リレー・エッセイ「私 の 研究・教育実践」

大学・研究・社会に関する興味深いテーマを取り上げ、多くの方がリレーで参加して様々な考えや意見を述べるコーナーです。

不動点理論 の 研究

不動点理論の研究

近藤豊将 Atsumasa Kondo
滋賀大学 経済学部 / 教授

経済学 における一般均衡 やゲーム 理論 におけるラフ（ それぞれ、Figure 1における太線と細線）の交決される、という話を聞いたことのある人は、特に経上の 例のように写像 が具体的に与えられれば明示

滋賀⼤学
ナッシュ均衡の存在問題 が、不動点定理を用いて解座標である。
点のx経済学部教授

近藤豊将、一般には《写像や済学部 の関係者 には多いのではないだろうか。その的に不動点が求まる場合もあるが学における一般均衡やゲーム理論におけるナッシュ均衡の存在問題が、不動点定意味で不動点定理は経済学 の理論的枠組みを整備（写像 が定義されている）集合がなんらかの条件を満するうえで不可欠である。経済学以外でも、力学系のたす》というだけの情報を足掛かりに、不動点が存在平衡点や周期解、微分方程式 の 解 なども、なんらかするか、いくつ存在するか、どうやって不動点を求いて解決される、という話を聞いたことのある人は、特に経済学部の関係者にはではないだろうか。その意味で不動点定理は経済学の理論的枠組みを整備するう可欠である。
力学系の平衡点や周期解、微分方程式の解なども、の写像経済学以外でも、の不動点として表現されることがといった問いに挑まなければならない。
多い。微分積めればよいか、このような手強い問題群も、その重要性から多くの一分学でおなじみの中間値の定理も、不動点定理と深 微分積分学でおなじみの中間値かの写像の不動点として表現されることが多い。

い関係を持 つ。
も、不動点定理と深い関係を持つ。

級の 研究者 たちによって注目され 研究 が積み重ねら

不動点というのは、ある写像 でマップしても動 かれてきた。ブラウワーの不動点定理、縮小写像 の不ない点ということであるから、特に理解しにくい概念

動点定理、（日本人の角谷静夫教授の名を冠した）角点というのは、ある写像でマップしても動かない点ということであるから、特ににくい概念ではなかろう。ある空ではない集合
X とそのうえで定義された写像
ではなかろう。ある空 ではない集合Xとそのうえで定谷 の不動点定理などを聞いたことのある方も多いだろがあるとき、f 写像の不動点とは、条件f(x)=xを満たす点というだけのことである。
う。縮小写像の条件を弱めた
f:X→Xがあるとき、f の不動点とは、条義されたを 満 たす点というだけのことである
例え(1) ‖を満たすため、これf(x)–f(y)‖≤‖x–y‖
件f(x)=x、f(x)=2x-5の場合であれば、fの不動点 x。
は方程式2x-5=xば、f(x)=2x-5の場合であれば、f の不動点 xは方程式を満 たす 写像 f は非拡大写像と呼 ばれ、これまた 多て x=5 と求めることができる。これは、代数的には連立方程式2x-5=xを満たすため、これを解いてx=5と求めることくの応用を持 つことが知られている（ここで、‖・‖は‫ ݕ‬ൌ 2‫ ݔ‬െ 5ができる。これは、代数的には連立方程式
൜‫ݕ‬ൌ‫ݔ‬

重要なケースも包含 するように）一般化する研究が盛の 解となるxであり幾何学的にはy=2x-5とy=xのグ線と細線）の交点のx、座標である。

めてアクティブな研究領域として、世界中の研究者にy = 2 x –5ノルムを表している）。そのため、この条件(1)を（他のなる x であり、幾何学的にはy=2x-5 と y=x のグラフ（それぞれ、Figure
1 にお
y=xんにおこなわれてきた。このように、不動点理論 は極よって活発に研究されているのである。
そのような状況下で、筆者も理論経済学者 の立場から不動点理論 の 発展に貢献 すべく研究を行ってきた。特に2022年度には、過去5年ほどの研究をベースにして多くの 研究成果を発表することができた。以下
では、最近の筆者の研究経験をひとつの視角として、不動点理論の研究について紹介する。
（非拡大写像に対するものより筆者は2017年以降、も）一般的な写像の条件 のもとで不動点定理を証明する研究を行っていたが、論文[2]において、(2) λ‖f(x)–f(y)‖2+(1–λ)‖f 2(x)–f 2(y)‖2≤‖x–y‖2｜Figure 1という条件 を考案した。話 の舞台 は実ヒルベルト空間である。また、写像 f の定義域は有界閉凸集合であ例のように写像が具体的に与えられれば明示的に不動点が求まる場合もあるが、彦根論叢
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は《写像や（写像が定義されている）集合がなんらかの条件を満たす》というだ
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り、コンパクト性は仮定しない。係数λは0と1の間の究を行ってきた《非拡大写像 よりも一般的な写像 の数、f 2はf の2回合成写像 である。この 条件(2)は写像

条件の凸結合》を利用することにした。具体的には、に要請 する条件を一般化 する過程で、その 特殊ケー

generalized hybrid写像と呼 ばれる写像 の条件を用スとして現れてきたものであるが、一般形よりもむしろいた。非拡大写像をはじめ様々なタイプの重要 な写この特殊ケースの方が形が美しいがゆえに筆者として像を特殊ケースとして包含 する、非常に一般的なタイは気に入り、論文中でもさりげなく推している。
（ 論文

プの写像である。そのうえで、ふたつの写像の共通不[2]を初めから通して読んでいただければ、筆者がこっ動点の 存在を証明したのだ。このようにして 論文[2]そりと( ？ )この条件(2)を宣伝しようと画策しているこの内容を発展させた研究 が、論文[3]として結実したに置き換えた。見ての通り、条件(4)（⇔条件(3)）は、非拡大写像とに気が 付くかもしれない。）のである。
である。そこで、それに換えて、これまで盛んに研究され筆者自身もここで満足していたら、話は終わっていただろう《非拡大写像よりも一般的な写像の条件の凸結合》。実
再度、論文[2]から[3]に至る流れを振り返ってみよを利用することにgeneralizedhybrid。 う。まず、長い写像と呼ばれる写像の条件を用いた。非拡大写研究史の中で非拡大写像 (1)が応用上際には、この 研究 がさらに論文[3]につながっていくタイプの重要な写像を特殊ケースとして包含する、非常に一般的なタす研究
論文[2]の出版 が決まった後も証明を繰り返し精査
重要 な役割を果 たしており、それを一般化 する

そのうえで、
このるうちに、2回合成写像 f 2の部分をfとは独立な写像が 行ふたつの写像の共通不動点の存在を証明したのだ。
われていた。一般化 するプロセスでシンプルだ
gの内容を発展させたな研究が、論文[3]として結実したのである。
が 美しい 条件 (2)が 特殊ケースとして現 れてきた。そに置き換えて、fとg の共通不動点定理を証明できない
再度、論文[2]から[3]に至る流れを振り返ってみよう。まず、長いかという疑問 が 湧いた。ふたつの 写像 fとg の 共通不の 特殊ケースを 別方向に一般化 する操作 を施した

大写像(1)が応用上重要な役割を果たしており、それを一般化する研。2（f 2の 部分 をgに置き換 えた）。当該分野 で多用され動点とは、f(x)=g(x)=xを満 たす点 x のことである
一般化するプロセスでシンプルだが美しい条件(2)が特殊ケースとしる凸結合を 活用し、非拡大写像 の 条件 の 凸結合を回合成写像 f 2の部分をgに置き換えるというのは、筆の特殊ケースを別方向に一般化する操作を施した（f²の部分をgに用
generalized hybrid写像の条件 の凸結合に一般化し者自身が思いつき、2019 年に出版した論文[1]でもgeた。以上のようなやり方は、遠山啓教授 の『無限と連いた思考のテクニックである。この 作戦 は功を奏分野で多用される凸結合を活用し、非拡大写像の条件の凸結合をし、条件(3)写像の条件の凸結合に一般化した。以上のようなやり方は、遠山啓教
続』（岩波新書）でも説明されている一般化と特殊化（岩波新書）でも説明されている一般化と特殊化のスイッチバック方のスイッチバック方式の一種と言えるだろうか。
λ‖f(x)–f(y)‖2+(1–λ)‖g(x)–g(y)‖2だろうか。
≤‖x–y‖2を満たすふたつの写像 f,gについて、共通不動点の存在定理を 証明 することができた。写像 fとg の 交換可能性の仮定 f◦g=g◦f が必要となったが、それはfとf 2についても成り立っていた条件 なので、追加的にアドホックな仮定を置いたわけではない。

上の条件(3)は美しいものの少々単純に思えたので、このような工夫が常に有効なのかは、筆者の限られた研究経験だけ
このような工夫 が 常に有効なのかは、筆者 の限ら
右辺の 側も‖x–y‖2と‖x–y‖2 (同じもの！ )の凸結合
だが、試行錯誤を積み重ねること以外に、個々の研究者にできることれた研究経験 だけからはわからない。だが、試行錯とみなし、条件か。ひとりひとりの研究者ができる限り知恵を絞って工夫を積み重ね(4) λ‖f(x)–f(y)‖2+(1–λ)‖g(x)–g(y)‖2 の分野、そして科学全体が発展していくのである。その一端を担う個誤を積み重ねること以外に、個々の研究者にできることはないのではないか。ひとりひとりの 研究者 ができ≤λ‖x–y‖2+(1–λ)‖x–y‖2は重い。なお、『どうやって不動点を求めればよいか』という問いに対るに置き換えた。見ての通り、条件(4)（⇔条件(3)）
はりをってをみねることでひとつ、
限
知恵絞
工夫積重、
最近、論文[4]を出版したのだが、その紹介については紙幅の関係上の分野、そして科学全体 が 発展していくのである。そ非拡大写像 の 条件 (1)の 凸結合 である。そこで、それに換 えて、これまで盛 んに研究され 筆者自身もの一端を担う個々の研究者の責任は重い。なお、研『どReferences[1] “Approximation of a Common Attractive Point of Noncommu

Generalized Hybrid Mappings in Hilbert Spaces,” (co-authoTakahashi), Linear and Nonlinear Analysis, Vol.
5, No. 2, 279-297, 2085

[2] "Fixed point theorem for generic 2-generalized hybrid ma

[4] "Strong convergence to common fixed points usin

for mean-demiclosed mappings in Hilbert spaces,Analysis, Vol. 28, Issue 2, 285-307, 2023.

うやって不動点を求めればよいか』という問いに対応する研究でも、最近、論文[4]を出版したのだが、その紹介については紙幅の関係上他日を期する。
References[1] Approximation of a Common Attractive Point of
Noncommutative Norma l ly 2-Genera lized Hybrid
Mappings in Hilbert Spaces, (co-authored with Wataru
Takahashi), Linear and Nonlinear Analysis, Vol. 5, No.
2, 279-297, 2019.

[2] "Fixed point theorem for generic 2-generalized hybrid
mappings in Hilbert spaces," Topological Methods inNonlinear Analysis, Vol. 59, No. 2B, 833-849, 2022.

｜不動点理論の専門書[3] "G enera l i z e d com mon f i xe d p oi nt t he orem f org enera l i z ed hy br id mappi ng s i n H i lber t spa ce s ,"Demonstratio Mathematica, Vol. 55, No.1, 752-759, 2022.
[4] "Strong convergence to common fixed points using
Ishikawa and hybrid methods for mean-demiclosed
mappings in Hilbert spaces," Mathematical Modelingand Analysis, Vol. 28, Issue 2, 285-307, 2023.

｜筆者の論文086

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