NAME〜１時間目〜［12／４（月）13:10〜14:00 実施］

１．最大最小問題
微分法発見の一つの契機となったのは、関数の最大最小を求める問題であった。
とりあえず、次の問いをチャレンジしてみよう。

問題１「与えられた線分を二つに折って、その二つを縦、横とする辺で長方形を考えるとき、その面積を最大にするには どのように折ったらよいか。」
言い回しを変えると、「線分ＡＣを点Ｅで分けて、線分ＡＥと線分ＥＣとを辺とする長方形の面積を考えたとき、その面積が最大となるのは点Ｅがどこにあるときか。」（作図例）▼下の枠内で、自由に考えて、答えを求めてみよう。

よって、自ら求めた答えは･･･

点Ｅがにあるときである。

どんな方法を使って考えましたか。上の解法にならって記入して下さい。

では、問題１の原典となる文章を、実際に取り上げて、考えてみよう。

[出典]（左）CEUVRES DE FERMAT ｢METHODUS AD DISQUIRENDAM MAXIMAM ET MINIMAM｣（右）Struik, A Source Book in Mathematics ｢FERMAT, MAXIMA AND MINIMA｣The History of Mathematics ｢FERMAT, Maxima and Minima｣

考えてみよう!

以下の単語は、左上の文章の中からの抜粋である。
右上の英文と対比させて、どういう意味かを考えよ。
●in⇒

自分の考え

●

Aq ⇒

自分の考え

●

bis ⇒

自分の考え

（作図例１）（作図例２）

（日本語訳）［近藤洋逸数学史著作集第３巻より抜粋］＊矩形（くけい）・・・直角四辺形。長方形。（矩は直角の意）

ｍｅｍｏ▼ 下の枠内に、問題１の原典である英文やその日本語訳をみて、数学の問題を解いているように、数式を並べて、記述してみよう。

ＡＣ＝ｂ、ＡＥ＝ａとおくと、ＥＣ＝ ①とかける。
いま、線分ＡＣを ａ，①の二つに折ったとき、面積が最大になるものとする。
このときの面積は、②である。
つぎに、ａからａ＋ｅに延ばし、①から③に縮小したとすると、面積は、④である。
長方形の面積はほとんど変化がないと考えると、⑤
これを整理すると、⑥⑦、ｂｅ−２ａｅ−ｅ２＝０⑧、ｂ−２ａ−ｅ＝０⑨、ｂ−２ａ＝０
ゆえに、ａ＝ｂ／２ が得られる。
これから、線分ａをまん中で二つに折って、長方形を囲む、つまり、正方形をつくると、面積が最大になることがわかる。

① 上の解法で、何か不思議に思ったこと、違和感を感じたことがあったら自由に述べよ。

② 何が、これまでにない、フェルマ特有の考え方だろうか。

＝参考資料１＝（『ユークリッド原論』第 6 巻 第 27 命題 より引用）

次に、２次元から３次元に、次元を上げてみると、次の問いはどうなるかな？

問題２「与えられた線分ＡＣを点Ｅで切断し、線分ＡＥを一辺とする正方形の上に、これを底面とする直方体を作図し、その高さを線分ＥＣと考えると、その体積が最大となるにはどのように、二つに分けたらよいか。」
言い回しを変えると、「与えられた線分ＡＣを点Ｅで内分するとき、ＡＥ2 ×ＥＣが最大となるようなＡＣ：ＡＥの比を求めよ。」

▼下の枠内で、自由に考えて、答えを求めてみよう。

よって、自ら求めた答えは･･･

ＡＣ：ＡＥの比はとなるとき、最大である。

どんな方法を使って考えましたか。上の解法にならって記入して下さい。

では、問題２の原典となる文章を、実際に取り上げて、考えてみよう。

[出典]（左）CEUVRES DE FERMAT ｢METHODUS DE MAXIMA ET MINIMA｣（右）The History of Mathematics ｢FERMAT, Maxima and Minima｣

考えてみよう!

以下の単語は、左上の文章の中からの抜粋である。
右上の英文と対比させて、どういう意味かを考えよ。
●quad⇒

自分の考え●cub⇒

自分の考え●bis⇒自分の考え●ter⇒

自分の考え▼下の枠内に、前ページの英文を、日本語や数式に置き換えてみよう。
その際、ただ訳文を書くのではなく、数学の問題を解いているように、数式を並べて、記述すること。

↑（左）「CEUVRES DE FERMAT」の表紙、（右）フェルマーの描画

NAME〜２時間目〜［12／４（月）14:10〜15:00 実施］

２．曲線に接線を引く問題
微分法発見のもう一つの契機となったのは、曲線に接線を引く問題であった。

問題に入る前に・・・（ 参 考 ） 果たして、「接線」は、いつ頃から考えられていたのか？
ユークリッド （B.C.300 頃） ・・・『原論』のなかで、円への接線についての記述がある。

アルキメデス （B.C.287-212）・・・『方法』のなかで、螺旋への接線についての記述がある。

アポロニウス （B.C.262-200） ・・・『円錐曲線論』のなかで、楕円･双曲線･放物線への接線についての記述がある。

平面上の一般の曲線を考えて、その曲線上にあるどんな点でも、そこを接点とするような接線の作図方法は、確立されてはいなかった。

２−１ フェルマー（1601-1665）の方法
一般的なある曲線上の点における接線を見つけるために、前の方法（問題 1,2）を使用する。実際に、原典となる文章を、実際に取り上げて、考えてみよう。

[出典]（左）CEUVRES DE FERMAT ｢METHODUS AD DISQUIRENDAM MAXIMAM ET MINIMAM｣（右）Struik, A Source Book in Mathematics ｢FERMAT, MAXIMA AND MINIMA｣The History of Mathematics ｢FERMAT, Maxima and Minima｣

（作図例）

（日本語訳）［近藤洋逸数学史著作集

ｍｅｍｏ第３巻より抜粋］▼ 下の枠内に、問題３の原典である英文やその日本語訳をみて、数学の問題を解いているように、数式を並べて、記述してみよう。

図から、ＤＣ／ＤＩ＞ＣＢ２／ＩＯ２（なぜなら、①②であるから、ＣＢ／ＩＯ＝ＣＥ／ＩＥ
これより、ＤＣ／ＤＩ＞ＣＥ２／ＩＥ２
いま、ＣＥ＝ａ、ＤＣ＝ｄ、ＯＩ＝ｅ とおくと、ｄ／（ｄ＋ｅ）＝ａ２／（ａ＋ｅ）２
これを整理すると、③④、２ａｄ＋ｄｅ＝ａ２⑤、２ａｄ＝ａ２
ゆえに、ａ＝２ｄ が得られる。
これから、⑥の位置がわかるから、⑥接線が引けることになる。とＢを結べば）上の解法で、何かあいまいに感じることがあったら、自由に述べよ。

▼では、本当にそうなるのか、確かめてみたい。
⇒確かめる方法として、＊コンピュータを使って、実際に作図してみればよい。
（*コンピュータ･･･正確にはコンピュータのソフトウェア「Cabri Geometry Ⅱ」のこと）

その際、以下のことを使う。

２次関数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）のグラフが、放物線であることは数学Ⅰ（あるいは中学）において、既に学んでいる。

ここでは、放物線の幾何的（図形的）定義を取り上げてみたい。

（定義）
放物線（parabola）とは、定点 F とそれを通らない定直線とから、等距離にある点 P の全体がつくる曲線である。
言い換えると、定点 F とそれを通らない定直線とから、等距離にある点 P の軌跡である。
［教科書「数学 C」（数研出版）より］

＝参考資料２＝（『アルキメデス方法』命題４ より引用）

NAME〜３時間目〜［12／７（木）15:10〜16:00 実施］

２．曲線に接線を引く問題（つづき）
微分法発見のもう一つの契機となったのは、曲線に接線を引く問題であった。

２−２ バロウ（1630-1677）の方法
先程の２−１においてのフェルマの方法を一歩進めた方法である。
実際に、原典となる文章を取り上げて、考えてみよう。

[出典]

Struik, A Source Book in Mathematics｢BARROW. THE FUNDAMENTAL THEOREM OF THE CALCULUS｣

（作図例）（日本語訳）[以上、『ボイヤー

数学の歴史３』より抜粋]

２つの線分ＡＰ、ＰＭを考え、線分ＰＭは点Ｍである曲線と交わる。
また、線分ＭＴはＭでその曲線と接し、Ｔで線分ＡＰと交わる。
線分ＰＴの長さを求めるために、その曲線の微小な弧ＭＮを強調す
このとき、ＭＰ，ＡＰとそれぞれ平行に、ＮＱ，ＮＲをかく。
いま、ＭＰ＝ｍ，ＰＴ＝ｔ，ＭＲ＝ａ，ＮR＝ｅと書き、曲線の特別な性質によって決まる他の線分でも、ｍ，ｔ，ａ，ｅを用いて記号で書く。
計算によって得られた等式から、ＭＲ，ＮＲ（また、そこを通るＭＰ、ＰＭ）をお互いに比較せよ。
そうしているうちに、次のような規則がみつかるだろう。
規則１ 計算において、ａあるいはｅの累乗を含む項、またはａとｅの積を含む項すべてを無視する。（なぜなら、これらの項は値を０とみなすから）
規則２ 等式を整理した後、決められた長さを表す文字からなる項や、ａとかｅを含んでいない項すべてを消去する。（なぜなら、これらの項は、等式の片側に移項するのに常に 0 に等しいから）
規則３ ａ、ｅをそれぞれｍ（ＭＰ）、ｔ（ＰＴ）を用いて表す。
そうすると、ようやくＰＴの必要性がわかる。
もっと言うと、その曲線のどんな微小な弧でも、もし計算に入れば、接線の微小な部分や（その弧が微小な大きさのために）その長さに等しいどんな線分の微小な部分も、微小な弧に置き換えられる。

ｍｅｍｏ

▼

２−２の原典である英文やその日本語訳をヒントとして、実際に今日の数学の問題として置き換えて、確認してみたい。そのため、下の枠内の空欄に、必要な数式や語句を並べて、記述してみよう。

ＭＰ＝ｍ，ＰＴ＝ｔ，ＭＲ＝ａ，ＮR＝ｅ とおく。
ある曲線の式を ｙ＝ｋｘ２･･･(*) とし、点Ｍの座標を（ｐ，ｍ）とすると、点Ｍは(*)上にあるから、①また、図より、点Ｎの座標は、②とかける。
点Ｎは(*)上にあるから、③①，③を連立して整理すると、④両辺ｅで割ると、⑤
ここで、ｅを含む項を無視すると、⑥ａ／ｅ＝⑦だから、⑦＝２ｋｐ
ゆえに、ｔ＝⑧①，⑧から、ｔ＝⑨以上より、Ｍのｘ座標が既知なら、接線が引けることになる。

上（２−２）のバロウの方法と、２−１のフェルマーの方法とを比較して、①相違点を、自由に述べよ。

②共通点を、自由に述べよ。