昭和59年度（問題）1．次の11ト11O〕までについて，それぞれ五つの選択鮫の中から，正しいものを一つ選んで，所定の解答用紙に，たとえば，lA〕とか①1のように，記号で記入せよ。．（40点）

11〕次の式のうちでIα胃に等しくないものはどれか。
1一口＾㈹｛Aコ，＝馬11D〕岬・みω倒喘岬

1｛C〕岬㌃⊥i 。…・…・……・・……・…一且lE〕⊥（ガ・ガ。。

一・…・・・…

¥〃）刷
121

μ、、 σ
＝＿（0≦
三十〃lA〕 σ、工十σ。

制．
lBj≦工〕めとき，oを靱。で表わせ〇o，1■o。

1lDl
工十岬、

lCl

−
1一孔

経過tにおいて，e、刊を支払う連続払終身年金の〜

凸1｛A〕了（B，T−C〕T（2・㍉）lEl｛，歳の人の年金現価を求めよ。

1．

．

lDけ（；＾）lE〕・｛・

14j保険金額1の保険金年末払終身保険で．年払保険料が最初の10年間」はP、で．その後はP，となる保険がある。この保険に30歳で加入すると第10保険年度末責任準備金が且ORになるという。
求めよ。
M30

｛AjNlo−IO

DM珊．M佃lD〕
N上OD

M！olBj

働N珊

N

一IOlC〕

D

M30＋ユOD仙
N−0

M，o−M
N珊

N

一10D仙

151次の式のうちで，正しいものはどれか。

ωr㌦舳・一．・牝

1・リI．1〃，一仏．1，にlr（1…・1）阯・舳

1・1￡加州、一一。〕

働 ∂訳・♪岬一ψパん
D ．
｛6，P白 克iのとき・次の記述のうち正しいものを一つ選へり州
1A〕万下一P匿・何1司くP；ηなる｛B，あるt。

（ユ＜to＜日）があり（1＜＜〃）が存在する。

1＜1〈1。なら紅一P云，、何〉P…1D。｝
o｝くD。。■
なら一一P萬，、．：；：η≦P盲η

D州

一69一

このPIをlClあるo≦すべてのD、、。

D。．，
なら一一ρ6、、パ，F□；≧戸島
D，．。

＜肌、，

①〕すべての川≦⑭o＾，＜foなら一一Pク、、、：日＜P5■ro（1＜サ。＜n）があり，1＜≦・）に対して以、、一P・川η＞ρ・刀（1≦f≦n）に対してD。．
⊥一戸6，、、＝同くρき■D二、17〕戸。＝i＝O．02923，6、＝¶＝13．0123のとき，つの値は次のどれか。
lAl

O．04

｛B〕

O・045

1C〕

O．05

1D〕

O．055

｛E〕

α0618〕次の式のうちで，（∫o）皿を表わす式はどれか。

ユ1ユユ11i工1

工｛A〕不十7｛B〕丁■ア｛C〕7＋万①〕デ下1EjT一ア19〕A、＝O．5，A、、、＝O−6のとき〃の値は次のどれか。
lAjω

O．51BlO−41C〕

O．3①〕

0．2｛E〕

O，1∬歳の人とy歳の人のうち，1人がn年後に生存し，他の1人がI1年以内に死亡する確率を求めよ。

lA，■カリ｛B〕。力。一。カ｛C：，久十、九十。カ

lD：。久十．カ一一。カリ

lEl，力、十，久一2、力。。

2−1O歳の人と終身払込平準保険料の契約を結ぶ。15歳に達する前の死亡に対しては既払込鈍保険料の死亡年度末までの元利合計を支払い，15歳以降の死亡には保険金1を支払う。ここで，既払込保険料の元利合計を言十算するのに用いる利率は，保険料計算に用いる利率と同じとし，保険金は年末払とする。
この年払純保険料を求め，三15歳より前の死亡率に関係しないことを示せ。

（20点）

3一同一の純保険料額Pを毎年払い込むA，B契約を次のとおり定める。
A契約：工歳加入n年満期養老保険（年払，保険金年床払）
B契約：∬歳カロ入m年満期養老保険（年払，保険金年床払）

ここに，n＜mとし基礎率は両契約とも同一とする。

第t保険年度末（O≦t≦n）のA，B契約の純保険料式資任準備金をそれぞれ、γ囚，，γ制とすると
ω と。γ
個1 の大小について論せよ。
き，〃

（20点）

4。次の関係式が成り立つことを示せ。
工一

川V、＝日＝凹■刊｛（一一

ここに，肌は工の関数。

V：r〕一（P■＝i1＋d〕1（20点）

一70一

昭和59年度（解答例）

問題番号

解答欄11〕

B12〕

B13〕

C14〕

E

（5〕

A

㈹

D17〕

C18）

A19）

Dω

E

正解は上表のとおりであるが，以下問題を再掲すると共に，解法を略記する。
ω次の式のうちで，o箸）に等しくないものはどれか。

ωエ C幕㌧・岬・ぺ・iα為一÷；・〕岬・・司1El1⊥五o㎜斗0 十0＿（五十・・・…

十0）

m（答）制S甲。掘が。笥〕に等しい。
12〕μ，。、＝o（0≦サ≦1）のとき，oをσ，で表わせ。

1＋oサ囚

伽

1＋伽固助
1一ψ1C）

1
1＋伽｛D〕

1㈲

σ，

1一姶

（答）lBl／l一作／11篶工十・（1÷）ll−！・（1・÷）一1・÷一1・（1・め一7工一したがって伽十。イ1伽ん1一グ㎞1（i・。〕一1、÷。，1・α一、ま伽・r、警、③

経過去において3，、囚幻一1Bl一δ

を支払う連続払終身年金のκ歳の人の年金現価を求めよ。

瓦 ｛Cl 一（e，一α，）1 。 一δδ1lDl。

。

一（e，十〇エ）lE〕。

。

θ、十α工δ（答）lC〕

現価は∫；馬舳で勅される。

昔1…ポ素（土、∫二、以午）一十rl・だから∫；二・沽M

一［、姜、あ・・伽］：丁、姜

一、義

1＝一δ

十、まg（一価）〃∫：舳1（1…一一1・∫：舳1一三）。ie。一σ。）
一14〕保険金額1の保険金年末払終身保険で，年払保険料が最初の1O年再はP1で，その後はP2となる保険がある。この保険に30歳で加入すると第10保険年度末責任準備金がユ0P1になるという。このPlを求めよ。
㈹

M3o

lBl

N30−iOD40

旧1M30lO

N30−N伽一ユODo

M30−M40
N30−N仙一10D仙一72一M30＋1OD40｛DlN30

M3rM40N30−1OD仙（答）同第ユO保険年度末責任準備金を過去法で表わし，1O巳に等しいとおくと

P，N・rN仙M・rM舳一10P1
D40

D40

M30−M40

PFN30−N40−1OD4015〕次の式のうちで，正しいものはどれか。

1・1∫：㌦μ用〃㍉一仏

制∫：似〃㍉ル

1・〕∫1（1…・1）〃一一1。・1・加｛D〕 ∂一
∂κlE〕

∂一

∂π

力、堂P，：一加（μ，十一μ、）

P！μi（答）囚（・l／l㌦1…〃一∫1＋＋（ん1，41テ

十∫1＋㎜（一等芦一73一）・）〃

五十蜆一！■十，1＋冊ん＝蜆1冊依田j∫1机・〃一ナ∫：（一dl−lf）〃！ゲん。制ん土蜆伽1・ｬ工・・1）炸∫1μ工・f州＝一P0gん。1ん一109〃＝一 P09〃ク∬

1・〕如一嘉（ll）

一夫（∂ξデい∫用芸）＝一f力∬μ五十十fクiμ∬一74一竺ク∬（μ∬一μ肘）1・〕品ゆ・一（！1デ）

一乞、士、（一㌘）＝一 fクカμ肘16〕P＝

ω

D川
D〃。：司

D舛。・

D州

旧〕あるのとき，次の記述のうち正しいものを一つ選べ。

P6，。

：万司くP；ηなるo（1＜サ。＜m）があり1≦（1＜サ＜m）が存在する。

＜チ。なら去。≦サ≦nならlC〕あるサ。（1〈チ。〈m）がありユ≦くサ。ならオ。≦サ≦mならD肘。

D州

D叶。

D州

D、州

D叶。
D州

D州

一75一：万＝司＞P§引一p∂，刊：司≦P…η

一P6，十：万＝司＜P…引

D州

D肘掘

①〕すべてのチ（1≦サ≦m）に対して一P6、一p6川：日≧P暮η

一P6、十ジ岡〉P…η

D工十。

lElすべての丘（1≦チ≦〃）に対して一P6、十ジ7＝刀＜P…刀D州（答）lD〕

D肘。

Dπ6。：司
一p6、十パ；≡＝「＝P

一P5工十ピ河

D州

D用

N，一N州

＝P

D州

一P

N工十一N付日

D用＝P NダN州
D、。

＝P一十D什卜1

D工十D肘1＋・・

D州

一・（十州州完1、モ1。

・・｛（1・1）・（1・1）

一件10州一¥（1＋1）｝…
・・＝P…引（サ≧1）

171P工：司ヨO．0293，σパ列＝13・0123のとき・
lA1

0．04

固O．045

1C〕

O．05

1D〕

4の値は次のどれか。
0，055（答）lC〕

P工：司＝
α・：詞dよりd二一P、：月二〇・04755の：司ゴ

1＋づ

ヨO．04755より

監O．05

一76一j｛E〕

O．06

18〕次の式のうちで，（Iσ）日を表わす式はどれか。

1工王

1工且

11A〕不十フ固下一フ｛C〕不十フーD〕下一フ王

ユlEj一一1ゴ
ゴ（答）囚（Io）日＝o＋2が十3が十4〆十…・

〃（Io）

＝

〃2＋2秒2＋3〃4＋…

より（I一〃）（互。）聞＝o1
α一＝一だカ、らづ（Iα）

1ト

1 1＋4 1 1
丁二、・：不十7191A。＝O．5，へ州二〇．6のとき。V。の値は次のどれか。
uり

0．5

1Bl

O．4｛C〕

0．31D〕

0．2

恒，

O．王

（答）lD〕A＾f−A
1−A■

Vi＝α①0．6−O．5＝
ユー0．5

0．1
：一一一雪020．5

エ歳の人とv歳の人のうち1人がn年後に生存し，他の工人がn年以内に死亡する確率を求めよ。
囚｛E〕

掘ク、ソlB1

蜆如一日和カ1◎

掘ク1十クツ十制力〃

カ■十制クツー2皿カη（答）lEl∵簡噌㍉力・（ト池）十〃ツ（ト池）㍉ル十〃ジ2。タパ〃ツ一77一lD〕

カ■十力｝一カη㍉ク。十。カツー2冊〜
2．

求める年払純保険料をPとすると収入の現価＝P5ioP
最初5年間の支出現価＝一（向Clo＋向Cn＋向C12＋向C13＋向C14）
D10
M15
i5歳以降の支出現価＝一Dloである。よって，収支相等の原則によりPP＾o＝一（ぎiClo＋ぎ引C11＋・・・…
Dlo

M15
十ξ引C14）十一Di0M15P＝Nlo一（ぎ一C1o＋きヨC1i＋……十さ引Cμ）

M15｛（・1｛1・……・・：。）一（ぎ・・加・；ヨ・。十……

ここで・｛｝内を整理すると，〃mハ。一グユ。ユエδio＋がリ11一（グ2＋0一】）が2a11＋〃12ハ2一（砂一3＋ヅ2＋砂一1）砂13｛2＋が3ハ。一（グ4＋ヅ3＋0−2＋グ）が4d1。＝

十砂i4ノゼ（グ5＋〃■4＋グ3＋砂一2半グ）0156M

刊〜I。一秒ユu61．1〜l11】Odl．1mdザ・m｛。

一78一・三引・1・）｝・・1・十〃1リ11一〃ユ1alド〃H612一がla蜆一〃uaI4＋が2（。一が26ザが2dl。一0ユ2dM＋が3よザが3aザが361。

十〇工り1べが4d14三が｝。十がリ1。十が2ハ。十0］3！1。十が4！1。

二が5！15（ヅ5＋ヅ4＋ガ3＋ヅ2＋グー）：Dl。向

M15p里；ヨD15＋N−5となり，15歳より前の死亡率とは無関係である。
3・｛1｝P■：i司＞P工：司A

司：・1−6o■司1p■司＝

あ：司nく吻だカ・ら。ヌ司＜σ1司p■i1＝6。：司一6，P、司＝

1＿6〉

12〕A，B契約の保蔭金をそれぞれδ、，δ、とすると

δr

P■：司P，PδB二p■：司111によってδ＾＜δ目

過去法によればV（＾〕＝P N。一N州 一δ＾ M。一M州D■十D什

一79一1

あ：偏−1
め：司一4

6＝p■：司fV（B〕＝P N、一N州 δB MゲM州
Dμ
D工十4．

＝・》

V（A〕一＝きV（A）≧

M、一M州 ≧O
V（B〕＝（δB一δA）
D州

V｛B）

（等号は，サ＝0のとき）

責任準備金の漸化式から○カカ十ジ

十，γi1…≡1亡fγ■：司両辺からψ、。

十P∬：司一秒σ■付を引いて一価・1（11・1γ州！一〃・：司十Pl：列1（加｛州）砂（力，。

十g工。オ）＝〃＝1−6

一秒力、十（1一だから

斗1γ工：刃）＝一（ユーγ，：司）十（P，：司十d）

11・伽一。ま、、｛（1一舳）一（巳司・・）｝

舳一h力1、、（一針、）とおけは関係式徽

一80一