簡易なモデルで原子炉の過渡的な振る舞いを理解する

北海道大学 大学院工学研究院 千葉豪

1

はじめに
この教材は、別教材「やさしい臨界の話」「やさしい伝熱の話」を視聴しているという前提で作成されています。これらを視聴していない方には、まずこれらを視聴することをお勧めします（「やさしい臨界の話」で検索すると容易に辿りつけます）。

2

簡易なモデルで原子炉の過渡的な振る舞いを理解する

・反応度フィードバック

・原子炉の過渡応答
・原子炉簡易動特性モデルを用いた過渡解析

3

反応度フィードバック44反応度・反応度𝜌は、中性子増倍率𝑘の1.0からのずれの割合（体系が臨界状態からどれくらい離れているか）を示すパラメータであり、𝑘を用いて以下のように定義される。
1 𝑘−1
𝜌 =1− =𝑘𝑘
・反応度𝜌の単位は[dk/k]である（[Δk/k]と表記する場合もある）。pcm（10-5 dk/k）を使う場合もある。
・臨界のときは𝜌 = 0、超臨界では𝜌 > 0、未臨界では
𝜌 < 0である。
5

核分裂反応

核分裂片

中性子

標的核

複合核

核分裂

反応の「起こりやすさ」は、標的となる原子核の種類、および中性子の運動エネルギーに強く依存する。

6

核分裂反応の起こりやすさ：核分裂断面積7核分裂反応で発生する中性子のエネルギー

平均2MeV8核分裂反応の起こりやすさ：核分裂断面積

ここで反応させると少ない中性子数で大量の核分裂反応を起こすことが可能
発生

核分裂で生まれた“高速な”中性子の速度を落としてやるとよい。

9

中性子のエネルギーを低くする：減速

中性子と原子核の弾性散乱反応を利用

入射中性子

標的核

散乱中性子

標的核に運動エネルギーの一部が付与されるため、散乱中性子のエネルギーが低下
中性子と同程度の重さの原子核（すなわち軽い原子核）を使えば、少ない衝突数で、中性子のエネルギーを低くすることが出来る → 水が有効10

水による中性子の減速減速材（水）：
核分裂で発生した中性子のエネルギーを低下させる役割を有する。

冷却材の温度が増加すると、冷却材の密度が低下するた
め、中性子の減速効果が低下し、核分裂連鎖反応が抑制される（反応度が低下する）。
11核分裂反応の起こりやすさ：核分裂断面積

核分裂反応で発生した高エネルギーの中性子は水素との弾性散乱反応を繰り返すことで、そのエネルギーを低下させる。

発生12

ウラン238の中性子吸収断面積13ウラン238による共鳴吸収
中性子は減速する過程
において、そのいくつかがU-238の共鳴によって吸収されてしまう。そして、
このU-238の共鳴による中性子の吸収は、燃料の温度が上昇すると、より顕著に起こるようになる（反応度が低下する）。

14

反応度フィードバック
原子炉出力の変化

燃料温度、冷却材温度などの変化⚫ U-238の共鳴吸収の変化⚫ 冷却材密度の変化による中性子の減速効果の変化⚫ …

反応度の変化15

原子炉の自己制御性

炉出力増加
核分裂数の増加

温度上昇

燃料減速材

U-238の中性子共鳴吸収の増加

水密度の低下による中性子減速
能力の低下

反応度の減少炉出力増加が抑制
16

原子炉の自己制御性

炉出力減少が抑制
反応度の増加

U-238の中性子共鳴吸収の減少

燃料

水密度の増加による中性子減速
能力の増加

減速材温度低下

核分裂数の減少

炉出力減少
17原子炉の自己制御性
原子炉は、燃料温度や冷却材温度などの負の反応度フィードバックにより、出力の変化を抑制する特性を有する。

減少

炉出力増加
18

原子炉の過渡応答

1919

遅発中性子中性子

遅発中性子先行核

１世代の時間が経過した後、中性子数は中性子増倍率𝑘倍となる。ただしそのうち割合𝛽 は遅発中性子先行核である。従って、即発中性子の個数は1世代の時間が経過した後は 1 − 𝛽 𝑘倍となる。
*𝛽はウラン235の熱中性子による核分裂では0.007程度
20即発中性子のみの連鎖反応

中性子数：𝑁01 − 𝛽 𝑘𝑁0

1 − 𝛽 2 𝑘 2 𝑁0= 𝑘𝑝 𝑁02= 𝑘𝑝 𝑁0

即発中性子のみの中性子増倍率𝑘𝑝 = 1 − 𝛽 𝑘を定義すると、臨界状態（𝑘 = 1）のときは𝑘𝑝 = 1 − 𝛽 < 1であることから、即発中性子のみでは連鎖反応は持続しないことが分かる。
*𝛽はウラン235の熱中性子による核分裂では0.007程度
21即発中性子のみの連鎖反応

中性子数：𝑁0

一方、𝑘𝑝 =

1 − 𝛽 𝑘𝑁0

1 − 𝛽 2 𝑘 2 𝑁0= 𝑘𝑝 𝑁02= 𝑘𝑝 𝑁0

1
1 − 𝛽 𝑘 > 1、すなわち𝑘 >≈ 1 + 𝛽のときに1−𝛽は、即発中性子のみで連鎖反応が持続し、中性子数は急激に増加する。
22

遅発臨界と即発臨界

即発臨界状態𝑘 >1+𝛽

中性子数は急激に増加

𝑘 =1+𝛽遅発臨界状態
遅発中性子によって反応が持続

𝑘=1未臨界状態𝑘<123遅発臨界と即発臨界

即発臨界状態
中性子数は急激に増加

𝜌>𝛽
𝜌=𝛽

遅発臨界状態
遅発中性子によって反応が持続𝜌=0未臨界状態

𝜌<024遅発臨界と即発臨界

即発臨界状態
制御不能

𝜌>𝛽
𝜌=𝛽

遅発臨界状態
制御可能

𝜌=0未臨界状態

𝜌<025遅発臨界と即発臨界
反応度𝜌を遅発中性子割合𝛽で割ったものは「ドル単位の反応度」と定義される。

即発臨界状態
制御不能

𝜌 >1$
𝜌=1$

遅発臨界状態
制御可能

𝜌 =0$
未臨界状態

𝜌 <0$
26

原子炉の過渡応答（フィードバック無し）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

例題１：
反応度フィードバックが無い条
件で、炉出力、燃料温度、冷却材温度の変化を考えてみよう。なお、冷却材入口温度と冷却材流量は一定とする。

減速材温度

27

原子炉出力原子炉の過渡応答（フィードバック無し）

即発跳躍

28

原子炉の過渡応答（フィードバック無し）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

29

原子炉の過渡応答（フィードバック無し）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

30

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）
𝛽反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

例題２：
次に、反応度フィードバックを考慮した条件で、これらの変化について考えてみよう。なお、冷却材入口温度と冷却材流量は一定とする。

減速材温度

31

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）
𝛽反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

32

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）𝛽

燃料温度上昇のフィードバックにより反応度が低下する。

反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

33

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）
𝛽反応度 (=0)

原子炉出力反応度の低下により原子炉出力は低下する。

燃料温度

減速材温度

34

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）
𝛽反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

35

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）
𝛽反応度 (=0)

原子炉出力は初期状態と比べて、印加された反応度の分だけ上昇。

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

36

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）
𝛽反応度 (=0)

原子炉出力は初期状態と比べて、印加された反応度の分だけ上昇。

原子炉出力

燃料温度

上の原子炉出力の僅かな上昇は、丸で囲まれた時間内での遅発中性子先行核数の増加によるものと解釈できる。

減速材温度

37

原子炉の過渡応答（フィードバック有り）
𝛽反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

最初に印加された反応度は、燃料温度、減速材温度のフィードバックにより相殺された、と理解できる。
38

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

例題３：
同様に、反応度フィードバックを考慮した条件で、これらの変化について考えてみよう。なお、冷却材入口温度と冷却材流量は一定とする。

減速材温度

39

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力即発臨界状態なので、原子炉出力は急上昇する。

燃料温度

減速材温度

40

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

原子炉出力の急上昇に伴い、燃料温度も急上昇する。

燃料温度

減速材温度

41

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

短時間での燃料温度上昇のフィードバックにより、反応度は急低下し、𝛽を下回る。

減速材温度

42

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力反応度が𝛽を下回るため、原子炉出力も急低下する。

燃料温度

減速材温度

43

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

44

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

印加された反応度が大きくなった場合を考えよう。

45

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

その場合、印加された反応度を打ち消すために必要なフィードバック反応度が大きくなり、出力が落ち着いた後の燃料温度、減速材温度がより上昇する。
46

原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料融点
燃料温度

減速材温度

例えば、燃料温度が融点を超えてしまうと燃料破損が起こる。また、燃料温度が融点を超えなくても、破裂や被覆管の焼損などで燃料が破損する可能性がある。
47

原子炉簡易動特性モデルを用いた過渡解析

4848

原子炉の簡易動特性モデル

𝑇𝑜𝑢𝑡

𝑃
𝑇𝑓 𝑇𝑐
燃料 冷却材時間を𝑡としたときの、原子炉出力𝑃(𝑡)、燃料温度𝑇𝑓 (𝑡)、冷却材温度𝑇𝑐 (𝑡)の過渡変化を、簡易的にモデル化する。

𝑇𝑖𝑛49

原子炉の簡易動特性モデル

𝑇𝑜𝑢𝑡

・原子炉出力𝑃(𝑡)は一点炉動特性モデルで計算する。

𝑃・反応度フィードバックは以下のモデルで求める。
∆𝑇𝑓 、 ∆𝑇𝑐 はそれぞれ基準値に対する差異を示す。

𝑇𝑓 𝑇𝑐
燃料 冷却材𝑇𝑖𝑛

燃料温度
フィードバック

冷却材温度
フィードバック

制御棒操作等により与えられる反応度・𝛼𝑓 、𝛼𝑐 は、それぞれ-2.4pcm/K、-6.0pcm/Kとした。
50

原子炉の簡易動特性モデル

𝑇𝑜𝑢𝑡

𝑃
𝑇𝑓 𝑇𝑐
燃料 冷却材𝑇𝑖𝑛

・燃料温度𝑇𝑓 (𝑡)は以下のモデルで求める。

燃料から冷却材への熱伝達・冷却材温度𝑇𝑐 (𝑡)は以下のモデルで求める。
𝑑𝑇𝑐
𝑚𝑐 𝐶𝑐
= ℎ𝑓𝑐 𝐴𝑓𝑐 𝑇𝑓 − 𝑇𝑐 − 𝑊𝐶𝑐 𝑇𝑜𝑢𝑡 − 𝑇𝑖𝑛 − 𝐻𝑑𝑡
外部に取り出される熱エネルギー
冷却材から構造物への熱損失51反応度印加の条件

ステップ状

反応度 (=0)

ランプ状
反応度 (=0)52

ステップ状の反応度印加（反応度フィードバック無視）：出力反応度印加直後の即発跳躍が観察される。

53

ステップ状の反応度印加（反応度フィードバック無視）：出力+0.5＄の反応度印加では5秒後に出力が9倍となる。

54

ステップ状の反応度印加（反応度フィードバック無視） ：燃料温度+0.5＄の反応度印加では4秒後に融点を超える。

55

ステップ状の反応度印加（反応度フィードバック無視） ：冷却材温度+0.5＄の反応度印加では4秒後に沸点を超える。

56

ステップ状の反応度印加（反応度フィードバックあり）：出力

即発跳躍の振る舞いは変わらないが、温度フィードバックにより、即発跳躍後の出力変化は抑制方向となる。
57

ステップ状の反応度印加：出力
反応度フィードバックなし

反応度フィードバックあり

温度フィードバックにより、即発跳躍後の出力変化は抑制方向となる。
58

ステップ状の反応度印加：燃料温度

燃料温度は出力の変動に伴い変化し、負の反応度フィードバックを与える。

59

ステップ状の反応度印加：冷却材温度

燃料温度の変化よりも少し遅れるが、冷却材温度も短い時間で変動を開始し、負のフィードバック効果をもたらす。
60

ステップ状の反応度印加：冷却材温度
燃料温度

冷却材温度

燃料温度の変化よりも少し遅れるが、冷却材温度も短い時間で変動を開始し、負のフィードバック効果をもたらす。
61

ステップ状の反応度印加：出力印加された反応度は、反応度印加後の5秒程度でフィードバック反応度と釣り合い、次の定常状態に遷移する。+0.5＄印加時は初期出力の1.1倍程度に落ち着く。
62

ステップ状の反応度印加：燃料温度

0.5＄印加時、燃料温度は、100K強程度、高い値で定常状態となる。冷却材との温度差は初期状態は1,000Kであったので、温度差は1.1倍となり、出力が1.1倍となったことと対応する。

63

ステップ状の反応度印加：燃料温度
燃料温度

原子炉出力

0.5＄印加時、燃料温度は、100K強程度、高い値で定常状態となる。冷却材との温度差は初期状態は1,000Kであったので、温度差は1.1倍となり、出力が1.1倍となったことと対応する。

64

ステップ状の反応度印加：冷却材温度

0.5＄印加時、冷却材温度は、4K強程度、高い値で定常状態となる。
印加反応度を相殺するための冷却材温度、燃料温度が決まり、それに応じて次の定常状態での炉心出力が決まる、と理解できる。
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水による中性子の減速

冷却材の温度が増加すると、冷却材の密度が低下するため、中性子の減速効果が低下し、核分裂連鎖反応が抑制される（反応度が低下する）。
PWRでは、中性子吸収物質であるホウ素を冷却材に溶解させており、冷却材の密度が低下すると、ホウ素の密度も低下し、反応度が増加する効果も含まれる。これまではこの影響が比較的大きいサイ
クル初期（BOC)を想定した結果を示していたが、この影響が緩和されるサイクル末期（EOC）を想定した結果を以降で示す。
66

ステップ状の反応度印加（EOC想定）：出力

𝛼𝑐 を-6.0pcm/Kから-94.5pcm/Kとしたため、冷却材温度フィードバッ
クが強く働き、反応度印加前後の定常出力の差異が小さくなった。また、冷却材温度フィードバックの時間遅れの影響で、出力に振動が見られる。
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ステップ状の反応度印加（EOC想定）：出力
EOC想定（冷却材温度フィードバック大）

BOC想定（冷却材温度フィードバック小）

𝛼𝑐 を-6.0pcm/Kから-94.5pcm/Kとしたため、冷却材温度フィードバッ
クが強く働き、反応度印加前後の定常出力の差異が小さくなった。また、冷却材温度フィードバックの時間遅れの影響で、出力に振動が見られる。
68

ステップ状の反応度印加：反応度EOC想定（冷却材温度フィードバック大）

BOC想定（冷却材温度フィードバック小）

BOC想定では燃料温度フィードバック反応度が支配的であるが、EOC想定では燃料温度と冷却材温度の両フィードバック反応度が同程度に寄与している。また、後者では、燃料温度と冷却材温度のフィードバック反応度における時間差が観察される。
69

ステップ状の反応度印加（EOC想定）：燃料温度

冷却材温度フィードバックの時間遅れの影響で、出力に振動が生じるため、燃料温度にも同様の振動が見られる。
70

ステップ状の反応度印加（EOC想定）：冷却材温度

冷却材温度フィードバックの時間遅れの影響で、出力に振動が生じるため、冷却材温度にも同様の振動が見られる。
71

ランプ状の反応度印加：出力5秒間で所定の反応度を印加するため、反応度印加直後からフィードバックの影響を受け、出力変化が緩慢になる。反応度印加後の定常状態の出力レベルはステップ状印加時と変わらない。

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ランプ状の反応度印加：出力
ランプ状

ステップ状5秒間で所定の反応度を印加するため、反応度印加直後からフィードバックの影響を受け、出力変化が緩慢になる。反応度印加後の定常状態の出力レベルはステップ状印加時と変わらない。

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ランプ状の反応度印加：燃料温度変化が緩慢になるが、反応度印加後の定常状態でのレベルはステップ状印加時と変わらない。
74

ランプ状の反応度印加：冷却材温度変化が緩慢になるが、反応度印加後の定常状態でのレベルはステップ状印加時と変わらない。
75

ランプ状の反応度印加：反応度投入反応度（0.003dk/kk）に対して、正味の反応度の最大値は0.001dk/kk未満である。
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原子炉の過渡応答（フィードバック有り・即発臨界超過）
𝛽
反応度 (=0)

原子炉出力

燃料温度

減速材温度

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ステップ状の即発臨界を超える反応度印加：出力78

ステップ状の即発臨界を超える反応度印加：温度

燃料温度は融点を、冷却材温度は沸点を超えずに定常状態に遷移する。
今回の評価条件では、ステップ状に2.0$の反応度を与えられたとしても、反応度フィードバックにより、燃料・冷却材はそれぞれ相変化しないことが分かる。
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