Proceedings of the 20th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 29 - September 1, 2023, Funabashi

PASJ2023 TUP03

J-PARC MR のための横方向不安定性の記述に向けたシミュレーションの構築
STUDY ON SIMULATION CODE FOR TRANSVERSE INSTABILITIES FOR THE
J-PARC MR
吉村 宣倖 ∗A) , 外山 毅 B) , 菖蒲田 義博 C) , 中村 剛 B) ,大見 和史 B) 小林 愛音 B) , 岡田 雅之 B) , 佐藤 洋一 B) , 中家 剛 A)

Nobuyuki Yoshimura ∗ A) , Takeshi Toyama B) , Yoshihiro Shobuda C) , Takeshi Nakamura B) ,Kazuhito Ohmi B) , Aine Kobayashi B) , Masashi Okada B) , Yoichi Sato B) , Tsuyoshi Nakaya A) ,A)
Kyoto University, B) KEK, C) JAEA

Abstract
The J-PARC main ring (MR) will be increased to 1.3 MW. To cope with the increase in beam intensity, the intra-bunch
feedback system (IBFB) needs to be upgraded to handle higher frequencies up to about 200 MHz. To evaluate the performance and understand the optimal parameters after this upgrade, we are developing a particle tracking simulation that
includes the necessary components. The recoherence period induced by chromaticity between tracking simulations andexperiments are compared and it cannot be discribed by the simple simulations, and we investigate what mechanisms explain this result. The shift of synchrotron tune caused by longitudinal wakes using tracking simulations are calculated andit ﬁnd that introducing the effect of longitudinal wakes only does not explain the recoherence period in the experimental
results.

1.

2.

はじめに

クロマティシティによるヘッドテール効果J-PARC MR では、主電磁石電源のアップグレード [1, 2.1 バンチ内振動周波数の変化と振幅変調
2] の結果、MR 繰り返し周期の短縮 (2.48 s から 1.36 s) に
低周波に対するフィードバック機器の性能評価は、リ成功し、2023 年にビームパワー 760 kW を達成した [3]。
この達成には、横方向ビーム不安定性を抑制するフィー
ドバックダンパー [4, 5] とその適切な調整が必要不可欠になっている。
さらなるビームパワー (1.3 MW) で陽子ビームを安定に供給し、ビーム強度に依存した (横方向) 不安定性が増加することによるビームロスを低減するために、
フィードバックシステムの対応周波数を 100 MHz から
200 MHz に増やすアップグレードが進行中である [6]。
しかし、大強度化後の不安定性をフィードバックにより十分に抑制できるかどうかを定量的に評価する必要がある。大強度化に伴いフィードバックが抑えるべき横方向不安定性を考察し、またフィードバックシステムの動作過程を定量的に理解して適切な設定方法を見出した上で、バンチ内フィードバックシステム (IBFB) アップグ
レード後の性能予測を行うことを目標としている。
このために、マクロ粒子数 104 ∼ 106 程度で縦 1 次
元横 1 次元方向にそれぞれの粒子をトラッキングする
シミュレーションを開発した。クロマティシティによるヘッドテール効果によってバンチ内振動周波数が変化し振幅変調が発生するが、開発したシミュレーションを用いた予測に対して J-PARC MR の実験において異なる挙動が観測された。この原因を特定しシミュレーションに反映するため、ここでは縦ウェイクの効果を加えた場合の検討結果を報告する。

∗ yoshimura.nobuyuki.76w@st.kyoto-u.ac.jp,

nyoshimu@post.kek.jp

ング入射時に横方向にオフセット誤差を起こした場合のダンピングレートによって評価することができる [7]。
しかしフィードバックシステムによるダンピングがない場合にも、チューンスプレッドによってベータトロン位相差が発生することにより、デコヒーレンスと呼ばれる
横方向ビーム重心のダンピングが発生する [8]。
クロマティシティ ξ = ∆ν
dp のみによってチューンシp

フトが発生する場合を考える。
2 粒子 (1, 2) がそれぞれ



z, dp
p

= (±ẑ, 0) にいてベータトロン位相差が 0 で1,2ある場合、シンクロトロンの半周期後 (N = N2s ターン)に z, dpp

1,2= (∓ẑ, 0) にいる 2 つの粒子のベータトロẑ
ン位相はヘッドテール位相 χ = 2πξ
ηC を用いて ±2χ と書くことができ [9]、この時のバンチ内振動の周波数は、

f = f0Cξ
4χ = 2f0
2ẑ
η

(1)

であり、ẑ によらず、ξ に比例する。また、粒子数が多い場合、位相拡がりが最大となることで横方向ビーム重心の振幅は小さくなりデコヒーレンスを起こす。
そして、シンクロトロン運動が
1 周 (N = Ns ターン)し、 z, dpp

= (±ẑ, 0) となると、全ての粒子のベータ

1,2

トロン位相差が 0 となることで横方向ビーム重心の振幅が初期状態に戻る。この過程はリコヒーレンスと呼ばれる。この現象がシンクロトロン周期で交互に発生することで、横方向ビーム重心はターン数 N に対して Eq. (2)で周期的に振幅変調を起こす [8](Fig. 1)。

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dp
Nx = x0 exp −2 Ns ξ sin(2 )
p
Ns

X[mm]
5
4
3
2
1
0
0
2

4

2 #
(2)

6

8 10
2
Turn (×10 )Figure 1: The envelope of the average of the transverse
beam position in the bunch calculated by Eq. (2); ξ = −1
(bleck), ξ = −2 (red), ξ = −3 (blue), and ξ = −7.9
(green).
2.2 トラッキングシミュレーションの予測

X[mm]
5
4
3
2
1
0
0
2

z
z

4

6

4
2
0
-2
-4
-6
4

6

8 10 2
Turn (×10 )Figure 3: Frequency components of the beam position obtained from the tracking simulation for ξ = −7.9.
2.3 実験条件
2023 年 2 月 25,28 日に、エネルギー 3 GeV、繰り返し
周期 1.36 s、ビーム強度 NB = 2.4, 4.2, 8.6 × 1012 ppb、
バンチ数 1、IBFB なしの条件下でビーム試験を行った。主なビームパラメータは、バンチ長約 50 m、チュー∆(z ′ )

す。また、ビーム重心位置は x(z) = 46 × ∫ z− Σ(z ′ ) [mm]z−として表されるが、バンチ電流が小さい z 領域においては誤差により値が安定しないことから、バンチ電流に閾値を設けて限定したバンチ領域の中で有効とする。

0.8

-0.4

Log amplitude

Frequency [MHz]される。ξ = −7.9 における差信号の出力例をFig. 4 に示
∫

0

100

2

ターン毎のビーム位置モニターの出力はオシロスコー
プ Lecroy HDO (6104MS) で 500MHz で読み出された。
BPM 出力 (差信号 ∆(z) = BP M+ (z)−BP M− (z), 和信
号 Σ(z) = BP MR+ (z) + BP M− (z)) を用いて、ダイポーRzz
ルモーメントは z− ∆(z ′ ), バンチ電流は z− Σ(z ′ ) と表

0.4

8 10 2
Turn (×10 )Figure 2: The envelope of the average of the transverse
beam position in the bunch from the tracking simulation;
ξ = −1 (bleck), ξ = −2 (red), ξ = −3 (blue), and ξ =−7.9 (green).
80
60
40
20
0
0

解析手法

2.4

Δ

クロマティシティによるチューンスプレッドのみを考慮し、ウェイク場や空間電荷効果は考えない場合のトラッキングシミュレーション (横 1 次元縦 1 次元) を行った。シンクロトロンチューン νs = 1/420 = 0.00238、縦方向位相空間はガウシアン分布、横方向位相空間はガウ
シアン分布である。Figure 2 は、ターン毎のバンチ重心
x = N1 ΣN
i=0 xi の振幅である。Figure 3 は、ターン毎のダ
イポールモーメント ∆(z) = Σλx のバンチ内振動の周波数であり、シンクロトロン周期で振幅と周波数の変化を繰り返す様子が確認できる。

ン (νx , νy ) = (21.35, 21.45)、クロマティシティ ξx =(−1.5, −7.9, −12.5), ξy = −15 である。RF 電圧は基本
波 263 kV、二倍高調波は入れておらず、シンクロトロン
チューン νs = 1/420 = 0.00238、スリッページファク
ター η = −0.0578 である。入射セプタムを調整することにより、バンチを水平方向に 5 mm 程度ずらして入射させ [10]、ビーム位置モニター [11] を使ってクロマティ
シティ ξ によるバンチ内振動を観測した。スタディした
ビーム強度においてはインスタビリティによるビームロ
スは発生していない。

Δ

"

0.6
0.4
0.2
0
-0.2

0 12 24 36 48 60 [m]
0 12 24 36 48 60 [m](a) turn=1250(∼ 0.68 ms after injec-(b) turn=2500(∼ 1.4 ms after injection)
tion)

Figure 4: The difference signal ∆(z) = BP M+ (z) −BP M− (z) obtained by the beam position monitor.
2.5

実験結果

バンチ内振動周波数について、ξ = −12.5 において 80 MHz 程度、ξ = −7.9 において 60 MHz 程度、
ξ = −1.5 において 20 MHz 以下であった。理論・トラッ
キングシミュレーションでの予想は ξ = −12.5 において80 MHz、ξ = −7.9 において 50 MHz、ξ = −1.5 において 9.6 MHz であり、おおよそ同じ値であると言える。
しかし Fig. 5 のように低周波高周波間での遷移に要する時間 (振幅変調周期) は 2000 ∼ 2500 ターン程度であり、ν = 0.0004 ∼ 0.0005 相当である。シミュレーショ
ンにおけるシンクロトロン周期からの予測より 5 倍程度長くなっていることが観測された。低周波が多い時間においては Fig. 6 のように 2000 ∼ 3000 ターンにおいて重心振動の振幅が大きくなっていることがわかる。
この原因は縦横ウェイク場、空間電荷効果、電磁石電源リップル等が考えられている。次章で縦ウェイクによるシンクロトロンチューンシフトの見積もりを行った。

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4
2

0

10

20

30 40 5000(a) ξ = −12.5

10

20

30 40 50
Turn (×10 )

Rz

z−

X[mm]

25

8

20

6

15

4

10

2

5

0

0

Turn (×10 )2∆(z ′ ) =Rzz−(c) ξ = −1.5

(BP M+ (z) − BP M− (z)) for each turn.

縦方向運動項 (SPring-8)

4
2
0
-2
-4


U0
ϕs = π − sin
(6)
V rf
∆E
zn+1 = zn − αC(7)  E n


∆E
Vrf
hzn+1
∆E
=
−
sin ϕs −− sin ϕs
E n+1
E n
E
R
(8)
−1

0

10

20

30

40 50
2

Turn(×10 )Figure 6: Average of the beam position in the bunch foreach turn for ξ = −7.9.

3.

10(b) ξ = −7.9

Figure 5: Frequency component of the dipole moment signal

Log amplitude

630

Frequency [MHz]8

Log amplitude

Frequency [MHz]10横方向運動項dp
ϕn = 2π νx + ξxpn
xn+1 = cos ϕn xn − βx sin ϕn x′n1
sin ϕn xn + cos ϕn x′nx′n+1 =
βx

縦ウェイクによるシンクロトロンチュー
ンシフト

3.1 トラッキングシミュレーションの構成
メータを用いて縦方向シンクロトロン運動、縦方向ウェ
イク、横方向ベータトロン振動、横方向クロマティシ
ティチューンシフトを考慮したトラッキングシミュレー
ションを開発した。ウェイク場の計算には PIC(Particle
in Cell) 法を用いて事前に計算したウェイクポテンシャ
ルの重ね合わせで表現した。バンチ数は 1 つであり、ウェイクはバンチ内のみで働き、マルチターンウェイク
は考慮しない。∆z に source 粒子がある場合、この電荷は σmesh の 3 点のメッシュ上に shape 関数 S0 , S1 , S2 の割合でその和は常に一定となるように振り分けられる。

(10)
(11)

dp
1
1
= − kickz (zn ) = − Σj λn (zj )WL0 (zj − zn )
p
E
E
(12)
初期条件は縦横方向共にガウシアン分布であり、JPARC MR では縦方向 σz = 10 m, σ ∆E = 0.16 %、横方E
向 σx = 10 mm, σx′ = 0.9 mrad であり、SPring-8 では縦方向 σz = 4 mm, σ ∆E = 0.12 %、横方向 σx = 0.5 mm,E
σx′ = 0.05 mrad である。
また特に SPring-8 では以下の放射平衡項が追加され、∆シンクロトロン位相周りでの平衡状態をつくる。
縦方向

∆E
U0 ∆E
∆
= −2
+
E
E E
(3)

r
4

U0 ∆E
σ ∆E ui
E
E E

(13)

横方向

r
U0
U0 ′
1
2 ϵ0 vi cos(2πwi )
x +√
E
E
βx
r
p
U0
Δ x = βx 2 ϵ0 vi sin(2πwi )E

Δ x′ = −縦方向運動項 (J-PARC MR)

dp
zn+1 = zn − ηC
pn


dp
Vrf
dp
hzn+1
=
−
sin
p n+1
pn
E
R

(9)

縦ウェイク場項

J-PARC MR と検証のため SPring-8 それぞれのパラ



2

∆z
3
1

S
=
|
+
1|
−
0

2
σ
2


 mesh 2∆z∆z3) = S1 = − σ
S(
+4

σmesh

 mesh2
S2 = 1 | ∆z − 1| − 3
2
σmesh
2



(14)
(15)

(4)
(5)

ui , vi はガウシアンランダム数、wi は 0 ∼ 1 の一様乱数であり、定数は平衡エネルギースプレッド量 σ ∆E =E

0.10 %、平衡エミッタンス量 ϵ0 = 2.4 × 10−5 である。

- 262 -

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-11

20

3.2 ウェイクポテンシャルが影響を及ぼす場合のシンクロトロンチューンの計算

15

バンチ密度が時間によらず、安定して同じ形状を取り続ける場合、各マクロパーティクルにおける縦ウェイクを考慮した縦方向不変量は以下の式で表される。

H(ϕ, δ) =

1
2



hη
U ′ (ϕ) = U (ϕ) − 2πR
2E= U (ϕ) −

hη
R

R

hη
2πR2 E

2 

dϕ′′
Z ϕ
−∞

R

dp
p

2

+ U ′ (ϕ)

10
5
0 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4(16)dϕ′ ρ(ϕ′ )WL0 (ϕ′′ − ϕ′ )Figure 8: Potential U ′ (ϕ) considered the longitudinal wake
effects; 0mA (black), 1mA (red), and 10mA (blue).

dϕ′ kickz (ϕ′ )

0.014
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0

(17)

SPring-8hηeV0
U (ϕ) =
(cos ϕ − cos ϕs + (ϕ − ϕs ) sin ϕs )2πR2 Ehz(ϕ = ϕs −)R(18)
J-PARC MRhηeV0hz
U (ϕ) =
(cos ϕ − 1), (ϕ =)(19)
2πR2 ER(×10 )

432
1

3 4 5 6 7 8 9

0

0.014
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0

7

6
5
4
3
2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1
0(×10-11 )(×10-11 )(a) current is 1 mA= 3 × 1010 parti-(b) current is 10 mA= 3 × 1011 parcle
ticle

Figure 9: 2D histograms of synchrotron period of the
tracking simulation and synchrotron tune νs calculated by
バンチ密度 ρ(ϕ) は Haissinski equation の解であるが、 Eq. (20) from the potential (red line) when longitudinal
一般のウェイク源で見積もりを行うためトラッキングシ
wake is considered at SPring-8.
ミュレーションの縦方向分布を用いることで、SPring-8
3.3 SPring-8 における検証における縦ウェイク (Fig. 7) を考慮したポテンシャルの計算を行った (Fig. 8)。そしてシンクロトロンチューン
トラッキングシミュレーションの妥当性を確認するたは以下のように計算できる。
め、SPring-8 トラッキングシミュレーション [12] との比較を行った。バンチ電流が増加して平衡状態になった
"I
#−1
dϕ
後に横方向キックを加え、励起したビーム重心を FFT しp
ν(H0 ) = 2πR(20)
た後、チューンのサイドバンドを比較した。電荷に依存′
2 H0 − U (ϕ)

してインコヒーレントシンクロトロンチューンが変動してクロマティシティ ξ による振幅変調周期が変動する。
それぞれのシミュレーションに置けるビーム重心位置をFig. 10 に示す。SPring-8 シミュレーションと作成したシミュレーションを比較して同程度のチューンシフトであることがわかる (Fig. 11)。しかし、高いビーム電流においてコヒーレントシンクロトロンチューンに対応すると思われるピークが見えておりこの解釈については検討中である。

[W/m](×10 )

8
4
0
-4
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

X[mm]
1
0.5
0
-0.5
-1

0.005

[m]

Figure 7: Longitudinal wake potential at SPring-8,
σmesh = 0.001 m.
そして各マクロパーティクルがシンクロトロン運動して ϕs の周囲を 1 周する周期を直接数えシンクロトロン
チューンにした値の 2 次元ヒストグラムと、Eq. (20) を用いて直接計算したシンクロトロンチューンと比較した (Fig. 9)。SPring-8 では放射項の影響で ∆E
E が 0 クロスするタイミングが変動するためチューン分布は広がる
が、計算値とトラッキング結果は近い。νs > 0.01 の分
布は放射項によりシンクロトロン周期のおよそ半分の時間で 0 クロスする粒子に対応し、νs < 0.004 の分布は放射項によりシンクロトロン周期以上の時間にわたり 0 ク
ロスしない粒子に対応すると考えられる。

X[mm]
2
1
0
-1
-2

0

2 4 6 8Turn (×102)(a) SPring-8 simulation [12]0

2 4 6 8Turn (×102)(b) this simulation

Figure 10: Position after the transverse kick for ξ = 6 at
SPring-8 when the current is 5 mA(= 1.5 × 1011 particle).
3.4 J-PARC MR 縦方向抵抗性壁ウェイク
J-PARC MR に お い て 最 も 大 き な イ ン ピ ー ダ ン ス
源 [13] である SUS チェンバーの抵抗性壁ウェイク G′ (z)- 263 -

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-5
-6
-7

01 2 3 5-8

8 10 13
Current[mA]

-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8

0.01

0.008
0.006
0.004
0.002
0

0 2 4 6 8 10 12 14
Current[mA](a) SPring-8 simulation [12](b) This simulation

Figure 11: Frequency componentposition after the transfor ξ =(6 atverse kickSPring-8.
)
√
√ ∫
x2 z
 4Z0 cL e sz0
s0
x2 e
3z
2 ∞
cos
dx
−
(z < 0)
0
3
s0
π
πb2
x6 +8
G′ (z) =
0 (z > 0)(21)
 2  13
2b
s0 =
(22)
Z0 σ
mathematica を用いてメッシュ幅を変えながら、JPARC MR における縦方向抵抗性壁ウェイクについての数値計算を行った [14]。作成したウェイクポテンシャル
Fig. 12 に示す。
[W/m](×109 )4● =2.72 m
3● =1.36 m
2● =5.44 m
1
0-1-2-30 -20 -10

0 2 4 6 8 10 12(×10-11 )Figure 13: The plot obtained from the synchrotron period in the tracking simulation (blue, green point) and synchrotron tune νs calculated from potential (red, black line)
when longitudinal resistive-wall wake (σmesh = 2.72 m)
is or is not considered and intensity is 3 × 1014 ppb at JPARC MR.
のパラメータを用いて、作成したシミュレーションとSPring-8 シミュレーションとの振幅変調周期の比較を行い、チューンシフトが同程度であることを確認した。そして、J-PARC MR における縦方向抵抗性壁ウェイクによるチューンシフトを計算し、これが振幅変調周期変動の原因ではないことを確認した。
現在、 空間電荷効果によるヘッドテールモード間の周波数変動が原因かどうか調査を続けており、原因究明の後にトラッキングシミュレーションにフィードバックシ
ステムを組み込む予定である。

謝辞

0

10
[m]

Figure 12: Longitudinal resistive-wall wake potential for
PIC code; σmesh = 2.72 m (black), σmesh = 5.44 m (red),σmesh = 1.36 m (blue).
3.5 J-PARC MR におけるシンクロトロンチューンシ
フト
作成した縦方向抵抗性壁ウェイクポテンシャルを用
いて J-PARC MR におけるトラッキングシミュレーション (NB = 3 × 1014 ppb) を行い、前節と同様に各マクロ
パーティクルがシンクロトロン運動する周期から直接計算したシンクロトロンチューンとポテンシャル分布からの計算値を比較した。Figure 13 において縦方向抵抗性
壁ウェイク項のあり/なしを比較している。また、メッシュ幅 (σmesh = 1.36, 2.72, 5.44 m) を変えてもほぼ同
じチューン分布であった。しかし、このシンクロトロン
チューン分布 0.002 < νs < 0.00245 からは、実験結果の振幅変調周期から計算される ν = 0.0005 を説明しないものであると考えられる。

4.

0.026
0.024
0.022
0.020
0.018
0.016

Log amplitude

-3
-4

0.01

0.008
0.006
0.004
0.002
0

Log amplitudeは以下で表される [14]。

結論

J-PARC MR において、クロマティシティによる周波数変動と振幅変調周期の観測を行い、振幅変調周期がシンクロトロン周期の 5 倍程度長いことが観測された。
この原因特定のため、縦ウェイク効果を考慮したトラッキングシミュレーションの構築を行った。SPring-8

RF 操作と WCM 測定を田村文彦氏、杉山泰之氏、沖田英史氏に協力していただきました。他にも実験や議論に関わってくださった安居孝晃氏をはじめとする関係者の皆様に感謝いたします。
本研究は JST 科学技術イノベーション創出に向けた大学フェローシップ創設事業 JPMJFS2123 の支援を受けた
ものです。

参考文献
[1] S. Igarashi, Prog. Theor. Exp. Phys., 2021, 033G01, (2021).
[2] T. Koseki, IPAC2018, Vancouver, BC, Canada, p.966(2018).
[3] T. Yasui et al., IPAC2023, Venice, Italy (2023). https://indico.jacow.org/event/41/contributions/624/contribution.pdf[4] T. Nakamura et al., EPAC2004, Lucenrce, Switzerland,
p.2649 (2004).
[5] K. Nakamura et al., IPAC2014, Dresden, Germany, p.2786(2014).
[6] T. Toyama et al., PASJ2019, p.1130, (2019).
[7] N. Yohsimura et al., PASJ2022, p.936 (2022).
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[13] Y. Shobuda, OHO2010, Ibaraki, KEK, (2010).
[14] A. W. Chao ”Physics of Collective Beam Instabilities inHigh Energy Accelerators”.

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