⼭⽥ 倫⼤
ミネソタ⼤学２０２２年 ５⽉

船井情報科学振興財団

博⼠号取得報告書

⽶国ミネソタ⼤学数学科にポスドク研究員として勤めています、⼭⽥倫⼤です。ご報告が遅れましたが、２０１９年７⽉１３⽇に母校の英国オックスフォード⼤学の卒業式に出席しました。私は博⼠論⽂のディフェンスを２０１８年に終えていましたが、オックスフォード⼤学の博⼠課程は卒業式をもって正式に修了したことになります。

慣れ親しんだベリオール・カレッジの庭園にて卒業記念写真

多くの思い出が詰まったオックスフォードで家族や友⼈と卒業を祝うことができ、とても感慨深いものがありました。この歴史と伝統の街で私は素晴らしい⼈々と出会い、交流を深め、研鑽に努める中で⾃⼰を知り、私の「⽣きる道」を⾒つけました。オックスフォードで私の（研究者としてのみならず⼀⼈の⼈間としての）アイデンティティーが⽣まれたと⾔っても過⾔ではありません。特に、当該分野に於いて世界⼀の研究者の下で修練を積み、⽣涯の研究テーマに巡り会うことができました。組み合わせ論・数理論理学・代数学・位相幾何学などの異なる分野を繋ぎ数学の基本的枠組みを根底から変える美しいテーマだと思っています。博⼠課程の時から⽬標を⾼く持ち、既存研究の延⾧や応⽤ではなく独創的な発想を基に歴史に残る定理を⽰すことを⽬指しました。その分苦労もありましたが、これまで複数の分野で数々の⾦字塔を打ち⽴ててきた指導教授や研究グループのメンバーからモノの「⾒⽅」や「考え⽅」を学び、「⾰新の震源地」でその特別な空気感を含め多くを吸収しながら私も「発明者」を⽬指しました。その甲斐あって博⼠課程の間に独⾃の理論的枠組みを⽰し有名な未解決問題を解くことができました。

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卒業式の様⼦（卒業⽣は式の途中でガウンを着替えます）
研究成果
私の博⼠論⽂は組み合わせ論的・圏論的な⼿法を基に数理論理学・理論計算機科学・構成的数学の新しい数学的基礎を確⽴するものです。伝統的な集合論は論理・計算・数学の静的・外延的な側⾯しか捉えられないという根源的な問題がこの研究の出発点でした。1よりきめ細やかな動的・内包的な概念は数学の⾄る所に溢れており、静的・外延的な構造はその「影」に過ぎません。しかし集合論は後者しか捉えられないため、再帰理論や位相幾何学などで本質的に動的・内包的な概念を扱う際に根本的な「無理」が⽣じます。故に、動的・内包的な概念を捉えられる新しい論理・計算・数学の基礎を確⽴することで、数学とその基礎に⾰命を齎せると考えました。この考1 静的・外延的な概念とは集合や関数の様に「要素の集まり」として定義される概念を指します。

例えば⾃然数の集合は 0, 1, 2, … と無限に続く⾃然数をその要素とし、数を２倍する関数は任意の⼊⼒ n に出⼒ 2n を対応させた組 (n, 2n) の集まりとして定義されます。反対に動的・内包的な概念とは「要素をどのように計算するか」というアルゴリズムを指します。例えば上の例の動的・内包的なバージョンを考えると、⾃然数を全てどの様に列挙するか、また数の２倍をどの様に計算するか、といったより複雑な問題が浮かび上がります。この例に⾒られるように静的・外延的な概念は伝統的な集合論によって定義できる⼀⽅、よりきめ細やかな動的・内包的な概念の﹅﹅﹅﹅﹅

数学的定義は煩雑かつ困難です（ここで動的・内包的な概念が静的・外延的な概念を包含・洗練することに注意して下さい）。そのため動的・内包的な概念はこれまで数学的に確⽴されませんでした。尚、（理論）計算機科学はアルゴリズムをその対象とする学問ですが、ここでは「アルゴリズムを数学的にどの様に定式化するか」というより基礎的な問題を扱っています。

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えに基づいて私の博⼠論⽂は組み合わせ論・圏論的な⼿法によって動的・内包的な概念を捉えることのできる新しい数理論理学・理論計算機科学・構成的数学の数学的基礎を確⽴しました。
これまでに博⼠論⽂の成果を全てジャーナルに出版することができました。その内訳はMathematical Structures in Computer Science という計算機科学を動機とする数学（特に代数学・数理論理学・幾何学）2に関するトップ・ジャーナルから２本3、フィールズ賞受賞者も論⽂を投稿するなど数学全体を通して権威があるジャーナル Research in the Mathematical Sciences から１本4です。
これらの論⽂は上に述べた問題を新しい発想や独⾃の理論的枠組みにより解決するものであり、博⼠課程に於ける私の⽬標を達成することができたと思っています。その内容は例外的に⾧く複雑ですが、独⼒でこれを書き上げ権威あるジャーナルに出版したことで⾃信になりました。
誇れるもの
私の博⼠課程の中で誇れることがあるとすれば、それは⾃ら険しい道に挑んだ「勇気」だと思います。 多くの場合、研究において最も難しいステップは新しく「価値のある」研究課題を⾒つけること、その次に難しいステップは研究課題に有効な解決⼿法を⾒つけることです。研究課題とその解決⼿法が⾒つかれば、実際にその⼿法を⽤いて課題を解決したり、その基本的枠組みに改良を加えることは⼤抵それ程難しくありません。これは学問に限ったことではなく、他の領域に於いても１を１０にすることより０を１にすることの⽅が遥かに難しいのではないでしょうか。
少し脱線しますが、学校の試験では殆どの場合決まりきった問題に対して与えられた解法を適⽤するのみです。しかし、上に述べた様に研究の視点から⾔えばこのステップは取るに⾜りません。いくら試験で１００点を取ったところで何も新しい発⾒はないため研究の視点から⾔えば「０点」です。研究ではまず「価値ある」問いを⾒つけること、次に何をもってその「正解」とするかということが中⼼にあります。また、新しい「問い」や「正解」にたどり着く道筋は⾃明でないことが殆どです（そうでなければその道筋は既に発⾒されている筈です）。研究が勉強よりも⾯⽩くまた難しい所以はこれらの点にあると考えられます。
話を戻します。新しい研究を⾏うことの難しさのため、学⽣の多くは指導教官から研究課題を与えられたり、その課題を共同研究という形で解きます。これは研究者の卵である学⽣がスムーズに研究成果を出しながら研究のイロハを⾝につけていく⼿段として理に適っています。⼀⽅、このやり⽅に於いて学⽣は指導教官の「⼿伝い」の域を出難いという側⾯があります。また指導教官の研究プロジェクトが学⽣の研究興味と正確に合致しない場合、学⽣側の妥協が必要です。私が所属していた研究グループでも学⽣の多くは指導教授やポスドクと共同研究を⾏う形で研究を⾏っていました。⼒のある学⽣のみが独⾃の研究を単独で進めていました。
私は「内包的・構成的な数学」という⼤体の研究テーマを持って博⼠課程に進学しました。
しかし、私の指導教授は当時これに関する研究を進めている訳ではありませんでした。故にこのテーマに拘る場合、私に共同研究という選択肢はなく基本的に独⼒で研究課題を設定し問題を解

2 解析学などの伝統的な数学の殆どは物理学をその動機としていますが、圏論・トポス理論などのより現代的な数学の中には理論計算機科学・数理論理学と深い関連のある分野があります。
3 Yamada, N., & Abramsky, S. (2020). Dynamic game semantics. Mathematical Structures in

Computer Science. DOI: 10.1017/S0960129520000250
Yamada, N. (2022). Game semantics of Martin-Löf type theory. arXiv preprint arXiv:1905.00993.
Accepted by Mathematical Structures in Computer Science.
4 Yamada, N. (2019). A game-semantic model of computation. Research in the MathematicalSciences, 6(1), 3.

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かなければなりませんでした。⾃⽴して研究を⾏う場合は既にその分野の研究経験があることが望ましいですが、当時の私は学⼠課程を終えたばかりで新しい分野に⾶び込んだ状態でした。5また、私の指導教授は学⽣に⾃⽴を求めその指導スタイルはポスドクに対するものとほぼ同様でした。この厳しい状況の中でも私は野⼼的で強く情熱を感じられる研究テーマを探し続けました。
「０を１にする」ことができる独創的な研究者になりたいという想いもありました。その結果、研究課題を定めるまでに２年以上の歳⽉が経ちました。学⽣の多くが１年⽬から研究を⾏う中、研究課題さえ決まらない期間は恐怖そのものでした。私の博⼠課程の中でこの期間が最⼤の試練でした。何度も研究テーマを妥協しようとも考えましたが、その度に勇気を持って⾃分の⽬標や研究興味に拘りました。尚、博⼠課程は疎か研究者として⽣きていく上でも独創的な研究成果は必須ではありません。実際、勢いのある研究の「追随者」としてキャリアを重ねる研究者は少なくありません。キャリアの安定を考えた場合寧ろ「追随者」という戦略が賢い様にも思えます。
関連分野を学び指導教授や研究グループの他のメンバーと議論を続ける中で様々な⽅向性を模索し、博⼠課程の３年⽬にようやく「これが⾃分の研究である」と真に感じられる（上に述べた）独⾃の研究テーマを⾒出しました。当時の指導教授も「⾃分の学⽣がとても⾯⽩い問題に取り組んでいる」と思わず周囲に溢していました。それまでのフラストレーションもあり、研究課題を設定した後は破⽵の勢いで研究を進め、その後約２年間で上に述べた成果を出しました。
この様な「無茶」は勧められたものではありませんが、6この経験があったからこそ今⽇の私があります。研究や⾃分⾃⾝について必死に考え、指導教授と根源的な問いに関して議論を重ねることで研究者として⼤きく成⾧し早くから⾃⽴することができました。特に、研究のスタート地点からある意味⼀番難しい「⽣涯の研究テーマ」と「独創的な研究成果」を追い求めたことで、物事の本質を俯瞰的に⾒抜く⼒とその本質を的確に描き出す独⾃の数学的枠組みを⼿に⼊れました。今⽇の私の研究活動はこの俯瞰的な視点と独⾃の数学的枠組みに基づいています。
Quantum Group
私がオックスフォード時代に所属した研究グループ Quantum Group は２０００年代前半に私の指導教官である Samson Abramsky と Bob Coecke が量⼦物理学の数学的基礎に関して圏論・幾何学による⾮常に画期的な数学的枠組み7を考案したことに端を発します。Quantum Group はこの圏論・幾何学的量⼦物理学の数学的基礎を中⼼にこれまで関連分野に新しい⾦字塔を次々と打ち⽴て世界をリードしてきました。Quantum Group のもう⼀つの特徴は極めて学際的な研究を⾏っている点です。これまで（⾼階）圏論・代数学・数理論理学などの純粋数学から数理物理学・理論計算機科学など世界でも稀に⾒るほど多岐に渡る研究を⾏ってきました。卒業⽣の多くはアカデミアに職を得ますが、その進路も純粋数学・応⽤数学・物理学・計算機科学・哲学など多岐に渡ります。
5 私は博⼠課程⼀年⽬の試験でその年の学年トップの成績を収めましたが、研究経験の⾯で同級⽣に遅れを取っていました。博⼠課程においてもコースワークを通して基礎的な知識を身につけることは⼤切ですが、それより遥かに⼤切な点は「研究能⼒」を身につけることです。
6 私の研究グループの後輩の中で最も優秀だと感じた学⽣の⼀⼈は私と同様に独創的・野⼼的な研究に拘りました。彼も博⼠課程中に何度も研究分野を変えながら後半⼀気に研究を進めました。
現在彼はポスドク４年⽬を迎えていますが、私の知る限りこれまで論⽂を⼀本も出版していません。⼀⽅、特に⽬⽴たなかった同級⽣がそれほど研究内容に拘らない⼀⽅で論⽂を量産し順調にキャリアを進めている例は枚挙にいとまがありません。「つまらない論⽂は書きたくない」と拘ることは⼤切ですが、拘りすぎるとつまらない論⽂さえ書けなくなる危険がある様に⾒えます。
7 最近この⼊⾨書の邦訳が出版されました：https://www.morikita.co.jp/books/mid/017011

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Quantum Group には世界中から学⽣が集まりますが、世界でも有数の数学修⼠プログラムであるケンブリッジ⼤学の「Part III」やオックスフォード⼤学の数学と計算機科学の数学的基礎の合同修⼠プログラム「MFoCS」で優秀な成績を収めたエリートの存在が⽬⽴ちました。欧州の⼤学では Quantum Group での研究に必要な基礎知識を早い段階で学ぶ機会があり、また QuantumGroup の名声が優秀な学⽣を集める、という仕組みが上⼿く機能している様に⾒えました。
尚、Quantum Group は計算機科学科に属していますが、⼀般的な理論計算機科学の研究を⾏なっている訳ではありません。上に述べた様に Quantum Group の研究は圏論や幾何学を軸に物理学や論理学の数学的基礎に関するものであり、オックスフォード⼤学計算機科学科の他のどの研究グループとも⼀線を画しています。8このことからも今後⼤学院進学を考えている⽅には⼤学・学科ではなくあくまで研究グループ・指導教官の粒度で進学先を決めてほしいと思います。
私は Quantum Group で博⼠課程を過ごしたことを⼤変幸運に思っています。そこでは世界有数の研究者達が世界を驚かせる様なアイディアを⽣み出す課程を⽬の当たりにすることができました。彼らは物事をより本質的により深く捉え、失敗を恐れずに新しいアイディアを次々と試します。⽇本で時折感じた「天下り的に」知識を受け⼊れたり「失敗しないことに価値を置く」姿勢とは真逆とも⾔える空気感がそこにはありました。9当時の私は幾分背伸びをして彼らと同様に発想の（「消費者」ではなく）「提供者」を⽬指し、指導教授や他の研究者と根源的な問題に関する議論を通して新しいアイディアや視点を模索しました。この過程で研究者として⼤きく成⾧することができました。「独創は感染する」という⾔葉を⽿にしたことがありますが、この⾔葉は真実を⾔い当てていると思います。この貴重な経験は今⽇の私の研究の礎となっています。
特に当該分野に於いて世界⼀の研究者である Abramsky から多⼤な影響を受けました。彼は私の（決してスタンダードではない）視点や問題意識を深く理解し強く共感した上で私と対等の⽴場で議論して下さいました。また、私の数学的枠組みは彼が歴史にその名を深く刻んだ⼿法に基づいています。今⽇の私独⾃の視点や研究は彼の指導無しにはあり得ませんでした。
友⼈の存在
オックスフォードでは素晴らしい友⼈に恵まれました。⼊学して間もなく私と同じベリオール・カレッジで理論物理学を専攻するイタリア⼈の同級⽣と親しくなりました。互いに慣れない初めての環境の中、英国や寮の悪⼜を冗談交じりに笑い合ったり、街や⼤学の情報を共有できる存在はとても貴重でした。初年度２⽉の合同晩餐会ではユニバーシティ・カレッジの学⽣とテーブルを共にし、これがきっかけで歴史学を学ぶオーストラリア⼈の学⽣と知り合いました。彼⼥はオーストラリアに帰国後もイギリスや⽇本に遊びに来てくれました。今でも家族ぐるみで交流が続いています。２０１６年に彼⼥はオーストラリアの権威ある⽂学賞を受賞し、現在作家として⼤活躍しています。10また、２０１２年の年末に友⼈に誘われて⽇本学部の忘年会に顔を出したところ、漫画「デスノート」について「⽇記に記すことの⽂化的意味」という観点から分析を⾏い、これに関して修⼠論⽂を書いていたイタリア⼈の学⽣と知り合いました。私よりも⽇本語が流暢な（！）この青年と漫画の話で意気投合し、それ以来彼とは唯⼀無⼆の親友となりました。

8 ケンブリッジ⼤学・オタワ⼤学・ストックホルム⼤学・京都⼤学などで Quantum Group と同様の研究を⾏っている研究グループは数学科に属しています。
9 なぜ⽇系企業はスマートフォンの改良はできてもスマートフォンという概念⾃体を発明できなかったのかが腑に落ちた気がしました。
10 彼⼥の最新作に私もほんの少し登場しています：http://katherinebrabon.com/theshutins

Page 5 of 6留学を通して友⼈の⼤切さを学びました。彼らのお陰で孤独に苛まれず、⽇々の楽しみが⼤きくなり、互いに学び合うことができました。また、友⼈にとって私も「プラスの存在」でありたいと思うことが時に⼤きな原動⼒となりました。留学前の私は社交的な⽅ではありませんでしたが、彼らから背中を押される形で気が付けば⾃分で⾷事会を主催する様になりました。
また、オックスフォードで出会った学⽣は「ガリ勉の優等⽣」というよりも「学校の勉強は退屈だったけれど研究は⾯⽩いよね」と茶⽬っ気たっぷりに話す様な⼈間味に溢れた⼈達でした。勉強に興味が持てず⾼校を中退した経験を持つ学⽣に出会ったことも⼀度や⼆度ではありませんでした。私も⾼校時代まで「考えることを放棄し天下り的に知識を受け⼊れることを評価する」様な学校の勉強11に興味が持てず、勉強よりもサッカーに夢中なタイプでした。故に、オック
スフォードで同じ視点や価値観を持つ友⼈に出会った時の嬉しさはひとしおでした。当時⽇本で「変わり者」だった私は「間違っていなかった」のだと優しく背中を押された気がしました。

任天堂がテーマの仮装パーティーにて友⼈と博⼠論⽂提出⽇に駆けつけてくれた友⼈と終わりに最後に改めて船井財団の皆様に深くお礼申し上げます。博⼠課程時代に唯⼀無⼆の研究者であるオックスフォードの指導教授の下で独創的・野⼼的な研究に挑戦したからこそ今⽇の私があります。財団の皆様の温かいご⽀援無しにここまでたどり着くことはできませんでした。
博⼠課程修了後これまで約３年間⽶国ミネソタ⼤学で研究を⾏ってきました。この期間にCOVID-19 の影響など様々な困難がありましたが、これを乗り越え挑戦的な未解決問題を３つ解くことができました。今年後半のオーストラリア国⽴⼤学での研究滞在の後、２０２３年から２年間ポルトガルのミーニョ⼤学とコインブラ⼤学で研究を⾏う予定です。これまでは独⾃の研究⼿法に注⼒してきましたがミネソタ時代にこれを納得のいく形に纏めることができたため、今後はこの⼿法と位相幾何学・代数学・（⾼階）圏論・ラムダ計算など他分野との関連を深めていきたいと考えています。これらの研究分野に関して上に述べたポルトガルの研究機関は世界有数の研究者を擁しており、魅⼒的な環境だと感じています。今後⼀層の努⼒を重ね、財団の皆様に⽀えて頂いた研究が花開く様に邁進して参ります。今後とも温かく⾒守って頂ければ幸いです。

11 あくまで個⼈的な体験です。充実した学⽣時代を過ごされた⽅も多くいらっしゃるはずです。

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