第25号

国立防災科学技術セソター研究報告

1981年3月

550．34．038

新し く考案したボアホール式3成分ひずみ言十
坂

田

正

治＊

国立防災科学技術セソター

O11theConceptsofSome Newly−i皿ventea Boreho1e Three−compomnt Strainmeters
By

Shoji

Sakata〃α〃o舳1肋3θ〃〃Cθ〃θγ力γ〃∫αsま〃〃ωθ〃〃o〃，1ψ伽

Abs伍act
Four

types

ponents

of

At

these

of

strainboreho1e

three−component

in

earth

e1liptic

the

crust

strainmeters

have

been

the

（b）

the

diameter−constrained

（c）

the

rigid

partition

wa11three−di▽ided

（d）

the

s1ide

partition

wa11three−divided

first

an

explanationisan〔1thegi▽en

re1ations

fo11owed

by

these

in

elastic

bodiesfor

anactua1case

withcy1inderofisconstants

detect

the

They

three

com−

are：

type，

derstanding．This
strainmeterstoinvented．

（a）strainmeters

cy1inder

s

the

type，

dua1cylinder

dua1cy1inder

process

type．

ofarriving

order

betweenthem

inanalysis

andformu1ation

subjected

type（c）are＊第2研究部総合地震予知研究室

一g5一

to

tensi1ealso

type，and

at

to

the

concepts

ofintuitive

un−deformations

of

he1p

of

stresses

ca1culated．

atinfinity．The国立防災科学技術セソター研究報告

1。

第25号

1981年3月

はじめに

地殻ひずみの時問的変化を連続測定することは，地球物理学上も地震予知の点からも重要である．特に，地震を起す源の力は，地殻内の水平方向の圧縮力であると考えられるので，その結果である水平ひずみの変化には特に着目する必要がある．また大地震の直前にプレス
リップが発生するならぼ，傾斜と並び大きな水平ひずみの変化が期待できる．発震機構の調査から・大地震の発生前に，その近傍における地殻内主応力の方向が，90。も回転する場合があるともいわれている．これらの理由により，二つの主ひずみの値およびそれらの方向という，地殻水平ひずみの3成分の変化を測定することは興味が深い．
今まで，地殻水平ひずみ変化の連続測定には，横坑式の伸縮計や，地表における真空パイ
プを利用した長距離レーザ干渉計が用いられてきている．これらは，立地および維持の上で種々の制約がある．実用になる地震予知システムを作るためには，とにかく多数の観測点が必要となる．横坑式の水管傾斜計にかわり，コソバクトなポアホール式傾斜計が実用化されたように・，ポアホール式3成分ひずみ計が要求される．

一方，気象庁はすでに，ボアホール式である埋込式ひずみ計を実用化し，関東・東海地域
において多数点で観測を行っている（たとえぼ末広，1979）．

ジを利用Lた孔径変化測定方式のひずみ計に比べ，（1）
きい。（2）

このひずみ計は，ひずみゲー

感度が高く，しかも作動範囲が大容器全体の体積変化を検出するということは，孔径変化を2およびθについて積分したことになり，不均一物体に対しては，信頼性の高い値を示す，等のすぐれた点があるが，そもそも体積ひずみ変化（2次元とした場合は，主ひずみの和）しか検出できな
し・．

そこで，私は，この埋込式ひずみ計の長所は生かしつつも，水平ひずみの3成分変化を検出できるボアホール式3成分ひずみ計が作れないかと考えてみた．その結果，4種類の型式のものについてそれぞれの理論的な基礎を得ることができたので発表する．

図、4型式の3成分ひずみ計と相互の関連．
晦・・・・…ti・i・・・…ti・・…t・・f…
types

of

three−component

dividedboreho1e

dua1cy1inder

（b）

type．

一g6一

○／

θ←○一○
○／
〔a〕

新しく考案したポァホール式3成分ひずみ計一坂田

2．

4型式の3成分ひずみ計の断面の形と相互の関連

図1は，4型式の3成分ひずみ計の断面の形と相互の関連を，直観的にわかるようにあらわしたものである．

まず，右側最上段の円形は，気象庁の埋込式ひずみ計の断面をあらわす．この円の面積変化は，この円孔から離れた部分に働く主応力の和に比例し，その方向には依らない・そこ
で，円筒のかわりに偏平断面を持った筒を利用すれぼ，断面積の変化は，主応力の向きによって変化するであろうから，3本以上を，方向を違えて埋込むことにより，それらの観測結果（それぞれの断面積変化）を利用Lて，水平ひずみの3成分変化が計算で求められると予想できる．偏平断面として，まずだ円が考えられる．だ円は，数学的にはきれいな計算にのるが，実際にだ円筒を製作するのは容易ではないので，図1左側にあるような形のものを考える．円筒のある直径方向に，抵抗になる壁を入れると，この直径方向には変形しにくくな

り，逆にこれと直角方向には一番変形Lやすくなる．従って，この形は結果的に，だ円と同等のものになると考えられる．これらだ円，または直径が拘束された円を断面としてもつ筒を3本組合せることにより，3成分ひずみ計は構成される．この3本の筒相互の距離を小さくして行き，ついには1本にまとめてしまうことにより，最終的には，図1右側にあるような3分割二重円筒（2種類ある）に変化させ得ることが，図1から直観的に理解できるであろう．ここにあげた4種の断面を持つ3成分ひずみ計を（a）だ円筒型ボアホール式3成分ひずみ計（b）直径拘束円筒型〃（c）

剛隔壁3分割二重円筒型〃（d）

スライド隔壁3分割二重円筒型〃のように名付ける．

以下のセクジョソにおいて，これらの基礎となる式を導こう．最初は，4者の共通となる弾S2し上⊥」＝」

性論の式を導き，次に，これらの理論式を活用し，各型のひずみ計の原理についてのべる．なデ箏ぷ二ぷ㌃｝｛E
図2、レ2

無限遠で引張り応力を受ける弾性体中の円
管

Fi厘．2

Acy1inderinane1asticbodysubject−edtotensilestresses

Sl

and

S2

at

infinity．

一97一

S2

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月3。基本となる式の誘導
3・1

無限遠で応カを受ける弾性体中の円管の変形

図2のように，弾性定数がE。，リ、の無隈弾性体中に，内半径がα，外半径がろである
円管（弾性定数は瓦，り1）がおさまっているとする．この弾性体の無限遠に，S、およびS，の引張り応力を与えるとき，この円管の内壁の変位を求めてみよう．

まず・図2の無限遠における応力場を，（グ，θ）座標を用いることにより，二つの応力場に分解する．すなわち，7→◎cにおいて，σ、一S、。。。・θ・S、、、、・θ一阯S・．・SrS・c．s2θ

2

．

「

2

σθ一S1・m・θ↓S、・。。・θ一S1↓S」SrS・c。、。θ

2．．．（。）

2

τ、、一一（∫、一S、）、1。θ。。、θ一0」r∫・、、。2θ

2となる・上式右辺の各第1項は，主応カの和に比例する等方（軸対称）引張りの応力場をあらわし・同じく各第2項は，差応力に比例する純粋せん断の応力場をあらわしている．以下，それぞれの応力場における円管の変形について求める．

（a）

等方引張りの応力場における円管の変形

この場合の応力と変形は，一般に，

λAσ・㍉・十2B・σ1−r・一十2B・τ1l−0

・一去／−1プ糾・・（1−1一・ヅ）・い一・…（2）

であらわされる・以下，λ，BおよびE，川こ添字1あるいは2をつけることによって，考えている点が円管内にあるか，あるいは外側の無隈弾性体中にあるかを示すこととする．
まず，プ→ooでの応力条件を考えると，＿Sゴ十S。

σ1＝σ1−2（3）であるから，（2）式より，…一半一・・一ザし・・（4）が求められる．次に，プ＝δでの応力，変位の連続条件から，（2）式を利用して，

余一・…一今十・・、

呈，／−1㌣ん・・凪（1＋・4）1／

一汁1㍗λ1＋・・1（・十・・刈

一98一

・（5）

新しく考案したポアホール式3成分ひずみ計一坂田が成立する．また，7＝αでの応力条件から，

全十2B、一0…

一｛・（6）

αが成立する．連立方程式（4），（5）および（6）を解くことにより，（1一〃。）αα2（S。十S。）
λ1＝一｛（1一α）（α／6）2＋1−2り1＋α｝
B1一．．（1一・）α（S1＋S・）

2｛（1一α）（α／ろ）2＋1−2リ1＋α｝…（7）・・一｛（1一岸㌫脈㍊㍗；1＋SD
ただし，

El（1＋リ2）一E2（1＋リ1）α＝と求められる．従って，円管内壁の半径方向の変位は，（2）の第4式に，（7）のλ。，3・を代入し，ヅ＝αとおくことにより，

・（1）一㌣｛（ト、）（茄鳥一。

、

（・1州

……（・）

と求められる．この式は，すでに古屋（1978）が求めたものと同じである．一方，円管が存在せず，半径αの円孔のすぐ外側から弾性定数がE，，リ。になっているとき，円孔内壁の変位は，（8）式で，α＝1とおくことにより，

1一リ2・帆（α）一E，2α（S・十S・）

．1一．

．（9）

と求まる．円管のない場合の円孔内壁の変位に対する円管のある場合の変位の割合をグとす
ると，（8）式を（9）式で割ることにより，∫一狐一｛（1一、）（洲㍊．。2、。、｝…（1・）と得られる．いま，リ1＝〃。＝0．25と仮定し，α／ろと1との関係を，パラメータE，／E。の値ごとに示したのが，図3である、（b）

純粋せん断の応力場における円管の変10μ1＝H2＝Q25形O．8（1）式の右辺各第項であらわされるような，

純粋せん断の応力場に適当な応力関数は，

E1

E＝1．5

f

29

O．6

25
3．

φ一（〃一・・・鼻リ）・…1
…（11）

0−4

ムo

5．

図3∫と内外半径比の関係
Fi9．3
in

Coefficient∫versusα／6；
Eq．（10）and

used

in

∫is

definedO．2

Eq．（23）．

一99一

0，0

，

Q2

0．4

a

0￡

b

O．8

1C

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月

で与えられ，また，

叫一一1−1い一；；良1θ一；芸｛θ一一プ（㍑）・（12）であるから，（11）式を（12）の各式に代入することにより，

ト（…雰十㌢）・…l1θ一（・λ⊥・・肋し胃）・…1・（13）叫1一（・・十…一㌢イ）・i・・1とあらわされる．ところで，

ら一一と／（1一が）叫一1（…）1θ／・（14）1θ一1一詣寸一｝／（1吻一1（1刈であるから・（13）式のστ，σθを（14）式に代入し，7あるいはθについて積分することにより，結局，

・一1汁・ルー・榊㌘一4（1デ）ρ／・…1
・一1去／・ル・・（・一・1）・戸一芳一2（

ヂD／…1

・（15）

が得られる・（13）および（15）式において，（2）式の場合と同じように，添字1または2により，考えている点が円管部分にあるか外側にあるかを示すこととする．

次に，境界条件を考えてみよう．まず，γ＝αでの応力条件から・λ、↓6ε・→421一。

α

α

・（16）

・λ・…1α」6呉一2多1一・が得られる。次に，7＝6での応力，変位連続条件から

・A・68㌧4β1一・λ。・6￡・一1β・「・λ・十・助」◎8」2β1一・λ。・・助L6￡」2β・

1訓一・朴・1〃・2￡1斗4（1マ）Dl／−1去1＋・λ・ト・1・洲4（1一玄・）D・／

別・〃・・（・一・・1）肋十2￡」2（1†）D1／
一100一・・（17）

新しく考案したポアホール式3成分ひずみ計一坂田

一㌢1映・（・一・・）炸2景一2（1†）D・1」が得られる．次に，無隈遠での応力条件から

一・λ・一㌻∫・，・。一・（1・）が得られる．

次に，連立方程式（16），（17）および（18）を解くことにより，λ、〜D、およびλ、〜D、を求める．このようにして求めた各未知数の値を（15）式に代入し，かつ7＝αとおけぱ，円管内壁の半径方向および円周方向の変位が求められる．すなわち，・（1）一肯／一・ん1一・仙・十2￡1＋4（寸）D・／・…1・（19）・（1）一1抑λ11＋・（・一・ll）・1が十2ター2（1苧）D・／・1・・1■となる、一方，円管がないときは，E、＝E。，〃1＝〃。を今までの式に代入することから，

λ1一λ・一」デ・，・・一・。一・・（20）・・一・・一」4（午SJ・・1一・・一α2（ザ）が求められ，これらを（19）式に代入することにより，円孔内壁の変位〃冊（α），o仰（α）は，2（1一〃22）α（∫r∫。）cos2θ
E。

〃π（α）＝・冊（1）J（・（21）云ざ・2）1（・r∫・）…1となる一円管のない場合の円孔の内壁を各位に対する，円管のある場合の各変位の割合を，それぞれ8・力とすると・これらは，（19）および（21）式から，
1・Or■r■■TrL−rr一一一一・一一一r一。
∴、・吟・…

1．O、一T11丁…T1■■「「■

α。ド

自旧三、ろ

E．ε・価

0．8

g

「■1■■r■レ1・咋α25

ユo

r

t、

φ

α61一

らg

」

ユ・

O．6

3・
』・

⑲

ゆ

α。L

0I4

、∴、＿、＿一．」．

、

α・

α・

市

・・

図5

乃と内外半径比の関係．

defined

Fig㌧5

図4
Fig

α・

α・、、。α・gと内外半径比の関係

4

coefficientginEq．（22）andversusα／5；9is
used

in

Eq．（23）．

0㌧・06

08

coefficient乃versusα／ろ；んis
in

一101一

。2

Eq．（22）and

used

in

1。
definedEq．（23）．

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

厚一鵬一、（1と、）／＋・〃十ガ2（

1981年3月

亨）以／（ムア

1一κ㍉（㍍／＋（・一・・）昧ガ1亨㌦ム）・・（22）と求められる．図4，5は，リェ＝リ。＝O．25と仮定したときの，α／6とg，々の関係を，パラメータE1／亙。の値ごとに示したものである．

（C）全体としての円管の変形
今までの結論と，（10）式の∫および（22）式のg，乃を用いることにより，2つの応力場が同時に働いているとき，すなわち，無隈遠でsl，s。の引張り応力が働くときの円管内壁
の変位は，

1一リ。2
（α）＝E、■α｛（S・⊥S・）＾2（SrS・）9…2θ｝…（23）・（1）J（！デ1（・rら）乃・i・・1

であらわされる．

3．2線荷重を受ける無限弾性体中の円管の変形（a）

1本の線荷重を受ける場合

図6（a）のように，無限弾性体中にある円管の内壁に，1本の線荷重が働くとき，円管内壁の変位を求めてみよう．以下において，添字の使い方は，前項3．1の場合と同じである．
まず，図6（a）の円管内壁の応力条件をフーリエ級数であらわすと，7＝α，θキ0で，σ、＝牡十Σσ冊・…θ，τ、、＝0

2

柵。、

P．
σ冊＝一
πα

．

・・（24），〃≧0となる．

次に，（24）式を考慮に入れ，たとえぱTimoshenko

andGoodier（1970）を参考にする

ことにより，応力関数は，
E1，｛

a

P

P

りpθ
（a）

（b）

E2、ソ2

（C）

図6線荷重を受ける無限弾性体中の円管。
Fig．6

Cy1indersareininfinite

e1astic

bodies，onaCting．

一102一

which

radia1line

forces新しく考案Lたポアホール式3成分ひずみ計一坂田
φ＝φゴ1一φゴ十Σφ冊

冊＝2

・一小（1）2・夙1・・（一1一）／一雪

・一1・／す（1）1…1−／凪（1）㌧・・（1）

1
・（25）

刈二）1・・（｛一）／・・1〕11

伽一1・／ん（｛一）冊十2刈1）旭・刈÷）1

刈÷n1冊・…1」となる・以下，ん，B。，ん〜D1およびん〜1）冊の右肩に，1または2を添えることにより，考えている点が，円管部分にあるか，外側の物体中にあるかを示すこととする．

この問題を解くため，（25）のφ。，φ1およびφ腕を用い，それぞれの次数に対応する応力および変位を求め，後でそれらの和をとることとする．まず，φ。による応力および変位を求めよう、これは，（24）式からわかるように，円管内部に，P／（πα）という静水圧がかかっている状態を示す。（12）式および（14）式を利用し，必要な積分も行うなどして，〜一1・（2か㌢）｛・1舳一1・（㌢一景）雪｛一・・（26）

伽一引・（・一・1）争1一・l1・雪，吻一・が得られる．次に，境界条件を考えよう．まず，7＝αにおいて，

2ん1＋8．1＝1・・一（27）が成立する・次に，7＝6における応力，変位連続条件から，
α2

α22ん一十わ・一〃一2ん2＋一6・B・2

去111・（・一・・）久ん」引一宝㌘／・（1一・他）μ」引）……（28）

が成立する。また，無隈遠での応力条件から，

λ。2＝0

・（29）

が得られる・連立方程式（27），（28），（29）式を解くと，λ。

＝

一（α一1）（α／6）22｛1−2リI＋α一（α一1）（α／ろ）2｝

1−2〃1＋α3．1＝｛1−2〃ゴ十α一（α一1）（α／6）2｝…（30）

2（1一〃、）E1（1＋リ。）
B←一／1一・・工工α一（α一・）（α／6）・｝・ただしα一万、π一）
一103一

第25号

国立防災科学技術セソター研究報告

1981年3月が得られる．これらを（26）式に代入し，κ＝αでの半径方向の変位〃。（α）を求めると，

一｛1−2リ1＋α十（1−2リ1）（α一1）（α／6）2｝．1＋〃1舳）＝』｛1−2リ、十α一（α一1）（〃6）・／

σ。

E、α2

−1㌢五一いL（・1）

1−2リゴ十α十（1−2〃1）（α一1）（α／6）2／F■α｛1＿2叶α二（α一1）（α／肘が得られる．上式で，α＝1のとき九＝1となり，このときの〃α）は，円管がなく・半径αの円孔がある場合の内壁の変位を示す・図7は，リ1＝リ・＝0・25を仮定Lた之きの九とα／わの関係を，パラメータE1／E・の値ごとに示したものである・
次に，φ、による応力および変位を求めてみよう・φ。のときと同じように，（12）式および（14）式を用い，また必要な積分を行うことにより・〜1−／（糾以）（；）■1＋・夙（二）一・・1（二）「1…1〜・一／・・1（1）十・・1（1）、（二）一／11…1〜・一／凪（1）一・・1（1）、（1）一1／11・i・1・1−／／（卜1）ん・（卜舳／1・・（二）・（・一・1）・・（二）2．（32）

十・1（ニゾ〕1去㌦…1・1−／／一・λ1・（1一・1）叶／（H）＾十（・一舳／1・・（二）十（・一舳（｛）2斗・1（二）→〕1去㌦・1・1が得られる．
1．O

ところで，後の方で実際に扱う間題においては，単独の集中線荷重ではなく，複数の集中荷

レ1＝巧＝Q25

重が全体として釣合をなすように働く場合を取

jo

O．8

扱うことになる．このようなときには，φ、によ

0．6

ElE・価

20

る応力も変位も全体として打消し合い，最終的

25
30

o．4

ムo

図7ゴoと内外半径比の関係．
Fi9．7
in

ろ◎

Coefficientゴo

versusα／6；ゴoEq．（31）

used

and

in

is

definedEqs．（49），（50）

and（51）．

α2
αO

α2

α4

α6

alb
一104一

08

1−O

新しく考案したボアホール式3成分ひずみ計一坂田には何の結果も及ぽさない．したがって，ここでは，λ1〜D11及びA．2〜D12の具体的な値を求めることは省略し，（32）式を提出することにとどめる。なお，参考のため，円管がない場合，すなわちE1＝E。，リ、＝リ、の場合についてλ・1〜1）！を求めておこう・
まず，κ＝αにおげる応力条件から，
λ11＋D12B。∫一2C、十2B11−2C，1＝1
十101

・・（33）＝0が得られる．次に，7→∞における応力条件から，

Bユ・＝0……（34）が求められる．（33）と（34）式だげでは未知数は定まらない・ここで・Timoshenkoand
Goodier（1970）によれば，

・←一㌍1）〃（・・）という新たな関係式が成り立つ．連立方程式（33），（34），（35）を解くことにより，各未知数がλ1・一・…一α・←一。嵩・・←一。嵩と求められる．これらのλ1（・・）〜D11の値を（33）の第4式に代入することに．より，

・1・・｝缶1・・（1一）一8嵩ア（1）「1許1…1・（・・）

なると．7＝αとおくことにより，円孔内壁の半径方向の変位は，・、・（1）一・一8嵩ア1着伽・・1−1言㌣8嵩）…1（・・）とあらわされる．また，（32）式の〃。に7＝αを代入したものと，（38）式を用いることにより，

1・｝一リ21〕1−2〃2〃1（α）＝一
COSθ・／1π
1，2 8（1一 2）・1一舟ポー一浩麦1）／（卜・1l）・・工・・1

…（39）
／

が得られる、先にのべたように，ノ1の値は求める必要はない・
次に，φ冊による応力および変位を求めよう、今までと同じように，（12）式および（14）式を用い，また必要な積分を行うことにより，㌦η一／ん（一舳十・）（｛）仰十ム（一・・十・）（二r・・柵（半・）（一1）刊仙（一・L・十・）（｛一）「伽・…l1一一／・π（舳一・）（；）氾・帥」・）（｛）…
一105一

■

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月

十α（〜）（二一）刊十岬一・・十・）（二）「伽・…1」〜冊一／ん（・十・）（；）η・・冊（・・一・）（二）H・（40）＋α（一・」・）（二）刊・・柵（一が十・）（二一）「伽・i・・1・仰一1引ん（一・⊥・一・・）（二）柵十・・π（一・）（二）卜1．

小（；）†1・・冗（・一・一ψ）（二）一椛十
一引・π（・一・一・・）（一二一）椛十／1伽・…1

曲（二）「・剛二）†1・・冊（ト・十・1）（二）「榊…1」が得られる．

次に境界条件を考えよう・まず，プ→ooで応力が発散しないためには，
ノ1冊2＝0，13仰2＝0・（41）である・上の結果と，7＝6での応力，変位連続条件から，ん1（一・2⊥・⊥・）（差）㌧ム1（一が・・）（差）㌧α（一・・一・）（差）刊・〃（一・L…）（4）1一㎝（一・・一・）（差）一㌧〃（一・」・⊥・）（差）一〃（州（え）柵十・椛1（・一・）（｛一）H・α1（一・一・）（去）†2…（一舳）（芸）一肌一㎝（一が一・）（ふ）刊十〃（一・・十・）（2一）■

〃（一・十・刈（去）仰十工十・一（一・）（｛）旧

十剛｛）†

十州十・一・11）（3ジ十一舳・（2一）†1Wα（・十・十・小）（去）叫1ん1（・十・一仏）（去）η十ユ十ム1・（一差）η■1・α1・（会）†1

・〃（ト・・州（皇）サ1一舳・（差一）†工
一106一

・（42）

新しく考案したポァホール式3成分ひずみ計一坂田・舳（ト…1・）（去）一冊十1
カミ成立する．次に，κ＝αでの応力条件から
λ冊1（一〃2＋〃十2）十B椛1（一〃2＋〃）十C椛1（一〃2一〃）十〃（一・」・十2）＝1

．

…・・

（43）

ん1（〃2＋〃）十肋1（〃し〃）十0珊1（一〃」が十〃（一〃2＋〃）＝0が成立する．連立方程式（42）および（43）を解くことにより，ん1〜D椛1およびCη2，D睨2を求める．このようにして求めた各未知数の値を（40）式の伽に代入し，かつ7＝αとおけぼ，円管内壁の半径方向の変位が求められる．すなわち，

伽（α）一㌢11ん・（一・十・一・・D＋ム
・十1二）冊1（〃一ト2−4〃1）｝αα冊cos（一・）・舳

……（。。）

θとなる．一方，円管がないときは，E1＝E。，リ、＝リ。を（42），（43）式に代入し，この連立方■程式を解くと，ん＝ん2＝0・B冊1＝B冊2＝0r

ん1＝ん2＝0・B睨1＝3仰2＝0
C抑工＝C冊2＝1

2（〃十1）……（45）

D冊1＝D冗2＝一−1

2（〃一1）

が得られる．以上の各係数の値を（40）式の伽に代入し，かつ7＝αとおけぱ，円管がない場合の，円孔内壁の半径方向の変位が求められる・すなわち，

パ（1）一1芹（一1）｛2（岩一2リ・十1｝榊…1

・（・・）となる．ここで，（44）式と（46）式を用いて，

・侃一批一（が一・）1〃（一・十・一・小叶・）・ω・・・（47）

十D帆1（〃十2−4〃1）｝／〔一α｛2〃（1一〃2）一2リ2＋1｝〕とおけば，円管内壁の半径方向の変位は，
伽（1）一・・（1）・肌一芸・（一1）｛2（岩一2叶1｝1伽・…1・・冊・・（48）

一1戸老2（1一完三子吋1・…1・・椛

と得られる一

結局，全体としての，円管内壁の半径方向の変位〃P（α）は，（31），（39）および（48、式をたしあわせることにより，・1（1）一州州1）・蜆；、伽（1）一㌣・引1一九…（49）・。嵩ア…1・・1一椛；、2（

烹㌃2リ・⊥1…勿1・伽／

一107一

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月とあらわすことができる．

（b）

2本の線荷重を受ける場合

図6（b）のように，ある直径をはさむ2本の線荷重を受ける場合は，半径方向の変位を〃2P（α）とすると，（49）式を利用して，がp一・W・・1（α・1一・…）一㌣昼／九……150）

一・閉；、物（1青宥〜±1・…舳1・刈が得られる．

（c）

3本の線荷重を受ける場合

図6（c）のように，4本の線荷重が120oずつの問隔で働く場合は， 半径方向の変位をがP（α）とすれぼ，（49）式を利用Lて，〃3P（α）＝〃P（α，θ）十〆（α，θ一120o）十〃P（α，θ一240o）

一㌣差；／；一州刎；16州請乎斗…舳1・刈・（51）が得られる．

3・3

3本の線荷重を受ける円柱の変形

P

図8のように，半径がαで弾性定数がE1，リ1の円柱に120。ずつ離れた3方向から同一の線荷重が作用する場合の円柱表面の半径方向の変位を求めよう．前項で扱った．円管内壁に線荷重が働く場
合と同じようにして計算を進めれぼよい．

まず，円柱表面の応力条件は，（24）式を参考にすると7＝αでP

叫一／−1叶蜆；1伽・…1／＋／−1什乏、伽・…（1図83本の線荷重を受げる弾性円柱．

一…十／h一乏、伽…什…つ／
3
。。
＝■・叶
；1伽（1＋2cos120o
3

）・o・

Fig．8

θ

Aso1idcy1in−

der

on

three

radia11ine

which

forces

are

ac−

ting．

。。

一2■σ・十伽；13α・肌cos3淋τll＝O

・（52）

P
伽＝一一一；〃≧0παとなる．

次に，応力関数は（25）式のようたものを考ネるが，3本の線荷重がそれらだけで針合っているから，〃＝1に対応するφ1はOとなる．従って求める応力関数は

1一・・

；2伽
一108一

「

新しく考案したポアホール式3成分ひずみ計一坂田

伽一小（；一）2一夙1・・（1）／；伽…（53）

伽一・・／ぺ）肘2・ぺ）η・・η（；ジ■・凪（1〔・伽・…1！
の形をとる・まずφ。による応力および変位は・（26、式中の2伽を3 2伽に置き換えたものに等しい．すなわち，㌦・一1・（2差」負）一εいθf1・（2≠」負）一；い一・．
…（54）

・F1差111・（1一・1冷一争／1・；い一・である．上式を利用し，7＝αにおげる応力条件と，7＝0において〃。＝Oであるという条件から，λ。＿1，3。＿02（55）が得られる．これらの値を（54）式に代入し，プ＝αでの半径方向の変位〃。（α、を求めると

舳／−1去1（1一・11）α；伽・（・・）が得られる．

次に，φ仰による応力および変位を求めよう．これらも（41）式において，伽を3伽に置き換えたものに等しい．プ＝0において応力や変位が発散しないために0、＝D帆＝0……」57）であることはすぐわかる．そこで，㌦帆一／ん（一…十・／（1）冊・1ム（一が・・）（一二）「・伽・…l

1…一／ん（・…一・）（二）冊…ム（・一・）（；）「・伽・…1

η1椛一／ん（・…）（二）η・ム（が一・）（l／「・伽・i・・1

・（・・）・冊一別ん（一パ・一・・1）（1）州・ム（一・）（1）冊十ユ／1・伽・…1・冊一1訓ん（・一・一・l1）（1）柵十1刈1）「1・伽・…1が成立する．（52）の境界条件を考慮すると

λ肌＝B冊＝0（〃キ3榊）……（59）であることはすぐわかる．〃＝3刎のときは，7＝αでのσγ，冊およびτγθ，ηの条件から，

一109一

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月（52）と（58）式を用いて，ん（一・2＋・十2、十B冊（一・2＋・）＝1

r）ん（〃2＋〃）十B、（〃2一〃）＝O

・（60）

」

が成立する・上の連立方程式を解くことにより，

1−1ん＝・（。十1）・81一。（

一、）

・（・・）

が得られる．これらの値を（103）式の〃加に代入し，7＝αとおくことにより

州一㌢2（1ぷ；半r1α・伽・…1
ただし・・（・・）〃＝3舳；閉≧1が得られる．

（56）式と（62）式をたしあわせることにより全体としての半径方向の変位がP（α）は，〃3P（α）＝〃。（α）十Σ〃。伽（α、刎＝1

一甘切1；（1一川十・；16閉（1訣牛一1・…閉1／・…（・・／

一一1言㌧／シ（・一・1・）十・刎看、6舳（1蒜砦2

1i・…刈とあらわされる．

3．4

無限遠で応カを受ける弾性体中のだ円管の変形

図9のように，長軸および短軸の長さがそれぞれ2α，2ろであるだ円孔を持った弾性体において，無隈遠で一様な引張応力Sが働いており，その方向は長軸に対Lβの角をなしているとする．このときのだ円孔境界の変位およびだ円孔全体の面積変化を求めてみよう．
ここで，図10のようにだ円座標を使うことにすると，

図9無隈遠で引張り応力を受げる弾性体中
のだ円孔1
Fig．9

An

e11iptic

ho1e

in

an

e1asticbody

stressS

one

subjected

totensi1edirectionatinfinity．

一110一

in

新しく考案したボアホール式3成分ひずみ計一坂田

y

マ

て刈

て

ノε・ξO

X

2C

uら
お1：J仰ξ・隻。

図10だ円孔の境界および境界における法線方向の変位のだ円座標に
Fig．10 The el1iptic ho1e and the disp1acement ofboundary by the e11iptic coordinate system。

z＝κ十む＝1（ζ）＝ocoshζ，ζ＝ξ十勿

κ一・。。。hξ。。。η，ツー・。i．hξ・i・η

the

1

一

／

ho1e

・・・…

（64）

であらわされる．特に，だ円孔境界については，

ξ＝ξ。

……（65）

が成立する．そして，このξ。を用いることにより，
α＝ocoshξ。，

ろ＝6sinhξ。，

o＝1／α2−52

……

（66）

とあらわすことができる．

今のような問題を解くために必要な複素ポテソシャルはすでに求められている（たとえぱ，Timoshenko

andGoodier，1970）．すなわち，

州＝So〔ex・（2島）cos2βcoshζ十｛1−ex・鵬十2舳sinhζ〕／4r．．．．．．（。。、x（・）＝一∫・・／（。。。h2ξ。一。・・2β）ζ十・・p（2ξ。）…h2（ζ一ξ。一W2／／4∫で与えられる．これらの関数を用いると，κ，ツ方向の変位〃，〃は，・、

一（1⊥リ）（3−4リ、。（。）＿1↓

E｛。￠・（身）十叉側

・（68）

E

であらわされる．ここで，2はzの共役複素数であり，￠や叉は，それぞれの関数の中で，6に関する係数の符号をすべて逆にしたものをあらわしている．（68）式の〃，〃を，ξ，η方向の変位〃ξ，0ηに変換すると，〃ξ十〃η＝グ｛θ（叶舳とたる．ここで，θはゐξが……（69）

軸となす角である．

次に，だ円孔の面積変化∠λは，ξ＝ξ。において，〃一／r帆一r・1〃／−r・・／ノグ切（糾舳1

・（・・）であらわされる．ここで，ハこついては，今の場合，ノ．θ一童θ＝11（ζ）＝6sinhζ

．

・・…・（71）

であらわされる．（71、式を（69）式に代入し，さらに，（67）および（68）式を用いることによ
り，

一111一

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月∫（〃ξ十〃η）＝∫θ一切（〃十〃）＝6sinhζ・（〃十〃）＿8c2（1＋リ）（3−4リ）．一
一一一〔exp（2ξ。）cos2βcoshζs1nhζ

一一

4

4E

＋｛1−exp（2ξ。十2クβ）｝sinhζsinhζ〕

Sc21＋リ一〔exp（2ξ。）cos2βcoshζsinhζ
ー
4
E

・（72）

一一一一一

＋｛1−exp（2ξ。一2クβ）｝coshζcoshζ〕

So21＋〃、

一・⊥4■E■｛…鵬一…2糾・・p（螂・mh2（ζ一ξ…州が得られる．この（72）式を整理し，（70）式に入れて積分することにより〃一ψ（ヂ／／…（・島）・…（一略）／／・一；・…β〕…（73）が得られる．一一方，（66）式より

α十ろ・・p（蜘一α＿ろ・・（74）であるので，これを（73）式に代入することにより，〃一π（1チ）l1・十1L（1」が／・…β／・・一（75）となる．

無隈遠におげる主応力がSユ，S。であり，Sユがκ軸となす角がβである場合，（75）式を利用することにより，〃一π（1ヂ）／／α・十が一（αLl㍉・…β／・。⊥／α・十が一（α2一あ2）cos2（β一ト90o）｝S2〕

・・（76）

一π（1云▲1（1・州（・・州一（1」が）（・r・）・…β／が最終的に得られる．

次に，図11のように，無隈弾性体（E。，り。）中にだ円管（E1，リ。）がおさまっており，だ円管内側の長半径および短半径がそれぞれα，ろであり，管の厚みが≠であるとする．このとき，管の厚みによる基本式（76）の修正について考えてみる．
図11

厚さオのだ円管（ム，リ1）と曲げに対して等価な厚さ（彦十Fig．11An

assumed）のだ円管（E。，リ。）

e11iptc

cy1indermadeof1讐淋烹11へ
cy1indermadethicknesst．

ofmateria1（El，リ1）with

一112一

新しく考案したポアホール式3成分ひずみ計一坂田

まず，右辺第1項であるが，これは主応力の和に比例L，方向には依らたい量である・従って，この場合には，3．1項（a）でのべた，軸対称の応力場における円管の変形の議論が適用できる．そのためには，だ円管を内径，外径がそれぞれ7、，7。である円管で近似し・（10）式のα／ろのかわりに7、／7、を代入して1を求めればよい．たとえぼ，α，6の算術平均を用いて7。

γ・＝α⊥あ（77）

α十ろ十2≠を使えぼ十分であろう．

次に，（76）式の（α」ろ・）cos2βを含む項について考えよう．前の（α2＋52）を含む項は・

だ円孔全体の一…様な面積膨張をあらわすものであり，図11のだ円管部分の変形のうち・周方向の引張りによる変形の結果を示している．これに対し，（α2＋ろ2）cos2βを含む項は・だ円

管部分の曲げによる変形の結果をあらわしている．そこで，次のような簡便法により・だ円
管都分の影響を見つもる．すなわち，図11において，外側の物質が，厚みチのだ円管に置き換わり，さらに〆だげ内側に張り出してきたとする．そして，一この厚み（≠十オ）の弾性定数E。，リ、の物質が，厚みチの弾性定数E、，〃、の物質と同じ曲げ低抗を持つようになっているとする．このようにすると間題を，長半径が（α一≠），短半径が（ト〆）であるような裸のだ円孔の変形の間題に帰着させることができる．板の曲げ低抗が同じであるときは・曲げ

剛性Dが等しいことであるから，

D一互・が．一亙・（W）ヨ12（1一〃。2）（78）

12（1一リ12）となっている．すなわち，だ円管よりさらに内側に張り出してくる部分の厚み〆が，・一［既三糾／㌧1〕1…（・・）となっていれぼよい．

今までの議論をまとめてみると，だ円管がある場合には，（76）式のかわりに・〃一王（1憂グ）／（1・≡一が）（・I一・＾1・し舳一・）・…！／
…（80）

ただし，

α／＝α一〆，ゐ1＝5一〆を使えぼよい一4．各型式のひずみ計による3成分ひずみ決定の基礎計算式

4．1だ円筒型の場合
今，図12のように，図11と同じ形のだ円管1，2，3が，120。ずつ開いて並んでいるとする．このとき，S1はそれぞれのだ円の長軸に対して，β，β十60o，β一60。の角をなしているとする．このとき，（80）式のかわりに次の連立方程式が成立する．すなわち，

一113一

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月

図12無眼遠で引張り応力を受ける弾性体中に，軸心は平行で長軸の方向を120oずつ違えて配置した3本のだ円孔．
Fig．12Three

e1liptic

subjected

to

at

ho1es

tensi1einanstresses

e1astic

body

S1

S2

and

infinity．

か60

2

3

〃1一π（1云ご・2）／（1・一1・）・（・…）一（1・」1・・）（∫r・）・…β／〃・一π（㌧ゼ・2）／（州・）・（∫一・。）一（1・L州
・・（81）

一∫。）cos（2β十120o）｝

仏一π（1ヂ／（α・十が）旭・・H1・」舳
一S2）cos（2β一120o）｝である．ここで，■ん，■ん，∠んはそれぞれのだ円管の断面積変化であり，観測から得られるものである。また弾性定数E。，〃。も別途測定できる．そこで，連立方程式（81）を解く

ことにより，S1，∫。およびβが求まる．すなわち∫、斗8、＝一E・＿＿＿3π（1一〃。2）（α2＋がyt…！一γ蛤沖）
∫rS、一

（

一3

1）E・

3π（1一リ。2）（α12一ろ

ただし，

．、82、

2）cos2β∠λ＝∠λ1＋∠λ2＋∠λ、である．∫1およびS。をひずみに変換するためには，平面ひずみ問題の場合，次の変換式を使えぼよい．すなわち，1＋〃。

ε1＝■ポ｛（1一リ・）∫r州
叶リ。

ε・＝El■｛一べ83）・S1＋（1一リ・、∫・／

である．

4・2

直径拘束円筒型の場合

図13のように，無限弾性体の中に円管があり，その1直径方向は弾性物体によりピソ拘束されている．無限遠においてS1，S。という引張り応力が働くとき，円孔断面積の変化がど
一114一

新しく考案Lたポァホール式成3分ひずみ計一坂田

E2．吻
E1、以

P←［＝＝＝＝一P

E2，吻

図13

Fi9．13

無隈遠で引張り応力を受ける弾性体中の，直径を拘束された円
管．
A cy1inder，a diameter of

図14which is constrained，in anelastic body subjected to Fig．14
tensi1e stresses S1and S2at

図13の状態を三つの状態に分解したもへ左側は・
無限遠で引張り応力を受げる弾性体中の円管をあらわL，右上は，1対の線荷重を内壁に受ける，弾性体中の円管であり，右下は・1対の線荷重を受ける
拘束物体を示す・
Disso1ution of the state in Fig・13 into
parts；P is unknown at this stage．

three

infinity．

なるか考えてみる．図13で示される状態は，図14で示されるように，無隈遠で主応力S。，S、を受げる図無限弾性体中の円管の変形と，内壁に一一対の線荷重を受ける・無限弾性体中の円管の変形の重ね合せで表現することができる。後者におげる線荷重の値Pは未知数であり・全体の変形を通じて，円管部分と拘束物体が離れもせず，重なりもしないという条件から求めることができる．

まず，図14左における円孔の断面積変化∠λoを求めてみよう・（23）式の〃（α）を用いる
ことにより，〃一／二・（1）1・1−2π（ギ1・（・1・W…（84、が成立する．ここでは，断面積の増加を正としている・

次に，図14右のような場合の円孔断面積の変化∠Pを求めてみよう．Pという値を持つ外向きの線荷重が，ある直径をはさんで2本働く場合の，円管内壁の半径方向の変位をあらわす（50）式を利用することにより，〃一／r…（1）α∂1一・（・…）1μ・（・・／が求まる、上式でPは，円孔の中心を向いているときを正としたので，∠

Pは断面積の減少を正としている．

以上（84）および（85）式を利用して，図13の場合の全体としての円孔断面積の増加∠λは，〃一〃一〃・一2π（㌢α2／（・1・W一、（㍍、1
一115一

・（86）

国立防災科学技術セソター研究報告
図15

第25号

1981年3月

B拘東点近傍の変形，B。：応力が働かないときの拘束点の位置
B1：円管内壁が拘束されていないとしたとき，無隈遠での応力＼

罵㌶享賊篁㌶鴛雄㌦㍊鴛㍑注＼／

り力と円筒を含む外側物体からの引張り力が釣り合っている．

β

Fig・15

Deformation

near

joint

B；B。：Position

of

joint

B

in

・t・e・・一f・・e・tatelB1：Po・itionofthepointontheinne・O
su「faceofthecy1inde「co「「esPOnding

tO

the

jOint

when

Bo

：l1狐鴛鴛ぷd，lllll、鮒a㍑㍑1
the

joint

is

B2！

B1

1

connected．

とあらわされる．

以上のことを考慮に入れ，さっそく未知数Pの値を求めてみよう．図15は，拘束点近傍の変形をあらわしたものである．まず，B。は，無限遠で引張り応力が働いていないときの拘束点の位置をあらわす・次に，無限遠で引張り応力S、，S、が働いたとき，もし3。が拘束されていないとすれぼ，B。は，（23）式の〃（α）でθ＝一βとおいたときの値〃βだけ変位

し・夙に至るはずである。しかし実際は，拘束物体に働く右向きの引張り線荷重と，円管内壁に働く左向きの引張り線荷重とが針り合う位置に3、落着くことになる．この引張り線

荷重の絶対値がPとなっている．拘束物体が中心から引き伸される量B．B、は，Pに正比例するので，1〕／K、であらわすことができる．また，円管内壁が中心方向に引き寄せられる量8β。もPに正比例し，P／K、であらわされる．これらの和が3．B、に等しいから，

P ，P＿P
1
1
1
β＝Xユ ：一K、■K■・K＝K、十K；……（87）

が成り立つ．Kの値は別途計算で求める．一方，仰の値は，（23）式から，＿1一リ。2z41−E、α｛（∫1÷S・）戸十2（SrS・）9…2β／……（88）と求められる．（87），（88）式から
1一リ。2

P＝E，Kα｛（S1＋S・）＾2（Sr∫・）9…2β／……（89）

が求まる．（89）式のPを（86）式に代入することにより，〃一2π（戸小・W（1㌻・・ハ）・（90）一（・r・・2（妄許切・…！／が求められる．この（90）式を（80）式と比べてみると，同じ形をしていることがわかる．従って，直径拘束円筒型は，数学的には，長軸方向が直径拘束の方向と一一致するようなだ円筒型と同等に扱えることがわかった．

なお，図13のB，C点は現実にはピン接点でなく剛接点になるため，引張り線荷重以外に
一116一

新Lく考案したポアホール式3成分ひずみ計一坂田

モーメソトや円周方向の反力が働くことになり，それらによる管内壁の変形も出てくる．しかし，これらの変形による円孔断面積変化は，互いに打消しあうので，全体としての断面積

変化には寄与しない．従ってここでは，モーメントや円周方向の反力の大きさについては考
えなくてもよい、

4．3

剛隔壁3分割二重円筒型

図16のように，無隈弾性体の中に円管があり，その内壁を120oずつに3分割する点は，半径方向の変位が弾性的に拘束されているとする・後での計算の便利を考え，この弾性拘束物

体と円管内壁は，1ヵ所はピソ接合で他の2ヵ所はローラ接合されていると仮定する．従って，接点においてモーメソトや円周方向の反力は働かず，また，この拘束物体は，周囲の弾性体に対して回転したいものとする．

この拘束物体と円管との問に，三つの梢互に隔離されたブロック1，2，3ができる．いま，この無限弾性体の無隈遠にS1，S。という引張り応力が働ととき，これらブロックの断面積変化がどうなるか考えてみよう．図16で示される状態は，図17で示されるように，無限遠で主応力S1，S。を受ける無限弾性体中の円管の変形と，内壁に3本の同一の線荷重を受ける，無限弾性体中の円管の変形の重ね合せで表現することができる。後者において，3本の線荷重が同一の値P（今は未知数）をとることは，完全な2次元間題とLて，円管内部の拘束物体に働く力が，それだけで針り合いの状態にあるとすれぼ，容易にわかることであ
S2

S2

L］］」

L］」」

P

□rr□

rr□■1

＄

図16

Fig．16

・一一一ノS・

無限遠で引張り応力を受げる弾性体中の，内壁の3分割点を弾性的に拘束した円管．∠〃，δは，

図17

図16の状態を三つの状態に分解したもの．左側は・無限遠で引張り応力を受げる弾性体中の円内部拘束物体中心の並進の量お管をあらわし，右上は，内壁に作用する3本のよび方向をしめす、A cy1inder in an

線荷重を受ける，無限弾性体中の円管であり，

subjected
Sl

and

inner
is

S2

e1astic

tensile
at

of

body

st「esses

infinity；

surfaceradiaI1y

three

the

tO

the

cy1inderconstrainedat1ines．（∠〃，δ）

shows

trans1ation

vector

右下は，3本の線荷重を受ける円柱状拘束物体

the

of

をあらわす。

Fig・17

Disso1ution

the

three

COnStrainer．

age．

一117一

of

the

parts；P

state
is

in

Fig．16

unknown

at

this

into
st−

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月

る．

まず，図17左のような状態が，各ブロックの断面積変化に寄与する分を計算してみよう．
（23）式を使うと，第1のブロックについては，〃1寸二■㌦（1）1・1−1ズら・／（・…峠川・1・・（91）一S。）↑■38・cos（2β一120o）｝が得られる．同様にして，第2，第3プロックについても，〃一㌣1・／（・i＋・峠卜（・r・〃・・…／／
・（92）〃一1詐・／（・…峠＾・rW・・…（・！＋・…／」が得られる．

次に，図17右のように，3本の同一の値を持つ線荷重が円管内壁に働くとき，これらが各ブロックの断面積変化に寄与する分を計算Lてみよう、線荷重の値が同一であるから，この量は各ブロックについて同じである．1〕という値を持つ線荷重が，120oづつ開いて3本働く場合の，円管内壁の半径方向の変位をあらわす（51）式を利用することにより，各ブロックの断面積変化は，〃一〃一〃一／12㌦・（1）α・1一㌢洲・（93）なると．上式でPは，円孔の中心を向いているときを正としているので，∠〃戸は断面積の減少を正としている。

以上の（91），（92），（93）および（94）式を利用して，図16の各ブロックの断面積の増加∠λ1，■λ2および∠A、は，〃1一〃1」〃1卯一1芸刊（・1⊥∫峠1⊥（・・
一・〃・…（・β一…つ／」差芦1・ハ〃・一守1・／（・1・・々・（・1−M・・…！／
・・（95）」許・ハ
仏一1許・／（・1＋・峠・十（・工一W・・…（・！

・1・・十㌢批となる．上の連立方程式から，Pは未知数のままでも，βは求めることができる。

次に，Pの値を求めよう．図16において弾性拘束物体の中心0が，S。に対してδの角を一118一

新しく考案したポアホール式3成分ひずみ計一坂田

持ちながら，半径方向に〃だけ変位し，各拘束点に働く力1〕が同じになるとする・このとき，各バネの伸縮量は同一一である．いいかえれば，パネが働いていないとしたとき，外側円

筒とバネの各頂点との間隔は同じになる．この間隔の大きさを勿とすると，それぞれのバネについて，〃（一β）一∠〃COS（δ十β）＝勿〃（120o一β）一〃cos（δ・｛一β一120o）＝勿・（96）〃（240o一β）一」〃cos（δ十β一240o）＝勿

1一リ2
ただし・・（θ）一E；2α／（S1＋S・）∫十2（SrS・）・…2θ｝
が成立する．

この連立方程式を解くことにより，

1−1許・1−W∠・一2（1オユ1（・r収1一一・！

…（97）が得られる．次に図18は，第1の隔壁について，拘束点近傍の変形をあらわしたものである．ただし，円周方向については無視し，半径方向についてのみ図示してある．まず，3○は，無限遠に応力が働いていないときの拘束点の位置である．次に，無限遠に引張り応力S1，S。が働いたとき，もしB。が拘束されていないとすれぽ，B。は，〃（一β）だけ移動
し凪に至るはずである．そのうちの3．B．1は，拘束物体の中心の隔壁方向の移動量であり，その値は，（97）式を利用して，肌・一・・α一伽・・（1斗β）一2（1デ1（∫r・伽…βとなる．従って，B。

B。は先にのべた間隔勿であり，

恥一氏・r眠一・（十2（1；デ㌦・r・伽…！
図18

・（・・）

・（・・）

B拘束近傍の変形．00 ：拘束物体の中心0の移動量．O 01：O01の隔壁方向への投影量，B。：応力が働かないときの拘束点の位置一B。
：BoBo ＝O 0 となっているような点．B1：
円管内壁が拘束されていないとしたとき，無限遠での応力により，拘束点に対応する内壁が移動してくる位置．B2：無限遠で応力が働くときの拘束点の位置．拘束物体からの引張り力と，円簡を含む外側物体からの引張り力が釣り合っている．
Fi9．18

Deformation
vector

O

of

near
the

joint

center01：projection

B；00

of

of

the

：trans1ation
constrainer，

vector

00

to

the

partition wa11direction，Bo：position of thejoint in stress−free state， B！：Position
which a11ows the equation BoBo ＝O O ，B1：Position

of

the

when

the

infinityofthecy1inderpoint

tensi1eandequi1ibrium

the

on

the

corresponding

stressesjoint

position

is

when

inner

surface

to

the

are

actingjoint

atdisconnected，B2：

the

joint

is

connected．

一119一○ノu β、

8B

国立防災科学技術セソター研究報告第25号！981年3月

1一リ。2＝E、■α（S1⊥∫・）！一勿となっており，（97、式は満足されている．先にものべたように，隔壁の先端が相対する円筒
内壁面に接合されていないとき，すなわち無拘束のときは，B。

B1＝勿というすき問ができることになる．しかし実際は拘束状態にあるため，隔壁の先端は，隔壁に働く右向きの引張り荷重と，円管内壁に働く左向きの引張り荷重とが，針合う位置B、に落着くことになる．

この引張り荷重の値がPとなっている．隔壁の先端が拘東物体の中心に対して引伸ぼされる
量B．1B。は，隔壁のパネ定数をK。とすれぼ，
BolB2＝P／K。

……（100、であらわされる．

次に，3本のバネのそれぞれからPという値の引張り線荷重を受けることにより，円管内
壁が中心方向に引き寄せられる量B1B・について考えてみる．この量をP／K、であらわす
とき，K1は，外側物体に関するバネ定数といえる．このK工を求めるには，図6（c、において，3本の線荷重による円管内壁の変位を求める式（51）が基本なとる．この場合，これらの荷重が真の線荷重であるとすると，（51）式でθ＝0。，±120。とおいたとき，〃ヨ戸（0）が発散することからわかるように，K1は定まらない．しかし，実際には分布荷重となっている
ので，現実の形状について数値計算を行い，K1の値を求めることができる．計算例は第5節に示す．

さて，今のべたところから，
BlB2＝P／瓦……（101）であるから，これと（100）式をあわせることにより，

1〕

P

P

1

1

1

蝸＝灯寸工＝γK＝K；十灯……（10・）となる．上式と（99）式から，

P

1一リ。2

K＝勿＝7、α（S1＋S・）∫……（103）とたるから，

1一リ。2

P＝E；』α（S1＋8・）グK

一・（104）が得られる。この1〕の値を（95）の各式に代入すると，

仙一1苛小十W（2ζ」三少剛州一S。〉3g…（2β一120o，／〃・一1デα・／（Sl・＄）∫（ギ1戸剛・（S・・・（105）一∫。）〉39cos2β｝

一120一

新しく考案したポアホール式3成分ひずみ計一坂田
o・ん一1戸／（舳借一1抑）・（・1l■一S。）〉｛8cos（2β十120。）｝

が最終的に得られる．上の連立方程式を解くことにより，

い一仙／1（・イ1・1・1−3（量巧）・小〕rt・・2β＝叫一」

1）／／〉｛■（一3仏）1＿＿（106）

Sr5。一一（〃一3〃。旭、／／3／3（1一り、2切2…2β／
ただし，」λ＝∠λ1＋∠ん十」λヨが得られる．

4・4

スライド隔壁3分割二重円筒型

図19に示すように，無限遠で∫、，S。の引張り応力を受ける弾性体中に，内半径がα，外半径が5の円管がある．この円管の内部に同心で半径伽の円柱があり，円管との間は，理想的な隔壁で3ブロックに分割されているとする．すなわち，この隔壁は，内外管との接続部分において回転に対する抵抗が0であり，また，半径方向の伸縮は自由でありながら常に直線を保つようなものである．そして，S1は第1の隔壁に対してβの角をなしているとする、なお内部の円柱は，外側の弾性体に対して回転しないようになっているとする．
さて，円管内壁の変位〃（α），〃（α）は，隔壁の低抗がないのであるから，（23）式で与えられたとおりである・これを利用して各ブロックの面積変化を計算してみよう．

まず，第1のブロヅクについては，
仙一／㌻㌦（α）1糾一｛（1−1・）／・（1）〕㌻β

・・（107）が成立する・この式の右辺第項は，図20に示すように，円弧ABの半径方向の移動による面積増加であり，右辺第2項は、隔壁ADおよびBEの回転による面積増加である．（23）式を（107、式に代入することにより，

仙一1洲（w等ジ・十（S1−S。）〉391cos（2β

土

．

一…

（108）

一20o）

ただし・〆一・十（1一号）1

図19
Fig．19

無限遠で引張り応力を受ける弾性体中の，スラ
イド式隔壁で3分割された二重円管．
A

dual

cy1indersubjected

tosystemtensi1einstresses

infinity；thec1earance

cy1inders

dividedthreeissliding

partition

an

into

e1astic

body

S1

and

S2at

between

the

two

three

b1ocksby

wa1Is．

一121一

E2、レ2

S2

国立防災科学技術セソター研究報告
図20

第25号

図19中第1プロックの変、豊

形．断面積変化は，円孤Fig．20

Deformation

first

b1ock

change
area

in

of

is

of

due

the

Fig．19；

the

block
to

1981年3月

8

ゾ

8

ぺ
dθ

the

！

E
唯120二β）

redia1disp1acement of
the are AB and the「etatiOns of s1ideing
wa11s AD and BE．

θ
η

O

D aび

A

晩、功）

a一♂

が得られる．同様に，第2，第3のブロックの面積変化は，

仙一1沙1（榊）誓∫十（・・べ）〃・…β1
・一（109）仙一

許1（・1＋・）汁（・r軌V・〆…（・／＋1・㏄）1となる、（108），（109）式は（106）式と同じ形をしており，この連立方程式を解くことにより，
Sエ，S。，βが求まることがわかる．

5．

剛隔壁3分割二重円筒型についての計算例

今まで，各型式の3成分ひずみ計の基礎式を導いてきたが，実際の製作および設置を考えた場合，工作が比較的簡単で，設置のための孔も1本ですむという利点から，剛隔壁3分割
二重円筒型が最適であると判断した．そこで，この型式のものについて，実際の寸法にのっとり，（105）式にでてくる各種の係数を求めてみよう．

まず，図15，16において，円管はステソレス鋼でできており，弾性定数は，E1＝2×10ピ
N／m2，リ＝O．25とする．また，内外半径は，α＝54mm，6＝57mmである．内側拘束物体
もステソレス鋼でできており，円柱部分の半径は，0＝52mmであり，突出部の幅は，〃＝12mmである．突出都の高さは，αイ＝2mmとなっている．円管の外側物質は，花コウ岩を仮定し，E。＝6×1011N／m2，〃。＝0．25とする．

以上より，α／6＝0．95，α÷3であるので，（10）式，

図21剛隔壁3分割二重円筒型の内部拘束物体（図17右下）のパネ定数を計算するために，円柱部分と突出部のP砧・甘2つに分解した状態．
Fig．21 Dissolution of the inner constra−ning body in
Figs．（16） and （17） into four parts：a solid

cy1inder which has spring constant K01，and
three protrudent parts，each of which has

springconstant

constant

Ko

isK02；thesynthesized

u1timatefrom

Ko1and＼／spring
Ko2．

一122一

Kる

P

E1，以

新しく考案したボアホール式3成分ひずみ計一坂田
図4，（31）式より，1＝O・88，g＝O・95，プ・＝O・86が得られる・

次に，（102）式中のKの値を求めよう．そのために，まず凪の値を求める．このバネ定数瓦は，図21のように，拘束物体の円柱部分による凪1と，突出部分による瓦2からなり，一工一一．！、卜一1

K。■x。

……（110）K．2

であらわされる．

瓦1を求めるには，図8のように，円柱表面に3方向から同一の線荷重が働く場合について，円柱表面の半径方向の変位をあらわす（63）式を利用する．今までの計算では，Pという値を持つ線荷重を扱ってきたが，実際は，図21にみるように，突出部は有隈の幅をもっているから，面荷重となっている．いま，この面荷重は，力＝P……（111）〃
であらわされる均一な値をもち，円柱の表面に垂直に働いていると仮定する．この均一な面荷重によって，突出部に接している円柱表面が，半径方向にどの程度変位するか推測してみ（（よう．図22において，突出部の位置を示す円弧LNの中点をMとする．XはLNあるいはそ（の延長上に任意にとった点である．円弧LNの中心角を∠θとし，Xの位置をあらわすバラ
メータκを導入すると，（∠θ＝LM／OL÷〃／o，∠MOX＝∠θκ／2……（112）とあらわすことができる．X点の半径方向の変位は，（63）および（111）式をもとにして，・（1）一／二1；鴛、、嵜ζ1（・一・1・一・刎；、6刎（1青差乎一1
・…刎1／・・1−1戸釧；（・一・・）1一刎；16鴨絵芋1・・（113）・i・・刎1〕二1；鴛、、

一㌣1五／；一（卜・小缶刎書、

6㌦にギ㎝・（・…1）…（・…11）／

図22

図21の円柱表面に，線荷重Pのかわりに，等分布荷重力＝P／〃が働いている状態．ただしθコ6／〃である．

Fig．22
1ine

Assume（1uniform
force

on

the

distribution

so1id

cylinderinof1oadカinsteadof

Fig．21；θ＝o／〃．

一123一

the

P＝Plw

国立防災科学技術セソター研究報告

図23図22の等分布荷重による．円柱表面の半径方向の変位分布
Fig．23Distribution

ment of theFig．22．

of

第25号

1981年3月

4．oradia1disp1ace−

cy1indersurfacein

3．5が求められる．図23のグラフは，∠θ＝0．23⊥㎜＿

（］粍〕
のときの

（κ）の分布を示すものである。

3．O

級数の和は，刎二100までとってある．
このグラフから，｛：α25
Wc＝α23（κ）の平均値〃（κ）

は，

0．O

＿3．5（1＋リ1）〃（κ）一 π

2・5Q2

α4

α6

α8

1C

x

P

・・（114）E1と得られる．また，〃1（0）と〃1（1）の差は小さいので，実際の変位も，上の平均値に一致す

る均一なものが起ると考える．先に均一荷重を仮定し，今度はその結果として均一変位を考えるのは，厳密にはおかしいが，実用上はさしつかえたい．そこでパネ定数K．1は，（114、式から

1一・（竺／−35（1＋リ1、

K．1

1・

π瓦

（115／

と求められた．

次にK山2の値を求めてみよう．図21右のように，長さがα一0，高さが〃で厚みが1の直方体物体に，P／〃という値の水平方向の引張り応力が働くとき，この物体の伸びる量∠
は，平面ひずみ状態であるから，

・一1（1一・）一1芦（1一・）一1｝㍗（H／・・（116）となり，求めるバネ定数K．2は，

1〃

K．2■P一α一61一リ12〃

・・（117、

E1となる．

（110）式に（115）および（117）式を代入することにより，拘束物体についてのパネ定数瓦は，ムー／35（㍗・・㌃o（1一州／呈、一1麦5・（118）と求められた．

次に，K、の値を求めよう，（51、式を利用し，K．1の値を求める時の（113）式と同じような積分を行えぼ，分布荷重P／〃による半径方向の変位〃1（κ）は，

州一1芦去／；什3θ刎；16㌻；渚デ±1・
一124一・・（119）

新しく考案したポァポール式3成分ひずみ計一坂田
sin（1．5m」θ）cos（1．5m」θκ）・ク。伽｝となる．上の式に，」θ÷〃／α＝O．22，すでに求めたプ。＝O．86および（47）式によるプ。肌を代入し，数値計算を行った結果，・（κ）一ふ3（㍗ム・……（…）

が求められた．従って，

1＝・（吐＝3理也）＝131．

K，

P■■

元E．

（121）

E。

と求められた．（118）および（121、式を（102）代入することにより

1一し55↓131−15ζ．一31−19，K−E・E， ・ E2
αE2 I
E，
E2
1・9

（122）

■1（

と得られる．

最後に，今まで求めてきた，グ＝o．88，8＝o．95，ゴ。＝o．86およびK＝E・／1・9の値を（106）式に代入することにより，
Sゴ十S2
1，2

」■4
3．8α2

．

・…β㍉4虹払、）一
SrS．

亙。一

……（…）

3〃r∠λ

4．6α2

が最終的な式とLて得られた．
6．

おわリに

以上，各型式の3成分ひずみ計の基礎なると式を，無限遠で引張り応力を受ける弾性体中の，円管の変形を求めるという立場で求めてきた．すべて平面ひずみ状態にあるとして解いてきたが，現実には有限長の円管を使うのであるから，端末の影響を見つもる必要がある．

全長から直径の2倍を差し引いたものを有効長と考えれぼ，ほぽまちがいはなかろう．
今までの議論では，金属製のひずみ計筒部と岩石との隙問を充てんする膨張性モルタルの弾性定教は，周図の岩体のそれに等しいと仮定し，二層モデルを採用してきたが，このような仮定が成立Lない時は，三層モデルを適用する必要がある、計算の方法は，二層モデルと基本的に同じである．

第5節でも述べたが，製作および設置上の利点を考慮L，55年度現在，剛隔壁3分割二重円筒型のものを製作中であり，56年度には設置の予定である．この型式の場合，1本のポーリソグ孔にひずみ計一式が収容されるため，だ円筒型や直径拘束円筒型の場合のように，3本のポーリソグ孔の地点の相違を気にする必要はないが，三つのブロックの，遠方からの応力に対する機械的変形特性が，できる限り同一であることが最重要である．

一125一

国立防災科学技術セソター研究報告第25号

1981年3月

また，実際の設置にあたっては，ひずみ計の軸心を，ボーリソグ孔の軸心と同心にすることも重要である．充てん用の膨張性モルタルの弾性定数を，周囲の岩体のそれと完全に同一にすることが期待できない以上，三層モデルによる計算を行いやすくするためである．

以上の重要問題の解決のために採った具体的なことについては，実際の製作や設置に関す
る今後の報告中にのべるつもりである．
参

考

文

献

1）古屋逸夫（1978）：円筒の変形一容積歪計に則して．地震学会講演予稿集，2，12Z
2）末広重二（1979）：地殻変動連続観測と埋込式歪計（I）．測候時報，46．1−2，9−25，

3）

Timoshenko，S．P．and

J．N．Goodier（1970）：Theoryof

E1asticity，McGraw−Hi11．

（1980年12月8目

一126一

原稿受理）