2020 年 4 月 14 日

COVID-19 感染状況の推移について
Ver.3(2020 年 4 月 15 日)
Ver.4（2020 年 4 月 19 日、補遺３を追加）
大阪大学核物理研究センター
中野 貴志

本ノートでは、Web 上で公開されているデータを解析し、3 月下旬から 4 月にかけての日本における新型コロナウイルス感染症 COVID-19 の感染状況の推移を求め、感染収束時期を予想する。

新規感染者数の週変化率から見た感染状況の推移
COVID-19 のような感染症は、集団免疫や隔離等による抑制がないと感染者が指数関数的に増加する。感染者数が指数関数的に変化している場合、一定期間の間に新規感染者数と総感染者数（累計）は共に 2,4,8,16,32…のように等比級数的に増加する。
感染拡大の大きさの指標として、1 日あたりの新規感染者数を１週間前の新規感染者数で割った値（新規感染者数の週変化率）を採用する。例えば、この値が２の場合、新規感染者数と総感染者数は１週間毎に倍増する。毎日の新規感染者数は、その日の検査体制にも依存するため、曜日による変動が大きい（日本では月曜日の新規感染者数が少ない傾向があることが知られている）。１週間を期間の単位とすることにより、曜日依存性をある程度消すことができる。以下に 3 月 19 日から 4 月 13 日にかけての週変化率を示す。

図から明らかなように、週変化率のピークは、新規感染者数が最大になった 4 月 11 日の 14日前の 3 月２8 日であり、その値（5.2）はこの期間の平均値（〜2）を大きく上回っている。週変化率は、3 月 28 日以降ほぼ一様に減衰しており、閾値である１を間もなく切ろうとしている。(１を切ると前週の同じ曜日の値を超えなくなる。)
次に比較のため、米国における週変化率の推移を以下に示す。

米国では 3 月 20 日から 24 日かけて感染爆発と呼ぶに値する週変化率の突出があった後、５程度の値になったが、その後の減衰が日本と比べて遅い。週変化率のピークの高さが約 2倍違うことと減衰スピードの差が、日米の総感染者数の大きな違いを生んでいる。特に緩やかな減衰は新規感染者数のピーク領域の長さ（4 月 5 日〜11 日）の原因になっている。
この後の両国の感染者の推移であるが、新たな感染爆発が起こらない限り、週変化率が減少し続けているので、感染収束に向かう。週変化率の現在（2020 年 4 月 14 日）の値は両国でほぼ同じであるが、減衰率は日本の方がやや大きい。
新規感染者の週変化率の推移は、何が起こっているかを直感的に把握するためには有効であるが、日々の新規感染者の統計的なばらつきの影響を大きく受けるため、今後の感染者数正確な推移や収束時期を予測することには向いていない。

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K 値の変化から見た感染状況の推移
総感染者数（累計）を１週間前の総感染者で割った値（総感染者数の週変化率）も感染拡大の大きさの指標として採用可能であるが、ここではその逆数を１から引いた量（K）を指標とする。具体的に式で表すと、
𝐾 =1−１週間前の総感染者数
当日の総感染者数となる。
感染が収束するまでは、１週間前の総感染者数は当日の総感染者数はよりも必ず少なく、またゼロでは無いので、K の値は０より大きく１より小さい。総感染者数の週変化率と K は１対１で対応しており、K=0.5 の時は週変化率が２、K=0.8 の時は週変化率が 5 である。感染が収束すると K が０に近づく。
大きく値が変化する新規感染者数の週変化率に比べ、K は値域が０と１の間に限定されている点が利点である。さらに大きな利点は、その値の変化が日数に対して、値域の大部分で、ほぼ線形（直線）で変化するという点である。このことを感染拡大が他国よりも早く起こり、他国での感染拡大の影響を受けにくい中国とイタリアで確認する。（本当にところは、K が線形に変化することは自明ではなく、試行錯誤で線形に近い変化を示す量として K を見つけた。）中国の総感染者数については、感染者の定義の変更により、2 月 12 日から 13 日にかけて不連続なジャンプがあるので、2 月 12 日以前のデータを 1.27 倍して補正した。

値が大きく変化する領域では、~0.04/day の変化率で K の値が線形に減少している。K の変化が線形からずれる 2 月 26 日で K 値は 0.05 である。これは前週（2 月 19 日）と比べて、総3感染者数が 5%増加したことを示す。4 月 14 日の段階で中国の K 値はさらに一桁小さくなっている。
次に示すのがイタリアの例である。

イタリアも中国同様、ほぼ線形に単調減少しているが傾きが緩やかで~0.02/day である。これはイタリアにおける感染収束のスピードが中国の約 1/2 であることを示す。この違いの原因として、１）両国における感染封じ込め政策の効果の差、２）両国民の自然免疫の差、３）イタリアにおける周辺国の影響（遅れて感染拡大した国からの人の流入）等が考えられるが現段階では主たる要因が何かは不明である。
次に 3 月下旬まで欧州と交流のあった米国における K の推移を見てみよう。

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予想通り欧州と交流があった時期は K の値が高止まりしており、その後は~0.027/day で単調減少している。感染収束スピードはイタリアより若干早いが、中国よりは遅い。イタリアとの差は、遅れて感染が拡大したため、収束期に他国より感染率が高く影響を受けにくいからと考えられる。感染収束の時期についてであるが、米国の K の推移がこのままの傾きで単調減少すると仮定すると０に近づくのは 4 月末日頃である。もちろん、値が０に近いところで K の線形性は保証されていないが、4 月末日頃には十分コントロール可能な状況になっているであろう。
次いで日本での K の変化を示す。

日本はふた山の非常に特徴的な構造を示す。最初の山は中国が起源の感染の拡大で、二つ目が欧米からの人の流入によりもたらされた感染拡大であろう。非常事態宣言が発令される前後の 9 日間に渡って連続して K の値が 0.5 を示している。これは週変化率が２に対応する。この頃、１週間で 2 倍のスピードで感染が拡大していると信じられていた。
もちろん上記の解析及び解釈は正しくない。総感染者数には中国が起源の第一波で感染した人が含まれているので、その影響を取り除いてから、比を取らなくてはいけない。（差を取るのであれば、オフセットの部分は相殺されるが、比だとそうはならない。）
第一波を正確に取り除くためには、２成分によるスペクトル分解が必要であるが、日本でも Kの値が~0.03/day で減少すると仮定すると、3 月下旬には第一波の影響は極めて少なく、総感染者数のカウントを一旦０にリセットすることで、影響を取り除くことができる。
次に示す図ではリセットの日付を新規感染者数の週変化率でピークを示した 3 月 28 日の直前の 3 月 25 日に設定した。但し、その日付を 22 日や 27 日に変更しても結果は本質的に同じである。なお、リセット日を 3 月 25 日に設定することの妥当性は補遺に示した。

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総感染者数を 3 月 25 日でリセットした結果、日本でも K 値がほぼ線形に単調減少している。
最後の７点を直線で外挿すると感染収束予想日として 5 月 5 日が得られる。（リセット日を 3月 2７日にすると予想日は 5 月 2 日になる。）また、収束以前でも K 値が予想できれば、その値の変化に基づいて、新規感染者数の推定も可能である。
最後に感染がほぼ収束した（少なくとも完全コントロール下にある）と考えられる台湾の K 値の推移を示す。

台湾もふた山が見えるが、第一波をよく防いだので、その影響は限定的である。K 値の傾きは~0.03/day だが、少ないながらも第１波の影響を受けているので推定精度を上げるためにはスペクトル分解が必要である。

6まとめ1.

新規感染者数の週変化率や K 値の変化を解析することにより、日本といくつかの国の感染状況の推移を求めた。

2.

日本の感染拡大には少なくとも大きな山が二つあり、4 月の感染者数の急増は二つ目の山（第二波）の影響である。第二波の原因は欧米からの人（感染源）の流入によるものと想定される。（現在、収束に向かう日本でも高感染率地域から低感染率地域への人の移動を制限することが極めて重要だと思われる。）

3.

日本での第二波の発生（感染爆発）は 3 月下旬であり、その後、順調に収束しつつある。
新規感染者の週変化率も間も無く閾値の１を切り、それが感染収束まで継続すると予想される。

4.

K 値の変化率から概算した COVID-19 の感染収束時期は、米国が 4 月末頃、日本が 5月上旬となった。

データ収集のために参考とした WEB ページ
https://www.news24.jp/archives/corona_map/index2.html
https://www3.nhk.or.jp/news/special/coronavirus/data/
https://web.sapmed.ac.jp/canmol/coronavirus/index.html

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補遺１ 3 月下旬からの新規感染者数の推移
新規感染者数を補正した値を 3 月下旬から 4 月 14 日までプロットしたものが下図である。円で囲んだ点が月曜日のデータである。他の曜日に比べ値が小さい傾向にあることが分かる。
K 値を求める際のリセット日を 3 月 25 日に設定することで生じる総感染者数算定の系統誤差が 200 以下であることがグラフから読み取れる。

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補遺２ 他の国の K 値の推移

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補遺３ 4 月 14 日以降の K 値と週変化率の推移

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