств, разность множеств.
- выполнение действий над множествами (объединение,пересечение, разность);- решение задач, используя множества, действия надмножествами;- нахождение истинностного значения (истинно/ложно)простого утверждения с помощью примеров,контрпримеров;- обоснование и аргументирование полученных результатови примененных технологий.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к рациональным
числам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению рациональных чисел в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения рациональных чисел в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения рациональных чисел в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания рациональных чисел.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Устный ответ; Письменный ответ; Решённый пример; Решённая задача; Решённое тестовое задание; Составленная схема; Аргументация устная/письменная; Составленный план решения задачи; Проект "Применение рациональных чисел в профессиях
родителей"; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

25

4.1. Распознавание отношений,IV. Отношения и пропорции
пропорций, прямо пропорциональных и обратно про- • Отношения. Последовательности
порциональных величин вравных отношений
различных контекстах.
• Пропорции. Основное свойство
4.2. Распознавание и применепропорцииние терминологии и обо• Нахождение неизвестного члена
значений, соответствующих
пропорции
понятиям отношение,• Прямо пропорциональные
пропорция, процент, провеличины
порциональность, в раз• Обратно пропорциональные
личных контекстах, в томвеличины
числе при общении.
• Простое правило трёх4.3. Классифицирование
• Проценты. Нахождение процентов
событий, используяот числа
различные критерии.
• Нахождение числа по заданным
4.4. Изображение данных впроцентам
виде статистических таблиц • Нахождение процентного
и/или диаграмм в контекотношения. Задачисте их отбора, регистрации, • Элементы сбора и обработки
обработки и представледанных. Представление данных
ния, используя, в том числев виде таблиц и графиков.
отношения, проценты.
Столбчатые графики, круговые
4.5. Составление плана дляграфики
решения задачи из различ- • Среднее арифметическоеных областей на примене- • Элементы теории вероятностей.
ние отношений, процентов,События: достоверные,прямо пропорциональных
возможные, невозможные (навеличин или обратно пропростых примерах)порциональных величин,среднего арифметического,простого правила трёх ирешение задачи согласно
разработанному плану.
 Решение упражнений и задач на:- запись, чтение и распознавание отношений, пропорций,прямо пропорциональных или обратно пропорциональных
величин в различных ситуациях;- применение терминологии и обозначений,соответствующих понятиям отношение, пропорция,процент, пропорциональность, в различных контекстах, втом числе при общении;- нахождение отношений двух соразмерных величин, двухнесоразмерных величин и их применение при решении
задач;- решение простых задач, в том числе практического
характера с применением отношений, пропорций, прямо
пропорциональных и обратно пропорциональных величин,используя, в том числе простое правило трёх;- решение задач на нахождении концентрации раствора;- изображение данных в виде статистических таблиц
и/или диаграмм в контексте их регистрации, обработкии представления, используя рациональные числа, в томчисле отношения, проценты;- классификация событий, используя различные критерии;- обоснование и аргументирование полученных результатови использованных технологий.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к отношениям,пропорциям, процентам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению отношений, пропорций и процентов впрактической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения отношений, пропорций и процентов вразличных областях

26Новые элементы математической
терминологии:отношение, равные отношения,последовательность равных отношений, пропорция, прямо пропорциональные величины, обратно пропорциональные величины, простое
правило трёх, проценты, событие,достоверное событие, возможное
событие, невозможное событие,столбчатый график, круговой график, среднее арифметическое.

5.1. Распознавание в реальных
V. Геометрические фигуры и телаи/или смоделированных
ситуациях и классифици• Геометрические фигуры: точка,рование изученных геопрямая, плоскость, полуплоскость,метрических фигур и тел поотрезок, полупрямая/луч,различным критериям.
ломанная (представление путём
5.2. Распознавание и испольописания и чертежа)зование терминологии и• Длина отрезка. Конгруэнтные
символики, соответствуюотрезки. Построение отрезка,щих изученным геометриконгруэнтного данному. Середина
ческим фигурам в различотрезканых контекстах, в том числепри общении.

4.6. Обоснование простого результата или вывода, поддерживание собственных
идей и мнений, используя
аргументы.
4.7. Нахождение истинностного значения (истинно/ложно) простого утвержденияс помощью примеров иликонтрпримеров.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томчисле проектов STEM/STEAM в контексте применения
отношений, пропорций и процентов в реальных и/илисмоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания отношений, пропорций и процентов.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Устный ответ; Письменный ответ; Решённый пример; Решённая задача; Решённое тестовое задание; Составленная схема; Аргументация устная/письменная; Составленный план решения задачи; Проект "Отношения и пропорции в кулинарии"; Проект STEM "Отношения и пропорции в архитектуре иизобразительном искусстве"; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
 Решение упражнений и задач на:- распознавание, вербальное и письменное описание,используя соответствующие терминологию и символику
изученных геометрических фигур и тел;- изображение на плоскости изученных планиметрических
геометрических фигур и геометрических конфигураций,используя соответствующие чертёжные инструменты,инструменты ИКТ и применение полученных изображенийпри решении задач;- вычисление периметров, длин окружностей, площадей
(квадрата, прямоугольника, круга) и объёмов (куба,прямоугольного параллелепипеда), используя адекватные
единицы измерения;27

5.3. Описание заданной геоме- • Треугольник, четырехугольник (ква- - изготовление из различных материалов изученных
трической конфигурации,драт, прямоугольник, параллелогеометрических фигур и тел;используя соответствуюграмм, ромб, трапеция) (представ- - построение с помощью транспортира угла заданнойщие обозначения и термиление путем описания и чертежа).
величины, биссектрисы угла;нологию.
Периметр треугольника, четыреху- - построение с помощью линейки и циркуля биссектрисы
5.4. Применение чертёжных
гольника
угла, угла конгруэнтного данному;инструментов (линейка,• Многоугольник. Элементы  многоу- - построение с помощью линейки и чертёжного треугольника
циркуль, угольник, трансгольника (стороны, вершины, углы,параллельных, перпендикулярных прямых и серединного
портир) для изображения
диагонали), внутренняя область,перпендикуляра;на плоскости различных
внешняя область. Периметр много- - применение циркуля для построения окружностей вгеометрических конфигуугольника
различных конфигурациях;раций и отношений между • Площадь квадрата, прямоугольни- - применение свойств изученных геометрических фигур и телфигурами.
ка (без доказательства)в различных областях;5.5. Изготовление из различ• Углы. Градусная мера углов.
- анализирование и интерпретирование результатов,ных материалов изученных
Транспортир и его применение
полученных при решении практических задач спланиметрических фигур ипри измерении величин углов. Поиспользованием изученных геометрических фигур, тел игеометрических тел.
строение угла, заданной величины,единиц измерения;5.6. Нахождение и приближетранспортиром
- нахождение истинностного значения утверждения,ние величин длин, периме- • Действия с величинами углов
высказывания с помощью примеров, контрпримеров;тров, площадей, объёмов и(градусы, минуты, секунды)- обоснование и аргументирование заданного иливеличин углов (для изучен- • Классификация углов: острые
полученного математического результата с использованиемных геометрических фигур,углы, прямые углы, тупые углы,изученных геометрических фигур и тел, путем приведенияв том числе для реальных
смежные дополнительные до 90o,аргументов.
предметов), используя
смежные дополнительные до 180o,  Исследование конкретных случаев из реальных и/илирешётку квадратов, изученвертикальные углы, смежные углысмоделированных ситуаций, относящихся к изученнымные формулы, адекватные • Конгруэнтные углы. Построение
геометрическим фигурам и телам, и решение полученных
инструменты, национальциркулем и линейкой угла,задач.
ную и/или международную
конгруэнтного данному Выполнение практических работ, в том числе на местности
систему мер.
• Биссектриса угла. Построениепо применению изученных геометрических фигур и тел вбиссектрисы угла транспортиром
практической деятельности.

28

5.7. Применение добытых геометрических приобретений, используя различные
геометрические представления, для решения простых практических задач навычисление периметров,площадей и объёмов садекватным преобразованием, по необходимости,единиц измерения.
5.8. Обоснование простого
результата или вывода,поддержка собственных
идей и взглядов путём
приведения аргументов.
5.9. Нахождение истинностного значения (истинно/ложно)простого утвержденияс помощью примеров иликонтрпримеров.
• Пересекающиеся прямые, парал Реализация исследований/изысканий относительно
лельные и перпендикулярные пряприменения изученных геометрических фигур и тел вмыеразличных областях
• Серединный перпендикуляр.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вПостроение серединного
контексте применения изученных геометрических фигур иперпендикуляра транспортиром ител в реальных и/или смоделированных ситуациях.
чертежным треугольником Применение дидактических игр в процессе преподавания –• Кривая линия. Окружность. Круг.
учения – оценивания изученных геометрических фигур иЭлементы окружности (центр, рател.
диус, диаметр, хорда), внутренняя
область, внешняя область. Число . Рекомендуемые результаты/продукты:Длина окружности. Площадь круга  Исследуемый случай с практическим уклоном;(без доказательства) Устный ответ;• Куб, прямоугольный параллелепи-  Письменный ответ;пед (кубоид), пирамида, прямой Решённая задача;круговой цилиндр, прямой круго-  Решённый итем;вой конус. Развертка изученного Составленная схема;геометрического тела. Сфера, шар.  Рисунок;Элементы (грани, ребра, вершины,  Аргументация устная/письменная;основания, центр, радиус, диаметр,  Составленный план;образующая) Проект "Геометрические тела в архитектуре села/города";• Объём куба и кубоида (без Практическая работа "Измерение площади игровой/доказательств)спортивной площадки"; Лабораторная работа "Нахождение величины числа "; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

29Обозначения для геометрических
фигур: m(< В) – величина угла В,o– градус, ’ – минуты, ” – секунды,Þ – конгруэнтно.

Новые элементы математической
терминологии:параллелограмм, ромб, трапеция,угол, острые углы, прямые углы,тупые углы, смежные углы,oсмежные дополнительные до 90 ,oсмежные дополнительные до 180 ,вертикальные углы, биссектриса,серединный перпендикуляр,диагональ, транспортир, градусы,минуты, секунды, внутренняя
область, внешняя область,диаметр, хорда, число , длина
окружности, площадь, пирамида,прямой круговой цилиндр, прямой
круговой конус, сфера, шар,образующая.

30

•
•
•

•

•
•

•
•

•

•

•
•

•

•

•
•
•

•

В конце VI класса УЧЕНИК МОЖЕТ:распознавать, читать, писать, изображать на оси, сравнивать и упорядочивать натуральные числа, целые числа, рациональные числа в различных контекстах, в том числе при общении;определить, какому числовому множеству, какому множеству объектов принадлежит заданное число или объект;распознавать, читать, писать, изображать заданное различными способами множество;применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9,10, разложение на простые множители, простые и составные числа при решении задач, в том числе задач из повседневной жизни;применять терминологию, относящуюся к понятиям: натуральное число, целое число, рациональное число, отношение,пропорция, проценты, множество, кратное, делитель, признак делимости, изученным геометрическим элементам в различных контекстах;выполнять действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с натуральным показателем наизученных числовых множествах;применять свойства арифметических действий для оптимизации вычислений с различными числами;решать на изученных числовых множествах простые уравнения, используя свойства изученных арифметических операцийи алгоритм нахождения неизвестного компонента указанной операции;решать задачи изученными методами, задачи на нахождение дроби от числа, нахождение числа по заданной дроби, нахождение p% от числа, нахождение числа по заданным процентам, нахождение процентного отношения;исследовать задачи, проблемные ситуации, решения которых требуют применения арифметических операций, изученных методов, организации данных в виде таблиц и/или статистических диаграмм в контексте отбора, регистрации и обработки данных, используя рациональные числа, в том числе отношения, проценты;изображать на рисунке и изготавливать из различных материалов изученные планиметрические фигуры;находить периметры многоугольников, длин окружностей, площади (квадрата, прямоугольника, круга) и объёмы (куба,прямоугольного параллелепипеда), используя известные формулы, единицы измерения, принятые Международной системой и/или соответствующие национальным единицам измерения;применять меры углов: градусы, минуты, секунды;применить чертёжные инструменты для построения параллельных и перпендикулярных прямых, биссектрисы угла, серединного перпендикуляра, окружности в различных конфигурациях;применить транспортир при нахождении величин и построении углов, при построении биссектрисы угла; линейку и циркуль при построении угла конгруэнтного данному;применять терминологию и символы/обозначения изученных геометрических фигур и тел в различных контекстах;находить истинностное значение (истинно/ложно) простого утверждения с помощью примеров или контрпримеров;обосновывать вывод или математический результат, используя аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения.

31

1.1. Распознавание и использование терминологии,соответствующей понятию
действительное число вразличных контекстах, втом числе при общении.
1.2. Распознавание иклассифицирование поразличным критериям
элементов числовых
множеств N, Z, Q, I, R.
1.3. Сравнение, упорядочивание, изображение на числовой оси, представление
действительных чисел вразличных формах.
1.4. Извлечение квадратного
корня из неотрицательных
действительных чисел,используя различные
методы.
1.5. Раскрытие модуля любого
действительного числаи применение свойств
модуля в различных
контекстах.

Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности и еёрезультаты/продукты
I. Действительные числа Решение упражнений и задач на:- распознавание натуральных, целых, рациональных,• Множество рациональных чисел Q.
иррациональных, действительных чисел в различных
Отношения включения N ⊂ Z ⊂ Qконтекстах;• Десятичные числа. Периодические - сравнение, упорядочивание и изображение
десятичные числа
действительных чисел на оси;• Изображение рациональных чисел - запись действительных чисел в различных формах;на оси
- преобразование периодического десятичного числа в• Понятие квадратный корень изобыкновенную дробь и наоборот;неотрицательного рационального - раскрытие выражений с модулем, используя определение
числа. Извлечение квадратного
модуля;корня из неотрицательных
- выявление, какому числовому множеству, множеству
рациональных чисел, используя
объектов принадлежит заданное число, объект;калькулятор и/или приближения/ - использование терминологии и символики,округления
соответствующих понятию действительное число в• Понятие иррациональное число
различных контекстах, в том числе при общении;• Понятие действительное число
- применение порядка действий, скобок и свойств операций
• Множество действительныхпри вычислениях на множестве R.
чисел. Отношения включения
- вычисление с числами и применение в вычислениях
N ⊂Z ⊂Q⊂R
адекватных алгоритмов и свойств;• Действия над множествами N, Z,- перенос и экстраполирование решений некоторых задач
Q, R и над их подмножествамидля решения других задач, используя действительные
(объединение, пересечение,числа и множества;разность, декартово произведение - дополнение и составление последовательностей чисел по(двух конечных множеств))идентифицированным или заданным правилам;- аргументирование полученных результатов при решении
задач;

VII класс

32- применение изученных числовых множеств и ихподмножеств в различных областях;- внесение множителя под знак корня, вынесение
множителя из-под знака корня;- обоснование некоторого вывода, результата, полученногоили заданного, связанного с действительными числами,используя аргументы.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся кдействительным числам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению действительных чисел в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения действительных чисел в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения действительных чисел в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания действительных чисел.

Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённый пример; Решённая задача;Новые элементы математической Алгоритм;терминологии: Дидактическая игра "Домино";иррациональное число, действи Решённые софизмы (с числами);тельное число, периодическое деся-  Приведённый контрпример;тичное число, квадратный корень из  Проект "Альтернативные методы нахождения значения
неотрицательного числа, значение
квадратного корня из неотрицательного действительного
квадратного корня, подобные корни
числа";(слагаемые), внесение множи-теля Составленная Матрица ассоциаций;под знак корня, вынесение множите-  Понятийная карта, составленная к главе;ля из-под знака корня.
 Решённый суммативный тест.

( )1.6. Выполнение действий
• Модуль действительного числа.  
(сложение, вычитание,Свойства:2умножение, деление,a ≥ 0; a ≥ a; a = a 2 = a 2 ;возведение в степень сaaнатуральным показателем)ab = a b ;= , b ≠ 0.
bb
с действительными
числами, применяя их• Сложение, вычитание, умножение,свойства.
деление, возведение в степень с
1.7. Применение действительнатуральным показателем.
ных чисел и изученных
Свойства
числовых множеств в раз- • Свойства квадратного корня:личных реальных и/илиabab= = a a. b ,b ,a a≥ ≥0,0,b b≥ ≥0;0;смоделированных ситуаa
a
циях.
=
, a ≥ 0, b ≥ 0;bb1.8. Обоснование полученного/заданного результата
a2 = a ;или вывода, связанного с2
a = a, a ≥ 0.
действительными числами,посредством аргументов.
• Внесение множителя под знаккорня; вынесение множителя изпод знака корня
• Сравнение, упорядочивание и изображение на осидействительных чисел

33

2.1. Распознавание и примене- II. Алгебраические преобразованияние в различных контекстах
терминологии, относящей- • Действительные числа,ся к  алгебраическим препредставленные буквами
образованиям.
• Действия с действительными
2.2. Выполнение сложений,числами, представленными
вычитаний, умножений,буквами (сложение, вычитание,делений и возведений вумножение, деление, возведение
степень с натуральнымв степень с натуральным
показателем действительпоказателем)ных чисел, представленных • Формулы сокращенного
буквами в различных конумножения: a ( b ± c ) = ab + ac;текстах.
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd ;2.3. Распознавание в различ2ных ситуациях формул со( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2 ;кращённого умножения и( a − b ) ( a + b ) = a 2 − b2 .
применение этих формул
• Разложение алгебраическогодля оптимизации вычисвыражения на множители,лений.
используя вынесение общего
2.4. Нахождение числового
множителя, формулы сокращёнзначения алгебраического
ного умножения
выражения, используя алгебраические преобразоНовые элементы математической
вания.
терминологии:2.5. Разложение алгебраичедействительные числа, представского выражения на мноленные буквами; числовой коэффижители, используя формуциент, буквенная часть, подобныелы сокращённого умножеслагаемые, алгебраическое выражения и изученные методы.
ние, значение алгебраического выражения, формулы сокращённого умножения, квадрат суммы, квадрат
разности, разность квадратов,р������������������������������
азложение на множители��������
, тождественные преобразования.
 Решение упражнений и задач на:- распознавание и применение в различных контекстах
терминологии, относящейся к понятию действительное
число, представленное буквами;- нахождение числового значения алгебраического
выражения:- выполнение сложений, вычитаний, умножений, деленийи возведений в степень с натуральным показателем наддействительными числами, представленными буквами вразличных контекстах;- распознавание в различных ситуациях формул
сокращённого умножения;- применение формул сокращённого умножения дляоптимизации вычислений;- разложение алгебраического выражения на множители,используя метод вынесения общего множителя, метод
группировки и формулы сокращённого умножения:- отбор из множества собранных или заданных информацийи систематизация данных, необходимых для решения
задачи, связанной с алгебраическими преобразованиями, вразличных ситуациях;- обоснование и аргументирование полученных результатовпри выполнении действий с действительными числами,представленных буквами.
 Исследование конкретных случаев из различных областей,относящихся к алгебраическим преобразованиям, ирешение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения алгебраических преобразований в различных
областях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания алгебраических преобразований.

34

2.6. Анализирование решения задачи, проблемной
ситуации с применением
алгебраических преобразований в контексте
корректности результата/результатов.
2.7. Обоснование полученных
результатов при выполнении алгебраических преобразований, поддерживая
собственные идеи и мнения, используя аргументы.
3.1. Распознавание и испольIII. Функции
зование терминологии исимволики, соответствую- • Декартова система координат нащих понятию функция, вплоскости. Оси координат. Начало
различных контекстах.
системы координат, координатные
3.2. Определение функции причетверти, абсцисса, ордината
помощи синтетического,• Координаты точки. Нахождение
аналитического,точки в заданной системе коордиграфического способов.
нат по её заданным координатам.
3.3. Распознавание и привеНахождение координат точки, задение простых примеров
данной в системе координат. Расфункциональных завистояние между двумя точками насимостей из различных
плоскости
областей, в том числе из• Понятие функция. Область опредеокружающей действительления, область значений функции
ности.
(на простых примерах). Функции сконечными, бесконечными областями определения Решение упражнений и задач на:- изображение точки в декартовой системе координатна плоскости по заданным координатам и нахождение
координат заданной точки;- приведение примеров зависимостей, которые являются
функциями;- использование терминологии и символики,соответствующих понятию функция, в различных
контекстах, в том числе при общении;- запись, чтение, приведение примеров понятий функциональная зависимость, функция, закон зависимости,область определения (конечная, бесконечная), область
значений, множество значений, таблица значений, диаграмма, график;- задание функциональных зависимостей и/или функций
различными способами (аналитический, синтетический,графический);Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Дидактическая игра "Кто узнал формулу?"; Составленный план; Алгоритм; Приведенный контрпример; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

35

3.4. Представление функции
различными способами:аналитическим, таблицей,графиком, диаграммойи использование этихпредставлений прирешении задач.
3.5. Выведение свойств функции I степени (монотонность, знак функции, нульфункции) посредством
чтения графиков и/илиформул.
3.6. Применение изученных
свойств функций при решении задач, проблемных
ситуаций, при изучении
различных физических, химических, биологических,социальных, экономических процессов, смоделированных посредством
функций.
3.7. Применение прямой
пропорциональности вразличных областях, втом числе в практической
деятельности.
3.8. Обоснование простого
полученного/заданного
результата или вывода
относительно функций
посредством аргументов.
• Способы задания функции
- применение свойств изученных функций при решении
• Понятие график функции
задач, проблемных ситуаций, при изучении различных
• Функция I степени. Постоянная
физических, химических, биологических, социальных,функция. Графики. Свойства (моноэкономических процессов, смоделированных посредством
тонность, знак функции, нуль функфункций;ции, угловой коэффициент прямой) - применение прямой пропорциональности в различных
• Прямая пропорциональность.
областях, в том числе в практической деятельности;График. Свойства
- ассоциирование проблемы/проблемной ситуации сматематической моделью типа функция;Новые элементы математической
- обоснование полученного/заданного результата илитерминологии:вывода относительно функции посредством аргументов.
Декартова система координат на Исследование конкретных случаев из реальных и/илиплоскости, ось ординат, ось абсмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
сцисс, начало системы координат,функциям, и решение полученных задач.
координатные четверти, абсцисса,  Выполнение практических работ, в том числе на местности
ордината, координаты точек, функпо применению изученных функций в практической
циональные зависимости, функция,деятельности.
синтетический способ задания функ-  Реализация исследований/изысканий относительно
ции, аналитический способ задания
применения изученных функций в различных областях.
функции, независимая переменная, Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томобласть определения функции, обчисле проектов STEM/STEAM в контексте применения
ласть значений функции, таблица
изученных функций в реальных и/или смоделированных
значений, множество значений
ситуациях.
функции, графическое изображение,  Применение дидактических игр в процессе преподавания –закон соответствия, числовая функучения – оценивания изученных функций.
ция, функция I степени, постоянная
функция, прямая пропорциональРекомендуемые результаты/продукты:ность, график функции, монотон Исследуемый случай с практическим уклоном;ность, строго возрастающая функ-  Исследование "Используемое время на протяжении одной
ция, строго убывающая функция,недели для выполнения домашних заданий";знак функции, нуль функции, угловой  Решённый пример;коэффициент прямой.
 Решённая задача; Проект STEM "Функции в физике";36

 Проект "Прямая пропорциональность в жизни"; Алгоритм; Составленная модель функции; Изображенный график функции; Составленная диаграмма; Аргументация устная/письменная; Составленная Матрица ассоциаций, Понятийная карта, составленная к главе; Проект STEM "Изменение метеохарактеристик напротяжении трех месяцев в родном селе/городе"; Решённый суммативный тест.
4.1. Распознавание и испольIV. Уравнения. Неравенства Решение упражнений и задач на:зование терминологии,• Понятие уравнение с одним
- решение уравнений и неравенств I степени с одним
соответствующей понятиям
неизвестным. Решение  неизвестным и приводимых к ним;уравнение и неравенство,уравнения. Множество решений
- выполнение равносильных преобразований для полученияв различных контекстах.
уравнения
уравнений, неравенств, равно-сильных данным;4.2. Применение свойств
• Равносильные уравнения.
- перевод задачи, проблемной ситуации на язык уравнений
отношений равенства,Равносильные преобразования
и/или неравенств, решение полученной задачи инеравенства при• Уравнения I степени с одним
интерпретирование результата;выполнении равносильных
неизвестным (ax + b = 0,
- применение свойств функций при решении уравнений,преобразований.
a, b R, a ≠ 0) и приводимые
неравенств;4.3. Решение уравнений Iк ним. Множество решений
- составление и решение простых задач по заданной модели:степени, неравенств Iуравнения I степени,уравнение, неравенство;степени и приводимых
существование, единственность
- нахождение объединений и пересечений числовыхк ним, используя
решения
промежутков и изображение на числовой оси полученных
равносильные
• Решение задач, в том числе срезультатов;преобразования.
практическим уклоном с помощью - перевод текстовых задач на математический язык в
4.4. Анализирование решения
уравнений
контексте решения уравнений, неравенств I степени суравнения, неравенства в • Числовые неравенства. Свойства
одним неизвестным или приводимых к ним;контексте корректности,• Понятие числовой промежуток.
- обоснование полученного/заданного результата илипростоты, четкости иИзображение числовых
вывода относительно числовых неравенств, уравнений,значимости полученных
промежутков на оси. Операции
неравенств посредством приведения аргументов,результатов.
с числовыми промежутками
примеров, контрпримеров.
(объединение, пересечение)37

4.5. Нахождение объединений • Понятие неравенство с одними пересечений числовых
неизвестным. Равносильные
промежутков и изображенеравенствание полученных результа- • Неравенства I степени типа:тов на числовой оси.
ax + b < 0; ax + b ≤ 0; ax + b > 0;
4.6. Перевод задачи, проблемax + b ≥ 0, a ≠ 0, a, b R иной ситуации на язык уравприводимые к ним. Множество
нений и/или неравенств,решений неравенства I степени ирешение полученной заего изображение на числовой осидачи и интерпретирование
результата.
Новые элементы математической
4.7. Составление и решение
терминологии:простых задач по заданной уравнение I степени с одним неизмодели: уравнение,вестным, множество решений
неравенство.
уравнения, равносильные уравне4.8. Обоснование полученного ния, равносильные преобразования,и/или заданного результата числовой промежуток, областьили вывода относительно допустимых значений (ОДЗ)числовых неравенств,уравнения.
уравнений, неравенств
посредством приведения
аргументов, примеров,контрпримеров.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Разработанный план; Проект "Примеры применения уравнений I степени содним неизвестным в различных областях"; Составленная Матрица ассоциаций, Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
уравнениям и неравенствам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению изученных уравнений и неравенств впрактической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения изученных уравнений и неравенств вразличных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения изученных уравнений и неравенствв реальных и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания изученных уравнений и неравенств.

38

5.1. Распознавание и применеV. Геометрические понятия.
ние в различных контекстах
Повторение и дополнения
терминологии и обозначений, относящихся к из• Элементы математической логиученным геометрическим
ки. Понятие высказывание. Общие
понятиям.
и частные высказывания (на про5.2. Классифицирование
стых примерах). Отрицание выизученных геометрических
сказывания (на простых примерах).
фигур по различным
Истинностное значение (истинно/критериям.
ложно) высказывания. Простые
5.3. Изображение на плоскости
примеры на использование логиизученных геометрических
ческих операторов "и", "или", "не",фигур, используя
"если-то", терминов "не менее",чертёжные инструменты, и"не более", "некоторые", "все",применение полученных
"для любого", "существует"изображений при решении • Основные геометрические
задач.
понятия (точка, прямая, плоскость,5.4. Применение свойств
расстояние между двумя точками,изученных геометрических
мера угла)фигур в различных
• Прямая. Коллинеарные точки.
областях.
Полупрямая. Отрезок
5.5. Перевод проблемы, про• Углы. Определение, обозначения,блемной ситуации наэлементы. Классификация углов:геометрический язык,острые углы, прямые углы, тупые
решение полученной зауглы, смежные углы, смежныеoдачи и интерпретирование
дополнительные до 90 , смежныеoрезультата.
дополнительные до 180 ,5.6. Подбирание геометричевертикальные углы. Величина угла.
ских изображений, адекВычисления с величинами углов
ватных для оптимизации
(градусы, минуты, секунды)процесса нахождения длинотрезков, величин углов.
 Решение упражнений и задач на:- применение изученных элементов математической логики;- распознавание и применение терминологии, относящейсяк изученным элементам математической логики;- классифицирование и сравнение изученных
геометрических фигур;- изображение на плоскости изученных геометрических
фигур, используя чертёжные инструменты, компьютер, иприменение полученных изображений при решении задач;- применение свойств изученных геометри-ческих фигур вразличных областях;- составление и решение простых задач по заданной
геометрической модели;- анализирование и интерпретирование результатов,полученных при решении практической задачи, сприменением изученных геометрических фигур исоответствующих единиц измерения;- построение простых цепочек дедуктивных суждений,решение простых задач на доказательство;- нахождение истинностного значения ут-верждения,высказывания, в том числе с помощью примеров,контрпримеров, доказательств.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
геометрическим фигурам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению изученных геометрических фигур впрактической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения изученных геометрических фигур в различных
областях.

39

5.7. Отбор из множества собранных или заданных информаций и систематизация данных, необходимыхдля решения геометрической задачи в реальных
и/или смоделированных
ситуациях, решение полученной/заданной задачи.
5.8. Применение изученных
геометрических преобразований (симметрия относительно точки, симметрия
относительно прямой)для идентифицирования иописания процессов, феноменов.
5.9. Обоснование полученного
и/или заданного результата/вывода относительно
изученных геометрических
фигур посредством приведения аргументов, примеров, контрпримеров.
• Математические высказывания.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томПонятия определение, аксиома,числе проектов STEM/STEAM в контексте применения
теорема, условие, заключение, доизученных геометрических фигур в реальных и/иликазательство, следствие
смоделированных ситуациях.
• Теорема, обратная теорема. При Применение дидактических игр в процессе преподавания –мер, контрпример
учения – оценивания изученных геометрических фигур.
• Метод от противного
• Параллельные прямые. Признак и Рекомендуемые результаты/продукты:параллельности Исследуемый случай с практическим уклоном;• Перпендикулярные прямые.
 Решённая задача;Расстояние от точки до прямой Составленный рисунок;• Симметрия относительно точки, Аргументация устная/письменная;симметрия относительно прямой.  Практическая работа на местности "Измерение длинСвойства
отрезков и величин углов"; Составленная Матрица ассоциаций;Новые элементы математической Проект STEАM "Симметрия в искусстве";терминологии: Проект STEM "Симметрия в природе";высказывание, частное высказы-ва-  Понятийная карта, составленная к главе;ние, общее высказывание, отрица Решённый суммативный тест.
ние высказывания, логичес-кие операторы "и", "или", "не", "если-то",термины "для любого", "существует", опреде-ление, аксиома, теорема, критерий, условие, заключение,доказательство, следствие, обратная теорема, внутренние односторонние углы, внутренние накрест
лежащие углы, внешние односторонние углы, внешние накрест лежащие углы, соответственные углы,аксиома Евклида, биссектриса, серединный перпендикуляр, симметрия
относительно точки, центр симметрии, симметрия относительно
прямой, ось симметрии.

40

6.1. Распознавание конгруVI. Конгруэнтные треугольники Решение упражнений и задач на:энтных треугольников и- распознавание конгруэнтных отрезков, углов,признаков конгруэнтности • Треугольник. Определение,треугольников в реальных и/или смоделированных
треугольников в различных
элементы, классификация
геометрических конфигурациях;контекстах.
треугольников
- выявление отношения конгруэнтности между двумя
6.2. Изображение на рисунках • Отношение конгруэнтности.
треугольниками, используя признаки конгруэнтностии изготовление изКонгруэнтные отрезки.
треугольников;различных материалов
Конгруэнтные углы- применение признаков конгруэнтности треугольников,изученных геометрических • Конгруэнтные треугольники.
метода конгруэнтных треугольников при решении задач;фигур и отношений.
Признаки конгруэнтности
- обоснованиеполученного или заданного результата
6.3. Перевод задач, проблемтреугольниковили вывода в контексте конгруэнтности треугольниковных ситуаций на геометри- • Построение (циркулем и линейкой)путём приведения аргументов, доказательств, примеров,ческий язык и решение
треугольников по признакам СУС,контрпримеров;полученных задач.
УСУ, ССС
- решение простых задач на доказательство, на построение
6.4. Составление плана для• Неравенства в треугольнике
простых цепочек дедуктивных суждений;решения задачи на при• Признаки конгруэнтности для- нахождение истинностного значения утверждения,менение метода конгруэнтпрямоугольных треугольников
высказывания;ных треугольников, свойств(с доказательством)- составление и решение простых задач по заданной
треугольников в различных • Метод конгруэнтных треугольгеометрической модели.
контекстах и решение заников Исследование конкретных случаев из реальных и/илидачи согласно разработан- • Биссектриса угла. Свойство биссексмоделированных ситуаций, относящихся к треугольникам
ному плану.
трисы (с доказательством). Построи конгруэнтности треугольников, и решение полученных
6.5. Применение признаков
ение биссектрисы угла циркулем изадач.
конгруэнтности треугольнилинейкой Выполнение практических работ, в том числе наков при решении задач.
• Серединный перпендикуляр. Свойместности по применению конгруэнтных треугольников в
6.6. Анализирование иство серединного перпендикуляра
практической деятельности.
интерпретирование(с доказательством). Построение Реализация исследований/изысканий относительно
результатов, полученных
серединного перпендикуляра цирприменения треугольников и конгруэнтных треугольников впри решении практических
кулем и линейкой
различных областях.
задач на применение
• Замечательные линии треуголь Реализация индивидуальных/групповых проектов визученных геометрических
ника. Медиана треугольника.
контексте применения треугольников в реальных и/илифигур и соответствующих
Биссектриса треугольника. Высота
смоделированных ситуациях.
единиц измерения.
треугольника. Медиатриса треугольника. Свойства

41

6.7. Обоснование полученного/заданного результатаили вывода относительно  треугольников путём приведения аргументов, доказательств.
6.8. Построение простых
цепочек дедуктивных
суждений.
6.9. Нахождение
истинностного
значения утверждения,высказывания, в том числес помощью примеров,контрпримеров.
Новые элементы математической
терминологии:отношение конгруэнтности,конгруэнтные треугольники,признаки конгруэнтности
треугольников СУС, УСУ, ССС,прямоугольный треугольник,катет, гипотенуза, внешний
угол, замечательные линиив треугольнике, медиана
треугольника, биссектриса треугольника, высота треугольника,медиатриса треугольника, средняя
линия треугольника.

• Сумма углов треугольника. Теорема  Применение дидактических игр в процессе преподавания –о внешнем угле треугольника (с доучения – оценивания треугольников.
казательством)• Свойства равнобедренного
Рекомендуемые результаты/продукты:треугольника (с доказательством)  Исследуемый случай с практическим уклоном;• Свойства равностороннего Решённая задача;треугольника (с доказательством)  Составленный план;• Средняя линия треугольника.
 Рисунок;Свойства (с доказательством) Аргументация устная/письменная;• Прямоугольный треугольник.
 Доказательства;Свойства прямоугольного треу Практическая работа "Измерение расстояний догольника (длина медианы, провенедоступных точек, измерение высоты объекта";дённой к гипотенузе; прямоу Составленная Матрица ассоциаций;oгольный треугольник с углом в 30 )  Понятийная карта, составленная к главе;(с доказательством) Решённый суммативный тест.

42Точка – A,B,C, ...;
Прямая – a,b,c,... или AB, CD, MN,...;
Плоскость –  ,  ,  ,... или (ABC), или (A,a), или (AB,C);Полуплоскость – [a,C, (a,C;Полупрямая – [AB, (AB;Отрезок – [AB], (AB), [AB), (AB];Длина отрезка – AB;Угол – < ABC;Величина угла – m(<ABC);Треугольник – ABC;
Дуга окружности – »AB или »ALB;Длина дуги окружности – l»AB;Величина дуги окружности – m(»AB);Окружность – C(O;r) или C(A;AB);Круг – D(O;r);Периметр – PABC; PABCD;
Полупериметр – p;Площадь – AABC; AABCD; Al; Ab; At;Объём – V;Высота – ha,   h[ AB] , h – для планиметрических фигур, Н – для геометрических тел;Mедиана – ma или m[ AB] ;Биссектриса – ba sau b[ AB] ;Медиатриса – µa или µ[ AB] .

Приложение.
Рекомендованные обозначения и символы геометрических фигур

43

В конце VII класса УЧЕНИК МОЖЕТ:• распознавать, читать, писать, изображать на оси, сравнивать и упорядочивать натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные, действительные числа в различных контекстах;• выполнять в различных реальных и/или смоделированных ситуациях изученные действия над действительными числами
(сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с натуральным показателем, извлечение квадратного
корня);• применять изученные свойства модуля действительного числа в различных контекстах для выполнения требуемых вычислений;• использовать изученные свойства квадратного корня в различных контекстах;• применять формулы сокращённого умножения для оптимизации алгебраических преобразований;• распознавать в различных контекстах функцию и ее элементы;• задать графически, аналитически функцию I степени;• приводить примеры функций I степени из различных областей, в том числе из повседневной жизни;• решать простые задачи из повседневной жизни, используя уравнения/неравенства I степени с одним неизвестным;• распознавать и применять изученные элементы математической логики в различных контекстах;• распознавать в различных конфигурациях основные геометрические понятия;• выделить пары конгруэнтных треугольников в различных ситуациях;• применять метод конгруэнтных треугольников при решении задач;• применять изученные свойства треугольников, в том числе свойства прямоугольного треугольника при решении задач изразличных областей;• изображать на рисунке, используя чертёжные инструменты и инструменты ИКТ, и изготавливать из различных материалов
изученные геометрические фигуры;• находить периметр треугольника, его среднюю линию, используя изученные свойства/формулы;• применять чертёжные инструменты для построения параллельных и перпендикулярных прямых, углов, биссектрисы угла,серединного перпендикуляра, медианы, медиатрисы треугольника;• распознавать в окружающей действительности фигуры, симметричные относительно точки, относительно прямой;• распознавать и применять терминологию и обозначения относящиеся к понятиям: натуральное число, целое число, рациональное число, иррациональное число, действительное число, уравнение, неравенство, алгебраические преобразования, функция и изученным геометрическим понятиям в различных контекстах;• находить истинностное значение (истинно/ложно) простого утверждения, высказывания с помощью примеров, контрпримеров;• обосновывать результат, используя аргументы, доказательства, поддерживая собственные идеи и мнения.

44Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности и еёрезультаты/продукты
1.1. Распознавание и
I. Действительные числа.
 Решение упражнений и задач на:использование терминолоПовторение и дополнения
- распознавание в различных контекстах натуральных, целых,гии, соответствующей
рациональных, иррациональных, действительных чисел,понятию действительное • Множество действительных чисел.
степеней, корней и их свойств;число, в реальных и/илиМодуль действительного числа.
- использование терминологии, соответствующей
смоделированных
Свойства:понятию действительное число, в реальных и/илиситуациях.
смоделированных ситуациях, в том числе при общении;a ≥ 0;
1.2. Распознавание в Различ- упорядочивание, сравнение и изображение на осиa ≥ a;
ных ситуациях и приведедействительных чисел;2
ние примеров применения
запись действительных чисел в различных формах;a = a2 ;действительных чисел,- выявление, какому числовому множеству, множеству
ab = a b ;степеней, квадратных коробъектов принадлежит заданное число, объект;ней и их свойств.
вычисление с действительными числами и применение вaa= , b ≠ 0.
1.3. Сравнение, упорядочивавычислениях изученных алгоритмов и свойств;bb
ние и изображение на чис- выполнение приближений и округлений при вычислениях словой оси действительных • Действия над действительными
числами, величинами;чисел.
числами
- выявление преимуществ применения свойств действий с
1.4. Применение модуля
• Степени с натуральным показатедействительными числами;действительного числа и
лем. Свойства (с доказательством) - решение задач и проблемных ситуаций, используяего свойства в различных
• Степени с целым показателем.
действительные числа и операции над ними;контекстах.
Свойства
- обоснование и аргументирование полученных результатов
1.5. Выбирание формы записи • Квадратный корень. Извлечениеи использованных вычислительных технологий;действительного числа иквадратного корня. Нахождение
- формирование привычки проверять, если задача
применение алгоритмов
приближенного значения
полностью решена или нет, исследуя истинностноедля оптимизации вычисквадратного корня, используя
значение полученного результата;лений с действительными
округления
- нахождение истинностного значения утверждения,числами.
• Свойства квадратного корня
высказывания о действительных числах, в том числе спомощью примеров, контрпримеров.

VIII класс

45

1.6. Применение действитель- • Внесение множителя под знакных чисел для выполнения
корня. Вынесение множителя извычислений в различныхпод знака корня
контекстах, применяя свойства изученных операций
Новые элементы математическойи учитывая значимость
терминологии:скобок.
степень с целым показателем,1.7. Классифицирование поправила вычисления степеней сразличным критериям
целым показателем.
элементов числовых
множеств N, Z, Q, R.
1.8. Нахождение истинностного значения утверждения,высказывания о действительных числах, в том числе с помощью примеров,контрпримеров.
1.9. Обоснование полученного/заданного результатаили вывода, связанного сдействительными числами,посредством аргументов,доказательств.
2.1. Распознавание и примене- I. Алгебраические преобразованияние в различных контекстах
терминологии, относящей- • Действительные числа,ся к алгебраическим препредставленные буквами
образованиям.
• Действия с действительными
числами, представленными
буквами
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Приведенный контрпример; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
 Решение упражнений и задач на:- распознавание и применение в различных контекстах
терминологии, относящейся к алгебраическим
преобразованиям;- составление и решение задач на применение букв вместо
чисел;- выполнение в различных контекстах сложений,вычитаний, умножений, делений и возведений в степень снатуральным показателем над действительными числами,представленными буквами; Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных  ситуаций, относящихся кдействительным числам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению действительных чисел в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения действительных чисел в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения действительных чисел в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания действительных чисел.

46

2.2. Выполнение сложений,• Формулы сокращенного
вычитаний, умножений,умножения:2делений и возведений в( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2 ;степень с натуральным
( a − b ) ( a + b ) = a 2 − b2 ;показателем действитель3ных чисел, представленных
( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 ;буквами.
a 3 ± b3 = ( a ± b ) ( a 2  ab + b 2 )2.3. Распознавание в  различных ситуациях формул со- • Методы разложения
кращенного умножения иалгебраического выражения наприменение этих формул
множители:для оптимизации вычис- разложение на множители,лений.
используя общий множитель;2.4. Разложение алгебраиче- разложение на множители,ского выражения на мноиспользуя метод группировки;жители, используя адекват- разложение на множители,ный метод.
используя формулы
2.5. Анализирование решесокращенного умноженияния задачи, проблемной
• Тождественные преобразования
ситуации с применением
алгебраических выражений
алгебраических преобразований в контексте коррект- Новые элементы математической
ности, простоты, чёткости терминологии:и значимости полученных куб суммы, куб разности, сумма
результатов.
кубов, разность кубов.
2.6. Нахождение истинностного значения утверждения,высказывания об алгебраических преобразованиях,в том числе с помощью
примеров, контрпримеров,доказательств.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Приведённый контрпример; Составленная матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

- распознавание в различных ситуациях формул
сокращенного умножения и их применение дляоптимизации вычислений;- разложение алгебраического выражения на множители,используя, в том числе формулы сокращённого умножения:- преобразование алгебраических выражений, используя
изученные элементы алгебраических преобразований;- нахождение истинностного значения утверждения,высказывания об алгебраических преобразованиях,в том числе с помощью примеров, контрпримеров,доказательств.
 Исследование конкретных случаев из различных областей,относящихся к алгебраическим преобразованиям, ирешение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения алгебраических преобразований в различных
областях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания алгебраических преобразований.

47

3.1. Распознавание в разIII. Последовательности. Функции
личных ситуациях и применение в различных
• Понятие числовая
контекстах терминологии ипоследовательность
обозначений, относящихся • Способы заданияк понятиям последовапоследовательности
тельность, функция.
• Классификация
3.2. Классифицирование попоследовательностей (конечные,  следовательностей, функбесконечные, монотонныеций по различным критепоследовательности)риям.
• Понятие функция.
3.3. Распознавание и описаФункциональные зависимости.
ние последовательностей,Способы задания функции
функциональных зависимо- • График функции
стей в реальных и/или смо- • Функция I степени. Свойства (нульделированных ситуациях.
функции, знак, монотонность).
3.4. Представление различУгловой коэффициент прямой
ными способами (анали• Постоянная функция
тическим, синтетическим, • Прямая пропорциональность
графическим) соответствий • Функция видамежду множествами и/илиkf : R∗ → R∗ , f ( x ) = , k ∈ R∗
функций с целью их опиxсания.
Свойства функции (знак,3.5. Экстраполирование измонотонность)ученных функций и их
• Функция. f : R+ → R+ , f ( x ) = x .
свойств для решения заСвойства функции (нуль, знак,дач, проблемных ситуаций
монотонность)из различных областей.
3.6. Выведение свойств изученной функции (нули,знак, монотонность) посредством чтения графиков
и/или формул.
 Решение упражнений и задач на:- применение заданных правил для составления
последовательностей;- приведение примеров функциональных зависимостей,функций;- распознавание и применение в различных контекстах, втом числе при общении терминологии и обозначений,относящихся к понятиям последовательность, функция;- запись, чтение, приведение примеров понятий:последовательность, функциональная зависимость,функция, закон зависимости, область определения
(конечная, бесконечная), область значений, множество
значений, таблица значений, диаграмма, график;- представление отношений между множествами
и/или функций различными способами (аналитическим,синтетическим, графическим);- чтение графиков/формул и выведение свойств функции;- применение свойств функций при решении задач;- применение изученных последовательностей и функцийпри решении задач, проблемных ситуаций из различных
областей, в том числе при изучении и разъяснении
различных физических, химических, биологических,экономических, исторических, социальных, процессов;- обоснование полученного или заданного математического
результата или вывода в контексте изучения
последовательностей, функций путём приведения
аргументов, доказательств;- нахождение истинностного значения утверждения,высказывания с помощью доказательств, примеров,контрпримеров.

48Рекомендуемые результаты/продукты: Исследование "Измерение температуры воздуха напротяжении одной недели"; Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; График функции; Проект STEM "Функции в спорте"; Проект "Функции в физике"; Составленная диаграмма; Аргументация устная/письменная; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

3.7. Применение изученных
Новые элементы математической Исследование конкретных случаев из реальных и/илифункций и последователь- терминологии:смоделированных ситуаций, относящихся к изученным
ностей при решении задач, числовая последовательность, копоследовательностям и функциям, и решение полученных
проблемных ситуаций, при нечная, бесконечная, монотонная позадач.
изучении и описании раз- следовательность, формула общего  Выполнение практических работ, в том числе на местности
личных физических, хичлена последовательности, строгопо применению изученных последовательностей и функций
мических, биологических, возрастающая числовая последовав практической деятельности.
экономических, социальтельность, возрастающая числовая  Реализация исследований/изысканий относительноных процессов в области
последовательность, строго убыприменения изученных последовательностей функций впредпринимательства.
вающая числовая последовательразличных областях.
3.8. Нахождение истинностно- ность, убывающая числовая последо-  Реализация индивидуальных/групповых проектов вго значения утверждения, вательность, постоянная числовая
контексте применения изученных последовательностей ивысказывания в контексте последовательность, уравнение
функций в реальных
изучения последовательно- графика функции, обратная пропори/или смоделированных ситуациях.
стей, функций с помощью циональность, гипербола, функция Применение дидактических игр в процессе преподавания –примеров, контрпримеров, радикал (квадратный корень).
учения – оценивания изученных последовательностей идоказательств.
функций.

49

4.1. Распознавание в различIV. Уравнения. Неравенства.
ных ситуациях и применеСистемыние в различных контекстах
терминологии и обозна• Понятие уравнение I степени счений, соответствующих
одним неизвестным. Повторение
понятиям уравнение, нераи дополнения
венство, система.
• Понятие уравнение I степени
4.2. Оценивание и анализирос двумя неизвестными.
вание решения уравнения,Геометрическое изображение
неравенства, системы вуравнения I степени с двумя
контексте корректности,неизвестными. Угловой
простоты, чёткости и значикоэффициент прямой
мости полученных резуль- • Понятие система двух уравнений
татов.
I степени с двумя неизвестными.
4.3. Решение изученных типов
Равносильные преобразования
уравнений, неравенств,• Методы решения систем двухсистем в различных
уравнений I степени с двумя
контекстах.
неизвестными (метод приведения,4.4. Перевод задачи, проблемметод подстановки, графическийной ситуации на язык уравметод)нений, неравенств и/или• Методы решения систем двухсистем, решение полученуравнений I степени с двумяной задачи и интерпретинеизвестными
рование результата.
• Числовые неравенства. Свойства
4.5. Получение уравнений,• Числовые промежутки. Операции
неравенств, систем,(объединение, пересечение)применяя равносильные
• Понятие неравенство I степени спреобразования, решение
одним неизвестным
полученных уравнений,• Решение неравенств I степени снеравенств, систем.
одним неизвестным.
• Понятие система неравенств Iстепени с одним неизвестным Решение упражнений и задач на:- распознавание в различных ситуациях и применениев различных контекстах терминологии и обозначений,соответствующих понятиям уравнение, неравенство,система.
- решение линейных уравнений с одним неизвестным,неравенств с одним неизвестным, систем уравнений инеравенств в различных контекстах;- графическое изображение решений уравнений I степени содним неизвестным и с двумя неизвестными;- выполнение равносильных преобразований для получения
уравнений, неравенств, систем, равносильных данным;- решение систем двух уравнений I степени с двумя
неизвестными различными методами: метод приведения,метод подстановки, графический метод;- перевод задачи, проблемной ситуации на язык уравнений,неравенств и/или систем, решение полученной задачи иинтерпретирование результата;- составление и решение простых задач по заданной модели:уравнение, неравенство, система;- нахождение объединений и пересечений числовых
промежутков и изображение полученных результатов начисловой оси;- обоснование полученного или заданного результата иливывода относительно уравнений, неравенств, систем
путём приведения аргументов, доказательств, примеров,контрпримеров;- использование изученных типов уравнений, неравенств,систем для решения задач из различных областей;- применение свойств изученных функций при решении
уравнений, неравенств, систем.

50

4.6. Составление и решение
• Решение систем неравенств I Исследование конкретных случаев из реальных и/илипростых задач по заданной
степени с одним неизвестным.
смоделированных ситуаций, относящихся к изученным
модели: уравнение,уравнениям, неравенствам и системам, и решение
неравенство, система.
Новые элементы математической
полученных задач.
4.7. Применение свойств
терминологии: Выполнение практических работ, в том числе на местности
функций при решении
уравнение с двумя неизвестными, репо применению изученных уравнений, неравенств и систем
уравнений, неравенств,шение уравнения с двумя неизвеств практической деятельности.
систем.
ными, область допустимых значе Реализация исследований/изысканий относительно
4.8. Использование изученных ний уравнения с двумя неизвестныприменения изученных уравнений, неравенств и систем втипов уравнений, нерами, график уравнения, прямая решеразличных областях.
венств, систем для решений уравнения, система двух уравне-  Реализация индивидуальных/групповых проектов вния задач из различныхний с двумя неизвестными, решение
контексте применения изученных уравнений, неравенств иобластей: физика, химия,системы двух уравнений с двумя
систем в реальных
экономика и др.
неизвестными, множество решений
и/или смоделированных ситуациях.
4.9. Обоснование полученного/ системы уравнений, равносильные Применение дидактических игр в процессе преподавания –заданного результата илисистемы, метод приведения, метод
учения – оценивания изученных уравнений, неравенств ивывода относительно
подстановки, графический метод,систем.
уравнений, неравенств,система неравенств I степени с одсистем путём приведения ним неизвестным, множество реше- Рекомендуемые результаты/продукты:аргументов, доказательств, ний системы неравенств I степени с  Исследуемый случай с практическим уклоном;примеров, контрпримеров. одним неизвестным.
 Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Изображенные графики для систем уравнений; Проект "Примеры применения уравнений, неравенств,систем в различных областях"; Составленная Матрица ассоциаций, Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

51

5.1. Распознавание в различV. Уравнения II степениных ситуациях и применение в различных контекстах • Понятие уравнение II степени стерминологии и обозначеодним неизвестным
ний, соответствующих по- • Решение уравнений II степени снятию уравнение II степеодним неизвестным:ни с одним неизвестным. - Решение уравнений вида5.2. Оценивание и анализиax 2 + c = 0, a ≠ 0, a , c ∈ R ;рование решения уравне- - Решение уравнений видания II степени в контексте
ax 2 + bx = 0, a ≠ 0, a , b ∈ R ;корректности, простоты,• Решение уравнений видачёткости и значимости поa ( x + m ) ( x + n ) = 0, a ∈ R∗
лученных результатов.
• Формула решения уравнений II
5.3. Перевод задачи, простепени с одним неизвестным:блемной ситуации на язык - Формула решения уравнений IIуравнений II степени сстепени, общий случай;одним неизвестным или- Формула решения приведён-ныхприведенным к ним, реуравнений II степени
шение полученной задачи • Отношения между решениями ии интерпретирование рекоэффициентами: теорема Виета;зультата.
обратная теорема теореме Виета
5.4. Классифицирование по• Разложение выражений видаразличным критериям
ax 2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Rуравнений II степени.
на множители
5.5. Решение уравнений II• Решение задач с применением
степени в различных
уравнений II степени.
контекстах, применяя
рациональный метод.
5.6. Применение отношений
Виета для решения исоставления уравнений IIстепени.
 Решение упражнений и задач на:- распознавание в различных ситуациях и применениев различных контекстах терминологии и обозначений,соответствующих понятию уравнение II степени с одним
неизвестным;- распознавание в различных контекстах компонентов
уравнений II степени с одним неизвестным;- классифицирование уравнений II степени по различным
критериям;- распознавание и решение различных типов уравнений
II степени с одним неизвестным и приводимых к ним вреальных и/или смоделированных контекстах;- разложение выражений вида ax 2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Rна множители и использование таких разложений прирешении задач;- перевод задачи, проблемной ситуации на язык уравнений
II степени с одним неизвестным или приведенным кним, решение полученной задачи и интерпретирование
результата;- применение уравнений II степени с одним неизвестнымпри изучении других школьных предметов;- решение и составление уравнений II степени с одним
неизвестным, используя теорему Виета и/или обратную
теорему тереме Виета;- нахождение истинностного значения и/или обоснование
полученного или заданного результата или вывода относительно уравнений путём приведения аргументов,доказательств, примеров, контрпримеров.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к уравнениям
II степени с одним неизвестным, и решение полученных
задач.

52Новые элементы математической Выполнение практических работ, в том числе на местности
терминологии:по применению уравнений II степени в практической
уравнение II степени с одним
деятельности.
неизвестным, коэффициенты Реализация исследований/изысканий относительно
уравнения, неполное уравнение IIприменения уравнений II степени в различных областях.
степени, приведённое уравнение II
 Реализация индивидуальных/групповых проектов встепени, дискриминант уравнения
контексте применения уравнений II степени в реальных и/
II степени с одним неизвестным,или смоделированных ситуациях.
дельта, формула решений уравнения  Применение дидактических игр в процессе преподавания –II степени с одним неизвестным,учения – оценивания уравнений II степени.
соотношения Виета.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Проект "Применение уравнений II степени в различных
областях"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
6.1. Распознавание и применеVI. Геометрические фигуры на Решение упражнений и задач на:ние в различных ситуациях плоскости. Повторение и дополнения - распознавание и применение в различных ситуациях
изученных элементов матеизученных элементов математической логики;матической логики.
• Элементы математической логики: - распознавание в различных контекстах, вербальное и
6.2. Распознавание в различутверждение, высказывание (прописьменное описание изученных геометрических понятий,ных контекстах и применестое, составное), определение,используя терминологию и соответствующие обозначения;ние в различных ситуациях
аксиома, теорема, следствие,- классифицирование и сравнение изученных
терминологии и обознаобратная теорема, условие (чтогеометрических фигур;чений, относящихся к издано), заключение (что нужно до- - изображение на плоскости изученных геометрических
ученным геометрическим
казать), доказательство, истинфигур, используя инструменты ИКТ, чертёжные
понятиям.
ностное значение, контрпример
инструменты, и применение полученных изображений прирешении задач;5.7. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода относительно
уравнений путём приведения аргументов, доказательств.

53

6.3. Распознавание в различ• Треугольники. Элементы.
- анализирование и интерпретирование результатов,ных контекстах, вербальКлассификация треугольников.
полученных при решении практической задачи сное и письменное описаЗамечательные линии
использованием изученных геометрических фигур иние изученных геометритреугольника. Свойства
соответствующих единиц измерения;ческих понятий, используя • Окружность. Элементы
- обоснование полученного или заданного результата
терминологию и соответокружности. Круг. Элементы кругаили вывода относительно геометрических фигур путём
ствующие обозначения.
• Взаимное расположение прямой иприведения аргументов, доказательств;6.4. Классифицирование иокружности/круга
- построение простых цепочек дедуктивных суждений,сравнение изученных
• Центральный угол. Дугирешение простых задач на доказательство;геометрических фигур поокружности
- нахождение истинностного значения утверждения,различным критериям.
• Вписанный угол в окружность
высказывания относительно изученных геометрических
6.5. Изображение на плоскости
фигур, в том числе с помощью примеров, контрпри-меров.
изученных геометрических Новые элементы математической
- применение изученных геометрических фигур и ихфигур, используя инструтерминологии:свойств в различных областях, в том числе в практической
менты ИКТ, чертёжные ин- прямая, внешняя по отношению кдеятельности.
струменты, и применение окружности, касательная к окруж-  Исследование конкретных случаев из реальных и/илиполученных изображений ности, прямая секущая по отношесмоделированных ситуаций, относящихся к изученнымпри решении задач.
нию к окружности, центральный
геометрическим фигурам, и решение полученных задач.
6.6. Применение изученных
угол, меньшая дуга, большая дуга, Выполнение практических работ, в том числе на местности
геометрических фигур иконцы дуг, дополнительные дуги,по применению изученных геометрических фигур вих свойств в различных
градусная мера дуги, угол, вписанный
практической деятельности.
областях, в реальныхв окружность.
 Реализация исследований/изысканий относительно
и/или смоделированных
применения изученных геометрических фигур в различных
ситуациях.
областях.
6.7. Обоснование полученного Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томили заданного результата
числе проектов STEM/STEAM в контексте примененияили вывода относительно
изученных геометрических фигур в реальных и/илигеометрических фигур
смоделированных ситуациях.
путём приведения Применение дидактических игр в процессе преподавания –аргументов, доказательств.
учения – оценивания изученных геометрических фигур.
6.8. Построение простых
цепочек дедуктивных
Рекомендуемые результаты/продукты:суждений.
 Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённая задача;54

7.1. Распознавание в различных контекстах и применение в различных ситуациях
терминологии и обозначений, относящихся к подобию треугольников.
7.2. Распознавание подобных
треугольников в реальных
и/или смоделированных
геометрических конфигурациях.
7.3. Установление отношения
подобия между двумя треугольниками различными
методами.
7.4. Применение метода подобия треугольников при решении практических за-дачи/или задач из различ-ныхобластей.

6.9. Нахождение истинностного значения утверждения,высказывания относительно изученных геометрических фигур, в том числе спомощью примеров, контрпримеров.
 Составленный план решения задачи; Рисунок; Аргументация устная/письменная.
 Доказательства; Практическая работа на местности "Распознавание
геометрических фигур во дворе школы"; Проект STEАM "Использование геометрических фигур вдизайне"; Составленная Матрица ассоциаций; Модели изученных геометрических фигур; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
VII. Подобные треугольники Решение упражнений и задач на:- распознавание в различных контекстах и применение
• Пропорциональные отрезкив различных ситуациях терминологии и обозначений,• Теорема Фалеса
относящихся к подобию треугольников;• Подобные треугольники
- распознавание подобных треугольников в реальных и/или• Основная теорема подобия
смоделированных геометрических конфигурациях;• Признаки подобия треугольников - установление отношения подобия между двумя
• Признаки подобия прямоугольных
треугольниками, используя признаки подобия;треугольников
- применение признаков подобия треуголь-ников при• Приложения
решении различных задач, в том числе из практической
деятельности;Новые элементы математической
- обоснование полученного или заданного результата
терминологии:или вывода в контексте подо-бия треугольников путём
отношение двух отрезков, пропорприведения аргументов, примеров, контрпримеров,циональные отрезки, теорема Фаледоказательств;са, подобные треугольники, коэффи- - решение простых задач на доказательство, на построение
циент подобия, основная теорема
простых цепочек дедуктив-ных суждений;подобия, признаки подобия двух тре- - нахождение истинностного значения утверждения,угольников, признаки подобия двухвысказывания;прямоугольных треугольников.
- составление и решение простых задач по заданной
геометрической модели;55

7.5. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода в контексте подобия треугольников путём
приведения аргументов,доказательств.
7.6. Построение простых цепочек дедуктивных суждений.
7.7. Составление плана действий для решения различных практических задач,используя метод подобия
треугольников, и решение
задачи согласно разработанному плану.
7.8. Нахождение истинностного значения утверждения,высказывания, относящегося к подобию треугольников, в том числе с помощью примеров, контрпримеров, доказательств.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённая задача; Составленный план; Рисунок; Модели геометрических фигур; Аргументация устная/письменная; Доказательства; Проект "Приложения метода подобия треугольников встроительстве"; Практическая работа "Приложения метода подобия
треугольников в практической деятельности".
 Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

- составление планов действий для решения различных
практических задач, используя метод подобия
треугольников.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к подобным
треугольникам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению подобных треугольников в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения подобных треугольников в различных
областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения подобных треугольников в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания подобных треугольников.

56

8.1. Распознавание и описание
VIII. Метрические отношения Решение упражнений и задач на:элементов прямоугольногов прямоугольном треугольнике
- распознавание прямоугольных треугольников итреугольника в реальныхих элементов в реальных и/или смоделированных
и/или смоделированных
• Ортогональные проекции нагеометрических конфигурациях;геометрических
прямой
- применение метрических отношений в прямоугольном
конфигурациях.
• Теорема высоты (стреугольнике для нахож-дения некоторых его элементов;8.2. Применение
доказательством)- обоснование полученного или заданного результата
метрических отношений
• Теорема катета (с доказательством)или вывода в контексте метрических отношений вв прямоугольном
• Теорема Пифагора (спрямоугольном треугольнике путём приведения
треугольнике длядоказательством). Приложения
аргументов, доказательств;нахождения некоторых его • Элементы тригонометрии в- решение простых задач на доказательство, на построение
элементов.
прямоугольном треугольнике:простых цепочек дедуктив-ных суждений;8.3. Распознавание и присинус, косинус, тангенс, котангенс - вычисление и применение значений синуса, косинуса, танoooменение терминологии
острого углагенса, котангенса для углов 30 , 45 , 60 при решении задач;и обозначений, соответ• Значения синуса, косинуса,- инициирование и осуществление некото-рыхoствующих прямоугольному
тангенса, котангенса для углов 30 ,исследований/изысканий, используя математическиеooтреугольнику и изученным
45 , 60
знания о прямоугольных треугольниках, в том числе вметрическим отношениям, • Решение прямоугольного
предприни-мательской деятельности;в различных контекстах.
треугольника
- экстраполирование изученных метрических отношений в
8.4. Обоснование полученнопрямоугольном треугольнике и элементов тригонометрии,го/заданного результата
Новые элементы математическойдля решения задач из различных областей.
или вывода в контексте
терминологии: Исследование конкретных случаев из реальных и/илиметрических отношений в ортогональная проекция фигуры насмоделированных ситуаций, относящихся к метрическим
прямоугольном треугольпрямой, теорема высоты, среднее
отношениям в прямоугольных треугольниках, и решение
нике путём приведения
геометрическое, теорема катета,полученных задач.
аргументов, доказательств. теорема Пифагора, обратная Выполнение практических работ, в том числе на местности
8.5. Построение простых
теорема теореме Пифагора, синуспо применению изученных метрических отношений
цепочек дедуктивных
острого угла, косинус острого угла,в прямоугольных треугольниках в практической
суждений в контексте
тангенс острого угла, котангенс
деятельности.
метрических отношений
острого угла.
 Реализация исследований/изысканий относительнов прямоугольном
применения метрических отношений в прямоугольных
треугольнике.
треугольниках в различных областях.

57

8.6. Вычисление и применениев различных областях
значений синуса, косинуса,тангенса, котангенса дляoooуглов 30 , 45 , 60 .
8.7. Экстраполирование
изученных метрических
отношений и элементов
тригонометрии длярешения задач изразличных областей.
8.8. Инициирование ипроведение некоторых
исследований/изысканий,используя математические
знания об прямоугольных
треугольниках, в том числев предпринимательской
деятельности.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённая задача; Составленный план; Рисунок; Модели геометрических фигур; Аргументация устная/письменная; Доказательства; Проект "Применение метрических отношений встроительстве"; Практическая работа "Построение прямоугольных
треугольников используя изученные метрические
отношения"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

 Реализация индивидуальных/групповых проектовв контексте применения метрических отношенийв прямоугольных треугольниках в реальных и/илисмоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания метрических отношений впрямоугольных треугольниках.

58

9.1. Распознавание, КлассифиIX. Многоугольники.
цирование по различным
Четырехугольники
критериям и изображениена плоскости изученных
• Понятие многоугольник. Выпуклые
четырёхуголь-ников, мномногоугольники. Элементы
гоугольников.
• Понятие четырёхугольник.
9.2. Распознавание и применеЭлементы. Выпуклыение терминологии и обочетырёхугольники
значений, относящихся к• Параллелограмм. Элементы.
изученным многоугольниСвойства, признакикам и четырёхугольникам, • Частные параллелограммы:в различных контекстах.
- прямоугольник, элементы,9.3. Применение свойств
свойства, признаки;изученных четырёхуголь- ромб, элементы, свойства,ников при решении
признаки;проблем, проблемных
- квадрат, элементы, свойства,ситуаций из различных
признаки
областей.
• Трапеция, элементы, свойства,9.4. Перевод задачи, пропризнаки
блемной ситуации, относя- • Средняя линия трапеции. Свойство
щейся к многоугольникам
средней линия трапеции (с доказаи четырёхугольникам, нательством)геометрический язык, ре- • Понятие правильный
шение полученной задачи
многоугольник. Элементы.
и интерпретирование реПравильные многоугольники:зультата.
равносторонний треугольник,9.5. Нахождение истинностноквадрат, правильныйго значения утверждения,шестиугольник
высказывания, геометрического характера, относящихся к многоугольникам ичетырёхугольникам.
 Решение упражнений и задач на:- классифицирование изученных геометрических фигур;- изображение на плоскости изученных геометрических
фигур, используя чертёжные инструменты, инструменты
ИКТ, и применение полученных изображений при решении
задач;- применение четырёхугольников, многоугольников и ихсвойств в различных областях;- анализирование и интерпретирование результатов,полученных при решении практических задач, сиспользованием изученных геометрических фигур исоответствующих единиц измерения;- построение простых цепочек дедуктивных суждений,решение простых задач на доказательство;- нахождение истинностного значения утверждения,высказывания, в том числе с помощью примеров,контрпримеров;- обоснование полученного или заданного результата иливывода в контексте четырёхугольников, многоугольников
путём приведения аргументов, доказательств; Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
многоугольникам и четырёхугольникам, и решение
полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению четырёхугольников, многоугольников впрактической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения четырёхугольников, многоугольников вразличных областях.

59

10.1. Распознавание и испольX. Векторы на плоскости
зование терминологии иобозначений, соответству- • Параллельный перенос. Свойства.
ющих понятиям вектор иПриложения
параллельный перенос, в • Понятие вектор. Классификация
различных контекстах.
векторов. Модуль вектора

9.6. Построение простых цепо- Новые элементы математическойчек дедуктивных суждений терминологии:в контексте изученных
выпуклый многоугольник, шестиучетырёхугольников.
гольник, признаки параллелограм9.7. Составление плана дляма, основания трапеции, боковые
решения задачи на  приме- стороны трапеции, равнобедренная
нение изученных четырёх- трапеция, прямоугольная трапеция,угольников, многоугольни- диагональ трапеции, средняя линияков в различных контекстах трапеции, правильный многоугольи решение задачи согласно ник, правильный шестиугольник.
разработанному плану.
9.8. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода в контексте
четырёхугольников,многоугольников путём
приведения аргументов,доказательств.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённая задача; Доказательства; Исследуемый случай с практическим уклоном; Исследование "Правильные многоугольники в технике"; Разработанная схема; Примененный алгоритм; Игра ТАНГРАМ; Геометрические пазлы (puzzle); Составленный план.
 Проект "Многоугольники и четырёхугольники в дизайне"; Практическая работа на местности "Применение
четырёхугольников и многоугольников во дворе школы"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
 Решение упражнений и задач на:- распознавание и применение терминологии иобозначений, соответствующих понятию вектор, понятию
параллельный перенос, в различных контекстах;- применение параллельного переноса в реальных и/илисмоделированных ситуациях; Реализация индивидуальных/групповых проектовв контексте применения четырёхугольников,многоугольников в реальных и/или смоделированных
ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания четырёхугольников, многоугольников.

60

10.2. Распознавание и при• Действия над векторами: сложение - распознавание элементов векторной геометрии вменение параллельного
(правило треугольника, правило
различных контекстах;переноса в реальных
параллелограмма), разность, умно- - выполнение операций с векторами;и/или смоделированных
жение вектора на число, разложе- - применение векторов и их свойств в различных областях, вситуациях.
ние вектора по двум неколлинеартом числе при решении практических задач.
10.3. Распознавание элементовным векторам Исследование конкретных случаев из реальных и/иливекторной геометрии в• Приложения (в геометрии, всмоделированных ситуаций, относящихся к векторам, иразличных контекстах.
физике)решение полученных задач.
10.4. Применение векторов в Выполнение практических работ, в том числе на местности
реальных и/или смодели- Новые элементы математическойпо применению векторов в практической деятельности.
рованных ситуациях.
терминологии: Реализация исследований/изысканий относительно
10.5. Экстраполирование век- параллельный перенос, ориентироприменения векторов в различных областях.
торов и их свойств дляванный отрезок, нулевой вектор, Реализация индивидуальных/групповых проектов врешения задач из разравные вектора, длина (модуль)контексте применения векторов в реальных и/илиличных областей, в томвектора, коллинеарные вектора,смоделированных ситуациях.
числе при решении задач сложение векторов, правило треу Применение дидактических игр в процессе преподавания –из физики и практических гольника, правило параллелограмма,учения – оценивания векторов.
задач.
разность векторов, умножение
10.6. Обоснование полученно- вектора на действительное число, Рекомендуемые результаты/продукты:го или заданного резуль- разложение вектора по двум некол-  Исследуемый случай с практическим уклоном;тата или вывода относилинеарным векторам, единичные Решённая задача;тельно векторов путём
векторы.
 Исследование "Векторы в моей жизни";приведения аргументов, Составленный план;доказательств.
 Рисунок; Аргументация устная/письменная; Проект "Векторы в физике"; Проект "Приложения параллельного переноса в дизайне"; Составленная матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

61В конце VIII класса УЧЕНИК МОЖЕТ:• распознавать, писать, используя различные формы, читать, сравнивать и упорядочивать действительные числа в различных ситуациях и контекстах;• выполнять в реальных и/или смоделированных ситуациях изученные действия над действительными числами, в том числе над действительными числами, заданными буквами;• преобразовать алгебраическое выражение, используя формулы сокращенного умножения и изученные методы разложения на множители;• распознавать в реальных и/или смоделированных ситуациях числовые последовательности и функциональные зависимости;• классифицировать изученные последовательности, функции, уравнения, неравенства, системы, геометрические фигурыпо различным заданным или избранным критериям;• экстраполировать свойства изученных последовательностей и функций для решения задач из различных областей;• распознавать и применять терминологии и обозначения, соответствующие изученным математическим понятиям, в различных контекстах;• распознавать и решать в различных контекстах изученные типы уравнений, неравенств и систем:• распознавать в различных контекстах и описывать вербально и/или письменно изученные геометрические фигуры, используя соответствующую терминологию и обозначения;• классифицировать и сравнивать изученные геометрические фигуры по различным критериям;• изображать на плоскости изученные геометрические фигуры, используя инструменты ИКТ, чертёжные инструменты, иприменить полученные изображения при решении задач;• вычислять величины углов (применяя транспортир, элементы тригонометрии, изученные признаки подобия), длины отрезков, периметры фигур, площадей квадрата и прямоугольника в реальных и/или смоделированных ситуациях;• применять изученные признаки и свойства геометрических фигур в различных контекстах;• распознавать в различных контекстах и применить параллельный перенос в различных областях, в том числе при решении
практических задач;• распознавать в различных контекстах и применять векторы и действия над векторами в различных областях, в том числепри решении практических задач;• находить истинностное значение (истинно/ложно) простого утверждения, высказывания с помощью примеров, контрпримеров;• обосновывать полученный/заданный вывод или результат, используя аргументы,доказательства, поддерживая собственные идеи и мнения.

62Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности и еёрезультаты/ продукты
1.1. Распознавание,I. Множество действительных чисел.  Решение упражнений и задач на:классифицирование поПовторение и дополнения
- распознавание в различных контекстах натуральных, целых,различным критериям
рациональных, иррациональных, действительных чисел,и представление в• Понятие действительное число.
степеней, корней и их свойств;различных формах
Изображение действительных
- запись действительных чисел в различных формах;элементов числовых
чисел на оси. Отношения
- выявление, какому числовому множеству, множеству
множеств N, Z, Q, R.
включения N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ Rобъектов принадлежит заданное число, объект;1.2. Распознавание и исполь- • Модуль действительного числа.
- вычисление с действительными числами и применение взование терминологии,Свойства:вычислениях модуля, изученных алгоритмов и свойств;222соответствующей понятию
упорядочивание, сравнение и изображение на осиa ≥ 0; a ≥ a; a = a = a ;действительное число, вдействительных чисел;aaразличных контекстах.
выполнение приближений и округлений над числами,ab = a b ;= , b ≠ 0.
bb1.3. Применение действительвеличинами;ных чисел для выполнения • Сравнение действительных
- применение действительных чисел в различных реальных
вычислений в реальных
чисел. Арифметические действия
и/или смоделированных ситуациях;и/или смоделированныхнад действительными числами.
- решение задач и проблемных ситуаций, используя
ситуациях.
Свойства
действительные числа и действия над ними;1.4. Использование вычисли• Степень с целым показателем.
- обоснование и аргументирование полученных результатов
тельных алгоритмов с дейСвойстваи использованных вычислительных технологий;ствительными числами при • Квадратный корень. Свойства.
- формирование привычки проверять, если задача
решении задач, действий
Избавление от иррациональности вполностью решена или нет, исследуя истинностноенад действительными чисзнаменателях вида a b , a ± bзначение полученного результата;лами и их свойства в раз- обоснование полученного/заданного результата илиличных ситуациях.
Новые элементы математической
вывода, связанного с действительными числами,1.5. Применение модуля
терминологии:посредством аргументов, доказательств
действительного числа иизбавление от иррациональности.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/его свойства при решенииили смоделированных ситуаций, относящихся кзадач.
действительным числам, и решение полученных задач.

IX класс

63

2.1. Распознавание и использование терминологии,соответствующей понятию
алгебраическое отношение, в различных контекстах.

1.6. Применение приближенийи округлений в различных
контекстах для проверки
истинности результатов
вычислений с действительными числами.
1.7. Обоснование полученного/заданного результатаили вывода, связанного сдействительными числами,посредством аргументов,доказательств.

• Понятие алгебраическое
отношение. Область допустимых
значений (ОДЗ)• Основное свойство и сокращение
алгебраических отношений

II. Алгебраические отношения

Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Разработанная схема; Решённые математические софизмы; Применённый алгоритм; Приведённый контрпример; Исследование "Степени в различных областях"; Проект "Действительные числа в моей жизни"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
 Решение упражнений и задач на:- нахождение числовых значений алгебраических
выражений для различных значений переменных;- применение вычислительных алгоритмов, используя
свойства действий над алгебраическими отношениями;выполнение тождественных преобразований
алгебраических выражений на множестве из допустимых
значений; Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению действительных чисел в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения действительных чисел в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения действительных чисел в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания действительных чисел.

64

2.2. Нахождение числовых
• Арифметические действия надзначений алгебраических
алгебраическими отношениями
выражений для различных • Тождество. Тождественные
значений переменных.
выражения
2.3. Применение аналогий при • Тождественные преобразования
выполнении действий надалгебраических выражений
обыкновенными дробями • Доказательство некоторых простыхи алгебраическими отнотождеств
шениями.
2.4. Применение вычислитель- Новые элементы математическойных алгоритмов, используя терминологии:свойства действий над ал- алгебраическое отношение, чисгебраическими отношения- литель отношения, знаменатель
ми, при решении задач.
отношения, область допустимых
2.5. Выполнение тождествен- значений (ОДЗ), т����������������
ождество��������, т�����
ожденых преобразований алге- ственные выражения�������������, т����������
ождественбраических выражений на ные преобразования.
множестве из допустимых
значений.
2.6. Оценивание и анализирование задачи, проблемной ситуации в контексте
корректности, простоты,чёткости и значимости полученных результатов.
2.7. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода, связанного салгебраическими преобразованиями, посредством
аргументов, доказательств.
Рекомендуемые результаты/продукты: Устный ответ; Письменный ответ; Решённый пример; Решённая задача; Разработанная схема; Применённый алгоритм; Составленная Матрица ассоциаций.
 Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

-- распознавание и использование терминологии,соответствующей понятию алгебраическое отношение, вразличных контекстах;- нахождение ОДЗ алгебраических выражений иалгебраических отношений;- применение алгебраических отношений в различных
областях.
 Исследование конкретных случаев из различных областей,относящихся к алгебраическим отношениям, и решение
полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения алгебраических отношений в различных
областях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания алгебраических отношений.

65

3.1. Распознавание и
III. Функции
применение терминологиии обозначений,• Понятие функция. Способы
соответствующих понятию
задания функции
функция, в различных
• График функции. Чтение графиков.
контекстах.
Преобразование графиков
3.2. Распознавание функцифункций: параллельный перенос
ональных зависимостей
относительно осей координатв реальных и/или смоде• Свойства функции (нули,лированных ситуациях, вмонотонность, знак, экстремумы)том числе типа функции II • Функция II степени. Частные
степени.
случаи функции II степени. График
3.3. Перевод на язык функций
функции II степени. Свойства
различных ситуаций изфункции II степени: нули,практической деятельности
монотонность, знак, экстремумыи других областей.
• Функция f : R → R, f ( x ) = x 3 .
3.4. Изображение графика
График и свойства (нуль,функции, в том числе функмонотонность, знак)ции II степени и выведение
свойств функции (нули,Новые элементы математической
знак, монотонность, экстре- терминологии:мумы) посредством чтения функция II степени, график функции
графиков и/или формул.
II степени, парабола, ветви
3.5. Применение свойств функ- параболы, вершина параболы, осьции II степени при решении симметрии параболы, параллельный
уравнений, неравенств, за- перенос графика относительно
дач, проблемных ситуаций осей координат, точки экстремума,при изучении различных
экстремумы функции.
физических, химических,биологических, социальных, экономических процессов, смоделированных
посредством функций.
 Решение упражнений и задач на:- приведение примеров функциональных зависимостей,функций;- применение в различных контекстах, в том числе приобщении терминологии и обозначений, относящихся кпонятию функция;- представление отношений между множествами и/илифункциями различными способами (аналитическим,синтетическим, графическим);- чтение графиков/формул и выведение свойств функции;- изображение графиков функций;- применение алгоритма исследования изученных функцийпри решении задач, проблемных ситуаций из различных
областей, в том числе при изучении и разъяснении
различных физических, химических, биологических,экономических, исторических, социальных процессов;- перевод на язык функций различных ситуаций изпрактической деятельности и других областей;- нахождение истинностного значения утверждения,высказывания с помощью примеров, контрпримеров.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
функциям, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению изученных функций в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения изученных функций в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томчисле проектов STEM/STEAM в контексте применения
изученных функций в реальных и/или смоделированных
ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания изученных функций.

66

4.1. Распознавание и примене- IV. Уравнения, неравенства, системыние терминологии и обозначений, соответствующих • Понятие уравнение. Равносильные
понятиям уравнение, нерапреобразования
венство, система уравне- • Уравнения типа ax + b = 0, a, b ∈ Rний, система неравенств • Уравнения II степени с однимв различных контекстах.
неизвестным. Соотношения между
4.2. Решение уравнений,решениями и коэффициентами
неравенств и/или систем
• Рациональные уравнения с одним
изученных типов.
неизвестным
4.3. Перевод проблемы, про• Системы двух уравнений I степени
блемной ситуации на языкс двумя неизвестными
уравнений, неравенств
• Методы решения систем двухи/или систем, решение поуравнений I степени с двумя
лученной задачи и интернеизвестными (метод приведения,претирование результата.
метод подстановки, графический
метод)

3.6. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода в контексте
функций путём приведения
аргументов, доказательств.

Рекомендуемые результаты/продукты: Устный ответ; Письменный ответ; Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Исследование "Элементы графиков изученных функций встроениях родного села/города"; Изображённые графики; Применённый алгоритм; Проект STEM "Функции в технике"; Проект "Функции в искусстве"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
 Решение упражнений и задач на:- распознавание и применение терминологии иобозначений, соответствующих понятиям уравнение,неравенство, система уравнений, система неравенств;- решение уравнений, неравенств, систем изученных типов;- выполнение равносильных преобразований с целью
получения уравнений, неравенств, систем, равносильных
данным;- решение систем двух уравнений I степени с двумя
неизвестными различными методами: методом
приведения, методом подстановки, графическим методом;- перевод проблемы, проблемной ситуации на языкуравнений, неравенств и/или систем, решение полученной
задачи и интерпретирование результата;- решение рациональных уравнений с одним неизвестным;- применение метода интервалов при решении
рациональных неравенств;67

4.4. Подбор и применение
адекватных методов решения уравнений, неравенств, систем уравнений/неравенств.
4.5. Применение уравнений исистем уравнений при решении задач.
4.6. Составление и решение
простых задач по заданной
модели: уравнение, неравенство, система.
4.7. Обоснование полученногоили заданного результата/вывода относительно уравнений, неравенств, систем
путём приведения аргументов, доказательств.
Новые элементы математической
терминологии:рациональное уравнение с одним
неизвестным, рациональное
неравенство с одним неизвестным,метод интервалов.

• Решение текстовых задач спомощью уравнений и/или систем
уравнений
• Неравенства I степени с одним
неизвестным
• Неравенства II степени с одним
неизвестным
• Метод интервалов.
• Системы неравенств I степени содним неизвестным
• Рациональные неравенства содним неизвестным

Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Разработанная схема; Составленный план; Решённые математические софизмы;- составление и решение простых задач по заданной модели:уравнение, неравенство, система;- обоснование полученного или заданного результата/вывода относительно числовых неравенств, уравнений,неравенств, систем путём приведения аргументов,примеров, контрпримеров.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
уравнениям, неравенствам и системам, и решение
полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению изученных уравнений, неравенств и системв практической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения изученных уравнений, неравенств и систем вразличных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов, втом числе проектов в контексте применения изученных
уравнений, неравенств и систем в реальных и/илисмоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания изученных уравнений, неравенств исистем.

68

5.1. Распознавание и применеV. Элементы математическойние в различных контекстах статистики и теории вероятностей.
терминологии и обознаЭлементы финансового исчисления
чений, относящихся к изученным понятиям теории • Отбор, обработка и графическое
вероятностей, математичеизображение данных посредством
ской статистики и финансостатистических таблиц, диаграмм,вых исчислений.
графиков
5.2. Сортирование, классифи- • Интерпретация данных
цирование данных, объек- • Понятие событие
тов, событий по различным • Классификация событий
критериям и распознава• Нахождение вероятности события,ние критериев, по которым
используя отношение: количество
отбирается множество
благоприятных случаев/количество
объектов, дат, феноменов,всех возможных случаев
событий.
• Элементы финансового исчисле5.3. Отбор из множества сония: проценты, прибыль, НДС,бранных данных необхостоимость, кредиты, бюджет,димой информации длясемейный бюджет, личный бюдрешения проблемы в режет
альных и/или смоделированных ситуациях.
5.4. Распознавание событий вреальных и/или смоделированных ситуациях.

 Изображённые графики; Применённый алгоритм; Проект "Уравнения, неравенства, системы в физике, химии"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
 Решение упражнений и задач на:- выявление и классифицирование различных типов
событий;- применение в различных контекстах терминологии иобозначений, относящихся к изученным понятиям;- сортирование, классифицирование, графическое
изображение данных, объектов, событий по разным
критериям;- отбор из множества собранных данных необходимой
информации для решения проблемы в реальных и/илисмоделированных ситуациях;- нахождение вероятности события, используя отношение:количество благоприятных случаев/количество всехвозможных случаев;- обрабатывание и изображение данных из различных
областей, используя, в том числе инструменты ИКТ;- интерпретацию данных в различных контекстах;- применение элементов финансового исчисления вреальных и/или смоделированных ситуациях;- исследование и описание ситуаций локального и/илиглобального характера, используя изученные элементы
статистики, теории вероятностей, элементы финансового
исчисления.

69

5.5. Нахождение вероятности
события, используя отношение: количество
благоприятных случаев/количество всех возможных
случаев.
5.6. Классифицирование событий с точки зрения шансаих реализации (достоверное, вероятное, возможное, невозможное событие) и оценивание шанса
реализации события.
5.7. Применение элементов
финансового исчисления вреальных и/или смоделированных ситуациях.
5.8. Отбор, обработка и изображение данных из различных областей, используя элементы статистики
и/или теории вероятностей, инструменты ИКТ.
5.9. Исследование и описание
ситуаций, локального
и/или глобального характера, используя изученные
элементы статистики, теории вероятностей, финансового исчисления.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Исследование "События в моей жизни"; Проект "Семейный и личный бюджеты"; Проект "Статистика в профессиях родителей"; Составленные статистические графики/диаграммы;Новые элементы математической Исследование конкретных случаев из реальных и/илитерминологии:смоделированных ситуаций, относящихся к изученным
таблица статистических данных,элементам статистики, теории вероятностей, финансового
круговые диаграммы, квадратная
исчисления, и решение полученных задач.
диаграмма, диаграммы структурно-  Выполнение практических работ, в том числе на местностиго типа, случайное событие, элеменпо применению изученных элементов статистики, теории
тарное событие, равновозможные
вероятностей, финансового исчисления в практической
события, вероятность случайного
деятельности.
события, классическое определение  Реализация исследований/изысканий относительно
вероятности, равновероятные соприменения изученных элементов статистики, теории
бытия, элементы финансового исвероятностей, финансового исчисления в различных
числения, проценты, прибыль, НДС,областях.
кредиты, бюджет, семейный бюд Реализация индивидуальных/групповых проектов вжет, личный бюджет.
контексте применения изученных элементов статистики,теории вероятностей, финансового исчисления в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания изученных элементов статистики,теории вероятностей, финансового исчисления.

70

5.10. Обоснование полученно Реализованные статистические опросы;го/заданного результата Проект "Статистика в экономике";или вывода относительно Проект "Финансы в моей жизни";изученных элементов ста Составленные статистические графики;тистики, теории вероятно Аргументация устная/письменная;стей, финансового исчис Составленная Матрица ассоциаций;ления путём приведения Понятийная карта, составленная к главе;аргументов, доказательств.
 Решённый суммативный тест.
6.1. Распознавание и приVI. Окружность. Круг.
 Решение упражнений и задач на:менение терминологии иПовторение и дополнения
- распознавание, вербальное и письменное описание
обозначений, относящихся
изученных геометрических фигур;к окружности и кругу, в раз- • Окружность, круг. Элементы
- классифицирование и сравнение изученных
личных контекстах.
• Взаимное расположение прямой игеометрических фигур;6.2. Распознавание в реальных
окружности/круга
- изображение на плоскости изученных геометрических
и/или смоделированных
• Центральный угол. Угол, вписанный
фигур, используя чертёжные инструменты, инструменты
ситуациях окружностей,в окружность. Дуга окружности
ИКТ, и применение полученных изображений при решении
кругов и их элементов.
• Касательная к окружности.
задач;
6.3. Построение на плоскости
Свойства
- применение свойств окружностей и кругов в различных
окружностей/кругов и• Свойство хорд, одинаково
областях;их элементов, используя
удаленных от центра окружности
- анализирование и интерпретирование результатов,чертёжные инструменты,• Свойство дуг, расположенных
полученных при решении практических задач, синструменты ИКТ.
между параллельными хордами
использованием окружностей и кругов;6.4. Применение окружности,- построение простых цепочек дедуктивных суждений,круга и их свойств
Новые элементы математической
решение простых задач на доказательство;при решении задач изтерминологии:- обоснование полученного или заданного результата
различных областей.
нет новых элементов.
или вывода в контексте окружностей и кругов путём
6.5. Перевод проблемы, проприведения аргументов, доказательств;блемной ситуации, относя- нахождение истинностного значения утверждения,щихся к окружности, кругу,высказывания, в том числе с помощью доказательств,на геометрический язык,примеров, контрпримеров.
решение полученной за Исследование конкретных случаев из реальных и/илидачи и интерпретирование
смоделированных ситуаций, относящихся к окружностям ирезультата.
кругам, и решение полученных задач.

71

6.6. Нахождение истинностного значения утверждения,высказывания, геометрического характера, относящихся к окружности икруга.
6.7. Построение простых цепочек дедуктивных сужденийв контексте окружности,круга.
6.8. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода в контексте
окружности и круга путем
приведения аргументов,доказательств.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Исследование "Окружность и круг в моей жизни"; Разработанная схема; Составленный план; Примененный алгоритм; Проект "Окружность и круг в архитектуре"; Составленная Матрица спецификаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению окружностей и кругов в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения окружностей и кругов в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения окружностей и кругов в реальных и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания окружностей и кругов.

72

7.1. Распознавание и
VII. Площади
применение терминологиии обозначений,• Понятие площадь
относящихся к понятию
• Площадь квадрата, прямоугольника
площадь и к вычислениям • Площадь параллелограмма
площадей.
• Площадь ромба
7.2. Распознавание в• Площадь треугольника
различных ситуациях и1применение при решении
D>@<C; 0 Герона
5@>=0 
 A = aha , формула
2задач формул вычисления
площадей треугольника,• Площадь трапеции
четырёхугольников, круга. • Площадь равностороннего
7.3. Использование формул
треугольникадля вычисления площадей • Площадь правильного
изученных геометрических
шестиугольника
фигур при решении задач, • Длина окружности. Площадь круга
проблемных ситуацийиз различных областей
Новые элементы математической(из физики, техники,терминологии:строительства).
площадь фигуры, формула Герона,7.4. Вычисление площадей
площадь треугольника, площадьв реальных и/илипараллелограмма, площадь ромба,смоделированных
площадь трапеции, площадь
ситуациях.
правильного треугольника, площадь
7.5. Составление плана
правильного шестиугольника.
для решения задачи наприменение площадей вразличных контекстах ирешение задачи согласно
разработанному плану.
 Решение упражнений и задач на:- изображение на плоскости изученных геометрических
фигур, используя чертёжные инструменты, инструменты
ИКТ, и применение полученных изображений при решении
задач на вычисление площадей;- вычисление площадей геометрических фигур в различных
областях;- анализирование и интерпретирование результатов,полученных при решении практических задач, сприменением изученных геометрических фигур исоответствующих единиц измерения;- обоснование полученного/заданного результата иливывода в контексте площадей геометрических фигур путём
приведения аргументов, доказательств;- построение простых цепочек дедуктивных суждений,решение простых задач на доказательство;- нахождение истинностного значения утверждения,высказывания с помощью примеров, контрпримеров.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к вычислению
площадей изученных фигур, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо вычислению площадей в практической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения площадей в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения площадей в реальных и/илисмоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания площадей.

73Рекомендуемые результаты/продукты: Решённая задача; Доказательства; Исследуемый случай с практическим уклоном; Исследование "Площади в классной комнате"; Разработанная схема; Составленный план; Применённый алгоритм; Проект "Площади в моей жизни"; Проект "Площади в искусстве"; Практическая работа на местности "Измерение площадейво дворе школы"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.
8.1. Распознавание в РазличVIII. Многогранники Решение упражнений и задач на:ных ситуациях и классифи- распознавание, вербальное и письменное описание
цирование по различным • Призма и её элементы (вершины,изученных многогранников и/или их элементов, используя
критериям изученных
ребра, основания, боковая грань,соответствующие обозначения;многогранников.
высота, диагональ). Классификация - изображение на плоскости изученных геометрических тел,8.2. Распознавание и испольпризм (прямая призма, наклонная
используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ изование терминологии, сопризма, правильная призма,применение полученных изображений при решении задач
ответствующей изученным
параллелепипед, прямоугольныйна вычисление площадей поверхностей и/или объёмов;многогранникам, в различпараллелепипед, прямой
- вычисление площадей поверхностей и/или объёмовных контекстах.
параллелепипед, куб). Развёртка
многогранников в реальных и/или смоделированных
8.3. Вычисление площадей
прямой призмы
ситуациях;поверхностей, объёмов
• Площади поверхностей и объём
- анализирование и интерпретирование результатов,многогранников, используя
прямой призмы
полученных при решении практических задач
соответствующие формулы • Пирамида и её элементыс применением изученных многогранников ии/или их развертки.
(вершины, ребра, основание,соответствующих единиц измерения площадей, объёмов;боковая грань, высота, апофема).
- обоснование полученного/заданного результата иливывода в контексте многогранников путём приведения
аргументов, доказательств;7.6. Нахождение истинностного значения, утверждения,высказывания относительно площадей.
7.7. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода в контексте
площадей изученных
геометрических фигур
путём приведения
аргументов, доказательств.

74

8.4. Применение многогранников для распознаванияи описания феноменов,процессов из различных
областей.
8.5. Перевод реальной
и/или смоделированной
ситуации на геометрический язык, решение полученной задачи и интерпретирование результата.
8.6. Составление плана длярешения задачи на применение многогранниковв различных контекстах ирешение задачи согласно
разработанному плану.
8.7. Нахождение
истинностного
значения утверждения,высказывания омногогранниках.
8.8. Обоснование полученного/заданного результатаили вывода в контексте
многогранников посредством аргументов, доказательств.
- нахождение истинностного значения утверждения,высказывания, используя примеры, контрпримеры,доказательства.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся кмногогранникам, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению многогранников в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения многогранников в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения многогранников в реальных и/илисмоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения — оценивания многогранников.

Новые элементы математической
терминологии:призма, прямая призма, наклонная
призма, правильная призма, параллелепипед, прямой параллелепипед,боковая поверхность призмы, полная Рекомендуемые результаты/продукты:поверхность призмы, объём призмы,  Решённая задача;апофема пирамиды, прямая пирами-  Исследуемый случай с практическим уклоном;да, наклонная пирамида, правильная  Исследование "Многогранники в моем доме";пирамида, тетраэдр, правильный Составленный план;тетраэдр, боковая поверхность Разработанная схема;пирамиды, полная поверхность пи Проект "Многогранники в строениях родного села/города";рамиды, объём пирамиды, усечённая  Лабораторная работа "Измерение объёмов тел, имеющих
пирамида.
форму многогранника"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

Классификация пирамид (прямая
пирамида, наклонная пирамида,правильная пирамида, тетраэдр,правильный тетраэдр). Развёртка
пирамиды
• Площади поверхностей иобъём правильной пирамиды
(треугольной, четырехугольной,шестиугольной)• Усечённая пирамида. Элементы.
Классификация

75

9.1. Распознавание вРазличных ситуациях иклассифицирование поразличным критериям
изученных тел вращения.
9.2. Распознавание и использование терминологии, соответствующей изученным
телам вращения, в различных контекстах.
9.3. Вычисление площадей
поверхностей, объёмовтел вращения, используя
соответствующие формулы
и/или их развёртки.
9.4. Применение изученныхтел вращения дляраспознавания и описания
феноменов, процессов изразличных областей.
9.5. Перевод реальной и/илисмоделированной ситуации на геометрический
язык, решение полученной
задачи и интерпретирование результата.
9.6. Составление планадля решения задачи наприменение тел вращенияв различных контекстах ирешение задачи согласно
разработанному плану.
 Решение упражнений и задач на:- распознавание, вербальное и письменное описание
• Понятие цилиндр. Прямой круговой
изученных тел вращения и/или их элементов, используя
цилиндр и его элементы (радиус,соответствующие обозначения;диаметр, основания, боковая по- изображение на плоскости изученных геометрических тел,верхность, образующая, высота,используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ, иось симметрии, осевое сечение).
применение полученных изображений при решении задач
Развёртка прямого кругового цина вычисление площадей поверхностей и/или объёмов;линдра
- вычисление площадей поверхностей и/или объёмов тел• Площади поверхностей и объём
вращения в реальных и/или смоделированных ситуациях;прямого кругового цилиндра
- анализирование и интерпретирование результатов,• Понятие конус. Прямой круговой
полученных при решении практических задач, сконус и его элементы (вершина,применением изученных тел вращения и соответствующих
основание, боковая поверхность,единиц измерения площадей, объёмов;высота, образующая, ось симме- обоснование полученного/заданного результата илитрии, осевое сечение). Развертка
вывода в контексте изученных тел вращения путём
прямого кругового конуса
приведения аргументов, доказательств;• Площади поверхностей и объём
- нахождение истинностного значения утверждения,прямого кругового конуса
высказывания, используя примеры, контрпримеры,• Прямой круговой усеченный конус.
доказательства.
Элементы Исследование конкретных случаев из реальных и/или• Сфера и шар. Элементы (центр,смоделированных ситуаций, относящихся к телам
радиус, диаметр). Площадь
вращения, и решение полученных задач.
поверхности сферы. Объём шара Выполнение практических работ, в том числе на местностипо применению изученных тел вращения в практической
Новые элементы математической
деятельности.
терминологии:Реализация исследований/изысканий относительно
прямой круговой цилиндр, прямой
применения тел вращения в различных областях.
круговой конус, прямой круговой усеРеализация индивидуальных/групповых проектов вчённый конус, боковая поверхность,контексте применения тел вращения в реальных и/илиполная поверхность, ось симметрии,смоделированных ситуациях.
осевое сечение, развёртка прямого
Применение дидактических игр в процессе преподавания –кругового цилиндра, развёртка пряучения – оценивания тел вращения.
мого кругового конуса.

IX. Тела вращения

76

9.7. Нахождение истинностного значения утверждения,высказывания о телах вращения, в том числе с помощью примеров, контрпримеров, доказательств.
9.8. Обоснование полученногоили заданного результатаили вывода в контекстетел вращения посредством
аргументов, доказательств.

Рекомендуемые результаты/продукты: Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Исследование "Тела вращения в моём доме"; Применённый алгоритм; Разработанная схема; Составленный план; Проект "Тела вращения в строениях родного села/города"; Проект "Тела вращения в искусстве"; Лабораторная работа «Измерение объёмов тел, имеющих
форму тела вращения»; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к главе; Решённый суммативный тест.

77

В конце IX класса УЧЕНИК МОЖЕТ:• распознавать, писать, изображать, сравнивать и упорядочивать действительные числа в различных ситуациях и контекстах;• выполнять в различных контекстах действия над действительными числами: сложение, вычитание, умножение, деление,возведение в степень с целым показателем;• использовать терминологию, относящуюся к понятию действительное число, в различных контекстах, в том числе приобщении;• применять действия над действительными числами и их свойства в реальных и/или смоделированных ситуациях;• применять приближения и округления для проверки правильности вычислений с действительными числами в различных
контекстах;• распознавать функциональные зависимости, в том числе типа функции II степени в различных областях;• использовать терминологию и обозначения, относящиеся к понятию функция, в реальных и/или смоделированных ситуациях;• построить график функции и описать свойства функции по заданным и/или полученным графикам;• применять свойства изученных функций при решении уравнений, неравенств, при изучении и описании физических, химических, биологических, экономических, социальных процессов, заданных функциями;• обосновывать полученный или заданный вывод или результат, используя аргументы, доказательства;• решить изученные типы уравнений, неравенств и систем;• распознавать и применять в различных контекстах терминологию и обозначения, относящиеся к понятиям уравнение, неравенство, система уравнений, система неравенств;• переводить реальную и/или смоделированную ситуацию на язык уравнений, неравенств и/или систем, решить полученные задачи и интерпретировать результаты;• распознавать тип уравнения/неравенства и/или системы уравнений/неравенств, подобрать и применить адекватные методы их решения;• сортировать и классифицировать данные, объекты, события по различным критериям;78• находить вероятность события, используя отношение: количество благоприятных случаев/количество всех возможных
случаев;• классифицировать события с точки зрения шанса их реализации (достоверное, вероятное, возможное, невозможное событие) и оценивать шанс реализации события;• обработать и представить данные в виде статистических таблиц, диаграмм, графиков;• применять изученные элементы финансового исчисления для решения задач из различных областей, в том числе из области предпринимательства;• распознавать, классифицировать по различным критериям и изображать на плоскости, используя чертёжные инструменты, треугольники, четырёхугольники, окружности, круги, многогранники, тела вращения и их элементы;• применить свойства треугольников, четырёхугольников, окружностей, кругов, многогранников и тел вращения при решении задач из различных областей;• переводить реальную и/или смоделированную ситуацию на язык треугольников, четырёхугольников, окружностей, кругов, многогранников и тел вращения, решить полученную задачу и интерпретировать результаты;• применять признаки конгруэнтности треугольников, признаки подобия треугольников при решении задач в реальных и/или смоделированных ситуациях;• распознавать в различных ситуациях формулы для вычисления площадей треугольников, четырёхугольников, круга, площадей поверхностей многогранников и тел вращения и применять их при решении задач из различных областей (физики,географии, биологии, истории и т. п.);• изображать адекватно на плоскости изученные планиметрические фигуры и геометрические тела в контексте измерения
длин отрезков, величин углов, площадей и объёмов;• находить истинностное значение утверждения, высказывания.

V. Методологические основы
преподавания – учения – оценивания
Педагогические кадры могут выбирать методы и техники преподавания и могут адаптировать соответствующие действия в соответствии с темпом усвоения материала учащимися и их особенностями. Учителя обязаны формулировать цели,организовывать и осуществлять учебную деятельность, предоставляющую равные
возможности для школьного прогресса всем учащимся: для юношей и девушек,для детей с ограниченными возможностями, с психо-опорно-двигательными недостатками или со специальными медицинскими требованиями, учащимся изразличных социальных и культурных сред, различных национальностей и т. п.
Переоценка конечных результатов и содержания образования, центрированиена формирование компетенций сопровождается переоценкой и обновлением
стратегий, технологий и методов, применяемых в образовательном процессе поматематике. Это касается следующих аспектов:• применение стратегий, технологий, методов в контексте личностноориентированного обучения, направленное на активизацию когнитивныхи действенных структур учащихся, на реализацию на максимальном уровне
психофизического и интеллектуального потенциала каждого из них, на преобразование ученика в соучастника собственного формирования;• использование методов, способствующих оптимизации процесса познания,прибегая к конкретным моделям;• акцентирование формативного характера стратегий, технологий, методов, применяемых в процессе преподавания – учения – оценивания математики, способствующих активному и эффективному формированию индивидуального потенциала ученика, развитию способностей оперировать сусвоенной информацией, применять и оценивать добытые знания, исследовать гипотезы и находить адекватные решения проблем и проблемных
ситуаций;• систематическое комбинирование и чередование видов деятельности, основанных на индивидуальном действии ученика (документирование на основе различных источников информации, собственное наблюдение, личное
упражнение, программированное обучение, эксперимент и индивидуальная работа, работа с индивидуальными карточками и т. п.) видами деятельности, требующими коллективного участия (в командах, в группах), типадискуссий, мозгового штурма, исследование конкретного случая и т. п.;• усвоение методов самостоятельного информирования и документирования, используя информационные и коммуникационные технологии (ИКТ), в79том числе сеть Интернет, способствующих самообразованию, непрерывному образованию.
Настоящий куррикулум призван создавать благоприятные условия для каждого
ученика в процессе формирования и развития компетенций в собственном, индивидуальном ритме для переноса и применения усвоенных знаний в другие области.
Учитель математики будет осуществлять образовательный процесс по математике, используя типы уроков, предусмотренные классификацией типов уроков попризнаку компетенций. [5]В процессе преподавания – учения математики необходимо создавать благоприятные условия для подключения учащихся к процессу поиска, исследования,способствующих процессу учения посредством проблемного обучения и открытий. Также необходимо создавать благоприятные условия для переноса добытых и осознанных математических знаний в различные области, в том числе вповседневную жизнь и в области, определённые Куррикулумом Математика иестествознание. В этом отношении учитель будет использовать любую возможность для приведения примеров отображения математики в физике, химии, биологии, информатике, в повседневной жизни и в других куррикулумных областях.
Таким образом, учитель:• будет учитывать возможности, представленные школьными учебниками по математике, по реализации межпредметных связей (интегрирующие задачи, проблемные ситуации, содержащиеся в текстах учебника;интегрирующие тестовые задания (итемы), содержащиеся в проверочных работах учебника и т. п.);• выберет из сборников упражнений и задач и предложит учащимся задачис межпредметным содержанием;• выберет из дидактических и методических материалов интегрирующие
задачи и предложит учащимся при проведении различных мероприятийпо математике (уроки, внеклассные мероприятия, олимпиады и т. п.);• проведет совместно с учителями физики, химии, биологии, информатикии других дисциплин интегрирующие уроки;• будет создавать систематически на уроках или при проведении других
образовательных мероприятий проблемные ситуации с межпредметным содержанием и/или прикладным уклоном;• организует и проведет при обучении математике практические занятияи лабораторные работы с межпредметным и/или прикладным уклоном;• реализует совместно с учителями других предметов проекты типаSTEM/STEAM.
Оценивание, проведённое по математике, в обязательном порядке будет содержать и итемы, решения которых требует реализации межпредметных связей.
80Будет предложено учащимся в качестве методов оценки выполнение некоторых
интегрирующих проектов.
Каждый ученик имеет право на школьный успех и на достижение образовательных стандартов. Учитель обязан предлагать учащимся учебные задания, соответствующие их уровню развития, таким образом, чтобы каждый ученик прогрессировал в соответствии со своими возможностями. В этом контексте:• для учащихся слабо успевающих по математике: учитель обязан дифференцировано подходить к каждому из них, предлагая соответствующие
учебные задания, адаптируя школьный куррикулум для данного класса кучебным возможностям этих учащихся;• для учащихся с инклюзивным обучением: учитель обязан реализовать
принцип индивидуализации обучения в зависимости от типа куррикулума
согласно составленному для него Индивидуальному плану.
• для учащихся с математическими способностями: учитель обязан предлагать учебные задания продвинутого уровня, которые будут обеспечивать импрогресс в учёбе.
Самая значимая роль оценивания состоит в предоставлении постоянной исоответствующей обратной связи, необходимой как ученикам и учителям, так иродителям, руководящим органам и широкой общественности. Итак, в интегрированном образовательном процессе преподавание – учение – оценивание, составляющая оценивание играет основную роль, имеющую исключительное какпсихопедагогическое, профессиональное, так и социальное значение. В контексте
формирования и развития компетенций педагогическая оценка должна основываться, согласно требованиям, содержащимся в документе Основы Национального куррикулума (Cadrul de referință al curriculumului național) [2], на следующих
фундаментальных принципах:• оценивание является постоянным процессом и существенной составной
частью образовательного процесса;• оценивание стимулирует учение, формирование и развитие компетенций;• оценивание основывается на необходимости сравнивать подготовку
учащихся со специфическими компетенциями, единицами компетенций иоперациональными целями каждого урока;• оценивание основывается на государственных образовательных стандартах, предусматривающих, что будет знать, будет уметь делать икаким будет ученик в конце его школьного обучения;• оценивание проводится многими и разнообразными методами (традицион­ными и современными);• оценивание – регламентирующий процесс, определяющий качество
школь­ной деятельности учащихся;81• оценивание должно способствовать правильной самооценке учащегося идостижению постоянного улучшения его школьных успехов.
В процессе математического образования учитель, как правило, применяет:  а) первичное оценивание, реализуя функцию прогноза; б) текущее (формирующее) оценивание, реализуя функцию формирования; в) итоговое (суммативное) оценивание, реализуя функцию суммирования (или диагноза).
Итоговое оценивание в конце учебного года и/или в конце изученного раздела покажет, достигнуты ли запланированные результаты единицами компетенцийдля соответствующего класса. Посредством экзамена по математике для гимназического образования будет проверяться, сформированы ли запланированные
специфические компетенции по математике для гимназического образования идостигнуты ли соответствующие образовательные стандарты.
Формулируя цели каждого урока, учитель будет коррелировать эти цели соспецифическими компетенциями по математике, соответствующими единицами
компетенций и стандартами. Проверочные работы, предложенные учащимся впроцессе обучения математике, будут включать задания и итемы, посредством
которых будут оцениваться приоритетно не отдельные знания и способности, ауровень формирования соответствующих компетенций. Примеры таких заданий иитемов учитель найдет в методологических гидах, в сборниках тестов по математике и в экзаменационной программе по математике для гимназии.
В контексте принципов оценки приоритетным и доминирующим в образовательном процессе становится текущее – формирующее оценивание. Успех урока
зависит от достижения соответствующих запланированных целей. В этом контексте этап урока Проверка и оценивание является обязательным для любого типаурока, и на этом этапе будет оцениваться уровень достижения целей урока.
Проверка и оценивание будут осуществляться, как правило, посредством применения различных форм, методов и техник. Приоритетными в контексте оценивания формирования компетенций становятся метод проектов, исследование,практические, лабораторные и графические работы, тестирование с использованием интегрированных проверочных тестов. Проверка и оценивание, повозможности, будут проводиться с использованием инструментов ИКТ. Оценка,проведённая при обучении математике, будет обязательно включать задания,требующие реализации межпредметных, транспредметных связей. В рамках оценивания учащимся будут предложены для реализации и интегрирующие проекты,в том числе проекты типа STEM и STEAM.
Важно, чтобы каждый ученик, учитель и родитель/опекун осознал, что оценкапри любых условиях должна быть объективной.

82

GHID
DE IMPLEMENTAREA CURRICULUMULUIDISCIPLINAR

83Введение
Если ребенок не может выучить материал в результате того как мы преподаем, то нужно преподавать так, чтобы он смог его выучить...
Игнасио Естрада/Ignacio Estrada
Необходимость развития школьного Куррикулума по Математике для гимназии следует из следующих критериев:- приведение требований Куррикулума в соответствие с требованиями Кодекса об образовании Республики Молдова (2014) и Рекомендаций Европейского парламента и Совета Европы относительно ключевых компетенций, рекомендованных для формирования на протяжении всей жизни (Брюссель, 2018);- корреляция системы специфических компетенций по Математике с требованиями, которые исходят из модернизации определения школьной
компетенции, сформулированной в документе Основы Национального
куррикулума (Cadrul de Referință al Curriculumului Național); [2]- разгрузка содержательных линий школьного курса Математики;- повышение мотивации и интереса учащихся к изучению Математики.
Основной целью математического образования в гимназии является как формирование и развитие логического мышления учащихся, так и формирование, иразвитие компетенций, способствующих максимальной реализации творческого
потенциала выпускника гимназии и необходимых для продолжения им учения наследующей ступени образования и/или для оптимальной социальной интеграции.
В Республике Молдова внедряется четвертое поколение Куррикулума по Математике. Развитие школьного Куррикулума по Математике порождает определенные вопросы.
Этот Гид содержит ответы на многие вопросы, возникающие относительно реализации образовательного процесса по математике на современном этапе внедрения Куррикулума в гимназии. В работе предложены ответы, относящиеся как кинновационным, стратегическим, теоретическим, так и к практическим аспектам
преподавания – учения – оценивания математики в гимназии в контексте внедрения нового Куррикулума на данной ступени образования.
Учитель имеет право творчески относиться к предложенному и рекомендованному в данном Гиде. Конечно, в итоге, учитель сам отбирает и определяет соответствующие стратегии и технологии, способствующие успешному достижению
запланированных целей, реализации единиц компетенций и формированию компетенций. Посредством реализации Куррикулума по Математике необходимо

84создавать благоприятные условия каждому ученику для формирования и развития компетенций в собственном, индивидуальном ритме, для переноса добытых
знаний в различные области, в том числе в практическую деятельность и в области, определенные соответствующей куррикулумной областью.
Образовательная ответственность учителя математики и значимость математики как школьной дисциплины огромны. От того, как ученики осваивают
Математику, во многом зависят их успехи при изучении остальных школьных
дисциплин. Тем самым учитель математики постоянно должен учитывать какспецифику математики как «царицы всех наук», так и тот факт, что математика – это дисциплина, которая обеспечивает и осознанное усвоение учащимися
большинства из школьных дисциплин.
Внедрение требований нового Куррикулума эффективно способствует повышению качества математического образования в гимназии.

85

1. Каковы элементы новизны в школьном
Куррикулуме по Математике для гимназии?
1.1. Концептуальные аспекты
Основной целью школьного Куррикулума по Математике является внедрение образовательной политики, определенной Кодексом об образовании Республики Молдова (2014), который посредством Статьи 11, определяет: «Главной
образовательной целью является формирование гармоничной личности иразвитие системы компетенций, включающей знания, навыки и ценностные
отношения, обеспечивающие возможность активного участия индивидуумав социальной и экономической жизни»[1].
В этом контексте было модернизировано определение понятия школьная компетенция:  Школьная компетенция – это целостная система знаний, навыков и ценностных отношений, добытых, сформированных у учащихся и развитых впроцессе обучения, мобилизация которых позволит идентифицировать и решить различные проблемы, в различных контекстах и ситуациях [7].
Важно, чтобы педагогические кадры, ученики и их родители осознали сущность понятия «школьная компетенция» как целостной системы знаний, навыкови ценностных отношений, но не как их совокупность.  
Акцентирование на формирование навыков требует от учителей, учеников и ихродителей осознание понятия навык:НАВЫК – способность деятельности, сформированная путём повторения и доведения до автоматизма.
Выработка навыка – это процесс, который достигается путём выполнения
упражнений (целенаправленных, специально организованных, повторяющихся
действий). Благодаря упражнениям способ действия совершенствуется и закрепляется. Показателями наличия навыка является то, что человек, начиная выполнять действие, не обдумывает заранее, как он будет его осуществлять, не выделяет из него отдельных частных операций. Благодаря формированию навыков
действие выполняется быстро и точно, и можно сконцентрироваться на развитиии получении новых знаний, умений и навыков.
На формирование навыка влияют:1. мотивация, обучаемость, прогресс в усвоении, упражнения, подкрепление,формирование в целом или по частям.

86

2. для уяснения содержания операции – уровень личного развития, наличие знаний, умений, способ объяснения содержания операции, обратная
связь.
3. для овладения операцией – полнота уяснения её содержания, постепенность перехода от одного уровня овладения к другому по определённым
показателям (автоматизированность, интериоризованность, скорость и пр.).
Различные сочетания этих факторов создают различные картины процесса
формирования навыка: быстрый прогресс в начале и замедленный в конце, илинаоборот; возможны и смешанные варианты [53].
В процессе разработки Куррикулума для школьной дисциплины Математика
были учтены: современные трактовки и тенденции развития Куррикулума на национальном и международном уровнях; необходимость адаптации школьного куррикулума к ожиданиям общества,к потребностям учеников, а также к традициям национальной школы; значимость школьной дисциплины в формировании трансверсальных,транспредметных и специфических компетенций; необходимость реализации прeемственности и взаимосвязи между этапами общего образования: дошкольное образование, начальное образование, гимназическое образование и лицейское образование.
Фундаментальными в построении школьного Куррикулума по Математикeдля  гимназии и, в целом, образовательного процесса по математикe в школе
являются следующие принципы:I. Принцип конструктивизма (структурности), предусматривающий систематическое повторение изученного материала и основных понятий, как значимый аспект преподавания – учения. Согласно этому принципу современный
образовательный процесс по математикe осуществляется концентрическипо спирали, основываясь на конкретном математическом понятии и формировании, в итоге, специфических для математики мыслительных структур.
II. Формирующий принцип, предусматривающий непосредственное формирование личности учащегося в образовательном процессе по математикe.
Система ценностных отношений, которые должны быть сформированы в образовательном процессе по математикe, представлена в Куррикулуме на стр. 5.
Учитель математики обязан сформулировать для каждого урока, в том числе
включить в дидактический проект хотя бы одну цель на формирование ценностных отношений.
Единицы компетенций из Куррикулума представляют собой приобретения,которые должны быть добыты учениками в конце изучения главы или в конце
учебного года. Они служат в качестве элементов/шагов в формировании специфических компетенций.
87Единицы компетенций будут оценены посредством формирующего и/илисуммативного оценивания в конце единицы обучения (главы, модуля) и/или  учебного года.
Единицы содержания представляют собой средства для добывания приобретений, предусмотренных запланированными единицами компетенций, для формирования специфических и трансверсальных/транспредметных компетенций.
Виды учебной деятельности и ее результаты/продукты – это открытый
список значимых контекстов, способствующих добыванию приобретений, запланированных единицами компетенций для формирования/развития и оцениванияв рамках единицы обучения. Учитель может выбрать те или иные виды учебной
деятельности и рекомендуемые результаты/продукты для применения на уроках,а также может дополнить этот список в зависимости от специфики класса и от наличия необходимых средств и т. п. [7].
Куррикулум школьной дисциплины Математика обосновывает и ориентирует деятельность учителя, оказывает помощь в реализации долгосрочного и краткосрочного дидактического планирования, а также в реализации процесса преподавания – учения – оценивания.

1.2. Система компетенций
Учитель должен осознать, что итоговые приобретения учащимися, в контексте
формирования компетенций – это не совокупность информации, которую надо запомнить. Для формирования соответствующей компетенции необходимо, чтобы
ученик:- овладел системой фундаментальных знаний в соответствии с проблемой, которую необходимо, в итоге, решить;- владел навыками для их осознания и способностями использования/применения в простых/стандартных условиях, осуществив, тем самым,функциональность добытых знаний;- находил решение различных проблемных ситуаций, осознавая тем самым
используемые им функциональные знания;- решал возникающие в различных контекстах проблемы окружающей действительности, используя в итоге необходимые знания, способности,навыки и отношения, т.е. применив соответствующую компетенцию.
Куррикулум основан на ключевых/трансверсальных компетенциях, определенных Кодексом об образовании Республики Молдова:   а) компетенции общения на румынском языке;б) компетенции общения на родном языке;88в) компетенции общения на иностранных языках;г) компетенции в математикe, естествознании и технологии;д) цифровые компетенции;   е) компетенция научиться учиться;ё) социальные и гражданские компетенции;ж) компетенции предпринимательства и инициативности;з) компетенции культурного выражения и осознанности культурных ценностей [1].
Приоритетными для математического образования являются ключевые компетенции г), a), б), д), е) и ж).
Специфические компетенции вытекают из ключевых/трансверсальных компетенций и представляют собой целостную систему знаний, навыков и ценностных
отношений, запланированных для формирования каждой школьной дисциплинына протяжении всего периода обучения в гимназии.
Для школьной дисциплины Математика для гимназии запланированы 7специфических компетенций:1. Использование действительных чисел для выполнения вычислений в различных контекстах, проявляя интерес к строгости и точности в вычислениях.
2. Изложение на математический язык высказывания, ситуации, решения,формулируя ясно и кратко высказывание.
3. Применение математических рассуждений для идентифицирования и решения проблем, проявляя ясность, правильность и краткость в рассуждениях.
4. Исследование совокупности данных, используя адекватные инструменты, в том числе цифровые и математические модели для изучения/описания отношений и процессов, демонстрируя настойчивость и аналитический дух.
5. Применение геометрических понятий, отношений и инструментов длярешения проблем, проявляя последовательность и дедуктивный подход.
6. Экстраполирование математических приобретений для выявления иописания процессов, явлений в различных областях, прибегая к математическим понятиям и методам при анализе и решении различных ситуаций.
7. Обоснование математического высказывания или результата, используя
аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения [7].

89Эти компетенции коррелируются с 4 специфическими компетенциями поматематикe для начального образования, развивая их:   1. Распознавание и применение математических понятий в различных ситуациях, показывая верность и связность математического языка.
2. Применение арифметических действий и их свойств в разнообразных контекстах, выражая внимание и интерес к верным, удобным и быстрым
вычислениям.
3. Решение задач на основе математических когнитивных приобретений,проявляя критическое мышление для принятия рационального плана решения.
4. Осуществление изысканий/исследований для решения проблемных ситуаций/задач, проявляя любознательность и творчество при интегрировании математических и других когнитивных приобретений.
Рекомендации Европейского парламента и Совета Европы относительно
ключевых компетенций, рекомендованных для формирования на протяжении
всей жизни (Брюссель, 2018) включают 8 ключевых компетенций:1. Компетенция грамотности;2. Лингвистические компетенции;3. Компетенции в математикe, естествознании, технике и инженерии;4. Цифровые компетенции;5. Личные, социальные и учебные компетенции, чтобы учиться;6. Гражданские компетенции;7. Предпринимательские компетенции;8. Компетенции восприятия культуры и культурно выражаться.

90

1.3. Система содержаний
Относительно системы содержаний, предложенных для изучения Куррикулумапо Математикe для гимназии, сделаны следующие основные изменения:КлассИсключенные содержания

Включенные содержания

V.

I. Множество натуральных чисел
• Решение на множестве натуральных чисел
уравнений типа: x ± a = b; a ± x = b; x × a = b,(a ≠ 0, a – делитель числа b); x : a = b (a ≠ 0);
a : x = b (x ≠ 0, b – делитель числа a), используя свойства изученных арифметических
операций и алгоритм нахождения неизвестной компоненты указанной операции.
• Составление простых уравнений и задач,используя изученные операции (в том числе
элементы сбора и обработки  данных).
• Действия с множествами: пересечение,объединение.
• Десятичная система счисления.
• Истинные  и ложные высказывания (напростых примерах).
• Операции с множествами: пересечение,объединение.
• Арифметические задачи (фигуративный
метод).

I. Множество натуральныхчисел• Округление натуральных
чисел.

II. Обыкновенные дроби. Десятичные числа
• Графический метод.
• Понятие отношение.
III. Элементы геометрии и единицы
измерения
• Измерение и приближенное оценивание
длин, периметров и площадей, используя
различные эталоны.

91

II. Обыкновенные дроби.
Десятичные числа
• Умножение дробей.
• Обратная дробь. Деление
дробей.
• Решение задач используя:метод приведения к единице,метод обратного хода.
III. Элементы геометрии иединицы измерения
• Единицы измерениядля времени (столетие,тысячелетие).

VI.

I. Натуральные числа
I. Натуральные числа
• Решение задач графическим методом, мето- • Степень с натуральным подом фальшивой гипотезы, методом сведеказателем. Свойства степениния к единице, методом обратного хода.
с натуральным показателем:произведение двух степеней
III. Рациональные числа.
с одинаковыми основаниями,Действия с рациональными числами
степень произведения, част• Понятие отрицательное рациональноеное двух степеней с одинакочисло.
выми основаниями, степень
• Множества Q+, Q– .
степени, 10 , а ≠ 0; 1n.
• Приближения.
• Понятие уравнение. Множе• Периодические десятичные числа.
ство решений уравнения.
• Среднее арифметическое.
• Решение задач составлением
• Решение на множестве Q уравнений типа:уравнений изученных типов.
x ± a = b; a ± x = b; x × a = b, (a ≠ 0); x : a = b(a ≠ 0); a : x = b (x ≠ 0), используя свойства
II. Целые числа. Действия
изученных арифметических операций и алгос целыми числами
ритм нахождения неизвестной компоненты • Свойства степени целого чисуказанной операции.
ла с натуральным показате• Общие и частные высказывания (на простых
лем.
примерах из жизни). Отрицание высказывания (на простых примерах). Истинностное
III. Рациональные числа.
значение (истинно/ложно) высказывания.
Действия с рациональными
Простые примеры на использование логичечислами
ских операторов «и», «или», «не», «если-то», • Решение задач на множестве
терминов «не менее», «не более», «некоторациональных чисел.
рые», «все», «для любого», «существует».
IV. Отношения и пропорции
IV. Отношения и пропорции
• Среднее арифметическое
• Последовательности равных отношений.
(перенос из раздела III).
• Составление пропорции на основании заданной (на простых примерах).
V. Геометрические фигуры
• Решение на множестве Q уравнений относии телательно нахождения неизвестного компонен- • Конгруэнтные отрезки. Пота пропорции.
строение отрезка, конгруэнтного данному. Середина
V. Геометрические фигуры и телаотрезка.
• Чертежные инструменты (линейка с делени- • Треугольник, четырехугольями, линейка без делений, циркуль, угольник (квадрат, прямоугольник,ник, транспортир)  и их применение припараллелограмм, ромб, траизображении различных конфигураций.
пеция) (представление путем
описания и чертежа).
• Действия с величинами углов
(градусы, минуты, секунды).
• Углы смежные дополнительoные до 90 , углы смежныеoдополнительные до 180 ,вертикальные углы, смежные
углы.

92

VII.

• Конгруэнтные углы. Построение циркулем и линейкой
угла, конгруэнтного данному.
• Биссектриса угла. Построение
биссектрисы угла транспортиром.
• Серединный перпендикуляр.
Построение серединного перпендикуляра транспортироми чертежным треугольником.
I. Рациональные числа.
I. Действительные числа
Повторение и дополнения
• Периодические десятичные
•		Понятие рациональное число.
числа.
•		Модуль рационального числа и его свойства: • Извлечение квадратного корня из неотрицательных рациональных чисел, используя
приближения/округления.
II. Алгебраические
преобразования
•Разложение
алгебраического
• Сложение, вычитание, умножение, деление,выражения
намножители,возведение в степень с натуральным показаиспользуя
вынесение
общего
телем на множестве Q. Свойства.
множителя, формулы сокращенного умножения.
II. Действительные числа

• Извлечение квадратного корня из неотриIII. Функции
цательных рациональных чисел, используя
• Постоянная функция.
алгоритм.
• Подмножества множества действительных
IV. Уравнения. Неравенства
чисел. Числовые промежутки и их изображе- •		Решение уравнения.
ние на оси.
•		Равносильные преобразования.
IV. Алгебраические отношения
V. Геометрические понятия.
• Понятие алгебраическое отношение (алПовторение и дополнения
гебраическая дробь). Область допустимых
•Элементы
математической
значений (ОДЗ).
логики.
Понятие
высказы• Арифметические операции с алгебраическивание.
Общиеичастныеми отношениями.
высказывания (на простых
• Тождество. Тождественно равные выражепримерах). Отрицание выскания.
зывания (на простых приме• Тождественные преобразования алгебраичерах). Истинностное значение
ских выражений.
(истинно/ложно) высказы• Доказательство простых тождеств.
вания. Простые примеры наиспользование логических
V. Функции
операторов «и», «или», «не»,•		Функции, определенные на множестве R, со«если-то», терминов «незначениями во множестве R.  
менее», «не более», «неко•		Соответствия, которые являются функциями
торые», «все», «для любого»,(на простых повседневных примерах).
«существует».

93

VIII.

VIII. Конгруэнтные треугольники
VI. Конгруэнтные треугольники
•		Построение (используя линейку и циркуль)   • Треугольник. Определение,угла, конгруэнтного данному, серединного
элементы, классификация
перпендикуляра,  перпендикуляра к прямой.
треугольников.
• Расстояние от точки до прямой.
• Конгруэнтные треугольники.
• Неравенства и треугольнике.
VII. Геометрические понятия.
• Биссектриса угла. Свойство
Повторение и дополнения
биссектрисы (с доказатель• Расстояние между двумя точками; длина
ством). Построение биссекотрезка. Середина отрезка. Построение оттрисы угла циркулем и линейрезка, конгруэнтного отрезка.
кой (Перенос из раздела VII.
• Биссектриса угла. Построение биссектрисы сМодернизированного куррипомощью линейки и циркуля.
кулума).
• Треугольник. Определение, элементы, клас- • Серединный перпендикусификация.
ляр. Свойство серединного
• Отношение перпендикулярности.
перпендикуляра (с доказа• Окружность. Круг. Определение, элементы.
тельством). Построение серединного перпендикуляра
циркулем и линейкой.
• Замечательные линии треугольника. Медиана треугольника. Биссектриса треугольника. Высота треугольника.
Медиатриса треугольника.
Свойства.
I. Повторение и дополнения.
I. Повторение и дополнения.
Степени и корни
Степени и корни
• Числовые множества.
• Нахождение приближенного
• Операции с множествами (объединение,значения квадратного корня,пересечение, разность, декартово
используя округления.
произведение).
• Извлечение квадратного корня (алгоритм).
II. Алгебраические вычисления
• Избавление от иррациональности в• Действительные числа, предзнаменателе отношения.
ставленных буквами.
II. Алгебраические вычисления.
I. Последовательности.
Преобразования алгебраических выражений
Функции
• Отношения действительных чисел  • Постоянная функция.
представленных буквами.
• Алгебраические отношения.
II. Уравнения II степени
• Операции с алгебраическими отношениями. • Решение задач, используя
уравнения II степени.
VI. Элементы теории вероятностей иматематической статистики
VII. Геометрические фигуры
• Понятие событие.
на плоскости. Повторение и• Классификация событий.
дополнения
• Треугольники. Замечательные
линии в треугольнике.
Свойства.

94• Нахождение вероятности события используя VIII. Метрические отношения
отношение: количество благоприятныхв прямоугольном треугольнике
случаев/количество всех возможных
• Решение прямоугольного
случаев.
треугольника.
• Свойства вероятности.
• Элементы математической статистики:IX. Многоугольники.
статистическая совокупность, статистические
Четырехугольники
единицы, статистический признак.
• Отбор, обработка  и графическое
• Понятие многоугольник.
изображение  данных посредством
Выпуклые многоугольники.
статистических таблиц, диаграмм, графиков.
Элементы.
• Правильные многоугольники:VII. Геометрические фигуры наравносторонний треугольник,плоскости. Повторение и дополнения
квадрат, правильный
•		Метод от противного.
шестиугольник.
•		Углы. Классификация углов.
• Треугольник. Элементы. Средняя линия.
Свойства.

IX.

XI. Векторы на плоскости
• Координаты вектора.
• Скалярное произведение векторов, позаданным координатам векторов. Свойства.
I. Множество действительных чисел.
Повторение и дополнения
• Подмножества.
• Промежутки действительных чисел.

II. Алгебраические отношения
• Понятие алгебраическое отношение. Область допустимых значений (ОДЗ).
• Основное свойство и сокраII. Одночлены. Многочлены.
щение алгебраических отноАлгебраические дроби
шений.
•		Понятие одночлен от одной или нескольких • Арифметические действия
переменных. Операции с одночленами.
над алгебраическими отно•		Понятие многочлен от одной или нескольшениями.
ких переменных. Операции с многочленами • Тождество. Тождественные
(сложение, вычитание, умножение, возведевыражения.  
ние в степень с натуральным показателем). • Тождественные преобразова• Канонический вид многочлена от однойния алгебраических выражепеременной. Степень многочлена от одной
ний.
переменной.  
• Доказательство некоторых
• Деление многочленов от одной переменной.
простых тождеств.
Теорема деления с остатком для многочленов.
III. Функции
• Деление на бином X – a.
• Чтение графиков.
• Теорема Безу (с доказательством).
• Разложение многочленов на неприводиIV. Уравнения, неравенства,мые множители (метод общего множителя,системы.
метод группировки, использование формул • Отношения между
сокращенного умножения, разложение ква- решениями и коэффициентами.
дратного трехчлена, комбинированные методы).

95• Понятие корень многочлена с одной переV. Элементы математической
менной.
статистики и теории
• Кратные корни.
вероятностей. Элементы
• Понятие алгебраическая дробь.
финансового исчисления
• Основное свойство дроби. Сокращение дро- • Отбор, обработка  и графибей.
ческое изображение  данных
• Операции с алгебраическими дробями (слопосредством статистических
жение, вычитание, умножение, деление,таблиц, диаграмм, графиков.
возведение в степень с целым показателем). • Интерпретация данных.
• Понятие событие.
III. Функции
• Классификация событий.
• Приложения функции II степени и ее свойств • Нахождение вероятности со(в том числе при решении неравенств II стебытия используя отношение:пени).
количество благоприятных
случаев/количество всех возV. Углы, треугольники, четырехугольники.
можных случаев
Повторение и дополнения
• Элементы финансового исчис• Углы. Классификация углов. Свойства.
ления: проценты, прибыль,• Треугольники. Элементы треугольника. КласНДС, кредиты, бюджет,сификация треугольников.
семейный бюджет, личный
• Конгруэнтные треугольники.
бюджет.
• Подобные треугольники.
• Четырехугольники.
• Частные четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Свойства. Признаки.
• Выпуклые многоугольники. Элементы. Понятие правильный многоугольник. Равносторонний треугольник, квадрат, правильный
шестиугольник.
VI. Окружность
• Треугольник, вписанный в окружность.
• Треугольник, описанный окружности.
• Четырехугольник, вписанный в окружность.
• Четырехугольник, описанный окружности.

1.4. Система видов учебной и оценочной деятельности
Система видов учебной деятельности и ее результатов/продуктов рекомендована для учителя. Однако их реализация, способствует добыванию приобретений,запланированных единицами компетенций для каждого раздела. Учитель может
дополнить этот список другими видами учебной деятельности в зависимости отсобственных предпочтений и подготовленности учащихся.  
Список учебных результатов/продуктов, которые должны быть получены учащимися, также рекомендован. Учитель, используя Референциал оценивания [4],96может использовать в образовательном процессе по математикe и другие видыучебных продуктов. Значимыми для формирования ключевых/трансверсальных
компетенций и для реализации межпредметных/транспредметных связей являются проекты STEM и STEAM. Учитель математики, совместно с учителями других дисциплин, будет реализовать такие проекты. Проекты такого типа описаны впоследнем разделе этого Гида.
Учитель математики должен осознать, что школьная компетенция проявляется в действии и материализуется в учебных продуктах. Посредством предложенных видов учебной деятельности и их результатов/продуктов Куррикулум направляет учителя на формирование специфических компетенций по математикe.

1.5. Другие элементы новизны
Куррикулум по Математике содержит и другие элементы новизны:1. Для каждого класса и каждого раздела содержания предложен список новых терминов, которые должны быть усвоены учащимися при изучении соответствующих тем. Учитель должен быть внимателен, чтобы не загружать
большим количеством новых понятий при изучении темы на уроке. И припроведении внутренних и/или внешних оцениваний запрещается использовать другие термины, отличных от указанных в Куррикулуме и используемых в учебниках математики.
2. Куррикулум содержит и конечные результаты (умения и навыки), которые
должны быть добыты учащимися в конце учебного года (например, В конце
5-го класса ученик может). Эти результаты представляют собой определенные аспекты достижения на данном этапе специфических компетенцийпо Математикe и имеют функцию определения целей для итогового оценивания. Эти результаты должны быть доведены до сведения родителей/опекунов учащихся. Учитель, в процессе обучения и в процессе оценивания,будет следить за тем, чтобы эти результаты были получены и оценены.  
3. Уточнены права учителя математики.
В рамках одного и того же класса учитель имеет право:- изменить последовательность прохождения учебного материала, еслине нарушается научная и дидактическая логика;- распределять время для изучения учебного материала в зависимостиот математической подготовленности учащихся на соответствующем этапе обучения;- группировать учебный материал различными способами, не нарушая
логику развития математических понятий;- выбрать и организовать виды учебной деятельности, адекватные конкретным условиям класса.
97

2. Какова роль целей при формировании
компетенций у учащихся по математике?
2.1. Модели (алгоритмы) по операционализации целейпо математикeДля проектирования и реализации урока важно правильно сформулировать
операциональные цели урока либо цели урока. С целью правильной формулировки операциональных целей предлагаем две модели по их операционализации
(формулировке): Модель американского педагога Мэджера (R. F. Mager) уточняет три параметра:1. описание ожидаемого результата (глагол);2. указание условий, при которых будет достигнут ожидаемый результат (условия);3. уточнение критерия приемлемого достижения (критерий успеха).
Пример. (VII класс) Ученик будет способен разложить на множители заданные алгебраические выражения, используя изученные формулы сокращенного
умножения.
Следовательно, теми тремя параметрами являются:1. разложить – ожидаемый результат;2. на множители, используя изученные формулы сокращенного умножения,выражения заданы – условия;3. алгебраические выражения – критерий успеха.
 Модель бельгийского педагога Лэндшера (G. de Landsheere) уточняет пятьпараметров:1. кто реализует запланированное действие (субъект);2. какое действие покажет, что цель достигнута (глагол);3. каким должен быть результат этого действия (достижение);4. в каких условиях будет производиться действие (условия);5. на основании каких критериев делаем вывод, что полученный результат
удовлетворительный (критерий успеха).
Пример. (VII класс) Ученик будет способен разложить на множители, используя изученные формулы сокращенного умножения, 5 из 7 заданных алгебраических выражений, по одному алгебраическому выражению для каждого из изученных формул.
Итак, выделяем следующие пять параметров:1. ученик (субъект);2. разложить (действие, глагол);3. заданные алгебраические выражения (достижение);98

4. на множители, используя формулы сокращенного (условия);5. 5 алгебраических выражений из 7 заданных, по одному алгебраическому
выражению для каждого из изученных формул сокращенного умножения
(критерий успеха).
Примечание. Учитель вправе использовать в своей практической деятельности
любую из этих моделей.

2.2. Глаголы, которые не используютсяпри формулировке операциональных целей
Выбор глагола для формулировки цели имеет очень большое значение.
Вместо глаголов вида знать, выбирать, оценивать, ознакомить, постигать и
др., очень важных для общения, желательно использовать глаголы, описывающие
действия, посредством которых ученики продемонстрируют соответствующие способности. Речь идет о применении глаголов, описывающих действия доступно наблюдению, «измеряемые», вида: идентифицировать, называть, перечислять,классифицировать, резюмировать, описывать, писать, решать, рисовать, объяснять, отбирать, доказывать, разрабатывать, экспериментировать, определить, уточнять, делать различие между..., написать формулу, изобразить
диаграмму, представлять графически, письменно формулировать рассуждение,делать выводы о выполненных наблюдениях, составить список соответствующих причин и следствий, заполнить таблицу, изобразить геометрическую фигуру и т. д., включительно те глаголы, которые указаны в таксономии Блума.
Следовательно, учитель должен осознавать, что  глаголы знать, учить, узнавать, уметь, понимать, владеть, выявлять, воспринять, усвоить не применяются при формулировке целей урока или другого образовательного мероприятия.

2.3. Требования, которые ставятся перед операциональными
целями к уроку и/или дидактическому мероприятиюпо математикeНиже приведены основные требования, которые должны быть учтены приформулировке операциональных целей дидактического мероприятия (урока):• операциональная цель должна завизировать только одно действие, чтобы было возможно измерить и оценить уровень ее достижения;• операциональная цель должна быть выражена небольшим количеством
слов, чтобы можно было лучше понять ее сущность;• операциональные цели должны быть логически интегрированными идифференцированными, представляя тем самым четкую логику относительно учебного содержания и соответствующих учебных ситуаций;99• операциональные цели должны быть четкими, ясными и понятными какдля учащихся, так и для учителя;• операциональные цели должны быть доступными большинству учащихся и достигнутыми за определенный конкретный период времени;• операциональные цели не должны быть многочисленными для запланированного дидактического мероприятия.
Система целей запланированных для урока должна включать: по крайней мере одну цель, относящаяся к добыванию знаний (Чтобудет знать ученик?); хотя бы две цели, относящихся к применению изученного, формированию способностей, умений, навыков (Что будет уметь делать
ученик?); по крайней мере одну цель, относящаяся к формированию ценностных отношений (Каким будет ученик?).
В общем, как правило, для урока в 45 минут приемлемы 4-6 целей (операциональных), а единиц компетенций – приемлемы 1-5 единицы.
• операциональные цели должны соответствовать возрасту учеников, ихподготовленности и приобретенному ранее опыту.

2.4. Методология конвертирования единиц компетенций в целиЦели (операциональные) урока должны исходить из единиц компетенций,предусмотренных для соответствующего раздела (модуля, главы). Каждый раз,составляя дидактический проект урока, учитель, в соответствии с календарнотематическим планированием, будет определять, какие   единицы компетенции
являются приоритетами для соответствующего урока и будет конвертировать этиединицы компетенции в цели урока. Предлагаем несколько примеров конвертирования единиц компетенций в цели.
Пример 1. V класс. Раздел II. Обыкновенные дроби. Десятичные числа
Единица компетенции 2.2. Распознавание и представление обыкновенных
дробей и конечных десятичных чисел в различных формах.
Она может быть конвертирована (используя модель Мэджера (Mager)) в следующие операциональные цели:В конце урока ученики будут способны:O1: распознавать в различных реальных и/или смоделированных ситуациях
обыкновенные дроби;O2: распознавать в различных контекстах конечные десятичные числа;O3: представлять заданные обыкновенные дроби в указанных формах;O4: представлять заданные конечные десятичные числа в указанных формах.

100В контексте формирования компетенций учитель может формулировать и комплексные цели урока (содержащие два и более глаголов). Например: O5: Ученики
будут способны распознавать в различных реальных и/или смоделированных ситуациях обыкновенные дроби и представлять эти дроби в указанные формы илиУченики будут способны распознавать в различных реальных и/или моделированных ситуациях обыкновенные дроби и конечные десятичные числа и представлять эти дроби и десятичные числа в указанные формы.
Пример 2. VII класс, V. Геометрические понятия. Повторение и дополнения
Рассмотрим единицу компетенции 5.3. Изображение на плоскости изученных
геометрических фигур, используя чертежные инструменты, и применение полученных изображений при решении задач.
Она может быть конвертирована (используя модель Мэджера (Mager)) в следующие операциональные цели:В конце урока ученики будут способны:O1: изображать на плоскости изученные геометрические фигуры (основные
геометрические фигуры; углы; прямые; другие геометрические фигуры),используя адекватные инструменты;O1: применять изображения изученных геометрических фигур(основные  геометрические фигуры; углы; прямые; другие геометрические фигуры) прирешении задач.
Примечание. Учитель будет использовать эти же формулировки при формулировке целей урока на которых будут, последовательно, изучаться соответствующие геометрические фигуры.
Куррикулум по Математикe для гимназии содержит и единицы компетенцийс аспектами формирования ценностных отношений. Например, единицы компетенций 2.9 (V класс), 4.6, 5.8 (VI класс), 2.7 (VII класс), 9.8 (VIII класс), 5.10 (IX класс).
Ценностные отношения, которые должны быть сформированы в процессе обучения Математики в гимназии представлены в Куррикулуме на стр.6.  [7]Важную помощь учителю Математики при формулировании целей, исходящих из единиц компетенций, может оказать таксономия Блума (Bloom). В современной педагогике признаны три основных уровня целеполагания:• когнитивный уровень – усвоение знаний, формирование навыков и умственных способностей;• аффективный уровень – формирование убеждений, чувств, отношений;• психомоторный уровень – разработка двигательных навыков, мануальных действий и т. п.
Глаголы, посредством которых операционализируются учебные действия накогнитивном уровне, представлены ниже; классификация глаголов соответствует
таксономии Блума (Bloom).

101Когнитивный уровень(A) Знание (познание) – идентифицировать, различать, распознавать, добывать, определять;(Б) Понимание – переносить, трансформировать, объяснять своими словами,иллюстрировать, читать, представлять, пересказывать, переформулировать, написать заново (Транспонирование); интерпретировать, реорганизовать, переставлять, дифференцировать, различать, выполнять, определять, доказы­вать (Интерпретация): оценивать, внедрять, делать выводы, предусматривать, дифференцировать, определять, расширять, экстраполировать, интерполи­ровать, дополнять
(Экстраполирование);(B) Применение – применять, обобщать, устанавливать связи, отбирать, развивать, организовывать, использовать, употреблять, переносить, классифицировать,реструктурировать;(Г) Анализ – различать, распознавать, идентифицировать, расчленять, узнавать,категоризировать, выводить (Поиск элементов); контрастировать, анализировать,сравнивать, различать, выводить (Поиск связей); анализировать, различать, обнаруживать, выводить (Поиск принципов организации);(Д) Синтез – писать, рассказывать, излагать, производить, создавать, творить,передавать, модифицировать, документироваться (Создание собственного произведения): предлагать, планировать, создавать, проекти­ровать, модифицировать,отмечать (Разработка плана действий); создавать, дифференцировать, развивать,комбинировать, организовывать, синтези­ровать, классифицировать, выводить,формулировать, модифицировать (Дифференцирование некоторых абстрактных
отношений из некоторой совокупности);(Е) Оценка – рассуждать, аргументировать, утверждать, оценивать, призна­вать,принимать решение, сравнивать, стандартизировать.
Аффективный уровень(А) Восприятие – отбирать, выбирать, переносить;(Б) Реакция – проявлять себя, интерпретировать, реализовывать, отбирать,        мотивировать;(В) Осуществление – проявлять умение, отношение, понимание, способность;(Г) Организация системы ценностей – теоретизировать, определять систему
собственных критериев, интегрироваться в систему более высокого мышления иповедения;(Д) Усвоение этико-эстетических ценностей – радоваться успеху своему и    других, избегать злоупотреблений и осуждать злоупотребления.
Примечание. Указанные выше глаголы помогут учителю конвертировать
единицы компетенций в цели.

102

3. Как реализуется долгосрочное планированиепо математике в контексте школьного
куррикулума?
3.1. Куррикулум, как источник для долгосрочного планированияПри разработке долгосрочного планирования учитель будет использовать: Куррикулум по математикe; учебник математики для соответствующего класса; методический гид к учебнику математики (если существует); методологический гид по внедрению Куррикулума по Математикe в гимназии; методическое письмо (методологические ориентиры организации образовательного процесса по математикe), которое издается ежегодно министерством.
Примечание. Учитель разработает долгосрочное планирование, как правило, по учебнику Математики, по которому учатся ученики соответствующего класса. Учебник должен соответствовать школьному Куррикулуму поМатематикe.
В контексте формирования компетенций, при разработке долгосрочного планирования (не важно по какой схеме) учителю следует учитывать следующие требования:1. Для каждой главы, в первой колонке плана, будут указаны индикаторы всехспецифических компетенций, согласно куррикулуму, приоритетных дляэтой главы;2. Для каждой темы урока соответствующей главы учитель определит, какие
единицы компетенций, запланированные в куррикулуме, будут реализоваться посредством этого содержания и укажет соответствующие индикаторы во второй колонке плана.
3. Для содержаний (тем), которые повторяются согласно образовательной спирали, в плане будут запланированы по 1-2 часа, а для каждого нового содержания (темы) не менее 2-3 часов.
4. Для каждой главы в обязательном порядке в плане будет запланировано
хотя бы по 1 часу для итогового повторения и 1 часу для реализации интегрирующего синтеза предыдущего изученного материала с материалом
данной главы.   
5. В плане указываются также и часы, предусмотренные для проведения первичного и итогового оценивания к главе.
103

6. Нумерация всех уроков в долгосрочном планировании (независимо от формы) должна быть последовательной.
7. Учитель может, по возможности, планировать и уроки анализа итогового
оценивания.
Примечание. После утверждения администрацией долгосрочного планирования учитель имеет право на протяжении учебного года вносить в нем корректировки, занесенные в колонку Примечание (в зависимости от конкретной ситуации
сложившейся в процессе обучения математикe).
Рекомендуется следующее распределение тем по классам и часам
Класс

Темы

Кол-во часов

V

I. Множество натуральных чисел
II. Обыкновенные дроби. Десятичные числа
III. Элементы геометрии и единицы измеренийПо выбору учителя

VI

I. Натуральные числа
II. Целые числа. Действия с целыми числами
III. Рациональные числа. Действия с рациональными
числами
IV. Отношения и пропорции
V. Геометрические фигуры и телаПо выбору учителя

VII

I. Действительные числа
II. Алгебраические преобразования
III. Функции
IV. Уравнения. Неравенства
V. Геометрические понятия. Повторение и дополнения
VI. Конгруэнтные треугольникиПо выбору учителя

VIII

I. Действительные числа. Повторение и дополнения
II. Алгебраические преобразования
III. Последовательности. Функции
IV. Уравнения. Неравенства. Системы
V. Уравнения II степени
VI. Геометрические фигуры на плоскости. Повторение идополнения
VII. Подобные треугольники
VIII. Метрические отношения в прямоугольном
треугольнике.
IX. Многоугольники. Четырехугольники  X. Векторы на плоскостиПо выбору учителя

104

44
46
36
10
Итого: 136 часов
20
22
30
22
32
10
Итого: 136 часов
20
14
21
17
22
32
10
Итого: 136 часов
13
10
11
18
16
10
13
13
13
9
10
Итого: 136 часов

IX

I.

Множество действительных чисел. Повторение идополнения
II. Алгебраические отношения
III. Функции
IV. Уравнения, неравенства, системы
V. Элементы математической статистики и теории
вероятностей. Элементы финансового исчисления
VI. Окружность. Круг. Повторение и дополнения
VII. Площади
VIII. Многогранники
IX. Тела вращения
X. Итоговое повторение

10
11
15
22
11
8
13
10
12
20
Итого: 132 часаПримечание:1. Распределение часов будет проводиться из расчета 4 часа в неделю.
2. Распределение часов по темам и предполагаемая последовательностьтем ориентировочно.
3. Последовательность изучаемых тем, в пределах одного и того же класса,можно изменить, если не ущемляются научно-математическая и дидактическая логика.

105

106

1.1, 1.2, 1.4, 1.5
1.1, 1.2, 1.4, 1.5
1.1 – 1.5
1.1 – 1.5
1.1 – 1.5
1.1, 1.2, 1.4, 1.5
1.1, 1.2, 1.4, 1.5
1.1, 1.2, 1.4, 1.5
1.1, 1.2, 1.4, 1.5
1.1, 1.2, 1.4, 1.5
1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5

6-7
8-9
10
11
12
13-14
15-16
17-18
19–20
21-22
23-24

I.
1-2
3-5

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

1.1, 1.2, 1.3
1.1, 1.2, 1.3№п/пИндикаторы специфических компетенций(СК) и единиц компетенций (ЕК)согласно Куррикулума
СКЕКСодержания
Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоМножество натуральных чисел
Запись и чтение натуральных чисел.
Изображение натуральных чисел на оси.
Сравнение и упорядочивание натуральных
чисел. Округление натуральных чисел.
Сложение натуральных чисел.  
Вычитание натуральных чисел.
Итоговый урок.
Первичное оценивание.
Анализ первичного оценивания.
Умножение натуральных чисел.
Деление натуральных чисел.
Деление с остатком.
Понятие степень числа.
Квадрат и куб натурального числа.
Порядок выполнения действийи использования скобок.

V класс

3.2.1. Календарно-тематическое планирование

3.2. Дидактическое планирование по Математикe

2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2

22
105
9
136
44
2
3

Кол-во
часовДатаПримечание

107

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

30
31
32-34
35-36
37-38
39-42
43
44
45
46
II.
47-48
49-50
51-52
53-54
55-56
57
58
59
60-61
62-63
64-65

1.1 – 1.6, 1.8
1.1 – 1.6, 1.8
1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.7
1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.7

1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.7

1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.7
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8

2.1, 2.2, 2.3, 2.4

2.1 – 2.5
2.1 – 2.5
2.1 – 2.5
2.2, 2.3
2.2, 2.3, 2.4
2.1 – 2.5
2.1 – 2.5

2.1, 2.2
2.1, 2.2, 2.3
2.1, 2.2, 2.3, 2.4

25-29

1.4, 1.5, 1.6, 1.8Решение задач на множестве натуральных
чисел используя:- метод сведения к единице;- метод обратного хода.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Множества. Способы задания множества.
Делитель. Множество делителей
натурального числа.
Кратное. Множество кратных натурального
числа.
Признаки делимости на 2, 5 и 10.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Обыкновенные дроби. Десятичные числа
Понятие дробь.
Изображение дробей с помощью рисунков.
Выделение целой части из дроби.
Представление смешанного числа в виденеправильной дроби.
Равносильные дроби. Основное свойство
дроби. Сокращение дробей.
Приведение дробей к общему знаменателю.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Изображение дроби на числовой оси.
Сравнение дробей.
Сложение и вычитание дробей.
Умножение дробей.
2
1
1
1
2
2
2

2

4
1
1
1
1
47
2
2
2

2

1
1
3
2

5

108

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

78-79
80-81
82-83
84-85
86-89

2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

2.1, 2.2, 2.3 2.4, 2.5

2.1, 2.2, 2.3,2.4,2.5
2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7

94-96
97-99
100-102103-105106

3.1, 3.2, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4

3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4

90
91
92
93
III.

76-77

2.2, 2.3, 2.4, 2.5

2.1 – 2.7
2.1-2.7, 1.3,1.4,1.6
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7

66-67
68-69
70
71
72-73
74-75

2.1 – 2.6
2.4, 2.5, 2.6, 2.7
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7
2.1, 2.2
2.1, 2.2, 2.3

Обратная дробь. Деление дробей.
Нахождение дроби от числа.  
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Понятие десятичное число.
Сравнение, упорядочивание, изображениена оси конечных десятичных чисел.
Округления.
Сложение и вычитание конечных
десятичных чисел.
Умножение конечных десятичных чисел.
Деление конечных десятичных чисел на 10,100, 1000.
Возведение конечного десятичного числа вквадрат и в куб.
Порядок выполнения действий
Решение задач, используя:- метод сведения к единице;- метод обратного хода.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Aнализ итогового оценивания.
Элементы геометрии и единицы
измерения
Геометрические фигуры.
Чертежные инструменты.
Пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые.
Геометрические тела.
Итоговый урок.
3
1

3
3
3

1
1
1
1
39

2
4

2

2
2

2

2
2
1
1
2
2

109

110-111
112
113-114115
116-117118
119
120
121-122123-124125-126
127-128
129
130
131
132
133-136

3.1, 3.6, 3.8, 3.9, 3.10

3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9

3.1, 3.6, 3.8, 3.9, 3.10
3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9

3.1 – 3.10
3.1 – 3.10
3.1 – 3.10
3.1, 3.6, 3.8

3.1, 3.6, 3.8

3.1, 3.5 – 3.10

3.1, 3.5 – 3.10

3.1 – 3.10
3.1 – 3.10, 2.5, 2.6
3.1 – 3.10
3.1 – 3.10
1.1 – 3.10

107
108
109

3.5, 3.6, 3.8, 3.9, 3.10

3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.6, 3.8Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Основные единицы измерения  длины;преобразования этих единиц.
Длина отрезка, длина ломанной. Периметр
треугольника и четырехугольника.                                 Основные единицы измерения  площади.
Преобразования этих единиц.
Площадь квадрата и прямоугольника.
Основные единицы измерения объема.
Преобразования этих единиц.
Объем куба и прямоугольного
параллелепипеда.
Итоговый урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Основные единицы измерения емкости.
Преобразования этих единиц.
Основные единицы измерения  массы,Преобразования этих единиц.
Основные единицы измерения  времени.
Преобразования этих единиц.
Денежные единицы. Преобразования
денежных единиц.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Повторение.
1
1
1
1
4

2

2

2

1
1
1
2

1
2

2

1

2

1
1
1

110

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
1
2
3-5
6
7-8
9-10
11-12
13-14
15-16
17-18
19
20
21
22

1.1, 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9

1.1, 1.2, 1.3, 1.4

1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 1.9

1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6

1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6
1.1, 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9

1.1, 1.2, 1.7

1.7, 1.6, 1.8, 1.9
1.1 – 1.9
1.1 – 1.9
1.1 – 1.9
1.1 – 1.9№

1.1, 1.2, 1.6
1.1, 1.2, 1.3, 1.6Индикаторы специфических компетенций(СК) и единиц компетенций (ЕК) согласно
Куррикулума
СКЕКОбщее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоНатуральные числа
Множество натуральных чисел (N, N*).
Делитель. Кратное. Простые и составные
числа.    
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Чётные и нечётные числа.
Разложение натуральных чисел в виде произведения степеней простых множителей.
Общий делитель двух натуральных чисел.
НОД двух натуральных чисел.
Общие кратные двух натуральных чисел.
НОК двух натуральных чисел.
Степень с натуральным показателем.
Свойства степени с натуральным
показателем.
Понятие уравнение. Множество решений
уравнения.
Решение задач с помощью уравнений.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

Содержания

VI класс

2
1
1
1
1

2

2
2

2

2

1

3

17
112
7
136
22
1
1

Кол-во
часовДатаПримечание

111

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

47-48
49
50-51
52-53
54-55

3.1, 3.2, 3.5, 3.9, 3.10
3.1, 3.2, 3.3, 3.5

3.1, 3.2, 3.3, 3.5

3.2, 3.4, 3.5, 3.640

2.2 - 2.5, 2.7, 2.8

3.1, 3.2, 3.3, 3.5

33-34
35
36-37
38-39

2.2 - 2.5, 2.7, 2.8
2.2 - 2.5, 2.7, 2.8
2.2 - 2.5, 2.7, 2.8
2.2 - 2.5, 2.7, 2.8

41-42
43
44
45
46
III.

25-26
27-28
29-30
31-32

2.1,2.2,2.5,2.7,2.8
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
2.2, 2.3, 2.4, 2.5
2.2 - 2.5, 2.7, 2.8

2.1,2.2, 2.6, 2.8
2.1 – 2.8
2.1 – 2.8, 1.7
2.1 – 2.8
2.1 – 2.8

II.
23-24

2.1, 2.2, 2.3, 2.4

Целые числа. Действия с целыми числами
Понятие целое число. Множество целых
чисел Z.
Модуль целого числа.
Упорядочивание и сравнение целых чисел.
Сложение целых чисел. Свойства.
Вычитание целых чисел. Порядок
выполнения действий.
Умножение целых чисел. Свойства.
Общий множитель.
Деление целых чисел.
Степень целого числа с натуральным
показателем. Свойства степени целого числас натуральным показателем.
Порядок выполнения действий ииспользования круглых, квадратных скобок.
Решение на множестве Z уравнений.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Рациональные числа.
Действия с рациональными числами
Рациональные числа. Изображение
рациональных чисел на оси.
Модуль рационального числа.
Различные формы записи рационального
числа.
Сравнение рациональных чисел. Округление
рациональных чисел.
Сложение рациональных чисел. Свойства.
Вычитание рациональных чисел.
2

2

1
2

2

2
1
1
1
1
31

1

2
1
2
2

2
2
2
2

24
2

112

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

69

3.6, 3.7, 3.9, 3.10

4.1, 4.2
79-80
81
82-83
84-85
86-87
88-89
90
91-92

66
67-68

3.1 – 3.6, 3.8, 3.9
3.1 – 3.6, 3.8, 3.9

4.1,4.2,4.5,4.6,4.7
4.1,4.2,4.5,4.6,4.7
4.1,4.2,4.5,4.6,4.7
4.1,4.2,4.5,4.6,4.7
4.1,4.2,4.5,4.64.7
4.2,4.4,4.5,4.6,4.7
4.2,4.4,4.5,4.6,4.7
4.2,4.4,4.5,4.6,4.7

62-63
64-65

3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.8, 3.9
3.4,3.5,3.6,3.8,3.9

70-71
72-73
74
75
76
77
IV.
78

58
59-60
61

3.2, 3.4, 3.5, 3.9, 3.10
3.2, 3.4, 3.5, 3.6
3.2, 3.4, 3.5, 3.6, 3.8, 3.9

3.1,3.2,3.7,3.8,3.9
3.1,3.2,3.7,3.8,3.9
3.1 – 3.10
3.1 – 3.10,2.4,2.6, 2.7
3.1 – 3.10
3.1 – 3.10

56-57

3.2, 3.4, 3.5, 3.6, 3.9Порядок выполнения действий ииспользования скобок.
Умножение рациональных чисел. Свойства.
Общий множитель.
Степень рационального числа снатуральным показателем.
Деление рациональных чисел.
Порядок выполнения действий ииспользования скобок.
Итоговое оценивание.
Нахождение дроби от числа. Нахождение
числа по заданной дроби.
Решение задач на множестве рациональных
чисел.
Множества. Способы задания множества.
Действия над множествами
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Отношения и пропорции
Отношения. Последовательности равных
отношений.
Пропорции. Основное свойство пропорции.
Нахождение неизвестного члена пропорции.
Прямо пропорциональные величины.
Обратно пропорциональные величины.
Простое правило трех.
Проценты. Нахождение процентов от числа.
Нахождение числа по заданным процентам.
Нахождение процентного отношения.
Задачи.
2
1
2
2
2
2
1
2

2
2
1
1
1
1
24
1

1

1
2

2
2

1
2
1

2

113

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

122-123124
125-126
127-128
129-130
131
132
133
134
135

5.1, 5.2, 5.3, 5.4,5.5
5.2,5.6,5.7,5.8,5.9
5.1,5.2,5.6,5.7,5.8
5.6, 5.7
5.6, 5.7, 5.8, 5.9
5.1,5.2,5.3,5.4,5.7
5.1,5.2,5.3,5.4,5.7
5.1 – 5.5, 5.7, 5.8, 5.9
5.1, 5.6, 5.7-5.9

5.1,5.2,5.3,5.4,5.6

5.4, 5.5,5.8, 5.9
5.5,5.6,5.7, 5.8, 5.9
5.6, 5.7, 5.8, 5.9
5.1-5.3,5.5,5.7-5.9
5.1, 5.2, 5.6, 5.7
5.1 – 5.9
5.1 – 5.9, 4.4, 4.5
5.1 – 5.9
5.1 – 5.9
136

107-108109
110-111
112-113
114
115-116
117-118
119120-1215.1, 5.2, 5.3
5.1,5.2,5.3,5.4,5.5
5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5

1.1 – 5.9

93-94
95
96-97
98
99
100
101
V.
102
103-104
105-106

4.2,4.4,4.5,4.6,4.7
4.5, 4.6, 4.7
4.2,4.4,4.5,4.6,4.7
4.1 – 4.7
4.1 – 4.7, 2.5, 2.6
4.1 – 4.7
4.1 – 4.7

Повторение.

Элементы сбора и обработки данных.
Среднее арифметическое.
Элементы теории вероятностей.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Aнализ итогового оценивания.
Геометрические фигуры и телаГеометрические фигуры.
Длина отрезка. Конгруэнтные отрезки.
Треугольник, четырехугольник. Периметр
треугольника, четырехугольника.  
Многоугольник. Периметр многоугольника.
Площадь квадрата, прямоугольника.
Углы. Градусная мера углов.
Действия  с величинами углов.
Классификация углов.
Конгруэнтные углы.
Биссектриса угла.
Итоговое оценивание.
Пересекающиеся прямые, параллельные иперпендикулярные прямые.
Серединный перпендикуляр. Построение
серединного перпендикуляра.
Кривая линия. Окружность. Круг. Элементы.
Число . Длина окружности. Площадь круга.
Геометрические тела.
Развертка изученного геометрического тела.
Объем куба и кубоида.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
1

1
2
2
2
1
1
1
1
1

2

2
1
2
2
1
2
2
1
2

2
1
2
1
1
1
1
34
1
2
2

114

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
1
2
3
4-5
6-7
8-9
10-11
12-13
14
15-16
17-18

1.1, 1.2, 1.3

1.3, 1.7, 1.8
1.1, 1.2, 1.3, 1.4

1.1, 1.2, 1.3, 1.4

1.1, 1.2, 1.3, 1.4

1.4, 1.6, 1.7, 1.8

1.1, 1.2, 1.3, 1.5

1.4, 1.6, 1.7, 1.8
1.4, 1.6, 1.7, 1.8

1.4, 1.6, 1.7, 1.8№

1.1, 1.2, 1.3

Индикаторы специфических компетенций(СК) и единиц компетенций (ЕК)согласно Куррикулума
СКЕКСодержания
Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоДействительные числа
Множество рациональных чисел Q.
Отношения включения NZQ.
Десятичные числа. Периодические
десятичные числа.
Изображение рациональных чисел на оси.
Понятие квадратный корень изнеотрицательного рационального числа.
Понятие иррациональное число.
Понятие действительное число.
Множество действительных чисел.
Действия над множествами N, Z, Q, R и надих подмножествами.
Модуль действительного числа. Свойства.
Действия над действительными числами:сложение, вычитание, умножение, деление,возведение в степень с натуральным
показателем.
Свойства квадратного корня.
Внесение множителя под знак корня;вынесение множителя из-под знака корня.
Сравнение, упорядочивание и изображениена оси действительных чисел.

VII класс

2

1
2

2

2

2

2

1
2

1

25
104
7
136
22
1

Кол-во
часовДатаПримечание

115

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

19
20
21
22
II.
23-24
25-27
28-30
31-33
34
35
36
37
III.
38-40
41-42
43-44
45-46
47-48
49-50
51-53
54-56
57
58
59
60

2.1, 2.2, 2.4

2.1, 2.2, 2.4

2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.7
2.2, 2.3, 2.5, 2.6,2.7

2.1 – 2.7
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7

3.1, 3.8
3.1, 3.8
3.1, 3.2, 3.3, 3.4

3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
3.1 – 3.8
3.1 – 3.8
3.1 – 3.8
3.1 – 3.8

1.1 – 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8

Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Алгебраические преобразования
Действительные числа, представленные
буквами. Алгебраические выражения.
Действия с действительными числами,представленными буквами.
Формулы сокращенного умножения.
Разложение алгебраического выражения намножители.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Функции
Декартова система координат на плоскости.
Координаты точки.
Расстояние между двумя точками наплоскости.  
Понятие функция.
Способы задания функции.
Понятие график функции.
Функция I степени. Постоянная функция.
Прямая пропорциональность.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Aнализ итогового оценивания.
2
2
2
3
3
1
1
1
1

1
1
1
1
23
3
2
2

3
3

3

1
1
1
1
15
2

116

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.
68-69

4.1, 4.2, 4.8

71-72
73-74
75
76
77
78
V.
79-80
81-82
83-84
85-86
87-88
89-90
91

4.1, 4.2, 4.3, 4.4

4.1, 4.2, 4.3, 4.4
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8

5.1, 5.2, 5.3, 5.9

5.1, 5.2, 5.3, 5.4

5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5
5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.6
5.1, 5.3, 5.6, 5.7, 5.9

5.1, 5.3, 5.6, 5.7, 5.9

5.1, 5.3,5.6, 5.7, 5.9

70

66-67

4.4, 4.6, 4.7, 4.8

4.5, 4.8

IV.
61
62
63-65

4.1, 4.2
4.1, 4.2, 4.4
4.1, 4.2, 4.3, 4.4Уравнения. Неравенства.
Понятие уравнение с одним неизвестным.
Решение уравнения.
Равносильные уравнения. Равносильные
преобразования.
Уравнения I степени с одним неизвестным иприводимые к ним.
Решение задач с помощью уравнений.
Числовые неравенства. Свойства.
Понятие числовой промежуток. Операции счисловыми промежутками
Понятие неравенство с одним
неизвестным. Равносильные неравенства.
Неравенства I степени и приводимые к ним.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Aнализ итогового оценивания.
Геометрические понятия.
Повторение и дополнения
Элементы математической логики. Понятие
высказывание.
Основные геометрические понятия: Прямая,Полупрямая, Отрезок.
Понятие угол. Классификация углов.
Величина угла.
Математические высказывания. Понятия
определение, аксиома, теорема, условие,заключение, доказательство, следствие.
Теорема, обратная теорема. Пример,контрпример.
Метод от противного.
1

2

2
2
2

2

2

2
1
1
1
1
23

2

1

2

2

18
1
1
3

117

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

96-97
98
99
100
101
VI.
102

5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9

5.1 – 5.9
5.1 – 5.9
5.1 – 5.9
5.1 – 5.9

105-106
107-108
109-110111-112113-114115-116
117-118
119120-121122-123
124-125

6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5

6.1, 6.3, 6.5, 6.7, 6.8

6.1, 6.3, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9
6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.9

6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.9
6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.9
6.1 – 6.9

6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.8
6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.9

6.4, 6.5,6.7, 6.8, 6.9

6.1, 6.2, 6.3

103-104

94-95

5.1, 5.3, 5.6, 5.7, 5.9

6.2, 6.3

92-93

5.1, 5.3, 5.6, 5.7, 5.9Параллельные прямые. Признаки
параллельности.
Перпендикулярные прямые. Расстояние отточки до прямой.
Симметрия относительно точки, симметрия
относительно прямой.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Aнализ итогового оценивания.
Конгруэнтные треугольники
Понятие треугольник. Классификация
треугольников.
Отношение конгруэнтности. Конгруэнтные
отрезки. Конгруэнтные углы.
Конгруэнтные треугольники. Признаки
конгруэнтности треугольников.
Построение (циркулем и линейкой)треугольников по признакам СУС, УСУ, ССС.
Неравенства в треугольнике.
Признаки конгруэнтности дляпрямоугольных треугольников.
Метод конгруэнтных треугольников.
Биссектриса угла. Свойство биссектрисы.
Серединный перпендикуляр. Свойство
серединного перпендикуляра.
Итоговое оценивание.
Замечательные линии треугольника.
Медиана  треугольника. Биссектриса
треугольника. Высота треугольника.
Медиатриса треугольника. Свойства.
2

1
2
2

2
2
2

2
2

2

2

2

1
1
1
1
34
1

2

2

2

118

129
130-131

6.4, 6.5,  6.7, 6.8,6.9
6.2, 6.4, 6.7, 6.9
132
133
134
135
136

128

6.4, 6.5, 6.7, 6.8, 6.9

6.1 – 6.9
6.1 – 6.9
6.1 – 6.9
6.1 – 6.9
1.1 – 6.9

126-127

6.4, 6.5, 6.7, 6.8, 6.9

Сумма углов треугольника. Теорема овнешнем угле треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника.
Свойства равностороннего треугольника.
Средняя линия треугольника. Свойства.
Прямоугольный треугольник. Свойства
прямоугольного треугольника.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Повторение.
1
1
1
1
1

1
2

1

2

119

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

9
10
11
12
13
14
II.
15
16-17
18-19

1.2, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9
1.3, 1.5, 1.7, 1.8, 1.9
1.1 – 1.9
1.1 – 1.9
1.1 – 1.9
1.1 – 1.9

2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.6
2.3, 2.4, 2.5, 2.6

2.1, 2.2, 2.3

5-6
7-8

2-3
4

1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6
1.2, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9

1.2, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9
1.2, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9

1

I.

№

1.1, 1.3, 1.4, 1.7

Индикаторы специфических компетенций(СК) и единиц компетенций (ЕК)согласно Куррикулума
СКЕКОбщее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоДействительные числа.
Повторение и дополнения
Множество действительных чисел. Модуль
действительного числа.
Действия над действительными числами.
Степени с натуральным показателем.
Свойства  Степени с целым показателем. Свойства.
Квадратный корень. Свойства квадратного
корня.
Внесение множителя под знак корня.
Вынесение множителя из-под знака корня.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Алгебраические преобразования
Действительные числа, представленные
буквами. Действия с действительными
числами, представенными буквами.
Формулы сокращенного умножения.
Методы разложения алгебраического
выражения на множители.

Содержания

VIII класс

2
2

1
1
11
1

1
1
1

2
1

1
2

1

39
87
10
136
14

Кол-во
часовДатаПримечание

120

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.
28
29
30
31-32
33
34
35
36
37
IV.
38
39-40

3.1,3.2,3.3,3.4, 3.5, 3.6

3.3,3.4,3.5,3.6, 3.7, 3.8

3.3,3.4,3.5,3.6, 3.7, 3.8
3.3,3.4,3.5,3.6, 3.7, 3.8
3.3,3.4,3.5,3.6, 3.7, 3.8
3.1 – 3.8
3.1 – 3.8, 2.3, 2.5
3.1 – 3.8
3.1 – 3.8

4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.7

4.2, 4.3, 4.7

4.1, 4.3, 4.5, 4.7

4.1, 4.2, 4.3

42-43

41

22
23
24
25
III.
26-27

2.1 – 2.6
2.1 – 2.6, 1.5, 1.6, 1.7
2.1 – 2.6
2.1 – 2.6

3.1, 3.2, 3.3, 3.4

20-21

2.1 – 2.6

Тождественные преобразования
алгебраических выражений.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Последовательности. Функции
Понятие числовая после-довательность.
Способы задания последовательности.
Классификация  последовательностей.
Понятие функция. Способы задания
функции.
Функция I степени. Свойства. Постоянная
функция.
Прямая пропорциональность.
Обратная пропорциональность.
Функция квадратный корень. Свойства.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Уравнения. Неравенства. Системы
Понятие уравнение I степени с одним
неизвестным.
Понятие уравнение I степени с двумя
неизвестными.
Понятие система двух уравнений I степенис двумя неизвестными. Методы решения
систем двух уравнений I степени с двумя
неизвестными.
Решение текстовых задач с помощью
уравнений и/или систем уравнений.
2

1

2

1
2
1
1
1
1
1
19
1

1

1

1
1
1
1
12
2

2

121

48
49-50
51-52

4.1,4.3,4.4,4.7, 4.8, 4.9

4.3,4.5,4.6,4.7, 4.8, 4.9

4.1,4.3,4.5,4.6, 4.8, 4.9

62-63
64-65
66-67
68-69

5.1, 4.2, 5.3, 5.4, 5.5

5.1, 5.6, 5.7

5.2, 5.3, 5.6, 5.7

5.2,5.3,5.4,5.5,5.6, 5.7
70
71
72
73

60-61

5.1, 4.2, 5.3, 5.4, 5.5

5.1 – 5.7
5.1 – 5.7
5.1 – 5.7
5.1 – 5.7

58-59

5.1, 4.2, 5.3, 5.4, 5.5

5.1, 5.2, 5.3, 5.4

53
54
55
56
V.
57

47

4.2,4.3,4.5,4.6,4.7,4.9

4.1 – 4.9
4.1 – 4.9
4.1 – 4.9
4.1 – 4.9

44-45
46

4.4,4.5,4.6,4.7, 4.8, 4.9
4.1, 4.3, 4.7,4.9

Числовые неравенства. Свойства.
Числовые промежутки. Операции счисловыми интервалами.
Понятие неравенство I степени с одним
неизвестным.
Решение неравенств I степени с одним
неизвестным.
Понятие система неравенств I степени содним неизвестным.
Решение систем неравенств I степени содним неизвестным.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оцениваниею.
Анализ итогового оценивания.
Уравнения II степени
Понятие уравнение II степени с одним
неизвестным.
Решение неполных уравнений II степени содним неизвестным.
Решение уравнений II степени с одним
неизвестным общего вида.
Решение приведенных уравнений II степенис одним неизвестным.
Отношения между решениями икоэффициентами уравнений II степени.
Разложение  выражений вида ax2 + bx + c, a
 0, a,b,c  R на множители.     Решение задач с применением уравнений IIстепени.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
1
1
1
1

2

2

2

2

2

2

1
1
1
1
17
1

2

2

1

1

2
1

122

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8
7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8

95
96
97
98

99-91
92-93

7.1, 7.3, 7.6
7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8

7.1 – 7.8
7.1 – 7.8, 6.4, 6.5, 6.6
7.1 – 7.8
7.1 – 7.8

78
79-80
81
82
83
84
VII.
85
86
87-88

6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6
6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6
6.1 – 6.9
6.1 – 6.9, 3.5, 3.7
6.1 – 6.9
6.1 – 6.9

94

76
77

6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5
6.3, 6.5, 6.7, 6.8, 6.9

7.3 – 7.8

7475

6.1, 6.2, 6.7, 6.8, 6.9
6.1,6.2,6.3,6.4, 6.5, 6.6VI.

Геометрические фигуры на плоскости.
Повторение и дополнения
Элементы математической логики.
Треугольники. Замечательные линии
треугольника.
Окружность. Круг. Элементы.
Взаимное расположение прямой иокружности/круга.
Центральный угол. Дуги окружности.
Вписанный угол в окружность.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Подобные треугольники
Пропорциональные отрезки.
Теорема Фалеса.
Подобные треугольники. Основная теорема
подобия.
Признаки подобия треугольников.
Признаки подобия прямоугольных
треугольников.
Приложения метода подобных
треугольников: практическая работа.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
1
1
1
1

1

3
2

1
2
1
1
1
1
14
1
1
2

1
1

1
1

11

123

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

115-116
117-118
119-120121-122
123
124
125
126

9.3,9.4,9.5,9.6, 9.7, 9.8
9.3,9.4,9.5,9.6, 9.7, 9.8
9.1,9.2,9.3,9.5, 9.6, 9.7
9.1, 9.2, 9.4, 9.6, 9.8

9.1 – 9.8
9.1 – 9.8, 6.5, 7.4, 8.6
9.1 – 9.8
9.1 – 9.8

9.1, 9.2, 9.3

114

107-108
109
110
111
112
IX.
113

8.1 – 8.8
8.1 – 8.8
8.1 – 8.8, 6.5, 7.4
8.1 – 8.8
8.1 – 8.8

9.1, 9.2, 9.3

10699
100-101
102-103104-105

8.1, 8.2, 8.6, 8.7

8.1, 8.4, 8.5
8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5
8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5
8.1, 8.2, 8.6, 8.7, 8.8

VIII.

Метрические отношенияв прямоугольном треугольнике
Ортогональные проекции на прямой.
Теорема высоты, теорема катета.
Теорема Пифагора.
Элементы тригонометрии в прямоугольном
треугольнике.  
Значения синуса, косинуса, тангенса,ооокотангенса для углов 30 , 45 , 90 .
Решение прямоугольного треугольника.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Многоугольники. Четырехугольники
Понятие многоугольник. Понятие
четырехугольник. Элементы.
Параллелограмм. Элементы. Свойства,признаки.
Частные параллелограммы.
Трапеция, элементы, свойства, признаки.
Средняя линия трапеции.
Понятие правильный многоугольник.
Элементы.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
1
1
1
1

2
2
2
2

1

2
1
1
1
1
14
1

1

1
2
2
2

14

124

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.
1
2
3
4-5
6-7
8
9
10
11

1.1, 1.2, 1.6, 1.7

1.1, 1.2, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7
1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7

1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7
1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7
1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7

1.1 – 1.7
1.2 – 1.7
1.1 – 1.7

I.

№Индикаторы специфических компетенций(СК) и единиц компетенций (ЕК)согласно Куррикулума
СК
ЕК

X.
127
128-129130-131
  132
133
134
135
136

10.1, 10.2

10.1, 10.2, 10.3, 10.5
10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6
10.1 – 10.6
10.1 – 10.6
10.1 – 10.6
10.1 – 10.6

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоМножество действительных чисел.
Повторение и дополнения
Понятие действительное число.
Изображение действительных чисел на оси.
Модуль действительного числа. Свойства.
Арифметические действия наддействительными числами. Свойства.
Степень с целым показателем. Свойства.
Квадратный корень. Свойства.
Избавление от иррациональности взнаменателях вида a√b, aä√b .
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Содержания

IX класс

Векторы на плоскости
Параллельный перенос. Свойства.
Приложения.
Понятия вектор. Модуль вектора.
Действия над векторами.
Приложения векторов.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

1
1
1

2
2
1

1
1

1

38
85
9
132
11

Кол-во
часов

2
2
1
1
1
1
1

10
1

Дата

Примечание

125

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.
15-16
17-18
19
20
21
22
23
III.
24
25

2.1, 2.2, 2.3, 2.4

2.4, 2.5, 2.6, 2.7

2.4, 2.5, 2.6, 2.7

2.1 – 2.7
2.1 – 2.7, 1.3, 1.5
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7

3.1, 3.2, 3.3, 3.6
26-27
28-29
30-31
32-33
34-35
36
37
38
39

3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4

3.2 – 3.6
3.2 – 3.6

3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6

3.1 – 3.6
3.1 – 3.6, 1.4, 1.5, 2.5
3.1 – 3.6
3.1 – 3.6

3.1, 3.2, 3.3

13-14

II.
12

2.1, 2.2, 2.3, 2.4

2.1, 2.2

Алгебраические отношения
Понятие алгебраическое отношение.
Область допустимых значений
Основное свойство и сокращение
алгебраических отношений.
Арифметические действия надалгебраическими отношениями.
Тождество. Тождественные преобразования
алгебраических выражений.
Доказательство некоторых простых
тождеств.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Функции
Понятие функция. Способы задания
функции.
График функции. Преобразование графиков
функций.
Свойства функции.
Функция II степени. Частные случаи функции
II степени.  
График функции II степени.
Свойства функции II степени. Знак функции
II степени.
Функция f : R → R, f (x) = x3. График исвойства.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
1
1
1
1

2

2
2

2
2

1

1
1
1
1
16
1

1

2

2

2

12
1

126

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.
46-47
48-49
50-51
52-54
55-56
57-58

4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7

4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7
4.1, 4.2, 4.3, 4.4

4.1, 4.2, 4.3, 4.4
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.7

4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.7

63-64
65-66
67-68
69-70
71
72
73
74

5.1, 5.2, 5.8, 5.9, 5.10

5.1,5.3,5.5,5.8,5.9,5.10
5.1,5.3,5.5,5.8,5.9,5.10
5.1, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10
5.1 – 5.10
5.1 – 5.10, 3.4, 3.5, 4.3, 4.4
5.1 – 5.10
5.1 – 5.10

59
60
61
62
V.

44-45

4.1, 4.2, 4.3, 4.4

4.1 – 4.7
4.1 – 4.7, 3.4, 3.5
4.1 – 4.7
4.1 – 4.7

41
42-43

IV.
40

4.1, 4.2, 4.3, 4.4
4.1, 4.2, 4.3, 4.4

4.1, 4.2

Уравнения, неравенства, системы
Понятие уравнение. Равносильные
преобразования.
Уравнения II степени с одним неизвестным.
Рациональные уравнения с одним
неизвестным.
Системы двух уравнений I степени с двумя
неизвестными.
Решение текстовых задач с помощью
уравнений и/или систем уравнений.
Неравенства I степени с одним неизвестным.
Неравенства II степени с одним
неизвестным.
Метод интервалов.
Системы неравенств I степени с одним
неизвестным.
Рациональные неравенства с одним
неизвестным.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Элементы математической статистикии теории вероятностей. Элементы
финансового исчисления
Отбор, обработка и графическое
изображение данных.
Понятие событие. Классификация событий.
Нахождение вероятности события.
Элементы финансового исчисления.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
2
2
2
1
1
1
1

2

1
1
1
1
12

2

3
2

2
2

2

2

1
2

23
1

127

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
79
80
81
82
83
VII.
84
85-86
87-89
90-91
92
93
94
95
96
97

6.2,6.4,7.5,6.6,6.7, 6.8

6.1 – 6.8
6.1 – 6.8
6.1 – 6.8

7.1, 7.2, 7.3

7.2,7.3,7.4,7.5, 7.6, 7.7

7.2,7.3,7.4,7.5, 7.6, 7.7

7.2,7.3,7.4,7.5, 7.6, 7.7
7.2, 7.3, 7.4, 7.5
7.1 – 7.7
7.1 – 7.7
7.1 – 7.7, 5.2, 5.3, 6.4
7.1 – 7.7
7.1 – 7.7

77-78

75
76

6.2,6.4,7.5,6.6, 6.7, 6.8

6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8

6.1, 6.2, 6.3
6.1,6.2,6.3,6.4, 6.5, 6.7

VI.

Окружность. Круг. Повторение идополнения
Окружность, круг. Элементы.
Центральный угол. Угол, вписанный вокружность. Дуга окружности.
Взаимное расположение прямой  иокружности/круга. Касательная кокружности.
Свойство хорд одинаково удаленных отцентра окружности.
Свойство дуг, расположенных между
параллельными хордами.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Площади
Понятие площадь. Площадь квадрата,прямоугольника.
Площадь треугольника. Площадь
равностороннего  треугольника. Площадь
прямоугольного треугольника.
Площадь параллелограмма. Площадь
ромба.
Площадь трапеции.
Длина окружности. Площадь круга.
Площадь правильного шестиугольника.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
2
1
1
1
1
1
1

3

2

1
1
1
14
1

1

1

2

1
1

9

128

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
104-105
106
107
108
109
IX.
110
111-112113-114115-116

8.3, 8.5, 8.6, 8.7, 8.8

8.1 – 8.8
8.1 – 8.8
8.1-8.8,5.2,5.3,7.3, 7.4
8.1 – 8.8

9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8

9.1, 9.2, 9.3, 9.4

9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8

118-119
120
121
122

9.1 – 9.8

9.1 – 9.8
9.1 – 9.8
9.1 – 9.8

9.1, 9.2, 9.3, 9.4

117

102-1038.1, 8.2, 8.4

9.1, 9.2, 9.3, 9.4

100-101

VIII.
98-99

8.3, 8.5, 8.6, 8.7, 8.8

8.1, 8.2, 8.4

Многогранники
Призма и ее элементы. Классификация
призм.
Площади поверхностей и объем прямой
призмы.
Пирамида и ее элементы. Классификация
пирамид.
Площади поверхностей и объем правильной
пирамиды.
Усеченная пирамида. Элементы.
Классификация.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Тела вращения
Понятие цилиндр. Прямой круговой цилиндри его элементы.
Площади поверхностей и объем прямового  кругового цилиндра.
Понятие конус. Прямой круговой конус и егоэлементы.
Площади поверхностей и объем прямого
кругового конуса.
Прямой круговой усеченный конус.
Элементы.
Сфера и шар. Элементы. Площадь
поверхности сферы. Объём шара.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
1
1
1

2

1

2

2

2

1
1
1
1
13
1

2

2

2

12
2

129

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

Класс V: 2.1 – 2.9Класс VI: 4.1 – 4.7
Класс VII: 1.1 – 1.8, 2.1 – 2.7, 3.1 – 3.8,
4.1 – 4.8, 6.1 – 6.9
Класс VIII: 2.1 – 2.6, 3.1 – 3.8,
4.1 – 4.9, 5.1 – 5.7, 7.1 – 7.8, 8.1 – 8.8,
8.1 – 9.8, 10.1 – 10.6
Класс IX: 1.1 – 9.8

123-132Итоговое повторение.

10

3.2.2. Планирование по единицам обучения
Глава/модуль учебника может быть рассмотрена/рассмотрен и как единица обучения.
Планирование по единицам обучения может быть реализовано по модели, представленной ниже. В таблице должен быть расписан каждый урок главы/модуля в отдельности. Например: VIII класс. Единица обучения Последовательности. Функции (12 часов)12 часов
I
II
III
IV
VI
VII

1

3.2, 3.7,
3.8
3.1,3.3,
3.4,3.82

3.4,3.5,
3.6,3.74

3.4,3.5,
3.6,3.7
3.4,3.5,
3.6,3.7
3.4,3.5,
3.6,3.7
3.1,3.4,
3.6,3.8

5

3.1-3.89

3.1-3.8
3.1-3.8
3.1-3.8

10 Обобщающий урок.
11 Итоговое оценивание.
12 Анализ итогового
оценивания.

6
7
8

Оценивание

Повторение

Интегрированные

ДомаВ классе

Последовательности.
Функции
Понятие числовая последовательность.
IСпособы задания последовательности.
Классификация послеII
довательностей.
Понятие функция.
Способы задания
IIIфункции.
Функция I степени.
Свойства. Постоянная
IIIфункция.
Прямая пропорциоIIIнальность.
Обратная пропорциоI
нальность.
Обратная пропорциоII
нальность.
Функция квадратный Комбин.
корень. Свойства.
урок

3.1, 3.3,
3.7, 3.8

3Средства

Тема урока

Методы

ЕКTип урока

СК

№
п/п

Формы

Дидактические Виды учебной
технологии
деятельности

Указатели

Итоговый урок.

IV
IV
V
IV

Примечания:1. Учитель имеет право разработать календарно-тематическое планирование либо планирование по единицам обучения.
2. Планирование по единицам обучения разрабатывается на основе стабильного учебника по Математикeи может быть действующим на протяжении периода функционирования этого учебника. Планированиепо единицам обучения, в целом, представляет собой мини-проекты уроков.
3. Планирование по единицам обучения не заменяет дидактические проекты уроков, так как оно не содержит цели уроков.

130

4. Какова специфика урока математикив контексте формирования компетенций?
4.1. Требования к уроку математики
Независимо от типа, урок математики, чтобы соответствовать современным
требованиям и развивающему обучению, должен обладать следующими характеристиками:- опора на целеполагания и, в итоге, на формирование компетенций;- личностно-ориентированость: как правило, деятельность учителя науроке составляет 30% времени, а деятельность учащихся – 70%;
- рациональный подбор учителем учебного материала;- оптимальный подбор методов преподавания – учения – оценивания вовзаимосвязи с эффективными средствами обучения;- реализация партнерства вида учитель – ученик, ученик – ученик, ученик –учитель;- обеспечение реализации триединства:а) знание-навыки-ценностные отношения;б) преподавание – учение – оценивание;- использование на уроке различных форм, методов и техник оценивания;- урок должен быть интересным и положительно мотивированным дляучащихся!

4.2. Классификация типов уроков математики [29]В контексте формирования компетенций считаем наиболее целесообразным  классификацию типов уроков Математики по признаку компетенции, признак,определяющий методологические приоритеты на уровне когнитивных ценностей,  добытых в рамках урока [29].
Классификация типов урока по признаку компетенции:I. «урок формирования способностей добывания знаний» (приоритетно визирует формирование способностей добывания знаний);II. «урок формирования способностей понимания знаний» (приоритетно визирует формирование способностей понимания приобретенных ранее знаний);III. «урок формирования способностей применения знаний» (приоритетно
визирует формирование способностей применения приобретенных и истолкованных ранее знаний);131

IV. «урок формирования способностей анализировать-синтезировать знания» (приоритетно визирует формирование способностей анализироватьсинтезировать приобретенные, истолкованные и примененные ранее знания);V. «урок формирования способностей оценивать знания» (приоритетно визирует формирование способностей критически оценивать приобретенные,истолкованные, примененные, анализированные и синтезированные ранее
знания).
Эта классификация приемлема при реализации более объемных дидактических этапов, например, в рамках модуля или главы.
Учебная практика подтверждает необходимость и значимость еще одного типаурока – комбинированный урок, основанный на реализацию взаимодействий
типа цели-содержание-методология-оценивание и педагогического партнерства
вида учитель-ученик, ученик-ученик, ученик-учитель. Однако, в контексте формирования компетенций комбинированный урок должен исчезнуть из практической
деятельности.
Каждый из пяти вышеуказанных типов уроков, а также комбинированный урок,содержит определенную совокупность этапов – структурных составляющих урока. Уроки Математики структурированы на основе Модели поэтапного структурирования урока.
I. Урок формирования способностей добывания знаний
Этапы урока:1. Организационный момент (организация класса).
2. Проверка домашней работы; актуализация опорных знаний и способностей.
3. Преподавание – учение нового материала.
4. Закрепление материала и формирование способностей (на уровне воспроизведения).
5. Оценивание (текущее, обучающего вида, без выставления отметок).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
II. Урок формирования способностей понимания знаний
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Проверка домашней работы.
3. Актуализация опорных знаний и способностей.
4. Закрепление материала и формирование способностей:а) на уровне воспроизведения;б) на продуктивном уровне.
5. Оценивание (текущее, обучающего вида, без выставления отметок).

132

6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
III. Урок формирования способностей применения знаний
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Проверка домашней работы.
3. Актуализация опорных знаний и способностей.
4. Закрепление материала и формирование способностей:а) на продуктивном уровне;б) на уровне переноса в другие области.
5. Оценивание (итогового типа, с выставлением отметок).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
IV. Урок формирования способностей анализировать – синтезировать знания
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Проверка домашней работы.
3. Анализирование-синтезирование изученного теоретического материала
(систематизация, классификация, обобщение).
4. Анализирование-синтезирование изученных методов решения:а) на продуктивном уровне, с переносами в другие области;б) на творческом уровне.
5. Оценивание (итогового типа, с выставлением отметок).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
V. Урок формирования способностей оценивать знания
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Инструктаж по проведению проверочной работы.
3. Выполнение проверочной работы (тест, лабораторная работа, защита проектов, самооценивание и др.).
4. Итоги урока.
5. Домашнее задание.
*Комбинированный урокЭтапы урока:1. Организационный момент (организация класса).
2. Проверка домашней работы. Актуализация опорных знаний и способностей.
3. Преподавание – учение нового материала.

133

4. Закрепление материала и формирование способностейа) на репродуктивном уровне;б) на продуктивном уровне, с переносом в другие области.
5. Оценивание:а) текущее, обучающего вида, без отметок для нового материала;б) итогового типа, с выставлением отметок для материала, изученного напредыдущих уроках.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Примечания:1. В структуре урока можно поменять местами этапы «Итоги урока» и «Домашнее задание».
2. В зависимости от необходимости проверка домашней работы может быть:а) качественной и б) количественной.
Возможны следующие приемы при проверке домашних заданий: Выполнение самостоятельной работы на 5-7 минут по аналогичным
задачам заданных для решения дома; Выполнение самостоятельной работы на 5-7 минут по тем же задачам, что были заданы для решения дома; Обсуждение лишь ответов, полученных при решении домашней работы; Обсуждение ответов на вопрос Есть ли вопросы по домашнему заданию?
 Фронтальный анализ решения значимых задач из домашней работы; Замена тетрадей; Анализ методов, примененных при решении упражнений и задач привыполнении домашнего задания; Взаимопроверка и т.п.
3. В рамках этапа урока Актуализация опорных знаний и способностей ученики, ответив на систему вопросов, плавно прейдут к изучению новой темыили к закреплению изученного на предыдущих уроках.
4. Преподавание – учение новой темы будет осуществляться посредством оптимальных для данного класса методов и, как правило, посредством создания проблемной ситуации, переходя логично от предыдущего этапа к следующему.
5. Закрепление материала и формирование способностей осуществляется
последовательно при реализации этой системы уроков на следующих уровнях (см. выше представленные структуры уроков):134а) на репродуктивном уровне;б) на продуктивном уровне;в) переноса в другие области;г) творческом уровне.
6. Отметки, при оценивании школьных результатов, ученики получат, как правило, на уроках III-IV-5 типов и на комбинированном уроке (см. выше представленные структуры уроков).
7. Итоги урока будут содержать а) качественные итоги и б) количественные
итоги.
В рамках качественных итогов проводится синтез изученного математического материала на уроке (проводится, как правило в виде беседы, содержащая 3-4 итоговых  вопросов). В рамках качественных итогов делается вывод
относительно достижения целей урока и оценивается на уроке деятельность
учащихся в общем и некоторых учеников в частности.
8. При задании домашней работы учитель проследит за тем, чтобы в дневникеили тетради ученика были ответы на следующие вопросы:а) Что нужно выучить?
б) Что нужно повторить?
в) Что нужно решить?
Примечание. При задании домашней работы учитель даст краткие, конкретные указания к решению предложенных задач.
Важно! При задании домашней работы учитель должен следить за тем,чтобы объём заданий не превысил 30 % от количества решенных заданийна уроке.
Учитель математики может использовать и другие модели для структурирования уроков. Например, можно использовать Модель, относящуюся к развитию критического мышления:I. Вызов
II. Осмысление
III. Рефлексия
IV. Экстенсия/Расширение.
Модель, относящаяся к развитию критического мышления, и Модель поэтапного структурирования урока коррелируются следующим образом:I. Стадия Вызов
- Приветствие. Организационный момент. Привлечение пер­вичного внимания учащихся.
- Формулирование целей урока (во взаимосвязи с типом урока).

135

- Проверка домашнего задания.
- Актуализация опорных знаний и способностей.
II. Стадия Осмысление
- Преподавание – учение нового материала (в случаях изуче­ния нового материала).
III. Стадия Рефлексия
- Закрепление материала и формирование способностей.
- Применения.
- Оценивание уровня достижения целей.
- Итоги урока.
- *Задание домашней работы (в случае отсутствия стадии Экстенсия).
IV. Стадия Экстенсия
- Расширение областей приложения изученного. Внутри- и межпредметные
связи. Реализация проектов, исследований и т.п.
- Задание домашней работы.
Внимание! В зависимости типа урока некоторые из стадий присутствуют, анекоторые отсутствуют. Важно правильно использовать соответствующие стадии
Модели развития критического мышления [25].
Функциональной и эффективной моделью структурирования урока является
Модель 5Е.
o Модель 5Е включает этапы:1. Вовлечение (Engage)
2. Исследование (Exploration)
3. Объяснение (Explain)
4. Разрабатывание (Elaborate)
5. Оценивание (Evaluate) [25].
Внимание! В зависимости от типа урока некоторые из этих этапов отсутствуют. Детали относительно вышерассмотренных моделей и других моделей структурирования уроков учитель найдет в работе [25].

1364.3. Методология составления дидактического проекта
урока математики
Дидактический проект урока математики составляется по следующей структуре (алгоритму):Учитель_ _____________________________________________________
Учебная дисциплина __________________________________________
Класс ________________________________________________________
Дата_ _________________________________________________________№ урока в системе уроков (согласно календарно-тематичес­кому планированию, например 8/56, т. е. 8 урок в системе уроков главы/модуля/единицы
компетенции и 56 урок в общей системе всех уроков в соответствующем классе)_________________________№ урока по расписанию_________________________________
Продолжительность урока_______________________________
Глава/Модуль/Единица обучения________________________
Тема урока____________________________________________
Единицы компетенций _________________________________
Цели урока: В конце урока ученики будут способны:Ц1 ____________________________________________________
Ц2____________________________________________________
Ц3____________________________________________________
Ц4____________________________________________________
и т.д.
Тип урока ____________________________________________
Дидактические технологии
a) Формы ________________________________________б) Методы ________________________________________в) Средства обучения
Оценивание:а) Тип оценивания______________________________________б) Формы, методы, техники оценивания; учебные продукты __________

137

Ход /Сценарий урока
Примечание. Ход урока (сценарий урока) может быть представлен как в табличной форме, так и в виде текста.
Табличная форма может иметь различные структуры:a)№ Этапы Время Целип/п урока
урока
1.
2.
и т.д.

Деятельность
учителя

Деятельность
ученика

Оценивание
(процесса)№ Этапы Время Целип/п урока
урока
1.
2.
и т.д.

Дидактическая
стратегия

Методы, приёмы

Оценивание
(процесса)б)Примечание. При представлении хода (сценария) урока в виде текста указываются структурные части урока и описываются все действия, запланированные длясоответствующего этапа урока. Будут указаны – какие цели урока достигаются насоответствующих этапах и сколько времени выделяется для этого этапа.

4.4. Пример дидактического проекта по математике
Учитель: Лашку Алена
Учебная дисциплина: Maтематика
Класс: VIII
Дата: 12.09
Номер урока в системе уроков (согласно дидактического планирования): 6/6
Время: 45 минЕдиница обучения/Глава: Действительные числа. Повторение и дополнения.
Тема урока: Степень с целым показателем.
Единицы компетенций:1.3. Распознавание в различных ситуациях и приведение примеров применения
действительных чисел, степеней, квадратных корней и их свойств.
1.5. Выбирание формы записи действительного числа и применение алгоритмовдля оптимизации вычислений с действительными числами.
1.6. Применение действительных чисел для выполнения вычислений в различных
контекстах, применяя  свойства изученных операций и учитывая значимость
скобок.

138

Цели урока: В конце урока ученики будут способны:O1: распознавать в различных контекстах степени с целым показателеми их свойства;O2: формулировать устно и письменно правила вычисления степеней сцелым показателем и приводить примеры их применения в различных
контекстах;O3: записывать действительные числа в различных формах, используя степени;O4: использовать действительные числа при выполнении действий в различных ситуациях, применяя свойства степеней;O5: проявлять независимость в мышлении и действиях при применении
степеней с целым показателем в решении задач.
Тип урока: Урок формирования способностей применения знаний.
Дидактические технологии:1. Формы:- фронтально;- в парах;- индивидуально.
2. Методы:- метод упражнений;- метод работы с учебником;- алгоритмический метод.
3. Средства:- И. Акири, А. Брайков, О. Шпунтенко Математика. Учебник. 8-й класс.
Изд-во. Prut Internațional. Chișinău, 2013;- Презентации Power Point (PPT);- Компьютер;- Проектор или интерактивная доска;- Карточки с задачами, карточки со словами для получения формулировок
правил вычисления степеней, таблица с заданиями.
Оценивание: формирующее, устное и письменное оценивание, взаимное оценивание; учебные продукты: решенная задача, устный ответ, решенный пример, постер (таблица), самостоятельна работа с выставлением отметок.

139

140

2

Организационный момент
Проверка
домашней
работы

Актуализация
опорных знаний и способностей

1

1.

3.

2.

Этапы урока

№
п/п

9 мин

5 мин

1 мин

3

Время

Ц3

4

Цели
6

Деятельность учеников

Если есть, ученики формулируют
вопросы.

- Какие есть вопросы по домашнему заданию?

На информационном
табло один ученик вывешивает решенную
Домашнюю работу иостальные сверяют сосвоими решениями

Визуально.

7Оценивание

Объявляются тема и цели урока - Ученики открывают тетради ипроецируется на экран (Слайд 1). записывают число, Классная
работа и тему урока: Степени сцелым показателем.
Фронтальная работа
Ученики из первого ряда цепоч- Устное оценивание
Проецируются на экран задания кой устно отвечают и один из них(Слайды 2,3,4):записывает ответы на доске.
1. Запишите в виде степени соснованием 10:
100000 =0,01 =
100 =
0,000001 =0,0001 =0,000000001 =   Выучить: §1, п.1.2, глава 2.
Решить: упр. 11, 17, стр. 25.

- Что было задано на дом?

Приветствие. Проверка����������
 ���������
подготов- Приветствуют учителя.
ленности учащихся к уроку.

5Деятельность учителяХод урока

141

O2

Ц4

Работа в группах.
Сформулируйте  правила
вычисления со степенями.

3. 6 · 10–5 · 1,2 ·103

2. Запишите числа в видедесятичных чисел:32,48 · 103 =401 · 10– 2 =0,78 · 102 =94,6 · 10–4 =3. Устный счет:106 · 10–8 =(10–1)–3 =
10–2
=
102
102 ·10–3 · 10 =4. Вычислите:25
1. –3(2 · 16)–4
620 · 2–12
2. 8 182 ·3Устное оценивание

3. 6 · 10–5 · 1,2 · 103 = 7,2 · 10–2
Каждая из групп, состоящая изУстные ответы
четырех учеников (группируютсяпо два соседних стола), получает
карточки со словами и следует
получить соответствующее правило.

4 ученика из третьего ряда одно- Взаимооценивание
временно решают на доске задания, остальные ученики записывают решения в тетрадях:
25
1. –3
= 29
(2 · 16)–4
620 · 2–12
2. 8 18 = 92 ·3Ученики из второго ряда устно
отвечают по цепочке.

142

4.

Закрепление
материала иформирование способностей

10мин

Ц1, Ц4,
Ц5

O1, O4,O5

O1, O4,O5Фронтальная работаПри изучении каких предметоввы встречались с правилами
вычисления степеней? Приизучении каких тем выприменяли степени?
Конечно, примером могут
служить преобразования единиц
измерения в системе SI.
-  Каковы основные единицы
измерения в системе SI?
-  Какие преобразования сединицами измерений мыможем выполнять?
Предлагает ученикам следующие
задачи:1. Диаметр одного красного
кровяного тельца равен 0,007
мм. Преобразуйте величину
этого диаметра в метрах (SI) иnзапишите ответ в виде a × 10 ,где 0 < a < 1 и n  Z.
2. Объем детали из бриллианта
равен 0,0012 м3 (плотность
равна 3,45 кг/дм3). Найдите
массу детали.
Устное оценивание

Преобразования:0,0012 м3 = 12 · 10–4 м3 =12 · 10–4 · 103 дм3 = 12 · 10–1дм3.
m=V·=
12 · 10–1дм3 · 3,45 кг/дм3 = 4,14 кг.

По одному ученику, поочередно, Решенные задачи
решают на доске, остальные решают в тетрадях.
0,007 мм =7 · 10–3 мм
7 · 10–3 мм =7 · 10–3 · 10–3 м = 0,7 · 10–5 м.

Ученики отвечают на заданные
вопросы.

143mм
V=  =

d 9,5 кг.
9,5 кг
d13,6 м3 газа.
0,7 кг/м3Преобразуем:0,25 · 106 кДЖ =0,25 · 106 · 103 Дж =0,25 · 109 ДжQuQu
η= m·q ⇒м= η·q =Работа в парах
Обсуждают в парах и решают
Решенные задачиНа экран проецируются задачи:задачи:Задача 1:Человеческое сердце выполняет
примерно 5000 сердцебиений зачас.
35a) Найдите количествоа) 5 · 10 · 24 = 1,2 · 10 сердцебиесердцебиений за сутки (24 ч.).
ний в день.
5б) Найдите количество сердцеб) 1,2 · 10 · 365 · 80 = 3,504 · 109биений человека который просердцебиений за 80 лет
жил 80 лет за всю его жизнь
жизни.
(будем считать, что каждыйгод имеет 365 дней) и резульnтат запишите в виде a × 10 ,где 1 < a < 10 и nZ).

3. Для ежедневного обогрева
комнаты зимой необходимо
истратить следующее количество теплоты
Q = 0,25 · 106 кДж. Найдите
сколько м3 натурального газанеобходимо истратить ежедневно для этого если КПДпечи равен 60 % и известно,что сила калорийности  натурального газа равна
4.  4,4 · 107 Дж/кг (КПД вычисQuляется по формуле η = м · q ).

144

10
мин

Преобразуем:300 кДж =3 · 102 · 103 Дж =3 · 105 Дж.
72 · 103
м/с =V = 72 км/ч =36 ·10220
м/с.
кгmсухие дрова22Ес
мV⇒
м= 2 =
Ес =
2
V
5
кг.
m2нефть
· 3 · 10 Дж=
1,5·
103 кг =2м
(2 ·10) /с
1,5 · 103 · 10–3 т = 1,5 т .

Работа в группах (4 ученика вОбсуждают и записывают
Взаимное оценивание
каждой группе – группируются по решения на постерах.
между группамидва соседних стола).
(обмен постерами иУченики получают листы бумаги
проверка)(постеры) с двумя задачами,заданными для решения.
Группы: 1 и 6
1. Человеческий мозг состоит
100 млрд нейронов =из 100 миллиардов нейронов.
1011 нейронов.
Начиная с 30 летнего возраста
На 105 · 365 · 10 = 365 · 106количество нейронов начинает
нейронов уменьшаются за 10 лет.
уменьшаться на 100 000 за день. 1011 – 365 · 106 = 99635 · 106 =Определите – сколько нейронов 9,9635 · 1010 нейронов.
будет у 40 летнего человека
(будем считать, что каждый годимеет 365 дней) и результат
запишите в виде десятичного
числа а затем в виде a × 10n, где  
1 < a < 10, a  Q и n  Z ).

Задача 2:Кинетическая энергия автомашины при скорости 72 км/ч равна
300 кДж. Найдите массу в тоннах

mV 2 
этой автомашины  Ec 
.
2 


145

Группы: 2 и 4
1. Упорядочьте в возрастающем
порядке массы атомов следующих химических элементов:• Aлюминий (Al):448 · 10–28 кг• Гелий (He):6,64 · 10–27 кг• Железо:9,28 · 10–26 кг• Золото (Au):
3,27 · 10–25 кг.
He, Al, Fe, Au.

2) Для ежедневного обогрева
Преобразуем:комнаты зимой необходимо ис- 300 МДж = 3 · 108 Дж.
тратить следующее количествоQ
Qq m .
теплоты: 300 МДж.  Какое колиmqчество сухих дров необходимо
3 108для этого? Сравните полученное m 30kglemne uscate 1 107
количество с массой нефти, которая может заменить сухие дрова
3 108
 6, 8kg .
m petrol (сила калорийности сухих
4, 4 1077
q = 1 · 10 Дж/кг, a нефти pавнаq = 4,4 · 107 Дж/кг; сила калорийности рассчитывается по формуQ
ле q = ). .
mРешенные задачи

146

2. Средняя скорость света равна
300 000 км в секунду. Светсостоит из фотонов и световойгод соответствует расстоянии
пройденного одни фотоном заодин год (365 дней).
a) Сколько километров
соответствует одному
световому году? Запишите
результат в виде a × 10n, где
1 < a < 10, aQ и nZ.
b) Расстояние от центра Солнцадо центра Земли равно
1,496 × 108 км. За сколько
минут луч солнечного света
дойдут до Земли?
Группы: 3 и 5
1. 1 м3 морской воды содержит
0,004 мг золота. Объем
морской воды на Земле равен
примерно 1,3 × 106 км3.
Найдите – сколько всего кгзолота содержатся в водах
морей и океанов  на Земле.
Преобразуем:1,3 · 106 км3 = 1,3 · 1015 м3;0,004 мг = 4 · 10–3 мг;
1,3 · 1015 м3 · 4 · мг =5,2 · 1012 мг = 5,2 · 1012 · 106 кг.

V = 3 · 105 км/с;
1 световой год =3 · км/с · 3600 c · 24 · 365 дней =94608 · 108 км/год =9,4608 · 1012 км;s 1,496 · 108 км
t= v == 498,6 с d
3 · 105 с
8,3 мин.

147

5.

Оценивание

10мин

Ц1, Ц4,Ц5

2. Ученые используют в своих
Вирус СПИД-а:исследованиях единицы
120 nm = 120 · 10–9 m.
измерений для очень
Волос:
маленьких тел. Например,8 · 107 pm · 10–12 m = 8 · 10–5 m.
–9
1 нанометр (nm) = 10 м, аТранзистор:1 микрометр (m) = 10–6 м,
0,065 m = 0,065 · 10–6 m =–12
1 пикометр (pm) = 10 м.
65 · 10–3 · 10–6 = 65 · 10–9 m.
Вирус СПИД-а имеет длину
Транзистор имеет самую
примерно равной 120 nm,
маленькую длину.
диаметр волоса примерно равен
8 · 107 pm, а в микро-электронике
самый маленький транзисторна данном этапе имеет длину
равную 0,065 m. Определите,что из перечисленного имеет
самую маленькую длину.
Самостоятельная работа
Ученики получают карточки с
1. В астрономии, 1 парсек
заданиями и с таблицей
(parsec) – единица измерений ответов. Они самостоятельнодля очень больших расстояний решают задания и заполняют
между небесными телами.
рамки соответствующие
1 парсек примерно равен
правильным ответам.
3,086 · 1016 м.
Заполните равенство:2 пaрceк =… км.
2. Масса атома Carbon равна
1,99 · 10–26 кг. Рассчитать массу в граммах концентрации
атомов углерода, содержащая
6,022 · 1020 атомов. Запишите
nответ в виде a × 10 , где
1 < a < 10 и nZ.
Письменная работа

148

7.

6.

Домашнее
задание

Итоги урока

2 мин

3  мин

Ц4

3. Масса атома меди равна
1,05 × 10–30 кг. Сколько атомов
меди содержатся в 147 · 107 гмеди? Запишите ответ в видеna × 10 , где 1 < a < 10 и nZ.
4. Скорость света равна
1,08 · 10 9 км/ч. Преобразуйте  эту скорость в м/с (SI) и запиnшите ответ в виде a × 10 , где
1 < a < 10 и nZ.
Количественные итоги:-   Что мы сегодня реализовалина уроке?
-   Заполните предложения:n1.  Умножить на 10 означает
перенести запятую через
…..знаков в …..
–n
2.  Умножить на 10 означает
перенести запятую через …..
знаков в …..
3. Если умножу число на 103, тополучу результат в  …. раза…..  
чем исходное число.
4.  Если умножу число на 10–2, тополучу результат в…. раза …..
чем исходное число.
Качественные итоги:-   Определяются – какие целиурока были достигнуты.
-   Делаются выводы относительно работы, в целом,  класса науроке и отдельных учеников вчастности.
1. Повторить: Глава 2, §1, п.1.2.
2. Решить: стр. 24, упр. 9; стр. 26,
упр.20.
Спасибо за урок!
До свидания!
До свидания!

Записывают в дневниках или втетрадях.

Ученики устно отвечают.

Устные ответы

4.5. Методология оценивания (самооценивания)посещённого (проведённого) урока
Посещённый (проведённый) урок может быть проанали­зирован и оценен
(само­оценен) по следующей схеме.
Схема анализа (самоанализа) урока (САУ)
I. Определение базовых аспектов урока:1.1. Место урока в системе уроков по соответствующей главе, модулю, единицы обучения.
1.2. Каковы цели, конвертируемые из единиц компетенций, запланированныедля достижения на данном уроке.
1.3. Тип и структура урока.
II. Анализ каждого этапа урока:2.1. Выявление дидактической задачи, которая решается на данном этапе урока.
2.2. Определение целей урока, над которыми работают на данном этапе урока.
2.3. Подбор учебного материала и его распределение по этапам урока.
2.4. Определение форм, методов и приёмов, применен­ных учителем на каждом этапе урока:а) формы организации учебной деятельности учащихся (фронтальная,групповая, индивидуальная);б) методы и приемы преподавания – учения;в) тип, формы и методы проверки и оценивания школь­ных результатов
учащихся.
2.5. Осуществление feed-back-a (обратной связи – про­верка и оценивание реализации процесса) на каждом этапе урока.
III. Анализ дидактических и психологических особенностей урока (оценка деятельности учителя):3.1. Правильно ли подобраны и сформулированы цели урока?
3.2. Соответствует ли тип урока запланированным целям?
3.3. Правильно ли определены дидактические задачи, ко­торые решаются насоответствующих этапах урока?
3.4. Аргументирован ли подбор учебного материала для данного урока (соответствует ли содержание урока его целям; достаточен ли объем учебного
материала для данного урока)?
3.5. Допущены ли научные ошибки в процессе урока?
3.6. Соответствуют ли формы организации учебной дея­тельности учащихся,методы и приемы преподавания – учения – оценивания целям и содержанию урока? Оригинальность форм, метод и приемов, использованных науроке.

149

3.7. Как осуществлено преподавание – учение – оценивание нового мате­риала
(новых понятий, формул, теорем, свойств и т. д.) (в случае, когда на уроке
изучается новый материал)?
3.8. Какие специфические особенности отношений типа учитель – ученик, ученик – ученик, ученик – учитель были выявлены в процессе урока (учитывание учителем возрастных особенностей учащихся; необоснованные отклонения от субъекта урока; положительные и отри­цательные эмоции учащихся; поддержание внимания учащихся на протяжении урока; особенности речи учителя в процессе урока; стимулирование учебной деятельности
учащихся; учитывание идей и предло­жений учащихся относительно содержания урока и его проведения; мотивация учения; поддержание интереса
учащихся к уроку)?
3.9. Рационально ли применены и во взаимосвязи с целя­ми урока средства обучения (учебник, наглядные по­собия, ТСО, компьютер и др.)?
3.10. Каков был темп урока (были ли необоснованные задержки в темпе напротяжении урока)?
3.11. Объём домашнего задания, его конкретизация и диф­ференциация?
3.12. Каким образом подводились итоги урока (количес­твенные и качественные)?
IV. Общие итоги по уроку:4.1. Итоги относительно организации и проведения урока.
4.2. Итоги относительно достижения целей урока.
V. Предложения по устранению замеченных недостатков и усовершенствованию профессиональной деятельности учителя
VI. Общая оценка урока и деятельности учителя
Замечание. Общее оценивание урока и деятельности учителя осуществляетсяв зависимости от общего количества баллов, выставленных при реализации пункта III данной схемы. Максимальное количество баллов для каждой из позиций
3.1-3.12 – 10 баллов, а минимальное – 1 балл. Сложив все выставленные баллы,урок оценивается следующим образом:120-95 баллов – очень хороший урок – отметка 9 или 10;
94-70 баллов – хороший урок – отметка 7 или 8;
69-45 баллов – посредственный урок – отметка 5 или 6;
44-1 баллов – неудовлетворительный урок – отметка 4.
Внимание! Для объективной оценки посещенного урока (включительно в рамках аттестации учителя) рекомендуется, чтобы соответствующий урок был оценен,по крайней мере, тремя специалистами в данной области, присутствующими науроке (учитель, инспектор, методист, менеджер). Итоговое оценивание осуществляется, исходя из суммы средних ариф­метических баллов, выставленных каждымиз присутствующих на уроке специалистов для каждой из позиций 3.1-3.12 выше­указанной схемы и в соответствии с выше предложенной шка­лой оценивания.

150

5. Какие дидактические стратегии и технологии
могут быть применены в образовательном
процессе по математике в контексте
формирования компетенций?
5.1. Дидактические стратегии и технологиидля формирования компетенцийВ контексте формирования компетенций деятельность учителя математики основывается на:Кредо активного учения (согласно Kees Both):Что только слышу – забываю!
Что слышу и вижу – вспоминаю!
Что слышу, вижу и спрашиваю – начинаю понимать!
Что слышу, вижу, спрашиваю и упражняюсь – усваиваю и формирую навыки!
Что применяю на практике – учу по-настоящему!
В своей профессиональной деятельности учитель математики применяет иАЛГОРИТМ ПРЕПОДАВАНИЯ, ОСНОВАННЫЙ НА МОТИВАЦИИ: Начинайте преподавание с приведения примера смешной ситуации, исследования конкретного случая, маленькой истории, относящейся к изученной
теории или с предложенной для решения задачи; Опросите учеников по предыдущим изученным темам во взаимосвязи с новым явлением или теорией, которые будут изучаться; Излагайте план урока в виде вопросов (такой способ представления плана
заставляет учеников сфокусировать внимание на значимых аспектах и напоиск ответов на заданные вопросы); Представьте знания/информацию в виде схем, которые дают возможность
выделять взаимосвязи между понятиями; Приведите интересные примеры для учащихся; Используйте аналогии (тем самым заставим учеников находить связи между знакомой и новой областью).
Рекомендации по применению стратегий и технологии в преподавании математики в гимназии сформулированы и в куррикулуме в разделе IV. Методологические основы преподавания – учения – оценивания [7]. Учитель математики
обязан учитывать их в своей практической деятельности.
В источнике [20] детально представлены следующие активные методы преподавания – учения математики:151

1. Мозговой штурм (Вrainstorming);
2. Дидактическая игра „Senecteca” (Вrainstorming в командах);3. Интеллектуальная игра „Математический брэйн-ринг”.
Эти методы могут быть успешно применены в V-IX классах.
В работе [15] раскрыты техники Teambuilders (создание команды), SINELG,
Трехступенчатое интервью, RAI («Отвечай, Бросай, Спрашивай»), «Лестница
гипотез», «Командные турниры», «Одна голова – хорошо, а больше – лучше»,Решение в цепочке и дидактические игры ДОМИНО, ТОЧКИ ОПОРЫ, ЦЕЛЕВАЯ
ФИГУРА, СОСТЯЗАНИЕ ХУДОЖНИКОВ, УГАДАЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ФИГУРУ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ БАШНИ.
Эти методы и техники могут быть применены при изучении различных тем вгимназическом курсе математики в зависимости от изучаемых тем.
Ниже предложены и другие примеры использования активных методов преподавания – учения – оценивания математики в гимназии в контексте формирования компетенций.
1. Создание благоприятных условий для поиска, исследований, открытий возможно при применении метода Исследование конкретного случая. Этот метод
позволяет ученику свободно высказывать свое мнение, а также находить оптимальное решение в результате проведенного обсуждения. Для реализации метода предусмотрены следующие этапы:1. Выбор конкретного случая (в том числе из практической деятельности)Учитель выбирает случай и   формулирует проблему, соответствующую возрастным особенностям учащихся класса и их уровню математической подготовленности.
2. Представление учителем подобранного случая
Учитель доступно разъясняет учащимся сущность соответствующего случая.
3. Обсуждение учащимися данного случая
Проводится беседа учителя с учащимися, посредством которой детально анализируется, аргументируется случай для нахождения причин, приводящих к немуи всех соответствующих факторов.
4. Поиск вариантов решения проблемы
Системой вопросов учитель стимулирует учеников к поиску решений.
5. Сравнение различных вариантов решения проблемыВ зависимости от способов организации деятельности сравниваются поступившие варианты решений.
6. Выбор решений
Отбираются самые лучшие решения.
7. Оценка
Учитель оценивает каким образом была разрешена соответствующая ситуация.

152

2. Техника Матрица ассоциаций
Матрица ассоциаций представляет собой таблицу с двумя  входами, дающая
возможность представлять различные ассоциации между математическими понятиями и их свойствами. Посредством таких матриц можно реализовать синтез
изученного материала в рамках единицы обучения или единицы содержания.
Матрица может быть составлена индивидуально либо в результате групповой деятельности. Составление таких матриц может быть предложено и в виде домашнего задания. Эта техника рекомендована для применения на итоговых уроках.
Например, при изучении главы IX. Четырехугольники. Многоугольники (VIIIкласс) можно предложить ученикам для составления следующую Матрицу ассоциаций
Четырехугольник

Элементы

Свойства/Признаки

Квадрат

Изображениена плоскости

Прямоугольник
Параллелограмм
РомбТрапеция

3. METOД „BBB” (Batelle – Bilmappen – Brainwriting)Этот метод еще называется: Brainwriting – портфель с рисунками. Он реализуется по следующему алгоритму:1. Задание поставленно перед всем классом.
2. Устный   мозговой штурм (brainstorming) со всем классом. Формулируются
идеи для решения задания.
3. Классу последовательно предлагаются рисунки, в контексте решения обсуждаемого задания.
4. Индивидуальный мозговой штурм (brainstorming) в тишине. Ученики записывают свои идеи, относительно каждого из рисунков.
5. Несколько учеников читают свои идеи к соответствующему рисунку.
6. Класс обсуждает эти идеи, чтобы найти и другие варианты.
РисунокЧто подсказывает данный
рисунок?

153

Какие идеи возникли?

Преимущества:    исследуются идеи, выдвинутые каждым из учеников;    рассматриваются  идеи и других учеников;    стимулируется умственная деятельность учащихся посредством рисунков;    устраняются  некоторые проблемы,  возникающие при работе учащимися
лицом к лицу.
4. Техника Понятийная карта
Начиная с первого урока и на протяжении всего периода прохождения  соответствующей главы ученики постепенно заполняют на отдельном листе бумаги А4таблицу, содержащую все математические аспекты изученных понятий в данной
главе.  Примеры таких карт учитель найдет в учебниках по математикe для лицея. Заполнив такие карты для каждой главы ученики в конце учебного года создадут Математический атлас для соответствующего класса. Понятийные карты
могут быть использованы на итоговых уроков, при итоговом повторении, при изучении других глав и т. п.
5. Театральный фестиваль по Геометрии
Ученики разделены на группы по 5 «артистов». Каждая группа вытягивает билет с указанием темы. Группа должна составить сценарий по соответствующей
теме таким образом, чтобы каждый член имел хотя бы  5-8 реплик в будущем мини-спектакле. Каждая группа готовит реквизиты, костюмы и играет подготовленный спектакль. После всех просмотров ученики могут задать вопросы, оценивают деятельность коллег и выявляют победителя фестиваля. [В работе Optimizareaînvățământului în contextual societății bazate pe cunoaștere. Материалы международной научной конференции, 2-3 ноября 2012г. IȘE, Chișinău, 2012, стр.10]
6. Игра «Мимика на уроке Математики»Класс делится на две команды. Поочередно каждая команда с помощью мимики представляет одно математическое понятие: фигуру, график, функцию, уравнение и т. п. Вторая команда постарается угадать представленной мимикой понятие.
7. Техника 3-2-1Перед окончанием урока просят учащихся записать на листочке 3 термина (понятия) из изученных на уроке, 2 идеи о том, что хотелось бы изучить больше вбудущем и 1 навык (одно умение), который сформирован(о), по мнению ученика,на уроке. Изучив ответы учеников учитель получит быструю обратную связь относительно эффективности урока.
8. Техника Таблица ПифагораЭта техника дает возможность ученику быстро и осознанно выучить таблицу
умножения. Ассоциируя строки и колонки из Таблицы Пифагора, ученик быстро
найдет результат умножения.

154

5.2. Задачи по математикe и их рольв формировании компетенций
5.2.1. Математические задачи каскадного типа и их рольв контексте формирования компетенций
Математические задачи каскадного типа эффективно способствуют формированию и развитию компетенций. И жизнь, день за днем, ставит перед нами различные задачи, решение которых требует прохождение нескольких каскад. В этомконтексте,  предлагается применять в образовательном процессе по Математикe(и не только) задачи каскадного типа.  
Определение. Математическая задача каскадного типа – это задача, в которой ответ на следующий вопрос (задание) зависим от результата, полученного напредыдущем шаге (каскаде).
Например:Дано уравнение 2x2 – x – 3 = 0.
1. Решите уравнение на множестве R.
2. Постройте график функции f , ассоциированную заданному уравнению.
3. Используя полученный график, найдите промежутки монотонности
функции f.
4. Запишите неравенство первой степени, множеством решений которого
является интервал, на котором функция f строго убывает.
Данный пример является примером задачи по Математикe каскадного типа,которая состоит из 4 каскадов и которая  может быть предложена в 9 классе.

155

Задачи по математикe каскадного типа могут быть структурированы в линейном виде  либо в разветвленном виде.
В вышеприведенном примере предложенная задача структурирована линейно.
Далее предлагаем пример задачи, структурированной разветвленно:Дан ABC, m(FA)= 30o, m(FB)= 60o, AB = 12cм.
1. Найдите длины сторон треугольника.
2. Вычислите периметр ABC.
3. Вычислите площадь ABC.
4. Найдите радиус окружности вписанной в ABC.
5. Вычислите длину окружности вписанной в ABC.
6. Найдите радиус окружности описанной ABC.
7. Найдите площадь круга, с радиусом, полученным в п.6.
8. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружности
ABC.
Примечание. Разветвленность относится к вписанной и описанной окружностям.
С точки зрения дидактики задачи по математикe каскадного типа эффективны для:а. изучения материала и формирования компетенций, предусмотренных
Куррикулумом по Математикe;б. реализации внутри- и межпредметных взаимосвязей в рамках изучения
Математики;в. организации и реализации повторения изученного материала;г. формирования и развития логического мышления;д. развития интереса к математикe;е. развития творческих способностей учеников;ё. подготовки к экзаменам по математикe;ж. оценивания школьных результатов по математикe (с особым вниманием).
Задания, включенные в задачи каскадного типа, могут быть коррелированы сразличными темами математики, что увеличивает шансы учеников по осознанию сущности  изученного материала по математикe. Они служат важными источниками для интегрирования знаний и формирования компетенций.
На итоговых уроках или в виде проекта можно предложить учащимся составлять математические задачи каскадного типа по изученным темам.
Учитель может выбрать задачи каскадного типа и из Интернета [50, 51].

156

5.2.2. Интегрирующие задачи, которые могут быть использованыв процессе формирования компетенций в гимназии
Реализация внутрипредметных и межпредметных связей в образовательном
процессе по математикe возможна посредством интегрирующих задач. Нижепредложена совокупность интегрирующих задач, задач типа PISA, которых с успехом учитель может использовать на уроке или при задании домашней работы.
В дидактическом плане значимо, чтобы учитель предложил ученикам самим
составить (в рамках проекта по математикe) такие задачи.
ЗАДАЧА 1. ПингвинДля фильма ищут героя - пингвина со следующими данными:• Высота: между 0,75 м и 0,85 м;• Вес: между 4,8 кг и 5,2 кг;• Возраст: меньше10 лет.
Найдите пингвина с указанными характеристиками. Аргументируйте выбор.

ЗАДАЧА 2. Поездка на дачуСемья, состоящая из 4 человек: мама, папа и двое детей живут в Кишиневе.
Дача семьи находится недалеко от города. Для поездки у семьи есть две возможности: рейсовым автобусом, билет на который стоит 15 лей в одно направление,или автомашиной, которая потребляет 5 л бензина для поездки туда-обратно, ицена 1 л бензина – 19 л.
а) Если поедет на дачу лишь папа, какой из этих способов выгоден?
б) А если поедет вся семья?
в) Для скольких человек более выгодна поездка на автобусе?
г) Для скольких человек более выгодна поездка на автомашине?

157

ЗАДАЧА 3. МостМост в городе Müngsten или «Мост Императора Вильгельма» является самым высоким железнодорожным мостом в Германии.
Он построен на реке Wupper недалеко от города Müngsten. Мост представляет собой железную конструкцию, имеющую вес в   5000
тонн, длину в 465 м и высоту в 107 м, а расстояние между столбами в 170 м.
a) Изобразите соответствующую параболу в системе координат, в которой ось  
OX – уровень земли, а ось OY – проходит через вершину параболы.
б) Докажите, что уравнение параболы имеет вид f(x) = ax2 + b, где a < 0.
в) В системе координат парабола проходит через точку A(75; 26). Найдите
значения a и b и запишите полученное уравнение параболы.
ЗАДАЧА 4. Символ Женевы
Символом Женевы является фонтан, достигающий высоту в 140 м. Выброс воды этого фонтана
описывает параболу. На фотографии изображена
парабола P.
1. Найдите максимальную высоту, на которую
поднимается вода.
2. Определите функцию II степени, ассоциированную этой параболой.

Сотни евроЗАДАЧА 5. Средняя минимальная стоимость
Фирма Flora  продает фаянсовые изделия. Она производит в год от 0 до 20000
изделий. Общая стоимость p продукции f, выраженной в сотнях евро, зависит отколичества произведенных изделий, выраженного в тысячах штук. Ниже представленный график показывает эту зависимость:158

1. a)  Какова стоимость производства 10000 изделий?
б)  Какое максимальное количество изделий можно изготовить, чтобы стоимость продукции было меньше 14000 евро?
f  x
2. Средняя стоимость h задается законом h  x  .
xa) Найдите h  5  .
б) Изобразите в одной системе координат графики стоимости продукции исредней стоимости.
в) Определите – какое  количество изделий необходимо изготовить, чтобы
средняя стоимость была минимальная.

Стоимость(в eвро)ЗАДАЧА 6. Изучение прибыли
Фирма производит детали для автомашины. Обозначим через x – количество
произведенных за день деталей. Производственную стоимость, в евро, для x деталей  обозначим C(x). Ниже изображен график функции C на промежутке [40; 80].

Количество деталей
Используя график, ответьте на вопросы и выполните задания:1) Какова производственная стоимость 50 деталей?
2) Допустим, что на промежутке [40; 80], функция C задана законом
C  x   x 2  79 x  1740 . Сколько изделий должна изготовить фирма, чтобы
производственная стоимость была бы равной 1400 евро?
3) Каждая деталь продается по 20 евро. Найдите прибыль R  x  фирмой, полученную при продаже x деталей.
4) Изобразите графически функцию R и функцию C в одной системе координат.
5) Прибыль, полученная фирмой в зависимости от проданного x количества
деталей, равна разности между суммой денег, полученной при их продаже,и суммой денег   производственной стоимости. Какое количество деталей
должна производить фирма, чтобы прибыль была положительной?
6) Какое количество деталей должна производить фирма, чтобы прибыль быламаксимальной?
159

ЗАДАЧА 7. Приемлемая ценаКоличество продукции

Было проведено исследование рынка относительно роста спроса и предложения, относящихся к некоторому продукту в зависимости от его цены, выраженнуюв евро.
Для цены одного продукта равной x €, содержащейся между 2 и 30, количество
продуктов, запрашиваемых рынком, выражается законом f  x   0, 05 x 2  4 x  80, 8 .

Цена в евроКоличество предложенных продуктов задается формулой (функцией)g  x  2x  6 .

На рисунке изображены графики функций  f и g.
1. Распознайте на рисунке графики функций  f и g.
2. Определите количество продуктов, предложенных рынку и количество продуктов, запрашиваемых рынком, если цена одного продукта равна 18 евро.
Назовем приемлемой ценой продукта и цену, при которой спрос равен
предложению.
3. Найдите приемлемую цену продукта.
4. Каково в этом случае количество запрашиваемых (предложенных) продуктов?
ЗАДАЧА 8. Ветровые установки
Ветровая установка позволяет преобразовать энергию ветра в механическую энергию. Для этого ветер крутит
винт установки. Таким образом ветровые установки используют силу ветрадля производства электрической энергии. Измерения показали, что для одной
установки зависимость скорости ветра

160

и количество вырабатываемой электроэнергии задается законом f  x   0, 067 x3(x – скорость ветра в м/с, y – количество электроэнергии в КвЧас (kWh), если скорость ветра содержится в пределах между 2 м/с и 10 м/с.
a) Найдите количество полученной электроэнергии при скорости ветра 3 м/с;
5 м/с и 6,5 м/с.
б) Изобразите графически функцию f.
в) Достижения другой ветровой установки в производстве электроэнергии задается формулой g  x   0,12 x3 . Изобразите графики для g и f в одной системе координат.
ЗАДАЧА 9. Удобная ценаЮвелир изготавливает серьги в форме
равносторонних треугольников толщиною
2 мм. Верхняя часть серьги имеет форму
равностороннего треугольника со стороной l и изготавливается из золота. Нижняя
часть изготавливается из серебра.  
1. Выразите объем каждого вида металла, необходимого для изготовления серьги, в виде функции с переменной l.
2. Вычислите массу каждого из металлов, необходимых для изготовления • Плотность золота: 19,3 г/cм3;• Плотность серебра: 10,5 г/cм3;серьги, в зависимости от l.
• Цена золота: 40000 eвро/кг;
3. Вычислите стоимость каждого из ме- • Цена серебра: 700 eвро/кг.
таллов, необходимых для изготовления серьги, в зависимости от l.
4. Каково значение l для того, чтобы стоимость необходимого материала дляизготовления пары сережек не превысило бы 30 евро?
ЗАДАЧА 10. Средняя скорость
Велосипедист отправляется из своего города в город Бельцы, который находится на расстоянии d км от его места жительства. Половину дороги он проезжает соскоростью 20 км/ч, а вторую половину – со скоростью x км/ч.
a) Покажите, что его средняя скорость движения на протяжении всего пути40 x
V(x) выражается формулой V  x  .
x  20б) Если вторая половина пути была пройдена со скоростью 15 км/ч, какова
средняя скорость велосипедиста на протяжении всего пути?

161в) Найдите – с какой скоростью должен двигаться велосипедист при прохождении второй половины дороги, чтобы средняя скорость равнялась 24 км/ч.
г) Найдите – с какой скоростью должен двигаться велосипедист при прохождении второй половины дороги, чтобы средняя скорость была большей либоравной 15 км/ч.
д) Покажите, что средняя скорость не может превысить 40 км/ч.
ЗАДАЧА 11. Teннис будущего
Теннисист Йаничек Нада играл против кирпичной стены,созданной современными нанотехнологиями. Кирпичи становятся зелеными, если скорость мячика достаточна, т. е.
если кинетическая энергия мячика при скорости v больше чем
4,6v + 34,2. В противном случае кирпичи становятся красными. Кинетическая энергия, в зависимости  от скорости v имассы m, задается формулой Ec = ½ mv2. Масса теннисного
мячика равна 0,058 кг.
1. Йаничек подает первую подачу со скоростью 35 м/с. Каков цвет стены?
2. После разогрева он подает мяч со скоростью 45 м/с. Каков цвет стены?
3. Какое неравенство следует решить, чтобы  определить скорость мяча, прикоторой стена становится зеленой?
4. Решите полученное неравенство. Какова минимальная скорость мяча? Выразите результат в м/с, а затем в км/ч.
ЗАДАЧА 12. Налог за участок
Землевладельцы любого права собственности
должны своевременно вносить земельный налог идругие платежи за использование земли. В Республике Молдова максимальные ставки земельного
налога за единицу земли устанавливаются в зависимости от ее качества, назначения и местоположения.
Земельный налог для земли, используемой в строительстве, составляет 0,3 лея/м2 в год и 0,1 лея/м2в год для земли, используемой для других целей. (Http://lex.justice.md/viewdoc.
php?id=310715&lang= 1)
Петр решил построить на своем участке, имеющий площадь 793,5 м2, склад.
Длина склада в 2,5 раза больше чем его ширина.
a) Используя данные рисунка найдите ширину и длину склада. Xб) Найдите оставшуюся площадь после построения склада.
в) Какой налог должен заплатить Петр за использованную землю?
162

ЗАДАЧА 13. Благотворительная акция
30 учеников одного класса решили провести благотворительную акцию посбору помощи для центра интенсивной терапии г. Кишинев. Анна предлагает написать объявление и разослать его по электронной почте. В информации будет
содержаться объявление и просьба разослать его еще двум человекам. Значит, впервом туре класс разослал информацию 60 пользователям Интернета.
a) Через сколько туров информация дойдет
до 25000 пользователям Интернета?
б) Если предположить, что один тур продолжается примерно 3 часа, сколько времени
потребуется чтобы информация дошла довсех 25000 пользователей  Интернета?
в) Один из учеников, случайно, вместе с информацией отослал вирус. Сколько пользователей Интернета теоретически пострадают из-за вируса?
г) За сколько часов информация дойдет до всех 25000 пользователей Интернета, если каждый ученик и, соответственно, каждый получающий отошлют
информацию не двум пользователям, а трем?
ЗАДАЧА 14. Генеалогическое деревоВ одном генеалогическом дереве каждая пара родителей имеет одно и тожеколичество детей, что и пара родителей из первого поколения.
a) Первое поколение родителей имеют 3 детей. Сколько всего детей будут в 5 поколении?
б) Сколько детей будут в 3 поколении, если впервом поколении 5 детей?
в) Сколько детей будут в 6 поколении, если во
2 поколении было 16 детей.
г) Составьте личное генеалогическое деревои найдите количество детей из вашего поколения.

163

5.3. Создание инклюзивной образовательной средыПри реализации инклюзивного обучения учитель математики будет руководствоваться понятиями, указанными в Статье 3. Основные понятия из Кодекса обобразовании:- Индивидуальный образовательный план – инструмент для организации икоординированной реализации образовательного процесса для бенефициаров со специальными образовательными требованиями;- адаптированный Куррикулум – Куррикулум школьной дисциплины, реализующий корелляцию с потенциалом ребенка или ученика с особыми образовательными потребностями, конечные же образовательные результаты  остаются неизменными;- модифицированный Куррикулум – Куррикулум школьной дисциплины, в котором модифицируются конечные результаты обучения, в зависимости отпотенциала ребенка или ученика с особыми образовательными потребностями [1].
В зависимости от типа инклюзивности учитель математики совместно с учителем, отвечающим за инклюзивное обучение, и школьным психологом разработает Индивидуальный образовательный план ученика, соответствующий типуКуррикулума. Структура адаптированного/модифицированного Куррикулума аналогична структуре школьного Куррикулума по Математике.
Создание инклюзивной образовательной среды на уроке математики требует особенного внимания как со стороны учителя, так и со стороны учеников. Важно создать условия для партнерства между учениками с инклюзивным обучениеми их коллегами по классу.
В зависимости от типа куррикулума и конечных результатов, соответствующих
типу инклюзивности, учитель разработает инструменты для первичного, формирующего и суммативного оценивания соответствующего ученика.
Создание инклюзивной образовательной среды при обучении математикeмаксимально персонализировано для соответствующего ученика. Учитель математики обязан учесть, что каждый ученик из инклюзивной образовательной среды является личностью, требующей особого внимания.

164

6. Как оцениваются школьные результатыпо математике в контексте куррикулумных
требований?
6.1. Оценивание школьных результатовв контексте формирования компетенций
Структура действия педагогической оценки включает три иерархические функциональные операции на уровне системы и процесса измерение – оценивание –принятие решения:- измерение – операция оценки, обеспечивающая выявление «опреде­ленных
наблюдаемых характеристик», выраженных в количественных терминах
(счет, цифры, статистики и т. д.) и/или посредством описаний, сконцентри­рованных на определенных узких зонах проявления ([19]);- оценивание – операция оценки, которая истолковывает выявленные факты взависимости от определенных педагогических качественных и незави­симых
критериев во взаимосвязи с измерительными инструментами, примени­мыми в рамках определенного метода или дидактической стратегии;- принятие решения – операция оценки, которая обеспечивает продление
операции оценивания до определенной школьной отметки, характеристики, рекомендации и т. п., имеющей значение для педагогического прогноза.
Эта операция входит в категорию конечных оценочных суждений большой
психологической сложности и социальной ответственности.
Значит, оценка должна быть воспринята как способ облегчения преподаванияи учения, исключения неудач и реализации постоянного прогресса в подготовке
каждого ученика.
Самая значимая роль оценивания состоит в предоставлении обратной связи,постоянной и соответствующей, необходимой как ученикам, так и родителям, руководящим органам и широкой публике. Итак, в интегрированном процессе преподавание – учение – оценивание составляющая оценивание занимает основное
звено высшей значимости, как с точки зрения психопедагогики, так и с социальной точки зрения. Этот факт подтверждается  и алгоритмом современного образовательного процесса:Цели →
Компетенции

Инструменты
Содер- Техножание
логииОценка

УспехНеудача

____________ Причины неудачи

165

Новые
цели

и т. д.

Оценка определяет каждый раз – достигнуты ли запланированные цели и, чтополучено в результате соответствующего действия: успех или неудача. В случае
неудачи будут выявлены её причины, и действие будет  повторено пока, в итоге,не будет достигнут запланированный успех. Следующий шаг будет заключаться вформулировании новых целей и, таким образом, процесс будет продолжаться составляя, тем самым, следующую спираль в образовании.
Современный процесс оценивания школьных результатов, основанный напринципах оценивания ([7]), призван:  • выявлять успехи каждого ученика, а не его неудачи;•		информировать представителей образовательной сферы, указывая, чтонужно изучать и как нужно преподавать;•		быть многогранным, концентрируясь как на социальном и эмоциональном развитии, так и на когнитивном развитии ученика;•		содержать отношения сотрудничества между учителем и учениками,между учениками;•		обосновать значимость обучения, продвигать успехи и оптимальное
обуче­ние для всех учащихся;•		быть легко понятым как всеми учащимися, так и их родителями, представителями сферы образования и т. д.
Выделяют следующие типы оценивания, применяемые в образовательном
процессе по математикe на современном этапе:а) первичное оценивание (прогностическое);б) текущее (формирующее) оценивание;в) итоговое (суммативное) оценивание.
И в контексте формирования компетенций приоритетным является текущее/формирующее оценивание.
В целом, любая оценочная деятельность в области образования, как правило,должна осуществляться на основе, четкой определенной изначально технологической карте, которая уточняла бы:- контингент, который будет оцениваться;- тип оценивания (первичная, текущая/формирующая, итоговая/суммативная);- цели оценивания (в корреляции с единицами компетенций, специфические
компетенции по математикe и ключевыми компетенциями);- технологии оценивания (формы, методы, техники, средства и т. д.);- продолжительность каждого действия в рамках оценивания;- место, где будет проведено оценивание;- как будет осуществляться мониторизация деятельности оценивания;- базу данных (тесты, проверочные работы, практические работы и т. п.);166

- как будет проведена рефлексия (сравнение полученных результатов с запланированными целями);- как будут сделаны выводы (диагноз и прогноз);- как будут приниматься решения.
Важно, чтобы каждый учитель математики осознал, что любое оцениваниепо математикe, в том числе суммативное на государственном уровне, направлено на определение уровня реализации единиц компетенций и формирования
компетенций, предусмотренных школьным Куррикулумом по Математикe ([7]).
В процессе оценки учитель будет основываться на Принципах оценивания
школьных результатов, Стандартах эффективности обучения математикe и насовременных требованиях по организации и проведении   оценочных действий,указанных также в Куррикулуме в разделе IV. Методологические ориентиры преподавания – учения – оценивания. Необходимо чтобы и ученик, и учитель, иродитель/опекун, и руководитель  осознавали, что оценка при любых условиях,должна быть объективной.
Акцент на каждом уроке будет ставиться на формирующее/текущее оценивание. Успех урока определяется в зависимости от уровня достижения запланированных целей.
Учителя могут   выбрать те формы, методы и инструменты   оценки, которые   являются, с их точки зрения, оптимальными для соответствующего класса, соответствующей темы (главы, модуля) и т. п. Выбранные стратегии оценивания будут
коррелироваться со стратегиями, предлагаемыми в модернизированном Куррикулуме в рубрике Рекомендуемые виды учебной деятельности и ее результаты/продукты, для каждого из классов.
Итоговое оценивание, проведенное в конце единицы обучения/главы/модуля/семестра и учебного года, будет выявлять – на каком уровне реализованы единицы компетенций, предусмотренные Куррикулумом.
Посредством выпускного экзамена по математикe в гимназии будет проверяться – какие компетенции, в том числе специфические компетенции поматематикe, сформированы и на каком уровне.
При реализации итогового  оценивания  школьных результатов по математикeв конце ступени обучения будут учтены и Стандарты эффективности обучения
математикe для гимназии.

167

6.2. Технологии оценивания
Методы оценивания могут быть классифицированы по различным признакам.
По историческому признаку методы оценивания делятся на:
А. Традиционные методы
оценивания: Устные работы; Письменные работы; Практические работы; Teстирование.

Б. Современные, альтернативные методы
оценивания:• Систематическое наблюдение ученика впроцессе учебной деятельности;• Оценочный портфель;• Исследование;• Проект (исследовательский);• Самооценивание;• Взаимооценивание;• Дидактические игры с оценочными
аспектами.

a) Систематическое наблюдение ученика в процессе учебной деятельности один их эффективных методов познания личности.
б) Внедрение Оценочного портфеля связано с необходимостью продвижения
гибкого, комплексного, интегративного метода оценки как жизнеспособной
альтернативы традиционным методам. Значимость оценочного портфеля какальтернативного метода оценивания состоит в том, что он предлагает и учителю, и ученику метод, который объединяет формирующие и информативные
функции оценки.
Оценочный портфель является комплексным инструментом оценивания
школьных результатов. На практике портфель представляет собой папку, гдесохраняются все результаты ученика, полученные при всех видах оценивания:письменные, практические работы, проекты, эссе, рефераты, тесты, самооценивание и т.п. Портфель является «визитной карточкой»  каждого ученика, позволяя следить за развитием ученика от полугодия к полугодию, от года к году,от ступени к ступени. Ученик имеет свободный доступ к своему портфелю иможет систематически дополнять его различными результатами. Раз в полугодие учитель глобально оценивает портфель в соответствии с критериями, знакомыми ученикам изначально. Полученная отметка может стать итоговой засоответствующее полугодие или за учебный год.
в) Исследование представляет собой деятельность, протекающую на протяжениине более одного урока по следующему алгоритму: в начале урока ученик получает конкретное задание для исследования и инструкции, согласно которым
решает это задание. Исследование позволяет ученику творчески применять
знания, усваивать новые ситуации и добывать новый опыт.
168г) Проект способствует переносу знаний в различные области и интегрированию школьных предметов, по крайней мере, из куррикулумной области. Проект может быть индивидуальным, реализованный одним учеником, или коллективным, реализованным группой учащихся. Алгоритм реализации проекта:деятельность начинается на уроке с уточнением темы и задания; деятельность
продолжается затем на протяжении нескольких дней, недель или месяцев, взависимости от сложности заданий; в этот период ученик (группа учеников) получает консультации от учителя или соответствующих специалистов. Деятельность заканчивается публичной защитой проекта перед коллегами.
Этапы реализации проекта:                                          1. Выбор темы  
2. Составление плана деятельности: формулировка целей проекта; составление групп; выбор задания в рамках темы для каждого ученика/каждой группы; разделение ответственностей в рамках группы; уточнение источников добывания информации (учебники, другие проекты, отраслевые журналы, специалисты и учреждения, специализирующиеся  по данной тематике).                                                                                                  3. Собственно исследовательская деятельность                       4. Разработка материалов
5. Представление и публичная защита полученных результатов и/или разработанных материалов
6. Оценивание:a) исследования в целом;б) способов деятельности;в) полученного результата.                      Метод проектов представляет собой эффективный метод оценивания компетенций учащихся.          Примерные темы для проектов по математикe:I. Теоретические проекты:1. Составление сказки по математикe.
2. Математика в музыке.
3. Maтематика в поэзии.
4. Решение задач несколькими методами.
5. Составление задач с заданным математическим субъектом, в томчисле интегрирующие задачи, задачи каскадного типа и др.

169

II. Прикладные проекты:a) Применение процентов в жизненных ситуациях.
б) Функциональные зависимости в практической деятельности.
в) Применение функций в технике.
г) Примеры комбинаций геометрических тел в строениях родного села/города.
д) Приложения математической статистики в различных жизненных
ситуациях.
е) Составление личного и семейного бюджета.
ё) Элементы геометрии в строительстве.
ж) Математика в профессиях родителей.
з) Золотое сечение и его применение.
и) Симметрия вокруг нас.
й) Обустройство школьной территории, территории детского сада,фирмы, села и т.п.
III. Симулятивные проекты
1. Суд геометрических фигур;2. Заседание Академии Наук;3. Математический брифинг;4. Урок в школе Пифагора и т.д.
Примечание: Проекты, реализованные индивидуально или группой учеников, будут защищены на специальных уроках оценивания – уроки защиты проектов. В контексте формирования компетенций метод проектов может стать однимиз самых эффективных методов оценивания.
д) Дидактические игры с оценочными аспектами дают возможность согласно
сценария оценивать как индивидуальную деятельность ученика, так и группы
(команды) учеников. Например, сценарии дидактических игр по Математикe„Next” и „Brainring” представлены в источнике [20].
e) Самооценивание дает возможность ученикам поверить в собственные силы имотивирует их к улучшению собственных школьных результатов. Учитель должен способствовать формированию способностей самопроверки и самооценивания, научить сравнивать личный уровень развития ученика с образовательными целями и стандартами и подсказать оптимальную личную программудля учения. Необходимо научить учеников адекватно оценивать себя, для того,чтобы принимать правильные решения. На этапе самооценивания ученик заполнит Карточку вида:КАРТОЧКА САМООЦЕНИВАНИЯ
№
п/пПолученные
результаты

Приведенные
доказательства

170Предлагаю себе…..

ё) Взаимное оценивание дает возможность учащимся активно участвовать в процессе оценивания школьных результатов коллег, способствуя, в целом, формированию соответствующих компетенций.
ж) Тестирование признанно  одним из эффективных методов оценивания  уровня
формирования запланированных компетенций. Предложенные тесты должны
содержать меньше заданий для проверки отдельных знаний или способностейи больше заданий интегрирующего типа, для оценивания уровня формирования компетенций предусмотренных Куррикулумом.
Детали применения этих методов оценивания учитель найдет в источнике [17].
Ниже предлагаем совокупность рефлексивных техник и приемов для оценкии самооценки, применимых в гимназии.
 Техника Подумай, пара, представь. Ученики работают в парах. Эта техника
позволяет участвовать вдвоем в дискуссии и формулировать мнения, определения, выполнить совместно задание. Способствует организации реального участия всех учеников в реализации запланированной деятельности.
На протяжении 3-5 минут ученики работают индивидуально, затем в паревырабатывают общий ответ. Пара представляет классу выбранный ответ.
 Схема Куинтилиана (Quintilian). Учитель формулирует вопросы/заданияпо рассмотренному тексту или по изучаемой теме: Формулируй ответы вписьменном виде! Сравни свой ответ с ответом коллеги! Обсудите различия в ответах!
Вопросы

Свой ответ

Ответ коллеги Техника Заявляю всему миру! Ученики, поочередно, используя импровизированный микрофон, высказывают самое главное (по их мнению) из того,что было на уроке. Выступление начинается со слов «Заявляю всему миру!).
 Дидактическое письмо. Дорогие родители/друзья/коллеги! Сегодняшний
день начался _____________, поскольку ________________. Я научился
________________________. Изученное применю ______________.
 Метод 3-2-1. Запишите 3 значимые идеи, 2 аргумента и 1 вывод относительно полученной информации или сегодняшнего/вчерашнего урока и т.д.
3 значимые идеи2 аргумента

171

1 вывод Телеграмма. Ученик записывает лишь три слова, которые он считает главными о деятельности на уроке.
 Экскурсия по галерее. Класс делится на группы. Ученики выполняют задание и записывают на постере. Постеры с результатами вывешиваются вклассе на расстоянии друг от друга так, чтобы было удобно проводить экскурсию. По знаку учителя ученики начинают двигаться по классу, переходяот одного постера к другому, изучая записанные результаты и записывая
разными цветами свои замечания. После проведенной экскурсии каждая
группа изучает свой постер и представляет конечные результаты. Учитель
синтезирует результаты учащихся.
 Рейтинг. Выберите три новости/понятия изученных на уроке. Запишите их вследующие рамки согласно  их рейтингу:1.                                                                                                                                  ;     2.

;     3.       

.

 График обученияЧто нового узнал?

Выскажи свое мнение!

Где сможешь применитьэти знания?

 Журнал мыслей
Перед уроком

После урока

Чувства
МыслиКак урок меня изменил?

 Четверти со значимыми выражениями
Сильные стороны
Удачным оказался…
То, что удивляет…
Понравилось в прочитанном/изученном…
Ценю…
Стоит восхищаться…
Рекомендации
Порекомендую тебе…
Предлагаю тебе…
Было бы  хорошо…
Считаю, что…
Важно обратить внимание на…
Следует учитывать….

Слабые стороныБыл непонятен момент…
Хочу уточнить…
Мне непонятно …
Показалось сложным для понимания…
Сложно понять…
Выявил некоторые ошибки…
Заставило меня задуматься …
Поздравления
Твоя работа заслуживает отличной отметки…
Поздравляю за…
Желаю и других прекрасных достижений…
Искренние поздравления…
Отлично и поздравляю!
Рад за тебя!

172 Коррекция в парах. Ученики обмениваются тетрадями. Читают внимательно записанное, пользуясь схемой оценивания, записанной на доске или накарточке. Исправляют в тетрадях и возвращают коллегам. Обсуждают в парах. При применении этой техники замечаем повышение ответственности
обоих участников пары. Таким образом, оценка действия другого и его собственная оценка выполняются одновременно.
 Групповая коррекция – это эффективное и привлекательное упражнениес целью формирования способностей самооценки учеников. Группы формируются учителем или по желанию учеников. Самооценка направляется,контролируется, имея в качестве эталонного элемента тот факт, что объективное знание способностей может быть достигнуто путем взаимных дополнений, посредством аргументов и информацией выданной группой.
 Без поднятых рук – применяется при ответах на вопросы/задания учителя.
Выделяется время для обдумывания ответов. Затем ответы можно обсуждать в парах или в малых группах. Отвечать будет любой ученик, не поднимая руку.
 Светофор – применяется для определения уровня усвоения понятия иливыполнения задания. Каждый ученик имеет комплект из 3 карточек цвета
светофора. По указанию учителя каждый ученик поднимает одну из карточек: зеленого цвета, если понимают/выполнили задание, желтого цвета,если они не уверенны и красного цвета, если не понимают/не выполнили задание. Можно продолжить выполнять задание, а можно попроситьиз тех, кто поднял зеленую карточку дать указания остальным ученикам повыполнению задания, работая в малых группах, в которых будут ученики,поднявшие карточки всех трех цветов. Кооперируясь, ученики будут активно
участвовать в получении ответов, помогая друг другу. Учитель по необходимости даст указания или окажет соответствующую помощь. Техника может
быть использована в V-VI классах.
 Техника Ответь за минуту – требуется краткий ответ на четкий вопрос,заданный ученику. Учитель договаривается с учениками, что ответ не комментируется. Получив ответы, учитель определит – какую часть/тему урока
необходимо возобновить или уточнить [40, 41].
Важно, чтобы учителя осознали корреляцию Метод/Техника оценивания –Инструмент для оценивания – Продукт – Критерии оценивания – Дескрипторы – Отметки при реализации процесса оценивания.

173

6.3. Тестирование – эффективный метод оцениванияв контексте формирования компетенций
Тест, включая экзаменационный тест, является эффективным инструментом
оценивания по математикe. Разработка теста требует соблюдение определенных алгоритмов. Каждый тест включает и темы/задания, коррелированные со следующими когнитивными областями:1. Знание и понимание (распознавание, представление и объединение символов, терминов, понятий из соответствующего содержания).                                                                                                                       Для оценивания этой области тест включает:I. Объективные итемы:а) итемы с выборочным ответом;б) итемы на выявление соответствующих пар;в) итемы с двойным выбором (истинно, ложно; да, нет);г) итемы с кратким ответом (на заполнение) на уровне знания и понимания.
2. Применение (использование вычислительных приемов, применение методов,  алгоритмов, свойств, теорем и т.п).
Для оценивания этой области тест включает:II. Полуобъективные итемы:а) структурированные стандартного типа вопросы, упражнения, задачи (ссоответствующим решением, обоснованием);б) структурированные математические эссе;в) итемы с кратким ответом на уровне применения, с последующим обоснованием полученного ответа.
Как правило, эти типы итемов содержат определенные указания по их решению. Ученик обязан полностью выполнить эти указания.
3. Интегрирование (решение нестандартных задач, проблемных ситуаций).
Для оценивания этой области, тесты содержат итемы вида:III. Субъективные итемы:- неструктуриро­ванные вопросы, задания, задачи, проблемные ситуации, проверяющие более высокие когнитивные уровни;- неструктуриро­ванное эссе.
Эти итемы могут быть решены теми методами, которые выберут ученики.
Важно! При формулировке итемов следует придерживаться следующих правил:а) Формулировка итема (задания) корректна, если она отвечает на следующие вопросы: Что? Сколько? Как?

174

то есть:- Что должен сделать ученик?
- Сколько он должен сделать?
- Как нужно это сделать?
б) Количество итемов (заданий) определяется, следуя пропорции 1:3, то естьученик решает в три раза медленнее, чем взрослый.
Для разработки теста учитель будет следовать следующей Технологической
карте:
1. выбирает темы, содержание согласно календарно-тематическому планированию и Куррикулуму, которые будут тестироваться;2. формулирует (определяет) цели оценивания, соответствующие единицам
компетенций/компетенциям, выбранных для оценивания;3. составляет матрицу спецификаций теста;4. составляет итемы (тестовые задания) различных типов в соответствии с матрицей спецификаций и сформулированными целями оценивания;5. решает составленный тест для уточнения – успеют ли ученики решить их зауказанный период времени: в результате этого действия учитель вносит соответствующие коррективы в тест;6. разрабатывает схему/барем проверки решений соответствующих тестовых
заданий:7. разрабатывает барем оценивания/схему конвертирования для составленного теста;8. выполняет действия по администрированию теста, включающие:а) утверждение теста и соответствующих схем/баремов на заседании методкомиссии/кафедры;б) утверждение теста и соответствующих схем/баремов администрацией
гимназии/лицея;в) издание теста для каждого ученика, подвергающегося тестированию.
Важно! Педагогические кадры и менеджеры должны осознать, что компетенции не оцениваются. Компетенция проявляется в действии и материализуетсяв продукты. Оценивается полученный продукт (решенный тест, реализованный
проект, решенная задача и т. д.). В Куррикулуме предложены учебные продуктыдля каждого класса для каждого раздела.
Суммативное оценивание по Математике значимо в трех контекстах:a) на этапе оценивания единиц компетенций в конце изучения единицы учения, главы, модуля (V-IX классы)Суммативные тесты, для этого этапа оценивания, будут разрабатываться последующему алгоритму:175

Единицы компетенций
(подлежащие оцениванию)Цели оценивания (кореллированныес выбранными единицами компетенций)Итемы/Задания
(коррелированные с целями оценивания)Mатрица
спецификаций
Тест/Проверочная работа

Схема/Барем проверки

Барем оценивания/Схема конвертирования
Матрица спецификаций должна обеспечивать, чтобы составленный тест измерял уровень достижения именно запланированных целей и имел адекватную содержательную базу. Она коррелирует когнитивные области (как правило, Знаниеи понимание, Применение и Интег­рирование), содержание, которое тестируется, и количество итемов, необходимых для составления теста. На основе мат­рицыспецификаций составляется тест.
После составления теста будут составлены Барем проверки и Барем оценивания/Схема конвертирования.
Рекомендуется применение следущего Барема оценивания, определенный
Референциалом оценивания [4]:Отметка

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Кол-во
баллов в %95100%

8794%

7686%

6175%

4560%

3144%

2030%

115-10% 0-4%
19%    

Для примера ниже изложена реализация алгоритма при составлении суммативного теста для VIII класса по главе Действительные числа. Повторение и дополнения:176

Единицы компетенций, подлежащие оцениванию:1.3. Сравнение, упорядочивание и изображение на числовой оси действительных чисел.
1.4. Применение модуля действительного числа и его свойства модуля в различных контекстах.
1.5. Выбирание формы записи действительного числа и применение алгоритмов для оптимизации вычислений с действительными числами.
1.6. Применение действительных чисел для выполнения вычислений в различных контекстах, применяя свойства изученных операций и учитывая значимость скобок.
1.8. Нахождение истинностного значения утверждения, высказывания о действительных числах, в том числе с помощью примеров, контрпримеров.
1.9. Обоснование полученного или заданного результата/вывода связанного сдействительными числами, посредством аргументов, доказательств.
Цели оценивания: Ученики докажут, что способны:ЦО1: Находить истинностное значение высказывания о действительных числах.
ЦO2: Сравнивать два заданных действительных числа.
ЦO3: Упорядочивать действительные числа.
ЦO4: Применить свойства модуля действительного числа для оптимизации вычислений с действительными числами.
ЦO5: Применить алгоритмы для оптимизации вычислений с действительными
числами.
ЦO6: Применить свойства степеней с целым показателем при выполнении действий с действительными числами.
ЦO7: Обосновать полученный результат, используя аргументы.
Матрица спецификаций
Когнитивные
№области Знание ип/п Изученные
понимание
темыМножество действительных 1 задание
чисел.
1a)Степени с целым
показателем. Свойства.
Корень квадратный.
Свойства квадратного
корня.
Всего

1 задание
9%177Применение
1 задание
1b)
1 задание
1c)
3 задания
2a), 2b), 3a)5 заданий
46 %Интегрирование
1 задание
1d)
4 задания
2c), 3b),3c), 4Всего
2 задания
18%
2 задания
18%
7 заданий
64%

4 итема/5 заданий
11 заданий
45 %
100%

Суммативный тестВремя выполнения: 45 мин№п/пКол-во
баллов

ИтемыЗадано множество A  a, b, c, d , где a = –1 –2 , b =1.

5 5: , c14 7

 6 2

и d = – 8 + 13.
Запишите в рамки букву И, если высказывание истинно, или букву Л.
а) если высказывание ложно:„Значение числа b является целым числом”

1 б.

б) Сравните значения c и d.
a

3 б.

в) Вычислите значение выражения b .
г) Докажите, что d 

25d   d
d

 .

2 c

a

Дано выражение E  3  2 3 

2.

4 б.

 2  3   12 1  2  .
21 б.

а) Раскройте модуль 3 − 2 3 .

2 б.

б) Найдите значение выражения E.
в)

1 б.

Заполните рамки двумя последовательными целыми числами, чтобы
получить истинное высказывание:  
<E<

5 б.

. Аргументируйте ответ!

Сельскохозяйственный участок имеет форму
четырехугольника ABCD, изображенный нарисунке.

3.

Используя данные рисунка (единица измерения – м), найдите длину
стороны AB, выраженной действительным числом.
Определите, сколько метров забора необходимо для ограждения
б)участка.
Определите, сколько кг  семян клевера необходимо для посева этойв)земли, если рекомендуемое потребление составляет 17 г на м2.
Импульс тела – это физическая величина равная произведению массы
тела (в кг) на скорость(в м/с).
4. Найдите импульс электрона массой 9,1 · 10–31 кг, скорость которого
равна 9 ·106 км/ч.
nЗапишите ответ в виде a · 10 , 1 < a < 10, nZ.
а)

178

3 б.
1 б.
3 б.

4 б.
2 б.

Барем проверки
Итем
1.

a)
б)
в)

Правильный
ответ
Л
>
8

г)

2.

a)

2 3 −3б)
4 3 −8в)–2 и –1
3.

a)

AB = 5 3mм
б)

20 3m.
мв)1,275 кг2,275 · 10–24

Этапы решения
Баллы выставляются только заправильное заполнение рамок.
- нахождение c;- нахождение d;- правильный ответ.
- нахождение a;- нахождение b;- правильный ответ.
- 255 = (52)5 = 510;
- (5–2)6 = 5–12;- 510 · 5–12 = 5–2;

МаксиКол-воПримемальное колбаллов
чанияво баллов
1б.
1б.
1 б.
1 б.
1 б.
1 б.
1 б.
1 б.
1 б.
1 б.
1 p.

52
­- 3  5  d .
5

1 б.

- раскрытие модуля.

1 б.

- правильное применение
формулы квадрат разности;- правильное раскрытие скобок;- вынесение множителя из-подкорня;- правильный ответ.
- нахождение приближенного
значения выражения E (по 1 б.  
за каждое приближение);- правильное заполнение рамок
(по 1 б. за каждую рамку).

1 б.
1 б.
1 p.

1 б.

4 б.

1 б.

4 б.

1 б.
3 б.
2 б.

- 2 12  5  2 3  10 3;- 75 = 5 3;
- AB = 5 3mм..

2 б.

- P  4  5 3  20 3.

2 б.

- нахождение площади участка:75 м2;- нахождение количества семян
клевера, необходимых дляпосева: 1275 г;- перевод количества семян
клевера в кг.
- правильный перевод скоростив м/с;- вычисления импульс;- записывание ответа в видеa · 10n, где 1 < a < 10, а nZ.
Итого

1 б.

179

1 б.

1 б.

5 б.

4 б.

1 б.

1 б.

2 б.

3 б.

1 б.
2 б.
2 б.

6 б.

2 б.
36 б.

Схема конвертирования/Барем оценивания
Отметка

10

9

8

7

6

5

Кол-во баллов

36-35 34-32 27-31 22-26 16-21 12-15

4

3

2

1

8-11

5-7

3-4

1-2

б) Суммативное оценивание на этапе внутреннего первичного оценивания
уровня формирования специфических компетенций по Математике
Оценивание школьных результатов по математике на основе компетенций осуществляется посредством первичного оценивания на этапах перехода от одной
ступени образования к другой. В этом контексте значимыми являются первичные
оценивания по математике в начале V класса (оценивание уровня формирования
специфических компетенций, запланированных для начального образования) и вначале X класса (оценивание уровня формирования специфических компетенций,запланированных для гимназического образования).
в) Суммативное оценивание на этапе внутреннего итогового оценивания уровня формирования специфических компетенций по Математике
Такими являются итоговые оценивания в конце IX класса и в конце XII класса.
Инструмент оценивания/Экзаменационный тест для оцениваний б) и в)должен быть разработан согласно следующего алгоритма:Стандарты эффективности обучения
Математики
Специфические компетенции
(ключевые/трансверсальные компетенции)Индикаторы компетенций из стандартов/Цели оценивания
Итемы(комплексные)Матрица
спецификаций

Суммативный тест(экзаменационный)Барем проверки

Барем оценивания/Схема конвертирования

180В контексте оценивания на основе компетенций модернизируется Матрица
спецификаций, составленная по областям школьной дисциплины Математика,определенных Стандартами эффективности обучения, не по содержанию, изученного в соответствующий учебный год:Когнитивные
области

Области
учебного предмета

Знание иПриме­нение
понимание

Интегриро­вание

Область 1

X

X

XОбласть 2

X

X

XОбласть 3

X

X

XОбласть 4 и т.д.

X

X

X

30%

40%

30%

Итого

Итого
1 итем c 3-6заданиями
1 итем c 3-6заданиями
1 итем c 3-6заданиями
1 итем c 3-6заданиями
100%,
4 итема с 12-24заданиями

Важно! Для реализации оценивания на основании компетенций каждый итем,включенный в экзаменационный тест, должен быть структурирован таким образом,чтобы он содержал, согласно определению школьной компетенции, задания на знания, задания на навыки и задания на ценностные отношения (интегрирование).
Для примера, приводим Матрицу спецификаций и Экзаменационный тестдля конечного суммативного оценивания (внутренний экзамен) в IX  классе:Maтрица спецификаций
Когнитивные
области

Области
Математики
Алгебра

Элементы
математического
анализа
Измерения и меры.
Элементы аналитической геометрии
Геометрия наплоскости и впространстве
ИтогоЗнание ипонимание

Применение

Интегрирование

Итого

5,3 %
1 задание
(2a)
5,3 %
1 задание
(1a)
5,2 %
1 задание
(3a)10,6 %
2 задания
(4a, 5a)26,4 %
5 задания

5,3 %1 задание
(2b)
5,3 %
1 задание
(1b)
10,4 %
2 задания
(3b, 3c)
10,6 %
2 задания
(4b, 5b)31,6 %
6 задания

5,4 %1 задание
(2c)
10,4 %
2 задание
(1c, 1d)
10,4 %
2 задания
(3d, 3e)15,8 %
3 задания
(4c, 5c, 5d)
42 %8 заданий

16 %1 итем
(3 задания)21 %1 итем
(4 задания)26 %2 итема
(5 задания)37 %2 итема
(7 заданий)100 %5 итема,19 заданий

181

Суммативный тест (экзаменационный), (внутренний экзамен)Время: 90 мин
1. Траектория полета мяча представляет собой часть графика функции
f : R  R, f  x    x 2  8 x. Ось Oy представляет расстояние в метрах,ось Ox – время в секундах.
a) Заполните одним из терминов «степенная функция», «линейная функция»,«функция второй степени», чтобы получить истинное высказывание:„Функция f является ____________________________”.
1 б.
b) Постройте график функции f.
6 б.
c) Определите, сколько секунд был в полете мяч.
2 б.
d) Найдите максимальную высоту полета мяча.
2 б.

2. Сергей заплатил за тетрадь и три ручки 19 леев, а Дана заплатила за три тетради и две ручки таких же типов – 22 лея.
a) Запишите в рамки Дa или Нет, чтобы получить истинное высказывание:„Дана заплатила за покупку в два раза больше чем Сергей”.
2 б.
б) Запишите в рамки систему уравнений, соответствующую данным задачи.

Аргументируйте ответ!
в) Найдите цену одной тетради и одной ручки.

182

6 б.
5 б.

3. Прямоугольник изготовлен из картона. Длина прямоугольника – на 8 смбольше его ширины, а площадь прямоугольника равна 240 cм2.
a) Впишите в рамки букву A, если высказывание истинно, или букву Л, еслионо ложно:„Прямоугольник является параллелограммом”.
2 б.
б) Найдите длину прямоугольника.
6 б.
в) Вычислите периметр прямоугольника.
3 б.
г) Определите – можно ли из этого прямоугольника
вырезать прямоугольник со стороной 10 cм.    2 б.
д) А квадрат с площадью 169 cм2?
Аргументируйте ответ.
3 б.
4. Клумба имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями 8 м, 18 м иострым углом 30°.
a) Заполните, чтобы полученное высказывание
было истинным:„Равнобедренная трапеция, это трапеция
_________________.”2 б.
б) Вычислите неизвестные длины сторон клумбы.
8 б.                                               в) Определите сколько метров ограды нужнодля ограждения этой клумбы?
3 б.
г) Для посева клумбы цветами необходимы 80 гсемян на 1 м2. Сколько граммов семян
необходимы для посева всей клумбы?
6 б.            5. Фермер складировал сено в виде прямого кругового конуса с радиусом основания 4 м и образующей равной 5 м.
a) Обведите букву И, если высказывание истинно,или букву Л, если оно ложно:„Основанием прямого кругового конуса
является окружность.” И/Л1 б.
б) Вычислите площадь поверхности этой кучи сена.
4 б.
в) Для прикормки быка в декабре фермер взял сеноиз этой кучи. Оставшееся сено имело форму усеченного конуса с высотой 1,2м. Вычислите объем
сена, использованного в декабре для прикормки
быка (ответ округлите до десятых).
5 б.

183

Примеры тестов по Математикe, составленных в контексте оценивания,основанного на компетенциях, учитель Математики найдет в учебниках поМатематикe для V, VI и IX классов [12, 13,14].
Для сравнения представляем Экзаменационный тест, предложенный во Франции в 2019 году на выпускном экзамене по Математике в гимназии:Экзаменационный тест (Diplome national de brevet) Франция, 2019Время: 120 минЗадача 1 (14 баллов):Нина и Клара используют следующие программы для вычисления.
Программа Нины:Выбирает число.
Вычитает из него 1.
Умножает результат на – 2.
Прибавляет 2.

Программа Клары:Выбирает число.
Умножает его на –1/2.
Прибавляет 1 к результату.

1. Покажите, что если обе девочки выбирают первоначальное  число 1, то Нинаполучит результат в четыре раза больший, чем у Клары.
2. Какое число должна выбрать Нина, чтобы в результате получить 0?
3. Нина говорит Кларе: «Если мы выберем одно и то же первоначальное число, то мой результат всегда будет в 4 раза больше чем твой результат». Права ли она?   
Задача 2 (11 баллов):В приведенной ниже таблице представлены выбросы парниковых газов дляФранции и Европейского союза в миллионах тонн эквивалента CO2 в период с 1990
по 2013 год.
1990 (в миллионах тоннэквивалента CO2)2013 (в миллионах тоннэквивалента CO2)Франция

549,4

490,2

Европейский союз5680,9Источник: Европейское агентство по окружающей среде, 20151) В период с 1990 по 2013 год выбросы парниковых газов в Европейском Союзе сократились на 21%. Какое количество парниковых газов было выброшено Европейским Союзом в 2013 году? Результат округлите до десятых
миллионов тонн эквивалентаCO2.
2) Франция предложила к 2030 году сократить свои выбросы газа в 2/5 раз посравнению с 1990 годом. Докажите, что это соответствует приблизительно
сокращению выбросов парниковых газов на 1/3 по сравнению с 2013 годом.
184

Задача 3 (17 баллов):Программа позволяет роботу перемещаться по домикам сети. Каждый посещенный дом окрашен в серый цвет. В начале программы все домики белого цвета, робот расположен на стартовом домике, отмеченном «d», и окрашен в серый цвет.
Вот пример программы и полученные результаты:1ЗРобот двинулся на запад на 1домик2В 1З 2С

3 (1Ю 2В)dРобот перемещает на 2 домикана восток, затем на 1 домик назапад, затем на 2 домика  насеверРобот повторяет движение 3
раза: 1 домик на юг, затем 2домика на восток.

dd

1. Вот программа:1З 2С 2В 4Ю 2З.
В ваших тетрадях в  клеточку по Математикe нарисуйте рисунок, который получается при реализации этой программы. Отметьте „d” домик с которого начинается движение.
2. Вот 2 программы:Программа 1: 1Ю 3 (1С 3В 2Ю)dПрограмма 2: 3 (1Ю 1С  3В1С)а) Какая программа позволяет получить мотив из приложенного рисунка.
б) Объясните, почему другая программа не позволяет получить ту жекартину?
3. Вот другая программа:Программа 3: 4(1Ю 1В 1С)dОна позволит получить следующий результат:185

Переделайте эту программу, изменив лишь один элемент из программы, чтобы
получить следующий результат:dЗадача 4 (16 баллов): Чтобы построить колодец в своем саду, мистеру Мартину
необходимо 5 бетонных цилиндров (колец) со следующими характеристиками:• внутренний диаметр: 90 cm• внешний диаметр: 101 cm• высота: 50 cm• плотность бетона: 2400 кг/м3.
В его прицепе у него есть место  для 5 цилиндров, но  он не может перевезти более  500 кг. Определите минимальное количество рейсов с прицепом туда-обратно,необходимых для перевозки этих 5 баллонов.
Задача 5 (12 баллов):Смежная фигура нарисована свободной рукой и представляет четырехугольник, в котором диагонали пересекаются в точке O. Известно, что OA = 3,5 см и AB =5 см.
Нас интересует тип этого четырехугольника.
1. Можем утверждать, что ABCD – прямоугольник?
2. Можем утверждать, что ABCD – квадрат?
Задача 6 (14 баллов):В таблице (документ 1) представлено количество «дизельных или бензиновых»автомобилей, находящихся в обращении во Франции в 2014 году.
Количество автомобилей,находящихся в обращении(в тысячах)Среднее расстояние, пройденное
автомобилем(в км)

Дизельные

19741

15430

Бензиновые

11984

8344

Источник: INSEE
1. Проверьте, составляет ли количество «дизельных или бензиновых» автомобилей, находящихся в обращении во Франции в 2014 году, 31725000.
2. Каково соотношение дизельных и «дизельных или бензиновых автомобилей», находящихся в обращении во Франции? Выразить результат в процентах. Округлите результат до целых чисел.
186

3) В конце декабря 2014 года во время телевизионной игры автомобиль былслучайно выбран из числа «дизельных или бензиновых» автомобилей, выпущенных в обращение во Франции. Владельцу выбранного автомобиля
было предложено сменить его на новый электромобиль. Ведущий позвонил
Хьюго, счастливому обладателю выбранного автомобиля. Вот выдержка изтелефонного звонка:Документ 2:Ведущий: Здравствуйте, Хьюго! Сколько лет Вашей машине?
Хьюго: Ей 7 лет.
Ведущий: И сколько километров она проехала?
Хьюго: чуть более 100 000 км. Подождите немного, у меня в гараже накладнаяс датой вчерашнего дня ..... итак, у меня ровно 103 824 км.
Ведущий: Аааа, я думаю, что у вас дизельный автомобиль.
Используя данные, содержащиеся в документе 1 и документе 2:а) Объясните, почему ведущий пришел к выводу, что у Хьюго есть дизельный
автомобиль.
б) Объясните, возможно ли, чтобы автомобиль Хьюго был бензиновым.
Задача 7 (16 баллов)На прилагаемом  рисунке графики C1 и C2 являются графиками двух функций. Одной из них является функция, заданная формулой f(x) = –2x + 8.
1. Какой из графиков является графиком этой функции?
2. Найдите f(3).
3. Найдите аргумент, при котором значение функции
равно 6.
4. По таблице можно вычислить значения функции f :
A

B

C

D

E

F

G

1

x

–2

–1

0

1

2

3

2

f(x)

Какую формулу можно записать в клеточке B2, прежде чем перейти к клеточке
G2? [52].

187

6.4. Проекты STEM и STEAMНаука и технологии являются частью нашей жизни, и их использование таким
образом, чтобы это приносило пользу, очень важно. Вместо того, чтобы иметь
детей, которые являются просто  потребителями технологий, мы могли бы иметь
детей, которые понимают  и используют их сознательно или даже создают технологи. Поэтому сегодня система образования в Республике Молдова нуждается вновых вызовах и подходах STEM, которые могут возродить интерес к изучению
таких предметов, как Естествознание, Технологии, Инженерия и Математика. Необходимо, чтобы эти дисциплины стали более провокационными, чтобы пробудить воображение и вдохновение у сегодняшних учеников, граждан завтрашнего
мира. Таким образом, образование STEM (Естествознание, Технологии, Инженерия и Математика) становится приоритетом для современного международногои национального образования. STEM – это образовательная концепция, основанная на идее обучения учеников в четырех областях: Естествознание, Технологии,Инженерия и Математика. Дисциплины STEM преподаются интегрировано, межпредметно, основываясь на связи с реальностью, непосредственное наблюдение,эксперименте, логике, опыте детей. Именно поэтому одной приоритетной целью
обучения STEM является реализация интегрированного обучения, путем обученияна основе нестандартных проблем и разработки проектов. В результате ученики
участвуют в аутентичных, значимых ситуациях обучения, включая проектирование, реализацию, тестирование, анализ и документирование. Таким образом:• развивается критическое и самокритичное мышление ученика;• поощряются инновации;• развивается способность сотрудничать и эффективно общаться с другимипри решении проблемы и формулировании решений;• понимание происходит посредством экспериментов;• повышается мотивация учеников к учению.
Целью обучения STEM является понимание концепций, понятий, процедур иформирование навыков, необходимых для решения личных, социальных и глобальных проблем, которые включают в себя интеграцию Науки, Техники, Инженерии и Математики. Примеры действий, которые могут быть выполнены в контексте обучения STEM:• Практическое применение;• Эксперименты;• Образовательные межпредметные проекты: Биология, Химия, География,Физика, Математика, Информатика, Технологии, Архитектура, Метрология и
др.;

188

•
•
•
•

Творческие работы, связанные с ремеслами и искусством;Исследовательские образовательные проекты учеников в областях STEM;Экскурсии учеников в институты, музеи, исследовательские лаборатории;Мероприятия по продвижению научно-технического образования (ярмарки, выставки, лагеря, конкурсы для учеников).
Проекты STEM соотносятся с куррикулумными стандартами каждой относящейся к STEM области (национальные стандарты), которые включают содержание, соответствующее уровню школьной дисциплины, не изолируясь от дисциплины, аповышая интегративную полезность познания.
STEAM (Естествознание, Технологии, Инженерия, Искусство и Математика)– это новый подход к концепции STEM, который включает в себя использование
принципов STEM наряду с интеграцией всех гуманитарных дисциплин.
Проекты STEM / STEAM осуществляются совместно с учителями, которые преподают дисциплины, участвующие в реализации соответствующего проекта. Каждый из этих преподавателей окажет необходимую помощь ученикам по соответствующей дисциплине в процессе выполнения проекта. Время, отведенное дляреализации проекта, отличается от проекта к проекту: от одной недели до двухили трех месяцев. Защита реализованных проектов может быть публичной, в томчисле, с участием родителей.
Оценка проекта производится по следующим критериям:- Обоснованность проекта – направлена на то, насколько он охватывает
целостно и связано, логично и аргументированно исследуемую тему;- Завершенность проекта проявляется в том, как были подчеркнуты межпредметные связи и перспективы темы, компетенции и навыки теоретического и практического характера и то, как они служат научному содержанию;- Разработка и структурирование проекта касаются точности, строгости и согласованности научного подхода, логики и аргументации идей,правильности выводов;- Креативность – относится к степени новизны, которую проект привносит в подходе к реализации темы или решению проблемы;- Качество получаемого продукта и его эффективность;- Публичная презентация и защита проекта.
Реализация проектов STEM/STEAM эффективно способствует осуществлению
межпредметных и транспредметных связей.
Ниже приводим примеры проектов STEM/STEAM, в том числе проектов, рекомендуемых Куррикулумом по Математике, по классам:189

Класс
V

VI

I Семестр

II Семестр

Планируем экскурсию! (STEM)Цели:
1. Планирование и разработка маршрута.
Определение длины маршрута.
2. Прикидка затрат.
3. Составление списка багажа-продовольствия (подбор, прикидка) и т. п.
Области: География, Математика, Познание мира, Физическое воспитание.
Конечные продукты:1. Разработанный маршрут;2. Составленное расписание;3. Смета затрат;4. Альбом с изображениями и т. д.
Отношения и пропорции вБудем питаться правильно! (STEM)изобразительном искусстве иЦели:архитектуре. (STEAM)
1. Расчёт количества калорий, которое
Цели:человек должен потреблять каждый
1. Определение роли отношений идень в зависимости от возраста, пола ипропорций в искусстве.
степени физической активности.
2. Отбор и классификация произве- 2. Определение здоровых источников
дений живописи и архитектуры
белка, клетчатки, кальция, витаминов,в зависимости от роли использоуглеводов и т. д.
ванных отношений и пропорций. 3. Правильное распределение продуктов
3. Выявление  эстетических аспекпитания;тов произведений живописи и
4. Составление здорового ежедневного
архитектуры в зависимости отменю для членов семьи.
роли использованных отношеОбласти: Биология, Математика, Познаний и пропорций.
ние мира. Информатика.
Области: Математика, Познание
Конечные продукты:мира, Изобразителное исскуство,1. Таблица с составленными меню по днямТехнологическое воспитание.
(на одну неделю);Конечные продукты:2. Презентации Power Point.
1. Отобранные и классифицированные произведения живописии архитектуры в зависимости отроли использованных отношений и пропорций.
2. Презентации PowerPoint с выделением соответствующих эстетческих аспектов.

190

VII

VIII

Вода в жизни день за днем.
(STEM)
Цель: Определение качества водыи исследование других проблем,связанных с водой в родном
городе/селе.
Области: Физика, География,Химия, Биология, Математика,Информатика.
Конечные продукты:1. Химический состав воды;2. Графические презентации;3. Рекомендации по повышению
качества воды;4. Модели фильтров для воды;5. Предложения для систем
канализаций;6. Презентация PowerPoint.

I. Изменение метео-характеристик
(температура, влажность, осадки иатмосферное давление) на протяжении
трех месяцев в родном селе/городе.
(STEM)
Цели:
1. Исследование изменения параметров
погоды.
2. Посещение метеостанций.
Области: География, Математика, Физика,  Информатика.
Конечные продукты:1. Графические презентации;2. Прогнозы;3. Taблицы;4. Презентации Power Point.
II. Геометрия и оригами (STEAM)Цели:
1. Понимание Математики посредством
изготовления оригами.
2. Выделение осевых симметрий и свойств
изученных геометрических фигур приизготовлении оригами.
3. Использование приложения GeoGebraдля моделирования геометрических
фигур, которые применяются приизготовлении  оригами.
Области: Математики, Познание мира,Изобразительное искусство, Информатика.
Конечные продукты:1. Изготовленные оригами;2. Изображения/фотографии/видео сизготовленными оригами.
Функции в спорте (STEM)Применения геометрических фигур вЦели:дизайне (STEAM)
1. Определение роли функций/гра- Цели:фиков функций в спорте.
1. Определение цели геометрических фи2. Отбор некоторых процессов/гур в вещевом дизайне/архитектуре/спортивных мероприятий в корландшафте.
реляции с применением соот2. Отбор/классификация/создание продукветствующих функций/графиков.
тов дизайна в зависимости от используеОбласти: Физическое воспитание,мых геометрических фигур.
Биология, Математика, Информа- 3. Выделение эстетических аспектов истика.
пользования геометрических фигур вКонечные продукты:дизайне.
1. Графические презентации;Области: Математика, Познание мира,2. Taблицы;Изобразительное искусство, Технологиче3. Рекомендации;ское воспитание, Искусство, Биология.

191

IX

4. Презентации PowerPoint/Корот- Конечные продукты:кометражные фильмы/Видеоро- 1. Фотографии/Рисунки/Макеты продуктов
лики.
дизайна, классифицированные в функции от использованных типов геометрических фигур.
2. Презентации PowerPoint/Выставка созданных продуктов дизайна с выделением соответствующих эстетических аспектов.
Функции в технике (STEM)
I. Геометрические тела в строениях
Цели:родного села/города. (STEAM)
1. Определение роли функций вЦели:технике.
1. Определение роли геометрических тел в
2. Отбор и классификация техничеархитектуре.
ских процессов в корреляции с
2. Отбор и классификация строений (изоприменением соответствующих
бражений) из родного села/города  вфункций.
зависимости от примененных геометриОбласти: Математика, Физика,ческих тел.
Химия, Биология, Информатика.
3. Выявление эстетических аспектов
Конечные продукты:применения геометрических тел в
1. Технические процессы, представстроениях.
ленные виртуально или реальОбласти: Математика, Биология, Химия,но, в корреляции с использован- Физика, Информатика, Изобразительное
ными функциями.
искусство, Технологическое воспитание,2. Презентации Power Point.
Искусство.
Конечные продукты:1. Фотографии/Рисунки/Изображения  строений родного села/города, классифицированные в соответствии с типами
использованных геометрических тел.
2. Изготовление макетов строений с применением изученных геометрических
фигур.
3. Презентации Power Point с выделением
соответствующих эстетических аспектов.
II. Фракталы в искусстве и природе
(STEAM)Цели:
1. Определение понятия фрактал и егохарактеристик.
2. Изучение замечательных фрактальных
фигур (треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Множество Мандельборта и др.) и фракталов в природе.
3. Составление собственных фракталов,собственной фрактальной музыки и др.

192

4. Использование приложения Geogebra(или других приложений и инструментовИКТ) для моделирования продуктов сприменением фракталов.
Области: Математика, Искусство, Музыка,Биология, Информатика.
Конечные продукты:1. Галерея изображений/рисунки/фотоальбомы с замечательными фрактальными
фигурами и фракталов в природе.
2. Презентации Power Point/фильмы вкоторых представлены  составленные
фракталы.

Важно! Ученики будут реализовывать не более одного проекта STEM/STEAM всеместре. Учитель математики, совместно с учителями учебных предметов, участвующих в проекте, выберет проекты из списка проектов, предложенных Куррикулумом, или предложит альтернативные проекты  STEM/STEAM.
Детали относительно проектов STEM и STEAM, учитель найдёт в источниках
[45-49].

193

БИБЛИОГРАФИЯ
1. Cadrul de referință al curriculumului național. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării Chișinău, Lyceum, 2017.
2. Cu privire la aprobarea Instrucțiunii privind managementul temelor pentru acasă,în tnvățământul primar, gimnazial și liceal. Ordinul Ministrului Educației, Culturii și
Cercetării, nr. 1249 din 22.08.18.
3. Educația centrată pe copil. Ghid metodologic. Coordonatori Callo T., Paniș A. Chişinău, “Print-Caro” , 2010.
4. Evaluarea criterială prin descriptori în învățământul primar. Clasa a 3-a. Ghid metodologic. Institutul de Științe ale Educației, 2017. 64 p.
5. Evaluarea în învăţămînt: orientări conceptuale. Ghid metodologic. Coordonatori:
Pâslaru V., Cabac V. Chişinău: I.Ş.E., 2002.
6. Metodologia privind implementarea evaluării criteriale prin descriptori. Clasa a 3-a.
Institutul de Științe ale Educației, 2017.
7. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Guţu Vl., Chişinău: CEP USM, 2009.
Educaţia centrată pe cel ce învaţă. Ghid metodologic. Coordonator  Guţu Vl.,  Chişinău: CEP USM, 2009
8. Referențialul de evaluare a competențelor specifice formate elevilor. Ministerul Educaţiei  al Republicii Moldova, Chișinău, 2014.
9. Repere metodologice privind asigurarea continuității la nivelul clasei a IV-a și aV-a din perspectiva implementării Evaluării Criteriale prin Descriptori. Ministerul
Educației, Culturii și Cercetării. IȘE, Chișinău,2018.
10. Strategia Moldova Digitală 2020, publicată: 08.11.2013 în Monitorul Oficial Nr. 252257, art Nr : 963.
11. Achiri I., Anastasiei M., Solomon N. ş. a. Metodica predării geometriei în învăţămîntul preuniversitar. Chişinău: Lumina, 1997.
12. Achiri I., Bîrnaz N., Ciuvaga V. ș. a. Evaluarea curriculumului educațional. Aria curriculară: Matematică și științe. Chișinău: CEP USM , 2018.
13. Achiri I., Cibotarenco E., Solomon A. ş. a. Metodica predării matematicii. Vol. I. Chişinău: Lumina, 1992.
14. Achiri I., Gaidargi Gh., Turlacov Z. ş. a. Metodica predării matematicii în învăţămîntul preuniversitar, metodica predării algebrei şi elementelor de analiză matematică.
Vol. II. Chişinău: Lumina, 1995.
15. Achiri I. Jocuri didactice la matematică. Chişinău: Lumina,1990.
16. Achiri I. Sofisme matematice. Chişinău: Ştiinţa, 1992.
17. Cabac V. Evaluarea prin teste în învăţămînt. Bălţi: Universitatea de Stat „Alecu Russo”, 1999.
18. Cartaleanu T., Cosovan O., Goraş-Postică V. ş. a. Formare de competenţe prin strategii didactice interactive. Chişinău: C.E. Pro Didactica, 2008.

194

19. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic
pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Ştiinţa, 2007.
20. Cartaleanu T., Lîsenco S., Sclifos L. ș. a. Formarea competențelor prin strategii didactice interactive. Chișinău: Centrul Educaţional PRO DIDACTICA, 2008.
21. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Ştiinţa, 2007.
22. Cristea S., Dicționar de pedagogie. Chișinău, Litera, 2000.
23. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Editura Uniunii Scriitorilor, Chişinău, 2004.
24. Guţu Vl., Pâslaru V. ş. a. Tehnologii educaţionale. Ghid metodologic. Ch.: Editura
Cartier, 1998.
25. Minder M. Didactica funcțională. Obiective, strategii, evaluare (traducere). Chișinău,Editura “Cartier educațional”, 2003.
26. Кодекс об образовании Республики Молдова. Кишинэу, 2014 г.
27. Национальный куррикулум. Школьная дисциплина Математика. V- IX классы.
Министерство образования, культуры и исследований Республики Молдова.
Chişinău, 2019.
28. Сборники тестов для подготовки к:a) выпускому экзамену по математике за гимназию. Акири И., Брайков А.,Чапа В., Шпунтенко О. Chişinău: Editura Prut, 2018;123.
b) выпускому экзамену по математике за гимназию. Акири И., Чапа В.,Шпунтенко О. Chişinău: Editura Lyceum, 2018.
29. Стандарты эффективности обучения. Mинистерство просвещения Республики Молдова. Кишинэу, Lyceum, 2012.
30. Таблицы по математике для гимназии. Авторы: И. Акири, В. Чапа, Р. Копачеану, O. Шпунтенко,, Chişinău, Cartdidactic, 2005, 2007.
31. Акири И., Брайков А., Шпунтенко О., Урсу Л. Математика. Учебник для V класса. Chişinău: Editura Prut Internaţional, 2015.
32. Акири И., Брайков А., Шпунтенко О. Математика. Учебник для VI класса.
Chişinău: Editura Prut Internaţional, 2016.
33. Акири И., Брайков А., Шпунтенко О. Математика. Учебник для IX класса.
Chişinău: Editura Prut Internaţional, 2017.
34. Акири И., Брайков А., Шпунтенко О., Урсу Л. Математика. Пособие для учителя. V класс. Chişinău: Editura Prut Internaţional, 2010.
35. Акири И. Дидактика математики. Кишинэу: CEP USM, 2012.
36. Акири И., Чапа В., Шпунтенко О. Математика. Гид по внедрению модернизированного куррикулума в гимназическом образовании. V-IX классы. Chişinău:Lyceum, 2011.
37. Райляну А., Акири И., Продан Н. Математика. В книге Математика и Естественные Дисциплины. Методологические гиды. V – IX классы. ��������������
Chişinău. Grupul editorial Litera, 2000.

19513. Стойка А., Мустяцэ С. Проверка школьных результатов. Методологический
гид. Кишинэу, 2003.
38. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики:кн. для учителя.-М.:Просвещение, 2005.
39. Ciolan, L. Învățarea integrată. Iași: Polirom, 2008.
40. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași: Polirom, 2013.
41. Cerghit I. Metode de învățământ, ediția a IV-a. Iași, Editura “Polirom”, 2006.
42. Neagu M., Achiri I. Evaluarea curriculumului școlar proiectat. Ghid metodologic.
Iași: Editura PIM, 2008.
43. POTOLEA D., NEACŞU  I., MANOLESCU M. Metodologia evaluării realizărilor şcolare
ale elevilor. Ghid metodologic general. București, 2011. 124.
44. RADU I. T. Evaluarea în procesul didactic. Ed. a III-a Bucureşti: Editura Didactică şi
Pedagogică, 2007.
45. VOGLER J. Evaluarea în învăţământul preuniversitar. Iaşi: Polirom, 2000, 204 p.
46. https://centruldeparenting.ro/copilul-tau-are-competente-stem-afla-care-suntacestea-si-cum-le-poti-dezvolta-prin-48-de-idei-distractive/
47. http://www.tribunainvatamantului.ro/stem-o-necesitate-in-stransa-conexiune-curealitatea/
48. https://creeracord.com/2018/10/26/rezolvarea-unei-probleme-stem-planul-delectie-nr-1-in-pbl/
49. https://www.schooleducationgateway.eu/ro/pub/latest/practices/steam-learningscience-art.htm
50. https://utm.md/blog/2016/10/12/prezentarea-conceptului-privind-educatiastem/www.didactic.ro
51. https://www.didactic.ro/materialedidactice/probleme-de-tip-cascada.
52. https://ru.scribd.com/document/325217413/Probleme -de-Tip-Cascadă.
53. https://www.mathovore.fr/asie-2019-brevet-de-maths-avec-sujet-et-corrige
54. www.dexonline.ro
55. https://ru.wikipedia.org/wiki/Навык

196