授業資料

１

積分の夜明け〜求積から積分公式へ〜
１日目

不可分量と Cavalieri

授業者：中嶋1恭子

§１．「求積」に「不可分量」を用いた数学者たち「求積」(面積，体積を求める)ために、「不可分量(indivisibles)」を無限個寄せ集めるという計算法(無限小解析(infinitesimal analysis))の研究の始まりに貢献した代表的な数学者として、ケプラー，カヴァリエーリ，ウォリスが挙げられる。
まだ、極限(limit)の思想は明確には現れていないが，今日の定積分として学ぶものと本質的には同様のものである。

ケプラー(Johannes Kepler, 1571-1630)
ドイツの物理学者。「ケプラーの法則」の発見者。面積速度一定を証明する際に、楕円の周をだんだん細かく分割の数を増やし、各弧に、太陽 S を頂点とする小部分(小さな三角形(不可分量の概念))を対応させ、おのおのの面積の和を計算するという計算法(無限小解析)を用いた。

カヴァリエーリ(Bonaventura Cavalieri, 1598-1647)
イタリアの物理学者。ガリレオの(トリチェリと共に)弟子。主な研究は、ケプラーの著書「樽の体積測定」に強い影響を受けて行った不可分量に基づく無限小解析である。その研究は「連続な不可分量の幾何」(1635 年)となって、後世に大きな影響をあたえた。

ロべルヴァール(Roberval, 1602-1675)
フランスの数学者。カヴァリエーリの方法に類似した不可分量の方法を発案した。サイクロイドに関する業績が大きい。

トリチェリ(Evangelista Torricelli, 1608-1647)
イタリアの数学者。不可分量の熱烈な信奉者。求積問題と接線問題に取り組んだ。物理学者として気圧計の発明で有名。

ウォリス(Jon Wallis, 1616-1703)
イギリスの数学者。無限小解析の研究発展に貢献した著書として「無限解析」がある。カヴァリエーリは、幾何学的無限小(線分，面分といった幾何学的不可分量)であったことに対して、ウォリスの方法は算術的不可分量(arithmeticalindivisibles)によってなされた。

今回は、多くの数学者達の研究を体験することによって、「積分」を実感しよう
2§２．不可分量とは？
「不可分(量)」の意味は？各自調べてきた意味を書いてください

まずは、「カヴァリエーリの原理」を理解しよう

equ parallels 平行線

idistant 等距離

portion 部分

plane 平面

上の英文の、「；」までの２センテンスを日本語に直してください。

また、ある平行な平面の間に２つの立体図形があるとし、そしてその平行な平面の間にその平行な平面から等距離に引かれたどんな平面においても、そしてその引かれた平面の立体図形に含まれる部分がどんな場合にも等しいならば、それらの立体図形も互いに等しい。
3カヴァリエーリの求積の方法の考え方「平面図形の面積を求めるため」の考え方は、「平面図形は、ある与えられた直線に平行な直線(線分、弦)の無限集合と、平行な(接する)両端の直線に囲まれたものから成り立つ」。

面積は同じで形の違う図形を書いてみよう
C

D

面積がそれぞれ C と D の２個の図形を考える。形は任意である。上図のように平行な横軸に挟まれた両者を、横軸のどの位置に置いても、C を貫くカットの垂直断面と D を貫くカットの垂直断面の長さが等しいとする。すなわち、すべての横軸に対してc x = d x だとする。このとき、C=D であると結論するのは合理的である。

カヴァリエーリの不可分量の捉え方
線の不可分量は点、面の不可分量は線、立体の不可分量は面である

4

「体積を求めるため」の考え方は、「立体図形は、平行な平面での切断面の無限集合に分割される」。
他の不可分量と比較することによって、２つの幾何学的図形を比較するカヴァ
リエーリの方法は、カヴァリエーリの定理として、いまでも知られている。
もし、２つの立体が互いに等しい高さをもち、底面に平行で底面から等しい距
離にある平面による切断面の面積の比が常に一定であるとき、その２つの立体の体積の比も同じである。
例えば、もし２つの三角錐が同じ高さｈと同じ底面積 A をもつならば、相似比は１：１で、「同じ高さにおける角錐の断面が同じ面積をもつ」ことを示す。そこで、カヴァリエーリの定理は２つの角錐は同じ体積をもつことを得る。
このことを利用して、底面の半径ｒ、高さｈの円錐 C の体積公式を導こう。我々は高さｈ、単位正方形の底面をもつ角錐 P と比較する。勿論ここで我々は、ユー
クリッド原論第 12 巻７の「三角形を底面とするすべての角柱は三角形を底面とする互いに等しい三つの角錐に分けられる。」 系「これから次のことが明らかである、すなわちすべての角錐はそれと同じ底面および等しい高さをもつ角柱の３分の１である。」を既知のものとし、πｒ２：Ａ＝Ｖ：1/3Ａｈ が成り立つことより、Ｖ＝1/3πｒ２ と求まる。
次回予告§３．ロヴェンバールのサイクロイド
求積の前に、1600 年代の数学者の間で流行した曲線サイクロイドについて○ロヴェンバールのサイクロイドを描いてみよう5

サイクロイドを発生させるために[図 1]円 AEGB の直径 AB を接線 AC に沿って、その原点までずっと平行に CD まで
動かし、線分 AC の長さが半円 AGB の弧の長さと一致するようにする。同時に点 A
を半円 AGB 上で動かし、AC に沿って直径の動くスピードは半円に沿って動く A のスピードと同じである。そのとき、直径が CD の位置に到達したとき、点 A は位置 Dに到達する。点 A は２つの動きによって運ばれる〜その一つは半円ＡＥＧＢ上で、もう一つは線分 AC に沿って動く直径上を動く。これらの２つの動きによって点 A の通った道は、サイクロイドの半分 A・・・D であり、この初めのサイクロイドに対して対称に残りのサイクロイドの半分ができる。

ロヴェルバールにしたがってサイクロイドを作図してみよう【宿題】
ワークシートにサイクロイドを作図してみよう

6

授業資料

２

積分の夜明け〜求積から積分公式へ〜
２日目

不可分量と求積
そして、定積分の概念へ

授業者：中嶋7

恭子

§３．ロヴェンバールのサイクロイド
求積の前に、1600 年代の数学者の間で流行した曲線サイクロイドについて○ロヴェンバールのサイクロイドを描いてみよう

サイクロイドを発生させるために[図 1]円 AEGB の直径 AB を接線 AC に沿って、その原点までずっと平行に CD まで
動かし、線分 AC の長さが半円 AGB の弧の長さと一致するようにする。同時に点 A
を半円 AGB 上で動かし、AC に沿って直径の動くスピードは半円に沿って動く A のスピードと同じである。そのとき、直径が CD の位置に到達したとき、点 A は位置 Dに到達する。点 A は２つの動きによって運ばれる〜その一つは半円ＡＥＧＢ上で、もう一つは線分 AC に沿って動く直径上を動く。これらの２つの動きによって点 A の通った道は、サイクロイドの半分 A・・・D であり、この初めのサイクロイドに対して対称に残りのサイクロイドの半分ができる。

8

（Traitedes Indisibles;1634）

サイクロイドの性質
直線 AC と半円 AGB は弧 AE＝弧 EF＝・・・＝線分AM＝線分 MN=線分 NO＝・・・のように無限個の部分にわけられた。直径 AB に垂直に線分 EE1 を引くと線分 AE1
は点 A が E まできたときの高さとなる(それらは、対応する角の sin である)。同様に
して線分 FF1 ，GG1 ，・・・が描かれる。線分 MM1 は線分 AE1 に平行でかつ等しく、線分 N N1 は線分 AF1 に平行でかつ等しく、・・・。線分 M1 M2 は直線 AC に平行で線分 EE1 に等しく、線分 N1 N2 は直線 AＣに平行で線分 FF1 に等しく、・・・。
(ロベンバルの論文では、M1 ，N1 ・・・は１，２，・・・；M2 ，N2 ・・・は８，
９，・・・とある)その直径が点 M に達したとき点 A は点 E に達し、直線 AC に沿って動く直径上に点 A があるとき点 A の位置を示す距離は MM1 ＝AE1 となり、直径 AB から A への
距離は EE1＝M1 M2 となる。だから直径が M に達したとき点 A は M2 となる。同様にして、直径が N 上のとき、点 A は N2 になり、・・・。我々はこのようにして２つの曲線を得た。１つは AM2 N2 ・・・R2D，もう１つは AM1 N1 ・・・R1D。これらの最初のものは点 A の進路である。そして、それはサイクロイドの半分である。

サイクロイドの随伴曲線
そのカーブは点ＡＭ１Ｎ１・・・Ｒ１Ｄを通るように描かれ、サイクロイドの随伴曲線であることが知られている。

みなさんのよく知っている 曲線です。その曲線とは？

9身近にあるサイクロイド
アーチ

法隆寺の甍

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§４．不可分量を利用して面積、体積を求めよう○ロヴェンバールのサイクロイドに囲まれる面積を求めよう（Traite des Indisibles;1634）

11英文の訳を考えながら□を埋めよう。
命題１
サイクロイドと、サインカーブの間の図形の面積は円の半分の面積の面積と等しい。
証明
図ＡＭ２Ｎ２・・・Ｄにおいて、Ｍ １Ｍ２＝ＥＥ１，Ｎ１Ｎ２＝ＦＦ１，Ｏ１Ｏ２＝ＧＧ１，
・
・
・
とする。
今、Ｍ１Ｍ２，Ｎ１Ｎ２，Ｏ１Ｏ２は高さがＡＥ１，Ｅ１Ｆ，Ｆ１Ｇ１，・・・
である線でこの形をわける。一方では、ＥＥ１，ＦＦ１，ＧＧ１，
・・・は半円ＡＨ
Ｂを同じ高さを持つ線に分けられる。だから対応する不可分量の線は等しい。それゆえ、図ＡＭ２Ｎ２の面積は半円 AHB の面積と等しい。

命題２
サイクロイドとその底面（直線 AC）の間の図形の面積は円の面積の倍である。
証明
サインカーブ（曲線ＡＭ１Ｎ１・・・Ｄ）は、平行四辺形を二等分する。だから、ＡＣＤＭ１におけるそれぞれの線はＡＢＤＭ１の線と一致し、サイクロイドとその底辺で囲まれた面積は母円の面積のＡCＤＭ１の面積＝

ＡＢＤC＝

/2

・

・

倍である。
・円

＝円
ＡCＤＭ２の面積＝ＡＢＤＭ１＋ＡＭ２・・・Ｄ・・・Ｍ１＝円ＡＧＢ＋1/2 円ＡＧＢ ＝3/2 円ＡＧＢ
平行四辺形 ABDC の面積
円 AGB の半径をｒとする

12§５．積分の一般的な公式を求めてみよう
多くの数学者達が求積を行ってきたが、様々な計算問題が解けるような一般的原理を探求しようとした２人の研究を見てみよう。その根底には「カヴァリエー
リの原理」が流れている。

カヴァリエーリの方法
もう一度カヴァリエーリの考え方について復習しよう。
カヴァリエーリは「不可分」な線や面をいかなる厚さもないものと考えた。
何かある平面図形の「すべての線」という述語でカヴァリエーリは、図形を構成する互いに平行な線の全体をも考えていた。カヴァリエーリの不可分量の捉え方は、「線の不可分量は点、面の不可分量は線、立体の不可分量は面」
である。
カヴァリエーリは、omens lineae (すべての線)の omnes を記号として「omn」をもちいた。これこそが、現在「積分」と呼んでいるものを表している。
ここで、カヴァリエーリの原理に基づく「求積」の方法を思い出そう。

「他の不可分量と比較することによって、２つの幾何学的図形を比較する」○「平面図形の面積を求めるため」の考え方は、「平面図形は、ある与えられた直線に平行な直線(線分、弦)の無限集合と、平行な(接する)両端の直線に囲まれたものから成り立つ」。
○「体積を求めるため」の考え方は、「立体図形は、平行な平面での切断面の無限集合に分割される」。
では、カヴァリエーリが、いかにして
omn x =

11 2
1
1
omn a =
a ，omn x 2 = omn a2 = a32233

たかを考えてみよう。

13

を幾何学的に導いまずは、本文に入る前に以下のことを確認しよう。
平行四辺形 AFDC の面積は、対角線 FC で割ってできた三角形のひとつの２倍である。図１で NE、BG、AF が平行でさらに HE＝BM、NH＝MG。HE＝ｘ，
NH＝ｙ，AF＝a とおく。ｘは△DFC の、ｙは△ACF の、ａは平行四辺形ＡＤの不可分量である。 ｘ＋ｙ＝ａより、omn ｘ＋omn ｙ＝omn ａ とおく。
ここで、使用する記号 omnｘ、omnｙ、omnａ の図形的な意味は、それぞれ三角形 DFC、ACF、平行四辺形 AD の面積となる。
omn x＝omn y に注意すると、omnａ＝omn(x＋y)＝omn x＋omn y＝２omn x
したがって、omn x＝1/2omnａ

図形的意味＝1/2a 2ａ

図形的意味

omn x 2 ＝1/3 omn a 2＝1/3a ３14

[ 参考文献]

各自、訳を考えながら、カヴァリエーリの幾何学的発想に浸ってみよう
カヴァリエーリの証明（「Un chapitre de l’oeuvre de Cavalieri. Les proposition XⅥｰ XXⅦ
de l’Exercition Quarta」Mathesis 36 (1922) )【訳】
定理 21 図１において、平行四辺形AD の３乗全体は三角形 ACF または FDC の３乗全体の４倍である。
平行四辺形 AD の３乗全体は、三角形 ACF の［線分NH］の３乗全体と三角形 FDC の［線分］の３乗の全体に、三角形 FDC の線分全体と三角形 ACF の線
分の平方全体の 3 倍を足したものと等しい。
Fig.１

確認事項 cube：立方体(３乗)a.c.：すべての立方体［立方(３乗)］
a.s.：すべての正方形［平方(２乗)］
a.l.：すべての線［(１乗)］triangle：三角形 parallelogram：平行四辺形 squares：正方形
altitude：高さ ratio：比 resolve：解く remain：残るproduct：積
together with：足す

15

①

②

確認事項

a.c.：すべての立方体［立方(３乗)］a.s. ：すべての正方形［平方(２乗)］
a.l .：すべての線［(１乗)］

本文に印
をつけて
みよう！

triangle：三角形 parallelogram：平行四辺形 squares：正方形
altitude：高さ ratio：比 resolve：解く remain：残るproduct：積
together with：足す
16

図形的意味を考えを埋めながら、カヴァリエーリの言葉を幾何学的にとらえ、更に現代表記してみよう【訳】
カヴァリエーリの示し① 今、平行四辺形 AD の３乗全体は AD の線分全体とた方法を代数的に記してみよう２乗全体の積である。そしてこれと、平行四辺形ＡＤの線分全体と三角形ＦＤＣの２乗全体の積は、平行四辺形
AD の２乗全体は三角形ＦＤＣの２乗全体(なぜなら高さ①
omn (x+y)３＝が同じである、つまりＡＤの線分全体)の比と等しくなり、 omn(x+y) (x+y)２はこの比は３である。だから、AD の３乗全体は三角形 FDC
omn (x+y) x 2の２乗全体と AD の線分全体の積の３倍と等しい。そして omn (x+y)２
これは三角形 FDC２乗全体と三角形 ACF の線分全体のomn x 2積に、同じ三角形 FDC の平方の和と線分の和の積を加 omnxy2 ＝ omnx2y
えたものと等しい。そして、三角形 FDC の３乗全体と omn(x+y)３：omn (x+y) x2等しい。だから、AD の立方の和は三角形 FDC の立方の＝omn(x+y)２： omnx2
和３倍と、三角形 FDC の２乗全体と三角形 ACF の線分＝３：１ よって、の和の積と等しくなる。
omn(x+y)３＝3omn(x+y) x2＝3（omny x2＋omnｘx2）＝3omnx 3＋3omnx 2y② もし、今その一部である AD の３乗全体を分解したな ②omn(x+y)３＝なら、ACF の３乗全体たす FDC の３乗全体たす三角形
omn x 3＋omn y ３
ACF の２乗全体と三角形 FDC の線分全体の積の３倍たす +3omnxy2＋3omnx2y
三角形 FDC の２乗全体と三角形 ACF の線分全体の積のomn (x+y)３３倍の式を得る。しかし、三角形 FDC の２乗全体と三角＝3omnx3＋3omnx2y
形 ACF の線分全体の積の３倍は同じ積の３倍である。も 上の２式より 3omnx2y
しその３倍を取り除いたなら、ACF の３乗全体に FDC の３乗全体を加え、更に三角形 FDC の線分全体と三角形 FACを取り去ると

omnx3＋omny３+3omnxy2の２乗全体の積の３倍を加えたものは、三角形 FDC の３乗全体＝の３倍となる。今、三角形 ACF の３乗全体は、三角形 FCD の

omnx3＝omny3３乗全体と等しいから、三角形 ACF の３乗全体に FCD の３乗

omn x 3＋omn y 3＝

全体を加えたものは三角形 FCD の３乗の２倍となる。

このとき

から

ここで、三角形 FCD の２乗全体と三角形 ACF の線分 omnx3＋omny３+3omnxy2全体の積の３倍と三角形ＦAC の２乗全体と三角形 FCDの線分全体の積の３倍と ACF 、 FDC の３乗全体を足した＝３omnx 3 よりもの、AD の３乗全体であるが、三角形 FDC(または、三角 omnx3＋omny3+3omnxy2

形 FAC)の３乗全体の４倍と等しい。
＋3omnx 2y
これは、FDC の２乗全体と ACF の線分全体の積が AC＝omn(x+y)3
F の２乗全体と FDC の線分全体の積と等しいことからわ＝かる。なぜなら、互いに一致している三角形 FDC,ACF の ＝２乗と線分が同じであるから。だから、FDC の２乗全体と omnxy2＝omnx2y から

17

ACF の線分全体の積の３倍は ACF の２乗全体と FDC の
3omnxy2＝3omnx2y
線分全体の積の３倍と等しい。これは、明確に証明された。

①②の結果から
図形的意味

omn x 3 ＝1/4 omn a 3＝1/4a ４
カヴァリエーリは、このような過程を繰り返し（ｎ＝９まで）
omn xn

＝

と予測した

a

これは、現代における∫ x dx =
n

0

18

を意味する

《重要参考資料》○トリチェリのとがった双曲面体【訳】
図１で、直角に交わる AB，ＡＣを漸近線とする双曲線を考える。もし、この図形を軸 AB の周りに回転させたならば、B の方向に無限に長い、とがった双曲的立体を生み出せる。またこの立体は有限である。それは、DEFG のように軸 AB を貫くこのとがった立体長方形を含むことは明らかである。私は、長方形は双曲線の半軸による正方形と同じであることを主張する。
双曲線の中央 A から角 BAC を二等分する（半軸）AH をかく。これは確かに正方形である AIHCを与える(それは長方形であり、そして A における角は軸 AH によって二等分されている)。それゆえに AH の正方形は正方形 AIHC の２倍、または長方形
AF の２倍、それゆえ主張されている長方形 DEFG と同じである。

Ａを原点、直線ＡＢをｙ軸として、双曲線HF を表す式をｙ＝ａ２／ｘ とおくことによって、この主張が正しいことを確認しよう

19

20

【訳】
定理 無限に長い、とがった双曲的立体は、軸に垂直な面で切ってできる断面を底面とする円柱を足していくとできあがり、その円柱の側面は、底面の半径が双曲線の側線(それは、軸)であり、高さはこのとがった立体の底面の半径と同じ右の円柱と同じである。
図４において漸近線 AB，AC が直交している双曲線をよく考えよう。我々は双曲線上の勝手にとった点 D から AB に平行に DC を引き、DP は AC に平行にひく。図全
体は軸である AB のまわりを回転させ、それでとがった双曲的立体 EBD は同じ底面をもつ円柱 FEDC を形成する。そこで AH が双曲線の側線である軸全体と等しくなるように BA を H まで延長する。そして直径 AH において(平面の)漸近線 AC に垂直に描かれた円をイメージできる。そして底面 AH の上に高さ AC の右の円柱 ACGHを理解する。ＡＣはとがった立体の底辺の半径である。
立体 FEBDC 全体を求めることを考えれば限りがないが、いつかは円柱 ACGH と等しくなる。
我々は、線分 AC 上に勝手に点 I をとり、軸 AB であるとがった立体に内接する円柱の曲面 ONLIをつくる。そして、同様に底面 AH に平行な円柱 ACGH 上にその円
IM をつくる。そのとき、補助定理によると、(長方形 OL)と(双曲線の半軸の平方)の比から、(円柱の曲面 ONLI)と、（円 IM）の比は(軸をまたがる長方形ＯＬ)と(円 OMの半径の平方)の比と等しい。
そして、これは点 I をどこにとろうが、常に正しい。だから、すべての円柱の曲面は同時にとがった立体 EBD それ自身となり、底面 FEDC の円柱まで加え、すべての円と共に等しくなる。すなわち円柱 ACGH と等しくなる。

Ａを原点、直線ＡＢをｙ軸として、双曲線ＬＤを表す式をｙ＝ａ２／ｘ とおくこと§４．積分の一般的な公式を求めてみよう
によって、この主張の中の『「(円柱の曲面 ONLI)と、（円 IM）の比」が１：１である』 ことを確認しよう。
カヴァリエーリの方法

21

授業資料

３

積分の夜明け〜求積から積分公式へ〜
３日目

ウォリスの定積分への概念へ
授業者：中嶋22

恭子

§６．ウォリスの方法
積分法の発展における基本的に重要な一歩は，ウォリスの仕事と結びついてる。ウォリスの数学の業績は，無限小解析の代数化，部
分的な帰納法の広い適用，関数の積分における新しい公式の獲得，べき乗の概念の一般化，極限の基礎の研究，無限積の形での数πの表現，階乗の概念の一般化などから成る。ウォリスは 1656 年にオクスフォードでラテン語で出版された『無限の算術』で積分と関連した問題について論じている。

注）無限小解析とは、微分及びｎ→∞のもとでのｎ個の無限小の和の処理としての積分の研究。
しばしば、微分積分学及び微分積分学を用いてすべての主題に対しても用いられる。
ジョン・ウォリスは，1616 年 11 月 23 日に，エシュフォード（東ケント）で生まれた。彼の父は教区の司祭だった。ウォリスは初等教育を私学で受け，1632
年にケンブリッジ大学の神学部に入った。彼は数学を独学で学んだ。Ⅴ．オトレッド（1575−1660）の『数学の鍵』，T．ハリオット（1560−1621）の『解析術演習』，ユークリッド，アルキメデス，アポロニウスの著作，デカルトの『幾何学』を読んだ。ウォリスはカヴァリエーリの不可分法を，トリチェリの『幾何学研究』で知った。彼は書いている。
「私は 1650 年に，トリチェリの数学上の研究を学んだ。そのなかには，他の問題とともにカヴァリエーリの「不可分法の幾何学」が述べてあった。カヴァリエーリ自身のものは，何度か本屋で探したが見つからなかった。トリチェリが書いたカヴァリエーリの方法を，私はなぜかとくに気に入ったのである。というのは，そこには何か私を数学にひきつけるものがあったからである。そして私は，大部分の著者たちが円について書いていることが（それらは円を無限個の辺の多角形で置き換え，円を無限に短い無限個の直線で表している），mutatis mtandis(適当な変更によって)ほかの問題にも適用できることを知ったのである」。

ウォリスは驚異的な記憶力と計算カをもっていた。ある眠れない夜，彼は 53 ケタの数の平方根をそらで 27 ケタ計算してそれを記憶し，翌朝書き記したのである 。
ウォリスは，その頃までに得られた代数と解析幾何の成果にもとづいて，不可分法の幾何学的方法の改良を行い，それに部分的帰納法と極限法をつけ加えた。
23

1652 年までに彼は，代数学を基礎とする円錐の切断理論をつくり，1656 年には，「新しい方法による，円錐の切断についての論文」を出版した。その頃彼は，正負の整数べき，分数指数べきの積分∫ x dx を計算した。
an0

ウォリスの『無限算術』が刊行されてから約 10 年後に，ニュートンによる「無限に多くの項をもつ方程式による解析」と「流率法」の研究がなされる。ニュートンは，自分の数学の研究を発表しなかった。ウォリスはそれらの内容を，ニュートンのオルデンブルクへの 2 通の手紙で知り，「流率法」の基本的思想を「代数学」のなかで述べ，ニュートンの重要な発見を数学の世界での共有物にするべ
くつとめたのである。
ニュートンはウォリスを高く評価していた。「私は数学の学習の初期に，著名なウォリスの一連の著作の研究に向かった。それらをつなぐことによって彼は円や双曲線の面積を得ていたのだった…」，と彼は書いている。
われわれに関心のあるウォリスの著作の完全な題名は，『無限の算術または曲線
図形の面積を求め，他のより困難な数学の問題を研究するための新しい方法』である。その組みたては通常の数学論文のもので，一連の補題，定理，系，注釈からなっている。補題では問題が提起され，例題でそれらの解が与えられる。結果
は帰納的に一般化されて，定理一法則の形で定式化される。それから系が得られる。
ウォリスが，面積についての問題の設定とその解決への一般的取扱いを最初におこなったのは，円錐の切断についての論文においてである。
『無限算術』で彼は方法を一般化し，それを体積計算に応用した。円錐の切断についての論文のはじめに，ウォリスは三つの三角形を考察する。それらに同じ高さの長方形または平行四辺形からなる階段状の図形を内・外接させる。彼は書いた。
「これらの平行四辺形は，全体として三角形に内・外接する図形をなし，こうした内・外接する図
形中の平行四辺形が多くなればなるほど，この図形の，もとの三角形からの過剰あるいは不足によるずれは小さくなる。したがって，この平行四辺形の個数が無限大になれば，この違いは無限小，つまり零である・・・」（ニキフォロスキー著「積分の歴史」より）

24

25

26

『無限の算術』【訳】
命題 1． 補題．
0 で始まり単調に増加する量（たとえば，０，１，2，3，4，・・・）に比例する量の列がある．それらの和の，最大のものに等しい量の和にたいする比を求めよ。
（つまり，比0 + 1 + 2 + 3 + ⋅⋅ ⋅ + n ）n + n + n + n + ⋅ ⋅⋅ + n

この問題においても以下のいくつかの問題においても，もっとも簡単な研究方
法は，ついには帰納的に一般的命題が明らかになるように，事柄の経過自体をある時期まで見まもり，得られた比を観察してそれらを互いに比較することにある。
例えば、ｎ＝1，2，3，4，5，6 についての比の値を計算すると、
0 +1
1
=
1+1
2
0 +1+ 23
1==
2 + 2 + 2
6
2
0 +1+ 2 + 3
61==
3 + 3+ 3+ 3
12
2
0 +1+ 2 + 3+ 4
10
1==
4 + 4 + 4 + 4 + 4
20
2
0 +1+ 2 + 3 + 4 + 5
15
1==
5 + 5 +5 + 5 +5 + 530
2
0 + 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6
21
1==
6 +6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
42
2こうして，われわれがどれだけ先に行っても，いつでも 1 に等しい比を得るだ
2ろう。これから次が得られる。

命題 2．定理．
点 0 に始まり単調増加する等差数列をなす，有限個あるいは無限個の（これらを別にする理由は何もないではないか）量の級数（自然数列として）をとると，それと最大の量からなる級数との比は，1 と 2 との比に等しい。

27

28

命題３．系
求めた比は、三角形の面積と、平行四辺形（その三角形と底辺と高さが同じ平行四辺形）の面積にたいする比が１：２と解釈できる。

そのあとでウォリスは，ｘ2 の積分を求めること，つまりｎ→∞のさいの比

0 2 + 12 + 2 2 + 32 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2
n2 + n2 + n2 + n2 + ⋅ ⋅⋅ + n 2を得ること，に向かった。

帰納の方法によって（命題 1 のときのように），研究しよう。次のようになる。
0 +1
1
3
1
1
=
=
=
+
1+1
2
6
6
0 + 1+ 4
5
1
1
=
=
+
4 + 4 + 4
12
12
0 +1+ 4 + 9
14
7
1
1
=
=
=
+
9 + 9 + 9 + 936
18
18
0 + 1 + 4 + 9 + 16
30
3
1
1
=
=
=
+
16 + 16 + 16 + 16 + 1680
824
0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25
55=
25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25
150

=

11
1
1
=
+
30
30

・・・・・・
得られた比は，1 の 3 にたいする比よりつねに大きい．その差は項数が増加す
るとき，絶えず減少する。つまり，1 , 1 , 1 , 1 , 1 , …となっている。ここで6 12 162430

分数の分母は，6 から順に増加して行く。こうして，得られた比の，1 と 3 との比の差は，1 と 6 の倍数との比に等しい…。項数が増加するとき，この差は絶えず減少し，ついには，どんな数よりも小さくなる．そして，項数が無限大にまで増大すると，この差はまったく消滅してしまう」。
つまり、

0 2 + 12 + 2 2 + 32 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2 1=
n2 + n 2 + n2 + n2 + ⋅⋅ ⋅ + n2
ウォリスの結果は，法則一定理ⅩⅩⅠで定式化された。
「点 0 に始まる平方数の無限級数が与えられたとし，これの，最大数からなる級数との比は，1 の 3 にたいする比に等しい」。
29次は、以下のような比の値を計算している
0 +1
2
1
1
=
=
+
1+1
4
4
0 + 1+ 8
9
1
1
=
=
+
8 +8 + 8
24
8
0 + 1 + 8 + 27
36=
27 + 27 + 27 + 24
108

1

+

0 + 1 + 8 + 27 + 64
100=
64 + 64 + 64 + 64 + 64
320

=

=

1
12
1

+

1
16

0
+ 1
+ 8 + 27 + 64 + 125
225
1
1
=
=
+
125 + 125 + 125 + 125 + 125 + 125
750
20・・・・・・
ここからは、第３回ワークシートでウォリスが求めようとしたものを考えよう！
法則をみつけて
ｋ＝４ のとき、ウォリスの方法で近似してみよう

Excel を使って確認してみよう
ｋ＝３，４の確認できたら、ｋ＝５，６の近似値も調べてみよう30ウォリスは、 y = x k とｘ軸とｘ＝１とで囲まれた面積を求めようとしてこの計算をしているのですが、どの図形の面積と比較しようとしていると思いますか？

31このようにして、ウォリスはカヴァリエーりの考えを根底にもち、代数の立場で積分の一般的な式を構成した。
以上の結果からどのような予想ができましたか？

32

C.H.Edwards,Jr.によって英語で要約された文章を見てみよう【訳】必ずしも明確な整数ではない k をもつ

y = x k の曲線の求積は、ジョン ウォリスによって最初に体系的に導き出された。彼は、オックスフォードにおいて幾何学の Savilia 教授であって、実際、有理数と負数の指数は、彼のArithmetica Infinitorum(無限算術)においてウォリスによって紹介された。それは、ニュートンの初期の数学的発展に決定的な影響を与えた。

【訳】算術的な不可分量による計算の基本の上に、ウォリスは曲線 y = x k ( k は正の整数)の下に単位区間において0 k + 1k + ⋅ ⋅ ⋅ + n k
n →∞ n k + n k + ⋅ ⋅ ⋅ + n k

1k∫ x dx = lim
0によって与えられることを知っていた。

最後に、ウォリスの思考の流れを概要を読みながら再現しよう【概要】
ウォリスは，面積や体積が，算術和の比の極限を計算することによって求まることを使った．たとえば，「放物線」 y = x k で囲まれる曲線図形の面積の，対応する長方形または平行四辺形の面積との比の計算を，彼は次のようにおこなった。
放物線，ｘ軸，垂線 AB によって囲まれた図形の面積を求めるとしよう．ウォ
リスは，区間ＯA を等分割し，分点における垂線上に長方形をつくった．それか33

ら，これらの長方形の面積の和の，その面積がすべて初めの長方形のなかでの最大のものに等しい長方形の面積の和にたいする比を求めた．つまり，
n

∑m

k

0 + 1 + 2 + 3 + ⋅⋅ ⋅ + n= m= 0nk + nk + n k + n k + ⋅⋅⋅+ n k( n + 1) n k
k

k

k

k

k

これは，関数の積分の一般的問題と積分の抽象的槻念が得られたと考えることができる。ウォリスは書いた。
「命題 1．補題．0 で始まり単調に増加する量（たとえば，０，１，2，3，4，・・・）に比例する量の列がある．それらの和の，最大のものに等しい量の和にたいする比を求めよ」，つまり，比0 + 1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ n
n + n + n + n + ⋅⋅⋅+ n

ウォリスは自分の方法を説明して言う。
「この問題においても以下のいくつかの問題においても，もっとも簡単な研究方法は，ついには帰納的に一般的命題が明らかになるように，事柄の経過自体をある時期まで見まもり，得られた比を観察してそれらを互いに比較することにある」。彼は，ｎ＝1，2，3，4，5，6 についての比の値を見いだした。それは一定で，1 に等しかった｡ウォリスは結論した｡
2「こうして，われわれがどれだけ先に行っても，いつでも 1 に等しい比を得るだ
2ろう。これから次が得られる。
命題 2．定理．点 0 に始まり単調増加する等差数列をなす，有限個あるいは無限個の（これらを別にする理由は何もないではないか）量の級数（自然数列として）をとると，それと最大の量からなる級数との比は，1 と 2 との比に等しい。
これは，現代の用語では

lim

n→∞

0 + 1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ n
1=
n + n + n + n + ⋅⋅⋅+ n
2

と書ける｡

それからウォリスは，求めた比を三角形の面積の，その三角形と底辺と高さが同じ平行四辺形の面積にたいする比と解釈する。
そのあとでウォリスは，ｘ2 の積分を求めること，つまりｎ→∞のさいの比

0 2 + 12 + 2 2 + 32 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2
n2 + n2 + n2 + n2 + ⋅ ⋅⋅ + n 2を得ること，に向かった。

ウォリスは書いている。「帰納の方法によって（命題 1 のときのように），研究
しよう。次のようになる。
0 +1
1
3
1
1
=
=
=
+
1+1
2
6
3
6
0 + 1+ 4
5
3
1
1
=
=
=
+
4 + 4 + 4
12
6
3
12
0 +1+ 4 + 9
14
7
1
1
=
=
=
+
9 + 9 + 9 + 9
36
18
3
18

34

0 + 1 + 4 + 9 + 16
30
3
1
1
=
=
=
+
16 + 16 + 16 + 16 + 16
80
8
3
24
0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25
55=
25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25
150

=

11
1
1
=
+
30
3
30

・・・・・・
得られた比は，1 の 3 にたいする比よりつねに大きい．その差は項数が増加す
るとき，絶えず減少する。つまり，1 , 1 , 1 , 1 , 1 , …となっている。ここで6 12 162430

分数の分母は，6 から順に増加して行く。こうして，得られた比の，1 と 3 との比の差は，1 と 6 の倍数との比に等しい…。項数が増加するとき，この差は絶えず減少し，ついには，どんな数よりも小さくなる．そして，項数が無限大にまで増大すると，この差はまったく消滅してしまう」。つまり，

0 2 + 12 + 2 2 + 32 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2
1
=
2
2
2
2
2
n →∞ n + n + n + n + ⋅ ⋅ ⋅ + n3lim

ウォリスの結果は，法則一定理ⅩⅩⅠで定式化された。「点 0 に始まる平方数の無限級数が与えられたとし，これの，最大数からなる級数との比は，1 の 3 にたいする比に等しい」。
1
現代的用語では，この法則は ∫ x 2 dx = 1 と同値である。
03
法則一定理ⅩⅩⅠの定式化の後，ウォリスは円錐と角錐の体積を，同じ底面と高さの円柱と角柱の体積を通じて求めている。それは，円錐と角錐は無限に多くの図形からなり，それらは，「相似かつ平行で，一点を最小のものとし，底面を最大のものとする，2 乗に関係する量の級数をつくる。それから，放物線の面積が導かれ，他の多くの例が与えられている。
3 乗数の「級数」の，この「級数」の最大数の3 乗の和にたいする比について，

0 3 + 13 + 2 3 + 33 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 3
1=n→∞ n 3 + n 3 + n 3 + n 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 3
4

類似の手続きを実行してウォリスは， limを見いだした。これは， 1 x 3 dx = 1

∫

0

を示す。

4

帰納的にウォリスは，現代的にはに一致する，任意の自然数べきについての結果を書き下している。
彼は書く。
「実験を行って，帰納的に見いだされた比が，指摘されたものに，その差がついにはあらかじめ与えられた値より小さくなるように，近づくことがわかった。したがって，無限につづけるとその差は無くなる」。

35