一般化された 2 次元流体の乱流特性に関する研究
岩山隆寛（神戸大学 理学研究科）
共同研究者 渡邊威 (名古屋工業大学 工学研究科)? 一般化された 2 次元流体系の強制散逸乱流におけるエンストロ
フィー慣性領域のスペクトルの導出と数値実験による検証¦ Watanabe, T. and Iwayama, T., “Uniﬁed scaling theory for local
and non-local enstrophy transfers in generalized two-dimensionalturbulence” J. Phys. Soc. Jpn. 73 (2004), 3319–3330.
¦ Watanabe, T. and Iwayama, T., “Interacting scales and triad
enstrophy transfers in generalized two-dimensional turbulence”.
Phys. Rev. E 76 (2007), 046303 (11 pages).

1 はじめに（１）：現実大気のスペクトル? 地球大気の総観スケールのエネルギースペクトル E(k) ∝ k −3 .
(Nastom & Gage, 1984)? 2 次元乱流の古典論（Kraichnan,8101967）

k -3

710

¦ E(k) ∝ k −3 (エンストロフ610ィー慣性領域)

ln E(k)? 大気のエネルギースペクトルに,2 次元乱流に特有のスペクトルが3存在

10210? 大気科学における 2 次元乱流の110研究の必要性-610-510ln k-310-210

1 はじめに（２）：2 次元乱流の古典論をめぐって? Kraichnan (1967): 2 次元乱流の古典論
E(k) ∝ k −3 , (Q(k) ∝ k −1 : エンストロフィースペクトル)? K67 の修正理論 (Kraichnan, 1971; Bowman,1996)³¦ 対数補正: E(k) ∝ k −3 [ln k]−1/3,Q(k) ∝ k −1 [ln k]−1/3´¦ K67 との違い・・・K71 では波数空間内の相互作用の非局所性::::::::::::::::::::::::::::::を考慮? K67 と K71 のどちらが正しいのか？．．．まだ決着が付いていない．

¦ Borue (1993), Gotoh (1998)・・・対数補正あり¦ Lindborg & Alvelius (2000)・・・対数補正なし

1 はじめに（３）:一般化された 2 次元流体のエンストロ
フィースペクトル? 一般化された 2 次元流体系（α 乱流系）
¦ 複数の 2 次元乱流系を統一的に記述する系 （Pierrehumbert,et al. 1994）∂q + J (ϕ, q) = 0,∂tq̂k = −|k|α ϕ̂k(1)∗ Navier–Stokes 系 (α = 2)
∗ Charney–Hasegawa–Mima 系の AM 領域 (α = −2)∗ Surface Quasi-Geostrophic sys. (α = 1)
¦ 近年活発に研究(Schorghofer, 2000a; 2000b; Smith et al., 2002; Tran, 2004)

? エンストロフィー慣性領域におけるエンストロフィースペクトルの冪¦ エンストロフィースペクトル®
1­2Qα (k) ≡|q̂k | ang2
¦ K67 を適用

(2)=⇒ Qα (k) ∝ k (2α−7)/3¦ 数値実験 (Pierrehumbert, et al. 1994; Schorghofer, 2000) によると

K67 による予測を支持.
(α < 2)
K67 からのズレ. Qα (k) ∝ k −1 ? (α > 2)
¦ α = 2 を境にスペクトルの冪の値が転移(3)? α = 2 でのスペクトルの転移・・・
波数空間内の相互作用の非局所性が重要（Pierrehumbert et al.,::::::::::::::::::::::::::::::::::::1994）? しかしながら，・・・全ての α に適用可能なエンストロフィー慣性領域のスペクトルは導出されていない．

本研究
1. α 乱流のエンストロフィー慣性領域のスペクトルを導出
2. NS 系（α = 2）のエンストロフィースペクトルの議論（K67vs K71）に決着をつける
3. 数値実験による理論の検証

2 α 乱流のエンストロフィースペクトルの導出? 次元解析
エンストロフィースペクトル Qα (k) の発展方程式∂Qα (k)∂Λα (k)=−+ ... =⇒∂t∂k[kQα (k)][Λα ] =[t]Λα (k) = Cα kQα (k)ωα (k)(4)Λα (k); エンストロフィーフラックス? 定常状態では Λα (k) はエンストロフィー散逸率 ηα (定数) に等しい? ωα (k); eﬀective shear rate (1/ [t]) を Qα (k) で表現できれば問題は閉じる．

? ωα (k) の表現 (Bowman(1996) の理論を α 乱流に適用) ："Z#1/2kωα (k) =. . . 非局所的
k 04−2α Qα (k 0 ) dk 0(5)k1

¦ k1 ；エンストロフィー慣性領域の最小波数¦ (5) を Λα (k) = Cα kQα (k)ωα (k) に代入．
¦ 定常性より Λα (k) = ηα を仮定．
¦ Qα (k) についての微分方程式に帰着
2d3C−1α 3−2α{kQα (k)} =kdk2ηα(6)? 微分方程式 (6) の解µQα (k) =23Cα¶1/3|"χ+α (k) ={z£ + ¤−1/3
χα (k)}|{z}K67 theorycorrection to K67

ηα2/3 k (2α−7)/31
1 − {1 − (4 − 2α)χ+ }4 − 2αµk1k(7)¶4−2α #(8)¦ 境界値問題 (k = k1 でスペクトル Qα (k) の値を指定)¦ χ+ は Qα (k1 ) に依存
2ηα2 2α−7−3χ+ =kQ(k)α 1
3Cα2 1(9)? kk1 ¿ 1(慣性領域) での補正項 χ+α (k) の振る舞い"µ ¶4−2α #1k1+χα (k) =1 − {1 − (4 − 2α)χ+ }4 − 2αk¦ 4 − 2α > 0, (α < 2)，のとき χ+α (k) → const=⇒ K67 に一致¦ 4 − 2α < 0, (α > 2)，のとき χ+α (k) ∝=⇒ Qα (k) ∝ k −1

¡ k1 ¢4−2αk¦ 4 − 2α = 0, (α = 2) のとき χ+α (k) = χ+ + ln=⇒ K71 に一致? ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
全ての α に適用可能な Qα (k) の導出に成功

³kk1

´

3 数値実験? エンストロフィー慣性領域の Qα (k) の冪を詳細に調べる．理論との比較

3.1 実験条件? α = 1, 2, 3 の直接数値計算? 解像度：10242 (擬スペクトル法．切断波数：341)? 外力項：1 ≤ |k| ≤ 2 のモードをランダムに強制? 高波数側の散逸機構：−ν4 ∆4 q の超粘性? 低波数側の散逸機構：|k| ≤ 2 にのみ −ν0 q? 時間積分：Runge–Kutta scheme

3.2 結果10? K67 理論によると−11¦ Q1 (k) ∝ k −5/3Qα(k)/η2/3
α10−1¦ Q2 (k) ∝ k −110−2−5/310−310−410−510−6¦ Q3 (k) ∝ k −1/3 ,? 非局所性を考慮した場合−1/3α=1
α=2
α=3¦ Q2 (k) ∝ k −1 {ln(k)}¦ Q3 (k) ∝ k −1? 非局所相互作用の存在

0.01

0.1k/ku1? α = 2 の対数補正は？

? α = 3 では Q3 (k) ∝ k −1? α = 2 では Q2 (k) ∝ k −1 より

compensated spectra

10も急峻=⇒ 対数補正の存在を示唆? α = 1 では Q1 (k) ∝ k −3/5 よ10.1

α=1
α=2
α=3slope −0.10.01

図りも若干緩やか

0.1k/ku

2 compensatedenstrophy spectra．α = 1 の と き
k5/3 Qα (k)．α = 2, 3 の と きkQα (k)1

0.1? 理論的な議論で仮定されてい0.08たいくつかの事項を確認

Λα(k)

0.06

Λα (k) = ηα

0.04
0.02

-0.020.01

図 3? 強制，散逸の効かない波数領α=1
α=2
α=300.1k/ku

エンストロフィーフラック

ス. 実線は各 α でのエンストロフ
ィー散逸率．

(10)

域において定常状態では上記1の関係が成立しなければならない．

? 2 桁の範囲で妥当Λα(k)/kQα(k)ωα(k)10? Λα (k) = q
Cα kQα (k)ωα (k)Rk04−2α Q (k 0 ) dk 0
ωα (k) =kα
k1

α=1
α=2
α=3の妥当性

1? α = 2, 3 では 1 桁程度の幅でC3=0.226(×3)

上記関係式が成立．

C2=0.2040.1? α が小さくなると ﬂat な領域

C1=0.069が狭くなる．

? 波数空間内の非局所相互作用

0.01
0.01

図4

0.1k/ku

エンストロフィーフラックスのモデリングの妥当性

1が存在する．

? α = 2 の場合の対数補正の存

1.2

α=21

η2α(kQα(k))−3在を調べる−1/3

1.5C2α(ln(k/k1)+χ+)Q2 (k) ∝ k −1 {ln k}

0.8−3=⇒ {kQ2 (k)}∝ ln k0.6¦ 上記の比例関係が成立

0.4¦ α = 2 の場合，対数補正が存在．

0.20-2

図 5-1

01
ln(k/k1)2

α = 2 の compensatedspectrum

34 まとめ? 強制 α 乱流のエンストロフィー慣性領域におけるエンストフィー
スペクトル Qα (k) を理論的・数値的に調べた

1. エンストロフィー慣性領域における Qα (k) を系統的に導出¦ α < 2 の場合 Qα (k) ∝ k (2α−7)/3¦ α = 2 の場合 Qα (k) ∝ k−1−1/3(ln k)¦ α > 2 では Qα (k) ∝ k −1
2. 数値実験¦ α = 2, 3 では理論的な予測と一致．
¦ 波数空間内の非局所相互作用の重要性．
¦ α = 1 は理論的な予測からの僅かなズレ．（何故？ −→Watanabe and Iwayama (2007) 参照）