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助成番号 180044
研 究 成 果 報 告 書（国立情報学研究所の民間助成研究成果概要データベース・登録原稿）
研究テーマ（和文） ＡＢ

計算機を援用した数論幾何の研究とその応用

研究テーマ（欧文） ＡＺ

Research on arithmetic geometry with the aid of computers and its applications

研究氏
代表名
者

ｶﾀｶﾅ ＣＣ姓） イトウ名） テツシ

研究期間 Ｂ

２０１８～ ２０１９

漢字 ＣＢ

伊藤哲史

報告年度 ＹR２０１９年

Tetsushi

研究機関名

京都大学

ﾛｰﾏ字 ＣＺ Ito

研究代表者 ＣＤ
所属機関・職名

年

京都大学大学院理学研究科・准教授

概要 ＥＡ (600 字～800 字程度にまとめてください。)
数論幾何とは、整数や方程式に関するさまざまな問題を幾何学的な手法で研究する数学の一分野である。本研究
では、代数曲線・アーベル多様体やそれらに関連する数列について、計算機を援用した実験を行い、理論的な結果を得た。
フェルマー型 4 次曲線に伴う mod 4 ガロア表現の計算機による計算を応用することで、有理点を持たない代数曲線
X4 + Y4 + Z4 = 0 のモーデル‐ヴェイユ群の計算を行い、ブラウアー群に定まる障害が非自明になることを示した。これは、種数が高く有理点を持たない曲線についてブラウアー群に定まる障害を具体的に計算した初めての結果である。
2 次デルペッツォ曲面上の直線と平面 4 次曲線の双接線の間の関係を用いて双接線へのガロア作用を計算することで、有理数体上の平面 4 次曲線であって双接線が局所大域性を満たさないものが存在することを示した。そして、そのような平面 4 次曲線を計算するアルゴリズムを設計し、計算機を用いて実例を構成した。同様の手法により、有理数体上の平面 4 次曲線の対称行列式が局所大域性を満たさないことも示した。平面 3 次曲線の対称行列式は局所大域性を満たすことが分かっていたので、対称行列式表示の整数論的な性質が 3 次と 4 次以上では大きく異なることが明らかとなった。
また、単純な漸化式で定まるソモス k 列についての研究を行った。ソモス 4 列やソモス 5 列は楕円曲線の有理点と関係することが分かっており詳しく研究されていた。ソモス 6 列は整数列になることは分かっていたものの、その整数論的な性質は不明であった。計算機による実験と、種数 2 の代数曲線のヤコビ多様体の計算を組み合わせることで、ソモス 6 列を mod p して得られる数列の周期の上界を求めることに成功した。

キーワード ＦＡ

Mordell-Weil group

Brauer groupbitangent（以下は記入しないでください。）
助成財団ｺｰﾄﾞ ＴＡ

研究課題番号 ＡＡ

研究機関番号 ＡＣ

シート番号- 1 -Somos sequence発表文献（この研究を発表した雑誌・図書について記入してください。）
論文標題ＧＢ

Explicit calculation of the mod 4 Galois representation associated with the Fermat
quartic

著者名 ＧＡYasuhiro
Ishitsuka,
Tetsushi Ito, Tatsuya
Ohshita

雑誌名 ＧＣInternational Journal of Number Theory

ページ ＧＦ881 ～ 905

発行年 ＧＥ

2雑誌

020

巻号 ＧＤ

16

論文標題ＧＢ
雑誌

著者名 ＧＡ
ページ ＧＦ

雑誌名 ＧＣ～発行年 ＧＥ

巻号 ＧＤ

論文標題ＧＢ
雑誌

著者名 ＧＡ
ページ ＧＦ

雑誌名 ＧＣ～発行年 ＧＥ

巻号 ＧＤ

発行年 ＨＤ

総ﾍﾟｰｼﾞ ＨＥ

発行年 ＨＤ

総ﾍﾟｰｼﾞ ＨＥ

著者名 ＨＡ
図書

書名 ＨＣ
出版者 ＨＢ
著者名 ＨＡ

図書

書名 ＨＣ
出版者 ＨＢ

欧文概要 ＥＺ
Arithmetic geometry is a branch of mathematics where several problems on integers or equations arestudied by geometric methods. In this research, with the aid of computers, we empirically studied
algebraic curves, abelian varieties, and related sequences, and obtained several theoretical results.
As an application of the computer calculation of the mod 4 Galois representation associated with theFermat quartic, we calculated the Mordell-Weil group of the algebraic curve X4 + Y4 + Z4 = 0, which has
no rational point. Then we showed that it has a non-trivial obstruction in the Brauer group. This is
the first result for curves without rational points which concretely shows the existence of a non-trivial
obstruction in the Brauer group.
Calculating the Galois action on bitangents using a relation between lines on del Pezzo surfaces ofdegree 2 and bitangents of plane quartics, we also showed the existence of plane quartics over the fieldof rational numbers which do not satisfy the local-global property for bitangents. Moreover, we designed
an algorithm to obtain such quartics, and calculated explicit examples using computers. By similar
methods, we showed that symmetric determinantal representations of plane quartics over the field ofrational numbers do not satisfy the local-global property. Since it was known that symmetricdeterminantal representations of plane cubics satisfy the local-global property, our results showedthat there is a big difference between the arithmetic of symmetric determinantal representations ofplane curves of degree 3 and those of degree higher than 3.
We also studied Somos-k sequences which are defined by a simple recurrence formula. It was known that
Somos-4 and Somos-5 sequences are related to rational points on elliptic curves, and there were many
results on them. However, although it is known that Somos-6 sequence is an integer sequence, itsarithmetic properties are yet to be investigated. Combining computer experiments and calculation of
Jacobians of genus 2 curves, we succeeded in obtaining an upper bound the sequence of Somos-6 sequencemod p.

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