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第３２回 お試しアカウント付き
並列プログラミング講習会「MPI基礎：並列プログラミング初級入門」
東京大学情報基盤センター

3

お試しアカウント付き講習会

講習会概略

開催日：
2013年8月5日（月） 10：30 - 17：00
2013年8月6日（火） 10：00 - 17：00



場所：東京大学情報基盤センター 4階 413遠隔講義室



講習会プログラム：

8月5日（月） 10：00 - 10：30 受付 10：30 - 12：30 ノートパソコンの設定、テストプログラムの実行など（演習）（講師：片桐） 14：00 - 15：45 並列プログラミングの基本（座学）（講師：片桐） 16：00 - 17：00 MPIプログラム実習Ⅰ（演習）（講師：片桐）

8月6日（火） 10：00 - 12：30 プログラミングの基礎（分割コンパイル）（演習）（講師：大島） 14：00 - 15：30 MPIプログラミング実習Ⅱ（演習）（講師：片桐） 15：45 - 17：00 MPIプログラミング実習Ⅲ（演習）（講師：片桐）
4

お試しアカウント付き講習会

有償トライアルユース制度の開始について

2012年4月より、安価に当センターのFX10スーパーコンピュータシステムが使える「無償トライアルユース、および、有償トライアルユース」制度が開始予定です。
 アカデミック利用パーソナルコース、グループコースの双方（１ヶ月～３ヶ月）

企業利用
パーソナルコース（１ヶ月～３ヶ月）（最大２４ノード、最大９６ノード）
本講習会の受講が必須、審査無 グループコース
 無償トライアルユース：（１ヶ月～３ヶ月）：無料（１２ノード、１口）
 有償トライアルユース：（１ヶ月～最大通算９ヶ月）、有償（１２ノード、１口）
 スーパーコンピュータ利用資格者審査委員会の審査が必要（年４回実施）
 双方のコースともに、簡易な利用報告書の提出が必要


料金体系や利用条件の詳細は、以下のHPをご覧ください

http://www.cc.u-tokyo.ac.jp/service/trial/fx10.html
5

お試しアカウント付き講習会

テストプログラム起動

31

お試しアカウント付き講習会

ＵＮＩＸ備忘録
 Emacsの起動：

emacs <編集ファイル名> ^x^s （＾はcontrol） ：テキストの保存 ^x ^c ： 終了
（ ^z で終了すると、スパコンの負荷が上がる。絶対にしないこと。）
 ^g: 訳がわからなくなったとき。
 ^k : カーソルより行末まで消す。
消した行は、一時的に記憶される。
 ^y : ^kで消した行を、現在のカーソルの場所にコピーする。
 ^s 文字列 : 文字列の箇所まで移動する。
 ^M goto-line : 指定した行まで移動する。
(^MはESCキーを押す)
32

お試しアカウント付き講習会

ＵＮＩＸ備忘録
 rm ファイル名：


ファイル名のファイルを消す。

rm *~ : test.c~ などの、~がついたバックアップファイルを消す。

 ls :

現在いるフォルダの中身を見る。
 cd フォルダ名： フォルダに移動する。
 cd.. : 一つ上のフォルダに移動。
 cd ~ ：ホームディレクトリに行く。訳がわからなくなったとき。
 cat

ファイル名： ファイル名の中身を見る make : 実行ファイルを作る（Makefile があるところでしか実行できない）
 makeclean : 実行ファイルを消す。
（clean がMakefileで定義されていないと実行できない）

33

お試しアカウント付き講習会

サンプルプログラムの実行
初めての並列プログラムの実行

34

お試しアカウント付き講習会

サンプルプログラム名
 Ｃ言語版・Ｆｏｒｔｒａｎ90版共通ファイル：

Samples-fx.tar
 tarで展開後、Ｃ言語とＦｏｒｔｒａｎ90言語のディレクトリが作られる
 C/: C言語用 F/ : Fortran90言語用
 上記のファイルが置いてある場所/home/z30082
35

お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムをコンパイルしよう
(1/2)
1.

2.
3.
4.
5.
36

/home/z30082 にある Samples-fx.tar を
自分のディレクトリにコピーする$ cp /home/z30082/Samples-fx.tar ./Samples-fx.tar を展開する$ tar xvf Samples-fx.tar
Samples フォルダに入る$ cd Samples
C言語： $ cd C
Fortran90言語 ： $ cd F
Hello フォルダに入る$ cd Hello
お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムをコンパイルしよう(2/2)
ピュアＭＰＩ用のＭaｋefileをコピーする$ cp Makefile_pure Makefile
7. make する$ make8. 実行ファイル(hello)ができていることを確認
する
$ ls
6.

37

お試しアカウント付き講習会

FX10スーパコンピュータシステムでのジョブ実行形態 以下の２通りがあります インタラクティブジョブ実行

ＰＣでの実行のように、コマンドを入力して実行する方法
 スパコン環境では、あまり一般的でない デバック用、大規模実行はできない
 ＦＸ１０では、以下に限定

１ノード（16コア）（２時間まで）
 ８ノード（128コア）（10分まで）
 バッチジョブ実行

バッチジョブシステムに処理を依頼して実行する方法
 スパコン環境で一般的
 大規模実行用 ＦＸ１０では、最大1440ノード（23,040コア）(６時間)38

お試しアカウント付き講習会

インタラクティブ実行のやり方
 コマンドラインで以下を入力
 1ノード実行用$ pjsub --interact
 ８ノード実行用$ pjsub --interact -L “node=8”※インタラクティブ用のノード総数は５０ノードです。
もしユーザにより５０ノードすべて使われている場合、資源が空くまで、ログインできません。
39

お試しアカウント付き講習会

コンパイラの種類とインタラクティブ実行
およびバッチ実行


インタラクティブ実行、およびバッチ実行で、利用するコンパイラ（Ｃ言語、Ｃ＋＋言語、Ｆｏｒｔｒａｎ９０言語）の種類が違います

インタラクティブ実行では
 オウンコンパイラ（そのノードで実行する実行ファイルを生成するコンパイラ）を使います

バッチ実行では クロスコンパイラ（そのノードでは実行できないが、バッチ実行する時のノードで実行できる実行ファイルを生成するコンパイラ）を使います

それぞれの形式
 オウンコンパイラ： ＜コンパイラの種類名＞
 クロスコンパイラ： ＜コンパイラの種類名＞px
 例）富士通Fortran90コンパイラ
オウンコンパイラ： frt
 クロスコンパイラ： frtpx
40

お試しアカウント付き講習会

バッチ処理とは スパコン環境では、通常は、インタラクティブ実行（コマンドラ

インで実行すること）はできません。
 ジョブはバッチ処理で実行します。
バッチキュー

ジョブの依頼

バッチ処理
システムがジョブを取り出す

実行
ユーザ
41

スパコン
お試しアカウント付き講習会

バッチキューの設定のしかた バッチ処理は、富士通社のバッチシステムで管理されています。
 以下、主要コマンドを説明します。
 ジョブの投入：
pjsub <ジョブスクリプトファイル名> -g <プロジェクトコード> 自分が投入したジョブの状況確認： pjstat
 投入ジョブの削除： pjdel <ジョブID>
 バッチキューの状態を見る： pjstat --rsc
 バッチキューの詳細構成を見る： pjstat –rsc -x
 投げられているジョブ数を見る： pjstat -b
 過去の投入履歴を見る： pjstat --history
 同時に投入できる数／実行できる数を見る： pjstat --limit
42

お試しアカウント付き講習会

本お試し講習会でのキュー名
 本演習中のキュー名：
 tutorial 最大１５分まで
 最大ノード数は１２ノード(１９２コア) まで

 本演習時間以外（24時間）のキュー名：

 lecture 利用条件は演習中のキュー名と同様

43

お試しアカウント付き講習会

pjstat --rsc の実行画面例$ pjstat --rsc
RSCGRP
debug
short
regular|---- small|---- medium|---- large`---- x-large
interactive|---- interactive_n1`---- interactive_n8

使える
キュー名
(リソース
グループ)
44

STATUS[ENABLE,START][ENABLE,START]NODE:COORD
480:10x3x16
480:10x3x16[ENABLE,START][ENABLE,START][ENABLE,START][ENABLE,START]

3840:20x12x16
3840:20x12x16
3840:20x12x16
3840:20x12x16[ENABLE,START][ENABLE,START]

50
50

現在
使えるか

ノードの
物理構成情報
お試しアカウント付き講習会

pjstat --rsc -x の実行画面例$ pjstat --rsc -x
RSCGRP STATUS MIN_NODE MAX_NODE ELAPSE MEM(GB) PROJECT
debug[ENABLE,START]
1
240
00:30:00
28 gcXX, gcYY
short
[ENABLE,START]
1
72
06:00:00
28 gcXX, gcYY
regular|---- small [ENABLE,START] 12
216
48:00:00
28 gcXX, gcYY|---- medium [ENABLE,START] 217
372
48:00:00
28
gcXX, gcYY|---- large[ENABLE,START] 373
480
48:00:00
28
gcXX, gcYY`---- x-large [ENABLE,START] 481 1440 24:00:00
28 gcXX, gcYY
interactive|---- interactive_n1 [ENABLE,START] 1 1
02:00:00
28
gcXX, gcYY`---- interactive_n8 [ENABLE,START] 2 8 00:10:00
28
gcXX, gcYY

使える
キュー名
(リソース
グループ)
45

現在
使えるか

ノードの
実行情報
お試しアカウント付き講習会

課金情報（財布）
実習では１つのみpjstat -b の実行画面例$ pjstat –b
RSCGRPSTATUSTOTAL RUNNING QUEUED HOLD OTHER NODE:COORD
debug [ENABLE,START]
3
2
0
0
1
480:10x3x16
short[ENABLE,START]
1
1
0
0
0
480:10x3x16
regular|---- small [ENABLE,START] 165
81
84
0
0
3840:20x12x16|---- medium [ENABLE,START] 25
420
01
3840:20x12x16|---- large [ENABLE,START]
0
0
0
0
0
3840:20x12x16`---- x-large [ENABLE,START] 404003840:20x12x16
interactive|---- interactive_n1 [ENABLE,START] 2
2
0
0
0
50
`---- interactive_n8 [ENABLE,START] 1 1
0
0
0
50

使える
キュー名
(リソース
グループ)
46

現在
使え
るか

ジョブ 実行しての総数 いるジョブ
の数

待たされて
いるジョブ
の数

お試しアカウント付き講習会

ノードの
物理構成
情報

JOBスクリプトサンプルの説明（ピュアＭＰＩ）（hello-pure.bash, C言語、Fortran言語共通）#!/bin/bash#PJM -L "rscgrp=lecture"#PJM -L "node=12"#PJM --mpi "proc=192"#PJM -L "elapse=1:00"
mpirun ./hello
MPIジョブを16＊12 = 192 プロセスで実行する。

47

お試しアカウント付き講習会

リソースグループ名：lecture
利用ノード数
利用コア数（ＭＰＩプロセス数）
実行時間制限：１分

TOFU
Network

ピュアＭＰＩの実行状況（ノード内）
１ソケットのみ

ＭＰＩプロセス

各ＣＰＵの内部構成

20GB/秒

Core
#0

Core
#1

Core
#2

Core
#3

…

Core
#12

Core
#13

Core
#14

Core
#15

L1

L1

L1

L1

: L1データキャッシュ32KB

L1

L1

L1

L1

ICC

L2 (16コアで共有、12MB)

85GB/秒=(8Byte×1333MHz
×8 channel)

MemoryMemoryMemoryMemory4GB ×2枚

4GB ×2枚

4GB ×2枚

4GB ×2枚

DDR3 DIMM

ノード内合計メモリ量：8GB×4＝32GB

FX10計算ノードの構成
48

お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムを実行しよう（ピュアMPI）
 このサンプルのＪＯＢスクリプトは

hello-pure.bashです。
 配布のサンプルでは、キュー名が”lecture”になっています $ emacs hello-pure.bash
で、“lecture” → “tutorial”に変更してください49

お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムを実行しよう（ピュアMPI）
1.
2.
3.

4.
5.

50

Helloフォルダ中で以下を実行する$ pjsub hello-pure.bash
自分の導入されたジョブを確認する$ pjstat
実行が終了すると、以下のファイルが生成される
hello-pure.bash.eＸＸＸＸＸＸ
hello-pure.bash.oＸＸＸＸＸＸ （XXXXXXは数字）
上記の標準出力ファイルの中身を見てみる$ cat hello-pure.bash.oＸＸＸＸＸＸ“Hello parallel world!”が、16プロセス*１２ノード=１９２表示されていたら成功。
お試しアカウント付き講習会

バッチジョブ実行による標準出力、
標準エラー出力
 バッチジョブの実行が終了すると、標準出力ファイルと標

準エラー出力ファイルが、ジョブ投入時のディレクトリに作成されます。
 標準出力ファイルにはジョブ実行中の標準出力、標準エ
ラー出力ファイルにはジョブ実行中のエラーメッセージが出力されます。

ジョブ名.oXXXXX --- 標準出力ファイル
ジョブ名.eXXXXX --- 標準エラー出力ファイル(XXXXX はジョブ投入時に表示されるジョブのジョブID)

51

お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムをコンパイルしよう
1.
2.

3.

4.

53

ハイブリッドＭＰＩ用の Makefile をコピーする。
$ cp Makefile_hy16 Makefile
make する。
$ make clean$ make
実行ファイル（hello）ができていることを確認する。
$ ls
ＪＯＢスクリプト中（hello-hy16.bash）のキュー名を変更する。“lecture” → “tutorial”に変更する。
$ emacs hello-hy16.bash
お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムを実行しよう（ハイブリッドMPI）
1.
2.
3.

4.
5.
54

Helloフォルダ中で以下を実行する$ pjsub hello-hy16.bash
自分の導入されたジョブを確認する$ pjstat
実行が終了すると、以下のファイルが生成される
hello-hy16.bash.eＸＸＸＸＸＸ
hello-hy16.bash.oＸＸＸＸＸＸ （XXXXXXは数字）
上記標準出力ファイルの中身を見てみる$ cat hello-hy16.bash.oＸＸＸＸＸＸ“Hello parallel world!”が、1プロセス*12ノード=12 個表示されていたら成功。
お試しアカウント付き講習会

JOBスクリプトサンプルの説明（ハイブリッドＭＰＩ）（hello-hy16.bash, C言語、Fortran言語共通）#!/bin/bash#PJM -L "rscgrp=lecture"#PJM -L "node=12"#PJM --mpi "proc=12"#PJM -L "elapse=1:00"
export OMP_NUM_THREADS=16
mpirun ./hello
MPIジョブを1＊12 = 12 プロセスで実行する。

55

お試しアカウント付き講習会

リソースグループ名：lecture
利用ノード数
利用コア数（ＭＰＩプロセス数）
実行時間制限：１分
１ＭＰＩプロセス当たり
16スレッド生成

TOFU
Network

ハイブリッドＭＰＩの実行状況（ノード内）
１ソケットのみ
各ＣＰＵの内部構成

20GB/秒

Core
#0

Core
#1

Core
#2

Core
#3

…

Core
#12

Core
#13

Core
#14

Core
#15

L1

L1

L1

L1

: L1データキャッシュ32KB

L1

L1

L1

L1

ICC

L2 (16コアで共有、12MB)

85GB/秒=(8Byte×1333MHz
×8 channel)

MemoryMemoryMemoryMemory4GB ×2枚

4GB ×2枚

4GB ×2枚

4GB ×2枚

ＭＰＩプロセス
スレッド
56

DDR3 DIMM

ノード内合計メモリ量：8GB×4＝32GB

FX10計算ノードの構成
お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムの説明（C言語）#include <stdio.h>#include <mpi.h>

このプログラムは、全ＰＥで起動される

int main(int argc, char* argv[]) {int
int

MPIの初期化

myid, numprocs;
ierr, rc;

自分のID番号を取得：各ＰＥで値は異なる

ierr = MPI_Init(&argc, &argv);
ierr = MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &myid);ierr = MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &numprocs);
printf("Hello parallel world! Myid:%d ¥n", myid);rc = MPI_Finalize();exit(0);}57

MPIの終了全体のプロセッサ台数を取得：各ＰＥで値は同じ（演習環境では
１９２、もしくは１２）

お試しアカウント付き講習会

並列版Helloプログラムの説明（Fortran言語）
program main

このプログラムは、全ＰＥで起動される

common /mpienv/myid,numprocs
integer myid, numprocs
integer ierr

MPIの初期化
自分のID番号を取得：各ＰＥで値は異なる

call MPI_INIT(ierr)call MPI_COMM_RANK(MPI_COMM_WORLD, myid, ierr)call MPI_COMM_SIZE(MPI_COMM_WORLD, numprocs, ierr)print *, "Hello parallel world! Myid:", myid
call MPI_FINALIZE(ierr)
stop
end
58

MPIの終了全体のプロセッサ台数を取得：各ＰＥで値は同じ（演習環境では
１９２、もしくは１２）

お試しアカウント付き講習会

時間計測方法（C言語）
double t0, t1, t2, t_w;..
ierr = MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);
t1 = MPI_Wtime();

バリア同期後時間を習得し保存＜ここに測定したいプログラムを書く＞
ierr = MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);
t2 = MPI_Wtime();t0 = t2 - t1;
ierr = MPI_Reduce(&t0, &t_w, 1,
MPI_DOUBLE,MPI_MAX, 0,
MPI_COMM_WORLD);

59

各プロセッサーで、ｔ0の値は異なる。
この場合は、最も遅いものの値をプロセッサ０番が受け取る

お試しアカウント付き講習会

時間計測方法（Fortran言語）
double precision t0, t1, t2, t_w
double precision MPI_WTIME..
call MPI_BARRIER(MPI_COMM_WORLD, ierr)
t1 = MPI_WTIME(ierr)

バリア同期後時間を習得し保存＜ここに測定したいプログラムを書く＞
call MPI_BARRIER(MPI_COMM_WORLD, ierr)t2 = MPI_WTIME(ierr)
t0 = t2 - t1
call MPI_REDUCE(t0, t_w, 1,&
MPI_DOUBLE_PRECISION,&MPI_MAX, 0, MPI_COMM_WORLD, ierr)60

各プロセッサーで、ｔ0の値は異なる。
この場合は、最も遅いものの値をプロセッサ０番
が受け取る

お試しアカウント付き講習会

MPI実行時のリダイレクトについて
 ＦＸ１０スーパーコンピュータシステムでは、

MPI実行時の入出力のリダイレクトができません ×例）mpirun ./a.out < ./in.txt > ./out.txt
 リダイレクトを行う場合、以下のオプションを指定してください ○例) mpirun --stdin ./in.txt --stdout ./out.txt ./a.out

61

お試しアカウント付き講習会

依存関係のあるジョブの投げ方（ステップジョブ）
 あるジョブスクリプト go1.shの後に、go2.sh を投げたい さらに、go2.shの後に、go3.shを投げたい、ということがある 以上を、ステップジョブという。
 FX10におけるステップジョブの投げ方$pjsub --step go1.sh[INFO] PJM 0000 pjsub Job 800967_0 submitted.
2. 上記のジョブ番号800967を覚えておき、以下の入力をする$pjsub --step --sparam jid=800967 go2.sh[INFO] PJM 0000 pjsub Job 800967_1 submitted
3. 以下同様$pjsub --step --sparam jid=800967 go3.sh[INFO] PJM 0000 pjsub Job 800967_2 submitted
1.

62

お試しアカウント付き講習会

並列プログラミングの基礎（座学）
東京大学情報基盤センター 准教授

63

お試しアカウント付き講習会

片桐孝洋

教科書（演習書）
 「スパコンプログラミング入門－並列処理とMPIの学習－」 片桐 孝洋 著、
 東大出版会、ISBN978-4-13-062453-4、
発売日：2013年3月12日、判型:A5, 200頁
 【本書の特徴】
 C言語で解説
 C言語、Fortran90言語のサンプルプログラムが付属
 数値アルゴリズムは、図でわかりやすく説明
 本講義の内容を全てカバー
 内容は初級。初めて並列数値計算を学ぶ人向けの入門書
64

お試しアカウント付き講習会

参考書


「並列数値処理 - 高速化と性能向上のために -」 金田康正 東大教授 理博 編著、
片桐孝洋 東大特任准教授 博士（理学） 著、黒田久泰 愛媛大准教授
博士（理学） 著、山本有作 神戸大教授 博士（工学） 著、 五百木伸洋㈱日立製作所 著、
 コロナ社、発行年月日：2010/04/30 ， 判 型： A5， ページ数：272頁、ISBN：978-4-339-02589-7， 定価：3,990円 （本体3,800円＋税5%)
 【本書の特徴】
 Fortran言語で解説
 数値アルゴリズムは、数式などで厳密に説明
 本講義の内容に加えて、固有値問題の解法、疎行列反復解法、FFT、ソート、など、主要な数値計算アルゴリズムをカバー 内容は中級～上級。専門として並列数値計算を学びたい人向き
65

お試しアカウント付き講習会

本講義の流れ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

66

東大スーパーコンピュータの概略
並列プログラミングの基礎
性能評価指標基礎的なMPI関数
データ分散方式
ベクトルどうしの演算
ベクトル-行列積
リダクション演算

お試しアカウント付き講習会

東大スーパーコンピュータの概略

67

お試しアカウント付き講習会

東京大学情報基盤センター
スパコン（１／２）
HITACHI SR16000
Total Peak performance: 54.9 TFLOPS
Total number of nodes: 56
Total memory: 11200 GB
Peak performance per node : 980.4 GFLOPSMain memory per node
: 200GBDisk capacity: 556 TBIBM POWER7 3.83GHz (30.64GFLOPS)

2011年10月～試験運用開始

68

T2K東大（HA8000クラスタシステム）
Total Peak performance: 140 TFLOPS
Total number of nodes: 952
Total memory: 32000 GB
Peak performance per node : 147.2 GFLOPSMain memory per node
: 32 GB, 128 GB
Disk capacity: 1 PB
AMD Quad Core Opteron 2.3GHz (9.2GFLOPS)
ノード製品名：HITACHI HA8000-tc/RS425

お試しアカウント付き講習会
68東京大学情報基盤センター
スパコン（２／２）
Fujitsu PRIMEHPC FX10 （FX10スーパーコンピュータシステム）
Total Peak performance: 1.13 PFLOPS
Total number of nodes: 4,800
Total memory: 150TB
Peak performance per node : 236.5 GFLOPSMain memory per node
: 32 GBDisk capacity: 2.1 PBSPARC64 IXfx 1.848GHz

69

2012年4月2日試験運転開始
2012年7月2日正式運用開始

お試しアカウント付き講習会
69

FX10計算ノードの構成

TOFU
Network

１ソケットのみ
各ＣＰＵの内部構成

20GB/秒

Core
#0

Core
#1

Core
#2

Core
#3

…

Core
#12

Core
#13

Core
#14

Core
#15

L1

L1

L1

L1

: L1データキャッシュ32KB

L1

L1

L1

L1

ICC

L2 (16コアで共有、12MB)

85GB/秒=(8Byte×1333MHz
×8 channel)

MemoryMemoryMemoryMemory4GB ×2枚

4GB ×2枚

4GB ×2枚

4GB ×2枚

ノード内合計メモリ量：8GB×4＝32GB
70

お試しアカウント付き講習会

DDR3 DIMM

FX10の通信網（１TOFU単位）
１TOFU単位ノード

計算ノード内
ノード

ノード

ノード
ノード
ノード

ノード

ノード

1TOFU単位
間の結合用

ノード

ノード

ノード

71

ノード

ノード

お試しアカウント付き講習会

6本それぞれ5GB/秒（双方向）FX10の通信網（１TOFU単位間の結合）
３次元接続
１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

72

１
TOFU
単位

１１
TOFU
TOFU
単位
単位

１１
TOFU
TOFU
単位
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１１
TOFU
TOFU
単位
単位

１１
TOFU
TOFU
単位
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

１
TOFU
単位

 ユーザから見ると、X軸、Y軸、Z軸について、
奥の1TOFUと、手前の１TOFUは、繋がってみえます（３次元トーラス接続）
 ただし物理結線では
 X軸はトーラス Y軸はメッシュ
 Z軸はメッシュまたは、
トーラスになっています

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東大情報基盤センターFX10スーパーコン
ピュータシステムの料金表（2011年4月1日 ） パーソナルコース（年間）

コース１： １２０，０００円 ： 12ノード（優先）、最大24ノードまで
 コース２： ２５０，０００円 ： 24ノード（優先）、最大96ノードまで
 グループコース

５００，０００円 ：１口、12ノード（優先）、最大1440ノードまで

 以上は、「トークン制」で運営
 申し込みノード（優先ノード）×360日×24時間の「トークン」が与えられる
 優先ノードまでは、トークン消費係数が1.0
 優先ノードを超えると、超えた分は、消費係数が2.0になる

73

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FX10スーパーコンピュータシステムの詳細
 以下のページをご参照ください 利用申請方法
 運営体系
 料金体系
 利用の手引などがご覧になれます。
http://www.cc.u-tokyo.ac.jp/system/fx10/74

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並列プログラミングの基礎

75

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並列プログラミングとは何か？
 逐次実行のプログラム（実行時間T）を、ｐ台の計算機を使って、T / ｐ にすること.
T
T / ｐ
 素人考えでは自明。
 実際は、できるかどうかは、対象処理の内容（アルゴリズム）で 大きく 難しさが違う
アルゴリズム上、絶対に並列化できない部分の存在
 通信のためのオーバヘッドの存在 通信立ち上がり時間
 データ転送時間
76

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並列と並行 並列（Parallel）

物理的に並列（時間的に独立）
 ある時間に実行されるものは多数
T 並行（Concurrent）

論理的に並列（時間的に依存）
 ある時間に実行されるものは１つ（＝１プロセッサで実行）T

時分割多重、疑似並列
 OSによるプロセス実行スケジューリング（ラウンドロビン方式）
77

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並列計算機の分類
 Michael J. Flynn教授（スタンフォード大）の分類（１９６６）
 単一命令・単一データ流（SISD, Single Instruction Single Data Stream）
 単一命令・複数データ流（SIMD, Single Instruction Multiple Data Stream）
 複数命令・単一データ流（MISD, Multiple Instruction Single Data Stream）
 複数命令・複数データ流（MIMD, Multiple Instruction Multiple Data Stream）

78

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並列計算機のメモリ型による分類
1.

共有メモリ型（SMP、
Symmetric Multiprocessor）

2.

分散メモリ型（メッセージパッシング）

3.

分散共有メモリ型（DSM、
Distributed Shared Memory）
79

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並列計算機のメモリ型による分類

4.

共有・非対称メモリ型（ccNUMA、
Cache Coherent NonUniform Memory Access）

80

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並列プログラミングのモデル
 実際の並列プログラムの挙動はMIMD
 アルゴリズムを考えるときは＜SIMDが基本＞
 複雑な挙動は理解できないので

81

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並列プログラミングのモデル
 MIMD上での並列プログラミングのモデル
1.

SPMD（Single Program Multiple Data）
 １つの共通のプログラムが、並列処理開始時に、
全プロセッサ上で起動する
 MPI（バージョン１）のモデル

2.

Master / Worker（Master / Slave）
 １つのプロセス（Master）が、複数のプロセス（Worker）を管理（生成、消去）する。

82

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並列プログラムの種類
 マルチプロセス

MPI （Message Passing Interface） プロセスとスレッドの違い
 HPF （High Performance Fortran） •メモリを意識するかどうかの違い

自動並列化Fortranコンパイラ

ユーザがデータ分割方法を明示的に記述•別メモリは「プロセス」•同一メモリは「スレッド」

 マルチスレッド

Pｔhread (POSIX スレッド)
 Solaris Thread (Sun Solaris OS用)
 NT thread (Windows NT系、Windows95以降)


スレッドの Fork（分離） と Join（融合） を明示的に記述

 Java

言語仕様としてスレッドを規定

 Open MP
83

ユーザが並列化指示行を記述
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並列処理の実行形態（１） データ並列

データを分割することで並列化する。
 データの操作（＝演算）は同一となる。
 データ並列の例：行列－行列積


 1 2 3   9 8 7   1 * 9  2 * 6  3 * 3 1 * 8  2 * 5  3 * 2 1 * 7  2 * 4  3 *1   ＝  4 * 9  5 * 6  6 * 3 4 * 8  5 * 5  6 * 2 4 * 7  5 * 4  6 *1 4 5 6   6 5 4   7 * 9  8 * 6  9 * 3 7 * 8  8 * 5  9 * 2 7 * 7  8 * 4  9 *1 
7 8 9 3 2 1 
 


●並列化

全CPUで共有2 3  9 8 7 
 1 * 9  2 * 6  3 * 3 1 * 8  2 * 5  3 * 2 1 * 7  2 * 4  3 *1   ＝  4 * 9  5 * 6  6 * 3 4 * 8  5 * 5  6 * 2 4 * 7  5 * 4  6 *1

CPU１  4 5 6   6 5 4 
 7 * 9  8 * 6  9 * 3 7 * 8  8 * 5  9 * 2 7 * 7  8 * 4  9 *1 
CPU２  7 8 9   3 2 1   並列に計算：初期データは異なるが演算は同一CPU０  184

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並列処理の実行形態（２） タスク並列タスク（ジョブ）を分割することで並列化する。
 データの操作（＝演算）は異なるかもしれない。
 タスク並列の例：カレーを作る

仕事１：野菜を切る
 仕事２：肉を切る
 仕事３：水を沸騰させる
 仕事４：野菜・肉を入れて煮込む
 仕事５：カレールゥを入れる


●並列化

仕事１
仕事２

仕事４

時間

仕事３
85

仕事５

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MPIの特徴
 メッセージパッシング用のライブラリ規格の１つ

メッセージパッシングのモデルである
コンパイラの規格、特定のソフトウエアやライブラリを指すものではない！

 分散メモリ型並列計算機で並列実行に向く
 大規模計算が可能

１プロセッサにおけるメモリサイズやファイルサイズの制約を打破可能
プロセッサ台数の多い並列システム（MPPシステム、Massively Parallel
Processingシステム）を用いる実行に向く

１プロセッサ換算で膨大な実行時間の計算を、短時間で処理可能

移植が容易
 API（Application Programming Interface）の標準化

 スケーラビリティ、性能が高い


86

通信処理をユーザが記述することによるアルゴリズムの最適化が可能
プログラミングが難しい（敷居が高い）
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MPIの経緯（1/2）
 MPIフォーラム（http://www.mpi-forum.org/）が仕様策定
 １９９４年５月1.0版（MPI-１）
 １９９５年６月1.1版
 １９９７年７月1.2版、 および 2.0版（MPI-2）

 米国アルゴンヌ国立研究所、およびミシシッピ州立大学

で開発
 MPI-2 では、以下を強化：
 並列I/O
 C++、Fortran 90用インターフェース 動的プロセス生成/消滅 主に、並列探索処理などの用途

 片方向通信、RMA (Remote Memory Access)87

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MPIの経緯（2/2）MPI3.0策定


以下のページで経緯が公開中
 http://meetings.mpi-forum.org/MPI_3.0_main_page.php

注目すべき機能（検討中）
 RMA (Remote Memory Access) サポート
 FT (Fault Tolerant) stabilization、FT を意識したMPIプログラム作成のAPI群とセマンティクス
 MPIT (Performance Tool)、デバッガやパフォーマンスモニタ、開発環境といったツール群とのインターフェース仕様
 Neighborhood collectives(物理的に近いノードを対象にした専用コレクティブ通信), 粗通信モデルの為の集団通信API
 Fortran bindings - improved Fortran bindings, taking into accountFortran 2003 and 2008 features.
 Non-blocking collective I/O - extend non-blocking collective support toinclude MPI-I/O
 Hybrid: Shared memory communicator, Threads, and Endpoint proposals
88

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MPIの実装 主要なもの
 MPICH（エム・ピッチ）

米国アルゴンヌ国立研究所が開発
 LAM（Local Area Multicomputer）
 ノートルダム大学が開発
 その他
 OpenMPI （FT-MPI, LA-MPI, LAM/MPI, PACX-MPIの統合プロジェクト） YAMPII（東大・石川研究室）（SCore通信機構をサポート）
 注意点
 ヘッダファイル定義の違いにより動作が異なることがある メーカ独自機能の拡張がなされていることがある

89

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MPIによる通信
 郵便物の郵送に同じ
 郵送に必要な情報：
1.
2.
3.
4.
5.

自分の住所、送り先の住所中に入っているものはどこにあるか中に入っているものの分類中に入っているものの量（荷物を複数同時に送る場合の）認識方法（タグ） MPIでは：
1.
2.
3.
4.
5.
90

自分の認識ID、および、送り先の認識ID
データ格納先のアドレス
データ型
データ量
タグ番号
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MPI関数 システム関数


MPI_Init； MPI_Comm_rank； MPI_Comm_size； MPI_Finalize； １対１通信関数


ブロッキング型
 MPI_Send；



MPI_Recv；

ノンブロッキング型
 MPI_Isend；

MPI_Irecv；

 １対全通信関数


MPI_Bcast 集団通信関数


MPI_Reduce； MPI_Allreduce； MPI_Barrier； 時間計測関数
91

MPI_Wtime
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コミュニケータ
 MPI_COMM_WORLDは、コミュニケータとよばれる概念を保存する変数 コミュニケータは、操作を行う対象のプロセッサ群を定める
 初期状態では、０番～numprocs –１番までのプロセッサが、１つのコミュニケータに割り当てられる


この名前が、“MPI_COMM_WORLD”

 プロセッサ群を分割したい場合、MPI_Comm_split 関数を利用
メッセージを、一部のプロセッサ群に放送するときに利用 “マルチキャスト”で利用

92

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性能評価指標
並列化の尺度

93

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性能評価指標－台数効果
 台数効果SP  TS / TP (0  S p)
TP ：P台での実行時間
 TS ：逐次の実行時間、
SP  P のとき、理想的な（ideal）速度向上
 P台用いて P台用いてSP  P のとき、スーパリニア・スピードアップ式： 主な原因は、並列化により、データアクセスが局所化されて、キャッシュヒット率が向上することによる高速化
 並列化効率

式： EP  SP / P 100 (0  Ep) [%] 飽和性能速度向上の限界 Saturation、「さちる」
94

Ｐ
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アムダールの法則
 逐次実行時間をK とする。
そのうち、並列化ができる割合を α とする。
 このとき、台数効果は以下のようになる。

SP  K /(K / P  K(1)) 1/( / P  (1))  1/((1/ P 1) 1) 上記の式から、たとえ無限大の数のプロセッサを使っても（P→∞）、台数効果は、高々 １／（１－α） である。
（アムダールの法則）
95

全体の９０％が並列化できたとしても、無限大の数のプロセッ
サをつかっても、 １/(１-0.9) = １0 倍 にしかならない！
→高性能を達成するためには、少しでも並列化効率を上げる
実装をすることがとても重要である
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アムダールの法則の直観例
並列化できない部分（１ブロック） 並列化できる部分（８ブロック）●逐次実行＝88.8%が並列化可能●並列実行（４並列）

9/3=3倍●並列実行（８並列）

9/2=4.5倍 ≠ 6倍

96

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略語とMPI用語
 MPIは「プロセス」間の通信を行います。プロセスは（普通は）「プロセッサ」（もしくは、コア）に一対一で割り当てられます。
 今後、「MPIプロセス」と書くのは長いので、ここではPE（Processer Elementsの略）と書きます。


ただし用語として「PE」は現在はあまり使われていません。

 ランク（Rank）
 各「MPIプロセス」の「識別番号」のこと。
 通常MPIでは、MPI_Comm_rank関数で設定される変数（サンプ
ルプログラムではmyid）に、０～全PE数－１ の数値が入る
 世の中の全MPIプロセス数を知るには、MPI_Comm_size関数を使う。
（サンプルプログラムでは、numprocs に、この数値が入る）
97

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基本的なMPI関数
送信、受信のためのインタフェース

98

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C言語インターフェースとFortranインターフェースの違い
 Ｃ版は、 整数変数ierr が戻り値
ierr = MPI_Xxxx(….);
 Ｆｏｒｔｒａｎ版は、最後に整数変数ierrが引数
call MPI_XXXX(…., ierr) システム用配列の確保の仕方
 Ｃ言語

MPI_Status istatus;
 Ｆｏｒｔｒａｎ言語
integer istatus(MPI_STATUS_SIZE)99

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C言語インターフェースとFortranインターフェースの違い
 MPIにおける、データ型の指定
 C言語

MPI_CHAR (文字型) 、MPI_INT (整数型)、
MPI_FLOAT (実数型)、 MPI_DOUBLE(倍精度実数型)
 Fortran言語
MPI_CHARACTER (文字型) 、MPI_INTEGER (整数型)、MPI_REAL (実数型)、
MPI_DOUBLE_PRECISION(倍精度実数型) 、
MPI_COMPLEX(複素数型)
 以降は、Ｃ言語インタフェースで説明する
100

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基礎的なMPI関数―MPI_Recv（１／２）
 ierr =MPI_Recv(recvbuf, icount, idatatype, isource,
itag, icomm, istatus);

recvbuf : 受信領域の先頭番地を指定する。
 icount : 整数型。受信領域のデータ要素数を指定する。
 idatatype : 整数型。受信領域のデータの型を指定する。
 MPI_CHAR (文字型) 、MPI_INT (整数型)、

MPI_FLOAT (実数型)、 MPI_DOUBLE(倍精度実数型)
isource : 整数型。受信したいメッセージを送信するPEのランクを指定する。
 任意のPEから受信したいときは、MPI_ANY_SOURCE を指定する。

101

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基礎的なMPI関数―MPI_Recv（２／２）
itag : 整数型。受信したいメッセージに付いているタグの値を指定する。
 任意のタグ値のメッセージを受信したいときは、MPI_ANY_TAG を

指定する。


icomm : 整数型。PE集団を認識する番号であるコミュニケータ
を指定する。
 通常ではMPI_COMM_WORLD を指定すればよい。



istatus : MPI_Status型（整数型の配列）。受信状況に関する情報が入る。かならず専用の型宣言をした配列を確保すること。
 要素数がMPI_STATUS_SIZEの整数配列が宣言される。
 受信したメッセージの送信元のランクが istatus[MPI_SOURCE]、

タグが istatus[MPI_TAG] に代入される。
ierr(戻り値) : 整数型。エラーコードが入る。
102

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基礎的なMPI関数―MPI_Send ﻿ierr = MPI_Send(sendbuf,

icount, idatatype, idest,

itag, icomm);
sendbuf : 送信領域の先頭番地を指定する
 icount : 整数型。送信領域のデータ要素数を指定する
 idatatype : 整数型。送信領域のデータの型を指定する
 idest : 整数型。送信したいPEのicomm内でのランクを指定する。
 itag : 整数型。受信したいメッセージに付けられたタグの値を指定する。
 icomm : 整数型。プロセッサー集団を認識する番号である
コミュニケータを指定する。
 ierr (戻り値) : 整数型。エラーコードが入る。
103

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Send－Recvの概念（１対１通信）
PE0

PE１

PE２

PE３

MPI_Send
MPI_Recv

104

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基礎的なMPI関数―MPI_Bcast ﻿ierr = MPI_Bcast(sendbuf,

icount, idatatype,iroot, icomm);
sendbuf : 送信および受信領域の先頭番地を指定する。
 icount : 整数型。送信領域のデータ要素数を指定する。
 idatatype : 整数型。送信領域のデータの型を指定する。
 iroot : 整数型。送信したいメッセージがあるPEの番号を指定する。全PEで同じ値を指定する必要がある。
 icomm : 整数型。PE集団を認識する番号である
コミュニケータを指定する。
 ierr (戻り値) : 整数型。エラーコードが入る。


105

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MPI_Bcastの概念（集団通信）
PE0
MPI_Bcast()

PE１
MPI_Bcast()

iroot

106

PE２

PE３

MPI_Bcast()

MPI_Bcast()

全PEが関数を呼ぶこと

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１. 基本演算
 逐次処理では、「データ構造」が重要
 並列処理においては、「データ分散方法」が重要

になる！
1.

2.
3.
4.

各PEの「演算負荷」を均等にする
ロード・バランシング： 並列処理の基本操作の一つ

粒度調整
各PEの「利用メモリ量」を均等にする
演算に伴う通信時間を短縮する
各PEの「データ・アクセスパターン」を高速な方式にする（＝逐次処理におけるデータ構造と同じ）

 行列データの分散方法＜次元レベル＞： １次元分散方式、２次元分散方式
 ＜分割レベル＞： ブロック分割方式、サイクリック（循環）分割方式107

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１.1.1
N/4行

PE=0

N/4行

PE=1

N/4行

PE=2

N/4行

PE=3

１次元分散
•（行方向) ブロック分割方式•(Block, *) 分散方式

N列
1行•(行方向) サイクリック分割方式•(Cyclic, *) 分散方式

2行•(行方向)ブロック・サイクリック分割方式•(Cyclic(2), *) 分散方式

この例の「２」： ＜ブロック幅＞とよぶ
108

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2次元分散

１.1.2
N/2

N/2

N/2

PE=0 PE=1

N/2

PE=2 PE=3•ブロック・ブロック分割方式•(Block, Block)分散方式•サイクリック・サイクリック分割方式•(Cyclic, Cyclic)分散方式

0

1

0

1

0

1

0

1

2

3

2

3

2

3

2

3

0

1

0

1

0

1

0

1

2

3

2

3

2

3

2

3

0

1

0

1

0

1

0

1

2

3

2

3

2

3

2

3

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

•二次元ブロック・サイクリック分割方式•(Cyclic(2), Cyclic(2))分散方式

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109１.2 ベクトルどうしの演算 以下の演算z  a x y

ここで、αはスカラ、ｚ、ｘ、ｙ はベクトル

 どのようなデータ分散方式でも並列処理が可能

ただし、スカラ α は全PEで所有する。
 ベクトルはO(ｎ)のメモリ領域が必要なのに対し、スカラはO(１)のメモリ領域で大丈夫。
＝→スカラメモリ領域は無視可能
 計算量：O(N/P)
 あまり面白くない


ｚ
110

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＋

α

ｘ

ｙ

１.3 行列とベクトルの積 ＜行方式＞と＜列方式＞がある。
＜データ分散方式＞と＜方式＞組のみ合わせがあり、少し面白い
①②

①②

①②

①

①
②

=

…

…

…

…

②
=

①
②

for(i=0;i<n;i++){y[i]=0.0;
for(j=0;j<n;j++){y[i] += a[i][j]*x[j];}}for(j=0; j<n; j++) y[j]=0.0;
for(j=0; j<n; j++) {for (i=0; i<n; i++) {y[i] += a[i][j]*x[j];}}＜行方式＞： 自然な実装
C言語向き
111

＜列方式＞： Fortran言語向き
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１.3 行列とベクトルの積＜行方式の場合＞＜行方向分散方式＞ ：行方式に向く分散方式
PE=0

PE=0

PE=1

PE=1

=

PE=2
PE=3

PE=2
PE=3

右辺ベクトルを MPI_Allgather関数を利用し、全PEで所有する各PE内で行列ベクトル積を行う＜列方向分散方式＞ ：ベクトルの要素すべてがほしいときに向く=
各PE内で行列-ベクトル積
を行う
112

+

+

+

MPI_Reduce関数で総和を求める（※ある１PEにベクトルすべてが集まる）
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１.3 行列とベクトルの積＜列方式の場合＞＜行方向分散方式＞ ：無駄が多く使われない
PE=0

PE=0

PE=1

PE=1

PE=2

= + + + = PE=2

PE=3

PE=3

右辺ベクトルを MPI_Allgather関数を利用して、全PEで所有する結果をMPI_Reduce関数により総和を求める＜列方向分散方式＞ ：列方式に向く分散方式=
各PE内で行列-ベクトル積
を行う
113

+

+

+

MPI_Reduce関数で総和を求める（※ある１PEにベクトルすべてが集まる）
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１.7 リダクション演算
 ＜操作＞によって＜次元＞を減少（リダクション）させる処理
 例：

内積演算
ベクトル（ｎ次元空間） → スカラ（１次元空間）

 リダクション演算は、通信と計算を必要とする
 集団通信演算（collective communication operation）と呼ばれる
 演算結果の持ち方の違いで、２種のインタフェー

スが存在する114

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１.7 リダクション演算 演算結果に対する所有PEの違い
 MPI_Reduce関数
 リダクション演算の結果を、ある一つのPEに所有させる

PE0
PE0
操作
操作
PE1

PE0

PE2

 MPI_Allreduce関数
 リダクション演算の結果を、全てのPEに所有させる

PE0
PE1
115

PE0

操作
PE2

PE1
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PE2

基礎的なMPI関数―MPI_Reduce ﻿ierr = MPI_Reduce(sendbuf,

recvbuf, icount,
idatatype, iop, iroot, icomm);

sendbuf : 送信領域の先頭番地を指定する。
 recvbuf : 受信領域の先頭番地を指定する。iroot で指定したPEのみで書き込みがなされる。
領域と受信領域は、同一であってはならない。
すなわち、異なる配列を確保しなくてはならない。
 icount : 整数型。送信領域のデータ要素数を指定する。
 idatatype : 整数型。送信領域のデータの型を指定する。
 ＜最小／最大値と位置＞を返す演算を指定する場合は、
MPI_2INT(整数型)、 MPI_2FLOAT (単精度型)、
MPI_2DOUBLE(倍精度型) 、 を指定する。


116

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基礎的なMPI関数―MPI_Reduce iop :

整数型。演算の種類を指定する。

 MPI_SUM (総和)、 MPI_PROD (積)、 MPI_MAX (最大)、MPI_MIN (最小)、 MPI_MAXLOC (最大と位置)、
MPI_MINLOC (最小と位置) など。
 iroot :整数型。結果を受け取るPEのicomm 内でのランクを指定する。全てのicomm 内のPEで同じ値を指定する必要がある。
 icomm : 整数型。PE集団を認識する番号である
コミュニケータを指定する。
 ierr : 整数型。 エラーコードが入る。
117

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MPI_Reduceの概念（集団通信）
PE0
MPI_Reduce()

PE１

PE２

PE３

MPI_Reduce()

MPI_Reduce()

MPI_Reduce()

データ３

データ４

iroot
データ１

データ２

iop（指定された演算）

118

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MPI_Reduceによる２リスト処理例（MPI_2DOUBLEとMPI_MAXLOC）
PE0
MPI_Reduce()

PE１

PE２

PE３

MPI_Reduce()

MPI_Reduce()

MPI_Reduce()

iroot
3.1

4.1

5.9

2.6

2.0

5.0

9.0

13.0

MPI_MAXLOC
5.9

LU分解の枢軸選択処理

9.0
119

お試しアカウント付き講習会

基礎的なMPI関数―MPI_Allreduce ﻿ierr = MPI_Allreduce(sendbuf,

recvbuf, icount,

idatatype, iop, icomm);
sendbuf : 送信領域の先頭番地を指定する。
 recvbuf : 受信領域の先頭番地を指定する。iroot で指定したPEのみで書き込みがなされる。
領域と受信領域は、同一であってはならない。すなわち、異なる配列を確保しなくてはならない。
 icount : 整数型。送信領域のデータ要素数を指定する。
 idatatype : 整数型。送信領域のデータの型を指定する。
 最小値や最大値と位置を返す演算を指定する場合は、MPI_2INT(整数型)、MPI_2FLOAT (単精度型)、
MPI_2DOUBLE(倍精度型) を指定する。

120

お試しアカウント付き講習会

基礎的なMPI関数―MPI_Allreduce iop :

整数型。演算の種類を指定する。
 MPI_SUM (総和)、 MPI_PROD (積)、 MPI_MAX(最大)、MPI_MIN (最小)、 MPI_MAXLOC (最大と位置)、 MPI_MINLOC (最小と位置) など。
 icomm : 整数型。PE集団を認識する番号である
コミュニケータを指定する。
 ierr : 整数型。 エラーコードが入る。

121

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MPI_Allreduceの概念（集団通信）
PE0

PE１

PE２

PE３

MPI_Allreduce()

MPI_Allreduce()

MPI_Allreduce()

MPI_Allreduce()

データ０

データ１

データ２

データ３

iop（指定された演算）
演算済みデータの放送

122

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１.7 リダクション演算
 性能について リダクション演算は、１対１通信に比べ遅い
 プログラム中で多用すべきでない！
 MPI_Allreduce は MPI_Reduce に比べ遅い
 MPI_Allreduce は、放送処理が入る。
 なるべく、MPI_Reduce を使う。

123

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１.4 行列の転置
A が（Block,＊）分散されているとする。
T 行列 A の転置行列 A を作るには、MPIでは
 行列

次の２通りの関数を用いる


MPI_Gather関数

a
b
c


MPI_Scatter関数

a b c
124

a b c

a
b
c
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基礎的なMPI関数―MPI_Gather
 ﻿ierr = MPI_Gather(sendbuf,

isendcount, isendtype,recvbuf, irecvcount, irecvtype, iroot, icomm);

sendbuf : 送信領域の先頭番地を指定する。
 isendcount:
整数型。送信領域のデータ要素数を指定する。
 isendtype :整数型。送信領域のデータの型を指定する。
 recvbuf :受信領域の先頭番地を指定する。iroot で指定したPEのみで書き込みがなされる。
 なお原則として、送信領域と受信領域は、同一であってはならない。

すなわち、異なる配列を確保しなくてはならない。


irecvcount:

整数型。受信領域のデータ要素数を指定する。

 この要素数は、１PE当たりの送信データ数を指定すること。
 MPI_Gather 関数では各PEで異なる数のデータを収集することはできないので、同じ値を指定すること。
125

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基礎的なMPI関数―MPI_Gather
 irecvtype :整数型。受信領域のデータ型を指定する。
 iroot : 整数型。収集データを受け取るPEのicomm 内でのランクを指定する。
 全てのicomm 内のPEで同じ値を指定する必要がある。
 icomm : 整数型。PE集団を認識する番号である
コミュニケータを指定する。
 ierr : 整数型。エラーコードが入る。
126

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MPI_Gatherの概念（集団通信）
PE0

PE１

PE２

PE３

MPI_Gather()

MPI_Gather()

MPI_Gather()

MPI_Gather()

データC

データD

iroot
データA

データB

収集処理
データA
データB
データC
データD
127

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基礎的なMPI関数―MPI_Scatter ﻿ierr = MPI_Scatter ( sendbuf,

isendcount, isendtype,recvbuf, irecvcount, irecvtype, iroot, icomm);

sendbuf : 送信領域の先頭番地を指定する。
 isendcount:
整数型。送信領域のデータ要素数を指定する。
 この要素数は、１PE当たりに送られる送信データ数を指定すること。
 MPI_Scatter 関数では各PEで異なる数のデータを分散することはできないので、同じ値を指定すること 。

isendtype : 整数型。送信領域のデータの型を指定する。
iroot で指定したPEのみ有効となる。
 recvbuf :受信領域の先頭番地を指定する。
 なお原則として、送信領域と受信領域は、同一であってはならない。

すなわち、異なる配列を確保しなくてはならない。
128

irecvcount:

整数型。受信領域のデータ要素数を指定する。
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基礎的なMPI関数―MPI_Scatter irecvtype :整数型。受信領域のデータ型を指定する。
 iroot : 整数型。収集データを受け取るPEのicomm 内でのランクを指定する。
 全てのicomm 内のPEで同じ値を指定する必要がある。
 icomm : 整数型。PE集団を認識する番号である
コミュニケータを指定する。
 ierr : 整数型。エラーコードが入る。
129

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MPI_Scatterの概念（集団通信）
PE0

PE１

PE２

PE３

MPI_Scatter()

MPI_Scatter()

MPI_Scatter()

MPI_Scatter()

iroot
データA
データB
データC
データD

分配処理
データA
130

データB

データC
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データD

参考文献
1.
2.

3.
4.
5.

131

MPI並列プログラミング、P.パチェコ 著 ／ 秋葉 博 訳
並列プログラミング虎の巻MPI版、青山幸也 著、
理化学研究所情報基盤センタ（ http://accc.riken.jp/HPC/training/text.html ）Message Passing Interface Forum（ http://www.mpi-forum.org/ ）MPI-Jメーリングリスト（ http://phase.hpcc.jp/phase/mpi-j/ml/ ）並列コンピュータ工学、富田眞治著、昭晃堂（１９９６）

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MPIプログラム実習Ⅰ（演習）東京大学情報基盤センター

132

准教授

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片桐孝洋

実習課題

133

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サンプルプログラムの説明










Hello/


並列版Helloプログラム



hello-pure.bash, hello-hy16.bash : NQSジョブスクリプトファイル

Cpi/


円周率計算プログラム

cpi-pure.bash NQSジョブスクリプトファイル

Wa1/


逐次転送方式による総和演算

wa1-pure.bash NQSジョブスクリプトファイル

Wa2/


二分木通信方式による総和演算

wa2-pure.bash NQSジョブスクリプトファイル

Cpi_m/


円周率計算プログラムに時間計測ルーチンを追加したもの

cpi_m-pure.bash NQSジョブスクリプトファイル

134

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総和演算プログラム（逐次転送方式）


各プロセスが所有するデータを、全プロセスで加算し、あるプロセス１つが結果を所有する演算を考える。

 素朴な方法（逐次転送方式）（0番でなければ）左隣のプロセスからデータを受信する；
左隣のプロセスからデータが来ていたら；

1.
2.
1.
2.
3.
4.

受信する;
＜自分のデータ＞と＜受信データ＞を加算する;（191番でなければ）右隣のプロセスに＜2の加算した結果を＞送信する;
処理を終了する;

実装上の注意

左隣りとは、（myid-１）のIDをもつプロセス

右隣りとは、（myid+１）のIDをもつプロセス135

myid=0のプロセスは、左隣りはないので、受信しない

myid=p-１のプロセスは、右隣りはないので、送信しない
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逐次転送方式（バケツリレー方式）
による加算
所有データ

所有データ
０

１

０

所有データ

所有データ

２

３

１

CPU0

CPU１
送信

０ ＋ １ ＝ １

３
CPU２

送信

CPU３
送信

１ ＋ ２ ＝ ３

３ ＋ ３ ＝ ６

最終結果

136

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１対１通信利用例（逐次転送方式、C言語）
受信用システム配列の確保
void main(int argc, char* argv[]) {MPI_Status istatus;
自分より一つ少ない….
ID番号（myid-1）から、dsendbuf = myid;
double型データ１つをdrecvbuf = 0.0;
受信しdrecvbuf変数に
if (myid != 0) {ierr = MPI_Recv(&drecvbuf, 1, MPI_DOUBLE, myid-1, 0, 代入
MPI_COMM_WORLD, &istatus);}
自分より一つ多い
dsendbuf = dsendbuf + drecvbuf;
ID番号（myid+1）に、if (myid != nprocs-1) {ierr = MPI_Send(&dsendbuf, 1, MPI_DOUBLE, myid+1, 0, dsendbuf変数に入っているdouble型データ
MPI_COMM_WORLD);
１つを送信}
if (myid == nprocs-1) printf ("Total = %4.2lf ¥n", dsendbuf);
….
}
137

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１対１通信利用例（逐次転送方式、Fortran言語）
program main
受信用システム配列の確保
integer istatus(MPI_STATUS_SIZE)….
dsendbuf = myid
自分より一つ少ない
drecvbuf = 0.0
ID番号（myid-1）から、
if (myid .ne. 0) thendouble型データ１つを
call MPI_RECV(drecvbuf, 1, MPI_DOUBLE_PRECISION,
受信しdrecvbuf変数に&
myid-1, 0, MPI_COMM_WORLD, istatus, ierr)endif
代入
dsendbuf = dsendbuf + drecvbuf
if (myid .ne. numprocs-1) thencall MPI_SEND(dsendbuf, 1, MPI_DOUBLE_PRECISION,&
myid+1, 0, MPI_COMM_WORLD, ierr)
自分より一つ多い
endif
ID番号（myid+1）に、if (myid .eq. numprocs-1) thendsendbuf変数にprint *, "Total = ", dsendbuf
endif
入っているdouble型….
データ１つを送信
stop
end
138

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総和演算プログラム（二分木通信方式）
 二分木通信方式

k = １;for (i=0; i < log2(nprocs); i++)if ( (myid & k) == k)

1.
2.
3.




else

4.



139

(myid – k)番プロセスからデータを受信；
自分のデータと、受信データを加算する；
k = k * 2;
(myid + k)番プロセスに、データを転送する；
処理を終了する；

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総和演算プログラム（二分木通信方式）
３段目＝ｌog2（８）段目

3

２段目

3

1

1段目

0

1

2

7
5

3

4

7

5

6

7

7
7

3

0
140

5

3

1
1

2

3

4

7
5

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67総和演算プログラム（二分木通信方式）
 実装上の工夫

要点： プロセス番号の２進数表記の情報を利用する
 第i段において、受信するプロセスの条件は、以下で書ける：
myid & k が k と一致 ここで、k = 2^(i-１) 。
 つまり、プロセス番号の２進数表記で右からi番目のビットが立っている

プロセスが、送信することにする

また、送信元のプロセス番号は、以下で書ける：
myid + k つまり 、通信が成立するプロセス番号の間隔は２＾(i-１)←二分木なので

141

送信プロセスについては、上記の逆が成り立つ。

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総和演算プログラム（二分木通信方式）
 逐次転送方式の通信回数

明らかに、nprocs－１ 回

 二分木通信方式の通信回数

見積もりの前提
 各段で行われる通信は、完全に並列で行われる（通信の衝突は発生しない）

段数の分の通信回数となる
 つまり、log2(nprocs) 回 両者の通信回数の比較

プロセッサ台数が増すと、通信回数の差（＝実行時間）がとても大きくなる １０２４プロセス構成では、１０２３回 対 １０回！




142

でも、必ずしも二分木通信方式がよいとは限らない（通信衝突の多発）
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性能プロファイラ
 富士通コンパイラには、性能プロファイラ機能がある
 富士通コンパイラでコンパイル後、実行コマンドで指定し利用する
 以下の2種類があります 基本プロファイラ
 主な用途：プログラム全体で、最も時間のかかっている関数を同定する
 詳細プロファイラ
 主な用途：最も時間のかかっている関数内の特定部
分において、メモリアクセス効率、キャッシュヒット率、
スレッド実行効率、ＭＰＩ通信頻度解析、を行う
143

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性能プロファイラの種類の詳細
 基本プロファイラ

コマンド例：fipp –C
 表示コマンド：fipppx、GUI（ＷＥＢ経由）
 ユーザプログラムに対し一定間隔(デフォルト時100 ミリ秒間隔)毎に割り込みをかけ情報を収集する。
 収集した情報を基に、コスト情報等の分析結果を表示。
 詳細プロファイラ

コマンド例：fapp –C
 表示コマンド：GUI(WEB経由)
 ユーザプログラムの中に測定範囲を設定し、測定範囲のハードウェアカウン
タの値を収集。
 収集した情報を基に、MFLOPS、MIPS、各種命令比率、キャッシュミス等の詳細な分析結果を表示。


144

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基本プロファイラ利用例
 プロファイラデータ用の空のディレクトリがないとダメ /Wa2 に Profディレクトリを作成$ mkdir Prof Ｗａ２ の wa2-pure.bash 中に以下を記載
fipp -C -d Prof mpirun ./wa2
 実行する$ pjsub wa2-pure.bash
 テキストプロファイラを起動$ fipppx –A -d Prof

145

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基本プロファイラ出力例（1/2）-----------------------------------------------------------------------------------------Fujitsu Instant Profiler Version 1.2.0
Measured time

: Thu Apr 19 09:32:18 2012

CPU frequency: ProcessType of program

: MPI

0-

127 1848 (MHz)Average at sampling interval : 100.0 (ms)Measured range: All ranges

Virtual coordinate: (12, 0, 0)-----------------------------------------------------------------------------------------____________________________________________________________________________________
Time statistics
Elapsed(s)User(s)System(s)--------------------------------------------2.1684

53.9800

87.0800 Application--------------------------------------------2.1684

0.51000.6400 Process

112.15880.46000.6800 Process

88

2.15800.50000.6400 Process

99

2.15680.66001.4200 Process

111

…

146

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基本プロファイラ出力例（2/2）__________________________________________________________________________________________

Procedures profile*************************************************************************************
Application - procedures*************************************************************************************
Cost

%

Mpi

%

Start

End

---------------------------------------------------------------------475 100.0000

312

65.6842---- Application---------------------------------------------------------------------31265.6842312 100.0000

145 MAIN__82

17.263200.0000---- __GI___sched_yield80

16.842100.0000---- __libc_poll

10.210500.0000---- __pthread_mutex_unlock_usercnt*************************************************************************************
Process

11 - procedures*************************************************************************************
Cost

%

Mpi

%

Start

End

---------------------------------------------------------------------5 100.0000

480.0000---- Process11---------------------------------------------------------------------4

80.0000

4 100.0000

145 MAIN__1

20.0000

0---- __GI___sched_yeld

0.0000….

147

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詳細プロファイラ利用例
 測定したい対象に、以下のコマンドを挿入 Ｆｏｒｔｒａｎ言語の場合

ヘッダファイル：なし
 測定開始 手続き名： call fapp_start(name, number, level) 測定終了 手続き名： call fapp_stop(name, number, level) 利用例： call fapp_start(“region1”,1,1)
 Ｃ/C++言語の場合

ヘッダファイル： fj_tool/fapp.h 測定開始 関数名： void fapp_start(const char *name, int number, int level) 測定終了 関数名： void fapp_stop(const char *name, int number, int level) 利用例： fapp_start(“region1”,1,1);


148

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詳細プロファイラ利用例
 空のディレクトリがないとダメなので、/Wa2 に Profディレクト

リを作成$ mkdir Prof Ｗａ２のwa2-pure.bash中に以下を記載(キャッシュ情報取得時)
fapp -C -d Prof –L 1 –Ihwm –Hevent=Cache mpirun ./wa2
 実行する$ pjsub wa2-pure.bash

149

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詳細プロファイラGUIによる表示例
 プログラミング支援ツール(FUJITSU Software Development

Tools Version 1.2.1 for Windows) をインストール

以下をアクセス

https://oakleaf-fx-1.cc.u-tokyo.ac.jp/fsdtfx10tx/
install/index.html
 「ダウンロード」をクリック
 Serverに、

oakleaf-fx-1.cc.u-tokyo.ac.jp
 Nameと passwordはセンターから配布

したものを入れる うまくいくと、右のボックスがでる
150

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詳細プロファイラGUIによる表示例
 MACの場合は、以下をアクセス

https://oakleaf-fx-1.cc.u-tokyo.ac.jp/fsdtfx10tx/
install/mac/index.html

151

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詳細プロファイラGUIによる表示例
 右のボックスで、プロファイラ

部分をクリック プロファイルデータがある

フォルダを指定する
 うまくいくと、右のような解析データが見える152

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詳細プロファイラで取れるデータ
 プロセス間の通信頻度情報（ＧＵＩ上で色で表示）
 各ＭＰＩプロセスにおける以下の情報
 Cache: キャッシュミス率 Instructions: 実行命令詳細
 Mem_access: メモリアクセス状況
 Performance: 命令実行効率
 Statistics: CPU core 動作状況
153

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ＰＡツール
 性能プロファイルは、テキストベースで見にくい 複数回（５回程度）実行しないといけないが、性能プロファイルデータ（マシン語命令の種類や、実行時間に占める割合など）を、Ｅｘｃｅｌで可視化してくれるツール（ＰＡツール）が、東京大学情報基盤センターのＦＸ
１０では、提供されている
 くわしくは、オンラインマニュアル参照のこと

154

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性能最適化情報の提示（1/2）
 Ｃ、Ｆｏｒｔｒａｎを問わず、コンパイラが行った最適化情報を知ることは性能最適化で重要である
 各ファイルのソースコードごとに、どのような最適化が行われたか出力する、コンパイラオプションがある Ｃ、Ｆｏｒｔｒａｎで共通の翻訳情報
 -Nlst=p ：標準の最適化情報を出力(デフォルト) -Nlst=t ：詳細な最適化情報を出力

155

お試しアカウント付き講習会

性能最適化情報の提示（2/2）
 Fortran のみ、p、t以外も指定可能-Nlst=a ：名前の属性情報を出力
 -Nlst=d ：派生型の構成情報を出力
 -Nlst=I ：インクルードされたファイルのプログラムリスト
およびインクルードファイル名一覧を出力を出力
 -Nlst=m ：自動並列化の状況をOpenMP指示文によって表現した原始プログラムを出力
 -Nlst=x ：名前および文番号の相互参照情報を出力
 詳細は、オンラインマニュアルの以下を参照のこと
 C言語使用手引書： P.26
 C++言語使用手引書： P.28
 Fortran使用手引書： P.46 P.52 P.53

156

お試しアカウント付き講習会

演習課題
逐次転送方式のプログラムを実行

1.


Wa1 のプログラム

二分木通信方式のプログラムを実行2.


Wa2のプログラム

時間計測プログラムを実行

3.


Cpi_mのプログラム

プロセス数を変化させて、サンプルプログラムを実行
Helloプログラムを、以下のように改良

4.
5.


157

MPI_Sendを用いて、プロセス0からＣｈａｒ型のデータ“Hello World!!”を、その他のプロセスに送信する
その他のプロセスでは、MPI_Recvで受信して表示する
お試しアカウント付き講習会

MPIプログラミング実習Ⅱ（演習）東京大学情報基盤センター 准教授

158

お試しアカウント付き講習会

片桐孝洋

講義の流れ
1.
2.
3.
4.

159

行列-行列とは（３０分）
行列-行列積のサンプルプログラムの実行
サンプルプログラムの説明
演習課題（１）：簡単なもの

お試しアカウント付き講習会

行列‐行列積の演習の流れ
 演習課題（Ⅱ）
 簡単なもの（３０分程度で並列化）
 通信関数が一切不要

 演習課題（Ⅲ）
 ちょっと難しい（１時間以上で並列化）
 １対１通信関数が必要
 演習課題（Ⅰ）が早く終わってしまった方は、やってみてください。
160

お試しアカウント付き講習会

行列-行列積とは実装により性能向上が見込める基本演算161

お試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積
 行列積

C = A ・ B は、コンパイラや計算機のベンチマークに使われることが多い 理由１：実装方式の違いで性能に大きな差がでる 理由２：手ごろな問題である（プログラムし易い） 理由３：科学技術計算の特徴がよく出ている
1. 非常に長い＜連続アクセス＞がある
2. キャッシュに乗り切らない＜大規模なデータ＞
に対する演算である
3. メモリバンド幅を食う演算（メモリ・インテンシブ）な処理である162

お試しアカウント付き講習会

行列積コード例（Ｃ言語） コード例for (i=0; i<n; i++)for (j=0; j<n; j++)for (k=0; k<n; k++)C[i][j] += A[i][k] *B[k][j];
j

k

C
i

A
i

163

j

B
k

お試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積n 行列積

cij   aik bkj (i, j  1, 2, ..., n)k 1の実装法は、次の二通りが知られている：

ループ交換法1.


連続アクセスの方向を変える目的で、行列-行列積を実現する３重ループの順番を交換する

ブロック化（タイリング）法

2.


164

キャッシュにあるデータを再利用する目的で、あるまとまった行列の部分データを、何度もアクセスするように実装するお試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積
 ループ交換法
 行列積のコードは、以下のような３重ループになる（Ｃ言語）

for(i=0; i<n; i++) {for(j=0; j<n; j++) {for(k=0; k<n; k++) {c[ i ][ j ] = c[ i ][ j ] + a[ i ][ k ] * b[ k][ j ];}}}
 最内部の演算は、外側の３ループを交換しても、計算結果が変わらない→ ６通りの実現の方法がある
165

お試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積
 ループ交換法
 行列積のコードは、以下のような３重ループになる（Fortran言語）

do i=1, n
do j=1, n
do k=1, nc( i , j ) = c( i, j) + a( i , k ) * b( k , j )
enddo
enddo
enddo
 最内部の演算は、外側の３ループを交換しても、計算結果が変わらない→ ６通りの実現の方法がある
166

お試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積
 行列データへのアクセスパターンから、以下の３種類に分類できる
1. 内積形式 (inner-product form)
最内ループのアクセスパタンが＜ベクトルの内積＞と同等
2. 外積形式 (outer-product form)
最内ループのアクセスパタンが＜ベクトルの外積＞と同等
3. 中間積形式 (middle-product form)
内積と外積の中間
167

お試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積
 内積形式 (inner-product form）

ijk, jikループによる実現（Ｃ言語） for (i=0; i<n; i++) {A
B
for (j=0; j<n; j++) {dc = 0.0;
for (k=0; k<n; k++){….
dc = dc + A[ i ][ k ] * B[ k ][ j ];}C[ i ][ j ]= dc;}●行方向と列方向のアクセスあり}→行方向・列方向格納言語の※以降、最外のループからの変数の順番で実装法を呼ぶ。たとえば上記のコードは＜ijkループ＞。
168

両方で性能低下要因
解決法：
A, Bどちらか一方を転置しておく

お試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積
 内積形式 (inner-product form）

ijk, jikループによる実現（Fortran言語）
 do i=1, nAB
do j=1, n
dc = 0.0d0
do k=1, n….
dc = dc + A( i , k ) * B( k , j )enddo
C( i , j ) = dc
enddo
●行方向と列方向のアクセスあり
enddo→行方向・列方向格納言語の※以降、最外のループからの変数の順番で実装法を呼ぶ。たとえば上記のコードは＜ijkループ＞。
169

両方で性能低下要因
解決法：
A, Bどちらか一方を転置しておく

お試しアカウント付き講習会

１.5 行列の積
 外積形式 (outer-product form）

kij, kjiループによる実現（Ｃ言語） for (i=0; i<n; i++) {A
B
for (j=0; j<n; j++) {C[ i ][ j ] = 0.0;….
}}
for (k=0; k<n; k++) {for (j=0; j<n; j++) {db = B[ k ][ j ];●kjiループではfor (i=0; i<n; i++) {列方向アクセスがメイン→列方向格納言語向き
C[ i ][ j ]= C[ i ][ j ]+ A[ i ][ k ]* db;（Ｆｏｒｔｒａｎ言語）}}}170
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１.5 行列の積
 外積形式 (outer-product form）

kij, kjiループによる実現（Fortran言語）
 do i=1, nAB
do j=1, n
C( i , j ) = 0.0d0
….
enddo
enddo
do k=1, n
do j=1, n
db = B( k , j )●kjiループでは
do i=1, n
列方向アクセスがメイン→列方向格納言語向き
C( i , j ) = C( i , j )+ A( i , k ) * db
（Ｆｏｒｔｒａｎ言語）
enddo
enddo
enddo
171
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１.5 行列の積
 中間積形式 (middle-product form）

ikj, jkiループによる実現（Ｃ言語） for (j=0; j<n; j++) {for (i=0; i<n; i++) {C[ i ][ j ] = 0.0;}
for (k=0; k<n; k++) {db = B[ k ][ j ];for (i=0; i<n; i++) {C[ i ][ j ] = C[ i ][ j ] + A[ i ][ k ] * db;
}
}
}


172

A

B
.
.

●jkiループでは

全て列方向アクセス→列方向格納言語に最も向いている（Ｆｏｒｔｒａｎ言語）

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１.5 行列の積
 中間積形式 (middle-product form）

ikj, jkiループによる実現（Fortran言語）
 do j=1, n
do i=1, n
C( i , j ) = 0.0d0
enddo
do k=1, n
db = B( k , j )do i=1, n
C( i , j ) = C( i , j ) + A( i , k ) * db
enddo
enddo
enddo


173

A

B
.
.

●jkiループでは

全て列方向アクセス→列方向格納言語に最も向いている（Ｆｏｒｔｒａｎ言語）

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１.5 行列の積
 小行列ごとの計算に分けて（配列を用意し）計算（＜ブロック化＞, ＜タイリング＞:コンパイラ用語）n/ 以下の計算n~~ ~C ij   A ik B kj

n

k 1

174



~
~ … A
A i1
i p

…

~
C ij

~
B1 j
~
B pj

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p
n/

p

１.5 行列の積
 各小行列をキャッシュに収まるサイズにする。

ブロック単位で高速な演算が行える
並列アルゴリズムの変種が構築できる

1.
2.

 並列行列積アルゴリズムは、データ通信の形態

から、以下の２種に分類可能：
1. セミ・シストリック方式


行列A、Bの小行列の一部をデータ移動（Cannonのアルゴリズム）

フル・シストリック方式

2.

175

行列A、Bの小行列のすべてをデータ移動（Foxのアルゴリズム）
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サンプルプログラムの実行（行列-行列積）176

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行列-行列積のサンプルプログラムの注意点
 C言語版/Fortran言語版の共通ファイル名

Mat-Mat-fx.tar
 ジョブスクリプトファイルmat-mat.bash

キュー名をlecture から tutorial に変更してから
pjsub してください。
 lecture : 実習時間外のキュー tutorial :実習時間内のキュー

177

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中の行列-行列積のサンプルプログラムの実行 以下のコマンドを実行する$ cp /home/z30082/Mat-Mat-fx.tar ./$ tar xvf Mat-Mat-fx.tar$ cd Mat-Mat 以下のどちらかを実行$ cd C : C言語を使う人$ cd F : Ｆｏｒｔｒａｎ言語を使う人
 以下共通$ make$ pjsub mat-mat.bash
 実行が終了したら、以下を実行する$ cat mat-mat.bash.oXXXXXX
178

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行列-行列積のサンプルプログラムの実行（Ｃ言語）
 以下のような結果が見えれば成功

N = 1000
Mat-Mat time = 0.209609 [sec.]
9541.570931 [MFLOPS]
OK!

１コアのみで、9.5GＦＬOPSの性能

179

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行列-行列積のサンプルプログラムの実行（Fortran言語）
 以下のような結果が見えれば成功

NN = 1000
Mat-Mat time[sec.] = 0.2047346729959827
MFLOPS = 9768.741003580422
OK!

１コアのみで、9.7ＧＦＬOPSの性能

180

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サンプルプログラムの説明
 #defineN
1000の、数字を変更すると、行列サイズが変更できます #define DEBUG 0の「０」を「１」にすると、行列-行列積の演算結果が検証できます。
 MyMatMat関数の仕様
 Ｄｏｕｂｌｅ型N×N行列ＡとＢの行列積をおこない、Ｄｏｕｂｌｅ型Ｎ×Ｎ行列Ｃにその結果が入ります181

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Fortran言語のサンプルプログラムの注意
 行列サイズＮの宣言は、以下のファイルにあります。
mat-mat.inc 行列サイズ変数が、ＮＮとなっています。
integer NN
parameter (NN=1000)

182

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演習課題（１） MyMatMat関数を並列化してください。
 #defineN192
 #define DEBUG 1として、デバッグをしてください。
 行列Ａ、Ｂ、Ｃは、各ＰＥで重複して、かつ全部（Ｎ×Ｎ）所有してよいです。

183

お試しアカウント付き講習会

演習課題（１） サンプルプログラムでは、行列Ａ、Ｂの要素を全部１として、行列-行列積の結果をもつ行列
Ｃの全要素がＮであるか調べ、結果検証しています。デバックに活用してください。
 行列Ｃの分散方式により、演算結果チェックルーチンの並列化が必要になります。注意してください。
184

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並列化のヒント 以下のようなデータ分割にすると、とても簡単です。

Ｃ
Ｎ/4

PE0

Ａ
Ｎ/4

PE１
PE2

Ｂ

PE0
PE１

＝

＊
PE2

PE3

PE3

N

N

 通信関数は一切不要です。

185

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PE0
PE１
PE2
PE3

全ＰＥで重複して全要素を所有MPI並列化の大前提（再確認） ＳＰＭＤ 対象のプログラム（mat-mat.c, mat-mat.f） は、
 すべてのＰＥで、かつ、
 同時に起動された状態から処理が始まる。
 分散メモリ型並列計算機
 各ＰＥは、完全に独立したメモリを持っている。他のＰＥからは、通信なしには参照できない。（共有メモリではない）
186

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MPI並列化の大前提（再確認） 各ＰＥでは、＜同じプログラムが同時に起動＞されて開始されます。

mpirun mat-mat.c
ＰＥ０

ＰＥ１

ＰＥ２

ＰＥ３

mat-mat.c

mat-mat.c

mat-mat.c

mat-mat.c187

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MPI並列化の大前提（再確認） 各ＰＥでは、＜別配列が個別に確保＞されます。
ＰＥ０
Ａ［N］［N］

ＰＥ１

ＰＥ２

Ａ［N］［N］

Ａ［N］［N］

ＰＥ３
Ａ［N］［N］

 myid変数は、MPI_Init()関数（もしくは、サブルーチン）が呼ばれた段階で、＜各ＰＥ固有の値＞になっています。
ＰＥ０

myid = 0

188

ＰＥ１
myid = １

ＰＥ２
myid = 2

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ＰＥ３
myid = 3

各PEでの配列の確保状況
 実際は、以下のように配列が確保されていて、部分的に使うだけになります

Ｎ/4

PE0

PE１

PE２

PE３

Ａ

Ａ

Ａ

Ａ

PE0
PE１
PE2
PE3
N
189

N

N
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N本実習プログラムのTIPS myid,numprocs は大域変数です myid (=自分のＩＤ)、および、numprocs(=世の中のＰＥ台数)の変数は大域変数です。MyMatVec関数内
で、引数設定や宣言なしに、参照できます。
 myid, numprocs の変数を使う必要があります MyMatMat関数を並列化するには、 myid 、および、

numprocs変数を利用しないと、並列化ができません。

190

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並列化の考え方（行列-ベクトル積の場合、Ｃ言語）
 SIMDアルゴリズムの考え方（４ＰＥの場合）
各ＰＥで
行列Ａ
重複して
for ( j=0; j<n/4; j++) { 内積( j, i ) }

所有する

PE0
for ( j=0; j<n; j++){ 内積( j, i ) }for ( j=n/4; j<(n/4)*2; j++) { 内積( j, i ) }PE１
for ( j=(n/4)*2; j<(n/4)*3; j++) { 内積( j, i ) }PE2for ( j=(n/4)*3; j<n; j++) { 内積( j, i ) }
PE3

191

お試しアカウント付き講習会

ベクトルｘ並列化の考え方（行列-ベクトル積の場合、Fortran言語）
 SIMDアルゴリズムの考え方（４ＰＥの場合）
各ＰＥで
行列Ａ
重複して
do j=1, n/4
内積( j, i )PE0 enddo

do j=1, n
内積( j, i )
enddo

所有する

do j=(n/4)+1, (n/4)*2
内積( j, i )PE１ enddo
do j=(n/4)*2+1, (n/4)*3
内積( j, i )PE2 enddo
do j=(n/4)*3+1, n
内積( j, i )PE3 enddo

192

お試しアカウント付き講習会

ベクトルｘ並列化の方針（Ｃ言語）
全PEで行列AをN×Nの大きさ、ベクトルｘ、ｙをNの大きさ、確保してよいとする。
各PEは、担当の範囲のみ計算するように、ループの開始値と終了値を変更する。

1.
2.


ブロック分散方式では、以下になる（n が numprocs で割り切れる場合）
ib = n / numprocs;for ( j=myid*ib; j<(myid+１)*ib; j++){…}（２の並列化が完全に終了したら）各PEで担当のデータ部分しか行列を確保しないように変更する。

3.

193

上記のループは、以下のようになる。
for ( j=0; j<ib; j++) { … }お試しアカウント付き講習会

並列化の方針（Fortran言語）
全PEで行列AをN×Nの大きさ、ベクトルｘ、ｙをNの大きさ、確保してよいとする。
各PEは、担当の範囲のみ計算するように、ループの開始値と終了値を変更する。

1.
2.


ブロック分散方式では、以下になる（n が numprocs で割り切れる場合）
ib = n / numprocs
do j = myid*ib+１, (myid+１)*ib
…..
enddo

（２の並列化が完全に終了したら）各PEで担当のデータ部分しか行列を確保しないように変更する。

3.


194

上記のループは、以下のようになる。
do j=１, ib…
お試しアカウント付き講習会
enddo実装上の注意 ループ変数をグローバル変数にすると、性能が出ません。

必ずローカル変数か、定数（ 2 など）にしてください。

ローカル変数にすること for (i=i_start;i<i_end; i++) {

…
…
}
195

お試しアカウント付き講習会

MPIプログラミング実習(Ⅲ)(演習)
実習（Ⅱ）が早く終わってしまった方のための演習です196

お試しアカウント付き講習会

講義の流れ
1.
2.
3.
4.

197

行列-行列積（２）のサンプルプログラムの実行
サンプルプログラムの説明
演習課題（２）：ちょっと難しい完全分散版
並列化のヒント

お試しアカウント付き講習会

サンプルプログラムの実行（行列-行列積（２））

198

お試しアカウント付き講習会

行列-行列積のサンプルプログラムの注意点
 C言語版/Fortran言語版のファイル名

Mat-Mat-d-fx.tar
 ジョブスクリプトファイルmat-mat-d.bash

キュー名をlecture から tutorial に変更してから
qsub してください。
 lecture : 実習時間外のキュー tutorial: 実習時間内のキュー

199

お試しアカウント付き講習会

中の行列-行列積(2)のサンプルプログラムの実行 以下のコマンドを実行する$ cp /home/z30082/Mat-Mat-d-fx.tar ./$ tar xvf Mat-Mat-d-fx.tar$ cd Mat-Mat-d 以下のどちらかを実行$ cd C : C言語を使う人$ cd F : Ｆｏｒｔｒａｎ言語を使う人
 以下共通$ make$ pjsub mat-mat-d.bash
 実行が終了したら、以下を実行する$ cat mat-mat-d.bash.oXXXXXX
200

お試しアカウント付き講習会

行列-行列積のサンプルプログラムの実行（Ｃ言語版）
 以下のような結果が見えれば成功

N = 384
Mat-Mat time = 0.000135 [sec.]
841973.194818 [MFLOPS]
Error! in ( 0 , 2 )-th argument in PE 0
Error! in ( 0 , 2 )-th argument in PE 61
Error! in ( 0 , 2 )-th argument in PE 51
Error! in ( 0 , 2 )-th argument in PE 59
Error! in ( 0 , 2 )-th argument in PE 50
Error! in ( 0 , 2 )-th argument in PE 58
・・・・
201

並列化が完成していないのでエラーが出ます。
ですが、これは
正しい動作です

お試しアカウント付き講習会

行列-行列積のサンプルプログラムの実行（Fortran言語）
 以下のような結果が見えれば成功

NN = 384
Mat-Mat time = 1.295508991461247E-03
MFLOPS = 87414.45135502046
Error! in ( 1 , 3 )-th argument in PE 0
Error! in ( 1 , 3 )-th argument in PE 61
Error! in ( 1 , 3 )-th argument in PE 51
Error! in ( 1 , 3 )-th argument in PE 58
Error! in ( 1 , 3 )-th argument in PE 55
Error! in ( 1 , 3 )-th argument in PE 63
Error! in ( 1 , 3 )-th argument in PE 60

… 202

並列化が
完成して
いないので
エラーが出ます。
ですが、これは正しい動作です。

お試しアカウント付き講習会

サンプルプログラムの説明
 #define N384
 数字を変更すると、行列サイズが変更できます #define DEBUG １
 「０」を「１」にすると、行列-行列積の演算結果が検証できます。
 MyMatMat関数の仕様
 Ｄｏｕｂｌｅ型の行列Ａ（（N/NPROCS）×N行列）とＢ（（N×（N/NPROCS）行列））の行列積をおこない、Ｄｏｕｂｌｅ型の（N/NPROCS)×Ｎ行列Ｃに、その結果が
入ります。

203

お試しアカウント付き講習会

Fortran言語のサンプルプログラムの注意
 行列サイズＮの宣言は、以下のファイルにあります。
mat-mat-d.inc 行列サイズ変数が、ＮＮとなっています。
integer NN
parameter (NN=384)

204

お試しアカウント付き講習会

演習課題（１） MyMatMat関数（手続き）を並列化してください。
 デバック時は#define N 384
としてください。
 行列Ａ、Ｂ、Ｃの初期配置（データ分散）を、十分に考慮してください。

205

お試しアカウント付き講習会

行列Ａ、Ｂ、Ｃの初期配置
 行列Ａ、Ｂ、Ｃの配置は以下のようになっています。

（ただし以下は４PEの場合で、実習環境は192PEです。）

Ｃ
N/
NPROCS

PE0
PE１
PE2

Ａ
N/
NPROCS
＝

Ｂ

PE0
PE１
＊ PE0
PE2

PE3

PE3

N

N

PE
１

PE2 PE3

N/NPORCS １対１通信関数が必要です。
 行列Ａ、Ｂ、Ｃの配列のほかに、受信用バッファの配列が

必要です。
206

お試しアカウント付き講習会

N入力と出力仕様
N/
NPROCS

入力：

Ａ

Ｂ

PE0
PE１
PE0
PE2

PE
１

PE2 PE3PE3ＣN/
NPROCS

N

PE0
PE１
PE2

：出力

N/NPROCSこの例は４PEの場合ですが、実習環境は
192PEです。

PE3
207

N

お試しアカウント付き講習会

N並列化の注意（Ｃ言語） 各配列は、完全に分散されています。
 各ＰＥでは、以下のようなインデックスの配列となってい

ます。

j

0
0

N-1
Ａ[i][j]i00jN/NPROCS-10i

B[i][j]j

0N-1
C[i][j]i

N/NPROCS-1

N/NPROCS-1
N-1

 各PEで行う、ローカルな行列-行列積演算時のインデックス指定に注意してください。
208

お試しアカウント付き講習会

並列化の注意（Fortran言語）
 各配列は、完全に分散されています。
 各ＰＥでは、以下のようなインデックスの配列となってい
j

ます。
1
1

N
Ａ( i, j )

i

1
1

j

N/NPROCS
1
B( i,
j)

i

1

N
C( i, j )i

N/NPROCSj

N/NPROCS

N 各PEで行う、ローカルな行列-行列積演算時のインデックス指定に注意してください。
209

お試しアカウント付き講習会

並列化のヒント 行列積を計算するには、各PEで完全な行列Bのデータがないので、行列Bのデータについて通信が必要です。
 たとえば、以下のように計算する方法があります。
 ステップ１

Ｃ

Ａ

PE0

PE0

PE１

PE１

Ｎ／ＮＰＲＯＣＳＮ／
ＮＰＲＯＣＳ

PE2
PE3

＝

Ｂ

＊ PE0
PE2
PE3

ローカルなデータを使って得られた行列-行列積結果
210

お試しアカウント付き講習会

PE
１PE2 PE3

並列化のヒント ステップ２

PE0

PE
１

Ａ

PE0

PE0

PE１

PE１

PE3

＝

自分の持っているデータをひとつ左隣りに転送する（ＰＥ０は、ＰＥ３に送る）【循環左シフト転送】

PE2 PE3

Ｃ

PE2

211

Ｂ

Ｂ
＊

PE2
PE3

ローカルなデータを使って得られた行列-行列積結果

お試しアカウント付き講習会

PE0

PE
１

PE2 PE3

並列化のヒント ステップ3

PE0

PE2 PE3

Ｃ

Ａ

PE0

PE0

PE１

PE１

PE2
PE3

212

PE
１

Ｂ

＝

自分の持っているデータをひとつ左隣りに転送する（ＰＥ０は、ＰＥ３に送る）【循環左シフト転送】

Ｂ
＊ PE0

PE2
PE3

ローカルなデータを使って得られた行列-行列積結果

お試しアカウント付き講習会

PE
１PE2 PE3

並列化の注意（１／３）
 循環左シフト転送を実装する際、全員がMPI_Sendを先に発行すると、その場所で処理が止まる。
（正確には、動いたり、動かなかったり、する）…
MPI_Send(…);
MPI_Recv(…);…
213

このMPI_Send
で止まる

お試しアカウント付き講習会

並列化の注意（２／３）
 MPI_Send で止まる理由
1.
2.
3.
4.
5.

MPI_Sendの処理中で、大きいメッセージを送るとき、システムのバッファ領域がなくなる。
バッファ領域が空くまで待つ（スピンウェイトする）。
バッファ領域が空くには、相手の受信が呼ばれる必要がある。
しかし、世の中に受信（MPI_Recv）をコールする人はいない。
バッファ領域が、永遠に空かない。
→一生、スピンウェイトから脱出できない。
（MPI_Sendの箇所でずっと止まる）
214

お試しアカウント付き講習会

並列化の注意（３／３）
 これ（デットロック）を回避するため、以下の実装を行う。
 ＰＥ番号が２で割り切れるＰＥ：
 MPI_Send(); MPI_Recv();
 それ以外のＰＥ：
それぞれに対応
 MPI_Recv();
 MPI_Send();215

お試しアカウント付き講習会

デットロック回避の通信パターン
 以下の２ステップで、循環左シフト通信をする

Ｂ

PE0

PE
１

ステップ１：
２で割り切れるＰＥがデータを送るPE2 PE3

ステップ２：
２で割り切れないＰＥがデータを送る216

お試しアカウント付き講習会

基礎的なMPI関数―MPI_Recv（１／２）
 ierr =MPI_Recv(recvbuf, icount, idatatype, isource,
itag, icomm, istatus);

recvbuf : 受信領域の先頭番地を指定する。
 icount : 整数型。受信領域のデータ要素数を指定する。
 idatatype : 整数型。受信領域のデータの型を指定する。
 MPI_CHAR (文字型) 、MPI_INT (整数型)、

MPI_FLOAT (実数型)、 MPI_DOUBLE(倍精度実数型)
isource : 整数型。受信したいメッセージを送信するPEのランクを指定する。
 任意のPEから受信したいときは、MPI_ANY_SOURCE を指定する。

217

お試しアカウント付き講習会

基礎的なMPI関数―MPI_Recv（２／２）
itag : 整数型。受信したいメッセージに付いているタグの値を指定する。
 任意のタグ値のメッセージを受信したいときは、MPI_ANY_TAG を

指定する。


icomm : 整数型。PE集団を認識する番号であるコミュニケータ
を指定する。
 通常ではMPI_COMM_WORLD を指定すればよい。



istatus : MPI_Status型（整数型の配列）。受信状況に関する情報が入る。専用の配列を宣言すること。
 要素数がMPI_STATUS_SIZEの整数配列が宣言される。
 受信したメッセージの送信元のランクが istatus[MPI_SOURCE]、

タグが istatus[MPI_TAG] に代入される。
218

ierr(戻り値) : 整数型。エラーコードが入る。
お試しアカウント付き講習会

実装上の注意 タグ(itag)について
 MPI_Send(), MPI_Recv()で現れるタグ（itag）は、任意のint型の数字を指定してよいです。
 ただし、同じ値（0など）を指定すると、どの通信に対応する
かわからなくなり、誤った通信が行われるかもしれません。
 循環左シフト通信では、MPI_Send()と MPI_Recv()の対が、２つでてきます。これらを別のタグにした方が、より安全です。
 たとえば、一方は最外ループの値iloopとして、もう一方をiloop+NPROCSとすれば、全ループ中でタグがぶつかることがなく、安全です。

219

お試しアカウント付き講習会

さらなる並列化のヒント
以降、本当にわからない人のための資料です。
ほぼ回答が載っています。

220

お試しアカウント付き講習会

並列化のヒント
1.
2.
3.
4.

循環左シフトは、ＰＥ総数-１回 必要
行列Ｂのデータを受け取るため、行列B[][]に関するバッファ行列B_T[][]が必要受け取ったB_T[][] を、ローカルな行列-行列積で使うため、B[][]へコピーする。
ローカルな行列-行列積をする場合の、
対角ブロックの初期値：ブロック幅*myid。
ループ毎にブロック幅だけ増やしていくが、Nを超えたら0に戻さなくてはいけない。
221

お試しアカウント付き講習会

並列化のヒント（ほぼ回答，Ｃ言語）
 以下のようなコードになる。
ib = n/numprocs;for (iloop=0; iloop<NPROCS; iloop++ ) {ローカルな行列-行列積 C = A * B;
if (iloop != (numprocs-1) ) {if (myid % 2 == 0 ) {MPI_Send(B, ib*n, MPI_DOUBLE, isendPE,
iloop, MPI_COMM_WORLD);MPI_Recv(B_T, ib*n, MPI_DOUBLE, irecvPE,
iloop+numprocs, MPI_COMM_WORLD, &istatus);} else {MPI_Recv(B_T, ib*n, MPI_DOUBLE, irecvPE,
iloop, MPI_COMM_WORLD, &istatus);
MPI_Send(B, ib*n, MPI_DOUBLE, isendPE,
iloop+numprocs, MPI_COMM_WORLD);}
B[ ][ ] へ B_T[ ][ ] をコピーする；
}
}

222

お試しアカウント付き講習会

並列化のヒント（ほぼ回答，Ｃ言語）
 ローカルな行列-行列積は、以下のようなコードになる。

jstart=ib*( (myid+iloop)%NPROCS );for (i=0; i<ib; i++) {for(j=0; j<ib; j++) {for(k=0; k<n; k++) {C[ i ][ jstart + j ] += A[ i ][ k ] * B[ k ][ j ];
}
}
}

223

お試しアカウント付き講習会

並列化のヒント（ほぼ回答，Fortran言語）
 以下のようなコードになる。
ib = n/numprocs
do iloop=0, NPROCS-1
ローカルな行列-行列積 C = A * B
if (iloop .ne. (numprocs-1) ) thenif (mod(myid, 2) .eq. 0 ) thencall MPI_SEND(B, ib*n, MPI_DOUBLE_PRECISION, isendPE,&
iloop, MPI_COMM_WORLD, ierr)call MPI_RECV(B_T, ib*n, MPI_DOUBLE_PRECISION, irecvPE,&
iloop+numprocs, MPI_COMM_WORLD, istatus, ierr)else
call MPI_RECV(B_T, ib*n, MPI_DOUBLE_PRECISION, irecvPE,&
iloop, MPI_COMM_WORLD, istatus, ierr)call MPI_SEND(B, ib*n, MPI_DOUBLE_PRECISION, isendPE,&
iloop+numprocs, MPI_COMM_WORLD, ierr)endif
B へ B_T をコピーする
endif
enddo

224

お試しアカウント付き講習会

並列化のヒント（ほぼ回答，Fortran言語）
 ローカルな行列-行列積は、以下のようなコードになる。

imod = mod( (myid+iloop), NPROCS )jstart = ib* imod
do i=1, ib
do j=1, ib
do k=1, n
C( i , jstart + j ) = C( i , jstart + j ) + A( i , k ) * B( k , j )
enddo
enddo
enddo

225

お試しアカウント付き講習会

おわり
お疲れさまでした226

お試しアカウント付き講習会

添付資料
行列積の並列アルゴリズムに興味のある方はご覧ください

227

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１.5.1 Cannonのアルゴリズム
 データ分散方式の仮定
 プロセッサ・グリッドは＜二次元正方＞

P (0, 0)…

…

P(0, p 1)

P ( p  1, 0)P( p 1, p 1)

 PE数が、２のべき乗数しかとれない 各PEは、行列A、B、Cの対応する各小行列を、１つづつ所有 行列A、Bの小行列と同じ大きさの作業領域を所有
228

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言葉の定義－放送と通信
 通信＜通信＞とは、１つのメッセージを１つのＰＥに送ることである
 MPI_Send関数、MPI_Recv関数で記述できる処理のこと
 １対１通信ともいう 放送＜放送＞とは、同一メッセージを複数のＰＥに（同時に）通信することである
 MPI_Bcast関数で記述できる処理のこと
 １対多通信ともいう 通信の特殊な場合と考えられる


229

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１.5.1 Cannonのアルゴリズム
 アルゴリズムの概略


１つ上に通信

第一ステップ

２つ上に通信BA：１つ右に通信：２つ右に通信

第二ステップA

２つ上に通信：２つ右に通信B：１つ右に通信230【通信パターンが１つ下に循環シフト】
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１つ上に通信【通信パターンが１つ右に循環シフト】

１.5.1 Cannonのアルゴリズム
 まとめ
 ＜循環シフト通信＞のみで実現可能 １対１通信（隣接通信）のみで実現可能
 物理的に隣接PEにしかつながっていない

ネットワーク（例えば二次元メッシュ）向き 放送処理がハードウエアでできるネットワークをもつ計算機では、遅くなることも231

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１.5.2 Foxのアルゴリズム
 アルゴリズムの概要
 第一ステップ

AB

 第二ステップ

A

B【放送PEが１つ右に循環シフト】
232

１つ上に通信

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１.5.2

Foxのアルゴリズム

 まとめ
 ＜同時放送（マルチキャスト）＞が必要
 物理的に隣接PEにしかつながっていないネット

ワーク（例えば二次元メッシュ）で性能が悪い（通信衝突が多発）
 同時放送がハードウエアでできるネットワークをもつ計算機では、Cannonのアルゴリズムに比べ高速となる

233

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１.5.3 転置を行った後での行列積
 仮定
1.
2.

データ分散方式：
行列A、B、C：行方向ブロック分散方式（Block，＊）メモリに十分な余裕があること：分散された行列Bを各PEに全部収集できること

 どうやって、行列Bを収集するか？
 2.4節の行列転置の操作をプロセッサ台数回実行

a
b
c

a b c
234

a
b
、 c
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a b c

、…

１.5.3 転置を行った後での行列積
 特徴
 一度、行列Bの転置行列が得られれば、一切通信は不要 行列Bの転置行列が得られているので、
たとえば行方向連続アクセスのみで行列積が実現できる（行列転置の処理が不要）

235

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１.5.4 SUMMA、PUMMA
 近年提案された並列アルゴリズム

SUMMA（Scalable Universal Matrix
Multiplication Algorithm）

1.




R.Van de Geijinほか、1997年

同時放送（マルチキャスト）のみで実現

PUMMA（Parallel Universal Matrix
Multiplication Algorithms）

2.


236

Choiほか、1994年
二次元ブロックサイクリック分散方式むきのFoxのアルゴリズム
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１.5.4 SUMMA
 アルゴリズムの概略

第一ステップA

B

A

B

第二ステップ237

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１.5.4 SUMMA
 特徴
 同時放送をブロッキング関数（例．MPI_Bcast）

で実装すると、同期回数が多くなり性能低下の要因になる
 SUMMAにおけるマルチキャストは、非同期通信の１対１通信（例．MPI_Isend）で実装することで、通信と計算のオーバラップ（ 通信隠蔽 ）可能
第２ステップ目で行う通信 次の２ステップをほぼ同時にをオーバラップ

A

B

A

B
…

238
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１.5.4 PUMMA
 概略

 二次元ブロックサイクリック分散方式用のFoxアルゴリズム
 ScaLAPACKが二次元ブロックサイクリック分散を採用していることから開発された
 例：＜同じPE＞が所有しA
Aているデータだから、所有データをまとめて＜同一宛先PE＞に一度に送る239

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１.5.5 Strassenのアルゴリズム
 素朴な行列積：

n の乗算と (n  1) の加算
33 Strassenのアルゴリズムでは
 アイデア：

log7

n

の演算

＜分割統治法＞

 行列を小行列に分割して、計算を分割

 実際の性能
 再帰処理や行列のコピーが必要 素朴な実装法より遅くなることがある
 再帰の打ち切り、再帰処理展開などの工夫をすれば、（ｎが大きい範囲で）効率の良い実装が可能
240

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１.5.5 Strassenのアルゴリズム
 並列化の注意 アルゴリズムを単純に分散メモリ型

並列計算機に実装すると通信が多発
 性能がでない PE内の行列積をStrassenで行い、PE間をSUMMAなどで実装すると効率的な実装が可能
241

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