コンクリート工学年次論文集，Vol.27，No.2，2005

⺰ᢥ‫ޓ‬⠴ജૐਅࠍ⠨ᘦߒߚ㋕╭ࠦࡦࠢ࡝࡯࠻ᑪ‛ߩୟუ₸丸橋*1*2

奈々子 ・高橋憲之 ・市之瀬

*3

敏勝 ・梅村恒*4ⷐᣦ㧦耐力低下する 1 質点モデルを用い，地震入力エネルギーと建物の消費エネルギーの関係から倒壊率を検討した。修正武田モデル，原点指向モデルの降伏後剛性低下率，除荷時剛性低下指数，建物周期をパラメータとし，地震動の位相特性をばらつかせ地震応答解析を行った。履歴吸収エネルギーではなく、最大応答までの荷重変形包絡線の面積で定義されるエネルギーを用いることによって建物の倒壊確率が予測できることがわかった。
ࠠ࡯ࡢ࡯࠼㧦耐力低下，1 質点モデル，エネルギー，模擬地震動，倒壊率，累積分布関数

1. ߪߓ߼ߦ

費エネルギーの関係から倒壊率を検討した。解コンクリートの圧縮破壊や P-∆ 効果などの影

析時には，降伏後の剛性低下率，除荷時剛性低響により降伏後負剛性となる復元力を持つ建物

下指数，建物周期をパラメータとし，応答のばがある。このような建物は 地震動などの大きならつきとしては地震動の位相特性を想定した。

水平力を受けると，耐力が減少し倒壊に至ることがある。 しかし，地震動のスペクトル特性，位2. ⸃ᨆ᧦ઙ相特性に応答が大きく左右され，ある地震強さ

2.1 ⸃ᨆࡕ࠺࡞

を境に倒壊するか否かが画然とわかれるわけで解析モデルは 1 質点モデルを用いた。鉄筋コはなく，現状では十分な予測がなされていない。

ンクリート造建物を想定し，復元力特性は修正P-∆ 効果によるバイリニアモデルの剛性低下

武田モデルと原点指向型の 2 種類とした。各復を対象とした研究としては，代表的なものに元力特性を࿑ - 1(a)，(b) に示す。いずれのモデ

1)

Bernal の提案した P-∆ 効果による等価ばねのルも層せん断力係数 0.2 とし，降伏点割線剛性剛性と構造物の弾性剛性の比である安定係数をは初期剛性の 0.3 倍とし，減衰定数は 0.05 で剛用いた研究がある。しかし，これらの研究は P-性比例型とした。ひび割れ強度 Q c は降伏強度∆ 効果を対象としているため，降伏後剛性が急

Qy の 1/3 である。また，その他のモデルパラメー激に低下する建物は適用範囲外である。また，

タを⴫ - 1 に示す。

2)

たが，応答のばらつきが非常に大きいため，不十分である。これに対し，桑村ら 3) により地震Qc

動の強さと倒壊の関係の確率的検討が試みられ

γ·K0

Qyているが，簡潔な評価に至っていない。

せん断力

壊を避けるために必要な強度の予測式を提案しせん断力

Miranda は，剛性低下を考慮した RC 建物の倒

Qy+Qc ⎛ δmax ⎞⎟⎜δy + δc ⎜⎝ δy ⎟⎠0.3·K0
K0
δc
δy変形

QcK0
δy変形

(a) ୃᱜᱞ↰ࡕ࠺࡞(b) ේὐᜰะࡕ࠺࡞࿑ - 1‫⸃ޓ‬ᨆࡕ࠺࡞ߩᓳరജ․ᕈ

そこで，本論では降伏後負剛性となる 1 質点モデルを用い，地震入力エネルギーと建物の消*1

名古屋工業大学大学院

工学研究科社会工学*2

名古屋工業大学*3

名古屋工業大学大学院工学研究科教授

工博 ( 正会員 )*4名古屋工業大学大学院

工学研究科講師

博士（工学） ( 正会員 )工学部社会開発工学科

γ·K0Qy大学院生

大学生-1033-( 正会員 )

( 会員外 )

1000

⴫ - 1‫⸃ޓ‬ᨆࡕ࠺࡞ߩฦࡄ࡜ࡔ࡯࠲
固有周期 降伏後剛性 除荷時剛性モデル
T (sec)低下率γ 低下指数α0.01, -0.01,0.4, 0.8
修正武田0.25, 0.5 -0.03, -0.05,-0.07, -0.1 ( 原点指向 )
原点指向

800
600
400
200
002.2 ౉ജ࿾㔡േ

0.5

11.5T (s)22.53

࿑ - 2‫ޓ‬ᮨᡆ࿾㔡േߩടㅦᐲᔕ╵ࠬࡍࠢ࠻࡞

入力地震動は告示の工学的基盤スペクトルを400目標として発生させた模擬地震動を用いた。加速度応答スペクトルが目標スペクトルに 10％以300内で一致し，位相特性のみ異なるよう wavelet

200ᐔဋᮨᡆ࿾㔡േ4)

変換を用いて模擬地震動を作成した 。位相特100性のみが異なるよう，他の模擬地震動の作成方

00法（例えばフーリエ逆変換）を用いて発生させ

0.5

11.5T (s)22.53

࿑ - 3‫ޓ‬ᒢᕈࠛࡀ࡞ࠡ࡯ࠬࡍࠢ࠻࡞

た模擬地震動を用いた場合にも，倒壊率に大きQy

模擬地震動の 5% 減衰の加速度応答スペクトルを࿑ - 2 に示す。図中の実線は目標となるスペ

δ max
ELKr

クトル，灰色の破線は各模擬地震波のスペクトδyルである。

変形

δ max
ELKr
δy

変形(a) ୃᱜᱞ↰ࡕ࠺࡞(b) ේὐᜰะࡕ࠺࡞
࿑ - 4‫ޓ‬EL ߩቯ⟵

3. ฦ⒳ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߩቯ⟵地震時には構造物にエネルギーが時々刻々と入力している。振動方程式の両辺に y dt を乗じ継続時間 t で積分すると次式に示すエネルギー入力の釣り合い式が求まる。
tQy
せん断力60s または 30s とし，各々 100 波とした。また，

せん断力な影響を与えない。模擬地震動の継続時間 t はtt

1 2
 = ∫ (− my0 ) ydt
my + ∫ cy 2 dt + ∫ Q( y ) ydt(1)
2000
式 (1) の右辺を総エネルギー入力 E とした時，ギー E D とした。また，࿑ - 4 に示すように，最大応答δ max に対応するエネルギー E L を図の網掛け部分の面積で定義する。K r は各モデルのδ max に対応する除荷時剛性である。本研究では，
ED，EL を式 (2) と同様に速度換算値 VD，VL と変換し，損傷評価に用いた。 水平耐力が完全にゼロになると解が不安定になるので、本解析では水平耐力が Qy の 1/100 になった時を倒壊と定義した。

E の速度換算値 VE を次式に従って変換した。

2E(2)m
模擬地震動の減衰 5%，t = 60 s の弾性 VE スペ
VE =この時 E L は最大値となる。E L の最大値はモデルの復元力特性によって決まり，モデルの限界性能を表す。

クトルを࿑ - 3 に示す。灰色の破線は各模擬地
震動の VE スペクトルで，実線は平均である。本4. ฦࡕ࠺࡞ߩᔕ╵ጁᱧ

研究ではこの実線を用い，モデルの降伏点等価

⴫ - 1 に示したモデルに模擬地震動 1 波を入周期 (T = 0.25s で 0.46s，T = 0.5s で 0.91s) に対応力したときの応答履歴を࿑ -5 に示す。(a)，(b)する VE を入力弾性エネルギーの速度換算値と定は修正武田モデルに 50kine で，(c) は原点指向義し，地震動強さの指標とした。

モデルに 25kine で模擬地震動の最大速度を基準

左辺第 3 項を地震時に損傷に寄与するエネル化して入力した結果である。また，倒壊したモ-1034-

250200200150150200

10050

5000-50-50-100150

41.14s100500-50-100-150

γ = 0.01-200

γ = - 0.05-150-250
02468 10 12

Displacement (cm)-150-50510152025200
150

150
505000-50-50-100-250-15 -10 -5050-100

γ = - 0.05
-50510152025-5(b)‫ޓ‬Takeda ( α = 0.8 ) , 50kine
200

200

150

150

100

100505050000-50-50-50-100-100

100-100-250-30

γ = 0.01-20-1001020

γ = - 0.05-15030

Displacement (cm)-200-15-10-5051005152041.44s
γ = - 0.1-1501510Displacement (cm)200-200

γ = - 0.1-15030

250-15010.22s

100

Displacement (cm)15020-50-200

Displacement (cm)1550-150

10 15 20 25

1015041.17s-100

γ = 0.01

5200

1001000

Displacement (cm)(a)‫ޓ‬Takeda ( α = 0.4 ) , 50kine

200-200-530

Displacement (cm)250-150γ = - 0.1

-100-200-8 -6 -4 -2

10.23s100-200-15 -10

Displacement (cm)

-505101520

Displacement (cm)(c)‫ޓ‬Origin Oriented , 25kine࿑ - 5‫ޓޓ‬ᔕ╵ጁᱧ‫ (ޓ‬t = 60s )デルは倒壊点での時間を示した。

除荷時に残留変形が生じないため変形の偏りは

࿑ - 5(a)，(b) よ り， 修 正 武 田 モ デ ル は γ がほとんどみられない。

-0.05，-0.1 と大きくなると，変形が片側に偏り，同じ地震動の大きさで倒壊に至っている。特に，5. ៊்ߦነਈߔࠆࠛࡀ࡞ࠡ࡯ VD ߩಽᏓ-0.1 では正負に変形をわずかに繰り返すのみで地震動の強さとエネルギーの関係を検討し倒壊に至っており，あまりエネルギーを消費した。模擬地震動の入力倍率を変化させ⴫ - 1 にていないことがわかる。(a)，(b) を比較すると，示したモデルを用いて解析を行った結果とし

γ > 0 では α = 0.8 の方が変形が大きいが，γ < 0て，地震動強さの指標である VE と損傷に寄与すとなると倒壊する時の時間が同じであることかるエネルギーの速度換算値 V D の関係を࿑ - 6 にら，変形はほぼ変わらず，α の違いにあまり依示す。降伏後剛性低下率 γ は -0.05 で，T = 0.5s，存しないようである。࿑ - 5(c) の原点指向モデ

t = 60s のモデルである。(a)，(b) は修正武田モデ

ルでは，γ が -0.05 になると 0.01 と比べて変形

ルでそれぞれ α = 0.4，0.8，(c) は原点指向モデは小さくなっている。この現象は他のモデルにルである。図中の黒い○は倒壊していない結果，も希にみられ，地震動の位相特性の影響により，灰色の□は倒壊した結果，実線は平均，σ は標負勾配が大きくなることで必ずしも変形が増加準偏差である。

するとはいえない。また，原点指向モデルでは-1035-

修正武田モデルでは，倒壊すると VE の増加に

250

90250

survival
failure200meanmean + σ150 mean - σ80200706015010010050500050
4030201050

100 150 200 250 300 350

05050

100 150 200 250 300 350

VE (cm/sec)

VE (cm/sec)

90

80807070

60

100

150

200

250

VE (cm/sec)(a) Takeda ( α = 0.4 )(b) Takeda ( α = 0.8 )(c) Origin Oriented࿑ - 6‫ޓޓޓ‬VE - VD ߩ㑐ଥ‫ (ޓ‬T = 0.5s, γ = -0.05, t = 60s )

60

50

50

404030302020

10100050

50

100 150 200 250 300 350

VE (cm/sec)

100 150 200 250 300 350

VE (cm/sec)(a) Takeda ( α = 0.4 )(b) Takeda ( α = 0.8 )࿑ - 7‫ޓޓޓ‬VE - VL ߩ㑐ଥ‫ (ޓ‬T = 0.5s, γ = -0.05, t = 60s )伴い V D は減少する。(a)，(b) を比較すると，αが倒壊し始める付近では，倒壊したものとしての値の増加により V D の値は小さくなるが，分いないものが混在している。このため VE の値だ布のばらつき方はほぼ同じであった。また，V Dけでは，建物が倒壊するか否かを判断することは α，t の値に関わらず，倒壊していないプロッはできない。

トはばらつきが小さいが，倒壊したプロットはばらつきが大きいことがわかった。原点指向モ

6. 㒠ફᓟ೰ᕈૐਅ₸ߩ㆑޿ߦࠃࠆᲧセデルでは，修正武田モデルと比べエネルギー吸降伏後剛性低下率γをパラメータとした時の収能力が低いため，地震動の位相特性の影響をVE と変形の平均値の関係を࿑ - 8 に示す。(a) は受けやすく，倒壊以前の V D はばらつきが大き修正武田モデル，(b) は原点指向モデルで，T =いが，倒壊すると VD の値は一定値になる。

0.5s，t = 60s のモデルである。図の破線の直線

次に，地震動強さの指標である V E と最大応答に対応するエネルギーの速度換算値 VL の関係

は降伏変形 (4.14cm)，○は各モデルの倒壊時の変形である。

を࿑ - 7 に示す。いずれの図においても，倒壊両モデルとも，V E の増加に対し降伏変形を過したプロットは VL の値が一定値になる。この一ぎるまでは，γの値に関わらず一定の経路をた定値はモデルの限界性能であり，値はモデルにどる。降伏以後は負剛性となる建物は倒壊するよって定まるものである。このため，建物を評と急激に変形が増加するため，建物が倒壊し始価する指標としては VL の方が適当である。また，める付近の VE の時に変形の平均値も急激に増加

原点指向モデルでは V E - V L 分布と V E - V D 分布する。γが小さくなるにつれ，降伏点以後の傾は同じになった。これは原点指向モデルが࿑ -きが大きくなり，変形が増加する。原点指向モ5(c) のような履歴を示すため，V D は V L と等し

デルの場合，降伏変形となる VE を超えるとすぐくなるからである。に倒壊するモデルがあるため，降伏変形付近か全体の傾向として，V E の増加に対してモデルら変形の平均値が増加する。

-1036-

VE と VL の平均値の関係を࿑ - 9 に示す。修正きが大きくなる。原点指向モデルの場合は，γ <403020㒠ફᄌᒻ
100 となると降伏点 V L 以前から V L の平均値は γ =3020㒠ફᄌᒻ050

100 150 200 250 300 350
VE (cm/sec)

50100150200
VE (cm/sec)

250(a) Takeda ( α = 0.4 )(b) Origin Oriented࿑ - 8 VE - ᄌᒻಽᏓߩᐔဋ୯‫ (ޓ‬T = 0.5s, t = 60s )γの減少に伴い大きくなる。いずれのモデルにおいても VL は倒壊するとモデルの限界性能であ120る一定値となる。

1400.01-0.01-0.03-0.05-0.07-0.1VL (cm/sec)

100

降伏後剛性低下率 γ が負となる建物は，ある401000.01 の値より大きくなる。また，以後の傾きは7. ୟუᤨߩ࿾㔡ߩᒝߐߣୟუ₸Displacement (cm)る。降伏点 V L を超えると，γの減少に伴い傾500.01-0.01-0.03-0.05-0.07-0.18060㒠ફὐ VL

40

一定の V E の値で倒壊するか否かがはっきりと20わかれるわけではない。そこで本論文では，あ0120
100VL (cm/sec)までは変形と同様にγの値に関わらず一定であDisplacement (cm)

武田モデルの場合，V E の増加に対し降伏点 V L508060㒠ફὐ VL

4020050

る建物に位相特性の異なる模擬地震動を入力し100 150 200 250 300 350
VE (cm/sec)

50

100150200
VE (cm/sec)

250

150200VE (cm/sec)

250(a) Takeda ( α = 0.4 )(b) Origin Oriented
た場合に倒壊が生じる確率を「倒壊率」とした。 ࿑ - 9 VE - VL ಽᏓߩᐔဋ୯‫ (ޓ‬T = 0.5s, t = 60s )地震動強さを表す V E に対する倒壊率の関係

11-0.03-0.05-0.07-0.1を࿑ - 10 に示す。(a) は修正武田モデル，(b) は0.8

原点指向モデルで，T = 0.5s，t = 60s のモデルで0.60.6ある。γ = -0.01 のモデルについては倒壊する時0.40.4の変形が過大となるため結果を示していない。

0.20.2各モデルとも γ の値に関わらず倒壊率の増加の傾きはほぼ同じとなっている。また，࿑ - 9において，γ が 0.01 のモデルの V L と負剛性の各モデルの V L が交わる付近での V E の時，࿑ - 1000.8050

100 150 200 250 300 350
VE (cm/sec)

50100(a) Takeda ( α = 0.4 )(b) Origin Oriented࿑ - 10 VE - ୟუ₸ߩ㑐ଥ‫ (ޓ‬T = 0.5s, t = 60s )では倒壊率が 1 となっている。そこで，࿑ - 4プロットをプロビット・モデルに回帰させ，各々に示す EL の最大値（倒壊点の EL）を速度換算しの関数を図に示した。

た値を VL0 とすると，࿑ - 9 の矢印で示すように，いずれのプロットもプロビットモデルによく

γ = 0.01 の建物の VL が，γ < 0 の建物の限界性能一致しており，V E /V E0 に対して倒壊率は降伏後である V L 0 となる時の V E を倒壊基準値 V E0 とす剛性低下率の値に関わらず同じ値が得られる。

る。

(a)，(b) ともに関数の傾斜は修正武田モデルよ

各モデル，γ より算出される V E0 で V E を基準りも原点指向モデルの方が緩やかである。これ化した値 VE/VE0 と倒壊率の関係を࿑ - 11 に示す。

は原点指向型は修正武田モデルよりも V D のば

(a) は T = 0.5s，(b) は T = 0.25s で あ る。γ の 値らつきが大きいためである。また，修正武田モを区別せずにプロットした。いずれのモデルもデルでは，関数は α の違いよりも t の違いによV E /V E0 の増加に対し，倒壊率が緩やかに増加しる差のほうが大きい。ている。ここで，倒壊率の分布は正規分布の累V E /V E0 = 1，倒壊率 5% となる値をそれぞれ積分布関数に類似しており，得られるデータが赤，青の破線で࿑ - 11 に示す。どちらのモデル

倒壊するか否かの二値データであることから，も 95% の時 VE/VE0 は 1 を下回っているので，地-1037-

1物は倒壊するといえる。同様に V E が修正武田

0.8

Collapse Rate

震動強さが V E0 である時，95% 以上の確率で建モデルでは VE0 の 77%，原点指向モデルでは VE0の 67% を超えると，倒壊する確率が 5% となる。
次に，࿑ - 11 の各累積分布関数の元となる正規分布を࿑ - 12 に示す。この図は VE/VE0 に対す

α = 0.4, t = 60
α = 0.4, t = 30
α = 0.4, t = 60
α = 0.4, t = 30Origin, t = 60
Origin, t = 300.6Probit Modelα = 0.4, t = 60
α = 0.4, t = 30
α = 0.4, t = 60
α = 0.4, t = 30Origin, t = 60Origin, t = 300.4
0.2
00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

11.1

1.2

1

1.1

1.2

VE / VE0

る倒壊開始点の分布を表す図となる。いいかえ(a)‫ޓޓ‬T = 0.5s1V E の許容値は正規分布に従うと仮定したことに0.8

Collapse Rate

れば，建物に入力する VE の許容値を表しており，なる。分布の広がり方は修正武田モデル，原点指向モデルで大きく異なっており，T，t，α による違いは小さい。

0.60.40.2
00.58.‫߼ߣ߹ޓ‬0.60.70.80.9

VE / VE0(b)‫ޓޓ‬T = 0.25s
࿑ - 11‫ޓޓ‬ୟუ₸

モデルの降伏後剛性低下率，除荷時剛性低下
指数，固有周期周期をパラメータとし，地震動の位相特性をばらつかせ地震応答解析を行った

88OriginOriented6Takeda6

結果，以下のことがわかった。
44るエネルギーは，倒壊が生じるまではばらつ

22

きが小さいが，倒壊時はばらつきが大きい。

0(1) 修正武田モデルの場合，建物の損傷に寄与す

原点指向型の場合は，倒壊が生じるまではば

00.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.1 1.2

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

VE / VE0

らつきが大きいが，倒壊時は一定値となる。

α = 0.4, t = 60
α = 0.4, t = 30(2) 耐力低下しない建物のエネルギーが耐力低下

1 1.1 1.2

VE / VE0

α = 0.4, t = 60
α = 0.4, t = 30

Origin, t = 30Origin, t = 30

する建物の限界性能のエネルギーと等しくな(a)‫ޓޓ‬T = 0.5s(b)‫ޓޓ‬T = 0.25s
࿑ - 12‫ޓޓ‬ୟუߩ⏕₸ኒᐲಽᏓる時の地震動の強さを基準とした場合，地震ෳ⠨ᢥ₂動の弾性入力エネルギーと倒壊率の関係は，

1) Dionisio Bernal : Ampliﬁcation Factors for

降伏後剛性低下率，除荷時剛性低下指数，地Inelastic Dynamic P- ∆ Effects in Earthquake

震動の継続時間に依存せず一様で，修正武田Analysis, Earthquake Engineering And Structural

モデルと原点指向モデルによって異なる。

Dynamics, Vol.15, pp.635-651, 1987

(3)(2) で基準とした強さで地震動を耐力低下す

2) Eduardo Miranda, M.ASCE, and Sinan D. Akkar :る建物に入力した時，95% 以上の確率で建物

Dynamic Instability of Simple Structural Systems,は倒壊する。

Journal of Structural Engineering ASCE, Dec.2003(4) 耐力低下する建物に地震動を修正武田モデル

3) 桑村仁，竹田拓也，佐藤義也：地震動の破壊

は (2) で基準とした強さの 77%，原点指向モ

力指標としてのエネルギー入力率，日本建築

デルは 67% の強さで入力した時，5% の確率学会構造系論文集，No.491，pp.29-36，1997.6で倒壊する。

4) 梅村恒，市之瀬敏勝：鉄筋コンクリート建物

以上の結論は，入力地震動が࿑ - 2 に示すの耐震診断について（その 2）スペクトル振幅ような滑らかな加速度応答スペクトルの時に及び包絡形状の等しい模擬地震動，東海支部研のみ適用できる。

究報告集，pp. 161-164，2001.2-1038-