第 1 回レポート課題【1】 非零列ベクトル a∈Rｎとするとき，dim{ x∈Rｎ: aTx=0}を求めよ．（※以降の問題ではベクトルは列ベクトル表現とする）【2】 非零ベクトルを a, b∈Rｎとするとき，dim{ x∈Rｎ: aTx= bTx=0}を求めよ．
【3】 線形独立な 2 ベクトル{a, b∈R2}を用いて，任意の x∈R2 を x =αa +βb で表現する．
(a) 逆行列により α と β を求めよ．このとき，線形独立という仮定をどこで用いたのか答えよ．
(b) 内積を用いて連立方程式をたて α と β を求めよ．このとき，線形独立という仮定をどこで用いたのか述べよ．
【4】 色のデータ集合{xi=(ri,gi,bi)：i=1,...,D}をある正則な線形写像 f で変換したデータ{fxi：i=1,...,D}にメディアンカットを適用してクラスタリングを行うと，より誤差の少ない分割結果が得られたとする．このとき，f が満たす 2 つの性質について考察せよ．
第 2 回レポート課題【1】 n × n 正方行列 A と B が，AB = 0 を満足するとき， rankA + rankB の値域を核と像の関係を用いて求めよ．尚、行列 X を作用素とする線形写像
は fX と表記せよ．
u1T⋮T【2】 線形写像 f : x∈Rn ↦ uk x∈Rn について次の設問に答えよ．尚，0<k<n と0⋮[0]する．
(a) { ui∈Rn : i=1,…,n }が正規直交基底であるとき，核の基底を求めよ．
(b) { ui∈Rn : i=1,…,n }が非直交基底であるとき，核の基底を求めよ．
【3】 {u, v, w∈R3}を非直交基底とする．3×3 正方行列 A を作用素とする線形写
像 fA の像が<u,v>であり，核が<w>であるとき，必要最小限の定数を用いて A を表現せよ．
【4】 αが非零の実数および {ui∈Rn : i=1,…,n } が正規直交基底であるとき，線形写像 f : x ∈ Rn ↦ (α1u1u1T +…+αkukuTk )x ∈ Rn の核と像を求めよ．尚，0<k<n とする．

第 3 回レポート課題【1】 n × n 正方行列 A が固有値 α と固有ベクトル u を持つとき，任意の正則行
列 P で相似となる行列 PAP-1 は固有値 α を持つことを示せ．また，その固有ベクトルを求めよ．
【2】 n × n 正方行列 A が複素共役固有値 σ±iω と固有ベクトル u±iv を持つと
き，u と v は線形独立であることを背理法で示せ．（※計算過程には虚数単位を含まないように示せ）【3】 n × n 正方行列 A が複素共役固有値 σ±iω と実固有値λおよび対応する複素固有ベクトル u±iv と実固有ベクトル w を持つとき，w∉<v,u>を背理法で示せ．（※計算過程には虚数単位を含まないように示せ）【4】 n × n 正方行列 A= α1u1v1T +…+αnunvnT の固有値と固有ベクトルが{αi∈R1:i=1,…,n }と{ui∈Rn: i=1,…,n }であるとき，{vi∈Rn : i=1,…,n }が満たすべき条件を求めよ．
第 4 回レポート課題【1】 {ui∈Rn : i=1,…,n }が正規直交基底であるとき，n × n 正方行列
u1u1T +…+ unuTn を求めよ．

A=【2】 直交行列 Q が複素共役固有値 σ±iω を持つとき，その大きさは σ2+ω2=1となることを示せ．（※計算過程には虚数単位を含まないように示せ）【3】 任意の正方行列 A は直交行列 Q と上三角行列 R の積で表現できることを示せ．また，この知見より rankA=rankAT および rankA=rankAAT を示せ．
11

√2

√2

【4】 {u,v∈R2}を正規直交基底とするとき，2x2 行列 A= [u|u]と B= [v|-v]は重複直交変換の性質 AAT+BBT=I，BAT=ABT=0 を満足することを示せ．
第 5 回レポート課題【1】 実対称行列 A が，正定値であるならば A=BTB を満たす正則な正方行列が存在することを示せ．
【2】 実正方行列 A から作られる対称行列 A+AT が正定値となるとき、固有値の実部はすべて正となることを示せ．
【3】 拘束条件 x12 + ⋯+xn2 = 1の下での|α1x1+α2x2+…+αnxn|の最大化問題をス
ペクトルノルムの知見を利用して解け．
【4】 n × n 正則行列 A による単位球面{x∈Rn : xTx=1}の像{y=Ax∈Rn : xTx=1}は楕円曲面となることを示せ．

第 6 回レポート課題【1】 n × n 正定値(対称)行列 A が固有値{λi∈Rn: i=1,…,n }と固有ベクトル{ui∈Rn:i=1,…,n }を持つとき，線形方程式 b = Ax (x, b∈Rn)の解 x*を固有ベクトルの線形結合で表せ．
【2】 n × n 正則行列 A が相異なる固有値{λi∈Rn: i=1,…,n }と固有ベクトル{ui∈Rn:i=1,…,n }を持つとき，線形方程式 b = Ax (x, b∈Rn)の解 x*を固有ベクトルの線形結合で表せ．
【3】 線形方程式 b=Ax (x, b∈Rn)の解 x*を漸化式で求める方法を考えてみる．
(a) x に関する線形方程式 x = Bx+b の解が x*となるように線形作用素 Bを定めよ．
(b) ||B||<1 ならば漸化式 xn+1 = Bxn+b の極限は x*に収束することを示せ．
【4】 n 次元データベクトル{xi∈Rn : i=1,…,D }を包含する部分空間 X の次元 r を求めよ．また，X を張る正規直交基底{ej∈Rn : j=1,…,r }を求めよ．
第 8 回レポート課題【1】 線形微分方程式 dx/dt = Ax の線形作用素 A が実固有値 α と固有ベクトルu を持つとき，直線{su : s∈R1}上に初期条件 x0 をもつ軌道 x(x0,t)は常に{su :s∈R1}上に存在することを示せ．
【2】 線形差分方程式 xn+1 = Axn の線形作用素 A が実固有値 α と固有ベクトル uを持つとき，直線{su : s∈R1}上に初期条件 x0 をもつ軌道 x(x0,n)は常に{su :s∈R1}上に存在することを示せ．
【3】 線形微分方程式 dx/dt = Ax の平衡点 0 は，A+AT<0 ならば漸近安定となることを示せ．
【4】 線形微分方程式 xn+1 = Axn の不動点 0 は，||A||<1 が漸近安定となることを示せ．また，この条件は漸近安定性の十分条件である理由を述べよ．
第 9 回レポート課題【1】 4 次元空間上の 3 次元超曲面 w=exp(x2+y2+z2)の点(x,y,z)=(a,b,c)における接平面を求めよ．
【2】 ポテンシャル ψ∈C2 : x∈Rn→ψ(x)∈R1 の勾配場 F : x∈Rn ↦ -gradψ(x) ∈ Rnの任意の点 p において固有値は実固有値となることを示せ．
【3】 ポ テ ン シ ャ ル ψ∈C2 : x∈Rn→ψ(x)∈R1 に 関 す る 最 急 降 下 法 dx/dt =-gradψ(x)の軌道を x(t)とするとき，dψ(x(t))/dt<0 を示せ．
【4】 m× n 非 正 方 行 列 A お よ び b∈Rm に よ る ポ テ ン シ ャ ル ψ :x∈Rn→ψ(x)=||Ax-b||2 ∈ R1 の勾配ベクトル場 F : x∈Rn ↦ -gradψ(x) ∈ Rn の平衡点 x*が満足する方程式を導け．また，その解 x*を求めよ．