Le	  Cloud	  Compu+ng	  	  modèle	  et	  évalua+on	  de	  performances	  Par	  Valérie	  D.	  JUSTAFORT	  Candidate	  au	  Ph.D.	  
École	  Polytechnique	  	  28 Mars 2014

Sous la direction deM. Samuel PIERRE, Ph.D.
École Polytechnique
Et la co-direction deM. Ronald BEAUBRUN, Ph.D.
Université Laval

Plan	  • Concepts	  de	  base	  • Contexte	  • Revue	  de	  liJérature	  • Éléments	  de	  la	  probléma+que	  • Objec+fs	  de	  recherche	  • Modèle	  proposé	  • Évalua+on	  de	  performances	  • Conclusion	  Valérie D. JUSTAFORTCONCEPTS	  DE	  BASE	  Valérie D. JUSTAFORTCloud	  Compu)ng	  -­‐	  DÉFINITION	  Concepts debase
Contexte
Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion• Nouveau paradigme informatique• Utilisation des mémoires et des capacitésd’ordinateurs répartis dans le monde• Stockage et traitement de grands volumes dedonnées
Valérie D. JUSTAFORTCloud	  Compu)ng	  • Déﬁs	  • Avantages	  Concepts debase
Contexte
Revue delittérature§ Sécurité	  § Performance	  § Mapping	  des	  ressources	  § H é b e r g e m e n t	   d e s	  machines	  virtuelles	  § Survivabilité	  § Et	  autres…	  § A m é l i o r a + o n	   d e	   l a	  ges+on	  des	  entreprises	  § Disponibilité	  des	  services	  § Économies	  d’échelle	  § Et	  autres…	  Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion• Limita-ons	  § Sécurité	  § Dépenses	  § Perte	  d’indépendance…	  Valérie D. JUSTAFORT	  Cloud	  Compu)ng	  -­‐	  Planiﬁca+on	  •••Virtualisa-on	  Machine	  virtuelle	  Passé:	  rareté	  des	  ressources	  Présent:	  complexité	  des	  systèmes	  Plusieurs	   ressources	   informa+ques	  sur	  un	  unique	  support	  physique	  • Environnement d’exécution qui
reproduit le comportement d’un système
hôte.
• Respect des contraintes de QoS pourchaque application

Valérie D. JUSTAFORTCloud	  Compu)ng	  -­‐	  Planiﬁca+on	  Datacenter	  InterCloud	  •Réseau de serveurs interconnectés
entre eux.
• Implémentation concrète d’un Cloud• Architecture à trois niveaux :§ Routeurs d’accès (connectés auxserveurs)§ Réseau d’agrégation§ Réseau cœurRegroupement de Clouds distants etinterconnectés entre eux

Valérie D. JUSTAFORTMinimisa+on	  de	  l’empreinte	  carbone	  Valérie D. JUSTAFORTSTATISTIQUES	  Émissions annuelles de CO₂ (2012)
Pays	  	  Émissions	  de	  CO₂	  (milliers	  de	  tonnes)	  Émission	  per	  capita	  (en	  tonnes)	  Monde	  33	  376	  327	  4.9	  Concepts debaseChina	  9	  700	  000	  7.2	  États-­‐Unis	  5	  420	  000	  17.3	  Contexte

Inde	  

1	  970	  000	  1.6	  Russie	  1	  830	  000	  12.8	  Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

Ø Consommation moyenne des datacenters: 1.5% de laconsommation mondialeØ Équivalent à la consommation d’une ville de 50 000 habitants
Ø Parcs de Google§ Consommation moyenne par an: 2 675 898 MWh§ Équivalent à 650 éoliennes terrestres§ Empreinte carbone: 1.7 millions de CO₂Ø Environ 100 milliards de kWh en 2015 (serveurs)Ø Impact énergétique croissant sur le réchauffement climatiqueØ Nécessité de réduire l’empreinte carbone des data centers
Valérie D. JUSTAFORT9	  REVUE	  DE	  LITTÉRATURE	  Valérie D. JUSTAFORT

Revue	  1. Un datacenterA.

PUE fixe
I.

Concepts debase
Contexte
Revue delittérature

Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion§E. Feller, L. Rilling et al. (2011)§

Y. Wu, M. Tang et al. (2012)

B. PUE variable
I.

ProblématiqueObjectifs derecherche

Minimisation du nombre de serveurs et/ou routage
optimalPuissance des équipements et du cooling§§

E. Pakbaznia, M. Pedram (2009)
E. Lee [2012]

2. InterCloud
A. PUE fixe§

F. Moghaddam, M. Cheriet et al. (2011)§F. Moghaddam, M. Cheriet et al. (2012)§F. Larumbe, B. Sanso (2012)
Valérie D. JUSTAFORT11	  ÉLÉMENTS	  DE	  LA	  PROBLÉMATIQUE	  Valérie D. JUSTAFORTØ Importance de l’empreinte carbone§ Impact sur l’atmosphèreclimatiqueConcepts debaseContexte
Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

le réchauffementØ Défis dans l’environnement InterCloud§ Assignation des VMs avec contraintes de QoS§ Empreinte carbone vs Puissance totale
o Différentes
o DCs verts: impact énergétique nul
o DCs non verts: importance de minimiser la puissanceconsommée§ Minimisation de la puissanceo Optimisation conjointe de l’utilisation des équipementsü Hypothèse de température minimale fixéeo Augmentation de l’efficacité du data centerü Minimisation de la puissance du « cooling system »o Solution: Consolidation de serveurs + routage optimal +température maximale de fonctionnement
Valérie D. JUSTAFORT

13	  1- Phénomène de recirculation de lachaleur

Concepts debase
Contexte
Revue delittérature

2- Nature dynamique desserveurs

Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

Valérie D. JUSTAFORT14	  Question de recherche
Concepts debase
Contexte

Comment trouver, dans un environnement de datacenters
géographiquement distribués, une configuration optimale
des VMs et des applications, et de leur schéma deconnectivité permettant de minimiser l’empreinte carbone.

Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

Valérie D. JUSTAFORT15	  OBJECTIFS	  DE	  RECHERCHE	  Valérie D. JUSTAFORTConcepts debaseContexte
Revue delittérature

Concevoir un cadre de planification des machines
virtuelles et des applications dans la perspectived’une minimisation de l’empreinte carbone dans unenvironnement InterCloud.
Plus précisément:• Concevoir un modèle mathématique

Problématique§ Assignation des VMs avec respect des contraintes de QoS

Objectifs derecherche§ Optimisation conjointe: consolidation de serveurs et routage
du trafic

Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion§ Température optimale de fonctionnement• Implémenter le modèle sous un logiciel d’optimisation• Évaluer les performances du modèle proposé

Valérie D. JUSTAFORT17	  Modèle	  proposé	  Valérie D. JUSTAFORTInterCloud	  
D1
P1
P4

Concepts debaseContexte
Revue delittérature

D3

Problématique
P2

Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances

D2D4

P3

Conclusion

Valérie D. JUSTAFORT19	  MODÉLISATION	  Min:C = ∑∑ Gs ∗ eed * ρ d (τ d ) * PdIT

(1)

d ∈D e∈E

Concepts debase
Contexte
Revue delittérature(2)ρ d (τ d ) = [1+ 1 COPd (τ d )]2

COPd (τ d ) = 0.0068(τ d ) + 0.0008 *τ d + 0.458(3)Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

PdIT = ∑ β xd * z xX ∗ PxCH(4)x∈X

PxCH = p xX + nxF ∗ PxF (τ ) + ∑ α sxX * z sS * ( psS + ∑ ask ∗ u sk )

(5)

0 3()
PxF (τ ) = pτFANττ=ητ
refref(6)s∈Sk∈K

3

Valérie D. JUSTAFORT20	  MODÉLISATION	  Vz∑ vs = 1,∀v ∈ Vc

(7)∀k ∈ K , s ∈ S(8)∀s ∈ S , x ∈ X

(9)

s∈S

Concepts debase

Vvs∑ z ∗V ≤ C ,vkskv∈VContexte
Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformancesz xX ≥ zsS * α sxX ,z sS ≥ zvsV ,∀v ∈ V , s ∈ S(10)

τ dsup ≥ τ dMIN , ∀d ∈ D(11)τ dsup ≤ τ dMAX , ∀d ∈ D(12)Conclusion

Valérie D. JUSTAFORT21	  Résultats	  Valérie D. JUSTAFORTIMPLÉMENTATION	  Concepts debaseØ LOGICIEL:	  AMPL	  (solveur:	  CPLEX)	  Ø ENTRÉES:	  § Caractéris+ques	  des	  data	  centers	  § Caractéris+ques	  des	  demandes	  Contexte
Revue delittérature
Problématique
Objectifs derechercheØ SORTIES	  § Empreinte	  carbone	  § Emplacement	  des	  VMs	  et	  des	  applica+ons	  § Températures	  op+males	  (cooling	  et	  châssis)	  Modèle proposé
Évaluation deperformancesConclusion	  Valérie D. JUSTAFORT23	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  IMPLÉMENTATION	  Ø VARIABLES
Concepts debase
Contexte
Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche§ Binaires• Châssis/ serveur actif ou non;
• VM hébergée sur un serveur donné ou non ;§ RÉELLES• Nombre de VMs par serveur• Températures

Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

Valérie D. JUSTAFORT24	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  COST	  STRUCTURE	  Simulation Data
Concepts debase

Characteris-cs	  

Value	  Contexte

Ini+al	  IT	  power	  1000	  kW	  6	  Problématique

Number	  of	  fans	  per	  chassis	  Objectifs derecherche

Ini+al	  fan	  power	  	  5	  W	  Modèle proposé

U+liza+on	  100%	  Coil	  (50%)	  900	  g/kWh	  Évaluation deperformances
Conclusion

Gas	  (50%)	  1090000	  450	  g/kWh	  CARBON	  FOOTPRINT	  (g/h)	  Revue delittératureCARBON	  FOOTPRINT	  990000	  IT	  carbon	  footprint	  890000	  790000	  690000	  Cooling	  carbon	  footprint	  590000	  490000	  390000	  Total	  carbon	  footprint	  290000	  190000	  90000	  12	  17	  22	  27	  32	  37	  TEMPERATURE	  (°C)	  § 1 data center
Valérie D. JUSTAFORT25	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  COST	  COMPARISON	  Data centers’ characteristics

Concepts debase

Charact	  Topology	  #	  chassis	  Server	  types	  #	  	  servers	  Energy	  sources	  #	  of	  fans	  per	  chassis	  Ini-al	  fan	  power	  (w)	  Tref	  (°C)	  DC1	  Tree	  4	  2	  4	  5	  6	  10	  15	  DC2	  Tree	  4	  2	  4	  4	  6	  10	  15	  Contexte
Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

Data centers’ characteristics (cont.)
Charact	  Wind	  Solar	  Coal	  Gas	  Hydro	  DC1	  0.2	  0.2	  0.2	  0.2	  0.2	  DC2	  0.1	  0	  0.5	  0.25	  0.15	  Power consumption characteristics (W)Charact	  Idle	  	  CPU	  MEM	  DISK	  TRAF	  Chassis	  800	  -­‐-­‐-­‐	  -­‐-­‐-­‐	  -­‐-­‐-­‐	  -­‐-­‐-­‐	  S1	  60	  70	  100	  50	  -­‐-­‐-­‐	  S2	  80	  140	  125	  80	  -­‐-­‐-­‐	  Switch	  151	  -­‐-­‐-­‐	  -­‐-­‐-­‐	  -­‐-­‐-­‐	  180	  Valérie D. JUSTAFORT26	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  COST	  COMPARISON	  CARBON	  FOOTPRINT	  Concepts debase

8000	  7000	  Revue delittérature
Problématique
Objectifs derecherche
Modèle proposé
Évaluation deperformances
Conclusion

CARBON	  FOOTPRINT	  (g)	  Contexte

6000	  5000	  6	  VMs	  4000	  12	  VMs	  18	  VMs	  3000	  24	  VMs	  2000	  30	  VMs	  1000	  0	  CNS	  CB_MIN_PW	  CB_MAX_PW	  CB_OPT	  OPTIMIZATION	  MODELS	  
Valérie D. JUSTAFORT27	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  FAN	  POWER	  IMPACT	  CARBON	  FOOTPRINT	  CARBON	  FOOTRPINT	  (g/h)	  12000	  Concepts debase
Contexte
Revue delittérature

11000	  10000	  Fan	  power:	  5W	  9000	  Fan	  power:	  10W	  8000	  Fan	  power:	  15W	  7000	  Fan	  power:	  20W	  6000	  Fan	  power:	  25W	  5000	  12	  17	  Problématique37	  CARBON	  FOOTPRINT	  25	  CARBON	  FOOTPRINT	  (g/h)	  Conclusion

32	  OPTIMAL	  TEMPERATURE	  TEMPERATURE	  (°c)	  Évaluation deperformances

27	  TEMPERATURE	  (°C)	  Objectifs derecherche
Modèle proposé

22	  23	  21	  19	  17	  15	  4	  9	  14	  19	  24	  FAN	  POWER	  (W)	  6900	  6700	  6500	  6300	  6100	  5900	  5700	  5500	  4	  9	  14	  19	  24	  FAN	  POWER	  (W)	  28	  Valérie D. JUSTAFORT	  	  	  	  	  	  	  	  	  FAN	  POWER	  IMPACT	  CARBON	  FOOTPRINT	  SAVINGS	  SAVINGS	  (%)	  40	  Concepts debase30	  CNS	  20	  CB_MIN_PW	  10	  Contexte0	  2	  Revue delittérature6	  8	  10	  12	  14	  16	  CARBON	  FOOTPRINT	  SAVINGS	  18	  Objectifs derecherche

16	  14	  SAVINGS	  (%)	  Modèle proposé

Conclusion

4	  FAN	  POWER	  (W)	  Problématique

Évaluation deperformances

CB_MAX_PW	  12	  10	  8	  CNS	  6	  CB_MIN_PW	  4	  2	  0	  2	  7	  12	  17	  FAN	  POWER	  (W)	  Valérie D. JUSTAFORT22	  29	  Conclusion	  Valérie D. JUSTAFORTØ TRAVAIL	  RÉALISÉ	  §
Concepts debaseContexte
Revue delittérature

Modélisa+on	  mathéma+que	  •Consomma+on	  des	  serveurs/switchs	  •Consomma+on	  du	  cooling	  •Consomma+on	  des	  fans	  Ø RÉSULTATS	  Problématique§

Structure	  du	  coût	  non	  trivial	  Objectifs derecherche§Meilleur	  coût	  par	  rapport	  aux	  approches	  existantes	  Modèle proposé§Impact	  de	  la	  puissance	  des	  fans	  Évaluation deperformances
ConclusionØ TRAVAUX	  FUTURS	  §

Adapter	  une	  heuris+que	  aﬁn	  de	  résoudre	  les	  problèmes	  de	  grandes	  tailles	  Valérie D. JUSTAFORT31	  Merci!	  
?	  

Valérie D. JUSTAFORTREFERENCESØE. Feller, L. Rilling, and C. Morin, “Energy-aware ant colony based workload placement in clouds,” inProceedings of the 12th IEEE/ACM International Conference on Grid Computing, Lyon, France, Sep. 2011.

Ø

E. Pakbaznia and M. Pedram, "Minimizing Data Center Cooling and Server Power Costs,"Proc. ofInternational Symposium on Low Power Electronics and Design, Aug. 2009

ØFereydoun Farrahi Moghaddam, Reza Farrahi Moghaddam, and Mohamed Cheriet. Carbon metering andeffective tax cost modeling for virtual machines. In CLOUD’12, pages 758–763, Honolulu, Hawaii, USA, June
2012.

Ø

Fereydoun Farrahi Moghaddam, Reza Farrahi Moghaddam, and Mohamed Cheriet. Multi-level grouping
genetic algorithm for low carbon virtual private clouds. In CLOSER’12, pages 315–324, Porto, Portugal, April
18–21 2012ØF. Larumbe and B. Sanso, “Cloptimus: A multi-objective Cloud data center and software component location
framework,” in 2012 IEEE 1st Internation Conference on Cloud Networking, CLOUDNET 2012, pages 23-28,November 2012

ØEDGARD, base de données de la European CommissionAgency

ØEPA, “U.S. Environmental Protection Agency DATA CENTER CONSOLIDATION PLAN”, September 2011

Ø

Q. Tang, S. Gupta et al. “Sensor-Based Fast Thermal Evaluation Model For Energy Efficient HighPerformance Datacenters” Proc. Int’l Conf. on Intelligent Sensing and Info. Process., Dec 2006, pp 203-208

ØJ. Bean “Energy impact of increased server inlet temperature” APC White Paper #138, August 2010

Valérie D. JUSTAFORTand Netherlands Environmental Assessment33	  Annexes	  Valérie D. JUSTAFORTLois des fans
Flot d’air​𝑚↑𝐹𝐴𝑁 (𝜏)=​𝑚↑0 𝜏Puissance d’un fan​𝑝↑𝐹𝐴𝑁 (𝜏)=​𝜂↑0 ​𝜏↑3
À densité constante

Valérie D. JUSTAFORT35	  Empreinte carbone

Consommation de puissance𝐶=∑𝑑=1↑‖𝐷‖▒​𝐶↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 ,​𝝉↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 )​𝐶↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 ,​𝝉↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 )=​𝐺↓𝑑↑𝑇𝑂𝑇 ∗​𝜌↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 )∗​𝑃↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )GPUEPUE​𝐺↓𝑑↑𝑇𝑂𝑇 =∑𝑠=1↑‖𝑆‖▒​𝐺↓𝑠 ∗​𝑒↓𝑠_𝑑​𝜌↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 )=1+​1/0.0068​(​𝜏↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 )↑2 +0.0008​
𝜏↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 +0.458

Puissance des équipements​𝑃↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )=​𝑃↓𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )+​𝑃↓𝑑↑𝑆𝑊𝐼𝑇𝐶𝐻

Valérie D. JUSTAFORT36	  Puissance des châssis (incluant serveurs et fans)​𝑃↓𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )=∑𝑦=1↑‖​𝑌↓𝑑 ‖▒∑𝑥=1↑‖​
𝑋↓𝑦_𝑑 ‖▒​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )=​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆+​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝐹𝐴𝑁 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )Puissance d’un châssis (incluant serveurs)​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆 =​𝑤↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑋 ∗{​𝑝↓𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑋↓𝑠𝑡𝑎𝑡 +∑𝑚=1↑‖​𝑀↓𝑥_𝑦_𝑑 ‖▒​𝑤↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑𝑀 ∗[​𝑝↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑀↓𝑠𝑡𝑎𝑡 +(​𝑎↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑀↓𝐶𝑃𝑈 ∗​𝑈↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑀↓𝐶𝑃𝑈 )+(​𝑎↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑀↓𝑀𝐸𝑀 ∗​𝑈↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑀↓𝑀𝐸𝑀 )+(​𝑎↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑀↓𝐷𝐼𝑆𝐾 ∗​𝑈↓𝑚_𝑥_𝑦_𝑑↑​𝑀↓𝐷𝐼𝑆𝐾 )] }Valérie D. JUSTAFORT37	  Puissance des fans d’un châssis

​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝐹𝐴𝑁 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )=​𝑤↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑋 ∗​𝑛↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐹𝐴𝑁 ∗​𝑝↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐹𝐴𝑁 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )​𝑝↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐹𝐴𝑁 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )=​𝜂↓𝑥_𝑦_𝑑↑0 ​(​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )↑3
Puissance d’un commutateur​𝑃↓𝑑↑𝑆𝑊𝐼𝑇𝐶𝐻 =∑𝑡=1↑‖​𝑇↓𝑑 ‖▒[​𝜃↓𝑡_𝑑 ∗​𝑝↓𝑡_𝑑↑𝑇_𝑠𝑡𝑎𝑡+(​𝑎↓𝑡_𝑑↑𝑇_𝑇𝑅𝐴𝐹 ∗​𝑈↓𝑡_𝑑↑𝑇_𝑇𝑅𝐴𝐹 )]Valérie D. JUSTAFORT38	  Équations de chaleur​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )=​𝑄↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑜𝑢𝑡 −​𝑄↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛​𝑃↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )=​𝑚↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝐹𝐴𝑁 (​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )∗(​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑜𝑢𝑡 −​𝜏↓𝑥_𝑦_𝑑↑𝑖𝑛 )Dans le domaine matriciel​𝑷↓𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )=​𝑴↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )∗(​𝝉↓𝑑↑𝑜𝑢𝑡 −​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )​𝝉↓𝑑↑𝑜𝑢𝑡​𝝉↓𝑑↑𝑜𝑢𝑡 =​𝝉↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 +​(​𝑴↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )−​𝝁↓𝑑 ′​𝑴↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 ))↑−1 𝑷​ ↓𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )Expression de ​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛(​𝑴↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )−​𝝁↓𝑑 ′​𝑴↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 ))​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 =(​𝑴↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )−​𝝁↓𝑑 ′​𝑴↓𝑑 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 ))​𝝉↓𝑑↑𝑠𝑢𝑝 +​𝝁↓𝑑 ′​𝑷↓𝑑↑𝐶𝐻Â𝑆𝑆𝐼𝑆_𝑇𝑂𝑇 (​𝝉↓𝑑↑𝑖𝑛 )Valérie D. JUSTAFORT39