授業資料
年組

番号氏名「 − 1 は描けるのか!?」Vol. １

授業者：筑波大学大学院教育研究科 1 年
小松 孝太郎カルダノ，Ars Magna，1545 年

1.

− 1 の出現◎

カルダノの考え

事前課題で「x＋y=16, x・y=60 を満たす x, y を求めよ」という問題について，15 世紀ごろの人たちが生み出した解法の手順を考えました．さらにカルダノという人は，同じ解法手順を利用することで「x＋y=10, x・y=40 を満たす x, y を求めよ」という問題を解こうとしました．
カルダノという人物とは，
名前：Gerolamo Cardano（英語圏では Jerome Cardan）
年代：1501 年〜1576 年
出身地：イタリア
名著：『ArsMagna』（『大いなる技法』とも呼ばれる）
彼はこの本のなかで 3 次方程式の解法を導いた．16
世紀中頃までには，医学者，数学者，占星術師としてカルダノの名はヨーロッパ中で有名になっていた．
では事前課題の①〜⑥の手順と対応させながら，「x＋y=10, x・y=40 を満たす x, y を求めよ」という問題について，カルダノの解法手順をたどってみよう．
解答欄．
①④②⑤③⑥
答え．
答えはどのようになったかな？

事前課題の問題と同様にこの解法手順も図示できるでしょうか？

◎

カルダノの戸惑い

カルダノは以上のような方法で解答を得ましたが，この結果に戸惑いを示しました．
精神の苦痛を忘れて・・・・

また，カルダノは自身で導いた３次方程式の解の公式を方程式 x3= 15 x + 4 の場合にも適用すると，方程式の解が

x = 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121になってしまうため，このような場合を casus irreducibilis（還元できない場合）として避けました．しかし， x = 4 がこの方程式の解であるもカルダノは知っており，この自己矛盾を彼は理解することができませんでした．

2.

− 1 の計算法則

カルダノがこの考えを示した時代は，数として負の数は認められていませんでした．そのような時代に２乗して負になる数（以下、負数の平方根）が認められるわけはありません．
しかし，この負数の平方根に計算法則を定義した人がいます。それは， Rafael Bombelli（1526 年〜1572 年）（以下、ボンベリ）という人物です．彼は，カルダノの弟子で，著書『L’algebra』のなかで，負数の平方根について言及しました．

お話．

当時，数字の 3 と言えば長さ 3 の棒を指していたように，数字は図や物などで視覚的に表されなければ認められませんでした．
従って，-3 といった負の数は「無いものよりも小さい数」であり，当時は視覚的に表すことができなかったのです．

◎

ボンベリの考え

彼は，+ − 1 ，− − 1 をそれぞれ piu di meno，meno di meno という表現を用いて表しました．
そして，（＋）×（＋）＝（＋），（＋）×（−）＝（−），（−）×（＋）＝（−），（−）×（−）＝（＋）
といった演算を拡張し，以下の新しい法則を定めました．右側の空欄に，ボンベリの述べていることを式で表してみよう．
ボンベリの記述式で表すと，① piu via piu di meno, fa piu di meno①② meno via piu di meno, fa meno di meno②

③ piu via meno di meno, fa meno di meno③④ meno via meno di meno, fa piu di meno④⑤ piu di meno via piu di meno, fa meno⑤⑥ piu di meno via meno di meno, fa piu⑥⑦ meno di meno via piu di meno, fa piu⑦⑧ meno di meno via meno di meno, fa meno ⑧注意）

“A via B, fa C”は A×B=C ということ．

その後，ボンベリはこれを基に ( 2 + − 1 )3 と( 2 − − 1) 3 を計算しました．みんなもこの２つを計算し，さらに 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121 の値がどうなるか考えてみよう．

3.

− 1 の図示に対する否定的な意見

ボンベリが負数の平方根に対して計算法則を決めたにも関わらず，それを視覚的に表すことはまだ不可能でした．この時代，負数の図示が成功していたため，負数の平方根が広く認知されるためにも，この数を図示することが課題となりました．
しかし，本当に図示することができるのでしょうか？

お話．
負数の図示はジラールやデカルトらによって行われました．ジラールは「幾何学での負数は逆進を示し，一方，正数は前進を示す」といっていました．つまり，現代で言う数直線や向きの概念を用いることで，負数を視覚的に表現したのです．

負数の平方根の図示に否定的な意見を示した数学者のなかでも，有名なデカルトの見解について考えてみましょう．

◎デカルトの見解
デカルト（1596 年〜1650 年）は２次方程式の解とその図示の関係から始めていきました．

1
右図において，NL を a に等しく，LM をb に等しくしたう
2
え，点 M から LN に平行な線を引く．N を中心として L を通る円を描いて，その円弧と平行線の交点を Q，Rとする．ここで，未知な長さ MQ と MR を z としたとき，z は以下の２次方程式で表される．

z 2 = az − bb

デカルトのこの主張を証明してみましょう!!

証明．
QR の中点を O とする．図より，

NO = LM = ()NQ は円の半径であることから，

NQ = NL = ()⊿NQO は斜辺が NQ の直角三角形であることから三平方の定理より，

OQ 2 = (∴ OQ = ()2 − ()2)

同様にして，OR = (よって， MQ = MO − OQ ,)MR = MO + OR より，

MQ = (MR = ())

z は MQ，MR の長さであることから，MQ，MR を一つの式にまとめてz=()±()

よって，この式を整理していくと，z − ( ) = ±(2{z−()}=(両辺を２乗すると，2z=(展開して整理すると，)))

以上より，MQ，MR の長さ z は与えられた２次方程式で表されることが証明された．

デカルト，La Geometrie，1637 年

◎

デカルトの主張

点 N を中心とし点 L を通る円が直線 MQR を切ることも，これに接することもないならば，方程式にはまったく根がなく，提出された問題の作図は不可能と断定することができる．
（出典：デカルト著，原亨吉訳『幾何学』，
下線授業者）① デカルトの言葉で，点線部分「点 N を中心とし点 L を通る円が直線 MQR を切ることも，これに接することもない」とき，a とb にどういう関係式が成り立ちますか？また，このとき２次方程式 z 2 = az − bb の解はどのような値になりますか？

② デカルトは①のような状況のとき，下線部分「提出された問題の作図は不可能と断定する」と言っています．これはどういうことでしょうか？

デカルトは図的に表せる数（＋１，−２，１/２， 2 など）を reelles（フランス語），負数の平方根を imaginaires（同様にフランス語）と記述しました．これを英訳するとそれぞれ real とimaginary，つまり彼は図的に表せる数を「実際の数（以下，実数）」，負数の平方根は「想像上の数」であると述べました．
以後，彼の言葉が広く採用されていくことになりました．

授業資料
年組番

氏名

「 − 1 は描けるのか!?」Vol. ２

授業者：筑波大学大学院教育研究科 1 年
小松 孝太郎１時間目では・・・
古くから数というものは「図的に表されなければ認められない」ということでした．ボンベリによって − 1 の計算法則が確立された 16，17 世紀において，− 1 を図示することは当時の課題でした．しかし，これを図的に表現することは不可能であるとされ，デカルトは負数の平方根を「想像上のもの」であると述べました．
このような時代にあって当時の数学者は以下の野望に燃えるわけです．

「− 1 を図示することでそれを真に認められるようにしよう．」
それでは負数の平方根の図示に挑戦した数学者の考えをみんなで考えていこう!!

４．

− 1 の図示への挑戦（ウォリス）

負数の平方根の図示に果敢にも挑戦した最初の人はウォリスという人物です．
名前：John Wallis
年代：1616 年〜1703 年
出身地：イギリス
彼はニュートンが脚光を浴びる直前の時代において最も有名な数学者でした．数々の名著を発表し，微積分学を発達させたニュートンに多大な影響を及ぼしました．

◎

ウォリスの挑戦その 1

彼は a に関する２次方程式 a 2 − ba + α = 0 の解を図示することから始めました．
まず，ある直線 AD 上に長さが b 2 である線分AC をとる．次に，C を通り直線 AD に垂直な線分で長さが α である線分 PC をとる．そして，点 Pを中心とし半径の長さが AC と同じである円弧を描き、その円弧と直線 AD との交点を B，B’とする．
このとき，２つの長さ AB，AB’がこの方程式
a 2 − ba + α = 0 の解である．

証明）

与えられた２次方程式 a − ba + α = 0 を解くと，
2{a − ( )} 2 = (a−( ) = (∴a = ()))±()L①

この解を線分 AC や AB’，AB などで表したい．

AC = ()L②

また，⊿PB’C は∠C＝90°の直角三角形より，CB'2 = ()2 − (=(∴ CB ' = ()2))

CB’とは反対向きの長さ CB を CB=−CB’とすると，

CB = −CB'= () L③２次方程式の解①を②，③式を利用して変形していくと，a=()±()=()+()， (=(),)+(())

よって，２つの長さ AB，AB’は２次方程式 a − ba + α = 0 の解を図示する
2ものである．

証明が終わった人は以下のことを考えましょう．
① ２次方程式の解を図示するこの方法に似たものを以前に考えた人はいませんでしたか？

② ウォリスの場合，CP の長さが円弧の半径の長さを超えるとき，b とαの間にはどのような関係式が成り立つでしょうか？また，このとき２次方程式の解を示す重要な２点 B，B’はどうなるでしょうか？

③ ②の場合，２次方程式 a 2 − ba + α = 0 の解はどのような値になるでしょうか？

④ ①の人は②，③という状況になったら何と言っていたでしょうか？

◎ウォリスの挑戦

その２ウォリスは， a に 関 す る ２ 次 方 程 式 に 関 し て ， 解 に 負 数 の 平 方 根 を 含 む 場 合 の
a − ba + α = 0 (b 2 < α) についてどのように考えたのでしょうか？
2

ここで便宜上，実数解をもつ場合 a 2 − ba + α = 0 (b 2 > α) ・・・（＊），
解に負数の平方根が含まれる場合 a 2 − ba + α = 0 (b 2 < α) ・・・（＊＊）とします．

まず，（＊＊）の解は，負数の平方根まで範囲を認めるなら（＊）と式の見た目は同じで，a=()です．（＊）との違いは√の中が負の数であることです．ここでウォリスは以下のように考えました．

「a に関する２次方程式 a 2 − ba + α = 0 の解は２つの線分の長さ AB，AB’で図示される」という先ほどの証明は，b 2 > α という条件の下で進められていた．この証明がb 2 < α の場合でも成り立つといいなぁ．
もし成り立つのなら，（＊＊）の場合でも（＊）の場合と同じ結論を得ることになり，（＊＊）の場合は解に負数の平方根を含むので，負数の平方根が図示できることになる．

しかし，本当に b 2 > α の場合に関する証明の過程がb < α2の場合にも全て成り立つのでしょうか？

討論・ ウォリスの考えは正しいだろうか？間違いだろうか？正しいと思う人は正しいと書き，間違いだと思う人はどこが間違いかを指摘してみよう．

・ ウォリス（役を演じる授業者）の「つじつま合わせ」は正しいだろうか？間違いだろうか？正
しいと思う人は正しいと書き，間違いだと思う人はどこが間違いか指摘してみよう．

ウォリス，Algebra，1673 年

ウォリスは，b 2 > α （解が実数である）の場合の証明がb 2 < α （解に負数の平方根が含まれる）の場合でも成り立つように強引に「つじつまを合わせて」考えました．そして，その「つじつまあわせ」によりb 2 > α の場合の証明が b 2 < α の場合でも成り立つとしました．
つまり，依然としてa 2 − ba + α = 0 (b 2 < α) の解（負数の平方根を含むもの）は，二つの長さ
a = AB ， AB' であるとしました．
その２つの長さを図示すると，以下のようになります．

彼はこのようにして，２次方程式の解が負数の平方根を含む場合でも作図できたとしました．

◎

ウォリスの主張

２次方程式の解が実数なら，解を表す重要な点
B，B’は直線 AC 上にある．
しかし，解が負数の平方根を含むような場合，点B，B’は直線 AC 上にあるのではなく，AC から離れて取るのである．
私は大いにこれを主張する．なぜなら私が考える記述は新しいからである．

ウォリスのこの主張をみなさんはどう思いますか？この主張はこんなところが間違っている、ここが欠点である、いや私は賛成であるなど、自由に記述してください。

今日の授業を受けての感想を書いてください．

授業資料
年組番

氏名

「 − 1 は描けるのか!?」Vol. ３

授業者：筑波大学大学院教育研究科 1 年
小松 孝太郎１時間目からの復習
18 世紀末期の主要な問題は， − 1 の図的表示とその説明とであった．負数の場合のように， − 1 もこれを目の前に図示できるまでは，その理論を十分に展開することはできなかった．それで，ニュートン，デカルト，オイラー時代には， − 1 はやはり代数的虚構とされていたのである．
（参照：カジョリ著，小倉金之助補訳『初等数学史』）
私たちは負数の平方根の図示に最初に挑戦したウォリスの考えを考察しました．ウォリスの考えは不完全であり，当時の数学者にはほとんど受け入れられませんでした．
それにもかかわらず，ウォリスは以下のことを主張しました．「負数の平方根は実数を表す数直線の頭上にある!!」と。

５．

− 1 の図示への挑戦（ヴェッセル）負数の平方根の図示に関するウォリスの提言は当時の人々にはあまり受け入れられませんでした．その理由としては，以下の２点が挙げられます．
① 彼の提言は非常に複雑で混乱したものであったこと② 負数の平方根同士の演算（足し算や掛け算）の図示に関して何も触れていなかったこと
しかし，ウォリスが自分の考えを示した 1685 年からは 100 年近く経っても負数の平方根が図示されることはありませんでした．そして，1797 年になって負数の平方根の図示に成功したと公表した人が現れました．それはヴェッセルという人物です．

名前：Caspar Wessel
年代：1745 年〜1818 年
出身：デンマークヴェッセルは専門的な数学者ではなく，測量技師であった．毎日地図を作っており，平面図形や球面図形をよく取り扱った．論文はデンマーク語で書かれており，当時デンマーク語は全く読まれていなかったため、負数の平方根の図示に関する彼の考えは長く注目されなかった．
1897 年にフランス語の翻訳が出たことでようやく多くの注目を浴びた．

ウォリスのまわりくどい図示とは違ったヴェッセルの方法を見てみよう!!

ヴェッセル，Om Directionens analytiske Betegning，1797 年

◎

方向つき線分

測量家で普段から平面図形を取り扱っていたヴェッセルは，方向つきの線分の計算を取り扱おうと考えました．
たとえば，という線分とという線分を足したらどうなるのか？という線分とという線分を掛けたらどうなるのか？

方向つき線分とは，長さと単位線分（長さ１）からの方向角（傾斜）をもつものです．

◎

方向つき線分の演算に関する定義

定義①

a という方向つき線分に対して − a という方向つき線分は， a と長さが同じで a とは反対向きのものである．

以下の方向つき線分 a に対して， − a という線分を書いてみよう．

ヴェッセル，フランス語訳，1897 年定義②
２つの方向つき線分に対してその和は以下のように決める．
１つ目の線分が終わったところから２つ目の線分が始まるように結合させたら，それは加えられ，結合された線の最初の点から最後の点まで直線を結ぶ．この線分が和の線分である．
では，以下の線分 a と線分 b を足した線分を書いてみよう．

a + b は？

この和の定義，どこかで見たことないかな？
定義③
２つの方向つき線分に対してその積によってできる方向つき線分を以下のように決める．
まず，２つの線分の始点が両方一致するように移動する．そして，以下の長さと方向角をもつ線分が２つの線分の積である．
・長さ：２つの方向つき線分の長さの積・方向角：２つの線分と単位線分とのそれぞれの方向角の和では，同様に以下の線分 a と線分 b を掛けた線分を書いてみよう

a × b は？

二つの方向つき線分の長さが１である場合の積をCabri で見てみよう!!

◎

負数の平方根の図示への道

彼はこのように和と積を定義したあと，単位線分とそれに垂直な線分を以下のように決めました．
＋１：単位線分＋ε：長さが１，単位線分とは垂直で始点が同じ
つまり，＋１：方向角０°，＋ε：方向角９０°です．
また，例えば，＋３を＋１と同じ方向で長さ３の線分，＋２εを＋εと同じ方向で長さが２の線分などとしました．
では次のことを考えてみよう!!
① Cabri で考えた図で＋１，＋εはどこにあるでしょうか？
② ２つの方向つき線分とも＋εに合わせると積の線分はどうなるでしょうか？また，Cabri だ
けでなく方向つき線分の積の定義に基づいて計算するとどうなるでしょうか？

③ ①，②より何がわかるでしょうか？

◎

負数の平方根と２次方程式の解の図示
ヴェッセルは負数の平方根を含むような数を図示するとき以下の手順を踏みました．（例．3 + 2 − 1 ）①実数を表す直線とそれに垂直な負数の平方根を表す直線を設定する．
②負数の平方根を含む数について，実数の部分と負数の平方根の部分に分ける．
（３，2 − 1 を表す方向つき線分をそれぞれ考える）③実数を表す方向つき線分と負数の平方根を表す方向つき線分との和として図示する． （３と2 − 1の方向つき線分を加える）

では，ヴェッセルの方法でデカルトもウォリスも成し遂げることができなかった負数の平方根を含む２次方程式の解を図示することができるだろうか？

アルガン，Essai sur une maniere de representer les quantites imaginaries
dans les constructions geometriques，1806 年ガウス，Theoria Residuorum Biquadraticorum, Commentatio Secunda，1831 年

◎

負数の平方根の図示に成功した他の数学者

・ Jean Robert Argand（ジャン・ロベール・アルガン）
1806 年に公表
・ Carl Friedrich Gauss（カール・フリードリッヒ・ガウス）
1831 年に公表したが 1796 年には既に気付いていたのではないかと思われる．
彼は負数の平方根を「complexe Zahlen（英語：complex number，日本語：複素数）」と命名した．
その後，彼は複素数の理論を発展させていき，以下の文に示されるように，複素数に対して市民権を与えたのである．
ガウスの権威をもって初めて，ようやく複素数から神秘主義のヴェールがすっかり取り除かれた．数平面上の点としての，彼の単純明快な複素数の説明はこの仮想的数をすべての神秘と空想から解き放ち，この数に実数と並び数学における完全に同等な市民権を与えたのである．
（引用文献：Remmert 著「複素数」，Lamotke編『数』，成木勇夫訳）

また，ガウスは複素数の図示を利用して古来 2000 年以上問題であった正 17 角形の作図可能性を証明しました．
正 17 角形の作図題に関する参考文献
・ Gauss 著，高瀬正仁訳，「ガウス整数論」，朝倉書店
ガウスの原典の日本語訳である．
・ Stuart Hollingtale 著，岡部恒治訳，『数学を築いた天才たち（下）』，講談社
ガウスの理論をわかりやすく解説している．
・ 大野栄一著，『定木とコンパスで挑む数学』，講談社
ガウスの理論を高校生にもわかりやすいように変えているが，実際の正 17 角形の作図法を示している．