1瑞相63年1山211
数い一・…一・・1

数学

I

（問題）

1．次の各問の［二二コに入る答のみを，所定の解答用紙に記入せよ。

11〕（各問2．5点．言十20点）

4個の白玉と5個の赤玉が入っている箱から、無作為に4個を取り川し足とき．白玉と赤］三のどちらち含まれる確率は□である。

l1H㈱が幾何11p（X1止〕1・・比11111一価1・1峠コl／／。ll
し，k，刊は。または正の整数である。

13〕確率変・数Xのとりうる他を孔吻，…，エ・各々に対する確率をそれぞれPl，ρ2，…，ρ冊とし、ある実数・についてΣ1い）2・FΣ1い）肌なる関係があるとき，加分倣γ〔X〕を．・の平均。と災仁1

卜1

州／11111〃H・一・〕・コ111。
ω裏・の出る確率9の硬貨を工，M，〃の3人がこの川貞に投げて，蚊初に表を出した者を勝ちとする。I二の勝っ確靴［ニコである。
（5〕確率変数Xの密度関数∫1工〕が炸／1一番線〕のとき，xの［仁央値（メシア：ノ）は〔二二二コである。

16〕

1回の試行で成功する確率をρ，失敗する確率を9（＝1一ρ〕とする。この試行を続けて試みたとき，r匹11目の成功が生ずるまでに起こる失敗の回数をxとすると。P（x＝先〕＝日二二二二］である。

ただし，伽藺の試行の緒架は独立とする。

17〕毎時0分。20分に簡単が発車する駅がある。電班の発j仰寺刻を全然知らない人が、まったく勝手に駅に来て・馳／待／時閉1平均値1口分口秒11／。
＝8〕確率空閑Ω上の確率事象凪1Gパ〜＝1＝2ゾ・・〕につい下、Ω＝∪∬FUGゴ，凪∩仰＝φ1へ1｛＝1〕，ゴ＝1

州二州）とすい11㈹11・仰1H、一11／！1，叩、l／、〕一コである。

一1一数i・…

乞

2．確率変数X，γの糾合確率密度関数を∫（エ，リ〕＝去ゼみ凹，とする。

・一／∴0㍍デ）l！て確率変数・を導入すいの11作・〕を，炸μ・■㌦（1・・）を用いて批
（20点）

3．

図に示す倣域D一ヒで一様分布をする

2次元碓沸変数（X，γ〕について，つぎの他、を計算せよ。

ωXの平均仙亙（X〕

121共分倣0ωlX，γ）

制支の分散γ（X）（20点）

4．確率変数Xl，X・，。一．，・。が互いに独立で，いずれも同じ指数分布に従うとき。X1・妾X・・芸X・・・…去・・とmax（Xl，X2，。．．，X。〕は同じ確率分布を持つことを証明せよ。

（20点）

5．初めに窯玉1冊T1〕個と赤玉1個が入っている箱から玉を1個取り出す。黒玉を取り出した場合は黒玉を2個箱に入れ（即ち，黒玉を1個追加する），赤玉を取り出すまでこの試行を繰り返す。赤玉を取り出すまでのこの試行の回数を確率変琴Xとする。

よ晃P（X≦書〕を求めよ。

一2一一（20点）

（角零宅事伊』）

婁改弩牟■
1．

（1）排反裏象E，Fを次の通り定続すると、E＝｛取り出された4個が白玉｝，F＝｛取り出された4個が赤玉｝
P（E）＝1／9C4＝1／126，P（F）；5／gC4＝5／126だから、求める確率筥P｛（EuF）。上1−P（E＝120／126＝20／21uF）＝1−P（E）一P（F）．

（2）P（X＝k＋nlx≧k）艘P（｛X＝k＋n｝∩｛X≧k｝）／P（X≧k）昌P（X＝k＋n）／P（X≧k）

o◎＝Pqk＋n／Σ州Irqk＋n／｛Pqk／（1−q）｝；Pqn．
i＝k（3）nnn

Σ（x一一。）2pI＝Σ（xi2−2c舳2）PドΣ（xド。）Pii＝1i＝1i＝1n．

DΣxi2pド2cm＋c2＝㎜一。
i：ln∴Var（X）＝Σx12pドm2宮ザ。＋2㎝一。2一㎜2
i：1＝㎜一。一（皿一。）2＝（m−c）（1−m・c）

従って求める答は、1一皿・c．
（4）表の出る確率をpとすると、求める確率ぼ
P・q3p・q6p・…：P／（1−q3）＝1／（1・q・q2）．

（5）求めるメジアンをtとすると、／t（1−x／2）dx＝t−t2／4＝1／2より0 t＝2一πt2−4t＋2＝Oを解いて（今回はO．586も正解と認めた。）．

一3一（6）P（X・k）は、r・k−1回中r−1回成功，かっr・k回目に成功する確率だから
P（X2k）冒、十トlCr＿1P『一1qkp；。十k＿一C。＿1P『（吋Ckp『（・q）kも正解とした。）（7）X分に駅に到着した人の待ち蒔固は、20−X（0ξX20），60−X（20≦X≦60）で表される。Xの分布を（O，60）での概分布と考えれば、待ち時間の平均値は・・一・）・…い460（・・一・）・・・…1・・・…一時（分）求める答は、16分40秒（8）P（H−l．

Gj）＝P（H一∩G』）／P（G』）◎o＝P（GjlHi）P（H，）／ΣP（Gj1出）P（Hl）
i＝lo◎；qj−PI／Σq』lPI・
i；12．P（OくZ〈1）＝／／（1／π）眺p（一x2−y2）dxdy＝｛＊｝，

O｛x＋y｛1i：：ll、とすると（；裏11伽：

ここで種分範囲は下図斜線部
6（；1：1、，綱H件1I！／！一より、。。。

／1㈹＝／／（1／π）exP｛一s2一（トs）2｝dsdt0＿OOi÷oo

＝／／（1／π）exp｛1−2（s−t／2）2−t2／2｝dsdt

O＿◎Oio◎＝／exP（一t2／2）／（1／π）e榊ト2（s−t／2）2｝dsdt

O・◎◎

ここで、2（s−t／2）をuとおくとds／du＝1／2だから

一4一O^

ππ

1÷◎o；／exP（一t2／2）dt／（i／π）（1／2）跳P（一u2／2）duO＿◎◎

1＋oo＝1／（2π）一1／2／exp（一t2／2）dt

0／1／（2π）1／2exp（一u2／2）du＿◎O＝ψ（1）・1＝ψ（1）∴P（Z呂O）冒1−P（O〈Zく1）＝1一少（1）．

3．2次元確率変数（X，Y）の密度関数f（x，y）はDが四分円だから＼ψHl／πl11鵜である。
1将
1（1）E（XH4／π）〃・d・d。雪（4／π）／・d・／dド（4／π）／・偏d・Doo0

1＝（4／π）〔（一1／3）．（工一x2）3／2］o＝4／（3π）．

（2）E（Y）；4／（3π）（E（X）同様に計算する。）

1．仔

1E（XY）冒（4／π）／xdx／ydy＝（4／π）／x（1−x2）／2dxOOO

1＝．（2／π）［x2／2−x4／4］o＝1／（2π）∴Cov（X，Y）；E（XY）一E（X）E（Y）＝1／（2π）一｛4／（3π）｝2＝（9π一32）／（18π2）．

1

何、（3）E（X2）；（4／π）／x2dx／dy＝（4／π）／x2偏dx00（炉・i・θとおく）π／20π／2＝（4／π）．！sin2θcos2θdθ＝＝（4／π）／｛（sin2θ）／2｝2dθOOπ／2＝（1／π）．！sin22θdθoπ／2＝（1／2π）．／（1−cos4θ）dθO

一5一π／2；（1／2π）［θ一（1／4）sin4θ］o＝1／4∴Var（X）昌E（X2）一E（X）2昌1／4−16／（9π2）．

4．指数分布の密度関数f（x）を㈹・／8脚←舳）l1膿（ここ一こa〉q）とする。

X／kの種率母関数は、。。

。。

EexP（tx／k）＝！帥（tx／k）aexP（一阯）dx；／a榊｛（t／k−a）x｝dxOO＝a／（a−t／k）

n
また、各Xiは独立であるからZ；ΣXk＾の積率母鰍φz（t）はk；工nnφz（t）；an／rI（a−t／k）昌ann！／n（ka−t）

k；1
一方k＝1Y司ax（Xl，…，Xn）とすると、各Xiは独立マあるから
P（Y印）＝P｛（X1卵）∩…

∩（㎞≦y）｝＝P（X1卸）x…

xp（Xn≦y）＝｛パaexP（一ax）ωn；｛1一帥（一ay）｝n○
従って、Yの密度関数は、y〉Oでn｛1−exp（・阯）｝n−1aexp（一町）

済Oで0と表される。Yの積率母関数φy（t）ぱ（t〈8）で以下の通り書十算される。

◎oφy（tト／・a岬（ty）｛1一・・P（一阯）｝n・1・・P（一ay）dγO◎o＝na／e榊｛（トa）州1一跳P（一阯）｝nidy

O冒na〔［口／（トa）｝・挑P｛（トa）y｝｛1一挑P（一州）⊃noo1］o一｛i／（トa）｝・（n−1）・a．

oo・／帥（一阯）・挑P｛（t−a）y｝｛1一榊（一阯）｝皿I2dy〕

O

一6一oo＝｛n・（n−1）・a2／（a−t）｝・／exP｛（t−2a）山1一挑P（一ay）｝n0

以下部分種分を繰返して2dyoo＝〔nlan／［（a−t）・・…｛（n−1）a−t｝］〕・！挑P｛（トna）y｝dyOn＝a nn！！ITI （k a−t）
k；lnφz（t）＝州t）であるからZ昌ΣXk／kとY昌■ax（Xl，…，Xn）は同じ確率分布を持つことが言えた。 k＝1

5．｛X≦k〕の余事象｛X〉k｝ぱ、一ﾘめからk回舳ナて黒玉の出る事象だからP｛X〉k｝呂｛（n−1）／n｝・｛n／（n＋1）｝x…

x｛（n÷k−2）／（n唯一1）｝＝（n−1）／（n・k−1）。

DP｛X≦k｝；1一（n−1）／（n＋k−1）

いまnを（n−1）／2≦㎜≦n／2・・・…

①となる自然数とすれば、
P｛X≦n／2｝＝P｛Xm｝＝1一（n−1）／（n州一1）…

②①に辺々n−1を加えると
n−1＋（n−1）／2．．．

3（n−1）／2≦n−1…nnI■一1≦≦

n−1＋n／2
3n／2−1n≧2のとき1一（n−1）／｛3（n−1）／2｝≦1一（n−1）／（耐r1）≦1一（n−1）／（3n／2−1）②より1／3≦】P｛Xξn／2｝

ε1一（n−1）！（3n／2−1。）

1／3≦P｛X≦n／2｝≦n／（3n−2）∴n一〉ooのとき

P｛X豹／2｝一〉1／3一7一．