山田倫大

オックスフォード大学
２０１８年

船井情報科学振興財団

１２月

第１１回留学生レポート

It is impossible to be a mathematician
without being a poet in soul (Sofia Kovalevskaya).
英国オックスフォード大学計算機科学科に所属しています、山田倫大です。早いもので２０１８年も残り１ヶ月を切りました。昨年１０月の博士論文提出からディフェンスまで４ヶ月（通常は１−２ヶ月）、その結果、合格を頂いたものの、そこで指摘された箇所を訂正し論文を再提出してからそのチェックに更に３ヶ月を要するという異例続きの事態でしたが、先日ようやく最終的な手続きに入ったとの報告がありました（後は事務的な手続きを残すのみ）。指摘された訂正箇所もその大部分が最終的に撤回され無意味に終わるなど、非常にストレスの多いプロセスでした。この詳細は次回の卒業報告書に書きたいと思います。本稿では論文出版のお知らせと、これに関連させながら、今年の夏の交流会で時間の都合上話せなかった内容について書きたいと思います。
RMS論文出版
今年１１月、私の論文1が数学の学術雑誌 Research in the Mathematical Sciences (RMS)2 から出版されました。RMSは世界を代表する数学者も論文を投稿する権威ある学術雑誌であり、伝統的な研究分野だけでなく新しい分野の出版にも注力しています。RMSを選んだ主な理由は次の通りです：
1. 私の論文は（高階）計算（可能性）理論の数学的基礎として新しい手法を提案したものであったことから、新しい研究分野も出版対象としているRMSが適していた。
2. 米国留学時代に指導して頂いた世界的な整数論の権威であるケン・オノ先生がRMSの編集長を務めていらっしゃることから、この雑誌での出版が彼への恩返しになると考えた。3
この論文の中で解いた問題をぼんやりと遠くに思い浮かべてから約４年、その第一原稿を書き上げてから約２年の歳月が流れましたが、船井情報科学振興財団の方々をはじめ、これまでお世話になった方々に喜んで頂ける様な成果を出すことができて大変嬉しく思っています。
以下、この論文の内容を簡単に解説したいと思います。はじめに歴史的背景について説明します。この論文の起源は１９３６年に英国人数学者であるアラン・チューリング4 が自然数5に関する演算の「計算可能性」について数学的に厳密な定義を与えた歴史的な業績6 に遡ります。それまでは、例えば四則演算が「計算可能」であることは直感的に当たり前のこととして扱われていま﹅﹅﹅したが、チューリングは自然数に関する任意の演算が「計算可能」であるとはどういうことかと
1 https://rdcu.be/bbLtd
2 https://www.springer.com/mathematics/journal/40687
3 この出版に際して彼からお祝いのメッセージを頂きました。
4 チューリングの生徒であったロビン・ガンディと更にその生徒であったマーティン・ハイランドの研究も今回の私の論文と非常に深い関わりがありますが、本稿ではこれを割愛します。
5 自然数とは「ものを数え上げる際に用いる数」、つまり 0, 1, 2, … のことです。
6 https://www.cs.virginia.edu/~robins/Turing_Paper_1936.pdf

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いう極めて一般的な問いに概念的に自然かつ数学的に厳密な解を与えました。この前後に自然数に関する演算の「計算可能性」の定義が他にも幾つか提案されましたが、間も無くしてこれらは全てチューリングの定義と一致することが証明されました。この結果を経て、１９４３年にチューリングの定義（及び他の同値な定義）を自然数に関する演算の「計算可能性」の数学的な定義として公式に採用するチャーチ・チューリングのテーゼが提案されました。これは数学の歴史の中でも特に画期的な出来事であり、それまでの数学に「計算可能性」という新たなレンズが加わり、後にこの概念自体を探求する再帰理論・計算可能性理論という分野が発展しました。
また、チューリングのこの業績の元々の動機は（当時の数学会のリーダーであったドイツ人数学者ディビッド・ヒルベルトが１９２８年に発表した）次の問いに解を与えることでした：第一階述語論理において、任意の言明に証明が存在するか否かは「計算可能」であるか？チューリン
グは上に紹介した論文の中でこれが「計算不可能」であることを証明しました。つまり、彼は任意に与えられた数学的言明が証明可能か否か（或いは真か偽か7 ）は「計算不可能」であることを証明し、数学の本質的な限界の一つを示しました。ここで注意したい点は、ある演算が「計算可能」であることを示すためには実際にそれを実演すればよいのですが、逆に「計算不可能」であることを示すためにはそもそも一般的な「計算可能性」の定義が必要であり、その演算を「計算可能」とする仮定から矛盾を導く必要があります。何故なら、例えば私にとってその演算がいくら「計算不可能」に思えても、それは数学的な証明とはなり得ないからです（１００年後に現れた大天才がこれを解くかもしれません）。故に、チューリングはまず自然数に関する8演算の「計算可能性」を定義する必要があったのです。最後に、チューリングの業績は純粋数学のみならず後にコンピュータの発明へと繋がり、私たちの生活を大きく変えたことを付け加えておきます。

アラン・チューリング（１９１２ー１９５４）
ここから私の論文について解説します。まず、チューリングらが確立した古典的計算（可能性）理論には次の問題点があります：

7 クルト・ゲーデルの完全性定理により、第一階述語論理の中で数学的言明が証明可能であることと真であることは同値です。
8 数理論理学における形式的な言語は自然数に符号化できるため、ヒルベルトの問いは自然数に関するある演算の「計算可能性」を問うものと見なすことができます。

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1. 基本的に自然数に関する演算の「計算可能性」しか扱えない。
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2. 数学的オブジェクト自体ではなく、あくまでその記号的表現に関する操作しか扱えない。
１点目についてですが、数学には自然数以外にも多くのオブジェクトが存在するにも関わらず、チューリングらの枠組みでは基本的に自然数の演算に関する「計算可能性」しか扱えません。この問題に対して他のオブジェクトを自然数に符号化して扱うアプローチがありますが、その符号化の「計算可能性」がそもそも定義されていないため本末転倒です。また、自然数に符号化できないオブジェクトも数多く存在します。より一般的に、これまでに提案された古典的「計算可能性」の一般化のほとんどはチューリングの枠組みが持つ直接的・原始的な性質を受け継いでいません。
つまり、この８０年以上の間、チューリングの業績の本質的な一般化は達成されませんでした。
より数学的に明確な事実としては、これまでの一般化のアプローチの間に（上に述べた古典的計算可能性理論の中で成り立つ様な）同値性はほとんど成り立っていないことが挙げられます（つまり、古典的「計算可能性」の数学的にロバストな一般化は確立されていない）。２点目についてですが、チューリングの枠組みは厳密に言えば自然数ではなくその記号的表現の操作を扱います。
しかし、数学において記号的表現は二次的である9 ため、自然数自体（より一般的に数学的オブジェクト自体）に関する演算を直接扱えることが（数学的な観点からは）望ましいのです。
私の論文はこの二つの問題に解決を与えました：自然数を越えたより一般的な数学的オブジェクト自体（その記号的表現ではない）に関する演算及びその「計算可能性」を扱うことのできる数学的枠組みを与え、これがチューリングの「計算可能性」を一般化していることを証明しました。
これにより、例えば「計算不可能」な二つの実数10の足し算が「計算可能」であることが非常に自然な形で表現できます。また主要な定理の系として、私の一般化された「計算可能性」の自然数への限定が古典的「計算可能性」と正確に一致することや、計算可能性理論の主要な定理が一般化されることを示しました。これらの結果から、私の一般化が妥当なものであると考えられます。
ところで、この論文の核は次の発想にあります：﹅﹅

1. 有限の表で示される演算は明らかに「計算可能」であるが、有限性は「計算可能性」の定義と﹅﹅して非常に非力である（チューリングの「計算可能性」にも遠く及ばない）。そのため、有限﹅

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﹅の表で示される演算で示される演算を「計算可能」と定義した。112. 数学的オブジェクト自体に関する演算とその記号的表現に関する操作を分離・区別し、これらを統一的に扱うことのできる数学的枠組みを与えた。
3. 数学的オブジェクトを「計算を行うオラクル」と捉え、チューリングらのスタンドアローンな計算を「計算者」と「オラクル」とのインタラクティブな「計算ゲーム」へと一般化した。
正確に言えば、２・３点目は完全に私のオリジナルな発想ではありませんが、私の貢献はこれらを数学的に厳密に定式化した点にあります。また１点目の発想はとてもシンプルですが、これがチューリングの定義を一般化することを証明するためには多くのページ数を要しました。実際に、

9 例えば、自然数という概念自体はその記号的表現（２進数・１０進数など）に依存しません。こ

こで、私の数学的立場は記号的概念を第一義的と捉えることの多い（理論）計算機科学者の立場と対立することを付け加えておきます。
10 実数とは「長さを測る数」であり、（無限に続く）小数で表現される数です。0.999…やπなどの実数はその小数表現の各桁が（チューリングの定義した意味で）「計算可能」ですが、これが「計算不可能」な実数も無数に存在することがチューリングの業績から容易に導かれます。
11 もちろん、この定義を再帰的に繰り返すことは可能です。私の論文はこれを無限に繰り返すことにより「計算可能性」の無限階層が現れるか否かという問題を最後に提示しています。

論文は７９ページの長さとなり、専門家でも通読に骨が折れます。12 一方、論文冒頭のイントロダクションは比較的一般向けに書いてありますので、一度目を通して頂けると幸いです。
シンギュラリティについて上に紹介した論文に関連して、近年よく耳にする人工知能・シンギュラリティ（技術的特異点）について一つの観点を述べたいと思います。今年７月にロサンゼルスで行われた財団の夏の交流会の講演で話そうと考えていた内容ですが、時間の都合上割愛したものです。
シンギュラリティとは「将来、人工知能が人間の知性を上回り、そのために社会が大きく変わる」という仮説を指します。私は人工知能の専門家でないため正確なことは言えませんが、現在の主な人工知能はあくまで統計的な手法によるものであり、人間のように言葉の「意味」を理解するところまでは至っていないというのが私の理解です。13 故に、少なくともシンギュラリティは今すぐに起こることはなく、現在のメディアは少し大げさに騒ぎ過ぎであると感じています。しかし一方で、言葉の「意味」を理解する人工知能が今後開発される可能性は否定できません。
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ここで私の倫理的な立場を表明しておくと、私はある技術の開発が可能であることと、それ﹅﹅﹅﹅を実際に開発するべきであることは区別しなければならないという考えを持っています。例えば、地球を何回も破壊できるような核兵器を開発できるからといって、それを開発するべき（況してや使用するべき）ではありません。同様に、人間の知性を上回るような人工知能の開発が可能であるという発見は科学的に価値がありますが、仮にそうであったとしても私はその開発をするべきではないと考えます。ある意味、クローンに関する倫理的な問題と似ているかもしれません。
その上で贅沢を言うならば、「人間に固有の」知性や能力は人工知能にそもそも実現不可能であってほしいと私は願います。何故ならば、人間にしかできないことは人間の存在意義に直結しているからです。人間の肉体的・物理的な能力は機械のそれに譲るものが多いとしても、その他の能力や知性は人間に固有であり、人を人たらしめるものであり続けることを強く希望します。
以下、この希望に関して一筋の光を投げかけたいと思います。はじめに、数学的な事実として人工知能には次に述べる限界があります。既に述べたチューリングの業績の簡単な帰結として、０から１の間に無数の「計算不可能」な実数が存在することが示されます。要するに、一次元の０と１の間という僅かな区間さえ、全ての数（又は直線上の点）を正確に指定することはできません。現実世界は３次元で、さらに時間の軸もあります。また、非常に多くの生物や人工物がそれぞれ独立に、また互いに連携しながら動いています。要するに、物理的・アナログな現実世界は二進数から成る数学的・ディジタルな人工知能にとって「計算不可能」なことだらけなのです。一方で、我々人間は現実世界に存在するため、人工知能に実現不可能な物理的・アナログな仕事の何かが人間には実現できるのではないかと私は推測し、また願っています。
ここで身近な例として音楽を挙げたいと思います。まず注意したい点は、楽譜はディジタル・データとして扱うことができますが、これを実際に演奏する際には物理的・アナログな音に変換され現実世界に現れるということです。ここで重要な点は（先程述べた様にチューリングの業績の帰結により）アナログ・データにはディジタルで表現できない部分が無数にあるということです。
つまり、例えば譜面通りに楽器を演奏するロボットが開発されたとしても、楽譜では表現できないアナログな「フィーリング」まではそのロボットに表現できません（もちろん言葉もディジタル・データであるため、その「フィーリング」を完全に言葉で捉えることは不可能ですが）。そして、楽器の演奏に限らず、ディジタル・言語的には表現不可能な「職人技」が人間には可能であり、ま12 正直、私も二度と通読したくありません。
13 ここでの言葉の「意味」は直感的・インフォーマルなものです。

たそれが人間に知覚可能（かつ価値がある）であることが科学的に示されれば、14人工知能に実現不可能な価値ある人間の能力が示されたことになります。もちろん、その様な発見のためには物理学・生物学・脳科学などの学問分野の大きな発展が必要でしょう。いつの日かこれが真実として示されることを私は願っています。
ここで面白い点は、チューリングの業績の様に何かの「不可能性」を示すことはネガティブな印象を与えるかもしれませんが、それにはポジティブな面があるということです。それは、人工知能に実現不可能なことを通して、人間の価値がより強調される可能性があるということです。15 もう一つの例として、人間が（自然の力を借りずに）木材を生成することは不可能ですが、与えられた木材を用いて家を建てることは可能であることを挙げたいと思います。自分達だけでは決して家を建てることができないため、人間は自然の恵みに感謝し畏敬の念を持ちます。
因みに、この様に現実世界の例を用いると、「計算可能」なオブジェクトと「計算不可能」なオブジェクトは共に存在する一方、これらに関する推論・操作は「計算可能」なものに限られることが妥当と考えられます。私の論文はこの数学的定式化を可能としました。一方、これまで﹅﹅の歴史の中では「数学的オブジェクト・推論・操作は全て計算可能なものに限るか否か」といった極端な論争が主流であり、未だこれに最終的な決着は付いていません。この論争は哲学のレベルに留まることが多かったのですが、私の論文はこれに数学的解決を与える可能性があります。
読者の方の中には、私の発想にどこか詩的・哲学的な考えが散りばめられていることに驚かれた方がいらっしゃるかもしれません。しかし、以前のレポートにも書きましたが、私は数学と芸術には多くの共通点があると感じています。また、哲学には数学を正しい方向に導く側面があるとも考えています。これに関連して、著名なロシア人女流数学者（かつ極めて高い評価を受けた作家でもある）ソフィア・コワレフスカヤの ‘It is impossible to be a mathematician without being apoet in soul.’ という言葉を紹介して本稿の結びとします（下の写真は、昨年１１月に短期滞在したストックホルム大学数学科に置かれたソフィアの銅像を撮影したものです）。

ソフィア・コワレフスカヤ（１８５０ー１８９１）

14 尤も、言語的に表現不可能な「職人技」を科学的に示すことは困難ですが。
15 もちろん、「計算不可能」な演算が存在するというこの宇宙の深淵な事実の発見自体にも非常に大きな学術的価値があります。