数学
注

数3111

問題はから5意までで， 5 ページにわたって印刷してあります。

また，解答用紙は両面に印刷してあります。
2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 00 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

計算が必要なときは，この問題用紙の余白を利用しなさい。

5

答えは全て解答用紙にＨＢ又はＢの鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

学

6

答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。
63
例えば，と答えるのではなく，と答えます。
8
4
答えに根号が含まれるときは，根号の中を最も小さい自然数にしなさい。

7

例えば，388 と答えるのではなく，62 と答えます。

答えを選択する問題については，各問のア・イ・ウ・エのうちから，最も適切なものをそれぞれ 1 つずつ選んで，その記号のの中を正確に塗りつぶしなさい。
9の中の数字を答える問題については，「あ，い，う，…」に当てはまる数字を，下の〔例〕のように， 0 から 9 までの数字のうちから，それぞれ 1 つずつの中を正確に塗りつぶしなさい。

選んで，その数字の10 答えを記述する問題（答えを選択する問題，の中の数字を答える問題以外のもの）については，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。
11

答えを直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。
受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面については，

12

その数字の13の中を正確に塗りつぶしなさい。

〔例〕

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

あいに 12 と答えるとき

あ0

い02
134

567893456789

1

次の各問に答えよ。
〔問 ₁ 〕 5 +1# ] - 8 g を計算せよ。
2〔問 ₂ 〕 ₄（ a - b ）-（ a - ₉ b ） を計算せよ。
〔問 ₃ 〕 _7 -1i2を計算せよ。

〔問 ₄ 〕 一次方程式

₄ x + ₆ = ₅（ x + ₃ ） を解け。

〔問 ₅ 〕 連立方程式*〔問 ₆ 〕 二次方程式

x2 + x - ₉ = ₀〔問 ₇ 〕 次のの中の「あ」「い」に- x + 2y = 8を解け。

3x - y = 6を解け。
図1

当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

₁右の図 1 のように， ₁ ， ₂ ， ₃ ， ₄ ， ₅ の₂₃₄₅

数字を ₁ つずつ書いた ₅ 枚のカードがある。
この ₅ 枚のカードから同時に ₃ 枚のカードを取り出すとき，取り出した ₃ 枚のカードに書いてある数の積が ₃ の倍数になる確率は，あい
ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

〔問 ₈ 〕 次の

図2の中の「う」「え」にである。

Ａ

当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
右の図 2 は，線分ＡＢを直径とする円Ｏであり，₂ 点Ｃ，Ｄは，円Ｏの周上にある点である。

x₄ 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは，右の図 2 のようにＯ

Ｄ

Ｃ

Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄの順に並んでおり，互いにＢ一致しない。
点Ａと点Ｃ，点Ａと点Ｄ，点Ｂと点Ｄ，点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。
+ＢＡＤ= ₂₅°のとき，x で示した+ＡＣＤの大きさは， うえ 度である。
〔問 ₉ 〕 右の図 3 で，点Ａ，点Ｂは，図3

直線 l 上にある異なる点である。
解答欄に示した図をもとにして，
ＡＢ=ＡＣ，+ＣＡＢ= ₉₀°となる点Ｃを ₁ つ，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Ｃの位置を示す文字Ｃも書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
1lＡＢ

2

Ｓさんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［先生が示した問題］
Ａ
図1a を正の数，n を ₂ 以上の自然数とする。
右の図 1 で，四角形ＡＢＣＤは， ₁ 辺 a cm の正方形であり，点Ｐは，ＰＢ
四角形ＡＢＣＤの ₂ つの対角線の交点である。
₁ 辺 a cm の正方形を，次の［きまり］に従って，順にいくつか重ねてＣできる図形の周りの長さについて考える。
［きまり］
次の①〜③を全て満たすように正方形を重ねる。
① 重ねる正方形の頂点の ₁ つを，重ねられる正方形の対角線の交点に一致させる。
② 重ねる正方形の対角線の交点を，重ねられる正方形の頂点の ₁ つに一致させる。
③ 対角線の交点は，互いに一致せず，全て ₁ つの直線上に並ぶようにする。
図3
正方形を順に重ねてできる図形の周りの長さは， 図 2の部分とし，点線（ ）の部分
右の図に示す太線（ ）は含まないものとする。例えば右の図 2 は， ₂ 個の正方形を重ねてできた図形であり，周りの長さは₆ a cm となる。右の図 3 は， ₃ 個の正方形を重ねてできた図形であり，周りの長さは ₈ a cm となる。
右の図 4 は，正方形を n 個目まで順に重ねてできた図形を表している。
₁ 辺 a cm の正方形を n 個目まで順に重ねてできた図形の周りの長さをＬcm とするとき，Ｌを a，n を用いて表しなさい。

Ｄ

図4
₁ 個目
₂ 個目
₃ 個目

n 個目

Ｓさんは，［先生が示した問題］の答えを次の形の式で表した。Ｓさんの答えは正しかった。
〈Ｓさんの答え〉 Ｌ=〔問 ₁ 〕〈Ｓさんの答え〉のに当てはまる式を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。
ア₄ anイウa（ n + ₄ ）₂ a（ n + ₂ ）エ₂a（n+₁）

Ｓさんのグループは，［先生が示した問題］をもとにして，正方形を円に変え，合同な円をいくつか重ねてできる図形の周りの長さを求める問題を考えた。
［Ｓさんのグループが作った問題］
図5
図6l，r を正の数，n を ₂ 以上の自然数とする。
右の図 5 で，点Οは，半径 r cm の円の中心である。
Ｏ
₁ 個目
半径 r cm の円を，次の［きまり］に従って，₂ 個目順にいくつか重ねてできる図形の周りの長さについて考える。
［きまり］
₃ 個目
次の①，②をともに満たすように円を重ねる。
① 重ねる円の周上にある ₁ 点を，重ねられる円の中心に一致させる。
② 円の中心は，互いに一致せず，全て ₁ つの直線上に並ぶようにする。
n 個目

右の図 6 は，円を n 個目まで順に重ねてできた図形を表している。このの部分とし，点線（ ）の部分は含まないもの
図形の周りの長さは，太線（ ）とする。
半径 r cm の円を n 個目まで順に重ねてできた図形の周りの長さを M cm，1l（ n + ₂ ）となることを示してみよう。
半径 r cm の円の周の長さを l cm とするとき，M=
31〔問 ₂ 〕［Ｓさんのグループが作った問題］で，M=l（ n + ₂ ）となることを示せ。
323右の図 1 で，点Ｏは原点，直線 l は

図1一次関数 y = - x + ₉ のグラフを表している。

lyＰ

直線 l と x 軸との交点をＡ，直線 l 上にある点をＰとする。

₁₀次の各問に答えよ。

〔問 ₁ 〕 次の₅の中の「お」「か」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

₁₀点Ｐの x 座標が - ₄ のとき，

-₅Ｏ₅Ａx点Ｐの y 座標は， おか である。
-₅〔問 ₂ 〕 右の図 2 は，図 1 において，点Ｐの図2x 座標が ₉ より小さい正の数であるとき，mlyy 軸上にあり，y 座標が - ₃ である点をＢ，y 軸を対称の軸として点Ｐと線対称な点をＱ，₁₀₂ 点Ｂ，Ｑを通る直線を m とし，点Ａと点Ｂ，点Ｂと点Ｐ，点Ｐと点ＱをＱそれぞれ結んだ場合を表している。
次の①，②に答えよ。

Ｐ₅Ｏ₅Ａ-₅①₁₀Ｂ

点Ｐが点（ ₂ ， ₇ ）のとき，直線 m の式を，次のア〜エのうちから選び，-₅記号で答えよ。

アy = - ₅x - ₃イ②iＢＰＱの面積がiＢＡＰの面積の ₂ 倍になるとき，点Ｐの x 座標を求めよ。

y = - ₃x - ₅3ウ

y = - ₂x - ₃エy = ₅x - ₃x4右の図 1 で，四角形ＡＢＣＤは，平行四辺形

図1である。

ＡＤ

点Ｐは，辺ＣＤ上にある点で，頂点Ｃ，頂点Ｄのいずれにも一致しない。

Ｐ

頂点Ａと点Ｐを結ぶ。

Ｂ

Ｃ

次の各問に答えよ。

〔問 ₁ 〕 図 1 において，+ＡＢＣ= ₅₀°，+ＤＡＰの大きさを a °とするとき，+ＡＰＣの大きさを表す式を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ア （ a + ₁₃₀ ）度

イ （ a + ₅₀ ）度

ウ （ ₁₃₀ - a ）度

〔問 ₂ 〕 右の図 2 は，図 1 において，

図2

頂点Ｂと点Ｐを結び，エ （ ₅₀ - a ）度ＡＲ

頂点Ｄを通り線分ＢＰに平行な直線を引き，ＰＱ

辺ＡＢとの交点をＱ，線分ＡＰとの交点をＲとした場合を表している。

ＤＢ

Ｃ

次の①，②に答えよ。

①iＡＢＰ ! iＰＤＲ であることを証明せよ。

②

次のの中の「き」「く」「け」「こ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図 2 において，頂点Ｃと点Ｒを結び，線分ＢＰと線分ＣＲの交点をＳとした場合を考える。
ＣＰ：ＰＤ= ₂ ： ₁ のとき，四角形ＱＢＳＲの面積は，iＡＱＲの面積の4きくけこ倍である。

5右の図 1 に示した立体Ａ-ＢＣＤは，

図1Ａ

ＡＢ= ₉ cm，ＢＣ=ＢＤ=ＣＤ= ₆ cm，+ＡＢＣ=+ＡＢＤ= ₉₀°の三角すいである。
辺ＣＤ上にある点をＰ，辺ＡＢ上にある点をＱとし，点Ｐと点Ｑを結ぶ。
次の各問に答えよ。

Ｑの中の「さ」に当てはまる〔問 ₁ 〕 次の数字を答えよ。

ＢＤ

点Ｐが辺ＣＤの中点，ＡＱ= ₆ cm のとき，線分ＰＱの長さは， さＰcm である。
Ｃの中の「し」「す」「せ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

〔問 ₂ 〕 次の

図2右の図 2 は，図 1 において，Ａ点Ｐが頂点Ｃと一致するとき，辺ＡＤの中点をＲとし，点Ｐと点Ｒ，点Ｑと点Ｒをそれぞれ結んだ場合を表している。

Ｒ

ＡＱ= ₈ cm のとき，立体Ｒ-ＡＱＰの体積は，しす

せcm 3 である。
Ｑ
Ｂ

ＤＣ（Ｐ）

5しlＡ

Ｂ

しす

せ す
せiＡＢＰと iＰＤＲにおいて，iＡＢＰ ∽ iＰＤＲM=

1l（n + ）
3

正答数

表

５

５３a＋５b3点

５－９，y = ６４x=－１±√
３７￣〔問 6 〕

あ〔問 7 〕

い1

問2①①５ア



②５６点

５

問1５イ〔問 1 〕

点

５

い５う

６〔問 2 〕点５①〔証７明〕

iＡＢＰと iＰＤＲにおいて，点ＡＢ∥ＤＣ５平行線の錯角は等しいから，

点∠ＰＡＢ＝∠ＲＰＤ ･･･････(1)５仮定から，ＢＰ∥ＱＤ

問9６〔問 9 〕

点

四角形ＡＢＣＤは平行四辺形だから，

え

点

問2①



問8うえ

点

問5

３点

問2②

問7

あ点

３問6２５か2

問4

１

おか〔問 1 〕〔問 〕

５￣
８－２√７〔問 4 〕〔問 8 〕点

問3〔問 3 〕〔問 5 〕

点

一次・分割前期）
問1

お問2〔問 2 〕（31問1

1〔問 1 〕学



点

平行線の錯角は等しいから，

4∠ＡＰＢ＝∠ＰＲＤ ･･･････(2)(1)，(2)より，2組の角がそれぞれ等しいから，

CiＡＢＰ ∽ iＰＤＲlＡ

Ｂき

問2②

１５

〔問問1５エ2〕〔問 1 〕

点②きくけこ問2７〔問 2 〕

点

く３

け１こ

２

1 個目と n 個目の円の太線の部分の長さの〔問 1 〕

240
合計は，2 π r ××2 となる。
360￣

また，2個目から(n－1)個目までの円の太線の部分の長さの合計は，260
2 πr ××2×(n－2)となる。
360

￣

よって，
240
60
Ｍ＝2 π r ××2＋ 2 π r ××2×(n－2)
360
360
4 ＋ 2 π r × 1 ×(n－2)＝2 π r ×－－3
3
1＝－ × 2 π r ×｛4＋(n－2)｝3
1＝－ × 2 π r ×(n＋2)
3￣￣ℓ ＝2 π r であるから，M=1l（n + 2）
3さ

さ

問1６５


し5しす

せ点

問2１５

〔問 2 〕

点

す２

せ３点

数学

採点のポイント

問題番号
配点

正（31答例一次・分割前期）

採点のポイント○基本的な作図の方法を用いて，点Ａを１通り直線ℓ に垂直な直線を引き，ＡＢ＝ＡＣとなる点Ｃが正確に示され〔問９〕ている。

Ｃ

配点
６点
２〔問２〕

ℓＡ

Ｂ

1 個目と n 個目の円の太線の部分の長さの240
合計は，2πr× 360 ×2 となる。
また，2個目から(n－1)個目までの円ので適切に表されている。
○式の変形ができ，適切に処理されている。

太線の部分の長さの合計は，配点７点○図形の周りの長さが，文字を用いた式

60
2πr×360×2×(n－2)となる。
よって，
240
60
Ｍ＝2πr×360 ×2＋2πr×360×2×(n－2)○図形の周りの長さについて，
1
Ｍ＝ 3 ℓ（n＋2）が成り立つことが的確に示されている。

41＝2πr× 3 ＋2πr× 3 ×(n － 2)
1＝ 3 ×2π r×{4＋(n－2)}
1＝ 3 ×2π r×(n ＋2)ℓ ＝2πr であるから，
1ℓ（n＋2）
3△ＡＢＰと△ＰＤＲにおいて，
Ｍ＝

４〔問２〕
①
配点
７点

四角形ＡＢＣＤは平行四辺形だから，ＡＢ∥ＤＣ○正しいと認められる事柄について，根拠を明確に記述し，仮定から結論を導く推論の過程が的確に示されている。

平行線の錯角は等しいから，∠ＰＡＢ＝∠ＲＰＤ･･･････(1)仮定から，ＢＰ∥ＱＤ
平行線の錯角は等しいから，∠ＡＰＢ＝∠ＰＲＤ･･･････(2)(1)，(2)より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ＡＢＰ ∽ △ＰＤＲ

各学校において，採点のポイントを踏まえて『部分点の基準』を作成し，『部分点の基準ごとの点数』を定めること。
なお，受検者の実態等に応じて，次の例のように詳細な基準を定めることができる。
・ 「○○について××が書かれている。
」のように，具体的な内容を加えること。
・ 「○○と△△が書かれている。
（３点）」「○○が書かれている。（２点）」「△△が書かれている。
（１点）」のように，段階を設け，段階ごとの点数を設定すること。
・ 「誤字が一つ以上ある。
（１点減点）」のように，部分点の基準を加えること。