研究論文

新しい信号処理を用いた粗さ曲線の決定法
伊 藤 俊 治 ＊ １ 、 水 野 和 康 ＊ 1、 松 崎

洋＊2

Definition of Surface Roughness Curveby Using New Signal Processing
Shunji ITO, Kazuyasu MIZUNO and Yoh MATSUZAKI
Technical Consulting Division,AITEC * 1Owari Regional Office * 2

表面粗さとうねりを分離する方法として、従来のガウシアンフィルタ、ドベッシーウェーブレット、リフティングスキーム、ジャンの方法を比較検討した。粗さ試料面としては旋削面、研削面、放電加工面を選択した。その結果、これらの中では、ドベッシーウェーブレットと従来のガウシアンフィルタが有望であることが分かった。また、表面粗さの大きさ、平均波長、複雑さを変数とする関数を構成し、関数値からウェーブレット変換の多重解像度解析におけるレベルを設定する方法を考案した。この方法によれば、
従 来 の ガ ウ シ ア ン フ ィ ル タ （ カ ッ ト オ フ 値 λ c： 0.8mm） よ り も 、 推 定 精 度 が 十 数 ％ 向 上 す る こ と が 分 か った。

１．はじめにドベッシーウェーブレット、リフティングスキーム、ジ粗さ曲線は、ＪＩＳによればカットオフ値λc の高域ャンの方法を比較検討した。さらに、ウェーブレット変フィルタによって、断面曲線から長波長成分を遮断して換の多重解像度解析を適用するときのレベル設定の方法、得るとされ、フィルタとしては位相補償型のガウシアン及び表面粗さの大きさ、平均波長、複雑さを基準とするフィルタを用いると規格化されている。

新しいカットオフ値λc の決定方法を提案した。

２．各種うねりの除去性能の比較

一方、最近の信号処理の発達は目覚ましく、例えば、ウェーブレット変換によれば、不連続信号の抽出、ある粗さ曲線とうねり曲線は、どちらかが推定されれば、いは除去も可能になった。この手法は、1980 年頃にモレ断面曲線からこれを除去することによって他方が求まるーにより提案されたものであるが、第１世代とされるド関係にある。そこで、断面曲線から、うねり曲線を除去

1)

ベッシーウェーブレット 、1994 年スウェルデンによりし、粗さ曲線を求める手法として、ガウシアンフィルタ、発表され第２世代に位置づけられるリフティングスキー

ドベッシーウェーブレット、リフティングスキーム、ジ2)

ャンの４方法を比較した。

一般に、ウェーブレット変換では、第１世代、第２世

2.1

ム などがある。

段差うねりの除去性能

代とも、変動する信号は任意のレベルまで解像度の低下

うねり曲線として、評価長さ 2.56mm、サンプリング点した系列データと、レベル０から任意のレベルに至るま数 2048 で、その中央箇所において、高さ１の段差を持つでのウェーブレット成分の和で表現できる。さらに、信離散的なステップ曲線を考えた。また、粗さ曲線として、号を１から任意のレベルＪまでのＪ個の解像度、すなわ

振幅 1、山数 25 の正弦波を想定し、両者を加算した図１

ち多重の解像度で解析することを多重解像度解析と呼び、に示すような断面曲線を仮想した。これらの仮想断面曲特定のレベルの解像度信号を全てゼロと設定した後、ウ線に４方法を適用し、うねり除去性能を比較した。

ェーブレット逆変換するとフィルタとしても使用できる
3)

ガウシアンフィルタはローパスフィルタの一種なので、らは表面粗さ直接、うねり曲線を推定できるが、ウェーブレット変換測定のうねり除去にウェーブレット変換による多重解像の場合には、先ず多重解像度解析を用いた方法で粗さ曲度解析の適用を試みている。しかし、レベル設定の方法線を推定し、これを断面曲線から除去することによって、には言及していない。

うねり曲線を求めた。

ことが知られている。チェン

、ジャン

4)

本研究では、断面曲線からうねりを除去し、粗さ曲線を導出するフィルタとして、従来のガウシアンフィルタ、＊

1 技術支援部

機械電子室＊2 尾張事務所

各種手法で求めた推定うねり曲線を図２に表す。(a)はλc＝0.8mm のガウシアンフィルタの結果である。本63420-2 0210-1 05005001000 1500 2000 2500-2仮想した断面曲線

22110500

1000

1500

2000

2500

2000

2500

2000

2500

（ａ）旋削面
図１01000-4-61500

2000

02500 0500

1000

6420-2 0-4-6-8

1500

2000

500

2500

(a)ｶﾞｳｼｱﾝﾌｨﾙﾀ(λc:0.8mm)

1500（ｂ）研削面-1-1

1000(b)ﾄﾞﾍﾞｯｼｰｳｪｰﾌﾞﾚｯﾄ
6422

11002500 0-10500

1000

1500

2000

-120-2 0500

1000

1500

2000

2500

500

1000

1500

-4-6（ｃ）放電加工面(c)リフティングスキーム
図２(d)ジャンの方法

図３

正規化曲線（横軸はサンプリング番号）

推定うねり曲線を作成した。

来の段差箇所がなだらかな傾斜に変化している。これは、短波長成分が遮断されることから、当然である。(b)はレベル 6 の解像度信号を全てゼロと設定した後、逆変換したドベッシーウェーブレットの結果である。シャープな段差を示し、ハンチングも少ない。(c)はレベル６のリフティングスキームの結果であり、リップルが認められる。
(d)はレベル６のジャンの方法の結果であり、波長の短いリップルがある。この結果からドベッシーウェーブレッ
トが段差などの不連続成分を抽出する性能において優れていることが分かる。
2.2

旋削、研削、放電加工面の粗さ曲線に対するうねり除去性能

実加工試料面として、旋削面、研削面、放電加工面を選択し、触針式の粗さ計によって、ガウシアンフィルタのλc：0.8ｍｍの条件で、粗さ曲線を測定した。使用した粗さ計は、サンプリング間隔を任意に設定できないので、ここではサンプリング間隔を 1.25μｍ、評価長さを2.56mm とした。粗さ曲線のサンプリングデータを定数倍することによってｒｍｓを１に調整したものを、正規化曲線と呼ぶ。各種試料の正規化曲線を図３に示す。そして、ステップ高さ 0.2、0.4、0.6、0.8 の４種の段差、及び振幅が 0.25、0.5 で波長が 0.64，1.28，2.56，5.12mmの８種の正弦波からなる合計 12 種の曲線をうねり曲線として、正規化曲線のそれぞれに加え、36 本の加算曲線

これらの加算曲線群に４方法を適用し、うねりの除去性能を比較検討した。
ウェーブレット変換により、前述したように加算曲線を特定のレベルまで多重解像度解析し、スケーリング係数をゼロに設定した後、逆変換することで、うねりを除去し 3)4)、正規化曲線を推定した。そして、この推定曲線と図３の正規化曲線との合致度を下式から求め、合致度を合計した。
合致度=｛Σ（Ｅi−Ｇi）2／Ｎ｝0.5
i：サンプリング番号

Ｎ：サンプリング点数

Ｅi、Ｇi：推定曲線、正規化曲線のサンプリング値
その結果を図４に示す。図 4(a)では、横軸をλc とし、ガウシアンフィルタを適用したときの合致度の合計値を縦軸に示す。図４（b）（c）（d）は、横軸を多重解像度解析のレベルとし、ドベッシーウェーブレット、リフティングスキーム、ジャンの方法を適用したときの合致度の合計値を表す。図中、実線、破線、一点鎖線は、それぞれ旋削面、研削面、放電加工面をベースとした加算曲線群への適用結果を示す。合致度の合計値が小さいほど推定精度がよいと言えるから、同図からガウシアンフィルタとドベッシーウェーブレットが有望である。

３．多重解像度解析のレベル設定方法
ウェーブレット変換を用いたうねり除去 3)4)では、多重解像度解析のレベルを決定するプラットホームが確立さ

表２旋盤

合致度の合計値

合致度の加算値

15

放電

10研削
5000.20.4

0.60.815

測定長さ2.56mm
5.12mm

105A1A2
B134.0845 -0.0528
27.25
28.3961 -0.0792 6.5453

B20.0195
0.0743

C1C2D4.41E-06 6.16993 -55.462
3.01E-06 6.63166 -29.32

f(Ra,Sm,So)＝A1RaA2＋B1SmB2＋C1SoC2+D0

10

カットオフ値（ｍｍ）(a)ガウシアンフィルタ

ドベッシーウェーブレット用パラメータ値

2

4 6 8 10レベル(b)ドベッシーウェーブレット（１）関数のパラメータ A1、A2、B1、B2、C1、C2、D は最適レベルと関数値との差の２乗和を最小にするように準ニュートン法で求めた。（１）式から算出される値の小数点以15合致度の合計値合致度の合計値下第１位を四捨五入して、準最適なレベルを得た。評価

105015

長さ 2.56、5.12mm の場合、パラメータ値は表２のとお10りであった。また、最適レベルと準最適レベルとの相関
前述した 62 種類の正規化曲線（評価長さ 2.56、5.12mm）

00 2 4 6 8 10レベル0(c)リフティングスキーム

図４係数を算出したところ、約 0.7〜0.8 であった。

52

4 6 8 10レベル(d)ジャンの方法の Ra、Sm、So を予め求め、これらの値を（１）式に代入して準最適レベルを求め、加算曲線群に対してドベッシーウェーブレットの多重解像度解析を行った。そして、スケーリング係数をゼロ設定した後、逆変換することで合致度の合計値正規化曲線を推定した。その結果、この方式による合致表１度の合計値は、従来のガウシアンフィルタ（λc:0.8mm）

測定試料

旋削加工面1

研削加工面1

ﾎﾞｰﾙｴﾝﾄﾞﾐﾙ加工面1普通紙

辞書表紙1

ｺｰﾋｰｷｬｯﾌﾟ

旋削加工面2

研削加工面2

ﾎﾞｰﾙｴﾝﾄﾞﾐﾙ加工面2

光沢紙

辞書表紙2

刃物側面

旋削加工面3

研削加工面3

ｴﾝﾄﾞﾐﾙ側面加工面

ｶﾞﾑﾃｰﾌﾟ

辞書表紙3

旋削加工面4

研削加工面4

皮革1

段ボール紙

辞書表紙4

旋削加工面5

研削加工面5

皮革2

本の表紙

辞書表紙5

旋削加工面6

ﾌﾗｲｽ加工面1ﾌﾛｯﾋﾟｰディスク

名刺

ﾒｼﾞｬｰｹｰｽ

放電加工面1ﾌﾗｲｽ加工面2ｱﾙﾐ圧延板1ｶﾝﾅ加工の木面1葉1

放電加工面2ﾌﾗｲｽ加工面3ｱﾙﾐ圧延板2ｶﾝﾅ加工の木面2葉2放電加工面3ﾌﾗｲｽ加工面4ｱﾙﾐ鋳物表面

ｶﾝﾅ加工の木面3葉3

放電加工面4

ｴﾝﾄﾞﾐﾙ正面加工面2鋳鉄表面

鋸加工の木面4葉4

放電加工面5

ｴﾝﾄﾞﾐﾙ正面加工面3

ﾘﾝｸﾞｹﾞｰｼﾞ

鋸加工の木面5ｽﾎﾟﾝｼﾞ

ｴﾝﾄﾞﾐﾙ正面加工面1

ｴﾝﾄﾞﾐﾙ正面加工面4鋸側面

木箱の木面

塗装面

を使用した場合よりも、平均で約 17〜20％低減することが分かった。
また、表１と同じ試料の異なった場所を測定し、新規62 種類の粗さ曲線（評価長さ 2.56、5.12mm）を得た後、
表 2 と同じパラメータ値で、（１）式から準最適レベルを求めた。そして、前述と同じ方法でうねりを除去したところ、正規化曲線と推定曲線との合致度の合計値は、平れていない。そこで、このレベル設定の方法を検討した。

均で約 12〜17％低減した。これらの低減率を図５に示す。

まず、表１に示す各種加工法で創製された材料の 62同図から、粗さ曲線とうねりを分離する方法として、ド種の表面を、触針式粗さ計によって前述と同じ条件で測ベッシーウェーブレットが有為であることが分かった。

定した。ただし、評価長さは 2.56、5.12mm の 2 種類とし４．ガウシアンフィルタのカットオフ値た。そして、得られた粗さ曲線から正規化曲線を作成し従来、粗さ用フィルタ（ガウシアンフィルタ）のλcた後、12 種のうねり曲線を加えて、744×2 本の加算曲線は、表面粗さの大きさに応じて、0.08、0.25、0.8、2.5mmを作った。ドベッシーウェーブレットによるうねり除去と段階的に決定されている。本稿では、粗さ曲線を特徴

では、多重解像度解析の全レベルを選択し、それぞれにづけるものは、大きさ、平均波長、複雑さに分類できる

おける推定曲線と正規化曲線との合致度を、正規化曲線との観点から、新たなλc の決定方法について検討した。

ごとに合計した。ここでは、この合計値を最小とするレ

３章と同じ 744×2 本の加算曲線に対して、ガウシアンベルを最適レベルと定義する。

フィルタを適用した。λc は 0.1〜3.0 まで 0.1 とびに設

また、表面粗さを特徴づけるものは、大きさ、平均波定し、全てのλc における推定曲線と正規化曲線との合長、複雑さであるとの新しい観点から多重解像度解析の致度を、正規化曲線ごとに合計した。ここでも、この合レベルを設定した。ここでは、ターケンスの埋め込み理計値を最小とするλc を最適λc と定義する。

（埋め込み次元 10 とした。）
論により、曲線から相関次元 5）を計算し、複雑さを表す数値とした。
まず、正規化曲線の Ra（算術平均粗さ）、Sm（平均波正規化曲線の Ra（算術平均粗さ）、Sm（平均波長）、So（相関次元）を予め計算し、次式の関数ｇ(Ra,Sm,So)からλcを決定した。

長）、So（相関次元）を予め計算した。そして、これら３λc =ｇ(Ra,Sm,So)=E1RaE2+F1SmF2+G1SoG2変数から構成される下式の関数 f(Ra,Sm,So)から、多重関数のパラメータ E1、E2、F1、F2、G1、G2 は最適λc と解像度解析のレベルを決めた。

関数値λc（２）との差の２乗和を最小にするように準ニュめ、加算曲線群に対してガウシアンフィルタを適用した。
その結果、合致度の合計値は、λc＝0.8mm の場合よりも20平均で 20〜23％低減した。

15

また、別途の新規 62 種類の粗さ曲線（評価長さ 2.56、5.12mm）に対して、表３と同じパラメータ値で（２）式％ 10から、準最適λc を求めた。この条件でガウシアンフィルタを適用したところ、正規化曲線と推定曲線との合致

5

前述粗さ曲線0

新規粗さ曲線

2.56mm

5.12mm度の合計値は、λc＝0.8mm の場合よりも平均で 18〜23％低減した。これらの低減率を図６に示す。同図から、大きさ、平均波長、複雑さで構成される関数値からλc を決定する方法が、従来のλc の設定方法よりも、推定精

図５

ドベッシーウェーブレットによる低減率

表３

ガウシアンフィルタ用パラメータ値度において優れていると言える。

５．結び
測定長さ2.56mm
5.12mm

E130.947
18.034E2-0.0785-0.1007

F1F2G1G20.64467 0.25228 -32.45 -0.0025
0.51231 0.28198 -19.47 -0.0143

粗さ曲線の検出にウェーブレット変換の多重解像度解析を適用する場合におけるレベル設定の方法、及び、ガウシアンフィルタのカットオフ値の新たな決定方法を提案した。実測断面曲線に基づいたシミュレーションにおいて、これらの推定精度は、従来法より十数％以上向上した。
離散的ウェーブレット変換では、サンプリング点数が25n2 (n=1,2,3,････)に限られること、及び、使用した触針

20％式粗さ計では、サンプリング間隔を任意に設定できない15ことから、サンプリング間隔と評価長さの検討は、十分10でなかった。しかし、マルチレート信号処理 6)によれば、サンプリング点数の制約と所望の評価長さの獲得を両立

5前述粗さ曲線

02.56mm
図６新規粗さ曲線させることは可能であると思われる。鏡面粗さへの適用と合わせて今後の検討課題である。

5.12mm関数値λc による低減率

文献1) 中野宏毅：ウェーブレットによる信号処理と画像処
理,(1999)共立出版

ートン法で求めたので、関数値λc は準最適λc と言える。評価長さ 2.56、5.12mm について、得られたパラメー

2) W.Sweldens：Technical report, Univercity of South
Carolina(1994)

タ値を表３に示す。最適λc と準最適λc との相関係数

3) Q.Chen：Precision Engineering，23，209(1999)

は約 0.7〜0.8 であった。

4) X.Q.Jiang：Precision Engineering，25，83(2001)

前述した 62 種類の正規化曲線（評価長さ 2.56、5.12mm）の Ra、Sm、So の値を（２）式に代入して準最適λc を求5) 長谷川ほか：精密工学会誌，60(10)，1460(1994)
6) P.Vaidyanathan：マルチレート信号処理とフィルタバ
ンク, (2002)科学技術出版