平成13年12月25目

損保数理…1

損保数理（問題）
問題1．次の（1）から（4）について、記述内容を正しいものとするためにそれぞれ下線を引いた部分を修正する必要がある場合には、指定の解答用紙の所定欄に「×」の記号を記入したうえで、修正後の内容を併記せよ。また、記述内容が正しく、修正する必要がない場合には「○」の記号を記入せよ。

（12点）（1）収入保険料が増加基調にある場合は通常、リトンベーシス損害率はアーンドベーシス損害率と比較して幽。
（2）ある保険種目のポートフォリオは、一定期間内にO，1，2件のクレームがそれぞれ0．5，O．3，0．2の頻度で発生し、クレーム1件あたりの金額は1または2でそれぞれ0．7，0．3の確率とする。このときにクレーム総額が3以下となる確率はO．898である。

（3）複合分類リスクの料率算定法の一つである辿㎎塗は、複合分類リスク構造を乗法型、複合等級リスクが互いに独立でポアソン分布に従うものと仮定して、料率係数を最尤法によって決定する方法である。

（4）チェインラダー法は、ロスティベロプメントにおいて保険金が経過年数とともに規則的に変化する場合に、その規則性を利用して最終累計発生保険金の推定を行うものであり、篁式見撞塗に分類される手法である。

問題2．次の（1）から（6）について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを一つ選んで、指定の解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ。

（33点）（1）ある保険種目の10年前のクレーム類について分析をしたところ、クレーム類の分布は指数分布に従っており、かつクレーム類が100万円以下となる確率が25％であることが分かった。現在、個々のクレーム類は10年前の2倍となっていると仮定すると、クレーム額が100万円以下となる確率に最も近いものは次のうちのどれか。

（a）6．3％（b）12．5％（c）13．4％（d）15，4％（e）16．3％（D20．0％（9）25．0％（h）50．0％（2）ある保険種目において無作為に抽出した契約者のクレーム件数は、平均θのポアソン分布に従い、さらにθは契約者ごとにぱらっきがあり、しかも確率密度関数が∫（θ）＝4θ一5（θ＞1）の分布に従うものとする。このとき、1年目、2年目の2年間で合計20件のクレームを起こしたある契約者についてBuh1ma㎜モ
デルを用いて3年目のクレーム件数を推定すると、その件数に最も近いものは次のうちのどれか。
（a）3．2（b）3．3（c）3．4（d）3．5（e）3．6（f）3．7（9）3．8（h）3．9

一43一

損保数理・・2（3）ある保険種目の料率は、A，Bという2種類の危険標識によってのみ分類されており、さらにAの危険等級が。l，α2の2等級に、Bが4，ろ2の2等級に区分されているものとする。

この保険種目にかかるある年度の実績統計が次表のとおりであったときに、この統計に基づいてクレームコストの分析を行うこととする。

＜エクスポージヤ（馬）＞ろ1わ2計α1亙11＝150

風。＝140珂．＝290α2

亙21＝120亙。。＝90亙・．＝210

計

風1＝270且2＝230

且．二・500＜クレー・ム総額（q）＞

わ1α1α。

C11＝30C．1：24

ろ2

計C1。：26 Cl．＝56C。。＝20 C・．＝44

計α1＝54C．2二46α．＝100
この複合分類リスクの構造が加法型であるものと仮定して、二つの危険標識についての料率係数をMinimum

Bias法により求めるとき、危険標識Aの等級α2に対応する料率係数x2および危険標識Bの等級う2に対応する料率係数y2の値に最も近いものは次のうちどれか。なお、危険標識Aの等級α1に対応q．／珂．

する料率係数兀1は、それに対応する実績の相対クレームコスト指数r1．＝に等しいものと仮定

α．／且．

する。

（a）1．2（b）1．0（c）0．8（d）0．6（e）0．4（f）0．2（9）O．O（h）一0．2（4）積立保険の基礎率に関する次の各記述のうち、内容が正しいものの組合せは、次のうちのどれか。
①予定利率が高くなると、積立保険料は小さくなる。
②予定契約消滅率が高くなると、積立保険料は大きくなる。
③予定払込免除発生率が高くなると、積立保険料は大きくなる。

（a）①のみ（b）②のみ（c）③のみ（d）①と②（e）①と③（f）②と③（g）①と②と③（h）なし

一44一

損保数理…3（5）危険保険料をρ、新契約社費をα1、維持費率をβ、契約手数料率をα2、満期返れい金を〃、保険期間をn年、予定利率をゴ、予定契約消滅率をg、予定契約消滅率を考慮した現価率をφ＝（I＿σ）ノ（1＋ゴ）、期始払い年金現価率を勾、および予定契約消滅率を考慮した期始払い年金現価率を∂（の国としたときに、積立保険の一時払営業保険料を表すものとして正しいものを選択肢の中から選べ。なお、全損失効時には未経過年度の積立保険料部分を返れいすることとする。

／1・1・汁・叫（a）

1一α2（b）

1一α211・／・粋柵
（C）

1・喋ト
11・／・篇峠柵（d）

1一α2α2∂（棚

1一一c〕か・）1㍉ （l1・1・㌣ト
1・1・1）1・1・市1）1・／・箒〕伽舳1（6）ある保険種目の元受ポートフォリオにおいて、1件あたりの支払保険金Xは、平均0．5億円の指数分
布に従うとし、年間の支払件数は20件であるとする。今、この保険種目に対し、エクセスポイント1億円、カバーリミット2億円の超過損害額再保険を設定したとき、この超過損害額再保険特約の年間ネット再保険料に最も近いものを次の選択肢から選べ。（必要ならばe宍2，718を用いよ。）（a）0，117億円（b）O．133億円（c）O．24億円（d）0，385億円（e）1．17億円（f）1．33億円（g）2．4億円（h）3．85億円

一45一損保数理…4
間題3．次の（1）から（4）について、各空欄に当てはまる最も適当な数値、算式または語句を、指定の解答用紙の所定欄に記入せよ。

（33点）（1）ある保険種目の年間クレーム発生件数は平均〃のポアソン分布に従い、これを表す確率変数をMとし、また各クレーム類は同一の分布に従い、これを表す確率変数をX
X一，…，X〃は互いに独立であると仮定して、万（X）F（｛＝1，2，＿，M）とする。Mおよび

m，γ（石）＝σ2とする。

クレーム総額を、∫＝X1＋…十X〃で定義したとき、
亙（∫）＝（a）…①

γ（∫）＝（b）…②である。

今、年度末において∫が実績値として得られるが、これに全信頼度を与えるための平均クレーム件数〃に関する条件を求めたい。

∫が確率ρで真のクレームコストの上下100κ％以内に収まれば、∫の実績値に全信頼度を与えることにすると、この条件は、

小一卵）1・回ニコ圧（∫））≧ρ・・③と表される。これは、・満∫）・回ニコ鳴・グ⑭∫一亙（∫）とも書ける。Mが十分大きいならば、中心極限定理より、は標準正規分布で近似できる。よっ柄で、標準正規分布の片側ε点を〃（ε）で表すことにする（すなわち，xが標準正規分布に従うときP（x＞〃（ε））＝εとする）と、④を満たすための条件は、であることが分かる。これに、①、②を代入して整理すると、〃≧（e）となり、これが∫に全信頼度を与えるクレーム件数の条件であることが分かる。

（2）川を期間［0，C］において発生するクレーム件数を表す確率変数とする（Mo＝O）。また、クレーム件数
過程｛川｝は、次の3条件を満たすものと仮定する。

（i）O≦s＜C≦〃＜ソのとき、川一M。とW、一M凹は独立。
（i）M、十r川とM、は同一の分布に従う。
（並）同一時刻に2件以上のクレームが発生することはない。
このとき、λ＝一旦。gP（W1＝O）としたとき、任意のfに対して、

P（M＝n）＝（◎（n＝0，1，2，…）が成り立つ。このような確率過程を（g）という。

一46一

損保数理…5（3）ある保険種目に関する次のデータがある。

現行予定料率構成割合
・損害率60％

・社費率20％

・代理店手数料率15％

・利潤率

5％

直近年度の実績値
・損害率50％・社費率18％

・代理店手数料率14％①クレディビリティ係数を05として損害率法により料率改定率を求めると、⑮二二二コとなる。（小数点以下第5位四捨五入）②①の結果を用いて、料率改定後の予定料率構成割合を求めると、損害率は匝二二二コ％、社費率は匝二二二］％、代理店手数料率は140％となる。なお、利潤率は50％とする。（パーセント表示で小数点以下第2位四捨五入）（4）事故発生年度から翌々年度までに支払いが完了する保険契約について、累計支払保険金のロスティベロップメントが次表のとおり与えられているとき、各事故年度に対応する最終発生保険金を計算せよ。
（小数点以下第1位四捨五入）
なお、インフレーションの影響はないものとし、各年のロスティベロップメントファクターは、小数点以下第5位を四捨五入して計算し、またロスティベロップメントファクターの予測値は、対応する事故年度の既知の値を加重平均したものを用いるものとする。

事故年度

123

12，342

2，468

2，511

22，273

2，537

32，098

経過年

数最終発生
保険金□□
〔問題4・期間［O，C］において発生したクレーム件数ル、個々のクレーム類X1（＝1，2，…，川）、クレーム

累計額島＝Xl＋X2＋…十XM、によって定義される複合ポアソン過程について、次の（1）から（4）に答えよ。なお、個々のクレーム額石の期待値および積率母関数を、それぞれ亙（X）、Mx（7）とし、また確率変数ルおよび＆の積率母関数を、それぞれM州（7）、M8、（r）で表すものとする。
（1）川が平均λCのポアソン分布に従うとき、M〃、（r）をλCを使って表せ。
（2）M∫、（r）をMx（7）とMル（r）で表せ。
（3）M一 普i7）につき、κ次のキュムラントX止（κ＝1，2，…）を亙（X止）で表せ。

（4）∫の歪度を求めよ。

一47一（22点）

損保数理（解答例）
問題1．

（1）×

より低い値となる（2）×0，982（テキスト1−1Oぺ一ジ参照）（テキスト2−25ぺ一ジ参照）

クレーム総額xのとりうる値は、0，1，2，3，4のいずれかである。ρ（1）二0．7，ρ（2）＝O．3を用いると、〆（2）＝ρ（1）ρ（1）・・O．49〆（3）＝ρ（1）ρ（2）十ρ（2）ρ（1）・・O．21＋0．21＝0．42〆（4）＝ρ（2）ρ（2）二〇．09となる。これにより、確率分布と累積分布を下表のとおり順次計算すればよい。ただし下表において、

2∫（・）＝Σ〆（・）P・（M＝・），P・（M＝O）＝O．5，P・（M＝1）＝0．3，P・（M二2）二〇．2，

Hプ
F（x）＝Σ／（γ）

戸。
である。

。

ハ・）

ρ（・）

01．0
1−0．7

2−0．3

3

一一4一

これにより、F（3）＝O．982である。

一〆（π）

／（κ）

F（κ）

一〇．5

0，5

一−

O．21

0，71

0，49

0．188

0．898

0，420．084

0．982

0，09

0．0181，000（3）○（4）×（テキスト4−13ぺ一ジ参照）
統計的見積法（テキスト5−12ぺ一ジ参照）

問題2．
（1）（C）

10年前のクレーム額を表す確率変数をXとし、平均クレーム額をλとしたときに、Xの分布関数
F（x）は、次のように表される。

附一／ド統一
題意より、F（1，OOO，000）＝1一・■卿仰＝O．25

一方、現在のクレーム類を表す確率変数をγとすると、題意よりXの2倍であることから、γの分布関数をG（γ）とすると、次のように確率を求めることができる。

G（1，000，O00）＝F（500，000）＝1＿。一・・。川＝1＿同一1一価一1』一。．1。。。。

一48一（テキスト3−42ぺ一ジ参照）（2）（d）

珂肌1θ）1一亙（θ）十・・グ5・1一ま・［剛θ）1一γ（θ）一万（θ2）一亙（θ）2二・・・・…

〃

Z＝

2

＝＝

≧0．25、。幽・。4／3
γ［亙（X1θ）］

O．22222であることから、求める3年目のクレーム件数狛は、次のとおりとなる。

2042

3x3＝Zア十（1＿Z）あ＝0．25×＿十（1中0，25）×＿＝3，5（3）x2：（b）、γ2：（g）（テキスト4−18ぺ一ジ参照）

C沢
まず、リスク区分ごとのクレームコスト伯＝ユおよび相対クレームコスト指数り1ユを計算すると

馬尺．

下表のとおりとなる。（なお、本問の設定では有効桁数が2桁であるため、以下小数点以下第3位四捨五入で計算）＜クレームコスト（〜）＞あわ2

計

R−1＝0．20

沢12＝O．19

Rl．＝O．19

R21＝O．20

五22＝O．22

地．＝0．21計尺1＝0・20

R．2＝0，20

火．．＝0．20

わ2

計

o−α2

＜相対クレームコスト指数（η）＞

ろ1

α1〜＝1．00η。＝0．95α。

7．1＝1．00

伽＝1．1O

巧・＝0・95
り・＝1・05

計κ1＝1・00ゾ2＝1・OOκ．＝1・OO
相対クレームコスト指数の推定値を島としたときに、MinimumBias法における満たすべき基準は、次の連立方程式のように表すことができる。
剛ηr序1）十局・（η・一角・）＝O
亙・1（わrち1）十万・・（巧。一ち。）＝0

局1（〜一肩1）十万21（ろ1一ち1）＝O一局・（乃・一肩・）十万・・（り・一ち・）＝O

この連立方程式において、易（巧＿島）をそれぞれ変数と見なして求めると、｛

局1（〜一戸1）＝万。。（わ。一ち。）＝C万1。（他一角。）＝万。1（伽一ち1）二一Cとなる。ここでCは定数とする。

さて、この複合分類リスクの構造が加法型であることから、各相対クレームコスト指数の推定値は、料率係数を用いて、
島＝・十万（1＝1，2；戸1，2）

一49一

と表すことができるので、これを上の連立方程式に代入して整理すると、

x1＋γ1＝η1−Cノ珂1（a）x。十γ。＝他一Cノ五。。

（b）γ1＋y。・・巧。十Cノ局2（c）x2＋γ1＝巧1＋C／万21（d）となる。ここで、（a）十（b）一（c）一（d）を両辺について計算すると、

・一片出一・／芸、十土・去・土〕となるから、・一（叶㎞柵／1会，・よ・ム・よ〕
一（1・・一…一1…1・1・／1，1。・、1。・1；。・去〕＝4．51である。したがって、これを（a）に代入すると、

x1斗γ1＝1．OO＿4．51／150＝O．97
また、題意より、x1＝巧．＝O．95であることがわかっているので、

yl＝O．97＿0．95＝O．02となる。さらにこれを（d）に代入することにより、x2を次のように求めることができる。

エ2＝1．OO＋4．51／120＿O．02＝1．02（4）（e）（テキスト6−4ぺ一ジ参照）（5）（b）（テキスト6−10ぺ一ジ参照）

Pを求める営業保険料とすると、・一α、。α，・。ρδ（1洞十ξ｝附。颪
δω園となることから分かる。

（6）（う支払保険金xの分布関数F（κ）は、（テキスト8−12ぺ一ジ参照）

榊一／1寸続となる。よって、年間のネット再保険料は、以下により求められる。

年間支払件数・∫3（1一・（・））敏一…∫3〆敏一一…士・1ゼll

一…∫3｛一一…去・1ゼrl
一一1・・ルー1〕一1洲・一50一

問題3．
（b）

（1）（a）〃mη（m2＋σ2）q（（ﾂ・仔〕（・）（C）κ

デ）／2）π1・／訓（テキスト3−20ぺ一ジ参照）

・）（λc）H一ル（テキスト7−10ぺ一ジ参照）（g）ポアソン過程（2）（つ一en！

（3）

（h）

（テキスト1−44ぺ一ジ参照）

C）20．O（i）61．O

一0．0988

クレディビリティ係数がO．5であることを用いて損害率を計算すると二0．5×60％十（1−O．5）×50％二0．55＋0，18・・％となるから・求める料率改定率は・1一（。1。。。。。）一1＝一009876とな私

O．55

この結果を用いて料率改定後の損害率および社費率を求めると、それぞれ、卜Oog88−
06102…

および0．18＿01997…
1−O．0988となる。

（1）2，581（m）2，338（4）（k）2，511（テキスト5−34ぺ一ジ参照）

まず、（k）の値はロスティベロップメントから直ちに求めることができる。
次に、（1）および（m）については、下表のとおりロスティベロップメントファクターを計算してから求める。

ロスティベロップメントファクター

1→2
12→3

1．05382

1．01741．11613

1．01741．09531．0174

これにより、（1）、（m）の値はそれぞれ、以下のとおりとなる。

2，537×1．0174＝2，581．14→

2．581

2，098×1．0953×1．0174＝2，337．92

一→2，338

間題4．

（1）（テキスト7−25ぺ一ジ参照）
川が平均ルのポアソン分布に従うことから、川の確率関数は次のように表される。

P（M（λc）｝

二〃）＝一e〃！

したがって、川の積率母関数M地（r）は、次のように求めることができる。

Mル（7）＝Σ・『刊p（川＝n）
掘＝o

一着（λ隻1｝
一ぺ（λ書1γ＝exp（一λC）exp（入Ce『）＝exp｛λ∫（e『一1）｝

一51一

（2）

必（・）二万（〆島）4（・『（x1＋κ2＋．．一十x柳〕）

二万（万（e『（X1＋X2＋．一．十州1州））＝亙（〃x（r）ル）＝厄（exp｛jV・1ogλ∫x（7）｝）＝・M柳（IogMx（r））（3）

まず、（2）に（1）の結果を代入すると次のとおりとなる。
M境（r）＝exp｛λ（ルfx（r）一1｝＆のキュムラント母関数は、
1ogM島（7）＝λC（M。（7）一1）であるから、κ次のキュムラント地（κ＝1，2，・・､は、次のとおり求めることができる。

a比
ル＝丁ル（Mx（r）一一1）〃r；oa比ニルーTMx（γ）
〃r；o＝λ旭（x止）（4）

島の歪度は、分散をσ2としたときに、等で求めることができる。ここで」X、＝σ2の関係式を用いσて∫。の歪度を求めると、次のとおりとなる。

x3x3

σ3（X。）コノ2

ル亙（x3）｛λ旭（X2）｝32

亙（x3）恢・刃（X2）3／2

一52一