研究論文
Cramér-Lundberg モデルにおける生命保険会社の公平性をふまえた契約者配当政策
下山法之*2020 年 9 月 24 日投稿
2021 年 3 月 5 日受理
概要
本研究の目的は危険理論における配当モデルを用いて生命保険会社の契約者配当政策について論じることである. 危険理論における最適配当問題は, 最初にDe Finettiによって離散時間の二項モデルを用いて議論され, 以降, 広く研究対象とされてきた. 最適配当は基本的には累積配当現価などを最大化す
るよう決定される. しかしながら, これら先行研究の多くは株主配当の観点から論じられたものであり,
契約者配当を考えるうえでは保険契約者間の公平性の確保が重要な視点となる. 保険数理的に言えば,
契約群団間の保険引受リスク水準が同一（リスク同質）であれば, 配当差引後の実質的な保険料は同一であるべきということである. この要請に従えば, 有配当タイプの保険契約の配当差引後の実質的な保険料は, この契約とリスク同質な無配当タイプの保険契約の保険料と同一であるべきである. 無配当タ
イプの保険契約の保険料が適切な保険料算出原理に従って導出される限り, 契約者配当政策は配当差引
後の実質的な保険料を通じた“広義の保険料算出原理”に過ぎない. 本研究では Cramér-Lundberg モ
デルに基づく配当モデルについて, 契約者間の公平性の観点を取り込むことで, 契約者配当の水準が決定されることを示す.
キーワード：危険理論, Cramér-Lundberg モデル, 配当モデル, 契約者配当*富 国 生 命 保 険 相 互 会 社 主 計 部 数 理 グ ル ー プ〒 100-0011 東 京 都 千 代 田 区 内 幸 町 1-3-1

E-mail:noriyuki.shimoyama@fi.fukoku -life.co.jp

1 件当たりの保険金額が指数分布1 𝐹(𝑥) = 1 −1 研究の目的と先行研究

𝑒−𝛼𝑥, 単期間当たりの支払件数がポアソン分布に従1.1 危険理論における典型的な基本モデル
危険理論の基本的な考え方は, 時刻 0 で一定量のう古典的な Cramér-Lundberg モデル（複合ポアソン

サープラス（初期投資）𝑢 を準備し, 任意の時刻 𝑡 にとその発生時刻を考えることで,対し期間[0, 𝑡] に発生する一定の保険料収入 𝑐𝑡 お
よび総保険金支払額 𝑆𝑡 からサープラス 𝑈𝑡 を確率変数として定義し, 保険会社の破産する（サープラスが負値となる）確率等を求めることである. 時刻 𝑡 まで過程）を仮定すると, １回目の請求による保険金支払

𝜓(𝑢) =∞

𝑢+𝑐𝑡∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 ∫0𝑑𝑥 𝛼𝑒 −𝛼𝑥 𝜓(𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑥)0∞0

支払額 𝑋 を確率変数とし, 各確率変数の従う確率分
布を設定することで, 決定論的手法では得られない∞+ ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 ∫の保険金支払の発生件数 𝑁𝑡 や１件当たりの保険金

𝑑𝑥 𝛼𝑒 −𝛼𝑥

𝑢+𝑐𝑡

・・・
（1 − 4）を得る.これにより,破産確率 𝜓(𝑢) を求めることが可能となる；
境界条件
𝜓(𝑢) = 1 − Pr ( min 𝑈𝑡 > 0)0≤𝑡≤∞

= Pr(𝑇 < ∞) , ・・・（1 − 1）
𝑈𝑡 = 𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑆𝑡 ,・・・
（1 − 2）

時間の確率変数である. 安全割増率を 𝜃, 1 件当たり

𝑢=0

𝜆

𝜆

𝑐

𝑐

= 𝜓(0) −る破産確率として, （1 − 1）式は陽な表現として,以下の式を得る；
𝜓(𝑢) =

・・・（1 − 3）

ここでモデルは時間について連続型とし, 𝑇 は破産

𝜓(𝑢)|および lim𝑢→∞ 𝜓(𝑢) = 0 を用いて, 無限期間におけ𝑆𝑡 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑁𝑡 ,𝑇 = inf {𝑡 | 𝑈𝑡 ≤ 0}

𝜕
𝜕𝑢

𝜃
1
−
𝛼𝑢
𝑒 1+𝜃 ・・・
（1 − 5）1+𝜃

1.2 先行研究における配当モデルと最適配当戦略
企業の安定性を評価する基準が無限期間におけるの平均保険金額（の逆数）を α , 単位期間（年間）

破産確率の最小化であるならば, それは企業が剰余当たりの支払件数を λ とすれば, 単位期間（年間）を無制限に成長させなければならないことを意味すに領収される保険料 c は, c = λ (1 + 𝜃) /αと表せる.

る. これに対し De Finetti[1957]は, 『企業の主な目

また, 1 件当たりの支払金額 𝑋 は互いに独立とする.

的は株主へ配当を支払うことである』と指摘し, 離

このときのサープラス 𝑈𝑡 のサンプルパスは図１

散時間の二項モデルを用いた配当モデルを提案のようになる.

（Bühlman[1970]§6.4.5 に配当モデルの要約があ
図１.基本モデルる）した. 以降, これを契機に危険理論の配当問題として広く研究対象とされてきた. 配当は会社の配当戦略に応じて分配される.例えば, ある配当戦略
を 𝐿 とし, どのタイミングでどの程度の配当を支払うか決定する. その配当戦略に従い期間 [0, 𝑡]に分配される累積配当額を𝐷𝑡𝐿 とすると, サープラスは（1 − 2）式から次のように修正した形式で定義される；

1 指数分布やアーラン分布は危険理論において破産確率などの解析解（陽な表現）が得られることが知られている.

・・・（1 − 6）

Sparre-Andersen モデルの中で配当戦略を論じた研上記の修正したサープラスにおける破産時間の確究やウィーナー過程（ブラウン運動）による拡散項

率変数を改めて 𝑇 とおくと, 破産時間の確率変数はを持つモデルの中で配当戦略を論じた研究もある.

（1 − 3）式と同様に次のように定義される;

Avanzi[2009]ではサープラスが従う確率過程や様々

𝑌𝑡 = 𝑈𝑡 − 𝐷𝑡𝐿

𝑇 = inf {𝑡 | 𝑌𝑡 ≤ 0} ・・・（1 − 7）
また, 破産までの累積配当現価はされたい. 価値関数そのものをより現実的な形式に

𝑇

𝐷𝐿 = ∫ 𝑒 −𝛿𝑡 𝑑𝐷𝑡𝐿

な配当戦略について幅広く紹介がなされており参照

・・・（1 − 8）0

した研究もあり, Borch[1967]は期待累積配当額を最大化するという考え方は簡潔であり理解し易い一方,となる. ここで 𝛿 は瞬間利子率である. 従って, 期保険会社の事業継続を十分に考慮していない等を指待累積配当現価は摘し, （1 − 10）式に対して破産時刻 𝑇 がある時𝑉(𝑢; 𝐿) = 𝐸[𝐷 𝐿 ]・・・（1 − 9）

刻 𝑇0 以上となる制約のもとでの代替式となり, これは価値関数(value function)と呼ばれ𝑉(𝑢) = sup {𝐸[𝐷𝐿 ] | 𝐸[𝑇] ≥ 𝑇0 }る. 会社は配当戦略を選択する必要があり, 株式会
社であれば株主のために破産までの累積配当現価を最大化することが重要となることから, 最適配当戦
略と呼ばれるものは, 一般に価値関数の最大化とし𝐿・・・（1 − 11）などを提案している. また Hernández[2015] は𝑇

𝑉(𝑢) = sup {𝐸 [𝐷𝐿 + 𝛬 ∫ 𝑑𝑠 𝑒 −𝛿𝑠𝐿て定義される;0] − 𝛬𝐾𝑇0 }・・・（1 − 12）𝑉(𝑢) = sup 𝑉(𝑢; 𝐿) ・・・（1 − 10）𝐿ところで, 配当戦略のもと価値関数を議論するにとし, ラグランジュ未定乗数法から期待累積配当額と破産時刻を同時に制御する価値関数を提案している.

は, サープラスが従う確率過程の設定および具体的な配当戦略が必要となる. 確率過程については典型的な基本モデルとして挙げた Cramér-Lundberg モデル（複合ポアソン過程）が広く研究対象とされており, その中で配当戦略𝐿 として, バリア戦略や閾値
戦略, 線形バリア戦略, 非線形バリア戦略などが考案され分析されてきた.

1.3 本研究の目的
本研究の目的は危険理論における配当モデルを用いて生命保険会社の契約者配当政策について論ずることである. 1.2 節で述べた先行研究の最適配当戦略
については, 基本的には株主配当の観点から論じられており, その最適配当戦略の考え方は累積配当現価の最大化である.一方, 契約者配当では, 契約者

図２.配当モデル（バリア戦略の場合）間の公平性が重要な視点となる. 保険会社が保有する保険契約には, 保障内容や配当タイプなどが異なることにより, 保険引受リスクや保険料の水準が異なるものが多数混在する.契約者間の公平性を確保するためには, 個々の契約群団の剰余金への貢献度（収支残）に応じて配当金を支払う必要がある2.保険
数理的に言えば, 契約群団間の保険引受リスク水準

2契約者配当については日本の保険業法において公正かつ衡平な

また, 複合ポアソン過程の特徴である保険金の支
払時間間隔が指数分布に従う仮定をより一般化した分配（第 55 条の 2 および第 114 条）を規定しており, 生命保険
会社の保険計理人の実務基準においても契約者配当が公正かつ衡平であるための要件（個別契約の貢献に応じていることや保険契約者が期待するところを考慮すること等）を定めている.

が同一（リスク同質）であれば, 配当差引後の実質

具体的な配当戦略が必要となることから本研究では的な保険料は同一であるべきということである. こ

典型的な配当モデルである Cramér-Lundberg モデの要請に従えば, 有配当タイプの保険契約の配当差

ル（複合ポアソン過程）に基づくバリア配当戦略に引後の実質的な保険料は, この契約とリスク同質な従うものとするが, 確率過程の前提や配当戦略が異無配当タイプの保険契約の保険料と同一であるべきなっても有無配当タイプ間の実質的な保険料を同等である. 無配当タイプの保険契約の保険料が適切なとするという議論の本質は変わらない. まず 2.1 節

保険料算出原理（premium calculation principle）にでは先行研究における Cramér-Lundberg モデル（複従って導出される限り, 契約者配当政策は配当差引

合ポアソン過程）に基づくバリア配当戦略について

後の実質的な保険料を通じた“広義の保険料算出原

レビューを行う. 次に 2.2 節および 2.3 節では, 本理”に過ぎない. 以上を整理すると, 本研究の最大モデルおよび配当戦略について, 本研究の対象となの主張は, 従来の配当モデルにおける最適配当境界る保険契約郡団および生命保険商品の特徴を捉えたの議論では“累積配当現価（の期待値）を最大にすものとするため, 2 つの修正を行う. 1 つ目の修正は,るよう配当境界を定める”のに対し, 本研究では“配サープラスが負値となった後も配当を支払い続ける

当差引後の実質的な保険料を求め, これが有配当タ

無限期間の累積配当現価を導出することであり, こ

イプと無配当タイプにおいて同等となるよう配当境れを 2.2 節で行う. 2 つ目の修正は, 有限期間におけ界を定める”という点にある. 契約者間の公平性をふる配当モデルの構築であり,これを 2.3 節で行い, さまえた契約者配当政策については, 株主配当を考えらに配当差引後の実質的な保険料を定義するためにるうえでは生じない視点であることから, 本研究は必要となる単位期間当たりの累積配当額を導出する.

先行研究における最適配当戦略とは一線を画すもの

2.4 節において契約者間の公平性をふまえた契約者

である.

配当の一般論を述べ, 2.5 節でその具体的な数値を示

さらに公平性の条件の要請により決定された配当境界を用いて健全性指標としての破産確率（はじめす.

てサープラスが負値となる確率）を計算することで,2 生命保険会社の契約者配当への応用

それが保険会社の許容する水準であるか否か確認す

2.1 先行研究における典型的な配当モデル

ることが可能となる. 現在の日本の保険業法におけはじめに, 先行研究における典型的な配当モデル

る生命保険会社の契約者配当については, 公正かつとして Cramér-Lundberg モデルおけるバリア配当

衡平な剰余の分配を規定し利源別配当方式やアセッ戦略をレビュー（Bühlman[1970]や Dickson[2005]）

トシェア方式などの計算方法は定められているもの

しておく. 本モデルは最適配当問題へのアプローチの,その水準決定については各生命保険会社の判断として前提が簡単かつ明瞭であるだけでなく, 保険に委ねられている. 発生した剰余のうち, どれだけ金支払額が指数分布に従う場合には価値関数の解析

を契約者の配当財源に充て, どれだけを健全性確保

解が存在する（陽な表現を持つ）ことから, 複雑なのための内部留保の充実に充てるのかは難しい問題

数値シミュレーションに頼ることなく分析や評価がであり, 本配当モデルは確率論的な視点から健全性できるという利点がある.

指標として破産確率を確認することが可能であり,

本配当モデルは, ある配当境界 𝑏 （必要準備金水生命保険会社の契約者配当政策の実務においても有準）を設定し, サープラス 𝑈𝑡 がこれを超えると, 保用と考えられる.

険料収入の全額を次の保険金支払が発生するまで配本研究の主張を実行するため, 2 章において契約者

当金として支払い続け, 破産（サープラスがはじめて間の公平性をふまえた契約者配当政策について数式負値となる）した時点で以降, 配当金の支払いを停止を交えて論じていく. 1.2 節で述べたとおり配当戦略

するというものである. 配当境界の水準が低いほどを議論するには, サープラスが従う確率過程および破産確率が上昇し配当金の支払いが停止する可能性

も高くなることから, 累積配当現価は小さくなる.
𝑅=

一方, 配当境界の水準が高すぎてもサープラスが配当境界に達するまで時間を要することから, 累積配

𝜆𝜃 − 𝛿 + √(𝜆𝜃 − 𝛿)2 + 4𝜆(1 + 𝜃)𝛿
𝛼2𝜆(1 + 𝜃)である.

当現価は小さくなる. 累積配当現価が最大となる配当境界の水準はどこか, これがいわゆる最適配当問
題である.

配当金モデルにおける累積配当現価𝑉(𝑢, 𝑏) については, 基本モデルと同様に, 1 回目のBühlman [1970] では

𝜕𝑏= 0 を解くことで累積配当現価 𝑉(𝑢, 𝑏)を最大化させる配当境界𝑏 = 𝑏 ∗ が決定できることを明示的に示した（図３）;

請求による保険金支払とその発生時刻を考えること𝑏∗ =で𝜕𝑉(𝑢,𝑏)(𝛼 − 𝑅)𝑅2
1
𝑙𝑜𝑔 [
] ・・・
（2 − 4）(𝛼 + 𝜌)𝜌2
𝜌+𝑅

𝑉(𝑢, 𝑏) =𝜏𝑢+𝑐𝑡∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 ∫0𝑑𝑥 𝛼𝑒 −𝛼𝑥 𝑉(𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑥, 𝑏)

図３．累積配当現価の数値例

0

∞

𝑏

+ ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 [𝑐 𝑠̅𝜏t  |+ ∫ 𝑑𝑥 𝛼𝑒 −𝛼𝑥 𝑉(𝑏 − 𝑥, 𝑏)]
0・・・（2 − 1）を得る3.

ここで 𝜏 は時刻ゼロから保険金支払が発生することなく配当境界 𝑏 に到達するまでにかかる時間であり,𝑠̅t|𝜏 = (𝑏 − 𝑢)/𝑐 で与えられる. また= (𝑒 𝛿𝑡 − 1)/𝛿である.（2 − 1）式より微分積

分方程式
𝜕
𝜕𝑢

配当境界 b
初期サープラス 5, 安全割増率 30％, 年間平均発生件数 1 件, 利子率 1％

𝑉(𝑢, 𝑏) =

𝜆+𝛿
𝑐

𝜆

𝑢

Dikson [2004] では, 累積配当現価 𝑉(𝑢, 𝑏)から破𝑉(𝑢, 𝑏) − ∫0 𝑑𝑥 𝛼𝑒 −𝛼𝑥 𝑉(𝑢 − 𝑥)𝑐

産時の赤字額（の現価）を控除した量を定義し, これ・・・（2 − 2）が最大値となるよう配当境界 𝑏 = 𝑏 を決定すべきこが得られ, 境界条件

𝜕𝜕𝑢𝑉(𝑢, 𝑏)|V(𝑢, 𝑏) =𝑢=𝑏= 1 を用いて,∗とを提案している.
2.2 破産のない場合の配当モデル

ℎ(𝑢)
,
ℎ′(𝑏)

株主配当の観点から論じられた先行研究の配当モℎ(𝑢) =(𝛼 + 𝜌)𝑒 𝜌𝑢 − (𝛼 − 𝑅)𝑒 −𝑅𝑢 ,デルは保険会社全体のサープラスを取り扱う, いわℎ′(𝑏) =

𝜌(𝛼 + 𝜌)𝑒 𝜌𝑏 + 𝑅(𝛼 − 𝑅)𝑒 −𝑅𝑏

ゆる会社モデルであるのに対し, 本研究では契約者

・・・（2 − 3）間の公平性が論点となることから, サープラスは契を得る. ここで, 𝜌 (> 0) および 𝑅 (> 0) はパラメ

約年度が同一かつリスク同質な保険契約群団単位をータ𝜃, 𝛼, 𝛿, 𝜆 によって決まる量扱う前提であることに留意が必要である. 一般的な
会社モデルでは, 一度でもサープラスが負値となる−𝜆𝜃 + 𝛿 + √(𝜆𝜃 − 𝛿)2 + 4𝜆(1 + 𝜃)𝛿
𝜌=
𝛼,2𝜆(1 + 𝜃)と破産となり, それ以後について配当金は支払われない. しかしながら契約年度の同一な契約群団単位の場合, 保険契約初期などにおいてサープラスは小さいことから負値となる可能性も高い. 生命保険会

3 １件当たりの保険金額について, ここでは基本モデルと同様に指数分布に従うものとした.

社の実務においては, 仮にサープラスが負値となった場合には, 他の保険種類や世代の異なる契約群団
から一時的に借入を行うのが通常である. 従って本研究においては, サープラスが負値となっても, その𝑊(𝑏, 𝑏) =∞∞∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 [𝑐 𝑠̅0t|+ ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑊(𝑏 − 𝑥, 𝑏)]0

後サープラスが正値となり, 配当境界 𝑏 を超えれば,再び配当が支払われるモデルを考える. 但し, 本来は保険契約群団の中でセルフサポートできることが望ましいことから, 配当境界の決定段階においては破産確率を考慮する必要があることを付け加えておく.

・・・（2 − 6）となる. (2 − 6) 式を用いて,𝑊(𝑢, 𝑏) =𝜏∞∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑊(𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑥, 𝑏)00

これについては 2.5 節の数値例にて再度述べる.

+𝑒 −(𝜆+𝛿)𝜏 𝑊(𝑏, 𝑏)

このような考慮を含めた負値のサープラスの許容や破産の定義の変更については, 配当金支払いのな
い基本モデルで既に先行研究がある. Egidio dos
Reis[1993]では, サープラスが負値となった後もサ・・・（2 − 7）を得る. 従って,
𝜕𝜆+𝛿
𝜆 ∞𝑊(𝑢, 𝑏) =𝑊(𝑢, 𝑏) − ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑊(𝑢 − 𝑥, 𝑏)
𝜕𝑢
𝑐
𝑐 0

ープラスを継続させる前提とし, サープラスが負値になる時刻から再び正値に戻る時刻までの赤字時間の積率母関数を導出した. また Gerber[1971]では,・・・（2 − 8）となり, (2 − 8) 式に 𝑢 = 𝑏 を代入すると, 境界条件
として以下を得る；

サープラスが負値となった場合, 保険会社は特定の𝜕借入利率で利息を支払うことで破産を回避するモデ
ルを設定し, この借入利息を負担できなくなった状
態を絶対破産（absolute ruin）と定義し, 保険ビジ
ネスの停止とすることを提案している.

𝜕𝑢𝑊(𝑢, 𝑏)|𝑢=𝑏(2 − 8) 式より,
𝜕2
𝜆+𝛿 𝜕
𝛿
) 𝑊(𝑢, 𝑏) − 𝑊(𝑢, 𝑏) = 0
𝑊(𝑢, 𝑏) + (1 −
𝜕𝑢 2
𝑐
𝜕𝑢
𝑐

サープラスが配当境界 𝑏 を超えると支払われる累積配当現価は, １回目の保険金支払とその発生時刻

・・・（2 − 10）となることから, 一般解を考えることで𝑊(𝑢, 𝑏) = 𝜅1 𝑒 +𝜌𝑢 + 𝜅2 𝑒 −𝑅𝑢・・・（2 − 11）𝑊(𝑢, 𝑏) =𝜏∞∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑊(𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑥, 𝑏)00∞+ ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 [𝑐 𝑠̅𝜏= 1 ・・・（2 − 9）を得る. 境界条件 lim𝑢→ −∞ 𝑊 (𝑢, 𝑏) = 0 より,
𝜅2 = 0 となり, 最終的に, 累積配当現価は∞t  |+ ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑊(𝑏 − 𝑥, 𝑏)]𝑊(𝑢, 𝑏) =0・・・（2 − 5）を得る4. （2 − 1）式との相違は 1 件当たりの保険金𝜌=−𝜆𝜃 + 𝛿 + √(𝜆𝜃 − 𝛿)2 + 4𝜆(1 + 𝜃)𝛿
2𝜆(1 + 𝜃)

支払額 𝑋の範囲が [0, ∞] となっていることである.
初期サープラス 𝑢 が配当境界 𝑏 に等しい場合,

1
exp[−𝜌(𝑏 − 𝑢)],𝜌・・・
（2 − 12）となる. (2 − 3) 式の累積配当現価 𝑉(𝑢, 𝑏)との比較
において, 𝑊(𝑢, 𝑏)は, 十分なサープラスが確保できていない経過の浅い期間にサープラスが負値となっても配当支払いが継続されることから, 配当境界4

本節以降, 簡略化のため 𝛼 = 1として議論を進める. 金額の単位を持つパラメータは 𝑢, 𝑏 および1/𝛼 のみであるため, 無次元量である場合には 𝑢 → 𝛼𝑢 と読み替えることで, 適宜 𝛼を表示させることは可能である.

𝑏が低いほど累積配当額の大きくなることが特徴である（図４）.

図４．累積配当現価の数値例と表す. 例えば, 𝑤𝑘 (𝑢, 𝑏)は 𝑘 − 1回目の請求による保険金支払の発生後, 𝑘回目の保険金支払の発生直前までに支払われた配当額の現価を表す. 1 回目の保険金支払が発生するまでに支払われる配当額の現価
𝑤1 (𝑢, 𝑏) は,∞

𝑤1 (𝑢, 𝑏) = ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 𝑐𝑠̅𝜏

t  |1+𝜃
e−β(𝑏−𝑢)1 + 𝛿 ⁄𝜆=配当境界 b・・・（2 − 14）

初期サープラス 5, 安全割増率 30％, 年間平均発生件数 1 件, 利子率 1％となる. ここで𝛽 =1+𝛿 ⁄𝜆1+𝜃である. 1 回目の保険金支払の発生から 2 回目の支払発生直前までに支払わ
2.3 単位期間当たりの累積配当額
これまで述べてきた典型的な基本モデルおよび配当モデルはすべて無限期間（infinite-horizon）を前れる配当額の現価 𝑤2 (𝑢, 𝑏) は,
𝑤2 (𝑢, 𝑏) =𝜏∞

提としている. 有配当タイプの保険契約における配∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑤1 (𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑥, 𝑏)

当差引後の実質的な保険料を無配当タイプの保険料0と結びつけるためには, 単位期間当たりの累積配当

0∞∞+ ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑤1 (𝑏 − 𝑥, 𝑏)𝜏

額を定義する必要がある. 本節ではまず有限期間50
1+𝜃

（finite-horizon）における累積配当額を定義し, そ= (1+𝛿⁄ )2 e−β(𝑏−𝑢) × [𝑞(𝑏 − 𝑢) + 𝑝]
𝜆

れを保険期間で除することで単位期間当たりの累積

・・・（2 − 15）

配当額を導出するステップをとる. その準備として,まず累積配当現価 𝑊(𝑢, 𝑏)について, ある保険金支払の発生からその次の保険金支払の発生までの配当額の総和として表すことを考える. 𝑛回目の保険金
発生時刻は, ポアソン過程の性質上, 平均発生時刻を𝑛⁄𝜆 とするガンマ分布に従うことから, 保険金の支払間隔ごとに累積配当額を分割することで, 一定
時間内の累積配当額を導出できるというのがその要

𝑞=

1 + 𝛿⁄𝜆,2 + 𝜃 + 𝛿⁄𝜆

𝑝=

1+𝜃
,
2 + 𝜃 + 𝛿⁄𝜆

𝑞+𝑝=1である.一般に, 𝑛 − 1回目の保険金支払発生後, 𝑛
回目の保険金支払発生直前までに支払われる配当額の現価は
𝑤𝑛 (𝑢, 𝑏) =𝜏

諦である. よって, 累積配当額を∞∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑤𝑛−1 (𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑥, 𝑏)∞𝑊(𝑢, 𝑏) = ∑ 𝑤𝑘 (𝑢, 𝑏)となる.ここで,00・・・（2 − 13）

𝑘=1

∞

∞

+ ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −(𝜆+𝛿)𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑤𝑛−1 (𝑏 − 𝑥, 𝑏)
𝜏

0

・・・
（2 − 16）
5有限期間の配当モデルの先行研究については, ドリフトを伴う幾何ブラウン運動によってサープラスが記述される配当モデ
ル（Leung et al. [2008]）において生存確率（１－破産確率）や累積配当現価の解析解が得られている. Cramér-Lundberg モデ
ルについては Cardoso[2014]によるバリア配当戦略および閾値
戦略の場合の数値計算アルゴリズムの提案とその計算結果がある.

となる. 𝑤1 (𝑢, 𝑏) から逐次的に計算することで以下
を導ける；
1+𝜃

𝑤𝑛 (𝑢, 𝑏) = (1+𝛿/𝜆)𝑛 e−β(𝑏−𝑢)
𝑛

×∑

1

𝑘=1 (𝑛 − 𝑘)!

[𝑞(𝑏 − 𝑢)]𝑛−𝑘 𝑝𝑘−1 × 𝐺(𝑛, 𝑘),図５. 配当差引後の実質的な保険料の数値例

𝑘−1(𝑛 − 𝑙 − 1)(𝑛 + 𝑙 − 2)!
𝐺(𝑛, 𝑘) = ∑× 𝑞𝑙
𝑙! (𝑛 − 1)!
𝑙=0・・・（2 − 17）
危険理論におけるモデルの多くは陽な表現がない
ことから, 一般に数値シミュレーションに頼らざるを得ない. 上記のように陽な表現として導出できる
ことはモデルの振る舞いを理解するうえで有益である.従って, 𝑛 回目の保険金支払の発生直前までの累積配当現価は

配当境界 b

初期サープラス 5, 安全割増率 30％, 年間平均発生件数 1 件𝑛𝑊 (𝑛) (𝑢, 𝑏) = ∑ 𝑤𝑘 (𝑢, 𝑏) ・・・（2 − 18）𝑊(𝑢, 𝑏)と同様に有限期間における破産確率を定𝑘=1

義しておく. またこれ以降, 破産確率とは, 保険ビと表すことができる.
保険期間 𝑁 年の契約群団を考える場合, 𝑛 回目の保険金支払が起こる時間の期待値 𝐸[𝑇𝑛 ] は

𝐸[𝑇𝑛 ] = 𝑛⁄𝜆 ・・・（2 − 19）と表せることから, 𝐸[𝑇𝑛 ] = 𝑛⁄𝜆 = 𝑁 となる 𝑛 を設定することで保険期間 𝑁 年の契約群団におけるジネスの停止ではなく, 単にサープラスがはじめて
負 値 と なる 確 率を 指 すも のと す る .

𝑉(𝑢, 𝑏) や𝑊(𝑢, 𝑏)のいずれにおいても破産確率は共通（𝑉(𝑢, 𝑏)
はその後配当支払いが停止）である. 無限期間を考える場合, 1 件の保険金支払が発生した時に, それが有限の配当境界の水準を超える確率はゼロでないこ

累積配当現価を定義でき, 有限時間における配当モとから, 無限期間において破産確率は 𝜓(𝑢, 𝑏) = 1 とデルを議論することが可能となる. このとき, 年なる.破産確率 𝜓(𝑢, 𝑏)をある特定の保険金支払の発生ではじめて破産する確率 𝜑(𝑢, 𝑏)の総和として定間平均配当額 𝑑 は,
𝑑=

義する；

𝑊 (𝑛) (𝑢, 𝑏)|𝛿=0∞

・・・（2 − 20）

𝐸[𝑇𝑛 ]

𝜓(𝑢, 𝑏) = ∑ 𝜑𝑘 (𝑢, 𝑏)・・・（2 − 22）𝑘=1となり, 年間保険料 c = λ(1 + 𝜃) に対して, 契約

例えば, 𝜑𝑘 (𝑢, 𝑏) は 𝑘 − 1 回目の保険金支払の発生

者配当差引後の実質的な保険料は,
𝑐 − 𝑑 = 𝜆(1 + 𝜃) −𝑊 (𝑛) (𝑢, 𝑏)|𝛿=0
𝐸[𝑇𝑛 ]
・・・（2 − 21）となる. 配当差引後の実質的な保険料 𝑐 − 𝑑 は配
当境界 𝑏 をパラメータとする関数とみれば図５のまでは破産せず, 𝑘 回目の保険金支払ではじめて破産する確率を表す. １回目の保険金支払ではじめて破産する確率は,
𝜑1 (𝑢, 𝑏)𝜏0ようになる. 直観的にもわかるとおり, 配当境界を引下げることで, 配当差引後の実質的な保険料を減∞= ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 ∫

=

∞

∞

𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 + ∫ 𝑑𝑡 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥

𝑢+𝑐𝑡

𝜏

𝑏

1
2+𝜃
(𝑏 − 𝑢))]𝑒 −𝑢 [1 + (1 + θ)𝑒𝑥𝑝 (−2+𝜃
1+𝜃

少させることができる.

・・・（2 − 23）となる.従って 𝑛 回目の保険金支払が発生したとき,破産している確率は𝑛(𝑛)

𝜓(𝑢, 𝑏) = ∑ 𝜑𝑘 (𝑢, 𝑏) ・・・（2 − 24）𝑘=1

と表すことができる. 𝑏 → ∞とすれば, （2 − 24）

う公平性の条件を要請することで, 2 つの保険契約に式は配当境界が存在しない場合の破産確率となる;は以下の重要な関係が成り立つ6;

(𝑛)

𝜓

(𝑛)

(𝑢) = lim 𝜓𝑏→∞𝑐0 = 𝑐 − 𝑑(𝑢, 𝑏) ・・・（2 − 25）

2.4 公平性をふまえた契約者配当
本節では契約者間の公平性を踏まえた契約者配当政策の一般論を述べる. 契約者配当では, 株主配当と異なり, 契約者間の公平性の確保が重要となる.
今, 公平性を比較する 2 つの契約群団として, 保険
引受リスクが同水準（リスク同質）である無配当タ
イプの保険契約 A と有配当タイプの保険契約 B を考える. 保険引受リスクとは, 本モデルにおいては保険金支払件数 𝑁𝑡 （パラメータ 𝜆）や１件当たりの保険金支払額 𝑋 （パラメータ𝛼）が確率変数であることにより保険会社が損失を被るリスクをいう. この(2 − 26)式を配当境界 𝑏 について解くことで
𝑏 = 𝑏 (𝜃0 , 𝜃)として, その水準が決定される.
なお, 保険料については, 市場のある金融商品の価格付けと異なり無裁定条件を用いた合理的算出ができないことから, 期待値原理や分散原理, 標準偏差原理など様々な保険料算出原理（安全割増決定原理）が考案されている7. 本研究では保険料算出原理の内容まで言及しないが, 少なくともリスク同質な契約群団は同一の保険料であるべきという公平性の条件が備わっていればよい. 安全割増率 𝜃0 および
𝜃 の水準については, 例えば標準偏差（リスク量）の一定割合をリスクプレミアムとする標準偏差原理からとき保険料, 配当差引後の実質的な保険料および破𝑐0 𝑡 = 𝐸[𝑆𝑡 ] + ℎ0 √𝑉[𝑆𝑡 ], 𝜃0 = ℎ0 √𝑉[𝑆𝑡 ]⁄𝐸[𝑆𝑡 ],産確率はそれぞれ次のようになる;

𝑐𝑡 = 𝐸[𝑆𝑡 ] + ℎ √𝑉[𝑆𝑡 ], 𝜃 = ℎ √𝑉[𝑆𝑡 ]⁄𝐸[𝑆𝑡 ] ,保険契約 A （無配当タイプ）ℎ0 < ℎ

保険料 𝑐0 = 𝜆(1 + 𝜃0 )/𝛼
配当差引後の実質的な保険料 𝑐0 （保険料と同じ）・・・(2 − 26)・・・(2 − 27)と決定することができる.

破産確率 𝜓 (𝑛) (𝑢)保険契約 B （有配当タイプ）
保険料 𝑐 = 𝜆(1 + 𝜃)/𝛼, 𝜃0 < 𝜃
配当差引後の実質的な保険料

𝑐 − 𝑑 = 𝜆(1 + 𝜃)/𝛼 − 𝑊 (𝑛) (𝑢, 𝑏)|𝛿=0 ⁄𝐸[𝑇𝑛 ]破産確率 𝜓 (𝑛) (𝑢, 𝑏)

無配当タイプの保険契約 A は 1.1 節で紹介した契約群団を前提としており, その保険料水準は安全割
増率 𝜃0 （有配当タイプの安全割増率 𝜃 と区別するために𝜃0 とした）により決定される. 無配当タイプの保険契約は配当による事後精算がないことから内部留保を考慮したうえで, より安価な保険料率が求められる. 一方, 有配当タイプの保険契約 B は配当による事後精算があることから, 安全割増率 𝜃 の水準を保険契約 A よりも高めに設定することが可能となる.
保険契約の保険引受リスク水準が同一であれば,配当差引後の実質的な保険料は同一であるべきとい6

保険実務では契約者の期待や営業政策的な動機, 配当が将来的に確約されたものでないなどの理由により, 有配当タイプの保険契約の配当差引後の実質的な保険料は無配当タイプの保
険契約の保険料よりも低廉なものとなるよう設定することが多いものの, 第一義的にはこの保険技術的公平性ともいうべき条件が成り立つものと考える.
7 保険料算出原理については, 日本アクチュアリー会[2011],

清水[2018]および河本[2016]に基本となる幾つかの原理や保険料に望まれる性質（加法性や正の同時性など）の紹介がある.

2.5 公平な契約者配当の具体的な数値例

保険期間が 1 年以上の保険契約に関する配当境界に

2.4 節で設定した 2 つの保険契約 A とB について保険期間 1 年の場合の具体的な数値例を示す（表１）.

ついても, 公平性の条件を要請することで, その水準を決定することができる;
表２. 保険期間ごとの配当境界の数値例

表１．具体的な数値例（保険期間 1 年）
保険契約 A

保険契約 B

保険期間

1年

2年

3年

・・・

配当境界

19.14

29.30

39.44

・・・

安全割増率

52.0％

81.5％

年間保険料

30.40

36.29

配当差引後の
年間保険料

30.40

30.40

3 まとめ

配当境界

―

19.14

3.1

破産確率

9.91％

5.13％

本研究では危険理論における配当モデルを用いて初期サープラス 𝑢 = 5, 𝛼 = 1, 年間平均発生件数 𝜆 = 20(𝑛 = 20)

生命保険会社の契約者配当政策について論じた.契初期サープラス 𝑢 = 5, 𝛼 = 1, 𝜃0 = 52.0% , 𝜃 = 81.5%

結論

約者配当では, 株主配当と異なり, 契約群団間の保安全割増率 𝜃0 および 𝜃 の水準決定は標準偏差原

険引受リスク水準が同一（リスク同質）であれば, 配理(2 − 27) 式によるものとした. 一定割合 ℎ0 およ

当差引後の実質的な保険料は同一であるべきというび ℎ の水準について, 例えば無配当保険については

公平性が重要である.一般に生命保険会社には様々

信頼水準 95.0％のリスク量, 有配当保険についてはな保険引受リスク水準を持つ保険契約が多数混在し信頼水準 99.5％のリスク量に備えるものとのすれば,ているものの, いかなる有配当タイプの保険契約にℎ0 = 1.645 および ℎ = 2.576となり, これに相当す

対する配当の水準も, リスク同質な無配当タイプのる安全割増率はそれぞれ𝜃0 = 52.0%および保険契約と実質的な保険料を同一とする公平性を要𝜃 = 81.5%となる.

請することで決定される. 無配当タイプの保険契約

ここで, 表１における破産確率に注目したい. 比の保険料が適切な保険料算出原理に従って導出され較した 2 つの保険契約については保険引受リスク水る限り, 契約者配当政策は配当差引後の実質的な保準が同一であることを前提とした. 保険引受リスク

険料を通じた広義の保険料算出原理に過ぎない. ことは, 上述したとおり, 保険金支払件数 𝑁𝑡 や１件のとき, 実質的な保険料の公平性の確保の橋渡しと当たりの保険金支払額 𝑋 が確率変数であることによして単位期間当たりの累積配当額が重要な役割を果り保険会社が損失を被るリスクであり, 一方, 破産

たす. 本研究ではその陽な表現の導出にあたっては

確率とは, 保険会社が安全割増や配当境界の水準を前提に組み込まれる時間スケール 1/λ を用いること

用いてリスクをコントロールした結果としてその水で累積配当額の有限期間化の工夫を行った.

準が決定されるものである. 数値例からわかるとおこれにより, 異なる保険引受リスク水準を持つ無り、同一のリスク水準、かつ、同一の実質的な保険配当タイプの保険契約の保険料が互いに保険引受リ料であっても、有配当タイプの場合には破産確率を

スクをふまえた適切な保険料算出原理により水準が無配当タイプよりも低下させることができる. 契約決定されていれば, 保険会社の保有するすべての有者に配当を還元するためには財務の健全性が確保さ

配当タイプの保険契約間の配当の公平性も確保され,れていることが前提となることから, 配当または配同時に配当境界も決定される. 本研究のサープラス

当境界の水準決定の際は、破産確率の水準が保険会については Cramér-Lundberg モデルに基づくバリ社の許容する水準であることを確認する必要がある.

ア配当戦略を前提としたが, 確率過程や配当戦略がこのように配当モデルは, 配当境界の水準が決定さ異なっても, 契約者間の公平性の条件は要請される

れると同時に, 確率論的な視点から健全性指標（破ものであり, 配当水準の決定に一定の制約を与える

産確率）が確認できるという点において有用である.

ことに変わりはない.

3.2を仮定したゼロ効用原理を前提とする場合には,課題と今後の展望

本研究における配当モデルは前提がシンプルであ𝐸[𝑔(𝑢 + 𝑐𝑡 − 𝑆𝑡 )] = 𝑔(𝑢) より,るとともに, 累積配当額が陽な表現を持つことから

𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝐸[𝑒 ℎ𝑆𝑡 ]/ℎ𝑡・・・(3 − 1)

分析や評価に便利である一方, 以下述べるように幾が導かれるものの, 上記 (3 − 1) 式は保険料に対すつかの点で実務への適用を考えるうえでは改良の余るリスク量の反映の考え方が不明瞭なものとなって地があり, 今後の課題としたい.

いる. 本研究の基礎は“リスク同質な契約者間の保① 契約者配当と株主配当のバランス

険料は同一であるべき”という要請に支えられてお本研究では配当金をすべて保険契約者に還元する

り, 当然に保険引受リスクの水準が異なれば, そのものとして配当モデルを論じてきた. 生命保険相互水準の相違が適切に保険料に反映されていなければ会社においては株主が存在しないことから, 契約者ならない. 期待効用原理に限らず保険料算出原理の間の公平性のみを基礎とする配当政策は一定の合理前提によってはリスク量の反映の考え方が不明瞭で性はあるものの, 生命保険株式会社においては契約あり, リスク水準の異なる契約者間の保険料の公平

者配当に加えて株主配当も同時に行う必要がある.

性をどのように組み込むかという点において課題がこの場合, １つの方策として 契約者配当について

残る.

は有配当および無配当タイプの公平性の要請から一③ 配当還元の前提となる健全性指標

旦配当境界の水準 𝑏1 を決定し, さらに破産確率の水

2.5 節において, 契約者配当を還元するためには

準が保険会社の許容するレベルに達するまで配当境

財務の健全性の確保が前提となる旨を述べた. その界を引き下げ（ 𝑏2 ）, その引き下げ幅（ 𝑏1 − 𝑏2 ）際, 健全性指標としては危険理論の枠組みで一般にに相当する部分を株主配当とすることが考えられる.

論じられる破産確率を用いた. しかしながら, 保険

しかしながら, 株主配当部分の最適配当の基準はあ

会社のリスク管理の実務において用いられるリスク

くまで累積配当現価の最大化であり, 先行研究で紹尺度としては VaR が多い. 破産確率はサープラスの介した最適配当戦略の論考が別途必要になると考え負値をもたらす損失がどの程度起こり得るかを計測られる.

するものであるのに対し, VaR は信頼水準（99.5％
無配当
タイプ

有配当
タイプ

基準

𝑐0

c

保険料算
出原理

𝑑0

𝑑

契約者配当

0

𝑑1

公平性

破産確率ではなく VaR をベースとした ESR による

株主配当

𝑑0

𝑑 − 𝑑1

最大化

健全性指標の方が今後の実務的な有用性は高いと考単位期間当たりの保険料
単位期間当たりの累積配当など）を設定し, 最大損失額を計測するものである.
わが国において現在検討が進められている経済価値
ベースのソルベンシー規制の導入をふまえると,
ESR（経済価値ベースのソルベンシー比率）を計測する際も VaR を用いることが一般的であることから,えられる. ESR との関係性を含めた配当モデルの定② リスク量が適切に反映された保険料算出原理
2.4 節および 2.5 節で示した保険料は, その一例としてリスクを標準偏差で測る標準偏差原理を用いたものである. 保険料算出原理にはこれ以外にも様々な考え方や性質を持つものが提案されており, リス
ク量を適切に反映すること自体単純ではない. 例えば, 保険会社の効用関数を用いて指数効用
𝑔(𝑥) = (1 − 𝑒 −ℎ𝑥 )/ℎ,(𝑔′(𝑥) > 0, 𝑔′′ (𝑥) < 0, ℎ：リスク回避度 )式化については別稿に委ねたい.
④モデル選択およびモデル・パラメータについて
本研究においては確率過程が Cramér-Lundberg
モデル（複合ポアソン過程）に基づくものとし, さらに１件当たりの保険金額については一例として指数分布に従うものとした. 生命保険会社の危険差配
当の対象となる保障性商品には様々な種類があることから,そのモデル選択上の妥当性について触れておきたい. まず単位期間当たりの支払件数がポアソ

い定数として扱った. しかしながら, 一般に保険契

ン過程に従うことについては, 多くの保障性商品に約は保険期間が長期になるほど契約者群団の発生率

おいてその母集団（保険契約件数）が十分に多けれは上昇する傾向にある. また, 健常者ほど解約率がば保険事故発生率に従う二項分布はポアソン分布に高く,保険会社に残された保険契約群団はリスク濃近似できることから,一定規模の保有契約件数を前縮していく可能性があることから,モデルの前提に提とすれば, 一定程度妥当であると考えられる. し用いる単位期間当たりの保険金発生件数や１件当たかしながら,１件当たりの保険金額および給付金額

りの保険金支払額も時間の経過に応じてモデル・パが従う分布については, 指数分布が適用できる商品

ラメータが変化（非定常マルコフ過程）していくこ

は一部の保障に限られる. 例えば, 多くの保険会社

とも十分に想定され, この点についても改良の余地において販売する医療保険については,その主な保がある.

障内容は入院給付金や手術給付金であり,加入時に定めた入院日額に対して,それぞれ入院日数や手術⑤ 契約者配当の安定性

内容に応じた倍率を乗じてその金額が決定されるこ生命保険における契約者配当, 特に個人保険分野とが多い. 入院日数についてはより長期になるほどについては, 保険契約者は比較的安定した配当を期発生頻度は低下すること,手術内容に応じた倍率に待していることから, 保険会社はある年度に発生しついてはより倍率が高くなるほど（より重い手術にた剰余を配当として全額還元せず, 一部を内部留保

なるほど）発生頻度は低下する傾向があることから,し, 契約者配当の安定性に努めることも重要となる.

単純なモデルとして指数分布を用いることは一定程

本モデルにおいては, サープラスが配当境界に到達度妥当であると考えられる. 但し, モデルの適合性後, 保険金支払が発生した場合, 再度サープラスがについて更に高い精度を求める場合は指数分布から配当境界の水準に達するまで配当金の支払いが停止

同じく解析解を持つアーラン分布へ拡張するなどのされることから, 安定配当の視点からは課題がある

工夫が別途必要であろう. 一方, 伝統的な死亡保険といえる.

のように保険金額が一定額である場合, 支払額は確率変数でなく定数となることから, 指数分布などの以上, 検討すべき課題はあるものの, 本研究がさように高額保障部分まで裾野（テール）を持つようらなる理論の発展および生命保険会社実務への応用な分布を用いて近似させることはできない8. この場に少しでも役に立つことがあれば幸いである.

合, 別途 1 件当たりの保険金額を一定額として累積配当現価や破産確率についてモデル構築する必要がある.
また,モデル・パラメータについて,本研究では単位期間当たりの支払件数や１件当たりの保険金支払額の平均をそれぞれ 𝜆 や1/𝛼 とし, 時間に依存しな

8 例えば死亡保険金額については, 保険金額 100 万円の低額保障から数億円の高額保障まで保険契約者が任意に設定することが可能であり保険会社の取扱範囲内で一定の幅が存在するものの, 本研究では“リスク同質の契約”を契約群団単位として扱っていることから, 保険金額 100 万円の保険契約と保険金額 1億円の保険契約をリスク同質として同一の保険契約群団とみなすことはできない. 従って, 保険契約群団の保険金額としてはある特定の保険金額（一定）として取り扱う必要がある.

付録 (𝟐 − 𝟏𝟕)式の証明

𝐾𝑛+1 =

1+𝜃
𝑝𝑛+1 × 𝐺(𝑛 + 1, 𝑛)(1 + 𝛿⁄𝜆)𝑛+1(2 − 16) 式と同様に𝑤𝑛+1 (𝑢, 𝑏) を 𝑤𝑛 (𝑢, 𝑏) の積分

こ こで, 𝐺(𝑛 + 1, 𝑘) = ∑𝑘𝑙=1 𝑞𝑘−𝑙 𝐺(𝑛, 𝑙) を 用い た 9 .

で表し, それに 𝑤𝑛 (𝑢, 𝑏)の一般解を代入することにまた 𝐽𝑛+1 式の１行目から 2 行目の変形においては,より, 𝑤𝑛+1 (𝑢, 𝑏) が(2 − 17) 式と同様の算式;

𝑚𝑛∑𝑛𝑘=1 ∑𝑛−𝑘+1
𝑚=1 𝑓(𝑘, 𝑚) = ∑𝑚=1 ∑𝑘=1 𝑓(𝑘, 𝑚 − 𝑘 + 1) を 用 い

𝑤𝑛+1 (𝑢, 𝑏) =
𝑛+1

×∑
𝑘=1

1+𝜃

(1 + 𝛿⁄𝜆)𝑛+1

た. さらに, 𝐺(𝑛 + 1, 𝑘) = 𝑞𝐺(𝑛 + 1, 𝑘 − 1) + 𝐺(𝑛, 𝑘)𝑒−𝛽(𝑏−𝑢)を用いて, 最終的に,

1[𝑞(𝑏 − 𝑢)]𝑛−𝑘+1 𝑝𝑘−1 𝐺(𝑛 + 1, 𝑘)(𝑛 − 𝑘 + 1)!

𝜇𝑛+1 = 𝐼𝑛+1 + 𝐽𝑛+1 + 𝐾𝑛+1𝑛+1=となることを示す.

1+𝜃
1[𝑞(𝑏 − 𝑢)]𝑛−𝑘+1 𝑝𝑘−1∑
(1 + 𝛿⁄𝜆)𝑛+1(𝑛 − 𝑘 + 1)!
𝑘=1

𝑤𝑛 (𝑢, 𝑏) = 𝑒 −𝛽(𝑏−𝑢) 𝜇𝑛 (𝑢, 𝑏) ,× 𝐺(𝑛 + 1, 𝑘)

𝑤𝑛+1 (𝑢, 𝑏) = 𝑒 −𝛽(𝑏−𝑢) 𝜇𝑛+1 (𝑢, 𝑏)とおくと(2 − 16) 式よりとなる. 従って,
𝑤𝑛+1 (𝑢, 𝑏)= 𝑒−𝛽(𝑏−𝑢) 𝜇𝑛+1 (𝑢, 𝑏)

𝜇𝑛+1 (𝑢, 𝑏) = 𝐼𝑛+1 (𝑢, 𝑏) + 𝐽𝑛+1 (𝑢, 𝑏) + 𝐾𝑛+1 (𝑢, 𝑏),𝑛+1

𝐼𝑛+1 (𝑢, 𝑏) ==𝑏
1𝑞 ∫𝑢 𝑑𝑥 𝜇𝑛 (𝑥, 𝑏),(1+𝛿/𝜆)1+𝜃1
𝑒 −𝛽(𝑏−𝑢) ∑(1 + 𝛿⁄𝜆)𝑛+1(𝑛 − 𝑘 + 1)!
𝑘=1

× [𝑞(𝑏 − 𝑢)]𝑛−𝑘+1 𝑝𝑘−1 × 𝐺(𝑛 + 1, 𝑘)𝑢1

𝐽𝑛+1 (𝑢, 𝑏) = (1+𝛿/𝜆) 𝑞 ∫−∞ 𝑑𝑥 𝑒 −(𝑢−𝑥)/𝑝 𝜇𝑛 (𝑥, 𝑏),𝑏1

𝐾𝑛+1 (𝑢, 𝑏) = (1+𝛿/𝜆) 𝑝 ∫−∞ 𝑑𝑥 𝑒 −(𝑏−𝑥)/𝑝 𝜇𝑛 (𝑥, 𝑏),を得ることから, 数学的帰納法により(2 − 17) 式が
成り立つ.

・・・
（A − 1）を得る.
𝜇𝑛 (𝑢, 𝑏) =𝑛1+𝜃1
[𝑞(𝑏 − 𝑢)]𝑛−𝑘 𝑝 𝑘−1 × 𝐺(𝑛, 𝑘),
∑
(𝑛
−
𝑘)!
𝛿 𝑛
𝑘=1
(1 + )𝜆𝑘−1

𝐺(𝑛, 𝑘) = ∑𝑙=0(𝑛 − 𝑙 − 1)(𝑛 + 𝑙 − 2)!
× 𝑞𝑙
𝑙! (𝑛 − 1)!

と仮定し(A − 1) 式に代入すると, 𝐼𝑛+1 , 𝐽𝑛+1 および𝐾𝑛+1 はそれぞれ以下となる；
𝑛𝐼𝑛+1 =

1+𝜃
1[𝑞(𝑏 − 𝑢)]𝑛−𝑘+1 𝑝𝑘−1∑
(1 + 𝛿⁄𝜆)𝑛+1(𝑛 − 𝑘 + 1)!
𝑘=1

× 𝐺(𝑛, 𝑘),𝑛 𝑛−𝑘+1

𝐽𝑛+1 =1+𝜃
1∑ ∑(1 + 𝛿⁄𝜆)𝑛+1(𝑛 − 𝑘 − 𝑚 + 1)!
𝑘=1 𝑚=1

× 𝑞𝑛−𝑘+1 𝑝𝑚+𝑘−1 (𝑏 − 𝑢)𝑛−𝑘−𝑚+1 × 𝐺(𝑛, 𝑘),
𝑛+1

=

1+𝜃
1
[𝑞(𝑏 − 𝑢)]𝑛−𝑘+1 𝑝𝑘−1∑
(1 + 𝛿⁄𝜆)𝑛+1(𝑛 − 𝑘 + 1)!
𝑘=2

× 𝑞𝐺(𝑛 + 1, 𝑘 − 1),9𝑙𝑙𝐺(𝑛, 𝑘) = ∑𝑘−1
𝑙=0 𝐶(𝑛, 𝑙) × 𝑞 における 𝑞 の係数𝐶(𝑛, 𝑙) について, 𝐶(𝑛, 𝑛 − 2)の数列は 𝐶(2,0) = 1, 𝐶(3,1) = 1,
𝐶(4,2) = 2, 𝐶(5,3) = 5, 𝐶(6,4) = 14, ・・・であり, 初等
組合せ論で有名なカタラン数（Catalan number）が現れてくることは大変興味深い.

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The Policy for Policyholders' Dividend of Life Insurance Company
based on the Cramér-Lundberg Model with Incorporating
the Perspective of Fairness
Noriyuki Shimoyama†
Abstract
This study was performed to discuss the policy for policyholders' dividend of life insurancecompany based on a dividend model in risk theory. The optimal dividend problem in risk theory,
which was originally discussed by De Finetti using a discrete-time binomial model, has been
widely studied. The optimal dividend is basically determined to maximize the aggregate
discounted dividend, however, most of the previous studies were discussed it from the viewpointof shareholders’ dividend. When policyholders’ dividend is determined, fairness among
policyholders must be taken into consideration. From an actuarial point of view, the net
premiums after deducting dividends should be the same when the risk level of underwriting
insurance is the same among a group of policyholders. Based on the idea, the net premium after
deducting dividends for insurance with dividend-payment should be the same as the premiumfor insurance without dividend-paying whose risk is homogeneous with the dividend-paying
insurance. As long as the premium for insurance without dividend-paying are derived fromappropriate premium calculation principle, the policy for policyholders' dividend is only to follow
a broad premium calculation principle that includes considering the net premiums after
deducting dividends. In this study, we show that the level of policyholder dividends isnecessarily determined by incorporating the perspective of fairness among policyholders into a
dividend model based on the Cramér-Lundberg model.

†

Fukoku Mutual Life Insurance Company, E-mail: noriyuki.shimoyama@fi.fukoku-life.co.jp