複素 2-平面グラスマン多様体のツイスター空間と非平坦複素空間形の Hopf 超曲面
木村真琴 (茨城大学) ∗部分多様体幾何とリー群作用 20191 序文
複素射影空間 CPn および複素双曲空間 CHn (併せて非平坦複素空間形という) の実超曲面

M 2n−1 については、部分多様体論の一つの分野として盛んに研究されてきた [8]。その中でも重要なクラスとして Hopf 超曲面(M の構造ベクトル場 ξ が M の shape operator A の固有ベクトル, Aξ = µξ) がある。CPn においては、複素部分多様体上の tube はすべて Hopf 超曲面であるが、逆は必ずしも成り立たない (§2)。一方で、我々は [14] において CPn 内の実超曲面 M 2n−1 から複素 2-平面 Grassmann 多様体への Gauss 写像 γ : M 2n−1 → G2 (Cn+1 ) を用いて、Hopf 超曲面の特徴づけを与えた。本講演では G2 (Cn+1 ) の (四元数 Kähler 構造に関する)twistor 空間内の「水平部分多様体」から、CPn の Hopf 超曲面が構成できることを示す (§3)。
複素双曲空間 CHn において正則断面曲率を −4 とするとき、その Hopf 超曲面ついては:(1)|µ| > 2 のときは、CPn の場合と同様の結果が成り立つことが知られていた [18] が、(2) |µ| < 2のときは、全く異なる結果が成り立ち [12]、(3) |µ| = 2 のときはわかっていなかった。我々は[10] において CHn 内の実超曲面から複素 Minkowski 空間 Cn+1内の不定値複素 2-平面のなす1Grassmann 多様体への Gauss 写像 γ : M 2n−1 → G1,1 (Cn+1) を用いて、Hopf 超曲面の特徴づけ1を与えた。その関連として、 G1,1 (Cn+1) の (パラ四元数 Kähler 構造に関する) ３つの twistor
1空間内の「水平部分多様体」から、CPn の Hopf 超曲面が構成できることを示す (§5)。

2 複素射影空間内の Hopf 超曲面
本講演の結果において重要な役割を果たしている、複素射影空間 CPn の Hopf 超曲面について

fn を複素 n 次元の Kähler 多様体、J をその複素構造とする。M 2n−1 を M
fの述べる。まず M
f における M の (局所的に定義された) 単位法ベクトル場とす(実余次元 1 の) 実超曲面、N を Mる。このとき、ξ := −JN は M の各点で単位接ベクトルである。ξ を実超曲面 M の構造ベクト∗

本研究は JSPS 科研費 JP 16K05119 の助成を受けたものです。

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ル場という。そして、ξ が M の各点で shape operator A (実超曲面 M の各点の接空間におけるf の Hopf対称線形変換) の固有ベクトルであるとき、すなわち Aξ = µξ をみたすとき、M を M超曲面という。 このとき µ を Hopf 曲率という。

f が「非平坦複素空間型」、すなわち複素射影空間 CPn また
注意 2.1 特に外の Kähler 多様体 Mは複素双曲空間 CHn のとき、Hopf 曲率 µ は M 上定数である [13],[17]。さらに µ = 0 のとき、

f の測地線であり、M
f = CPn かつ µ ̸= 0 のとき、ξ の積分曲線は CPn 内の全ξ の積分曲線は M
測地的複素射影直線 CP1 = S2 上の「小円」である。
例 2.2

CPn の等質実超曲面 CPn の等長変換群 P U (n + 1) の部分群の軌道となっている等質実超曲面は、Takagi [20] によって分類されていて、階数が 2 の Hermite 対称空間の isotropy 表現から得られることが分かっている。そして [21] において、それらは全て Hopf 超曲面であることが知られている。一方 [14] において、CPn の Hopf 超曲面 M 2n−1 が主曲率一定であることと、等質実超曲面 (の一部) であることが同値であることが示されている。それらは等径超曲面でもあって、以下の CPn 内の Kähler 部分多様体上の半径 r の tube であることがわかっている (g は Mの異なる (一定な) 主曲率の個数)：(i) (g = 2, 測地的超球面) 1 点、および全測地的複素射影超平面 CPn−1 (0 < r < π/2),(ii) (g = 3) 全測地的複素射影空間 CPn−1 (1 ≤ k ≤ n − 2) (0 < r < π/2),(iii) (g = 3) 複素 2 次超曲面 Qn−1 (0 < r < π/4),(iv) (g = 5) Segre 埋め込み CP1 × CPk , n = 2k + 1, (0 < r < π/4),(v) (g = 5) Plücker 埋め込み G2 (C5 ), n = 9, (0 < r < π/4),(vi) (g = 5) Half spin 埋め込み SO(10)/U (5), n = 15, (0 < r < π/4).
以下、特に注意しない限り CPn は正則断面曲率が 4 である Fubini-Study 計量をもつものとする。
定理 2.3 (Cecil-Ryan [7])(i) CPn の実超曲面 M 2n−1 が、ある複素部分多様体 Σ 上の半径一定の tube の一部であるとき、M は CPn の Hopf 超曲面である。

(ii) 逆に、M 2n−1 を CPn 内の Hopf 超曲面とする。Hopf 曲率を µ = 2 cot 2r (0 < r < π/2)と表した時に、focal map ϕr : M → CPn , ϕr (p) = expCP(rNp ) の階数が M 上一定ならpnば、ϕr (M ) は CPn の複素部分多様体であって、M は ϕr (M ) 上半径 r の tube (の一部)である。

(iii) また、CPn の Hopf 超曲面の「平行超曲面」は Hopf 超曲面である。
注意 2.4 CPn の Hopf 超曲面について、focal map の階数に関する仮定を省くと Cecil-Ryan の定理は一般に成り立たない。Borisenko [6] はその場合の結果をいくつか得ている。その一つとして: 「CPn 内の compact embedded Hopf 超曲面は、CPn 内のある algebraic variery 上の半径2一定の tube である」を示した。

3 複素 2-平面 Grassmann 多様体の twistor 空間 の水平部分多様体と CPn の Hopf 超曲面
f4m , g, Q) を実 4m 次元四元数 Kähler 多様体とする。すなわち、(M, g) は Riemann 多様体(Mで、Q は End T M の階数 3 の部分束で、以下の条件をみたす: (i) M の各点 p に対して M 内の近傍 U と U 上定義された Q の切断 I1 , I2 , I3 が存在して Ij2 = −1 (j = 1, 2, 3), I1 I2 = −I2 I1 = I3 ,I2 I3 = −I3 I2 = I1 , I3 I1 = −I1 I3 = I2 が成り立つ。(ii) 任意の L ∈ Qp について gp は L で不変である。(iii) ベクトル束 Q は g から定まる Levi-Civita 接続に関して、End T M 内で平行である。Cn+1 内の複素 2-平面のなす複素 Grassmann 多様体 G2 (Cn+1 ) は、Hermite 対称空間であって、かつ四元数 Kähler 多様体の構造ももっている (cf. [24])。

f 上の単位球面束 Z = {I˜ ∈ Q| I˜2 = −1} を M
f の twistor 空間という (cf. [19], [24]) このとM
f の Ricci 曲率が 0 でないならば、Z は複素接触構造をもつ。(ii) M
fのき、次が成り立つ：(i) M
f が全測地的 ﬁber をもつ Riemannian
Ricci 曲率が正ならば、Z は twistor ﬁbration π : Z → M
submersion となるような、Ricci 正の Einstein-Kähler 計量をもつ。
塚田 [23] は、G2 (Cn+1 ) の twistor 空間は CPn の射影余接束 P (T ∗ CPn ) であることと、複素等質空間として U (n + 1)/U (n − 1) × U (1) × U (1) と表示されることを示した。一方で、

G2 (Cn+1 ) は CPn 内の複素射影直線 CP1 の集合 {CP1 ⊂ CPn } と同一視できて、CPn 内の測地線 RP1 ⊂ CP1 ⊂ CPn と G2 (Cn+1 ) の twistor 空間 Z の切断 I (I 2 = −1) が対応することがわかる。さらに、S2 ∼= CP1 内の測地線を一つ与えると、その同心円の族も一つ定まることに注意する。

φ : Σn−1 → G2 (Cn+1 ) を複素 n − 1 次元 Kähler 多様体から Cn+1 の複素 2-平面のなすGrassmann 多様体への全複素 immersion とする。このとき、Σ の各点 p に対して、G2 (Cn+1 )の (四元数 Kähler 構造に関する) 概複素構造 I˜p ∈ Qφ(p) を対応させると、twistor 空間 Z の部分˜多様体 I(Σ)
が得られる (natural lift という)。そして、Σ が G2 (Cn+1 ) の全複素部分多様体であ˜ることから、I(Σ)
は Z の複素接触構造に関して複素 Legendre 部分多様体であることがわかる[2]. E を Z 上の S1 -束で、その各 ﬁber が base point に対応する CPn 内の測地線であるものとする。このとき、次の図式:

I˜∗ E −−−−→ E −−−−→ CPnηψ,yyΣn−1 −−−−→ ZI˜(ψ は「射影」、η は I˜ から誘導される束写像で I˜∗ E は引き戻し束) に関して、写像 Φ := ψ ◦ η :I˜∗ E → CPn は (M = I˜∗ E の正則点において) Aξ = 0 をみたす Hopf を与えて、その平行超曲面の族は、すべて Hopf である [16]。

3注意 3.1 上記の CPn の Hopf 超曲面 (の平行族) の構成は、CPn 内の実超曲面 M 2n−1 に関する

Gauss 写像 [14] γ : M 2n−1 → G2 (Cn+1 ) の逆構成とみなせる。また、その Gauss 写像 γ は、
M 2n−1 の「normal congruence」[3] と「twistor ﬁbration」の合成写像とも考えられる。

4 複素双曲空間の Hopf 超曲面
M 2n−1 を (正則断面曲率が −4 の) 複素双曲空間の Hopf 超曲面とし、µ (定数) をその Hopf
主曲率 (Aξ = µξ) とする。(i) |µ| > 2 のとき: 定理 4.4 と同様に CHn の複素部分多様体と関連付けられることが Montiel [18] によって示されている。(ii) |µ| < 2 のとき: S2n−1 内の 2 つのLegendre 部分多様体の組から、この場合の Hopf 超曲面が構成できることが、微分式系の議論を用いて Ivey [12] によって示された。(iii) |µ| = 2 のときの Hopf 超曲面の構成法はわかっていなかった。
例 4.1

CHn 内の主曲率が一定な Hopf 超曲面は Montiel [18] によって構成され、Berndt [4] によって分類されている:(i) (g = 2, |µ| > 2) 測地的超球面,(ii) (g = 2, |µ| > 2) 全測地的複素双曲超平面上の tube,(iii) (g = 3, |µ| > 2) 全測地的複素双曲部分空間 CHk (1 ≤ k ≤ n − 2) 上の tube,(iv) (g = 2, |µ| = 2) ホロ球面,(v) (g = 2, 3, |µ| < 2) 全測地的 Lagrange 実双曲空間 RHn 上の tube.
注意 4.2 CHn の等質超曲面は Berndt-Tamaru [5] によって分類されていて、CPn の場合とは異なり非 Hopf であるものが存在する。また、CPn および CHn の実超曲面で (誘導計量が)Einstein であるものは存在しないが、CHn のホロ球面は Ricci soliton である [11] (cf. [9]).

5 C1n+1 内の不定値複素 2-平面のなす複素 Grassmann 多様体のtwistor 空間の水平部分多様体と CHn の Hopf 超曲面
複素双曲空間 CHn の一つのモデルとして、指数 1 の不定値複素数空間 Cn+1内の (実 2 次超曲1面として定義される) anti de-Sitter 空間 H12n+1 を単位複素数 S1 の作用で割った空間を考える。

f := G1,1 (Cn+1 ) は、四元数 Kähler 構造の「dual」と考えられるパラ四元数 Kähler 構造をM
1f, g) は neutral 計量をもった擬 Riemann 多様体で、Q は End T M
f の階もつ: すなわち、(Mf の各点 p に対して M
f 内の近傍 U と U 上定数 3 の部分束で、以下の条件をみたす: (i) M義された Q の切断 I1 , I2 , I3 が存在して I1 = −1, Ij2 = −1 (j = 2, 3), I1 I2 = −I2 I1 = −I3 ,I2 I3 = −I3 I2 = I1 , I3 I1 = −I1 I3 = −I2 が成り立つ。(ii) 任意の L ∈ Qp について gp は L で不f 内で平行で変である。(iii) ベクトル束 Q は g から定まる Levi-Civita 接続に関して、End T M4ある。

f) は自然に Lie 代数 su(1, 1) および Minkowski 空間 R3 と同一視できる:
このとき、Qp (p ∈ M1Q̃p = {aI1 + bI2 + cI3 | a, b, c ∈ R} ∼= su(1, 1) ∼= R31 .
さらに、Q̃p の 3 種類の切断 I˜2 = 1, I˜2 = −1, I˜2 = 0 の集合はそれぞれ以下のようにみなせる:(S+ )p := {I˜ ∈ Q̃p | I˜2 = 1} ∼= S12 : (de-Sitter 2-space),(S− )p := {I˜ ∈ Q̃p | I˜2 = −1} ∼= H 2 : (hyperbolic 2-space),(S0 )p := {I˜ ∈ Q̃p | I˜2 = 0} ∼= L2 : (light cone).

(1)
(2)
(3)

このとき、G1,1 (Cn+1) の切断 I˜ の集合で、それぞれ (1), (2), (3) をみたす twistor 空間 を、1それぞれ Z+ , Z− , Z0 (cf. [1]) とすると、G1,1 (Cn+1) への ﬁbration について水平な twistor 空
1間の 2n − 2 次元部分多様体 Σ2n−2 に対して、§3 と同様に Σ 上の S1 -束 (|µ| > 2) (resp. R-束(|µ| < 2), (|µ| = 2)) を CHn の Hopf 超曲面として実現できる (準備中)。
注意 5.1 §3 と同様に、上記の CHn の Hopf 超曲面 (の平行族) の構成は、CPn 内の実超曲面

M 2n−1 に関する Gauss 写像 [10] γ : M 2n−1 → G1,1 (Cn+1) の逆構成とみなせる。
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