ReportoftheNationalResearchCenterfor

DisasterPrevention，No．16，December1976

624，131．6：53，022．6

Measurem㎝tof

Water

Mathematica1Deve1opme皿tof

Movement
Heat

through

Conduction

inSoi1

PorousMedia

By
Masaki

Tomi皿aga

肋加〃けαわo〃oη，枇〃o伽1肋∫ωκ乃Cθ〃θけ07〃8α∫伽P〃舳〃o〃，4489−1，1（〃■6乃αグα，∫α尾〃7α一榊〃■α，1乃α7α冶ゴー冶2〃，300−32

AbstractA

modeユo｛heatconduc士ion

media

energy．One

isiowing

medium，andI）vo1ume

porosi士yand

are：are士akenthroughpotheses．Twoin亡othesu工faceII）士hethesamea士anyininitesima1portions．Theresu1tof

one

and士hesame

uniform

ofiowing

media

is

thestudy

otherporosity

media，andwide1y

temperature

porousaccoun士for

mder

two

hy−

of

heat

of七he士ransfer

stationaryaremediumsubstance．As士hedeve1oped

medium．The

constant

everywhere

hypothesesinpoユ＝ousand士hatof

stationary

mediu㎜arehascome士obe

simi1ar

the

idea

ofthe

mode1isinmode1suni▽ersa1，i亡willbe

apP1icab］e。

1）Prefa㏄
Heat

conduction士hroughsatura士ed−or

substances，name1y，minera1partic1es，waterisdi茄cu1ttoknow

therateof

andcontribution

unsaturated

air，takeof

eachofsoi1is

part
these

in

comp1icated．Threeheat

conduction．It

substances

to

heat

conduc−tiOn．

K．Shiraipresented
vapor且ow

causedminera1partic1es
As

his

now

almosttheenergy，somode1（Shirai，1965）．In

di丘usion，changes

respective

sharesa11of

phenomena

resu1ttheof

hismode1ラair丑ow，

of

water

con士ent

andthero1eofconduction

that

are

heat

supposedisvery

comp1icated．and−it

paper，thereis

deve1opedistocond−uction

takedi茄cu1tinpartofsoi1．

intheade−

to

come

to

mathematica1mod−e1ofheatconduction

heat

conduc−conc1usion．．

theporouspresent

media

which

tion，Theheat

conduction

ve1ocitythroughmedia，one
c1ude

conduction

andtheirof

In

is

air

p1ayedmode1inc1udes

transferiniteby

aheat

is

is

soi1byconcemed−with

mode1here

app1ying

stationary
mediumcondition．Therefore，theconsists

ofof

is

other

the
bothofmeasurement

input．The

Howingmediumphenomenonused−forsinusoida1heatan（1air．F1owing

e1ementsamacroscopic

d−eve1oped

themedium，and−theminera1partic1es，water

ments．Stationarythemedium．Bothconsists

ofof

water

mode1inc1udes
theof

them

Howingtwoin−

e1e−

e1ements

which

donot

iow

under

given

media

changep1aceswitheachother

一105一mayRe・o「tofth・N・ti…lR・・・・…C・・t・・f…i…t・・・・・…ti。。，N。．1・，D，cember19。。

whentheco・dti…h・・・・・・・・…t・・・・・・・・・・・・・・…i・t・。f．11。。in．secti．nthehe・t…d・・ti・・m…1b…m…im・1・・…imi1・・t・t・。m。・、1．fa，if。、ms、。．
StanCe．

Nomenc1aturedensityα

kg／n136

Jノ（kg・deg）

sPeciic

θdegtemperature

heat〃

deg／s

inpu七士emperature

λJ！（m・s・d・g）

士erIna1conductivity

9J／（m3・s）

input

ρJ／m3

internaIenergyom／S

ve1oci士yof．1J！（n〕2・s）

energyenergyuni亡vec亡orπ

∫d8
∫壱d8｛

m2m2
m2
m2

c1osednowingefHuence

norn1a1to

surface∫e1emen士of∫surfaceoccupiedby4

elemen七〇ccupied

by4

n13

vo1umeboundedd砂

m3
m3

e1ementofγ

voIumeOccupied

In3

e1ement

occupied

物

SurfaCepOrOSi士y刎在

vo1un1eporosi七yア｛thesurface

17d吻

mediumdensi亡yby亡heclosed

surface∫by4byづSubscripts
4＝ク，∫2）Hypotheses

クs亡a士ionary∫

nowingo皿pomus

partPart

media

Whenw・士・・m・…th・・・・・・・・・・…i1・・…i・t・…f・・・…i…t1。・。・・。。i。。

mediumandindi…t1・b・…d…i・・i・t・・…ti・・…m・・i・m・・・・…i・t・・丑。。i。。

mediumT・f・・m・1・t・・h・h・・t…d…i・・by・・imp1・・…gy．q。。ti．n，thewrit，rwishesto・「・・…t・・h…th・・…i…1・・i・・・・・…i・・m・・i・m・・…t．ti。。。。。

medium，aS

fO110WS：

Hy・othe・i・I：y・1・m・・・…it・榊・・…f・・・・・…it・・、…mif・・m。。。。。。・ereinporous

media，

where17。
∫〃勾＝一一 物＝一一｛17一106∫（1）

Measurement

of

Water

Movement

Through∫：

to士a1areaof

γ：tota1vo1ume

subscript川enotes

thefo11owing

Soi1−M．Tominaga

c1osedsurfaceofportiontheofasoi1portion，

bounded−by∫，meaning，
づ一ぱ工鴛二肌エニヅニユ

andア＝γ∫十γρ，∫＝∫プ十∫ρ

This

be

hypothesis

constant

means

at

any

Hypothesis

II：At

and

athat

of

at

any

distribution

any

ratio

ofof

a且owing

mediumin丘nitesima1portion，thetomediumarethehypothesis

I，atoastationary

mediumwi11

temperature
theis

that

canmedium

andof

aiowinga且owingtheconductivity

at

any

inite

be

de行ned−ascontinuous

temperaturetemperature

mediumsame．

stationary

ininitesima1portion，soin行nitesima1portions

Howingtheininitesima1portion．

stationary

According

mixed

that

（2）

is

portion．Thisthemediumare

we11

isotropic，and−thesameinimp1ies

that

at

botb

of廿1e

media，

stationary

mediumand，aand−sta士ionary．

3）Eqmtionofheatc㎝ωction
Energyiowingmediumincreaseof

ina

portionwi11bedescribed−asinterna】energy，theiow．Supposing
above

equationthat17is

re1ationshipisa

soi1whichconsists

fo11ows．Inputofof

aenergyisequa1tothesumof

theofenergy

byconduction

andthatbythe

theportion

bounded−by

efHuence

vo1umeexpressed

ofheatac1osedsurface∫，theas∫，ゆ一∫、雰曲十∫、〃d∫十∫、ρ・・沁

minemlparticIe

Soi1is（3）

c1assiied士iOnS：a。．

two

por一

mediumanda且owing medium．F1owing me−dium consists of the iowing、郷伽・姦

灘豪・・t・・

稽P1l、

e1emen士s；s七a士ionary

medium

con−

sis七s

which

do

iowof

theunder＝罫

一一

磁11．I：一』the、．々、．．

andiowingmedium。
一107一

condition．

notγ

sma11▽oIume

boundedclosed−surf乱ce∫．

．1ρand1

1・1ア

aree冊uence

vec亡ors

density

sta七ionary

・・塾

mediumby1

e1ements

given

denotes士he
皇1

F言g．1．Stationary

into

StatiOnary

partof七heenergyde丘nedonand

iowingthepartof∫，respec士ive1y。

unit

VeC士0rnOrmalt0∫．

πisthetheRe凹「tofth・N・ti…1・・・・・・・・…t・・・…i…t・・・・…。ti。。，・α1・，。ec、。。、、1。。。

whe「e・isth・i…t・・・…（J・m−3・・一・），ρt・・i・t・…1・…。。（J．m一・），∫。。、v，ct。、。fthee冊uent・・・…b・・・・・・・・…li・・（J・・一…一・），・t・…it・。。t。。。。r。、1t。ユ、、。

otheveocit・ofth・

ofvariables

the・wFi・・・・・・・・・・・・・・・…i・…1…ti…ft・。。。1．ti。、、・i．
mentionedabove．

・）I・t・m・1㎝・・gy

Intemal・・・・・・・…i・t・・ft・・…t・：t・・・・・・…f・…t。・i。。a、。。e．i、。、n．

thatoftheH・・i・・m・・i・m・…ρ・・・・…m・fρ、…ρ。。、・。砂。e。。esum．fdη∫・・ddηρ・Th・f・11・wi・g・・1・ti。。wi11b。。bt．i。。d：ゆ一ρμ・肋ρ（・）Th・f・11・wi・g・q・・ti・・・…d・・i・・dbyhyp．th。。i，Idηブ＝仰dいη1一ψ

（・）Th・i・亡・m・1・…g・…b・w・itt・・byt・・t・m。。。。t．r、斗ρ∫＝α／・／θハρ1−Wρ

（・）B・h…th・・i・IIt・・t・・・…1・・…fl・・t・・m・・i・。・。・・。。、mらθ∫＝θρ一θ
HenceEq．（4）isrewritten（7）asρ曲一榊θ〃∫d叶α、・、θ、刎、曲＝αoθd（8）whereαc＝α∫o〃∫十仙怖（9）Thenthe・・・・…t・ft・・i・t・m・1・・・・…it・ti・・ら・・i・・i…。。。。。e・・。t。、丘r，tterm

theonrightsideof

Eq．（3）、becomes

脈一Lえ（励）吋吟（。。）

Theユ・・t・…1i・・・・・・…t・b1i・・・…1・・…刷・i。・。。。。・e，t．ftim巳b）E価・㎝㏄byh・・士・㎝d。。ti．n

LetJb・・…t…f・…冊…t・・・・・・・…it岬・。・。。、nitvect。、n。、m，1t。

∫・Th・・田…t・…gyth…ghd∫i。
∫・〃d．∫d∫cons（11）stsof士・・…亀th・…i・・・・・・…t…t・ti・・…。・・七・・1・1、。。叫。、

th…p・・t斗…p・・ti・・1γEq．（11）wi11b…p。。。。。d、、
d∫＝J∫・・dl／・伽d1ρ

（・・）

whe「eJ／isth・・冊…t・・・・・・・…i…ft・・丑・・i・・…i・m・。岬。・・at．f。。e，tかtiona「・medi・叫・hi・b・・…t・・・・・・…1。・…1、…。…i・・い。∫is。、。。。r．i．n，1
toth・g・・di・・t・ft・mp…t…，Eq．（12）i。。。w．itt。。。。

一108＿Measurement

of

Water

Movement

ThroughSoil−M．Tominaga．1・πd∫＝（一λ∫▽θ）・π例∫d∫十（一2ρ▽θ）榊ρd∫＝一7▽θ・πd∫（13）whered∫∫＝〃プd∫，d∫ρ＝1￠。d∫

2Eq．（14）istheright

based

side

onof

the

hypo士hesisEq．（3）．

The

L＝λ〃∫十似ρEq．（13）ise冊uenceof（14）（15）

substituted−forenergybyheatthesecondconduction

is

term

on

expressed

as／、舳一／、（一フ・1）・π・1−／、・・（一榊1The1astc）

equalityE個uence
F1owofenergyofEq．（16）isbasedon

Gauss（16）theorem．

by皿ow

is

byobserved

the且ow

on1yinwi11bethe且owingmediumasisdeined

above．The

e冊uenceexpressed−asρo・〃d∫＝ρアo・πdsア

Eq．（17）isrewritten

byEqs．（6），（7）and一（14）as（17）

fo11ows：

ρo・πd∫＝α∫o∫θo榊アd∫
Byusinging

Eq。（18）、the

third

term

on

therigbt

sideofEq．（3）is（18）

converted

into

the

fo11ow−equatiOnS：／、ρ川・1−／、榊1・…1−1ア・・（榊榊J）Inputenergyg1yingin亡hetermon

the1eftthepor士ion．Tota17ising

mediumand−the

other

the

energywi11bewritten

as

input

（19）

composedof

sid−eoftwoparts．One

energyEq．（3）expresses

is

app1ied士othe

input

the

energythestationary

energyapp1iedto

app1ied−to

the且ow−

medium．Henceg曲＝9μ∫十9μρ
Thetern〕sof

Eq．（20）canbe

rep1acedbyt1］efo11owing（20）

equations．

む＝α〆〃プ，9ρ＝α。oρ〃。

（21）〃∫＝〃ρ＝〃
Then

theincreaseof

the

input

energy

is

the

（22）

expressed−as9∫dη＝α∫o∫〃ア刎アdη十αρcρ〃ρ舳ρdη
＝π〃dη

The

unit

given
The（23）ofthe

input

temperature（deg．s

duringtheunittime．The1ast

term

on士he1eftsideofof1）means

equa1ityEq．（3）、whichofexpresses∫、g砒＝∫ア励曲
一109一

that

theEq．（23）is
the

input

input

tempera士ure〃isobtaine（1byenergy，isEq．（9）．

rewritten

as（24）

Repo「tofth・N・ti…1・・・・・・・・…t・・地・・i…t・・・…。。ti。。，・αユ。，。ece。。、、1。。。

・）Em・gy・qmti㎝
Combnn・E・㌦（10）・（・・）・（・・）…（・・）・・・・…t・・・…。。・。・・ti・。。。。r，ss、。。。

ユ：鴛㌫W∴㌫軌ぼI叫肚雌榊榊一1㎞・・L励吋各（励）吋・・（一1・1）吋・・㎞榊（。。）

二㍑蝋箒1ニニ1｝1㍗㎞㎞・it・恢・・（・・）1肋・・÷・（壬・1）・・（㌢伽）

（・・）

0r
∂θ万＝▽・（五▽θ）一▽・（肋）十・（27）

Wbere
フ

亙＝＿αo（28）∬：α∫ク坐π4）

Conc1usioI1andumandthe且own…d（29）Remarks

・・…1…i・…i・・七・・…f・・らt・・i。。。。i、・i1i士三。f、。eぷ篶㌫篶1㍑1：x㎜鴛㌶㌫胤㌃：1三11二：ll㍑㌃｝｝1二1二㌘鮒㎞t㎞・舳・ψw

Ackmwed・・…t・：一・・…it…i・…t・・・・・・・・・…t．t・。。・。t。・r．feSs．r。。i、、
Koba・ashLT・k・・I・・tit・…f・・・…1・舳・・t・・・・…。・i。。、・itも。ati。、、1．e、。

a「chCente「fo・Di…t・・P・・…ti・叫f・・t・・i・…t…il・・…。。t。、n・。iScu、、i．n，i，P「・p…ti…fth・p・・…tp・p・L］モefbrences）ll㌃汰、lli㍑ニコ㎞㎜士㎞・・岬舳・㎞虹W伽仙・l1…／
一1ユO一Measurement

2）Kawashimo，K．：

Theoryofof

Water

Heat

Movement

Throughconduction（1971），［InSoil＿M．TominagaJapanese．］（NIanuscrip士received

Sep七．17．1976）

土中の水分移動量の測定
一多孔質媒体の熱伝導モデルー
富永雅樹＊

国立防災科学技術セソター大型実験研究部

多孔質媒体中を流れる流体による熱伝導モデルが二つの仮定の下に導かれている．熟エネルギーを伝える媒体として流動媒体と静止媒体の二つが考慮されている．二つの仮定は，1）体質問ゲキ率と表面間ゲキ率は有孔媒体のあらゆる部分で一定，および2）任意の徴小部分において流動媒体と静止媒体の温度は等しい，である．結果は一つの物質による熱伝導モデルに類似している．このモデルの概念は一般的であるので，広い応用が期待される．

＊降雨実験室一111一