Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres

PAUL E RDÖS
Méthodes probabilistes en théorie des nombres
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 15, no 1 (1973-1974),
exp. no 1, p. 1-4.
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Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU

1-01(Théorie des nombres)
15e année, 1973/74, n° 1, 4 p.

15 octobre 1973

METHODES PROBABILISTES EN THEORIE DES NOMBRES
par Paul ERDÖS

Rédigé par Jean-Louis NICOLAS
1 Etablir des conjectures.
Les méthodes probabilistes permettent d’établir des conjectures en théorie desCRAMER [l], observant que, pour presque toutes les suitesnombres. C’est ainsiqueana

vérifiantan ~ n log n , on avait

conjecturé que l’ on avait pourpn

la suite des nombres premiers

Les meilleurs résultats sur la différence

conjecture : HVXLEY [10 ] a démontré que , pour toute >et d’autre part RANKIN [13] a montré que, pour toutétait vérifiée une infinité de foissont très loin de cettepn+~ - pn

0 , on avait

E >0 , l’inégalité

est la constante d’Euler).

(y2. Fonction de répartition.
dont l’introduction fait un

Le livre de références est celui de KUBILIUS

très bon historique de la question et qui donne de nombreuses références, dont 9
articles de H. DELANGE

qui a contribué à l’étude de ces problèmes.

Définition. - On dit qu’une fonctionF, si, pour touttitionxfde N dans RDAVENPORT [2] a montré que
fonction deoùcp

répartition continue==F(x) .

est la somme des diviseurs den,(cf. aussi [ 15]) . SCHOENBERG a montré que

est l’indicateur d’Euler,aaussi une fonction derépartition

premiers entre eux, on af(m) f(n) , et fortement additive si on a toujours f(mn) = f(m) f(n) .

Une fonction est dite additive, si, pourf(mn)f onction de répar-réel, on a :card(n e N ; f(n) x)
a unea unemetn

ERDOS et WINTNER [5] ont démontré qu’une fonction arithmétique additive a une fonction de répartition si, et seulement si, les séries

f’(p) f(p)théorème 4.5, p. 74).

sont convergentes,avec=En 1936, ERDOS [4] a démontré : Soitf(p)siw(n)

1 , etf’(p)=si1

le nombre de diviseursf(p) ~ 1premiers deon an,

Ce résultata

été généralisé avec KAC [6~] grâce au théorème central limite desprobabilités et au crible de Brun.

THÉORÈME (ERDÖS-KAC). -Soitpour tout

unefonction fortement additive vérifiantpremier, et telle que les séries

psoient divergentes. Onfosethéorème 4.2, p. 61 ) . Elle est

La démonstration se trouve dans KUBILIUS

basée sur le fait qu’une fonction fortement additive est la somme de variables

X qui valent f(p)aléatoires

avec

laprobabilité 1., et 0 avec la probabi-lité (1 - -) .

3. Comportement def(n)par rapport àSifest une fonction additive

seursden, l’ensemble desf(n + 1 ) .

qui satisfait aux conditions du théorème deErdös-Kac, on peut montrer (LEVÊQUE [12]) que f(n) et f(n + 1) se comportentcomme des variables indépendantes. En particulier, sid(n) est le nombre de divinvérifiantd(n + 1) > d(n)apour densité

1/2 ;w(n), le nombre de diviseurs premiers de n (ERDOS {~3]). On ne
sait rien dire sur les entiers n tels que+ 1)
w(n) .

et de même pour=Si l’on choisit pouralorssit

f(n) =f(p) == pf

log n , etla densité desounla fonction fortement additive, définie paron atou joursf(p)=log p,f(n + 1 ) > f(n). Par contre, si l’on choi-f(p) = (log p)a avec cy > 0,1 , on ne peut rien dire surtels que f(n + 1) > f(n), car les grands nombres premiers sontdécisifs.
Soit

g(n)

diviseur delesc >unenfonction donnée. On pose=p , oùpest leplus petitg(n) . Si, pour tout £ > 0, g(n) o(n£) , alorsf(n + 1) > f(n) , ont pour densité 1/2. Mais si g(n) nc ,vérifiantn, tels quef(n)0 , on ne sait rien.

p >

==

Rappelons qu’une f onction additive et croissante est proportionnelle àUne f onction f, vérifiant

log n . Enf in WIRSING [16] a récemment démontré que si

est aussi proportionnelle àf

additive vérifiait

onavaitf(n)a=log n + g(n)avec

4. Problèmes de base additive d’ordre

Etant donnée une suitena.

+ a..

telle queg(n)borné.

2 .

problème, vo ir le livre de HALBERSTAM et ROTH ([9], chapitre 3).

Pour ce genre de=log n .

(a.) , on appelle g(n)le nombre dereprésentations

S IDON avait demandé s’il était possible de trouver une suiteg(n)pour tout

0>nassezgrand,

mais telle queg(n) = 0(n~)(ai)
pourtout £. ERDOS ~7 ~ a résolu ce problème par un argument probabilistique, et a mêmedémontré que, pour presque toutes les suites, on avait :Mais on ne connaît pas de suite

explicite pour laquelle ces inégalités sont véri-fiées. On ne sait pas non plus s’il existe une suite telle que(primée 1000 francs suisses). - Pour toute suite, telle que g(n) > 0à partir d’un certain rang, on a lim g(n)oo . Peut-être a-t-on
CONJECTURE=

Une conjecture plus forte est la suivante. Pour toute suite
lim g(n)(a..) , vérifiant==oo.

5. Problème de Erdös et Moser.
Etant donnék = f(x)x, trouver

I. e.

tels que les sommes
Si l’on prendx

8 , les nombres=

2 et a~3 ~où=

le nombre maximum d’entiers~i2~ ,vauton

0ouvoit que

a1a2...akx

1 , soient toutes distinctes.

f(2 ) :> k . Si l’on prend

6, 7 forment une meilleure famille. CONWAY et GUY
ont un exemple numérique non publié de 24 nombres inférieurs à 2 ayant la propriété.
x=Par une méthode5 ~probabiliste, MOSER et ERDOS [8] ont montré

CONJECTURE. - Montrer querique avec

f(2k) > k + 3.

( log x/log 2) + c , ettrouver un1-04
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log n(Texte reçu le 24 juin 1974)
P aul ERDOS
Magyar Tudomanyos Akademia
Matematikai Kutoto Intezete
Realtanoda u. 13-15
BUDAPEST V (Hongrie)