● 最優秀賞

実験・観察をとり入れた関数の学習――グラフ電卓を利用して――
かわかみこういち

岡山県倉敷市立南中学校

1 はじめに

川上公一

明する］という数学の応用的側面を強調した（1）の実践例として位置付けたい。
学習活動」

その際最も必要であるのは，身近な事象さ」が求められている。そのために観察・をとらえ，それを数学の対象として考察し操作や実験などの活動をいっそう重視しなようとする数学的モデリングである。数学

ければならない。数量関係の領域ではさま的モデリングの過程（ 図 1 ）をとり入れること

ざまな実験を通して数理を探求し，数学的により，数理はより体系的かつ具体的となに解決する方法を身につけることをめざしり，科学的判断・決定を支えるようになる。

たい。

↓

数学の学習において，「数学的活動の楽し

Real Model

比例・反比例や一次関数ととらえられる↓↓

Real Situation

事象は，身の回りに多く見られる。しかし関係が単純であるため，変化の様子を予想

Math Model↓
Math Results●図1／数学的モデリングの過程例

しやすく，実験に対する興味関心を引き出

2 比例の事例「Go！ Go！Ｑちゃん」

しにくい場合が多い。そこで予想がやや立てにくい事象を取り上げ，実験や観察を中（1）とり上げる資料心とした授業を展開しようと考えた。これ2001年９月ベルリンマラソンで高橋尚子らの活動に課題意識を持って取り組むこと選手が，女子として世界で初めて20分の壁により，実験・観察の必要性を感得したり，を破る２時間19分46秒の記録を樹立した。

科学的な方法を身につけたりする態度も養このときのスプリットタイム（５㎞ごとにかいたい。

かった時間の累積）が次の表である。このよ

学習指導要領改訂で削除された統計の単

うなデータは，インターネットを利用すれ元で学習してきた素材の中には，関数の内ば，比較的簡単に入手できる。このデータ

容として，関数関係を見いだし，表現し，を材料にして，比例の学習をまとめる授業考察する能力を養うために有効なものが多を行った。

い。グラフ電卓等のテクノロジーを利用す

距 離
S→5キロ
5→10キロ
10→15キロ15→20キロ20→25キロ
25→30キロ30→35キロ35→40キロ40→Gることにより，データの処理は簡単になり，関数として考察できるようになる。実験や観察の結果を数学的にとらえるためにグラフ電卓を積極的に利用する。本実践では，グラフ電卓のデータ処理機能を利用し，得られたデータを自動的に回帰した。このよ
うな活動を「［数学的手法によって現象を解

スプリットタイム
16分46秒
33分11秒
49分32秒
1時間06分11秒
1時間22分30秒
1時間39分02秒
1時間55分30秒
2時間12分11秒
2時間19分46秒●図2／スプリットタイム

14

スプリットタイム2
16分46秒
33分11秒
49分32秒
66分11秒
82分30秒
99分02秒
115分30秒
132分11秒
139分46秒

（2）授業のようす

T：それでは，下校時のようすは，どの①T：距離と時間の関係をグラフで表そう。

ように表現できるでしょう。（図4）（Tは教師，Pは生徒を示す。以下同様）

時間がたつほど，家が近くなりますね。

②T：点がとれたら，原点（スタート）とゴー

42.195km
40ルを直線で結んでみよう。

35③T：グラフからどんなことに気がつきまし

30たか。

2520

P：全部の点が，だいたい線の上にある。

15

P：正比例。

10T：「全部の点が，だいたい線の上にある」

500というのはどういうことなのだろう。

1020304050 60 70
（2時間）

80

90 100 110 120 130 140 150分（2時間）

●図3／変化のようす

P：ずっと，一緒の速さで走っているんだ。
④T：高橋選手はどのくらいの速さで走って800m
学校いるのだろう。

行き

２時間20分で42km走ると考えると…。
P：42÷140＝0.3
T：0.3ってどういう意味のある数なんだ

帰りろう。
P：分速0.3km

家0

T：これで，式で表せますね。

10分●図4／登下校のようすのグラフ

P：y＝0.3x
P：１分で300m。１秒で５mだね。

（3）考察と教材の評価

P：すごいよ。50mを10秒で，走るんだ。

高橋選手のマラソンのようすをグラフとT：その速さで，42km走るんだよ。

して表現し，その変化のようすが一定であP：シャトルランだよ。

ることを理解した。自分たちの50ｍ走と比P：シャトルランは20メートルだよ。

較すること，あるいはシャトルランとして

T：みんなが体力テストでやったシャトル

とらえることで，より具体的で身近な事柄

ランは，一定の時間で20ｍを走り，そに置き換えることができた。

れを何回走れるかを数えるものでした

関数的な見方・考え方として，ある数量ね。高橋選手は2.5倍の50ｍを走るんを他の数量と比較・置換して検討する見方です。それを何回繰り返したの。

がある。例えば，不動産の広告で「駅からP：840回!!

10分」等の表現である。これは距離を時間⑤T：同じようなグラフを自分の登下校につと置き換えることにより，より直観的に表いてつくってみましょう。出発してx現したものであり，関数的見方の代表的な分後に家から y ｍの距離の位置にいるものであるといわれる。50ｍ走やシャトルとしてグラフをつくります。

ランとしてとらえることは，数学的な見方

T：x軸に学校に着くまでにかかる時間を，や考え方を拡張する一つの姿である。新しy 軸に学校までの距離を書き入れましく獲得した「知」と既知を結びつけようとょう。高橋選手と同じようなグラフがするとき，最も必要なのは，メタ認知の力かけますね。

である。シャトルランは，本実践の直前に15実施されており，生徒の印象に深く残ってい3 反比例の事例「鏡の反射」

るはずだが，教材を結びつけることができる（1）取り上げる資料生徒はきわめて少数である。

身の回りにある反比例することがらは比例

数学的モデリングの過程を重視することで，このような学力を高めることができるようにほど多くない。しかし，理科の学習などでもなる。本時の学習の流れを数学的モデリング重要な考え方となってくるので，実験を通しの過程と比較すると次のようになる。てじっくりと考える必要がある。第１学年の理科で学習する鏡の反射・入射角と反射角の考えを使った実験を計画した。
（図5）Real Model
高橋選手のベルリンマラソンの結果を（2）授業のようす① xとyの関係はどうなるかグラフの形を予見る。
スプリットタイムを確認する。

想する。（図6）

Math Model
スプリットタイムからグラフを作る。
「2時間20分で42km走った」とデータを理想化する。

Math Results
一定の速さで走っていることを納得す●図6／変化の予想

る。
y＝0.3xと表現する。

予想をワークシートにかいてから実験をReal Situation始める。上の３つがほぼ同じ割合であった。

他の数量と比較・置換して検討する。

②（50m走・シャトルラン）

班で分担を決め，実験する。（図7）
分担 実験者・記録者・x計測・y計測（４人班）
x計測者は大きい声で実験者と記録者にxの値を言う。実験者はx計測者の指示で下がる。 y 計測者は指で直定規をなぞりながら，実験者が「見えた，そこだ」と言った
ところを記録者に伝える。

左の図のような設定で，人が鏡から離れると（ x が増えると），見える高さ y が変わっていy cm

x cm

きます。

この実験を班ごとに行いましょう。

30cm●図5／鏡の反射の実験

16っつかない。

③

実験したデータを表にする。

x50100150200250300y754025221615

P： 身長によってyの値が変わる。
⑥ T： どうして反比例になるのでしょう。
T： y = a / x の a の値をいろいろ変えて一番近いグラフをひいてみましょう。

T：電卓にデータを入力し，グラフに表そ

T： aの値をいくらにしましたか。

う。（図8）

P ：（身長）×30
T：比例定数を，（目の高さ）×30とすれば，近い双曲線をかくことができます。
これは，図9のように，（目の高さ）：（鏡までの距離）＝（見える高さ）：30cmという関係が成り立っているからです。
●図7／実験のようす●図9／双曲線で近似●図8／データをプロット④T：表やグラフからどんなことに気づきましたか。
P：xが増える（鏡から離れる）とyは減少する（見える位置が低くなる）。
P：x が ２ 倍 ， ３ 倍 … に な る と y は 1 / 2 倍 ，1/3…となる。

●図10／実験のmath model

P：xとyの積は同じようだ。
x50100150200250300

y754025221615

xとyの積 3750

40003750

4400

40004500（3）考察と教材の評価
本実践では，グラフ電卓を積極的に利用した。グラフ電卓では，表・式・グラフの関連を有機的に示したり，センサーや表からデーT：ということは，このxとyのあいだにどタの収集に利用したりできる。ここでは，のような関係があるのでしょう。

Data/Matrix Editorという，表とグラフとを関連づける機能を利用した。また，最後の比

P：反比例。の説明では，グラフ電卓の作図ツールを用い⑤T：ほかに気がついたことはありませんか。

た。

P：いくら後ろにさがっても壁の一番下が見えないのだから，グラフはx軸とく17下の表は，仙台の3月の平均気温をx ℃，ソメイヨシノの開花日を4月y日として記録したものである。この表から相関図をつくりなさい。
また，どのような相関があるかを考えなさい。

●図11／グラフ電卓を使う生徒の感想から・最初に予想したとき，まっすぐに下がっていくと考えていた。実験をして点をとってみると曲がっているので，実験を失敗したのかと思った。でも，考えていくうちに反比例になることが当然だと思え

年次

xy（℃）

（日）

昭和52535455
5657585960616263
平成元2345678

4.9
4.0
4.9
3.8
4.0
5.1
4.3
1.5
3.7
3.8
4.5
4.1
6.16.2
5.1
5.0
4.6
4.0
4.74.314219141311132817191017331169111117てきて，最後の図で納得できた。数学っ（気象庁調べ）てすごい。
・●図12／桜の開花日やっている班によって，見える高さ違う。
どうしてだろう。分かった，身長の違いだ。

（2）授業のようす僕にとって大発見だった。おもしろかった① 課題を把握する。

し，反比例の意味も分かったような気がし

グラフ電卓を操作する前に，関係があるかます。
・ないかを予想する。生徒は「３月の平均気温教室から出て，自由に動き回ることがでが高い年は早く咲く」といえそうだと予想すきてよかった。本当にしっかり勉強もしたる。この予想を検証することがこの時間の目よ。

標である。

生徒たちは，「数学的活動の楽しさ」を感② 表を作成し，相関図を表示する。

じながら，実験を探究に高めていった。実生

学習課題のデータを入力する。座標軸上に活におけるさまざまな事象を考察しながら主点をプロットし，相関図を作成する。この操体的に問題を解決する活動を通して，学ぶこ作により，負の傾きをもつ一次関数であることの楽しさや充実感を味わいながら反比例のとがわかる。

学習を深めることができた。

③ データを回帰する。

線形回帰を使い，この点を回帰する。数回

4 一次関数の事例1「桜の開花予想」のキー操作で自動的に回帰分析が行われ，回帰直線が表示される。
（図13）
この操作で，仙台のソメイヨシノの開花日（1）取り上げる資料
旧教科書の統計領域で「相関図・相関表」

は，３月の平均気温の一次関数であることをとして取り上げられていた問題に，「桜の開確認できた。また，図14のようにこの直線の花日」がある（図12）。これをもとに，１時間式を求めることもできる。
生徒たちは，xと y の間に， y ＝−6x＋40と扱いで実践を行った。

いう関係があることを認めた。一次関数の式18

●図13／線形回帰●図14／線形回帰の式からも求められるが，グラフ電卓では，直た。グラフ電卓を使用するときには，互いに線上の点の座標を読みとれるので，３月の相談したり覗きこんだりすることを大切にし平均気温が決まれば開花日を直接グラフかている。これによって操作が苦手な生徒も他ら求めることができる。３月の平均気温がと同じペースで操作できるようになる。
このような学習では，一次関数を事象の中何度であれば３月中に咲くかなど，自ら課から探すというのではなく，事象を一次関数題を設定し，その解決を行った。とみて考察したり，問題を解決したりする活動が中心となる。

（3）考察と教材の評価
１つのグラフ電卓のData/Matrix Editorにデータを入力しておけば，すべてのグラフ電卓に同じデータを転送し利用できる。生徒たちは興味を持って学習に取り組んでい5 一次関数の事例2「人間発電機」（1）取り上げる資料

人が片手を握られてからもう一方の手を握るまでにかかる時間を考えてみよう。一人分ではとても早くて計れないので，例えば縦１列分の○人で△秒かかるというように計ってみる。だんだん人数を増やしていこう。クラス全員で何秒かかるだろうか。
（図15）①実験者は手をつないで待つ。先生のよーいドンでスタート。
②前の人に手を握られたら，次の人に手を握って合図する。
③最後の人は握られた手と反対の手を挙げ，先生がストップウォッチを押して計測終了。
④１列ずつ人数を増やしていく。
●図15／人間発電機の様子

19

（2）授業のようす①てでしょう」という発問を行い，理由を考察データの例する。最初は誤差だと考えていた生徒たちも

人数

410

14

19242935「人数がいくら増えても，変化しないものが秒1.59

2.79

3.77

4.67

6.03

6.90

7.81あるのではないかと考えるようになる。それ②

データをグラフ電卓に記録する。

が，最後の人の合図の後，記録者がストップ③

線形回帰を行い，直線を表示する。

ウォッチを押すまでの時間であることに気づ（図16）く。
（１人当たりのかかった時間）×（人数）の④ T：原点を通らないのはどうしてでしょう。

部分は人数に比例し，（ストップウォッチを押誤差でしょうか。

す時間）の部分は人数に関係なく一定である。

T：人数が，増えても変化しないものがあ

これは一次関数に他ならない。実験を通してります。

axの部分はxに比例し，bは定数の部分である

P ：最後の人が合図してから，記録者がスことの意味を確認できた。

トップウォッチを押すまでの時間です。

6 まとめ

T：ということは，（人間発電機でかかった時間）

数量関係の領域では，実験・調査・観察を＝（１人当たりのかかった時間）×（人数）単元の導入で取り上げることが多い。しかし，＋（ストップウォッチを押す時間）

展開・まとめの段階では，数学的な処理が中⑤という関係になりますね。

心となり抽象的な概念のままで終了してしま●（１人当たりのかかった時間）
×（人数）

う場合が多い。そのため数学的な処理の結果の部分は人数に比例します。

のみが知識として固定し，実現象から離れた●（ストップウォッチを押す時間）の部分現実感のないものなってしまいがちである。

は人数に関係なく一定です。

実験・調査・観察を単なる動機づけで終わら

T：このような関係が一次関数でした。

せるのではなく，学習の成果・ゴールとしてT：一次関数は，2つの変数x， y について扱いたいものである。

y＝ax＋bという式で表すことができまある測定値について何らかの判断をするとす。axの部分はxに比例し，bは定数のき，２つの変量の間に対応の規則が存在すれ部分です。

ば，関数関係として数理的に処理することができる。しかし実際の資料では，明白な対応の規則を認められない場合が多い。そのような場合に相関関係を統計的に考察することになる。従来統計の相関で扱ってきたデータと一次関数で取り上げるデータとの間には内容的な違いは少ない。違う点は，データの量と相関の度合いである。これらは，テクノロジ●図16／人間発電機の回帰直線ーを利用することで解決できる。本事例のよ
うに，統計の単元で学習してきた素材の中に（3）考察と教材の評価
生徒は，グラフが直線になることを当然だ

は，一次関数の内容として関数関係を考察すと受け止める。しかし，切片にまで目が行くる能力を養うために有効なものが多くある。

生徒は少ない。「原点を通らないのはどうし授業後の感想を読むと，実験や探究につい20

てのコメントが中心であり，グラフ電卓の珍しさに言及している生徒はほとんどいない。
グラフ電卓などのテクノロジーは，生徒自身が主体的に学習したり，数学的活動を行ったりすることを支える道具なのである。また，実験や観察に課題意識を持って取り組むようにするためには，活動前に結果を予想させ，その仮説を実験や観察によって検証していくことが，効果的であった。
実現象の中から必要な部分だけを取り出し考察することは，数学的活動の一つのあり方である。事象を関数として考察するとき，グラフ電卓とグラフ電卓外の活動を連携させることで，より豊かな数学活動が展開できるようになる。
数学学習において，知識理解技能偏重へ批判から操作活動重視の流れが目立つ。しかし，大切なのは操作活動そのものではなく，それを通して数学的な意味を認識することである。
本稿で示した4つの事例のような数学的モデリングを取り入れた一連の学習は，数学の有用性を感得させ，数学を積極的に活用しようとする態度を育成するのに有効であろう。
[参考文献]
盧杉山吉茂 藤井斉亮 熊谷光一 清水美憲 植野美穂（1998），高度情報化社会に対応する数学教育
カリキュラムの開発に関する研究，第31回数学教育論文発表会論文集，pp.293-298

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