1『微分積分 — 1 変数と 2 変数』第 1 版・第 1 刷 の正誤表（ver.20201218）
このノートは川平友規著『微分積分 — 1 変数と 2 変数』（日本評論社，2015 年 7 月刊，第 1 版・第 1 刷）の正誤表・コメントをまとめたものです*1 ．
以下，「重要な訂正」，「分かりにくい部分の修正」，「些細な訂正」の３パートに分かれています．変更部分は赤で強調しました．

◎重要な訂正• 20 ページ，下段の区間の図．
誤：

正：

コメント：3 のところの白丸は黒丸に変えて，直前の文章と整合させる．

• 32 ページ，13 行目．4 章の例 2．
誤： x21 < x1 x2 < x22
正： x21 ≦ x1 x2 < x22• 43 ページ，2 行目．例題 5.1 の (2)．
1π
1=
誤： 4Tan−1 − Tan−152934π−1 1−1 1
正： 4Tan=− Tan52394• 60 ページ，9 行目．7 章例題 7.2 の解．
f (x)f ′ (x)
誤： lim= lim ′
= 2.
x→a g(x)x→a g (x)f (x)f ′ (x)
正： lim= lim ′
= 2.
x→0 g(x)x→0 g (x)• 83 ページ，図の y 軸に書かれた点 Q と点 P の y 座標
誤： 上から f (p)，f (q) となっている（下図左）．
*1

謝辞．石谷常彦氏，天才ガロワ君 w 氏，TA 氏，鬼在野 Lafael 氏，ma 氏，藤井一喜氏から誤植等のご指摘をいただきました．ありがとうございました．

2
正： 上から f (q)，f (p) に入れ替え（下図右）．

• 101 ページ，問 11.3（極方程式）の問題文，2 行目から．
誤： {(r cos θ, r sin θ) | r = f (θ)} は滑らかな曲線

C : (x(θ), y(θ)) = (f (θ) cos θ, f (θ) sin θ)(α ≦ θ ≦ β)を定める．その長さは次で与えられることを示せ：
正： {(r cos θ, r sin θ) | r = f (θ)} が滑らかな曲線

C : (x(θ), y(θ)) = (f (θ) cos θ, f (θ) sin θ) (α ≦ θ ≦ β)を定めるとき，その長さは次で与えられることを示せ：• 163 ページ，7 行目から 12 行目まで．
修正前：√

ここで最後の o(∆x2 + ∆y 2 ) の部分は，o(∆t) に置き換えることができる．なぜ√√なら，式 (19.6) より ∆x2 + ∆y 2 = |∆t| (v12 + v22 ) + o(1) であり，∆t → 0 のとき√√√o( ∆x2 + ∆y 2 )o( ∆x2 + ∆y 2 )∆x2 + ∆y 2= √·∆t∆t
∆x2 + ∆y 2√√o( ∆x2 + ∆y 2 )= √· (v12 + v22 ) + o(1)∆x2 + ∆y 2√
→ 0 · v12 + v22 = 0となるからである．したがって修正後：

3
ここで ∆t → 0 （よって (∆x, ∆y) → (0, 0)）とするとき，∆x2 + ∆y 2 = 0 ならば最√後の o(∆x2 + ∆y 2 ) の部分は 0 である．∆x2 + ∆y 2 ̸= 0 ならば，式 (19.6) より√√√o( ∆x2 + ∆y 2 )o( ∆x2 + ∆y 2 )∆x2 + ∆y 2
= √·22|∆t||∆t|∆x + ∆y√√o( ∆x2 + ∆y 2 ) |∆t| (v12 + v22 ) + o(1)= √·|∆t|∆x2 + ∆y 2√
→ 0 · v12 + v22 = 0 (∆t → 0).
√
よって最後の o( ∆x2 + ∆y 2 ) の部分は o(∆t) で置き換えられて，コメント：9 行目からの式で√∆x2 + ∆y 2 = 0 となる場合に対する配慮が必要．また，

9 行目からの式の分母の ∆t は |∆t| としたほうがこのあとイコールで結ばれる 10 行目の式との関係がより自然になる．

• 217 ページ，定義（タテ線領域とヨコ線領域）の 1〜2 行目．
誤： 関数 y = ϕ1 (x)，y = ϕ2 (x) は区間 [a, b] 上の連続関数とする．
正：関数 y = ϕ1 (x)，y = ϕ2 (x) は区間 [a, b] 上で ϕ1 (x) ≦ ϕ2 (x) を満たす連続関数とする．
コメント：この条件がないと，定理 26.1 との整合性が保たれない．

• 241 ページ，下から 8〜7 行目．29 章の線積分の定義の途中．
→
誤： 分割の最大幅 max {|∆−
p | | 0 ≦ k < N}k

正： 時刻の分割の最大幅

max {|tk+1 − tk | | 0 ≦ k < N }コメント：自己交差しない曲線の場合は修正不要だが，8 の字のように自己交差する曲線の場合は時刻で細かくしていかないと曲線の一部を取りこぼす可能性がある．

• 248 ページ，下から 2 行目．問 3.2 の解答．
誤： lim e1/x = lim e−t = 0x→−0t→−∞

正： lim e1/x = lim e−t = 0x→−0t→∞• 251 ページ，上から 9 行目．問 6.3 の解答．
誤： lim R(x) = 0y→b

正： lim R(y) = 0y→b

• 257 ページ，下から 9 行目．問 23.2 の解答．

4
誤： f (x, y) = r 2 (1 − (5/4) sin 2θ)
正： f (x, y) = r 2 (1 − (5/4) sin2 2θ)◎分かりにくい部分の修正• 5 ページ，本文下から７〜４行目．
修正前：「A と a が小数点以下 m 桁まで一致する」ならば，絶対誤差について|a − A| <110m(1)が成り立つ．
修正後：「A と a が小数点以下 m 桁まで一致する」ならば，絶対誤差について|a − A| <110m(2)が成り立つ（ただし，上のように 9 を並べた小数は考えない）．
コメント：例えば a = 8.31 と A = 8.319999999 · · · (= 8.32) は |a − A| = 10−2 だが（ |a − A| < 10−2 でないにもかかわらず）小数点以下 2 桁まで一致しているように見える．このようなケースは除外．

• 23 ページ，3 章，公式 3.1 の 1 行目から．
修正前： lim f (x) = A， lim g(x) = B のとき，次が成り立つ：
x→ax→a

修正後： lim f (x) = A， lim g(x) = B （ただし A, B ̸= ±∞）のとき，次がx→ax→a成り立つ：
コメント：公式 3.1 では「x → a のとき f (x) は実数 A に収束し，g(x) は実数 B に収束する」場合のみを考えていて，A = ±∞ や B = ±∞ は考えていない．（そのように書くべきだった．
）A + B = ∞ − ∞ や AB = 0 · ∞ のような計算は値が確定しないからである．ただし，(5) の「はさみうちの原理」に関しては，「A = B = ∞ もしくは−∞」の場合も正しい．

• 35 ページ，下段のグラフ．
修正前：

5

修正後：

コメント：軸の上に 0 と 1 を書き加えた．（論理的に考えればわかることだが，念のため．）• 37 ページ，問 4.5
修正前：命題 4.5 を示せ．
修正後：命題 4.5 を示せ．（Hint. 正の数 x と自然数 m, n に対し，xm · xn =xm+n ，(xm )n = xmn が成り立つことは用いてよい．これらの等式は，左辺において x がいくつ掛け算されているかを数え上げただけである．）
コメント：問 4.5，問 4.6 の解答が何をやっているのか分かりづらい，という意見が寄せられたので．

• 40 ページ，上から 7 行目，三角関数の定義の部分．
修正前：実数 x に対し，sin x は正弦関数，cos x は余弦関数，tan x は正接関数とよばれ，…
修正後：変数 x に対し，sin x は正弦関数，cos x は余弦関数，tan x は正接関数とよばれ，…

6
コメント：tan x は定義域が異なるので，念のため．

• 61 ページ，下から 7〜6 行目の注意．
修正前：(a, b) 上で g ′ (x) ̸= 0 が成り立てば，g ′ (x) の符号は変化せず，g(x) は単調である．よって g(a) ̸= g(b) は自動的に得られる．
修正後：(a, b) 上で g ′ (x) ̸= 0 が成り立てば，a < b と平均値の定理（定理 7.2）より，g(a) ̸= g(b) は自動的に得られる．
コメント：平均値の定理を用いたよりシンプルな説明に変更（g(b)−g(a) = g ′ (c)(b−a) ̸=0 となる c ∈ (a, b) が存在するから）．「g(a) = g(b) と仮定するとロルの定理（定理7.1）に矛盾する」でもよい．
ちなみに，g ′ (x) は一般に連続関数とは限らないので，「(a, b) 上で g ′ (x) ̸= 0 が成り立てば，g ′ (x) の符号は変化しない」ことの証明は意外と面倒である（もっと簡単にできるのかもしれないが）．
証明：まず，g(x1 ) = g(x2 ) となる a ≦ x1 < x2 ≦ b が存在すれば，ロルの定理よりg ′ (c) = 0 となる c ∈ (x1 , x2 ) が存在するので矛盾である．すなわち，g(x) は区間 [a, b]上で 1 対 1 かつ連続である．これより，g(x) は [a, b] 上で真に単調増加もしくは真に単調減少であることが導かれる（そうでないと，中間値の定理より g(x1 ) = g(x2 ) となる

a ≦ x1 < x2 ≦ b が存在してしまう）．真に単調増加であれば，g ′ (c) < 0 となる c ∈ (a, b)g(c + δ) − g(c)<0は存在できない．実際，そのような c においては十分小さな δ に対してδ′が成立して，単調増加性に反するからである．よって，g (x) の符号は正の値しかとらない．
真に単調減少の場合も同様である．

• 98 ページ，10 行目．「滑らかな曲線」の定義の 1 行目．
修正前： 変数 t でパラメーター表示された集合
修正後： 変数 t でパラメーター表示された点の集まり→
コメント：本書では「曲線」を「動点 −p (t) の軌跡」とみなしており，何度か同じ点を通ったとしても通過する時刻が異なれば点としては別のものと考える*2 ．
（すなわち，「数列」や「点列」に近い考え方をする．）その際，修正前の「集合」という表現は不適切に思われたので，それを和らげるために「点の集まり」とした．

• 98 ページ，下から 4 行目から 3 行目．
*2 通常は「閉区間から平面への連続写像」のことを「曲線」と定義するが，本書では「写像」という言葉を使いたくないので，便宜上このような定義とした．小平邦彦『解析入門』でもこの方式を採用している（336 ページ）
．ちなみに，「滑らか曲線」の定義で条件 (2) がないと，カクっと折れ曲がった→曲線が排除できない．たとえば，−p (t) = (t3 , |t3 |) (−1 ≦ t ≦ t) は C 1 級で条件 (1) を満たすがt = 0 で (2) を満たさない．7
修正前：…ように，急激に折れ曲がる点をもった曲線は「区分的に滑らかな曲線」となる．このような曲線の長さは，次で定義される：
かど

修正後：…ように，角をもった曲線は「区分的に滑らかな曲線」となる．この→ような曲線の長さ（動点 −p (t) の道のり）は，次で定義される：
コメント：上記のとおり，「曲線」は「動点の軌跡」とみなしているので，その「道のり」を積分で表現し「曲線の長さ」と定義するのである．ついでに，「急激に折れ曲が」らな
かど

い 角もあるだろうから言葉を替えて文章の長さの調整を行った．

• 213 ページ，例 2 の 4 行目．
修正前：∫

積分値dxdy も同じ値である…
D

修正後：

∫∫

積分値dxdy も同じ値である…
D

コメント：重積分の記号に直す．

• 216 ページ，問 25.1 の 2 行目．
修正前：∫f (x, y) dxdy を…

I=D

修正後：

∫∫f (x, y) dxdy を…

I=D

コメント：重積分の記号に直す．

• 219 ページ，例 1 の 2 行目と 6 行目の2 箇所．
修正前：∫(x2 + y 2 ) dxdy

I=
D

修正後：

∫∫

(x2 + y 2 ) dxdy

I=D

コメント：重積分の記号に直す．

8• 249 ページ，2 行目，問 3.4 の解答．
修正前： |A| − |B| ≦ |A| − | − B| ≦ |A − B|．
修正後： |A| − |B| = |A| − | − B| ≦ |A − B|．
コメント： 間違いではないがとくに不等式にする理由がないので．

◎些細な訂正• ii ページ，7 行目．
修正前： （いわゆる ϵ 論法を用いた証明は他書に譲る．）
修正後： （いわゆる ϵ-δ 論法を用いた証明は他書に譲る．）
コメント：「ϵ 論法」（ϵ-N 論法と ϵ-δ 論法の総称）という言い方はあまり使わないようなので排除．

• 7 ページ，「注意」の 5 行目．
修正前： … ϵ 論法（ϵ-N 論法）とよばれる手法…
修正後： … ϵ-N 論法とよばれる手法…
コメント：上に同じ．

• 22 ページ，「注意」の 6 行目〜７行目．
修正前： … ϵ 論法（ϵ-δ 論法）とよばれる手法…
修正後： … ϵ-δ 論法とよばれる手法…
コメント：上に同じ．

• 33 ページ，下から 1 行目．
修正前： … （厳密な証明には ϵ 論法が必要なので…
修正後： … （厳密な証明には ϵ-δ 論法が必要なので…
コメント：上に同じ．

• 66 ページ，下から 10 行目〜11 行目．
修正前： …「1 次近似」1.06.「2 次近似」1.0612.「3 次近似」…
修正後： …「1 次近似」1.06，「2 次近似」1.0612，「3 次近似」…

9
コメント：小数のあとのピリオドをコロンに変える．

• 71 ページ，公式 8.8 の 1 行目．
修正前： …次が成り立つ．
修正後： …次が成り立つ：
コメント：他の公式（たとえば公式 8.6）などの書き方に合わせて，ピリオドをコロンに変える．

• 85 ページ，脚注 2]．
修正前： … いわゆる ϵ 論法が必要…
修正後： … いわゆる ϵ-δ 論法が必要…
コメント：上に同じ．

• 93 ページ，定理 11.1 の直前．
修正前： 次のような性質を持つ（証明略）：
修正後： 次のような性質を持つ：
コメント：（証明略）を削除．定理 11.1 の直後に「証明は省略する」と書いてあるので．

• 163 ページ，6 行目の式．
√
修正前： … +o( ∆x2 + ∆y 2 )√修正後： … +o( ∆x2 + ∆y 2 ).
コメント： 式の終わりにピリオドをつける．

• 163 ページ，下から 3 行目の式．
修正前：
修正後：

= fx (a, b)x′ (t0 ) + fy (a, b)y ′ (t0 )′′= fx (a, b)x (t0 ) + fy (a, b)y (t0 ).

コメント： 式の終わりにピリオドをつける．

■■