Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres

J EAN -L OUIS N ICOLAS
Grandes valeurs des fonctions arithmétiques
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 16, no 2 (1974-1975),
exp. no G20, p. G 1-G 5.
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Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU

G20-01(Groupe d’étude de théorie des nombres)
16e année, 1974/75, n° G20, 5 p.

26 mai 1975

GRANDES VALEURS DES FONCTIONS ARITHMÉTIQUES
par Jean-Louis NICOLAS

Soit

f : N --> R

une

multiplicative si, pourEn particulier,et tout

kf

fonction arithmétique à valeur réelle, On dit que
met n premiers entre eux, on a

est déterminée si l’on connaît

pour tout

pest

premierentier.

THEOREME 1. - Soit

Ce théorème etsa

COROLLAIRE. - Soit

fmultiplicative. On adémonstration se trouvent dans HARDY and WRIGHT ~~ 2~, ch.

d(n)multiplicative, etle nombre de diviseurs dek + 1 .

n ;

d(n)

est une fonction

6 > 0 :pourDémonstration. - On remarque que

est une fonction multiplicative etapplique le théorème 1.
THEOREME 2. - On a

Démonstration. - On fixed(n)/n6 . La fonction

est bornée.

~r,

On constate que(k + 1)~pks ~ 1

dès que

On en déduit la majoration, valable pourEn faisant

f

6=

p ~n

«1 + (l/2)e)log 2)/log log n

Dans l’ autre sens,onconsidère le nombre :21~s et queentieronet 6obtient :réel > 0 :onnombres premiers distincts (on suppose

produit de j

Si les nombres

log n=e(p.)

Pl ’en... ,sontp.

désignant parles j, .. p . ~ , On

p1

premiers nombres premiers, on a(cf. [2], ch. XXII) :la fonction de eby0161ev

9ae(x) ~ x , d’où il vient :et l’on sait quequi achève la démonstration.

ceNombres hautement

composés. - S. RAMANUJAN ([4]) donne la définition suivante :est hautement

composé (h. c.) si

Il semble

raisonnable de considérer ces nombres pour étudier lesnassez"grandes"d(n) . Malheureusement ils sont difficiles à déterminer

valeurs de la fonction(cf. [4] et [3]).
composés supérieurs. - S. RAMANUJAN ([4], §32) définit aussi
les nombres hautement composés supérieurs (h. c. s.) : Soit E > 0 . La fonction
Nombres hautement

n ~

dit

d(n)/n~est bornée, et atteint

qu’un nombre

ximale pourn=Tout nombre h,N

est h,c.

s.,sonmaximum en au moins un point :N . Ond(n)/n~soit ma-s’il existe

N . On a donc, pour toute >0 , tel quen,composé : Soit mc.

s.

est hautement

Les nombres h, c.

s.

sont faciles à déterminer grâce

1. -Alors,

f

Soitf

OEP---’/>-’

Démonstration. - Pouret leproduit définissantOn constate que

son

log f..~

assez

pN."

lim

n-mf(n)=0 .

maximum aux points :est tel que la fonction 03B2 F-->’~lemme suivant :aufonction multiplicative vérifiant

une

est bornée, et atteint

L’exposant

N . On a :-.."f(p")

soit maximale engrand, comme lim f(p03B2)

est un produit fini. Ensuite,=soit

0 ,on an

fl=P

§

=ey .

POE=0 ,pp,(qui est une fonction additive) se traite conme une

on afonction aux variables

séparées.

d{n)/nE , on trouve :En appliquant le lemme 1 à la fonction

désignant parenla partie entière deIl est commode de poser

N = flet l’on a, pouroù

an=2 "~ ; soitpP:

est la fonction deSoit maintenantxu.

Cebysev, et -rr(x) == 1~ 1 . On sait que (cf. [l])quelconque. Il existeNhautement

composé supérieur, telqueCommeNest h. c.,on ad(n) d(N)On voit ainsi que l’ordre maximum deet l’on ad(n)est atteint pour les nombres haute-ment

composés supérieurs. Remarquons également que les nombres hautement composéssupérieurs correspondent aux abscisses des sommets de l’enveloppe convexe du graphedel~g d(n)Fonctionenfonction delog n .

r(n) . - Soit r(n)la fonction multiplicative

Le nombre de décomposition de l’ entiernenqui vaut :somme de deuxcarrés vaut4r(n)(cf. [2], ch. XVI).
On peut définir de la mêmecomposés supérieurs.

façon que pour la fonction

dles nombres

Seuls comptent les nombres premiers = 1r-hautement

mod 4 . Et les for-mules (1) deviennent

Des relations

p.

72) :

On peut donner un développement limité deli(x) :Ced(n) :qui nous donne pour l’ordre maximum deSignalons enfin que S. RAMANUJAN a calculé ([4], §40) avec l’hypothèse de Riemannl’ordre maximum deetond(n) : On a alors :écrit les formules (1) en tenant compte du 2e terme :BIBLIOGRAPHIE[1]BLANCHARD (A.). - Initiation à la théorieanalytique des nombres premiers. Paris, Dunod, 1969.

[2]

HARDY (G.

[3]H.) and WRIGHT (E. M.). - An introduction to the theory of numbers.
3rd edition. - Oxford, at the Clarendon Press, 1954.
NICOLAS (J. L.). - Répartition des nombres hautement
composés de Ramanujan,
Canad. J. Math., t. 23, 1971, p. 116-130.

G20-05[4]

RAMANUJAN (S.). - Highly composite numbers, Proc. London math. Soc., Series
2,t. 14, 1915, p. 347-400 ; and "Collected papers", p. 78-128. - Cambridge, atthe University Press, 1927.

(Texte reçu le 16 juin 1975)
Jean-Louis NICOLAS

Département de mathématiques
UER des Sciences de Limoges
123 rue Albert Thomas

87100 LIMOGES