〔問〕

昭 和 39年 度

(問題)

午前の部
.
1 円周上にヨンダムにとった 5点を頂点とする三角形が鋭角三角形である確率を求めよ。

2. 1番から N番まで異なった自然数が記された N個の玉がつぼの中にある。とのっぽから，復元抽出 (sampling wi七h re.placemen七〉によって玉を 1個つ・っランダムに取り出す。
このとき，

lf
国が出るまでの抽出回数の平均値を求めよ。
(;) 特定の番号の k個の玉のうち，どれか 1C
jD;()の結果を用いて，すべての番号の玉が出るまでの抽出回数の平均値を求めよ。

3. X. およびXz は，それぞれ平1割 直 ん お よ び ん の Poisson 分布に従がう確率変三k)に数であり，かっ，互いに独立とする。このとき，零または正の整数ロおよび k(n;対し，条件附確率P (X1 =kIX1+X2=n)を求め，それが二項分布の確率分布となることを示せ。

午後の部
4 互いに独立でない確率変数列{X k }， k=1， 2，・・・・において(j) X k の分散が有界で，(jj) すべての Xi ，Xj(iキ j )に関する共分散が負となる

とき，大数の法則が成立つ‑ことをテェピ γ ェフの不等式から導け。

5. 半径 1 の回転円板(ルー ν ット〉の円周上に円周の~の長さの弧 AB が白く塗られている。
また，とのルー 1/:;1 トの外側のワク(固定〉の円周上にも，その円周の Xの長さの弧 P Qの部分が白く塗られている。
いまルー ν ットをヨン〆ムに回して止まったとき，二つの白く塗られた弧が重なり合う部分の弧の長さ Xを確率装激とするとき，Xの分布関数を求めよロまた Xの平均値および分散を求めよ。

‑27‑

昭和日年度

(解答)

午 目
リ の 部
円周上にランダムにとった 5点を p， Q，Rとする。
ム PQRが鋭角三角形であるためには， p，Qをとおる直' ， Q' としたとき，点 Rが劣弧径の他端をそれぞれ P/ーー『、、P'Q' 上にあるとき f=.
j混る。
今図のごとく P， Q をとり， 円の中心を Oとして， ζ POH=y とおくと

4 ζ p 0Q = x♂
， yのとりうる{直は︑︐︐︐︐︐.︑a.

， 。くyく 27
7:y~ー。〈♂〈πであって，ム PQRが鋭角三角形である条件は0<♂ く π， πく タ 〈 π+♂

(2)で表わされる。
今 x軸上に OL=π なる点 Lをとり，この点より y軸に平行線 L Mをヲi
き，次にタ軸上に ON=2π ， oN'πなる点 N ，N' をとり， この 2点より z軸に平行線を引きL Mとの交点をそれぞれ M，M' とすれば， (1)のど ，yを座標とする点はじコ O L M N内に，また (2)の x ，yを座擦とする点はム N'1.
，{'M内にあるの/一¥

従って，円周上の点 Rが P'Q'内に落ちる確率即ちム PQRが鋭角三角形である確率は

ムN'M'Mの面積に
コ OLMNの面積である。

︑︑︐︐︐・l︐︐量︑2.

k/
N -p~. 1‑p=O' とし，特定の k箇の玉のうちどれか 1箇が出るまでの抽出回数を確率変数 Xkとすれば，
EN

EJ

"';
:'2・..E(XK〉=pTS1T‑f‑1=p(1‑F〉‑28‑・も︑ a・E‑︐︐︑p ( Xk= r)=O'r‑1 ・p，r =I， 2=7=τ …・ (2)r‑‑〆tt︑︐︐i︑

先づ芳 1回目の抽出で番号らの玉が出たとする。汁 2回目以降 F 勺以外の番号のN‑1笛の玉のうち F どれか 1箇(番号らとする〉が出るまでの抽出回数は， (j)によりXU̲ 1 となるロ同様に

il' i2 以外の番号の N‑2個の玉のうち， どれか 1箇が出るまでの抽出回数は X N̲ となる。一般に N箇のうち， k箇の玉が抽出された後から数えて，未2箇のうち，どれか 1箇が抽出されるまでの抽出回数は XN ‑ k となるーしたがっ抽出の N‑kて3 すべての N箇が抽出されるまでの総抽出回数 X は，

X=1+ XN‑I+X.
.
~+・・・・・・・・+x.
‑‑N‑2.
.‑‑，唱1ー唱:.E(X)=1十E(XN ‑1) 十E(XN ̲ 2)+・・・・・・・・ +E(X1)
よって (2)より，一NNl¥T
E(X)=1十一一+一一+・・・・・・・・+キ

N‑1 N‑2

十+J1N(3). (1)より， Xk は幾何分布となる。
注 13)より， Nが相当大きければ， E(X)公コ
注2. (N log N となる。

注 3.i(j)は例えば次の様な実際問題に応用される。

「チューイ yガムの包の中に n種類の切手のうち， どれか 1枚づつが封入されて販売されている ε とのとき， R 種類全部の切手を蒐集するためには，平均何箇のテューインガムを買えばよいか。た‑，:し， n種類の切手は均等に分布しているとする。」

3. 題意によりづケk

P (X1 = k)= e 1¥1P(X2=j)= e ら ~J!
故に一A1 ぇk‑
A?
え〈k!

j!

ne‑(えけら)K‑r't‑ 29ーノ︑一

k=OE 2二}J(Xlとらと防虫立〉
Ke 司ー‑"‑e剛一二一
え一n
一‑︑Z.り=kP(X1+ X2= n )K12a︑1ノ向fft¥nkkn

一2 A ‑ ﹃L

r︐︑
圃︐A ‑

+1一naz‑‑ ︑γ一一nJ

qa︐︑︐Afk︐A17e

一一‑(九十ら〉=eA2

以よのととからP(X1= k，X1+X2= n )P (X1=k
IX1+ X2=η 〉

P (X1+X2=n)
P(X1=1{~ X2= n‑k)
PCX1+ X2=n)
P(X]ー瓦) P(X2=n‑k)
P(X1+:X:2 =n )(X1とX2とは独立〉、kA;‑keーらーさL e‑A2(n‑k)!
kle‑(九十え 2) 』
(1十九}on!

=nl

え:ぇ
アk!(n‑k)!

C九十 A2)0(:)
心人k)
よ(J‑kこれは二項分布の確率分布に他ならない。

午後 の 部
4. 確率変数列 {XkJに関して，和の分散を Vo とすれば，チェピ γ ェフ.の不等式は次の様

nI>e}

5
一E(X1)+ー ...+E(X己〉
X噌+‑ー・ +X̲
P {f‑‑‑‑‑'‑‑‑‑‑‑.!:ーV7になる。

'n430‑，...

・44i12232n314
司‑‑，.

K12a︑1ノ向fft¥nkkn

一2 A ‑ ﹃Lr︐︑圃︐A ‑+1一naz‑‑ ︑γ一一nJqa︐︑︐Afk︐A

1
7e

一
一‑(九十ら〉=e

A2

以よのととからP(X1= k，X1+X2= n )P (X1=k
IX1+ X2=η 〉

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P(X1=1{~ X2= n‑k)
PCX1+ X2=n)
P(X]ー瓦) P(X2=n‑k)
P(X1+:X:2 =n )(X1とX2とは独立〉、kA;‑keーらーさL e‑A2(n‑k)!
kle‑(九十え 2) 』
(1十九}on!

=nl

え:ぇアk!(n‑k)!

C九十 A2)0(:)
心人k)
よ(J‑kこれは二項分布の確率分布に他ならない。

午後 の 部
4. 確率変数列 {XkJに関して，和の分散を Vo とすれば，チェピ γ ェフ.の不等式は次の様

nI>e}

5
一E(X1)+ー ...+E(X己〉
X噌+‑ー・ +X̲
P {f‑‑‑‑‑'‑‑‑‑‑‑.!:ーV7になる。

'n430‑，...

・44i12232n314
司‑‑，.

p {xζ x}=o♂ く Oに対しては品・ミ与附しては{X~ バpよって
xく O・2・'く一﹀

03(x)= 、~-J中ー
一一一+一一羽 ‑12'n
し1一‑一πZく π2一r0

故に8π一♂

山
一πZ2fo

一一ωF叩・山︐HW∞=ノE∞}22ViX
J= E (X )一{ Eヱ乙，1" ~ ̲ 仏Xi π¥2ー‑ π 2 π 5 π 2
ι・ーー
一 ーー・・ーーーーー‑ーーー ー一ー『ー =J Q ‑ π ¥ 8ノ ‑ 2464192
2'‑'‑32ー