助成番号 140825	 

５－２	 

研	 究	 成	 果	 報	 告	 書	 	 
（国立情報学研究所の民間助成研究成果概要データベース・登録原稿）	 	 
研究テーマ	 
（和文） ＡＢ	 

臨界 Hardy の不等式の伸縮不変性とスペクトル理論への応用	 

Scale	 invariance	 of	 a	 critical	 Hardy	 inequality	 and	 its	 applications	 for	 spectral	 theory	 	 名）ノリスケ	 
研究期間	 Ｂ	 2014 年 11 月～2016 年 10 月	 
ｶﾀｶﾅ	 ＣＣ	  姓）イオク	 

研究テーマ	 
（欧文） ＡＺ	 

研	 
究氏	 
代	 
漢字	 ＣＢ	  猪奥	 
表名	 ﾛｰﾏ字	 ＣＺ	  Ioku	 
者	 

倫左	 

報告年度	 ＹR	 2016 年	 

Norisuke	 

研究機関名	 

愛媛大学	 

研究代表者	 ＣＤ	 
愛媛大学大学院理工学研究科・准教授	 
所属機関・職名	 
概要	  ＥＡ	  (600 字～800 字程度にまとめてください。)	 	 
対数型補正項を伴う臨界 Hardy の不等式について，高階化に伴う対数型特異性の相殺効果，一般化伸縮不変性，関連するスペクトル解析への応用について研究を行い，以下の研究成果を得た．	 	 
１．高階微分が持つ対数型特異性の相殺効果	 
対数型特異性は偏微分方程式や関数不等式の伸縮不変構造を壊すことが知られている．本研究テーマである伸縮不変構造について理解を深めるため，高階微分が持つ対数型特異性の相殺効果について研究を行った．本研
究により，二階以上の高階微分は，一階微分が持ち得ない相殺効果を持つことを明らかにし，さらに可積分指数，微分階数，重み関数の指数について，対数型特異性を打ち消すための最適な条件を与えた．	 	 	 ２．一般化伸縮不変性	 
対数型特異性や対数型伸縮不変性は，臨界 Hardy の不等式，Trudinger-Moser 不等式，非線形偏微分方程式（特に指数型非線形項を持つ問題）などにおいて自然に現れる．とりわけ非線形偏微分方程式論において，非線形項がベキ関数の場合と指数関数の場合には明示的な伸縮不変性が知られている．本研究ではより一般の非線形項を考察することでベキ乗非線形項と指数型非線形項の関連性を考察し，両者をつなぐ一般化 Cole-Hopf 変換を導出することで，方程式を完全に保存する変換は上記の二通りしかありえないことを示した．また，得られた変換を非線形熱方程式に応用し，局所可解性についての分類を与える初期値の可積分条件を明示的に決定した．この熱方程式に対する結果は，Weissler によるベキ乗型非線形項に対する分類定理を，非線形項の増大度に仮定を置かない形で一般化したものである．	 

キーワード	 ＦＡ	 
スケール不変性	 	 （以下は記入しないでください。）	 

臨界指数	 

助成財団ｺｰﾄﾞ	 ＴＡ	 	 	 	 	 研究機関番号	 ＡＣ	 	 	 	 	 	 Hardy の不等式	 

研究課題番号	 ＡＡ	 	 

シート番号	 	 -	 1	 -	 	 

スペクトル解析	 	 	 	 	 	 	 	 	  発表文献（この研究を発表した雑誌・図書について記入してください。）	 
論文標題ＧＢ	  	 雑	 誌	 

著者名	 ＧＡ	 	 

雑誌名	 ＧＣ	 	 

ページ	 ＧＦ	 	 発行年	 ＧＥ	 	 

雑誌名	 ＧＣ	 	 

発行年	 ＧＥ	 	 

雑誌名	 ＧＣ	 	 ～	 

発行年	 ＧＥ	 	 	 	 	 	 

巻号	 ＧＤ	 	 	 	 	 

巻号	 ＧＤ	 	 	 	 	 	 

巻号	 ＧＤ	 	 発行年	 ＨＤ	 	 	 	 	 総ﾍﾟｰｼﾞ	 ＨＥ	  	 発行年	 ＨＤ	 	 	 	 	 総ﾍﾟｰｼﾞ	 ＨＥ	  	 論文標題ＧＢ	  	 雑	 誌	 

著者名	 ＧＡ	 	 

ページ	 ＧＦ	 

～	 

論文標題ＧＢ	  	 雑	 誌	 

著者名	 ＧＡ	 	 

ページ	 ＧＦ	 
著者名	 ＨＡ	 	 

書名	 ＨＣ	 	 図	 書	 

出版者	 ＨＢ	 
著者名	 ＨＡ	 	 

書名	 ＨＣ	 	 図	 書	 

出版者	 ＨＢ	 	 

欧文概要 ＥＺ	 	 We	 study	 the	 critical	 Hardy	 inequality	 with	 logarithmic	 singular	 term	 and	 obtain	 some	 results	 for	 	 canceling	 effects	 in	 	 higher-order	 	 Hardy-Sobolev	 inequalities,	 a	 generalization	 of	 scale	 invariance,	 as	 follows:	 	 	 1. Canceling	 	 effects	 of	 a	 logarithmic	 singularity	 in	 	 higher-order	 	 Hardy-Sobolev	 inequalities	 
It	 is	 known	 that	 a	 logarithmic	 singular	 term	 breaks	 scale	 invariant	 structure	 of	 PDEs	 and	 functional	 	 	 inequalities.	 In	 order	 to	 study	 a	 scale	 invariant	 structure,	 we	 first	 focus	 on	 a	 canceling	 effect	 of	 a	 logarithmic	 singularity	 and	 obtain	 that	 higher	 order	 derivatives	 have	 some	 special	 cancelation	 which	 
never	 appear	 in	 a	 study	 of	 the	 first	 order	 derivative.	 Furthermore,	 we	 clarify	 the	 optimal	 condition	 on	 the	 exponents	 of	 integrability,	 differentiability,	 and	 weights	 to	 cancel	 the	 logarithmic	 singularity.	 	 	 2. Generalized	 scale	 invariance	 
Logarithmic	 singularity	 and	 logarithmic	 scale	 invariance	 naturally	 arises	 from	 the	 critical	 Hardy	 inequality,	 
the	 Trudinger-Moser	 inequality,	 and	 nonlinear	 PDEs.	 In	 particular,	 it	 is	 well	 known	 that	 a	 power	 type	 and	 exponential	 type	 nonlinearity	 have	 its	 natural	 scale	 invariance.	 We	 study	 a	 relation	 between	 these	 two	 scale	 invariances	 by	 introducing	 a	 generalized	 Cole-Hopf	 transformation,	 and	 obtain	 that	 only	 the	 power	 type	 and	 the	 exponential	 nonlinear	 term	 have	 the	 exact	 scale	 invariances.	 Moreover,	 applying	 this	 transformation,	 
we	  obtain	  a	  classification	  theory	  of	  existence	  and	  non-existence	  for	  the	  heat	  equation	  with	  general	 nonlinearities.	 	 	 -	 2	 -