ウ ェーブレットを 用 い た 干 渉 顕 微 鏡 の 高 精 度 化
伊藤俊治＊ １HighPrecision

山本昌治＊ １

Instrument

byby usingShunji

水野和康＊１

InterferometricMicoscope

Wavelet

ITO，Masaharu

YAMAMOTO

and Kazuyasu MIZUNO
Technical Consulting Division, AITEC ＊１
干渉顕微鏡を用いた表面粗さ計測において、系統誤差としての性質を持つ光学システム誤差をウェー
ブレット変換によって抽出する方法を提案し、実験及びシミュレーションから、以下の結果を得た。
(1)従来の方法では光学システム誤差の再現性の崩れに対応できないのに対し、本方法はマスターを１か所計測するだけで抽出できるから、再現的に発生する誤差を補正し、計測精度を約２倍に向上できた。
( 2)本方法は、光学システム誤差に含まれる局所的な不連続に対応でき、高精度化に有効であった。

１．はじめにると、干渉縞濃淡の調節で生ずる光学システム誤差の再ウェーブレット変換は、画像処理あるいは信号処理の現性の崩れを問題にしない。本方法によって抽出された分野で多く用いられている。このうち信号処理に関する光学システム誤差を計算機に記憶させたうえで、他の試応用は 、異常信号の検出 、相似相関の検出 、ノイズ除去 、料を計測する都度、生データから減算すれば、干渉顕微システム同定などに集約される。

鏡を高精度化できる。

一方、ナノメートルオーダーに仕上げられた面の表面２．計測原理

粗さを、位相シフト方式の干渉顕微鏡によって評価する

干渉顕微鏡において、ミロー対物レンズは透明な試料には、計測データに系統誤差として混入する光学システの表面粗さを計測可能だから多用されている。しかし、

ム誤差

１）２）の影響を除去する必要がある。従来、光学干渉縞の濃淡を調節する必要があり、調節により光学シシステム誤差の抽出方法は、極めて滑らかに加工されたステム誤差が微妙に変化する。これは、参照面が光軸回ガラスマスターの異なった位置を少なくとも 8 か所で計りにわずかに回転することに起因する。そこで、マスタ測し、その計測データを平均するものであった

ーの複数か所を計測するのではなく、１か所の計測から。しか3)

し、ミロー対物レンズなどでは、干渉縞の濃淡を調節す光学システム誤差を抽出する方法を検討した。

る機構があり、この調節量が異なると、光学システム誤2.1 １ 次 元 ウ ェ ー ブ レ ッ ト 変 換

差の再現性が崩れる問題があった。

まず、１次元ウェーブレット変換を簡潔に示す 。関数 f

本稿では、２次元離散ウェーブレット変換によるノイズ除去の手法(x)のマザーウェーブレットψ( x)によるウェーブレット4)を光学システム誤差の抽出に応用する方変換は次式のように定義される。

法を提案する。ノイズ除去は通常、外乱となる雑音の除∞( W ψ f )(b,a)＝∫ψ{(x‑b)／a}f(x)／￨a￨0.5 dx

去を意味するが、ここでは、正規白色的な表面粗さをノ‑∞(1)

イズに見立てる。すなわちマスターの表面粗さが正規白

ただし、a≠0, bは実数であり、それぞれ、スケール変色的であることを前提に、これを除去することによって換とシフト変換を表すパラメータである。b, a の値を光学システム誤差を抽出する。本方法は、１か所だけのそれぞれ2 jk,2j とし、連続ウェーブレットを離散化する計測だから、複数か所の計測を要する従来の方法と比べと、*1 技術支援部機械電子室-1-ψ j,k (x)=2 ‑j/2ψ(2‑j x ‑k)(2)となる。次にウェーブレット変換( W ψ f)(b,a)を w k( j)で表すと、式（1）は∞wk (j ) ＝∫ψ j,k(x)f(x)dx
‑∞

(3)

２．０ｎｍ

０．７０ｎｍ

１．８ｎｍ(a) 想定された光学システム誤差

０．２ｎｍ(b) 想定された表面粗さと書ける。上式においてjはレベル、 wk ( j)は展開係数である。また式（3）において実際には積分を行わず、スケーリング関数とマザーウェーブレットとの間に成り立つ関係から導かれた分解アルゴリズムを用いる。その分解アルゴリズムはスケーリング係数sk (j) を用いて 次式で３．３ｎｍ表せる。

０．７３ｎｍ

２．３ｎｍ(c) 想定された生データs k (j) =ΣＰ n‑2k s n(j‑1)

０．７０ｎｍ(d) 抽出された光学システム誤差(4)w k(j)=ΣＱn‑2ksn(j‑1)

ここで、 Ｐ n‑2k と Ｑ n‑2k は、それぞれスケーリング関数(e )推定された表面粗さの数列(本稿では、よく用いられるドベシィの数列を選択した)、及びウェーブレットの数列である。
2.2 ２ 次 元 ウ ェ ー ブ レ ッ ト 変 換

１．６ｎｍ

０．２ｎｍ

干渉顕微鏡の計測データ構造は３次元配列だから、そ

図1 シミュレーションの例の領域を 2L（ L: 整数)の画素数を一辺とする正方形とし、Wm,n( j+1,h )＝ΣΣ Pk-2mQ l-2n Sk,l (j)画素位置（ m,n）における高さ座標値を f（ m,n）と定義lする。そして、(f m,n )をレべル 0 のスケーリング係数

Wm,n( j+1,v )＝ΣΣ Qk-2mP l-2n Sk,l (j)Sm,n とみなしたうえで、次式で横軸（ m ）方向に１次( 0)ll( j+1,x)Sm,n(j)＝Σ Pk-2mSk,n(13)kWm,n(j+1,d) ＝ΣΣ Qk-2mQ l-2n Sk,l (j)元離散ウェーブレット変換を行なう。

(12)

k(14)

k(5 )
上式のうち、Sm,n( j+1 )のみをさらに４つの成分に分解すk

W m,n( j+1,x )＝Σ Qk-2mSk,n(j)ることを繰り返すことによって、２次元の多重解像度分(6 )k解を行う。そして、j ＝ 0 から j ＝ L − 1 までの展開係
ここで j はレベルであり、Sm,n(j+1,x) と Wm,n (j+1,x)はそれぞれ数を求める。ここで、展開係数の数は、 j のレベルによ

横軸方向のスケーリング係数及びウェーブレット展開係

らず 2L × 2L である 。 j ＝ L − 1 のとき、 展開係数の rms数を表す。次に、それぞれの係数に対して縦軸(n )方向を計算し、この rms よりも絶対値が小さな展開係数を零に離散ウェーブレット変換を行う。にする。この操作は、正規白色的な表面粗さの影響が展

Sm,n( j+1 )＝Σ Pl-2nSm,l( j+1,x)(7 )W m,n( j+l,h) ＝Σ Ql-2nSm,l( j+1,x )

(8 )

l

開係数の rms よりも小さな展開係数に現れることを前提としている。そして操作された展開係数から出発して、次式を j ＝ L − 1 から j ＝ 0 まで繰り返し使用すること

l(j+1,v)( j+1,x )(9 )Wm,n( j+1,d )＝Σ Ql-2nWm,l (j+1,x)(10 )Wm,n＝Σ Pl-2n Wm,lによって高さ座標値の再構成を行い、光学システム誤差lを抽出する 。これを記憶し，計測の都度除去すればよい。
Sm,n( j)＝ΣΣ[Pm-2kP n-2lSk,l( j+1 )+Pm-2kP n-2lWk,l( j+1,h )lk( j+1,h )ここで、 Wm,nは横軸方向にスケーリング関数を、+Qm-2k Pn-2lWk,l (j+1,v) +Qm-2kQ n-2l Wk,l( j+1,d) ]縦軸方向にウェーブレットを作用させた係数を示す。ま

想定された光学システム誤差を図 1( a ) のように回転正スケーリング関数を作用させた係数を示す。さらに、弦波と設定し、 図 1( b) に示す 0.2nm (rms )の正規白色性

Wm,n( j+1,d ) は縦、横両方向ともにウェーブレットを作用さの表面粗さを想定すると、 図 1( c ) に示す生データが創せた係数を示す。

成される。これに 2 章のウェーブレット変換を用いる方式(5 )から式(10)までをまとめると次式が成立する。
l( 15)

３．シミュレーション

た Wm,n(j+1,v)は横軸方向にウェーブレットを、縦軸方向にSm,n( j+1 )＝ΣΣ Pk-2mP l-2nSk,l(j)l法を適用すると、 図 1 ( d) のように光学システム誤差が(11 )抽出される。さらに想定された生データと抽出された光k-2-0.35
従来の方法（再現性崩れ）

合致度σ（ｎｍ）

0.3

真の表面粗さ0.25

表面粗さの合致度（本方式）0.2

表面粗さの合致度（移動平均）

0.15

３．５ｎｍ

３．５ｎｍ

３．１ｎｍ

３．０ｎｍ

３．９ｎｍ

３．４ｎｍ

表面粗さの合致度（ガウシアン）

0.1

移動平均、ガウシアン
とも３×３0.05
従来の方法（理想）000.2

0.40.6

表面粗さ対システム誤差のｒｍｓ比

図２ 想定粗さと推定粗さの合致度
学システム誤差を加算することによって、表面粗さは図1( e) のように推定される。図中、左右の数値は PV と rmsを表す。(a )と(d)、及び( b )と(e)を比較すると、各々よく一致している。両者の合致度σは 0.059nm であった。

図３ 任意の位置で計測された生データ

次に、光学システム誤差として、後述の実験で求まる実際の光学システム誤差を選択し、想定表面粗さを0.2nm(rms)の正規白色信号としたうえで、生データを創成した。 ただし、想定光学システム誤差の rms は高さ

図４ 生データの平均結果

方向の倍率を可変にすることによって任意に設定できる。そして、想定表面粗さに対する想定光学システム誤２．７ｎｍ差の rms 比を変化させたときの推定表面粗さの合致度σをシミュレーションにより求めた。その結果を図 2 に示４．実す。

験干渉顕微鏡の対物レンズを 40 倍のミロータイプとし 、同図では、本方法の他に、異なった８か所の想定生デ試料としてメカノケミカルポリッシングされたシリコンータを平均して求める従来の方法と、信号に対する応答ウエハを選択した。

性が比較的高い 3 × 3 の移動平均によるスムージング、そして、シリコンウェハの異なった位置を６か所計測及び 3 × 3 で標準偏差 1 のガウシアンフィルタを用いるし、それぞれから２次成分までを除去した結果を 図 3 に方法の結果を併記している。

示す。ただし、解析領域は 0.12mm 角(2 7 × 2 7 ピクセル)

これらを比較すると、rms 比が 0.1 〜 0.5 の間では、である。図 3 において６データはほとんど同じ特徴を示光学システム誤差の再現性の崩れを想定しない従来の方すから、同図に認められる筋は逆極性の光学システム誤法（理想 ）、本方法、ガウシアンフィルタ、移動平均、差の成分と思われた。また、６データを単純に平均した再現性の崩れを想定した従来の方法（再現性の崩れ）の結果を図 4 に示す。 同図では筋がぼやけ、その深さが浅順で合致度σが小さい。特に rms 比 0.3 近辺において、くなったことが分かる。ちなみに６データの再現性は本方法と再現性の崩れを想定した従来法(再現性の崩れ)0.24nm (σ)であり、厳密には崩れていた。とを比較すると本方法の合致度σは半分以下であった。

これは計測か所の変更による可能性があったので、同これに対し、移動平均あるいはガウシアンフィルタで一か所を６回繰り返し計測し、２次成分までを除去した

は横軸の rms 比が小さいとき、合致度σが大きくなる傾結果を図 5 に示す。また６データを単純平均した結果を向があった。これは、通常のスムージングやフィルタリ

図 6 に表す。図 5 と図 6 は、それぞれ図 3 と図 4 に類似

ングでは、局所的に不連続な信号の抽出が困難であるのしており、６データの再現性は 0.20nm (σ)であった。

に対し、本方法では光学システム誤差に含まれる局所的このことから再現性の崩れは場所変えによるものではなな不連続まで抽出できることによる。また、同図から、

く、１計測ごとに行った干渉縞濃淡の調節によると思わ

本方法は rms 比の主要な範囲で、移動平均あるいはガウれた。従って光学システム誤差の高精度な抽出にはミロシアンフィルタよりも高性能であるといえる。
-3-

ＰＶ＝０．４２ｎｍ ｒｍｓ＝０．０９ｎｍ
ＰＶ＝０．６１ｎｍ ｒｍｓ＝０．１２ｎｍ

：ＡＦＭ
：本方法
０．４ｎｍ

０．２
０−０．２

３．６ｎｍ

３．３ｎｍ

−０．４０

本方法

AFM0.035

40nm

0.0250.02300.015

200.01100.05３．１ｎｍ0本方法

AFM
500.03３．４ｎｍ０．１２ｍｍ（ａ） 粗さ曲線

070 0610ー１ｎｍ

０１ｎｍ(c) ヒストグラム(b) スペクトラム

図 9 AFM と本方法によった表面粗さの比較の崩れによる相違が顕著である。
同一のシリコンウエハにおいて、干渉顕微鏡による計３．１ｎｍ

３．０ｎｍ

測か所の近辺を AFM で観察した。図 7 と AFM の観察

図 5 同一場所で計測された生データ結果を詳細に比較する目的で、両結果から２次成分までを除去した任意の断面曲線を抜き出し 、図 9( a) に示す。
さらに、２つの断面曲線のスペクトル解析結果とヒストグラムをそれぞれ図 9( b) 、 ( c ) に表す。2 章のウェーブ

図６ 生データの平均結果

レット変換による方法で得られた表面粗さの特徴は、
図 9 において AFM の観察結果におおよそ合致してい２．６ｎｍる。ここで、図 9 (b)で両結果に認められる有色性は、この表面粗さ計測に関して許容の範囲内であった。これはウェーブレット変換による方法が表面粗さに対して完全な白色性を要求するのではないことを意味している。

５．結び

２次元離散ウェーブレット変換を用いた光学システム
０．１２ｎｍ１．１ｎｍ

図７

本方法の表面粗さ

２．７ｎｍ

図８０．２８ｎｍ

誤差の抽出方法は、解析領域において 3 次成分以上のうねりのない、基本的に正規白色的な表面粗さを有するマ

従来法の表面粗さスターを必要とするが、１か所だけの計測から光学シスー対物レンズの場合、１回の計測で完結することが望まテム誤差を抽出できるので、干渉縞の濃淡調節で生ずるしいと言える。

再現性の崩れを問題にしない。

さらに、図 3 に示した 6 計測のうちの最初のデータに他の試料を計測する場合には、対物レンズを光軸方向ウェーブレット変換を適用して光学システム誤差を抽に位置調節することによって、ピントと干渉縞のコント出、除去することで、シリコンウエハの表面粗さを推定ラストを合わせる。この作業には、干渉縞の移動を観察した。この結果を図 7 に示す。 PV 値と rms はそれぞれする負担を伴うが、１計測につき１回ですむ。その後、1.1nm と 0.12nm であった。 また 、図 4 に示した結果は、予め本方式で求めた光学システム誤差を計測生データか極めて平滑な面の６計測データの平均だから、従来法にら除去すればよい。

よって求めた逆極性の光学システム誤差にほぼ相当す

文献る。そこで図 3 に示した最初の計測データから図 4 に表

1) 伊藤俊治:精密工学会誌,68(1),80(2002)

示した逆極性の光学システム誤差を除去してシリコンウ

2) 伊藤俊治:精密工学会誌,68(4),553(2002)

ェハの表面粗さを求めた。結果を図 8 に示す。同図では3) Zygo 社 Maxim･ 3DModel5700 取扱い説明書

再現性の崩れの影響から、光学システム誤差の筋が残像

4) 中野宏毅：ウェーブレットによる信号処理と画像処する。図 7 と図 8 を比較すると、従来法における再現性理, 共立出版(1999 )-4-