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ПО

ОБЩЕЙ

ФИЗИКЕ

И．Е．ИРОДОВ
目次
第１部 力学の物理基礎。
４４６題
１．１． 運動学
１．２． 基礎運動方程式
１．３． 運動量保存則、エネルギー保存則、運動量モーメント保存則
１．４． 万有引力
１．５． 剛体の動力学
１．６． 剛体の弾性変形
１．７． 非圧縮液体の力学
１．８． 相対論的力学
第２部 電磁気学
４３８題
２．１． 真空中の静電場
２．２． 電界中の導体と誘電体。
２．３． 電気容量。電場のエネルギー
２．４． 電流２．５． 静磁場。磁性体
２．６． 電磁誘導。マックスウエル方程式。
２．７． 電場と磁場中での荷電粒子の運動
第３部 振動と波３．１． 力学振動３．２． 電気振動
３．３． 弾性波。音波
３．４． 電磁波。放射。

２９０題

第４部 光学４．１． 測光学と幾何光学
４．２． 光の干渉
４．３． 光りの回折
４．４． 光りの偏り
４．５． 光りの分散と吸収

２５０題

第５部 量子物理
３３６題
５．１． 電磁放射の粒子的性質
５．２． 粒子の散乱。ラザフォード・ボーア原子５．３． 粒子の波的性質
５．４． 原子と分子
５．５． 原子核。放射能
５．６． 核反応５．７． 素粒子第６部 マクロ物理
３６２題
６．１． 理想気体の方程式。サイクル
６．２． 熱力学の第一原理。熱容量
６．３． 分子運動論。マックスウエル分布とボルツマン分布６．４． 熱力学の第二原理。エントロピー
６．５． 移動現象
６．６． 熱放射６．７． 固体
６．８． 液体。毛管現象
６．９． 相転移

-1-

２００３年
問題数

２１２２題

第１部
１．１．

力学の物理基礎。

運動学●●

太文字（ｒ，ｖ，ａ）でベクトルを、（ｒ，ｖ，ａ）でその大きさを記述する。
点の平均速度ベクトルと平均加速度ベクトル＜ｖ＞＝Δｒ／Δｔ、＜ａ＞＝Δｖ／Δｔ。
（１．１ａ）
ここで、Δｒは移動量（半径ベクトルの増分）● 点の速度と加速度
ｖ＝ｄｒ／ｄｔ、ａ＝ｄｖ／ｄｔ。
（１．１ｂ）● 軌跡の接線方向と法線方向へ投射した点の加速度（１．１ｃ）ａτ＝ｄｖτ／ｄｔ、ａｎ＝ｖ２／Ｒ。
ここで、Ｒはその点における軌跡の曲率半径。
● 点の経由した経路長
ｓ＝∫ｖｄｔ。
（１．１ｄ）● 剛体の角速度と角加速度
ω＝ｄφ／ｄｔ、β＝ｄω／ｄｔ（１．１ｅ）● 直線量と角度量の間の関係（１．１ｆ）
ｖ＝［ωｒ］、ａｎ＝ω２Ｒ、ａτ＝βＺＲ。
ここで、ｒは回転軸の任意の点に対する着目点の半径ベクトル、Ｒは回転軸からの距離。

１．１． 川を下っているボートが、Ａ点でを追い抜いた．この瞬間からτ＝６０分後、ボートは引き返し、Ａ点より距離ｌ＝６ｋｍの下流で、筏に再会した。ボートのエンジンは下り登りとも同じ程
度に正常に動作していたものとして、川の流速を求めよ。
１．２．全ての恒星は、我が太陽からの距離に比例した速度で、太陽から遠ざかっている。これらの恒星の数をＮとする。Ｎ個の「恒星の点」は天空にはどのように見えるか。
１．３．点が、速度ｖ ０ で経路の半分を進んだ。経路の残りを、点は速度 v １で時間の半分動き、最後の部分を、速度 v ２で通過した。
運動の全時間に対しての、点の運動の平均速度を求めよ。
１．４． 点が一方向にまっすぐ動く。図１．１に、時間に対する、点の移動距離Ｓの依存性が示されている。このグラフを使用して答えよ。（ａ）運動時間に対する点の平均速度。（ｂ）点の最大速度。
（ｃ）瞬間速度が、最初のｔ ０ （秒）に対する平均速度に等しい時
間ｔ ０。
１．５． ２つの粒子１，２が各々一定速度ベクトルｖ１，ｖ２で動いている。最初の時、それらの半径ベクトルは各々ｒ １，ｒ ２である。これら４つのベクトルの間に、どのような関係があるとき、２つの粒子は衝突をするか。
１．６． 船が、赤道上を東に向かって速度ｖ ０＝３０ｋｍ／時で動いている。赤道に対して、角度
α＝６０°をなす南東方向に、風速ｖ＝１５ｋｍ／時の風が吹いている。船から見た、風の速度ｖ 、赤道と風の方向とのなす角度φ 、を求めよ。
１．７． ２台の筏が、川岸のＡ点から、真っ直ぐの前方にある対岸のＢ点に行くことになった。１
台の筏は、直線ＡＢに沿って川を横断することにした。もう１台の筏は、筏の進路方向を全時間川の流れに垂直になるように経路を選び、対岸にたどり着いた後、速度ｕの速さであるいてＢ点に行くことにした。速度ｕの値が幾らの時、２つの筏に乗ってＡ点からＢ点に達するまでの時間は同じとなるか。なを、川の流れの速さはｖ ０＝２．０ｋｍ／時。水に対する２つの筏の速度は同じでｖ ＝２．
５ｋｍ／時とする。。
１．８． 広い川の真ん中にあるブイから、２台のボートＡ，Ｂが離れる。２台のボートは相互に垂直線をなして進む。つまり、ボートＡは川の流れに沿って、ボートＢは流れに垂直に進む。ブイから同じ距離離れた後、２台のボートは逆向きになり、ブイまで戻った。２つのボートの運動時間τＡ／τＢの関係を求めよ。ただし、２つのボートの静水に対する速度は同じで、その大きさはこの川の流れの速度よりη＝１．２倍大きいとする。
１．９． 川の流速よりｎ＝２倍小さい速度で、ボートが水に相対的に動く。流れでボートが流されるのを最小にするためには、川の流れの方向に対して幾らの角度の経路を、ボートはとらなければならないか。
１．１０． １点から、２つの物体を投げ出す。１つは垂直上方に、もう１つは水平に対して角度θ
＝６０°で。２つの物体の初速度は共にｖ ０＝２５ｍ／ｓ。時刻ｔ＝１．７ｓ後の物体間の距離を求
-2-

めよ。
１．１１． ２つの球を、同時に１地点から、水平方向に互いに逆向きに、速度ｖ１＝３．０ｍ／ｓ、
ｖ ２＝４．０ｍ／ｓで投げ出した。２つの球の速度が、お互いに垂直となった瞬間の球間の距離を求めよ。
１．１２． １辺ａの正三角形の３つの頂点に、３つの質点がある。この３つの質点が同時に同じ速さｖで動き始める。この際、１番目の質点は２番目の質点に直進して進む。２番目の質点は３番目の質点に直進して進む。３番目の質点は１番目の質点に直進して進む。これら３つの質点が一体となるまでの時間を求めよ。
１．１３． 点Ａは速度ｖで一様に動く。が、その際ベクトルｖは全時間、点Ｂを向いているものとする。肝心のＢ点は、速度ｕ（＜ｖ）で等速運動をしているものとする。最初の瞬間には、ｖ⊥ｕであり、２点間の距離はｌ。２つの点が出会うまでの時間はいくらか。
１．１４． 長さｌ＝３５０ｍの列車が、加速度ａ＝３．０ｃｍ／ｓ ２で、直線を動き始める。動き
始めてからｔ＝３０ｓ後、機関車が先頭のサーチライトを点灯した（事象１）。点灯からτ＝６０ｓ
後、列車の最後尾の尾灯を点灯した（事象２）。線路から見たこれら２つの事象の起こった位置間の距離を求めよ。これら２つの事象が線路上の同じ地点で起こる様な観測系は幾らの速度で移動していなければならないか。
１．１５． 床と天井の間隔が２．７ｍである部屋付きリフトが、加速度１．２ｍ／ｓ ２で動き始めた。上昇し始めてから２．０ｓ後、天井からボルトが落下した。（ａ）ボルトの自由落下時間を求めよ。（ｂ）リフトが取り付けてある縦坑に固定している観測系から見たときのボルトの変位間隔幅と移動経路距離を求めよ。
１．１６．２つの粒子が、一定速度ｖ１とｖ２で動く。２つの粒子の運動線が交差するＯ点で、２つの直線は直交している。時刻ｔ １＝０の時、２つの粒子は各々Ｏ点から距離ｌ １，ｌ ２の位置にいた。その後、２つの粒子の間隔が最小になるの時刻はいつか。最小値は幾らとなるか。
１．１７． 平らな草原上にある直線道路のＡ点（図参照）から、道路から距離ｌ離れているＢ点に、車で最小時間で行く必要がある。道路から外れたとき、車の速度は道路を進行しているときの速度よりη倍小さいものとする。道路を出るＣ点はＤ点からいかほどの距離とするべきか。

１．１８． Ｘ軸に沿って点が動く。その速度のＸ軸成分はｖ ｘであり、図に示しているように時間の関数である。時刻ｔ＝０の時、点の座標値はｘ＝０。時間に対する点の加速度ａ ｘ、座標値ｘ、経路長ｓをグラフで示せ。
１．１９． τ＝１０ｓで、点が、半径Ｒ＝１６０ｃｍの円周を半分進む。この時間間隔において以下を求めよ。（ａ）速さの平均値。（ｂ）平均速度ベクトルの大きさ。（ｃ）接線方向の加速度は一定としたとき、平均全加速度ベクトルの大きさ。
１．２０． 粒子の動径ベクトルが、時間と共に式ｒ＝ｂｔ（１−αｔ）にしたがって変化する。ここで、ｂは定ベクトル、αは正の定数。以下に答えよ。（ａ）粒子の速度と加速度。（ｂ）粒子が出発点に戻るまでの時間。その間に粒子が動いた経路長。
１．２１． 時刻ｔ＝０に、粒子が、原点からＸ軸の正方向に動き始めた。粒子の速度は時間ｔと共にｖ＝ｖ０（１−ｔ／τ）に従って変化する。ここで、ｖ０は初速度で、大きさは１０ｃｍ／ｓ、τ＝５．０ｓ。以下に答えよ。（ａ）ｔ＝６ｓ、１０ｓ、２０ｓの時の粒子のｘ座標値。（ｂ）原点から
距離１０ｃｍの距離に粒子がいる時刻。
１．２２．粒子がＸ軸の正の方向に動く。粒子の速度は式ｖ＝αｘ １／２に従って変化する。ここで、-3-αは正の定数。粒子は時刻ｔ＝０には、ｘ＝０の座標に位置していた。以下に答えよ。（ａ）時間の関数としての粒子の速度と加速度。（ｂ）最初の距離Ｓ進んだ時間当りの平均速度。
１．２３． 点が直線上で減速運動をする。その加速度の大きさは、速度ｖに依存しており、ａ＝αｘ１／２である。ここで、αは定数。最初の瞬間における点の速度はｖ０。点は停止するまでにどれだけの長さの経路を動くか。その間の時間はいくらか。
１．２４． 式ｘ＝αｔ、ｙ＝βｔ ２に従って、点がｘｙ平面上を動く。ここで、αとβは正の定数。
以下に答えよ。（ａ）点の軌跡方程式ｙ（ｘ）とそのグラフ。（ｂ）ｔの関数としての点の速度の大きさと加速度の大きさ。
（ｃ）時間の関数として、加速度ベクトルａと速度ベクトルｖの間の角度φ。
１．２５． ｘｙ平面上で、式ｘ＝Ａｓｉｎωｔ、ｙ＝Ａ（１−ｃｏｓωｔ）に従って、点が動く。
ここで、Ａとωは正定数。以下に答えよ。（ａ）時間τの間に点が移動する経路長Ｓ。（ｂ）点の速度と加速度のなす角度。
１．２６． 粒子がｘｙ平面上を、一定加速度ａで、Ｙ軸の正方向と反対方向に動く。粒子の軌跡方程式はｙ＝αｘ−βｘ２。ここで、αとβは正定数。座標原点での粒子の速度ｖ０を求めよ。
１．２７． 小物体を、初速度ｖ ０ で、水平と角度をなして投射する。以下に答えよ。（ａ）時間の関数としての物体の変位ｒ（ｔ）。（ｂ）最初の時間幅ｔにおける平均速度ベクトルと、運動の全時間における平均速度ベクトル。
１．２８． 初速度ｖ０，水平に対する角度αで、物体を投射する。以下に答えよ。（ａ）運動時間。
（ｂ）上昇最大高度、水平方向の最長飛行距離、この２つの値が等しくなるときの角度α。（ｃ）軌
跡方程式ｙ（ｘ）。ここで、ｙとｘは各々垂直と水平方向の物体の変位量。
１．２９． 以下の場合、球を水平に対して幾らの角度で投射すべきか。（ａ）球の軌跡の最初の曲率半径が、頂上での値より、η＝８．０倍大きい。
（ｂ）軌跡の頂点の曲率中心が地表面と一致する。
１．３０． 水平と角度αをなしている滑らかな斜面の上から、初速度ゼロで球を放つ。球は距離ｈ
落下して、斜面で弾性的に跳ね返る。球の落下地点からどれだけの距離で、球は２回目の跳ね返りを行うか。
１．３１． 大砲と標的が同じ水準上にある。間隔は５．１ｋｍ離れている。初速度２４０ｍ／ｓを持つ弾丸が標的に達するまでの時間はいくらか。
１．３２． 大砲から２つの弾丸を連続して発射させる。その初速度は共にｖ ０＝２５０ｍ・ｓ。しかし、仰角はθ１＝６０°と、θ２＝４５°。なを、方位は同じである。発射した２つの弾丸を空中で衝突させるためには、射撃の時間間隔を幾らとする必要があるか。
１．３３． 気球が地表から上昇し始める。その上昇速度は一定値で、ｖ ０である。風により、気球は水平方向の速度ｖ ｘ＝αｙを得る。ここで、αは定数、ｙは高度である。上昇高度に対する以下の関係を見いだせ。（ａ）球の漂流距離ｘ（ｙ）。（ｂ）球の全加速度、接線加速度、法線加速度。
１．３４． 粒子がｘｙ平面上を、速度ｖ＝αｉ＋βｘｊで動く。ここでｉとｊはＸ軸とＹ軸の単位ベクトル、αとβは正定数。粒子は最初の瞬間には、原点にいた。以下を見いだせ。（ａ）粒子の軌
跡方程式ｙ（ｘ）。（ｂ）ｘの関数として、軌跡の曲率半径。
１．３５． 粒子Ａが、軌跡上を接線加速度ａτ＝α・τで、一方向に動く（図１．４参照）。ここでαは、方向がＸ軸と一致している定ベクトル。τは、図のごとく、粒子Ａに結合
し軌跡の接線に沿った単位ベクトル。粒子が点ｘ＝０で、速度がゼロであったとして、粒子の速度をｘの関数として求めよ。
１．３６． 点が速度ｖ＝αｔで円周上を動く。ここで、α＝０．５０ｍ／ｓ ２ 。点が動き始めてから円周のη＝１０％
だけ進んだときにおける、点の全加速度を求めよ。
１．３７． 半径Ｒの円周上を、点が減速しながら動く。が、各瞬間において、点の接線加速度と法線加速度の大きさは等しい。時刻ｔ＝０の時、点の速度はｖ ０ 。以下の依存性を見いだせ。（ａ）時間に対する点の速度。進行経路長ｓに対する点の速度。（ｂ）点の速度ｖに対する点の全加速度。点の経路長ｓに対する点の全加速度。
１．３８．

点が半径Ｒの円周を動く。点の速度はｖ∽ｓ １／２。ここで、ｓは動いた距離。Ｓの関数-4-として、点の速度ベクトルと全加速度ベクトルのなす角度を求めよ。
１．３９． 粒子が半径Ｒの円周の弧を、ｌ＝Ａｓｉｎωｔの式に従って動く。ここで、ｌは、弧に沿って測った初期状態からの変位量、Ａとωは定数。Ｒ＝１００ｃｍ、Ａ＝８０ｃｍ、ω＝２．００／ｓとして、ｌ＝０，−Ａ、＋Ａの時における粒子の全加速度を求めよ。
１．４０． 粒子が半径Ｒの円周を動く。ｔ＝０の時、粒子は点Ｏにいた。その後、粒子の速度は時間と共に、ｖ τ＝αｔ−βｔ２にしたがって変化する。ここで、αとβは正定数。粒子が再び点Ｏに達したとき、粒子の全加速度の大きさを求めよ。
１．４１． 点が、その接線加速度がａ τ＝α、法線加速度がａ ｎ＝βｔ ２となるように、平面上を動く。ここで、αとβは正定数。ｔ＝０の時、点は静止していた。動いた経路長Ｓの関数として、点の軌跡の曲率半径Ｒと、点の全加速度を求めよ。
１．４２． 粒子が平らな軌跡ｙ（ｘ）に沿って、一定の大きさの速度ｖで動く。以下の軌跡の場合（ｂ）
について、点ｘ＝０での粒子の加速度と、この点での曲率半径を求めよ。
（ａ）放物線ｙ＝αｘ２。
２２
楕円（ｘ／α） ＋（ｙ／β） ＝１。ここで、αとβは定数。
１．４３． 粒子Ａが、半径Ｒ＝５０ｃｍの円周を動く。図１．５参照。
点Ｏに対する粒子の半径ベクトルは、一定の角速度ω＝０．４０ラジアン／ｓで回転する。粒子の速度の大きさ、粒子の全加速度の大きさと、方向を求めよ。
１．４４． 車輪が不動軸の回りに回転をする。車輪の回転角度は時間に対して、φ＝βｔ ２ に依存している。ここで、β＝０．２０ラジアン／ｓ２。時刻ｔ＝２．５ｓ時の、車輪のリム上の点Ａにおける全加速度を求めよ。この瞬間における点Ａの速度はｖ＝０．６５ｍ／ｓとする。
１．４５． 砲身の内部でｎ＝２回転をして、砲弾が速度ｖ＝３２０ｍ／ｓで飛び出した。砲身の長さはｌ＝２．０ｍ。砲身の内部での弾丸の動きは一様と見なし、砲身を飛び出したときの弾丸の回転角速度を求めよ。
１．４６． リールに巻かれている磁気テープが、一定速度ｖで、テープレコーダーを流れている。
テープの厚さはｈ。時間の関数として、リールの回転角速度を求めよ。時刻ｔ＝０の時、リールの巻
かれている磁気テープの半径はＲとする。
１．４７ 剛体が、不動軸の回りを、式φ＝ａｔ−ｂｔ３に従って、回転している。ここで、ａ＝６．
０ラジアン／ｓ、ｂ＝２．０ラジアン／ｓ ３。時刻ｔ＝０から停止するまでの時間の間における、角速度の平均値と、角加速度の平均値を求めよ。
１．４８． 剛体が不動軸の回りを、角加速度β＝αｔで回転し始める。ここで、α＝０．０２ラジ
アン／ｓ。回転し始めてから、物体の任意の点の全加速度のベクトルがその点の速度のベクトルと角度φ＝６０°となるのはいつか。
１．４９． 剛体が不動軸の回りを、減速しながら、角加速度β∽ω １／２で回転している。ここで、
ωは物体の角速度。物体の最初の瞬間での角速度はω ０であるとして、物体が回転している間の時間における物体の平均角速度を見いだせ。
１．５０． 剛体が固定軸の回りを回転している。その角速度は回転角度φに依存し、式ω＝ω ０−ａφに従っている。ここで、ω ０とａは正定数。ｔ＝０でφ＝０である。以下について時間に対する依存性を見いだせ。（ａ）回転角度。（ｂ）角速度。
１．５１． 剛体が固定軸の回りを、角田加速度β＝β０ｃｏｓφで回転し始める。ここで、β０は定ベクトル、φは初期状態からの回転角。物体の角速度を、角度φに依存する形で見いだせ。この依存性をグラフにせよ。
１．５２． 点Ａが半径Ｒ＝０．５０ｍの車輪のリムにある。車輪は水平面上を速度ｖ＝１．００ｍ／ｓで、滑ることなく回転している。以下を求めよ．（ａ）点Ａの加速度の大きさと方向。（ｂ）点Ａが、面に接してから次に面に接するまでに、点Ａが動く全経路長Ｓ。
１．５３． 半径Ｒ＝１０．０ｃｍの球が滑ることなしに水平面上を転がる。球の中心の加速度は一定の加速度ａ＝２．５０ｃｍ／ｓ ２である。動き始めてからｔ＝２．０ｓ後、その状態が図１．６に示されている。以下を見いだせ。（ａ）点Ａと点Ｂでの速度。（ｂ）点Ａと点Ｏでの加速度。
１．５４．

円筒が滑り無しで、水平面上を転がる。円筒の半径はｒ。図１．６参照。点Ａと点Ｂに-5-

おける軌跡の曲率半径を求めよ。
１．５５． ２個の剛体が、相互に垂直に交差している軸の回りを回転している。各々の剛体の回転角速度はω１＝３．０ラジアン／ｓ、ω
２＝４．０ラジアン／ｓ。相手から見たときの残りの剛体の角速度と角加速度を求めよ。
１．５６． 剛体が角速度ω＝ａｔｉ＋ｂｔ２ｊで回転している。ここで、ａ＝５．０ラジアン／ｓ２、ｉとｊはＸ軸とＹ軸の単位ベクトル。
角加速度ベクトルβとωのなす角度αを求めよ。β＝１０．０ラジア
ン／ｓ２とする。
１．５７． 頂角がα＝３０°、基面の半径がＲ＝５．０ｃｍの円錐が、水平面上を滑ることなく一様に回転する。図１．７参照。円錐の頂点は点Ｏで、蝶番で固定されている。点Ｏの高さは、基面の中心点
Ｃと同じ高さにある。点Ｃの速さはｖ＝１０．０ｃｍ／ｓ。以下の大きさを求めよ。（ａ）円錐の角速度。（ｂ）円錐の角加速度。
１．５８ 剛体が一定の角速度ω ０ ＝０．５０ラジアン／ｓで水平軸
ＡＢの回りを回転している。ｔ＝０の時、軸ＡＢは一定の角加速度β２０＝０．１０ラジアン／ｓ で、垂直線の回りに回転し始めた。ｔ＝３．
５秒後における物体の角速度の大きさと、物体の角加速度の大きさを
求めよ。
１．２．

基礎運動方程式●運動の基本方程式（ニュートンの第２方程式）
ｍｄｖ／ｄｔ＝Ｆ（１．２ａ）●この式を、質点の軌跡に対して、接線方向と法線方向に投射する。
（１．２ｂ）
ｍｄｖ τ／ｄｔ＝Ｆτ、 ｍｖ２／Ｒ＝Ｆ ｎ●固定軸の周りに、一定の角速度ωで回転している非慣性観測系Ｋ における質点の運動方程式。
ｍａ ＝Ｆ＋ｍω ２Ｒ＋２ｍ［ｖ ω］
ここで、ＲはＫ 系の回転軸に相対的な質点の半径ベクトル。
１．５９． 粒子がＸ軸に沿って、式ｘ＝αｔ２−βｔ ３に従って動く。ここで、αとβは正定数。ｔ＝０で、粒子に作用している力はＦ０。粒子が再びｘ＝０の所に戻ってきたとき、転換点での力Ｆｘを求めよ。
１．６０． ｘｙ平面上で式ｘ＝Ａｓｉｎωｔ、ｙ＝Ｂｃｏｓω
ｔに従って運動している質量ｍの粒子に作用している力の大きさと方向を求めよ。
１．６１． 質量ｍ １ ，ｍ ２の２つの木片が、平らな水平面上に置いてある。２つの木片は糸でピント連結されている。時刻ｔ＝０の時に、各々の木片にＦ １ ＝α １ｔ、Ｆ ２＝α ２ｔの力を逆方向に加える。糸が切れる張力の大きさをＦ ｍａｘ とすると、糸が切れる時
刻はいつか。
１．６２． 質量ｍ＝２５０ｋｇの気球が、加速度ａ＝０．２０
ｍ／ｓ ２ で降下し始めた。気球が同じであるが、方向が上向きである加速度を得るためには、船体からいかほどのバラストを投げ捨てる必要があるか。
１．６３． 図１．８参照。物体の質量は各々ｍ ０ ，ｍ １ ，ｍ ２ 。
滑車と糸の質量は無視できるくらい小さく、滑車の摩擦はない。
物体ｍ ０ の落下する加速度ａ、物体ｍ １ とｍ ２ を結んでいる糸の張力Ｔ、を求めよ。摩擦係数はｋとする。
１．６４． 水平と角度αをなしている斜面上に、２つのブロッ
ク１と２が置いてある。図１．９参照。各々のブロックの質量はｍ１，ｍ ２。斜面とこれらのブロックの間の摩擦係数はおのおのｋ１，ｋ２。ｋ１＞ｋ２とする。以下を見いだせ。（ａ）運動中にブロック間に作用している力。（ｂ）滑りが起こらない角度α。
１．６５．

水平と角度α＝１５°をなしている斜面に沿って上方に、小さい物体を突き出した。物-6-

体が上昇している時間は、物体が下降している時間よりη＝２．０倍長かった。摩擦係数を求めよ。
１．６６． 水平と角度α＝１０°をなしている斜面上にパックを置いた。斜面上方に向けてパックに初速度を与えると、パックは距離ｓ １進んで停止した。下向きに同じ初速度を与えると、パックが停止するまで距離ｓ ２ 進んだ。ｓ ２／ｓ １＝η＝４．０として、摩擦係数を求めよ。
１．６７． 図１．１０に示している装置で、角度αと、
物体ｍ １と斜面の間の摩擦係数は概値である。滑車と糸の質
量は小さく無視できる。滑車の摩擦はない。最初２つの物
体は静止している。物体ｍ ２が、（ａ）降下するとき、（ｂ）
上昇するとき、における質量の関係ｍ２／ｍ１を求めよ。
１．６８． 図１．１０参照。斜面は水平と角度α＝３０°をなしている。物体の質量の関係はｍ ２／ｍ １＝η＝２／３。物体ｍ １と斜面との間の摩擦係数はｋ＝０．１０。滑車と糸の質量は無視できるくらい小さい。系が静止状態から動き始めたとして、物体ｍ２の加速度の大きさと方向を求めよ。
１．６９． 滑らかな水平面上に、質量ｍ１の円盤が置いてあり、円盤の上に質量ｍ ２の木片が乗っている。木片に、水平力を加える。この水平力は時間ｔと共に、式Ｆ＝αｔで増大する。ここで、αは定数。円盤と木片との間の摩擦係数はｋ。円盤の加速度ａ １、木片の加速度ａ２の時間依存を求めよ。
これらの依存性を、大凡のグラフに描け。
１．７０． 水平面上に２つの物体がある。１つはブロックであり、もう１つは台の上に乗った電池付きの電気モーターである。
モーターの軸には糸が巻き付けてあり、自由端はブロックに連結している。２つの物体の距離はｌで、２つの物体と床との間の摩擦係数は共にｋ。ブロックの質量は、モーター系の質量の２倍である。モーターを駆動すると、ブロックは加速度ａで動き始めた。
２つの物体はいかほどの時間後衝突するか。
１．７１． 図１．１１参照。小さい物体ｍが垂直の支えの上端の点Ａの位置から、斜面を滑り始める。物体と斜面との間の摩擦係数はｋ＝０．１４０。斜面の傾斜角度αが幾らの時、滑り落ち
る時間が最小となるか。
１．７２． パックを斜面上に置き、初期速度ｖ ０を上方向に与える。パックと斜面間の摩擦係数はｋ。斜面の傾斜角度αが幾らの時、パックが上方に進む距離が最小となるか。その距離はいくらか。
１．７３． 図１．１２参照。質量ｍのブロックを、摩擦係数ｋの水平面上で、一定速度ｖで動くよう糸で引っ張る。糸の張力が最小になる角度αを求めよ。その張力は幾らとなるか。
１．７４． 摩擦のない軽い回転滑車に糸を引き渡す。糸の一端に、質量Ｍの重りを取り付ける。糸の他端はたれ下げ、この部分に質量ｍのスリーブをはめる。このスリーブは、糸に対して加速度ａ で動く。糸がスリーブに及ぼしている摩擦力を求めよ。
１．７５． エレベータ内の天井に取り付けてある滑車に糸を渡し、糸の両端に質量ｍ １ ，ｍ ２ の重りを取り付ける。エレベータが
加速度ａ０で上昇し始める。滑車の質量は無視し、以下を見いだせ。
（ａ）エレベータに対する重りｍ １ の加速度。（ｂ）滑車からエレ
ベータの室内の天井に作用している力。
１．７６． 図１．１３に示している系で、物体の質量は各々ｍ０，
ｍ １ ，ｍ ２ 。摩擦はない。滑車の質量は無視できるほど小さい。物
体ｍ １の加速度を求めよ。
１．７７． 図１．１４参照。物体１，２はブロックＡに対して不動であるためには、ブロックＡは水平方向に、如何ほどの最小加速度で動くべきか。物体の質量は同じ、ブロックと物体の間の摩擦係数は共にｋ。滑車と糸の質量は小さい。滑車の摩擦はない。
-7-

１．７８． 三角形台１があり、その上に質量２のブロックが乗っている。図１．１５参照。三角形
台１は加速度ａで右に動く。この加速度ａが最大いかほどの値の時、ブロックは三角形台に対して不動のまま残るか。三角形台とブロックの間の摩擦係数はｋ（＜ｃｏｔα）。とする。
１．７９． 図１．１５参照。水平面上に質量ｍ １で頂角がαの三角形台１があり、その斜面に質量ｍ２のブロックが乗っている。摩擦は無視する。三角形台の加速度を求めよ。

１．８０． 滑らかな水平面上に置いてある質量ｍの物体に、時刻ｔ＝０に、時間とＦ＝ｋｔに依存
した力を加え始める。ここで、ｋは定数。この力の作用方向は、全時間にわたって水平と角度αをなしている。図１．１２を参照。以下の求めよ。（ａ）平面から離れた瞬間時の物体の速度。（ｂ）この瞬間までに物体が進んだ経路長。
１．８１． 滑らかな水平面に置いてある質量ｍのブロックに、力Ｆ＝ｍｇ／３を加える。ブロック
の直線運動の過程で、力の方向と水平とのなす角度αを、式α＝ｋｓに従って変化させる。ここで、ｋは定数、ｓはブロックの進んだ距離。角度αの関数として、ブロックの速度ｖを見いだせ。
１．８２． 糸に小球が吊されている。糸の上端を時刻ｔ＝０で、移動し始める。運動過程において、
糸は角速度ω＝０．８５ラジアン／ｓで回転をし、球は水平直線に沿って動く。糸と垂直線の間の角度がθ＝４５°となったときの球の速度を求めよ。
１．８３． 質量ｍの物体を、初速度ｖ ０でもって、水平に対して角度を持たせて投射する。最初の時間間隔ｔの間における物体の運動量の増分Δｐを求めよ。全運動時間における物体の運動量の増加分を求めよ。
１．８４． 質量ｍの静止している粒子に、時刻ｔ＝０に、時間ｔに依存する力Ｆ＝ｂｔ（τ−ｔ）
を作用し始める。ここで、ｂは定ベクトル、τはその時間間隔の間に力を作用させる時間。以下を見いだせ。（ａ）力の作用が終了した後の粒子の運動量。（ｂ）力が作用している間に粒子が移動した経路長。
１．８５． 質量ｍの粒子が、時刻ｔ＝０で、力Ｆ＝Ｆ ０ｓｉｎωｔの作用の元に動き始める。ここで、Ｆ ０とωは定数。時刻ｔに依存している粒子の移動距離を求めよ。この依存性の大凡のグラフを描け。
１．８６． 時刻ｔ＝０に、質量ｍの粒子が力Ｆ＝Ｆ０ｃｏｓωｔの作用で動き始める。ここで、Ｆ ０とωは定数。最初に停止するまでに、粒子はいかほどの時間動くか。この時間の間に粒子はどれだけの経路を進むか。この経路中での粒子の最大速度はいくらか。
１．８７． 時刻ｔ＝０に、粒子に初速度ｖ ０を与えた。粒子は媒質の抵抗力の作用の元で動き始めた。この抵抗力は粒子の速度に比例しておりＦ＝−γｖ。以下を見いだせ。（ａ）粒子の運動距離。
（ｂ）粒子の移動経路長に依存している粒子の速度。停止するまでの全経路長。
１．８８． 厚さｈの板を突き抜けた弾丸は、自分の速度をｖ ０からｖまで変化させた。板の中での弾丸の運動時間を求めよ。弾丸への抵抗力は速度の２乗に比例するのもとする。
１．８９． 小さいブロックが、水平と角度αをなしている斜面を滑り始める。摩擦係数は、移動経
路長ｘに依存し、式ｋ＝γｘに従う。ここで、ガンマは定数。ブロックが停止するまでに動いた経路
長を求めよ。ブロックの最大速度を求めよ。
１．９０． 摩擦係数ｋを持つ水平面上に、質量ｍの物体が置いてある。この物体に、時刻ｔ＝０に、-8-

時間に依存しているＦ＝ｂｔの水平力を加えた。ここで、ｂは定ベクトル。この力の作用の元で、物体が時間ｔの間に動く経路長を求めよ。
１．９１． 飛行機が一定速度ｖ＝３６０ｋｍ／時で、半径Ｒ＝５００ｍの宙返りを行う。質量ｍ＝７０ｋｇのパイロットの重さを、最下点、最上点、中間点で求めよ。
１．９２． 糸に吊されている小球を、糸が垂直線と直角となるように傾けてから、放った。以下を求めよ。（ａ）垂直線からの傾き角度の関数として、球の全加速度の大きさと糸の張力。（ｂ）球の垂直速度成分が最大となった瞬間における糸の張力。（ｃ）球の全加速度が水平となった瞬間の糸の傾斜角度。
１．９３． 糸で吊されている球が、垂直面内で揺れる。端の位置と、下の位置での加速度の大きさはお互いに等しい。端の位置での糸の傾き角度を求めよ。
１．９４． 位置に吊されている球が、垂直面内で揺れる。下の位置での球の加速度はａ＝４．０ｍ／ｓ ２。端の位置での球の加速度を求めよ。
１．９５． 小さい物体Ａが、半径Ｒの滑らかな球表面を頂点から滑る。Ａが球から離れる瞬間における球の中心に対する物体Ａの位置を特徴付けている垂直線と半径ベクトルの間の角度を求めよ。この瞬間における物体の速度も求めよ。
１．９６． 図１．１６参照。水平面上に、滑らかなＬ字型の図のような装置が取り付いている。Ｂ点とバネで連結された質
量ｍのスリーブＡがある。バネの弾性定数はκ。全系は、Ｏ点を通っている垂直軸の回りに一定の角速度ωで回転する。バネ
ののび量を求めよ。結果は、回転方向にどのように依存するか。
１．９７． 自転車選手が半径Ｒの水平な円形コースを進む。
摩擦係数は、コースの中心Ｏまでの距離ｒだけに依存している。
つまり、ｋ＝ｋ ０ （１−ｒ／Ｒ）。ここで、ｋ ０ は定数。自転車選手が最大速度を出せる円の半径を求めよ。その速度はいくらか。
１．９８． 水平面上を、半径Ｒ＝４０ｍの弧を描きながら、自動車が一定の接線加速度ａτ＝０．
６２ｍ／ｓ ２で走っている。面と車輪との間の摩擦係数はｋ＝０．２０。最初の瞬間には、自動車の速度はゼロであった。スリップするまでに自動車はどれだけの経路長を進むか。
１．９９． 座標で表記すると、ｙ＝ｂｓｉｎ（ｘ／α）の形状をしている水平な道を、自動車が一定速度で走っている。ここで、ｂとαはある定数。車輪と道との間の摩擦係数はｋ。ス
リップしないで出せる自動車の最大速度はいくらか。
１．１００． 半径Ｒの円を作っている鎖を、半頂角θの滑らかな円錐に被せる。円錐は底面を水平にして立っている。円錐の軸と一致する垂直軸の回りに、鎖が角速度ωで回転している
時、鎖に作用している張力を求めよ。
１．１０１． 図１．１７参照。小さい物体Ａが、斜面に向かって、滑らかな水平面を滑る。物体の軌跡の円形部分のなす角度はα＝６０°。点１での物体の速度がｖ ０ ＝６．５ｍ／ｓで会った。点２での物体の速度を求めよ。円形部と物体の間の摩擦係数はｋ＝０．２５とする。
１．１０２． 固定されている滑車に、糸が渡され、糸の両端に質量ｍ１，ｍ２の錘が取り付けられている。糸と滑車の間には、ｍ ２／ｍ １＝η ０の時、糸が滑車を滑り始めるような摩擦がある。以下を見いだせ。（ａ）摩擦係数。（ｂ）ｍ２／ｍ １＝η＞η０の時の、錘の加速度。
１．１０３． 質量ｍの粒子が、垂直に立っている半径Ｒの円筒の滑らかな内面に沿って動く。粒子の初速度がｖ ０、その向きが水平と角度αをなしているものとして、粒子が円筒壁に及ぼす力を求めよ。
１．１０４． 一定の大きさの力Ｆの作用を受けて、質量ｍの粒子が面Ｐで動いている。力Ｆは一定の角速度ωで、この面で回転している。時刻ｔ＝０の時、粒子は静止していた。以下を求めよ。
（ａ）
時間に依存している粒子の速度の大きさ。
（ｂ）引き続いている２回の停止間に、粒子が動いた距離。
この間における平均速度。
-9-

１．１０５． 図１．１８参照。小さいパックＡが、水平と角度αをなしている斜面上にある。このパックに初速度ｖ ０を与える。角度φに対するパックの速度の依存性を求めよ。摩擦係数はｋ＝ｔａｎα。運動開始の最初の瞬間ではφ０＝π／２とする。
１．１０６． 長さｌの鎖を、半径Ｒの球の滑らかな表面上に置く。鎖の上端は球の頂点に固定されている。鎖の長さｌ＜πＲ／２。鎖の上端を自由にすると、鎖が動き出す。鎖の加速度ａを求めよ。
１．１０７． 小さい物体を、半径Ｒの滑らかな球の頂上に置く。その後、球に水平方向に一定の加速度ａ ０を与えた。物体は下に滑り始めた。物体が球から離れた瞬間での、球に対する物体の速度を求めよ。結果を、問題１．９５．と比較せよ。
１．１０８． スリーブＡは、半径Ｒの半円形をしている滑らかなリングを自由に滑ることができる。図１．１９参照。半円形リングを、垂直軸ＯＯの回りに、一定の角速度ωで回転する。スリーブが安定状態になっているときの角度θを求めよ。
１．１０９． ライフル銃を、正確に北にある標的板に書かれている垂直線に向けて射撃をした。空気抵抗は無視する。弾丸は標的板に、垂直線から、どちら方向に何ｃｍずれて命中するか。射撃は、緯度φ＝６０°で、水平方向に向けて行われた。弾丸の速度はｖ＝９００ｍ／ｓ。標的板までの距離は
ｓ＝１．０ｋｍ。
１．１１０． 質量ｍ＝６０ｋｇの人が、半径Ｒ＝３ｍの水平な円盤の円周を一様に動く。円盤は中心を通っている垂直線の回りに角速度ω＝１．００
ラジアン／ｓで回転している。「円盤」での観測系において、人に作用している慣性力の合力がゼロに等しいとき、円盤の方から人に作用している力の水平成分を求めよ。
１．１１１． 質量ｍ＝２０００ｔの列車が、北緯φ＝６０°のところで動く。以下を求めよ。
（ａ）
列車が速度ｖ＝５４ｋｍ／時で子午線に沿って動いているとき、レールに対する列車の側圧力の大きさと方向を求めよ。（ｂ）「地球」での観測系において、列車に作用している慣性力の合力がゼロとなるためには、列車はどの方向に、幾らの速度で走らなければならないか。
１．１１２． 滑らかな水平円盤が、その中心を通っている垂直軸の回りに、角速度ω＝５．０ラジアン／ｓで、回転している。円盤の中心に、質量ｍ＝６０ｇの小さいパックを置き、このパックに水平速度ｖ ０＝２．６ｍ／ｓを与えた。円盤の観測系で見たパックに作用しているコリオリの力の大きさを、パックが動いてからｔ＝５ｓ後において、求めよ。
１．１１３． 水平円盤が、角速度ω＝６．０ラジアン／ｓで、円盤の中心を通過している垂直軸の回りに回転をする。円盤の直径に１つに沿って、質量ｍ＝０．５０ｋｇの小さい物体が、円盤に対して速度ｖ ＝５０ｃｍ／ｓで動く。この物体が、回転軸から距離ｒ＝３０ｃｍにある時、円盤からこの物体に作用している力を求めよ。
１．１１４． 水平にある滑らかな棒ＡＢが、角速度ω＝２．００ラジアン／ｓで、棒の端のＡ点を通過している垂直軸の回りに回転をする。棒に沿って、Ａ点から初速度ｖ ０＝１．００ｍ／ｓで、質量ｍ＝０．５０ｋｇのスリーブが自由に滑る。スリーブが回転軸から距離ｒ＝５０ｃｍにある時、スリーブに作用しているコリオリの力（棒に固定した観測系で）を求めよ。
１．１１５． 半径Ｒの水平円盤が、円盤の端を通っている不動の垂直軸の回りに、角速度ωで回転する。円盤の周辺に沿って、質量ｍの粒子が、円盤に対して等速で動く。粒子が回転軸から最大の距離にあるとき、円盤の観測系で見て、粒子に作用している合成慣性力Ｆ慣性はゼロとなる。以下を見いだせ。（ａ）円盤に対する粒子の加速度ａ 。（ｂ）回転軸までの距離に対するＦ慣性の依存性。
１．１１６． 赤道において、地表から高さｈ＝５００ｍから、物体が落下する。地球に対する初速
度はゼロである。物体は垂直線からどれだけの距離で、どの方向の位置に落下するか。
１．３．

運動量保存則、エネルギー保存則、運動量モーメント保存則●質量中心系の運動方程式
ｍｄｖＣ／ｄｔ＝Ｆ外力（１．３ａ）- 10 -

ここで、Ｆ外力は全ての外力の合力。
●系の運動量増加
ｐ １−ｐ２＝１∫ ２Ｆ外力ｄｔ（１．３ｂ）●質量の変化する物体の運動方程式
ｍｄｖ／ｄｔ＝Ｆ＋（ｄｍ／ｄｔ）ｕ（１．３ｃ）
ここで、ｕは放出される（又は合体する）物質の当事者物体に相対的な速度。
●仕事と仕事率
Ｐ＝Ｆ・ｖ（１．３ｄ）
Ａ＝∫Ｆｄｒ＝∫Ｆ ｓｄｓ，
ここで、ｄｒは力Ｆの作用による質点の変位素。
●粒子の運動エネルギーの増加（１．３ｅ）
Ｋ ２−Ｋ１＝Ａ
ここで、Ａは粒子に作用している全ての力による仕事。
●場中の粒子のポテンシャルエネルギーの減少（１．３ｆ）
Ｕ１−Ｕ ２＝Ａ場の力
ここで、Ａ場の力は場の力のなす仕事。
●場中の力と粒子のポテンシャルエネルギーの関係
Ｆ＝−∇Ｕ（１．３ｇ）
Ｆｘ＝−∂Ｕ／∂ｘ、●場中の粒子の全力学エネルギーの増加分（１．３ｈ）
Ｅ２−Ｅ １＝Ａ外力
ここで、Ａ外力は、場の力に属していない全ての外力の合成した仕事。
●系の固有力学エネルギーの増加分（１．３ｉ）
Ｅ固有２−Ｅ 固有１＝Ａ外力＋Ａ散逸内部
ここで、Ｅ固有＝Ｋ＋Ｕ固有、Ｕ 固有は系の固有ポテンシャルエネルギー、Ａ外力は全外力の仕事、Ａ散逸内部は全ての内部の散逸性の力（摩擦や抵抗など）の仕事。
●系の運動エネルギー（１．３ｊ）
Ｋ＝Ｋ 〜＋ｍｖｃ２／２
ここで、Ｋ〜は質量中心系における系の運動エネルギー。
●系の運動量の増加分
Ｍ２−Ｍ１＝１∫２Ｎ外部ｄｔ（１．３ｋ）●系の運動量（１．３ｌ）
Ｍ＝Ｍ〜＋[ｒｃｐ]
ここで、Ｍ 〜は質量中心系における系の運動量（固有運動量）、ｒ Ｃは質量中心の半径ベクトル、ｐは系の運動量。
１．１１７． 部屋の天井に固定されている滑車に、糸を渡す。糸の両端に質量ｍ １ ，ｍ ２ の物体を吊す。滑車と糸の質量は無視し、摩擦はない。この系の質量中心の加速度を求めよ。
１．１１８． 図１．２０参照。質量ｍ＝０．３６ｋｇの閉じた鎖
Ａが、遠心器の垂直軸の端に、糸で連結されている。垂直軸は角速度ω＝３５ラジアン／ｓで回転している。この時、糸は垂直線と角度θ＝４５°をなす。鎖の質量中心から回転軸までの距離と、糸の張力を求めよ。
１．１１９．図１．２１参照。質量ｍ＝３．２ｋｇ、半頂角α＝１０°の円錐Ａが、円錐Ｂの表面に沿って滑ることなく回転する。頂点は不動のままである。円錐Ａの質量中心は点Ｏと同じ水準にあり、点Ｏからｌ＝１７ｃｍ離れている。円錐Ａの軸は角速度ω＝１．０
ラジアン／ｓで回転する。円錐Ａに作用している静止摩擦力を求めよ。
１．１２０． 半径Ｒ＝５．０ｍの垂直円筒の壁に沿って、ドライ
バーが走行する。バイクとドライバーの合体した質量中心は壁から
ｌ＝０．８ｍにある。車輪と壁との間の摩擦係数はｋ＝０．３４。
水平の円に沿って、ライダーはどれだけ最小の速度で走行できるか。
１．１２１． 質量ｍ １ ，ｍ ２ の２つの球が、バネで連結されている系がある。時刻ｔ＝０の時、２つの球に速度ｖ １，ｖ２を与えた。その後、系は地球の重力場中で動き始めた。この系の運動量の時間に対する依存性を見いだせ。系の初期状態に対する系の質量中心の半径ベクトルの時間依存性を見いだせ。
１．１２２． 質量ｍ１，ｍ２の小さい２つのパックが、長さｌの糸で連結され、滑らかな面上を動く。
ある瞬間に、１つのパックの速度はゼロで、もう１つのパックの速度はｖ。この時のｖの方向は糸に垂直である。この瞬間における糸の張力を求めよ。
- 11 -

１．１２３． 質量ｍの人の乗った質量Ｍの筏が池の水面で静止している。筏に対して、人が速度ｖ（ｔ）で、距離ｌ 動き、そして停止する。水の抵抗は無視して以下を求めよ。（ａ）岸に対する
筏の移動距離ｌ。（ｂ）運動過程で、人が筏に及ぼしている力の水平成分。
１．１２４． 滑車にロープを渡し、ロープの１端に、人の乗ったはしごを吊す。他端には、質量Ｍの釣り合い用の錘を吊す。質量ｍの人が、はしごに対して距離ｌ 上方に動いて停止した。滑車とロープの質量は無視する。滑車の軸の摩擦も無視する。この系の質量中心の移動距離ｌを求めよ。
１．１２５． 粒子１が粒子２に衝突した。その結果、合体した粒子ができた。合体した粒子の速度ベクトルｖとその大きさｖを求めよ。粒子２の質量は、粒子１の質量のη＝２．０倍大きく、衝突前の各粒子の速度ベクトルはｖ １＝２ｉ＋３ｊ、ｖ２＝４ｉ−５ｊ。
１．１２６． 大砲の砲身が、水平と角度θ＝４５°をなしている。大砲の車輪を固定していると、砲弾の速度はｖ ０＝１８０ｍ／ｓ。砲弾の質量は、大砲の質量よりη＝５０倍小さい。車輪を自由にしたとき、発射後の大砲の速度を求めよ。
１．１２７． 質量Ｍの大砲が、水平と角度αをなしている滑らかな斜面を、下に向かって滑り始めた。大砲が距離ｌ進んだとき、発射をした。その結果、砲弾は水平方向に運動量ｐを持って飛び出し、大砲は停止した。砲弾の質量は無視して、発射までの時間を求めよ。
１．１２８． 質量ｍ１＝０．１０ｋｇ、ｍ２＝０．２０ｋｇの２個のスリーブが、滑らかで水平な導線に沿って、出会うように動いている。導線は円形状をしており、各々のスリーブの加速度はａ １＝
３．０ｍ／ｓ２、ａ ２＝９．０ｍ／ｓ２。衝突して合体した後の、合体したスリーブの法線加速度を求めよ。
１．１２９． 落下している物体が、ｖ０＝４．０ｍ／ｓとなったとき、３つの同じ破片に分裂した。
２つの破片は、お互いに直角をなして、速度ｖ＝５．０ｍ／ｓで水平に沿って飛び去った。破裂した
直後の残りの破片の速度を求めよ。
１．１３０． 水平に対して角度α＝４５°、速度ｖ ０＝１００ｍ／ｓで発射された弾丸が、軌道の頂点で２つの同じ破片に破裂した。１つの破片は、速度ｖ １＝９７ｍ／ｓで、点Ｏの下の大地に落下した。残りの破片はいかほどの速度で大地に落下したか。
１．１３１． ザラザラしている水平面を、パック１が滑り、静止しているパック２に衝突した。衝突後、パック１は、自分の最小の運動方向に対して直角の方向に動き、距離ｓ １＝１．５ｍ進んで停止した。パック２は、ｓ ２＝４ｍ進んだ。衝突前のパック１の速度を求めよ。パック１の質量は、パック２の質量よりη＝１．５倍小さく、摩擦係数はｋ＝０．１７とする。
１．１３２． 質量ｍ＝１．００ｋｇ、長さｌ＝１．４０ｍの鎖が糸で吊され、鎖の端は机の表面に触れている。糸を焼き切ると、鎖は机の上に落下した。鎖が机に与えた全運動量を求めよ。
１．１３３． ２つのトロッコ１，２には各々人が乗っており、複線の線路を向かい合って摩擦無しで進んでいる。トロッコが並んだ瞬間に、トロッコの運動方向に垂直に飛んで、人がトロッコを乗り換える。その結果、トロッコ１は停止し、トロッコ２の速度はｖとなった。各々のトロッコの初期速度ｖ １，ｖ２を求めよ。各々のトロッコの質量はＭ、各々の人の質量はｍとする。
１．１３４． ２台の同じトロッコが、同じ速度ｖ ０で摩擦が無く慣性で一緒に動いている。後のトロッコに質量ｍの人が乗っている。ある瞬間、自分のトロッコに対して速度うで飛び出して、前のトロッコに乗り移った。各トロッコの質量はＭ。人が飛び移った後の、各トロッコの速度を求めよ。
１．１３５． 質量Ｍの静止しているトロッコの一端に、２人が立っている。各々質量はｍ。２人がトロッコに対して同じ水平速度ｕで飛び出すとする。以下の場合についてトロッコの速度を求めよ。
（ａ）当時に飛び出す。（ｂ）順に飛び出す。どのような場合に、トロッコの速度は最大となるか。
１．１３６． ロケット自身に対して、速度ｕで、噴射ガスを放出して、ロケットは進む。ガスの放出量はμ（ｋｇ／ｓ）。ロケットの運動方程式はｍａ＝Ｆ−μｕであることを示せ。ここで、ｍはロケットのその瞬間での質量、ａはロケットの加速度、Ｆは外力。
１．１３７． ロケットはガスを自分に対して速度ｕで噴射して動く。外力が作用していない。ロケ
ットの質量がｍの時のロケットの速度ｖを求めよ。最初ロケットは静止しており、その時の質量はｍ０であるとする。
１．１３８． ロケットの質量の時間変化の法則を見いだせ。ロケットには外力は作用していないで一定の加速度ａで動く。ロケット本体に対するガスの噴射速度は一定であり、ｕ。ロケットの初期の質量はｍ０。
- 12 -

１．１３９． 一様な重力を受けて、ロケットが垂直に上昇する。ロケットの初期質量は燃料込みでｍ０。ロケットに対する噴射ガスの速度はｕ。ロケットの質量ｍと上昇時間ｔに対するロケットの速度の依存性を見いだせ。
１．１４０．ロケットが一定の高度で空気中でホバリングをする。噴射ガスの速度は垂直下方向にｕ＝９００ｍ／ｓ。以下を見いだせ。（ａ）燃料の初期質量が、ロケット本体（燃料無しのこと）のη
＝２５％として、ロケットがホバリングできる時間。（ｂ）ロケットが一定高度にホバリングしているとき、ロケットが毎秒当りに噴射すべき噴射ガスの質量μ（ｔ）。燃料込みの初期ロケット質量をｍ０とする。
１．１４１． 質量ｍ ０ の宇宙船が、外力無しで、速度ｖで動く。進行方向を変更するために、ロケットエンジンを始動した。噴射ガスの速度はロケットに対してｕ。噴射は全時間
はロケットの進行方向に垂直であった。ロケットエンジン停
止後のロケット全体の質量はｍ。ロケットは、どれだけの角度αだけ方向を変更できたか。
１．１４２． 砂を積んだトロッコが、水平面上を、一定力
Ｆの作用のもとで、力の作用方向に動く。この時、トロッコの床の穴から砂が一定の速度μ（ｋｇ／ｓ）で、落ち続ける。時
刻ｔ＝０の時、砂を積んでいるトロッコの質量はｍ ０、トロッコの速度はゼロとして、時刻ｔにおけるトロッコの速度を求めよ。
１．１４３． 図１．２２参照。質量ｍ ０の台車が、一定力Ｆの作用で、右に動き始める。固定してあるホッパーから、台車の上に、砂を落下させる。積み込みの速度はμ（ｋｇ／ｓ）。時間に対する台車の速度と加速度の依存を見いだせ。
１．１４４． 長さｌの鎖ＡＢが、滑らかで水平なパイプの中に入っている。図１．２３参照。鎖の内長さｈの部分は、自由に垂れ下がり、机の表面のＢ点に触れている。鎖を押さえていたＡ点を放つ。鎖がパイプから飛び出すときの速さを求めよ。
１．１４５． 一様な円筒が、２本の水平レール上にある。図１．
２４参照。円筒に糸を巻き付け、糸の端に力Ｆを加える。円筒の軸が、滑ること無しに距離ｌ移動する時間になした力Ｆの仕事量を、（ａ）力が水平の場合（図のａ）、（ｂ）力が垂直の場合（図のｂ）、について求めよ。
１．１４６． ｘｙ平面上で、粒子が動径ベクトルｒ １ ＝ｉ＋２ｊの点１から、動径ベクトルｒ ２ ＝２ｉ−３ｊの点２に移動した。この過程で、粒子に幾つかの力が作用した。その一つはＦ＝３ｉ＋４ｊ。力Ｆのなした仕事を求めよ。
１．１４７． 質量ｍ＝０．１５ｋｇの小さなスリーブが、滑らかの導線に沿って動く。図１．２５参照。導線は、半径Ｒ＝５０ｃｍの円形状をしている。点１で、スリーブの速度はｖ ０ ＝７．５ｍ／ｓ。その点で、一定の水平力Ｆが作用し始めた。Ｆ＝３０Ｎ賭して、点２でのスリーブの速度を求めよ。
１．１４８． 汽車が駅から出発し始める。その速度は式ｖ＝αｓで変化する。ここで、αは定数、ｓは進んだ距離。汽車が動き始めてから時間間隔ｔの間において、汽車に作用している力の総仕事を求めよ。
１／２

１．１４９． 半径Ｒの円周上を動いている粒子の運動エネルギーは、式Ｋ＝αｓに従って、動いた経路長ｓに依存している。ここで、αは定数。粒子に作用している力の大きさを、ｓの依存式で求めよ。
１．１５０． 質量ｍの粒子が、向かい合う減速力の作用している領域に入り込む。粒子の潜り込む深さｘは、粒子の持っている運動量ｐに、ｘ＝αｐに従って、依存している。ここで、αは定数。ｘに対する減速力の大きさの依存を見いだせ。
１．１５１．

質量ｍの小さい物体が、力Ｆの作用のもとで、ゆっくりと丘をよじ登った。図１．２- 13 -

６参照。力は常に軌道の接線方向を向いていた。この力の仕事を求めよ。丘の高さはｈ、丘の基底の長さはｌ、摩擦係数はｋ。
１．１５２． 質量ｍ＝２０．ｋｇのブロックが、ざらざらの斜面上をゆっくりと、斜面に平行な糸で、高さｈ＝５１ｃｍまで登っていった。この過程で、仕事Ａ＝１６．０Ｊが消費された。高さｈで、糸を放つ。ブロックが最初の位置に達したときのブロックの速度を求めよ。
１．１５３． 質量ｍ＝５０ｇのパックが、初速度ゼロで、水平と角度α＝３０°をなしている斜面を滑り落ちる。水平面上をｌ＝５０ｃｍ滑って停止した。摩擦係数は全てｋ＝０．１５
として、全経路長でなされた摩擦の仕事を求めよ。
１．１５４． 平面上に置いてある質量ｍ＝５０ｇの小さいブロックに、水平力Ｆ＝０．１０Ｎを加えた。摩擦係数はｋ＝γｘのように、進んだ経路長に比例しているものとして、ブロックが動いた時間に対する摩擦のなした仕事を求めよ。ここで、γは定数。
１．１５５． 変形していないバネで連結されている質量ｍ１，ｍ２の２個のブロックが、水平面上に置いてある。面とブロックの間の摩擦係数はｋ。質量ｍ１のブロックに水平力を加えて、質量ｍ２のブロックを動かしたい。質量ｍ １のブロックに加えるべき最低の力を求めよ。
１．１５６． 質量ｍ＝５０ｇ、長さｌ＝５２ｃｍの直線状の鎖が、水平面上に置いてある。水平面
は半分は滑らかな面であり、半分は摩擦係数ｋ＝０．２２のザラザラした面である。鎖は、２つの面の境界線に垂直に配置している。鎖の端が境界面に接している。この端に力を加えて、滑らかな面にあった鎖をザラザラしている面内に、鎖を真っ直ぐにゆっくりと引きずる。他端が境界面に達するま
でに、どれだけの仕事をなす必要があるか。
１．１５７． 質量ｍ＝０．８０ｋｇ、長さｌ＝１．５ｍの鎖が、ザラザラした机の上にある。鎖の一端は、机の端から垂れ下がっている。鎖の垂れ下がりの部分が、鎖の長さのη＝１／３長になった
とき、鎖は独りでに滑り落ち始める。鎖が机から完全に滑り落ちるまでに、鎖に作用している摩擦はどれだけの仕事をするか。
１．１５８． 質量ｍの物体を、水平に対して角度αで、初速度ｖ ０で投射した。物体の運動全時間における重力のなした平均の仕事率を求めよ。時間の関数としてこの力の瞬間の仕事率を求めよ。
１．１５９． 質量ｍの粒子が、半径Ｒの円周を、時間と共に式ａ ｎ＝αｔ２に従って変化する法線
加速度を持って運動する。ここで、αは定数。粒子に作用している全ての力の仕事率の時間依存性を求めよ。同じく、運動開始から時刻ｔの間における、これらの仕事率の平均値を求めよ。
１．１６０． 質量ｍ＝１．００ｋｇのブロックが、摩擦係数ｋ＝０．２７の水平面にある。ある瞬間に、ブロックに初速度ｖ ０＝１．５０ｍ／ｓを与えた。ブロックの全運動時間における摩擦力の仕事率の平均を求めよ。
１．１６１． 水平面上にある質量ｍの小さい物体に速度ｖを与える。摩擦係数は、位相距離ｓに従って、ｋ＝αｓに依存している。ここで、αは定数。摩擦力のなす瞬間仕事率の最大値を求めよ。
１．１６２． 地面の上に動かないでいる状態の質量Ｍのロケットのエンジンは、どれだけの仕事率を出すか。ガスの噴射速度はｕとする。
１．１６３． 角速度ω＝５．０ラジアン／ｓで、不動軸の回りを回転している観測系において、質量ｍ＝１００ｇの小さい物体が動いている。点１から点２へ、任意の経路でこの物体が移動する際に、遠心力のなす仕事はいかほどか。各々の点は回転軸から距離ｒ１＝３０ｃｍ、ｒ２＝５０ｃｍにあるとする。
１．１６４． 水平に置かれている円盤が、自身の軸の回りに、角速度ω＝５．０ラジアン／ｓで回転している。円盤の中心から、初速度ｖ ０＝２．００ｍ／ｓで、質量ｍ＝１６０ｇの小さいパックが動く。軸から距離ｒ＝５０ｃｍのところで、パックの速度は円盤に対してｖ＝３．００ｍ／ｓとなった。円盤に固定した観測系において、パックに作用した摩擦力のなした仕事を求めよ。
１．１６５． 弾性定数κ１，κ２の２つのバネが直列に接続した系がある。この系をΔｌだけ伸ばす
時、なすべき仕事を求めよ。
１．１６６． 質量ｍの物体が、地表から上昇し始める。物体には力Ｆが加わっている。この力は式
Ｆ＝２（ａｙ−１）ｍｇの式に従って、高さｙと共に変化する。ここで、ａは正定数。上昇はある高- 14 -

さで止まる。この高さの半分までにおいて、この力のなす仕事と、重力場中での物体の位置エネルギ
ーの変化分を求めよ。
１．１６７． 力 F ｘ＝αｘ−βｘ２の作用下で、粒子が X 軸に沿って動く。ここで、α＝８．０ N／ｍ、β＝６．０ N ／ｍ ２。粒子の位置エネルギーが、ｘ＝０と同じとなる座標値ｘ ０を見いだせ。
１．１６８． 質量 m ＝２５ｇ、長さｌ＝１００ｃｍの細い鎖が、小さく集まった形で机の上にある。鎖の一端に、垂直上方に力 F=αｙを加える。ここで、α＝０．４７ N ／ｍ、ｙは机の表面からの上昇した高さ。机から鎖の下端が離れた瞬間における鎖の速度を求めよ。
１．１６９． 或る場中にある粒子に位置エネルギーが、Ｕ＝ａ／ｒ ２−ｂ／ｒの形をしている。ここで、ａとｂは正定数、ｒは場の中心からの距離。以下を見いだせ。（ａ）粒子が平衡状態にあるときの距離ｒ ０。この状態の安定性を説明せよ。（ｂ）引力の最大値。Ｕ（ｒ）とＦ ｒ（ｒ）の依存性の概略のグラフを描け。
１．１７０． 質量ｍ＝４．０ｇの粒子が、２次元場中を動く。この場の位置エネルギーはＵ＝αｘｙ。ここで、α＝０．１９ｍＪ／ｍ２。座標（３．０ｍ、４．０ｍ）の点１で、粒子は速度ｖ１＝３．
０ｍ／ｓ。（５．０ｍ、−６．０ｍ）の点２では速度はｖ ２ ＝４．０ｍ／ｓ。点１から点２の経路間で、力のなした仕事を求めよ。
１．１７１． 質量ｍ＝５．０ｍｇの粒子が、中心場中で、半径ｒ ０＝５．５ｃｍの円周を動く。中心場の粒子の位置エネルギーは、Ｕ＝κｒ ２であり、場の中心までの距離に依存する。ここで、κ＞０。円周に沿っての粒子の回転周期がτ＝１０ｍｓとする。κの値を求めよ。
１．１７２． 粒子が２次元力場中にあり、粒子のポテンシャ
ルエネルギーはＵ＝−αｘｙ。ここで、α＝６．０Ｊ／ｍ ２ 。
Ｕ＝−０．２４Ｊで、力のベクトルがＹの正軸と角度θをなす点において、粒子に作用している力の大きさを求めよ。
１．１７３． 小さいパックＡが、初速度なしで、水平な踏切を持っている高さＨの滑らかな丘の頂上から滑り落ちる。図１．
２７参照。踏切台の高さｈが幾らの時、パックの飛行する距離ｓは遠方となるか。ｓの値はいくらか。
１．１７４． 小さい物体Ａが、傾斜している漏斗に沿って、高さｈから滑り落ちる。漏斗の先には半径ｈ／２の半円部が接続している。図１．２８参照。摩擦を無視して、半円部の最高点での物体の速度を求めよ。
１．１７５． 糸に取り付けられている小さい球が、垂直面内にある円周上を動く。糸の最大張力は、最小張力よりΔＦ＝２．
３５Ｎだけ大きい。球の質量を求めよ。
１．１７６．？ 長さｌの糸に、質量ｍの球が吊されている。
球が支点の回りに円周に沿って動くためには、支点を水平方向に、最低どれだけの速度で移動させる必要があるか。糸が水平状態を通過した瞬間における糸の張力を求めよ。（記述のような動きをさせることができるのであろうか？）１．１７７． 質量ｍ＝５０ｇの小さい球が、ゴムの端に固着されている。ゴムの弾性定数はκ＝６４Ｎ／ｍ。球の付いているゴムを、ゴミが変形しないようにしながら水平にし、球を慎重に放つ。ゴ
ムが垂直状態を通過したとき、ゴムの長さはｌ＝１．５ｍ。球の速度はｖ＝３．０ｍ／ｓ。この状態
でのゴムの張力を求めよ。
１．１７８． 滑らかで軽い水平棒ＡＢが、端Ａを通っている垂直軸の周りに、摩擦なしで回転する。
棒に質量ｍの小さいスリーブがある。スリーブは長さｌ ０のばねで、端Ａと連結している。ばねの弾性係数はκ。角速度ωまでゆっくりと回転するためには、どれだけの仕事をしなければならないか。
１．１７９． 弾性係数κのバネに、垂直棒がぶら下がっている。垂直棒は２つの異なった部品からできている。下の部品の質量はｍ。下の部品が外れた。上の部品はどれだけの高さまで上昇するか。
１．１８０． 長さｌで、滑らかで弾性のある糸が、糸の一端を点Ｏに固定されてぶら下がっている。
下の端には、重さのない台が取り付けてある。Ｏ点から、質量ｍのスリーブが落下し始めた。以下に答えよ。（ａ）糸の最大張力。（ｂ）空気抵抗により平衡状態になるまでに失われた系の力学的エネ
ルギー。
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１．１８１． 台の上に質量ｍの重りが乗っている。重りは弾性係数κ＝８０Ｎ／ｍの変形していな
いバネに吊されている。台を加速度ａ＝５．０ｍ／ｓ ２で、水平方向に引き始めた。バネの質量は無視する。この過程での、ばねの最大伸張を求めよ。
１．１８２． 質量ｍ＝５．０ｇの小さいパックがある。このパックを、ザラザラの面を持っている半球の水平基底から高さｈ１＝６０ｃｍの所において滑らせた。パックはｈ２＝２５ｃｍの所で、球面から離れた。パックが滑っている間に、パックに作用している摩擦力のなした仕事を求めよ。
１．１８３． 図１．２９参照。２つのブロックの質量はｍ＝０．５０ｋｇ。バネの弾性係数はκ＝４０Ｎ／ｍ。
ブロックと面との間の摩擦係数はｋ＝０．２０。滑車とバネの質量は無視できるほど小さい。バネが変形していない状態で、初速度０で、系が動き始めた。ブロックの最大速度を求めよ。
１．１８４． 図１．３０参照。机の上に、不動点Ｏと長さｌ ０の変形していないバネで連結している質量ｍのブロックが置いてある。ブロックと机の間の摩擦係数はｋ。
ブロックが滑り始めるように、机を水平方向にゆっくりと動かす。バ
ネが垂直線と角度θをなした時、ブロックは滑り始めた。この瞬間までに、静止摩擦力がなした仕事を求めよ。
１．１８５． 質量ｍの粒子が、領域を２つに分割している面の法線に対して角度α １なし速度ｖ １で運動する。各々の領域での粒子のポテ
ンシャルエネルギーはＵ １，Ｕ ２。粒子がこの面を通過した後、粒子は面の法線に対して幾らの角度α ２ で動くか。どのような条件下で、粒子は２番目の領域に進めないか。
１．１８６． 滑らかで水平な軸１，２に糸を渡す。図１．３１参照。
糸の両端と中心に、同じ質量の重りＡ，Ｂ，Ｃをぶら下げる。軸の間隔はｌ。ある瞬間に、重りＣを慎重に放つと、系は動き出す。系の運動エネルギーが最大になった時の錘Ｃの速度を求めよ。重りＣの最大変位量も求めよ。
１．１８７． Ｘ軸に沿った観測系Ｋで、２つの粒子が動いている。
１つの粒子の質量はｍ １ ，速度はｖ １ 。２つ目の粒子の質量はｍ ２ ，速度はｖ ２。以下を求めよ。（ａ）２つの粒子の総和した運動エネルギーが最低となる観測系Ｋ の速度。（ｂ）Ｋ 系におけるこれら２つの粒子の運動エネルギーの和。
１．１８８． 質点系において、系の運動エネルギーＫは、Ｋ＝Ｋ＋ｍｖ ｃ２／２であることを証明せよ。ここで、Ｋ は質量中心系における系の運動エネルギー。ｍは質点系の質量、ｖ ｃは質量中心の速度。
１．１８９． 滑らかで水平な面上に、質量ｍ １，ｍ ２の２つの小さいパックがある。２つはバネで連結されている。両方に速度ｖ １，ｖ ２を与える。ｖ １とｖ ２の方向は、互いに直交している。そして、質量中心系における２つのパックの系の力学的エネルギーを求めよ。
１．１９０． 同じ水準にある質量ｍ １，ｍ ２の２つの球が、変形していないバネで連結されている。ある瞬間に、図１．３２に示している
ように、各々の球に速度ｖ １ ，ｖ ２ を与える。以下を求めよ。（ａ）地球の重力場中にある本系のポテンシャルエネルギーの最大変位量を求めよ。（ｂ）質量中心が最大高度に達した時における本系の固有の力
学的エネルギーを求めよ。
１．１９１． 質量ｍ１，ｍ２の２つのブロックが滑らかな水平面上にあり、弾性係数κのバネで連結されている。図１．３３参照。ブロック２を短い距離ｘだけ左に移動させてから放つ。壁からブロッ
ク１が離れた後の系の質量中心の速度を求めよ。
１．１９２． 滑らかな水平面上に、同じ２つのブロックが、変形していないバネで連結されておいてある。バネの弾性係数はκ、長さはｌ ０。ブロックの１つに一定の水平力を作用し始める。図１．
３４参照。２つのブロックの運動過程において、ブロック間距離の最大と最小を求めよ。
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１．１９３． 質量ｍの同じ２つの円筒からできている系がある。図１．３５参照。２つの円筒の間には、縮んだバネがある。円筒間には糸が張られている。ある瞬間に、この糸を焼き切る。初期状態
でのバネの縮み量はΔｌ。糸を焼き切った後、下の円筒が飛び上がるのはΔｌが幾ら以上でか。

１．１９４． 水平に飛んできた質量ｍの弾丸が、２本の長さｌの糸で水平に吊されている質量Ｍの物体に当たり、填り込んだ。図１．３６参照。その結果、糸は角度θだけ傾いた。ｍ≪Ｍ。以下を求めよ。（ａ）物体に命中する前の弾丸の速度。（ｂ）内部エネルギーに転換したのは、弾丸の持っていた運動エネルギーの幾分か。
１．１９５． 滑らかな水平面上に、質量Ｍの物体がある。図１．３７参照。この物体の上に質量ｍのパックがある。パックに水平方向の速度ｖを与える。パックは、物体Ｍから離れた後、どれだけの高さまで上がるか。摩擦はないものとする。

１．１９６． 質量ｍの小さいパックが初速度なしで、高さｈの丘から滑り落ちる。丘の麓には質量Ｍの板があり、パックはこの板に乗る。図１．３８参照。板は滑らかな水平面上にある。
パックと板の間の摩擦により、パックは減速され、ある瞬間からパックと板は一体となって動く。この過程における摩擦のなした仕事を求めよ。
１．１９７． 滑らかな水平面上に、長さｌ＝１００ｃｍの板
ＡＢがあり、板の端のＡ点にパックがある。板の質量はパックよりη＝１０倍大きい。板とパックの間の摩擦係数はｋ＝０．
１５。パックが板と一緒に滑るようになるためには、ＡからＢ
方向に、パックにいかほどの初速度を与えなければならないか。
１．１９８． 完全非弾性衝突をした質量ｍ １ ，ｍ ２ の球からなる系の運動エネルギーの増加分を求めよ。衝突までの各球の速度はｖ１，ｖ２。
１．１９９．静止している粒子Ｂのそばを通り抜けた質量ｍの粒子Ａは角度αだけ偏向した。相互作用するまでのＡの運動量はｐ ０。相互作用後はｐ。系は閉じているものとして、粒子Ｂの質量を求めよ。
１．２００．閉じた系を形成している同形の２つの粒子が、或る瞬間に、共に速度ｖで、間隔距離がｌ０である。図１．３９参照。速度は２つの粒子を結ぶ線に角度αをなしている。２つとも質量はｍ。
相互斥力は粒子間の距離ｒに依存し、ａ／ｒ ２の形をしている。ここで、ａが概値の定数。粒子が接近する最小の距離を求めよ。
１．２０１． ２つの同形の粒子からできている閉じた系がある。或る時刻ｔ ０で、１つの粒子の速度はゼロで、もう１つの粒子の速度はｖ。粒子間の距離が、ｔ ０の時の距離の距離と同じになったと- 17 -

き、粒子の内の１つの速度はｖ １となった。この時刻に、もう１つの粒子の速度は幾らとなっているか。２つの粒子の運動方向のなす角度は幾らとなっているか。
１．２０２． ２つの同形の粒子からなる孤立系がある。２つの粒子は速度ｖ １，ｖ ２で動き、運動の方向のなす角度はθ。弾性衝突後、粒子の速度はｖ １ 、ｖ ２ となった。粒子の飛んでいった方向のなす角度θ を求めよ。
１．２０３． 質量ｍ１の粒子が、静止している質量ｍ２の粒子と弾性衝突をした。飛んできた粒子は、以下の場合において、運動エネルギーの内どれだけを失うか。（ａ）最初に運動して来た方向に向かって、直角に跳ね返ったとき。（ｂ）正面衝突の場合。
１．２０４． 質量ｍ １の粒子１の、静止している粒子２との、正面衝突の結果、両方の粒子は反対方向に同じ大きさの速度で飛び去った。粒子２の質量を求めよ。
１．２０５． 静止している粒子２と、粒子１との弾性衝突後、両方の粒子は、粒子１の最初の運動方向に対して、対称方向に飛び去った。それらの方向のなす角度はθ＝６０°。これら粒子の質量の関係を求めよ。
１．２０６．静止している質量Ｍの原子核との衝突において、その内部エネルギーをΔＥだけ大きくするためには、中性子は最低どれだけの速度を持っている必要があるか。
１．２０７． 前進している球が、同じ質量で静止している球と弾性衝突をした。衝突において、２つの球の質量中心を通る直線と、前進してきた球の向かってきた方向との間のなす角度はα＝４５°。
球は滑らかとして、最大変形の瞬間にポテンシャルエネルギーとなった、動いてきた球の運動エネル
ギーの分量ηを求めよ。
１．２０８． 速度ｖ＝５００ｍ／ｓで飛んできた弾丸が、３つの同形の破片に分裂する。系の運動エネルギーはη＝１．５倍増する。破片の内の１つは最大いかほどの速度を有するか。
１．２０９． 速度ｖ＝１０ｍ／ｓを有する粒子１が、同じ質量で静止している粒子２と正面衝突をした。衝突の結果、系の運動エネルギーは、η＝１．０％だけ減少した。衝突後の粒子１の速度の大
きさと方向を求めよ。
１．２１０． 質量ｍの粒子が、静止している質量Ｍの粒子と、衝突をした。その結果、粒子ｍは角度π／２だけ進行方向を変え、粒子Ｍは、粒子ｍが進行してきた方向に対してθ＝３０°の方向に突き出された。Ｍ／ｍ＝５．０とする。衝突後、この系の運動エネルギーは、何％変化したか。
１．２１１． 質量ｍ１，ｍ２の２つの粒子からできている閉じた系がある。２つの粒子はお互いに直角に速度ｖ １ ，ｖ ２で動いている。質量中心系で以下を求めよ。（ａ）各粒子の運動量。（ｂ）２つの粒子の総運動エネルギー。
１．２１２． 質量ｍ １ の粒子が、静止している質量ｍ ２の粒子と弾性衝突をした。ｍ １ ＞ｍ ２。衝突の結果、動いてきた粒子が偏向する最大角度を求めよ。
１．２１３． 滑らかな水平面上に、３つの同形のパックがある。図１．４０参照。パックＡに、速度ｖを与え、その後、パ
ックＡはパックＢ，パックＣと同時に弾性衝突をした。衝突までの、ＢとＣの中心間の距離はパックの直径より、η倍大きい。
衝突後のＡの速度を求めよ。ηがどのような値の時、衝突後、Ａは後に跳ね返るか。なた、Ａが停止するときの値はいくらか。
前方に進むときはいくらか。
１．２１４． 分子が、同じ質量で静止している他の分子と衝突をした。以下の場合を示せ。（ａ）
弾性衝突ならば、飛び去る方向のなす角度は９０°。
（ｂ）非弾性衝突ならば、９０°とはならない。
１．２１５． 座標原点Ｏからの動径ベクトルがｒ＝ａｉ＋ｂｊの点に、力Ｆ＝Ａｉ＋Ｂｊを加えた。
ここで、ａ，ｂ，Ａ，Ｂは定数、ｉ，ｊはＸ軸、Ｙ軸の単位ベクトル。点Ｏに対する力Ｆのモーメン
トＮと肩の長さｌを求めよ。
１．２１６． 点Ｏに対する粒子の運動量モーメントは、時間と共に、式Ｍ＝ａ＋ｂｔ２で変化する。
ここで、ａ，ｂは定数ベクトル。かつａ⊥ｂ。粒子に作用している点Ｏに対する力のモーメントＮとＭが４５°の角度をなすとき、Ｎを求めよ。
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１．２１７． 質量ｍの球を、初速度ｖ ０ で、水平と角度αをなして投射した。投射点に対する球の運動量モーメントの大きさを、運動時間に依存した形で求めよ。
１．２１８．質量ｍ＝５０ｇの小さいパックが、なめらかな斜面の頂上から滑り始める。高さはｈ＝１００ｃｍ、水平に対する斜面の傾斜角度はα＝１５°。図１．４１参照。運動開始からｔ＝１．３ｓ後における、紙の面に垂直な軸Ｏに対するパックの運動
量モーメントを求めよ。
１．２１９． 速度ｖで、なめらかな水平面上を滑っている質量ｍのパックＡが、Ｏ点で、滑らかな不動の壁と弾性衝突をした。図１．４２参照。パックの動いてきた方向は、壁の法線と角度αをなしている。以下を求めよ。（ａ）この過程で、その点に対する、パックの運動量モーメントＭが、一定値となる点。（ｂ）Ｏ点から距離ｌにあり、パックの運動面上にある点をＯ とする。このＯ 点に対するパックの運動量モーメントの増加分。
１．２２０． 滑らかな水平面上に、円筒を垂直に固定する。円筒に密に糸を巻き付ける。糸の自由端には質量ｍ＝５０ｇのパックを結びつける。図１．４３参照。この図は系を上方から見ている。図のように、パックに水平の速度ｖ＝５．０ｍ／ｓを与える。糸は張力Ｆ ＝２６Ｎで切断する。糸が切断した後、垂直軸Ｃに対するパックの運動量モーメントを求めよ。
１．２２１． 天井のＯ点に、長さｌの糸で吊された質量ｍの小球が、水への円周を動いている。糸は垂直軸の回りに一定の角速度ωで回転している。このＯ点に対する球の運動量モーメントＭは一定値か。回転の半分当りにおけるＯ点に対する運動量モーメントの増加分を求めよ。
１．２２２． 高さｈから、質量ｍの球が初速度なしで、地表に落下する。水平方向に速度Ｖで動いている観測系のＯ点に対する落下時間当りの、球の運動量モーメントの増加分を求めよ。球の落下の開始の瞬間には、Ｏ点は球と一致していた物とする。
１．２２３． 水平で滑らかな円盤が、自身の中心Ｏ点を通っている不動の垂直軸の回りに、一定の角速度ωで回転する。このＯ点から、時刻ｔ＝０に、速度ｖ ０でパックを放った。Ｏ点に対する、パックの運動量モーメントＭ（ｔ）を、円盤上での観測系で求めよ。
この運動量モーメントは、コリオリの力の作用の原因となることを確認せよ。
１．２２４． 粒子が、中心力場中で閉じた軌道上を動いている。粒子のポテンシャルエネルギーはＵ＝ｋｒ ２ 。ここで、ｋは正定数、ｒは場の中心点Ｏから粒子までの距離。Ｏ点までの粒子の最小距離はｒ １ 、Ｏ
点からの最大距離で粒子の速度はｖ ２ とする。これより、粒子の質量を求めよ。
１．２２５． 中心力場中を、小さい物体が閉じた軌道を動いている。
ここで、物体のポテンシャルエネルギーは場の中心からの距離の２乗に比例している。場の中心までの物体の最小距離はｒ ０ 、最大距離はこの値よりη倍大きい。物体の距離がｒ ０ である点での物体の軌道の曲率半径を求めよ。
１．２２６． 長さｌの軽い糸で、Ｏ点から小さい球を吊した。その後、
糸を垂直線から角度θだけ傾けて、球を脇にそらし、糸が通っているお手いる垂直面に垂直で、かつ水平方向に球に速度を与えた。運動の過程
で、垂直線に対する糸の最大傾き角度がπ／２となるためには、球に与える初速度は幾らであるべきか。
１．２２７． 滑らかな内壁を有している円錐の内部に、小さいパックを置く。図１．４４参照。位置は頂点から高さｈ １。パックに水平方向に、円錐の表面の接線に沿って速度ｖ１を与える。パックはどれだけの高さｈ２まで上昇するか。
１．２２８． 滑らかな水平面上で、糸を取り付けられている質量ｍの小さい物体が、一定の速度で動く。糸の他端はＯ点の穴を通し、引っ張っている。図１．４５参照。穴と物体の距離をｒ。回転半- 19 -

径がｒ＝ｒ ０ の時、糸の角速度がω ０ として、糸の張力をｒの依存として求めよ。
１．２２９． 半径Ｒの固定された大きな滑車に糸を巻き付ける。糸の自由端には質量ｍの小さな物体がぶら下がっている。時刻ｔ＝０に、系を自由にした。系は運動を開始した。滑車の軸に対する系の運動量モーメントの時間ｔに対する依存を求めよ。
１．２３０． 図１．４６参照。系は、半径Ｒ＝１５０ｍｍの大きな滑車と、それに巻かれた糸、糸の端には錘が付いている。糸は、壁に取り付けられている滑らかで水平な軸Ｃに寄り掛かっている。時刻ｔ＝０に、錘を放つと、系は運動し始めた。運動開始後、ｔ＝４．０ｓにおける滑車の軸Ｏに対する系の運動量モーメントを求めよ。運動の過程において、糸は一定力Ｆ＝５０Ｎを軸Ｃに与えているとする。角度θ＝６０°。
１．２３１． 水平と角度αをなしている斜面に沿って、質量ｍで半径Ｒの球が、滑ることなく転がり始める。最初の瞬間における接点に対する球の運動量モーメントの時間依存を見いだせ。完全に滑らかな斜面の場合としたな
らば、、結果はどのように変るか。
１．２３２． 粒子系が、総運動量ｐと、点Ｏに対する運動量モーメントＭを持っている。Ｏ 点に対する系の運動量モーメントを求めよ。Ｏ 点は点Ｏに対して動径ベクトルｒ０の所にあるものとする。
１．２３３．Ｍは系の運動量モーメント、Ｍ は質量中心系での運動量モーメント、ｒ Ｃは質量中心の動径ベクトル、ｐは系の運動量とする。公式 Ｍ＝Ｍ ＋［ｒ Ｃｐ］を導け。
１．２３４．質量ｍ １，ｍ ２の粒子からなる系がある。或る時刻に、各々の動径ベクトルはｒ１，ｒ ２、速度はｖ１，ｖ ２。この時刻における系の固有運動量
モーメントを求めよ。
１．２３５． 速度ｖ ０で動いている質量ｍの球が、静止しているダ
ンベルの１つの玉と弾性正面衝突をした。図１．４７参照。ダンベ
ルの２つの玉の質量は各々ｍ／２。間隔はｌ。ダンベルの質量中心を観測系として、衝突後におけるダンベルの固有運動量モーメントを求めよ。
１．２３６． 滑らかな平面上に、２つの同形の小さいパックがある。質量は共にｍ。２つのパックを変形していないバネで連結する。
バネの長さはｌ０、弾性係数はκ。或る時刻に、パックの内の１つに、バネに垂直で水平方向に、速度ｖ ０を与えた。運動の過程において、バネの最大の伸び比（Δｌ／ｌ）を求めよ。なを、伸び比は１より十分に小さいものとする。
１．４．

万有引力

●万有引力の法則
Ｆ＝γｍ１ｍ ２／ｒ２
（１．４ａ）●太陽の周りの惑星の回転周期の２乗は、惑星の軌道の長軸の半分の長さの３乗に比例する（ケプラーの法則）（１．４ｂ）
Ｔ２∽ａ３●質点の作る重力場のポテンシャル
φ＝−γｍ／ｒ（１．４ｃ）●第一宇宙速度と第二宇宙速度ｖ２＝ｖ１２１／２（１．４ｄ）
ｖ１＝（ｇＲ） １／２、
１．２３７． 或る惑星が、速度ｖ＝３４．９ｋｍ／ｓ（太陽中心の観測系で）で、太陽の回りの円周を動いている。この惑星の回転周期を求めよ。
１．２３８． 土星の、太陽を回る周期は、地球の太陽を回る周期より１２倍大きい。軌道を円形とみなして、以下を求めよ。
（ａ）木星から太陽までの距離は、地球から太陽までの距離の何倍か。
（ｂ）
太陽中心観測系において、木星の速度と加速度を求めよ。
- 20 -

１．２３９． 或る惑星が、太陽の回りを楕円に沿って動いている。惑星と太陽の最小距離はｒ １，
最大距離はｒ ２。惑星の周期を公式Ｔ ２∽ａ ３を用いて求めよ。ここで、Ｔは周期、ａは長軸の長さ。
１．２４０． ２つの衛星が、接触する軌道で、地球の周りを回っている。１つの衛星は半径ｒの円軌道を、もう１つの衛星は回転周期が前者よりη倍大きい周期で楕円軌道を。公式Ｔ２∽ａ３を用いて、後者の衛星と地球の中心との最大距離を求めよ。
１．２４１． 小さい物体が、太陽に向かって、地球の軌道半径と同じ距離から、落下し始める。公式Ｔ ２∽ａ３を利用して、落下時間を求めよ。
１．２４２． 軌道半径ｒの円に沿って動いている月の衛星が、短時間の減速後、月面に接する楕円
軌道を動くようになった。公式Ｔ２∽ａ３を利用して、衛星の月への落下時間を求めよ。
１．２４３． 現実にある太陽系に対して、η倍に縮小した太陽系モデルを考えよう。が、太陽と惑星の物質の密度はそのままとする。このモデルでは、惑星の周期はどのように変化するか。
１．２４４． ２つの恒星からできている２重星は、それらの質量中心の回りを動いている。２つの星の距離はｌ、星の回転周期はＴとする。ｌは変化しないものとして、系の質量を求めよ。
１．２４５． 質量ｍの惑星が、太陽の回りの楕円軌道を動いている。惑星と太陽までの最小距離と最大距離は各々ｒ１，ｒ２。太陽中心に対するこの惑星の運動量モーメントを求めよ。
１．２４６． 太陽の回りを楕円軌道に沿って動いている質量ｍの惑星の全力学エネルギーＥは、軌道の長軸の長さａにのみに依存することを、保存則から導け。依存式Ｅ（ａ）を求めよ。
１．２４７． 惑星Ａが、太陽の回りの楕円軌道を動いている。惑星が太陽からの距離がｒ ０にあったとき、惑星の速度はｖ ０，動径ベクトルｒ ０と速度ベクトルｖ ０の間の角度はα。この惑星の太陽との距離の最大値と最小値を求めよ。
１．２４８． 宇宙物体Ａが太陽に向かって動いている。
図１．４８参照。太陽からの遠方でのＡの速度はｖ ０、照準パラメータ（太陽の中心に対する速度ベクトルｖ ０ のなす肩の長さ）はｌ。この舞台の太陽への最接近距離を求めよ。
１．２４９． 質量ｍの粒子が、質量Ｍの一様な球の外にある。粒子と球の中心までの距離はｒ。以下を求めよ。
（ａ）
粒子と球との間の重力相互作用によるポテンシャルエネル
ギー。（ｂ）球から粒子に作用している力。
１．２５０． 一様な球殻の内部にある物体に作用している引力は、ゼロであることを証明せよ。
１．２５１． 質量がＭ、半径がＲの一様な球がある。球の中心からの距離ｒの関数として、この球の重力場による重力Ｇ、ポテンシャルφを求めよ。ｒ＜Ｒ、ｒ＞Ｒ両方について求めよ。Ｇ（ｒ）、φ（ｒ）をグラフで示せ。
１．２５２． 密度ρの一様な空の内部に、球状の空洞がある。空洞の中心は、球の中心から距離ｌの所にある。空洞内部の引力場のｇを求めよ。
１．２５３． 質量Ｍ、半径Ｒの一様な球がある。重力の圧縮による球内部の圧力を、球の中心からの距離の関数として求めよ。地球を一様な球として、地球中心における圧力を求めよ。
１．２５４． 以下の場合において、物質の重力相互作用のポテンシャルエネルギーを求めよ。
（ａ）
質量ｍ、半径Ｒの薄い球殻からできている球。（ｂ）質量ｍ、半径Ｒの一様な球。
１．２５５． 次の加速度の関係を計算せよ。地表において重力によって引き起こされる加速度ａ １。
地球の赤道上における慣性遠心力による加速度ａ ２。太陽によって、地球上の物体に与えられる加速度ａ ３。
１．２５６． 地球の極点において、いかほどの高度で、自由落下の加速度はη＝１％だけ減ずるか。
ｎ＝２．０倍減ずるのはいかほどの高度か。
１．２５７． 地球の極点で、物体に垂直上方向に速度ｖ ０を与える。地球の半径、地表面での自由落下の加速度を概値として、物体の到達する高度を求めよ。
- 21 -

１．２５８．
を求めよ。

惑星の平均密度をρ＝３．３ｇ／ｃｍ ３。この惑星の表面近傍を回る衛星の回転周期

１．２５９． 衛星を、極地上空に速度ｖで、円軌道に投入した。衛星から地表までの距離を求めよ。
１．２６０． 質量ｍの地球の衛星が、円軌道を動いている。軌道の半径は地球の半径の２倍である。
軌道の半径を変えることなく、角度αだけ衛星の軌道面を変更させるためには、短時間に衛星にどれだけの補足運動量を与える必要があるか。与える運動量の方向はどのような方向か。
１．２６１． 地表に対して不動にある地球の静止衛星の円形軌道半径を計算せよ。地球の中心に置いた観測系では、この静止衛星の速度はいくらか。
１．２６２． 長さｌ＝１５０ｍの細いロープで連結された２つの同形の衛星が、地球の周りを円軌
道で動いている。各衛星の質量はｍ＝１０００ｋｇ、ロープの質量は無視できる。地球の中心からこの衛星系までの距離は地球半径のη＝１．２倍である。ロープが地球の半径方向に向いている瞬間における、ロープの張力を求めよ。
１．２６３． 地球の赤道面上を、半径Ｒ＝２００００ｋｍの円軌道を西から東に動いている衛星が、赤道のある地点上空に、τ＝１１．６時間毎に現れる。地球の質量を求めよ。
１．２６４． 衛星が、地球の赤道面上を東から西へ、半径Ｒ＝１００００ｋｍの円軌道を動いている。地表に対しての（ａ）衛星の速度、（ｂ）衛星の加速度、を求めよ。
１．２６５． 地球の極点から、地表面に接近した水平方向に、長軸がａの楕円軌道に、衛星を打ち上げる。いかほどの速度を与える必要があるか。
１．２６６． 月の人工衛星が、月の半径よりη倍大きい半径の円軌道を動いている。この人工衛星
は宇宙塵から小さな抵抗力を受けるものと考える。この抵抗力はＦ＝αｖ ２。ここで、αは定数。月表面にこの人工衛星が落下するまでの時間を求めよ。
１．２６７． 月面からロケットを打ち上げるときの、第一宇宙速度、第二宇宙速度を求めよ。この２つの速度を地球の場合と比較せよ。
１．２６８． 宇宙船が月の表面に接するような放物線軌道で月の傍まで飛んでいく。月に最大接近したとき、短時間に減速エンジンを入れる。そして、軌道を円形とする。減速における宇宙船の速度の変化分を求めよ。
１．２６９． 宇宙船を地表近傍において円軌道に投入した。宇宙線が地球の引力に打ち勝つために、宇宙線の運動方向に、短時間内で、いかほど速度を追加する必要があるか。
１．２７０． 宇宙線が地球の周りを円軌道で動く。円の半径は、地球半径よりη＝２．５倍大きい。
この宇宙船が、地球の引力場を脱出できるためには、地球の中心から地球の半径方向に向かって、宇宙船に短時間内にどれだけの速度を付与する必要があるか。
１．２７１． 宇宙船が太陽系の引力場を脱出できるために、地球表面上で宇宙船に与えなければならない速度が、第三宇宙速度である。大凡の第三宇宙速度ｖ ３を見いだせ。地球の自転は無視する。
１．５．

剛体の動力学●不動軸Ｚの周りに回転している剛体の運動方程式（１．５ａ）Ｉβ Ｚ＝Ｎ Ｚ
ここで、ＮＺはＺ軸に対する外力の力のモーメントの代数和。
●シュタイナーの公式（１．５ｂ）
Ｉ＝ＩＣ＋ｍａ２●不動軸Ｚの周りに回転している剛体の運動エネルギー
Ｋ＝Ｉω２／２（１．５ｃ）●不動軸の回りの剛体の回転に対する外力のなす仕事（１．５ｄ）
Ａ＝ＮＺｄφ●平面運動における剛体の運動エネルギー（１．５ｅ）
Ｋ＝ＩＣω ２／２＋ｍｖＣ２／２●ジャイロスコープの才差の角速度ω と、運動量モーメントＭ（Ｉωに等しい）と、外力の力のモーメントＮとの間の関係［ω Ｍ］＝Ｎ（１．５ｆ）- 22 -

１．２７２． 図１．４９参照。質量ｍ＝１．０ｋｇの細い一様な軸ＡＢ
が、力Ｆ １とＦ ２の作用のもとで、加速度ａ＝２．０ｍ／ｓ ２で動く。間隔ｂ＝２０ｃｍ、力Ｆ２＝５．０Ｎ。棒の長さを求めよ。
１．２７３． 図１．５０で示しているように、質量ｍ＝４．０ｋｇの球が、力Ｆの作用下で机の上で前進運動をする。角度α＝４５°、摩擦係数はｋ＝０．２０。力Ｆと球の加速度を求めよ。
１．２７４． 動径ベクトルｒ １＝ａｉの点に力Ｆ １＝Ａｊを加え、ｒ ２＝ｂｊの点にＦ２＝Ｂｉを加える。ここで、ｉとｊはＸ軸、Ｙ軸の単位ベクトル。
ＡとＢは定数。座標の原点に対する合力の肩の長さを求めよ。
１．２７５． 質量ｍ＝２．５ｋｇ、辺の長さｌ＝１００ｍｍの立方体が、力Ｆ＝１１Ｎにより右へ移動する。図１．５１参照。摩擦係数はｋ＝０．
１５。以下を求めよ。（ａ）立方体の中心に対する、法線圧力（？）の合力の肩の長さｂ。（ｂ）立方体がひっくり返らないで滑っているまでの力Ｆの大きさ。
１．２７６． 最初、質量ｍ、長さｌの一様な棒の中心が支点Ａの上に置いてある。図１．５２参照。棒の左端を糸でゆっくりと引き始めた。支点ＡとＢの間隔がａ、棒と支点の間の摩擦係数がｋだとすれば、棒を支点Ｂから引き出すためには、どれだけの仕事が必要か。
１．２７７． 質量ｍ、長さｌの細い一様な棒がある。以下の軸に対する慣性モーメントを求めよ。
（ａ）棒の端で、かつ棒に垂直な軸。
（ｂ）
棒の中心で、かつ棒と角度αをなす軸。
１．２７８． 質量ｍ、２辺の長さがａ、ｂの長方形板がある。板の頂点の１つを通り、板の面に垂直な軸に対する慣性モーメントを求めよ。
１．２７９． 質量ｍ＝０．６０ｋｇの薄い一様な板が、２等辺直角
三角形の形状をしている。長さがａである直角を挟んでいる辺の１つと一致している軸に対する慣性モーメントを求めよ。ａ＝２００ｍｍ。
１．２８０． 慣性モーメントを計算せよ。（ａ）円盤の厚さｂ＝２．
０ｍｍ、半径Ｒ＝１００ｍｍの銅製の円板の自身の中心軸に対する慣性モーメント。（ｂ）円錐の自身の中心軸に対す
る慣性モーメント。質量はｍ、基面の半径はＲ。
１．２８１． 半径ａ、質量ｍの細い導体リングの、リングの直径と一致する軸に対する慣性モーメントを求めよ。
１．２８２． 任意の形状の薄い板において、慣性モーメントの間には次の関係あることを示せ。
Ｉ １ ＋Ｉ ２ ＝Ｉ ３ 。ここで、１，２，３は相互に直交している３つの軸の番号。１軸と２軸は面内の軸であり、３軸はこれに垂直である。この関係式を利用して、質量ｍ、半径Ｒの薄い円板において、円板の直径と一致する軸に対する慣性モーメントを求めよ。
１．２８３． 相互に平行な軸１，２に対する物体の慣性モーメントは、
Ｉ １＝１．００ｇ・ｍ ２、Ｉ ２＝３．０ｇ・ｍ ２。軸１，２は、物体の質量中心Ｃから、各々ｘ １＝１００ｍｍ、ｘ ２＝３００ｍｍに位置している。点Ｃを通り、軸１，２に平行な軸に対するこの物体の慣性モーメントを求めよ。
１．２８４． 半径Ｒの円板が、円形の穴を有している。図１．５３参照。
この形での円板の質量はｍ。円板の面に垂直で、中心Ｏを通る軸に対する
慣性モーメントを求めよ。質量中心を通る軸にたいしてはどうか。
１．２８５． 一様な球の慣性モーメントを与える公式から、質量ｍで半径Ｒの球殻において、中心を通る軸に対する慣性モーメントを求めよ。
１．２８６． 階段型滑車に、２本の糸が逆向きに巻き付けられている。図１．５４参照。１本の糸の端には、一定力Ｆが作用し、もう１本の端には質量ｍの錘が付いている。滑車の半径Ｒ１，Ｒ２，滑- 23 -

車の回転軸に対する慣性モーメントはＩ。摩擦はない。滑車の加速度を求めよ。
１．２８７． 質量ｍ、半径Ｒの密の円柱に、軽い糸を巻き付け、糸の開放端に質量ｍの錘を取り付ける。図１．５５参照。時刻ｔ＝０の時、系が動き始める。円柱の軸の摩擦は無視する。円柱の角速度の大きさと、全系の運動エネルギーの時間に対する依存性を求めよ。
１．２８８． 半径ｒのマックスウエル円板（？）の軸に、密に巻き付けられたいとの両端を、水平な金属棒に固定する。円板が回転すると、円板は同じ高さのままで、金属棒が上昇する。軸を持った円板の質量はｍ、対称軸に対する円盤の慣性モーメントはＩ。金属棒の加速度を求めよ。
１．２８９． 質量ｍ、長さｌの水平で一様な軸ＡＢは、Ａ点を通っている
垂直軸の回りに自由に回転できる。或る時刻に、Ｂ点に一定の力Ｆを作用し始めた。この力は全時間において、制していた軸の最小の方向に垂直で、水平面内を向いていた。最初の状態からの回転角度φの関数として、棒の角速度を求めよ。
１．２９０． 質量ｍの細い水平の軸が、２本の垂直な糸で吊されている。
１本の糸を焼き切った直後における残っている糸の張力を求めよ。
１．２９１． 質量ｍ＝０．５０ｋｇ、長さｌ＝１００ｃｍの細い棒が、棒を通っている軸の回りの垂直面内で回転できる。この軸に対する棒の回転モーメントはＩ＝０．１１５ｋｇ・ｍ ２。棒を水平状態にして放った。その後、
棒は運動をし、垂直状態で停止した。摩擦力のモーメントを求めよ。摩擦力は一定とする。
１．２９２． 図１．５６参照。密の円柱の質量なｍ、半径はＲ。物体１，２の質量は各々ｍ１，ｍ２。糸の滑りや、円柱軸の摩擦はない。円柱の角加速度と、運動中における糸の垂直部分の張力の関係Ｆ１／Ｆ２を求めよ。ｍ→０の時、Ｆ
１＝Ｆ ２であることを確認せよ。
１．２９３． 図１．５７参照。物体の質量はｍ １，ｍ ２。物体ｍ １と水平面との間の摩擦係数はｋ。一様な円板と見なせる滑車の質量はｍ。滑車での糸の滑りはない。時刻ｔ＝０の時、物体ｍ ２が落下し始める。滑車の軸での摩擦は無視して、以下を求めよ。（ａ）物体ｍ ２の加速度。（ｂ）運動開始後、ｔ時間内でなされる物体ｍ１に作用している摩擦力のなす仕事。
１．２９４． 垂直状態にある質量ｍの棒が、無視できる初速度でもって、下端を通っている不動軸Ｏの回りに回転する。水平状態にある棒に軸Ｏから作用している水平力と垂直力を求めよ。摩擦は無い。
１．２９５． 半径Ｒのｍ、密な円柱を、角速度ω０まで自身の軸の回りに回転させ、壁の隅に置く。
図１．５８参照。円柱と壁との間の摩擦係数はｋ。この状態で円柱は、どれくらいの時間回転し続けるか。
１．２９６． 図１．５９参照。円板に軸の回りの角速度を与えた。その後、円板の上に、棒ＡＢの端のＡ点を注意深く下ろした。Ｂ点での棒の垂直線との角度はθ＝４５°。摩擦は円板と棒の間だけにあり、摩擦係数はｋ＝０．１３。円板が時計回りの時と、反時計回りの時で、円盤が止まるまでの回転数は各々ｎ１、ｎ２であった。初速度はともにおなじである。ｎ ２／ｎ １の関係を求めよ。

- 24 -

１．２９７． 半径Ｒの円板を角速度ωまで回転させ、水平面上に注意深く置く。円板は水平面上を動いては行かない。円板と面の間の摩擦係数をｋ。円板はどれだけの時間回転し続けるか。
１．２９８． 質量ｍ＝５０ｇの細い棒ＡＢを、摩擦係数ｋ＝０．１２の水平面上に置く。棒は端のＡ点を通る滑らかな垂直軸の回りに回転できる。端Ｂ点に、短時間で、棒に垂直で水平方向の打撃を与えた。打撃の力の力積はＪ＝０．
５０Ｎ・ｓ。棒はどれだけの時間回転し続けるか。
１．２９９． 初期角速度ω ０ で回転している弾み車が力で減速し始める。回転軸に対する、この力のモーメントは角速度の平方根に比例している。減速の全時間における弾み車の平均角速度を求めよ。
１．３００． 半径Ｒ，質量Ｍの円柱が、不動の水平軸Ｏの回りに自由に回転できる。図１．６０参照。円柱に長さｌ、質量ｍの紐を巻き付けて、紐の端を円柱の片側から垂らす。円柱の角加速度の、垂れ下がっている紐の長さｘに対する依存として求めよ。巻き付けられている紐の質量中心は常に円柱の軸にあるとみなす。
１．３０１． 長さｌの棒が、垂直軸の周りを回ることができる。垂直軸は棒に垂直で、棒の端の１つを通っている。図１．６１参照。系を、垂直軸の回りに角速度ωで回転させる。角度θを求めよ。
１．３０２． 水平に置かれた質量ｍ＝１．４０ｋｇ、長さｌ ０ ＝１００ｃｍの棒ＡＢは棒の端のＡ点を通っている不動の垂直軸ＯＯ の回りに自由に回転できる。点Ａは、長さｌ＝５５ｃｍの軸ＯＯ の中間に位置している。棒の回
転角速度が幾らの時、軸ＯＯ の下端に作用している力の水平成分がゼロとなるか。この時、軸の上端に作用している水平力は幾らとなっているか。
１．３０３． 質量ｍ、長さｌの棒ＡＢの中間は、垂直軸ＯＯ にしっかりと固定されている。棒と軸とのなす角度はθ。図１．６２参照。軸ＯＯ の両端は軸受けに固定されている。系は摩擦無しで、角速度ωで回転する。以下を求めよ。（ａ）点Ｃに対する棒の運動量モーメントの大きさと、回転軸に対する運動量モーメント。（ｂ）回転中において、軸ＯＯ に作用している外力のモーメントの大きさ。
１．３０４． 質量ｍ、長さｌの滑らかな棒ＡＢが、水平面内で、一端のＡ点を通っている不動の垂直軸の回りに、角速度ω０で自由に回転する。点Ａから、質量ｍの小さいスリーブが棒に沿って滑り始める。スリーブが他端Ｂに達した
とき、棒に対するスリーブの速度ｖ を求めよ。
１．３０５． 質量Ｍ，１辺長ｌの薄い正方形板が、辺の１つと一致する不動の垂直軸の回りに、自由に回転することができる。板の中心に、板に垂直に、質量ｍの球が速度ｖで弾性的に衝突する。以下を求めよ。（ａ）衝突直後の球の速度ｖ 。（ｂ）回転軸が、衝突後に板に及ぼしている水平成分の力。
１．３０６． 垂直に置かれている質量Ｍ、長さｌの棒が、自身の上端の回りに回転することができる。棒の下端に、質量ｍの弾丸が水平に飛んできてめり込んだ。その結果、棒は角度α傾いた。ｍ≪Ｍ。以下を求めよ。（ａ）飛んできた弾丸の速度。（ｂ）「弾丸＋板」の系の運動量の衝突による増加分。この運動量の変化の原因はどのように説明されるか。（ｃ）系の運動量が、衝突の過程で変化しない
ためには、弾丸は棒の上端からどれだけの位置ｘに当たらなければならないか。
１．３０７． 水平に置かれた質量Ｍ、半径Ｒの円板が、自身の中心を通っている垂直軸の回りに自由に回転できる。質量ｍの小さい物体が摩擦無しでこの円板上を半径方向に滑ることができる。物体に糸を取り付け、円板の軸の所から下に通過させる。最初、物体は円盤の端にいた。全系は角速度ω０で回転していた。その後、糸の下端に力Ｆを加える。これにより、物体はゆっくりを回転軸に向かって引かれていった。以下を求めよ。（ａ）最終状態における系の角速度。（ｂ）力Ｆのなした仕事。
１．３０８． 質量ｍ１の人が、質量ｍ２，半径Ｒの水平円盤の端に立っている。円板は自身の中心を通っている不動の垂直軸の回りに自由に回転できる。或る瞬間に、人が円板の周囲を回り始めた。円
盤に対して角度φ だけ移動して立ち止まった。人の大きさは無視して、人が停止した瞬間までに、- 25 -

円板が回転した角度を求めよ。
１．３０９．２つの水平円板が中心軸を一致させ上下に配置されている。各々とも、自身の中心を通っている垂直軸の回りに自由に回転している。これらの軸に対する各々の慣性モーメントはＩ１，Ｉ２、
角速度はω１，ω ２。上にある円板がしたにある円板に落下した後、円板間の摩擦により、あるじ関係化した後、２枚の円板は同じ角速度で回転する。以下を求めよ。
（ａ）最終的な２枚の円板の角速度。
（ｂ）この過程で、摩擦のなした仕事。
１．３１０． 同じ半径の２つの円板に、同じ角速度ω ０を与えた。
図１．６３参照。その後、２つを接触させた。或る時間経過した後、２枚は新しい運動状態となった。各々の自身の中心軸の回りの回転モーメントはＩ １，Ｉ ２。以下を求めよ。（ａ）系の運動量の増加分。
（ｂ）系の力学的エネルギーの損失分。
１．３１１．（？状景がわからない）半径ａの円板が、自身の軸の回りに自由に回転できる。自身の軸の回りの慣性モーメントはＩ ０。時
刻ｔ＝０の時、円板の表面に垂直に、一様な粒子ビームで、円板を照射し始めた。単位時間当りの粒子の個数はＮ。各々の粒子の質量はｍ、運動量モーメントの大きさはＭで、その方向は粒子の運動方向と一致している。全粒子が円板にはまりこむものとして、時間の関数として円板の角
速度ω（ｔ）を求めよ。ω（０）＝０とする。ω（ｔ）のグラフも描け。
１．３１２． 半径Ｒ、質量ｍの円板が滑らかな水平面上に置いてある。
円板の側面に糸を巻き付け、糸の自由端Ｋに、一定の水平力Ｆを作用させる。円板が動き始めた後、点Ｋは距離ｌだけ移動した。この瞬間における円板の加速度を求めよ。
１．３１３． 半径Ｒ １ ，Ｒ ２ を有する２段滑車が、滑らかな水平面上に置いてある。滑車の各々に糸を巻き付け、各々の糸に力Ｆ １ ，Ｆ ２ を直交する
方向で加える。系を上から見た図１．６４参照。滑車の軸Ｃが距離ｌ動く
間に、滑車は何回転するか。滑車の質量はｍ、滑車の軸Ｃの回りの慣性モーメントはＩ。
１．３１４． 半径Ｒ＝５．０ｃｍの円板が、自身の軸の回りに角速度ω＝６０ラジアン／ｓで回転させ、垂直状態で、ザラザラしている水平面上に落とした。垂直線と角度θの方向に飛び跳ね、回転は止まっていた。跳ね返った直後の円盤の速度を求めよ。
１．３１５． 水平と角度αをなしている斜面上を、球が滑ることなく転がる。落下する球の加速度と摩擦係数を求めよ。
１．３１６． 質量ｍ＝５．０ｋｇの球が、水平と角度α＝３０°をなしている斜面上を、滑ることなく転がり落ちる。運動開始後、ｔ＝１．６ｓにおける球の運動エネルギーを求めよ。
１．３１７． 長さｌ＝１１０ｃｍの軸が、滑らかな水平面上に対して角度α＝６０°をなして配置する。水平面上に軸の下端が支えられている。突くこと無しに、棒を放つ。棒が水平面に落下する直前における、棒の上端の速度を求めよ。
１．３１８． 自身の軸に対する慣性モーメントがＩである糸巻きが、斜面を滑らずに転げ落ちる。運動開始から経路長Ｓ進んだとき、糸巻きは角速度がωとなった。経路において静止摩擦係数は同じとみなして、静止摩擦力を求めよ。
１．３１９． 球Ａが滑ることなく、高さＨ＝５０ｃｍの丘から転げ落ちる。
丘にはｈ＝１５ｃｍのジャンプ台がある。図１．６５参照。球は幾らの速度で、水平面に落下するか。
１．３２０． 質量ｍ＝８．０ｋｇ、半径Ｒ＝１．３ｃｍの円柱が、時刻ｔ＝０の時、重力の作用で落下し始める。図１．６６参照。円柱には図のように糸が巻かれ、糸の一端は天井に固定されている。以下を求めよ。（ａ）円柱の角加速度。（ｂ）重力がなす仕事率の時間依存性。
１．３２１． （？ 状況がよくわからない）質量ｍの円筒の両端に、糸（複数）を巻き付ける。糸の（複数）自由端はエレベータ室内の天井に固定する。エレベータ室内が加速度ａで運動し始めた。
室内に対する円柱の加速度ａ と、円柱が糸を通して天井に及ぼしている力Ｆを求めよ。
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１．３２２． 水平と角度α＝３０°をなしている滑らかな斜面上に、糸が巻き付いている糸巻きが置いてある。図１．６７参照。糸の自由端は上の壁に固定されている。糸巻きの質量はｍ＝２００ｇ、自身の軸に対する慣性モーメントはＩ＝０．４５ｇ・ｍ ２ 、巻き付
いている糸の層の半径はｒ＝３．０ｃｍ。糸巻きの軸の加速度を求めよ。
１．３２３． ２本の水平な角材の上に、質量ｍの円柱が横たわっている。円柱には糸が巻き付けてある。垂れ下がっている糸の部分に、垂直下方向に力Ｆを加える。図１．６８参照。摩擦係数をｋとする。滑ることなく円柱が回転するための力の大きさを求めよ。
１．３２４． 水平なざらざらな面上に、糸の巻き付いた質量ｍの糸巻きがある。糸巻きの軸の回りの慣性モーメントはＩ＝γｍＲ ２。ここで、γは係数。Ｒは糸巻きの外半径。糸の巻いている層の半径はｒ。水平と角度αをなす方向に、一定の力Ｆで糸を引くと、糸巻きは滑ることなく転がり始めた。図１．６９参照。以下を求めよ。（ａ）糸巻きの軸の加速度のＸ
軸上への投射。（ｂ）動き始めてから時間ｔの間において、力Ｆのなした仕事。
１．３２５． 図１．７０参照。系は２つの同形の円柱からできている。両方の円柱には糸が巻き付けてある。運動中における下の円柱の軸の加速度を求めよ。

１．３２６． 図１．７１参照。系において錘Ａの質量はｍ、段滑車Ｂの質量はＭで、軸の回りの慣性モーメントはＩ。段滑車の半径はＲと２Ｒ。
錘Ａの加速度を求めよ。
１．３２７． 図１．７２参照。質量ｍ １の円柱Ａは、水平軸の回りに自由に回転できる。この水平軸は質量ｍ ２の土台に固定されている。円柱に糸を巻き付け、糸の自由端Ｋを水平力Ｆで引っ張る。土台と平面の間には摩擦はない。以下を求めよ。（ａ）点Ｋの加速度。（ｂ）運動が開始してから時間ｔ後における、この系の運動エネルギー。
１．３２８． 滑らかな水平面上に、質量ｍ １の板が置いてあり、この板の上には質量ｍ ２の球が置いてある。板に水平方向の力Ｆを加えた。板と球の中心はどれだけの加速度で動くか。板と球の間には滑りはないものとする。
１．３２９． 質量ｍ、半径Ｒの円柱に、軸の回りに角速度ω ０の回転を与えた。その後、水平面上に円柱の側面を置き、手を離した。摩擦係数をｋとする。以下を求めよ。（ａ）円柱が滑って動いている時間。（ｂ）滑り摩擦力のなした全仕事。
１．３３０．半径ｒの球が、半径Ｒの球体の頂上から、滑ることなく転がり落ちる。球が球体を離れる瞬間における球の角速度を求めよ。球の初速度は無視できる。
１．３３１． 半径Ｒの円柱が水平面を転がる。水平面は水平と角度αをなす斜面に繋がっている。円柱が飛び跳ねることなく斜面に移動できる、円柱の最大速度を求めよ。滑りはないものとする。
１．３３２． 質量ｍ＝５．０ｋｇ、半径Ｒ＝５．０ｃｍの球が、滑ることなく水平面上を転がる。
球と面との接触の箇所にある面の変形のために、右へ移動している球に、合力Ｆが作用する。図１．
７３参照。球の中心Ｏに対する力Ｆのモーメントを求めよ。その瞬間における球の速度はｖ＝１．０- 27 -

０ｍ／ｓ、その後、球は停止するまでＳ＝２．５ｍ進んだとする。Ｆの力のモーメントは一定とみなす。
１．３３３． 滑らかな水平面上に、質量ｍ＝５．０ｋｇ、長さｌ＝９０ｃｍの棒が置いてある。棒の一端に、棒に垂直で水平方向に、力積Ｊ＝３．０Ｎ・ｓの衝撃を与えた。運動過程において、ぼうの片半分が、残りの半分に作用する力を求めよ。
１．３３４． 前問の条件を利用して、以下を求めよ。（ａ）棒が１回転する時間の間において、棒の中心はどれだけ移動するか。（ｂ）衝撃後の棒の運動エネルギー。
１．３３５． 滑らかな水平面上に、質量ｍ、長さｌの棒が置いてある。
棒の一端に、垂直上方光に一定の力Ｆ＝ｍｇを作用させ続ける。棒の回
転角度φに依存している棒の角速度を求めよ。
１．３３６． 長さ２ｌの棒ＡＢが、滑らかな表面でできている角に垂直に立てかけてある。或る瞬間に、棒に無視できるほど小さい角速度を与えた。棒は面に沿って滑りながら倒れていった。図１．７４参照。以
下を求めよ。（ａ）Ａ点が面から離れるまでにおける角度αの関数として、棒の角速度ωと角加速度β。（ｂ）角度αがどのような値の時に、棒は垂直表面から離れるか。
１．３３７． ジョイントに一端を固定されている長さｌの棒を、垂直から角度θだけ引き離し、棒の下端に、棒を通っている垂直面に直角に、速度ｖ０を与える。ｖ０がどのような最小値の時、棒は水平状態を通り越せるか。
１．３３８． （？ パックと棒の配置関係が明示されていないよ）滑らかな面に、小さいパックと、長さｌの細い棒が置いてある。棒の質量はパックよりη倍大きい。パックに、棒に垂直で、水平方向に速度ｖを与えた。その後、パックは棒の端と弾性衝突をした。衝突後の棒の中心の速度ｖ棒を求めよ。衝突後、パックの速度がゼロとなるのは、ηがどのような値の時か。衝突後パックが逆方向に動く場合のηはいくらか。
１．３３９． 高さｈから、水平状態で落下した棒が、大きな板の端に、棒の一端部で弾性衝突した。衝突直後の棒の中心の速度を求めよ。
１．３４０． 質量ｍ＝０．５０ｋｇの独楽がある。その軸は垂直と角度θ＝３０°をなして、重力の作用下で才差運動をしている。軸に対する独楽の慣性モーメントはＩ＝２．０ｇ・ｍ ２ 、軸の回りの回転
角速度はω＝３５０ラジアン／ｓ、支点から独楽の重心までの距離は
ｌ＝１０ｃｍ。以下を求めよ。（ａ）独楽の才差の角速度。（ｂ）支点において独楽に作用している反力の水平成分の大きさと、方向。
１．３４１． 一定の加速度ａ＝２．０ｍ／ｓ ２で上昇しているエレベータの室内の床に、ながさｌ＝１０ｃｍの軸の一端に半径Ｒ＝５．０ｃｍの円板持っているジャイロスコープがある。図１．７５
参照。軸の他端はジョイントＯに固定されている。ジャイロスコープはｎ＝０．５回転／ｓの振動数
で才差運動をしている。摩擦などは無視する。円板の固有角速度を求めよ。
１．３４２． 質量ｍ＝１．０ｋｇ、自身の軸の回りの慣性モーメントＩ＝４．０ｇ・ｍ２の独楽が、
角速度ω＝３２０ラジアン／ｓで回転している。独楽の支点は土台の上にある。この土台は水平方向に加速度ａ＝３．０ｍ／ｓ ２で移動する。支点と独楽の質量中心の距離はｌ＝１０ｃｍ。独楽の才差の角速度ω の大きさと方向を求めよ。
１．３４３． 質量ｍ＝５．０ｋｇ、半径Ｒ＝６．０ｃｍの球が、角速度ω＝１２５０ラジアン／ｓで、自身の中心を通り、土台の２つのベアリングに固定されている水平軸の回りに回転している。２つのベアリングの間隔はｌ＝１５ｃｍ。土台を、垂直軸の回りに角速度ω ＝５．０ラジアン／ｓで回転させる。ジャイロ力の力の大きさと方向を求めよ。
１．３４４． 質量ｍ＝５．０ｋｇ、半径Ｒ＝５．０ｃｍの円板が、角速度ω＝３３０ラジアン／ｓで回転している。円板の軸に取り付けられている２つのジョイント間の間隔はｌ＝１５ｃｍ。軸は、円板の中心を通り円板の軸に垂直な水平軸の回りに調和振動を行う。振動の周期はＴ＝１．０ｓ、角度振幅はφ＝２０°。円板の軸側からジョイントに作用するジャイロ力の最大値を求めよ。
１．３４５． 船が、速度ｖ＝３６ｋｍ／時で、半径Ｒ＝２００ｍの円形航路を進む。船内にはジャイロ装置がある。弾み車の自身の軸に対する慣性モーメントはＩ＝３８００ｋｇ・ｍ ２、回転数はｎ- 28 -

＝３００回転／分。弾み車の軸側から、ジョイントに作用するジャイロ力のモーメントを求めよ。回転軸は船体に平行である。
１．３４６． タービンの作用で動いている機関車がある。タービンの軸は車輪の軸と平行である。
タービンの回転方向は車輪の回転方向と一致している。タービンの回転子の慣性モーメントは自身の軸に対してＩ＝２４０ｋｇ・ｍ ２。機関車が、速度ｖ＝５０ｋｍ／時で、半径Ｒ＝２５０ｍの円周軌
道を進むとき、ジャイロ力がレールに与える力を求めよ。
１．６．

剛体の弾性変形●フックの法則
ε＝σ／Ｅ
ここで、εは相対のび、σは応力、Ｅはヤング率。
●相対横ちぢみε と相対縦のびεの関係
ε ＝−μεここでμはポアソン係数。
●相対的ずれγと接線応力τとの間の関係
γ＝τ／Ｇ
ここで、Ｇはせん断弾性係数●圧縮率（全方向圧縮率）
β＝−（１／Ｖ）∂Ｖ／∂ｐ●弾性変形の体積エネルギー密度
ｕ＝Ｇγ２／２
ｕ＝Ｅε２／２、（１．６ａ）（１．６ｂ）（１．６ｃ）（１．６ｄ）（１．６ｅ）

１．３４７． 鉄円柱の温度を１０度上げてもその長さが変らないようにするためには、両端に幾らの圧力を加える必要があるか。
１．３４８． 半径ｒ＝２５ｃｍ、壁の厚さΔｒ＝１．０ｍｍの（ａ）ガラス管、（ｂ）球状ガラス
フラスコ、において、幾らの内圧に耐えれるか。外圧はないものとする。
１．３４９． 長さｌ＝１．０ｍの水平に置かれた銅棒が自身の中心を通る垂直軸の回りの回転をする。銅棒は幾らの回転数で破断するか。
１．３５０． 鉛の線で作られた半径ｒ＝２５ｃｍのリングが、自身の中心を通り、リング面に垂直な不動軸の回りに回転をする。このリングは幾らの回転数ｎで破断するか。
１．３５１． 直径ｄ＝１．０ｍｍの鉄線が、間隔ｌ＝２．０ｍの２つのクランプの間に、水平に張られている。鉄線の中心点Ｏに、質量ｍ＝０．２５ｋｇの錘をぶら下げた。Ｏ点は何ｃｍ下がるか。
１．３５２． 弾性のある角材が、滑らかな水平面上を、木口に一様に作用している一定力Ｆの作用のもとで動く。木口の面積はＳ、角材のヤング率はＥ。力の作用方向への角材の相対圧縮量を求めよ。
１．３５３． 長さｌ、質量ｍの細い銅棒が、棒の端を通っている垂直軸の回りに、水平面上で角速度ωで回転する。棒中の張力を、回転軸までの距離ｒの関数として求めよ。また、棒の伸び量も求めよ。
１．３５４． 長さｌ＝６５ｃｍの銅製円柱が、水平面上に置かれ、木口に一様に、上から垂直の圧縮力Ｆ＝１０００Ｎをかける。円柱の体積は何ｃｍ３変化するか。
１．３５５． 長さｌの銅棒を、一端で天井から吊す。以下を求めよ。（ａ）自身の重さによる棒の伸び量。（ｂ）自身の体積の相対的増加量ΔＶ／Ｖ。
１．３５６． ヤング率がＥ、ポアッソン係数がμの材料でできているブロックを、全方向からの圧
縮圧力ｐに晒す。以下を求めよ。（ａ）この物体の体積の相対で減少量ΔＶ／Ｖ。（ｂ）圧縮係数βと弾性定数Ｅ、μとの間の関係。ポアッソン係数は１／２を超えないことを示せ。
１．３５７． 以下の例において、トルク（回転モーメント）Ｎと回転角度φの間の関係を求めよ。
（ａ）パイプの半径より十分に小さい壁の厚さΔｒを持っているパイプ、（ｂ）円形断面を有する棒、がある。これらの長さはｌ、半径はｒ。移動量はＧ。
１．３５８． 内半径ｄ１＝３０ｍｍ、外半径ｄ２＝５０ｍｍ、長さｌ＝３．０ｍの鉄パイプがある。
パイプの軸の回りに、角度φ＝２．０°の捻れで引き起こされる力のモーメントＮを計算せよ。
１．３５９．

自身の軸の回りに角速度ω＝１２０ラジアン／ｓで回転する鋼鉄製軸により伝達でき- 29 -

る最大の仕事率を求めよ。回転軸の長さはｌ＝２００ｃｍ、半径はｒ＝１．５０ｃｍ、許容捻れ角度はφ＝２．５°とする。
１．３６０． 外半径ｒ ２の質量ｍのリングが、半径ｒ１の回転軸にしっかりと填っている。回転軸が、自身の軸の回りに一定の角加速度βで回転する。回転軸までの距離ｒに依存した形で、リングに作用している変形力のモーメントを求めよ。
１．３６１． 相対的伸びがε＝０．００１となるように伸ばした質量ｍ＝３．１ｋｇの鉄棒の弾性
変形エネルギーを求めよ。
１．３６２． 長さｌ、半径ｒの鉄の円柱棒が、天井から一端で吊されている。（ａ）棒の弾性形エネルギーＵを求めよ。（ｂ）棒の相対的伸びΔｌ／ｌで、Ｕを表記せよ。
１．３６３． 長さｌ＝２．０ｍ、幅ｈ＝６．０ｃｍ、厚さδ＝２．０ｍｍの鉄帯を、円形輪に曲げるためにはどれだけの仕事をする必要があるか。過程は弾性変形限界内で行われるものとする。
１．３６４． 鉄棒の弾性変形エネルギーを求めよ。棒の一端は固定され、他端を角度φ＝６．０°まで曲げるものとする。棒の長さはｌ＝１．０ｍ、棒の半径はｒ＝１０ｍｍ。
１．３６５． 長さｌの鉄棒がある。この棒を角度φだけ曲げる。軸までの距離ｒの関数として、弾性変形によるエネルギー密度分布を求めよ。
１．３６６．
１．７．

深さｈ＝１０００ｍにおける淡水の弾性変形のエネルギー密度を求めよ。
非圧縮液体の力学●理想液体の基本運動方程式（オイラーの方程式）
ρｄｖ／ｄｔ＝ｆ−∇ｐ（１．７ａ）
ここで、ρは液体の密度、ｆは質量力の体積密度、重力の場合にはｆ＝ρｇ、∇ｐは圧力の勾配。
●ベルヌーイの方程式。理想液体の定常流において任意の流線に沿って（１．７ｂ）
ρｖ ２／２＋ρｇｈ＋ｐ＝一定●液体の２つの層の間の摩擦力（１．７ｃ）
Ｆ摩擦＝η（ｄｖ／ｄｚ）Ｓ
ここで、ηは液体の粘性。
●ポアズイユの公式。パイプの横断面を流れる液体流（単位 ｍ３／ｓ）（１．７ｄ）
Ｑ＝（πＲ４／（８η））（ｐ１−ｐ２）／ｌ
ここで、Ｒはパイプの半径、ｌはパイプの長さ、ｐ１−ｐ２はパイプの両端間の圧力差。
●粘性液体の流れ特性を定めるレイノルド数（１．７ｅ）
Ｒ ｅ＝ρｖｌ／η
ここでｌは物体の寸法を表す量、円環の流れでは円環の半径。
●ストークスの公式。粘性液体中で半径ｒの球の運動に対する抵抗力
Ｆ＝６πηｒｖ（１．７ｆ）
１．３６７． 図１．７６参照（上から見ている）。理想液体が、水平状態にあり、図のように曲がっている断面積が一様な平板型パイプ中を流れている。流れは定常である。点１と点２でにおいて流体の圧力と速度は同じか？ 流線はどのような形態を持っているか。
１．３６８． ２本の細管が、水平なパイプに、断面積が異なっている
ところに取り付けられている。図１．７７参照。取り付け箇所でのパイプの断面積はＳ １，Ｓ ２。パイプ中を水が流れる。細管における水の高さの差はΔｈである。パイプの断面積を、単位時間に流れる水の体積を求めよ。
１．３６９． 断面積がＳのガス管中に、ピトー管がある。図１．７８
参照。ピトー管中の液面の差はΔｈ。液の密度はρ０、ガスの密度はρ。
粘性を無視して、ガス管中を単位時間当りに流れるガスの体積を求めよ。
１．３７０． 理想液体の垂直の流れが、半径ｒ ０の水平の穴から、速度ｖ０で流れ出ている。穴の下、距離ｈにおける流れの半径を求めよ。
１．３７１． 理想液体が、斜面に沿って、定常に流れている。流れの深さは、距離ｌで、η＝２．
０倍小さくなる。流れの深さが、η ＝４．０倍小さくなるのは、どれだけの距離ｌ でか。
- 30 -

１．３７２． 机の上に、高さｈ＝５０ｃｍの広い円筒容器が置いてある。容器は水で一杯となっている。容器の側面に小さい穴を開け、そこから水が飛び出す。机の面に達する位置が容器から最大距離としたい。粘性を無視して、容器の底からどれだけの高さに、小さい穴を開ければよいか。
１．３７３．図１．７９参照。水平に置いてあるシリンダーから、ピストンに一定の力を作用させて、時間ｔ内に全部の水を排出させるためには、どれだけの仕事をする必要があるか。シリンダー内の水の体
積はＶ、穴の断面積はＳ。穴の面積はピストンの面積より十分に小さいものとする。摩擦と粘性は無視できるほど小さいとする。
１．３７４． 高い円筒容器の底の穴から、水が流れ出す。容器の断面積は、穴の断面積よりη＝１００倍大きい。容器中の水面の変位する加速度を求めよ。
１．３７５． 底面積が S で、高さがｈの円筒容器が水で満たされている。容器の底に、面積ｓ（≪ S)の穴を開けた。水の粘性を無視して、容器中の水が全部流れ出すまでの時間を求めよ。
１．３７６． 薄い器壁でできている円筒容器を、底を下にし、上の開放部が水面と一致するまで、理想液体中に沈めた。容器の底に小さい穴がある。容器の高さはｈ、容器の断面積に対する穴の断面積の比はηで、η≪１。容器が水で満たされるまでの時間を求めよ。
１．３７７． 水平に置かれている長さ l のパイプＡＢが、一定の角速度ωで、端Ａを通っている不動の垂直軸 OO'の回りに回転している。図１．８０参照。パイプ中には理想液体が入っている。パイプの端Ａは開放端であり、端Ｂは小さい穴がある閉塞端である。パイプに対して、どれだけの速度で水が放出されるかを、水柱の高さｈの関数として求めよ。
１．３７８． 理想液体の定常流において式 ρ（ｄｖ／ｄｔ）＝ｆ−∇ｐ はベルヌーイの式となることを証明せよ。
ここで、ρは液体の密度、ｆは質量力の体積密度（重力の場
合にはｆ＝ρｇ）、∇ｐは圧力の傾き。
１．３７９． 水で満たされている広い垂直な容器の対向している側面に、各々面積が S=０．５０ｃｍ ２の穴が開いている。
穴の高さの差はΔｈ＝５１ｃｍ。流れ出る水による合成反力を求めよ。
１．３８０． 高さｈ＝７５ｃｍの広い垂直円筒容器の側壁に、狭い垂直な隙間を作った。色魔の下端は容器の底に突き当たっている。
隙間の長さはｌ＝５０ｃｍ、幅はｂ＝１．０ｍｍ。隙間を閉じて、容器を水で満たした。隙間を開放した後、流れ出る水による反力を求めよ。
１．３８１． 水平面に置かれているＵ字管の中を、速度ｖで水が流れている。管の断面積はＳ、Ｕ字部の半径はＲ。以下を求めよ。
（ａ）
管のＵ字部及ぼす水の総運動量。（ｂ）流れている水側から、Ｕ字部に作用している力の大きさ。
１．３８２． 直角に曲がっているパイプを経由して、大きなタンクから水が流れ出す。図１．８１参照。パイプの内半径はｒ＝０．５０ｃｍ。パイプの水平部分の長さはｌ＝２２ｃｍ。水の流量はＱ＝０．５０リットル／ｓ。水の流れによって、点 O に対するこのパイプの器壁への水の半力のモーメントを求めよ。
１．３８３． 水射器の筒の断面積Ｓ １=５０ｃｍ ２からＳ ２=５．
０ｃｍ ２ に変化している。射出水の速度がＶ ０ ＝２５ｍ／ｓとして、筒の固定部（１の箇所）に発生する水平力の大きさと方向を求めよ。粘性は無視する。
１．３８４． 水の入っている円筒型容器が自身の垂直軸の回りに、角速度ωで回転している。以下を求めよ。（ａ）自由水面- 31 -

の形状。（ｂ）容器の底に対する、底の半径に沿った水の圧力分布。底の中心の圧力はｐ ０とする。
１．３８５． 半径Ｒ＝１０ｃｍの水平円板が、油の入っている円筒型空洞に入っている。図１．８３参照。油の粘性は
η＝８ｍＰ・ｓ。円板と空洞の上下の器壁との間隔は等しく
ｈ＝１．０ｍｍ。円板の回転角速度がω＝６０ラジアン／ｓの時、円板に作用している粘性力が引き起こしている仕事率を求めよ。
１．３８６． 半径 R １の長い円筒が、自身に軸に沿って一定速度ｖ０で移動させる。円筒内部には、同軸で、半径Ｒ ２の不動の円筒が入っている。２つの円筒の間は粘性液体で満たされている。液体の速度を、円筒の軸からの距離 r の関数として見いだせ。流れは層状とする。
１．３８７． 粘性係数ηを持っている液体が、半径Ｒ１、Ｒ２の長い同軸円筒の間に入っている。Ｒ＜Ｒ２。内部の円筒は不動であり、外部の円筒が角速度ωで回転する。液体の運動は層状である。半径ｒの円筒表面の単位面積当りに作用する摩擦力はσ＝ηｒ（ｄω／ｄｒ）とする。以下を求めよ。
（ａ）半径ｒの関数として回転する液体の角速度。（ｂ）外部の円筒の単位長さ当りに作用する摩擦力のモーメント。

１

１．３８８． 半径Ｒの管中を、粘性液体が定常に流れている。管の軸における液体の速度はｖ０。
管の軸からの距離ｒの関数として液体の速度を求めよ。
１．３８９． 長さｌ、半径Ｒの管中を、密度ρ、粘性ηの液体が定常に流れる。液体の流れの速度
は管の軸までの距離ｒに依存している。その関係はｖ＝ｖ ０（１−ｒ ２／Ｒ ２）。以下を求めよ。（ａ）
１秒毎に管の断面積を通過する液体の体積。（ｂ）管の体積中の液体の運動エネルギー。（ｃ）管の両端間の圧力差。
１．３９０．密度ρ、粘性係数ηの液体が、水平と角度αをなしている斜面に沿って、層状に定常流となって流れている。
流れの厚さはｈ。流れの垂直断面を通って、流れの単位幅当りで、かつ単位時間当りに流れる液体の体積を求めよ。
１．３９１． 図１．８４参照。大きい容器Ａから、パイプを経由して、密度ρ＝１．０ｇ／ｃｍ ３ の粘性液体が流れ出る。ｈ １＝１０ｃｍ、ｈ ２ ＝２０ｃｍ、ｈ３＝３５ｃｍ。流れ出る液体の速度を求めよ。寸法は図の通りである。
１．３９２． パイプの断面積が、式ｒ＝ｒ０ｅ−αｘに従って細くなっている。ここで、α＝０．５０／ｍ、ｘはパイプの入り口からの距離。Δｘ＝３．２ｍ離れている２つの断面積の間におけるレイノ
ルド数の関係を求めよ。
１．３９３． 半径ｒ１＝１．２ｍｍの球のグリセリン中での運動において、球の速度がｖ １＝２３ｃｍ／ｓを超えないとき、層流が観察される。半径がｒ＝５．５ｃｍの球が、水中でどのような最小速度の場合に、流れは乱流となるか。グリセリンと水の各々の粘性係数は、η １＝１．３９Ｐａ・ｓ、
η２＝１．１ＭＰａ・ｓ。
１．３９４． 鉛球が、粘性係数η＝１．３９Ｐａ・ｓのグリセリン中に一様に沈んでいく。グリセリンの流れが層状であるのは、球の直径が幾らまでの時か。乱流への転移は数値Ｒｅ＝０．５に対応している。ここでＲ ｅの式中のｌとしては球の直径をとる。
１．３９５． 直径ｄ＝３．０ｍｍの鉄球が、初速度ゼロで、粘性係数η＝９０ｍＰａ・ｓのオリー
ブ油中を沈む。運動開始からどれだけの時間経過したとき、球の速度は確立される最終速度とｎ＝１．
０％だけ異なるか。
１．８．

相対論的力学●長さのローレンツ短縮と運動している時計の遅れ
ｌ＝ｌ０（１−（ｖ／ｃ） ２）１／２､Δｔ＝Δｔ０／（１−（ｖ／ｃ）２） １／２
ここで､ｌ０は固有長､Δｔ０は運動している時計の固有時間。
●ローレンツ変換
ｘ ＝（ｘ−Ｖｔ）／（１−（Ｖ／ｃ） ２）１／２,ｙ ＝ｙ、
ｔ ＝（ｔ−ｘＶ／ｃ２）（１−（Ｖ／ｃ）２）１／２●間隔ｓ１２−不変量- 32 -（１．８ａ）（１．８ｂ）

ｓ１２２＝ｃ２ｔ１２２−ｌ １２２＝不変（１．８ｃ）
ここで、ｔ１２は事象１，２の時間間隔,ｌ１２はこれらの事象が発生した点間の距離。
●速度の変換（１．８ｄ）
ｖｘ ＝（ｖｘ−Ｖ）／（１−ｖ ｘＶ／ｃ２），ｖｙ ＝（ｖｙ（１−（Ｖ／ｃ） ２）１／２／（１−ｖ ｘＶ／ｃ２）●相対論的運動量（１．８ｅ）
ｐ＝ｍ ｒｖ＝ｍｖ／（１−（ｖ／ｃ）２）１／２
ここで、ｍｒ＝ｍ／（１−（ｖ／ｃ）２） １／２、ｍは静止質量。
●粒子の相対論的運動方程式
ｄｐ／ｄｔ＝Ｆ（１．８ｆ）
ここで、ｐは粒子の相対論的運動量●相対論的粒子の静止エネルギーと運動エネルギー
Ｋ＝（ｍｒ−ｍ）ｃ ２（１．８ｇ）
Ｅ＝ｍｒｃ２＝ｍｃ２＋Ｋ，●相対論的粒子のエネルギーと運動量の関係
ｐ２ｃ２＝Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ２）（１．８ｈ）
Ｅ２−ｐ ２ｃ ２＝ｍ ２ｃ ４，●粒子同士の衝突において、不変量を使用することは有効である（１．８ｉ）
Ｅ２−ｐ ２ｃ ２＝ｍ ２ｃ ４
ここで、Ｅとｐは衝突までの全系のエネルギーと運動量、ｍは形成された粒子（又は系）の質量
１．３９６． 慣性系Ｋの観察系に対して、一定の速度ｖで棒が縦方向に移動する。ｖがどのような値の時、この観察系で棒の長さは棒の固有長よりη＝０．５０％短くなるか。
１．３９７． 直角三角形がある。直角に接する１辺の長さはａ＝５．０ｍ、この辺と斜辺のなす角度はα＝３０°。長さａの辺に沿って、この三角形に対して速度ｖ＝０．８６６ｃで運動している観察系Ｋ において以下を求めよ。（ａ）角度αに対応する角度α 。（ｂ）斜辺の長さｌ と固有長に対するその関係。
１．３９８． K 観測系において、ある棒の速度はｖ＝ｃ／２，棒の長さがｌ＝１．００ｍで、棒とと運動方向のなす角度が、θ＝４５°である。棒の固有長を求めよ。
１．３９９． 間隔Δｘ離れている２つの目印 A,B の傍を、棒が縦方向に運動する。最初、時刻ｔ１の時、目印 A に向かい合って棒の前端があった。その後、時刻ｔ２，ｔ３の時に、目印 B に向かい合って、各々棒の前端と後端が位置した。この棒の固有長を求めよ。
１．４００． K 観測系において時計はどれだけの速度で動いているか。K 観測系でｔ＝５．０ｓの間に、動いている時計は、この K 系の時計よりΔｔ＝０．１０ｃ遅れるものとする。
１．４０１． K 観測系で不動の目印の傍を、棒が一定の速度で通過する。K 系で測定すると、その飛行時間はΔｔ＝２０ｎｓ。棒に固定している観測系から見ると、目印はΔｔ ＝２０ｎｓの間、棒に沿って動いた。棒の固有長を求めよ。
１．４０２． 或る不安定な粒子の固有寿命はΔｔ ０＝１０ｎｓ。この粒子の寿命がΔｔ＝２０ｎｓとなる観測系において、この粒子は自己崩壊するまでどれだけの距離を飛行するか。
１．４０３． 中間子が、速度ｖ＝０．９９０ｓで飛行しているＫ観測系において、この中間子は生まれてから崩壊するまでにｌ＝３．０ｋｍ飛行した。以下を求めよ。（ａ）この中間子の固有寿命。
（ｂ）Ｋ系での中間子の飛行距離を 中間子自身（？） から見た距離。
１．４０４． 研究室観測系において、２つの粒子が同じ速度ｖ＝３ｃ／４で、一直線上を動き、時間間隔Δｔ＝５０ｎｓで、不動の標的にあたった。標的に当たるまでにおける２つの粒子間の固有長を求めよ。
１．４０５． 或る一定の速度で、棒が物差しに沿って動く。物差しに固定されている観測系において、棒の両端の位置を同時間において記録すると、物差し上でその差はΔｘ １＝４．０ｍであった。
棒に固定されている観測系で、同時間に、棒の両端の位置を記録すると、物差しに沿ってのこの差はΔｘ ２＝９．０ｍであった。棒の固有長、と物差しに対する棒の速度を求めよ。
１．４０６． 同じ固有長ｌ ０である２本の棒が、平行な２本の水平軸に沿って向かい合って動く。
棒の１つに固定している観測系において、２つの棒の左端と右端の一致した瞬間の時間間隔はδｔ。
１つの棒に対する他方の棒の速度を求めよ。
１．４０７． ２個の不安定粒子が、Ｋ観測系で、速度ｖ＝０．９９０ｃで、或る直線状を同じ方向に動いている。Ｋ観測系によれば、２つの粒子の間隔はｌ＝１２０ｍ。両方の粒子が、或る瞬間に、粒子に固定された観測系で同時に崩壊した。Ｋ観測系では、２つの粒子の崩壊の時間間隔は幾らとなるか。Ｋ観測系からは、どちらの粒子が遅く崩壊することになるか。
- 33 -

１．４０８． Ｋ観測系のＸ軸に沿って、配位されている棒ＡＢが、Ｘ軸の正方向に、一定速度ｖで動く。棒の先端をＡ点、後端をＢ点とする。以下を求めよ。（ａ）時刻ｔＡで、点Ａの座標値はｘＡ、
時刻ｔ Ｂで、Ｂ点の座標がｘ Ｂであるとして、棒の固有長。（ｂ）Ｋ系において、棒の先端と後端の座標差が、棒の固有長と等しくなるためには、いかほどの時間間隔で、棒の先端と後端を記録しなければならないか。
１．４０９． 図１．８５参照。棒Ａ Ｂ 棒ＡＢに対して、一定速度ｖで動く。両方の棒は同じ固有長を持ち、角棒の両端には同期させた時計ＡとＢ、Ａ とＢ がある。各々の棒に固定されている観測系で、時間の測定の始めとして、時計Ｂ と時計Ａが一致した瞬間をとる。以下を求めよ。（ａ）棒（？）が逆配置となったときの時計Ｂと時計Ｂ の指示値。（ｂ）その時の時計Ａと時計Ａ の指示値。
１．４１０．図１．８６参照。お互いに速度ｖで動いている２つの観測系Ｋ，Ｋ の時計グループは同期がとれている。時計
Ａ が、時計Ａに対面しているときを、時刻の測定の始めとする。Ｋ系で見たときの全ての時計の針の位置を大凡で描け。Ｋ
で見たときはどうか。
１．４１１． Ｋ観測系のＸ軸方向に、Ｋ系に対して速度Ｖで、Ｋ 観測系が動いている。座標ＯとＯ が一致した瞬間に、２つの系の原点Ｏ、Ｏ にある時計はゼロを指示していたとする。
両方の観測系の時計の指示値が全時間において同じである点の移動速度ｘドットを、Ｋ系で求めよ。
ｘドット＜Ｖであることを調べよ。
１．４１２． Ｋ系の２点で、時間間隔Δｔで、事象が起こった。
これらの事象（例えば、射撃と命中）がＫ系で因果関係にあるな
らば、任意の他の慣性形Ｋ においても同じ因果関係にある、ことを示せ。
１．４１３． 図１．８７参照。空間−時間図中に、事象Ａ，Ｂ，Ｃが示されている。各々は或る慣性観測系のＸ軸上で起こった事象である。以下を求めよ。（ａ）２つの事象Ａ，Ｂが同時刻に発生した観測系における、事象ＡとＢの時間間隔。（ｂ）事象Ａ，Ｃが同時に発生した系において、これら２つの事象の地点間の距離。
１．４１４． Ｋ観測系のｘｙ平面で、粒子が動く。粒子の速度の成分はｖｘ、ｖｙ。Ｋ系に対して速度Ｖで、Ｋ系のＸ軸の正方向に移動しているＫ 観測系がある。Ｋ 観測系で見たときのこの粒子の速度ｖ を求めよ。
１．４１５． 研究室観測系で、２つの粒子が、速度ｖ１＝０．５０ｃ、ｖ２＝０．７５ｃで真向かいあわせに動いている。以下を求めよ。（ａ）？ 研究室観測系において、２つの粒子間の距離が最小となる速度。（ｂ）粒子の相対速度。
１．４１６． 同じ固有長ｌ０の２本の棒が、研究室観測系に対して、同じ速度ｖで、共通軸に平行に真向かい合わせに縦方向に動く。一方の棒に固定した観察系では、他方の棒の長さは幾らとなるか。
１．４１７． 研究室系で。２つの相対論的粒子がお互いに直角をなして動く。片方の粒子の速度はｖ１，他方の粒子の速度はｖ２。２つの粒子の相対速度を求めよ。
１．４１８． 或る不安定な粒子が、Ｋ 観測系において、そのＹ 軸に沿って、速度ｖで動いている。Ｋ 系は、Ｋ観測系に対して、速度Ｖで、Ｘ軸の正の方向に動いている。両方の系のＸ軸とＸ軸は一致しており、Ｙ 軸とＹ軸はお互いに平行である。粒子の固有寿命がΔｔ ０とすれば、Ｋ系において、粒子はどれだけの距離を飛行するか。
１．４１９． Ｋ系において、粒子が速度ｖで、Ｘ軸と角度θをなして動いている。Ｋ系に対して、
Ｘ軸の正方向に、速度Ｖで移動しているＫ 系における固有角度を求めよ。両座標系のＸ軸とＸ 軸は一致しているものとする。
１．４２０． 棒ＡＢが、Ｋている。図１．８８参照。Ｋの角度を求めよ。

観測系において、Ｘ 軸に平行に位置し、Ｙ 方向に速度ｖ で動い
系はＫ系に対して速度Ｖで動いている。Ｋ系において、Ｘ軸と棒の間- 34 -

１．４２１． Ｋ 系が、Ｋ系に対して一定の速度Ｖで移動する。以下の場合において、Ｋ 系で測定した粒子の加速度ａ を求めよ。Ｋ系では、粒子は速度ｖでもって動き、加速度は直線方向にａとする。（ａ）ベクトルＶの方向に動くとき。（ｂ）ベクトルＶに垂直に動くとき。
１．４２２． 地球から出発した宇宙ロケットが、各慣性系
で、同じ加速用ロケットを瞬間的に随伴しながら、加速度ａ＝１０ｇで動いていくとする。加速は地球時間で、τ＝１．
０年であった。加速の最終におけるロケットの速度は光速度の何％までとなったか。この間にロケットの進んだ距離はいくらか。
１．４２３． 前問に資料を利用し、ロケット自身に固定されている観測系において、ロケットの加速年数τ ０を求めよ。
なを、τ ０ ＝ ０ ∫ τ （０→τ ０ ）（１−（ｖ／ｃ） ２ ） １／２ ｄｔで表記される。ここで、τは地球系でのロケットの時間。
１．４２４．光速度とη＝０．０１０％だけ違う速度の粒子の相対論的質量は、自身の静止質量の何倍か。
１．４２５． 静止している物体の密度はρ０。物体の密度が、ρ０よりη＝２５％だけ大きくなる測定系の速度を求めよ。
１．４２６． 陽子が、運動量ｐ＝１０．０ＧｅＶ／ｃを持って動く。ここで、ｃは光速度。この陽子の速度は、光速度と何％異なっているか。
１．４２７．
を求めよ。

粒子の相対論的運動量が、そのニュートン運動量よりη＝１．４倍大きい粒子の速度

１．４２８． 質量ｍの粒子の速度を、０．６０ｃから０．８０ｃまで増加させるためには、どれだ
けの仕事をする必要があるか。得られた結果を、非相対論で得られる結果と比較せよ。
１．４２９．
でか。

粒子の運動エネルギーが、自身の静止エネルギーと等しくなるのは、いかほどの速度

１．４３０． 非相対論の公式で計算した粒子の速度の相対誤差が、η＝０．０１０を超えないのは、自身の静止質量に対する運動エネルギーの関係がどのような値の時か。
１．４３１． 質量ｍの粒子の運動量の自身の運動エネルギーに対する依存を求めよ。運動エネルギ
ー５００ＭｅＶを持つ陽子の運動エネルギーを計算せよ。
１．４３２． 運動エネルギーがＫ＝５００ＭｅＶ、運動量がｐ＝８６５ＭｅＶ／ｃの粒子の速度を求めよ。ここで、ｃは光速度。
１．４３３． 運動エネルギーＫを有している相対論的粒子束が、吸収標的に衝突する。粒子束の電流はＩ、各粒子の荷電と質量はｅ、ｍ。標的に対する粒子束の圧力、標的に放出された仕事率を求めよ。
１．４３４． 最初停止していた宇宙船に、速度ｖ＝０．９８０ｃの速度を与えるためには、いかほどのエネルギーを消費しなければならないか。質量単位で答えよ。
１．４３５． 時刻ｔ＝０で、質量ｍの粒子が、一定力Ｆの作用のもとで動き始める。時間ｔに依存した形で、粒子の速度、と粒子の進んだ距離を求めよ。
１．４３６． 質量ｍの粒子が、Ｋ観測系のＸ軸に沿って、式ｘ＝（ｄ２＋ｃ ２ｔ２）１／２に従って動く。
ここで、ｄは或る定数、ｃは光速度、ｔは時間。この観測系において、粒子に作用している力を求めよ。
１．４３７． ｄｐ／ｄｔ＝Ｆを利用して、以下を求めよ。（ａ）どのような場合において、粒子の加速度は粒子に作用している力の方向と一致するか。（ｂ）ｖを粒子の速度とする。力Ｆ⊥ｖ、Ｆ‖ｖの時の、力Ｆと加速度ａの間の比例係数。
１．４３８． 運動量ｐ、全エネルギーＥを有する相対論的粒子が、Ｋ観測系のＸ軸に沿って動く。
Ｋ系に対して、Ｘ軸の正方向に、一定速度Ｖで動いているＫ 観測系において、この粒子の運動量と全エネルギーは、次の式で定まることを示せ。
- 35 -

ｐｘ ＝（ｐ ｘ−ＥＶ／ｃ ２）／（１−β２）１／２。
Ｅ ＝（Ｅ−ｐ ｘＶ）／（１−β２） １／２。
ここで、β＝Ｖ／ｃ。
１．４３９． Ｋ観測系において、光子のエネルギーはεに等しい。変換公式、と前問で導いた式を利用して、Ｋ系に対して速度Ｖで、光子の運動方向に運動しているＫ 観測系における光子のエネル
ギーε を求めよ。エネルギーε ＝ε／２となるのはＶがどのような値の時か。
１．４４０． 全ての慣性観測系において、Ｅ ２−ｐ ２ｃ ２の大きさは同じである、ことを示せ。この不変性の意味はどのようなものなのか。
１．４４１． 各々の質量がｍの２つの粒子が、同じ速度ｖで向かい合わせに飛んでいる。粒子の衝突によって形成される質量がＭとして、速度ｖを求めよ。
１．４４２． 運動エネルギーＫ＝２ｍｃ ２を持った中性子が飛んできて、静止している中性子に衝突する。ここで、ｍは中性子の質量。重心系において以下を求めよ。（ａ）２つの中性子の層運動エネルギー。（ｂ）各々の中性子の運動量。
１．４４３． 運動エネルギーＫを持った質量ｍの相対論的粒子が、同じ質量の粒子に飛んできて衝突する。衝突の結果、生成された合成された粒子の質量と速度を求めよ。
１．４４４． 重心系における２つの陽子の総運動エネルギーが、運動エネルギーＫ＝２５．０Ｇｅ
Ｖで向かい合わせに動いている２つの陽子と同じとする。この条件で、陽子が飛んできて、静止している陽子に衝突するためには、どれだけの運動エネルギーが必要か。
１．４４５． 静止している質量ｍの粒子が、質量ｍ １，ｍ ２，ｍ ３の３つの粒子に崩壊する。粒子の持ち得る、例えばｍ １が、最大全エネルギーを求めよ。
１．４４６． 相対論的ロケットが、ロケットに対して一定の非相対論的速度ｖでガス流を噴射する。
ロケットの質量ｍに対するロケットの速度の依存性を求めよ。ロケットの初期質量はｍ ０とする。

- 36 -

第２部
２．１．

電磁気学

真空中の静電場●点電荷ｑの場の電界強度とポテンシャル
Ｅ＝（１／（４πε０））（ｑ／ｒ３）ｒ、φ＝（１／（４πε０））ｑ／ｒ●場の電界強度とポテンシャルの関係
Ｅ＝−∇φ
Ｅｌ＝−∂φ／∂ｌ、●ガウスの定理とベクトルＥの循環∫Ｅｄｒ＝０∫ＥｄＳ＝ｑ／ε ０、●電気モーメントｐを持つ双極子による場のポテンシャルと電界強度
φ＝（１／（４πε０））ｐｒ／ｒ３、
Ｅ＝（１／（４πε０））（ｐ／ｒ３）（１＋３ｃｏｓ ２θ）１／２
ここで、θはベクトルｒとベクトルｐのなす角度●外場中の双極子ｐのエネルギーＷと、双極子に作用する力のモーメントＮ
Ｗ＝−ｐＥ、
Ｎ＝［ｐＥ］●双極子に作用する力Ｆと、その射影ＦｘＦ＝ｐ∂Ｅ／∂ｌ，Ｆｘ＝ｐ・∇Ｅｘ
ここで、∂Ｅ／∂ｌは双極子方向のベクトルＥの導関数（２．１ａ）（２．１ｂ）（２．１ｃ）（２．１ｄ）（２．１ｅ）（２．１ｆ）

２．１． ２個の電子の間の電気相互力と重力相互力の関係を求めよ。２個の陽子の場合についても考察せよ。比電荷ｑ／ｍが幾らの値の時、これら２つの力は等しくなるか。
２．２． 荷電ｑ １，ｑ ２を持った２個の同じ小さい金属球が、間隔ｌ＝２００ｍｍ離れて、力Ｆ ０＝
３６ｍＮで引き合っている。２つの球を接触させた後、再び同じ距離ｌ離すと、２つの球は力Ｆ＝６４ｍＮで反発するようになった。荷電ｑ １，ｑ ２を求めよ。
２．３． ２つの正荷電ｑ１，ｑ２が、半径ベクトルｒ１，ｒ２の箇所に位置している。３つめの負荷電ｑ３がある。これら３つの各々の荷電に作用している力がゼロとなるようにしたい。ｑ３とその半径ベクトルを求めよ。
２．４． 同じ帯電量を有し、質量ｍ＝９．０ｇの３つの小さい同形の球が、長さｌ＝２５０ｍｍの３本の絹糸で、１点から吊されている。糸同士のなす角度が２α＝６０°となった。各球の帯電量を求めよ。
２．５． 質量ｍ＝５．０ｇで、同じ量帯電している２つの小さい球が、２本の絹糸で１点から吊されている。２本の糸のなす角度はθで小さく、球は同じ高さに位置している。２つの球から荷電が漏れるものとする。２つの球の接近速度は一定であり、ｖ＝０．５５ｍｍ。θ＝５°の時の各々の球からの荷電の漏れ速度ｄｑ／ｄｔを求めよ。
２．６． 各々質量がｍ＝６．０ｇ、荷電量がｑ＝１．０μ C の３つの小さい球が、３本の糸で連結され、辺長ｌ＝２００ｍｍの正三角形を形成している。１本の糸を焼き切った。直後における真ん
中の球の加速度を求めよ。重力はないものとする。
２．７． 半径Ｒ＝１００ｍｍの細い導線リングが、荷電量ｑ＝５０μＣを有している。リングの中
心に、点電荷ｑ０＝７．０μＣを置いたならば、リングを引っ張る力の増加分はいくらか。
２．８． 正の点電荷５０μＣが、ｘｙ平面上で、半径ベクトルｒ ０＝２ｉ＋３ｊの点にある。ここで、ｉとｊはＸ軸とＹ軸の単位ベクトル。半径ベクトルｒ＝８ｉ−５ｊの点における電界強度の大きさと方向を求めよ。ここで、ｒ０とｒの単位はｍとする。
２．９． 対角線が２ｌ＝１００ｍｍである正方形の頂点に、大きさが同じ（ｑ＝２．５μＣ）点電荷がある。電荷の符号は辺を巡った順に、＋、＋、−、−。正方形の中心から距離ｘ＝５０ｍｍで、正方形の頂点に対して対称に位置している点における電界強度Ｅを求めよ。
２．１０． 長さｌ＝１００ｃｍの細い棒ＡＢが、ｑ＝３７ｎＣの荷電を持っている。荷電の線密度
は端Ａからの距離の２乗に比例している。端Ａでの電界強度を求めよ。
２．１１．半径Ｒ＝２０ｃｍの半円リングが、ｑ＝０．７０ｎＣの荷電量で一様に帯電している。この半円リングの曲率半径の中心での電界強度の大きさを求めよ。
２．１２．細い導線でできた半径Ｒのリングが荷電ｑを持っている。リングの軸上で、リングの中心までの距離ｌの関数として、電界強度の大きさを求めよ。ｌ≫Ｒの時のＥ（ｌ）について考察せよ。
Ｅ（ｌ）の概略図を描け。
２．１３．

半径Ｒの半無限円筒が、表面を一様に帯電させている。円筒の単位長さ当り、荷電λが- 37 -

ある。円筒の基底の中心における電界強度を求めよ。
２．１４． 半球がある。表面は面密度σ＝６０ｎＣ／ｍ ２で一様に帯電している。半球の基底の中心における電界強度を求めよ。
２．１５． 半径Ｒの円形穴を有している平面が、面密度σで一様に帯電している。穴の軸上の電界強度を、穴の中心までの距離ｌの関数として求めよ。
２．１６． 系は、半径Ｒの細く帯電している導体リング、と非常に長い帯電している糸からできている。糸はリングの軸に沿っており、糸の１端はリングの中心に位置している。リングの帯電量はｑ。
糸の単位長さ当りの荷電量はλ。リングと糸の間の相互作用力を求めよ。
２．１７． 半径Ｒの細い不導体リングが、線密度λ＝λ ０ｃｏｓφで帯電している。ここで、λ０は定数、φは方位角度。以下の点における電界強度を求めよ。（ａ）リングの中心。（ｂ）リングの軸上で、リングの中心までの距離ｘに対する依存性。
２．１８． 真空中にある、長さ２ａの細い直線棒が、一様にｑで帯電している。以下の場合において、その点から棒の中心までの距離ｒの関数としての電界強度の大きさを求めよ。（ａ）棒に垂直で棒の中心を通過している直線上の点。（ｂ）ｒ＞ａとして、棒の軸と一致している直線上の点。得られた式を、ｒ≫ａの場合について考察せよ。
２．１９． 長い直線の帯電している糸は、単位長さ当りλの荷電量を持っている。糸から距離ｙ離れて、糸の両端の内の１つを通り、糸に垂直な点の電界強度の大きさを求めよ。
２．２０． 単位長当り荷電λに帯電している糸が、図２．
１に示している形をしている。曲部の半径Ｒは糸の長さに比較して十分に小さい。前問の結果を利用して、曲率中心であるＯ点における電界強度を求めよ。
２．２１． 半径ｒの球殻が、表面密度σ＝ａｒで帯電している。ここで、ａは定ベクトル、ｒは球殻の中心から球表面の点への半径ベクトル。球殻の中心点での電界強度を求めよ。
２．２２． 半径Ｒの球殻の表面電荷密度は、極角θにσ＝σ ０ｃｏｓθに依存している。ここでσ０は正定数。このような荷電分布は、半径Ｒの帯電している２つの球が、ごく僅かにずれている結果と同じである、ということを証明せよ。なを、２つの球は共に一様に同じ電荷だけ帯電しているが、符号だけが反対である。この考え方を利用して、問題としている球殻内部の電界強度を求めよ。
２．２３． 電荷の体積密度がρ＝ａｒである。半径Ｒの球の中心における電界強度を求めよ。ここで、ａは定ベクトル、ｒは球の中心からの半径ベクトルである。
２．２４． 距離２ａ離れている２枚の平板の間を、体積密度がこれら２枚の平板に垂直Ｘ軸の座標に依存し、ρ＝αｘである電荷で満たす。ここで、αは定数。座標の原点（ｘ＝０）は、２枚の平板の中点。電界強度のｘに対する依存を見いだせ。より正確にはＥ ｘ（ｘ）とＥ（ｘ）。これらの概略
図も描け。
２．２５． ２本の長い平行な糸が、線密度λ＝０．５０μＣ／ｍで帯電している。糸の間隔はｌ＝４５ｃｍ。この系の対称面中での電界強度の最大値を求めよ。
２．２６． 相互に垂直に交差している２本の無限の糸が、線密度λで一様に帯電している。これらの相互作用力を求めよ。
２．２７． 円形断面を有している無限に長い円筒表面が、面密度σ＝σ ０ｃｏｓφで長さ方向に一様に帯電している。ここで、円筒の中心軸としてＺ軸とし、φはその回りの極角である。Ｚ軸上における電界強度の大きさを方向を求めよ。
２．２８． 中空の立方体の面が、面密度σで一様に帯電している。以下の場合において、各面に作用する力を求めよ。（ａ）立方体の中心においた点電荷ｑから。（ｂ）立方体の１辺の長さをｌとする。残りの面から。（１つの面に、残りの５つの面が作用する力のことか？）２．２９． 軸対称電界がある。その電界強度は、対称軸までの距離ｒに依存しており、Ｅ＝ａｒ／ｒ２である。ここで、ａは定数。この電界場の軸上の中心からの半径Ｒの球殻内部の荷電量を求めよ。
２．３０．

電界強度Ｅ＝ａｒｒ。ここで、ａは定数、ｒは場の中心からの距離。この場によって作- 38 -

られている電荷密度ρ（ｒ）を求めよ。
２．３１． 半径Ｒの球が正荷電を持っており、荷電の体積密度は球の中心までの距離ｒだけに依存
し、ρ＝ρ ０ （１−ｒ／Ｒ）。ここでρ ０ は定数。球の材質は無視して以下を求めよ。（ａ）ｒの関数として、球内外の電界強度の大きさ。（ｂ）電界強度の最大値ＥＭＡＸ、その値に対応しているｒｍ。
２．３２． 球対称に帯電している半径Ｒの球、と体積密度ρ＝α／ｒを持った電荷で満たされている周りの媒質からなる系がある。ここで、αは定数、ｒは球の中心からの距離。物質の影響は無視して、球の荷電を求めよ。
２．３３． 体積密度ρで一様に帯電した球の内部に、球形の空洞がある。空洞の中心は球の中心から距離ａずれている。球の物質の影響を無視して、空洞内の電界強度を求めよ。
２．３４． 図２．２参照。体積密度ρ、−ρで一様に異なった電荷で帯電している２つの球がある。２つの球が交差している部分の電界強度Ｅを求めよ。２つの球の中心間の距離はａ。
２．３５． １辺ａの正三角形の頂点に、３つの同形の球が配置されている。３つの球は、お互いに糸で連結されている。各級の荷電量と質量は共にｑ、ｍ。糸の１本を焼き切る。中間の球の最大速度を求めよ。重力はない。
２．３６． 半径Ｒの細い導製リングが２本ある。各々の軸は一致している。リング間の距離はｌ＝リングの荷電量はｑ、−ｑ。ｌ＝５２ｃｍ、Ｒ＝３０ｃｍ、ｑ＝０．４０μＣとして、リングの中心間の電位差を求めよ。
２．３７． 無限に長い直線の糸が、線密度λ＝０．４０μＣ／ｍで一様に帯電している。点１と点２の間の電位差を求めよ。点２は点１より糸からη＝２．０倍遠い。
２．３８． 半径Ｒ＝２５ｃｍの細いリングが、一様に分布していない荷電ｑ＝５．０μＣで帯電している。リングの中心から、リングの軸に沿って、距離ｌ＝５０ｃｍの所の点まで任意の経路で、点電荷ｑ ＝１．０μＣを移動させるときに電気力のなす仕事を求めよ。
２．３９． 半径Ｒの円板が、面密度σで一様に帯電している。円板の中心からの距離のｌの関数として、円板の軸上における電位と電界強度の大きさを求めよ。ｌ→０とｌ≫Ｒの場合について考察せよ。
２．４０． 半径Ｒの基面を持っている円錐の表面が、面密度σで一様に帯電している。円錐の頂点での電位を求めよ。
２．４１． 半径Ｒ＝２０ｃｍの薄い円盤の端における電位を求めよ。円板は面密度σ＝０．２５μＣ／ｍ２で一様に帯電している。
２．４２． 半径Ｒの球の体積に荷電ｑが一様に分布している。急の物質の影響を無視して、以下の箇所における電位を求めよ。（ａ）球の中心点。（ｂ）球の中心からの距離ｒの関数として、球内部の点。
２．４３． 電位がφ＝ａｒである電場の電界強度を求めよ。ここで、ａは定ベクトル、ｒは電界中のある点の半径ベクトル。
２．４４． 電位φが、ｘ、ｙ座標に関して次のような依存をしている電場の電界強度を求めよ。
（ａ）
φ＝ａ（ｘ ２−ｙ ２）。（ｂ）φ＝ａｘｙ。ここで、ａは定数。ｘｙ平面内において、線ベクトルＥを用いてこれらの場の様子の概略図も描け。
２．４５． 電場の電位が、φ＝α（ｘｙ−ｚ ２ ）で与えられている。ここで、αは定数。ベクトルａ＝ｉ＋３ｋ方向への点Ｍ（２，１，−３）での電界強度の射影を求めよ。
２．４６． 図２．３参照。電気モーメントｐを有している双極子による場の電位はφ＝ｐｒ／（４πε ０ ｒ ３）と書けることを示せ。
ここで、ｒは動径ベクトル。この式を利用して、ｒとθの関数として、双極子場の電界強度の大きさを求めよ。
- 39 -

２．４７． モーメントｐので点状電気双極子が、一様な外部電界中にある。この外場の電界強度はＥ ０ で、ｐと平行である。この場合、双極子と包んでいる等電位表面の内の１つは球殻状である。この球殻の半径を求めよ。
２．４８． ２本の平行な細い糸が、線密度λ、−λで一様に帯電している。糸の間隔はｌ。図２．４参照。ベクトルｌに対して角度θをなし、
ｒ≫ｌの距離における電位と電界強度の大きさを求めよ。
２．４９． 長さｌの細い棒の電気モーメントｐを求めよ。棒の帯電の線密度は、棒の端の１つからの距離がｘのところで、λ＝ａ（２ｘ−ｌ）である。ここで、ａは正定数。
２．５０． 半径ａの半円に均一に荷電ｑ（＞０）が分布している。この半円の中心に、点電荷−ｑがある。図２．５参照。以下を求めよ。
（ａ）
この系の電気双極子モーメント。（ｂ）Ｘ軸上、距離ｒ（≫ｌ）における電界強度の大きさ。
２．５１． 細い導線でできている半径Ｒの２本の同軸リングが、互いの距離をｌ（≪Ｒ）として、各々ｑ、−ｑに帯電している。図２．６参照。座標ｘの関数として、軸上の電位と電界強度を求めよ。これらを概略図で描け。ｘの絶対値がＲより十分に大きいときについても考察せよ。
２．５２． 図２．７参照。電気モーメントｐを持つ双極子を、電界強度がＥ １である点１から、電界強度がＥ ２である点２へ移動させるためには、電界の力に反抗してどれだけの仕事をなす必要があるか。
２．５３． 電気モーメントｐを持つ双極子が、長い真っ直ぐな糸から、
距離ｒの所にある。糸は線密度λで帯電している。ベクトルｐは以下の向きにあるとき、双極子に作用する力Ｆを求めよ。
（ａ）糸に平行。
（ｂ）
半径ベクトルｒに沿っている。（ｃ）糸と半径ベクトルｒに垂直。
２．５４． お互いに距離ｌ＝１０ｎｍ離れている２つの水分子の相互作用力を求めよ。分子の電気モーメントが同じ直線上に沿っている。各々の分子の電気モーメントはｐ＝０．６２×１０ −２９Ｃ・ｍとする。
２．５５． 以下の電場における電位を求めよ。（ａ）Ｅ＝ａ（ｙｉ＋ｘｊ）。（ｂ）Ｅ＝２ａｘｙｉ＋ａ（ｘ ２ −ｙ ２ ）ｊ。（ｃ）Ｅ＝ａｙｉ＋（ａｘ＋ｂｚ）ｊ＋ｂｙｋ。ここで、ａとｂは定数、ｉ、ｊ、ｋはＸ軸、Ｙ軸、Ｚ軸の単位ベクトル。
２．５６． 空間のある領域の場の電位は、φ＝−ａｘ ３ ＋ｂのように、座標ｘにのみ依存している。ここで、ａ、ｂはある定数。荷電の体積密度ρ（ｘ）を求めよ。
２．５７． 間隔ｄ離れている２枚の大きな平行板の間に、一様に体積荷電が分布しｒている。板の電位差はΔφ。荷電の体積密度ρが、どのような値の時、１板の１枚の近傍における電界強度がゼロとなるか。この時、もう１枚の板の所の電界強度は幾らとなるか。
２．５８． 帯電球の内部の場の電位は、φ＝ａｒ ２＋ｂのように、球の中心までの距離ｒだけに依存している。ここで、ａとｂは定数。球内の荷電の体積密度ρ（ｒ）の分布を求めよ。
２．２．

電界中の導体と誘電体。

●真空中にある導体表面の所の電場の電界強度Ｅｎ＝σ／ε ０●閉曲面上の分極Ｐ∫ＰｄＳ＝−ｑここで、ｑ はこの閉曲面内の束縛電荷の代数和。
●電気変位Ｄとそのガウスの定理∫ＤｄＳ＝ｑ
Ｄ＝ε０Ｅ＋Ｐ、
ここで、ｑは閉曲面内の寄生荷電の代数和。
●２つの誘電体境界における条件- 40 -（２．２ａ）（２．２ｂ）（２．２ｃ）

Ｐ ２ｎ−Ｐ １ｎ＝−σ 、 Ｄ ２ｎ−Ｄ１ｎ＝σ、Ｅ２τ＝Ｅ１τ
（２．２ｄ）
ここで、σ とσは束縛電荷と寄生電荷の表面密度、法線ｎは媒質１から媒質２に向かっている。
●等方誘電体において
Ｐ＝κε ０Ｅ， Ｄ＝εε０Ｅ､
ε＝１＋κ
（２．２ｅ）●等ポテンシャル面間の全空間を満たしている等方一様な誘電体において（２．２ｆ）
Ｅ＝Ｅ０／ε
２．５９． 小さい球を、水平な導体平板の上に、弾性係数κの絶縁糸で吊す。その後、球を帯電させると、球はｘだけ降下し、平板との距離がｌとなった。球の帯電量を求めよ。
２．６０． ？ 真空中で、平らな導体表面から、垂直に電子が飛び出た。そこには、電界強度Ｅ＝
１００Ｖ／ｍの加速電場が一様にかかっていた。電気映像の効果（？）を考慮して、導体の表面からどれだけの距離で、電子の速度は最小になるか。
２．６１． ｑ＝１００μＣの点電荷が、導体平面からｌ＝１．５ｃｍの所にある。この点電荷をゆっくりと平面から十分遠方に引き離す
ためには、電気力に逆らってどれだけの仕事をする必要があるか。
２．６２． ２つの点電荷ｑ，−ｑがお互いに距離ｌ離れ、かつ、導体板の同じ側に、導体板から同じ距離ｌ／２だけ離れて配置してある。
各々の荷電に作用している電気力の大きさを求めよ。
２．６３． 対角線長ｌ＝５０ｃｍの正方形の頂点に、３つの荷電が配置されている。図２．８参照。点Ｏは正方形の中心、ＡＯＢは直角で、２つの導体半平板で形成されている。荷電−ｑに作用する力を求めよ。ｑ＝１１μＣとする。
２．６４． 点電荷ｑ＝２．００μＣが、相互に垂直な２枚の半平板の間にある。各々の平板と点電荷までの距離は共にｌ＝５．０ｃｍである。点電荷に作用する力の置き差を求めよ。
２．６５． 電気モーメントｐの点双極子が導体平板から距離ｌの所にある。ベクトルｐが平板に垂直であるとして、双極子に作用する力を求めよ。
２．６６． 点電荷ｑが、導体平板から距離ｌの所にある。荷電から平板に垂線を下ろす。平板との交点を距離ｒの原点とする。平板に誘導される荷電の表面密度を、ｒの関数として求めよ。
２．６７． 無限に長い直線の糸が、単位長さ当り荷電λを持ち、糸から距離ｌ離れている導体平板に平行に配置されている。以下を求めよ。（ａ）糸の単位長さ当りに作用している力の大きさ。（ｂ）
平板上の表面電荷密度σ（ｘ）の分布。ここで、ｘは、σが最大な平板上の直線からの距離。
２．６８． 非常に長い糸が、導体平板に垂直に配置され、平板まで距離ｌだけ達していない。糸を線密度λで帯電させる。糸の援用した平面との交点をＯ点とする。面上の以下の点での表面電荷密度を求めよ。（ａ）Ｏ点で。（ｂ）Ｏ点から平面上距離ｒ離れている点で。
２．６９． 半径Ｒ＝７．５ｃｍの細い導体リングが、荷電ｑ＝５．２μＣを有している。リングは導体平面に方向で、導体平面から距離ｌ＝６．０ｃｍ離れて配置されている。リングに対して対称に位置している平面上の点での表面電荷密度を求めよ。
２．７０． 帯電していない導体球殻の内部に中心から距離ｌ＝３０ｃｍの所に、点電荷ｑ＝０．５
０μＣが位置している。導体球殻の電位を求めよ。
２．７１． 半径Ｒ＝７．５ｃｍの細いリングに、荷電ｑ＝２．５ｎＣが不均一に分布している。リングの軸上で、リングの中心から距離ｌ＝１００ｃｍの所に、帯電していない導体球殻の中心が位置している。球殻の電位を求めよ。
２．７２． 点電荷ｑ＝３．４ｎＣが、外半径Ｒ １＝５．０ｃｍ、内半径Ｒ２＝８．０ｃｍの帯電していない導体球殻の中心Ｏから距離ｒ＝２．５ｃｍの所にある。点Ｏの電位を求めよ。
２．７３． ２つの同心の導体球殻から系がなっている。半径ａの内側の球殻には、正荷電ｑ １がある。内側の球殻の電位がφ＝０となるためには、半径ｂの外側の球殻に、どれだけの荷電ｑ ２を与えればよいか。この時、系の中心までの距離ｒに対して、φはどのように依存するか。
２．７４． 図２．９参照。４枚の大きな金属板が、お互いに小さい間隔ｄで配置されている。外側の金属板は導線で連結され、内側の金属板には。電位差Δφが与えられている。以下を求めよ。
（ａ）
金属板の間の電界強度。（ｂ）各金属板の単位面積当りの荷電量。
- 41 -

２．７５． 図２．１０参照。短絡させた平行コンデンサの間に、荷電ｑを持っている金属板がある。
金属板を距離ｌ移動させる。この時、短絡線をどれだけの荷電Δｑが流れるか。コンデンサの極板間間隔はｄ。

２．７６． ２枚の導体平板１，２がお互いに距離ｌ離れて配置してある。平板の間、平板１から距離ｘの所に点電荷ｑがある。各平板に誘導される荷電を求めよ。
２．７７．
Ｃ／ｍ２。

任意の導体表面の単位面積当りの荷電の受ける電気力を求めよ。表面密度はσ＝４６μ２．７８． 半径Ｒ＝１．５ｃｍの金属球が、荷電ｑ＝１０μＣを持っている。球の片側部分の荷電に作用する合成力の大きさを求めよ。
２．７９． 半径Ｒの帯電していない導体球が一様な外部電界中にある。その結果として、球表面には面密度σ＝σ０ｃｏｓθの誘導電荷が現れた。ここで、σ０は定数、θは極角。誘導された荷電の片方の符号を持つ全電荷に作用している電気力の合力の大きさを求めよ。
２．８０． ？電界強度Ｅの外場中にある分極率β（）を持つ弾性（？）双極子のエネルギーを求めよ。ここで、ｐ＝βε０Ｅ。
２．８１． 分極率βの分極していない分子が、電気モーメントｐを有する分極分子から大きな距離ｌ離れて配置している。ベクトルｐは２つの分子を通過する直線に沿っているものとして、２つの分子の相互作用力の大きさを求めよ。
２．８２． 半径Ｒの細い一様に帯電しているリングの軸に、分極していない分子が配置されている。
この分子に作用している力Ｆがゼロとなるのは、リングからの距離ｘが幾らの時か。Ｆが最大値をとるのはｘが幾らの時か。Ｆｘ（ｘ）の依存性を略図として描け。
２．８３． ？ 誘電率ε１の誘電体製の球の中心に、点荷電ｑがある。球の中心に対する半径ベク
トルｒの関数として、分極Ｐを求めよ。球殻（？）内部の束縛（？）荷電ｑ も求めよ。球殻の半径は球の半径より短い。
２．８４． 点電荷ｑが、誘電率ε１の誘電体製の半径ａの誘電体球内の中心にある。球は誘電率ε ２の無限の誘電体で取り囲まれている。これら２つの誘電体境界における束縛荷電の面密度を求めよ。
２．８５． 導体と誘電体の境界において、束縛荷電の表面密度がσことを示せ。ここで、εは比誘電率、σは導体上の荷電の表面密度。

＝−σ（ε−１）／εである

２．８６． 荷電ｑ＝２．５μ C を有している任意形状の導体が、比誘電率ε＝２．５の誘電体に取り囲まれている。誘電体の内表面と外表面における総表面束膜電荷量を求めよ。
２．８７． 比誘電率がε＝２．５の誘電体の内部の或る点 A において、電荷密度がρ＝５０ｍＣ／ｍ ３ 。この点における束縛電子の密度を求めよ。
２．８８． 内半径ａ、外半径ｂの球状層の形態の誘電体がある。
誘電体が以下のように、一様に分布した電荷を有しているとした
とき、球の中心からの距離ｒの関数として電界強度Ｅ、と電位φの概略図を描け。（ａ）層の内表面にある。（ｂ）層の体積内にある。
２．８９． 図２．１１参照。ガラスと真空の境界である点Ａの近傍で、真空側の電界強度はＥ ０＝
１０．０Ｖ／ｍ、ベクトルＥ ０と境界面の法線ｎとのなす角度はα０＝３０°。点Ａの近傍のガラス側- 42 -

の電界強度Ｅ、ベクトルＥと法線ｎのなす角度αを求めよ。また、点Ａでの束縛電荷の表面密度も求めよ。
２．９０． 誘電率εの誘電体が真空と境界をなしている。誘電体の表面には密度σの寄生荷電がある。誘電体の表面から真空には、電界強度Ｅの電場があり、ベクトルＥが境界面の法線とのなす角度はθ。ベクトルＥの力線は境界面の通過で屈折はしていない。角度θを求めよ。σの符号はいかなるものか。
２．９１． 誘電率εの平らな誘電体の表面で、真空に向かっての電界強度はＥ ０、ベクトルＥ ０は誘電体表面の法線に対して角度
θをなしている。図２．１２参照。誘電体内外の電場は一様と見なして以下を求めよ。（ａ）誘電体表面に中心のある半径Ｒの球殻を通過するベクトルＥの電束量。（ｂ）長さｌの経路に沿ってのベクトルＤの循環。Ｄの密度は誘電体の表面に垂直で、ベクトルＥ ０に平行である。
２．９２． 誘電率εの無限に大きい誘電体板が、体積密度ρの寄生荷電で一様に帯電している。板の厚さは２ｄ。以下を求めよ。
（ａ）板の中間からの距離ｌの関数として電界強度Ｅと電位φ。
板の中間の電位をφ＝０とする。Ｘ軸を板に垂直として、Ｅ ｘ（ｘ）とφ（ｘ）の射影の依存性のグラフを描け。（ｂ）誘導荷電の表面密度と体積密度。
２．９３． 誘電率εの等方性の誘電体からできている半径Ｒの球に、体積密度ρ（＞０）で、寄生荷電が一様に分布している。以下を求めよ。（ａ）球の中心からの距離ｒの関数として、電界強度Ｅと電位φ。それらの概略図も描け。（ｂ）誘導荷電の体積密度と表面密度。
２．９４． 半径Ｒ、厚さｄの円形誘電体円板が、分極Ｐで一様に分極している。ベクトルＰは円板面内に横たわっている。ｄ≪Ｒとして、円板の中心での電界強度Ｅを求めよ。
２．９５． 或る条件下で、誘電体からできている帯電していない無限の板の分極はＰ＝Ｐ ０（１−ｘ ２／ｄ ２ ）。ここで、Ｐ ０は板に垂直なベクトル、ｘは板の中間からの距離、ｄは板の半分の厚さ。
板の内部の電界強度を求めよ。板の表面間の電位差を求めよ。
２．９６． 最初、平板コンデンサの極板の空間は、空気で満たされ、隙間の電界強度はＥ ０。その後、図２．１３で示しているように、隙間の半分に誘電率εの誘電体を充填した。誘電体を充填する
とき、（ａ）電極間の電界強度が変化しない時、（２）電極の荷電量が変化しないで残るとき、の両方の場合について隙間の両部分（１と２）における電界強度ベクトルＥと電束密度ベクトルＤの大きさを求めよ。

２．９７．

前問を、誘電体が図２．１４に示されているように充填されている場合について解け。

２．９８． 球殻状コンデンサの電極間の空間が、図２．１５に示されているように、誘電率εの誘電体で充填されている。コンデンサの荷電量はｑ。コンデンサの中心からの距離ｒの関数として、電極間の電界強度の大きさを求めよ。
２．９９． 比誘電率ε＝５．００の誘電体でできている球の内部に、電界強度Ｅ＝１００Ｖ／ｍの電場が形成されている。球の半径はＲ＝３．０ｃｍ。誘導荷電の最大表面密度と、片方の符号の全誘導電荷量を求めよ。
２．１００． 点電荷ｑが真空中にあり、誘電体の平らな表面から距離ｌ離れている。誘電体は全空間の半分を満たしているものとする。比誘電率をεとする。以下を求めよ。（ａ）点電荷ｑまでの距
離をｒとして、この関数型での誘導荷電の表面電荷密度。（ｂ）誘電体表面上の全電荷量。
２．１０１． 前問の条件と解を利用し、誘電体の表面に誘起された荷電側から電荷ｑに作用している力の大きさを求めよ。
- 43 -

２．１０２． ？ 点電荷ｑが、比誘電率εの一様で等方的な無限の誘電体から真空でへだたれた平
面上にある。荷電からの距離をｒとして、ベクトルＤの大きさ、ベクトルＥの大きさと、電位φを求めよ。
２．１０３． 荷電ｑを持っている小さい導体球が、比誘電率εの一様かつ等方的な誘電体中にある。
この球は、真空から誘電体を隔てている無限平板から距離ｌにある。誘電体と真空の境界面上の誘導
荷電の面密度を、ｒの関数として求めよ。ｌ→０の時について、得られた結果を考察せよ。
２．１０４． 比誘電率εの誘電体で充填されている半空間が、導体板で仕切られている。この板から距離ｌの誘電体中に、荷電ｑを持っている小さい金属球がある。球からの距離ｒの関数として、導体板との境界面上の誘導荷電の面密度を求めよ。
２．１０５． 厚さｈの誘電体板が、一様に静電分極し、平板コンデンサ内にある。図２．１６参照。コンデンサの極板は導線で短絡している。誘電体の分極はＰ。コンデン
サの極板の距離はｄ。誘電体板の内外のベクトルＥとベク
トルＤを求めよ。
２．１０６． 円形断面を有する長い誘電体円柱が分極Ｐ＝αｒで分極している。ここで、αは正定数、ｒは軸からの距離。ｒの関数として、誘導荷電の体積
密度ρ を求めよ。
２．１０７． 誘電体球が一様に静電帯電している。その分極はＰ。分極している球は、球全体が負に帯電している球に対して、球全体が正に帯電している球がわずかにずれている、というモデルを用いて以下を求めよ。（ａ）球内の場の電界強度Ｅ。（ｂ）球外の電場は双極子の場と等価であり、場の電位はφ＝ｐ０ｒ／４πε０ｒ３であることを示せ。ここで、ｐ ０は球の電気モーメント、ｒは球の中心からの距離。
２．１０８． 一様な電界強度Ｅ ０中に、一様な誘電体球を置いた。比誘電率はε。この条件下で、誘電体球は一様に分極する。球内部の電界強度と、誘電体の分極Ｐを求めよ。前問の結果を用いよ。
２．１０９． ２つの同形の小さな同符号の帯電球が、同じ長さの絶縁糸で、１点から吊されている。
石油で周りの媒質を充填したとき、糸の分離角度は不変であった。球の質量密度を求めよ。
２．１１０． 点電荷ｑから距離ｒの所に、比誘電率εの誘電体でできている薄い円板がある。円板の体積はＶ、円板の軸は荷電ｑを通過している。円板の半径はｒより十分に小さいものとして、円板に作用する力を求めよ。
２．３．

電気容量。電場のエネルギー●平板コンデンサの容量
Ｃ＝εε０Ｓ／ｄ●点電荷の相互作用系のエネルギー
Ｗ＝（１／２）Σｑｉφｉ●連続分布している荷電系の全電気エネルギー
Ｗ＝（１／２）∫φρｄＶ●２つの荷電物体の全電気エネルギー
Ｗ＝Ｗ １＋Ｗ ２＋Ｗ１２
ここで、Ｗ１，Ｗ ２はここの荷電物体のエネルギー､Ｗ１２は相互作用エネルギー●帯電しているコンデンサのエネルギー
Ｗ＝ｑＵ／２＝ｑ２／（２Ｃ）＝ＣＵ２／２●電場のエネルギー密度
ｗ＝ＥＤ／２＝εε０Ｅ２／２（２．３ａ）（２．３ｂ）（２．３ｃ）（２．３ｄ）（２．３ｅ）（２．３ｆ）

２．１１１． 内半径Ｒ１＝１００ｍｍ、外半径Ｒ２＝２００ｍｍ、間に比誘電率ε＝誘電体層が詰まっている導体球の容量を求めよ。
２．１１２． 各々の容量がＣ＝４０ｐＦの２つの同形のコンデンサを直列にして、電圧Ｕ＝１００
Ｖをかけた。その後、２つのコンデンサの内の１つに、比誘電率ε＝３．０の誘電体を充填した。このコンデンサの電界強度は何倍小さくなるか。回路にどれだけの電気量が流れるか。
２．１１３． 平板コンデンサの極板の空間を、比誘電率ε１，ε２の誘電体層１，２で直列に充填する。厚さは各々ｄ １ ，ｄ ２。極板の面積はＳ。以下を求めよ。（ａ）コンデンサの容量。（ｂ）コンデ- 44 -

ンサの電圧がＵで、電界が層１から層２に向かっているとして、層の境界での誘導荷電の密度σ 。
２．１１４． 平板コンデンサの間隙が、誘電体で充填されている。誘電体の比誘電率は、板に垂直な方向に、ε １からε２へと増大する形で変化している。角極板の面積はＳ、極板間隔はｌ。以下を求めよ。（ａ）コンデンサの容量。（ｂ）εの関数としての誘導荷電の体積密度。コンデンサの荷電量はｑ。コンデンサ内部の電界強度Ｅはεの増大する方向を向いているものとする。
２．１１５． 極板の半径がａ、ｂである球形コンデンサがある。ここで、ａ＜ｂ。極板の間の誘電体が以下の場合について、コンデンサの容量を求めよ。（ａ）比誘電率がε。（ｂ）比誘電率が、コンデンサの中心からの距離ｒに依存し、ε＝α／ｒの形の時。
２．１１６． 前問を、球形ではなく、長さｌの円筒型コンデンサについて解け。（ｂ）ではｒは円筒の軸からの距離とする。末端効果は無視する。
２．１１７． 内半径がａ、外半径がｂの球殻状コンデンサの容量を求めよ。電極間の半分が、比誘
電率εの誘電体で満たされているものとする。図２．１５参照。
２．１１８． 同じ半径ａの断面をした２本の長くて真っ直ぐな導線が、空気中に平行に配置されている。２つの軸の間隔はｂ。導線形の単位長さ当りの相互容量Ｃ １を求めよ。ａ≪ｂとする。ａ＝１．
００ｍｍ、ｂ＝５０ｍｍとしてＣ１を求めよ。
２．１１９． 長い直線導線が、導体平面に平行に配置されている。導線の断面の半径はａ、導線の軸と導体平面との間隔はｂ。導線の体長さ当りの、これらの系の相互容量を求めよ。ａ≪ｂとする。
２，１２０． 半径ａの２つの同形の金属球からなる系の相互容量を求めよ。球の中心の距離はｂ。
ａ≪ｂとする。系は比誘電率εの一様な誘電体中にあるとする。
２．１２１． 半径ａの金属球と、導体平板からできている系の相互容量を求めよ。平板と球の中心との距離はｌ。ａ≪ｌとする。
２．１２２． 図２．１７、図２．１８で示している同じコンデンサからできている系のＡ点とＢ点間の容量を求めよ。

２．１２３． ４つの同形の金属板が、お互いに間隔ｄ＝１．００ｍｍで空気中に配置されている。
各板の面積はＳ＝２２０ｃｍ２。図に示しているように極板を短絡させた場合について、Ａ点とＢ点の間の容量を求めよ。（ａ）図２．１９の場合。（ｂ）図２．２０の場合。

２．１２４． 容量Ｃ １＝１．０μＦのコンデンサはＵ １＝６．０ｋＶの電圧まで耐えれる。容量Ｃ ２＝２．０μＦのコンデンサはＵ ２＝４．０ｋＶまで耐えれる。この２つのコンデンサを直列接続すると、どれだけの電圧まで耐えることができるか。
２．１２５． 図２．２１で、２点Ａ，Ｂ間の電位差を求めよ。電源はＥ＝１１０Ｖ，容量の関係は
Ｃ２／Ｃ １＝η＝２．０である。
- 45 -

２．１２６．

図２．２２で示している無限回路の合成容量を求めよ。

２．１２７． 図２．２３で、電源Ｅ＝１０Ｖ、Ｃ １＝１．０μＦ、Ｃ ２＝２．０μＦ、電位差φ Ａ−
φＢ＝５．０Ｖ。各々のコンデンサにかかっている電圧を求めよ。

２．１２８． 図２．２４で、Ｅ１＝１０Ｖ，Ｅ２＝１５Ｖ、Ｃ１＝４．０μＦ、Ｃ２＝６．０μＦ。各コンデンサの電場の方向と電圧を求めよ。
２．１２９．

図２．２５，図２．２６の回路で、点Ａと点Ｂの間の電位差φ Ａ−φ Ｂを求めよ。

２．１３０． 容量Ｃ １ ＝１．０μＦのコンデンサが、Ｕ＝１１０Ｖで充電され、容量Ｃ ２ ＝２．０μＦ、Ｃ３＝３．０μＦの２つの直列に接続されている系の両端に並列に接続された。結線した導線中を幾らの荷電が流れたか。
２．１３１． 図２．２７で示している回路で、スイッチＫを閉じた後、点１，点２を通過して矢印の方にいかほどの荷電が流れるか。
２．１３２． 図２．２８の回路で、Ｅ＝６０Ｖ，Ｃ １ ＝２．０
μＦ，Ｃ ２ ＝３．０μＦ。スイッチＫを閉じた後、点１，点２を通過して矢印の方にいかほどの荷電が流れるか。
２．１３３．

図２．２９に示している回路で、点Ａと点Ｂの間の容量を求めよ。

２．１３４． お互いに間隔ａ＝１０．０ｍｍ離れている３つの電子が、相互斥力の作用で、対称的に離散し始めた。電子の最大速度を求めよ。
２．１３５． 図２．３０に３例の荷電粒子の配置を示している。粒子は辺長ａの正方形の頂点に位置している。各例において、粒子に全相互作用エネルギーを求めよ。
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２．１３６． 長さｌの細い棒が、半径Ｒの細いリ
ングの軸に沿って配置されている。棒の端の１つはリングの中心Ｏ点に一致している。リングと棒は荷電ｑ０，ｑを持ち、棒の荷電の線密度はＯ点でゼロとして、棒に沿って線形的に変化している。棒とのリングの相互作用エネルギーを求めよ。
２．１３７． 点電荷ｑが導体平板から距離ｌの所にある。以下を求めよ。（ａ）平板に誘導された電荷とのこの荷電の相互作用エネルギー。（ｂ）平面上の荷電の固有エネルギー。
２．１３８． 各極板の面積がＳ＝２００ｃｍ２、極板間隔がｄ＝５．
０ｍｍの平板コンデンサを、Ｅ＝１．３０ｋＶ／ｃｍの一様な外部電界中に置いた。電界の向きは極板に垂直である。その後、極板同士を導線で短絡した。その後導線を取り去り、コンデンサを外部電界の向きに垂直な軸の周りに１８０°回転した。この過程で、電気力に対してなされた仕事を求めよ。
２．１３９． 容量Ｃ １ ＝１．０μＦのコンデンサを電圧Ｕ＝３００Ｖまで充電し、容量Ｃ ２＝２．０μＦの充電されていないコンデンサに並列に接続した。平衡状態となったとき、系の電気エネルギーの増加（？）
分を求めよ。得られた結果を説明せよ。
２．１４０． 図２．３１、図２．３２の回路で、スイッチＫを状態
１から状態２に切り替えたとき、どれだけの熱が放出されるか。
２．１４１． 半径Ｒ １，Ｒ ２の薄い金属殻が同心となっているコンデンサがある。各々の殻には荷電ｑ １，ｑ ２がある。各々の殻の固有のエ
ネルギーＷ １，Ｗ ２、殻の相互作用エネルギーＷ １２、系の全電気エネル
ギーＷを求めよ。
２．１４２． 荷電ｑが、半径Ｒの球内に一様に分布している。比誘電率ε＝１と見なして、以下を求めよ。（ａ）球の固有電気エネルギー。（ｂ）周りの空間中のエネルギーＷ ２に対する球内部のエネルギー
Ｗ１の関係。
２．１４３． 点電荷ｑ＝３．０μＣが比誘電率ε＝３．０の一様な誘電体からできている球状層の中心にある。球状層の内半径はａ＝２５０ｍｍ、外半径はｂ＝５００ｍｍ。この層中の電気エネルギ
ーを求めよ。
２．１４４． 点電荷ｑがある。点電荷から距離ａ離れたところに面があり、この面で空間が半分に分離されている。ｑは空の半空間中に位置している。ｑの電場のエネルギーを求めよ。
２．１４５． 荷電ｑで一様に帯電している半径Ｒ１の球殻を、半径Ｒ２まで拡張させる。この際に、電気力によってなされる仕事を求めよ。
２．１４６． ｑ＝５．０μＣの荷電で一様に帯電している球殻の中心に、点電荷ｑ ０＝１．５０μＣを置く。球殻の半径をＲ１＝５０ｍｍからＲ ２＝１００ｍｍまで拡張したとき、電気力のなす仕事を求めよ。
２．１４７． 面密度σで一様に帯電している球殻がある。エネルギー保存則を利用して、球殻の単位面積当りの電気力を求めよ。
２．１４８． 点電荷ｑが、帯電していない導体製球殻の中心Ｏに位置している。球殻には半径に沿って小さい穴が開いている。球殻の内半径はａ、外半径はｂ。荷電ｑをゆっくりとＯ点から無限遠に持っていくためには、電気力に逆らっていかほどの仕事をなす必要があるか。
２．１４９． 電極の面積が各々Ｓである平板空気コンデンサがある。電極の間隔をｘ１からｘ２まで拡張するためには以下の条件の下で、電気力に逆らって、いかほどの仕事そする必要がるか。
（ａ）
コンデンサの荷電量ｑを不変に保ちながら。（ｂ）コンデンサの電圧Ｕを不変に保ちながら。
２．１５０． 平面コンデンサの内部に、電極間隔のη＝０．６倍の厚さの平行平板が入っている。
平板がないときのコンデンサの容量はＣ＝２０ｎＦ。最初、コンデンサを一定電圧Ｕ＝２００Ｖの電源に接続する。その後、電源を外し、ゆっくりと平板を引き出す。平板が以下の場合について、平板- 47 -

を引き出す際に電気力に逆らってしなければならない仕事を求めよ。（ａ）金属平板。（ｂ）ガラス
平板。
２．１５１． 電極間隔がｄ＝１．０ｍｍの平板コンデンサを、水中に水平状態に沈め、完全に水で満たす。その後、コンデンサに一定電圧Ｕ＝５００Ｖをかける。コンデンサ中の水圧の増加分を求めよ。
２．１５２． 平板コンデンサが水平に置かれている。コンデンサの１つの極板は、液体の表面上にあり、もう１つの極板は液体表面の下にある。液体の比誘電率はε、液体の密度はρ。表面密度σの荷電をコンデンサの極板に与えた後、コンデンサ中の液面の高さは幾ら上昇するか。
２．１５３． 円筒コンデンサに、比誘電率εの長い円筒型層を差し入れ、電極間隔をほぼ完全に満たす。電極の平均半径は R、電極の間隔はｄで、ｄ≪ R。コンデンサの電極を一定電圧 U の電源に接続する。
コンデンサ内で誘電体を吸い込む電気力を求めよ。
２．１５４． 半径 R の半円形状をした２つの動かない電極でコンデンサができている。図２．３３参照。電極の間には比誘電率εの可動誘電体板が挟まっている。可動誘電体板は軸 O の周りの回転することができる。可動誘電体板の厚さはｄで、これは２枚の不動電極間隔とほぼ同じである。コンデンサに一定電圧 U を印加する。図に示されている状態で、可動誘電体板に作用している、軸 O に対する力のモーメ
ントの大きさを求めよ。
２．４．

電流

●回路の不一様な部分におけるオームの法則
Ｉ＝Ｕ１２／Ｒ＝（φ１−φ２＋Ｅ１２）／Ｒ
ここで、Ｕ１２はその部分における電圧降下●微分形式のオームの法則
ｊ＝σ（Ｅ＋Ｅ＊）
ここで、Ｅ＊は外力ばの電界強度●キルヒホッフの法則
ΣＩｋＲｋ＝ΣＥｋ
ΣＩｋ＝０、●電流の電力Ｐと熱量Ｑ
Ｐ＝ＵＩ＝（φ１−φ２＋Ｅ１２）Ｉ， Ｑ＝ＲＩ２●電流の比電力Ｐ比と電流の比熱量Ｑ比Ｐ比＝ｊ（Ｅ＋Ｅ ＊）、Ｑ 比＝ρｊ２●金属中の電流密度ｊ＝ｅｎｕ
ここで、ｕはキャリアの平均速度●気体の単位体積において単位時間あたりに再結合するイオン数
ｄｎｒ／ｄｔ＝ｒｎ２
ここで、ｒは再結合係数。

（２．４ａ）（２．４ｂ）（２．４ｃ）（２．４ｄ）（２．４ｅ）（２．４ｆ）（２．４ｇ）

２．１５５． 表面に帯電している半径ａ＝１．０ｃｍの長い円筒が、軸に沿って速度ｖ＝１０ｍ／ｓで動く。円筒の表面の電界強度はＥ＝０．９ｋＶ／ｍ。電荷を動かすことによる電流を求めよ。
２．１５６． 電圧 U=２００ V がかかっている円筒空気コンデンサを、蒸留水の容器中に速度ｖ＝５．０ｍｍ／ｓで、垂直の状態で沈める。コンデンサの電極間隔はｄ＝２．０ｍｍ。電極の平均半径はｒ＝５０ｍｍ。ｄ≪ｒ。この過程で、導線を流れる電流を求めよ。

- 48 -

２．１５７． 図２．３４参照。立方体形状をしている導体製骨組みの電気抵抗を、（１）１−７、（ｂ）１−２、（ｃ）１−３、の各２点間で求めよ。
２．１５８． 図２．３５参照。回路中の抵抗Ｒ ｘがどのような値の時、Ａ点とＢ点の間の抵抗が、Ｒ−２Ｒの細胞の個数に依存しなくなるか。
２．１５９． 図２．３６に、同じ回路細胞を繰り返してできている無限回路が示されている。Ｒ １＝４．０Ω、Ｒ２＝３．０Ω。Ａ点とＢ点間の抵抗を求めよ。
２．１６０． 正方形の細胞から成り立つ無限導体回路網が、図２．３７に示されている。正方形の１辺の抵抗はＲ ０。Ａ点とＢ点間の抵抗Ｒを求めよ。対称性の原理と、重ね合わせの原理を利用すると良い。

２．１６１． 比抵抗率ρの導電性の弱い媒質が、理想的な導電性を持つ円筒が同軸をなしている空間中を充填している。円筒の半径はａ、ｂ。ａ＜ｂ。円筒の各々の長さはｌ。末端効果を無視して、円筒の間の媒質の抵抗値を求めよ。
２．１６２． 半径ａの金属球が、同心の半径ｂの薄い金属球殻に取り囲まれている。これらの金属の間は比抵抗率ρの導電性の弱い媒質で満たされている。電極間隙の媒質の抵抗を求めよ。ｂ→∞の場合を考察せよ。
２．１６３． 半径ａ、ｂの２つの同心導体球殻の空間が、導電性の弱い媒質で満たされている。ａ＜ｂ。この系の容量はＣ。外部電圧を切ったとき、球殻間の電位差が時間Δｔ当りにη倍小さくなる。
媒質の比抵抗率を求めよ。
２．１６４． 同じ半径ａの２つの金属球が、比抵抗率ρの導電性の弱い媒質中にある。球の間の距
離がａよりだいぶ大きいとき、球の間の媒質の抵抗を求めよ。
２．１６５． 半径ａの金属球が、無限の理想的な導体平面から距離ｌ離れて位置している。球の周りの空間は比抵抗率ρの媒質で充填されている。ａ≪ｌとして、以下に答えよ。（ａ）球と平面の間の電位差がＵとして、球から距離ｒの関数として、平面上の電流密度。（ｂ）球と平面の間の媒質の抵抗。
２．１６６． ２本の長い平行導線が、比抵抗率ρの媒質中にある。導線の軸の間隔はｌ、導線の各々の断面の半径はａ。ａ≪ｌとして、以下を求めよ。（ａ）２本の導線間の電位差がＵの時、２本の導線の軸から等距離ｒの点での電流密度。（ｂ）導線の単位長さ当りの媒質の抵抗。
２．１６７． 平板コンデンサの極板の間が、比抵抗率ρ＝１００Ω・ｍのガラスで満たされている。
コンデンサの容量はＣ＝４．０ｎＦ。コンデンサに電圧Ｕ＝２．０ｋＶをかけたとき、コンデンサの漏れ電流を求めよ。
２．１６８． 任意形状の２本の導体が、比抵抗率ρ、比誘電率εの一様で無限の媒質中にある。この系における積ＲＣを求めよ。ここで、Ｒは導体の間の媒質の抵抗、Ｃは媒質中における導体の相互容量。
２．１６９． 比抵抗率ρの導体が、比誘電率εの誘電体と隣接している。導体の表面上のＡ点での電束密度はＤ。ベクトルＤは導体の表面法線と角度αをなし、導体の外を向いている。Ａ点近傍における導体の荷電の表面密度、電流密度を求めよ。
２．１７０． 平板コンデンサの電極間隙が、一様ではない弱い導電性の媒質で充填されている。媒質の比導電率は極板に垂直方向に変化しており、σ１＝１．０ｐＳ／ｍからσ２＝２．０１．０ｐＳ／ｍまで線形的に変化している。各々の電極板の面積はＳ＝２３０ｃｍ２、間隙の幅はｄ＝２．０ｍｍ。
コンデンサに電圧Ｕ＝３００Ｖをかけたとき、コンデンサを流れる電流を求めよ。
- 49 -

２．１７１． ２つの導電性媒質の境界面で、一定電流線の屈折の法則は、ｔａｎα２／ｔａｎα１＝
σ２／σ １であることを証明せよ。ここで、σ１とσ２は媒質の導電率、α１とα２は電流線と境界面の法線のなす角度である。
２．１７２． 同じ断面積を持っている２つの円柱導体が端面をお互いに接している。各々の円柱の抵抗率はρ１＝８４ｎΩ・ｍ、ρ２＝５０ｎΩ・ｍ。導体１から導体２へと、電流Ｉ＝５０Ａを流した
とき、２つの導体の境界面に現れる荷電量を求めよ。
２．１７３． 媒質の比導電率が、Ｘ軸に沿って、式σ＝σ ０／（１＋α／ｘ）に従って変化する。
ここで、σ ０＝２２ｎＳ／ｍ、α＝５．０×１０ −４／ｍ。Ｘ軸の正方向に、電流密度ｊ＝１．００Ａ／ｍ ２が流れるとき、媒質の過剰荷電密度を求めよ。
２．１７４． 平板コンデンサの電極間隙が、直列となっている誘電体層１，２で充填されている。
各々の厚さはｄ１，ｄ２で、比誘電率はε １，ε ２。比抵抗率はρ１，ρ２。コンデンサは一定電圧Ｕのもとにある。電場は層１から層２に向かっている。誘電体操の境界面の寄生荷電の表面密度σを求めよ。
σ＝０となる条件を求めよ。
２．１７５． 平板コンデンサの電極板の間に、不均一な弱い導体性媒質が入っている。媒質の比誘電率と比抵抗率は極板１の所のε１，ρ１から極板２の所のε２，ρ２まで変化している。コンデンサに一定電圧をかけると、極板１から極板２へと電流Ｉが流れた。媒質中の全寄生電荷量を求めよ。
２．１７６． 半径ａの円形断面を有する長い導体が、導体の軸までの距離ｒに依存した比抵抗率を持つ材料からできている。比抵抗率はρ＝α／ｒ ２の式に従っている。ここで、αは定数。以下を求めよ。（ａ）この導体の単位長さ当りの抵抗。（ｂ）導体に電流Ｉが流れているときの導体中の電界強度。
２．１７７． 容量Ｃ＝４００ｐＦのコンデンサを、抵抗Ｒ＝６５０Ωを経由して、電圧Ｕ ０の電源に接続した。コンデンサの電圧ＵがＵ＝０．９０Ｕ０となるのはどれだけの時間後か。
２．１７８． 比誘電率ε＝２．１の誘電体が充填されているコンデンサは、τ＝３．０分間で、自身の荷電の半分を失う。漏れ荷電は充填されている誘電体だけを流れるものと見なして、誘電体の比抵抗率を求めよ。
２．１７９． 回路は、起電圧Ｅの電源、この電源に直列に接続された抵抗Ｒと容量Ｃのコンデンサからできている。電源の内部抵抗は無視できるほど小さい。時刻ｔ＝０の時、コンデンサの容量を素早くη倍だけ小さくした。時間ｔの関数として、回路を流れる電流を求めよ。
２．１８０． 起電圧Ｅ＝６．０Ｖの蓄電池に、電流計と電圧計を直列に接続した。電圧計に或る抵抗を並列に接続すると、電圧計の指示値はη＝２．０倍小さくなり、電流計の指示値は同じ倍だけ大きくなった。抵抗を接続した後の電圧計の指示値を求めよ。
２．１８１． 図２．３８の回路図において、Ｒ １＝１０Ω、Ｒ ２＝
２０Ω、Ｅ１＝５Ｖ，Ｅ２＝２．０Ｖ。電源の内部抵抗は無視できる。
点１と点２の間の電位差φ１−φ２を求めよ。
２．１８２． ２台の直列に接続した同じ起電圧の電源であるが、内部抵抗が異なって、Ｒ １とＲ ２である。Ｒ ２＞Ｒ １。電源のうちの１つ電極間の電位差がゼロになる外部抵抗Ｒを求めよ。
２．１８３． 図２．３９に示している回路で、電源の電圧は電源の内部抵抗に比例している。つまり、E=α R。ここで、αは定数。導線の抵抗は十分に小さい。以下を求めよ。（ａ）回路電流。（ｂ）点Ａと点Ｂの間の電位差。
２．１８４． 抵抗値Ｒの抵抗器と、電圧−電流特性がＵ＝ａＩ １／２ の非線形抵抗を、直列に接続し、電圧Ｕを印加する。ここで、αは定数。回路
を流れる電流を求めよ。
２．１８５． 図２．４０に、アーク放電における放電間隔の電圧−電流特性を示している。この系に、電圧Ｕ ０ ＝８５Ｖを印加したとき、放電が未だ継続し続けているときの、回路の直列に接続している抵抗器の最大抵抗値を求めよ。
- 50 -

２．１８６．図２．４１の回路で、Ｅ １＝１．０Ｖ，Ｅ ２＝２．５Ｖ，Ｒ １＝
１０Ω、Ｒ ２＝２０Ω。電源の内部抵抗は十分に小さい。コンデンサＣの電極間の電位差φＡ−φＢを求めよ。
２．１８７． 図２．４２の回路で、Ｅ＝５．０Ｖ，Ｒ １＝４．０Ω、Ｒ ２＝
６．０Ω。電源の内部抵抗はＲ＝０．１０Ω。抵抗Ｒ １，Ｒ ２を流れる電流を求めよ。
２．１８８． 図２．４３参照。ポテンションメーターを用いて、抵抗Ｒを有する或る装置に与える電圧Ｕを変化させることができる。ポテンションメーターの長さはｌ、抵抗はＲ ０、電圧Ｕ ０が印加されている。Ｕ（ｘ）の依存性を見いだせ。その後、Ｒ≫Ｒ０の場合を考察せよ。

２．１８９． 起電圧Ｅ１，Ｅ２、内部抵抗Ｒ１，Ｒ２の２つの電源を並列接続したときの合成した起電
圧と内部抵抗を求めよ。
２．１９０． 図２．４４参照。Ｅ１＝１．５Ｖ，Ｅ２＝３．７Ｖ、Ｒ１＝１０Ω、Ｒ ２＝２０Ω、Ｒ＝５．０Ω。電源の内部抵抗は小さい。回路図中で抵抗Ｒを流れる電流の向きと大きさを求めよ。
２．１９１． 図２．４５参照。Ｅ１＝１．５Ｖ、Ｅ２＝２．０Ｖ、Ｅ３＝２．５Ｖ、Ｒ１＝１０Ω、Ｒ＝２０Ω、Ｒ３＝３０Ω。電源の内部抵抗は小さい。以下を求めよ。
（ａ）抵抗Ｒ１を流れる電流。
（ｂ）
点Ａと点Ｂの間の電位差φＡ−φＢ。
２- 51 -

２．１９２． 図２．４６参照。回路図中の抵抗Ｒを流れる電流を求めよ。電源の内部抵抗は小さい。
２．１９３． 図２．４７参照。回路図中のコンデンサＣの電極間の電位差φ Ａ−φ Ｂを求めよ。電源の内部抵抗は小さい。
２．１９４． 図２．４８参照。Ｒ １＝１０Ω、Ｒ ２＝２０Ω、Ｒ ３＝３０Ω。点１，点２、点３の電位はφ１＝１０Ｖ，φ２＝６Ｖ，φ３＝５Ｖ。抵抗Ｒ１を流れる電流を求めよ。
２．１９５． 図２．４９参照。点Ａと点Ｂの間の電圧をＵ＝２０Ｖに維持する。Ｒ １＝５．０Ω、
Ｒ２＝１０Ω。点１と点２の間を流れる電流の大きさと向きを求めよ。

２．１９６．
Ω。

図２．５０の回路図で、点Ａと点Ｂの間の抵抗を求めよ。Ｒ１＝１００Ω、Ｒ２＝５０

２．１９７． 図２．５１参照。スイッチＫをｔ＝０の時に閉じた後、コンデンサＣにかかっている
電圧の時間依存性を求めよ。

２．１９８． 以下の条件で電熱線中を電荷ｑ＝１００Ｃが流れたとき、抵抗Ｒ＝７５Ωの電熱線に、いかほどの熱が発生するか。（ａ）時間ゼロからΔｔ＝５０ｓ間に、線形的に電流が流れた。（ｂ）
Δｔ＝２。０秒毎に、電流が半分になり、そしてゼロになるまで。
２．１９９． 内部抵抗Ｒ ０の定電圧源に、３つの同じ抵抗を接続した。各抵抗の値はＲ、図２．５２に示しているように、抵抗を接続した。この回路で、抵抗から放出される熱量が最大となるのはＲがどのような値の時か。
２．２００． 抵抗Ｒ１，Ｒ２を並列接続した時、電流の分配は、この回路での発熱量が最小になるようになることを確かめよ。
２．２０１． 外部抵抗に接続した起電圧Ｅ＝２．６Ｖの蓄電池が電流Ｉ＝１．０Ａを流す。この時、電極間の電位差はＵ＝２．０Ｖ。蓄電池内で発生する熱出力を求めよ。蓄電池が回路に供給している電力はいかほどか。
２．２０２． 電気モーターに電圧Ｕを印加する。モーターの回転子のコイルの抵抗はＲ。コイルに幾らの電流が流れているときが、モーターの実効仕事率が最大となるか。その時の仕事率の値はいく- 52 -

らか。この時モーターの効率はいくらか。
２．２０３． 抵抗Ｒ＝２．０Ωを直列に接続した電球に、電圧Ｅ＝１５Ｖ、内部抵抗Ｒ ｉ＝３．０Ωの電源と接続した。電球における電圧に対する電流の依存性が、図２．５３に示されている。電球で消費される仕事率を求めよ。
２．２０４． 図２．５４で、Ｒ １ ＝２０Ω、Ｒ ２ ＝３０Ω。抵抗Ｒｘ
がどのような値の時、このＲ ｘ の抵抗で放出される熱仕事率は、Ｒ ｘ の値の小さな変化に対して実質的に依存しなくなるか。点Ａと点Ｂの間の電圧は一定である。
２．２０５． 図２．５５の回路で、Ｒ １，Ｒ ２，Ｅ１，Ｅ２は概値である。電源の内部抵抗は十分に小さい。抵抗Ｒがどのような値の時、Ｒで放出される熱仕事率が最大となるか。その値はいくらか。
２．２０６． 容量Ｃ＝５．００μＦのコンデンサを、電圧Ｅ＝２００Ｖの電源に接続した。図２．
５６参照。その後、スイッチＫを、接点１から接点２に切り替えた。抵抗Ｒ １＝５００Ωで放出される熱量を求めよ。Ｒ ２＝３３０Ω。

２．２０７． 平板コンデンサの電極板間に、金属板を電極板に平行に配置した。金属板の厚さは電極板間隔のη＝０．６倍。金属板がないときのコンデンサの容量はＣ＝２０ｎＦ。コンデンサを電圧
Ｕ＝１００Ｖの電源に接続した。その後金属板を引き抜いた。以下を求めよ。（ａ）コンデンサのエ
ネルギーの増加分。（ｂ）金属板を引き抜くときに、電気力に逆らってなされた力学的仕事。
２．２０８． 平板コンデンサの電極間を、ガラス板が完全に満たしている。ガラス板がないときのコンデンサの容量はＣ＝２０ｎＦ。コンデンサを電圧Ｕ＝１００Ｖの電源に接続した。その後、電極間隙からガラス板を引き抜いた。コンデンサのエネルギーの増加分と、引き抜くとき電気力に逆らってなした力学的仕事を求めよ。
２．２０９． 図２．５７参照。一定電圧Ｕのかかっている円筒型コンデンサの下端を水面に触れさせる。コンデンサの電極間隔はｄであり、円筒の平均半径より十分に小さい。コンデンサの電極間隙に入り込む水の高さを求めよ。毛細管現象は無視する。
２．２１０． 球殻コンデンサの電極球半径は、各々ａ、ｂ。ここで、ａ＜ｂ。電極間隙は、誘電率ε、比抵抗率ρの誘電体で充填されている。最初は、コンデンサには電荷はない。時刻ｔ＝０に、内側の電極球に家電ｑ ０を与える。以下を求めよ。（ａ）内側の電極球の電荷量の時間変化。（ｂ）電荷の流れ出しに伴って放出される熱量。
２．２１１． 容量Ｃ＝２．００μＦのコンデンサの電極板に、異符号の荷電ｑ ０＝１．００ｍＣを与える。その後、抵抗Ｒ＝５．０ＭΩの抵抗で電極間を短絡した。以下を求めよ。
（ａ）時間τ＝２．
００ｓ間に、抵抗を通った荷電量。（ｂ）この時間に抵抗で放出された熱量。
２．２１２． 図２．５８に示している回路図で、１つのコンデンサは
電圧Ｕ ０まで充電されている。時刻ｔ＝０で、スイッチＫを閉じる。以下を求めよ。（ａ）時間の関数としての回路電流Ｉ（ｔ）。（ｂ）Ｉ（ｔ）が与えられたものとして、発熱量。
２．２１３． 長さｌ＝５００ｍの銅線を巻いた半径ｒ＝２５ｃｍのコ
イルが、角速度ω＝３００ラジアン／ｓで、自身に軸の周りに回転をする。コイルの滑り接点で検流計に接続する。全回路の抵抗はＲ＝２１Ω。
コイルを急停止したとき、検流計を荷電ｑ＝１０ｎＣが流れた。銅中の電流のキャリアの比電荷を求めよ。
- 53 -

２．２１４． 長さｌ＝１０００ｍ、電流Ｉ＝７０Ａの直線導体中における電子の全運動量を求めよ。
２．２１５． 長さｌ＝１０００ｍ、断面積Ｓ＝１．０ｍｍ ２の直線銅線を、電流Ｉ＝４．５Ａが流れている。銅の各原子は１個の自由電子を持つものとして、以下を求めよ。（ａ）銅線の１端から他端まで、電子が移動するに要する時間。（ｂ）この銅線中で、全自由電子に作用している電気力の総和。
２．２１６． 電位差Ｕ＝６００ｋＶで加速された陽子束が、半径ｒ＝５．０ｍｍの円形断面をしている。電流はＩ＝５０ｍＡ。陽子束表面の電界強度と、陽子束表面と陽子束軸の間の電位差を求めよ。
２．２１７． ２枚の大きな平行板が真空中にある。板の１枚は電子源であるカソードの役割をしている。この板からの電子の初速度は無視できるほど小さい。対向している電極板に向かっている電子流は、式φ＝ａｘ ４／３に従った間隙中の電位に従って、空間に体積荷電を形成している。ここで、ａは正定数、ｘはカソードからの距離。以下を求めよ。（ａ）空間電荷密度ρ（ｘ）。（ｂ）電流密度。
２．２１８． 間隔がｄ＝２０ｍｍである２枚の平行平板間の空気を、Ｘ線でイオン化する。殻板の面積はＳ＝５００ｃｍ２。板の間の電圧がＵ＝１００Ｖの時、飽和電流より十分に小さい電流Ｉ＝３．
０μＡが流れる。正イオン濃度を求めよ。空気イオンの移動度はｕ ０＋＝１．３７ｃｍ２／（Ｖ／ｓ）、
ｕ０−＝１．９１ｃｍ ２／（Ｖ／ｓ）。
２．２１９． 平面電極２から距離ｌ離れている平板電極１の表面で、直接気体をイオン化する。電極間には、交流電圧が印加されており、電圧はＵ＝Ｕ ０ｓｉｎωｔで時間的に変化している。振動数ωを小さくしていくと、検流計Ｇはω＜ω ０ の時にだけ電流を関知した。ここで、ω ０ は或る限界値。この条件の下で、電極２に到達するイオンの移動度を求めよ。
２．２２０． ２枚の近接している平板の間の空気を、紫外線で一様にイオン化する。板間の空気の体積はＶ＝５００ｃｍ ３、観測された飽和電流はＩ飽和＝０．４８μＡ。以下を求めよ。（ａ）単位体積当りで、単位時間当りにイオン化により生成されたイオン蒸気の数。（ｂ）空気のイオ
ンの再結合係数がｒ＝１．６７×１０ −６ｃｍ ３／ｓの時、イオン蒸気の平衡濃度。
２．２２１． 単位時間に、空気の単位体積当りイオンの蒸気数をｎ・ｉ＝３．５×１０ ９ｃｍ −３・ｓ生成するイオン化器のスイッチを入れる。イオン化器を停止した後、どれだけの時間でイオン濃度がη＝２倍だけ少なくなるか。
２．２２２．極板間隔がｄ＝５．００ｍｍの平板空気コンデンサを電圧Ｕ＝９０Ｖまで充電し、電源から切離す。通常の条件下で、空気中には、単位体積当りで単位時間に、ｎ・ｉ＝５．０ｃｍ−３・ｓ−１のイオン数が形成され、その電圧は飽和電流に対応しているものとする。コンデンサの電圧がη＝１．０％に減少するまでの時間を求めよ。
２．２２３． 電極間隔がｄである平板コンデンサの電極板の間に、気体が入っている。極板の１枚から、１秒毎にν ０個の電子が放出される。この電子は電界中を動いて、気体分子をイオン化する。
各電子は、経路の単位長αで新しい電子（とイオン）を生成する。他方の電極における電子流を求めよ。イオンによる気体分子のイオン化は無視する。
２．２２４． 電極間隔がｄである平板コンデンサの電極間にある気体を、紫外線でイオン化する。
１枚秒毎に、単位体積当り、ｎ・ｉ個のイオンが形成される。コンデンサの電界中を電子が動き、気体分子をイオン化する。その際、各電子は自身の経路の単位長当り新しい電子（とイオン）を生成する。イオンによりイオン化は無視して、高い電圧を持っている極板での電子の電流密度を求めよ。
２．５．

静磁場。磁性体●非相対論的速度で運動する電電かｑのつくる磁場
Ｂ＝（μ ０／４π）ｑ［ｖｒ］／ｒ ３●ビオ・サバールの法則
ｄＢ＝（μ０／４π）（［ｖｒ］／ｒ３）ｄＶ、
ｄＢ＝（μ０／４π）Ｉ［ｄｌ、ｒ］／ｒ３●真空中でのベクトルＢの循環とガウスの定理。
∫ＢｄＳ＝０∫Ｂｄｒ＝μ０Ｉ、●ローレンツの力- 54 -（２．５ａ）（２．５ｂ）（２．５ｃ）

Ｆ＝ｑＥ＋ｑ［ｖＢ］●アンペールの力
ｄＦ＝［ｊＢ］ｄＶ，ｄＦ＝Ｉ［ｄｌ、Ｂ］●磁気双極子ｐｍ＝ＩＳｎに作用する力と、力のモーメント
Ｎ＝［ｐ ｍＢ］
Ｆ＝ｐｍ∂Ｂ／∂ｎ、
ここで、∂Ｂ／∂ｎは双極子方向のベクトルＢの導関数●電流の流れているループの移動におけるアンペールの力の仕事
δＡ＝ＩｄΦ
●磁気分極Ｊの循環∫Ｊｄｒ＝Ｉ
ここで、Ｉ は磁化電流（分子電流）●ベクトルＨとその循環
Ｈ＝Ｂ／μ０−Ｊ、 ∫Ｈｄｒ＝Ｉ
ここで、Ｉは微視電流の代数和●２つの磁性体の境界における条件
Ｈ１τ＝Ｈ２τＢ １ｎ＝Ｂ ２ｎ、●Ｊ＝χＨの磁石において
μ１＋χ
Ｂ＝μμ ０Ｈ，（２．５ｄ）（２．５ｅ）（２．５ｆ）（２．５ｇ）（２．５ｈ）（２．５ｉ）（２．５ｊ）（２．５ｋ）

２．２２５． 点電荷が速度ｖ＝９００ｍ／ｓで動く。或る瞬間、点Ｐにおけるこの点電荷による電界強度はＥ＝６００Ｖ／ｍ、ベクトルＥとベクトルｖのなす角度はα＝３０°。この瞬間での点Ｐにおけるこの点電荷の磁束密度Ｂを求めよ。
２．２２６． 細い導線でできている半径Ｒ＝１００ｍｍの円形コイルに沿って、電流Ｉ＝１．００Ａが流れている。以下の点での磁束密度を求めよ。（ａ）コイルの中心点。（ｂ）コイルの中心から、コイルの軸上で距離ｘ＝１００ｍｍ離れている点。
２．２２７． 細い導線でできている半径Ｒ＝５０ｍｍのリングを、直径の沿って９０°曲げた。電流Ｉ＝２．２５Ａを流したとき、半円の曲がりの中心での磁束密度を求めよ。
２．２２８． 図２．６０に示している平面回路に沿って電流Ｉを流す。
ここで、ｒ＝ｒ０（１＋φ）。点Ｏでの磁束密度Ｂを求めよ。
２．２２９． 半径Ｒの円内にある正ｎ角形の形状をしている細い導線に、電流Ｉが流れている。中心点での磁束密度を求めよ。ｎ→∞の場合を考察せよ。
２．２３０． 対角線の長さｄ＝１６ｃｍ、対角線のなす角度がφ＝３０°の長方形形状の回路に、電流Ｉ＝５．０Ａを流す。中心点での磁束密度を求めよ。
２．２３１． 図２．６１で示している閉回路に電流Ｉ＝５．０Ａを流す。曲線部分の半径はＲ＝１２０ｍｍ、２φ＝９０°。点Ｏでの磁束密度を求めよ。
２．２３２． 以下に示している回路に電流Ｉを流す。点Ｏでの磁束密度を求めよ。（ａ）図２．６２に示している回路。半径ａ、ｂと角度φは概値である。（ｂ）図２．
６３に示している回路。半径ａと辺ｂは概値である。

２．２３３．

半径Ｒの薄い壁の長いパイプに電流Ｉを流す。縦の切り口（？）の幅はｈ。ｈ≪Ｒと- 55 -

して、パイプ内部の磁束密度を求めよ。
２．２３４． 図２．６４参照。電流Ｉ＝１１．０Ａが、長い直線導体を流れる。直線導体の断面形状は半径Ｒ＝５．０ｃｍの薄い半円殻形状をしている。軸Ｏ上での磁束密度を求めよ。
２．２３５． （ａ）図２．６５、（ｂ）図２．６６、（ｃ）図２．６７、に示している経路に電流Ｉを流す。点Ｏでの磁束密度を求めよ。

２．２３６． 電流Ｉの流れている長い導線が、図２．６８に示している
ように曲がっている。距離ａは概値である。以下の点での磁束密度を求めよ。（ａ）点１。（ｂ）点２。
２．２３７． 電流Ｉ＝５．０Ａの流れている長い導線が、直角に曲がっている。導線の面から距離ｌ＝３５ｃｍ離れて、曲がっている点を通る垂直線上にある点での磁束密度を求めよ。
２．２３８． 電流Ｉの流れている長い導線が、直角に曲がっている。図２．６９参照。曲点から距離ｌで、直角の２等分線上にある点１，点２における磁束密度を求めよ。
２．２３９． （ａ）図２．７０、（ｂ）図２．７１、で示している形状の導線に電流Ｉ＝８．０Ａが流れている。Ｏ点における磁束密度を求めよ。
２．２４０． 図２．７２参照。半径Ｒの円形状をしている導線の２点に、長い直線導線が接続されている。円の中心における磁束密度を求めよ。
２．２４１． 以下のように電流が分布している場の磁束密度を求めよ。
（ａ）線密度ｉを持つ面に沿って。（ｂ）線密度ｉ、−ｉを持つ２枚の平行平板に沿って。

２．２４２． 一様な電流密度ｊが厚さ２ｄの無限平板の内部を、面に平行に流れている。板の材質は無視して、平板の表面の中間からの距離ｘの関数として、この電流による磁束密度を求めよ。
２．２４３． 一定電流Ｉが、長い導線に沿って流れ、流れた先では、導線に垂直に配置している導体平板に沿って放射対称状に流れ出している。空間の全ての点における磁束密度を求めよ。
２．２４４． 電流Ｉが長い導線に沿って流れ、一様な導体媒質中に、全方向に流れ出している。図２．７３参照。媒質の材質は無視して、点Ｏから距離ｒ、角度θである点Ａでの磁束密度を求めよ。
- 56 -

２．２４５． 電流Ｉが流れている円形リングがある。リングの軸に沿って積分∫Ｂ ｘｄｘを−無限から＋無限までで求めよ。
２．２４６．断面の半径Ｒの直線導体に沿って、電流密度ｊの電流が流れている。導体の材質は無視し、導体の軸に対して半径ベクトルｒで決
まる点における磁束密度を求めよ。
２．２４７． 円形断面を有する長い直線導体の内部に、長い円筒型の空洞がある。円筒空洞の軸は導体の軸と平行であり、軸間の距離はｌ。
導線に沿って電流密度ｊの電流が流れる。導線の材質の影響を無視して、空洞内部の磁束密度を求めよ。
２．２４８． 軸対称の平行な電子流がある。電子流内の磁束密度がＢ＝ｂｒαの時、軸からの距離の関数ｒの関数として電流密度を求めよ。
ここで、ｂとαは正定数。
２．２４９． １層のソレノイドコイルの長さはｌ、断面の半径はＲ，単位長当りの巻き数はｎ。このソレノイドに電流Ｉを流す。ソレノイドの中心点での磁束密度を求めよ。
２．２５０． 長いソレノイドの断面半径はＲ、単位長当りの巻き数はｎ。このソレノイドに定電流Ｉが流れる。ソレノイドの端面から軸に沿って測った座標ｘの関数として、軸上の磁束密度を求めよ。
式ｘ／Ｒに対する磁束密度Ｂの依存性の概略図も描け。
２．２５１． 幅ｈ＝５．０ｃｍの薄い導体帯を、密に１層に巻いて（螺旋状に巻いて）、断面積半
径Ｒ＝２．５ｃｍの長いソレノイドコイルとした。導体帯に電流Ｉ＝５．０Ａを流す。ソレノイドの軸からの距離ｒの関数として、ソレノイド内外の磁束密度を求めよ。
２．２５２． 断面積の小さい木製のトロイドに、一様に導線をＮ＝２５００回巻いて、電流Ｉを流す。このトロイダルコイルの中心の磁束密度に対するトロイダルコイル内部の磁束密度の比ηを求めよ。
２．２５３． 円形断面を持つ長い直線導体を、電流Ｉ＝１０Ａが流れている。導体の材質の影響を無視して、導体の軸の断面の半分を通過している単位長さ当りの磁束を求めよ。
２．２５４． 電流Ｉが流れている長いソレノイドがある。
ソレノイドの縦断面積はＳ。単位長さ当りの巻き数はｎ。ソレノイドの端面を通過している磁束を求めよ。
２．２５５． 図２．７４参照。正方形断面を有する環状ソレノイドが示されている。コイルの電流Ｉ＝１．７Ａを流したとき、この断面を通過する磁束を求めよ。コイルの全巻き数はＮ＝１０００，内直径に対する外直径の比はη＝１．６、厚さはｈ＝５．０ｃｍ。
２．２５６． 半径Ｒ＝１００ｍの円形ループに電流が流れている。中心の磁束密度はＢ＝６．０μＴ。このループの磁気モーメントを求めよ。
２．２５７． 図２．７５参照。トーラスの半分に密に巻かれた細い導体に、電流Ｉ＝０．８Ａの流れている。この薄い導体の磁気モーメントを求めよ。トーラスの断面直径はｄ＝５．０ｃｍ、巻き数はＮ＝５００。
２．２５８． 図２．７６に示しているように、細い導線を螺旋状に密に巻いたコイルに、電流Ｉ＝８ｍＡを流す。コイルの内半径と外半径は
ａ＝５０ｍｍ、ｂ＝１００ｍｍ。以下を求めよ。（ａ）螺旋中心点での磁束密度Ｂ。（ｂ）この螺旋コイルの磁気モーメント。
２．２５９． 質量ｍの細い不導体のリングが、荷電ｑで一様に帯電し、大きな角速度で、自身の軸の周りに回転している。周りには磁束密度Ｂの一様な磁界リングの軸が、磁束密度Ｂと若干の角度をなしているとして、才差角速度ω を求めよ。
２．２６０．

半径Ｒの不導体円板が、表面密度σで一様に帯電し、自- 57 -

身の軸の周りに、角速度ωで回転している。以下を求めよ。
（ａ）円板の中心における磁束密度。
（ｂ）
円盤の磁気モーメント。
２．２６１． 半径Ｒ＝５０ｍｍの不導体球殻が、表面密度σ＝１０．０μＣ／ｍ２で一様に帯電し、自身の中心を通っている軸の周りに、角速度ω＝７０ラジアン／ｓで回転している。球殻の中心での磁束密度を求めよ。
２．２６２． 質量ｍ、半径Ｒの球の体積に、荷電ｑが一様に分布し、球の中心を通っている軸の周りに、角速度ωで回転している。対応する磁気モーメントと、力学モーメントとの関係を求めよ。
２．２６３． 半径Ｒの長い誘電体製円柱が、各点で、分極率Ｐ∽ｒに従って静的に分極している。
ここで、ｒは軸からの距離。円柱に軸の回りに角速度ωで回転した。円柱の軸上での磁束密度を求めよ。
２．２６４． ２個の陽子が、同じ速度ｖ＝３００ｋｍ／ｓで、お互いに平行に動いている。これら陽子の磁気相互作用力と電気相互作用
力の関係を求めよ。
２．２６５． 図２．７７，図２．７８に示しているように導線が曲がっているとき、導線に電流Ｉ＝８．０Ａを流したとき、点Ｏの箇所
で、単位長さに作用する力の大きさと方向を求めよ。（ａ）図２．７７で、曲線部の半径はＲ＝１０ｃｍ。（ｂ）図２．７８で、長い平行
導線の間隔はｌ＝２０ｃｍ。
２．２６６． 相互に直交している２本の導線をお互いに距離ａだけ離す。各々の導線に電流Ｉを流す。これらの系において、導線の単位長当りに作用するアンペールの力の最大値を求めよ。
２．２６７． 電流Ｉ＝１０ｍＡの流れているコイルを、一様な磁界中に置いた。コイルの軸は磁界の方向と一致していた。コイルの巻き線は、直径ｄ＝０．１０ｍｍの銅線であり、巻き半径Ｒ＝３０ｍｍの１層仕上げである。外場が幾らの値の時、コイルは引き裂けるか。
２．２６８． 電流Ｉ，単位長の巻き数ｎのソレノイドが、軸対称磁界中にある。磁界の対称軸とソレノイドの軸は一致している。ソレノイドの端面を通過している磁束がΦ１、Φ２である。ソレノイドに作用している力の大きさを求めよ。
２．２６９． 長いソレノイドがある。半径はＲ＝３０ｍｍ、単位長当りの巻き数はｎ＝２０／ｃｍ。
ソレノイドに電流Ｉ＝１．３Ａを流す。ソレノイドの片半分は、残りの片半分にどれだけの磁力を及ぼすか。
２．２７０． 図２．７９参照。断面積Ｓ＝２．５ｍｍ ２の銅線が、図のように曲げられ、水平軸Ｏ
Ｏ の周りに回転できる。銅線は一様な垂直方向の磁界中にある。銅線に電流Ｉ＝１６Ａを流すと、
角度θ＝２０°傾いた。場の磁束密度を求めよ。
２．２７１． 電流Ｉの流れている閉ループが、電流Ｉ０の流れている長い直線導体の場中にある。
ループの面は直線導体に垂直である。以下の場合の形状において、閉ループに作用するアンペールの力のモーメントを求めよ。（ａ）図２．８０。（ｂ）図２．８１。

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２．２７２． 天秤の竿の端に固定されている小さなコイルＫは、磁石の磁極の間隙にある。コイルの巻き数はＮ＝２００。図２．８２参照。コイルの断面積はＳ＝１．０ｃｍ ２、肩ＯＡの長さはｌ＝３０ｃｍ。コイルに電流が流れていないときには、天秤は平衡状態にある。コイルに電流Ｉ＝２２ｍ
Ａを流すと、平衡状態に復帰させるために、皿にΔｍ＝６０ｍｇの錘を載せた。コイルのある場所の磁束密度を求めよ。
２．２７３． 電流Ｉ＝０．９０Ａが流れている正方形枠が、
電流Ｉ０＝５．０Ａが流れている長い直線導体を持った１つの平板状に置かれている。枠の辺長はａ＝８．０ｃｍ。枠の対面している辺の中心を通っている軸は、導線に平行であり、枠の辺長よりη＝１．５倍だけ導線から離れている。以下を求めよ。
（ａ）枠に作用しているアンペールの力。（ｂ）枠を自身の軸の周りに１８０°回転させるに要する力学的仕事。
２．２７４． 各々に電流Ｉ＝６．０Ａが同じ向きに流れている２本の平行な長い導線を、最初の間隔よりη＝２．０倍だけ間隔を開けた。この際において、アンペールの力は導線の単位
長さ当りにいかほどの仕事をなしたか。
２．２７５． 抵抗の無視できる２本の長い平行導線の１端は抵抗Ｒで短絡し、他端には電源が接続されている。導線の軸の間の距離は各々の導線の断面半径よりη＝２．０倍大きい。Ｒがどのような値の時、導線の間の相互作用力がぜろとなるか。
２．２７６． 電流Ｉ＝１４Ａが、長い直線導体を流れている。導体は半径Ｒ＝５．０ｃｍの薄い半円形状をしている。図２．６４参照。同じ大きさの電流が、最小の導体の軸（図のＯ点）上にある細い導線を流れている。これら導体の相互作用磁気力を単位長さ当りについて求めよ。
２．２７７． 半径ａの長い円筒容器の内部に、円筒の軸と平行に、薄い絶縁体膜を持った半径ｂの導体軸が置かれている。軸と容器の軸の間の距離はｌ。容器を電解液で見たし、軸に沿って電解液中に電流Ｉを流した。電流は導体軸を流れ戻ってくる。導体軸の単位長さに作用する磁気力の大きさと方向を求めよ。
２．２７８． 図２．８３に示しているように、２つの長くて薄い平行導体に、電流Ｉ１，Ｉ２を流す。導体間の距離はａ、右側の導体の幅はｂ。
２つの導体は１つの平面内にある。これらの導体の単位長さ当りに作用する磁気相互力を求めよ。
２．２７９． 系は、電流が流れているお互いに平行な２つの平板からできている。平板の間には磁束密度Ｂの一様磁界が作られている。この領域の外では、磁界は存在しない。各々の平板の単位表面に作用している磁気力を求めよ。
２．２８０． 電流の流れている導体平板が、一様な外部磁界中に置かれていた。その結果、平板の片側の磁束密度はＢ １ ，他方側の磁束密度はＢ ２ となった。図２．８４に示している場合において、平板の単位表面に作用している磁気力を求めよ。各々の場合において、平板内の電流の方向を決定せよ。

２．２８１． 溶融している金属をくみ出すための電磁ポンプには、磁束密度Ｂの磁界中に、金属製のパイプ部分がある。図２．８５参照。ベクトルＢと、パイプの軸に垂直に、この部分を通って一様に分布している電流Ｉを流す。このポンプで作られる付加圧力を求めよ。Ｂ＝０．１０Ｔ、Ｉ＝１０- 59 -

０Ａ、ａ＝２．０ｃｍ。
２．２８２． 半径Ｒ＝５．０ｃｍの長く薄い器壁の円筒に、電流Ｉ＝５０Ａが流れている。円筒の器壁はいかほどの圧力を受けるか。
２．２８３． 巻き数がｎ＝２０回／ｃｍ、流れる電流がＩ＝２０Ａの長い直線ソレノイドにおいて、側面は幾らの圧力を受けるか。
２．２８４． 電流Ｉが、１層の長いソレノイドを流れる。ソレノイドの断面半径はＲ＝５．５ｃｍ。
単位長さ当りの巻き数はｎ＝１５／ｃｍ。コイルの導線の断線の限界負荷がＦ 限界＝１００Ｈとしたとき、このソレノイドのコイルが破断する限界電流はいくらか。
２．２８５． 電極板の面積が各々Ｓ、電極板の間隔がｄである平板コンデンサが、比抵抗率ρの導電性液体流中にある。液体は電極板に平行に、速度ｖで流れている。系は一様な磁界中にあり、磁束密度はＢ．ベクトルＢは電極板に平行で、液体流の方向に垂直である。コンデンサの電極板には外部抵抗Ｒが接続されている。この抵抗からどれだけの電力Ｐが放出されるか。Ｒがどのような値の時、Ｐは最大となるか。Ｐ最大は幾らとなるか。
２．２８６． 半径Ｒ＝５．０ｍｍの直線銅線に電流Ｉ＝５０Ａが流れている。銅線の軸と、銅線の表面の間の電位差を求めよ。銅の伝導電子濃度はｎ＝０．９×１０ ２３／ｃｍ。
２．２８７． ナトリウム導体でのホール効果の測定において、電流密度がｊ＝２００Ａ／ｃｍ ２、磁場の磁束密度がＢ＝１．００Ｔの時、横の電界強度がＥ＝５．０μＶ／ｃｍであった。自由電子濃度と、原子濃度に対するその（？）関係を求めよ。
２．２８８． 銅金属における自由電子の移動度を求めよ。ホール効果の測定で、磁束密度Ｂ＝１００ｍＴ磁界中で、横電界強度は、縦電界強度よりη＝３１００倍小さいという結果が得られている。
２．２８９． 電流の流れている小さいコイルが、電流Ｉの流れている長い直線導体から距離ｒの所にある。コイルの磁気モーメントはｐ ｍである。ベクトルｐ ｍが、（ａ）直線導体と平行、（ｂ）半径ベクトルｒの方向、（ｃ）コイルの配置場所で、電流Ｉの磁場と方向が一致、の各々場合についてコイルの作用する力の大きさと方向を求めよ。
２．２９０． 磁気モーメントがｐ ｍである電流の流れている小さいコイルが、電流Ｉの流れている
半径Ｒの円形コイルの軸上にある。大きなコイルの中心から小さなコイルまでの距離がｘ、ベクトルｐｍが大きなコイルの軸の方向と一致しているとして、小さなコイルの作用する力の大きさを求めよ。
２．２９１． 磁気モーメントがｐ１ｍ＝４．０ｍＡ・ｍ２、ｐ２ｍ＝６．０ｍＡ・ｍ２である２つのコイルの相互作用力を求めよ。２つのコイルの軸は１本の直線上にあり、コイルの間隔ｌ＝２０ｃｍはコ
イルの大きさと比較すると十分に大きい。
２．２９２． 薄い円盤上の永久磁石がある。自身の軸の方向に磁化している。円板の半径はＲ＝１．
０ｃｍ。円板の軸上で、円板の中心から距離ｘ＝１０ｃｍの点での磁束密度がＢ＝３０μＴである。
円板の縁を流れている分子電流Ｉ の値を見積もれ。
２．２９３． 一様で等方的な磁性体の平らな表面近傍の真空における磁束密度がＢ。ベクトルＢは表面の法線に対して角度αをなしている。磁性体の比透磁率はμ。表面近傍の磁性体中における磁束密度Ｂ を求めよ。
２．２９４． 磁性体の平らな表面近傍の真空における磁束密度がＢ。ベクトルＢは表面の法線に対して角度θをなしている。図２．８６参照。磁性体の比透磁率はμ。以下を求めよ。（ａ）磁性体の表面に中心を持ち、半径Ｒの球表面Ｓを通過する磁界強度Ｈの量。（ｂ）図に記載されている辺長ｌの正方形ループΓに沿った磁束密度Ｂの循環量。
２．２９５． 電流Ｉが円形断面をしている長い円筒型導体を流れている。導体は感受率χの常磁性体でできている。以下を求めよ。（ａ）表面分子電流Ｉ 表面。（ｂ）体積分子電流Ｉ 体積。これ
らの分子電流はお互いにどうゆう方向関係となっているか。
２．２９６． 長いソレノイドが、不均一の常磁性体で充填されている。常磁性体の感受率はソレノ
イドの軸までの距離ｒにのみ依存している。χ＝ａｒ ２。ここで、ａは定数。ソレノイドの軸に沿っての磁束密度はＢ０。以下についてｒに対する依存性を求めよ。（ａ）磁性体の磁化率Ｊ（ｒ）。（ｂ）
磁性体の分子電流密度ｊ （ｒ）。
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２．２９７． 電流の流れているソレノイドが、磁性体で半分が充填されている。図２．８７参照。ソレノイドの軸上の磁束密度Ｂ、磁界強度
Ｈ，磁化率Ｊの概略図をｘへの依存として描け。
２．２９８． 電流Ｉが流れている真っ直ぐで無限に長い導体が、比透磁率μ １ ，μ ２ の２つの非導電性媒質の境界面にある。導体までの距離ｒの関数として、全空間における磁束密度Ｂを求めよ。磁束密度線は導体の軸を中心とした円を描いているものとする。
２．２９９． 電流の流れている円形ループが、比透磁率μの磁性体の平らな表面に置いてある。ループの軸上のある点で、磁性体がないときの磁束密度がＢ０である。磁性体があるときのこの点での磁界の磁束密度Ｂを求めよ。得られた結果を場全体で一般化してみよ。
２．３００． 一様に磁化した球内部の磁界強度は、Ｈ ＝−Ｊ／３であることが知られている。ここで、Ｊは磁化率。この関係式を利用して、
磁束密度Ｂ ０の一様な外部磁界中に置かれた、比透磁率μの磁性体球の磁束密度を求めよ。球は一様に磁化するものとする。
２．３０１． 磁化率Ｊである強磁性体からできている無限平板がある。
ベクトルＪは板の表面に対して、（ａ）垂直、（ｂ）平行、の場合において、板内外のベクトルＢとＨを求めよ。
２．３０２． 長さｌ＝１５ｃｍの細い円柱形状をしている永久磁石に、導線をＮ＝３００回巻き付けた。これに電流Ｉ＝３．０Ａを流すと、磁石の外場が消えた。この磁石の保持力Ｈ０を求めよ。
２．３０３． 両極の間に狭い間隙を持っている円形の永久磁石がある。円の平均直径はｄ＝２０ｃｍ。間隙の幅はｂ＝２．０ｍｍ、間隙内の磁束密度はＢ＝４０ｍＴ。間隙の端における磁界の散乱を無視して、磁石内部の磁束密度を求めよ。
２．３０４． 幅ｂ＝２．５ｍｍの間隙を持った円形永久磁石がある。円の平均半径はａ＝５．０ｃｍ。磁石の物質の残留磁化率はＪｒ＝１０００ｋＡ／ｍ、保持力はＨｃ＝２５ｋＡ／ｍ。図２．８８参照。Ｈｃからゼロまでの部分で、Ｊ（Ｈ）は線形依存であり、磁石の間隙の端での散乱は無視するものとして、間隙内での磁束密度を求めよ。

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２．３０５． 平均半径Ｒ＝２５０ｍｍのトーラス形状の鉄心に、コイルをＮ＝１０００回巻いた。
鉄心には、幅ｂ＝１．００ｍｍの間隙がある。コイルの電流Ｉ＝０．８４Ａを流したとき、間隙の磁束密度はＢ＝０．７５Ｔ。間隙の端末効果を無視して、鉄の比透磁率を求めよ。
２．３０６． 図２．８９に、純鉄の磁化曲線が描かれている。このグラフを利用して、磁場の磁気強度Ｈに対する比透磁率μの依存曲線を求めよ。Ｈがいくらの値の時、μは最大値となるか。その得のμ最大値はいくらか。
２．３０７． 平均直径ｄ＝５０ｃｍの細い鉄の輪が、コイルをＮ＝８００回巻かれて、電流Ｉ＝３．０Ａを流されている。輪には、幅ｂ＝２．
０ｍｍの横間隙がある。間隙の端の影響を無視して、図２．８９を使用
し、この条件下での鉄の比透磁率を求めよ。
２．３０８． 感受率がχ、横断面積がＳの常磁性体からできている長くて細い棒が、電流の流れているコイル内の軸に沿って置いてある。棒の一端はコイルの中心にあり、そこの所の磁束密度はＢ。棒の他端は、実質的に磁場のない領域にある。コイルは棒にどれだけの力を及ぼすか。
２．３０９． 図２．９０に示している装置で、体積Ｖ＝４１ｍｍ ３の常磁性球が、電磁石の極Ｍに引きつけられている力を、天秤で測定する。
磁極の軸上の磁束密度は、磁極面からの距離ｘに依存し、Ｂ＝Ｂ ０ｅｘｐ（−ａｘ２）。ここで、Ｂ０＝１．５Ｔ、ａ＝１００／ｍ２。以下を求めよ。
（ａ）引力が最大となるためには、球をどれだけの距離ｘ最大に置けばよいか。（ｂ）最大引力がＦ 最大＝１６０μＮの時の常磁性体球の磁気感受率。
２．３１０． 磁気感受率χの常磁性体でできた体積Ｖの小さい球を、
ゆっくりと電流の流れているコイルの軸に沿って磁束密度Ｂの所から、磁場のない領域へと移動させた。この時、磁気力に逆らってどれだけの仕事をしたか。
２．３１１． 単位長さ当りｎ回導線が巻かれている長い直線ソレノイ
ドを、常磁性液体に、半分沈める。図２．９１参照。液体の磁気感受率がχで、ソレノイドを電流Ｉが流れているならば、液体表面の単位面積に作用している磁気力はいくらか。この力はどの方向を向いているか。
２．３１２． 電流Ｉの流れている１ターンの半径ａの円形ループが、超伝導体の平らな面に平行に、かつ面から距離ｌの所に配置してある。鏡映法を用いて、ループの中心での磁束密度を求めよ。
２．３１３． 電流Ｉが流れている細い直線導体が、超伝導体の平らな平面上、この面から距離ｈの所に配置されている。鏡映法を用いて以下を求めよ。（ａ）導線からの距離の関数として、超伝導体
表面の電流の線密度。（ｂ）導体の単位長さに働く磁気力。
２．６．

電磁誘導。マックスウエル方程式。

●ファラデーの電磁誘導の法則（２．６ａ）
Ｅ ｉ＝−ｄΦ／ｄｔ●ソレノイドコイルとトロイダルコイルの場合
Φ＝ＮΦ １（２．６ｂ）
ここで、Ｎは巻き数、Φ１は１巻きあたりの磁束流●ソレノイドコイルのインダクタンス（２．６ｃ）
Ｌ＝Μμ ０ｎ２Ｖ●電流の固有エネルギーと２つの電流の相互エネルギー
Ｗ＝ＬＩ ２／２、
Ｗ１２＝Ｌ１２Ｉ１Ｉ２（２．６ｄ）●磁場のエネルギー体積密度（２．６ｅ）
ｗ＝Ｂ２／２μμ０、＝ＢＨ／２●変位電流密度（２．６ｆ）
Ｊ 変位＝∂Ｄ／∂ｔ●微分形式のマックスウエル方程式∇×Ｅ＝−∂Ｂ／∂ｔ、∇・Ｂ＝０∇×Ｈ＝ｊ＋∂Ｄ／∂ｔ、∇・Ｄ＝ρ
（２．６ｇ）
ここで、∇×＝ｒｏｔ（回転）、∇・はｄｉｖ（発散）●電磁エネルギー流密度（ポインチングベクトル）と電磁場のエネルギー体積密度- 62 -

Π＝［ＥＨ］、
ｗ＝ＥＤ／２＋ＢＨ／２（２．６ｈ）●Ｋ観測系からＫ 観測系への移動による変換公式。Ｋ 系はＫ系に対して速度ｖ０で移動している。
ｖ０≪ｃの時Ｅ ＝Ｅ＋［ｖ０Ｂ］、Ｂ ＝Ｂ−［ｖ０Ｅ］／ｃ２（２．６ｉ）
一般の場合
Ｅ ‖＝Ｅ‖、
Ｂ ‖＝Ｂ‖
Ｅ ⊥＝（Ｅ⊥＋［ｖ０Ｂ］）／（１−（ｖ ０／ｃ）２）１／２
Ｂ ⊥＝（Ｂ⊥−［ｖ０Ｅ］／ｃ２）／（１−（ｖ０／ｃ）２）１／２（２．６ｊ）
ここで、記号‖ 、⊥ はベクトルｖ０に平行と垂直な方向の場の成分を示す。
●電磁場の不変量（２．６ｋ）
ＥＢ＝不変、
Ｅ ２−ｃ ２Ｂ２＝不変
２．３１４． 磁束密度Ｂの磁界中に、ループ回路がある。図２．９２参照。ループの上部分は。半径ａの半円形状をしており、軸ＯＯの周りに一定の角速度ωで回転する。時刻ｔ＝０の時、ループを通過する磁束量は最大である。時間ｔの関数として、ループ回路の誘導起電圧を求めよ。
２．３１５． ｙ＝ｋｘ ２の放物線形状をしている導線が、磁束密度Ｂの磁界中にある。図２．９３参照。時刻ｔ＝０の時に、放物線の上から横棒１２が移動する。以下のように横棒が動くとき、誘導起電圧をｙの関数として求めよ。（ａ）一定速度ｖで移動するとき、（ｂ）一定
加速度ａで動くとき。この際、時刻ｔ＝０で、横棒の速度はゼロとする。
２．３１６． 半径ａ＝２５ｃｍの金属円板が、自身の軸の周りで、角速度ω＝１３０ラジアン／ｓで回転する。以下の場合において、円板の中心と円周部分との間の電位差を求めよ。（ａ）外部磁界がない場合。（ｂ）磁束密度Ｂ＝５．０ｍＴの外部磁界があり、円板に垂直にかかっている場合。
２．３１７．電流Ｉの流れている直線導線と、可動横棒を持っているΠ型導体が同じ平面上に配置されている。図２．９４参照。横棒の長さはｌ、一定速度ｖで右方向に移動する。距離ｒの関数として、
ループにおける誘導起電圧を求めよ。
２．３１８． １辺長ａの正方形枠と電流Ｉの流れている長い直線導体が、同じ平面上に配置されている。図２．９５参照。枠を一定の速度ｖで右方向に移動させる。距離ｘの関数として、枠の誘導起電圧を求めよ。

２．３１９． お互いに間隔ｌ離れている２本の滑らかな垂直導線に沿って、重力の作用で質量ｍの導体性横棒が滑る。２本の導線の上端には抵抗Ｒが短絡している。図２．９６参照。系は磁束密度Ｂの磁界中にあり、横棒が動く面に垂直方向に磁界はかかっている。導線と横棒の抵抗、滑り抵抗、誘導電流による磁場を無視して、横棒の最終速度を求めよ。
２．３２０． 前問において、抵抗Ｒの代わりに、容量Ｃのコンデンサを接続する。横棒の加速度を求めよ。
２．３２１． 問題２．３１４で考察した系（図２．９２参照）において、ループの抵抗をＲとする。誘導電流による磁場は無視して、回転周期当りの、ループにおける平均熱出力を求めよ。
２．３２２． 面積Ｓ，抵抗Ｒの円形ループが、自身の直径の周りに角速度ωで回転する。直径は磁束密度Ｂに垂直である。誘導電流による磁界は無視して、ループに作用させなければならない力のモーメントＮ（ｔ）を求めよ。時刻ｔ＝０の時、ループの面は磁界の方向と垂直- 63 -

とする。
２．３２３． 電磁石の極の間に、小さいコイルがある。コイルの軸は磁界の方向と一致している。
コイルの横断面積はＳ＝３．０ｍｍ ２、巻き数はＮ＝６０。コイルを自身の直径の周りに１８０°回転すると、コイルに接続している検流計に荷電量ｑ＝４．５μＣが流れる。電気回路の抵抗をＲ＝４０Ωとして、極間の磁束密度を求めよ。
２．３２４． １辺ａの正方形導体枠と、電流Ｉが流れている直線導線が、１平面上にある。図２．
９７参照。枠の抵抗はＲ。枠を、導線から距離ｂ離れている軸ＯＯ の周りに１８０°回転させた。
枠内を流れる電気量を求めよ。
２．３２５． 図２．９８参照。電流Ｉ ０の流れている長い直線導線から、距離ａ、ｂ離れて、直線導線に平行に２本の導線が配置されている。２本の直線導線の片方の両端には抵抗Ｒが接続されている。横棒導線を摩擦なしに、速度ｖで移動させる。以下を求めよ。
（ａ）横棒を流れる誘導電流。
（ｂ）
一定の速度を維持するために必要な力。
２．３２６． 図２．９９参照。質量ｍの棒１２が、摩擦なしで、２本の長いレールの上を滑る。レ
ールの間隔はｌ。レールの左端には抵抗Ｒが短絡されている。系は磁束密度Ｂの磁界に垂直に置かれている。時刻ｔ＝０の瞬間に、棒に初速度ｖ ０を右向きに与える。レール及び棒の抵抗、誘導電流による磁場を無視して、以下を求めよ。（ａ）棒が停止するまでに進んだ距離。（ｂ）この間に抵抗で発生する熱量。

２．３２７． 図２．１００参照。水平面に配置されているΠ型導線に沿って、摩擦なしで横棒が滑る。横棒は長さｌ、質量ｍ、抵抗がＲ。全系は磁束密度Ｂの一様な磁界に、垂直に配置されている。時刻ｔ＝０の時、横棒に、一定の水平力Ｆを作用し始めた。横棒は右に移動し始めた。
時間の関数として、横棒の速度を求めよ。誘導電流による磁場、Π型導線の抵抗などは無視する。
２．３２８． 図２．１０１参照。辺長ａ，ｂの２つの正方形でできている平面型ループが、その面の垂直な磁界中にある。磁場の磁束密度は、
Ｂ＝Ｂ ０ ｓｉｎωｔに従って変化する。ここで、Ｂ ０ ＝１０ｍＴ、ω＝１００／ｓ。ループの単位長当りの抵抗をρ＝５０ｍΩ／ｍとして、ループの誘導電流の振幅を求めよ。この誘導電流による磁場は無視する。
２．３２９． 大きな巻き数Ｎの平らな螺旋コイルが自身の面に垂直な磁界中にある。コイルの外半径はａ。磁場はＢ＝Ｂ ０ｓｉｎωｔで変化する。ここで、Ｂ０とωは定数。コイルの誘導起電圧の振幅を求めよ。
２．３３０． Π型導線が、一様磁界中にある。磁界は導線の面に垂直で、磁界の磁束密度はＢ＝０．１０Ｔ／ｓの速さで変化する。この導線の平行な部分に沿って、導線の横棒が静止状態から加速度ａ＝１０ｃｍ／ｓ２で移動する。横棒の長さはｌ＝２０ｃｍ。時刻ｔ＝０の時に、ループの面積はゼロ、磁束密度はゼロとして、ｔ＝２．０ｓ後での回路の誘導起電圧を求めよ。
２．３３１． 長いソレノイドコイル内部に、横断面積Ｓで、巻き数Ｎのコイルが配置されている。
コイルは自身の軸の周りに角速度ωで回転する。コイルの軸はコイルの直径と一致し、ソレノイドの軸と直交している。ソレノイドコイル内部の磁束密度がＢ＝Ｂ ０ｓｉｎωｔで変化し、時刻ｔ＝０の時に、コイルの軸がソレノイドの軸と一致していたとして、コイルでの誘導起電圧を求めよ。
２．３３２． 断面の半径ａ、単位長さ当りの巻き数ｎの長いソレノイドで、一定の速度Ｉドット（＝ｄＩ／ｄｔ）で電流を変化させる。ソレノイドの軸からの距離ｒの関数として、渦電場の電界強度を求めよ。この関係をグラフで示せ。
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２．３３３． 断面積の直径ｄ＝５ｃｍ、１ｃｍ当りの巻き数ｎ＝２０の長いソレノイドに、断面積
Ｓ＝１．０ｍｍ２の銅線を巻き付け、コイルとする。ソレノイドの電流を、一定の速度Ｉドット（ｄＩ／ｄｔ）で増加させたとき、巻き付けたコイルの電流を求めよ。
２．３３４． 質量ｍの不導体性の細いリングが荷電ｑを帯び、自身の軸の周りに自由に回転することができる。時刻ｔ＝０の時に、このリング面に垂直に一様磁界をかけた。磁界の磁束密度はある式
Ｂ８ｔ）に従って増大し始めた。Ｂの関数としてリングの角速度ωを求めよ。
２．３３５． 抵抗Ｒの動いていないループを通過する磁束が、式Φ＝ａｔ（τ−ｔ）に従って、τ
の時間の間に変化する。この時間の間にループで発生した熱量を求めよ。誘導電流による磁場は無視する。
２．３３６． 長いソレノイドの中心に、比抵抗率ρの導電材料で作られた長方形断面の同軸リングが置いてある。リングの厚さはｈ、リングの内半径と外半径はａ、ｂ。ソレノイドの磁束密度を、式
Ｂ＝βｔに従って変化させる。ここで、βは定数。リングにおける誘導電流を求めよ。リングによる磁場は無視する。
２．３３７． インダクタンスがＬ＝１．０ｍＨで、長さがｌ ０＝１００ｃｍのソレノイドを製作するためには、何メートルの細導線が必要か。ソレノイドの断面の直径は、ソレノイドの長さより十分に小さいものとする。
２．３３８． 巻き線には質量ｍの導線を使用した長さがｌのソレノイドのインダクタンスを求めよ。
巻き線の抵抗はＲ、ソレノイドの直径はソレノイドの長さより十分に小さい。
２．３３９． 抵抗Ｒ＝１４０ｍΩを持つインダクタンスＬ＝３００ｍＨのコイルに、電源を接続する。コイルを流れる電流が、最終電流値のη＝５０％までに立ち上がる時間を求めよ。
２．３４０． 質量ｍ＝１．０ｋｇの銅線を１層で巻き上げた長さｌ＝１００ｃｍのソレノイドの時定数τを求めよ。ソレノイドの断面の直径はソレノイドの長さより十分に小さいものと見なす。注釈時定数τ＝Ｌ／Ｒ、ここで、Ｌはインダクタンス、Ｒは抵抗。
２．３４１． ２つのうすい同軸の金属円筒でできているケーブルの単位長さのインダクタンスを求めよ。外側の円筒の半径は内側の円筒の半径より、η＝３．６倍大きい。円筒間の媒質の比透磁率は１と見なす。
２．３４２． トロイダルコイルがある。巻き数はＮ、内半径はｂ、横断面形状は１辺長ａの正方形。
コイル内部は比透磁率μの常磁性体が充填されている。このコイルのインダクタンスを求めよ。
２．３４３． 図２．１０２に示している２枚の帯状導体板でできている系の単位長さ当りのインダクタンスを求めよ。間隔
はｈ、幅はｂ。ｈ≪ｂ。ｂ／ｈ＝５０。
２．３４４． ２本の平行導体線がある。各導体線の半径はそれらの軸間の距離のη倍小さい。この系の単位長のインダクタ
ンスを求めよ。導線中の場は無視し、比透磁率は全てに置いて１であり、η≪１。
２．３４５． 細い導線でできている半径ａ＝５０ｍｍのリン
グのインダクタンスはＬ＝０．２６μＨ。このリングが、自身の面を、磁界に垂直の状態で、磁束密度Ｂ＝０．５ｍＴの磁界中においた。その後、このリングを超伝導状態となるまで冷却し、磁界を切った。リングに流れている電流を求めよ。
２．３４６． インダクタンスがＬである半径ａの超伝導円形リングが、磁束密度Ｂの磁界中にある。
リングの面はベクトルＢに平行であり、リングの電流はゼロ。その後、リングの面を９０°回転し、磁界に垂直とした。以下を求めよ。（ａ）回転後に、リングに流れる電流。（ｂ）回転に要した仕事。
２．３４７． 電流Ｉ ０＝１．９Ａが、長い閉じた超伝導ソレノイド中を流れている。ソレノイドの長さをη＝５％だけ長くしたとき、その後にソレノイドを流れる電流を求めよ。
２．３４８． 電圧Ｅの電源とインダクタンスＬのチョークコイルが直列に接続している閉回路がある。回路の準抵抗はＲ。時刻ｔ＝０の時、チョークコイルのインダクタンスが、η倍だけ急減少した。
時間の関数として、回路電流を求めよ。助言 インダクタンスの急変動において、全磁束は不変に保たれる。
- 65 -

２．３４９． 図２．１０３の回路において、時刻ｔ＝０の時に、スイッチＫを閉じた後、インダク
タンスＬを流れる電流の時間変化を求めよ。
２．３５０． 図２．１０４の回路において、電源の電圧Ｅ，抵抗Ｒ，インダクタンスＬ１，Ｌ２は概値である。電源及びコイルの抵抗は無視できるほど小さい。スイッチＫを閉じた後、状態が安定した
ときのコイルの電流を求めよ。
２．３５１． 単調当りの巻き数がｎ１、ｎ２である２つの長い同軸ソレノイドがある。横断面積がＳである内部のソレノイド内は、比透磁率μの磁性体で充填されている。これらソレノイド間の、単位長当りの相互インダクタンスを求めよ。
２．３５２． 長い直線導線と辺長ａ，ｂの長方形枠の間の相互インダクタンスを求めよ。枠と直線導線は同じ平面内にあり、長さｂの枠の辺が導線に近く、導線に平行で、導線との距離はｌである。
２．３５３． トロイダルコイルと、その軸を通っている無限の直線導線の相互インダクタンスを求めよ。コイルは長方形断面をしている。その内半径はａ、外半径はｂ。厚みはｈ。巻き数はＮ。系は比透磁率μの一様な磁性体中にある。
２．３５４． 正方形断面をしているトロイダルの表面に、細い導線をＮ１回一様に巻いた。図２．
１０５に示しているように、この１次コイルの上に、２次コイルをＮ２回巻いた。トロイダルの内半
径はａ、外半径はｂ。２つのコイルの間の相互インダクタンスを求めよ。

２．３５５． 半径ａ、ｂの円形状をしている２つの同心の細い導体が１つの平面内にある。ａ≪ｂ。以下を求めよ。（ａ）相互作用インダク
タンス。（ｂ）内側の導体に電流Ｉを流したとき、外側の導体の面を通過する磁束。
２．３５６． 同じ形状の２つの正三角形のループがある。が、１つの辺は密着している。各辺は絶縁体を塗布されている導線である。密着している辺に対向している頂点同士の距離は辺の長さと同じである。各々のループのインダクタンスはＬ。相互インダクタンスを求めよ。
２．３５７． 図２．１０６参照。電流Ｉが１辺長ａの正方形枠ループを流れている。半径面Ｐを通過している磁束を求めよ。境界線ＯＯ は
枠の最近接辺から距離ｂ離れている。半径面Ｐと正方形枠は１つの平面内にある。指針：公式Ｌ１２＝Ｌ２１を利用する。
２．３５８． 電流Ｉの流れている半径ａの細いリングがある。リングの面にあり、リングの中心から距離ｒ離れている点における磁束密度を求めよ。ｒ≫ａとする。
２．３５９． 小さい円中型磁石が、巻き数Ｎで半径ａの細いコイルの中心に位置している。図２．１０７参照。
コイルに検流計Ｇを接続する。回路の全抵抗はＲ。コイルから磁石を遠ざけたとき、検流計をｑの電気量が流れた。磁石の磁気モーメントを求めよ。
２．３６０． 同じ半径ａの２つのコイル間の相互インダクタンスのための近似公式を求めよ。コイ
ルの軸は一致し、コイルの中心はお互いに距離ｌ離れているものとする。また、ｌ≫ａ。
２．３６１． 相互インダクタンスがＬ１２である２つの静止しているループがある。ループの１つに、
式Ｉ １＝αｔに従って電流をなはし始めた。ここで、αは定数、ｔは時間。他方のループにおける電- 66 -

流Ｉ ２（ｔ）を求めよ。この方のループの自己インダクタンスはＬ２，抵抗はＲとする。
２．３６２． 図２．１０８参照。インダクタンスＬ＝２．０マク
ロＨ、抵抗Ｒ＝１．０Ωのコイルが、電圧Ｅ＝３．０Ｖの電源に接続されている。コイルの平行に抵抗Ｒ ０ ＝２．０Ωを接続する。スイッチＫを開いた後に、コイルで発生する熱量を求めよ。電源の内部抵抗は小さい。
２．３６３． 比透磁率μで円形断面を有す長い直線導線を電流Ｉが流れている。導線の単位長さ当りの導線内部の磁界のエネルギーを求めよ。
２．３６４． 反強磁性体でできているトーラスに、導線をＮ＝５００回巻いた。電流Ｉ＝２．０Ａを流したとき、トーラスの横断面を通過する磁束はΦ＝１．０ｍＷｂであった。磁界のエネルギーを求めよ。
２．３６５． 半径ａ＝３．０ｃｍの円形断面をしているトーラスの鉄心が、巻き数Ｎ＝１０００回のコイルを巻かれて、電流Ｉ＝１．０Ａを流されている。トーラスの平均半径はｂ＝３２ｃｍ。図２．
８９を利用して、鉄心中の磁気エネルギーを求めよ。
２．３６６． 横断面積がＳ＝５．０ｃｍ ２の磁性体製細いリングが、平均直径がｄ＝３０ｃｍで、Ｎ＝８００回巻きのコイルを持っている。リングに、間隔ｄ＝２．００ｍｍの垂直間隙を作る。コイ
ルのある電流を流したとき、磁性体の比透磁率はμ＝１４００。間隙端の散乱などは無視して、以下を求めよ。（ａ）間隙中の磁気エネルギーと磁性体のエネルギーの関係。（ｂ）系のインダクタンス。
２．３６７． 同軸ケーブルが、半径ａの密に詰まっている内側導線と、半径ｂの薄い器壁の導体性
外側パイプからできている。振動数が十分に小さい電流に対する、このケーブルの単位長当りのインダクタンスを求めよ。ただし、この振動数領域においては、内側導線の断面に渡って電流の分布は一様である。また、ケーブルの材料は非磁性である。
２．３６８． 非磁性材料でできている半径ａの長い円柱が、表面に一様に帯電し、自身の軸の回りに角速度ωで回転している。円柱の単位長さ当りの磁気エネルギーを求めよ。円柱の荷電の線密度をλとする。
２．３６９．真空中において、電場のエネルギー密度が、磁束密度Ｂ＝１．０Ｔの磁界におけるエネ
ルギー密度を等しいのは、電界強度Ｅが幾らの時か。
２．３７０． 半径ａ＝１０ｃｍの細くて一様に帯電しているリングが、自身の軸の回りに角速度ω
＝１００ラジアン／ｓで回転している。リングの軸上でリングの中心から距離ｌ＝ａにある点における、磁場のエネルギー密度と、電界のエネルギー密度の関係を求めよ。
２．３７１． 磁気エネルギー密度に関する式から、常磁性体及び反磁性体の単位体積当りの磁化に要する仕事は、Ａ＝−ＪＢ／２であることを示せ。
２．３７２． 各々インダクタンスがＬである２つの同型のコイルを、（ａ）直列に接続、（ｂ）並列に接続、コイル間の相互インダクタンスは無視できるとして、２つの場合における系のインダクタ
ンスを求めよ。
２．３７３． 各々インダクタンスがＬである２つの同型のコイルを、直列に接続し、１つのコイルの磁束が完全にもう１つのコイルを通過し、その磁束を強めるように、２つのコイルを配置する。これら２つのコイルで形成されている系のインダクタンスを求めよ。
２．３７４． 同じ長さで、断面も殆ど同じ２つのソレノイドがある。１つをもう１つの内部に挿入する。各々のインダクタンスはＬ１，Ｌ２。相互インダクタンスを求めよ。
２．３７５． 同形の超伝導体の２つの同軸円形コイルがある。各々のインダクタンスはＬ。これを、軸を一致させて、遠く離して配置する。各々のコイルの同じ方向に電流Ｉを流す。その後、コイルを一緒（？）にする。以下を求めよ。（ａ）各コイルの最終電流Ｉ 。（ｂ）系の磁気エネルギーの増加
分。
２．３７６． 真空中で、電流の流れている２つのループの磁気エネルギーはＷ＝（１／μ０）∫（Ｂ
Ｂ２）ｄＶであることを示せ。ここで、Ｂ１，Ｂ２は、個々の電流によって、多忙のループに形成されている体積要素ｄＶ中の磁束密度。

１- 67 -

２．３７７． 半径ａ、ｂの２つの円形ループに、電流Ｉ １，Ｉ ２が流れている。ループの中心は一致しており、２つのループのなす角度はθ。ａ≪ｂとして、ループの相互作用エネルギーを求めよ。
２．３７８． ２つの同心球殻の間の空間が、比抵抗率ρ、比誘電率εの若干伝導性のある媒質で満たされている。ある時における内球殻の荷電量はｑ。以下を求めよ。（ａ）変位電流密度ベクトルと電流密度ベクトル（？）の間の関係。
（ｂ）内殻を包んでいる媒質の任意の点を流れている変位電流。
２．３７９． ２枚の円板で、平板コンデンサが形成されている。円板の間には一様な弱い導電性媒質が入っている。コンデンサを充電し、電源を外す。コンデンサ内部に磁界がないことを示せ。
２．３８０． 電極板の各々の面積がＳ＝１００ｃｍ ２の平板空気コンデンサが、交流回路で直列に接続してある。導線中のサイン波電流の振幅はＩ ｍ＝１．０ｍＡ、電流の振動数はω＝１．６×１０ ７／ｓとして、コンデンサ中の電界強度の振幅を求めよ。
２．３８１． 円板形状をしている平板コンデンサの電極の間の空間が、比導電率σ、比誘電率εの弱い導電性のある媒質で満たされている。電極間隔はｄ。端末効果を無視して、コンデンサに交流電
圧Ｕ＝Ｕ ｍｃｏｓωｔを印加したとき、それら（？）の軸から距離ｒにある電極板の間の磁界強度を求めよ。
２．３８２． 長い直線ソレノイドは、単位長さ当りの巻き数がｎ。このコイルに、交流電流Ｉ＝Ｉｓｉｎωｔを流す。それ二度の軸からの距離ｒの関数として、変位電流密度を求めよ。ソレノイドの断面半径はＲ。

ｍ

２．３８３．点電荷ｑが比相対論的速度ｖ＝一定で動く。（ａ）荷電の軌道と一致する直線上で、荷電から距離ｒの点における変位電流密度ｊ 変位を求めよ。（ｂ）軌道に垂直で荷電を通っている直線上
で、荷電から距離ｒの点における変位電流密度ｊ 変位を求めよ。
２．３８４． 各々質量がｍ、荷電がｑ、−ｑの２つの粒子が、電気引力の作用のもと、円周を動いている。２つの粒子を結びつけている
直線は角速度ωで回転している。これらの系の中心における変位電流密度を求めよ。
２．３８５． 点電荷ｑが比相対論的速度ｖ＝一定で動く。図２．１０９参照。円に沿ってのベクトルＨの循環をとり、半径ベクトルｒと荷電の速度ベクトルｖの関数として、点ＡにおけるＨを求めよ。
２．３８６． マックスウエルの方程式を利用して以下を求めよ。
（ａ）
時間で変化する磁界は電界が無くしては存在しない。（ｂ）一様な電界は、時間変化する磁界の存在下では存在し得ない。
２．３８７．

マックスウエル方程式から電荷の保存則∇・ｊ＝−∂ρ／∂ｔを導け。

２．３８８． マックスウエル方程式∇×Ｅ＝−∂Ｂ／∂ｔと∇・Ｂ＝０は、両立している、則ち、片方は他方と矛盾していない、ことを示せ。
２．３８９． 慣性観測系のある領域で、磁界が角速度ωで回転している。磁界の磁束密度はＢである。この領域において、ベクトルωとベクトルＢの関数として、∇×Ｅを求めよ。
２．３９０． Ｋ慣性観測系に一様な磁束密度Ｂの磁界がある。Ｋに対して相対速度ｖで動き、ｖ⊥
ＢであるＫ 系における電界強度を求めよ。この問題を解くために、Ｋ 系において仮想の荷電の速度がゼロの瞬間において、両方の観測系におけるこの荷電に作用する力を、考察せよ。
２．３９１． 反強磁性体でできている大きな板が、速度ｖ＝９０ｃｍ／ｓで、磁束密度Ｂ＝５０ｍＴの磁界中を動く。図２．１１０参照。この運動により板に生起される荷電の表面電荷密度を求めよ。
２．３９２． 比誘電率εの一様な誘電体からできている大きな板が、図２．１１０に示しているように、磁束密度Ｂの一様磁界中を速度ｖで動く。
誘電体の分極率Ｐと、寄生荷電の表面密度σ を求めよ。
２．３９３． 半径ａ＝５．０ｃｍのアルミニューム製の長い円柱が、磁束密度Ｂ＝１０ｍＴの一様磁界中で、自身の軸の周りに回転している。回転の角速度はω＝４５ラジアン／ｓ、ベクトルω‖ベクトルＢ。生成した荷電による磁場を無視して、荷電の体積密度と、表面密度を求めよ。
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２．３９４． 比誘電率εの誘電体製の半径ａの長い円柱が、磁束密度Ｂの一様な外場中で、自身の軸の周りに一定の角速度ωで回転している。この際、ベクトルω‖ベクトルＢ。以下を求めよ。
（ａ）
円柱の軸からの距離の関数としての誘電体の分極率Ｐ（ｒ）。（ｂ）円柱の単位長さ当りの表面寄生
電荷λ 。
２．３９５． 荷電ｑが一定速度ｖで動く。荷電に対して、半径ベクトルｒで定まる点において、この荷電の磁界の磁束密度Ｂを、場の変換公式を使用して求めよ。
２．３９６． 公式Ｅ ＝Ｅ＋ｖ ０×Ｂ、
Ｂ ＝Ｂ−ｖ ０×Ｅ／ｃ ２を用いて、以下を証明せよ。
もし、Ｋ慣性観測系において、電界だけ、或いは磁界だけがあるならば、任意の他の慣性系Ｋ において、電場も磁場も同時に存在する。この際、Ｅ ⊥Ｂ 。
２．３９７．電流Ｉ＝１．０Ａが流れている長い直線導線がある。電流Ｉの方向に、導線に沿って速度ｖ ０＝１．０ｍ・ｓで移動している観察系における、導線の単位長さ当りに荷電λ と、この荷電を補償する対応するだけの電子数を見いだせ。
２．３９８． 慣性系Ｋにおいて、電界強度がＥ＝ａ（ｘｉ＋ｙｊ）・（ｘ ２ ＋ｙ ２ ）の電界のみが存在している。ここで、ａは定数、ｉとｊはＸ軸とＹ軸の単位ベクトル。Ｋ系に対して、Ｚ軸方向にｖ＝ｃｋで移動しているＫ 系における磁界の磁束密度Ｂ を求めよ。ここで、ｋはＺ軸の単位ベクトル。Ｚ 軸とＺ軸は一致している。
２．３９９．
を示せ。

変換公式（２．６ｉ）は、ｖ ０≪ｃの場合、変換公式（２．６ｊ）よりは導けること

２．４００． 慣性系Ｋに、電界強度Ｅ＝８ｋＶ／ｍの一様な電場のみが存在している。Ｋ系に対して、速度ｖで、ベクトルＥに角度α＝４５°で動いている慣性系Ｋ において、以下を求めよ。Ｋ
系の速度は光速度のβ＝０．６０とする。（ａ）Ｅ の大きさと方向。（ｂ）Ｂ の大きさと方向。
２．４０１． 前問において、Ｋ系には電界はなく、磁束密度Ｂ＝０．８Ｔの磁界のみがあった場合について、問題を解け。
２．４０２． 変換公式（２．６ｊ）を利用して、以下の量の不変性を確かめよ。（ａ）ＥＢ。（Ｂ）
Ｅ２−ｃ ２Ｂ２。
２．４０３． 慣性観察系Ｋにおいて、２つの一様なお互いに垂直な場がある。電界強度Ｅ＝４０Ｋ
Ｖ／ｍの電場と、磁束密度Ｂ＝０．２０ｍＴの磁界。電場と磁場のどちらかだけ（電場だけ、或いは
磁場だけ）が観察される慣性系Ｋ における電界強度Ｅ （或いは磁束密度Ｂ ）を求めよ。指針：
場の不変性を利用せよ。
２．４０４． 点電荷ｑが、速度ｖで一様に直線的に移動している。この荷電の速度ベクトルと角度θをなし、この荷電に対してｒの半径ベクトルをなす点における、この荷電の電場の電界強度Ｅを求
めよ。
２．７．

電場と磁場中での荷電粒子の運動●ローレンツ力
Ｆ＝ｑＥ＋ｑ［ｖＢ]●相対論的粒子の運動方程式（ｄ／ｄｔ）（ｍｖ／（１−（ｖ／ｃ）２）１／２）＝Ｆ●一様な磁場中の荷電粒子の回転周期
Ｔ＝２πｍ ｒ／ｑＢ
ここで、ｍｒは粒子の相対論的質量、ｍｒ＝ｍ／（１−（ｖ／ｃ）２）１／２●ベータトロン条件−ベータトロンにおいて円軌道に沿った電子の運動条件
Ｂ０＝（１／２）＜Ｂ＞
ここで、Ｂ０は軌道上の磁場の磁束密度、＜Ｂ＞は軌道内部の平均磁束密度（２．７ａ）（２．７ｂ）（２．７ｃ）（２．７ｄ）

２．４０５． 平板コンデンサの１つの電極板から、速度が無視できる速さで電子が飛びだした。コ
ンデンサの電極板間の加速電圧はＵ＝εｔ。ここで、ε＝１００Ｖ／ｓ。極板間隔はｄ＝５．０ｃｍ。
電子が対向電極板に達するときの速度を求めよ。
２．４０６． 電位差Ｕで加速された陽子が、時刻ｔ＝０に、平板コンデンサの一様な電界中に飛込む。電子の運動方向の極板の長さはｌ。場の電界強度はＥ＝εｔのように時間によって変化する。ここで、εは定数。陽子を非相対論的に取り扱い、陽子がコンデンサに達したときとコンデンサを抜けたときの陽子の運動方向のなす角度を求めよ。端末効果は無視する。
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２．４０７． 比電荷ｑ／ｍの粒子が、電場Ｅ＝Ｅ ０−εｘの作用かで直線的に運動する。ここで、εは正定数、ｘは粒子が最初に静止していた点からの距離。粒子が停止するまでに、粒子が移動した距離を求めよ。
２．４０８． 電子が、電界強度Ｅ＝１０ｋＶ／ｍの一様電界中を動く。運動を始めてからいかほどの時間で、電子の運動エネルギーが電子の静止エネルギーと等しくなるか。
２．４０９． 時刻ｔ＝０に、相対論的陽子が、速度ｖ０で、電界強度Ｅの一様電界中の領域に飛込んだ。ここでｖ ０⊥Ｅ。陽子の速度ｖと陽子の最初の運動方向とのなす角度θの時間依存を求めよ。
２．４１０． 電位差Ｕ＝５００ｋＶで加速されている陽子が、磁束密度Ｂ＝０．５１Ｔの一様磁界中に横から飛込む。図２．
１１１参照。磁界の領域の幅はｄ＝１０ｃｍ。運動の初期の方向となす陽子の傾き角度αを求めよ。
２．４１１． 荷電粒子が、磁束密度Ｂ＝１０．０ｍＴの一様磁界中で、半径ｒ＝１００ｍｍの円軌道を動いている。粒子が以下の場合における粒子の速度と、粒子の回転周期を求めよ。
（ａ）非相対論的陽子。（ｂ）相対論的電子。
２．４１２． 一様な磁界中において、電子及び陽子の回転周期が、η＝１．０％だけ大きくなると、運動エネルギーの値はいかほど変化するか。速度は非相対論的とする。
２．４１３． 電位差Ｕ＝１．０ｋＶで加速されている電子が、一様磁界中を、ベクトルＢに対して
角度αをなして動く。ここでＢ＝２９ｍＴ。電子の螺旋軌道のピッチを求めよ。
２．４１４． 電位差Ｕで加速された非相対論的帯電粒子のビームが、直線ソレノイドの軸に沿って点Ａから飛び出す。ビームは、２つの直列接続している磁束密度Ｂ １，Ｂ ２の磁界を通り、点Ａから距
離ｌのところに収束する。粒子の比電荷ｑ／ｍを求めよ。
２．４１５． 直線ソレノイドの軸上にある点Ａから、非相対論的電子が速度ｖで、軸に角度αをなして飛び出す。磁界の磁束密度はＢ。点Ａから距離ｌで軸に垂直に配置しているスクリーン上の電子の到達点までの、軸からの距離ｒを求めよ。
２．４１６． 電流Ｉが流れている半径ａの円柱導体の表面から、初速度ｖ ０で、銅体表面に垂直に電子が飛び出す。電流の磁場の作用下で、元に戻る前に、電子は導体の軸から最大どれだけの遠距離まで遠ざかるか。
２．４１７． 非相対論的な帯電している粒子が、円柱型コ
ンデンサの電界中を飛行し、磁束密度Ｂの一様磁界中に飛込む。図２．１１２参照。コンデンサ内では、粒子は円弧に沿って動き、磁場中では半径ｒの半円に沿って動く。コンデン
サの電位差はＵ、極板の半径はａとｂ（＞ａ）。粒子の速度と、粒子の比電荷ｑ／ｍを求めよ。
２．４１８． 電界強度Ｅ，磁束密度ＢがＹ軸に平行に配置している領域の座標の原点Ｏから、Ｘ軸方向に、比電荷ｑ／ｍで初速度ｖ０を持つ非相対論的粒子が飛び出す。図２．１１３参照。以下を求めよ。（ａ）粒子がＹ軸をｎ回目に横切ったときの、粒子の座標ｙ ｎ。（ｂ）この時の、粒子の速度とＹ軸とのなす角度α。
２．４１９． 異なった速度を持つ比電荷がｑ／ｍの同種イオンからなる
細いビームが、磁界強度Ｅの電場と、磁束密度Ｂの磁場が平行にかかっている領域に入射する。図２．１１３参照。点Ｏでのビームの方向は、Ｘ軸と一致している。点Ｏから距離ｌの所に、Ｘ軸に垂直な平面スクリーンがある。スクリーン上におけるイオンの跡の軌跡方程式を求めよ。ｚ≪ｌの場合では、この軌跡は放物線となることを示せ。
２．４２０． 非相対論的陽子流が、相互に直交している電界強度Ｅ＝１
２０ｋＶ／ｍの電場と、磁束密度Ｂ＝５０ｍＴの磁界で作られている領域に、傾斜することなく入射する。その後ビーム流は接地されている標的に命中する。ビーム流の電流Ｉ＝０．８ｍＡとして、ビーム流が標的に作用する力を求めよ。
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２．４２１． 非相対論的陽子が相互に直交している磁界強度Ｅ＝４．０ｋＢ／ｍの電界と、磁束密度Ｂ＝５０ｍＴの磁界のある領域に真っ直ぐに飛込む。陽子の軌跡はｘｚ面内にあり、Ｘ軸と角度φ＝３０をなしている。図２．１１４参照。電場を切った後に陽子が描く螺旋軌道のピッチ長を求めよ。
２．４２２． 非相対論的荷電粒子束が、領域 A に真っ直ぐに飛込む。図２．１１５参照。領域 Aには電界強度 E の電場と、磁束密度 B の磁場が相互に直交してかかっている。磁場を消すとスクリーン上のビームの跡が、Δｘだけ移動する。距離ａ、ｂは概値として、粒子の比電荷ｑ／ｍを求めよ。

２．４２３． 比電荷ｑ／ｍの粒子が、電界強度 E の電場と、磁束密度 B の磁場が相互に直交してかかっている領域で動く。図２．１１６参照。時刻ｔ＝０の時、粒子は点Ｏにあり、速度はゼロであった。非相対論的として以下を求めよ。（ａ）粒子の座標（ｘ（ｔ）、（ｙ（ｔ））。粒子の軌跡。（ｂ）
粒子の速度が再びゼロとなる近接している２点間の軌跡部分の長さ。（ｃ）Ｘ軸上への粒子の速度の投射（ドリフト速度）の平均値。
２．４２４． 半径ａの長いアノード円筒と、同軸の半径ｂ（＜ａ）の長いカソード円筒からできている系がある。系の軸上に、加熱電流Ｉが流れているフィラメントがある。系全体に磁場がかかっている。初速度なしにカソードを出た熱電子がアノードの到達し始める、カソードとアノード間の最小電位差を求めよ。
２．４２５． マグネトロンは、半径ａの赤熱フィラメントと、半径ｂの同軸円筒アノード、そしてフィラメントに平行にかかっている磁場からできている。フィラメントとアノードの間には、加速電位差Ｕが印加されている。フィラメントから初速度ゼロの電子が飛び出し、アノードの到達するための磁界の磁束密度を求めよ。
２．４２６． 比電荷ｑ／ｍの荷電粒子が、相互に直交している磁界と磁場の領域で、動き始める。
磁界は一定で磁束密度はＢ、電場は電界強度Ｅ＝Ｅ ｍｃｏｓωｔに従って変化する。ここで、ω＝ｑＢ／ｍ。時刻ｔ＝０の時、粒子は点Ｏに居たものとして、粒子の座標（ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）を求めよ。
運動は非相対論的とする。粒子の軌跡は大凡どのような形か。
２．４２７． ？ サイクロトロンの電源の周期はν＝１０ＭＨｚ。半径ｒ＝０．５ｍの陽子の隣接する軌道間の距離が、Δｒ＝１．０ｃｍより小さくない場合、電極間の有効加速電圧を求めよ。
２．４２８． 陽子をサイクロトロンで加速する。陽子の軌道の最大半径はｒ＝５０ｃｍ。以下を求めよ。（ａ）サイクロトロンの磁界の磁束密度をＢ＝１．０Ｔとして、加速最後における陽子の運動
エネルギー。（ｂ）加速の最後において、陽子が運動エネルギーＫ＝２０ＭｅＶを持つときの、サイクロトロン電源の最小周波数。
２．４２９． Ｈｅ ＋ イオンが、軌道の最大半径ｒ＝６０ｃｍで、サイクロトロン内で加速される。サイクロトロンの電源の周波数はν＝１０．０ＭＨｚ、電極間の有効加速電圧はＵ＝５０ｋＶ。
電極間隙の影響を無視して以下を求めよ。（ａ）イオンの加速過程の全時間。（ｂ）全加速の間において、イオンの経由した大凡の距離。
２．４３０． 一様磁界中で、電子の回転周期は、エネルギーと共に急速に大きくなるので、サイクロトロンはサイクロトロンは電子の加速には不向きである。この欠点はマイクロトロンで消える。図２．１１７参照。この装置では、電子の回転周期の変化ΔＴは加速場の周期Ｔ０を短くして行う。もし、ΔＴ＝Ｔ０、磁場の磁束密度Ｂ＝１０７ｍＴ、加速場の振動数ν＝３０００ＭＨｚならば、エネルギーＷ＝４．６ＭｅＶを獲得するためには、マイクロトロンの加速間隙を電子に何回通過させなければならないか。
- 71 -

２．４３１． サイクロトロンにおいて、粒子のエネルギーの増大における粒子の回転周期の変化に関係した拡散が発生することを押さえるために、加速場の周波数をゆっくりと変化させる。この周波数ω（ｔ）の従うべき変化式を求めよ。磁界の磁束密度はＢ、粒子が１回転で獲得するエネルギーはΔＷ、粒子の荷電はｑ、質量はｍとする。
２．４３２． 比電荷ｑ／ｍの粒子が、円形断面のソレノイド内に、ソレノイドの軸から距離ｒの所にある。コイルの電流を流すと、磁界の磁束密度はＢとなった。ソレノイドの電流の増加の時間内における粒子の移動量は無視できるほど小さいとする。粒子の速度と、粒子の軌道の曲率半径を求めよ。
２．４３３． ベータトロンでは、半径ｒ＝２５ｃｍの平衡軌道内部の磁束は、加速中の時間内で、一定速度ｄΦ／ｄｔ＝５．０Ｗｂ／ｓで増大する。これにより、電子はエネルギーＷ＝２５ＭｅＶを獲得する。加速中の間に電子のなす回転数と、電子の経由した経路長を求めよ。
２．４３４． ベータトロン内の電子は、一定半径の円周上を動く。軌道上の磁界の磁束密度は軌道内の磁束密度の平均値の半分である。このベータトロン条件を証明せよ。
２．４３５． ベータトロン条件を用いて、電子の円軌道半径を求めよ。場の軸から距離ｒに対する磁界の磁束密度の依存性が概値とする。この問題を、例として、Ｂ＝Ｂ０−ａｒ２として考察してみよ。
ここで、Ｂ０とａは正の定数。
２．４３６． ベータトロン条件を使用して、ベータトロン中の渦電場の電界強度は平衡軌道上で極値をとることを示せ。
２．４３７． ベータトロンにおいて、半径ｒ＝２０ｃｍの平衡軌道上における磁界の磁束密度は、
時間Δｔ＝１．０ｍｓで、一定の速度でゼロからＢ＝０．４０Ｔまで変化する。１回転毎に、電子が獲得するエネルギーを求めよ。
２．４３８． ベータトロンで、半径ｒの平衡軌道上における磁界の磁束密度は、加速時間毎に、ゼロからＢまで一定速度で変化する。電子の初速度をゼロとして、以下を求めよ。（ａ）この時間毎に電子が獲得するエネルギー。（ｂ）加速時間をΔｔとして、電子の経由した経路長。

- 72 -

第３部
３．１．

振動と波

力学的振動

●調和振動方程式とその解
ｄ２ｘ／ｄｔ２＋ω０２ｘ＝０、
ｘ＝ａｃｏｓ（ω０ｔ＋α）
ここでω０は振動の固有振動数。
●減衰振動方程式とその解
ｄ２ｘ／ｄｔ２＋２βｄｘ／ｄｔ＋ω ０２ｘ＝０、
ｘ＝ａ０ｅ−βｔｃｏｓ（ωｔ＋α）
ここで、βは減衰定数、ωは減衰振動周波数で
ω＝（ω０２−β２） １／２●減衰の対数減衰度λとＱ値
λ＝βＴ、
Ｑ＝π／λ
ここで、Ｔ＝２π／ωで減衰振動周期。
●強制振動方程式とその解
ｄ２ｘ／ｄｔ ２＋２βｄｘ／ｄｔ＋ω ０２ｘ＝ｆ ０ｃｏｓωｔ、
ｘ＝ａｃｏｓ（ωｔ−φ）
ここで、
ａ＝ｆ ０／（（ω０２−ω２）２＋４β２ω２） １／２、
ｔａｎφ＝２βω／（ω０２−ω２）●変位の最大振幅は以下の時実現される
ω共振＝（ω ０２−２β ２）１／２（３．１ａ）（３．１ｂ）（３．１ｃ）（３．１ｄ）（３．１ｅ）（３．１ｆ）（３．１ｇ）

３．１． Ｘ軸に沿って、点が式ｘ＝Ａｃｏｓ（ωｔ−π／４）の振動を行う。略図を描け。（ａ）
時間の関数としての変位ｘ、速度の投射ｖｘ、加速度の投射ａｘ。（ｂ）速度ｖｘ（ｘ）とｘの関係式、
加速度ａｘ（ｘ）とｘの関係式。
３．２． ある点がＸ軸に沿って、式ｘ＝Ａｓｉｎ ２（ωｔ−π／４）に従って動いている。以下を求めよ。（ａ）振動の振幅と周期、ｘ（ｔ）のグラフ。（ｂ）座標ｘの関数としての速度の投射ｖ ｘ。
ｖｘ（ｘ）のグラフ。
３．３． 点が式ｘ＝Ａｃｏｓωｔ＋Ｂｓｉｎωｔに従って調和振動をしている。ここで、Ａ，Ｂ、
ωは定数。この振動の振幅ａを求めよ。
３．４． 粒子が、Ｘ軸に沿って、振動数ω＝４．００／ｓで、ｘ＝０の平衡位置の周りで調和振動をする。粒子の座標がｘ ０＝２５．０ｃｍであるとき、粒子の速度はｖ ｘ０＝１００ｃｍ／ｓ。この瞬間からｔ＝２．４０ｓ後における粒子の座標ｘと速度ｖｘを求めよ。
３．５．平衡位置から距離ｘ １，ｘ ２での粒子の速度がｖ１，ｖ２の時、粒子の調和振動の各周波数と振幅を求めよ。
３．６． ある直線に沿って、周期Ｔ＝０．６０ｓ、振幅ａ＝１０．０ｃｍの調和振動を点が行う。
点が以下の状態位置から経路長ａ／２を経由する時間内における点の平均速度を求めよ。（ａ）端の状態から。（ｂ）平衡状態から。
３．７． 次の振動の合成において生ずる振動の振幅Ａをグラフから求めよ。（ａ）ｘ １ ＝３ｃｏｓ（ωｔ＋π／３）、ｘ ２ ＝８ｓｉｎ（ωｔ＋π／６）。（ｂ）ｘ １ ＝３ｃｏｓωｔ、ｘ ２＝５ｃｏｓ（ωｔ＋π／４）、ｘ３＝６ｓｉｎωｔ。
３．８． 点が、同じ方向の２つの振動ｘ１＝ａｃｏｓωｔ、ｘ ２＝ａｃｏｓ２ωｔに同時に、参加する。点の最大速度を求めよ。
３．９． 同じ方向への２つの調和振動の合成により、点の振動はｘ＝ａｃｏｓ（２．１ｔ）・ｃｏｓ（５０．０ｔ）の形となる。ここで、ｔは秒単位。重ねあわせる前の調和振動の各々の角振動数とうなりの周期を求めよ。
３．１０． 壁に対して調和振動をしている目盛りがある。この目盛りに対して、木漏れ日がある振動数で調和振動して光っている。両方の振動は同じ方向に沿って行われている。目盛りの振動数がν
１＝２０Ｈｚとν ２＝２２Ｈｚの時、壁に対する木漏れ日のうなりの周波数は同じである。目盛りの振動数ν がいくらの時、木漏れ日のうなりの周波数は２倍大きくなるか。
３．１１． 点が、ｘｙ平面上で、ｘ＝Ａｓｉｎωｔ、ｙ＝Ｂｃｏｓωｔの式に従って動く。ここで、Ａ，Ｂ，ωは定数。以下を求めよ。（ａ）点の軌道方程式ｙ（ｘ）と、この軌道に沿っての点の運動方向。（ｂ）座標原点に対する点の半径ベクトルｒに対する点の加速度ａの依存性。
-1-

３．１２． 以下の式に従って動く点の軌道方程式ｙ（ｘ）を求めよ。
（ａ）
ｘ＝ａｓｉｎωｔ、ｙ＝ａｓｉｎ２ωｔ。（ｂ）ｘ＝ａｓｉｎωｔ、ｙ＝ａｃｏｓ２ωｔ。
３．１３． 質量ｍの粒子が、一様な力場の中にある。この力場のポテン
シャルエネルギーは座標ｘにＵ（ｘ）＝Ｕ ０ （１−ｃｏｓａｘ）に従ってｘに依存している。ここで、Ｕ ０ とａは定数。平衡位置近傍における粒子の微小振動の周期を求めよ。
３．１４． 前問と似ているが、ポテンシャルエネルギーがＵ（ｘ）＝ａ／ｘ ２ −ｂ／ｘの形をしている。ここで、ａとｂは正定数。平衡位置近傍での粒子の微小振動周期を求めよ。
３．１５． 長さｌ＝１．０ｍのピンと張った糸の中間に固定されている
質量ｍ＝４０ｇの球の微小横振動の周期を求めよ。糸の張力は一定と見なし、Ｆ＝１０Ｎ。糸の質量と重力は無視する。
３．１６． 長さｌ＝２０ｃｍの伸縮性のない糸に吊されている球の微小振動周期を求めよ。球は密度が球の密度のη＝３倍大きい理想液体中にある。
３．１７． 図３．１参照。紐の長さがｌ＝５０ｃｍ、質量ｍ＝４５ｇの２つの同じ振り子が、弾性係数κ＝０．６６Ｎ／ｍのバネで連結されている。平衡状態では、振り子は垂直状態にある。これら振り子の振動が、垂直面内で、かつ反位相で行われているときの、これらの振り子の微小振動周期を求めよ。
３．１８． 壁の点Ｏから、長さｌの糸で球を吊した。壁は垂直線と小さな角度αをなしている。図３．２参照。その後、球の付いている糸を、小さい角度
βだけ傾け、離した。β＞α。球の壁との衝突を弾性的と見なし、この振り子の振動周期を求めよ。
３．１９． バネに吊されている不動の物体がある。バネの長さをΔｌ＝４０ｍｍだけ伸ばす。物体の微小垂直振動の周期を求めよ。
３．２０． 図３．３参照。Ｕ字管に理想液体を体積Ｖ＝１６ｃｍ ３ 注ぎ入れる。管の断面積はＳ＝０．５０ｃｍ２。液体の微小振動の周期を求めよ。
３．２１． 前問と似た問題であるが、パイプの片方が垂直と角度θ＝３０°をなしている場合について、振動周期を求めよ。
３．２２． 図３．４参照。垂直方向に小さく突き出した浮きばかりの微小振動周期を求めよ。浮きばかりの質量はｍ＝５０ｇ、その半径はｒ＝３．２ｍｍ、液体の密度はρ＝１．００ｆ／ｃｍ３。液体の抵抗は小さい。
３．２３． 球を、２つの同じバネに吊す。バネを直列に接続した場合に対して、バネを並列に接続した場合では、球の垂直振動の周波数は、何倍変化するか。
３．２４． 弾性係数κ＝１３Ｎ／ｍの変形していないバネの両端を固定する。
バネの端の１つからバネの長さのη＝１／３倍離れている点に、質量ｍ＝２５ｇの小さい物体を固定する。この物体の微小縦振動の周期を求めよ。重力は無視する。
３．２５． 図３．５参照。バネの弾性係数はκ １，κ ２、摩擦無い。質量ｍの物体の微小縦振動の周期を求めよ。物体が平衡位置にあるとき、バネの伸び縮
みはないものとする。
３．２６． 図３．６で示している系において、質量ｍの物体の垂直微小振動の周期を求めよ。バネの弾性係数はκ １，
κ ２。
３．２７． 図３．７参照。一様な棒が、図に示している
向きに高速回転している２つの滑車上にある。滑車の軸間の距離はｌ＝２０ｃｍ、棒と滑車の間の摩擦係数はｋ＝０．
-2-１８。棒は調和振動をすることを示せ。その周期を求めよ。
３．２８． ある軸ＯＯ に平行に、同じ速度ｖで移動する質量ｍの粒子束がある。軸ＯＯ に垂直な面Ｐに、粒子束が突っ込む。粒子には、軸ＯＯ 方向で、この軸までの距離に比例した力が作用する。Ｆ ｒ ＝−κｒ。反力である。ここでκは概値。全ての粒子が横断する、面Ｐから軸ＯＯ 上の点までの最小距離ｌを求めよ。
３．２９．水平と角度αをなしている斜面上を、小さいブロックが滑り始める。
摩擦係数ｋは進んだ距離ｓに依存し、ｋ＝ａｓである。ここで、ａは定数。ブロックの運動時間を求めよ。
３．３０． 長さｌの細いＬ字管の垂直部分を満たしている理想液体が、時刻ｔ＝０に、長い水平部分に流れ込み始めた。液面の高さｈの時間ｔに対する依存性と、液体が垂直部分から流れ出してしまう時間ｔ０を求めよ。
３．３１． 地球の回転軸に沿って縦穴を開けたとしよう。地球を一様な球と見なし、空気抵抗は無視する。以下を求めよ。（ａ）縦穴を落下している物体の運動方程式。（ｂ）物体が、縦穴の反対の出口に到達するまでに要する時間。（ｃ）
地球の中心での物体の速度。
３．３２． 長さｌの振り子がある。振り子の支点が、地表に対して一定の加速度ａで動くとして、振り子の微小振動周期を求めよ。ａベクトルと重力加速度ベクトルｇとのなす角度をβとする。
３．３３． 滑らかで水平な棒ＡＢに、質量ｍ＝５０ｇのスリーブが填り込んである。スリーブは棒の端Ａに弾性係数κ＝５０Ｎ／ｍのバネで連結されている。端Ａを通過する垂直軸の周りに、角速度ω＝１０．０ラジアン／ｓで棒を回転する。スリーブの微小振動の周期Ｔを求めよ。
３．３４． 図３．８参照。装置中の質量ｍ＝０．２０ｇのスリーブは２つの同じバネの間に連結されている。バネの合成弾性係数はκ＝２０Ｎ・ｍ。スリーブは摩擦なしで、水平
棒ＡＢを滑ることができる。装置は、棒の中心を通る垂直軸の回りに角速度ω＝４．４ラジアン／ｓで回転する。スリー
ブの微小振動の周期を求めよ。ωがどのような値の時、スリーブの振動が起こらないか。
３．３５． 板の上にブロックが乗っている。板は水平方向に、振幅ａ＝１０ｃｍで調和振動をする。振動周期がＴ＝１．０ｓより小さい時、ブロックが板から滑り始めた。板とブロックの間の摩擦係数を求めよ。
３．３６． 以下の場合において、ながさ８０ｃｍの振り子の傾き角度の時間依存性を求めよ。（ａ）最初、振り子は角度３．０°傾斜しており、突くことなく放たれた。（ｂ）最初、振り子は釣り合い状態にあり、振り子の最下点に水平速度０．２２ｍ／ｓを与えた。
３．３７． 質量ｍ １＝１．００ｋｇの物体Ａと、質量ｍ ２＝４．１０ｋｇの物体Ｂがバネで連結されている。図３．９参照。物体Ａは、振幅ａ＝１．６ｃｍ、周波数ω＝２５／ｓの自由垂直調和振動を行う。碁台に、この系が及ぼす圧力の最大値と最小値を求めよ。
３．３８． 質量 m の物体の乗っている板が、時刻ｔ＝０に式ｙ＝ａ（１−ｃｏｓωｔ）に従って
垂直上方に動き始める。ここで、ｙは初期状態からの変位量、ω＝１１／ｓ。以下を求めよ。（ａ）
物体が板から離れ始めるときの、板の最小振動振幅。（ｂ）物体が初期状態からｈ＝５０ｃｍまで飛び上がるときの板の振動振幅。
３．３９． 延びていないバネの上端を固定し、質量ｍの物体をつる下げ、時刻ｔ＝０に物体を落下させる。バネの弾性係数はκ。以下を求めよ。（ａ）物体の初期状態からの変位ｙ（ｔ）。（ｂ）バネの最大伸張と最小伸張。
３．４０． 滑らかな水平面上にある質量ｍのブロックが、弾性係数κの水平なバネでもって、壁に連結され、静止している。ある時から、ブロックに一定の力Ｆをバネに沿って作用し始めた。最初に-3-

停止するまでのブロックの経由した経路長と、ブロックの運動時間を求めよ。
３．４１． 質量ｍの粒子が、力Ｆ＝−αｍｒの作用下にある。ここで、αは正定数、ｒは座標の原点に対する粒子の半径ベクトル。最初の瞬間に、ｒ＝ｒ０ｉ、速度ｖ＝ｖ ０ｊとして、粒子の運動の軌跡を求めよ。ここで、ｉとｊはＸ軸とＹ軸の単位ベクトルである。
３．４２． 質量ｍのブロックが、滑らかな水平面上にある。ブロックに、
弾性係数κの軽いバネと取り付ける。バネの自由端を、ある一定の速度で、バネに沿って水平方向に移動し始めた。ブロックが停止した後、振動しない
ためには、バネの自由端をどれだけの時間後に停止しなければならないか。
３．４３． エレベーター内の天井に、固定されているバネに質量ｍの物体を吊す。バネの弾性係数はκ。時刻ｔ＝０の時に、エレベーターは加速度ａで上昇し始めた。ｙ（０）＝０，ｄｙ（０）／ｄｔ＝０として、エレベータ
ー室内に対する物体の運動軌跡ｙ（ｔ）を求めよ。
３．４４． 質量ｍ＝０．５０ｋｇの物体を、弾性係数κ＝５０Ｎ／ｍのゴ
ム紐に吊す。物体を下方に引いて離す。物体の振動が調和振動であるためには、ゴム紐を最大どれだけ伸ばせるか。
３．４５． 図３．１０参照。バネばかりの皿の上に、高さｈから質量ｍの物体を落下させる。皿の質量とバネの質量は無視できるほど小さい。バネの弾性係数はκ。物体は皿に引っ付き、垂直方向に調和振動をし始めた。振動の振幅と、これら（？ 単語は複数）のエネルギーを求めよ。
３．４６．
めよ。

前問において、皿の質量はＭ。この場合における振動の振幅を求

３．４７． ２つの同じ球を、糸で上下に吊す。球の間にバネを連結する。各々の球の質量はｍ。バネの長さは、変形していないときの長さはｌと等しい。
糸を焼き切る。バネの長さがもう一度ｌと等しくなったとき、この瞬間における系の質量中心の速度求めよ。
３．４８． 式Ｆ＝ａ（ｄｙ／ｄｔｉ−ｄｘ／ｄｔｊ）に従った、速度に依存
している力の作用のもとで、質量ｍの粒子がｘｙ面上を動く。ここで、ａは正定数、ｉとｊはＸ軸とＹ軸の単位ベクトル。ｔ＝０の最初の瞬間に、粒子はｘ＝０，ｙ＝０の点にあり、単位ベクトルｊの方向に速度ｖ ０を持っていた。粒子の運動位置座標ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）と、粒子の軌跡を求めよ。
３．４９． 長さｌの一様な棒が、棒に垂直で、棒の上端を通っている水平軸の周りに微小振動をしている。振動周期を求めよ。摩擦はない。
３．５０． 長さｌ ０ ＝４０ｃｍの振り子と、長さｌ＝６０ｃｍの一様な棒が水平軸の周りに、同期した微小振動をしている。
棒の中心から水平軸までの距離を求めよ。
３．５１． 図３．１１参照。質量ｍ、長さｌの細い一様な棒の微小振動の角周波数を求めよ。バネの弾性係数はκ。平衡状
態で棒は垂直である。
３．５２． 質量ｍの一様な棒が、点Ｏを通っている水平軸の周りで微小振動をしている。図３．１２参照。棒の右端は弾性係数κのバネに吊されている。棒は平衡状態では水平である。棒の微小振動の周期を求めよ。
３．５３． 質量ｍ＝１．５ｋｇの一様な棒が、長さｌ＝９０ｃｍの同じ２本の糸に吊され、棒の中心Ｃを通っている垂直軸の周りに小さい角度だけ回す。図３．１３参照。この時、糸は角度α＝５．
０°だけ傾いた。その後、棒を放つ。以下を求めよ。（ａ）振動周期。（ｂ）棒の遠藤エネルギー。
３．５４． 質量ｍ、半径Ｒの水平円板が、細い棒ＡＯの端に固定されている。図３．１４参照。軸ＡＯの周りに、角度φだけ円板を回転すると、軸には弾性の力のモーメントＮｚ＝−ｋφが作用する。
ここで、ｋは定数。最初、円板を角度φ ０ だけそらし、円板に角速-4-度ｄφ ０ ／ｄｔを与えたものとし、微小円周振動の振幅と、そのエネ
ルギーを求めよ。
３．５５． 質量ｍ、長さｌの一様な棒が、自身の上端を通っている
水平軸の周りに、微小振動をする。最初、棒を角度θ ０ だけ垂直から傾け、棒に角速度ｄθ ０ ／ｄｔを与えたとして、振動周期当たりにおける棒の平均運動エネルギーを求めよ。
３．５６． 振り子を、支点の上に重心のあるように配置した。この状態から、安定した平衡状態に向かって、振り子が動き始めた。安定した平衡状態を、振り子は角速度ωで通過した。この振り子の微小振動の周期を求めよ。
３．５７． 水平軸Ｏの周りに、振動数ω １ ＝１５．０／ｓで、振り子が微小振動をしている。軸Ｏの下、Ｏから距離ｌ＝２０ｃｍの所に、質量ｍ＝５０ｇの小さい物体を振り子が平衡位置にあるとき取り付けると、振動数はω ２＝１０．０／ｓとなった。軸Ｏに対する、振り子の書記の慣性モーメン
トを求めよ。
３．５８． 同じ水平軸の周りに、振動数ω １，ω ２で、２つの振り子が微小振動をする。各々の水平軸に対する慣性モーメントは、Ｉ１，Ｉ ２。２つの振り子を平衡状態とし、お互いに固着する。合成された振り子の微小振動の振動数は幾らとなるか。
３．５９． 長さｌの一様な棒が、棒に垂直で、その（？）点の一つを通過している水平軸ＯＯ の周りに微小振動をする。棒の振動周期が最小となる、棒の中
心と軸ＯＯ の間の距離を求めよ。
３．６０． 水平軸１の周りに振り子が微小振動をする。その後、振り子を逆さにし、最初の場合と同じ振動数で微小振動を行う軸２を見つけた。軸１と軸２距
離ｌは、使用した振り子の長さに等しいことを証明せよ。
３．６１． ？ 振り子の支点Ｏの、振動中心Ｏ への移動において、点Ｏは振動の中心となる、則ち、振り子の微小振動周期は変化しない、ということを証明せよ。
３．６２． 半径Ｒの細いリングが点Ｏの周りに微小振動をする。図３．１５参照。振動が（ａ）図の面内、（ｂ）図の面に垂直の方向、で行われるときにおいて、振動の周期を求めよ。
３．６３． 高さｈの正三角形の薄い一様な板が、一辺と一致する水平軸の周りで微小振動をする。この振り子の換算長（？）と振動周期を求めよ。
３．６４． ？ 半径 R の薄い殻の球形容器が、水で完全に満たされている。容器を軽くて丈夫な棒で固定する。図３．１６参照。支点 O と容器の中心の距離は l。水を凍らせたとき、このような振り子の微小振動周期は何倍変化するか。水の粘性は無視する。
３．６５． 滑らかな水平円板が、垂直軸 O の周りを角速度ωで回転する。
図３．１７参照。円盤上に、長さｌの一様な棒ＡＢがあり、円盤上で、軸 Oから距離ａの所に固定された垂直軸Ａの周りに微小振動をする。この振動の周波数ω０をもとめよ。
３．６６． 図３．１８参照。系の微小振動の周波数を求めよ。滑車の半径Ｒ，軸の周りの滑車の慣性モーメントＩ、物体の質量ｍ、バネの弾性係数κは概値とする。糸とバネの質量は小さく、糸は滑車を滑らない。滑車の軸の摩擦はない。
３．６７． 質量Ｍ、半径Ｒの円筒形滑車が、水平軸Ｏの周りに自由に回転できる。図３．１９参照。滑車に、密に糸を巻き、糸の垂れている端に錘Ａを取り付ける。この錘は、滑車の最下端の縁に取り付けた質量ｍの小さい物体が、角度αをなしたとき、釣り合う。この系の微小振動の周期を求めよ。
３．６８． 半径ｒの一様な円柱が、半径Ｒの円筒の内面で、滑ることなく転がり、微小振動をしている。この振動の周期を求めよ。
-5-

３．６９． 図３．２０参照。質量ｍの円柱が２つの同じバネに支えられながら、微小振動をする。
バネの弾性係数は共にκ。滑りがないものとして、この振動周期を求めよ。
３．７０． 図３．２１参照。Ｎは糸である。この糸の下端に、球Ａが吊され、この球に長さｌの糸が吊され、球Ｂが吊されている。糸Ｎの上端は微小振動をする。その振動の間、糸Ｎはほぼ垂直にあるとする。球Ａ、Ｂの質量が各々Ｍ、ｍとして、この振動周波数を求めよ。

３．７１． 質量ｍ １ ，ｍ ２ の２つの立方体が、弾性係数κの重さのないバネで連結され、滑らかな水平面上に置かれていた。立方体を若干近づけ、そして同時に離した。系の固有振動の周波数を求めよ。
３．７２． 質量ｍ １ ＝１．０ｋｇとｍ ２ ＝２．０ｋｇの２つの球が、滑らかな水平棒に取り付けられている。図３．２２参照。球
創始は弾性係数κ＝２４Ｎ／ｍのバネで連結されている。左の球に初速度ｖ １ ＝１２ｃｍ／ｓを与えた。以下を求めよ。（ａ）系の振動の周波数。（ｂ）振動のエネルギーと振幅。
３．７３． 捻り係数がｋの細い棒に挟み入れた２枚の円板の微小捻り振動の周期を求めよ。棒の軸に対するこれら円板の慣性モーメ
ントは各々Ｉ １，Ｉ２。
３．７４． ＣＯ ２分子のモデルは、同じ軽いバネで連結された３つの球である。図３．２３参照。３つの球は１つの直線上に配置されている。このような系は、図中の矢印で示している２つの型の縦振動を行うことができる。原子の質量を概値として、これらの振動の周波数の関係を求めよ。
３．７５． 摩擦係数がｋ＝０．１０である水平面上に、質量ｍ＝０．５０ｋｇのブロックが置いてあり、水平で変形していないバネで壁と連結している。バネの弾性係数はκ＝２．４５Ｎ／ｍ、バネの質量は無視できるほど小さい。ブロックを水平方向に引き、バネをｘ０＝３．０ｃｍ伸ばしてから、ブロックを放つ。以下を求めよ。（ａ）ブロックの振動周期。（ｂ）ブロックが停止するまでに、ブロックのなす振動の回数。
３．７６． 点の減衰振動が、式ｘ＝ａ ０ｅ −βｔｓｉｎωｔで行われる。以下を求めよ。（ａ）ｔ＝０
での、点の変位の振幅と、点の速度。（ｂ）点が、最端に達したときの時間。
３．７７． 物体が式φ＝φ ０ｅ −βｔｃｏｓωｔの捻り振動を行う。以下を求めよ。（ａ）時刻ｔ＝０の時の、物体の角速度ｄφ／ｄｔと、物体の角加速度ｄ ２φ／ｄｔ ２。（ｂ）角速度が最大となるときの時間。
３．７８． 周波数ω、減衰係数βで点が、式 ｄ２ｘ／ｄｔ２＋２βｄｘ／ｄｔ＋ω０２ｘ＝０ に従って振動をする。時刻ｔ＝０の時、点の変位と点の速度の成分が（ａ）ｘ ０＝０、ｄｘ０／ｄｔ＝＞０、（ｂ）ｘ０＞０、ｄｘ０／ｄｔ＝＞０ の場合において、初期振幅ａ ０と初期位相αを求めよ。
３．７９． 緩和時間τ＝２０ｓの振動子が、時刻ｔ＝０の時、初期変位ｘ ０＝１０ｃｍである。初速度ｄｘ０／ｄｔがどのような値の時、この変位は自身の振幅と一致するか。
３．８０．

振動数ω＝２５／ｓの振動を、点が行う。最初、点の速度はゼロで、平衡状態からの点-6-

の変位は振幅よりη＝１．０２０倍小さかった。減衰係数βを求めよ。
３．８１． 振動数ω、減衰係数βの振動を点が行う。時刻ｔ＝０の時（ａ）点の振幅がａ０、（ｂ）
振幅がｘ（０）＝０、速度の成分がｖｘ（０）＝ｄｘ０／ｄｔ、において、時間の関数として点の速度の振幅を求めよ。
３．８２． 振り子が媒質中で、対数減衰率λ ０＝１．５０の振動を行う。媒質の抵抗がｎ＝２．００倍大きくなると、λの値は幾らとなるか。振動が起こらないようにするためには、媒質の抵抗を何倍とすればよいか。
３．８３． バネに錘を取り付けると、バネはΔｘ＝９．８ｃｍだけ伸びた。垂直方向に錘はいかほどの周期で振動をするか。対数減衰率はλ＝３．１とする。
３．８４． 以下の場合における振動子の精度（Ｑ値）を求めよ。（ａ）ｎ＝１１０回の振動周期毎に、η＝２．０倍変位振幅が小さくなる。（ｂ）固有振動数がω ０＝１００／ｓ、緩和時間がτ＝６０ｓ。
３．８５． 粒子を平衡状態からｌ＝１．０ｃｍだけ変位させ、自由にする。減衰定数がλ＝０．０２０とすれば、粒子が完全に停止するまでに、粒子はいかほどの経路長を進むか。
３．８６． 長さがｌ＝５０ｃｍ、時間Δｔ＝５．２分で、振り子の全エネルギーガη＝４．０×１
０４倍小さくなる振り子のＱ値を求めよ。
３．８７． 半径Ｒ＝１３ｃｍの円板が、自身の面に垂直で、円盤の端を通過している垂直軸の周りに回転をする。振動の減衰定数をλ＝１．００として、この円板の微小振動の周期を求めよ。
３．８８． 弾性糸に、水平状態で取り付けられた質量ｍ、半径Ｒの薄い円板が、液体中で捻り回転をする。糸の弾性力のモーメントはＮ＝αφ。ここで、αは定数、φは平衡状態からの回転角度。円板の単位面積当りに作用する抵抗力はＦ １＝ηｖ。ここで、ηは定数、ｖは液体に対する円板の該当点の速度。微小振動の周波数を求めよ。
３．８９． 弾性糸に吊されている半径Ｒの円板が、２枚の不動平
板の間で、軸ＯＯ の周りに捻り振動をする。図３．２４参照。この軸に対する円盤の慣性モーメントはＩ、円板と平板の隙間は各々ｈ。ｈ≪Ｒ。円板の振動周期はＴ、減衰定数はλ。円板Ａの周りの気体の粘性を求めよ。
３．９０． 質量ｍの球が、固有振動数ω ０で、点ｘ＝０の周りで減衰しない調和振動を行うことができる。球が平衡位置にある時刻ｔ＝０の時、球に強制力Ｆ ｘ ＝Ｆ ０ ｃｏｓωｔを軸Ｘ方向に一致させて加えた。球の強制振動の式ｘ（ｔ）を求めよ。
３．９１． 前問の条件下で、強制力の振動数が球の固有振動数ω ０に等しい場合について、球の変位の式ｘ（ｔ）を求めよ。
３．９２． 質量ｍの粒子が、係数κを有する弾性力の作用下で、非減衰調和振動を行うことができる。粒子が平衡位置にあったとき、粒子の強制力Ｆを、時間τの間だけ加えた。この力の作用が終わった後の粒子の振動振幅を求めよ。振動の変位ｘ（ｔ）の略図を描け。状況を論述せよ。
３．９３． 固有振動数ω０で無減衰で振動する質量ｍの振動子に、式Ｆ ０ｃｏｓωｔの強制力を作用させる。どのような初期条件ｘ０、ｄｘ０／ｄｔの時、最初から強制振動だけが起こるか。この場合の変位の式ｘ（ｔ）を求めよ。
３．９４． Ｑ値＝１．０×１０６、固有振動数ω０＝５０００／ｓの系における振動は、この系に作用する調和外力の作用で、共鳴となるか。
３．９５．
を求めよ。

減衰振動周波数ωに対する共鳴周波数ω共鳴の関係がη＝０．９７である振動子のＱ値

３．９６． 振動系の固有振動数がω ０＝５０／ｓ、減衰定数がβ＝５．２／ｓである。変位と変位の共鳴における強制力との間の位相差φを求めよ。
３．９７． バネに吊されている質量ｍの球が、バネをΔｌだけ伸す。振幅Ｆ ０の調和振動式に従って変化する垂直外力の作用のもとで、球は強制振動をする。減衰係数はλ。バネの質量を無視し、球の最大変位振幅がａであるとして、強制力の周波数ωを求めよ。このａも求めよ。
-7-

３．９８． 減衰係数がβである質量ｍの振動子が、式ｘ＝ａｓｉｎ（ω ０ｔ−φ）の振動をする。
ここで、ω０は振動子の固有周波数である。この振動子に作用している強制力の式を求めよ。
３．９９． 質量ｍの振動子が、強制力Ｆｘ＝Ｆ０ｃｏｓωｔの作用のもとで、式ｘ＝ａｓｉｎωｔに従って動いている。振動子の減衰係数βを求めよ。
３．１００．振動子の最大変位値を求めよ。振動子は振幅がＦ ０＝２．５０Ｎの強制調和力のもとで振動をしている。振動子の減衰振動の周波数はω＝１００／ｓ、抵抗係数（抵抗力と速度の間の比例係数）はｒ＝０．５０ｋｇ／ｓである。
３．１０１． 周波数ω１＝４００／ｓとω２＝６００／ｓにおける強制調和振動の変位の振幅が同じである。変位の振幅が最大となる周波数ωを求めよ。
３．１０２． 強制調和力の周波数ω１とω２において、粒子の速度振幅が最大値の半分に等しい。以下を求めよ。（ａ）速度振幅の共振に対応する周波数。（ｂ）減衰定数βと、減衰振動周波数ω。
３．１０３． ある共鳴曲線が、減衰係数λ＝１．６０を有する振動子に対応している。この曲線から、非常に小さい振動数における、変位振幅に対する最大変位振幅の関係を見いだせ。
３．１０４． バネに吊された質量ｍの物体が、振幅ａ、振動数ωの強制振動を行う。固有振動数はω０。この振動子において、周期当りの平均振動力学エネルギーを求めよ。
３．１０５． 振動子の減衰係数がβ、振動の全エネルギーガ時間に依存しないで、Ｅに等しいとき、
強制調和力の平均の仕事率を求めよ。
３．１０６． 強制垂直力Ｆｘ＝Ｆ ０ｃｏｓωｔの作用のもとで、バネに吊されている物体が、式ｘ＝ａｃｏｓ（ωｔ−φ）に従った強制振動を行う。振動の周期当りの力Ｆの仕事を求めよ。
３．１０７． 力のモーメントＮ ｚ＝Ｎ ｍｃｏｓωｔの作用のもとで、式φ＝φ ｍｃｏｓ（ωｔ−α）
に従って強制振動を行う。振動の１周期当りに物体に作用する摩擦力の仕事を求めよ。
３．１０８．質量ｍ＝５０ｇの球が弾性係数κ＝２０．０Ｎ／ｍのバネに吊されている。振動数ω＝２５．０／ｓの垂直調和強制力に作用のもとで、振動を行う。この時、球の変位は強制力から位相で
φ＝３π／４だけ遅れる。振動子のＱ値を求めよ。
３．１０９． 重さのないバネに吊されている質量ｍの球が減衰係数βで、垂直振動を行うことができる。振動の固有周波数はω ０。式Ｆ ｘ＝Ｆ ０ ｃｏｓωｔで変化する外力の作用のもとで、球は調和振動を行う。以下を求めよ。（ａ）力Ｆの、振動の１周期当りの平均の仕事率＜Ｐ＞。（ｂ）＜Ｐ＞が最大となるときの強制力の周波数ω。＜Ｐ＞の最大値は幾らとなるか。
３．１１０． 振動における強制力の平均仕事率＜Ｐ＞は、図３．２５に示しているように、その周波数ωに依存している。ここでは、強制力の振幅は一定値で、周波数ωには依存しないとしている。振動子の固有振動しω０を求めよ。振動子の減衰係数はβ、Ｑ値はＱとする。
３．２． 電気的振動●回路の減衰振動
ｑ＝ｑｍｅ−βｔｃｏｓ（ωｔ＋α）
ここで、 ω＝（ω ０２−β２）１／２、ω０＝１／（ＬＣ） １／２、β＝Ｒ／２Ｌ●回路の減衰の対数減衰率λとＱ値は（３．１ｄ）で決められる。
弱い減衰の時には
λ＝πＲ（Ｃ／Ｌ） １／２、（３．２ｂ）
Ｑ＝（１／Ｒ）（Ｌ／Ｃ）１／２●回路の電圧Ｕ＝Ｕ ｍｃｏｓωｔの印加による強制振動電流は（３．２ｃ）
Ｉ＝Ｉｍｃｏｓ（ωｔ−φ）
ここで、
Ｉｍ＝Ｕ ｍ／（Ｒ２＋（ωＬ−１／ωＣ）２）１／２、
ｔａｎφ＝（ωＬ−１／ωＣ）／Ｒ（３．２ｄ）
対応する電圧のベクトル図は図３．２６に示している。
●全抵抗（インピーダンス）（３．２ｅ）
Ｚ＝（Ｒ２＋Ｘ２）１／２-8-（３．２ａ）

ここで、Ｘ＝ＸＬ−ＸＣは実質抵抗●交流回路で放出される電力
Ｐ＝ＵＩｃｏｓφ
ここで、ＵとＩは実効電圧と実効電流
Ｉ＝Ｉｍ２１／２
Ｕ＝Ｕｍ・２１／２、（３．２ｆ）

３．１１１． 質量ｍ＝２１ｇの小さい球が、水平の導体板から高さｈ＝１２ｃｍのところに、伸縮
みしない絶縁糸で吊され、微小振動をしている。その後、球に荷電ｑを与えたら、振動周期はη＝２．
０倍となった。ｑを求めよ。
３．１１２． 小さい磁針が、外部磁界の方向に垂直な軸の周りに微小振動をする。外部磁界の磁束密度を変化させると、磁針の振動周期はη＝５．０倍小さくなった。磁束密度はいかほど変化したか。
振動の減衰は無視できるほど小さいとする。
３．１１３． 図３．２７参照。２本の平行導線と、それらを結んでいるインダクタンスＬのコイル、質量ｍの導体棒から回路が形成されている。導体棒は摩擦なしで、平行導線上を動くことができる。平行導線は水平面上に配置され、水平面には磁束密度Ｂの磁界が垂直にかかっている。平行導線の間隔はｌ。時刻ｔ＝０の時、導体棒に初速度ｖ０を与えた。棒の位置の式ｘ（ｔ）を求めよ。回路の抵抗は無視できるほど小さいとする。
３．１１４． ２個の垂直に立っている銅製の輪の上端を、インダクタンスＬのコイルが連結している。銅製の輪の間隔はｌ。輪に沿って、初速度ゼロで、輪との接触が壊れることなく、質量ｍの導体棒が落下する。全系は、輪の面に垂直にかかっている磁束密度Ｂの磁界中にある。導体棒の運動式ｘ（ｔ）を求めよ。全ての導体の抵抗は十分に小さい。
３．１１５． 振動回路の電流が、時間に対して、Ｉ＝Ｉ ｍｓｉｎω０ｔのように依存している。ここで、Ｉ ｍ＝９．０ｍＡ、ω ０＝４．５×１０ ４／ｓ。コンデンサの容量はＣ＝０．５０μＦ。回路のインダクタンスと、時刻ｔ＝０のときのコンデンサの電圧を求めよ。
３．１１６． 容量Ｃのコンデンサと、インダクタンスＬのコイルから形成されている回路で、自由非減衰振動が行われている。その時のコンデンサの電圧振幅はＵ ｍ。回路電流Ｉと、コンデンサ電圧
Ｕの間の関係を求めよ。
３．１１７． 振動回路が、容量Ｃのコンデンサと、インダクタンス
Ｌのコイル、スイッチから形成されている。スイッチを開いて、コンデンサを電圧Ｕ ｍまで充電する。その後スイッチを閉じた時をｔ＝０とする。以下を求めよ。（ａ）時間の関数としての回路電流。（ｂ）コン
デンサの電気エネルギーが、コイル中の電流のエネルギーと等しくなったときのコイルの電圧。
３．１１８． 図３．２８参照。スイッチＫを閉じた後における、回路の最大電流と、コンデンサの最大電圧を求めよ。回路の抵抗は無視できるほど小さいとする。
３．１１９． 平板コンデンサとコイルから形成されている回路で、エネルギーＷを持った振動が行われている。振動数がη倍大きくなる
ように、コンデンサの電極板をゆっくりと引き離した。この時、電気力に対していかほどの仕事がなされたか。
３．１２０． 図３．２９参照。共振器の固有振動数ω ０を求めよ。共振器の平らな部分はコンデンサを形成し、円筒部分はインダクタンスを有している。必要な大きさは図中に記している。
３．１２１． 図３．３０に、トロイダル型共振器の断面が示されている。この方の共振器はマイクロ波発振器として良く使用されている。
共振器の平らな部分はコンデンサを形成し、トロイダル部分はインダクタンスを有する。この共振器の固有振動数を求めよ。必要な大きさは図中に記している。
３．１２２． 図３．３１参照。振動回路において、コイルのインダクタンスはＬ＝２．５ｎＨ、コンデンサの容量はＣ １＝２．０μＦ、Ｃ２＝３．０μＦ。２つのコンデンサとも、電圧Ｕ＝１８０Ｖまで充電し、そして、スイッチＫを閉じる。以下を求めよ。（ａ）固有振動周波数。（ｂ）コイルを流れる電流の振幅値。
-9-

３．１２３． 図３．３２参照。回路の抵抗は無視できるほど小さい。左のコンデンサを電圧Ｕ ０まで充電し、その後、時刻ｔ＝０で、スイッチＫを閉じる。両方のコンデンサの電圧の時間依存を求めよ。

３．１２４． インダクタンスＬと容量Ｃからなる振動回路がある。コイルと導線の抵抗は無視できるほど小さい。コイルは定磁場中にある。コイルの全ターンを貫いている総磁束はΦ。時刻ｔ＝０の時、磁場を切る。回路の固有振動周期と比較して、切断時間は十分小さい時間であるとして、時間ｔの関数として回路電流Ｉ（ｔ）を求めよ。
３．１２５． 回路で、自由減衰振動が行われている。コンデンサの電圧は、時間に関して、式Ｕ＝（ａ）
Ｕｍｅ−βｔｃｏｓωｔで変化している。コンデンサの電圧の大きさが、以下の値に夏時間を求めよ。
振幅の大きさ。（ｂ）最大値。
３．１２６． 回路には容量Ｃのコンデンサ、インダクタンスＬのコイル、レジスタンスＲの抵抗と、スイッチがある。スイッチを開いて、コンデンサを充電し、その後スイッチを閉じると、振動が始まった。スイッチを閉じた直後における、その（？）振幅値に対するコンデンサの電圧の関係を求めよ。
３．１２７． インダクタンスがＬである振動回路で、自由減衰振動が行われている。電流は式Ｉ＝Ｉｍｅ−βｔｓｉｎωｔに従って変化している。コンデンサの電圧Ｕ（ｔ）の時間依存性を求めよ。時刻ｔ＝０の値を求めよ。
３．１２８． 容量Ｃ＝４．０μＦ、インダクタンスＬ＝２．０ｎＨ、抵抗Ｒ＝１０Ωからできている回路がある。回路電流が最大となるときにおける、コンデンサの電場エネルギーに対するコイルの磁場エネルギーの関係を求めよ。
３．１２９． インダクタンスがＬ１，Ｌ２で抵抗がＲ１，Ｒ２の２つのコイルを直列に接続する。コイル間の相互作用インダクタンスは無視できるほど小さい。回路の周波数とＱ値が変らない１つのコイ
ルで、この２つのコイルを置き換えたい。交換用のコイルのインダクタンスと抵抗を求めよ。
３．１３０． Ｑ＝５０００の回路で、電流の振動振幅が、η＝２．０倍小さくなる時間を求めよ。振動周波数はν＝２．２ＭＨｚとする。
３．１３１． 振動回路が、容量Ｃ＝１０μＦ，インダクタンスＬ＝２５ｍＨ、抵抗Ｒ＝１．０Ωを持っている。この回路で、何回の振動で、電流振幅がｅ倍小さくなるか。
３．１３２． Ｑ＝５．０の自由振動回路の周波数ωは、この回路の固有周波数ω０と何％の違いがあるか。
３．１３３． １辺長ａの正方形枠の形状をしている導線が、弾性糸で吊され、磁束密度Ｂの水平磁界中にある。平衡状態で、枠の面はベクトルＢに平行である。図３．３３参照。枠は平衡状態から離れ、枠の中心を通過している垂直軸の周りに微小振動をするとしよう。この軸に対する枠の慣
性モーメントはＩ、枠の電気抵抗はＲ。枠のインダクタンスを無視して、枠の角回転振幅がｅ倍小さくなる時間を求めよ。
３．１３４． 図３．３４参照。回路図で、電池の起電圧はＥ＝２．
０Ｖ、電池の内部抵抗はｒ＝９．０Ω、コンデンサの容量はＣ＝１０μＦ、コイルのインダクタンスはＬ＝１００ｍＨ。コイルの抵抗
はＲ＝１．０Ω。ある時間に、スイッチを開いた。以下の場合における回路の振動エネルギーを求めよ。（ａ）スイッチを開いた直後。
（ｂ）スイッチを開いてから、ｔ＝０．３０ｓ後。
３．１３５．

Ｑ＝５０，固有振動数ν＝５．５ｋＨｚの回路で、- 10 -

減衰振動を励起する。回路に蓄えられているエネルギーがη＝２．０倍小さくなるのは、いかほどの時間後か。
３．１３６． 漏れのあるコンデンサを有している振動回路がある。コンデンサの容量はＣ、その抵抗はＲ。コイルのインダクタンスはＬ。コイルの抵抗と導線の抵抗は無視できるくらい小さい。以下を求めよ。（ａ）この回路の減衰振動の周波数。（ｂ）この回路のＱ値。
３．１３７． 容量Ｃ＝２．０μＦ，インダクタンスＬ＝５．０ｍＨの発振回路のＱ値を求めよ。コ
ンデンサにおける電圧振幅がＵ ｍ＝１０Ｖである非減衰振動を回路で維持させるためには、仕事率＜Ｐ＞＝０．１０ｍＷが必要である。また、回路での振動の減衰は極めて小さい。
３．１３８． 振動回路において、電流振幅がＩ ｍ＝３０ｍＡの非減衰調和振動を維持させるためには、平均でいかほどの仕事率を振動回路に供給する必要があるか。
回路の抵抗はＲとする。
３．１３９． 小さい減衰をする振動回路が、容量Ｃのコンデンサ、
インダクタンスＬのコイル、抵抗Ｒを持っている。回路で、コンデンサの電圧振幅がＵ ｍである非減衰調和振動を回路で維持させるためには、回路にどれだけの平均電力を与える必要があるか。
３．１４０． 図３．３５に示されている回路で、減衰振動周波数を求めよ。容量はＣ，インダクタンスはＬ、抵抗はＲ。
３．１４１． 図３．３６参照。同じ容量Ｃのコンデンサを持つ２つの振動回路がある。２つの回路において、自由振動の周波数と減衰が同じになるのは、
コイルのインダクタンスと抵抗の間にいかなる関係があるときか。左側の回路におけるコイルの抵抗は無視できるほど小さいとする。
３．１４２． 容量Ｃのコンデンサ、インダクタン
スＬのコイル、スイッチ、そして、この回路としては臨海地の値を持っている抵抗、からの直列接続からなる回路がある。スイッチを開いて、コンデンサを電圧Ｕ ０まで充電した後、時刻ｔ＝０でスイッ
チを閉じる。時間の関数として、回路電流Ｉを求めよ。Ｉ最大はいくらか。
３．１４３． インダクタンスＬ、抵抗Ｒのコイルに、時刻ｔ＝０時に、電圧Ｕ＝Ｕ ｍｃｏｓωｔの電源に接続した。コイルを流れる電流Ｉ（ｔ）を求めよ。
３．１４４． 容量Ｃのコンデンサと抵抗Ｒを直接接続した回路に、電圧Ｕ＝Ｕ ｍｃｏｓωｔの交流電源に接続した。時間の関数として回路電流Ｉ（ｔ）を求めよ。
３．１４５． 比抵抗率ρの導線で作られた長い単層のソレノイドがある。単位長当りの巻き数はｎ。導線の絶縁被膜の厚さは薄くて無視できる。ソレノイドの断面半径はａ。ソレノイドの両端に印加された振動数νの交流電圧と電流の位相差を求めよ。
３．１４６． 直列接続しているコンデンサと抵抗Ｒからできている回路を、振幅Ｕ ｍ＝１１０Ｖの交流電圧に接続した。この時、回路の電流はＩｍ＝０．５０Ａ。電流と印加電圧間の位相差を求めよ。
３．１４７． 図３．３７に、平滑フィルターの簡単な回路が示されている。入力端子に、電圧Ｕ＝Ｕ０（１＋ｃｏｓωｔ）を印加する。以下を求めよ。（ａ）出力電圧Ｕ （ｔ）。
（ｂ）出力端子において、直流成分電圧より、交流成分電圧の振幅がη＝７．０倍小さくなるためのＲＣの値。周波数はω＝３１４／ｓとする。
３．１４８． インダクタンスＬを持つ振動回路が、
振幅Ｕ ｍ を持つ外部サイン波電圧に直列に接続されている。電流振幅がある値Ｉｍの時、回路は共振をする。
発振が自由減衰振動で行われる場合として、電流振幅がｅ倍小さくなるまでの時間間隔τを求めよ。
３．１４９．

図３．３８ａ、ｂに示されている回路において、電圧の大凡のベクトル図を描け。外- 11 -

部電圧Ｕは振動数ωの調和振動をするものとする。
３．１５０． 容量Ｃ＝２２μＦのコンデンサと、インダクタンスＬ＝０．３５Ｈで抵抗Ｒ＝２０Ω
のコイルが直列に接続した回路が、振幅Ｕ ｍ＝１８０Ｖ、振動数ω＝３１４／ｓの交流電源に接続されている。以下を求めよ。（ａ）回路の電流振幅。（ｂ）電流と外部電圧の位相差。（ｃ）コンデンサとコイルにおける電圧振幅。
３．１５１． 容量Ｃのコンデンサ、インダクタンスＬのコイル、抵抗Ｒの３つが直列接続した回路が、調和振動電源に接続されている。振動周波数ωは可変である。が、振幅は一定である。（ａ）コンデンサで、（ｂ）コイルで、最大電圧となったときの周波数ωを求めよ。これらの周波数には、ω
２Ｃ共鳴＜ω Ｌ共鳴と、ω Ｃ共鳴・ω Ｌ共鳴＝ω ０ 、の関係があることを確認せよ。
３．１５２． コンデンサと、インダクタンスがＬ＝０．３６Ｈで抵抗がＲ＝４０Ωのコイルが直列に接続している回路の両端に、電圧振幅Ｕ ｍ＝１８０Ｖ、周波数ω＝３１４／ｓの交流電圧を接続する。コンデンサの容量がいくらの時、コイルの両端の電圧振幅が最大となるか。この時の電圧振幅の値は幾らとなるか。また、同時に、コンデンサの電圧振幅は幾らとなるか。
３．１５３． 容量Ｃのコンデンサがある。電極のあいだには弱導電製の媒質が充填され、抵抗はＲ。
このコンデンサに、電圧Ｕ＝Ｕｍｃｏｓωｔの交流を印加した。電流の時間に対する依存性を求めよ。
導線の抵抗は無視できるくらい小さいとする。
３．１５４． 容量ＣのコンデンサとインダクタンスＬ １のソレノイドコイルからなる振動回路がある。ソレノイドコイルは容量Ｌ ２のコイルと誘導連結されている。それらの相互作用インダクタンス
はＬ１２。この振動回路の固有振動数を求めよ。
３．１５５． 振動回路のＱ値を求めよ。回路は交流電源に直列に接続されている。電流が共鳴しているとき、コンデンサの電圧は、電源電圧をｎ倍うわまっているものとする。
３．１５６． コイルとコンデンサが直列に接続している交流回路が交流電源に接続されている。この際、コイルのインダクタンスは回路電流が最大になるように選択した。インダクタンスをｎ倍大きくすると、回路電流はη倍小さくなるとして、系のＱ値を求めよ。
３．１５７． 容量Ｃ＝４５μＦのコンデンサと、抵抗のあるコイルを直列に接続し、振動数可変であるが振幅は一定である調和振動電源に接続する。ν１＝１．５０ｋＨｚとν２＝２．５ｋＨｚの周波数で、電流の振幅は同じであることがわかった。コイルのインダクタンスを求めよ。
３．１５８． 弱い減衰をする、強制振動が行われている回路のＱ値は、Ｑ≒ω ０／Δωであることを示せ。ここで、ω ０は振動の固有振動数、Δωは共鳴時における電流振幅より√２だけ小さい高さでの曲線Ｉ（ω）の幅。
３．１５９． コンデンサとコイルと直列に接続した回路の両端に、周波数は異なるが、同じ振幅の２つの交流電圧を、交互に印加する。１つの電圧の周波数は、固有周波数ω ０に等しく、残りの電圧の周波数はそれよりη倍高い。系はＱ値を持つとして、両方の電圧で励起される電流の振幅の関係Ｉ
０ ／Ｉを求めよ。η＝１．１０として、Ｑ＝１０とＱ＝１００の場合についてこの関係値を求めよ。
３．１６０． 蓄電池を充電するために、一定電流Ｉ０で、時間ｔ ０が必要である。半端整流器を通して、この蓄電池を充電するためにはいかほどの時間が必要か。実効電流は同じくＩ０とする。
（ａ）
３．１６１． 電流の平均値がＩ０で、電流が時間に対して、
図３．３９で示しているように依存する、（ｂ）Ｉ∽絶対値（ｓｉｎωｔ）、の各々の場合について、電流の実効値を求めよ。
３．１６２． インダクタンスＬ＝７ｍＨ、抵抗Ｒ＝４４Ωを有するソレノイドを、始めに、一定電圧Ｕ ０ の電源に接続した。その後、実効値Ｕ＝Ｕ ０ のサイン波発電機に接続した。発電器の周波数がいくらの時、ソレノイドで消費される電力が、最初の場合
よりη＝５倍小さくなるか。
３．１６３． 実効電圧Ｕ＝１００Ｖの回路に、誘導抵抗がＸ Ｌ＝３０Ω、インピーダンスがＺ＝５０Ωのコイルを接続した。電流と電圧の間の位相差、コイルで放出される熱仕事率、を求めよ。
３．１６４． インダクタンスＬ＝０．７０Ｈ，抵抗ｒ＝２０Ωを有するコイルが、インダクタンスのない抵抗Ｒと直列に接続され、この回路の両端に、実効値Ｕ＝２２０Ｖ、周波数ω＝３１４／ｓの交流電圧が印加されている。回路の抵抗Ｒがいかほどの値の時、最大の熱電力が放出されるか。その値かいくらか。
- 12 -

３．１６５． コンデンサとコイルを直列接続して、回路を形成した。コンデンサの容量を変化しさせると、コイルでの発熱電力の大きさがｎ＝１．７倍となった。この時、ｃｏｓφの値は何％変化したか。
３．１６６．Ｑ＝１００の振動回路に、一定の電圧振幅を有するサイン波電源を直列に接続する。外部電圧がある周波数の時、回路での発熱電力が最大となった。発熱電力をｎ＝２．０倍小さくするた
めには、この振動数を何％変化させるべきか。
３．１６７． Ｒ＝０．１６Ωの抵抗と、内部抵抗のあるコイルを直列に接続した回路を、実効電圧
Ｕ＝２２０Ｖに接続した。抵抗Ｒとコイルでの実効電圧が、各々Ｕ １＝８０Ｖ、Ｕ２＝１８０Ｖの時、コイルでの発熱電力を求めよ。
３．１６８． コイルと抵抗Ｒ＝２５Ωを、交流電圧源に並列に接続する。電源から電流Ｉ＝０．９
０Ａが供給され、コイルを電流Ｉ１＝０．５０Ａ、抵抗を電流Ｉ ２＝０．６０Ａが流れる。コイルで放出される熱電力を求めよ。
３．１６９． 容量Ｃ＝７３μＦのコンデンサと、抵抗Ｒ＝１００Ωを並列接続した回路の、交流電源周波数ω＝３１４／ｓでの全抵抗を求めよ。
３．１７０． 図３．４０に示されている回路における電流の大凡のベクトル図ｗぺが毛。点Ａと点Ｂの間に、サイン波電圧を印加するものとする。回路を流れる全電流Ｉ ０は外部電圧に対して角度φだけ位相が遅れるものとする。

３．１７１． 容量Ｃ＝１．０μＦのコンデンサと、インダクタンスがＬ＝１．０ｍＨで内部抵抗がＲ＝０．１０Ωのコイルを、並列にして実効電圧Ｕ＝３１Ｖのサイン波電源に接続した。以下を求めよ。（ａ）共鳴が起こる周波数ω。（ｂ）共振時に流れている電流の実効値と、コイル及びコンデン
サを流れている電流。
３．１７２． 周波数ωのサイン波電源に、容量Ｃのコンデンサと、インダクタンスＬで内部抵抗Ｒのコイルを並列に接続する。回路を流れる電流と電源電圧の間の位相差を求めよ。
３．１７３． 容量Ｃのコンデンサと、インダクタンスＬで内部抵抗Ｒのコイルを並列に接続下回路部分がある。振動数ωの交流電圧に対するこの部分の全抵抗を求めよ。
３．１７４． 細い導線で作られたリングは、インダクタンス L,抵抗Ｒを有している。このリング
を一定の角速度ωで、回転軸に垂直な外部の一様磁界中で、回転する。この際、リングを突き抜ける
磁束流は式Φ＝Φ０ｃｏｓωｔに従って変化する。リング内の誘導電流は時間に対して、Ｉ＝Ｉｍｓｉｎ（ωｔ−φ）であることを示せ。ここでＩ ｍ＝ωΦ ０ｃｏｓωｔ・（Ｒ ２＋ω ２Ｌ ２） １／２、ｔａｎφ＝
ωＬ／Ｒ。
３．１７５． 前問において、一定の角速度をリングの回転を維持し続けるために、外力によってなされる平均の力学的仕事を求めよ。
３．１７６． 図３．４１参照。木製のコアに、２つのコイルを巻いている。インダクタンスＬ １ を有するコイル１と、インダクタンスがＬ ２ で内部抵抗がＲのコイル２である。コイル２の両端は短絡させている。２つのコイルの相互インダクタンス
は、それらの距離ｘに、式Ｌ １２（ｘ）の形で依存している。コ
イル１に、電柱Ｉ １＝Ｉ ０ ｃｏｓωｔが流れているとき、コイルの間の相互作用力の平均値を求めよ。
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３．３．

弾性波。音響●平面波の方程式と球面波の方程式
ξ＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）、
ξ＝（ａ０／ｒ）ｃｏｓ（ωｔ−ｋｒ）
一様な吸収媒質においては、この公式にｅ−γｘ、ｅ−γｒの項が付く。ここでγは波の吸収係数。
●一様な波動方程式∂ξ／∂ｘ＝∓（１／ｖ）∂ξ／∂ｔ、 ∂ ２ξ／∂ｘ２＝（１／ｖ２）∂２ξ／∂ｔ２
ここで、−と＋はＸ軸の正方向と負方向に伝搬する波を表す。
●棒中の縦波の位相速度と、紐の横波の位相速度ｖ‖＝（Ｅ／ρ）１／２、ｖ⊥＝（Ｆ／ρ１） １／２
ここで、Ｅはヤング率、ρは棒の密度、Ｆは紐の張力、ρ １は紐の線密度●弾性波のエネルギーの体積密度ｗ＝ρ（ｄξ／ｄｔ）２●進行波のエネルギー流密度
ｊ＝ｗｖ
棒中の縦波に対する一般式
ｊ＝−σｕここで、応力σ＝Ｅε（フックの法則）、εは相対変位（∂ξ／∂ｘ）、ｕは媒質粒子の速度（ｕ ｘ＝∂ξ／∂ｔ）●定在波の方程式
ξ＝ａｃｏｓｋｘ・ｃｏｓωｔ●音のドップラー効果
ν ＝ν（ｖ−ｕｘ ）／（ｖ−ｕｘ）
ここで、ｕｘとｕ ｘ は音源Ｓと受信器ＰのＸ軸への速度の投射成分。Ｘ軸の正方向が音の伝搬方向と一致する。ＳとＰの動きの正負も同様である。
●音の強度レベル（デシベル単位で）
Ｌ＝１０・ｌｇ（Ｉ／Ｉ０）
ここで、Ｉ０＝１０−１２Ｗ／ｍ ２
図３．４２に示されている曲線は、デシベル単位をフォン単位で示している。

●音波の強度Ｉと、圧力の振動振幅（Δｐ）ｍの間の関係
Ｉ＝（Δｐ）ｍ２／２ρｖ
３．１７７． 空気中で２点１，２の温度がおのおのＴ１，Ｔ２であり、その間の温度が線形的に変化しているものとすると、この距離ｌを音波は幾らの時間で伝搬するか。空気中の音速はｖ＝αＴ １／２、
ここでαは定数。
３．１７８． 不動の音源が、６ｍｓ毎に、ｆ（ｔ−３ｘ）の形の短い音パルスを発射する。ここでｔは時間であり、単位は秒。ｘは距離であり、単位はｋｍ。隣り合っているパルス間の距離を求めよ。
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３．１７９． ξ＝ａｃｏｓ（１５６０ｔ−５．２ｘ）の形の進行波がある。ここで、ｔの端子はｓ、ｘの単位はｍ。波の伝搬速度はｖ、波の波長はλ。振動の振動数νを算出せよ。
３．１８０． 平面音波の式が、ξ＝６０ｃｏｓ（１８００ｔ−５．３）の形をしている。ここで、
ξはｋｍ単位、ｔは秒単位、ｘはｍ単位。以下を求めよ。（ａ）波長に対する媒質の粒子の変位の振幅の関係。（ｂ）媒質の粒子の振動振幅と、波の伝搬速度に対する振幅の関係。
３．１８１． 振動数ωの平面調和波が、Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸と各々角度α、β、γをなしている方向へ、速度ｖで伝搬する。座標（ｘ１，ｙ１，ｚ１）と（ｘ ２，ｙ２，ｚ２）を持つ媒質中の２点での振動の位相差を求めよ。
３．１８２． 次の型、ξ＝ａｃｏｓ（ωｔ−αｘ−βｙ−γｚ）を有する波の波動ベクトルｋと、速度ｖを求めよ。
３．１８３． 振動数ωの平面波が、Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸に沿って速度ｖ １，ｖ ２，ｖ ３で、振動相が変位する。座標軸の単位ベクトルをｅｘ，ｅｙ，ｅｚとして、波動ベクトルｋを求めよ。
３．１８４． 媒質Ｋ中で、平面弾性波が、ξ＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）で伝搬する。媒質Ｋに相対的に、速度ＶでＸ軸の正方向に運動している観察系におけるこの波の方程式を求めよ。
３．１８５． 式ｆ（ｔ＋αｘ）の任意の微分関数は波動方程式の解となる、ことを示せ。ここでαは定数。αの物理的意味は何か。
３．１８６． 一様な弾性媒質中を、平面はξ＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）が伝搬する。ｔ＝０の時の図を描け。（ａ）大きさξ、ｄξ／ｄｘ、ｄξ／ｄｔのｘに対する依存のグラフ。（ｂ）ξ＝０である点における媒質中の粒子の速度方向。波が縦波の場合と横波の場合。（ｃ）縦波の場合における媒質の密度ρ（ｘ）の分布の概略図。
３．１８７． Ｘ軸に沿って、進行弾性波ξ＝Ａｅｘｐ（−（ａｔ−ｂｘ）２）が伝搬する。ここで、Ａ、ａ，ｂは定数。ｔ＝０における、ξ（ｘ）、ｄξ／ｄｘ（ｘ）、ｄξ／ｄｘ（ｔ）の依存性を概略図で示せ。相対的変形と媒質の粒子の速度が最大である波の点間の距離Δｘも求めよ。
３．１８８． 媒質中のある点において、ある瞬間に、相対歪みがε＝０．０１５，媒質の粒子の速度がｕ＝３０ｍ／ｓならば、弾性波はいかほどの速度で伝搬しているか。
３．１８９． 平面縦弾性波が、Ｘ軸の正方向に、密度ρ＝４．０ｇ／ｃｍ ３，ヤング率Ｅ＝１００ｈＰａの棒中を伝搬する。相対歪みがε＝０．０１０である点における棒の粒子の射影速度ｕｘを求めよ。
３．１９０． 一様な媒質中を、型ξ＝ａｅ −γｘｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）の弾性波が伝搬する。ここで、ａ、γ、ｋは定数。媒質中の粒子の変位振幅がお互いに、η＝１．０％異なっている２つの点における振動の位相差を求めよ。γ＝０．４２／ｍ、波長λ＝５０ｃｍとする。
３．１９１． 球面波の点源の状態を特徴付ける半径ベクトルを見いだせ。球面波は、半径ベクトルｒ１，ｒ２を有する２点間で直線上にあり、媒質の粒子の振動振幅は、ａ１、ａ２。媒質は一様で、波の減衰はないものとする。
３．１９２． 点状音源が周波数ν＝１．４５ｋＨｚの音波を発射する。音源から距離ｒ０＝５．０ｍで、媒質粒子の変位振幅はａ ０＝５０μｍ、音源から距離ｒ＝１０．０ｍにある点Ｐでは、変位振幅はａ ０よりη＝３．０倍小さい。以下を求めよ。（ａ）波の減衰係数γ。（ｂ）点Ｐにおける媒質粒
子の速度の振幅。
３．１９３． 一様な弾性媒質中を、２つの平面波が伝搬する。１つの波はＸ軸に沿ってξ １＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）、もう１つの波はＹ軸に沿ってξ ２＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｙ）。２つの波が（ａ）
共に横波で、同じ振動方向である場合、（ｂ）共に縦波である場合、について、ｘｙ平面における媒質粒子の運動の特徴を説明せよ。
３．１９４． 一様な媒質のＯ点に、出力Ｐ＝１．７Ｗの点音源がある。Ｏ点に中心を持つ半径Ｒ＝５．０ｍの球によって決まる領域における弾性波の（時間における）平均エネルギーを求めよ。音速
はｖ＝３４０ｍ／ｓ、音波の減衰は無視できるほど小さいとする。
３．１９５． 点音源が、リングの面に、リングの中心Ｏと通って垂直に配置されている。音源と点Ｏとの距離はｌ＝１００ｃｍ、リングの半径はＲ＝５０ｃｍ。リングを通過する平均エネルギー流を求めよ。Ｏ点において、音の強度はＩ０＝３０μＷ／ｍ ２とする。波の減衰はない。
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３．１９６． 出力Ｐ＝０．１０Ｗの点音源が、半径Ｒ＝１．０ｍ、高さｈ＝２．０ｍの円形空洞円
筒内の中心に位置している。円筒の壁は完全に音を吸収するものと見なし、円筒の側壁に当る平均エネルギー流を求めよ。音波の減衰はない。
３．１９７． 点音源の出力を求めよ。音源から距離ｒ＝７．５ｍで、エネルギー流密度の平均値は＜ｊ＞＝６．３ｍＷ／ｍ２、波の減衰係数はγ＝０．１０／ｍである。
３．１９８． 点音源から距離ｒ＝１０ｍのところで、エネルギー流密度の平均値が＜ｊ＞＝５．０
ｍＷ／ｍ ２。音波の減衰定数はγ＝０．０１５／ｍ。インゲンが中心にある半径ｒの球殻の領域では
ｔ＝５．０ｓ当りいかほどのエネルギーが吸収されるか。
３．１９９． ２つの同相の点音源Ａ，Ｂが同じ出力を有し、お互いに距離２ｌはなれている。線分
ＡＢに垂直で、線分の中心Ｏを通っている平面において、時間に対する平均の音エネルギーの体積密度＜ｗ＞に注目する。点Ｏからいかほどの距離で、＜ｗ＞は最大となるか。吸収は無視する。
３．２００． エネルギー流密度ベクトルに関する表現式（ｊ＝−σｕ、σは応力、ｕは媒質粒子の速度）を利用し、密度ρである棒中の次のような縦波において、Ｘ軸上への、このベクトルの時間に関する平均射影値を求めよ。（ａ）ξ＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）、（ｂ）ξ＝ａｃｏｓｋｘ・ｃｏｓω
ｔ、（ｃ）ξ＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）＋ｂｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ）、（ｄ）ξ＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）＋ｂｃｏｓｋｘ・ｃｏｓωｔ）。
３．２０１． 密度ρの」弾性媒質中を、２つの平面縦波が伝搬する。１つはＸ軸に沿って、ξ １＝
ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）、もう１つはＹ軸に沿って、ξ ２＝ａｃｏｓ（ωｔ−ｋｙ）。ｙ＝ｘの面上の点におけるエネルギー流密度の平均値＜ｊ＞を求めよ。
３．２０２． 一様な弾性媒質中に、平面定在波ξ＝ａｃｏｓｋｘ・ｃｏｓωｔが形成された。以下のグラフを描け。（ａ）時刻ｔ＝０、ｔ＝Ｔ／２の時における、ξとｄξ／ｄｘのｘに対する依存性のグラフ。ここで、Ｔは振動周期。（ｂ）時刻ｔ＝０、ｔ＝Ｔ／２の時における、縦振動における媒質の密度ρ（ｘ）の分布のグラフ。（ｃ）時刻ｔ＝Ｔ／４における媒質粒子の速度の分布のグラフ。
縦波と横波の？（未知単語）における、この瞬間における速度の方向を示せ。
３．２０３． 密度ρの一様な棒中に、縦定在波ξ＝ａｃｏｓｋｘ・ｃｏｓωｔがある。体積密度ρを使った表現式として以下を求めよ。（ａ）ポテンシャルエネルギーｗ ｐ（ｘ、ｔ）。（ｂ）運動エネ
ルギーｗ ｋ（ｘ、ｔ）。（以下？）時刻ｔ＝０とｔ＝Ｔ／４における、変位の隣り合う２つの節間の全エネルギーの体積密度の分布のグラフを描け。
３．２０４． 長さｌ＝１１０ｃｍ、直径ｄ＝１．０ｍｍの鉄線が、電磁石の極の間に張られている。
鉄線に、周波数ν＝５０Ｈｚの交流電流を流すと、η＝５の半波が形成された。鉄線の張力を求めよ。
３．２０５． 長さｌ＝１００ｃｍ、直径ｄ＝０．５０ｍｍの鉄線が、ν＝２５６Ｈｚの基本振動を行う。鉄線の張力を求めよ。
３．２０６． 長さ１２０ｃｍのケーブルに、定在波が形成されている。変位振幅が３．５ｍｍであるケーブルの全ての点はお互いに１５．０ｃｍ離れている。変位の最大振幅を求めよ。この振動はどの倍音に対応しているか。
３．２０７． ２つの同じケーブルがある。１つをη １＝２．０％だけ引き延ばし、もう１つはη＝４．０％引き延ばす。このようにした２つのケーブルの基本音の周波数の関係を求めよ。
３．２０８． ケーブルの長さを３５％だけ短くし、張力Ｆを７０％だけ増大させたとき、ケーブルの基本音の周波数は何倍変化するか。
３．２０９． 空気中での音速を定めるために、ピストンと隔膜付きのパイプを利用した。隔膜はパイプの１端を塞いでいる。振動数ν＝２．００ｋＨｚで共鳴を観察すると、ピストンの隣り合う位置の間隔がｌ＝８．５ｃｍの時、観察された。音速を求めよ。
３．２１０． パイプの（ａ）１端を閉じた場合、（ｂ）両端を閉じた場合、について、パイプ中の固有振動空気柱の可能な数を見いだせ。空気の振動数はν ０＝１２５０Ｋｚ以下とする。
３．２１１． 長さｌ＝５５．０ｃｍの銅棒を、中間で固定する。２０ｋＨｚから５０ｋＨｚまでの周波数帯域で、棒の縦波の固有振動の数を求めよ。
３．２１２． 質量ｍのケーブルが、両端で固定されている。角振動数ω、変位の最大振幅ａ最大の基本音を棒に励起した。以下を求めよ。（ａ）ケーブルの最大運動エネルギー。（ｂ）ケーブルの１- 16 -

周期当りの平均運動エネルギー。
３．２１３． 断面積がＳ、密度がρの一様な棒中に、ξ＝ａｓｉｎｋｘ・ｃｏｓωｔの縦波が形成されている。変位の隣り合う節の間の断面積で閉じられている全力学エネルギーを求めよ。
３．２１４． 速度ｕ＝１２０ｋｍ／時で走っている機関車が、長さτ０＝５．０秒の汽笛を鳴らす。
機関車が（ａ）観察者に近づいているとき、（ｂ）遠ざかっているときの、動いていない観察者の聞
く汽笛の長さを求めよ。空気中の音速はｖ＝３４０ｍ／ｓ。
３．２１５． 道路の上に、振動数ν ０＝２．３ｋＨｚの音源がぶら下がっている。ライダーがこの音源から速度ｖ＝５４ｋｍ／時で遠ざかる。同じ方向に、風速ｕ＝５．０ｍ／ｓの風が吹いている。
音速度ｖ０＝３４０ｍ／ｓとして、ライダーが聞く音の周波数を求めよ。
３．２１６． 音波が、Ｘ軸の正方向に、速度ｖで伝搬する。同じ方向に、観察者１，２が速度ｖ１，ｖ２で動く。２人の観察者が記録する音の周波数の関係を求めよ。
３．２１７． 周波数ν０＝１０００Ｈｚの音源が、速度ｕ＝１７ｃｍ／ｓで、壁の法線方向に動く。
この法線に、２台の不動の受信器Ｐ １，Ｐ ２を配置する。これら受信器と音源Ｓとの配置関係は、Ｐ １−Ｓ−Ｐ ２−壁。うなりを観測する受信器はどちらか、そしてうなりの周波数はいくらか。音速は３４０ｍ／ｓとする。
３．２１８． 不動の観察者が、２つの音叉からの音の振動を聞いている。音叉の１つは近づいており、もう１つは同じ速度で遠ざかっている。観察者は周波数ν＝２．０Ｈｚのうなりを聞く。音叉の振動周波数をν ０＝６８０Ｈｚ、音速をｖ＝３４０ｍ／ｓとして、各々の音叉の移動速度を求めよ。
３．２１９． Ｘ軸上に、受信器と振動数ν ０＝２０００Ｈｚの音源がある。音源は、Ｘ軸上で、確角振動数ω、振幅ａ＝５０ｃｍの調和振動をしている。ωがどのような値の時、不動の受信器が受信する振動間隔の幅はΔν＝２００Ｈｚとなるか。音速はｖ＝３４０ｍ／ｓ。
３．２２０． 振動数ν ０＝１７００Ｈｚｎｏ音源と受信器が、同じ位置にある。ある瞬間に、音源は受信器から加速度ａ＝１０．０ｍ／ｓ２で離れ始める。音源が動き出し始めてから、ｔ＝１０．０
ｓ後における不動の受信器が受信する振動周波数を求めよ。音速は３４０ｍ／ｓ。
３．２２１． 固有振動数がν ０＝１．８ｋＨｚである音源が、観察者からｌ＝２５０ｍ離れている
直線に沿って一様に動く。音源の速度は音速のη＝０．８０倍。以下を求めよ。（ａ）音源が観察者の向かいにあるとき、観察者の聞く音の周波数。（ｂ）観察者が聞く周波数がν＝ν ０ である時における、音源と観察者の距離。
３．２２２． 不動の音源が、単調音を発射する。音源には、速度ｕ＝３３ｃｍ／ｓで、壁が近づいてくる。媒質中の音の伝搬速度はｖ＝３３０ｍ／ｓ。壁で反射された音の波長は、どう変化するか。
変化量は何％か。
３．２２３． 壁の同じ法線上に、振動数ν ０＝１７００Ｈｚの音源と受信器が配置されている。音源と受信器は不動である。壁が音源から速度ｕ＝６．０ｃｍ／ｓで遠ざかる。受信器が受信するうなりの周波数を求めよ。音速はｖ＝３４０ｍ／ｓ。
３．２２４． 点音源から距離ｒ１＝１０ｍ、ｒ２＝２０ｍで、音波の強度値がお互いにη＝４．５倍
異なっている。音波の減衰係数γを求めよ。
３．２２５． 振動数２．０ｋ Hz の平面音波が、X 軸に沿って伝搬している。波の減衰係数はγ＝０．０２３０／ｍ。点ｘ＝０で、波の強度は L=６０デシベル。図３．４２を利用して、以下を求めよ。（ａ）座標ｘ＝５０ｍの所における音量。（ｂ）音が未だ聞こえないところのｘ座標値。
３．２２６． 振動数５０Ｈｚの点音源から距離ｒ０＝２０．０ｍのところで、音の強度はＬ０＝６４デシベル。波の減衰を無視して、図３．４２を利用し、以下を求めよ。
（ａ）音源から距離ｒ＝１０．
０ｍの所での音の強度。（ｂ）音が聞こえなくなる音源からの距離。
３．２２７． 音叉から距離ｒ１＝５．０ｍ離れている観察者１は、音叉から距離ｒ ２＝５０ｍ離れている観察者２より、τ＝１９ｓだけ音が消えるのを観察した。音波の減衰を無視し、音速をｖ＝３４０ｍ／ｓとして、音叉の減衰係数βを求めよ。
３．２２８． 密度ρの媒質中を、平面縦調和波が伝搬している。波の速度はｖ。波の伝搬において、媒質の密度が変化するものと見なし、以下を示せ。なを、変化量Δρ≪ρ。（ａ）媒質中の付加圧力（ｂ）波の強度は式Ｉ＝（Δｐ）
はΔｐ＝−ρｖ２（ｄξ／ｄｘ）。ここで、ｄξ／ｄｘ相対的変形量。
２ｍ ／（２ρｖ）で決まる。
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３．２２９． 空気中の平面音波の経路上に、半径Ｒ＝５０ｃｍの球がある。波の波長はλ＝５．０ｃｍ、振動数はν＝６．８ｋＨｚ、空気中の圧力の振動振幅は（Δｐ） ｍ＝３．５Ｐａ。球表面に衝突する振動の１周期当りのエネルギー流の平均値を求めよ。
３．２３０． 振動数ν＝６００Ｈｚの点音源から、距離ｒ＝１．５ｍの所に点Ａがある。音源の出力はＰ＝０．８０Ｗ。波の減衰を無視し、音速をｖ＝３４０ｍ／ｓとして、点Ａにおいて以下を求めよ。（ａ）圧力の振動振幅（Δｐ） ｍと空気の圧力に対するその関係。（ｂ）媒質粒子の振動振幅。これを音の波長と比較検討せよ。
３．２３１． 振動数ν＝２００Ｈｚの点音源から距離ｒ＝１００ｍの所での音の強度はＬ＝７０デ
シベル。この音の可聴限界強度則ちＩ０、Ｌ０が概値であるとする。図３．４２参照。波の減衰係数は
γ＝０．００５／ｍ。音源の出力を求めよ。
３．４．

電磁波。放射●電磁波の位相速度（３．４ａ）
ｖ＝ｃ／（εμ）１／２、ここでｃ＝１／（ε０μ０）１／２●進行電磁波において（３．４ｂ）
Ｅ（εε０）１／２＝Ｈ（μμ０）１／２●Ｘ軸に沿って真空中を伝搬する平面電磁波において∂Ｅ ｙ／∂ｔ＝−ｃ２∂Ｂｚ／∂ｘ（３．４ｃ）−∂Ｂｚ／∂ｔ＝∂Ｅｙ／∂ｘ、●電磁場のエネルギーの体積密度
ｗ＝ＥＤ／２＋ＢＨ／２（３．４ｅ）●電磁エネルギー流密度−ポインチングベクトル
Π＝［ＥＨ］（３．４ｆ）●２本の導線における基本方程式（３．４ｇ）∂Ｉ／∂ｘ＝−Ｃ１∂Ｕ／∂ｔ、 ∂Ｕ／∂ｘ＝−Ｌ１∂Ｉ／∂ｔ
ここで、Ｃ１とＬ １は線の単位長あたりの容量とインダクタンス。
これの波動抵抗はρ＝（Ｌ１／Ｃ１）１／２。
●双極子によって放射される電磁波の振幅（３．４ｈ）
Ｅｍ∽（１／ｒ）ｓｉｎθ
ここで、ｒは双極子までの距離、θは動径ベクトルｒと双極子の軸の間の角度●加速度ａで運動している電気モーメントｐ（ｔ）を持っている双極子と。同じく加速度ａで運動している荷電ｑの放射電力（３．４ｉ）
Ｐ＝（μ０／４π）（ｄ２ｐ／ｄｔ２）２、Ｐ＝（μ ０／４πｃ）ｑ２ａ ２●ｖ≪ｃのときのドップラー効果
Δν／ν＝（ｖ／ｃ）ｃｏｓθ
（３．４ｊ）
ここで、ｖは発信源の速度、θは発信源の速度ｖの方向と、観察者の間のなす角度。
●一般のドップラー効果
ν＝ν０（１−β ２） １／２／（１−βｃｏｓθ） 、ここで、β＝ｖ／ｃ（３．４ｋ）
θ＝０の時、ドップラー効果は縦効果と呼ばれ、θ＝π／２の時、横効果と呼ばれる。
３．２３２． 振動数ν＝３．０ＭＨｚの電磁波が、真空から比誘電率ε＝４．０の誘電体中に進む。
電磁波の波長の増分を求めよ。
３．２３３． 平面電磁波が、厚さｌの平板誘電体に垂直に入射する。誘電体の比誘電率は、前面でのε １から後面でのε２まで、指数関数的に減少している。この平板を通り抜けるに要する時間を求めよ。
３．２３４． 電磁波がＸ軸に沿って真空中を伝搬する。ある時刻に、点Ａにおいて、変位電流密度はｊ 変位＝１６０μＡ／ｍ２。この時刻における、点Ａでの微分量ｄＥ／ｄｘの大きさを求めよ。
３．２３５． 振動数ν＝１０ＭＨｚの平面電磁波が、比伝導率σ＝１０ｍＳ／ｍ、比誘電率ε＝９の弱い導電性の媒質中を伝搬する。伝導電流密度ｊと変位電流密度ｊ密度の関係を求めよ。
３．２３６． 平面電磁波Ｅ＝Ｅｍｃｏｓ（ωｔ−ｋｒ）が真空中を伝搬する。ベクトルＥ ｍとｋが概値として、動径ベクトルがｒ＝０の点で、時間ｔの関数としてベクトルＨを求めよ。
３．２３７． 平面電磁波Ｅ＝ｅ ｙＥ ｍｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）が真空中を伝搬する。ここで、ｅ ｙはＹ軸の単位ベクトル、Ｅ ｍ＝１６０Ｖ／ｍ、ｋ＝０．５１／ｍ。ｘ＝７．７ｍの座標点におけるベクト
ルＨを、（ａ）ｔ＝０，（ｂ）ｔ＝３３ｎｓの時について求めよ。
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３．２３８． 半径Ｒ＝３５ｃｍのリング形状のうすいコイルが、導線の１０回巻きでできている。
このコイルが、周波数ν＝５．０ＭＨｚの電磁波の場中にある。電磁波の伝搬方向と、電波の電界ベ
クトルはコイルの軸に垂直である。電磁波の電界ベクトルの振幅の大きさはＥｍ＝０．５０ｍＶ／ｍ。
コイルに誘導される起電圧の振幅の大きさを求めよ。
３．２３９． マックスウエルの方程式から、Ｘ軸に沿って真空中を伝搬している平面電磁波において、（３．４ｃ）式が成り立つことを示せ。
３．２４０． 平面電磁波の平均ポインチングベクトルを求めよ。電磁波の電界成分はＥ＝Ｅ ｍｃｏｓ（ωｔ−ｋｒ）、電磁波は真空中を伝搬しているものとする。
３．２４１． 真空中を、周波数がν＝１００ＭＨｚ、電界成分の振幅がＥ ｍ＝５０ｍＶ／ｍの平面
電磁波が伝搬している。１周期当りの以下の平均値を求めよ。（ａ）変位電流密度の大きさ。（ｂ）
エネルギー流密度。
３．２４２． 真空中を、振動数ωの平面電磁波が伝搬している。電磁波のエネルギー流密度の平均値は＜Π＞。変位電流密度の振幅の大きさを求めよ。
３．２４３． 真空中を、Ｘ軸に沿って、２つの平面電磁波が伝搬している。両方とも同じ偏極波であり、電磁波の電界成分は式Ｅ １＝Ｅ ０ｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）、Ｅ ２＝Ｅ ０ｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ＋φ）に従って変化する。エネルギー密度の平均値を求めよ。
３．２４４． 真空中を、２つの平面電磁波が伝搬している。１つはＸ軸に沿って、もう１つはＹ軸に沿って。Ｅ １＝Ｅ ０ｃｏｓ（ωｔ−ｋｘ）、Ｅ ２＝Ｅ ０ｃｏｓ（ωｔ−ｋｙ）。ここで、ベクトルＥ ０はＺ軸に平行。面ｙ＝ｘ上の点におけるエネルギー流密度の平均値を求めよ。
３．２４５． 半径Ｒ＝５０ｃｍの球が、比誘電率ε＝４．０の非磁性媒質中にある。この媒質中を、平面電磁波が伝搬している。波の波長λはＲより十分短く、電界成分の振幅はＥ ｍ＝２００Ｖ／ｍ。
時間ｔ＝６０ｓ当りに、球にいかほどのエネルギーが入射するか。
３．２４６． 真空中で、Ｘ軸方向に、電界成分がＥ＝Ｅ ｍｃｏｓｋｘ・ｃｏｓωｔの定在電磁波が存在している。波の磁場成分Ｂ（ｘ，ｔ）を求めよ。時刻ｔ＝０，ｔ＝Ｔ／４における電界成分と磁界成分の分布の図を描け。ここで、Ｔは振動周期。
３．２４７． 真空中で、Ｘ軸方向に、電界成分がＥ＝Ｅ ｍｃｏｓｋｘ・ｃｏｓωｔの定在電磁波が存在している。ポインチングベクトルΠ ｘ（ｘ、ｔ）のｘ成分と、振動１周期におけるその平均値を求めよ。
３．２４８． 平面空気コンデンサがある。その電極は半径Ｒ＝６．０ｃｍの円板形状をし、周波数
ω＝１０００／ｓのサイン波電源に接続されている。コンデンサ内部の、磁気エネルギーと電気エネ
ルギーの大きさの関係を求めよ。
３．２４９． 周波数ω＝１０００／ｓのサイン波電流が、半径Ｒ＝６．０ｃｍのソレノイドコイルを流れている。ソレノイドコイルの、磁気エネルギーと電気エネルギーの大きさの関係を求めよ。
３．２５０． 円形の２つの平板電極でできているコンデンサをゆっくりと充電する。コンデンサの脇の表面を通過するポインチングベクトルの流れは、単位時間当りにおけるコンデンサのエネルギーの増加分に等しいことをす溶明せよ。計算において、端末における場の乱れは無視する。
３．２５１． 円形断面を持つ直線導体に沿って、一定電流Ｉが流れている。この導体の側面を通過するポインチングベクトル流を求めよ。導体の抵抗はＲとする。
３．２５２． 電位差Ｕで加速された非相対論的陽子が、電流Ｉの円形断面流を形成している。流れの軸から距離ｒにおける流れ内部のポインチングベクトルの大きさと方向を求めよ。
３．２５３． 長い直線上のソレノイド内部を流れている電流を、十分にゆっくりと増大させる。ソレノイド内部の磁場エネルギーの増大の速度は、ソレノイドの側面を通過するポインチングベク
トル流と等しいことを示せ。
３．２５４． 図３．４３に、定電流を流している２本の平行導線を示している。電流の方向は矢印で示している。電位はφ ２ ＞
φ １ 。ポインチングベクトルを利用して、電流源がどちら側にあるか確定せよ。右か左か。
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３．２５５． Ｕの定電圧源からのエネルギーが、長い直線同軸線で、需用者に伝送される。同軸線の抵抗は十分に小さいとする。供給電流はＩ。同軸線の縦断面積を通過するエネルギー流を求めよ。
同軸線の外側導線被膜は薄いと見なす。
３．２５６．電圧Ｕ＝Ｕ ０ｃｏｓωｔの交流電源が、長い直線同軸線で、需用者にエネルギーを伝送する。同軸線の抵抗は十分に小さいとする。回路電流は式Ｉ＝Ｉ ０ｃｏｓ（ωｔ−φ）で変化する。
同軸線の横断面を通過するエネルギー流の時間当りの平均値を求めよ。同軸線の外側導線被膜は薄いと見なす。
３．２５７． ２つの媒質の境界面で、ポインチングベクトルの垂直成分は不連続ではない。則ち、
Ｓ１ｎ＝Ｓ２ｎ。ことを証明せよ。
３．２５８． ２線式直線回路方程式（３．４ｆ）を使用して以下を求めよ。（ａ）電圧と電流は速度ｖ＝１／（Ｌ１Ｃ１）１／２で、伝搬する。（ｂ）直線回路の波動抵抗はρ＝（Ｌ１Ｃ１）１／２。
３．２５９． 内部導体と外部導体の間が比誘電率ε＝４．０の誘電体で充填されている損失のない同軸ケーブルの波動抵抗はρ＝６０Ω。このケーブルの単位長さ当りのインダクタンスＬと容量Ｃを求めよ。
３．２６０． 以下の例における波動抵抗ρを求めよ。
（ａ）２線式の直線導体。各導線の半径はａ、軸の距離はｂ。ｂ≫ａ。（ｂ）損失のない同軸線。心線の半径はａ、外側の円筒導体の内半径はｂ。
間の誘電体の比誘電率はε＝１とする。
３．２６１． ２線式直線回路方程式（３．４ｆ）を使用して、導線系内の電流分布Ｉ（ｘ，ｔ）を求めよ。導線系には、式Ｕ＝Ｕ ｍｃｏｓｋｘ・ｃｏｓωｔに従った電圧が分布しており、導線系の波
動抵抗はρ。
３．２６２． ２線式直線回路方程式（３．４ｆ）を使用して、長さｌの２線式導体系の固有振動を起因とする以下の場合における電圧の振幅Ｕｍ（ｘ）と電流の振幅Ｉ ｍ（ｔ）の分布式を求めよ。
（ａ）
両端とも開放端である。（ｂ）両端とも閉端である。（ｃ）左端が閉端で、右端が開放端である。
３．２６３． 長さＬの空中２線式導線系がある。その両端は共に閉端となっている。この系の共振
はν １＝３．０ＭＨｚとν ２＝４．５Ｍｈｚで起こる。Ｌを求めよ。
３．２６４． 同じ比荷電を持つ帯電した非相対論的粒子からなる閉じた系において、双極子放射は存在しないことを示せ。
３．２６５． 振幅ａ＝０．１０ｎｍ、周波数ω＝６．５×１０１４／ｓの調和振動をしている電子の平均放射電力＜Ｐ＞を求めよ。
３．２６６． 荷電量がＱ、質量がｍである非相対論的粒子が、不動の点電荷ｑの場中で、半径Ｒの円軌道を動く。Ｑの放射強度を求めよ。
３．２６７． 磁束密度Ｂ＝１．０Ｔの磁場中に垂直に、非相対論的陽子が飛込む。場中での運動中に陽子が放射で失うエネルギーの、陽子の最初の運動エネルギーとの関係を求めよ。
３．２６８． 非相対論的荷電粒子が、磁束密度Ｂの磁界中を横に動く。放射により、場中で粒子が失うエネルギーの時間依存式を求めよ。陽子の運動エネルギーがｅ倍だけ小さくなるのはどれだけの時間後か。Ｂ＝１．０Ｔとして、電子と陽子の場合についてこの時間を計算せよ。
３．２６９． 荷電粒子が、Ｙ軸に沿って、式ｙ＝ａｃｏｓωｔに従って動く。観測点Ｐは、Ｘ軸上にあり、粒子との距離はｌ（≫ａ）。粒子の座標がｙ １＝０、ｙ ２＝ａの時、Ｐ点における電磁放射流密度の関係関係Π １／Π ２を求めよ。ω＝２．０１×１０ ８／ｓ、ｌ＝５０．０ｍとして、この関係式の値を求めよ。遅れは無視できるぐらい小さいとする。
３．２７０． 基本双極子から距離ｒ０＝１０ｍの所における電界強度の振幅がＥｍ＝６Ｖ／ｍ。その軸から角度θ＝３０度をなしている方向における双極子から距離ｒ＝２０ｍの所でのエネルギー流密度の平均値を求めよ。
３．２７１． 双極子から放射されている電磁波が、真空中を伝搬する。双極子の軸に垂直で、双極子から距離ｒにおけるエネルギー流密度の平均値はΠ０。双極子の平均放射強度を求めよ。
３．２７２．双極子が放射する平均電力がＰ ０。双極子から距離ｒ離れ、双極子の軸に垂直な所における光線の電磁場の平均エネルギー密度を求めよ。
- 20 -

３．２７３． モーメントＰを有している電気双極子が、双極子の軸に垂直で、双極子の中心を通っている軸の周りに、角速度ωで回転している。双極子の放射電力を求めよ。
３．２７４． 粒子は球形状であり、それに入射してくる光りを完全に吸収するものとする。この粒子を太陽に引きつける重力は、光圧による力と釣り合うものとする。この粒子の半径を求めよ。太陽の光放射力はＰ＝４×１０２６Ｗ、粒子の密度はρ＝１．０ｇ／ｃｍ ３。
３．２７５． 光速度を決定するフィゾーの実験で、歯車と鏡の距離はｌ＝７．０ｋｍ、歯の数はｚ＝７２０。２回の連続する光りの消滅が、ｎ１＝２８３回転／ｓ、ｎ２＝３１３回転／ｓの時に観察された。光速度を求めよ。
３．２７６． 光源が受信器に対して、速度ｖで動いている。ｖ≪ｃの時、光の周波数の相対変化量
は公式Δν／ν＝（ｖ／ｃ）ｃｏｓθで決まることを示せ。ここで、θは光源の運動方向と観測者の方向との間の角度。
３．２７７． 励起イオンＨｅ＋から放射されるスペクトル線の１つが、波長λ＝４１０ｎｍである。
イオンは運動エネルギーＫ＝１０ＭｅＶで運動し、このイオンビームに対して角度θ＝３０度の角度
で、スペクトル線を観測するものとして、このスペクトル線のドップラーシフトΔλを求めよ。
３．２７８． 太陽の赤道上、太陽円板の両端において、波長λ＝０．５９μｍのスペクトル線を観測すると、波長にδλ＝８．０ｐｍの差を観測した。多い手太陽の自身の軸の周りの回転周期を求めよ。
３．２７９． 遠方に有りすぎて、望遠鏡では分解できない２重星を、ドップラー効果により発見することができる。これらの星からのスペクトル線は、２重周期を持っており、この事から、スペクトル線源は、質量中心を回っている２重星であることがわかる。両方の星の質量は同じであると見なして、２つの星の距離と質量を求めよ。スペクトル線の最大分散は（δλ／λ）最大＝１．２×１０ −４、
この最大値はτ＝３０昼夜毎に起こっている。
３．２８０． 振動数ω０の平面電磁波が、相対論的速度ｖで向かってくる鏡の面に垂直に入射する。
ドップラーの公式を利用して、反射波の振動数を求めよ。また、ｖ≪ｃの場合についても考察せよ。
３．２８１． レーダーが波長λ＝５０．０ｃｍで動作している。接近してくる飛行機の速度を求めよ。送信機からの信号と、飛行機からの反射波のうなりの周波数は、レーザーのある場所でΔν＝１．
００ｋＨｚ出会った。
３．２８２． 電磁波の位相ωｔ−ｋｘは不変である、則ち、ある慣性系から他の慣性系への移行によって変化しない、ということを利用して、周波数ωと波数ｋはどのように変換されるか。
３．２８３． ある星雲からのスペクトル中のλ０＝４３４ｎｍの水素線（不動の線源の場合の波長）が、１３０ｎｍだけ長波長側にずれていた。この星雲はいかほどの速度で遠ざかっているか。
３．２８４． ヘッドランプの赤い光（λ≒０．７０μｍ）が、緑色（λためには、自動車はいかほどの速度で走らなければならないか。
３．２８５． ある直線の一方向に沿って、観察者が速度ｖ １＝０．
５０ｃで動き、観察者の前方を速度ｖ ２ ＝０．７５ｃで光源が動いている。光の固有振動数はω０。観察者が記録する光の周波数を求めよ。
３．２８６． 水素原子のスペクトル線の１つは波長λ＝６５６．
３ｎｍ。運動エネルギーＫ＝１．０ＭｅＶを持っている水素原子束に対して直角方向から、水素原子を観測した場合、このスペクトル線のドップラーシフトΔλはいくらか。
３．２８７． 固有周波数ν ０＝３．０ＧＨｚの電磁信号を放射する線源が、不動の観察者Ｐからある距離離れている直線に沿って運動する。図３．４４参照。以下の瞬間において、観察者が受信する信号の周波数を求めよ。（ａ）線
源が点Ｏに位置するとき、（ｂ）観察者が点Ｏに線源を見るとき。
３．２８８． 細い電子ビームが、金属ガラス面上を移動する。面上にはｄ＝２．０μｍのピッチで直線群が引かれている。図３．４５参照。電子は相対論的速度で、直線群に垂直に運動する。この時、目に見える放射が観察される。電子の軌跡は縞状に見える。その色は観察の角度θに依存して変化する。この現象を説明せよ。θ＝４- 21 -≒０．５５ｎｍ）となる

５度の時、観察される放射の波長を求めよ。
３．２８９． 地球の運動故に、黄道面上での星の方向は、１年間に周期的に変化する。星は限界角度α＝４１秒の見かけの振動をする。地球の軌道上での速度を求めよ。
３．２９０． ？ 地球の観察者において、半球の中に位置している星を見れる円錐の半頂角度を求めよ。観察者は、地球に対して光速度とη＝１．０％だけ違う速度で運動しているものとする。

- 22 -

第４部
４．１．

光学

測光学と額と幾何光学●波長λの光束
Φ＝Ｋ ｍＶ（λ）Φ エネルギー流、Φの単位はルーメン、 Φエネルギー流の単位はＷ
Ｋ ｍ＝６８３ルーメン／Ｗ●目の相対的なスペクトル感度Ｖ（λ）は下図（４．１ａ）●光度Ｉと照度Ｅ
Ｉ＝ｄΦ／ｄΩ、
Ｅ＝ｄΦ照射／ｄＳ●等方点光源による照度
Ｅ＝（Ｉ／ｒ ２）ｃｏｓα
ここで、αは面の法線と光源の方向のなす角度。
●光束発散度Ｍと輝度Ｌ
Ｌ＝ｄΦ 放射／（ｄΩΔＳｃｏｓθ）
Ｍ＝ｄΦ放射／ｄＳ、●ランベルト光源における光束発散度Ｍ
Ｍ＝πＬ●プリズムの屈折角θと最小偏向角αとの関係
ｓｉｎ（（α＋θ）／２）＝ｎｓｉｎ（θ／２）
ここで、ｎはプリズムの材質の屈折率。
●球面鏡の公式
１／ｓ ＋１／ｓ＝２／Ｒ
ここで、Ｒは鏡の曲率半径。
●下図に示した光学系における公式
ｎ ／ｓ −ｎ／ｓ＝Φ、ｆ ／ｓ ＋ｆ／ｓ＝１，ｘｘ ＝ｆｆ●焦点距離と光学力との間の関係
ｆ ＝ｎ ／Φ、 ｆ＝−ｎ／Φ、●球状屈折面の光学力

ｆ

／ｆ＝−ｎ
- 23 -／ｎ（４．１ｂ）（４．１ｃ）（４．１ｄ）（４．１ｅ）（４．１ｆ）（４．１ｇ）（４．１ｈ）（４．１ｉ）

Φ＝（ｎ −ｎ）／Ｒ●厚さｄの厚いレンズの光学力
Φ＝Φ１＋Φ ２−（ｄ／ｎ）Φ１Φ２
この公式は、２つの薄いレンズからなり、それらの間に屈折率ｎの媒質がある場合の系に対しても正しい。
●図４．３参照。主平面Ｈ、Ｈ が、厚いレンズの表面の点Ｏ、Ｏ から、距離Ｘ、Ｘ 離れているとき
Ｘ＝（ｄ／ｎ）Φ２／Φ、（４．１ｌ）
Ｘ ＝−（ｄ／ｎ）Φ １／Φ
●光学機器の倍率
Ｂ＝ｔａｎψ ／ｔａｎψ
（４．１ｍ）
ここで、ψ とψは光学機器がある場合と、無い場合に観測で物体を見た見込み角。（ルーペと顕微鏡の場合には、明視の距離ｌ ０＝２５ｃｍでの観察に対応している）（４．１ｊ）（４，１ｋ）

４．１． 目の相対的感度曲線（図４．１参照）を利用して、以下を求めよ。（ａ）光量１．０ルーメンで波長が０．５１μｍと０．６３μｍの場合におけるエネルギー流。（ｂ）対応するエネルギー
流がΦ＝４．５ｍＷである波長０．５８μｍと０．６３μｍの間の光量。エネルギー流はこの間隔内において全波長に渡って一様に分布しているものとする。このスペクトル間隔において関数Ｖ（λ）
は線形とする。
４．２． 点光源が、波長λ＝０．６０μｍの光量Φ＝１０ルーメンの光を放射する。点光源から距
離ｒ＝１．０ｍの所におけるこの光量の電界強度の振幅と磁界強度の振幅を求めよ。
４．３． 太陽の周りを楕円軌道で回っている惑星の、１周期当りに惑星に入射する光エネルギーを求めよ。太陽の光強度はＰ、惑星の断面積はＳ。惑星が太陽から最小距離ｒ ０にある時の惑星の速度はｖ０とする。
４．４． 以下の場合について、不透明球面の平均照度を求めよ。（ａ）垂直入射点での照度がＥ ０である平行光量。（ｂ）球の中心から距離ｌ＝１００ｃｍの所にある点光源からの光。球の半径はＲ＝６０ｃｍ、光度はＩ＝３６カンデラ。
４．５． Ｌ＝Ｌ ０ｃｏｓθのように方向に依存している面の光度を求めよ。ここで、θは放射の方向と、面の法線とのなす角度。
４．６． ランバートの法則に従っている発光している面がある。その輝度はＬ。以下を求めよ。
（ａ）
円錐の内側の面素ΔＳが放射する光量。円錐の軸は面素に垂直である。円錐の半頂角はθ。（ｂ）この光源の輝度。
４．７． 半径Ｒ＝１．０ｍの円形テーブルの上方に、面積Ｓ＝１００ｃｍ ２の平らな水平円板型の明かりが吊されている。明かりの明るさは方向に依存しないで、Ｌ＝１．６×１０４カンデラ／ｍ２。
机の周辺の明るさが最大となるためには、明かりを机の面からどれだけの高さに置く必要があるか。
その照度はいくらか。
４．８． 半径Ｒ＝１．０ｍの円形テーブルの中心から上方、ｈ＝１．０ｍの所に、点光源が吊されている。点光源の輝度Ｉはテーブルの全点の照度が等しくなるように、方向に依存している。関数Ｉ（θ）の形を求めよ。ここで、θは垂直線と放射方向とのなす角度。もし、Ｉ（０）＝Ｉ ０＝１００
カンデラならば、テーブルに入射している光量はいくらか。
４．９． 投射器の垂直光線が、半径Ｒ＝２．０ｍの部屋の円形天井の中心を照らしている。この時、天上には面積Ｓ＝１００ｃｍ ２の小さい斑点が形成されている。斑点の照度はＥ＝１０００ルックス。
天上の反射係数はρ＝０．８０。天上からの反射による。壁の最大照度を求めよ。反射はランバートの法則に従っているものとする。
４．１０． 半球形状をしている一様に輝いている円屋根が、水平面上に保持されている。この水平面の中心における照度を求めよ。円丸屋根の輝度はＬで、方向に依存しないとする。
４．１１． ランバート型光源は、無限平面形状をしている。その輝度はＬ。この光源から平行に離れている面の照度を求めよ。
４．１２． テーブル上空に明かりがある。明かりは半径Ｒ＝２５ｃｍの水平円盤形である。明かりからテーブルの面までの距離はｈ＝７５ｃｍ。明かりの中央の真下でのテーブルの明るさはＥ ０＝７０ルックス。明かりはランバートの法則に従っているものとして、この明かりの輝度を求めよ。
４．１３．

一様に光る半径Ｒ＝６．０の球形状の小さい光源が、テーブルから距離ｈ＝３．０ｍの- 24 -

所にある。光源の輝度はＬ＝２００００カンデラ／ｍ ２で、方向に依存していない。光源下のテーブ
ルの照度を求めよ。
４．１４． 鏡での光線の反射の法則をベクトル図で描け。入射光と反射光の方向単位ベクトルをｅとｅ で、鏡の表面に対する法線単位ベクトルをｎとする。
４．１５． ３つの相互に垂直な平面鏡で、連続して反射される光線は、進行方向を正反対に変える
ことを示せ。
４．１６．

水面で反射された光線が、屈折光と直角となるのは、入射角θが幾らの時か。

４．１７． 平らな境界面を持っている２つの光学媒質がある。θ １臨界を、入射光線の臨界角、θ１を屈折光が反射光と直角となるときの入射角とする。光線はより密な光学媒質から進むものとする。ｓｉｎθ１臨界／ｓｉｎθ１＝η＝１．２８の時、これら媒質の屈折率の関係を求めよ。
４．１８． 厚さｄ＝６．０ｃｍの平行平板ガラスに、光線が入射する。入射角度はθ＝６０°。この板を通過した後の光線の変位量を求めよ。
４．１９． プールの脇に人が立っていて、底にある石を観察する。プールの深さはｈ。視線が水面に対する法線から角度θをなしているならば、石の像は水面から、どれだけの距離に見えるか。
４．２０． 小さい屈折角θを持つプリズムで、入射角度に無関係に、光線は角度α≒（ｎ−１）θ
だけ傾くことを証明せよ。入射角も小さいものとする。
４．２１． 屈折角度がθ、屈折率がｎのプリズムを光線が通過する。光線の傾き角度をαとする。
プリズムを通過した後の光線が、入射光線と対称の経路を経過するものとして以下を求めよ。（ａ）
αの最小値。（ｂ）角度αとθの間の関係は、ｓｉｎ（（α＋θ）／２）＝ｎ・ｓｉｎ（θ／２）で決まること。
４．２２． あるガラス製プリズムにおいて、光線の最小傾き角度は、プリズムの屈折角度に等しい。
この屈折角度を求めよ。
４．２３．
求めよ。

屈折角度θ＝６０°のガラスプリズムを光線が通過するとき、傾き角度の変化の領域を

４．２４． 屈折角６０°の三角プリズムが、空気中で、最小変位角度３７°を与える。水中ならば、このプリズムの最小変位角度は幾らとなるか。
４．２５． ２本の単色線を含んでいる光線が、屈折角θ＝６０°の三角プリズムを通過する。プリ
ズムを通過後の２つの単色線の間の角度Δθを求めよ。ただし、これらの単色線に対するプリズムの屈折率は各々１．５１５，１．５２０。プリズムは最小の変位角となるように配置されているものと
する。
４．２６．

フェルマーの原理を使い、平面境界面における光線の反射と屈折の法則を証明せよ。

４．２７． 上方が開いている容器の底に単色の点光源が置いてある。この容器に水を入れ始める。
水面が速度ｖ＝９．０ｍｍ／ｓで上昇するように注ぐ。点光源を通る垂直線の上方の水面の上で観察され光の相対的な振動のずれΔω／ωを求めよ。観察者は動いていないものとする。
４．２８．
焦点、ＯＯ

凹面鏡と凸面鏡で反射した後の光線の経路を作図で求めよ。図４．４，図５．５でＦはは光学軸。

- 25 -

４．２９．
求めよ。

図４．６，図４．７で、Ｐ，Ｐは供役点である。作図により、鏡の状態とその焦点を４．３０． 以下の場合で、凹面鏡の焦点を求めよ。（ａ）物体と像の間の距離がｌ＝１５ｃｍの時、縦倍率はβ＝−２．０。（ｂ）物体がある位置にいたとき、縦倍率がβ １ ＝−５．０。物体を（ａ）の時の位置から相対的に距離ｌ＝５．０ｃｍ移動させた他の位置に置いた
とき、縦倍率はβ２＝−０．２５。
４．３１． 光力Ｉ ０ ＝１００カンデラの点光源を、焦点距離ｆ＝２
５．０ｃｍの凹面鏡の中心から距離ｓ＝２０．０ｃｍ離しておいた。
鏡の反射率をρ＝０．８０として、反射光の光力を求めよ。
４．３２． フェルマーの原理を用いて、屈折率ｎ １、ｎ ２の媒質を分離している半径Ｒの球表面における近軸光線の屈折の公式を導け。
４．３３． 図４．８参照。平行光線が真空中から、屈折率ｎの領域との境界面に入射する。頂点Ｏから距離ｆの点Ｆに集光する。この表
面の式ｘ（ｒ）を求めよ。集光する最大半径ｒ最大はいくらか。
４．３４． 光線が空気中から、ガラスの球表面に入射する。図４．
９には、点でもって焦点の位置を示している。光線は近軸光線であると見なして、作図により屈折光の経路を求めよ。
４．３５． ガラス製で対称の両凸レンズの前方２０ｃｍの所に点光源がある。レンズの厚さは５．０ｃｍ、レンズ表面の曲率半径は５．
０ｃｍ。レンズの後の表面からどれだけの距離に、光源の像が形成されるか。
４．３６． 厚さｄ＝９．０ｃｍの平凸レンズの凸面側の前方に、物体が置いてある。物体の像はレンズの平らな面上に形成されている。この平面はスクリーンの役割を持っている。以下を求めよ。
（ａ）
レンズの凸面部の曲率半径がＲ＝２．ｃｍの時、縦倍率。（ｂ）物体の輝度がＬ＝７７００カンデラ／ｍ２、このレンズの開口直径がＤ＝５．０ｍｍの時、像の明るさ。光の減衰は無視する。
４．３７． 屈折率ｎ ０＝１．７の液体中にある薄いガラスレンズの光学力と焦点距離を求めよ。こ
のレンズの空気中における光学力はΦ０＝−５．０ジオプトリ（＝−（１／５．０）ｍ）。
４．３８． 薄い対称の両凸ガラスレンズがある。片面は空気中に、他面は水中にある。このレンズのの光学力と焦点距離を求めよ。このレンズの空気中での光学力はΦ０＝＋１０ジオプトリ。
４．３９． 図４．１０、図４．１１に記されている薄い集光レンズ（凸レンズ）と、薄い拡散レン
ズ（凹レンズ）における作図で光線の経路を求めよ。図で、ＯＯ は光学軸、ＦとＦ は前方の焦点と後方の焦点。

- 26 -

４．４０． 図４．６、図４．７参照。光学軸ＯＯ の位置と、供役点の組Ｐ，Ｐ の位置が知れているとする。レンズの両側の媒質は同じものである。作図によって、薄いレンズの位置と焦点距離を求めよ。
４．４１． 図４．１２、図４．１３参照。レンズの位置、光学軸ＯＯ ，光線１の経路が概値とする。レンズの両側の媒質は同じものである。作図により、凸レンズと凹レンズを通過した後の光線２の経路を求めよ。

４．４２． 焦点距離ｆ＝２５ｃｍの薄い集光レンズが、物体の像を、レンズから距離ｌ＝５．０ｍの所にあるスクリーンに映している。スクリーンをレンズの方向にΔｌ＝７５ｃｍ近づけた。スクリーン上に物体の鮮明な像を得るためには、物体をどれだけ移動する必要があるか。
４．４３． 光源がスクリーンから距離ｌ＝９０ｃｍの所にある。光源とスクリーンの間にある薄い集光レンズ２箇所の位置でスクリーン上に光源の鮮明な像を与える。以下の場合におけるレンズの焦点距離を求めよ。（ａ）２つの位置の間の距離がΔｌ＝３０ｃｍの時。（ｂ）レンズが片方の位置にあるときの像の縦の大きさが、他方の位置にあるときの像の大きさよりη＝４．０倍大きいとき。
４．４４． 物体とスクリーンの間に、薄い集光レンズを置いた。レンズを動かし、スクリーンに鮮明な像ができる位置を２つ見つけた。１つのレンズの位置での像の大きさはｈ ＝２．０ｍｍ、もう１つのレンズの位置での像の大きさはｈ ＝４．５ｍｍ。物体の縦の大きさを求めよ。
４．４５． レンズの直径Ｄと、焦点距離ｆの間に、Ｄ：ｆ＝１：３．５の関係のある薄い集光レンズがある。このレンズはフィルム上に遠方の物体の像を造る。物体の明るさはＬ＝２６０カンデラ／
ｍ２、レンズによる光の損失はα＝０．１０。像の明るさを求めよ。
４．４６． 実像の明るさは、以下の場合で観察すると、薄い集光レンズの直径Ｄにどのように依存するか。（ａ）直接。（ｂ）ランバートの式に従う散乱特性の白色スクリーン。
４．４７． ２つの薄い対称レンズがある。１つは屈折率ｎ １＝１．７０の集光レンズ、もう１つは屈折率ｎ ２＝１．５１の散乱レンズ。両方のレンズは同じ曲率半径Ｒ＝１０ｃｍを有している。レンズを密着させ、水中に沈める。水中におけるこのレンズ系の焦点距離は幾らとなるか。
４．４８． 薄い対称の両凸ガラスレンズの１つの面を銀メッキにする。このレンズの焦点距離を求めよ。レンズの曲率
半径はＲ＝４０ｃｍ。
４．４９． ３つの薄いレンズからできている系が、空気中にある。図４．１４参照。各々のレンズの光学力は１０．０
ジオプトリ。以下を求めよ。（ａ）左側から入射してきた平行光線が、系を通過した後の合流点の位置。（ｂ）系の左側の軸上にある点と、その像が系に対して対称の位置となる。
この点の最初のレンズからの距離。
４．５０． 無限遠で１０倍の倍率の時、パイプの長さは４５ｃｍのガリレオ式望遠鏡がある。以下を求めよ。（ａ）対物レンズと接眼レンズの焦点距離。（ｂ）距離５０ｍ先にある物体の像を鮮明に見るためには、どれだけの距離、接眼レンズを移動させる必要があるか。
４．５１． ケプラー型望遠鏡がある。対物レンズの枠の直径はＤ、接眼レンズに形成されるこの枠の像の直径はｄ。この望遠鏡の無限遠における倍率を求めよ。
４．５２． 望遠鏡内を光線束が通過するにおいて、その強度がη＝４００００倍となる。この望遠鏡での観察において、遠方の物体の像の視野角度がφ ＝２．０°。遠方の物体の視野角度を求めよ。
４．５３．

倍率Γ＝１５倍のケプラー型望遠鏡を水に沈める。筒内部も水を満たす。同じ大きさで- 27 -

再び望遠鏡とするために、対物レンズを他のものに置き換えた。この後、水中での望遠鏡の倍率は幾らとなったか。接眼レンズのガラスの屈折率はｎ＝１．５０。
４．５４． 対物レンズの直径がＤである望遠鏡の倍率Γが幾らの時、目の網膜上の物体の像の明るさが、望遠鏡がない場合より小さくならないか。目の瞳の直径はｄ ０＝３．０ｍｍとする。
４．５５． 顕微鏡の対物レンズと接眼レンズの光学力は、１００ジオメトリと２０ジオメトリ。顕微鏡の倍率は５０倍。対物レンズと接眼レンズの距離を２．０ｃｍだけ長くすると、倍率は幾らとなるか。
４．５６． 数値開口ｓｉｎα＝０．１２の顕微鏡がある。ここで、αは、対物レンズの枠に入射する光線の円錐の半開き角度。顕微鏡から出てくる光線束の直径は、瞳の直径と等しいとする。瞳の直径を０＝４．０ｍｍとして、顕微鏡の倍率を求めよ。
４．５７． 前問の条件下で、目の網膜上の物体像の明るさが、倍率に依存しないのは、顕微鏡の倍率がいくらの時か。「顕微鏡−目」の系を通過する光線束は対物レンズの枠によって制限されると見なす。
４．５８． 面の曲率半径Ｒ＝７．５０ｃｍを有する薄い両凸ガラスレンズによる主平面、焦点、結節点の位置を求めよ。レンズの片側は空気、他方は水とする。
４．５９． 図４．１５に示している中心合わせをした光学系における焦点と主平面の位置を求めよ。
（ａ）望遠鏡−薄い集光レンズと、薄い拡散レンズからできている系（ｆ１＝１．５ｄ、ｆ ２＝−１．
５ｄ）。（ｂ）薄い２つの集光レンズでできている系（ｆ １＝１．５ｄ、ｆ ２ ＝０．５ｄ）。（ｃ）厚い
凸凹レンズ（ｄ＝４ｃｍ、ｎ＝１．５、Φ１＝＋５０ジオプトリ、Φ２＝−５０ジオプトリ）。

４．６０． 空気中に光学系がある。図４．１６参照。ＯＯ は光学軸、ＦとＦ は前と後の焦点、ＨとＨ は前と後の主平面、ＰとＰ は供役点。以下を作図によって求めよ。
（ａ）図４．１６ａで、Ｆ とＨ の位置。（ｂ）図４．１６ｂで、点Ｓと供役な点Ｓ 。（ｃ）光線の通過経路が記されている図４．１６ｃで、Ｆ，Ｆ Ｈ の位置。

４．６１． Ｆ、Ｆ は光学系の前と後の焦点。ＨとＨ は前と後の主点。点Ｓ，Ｆ，Ｆ ，Ｈ，Ｈの相対配置関係が以下の場合について、作図によって、点Ｓの像Ｓ を求めよ。（ａ）ＦＳＨＨ
Ｆ 。（ｂ）ＨＳＦ ＦＨ 。（ｃ）Ｈ ＳＦ ＦＨ。（ｄ）Ｆ Ｈ ＳＨＦ。
４．６２． ２つの薄いレンズからできている望遠鏡がある。前のレンズは集光レンズ、後のレンズ（ａ）
は拡散レンズ。各々の光学力はΦ１＝＋１０ジオプトリ、Φ２＝−１０ジオプトリ。以下を求めよ。
レンズ間隔がｄ＝４．０ｃｍの時、この系の焦点距離と主平面の位置。（ｂ）系の焦点距離ｆの、集光レンズと後の主焦点との間の距離ｌに対する比が最大となる時の、レンズ間の距離ｄ。比は幾らとなるか。
- 28 -

４．６３． 厚い凸凹ガラスレンズの主平面と焦点の位置を計算せよ。凸面の曲率半径はＲ１＝１０．
０ｃｍ、凹面の曲率半径はＲ ２＝５．０ｃｍ、レンズの厚さはｄ＝３．０ｃｍ。
４．６４． 焦点距離がｆ１，ｆ２である２枚の薄いレンズを中心合わせにした光学系がある。レンズ
間の距離はｄ。この系をある１枚のレンズで置き換え、物体を任意の位置に置いたとき、同じ縦倍率とする。このレンズの焦点距離と、前の系に対するレンズの位置を求めよ。
４．６５． 面の曲率半径Ｒ＝３８ｃｍの薄い対称ガラス集光レンズと、レンズの光学軸に垂直置かれている平面鏡からできている系がある。レンズの鏡の距離はｌ＝１２ｃｍ。レンズと鏡の間の空間
を水で満たしたならば、この系の光学力はいくらとなるか。
４．６６． 空気中で、厚い凸凹ガラスレンズはいかほどの厚さで、（ａ）凹面の曲率半径より、凸面の曲率半径がΔＲ＝１．５ｃｍならば、望遠鏡となるか。（ｂ）凸面及び凹面の曲率半径が、各々１０．０ｃｍ、７．５ｃｍならば、光学力が−１．０ジオメトリとなるか。
４．６７． 以下の場合について、厚い凸凹ガラスレンズの主平面の位置、焦点距離、光学力の符号を求めよ。（ａ）厚さがｄ、面の曲率半径が同じでともにＲ。（ｂ）曲率半径Ｒ １ とＲ ２ を持った同心で２つに折れた表面を持つ。
４．６８． 半径Ｒ １＝５．０ｃｍ、Ｒ２＝１．０ｃｍの２つのガラス球から望遠鏡が作られている。
おおきい方の球を対物レンズとすれば、２つの球の中心間距離はいくらか、そして倍率はいくらか。
４．６９． ？ 点から点へゆっくりと変化している屈折率ｎの等方媒質中を光が伝搬する。曲率半
径Ｒは式１／Ｒ＝∂（ｌｎ（ｎ））／∂Ｎで決まっている。ここで、導関数は光線に対する主法線方向にとる。このよう媒質中で屈折の法則 ｎ・ｓｉｎθ＝一定 は正しいと言うことを用いて、この式を求めよ。ここで、θは光と、その点におけるｇｒａｄ（ｎ）の方向のなす角度である。
４．７０． 地表に沿って伝搬している光線の曲率半径を求めよ。ここで、空気の屈折率の勾配（グラジアント）∂ｎ／∂Ｎ≒３×１０ −８／ｍ（前問参照）。この勾配がどのような値の時、光は地球の周りの円周を伝搬するか。
４．２．

光の干渉

●干渉縞の幅Δｘ＝λ／φ（４．２ａ）
ここで、φは光源間の視角●可干渉長と半径（幅）ｌ干渉≒λ ２／Δλ、
ρ干渉≒λ／ψ
（４．２ｂ）
ここで、ψは光源の視角の大きさ●光学的により密度の高い媒質での光の反射において、光の電界強度ベクトルＥは位相がπだけ飛躍する。
●厚さｂの薄い平板での、光の干渉における最大値の交換は（４．２ｃ）
２ｂ（ｎ２−ｓｉｎ ２θ）１／２−λ／２＝ｋλここで、θは入射角度、ｋは整数。
●ガラス平板と、それに接している曲率半径Ｒの凸表面レンズの間に形成されている空気層の表面での光の反射に関するニュートンリング。リング半径は（４．２ｄ）
ｒ＝（ｋλＲ／２）１／２
ｋ＝１，３，５，・・の時、リングは明るい。ｋ＝２，４，６，・・の時、リングは暗い。
●チェレンコフ効果
ｃｏｓθ＝ｃ／ｎｖ（４．２ｅ）
ここで、θは放射の伝搬方向と、粒子の速度ｖの間の角度。

４．７１． ２つの振動が、（ａ）同じ方向で、非干渉性であり、それらの位相差の全ての値が等確率である、（ｂ）相互に直交しており、同じ振動数で、任意の位相差を有している、場合において、
２つの調和振動数の合成において、得られた振動の時間に関する平均エネルギーは各々の振動のエネ
ルギーの総和に等しいことを示せ。
４．７２． 同じ方向に伝搬する次の３つの振動、ξ １＝ａｃｏｓωｔ、ξ ２＝２ａｓｉｎωｔ、ξ ３＝１．５ａｃｏｓ（ωｔ＋π／３）の合成の結果でできる振動の振幅をグラフから見いだせ。
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４．７３． 以下のような形の同じ方向のＮ個の干渉性振動の合成の結果、ある振動が発生する。ξ
＝ａｃｏｓ（ωｔ＋（ｋ−１）α）、ここで、ｋは振動の番号（ｋ＝１，・・・Ｎ）、αはｋ番目と（ｋ−１）番目の振動の間の位相差。合成振動の振幅を求めよ。

ｋ４．７４． 図４．１７参照。系は２つの干渉性放射源１，２からできている。
これらはある平面上に配置され、、それらの双極子モーメントはこの平面に垂直である。放射源間の距離はｄ、放射の波長はλで、λ≪ｄ。放射源２の振動は、放射源１の振動より、α（α＜π）だけ位相が遅れているものとして、以下を求めよ。（ａ）放射強度が最大になる角度θ。（ｂ）θ＝πの方向で、放射強度が最大となり、逆方向で最小となる条件。
４．７５． ２つの同じ放射源１，２がある。それらの双極子モーメントは、
距離ｄ＝λ／２で、お互いに平行に配位している。以下の場合において、この系の赤道面上における放射強度の極成分グラフの大凡の形を求めよ。（ａ）位相がそろっている場合。（ｂ）逆位相の場合。
４．７６． 前問において、放射源１，２がお互いに距離λ離れているときについて解け。
４．７７． 問題４．７５と同じであるが、放射源１，２はお互いに距離ｄ＝λ／４離れており、π／２の位相のずれで振動している。
４．７８． ？ 発振子が平行に一直線の列状に連結している不動の放射系がある。お互いの発振子の間の間隔はｄ、発振子の振動の位相は列に沿って線形的に変化している。隣り合う発振子の間の位相差Δφの時間依存性を見いだせ。その時、系の主要最大放射は、一定の角速度ωでもって、局所的な円形外観をなしている。
４．７９． 図４．１８参照。ルロイドの実験において、光源Ｓからの直接の光波は、鏡で反射された波と干渉する。
その結果、スクリーン上で、干渉模様が形成される。光源からスクリーンまでの距離はｌ＝１００ｃｍ。光源がある位置の時、スクリーン上の干渉の帯の幅はΔｘ＝０．２５ｍｍ。その後、光源を鏡の面からΔｈ＝０．６０ｍｍだけ離すと、帯の幅はη＝１．５倍だけ小さくなった。光の波
長を求めよ。
４．８０． ２つの干渉性平面光波が、その伝搬方向を角度φ≪１として、スクリーンに殆ど垂直に入射する。波の振幅は同じ大きさ。スクリーン上の隣り合う最大値の間隔はΔｘ＝λ／φであることを示せ。ここで、λは波の波長。
４．８１． 図４．１９に、フレネルの２枚鏡干渉システムズが示されている。鏡の間の角度はα＝１、鏡の交差線から、狭いスリットＳまでの距離はｒ＝１０．０ｃｍ、スクリーンまでの距離はｂ＝１３０ｃｍ。波長はλ＝０．５５μｍ。以下を定めよ。
（ａ）スクリーン上の干渉縞の幅と可能な最大値の数。
（ｂ）
スリットをδｌ＝１．０ｍｍだけ、点Ｏを中心として、半径ｒの弧に沿って移動させたときのスクリーン上の模様の移動。
（ｃ）
スクリーン上の干渉縞は、スリット幅がどれだけの広さｈ最大の時まで、明瞭に観察できるか。
４．８２． 平面光波が、フレネルの２枚鏡に入射する。鏡の角度はα＝２．０分。スクリーン上の干渉帯の幅がΔｘ＝０．５５ｍｍの時、光波の波長を求めよ。
４．８３． 直径ｄ＝５．０ｃｍ、焦点距離ｆ＝２５．０ｃｍのレンズを、直径に沿って、同形の２つに切断した。この際、厚さａ＝１．０ｍｍの層が除去された。その後、２つの半型は接触するまで動かされた。このようにして得た２枚レンズの焦点面に、狭いスリットを置いた。このスリットからは波長λ＝０．６４μｍの単色光が出てくる。２枚レンズの背後には、レンズより距離ｂ＝５０ｃｍの所にスクリーンを置いた。以下を求めよ。
（ａ）スクリーン上の干渉縞の幅と、可能な最大の数Ｎ。
（ｂ）スクリーン上の干渉帯が十分に明瞭であるまでの、スリットの最大幅ｈ ｍａｘ。
４．８４． フレネルの２枚プリズムからスリットまでの距離がａ＝２５ｃｍ、スクリーンまでの距
離がｂ＝１００ｃｍ。２枚プリズムは屈折角度がθ＝２０分のガラス製である。スクリーン上での干渉縞の幅がΔｘ＝０．５５ｍｍの時、光線の波長を求めよ。

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４．８５． 波長λ＝０．７０μｍの平面光波が、２枚プリズムの碁台に垂直に入射する。２枚プリズムは屈折角度θ＝５．０°のガラス製である。図４．２０参照。２枚プリズムの背後には、ガラス製の平行平板があり、プリズムと平板の間の空間はベンゾール（屈折率ｎ ＝１．５００）で満たされている。これらの系の背後にあるスクリーン上の干渉縞の幅を求めよ。
４．８６． 平面単色光波が、２つの狭いスリットを有している
遮光板に垂直に入射する。２つのスリットの間隔はｄ＝２．５ｍ
ｍ。遮光板から距離ｌ＝１００ｃｍの所のスクリーンに、干渉縞が形成される。スリットの内の１つを、厚さｈ＝１０μｍのガラ
ス板で覆うと、干渉縞はどちらの方にどれだけ移動するか。
４．８７． 図４．２１に、透明な物質の屈折率測定のための干渉計の図が描かれている。ここで、Ｓは、波長λ＝５８９ｎｍの単色光で照射されている狭いス
リット、１と２は各々長さｌ＝１０．０ｃｍの空気の入っている同じパイプ、Ｄは２つのスリットのある遮光板。パイプ１中の空気をアンモニアで置き換えると、スクリーン上の干渉模様が、Ｎ＝１７の帯だけ上方に移動した。空気の屈折率はｎ＝１．０００２７７である。アンモニアの屈折率を定めよ。
４．８８． ガラス平面上に、水の膜がある。波長λ＝０．６８μｍの光がガラス面の法線に角度θ
＝３０°をなして入射する。反射光の強度が、連続する反射の最大値間の時間幅がΔｔ＝１５分であるとき、水の膜厚の減少（蒸発による）速度を求めよ。
４．８９． 薄膜（屈折率ｎ＝１．３３）に、白色平行光線が入射する。入射社角度はθ１＝５２°。
反射光が黄色（波長λ＝０．６０μｍ）がもっとも強くなるのは膜の厚さがいくらの時か。
４．９０． 膜への光の入射角度はθ＝３０°。波長０．６４μｍの光が最大限に反射され、波長０．
４０μｍの光は全く反射されない。屈折率ｎ＝１．３３を有する膜の最小の厚さを求めよ。
４．９１． ガラスの表面における反射による光の損失を低減するために、屈折率ｎ ＝ｎ １／２の物
質でガラスの表面を薄膜で覆う。ここでｎはガラスの屈折率。このようにすると、この薄膜の両面での反射される光の振動振幅は同じとなる。法線方向でのガラスの反射特性は、波長λの光に対してゼロとなるのは、この薄膜の厚さが幾らのときか。
４．９２． 波長λ＝０．６０μｍの散乱単色光が、屈折率ｎ＝１．５の薄膜に入射する。法線に対してθ＝約４５°方向の反射光中に観察される隣り合う最大値の角度間隔がδθ＝３．０°であった。
薄膜の厚さを求めよ。
４．９３． 図４．２２参照。単色光が、スクリーンの穴を通過し、薄い平行平板ガラスで反射される。スクリーン上には同じ傾きの干渉縞が形成される。ガラス板の厚さはｂ、ガラス板とスクリーンの距離はｌ、ｉ番目とｋ番目の黒いリングの半径はｒ ｉ、ｒｋ。ｒｉｋ≪ｌと見なして、光の波長を求めよ。
４．９４． 波長λの平面単色光が、ガラス製楔の表面に入射する。楔の角度はα≪１。入射面は楔の稜に垂直で、入射角度はθ １。反射光に垂直に配置されているスクリーン上の干渉縞の隣り合う最大値間の距離を求めよ。
４．９５． 遠方にある点光源からの波長λ＝０．５５μｍの光が、ガラス製楔の表面に垂直に入射する。反射光中で、干渉縞を観察する。楔表面上での干渉縞中の隣り合う最大値の間隔は、Δｘ＝０．
２１ｍｍ。以下を求めよ。（ａ）楔の角度。（ｂ）干渉縞の消滅が、楔の先端から距離ｌ１．５ｃｍで観察されたとして、単色光の単色度（Δλ／λ）。
４．９６． 平凸レンズの凸面側を、ガラス平板に接触させる。レンズの凸面の曲率半型はＲ，光の波長はλ。半径ｒの所におけるニュートンリングの幅Δｒを求めよ。Δｒ≪ｒとする。
４．９７． 曲率半型Ｒ＝４０ｃｍを有する平凸レンズをの凸表面を、ガラス平板に接触させる。そして、反射光中で、半径ｒ＝２．５ｍｍのリングに注目する。このリングを観察しながら、レンズをガラス板から慎重にｈ＝５．０μｍだけ引き離した。着目しているリングの半径は幾らとなるか。
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４．９８． 平凸レンズの凸レンズ側の頂点部分には、研磨されて半径ｒ ０＝３．０ｍｍの平面部分がある。この部分を、ガラス板と接触させる。凸レンズ部分の曲率半径はＲ＝１５０ｃｍ。波長λ＝６５５ｎｍの反射光中で、６番目に明るいリングの半径を求めよ。
４．９９． 球面の曲率半径がＲ＝１２．５ｃｍの平凸レンズを、ガラス板の上に置く。が、ガラス板上のゴミのために、凸面とガラス板は接触していない。反射光中のニュートンリングの１０番目と１５番目の暗いリングの直径は、各々ｄ １＝１．００ｍｍ、ｄ２＝１．５０ｍｍである。光の波長を求めよ。
４．１００． ２枚の薄い平凸ガラスレンズが、凸面を合わせて接触している。波長λ＝０．６０μｍの反射光中の５番目の明るいリングの半径がｄ＝１．５０ｍｍである。系の光学力を求めよ。
４．１０１． 共に薄い両凸ガラスレンズと、両凹ガラスレンズを接触した光学系をなし、その光学力はΦ＝０．５０ジオメトリ。この系で反射された波長λ＝０．６１μｍの光中で、ニュートンリン
グを観察する。以下を定めよ。（ａ）５番目の暗いリングの半径。（ｂ）レンズの間の空間を水で満たしたならば、このリングの半径はどう変化するか。
４．１０２． 平凸レンズの球面がガラス板と接触している。レンズと板の間の空間を二硫化炭素で満たす。レンズ、ガラス板、二硫化炭素の屈折率は各々ｎ １＝１．５０、ｎ ２＝１．６３、ｎ ３＝１．
７０。レンズの凸面の曲率半径はＲ＝１００ｃｍ。波長λ＝０．６１μｍの反射光中のニュートンリ
ングの５番目の暗いリングの半径を求めよ。
４．１０３． ２光線干渉計において、波長λ１＝５７６．９７ｎｍ、λ ２＝５７９．０３ｎｍの２光線からなる水銀の黄線を使用する。干渉次数がどのような最小値の時、干渉図形の精度が最悪となるか。
４．１０４． マイケルソン干渉計において、波長λ １ ＝５８９．
０ｎｍ、λ ２＝５８９．６ｎｍの２光線からなるナトリウムの黄線を使用する。鏡の１つを移動させると、干渉図形は周期的に消える。
なぜか？ 最大明瞭図形の連続した２つの出現の時の鏡の移動量を求めよ。
４．１０５． 図４．２３参照。波長λの単色光をファブリ・ペロ
ー干渉器に入射させると、レンズの焦点面上に、同心円状の干渉図形が生じる。エタロンの厚みはｄ。（ａ）リングの配置、（ｂ）干渉縞の開き角度、は干渉次数にどのように依存するか。
４．１０６． ？ エタロンの厚さがｄ＝２．５ｃｍであるファブリ・ペロー干渉器において、以下を求めよ。（ａ）波長λ＝０．５０μｍの光の最大干渉次数。（ｂ）観察を波長λ＝０．５０μｍの光で行ったとき、他の干渉次数と重ならない波長の分散領域Δλ、則ち、波長のスペクトル間隔。
４．１０７． 屈折率ｎの媒質中を一定速度で運動している荷電粒子が、光を放射するための条件（バビロフ・チェレンコフ効果）を求めよ。光の放射方向も求めよ。指針：異なった時間において粒子によって生起される振動の干渉を考察せよ。
４．１０８． 屈折率ｎ＝１．６０の媒質中で、チェレンコフ放射が発生する電子と陽子の運動エネ
ルギーの最小値を求めよ。運動エネルギーの最小値がＫ最小＝２９．６ＭｅＶである粒子はどのような粒子か。
４．１０９． 屈折率ｎ＝１．５０の媒質中で、自身の運動方向に対して角度θ＝３０°方向に光を出す電子の運動エネルギーを求めよ。
４．３．

光の回折

●フレネルの第ｋゾーンの外側境界の半径ｋ＝１，２，３，・・
ｒｋ＝（ｋλａｂ／（ａ＋ｂ））１／２、●コルニュ螺旋−図４．２４。この螺旋状の数値はパラメータｖの値●スリットに垂直に入射した光のフラウンホーファー回折。
主フラウンホーファー最大の条件
ｂｓｉｎθ＝±ｋλ、 ｋ＝０，１，２，・・・
ここで、ｂはスリット幅、θは回折角度。
●回折格子と垂直入射光。
主フランホーファー最大の条件
ｄｓｉｎθ＝±ｋλ、 ｋ＝１，２，３，・・- 32 -（４．３．ａ）（４．３．ｂ）（４．３．ｃ）

付加最低の条件
ｄｓｉｎθ＝±ｋ λ／Ｎ
ここで、ｋ ＝１，２，・・・、０を除いて、Ｎ、２Ｎ、・・・●回折格子の角度分散
Ｄ＝ｄθ／ｄλ＝ｋ／ｄｃｏｓθ
●回折格子の分解能
Ｒ＝λ／δλ＝ｋＮ
ここで、Ｎは格子の溝の数●対物レンズの解像力
Ｒ＝１／δψ＝Ｄ／１．２２λ
ここで、δψは対物レンズが分解できる最小視角、Ｄは対物レンズの直径●ブラック反射の公式。 回折最大の条件
２ｄ・ｓｉｎθ＝±ｋλ
ここで、ｄは面間の距離、αは視射角、ｋ＝１，２，３，・・。

（４．３．ｄ）（４．３．ｅ）（４．３．ｆ）（４．３．ｇ）（４．３．ｈ）

４．１１０． ？ 平面光波が、円形の穴のある遮光板に垂直に入射する。穴は、遮光板から距離ｂ離れているスクリーン上の点Ｐに対して、フレネルの第Ｎ帯まで開いている穴である。光の波長はλ。
スクリーン上の光の強度Ｉ（ｒ）が概値であるとして、遮光板前の光の強度Ｉ ０を求めよ。ここで、ｒは点Ｐまでの距離。
４．１１１． 波長がλ＝０．５０μｍの点光源が、半径ｒ＝１．０ｍｍの穴の開いている遮光板から距離ａ＝１００ｃｍの所にある。観測点に対して、穴のフレネル帯数がｋ＝３である、遮光板から観測点までの距離ｂを求めよ。
４．１１２． 点光源とスクリーンの間に、半径ｒが可変の穴付きの遮光板を置いた。遮光板と点光源の間隔はａ＝１００ｃｍ、遮光板とスクリーンとの間隔はｂ＝１２５ｃｍ。スクリーン上の干渉模様の中心の最大の明るさはｒ １＝１．００ｍｍ、次の最大の明るさはｒ ２＝１．２９ｍｍで観察された。
波長を求めよ。
４．１１３． 強度Ｉ ０の波長λ＝６４０ｎｍの平面光波が、半径Ｒ＝１．２０ｍｍの円形穴に垂直に入射する。穴から距離ｂ＝１．５０ｍ離れているスクリーン上の回折図の中心における強度を求めよ。
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４．１１４． 強度Ｉ ０の平面単色光波が、円形の穴のある不透明なスクリーンに垂直に入射する。
穴の形状が、以下の場合において、スクリーンの後の光の強度Ｉを求めよ。（ａ）フレネルの第一帯に等しい。第一帯の内側半分に等しい。（ｂ）フレネルの第一帯と等しく作り、その後、直径に沿って半分を遮蔽する。
４．１１５． 強度Ｉ ０ の単色平面光波が、観測点Ｐに対してフレネルの第一帯を遮蔽している不透明円板に垂直に入射する。円板を
直径方向に、（ａ）半分だけ、（ｂ）第一帯の外半分の半分、遠ざけ
ると、点Ｐにおける光の強度Ｉはどのようになるか。
４．１１６． 図４．２５に示しているように、強度Ｉ ０ の平面単色光波が、不透明スクリーン（斜線模様の部分）に垂直に入射する。
以下の場合について、点Ｐでの、光の強度Ｉの角度φに対する依存を見いだせ。（ａ）Ｐ点はスクリーンの端の角にあるとき（図ａ）。
（ｂ）Ｐ点は、その円弧部分が、フレネルの第一帯と一致する点にあるとき。
４．１１７． 波長λ＝０．６０μｍの平面光波が、十分に大きなガ
ラス板に垂直に入射する。ガラス板の反対側にはえぐり穴がある。図４．２６参照。観察点Ｐに対して、その穴はフレネルの第一ゾーンに対応している。点Ｐでの光の強度が以下の場合になるとき、穴の深さｈを求めよ。（ａ）最大。（ｂ）最小。（ｃ）入射光の強度と等しい。
４．１１８． 波長λ、強度Ｉ ０ の平面光波が、大きなガラス板に垂直に入射する。ガラス板の反対側は、観察点Ｐに対して、フレネルの第一ゾーンに等しい円形の穴の開いた不透明スクリーンとなっている。
穴の真ん中には、フレネルゾーンの半分に等しい円形穴が開けられている。この穴の深さｈが幾らの時、点Ｐにおける光の強度は最大となるか。その値は幾らとなるか。
４．１１９． 波長λ＝０．６０μｍの光が、ガラス板の表面に垂直に入射する。観察点Ｐに対して、フレネルゾーンの１．５の部分がガラス板を覆っている。このガラ
ス円板がいくらの厚さの時、点Ｐでの光強度が最大となるか。
４．１２０． 波長λ＝０．５４μｍの平面波の行路に、焦点距離ｆ＝５０ｃｍの薄い集光レンズを置いた。レンズには、円形穴の開いた遮光板が密着され、遮光板から距離ｂ＝７５ｃｍの所にスクリーンを置いた。穴の半径がいくらの時、スクリーン上の回折図中の中心で明るさが最大となるか。
４．１２１． 平面単色光波が、円形穴に垂直に入射する。穴から距離ｂ＝９．０ｍの所に、スクリーンがあり、そこで回折図を観察する。穴の直径をη＝３．０倍だけ小さくした。穴を小さくする前の回折図と同じであるが、スクリーン上での大きさがη倍だけ小さくなった回折図を得るために、ス
クリーンを置くべき新しい距離ｂ を求めよ。
４．１２２． 波長λ＝０．５５μｍの光源と、フィルムの間に直径Ｄ＝４０ｍｍの不透明の球を置いた。光源と球の距離はａ＝１２ｍ、球とフィルムとの距離はｂ＝１８ｍ。以下を求めよ。（ａ）光源の縦方向の大きさをｙ＝６．０ｍｍとしたとき、フィルム上の像の大きさｙ 。（ｂ）球の表面をランダムに覆っている粗さの最小の高さ。この粗さが光を遮っている。（これは粗さの高さが、フレ
ネルゾーン幅と同程度であり、不透明なスクリーンの端を通過するときに生じる。）
４．１２３． 単色光の光源が、帯状の板の前に置いてある。板の光源から距離はａ＝１．５ｍ。光源の像は、板から距離ｂ＝１．０ｍの所にできる。帯状板野焦点距離を求めよ。
４．１２４． 波長λ＝０．６０μｍ、強度Ｉ ０ の平面光波が、大きなガラス板に垂直に入射している。その様子は図４．２７に示している。階段状の部分の高さｈが幾らの時、その下にａｒｕ点に置ける光の強度が、（ａ）最小、（ｂ）Ｉ ０ の半分、となるか。反射の損失は無視する。
４．１２５． 平面単色光波が不透明な半平面に垂直に入射する。その後ｂ＝１００ｃｍの所にスクリーンがある。コルニュの螺旋（図４．
２４）を使って以下を求めよ。（ａ）最初の最大強度とそれに隣り合っている最小強度との関係。（ｂ）２つの最小の最大値間の距離がΔ
ｘ＝０．６３ｍｍの時の光の波長。
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４．１２６． 波長λ＝０．６０μｍの平面光波が、幅が０．７０ｍｍの長い帯に垂直に入射する。
その後距離１００ｃｍにはスクリーンがある。図４．２４を使用して、回折図の中心における光の強度と幾何学的陰の端における光の強度の関係を求めよ。
４．１２７． 平面単色光波が、長いスリットに垂直に入射する。その後、距離ｂ＝６０ｃｍの所にスクリーンがある。最初、スクリーン上の回折図の中心で、もっとも暗い最小値を観察できるように
スリット幅を設定した。この後、スリットをΔｈ＝０．７０ｍｍだけ広げ、回折図において次の最小値を得た。光の波長を求めよ。
４．１２８． 波長λ＝０．６５μｍの平面光波が、大きなガラス板に垂直に入射する。ガラス板の反対側には幅０．６０ｍｍの長い長方形の穴がある。ガラス板から７７ｃｍ離れているスクリーン上の回折図の中心で、輝度が最大となった。図４．２４を使用して、穴の深さｈを求めよ。
４．１２９． 波長λ＝０．６５μｍの平面光波が、大きなガラス板に垂直に入射する。ガラス板の反対側には段差があり、幅ａ＝０．３０ｍｍの不透明の帯がある。図４．２８参照。ガラス板から距離ｂ＝１１０
ｃｍの所にスクリーンがある。スクリーン上の点２において、光の強度が最大となるように、段差高さｈを選択した。図４．２４を使用して、点１と点２における強度の関係を求めよ。
４．１３０． 波長λ＝０．６０μｍの光波が、長方形スリットに垂直に入射する。スリットの後、距離ｂ＝１６３ｃｍの所に、スクリーンがある。スクリーン上の幾何学的陰の境界の１つを文字Ｐで記する。反対の端から点Ｐを通過する振動の位相差がπ／２に等しいとき、スリットの幅ｘを求めよ。
４．１３１． 図４．２９参照。強度Ｉ ０、波長λ＝０．６０μｍの平面単色光波が、２つのスリットのある遮蔽板に垂直に入射する。ｓ １ ＝０．５１ｍｍ、ｓ ２ ＝１．１９ｍｍ。遮蔽板から距離ｂ＝６０ｃｍの所にあるスクリーン上の回折図の中心における輝度
Ｅを求めよ。
４．１３２． 波長λ＝０．６０μｍの光波がガラス板に垂直に入射している。図４．３０参照。不透明な側に、透明なスリットが開いている。その形状は図に示されている。このスリットから
距離１８７ｃｍ離れているスクリーン上の回折図の中心における輝度は、スリットの深さｈが最小どれだけの時、最大となるか。
ここで、ｓ１＝０．９０ｍｍ、ｓ２＝２．２５ｍｍ。
４．１３３． 波長λの光が幅ｂの長い長方形スリットに垂直に入射する。フランフォーファー回折における光の強度の角度分布を求めよ。また、最小値の角度配置も求めよ。
４．１３４． 単色光が幅ｂ＝１１μｍのスリットに垂直に入射する。スリットの後には、焦点距離
ｆ＝１５０ｍｍの薄いレンズが置いてあり、レンズの焦点面上にスクリーンがある。スクリーン上で、第３次の対称に配置されている最小値部間の距離がｘ＝５０ｍｍの時、光の波長を求めよ。
４．１３５． ？ 波長λ＝０．５０μｍの光が、幅ｂ＝１０μｍのスリットに、スリットの法線に角度θ ０＝３０°で入射する。中心フランフォーファー線の最大値の両側にある最初の最小値の配意
角度を求めよ。
４．１３６． 波長λ＝０．６０μｍの平面光波が、屈折角θ＝１５°を持つガラス製楔の面に垂直に入射する。対面は不透明で、楔の稜線に平行で幅ｂ＝１０μｍのスリットがある。以下を求めよ。
（ａ）ゼロ次のフランフォーファー最大値の方向と、入射光の方向とのなす角度Δθ。（ｂ）ゼロ次の最大値の角度幅。
４．１３７． 単色光が、周期ｄ＝１．０ｍｍの反射回折格子に、接触角度α ０＝１．０°で、入射する。接触角度α＝３．０°の時、２次のフランフォーファー最大値が形成される。光の波長を求めよ。
４．１３８． ３つの同じスリットでできている格子でのフランフォーファー回折により生じる大凡の回折図を描け。スリットの幅に対する、格子の周期の関係が、（ａ）２倍であるとき、（ｂ）３倍であるとき。
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４．１３９． 回折格子において、垂直入射光に対して、波長λ １＝０．６５μｍに対する２次の回
折角度は４５°。λ ２＝０．５０μｍの光において、３次の回折角度を求めよ。
４．１４０． 波長λ＝５３５ｎｍの光が回折格子に垂直に入射する。回折角度３５°とスペクトルの最大次数が５次が、フランフォーファー最大値の１つに対応しているとき、格子の周期を求めよ。
４．１４１． フランフォーファー最大値の一次と２次の間の角度がΔθ＝１５°である。周期ｄ＝２．２μｍの回折格子に垂直に入射している光の波長を求めよ。
４．１４２． 波長５３０ｎｍの光が透明な回折格子に入射する。格子の周期は１．５０μｍ。
（ａ）
垂直に、（ｂ）法線と角度６０°で、光が格子に入射するとき、フランフォーファー最大値が最大次数を形成する格子の法線に対する角度を求めよ。
４．１４３． 波長λ＝０．６０μｍの光が回折格子に垂直に入射する。格子は自身の平らな面上に、平凸で曲率半径Ｒ＝２０ｃｍの円柱レンズを持っている。格子の周期はｄ＝６．０μｍ。このレンズの焦点面上で、対称的に配置されている１次の主最大値間の距離を求めよ。
４．１４４． 波長λ＝０．５０μｍの平面光波が角度θ＝３０どのガラス製楔の面に垂直に入射する。楔の対面には、周期
ｄ＝２．０μｍの透明な回折格子がある。格子の溝は楔の稜線に平行である。入射光線の方向と、主フランフォーファー最大値のゼロ次と一次の方向のなす角度を求めよ。
４．１４５． 波長λの平面光波が位相回折格子に垂直に入射する。回折格子の断面図は図４．３１に示している。回折格子
は屈折率ｎのガラス板製である。中心のフランフォーファー最大値の強度がゼロとなる溝の深さｈを求めよ。この時、一次の最大値に対応する回折角度は幾らとなるか。
４．１４６． 図４．３２に、超音波による光の回折を観測する装置が図解されている。波長λ＝０．５５μｍの平面光波が、水の入っているバットを通過する。水には、振動数ν＝４．７
ＭＨｚの定在超音波が励起されている。水の一様でない周期的構造おける光回折の結果、焦点距離ｆ＝３５ｃｍの対物レンズ
Ｏの焦点面に、回折図形ができる。隣り合う最大値の距離はΔ
ｘ＝０．６０ｍｍ。水中での超音波振動の伝搬速度を求めよ。
４．１４７． 波長λ＝０．６０μｍの光で照射されている幅ｂのスリットが、焦点距離ｆ＝１．５ｍの対物レンズの焦点面上に置いてある。対物レンズの後には、２つの狭いスリットのあるスクリー
ンを配置する。スリットの間隔はｄ＝１．０ｍｍ。２つのスリットで、干渉が観察されるためのスリットの幅ｂを評価せよ。
４．１４８． ２重星の星同士の角度Ψを測るマイケルソン法のために、望遠鏡の対物レンズの前に、２個の狭い平行スリットのある遮光板を置いた。２つのスリットの間隔はｄであり、可変である。ｄを小さくしながら、ｄ＝９５ｃｍの時、対物レンズの焦点面上の回折図様子の最初の低下を観察した。
光の波長をλ＝０．５５μｍとして、Ψを求めよ。
４．１４９． 透明回折格子が周期ｄ＝１．５μｍを有している。波長λ＝５３０ｎｍの光が格子に、（ａ）垂直、（ｂ）法線に対して角度θ ０ ＝４５°、で入射するとき、最大次数の最大値に対応する
角度分散値Ｄを求めよ。
４．１５０． 波長λ＝５５０ｎｍの光が、回折格子に垂直に入射する。回折角θ＝６０°での角度
分散値を求めよ。
４．１５１． 波長λ＝５８９．０ｎｍの光が、周期ｄ＝２．５μｍ、溝の数Ｎ＝１００００本の回折格子に垂直に入射する。２次のフランフォーファー最大値の角度幅を求めよ。
４．１５２． 回折格子への光の垂直入射において、その分解能特性の最大値は値ｌ／λを超えないことを、証明せよ。ここで、ｌは格子の幅、λは光の波長。
４．１５３． ？ 回折格子の例において、レーリー基準にもとずく分解能の２つの最大値の周波数差は、最も限界の干渉振動の通過時間差の逆数の大きさに等しい、ことを示せ。則ち、δν＝１／δｔ。
４．１５４．

波長６００．０００ｎｍ、６００．０５０ｎｍの２つのスペクトル線を含んでいる光- 36 -

が、幅１０ｍｍの回折格子に垂直に入射する。ある回折角度θにおいて、これらのスペクトル線は分解能の限界（レーリー基準で）に達することがわかった。θを求めよ。
４．１５５． 幅ｌ＝６．５ｃｍ、１ｍｍ当りに２００本の溝のある回折格子に、光が垂直に入射する。検査スペクトルは波長λ＝６７０．８ｎｍのスペクトル線を含んでいる。このスペクトル線は波長差δλ＝０．０１５ｎｍの２つの成分からなっている。以下を求めよ。（ａ）幾らの次数で、これらのスペクトル線は分解できるか。（ｂ）領域λ≒６７０ｎｍにおいて、この回折格子が分解できる波長の最小差。
４．１５６． 幅１０ｍｍの回折格子への光の垂直入射において、ナトリウムの黄色線の成分が、スペクトルの５次で初めて分離できた。以下を評価せよ。（ａ）この回折格子の周期。（ｂ）この周期を有している回折格子がいかほどの幅ならば、波長幅が０．１３ｎｍだけ異なっている波長λ＝４６０ｎｍのスペクトル線の２重構造を３次で分離できるか。
４．１５７． 石英分光器の回折格子が幅２５ｍｍ、１ｍｍ当たりの溝の数２５０本である。対物レ
ンズの焦点距離は８０ｃｍであり、焦点面にフィルムが置いてある。光は回折格子に垂直に入射する。
実験中のスペクトルは、波長３１０．１５４ｎｍと３１０．１８４ｎｍの２重線が含まれているダブ
レット線である。以下を定めよ。（ａ）１次と２次のスペクトル線におけるこれらダブレット線のフィルム上での間隔。（ｂ）これらダブレット線は１次、２次のスペクトルで分離できるか。
４．１５８． 焦点距離ｆ＝２５ｃｍの対物レンズの焦点面上に、光で照らされているスリットがある。対物レンズの後には、周期ｄ＝５．０μｍ、溝の数Ｎ＝１０００本の回折格子がある。スリットの幅がいかほどの時、波長λ＝６００ｎｍ近傍において、回折格子の分解性能を最大限に利用できるか。
４．１５９． 平面参照波と、点Ａで回折された物体波の干渉の結果として、点Ａのホログラムが得られる。この点からフィルムまでの距離はｌ＝５０ｃｍ、波長はλ＝６２０ｎｍ。フィルムは参照波の伝搬方向に垂直に配置されている。以下を求めよ。（ａ）明るさが最大値に対応しているホログラ
ムのｋ番目のリング半径。ｋ＝１０としてこの半径を計算せよ。（ｂ）隣り合う最大値間の距離Δｒの、半径ｒに対する依存性。ｒ≪ｌとする。
４．１６０． 小さい物体から距離ｌ＝４０ｃｍ離れているフィルム上に、物体のホログラムを得たい。フィルムには、物体のｄ＝１０μｍの詳細まで記録したい。光の波長はλ＝０．６０μｍ。フィ
ルムの大きさはいかほどでなければならないか。
４．１６１． 三角プリズム分光器において、限界分
解能λ／δλは、プリズムの端（スリットに等価）における光りの回折で決まる。レーリー基準に従い、プリズムが最小の傾斜角度の時、λ／δλ＝ｂ絶対値（ｄｎ／ｄλ）。ここで、ｂはプリズムの基底の幅（図４．
３３参照）、ｄｎ／ｄλはプリズムの分散。この式を導け。
４．１６２． 分光器の３角プリズムがガラスでできている。ガラスの屈折率ｎは、ｎ＝Ａ＋Ｂ／λ ２に従って光の波長に依存している。ここで、ＡとＢは定数、特に、Ｂはλがμｍ単位の時、Ｂ＝０．０１０μｍ ２ 。前問の式を利用して以下を求めよ。（ａ）λに対するプリズムの分解能依存性。プリズムの基底の長さをｂ＝５０．ｃｍとして、λ １＝４３４ｎｍ、λ２＝６５６ｎｍ近傍におけるλ／δλを計算せよ。（ｂ）ナトリウムの黄色の２重線（５８９．０ｎｍ、５８９．６ｎｍ）を分解できるためのプリズムの基底の長さ。
４．１６３． １０００本の溝を有する回折格子と２次スペクトルと同じ分解能とするためには、分散絶対値（ｄｎ／ｄλ）＝０．１０／μｍを有する３角プリズムの基底長は幾らとすべきか。
４．１６４． 対物レンズの直径がＤ＝５．０ｃｍの望遠鏡がある。望遠鏡の対物レンズの分解能と、望遠鏡から距離ｌ＝３．０ｋｍにある２点の最小間隔を求めよ。光の波長はλ＝０．５５μｍとする。
４．１６５． 直径５．０ｍの鏡を有する反射望遠鏡で分解できる、月面上の２つの点の最小距離を求めよ。光の波長はλ＝０．５５μｍとする。
４．１６６． 対物レンズの焦点面に、遠方の点光源の回折像が形成されている。対物レンズを、同じ焦点距離であるが、直径を２倍とする。像の中心の明るさはどうなるか。
４．１６７． 波長λ＝０．６μｍの平面光波が、焦点距離ｆ＝４５ｃｍの理想的な対物レンズに垂直に入射する。対物レンズの開口直径はｄ＝５ｃｍ。反射による光の損失を無視して、対物レンズに- 37 -

入射した光の強度Ｉ ０に対する、対物レンズの焦点における光の強度Ｉの関係を評価せよ。
４．１６８． 観察者の瞳の直径がｄ０＝４．０ｍｍ。対物レンズの分解能を最大限に生かせる、対物レンズの直径Ｄ＝５．０ｃｍの望遠鏡の倍率の最小の大きさを見積もれ。
４．１６９． 対物レンズの開口数がｓｉｎα＝０．２４の顕微鏡がある。ここで、αは対物レンズの枠に入射する光線円錐の母線の半角。波長λ＝０．５５μｍの光で物体を最適に照射したとき、この顕微鏡の最小分解距離を求めよ。
４．１７０． 対物レンズの開口数がｓｉｎα＝０．２４である顕微鏡の最小倍率を求めよ。目の瞳
直径がｄ０＝４．０ｍｍの時、この対物レンズの分解能は最良とする。
４．１７１． 波長λのＸ線が、周期ａの散乱中心からなる線形の鎖に、６０．０°の傾斜角度入射する。λ＝（２／５）ａの時、全ての回折最大値に対応する傾斜角度を求めよ。
４．１７２． 波長λ＝４０ｐｍのＸ線が散乱中心からできている平面正方形格子に垂直に入射する。
格子から距離ｌ＝１０ｃｍ離れている平面スクリーンに回折最大スポットグラフを与えている。図４．
３４参照。Ｘ軸とＹ軸方向の格子の周期ａとｂを求めよ。対称的に分布している２次の最大値スポット間の距離はＸ軸方向にΔｘ＝６０ｍｍ、Ｙ軸方向にΔｙ＝４０ｍｍである。
４．１７３． Ｘ線が３次元立方体格子に入射する。その周期はａ，ｂ，ｃ。入射線の方向は格子の周期ａの方向と一致している。回折
最大値が観察される方向と波長を求めよ。
４．１７４． 細いＸ線が、ＮａＣｌ単結晶の１つの面に対して傾斜角度α＝６０．０°で入射する。ＮａＣｌの密度はρ＝２．１６
ｇ／ｃｍ ３ 。この面での鏡面反射により、２次の最大値スポットが形成される。Ｘ線の波長を求めよ。
４．１７５． 波長λ＝１７４ｐｍのＸ線が、単結晶表面に入射する。結晶は、その面に平行で、入射Ｘ線方向に対して垂直な軸の周りに回転される。このようにすると、単結晶の面に平行な面群に対して、２次と３次の最大値における方向は、お互いに角度α＝６０°となる。対応する面間距離を求めよ。
４．１７６． 波長λ＝１７．８ｐｍのＸ線が、多結晶試料を通過し、試料から距離ｌ＝１５ｃｍ離れているスクリーン上に、回折リングを形成する。面間隔ｄ＝１５５ｐｍの面群に対する反射の２次に対応している明るいリングの半径を求めよ。
４．４．

光の偏光

●偏向面−光の電界ベクトルＥが振動している面。
●偏向子の通過平面−光の電界ベクトルの振動が自由に通過できる面。
●マリュスの法則（４．４ａ）
Ｉ＝Ｉ ０ｃｏｓ２φ●光の偏光度（４．４ｂ）
Ｐ＝（Ｉ最大−Ｉ最小）／（Ｉ最大＋Ｉ 最小）●ブリュースター法則（４．４ｃ）
ｔａｎθＢ＝ｎ２／ｎ１●２つの誘電体境界で反射する光の強度に関するフレネルの式
Ｉ⊥ ＝Ｉ ⊥・ｓｉｎ２（θ１−θ２）／ｓｉｎ２（θ１＋θ２）、Ｉ‖ ＝Ｉ ‖・ｔａｎ２（θ１−θ２）／ｔａｎ２（θ１＋θ２）（４．４ｄ）
は入射光の強度。光の電界ベクトルの振動が、各々入射面に垂直と、平行に対
ここで、Ｉ ⊥ とＩ ‖応している。
●２枚の偏向子Ｐ、Ｐ の間の結晶板。偏向しＰの通過面と、結晶板の光学軸ＯＯ の間の角度が４５°ならば、偏向しＰ を通過した光の強度Ｉ は、以下の条件下で、最大、最小となる。
偏向子ＰとＰ
δ＝２πｋ
δ＝（２ｋ＋１）πＩ‖ ＝最小平行Ｉ‖ ＝最大Ｉ⊥ ＝最大交差
Ｉ⊥ ＝最小ここで、δ＝２π（ｎｏ−ｎｅ）は常光線と異常光線の間の位相差。ｋ＝０，１，２，・・・。
●偏向面の自然回転と磁場回転φ自然＝αｌ、
φ磁場＝ＶｌＨ（４．４．ｅ）
ここで、αは回転定数（溶液の場合、α＝［α］ｃ、ここで、［α］は回転定数比、ｃは活性物質の濃度）、Ｖはベルデの定数。
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４．１７７． 強度Ｉ ０の平面単色光波が、接触している２枚のポラロイド板（偏光板）系に垂直に入射する。ポラロイドの通過面は相互に直交している。スクリーン上の回折図の大凡の様子を描け。
回折図の中心における光の強度はいくらか。
４．１７８． ？ 強度Ｉ ０の平面単色光波が、円形穴に垂直に入射する。円形穴は観察点Ｐに対して、フレネルの第一ゾーンに対応している。穴を２枚の同形の偏光板で覆ったとき、点Ｐにおける光の強度を求めよ。偏光板の通過面はお互いに直交している。以下の場合について考察せよ。偏光板の分割の境界が、（ａ）穴の直径に沿っている、（ｂ）フレネルゾーンの最初の半分（？）を制限している円に沿って。
４．１７９． 線形偏光光束が偏光板に入射する。偏光板は光束の軸の周りに角速度ω＝２１ラジア
ン／ｓで回転している。１回転当たりに、偏光板を通過する光のエネルギーを求めよ。入射光束のエ
ネルギー流はΦ０＝４．０ｍＷとする。
４．１８０． ある偏光板への自然光の入射において、光束のη １＝３０％が通過する。が、２つの同じ偏光板を通過するのはη ２＝１３．５％である。これら偏光板の通過面間の角度φを求めよ。
４．１８１． 自然光束がＮ＝６枚の偏光板でできている系に入射する。各々の偏光板の通過面は前者の偏光板の通過面に対して角度φ＝３０°回転している。光束のいかほどの部分がこの系を通過するか。
４．１８２． 連続して配置されている３枚の偏光板に自然光が入射する。中間の偏光板の通過面は２つの他の偏光板の通過面と角度φ＝６０°をなしている。各々の偏光板は、直線偏光した光が偏光板に入射すると、透過係数の最大値がτ＝０．８１となる吸収特性を有している。これら３枚の偏光板を通過した光の強度はいかほどとなっているか。
４．１８３． 部分的に偏光された光の偏光度がＰ＝０．２５。自然光成分に対する。この光の偏光成分の強度の関係を求めよ。
４．１８４． 自然光の細いビームが、光学的に等方な分子からできている気体中を通過する。ビー
ム方向に対して角度θ方向に散乱された光の偏光度を求めよ。
４．１８５． 部分的に偏光されている光の経路中に、偏光板を置いた。透過光が最大になっている状態から偏光板を角度φ＝６０°回転すると、透過光の強度はη＝３．０倍小さくなった。入射光の偏光度を求めよ。
４．１８６． 自然光の経路中に、２枚の不完全な偏光板を置いた。偏光板の透過面の平行配置の時は、交差配置の時より、透過光強度はη＝１０．０倍おおきい。（ａ）各々の偏光板を独立して使用したとき、（ｂ）偏光板の透過面を２枚とも同じとしたとき、透過光の偏光度を求めよ。
４．１８７． フレネルの公式を用いて、誘電体表面で反射された光は、入射角θ１がｔａｎθ１＝ｎの条件を満たすならば、完全に偏光する、ことを証明せよ。ここで、ｎは誘電体の屈折率。この時、反射光と屈折光の間の角度はいくらか。
４．１８８． 部分的に偏光している光が、ブリュースター角度で、等方的な誘電体表面に入射する。
光のρ分が反射され、屈折光は自然光であるとき、偏光度を求めよ。
４．１８９． 自然光が、等方的な誘電体の表面に、ある角度で入射する。この時、光束のρ分が偏光度Ｐでもって反射される。屈折光の偏光度Ｐ を求めよ。
４．１９０． 自然光がブルースター角度で、ガラス表面に入射する。フレネルの公式を使用して、以下を求めよ。（ａ）反射率。（ｂ）屈折光の偏光度。
４．１９１． 強度Ｉ ０ の自然光束が、ブリュースター角度で素面に入射する。この時、光束のρ＝０．０３９が反射される。屈折した光束の強度を求めよ。
４．１９２．
平面偏光光線が、ブルースター角度で水面に入射する。
その偏光面は入射面と角度φ＝４５°をなしている。反射率を求めよ。
４．１９３． 自然光の細いビームがブルースター角度で、厚い透明な平行平板に入射する。図４．
３５参照。この時、光束のρ＝０．０８０分が上面で反射される。光束１，２，３，４の部分における偏光度を求めよ。
- 39 -

４．１９４． 強度Ｉ０の細い平面偏光波が、ブルースター角度で、平板ガラス板に入射する。図４．
３５参照。光波の偏光面は入射面に垂直である。フレネルの公式を用いて、透過光の強度Ｉ ４を求めよ。
４．１９５． 細い自然光束が、ブルースター角度で、平板ガラス板に入射する。図４．３５参照。
フレネルの公式を用いて、ガラス板を通過した光束４の偏光度を求めよ。
４．１９６． 細い自然光束が、ブルースター角度で、Ｎ枚の厚いガラス板でできているストレトフ堆に入射する。以下を求めよ。（ａ）透過光束の偏光度Ｐ。（ｂ）Ｎ＝１，２，５，１０のときのＰの値。
４．１９７．

自然光が水面に垂直に入射する。反射率をフレネルの公式から求めよ。

４．１９８． Ｎ＝５枚のレンズを面合わせで連続配置したレンズ系において、近軸光線の通過において、反射による光束の相対的損失を求めよ。レンズの各々の面での反射率はρ＝４．０％。２次反射は無視する。
４．１９９． 強度Ｉ ０の光が、理想的な透明板に垂直に入射する。板の表面での反射率はρ＝５．
０％とする。多重反射を考慮して、板を通過する光の強度Ｉを求めよ。２重反射を考慮しないで得られるＩと、相対的な誤差はいくらとなるか。
４．２００． 光波がガラスの表面に垂直に入射する。ガラスの表面は薄い透明な物質で覆われている。２次反射を無視して、薄膜層の両面で反射された光波は、条件ｎ ＝ｎ １／２の時、同じである、ことを示せ。ここで、ｎ、ｎ は薄膜層とガラスの屈折率。
４．２０１． ガラスの表面に、自然光が入射する。入射角度は４５°。以下の場合における偏光度を、フレネルの公式を用いて求めよ。（ａ）反射光。（ｂ）屈折光。
４．２０２． 正の一軸性結晶中を、常光線と異常光線が伝搬するとき、光学軸が以下の場合について、波頭と方向について、ホイヘンスに従って図解せよ。（ａ）入射面に垂直で、結晶の表面に平行。（ｂ）
入射面内にあり、結晶の表面に平行。（ｃ）入射面内にあり、結晶の表面と角度４５°をなしており、光学軸に垂直に入射。
４．２０３． 波長λ＝５８９ｎｍの細い自然光束が、図４．３６に示しているように、透明な方解石でできているボラストンプリズムの表面に垂直に入射する。プリズムの両方の部分の光学軸は相互に直交している。角度θ＝３０°の時、プルズムを通過した後の２つの光束のなす角度αを求めよ。
４．２０４． 平面電磁波の伝搬方向に垂直にＸ軸とＹ軸を取り、それらの方向への電界強度ベクト
ルＥの射影が以下の式で与えられる通りである。平面電磁波はどのような偏光特性を有しているか。
（ａ）Ｅ ｘ ＝Ｅｃｏｓ（ωｔ−ｋｚ）、Ｅ ｙ＝Ｅｓｉｎ（ωｔ−ｋｚ）。（ｂ）Ｅ ｘ＝Ｅｃｏｓ（ωｔ−ｋｚ）、Ｅ ｙ＝Ｅｃｏｓ（ωｔ−ｋｚ＋π／４）。（ｃ）Ｅ ｘ＝Ｅｃｏｓ（ωｔ−ｋｚ）、Ｅ ｙ＝Ｅｃｏｓ（ωｔ−ｋｚ＋π）。
４．２０５． 部分的に偏光している光の経路中に偏光板を置いた。偏光板を回転すると、光の最小強度はＩ０であることがわかった。偏光板の前に、その光学軸が偏光板の通過面に対して角度４５°をなして、４分の１波長板を置く。偏光板を通過した後の光の強度はηＩ ０となる。ここで、η＝２．
０。入射光の偏光度を求めよ。
４．２０６． 厚みが０．５０ｍｍを超えない石英板に、平行な光学軸を準備したい。直線偏光している波長λ＝５８９ｎｍの光がこの石英板を通過した後、（ａ）偏光面の回転だけで済む場合、（ｂ）
円偏光となる場合、について板の厚さの最大値を求めよ。
４．２０７． ？ 光学軸に平行に切断されている石英板を、交差している２枚の偏光板の間に置いた。偏光板の透過面と石英板の光学軸の間の角度は４５°。石英板の厚さはｄ＝０．５０ｍｍ。この光学系を通過した光の強度は、０．５０÷０．６０μｍの波長間隔で、どのような波長の時、後の偏光板の回転に依存しないか？ この波長間隔において、常光線と異常光線の屈折率差はΔｎ＝０．０
０９０とする。
４．２０８． 白色自然光が、交差している２枚の偏光板に入射する。偏光板に間には、光学軸に平行に切り出した厚さ１．５０ｍｍの石英板がある。石英板の軸は偏光板の透過面と角度４５°をなしている。これらの系を通過した光は、分光器に入る。波長間隔０．５５÷０．６６μｍに幾つの黒帯- 40 -

が観察されるか。この波長間隔において、ｎ常−ｎ異常＝０．００９０とする。
４．２０９． 光学軸に平行に切断した結晶板が、厚さが０．２５ｍｍ、波長λ＝０．５３μｍの４分の一波長板である。この結晶板は、もう１つの可視光領域のどの波長に対して４分の一波長板として機能するか。可視光の全ての波長に対して、ｎ ｅ−ｎ ｏ＝０．００９０と見なす。
４．２１０． 光学軸に平行に切り出した石英板を、２枚の交差している偏光板の間に置いた。石英板の光学軸は、偏光板の透過面と角度４５°をなしている。波長λ １＝６４３ｎｍの光は、石英板の厚さがいくらの時、この系を通過したときの強度が最大となり、λ ２＝５６４ｎｍの光では最も弱くなるか。ｎｅ−ｎ ｏ＝０．００９０とする。
４．２１１． ２枚の交差している偏光板の間に、屈折角θ＝３．５°の石英製楔を置いた。楔の光
学軸は楔の稜に平行であり、偏光板の透過面と角度４５°をなしている。この系を、波長λ＝５５０ｎｍの光の通過により生じる干渉縞を観察する。各縞の幅はΔｘ＝１．０ｍｍ。使用した光の波長に対する石英の差ｎｅ−ｎｏを求めよ。
４．２１２． 平面Ｐで偏光された強度Ｉの単色光が、光学軸に平行に切断されている結晶板に垂直に入射する。Ｐと、この光学軸との間の角度は４５°。結晶板の後には、偏光板が置かれている。その透過面はＰ 。結晶板が、常光線と異常光線との間の位相差δをもたらすとして、偏光板を通過した後の光の強度を求めよ。以下の場合について考察せよ。（ａ）Ｐ ‖Ｐ。（ｂ）Ｐ ⊥Ｐ。
４．２１３． 単色円偏光波が、光学軸に平行に切り出された結晶弁に垂直に入射する。結晶板の後には、偏光板が置いてあり、その透過面は結晶板の光学軸と角度φをなしている。この系を通過した
光の強度Ｉは、（１＋ｓｉｎ２φｓｉｎδ）に比例することを示せ。ここで、δは結晶板による常光線と異常光線の間の位相差。
４．２１４． 偏光板と、正の一軸性結晶でできた４分の１波長板を使用して、（ａ）左円偏光と右円偏光をどのようにして識別できるか。（ｂ）円偏光に対しての自然光の識別、円偏光を含んでいる
自然光と自然光の識別をどのようにしてできるか。
４．２１５． 波長λの光が交差している偏光器Πと分析器Ａで出来ている系に入射する。ΠとＡの間にはバビネ（？）の補償器Ｋがある。図４．３７参照。補償器は２枚の楔型石
英から出来ている。１つの楔の光学軸は楔の稜に平行で、もう１つの楔の光学軸は楔の稜に垂直である。偏光板と分析器の通過面は補償器の光学軸と角度４５°をなしている。楔の屈折角度θ（≪１）と石英の屈折率の差ｎ ｅ −ｎ ｏ は概値とする。試験する複屈折率の試料Ｏを挿入する（この試料の光学軸は図に示している向きとする）と、干渉縞は上方にδｘだ
け移動した。以下を求めよ。（ａ）干渉縞の幅Δｘ。（ｂ）試料Ｏ中における常光線と異常光線光学経路差の大きさと符号。
４．２１６． 強度Ｉ ０の平面単色光波が、光学的に活性な物質で出来ている透明円板に垂直に入射する。この円板は、観察点Ｐに対して、フレネル帯の１．５の部分だけが隠し、偏光面を９０°だけ回転している。反射と吸収を無視して、点Ｐにおける光の強度を求めよ。
４．２１７． 波長λ＝５９０ｎｍの光の右円偏光と左円偏光に対する石英の屈折率の差を、付録の表を用いて求めよ。
４．２１８． 波長λ＝０．５９μｍの平面偏光波が、屈折角度θ＝３０°の石英プリズムに入射する。図４．３８参照。プリズム中を、光は細線で示している方向に、光学軸に沿って伝搬する。偏光板Ｐの後で、明暗の縞模様を観察する。縞の間隔はΔｘ＝１４．２ｍｍ。偏光板の後の光の強度分布特性が同じとなる、石英の回転角度を求めよ。
４．２１９． 波長６５６ｎｍの自然光が２枚の交差している偏光板に入射する。偏光板の間には、光学軸に対して垂直に切り出した石英板が入っている。石英板が如何ほどの最小の厚さにおいて、光束のη＝０．３０が通過するか。
４．２２０． 交差している偏光板を光が通過する。偏光板の間には光学軸に垂直に切り出された石英板が位置している。石英板が最小幾らの厚さの時、波長λ １＝４３６ｎｍの光が完全に遮光され、波長λ２＝４９７ｎｍの光が半分通過するか。
４．２２１．

波長λ＝５８９ｎｍの平面偏光波が、円柱ガラス容器の軸に沿って伝搬する。容器内- 41 -

は濃度５００ｇ／リットルの砂糖の溶液で少し濁っている。側面から観察すると、螺旋状の帯が見えた。軸に沿っての隣り合う暗帯間の距離は５０ｃｍ。帯の成因を説明し、溶液の比旋光度を求めよ。
４．２２２． ２枚の交差している偏光板の間に、カーセルを置く。コンデンサ内の電界強度Ｅの方
向は偏光板の透過面と角度４５°をなしている。コンデンサは長さｌ＝１００ｍｍで、ニトロベンゼ
ンで満たされている。波長λ＝０．５０μｍの光が系を通過する。カー定数をＢ＝２．２×１０ −１０ｃｍ／Ｖ ２ と見なして、以下を求めよ。（ａ）この系を通過した光の強度が、後の偏光板の回転に依存しない時のコンデンサ中の最小電界強度Ｅ。（ｂ）コンデンサに、周波数ν＝１０ＭＨｚ、電界強度振幅Ｅｍ＝５０ｋＶ／ｃｍの正弦波電圧を印加したとき、１秒間当たりの光の遮断回数。
注釈 カー定数とは式ｎｅ−ｎｏ＝ＢλＥ２における係数Ｂのことである。
４．２２３． 角振動数ωである単色平面偏光波が、磁界強度Ｈの一様な磁場に沿って物質中を通過する。光中の右円偏光と左円偏光の屈折率の差を求めよ。ベルデ定数はＶ。
４．２２４． ２枚の偏光板の間に置かれたソレノイドの縦磁場中にある物質を置いた。物質の入っているパイプの長さはｌ＝３０ｃｍ。磁界強度Ｈ＝５６．５ｋＡ／ｍ下で、場のいち方向に対して、偏光面の回転角度はφ １＝＋５°１０ 、場の反対方向に対して、φ ２＝−３°２０ であった。ベルデ定数を求めよ。
４．２２５． 細い平面偏光波束が、図４．３９に示しているように、縦磁場中にある正の右旋光物質中を通過する。物
質の入っているパイプの長さがｌ、物質の旋光定数がα、ベルデ定数がＶ、磁界強度はＨ。通過した光束の偏光面の回転角度を求めよ。
４．２２６． ベンゼンの入っている長さｌ＝２６ｃｍのパ
イプが、ソレノイドの縦磁界中にある。ソレノイドな２枚の偏光板の間にある。偏光板の通過面間の角度は 45 °。波長５８９ｎｍの光が一方向にのみこの系を通過する（光学弁）、最小の磁界強度を求めよ。磁界の向きを逆にすると、この光学弁はどのような働きをするか。
４．２２７． 円偏光波で照射された物体に回転モーメントが付与される、という実験がある。サダ
フスキー効果である。真空中を伝達している光は運動量を持っており、その密度はＭ＝Ｉ／ω。ここで、Ｉは光の強度、ωは振動の円振動数。波長λ＝０．７０μｍの円偏光波が、質量ｍ＝１０ｍｇの
一様な黒い円板に垂直に入射するものとしよう。黒い円板は自身の軸の周りに自由に回転できる。Ｉ＝１０Ｗ／ｃｍ２としたら、角速度がω０＝１．０ラジアン／ｓとなるまでにどれだけの時間がかかるか。
４．５．

光の分散と吸収●物質の誘電率は分散の基本理論に合致している。
ε＝１＋（ｎｅ２／ｍε０）／（ω ０２−ω２）
ここで、ｎは固有振動数ω０を持つ電子の濃度。
●物質の屈折率と、物質の誘電率の間の関係
ｎ＝ε １／２●位相速度ｖと群速度ｕｖ＝ω／ｋ、
ｕ＝ｄω／ｄｋ●レーリーの公式（λは媒質中の光の波長）
ｕ＝ｖ−λ（ｄｖ／ｄλ）●細い電磁放射流の減衰の法則
Ｉ＝Ｉ ０ｅ −μｄ
ここで、μ＝κ＋κ 、μは線形減衰率、κは吸収率、κ

（４．５ａ）（４．５ｂ）（４．５ｃ）（４．５ｄ）（４．５ｅ）
は散乱率

４．２２８． 振動数ωの電磁波が希薄プラズマ中を伝搬する。プラズマ中の自由電子の濃度はｎ０。
プラズマのイオンと電磁波との相互作用は無視して、以下を求めよ。（ａ）振動数に対する誘電率。
（ｂ）プラズマ中の波長λの位相速度。
４．２２９． 振動数がν＝１００ＭＨｚのラジオ波に対して、その屈折率がｎ＝０．９０であるイ
オン圏中の自由電子濃度を求めよ。
４．２３０． 十分に硬いＸ線に対して、物質中の電子は自由と見なせる。この考えでもって、波長λ＝５０ｐｍのＸ線に対して、グラファイトの屈折率は、１からどれだけ異なっているか。
４．２３１． 疑似弾性力ｋ ｘと摩擦力γｄｘ／ｄｔを受ける電子が、電磁放射場中にある。場の電界成分は時間と共にＥ＝Ｅ ０ｃｏｓωｔに従って変化する。場の磁場成分の作用は無視して、以下を- 42 -

求めよ。（ａ）電子の運動方程式。（ｂ）電子によって吸収される仕事率。それが最大となる振動数。
最大平均仕事率の表現式。
４．２３２． 誘電率が複素数や負数で表される場合があり、屈折率は対応した複素数ｎ ＝ｎ＋ｉκとなる。この場合における平面波の方程式を記述せよ。このような屈折率の物理的意味を説明せよ。
４．２３３． 色々な振動数のラジオ波による希薄プラズマの研究において、振動数ν＜ν ０＝４０
０ＭＨｚのラジオ波はプラズマ中を伝搬しないことがわかった。このプラズマ中の自由電子密度を求めよ。
４．２３４． 群速度ｕ＝ｄω／ｄｋから、レーリーの公式（ｕ＝ｖ−λ（ｄｖ／ｄλ））を求めよ。
λ＝λ 近傍でのｕの値は曲線ｖ（λ）の点λ における接線のｖの切り取り値に等しいことを示せ。
図４．４０参照。
４．２３５． 次の分散式に従っている群速度ｕと位相速度ｖの間の依存性を見いだせ。（ａ）ｖ∽１／λ １／２ 。（ｂ）ｖ∽ｋ。（ｃ）ｖ∽１／ν２。ここで、λ、ｋ、νは波長、波数、振動数。
４．２３６． ある媒質において、電磁波の群速度と位相速度の間の関係が、ｕｖ＝ｃ ２である。ここで、ｃは真空中の光速度。この媒
質の誘電率の、波の振動数に対する依存性を見いだせ。
４．２３７． 二硫化炭素の光に対する屈折率は波長λ＝５０９ｎｍ、５３４ｎｍ、５８９ｎｍに対して各々１．６４７，１．６４０、
１．６３０である。波長λ＝５３４ｎｍ近傍における光の位相速度と群速度を求めよ。
４．２３８． 平面光波パルスが、媒質中を位相速度が波長に線形的に依存するように伝搬する。つまり、ｖ＝ａ＋ｂλ。ここで、ａ，ｂは任意の正定数。このような媒質中では、任意の光パルスの形
状は時間間隔τ＝１／ｂ後に回復することを示せ。
４．２３９． 強度Ｉ ０の自然光束が２枚の交差している偏光板に入射する。偏光板の間には光学的に不活性の溶液の入っているパイプがあり、磁界強度Ｈの縦磁場がかかっている。パイプの長さはｌ、溶液の線形吸収率はκ、ベルデ定数はＶ。反射を無視して、この系を通過した光の強度を求めよ。
４．２４０． 強度Ｉ ０の平面単色光波が、線形屈折率κを有する厚さｄの板に垂直に入射する。板の各々の表面での反射率はρ。以下の場合において、透過光の強度を求めよ。（ａ）２次反射を無視する。（ｂ）多重反射を考慮する。
４．２４１． ある材料から、２つの板を準備した。１枚の厚さはｄ １＝３．８ｍｍ、もう１枚の厚さはｄ２＝９．０ｍｍ。単色光束中にこれらの板を順に入れた。最初の板は光束のτ １＝０．８４を通過させ、２番目の板はτ ２＝０．７０を通過させる。この材料の線形吸収率を求めよ。光は垂直に入射する。２次反射は無視する。
４．２４２． 同じ板Ｎ＝５枚重ねを光束が通過する。板１枚の厚さはｌ＝５．０ｍｍ。角表面での反射率はρ＝０．０５０。これらの系を通過した光の強度の、入射光強度に対する関係はτ＝０．５５。２次反射を無視して、ガラスの線形屈折率を求めよ。
４．２４３． 厚さｌの板の表面に、光が垂直に入射する。板の物質の吸収率は板の表面の法線に沿って、κ１からκ ２まで線形的に変化する。板の両表面の反射率はρ。２次反射を無視して、板の透過率を求めよ。
４．２４４． 強度Ｉ ０の光束が、厚さｌの透明板に垂直に入射する。光束には、波長λ １からλ ２までの帯域の全ての光の波長が含まれており、かつこれら全ての波長の強度は同じである。板の屈折率は波長λに依存しており、κ１からκ ２まで線形的に変化する。板の両表面における反射率は同じでρ。
２次反射は無視する。透明板を通過した光束の強度を求めよ。
４．２４５． 線形吸収率を持っている厚さｄの光フィルターがある。吸収率は波長に依存しており、
κ＝α（１−λ／λ ０）である。ここで、αとλ ０は定数。バンド端における光の減衰量が、波長λ ０の端より、η倍だけおおきくなる、この光フィルターの透過バンド幅Δλを求めよ。
４．２４６． 光量Φを放射している等方的点光源が、内半径がａ、外半径がｂの球殻状物質の中心に位置している。物質の線形吸収率はκ、表面の反射率はρ。２次反射を無視して、この球殻を通り抜けた光の強度を求めよ。
- 43 -

４．２４７． 波長２０ｐｍの細いＸ線束の強度は、厚さｄ＝１．０ｍｍの鉛板を通過したとき何倍弱くなるか。この波長での減衰率はμ／ρ＝３．６ｃｍ２／ｇ。
４．２４８． 波長６２ｐｍのＸ線束が厚さ２．６ｃｍのアルミ板を通過する。同じＸ線で、同じ程度に透過を弱めるためには、鉛ならば幾らの厚さでよいか。この波長でのアルミニュームと鉛の減衰率は各々３．４８ｃｍ２／ｇ、７２．０ｃｍ２／ｇ。
４．２４９． 単色Ｘ線束を半分に弱めるために必要なアルミ板の厚さを求めよ。アルミニュームの減衰率は０．３２ｃｍ２／ｇ。
４．２５０．

Ｘ線束の強度をη＝５０倍減衰させるためには、半減板が何枚必要か。

- 44 -

第５部
５．１．

量子物理

電磁放射の粒子的性質●光子のエネルギーと運動量ε＝（ｈ／２π）ω≡ｈ〜ω、 ｐ＝ｈ 〜ω／ｃ
●光電効果に関するアインシュタインの公式
ｈ〜ω＝Ａ＋Ｋ最大●波長のコンプトン変位
Δλ＝λＣ（１−ｃｏｓθ）
ここでλＣ＝２ｈ／ｍｃで、粒子のコンプトン波長（５．１ａ）（５．１ｂ）（５．１ｃ）

５．１． 点光源が波長λ＝５８９ｎｍの光を放射する。その仕事率はＰ＝１０Ｗ。以下を求めよ。
（ａ）光源から距離ｒ＝２．０ｍにおける光子流の平均密度。（ｂ）光子の平均密度がｎ＝１００／
ｃｍ３である点の光源からの距離。
５．２． 波長が０．５０μｍ、０．２５ｎｍ、４．０ｐｍの光子の運動量を、単位ｅＶ／ｃで求めよ。ここで、ｃは光速度。
５．３． 幾らの波長の光子において、その運動量が、運動エネルギーＫ＝０．３０ＭｅＶを有している電子の運動量と等しくなるか。
５．４．

波長λ＝５．０ｐｍの光子の運動量に等しい運動量を持つ電子の速度を求めよ。

５．５． 光の粒子モデルを使い、単位時間に平面光束によって運ばれる運動量は、そのスペクトル成分には依存せず、エネルギー流Φエネルギーだけで定まる。ことを証明せよ。
５．６． レーザーが、長さτ＝０．１３ｍｓの光パルスを放射する。そのエネルギーはＥ＝１０Ｊである。この光パルスを直径ｄ＝１０μｍに絞り、反射率ρ＝０．５０の表面に焦点させたとき、この表面の受ける光パルスの平均圧力を求めよ。
５．７． エネルギーＥ＝７．５Ｊの短い光パルスが、細い平行光線束として、反射率ρ＝０．６０のガラス板に入射する。入射角度はθ＝３０°。ガラス板に与える運動量を求めよ。
５．８． 強度Ｉ＝０．２０Ｗ／ｃｍ ２の平面光波が、反射率ρ＝０．８の平面鏡の表面に入射する。
入射角度はθ＝４５°。粒子モデルを用いて、光がこの表面に与えている垂直の圧力値を求めよ。
５．９． 強度Ｉ＝０．７０Ｗ／ｃｍ ２の平面光波が、完全鏡平面を有している球を照らす。球の半径はＲ＝５．０ｃｍ。粒子モデルを用いて、球に及ぼしている光圧を求めよ。
５．１０． 円形の完全反射鏡板の軸上に、点光源がある。その強度はＰ。点光源と反射鏡間の距離
は反射鏡の半径よりη倍おおきい。光の粒子モデルで、反射鏡が受ける光の圧力を求めよ。
５．１１． Ｋ観測系で、振動数ωの光子が鏡に垂直に入射する。鏡は相対論的速度Ｖで、光子に向かって進んでいる。光子の反射において、鏡が受ける運動量を、以下の場合において求めよ。（ａ）
鏡に連結している観測系において。（ｂ）Ｋ観測系において。
５．１２． 質量ｍ＝１０ｍｇの小さな理想的な反射鏡を、長さｌ＝１０ｃｍの重さのない糸で吊す。
鏡の法線に沿って、水平方向に、エネルギーＥ＝１３Ｊを持つレーザ放射の短いパルスで、鏡を撃つ。
糸が傾く角度を求めよ。
５．１３． 振動数ω ０の光子が、質量Ｍ、半径Ｒの恒星の表面から放射される。この恒星からだいぶ遠方において、光子の振動数の重力による変位量Δω／ω０を求めよ。
５．１４． Ｘ線管の加電圧を、η＝１．５倍だけ大きくすると、連続Ｘ線スペクトルの短波長側限界波長がΔλ＝２６ｐｍだけ変化した。Ｘ線管の最初の電圧を求めよ。
５．１５． 細いＸ線束がＮａＣｌ単結晶に入射する。間隔ｄ＝０．２８ｎｍの結晶面系での鏡面反射が最小斜入射角度α＝４．１°で観測された。Ｘ線管の電圧はいくらか。
５．１６．

真空管の反カソードに、速度ｖ＝０．８５ｃで、電子が到達するとき、Ｘ線スペクトル- 45 -

の短波長限界波長を求めよ。
５．１７． 減速Ｘ線放射スペクトル中のエネルギー分布は、Ｉλ∽（λ／λ ｋ−１）λ３であるとみなす。ここで、λ ｋはスペクトルの短波長限界波長。関数Ｉ λの最大値が波長λ ｍ＝５３ｐｍに対応するものとして、Ｘ線管の電圧を求めよ。
５．１８． 金属亜鉛の光電効果限界波長を求めよ。波長２５０ｎｍの電磁波によって、亜鉛の表面から飛び出す電子の最大速度を求めよ。
５．１９． ある金属の表面を、波長λ１＝０．３５μｍ、λ２＝０．５４μｍの光で順次照射すると、
光電子の最大速度がお互いにη＝２．０倍異なっていた。この金属の表面からの脱出エネルギーを求めよ。
５．２０． 波長λ＝１４０ｎｍの光の照射で、他の物体から離れている銅製球はいかほどのポテン
シャルエネルギーまで帯電するか。
５．２１． 電磁波の電界成分の電界強度が式Ｅ＝ａ（１＋ｃｏｓωｔ）ｃｏｓω ０ｔに従って変化する電磁波の照射によってリチウム金属表面から飛び出す光電子の最大運動エネルギーを求めよ。こ
こで、ａは定数、ω＝６．０×１０１４／ｓ、ω０＝３．６０×１０１５／ｓ。
５．２２． 波長λ＝０．３０μｍの電磁放射が光電素子に入射する。この光電素子の感度はＪ＝４．
８ｍＡ／Ｗ。入射光当たりの脱出光電子数を求めよ。
５．２３． 電極がセシウム金属と銅金属で出来ている真空用光素子がある。セシウム金属を波長０．
２２μｍの電磁波で照射したとき、銅金属に到達する光電子の最大速度を求めよ。電極同士は外部で短絡されているとする。
５．２４． 波長２６２ｎｍの電磁放射で亜鉛電極を照射したとき真空光素子回路中を流れていた光
電流が、外部から電圧１．５Ｖをかけると、流れなくなった。光素子の外部接触電位差の大きさと極性を求めよ。
５．２５． 光速度ｃ、粒子の質量ｍ、プランク定数ｈ 〜を用いて、長さを著す式を導け。この長さは何に対応するのか。
５．２６．

自由電子は光子を完全に吸収することは出来ない、ということを、保存則から導け。

５．２７． 物質による光のコンプトン散乱の以下の特性を説明せよ。（ａ）変位量Δλは物質の性質に依存しない。（ｂ）物質の原子番号の減少と共に、かつ、散乱角度と共に、散乱光の変位成分の強度は増大する。（ｃ）変位しない成分の存在。
５．２８． 細い単色Ｘ線束が、散乱物質に入射する。角度θ１＝６０°とθ２＝１２０°に散乱された変位波長量はお互いにη＝２．０倍異なっている。入射線の波長を求めよ。
５．２９． エネルギーｈ 〜ωを有する光子が、静止している自由電子で散乱された。反跳した電子の運動エネルギーを求めよ。散乱の結果、光子の波長はη＝２５％だけ変化したものとする。
５．３０． 波長λ＝６．０ｐｍの光子が、静止している自由電子と直角に散乱された以下を求めよ。
（ａ）散乱された光子の振動数。（ｂ）反跳電子の運動エネルギー。
５．３１． エネルギーｈ 〜ω＝２５０ｋｅＶを持っている光子が、最初静止している自由電子と衝突し、電子と角度θ＝１２０°をなして散乱された。散乱された光子のエネルギーを求めよ。
５．３２． 運動量ｐ＝１．０２ＭｅＶ／ｃを持っている光子が、静止している自由電子に散乱され、結果として、光子の運動量はｐ ＝０．２５５ＭｅＶ／ｃとなった。ここで、ｃは光速度。光子の散乱角度を求めよ。
５．３３． 光子が静止している自由電子と角度θ＝１２０°をなして散乱された。結果として、電子は運動エネルギーＫ＝０．４５ＭｅＶを得た。散乱前の光子のエネルギーを求めよ。
５．３４． コンプトン散乱において、コンプトン電子の最大運動エネルギーがＫ最大＝０．１９Ｍ
ｅＶである。使用したＸ線の波長を求めよ。
５．３５． エネルギーｈ 〜ω＝０．１５ＭｅＶを持つ光子が、静止している自由電子に散乱された。
その結果、光子の波長がΔλ＝３．０ｐｍだけ変化した。コンプトン電子が飛び去った方向の角度を求めよ。
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５．３６． 静止している電子のエネルギーのη＝２．０倍のエネルギーを有している光子が、静止している電子と正面衝突をした。磁束密度Ｂ＝０．１２Ｔの磁界中での、反跳電子の曲線軌道半径を求めよ。反跳電子は磁界の方向に垂直に運動するものとする。
５．３７． 相対論的電子との衝突を受けた光子が、角度θ方向に散乱されたが、電子はそのままに残った。散乱された光子の波長のコンプトン変位量を求めよ。
５．２．

粒子の散乱。ラザフォード・ボーア原子●以下の公式における係数ｋの値
ｃｇｓ単位系 ｋ＝１
ＩＳ単位系 ｋ＝１／４πε０、●不動の原子核のクーロン場によって荷電粒子が散乱される角度θ
（５．２ａ）ｔａｎ（θ／２）＝ｋｑ１ｑ ２／（２ｂＫ）
ここで、ｑ１，ｑ ２は荷電粒子と原子核の荷電量、ｂは衝突パラメータ、Ｋは飛行してくる粒子の運動
エネルギー。
●ラザフォードの公式。粒子の運動の初期方向に対して角度θで、立体角ｄΩ内に散乱される粒子の相対数（５．２ｂ）
ｄＮ／Ｎ＝ｎ（ｋｑ１ｑ２／４Ｋ）ｄΩ／ｓｉｎ４（θ／２）
ここで、ｎは薄膜の単位表面あたりの原子核数、ｄΩ＝ｓｉｎθｄθｄφ。
●バルマーの一般公式
ω＝ＲＺ２（１／ｎ １２−１／ｎ２２）、 Ｒ＝ｋ２ｍ４ｅ４／（２（ｈ／２π）３） （５．３ｃ）
ここで、ωは量子数ｎ１，ｎ２の準位間の遷移周波数。Ｒはリードベルグ定数、Ｚは水素似イオンの通し番号。図５．１は対応する遷移図。
５．３８． 原子のトムソンモデルに従って、水素原子の半径と水素原子の放出する光の波長を計算せよ。水素原子のイオン化エネルギーＥ＝１３．６ｅＶが概値とする。
５．３９． 運動エネルギー０．２７ＭｅＶを持っているα粒子が、金箔で角度６０°方向に散乱された。対応する衝突パラメータを求めよ。
５．４０． 運動エネルギーＫ＝０．４０ＭｅＶを有しているα粒子は、正面衝突において、（ａ）
静止している鉛の重い原子核へ、（ｂ）最初静止している軽いリチウムの原子核へ、どれだけ最小の距離まで近づくか。
５．４１． 運動エネルギーＫ＝０．５０ＭｅＶを有しているα粒子が、不動の水銀原子核の作っているクーロン場中で、角度θ＝９０°だけ散乱された。以下を求めよ。（ａ）α粒子の軌道の最小の曲率半径。（ｂ）α粒子が水銀の原子核に近づく最小距離。
５．４２． 運動エネルギーがＫ，衝突パラメーターがｂを持つ陽子が金の原子核の作っているクー
ロン場中で散乱された。金の原子核に与えた運動量を求めよ。
５．４３． 運動エネルギーＫを有している粒子が、半径Ｒ、深さＵの球状ポテンシャル穴で散乱される。則ち、粒子のポテンシャルエネルギーはｒ＜Ｒで、Ｕ＝−Ｕ ０、ｒ＞Ｒで、Ｕ＝０，ここで、ｒは穴の中心からの距離。粒子の衝突パラメーターｂと偏向角θとの間の関係を求めよ。ここで、偏向角とは粒子が最初の方向に対して、散乱後傾いた方向のなす角度である。
５．４４． 半径Ｒの不動の球を、半径ｒの平行粒子ビームで照射する。球と粒子との衝突を弾性的と見なし、以下を求めよ。（ａ）粒子の衝突パラメータｂに依存した形での粒子の偏向角度θ。（ｂ）
θからθ＋ｄθの角度間隔中に散乱される粒子の相対的割合。（ｃ）球と衝突した粒子が、前方の半球中（θ＜π／２）に散乱される確率。
５．４５． 運動エネルギー１．０ＭｅＶを有するα粒子の細いビームが、厚さ１．０μｍの白金薄膜に垂直に入射する。薄膜の散乱点から距離１０ｃｍの所に配置してある面積１．０ｃｍ ２の円形の入射穴を持ったカウンターを使用して、入射ビーム方向と角度６０°をなしている方向で、散乱粒子の観測を行う。カウンタの穴に相対的に、散乱された粒子の内、どれだけの割合の粒子が飛込むか。
５．４６． 運動エネルギーがＫ＝０．５０ＭｅＶ、強度がＩ＝５．０×１０ ５粒子／ｓの細いα粒子ビームが、金の薄膜に垂直に入射する。散乱箇所から距離ｒ＝１５ｃｍで、入射ビーム方向と角度
θ＝６０°をなす方向で、散乱粒子ビームの流れ密度がＪ＝４０粒子／（ｃｍ ２・ｓ）であった。薄膜の厚さを求めよ。
５．４７． 運動エネルギーＫ＝０．５０ＭｅＶを有する細いα粒子ビームが、密度×厚さρｄ＝１．
５ｍｇ／ｃｍ２の金の薄膜に垂直に入射する。ビーム中の粒子流はＩ０＝５．０×１０５粒子／ｓ。以- 47 -

下の角度範囲における、τ＝３０分間での薄膜によって散乱されるα粒子数を求めよ。（ａ）５９°から６１°。（ｂ）θ０＝６０°以上。
５．４８． 速度ｖ＝６×１０ ６ｍ／ｓの細い平行陽子ビームが、厚さｄ＝１．０μｍの銀の薄膜に垂直に入射する。角度θ＞９０°に散乱される陽子の確率を求めよ。
５．４９． 運動エネルギーＫ＝６００ｋｅＶを有する細いα粒子束が、濃度ｎ＝１．１×１０ １９原子核／ｃｍ２の金の薄膜に垂直に入射する。角度θ＜θ ０＝２０°に散乱されるα粒子の相対数を求めよ。
５．５０． 運動エネルギーＫ＝１．４ＭｅＶを有する細い陽子ビームが、密度×厚さρｄ＝１．５
ｍｇ／ｃｍ２の真鍮の薄膜に垂直に入射する。薄膜中の銅と亜鉛の質量比は７：３。角度θ ０＝３０°以上の角度に散乱される相対的な陽子数を求めよ。
５．５１． 運動エネルギーＫ＝１．５ＭｅＶを有するα粒子の散乱において、散乱角度θ ０＝６０°以上に対応するウラン原子核の有効断面積を求めよ。
５．５２． ？ 単一エネルギーを有しているα粒子の散乱角度が９０°から１８０°までに対応する金の原子核の有効断面積はΔσ＝０．５０立方（？）に等しい。以下を求めよ。（ａ）α粒子の運動エネルギー。
（ｂ）角度θ０＝６０°に対応した散乱微分断面積ｄσ／ｄΩ（立方／ステラジアン）。
５．５３． 加速度ａで動いている電子は、古典電磁気学によれば、式ｄＥ／ｄｔ＝−ｋ（２ｅ ２／
３ｃ ３）ａ２に従って、エネルギーを放射して失う。ここで、ｅは電子の荷電量、ｃは光速度、ｋ＝１／（４πε ０ ）。振動数ω＝５×１０ １５ ／ｓで調和振動している電子のエネルギーがη＝１０倍に減少するまでの時間を求めよ。
５．５４． 問題５．５３の式を利用して、水素原子において、半径ｒ＝５０ｐｍの円軌道を動いている電子が、原子核まで落ち込むまでの時間を求めよ。落下の瞬間まで、電子は対応している円に沿って等速で動いているものと見なす。
５．５５． 水素原子のスペクトルには、同じシリーズに属している波長９７．２６ｎｍ、１０２．
５８ｎｍ、１２１．５７ｎｍが知られている。この３本の線から予想される、同じスペクトル中での他の線の波長を求めよ。
５．５６． 水素似イオンの隣り合う準位間の電子遷移によって生ずる光子の振動数ωは、不等式Ω
＞ω＞ωｎ＋１を満足していることを示せ。ここで、ωｎとωｎ＋１はこれらの準位における角の周りの電子の回転周波数である。ｎ→∞の時、ω→ω ｎ＋１となることを確認せよ。
ｎ５．５７． 質量ｍの粒子が中心対称場中で円軌道上を動いている。粒子のポテンシャルエネルギー
は場の中心からの距離ｒに依存し、Ｕ＝κｒ２／２。ここで、κは定数。ボーアの量子条件を用いて、この場中における粒子の可能な起動半径と、粒子の全エネルギーを求めよ。
５．５８． 水素様イオンにおいて、ｎ番目のボーア軌道半径と、それらの軌道における電子の速度を求めよ。水素原子と、ヘリウムイオンＨｅ＋の第１ボーア軌道でのこれらの値を計算せよ。
５．５９． 水素様イオンのｎ番目円形ボーア軌道における電子の回転周波数を求めよ。Ｈ ＋イオン
において、ｎ＝２の場合について、この大きさを計算せよ。
５．６０． 水素原子とＨｅ ＋イオンについて以下を求めよ。基底状態にある電子の結合エネルギー、
イオン化ポテンシャル、第一励起ポテンシャル、ライマンシリーズの先頭のスペクトル線の波長。
５．６１． ある水素様イオンにおいて、第一励起ポテンシャルはφ １＝４０．８ｅＶ。このイオンのバルマーシリーズの先頭のスペクトル線に対応している光子のエネルギーを求めよ。
５．６２． Ｈｅ ＋イオンにおいて、バルマーシリーズの先頭スペクトル線に対応する光子を放出させるためには、基底状態にあるＨｅ＋イオンの内部エネルギーを、何倍とする必要があるか。
５．６３． 水素原子のスペクトル線の波長λを求めよ。その振動数はバルマーシリーズの次の２つのスペクトル線の差に等しい。λ１＝４８６．１ｎｍとλ２＝４１０．２ｎｍ。このスペクトル線はどのシリーズに属するか。
５．６４． 水素原子について以下を計算せよ。（ａ）バルマーシリーズの最初の３つのスペクトル線の波長。（ｂ）バルマーシリーズの最初からＮ＝２０本のスペクトル線を分解できる分光器の最小分解能λ／δλ。
- 48 -

５．６５． ？ 水素原子からの放射光が、幅ｌ＝７．４ｍｍの回折格子に垂直に入射する。ある回
折角度θで、観測したスペクトル線中に、限界分解能において（レーリー規準において）、バルマーシリーズの５０番目（？）のスペクトル線があった。この角度θを求めよ。
５．６６．

水素原子より、波長が４倍短い水素様原子がある。元素は何か。

５．６７．
本か。

水素原子がｎ番目のエネルギー準位に励起されたならば、放射されるスペクトル線は何

５．６８． ９５．５ｎｍから１３０．０ｎｍの波長範囲で、水素様原子の吸収スペクトルにはどのようなスペクトル線があるか。
５．６９． Ｈｅ＋イオンがある。このイオンの基底状態への遷移において、波長λ １＝１２１．４ｎｍ、λ ２＝３０．３５ｎｍの２つの光子が連続して放出された。イオンの励起状態に対応する量子数ｎを求めよ。
５．７０． Ｈｅ ＋イオンにおいて、バルマーシリーズとライマンシリーズの先頭スペクトル線の波
長差がΔλ＝１３３．７ｎｍである。リュードベルグ定数Ｒを計算せよ。
５．７１． バルマーシリーズとライマンシリーズの先頭スペクトル線の波長差がΔλ＝５９．３ｎｍとなるのは、どのような水素様イオンか。
５．７２． Ｈｅ ＋イオンのスペクトル線中の先頭スペクトル線の波長を求めよ。端のスペクトル線
間の周波数間隔はΔω＝５．１８×１０ １５／ｓである。
５．７３． 水素様イオンの基底状態における電子の結合エネルギーを求めよ。イオンからのスペク
トル線において、バルマーシリーズの３番目のスペクトル線の波長が１０８．５ｎｍであった。
５．７４． ヘリウム原子において、基底状態にある電子の結合エネルギーはＥ ０＝２４．６ｅＶ。
この原子から、２個の電子を連続して遠方に遠ざけるために必要なエネルギーを求めよ。
５．７５． Ｈｅ ＋イオンから、波長λ＝１８．０ｎｍの電磁波によって飛び出した光電子の速度を求めよ。Ｈｅ ＋イオンは基底状態にあったとする。
５．７６． 動いている水素原子が、静止している他の水素原子と正面衝突をした際に、どちらか片方の水素原子が光子を放出するためには、水素原子は最低いかほどの運動エネルギーを持って動かなければならないか。衝突するまで両方の水素原子は基底状態にあったとする。
５．７７． 静止している水素原子が光子を放出する。この光子はライマンシリーズの先頭スペクト
ル線に対応している。水素原子はいかほどの速度を獲得するか。
５．７８． 前問の条件で、放出された光子のエネルギーは、水素原子中の対応する遷移エネルギーと何％だけ異なっているか。
５．７９． 静止しているＨｅ ＋原子が、ライマンシリーズの先頭スペクトルに対応する光子を放出した。この光子は、基底状態にある静止している水素原子から光電子を叩き出した。光電子の速度を求めよ。
５．８０． 励起状態にある水素原子がある。原子の運動方向に対して角度θ＝４５°の方向から観察すると、ライマンシリーズの先頭スペクトルの波長がΔλ＝０．２０ｎｍだけ変位していた。この水素原子の速度を求めよ。
５．８１． ボーア・ゾンマーフェルトの仮説に従うと、ポテンシャル場中において、粒子の周期運動においては、次の量子規則を満足しなければならない。∮ｐｄｑ＝ｈｎ。ここで、ｑとｐは一般座標と運動量、ｎは整数。この規則を利用して、以下のような運動をしている質量ｍの粒子のエネルギ
ーの許容値を求めよ。（ａ）無限の壁の高さを持っている辺長ｌの一様な長方形穴中での運動。（ｂ）
半径ｒの円周に沿っての運動。（ｃ）一様なポテンシャル場Ｕ＝αｘ ２ ／２中での運動。ここで、αは正定数。
（ｄ）粒子のポテンシャルエネルギーがＵ＝−α／ｒである場中で円軌道に沿っての運動。
ここで、αは正定数。
５．８２． 水素原子の殻の運動を考慮して、基底状態にある電子の結合エネルギーに対する表現式と、リードベルグ定数に対する表現式を求めよ。原子核の運動を考慮しないで得られる結合エネルギーとリュードベルグ定数は、より正確な値と何％違っているか。
５．８３．

軽水素Ｈと重水素Ｄについて以下の差を求めよ。（ａ）基底状態にある電子の結合エネ- 49 -

ルギー。（ｂ）バルマーシリーズの先頭スペクトルの波長。
５．８４． 水素の中間子原子（電子の代わりに中間子が軌道を回っている水素。中間子の電荷量は電子と同じであるが、中間子の質量は電子の質量の２０７倍重い）。（ａ）基底状態における中間子と原子核との距離。（ｂ）基底状態における結合エネルギー。（ｃ）バルマー系列の先頭スペクトルの波長。
５．８５． ポジトロニウム（質量中心の周りに回っている電子と陽電子からできている系）について以下を計算せよ。（ａ）基底状態における２つの粒子間の距離。（ｂ）基底状態における結合エネ
ルギー。（ｃ）バルマー系列における先頭スペクトルの波長。
５．３．

粒子の波動的性質●運動量ｐを持つ粒子のドブロイ波長
λ＝ｈ／ｐ（５．３ａ）●不確定性関係（５．３ｂ）
Δｘ・Δｐ≧ｈ〜●時間依存及び定常状態のシュレジンガー方程式ｉｈ〜∂Ψ／∂ｔ＝−（ｈ〜２／２ｍ）∇ ２Ψ＋ＵΨ、（５．３ｃ）∇２ψ＋（２ｍ／ｈ 〜２）（Ｅ−Ｕ）ψ＝０
ここで、Ψは完全波動関数、ψはその座標部分、∇ ２はラプラス演算子。ＥとＵは粒子の全エネルギ
ーと粒子のポテンシャルエネルギー。球座標系での表記では∇２＝∂ ２／∂ｒ２＋（２／ｒ）∂／∂ｒ＋（１／（ｒ２ｓｉｎθ））（∂／∂θ（ｓｉｎθ∂／∂θ）（５．３ｄ）＋（１／（ｒ２ｓｉｎ２θ））∂２／∂φ２●座標に依存した物理量ｑの平均値＜ｑ＞＝∫ｑψ＊ψｄＶ（５．３ｅ）
ここで、ψは規準化波動関数、ｄＶは体積素●ポテンシャル障壁の透過係数
Ｄ≒ｅｘｐ（−（２／ｈ〜） ｘ１∫ｘ２（２ｍ（Ｕ−Ｅ））１／２ｄｘ（５．３ｆ）
ここでｘ１とｘ２はＵ＞Ｅである点の座標値
５．８６．

運動エネルギー１００ｅＶを持つ電子、陽子、ウラン原子のドブロイ波長を計算せよ。

５．８７． 図５．２に示しているように、粒子が一様なポテンシャル
場中を左側から動いてくる。高さＵ＝１５ｅＶの障壁より左側で、粒子の運動エネルギーはＫ＝２０ｅＶ。障壁を通り抜けた後、粒子のドブロ
イ波長は何倍変化するか。
５．８８． 磁束密度Ｂ＝１．００ｋＧの縦磁界中に飛込んだ陽子の軌跡の曲率半径がρ＝２３ｍｍであった。陽子のドブロイ波長を求めよ。
５．８９． 電子のドブロイ波長をλ１＝１００ｐｍからλ２＝５０ｐｍまで短くするために、電子にいかほどのエネルギーを付加する必要があるか。
５．９０．運動量ｐ＝２０ｋｅＶ／ｃ（ｃは光速度）を有する電子のドブロイ波長がλ＝１００ｐｍとなるためには、いかほどの仕事をする必要があるか。
５．９１． 運動エネルギーＫ＝２５ｅＶを有する中性子が、静止している重水素の原子核に飛んで来て当る。質量中心系における両方の粒子のドブロイ波長を求めよ。
５．９２． ２つの同じ非相対論的粒子がドブロイ波長λ １，λ ２を持って、お互いに垂直に動いている。質量中心系における各々の粒子のドブロイ波長を求めよ。
５．９３．

運動エネルギーＫを持った質量ｍの相対論的粒子のドブロイ波長を与える式を求めよ。

５．９４． 非相対論的公式によるλの決定における誤差が、電子において１％を超えないのはＫがどのような値の時か。陽子の場合ではどうか。
５．９５． Ｘ線管の反カソード電極に到達する相対論的電子のドブロイ波長を求めよ。連続Ｘ線ス
ペクトルの短波長限界波長がλ限界＝１０．０ｐｍとする。
５．９６．

単一エネルギー電子の平行束が幅ｂ＝１．０μｍの狭い正方形隙間のある遮蔽板に垂直- 50 -

に入射する。隙間から距離ｌ＝５０ｃｍにあるスクリーンで、中央の回折最大の幅がΔｘ＝０．３６ｍｍである。電子の速度を求めよ。
５．９７． ポテンシャル差Ｕ＝２５Ｖで加速された平行電子束が、２つの狭い隙間を持った遮蔽板に垂直に入射する。隙間の間隔はｄ＝５０μｍ。隙間から距離ｌ＝１００ｃｍの所にあるスクリーン
じょうの回折図において、隣り合う最大値の間隔を求めよ。
５．９８． 単一エネルギーの細い電束が、斜入射角度θ＝３０°で、アルミニュームの単結晶の面に入射する。結晶の面に平行な結晶面間の間隔はｄ＝０．２０ｎｍ。加速電圧Ｕ０のもとで、鏡面反射の最大値を観察した。加速電圧をη＝２．２５倍としたとき、鏡面反射の次の最大値が観察された。
Ｕ０を決めよ。
５．９９． 単一エネルギー電子の細いビームが、ニッケル単結晶の表面に垂直に入射する。電子のエネルギーはＫ＝１８０ｅＶ。表面の法線と角度θ＝５５°をなす方向で、４次の反射最大値を観察する。対応する面間隔距離を計算せよ。
５．１００． 運動エネルギーＫ＝１０ｅＶの細い電子束が、多結晶製のアルミニューム薄膜を通過し、スクリーン上に、干渉リングを形成する。ある結晶面系における３次の反射に対応している面間隔距離を計算せよ。その結晶面系に直径Ｄ＝３．２０ｃｍの回折リングが対応しているものとする。
５．１０１． 電位差Ｕで加速された電子ビームが金属の表面に入射する。金属の内部ポテンシャル
はＵ 内部＝１５Ｖ。以下を求めよ。（ａ）電位差Ｕ＝１５０Ｖで加速された電子に対する屈折率。（ｂ）
屈折率が１からη＝１.０％より大きく異なっていないときの比Ｕ／Ｕ内部。
５．１０２． 質量ｍの粒子が、無限に高い壁を持った一様な正方形穴の中にいる。穴の辺長はｌ。
この穴の境界において、ドブロイ波の半波長の整数倍が重なり合うことが出来る運動だけが可能であるというモデルで、この粒子の可能なエネルギー値を求めよ。
５．１０３． ボーアの量子条件を波動モデルで解釈せよ。水素原子中の電子は円軌道に沿って運動し、この軌道長はドブロイ波長の整数倍であることを示せ。
５．１０４． 電子、陽子、質量１ｍｇの球の中心の座標が、１μｍの不定性があるものとして、各々の速度を定めるときの最小誤差を求めよ。
５．１０５． 不確定性関係を利用して、水素中の電子の速度の不確定量を評価せよ。原子の大きさをｌ＝０．１０ｎｍと見なす。得られた大きさを、水素原子の第一ボーア軌道上にいる電子の速度と比較せよ。
５．１０６． 一の不確定量がΔｘ＝λ／２π（ここで、λは粒子のドブロイ波長）である粒子において、その速度の不確定量は自身の速度のオーダーの大きさであることを示せ。
５．１０７． 時刻ｔ＝０の時、自由電子が領域Δｘ ０＝０．１０ｎｍ（原子の大きさ程度）に共在していた。ｔ＝１秒後におけるこの電子の存在領域幅を求めよ。
５．１０８． 不確定性関係を利用して、領域ｌ＝０．２０ｎｍに局在している電子の最小運動エネ
ルギーを求めよ。
５．１０９． 運動エネルギーＫ≒４ｅＶを有している電子が領域ｌ≒１μｍに局在している。不確定性関係を利用して、電子の速度の相対的不確定量を求めよ。
５．１１０． 穴の壁は無限に高い一様な正方形のポテンシャル穴の中に電子が存在している。正方形の１辺長はｌ。不確定性関係を利用して、電子のエネルギーが最小にあるときの、この穴の壁に対する電子の圧力を求めよ。
５．１１１． スクリーン上に、電子線管からの電子ビームの跡が直径ｄ＝０．５ｍｍできている。
電子銃とスクリーンとの距離はｌ２０ｃｍ。加速電圧はＵ＝１０ｋＶ。不確定性関係式を用いて、ス
クリーン上の電子の座標の不確定量を求めよ。
５．１１２． 質量ｍの粒子が一様なポテンシャル場Ｕ＝κｘ ２／２中を動く。不確定性関係式を用いて、この場中における粒子の可能な最小エネルギーを求めよ。
５．１１３． 不確定性関係式を用いて、水素原子中の電子の可能な最低エネルギーと、原子核からの電子の対応する有効距離を求めよ。
５．１１４． 速度ｖ＝６００ｍ／ｓを持つ水素原子平行ビームが、狭いスリットに垂直に入射する。
- 51 -

スリットの先には距離ｌ＝１．０ｍの所にスクリーンがある。不確定性関係式を用いて、スクリーン
上のビームの像の幅が最小となる、スリットの幅ｂを求めよ。
５．１１５． ある量ｘの値の確率分布関数が、０≦ｘ≦ａで、ｆ＝Ａｘの形をしている。この領域外ではｆ＝０。ここで、Ａとａは定数。ａが概値として以下を求めよ。（ａ）ｘ＝ａのときの関数ｆの値。（ｂ）領域（０，ａ）での値ｘ、ｘ２の平均値。
５．１１６． ある量ｘの確率分布が、領域（０、ａ）で、関数ｆ（ｘ）∽ｘ １／２で記述される。この領域の外ではｆ＝０。以下を求めよ。（ａ）領域（０、ａ）において、ｘの値の最大確率とｘの値の平均値。（ｂ）領域（０，ａ／２）において、ｘの存在確率。
５．１１７． ある量ｘの値の確率分布が、０＜ｘ＜ａで、関数ｆ＝Ａｘ（ａ−ｘ）で記述される。
この領域の外ではｆ＝０。ここで、Ａとａは定数。ａが概値として、以下を求めよ。（ａ）ｘの値の最大確率と、その値に対応している関数ｆ。（ｂ）領域（０、ａ）において、ｘとｘ２の平均値。
５．１１８． 平面に沿っての粒子分布の確率密度が、点Ｏまでの距離ｒに依存し、ｒ≧ａの時、ｆ（ｒ）＝Ａ（１−ｒ／ａ）／ｍ２、ｒ＞ａの時、ｆ（ｒ）＝０である。ここで、ａは概値であり、Ａは未知定数である。以下を求めよ。（ａ）点Ｏから粒子の距離の最大確率の値ｒ最大。（ｂ）未知定数Ａ。（ｃ）点Ｏからの粒子の平均距離値。
５．１１９．

前問と同じ条件ながら、ｆ（ｒ）＝Ａ（１−ｒ２／ａ２）として解け。

５．１２０． 粒子が式ｘ＝ａｃｏｓωｔに従ってＸ軸上を動く。領域（−ａ、ａ）に粒子が存在する確率を１と見なして、ｘに対する確率密度ｄＰ／ｄｘの依存性を見いだせ。ここでｄＰは領域（ｘ、ｘ＋ｄｘ）に粒子が存在する確率。
５．１２１． 電子ビームが２つのスリット１，２からスクリーンに入射する。図５．３参照。点Ｐに、カウンタの入射口が配置されている。Ψ １ をスリット１を通過し、点Ｐに達する波の振幅とする。Ψ ２ は同じくスリット２を通過した波の振幅とする。比Ψ ２ ／Ψ １ ＝η＝３．
０。スリット１だけが開いていたとき、カウンタは１秒間に電子をＮ
１＝１００個計測する。次のような場合、１秒毎にカウンタは幾つの電子をカウントするか。（ａ）スリット２だけが開いている場合。（ｂ）
２つのスリットとも開いており、点Ｐで、干渉の最大値を観測しているとき。（ｃ）同じだが、点Ｐで、干渉の最小値を観測しているとき。
５．１２２． 時刻ｔ＝０で、ある粒子の波動関数がΨ＝Ａｅｘｐ（−ｘ２／４σ ２＋ｉｋｘ）である。（ａ）ｘに対するΨの実数部分の依存性をグラフで示せ。（ｂ）ｘに対する（絶対値Ψ） ２の依存性をグラフで示せ。
５．１２３．

質量ｍの自由に動いている粒子の時間依存シュレジンガー方程式の特殊解を求めよ。

５．１２４． 完全に不通加の壁で出来ている正方形のポテンシャル穴中に、電子がいる。ｎ １＝２とｎ ２＝３の準位の間のエネルギー差がΔＥ＝０．３０ｅＶである。穴の１辺の長さを求めよ。
５．１２５． 完全に不通加の壁で出来ている１辺長ｌの正方形のポテンシャル穴中、基底状態に粒子がいる。粒子の座標は０＜ｘ＜ｌ。領域ｌ／３＜ｘ＜２ｌ／３内に粒子が存在する確率を求めよ。
５．１２６． 質量ｍの粒子が、無限に高い壁を持つ正方形のポテンシャル穴中にいる。粒子の存在確率密度はＰ∽（１−ｃｏｓαｘ）。ここで、αは与えられた定数、ｘは穴の１辺からの距離。定常状態における粒子のエネルギーを求めよ。
５．１２７． 質量ｍの粒子が、無限に高い壁を持つ正方形のポテンシャル穴中で、基底状態にある。
この時、粒子の存在確率密度の最大値はＰ最大。穴の１辺長の長さと、この状態での粒子のエネルギ
ーを求めよ。
５．１２８． 質量ｍの粒子が、無限に高い壁を持つ正方形のポテンシャル穴中で、基底状態にある。
この時、穴の境界で、波動関数の空間導関数は絶対値（ｄΨ／ｄｘ）＝ａ。この状態における粒子のエネルギーを求めよ。
５．１２９． 粒子が、無限に高い壁を持つ正方形のポテンシャル穴中にある。穴の１辺長はｌ。穴の中心を座標ｘの原点として、粒子の定常状態の規格化された波動関数を求めよ。
５．１３０． 粒子が、無限に高い壁を持つ正方形のポテンシャル穴中にある。穴の一辺長は、電子準位が出来るだけ密になるようになっている。準位密度ｄＮ／ｄＥ、則ちエネルギーの単位幅中の準- 52 -

位数、のＥに対する依存性を求めよ。ｌ＝１．０ｃｍの時、Ｅ＝１．０ｅＶの時のｄＮ／ｄＥを計算せよ。
５．１３１． 質量ｍの粒子が、２次元長方形ポテンシャル穴の中にいる。穴の壁は完全に不通可である。以下を求めよ。（ａ）穴の辺長がｌ １ とｌ ２の時、粒子の可能なエネルギー値。（ｂ）穴が辺長ｌの正方形の時、最初から４つの粒子のエネルギー値。
５．１３２． 粒子が、２次元長方形ポテンシャル穴の中にいる。穴の壁は完全に不通可である。０＜ｘ＜ａ、０＜ｙ＜ｂ。領域０＜ｘ＜ａ／３に、最小エネルギーを持った粒子が存在する確率を求めよ。
５．１３３． 質量ｍの粒子が、３次元立方体ポテンシャル穴の中にいる。穴の壁は完全に不通可である。１辺長はａ。以下を求めよ。（ａ）粒子のエネルギー固有値。（ｂ）３番目と４番目のエネル
ギー準位のエネルギー差。
（ｃ）６番目の準位のエネルギーと、対応する量子状態数（簡潔な表現で）。
５．１３４． 粒子のポテンシャルエネルギーＵ（ｘ）が、有限の断裂を持っている点で、波動関数は滑らかである、則ち、波動関数の座標の導関数は連続である。シュレジンガー方程式を用いてこれを証明せよ。
５．１３５． 質量ｍの粒子が一様なポテンシャルＵ（ｘ）場中にある。
Ｕ（ｘ）の様子はず５．４に示されている。Ｕ（０）＝∞。以下を求めよ。（ａ）領域Ｅ＜Ｕ ０で、粒子の可能なエネルギー値を定める式は次の形である。
ｓｉｎｋｌ＝±ｋｌ（ｈ 〜２ ／２ｍｌ ２ Ｕ ０ ） １／２ 、ここで、ｋ＝（２ｍＥ） １／２ ／ｈ 〜。この式のグラフ解を用いて、粒子の可能なエネルギー値は離散スペクトルとなることを示せ。（ｂ）領域Ｅ＜Ｕ ０で、ｌ ２Ｕ ０の最小値が、第一エネルギー準位となる。ｌ２Ｕ０がどのような最小値の時、ｎ番目の準位となるか。
５．１３６． 前問の解答を利用して、領域ｘ＞ｌに、エネルギーＥ＝
Ｕ ０／２を持った粒子が存在する確率を求めよ。ｌ ２Ｕ ０＝（３π／４） ２
ｈ〜２／ｍとする。
５．１３７． 質量ｍの粒子が、ポテンシャル井戸の中で基底状態にある。図５．５参照。井戸の境界で関数Ψは、井戸の中心での値より２倍小さいとする。基底状態のエネルギーを求めよ。
５．１３８． 球対称ポテンシャル井戸中にある質量ｍの粒子の可能なエネルギー値を求めよ。ｒ＜ｒ ０の時、Ｕ（ｒ）＝０。Ｕ（ｒ ０）＝∞。
粒子の運動は、半径ｒだけに依存する波動関数Ψ（ｒ）で記述されるとする。指針：シュレジンガー方程式を解くにおいて、Ψ（ｒ）＝χ（ｒ）／ｒの代入を利用せよ。
５．１３９． 前問の条件のままで、以下を求めよ。（ａ）Ψ（ｒ）がｒだけに依存している状態での粒子の規格化固有関数。（ｂ）粒子の基底状態において、最大確率値
ｒ確率、領域ｒ＜ｒ確率で粒子の存在確率。
５．１４０． 質量ｍの粒子が、球対称ポテンシャル井戸中にある。ｒ＜ｒ ０の時Ｕ（ｒ）＝０、ｒ＞ｒ ０ の時、Ｕ（ｒ）＝Ｕ ０ 。（ａ）Ψ（ｒ）＝χ（ｒ）／ｒの代入方法を使用して、Ｅ＜Ｕ ０のときにおいて、粒子の固有エネルギー値Ｅに対応する式を求めよ。波動関すΨ（ｒ）はｒだけに依存しているとする。この式から ｓｉｎｋｒ０＝±ｋｒ０（ｈ〜２／２ｍｒ０ｌ２Ｕ０）１／２、ここで、ｋ＝（２ｍＥ） １／２／ｈ〜を導け。（ｂ）第一準位でのｒ０２Ｕ ０の値を求めよ。
５．１４１． 一様なポテンシャル場Ｕ（ｘ）＝ｋｘ ２／２中において、基底状態にある質量ｍの粒子の波動関数は、Ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（−αｘ ２）。ここで、Ａとαはある定数。シュレジンガー方
程式を用いて、定数αと、この状態における粒子のエネルギーＥを求めよ。
５．１４２． 質量ｍの粒子が、一様なポテンシャル場Ｕ（ｘ）中で、Ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（−αｘ）の定常状態にある。ここで、Ａとαは定数、α＞０。Ｕ（０）＝０として、粒子のエネルギーＥとＵ（ｘ）の形を求めよ。

２

５．１４３． 水素原子中の電子が、波動関数Ψ（ｒ）＝Ａｅｘｐ（−ｒ／ｒ １）で記述される状態にある。ここで、Ａとｒ １はある定数。以下の値を求めよ。（ａ）規格化係数Ａ。（ｂ）電子のエネル
ギーＥとｒ１。（シュレジンガー方程式を用いて）。
- 53 -

５．１４４． 波動関数がΨ（ｒ）＝Ａ（１＋ａｒ）ｅ −αｒである水素原子中の電子のエネルギーを求めよ。ここで、Ａとａ、αはある定数。
５．１４５． 水素原子の基底状態において、電子の波動関数はΨ（ｒ）＝Ａｅｘｐ（−ｒ／ｒ １）。
ここでＡは定数、ｒ １は第一ボーア半径。以下を求めよ。（ａ）電子と原子核との最大確率距離ｒ確率。（ｂ）領域ｒ＜ｒ確率に存在する電子の確率。
５．１４６． Ψ（ｒ）＝Ａｅｘｐ（−ｒ／ｒ １）の基底状態にある水素原子の電子に対して、最大確率ｒ確率に対する原子核からの平均距離＜ｒ＞の関係を見いだせ。
５．１４７． 水素原子中の電子が基底状態Ψ（ｒ）＝Ａｅ −αｒにある。ここで、Ａとαは定数。場の古典的限界の外に電子が存在する確率を求めよ。
５．１４８． 水素原子の１ｓ電子の状態は、波動関数Ψ（ｒ）＝Ａｅｘｐ（−ｒ／ｒ １）で記述される。ここでＡは規格化係数、ｒ １ は第一ボーア半径。この状態に関して平均値を求めよ。（ａ）電子に作用しているクーロン力の大きさ。（ｂ）原子核と電子の相互作用ポテンシャルエネルギー。
５．１４９． ２ｐ状態にある水素原子の電子の波動関数は、動径部分はＲ（ｒ）∽ｒ・ｅｘｐ（−
ｒ／２ｒ １）。ここで、ｒ １ は第一ボーア半径。この状態において以下を求めよ。（ａ）幻覚からの電子の距離の最大確率ｒ最大。（ｂ）電子と原子核の距離の平均値＜ｒ＞。
５．１５０． 粒子が球対称ポテンシャル場中で、定常状態にある。その波動関数はΨ（ｒ）＝（２πａ）−１／２ｒ −１ｅ−ｒ／ａ。ここで、ａは定数、ｒは場の中心からの距離。平均値＜ｒ＞を求めよ。
５．１５１． 質量ｍの粒子が一様なポテンシャル場Ｕ（ｘ）＝κｘ ２中にある。ここで、κは正定数。状態Ψ＝Ａｅｘｐ（−αｘ２）にある粒子の平均値＜Ｕ＞を求めよ。ここで、Ａとαは未知定数。
５．１５２． 時刻ｔ＝０の時に、粒子が状態Ψ＝Ａｅｘｐ（−ｘ ２／ａ２＋ｉｋｘ）にいる。ここで、Ａとαは定数。以下を求めよ。（ａ）＜ｘ＞。（ｂ）運動量の税分の平均値＜ｐ ｘ＞。
５．１５３． 水素原子の中心に電子によって形成されている電磁場ポ
テンシャルの平均値を求めよ。電子は基底状態Ψ（ｒ）＝Ａｅｘｐ（−ｒ／ｒ１）にあるものとする。ここで、Ａは定数、ｒ１は第一ボーア半径。
５．１５４． 質量ｍ、エネルギーＥの粒子がポテンシャル障壁を左側から動く。図５．６参照。以下を求めよ。（ａ）Ｅ＞Ｕ ０ の時、この障壁の反射率Ｒ。（ｂ）Ｅ＜Ｕ ０ の時、ｘ＞０の領域に、粒子が浸透する実効深度。則ち、障壁の境界から、粒子の存在確率がｅ倍小さくなる点までの距離。
５．１５５． 公式（５．３ｅ）を利用して、エネルギーＥを持ってい
る電子について、幅がｌ、高さがＵ ０のポテンシャル障壁（図５．７参照）
を電子が透過できる確率Ｄを求めよ。
５．１５６． 前問と同じであるが、障壁は図５．８の形状をしている。
同じくＤを求めよ。
５．１５７． 同じく公式（５．３ｅ）を利用して、質量ｍでエネルギーＥを有する粒子が図５．９で示しているポテンシャル障壁を透過する
確率Ｄを求めよ。ここで、Ｕ（ｘ）＝Ｕ ０（１−ｘ２／ｌ２）。

- 54 -

５．４．
●分光学項
Ｌ
（Ｌ）

原子と分子
κ

（Ｌ）Ｊ、ここで、κ＝２Ｓ＋１。Ｌ，Ｓ，Ｊは量子数
ｌ
Ｓ

０
Ｐ

２
Ｄ

３
Ｆ

４
Ｇ

５
Ｈ

６
Ｉ

●アルカリ金属の原子項
Ｔ＝Ｒ／（ｎ＋α）２
ここで、Ｒはリードベルグ定数、ｎは主量子数、αはリードベルグ補正。図５．１０にリチウム原子の項図が示されている。
●原子の力学モーメント
ＭＬ＝ｈ〜（Ｌ（Ｌ＋１））１／２、ＭＳとＭＪでも同形●フントの規則（１）エネルギーが最も低い分光学項は、スピン量子数Ｓが最も大きい項であり、最も大きなＳを持った項の内では、方位量子数Ｌが最も大きいものである。
（２）副殻が半分まで満ちていないならば、基本項はＪ＝絶対値（Ｌ−Ｓ）、他の場合ではＪ＝Ｌ＋Ｓ。
●Ｘ線の発生図。図５．１１参照。

●Ｋ α線に関するモズレーの法則
ωＫα＝（３／４）Ｒ（Ｚ−σ）２
ここで、σは補正値。軽い元素では１である。
●原子の磁気モーメントと、ランデの因子（多重度）μ＝ｇ（Ｊ（Ｊ＋１）１／２μＢ、
ｇ＝３／２＋（Ｓ（Ｓ＋１）−Ｌ（Ｌ＋１））／（２Ｊ（Ｊ＋１））
ここで、ボーア磁子μＢ＝ｅｈ〜／２ｍｃ。
●弱い磁場中でのスペクトル線のゼーマン分裂Δω＝（ｍ１ｇ１−ｍ２ｇ２）μＢＢ／ｈ〜●磁場に沿っての研究では、遷移ｍ１＝ｍ２で条件づけられるゼーマン成分は欠損する。
●２原子分子の回転エネルギー
Ｂ＝ｈ〜２ＩＥｒ＝ｈ〜Ｂｒ（ｒ＋１）、
ここで、Ｂは回転定数、Ｉは慣性モーメント●２原子分子の振動エネルギー
Ｅｖ＝ｈ〜ω（ｖ＋１／２）
ここで、ωは分子の固有振動周波数- 55 -

５．１５８． 状態２Ｓ，２Ｐにあるリチウム原子の価電子の結合エネルギーは、各々５．３９ｅＶ、
３．５４ｅＶ。この原子のＳ準位とＰ準位に対するリードベルグ補正値を計算せよ。
５．１５９． ナトリウム原子の３Ｐ準位に対するロードベルグ補正値を求めよ。これの第一励起ポ
テンシャルは２．１０Ｖ、基底状態３Ｓにある価電子の結合エネルギーは５．１４ｅＶである。
５．１６０． ？ リチウム原子の基底状態にある価電子の結合エネルギーを求めよ。明瞭な（？）
シリーズの先頭スペクトル線の波長がλ １＝８１３ｎｍ、このシリーズの短波長限界波長はλ２＝３５０ｎｍ。
５．１６１． 励起されているリチウム原子において、３Ｓ状態から基底状態２Ｓへの遷移による発生するスペクトル線の波長を求めよ。Ｓ準位とＰ準位のリードベルグ補正値は−０．４１，−０．０４である。
５．１６２． ３Ｐ→３Ｓの遷移による、ナトリウムの黄色のダブレット共鳴線の波長は、各々５８
９．００ｎｍ、５８９．５６ｎｍ。３Ｐ準位の分裂幅をｅＶ単位で求めよ。
５．１６３． セリウム原子のスペクトル列の先頭線が波長１３５８．８ｎｍと１４６９．５ｎｍのダブレット構造をしている。このシリーズの他のスペクトル線間の周波数間隔Δωを求めよ。
５．１６４．

水素原子の電子が主量子数ｎ＝３の状態にある。分光学項を全て記述せよ。

５．１６５． 量子数Ｓ、Ｌが以下の値を持っている状態にある原子は、幾つで、かつどのような量子数Ｊを持つことが出来るか。（ａ）２と３。（ｂ）３と３。（ｃ）５／２と２。
５．１６６．

状態 ４Ｐと ５Ｄにある原子の全力学モーメントの可能な値を求めよ。

５．１６７． 以下の場合について、最大の可能な力学モーメントと、対応する分光学項を求めよ。
（ａ）価電子が主量子数ｎ＝４を持っているナトリウム。（ｂ）電子配位１ｓ ２２ｐ３ｄを持っている。
５．１６８． Ｆ状態とＤ状態において、量子数Ｊの可能な数値は同じで、５に等しい。この状態におけるスピン力学モーメントを求めよ。
５．１６９． 原子が３重項で、全力学モーメントがｈ〜（２０）１／２の状態にある。対応する量子数
Ｌはいくらか。
５．１７０． 多重度が５で、Ｊが７の状態にある原子の最大の可能な軌道力学モーメントを求めよ。
この準位を分光学項の記号で記述せよ。
５．１７１．

以下の準位の可能な多重度κを求めよ。（ａ）κＤ２。（ｂ） κＰ ３／２。（ｃ）κＦ１。

５．１７２． ？ 不完全殻であるある原子が、３個の電子（ｓ、ｐ、ｄ）を有し、電子配位において最大可能全力学モーメントの状態にある。この原子のスピンと全力学モーメントとの間の角度を、原子の対応するベクトルモデルで求めよ。
５．１７３．

１個のｐ電子と、１個のｄ電子からなる２電子系での分光学項を記述せよ。

５．１７４．
せよ。

系はｄ電子と ２Ｐ３／２状態にある原子からなっている。この系の可能な分光学項を記述

５．１７５． 以下の遷移のどれが選択則で禁止されているか。 ２Ｄ ３／２→ ２Ｐ １／２、３Ｐ １→ ２Ｓ １／２、 ３
Ｆ３→３Ｐ２、４Ｆ７／２→４Ｄ５／２。
５．１７６． リチウム原子の３Ｄ状態の総縮退度を求めよ。この値の大きさにはどのような物理的意味があるか。
５．１７７．

最大の可能な全力学モーメントをもった２Ｐ，３Ｄ， ４Ｆ状態の縮退度を求めよ。

５．１７８．分光学項の縮退度は７、量子数ＬとＳはＬ＝３Ｓの関係にある。分光学項の記号を記述せよ。
５．１７９．
か。

Ｋ殻、Ｌ殻、Ｍ殻、４ｓ副殻が充填され、４ｐ副殻が半分充填されている、原子は何- 56 -

５．１８０． フントの規則を利用して、不完全副殻が以下の電子を持っている原子の基底の分光学項を求めよ。（ａ）３個のｐ電子。（ｂ）４個のｐ電子。
５．１８１． フントの規則を利用して、不完全副殻が以下の電子を持つとき、基底状態にある原子の全力学モーメントを求めよ。（ａ）３個のｄ電子。（ｂ）７個のｄ電子。
５．１８２． フントの規則を利用して、分光学項が以下のとおりである１つだけの不完全副殻を有しているの原子の電子数を求めよ。（ａ）３Ｆ２。（ｂ）２Ｐ３／２。（ｃ）６Ｓ５／２。
５．１８３． フントの規則を利用して、１つだけの不完全副殻が、（ａ）１／３だけ満たされ、Ｓ＝１．（ｂ）７０％だけ満たされ、Ｓ＝３／２。である原子の分光学項を記せ。
５．１８４． ある原子の１つの不完全副殻が、３個の電子を持っている。そして、原子の分光学項
はＬ＝３を持っている。フントの規則を使い、この原子の分光学項の記号を記せ。
５．１８５． 基底状態への遷移によるスペクトル線の強度が、速度ｖ＝６００ｍ／ｓで飛行している原子ビームに沿ってｌ＝２．５ｍｍの距離で、η＝２５倍に弱まる。この励起原子の平均寿命を計算せよ。
５．１８６． 希薄水銀蒸気がある。原子は殆ど基底状態にある。この蒸気を、波長λ＝２５３．６５ｎｍの水銀灯の共鳴線で照射した。水銀灯の出力はＰ＝３５ｍＷ。共鳴励起状態にある原子数を求めよ。、励起状態の平均寿命はτ＝０．１５μｓ。
５．１８７． 鉄（Ｚ＝２６）のＫα線の波長が１９３ｎｍであるとして、銅（Ｚ＝２９）のＫ α線の波長を求めよ。
５．１８８． モズリの法則を利用して、以下を計算せよ。（ａ）アルミニュームとコバルトのＫ α線の波長。（ｂ）バナジウムのＫ電子とＬ電子の結合エネルギーの差。
５．１８９．

Ｋα線の波長が２５０ｎｍ〜１７９ｎｍの範囲である原子は幾つか。

５．１９０． Ｋ α線の波長と、連続Ｘ線スペクトルの短波長限界波長の差が、８４ｎｍである、ニッケル金属をアノードとしているＸ線管の電圧を求めよ。
５．１９１． アルミニューム金属をアノードとしているＸ線管に、ある電圧を印加すると、連続Ｘ
線スペクトルの短波長限界波長が０．５０ｎｍである。このＸ線管で、特性スペクトル中にＫα線を観測できるか。その励起電位は１．５６ｋＶである。
５．１９２． Ｘ線管への電圧のＵ １＝１０ｋＶからＵ ２＝２０ｋＶへの増大により、Ｋ α線と連続ス
ペクトルの短波長限界波長の間隔が、ｎ＝３倍大きくなった。このＸ線間のアノードの元素は軽いものであると見なして元素番号を求めよ。
５．１９３． Ｘ線のＫ吸収端周波数とＬ吸収端周波数の差が、Δω＝６．８５×１０ １８／ｓとなるのは、軽い方の元素で何か。
５．１９４．
ｍである。

バナジウムのＫ電子の結合エネルギーを計算せよ。Ｌ吸収端の波長はλ Ｌ＝２．４ｎ

５．１９５． チタンのＬ電子の結合エネルギーを求めよ。Ｋ列の先頭線の波長と、短波長限界の波長との差はΔλ＝２６ｐｍである。
５．１９６． ある軽い原子において、Ｋα線とＫβ線の波長が２７５ｐｍ、２５１ｐｍ。この原子は何か。この原子のＬ列の先頭線の波長はいくらか。
５．１９７．

鉄のＫ殻から、亜鉛のＫα線で放出された光電子の運動エネルギーと速度を求めよ。

５．１９８．

以下の原子に関するランデ因子を計算せよ。（ａ）Ｓ状態。（ｂ）シングレット状態。

５．１９９． 次の準位に関するランデ因子を計算せよ。（ａ） ６Ｆ １／２。（ｂ） ４Ｄ １／２。（ｃ） ５Ｆ ２。
（ｄ）５Ｐ１。（ｅ） ３Ｐ０。
５．２００． 以下の原子に関して磁気モーメントを計算せよ。（ａ） １Ｆ状態。（ｂ） ２Ｄ ３／２状態。
（ｃ）Ｓ＝１、Ｌ＝２、ランデ因子ｇ＝４／３を持った状態。
５．２０１．

？

状態Ｄ ２にある原子のスピン力学モーメントを求めよ。この状態における磁気モ- 57 -

ーメントの投影の最大値は４ボーア磁子（？）に等しい。
５．２０２． 原子の不完全副殻が５個の電子できっかり半分満たされている。フントの規則を利用して、この原子の基底状態における磁気モーメントを求めよ。
５．２０３． ナトリウム原子の価電子が、主量子数ｎ＝３の状態にある。かつ、最大可能全力学モーメントを持っている。この状態における磁気モーメントはいくらか。
５．２０４． 励起原子が１ｓ２２ｓ２２ｐ３ｄの電子配位を持って、最大可能全力学モーメントを持った状態にある。この原子の磁気モーメントを求めよ。
５．２０５． Ｓ＝３／２、Ｌ＝２で、磁気モーメントがゼロの原子がある。この原子の全力学モーメントを求めよ。
５．２０６．Ｓ＝２、Ｍ＝ｈ 〜２１／２、磁気モーメントがゼロの原子がある。対応している準位の分光学記号を記せ。
５．２０７． 状態 ２Ｐ３／２にある原子が磁束密度Ｂ＝１．０ｋＧの弱い磁界中にある。ベクトルモデ
ルで、この原子の全角運動量の才差運動の角速度を求めよ。
５．２０８． 状態 ２Ｐ１／２にある原子が、電流Ｉ＝１０Ａの流れている半径ｒ＝５．０ｃｍのコイルの軸上にある。原子とコイルの中心間距離は、コイルの半径と等しい。原子に作用する力を求めよ。
５．２０９． 正常状態にある水素原子が、電流Ｉ＝１０Ａの流れている長い直線導体から距離ｒ＝２．５ｃｍの所にある。原子に作用する力を求めよ。
５．２１０． 基底状態４Ｆ３／２にあるバナジウム原子の細いビームが、不均一の磁界中を横断するよ
うに、長さｌ １＝５．０ｃｍだけ通り抜ける。シュテルン・ゲルラッハ法である。磁石から距離ｌ２＝
１５ｃｍの所にあるスクリーン上で、拡散したビームを観察する。原子の運動エネルギーはＫ＝２２ｍｅＶ。磁界の磁束密度Ｂの勾配が幾らの時、スクリーン上の拡散したビームの両端間の距離がｘ＝２．０ｍｍとなるか。
（ｂ）２Ｆ５／２。
（ｃ）
５．２１１． 以下の準位は弱い磁界中で、幾つの準位に分裂するか。
（ａ）３Ｐ０。
Ｄ１／２。

４

５．２１２． 磁束密度Ｂ＝２．５０ｋＧの弱い磁界中に、原子がある。次の準位の分裂の大きさをｅＶで求めよ。（ａ）１Ｄ。（ｂ）３Ｆ ４。
５．２１３． 以下の遷移によるスペクトル線は、弱い磁場中で、どのような（単純、或いは複雑）
ゼーマン効果を受けるか。（ａ） １Ｐ→ １Ｓ．（ｂ） ２Ｄ５／２→ ２Ｐ ３／２。（ｃ） ３Ｄ １→ ３Ｐ０。（ｄ） ５Ｉ ５→ ５
Ｈ ４。
５．２１４． 原子のシングレット項の分光学記号を定めよ。この原子の準位の弱い磁場（磁束密度Ｂ＝３．０ｋＧ）中における分裂の全幅がΔＥ＝１０４μｅＶである。
５．２１５． λ＝６１２ｎｍのスペクトル線が原子のシングレット間の遷移に依ることが知られているとする。磁束密度Ｂ＝１０．０ｋＧの磁界中で、このスペクトル線の両端の間の波長間隔Δλを計算せよ。
５．２１６． 分解能がλ／δλ＝１．０×１０ ５を有する分光器で、シングレット準位間の遷移によるλ＝５３６ｎｍのスペクトル線の成分を分解できる、磁界の最小磁束密度Ｂを求めよ。観測は磁界に垂直にて行うものとする。
５．２１７． ３Ｄ１→３Ｐ ０によるスペクトル線が、弱い磁界中で分裂をする。磁界の方向に垂直での観測において、ゼーマン構造線スペクトル間の間隔はΔω＝１．３２×１０１０／ｓ。線源が置かれている磁界の磁束密度を求めよ。
５．２１８． 磁束密度Ｂ＝１．９０ｋＧの弱い磁界中で、あるスペクトル線を観測すると、スペク
トル線はトリプレットであり、両端の間隔はΔω＝５．０×１０１０／ｓであった。スペクトル線に対応している遷移が行われている状態の内の１つはＤ２。この状態の多重度を求めよ。
５．２１９． ２Ｓ１／２状態への遷移によるあるスペクトル線が、弱い磁界中で、６つの成分に分離した。出発の状態の分光学項を記せ。
- 58 -

５．２２０． ２Ｐ→２Ｓによる、ナトリウムの黄色い線のダブレットの波長は５８９．５９ｎｍと５８９．００ｎｍである。以下を求めよ。（ａ）弱い磁界中で、準位 ２Ｐ ３／２と準位 ２Ｐ １／２のゼーマン分裂の隣り合う副準位の間の間隔の関係。
（ｂ）状態 ２Ｐ３／２のゼーマン分裂の隣り合う副準位の間隔が、２状態 Ｐの固有の分裂よりη＝５０倍小さい時の、磁場の磁束密度Ｂ。
５．２２１． 弱い磁場中において、準位２Ｐ ３／２と準位２Ｓ１／２の間の可能な遷移図を描写せよ。磁束密度Ｂ＝４．５ｋＧにおいて、このスペクトル線のゼーマン成分の変異Δωを計算せよ。
５．２２２． 異常ゼーマン効果を受けている同じスペクトル線を、１の方向と、鏡で反射後の２の方向で観察する。図５．１２参照。以下の遷移によるスペクトル線とすれば、両方の方向で、幾つの分離線が観察されるか。（ａ）２Ｐ ３／２→２Ｓ １／２。（ｂ）３Ｐ２→３Ｓ１。
５．２２３．
を計算せよ。

磁束密度Ｂ＝３．４ｋＧの弱い磁場中で、 ３Ｄ３→３Ｐ２のスペクトル線の分裂全幅Δω

５．２２４．
を求めよ。

最初の励起回転準位にある分子Ｓ２の回転角速度

５．２２５． ＨＣｌ分子において、エネルギー差が７．８６ｍ
ｅＶである２つの隣り合う回転量子数を求めよ。
５．２２６． 回転エネルギーがＥ＝２．１６ｍｅＶである酸素分子の角運動量を求めよ。
５．２２７． ２原子分子において、３つの連続する回転準位間の間隔がΔＥ １ ＝０．２０ｍｅＶ、ΔＥ ２ ＝０．３０ｍｅＶとして概値である。中間準位の回転量子数と、分子の対応する慣性モーメントを求めよ。
５．２２８． 慣性モーメントがＩ＝１．１６×１０−３９ｇ・ｃｍ２の２原子分子が、回転エネルギーがＥ＝１．８ｍｅＶの状態にある。この状態からの遷移において分子が放出する光子（回転スペクト
ルに合致している）の振動数ωを求めよ。
５．２２９． ２原子分子の回転スペクトルの隣り合うスペクトル線間の周波数間隔は、同じ大きさを持っていることを示せ。ＣＨ分子の原子の距離と、慣性モーメントを求めよ。この分子の回転スペ
クトルの隣り合うスペクトル線の間隔はΔω＝５．４７×１０１２／ｓである。
５．２３０． ＨＦ分子がある。第ゼロ励起振動準位と、第一励起振動準位の間にある回転準位数を求めよ。回転状態は振動状態に依存しないと見なす。
５．２３１． ＣＯ分子の回転スペクトルには幾つの線が含まれているか。分子の慣性モーメントは
Ｉ＝１．４４×１０ −３９ｇ・ｃｍ２とする。
５．２３２． ２原子分子において、単位エネルギー間隔ｄＮ／ｄＥの間にある回転準位数を、回転量子数ｒと回転エネルギーＥに依存する形で、求めよ。ヨウ素原子について、ｒ＝１０である場合についてその値を計算せよ。
５．２３３． ２原子分子の第一振動準位と第一回転準位への励起のために必要なエネルギーの比を求めよ。以下の分子についてこの比を計算せよ。（ａ）Ｈ ２。（ｂ）ＨＩ。（ｃ）Ｉ２。
５．２３４． ＨＣｌ分子の放出する振動−回転スペクトル帯中には、選択則で禁止されている「第ゼロ」線がなく、隣り合う線の間隔はΔω＝０．７９×１０１３／ｓ。ＨＣｌ分子において、原子核間距離を求めよ。
５．２３５． Ｆ ２分子のラマン散乱の振動スペクトルにおいて、不変位線近傍の赤方側線スペクト
ルと青方測線スペクトルの波長を求めよ。入射光の波長はλ０＝４０４．７ｎｍである。
５．２３５． 光のラマン散乱の振動スペクトルにおいて、不変位線近傍の赤方側線スペクトルと青方測線スペクトルの波長が３４６．６ｎｍ、３３０．０ｎｍである。Ｓ ２分子の固有振動周波数と、準弾性力係数を求めよ。
５．５．

原子核と放射能●核種−一定の原子核を持った原子（例えば、核種 １４Ｃ、核種 ２３Ｍｇ）。同じ原子番号Ｚを持ち、異- 59 -

なった質量数Ａを持っている核種は同位元素という（例えば、５８Ｃｏと５９Ｃｏ）。
●質量数Ａの原子核半径（５．５ａ）
Ｒ＝１．３Ａ１／３ｆｍ●原子核の結合エネルギー（５．５ｂ）
Ｅ＝ＺｍＨ＋（Ａ−Ｚ）ｍｎ−Ｍ
ここで、ｍＨは水素核種１Ｈの質量，ｍｎは中性子の質量、Ｍはその原子核に対応した核種の質量。
計算の場合、次の公式が便利である。
（５．５ｃ）
Ｅ＝ＺΔＨ＋（Ａ−Ｚ）Δｎ−Δは対応する核種の質量の余剰分。（Δ＝Ｍ−Ａ、ここで、Ｍは原子質量単ここで、Δ Ｈ 、Δ ｎ、Δ位での核種の質量）●放射性崩壊の基本法則（５．５ｄ）
Ｎ＝Ｎ ０ｅ −λｔ●崩壊定数λ、平均寿命τ、半減期Ｔの間の関係
λ＝１／τ、τ＝Ｔ／ｌｎ２（５．５ｅ）●活性度
Ａ＝絶対値（ｄＮ／ｄｔ）＝λＮ（５．５ｆ）●比活性度とは物質の単位質量あたりの活性度
５．２３７． 原子核の半径はＲ＝１．３Ａ１／３（単位ｆｍ）。ここでＡは質量数。この式を用いて、原子核の密度を求めよ。原子核の単位体積当たりの核子数を求めよ。
５．２３８． 原子核中の陽子数と中性子数が同じであり、原子核半径は２７Ａｌも原子核半径より１．
５倍小さい。この原子核の結合エネルギーを求めよ。
５．２３９． 核種（原子核）の質量値表を使用して、以下を求めよ。（ａ）原子核 １６Ｏの１つの核子当たりの平均結合エネルギー。（ｂ）原子核 １１Ｂ中の中性子とα粒子の結合エネルギー。（ｃ）原子核 １６Ｏを４つの同じ核子群に分解するために必要なエネルギー。
５．２４０．

原子核１１Ｂ中での、中性子と陽子の結合エネルギーの差を求めよ。

５．２４１． 原子核２０Ｎｅを、２つのα粒子と原子核１２Ｃに分解するために必要なエネルギーを求めよ。原子核 ２０Ｎｅ、４Ｈｅ、１２Ｃ中で、１つの核子当たりの結合エネルギーは８．０３ＭｅＶ、７．
０７ＭｅＶ、７．６８ＭｅＶとする。
５．２４２． 質量をａｓｍ（原子質量）単位で計算せよ。（ａ）核種 ８ Ｌｉ。この原子核の結合エネルギーは４１．３ＭｅＶ。（ｂ）１つの核子当たり６．０４ＭｅＶの結合エネルギーを持っている原子核１１Ｃ。
５．２４３． 原子核の崩壊定数λが概値として、以下を求めよ。（ａ）原子核が、時刻０からｔの間に崩壊する確率。（ｂ）原子核の平均寿命τ。
５．２４４．
るか。

半減期が７１．３昼夜である放射性コバルト原子核は、一月で如何ほどの割合崩壊す

５．２４５． 半減期が１５時間である２４Ｎａは、１μｇで１時間当たり何個のβ粒子を放出するか。
５．２４６． ２３Ｎａのβ崩壊の研究において、時刻ｔ＝０で、計測器をオンとした。ｔ １＝２．０
ｓで、計測器はＮ１個β粒子をカウントした。ｔ ２＝３ｔ１で、２．６６倍多くカウントした。この原子核の平均寿命を求めよ。
５．２４７．
よ。

ある放射性物質の活性は７．０昼夜で、２．５倍弱くなる。この物質の半減期を求め

５．２４８． 最初、ある放射性物質の放射能は、１．２０×１０ ６ベクレルである。半減期の半分の期間を経た後この物質の放射能はどうなっているか。
５．２４９．
命を求めよ。

５５

Ｃｏの放射能は、６０分で４．０％だけ弱くなる。この原子核の崩壊定数と平均寿５．２５０． 質量１．０ｇの２３８Ｕの試料が１秒間に１．２４×１０４個のα粒子を放出する。試料の半減期を求めよ。
５．２５１． 古代の木材片中の１４Ｃの比放射能は、倒れたときの １４Ｃの比放射能のη＝０．６倍である。古代の木材片の経過年齢はいくらか。１４Ｃの半減期は５５７０年。
- 60 -

５．２５２． ウラン鉱石中で、原子核 ２０６Ｐｂの個数に対する原子核２３８Ｕの個数の比は、η＝２．
８。鉛２０６Ｐｂ全てが、ウラン系列の崩壊の最終生成物であると見なし、鉱石の年齢を求めよ。２３８Ｕの半減期は４．５×１０９年。
５．２５３．
求めよ。

２４

Ｎａ、２３５Ｕの半減期は各々１５時間、７．１×１０８年である。各々の比放射能を

５．２５４． 人の血液中に、放射能Ａ＝２０００ベクレルの２４Ｎａを含んだ溶液を少し注入した。
ｔ＝５時間経過した後、血液１ｃｍ３中の放射能はＡ ＝０．２６７ベクレル／ｃｍ ３。 ２４Ｎａの半減期はＴ＝１５時間。人間の血液の総量を求めよ。
５．２５５． 放射性コバルト５８Ｃｏと非放射性コバルト ５９Ｃｏからなる試料の比放射能は２．２×
１０ １２ベクレル／ｇ。５８Ｃｏの半減期は７１．３昼夜。試料の質量に対する、この試料中の放射性コバルトの質量比を求めよ。
５．２５６． 半減期がＴ＝１４．３昼夜である放射性元素３２Ｐが、核反応において、速度ｑ＝２．
７×１０ ９原子核／ｓで形成される。この放射性元素の形成から、いかほどの時間で、その放射能は
Ａ＝１．０×１０９ベクレルとなるか。
５．２５７． 崩壊定数λ １の原子核Ａ １が、崩壊定数λ２をもつ原子核に変換する。時刻ｔ＝０の時、試料は原子核Ａ １ のみを量Ｎ １０ だけ持っていたとする。以下を求めよ。（ａ）時間毎における原子核
Ａ２の蓄積式。（ｂ）原子核Ａ２の量が最大となる時刻ｔ最大。
５．２５８．

λ１＝λ２＝λとして、前問を解け。

５．２５９． （ａ）５回のα崩壊と、４回のβ崩壊により、α活性 ２２６Ｒａから、どのような原子核が生成されるか。（ｂ）最終的に、安定した ２０６Ｐｂとなるまでに、 ２３８Ｕは何回のα崩壊と、何回のβ崩壊を行うか。
５．２６０． 静止している原子核２００Ｐｏが運動エネルギーＫ α＝５．７７ＭｅＶのα粒子を放出した。娘核の反跳速度を求めよ。この過程で自由になったエネルギーの内のどれだけが、娘核の反跳エネルギーとなったか。
５．２６１． １．００ｍｇの ２１０Ｐｏの試料は、平均寿命の間の期間に、いかほどの熱量を放出するか。放出されるα粒子は運動エネルギー５．３ＭｅＶを有し、殆ど全ての娘核は直接基底状態を形成するものとする。
５．２６２． 原子核 ２１０Ｐｏのα崩壊（基底状態からの）は、運動エネルギーが５．３０ＭｅＶ、
４．５０ＭｅＶの２つのグループのα粒子を放出する。結果として、娘核は各々基底状態と励起状態にあることとなる。励起原子核から放出されるγ量子のエネルギーを求めよ。
５．２６３． 通常条件下で、空気中のα粒子の平均経路長は、式Ｒ＝０．９８×１０ −２７ｖ ０３ｃｍで決まる。ここで、ｖ ０はｃｍ／ｓの単位で、α粒子の初期速度。初期運動エネルギー７．０ＭｅＶを持つα粒子について、以下を求めよ。（ａ）その平均経路長。（ｂ）全経路長Ｒに渡ってα粒子が形成するイオン蒸気の平均数。及び系全経路長の最初の半分での平均数。１個のイオン蒸気の形成エ
ネルギーは３４ｅＶとする。
５．２６４． 母核の質量Ｍ母、娘核の質量Ｍ娘、電子の質量ｍが概値とする。β−崩壊とβ＋崩壊で、かつＫ電子捕獲において、放出されるエネルギーＱを求めよ。
５．２６５． 核子の質量表を使い、原子核１０Ｂｅによって放出されるβ粒子の最大運動エネルギー、
また、直接基底状態に形成される対応する娘核の運動エネルギーを求めよ。
５．２６６． 質量ｍ＝１．０ｍｇのβ −崩壊をする ２４Ｎａによって、１昼夜に放出される熱量を求めよ。全てのβ粒子は平均として、崩壊において最も可能なエネルギーの１／３に等しいエネルギーを持つものとする。 ２４Ｎａの半減期はＴ＝１５時間。
５．２６７． 核種の質量表を利用して、原子核 １１Ｃから放出される陽電子と中整備士の運動エネル
ギーを計算せよ。娘核は反跳を受けないものとする。
５．２６８． 原子核１３Ｎの陽電子崩壊に伴う反跳原子核の運動エネルギーを求めよ。陽電子のエネ
ルギーは最大とする。
５．２６９． 核種の質量表を利用して、 ７Ｂｅの核子中にＫ捕獲の結果発生した原子核の速度を求めよ。娘核は直接基底状態にあるとする。
- 61 -

５．２７０． 基底状態に遷移した励起原子核 １０９Ａｇが、エネルギー８７ｋｅＶのγ量子を放出す
るか、転換Ｋ電子（この電子の結合エネルギーは２６ｋｅＶ）を放出する。これらの電子の速度を求めよ。
５．２７１． 励起エネルギーＥ＝１２９ｋｅＶを持っている自由に静止している原子核１９１Ｉｒが、γ量子を放出して、基底状態に遷移した。原子核の反跳の結果起こるγ量子のエネルギーの相対変化を計算せよ。
５．２７２． エネルギーＥ＝１２９ｋｅＶを持っているγ量子の最大の吸収を観測するためには、
自由原子核１９１Ｉｒで出来ている吸収体と、線源はいかほどの速度で接近する必要があるか。
５．２７３． 吸収体の上方ｈ＝２０ｍの所に、γ量子源が配置されている。吸収体の配置されている場所で、地球の引力場中におけるγ量子のエネルギーの重力による変化分を補償するためには、線源を上方にいかほどの速度で移動させる必要があるか。留意点：メスバウワ効果である。
５．２７４． 地表面での検出において、メスバウワ線の重力変移が自身の線幅を超えるためには、励起原子核６７Ｚｎを有しているγ量子源を最小どれだけの高さに持ち上げる必要があるか。記録されるγ量子はエネルギーＥ＝９３ｋｅＶを持ち、γ量子は原子核６７Ｚｎの基底状態への遷移で発生するものとする。また、励起状態の平均寿命はτ＝１４μｓである。
５．６．

核反応

●核反応
ｍ＋Ｍ→Ｍ＊→ｍ ＋Ｍ ＋Ｑのエネルギー図が図５．１３に示されている。ここで、ｍ＋Ｍとｍ＋Ｍ は反応前後の静止している粒子の質量の総和、Ｋ 〜 とＫ 〜 は反応前後の粒子の運動エネルギーの総和（質量中心系で）、Ｅ＊は中間原子核の励起エネルギー、Ｑは反応エネルギー、ＥとＥ は中間原子核における粒子ｍと粒子ｍ の結合エネルギー。１，２，３は中間原子
核のエネルギー準位。
●吸エネルギー核反応となる飛んできた粒子のしきい値運動エネルギー
Ｋしきい値＝｜Ｑ｜（ｍ＋Ｍ）／Ｍ
ここで、ｍとＭは飛んできた粒子の質量と、標的の原子核の質量。
● ？ 核反応の収率−核相互作用を受けた粒子の相対割合
５．２７５． 運動エネルギーＫ α＝７．０ＭｅＶを持ったα粒子が、最初静止していた原子核６Ｌ
ｉで弾性散乱された。両方の粒子の飛行方向のなす角度がθ＝６０°として、反跳原子核の運動エネ
ルギーを求めよ。
５．２７６． 最初静止していた重水素と、中性子が弾性衝突をした。中性子が失った運動エネルギ
ーの相対的割合を、以下の場合について求めよ。（ａ）側面衝突の場合。（ｂ）直角の散乱角度の場
合。
５．２７７．
度を求めよ。

重水素が、最初静止している陽子と弾性衝突をして散乱されるとき、最大可能散乱角（ｂ）１７Ｏ（ｄ、
５．２７８． 以下の核反応式で、未知記号ｘを記せ。
（ａ）１０Ｂ（ｘ、α）８Ｂｅ。
２３２０３７ｎ）ｘ。（ｃ） Ｎａ（ｐ、ｘ） Ｎｅ。（ｄ）ｘ（ｐ、ｎ） Ａｒ。
５．２７９． 核反応式Ａ１＋Ａ２→Ａ３＋Ａ４で、原子核の結合エネルギーＥ１，Ｅ２，Ｅ ３，Ｅ４が知れている。反応エネルギーを求めよ。
５．２８０． 原子核２３５Ｕの１回の分裂で、エネルギー２００ＭｅＶが開放される。以下を求めよ。
（ａ） ２３５Ｕ１ｋｇの燃料から放出されるエネルギー。この放出エネルギーに等価なエネルギーを放出する石炭の量。石炭は１ｇで３０ｋＪのエネルギーを出す。（ｂ）ＴＮＴ火薬３０ｋｔに相当する
原子爆弾の爆発時に、分裂を受けるべき同位元素 ２３５Ｕの質量。ＴＮＴ火薬の熱量は１ｇ当たり４．
１ｋＪ。
５．２８１． 重水素２Ｈから１ｇの４Ｈｅを生成するとき、どれだけの熱量が放出されるか。どれだ
けの石炭の量がこの熱量に等価であるか。石炭の熱量は１ｇ当たり３０ｋＪ。
５．２８２．

核種の質量表を利用して、核反応 ６Ｌｉ＋ ２Ｈ→２ ４Ｈｅの過程で放出される１個の核- 62 -

子当たりのエネルギーを計算せよ。得られた大きさを、原子核 ２３５Ｕの分裂の際に開放される１個あたりの核子のエネルギーを比較せよ。
５．２８３． ７Ｌｉ＋ｐ→２４Ｈｅの反応エネルギーを求めよ。原子核７Ｌｉ，４Ｈｅの核子１個あたりの結合エネルギーは各々５．６０ＭｅＶ、７．０６ＭｅＶである。
５．２８４． １４Ｎ（α、ｐ）１７Ｏの反応エネルギーを求めよ。飛んで当たるα粒子の運動エネルギ
ーはＫα＝４．０ＭｅＶ、α粒子の運動方向と角度θ＝６０°をなして飛び去る陽子はエネルギーＫ
ｐ＝２．０９ＭｅＶを持っているものとする。
５．２８５． 核種の質量表を利用して、以下の反応のエネルギーを算出せよ。（ａ） ７ Ｌｉ（ｐ，ｎ） ７Ｂｅ。（ｂ）９Ｂｅ（ｎ，γ）１０Ｂｅ。（ｃ）７Ｌｉ（α、ｎ）１０Ｂ。（ｄ）１６Ｏ（ｄ，α）１４Ｎ。
５．２８６． 静止しているホウ素の原子核と非常に遅い中性子との相互作用の結果として生じる反応１０Ｂ（ｎ，α）７Ｌｉにおいて、生成物の速度を、核種の質量表を利用して求めよ。
５．２８７． 静止しているリチウムの標的に飛んできて当たった陽子が、７Ｌｉ（ｐ，ｎ）７Ｂｅの反応を生起する。陽子の運動エネルギーが幾らの時、生成された中性子は静止していることが出来るか。
５．２８８． ？ 運動エネルギーＫ＝５．３ＭｅＶを持つα粒子が、 ９Ｂｅ（α、ｎ） １２Ｃの反応を起こす。その（？）エネルギーはＱ＝＋５．７ＭｅＶ。α粒子の運動方向と直角をなす方向に飛び去る中性子の運動エネルギーを求めよ。
５．２８９． 運動エネルギーＫ＝１．０ＭｅＶを持つ陽子が、ｐ＋７Ｌｉ→２４Ｈｅの反応を生起するように、リチウムの標的に打ち当たる。各々のα粒子の運動エネルギーと、各々の飛行する方向のなす角度を求めよ。分列飛行は飛込んできた陽子の方向に対して対称的に起こるものとする。
５．２９０． エネルギー吸収を伴う核反応をするように、質量ｍの粒子が、質量Ｍの静止している
原子核に打ち当たる。この反応が可能であるとき、しきい値（最小値）運動エネルギーは公式Ｋ しきい値
＝Ｑ（ｍ＋Ｍ）／Ｍ で決められることを証明せよ。Ｑは反応エネルギー。
５．２９１． 結合エネルギーがＥ結合＝２．２ＭｅＶの原子核 ２Ｈを分列させるためには、如何ほどの運動エネルギーを陽子に与える必要があるか。
５．２９２． リチウムとベリリウムでできている標的を、単色エネルギービームの陽子で照射した
とき、核反応 ７Ｌｉ（ｐ，ｎ）７Ｂｅ−１．６５ＭｅＶは行われ、９Ｂｅ（ｐ，ｎ）９Ｂｅ−１．８５Ｍ
ｅＶは行われなかった。陽子の運動エネルギーの可能な値を求めよ。
５．２９３． 静止している原子核１１Ｂにおける反応（ｎ、α）を生起するための中性子のしきい値
運動エネルギーはＫ しきい値＝４．０ＭｅＶである。この反応のエネルギーを求めよ。
５．２９４．原子核 ７Ｌｉにおける、反応（ｐ，ｎ）と（ｐ、ｄ）のための陽子の限界運動エネルギ
ーを求めよ。
５．２９５． 核種の質量表を利用して、反応 ７Ｌｉ（α、ｎ） １０Ｂを生起させるためのα粒子の限界運動エネルギーを求めよ。この時、原子核１０Ｂの速度はいくらか。
５．２９６．運動エネルギーＫ＝１０ＭｅＶを持つ中性子が、 １２Ｃ（ｎ、α） ９Ｂｅの反応を生起する。このしきい値はＫしきい値＝６．１７ＭｅＶ。飛込んだ中性子の方向に対して直角をなして飛び去る
α粒子の運動エネルギーを求めよ。
５．２９７． 反応γ＋２Ｈ→ｎ＋ｐにおいて、γ量子のしきい値エネルギーは、原子核２Ｈの結合エ
ネルギーＥ結合＝２．２ＭｅＶを、何％超えるか。
５．２９８． 運動エネルギーＫ＝１．５ＭｅＶを持っている陽子が、静止している原子核２Ｈに捕獲された。生成された原子核の励起エネルギーを求めよ。
５．２９９． 飛んできて当たる重水素の運動エネルギーが、０．６０ＭｅＶ，０．９０ＭｅＶ，１．
５５ＭｅＶ，１．８０ＭｅＶの時、１３Ｃ（ｄ，ｎ）１４Ｎの反応生成が最大となる。核種の質量表を利用して、この反応が進行するときの中間原子核の対応するエネルギー準位を求めよ。
５．３００．熱中性子の細いビームが、厚さｄ＝０．５０ｍｍのカドニウム板を通過して、η＝３６０倍だけ弱まる。カドニウム原子核と熱中性子との間の相互作用断面積を求めよ。
- 63 -

５．３０１． 熱中性子の細いビームは、厚さｄ＝５．０ｃｍの重水の層を通過した後、強度は何倍弱まるか。熱中性子に対する重水素原子核と酸素原子核の相互作用断面積は各々σ１＝７．０ｂ、σ ２＝４．２ｂ。（ｂは面積の単位。バルン。１ｂ＝１０−２８ｍ２）
５．３０２． 熱中性子の細いビームが、鉄の板を通過する。吸収断面積と散乱断面積は各々σ吸収＝２．５ｂ、σ散乱＝１１ｂ。鉄板の厚さはｄ＝０．５０ｃｍ。散乱の結果ビームから離れる中性子の割合を求めよ。
５．３０３． ？ 放射性同位元素の形成を伴う核反応の生成効率は２つの要素に依存しているといえる。１つは、爆撃する粒子数に対する核反応をする粒子数の比ｗ。もう一つは、爆撃する粒子数に対する生成される放射性同位元素の活性量（？）の比ｋ。以下を求めよ。
（ａ）ｗとｋが概値として、放射性同位元素の半減期。（ｂ）陽子ビーム（ビーム電流Ｉ＝１０μＡで、時間長ｔ＝２．０時間）
でリチウム標的を照射した後、７Ｂｅ活性量はＡ＝１．３５×１０８ベクレルであり、その半減期はＴ＝５３昼夜であった。反応７Ｌｉ（ｐ，ｎ）７Ｂｅのｗ。
５．３０４． 安定している １９７Ａｕからできている金箔を熱中性子で、表面の法線に沿って照射する。ビームの密度はＪ＝１．０×１０ １０ ／（ｓ・ｃｍ ２）。金箔の質量はｍ＝１０ｍｇ。中性子を捕獲した結果、β活性 １９８Ａｕが生成した。この生成断面積はσ＝９８ｂ、半減期はＴ＝２．７昼夜。
以下を求めよ。（ａ）原子核 １９７Ａｕの数が、η＝１０％減少するの要する照射時間。（ｂ）長時間の照射の過程で生成される１９８Ａｕ原子核の最大数。
５．３０５． ある安定同位元素でできている薄膜を、その表面に垂直に熱中性子で照射する。中性子の捕獲の結果、崩壊係数λの放射性同位元素が生成される。薄膜表面単位当たり、この放射性元素の蓄積式Ｎ（ｔ）を求めよ。中性子流の密度はＪ、薄膜表面の単位面積当たりの原子核数はｎ、活性原子核の生成断面積はσ。
５．３０６． 質量ｍ＝０．２０ｇの金箔を、ｔ＝６．０時間に渡って、膜面に垂直に熱中性子ビー
ムで照射した。照射終了後、τ＝１２時間経過したときの金箔の活性はＡ＝１．９×１０ ７ベクレルであった。放射性同位元素の原子核形成断面積はσ＝９６ｂ、その半減期はＴ＝２．７昼夜である。
中性子束の密度を求めよ。
５．３０７． Ｎ ０＝１０００個の中性子から分裂過程が始まり、増殖係数がｋ＝１．０５の媒質中でこの過程が行われるとすれば、１００世代後では中性子数は幾らとなるか。
５．３０８． 熱出力Ｐ＝１００ＭＷのウラン原子炉で、単位時間当たりに生成する中性子数を求めよ。核分裂において生ずる中性子数はν＝２．５とする。核分裂においてエネルギーＥ＝２００Ｍｅ
Ｖが放出されるものとする。
５．３０９． 熱中性子の原子炉では、中性子の１世代の平均寿命はτ＝０．１０ｓ。増殖係数ｋ＝
１．０１０として、以下を求めよ。
（ａ）？ 原子炉内の中性子数は何倍となるか。つまり、ｔ＝１．
０分当たりの原子炉の出力。（ｂ）原子炉の出力がｅ倍となる時間。則ち、原子炉の周期Ｔ。
５．７．

素粒子

●ｍ＋Ｍ→ｍ １＋ｍ２＋・・・の吸エネルギー反応を生起するため、静止している質量Ｍの粒子に飛んできて衝突する質量ｍの運動エネルギーのしきい値（５．７ａ）
Ｋしきい値＝（（ｍ１＋ｍ２＋・・・）２−（ｍ＋Ｍ） ２）ｃ２／２Ｍ
ここで、ｍ、Ｍ，ｍ １，ｍ ２，・・・は対応する粒子の静止質量。
●素粒子で使用される量子数
Ｑ−電子荷電Ｌ−レプトン荷電
Ｂ−バリオン荷電Ｔ−アイソスピン、Ｔｚ−その投射
Ｓ−ストレンジネス、Ｓ＝２＜Ｑ＞−Ｂ
Ｙ−ハイパーチャージ、Ｙ＝Ｂ＋Ｓ●強く相互作用している粒子の量子数間の関係（５．７ｂ）
Ｑ＝Ｔ ｚ＋Ｙ／２＝Ｔｚ＋（Ｂ＋Ｓ）／２●粒子の相互作用において、Ｑ，Ｌ，Ｂ荷電の保存法則は満たされる。強い相互作用においては、Ｓ（又はＬ），Ｔ、Ｔｚの保存法則も満たされる。
●クオークの量子数
Ｓ
クオーク
Ｑ
Ｂ
Ｔ
Ｔz
ｕ
２／３
１／３
１／２
１／２
０
ｄ
−１／３
１／３
１／２ −１／２ ０
ｓ
−１／３
１／３
０
０
−１
- 64 -

各々のクオークのスピンは１／２。対応する半クオークＱ，Ｂ，Ｔ ｚ，Ｓの値の符号は反対である。
５．３１０． 運動量が０．１０ＧｅＶ／ｃ、１．０ＧｅＶ／ｃ、１０ＧｅＶ／ｃの陽子の運動エネ
ルギーを計算せよ。ここで、ｃは光速度。
５．３１１． 自身の静止エネルギーのη＝１．５倍大きい運動エネルギーを持つπ中間子が進行する経路長を求めよ。非常に遅いπ中間子の平均寿命はτ０＝２５．５ｎｓである。
５．３１２． 運動エネルギーＫ＝１００ＭｅＶを持つπ ＋中間子が、生成した箇所から崩壊するま
でに、距離ｌ＝１１ｍ進む。この中間子の固有寿命を求めよ。
５．３１３． π−中間子ビームがある。その運動エネルギーＫは、自身の静止エネルギーと等しい。
お互いにｌ＝２０ｍ離れているビームの断面中の中間子ビームの比を求めよ。この中間子の固有平均
寿命はτ０＝２５．５ｎｓである。
５．３１４． 停止しているπ ＋中間子はミューオン（μ中間子）とニュートリノ（ν、中性微子）に分裂する。ミューオンの運動エネルギーと、ニュートリノの運動エネルギーを求めよ。
５．３１５． 停止しているΣ −ハイペロン（ストレンジネスが０ではないバリオンの総称）の崩壊（Σ −→ｎ＋π−）で生じるニュートリノの運動エネルギーを求めよ。
５．３１６． 静止しているμ ＋がポジトロン（陽電子）と２つのニュートリノに分裂する。ポジト
ロンの最大可能運動エネルギーを求めよ。
５．３１７． 静止している中性の粒子が運動エネルギーＫ＝５．３ＭｅＶを持ったプロトンとπ −中間子に分裂した。この粒子の質量を求めよ。名称は何か。
５．３１８． 実験室観測系において、静止しているカオン（Ｋ粒子）のＫ＋→μ＋＋νの崩壊で形成されたミューオンの平均寿命を求めよ。
５．３１９． エネルギーＫ＝５０ＭｅＶを持っているπ−中間子が、飛行中に、ミューオンとニュートリノに分裂した。π−中間子が飛んできた方向に対して直角をなす方向に飛び去ったニュートリ
ノのエネルギーを求めよ。
５．３２０． 運動エネルギーＫΣを持っている相対論的Σ＋ハイペロンが、飛行中に、中性粒子とπ中間子に分裂した。中間子はハイペロンの運動方向と直角の角度方向にエネルギーＫπを持って飛び去った。静止している中性粒子のエネルギーを求めよ。
＋

５．３２１． π ０中間子が飛行中に、同じエネルギーを持つ２つのγ量子に分裂した。γ量子の飛
行方向の角度はθ＝６０°。π中間子の運動エネルギーと、各々のγ量子のエネルギーを求めよ。
５．３２２． 質量ｍの相対論的粒子が、質量Ｍの静止している粒子との衝突の結果、新しい粒子の生成反応を引き起こす。ｍ＋Ｍ→ｍ１＋ｍ２＋・・・・、ここで、右に記述した質量記号は生成した粒子である。不変量Ｅ ２−ｐ ２ｃ ２の公式を利用して、この反応における粒子ｍの限界運動エネルギーは式Ｋ 限界＝（（ｍ１＋ｍ２＋・・・）２−（ｍ＋Ｍ）２）ｃ２／（２Ｍ）であることを証明せよ。
５．３２３． 運動エネルギーＫ＝７５０ｋｅＶを持つポジトロン（陽電子）が静止している自由電子に衝突する。対消滅の結果、同じエネルギーを持つ２つのγ量子が発生する。２つの量子の飛行方
向のなす角度を求めよ。
５．３２４． 以下を生成するために必要なγ量子のしきい値エネルギーを求めよ。（ａ）静止している陽子の場中で、電子−陽電子対。（ｂ）静止している陽子の場中で、中間子π −−中間子π ＋対。
５．３２５．

反応ν〜＋ｐ→ｎ＋ｅ＋において、反ニュートリノのしきい値エネルギーを求めよ。

５．３２６． 運動エネルギーＫを持つ陽子が、動いていない水素の標的に飛んできて当たる。以下の反応を起こすために必要なＫのしきい値を求めよ。（ａ）ｐ＋ｐ→ｐ＋ｐ＋ｐ＋ｐ 〜。（ｂ）ｐ＋ｐ→ｐ＋ｐ＋π ０。
５．３２７． 水素の標的を、π中間子で照射する。以下の反応が可能となるために、この中間子の運動エネルギーのしきい値を計算せよ。（ａ）π −＋ｐ→Ｋ＋＋Σ−。（ｂ）π０＋ｐ→Ｋ＋＋Λ０。
５．３２８． 次の反応において、反陽子を生成するためのしきい値エネルギーを計算せよ。先頭が飛んできて当たる粒子である。（ａ）ｅ −＋ｅ −→ｅ −＋ｅ −＋ｐ＋ｐ 〜。（ｂ）γ＋ｅ −→γ＋ｅ −＋ｐ＋
ｐ 〜。
- 65 -

５．３２９． 運動エネルギーＫ＝４．０ＧｅＶを持つ陽子が、反応ｐ＋ｐ→ｐ＋ｐ＋Ｎπを生起する。標的は不動であるとして、反応の結果生ずるπ中間子の数Ｎの最大値を求めよ。
５．３３０． 荷電スピンの投射成分はＴ ｚ＝＋１／２、バリオン荷電がＢ＝＋１の中性素粒子のス
トレンジネスＳとハイパーチャージＹを求めよ。この素粒子の名称は何か。
５．３３１． 以下の反応の中で、レプトン荷電の保存則によって禁止されるのはどれか。（１）ｎ→ｐ＋ｅ −＋ν。（２）π ＋→μ ＋＋ｅ −＋ｅ ＋。（３）π −→μ −＋ν。（４）ｐ＋ｅ −→ｎ＋ν。（５）μ ＋→ｅ ＋＋ν＋ν〜。（６）Ｋ−→μ−ν〜。
５．３３２． 以下の反応において、ストレンジネス保存則によって禁止されているのはどれか。
（１）π −＋ｐ→Σ −＋Ｋ ＋。（２）π −＋ｐ→Σ ＋＋Ｋ −。（３）π −＋ｐ→Ｋ ＋＋Ｋ −＋ｎ。（４）ｎ＋ｐ→Λ ０＋
Σ＋。（５）Π−＋ｎ→Ξ−＋Ｋ＋Ｋ −。（６）Ｋ −＋ｐ→Ω−＋Ｋ＋＋Ｋ０。
５．３３３． 以下の反応が禁止される理由を示せ。（１）Σ −→Λ ０＋π −。（２）π −＋ｐ→Ｋ ＋＋Ｋ。（３）Ｋ − ＋ｎ→Ω − ＋Ｋ ＋＋Ｋ ０。（４）ｎ＋ｐ→Σ ＋ ＋Λ ０。（５）π − →μ − ＋ｅ ＋ ＋ｅ −。（６）μ −→ｅ −＋νｅ＋ν〜μ。
−

５．３３４．

３つのクオークから、陽子、中性子、Σ−ハイペロンを構築せよ。

５．３３５．

クオークと半クオークから次の中間子を構築せよ。π＋、Ｋ−、Ｋ０。

５．３３６．

Ｋ＋中間子のクオーク成分を記せ。同じくΛハイペロンとΩ−ハイペロンについても。

- 66 -

第６部
６．１．

マクロ系の物理

気体の状態方程式。過程●理想気体の状態方程式
ｐＶ＝ｎＲＴ
ここで、ｎ＝ｍ／Ｍ、Ｍはモル質量●気圧公式
ｐ＝ｐ ０ｅ −Ｍｇｈ／ＲＴ
ここで、ｐ０は高度ｈ＝０での気圧。
●ファンデアワールス気体の状態方程式（１モルで）（ｐ＋ａ／ＶＭ２）（ＶＭ−ｂ）＝ＲＴ
ここで、ＶＭは、圧力ｐ、温度Ｔで占めているモル体積。

（６．１ａ）（６．１ｂ）（６．１ｃ）

６．１． 体積Ｖ＝３０リットルの容器中に、温度０°の理想気体が入っている。気体の一部を外部に排出した後、容器内の圧力は、温度の変化なしで、Δｐ＝０．９８気圧だけ低下した。排出した気体の質量を求めよ。標準状態におけるこの気体の密度はρ＝１．３ｇ／リットル。
６．２． ２つの同形の容器を、栓付きのパイプで連結する。圧力差がΔＰ≧１．１０気圧の時、片方の容器から他方の容器に気体が流れる。最初、片方の容器は真空で、他方の容器には温度ｔ １＝２
７℃、圧力ｐ １＝１．００気圧の理想気体が入っている。そして、両方の容器を温度ｔ２＝１０７℃まで加熱した。真空であった容器中の気体の圧力を求めよ。
６．３． モル質量Ｍの気体が２枚の同形の水平な板の間に圧力ｐで存在している。気体の温度は下の板のところでＴ１，上の板のところでＴ２，その間は線形的に変化している。板の間の気体の体積はＶ。気体の質量を求めよ。
６．４． 体積Ｖ＝２０Ｌの容器が、温度ｔ＝２０℃、圧力ｐ＝２．０気圧の水素とヘリウムの混合気体を納めている。混合気体の質量はｍ＝５．０ｇ。ヘリウムの質量に対する水素の質量の比を求めよ。
６．５． 容器中に、窒素ｍ１＝７．０ｇ、二酸化炭素ｍ２＝１１ｇの混合気体が、温度Ｔ＝２９０Ｋ、
圧力ｐ０＝１．０気圧で入っている。理想気体と見なして混合気体の密度を求めよ。
６．６． 体積Ｖ＝７．５Ｌの容器に、温度Ｔ＝３００Ｋで理想気体の混合体が入っている。酸素ν
＝０．１０モル、窒素ν ２ ＝０．２０モル、二酸化炭素ν ３＝０．３０モル。以下を求めよ。（ａ）
混合気体の圧力。（ｂ）混合気体の状態方程式をｐＶ＝（ｍ／Ｍ）ＲＴと記述したときの、混合気体の平均分子量Ｍ。ここでｍは混合気体の質量。

１６．７． 両端が閉じている垂直な円筒中に、重いピストンがあり、ピストンの両側に１モルずつの空気が入っている。Ｔ＝３００Ｋの時、下の体積に対する上の気体の体積比はη＝４．０。温度が幾らの時、この比がη ＝３．０となるか。摩擦は無視する。
６．８． 空気ピストンポンプで、容器から体積Ｖだけ空気をくみ出す。１サイクル当たり、ポンプ
は体積ΔＶをつかみ取る。容器内の圧力がη倍小さくなるのは何サイクル後か。過程は等温的であり、気体は理想的とする。
６．９． 排気された容器中の空気の圧力は、排気時間ｔのどのような関数となるか。容器の体積はＶ、初期圧力はｐ ０ 。過程は等温的であり、排気速度は圧力に依存しないで、Ｃとする。
注釈：排気速度は、単位時間当たりに排気される気体の体積である。その際、この体積はその瞬間における気体の圧力下で測定される。
６．１０． 体積Ｖ＝８７Ｌの箱を、ポンプで排気する。その排気速度はＣ＝１０Ｌ／ｓ。箱の内部の圧力がη＝１０００倍小さくなるのは、何時間後か。
６．１１． 図６．１参照。異なった断面積を持つ垂直なパイプ中に、図のよ
うに２つのピストンが入っている。２つのピストンは糸で連結され、ピストンの間には理想気体が１モル入っている。上側のピストンの断面積はΔＳ＝１０
ｃｍ ２ で、下側のピストンの断面積より大きい。ピストン２つの合計質量はｍ＝５．０ｋｇ。外気圧はｐ ０ ＝１．０気圧。ピストン群がｌ＝５．０ｃｍだけ移動するためには、ピストン間の気体を何Ｋまで加熱する必要があるか。
６．１２． 以下の過程における理想気体の最大可能温度を求めよ。（ａ）ｐ＝ｐ ０ −αＶ ２ 。（ｂ）
ｐ＝ｐ０ｅ−βＶ。ここで、ｐ０，α、βは正定数、Ｖは気体１モルの体積。
- 67 -

６．１３． 式Ｔ＝Ｔ０＋αＶ２に従って過程を経由する理想気体の可能な最小圧力を求めよ。ここで、Ｔ ０とαは正定数、Ｖは気体１モルの体積。ｐ、Ｖをパラメーターとしてこの過程をグラフで示せ。
６．１４． 窒素気体の入っている高い円筒型容器が、一様な重量場中にある。自由落下の加速度はｇ。窒素の温度Ｔは、その密度が全体において一様になるように、高さｈで変化している。ｄＴ／ｄｈを求めよ。
６．１５． 空気の圧力 p と密度ρが、高さに無関係に、ｐ／ρｎ＝一定の関係があると仮定する。
ここで、ｎは定数。対応する温度の勾配ｄＴ／ｄｈを求めよ。
６．１６． 地表において、空気が標準状態にあるとする。空気の温度とモル質量は高さに依存しないと見なし、地上から高度５．０ｋｍと、深さ５．０ｋｍの縦坑での空気の圧力を求めよ。
６．１７． 空気の温度とモル質量、及び自由落下の加速度が、高度に依存しないものと見なして、
温度０℃における空気の密度が、（ａ）ｅ倍異なる、（ｂ）η＝１．０％だけ異なる、高度さを求めよ。
６．１８． モル質量Ｍの理想気体が垂直に高い円筒容器中に入っている。容器の底面積はＳ、高さはｈ。気体の温度はＴ、最下部での気体の圧力はｐ ０。温度と自由落下の加速度ｇは高度に依存しないものと見なし、容器中の気体の質量を求めよ。
６．１９． モル質量Ｍの理想気体が、一様な重力場中に立っている常に高い垂直の円筒容器内に入っている。重力加速度はｇである。気体の温度は至る所で等しくＴであると見なし、気体の重心のある高さを求めよ。
６．２０． モル質量Ｍの理想気体が、重力加速度ｇの重力場中にある。高さｈ＝０で、圧力はｐ＝ｐ０、温度は高さに従って、次のように変化するものとして、高さｈの関数として、気体の圧力を求めよ。（ａ）Ｔ＝Ｔ ０（１−ａｈ）。（ｂ）Ｔ＝Ｔ ０（１＋ａｈ）。ここで、ａ＞０。
６．２１． 一端が閉じている水平円筒が、円筒の開放端を通っている垂直軸の周りに一定の角速度
Ωで回転する。外の大気の圧力はｐ ０、温度はＴ、空気のモル質量はＭ。回転軸からの距離ｒの関数として、内部の空気の圧力を求めよ。モル質量は距離ｒに依存しないものと見なす。
６．２２． 温度Ｔ＝３００Ｋで、二酸化炭素の気体の密度がρ＝５００ｇ／Ｌであるためには、二酸化炭素に如何ほどの圧力をかける必要があるか。気体は理想気体とする。また、ファンデアワールス気体としても計算して見よ。
６．２３． 窒素１モルが、体積Ｖ＝１．００Ｌに納まっている。以下を求めよ。（ａ）理想気体の状態方程式で定まる圧力との誤差が、η＝１０％（ファンデアワールス気体での圧力と比較して）となる窒素の温度。（ｂ）この温度における気体の圧力。
６．２４． １モルのある気体が、体積Ｖ＝０．２５０Ｌの容器中にある。温度Ｔ１＝３００Ｋの時、気体の圧力はｐ １＝９０気圧。Ｔ ２＝３５０Ｋの時、圧力はｐ ２＝１１０気圧。この気体に対するファンデアワールス定数を求めよ。
６．２．

熱力学の第一法則。熱容量●熱力学の第一法則
Ｑ＝ΔＵ＋Ａ
ここで、ΔＵは系の内部エネルギーの増減分●気体のなす仕事
Ａ＝∫ｐｄＶ●理想気体の内部エネルギー
Ｕ＝（ｍ／Ｍ）ＣＶＴ＝（ｍ／Ｍ）ＲＴ／（γ−１）＝ｐＶ／（γ−１）●ポリトロープ変化過程（ｐＶｎ＝一定）における気体のモル熱容量
Ｃ＝Ｒ／（γ−１）−Ｒ／（ｎ−１）＝（ｎ−γ）Ｒ／（（ｎ−１）（γ−１））●ファンデアワールス気体の１モルの内部エネルギー
Ｕ＝Ｃ ＶＴ−ａ／Ｖ Ｍ（６．２ａ）（６．２ｂ）（６．２ｃ）（６．２ｄ）（６．２ｅ）

６．２５． 室外の気圧が一定ならば、室内の空気の内部エネルギーＵは温度に依存しないことを示せ。ｐが標準気圧で、部屋の体積がＶ＝４０ｍ３の時、Ｕを計算せよ。
- 68 -

６．２６． ２個の熱絶縁された密閉容器１，２が空気で満たされ、弁付きの短いパイプで連結されている。密閉容器の体積、その内部の各々の空気の圧力と温度は概値とし、（Ｖ１，ｐ２，Ｔ１），（Ｖ２，
ｐ２，Ｔ ２）。弁を開放し、平衡状態になったときの空気の温度と圧力を求めよ。
６．２７． 体積Ｖ＝５．０Ｌの閉じた容器中に、標準状態で入っている水素気体を、ΔＴ＝５５Ｋ
だけ冷却した。気体の内部エネルギーの増加分と、気体から放出された熱量を求めよ。
６．２８． 窒素気体が仕事Ａ＝２．０Ｊをなすためには、等圧加熱において、窒素にいかほどの熱量を与える必要があるか。
６．２９． 等圧加熱において、この気体の質量ｍ＝０．５０ｋｇをΔＴ＝１０Ｋ上げるのに、等積加熱の場合より、ΔＱ＝１．４８ｋＪが必要である。この気体のモル質量を求めよ。
６．３０． １モルのある理想気体を、等圧で、ΔＴ＝７２Ｋだけ加熱した。気体に熱量Ｑ＝１．６
０ｋＪを与えた。気体の内部エネルギーの増加分と、量γ＝Ｃｐ／ＣＶを求めよ。
６．３１． 温度Ｔ ０＝３００Ｋにある２モルの理想気体を、等積過程で冷却した。その結果、気体の圧力はｎ＝２．０倍だけ小さくなった。その後、気体を等圧過程で膨張させ、最終状態で、気体の温度は最初の温度と等しくなった。これらの過程で気体が吸収した熱量を求めよ。
６．３２． 酸素ν １＝２．０モルと二酸化炭素ν２＝３．０モルからできている混合気体のγ値を計算せよ。気体は理想気体と見なす。
６．３３． 窒素７．０ｇとアルゴン２０ｇからなる混合気体の比熱ｃｐとｃＶを計算せよ。気体は理
想気体である。
６．３４． 垂直の円筒容器に、重さのないピストンの下部に、温度Ｔの１モルのある理想気体が入っている。ピストンの上部の空間に、大気圧を与える。ピストンをゆっくりと上昇させ、ピストンの下部にある気体の体積を等温過程でｎ倍だけ増大させ留ためには、如何ほどの仕事をする必要があるか。摩擦は無視する。
６．３５． 両端の閉じた水平な円筒容器中に、軽く動くピストンが入っている。最初、ピストンは円筒を２つの等しい部分に分割している。各々の部分の体積はＶ０で、同じ温度で同じ圧力ｐ０の理想気体が両方に入っている。ピストンをゆっくりと動かし、等温過程で、片方の気体の体積を他方の気体の体積のη倍大きくするためには、どれだけの仕事が必要か。
６．３６． 温度Ｔ ０＝２７３Ｋにある３モルの理想気体を、等温過程でｎ＝５．０倍膨張させた。
その後、気体の圧力が最初の圧力と等しくなるまで等積過程で加熱した。全過程において、気体に熱量Ｑ＝８０ｋＪを与えた。この気体のγ値を求めよ。
６．３７． 温度Ｔ ０＝２９０Ｋにある１モルの酸素を、圧力がη＝１０．０倍高くなるように、断熱的に圧縮した。以下を求めよ。（ａ）圧縮後の気体の温度。（ｂ）気体になした仕事。
６．３８． ある質量の窒素を体積でη＝５０倍圧縮した。１回目は断熱過程で、２回目は等温過程で。両過程で気体の初期状態は同じである。圧縮で使われた各々の仕事の比を求めよ。
６．３９． 理想気体の入っている両端が閉じている熱絶縁の円筒容器の内部に、軽く動ける熱伝導性のピストンが入っている。釣り合いの時、ピストンは円筒を２つの等しい部分に分けており、気体の温度はＴ ０。ピストンをゆっくりと移動させ始めた。小さい方の体積に対する、おおきい方の体積の比ηの関数として気体の温度を求めよ。気体の比熱比はγ。
６．４０． 両端の閉じている水平円筒中に、比熱比γの理想気体が入っており、内部に質量ｍ断面積Ｓのピストンもある。釣り合い状態の時、気体の圧力はｐ０、ピストンは円筒を等しい部分に分割しており、各々の体積はＶ ０。平衡状態の周りのピストンの微小振動の周波数を求めよ。気体の変化過程は断熱的であり、摩擦は無視できるくらい小さいとする。
６．４１． 図６．１ 参照。理想気体が閉じられている垂直の半円筒中に入っている。内部は仕切りＰで半分に分割されている。仕切りの高さはｈ、質量はｍ。仕切りは軸ＯＯの周りに周波数ω ０の微小振動をすることができる。釣り合い状態の時、気体の圧力はｐ ０。変化過程を断熱的として、気体の比熱比γを求めよ。
６．４２． 比熱比γの理想気体１モルの体積が、式Ｖ＝ａ／Ｔに従って変化する。ここで、ａは定数。気体の温度がΔＴだけ高くなったとき、この過程で得られた気体の熱量を求めよ。
- 69 -

６．４３． 理想気体の仕事が、気体の内部エネルギーの増加分に比例するという変化過程は、式ｐＶｎ＝一定で記述されることを証明せよ。ここで、ｎは定数。
６．４４． ｐＶ ｎ＝一定のポリトロープ変化において、理想気体のモル熱容量を求めよ。気体の比熱比はγ。ポリトロープ指数ｎがどのような値の時、気体の熱容量が負となるか。
６．４５． あるポリプロープ過程において、アルゴンの体積がα＝４．０倍大きくなった。この時
圧力はβ＝８．０倍小さくなった。この過程におけるアルゴンのモル熱量を求めよ。理想気体と見なす。
６．４６． 指数ｎ＝１．５０のポリプロープ過程で、１モルのアルゴンを膨張させた。この時、気体の温度はΔＴ＝−２６Ｋの変化を受けた。以下を求めよ。（ａ）気体の得た熱量。（ｂ）気体のなした仕事。
６．４７． 比熱比γの理想気体を、式ｐ＝αＶに従って膨張させた。ここで、αは定数。気体の初期体積はＶ ０ 。膨張の結果、気体の体積はη倍大きくなった。以下を求めよ。（ａ）気体の内部エネ
ルギーの増加分。（ｂ）気体のなした仕事。（ｃ）この過程における気体のモル熱容量。
６．４８． 比熱比がγである理想気体を、ないぶエネルギーの減少分に等しい熱量を気体に与える
ように、膨張させる。以下を求めよ。（ａ）この過程における気体のモル熱容量。（ｂ）パラメータ
Ｔ，Ｖを使用してのこの過程で成り立つ方程式。
６．４９． 比熱比γの１モルの理想気体が、圧力ｐ∽Ｔ αの過程を行う。ここで、αは定数。以下を求めよ。（ａ）気体の温度の増加分がΔＴであるとして、気体のなした仕事。（ｂ）この過程における気体のモル熱容量。αがどのような値の時、熱容量は負となるか。
６．５０． 比熱比γの理想気体が、内部エネルギーがＵＶ αの過程を行う。ここで、αは定数。以下を求めよ。（ａ）内部エネルギーの増加分がΔＵの時、気体のなした仕事。（ｂ）この過程における気体のモル熱容量。
６．５１． 定積比熱ＣＶを持つ理想気体１モルが、シリンダの左半分に入っている。図６．２参照。ピストンの右側は真空である。気体がないとき、ピストンはシリンダの左端に密接し、この時バネは変形していない。シリンダの壁とピストンは断熱的である。摩擦は無い。シリンダの左端から気体を加熱する。これらの条件の下で、気体の熱容量を求めよ。
６．５２． 概値のモル熱容量ＣＶを持つ理想気体がある。気体が以下の過程を行うとき、この気体（ｂ）ｐ＝ｐ０ｅαＶ。ここで、Ｔ０，の熱容量を気体の体積Ｖの関数として求めよ。
（ａ）Ｔ＝Ｔ０ｅαＶ。
ｐ０，αは定数。
６．５３． 定圧比熱がＣｐである理想気体１モルが、式ｐ＝ｐ ０＋α／Ｖに従ったサイクルを行う。
ここで、ｐ ０、αは定数。以下を求めよ。（ａ）気体の体積Ｖの関数としての気体の熱容量。（ｂ）Ｖ
１からＶ ２までの膨張において、気体に伝わった熱量。
６．５４． 前問と同じであるが、気体は式Ｔ＝Ｔ０＋αＶに従ってサイクルを行う。以下を求めよ。
（ａ）気体の体積Ｖの関数としての気体の熱容量。（ｂ）Ｖ １からＶ ２までの膨張において、気体に伝わった熱量。
６．５５． 理想気体のモル比熱が、以下の式に従って変化する過程の式を変数Ｔ，Ｖで表記せよ。
（ａ）Ｃ＝Ｃ Ｖ＋αＴ。（ｂ）Ｃ＝ＣＶ＋βＶ。（ｃ）Ｃ＝ＣＶ＋ａｐ。ここで、α、β、ａは定数。
６．５６． 比熱比がγである理想気体がある。ある過程においてそのモル熱容量は、式Ｃ＝α／Ｔ
に従って変化をする。ここで、αは定数。以下を求めよ。（ａ）Ｔ ０ からη倍高い温度まで気体を加熱したとき、気体１モルのなす仕事。（ｂ）パラメータｐ、Ｖで表記される過程の式。
６．５７． 温度Ｔで体積がＶ１からＶ２の気体の等温膨張過程で、１モルのファンデアワールス気体のなす仕事を求めよ。
６．５８． １モルの酸素を、体積Ｖ１＝１．００ＬからＶ２＝５．０Ｌまで一定温度Ｔ＝２８０Ｋで膨張させた。気体によって吸収された熱量を求めよ。気体はファンデアワールス気体とする。
６．５９． １モルのファンデアワールス気体がある。気体の熱容量は一定体積のもとでＣ Ｖ。変数
Ｔ、Ｖで断熱方程式を求めよ。
- 70 -

６．６０．

ファンデアワールス気体において、モル容量の差がＣ ｐ−Ｃ Ｖを求めよ。

６．６１． ２つの熱絶縁のボンベが、弁付きのパイプで連結されている。体積Ｖ １＝１０Ｌの片方のボンベには、ν＝２．５モルの二酸化炭素が入っている。体積Ｖ ２＝１００Ｌの他方のボンベは高真空まで排気されている。弁を開いた。気体は拡散した。気体をファンデアワールス気体と見なし、気体温度の変化分を求めよ。
６．６２． 体積Ｖ １＝５．０ＬからＶ２＝１０Ｌまでの真空中への二酸化炭素気体拡散のためには、
ν＝３．０モルの二酸化炭素気体にいかほどの熱量を与える必要があるか。気体をファンデアワールス気体と見なす。
６．６３． 熱絶縁パイプ中の多孔質隔壁を経由しての気体の移動には、気体の膨張と気体の温度の変化（ジュール−トムソン効果）が伴う。気体の拡散まではファンデアワールス的気体、拡散後は理想的気体と見なすと、気体の温度の変化分はＴ ２−Ｔ１＝（１／Ｃｐ）（ＲＴ１ｂ／（Ｖ１−ｂ）−２ａ／Ｖ １）。
隔壁を通り抜ける気体１モルに熱力学の第一法則を適用して、この式を求めよ。過程は断熱的とする。
６．６４． 前問の式を利用して、ジュール−トムソン効果が正となる、則ちＴ２＜Ｔ１となる、初期
体積Ｖ１＝０．１６０Ｌ／モルを持っている水素の温度Ｔ１を求めよ。
６．６５． Ｔ１＝３００Ｋの初期状態において、気体のモル体積がＶ １＝０．１００Ｌ／モルで、その後、ジュール−トムソン過程で気体を強く膨張させたとき、問題６．６３の式を利用して、気体の温度の増加分ΔＴを求めよ。（ａ）水素の場合、（ｂ）窒素の場合、の２つの気体の場合について
求めよ。
６．３．

分子運動論。マックスウエル分布とボルツマン分布。

●単位時間に、壁の単位表面に衝突する気体の分子数
ν＝（１／４）ｎ＜ｖ＞（６．３ａ）
ここで、ｎは分子濃度、＜ｖ＞は分子の平均速度。
●理想気体の状態方程式
ｐ＝ｎｋＴ（６．３ｂ）●分子の平均エネルギー＜ε＞＝（ｉ／２）ｋＴ（６．３ｃ）
ここで、ｉは自由度、ｉ＝ｎ 並進＋ｎ回転＋ｎ振動●マックスウエルの分布関数（６．３ｄ）
φ（ｖ ｘ）＝（ｍ／２πｋＴ）１／２ｅｘｐ（−ｍｖｘ２／２ｋＴ）
ｆ（ｖ）＝（ｍ／２πｋＴ）３／２ｅｘｐ（−ｍｖ ２／２ｋＴ）（６．３ｅ）（６．３ｆ）
Ｆ（ｖ）＝４π（２πｋＴ）３／２ｖ２ｅｘｐ（−ｍｖ ２／２ｋＴ）●分子の最大確率速度、平均速度、平均２乗速度ｖ最大＝（２ｋＴ／ｍ）１／２，＜ｖ＞＝（（８／π）ｋＴ／ｍ） １／２，
（６．３ｇ）
ｖ２乗＝（３ｋＴ／ｍ）１／２●ボルツマン分布（６．３ｈ）
ｎ＝ｎ ０ｅ −Ｕ／ｋＴ
ここで、Ｕは外場中における分子のポテンシャルエネルギー（ｎ＝ｎ０の時の準位に相対的な）●離散準位の場合におけるボルツマン分布（Ｎ２／Ｎ １）＝（ｇ２／ｇ１）ｅｘｐ（−（Ｅ２−Ｅ１）／ｋＴ）（６．３ｉ）
ここで、ｇ１，ｇ ２は対応する準位の縮重度。
●量子調和振動の平均エネルギー（６．３ｊ）＜Ｅ＞＝ｈ〜ω／２＋ｈ〜ω／（ｅ ｈ〜ω／ｋＴ−１）
６．６６． 最新の真空ポンプは、室温で圧力ｐ＝４×１０ −１０Ｐａまでが得られる。この圧力下での１ｃｍ３中の気体分子数、分子間の平均距離を求めよ。
６．６７． 体積Ｖ＝５．０Ｌの容器中に、温度Ｔ＝１８００Ｋで質量ｍ＝１．４０ｇの窒素が入っている。この温度で、η＝３０％の分子が原子に乖離しているとして、気体の圧力を求めよ。
６．６８．
を求めよ。

ヘリウムと窒素の混合気体の密度は標準状態でρ＝０．６０ｇ／Ｌ。ヘリウム原子濃度

６．６９． 標準状態で、気体の密度がρ＝１．３ｍｇ／ｃｍ ３、この気体中での音の伝搬速度がｖ＝３３０ｍ／ｓである。この気体分子の自由度を求めよ。
- 71 -

６．７０． 以下の分子の場合において、気体分子の速度の２乗平均に対する気体中の音速の比を求めよ。（ａ）１原子分子。（ｂ）結合のしっかりしている２原子分子。
６．７１． １６ｇの水素の温度を７０Ｋから３００Ｋまで上昇させたとき、内部エネルギーの増加分を求めよ。
６．７２． 分子における全ての自由度（平身、回転、振動）が励起される温度まで理想気体を加熱したとしよう。分子が以下の結合のようなＮ個の原子からなる分子である場合について、等積過程変化におけるこの気体のモル熱量、比熱比γを求めよ。（ａ）直線。（ｂ）比直線。
６．７３． Ｎ原子分子からなる理想気体を、等圧過程で膨張させる。分子では全ての自由度（並進、回転、振動）が励起されるものと見なして、この過程で気体に伝わり、膨張の仕事に消費された熱量の割合を求めよ。
６．７４． ある気体において、振動の自由度を「凍結」したとき、比熱比γがη＝１．２倍大きくなった。この気体の分子中の原子数を求めよ。
６．７５． 気体の比熱がｃ Ｖ＝０．６５Ｊ／（ｇ・Ｋ）、ｃ ｐ＝０．９１Ｊ／（ｇ・Ｋ）である理想気体の分子量と分子の自由度を求めよ。
６．７６． モル熱容量が以下の場合の理想気体の分子の自由度を求めよ。（ａ）定圧熱容量がＣ ｐ＝２９Ｊ／（モル・Ｋ）。（ｂ）ｐＴ＝一定の過程で、Ｃ＝２９Ｊ／（モル・Ｋ）。
６．７７．

１原子気体ν１モルと、２原子気体ν２モルからなる混合気体の比熱比γを計算せよ。

６．７８． 比熱比γ＝１．４０，圧力ｐ＝１００ｋＰａの理想気体の分子が平均エネルギー＜ε＞＝２．５×１０−２０Ｊを持っている。単位体積当たりの分子数を求めよ。
６．７９． ２原子分子気体の入っている容器が速度ｖ＝２０ｍ／ｓで動いている。気体のモル質量はＭ＝３２ｇ／モル。容器が停止した後の気体の温度の増加分を求めよ。
６．８０． 温度ｔ＝１７℃において以下を計算せよ。
（ａ）Ｏ２分子の並進運動の平均２乗速度と、平均運動エネルギー。（ｂ）空中に浮遊している直径ｄ＝０．１０μｍの水滴の平均２乗速度。
６．８１． ２原子分子気体でできている気体を、分子の平気２乗速度をη＝１．５０倍小さくする
ためには、断熱的に何倍膨張させる必要があるか。
６．８２． 質量ｍ＝１５ｇの窒素が温度Ｔ＝３００Ｋで、閉じた容器内に入っている。この分子の平均２乗速度をη＝２．０倍大きくするためには、どれだけの熱を与える必要があるか。
６．８３． ２原子分子からなる気体が、Ｔ＝３００Ｋの状態にある。分子の慣性モーメントはＩ＝２．１×１０ −３９ｇ・ｃｍ ２である。分子の回転の平均２乗角速度を計算せよ。
６．８４． 標準状態にある２原子分子気体を、体積でη＝５．０倍断熱的に圧縮した。最終状態における分子の回転運動の平均運動エネルギーを求めよ。
６．８５． ２原子分子気体を断熱的にη倍膨張させると、単位時間当たりに容器の面に衝突する分子の個数は何倍となるか。
６．８６． ２原子分子気体の体積を、モル熱容量Ｃ＝Ｒのポリトロープ曲線に沿ってη＝２．０倍増大させる。容器の壁を分子が打つ周波数は何倍となるか。
６．８７． ２原子分子気体の分子が容器の壁を打つ周波数が変化しないように、気体をポリトロー
プ的に膨張させた。この過程における気体のモル熱容量を求めよ。
６．８８． 温度Ｔ＝３００Ｋの窒素において、Ｘ軸に沿って速度の成分が間隔（５００±０．５１）
ｍ／ｓにある分子数に対する間隔（３００±０．３１）ｍ／ｓにある分子数の比を求めよ。
６．８９． 温度Ｔ＝３００Ｋにおいて、窒素の分子がＸ軸、Ｙ軸、Ｚ軸に沿っている速度の成分が各々間隔（３００±０．３０）ｍ／ｓ、（４００±０．４０）ｍ／ｓ、（５００±０．５０）ｍ／ｓを持つ確率を求めよ。
６．９０． Ｘ軸に沿った速度の成分が、間隔（ｖ ｘ、ｖ ｘ＋δｖ ｘ）にあり、速度の垂直成分の大きさが間隔（ｖ ⊥ 、ｖ ⊥＋δｖ ⊥）にある、分子の相対数を求めよ。各々の分子の質量はｍ、気体の温度- 72 -

はＴ。
６．９１． 質量ｍの分子からできている気体が、温度Ｔにある。ある方向に垂直な速度の成分の大きさが、間隔（ｖ⊥、ｖ⊥＋δｖ⊥）のある分子の相対数を求めよ。
６．９２． （６，３ｅ）を用いて、Ｆ（ｕ）の形のマックスウエルの分布関数を求めよ。ここで、
ｕ＝ｖ／ｖ最大、ｖ最大は最大確率速度。
６．９３． 標準圧力状態で、密度がρ＝１．００ｇ／Ｌの気体中の分子の最大確率速度、平均速度、
平均２乗速度速度を計算せよ。
６．９４． 気体分子の速度が、（ａ）最大確率速度、（ｂ）平均２乗速度、からδη＝１．００％
だけ異なっている気体分子の相対数を求めよ。
６．９５． 以下の場合における気体の温度を求めよ。（ａ）水素分子の平均２乗速度がその最大確率速度よりΔｖ＝４００ｍ／ｓだけ大きい。（ｂ）速度に関する酸素分子の分布関数Ｆ（ｖ）が速度
ｖ＝４２０ｍ／ｓで最大値を有する。
６．９６． 分子の速度がｖ １＝３００ｍ／ｓとｖ２＝６００ｍ／ｓに分布関数Ｆ（ｖ）の同じ値が対応している窒素気体の温度を求めよ。
６．９７． 理想気体の温度の変化で、分布関数Ｆ（ｖ）の最大値がη倍減少した。気体の温度Ｔは何倍変化したのか。
６．９８．

？

温度Ｔ ０での分布関数Ｆ（ｖ）の値がη倍大きくなる、窒素分子の速度を求めよ。

６．９９． 窒素と酸素の混合気体はどのような温度の時に、窒素と酸素の最大確率速度がお互いにΔｖ＝３０ｍ／ｓ異なるか。
６．１００． 水素とヘリウムの混合気体がＴ＝３００Ｋにある。分子の速度ｖがどのような値の時、関数Ｆ（ｖ）の値が両方の分子で同じとなるか。
６．１０１． 質量ｍの分子からなる理想気体がある。この気体がどのような温度の時、微小速度間隔（ｖ、ｖ＋δｖ）内の速度を持った分子数が最大となるか。この温度に対応した分子の最大確率速度を求めよ。
６．１０２． 分子の質量がｍ、気体の温度がＴである時、速度成分の平均値＜ｖｘ＞と＜絶対値ｖｘ）＞を求めよ。
６．１０３．
はｍ。

温度Ｔである気体分子の速度の成分ｖ ｘの２乗平均値＜ｖ ｘ２＞を求めよ。分子の質量６．１０４． 分布関数φ（ｖ ｘ）を使用して、単位時間に単位面積に衝突する気体分子数νを計算せよ。分子濃度はｎ、気体の温度なＴ、分子の質量はｍ。
６．１０５．
密度はｎ。

分布関数φ（ｖ ｘ）を使用して、壁への気体の圧力を求めよ。気体の温度はＴ、分子６．１０６． 温度Ｔにある理想気体中の分子の平均逆速度＜１／ｖ＞を求めよ。分子の質量はｍ。
得られた大きさを、平均速度の逆数と比較せよ。
６．１０７． 質量ｍの分子で、密度ｎの理想気体が、温度Ｔにある。マックスウエル分布関数を利用して、１秒毎に、容器の壁の表面に、表面の法線に対して角度（θ、θ＋ｄθ）内に打ち当たる分子数を求めよ。
６．１０８． 前問の条件をもとに、速度間隔（ｖ、ｖ＋ｄｖ）で、壁の単位表面に１秒間毎に衝突する分子数を求めよ。
６．１０９． 気体が質量ｍの分子からできており、温度Ｔにある。分布関数Ｆ（ｖ）を用いて以下を求めよ。（ａ）運動エネルギーに関する分子の分布関数ｆ（Ｋ）。ｆ（Ｋ）のグラフも描け。（ｂ）
最大確率運動エネルギーＫ最大。Ｋ最大は最大確率速度と対応しているか。
６．１１０． 熱平衡状態にある１原子分子気体がある。平均の運動エネルギーよりδη＝１．０％
だけ小さい運動エネルギーを持つのは全分子中のどれだけか。
６．１１１．

容器の小さい穴から飛び出す分子流の速度に関する分子分布が、関数Ｆ（ｖ）＝Ａｖ- 73 -

３

ｅｘｐ（−ｍｖ ２／２ｋ T)で記述される。ここで、Ｔは容器内の温度。以下の最大確率値を求めよ。
（ａ）流れ中の分子の速度。得られた結果を容器内の分子の最大確率速度と比較せよ。（ｂ）流れ中の分子の運動エネルギー。
６．１１２． 水素分子からなる気体が温度Ｔにある。以下を求めよ。（ａ）ドブロイ波長に関する分子の分布関数。この関数をグラフで描け。（ｂ）Ｔ＝３００Ｋの時、最大確率ドブロイ波長。
６．１１３． 質量ｍの原子からなる気体が、温度Ｔで熱平衡状態にある。ν ０を原子から放射される光の固有振動数とする。（ａ）放射光のスペクトル分布は、式Ｉ ν＝Ｉ ０ｅｘｐ（−ａ（１−ν／ν２２０ ） ）であることを示せ。ここで、Ｉ ０ は振動数ν ０に対応するスペクトルの強度。ａ＝ｍｃ ／２ｋ
Ｔ。（ｂ）スペクトル線の相対幅、則ちその高さに対するその線の幅の比Δν／ν０を求めよ。
６．１１４． 水銀の共鳴線の波長がΛ＝２５３．６５ｎｍ。共鳴励起状態にある水銀原子の平均寿命はτ＝０．１５μｓ。温度Ｔ＝３００Ｋにおいて、この線の固有幅に対するドップラー拡張の比を求めよ。
６．１１５． 場に沿ってお互いにΔｈ＝３０ｍｍ離れている２つの水準における粒子濃度が、η＝２．０倍異なっている。一様な場から粒子に作用する力を求めよ。系の温度はＴ＝２８０Ｋ。
６．１１６． 黄色顔料の浮遊している粒子の顕微鏡観察において、薄い層中の粒子の平均個数は間隔ｈ＝４２μｍで、お互いにη＝２．０倍の違いがあった。媒質の温度はＴ＝２９０Ｋ。粒子の直径はｄ＝０．４０μｍ、粒子の密度は周りの媒質の液体の密度よりΔρ＝０．２０ｇ／ｃｍ ３だけ大きい。これらのデータをもとに、ボルツマン定数を求めよ。
６．１１７． 地表面における窒素分子濃度に対する水素分子濃度の比をη ０とする。高度ｈ＝３０００ｍにおける同じ比をηとする。Ｔ＝２８０Ｋにおけるη／η ０を求めよ。温度及び重力加速度は高さに依存しないものと仮定する。
６．１１８． 長い垂直容器中に、質量ｍ１，ｍ２の２種の分子からなる気体が入っている。ｍ２＞ｍ １である。容器の底でのこれらの分子の濃度は各々ｎ１、ｎ２。ｎ２＞ｎ１。温度及び重力加速度は高さに依らず一定値Ｔ、ｇとする。２種の分子の濃度が同じになる高度を求めよ。
６．１１９． 非常に高い円筒容器中に、ある温度Ｔの二酸化炭素気体が入っている。重力場は一様であると見なす。気体の温度をη倍高くしたならば、容器の底における圧力はどのように変化するか。
６．１２０． 窒素気体が非常に高い容器中に入っている。重力場は一様で、温度も一定Ｔであるとする。温度をη倍高くした。どれだけの高さｈで、分子の濃度は以前と同じになっているか。
６．１２１． 気体が非常に高い円筒容器中に温度Ｔで入っている。重力場は一様と見なし、気体分
子のポテンシャルエネルギーの平均値を求めよ。気体が１種の分子からできている場合と、幾つかの種からできている場合において、この大きさは、どのように依存するか。
６．１２２． 長さｌ＝１００ｃｍの両端が閉じられた水平パイプを、自身の軸に沿った方向に加速度ａで移動させる。パイプの中には、温度Ｔ＝３３０Ｋのアルゴン気体が入っている。パイプの両端におけるアルゴンの濃度が、お互いにη＝１．０％だけ異なるのは、加速度ａが幾らの時か。
６．１２３． 溶液に溶けているコロイド粒子をの速度ωでの遠心分離器の垂直軸の周りでの回転において、回転軸から距離ｒ２におけるこの粒子の濃度は、距離ｒ １での所より、η倍大きい（同じ水平面内で）。コロイド粒子のモル質量を求めよ。粒子の密度と溶液の密度は各々ρ、ρ０。
６．１２４． 両端の閉じた水平に置かれているパイプを、角速度ωで、両端の内の１つを通過する
垂直軸の周りに回転をさせる。パイプ中には、温度Ｔ＝３００Ｋの二酸化炭素が入っている。パイプの長さはｌ＝１００ｃｍ。パイプの両端における分子濃度の比がη＝２．０となるときの角速度ωを求めよ。
６．１２５．気体中の分子のポテンシャルエネルギーが、場の中心からの距離ｒに関してＵ（ｒ）＝ａｒ ２の形で依存している。ここで、ａは正定数。気体の温度はＴ、場の中心における分子濃度はｎ０。
以下を求めよ。
（ａ）層（ｒ、ｒ＋ｄｒ）中の分子数。
（ｂ）分子の最大確率距離ｒ確率。
（ｃ）層（ｒ、
ｒ＋ｄｒ）中における全分子の相対数。（ｄ）温度をη倍低下させると、場の中心での分子濃度は何倍変化するか。
６．１２６． 前問の条件で、以下を求めよ。（ａ）ポテンシャルエネルギーが（Ｕ，Ｕ＋ｄＵ）を持つ分子数。（ｂ）ポテンシャルエネルギーの最大確率値。
６．１２７．

質量ｍの分子からなる理想気体が、中心場中にある。そこでは、分子のポテンシャル- 74 -

エネルギーはＵ（ｒ）、ｒは場の中心からの距離。気体の温度はＴ、場の中心での分子の密度はｎ０。
最大確率速度とδη（≪１）以下異なる速度を持つ、球状層（ｒ、ｒ＋δｒ）中の分子数を求めよ。
６．１２８． 水素原子気体において、温度Ｔ＝３０００Ｋで、主量子数ｎ＝２の状態にある水素原子の相対数を求めよ。
６．１２９． 温度Ｔ＝２４００Ｋのナトリウム原子気体がある。期待状態３Ｓにある原子数に対する励起準位３Ｐにある原子数の比を求めよ。遷移３Ｐ−３Ｓに、波長λ＝５８９ｎｍの光が対応している。
６．１３０． 系がＮこの粒子からできている。粒子はエネルギーＥ１，Ｅ２の２つの準位のみを採れる。ここで、Ｅ２＞Ｅ１。準位２にある粒子数と、粒子の平均エネルギーの系の温度Ｔに対する依存性を求めよ。得られた依存性をグラフに描け。
６．１３１． エネルギー差ΔＥを持つ２つの非縮退準位にある原子Ｎ個からなる系がある。温度の関数としてこの系の熱容量ＣＶ（Ｔ）におけるこれらの準位の寄与を求めよ。得られた式を、ｋＴ≪
ΔＲと、ｋＴ≫ΔＥの場合について簡単にしてみよ。
６．１３２． リチウム原子気体がＴ＝１５００Ｋで、濃度ｎ＝３．６×１０ １６／ｃｍ ３である。この時、共鳴線λ＝６７１ｎｍ（２Ｐ−２Ｓ）の放射強度は気体の単位体積当たりＰ＝０．３０Ｗ／ｃ
ｍ３。共鳴励起状態にあるリチウム原子の平均寿命を求めよ。
６．１３３． 温度Ｔ＝８８０Ｋで、第一励起振動準位と第一回転準位にある水素分子数の比を求めよ。振動準位の縮退度は２Ｊ＋１。
６．１３４． 回転準位の縮退度がｇ＝２Ｊ＋１であることを用いて、Ｔ＝３００Ｋにおいて、最も占有されている酸素分子の回転量子数Ｊ ｍを求めよ。この温度において、Ｊに対する回転準位の占有
度ＮＪ／Ｎ０の依存性をグラフに描け。
６．１３５． ボルツマン分布を利用して、（６．３ｋ）式を導け。この式を用いて、、２原子分子気体のモル振動熱容量ＣＶ振動に対する式を求めよ。温度３００Ｋにおいて、分子Ｃｌ ２からなる気体におけるＣＶ振動を計算せよ。
６．１３６． 温度Ｔ＝３００Ｋにおいて、Ｃｌ ２分子における光のラマン散乱の振動スペクトル中の不変線近傍の短波長側の線と長波長側の線の強度の比を求めよ。温度を２倍上昇させたとき、この比は何倍に変化するか。
６．４．

熱力学の第二法則。エントロピー。

●熱機関の効率
η＝Ａ／Ｑ１＝１−Ｑ２ ／Ｑ１
ここで、Ｑ１は仕事をする物体の得た熱量、Ｑ ２●カルノー機関の効率
η＝（Ｔ１−Ｔ２）／Ｔ １
ここで、Ｔ１，Ｔ ２は高熱源と低熱源の温度●クラジウスの不等号∫δＱ／Ｔ≦０
ここで、δＱは系の得た熱量素●系のエントロピーの増加分
ΔＳ≧∫δＱ／Ｔ●逆過程における熱力学の基礎方程式
ＴｄＳ＝ｄＵ＋ｐｄＶ●自由エネルギー
Ｆ＝Ｕ−ＴＳ、
ＡＴ＝−ΔδＦ●エントロピーと統計重みΩの間の関係
Ｓ＝ｋ・ｌｎΩ（６．４ａ）
は放出した熱量。
（６．４ｂ）（６．４ｃ）（６．４ｄ）（６．４ｅ）（６．４ｆ）（６．４ｇ）

６．１３７． カルノーサイクルを行う熱機関において、高温源の温度Ｔは、低熱源の温度のｎ＝１．
６０倍高い。機関１サイクルで、仕事Ａ＝１２．０ｋＪの仕事を行う。作業物質の等温圧縮において１サイクルで如何ほどの仕事がなされるか。作業物質は理想気体とする。
６．１３８． ２原子分子からなる理想気体１モルが、カルノーサイクルを行う。光熱源の温度はＴ
１＝４００Ｋ。断熱圧縮において仕事Ａ ＝２．０ｋＪが消費されたとして、サイクルの効率を求めよ。
- 75 -

６．１３９． どの場合において、カルノーサイクルの効率はより高くなるか。高熱源の温度をΔＴ
抱けた隠したときか、それとも、同じ量だけ低熱源の温度を下げたときか。
６．１４０． 水素気体がカルノーサイクルを行う。断熱膨張として、以下の場合のサイクルの効率を求めよ。（ａ）気体の体積をｎ＝２．０倍増大させたとき。（ｂ）圧力をｎ＝２．０倍低くしたとき。
６．１４１． 逆カルノーサイクルで動作する冷却器が、周りの媒質の温度が２０℃の時、自身の内部温度を−１０℃に維持しなければならない。内部から熱量Ｑ ２＝１４０ｋＪを運び出すためには、冷却器の作業物質に如何ほどの仕事をしなければならないか。
６．１４２． 効率η＝１０％のカルノーサイクルで作動する熱機関を、冷蔵庫のように熱浴として利用する。この機関の冷却係数、則ち比Ｑ２／Ａ を求めよ。
６．１４３． 理想気体が、等温線と断熱線が交互になっているサイクルで動く。図６．３参照。等
温過程での核温度はＴ １，Ｔ ２，Ｔ ３。各々の等温膨張において、気体の体積は１倍だけ増大したとして、このサイクルの効率を求めよ。
６．１４４． ２つの等温過程と２つの断熱過程からなるサイクルの効率を求めよ。サイクルの境界で理想気体の体積はｎ＝１０倍変化するものとする。作業物質は窒素である。
６．１４５． ２つの等圧過程と２つの断熱過程からなるサイクルの効率を求めよ。サイクルの境界
で、圧力はｎ倍変化するものとする。作業物質は比熱比γの理想気体である。
６．１４６． 比熱比γの理想気体が、２つの等積過程と２つの等圧過程からなるサイクルを行う。
気体の温度Ｔが、等積加熱時及び、等圧膨張の時にｎ倍高くなるとして、このサイクルの効率を求めよ。
６．１４７． （ａ）等積、断熱、等温、（ｂ）等圧、断熱、等温、の過程からなるサイクルを理想気体が行う。その際、等温過程はサイクルの最低温度で行う。サイクルの境界における温度Ｔはｎ倍変化するものとして、各々のサイクルの効率を求めよ。
６．１４８． 前問と同じであるが、等温過程がサイクルの最高温度で行われる場合について答えよ。
６．１４９． 等温、ポリトロープ、断熱からなるサイクルを理想気体が行う。その際、等温過程はサイクルの最低温度で行う。サイクルの境界で温度Ｔがｎ倍変化するとき、このサイクルの効率を求めよ。
６．１５０． 比熱比γの理想気体が、断熱、等圧、等積からなる直接サイクルを行う。断熱過程で、理想気体の体積が（ａ）ｎ倍増大する、（ｂ）ｎ倍減少する、時のサイクルの効率を求めよ。
６．１５１． クラジウスの不等式を利用して、最大温度Ｔ最大と最低温度Ｔ最低が等しい全てのサ
イクルの効率は、Ｔ最大とＴ最小の時のカルノーの効率より小さい、ことを証明せよ。
６．１５２． 高熱源に質量ｍ＝１００ｋｇ、初期温度Ｔ １＝１５００Ｋの鉄の塊、低熱源に温度Ｔ ２＝２８５Ｋの海水を使用すれば、この熱機関はどれだけ最大の仕事をなしえるか。
６．１５３． １モルの二酸化炭素気体の温度Ｔを（ａ）等積的に、（ｂ）等圧的に、ｎ＝２．０倍
した時の二酸化炭素のエントロピーの増加分を求めよ。気体は理想的である。
６．１５４． 理想気体のエントロピーの増加分がΔＳ＝２３Ｊ／Ｋであるためには、ν＝４．０モ
ルの理想気体の体積を等温的に何倍とすればよいか。
６．１５５． ２モルの理想気体を最初等積過程で冷却し、その後等圧過程で膨張させた。気体の温度は最初と同じとなった。この過程で気体の圧力がｎ＝３．３倍変化したとして、気体のエントロピ
ーの増加分を求めよ。
６．１５６． 質量ｍ＝１．７ｇのヘリウムを断熱的にｎ＝３．０倍に膨張した。その後、等圧的に最初の体積まで圧縮した。気体のエントロピーの増加分を求めよ。
６．１５７． 比熱比γ＝１．３０の理想気体２モルのエントロピーの増加分を求めよ。気体はある過程の結果、体積はα＝２．０倍大きくなり、圧力はβ＝３．０倍小さくなったものとする。
６．１５８．

容器１，２に、各々ν＝１．２モルのヘリウムが入っている。容器の体積比はＶ ２／- 76 -

Ｖ １＝α＝２．０、各々の容器内の気体の温度の比はＴ １／Ｔ ２＝β＝１．５。気体を理想気体と見なし、これら容器内のヘリウムのエントロピー差（Ｓ２−Ｓ１）を求めよ。
６．１５９． 比熱比γの理想気体１モルが、ポリトロープ過程をなす。その結果として、気体の温度Ｔはτ倍高くなる。ポリトロープ係数はｎ。この過程における気体のエントロピーの増分を求めよ。
６．１６０． アルゴン２モルの膨張過程を、気体の圧力が気体の体積に線形的に比例するように行った。気体の体積がα＝２．０倍に膨張したとき、気体のエントロピーの増加分を求めよ。
６．１６１． 理想気体の圧縮のポリトロープ過程の結果、気体の体積はν倍小さくなり、気体になされた仕事はＡ ＝２ΔＵ。ここで、ΔＵは気体の内部エネルギーの増加分。この過程における気体のエントロピーの増加分を求めよ。
６．１６２． 比熱比γの理想気体が式ｐ＝ｐ０−αＶに従った過程を行う。ここで、ｐ０とαは正の定数、Ｖは体積。体積が幾らの時、気体のエントロピーが最大となるか。
６．１６３． １モルの理想気体が、気体のエントロピーが温度Ｔで、式Ｓ＝ａＴ＋Ｃ Ｖ・ｌｎＴに従って変化する過程を行う。ここで、ａは正定数、ＣＶはこの気体の定積モル比熱。Ｔ＝Ｔ ０、Ｖ＝Ｖ
０ならば、この過程において、気体の体積に対して気体の温度はどのように依存するか。
６．１６４． ファンデアワールス気体１モルを、等温過程で体積をＶ１からＶ２まで変化させたときのエントロピーの増分を求めよ。
６．１６５． 体積Ｖ１，温度Ｔ１の１モルのファンデアワールス気体を、体積Ｖ２，温度Ｔ ２の状態にする。気体のエントロピーの増分を求めよ。気体のモル比熱はＣＶ。
６．１６６． ファンデアワールス気体１モルが、ポリトロープ過程Ｔ（Ｖ−ｂ）＝一定を行う。ここで、ｂはファンデアワールス定数。熱容量ＣＶは概値とし、温度に依存しないものと見なして以下を求めよ。（ａ）この過程における気体の熱容量。（ｂ）温度がＴ １からＴ ２ まで変化したときの気体のエントロピーの増分。
６．１６７． 非常に低い温度で、結晶の熱容量はＣ＝ａＴ３。ここで、ａは定数。この領域において、温度の関数としての結晶のエントロピーを求めよ。
６．１６８． 質量ｍ＝３．０ｋｇのアルミニューム塊がある。これをＴ１＝３００ＫからＴ２＝６０
０Ｋまで加熱したとき、塊のエントロピーの増加分を求めよ。ただし、この温度領域で、アルミニュームの熱容量はＣ＝ａ＋ｂＴである。ここで、ａ＝０．７７Ｊ／（ｇ・Ｋ）、ｂ＝０．４６ｍＪ／（ｇ・Ｋ ２）。
６．１６９． ある過程において、物質の温度が式ＴＳｎに従って、そのエントロピーＳに依存している。ここで、ｎは定数。Ｓの関数として、物質の熱容量Ｃを求めよ。
６．１７０． ポリトロープ過程において、物質のエントロピーＳの関数として物質の温度Ｔを求め
よ物質の熱容量はＣ。温度Ｔ ０でのエントロピーはＳ０である。
６．１７１． 熱容量がＣＶである１モルの理想気体が、そのエントロピーが温度Ｔに、Ｓ＝α／Ｔの依存をする過程を行う。ここで、αは定数。気体の温度はＴ１からＴ ２まで変化する。以下を求めよ。
（ａ）Ｔの関数として気体のモル熱容量。（ｂ）気体になされた熱量。（ｃ）気体がなした仕事。
６．１７２． 作業物質がサイクルを行う。その境界において温度はｎ倍変化し、サイクル自身は（ａ）
図６．４ａ、（ｂ）図６．４ｂ、に示した形をとっている。ここでＳはエントロピー。各々のサイクルの効率を求めよ。
６．１７３． ν＝２．２モルの理想気体が、２つの熱絶縁容器中の片方に入っている。２つの容器は弁付きのパイプで連結されている。他方の容器中は真空である。弁を開いた。気体は両方の容器を見たし、自身の体積をｎ＝３．０倍増大させた。気体のエントロピーの増大分を求めよ。
６．１７４． 熱絶縁されているシリンダーを重さのないピストンで、２つに等分割した。ピストンの片側部分には、比熱比γの理想気体が１モル入っている。ピストンの他方側は真空である。気体の初期温度はＴ ０。ピストンを放つ。気体がシリンダー内を満たした。その後、ピストンをゆっくりと元の位置に戻した。両方の過程の結果として、気体の内部エネルギーの増加分と気体のエントロピーの増加分を求めよ。
６．１７５． ある状態にある理想気体を、断熱的に体積Ｖまで膨張させた。もし、（ａ）戻す、（ｂ）
戻さない、の過程ならば、最終状態において気体の圧力は同じとなっているか。
- 77 -

６．１７６． 断熱容器が仕切りで２つに分けられている。片方の体積は他方の体積よりｎ＝２．０倍大きい。小さい方には、窒素気体がν １＝０．３０モル入っている。大きい方には、酸素気体がν ２＝０．７０モル入っている。２つの気体の温度は同じである。仕切りに穴を開けた。気体は混合した。
気体を理想気体と見なして、系のエントロピーの増加量を求めよ。
６．１７７． 質量ｍ１＝３００ｇ、温度ｔ１＝９７℃の銅の塊を、質量ｍ２＝１００ｇ、温度ｔ２＝７℃の水の入っているカロリー計に入れた。温度が平衡になったときにおける系のエントロピーの増加量を求めよ。カロリー計の熱容量は無視する。
６．１７８． 弁付きのパイプで連結された２つの同形の断熱容器に、同じ理想気体を同じ１モルだ
け入っている。片方の容器の温度はＴ １，他方の容器の温度はＴ ２。気体のモル熱容量はＣ Ｖ。弁を開いた後、気体は新しい平衡状態となった。気体のエントロピーの増加分ΔＳを求めよ。ΔＳ＞０であることを示せ。
６．１７９． ファンデアワールス気体１モルを温度Ｔで、等温過程で体積Ｖ １からＶ２まで膨張させた。気体の自由エネルギーの増加分を求めよ。
６．１８０． 温度Ｔ＝３００Ｋにある窒素気体１モルのエントロピーを求めよ。この気体のη＝５．
０倍の可逆断熱圧縮において、自由エネルギーの増分はΔＦ＝−４８．５ｌＪであった。気体は理想的と見なす。
６．１８１． 温度と体積に対する自由エネルギーＦ（Ｔ，Ｖ）の依存性が知れているとして、圧力ｐ＝−（∂Ｆ／∂Ｖ）Ｔ、Ｓ＝−（∂Ｆ／∂Ｔ）Ｖであることを示せ。
６．１８２． ？ 理想気体が標準状態にある。分子数の平均２乗揺動は、平均分子数のη＝１．０
×１０−８である。気体の体積を求めよ。
６．１８３． Ｎ個のヘリウム原子が体積１．０ｃｍ ３の立方体容器中に室温で入っている。以下を求めよ。（ａ）全ての原子が容器の片半分に集合する確率。（ｂ）前記の事象が期間ｔ≒１０１０年（宇宙の年齢）内に起こることが期待される大凡のＮの値。
６．１８４． ？ Ｎ＝１０個の同じ分子が、容器の２つの同じ半分にある最大確率分布の統計的重みを求めよ。このような分布の確率を求めよ。
６．１８５． 理想気体のＮ個の分子が、ある容器中に入っている。容器を真二つにＡとＢに分割する。容器の片半分Ａ中に、ｎ個の分子が存在する確率を求めよ。Ｎ＝５、ｎ＝０，１，２，３，４，５の場合について考察せよ。
６．１８６． 体積Ｖ ０の容器に、理想気体のＮ個の分子が入っている。この容器のある分割された
体積Ｖの部分に、ｎ個の分子が存在する確率を求めよ。Ｖ＝Ｖ０／２の場合を特に考察せよ。
６．１８７． 理想気体が標準状態にある。分子数の相対的揺動がη＝１．０×１０−３である球状体
積の半径を求めよ。この球内において、平均分子数は幾らとなるか。
６．１８８． エントロピーが１０Ｊ／Ｋであるマクロ系が、３つの部分からできている。その内の１つのエントロピーは６Ｊ／Ｋ。残りの２つの部分の各々の統計的重さΩを求めよ。それらのマクロ状態は同じとする。
６．１８９． マクロ系がある。温度Ｔ＝３５０Ｋで、等温的にその統計的重みをη＝１．０×１０倍増大するためには、マクロ系にいかほどの熱量を与える必要があるか。

９

６．１９０． １原子分子からなる理想気体１モルが、温度Ｔ ０＝３００Ｋで容器内に入っている。
気体を等積過程でΔＴ＝１．０Ｋだけ加熱するならば、この系の統計的重みはどのように変化するか。
６．５．

移動現象。

●衝突無しで、経路長ｓを飛行する気体分子の相対数
Ｎ／Ｎ ０＝ｅ−ｓ／λここで、λは平均自由行程長。
●気体分子の自由行程の平均長λ＝１／（２ １／２πｄ２ｎ）
ここで、ｄは分子の有効直径、ｎは分子濃度●気体の拡散係数Ｄ，粘性η、熱伝導率κ。
- 78 -（６．５ａ）（６．５ｂ）

Ｄ＝（１／３）λ＜ｖ＞、 η＝（１／３）λ＜ｖ＞ρ、
κ＝（１／３）λ＜ｖ＞ρｃＶ（６．５ｃ）
ここで、ρは気体の密度、ｃ Ｖは気体の定積比熱●極めて薄い気体中で、お互いに平行な方向に運動する時、平板の表面の単位面先に作用する摩擦力（６．５ｄ）
Ｆ＝（１／６）＜ｖ＞ρ｜ｕ１−ｕ２｜
ここで、ｕ１，ｕ ２は平板の速度。
●２つの壁の間の極めて薄い気体によって輸送される熱流密度（６．５ｅ）
ｑ＝（１／６）＜ｖ＞ρｃＶ｜Ｔ１−Ｔ２｜
ここで、Ｔ１，Ｔ ２は壁の温度。
６．１９１． 以下のような気体分子の割合を計算せよ。（ａ）平均自由行程長λを超えた距離を衝突することなく飛行する分子の割合。（ｂ）自由行程長がλから２λの間隔にある分子の割合。
６．１９２． 気体の入っている容器中に、細い分子ビームが入射する。気体の圧力は十分に低い。
ビーム中の分子の流れはビームに沿って距離Δｌでη倍弱まる。ビームの分子の平均自由行程長を求めよ。
６．１９３． 気体の分子が時間長ｄｔの間に衝突をする確率をαｄｔとしよう。ここで、αは定数。
以下を求めよ。（ａ）時間長ｔの間に分子が衝突をしない確率。（ｂ）衝突までの平均時間。
６．１９４． 窒素分子の平均自由行程長と、衝突までの平均時間を以下の場合について求めよ。
（ａ）
標準条件で。（ｂ）ｔ＝０℃、圧力ｐ＝１．０ｎＰａで。
６．１９５．
いか。

標準条件にある窒素分子の平均自由行程長は、窒素分子間の平均間隔距離より何倍長

６．１９６． 標準条件で、気体分子の平均自由行程長を求めよ。気体のファンデアワールス定数は
ｂ＝４０ｃｍ ３／モルである。
６．１９７． 窒素気体が標準条件下にある。気体中の音波の波長は、振動数が幾らの時、窒素分子の平均自由行程長に等しくなるか。
６．１９８． 酸素が特定長ｌ＝１０ｍｍを持った容器中に０℃で入っている。これは、我々に興味ある過程の特徴を決める長さである。以下を求めよ。（ａ）それより下で、分子の平均自由行程長λ＞ｌである気体の圧力。（ｂ）対応する分子の濃度と分子間の平均距離。
６．１９９． 窒素気体が標準条件下にある。以下を求めよ。（ａ）１秒間当たりで、核分子が受ける衝突の平均値。（ｂ）１秒間毎に、１ｃｍ３中の窒素分子間の全衝突回数。
６．２００． 平均自由行程長と、各々の分子の単位時間当たりの衝突回数は、以下の過程の場合において、理想気体の温度Ｔにどのように依存するか。（ａ）等積過程。（ｂ）等圧過程。
６．２０１． 理想気体が過程を実行し、その結果、気体の圧力はｎ倍高くなった。過程を（ａ）等
積過程、（ｂ）等温過程 とした場合の各々について、単位時間当たりに、核分子の平均自由行程長と、衝突回数はどのようにかつ何倍に変化したか。
６．２０２． ２原子分子からなる理想気体が断熱過程を実行する。この過程で、１秒毎に、確聞紙の平均自由行程長と、衝突回数は、（ａ）体積Ｖに、（ｂ）圧力ｐに、（ｃ）温度Ｔに、どのように依存しているか。
６．２０３． ポリトロープ係数ｎのポリトロープ過程を理想気体が実行する。１秒毎における、各分子のの平均自由行程長と、衝突回数を、（ａ）体積Ｖの関数として、（ｂ）圧力ｐの関数として、（ｃ）
温度Ｔの関数として、求めよ。
６．２０４． ポリトロープ過程を行う２原子分子からできている理想気体のモル熱容量を求めよ。
ただし、単位時間当たり分子間の衝突回数は、（ａ）単位体積で不変な場合、（ｂ）気体全体積で不変な場合、について考察せよ。
６．２０５． モル質量Ｍの理想気体が、たいせきＶの薄い器壁の容器中に入っている。器壁の温度は一定値Ｔに維持されている。時刻ｔ＝０の時に、壁に面積Ｓの小さな穴を開けた。気体は真空中に流れ出した。時間ｔの関数として、容器内部の気体の濃度ｎを求めよ。ただし、ｔ＝０で、ｎ（０）＝ｎ ０とする。
６．２０６．

気体の入っている容器を、２つの穴の開いている薄い熱絶縁の仕切りで頭半分の１、- 79 -

２に分ける。２つの穴の片方の直径は小さく、他方の直径は非常に大きい。が、両方とも、分子の平均自由行程長に比較してのことである。半分領域２において、気体の温度を、半分領域１よりη倍高く維持する。大きい方の穴だけを閉じたならば、半分領域２における分子濃度はどのように変化するか。
６．２０７． ある過程の結果、理想気体の粘性がα＝２．０倍大きくなり、拡散係数がβ＝４．０
倍大きくなった。気体の圧力はどのように変化したか。
６．２０８． 理想気体の体積を、（ａ）等温的に、（ｂ）等圧的に、η倍大きくすれば、気体の拡散係数Ｄと粘性ηはどのように変化するか。
６．２０９． 理想気体が２原子分子からできている。気体の体積を断熱的にｎ＝１０倍小さくすれ
ば、拡散係数Ｄと粘性ηはどのように変化するか。
６．２１０． （ａ）拡散係数を不変にして、（ｂ）粘性を不変にして、（ｃ）熱伝導を不変にして、理想気体によってなされる過程のポリトロープ係数ｎを求めよ。
６．２１１． 標準条件下でのヘリウムの粘性が概値であるとして、この原子の有効直径を計算せよ。
６．２１２． 標準条件では、ヘリウムの熱伝導は、アルゴンより８．７倍大きい。アルゴンとヘリ
ウムの原子の有効直径比を求めよ。
６．２１３． ２つの長い同軸円筒の間の空間に、標準条件下のヘリウムを充填する。円筒の平均半
径はＲ、円筒間の間隙距離はΔＲであり、ΔＲ≪Ｒ。内部円筒は不動にし、外部円筒を角速度Ωで回転する。内部円筒の単位長さ当たりに作用する摩擦力モーメントを求めよ。ΔＲ＝６ｍｍの時、未知モーメントをη＝１０倍小さくするためには、ヘリウムの圧力をいかほどの値まで減ずる必要があるか。ヘリウムの温度は不変とする。
６．２１４． ２つの長い同軸円筒の空間に気体が満ちている。各々の円筒の半径はＲ １，Ｒ２で、Ｒ＜Ｒ２。内部円筒は不動で、外部円筒は小さい角速度ωで回転させる。内部円筒の単位長さ当たりに作用する摩擦のモーメントはＮ１。半径ｒの円筒表面の単位面積当たりに摩擦力が式σ＝ηｒ（∂ω／∂ｒ）で定まるものとして、気体の粘性を求めよ。
１

６．２１５． ２つの同形の平行円板が、軸を一致させ、間隔ｈ離れて配置されている。各々の円板の半径はａ。ａ≫ｈ。１つの円板を小さい角速度ωで回転し、他方の円板は静止させておく。円板の間の気体の粘性がηとして、不動の円板に作用している摩擦力のモーメントを求めよ。
６．２１６．
して解け。

前問を、モル質量Ｍ、温度Ｔ、圧力ｐである非常に希薄な気体が円板間にあるものと６．２１７． ポアズイユの公式を利用して、長さｌ、半径ａのパイプの横断面を単位時間当たりに流れる気体の質量μを求めよ。パイプの両端の圧力は一定値のｐ１，ｐ２。気体の粘性はη。
６．２１８． 熱絶縁膜を側面に取り付けた棒の一端が温度Ｔ１に保持され、他端は温度Ｔ ２に保持されている。棒自身は２つの部分からできており、各々長さｌ１，ｌ２、熱伝導率はκ１，κ２。
棒の２つの接触面における温度を求めよ。
６．２１９． 長さｌ１，ｌ２、熱伝導率κ１、κ２の２つの棒を、端同士で接続する。この２つの棒からできている系を流れる熱量を同じ流れをする、長さｌ１＋ｌ２の一様な棒の熱伝導率を求めよ。棒の側面は熱絶縁されているものとする。
６．２２０． 側面が熱絶縁されている長さｌの棒が、式κ＝α／Ｔに従って温度と共に変化する熱伝導率を有する材料からできている。ここで、α＝定数。棒の両端を温度Ｔ １，Ｔ２に保持する。Ｔ（ｘ）の依存性と、熱流密度を求めよ。ここでｘは温度Ｔ１の棒の端からの距離。
６．２２１． 熱容量Ｃ１，Ｃ２の２つの金属ブロックが、その間に長さｌの棒で連結されている。棒の断面積はＳ、十分に小さい熱伝導率κである。系全体は周りの空間から熱絶縁されている。時刻ｔ＝０の時、２つの金属ブロックの温度差は（ΔＴ） ０。棒の熱容量を無視して、時間の関数として、
金属ブロックの間の温度差を求めよ。
６．２２２． ２つの大きな水平平板の間の空間がヘリウムで満たされている。板の間隔はｌ＝５０ｍｍ。下の平板を温度Ｔ１＝２９０Ｋに保持し、上の平板の温度をＴ２＝３３０Ｋに保持する。気体の圧力は常圧に近い。熱流密度を求めよ。
６．２２３．

圧力ｐ＝１．０Ｐａにあるヘリウムが２つの大きな平行平板の間にある。平板の間隔- 80 -

はｌ＝５．０ｍｍ。１枚の板を温度ｔ１＝１７℃、他方の平板をｔ２＝３７℃に保持する。ヘリウム原子の平均自由行程長と、熱流密度を求めよ。
６．２２４． 半径Ｒ１，Ｒ２の２つの同軸円筒の間の空間中における温度分布を求めよ。空間は一様な熱伝導物質で充填されており、円筒の温度はＴ １，Ｔ ２であるとする。
６．２２５．
Ｔ１，Ｔ ２。

前問と同様の問題である。が、半径Ｒ１，Ｒ２の２つの同心球間の場合である。温度は６．２２６． 一定電流が、断面の半径Ｒ、熱伝導率κの導線に沿って流れている。導線の単位体積当たり、熱出力ｗが放出される。導線の表面温度がＴ ０ で平衡になったとして、、導線中の温度分布を求めよ。
６．２２７． 半径Ｒ，熱伝導率κの一様な球内で、体積密度当たりｗの熱出力が体積において一様に放出される。旧の表面温度がＴ０と平衡したとき、球内の温度分布を求めよ。
６．６．

熱放射。

●放射発散度
Ｍ＝ｃｕ／４（６．６ａ）
ここで、ｕは熱放射のエネルギー体積密度●ウイーンの公式とウイーンの変移則（６．６ｂ）ｕω＝ω３Ｆ（ω／Ｔ）、 Ｔλ 最大＝ｂここで、λ最大は関数ｕλの最大値に対応する波長。
●ステファン・ボルツマンの公式
Ｍ＝σＴ４（６．６ｃ）
ここで、σはステファン・ボルツマン定数●プランクの公式
ｕω＝（（ｈ／２π）ω３／（π ２ｃ３））（１／（ｅ ｈω／２πｋＴ−１））（６．６ｄ）●自発放射、誘導放射、吸収における、準位１と、より高い準位２との間の原子の遷移確率、
Ｐ自発２１＝Ａ２１、Ｐ誘導２１＝Ｂ２１ｕω
（６．６ｅ）
Ｐ吸収１２＝Ｂ１２ｕω
ここで、ＡとＢはアインシュタイン係数、ｕ ω前述の準位間での遷移周波数ωに対応する放射のスペクトル密度。
●アインシュタイン係数の間の関係（６．６ｆ）
ｇ１Ｂ１２＝ｇ２Ｂ２１、Ｂ ２１＝（π２ｃ３／（（ｈ／２π）ω３）Ａ２１）
６．２２８． ウイーンの公式を使って、以下を求めよ。（ａ）放射の最大確率周波数ω確率∽Ｔ。
（ｂ）熱放射の最大スペクトル密度（ｕω）最大∽Ｔ３。（ｃ）放射発散度Ｍ放射∽Ｔ４。
６．２２９． お互いに平行な３枚の完全黒体平面がある。以下の場合の平衡温度Ｔｘを求めよ。
（ａ）
内側の面が温度Ｔに保持されているときの外側の面。（ｂ）外側の面が温度Ｔ，２Ｔに保持されているときの内側の面。
６．２３０． 熱放射の２つの完全黒体源がある。各々片方と他方と呼称する。片方の温度はＴ １＝
２５００Ｋ。片方の黒体源の放射特性の最大値に対応する波長より、他方の黒体源の放射特性の最大値に対応する波長はΔλ＝０．５０μｍだけ長い。他方の温度を求めよ。
６．２３１． 完全黒体の放射発散度がＭ放射＝３．０Ｗ／ｃｍ ２。この黒体の放射特性の最大値に対応する波長を求めよ。
６．２３２． 太陽の放射は、そのスペクトル成分からすると、完全黒体放射に近いものである。放射特性最大は波長０．４８μｍの所にある。この放射により、１秒毎に太陽が失っている質量を求めよ。太陽の質量が１％だけ減少する時間を求めよ。
６．２３３． 密度ρ＝０．１０ｇ／ｃｍ ３の完全にイオン化した水素プラズマの温度を求めよ。なを、熱放射の圧力はプラズマ粒子の気体運動圧力に等しいとする。熱放射圧はｐ＝ｕ／３。ここで、ｕはエネルギー放射の体積密度。高温においては、物質は理想気体の状態方程式に従う。
６．２３４． 直径ｄ＝１．２ｃｍの銅球を排気した容器中に入れ、容器の壁の温度を絶対零度近くに保持した。球の初期温度はＴ ０＝３００Ｋ。球の表面は完全黒体であると見なし、球の温度がη＝２．０倍低くなるまでの時間を求めよ。
６．２３５．

太陽の表面温度はＴ ０＝５５００Ｋ。太陽と地球の吸収特性は１に等しく、地球は熱- 81 -

平衡状態にあると見なして、地球の温度を求めよ。
６．２３６． 図６．５参照。同じ直径ｄ＝１．０ｃｍの小さい穴があり、完全反射の外表面を持っている２つの空洞がある。
穴同士の距離はｌ＝１０ｃｍ。空洞１を一定温度Ｔ １ ＝１７０
０Ｋに保持する。空洞２の到達温度を計算せよ。
指針 完全黒体はコサイン放射をなす。
６．２３７． 体積Ｖ＝１．０Ｌの空洞が、温度Ｔ＝１０００Ｋの熱放射で満たされている。以下を求めよ。（ａ）熱容量ＣＶ。（ｂ）この放射のエントロピーＳ。
６．２３８． 熱放射の圧力とエネルギー密度の間にｐ＝ｕ／３の関係の熱放射から導かれる、断熱過程の式を変数Ｖ，Ｔで求めよ。
６．２３９． 熱放射のエネルギースペクトル分布は、ウイーンの式ｕ（ω、Ｔ）＝Ａω３ｅ−ａω／Ｔに従うとする。ここで、ａ＝７．６４ｐｓ。温度Ｔ＝２０００Ｋにおける、（ａ）放射周波数の最大確率値、（ｂ）放射波長の最大確率値、を求めよ。
６．２４０． プランクの公式を使用して、（ａ）ｈ〜ω≪ｋＴ（レーリー・ジーンズの公式）、（ｂ）
ｈ 〜ω≫ｋＴ（ウイーンの公式）、の各領域における放射の体積スペクトル密度に対する近似式ｕ ωを求めよ。
６．２４１． ωを変数としたプランクの公式を変数ν（周波数）で表記せよ。また、変数λ（波長）でも表記せよ。
６．２４２． プランクの公式を使用し、放射スペクトル密度の最大値近傍で波長の短い間隔Δλ＝１．０ｎｍ当たりの完全黒体の単位表面の放射強度を導け。物体の温度はＴ＝３０００Ｋとする。
６．２４３． 振動数ωの量子振動子系が温度Ｔ下にある。この系において、エネルギーε ｎ＝（ｎ＋１／２）ｈ 〜ωを持った振動子はいかほどの確率で見つけられるか。
６．２４４． プランクの公式を使用して、温度Ｔにある１ｃｍ ３の空洞内の光子で、スペクトル間
隔が（ω、ω＋ｄω）と（λ、λ＋ｄλ）にある光子の数を定める式を各々導け。
６．２４５． 原子状水素が自身の放射と熱力学的平衡状態にある。以下を求めよ。（ａ）温度Ｔ＝３０００Ｋにおいて、準位２Ｐからの誘導放射と自然放射の確率の比。（ｂ）これらの確率が同じになる温度。
６．２４６． 温度Ｔの気体を、振動数ωの光束が通り抜ける。ωは気体原子の共鳴遷移周波数に等しい。かつ、ｈ 〜ω≫ｋＴ。誘導放射を考慮して、気体の吸収係数はκ＝κ ０（１−ｅ −ｈ〜ω／ｋＴ）であることを示せ。ここで、κ０はＴ→０の時の吸収係数。
６．７．

固体。

●単純立方格子における面間距離ｄ＝ａ／（ｈ ２＋ｋ ２＋ｌ２） １／２
ここで、ａは格子の周期。ｈ、ｋ、ｌはミラー指数。
●結晶の単位体積における規準振動の数
ｄＮω＝ω ２ｄω／（２π２ｖ ３）●デバイの公式。結晶のモル振動エネルギー
Ｕ＝９ＲΘ（１／８＋（Ｔ／Θ） ４・０∫Θ／Ｔ（ｘ ３／（ｅｘ−１））ｄｘ
ここで、Θ＝（ｈ／２π）ω 最大／ｋで、デバイ温度●ＴΘのときの結晶のモル振動熱容量
Ｃ＝（１２／５）π４Ｒ（Ｔ／Θ）３●Ｔ→０の時、金属中の自由電子の分布
ｄｎ＝（２１／２ｍ３／２／（π２ｈ〜３）Ｅ１／２ｄＥ
ここで、ｄｎは間隔（Ｅ，Ｅ＋ｄＥ）の間にエネルギーを持つ電子の濃度。エネルギーＥは伝導体の底からの値。
●Ｔ→０の時のフェルミ準位
ＥＦ＝（ｈ 〜２／（２ｍ））（３π２ｎ）２／３
ここで、ｎは金属中の自由電子濃度。
リチャードソン・デシュマンの公式。飽和電流。
ｊ飽和＝ＡＴ２ｅ−φ／ｋＴ
ここで、ｅφは脱出仕事。
- 82 -

●半導体の固有電気伝導度
σ＝σ ０ｅ −ΔＥ／２ｋＴ
ここで、ΔＥは禁制体の幅。
６．２４７．

モリブデンの体心立方格子の格子定数ａを求めよ。モリブデンの密度は概値とする。

６．２４８．

銅の密度が概値として、銅の面心立方格子の格子定数ａを求めよ。

６．２４９．

ＮａＣｌ結晶の密度を求めよ。その格子定数はａ＝０．５６３ｎｍである。

６．２５０． 格子定数がａである（ａ）単純立方格子、（ｂ）体心立方格子、（ｃ）面心立方格子、における面間隔距離ｄ１００，ｄ１１０，ｄ１１１を求めよ。
６．２５１． 格子定数がａである単純立方格子において、ミラー面指数（ｈｋｌ）で指定される面
間隔ｄは、ｄ＝ａ／（ｈ２＋ｋ２＋ｌ２）１／２であることを示せ。
６．２５２． 銅の面心立方格子の格子定数は０．３６１ｎｍ。原子の配位密度が最大であるミラー指数を記せ。この密度を、原子／ｃｍ２の単位で計算せよ。
６．２５３． 立方格子において、直線［１２３］と軸［１００］、［０１０］、［００１］の間の角度を計算せよ。
６．２５４． 振動数間隔（ω、ω＋ｄω）における、長さｌの紐の固有横振動数を求めよ。振動の伝搬速度はｖとする。振動は一平面内で行われるものと見なす。
６．２５５． 面積Ｓの長方形の膜がある。膜の面に垂直な振動の、振動数間隔（ω、ω＋ｄω）内の固有振動数を求めよ。長方形の２辺長はａ、ｂ。振動の伝搬速度はｖとする。
６．２５６． 体積Ｖの直角平行六面体の固有横振動の、振動数間隔（ω、ω＋ｄω）における振動数を求めよ。振動の伝搬速度はｖとする。
６．２５７． 縦振動と横振動の伝搬速度が同じでｖであると見なし、以下のデバイ温度を求めよ。
（ａ）一次元結晶−同じ原子からなる鎖。単位長さ当たりｎ ０ 個の原子。（ｂ）２次元結晶−同じ原子からなる正方形格子の集まった平面。単位面積当たりｎ ０ 個の原子を持つ。（ｃ）同じ原子からなる単純立方格子。単位体積当たりｎ０個の原子を持つ。
６．２５８． 鉄のデバイ温度を計算せよ。鉄において、縦振動と横振動の伝搬速度は各々５．８５
ｋｍ／ｓ、３．２３ｋｍ／ｓ。
６．２５９．
ある。

アルミニュームにおける音響振動の伝搬速度を求めよ。デバイ温度はΘ＝３９６Ｋで６．２６０． 一次元結晶（一次元原子の鎖）のモル熱容量の温度Ｔに対する依存性を与える式を導出せよ。鎖のデバイ温度はΘ。得られた結果をＴ≫Θの場合として簡単化してみよ。
６．２６１． 同じ原子の鎖において、振動数ωは波数ｋにω＝ω 最大ｓｉｎ（ｋａ／２）の形で依存している。ここで、ω最大は振動の最大周波数、ｋ＝２π／λでωに対応した波数、ａは隣り合う原子間距離。この分散関係式を利用して、振動数の単位間隔当たりに存在する縦振動の数、則ちｄＮ／ｄω、のω依存性を見いだせ。鎖の長さをｌとする。ｄＮ／ｄωを得たとして、鎖の可能な縦振動の全個数Ｎを求めよ。
６．２６２．

デバイ温度Θ＝３３０Ｋの銅１ｇに生起したゼロ振動エネルギーを計算せよ。

６．２６３． 図６．６に温度に対する結晶の熱容量の依存図が示されている。デバイ温度単位で。
ここで、Ｃ結晶は古典的熱容量、Θはデバイ温度。図を用いて以下を求めよ。（ａ）銀のモル熱容量
はＴ＝６５Ｋで、１５Ｊ／（モル・Ｋ）である。銀のデバイ温度。（ｂ）アルミニュームのモル熱容
量はＴ＝２５０Ｋで、２２．４Ｊ／（モル・Ｋ）である。Ｔ＝８０Ｋにおけるアルミニュームのモル熱容量。
６．２６４． 温度ＴΘにおいて、結晶のモル熱容量は式Ｃ＝（１２／５）π ４Ｒ（Ｔ／Θ）３で決められることを証明せよ。ここで、Θはデバイ温度。
６．２６５． 鉄の結晶における固有振動の最大周波数ω最大を求めよ。温度Ｔ＝２０Ｋにおいて、鉄の比熱はｃ＝２．７ｍＪ／（ｇ・Ｋ）である。
- 83 -

６．２６６． 温度２０Ｋ、３０Ｋを、これらの温度におけるある結晶の熱容量が、各々０．２６６
Ｊ／（モル・Ｋ）、０．７６０Ｊ／（モル・Ｋ）の時、この結晶にとってこれらの温度は低いものと見なせるか。
６．２６７． 質量ｍ＝２５ｇの銅の結晶のＴ１＝１０ＫからＴ ２＝２０Ｋまでの加熱において、結晶に熱量Ｑ＝０．８０Ｊを与えた。デバイ温度Θ≫Ｔ１，Ｔ２として、銅に対するデバイ温度を求めよ。
６．２６８． デバイモデルで結晶の１つの振動子で生起するゼロ振動のエネルギーの平均値を求めよ。結晶のデバイ温度をΘとする。
６．２６９． １モルのアルミニュームのゼロ振動エネルギーを見積もれ。原子間距離はａ≒０．３
ｎｍ、音響振動の伝搬速度はｖ≒４ｋｍ／ｓ。
６．２７０．結晶の振動エネルギーの分布スペクトルを振動数を横軸目盛りにして、グラフで示せ。
ゼロ振動は無視する。
６．２７１． 銅におけるフォノンのエネルギーの最大値と運動量の最大値を評価せよ。銅のデバイ
温度は３３０Ｋである。
６．２７２． 結晶はＮ個の同じ原子からできている。結晶のデバイ温度はΘ。温度Ｔにおける間隔（ω、ω＋ｄω）にあるフォノンの個数を求めよ。
６．２７３．

温度Ｔにおける銅中のフォノン圧力を求めよ。銅のデバイ温度はΘ＝３３０Ｋ。

６．２７４． 公式ｄｎ＝（２１／２ｍ３／２／π ２ｈ〜３）Ｅ １／２ｄＥを使用し、Ｔ→０の時、以下を求めよ。
（ａ）金属中の自由電子の最大運動エネルギー。電子濃度をｎとする。（ｂ）自由電子の平均運動エ
ネルギー自由電子の最大運動エネルギーをＫ運動とする。
６．２７５． 温度Ｔ＝０で、金属中の自由電子のエネルギーが、フェルミエネルギーとη＝１．０％だけ異なっている自由電子の相対数を求めよ。
６．２７６． 温度Ｔ＝０で、金属中の自由電子の何％が、最大運動エネルギーの半分以上の運動エ
ネルギーを持っているか。
６．２７７． 温度Ｔ＝０において、ナトリウム１原子当たりで発生する自由電子の個数を求めよ。
フェルミ準位はＥＦ＝３．０７ｅＶ。ナトリウムの密度は概値とする。
６．２７８． 古典的電子気体の電子の平均エネルギーが温度Ｔ＝０における銅の自由電子の平均エネルギーと等しくなるためには、古典的電子気体を何度まで加熱する必要があるか。銅の各原子において１個の自由電子が発生するものとする。
６．２７９． 温度Ｔ＝０で、フェルミ準位近傍にある金属中の自由電子の隣り合う準位の間隔をｅＶ単位で求めよ。自由電子濃度はｎ＝２．０×１０２２／ｃｍ３、金属の体積はＶ＝１．０ｃｍ３。
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６．２８０． 公式ｄｎ＝（２１／２ｍ３／２／π２ｈ〜３）Ｅ １／２ｄＥを使用し、Ｔ＝０において、以下を求めよ。（ａ）自由電子の速度に対する分布。（ｂ）自由電子の最大速度に対する自由電子の平均速度の比。
６．２８１． 温度Ｔ＝０において、金属中の自由電子の最小ドブロイ波長を評価せよ。金属は１原子当たり１個の自由電子を持ち、金属の結晶格子は格子定数ａの単純立方格子とする。
６．２８２． 金属中の自由電子は、そのドブロイ波長が、格子定数と同程度になると、量子的性質が本質となる。この考えから、道中の電子気体の変質温度Ｔを評価せよ。
６．２８３． 公式ｄｎ＝（２１／２ｍ３／２／π２ｈ〜３）Ｅ１／２ｄＥから、度無頼は長に関するＴ＝０での、金属中における自由電子の分布関数を求めよ。
６．２８４． Ｔ＝０で、金属ナトリウム中の電子気体の圧力を計算せよ。金属中の電子濃度はｎ＝２．５×１０ ２２／ｃｍ３とする。理想気体の圧力に関する方程式を利用せよ。
６．２８５． 温度Ｔで、金属中の自由電子の平均エネルギーは、＜Ｅ＞＝（３／５）ＥＦ（１＋（５π ２／１２）（ｋＴ／Ｅ Ｆ） ２）で決まる。デバイ温度が２１０Ｋ，フェルミエネルギーがＥ Ｆ＝５．５
ｅＶである銀において、Ｔ＝３００Ｋで、結晶格子の熱容量に対する電子気体の熱容量の比を求めよ。
６．２８６． 電灯において、カソードの温度をＴ＝２０００ＫからΔＴ＝１．０Ｋだけ上昇させると、η＝１．４％だけ飽和電流が増大する。電子の脱出仕事を求めよ。
６．２８７．運動エネルギー K=１３５ｅＶを持つ電子に対する金属ナトリウムの屈折率を求めよ。
ナトリウムの各原子には１個の自由電子があるものとする。
６．２８８． 真性半導体中で、電子・正孔対形成のための最小エネルギーを求めよ。半導体の導電率は温度Ｔ１＝３００ＫからＴ２＝４００Ｋまでの上昇で、η＝５．０倍増大したものとする。
６．２８９． 極低温において、純正ゲルマニウムの光導電長波
長限界はλ長波長＝１．７μｍ。室温におけるこのゲルマニウムの抵抗の温度係数を求めよ。
６．２９０． 図６．７に、ｎ型のある半導体の温度の逆数（１／Ｔ）に対する導電率の対数の依存性が示されている。このグラフを利用して、この半導体の禁制帯幅とドナー準位の活性エネル
ギーを求めよ。
６．２９１． ある純正半導体の比抵抗率は、室温でρ＝５０Ω
・ｍ。光を当てると、比抵抗率はρ １＝４０Ω・ｍとなり、光を消した後、ｔ＝８ｍｓ後に、比抵抗率はρ ２＝４５Ω・ｍとなった。
伝導電子と正孔の平均寿命を求めよ。
６．２９２． ホール効果の測定において、鼻ｈ＝１０ｍｍ、長さｌ＝５０ｍｍのｐ型半導体板を、磁束密度Ｂ＝５．０ｋＧの磁界中に置いた。板の両端に電位差Ｕ＝１０Ｖを印加した。これにより、
ホール電位差Ｕホール＝５０ｍＶ、比抵抗率ρ＝２．５Ω・ｃｍであった。正孔濃度と正孔の移動度を求めよ。
６．２９３． 磁束密度Ｂ＝５．０ｋＧの磁界中でのホール効果の測定において、純正ゲルマニュー
ムの電場の横電界強度は、電場の縦電界強度より、η＝１０倍小さかった。この半導体中の伝導電子と正孔の移動度の差を求めよ。
６．２９４． 伝導電子の移動度がホールの移動度よりη＝２．０倍大きいある半導体において、ホール効果が観測されなかった。この半導体における正孔濃度と伝導電子濃度の比を求めよ。
６．８．

液体。毛管現象。

●曲がった表面を持っている液体における毛管（追加）圧力（ラプラスの公式）（６．８ａ）
Δｐ＝α（１／Ｒ１＋１／Ｒ ２）
ここで、αは液体の表面張力。
●液体の表面層の自由エネルギーの増加分
ｄｆ＝αｄＳ
（６．８ｂ）
ここで、ｄＳは表面層の面積の増加分- 85 -

●液体の表面の等温膨張において、液体の表面層の単位面積を形成するために必要な熱量
ｑ＝−Ｔｄα／ｄＴ（６．８ｃ）
６．２９５． 毛管圧力を求めよ。（ａ）直径ｄ＝１．５μｍの水銀液滴。（ｂ）直径ｄ＝３．００ｍｍのシャボン玉の内部。石けん水の表面張力はα＝４５ｍＮ／ｍ。
６．２９６． 水銀の入った容器の底に、直径ｄ＝７０μｍの穴がある。水銀がこの穴からこぼれ落
ちないのは、水銀の層の厚さが最大幾らまでか。
６．２９７． 圧力ｐ ０の空気の入っている容器に、直径ｄのシャボン玉が入っている。空気の圧力を等温的にｎ倍小さくした。その結果、シャボン玉の直径はη倍大きくなった。石けん水の表面張力を求めよ。
６．２９８． 平面リムに、石けん膜が張られている。石けん膜内に糸でできたループが入っている。
ループの内側の石けん膜を突き抜く。その後、ループは半径Ｒ＝７．５ｍｍの円形形状となった。石
けん水の表面張力をα＝４０ｍＮ／ｍとして、糸の張力を求めよ。
６．２９９． 半径Ｒ１，Ｒ２の２つのシャボン玉が、一体となり、半径Ｒのシャボン玉となった。大気圧はｐ。この過程を等温的と見なし、石けん水の表面張力αを求めよ。
６．３００． 半径ａのシャボン玉に、半径ｂのシャボン玉が「座った」。ｂ＜ａとして、２つの玉を分けている膜の曲率半径を求めよ。それらの接触箇所における膜の間の角度はいくらか。
６．３０１． 深さｈ＝５．０ｍの水中にある直径ｄ＝４．０μｍの空気泡中の圧力を求めよ。大気
圧は常圧のｐ ０。
６．３０２． 池の底で、直径ｄ＝４．０μｍの気体の泡が分離した。この泡が水面に上がったとき、泡の直径はｎ＝１．１倍大きくなっていた。泡の発生した池の深さを求めよ。大気圧は常圧、泡の膨張過程は等温的とする。
６．３０３． 連結された直径ｄ１＝０．５０ｍｍ、ｄ ２＝１．００ｍｍの垂直毛細管中の水銀の準位の差を求めよ。接触角はθ＝１３８°。
６．３０４． 内直径０．５０ｍｍの垂直毛細管を、水中に沈めた。水面上に出ている部分の長さは
ｈ＝２５ｍｍ。メニスカス（毛細管中の凸型又は凹型の液面）の曲率半径を求めよ。
６．３０５． 内直径ｄ＝２０μｍの長さｌ＝１１０ｍｍのガラス毛細管を、垂直状態で水に入れる。
毛細管の上端は閉じられている。周りの空気の圧力は常圧。毛細管中の水面の位置が毛細管の外の水面の位置と一致させるためには、毛細管をいかほどの長さｘだけ沈める必要があるか。
６．３０６． 上端が閉じている長さｌの垂直毛細管を、液面に接触させるように配置した。その後、液体は毛細管の中を高さｈだけ上昇した。液体の密度はρ、毛細管の内直径はｄ、接触角はθ、大気
圧はｐ０。液体の表面張力を求めよ。
６．３０７． 直径ｄ１＝１．５ｍｍのガラス棒を、内直径ｄ２＝２．０ｍｍの穴のあるガラス製毛細管内に対称に差し入れた。その後、合体した装置を、垂直にして水面に接触させた。このような形式の毛細管の中を水は如何ほど上昇するか。
６．３０８． 濡れる液体中に部分的に沈めた２枚の垂直な平板を、非常に小さい角度δφを持った楔とする。楔の稜は垂直である。液体の密度はρ、液体の表面張力はα、接触角度はθ。楔の稜からの距離ｘの関数として、液体の上昇する高さｈを求めよ。
６．３０９． 水平な円形の穴から、水が垂直に流れ落ちる。流れの水平断面の１つでの流れの直径はｄ＝２．０ｍｍ、この箇所よりｌ＝２０ｍｍ下の部分での流れの直径はｎ＝１．５倍小さい。この穴から、１秒間に流れ出す水の体積を求めよ。
６．３１０． 質量ｍの液滴が机の上にある。液滴の高さはｈ、液体の密度はρ、表面張力はσ、机の表面と液滴の接触境界の半径はａ。完全に濡れないものとして、液滴の頂点における液滴表面の曲率半径を求めよ。
６．３１１． 水滴が空気中を一様に落下する。液滴の頂点における液滴の表面の曲率半径と、下点での曲率半径の差を求めよ。頂点と下点との距離はｈ＝２．３ｍｍ。

- 86 -

６．３１２． 半径Ｒ＝５．６ｍｍ、厚さｈ＝１．
５ｍｍのアルミニューム円板をパラフィンで濡らし、水に浮かべる。円板の上面が水面と一致した。
図６．８参照。濡れが完全として、水の表面張力を求めよ。
６．３１３． ２枚の水平ガラス平板の間に、半径Ｒ、厚さｈの平パン形状の水銀が入っている。
ｈ≪Ｒ。平板の距離がｎ倍小さくなるために、上の平板に載せるべき錘の質量ｍを求めよ。接触角度はθ。Ｒ＝２．０ｃｍ、ｈ＝０．３８ｍｍ、ｎ＝２．０、θ＝１３５°として、ｍを算出せよ。
６．３１４． お互いに距離ｈ＝０．１０ｍｍ離れている２枚の平行なガラス平板がある。板の間に質量ｍ＝７０ｍｇの水を入れた。平板の引力を求めよ。濡れは完全とする。
６．３１５． 半径Ｒ＝５．０ｃｍの２枚のガラス円板を水で濡らし、円板間の水の層の厚さがｈ＝１．９μｍとなるように、配置した。濡れは完全として、円板をお互いに引き離すために、円板の面に垂直に加えるべき力を求めよ。
６．３１６． お互いに平行で垂直な２枚のガラス板の一部分を水に沈める。板の間隔はｄ＝０．１
０ｍｍ、板の幅はｌ＝１２ｃｍ。板の間の水は板の上端までは達せず、濡れは完全であるとして、板がお互いに引き合っている力を求めよ。
６．３１７． 垂直で平らな壁を、液体が上昇する高さを求めよ。液体は濡れるものであり、接触角
度はθ、表面張力はσ、密度はρ。表面の曲率は１／Ｒ＝ｄφ／ｄｓ（定義に従って）であることを考慮せよ。
６．３１８． 水平平面上で、水たまりを形成している濡れない液体の厚さｈを求めよ。液体の表面
張力α、液体の密度ρ、接触角度θは概値とする。水たまりの直径は水たまりの厚さより十分に大きいものとする。
６．３１９． 大気圧の毛細管と繋がっている半径Ｒのシャボン玉が消滅する時間を求めよ。毛細管は長さがｌ、内半径がｒ。表面張力はα、気体の粘性はη。
６．３２０． 垂直の毛細管を水面に接触させた。毛細管を水が上昇するときいかほどの熱量が放出されるか。濡れは完全であり、表面張力はα。
６．３２１． 表面層の自由エネルギーを求めよ。（ａ）直径ｄ＝１．４ｍｍの水銀液滴。（ｂ）直径ｄ＝６．０ｍｍのシャボン玉。石けん石の表面張力はα＝４５ｍＮ／ｍとする。
６．３２２． 表面張力をαとして、以下を求めよ。（ａ）各々直径ｄ＝１．５ｍｍの２つの同形の水銀液滴の等温過程での一体化での表面層の自由エネルギーの増加分。（ｂ）周りの大気の圧力がｐ０の時、半径Ｒのシャボン玉を等温過程で吹いて作るためには如何ほどの仕事が必要か。
６．３２３． 半径ｒのシャボン玉の内部に、理想気体が入っている。外気圧はｐ ０，石けん水の表
面張力はα。シャボン玉内部の気体の加熱におけるモル熱容量と、一定圧力下におけるこの気体のモ
ル熱容量の差を求めよ。
６．３２４． 液体膜に対するカルノーサイクルを考察し、等温過程において、表面層の単位面積を形成するために必要な熱量はｑ＝−Ｔｄα／ｄｔであることを示せ。ここでｄα／ｄＴは表面張力の温度に関する導関数である。
６．３２５． 石けん膜の面積を、温度Ｔで等温的にΔσだけ大きくする。石けん水の表面張力αとその温度係数ｄα／ｄＴが概値であるとして、以下の増分を求めよ。（ａ）膜の表面層のエントロピー。（ｂ）表面層の内部エネルギー
６．９．

相転移。

●ファンデアワールス定数と物質の臨界状態路のパラメータとの間の関係
ＶＭ臨界＝３ｂ、ｐ臨界＝ａ／（２７ｂ２）、
Ｔ臨界＝８ａ／（２７Ｒｂ）●１持つ物質の臨界パラメータ間の関係
ｐ臨界Ｖ Ｍ臨界＝（３／８）ＲＴ 臨界●クライペロン・クラジウスの方程式
ｄｐ／ｄＴ＝ｑ１２／（Ｔ（Ｖ１ −Ｖ２ ））- 87 -（６．９ａ）（６．９ｂ）（６．９ｃ）

ここで、ｑ１２は遷移１−２において、吸収される熱量。Ｖ １ ，Ｖ２

は相１、相２における体積。

６．３２６． 飽和水蒸気が、重さのないピストンの下の円筒容器中に温度ｔ＝１００℃で入っている。ゆっくりとピストンを動かすと、水蒸気の小さな部分質量Δｍ＝０．７０ｇが凝縮した。気体に如何ほどの仕事をしたか。水蒸気は理想気体であり、液体の体積は無視する。
６．３２７． 飽和水蒸気を持った水が体積Ｖ＝６．０Ｌの容器中に、温度２５０℃、圧力４０気圧で入っている。この条件下での水蒸気の比体積はＶ ＝５０Ｌ／ｋｇ。水と水蒸気の一体の質量はｍ＝５．０ｋｇ。水蒸気の質量と体積を求めよ。
６．３２８． 体積Ｖ ０＝５．０Ｌであるピストン下のシリンダ内の空間が、一様な飽和水蒸気で占められている。その温度はｔ＝１００℃。ピストン下の体積をＶ＝１．６Ｌまで等温的に減じたとき生成する液相の質量を求めよ。飽和水蒸気を理想気体と見なす。
６．３２９． 飽和蒸気の状態にある物質の、ある質量を、等温的に体積でｎ倍に圧縮した。飽和蒸
気と液体相の比体積がお互いにＮ（＞ｎ）倍異なっているものとして、最終体積の如何ほどの部分η
が液体相となるか、求めよ。
６．３３０． 標準大気圧のもとで沸騰した質量ｍ＝１．００ｋｇの水が、完全に飽和水蒸気となった。この過程におけるエントロピーの増加分と、内部エネルギーの増加分を求めよ。飽和水蒸気は理
想気体であると見なす。
６．３３１． 質量ｍ＝２０ｇの水が、重さのないピストンの下の熱絶縁シリンダー内に、温度０℃で入っている。ピストンの面積はＳ＝４４０ｃｍ ２。外気圧は常圧である。水の熱量Ｑ＝２０．０ｋＪを与えると、ピストンは如何ほど上昇するか。
６．３３２． 重さのないピストン下の熱絶縁シリンダー内に、１ｇの飽和水蒸気が入っている。外気圧は常圧。シリンダに温度ｔ ０＝２２℃の水、ｍ＝１．０ｇを入れた。シリンダの熱容量と摩擦は無視して、ピストンを解き放ったとき、大気圧のなす仕事を求めよ。
６．３３３． カルノーサイクルに従って動作する熱機関に、作業物質として質量ｍ＝１．００ｋｇの水を用いる。水は水蒸気への相転換、及び逆変換を受ける。サイクルは図６．９に示している。図中で、破線曲線は２つの相状態領域の境界を示している。等温膨張
１−２はＴ １ ＝４８４Ｋで行う、等温圧縮はＴ ２ ＝３７３Ｋ。１サイ
クルにおける作業物質のなす仕事を求めよ。
６．３３４． ？ 液体の凸球状表面上の飽和蒸気の追加圧力Δｐは、平らな表面での蒸気圧より十分に小さく、Δｐ＝（ρ蒸気／ρ液体）２α／ｒで与えられる。ここで、ρ蒸気は蒸気の密度、ρ液
体は液体の密度、αは表面張力、ｒは表面の曲率半径。この公式を用いて、水滴の直径を求めよ。温度ｔ＝２７℃において、水滴の飽
和蒸気の圧力はη＝１．０％だけ、平らな表面上の蒸気圧を上回る。
蒸気は理想気体と見なす。
６．３３５． 水面の上にある温度ｔ＝１００℃の飽和水蒸気において、水面１ｃｍ ２から１秒間あたりに飛び出す全分子の質量を求めよ。なを、水面に達した水蒸気の全分子のうちη＝３．６％が水面に捕獲されるものと見なす。
６．３３６． 温度Ｔ＝２０００Ｋにあるタングステンの飽和蒸気圧を求めよ。この温度では、高真空下で灼熱しているタングステン線は単位時間に、単位表面積あたり、質量μ＝１．２×１０ −１３ｇ／（ｓ・ｃｍ ２）を失うものとする。
６．３３７．

水の分子間の引力が消滅したとすれば、容器の壁の水の圧力はどれだけ高くなるか。

６．３３８． 液体中の「内圧」ｐ内圧を求めよ。液体の密度ρ、気化熱ｑが概値とする。熱量ｑは内圧の力に対抗してなす仕事に等しく、液体はファンデアワールス方程式に従うものと見なす。水におけるｐ内圧を算出せよ。
６．３３９． ファンデアワールス方程式に従っている物質において、臨界状態では、式（６．９ａ）と式（６．９ｂ）の関係は妥当であることを示せ。
指針：等温線ｐ（Ｖ）で、変曲点が臨界状態に対応している。
６．３４０． 二酸化炭素気体に対するファンデアワールス定数を算出せよ。二酸化炭素の臨界温度
はＴ臨界＝３０４Ｋ、臨界圧力はｐ臨界＝７３気圧。
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６．３４１． 臨界状態におけるベンゼン（Ｃ６Ｈ６）の比体積を求めよ。二酸化炭素の臨界温度はＴ
臨界＝５６２Ｋ、臨界圧力はｐ臨界＝４７気圧。
６．３４２． 対応する臨界量を圧力、体積、温度の単位と見なして、換算パラメーターπ、ν、τで、ファンデアワールス方程式を記述せよ。
６．３４３． ファンデアワールス定数を概値として、以下を求めよ。（ａ）液体状態にある質量ｍ＝１．００ｋｇの水が占めれる最大の体積。（ｂ）飽和水蒸気の最大圧力。
６．３４４．
せよ。

ファンデアワールス気体と見なし、臨界状態での二酸化炭素気体の温度と密度を算出

６．３４５． 臨界温度で、エーテルが臨界状態にあるためには、室温において液体エーテルは容器の体積のどれだけの部分を占めるか。エーテルにおいて、Ｔ 臨界＝４６７Ｋ、ｐ 臨界＝３５．５気圧、Ｍ＝７４ｇ／モル。
６．３４６． 図６．１０参照。等温−等圧過程の相転移に対応している直線１−３−５の位置は、この線分とファンデアワールスの等圧線とで境界されている面積ⅠとⅡはお互いに等しい、ということを示せ。
６．３４７． 常圧化で、ｔ＝−２０℃まで過冷却された水の如何ほどの部分が、平衡状態で系の転移において氷に変化するか。水野か冷
却のいかなる温度で、水は全て氷に変化するか。
６．３４８． 氷の比体積は、水の比体積よりΔＶ ＝０．０９１ｃ
ｍ ３ ／ｇ大きい。Δｐ＝１．００気圧だけ圧力を増大したとき、０℃近傍の氷の溶解温度の増分を求めよ。
６．３４９． 常圧下における飽和水蒸気の比体積を求めよ。以下のことがわかっているとする。圧力のΔｐ＝３．２ｋＰａだけの減少は、水の沸騰温度をΔＴ＝０．９Ｋだけ低下させる。
６．３５０．

温度１０１．１℃における飽和水蒸気の圧力を求めよ。蒸気は理想気体と見なす。

６．３５１． 閉じた容器中に、若干の水と、飽和水蒸気が温度ｔ＝１００℃で入っている。系の温度をΔＴ＝１．５Ｋ上昇させると、飽和水蒸気の質量は何％増大するか。蒸気は理想気体と見なし、水の比体積は蒸気の比体積と比較すると無視できるほど小さいとする。
６．３５２． 水銀の飽和蒸気圧ｐは、式ｌｎ（ｐ）＝−ａ／Ｔ−ｂｌｎＴ＋ｃに従って温度Ｔに依存する。ここで、ａ，ｂ，ｃは定数。温度の関数として、水銀のモル蒸発熱ｑ（Ｔ）を求めよ。
６．３５３． 温度Ｔ０において、飽和蒸気圧がｐ０の時、温度の関数として、飽和蒸気圧を求めよ。
蒸発熱ｑは温度Ｔに依存せず、液体の比体積は蒸気の比体積と比較すると無視できるほど小さ糸見なす。飽和蒸気は理想気体の状態方程式に従うものとする。どのような条件の下で、これらの単純化は達成されるか。
６．３５４． 標準条件下にある氷を、圧力ｐ＝６４０気圧まで、圧縮する。この条件下では、氷の融解熱の低下は、圧力に線形的に依存するものと見なし、溶ける氷の分量を求めよ。水の比体積は、氷の比体積よりΔＶ ＝０．０９ｃｍ３／ｇだけ小さい。
６．３５５． ３重点近傍において、二酸化炭素の飽和蒸気の圧力ｐは、ｌｎ（ｐ）＝ａ−ｂ／Ｔに従って温度Ｔに依存する。ここで、ａとｂは定数。ｐを大気圧とすると、昇華過程においてａ＝９．
０５、ｂ＝１８００Ｋ、蒸発過程においてａ＝６．７８、ｂ＝１３１０Ｋである。以下を求めよ。
（ａ）
３重点における温度と圧力。（ｂ）３重点近傍における昇華熱の値、蒸発熱の値、融解熱の値。
６．３５６． 質量ｍ＝１．００ｋｇの水を温度ｔ１＝１０℃からｔ２＝１００℃まで加熱した。これ
により、水は全て蒸気となった。系のエントロピーの増加分を求めよ。
６．３５７． 初期温度ｔ１＝０℃の氷を加熱し、最初水に変え、その後、ｔ２＝１００℃の蒸気とした。系の比エントロピーの増分を求めよ。
６．３５８． 温度ｔ １＝９０℃、質量ｍ＝９０ｇの氷の塊をカロリー計中に入れた。カロリー計内には、温度−３℃で質量５０ｇの氷が入っていた。熱平衡状態に達したときにおける系のエントロピ
ーの増分を求めよ。
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６．３５９． 温度ｔ１＝０℃、質量ｍ１＝１００ｇの氷の塊をカロリー計中に入れた。カロリー計内には、温度ｔ ２で質量ｍ２＝１００ｇの水が入っていた。カロリー計の熱容量を無視して、熱平衡状態に達したときにおける系のエントロピーの増分を求めよ。２つの場合について考察せよ。（ａ）ｔ ２＝６０℃。（ｂ）ｔ ２＝９４℃。
６．３６０． 温度ｔ１＝０℃の氷が大量に入っているカロリー計に、融解温度ｔ２＝３２７℃にある
溶けた鉛を質量ｍ＝５．０ｇ流し入れた。熱平衡状態が実現されたときにおける系のエントロピーの増分を求めよ。鉛の比融解熱はｑ＝２２．５Ｊ／ｇ、鉛の比熱容量はｃ＝０．１２５Ｊ／（ｇ／Ｋ）。
６．３６１． シリンダーのピストン下の空間を満たしている水蒸気を、凝縮の境界に置きながら全時間において飽和状態にあるように、圧縮する（或いは膨張させる）。蒸発熱はｑであり、温度に依存しないと仮定して、この過程における蒸気のモル熱容量Ｃを温度Ｔの関数として求めよ。蒸気は理
想気体であり、液体の比体積は蒸気の比体積と比較して無視できる。１００℃におけるＣを算出せよ。
６．３６２． 温度Ｔ １で、飽和蒸気の無視できるくらいわずかな量と平衡状態にある水１モルを、
温度Ｔ ２で完全に飽和蒸気に変化させた。蒸発熱は温度Ｔに依存せず、ｑに等しいと仮定して、系のエントロピーの増分を求めよ。蒸気は理想気体と見なす。液体の比体積は蒸気の比体積と比較して無視できる。

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解答
１．１．ｖ＝ｌ／２τ＝３．０ｋｍ／時
１．２．同じ１．３．＜ｖ＞＝２ｖ０（ｖ１＋ｖ２）／（２ｖ ０＋ｖ１＋ｖ２）
１．４．（ａ）１０ｃｍ／ｓ、（ｂ）２５ｃｍ／ｓ、（ｃ）ｔ０＝１６ｓ
１．５．（ｒ１−ｒ２）／｜ｒ １−ｒ ２｜＝（ｖ２−ｖ１）／｜ｖ２−ｖ１｜
１．６．ｖ ＝（ｖ ０２＋ｖ２＋２ｖ ０ｖｃｏｓφ） １／２≒４０ｋｍ／時、φ ＝１９°
１．７．ｕ＝ｖ０／（１／（１−（ｖ０／ｖ ） ２）１／２−１）＝３．０ｋｍ／時
１．８．τＡ／τ Ｂ＝η／（η ２−１）１／２＝１．８
１．９．θ＝ａｒｃｓｉｎ（１／ｎ）＋π／２＝１２０°
１．１０．ｌ＝ｖ０ｔ（２（１−ｓｉｎθ））１／２＝２２ｍ
１．１１．ｌ＝（ｖ １＋ｖ ２）（ｖ１ｖ２）１／２／ｇ＝２．５ｍ
１．１２．ｔ＝２ａ／３ｖ
１．１３．τ＝ｖｌ／（ｖ２−ｕ２）
１．１４．ｘ １−ｘ２＝ｌ−ａτ（ｔ＋τ／２）＝０．２４ｋｍ
１．１５．（ａ）０．７ｓ、（ｂ）各々０．７ｍと１．３ｍ
１．１６．ｔ ｍ＝（ｖ１ｌ１＋ｖ２ｌ２）／（ｖ１２＋ｖ２２）、ｌ最小＝｜ｌ１ｖ２−ｌ２ｖ１｜／（ｖ １２＋ｖ２２）
１／２

１．１７．ＣＤ＝ｌ／（η２−１） １／２
１．１８．図２参照
１．１９．
（ａ）＜ｖ＞＝πＲ／τ＝５０ｃｍ／ｓ、（ｂ）｜＜ｖ＞｜＝２Ｒ／τ＝３２ｃｍ／ｓ、（ｃ）｜＜ａ＞｜＝２πＲ／τ２＝１０ｃｍ／ｓ２
１．２０．（ａ）ｖ＝ｂ（１−２αｔ）、ａ＝−２αｂ＝一定、（ｂ）Δｔ＝１／α、ｓ＝ｂ／２α１．２１．（ａ）ｘ＝ｖ ０ ｔ（１−ｔ／２τ）、０．２４、０，−２．０、（ｂ）１．１ｓ，９ｓ，１１ｓ
１．２２．（ａ）ｖ＝α２ｔ／２、ａ＝α２／２、（ｂ）＜ｖ＞＝（α／２）ｓ１／２
１．２３．ｓ＝（２／３α）ｖ０３／２、ｔ＝（２／α）ｖ０１／２
１．２４．（ａ）ｙ＝（β／α ２）ｘ ２、（ｂ）ｖ＝（α ２＋４β ２ｔ ２） １／２、ａ＝２β、（ｃ）ｔａｎφ＝α／２βｔ１．２５．（ａ）ｓ＝Ａωτ、（ｂ）π／２
１．２６．ｖ ０＝（（１＋α２）ａ／２β）１／２
１．２７．（ａ）ｒ＝ｖ ０ｔ＋ｇｔ ２／２、（ｂ）＜ｖ＞＝ｖ ０＋ｇｔ／２、＜ｖ＞＝ｖ ０−ｇ（ｖ ０ｇ）／ｇ ２
１．２８．（ａ）τ＝２（ｖ ０／ｇ）ｓｉｎα、（ｂ）ｈ＝（ｖ ０ ２／２ｇ）ｓｉｎ ２ α、ｌ＝（ｖ ０ ２／ｇ）ｓｉｎ２α、α＝７６°、（ｃ）ｙ＝ｘ・ｔａｎα−（ｇ／２ｖ０２ｃｏｓ２α）ｘ２
１．２９．（ａ）ｃｏｓα＝１／η１／３、α＝６０°、（ｂ）ｔａｎα＝２１／２、α＝５４．７°
１．３０．ｌ＝８ｈ・ｓｉｎα１．３１．初期角度に依存して０．４１分後、又は０．７１分後。

１．３２．Δｔ＝２ｖ０ｓｉｎ（θ １−θ ２）／（ｇ（ｃｏｓθ１＋ｃｏｓθ２））＝１１ｓ
１．３３．（ａ）ｘ＝（α／２ｖ ０ ）ｙ ２、（ｂ）ａ τ ＝α ２ ｙ／（１＋（αｙ／ｖ ０ ） ２ ） １／２、ａ ｎ＝αｖ０／（１＋（αｙ／ｖ０）２）１／２
１．３４．
（ａ）ｙ＝（β／２α）ｘ２、（ｂ）Ｒ＝ｖ２／ａｎ＝ｖ２／（ａ２−ａτ２）１／２＝（α／β）（１２
３／２＋（ｘβ／α） ）１．３５．ｖ＝（２αｘ）１／２
１．３６．ａ＝α（１＋（４πｎ）２）１／２＝０．８ｍ／ｓ ２
１．３７．（ａ）ｖ＝ｖ ０／（１＋ｖ ０ ｔ／Ｒ）＝ｖ ０ｅ −ｓ／Ｒ、（ｂ）ａ＝２ １／２ｖ ０ ２／（Ｒｅ ２ｓ／Ｒ）＝
２１／２ｖ ２／Ｒ
１．３８．ｔａｎφ＝２ｓ／Ｒ
１．３９．ａ（０）＝Ａ２ω２／Ｒ＝２．６ｍ／ｓ ２、ａ（Ａ）＝Ａω２＝３．２ｍ／ｓ２
１．４０．ａ＝（４α２＋（９α４／１６β２Ｒ）２）１／２
１．４１．Ｒ＝α３／２βｓ、ａ＝α（１＋（４βｓ２／α ３）２）１／２-1-

１．４２．（ａ）ａ＝２αｖ ２、Ｒ＝１／２α、（ｂ）ａ＝βｖ２／α２、Ｒ＝α ２／β１．４３．ｖ＝２Ｒω＝０．４０ｍ／ｓ、ａ＝４Ｒω２＝０．３２ｍ／ｓ ２
１．４４．ａ＝（ｖ／ｔ）（１＋４β ２ｔ４）１／２＝０．７ｍ／ｓ２
１．４５．ω＝２πｎｖ／ｌ＝２．０×１０３ラジアン／ｓ
１．４６．ω＝ｖ／（Ｒ２−ｖｔｈ／π）１／２
１．４７．＜ω＞＝２ａ／３＝４ラジアン／ｓ、＜β＞＝（３ａｂ）１／２＝６ラジアン／ｓ ２
１．４８．ｔ＝（（４／α）ｔａｎφ）１／３＝７ｓ
１．４９．＜ω＞＝ω０／３
１．５０．（ａ）φ＝（１−ｅ−ａｔ）ω０／ａ、（ｂ）ω＝ω０ｅ−ａｔ１．５１．ω ｚ＝±（２β ０ｓｉｎφ）１／２、図３参照
１．５２．（ａ）ａ Ａ＝ｖ ２／Ｒ＝２．０ｍ／ｓ ２、ベクトルａ Ａは全時間車輪の中心の方向を向いている、（ｂ）ｓ＝８Ｒ＝４．０ｍ
１．５３．（ａ）ｖ Ａ＝２ａｔ＝１０ｃｍ／ｓ、ｖ Ｂ＝２ １／２ａｔ＝７ｃｍ／ｓ（ｂ）ａ Ａ＝２ａ（１＋（ａｔ２／２Ｒ） ２） １／２＝５．６ｃｍ／ｓ２、ａＯ＝ａ２ｔ２／Ｒ＝２．５ｃｍ／ｓ２
１．５４．Ｒ Ａ＝４ｒ、Ｒ Ｂ＝ｒ８１／２
１．５５．ω＝（ω １２＋ω２２）１／２＝５ラジアン／ｓ、β＝ω１ω２＝１２ラジアン／ｓ２
１．５６．ｃｏｓα＝（ａ２＋β２）／（β（３ａ ２＋β ２） １／２）、これよりα＝１９°１．５７．（ａ）ω＝ｖ／Ｒｃｏｓα＝２．３ラジアン／ｓ、（ｂ）β＝（ｖ／Ｒ） ２ｔａｎα＝２．
３ラジアン／ｓ２
１．５８．ω＝ω０（１＋（β０ｔ／ω０）２）１／２＝０．６ラジアン／ｓ、β＝β０（１＋ω０２ｔ２）１／２＝０．２ラジアン／ｓ２

１．５９．各々、−Ｆ０と−２Ｆ０
１．６０．Ｆ＝−ｍω ２ｒ、ここでｒは座標の原点に対する粒子の動径ベクトル、Ｆ＝ｍω ２（ｘ ２＋ｙ２）１／２
１．６１．ｔ＝Ｆｍａｘ（ｍ １＋ｍ２）／（ｍ１α２＋ｍ２α１）
１．６２．Δｍ＝２ｍａ／（ｇ＋ａ）＝１０ｋｇ
１．６３．ａ＝ｇ（ｍ ０−ｋ（ｍ １＋ｍ ２））／（ｍ ０＋ｍ １＋ｍ ２）、Ｆ＝ｍ ２ｇ（１＋ｋ）ｍ ０／（ｍ ０＋ｍ１＋ｍ ２）
１．６４．（ａ）Ｆ＝（ｋ １−ｋ ２）ｍ １ｍ ２ｇｃｏｓα／（ｍ １＋ｍ ２）、（ｂ）ｔａｎα＜（ｋ １ｍ １＋ｋ
２ｍ ２）／（ｍ １＋ｍ ２）
１．６５．ｋ＝（（η２−１）／（η２＋１））ｔａｎα＝０．１６
１．６６．ｋ＝（（η＋１）／（η−１））ｔａｎα＝０．３
１．６７．（ａ）ｍ ２／ｍ １＞ｓｉｎα＋ｋｃｏｓα、（ｂ）ｍ２／ｍ１＜ｓｉｎα−ｋｃｏｓα
１．６８．ａ ２＝ｇ（η−ｓｉｎα−ｋｃｏｓα）／（η＋１）＝０．０５ｇ
１．６９．ｔ≦ｔ ０の時、加速度ａ １＝ａ ２＝αｔ／（ｍ １＋ｍ ２）、ｔ≧ｔ ０の時、加速度ａ １＝ｋｇｍ ２／ｍ １，ａ２＝（αｔ−ｋｍ２ｇ）／ｍ２、ここで、ｔ０＝ｋｇｍ２（ｍ １＋ｍ ２）／αｍ１
１．７０．τ＝（２ｌ／（３ａ＋ｋｇ））１／２
１．７１．ｔａｎ２α＝−１／ｋ、α＝４９°１．７２．ｔａｎα＝１／ｋの時、ｌ最小＝ｖ０２／２ｇ（１＋ｋ２）１／２
１．７３．ｔａｎα＝ｋ、Ｆ 最小＝ｋｍｇ／（１＋ｋ２） １／２。
１．７４．Ｆ 摩擦＝（２ｇ−ａ ）ｍＭ／（ｍ＋Ｍ）
１．７５．（ａ）ａ １ ＝（ｇ−ａ ０）（ｍ １−ｍ ２）／（ｍ １＋ｍ ２）、（ｂ）Ｆ＝（ｇ−ａ ０）４ｍ １ｍ ２／（ｍ １＋ｍ２）
１．７６．ａ １＝ｇ（４ｍ １ｍ ２＋ｍ ０（ｍ １−ｍ ２））／（４ｍ１ｍ２＋ｍ０（ｍ１＋ｍ２））
１．７７．ａ 最小＝ｇ（１−ｋ）／（１＋ｋ）
１．７８．ａ 最大＝ｇ（１＋ｋ・ｃｏｔα）／（ｃｏｔα−ｋ）
１．７９．ａ＝ｇｓｉｎαｃｏｓα／（ｓｉｎ２α＋ｍ １／ｍ２）
１．８０．（ａ）ｖ＝ｍｇ ２ ｃｏｓα／（２ｋｓｉｎ ２α）、（ｂ）ｓ＝ｍ ２ｇ ３ ｃｏｓα／（６ｋ ２ｓｉｎ３α）
１．８１．ｖ＝（（２ｇ／３ｋ）ｓｉｎα）１／２
１．８２．ｖ＝−（ｇ／ω）ｌｎｃｏｓθ＝４．０ｍ／ｓ
１．８３．Δｐ＝ｍｇｔ、｜Δｐ｜＝−２ｍ（ｖ ０ｇ）／ｇ
１．８４．（ａ）ｐ＝ｂτ３／６、（ｂ）ｓ＝ｂτ４／１２ｍ-2-

１．８５．ｓ＝（ωｔ−ｓｉｎωｔ）Ｆ ０／ｍω２、図４参照
１．８６．ｔ＝π／ω、ｓ＝２Ｆ０／ｍω２、ｖ最大＝Ｆ０／ｍω
１．８７．（ａ）ｖ＝ｖ ０ｅｘｐ（−ｔｒ／ｍ）、ｔ→∞、（ｂ）ｖ＝ｖ ０ −ｓｒ／ｍ、ｓ 全長 ＝ｍｖ ０／ｒ
１．８８．ｔ＝ｈ（ｖ０−ｖ）／ｖ ０ｖｌｎ（ｖ０／ｖ）
１．８９．ｓ＝（２／γ）ｔａｎα、ｖ 最大＝（（ｇ／γ）ｓｉｎαｔａｎα）１／２
１．９０．ｓ＝ｂ（ｔ−ｔ０）３／６ｍ、ここで、ｔ０＝ｋｍｇ／ｂ、ｔ≦ｔ０の時、ｓ＝０
１．９１． ２．１ｋＮ，０．７ｋＮ、１．５ｋＮ
１．９２．（ａ）ａ＝ｇ（１＋３ｃｏｓ２θ）１／２、Ｆ＝３ｍｇｃｏｓθ、（ｂ）Ｆ＝３１／２ｍｇ、（ｃ）
ｃｏｓθ＝１／３１／２，θ＝５４．７°
１．９３．ｔａｎ（θ／２）＝１／２、θ≒５３°
１．９４．ａ ＝（ａ（ｇ−ａ／４））１／２＝５．９ｍ／ｓ２
１．９５．θ＝ａｒｃｃｏｓ（２／３）≒４８°、ｖ＝（２ｇＲ／３）１／２
１．９６．ε＝１／（κ／ｍω２−１）、回転の方向に依存しない
１．９７．ｒ＝Ｒ／２、ｖ最大＝（ｋ０ｇＲ）１／２／２
１．９８．ｓ＝（Ｒ／２）（（ｋｇ／ａτ）２−１）１／２＝６０ｍ
１．９９．ｖ≦α（ｋｇ／ｂ）１／２
１．１００．Ｆ＝（ｃｏｔθ＋ω２Ｒ／ｇ）ｍｇ／２π
１．１０１．ｖ＝ｖ ０ｅｘｐ（−ｋα）＝５．０ｍ／ｓ
１．１０２．（ａ）図５参照。ｋ＝（ｌｎη ０ ）／π、（ｂ）ａ＝ｇ（η−η ０）／（η＋η０）
１．１０３．Ｆ＝（ｍｖ０２／Ｒ）ｃｏｓ ２α
１．１０４．（ａ）ｖ＝（２Ｆ／ｍω）｜ｓｉｎ（ωｔ／２）｜、（ｂ）
Δｓ＝８Ｆ／ｍω２、＜ｖ＞＝４Ｆ／πｍω
１．１０５．ｖ＝ｖ ０／（１＋ｃｏｓφ）
１．１０６．ａ＝（１−ｃｏｓ（ｌ／Ｒ））Ｒｇ／ｌ
１．１０７．ｖ＝（２ｇＲ／３）１／２
１．１０８．ω２Ｒ＞ｇの時、θ１＝０とθ２＝ａｒｃｃｏｓ（ｇ／ω２Ｒ）。ω２Ｒ＜ｇの時、θ１＝０。
１．１０９．ｈ≒（ωｓ２／ｖ）ｓｉｎφ＝７ｃｍ。ここで、ωは地球の回転角速度。
１．１１０．Ｆ＝ｍω２Ｒ／４＝４５Ｎ
１．１１１．（ａ）Ｎ列車の進行右のレールに、Ｆ＝２ｍｖωｓｉｎφ＝３．８ｋＮ。（ｂ）東から西に平行に、速度ｖ＝（ωＲ／２）ｃｏｓφ≒４２０ｋｍ／時。ここで、ωは地球の回転角速度、Ｒは球半径。
１．１１２．Ｆ＝２ｍωｖ０（１＋ω２ｔ ２）１／２＝４．２Ｎ
１．１１３．Ｆ＝ｍ（ｇ２＋ω４ｒ２＋（２ｖ ω）２）１／２＝８Ｎ
１．１１４．Ｆ＝２ｍω２ｒ（１＋（ｖ０／ωｒ） ２）１／２＝２．８Ｎ
１．１１５．（ａ）ａ ＝ω ２Ｒ。（ｂ）Ｆ慣性＝ｍω ２ｒ（（２Ｒ／ｒ）２−１） １／２
１．１１６．東方にｘ＝（２／３）ωｈ（２ｈ／ｇ） １／２＝２４ｃｍ。ここで、ωは地球の回転角速度。
１．１１７．ａｃ＝ｇ（ｍ １−ｍ２） ２／（ｍ１＋ｍ２）２
１．１１８．ｒ＝（ｇ／ω２）ｔａｎθ＝０．８ｃｍ。Ｆ＝ｍｇ／ｃｏｓθ＝５Ｎ。
１．１１９．Ｆ摩擦＝ｍｇ（ｓｉｎα＋（ω２ｌ／ｇ）ｃｏｓα）＝６Ｎ。
１．１２０．ｖ最小＝（（Ｒ−ｌ）ｇ／ｋ）１／２＝１１ｍ／ｓ
１．１２１．運動量ｐ＝ｐ０＋ｍｇｔ、ここで、ｐ０＝ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２，ｍ＝ｍ １＋ｍ ２。ｒＣ＝ｖ０ｔ＋
ｇｔ ２／２、ここで、ｖ０＝（ｍ１ｖ １＋ｍ ２ｖ２）／（ｍ１＋ｍ２）。
１．１２２．Ｆ＝μｖ２／ｌ、ここで、μ＝ｍ １ｍ ２／（ｍ１＋ｍ２）
１．１２３．（ａ）ｌ＝−ｌ ｍ／（Ｍ＋ｍ）。（ｂ）Ｆ＝−（ｍＭ／（Ｍ＋ｍ））ｄｖ ／ｄｔ
１．１２４．ｌ＝ｌ ｍ／２Ｍ
１．１２５．ｖ＝（ｖ１＋ηｖ２）／（１＋η）、ｖ＝４ｍ／ｓ
１．１２６．ｕ＝ｖ ０ｃｏｓθ／（１＋η）＝２５ｍ／ｓ
１．１２７．τ＝（ｐｃｏｓα−Ｍ（２ｇｌｓｉｎα）１／２）／Ｍｇｓｉｎα。
１．１２８．ａｎ＝（ｍ１（ａ １）１／２−ｍ ２（ａ ２） １／２） ２／（ｍ１＋ｍ２）２＝２．０ｍ／ｓ２。
１．１２９．ｖ ＝（９ｖ０２＋２ｖ２）１／２＝１４ｍ／ｓ
１．１３０．ｖ２＝（ｖ１２＋４ｖ０２ｃｏｓ２α）１／２＝０．１７ｋｍ／ｓ
１．１３１．ｖ１＝（２ｋｇ（η２ｓ２−ｓ１）） １／２＝５ｍ／ｓ。
１．１３２．ｐ＝（２ｍ／３）（２ｇｌ）１／２＝３．５ｋｇ・ｍ／ｓ。
１．１３３．ｖ１＝−ｍｖ／（Ｍ−ｍ），ｖ ２＝Ｍｖ／（Ｍ−ｍ）。
１．１３４．ｖ後＝ｖ０−ｕｍ／（Ｍ＋ｍ）、ｖ前＝ｖ０＋ｕｍＭ／（Ｍ＋ｍ） ２。
（ｂ）ｖ２＝−ｍ（２Ｍ＋３ｍ）ｕ／（（Ｍ＋ｍ）（Ｍ
１．１３５．
（ａ）ｖ １＝−２ｍｕ／（Ｍ＋２ｍ）。
＋２ｍ））。ｖ２／ｖ１＝１＋ｍ／（２（Ｍ＋ｍ））＞１。
１．１３６．指針 ｄｐ＝ｍｄｖ＋μｄｔ・ｕ＝Ｆｄｔ
１．１３７．ｖ＝−ｕ・ｌｎ（ｍ０／ｍ）。
１．１３８．ｍ＝ｍ ０ｅｘｐ（−ａｔ／ｕ）。
１．１３９．ｖ＝ｕ・ｌｎ（ｍ０／ｍ）−ｇｔ。
１．１４０．（ａ）ｔ＝（ｕ／ｇ）ｌｎ（１＋η）＝２０ｓ。（ｂ）μ＝（ｇ／ｕ）ｍ ０ｅｘｐ（−ｇ-3-ｔ／ｕ）。
１．１４１．α＝（ｕ／ｖ０）ｌｎ（ｍ０／ｍ）。
１．１４２．ａ＝Ｆ／（ｍ０−μｔ）、ｖ＝（Ｆ／μ）ｌｎ（ｍ０／（ｍ０−μｔ））。
１．１４３．ｖ＝Ｆｔ／（ｍ ０＋μｔ）、ａ＝Ｆｍ０／（ｍ ０＋μｔ）２。
１．１４４．ｖ＝（２ｇｈ・ｌｎ（ｌ／ｈ）） １／２。
１．１４５．（ａ）Ａ＝２Ｆｌ。（ｂ）Ａ＝Ｆｌ。
１．１４６．Ａ＝Ｆ（ｒ２−ｒ１）＝−１７Ｊ。
１．１４７．ｖ＝（ｖ０２＋２ＦＲ／ｍ） １／２＝１６ｍ／ｓ。
１．１４８．Ａ＝ｍα４ｔ ２／８。
１．１４９．Ｆ＝α（１＋（２ｓ／Ｒ） ２）１／２。
１．１５０．Ｆ＝ｘ／ｍα２。
１．１５１．Ａ＝ｍｇ（ｈ＋ｋｌ）。
１．１５２．ｖ＝（２（２ｇｈ−Ａ／ｍ））１／２＝２．０ｍ／ｓ。
１．１５３．Ａ＝−ｋｍｇｌ／（１−ｋｃｏｔα）＝−０．０５Ｊ。
１．１５４．Ａ摩擦＝−２Ｆ２／γｍｇ＝−０．１２Ｊ。
１．１５５．Ｆ最小＝（ｍ１＋ｍ２／２）ｋｇ。
１．１５６．Ａ＝ｋｍｇｌ／２＝２８ｍＪ。
１．１５７．Ａ＝−（１−η）ηｍｇｌ／２＝−１．３Ｊ。
１．１５８．＜Ｐ＞＝０，Ｐ＝ｍｇ（ｇｔ−ｖ ０ ｓｉｎα）。
１．１５９．Ｐ＝ｍＲαｔ、＜Ｐ＞＝ｍＲαｔ／２。
１．１６０．＜Ｐ＞＝−ｋｍｇｖ０／２＝−２．０Ｗ。
１．１６１．｜Ｐ｜ 最大＝（ｍｖ０２／２）（αｇ） １／２。
１．１６２．Ｐ＝Ｍｇｕ／２。
１．１６３．Ａ＝ｍω２（ｒ２２−ｒ １２）／２＝０．２０Ｊ。
１．１６４．Ａ 摩擦＝ｍ（ｖ ２−ｖ ０２−ω ２ｒ ２）／２＝−０．１
０Ｊ。
１．１６５．Ａ 最小＝κ（Δｌ） ２／２、ここで、κ＝κ １κ ２／（κ １＋κ２）。
１．１６６．Ａ＝３ｍｇ／４ａ、ΔＵ＝ｍｇ／２ａ。
１．１６７．ｘ０＝３α／２β＝２．０ｍ。
１．１６８．ｖ＝（ｌ（αｌ／ｍ−ｇ））１／２＝３．０ｍ／ｓ。
１．１６９．（ａ）ｒ０＝２ａ／ｂ、安定。（ｂ）Ｆ 最大＝ｂ３／２７ａ２、図６参照。
１．１７０．Ａ＝ｍ（ｖ２２−ｖ１２）／２＋α（ｘ ２ｙ２−ｘ １ｙ１）＝６ｍＪ。
１．１７１．κ＝４π２ｍ／３ｒ０τ２＝１２Ｊ／ｍ３。
１．１７２．Ｆ＝（−２αＵ／ｓｉｎ２θ）１／２＝２．４Ｎ。
１．１７３．ｈ＝Ｈ／２、ｓ 最大＝Ｈ。
１．１７４．ｖ＝（（４／２７）ｇｈ）１／２。
１．１７５．ｍ＝ΔＦ／６ｇ＝４０ｇ。
１．１７６．ｖ最小＝（５ｇｌ）１／２，Ｆ＝３ｍｇ。
１．１７７．Ｆ＝（κｍ（２ｇｌ−ｖ２）） １／２＝８Ｎ。
１．１７８．Ａ＝κｌ０２η（１＋η）／２（１−η）２、ここで、η＝ｍω２／κ。
１．１７９．ｈ＝２ｍｇ／κ。
１．１８０．（ａ）Δｌ＝（１＋（１＋２κｌ／ｍｇ） １／２）ｍｇ／κ。（ｂ）Ｅ １−Ｅ ２＝ｍｇｌ（１＋ｍｇ／２κｌ）。
１．１８１．ｘ最大＝（ｇ＋（２ｇａ−ａ ２）１／２）ｍ／κ＝２３ｃｍ。
１．１８２．Ａ摩擦＝ｍｇ（３ｈ２／２−ｈ１）＝−１１ｍＪ。
１．１８３．ｖ最大＝ｇ（１−ｋ）（ｍ／２κ）１／２＝０．６２ｍ／ｓ。
１．１８４．Ａ 摩擦 ＝（ｋｍｇｌ ０ ／２）（１−ｃｏｓθ）／（ｃｏｓθ（ｓｉｎθ＋ｋｃｏｓθ））。
（ｍｖ１２／２）
１．１８５．ｔａｎα ２＝ｖ １ｓｉｎα１／（ｖ１２ｃｏｓ２α１−２（Ｕ２−Ｕ１）ｍ）１／２。
ｃｏｓα１＜（Ｕ ２−Ｕ１）の時。
１．１８６．ｖ最大＝（２ｇｌ（２−３１／２）／３）１／２、Δｈ最大＝２ｌ／３。
１．１８７．（ａ）Ｖ＝（ｍ １ ｖ １＋ｍ ２ｖ ２ ）／（ｍ １ ＋ｍ ２）。（ｂ）Ｋ＝μ（ｖ １ −ｖ ２ ） ２ ／２、ここで、μ＝ｍ１ｍ２／（ｍ１＋ｍ２）。
１．１８８．
１．１８９．Ｅ〜＝μ（ｖ １２＋ｖ２２）／２。ここで、μ＝ｍ１ｍ２／（ｍ１＋ｍ２）。
１．１９０．（ａ）ΔＵ 内部＝ｍ １２ｖ １２／２（ｍ １＋ｍ ２）。（ｂ）Ｅ 固有＝ｍ １ｖ １２／２＋ｍ ２ｖ ２２／２−ｍ
２
２
１ ｖ １ ／（２（ｍ １＋ｍ ２））。
１．１９１．ｖＣ＝ｘ（κｍ２）１／２／（ｍ１＋ｍ２）。
１．１９２．ｌ最大＝ｌ０＋Ｆ／κ、ｌ最小＝ｌ０。
１．１９３．Δｌ＞３ｍｇ／κ。
１．１９４．（ａ）ｖ＝（２Ｍ／ｍ）（ｇｌ） １／２ｓｉｎ（θ／２）。（ｂ）η≒１−ｍ／Ｍ。
１．１９５．ｈ＝Ｍｖ２／２ｇ（Ｍ＋ｍ）。
１．１９６．Ａ＝−μｇｈ、ここで、μ＝ｍ１ｍ２／（ｍ１＋ｍ２）。
１．１９７．ｖ０＞（２ｋｇｌ（１＋η）） １／２＝１．８ｍ／ｓ。
１．１９８．ΔＫ＝−μ（ｖ １−ｖ ２）２／２、ここで、μ＝ｍ１ｍ２／（ｍ １＋ｍ ２）。
-4-

１．１９９．Ｍ＝ｍ（ｐ０２＋ｐ２−２ｐ０ｐｃｏｓα）／（ｐ０２−ｐ ２）
１．２００．ｌ最小＝ａｌ０／（ａ＋ｌ０ｍｖ２ｃｏｓ２α）。
１．２０１．ｖ２＝（ｖ２−ｖ １２）１／２、９０°
１．２０２．ｃｏｓθ ＝（ｖ１ｖ ２／ｖ １ ｖ ２ ）ｃｏｓθ。
１．２０３．（ａ）η＝２ｍ １／（ｍ１＋ｍ２）。（ｂ）η＝４ｍ１ｍ ２／（ｍ１＋ｍ２）２。
１．２０４．ｍ２＝３ｍ１。
１．２０５．ｍ１／ｍ２＝１＋２ｃｏｓθ＝２．０。
１．２０６．ｖ最小＝（２ΔＥ／μ）１／２、ここで、μ＝ｍＭ／（ｍ＋Ｍ）、ｍは中性子の質量。
１．２０７．η＝（１／２）ｃｏｓ２α＝０．２５。
１．２０８．ｖ最大＝ｖ（１＋（２（η−１）） １／２）＝１．０ｋｍ／ｓ。
１．２０９．ｖ ＝（１−（１−２η） １／２）ｖ／２。η≪１の時、ｖ ≒ηｖ／２＝５ｃｍ／ｓ。
１．２１０．ΔＫ／Ｋ＝（１＋ｍ／Ｍ）ｔａｎ２θ＋ｍ／Ｍ−１＝−４０％。
１．２１１．（ａ）ｐ 〜＝μ（ｖ １２＋ｖ ２２） １／２。（ｂ）Ｋ 〜＝μ（ｖ １２＋ｖ ２２）／２。ここで、μ＝ｍ
１ｍ ２／（ｍ １＋ｍ ２）。
１．２１２．ｓｉｎθ最大＝ｍ ２／ｍ １。
１．２１３．ｖ ＝−ｖ（２−η２）／（６−η２）。η≠２１／２の時。
１．２１４．
１．２１５．Ｎ＝（ａＢ−ｂＡ）ｋ。ここで、ｋはＺ軸の単位ベクトル。ｌ＝｜ａＢ−ｂＡ｜／（Ａ２＋Ｂ２）１／２。
１．２１６．Ｎ＝２ｂ（ａ／ｂ）１／２。
１．２１７．Ｍ＝（１／２）ｍｇｖ ０ｔ ２ｃｏｓα。Ｍ＝（ｍｖ ０３／２ｇ）ｓｉｎ ２αｃｏｓα＝３７ｋｇ・ｍ２／ｓ。
１．２１８．Ｍ＝（１／２）ｍｇｈｔｓｉｎ２α＝０．０１６ｋｇ・ｍ２／ｓ。
１．２１９．壁に垂直で、点Ｏを通る直線上の全ての点。（ｂ）｜ΔＭ｜＝２ｍｖｌｃｏｓα。
１．２２０．Ｍ＝ｍ ２ｖ３／Ｆ ｍ＝０．０１２ｋｇ・ｍ２／ｓ。
１．２２１．円の中心に対して。｜ΔＭ｜＝２（１−（ｇ／ω２ｌ）２）１／２ｍｇｌ／ω。
１．２２２．｜ΔＭ｜＝ｈｍＶ。
１．２２３．Ｍ＝ｍωｖ０２ｔ ２。
１．２２４．ｍ＝２ｋｒ１２／ｖ２２。
１．２２５．Ｒ＝η ２ｒ０。
１．２２６．ｖ０＝（２ｇｌ／ｃｏｓθ）１／２。
１．２２７．ｈ２＝（１＋（１＋８ｇｈ１／ｖ１２） １／２）ｖ１２／４ｇ。
１．２２８．Ｆ＝ｍω０２ｒ０４／ｒ３。
１．２２９．ＭＺ＝Ｒｍｇｔ。
１．２３０．Ｍ＝ＦＲｔ／２ｓｉｎ（θ／２）＝３０ｋｇ・ｍ２／ｓ。
１．２３１．Ｍ＝Ｒｍｇｔｓｉｎα。変化せず。
１．２３２．Ｍ ＝Ｍ−［ｒ ０ｐ］。ｐ＝０、則ち、質量中心系ならば。
１．２３３．
１．２３４．Ｍ〜＝［（ｒ２−ｒ１）、μ（ｖ２−ｖ１）］、ここで、μ＝ｍ１ｍ２／（ｍ１＋ｍ２）。
１．２３５．Ｍ〜＝ｌｍｖ ０／３。

１．２３６．ε最大≒ｍｖ０２／κｌ０２。
１．２３７．Ｔ＝２πγＭ／ｖ３＝２２５昼夜。ここで、Ｍは太陽の質量。
１．２３８．（ａ）５．２倍。（ｂ）１３ｋｍ／ｓ。２．２×１０ −４ｍ／ｓ ２。
１．２３９．Ｔ＝π（（ｒ１＋ｒ２）３／２γＭ）１／２。ここで、Ｍは太陽の質量。
１．２４０．ｒ最大＝ｒ（２η ２／３−１）。
１．２４１．τ＝Ｔ／（３２）１／２＝６４昼夜。ここで、Ｔは地球の公転周期。
１．２４２．ｔ＝（π／（γＭ）１／２）（（ｒ＋Ｒ）／２）３／２。ここで、ＭとＲは月の質量と半径。
１．２４３．変化しない。
１．２４４．ｍ＝４π２ｌ ３／γＴ２。
１．２４５．Ｍ＝ｍ（２γｍ Ｃｒ１ｒ２／（ｒ１＋ｒ ２））１／２。ここで、ｍＣは太陽の質量。
１．２４６．Ｅ＝Ｋ＋Ｕ＝−γｍｍＣ／２ａ。
-5-

１．２４７．ｒ ｍ＝（１±（１−（２−η）ηｓｉｎ ２ α） １／２）ｒ ０／（２−η）。ここで、η＝ｒ ０
ｖ０２／γｍＣ。
１．２４８．ｒ最小＝（（１＋（ｌｖ０２／γｍＣ）２）１／２−１）γｍＣ／ｖ０２。
１．２４９．図７参照。Ｕ＝−γｍＭ／ｒ。
１．２５０．図８参照。ｄＳ １：ｄＳ２＝ｒ１２：ｒ ２２。
１．２５１．ｒ＜Ｒの時、Ｇ（ｒ）＝−（γＭ／Ｒ ３ ）ｒ、φ（ｒ）＝−３（１−ｒ ２／３Ｒ ２）γＭ／２Ｒ。Ｒ＜ｒの時、Ｇ（ｒ）＝−γＭ／ｒ ３）ｒ、φ（ｒ）＝−γＭ／ｒ。図９参照。
１．２５２．Ｇ＝−（４／３）πγρｌ。空洞内部の場は一様。
１．２５３．ｐ＝３（１−ｒ ２／Ｒ ２）γＭ ２／８πＲ ４。約１．
７×１０６気圧。
１．２５４．（ａ）Ｕ＝−γｍ ２／２Ｒ。（ｂ）Ｕ＝−３γｍ ２／
５Ｒ ０。
１．２５５．ａ １ ：ａ ２ ：ａ ３ ＝１：０．００３４：０．０００６。
１．２５６．ｈ≒ηＲ／２＝３２ｋｍ。ｈ＝Ｒ（２ １／２−１）≒２６４０ｋｍ。ここで、Ｒは地球の半径。
１．２５７．ｈ＝Ｒ／（２ｇＲ／ｖ０２−１）。
１．２５８．Ｔ＝（３π／γρ）１／２＝１．８時間。
１．２５９．ｈ＝Ｒ（ｇＲ／ｖ２−１）。
１．２６０．｜Δｐ｜＝ｍ（２ｇＲ）１／２ｓｉｎ（α／２）。
１．２６１．ｒ＝（γＭ（Ｔ／２π） ２） １／３＝４．２×１０ ４ｋｍ。ここで、ＭとＴは地球の質量と地球の自転周期。３．１ｋｍ／ｓ。
１．２６２．Ｔ≒３ｍｇｌ／２η３Ｒ＝０．２０Ｎ。ここで、Ｒは地球の半径。
１．２６３．Ｍ＝４π２Ｒ ３（１＋Ｔ／τ）２／γＴ２＝６×１０２４ｋｇ。ここで、Ｔは地球の自転周期。
１．２６４．（ａ）ｖ ＝２πＲ／Ｔ＋（γＭ／Ｒ） １／２＝７．０ｋｍ／ｓ。（ｂ）ａ ＝（１＋（２πＲ／Ｔ）（Ｒ／γＭ） １／２） ２γＭ／Ｒ ２＝４．９ｋｍ／ｓ ２。ここで、Ｍは地球の質量、Ｔは地球の自転周期。
１．２６５．ｖ０＝（２ｇＲ（１−Ｒ／２ａ））１／２。ここでＲは地球の半径。
１．２６６．τ（η １／２−１）ｍ／α（ｇＲ） １／２。
１．２６７．ｖ１＝１．６７ｋｍ／ｓ、ｖ２＝２．３７ｋｍ／ｓ。
１．２６８．Δｖ＝（γＭ／Ｒ）１／２（１−２ １／２）＝−０．７０ｋｍ／ｓ。ここで、ＭとＲは月の質
量と半径。
１．２６９．Δｖ＝（２１／２−１）（ｇＲ） １／２＝３．２７ｋｍ／ｓ。ここで、Ｒは地球の半径。
１．２７０．ｖｒ＝（ｇＲ／η）１／２＝５．０ｋｍ／ｓ。
１．２７１．ｖ３≒（２ｖ １２＋（２ １／２−１）２Ｖ１２）１／２≒１７ｋｍ／ｓ。ここでｖ１２＝γＭ／Ｒ，Ｖ
２
１ ＝γＭ 太陽／ｒ、Ｍ 太陽は太陽の質量。
１．２７２．ｌ＝２ｂＦ２／ｍａ＝１．０ｍ。
１．２７３．Ｆ＝ｋｍｇ／（（１＋ｋ）ｓｉｎα）＝１３Ｎ。ａ＝（ｋｇ／（１＋ｋ））（ｃｏｔα−１）＝１．２ｍ／ｓ ２。
１．２７４．ｌ＝｜ａＡ−ｂＢ｜／（Ａ ２＋Ｂ ２） １／２。
１．２７５．（ａ）ｂ＝（ｋ＋Ｆ／ｍｇ）ｌ／２＝３０ｍｍ。（ｂ）ｋｍｇ＜Ｆ＜（１−ｋ）ｍｇ。
１．２７６．Ａ＝（ｌ／２ａ−１）ｋｍｇｌ／２。
１．２７７．（ａ）Ｉ＝ｍｌ ２／３。（ｂ）Ｉ＝（ｍｌ２／１２）ｓｉｎ２α。
１．２７８．Ｉ＝ｍ（ａ２＋ｂ２）／３。
１．２７９．Ｉ＝ｍａ２／６＝４．０ｇ・ｍ２。
１．２８０．（ａ）Ｉ＝πρｂＲ４／２＝２．８ｇ・ｍ ２。（ｂ）Ｉ＝３ｍＲ ２／１０。
１．２８１．Ｉ＝ｍａ２／２。
１．２８２．Ｉ＝ｍＲ２／４。
１．２８３．ＩＣ＝（Ｉ１ｘ２２−Ｉ２ｘ１２）／（ｘ２２−ｘ １２）＝０．７５ｇ・ｍ２。
１．２８４．（ａ）ＩＯ＝１３ｍＲ ２／２４。（ｂ）ＩＣ＝３７ｍＲ２／７２。
１．２８５．Ｉ＝２ｍＲ２／３。
１．２８６．β Ｚ ＝（ｍｇＲ ２−ＦＲ １ ）／（Ｉ＋ｍＲ ２２）。ここで、軸Ｚは図１．５４の面方向を向いている。
１．２８７．（ａ）ω＝ｇｔ／Ｒ（１＋Ｍ／２ｍ）。（ｂ）Ｋ＝ｍｇ２ｔ２／２（１＋Ｍ／２ｍ）。
１．２８８．ａ＝ｇｍｒ２／Ｉ。
１．２８９．ω＝（６Ｆｓｉｎφ／ｍｌ）１／２。
１．２９０．Ｆ＝ｍｇ／４。
１．２９１．Ｎ＝（２／π）ｍｇｌ（Ｉ／ｍｌ２−１／１２）１／２＝１．２Ｎ・ｍ。
１．２９２．β＝｜ｍ２−ｍ１｜ｇ／（（ｍ１＋ｍ２＋ｍ／２）Ｒ）、Ｆ１／Ｆ２＝ｍ１（ｍ＋４ｍ２）／（ｍ２（ｍ＋４ｍ １））。
１．２９３．（ａ）ａ＝ｇ（ｍ ２−ｋｍ １）／（ｍ １＋ｍ ２＋ｍ／２）。（ｂ）Ａ＝−ｋｍ １ｇａｔ ２／２。
１．２９４．Ｆ水平＝３ｍｇ／２、Ｆ垂直＝ｍｇ／４。
１．２９５．ｔ＝ω ０Ｒ（１＋ｋ２）／（２ｋ（１＋ｋ）ｇ）。
１．２９６．ｎ２／ｎ１＝（ｔａｎθ＋ｋ）／（ｔａｎθ−ｋ）＝１．３。
-6-

１．２９７．ｔ＝３ωＲ／４ｋｇ。
１．２９８．ｔ＝２Ｊ／ｋｍｇ＝１７ｓ。
１．２９９．＜ω＞＝ω０／３。
１．３００．β＝２ｍｇｘ／Ｒｌ（Ｍ＋２ｍ）。
１．３０１．ｃｏｓθ＝３ｇ／２ω２ｌ。右辺が１より小さくないときにはθ＝０。
１．３０２．ω＝（２ｇ／ｌ）１／２＝６．０ラジアン／ｓ。Ｆ＝ｍｇｌ０／ｌ＝２５Ｎ。
１．３０３．（ａ）Ｍ＝（１／１２）ｍωｌ ２ ｓｉｎθ。Ｍ Ｚ＝Ｍｓｉｎθ。（ｂ）Ｎ＝（１／２４）ｍω ２ｌ ２ｓｉｎ２θ。
１．３０４．ｖ ＝ω０ｌ／（１＋３ｍ／Ｍ） １／２。
１．３０５．（ａ）ｖ ＝ｖ（３ｍ−４Ｍ）／（３ｍ＋４Ｍ）。（ｂ）Ｆ＝８Ｍｖ ２ ／（ｌ（１＋４Ｍ／３ｍ）２）。
１．３０６．（ａ）ｖ＝（Ｍ／ｍ）（２ｇｌ／３） １／２ｓｉｎ（α／２）。（ｂ）Δｐ＝Ｍ（ｇｌ／６）
１／２
ｓｉｎ（α／２）。（ｃ）ｘ≒２ｌ／３。
１．３０７．（ａ）ω＝（１＋２ｍ／Ｍ）ω０。（ｂ）Ａ＝（１／２）ｍω０２Ｒ ２（１＋２ｍ／Ｍ）。
１．３０８．φ＝−２ｍ１φ ／（２ｍ１＋ｍ２）。
１．３０９．
（ａ）ω＝（Ｉ１ω１＋Ｉ２ω２）／（Ｉ １＋Ｉ ２）。
（ｂ）Ａ＝−（Ｉ１Ｉ２／（２（Ｉ１＋Ｉ２））（ω １−ω２） ２。
１．３１０．（ａ）Ｍ ２−Ｍ １＝−４Ｉ １Ｉ ２ω ０／（Ｉ １＋Ｉ ２）。（ｂ）Ｅ １−Ｅ ２＝２Ｉ １Ｉ ２ω ０２／（Ｉ １＋Ｉ ２）。
１．３１１．ω＝Ｍ 〜Ｎｔ／（Ｉ０＋ｍＮａ２ｔ／２）。図１０参照。ここで、ωしきい値＝２Ｍ 〜／ｍａ２。
１．３１２．ω＝２（２Ｆｌ／３ｍＲ２）１／２。
１．３１３．ｎ＝（ｍｌ／２πＩ）｜Ｒ ２Ｆ２−Ｒ １Ｆ１｜／（Ｆ１２＋Ｆ２２）１／２。
１．３１４．ｖ＝ωＲ／２ｓｉｎθ＝３．０ｍ／ｓ。
１．３１５．ａ＝（５／７）ｇｓｉｎα、ｋ＞（２／７）ｔａｎα。
１．３１６．Ｋ＝（５／１４）ｍｇ２ｔ２ｓｉｎ２α＝０．１１ｋＪ。
１．３１７．ｖ＝（３ｇｌｓｉｎα）１／２＝５．３ｍ／ｓ。
１．３１８．Ｆ摩擦＝Ｉω２／２ｓ。
１．３１９．ｖ＝（（１０Ｈ＋４ｈ）ｇ／７）１／２＝２．８ｍ／ｓ。
１．３２０．（ａ）β＝２ｇ／３Ｒ＝５００ラジアン／ｓ ２。（ｂ）Ｐ＝２ｍｇ ２ｔ／３。
１．３２１．ａ ＝２（ｇ−ａ０）／３、Ｆ＝ｍ（ｇ−ａ０）／３。
１．３２２．ａ＝ｇｓｉｎα／（１＋Ｉ／ｍｒ２）＝１．６ｍ／ｓ２。
１．３２３．Ｆ＜３ｋｍｇ／（２−３ｋ）。
１．３２４．（ａ）ａ ｘ＝Ｆ（ｃｏｓα−ｒ／Ｒ）／（ｍ（１＋γ））。（ｂ）Ａ＝Ｆ ２ｔ ２（ｃｏｓα−ｒ／Ｒ）２／（２ｍ（１＋γ））。
１．３２５．ａ＝４ｇ／５。
１．３２６．ａ＝ｇ（ｍ−Ｍ）／（Ｍ＋ｍ＋Ｉ／Ｒ２）。
（ｂ）Ｋ＝Ｆ２ｔ２（３ｍ １＋２ｍ２）
１．３２７．
（ａ）ａ＝Ｆ（３ｍ１＋２ｍ２）／（ｍ １（ｍ１＋ｍ２））。
／（２ｍ１（ｍ１＋ｍ ２）。
１．３２８．ａ１＝Ｆ／（ｍ１＋２ｍ２／７）、ａ２＝２ａ１／７。
１．３２９．（ａ）ｔ＝ω０Ｒ／３ｋｇ。（ｂ）Ａ＝−ｍω０２Ｒ２／６。
１．３３０．ω＝（１０ｇ（Ｒ＋ｒ）／１７ｒ２）１／２。
１．３３１．ｖ０＝（ｇＲ（７ｃｏｓα−４）／３）１／２。
１．３３２．Ｎ＝Ｒｍｖ２／５ｓ＝２０ｍＮ・ｍ。
１．３３３．Ｆ＝９Ｊ２／２ｍｌ＝９Ｎ。
１．３３４．（ａ）ｓ＝πｌ／３。（ｂ）Ｋ＝２Ｊ２／ｍ。
１．３３５．ω＝２（ｇｓｉｎφ／ｌ（ｃｏｓ２φ＋１／３））１／２。
１．３３６．（ａ）ω＝（（３ｇ／２ｌ）（１−ｓｉｎα）） １／２、β＝（３ｇ／４ｌ）ｃｏｓα。（ｂ）ｓｉｎα＝２／３、α≒４２°。
１．３３７．ｖ０最小＝（３ｇｌ／ｃｏｓθ）１／２。
１．３３８．ｖＣ＝２ｖ／（４＋η）。η＝４とη＞４の時。
１．３３９．ｖ＝（ｇｈ／２）１／２。
１．３４０．（ａ）ω ＝ｍｇｌ／Ｉω＝０．７ラジアン／ｓ。（ｂ）Ｆ＝ｍω ２ｌｓｉｎθ＝１０ｍＮ。この力は独楽の傾斜と反対側の方向を向いている。
１．３４１．ω＝（ｇ＋ａ）ｌ／πｎＲ ２＝３００ラジアン／ｓ。
１．３４２．ω ＝ｍｌ（ｇ ２＋ａ ２） １／２／Ｉω＝０．８ラジアン／ｓ。ベクトルω は垂線と角度
θ＝ａｒｃｔａｎ（ａ／ｇ）＝１７°をなす。
１．３４３．Ｆ ＝２ｍＲ２ωω ／５ｌ＝０．３０ｋＮ。
１．３４４．Ｆ最大＝πｍＲφ ｍω／ｌＴ＝３０Ｎ。
１．３４５．Ｎ＝２πｎＩｖ／Ｒ＝９ｋＮ・ｍ。
１．３４６．Ｆ＝２πｎＩｖ／Ｒｌ＝１．４ｋＮ。
１．３４７．ｐ＝αＥΔＴ＝０．２２ＧＰａ＝２２００気圧。ここでαは鉄の線形膨張率。
１．３４８．（ａ）ｐ≒σ ｍ Δｒ／ｒ＝２．０ＭＰａ＝２０気圧。（ｂ）ｐ≒２σ ｍ Δｒ／ｒ＝４．０
ＭＰａ＝４０気圧。ここでσ ｍはガラスの強度限界。
１．３４９．ｎ＝（２σ ｍ／ρ） １／２／πｌ＝８０回転／ｓ。ここでσ ｍは強度限界、ρは銅の密度。
１．３５０．ｎ＝（σ ｍ／ρ） １／２／２πＲ＝２３回転／ｓ。ここでσ ｍは強度限界、ρは鉛の密度。
-7-

１．３５１．ｘ≒（ｍｇ／２πｄ２Ｅ）１／３＝２．５ｃｍ。
１．３５２．ε＝Ｆ ０／２ＥＳ。
１．３５３．Ｆ＝（１−ｒ２／ｌ２）ｍω ２ｌ／２、Δｌ＝ρω２ｌ３／３Ｅ。ここでρは銅の密度。
１．３５４．ΔＶ＝（１−２μ）Ｆｌ／Ｅ＝１．６ｍｍ３。ここでμはポアッソン係数。
（ｂ）ΔＶ／Ｖ＝（１−２μ）Δｌ／ｌ。ここでρは密度、１．３５５．
（ａ）Δｌ＝ρｇｌ２／２Ｅ。
μはポアッソン係数。
１．３５６．（ａ）ΔＶ／Ｖ＝−３（１−２μ）ｐ／Ｅ。（ｂ）β＝３（１−２μ）／Ｅ。
１．３５７．（ａ）φ＝ｌＮ／２πｒ ３ΔｒＧ。（ｂ）φ＝２ｌＮ／πｒ４Ｇ。
１．３５８．Ｎ＝π（ｄ２４−ｄ１４）Ｇφ／３２ｌ＝０．５ｋＮ・ｍ。
１．３５９．Ｐ最大＝（π／２）ｒ４Ｇφω＝１７ｋＷ。
１．３６０．Ｎ＝βｍ（ｒ２４−ｒ４）／２（ｒ ２２−ｒ１２）。
１．３６１．Ｕ＝ｍＥε２／２ρ＝４０Ｊ。ここでρは鉄の密度。
１．３６２．（ａ）Ｕ＝（π／６）ｒ ２ｌ ３ρ ２ｇ ２／Ｅ。（ｂ）Ｕ＝（２π／３）ｒ ２ｌＥ（Δｌ／ｌ）
２。ここでΡは鉄の密度。
１．３６３．Ａ≒π ２ｈδ ３Ｅ／６ｌ＝８０Ｊ。
１．３６４．Ｕ＝πｒ４Ｇφ２／４ｌ＝７Ｊ。
１．３６５．ｕ＝Ｇφ２ｒ ２／２ｌ２。
１．３６６．ｕ＝βρ２ｇ ２ｈ ２／２＝２３．５ｋＪ／ｍ ３。ここでβは圧縮率。
１．３６７．ｐ１＞ｐ２、ｖ１＜ｖ２。線形流れの密度は点１から点２に向かって大きくなる。
１．３６８．Ｑ＝Ｓ １Ｓ２（２ｇΔｈ／（Ｓ２２−Ｓ １２）） １／２。
１．３６９．Ｑ＝Ｓ（２ｇΔｈρ０／ρ）１／２。
１．３７０．ｒ＝ｒ ０／（１＋２ｇｈ／ｖ０）１／４。
１．３７１．ｌ ＝ｌ（η ２−１）／（η２−１）＝５ｌ。
１．３７２．ｈ＝ｈ ０／２＝２５ｃｍ、ｌ最大＝ｈ０。
１．３７３．Ａ＝ρＶ３／２ｓ２ｔ２。ここでρは水の密度。
１．３７４．ａ＝−ｇ／（η ２−１）、ａ＝１０−４ｇ。
１．３７５．τ≒（Ｓ／ｓ）（２ｈ／ｇ）１／２。
１．３７６．ｔ＝（ｈ／３η）（２ｈ／ｇ）１／２。
１．３７７．ｖ＝ωｈ（２ｌ／ｈ−１） １／２。
１．３７８．
１．３７９．Ｆ＝２ρｇＳΔｈ＝０．５０Ｎ。
１．３８０．Ｆ＝ρｇｂｌ（２ｈ−ｌ）＝５Ｎ。
１．３８１．（ａ）ｐ＝２ρＳＲｖ。（ｂ）Ｆ＝２ρＳｖ ２。
１．３８２．Ｎ＝ρｌＱ２／πｒ２＝０．７Ｎ・ｍ。
１．３８３．力は右方向。Ｆ＝ρｖ２２（Ｓ１−Ｓ２）２／２Ｓ１＝１．３ｋＮ。
１．３８４．（ａ）パラボロイド。ｚ＝（ω ２／２ｇ）ｒ ２。ここでｚは容器の軸の所の液面からの高さ、ｒは軸からの距離。（ｂ）ｐ＝ｐ ０＋ρω２ｒ ２／２。
１．３８５．Ｐ＝πηω２Ｒ４／ｈ＝９Ｗ。
１．３８６．ｖ＝ｖ ０・ｌｎ（ｒ／Ｒ２）／ｌｎ（Ｒ１／Ｒ２）。
１．３８７．（ａ）ω＝（ω ２Ｒ １２Ｒ ２２／（Ｒ ２２−Ｒ １２））（１／Ｒ １２−１／ｒ ２）。（ｂ）Ｎ＝４πηω２２２２２Ｒ １ Ｒ ２ ／（Ｒ ２ −Ｒ １ ）。
１．３８８．ｖ＝ｖ ０（１−ｒ２／Ｒ２）。
（ｂ）Ｋ＝πｌＲ２ρｖ０２／６。
（ｃ）Ｆ摩擦＝４πηｌｖ０。
（ｄ）
１．３８９．
（ａ）Ｑ＝πｖ０Ｒ２／２。
２Δｐ＝４ηｌｖ０／Ｒ 。
１．３９０．Ｑ１＝（ｈ３／３η）ρｇｓｉｎα。
１．３９１．ｖ＝（２ｇΔｈ）１／２＝１．０ｍ／ｓ
１．３９２．ｅｘｐ（αΔｘ）＝５。
１．３９３．ｖ２＝ｖ１ｒ１ρ１η２／ｒ２ρ ２η１＝５μｍ／ｓ。
１．３９４．ｄ＝（１８Ｒｅη２／（ρ−ρ０）ρ０ｇ）１／３＝５ｍｍ。ここでρ０とρはグリセリンの密
度と鉛の密度。
１．３９５．ｔ＝−（ρｄ２／１８η）ｌｎ（ｎ）＝０．２０ｓ。
１．３９６．ｖ＝ｃ（η（２−η）） １／２＝０．１０ｓ。ここでｃは光速度。
（ｂ）
１．３９７．
（ａ）ｔａｎα ＝ｔａｎα／（１−β２）１／２。ここでβ＝ｖ／ｃ。α ≒４９°。
ｌ ＝ａ（１−β２＋ｔａｎ２α）１／２＝３．８ｍ、ｌ ／ｌ０＝０．６６。
１．３９８．ｌ０＝ｌ（１−β２ｓｉｎ２θ）／（１−β ２））１／２＝１．０８ｍ。
１．３９９．ｌ０＝Δｘ（ｔ３−ｔ２）／（（ｔ２−ｔ１） ２−（Δｘ／ｃ）２）１／２。
１．４００．ｖ＝ｃ（（２−Δｔ／ｔ）Δｔ／ｔ）１／２＝０．６×１０ ８ｍ／ｓ。
１．４０１．ｌ０＝ｃΔｔ （１−（Δｔ／Δｔ ）２）１／２＝４．５ｍ。
１．４０２．ｓ＝ｃΔｔ（１−（Δｔ０／Δｔ）２）１／２＝５ｍ。
１．４０３．（ａ）Δｔ ０＝（ｌ／ｖ）（１−（ｖ／ｃ） ２ ） １／２＝１．４μｓ。（ｂ）ｌ ＝ｌ（１−（ｖ／ｃ）２）１／２＝０．４２ｋｍ。
１．４０４．ｌ０＝ｖΔｔ／（１−（ｖ／ｃ） ２） １／２＝１７ｍ。
１．４０５．ｌ０＝（Δｘ １Δｘ２） １／２＝６．０ｍ。ｖ＝ｃ（１−Δｘ１／Δｘ２）１／２＝２．２×１０ ８
ｍ／ｓ。
１．４０６．ｖ＝（２ｌ０／Δｔ）／（１＋（ｌ０／ｃΔｔ）２）。
-8-

１．４０７．前方に動いている粒子が時間Δｔ＝ｌβ／ｃ（１−β ２）だけ遅く崩壊する。ここでβ＝ｖ／ｃ。
１．４０８．（ａ）ｌ ０＝（ｘ Ａ−ｘ Ｂ −ｖ（ｔ Ａ −ｔ Ｂ））／（１−（ｖ／ｃ） ２） １／２。（ｂ）ｔ Ａ−ｔ Ｂ＝（１−（１−（ｖ／ｃ）２）１／２）ｌ０／ｖ、又はｔＢ−ｔ Ａ＝（１＋（１−（ｖ／ｃ）２）１／２）ｌ０／ｖ。
１．４０９． （ａ）ｔ（Ｂ）＝ｌ ０／ｖ、ｔ（Ｂ ）＝（ｌ ０／ｖ）（１−（ｖ／ｃ） ２） １／２。（ｂ）
ｔ（Ａ）＝（ｌ０／ｖ）（１−（ｖ／ｃ）２）１／２、ｔ（Ａ ）＝ｌ０／ｖ。
１．４１０．図１１参照。
１．４１１．ｄｘ／ｄｔ＝（１−（１−β２） １／２）ｃ／β。ここでβ＝Ｖ／ｃ。
１．４１２． このためには、ｔ２＞ｔ１の時とｔ ２ ＞ｔ１ の時を確かめる必要がある。
１．４１３．（ａ）１３ｎｓ。（ｂ）４．０ｍ。
１．４１４．ｖ ＝（（ｖｘ−Ｖ） ２＋ｖｙ２（１−Ｖ２／ｃ２））１／２／（１−ｖｘＶ／ｃ ２）。
１．４１５． （ａ）ｄｓ／ｄｔ＝ｖ １＋ｖ ２＝１．２５ｓ。（ｂ）ｖ＝（ｖ １＋ｖ ２）／（１＋ｖ １ｖ ２／ｃ ２）＝０．９１ｓ。
１．４１６．ｌ＝ｌ ０（１−β２）／（１＋β２）。ここでβ＝ｖ／ｃ。
１．４１７．ｖ＝（ｖ１２＋ｖ ２２−（ｖ１ｖ２／ｃ） ２）１／２。
１．４１８．ｓ＝Δｔ ０（（Ｖ ２＋（１−β ２）ｖ ２）／（（１−β ２）（１−ｖ ２／ｃ ２））） １／２。ここでβ＝Ｖ／ｃ。
１．４１９．ｔａｎθ ＝（（１−β ２ ） １／２ｓｉｎθ）／（ｃｏｓθ−Ｖ／ｖ）。ここで、β＝Ｖ／ｃ。
１．４２０ｔａｎθ＝ｖ Ｖ／ｃ２（１−（Ｖ／ｃ）２）１／２。
１．４２１．（ａ）ａ ＝ａ（１−β ２） ３／２／（１−βｖ／ｃ） ３。（ｂ）ａ ＝ａ（１−β ２）。ここ
でβ＝Ｖ／ｃ。
１．４２２．ｖ＝ａ ｔ／（１＋（ａ ｔ／ｃ） ２）１／２。ｌ＝（１＋（ａ ｔ／ｃ）２）１／２−１）ｃ２／ａ ＝０．９１光年。（ｃ−ｖ）／ｃ＝（ｃａ ｔ）２／２＝０．４７％。
１．４２３． τ０＝３．５ヶ月。
１．４２４．ｍｒ／ｍ＝１／（２η）１／２≒７０。
１．４２５．ｖ＝ｃ（η（２＋η）） １／２／（１＋η）＝０．６ｃ。
１．４２６．（ｃ−ｖ）／ｃ＝１−１／（１＋（ｍｃ／ｐ）２）１／２＝０．４４％。
１．４２７．ｖ＝（ｃ／η）（η２−１）１／２＝０．７０ｃ。
１．４２８．Ａ＝０．４２ｍｃ２。０．１４ｍｃ２の代わり。
１．４２９．ｖ＝ｃ（３／４）１／２＝２．６×１０８ｍ／ｓ。
１．４３０．η≪１の時、Ｋ／ｍｃ２＜４η／３＝０．０１３の関係。
１．４３１．ｐ＝（Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ２））１／２／ｃ＝１．０９ＧｅＶ／ｃ。
１．４３２．ｖ＝２ｐＫ／（ｐ２＋Ｋ２／ｃ２）＝０．８７ｃ。
１．４３３．Ｆ＝（Ｉ／ｅｃ）（Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ ２））１／２。Ｐ＝ＫＩ／ｅ。
１．４３４．ΔＥ／ｍ＝（１／（１−（ｖ／ｃ） ２）１／２−１）ｃ２＝３．６×１０１７Ｊ／ｋｇ。
１．４３５．ｖ＝ｃ／（１＋（ｍｃ／Ｆｔ） ２） １／２、ｓ＝（（１＋（Ｆｔ／ｍｃ） ２） １／２−１）ｍｃ
２／Ｆ。
１．４３６．Ｆ＝ｍｃ２／α。
１．４３７．（ａ）Ｆ‖ｖとＦ⊥Ｖの２つの場合。（ｂ）Ｆ ⊥ ＝ｍａ／（１−β ２ ） １／２、Ｆ ‖ ＝ｍａ／（１−β２）３／２。
１．４３９．ε ＝ε（（１−β）／（１＋β））１／２。Ｖ＝３ｃ／５。
１．４４０．
１．４４１．ｖ＝ｃ（１−（２ｍ／Ｍ） ２）１／２。
１．４４２．（ａ）Ｋ 〜＝２ｍｃ ２（（１＋Ｋ／２ｍｃ ２ ） １／２ −１）＝７７７ＭｅＶ。（ｂ）ｐ 〜＝（ｍＫ／２）１／２＝９４０ＭｅＶ／ｃ。
１．４４３．Ｍ＝（２ｍ（Ｋ＋２ｍｃ２）１／２／ｃ。Ｖ＝ｃ（ｋ／（Ｋ＋２ｍｃ ２））１／２。
１．４４４．Ｋ ＝２Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ２）／ｍｃ２＝１４３０ＧｅＶ。
１．４４５．Ｅ１最大＝（ｍ ０２＋ｍ１２−（ｍ２＋ｍ３）２）ｃ２／２ｍ ０。
１．４４６．ｖ／ｃ＝（１−（ｍ／ｍ０）２ｕ／ｃ）／（１＋（ｍ／ｍ０）２ｕ／ｃ）
２．１．Ｆ 電気／Ｆ 重力の比は各々、４×１０ ４２，１×１０ ３６。ｑ／ｍ＝０．８６×１０ −１０Ｃ／ｋｇ。
２．２．ｑ １，２＝ｌ（４πε ０ Ｆ） １／２ （１±（１＋Ｆ ０ ／Ｆ）） １／２）＝＋１．２０μＣ、−０．１３３μＣ。又は、同じ値で反対符号。
２．３．ｑ３＝−ｑ１ｑ２／（ｑ１１／２＋ｑ２１／２） ２。ｒ３＝（ｒ１ｑ２１／２＋ｒ２ｑ１１／２）／（ｑ１１／２＋ｑ２１／
２）。
２．４．ｑ＝ｌ（３２πε０ｍｇｓｉｎ３α）１／２／（９−１２ｓｉｎ２α）１／４＝０．５０μＣ。
２．５．ｄｑ／ｄｔ＝１．５ｖ（２πε ０ｍｇθ）１／２＝０．４０ｎＣ／ｓ。
２．６．ａ＝３１／２ｑ２／２０ πε ０ｍｌ ２＝１３ｍ／ｓ ２。
２．７．ΔＦ＝ｑｑ ０／８π２ε０Ｒ ２＝５０Ｎ。
２．８．Ｅ＝２．７ｉ−３．６ｊ。Ｅ＝４．５ｋＶ／ｍ。
２．９．Ｅ＝ｑｌ／２１／２πε０（ｌ２＋ｘ２）３／２＝９ｋＶ／ｍ。
２．１０．Ｅ＝３ｑ／４πε ０ｌ２＝１．０ｋＶ／ｍ。
-9-

２．１１．Ｅ＝ｑ／２π２ε０Ｒ２＝０．１０ｋＶ／ｍ。
２．１２．Ｅ＝ｑｌ／４πε ０（Ｒ ２＋ｌ ２） ３／２。ｌ≫Ｒの時、Ｅ≒ｑ／４πε ０ｌ ２。ｌ＝Ｒ／２ １／２の時、Ｅ最大＝ｑ／６・３１／２πε０Ｒ２。
２．１３．Ｅ＝λ／４πε０Ｒ。
２．１４．Ｅ＝σ／４ε０＝１．７ｋＶ／ｍ。
２．１５．Ｅ＝σｌ／２ε０（Ｒ２＋ｌ２）１／２。
２．１６．Ｅ＝ｑλ／４πε ０Ｒ。
２．１７．（ａ）Ｅ＝λ ０／４ε ０Ｒ。（ｂ）Ｅ＝λ ０ Ｒ ２／４ε ０（ｘ ２＋Ｒ ２） ３／２。ｘ≫Ｒの時、Ｅ≒
ｐ／４πε０ｘ３。ここで、ｐ＝πＲ２λ０。
２．１８．（ａ）Ｅ＝ｑ／４πε ０ ｒ（ｒ ２ ＋ａ ２ ） １／２。（ｂ）Ｅ＝ｑ／４πε ０ （ｒ ２ −ａ ２）。両方の場合において、ｒ≫ａの時、Ｅ≒ｑ／４πε０ｒ２。
２．１９．Ｅ＝λ２ １／２／４πε０ｙ。 ベクトルＥは糸に対して４５°の方向を向く。
２．２０．（ａ）Ｅ＝λ２１／２／４πε０Ｒ。（ｂ）Ｅ＝０。
２．２１．Ｅ＝−ａｒ／３ε ０。
２．２２．Ｅ＝−ｋσ０／３ε。
２．２３．Ｅ＝−ａＲ２／６ε０。
２．２４．Ｅ ｘ＝α（ｘ２−ａ ２）／２ε０、Ｅ＝｜Ｅｘ｜。
２．２５．Ｅ 最大＝λ／πε０ｌ＝４０ｋＶ／ｍ。
２．２６．Ｆ＝λ２／２ε ０。
２．２７．Ｅ＝σ０／２ε ０。ベクトルＥの方向は角度φ＝πに対応。
２．２８．（ａ）Ｆ＝σｑ／６ε０。（ｂ）Ｆ≒σ２ｌ２／２ε ０。
２．２９．ｑ＝４πε０ａＲ。
２．３０．ρ＝４ε ０ａｒ。
２．３１．（ａ）Ｅ（ｒ≦Ｒ）＝ρ ０ｒ（１−３ｒ／４Ｒ）／３ε ０。Ｅ（ｒ≧Ｒ）＝ρ ０Ｒ ３／１２ε２０ｒ 。
（ｂ）ｒｍ＝２Ｒ／３の時、Ｅ最大＝ρ ０Ｒ／９ε０ 。
２．３２．ｑ＝２πＲ２α。Ｅ＝α／２ε０。
２．３３．Ｅ＝ａρ／πε０。
２．３４．Ｅ＝ａρ／πε０。
２．３５．ｖ 最大＝ｑ／（６πε０ｍａ）１／２。
２．３６．Δφ＝（１−１／（１＋（ｌ／Ｒ）２）１／２）ｑ／２πε ０Ｒ＝１２ｋＶ。
２．３７．φ １−φ２＝（λ／２πε０）ｌｎ（η）＝５ｋＶ。
２．３８．Ａ＝（１−１／（１＋（ｌ／Ｒ）２）１／２）ｑｑ ／４πε０Ｒ＝０．１０Ｊ。
２．３９．φ＝（（１＋（Ｒ／ｌ）２）１／２−１）σｌ／２ε０。Ｅ＝ （１−１／（１＋（ｌ／Ｒ）２）
１／２）σ／２ε ０。ｌ→０の時、φ＝σＲ／２ε ０とＥ＝σ／２ε ０。ｌ≫Ｒの時、φ≒ｑ／４πε ０ｌとＥ≒ｑ／４πε０ｌ２。ここでｑ＝σπＲ２。
２．４０．φ＝σＲ／２ε０。
２．４１．φ＝σＲ／πε０。
２．４２．（ａ）φ ０＝３ｑ／８πε０Ｒ。（ｂ）φ＝φ０（１−ｒ２／３Ｒ２）、ｒ≦Ｒ。
２．４３．Ｅ＝−ａ。一様な場。
２．４４．（ａ）Ｅ＝−２ａ（ｘｉ−ｙｊ）。（ｂ）Ｅ＝−ａ（ｙｉ＋ｘｊ）。ｉとｊはｘ軸とｙ軸の単位ベクトル。ａ＞０の場合に対応した図１２参照。
２．４５．Ｅ ａ＝−α（ｙ−６ｚ）／１０１／２＝−６．０α。
２．４６．Ｅ＝（Ｅ ｒ２＋Ｅθ２）１／２＝（ｐ／４πε０ｒ３）（１＋３ｃｏｓ２θ）１／２。
２．４７．Ｒ＝（ｐ／４πε ０Ｅ０）１／３。
２．４８．φ≒（λｌ／２πε０ｒ）ｃｏｓθ。Ｅ≒λｌ／２πε０ｒ２。
２．４９．ｐ＝ａｌ ３／６。
２．５０．（ａ）ｐ＝２ｑａ／π。（ｂ）Ｅ＝ｑａ／π２ε０ｒ３。
２．５１．φ＝（ｑｌ／４πε ０ ）ｘ／（Ｒ ２ ＋ｘ ２ ） ３／２。Ｅ ｘ＝ （ｑｌ／４πε ０）（Ｒ ２−２ｘ ２）／（Ｒ ２＋ｘ ２）５／２。図１３参照。｜ｘ｜≫Ｒの時、φ≒ｑｌ／４πε０ｘ ２、Ｅｘ≒ｑｌ／２πε０ｘ３。

２．５２．Ａ＝ｐＥ １。Ｅ １に依存せず。
２．５３．（ａ）Ｆ＝０。（ｂ）Ｆ＝−λｐ／２πε０ｒ２。（ｃ）Ｆ＝λｐ／２πε０ｒ ２。
２．５４．Ｆ＝３ｐ ２／２πε０ｌ４＝２．１×１０−１６Ｎ。
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２．５５．（ａ）φ＝−ａｘｙ＋定数。（ｂ）φ＝ａｙ（ｙ ２／３−ｘ ２）＋定数。（ｃ）φ＝−ｙ（ａｘ＋ｂｚ）＋定数。
２．５６．ρ＝６ε ０ａｘ。
２．５７．ρ＝２ε ０Δφ／ｄ２。Ｅ＝ρｄ／ε０。
２．５８．ρ＝−６ε０ａ。
２．５９．ｑ＝４ｌ（πε０κｘ） １／２。
２．６０．ｌ＝（ｅ／１６πε０Ｅ）１／２＝６．０μｍ。
２．６１．Ａ＝ｑ２／１６πε０λ＝０．１５Ｊ。
２．６２．Ｆ＝（２・２１／２−１）ｑ２／８πε０ｌ２。
２．６３．Ｆ＝（２・２１／２−１）ｑ２／４πε０ｌ２＝８Ｎ。
２．６４．Ｆ＝（２・２１／２−１）ｑ２／３２πε ０ｌ２＝３．３Ｎ。
２．６５．Ｆ＝３ｐ ２／３２πε０ｌ４。
２．６６．σ＝−ｑｌ／２π（ｌ２＋ｒ２）３／２。
２．６７．（ａ）Ｆ＝λ２／４πε ０ｌ。（ｂ）σ＝λｌ／π（ｌ２＋ｘ ２）
２．６８．（ａ）σ＝λ／２πｌ。（ｂ）σ（ｒ）＝λ／２π（ｌ ２＋ｒ２） １／２。
２．６９．σ＝ｑｌ／２π（ｌ２＋Ｒ２） ３／２＝７０ｎＣ／ｍ２。
２．７０．φ＝ｑ／４πε０ｌ＝１５ｋＶ。
２．７１．φ＝ｑ／４πε０（Ｒ２＋ｌ２）１／２＝０．１８ｋＶ。
２．７２．φ＝（１／ｒ−１／Ｒ１＋１／Ｒ２）ｑ／４πε ０＝１．０ｋＶ。
２．７３．ｑ ２ ＝−ｑ １ ｂ／ａ。ａ≦ｒ≦ｂの時、φ＝（ｑ １ ／４πε ０）（１／ｒ−１／ａ）、ｒ≧ｂの時、φ＝（ｑ１／４πε ０）（１−ｂ／ａ）／ｒ。
２．７４．（ａ）Ｅ ２３＝Δφ／ｄ、Ｅ １２＝Ｅ ３４＝Ｅ ２３／２。（ｂ）｜σ １｜＝σ ４＝ε ０Δφ／２ｄ、σ２＝｜σ ３｜＝３ε ０Δφ／２ｄ。
２．７５．Δｑ＝ｑｌ／ｄ。
２．７６．ｑ １＝−ｑ（ｌ−ｘ）／ｌ、ｑ２＝−ｑｘ／ｌ。
２．７７．ｄＦ／ｄＳ＝σ２／２ε ０＝０．１２ｋＮ／ｍ２。
２．７８．Ｆ＝ｑ２／３２πε０Ｒ２＝０．５ｋＮ。
２．７９．Ｆ＝πＲ ２σ０２／４ε０。
２．８０．Ｗ＝βε ０Ｅ２／２＝ｐＥ／２。
２．８１．Ｆ＝３βｐ２／４π２ε０ｌ７。
２．８２．（ａ）ｘ ０＝Ｒ／２ １／２。（ｂ）ｘ １＝０．２９Ｒ（反発）、ｘ ２ ＝１．１Ｒ（引き合い）。図
１４参照。
２．８３．Ｐ＝ｑ（ε−１）ｒ／４πεｒ３、ｑ ＝−ｑ（ε−１）／ε。
２．８４．σ ＝ｑ（ε１−ε２）／４πε１ε ２ａ ２。
２．８５．
２．８６．ｑ 内部＝−ｑ（ε−１）／ε＝−２．０μＣ、ｑ 外部＝ｑ（ε−１）／ε＝２．０μＣ。
２．８７．ρ ＝−ρ（ε−１）／ε＝−３０μＣ／ｍ３。
２．８８．（ａ）図１５参照。（ｂ）図１６参照。

２．８９．Ｅ＝（Ｅ ０／ε）（ｃｏｓ ２ α ０＋ε ２ ｓｉｎ ２ α ０） １／２ ＝５．２Ｖ／ｍ、ｔａｎα＝εｔａｎα ０よりα＝７４°、σ ＝ε０（１−１／ε）Ｅ０ｃｏｓα０＝６４ｐＣ／ｍ ２。
２．９０．ｃｏｓθ＝σ／ε ０（１−ε）Ｅ，σ＜０。
２．９１．（ａ）∫ＥｄＳ＝（（ε−１）／ε）πＲ２Ｅ０ｃｏｓθ。（ｂ）∫Ｄｄｒ＝−ε０（ε−１）
ｌＥ ０ｓｉｎθ。
２．９２．（ａ）Ｅ（ｌ＜ｄ）＝ρｌ／εε ０、Ｅ（ｌ＞ｄ）＝ ρｌ／ε ０。φ（ｌ＜ｄ）＝−ρｌ ２／２εε ０、φ（ｌ＞ｄ）＝−（ｄ／２ε＋ｌ−ｄ）ρｄ／ε ０。図１７参照、そこでρ＞０。（ｂ）
σ ＝ ρｄ（ε−１）／ε、ρ ＝−ρ（ε−１）／ε。
２．９３．（ａ）Ｅ（ｒ＜Ｒ）＝ρｒ／３ε ０ ε、Ｅ（ｒ＞Ｒ）＝ρＲ ３ ／３ε ０ ｒ ２。（ｂ）ρ ＝−
ρ（ε−１）／ε、σ ＝ρＲ（ε−１）／３ε。図１８参照。
２．９４．Ｅ＝−Ｐｄ／４ε ０Ｒ。
２．９５．Ｅ＝−Ｐ ０（１−ｘ２／ｄ２）／ε０、Ｕ＝４Ｐ０ｄ／３ε０。
２．９６．（ａ）Ｅ １＝２εＥ ０／（ε＋１）、Ｅ ２＝２Ｅ ０／（ε＋１）、Ｄ １＝Ｄ ２＝２εε ０Ｅ ０／（ε＋１）。（ｂ）Ｅ１＝Ｅ０、Ｅ ２＝Ｅ０／ε、Ｄ１＝Ｄ２＝ε０Ｅ０。
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２．９７．（ａ）Ｅ １ ＝Ｅ ２ ＝Ｅ ０ 、Ｄ １ ＝ε ０ Ｅ ０ 、Ｄ ２ ＝εＤ １。（ｂ）
Ｅ １＝Ｅ ２＝２Ｅ ０／（ε＋１）、Ｄ １＝２ε ０Ｅ ０／（ε＋１）、Ｄ ２＝ε
Ｄ １。
２．９８．Ｅ＝ｑ／２πε０（ε＋１）ｒ２。
２．９９．σ 最大 ＝（ε−１）ε ０ Ｅ＝３．５ｎＣ／ｍ ２ 、ｑ ＝πＲ２（ε−１）ε ０Ｅ＝１０ｐＣ。
（ｂ）
２．１００．
（ａ）σ ＝−ｑｌ（ε−１）／２πｒ３（ε＋１）。
ｑ ＝−ｑ（ ε−１）／（ε＋１）。
２．１０１．Ｆ＝ｑ ２（ ε−１）／１６πε０ｌ２（ε＋１）。
２．１０２．真空中でＤ＝ｑ／２π（１＋ε）ｒ ２、誘電体中でＤ＝εｑ／２π（１＋ε）ｒ２、これよりＥ＝ｑ／２πε０（１＋ε）ｒ２、
φ＝ｑ／２πε０（１＋ε）ｒ。
２．１０３．σ ＝ｑｌ（ε−１）／２πｒ ３ ε（ε＋１）。ｌ→０の時、σ →０。
２．１０４．σ ＝ｑｌ（ε−１）／２πｒ３ε。
２．１０５．間隙でＥ １＝Ｐｈ／ε ０ｄ、Ｅ ２＝−（１−ｈ／ｄ）Ｐ／ε０、Ｄ １＝Ｄ ２＝Ｐｈ／ｄ。
２．１０６．ρ ＝−２α、すなわちｒに依存しない。
２．１０７．（ａ）Ｅ＝−Ｐ／３ε０。
２．１０８．Ｅ＝３Ｅ０／（ε＋２）、Ｐ＝３ε０Ｅ０（ε−１）／（ε＋２）。
２．１０９．ρ＝ρ ０ε／（ε−１）＝１．６ｇ／ｃｍ ３、
２．１１０．Ｆ＝ｑ ２Ｖ（ε−１）／８π２εε０ｒ５。
２．１１１．Ｃ＝４πεε０Ｒ１／（１＋（ε−１）Ｒ１／Ｒ２）＝１．
９ｐＦ。
２．１１２．（ε＋２）／２＝２倍小さくなる。ｑ＝ＣＵ（ε−１）／２（ε＋１）＝１．０ｎＣ。
２．１１３．（ａ）Ｃ＝ε ０Ｓ／（ｄ １／ε １＋ｄ ２／ε ２）。（ｂ）σ ＝ε０Ｕ（ε １−ε ２）／（ε １ｄ ２
＋ε ２ｄ １）。
２．１１４．（ａ）Ｃ＝ε ０ （ε ２−ε １）Ｓ／ｄ・ｌｎ（ε ２ ／ε １）。（ｂ）ρ ＝−ｑ（ε ２−ε １）／ｄＳε２．
２．１１５．（ａ）Ｃ＝４πεε０ａｂ／（ｂ−ａ）。（ｂ）Ｃ＝４πε０α／ｌｎ（ｂ／ａ）。
２．１１６．（ａ）Ｃ＝２πεε ０ ｌ／ｌｎ（ｂ／ａ）。（ｂ）Ｃ＝２πε ０ ｌα／（ｂ−ａ）、αは定数。
２．１１７．Ｃ＝２πε０（１＋ε）ａｂ／（ｂ−ａ）。
２．１１８．Ｃ≒πε０／ｌｎ（ｂ／ａ）＝７．１ｐＦ／ｍ。
２．１１９．Ｃ≒２πε０／ｌｎ（２ｂ／ａ）。
２．１２０．Ｃ≒２πε０ａ。
２．１２１．Ｃ≒４πε０ａ。
２．１２２．（ａ）Ｃ全体＝Ｃ １＋Ｃ ２＋Ｃ３。（ｂ）Ｃ 全体＝Ｃ。
２．１２３．（ａ）Ｃ＝２ε ０Ｓ／３ｄ＝０．１３ｎＦ。（ｂ）Ｃ＝３ε０Ｓ／２ｄ＝０．２９ｎＦ。
２．１２４．Ｕ≦Ｕ １（１＋Ｃ１／Ｃ２）＝９ｋＶ。
２．１２５．Ｕ＝Ｅ／（１＋３η＋η２）＝１０Ｖ。
２．１２６．Ｃｘ＝Ｃ（５ １／２−１）／２。
２．１２７．Ｕ１＝ｑ／Ｃ １＝１０Ｖ、Ｕ２＝ｑ／Ｃ ２＝５Ｖ、ここでｑ＝（φＡ−φＢ＋Ｅ）Ｃ１Ｃ２／（Ｃ１＋Ｃ ２）。
２．１２８．コンデンサ中の電界強度Ｅの方向は時計回りの回路の順路方向と一致する。Ｕ１＝（Ｅ ２−Ｅ １）／（１＋Ｃ１／Ｃ２）＝３．０Ｖ、Ｕ２＝（Ｅ２−Ｅ１）／（１＋Ｃ２／Ｃ１）＝２．０Ｖ。
２．１２９．（ａ）φ Ａ−φ Ｂ＝Ｅ（Ｃ ２Ｃ ３−Ｃ １Ｃ ４ ）／（Ｃ １＋Ｃ ２）（Ｃ ３＋Ｃ ４）。（ｂ）φ Ａ−φ Ｂ＝（Ｅ ２Ｃ ２−Ｅ １Ｃ １）／（Ｃ１＋Ｃ２＋Ｃ３）。
２．１３０．ｑ＝Ｕ／（１／Ｃ１＋１／Ｃ２＋１／Ｃ３）＝０．０６ｍＣ。
２．１３１．ｑ１＝ＥＣ２、ｑ ２＝−ＥＣ１Ｃ２／（Ｃ１＋Ｃ２）。
２．１３２．ｑ １＝ＥＣ １（Ｃ １−Ｃ ２）／（Ｃ １＋Ｃ ２）＝−２４μＣ、ｑ ２＝Ｅ（Ｃ ２−Ｃ １）＝＋６０
μＣ。
２．１３３．Ｃ全体＝２Ｃ１Ｃ２＋Ｃ３（Ｃ１＋Ｃ２）／（Ｃ １＋Ｃ２＋２Ｃ３）。
２．１３４．ｖ最大＝ｅ／（２πε０ｍａ）１／２＝２２５ｍ／ｓ。
２．１３５．Ｗａ＝（２１／２＋４）ｑ２／４πε ０ａ、Ｗｂ＝（２１／２−４）ｑ２／４πε ０ａ、Ｗｃ＝−２ １／２
ｑ ２／４πε０ａ。
２．１３６．Ｗ＝（（１＋（ｌ／Ｒ） ２）１／２−１）ｑ０ｑＲ／２πε０ｌ２。
２．１３７．（ａ）Ｗ誘導＝−ｑ２／８πε０ｌ。（ｂ）Ｗ固有＝ｑ２／１６πε０ｌ。
２．１３８．Ａ＝２ε０Ｅ ２Ｓｄ＝３０μＪ。
２．１３９．ΔＷ＝−Ｕ２Ｃ１Ｃ２／２（Ｃ１＋Ｃ２）＝−０．０３ｍＪ。
２．１４０．（ａ）Ｑ＝２Ｅ ２ＣＣ ０／（２Ｃ＋Ｃ ０）。（ｂ）Ｑ＝ＣＥ ２２／２、Ｅ１に依存しない。
２．１４１．Ｗ＝Ｗ １＋Ｗ ２＋Ｗ１２＝（ｑ １２／２Ｒ １＋ｑ ２２／２Ｒ ２＋ｑ１ｑ ２／Ｒ ２）／４πε ０。
２．１４２．（ａ）Ｗ＝３ｑ ２／２０πε０Ｒ。（ｂ）Ｗ１／Ｗ ２＝１／５。
２．１４３．Ｗ＝（１／ａ−１／ｂ）ｑ ２／８πεε０＝２７ｍＪ。
- 12 -

２．１４４．Ｗ＝ｑ ２／３２πε０ａ。
２．１４５．Ａ＝（１／Ｒ１−１／Ｒ２）ｑ２／８πε０。
２．１４６．Ａ＝ｑ（ｑ０＋ｑ／２）（１／Ｒ１−１／Ｒ２）／４πε０＝１．８Ｊ。
２．１４７．Ｆ＝σ ２／２ε０。
２．１４８．Ａ＝（１／ａ−１／ｂ）ｑ ２／８πε０。
２．１４９．（ａ）Ａ＝ｑ２（ｘ２−ｘ １）／２ε０Ｓ。（ｂ）Ａ＝ε ０ＳＵ２（ｘ２−ｘ１）／２ｘ１ｘ２。
２．１５０．（ａ）Ａ＝ＣＵ ２η／２（１−η） ２＝１．５ｍＪ。（ｂ）Ａ＝ＣＵ ２ηε（ε−１）／２（ε−η（ε−１））２＝０．８ｍＪ。
２．１５１．Δｐ＝ε０ε（ε−１）Ｕ２／２ｄ２＝７ｋＰａ＝０．０７気圧。
２．１５２．ｈ＝（ε−１）σ２／２ε０ερｇ。
２．１５３．Ｆ＝πＲε０（ε−１）Ｕ２／ｄ。
２．１５４．Ｎ＝ε ０（ε−１）Ｒ ２Ｕ２／４ｄ、角度αに依存しない。
２．１５５．Ｉ＝２πε０ａＥｖ＝０．５μＡ。
２．１５６．Ｉ≒２πε０（ε−１）ｒｖＵ／ｄ＝０．１１μＡ。
２．１５７．（ａ）５Ｒ／６。（ｂ）７Ｒ／１２。（ｃ）３Ｒ／４。
２．１５８．Ｒｘ＝Ｒ（３ １／２−１）。
２．１５９．Ｒ＝（１＋（１＋４Ｒ２／Ｒ１）１／２）Ｒ１／２＝６Ω。
２．１６０．Ｒ＝Ｒ ０／２。
２．１６１．Ｒ＝（ρ／２πｌ）ｌｎ（ｂ／ａ）。
２．１６２．Ｒ＝ρ（ｂ−ａ）／４πａｂ。ｂ→∞の時、Ｒ＝ρ／４πａ。
２．１６３．ρ＝４πΔｔａｂ／（ｂ−ａ）Ｃ・ｌｎη。
２．１６４．Ｒ＝ρ／２πａ。
２．１６５．（ａ）ｊ＝２ａｌＵ／ρｒ３。（ｂ）Ｒ≒ρ／４πａ。
２．１６６．（ａ）ｊ＝ｌＵ／２ρｒ ２ｌｎ（ｌ／ａ）。（ｂ）Ｒ１＝（ρ／π）ｌｎ（ｌ／ａ）。
２．１６７．Ｉ＝ＵＣ／ρε ０ε＝１．５μＡ。
２．１６８．ＲＣ＝ρε０ε。
２．１６９．σ＝Ｄ ｎ＝Ｄｃｏｓα、ｊ＝（Ｄ／ρε０ε）ｓｉｎα。
２．１７０．Ｉ＝ＵＳ（σ２−σ１）／ｄ・ｌｎ（σ２／σ１）＝５ｎＡ。
２．１７１．
２．１７２．ｑ＝ε ０（ρ ２−ρ１）Ｉ＝−１５？Ｃ。
２．１７３．ρ＝ε ０ｊα／σ０＝２．０ｍＣ／ｍ ３。
２．１７４．σ＝ε ０Ｕ（ε２ρ２−ε１ρ １）／（ρ１ｄ１＋ρ２ｄ２）。ε ２ρ２＝ε１ρ１の時、σ＝０。
２．１７５．ｑ＝ε ０Ｉ（ε２ρ２−ε１ρ １）。
２．１７６．（ａ）Ｒ１＝２α／πａ４。（ｂ）Ｅ＝２αＩ／πａ４。
２．１７７．ｔ＝−ＲＣｌｎ（１−Ｕ／Ｕ０）＝０．６μｓ。
２．１７８．ρ＝τ／ε０εｌｎ２＝１．４×１０１３Ω・ｍ。
２．１７９．Ｉ＝（Ｅ／Ｒ）（η−１）ｅ−ηｔ／ＲＣ。
２．１８０．Ｕ＝Ｅ／（η＋１）＝２．０Ｖ。
２．１８１．φ１−φ２＝（Ｅ １−Ｅ ２）Ｒ １／（Ｒ１＋Ｒ２）−Ｅ１＝−４Ｖ。
２．１８２．Ｒ＝Ｒ ２−Ｒ １。抵抗Ｒ２の電源で、Δφ＝０。
２．１８３．（ａ）Ｉ＝α。（ｂ）φ Ａ−φＢ＝０。
２．１８４．Ｉ＝（ａ／２Ｒ）２（（１＋４ＲＵ０／ａ２）１／２−１） ２。
２．１８５．Ｒ＝５Ω。
２．１８６．φＡ−φＢ＝（Ｅ １−Ｅ ２）Ｒ １／（Ｒ１＋Ｒ２）＝−０．５Ｖ。
２．１８７．Ｉ１＝ＥＲ２／（ＲＲ１＋Ｒ１Ｒ２＋Ｒ２Ｒ）＝１．２Ａ。Ｉ２＝Ｉ１Ｒ １／Ｒ ２＝０．８Ａ。
２．１８８．Ｕ＝Ｕ ０Ｒｘ／（Ｒｌ＋Ｒ０（ｌ−ｘ）ｘ／ｌ）。Ｕ（Ｒ≫Ｒ０）≒Ｕ ０ｘ／ｌ。
２．１８９．Ｅ＝（Ｅ１Ｒ ２−Ｅ２Ｒ １）／（Ｒ１＋Ｒ２）、Ｒｉ＝Ｒ１Ｒ ２／（Ｒ１＋Ｒ２）。
２．１９０．Ｉ＝（Ｒ１Ｅ ２−Ｒ２Ｅ １）／（ＲＲ１＋Ｒ１Ｒ２＋Ｒ２Ｒ）＝０．０２Ａ。電流の方向は左から右へ。図２．４４参照。
２．１９１．
（ａ）Ｉ１＝（Ｒ３（Ｅ１−Ｅ２）＋Ｒ２（Ｅ１＋Ｅ ３））／（Ｒ １Ｒ２＋Ｒ２Ｒ３＋Ｒ３Ｒ１）＝０．
０６Ａ。（ｂ）φＡ−φＢ＝Ｅ １−Ｉ １Ｒ １＝０．９Ｖ。
２．１９２．Ｉ＝（Ｅ（Ｒ２＋Ｒ３）＋Ｅ ０Ｒ３）／（Ｒ（Ｒ ２＋Ｒ ３）＋Ｒ２Ｒ３）。Ｒ１に依存せず。
２．１９３．φＡ−φＢ＝（Ｅ ２Ｒ３（Ｒ １＋Ｒ ２）−Ｅ１Ｒ１（Ｒ２＋Ｒ３））／（Ｒ１Ｒ２＋Ｒ２Ｒ３＋Ｒ３Ｒ１）。
２．１９４．Ｉ１＝（Ｒ３（φ １−φ ２）＋Ｒ２（φ１−φ３））／（Ｒ１Ｒ２＋Ｒ２Ｒ３＋Ｒ３Ｒ １）。
２．１９５．Ｉ＝Ｕ（Ｒ２−Ｒ１）／２Ｒ １Ｒ２＝１．０Ａ。電流は点１から点２へと流れる。
２．１９６．ＲＡＢ＝Ｒ２（Ｒ２＋３Ｒ１）／（Ｒ １＋３Ｒ２）＝７０Ω。
２．１９７．Ｕ＝（１−ｅ−２ｔ／ＲＣ）Ｅ／２。
２．１９８．（ａ）Ｑ＝４ｑ ２ Ｒ／３Δｔ＝２０ｋＪ。（ｂ）Ｑ＝ｌｎ２・ｑ ２Ｒ／２Δｔ＝０．１３
ＭＪ。
２．１９９．Ｒ＝３Ｒ０。
２．２００．
２．２０１．Ｑ＝Ｉ（Ｅ−Ｕ）＝０．６Ｗ。Ｐ＝−ＵＩ＝−２．０Ｗ。
２．２０２．Ｉ＝Ｕ／２Ｒ。Ｐ最大＝Ｕ２／４Ｒ。η＝１／２。
２．２０３．Ｐ＝ＵＩ≒５Ｗ。
２．２０４．Ｒｘ＝Ｒ１Ｒ２／（Ｒ１＋Ｒ２）＝１２Ω。
- 13 -

２．２０５．Ｒ＝Ｒ １Ｒ２／（Ｒ１＋Ｒ２）。Ｑ最大＝（Ｅ１Ｒ２＋Ｅ２Ｒ１）２／４Ｒ１Ｒ２（Ｒ１＋Ｒ２）。
２．２０６．Ｑ＝ＣＥ２Ｒ １／２（Ｒ１＋Ｒ２）＝６０ｍＪ。
２．２０７．（ａ）ΔＷ＝−ＣＵ ２ η／２（１−η）＝−０．１５ｍＪ。（ｂ）Ａ＝ＣＵ ２ η／２（１−η）＝０．１５ｍＪ。
２．２０８．ΔＷ＝−（ε−１）ＣＵ２／２＝−０．５ｍＪ。Ａ＝（ε−１）ＣＵ２／２＝０．５ｍＪ。
２．２０９．ｈ≒ε ０（ε−１）Ｕ ２／２ρｇｄ２。ここでρは水の密度。
２．２１０．（ａ）ｑ＝ｑ０ｅ−ｔ／ε０ερ。（ｂ）Ｑ＝（１／ａ−１／ｂ）ｑ０２／８πεε０
ε０ε。
２．２１１．（ａ）ｑ＝ｑ ０ （１−ｅ −τ／ＲＣ）＝０．１８ｍＣ。（ｂ）Ｑ＝（１−ｅ −２τ／ＲＣ）ｑ ０２／２
Ｃ＝８２ｍＪ。
２．２１２．（ａ）Ｉ＝（Ｕ ０／Ｒ）ｅ−２ｔ／ＲＣ）。（ｂ）Ｑ＝ＣＵ０２／４。
２．２１３．ｅ／ｍ＝ｌωｒ／ｑＲ＝１．８×１０１１Ｃ／ｋｇ。
２．２１４．ｐ＝Ｉｌｍ／ｅ＝０．４０μＮ・ｓ。
２．２１５．（ａ）ｔ＝ｅｎｌＳ／Ｉ＝３Ｍｓ≒３５昼夜。（ｂ）Ｆ＝ｅｎｌρＩ＝１．０ＭＮ。ここでρは抵抗率。
２．２１６．Ｅ＝（Ｉ／２πε ０ｒ）（ｍ／２ｅＵ） １／２＝０．３２ｋＶ／ｍ。Δφ＝ｒＥ／２＝０．
８０Ｖ。
（ｂ）ｊ＝（４／９）ε０ａ３／２（２ｅ／ｍ）
２．２１７．
（ａ）ρ（ｘ）＝−（４／９）ε０ａｘ−２／３。
１／２。
２．２１８．ｎ＝Ｉｄ／ｅ（ｕ０＋＋ｕ０−）ＵＳ＝２．３×１０８／ｃｍ３。
２．２１９．ｕ０＝ω０ｌ２／２Ｕ０。
２．２２０．（ａ）ｄｎ ｉ／ｄｔ＝Ｉ 飽和／ｅＶ＝６×１０ ９ ／（ｃｍ ３ ・ｓ）。（ｂ）ｎ＝（（ｄｎ ｉ／ｄｔ）／ｒ）１／２＝６×１０ ７／ｃｍ３。
２．２２１．ｔ＝（η−１）／（ｒ（ｄｎｉ／ｄｔ））１／２＝１３ｍｓ。
２．２２２．ｔ＝ε ０ηＵ／ｅ（ｄｎｉ／ｄｔ）ｄ ２＝４．６昼夜。
２．２２３．Ｉ＝ｅν０ｅ αｄ。
２．２２４．ｊ＝（ｅαｄ−１）ｅ（ｄｎ ｉ／ｄｔ）／α。
２．２２５．Ｂ＝ε ０μ０ｖＥｓｉｎα＝３．０ｐＴ。
２．２２６．（ａ）Ｂ＝μ ０ Ｉ／２Ｒ＝６．３μＴ。（ｂ）Ｂ＝μ ０Ｒ ２ Ｉ／２（Ｒ ２＋ｘ ２ ） ３／２＝２．
３μＴ。
２．２２７．Ｂ＝２ １／２μ ０Ｉ／４Ｒ＝２０μＴ。
２．２２８．Ｂ＝（μ０Ｉ／４πｒ ０）ｌｎ（１＋２π）。
２．２２９．Ｂ＝ｎμ０Ｉｔａｎ（π／ｎ）／２πＲ。ｎ→∞の時、Ｂ＝μＩ／２Ｒ。
２．２３０．Ｂ＝４μ０Ｉ／πｄｓｉｎφ＝０．１０ｍＴ。
２．２３１．Ｂ＝（π−φ＋ｔａｎφ）μ０Ｉ／２πＲ＝２８μＴ。
２．２３２．（ａ）Ｂ＝（μ０Ｉ／４π）（（２π−φ）／ａ＋φ／ｂ）。（ｂ）Ｂ＝（μ０Ｉ／４π）（３π／２ａ＋２ １／２／ｂ）。
２．２３３．Ｂ≒μ ０ｈＩ／４π２Ｒｒ．ここでｒは切り口からの距離。
２．２３４．Ｂ＝μ ０Ｉ／π２Ｒ＝２８μＴ。
２．２３５．
（ａ）Ｂ＝μ ０πＩ／４πＲ。
（ｂ）Ｂ＝（１＋３π／２）μ０Ｉ／４πＲ。
（ｃ）Ｂ＝（２＋π）μ０Ｉ／４πＲ。
２．２３６．（ａ）Ｂ＝（μ ０／４π）２Ｉ／ａ。（ｂ）Ｂ＝（μ０／４π）４Ｉ／ａ。
２．２３７．Ｂ＝２ １／２μ ０Ｉ／４πｌ＝２．０μＴ。
２．２３８．Ｂ１＝（１＋２１／２）μ０Ｉ／２ｌ。Ｂ２＝（１−２１／２）μ０Ｉ／２ｌ。
２．２３９．（ａ）Ｂ＝（４＋π ２） １／２μ ０Ｉ／４πＲ＝３０μＴ。（ｂ）Ｂ＝（２＋２π＋π ２） １／２
μ０Ｉ／４πＲ＝３４μＴ。
２．２４０．Ｂ＝（μ０／４π）Ｉ／Ｒ。リングへの電流からの寄与はゼロ。
２．２４１．（ａ）Ｂ＝μ０ｉ／２。（ｂ）平板の間、Ｂ＝μ ０ｉ。平板外、Ｂ＝０。
２．２４２．Ｂ（ｘ≦ｄ）＝μ０ｊｘ、Ｂ（ｘ≧ｄ）＝μ０ｊｄ。
２．２４３．直線導体のある半空間中で、Ｂ＝μ ０Ｉ／２πｒ、ここでｒは導線からの距離。他の半空間中では、Ｂ＝０。
２．２４４．Ｂ＝（μ０Ｉ／２πｒ）ｔａｎ（θ／２）。
２．２４５．μ０Ｉ。
２．２４６．Ｂ（ｒ≦Ｒ）＝μ０［ｊｒ］／２、Ｂ（ｒ≧Ｒ）＝μ０［ｊｒ］Ｒ ２／２ｒ２。
２．２４７．Ｂ＝μ ０［ｊｌ］／２。
２．２４８．ｊ（ｒ）＝（ｂ／μ０）（１＋ａ）ｒα−１。
２．２４９．Ｂ＝μ ０ｎＩ／（１＋（２Ｒ／ｌ）２）１／２。
２．２５０．Ｂ＝μ ０ｎＩ（１−ｘ／（ｘ２＋Ｒ２）１／２）／２。図１９参照。
２．２５１．Ｂ（ｒ＜Ｒ）＝（１−（ｈ／２πＲ） ２） １／２μ ０Ｉ／ｈ＝０．１２ｍＴ。Ｂ（ｒ＞Ｒ）- 14 -

＝μ ０Ｉ／２πｒ。
２．２５２．η≒Ｎ／π＝８００。
２．２５３．Φ＝（μ０Ｉ／４π＝１．０μＷｂ／ｍ。
２．２５４．Φ＝Φ ０／２＝μ０ｎＩＳ／２。
２．２５５．Φ＝（μ０／２π）ＩＮｈ・ｌｎ（η）＝８μＷｂ。
２．２５６．ｐｍ＝２πＲ ３Ｂ／μ０＝３０ｍＡ・ｍ２。
２．２５７．ｐｍ＝ＮＩｄ ２／２＝０．５Ａ・ｍ２。
２．２５８．（ａ）Ｂ＝μ ０ ＩＮ・ｌｎ（ｂ／ａ）／２（ｂ−ａ）＝７μＴ。（ｂ）ｐｍ＝πＩＮ（ａ２＋ａｂ＋ｂ２）／３＝１５ｍＡ・ｍ２。
２．２５９．ω ＝ｑＢ／２ｍ。
２．２６０．（ａ）Ｂ＝μ ０ σωＲ／２。（ｂ）ｐｍ＝πσωＲ ４ ／４。
２．２６１．Ｂ＝２μ０σωＲ／３＝２９ｐＴ。
２．２６２．ｐｍ＝ｑωＲ ２／５、ｐｍ／Ｍ＝ｑ／２ｍ。
２．２６３．Ｂ＝０。
２．２６４．Ｆ磁気／Ｆ電気＝μ ０ε０ｖ２＝（ｖ／ｃ）２＝１．００×１０−６。
２．２６５．（ａ）Ｆ 単位 ＝μ ０ Ｉ ２／４Ｒ＝０．２０ｍＮ／ｍ。（ｂ）Ｆ 単位＝μ ０Ｉ ２ ／πｌ＝０．１３
ｍＮ／ｍ。
２．２６６．（Ｆ単位）最大＝μ ０Ｉ２／４πａ。
２．２６７．Ｂ＝πｄ２σ ｍ／４ＲＩ＝８ｋＴ。ここでσｍは銅の強度限界。
２．２６８．Ｆ＝ｎＩ｜Φ２−Φ１｜。
２．２６９．Ｆ＝πμ０ｎ ２Ｉ ２Ｒ２／２＝１２ｍＮ。
２．２７０．Ｂ＝（２ρｇＳ／Ｉ）ｔａｎθ＝１０ｍＴ。ここでρは銅の密度。
２．２７１．（ａ）Ｎ＝（μ ０／π）ＩＩ ０（ｂ−ａ）。（ｂ）Ｎ＝（μ ０／π）ＩＩ ０（ｂ−ａ）ｓｉｎ
φ。
２．２７２．Ｂ＝Δｍｇｌ／ＮＩＳ＝０．４Ｔ。
（ｂ）Ａ＝（μ０ａＩＩ ０／π）
２．２７３．
（ａ）Ｆ＝２μ０ＩＩ０／π（４η２−１）＝０．４０μＮ。
ｌｎ（（２η＋１）／（２η−１））＝０．１０μＪ。
２．２７４．Ａ単位＝−（μ０／２π）Ｉ２ｌｎ（η）＝−５．０μＪ／ｍ。
２．２７５．Ｒ≒（μ０／ε０）１／２ｌｎ（η）／π＝０．３６ｋΩ。
２．２７６．Ｆ単位＝μ０Ｉ ２／π２Ｒ＝０．５ｍＮ／ｍ。
２．２７７．Ｆ単位＝μ０Ｉ ２ｌ／２π（ａ ２−ｂ ２）。
２．２７８．Ｆ単位＝（μ０Ｉ１Ｉ２／２πｂ）ｌｎ（１＋ｂ／ａ）
２．２７９．Ｆ単位＝Ｂ２／２μ０。
２．２８０．３つ全てで、Ｆ 単位＝（Ｂ １２−Ｂ ２２）／２μ ０。力は右に作用する。導体平面内の電流は
図面の方向。
２．２８１．Δｐ＝ＩＢ／ａ＝０．５ｋＰａ。
２．２８２．ｐ＝μ ０Ｉ２／８π２Ｒ ２＝１６ｍＰａ。
２．２８３．ｐ＝μ ０ｎ２Ｉ２／２＝１．０ｋＰａ。
２．２８４．Ｉ限界＝（２Ｆ限界／μ０ｎＲ）１／２＝１．４ｋＡ。
２．２８５．Ｐ＝ｖ ２Ｂ２ｄ２Ｒ／（Ｒ＋ρｄ／Ｓ）２。Ｒ＝ρｄ／Ｓの時、電力Ｐ＝Ｐ最大＝ｖ２Ｂ２ｄＳ／４ρ。
２．２８６．Ｕ＝μ ０Ｉ２／４π２Ｒ ２ｎｅ＝＝２ｐＶ。
２．２８７．ｎ＝ｊＢ／ｅＥ＝２．５×１０２８／ｍ３。ほぼ１：１。
２．２８８．ｕ０＝１／ηＢ＝３．２×１０−３ｍ２／（Ｖ・ｓ）。
２．２８９．（ａ）Ｆ＝０（ｂ）Ｆ＝μ０Ｉｐｍ／２πＲ２。Ｆ↓↑Ｂ。（ｃ）Ｆ＝μ０Ｉｐｍ／２πｒ ２。
Ｆ↓↑ｒ。
２．２９０．Ｆ＝３μ０Ｒ ２Ｉｐｍｘ／２（Ｒ２＋ｘ ２）５／２。
２．２９１．Ｆ＝３μ０ｐ １ｍｐ２ｍ／２πｌ４＝９ｎＮ。
２．２９２．Ｉ ≒２Ｂｘ３／μ０Ｒ２＝０．５ｋＡ。
２．２９３．Ｂ ＝Ｂ （ｃｏｓ２α＋μ２ｓｉｎ ２α） １／２。
２．２９４．（ａ）∫ＨｄＳ＝（（μ−１）／μμ ０ ）πＲ ２ Ｂｃｏｓθ。（ｂ）∫Ｂｄｒ＝（１−μ）Ｂｌｓｉｎθ。
２．２９５．（ａ）Ｉ 表面 ＝χＩ。（ｂ）Ｉ 体積 ＝χＩ。逆側に。
２．２９６．（ａ）Ｊ＝（ａＢ０／μ０）ｒ２。
（ｂ）ｊ ＝（２ａＢ０／μ０）ｒ。
２．２９７．図２０参照。
２．２９８．Ｂ＝μ ０μ１μ２Ｉ／（μ１＋μ２）πｒ。
２．２９９．Ｂ＝２Ｂ０μ／（１＋μ）。
２．３００．Ｂ＝３Ｂ０μ／（２＋μ）。
２．３０１．（ａ）全てでＢ＝０。板の外部でＨ＝０，板の内部でＨ＝−Ｊ。（ｂ）板の外部でＢ＝０。板の内部でＨ＝０，Ｂ＝μ０Ｊ。
２．３０２．Ｈ保持＝ＮＩ／ｌ＝６ｋＡ／ｍ。
２．３０３．Ｈ≒ｂＢ／μ０πｄ＝０．１０ｋＡ／ｍ。
２．３０４．Ｂ≒μ ０Ｊｒ／（１＋ｂＪｒ／２πａＨ保持）＝１．０Ｔ。
２．３０５．ｂ≪Ｒの時、μ≒２πＲＢ／（μ０ＮＩ−ｂＢ）＝３７００。
- 15 -

２．３０６．Ｈ＝０．０６ｋＡ／ｍ。μ 最大＝１００００。
２．３０７．Ｈ≒０．２６ｋＡ／ｍ、Ｂ≒１．２５Ｔより、μ＝Ｂ／μ０Ｈ＝４０００。
２．３０８．Ｆ≒χＳＢ２／２μ０。
２．３０９．（ａ）χ ｍ＝１／（４ａ） １／２。（ｂ）χ＝μ ０Ｆ 最大（ｅ／ａ） １／２ ／ＶＢ ０ ２＝３．６×１
０−４。
２．３１０．Ａ≒χＶＢ２／２μ０。
２．３１１．Ｆ単位＝μ０χｎ２Ｉ２／２。この力は上方向を向いている。
２．３１２．Ｂ＝（μ０Ｉ／２ａ）（１−（１＋４ｌ２／ａ ２） −３／２）。
２．３１３．（ａ）ｉ＝ｈＩ／πｒ２。（ｂ）Ｆ単位＝μ０Ｉ ２／πｈ。
２．３１４．Ｅｉ＝（π／２）ａ２Ｂωｓｉｎωｔ。
２．３１５．（ａ）Ｅｉ＝２Ｂｖ（ｙ／ｋ） １／２。（ｂ）Ｅ ｉ＝Ｂｙ（８ａ／ｋ） １／２。
２．３１６．（ａ）Δφ＝ω ２ａ ２ｍ／２ｅ＝３．０ｎＶ。（ｂ）Δφ≒ωＢａ ２／２＝２０ｍＶ。ここでｍとｅは電子の質量と荷電量。
２．３１７．Ｅｉ＝μ０ｌｖＩ／２πｒ。
２．３１８．Ｅｉ＝μ０Ｉａ２ｖ／２πｘ（ｘ＋ａ）。
２．３１９．ｖ＝ｍｇＲ／Ｂ ２ｌ２。
２．３２０．ａ＝ｇ／（１＋ｌ２Ｂ ２Ｃ／ｍ）。
２．３２１．＜Ｐ＞＝（πωａ２Ｂ）２／８Ｒ。
２．３２２．Ｎ（ｔ）＝（ωＳ２Ｂ ２／Ｒ）ｓｉｎ ２ωｔ。
２．３２３．Ｂ＝ｑＲ／２ＮＳ＝０．５Ｔ。
２．３２４．ｑ＝（μ０ａＩ／２πＲ）ｌｎ（（ｂ＋ａ）／（ｂ−ａ））。Ｌに依存しない。
２．３２５．
（ａ）Ｉ＝（μ ０Ｉ０ｖ／２πＲ）ｌｎ（ｂ／ａ）。
（ｂ）Ｆ＝（μ０Ｉ０／２π）２ｌｎ ２（ｂ／ａ）・ｖ／Ｒ。
２．３２６．（ａ）ｓ＝ｖ０ｍＲ／ｌ２Ｂ２。（ｂ）Ｑ＝ｍｖ０２／２。
２．３２７．ｖ＝（１−ｅ−αｔ／ｍ）Ｆ／α。ここでα＝ｌ２Ｂ２／Ｒ。
２．３２８．Ｉｍ＝ωＢ０（ａ−ｂ）／４ρ＝０．５Ａ。
２．３２９．Ｅｉｍ＝πａ２ＮωＢ０／３。
２．３３０．Ｅｉ＝３ａｌＢｔ２／２＝１２ｍＶ。
２．３３１．Ｅ＝Ｂ ０ＮＳωｃｏｓ２ωｔ。
２．３３２．Ｅ（ｒ＜ａ）＝μ０ｎＩｒ／２。Ｅ（ｒ＞ａ）＝μ ０ｎＩａ２／２ｒ。
２．３３３．Ｉ＝μ ０ｎＳｄＩ／４ρ＝０．２Ａ。ここでρは銅の抵抗率。
２．３３４．ω＝−（ｑ／２ｍ）Ｂ（ｔ）。
２．３３５．Ｑ＝ａ ２τ３／３Ｒ。
２．３３６．Ｉ＝（ｂ２−ａ２）βｈ／４ρ。
２．３３７．ｌ＝（４πｌ０Ｌ／μ ０）１／２≒１００ｍ。
２．３３８．Ｌ＝（μ０／４π）ｍＲ／ｌρρ ０。ここでρとρ０は銅の抵抗率と密度。
２．３３９．ｔ＝−（Ｌ／Ｒ）ｌｎ（１−η）＝１．５ｓ。
２．３４０．τ＝（μ０／４π）ｍ／ｌρρ０＝０．７ｍｓ。ここでρとρ０は銅の抵抗率と密度。
２．３４１．Ｌ単位＝（μμ０／２π）ｌｎ（η）＝０．２６μＨ／ｍ。
２．３４２．Ｌ＝（μ０／２π）μＮ２ａｌｎ（１＋ａ／ｂ）。
２．３４３．Ｌ単位＝μ０ｈ／ｂ＝２５ｎＨ／ｍ。
２．３４４．Ｌ単位（μ０／π）ｌｎ（η）。正確な値はＬ単位＝（μ０／４π）（１＋４ｌｎ（η））。
２．３４５．Ｉ＝πａ２Ｂ／Ｌ＝１５Ａ。
２．３４６．（ａ）Ｉ＝πａ ２Ｂ／Ｌ。（ｂ）Ａ＝π ２ａ４Ｂ２／２Ｌ。
２．３４７．Ｉ＝（１＋η）Ｉ０＝２Ａ。
２．３４８．Ｉ＝（１＋（η−１）ｅ−ｔηＲ／Ｌ）Ｅ／Ｒ。
２．３４９．Ｉ＝（１−ｅ−ｔＲ／２Ｌ）Ｅ／Ｒ。
２．３５０．Ｉ１＝ＥＬ２／Ｒ（Ｌ１＋Ｌ２）。Ｉ２＝ＥＬ １／Ｒ（Ｌ１＋Ｌ ２）。
２．３５１．Ｌ１２単位＝μ０μｎ１ｎ２Ｓ。
２．３５２．Ｌ１２＝（μ０ｂ／２π）ｌｎ（１＋ａ／ｌ）。
２．３５３．Ｌ１２＝（μ０μｈＮ／２π）ｌｎ（ｂ／ａ）。
２．３５４．Ｌ１２＝（μ０／２π）Ｎ１Ｎ ２（ｂ−ａ）ｌｎ（ｂ／ａ）。
２．３５５．（ａ）Ｌ１２≒μ ０πａ ２／２ｂ。（ｂ）Φ２１＝μ０πａ２Ｉ／２ｂ。
２．３５６．Ｌ１２＝Ｌ／３。
２．３５７．Φ＝（μ０／２π）ａＩｌｎ（１＋ａ／ｂ）。
２．３５８．Ｂ＝μ ０ａ２Ｉ／４ｒ３。
２．３５９．ｐｍ＝２ａＲｑ／μ０Ｎ。
２．３６０．Ｌ１２≒μ０πａ４／２ｌ３。
２．３６１．Ｉ２＝−（１−ｅｘｐ（−ｔＲ／Ｌ２））αＬ １２／Ｒ。
２．３６２．Ｑ＝ＬＥ２／２Ｒ２（１＋Ｒ ０／Ｒ）＝３μＪ。
２．３６３．Ｗ単位＝μμ０Ｉ２／１６π。
２．３６４．Ｗ＝ＮΦＩ／２＝０．５Ｊ。
２．３６５．Ｗ≒ＢＨπ２ａ２ｂ＝２．０Ｊ。ここでＨ＝ＮＩ／２πｂ。
（ｂ）Ｌ≒μ０ＳＮ２／（ｂ＋πｄ／μ）＝０．
２．３６６．
（ａ）Ｗ間隙／Ｗ 磁性体≒μｂ／πｄ＝３．０。
１５Ｈ。
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２．３６７．Ｌ単位＝（１／４＋ｌｎ（ｂ／ａ））μ０／２π。
２．３６８．Ｗ単位＝μ０λ ２ω ２ａ２／８π。
２．３６９．Ｅ＝Ｂ／（ε０μ０）１／２＝３×１０８Ｖ／ｍ。
２．３７０．ｗ磁場／ｗ電場＝ε ０μ０ω２ａ４／ｌ２＝１．１×１０−１５。
２．３７１．
２．３７２．（ａ）Ｌ全体＝２Ｌ。（ｂ）Ｌ全体＝Ｌ／２。
２．３７３．Ｌ全体＝４Ｌ。
２．３７４．Ｌ１２＝（Ｌ１Ｌ２）１／２。
２．３７５．（ａ）Ｉ ＝Ｉ／２。（ｂ）ΔＷ＝−ＬＩ２／２。
２．３７６．
２．３７７．Ｗ１２＝（μ０πａ２／２ｂ）Ｉ１Ｉ ２ｃｏｓθ。
２．３７８．（ａ）ｊ変位＝−ｊ。（ｂ）Ｉ変位＝ｑ／ε０ερ。
２．３７９．導体電流以外に、変位電流の部分もある。
２．３８０．Ｅｍ＝Ｉｍ／ε０ωＳ＝７Ｖ／ｃｍ。
２．３８１．Ｈ＝Ｈ ｍｃｏｓ（ωｔ＋α）。ここでＨ ｍ＝（σ ２＋（ε ０εω） ２） １／２ ｒＵ ｍ ／２ｄ、ｔａｎα＝ε０εω／σ。
２．３８２．ｊ変位（ｒ＜Ｒ）＝ε０（ｄ２Ｂ／ｄｔ ２）ｒ／２、ｊ 変位（ｒ＞Ｒ）＝ε０（ｄ ２Ｂ／ｄｔ２）
Ｒ２／２ｒ。ここで（ｄ２Ｂ／ｄｔ２）＝μ０ｎＩｍω２ｓｉｎωｔ。
２．３８３．（ａ）ｊ変位＝２ｑｖ／４πｒ３。（ｂ）ｊ変位＝−ｑｖ／４πｒ３。
２．３８４．ｊ 変位＝ε ０ ［ωＥ］。ここでＥは系の中における電界強度。ｊ 変位＝（３２ε ０２ ｍ ２ω ７／πｑ）１／３。
２．３８５．Ｈ＝ｑ［ｖｒ］／４πｒ３。
２．３８６．（ａ）∇×Ｅ＝−∂Ｂ／∂ｔ≠０。（ｂ）∇×Ｅ＝−∂Ｂ／∂ｔ≠０。
２．３８７．∇×Ｈ＝ｊ＋∂Ｄ／∂ｔ→０＝∇・ｊ＋∂（∇・Ｄ）／∂ｔ→∇・Ｄ＝ρ。
２．３８８．
２．３８９．∇×Ｅ＝−［ωＢ］
２．３９０．Ｅ ＝［ｖＢ］
２．３９１．σ＝ε ０ｖＢ＝０．４０ｐＣ／ｍ ２。
２．３９２．Ｐ＝ε ０（１−１／ε）［ｖＢ］、σ ＝ε０（１−１／ε）ｖＢ。
２．３９３．ρ＝−２ε０ωＢ＝−０．０８ｎＣ／ｍ３。σ＝ε０ａωＢ＝２ｐＣ／ｍ ２。
２．３９４．（ａ）Ｐ＝ε ０（１−１／ε）Ｂωｒ。（ｂ）λ ＝ ２π ε ０（１−１／ε）Ｂωａ ２。
２．３９５．Ｂ＝μ ０ｑ［ｖｒ］／４πｒ３。
２．３９６．
２．３９７．λ ＝ｖ０Ｉ／ｃ２＝１１ａＣ／ｍ。Ｎ１＝λ ／ｅ＝７０／ｍ。ａ＝アト＝１０−１８
２．３９８．Ｂ ＝ａ［ｒｖ］／ｃ２ｒ２、ここでｒは軸からの距離。
２．３９９．
２．４００．（ａ）Ｅ ＝Ｅ（（１−β ２ｃｏｓ ２α）／（１−β ２）） １／２＝９ｋＶ／ｍ、ｔａｎα ＝ｔａｎα／（１−β ２） １／２、α ≒５１°。（ｂ）Ｂ ＝βＥｓｉｎα／ｃ（１−β ２） １／２＝１４μ
Ｔ。
２．４０１．（ａ）Ｅ ＝βＢｓｉｎα／ｃ（１−β ２） １／２＝１．４ｎＶ／ｍ。（ｂ）Ｂ ＝Ｂ（（１−β ２ｃｏｓ２α）／（１−β ２））１／２＝０．９Ｔ、α ≒５１°。
２．４０２．
２．４０３．Ｂ ＝Ｂ（１−（Ｅ／ｃＢ）２） １／２≒０．１５ｍＴ。
２．４０４．Ｅ＝Ｅ ｘｉ＋Ｅｙｊ＝（ｑｒ／４πε ０ｒ３）（１−β２）／（１−β２ｓｉｎ ２θ）３／２。
２．４０５．ｖ＝（９εｌｅ／２ｍ）１／３＝１６ｋｍ／ｓ。
２．４０６．ｔａｎα＝εｌ ２（ｍ／３２ｅＵ ３） １／２。
２．４０７．ｘ＝２Ｅ０／ε。
２．４０８．ｔ＝（Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ２））１／２／ｃｅＥ＝３．０ｎｓ。
２．４０９．ｔａｎθ＝（１−（ｖ０／ｃ）２）１／２ｅＥｔ／ｍｖ ０。ここでｅとｍは陽子の荷電量と質量。
２．４１０．α＝ａｒｃｓｉｎ（ｄＢ（ｑ／２ｍＵ）１／２）＝３０°。
２．４１１．（ａ）ｖ＝ｒｅＢ／ｍ＝１００ｋｍ／ｓ、Ｔ＝２πｍ／ｅＢ＝６．５μｓ。（ｂ）ｖ＝ｃ／（１＋（ｍｃ／ｒｅＢ） ２）１／２＝０．５１ｃ、Ｔ＝２πｍ／ｅＢ（１−（ｖ／ｃ） ２） １／２＝４．
１ｎｓ。
２．４１２．Ｋ＝ηｍｃ２。各々５ｋｅＶと９ｋｅＶ。
２．４１３．Δｌ＝２π（２ｍＵ／ｅＢ ２）１／２ｃｏｓα＝２．０ｃｍ。
２．４１４．ｑ／ｍ＝８π２Ｕ／ｌ ２（Ｂ ２−Ｂ １） ２。
２．４１５．ｒ＝２ρ｜ｓｉｎ（φ／２）｜、ここでρ＝（ｍｖ／ｅＢ）ｓｉｎα、φ＝ｌｅＢ／ｍ
ｖｃｏｓα。
２．４１６．ｒ最大＝ａｅｘｐ（ｖ０／ｂ）、ここでｂ＝μ０ｅＩ／２πｍ。
２．４１７．ｖ＝Ｕ／ｒＢｌｎ（ｂ／ａ）、ｑ／ｍ＝Ｕ／ｒ２Ｂ２ｌｎ（ｂ／ａ）
２．４１８．（ａ）ｙｎ＝２π２ｍＥｎ ２／ｑＢ２。（ｂ）ｔａｎα＝ｖ０Ｂ／２πＥｎ。
２．４１１．ｚ＝ｌ・ｔａｎ（（ｑＢ ２／２ｍＥ）ｙ） １／２。ｚ≪ｌの時、ｙ＝（２ｍＥ／ｑｌ ２Ｂ ２）
ｚ ２。
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２．４２０．Ｆ＝ｍＥＩ／ｑＢ＝２０μＮ。
２．４２１．Δｌ＝（２πｍＥ／ｅＢ２）ｔａｎφ＝６ｃｍ。
２．４２２．ｑ／ｍ＝２ＥΔｘ／ａ（ａ＋２ｂ）Ｂ２。
２．４２３．（ａ）ｘ＝ａ（ωｔ−ｓｉｎωｔ）、ｙ＝ａ（１−ｃｏｓωｔ）。ここでａ＝ｍＥ／ｑＢ２、ω＝ｑＢ／ｍ。図２１参照。
（ｂ）ｓ＝８ｍＥ／ｑＢ２。（ｃ）＜ｖｘ＞＝Ｅ／Ｂ。
２．４２４．Ｕ＝２（ｅ／ｍ）（μ ０Ｉ／４π） ２ｌｎ（ａ／ｂ）。
２．４２５．Ｂ≦（８ｍＵ／ｅ）１／２ｂ／（ｂ ２−ａ２）。
２．４２６．ｙ＝（ａ／２ω）ｔｓｉｎωｔ、ｘ＝（ａ／２ω ２）（ｓｉｎωｔ−ωｔｃｏｓωｔ）。
ここでａ＝ｑＥｍ／ｍ。より戻した螺旋型。
２．４２７．Ｕ≧２π２ν ２ｍｒΔｒ／ｅ＝０．１０ＭＶ．
２．４２８．（ａ）Ｋ＝（ｅｒＢ） ２／２ｍ＝１２ＭｅＶ。（ｂ）ν 最小＝（Ｋ／２ｍ） １／２ ／πｒ＝２０ＭＨｚ。
２．４２９．（ａ）ｔ＝π ２ νｍｒ ２／ｅＵ＝１７μｓ。（ｂ）ｓ≃４π ３ν ２ ｍｒ ３ ／３ｅＵ＝０．７４
ｋｍ。
２．４３０．ｎ＝２πνＷ／ｅＢｃ２＝９。
２．４３１．ω＝ω ０／（１＋ａｔ）１／２。ここでω０＝ｑＢ／ｍ、ａ＝ｑＢΔＷ／πｍ２ｃ２。
２．４３２．ｖ＝ｒｑＢ／２ｍ。ρ＝ｒ／２。
２．４３３．Ｎ＝Ｗ／ｅΦ＝５×１０６回転。ｓ＝２πｒＮ＝８０００ｋｍ。
２．４３４．
２．４３５．ｒ０＝（２Ｂ ０／３ａ）１／２。
２．４３６．ｄＥ／ｄｒ＝ｄ（Ｂ（ｒ０）−＜Ｂ＞／２）／ｄｔ＝０。
２．４３７．ΔＷ＝２πｒ２ｅＢ／Δｔ＝０．１ｋｅＶ。
２．４３８．（ａ）Ｗ＝（（１＋（ｒｅＢ／ｍｃ）２）１／２−１）ｍｃ２。（ｂ）ｓ＝ＷΔｔ／ｒｅＢ。
３．１．（ａ）図２２参照。（ｂ）（ｖｘ／Ａω） ２＋（ｘ／Ａ）２＝１、ａｘ＝−ω ２ｘ。
３．２．（ａ）振幅はＡ／２。周期はＴ＝π／ω。図２３参照。（ｂ）ｖ ｘ ２＝４ω ２ｘ（Ａ−ｘ）。図２４参照。

３．３．ａ＝（Ａ２＋Ｂ２）１／２。
３．４．ｘ＝（ｘ ０２＋（ｖ ｘ０／ω） ２） １／２ｃｏｓ（ωｔ−π／４）＝−２９ｃｍ。ｖｘ＝−８１ｃｍ／ｓ。
３．５．ω＝（（ｖ １２−ｖ ２２）／（ｘ ２２−ｘ １２）） １／２。ａ＝（（ｖ １２ｘ ２２−ｖ ２２ｘ１２）／（ｖ １２−ｖ ２２）） １／２。
３．６．（ａ）＜ｖ＞＝３ａ／Ｔ＝０．５０ｍ／ｓ。（ｂ）＜ｖ＞＝６ａ／Ｔ＝１．０ｍ／ｓ。
３．７．両方の場合でＡ＝７。
３．８．ｖ最大＝２．７３ａω。
３．９．４７．９／ｓ、５２．１／ｓ、１．５ｓ。
３．１０．ν １ ＝（３ν １−ν ２）／２＝１９Ｈｚ、ν ２＝（３ν ２−ν １）／２
＝２３Ｈｚ。
３．１１．（ａ）ｘ ２／Ａ ２＋ｙ２／Ｂ２＝１。時計回り。（ｂ）ａ＝−ω２ｒ。
３．１２．（ａ）ｙ ２ ＝４ｘ ２ （１−ｘ ２ ／ａ ２ ）。図２５参照。（ｂ）ｙ＝ａ（１−２ｘ２／ａ２）。図２６参照。
３．１３．Ｔ＝２π（ｍ／ａ ２Ｕ０）１／２。
３．１４．Ｔ＝４πａ（２ｍａ）１／２／ｂ２。
３．１５．Ｔ＝π（ｍｌ／Ｆ）１／２＝０．２ｓ。
３．１６．Ｔ＝２π（ηｌ／ｇ（η−１））１／２＝１．１ｓ。
３．１７．Ｔ＝２π／（ｇ／ｌ＋２ｋ／ｍ）１／２＝０．９ｓ。
３．１８．Ｔ＝２（ｌ／ｇ） １／２（π／２＋ａｒｃｓｉｎ（α／β））。
３．１９．Ｔ＝２π（Δｌ／ｇ）１／２＝０．５２ｓ。
３．２０．Ｔ＝π（２Ｖ／Ｓｇ）１／２＝０．８ｓ。
３．２１．Ｔ＝２π（Ｖ／ｇＳ（１＋ｃｏｓθ））１／２＝０．８３ｓ。
３．２２．Ｔ＝（４πｍ／ρｇｒ２）１／２＝２．５ｓ。
３．２３．平行の場合、２倍大きくなる。
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３．２４．Ｔ＝２π（η（１−η）ｍ／κ）１／２＝０．１３ｓ。
３．２５．Ｔ＝２π（ｍ／（κ１＋κ２））１／２。
３．２６．Ｔ＝２π（ｍ／κ）１／２。ここでκ＝κ１κ２／（κ１＋κ ２）。
３．２７．Ｔ＝π（２ｌ／ｋｇ）１／２＝１．５ｓ。
３．２８．ｌ＝（π／２）ｖ（ｍ／κ） １／２。
３．２９．ｔ＝π／（ａｇｃｏｓα）１／２。
３．３０．ｈ＝ｌｃｏｓωｔ。ここでω＝（ｇ／ｌ）１／２。ｔ０＝（π／２）（ｌ／ｇ） １／２。
３．３１．（ａ）ｄ ２ｘ／ｄｔ ２＋（ｇ／Ｒ）ｘ＝０。ここでｘは地球の中心からの物体の変位量、Ｒは物体の半径、ｇ＝９．８０７ｍ／ｓ ２。（ｂ）τ＝π（Ｒ／ｇ） １／２＝４２分。（ｃ）ｖ＝（ｇＲ） １／２＝７．９ｋｍ／ｓ。
３．３２．Ｔ＝２π（ｌ／｜ｇ−ａ｜）１／２。ここで｜ｇ−ａ｜＝（ｇ ２＋ａ ２−２ｇａｃｏｓβ）１／２。
３．３３．Ｔ＝２π／（κ／ｍ−ω２）１／２＝０．２１ｓ。
３．３４．Ｔ＝２π／（κ／ｍ−ω２）１／２＝０．７ｓ。ω≧（κ／ｍ）１／２＝１０ラジアン／ｓ。
３．３５．ｋ＝４π ２ａ／ｇＴ２＝０．４。
３．３６．（ａ）θ＝３．０°ｃｏｓ３．５ｔ。（ｂ）θ＝４．５°ｓｉｎ３．５ｔ。（ｃ）θ＝５．
４°ｃｏｓ（３．５ｔ＋１．０）。ここでｔは秒単位。
３．３７．Ｆ＝（ｍ １＋ｍ ２）ｇ±ｍ１ａω２＝６０Ｎ，４０Ｎ。
（ｂ）ａ＝（ω（２ｈ／ｇ）１／２−１）ｇ／ω２＝２０ｃｍ。
３．３８．
（ａ）ａ最小＝ｇ／ω２＝８ｃｍ。
（ｂ）Ｔ最大＝２ｍｇ、
３．３９．
（ａ）ｙ＝（１−ｃｏｓωｔ）ｍｇ／κ。ここでω＝（κ／ｍ）１／２。
Ｔ最小＝０。
３．４０．ｓ＝２Ｆ／κ、ｔ＝π（ｍ／κ）１／２。
３．４１．（ｘ／ｒ ０）２＋α（ｙ／ｖ ０）２＝１。
３．４２．ｔ＝πｎ（ｍ／κ）１／２。ここでｎ＝１，３，５，・・。
３．４３．（ａ）ｙ＝（１−ｃｏｓωｔ）ａ／ω ２。（ｂ）ｙ＝（ωｔ−ｓｉｎωｔ）α／ω ３。ここでω＝（κ／ｍ）１／２。
３．４４．Δｈ最大＝ｍｇ／κ＝１０ｃｍ。Ｅ＝ｍ ２ｇ２／２κ＝０．２４Ｊ。
３．４５．ａ＝（ｍｇ／κ）（１＋２ｈκ／ｍｇ）１／２。Ｅ＝ｍｇｈ＋ｍ２ｇ ２／２κ。
３．４６．ａ＝（ｍｇ／κ）（（（ｍ＋Ｍ）／ｍ）２＋２κｈ／（（ｍ＋Ｍ）ｇ）） １／２。
３．４７．ｖ Ｃ＝π（ｇｌ／８）１／２。
３．４８．ｘ＝（ｖ ０／ω）（１−ｃｏｓωｔ）、ｙ＝（ｖ ０／ω）ｓｉｎωｔ。中心ｘ ０＝ｖ ０／ω、
ｙ０＝０、半径ｖ ０／ωの円。（ｘ−ｖ ０／ω）２＋ｙ２＝（ｖ０／ω） ２。
３．４９．Ｔ＝２π（２ｌ／３ｇ）１／２。
３．５０．ｘ＝（１±（１−ｌ２／３ｌ０２）１／２）ｌ０／２＝１０ｃｍ、３０ｃｍ。
３．５１．ω＝（３ｇ／２ｌ＋３κ／ｍ）１／２。
３．５２．Ｔ＝２π（ｍ／３κ）１／２。
３．５３．（ａ）Ｔ＝２π（ｌ／３ｇ）１／２＝１．１ｓ。（ｂ）Ｅ＝ｍｇｌα２／２＝０．０５Ｊ。
３．５４．φ ｍ＝φ０（１＋ｍＲ２（ｄφ０／ｄｔ） ２／２ｋφ０２） １／２。Ｅ＝ｋφ ｍ２／２。
３．５５．＜Ｋ＞＝ｍｇｌθ ０２／８＋ｍｌ２（ｄθ０／ｄｔ）２／１２。
３．５６．Ｔ＝４π／ω。
３．５７．Ｉ＝ｍｌ ２（ω ２２−ｇ／ｌ）／（ω １２−ω２２）＝０．８ｇ・ｍ ２。
３．５８．ω＝（（Ｉ１ω １２＋Ｉ２ω２２）／（Ｉ１＋Ｉ２））１／２。
３．５９．ｘ＝ｌ／（１２） １／２。
３．６０．
３．６１．
３．６２．（ａ）Ｔ＝２π（２Ｒ／ｇ）１／２。（ｂ）Ｔ＝２π（３Ｒ／２ｇ）１／２。
３．６３．ｌ 長＝ｈ／２。Ｔ＝π（２ｈ／ｇ） １／２。
３．６４．（１＋２（Ｒ／ｌ）２／５）１／２倍大きくなる。
３．６５．ω ０＝（３ａω ２／２ｌ）１／２。
３．６６．ω ０＝（κ／（ｍ＋Ｉ／Ｒ２））１／２。
３．６７．ω ０＝（２ｍｇｃｏｓα／（ＭＲ＋２ｍＲ（１＋ｓｉｎα）））１／２。
３．６８．Ｔ＝２π（３（Ｒ−ｒ）／２ｇ）１／２。
３．６９．Ｔ＝π（３ｍ／２κ）１／２。
３．７０．ω＝（（１＋ｍ／Ｍ）ｇ／ｌ）１／２。
３．７１．ω ０＝（κ／μ）１／２。ここでμ＝ｍ１ｍ２／（ｍ １＋ｍ ２）。
３．７２．
（ａ）ω＝（κ／ｍ）１／２＝６／ｓ（ｂ）Ｅ＝μｖ１２／２＝５ｍＪ、ａ＝ｖ１／ω＝２ｃｍ。
ここでμ＝ｍ １ｍ ２／（ｍ１＋ｍ２）。
３．７３．Ｔ＝２π（Ｉ ／ｋ）１／２。ここでＩ ＝Ｉ １Ｉ ２／（Ｉ１＋Ｉ２）。
３．７４．ω ２／ω １＝（１＋２ｍ Ｏ／ｍ Ｃ） １／２≒１．９。ここでｍ Ｏとｍ Ｃは酸素原子の質量と炭素原子の質量。
３．７５．（ａ）Ｔ＝２π（ｍ／κ） １／２ ＝０．２８ｓ。（ｂ）ｎ＝（ｘ ０ −Δ）／４Δ＝３．５振動数。ここでΔ＝ｋｍｇ／κ。
（ｂ）ｔｎ＝（ａｒｃｔａｎ（ω／β）＋ｎπ）／ω。ここで n=０，１，
３．７６．
（ａ）ａ ０とａ ０ω。
・・。
３．７７．（ａ）ｄφ（０）／ｄｔ＝−βφ ０。ｄ ２φ（０）／ｄｔ ２＝（β ２−ω ２）φ ０。（ｂ）ｔ ｎ＝（１／ω）（ａｒｃｔａｎ（（ω２−β２）／２βω）＋ｎπ）。ここでｎ＝０，１，２，・・・。
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３．７８．（ａ）ａ ０＝（ｄｘ ０／ｄｔ）／ω、α＝−π／２。（ｂ）ａ ０＝ｘ ０（１＋（β／ω） ２） １／。ｔａｎα＝−β／ω。
３．７９．ｄｘ０／ｄｔ＝−ｘ０／τ＝−０．５ｃｍ／ｓ。
３．８０．β＝ω（η２−１）１／２＝５／ｓ。
３．８１．（ａ）ｖ（ｔ）＝ａ０（ω２＋β２）１／２ｅ−βｔ。（ｂ）ｖ（ｔ）＝｜ｄｘ０／ｄｔ｜（１＋（β／ω）２）１／２ｅ−βｔ。
３．８２．λ＝ｎλ０／（１＋（１−ｎ ２）λ０２／４π ２）１／２＝３．３。ｎ ＝（１＋（２π／λ０）２）
１／２＝４．３倍。
３．８３．Ｔ＝（（４π２＋λ２）Δｘ／ｇ）１／２＝０．７０ｓ。
３．８４．（ａ）Ｑ＝πｎ／ｌｎ（η）＝５００。（ｂ）Ｑ＝（ω ０２τ２−１） １／２／２＝３０００。
３．８５．ｓ≒ｌ（１＋ｅ−λ／２）／（１−ｅ−λ／２）＝２．０ｍ。
３．８６．Ｑ≒Δｔ（ｇ／ｌ）１／２／ｌｎ（η）＝１３０。
３．８７．Ｔ＝（３（４π２＋λ２）Ｒ／２ｇ）１／２＝０．９ｓ。
３．８８．ω＝（２α／ｍＲ ２−（πηＲ２／ｍ） ２）１／２。
３．８９．η＝２λｈＩ／πＲ４Ｔ。
３．９０．ｘ＝（Ｆ ０／ｍ）（ｃｏｓω０ｔ−ｃｏｓωｔ）／（ω２−ω ０２）。
３．９１．ｘ＝（Ｆ ０ｔ／２ｍω０）ｓｉｎω０ｔ。
３．９２．ｔ≦τの時、ｘ＝（１−ｃｏｓω０ｔ）Ｆ／κ。ｔ≧τの時、ｘ＝ａｃｏｓ（ω０（ｔ−τ）＋α）。ここで、ω ０２＝κ／ｍ、ａとαは積分定数。時刻ｔ＝τの時のｘとｄｘ／ｄｔの連続条件か
ら、ａ＝（２Ｆ／κ）｜ｓｉｎ（ω０ｔ／２）｜。
３．９３．ｘ ０＝（Ｆ ０／ｍ）／（ω ０２−ω ２）、ｄｘ ０／ｄｔ＝０。これよりｘ＝（（Ｆ ０／ｍ）／（ω２
２０ −ω ））ｃｏｓωｔ。
３．９４．τ≒２Ｑ／ω０＝４００ｓ。
３．９５．Ｑ＝（１／２）（１−η２）１／２＝２。
３．９６．ｔａｎφ＝（（ω０／β）２−２）１／２。φ＝８４°。
３．９７．ω 強制＝（（（１−（λ／２π）２）／（１＋（λ／２π）２））（ｇ／Δｌ）） １／２。ａ強制＝（λＦ０Δｌ／４πｍｇ）（１＋４π２／λ ２）。
３．９８．Ｆ（ｔ）＝２Βｍａω０ｃｏｓ（ω ０ｔ−φ）。
３．９９．β＝Ｆ０／２ｍａω。
３．１００．ａ最大＝Ｆ０／ｒω＝５．０ｃｍ。
３．１０１．ω強制＝（（ω１２＋ω２２）／２）１／２＝５１０／ｓ。
３．１０２．（ａ）ω ０＝（ω １ω ２ ） １／２。（ｂ）β＝｜ω ２−ω １｜／（２・３ １／２）。ω＝（ω １ω ２−（ω ２−ω１） ２／１２）１／２。
３．１０３．η＝（１＋λ２／４π ２）π／λ＝２．１。
３．１０４．＜Ｅ＞＝ｍａ２（ω２＋ω０２）／４。
３．１０５．＜ＰＦ＞＝２βＥ。
３．１０６．Ａ＝πａＦ０ｓｉｎφ。
３．１０７．Ａ摩擦＝−πφｍＮｍｓｉｎα。
３．１０８．Ｑ＝（ω ２ω ０２／（ω ２−ω ０２） ２ｔａｎ ２φ−１／４） １／２＝２．２。ここでω ０２＝κ／ｍ。
３．１０９．（ａ）＜Ｐ＞＝（Ｆ ０２βω ２／ｍ）／（（ω ０２−ω ２） ２＋４β ２ω ２）。（ｂ）ω＝ω ０、Ｐ 最大＝Ｆ ０／４βｍ。
３．１１０．ω ０≒２５０／ｓ、β≒Δω／２＝２５／ｓ。ここでΔωは高さの半分の所の幅。Ｑ≒ω０／Δω＝５。
３．１１１．ｑ＝４ｈ（πε ０ｍｇ（η２−１））１／２＝２．０μＣ。
３．１１２．η２＝２５倍に増大。
３．１１３．ｘ＝（ｖ０／ω）ｓｉｎωｔ。ここでω＝ｌＢ／（ｍＬ）１／２。
３．１１４．ｘ＝（１−ｃｏｓωｔ）ｇ／ω２。ここでω＝ｌＢ／（（ｍＬ）１／２。
３．１１５．Ｌ＝１／ω０Ｃ＝１．０ｍＨ。Ｕ（０）＝Ｕｍ＝Ｉｍ／ω０Ｃ＝０．４０Ｖ。
３．１１６．Ｕ２＋Ｉ２Ｌ／Ｃ＝Ｕｍ２。
（ｂ）
３．１１７．
（ａ）Ｉ＝Ｉｍｓｉｎω０ｔ。ここでＩｍ＝Ｕｍ（Ｃ／Ｌ）１／２、ω ０＝１／（ＬＣ）１／２。
Ｅｓ＝Ｕ ｍ／２ １／２。
３．１１８．Ｉｍ＝Ｅ（Ｃ／Ｌ）１／２。Ｕ Ｃ最大＝２Ｅ。
３．１１９．Ａ＝Ｗ（η−１）。
３．１２０．ω０＝（ｄ／πε０μ０ａｒ２）１／２。
３．１２１．ω０≒（２ｄ／ε０μ０ａ２ｈ・ｌｎ（ｂ／ａ））１／２。
３．１２２．（ａ）Ｔ＝２π（Ｌ（Ｃ １＋Ｃ ２））１／２＝０．７ｍｓ。（ｂ）Ｉｍ＝Ｕ（（Ｃ１＋Ｃ２）／Ｌ）
１／２＝８Ａ。
３．１２３．Ｕ＝（１±ｃｏｓωｔ）Ｕ ０／２。ω＝（２／ＬＣ）１／２。
３．１２４．Ｉ＝（Φ／Ｌ）ｃｏｓ（ｔ／（ＬＣ）１／２）。
３．１２５．（ａ）ｔｎ＝πｎ／ω。（ｂ）ｔｎ＝（ａｒｃｔａｎ（−β／ω）＋πｎ）／ω。ここで、
ｎ＝０，１，２，・・・。
３．１２６．Ｕ０／Ｕｍ＝（１−Ｒ２Ｃ／４Ｌ） １／２。
３．１２７．Ｕ Ｃ＝Ｉ ｍＬ（ω ２＋β ２） １／２ｅ −βｔｓｉｎ（ωｔ−α）。ここでｔａｎα＝−ω／β。ＵＣ（０）＝ωＬＩ ｍ。
- 20 ２

３．１２８．ＷＬ／ＷＣ＝Ｌ／ＣＲ２＝５。
３．１２９．Ｌ＝Ｌ １＋Ｌ ２。Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ２。
３．１３０．ｔ＝（Ｑ／πν）ｌｎ（η）＝０．５ｍｓ。
３．１３１．ｎ＝（４Ｌ／ＣＲ２−１）１／２／２π＝１６。
３．１３２．（ω０−ω）／ω０＝１−１／（１＋１／４Ｑ ２） １／２≒１／８Ｑ ２＝０．５％。
３．１３３．τ＝２ＲＩ／ａ ４Ｂ２。
３．１３４．（ａ）Ｗ ０＝Ｅ ２（Ｌ＋ＣＲ ２）／２（ｒ＋Ｒ） ２ ＝２．０ｍＪ。（ｂ）Ｗ＝Ｗ ０ｅ −ｔＲ／Ｌ＝０．１０ｍＪ。
３．１３５．ｔ≒（Ｑ／２πν０）ｌｎ（η）＝１．０ｍｓ。
３．１３６．（ａ）ω＝（１／ＬＣ−１／４Ｒ ２Ｃ ２） １／２。（ｂ）Ｑ＝（４Ｒ ２Ｃ／Ｌ−１） １／２／２。
３．１３７．Ｑ＝Ｕ ｍ（Ｃ／Ｌ）１／２／２＜Ｐ＞＝１．０×１０４。
３．１３８．＜Ｐ＞＝Ｒ＜Ｉ ２＞＝ＲＩｍ２／２＝２０ｍＷ。
３．１３９．＜Ｐ＞＝ＲＣＵ ｍ２／２Ｌ。
３．１４０．ω＝（１／ＬＣ−１／４Ｒ ２Ｃ２）１／２。
３．１４１．１／Ｌ １＋１／Ｌ２＝１／Ｌ。１／Ｒ １＋１／Ｒ２＝１／Ｒ。
３．１４２．Ｉ＝（Ｕ ０／Ｌ）ｔ・ｅｘｐ（−ｔ／（ＬＣ） １／２）。ｔ ｍ＝（ＬＣ） １／２の時、Ｉ＝Ｉ 最大＝（Ｕ０／ｅ）（Ｃ／Ｌ） １／２。
３．１４３．Ｉ＝（Ｕ ｍ／（Ｒ ２＋ω ２ Ｌ ２ ） １／２）（ｃｏｓ（ωｔ−φ）−ｅ −ｔＲ／Ｌｃｏｓφ）。ｔａｎ
φ＝ωＬ／Ｒ。
３．１４４．Ｉ＝（Ｕ ｍ／（Ｒ ２＋１／ω ２Ｃ ２ ） １／２）（ｃｏｓ（ωｔ−φ）−ｅ −ｔ／ＲＣｃｏｓφ）。ｔａｎφ＝−１／ωＲＣ。
３．１４５．ｔａｎφ＝μ０π２νａ／４ｎρ。
３．１４６．ｔａｎφ＝−（（Ｕｍ／ＲＩｍ）２−１）１／２。
３．１４７．（ａ）Ｕ ＝Ｕ ０＋Ｕ ｍ ｃｏｓ（ωｔ−α）。ここでＵ ｍ＝Ｕ０／（１＋（ωＲＣ）２）１／２。α＝ａｒｃｔａｎ（ωＲＣ）。（ｂ）ＲＣ＝（η２−１）１／２／ω＝２２ｍｓ。
３．１４８．τ＝２ＬＩｍ／Ｕｍ。
３．１４９．図２７参照。
３．１５０．（ａ）Ｉｍ＝Ｕ ｍ／（Ｒ ２＋（ωＬ−１／ωＣ） ２）
１／２＝４．５Ａ。（ｂ）ｔａｎφ＝（ωＬ−１／ωＣ）／Ｒ。
φ＝−６０°。（ｃ）Ｕ Ｃ ＝Ｉ ｍ／ωＣ＝０．６５ｋＶ。Ｕ Ｌ＝
Ｉｍ（Ｒ ２＋ω ２Ｌ ２） １／２＝０．５０ｋＶ。
３．１５１．（ａ）ω Ｃ共鳴＝（ω ０２−２β ２） １／２。（ｂ）ω Ｌ共鳴＝ω ０２／（ω ０２−２β２） １／２。ここでω ０２＝１／ＬＣ。、β＝Ｒ／２Ｌ。
３．１５２．Ｃ＝１／ω ２Ｌ＝２８μＦの時。Ｕ Ｌ＝Ｕ ｍ（１＋（ωＬ／Ｒ） ２） １／２＝０．５４ｋＶ。
ＵＣ＝Ｕ ｍωＬ／Ｒ＝０．５１ｋＶ。
３．１５３．Ｉ＝Ｉ ｍｃｏｓ（ωｔ＋φ）。ここでＩ ｍ ＝（１＋（ωＲＣ） ２） １／２ Ｕ ｍ／Ｒ、φ＝ａｒｃｔａｎ（ωＲＣ）。
３．１５４．ω０＝（Ｌ２／（Ｌ１Ｌ ２−Ｌ １２２）Ｃ）１／２。
３．１５５．Ｑ＝（ｎ２−１／４） １／２。
３．１５６．Ｑ＝（（η２−１）／（ｎ−１）２−１／４） １／２。
３．１５７．Ｌ＝１／４π２ν１ν２Ｃ＝０．１５ｍＨ。
３．１５８．
３．１５９．Ｉ０／Ｉ＝（１＋（Ｑ ２＋１／４）（η２−１）２／η２）１／２。各々、２．２と１９．
３．１６０．ｔ＝πｔ０／２。
３．１６１．（ａ）Ｉ＝２Ｉ ０／３ １／２≒１．１５Ｉ０。（ｂ）Ｉ＝πＩ ０／８ １／２≒１．１１Ｉ０。
３．１６２．ν＝（η−１） １／２Ｒ／２πＬ＝２ｋＨｚ。
３．１６３．φ＝ａｒｃｃｏｓ（１−（ＸＬ／Ｚ）２）１／２≒３７°。Ｐ＝（Ｕ／Ｚ） ２（Ｚ２−ＸＬ２） １／２＝０．１６ｋＷ。
３．１６４．Ｒ＝ωＬ−ｒ＝０．２０ｋΩの時。Ｐ最大＝Ｕ ２／２ωＬ＝０．１１ｋＷ。

３．１６５．ｎ１／２−１≒３０％増大。
- 21 -

３．１６６．Ｑ≫１の時、比Δω／ω０≒（ｎ−１）１／２／２Ｑ＝０．５％。
３．１６７．Ｐ２＝（Ｕ２−Ｕ １２−Ｕ２２）／２Ｒ＝３０Ｗ。
３．１６８．Ｐ１＝（Ｉ２−Ｉ １２−Ｉ２２）Ｒ／２＝２．５Ｗ。
３．１６９．Ｚ＝Ｒ／（１＋（ωＲＣ） ２）１／２＝４０Ω。
３．１７０．図２８参照。
３．１７１．（ａ）ω 共鳴 ＝（１／ＬＣ−Ｒ ２／Ｌ ２） １／２ ＝３×１０ ４ ／ｓ。（ｂ）Ｉ＝ＵＲＣ／Ｌ＝３ｍＡ。ＩＣ＝Ｕ（Ｃ／Ｌ−（ＲＣ／Ｌ）２）１／２＝１．０Ａ。ＩＬ＝Ｕ（Ｃ／Ｌ） １／２＝１．０Ａ。
３．１７２．ｔａｎφ＝（ωＣ（Ｒ２＋ω２Ｌ２）−ωＬ）／Ｒ．
３．１７３．Ｚ＝（（Ｒ２＋ω２Ｌ２）／（（ωＲＣ） ２＋（１−ω２ＬＣ）２））１／２。
３．１７４．
３．１７５．＜Ｐ＞＝ω２Φ０２Ｒ／２（Ｒ２＋ω２Ｌ２）。
３．１７６．＜Ｆ ｘ＞＝（ω ２Ｌ ２Ｌ １２Ｉ ０２／２（Ｒ ２＋ω ２Ｌ ２２））∂Ｌ１２／∂ｘ。
３．１７７．ｔ＝２ｌ／α（Ｔ１１／２＋Ｔ ２１／２）。
３．１７８．２ｍ。
３．１７９．０．２５ｋＨｚ。０．３０ｋｍ／ｓ。１．２ｍ。
３．１８０．（ａ）ａ／λ＝５．１×１０ −５ 。（ｂ）ｖ ｍ ＝１１ｃｍ／ｓ。３．２×１０ −４。
３．１８１．Δφ＝ｋ（ｒ １−ｒ ２）＝（ω／ｖ）｜（ｘ １−ｘ ２）ｃｏｓα＋（ｙ １−ｙ２）ｃｏｓβ＋（ｚ１−ｚ２）ｃｏｓγ｜。
３．１８２．ｋ＝αｅｘ＋βｅｙ＋γｅｚ。ｖ＝ω／（α２＋β ２＋γ ２）
１／２。ここでｅｘ，ｅ ｙ，ｅ ｚは座標の単位ベクトル。
３．１８３．ｋ＝ω（ｅｘ／ｖ１＋ｅｙ／ｖ２＋ｅｚ／ｖ３）。
３．１８４．ξ＝ａｃｏｓ（（１−Ｖ／ｖ）ωｔ−ｋｘ ）。ここでｖ＝ω／ｋ。
３．１８５．α−波の位相速度。
３．１８６．図２９参照。
３．１８７．図３０参照。Δｘ＝２１／２／ｂ。
３．１８８．ｖ＝ｕ／ε＝２．０ｋｍ／ｓ。
３．１８９．ｕｘ＝−ε（Ｅ／Ρ） １／２＝−５０ｍ／ｓ。
３．１９０．η≪１の時、Δφ≒２πη／γλ＝０．３ラジアン。
３．１９１．ｒ＝（ａ１ｒ １＋ａ２ｒ ２）／（ａ１＋ａ２）。
３．１９２．（ａ）γ＝ｌｎ（ηｒ ０ ／ｒ）／（ｒ−ｒ ０ ）＝０．０８／ｍ。（ｂ）ｖｍ＝２πνａ０／η＝１５ｃｍ／ｓ。
３．１９３．（ａ）図３１参照。（ｂ）図３２参照。

３．１９４．Ｗ＝ＰＲ／ｖ＝２５ｍＪ。
３．１９５．＜Φ＞＝２πｌ ２Ｉ０（１−１／（１＋Ｒ２／ｌ２）１／２）＝２０μＷ。
３．１９６．＜Φ＞＝Ｐ／（１＋（２Ｒ／ｈ）２）１／２＝０．０７Ｗ。
３．１９７．Ｐ＝４πｒ２＜ｊ＞ｅ ２γｒ＝２０Ｗ。
３．１９８．Ｗ＝４πｒ２ｊ（ｅ２γｒ−１）ｔ＝１１Ｊ。
３．１９９．ｘｍ＝ｌ。
３．２００．（ａ）＜ｊ ｘ＞＝ρａ ２ω ３／２ｋ。（ｂ）＜ｊ ｘ ＞＝０。（ｃ）＜ｊ ｘ ＞＝ρ（ａ ２−ｂ ２）ω３／２ｋ。（ｄ）＜ｊｘ＞＝ρａ（ａ＋ｂ）ω３／２ｋ。
３．２０１．＜ｊ＞＝２１／２ρａ２ω３／ｋ。
３．２０２．（ａ）と（ｂ）は図３３参照。（ｃ）は図３４参照。
３．２０３．（ａ）ｗ ｐ＝（ρａ ２ω ２ ／２）ｓｉｎ ２ｋｘｃｏｓ ２ωｔ。（ｂ）ｗ ｋ ＝（ρａ ２ω ２／２）
ｃｏｓ２ｋｘ・ｓｉｎ２ωｔ。図３５参照。ここでλ＝２π／ｋで波長。
３．２０４．Ｆ＝πｄ２ρν２ｌ２／η２＝３Ｎ。
３．２０５．Ｆ＝πｄ２ρν２ｌ２＝０．４０ｋＮ。
３．２０６．ａ最大＝５ｍｍ。第３高調波。
３．２０７．ν２／ν１＝（η ２（１＋η１）／（η １（１＋η２）） １／２＝１．４。
３．２０８．η＝（１＋ΔＦ／Ｆ）１／２／（１−Δｌ／ｌ）＝２倍増大する。
- 22 -

３．２０９．ｖ＝２ｌν≒３４０ｍ／ｓ。
３．２１０．（ａ）ｎ＝［２ｌν０／ｖ＋１／２］＝６。（ｂ）ｎ＝［２ｌν０／ｖ］＝６。
３．２１１．νｎ＝（Ｅ／ρ）１／２（ｎ＋１／２）／ｌ＝６．９５（ｎ＋１／２）ｋＨｚ。２４，３ｋ
Ｈｚ，３１．３ｋＨｚ、３８．２ｋＨｚ、４５．２ｋＨｚの４つ。
３．２１２．（ａ）Ｋ最大＝ｍω２ａ 最大２／４。（ｂ）＜Ｋ＞＝ｍω２ａ最大２／８。
３．２１３．Ｗ＝πＳρａ２ω２／４ｋ。
３．２１４．τ＝（１∓ｕ／ｖ）τ０＝４．５ｓ（接近時）、５．５ｓ（遠ざかり時）。
３．２１５．ν＝ν ０（ｖ ０−ｖ＋ｕ）／（ｖ０＋ｕ）＝２．２ｋＨｚ。
３．２１６．ω２／ω１＝（ｖ−ｖ２）／（ｖ−ｖ１）。
３．２１７．ν１＝２ν０ｖｕ／（ｖ２−ｕ２）≒２ν０ｕ／ｖ＝１．０Ｈｚ。
３．２１８．ｕ＝（（１＋（ν／ν０）２）１／２−１）ｖν０／ν≒ｖν／２ν ０＝０．５ｍ／ｓ。
３．２１９．ω＝（（１＋（Δν／ν ０）２）１／２−１）ｖν０／ａΔν＝３４／ｓ。
３．２２０．ν＝ν ０／（１＋２ａｔ／ｖ）１／２＝１．３５ｋＨｚ。
３．２２１．（ａ）ν＝ν０／（１−η２）＝５ｋＨｚ。（ｂ）ｒ＝ｌ（１＋η２）１／２＝０．３５ｋｍ。
３．２２２．２ｕ／（ｖ＋ｕ）＝０．２０％だけ減少。
３．２２３．ν＝２ν０ｕ／（ｖ＋ｕ）＝０．６０Ｈｚ。
３．２２４．γ＝ｌｎ（ηｒ １２／ｒ２２）／２（ｒ ２−ｒ １）＝０．００６／ｍ。
３．２２５．（ａ）Ｌ ＝Ｌ−２０γｘｌｇｅ＝５０デシベル、５０ホーン。（ｂ）ｘ＝０．３０ｋｍ。
３．２２６．（ａ）Ｌ＝Ｌ ０ ＋２０ｌｇ（ｒ ０／ｒ）＝７０デシベル、５０ホーン。（ｂ）ｒ＞０．３２ｋｍ。
３．２２７．β＝ｌｎ（ｒ２／ｒ１）／（τ＋（ｒ ２−ｒ １）／ｖ）＝０．１２／ｓ。
３．２２８．
３．２２９．＜Φ＞＝πＲ２（Δｐ）ｍ２／２ρνλ＝１１ｍＷ。
３．２３０．（ａ）（Δｐ） ｍ＝（ρｖＰ／２πｒ２）１／２＝５Ｐａ。（Δｐ）ｍ／ｐ＝５×１０ −５。（ｂ）
ａ＝（Δｐ） ｍ／２πνρｖ＝３μｍ。ａ／λ＝５×１０−６。
３．２３１．Ｐ＝４πｒ２ｅ２γｒＩ０１０Ｌ−Ｌ０＝３．４Ｗ。
３．２３２．Δλ＝（１／ε １／２−１）ｃ／ν＝−５０ｍ。
３．２３３．ｔ＝２（ε１１／２−ε２１／２）ｌ／ｃｌｎ（ε１／ε２）。
３．２３４．｜∂Ｅ／∂ｘ｜＝（μ０／ε０）１／２ｊ変位＝６０ｍＷ／ｍ２。
３．２３５．ｊ／ｊ 変位＝σ／２πνεε ０＝２。
３．２３６．Ｈ＝（ε０ｃ／ｋ）［ｋＥ］ｃｏｓ（ｃｋｔ）。
（ｂ）Ｈ＝ｅｚε０ｃＥｍｃｏｓｋ（ｃ３．２３７．
（ａ）Ｈ＝ｅｚε０ｃＥｍｃｏｓｋｘ＝−０．３０ｅｚ。
ｔ−ｘ）＝０．１８ｅｚ。
３．２３８．Ｒ≪λの時、Ｖ ｍ＝２πｎＲ２νＥｍ／ｃ＝０．２０ｍＶ。
３．２３９．
３．２４０．＜Π＞＝ｋε０ｃ２Ｅｍ２／２ω。
３．２４１．（ａ）＜ｊ変位＞＝４ε０νＥｍ＝０．１８ｍＡ／ｍ２。（ｂ）＜Π＞＝ε０ｃＥｍ２／２＝３．
３μＷ／ｍ２。
３．２４２．ｊ変位最大＝ω（２＜Π＞ε０／ｃ） １／２。
３．２４３．＜Π＞ε０ｃＥ０２（１＋ｃｏｓφ）。
３．２４４．＜Π＞＝２１／２ε０ｃＥ０２。
３．２４５．ｔ≫Ｔとして、（Ｔは振動周期）Ｗ＝（εε ０／μ０） １／２Ｅｍ２πＲ２ｔ／２＝５ｋＪ。
３．２４６．Ｂ＝Ｂ ｍｓｉｎｋｘｓｉｎωｔ。ここでＢ ｍ⊥Ｅｍ，Ｂｍ＝Ｅｍ／ｃ。
３．２４７．Πｘ＝（ε０ｃＥ ｍ２／４）ｓｉｎ２ｋｘｓｉｎ２ωｔ。＜Πｘ＞＝０。
３．２４８．Ｗ磁界／Ｗ電界＝ε ０μ０ω２Ｒ２／８＝５．０×１０−１５。
３．２４９．Ｗ電界／Ｗ磁界＝ε ０μ０ω２Ｒ２／８＝５．０×１０−１５。
- 23 -

３．２５０．
３．２５１．Φポ＝Ｉ２Ｒ。
３．２５２．Π＝（ｍ／２ｅ）１／２Ｉ２／４π２ε０ｒ２。
３．２５３．
３．２５４．右へ。
３．２５５．Φ＝ＵＩ。
３．２５６．＜Φ＞＝（Ｕ０Ｉ０／２）ｃｏｓφ。
３．２５７．
３．２５８．
３．２５９．Ｌ１＝ρε１／２／ｃ＝０．４０μＨ／ｍ。Ｃ１＝ε１／２／ｃρ＝０．１２ｎＦ／ｍ。
３．２６０．（ａ）ρ＝（１／π）（μ０／ε０）１／２ｌｎ（ｂ／ａ）。（ｂ）ρ（１／２π）（μ０／ε０）
１／２ｌｎ（ｂ／ａ）。
３．２６１．Ｉ＝Ｉ ｍｓｉｎ（ｋｘ）ｓｉｎ（ωｔ）。ここでＩｍ＝Ｕｍ／ρ。
３．２６２．
（ａ）Ｕｍ＝Ｕ０ｃｏｓ（ｎπｘ／ｌ）。Ｉｍ＝Ｉ０ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）。ｎ＝１，２，３，・・・・。（ｂ）Ｕ ｍ＝Ｕ ０ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）。Ｉ ｍ＝Ｉ ０ｃｏｓ（ｎπｘ／ｌ）。ｎ＝１，２，３，・・・・。
（ｃ）Ｕｍ＝Ｕ０ｓｉｎ（ｎ πｘ／ｌ）。Ｉｍ＝Ｉ ０ｃｏｓ（ｎ πｘ／ｌ）。ｎ＝ １，２，
３，・・・・。
３．２６３．ｌ＝ｃ／２（ν ２−ν １）＝０．１０ｋｍ。
３．２６４．
３．２６５．＜Ｐ＞＝ｅ２ａ２ω４／１２πε０ｃ３＝５×１０−１５Ｗ。
３．２６６．Ｐ＝（２／３ｃ ３）（ｑｅ２／ｍＲ２）２／（４πε０）３。
３．２６７．ΔＷ／Ｋ＝ｅ３Ｂ／３ε０ｃ ３ｍ２＝２×１０−１８。
３．２６８．Ｋ＝Ｋ０ｅ−αｔ。ここでα＝ｅ４Ｂ２／３πε０ｃ３ｍ３。電子ではｔ ０＝１／α＝２．６ｓ後，陽子では１．６×１０１０ｓ＝５００年後。
３．２６９．Π１／Π２＝ｔａｎ２（ωｌ／ｃ）≒３。
３．２７０．＜Π＞＝（１／２）（ε ０／μ ０）１／２（ｒ ０／ｒ）２Ｅｍ２ｓｉｎ２θ＝３ｍＷ／ｍ２。
３．２７１．＜Ｐ＞＝８πｒ ２Π０／３。
３．２７２．＜ｗ＞＝３Ｐ０／８πｒ２ｃ。
３．２７３．Ｐ＝ｐ ２ω４／６πε０ｃ３。
３．２７４．Ｒ＝３Ｐ／１６πｃγρＭ Ｃ≒０．６μｍ。ここでＭＣは太陽の質量。
３．２７５．ｃ＝２ｌｚ（ｎ ２−ｎ １）＝３．０×１０８ｍ／ｓ。
３．２７６．
３．２７７．Δλ＝−λ（２Ｋ／ｍｃ２）１／２ｃｏｓθ＝−２６ｎｍ。
３．２７８．Ｔ＝４πＲλ／ｃδλ＝２５昼夜。ここでＲは太陽の半径。
３．２７９．ｄ＝（Δλ／λ）ｍｃτ／π＝３×１０７ｋｍ。ｍ＝（Δλ／λ）ｍ３ｃ３τ／２πγ＝２．
９×１０２９ｋｇ。ここでγは重力定数。
３．２８０．ω＝ω ０（１＋β）／（１−β）。ここでβ＝Ｖ／ｃ。ω≒ω０（１＋２Ｖ／ｃ）。
３．２８１．ｖ＝λΔν／２＝９００ｋｍ／時。
３．２８２．ω ＝ω（（１−β）／（１＋β））１／２。ｋ ＝ｋ（（１−β）／（１＋β））１／２。
３．２８３．ν ＝ν（（１−β）／（１＋β））１／２。
３．２８４．ｖ＝ｃ（η２−１）／（η２＋１）＝７×１０ ４ｋｍ／ｓ。ここでη＝λ／λ 。
３．２８５．ω＝ω ０（３／７）１／２。
３．２８６．Δλ＝λＫ／ｍｃ２＝０．７０ｎｍ。ここでｍは原子の質量。
３．２８７．（ａ）ν＝ν ０ ／（１−（ｖ／ｃ） ２ ） １／２＝５．０ＧＨｚ。（ｂ）ν＝ν ０ ／（１−（ｖ／ｃ）２）１／２＝１．８ＧＨｚ。
３．２８８．
３．２８９．ｖ＝ｃα／２＝３０ｋｍ／ｓ
３．２９０．ｓｉｎθ＝（η（２−η））１／２より、θ＝８°。
４．１．（ａ）３ｍＷ、６ｍＷ。（ｂ）Φ＝Ｋ ｍ Φ エネルギー（Ｖ １＋Ｖ ２ ）／２＝１．７ルーメン。ここでＶ１とＶ ２は対応する波長での関数Ｖλの値。Ｋ ｍ＝６８３ルーメン／Ｗ。
４．２．Ｅｍ２＝（μ０／ε０）１／２Φ／２πｒ２ＫｍＶλより、Ｅｍ＝１．２Ｗ／ｍ、Ｈｍ＝３．２ｍＡ／ｍ。
４．３．Ｗ＝ＰＳ／２ｒ０ｖ０。
４．４．（ａ）＜Ｅ＞＝Ｅ ０ ／２。（ｂ）＜Ｅ＞＝（１−（１−（Ｒ／ｌ） ２） １／２ ）Ｉ／Ｒ ２ （１−Ｒ／ｌ）＝５０ルックス。
４．４．Ｍ＝２πＬ ０／３。
４．６．（ａ）Φ＝πＬΔＳｓｉｎ２θ。（ｂ）Ｍ＝πＬ。
４．７．ｈ≒Ｒ、Ｅ＝ＬＳ／４Ｒ２＝４０ルックス。
４．８．Ｉ＝Ｉ０／ｃｏｓ ３θ。Φ＝πＩ ０Ｒ２／ｈ ２＝３００ルーメン。
４．９．Ｅ 最大＝９ρＥＳ／１６πＲ２３１／２＝０．２１ルックス。
４．１０．Ｅ＝πＬ。
４．１１．Ｅ＝πＬ。
４．１２．Ｍ＝Ｅ０（１＋ｈ２／Ｒ２）＝７００ルーメン／ｍ２。
４．１３．Ｅ ０＝πＬＲ２／ｈ ２＝２５ルックス。
- 24 -

４．１４．ｅ ＝ｅ−２（ｅｎ）ｎ。
４．１５．
４．１６．θ １＝ａｒｃｔａｎ（ｎ）＝５３°。
４．１７．ｎ １／ｎ２＝１／（η２−１）１／２＝１．２５。
４．１８．ｘ＝（１−ｃｏｓθ／（ｎ２−ｓｉｎ２θ）１／２）ｄｓｉｎθ＝３．１ｃｍ。
４．１９．ｈ ＝ｈｎｃｏｓ ３θ／（ｎ２−ｓｉｎ ２θ） ３／２。
４．２０．
４．２１．
４．２２．θ＝８３°。
４．２３．３７°から５８°。
４．２４．α＝８．７°。
４．２５．Δα＝２ｓｉｎ（θ／２）Δｎ／（１−ｎ２ｓｉｎ２（θ／２）） １／２＝０．４４°。
４．２６．
４．２７．Δω／ω＝（ｎ−１）ｖ／ｃ＝１．０×１０−１１。
４．２８．
４．２９．
４．３０．（ａ）ｆ＝ｌβ／（１−β ２）＝１０ｃｍ。（ｂ）ｆ＝ｌβ １β ２／（β ２−β １）＝２．５ｃｍ。
４．３１．Ｉ ＝ρＩ０ｆ ２／（ｆ−ｓ） ２＝２０００カンデラ。
４．３２．図３６参照。ｎ ／ｓ −ｎ／ｓ＝（ｎ −ｎ）／Ｒ。

４．３３．ｘ＝（ｎｆ／（ｎ＋１））（１−（１−（（ｎ＋１）ｒ ２）／（（ｎ−１）ｆ ２）） １／２。ｒ 最大＝ｆ（（ｎ−１）／（ｎ＋１））１／２。
４，３４，
４．３５．６．３ｃｍ。
４．３６．（ａ）β＝１−ｄ（ｎ−１）／ｎＲ＝−０．２０。（ｂ）Ｅ＝πｎ ２Ｄ ２Ｌ／４ｄ ２＝４２ルックス。
４．３７．Φ＝Φ０（ｎ−ｎ ０）／（ｎ−１）＝２．０ジオプトリ。ｆ ＝−ｆ＝ｎ０／Φ＝８５ｃｍ。
ここでｎとｎ ０はガラスの屈折率と水の屈折率。
４．３８．Φ＝Φ０（２ｎ−ｎ０−１）／２（ｎ−１）＝６．７ジオプトリ。ｆ＝１／Φ≒１５ｃｍ。
ｆ ＝ｎ０／Φ＝２０ｃｍ。ここでｎとｎ０はガラスの屈折率と水の屈折率。
４．３９．
４．４０．
４．４１．
４．４２．Δｘ＝ｆ ２Δｌ／（ｌ−ｆ）（ｌ−ｆ＋Δｌ）＝２．５ｃｍ。
４．４３．（ａ）ｆ＝（ｌ ２−（Δｌ） ２）／４ｌ＝２０ｃｍ。（ｂ）ｆ＝ｌη １／２／（１＋η １／２） ２＝
２０ｃｍ。
４．４４．ｈ＝（ｈ ｈ ）１／２＝３．０ｍｍ。
４．４５．Ｅ＝（１−α）πＬＤ２／４ｆ２＝１５ルックス。
４．４６．（ａ）Ｄに依存しない。（ｂ）Ｄ２に比例する。
４．４７．ｆ＝ｎ０Ｒ／２（ｎ１−ｎ２）＝３５ｃｍ。ここでｎ０は水の屈折率。
４．４８．ｆ＝Ｒ／２（２ｎ−１）＝１０ｃｍ。
４．４９．（ａ）最後のレンズの右側３．３ｃｍの所。（ｂ）ｌ＝１７ｃｍ。
４．５０．（ａ）５０ｃｍ、５ｃｍ。（ｂ）０．５ｃｍ遠ざける。
４．５１．倍率＝Ｄ／ｄ。
４．５２．ψ＝ψ ／η１／２＝０．６分。
４．５３．倍率 ＝（倍率＋１）（ｎ−ｎ ０ ）／ｎ ０（ｎ−１）−１＝３．１。ここでｎ ０ は水の屈折率。
４．５４．倍率≦Ｄ／ｄ０＝２０。
４．５５．倍率＝６０。
４．５６．倍率＝２αｌ０／ｄ０＝１５。ここでｌ ０は明視の距離（＝２５ｃｍ）。
４．５７．倍率≦２αｌ０／ｄ０＝１５。ここでｌ ０は明視の距離（＝２５ｃｍ）。
４．５８．主平面はレンズの中心と一致。水中の焦点距離ｆ＝−１／Φ＝−１１ｃｍ。空気中の焦点- 25 -

距離ｆ ＝ｎ ０／Φ＝＋１５ｃｍ。ここでΦ＝（２ｎ−ｎ ０−１）／Ｒ。ここでｎとｎ ０はガラスの屈折率と水の屈折率。結節点はレンズから距離ｘ＝ｆ ＋ｆ＝３．７ｃｍの水中に位置している。
４．５９．図３７参照。

４．６０．
４．６１．
４．６２．系の光学力はΦ＝Φ１＋Φ２−ｄΦ１Φ２＝＋４ジオプトリ。焦点距離は２５ｃｍ。２つの主平面は集光レンズの前方に位置しており、前者は集光レンズから距離１０ｃｍの所、後者は拡散レンズから距離１０ｃｍの所。（ｘ＝ｄΦ ２／Φ、ｘ ＝−ｄΦ１／Φ）。（ｂ）ｄ＝５ｃｍ。約４／３。
４．６３．レンズの光学力はΦ＝Φ １＋Φ ２−（ｄ／ｎ）Φ １Φ ２。ｘ＝ｄΦ ２／ｎΦ＝５．０ｃｍ、ｘ＝−ｄΦ１／ｎΦ＝２．５ｃｍ。２つの主平面ｈレンズの凸表面側の方のレンズの外にある。
４．６４．ｆ＝ｆ １ｆ ２／（ｆ １＋ｆ ２−ｄ）。レンズを最初の主平面に置く必要がある、つまり最初のレンズから距離ｘ＝ｆ１ｄ／（ｆ１＋ｆ２−ｄ）の距離。
４．６５． Φ＝２Φ −２Φ ２ｌ／ｎ ０＝３．０ジオプトリ。ここで、Φ ＝（２ｎ−ｎ ０−１）
／Ｒ。ここでｎとｎ ０はガラスの屈折率と水の屈折率。
４．６６．（ａ）ｄ＝ｎΔＲ／（ｎ−１）＝４．５ｃｍ。（ｂ）ｄ＝３．
０ｃｍ。
４．６７．（ａ）Φ＝ｄ（ｎ−１） ２／ｎＲ ２＞０。主平面は凸表面の側からお互いに距離ｄの所にある。前の主平面はレンズの凸面から距離Ｒ／（ｎ−１）の距離にある。（ｂ）Φ＝（１／Ｒ ２ −１／Ｒ １）（ｎ−１）／ｎ＜０。２つの主平面はレンズ表面の共通曲率中心を通っている。
４．６８．ｄ＝ｎ（Ｒ １ ＋Ｒ ２ ）／２（ｎ−１）＝９．０ｃｍ。倍率＝Ｒ１／Ｒ ２＝５．０。
４．６９．
４．７０．Ｒ＝ｎ／（∂ｎ／∂Ｎ）＝３×１０ ７ｍ。∂ｎ／∂Ｎ＝１．
６×１０−７／ｍ。
４．７１．
４．７２．１．９ａ。
４．７３．図３８参照。Ａ＝２Ｒｓｉｎ（αＮ／２），ａ＝２Ｒｓｉｎ（α／２）より、Ａ＝ａｓｉｎ（Ｎα／２）／ｓｉｎ（α／２）。
４．７４．（ａ）ｃｏｓθ＝（ｋ−α／２π）λ／ｄ。ここでｋ＝０、±１、±２、・・・。（ｂ）α＝π／２、ｄ／λ＝ｋ＋１／４。ここでｋ＝０，１，２，・・・。
４．７５．（ａ）図３９ａ参照。（ｂ）図３９ｂ参照。
４．７６．（ａ）図４０ａ参照。（ｂ）図４０ｂ参照。

４．７７．Ｉ∽ｃｏｓ ２（（π／２）ｓｉｎ ２（φ／２））。図４１参照。そこでは放射源２はπ／２だ
け位相が遅れている。
４．７８．Δα＝２π（ｋ−（ｄ／λ）ｓｉｎωｔ）。ここでｋ＝０、±１、±２、・・・。
４．７９．λ＝２ΔｘΔｈ／ｌ（η−１）＝０．６μｍ。
４．８０．
４．８１．（ａ）Δｘ＝λ（ｂ＋ｒ）／２αｒ＝１．１ｍｍ。Ｎ＝（２αｂ／Δｘ＋１）＝９。（ｂ）
δｘ＝（ｂ／ｒ）δｌ＝１３ｍｍだけ模様は移動。（ｃ）δｘ≦Δｘ／２ならば、模様は未だ十分に識別できる。従って、ｈ最大＝（１＋ｒ／ｂ）λ／４α＝４３μｍ。
- 26 -

４．８２．λ＝２αΔｘ＝０．６４μｍ。
４．８３．
（ａ）Δｘ＝λｆ／ａ＝０．１６ｍｍ。最大１３。
（ｂ）ｈ最大＝λｆ２／２ａｂ＝４０μｍ。
４．８４．λ＝２ａθ（ｎ−１）Δｘ／（ａ＋ｂ）＝０．６μｍ。
４．８５．Δｘ≒Δλ／２θ（ｎ−ｎ ）＝０．２０ｍｍ。
４．８６．Δｘ＝ｈｌ（ｎ−１）／ｄ＝２．０ｍｍ。
４．８７．ｎ ＝ｎ＋Ｎλ／ｌ＝１．０００３７７。
４．８８．ｖ＝λ／２Δｔ（ｎ２−ｓｉｎ２θ）１／２＝１．１μｍ／時。
４．８９．ｂ＝λ（１＋２ｋ）／４（ｎ ２−ｓｉｎ２θ１）１／２＝０．１４（１＋２ｋ）μｍ。ここでｋ＝０，１，２，・・・。
４．９０．ｂ 最小＝２λ／（ｎ ２−ｓｉｎ２θ）１／２＝０．６５μｍ。ここでｋ＝０，１，２，・・・。
４．９１．ｂ＝λ（１＋２ｋ）／４ｎ１／２。ここでｋ＝０，１，２，・・・。
４．９２．ｂ＝λ（ｎ２−ｓｉｎ２θ）１／２／ｓｉｎ２θ・δθ＝１５μｍ。
４．９３．λ≒ｂ（ｒｉ２−ｒ ｋ２）／４ｎｌ２（ｉ−ｋ）。
４．９４．Δｘ＝λｃｏｓθ １／２α（ｎ２−ｓｉｎ２θ １） １／２。
４．９５．（ａ）θ＝λ／２ｎΔｘ＝３分。（ｂ）Δλ／λ≒Δｘ／ｌ＝０．０１４。
４．９６．Δｒ≒λＲ／４ｒ。
４．９７．ｒ ＝（ｒ２−２Ｒｈ） １／２＝１．５ｍｍ。
４．９８．ｒ＝（ｒ ０２＋（ｋ−１／２）λＲ）１／２＝３．８ｍｍ。ここでｋ＝６。
４．９９．λ＝（ｄ ２２−ｄ１２）／４Ｒ（Ｎ２−Ｎ１）＝０．５０μｍ。ここでＮ １とＮ ２は暗環の番号。
４．１００．Φ＝２（ｎ−１）（２ｋ−１）λ／ｄ２＝２．４ジオプトリ。ここでｋは明環の番号。
４．１０１．（ａ）ｒ＝（２ｋλ（ｎ−１）／Φ） １／２＝３．５ｍｍ。ここでｋ＝１０。（ｂ）ｒ ＝ｒ／ｎ０１／２＝３．０ｍｍ。ここでｎ０は水の屈折率。
４．１０２．ｒ＝（（ｋ−１／２）λＲ／ｎ２）１／２＝１．３ｍｍ。ここでｋ＝５。
４．１０３．ｋ最小＝λ１／２（λ２−λ１）＝１４０。
４．１０４．Δｈ＝λ１λ ２／２（λ２−λ１）≒λ ２／２Δλ＝０．３ｍｍ。
４．１０５．（ａ）角度θが大きくなるにつれて、干渉次数ｋは減ずる。（ｂ）干渉次数の減少と共に帯の幅は小さくなる。
４．１０６．（ａ）ｋ最大＝２ｄ／λ＝１．０×１０５。（ｂ）Δλ＝λ／ｋ＝λ ２／２ｄ＝５ｐｍ。
４．１０７．図４２参照。Ｖ＞ｖ。ｃｏｓθ＝ｖ／Ｖ。
４．１０８．Ｋ 最小＝（ｎ／（ｎ ２−１） １／２−１）ｍｃ ２。各々０．１
４ＭｅＶ、０．２６ＧｅＶ。ニューオン。
４．１０９．Ｋ＝（ｎｃｏｓθ／（ｎ ２ｃｏｓ ２ θ−１） １／２−１）ｍｃ２＝０．２３ＭｅＶ。
４．１１０．Ｉ０＝（２／ｂＮλ） ０∫∞Ｉ（ｒ）ｒｄｒ。
４．１１１．ｂ＝ａｒ２／（ｋλａ−ｒ２）＝２．０ｍ。
（ａ＋ｂ）／２ａｂ＝０．６０μｍ。
４．１１２．λ＝（ｒ２２−ｒ１２）
４．１１３．Ｉ≃２Ｉ０（１−ｃｏｓ（πＲ ２／λｂ））＝２Ｉ０。
４．１１４．（ａ）Ｉ≒４Ｉ ０。Ｉ≒２Ｉ０。（ｂ）Ｉ≒Ｉ ０。
４．１１５．（ａ）Ｉ≒０。（ｂ）Ｉ≒Ｉ０／２。
４．１１６．（ａ）Ｉ≒（１−φ／２π）２Ｉ０。（ｂ）Ｉ＝（１＋φ／２π）２Ｉ０。
４．１１７．（ａ）ｈ＝λ（ｋ＋３／８）／（ｎ−１）＝１．２（ｋ＋３／８）μｍ。（ｂ）ｈ＝１．
２（ｋ＋７／８）μｍ。
（ｃ）ｈ＝１．２ｋμｍ又は１．２（ｋ＋３／４）μｍ。ここでｋ＝０，１，
２，・・。
４．１１８．ｈ＝λ（ｋ＋３／４）／（ｎ−１）。ここでｋ＝０，１，２，・・。Ｉ 最大≒８Ｉ０。
４．１１９．ｈ＝λ（ｋ＋５／８）／（ｎ−１）＝１．２（ｋ＋５／８）μｍ。ここでｋ＝０，１，
２，・・。
４．１２０．ｒ＝（ｋλｆｂ／（ｂ−ｆ））１／２＝０．９ｋ１／２ｍｍ。ここでｋ＝１，３，５，・・。
４．１２１．ｂ ＝ｂ／η２＝１．０ｍ。
４．１２２．（ａ）ｙ ＝ｙｂ／ａ＝９ｍｍ。（ｂ）ｈ最小≒ａｂλ／Ｄ（ａ＋ｂ）＝０．１０ｍｍ。
４．１２３．ｆ＝ａｂ／（ａ＋ｂ）＝０．６ｍ。
４．１２４．（ａ）ｈ＝０．６０（２ｋ＋１）μｍ。（ｂ）ｈ＝０．３０（２ｋ＋１）μｍ。ここでｋ＝０，１，２，・・。
４．１２５．（ａ）Ｉ 最大 ／Ｉ 最小≒１．７。（ｂ）λ＝２（Δｘ） ２／ｂ（ｖ ２ −ｖ １） ２ ＝０．７μｍ。
ここでｖ１，ｖ２はコルニュー螺旋上でパラメータの対応する値。
４．１２６．Ｉ中心／Ｉ端≒２．６。
４．１２７．λ＝（Δｈ）２／２ｂ（ｖ２−ｖ１）２＝０．５５μｍ。ここでｖ１，ｖ２はコルニュー螺旋
上でパラメータの対応する値。
４．１２８．ｈ≒λ（ｋ＋３／４）／（ｎ−１）。ここでｋ＝０，１，２，・・。
４．１２９．Ｉ２／Ｉ１≒１．９。
４．１３０．ｘ＝ｖ（λｂ／２）１／２＝０．７ｍｍ。ここでｖ＝１．０。
４．１３１．Ｅ≒０．７Ｉ０。
４．１３２．ｈ≒λ／４（ｎ−１）＝０．３０μｍ。
４．１３３．図４３参照。
４．１３４．λ＝ｂ／ｋ（１＋４（ｆ／ｘ）２）１／２＝０．６μｍ。ここでｋは最小次数。
４．１３５．ｂ（ｓｉｎθ−ｃｏｓθ ０）＝ｋλ。ｋ＝＋１、ｋ＝−１に対して、角度θは各々３３- 27 -

°、２７°。
４．１３６．（ａ）Δθ＝ａｒｃｓｉｎ（ｎ・ｓｉｎθ）−θ＝７．９°。（ｂ）
ｂ（ｓｉｎθ １ −ｎ・ｓｉｎθ ２ ）＝±λの条件より、Δθ＝θ ＋１ −θ −１＝７．３°。
４．１３７．λ≒（α ２ −α ０ ２ ）ｄ／２
ｋ＝０．６μｍ。
４．１３８．
４．１３９．５５°。
４．１４０．ｄ＝２．８μｍ。
４．１４１．λ＝ｄｓｉｎΔθ／（５−４ｃｏｓΔθ）１／２＝０．５４μｍ。
４．１４２．（ａ）４５°。（ｂ）−６４°。
４．１４３．ｘ＝２Ｒ／（ｎ−１）（（ｄ／λ）２−１）１／２＝８ｃｍ。
４．１４４．条件ｄ（ｎｓｉｎθ−ｓｉｎ（θ＋θ ｋ））＝ｋλより、θ ０＝−１８．５°、θ ＋１＝０°。ｋ最大＝＋６、θ ＋６＝＋７８．５°。図４４参照。
４．１４５．ｈｋ＝λ（ｋ−１／２）／（ｎ−１）。ここでｋ＝１，２，・・。ａｓｉｎθ １＝λ／２。
４．１４６．ｖ＝λνｆ／Δｘ＝１．５ｋｍ／ｓ。
４．１４７．ｂ＜λｆ／ｄ≒１ｍｍ。
４．１４８．図４５参照。Ψ≒λ／２ｄ＝０．０６秒。

４．１４９．（ａ）Ｄ＝ｋ／ｄ（１−（ｋλ／ｄ） ２） １／２ ＝６．５分／ｎｍ、ここでｋ＝２。（ｂ）
Ｄ＝ｋ／ｄ（１−（ｋλ／ｄ−ｓｉｎθ ０）２）１／２＝１３分／ｎｍ、ここでｋ＝４。
４．１５０．ｄθ／ｄλ＝ｔａｎθ／λ＝１１分／ｎｍ。
４．１５１．Δθ＝２λ／Ｎｄ（１−（ｋλ／ｄ）２） １／２＝１１秒。
４．１５２．
４．１５３．
４．１５４．θ＝４６°。
４．１５５．（ａ）４次。（ｂ）δλ 最小＝λ２／ｌ＝７ｐｍ。
４．１５６．（ａ）ｄ＝０．０５ｍｍ。（ｂ）ｌ＝６ｃｍ。
４．１５７．（ａ）６μｍと１２μｍ。（ｂ）１次ではダメ、２次なら可。
４．１５８．ｂ≪λｆ／Ｎｄ＝３０μｍ。
４．１５９．（ａ）ｒｍ≒（２ｋλｌ）１／２＝２．５ｍｍ。（ｂ）Δｒ≒λｌ／ｒ。
４．１６０．Ｄ＞λｌ／ｄ＝２．４ｃｍ。
４．１６１．
４．１６２．（ａ）λ／δλ＝２ｂＢ／λ ３。各々１．２×１０ ４、０．３５×１０ ４。（ｂ）１．０ｃ
ｍ。
４．１６３．約２０ｃｍ。
４．１６４．Ｒ＝Ｄ／１．２２λ＝７×１０４。Δｙ最小＝ｌ／Ｒ＝４ｃｍ。
４．１６５．約５０ｍ。
４．１６６．約１６倍大きくなる。
４．１６７．Ｉ／Ｉ ０≒（ｄ２／２ｆλ） ２≒２×１０７。
４．１６８．倍率最小＝Ｄ／ｄ ０＝１３。
４．１６９．ｄ最小＝０．６１λ／ｓｉｎα＝１．４μｍ。
４．１７０．最小倍率＝２（ｌ０／ｄ０）ｓｉｎα＝３０．
４．１７１．２６°、６０°、８４°、１０７°、１３５°。
４．１７２．ａ＝０．２８ｎｍ。ｂ＝０．４１ｎｍ。
４．１７３．λ＝２ｋ１／ａ（（ｋ１／ａ）２＋（ｋ２／ｂ） ２＋（ｋ３／ｃ）２）。
４．１７４．λ＝（２／ｋ）（ｍ／２ρ） １／３ｓｉｎα＝２４４ｐｍ。ここでｋ＝２。ｍはＮａＣｌ
分子の質量。
- 28 -

４．１７５．ｄ＝λ（ｋ １２＋ｋ ２２−２ｋ １ｋ ２ｃｏｓ（α／２）） １／２ ／２ｓｉｎ（α／２）＝０．２８ｎｍ。ここでｋ１とｋ２は反射の次数。
４．１７６．ｒ＝ｌ・ｔａｎ２α＝３．５ｃｍ。ここでαは２ｄｓｉｎ
α＝ｋλで決まる角度。
４．１７７．図４６参照。Ｉ ０／４。
４．１７８．（ａ）Ｉ０。（ｂ）２Ｉ０。
４．１７９．Ｅ＝πΦ０／ω＝０．６ｍＪ。
４．１８０．φ＝ａｒｃｃｏｓ（η２１／２／η１２１／２）＝３０°。
４．１８１．η＝（１／２）（ｃｏｓφ）２（Ｎ−１）＝０．１２。
４．１８２．Ｉ０／Ｉ＝２／τ３ｃｏｓ４φ≒６０°。
４．１８３．Ｉ偏光／Ｉ自然光＝Ｐ／（１−Ｐ）＝０．３。
４．１８４．Ｐ＝ｓｉｎ２θ／（１＋ｃｏｓ２θ）。
４．１８５．Ｐ＝（η−１）／（１−ηｃｏｓ２φ）＝０．８。
４．１８６．（ａ）Ｐ ０＝（（η−１）／（η＋１）） １／２＝０．９０５。（ｂ）Ｐ ０＝（１−１／η ２） １
／２
＝０．９９５。
４．１８７．９０°
４．１８８．Ｐ＝ρ。
４．１８９．Ｐ ＝Ｐρ／（１−ρ）。
（ｂ）Ｐ＝ρ／（１−ρ）＝（（１４．１９０．
（ａ）ρ＝（ｎ２−１）２／２（ｎ ２＋１）＝０．０７４。
２２＋ｎ ） −４ｎ２）／（（１＋ｎ２）２＋４ｎ ２）＝０．０８０。ここでｎはガラスの屈折率。
４．１９１．Ｉ＝Ｉ ０（１−ρ）／ｎ＝０．７２Ｉ０。ここでｎは水の屈折率。
４．１９２．ρ＝（（ｎ２−１）／（ｎ２＋１））ｓｉｎ２φ＝０．０３８。
４．１９３．Ｐ１＝Ｐ３＝１。Ｐ２＝ρ／（１−ρ）＝０．０８７。Ｐ４＝２ρ（１−ρ）／（１−２ρ（１−ρ））＝０．１７。
４．１９４．Ｉ４＝Ｉ０（１−ρ）２＝１６Ｉ０ｎ４／（１＋ｎ２）２＝０．７２５Ｉ０。
４．１９５．Ｐ＝（１−（１−ρ ）２）／（１＋（１−ρ ）２）＝（（１＋ｎ２）４−１６ｎ４）／（（１＋ｎ ２） ４＋１６ｎ ４）≒０．１６。ここでρ は、入射面に垂直に振動している光の成分の反射率。
４．１９６．（ａ）Ｐ＝（１−α ４Ｎ）／（１＋α ４Ｎ）。ここでα＝２ｎ／（１＋ｎ ２）、ｎはガラスの屈折率。（ｂ）各々０．１６，０．３１，０．６７，０．９２。
４．１９７．ρ＝（ｎ−１） ２／（ｎ＋１）２＝０．０２０。
４．１９８．ΔΦ／Φ＝１−（１−ρ） ２Ｎ＝０．３４。
４．１９９．Ｉ＝Ｉ ０（１−ρ） ２（１＋ρ ２＋ρ ４＋・・・）＝Ｉ ０（１−ρ）／（１＋ρ）＝０．９
０Ｉ ０。ΔＩ／Ｉ＝ρ２＝０．２５％だけ小さい。
４．２００．
４．２０１．（ａ）０．８３．（ｂ）０．０４４。
４．２０２．図４７参照。

４．２０３．α≒１１°。
４．２０４．
４．２０５．Ｐ＝（η−１）／η＝０．５。
４．２０６．（ａ）０．４９０ｍｍ。（ｂ）０．４７５ｍｍ。
４．２０７．λ＝４ｄΔｎ／（２ｋ＋１）。ｋ＝１５，１６，１７の時、０．５８μｍ、０．５μｍ、０．５１μｍ。
４．２０８．４つ。
４．２０９．０．６９μｍ、０．６０μｍ，０．４７μｍ，０．４３μｍ。
４．２１０．ｄ＝（ｋ−１／２）λ１／Δｎ＝０．２５ｍｍ。ここでｋ＝４。
４．２１１．Δｎ＝λ／θΔｘ＝０．００９。
４．２１２．（ａ）Ｉ ‖＝Ｉｃｏｓ２（δ／２）。（ｂ）Ｉ ⊥＝Ｉｓｉｎ２（δ／２）。
４．２１３．
４．２１４．図４８参照。
４．２１５．（ａ）Δｘ＝λ／２（ｎ ｅ−ｎ ｏ）。（ｂ）ｄ（ｎ ｏ−ｎ ｅ）＝−２（ｎ ｅ−ｎ ｏ）θδｘ＜０。
４．２１６．Ｉ＝３Ｉ０。
４．２１７．Δｎ＝αλ／π＝０．７１×１０−４。ここでαは回転定数。
- 29 -

４．２１８．α＝π／Δｘｔａｎθ＝２２°／ｍｍ。Ｉ（ｘ）∽ｃｏｓ ２ （πｘ／Δｘ）。ここでｘは最大値からの距離。
４．２１９．ｄ最小＝（１／α）ａｒｃｓｉｎ（２η）１／２＝２．９ｍｍ。αは回転定数。
４．２２０．８．７ｍｍ。
４．２２１．［α］＝７２°／（デシメートル・ｇ／ｃｍ ３）。
（ｂ）
４．２２２．
（ａ）Ｅ最小＝１／（４Ｂｌ）１／２＝１０．６ｋＶ／ｃｍ。
２．２×１０ ８。
４．２２３．Δｎ＝２ｃＨＶ／ω。
４．２２４．Ｖ＝（φ１−φ２）／２ｌＨ＝０．０１５分／Ａ。
４．２２５．φ＝（α−ＶＮＨ）ｌ。ここでＮは物質を通り抜ける光線の回数。
４．２２６．Ｈ 最小 ＝π／４Ｖｌ＝４．０ｋＡ／ｍ。Ｖはベルデ定数。
逆方向となる。
４．２２７．ｔ＝ｍｃω０／λＩ＝１２時間。
４．２２８．（ａ）ε＝１−ｎ０ｅ２／ε０ｍω２。（ｂ）ｖ＝ｃ（１＋（ｎ
２
２
２
２
１／２
０ｅ ／４π ε ０ｍｃ ）λ ）。
２
４．２２９．ｎ ０＝（４π ν ２ｍε ０／ｅ ２）（１−ｎ ２）＝２．４×１０
７／ｃｍ ３。
４．２３０．ｎ−１＝−ｎ ０ｅ ２λ ２／８π ２ε ０ｍｃ ２＝−５．４×１０ −７。ここでｎ０は炭素中の電子濃度。
４．２３１．（ａ）ｘ＝ａｃｏｓ（ωｔ−φ）。ここでａ＝（ｅＥ ０／ｍ）／（（ω ０２−ω ２） ２＋４β ２
ω ２ ） １／２ 、ｔａｎφ＝２βω／（ω ０ ２−ω ２ ）。ここでβ＝γ／２ｍ、ω ０２ ＝ｋ／ｍ。ｍは電子の質量。（ｂ）＜Ｐ＞＝βｅ ２Ｅ ０２ω ２／ｍ（（ω ０２−ω ２） ２＋４β ２ω ２）。ω＝ω ０の時、＜Ｐ＞ 最大＝ｅ ２Ｅ２０ ／４βｍ。
４．２３２．Ａ＝Ａ ０ｅｉ（ωｔ−ｋｘ）。ここでｋ＝２π／λ。
４．２３３．ｎ０＝４π２ε０ν０２ｍ／ｅ＝２．０×１０ ９／ｃｍ３。
４．２３４．
４．２３５．（ａ）ｕ＝３ｖ／２。（ｂ）ｕ＝２ｖ。（ｃ）ｕ＝ｖ／３。
４．２３６．ε＝１−Ａ／ω ２。ここでＡは正定数。
４．２３７．ｖ＝ｃ／ｎ＝０．６１ｃ。ｕ＝（１＋（Δｎ／Δλ）λ／ｎ）ｃ／ｎ＝０．６５ｃ。
４．２３８．
４．２３９．Ｉ＝（Ｉ０／２）ｅｘｐ（−κｌ）ｓｉｎ ２φ。ここでφ＝ＶｌＨ。
４．２４０．（ａ）Ｉ＝Ｉ ０（１−ρ） ２ｅｘｐ（−κｄ）。（ｂ）Ｉ＝Ｉ ０（１−ρ） ２σ（１＋σ ２ρ ２
＋σ ４ρ ４＋・・・）＝Ｉ０σ（１−ρ２）／（１−σ２ρ ２）。ここでσ＝ｅｘｐ（−κｄ）。
４．２４１．κ＝ｌｎ（τ１／τ２）／（ｄ２−ｄ１）＝０．３５／ｃｍ。
４．２４２．κ＝（１／ｌＮ）ｌｎ（（１−ρ２Ｎ）／τ）＝０．０３４／ｃｍ。
４．２４３．τ＝（１−ρ） ２ｅｘｐ（−（κ １＋κ２）ｌ／２）。
４．２４４．Ｉ＝Ｉ ０（１−ρ）２（ｅｘｐ（−κ １ｌ）−ｅｘｐ（−κ２ｌ））／（κ２−κ １）ｌ。
４．２４５．Δλ＝２λ０（ｌｎη／αｄ）１／２。
４．２４６．Ｉ＝（Φ／４πｂ２）（１−ρ）２ｅｘｐ（−κ（ｂ−ａ））。
４．２４７．ｅｘｐ（μｄ）＝６０倍小さくなる。
４．２４８．ｄ＝０．３ｍｍ。
４．２４９．ｄ＝ｌｎ２／μ＝８ｍｍ。
４．２５０．Ｎ＝ｌｎ（η）／ｌｎ２＝５．６。
２〜２

以下で ｈ〜＝ｈ／２π／ｃｍ・ｓ。（ｂ）ｒ＝（Ｐλ／２ｈ〜ｎ）

１３

５．１．（ａ）＜ｊ＞＝Ｐλ／８π ｃｈ ｒ ＝６×１０／２πｃ＝９ｍ。
５．２．２．５ｅＶ／ｃ。５．０ｋｅＶ／ｃ、０．３１ＭｅＶ／ｃ。ｃは光速度。
５．３．λ＝２πｃｈ〜／（Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ２）） １／２＝２．０ｐｍ。
５．４．ｖ＝ｃ／（１＋（ｍｃλ／２πｈ〜）２）１／２＝１．３×１０８ｍ／ｓ。
５．５．ｄｐ／ｄｔ＝Φエネルギー／ｃ。
５．６．＜ｐ＞＝４（１＋ρ）Ｅ／πｄ ２ｃτ＝５．０ＭＰａ（５０気圧）。
５．７．ｐ＝（Ｅ／ｃ）（１＋ρ２＋２ρｃｏｓ２θ） １／２＝３５ｎＮ・ｓ。
５．８．ｐ＝（Ｉ／ｃ）（１＋ρ）ｃｏｓ２θ＝０．６ｎＮ／ｃｍ２。
５．９．Ｆ＝πＲ２Ｉ／ｃ＝０．１８μＮ。
５．１０．Ｆ＝Ｐ／２ｃ（１＋η２）。
５．１１．（ａ）Δｐ＝２ｈ 〜ω（１−β２）１／２／ｃ（１−β）。（ｂ）Δｐ＝２ｈ〜ω／ｃ（１−β）。
ここでβ＝Ｖ／ｃ。
５．１２．ｓｉｎ（θ／２）≒Ｅ／ｍｃ（ｇｌ） １／２よりθ＝０．５°。
５．１３．Δω／ω ０＝−（１−ｅｘｐ（−γＭ／Ｒｃ ２））＜０、則ちω＜ω０。
５．１４．Ｕ＝２πｈ〜ｃ（１−１／η）／ｅΔλ＝１６ｋＶ。
５．１５．Ｕ＝πｈ 〜ｃ／ｅｄｓｉｎα＝３１ｋＶ。
５．１６．λ 最小＝２πｈ〜／ｍｃ（γ−１）＝２．８ｐｍ。ここでγ＝１／（１−（ｖ／ｃ）２）１／２。
５．１７．Ｕ＝３πｃｈ〜／ｅλｍ＝３５ｋＶ。
- 30 １／２

５．１８．３３２ｎｍ。６．６×１０５ｍ／ｓ。
５．１９．Ａ＝２πｃｈ〜（η２−λ２／λ１）／λ ２（η ２−１）＝１．９ｅＶ。
５．２０．φ 最大＝４．４Ｖ。
５．２１．Ｋ 最大＝ｈ 〜（ω ０＋ω）−Ａ脱出＝０．３８ｅＶ。
５．２２．ｗ＝２πｃｈ〜Ｊ／ｅλ＝０．０２０。
５．２３．ｖ 最大＝６．４×１０５ｍ／ｓ。
５．２４．０．５Ｖ。
５．２５．ｈ 〜／ｍｃ。
５．２６．ｈ 〜ω＋ｍｃ ２＝ｍ ｒｃ ２、ｈ 〜ω／ｃ＝ｍ ｒｖ、よりｍ ｒ＝ｍ／（１−（ｖ／ｃ） ２） １／２。これより、ｖ＝０，ｃ。
５．２７．
５．２８．λ＝２λ Ｃ（ｓｉｎ２（θ２／２）−ηｓｉｎ ２（θ１／２））／（η−１）＝１．２ｐｍ。
５．２９．Ｋ＝ｈ〜ωη／（１＋η）＝０．２０ＭｅＶ。
５．３０．（ａ）ω ＝２πｃ／（λ＋２πｈ 〜／ｍｃ）＝２．２×１０ ２０／ｓ。（ｂ）Ｋ＝２πｃｈ〜／λ（１＋λｍｃ／２πｈ〜）＝６０ｋｅＶ。
５．３１．ｈ 〜ω ＝ｈ〜ω／（１＋２（ｈ〜ω／ｍｃ２）ｓｉｎ（θ／２））＝１４４ｋｅＶ。
５．３２．ｓｉｎ（θ／２）＝（ｍｃ（ｐ−ｐ ）／２ｐｐ ） １／２。これよりθ＝１２０°。
５．３３．ｈ 〜ω＝（１＋（１＋２ｍｃ２／Ｋｓｉｎ２（θ／２））１／２）Ｋ／２＝０．６８ＭｅＶ。
５．３４．λ＝４πｃｈ〜／Ｋｍ（１＋（１＋２ｍｃ２／Ｋｍ）１／２）＝３．７ｐｍ。
５．３５．ｔａｎφ＝（４πｈ〜／ｍｃΔλ−１）１／２／（１＋ｈ〜ω／ｍｃ２）。これよりφ＝３１°。
５．３６．ρ＝２η（１＋η）ｍｃ／ｅＢ（１＋２η）＝３．４ｃｍ。
５．３７．λ −λ＝−λＣ（１−ｃｏｓθ）。
５．３８．ｒ＝３ｋｅ ２ ／２Ｅ＝０．１６ｎｍ。λ＝（２πｃ／ｅ）（ｍｒ ３ ／ｋ） １／２ ＝０．２４μｍ。
５．３９．ｂ＝０．７３ｐｍ。
５．４０．（ａ）ｒ 最小＝０．５９ｐｍ。（ｂ）ｒ 最小＝（２Ｚｋｅ ２／Ｋ）（１＋ｍ α／ｍ Ｌｉ）＝０．０３
４ｐｍ。ここでｋ＝１／４πε０。
５．４１．ρ 最小＝（Ｚｋｅ２／Ｋ）ｃｏｔ２（θ／２）＝０．２３ｐｍ。
（ｂ）ｒ最小＝（１＋ｃｏｓ（θ／２））Ｚｋｅ２／Ｋ＝０．５６ｐｍ。ここでｋ＝１／４πε ０。
５．４２．ｐ≒（８ｍＫ／（１＋（２ｂＫ／Ｚｋｅ２） ２） １／２。ここでｋ＝１／４πε０。
５．４３．ｂ＝Ｒｎｓｉｎ（θ／２）／（１＋ｎ ２−２ｎｃｏｓ（θ／２）） １／２。ここでｎ＝（１＋Ｕ０／Ｋ）１／２。
５．４４．（ａ）ｃｏｓ（θ／２）＝ｂ／（Ｒ＋ｒ）。（ｂ）ｄＰ＝（１／２）ｓｉｎθｄθ。（ｃ）
Ｐ＝１／２。
５．４５．３．３×１０−５。
５．４６．ｄ＝４Ｊｒ２Ｋ ２ｓｉｎ４（θ／２）／ｎＩＺ ２ｋ ２ｅ４＝１．５μｍ。ここでｎは核の密度。
ここでｋ＝１／４πε０。
５．４７．（ａ）１．６×１０ ６。（ｂ）ΔＮ＝Ｉ ０ τπｎｄ（Ｚｋｅ ２／Ｋ ２）ｃｏｔ ２（θ ０ ／２）＝
２．０×１０ ７。ここでｎは核の密度。ここでｋ＝１／４πε０。
５．４８．Ｐ＝πｎｄ（Ｚｋｅ ２／ｍｖ ２） ２＝０．００６。ここでｎは核の密度。ここでｋ＝１／４
πε ０。
５．４９．ΔＮ／Ｎ＝１−πｎＺ２ｋ ２ｅ ４／Ｋ ２ｔａｎ２（θ／２）＝０．６。ここでｋ＝１／４πε０。
５．５０．ΔＮ／Ｎ＝（πｋ ２ ｅ ４／４Ｋ ２）（０．７Ｚ １２ ／Ｍ １ ＋０．３Ｚ ２２ ／Ｍ ２）ρｄＮ Ａ ｃｏｔ ２（θ ０／２）＝１．４×１０ −３。ここでＺ １、Ｚ ２は銅と鉛の原子番号、Ｍ １とＭ ２はそれらの分子量、ＮＡはアボガドロ数。ここでｋ＝１／４πε０。
５．５１．Δσ＝π（Ｚｋｅ２／Ｋ）２ｃｏｔ ２（θ０／２）＝０．７３立方。ここでｋ＝１／４πε ０。
５．５２．（ａ）０．９ＭｅＶ。（ｂ）ｄσ／ｄΩ＝Δσ／４πｓｉｎ ４（θ／２）＝０．６４立方／ステラジアン。
５．５３．ｔ＝３ｍｃ３ｌｎ（η）／２ｋｅ２ω２＝１５ｎｓ。ここでｋ＝１／４πε ０。
５．５４．ｔ≒ｍ２ｃ３ｒ３／４ｋ２ｅ４＝１３ｐｓ。ここでｋ＝１／４πε ０。
５．５５．１．８８μｍ、０．６５７μｍ、０．４８６μｍ。
５．５６．
５．５７．ｒ ｎ＝（ｎｈ〜／ｍω）１／２。Ｅｎ＝ｎｈ 〜ω。ここでｎ＝１，２，・・、ω＝（κ／ｍ）１／２。
５．５８．ｒ ｎ ＝ｎ ２ｈ 〜２ ／ｍＺｋｅ ２ 。５２．９ｐｍ（Ｈ）、２６．５ｐｍ（Ｈｅ ＋）。ｖ ｎ＝ｋｅ ２Ｚ／ｎｈ〜。２．１８×１０６ｍ／ｓ（Ｈ）、４．３６×１０ ６ｍ／ｓ（Ｈｅ＋）。ここでｋ＝１／４πε０。
５．５９．ω＝ｍｋ ２ｅ４Ｚ２／ｈ〜３ｎ３＝２．０７×１０１６／ｓ。 ここでｋ＝１／４πε０。
５．６０．Ｅ 結合＝ｈ 〜ＲＺ ２、φｉ＝Ｅ結合／ｅ、φ１＝３ｈ〜ＲＺ２／４ｅ、λ＝８πｃ／３ＲＺ２。
Ｅ 結合（ｅＶ） φｉ（Ｖ）
φ１（Ｖ）
λ（ｎｍ）
Ｈ
１３．６
１３．６
１０．２
１２１．５
５４．５
５４．５
４０．８
３０．４
Ｈｅ＋
５．６１．ｈ 〜ω １＝５ｅφ１／２７＝７．６ｅＶ。
５．６２．Ｅ 最小＝８ｈ〜ＲＺ２／９＝４８．５ｅＶ。
５．６３．λ＝λ１λ２／（λ １−λ ２）＝２．６３μｍ。
５．６４．（ａ）６５７ｎｍ、４８７ｎｍ、４３４ｎｍ。（ｂ）λ／δλ≒（Ｎ＋３） ３／８＝１５０- 31 -

０。
５．６５．ｓｉｎθ＝πｃ（Ｎ＋２）３／ｌＲ＝０．８６５，よりθ＝６０°。
５．６６．Ｈｅ＋。
５．６７．Ｎ＝ｎ（ｎ−１）／２。
５．６８．９７．３ｎｍ、１０２．６ｎｍ、１２１．６ｎｍ。
５．６９．ｎ＝１／（１−πｃ（λ１＋λ２）／２λ１λ ２Ｒ）１／２＝４。
５．７０．Ｒ＝１７６πｃ／１５Ｚ２Δλ＝２．０７×１０１６／ｓ。
５．７１．Ｚ＝（１７６πｃ／１５ＲΔλ）１／２＝３。Ｌｉ＋＋。
５．７２．λ＝２πｃ（Ｚ（Ｒ／Δω） １／２−１）／Δω（２Ｚ（Ｒ／Δω）１／２−１）＝０．４７μｍ。
５．７３．Ｅ 結合＝（２００／２１）πｃｈ〜／λ＝５４．４ｅＶ（Ｈｅ＋）。
５．７４．Ｅ＝Ｅ０＋４ｈ 〜Ｒ＝７９ｅＶ。
５．７５．ｖ＝（２（ｈ 〜ω−４ｈ〜Ｒ）／ｍ）１／２＝２．２６×１０６ｍ／ｓ。ここでω＝２πｃ／λ。
５．７６．Ｋ 最小＝３ｈ〜Ｒ／２＝２０．５ｅＶ。
５．７７．ｖ＝３ｈ 〜Ｒ／４ｍｃ＝３．２７ｍ／ｓ。ここでｍは原子の質量。
５．７８．（ε−ε ）／ε＝３ｈ〜Ｒ／８ｍｃ２＝０．５５×１０ −６％。 ここでｍは原子の質量。
５．７９．ｖ＝２（ｈ〜Ｒ／ｍ）１／２＝３．１×１０６ｍ／ｓ。ここでｍは電子の質量。
５．８０．ｖ＝３ＲΔλ／８πｃｏｓθ＝０．７×１０６ｍ／ｓ。
５．８１．（ａ）Ｅ ｎ＝ｎ ２ π ２ ｈ 〜２ ／２ｍｌ ２。（ｂ）Ｅ ｎ＝ｎ ２ｈ 〜２ ／２ｍｒ ２。（ｃ）Ｅ ｎ＝ｎｈ 〜（α／ｍ）１／２。（ｄ）Ｅｎ＝−ｍα２／２ｈ〜２ｎ ２。
５．８２．Ｅ 結合＝μｋ２ｅ ４／２ｈ〜２、Ｒ＝μｋ２ｅ／２ｈ〜３。ここでμは系の換算質量。
５．８３．（ａ）Ｅ Ｄ−Ｅ Ｈ＝３．７ＭｅＶ。（ｂ）λＨ−λＤ＝３３ｐｍ。
５．８４．（ａ）０．２８５ｐｍ。（ｂ）２．５３ｋｅＶ。（ｃ）０．６５ｎｍ。
５．８５．（ａ）１０６ｐｍ。（ｂ）６．８ｅＶ。（ｃ）０．２４３μｍ。
５．８６．１２３ｐｍ、２．８６ｐｍ、０．１８６ｐｍ。
５．８７．（Ｋ／（Ｋ−Ｕ））１／２＝２．０倍増大。
５．８８．λ＝２πｈ〜／ρｅＢ＝１．８ｐｍ。
５．８９．ΔＥ＝（２π２ｈ〜２／ｍ）（１／λ２２−１／λ１２）＝０．４５ｋｅＶ。
５．９０．Ａ＝２π ２ｈ〜２／ｍλ２−ｐ２／２ｍ＝−０．２４ｋｅＶ。
５．９１．両方の粒子に対して、λ＝２πｈ〜（１＋ｍ ｎ／ｍｄ）／（２ｍ ｎＫ） １／２＝８．６ｐｍ。
５．９２．λ 〜＝２λ１λ２／（λ１２＋λ２２）１／２。
５．９３．λ＝２πｈ〜／（２ｍＫ（１＋Ｋ／２ｍｃ２））１／２。電子ではＫ≦４ｍｃ２Δλ／λ＝２０．
４ｋｅＶ、陽子では３７．５ＭｅＶ。
５．９４．Ｋ＝（２ １／２−１）ｍｃ ２＝０．２１ＭｅＶ。
５．９５．λ＝λＫ／（１＋ｍｃλ Ｋ／πｈ〜） １／２＝３．３ｐｍ。
５．９６．ｖ＝４πｈ〜ｌ／ｍｂΔｘ＝２．０×１０６ｍ／ｓ。
５．９７．Δｘ＝２πｈ〜ｌ／ｄ（２ｍｅＵ） １／２＝４．９μｍ。
５．９８．Ｕ ０＝π２ｈ〜２／２ｍｅ（η１／２−１）２ｄ２ｓｉｎ２θ＝０．１５ｋｅＶ。
５．９９．ｄ＝πｈ 〜ｋ／（２ｍＫ）１／２ｃｏｓ（θ／２）＝０．２１ｎｍ。ここでｋ＝４。
５．１００．ｄ＝πｈ〜ｋ／（２ｍＫ）１／２ｓｉｎθ＝０．２３ｎｍ。ここでｋ＝３、ｔａｎ２θ＝Ｄ／２ｌ。
５．１０１．（ａ）ｎ＝（１＋Ｕ ｉ／Ｕ） １／２＝１．０５。（ｂ）Ｕ／Ｕ ｉ≦１／（２＋η）η＝５０。
５．１０２．Ｅｎ＝ｎ２π２ｈ〜２／２ｍｌ２。ここでｎ＝１，２，・・。
５．１０３．
５．１０４．１×１０４ｃｍ／ｓ、１×１０ｃｍ／ｓ、１×１０ −２０ｃｍ／ｓ。
５．１０５．Δｖ≒ｈ〜／ｍｌ＝１×１０６ｍ／ｓ、ｖ１＝２．２×１０６ｍ／ｓ。
５．１０６．
５．１０７．Δｘ≒（ｈ〜／ｍΔｘ ０）ｔ＝１０００ｋｍ。
５．１０８．Ｋ最小≒ｈ〜２／２ｍｌ２＝１ｅＶここではｐ＝Δπ、Δｘ＝ｌ。
５．１０９．Δｖ／ｖ≒ｈ〜／ｌ（２ｍＫ）１／２＝１×１０ −４。
５．１１０．Ｆ≒ｈ 〜２／ｍｌ ３。
５．１１１．Δｘ≒ｈ〜ｌ／ｄ（２ｍｅＵ）１／２≒１０−６ｃｍ。
５．１１２．ｈ〜ω／２。
５．１１３．Ｅ最低＝−ｍｋ２ｅ２／２ｈ〜２＝−１３．６ｅＶ。ｒ有効≒ｈ〜２／ｍｋｅ２＝５３ｐｍ。
５．１１４．ｂ（ｈ 〜ｌ／ｍｖ）１／２＝０．０１ｍｍ。
５．１１５．（ａ）Ａ＝２／ａ ２、ｆ（ａ）＝２／ａ。（ｂ）＜ｘ＞＝２ａ／３、＜ｘ ２＞＝ａ ２／２。
５．１１６．ｘ確率＝ａ、＜ｘ＞＝３ａ／５。（ｂ）Ｐ＝１／８１／２＝０．３５３。
５．１１７．（ａ）ｘ 確率＝ａ／２、Ａ＝６／ａ ３、ｆ（ｘ 確率）＝３／２ａ。（ｂ）＜ｘ＞＝ａ／２、＜ｘ２＞＝３ａ２／１０。
５．１１８．（ａ）ｒ確率＝ａ／２。（ｂ）Ａ＝３／πａ２。（ｃ）＜ｒ＞＝ａ／２。
５．１１９．（ａ）ｒ確率＝ａ／３１／２。（ｂ）Ａ＝２／πａ２。（ｃ）＜ｒ＞＝８ａ／１５。

- 32 -

５．１２０．ｄＰ／ｄｘ＝１／π（ａ２−ｘ２）１／２。
５．１２１．（ａ）Ｎ ２＝η ２Ｎ １＝９００。（ｂ）Ｎ＝（１＋η） ２Ｎ １＝１
６００。（ｃ）Ｎ＝（１−η）２Ｎ １＝４００。
５．１２２．図４９参照。
５．１２３．Ψ（ｘ）∽ｅ ｉｋｘ、ここでｋ＝（２ｍＥ） １／２／ｈ 〜、Ｅは粒子のエネルギー。ｆ（ｔ）∽ｅ −ｉωｔ、ここでω＝Ｅ／ｈ 〜。結果Ψ＝ａｅｉ（ｋｘ−ωｔ）。ａは任意定数。
５．１２４．ｌ＝πｈ 〜（（ｎ ２２−ｎ １２）／２ｍΔＥ） １／２＝２．５ｎｍ。
５．１２５．Ｐ＝１／３＋３ １／２／２π＝０．６１。
５．１２６．Ｅ＝αｈ〜２／８ｍ。
５．１２７．ｌ＝２／Ｐｍ、Ｅ＝（πｈ〜Ｐｍ） ２／８ｍ。
５．１２８．Ｅ＝（ｈ〜２／２ｍ）（πａ２／２）２／３。
５．１２９．ｎ＝１，３，５，・・の時、Ψ＝Ａｃｏｓ（πｎｘ／ｌ）。
ｎ＝２，４，６，・・の時、Ψ＝Ａｓｉｎ（πｎｘ／ｌ）。ここでＡ＝（２／ｌ）１／２。
５．１３０．ｄＮ／ｄＥ＝（ｌ／πｈ 〜）（ｍ／２Ｅ） １／２。Ｅ＝１ｅＶの時、１ｅＶ幅にｄＮ／ｄＥ＝０．８×１０７準位。
１．１３１．（ａ）Ｅ ｎ１ｎ２＝（ｎ １２／ｌ １２＋ｎ ２２／ｌ ２２）π ２ｈ 〜２／２ｍ。（ｂ）９．８７ｈ 〜２／ｍｌ
２、２４．７ｈ〜２／ｍｌ２、３９．５ｈ〜２／ｍｌ２、４９．４ｈ〜２／ｍｌ２。
５．１３２．Ｐ＝１／３−３ １／２／４π。
（ｂ）ΔＥ＝π２ｈ 〜２／２ｍａ ２。
（ｃ）
５．１３３．
（ａ）Ｅ＝（ｎ １２＋ｎ２２＋ｎ３２）π２ｈ 〜２／２ｍａ２。
２
２
２
２
〜２
２
ｎ１ ＋ｎ２ ＋ｎ３ ＝１４、Ｅ＝７π ｈ ／２ｍａ 、状態数は６（１，２，３の組み合わせ）。
５．１３４．
５．１３５．（ａ）図５０参照。（ｂ）（ｌ ２Ｕ ０） １最小＝π ２ｈ 〜２／８ｍ、（ｌ ２Ｕ ０） ｎ最小＝（２ｎ−１）
π２ｈ〜２／８ｍ。
５．１３６．１４．９％。
５．１３７．Ｅ１＝π２ｈ〜２／１８ｍａ２。
５．１３８．Ｅｎ＝ｎ２π２ｈ〜２／２ｍｒ０２。
５．１３９．（ａ）Ψ（ｒ）＝（２πｒ ０ ） −１／２ ｓｉｎ（ｎπｒ／ｒ ０）／ｒ、ｎ＝１，２，・・・。（ｂ）ｒ 確率＝ｒ ０／２。５０％。
５．１４０．（ｂ）ｒ０２Ｕ０＝π２ｈ〜２／８ｍ。
５．１４１．α＝ｍω／２ｈ 〜 、Ｅ＝ｈ 〜 ω／２、ここでω＝（ｋ／ｍ）１／２。
５．１４２．Ｅ＝αｈ 〜２ ／ｍ、Ｕ（ｘ）＝（２α ２ｈ 〜２／ｍ）ｘ２。
５．１４３．（ａ）Ａ＝１／（πｒ １３） １／２。（ｂ）ｒ １＝４πε ０ｈ 〜２／ｍｅ ２、Ｅ＝−ｈ 〜２／２ｍｒ ２＝−（１／４πε０）ｍｅ ４／２ｈ〜２。
５．１４４．Ｅ＝−（１／４πε０）２ｍｅ４／８ｈ〜２。
５．１４５．（ａ）ｒ確率＝ｒ １。（ｂ）Ｐ＝１−５／ｅ２＝０．３２３．
５．１４６．＜ｒ＞／ｒ確率＝３／２。
５．１４７．Ｐ＝１３／ｅ４＝０．２３８。
５．１４８．（ａ）＜Ｆ＞＝２（１／４πε ０）ｅ ２／ｒ １。（ｂ）＜Ｕ＞＝−（１／４πε ０）ｅ ２／ｒ１。
５．１４９．（ａ）ｒ確率＝４ｒ１。（ｂ）＜ｒ＞＝５ｒ１。
５．１５０．＜ｒ＞＝ａ／２。
５．１５１．＜Ｕ＞＝ｈ〜（κ／８ｍ）１／２。
５．１５２．（ａ）＜ｘ＞＝０。（ｂ）＜ｐｘ＞＝ｈ 〜ｋ。
５．１５３．φ ０ ＝∫（１／４πε ０）（ρ／ｒ）４πｒ ２ｄｒ＝−（１／４πε ０ ）ｅ／ｒ １ 。ここで
ρ＝−ｅΨ２。
５．１５４．（ａ）Ｒ＝（ｂ １／ａ １） ２＝（ｋ １−ｋ ２） ２／（ｋ １＋ｋ ２） ２。ここでｋ １＝（２ｍＥ） １／
２／ｈ〜、ｋ２＝（２ｍ（Ｅ−Ｕ０））１／２／ｈ 〜。（ｂ）ｘ実効＝１／２κ。ここでκ＝（２ｍ（Ｕ０−Ｅ））
１／２
／ｈ 〜。
５．１５５．Ｄ＝ｅｘｐ（−（２ｌ／ｈ 〜）（２ｍ（Ｕ ０−Ｅ）） １／２）。
５．１５６．Ｄ＝ｅｘｐ（−（４ｌ（２ｍ）１／２／３ｈ 〜Ｕ ０）（Ｕ０−Ｅ）３／２）。
５．１５７．Ｄ＝ｅｘｐ（−（πｌ／ｈ 〜）（２ｍ／Ｕ ０） １／２（Ｕ０−Ｅ））。
５．１５８．α＝（ｈ〜Ｒ／Ｅ結合） １／２−ｎ＝−０．４１、−０．０４
５．１５９．α＝（ｈ〜Ｒ／（Ｅ０−ｅφ １））１／２−３＝−０．８８。
５．１６０．Ｅ結合＝ｈ〜Ｒ／（（Ｒλ１λ２／２πｃΔλ）１／２−１） ２＝５．３ｅＶ。
５．１６１．０．８２μｍ（３Ｓ→２Ｐ）、０．６７μｍ（２Ｐ→２Ｓ）。
５．１６２．ΔＥ＝２πｈ〜ｃΔλ／λ２＝２．０ＭｅＶ。
５．１６３．Δω＝１．０４４×１０１４／ｓ
５．１６４． ３Ｓ １／２、３Ｐ １／２、３Ｐ ３／２， ３Ｄ３／２， ３Ｄ５／２。
５．１６５．
（ａ）１，２，３，４，５。
（ｂ）０，１，２，３，４，５，６。
（ｃ）１／２，３／２，
５／２，７／２，９／２。
- 33 -

５．１６６． ４Ｐではｈ〜（３／４）１／２、ｈ〜（１５／４） １／２，ｈ〜（３５／４）１／２。５Ｄでは０，ｈ２１／２、ｈ〜６１／２、ｈ〜１２１／２、ｈ〜２０１／２。
５．１６７．（ａ） ２Ｆ７／２、Ｍ最大＝ｈ 〜（６３／４）１／２。（ｂ）３Ｆ４、Ｍ最大＝２ｈ〜／５１／２。
５．１６８．Ｆ状態では、Ｍ Ｓ＝ｈ≒６１／２。Ｄ状態では、ＭＳ≧ｈ〜６１／２のみ。
５．１６９．３，４，５
５．１７０．ＭＬ＝ｈ〜３０１／２。５Ｈ３。
５．１７１．（ａ）１，３，５，７，９。（ｂ）２，４，６。（ｃ）５，７，９。
５．１７２．３１．１°。
５．１７３． １Ｐ １， １Ｄ２，１Ｆ３、３Ｐ０，１，２，３Ｄ１，２，３，３Ｆ２，３，４。
５．１７４．前問と同じ。
５．１７５．２番目と３番目。
５．１７６．ｇ＝４＋６＝１０。
５．１７７．おのおの４，７，１０。
５．１７８． ３Ｆ ３。
５．１７９．Ａｓ（Ｚ＝３３）。
５．１８０．（ａ） ４Ｓ３／２。（ｂ）３Ｐ２。
５．１８１．（ａ） ４Ｆ３／２、ｈ〜（１５／４）１／２。（ｂ） ４Ｆ ９／２、ｈ〜３（１１／４）１／２。
５．１８２．（ａ）２つのｄ電子。（ｂ）５つのｐ電子。（ｃ）５つのｄ電子。
５．１８３．（ａ）３Ｐ０。（ｂ）４Ｆ９／２。
５．１８４．４Ｆ３／２。
５．１８５．τ＝ｌ／ｖｌｎ（η）＝１．３μｓ。
５．１８６．Ｎ＝λτＰ／２πｃｈ〜＝７×１０９。
５．１８７．１５４ｐｍ。
５．１８８．（ａ）Ａｌで８４３ｐｍ、Ｃｏで１８０ｐｍ。（ｂ）ΔＥ≒５ｋｅＶ。
５．１８９．３つ。
５．１９０．１５ｋＶ。
５．１９１．是。
５．１９２．Ｚ＝１＋２（（ｎ−１）ｅＵ１／３ｈ〜Ｒ（ｎ−Ｕ１／Ｕ２）） １／２＝２９。
５．１９３．Ｚ＝１＋２（Δω／３ｒ） １／２＝２２。チタン。
５．１９４．Ｅ結合＝（３／４）ｈ〜Ｒ（Ｚ−１）２＋２πｃｈ〜／λＬ＝５．５ｋｅＶ。
５．１９５．ＥＬ＝ｈ〜ω／（２πｃ／ωΔλ−１）≒０．５ｋｅＶ、ここでω＝（３／４）Ｒ（Ｚ−１） ２。
５．１９６．Ｚ＝１＋（８πｃ／３Ｒλ α） １／２＝２２（Ｔｉ）、λ＝λ αλ β／（λ α−λ β）＝０．２
９ｎｍ。
５．１９７．Ｋ＝（３／４）ｈ〜Ｒ（Ｚ−１） ２−２πｃｈ 〜／λ Ｋ＝１．４７ｋｅＶ、ｖ≒２．３×１
０７ｍ／ｓ。
５．１９８．（ａ）ｇ＝２。（ｂ）ｇ−１。
５．１９９．（ａ）−２／３。（ｂ）０。（ｃ）１．（ｄ）５／２。（ｅ）０／０。
５．２００．（ａ）１２１／２μＢ。（ｂ）（１２／５）１／２μＢ。（ｃ）（６４／３） １／２μＢ。
５．２０１．ＭＳ＝ｈ〜（１２）１／２。
５．２０２．μ＝（３５）１／２μＢ（６Ｓ５／２）。
５．２０３．μ＝（６３／５）１／２μＢ。
５．２０４．μ＝５・（５／４）１／２μＢ。
５．２０５．Ｍ＝ｈ 〜（３／４）１／２。
５．２０６． ５Ｆ １。
５．２０７．ω＝μ ＢｇＢ／ｈ〜＝１．２×１０１０ラジアン／ｓ、ここでｇはランデ因子。
５．２０８．Ｆ 最大＝ｐ ｍ｜∂Ｂ／∂ｚ｜＝（μ ０／４π）ｇＪμ Ｂ（３π／８ １／２）Ｉ／ｒ ２＝４．１×
１０ −２７Ｎ。
５．２０９．Ｆ＝（μ０／４π）μ Ｂ２Ｉ／ｒ２＝３×１０−２６Ｎ。
５．２１０．∂Ｂ／∂ｚ＝２Ｋｘ／ｇＪμＢｌ １（ｌ１＋２ｌ２）＝０．１５ｋＴ／ｍ。
５．２１１．（ａ）分裂しない。（ｂ）６つに分裂。（ｃ）分裂しない。
５．２１２．ΔＥ＝２ｇＪμ ＢＢ。（ａ）５．８×１０ −５ｅＶ。（ｂ）１．４５×１０−４ｅＶ。
５．２１３．（ａ）単純。（ｂ）複雑。（ｃ）単純。（ｄ）単純。
５．２１４．Ｌ＝ΔＥ／２μ ＢＢ＝３。１Ｆ３。
５．２１５．Δλ＝λ２μ ＢＢ／πｃｈ〜。
５．２１６．Ｂ最小＝０．４０Ｔ。
５．２１７．Ｂ＝ｈ 〜Δω／ｇμＢ＝０．３０Ｔ。
５．２１８．ランデ因子ｇ＝ｈ〜Δω／２μＢＢ≒３／２。Ｓ＝２とκ＝２Ｓ＋１＝５。
５．２１９． ２Ｐ ３／２。
５．２２０． （ａ）２：１。（ｂ）Ｂ＝２πｃｈ〜Δλ／ｇμＢηλ２＝０．５５Ｔ。
５．２２１．Δω＝（±１．３，±４．０，±６．６）×１０１０／ｓ。６重線。
５．２２２．（ａ）６重線（１）と４重線（２）。（ｂ）９重線（１）と６重線（２）。
５．２２３．Δω＝２（ｍ１ｇ１−ｍ２ｇ２）最大μＢＢ／ｈ 〜＝１．０×１０１１／ｓ。
５．２２４．ω＝４・２ １／２ｈ 〜／ｍｄ ２＝１．５７×１０ １１ラジアン／ｓ。ここでｍは分子の質量。
５．２２５．２と３。
- 34 〜５．２２６．Ｍ＝（ｍｄ２Ｅ／２） １／２≒３．５ｈ 〜。ここでｍは分子の質量。
５．２２７．ｒ＝ΔＥ１／（ΔＥ２−ΔＥ １）＝２、Ｉ＝ｈ〜２／（ΔＥ２−ΔＥ１）＝０．７×１０−３８ｇ
・ｃｍ２。
５．２２８．ω＝（（１＋８ＥＩ／ｈ 〜２）１／２−１）ｈ 〜／２Ｉ＝１．８×１０１２／ｓ。
５．２２９．Ｉ＝ｈ 〜／Δω＝１．９３×１０ −４０ｇ・ｃｍ ２。ｄ＝１１２ｐｍ。
５．２３０．１３準位。
５．２３１．Ｎ≒（２Ｉω／ｈ〜） １／２＝３３。ωは固有振動数。
５．２３２．ｄＮ／ｄＥ＝α／２（ｒ＋１）＝α／（１＋（１＋４αＥ） １／２）。ここでα＝２Ｉ／
ｈ 〜２、Ｉは分子の慣性モーメント。ヨウ素においてｒ＝１０の時、ｄＮ／ｄＥ＝１．０×１０ ４準位／ｅＶ。
（ａ）３６。
（ｂ）１７０。
（ｃ）
５．２３３．Ｅ 振動／Ｅ回転＝ωμｄ ２／ｈ〜。ここでμは分子の換算質量。
２９００。
５．２３４．ｄ＝（２ｈ〜／μΔω）１／２＝０．１３ｎｍ。ここでμは分子の換算質量。
５．２３５．λ＝λ ０／（１∓ωλ ０／２πｃ）＝４２３ｎｍと３８７ｎｍ。
５．２３６．ω＝πｃ（λＫ−λΦ）／λ ＫλΦ＝１．３７×１０１４／ｓ。κ＝４．９７Ｎ／ｃｍ。
５．２３７．２×１０１１ｋｇ／ｃｍ３。１×１０３８核子／ｃｍ３。
５．２３８． ８Ｂｅ。Ｅ結合＝５６．５ＭｅＶ。
５．２３９．（ａ）８．０ＭｅＶ。（ｂ）１１．５ＭｅＶと８．７ＭｅＶ。（ｃ）１４．５ＭｅＶ。
５．２４０．Ｅｎ−Ｅｐ＝０．２２ＭｅＶ。
５．２４１．Ｅ＝２０εＮｅ−２・４εα−１２εＣ＝１１．９ＭｅＶ。ここでεは対応している原子核中の１個の核子当たりの結合エネルギー。
５．２４２．（ａ）８．０２２５ａ．ｅ．ｍ．。（ｂ）１０．０１３５ａ．ｅ．ｍ．。
５．２４３．（ａ）Ｐ＝１−ｅｘｐ（−λｔ）。（ｂ）τ＝１／λ。
５．２４４．約１／４。
５．２４５．１．２×１０１５。
５．２４６．τ≒１６ｓ。
５．２４７．Ｔ＝５．３昼夜。
５．２４８．０．８５×１０ ６ベクレル。
５．２４９．λ＝−（１／ｔ）ｌｎ（１−η）≒η／ｔ＝１．１×１０−５／ｓ。τ＝１／λ＝１．０
昼夜。
５．２５０．Ｔ＝４．５×１０９年。
５．２５１．ｔ＝Ｔ・ｌｎη／ｌｎ２＝４１００年。
５．２５２．ｔ＝Ｔ・ｌｎ（１＋１／η）／ｌｎ２＝２．０×１０ ９年。
５．２５３．各々、３．２×１０１７ベクレル／年、０．８×１０５ベクレル／年。
５．２５４．Ｖ＝（Ａ／Ａ ）ｅｘｐ（−（ｔ／Ｔ）ｌｎ２）＝６年。
５．２５５．０．１９％。
５．２５６．ｔ＝−（Ｔ／ｌｎ２）ｌｎ（１−Ａ／ｑ）＝９．５昼夜。
５．２５７．（ａ）Ｎ ２（ｔ）＝Ｎ １０（ｅｘｐ（−λ １ｔ）−ｅｘｐ（−λ ２ｔ））λ１／（λ ２−λ １）。
（ｂ）ｔｍ＝ｌｎ（λ１／λ２）／（λ１−λ２）。
５．２５８．（ａ）Ｎ２（ｔ）＝λＮ１０ｔｅ −λｔ。（ｂ）ｔ ｍ＝１／λ。
５．２５９．（ａ） ２０６Ｐｂ。（ｂ）８回のα崩壊と６回のβ崩壊。
５．２６０．ｖ＝（２ｍαＫα）１／２／ｍ＝３．４×１０ ５ｍ／ｓ。ｍは娘核の質量。０．０２０．
５．２６１．１．６ＭＪ。
５．２６２．０．８２ＭｅＶ。
５．２６３．（ａ）６．１ｃｍ。（ｂ）各々２．１×１０ ５、０．７７×１０５。
５．２６４．β −崩壊とＫ捕獲の時、Ｑ＝（Ｍ 母−Ｍ 娘）ｃ ２。β ＋崩壊の時、Ｑ＝（Ｍ 母−Ｍ 娘−２ｍ）
ｃ ２。
５．２６５．０．５６ＭｅＶ、４７．５ｅＶ。
５．２６６．５ＭＪ。
５．２６７．０．３２ＭｅＶ、０．６５ＭｅＶ。
５．２６８．Ｋ≒Ｑ（Ｑ＋２ｍｃ ２）／２ＭＮｃ２＝０．１１ｋｅＶ。ここでＱ＝Ｍ Ｎ−Ｍ Ｃ−２ｍ）ｃ ２。
ｍは電子の質量。
５．２６９．ｖ＝ｃ（ｍＢｅ−ｍＬｉ）／ｍ Ｌｉ＝４０ｋｍ／ｓ。
５．２７０．０．４５ｃ。
５．２７１．Δε／ε＝Ｅ／２ｍｃ２＝３．６×１０−７。ここでｍは原子核の質量。
５．２７２．ｖ≒ε／ｍｃ＝０．２２ｋｍ／ｓ。ここでｍは原子核の質量。
５．２７３．ｖ＝ｇｈ／ｃ＝６．５μｍ／ｓ。
５．２７４．ｈ最小＝ｈ〜ｃ ２／ｇετ＝４．６ｍ。
５．２７５．Ｋ＝Ｋ α／（１＋（Ｍ−ｍ） ２／４ｍＭｃｏｓ ２θ）＝６．０ＭｅＶ。ここでｍとＭはα粒子とリチウム原子核の質量。
５．２７６．（ａ）η＝４ｍＭ／（ｍ＋Ｍ） ２＝０．８９。（ｂ）η＝２ｍ／（ｍ＋Ｍ）＝２／３。ここでｍとＭは中性子と重陽子の質量。
５．２７７．θ最大＝ａｒｃｓｉｎ（ｍ１／ｍ２）＝３０°。
５．２７８．（ａ）ｄ。（ｂ）１７Ｆ。（ｃ）α。（ｄ）３７Ｃｌ。
５．２７９．Ｑ＝（Ｅ３＋Ｅ４）−（Ｅ１＋Ｅ２）。
- 35 -

５．２８０．（ａ）８．２×１０１０ｋＪ、２．７×１０６ｋｇ。（ｂ）１．５ｋｇ。
５．２８１．５．７４×１０ ７ｋＪ。２×１０ ４ｋｇ。
５．２８２．２．７９ＭｅＶ。０．８５ＭｅＶ。
５．２８３．Ｑ＝８εα−７εＬｉ＝１７．３ＭｅＶ。
５．２８４．Ｑ＝（１＋η ｐ）Ｋ ｐ−（１−η α）Ｋ α−２（η ｐη αＫ ｐＫ α） １／２ｃｏｓθ＝−１．２Ｍ
ｅＶ。ここでηｐ＝ｍｐ／ｍＯ、ηα＝ｍα／ｍＯ。
５．２８５．（ａ）−１．６５ＭｅＶ。（ｂ）６．８２ＭｅＶ。（ｃ）−２．７９ＭｅＶ。（ｄ）３．
１１ＭｅＶ。
５．２８６．ｖα＝０．９２×１０ ７ｍ／ｓ、ｖＬｉ＝０．５３×１０ ７ｍ／ｓ。
５．２８７．１．９ＭｅＶ。
５．２８８．Ｋｎ＝（Ｑ＋（１−ｍ α／ｍ Ｃ）Ｋ）／（１＋ｍｎ／ｍＣ）＝８．５ＭｅＶ。
５．２８９．９．１ＭｅＶ、１７０．５°。
５．２９０．
５．２９１．Ｋ≧Ｅ 結合（ｍｐ＋ｍｄ）／ｍ ｄ＝３．３ＭｅＶ。
５．２９２．１．８９ＭｅＶから２．０６ＭｅＶの範囲内。
５．２９３．Ｑ＝−（１１／１２）Ｋしきい値＝−３．７ＭｅＶ。
５．２９４．各々１．８８ＭｅＶ、５．７５ＭｅＶ。
５．２９５．４．４ＭｅＶ、５．３×１０６ｍ／ｓ。
５．２９６．Ｋ α ＝（１／（ｍ ３＋ｍ ４ ）（（ｍ ４ −ｍ １）Ｋ−（ｍ ２ ｍ ４ ／（ｍ １ ＋ｍ ２））Ｋ しきい値 ）＝２．
２ＭｅＶ。ここでｍ １，ｍ ２，ｍ３，ｍ４は中性子、 １２Ｃ原子核、α粒子、９Ｂｅ原子核の質量。
５．２９７．Ｅ結合／２ｍｃ２＝０．０６％。ここでｍは重陽子の質量。
５．２９８．Ｅ＝Ｑ＋２Ｋ／３＝６．５ＭｅＶ。
５．２９９．Ｅ＝Ｅ結合＋Ｋ ｉｍＣ／（ｍｄ＋ｍＣ）＝１６．９ＭｅＶ、１６．９ＭｅＶ、１７．５ＭｅＶ、
１７．７ＭｅＶ。ここでＥ結合は中間原子核中の重陽子の結合エネルギー。
５．３００．σ＝（Ｍ／ＮＡρｄ）ｌｎη＝２．５立方。ここでＭはカドミウムのモル質量、ＮＡはア
ボガドロ定数、ρはカドミウムの密度。
５．３０１．Ｉ０／Ｉ＝ｅｘｐ（（２σ１＋σ２）ｎｄ）＝２０。ここでｎは重水素分子の濃度。
５．３０２．ｗ＝（１−ｅｘｐ（−（σ ｓ＋σ ａ ）ｎｄ））σ ｓ／（σ ｓ＋σ ａ ）＝０．３５。ここでｎは鉄原子核の濃度。
５．３０３．（ａ）Ｔ＝（ｗ／ｋ）ｌｎ２。（ｂ）ｗ＝ＡＴｅ／Ｉｔｌｎ２＝０．００２。
５．３０４．（ａ）ｔ＝η／σＪ＝３×１０６年。（ｂ）Ｎ最大＝ＪσＮ ０Ｔ／ｌｎ２＝１．０×１０１３。
ここでＮ０は薄膜中の１９７Ａｕ原子核の数。
５．３０５．Ｎ＝（１−ｅ−λｔ）Ｊｎσ／λ。
５．３０６．Ｊ＝Ａｅ λｔ／σＮ ０（１−ｅ −λｔ）＝６×１０ ９／ｃｍ ２・ｓ。ここでλは崩壊定数、Ｎ ０
は薄無く中のＡｕ原子核の数。
５．３０７．Ｎ＝Ｎ ０ｋｉ−１＝１．３×１０５。ここでｉは世代数。
５．３０８．Ｎ＝νＰ／Ｅ＝０．８×１０１９／ｓ。
５．３０９．（ａ）Ｎ／Ｎ０＝４００。（ｂ）Ｔ＝τ／（ｋ−１）＝１０ｓ。
５．３１０．Ｋ＝ｍｃ ２（（１＋（ｐ／ｍｃ ２）） １／２−１）＝５．３ＭｅＶ、０．４３ＧｅＶ、９．１
ＧｅＶ。
５．３１１．＜ｌ＞＝ｃτ０（η（η＋２））１／２＝１５ｍ。
５．３１２．τ０＝ｌｍｃ／（Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ ２））１／２＝２６ｎｓ。ここでｍは中間子の質量。
５．３１３．Ｊ／Ｊ ０＝ｅｘｐ（−ｌｍｃ／τ ０（Ｋ（Ｋ＋２ｍｃ ２）） １／２）＝０．２２。ここでｍはπ中間子の質量。
５．３１４．Ｋμ＝（ｍπ−ｍ μ）ｃ ２／２ｍπ＝４．１ＭｅＶ。Ｅ ν＝２９．８ＭｅＶ。
５．３１５．Ｋ＝（（ｍΣ−ｍｎ）２−ｍπ２）ｃ２／２ｍΣ＝１９．５ＭｅＶ。
５．３１６．Ｋ最大＝（ｍμ−ｍｅ）２ｃ２／２ｍμ＝５２．５ＭｅＶ。
５．３１７．ｍｃ２＝ｍｐｃ２＋Ｋ＋（ｍπ２ｃ４＋Ｋ（Ｋ＋２ｍｐｃ ２））１／２＝１１１５ＭｅＶ。Λ粒子。
５．３１８．τ＝τ ０（１＋（ｍ μ／ｍ Ｋ） ２）ｍ Ｋ／２ｍ μ＝５．４μｓ。ここでτ ０は静止している中間子の平均寿命。
５．３１９．Ｅν＝（ｍπ２−ｍμ２）ｃ４／２（ｍπｃ２＋Ｋ）＝２２ＭｅＶ。
５．３２０．ｍｃ２＝（（ｍΣ２＋ｍ π２）ｃ４−２（ｍΣｃ ２＋ＫΣ）（ｍπｃ２＋Ｋ））１／２。
５．３２１．Ｋ π＝ｍ π ｃ ２ （ｃｏｓ（θ／２）−１）。Ｅ γ＝ｍ π ｃ ２／２ｓｉｎ（θ／２）。θ＝６０°の時、Ｋπ＝Ｅ γ＝ｍπｃ ２。
５．３２３．ｃｏｓ（θ／２）＝１／（１＋２ｍｃ２／Ｋ）１／２。これよりθ＝９９°。
５．３２４．（ａ）ε しきい値 ＝４ｍ ｅ ｃ ２＝２．０４ＭｅＶ。（ｂ）ε しきい値＝２ｍ πｃ ２ （１＋ｍ π／ｍ ｐ）＝３２０ＭｅＶ。
５．３２５．１．８ＭｅＶ。
５．３２６．（ａ）Ｋ しきい値＝６ｍ ｐｃ ２＝５．６ＧｅＶ。（ｂ）Ｋ しきい値＝ｍπｃ ２（４ｍ ｐ＋ｍ π）／２ｍ ｐ＝０．２８ＧｅＶ。
５．３２７．（ａ）０．９０ＧｅＶ。（ｂ）０．７７ＧｅＶ。
５．３２８．（ａ）Ｋ ｅ＝２ｍ ｐｃ ２ （２＋ｍ ｐ ／ｍ ｅ ）＝３４４９ＧｅＶ。（ｂ）ｈ 〜ω＝２ｍ ｐｃ ２（１＋ｍ ｐ／ｍｅ）＝３４４７ＧｅＶ。
５．３２９．Ｎ 最大＝（２（（１＋Ｋ／２ｍ ｐｃ ２ ） １／２−１）ｍ ｐ／ｍ π）＝１０。ここでカギ括弧は整数値をとることを意味している。
- 36 -

５．３３０．Ｓ＝−２。Ｙ＝−１。Ξ０粒子。
５．３３１．１，２，３が禁止。
５．３３２．２，４，５が禁止。
５．３３３．（１）はエネルギーで。残りは保存則違反。（２）バリオン荷電。（３）電荷。（４）ス
トレンジネス。（５）レプトン荷電。（６）ミューオン荷電。
５．３３４．ｐ（ｕｕｄ）。ｎ（ｕｄｄ）。Σ −（ｄｄｓ）。
５．３３５．π＋（ｕｄ〜）。Ｋ−（ｕ〜ｓ）。Ｋ ０（ｄ 〜ｓ）。
５．３３６．Ｋ＋（ｕｓ〜）。Λ（ｕｄｓ）。Ω −（ｓｓｓ）。
６．１．ｍ＝ρＶΔｐ／ｐ０＝３０ｇ。ｐ０は常大気圧。
６．２．ｐ＝（ｐ１Ｔ２／Ｔ１−Δｐ）／２＝１０ｋＰａ（０．１０気圧）
６．３．ｍ＝ｐＭＶｌｎ（Ｔ ２／Ｔ １）／Ｒ（Ｔ２−Ｔ１）。
６．４．ｍ１／ｍ ２＝（１−ａ／Ｍ２）／（ａ／Ｍ１−１）＝０．５０。ここでａ＝ｍＲＴ／ｐＶ。
６．５．ρ＝ｐ０（ｍ１＋ｍ２）／ＲＴ（ｍ １／Ｍ１＋ｍ２／Ｍ２）＝１．５ｇ／リットル。
６．６．（ａ）ｐ＝（ν １＋ν ２＋ν ３）ＲＴ／Ｖ＝０．２０ＭＰａ（２．０気圧）。（ｂ）Ｍ＝（ν １Ｍ
１＋ν ２Ｍ ２＋ν ３Ｍ ３）／（ν １＋ν ２＋ν ３）＝３６．７ｇ／モル。
６．７．Ｔ ＝Ｔ（η−１／η）／（η −１／η ）＝４２０Ｋ。
６．８．ｎ＝ｌｎη／ｌｎ（１＋ΔＶ／Ｖ）。
６．９．ｐ＝ｐ０ｅｘｐ（−Ｃｔ／Ｖ）。
６．１０．ｔ＝（Ｖ／Ｃ）ｌｎη＝１．０分。
６．１１．ΔＴ＝（ｍｇ＋ｐ ０ΔＳ）ｌ／Ｒ＝０．９Ｋ。
６．１２．（ａ）Ｔ 最大＝（２ｐ０／３Ｒ）（ｐ０／３α）１／２。（ｂ）Ｔ 最大＝ｐ０／ｅβＲ。
６．１３．ｐ 最小＝２Ｒ（αＴ ０）１／２。
６．１４．ｄＴ／ｄｈ＝−Ｍｇ／Ｒ＝−３３ｍＫ／ｍ。
６．１５．ｄＴ／ｄｈ＝−Ｍｇ（ｎ−１）／ｎＲ。
６．１６．０．５４気圧、１．９気圧。
６．１７．（ａ）ｈ＝ＲＴ／Ｍｇ＝８．０ｋｍ。（ｂ）ｈ≒ηＲＴ／Ｍｇ＝０．０８ｋｍ。
６．１８．ｍ＝（１−ｅ−Ｍｇｈ／ＲＴ）ｐ０Ｓ／ｇ。
６．１９．ｈ Ｃ＝ ０∫ ∞ｈρｄｈ／０∫∞ρｄｈ＝ＲＴ／Ｍｇ。
６．２０．（ａ）ｐ＝ｐ ０ （１−ａｈ） ｎ、ｈ＜１／ａ。（ｂ）ｐ＝ｐ ０／（１＋ａｈ） ｎ 。ここでｎ＝Ｍｇ／ａＲＴ ０。
６．２１．ｐ＝ｐ０ｅｘｐ（Ｍω２ｒ２／２ＲＴ）。
６．２２．ｐ＝ρＲＴ／Ｍ＝２８０気圧、ｐ＝ρＲＴ／Ｍ（Ｍ−ρｂ）−ａρ ２／Ｍ ２＝８０気圧。
６．２３．
（ａ）Ｔ＝ａ（Ｖ−ｂ）（１＋η）／（ＲＶ（ηＶ＋ｂ）＝１３３Ｋ。
（ｂ）ｐ＝ＲＴ／（Ｖ−ｂ）−ａＶ ２＝９．９気圧。
６．２４．ａ＝Ｖ２（Ｔ １ｐ ２−Ｔ２ｐ １）／（Ｔ ２−Ｔ１）＝０．１９Ｐａ・ｍ６／モル ２。ｂ＝Ｖ−Ｒ（Ｔ
２−Ｔ １）／（ｐ ２−ｐ １）＝０．０４２リットル／モル。
６．２５．Ｕ＝ｐＶ／（γ−１）＝１０ＭＪ。
６．２６．Ｔ＝Ｔ １Ｔ ２（Ｐ １Ｖ １＋ｐ ２Ｖ ２）／（ｐ １Ｖ １Ｔ ２＋ｐ ２Ｖ ２Ｔ １）、ｐ＝（ｐ １Ｖ １＋Ｐ ２Ｖ ２）／（Ｖ １＋Ｖ２）。
６．２７．ΔＵ＝−ｐ０ＶΔＴ／Ｔ ０（η−１）＝−０．２５ｋＪ、Ｑ ＝−ΔＵ。
６．２８．Ｑ＝Ａγ／（γ−１）７Ｊ。
６．２９．Ｍ＝ｍＲΔＴ／ΔＱ＝２８ｇ／モル。
６．３０．ΔＵ＝Ｑ−ＲΔＴ＝１．００ｋＪ、γ＝Ｑ／（Ｑ−ＲΔＴ）＝１．６。
６．３１．Ｑ＝νＲＴ０（１−１／ｎ）＝２．５ｋＪ。
６．３２．γ＝（ν １γ １ （γ ２ −１）＋ν ２γ ２（γ １−１））／（ν １（γ ２−１）＋ν ２（γ １−１））＝１．３３。
６．３３．ｃ Ｖ＝０．４２Ｊ／ｇ・Ｋ、ｃｐ＝０．６５Ｊ／ｇ・Ｋ。
６．３４．Ａ ＝ＲＴ（ｎ−１−ｌｎ（ｎ））。
６．３５．Ａ ＝ｐ ０Ｖ０ｌｎ（（η＋１）２／４η）。
６．３６．γ＝１＋（ｎ−１）／（Ｑ／νＲＴ０−ｌｎ（ｎ））＝１．４。
６．３７．（ａ）Ｔ＝Ｔ ０η １−１／γ≒５６０Ｋ。（ｂ）Ａ ＝ＲＴ ０（η １−１／γ−１）／（γ−１)＝５．
６ｋＪ。
６．３８．断熱圧縮の時、ｎ＝（ηγ−１−１）／（γ−１）ｌｎη＝１．４倍大きい。
６．３９．Ｔ＝Ｔ０（（η＋１）２／４η）（γ−１）／２。
６．４０．ω＝Ｓ（２γｐ０／ｍＶ ０）１／２。
６．４１．γ＝πｍω０２／６ｐ０ｈ。
６．４２．Ｑ＝ＲΔＴ（２−γ）／（γ−１）。
６．４３．Ｃ＝Ｒ（ｎ−γ）／（ｎ−１）（γ−１）。１＜ｎ＜γの時、Ｃ＜０。
６．４４．Ｃ＝ＣＶ（ｎ−γ）／（ｎ−１）＝−４．２Ｊ／Ｋ・モル。ｎ＝ｌｎβ／ｌｎα。
６．４５．
６．４６．（ａ）Ｑ＝Ｃ Ｖ（ｎ−γ）ΔＴ／（ｎ−１）＝０．１１ｋＪ。（ｂ）Ａ＝−ＲΔＴ／（ｎ−１）＝。０４３ｋＪ。
６．４７．（ａ）ΔＵ＝αＶ ０ ２（η ２ −１）／（γ−１）。（ｂ）Ａ＝αＶ ０ ２（η ２−１）／２。（ｃ）- 37 -

Ｃ＝ＣＶ＋Ｒ／２。
６．４８．（ａ）Ｃ＝−Ｒ／（γ−１）。（ｂ）ＴＶ（γ−１）／２＝一定。
６．４９．Ａ＝（１−α）ＲΔＴ。
（ｂ）Ｃ＝ＣＶ＋Ｒ（１−α）。α＞γ／（γ−１）の時、Ｃ＜０。
６．５０．（ａ）Ａ＝ΔＵ（γ−１）／α。（ｂ）Ｃ＝Ｃ Ｖ＋Ｒ／α。
６．５１．Ｃ＝ＣＶ＋Ｒ／２。
６．５２．（ａ）Ｃ＝ＣＶ＋Ｒ／αＶ。（ｂ）Ｃ＝Ｃ Ｖ＋Ｒ／（１＋αＶ）。
６．５３．（ａ）Ｃ＝Ｃ ｐ＋αＲ／ｐ ０Ｖ。（ｂ）Ｑ＝ｐ ０（Ｖ ２−Ｖ １）Ｃ ｐ／Ｒ＋αｌｎ（Ｖ ２／Ｖ １）。
６．５４．Ｃ＝Ｃｐ＋ＲＴ ０／αＶ。（ｂ）Ｑ＝αＣｐ（Ｖ２−Ｖ１）＋ＲＴ０ｌｎ（Ｖ２／Ｖ１）。
６．５５．（ａ）Ｖｅ−αＴ／Ｒ＝一定。（ｂ）ＴｅＲ／βＶ＝一定。（ｃ）Ｖ−ａＴ＝一定。
６．５６．（ａ）Ａ＝αｌｎη−ＲＴ ０（η−１）／（γ−１）。（ｂ）ｐＶγｅ−α（γ−１）／ｐＶ＝一定。
６．５７．Ａ＝ＲＴｌｎ（（Ｖ２−ｂ）／（Ｖ１−ｂ））＋ａ／Ｖ２−ａ／Ｖ１。
６．５８．Ｑ＝ＲＴｌｎ（（Ｖ２−ｂ）／（Ｖ１−ｂ））＝３．８ｋＪ。
６．５９．Ｔ（Ｖ−ｂ）α＝一定。ここでα＝Ｒ／ＣＶ。
６．６０．Ｃ ｐ−ＣＶ＝Ｒ／（１−２ａ（Ｖ−ｂ） ２／ＲＴＶ３）。
６．６１．ΔＴ＝−νａＶ２（γ−１）／ＲＶ １（Ｖ１＋Ｖ２）＝−３．０Ｋ。
６．６２．Ｑ＝ν２ａ（Ｖ ２−Ｖ１）／Ｖ１Ｖ２＝０．３３ｋＪ。
６．６３．
６．６４．Ｔ １＜２ａ（１−ｂ／Ｖ １）ｂＲ＝１８０Ｋ。
６．６５．ΔＴ＝（（γ−１）／γ）（Ｔ １／（Ｖ １／ｂ−１）−２ａ／ＲＶ １）。（ａ）１５Ｋ。（ｂ）−３９Ｋ。
６．６６．ｎ＝ｐ／ｋＴ＝１×１０５／ｃｍ３。＜ｌ＞＝０．２ｍｍ。
６．６７．ｐ＝（１＋η）ｍＲＴ／ＭＶ＝１．９気圧。Ｍは窒素分子Ｎ２のモル質量。
６．６８．ｎ＝（ｐ／ｋＴ−ρ／ｍ ２）／（１−ｍ １／ｍ ２）＝１．６×１０ １９／ｃｍ ３。ここでｍ １とｍ２はヘリウム分子と窒素分子の質量。
６．６９．ｉ＝２／（ρｖ２／ｐ−１）＝５。
６．７０．ｖ／ｖ２乗＝（（ｉ＋２）／３ｉ）１／２。（ａ）０．７５。（ｂ）０．６８。
６．７１．ΔＵ＝（ｉ２Ｔ ２−ｉ１Ｔ １）ｍＲ／２Ｍ＝４３ｋＪ。
６．７２．（ａ）Ｃ Ｖ＝（３Ｎ−５／２）Ｒ。γ＝（６Ｎ−３）／（６Ｎ−５）。（ｂ）Ｃ Ｖ＝（３Ｎ−１）Ｒ。γ＝（Ｎ−２／３）／（Ｎ−１）。
６．７３．非線形分子ではＡ／Ｑ＝１／（３Ｎ−２）。線形分子ではＡ／Ｑ＝１／（３Ｎ−３／２）。
６．７４．Ｎ＝２（２−η）／（４−３η）＝４。非線形分子。
６．７５．Ｍ＝Ｒ／（ｃｐ−ｃＶ）＝３２ｇ／モル。ｉ＝２／（ｃｐ／ｃＶ−１）＝５。
６．７６．（ａ）ｉ＝２（Ｃ ｐ／Ｒ−１）＝５。（ｂ）ｉ＝２（Ｃ／Ｒ−２）＝３。
６．７７．γ＝（５ν１＋７ν２）／（３ν１＋５ν２）。
６．７８．ｎ＝ｐ／（γ−１）＜ε＞＝１．０×１０２５／ｍ３。
６．７９．ΔＴ＝Ｍｖ２／ｉＲ＝０．３１Ｋ。ここでｉ＝５。
６．８０．（ａ）ｖ ２乗＝（３ＲＴ／Ｍ） １／２＝０．４７ｋｍ／ｓ。＜Ｋ＞＝３ｋＴ／２＝６．０×１
０−２１Ｊ。（ｂ）ｖ２乗＝３（２ｋＴ／πρｄ ３）１／２＝０．１５ｍ／ｓ。
６．８１．η ｉ＝７．６倍だけ膨張させる必要がある。ここでｉ＝５。
６．８２．Ｑ＝（η ２−１）ｉｍＲＴ／２Ｍ＝１０ｋＪ。
６．８３．ω ２乗＝（２ｋＴ／Ｉ）１／２＝６．３×１０１２ラジアン／ｓ。
６．８４．＜Ｋ＞回転＝ｋＴ０η２／ｉ＝０．７×１０ −２０Ｊ。
６．８５．η １＋１／ｉ倍小さい。ここでｉ＝５。
６．８６．η （ｉ−１）／（ｉ−２）＝２．５倍小さい。
６．８７．Ｃ＝Ｒ（ｉ＋１）／２＝３Ｒ。
６．８８．δＮ１／δＮ２＝ｅｘｐ（ｍ（ｖ２ｘ２−ｖ１ｘ２）／２ｋＴ）δｖ１ｘδｖ ２ｘ＝１．５。
６．８９．δＰ＝（ｍ／２πｋＴ）３／２ｅｘｐ（−ｍｖ ２／２ｋＴ）δｖｘδｖｙδｖｚ＝０．７×１０ −１０。
６．９０．δＮ／Ｎ＝（ｍ／２πｋＴ） ３／２ｅｘｐ（−ｍｖ２／２ｋＴ）２πｖ ⊥δｖ ⊥δｖｘ。
６．９１．δＮ／Ｎ＝（ｍ／ｋＴ）ｅｘｐ（−ｍｖ⊥２／２ｋＴ）ｖ ⊥δｖ ⊥。
６．９２．Ｆ（ｕ）＝（４／π１／２）ｕ２ｅｘｐ（−ｕ２）。
６．９３．ｖ 確率＝（２ｐ／ρ） １／２＝０．４５ｋｍ／ｓ。＜ｖ＞＝０．５１ｋｍ／ｓ、ｖ ２乗＝０．５５ｋｍ／ｓ。
６．９４。（ａ）δＮ／Ｎ＝８δη／ｅπ １／２＝１．６６％。（ｂ）δＮ／Ｎ＝１２（３／２πｅ ３） １／２
δη＝１．８５％。
６．９５．（ａ）Ｔ＝ｍ（Δｖ） ２／ｋ（３ １／２−２ １／２） ２＝３８０Ｋ。（ｂ）Ｔ＝ｍｖ ２／２ｋ＝３４０Ｋ。
６．９６．Ｔ＝ｍ（ｖ２２−ｖ １２）／４ｋｌｎ（ｖ ２／ｖ １）＝３３０Ｋ。
６．９７．η ２倍だけ減少。
６．９８．ｖ＝（（３ｋＴ０／ｍ）ηｌｎη／（η−１）） １／２。
６．９９．Ｔ＝ｍＮ（Δｖ）２／２ｋ（１−（ｍＮ／ｍＯ）１／２）２≒３７０Ｋ。
６．１００．ｖ＝（３ｋＴｌｎ（ｍ２／ｍ１）／（ｍ２−ｍ１））１／２＝１．６１ｋｍ／ｓ。
６．１０１．Ｔ＝ｍｖ２／３ｋ、ｖ 確率＝ｖ（２／３）１／２。
６．１０２．＜ｖｘ＞＝０、＜｜ｖ ｘ｜＞＝（２ｋＴ／πｍ）１／２。
６．１０３．＜ｖｘ２＞＝ｋＴ／ｍ。
- 38 -

６．１０４．ν＝０∫∞ｖｘｄｎ（ｖ ｘ）＝ｎ＜ｖ＞／４。ここでｄｎ（ｖｘ）＝ｎφ（ｖｘ）ｄｖｘ。
６．１０５．ｐ＝２ ０∫∞ｍｖ ｘ・ｖ ｘｄｎ（ｖｘ）＝ｎｋＴ。ここでｄｎ（ｖｘ）＝ｎφ（ｖｘ）ｄｖｘ。
６．１０６．＜１／ｖ＞＝（２ｍ／πｋＴ）１／２＝４／π＜ｖ＞。
６．１０７．ｄν＝ ０∫ ∞ｄｎ（ｄΩ／４π）ｖｃｏｓθ＝ｎ（２ｋＴ／πｍ） １／２ｓｉｎθｃｏｓθｄθ。
６．１０８．ｄν＝ θ∫ π／２ｄｎ（ｄΩ／４π）ｖｃｏｓθ＝ｎπ（ｍ／２πｋＴ） ３／２ｅｘｐ（−ｍｖ２／２ｋＴ）ｖ ３ｄｖ。
６．１０９．（ａ）ｆ（Ｋ）＝２π（πｋＴ） −３／２ ｅ −Ｋ／ｋＴＫ １／２。（ｂ）Ｋ 確率 ＝ｋＴ／２、Ｋ 確率≠Ｋ
（ｖ 確率）。
６．１１０．δＮ／Ｎ＝３（６／πｅ３）１／２δη＝０．９％。
６．１１１．（ａ）ｖ確率＝（３ｋＴ／ｍ）１／２。（ｂ）Ｋ確率＝ｋＴ。
６．１１２．（ａ）φ（λ）＝Ｃλ −４ｅｘｐ（−ａ／λ ２）。ここでＣ＝４π（２πｈ 〜２／ｍｋＴ） ３／２。ａ＝２π２ｈ〜２／ｍｋＴ。（ｂ）λ 確率＝πｈ〜（ｍｋＴ）１／２＝０．９０ｎｍ。
６．１１３．（ｂ）Δν／ν ０＝（８ｋＴｌｎ２／ｍｃ ２） １／２。
６．１１４．Δλドップラー／Δλ固有≒４πτｖ確率／λ≒１０００．ここでｖ 確率＝（２ＲＴ／Ｍ）１／２、Ｍはモル質量。
６．１１５．Ｆ＝（ｋＴ／Δｈ）ｌｎη＝０．９×１０−１９Ｎ。
６．１１６．ｋ＝πｄ３ｇｈΔρ／６Ｔｌｎη＝１．４×１０−２３Ｊ／ｋ。
６．１１７．η／η ０＝ｅｘｐ（（Ｍ２−Ｍ１）ｇｈ／ＲＴ）＝１．３９。
６．１１８．ｈ＝ｋＴｌｎ（ｎ２／ｎ１）／（ｍ２−ｍ１）ｇ。
６．１１９．依存しない。
６．１２０．ｈ＝（ＲＴ／Ｍｇ）ηｌｎη／（η−１）。
６．１２１．＜Ｕ＞＝ｋＴ。依存しない。
６．１２２．ａ≒ηＲＴ／Ｍｌ≒７０ｇ。
６．１２３．Ｍ＝２ＲＴρｉｎη／（ρ−ρ０）（ｒ２２−ｒ１２）ω２。
６．１２４．ω＝（（２ＲＴ／Ｍｌ２）ｉｎη）１／２＝２８０ラジアン／ｓ。
６．１２５．（ａ）ｄＮ＝ｎ ０ｅｘｐ（−ａｒ２／ｋＴ）４πｒ２ｄｒ。（ｂ）ｒ 確率＝（ｋＴ／ａ）１／２。
（ｃ）ｄＮ／Ｎ＝（ａ／πｋＴ）３／２ｅｘｐ（−ａｒ２／ｋＴ）４πｒ２ｄｒ。（ｄ）η３／２倍増大。
６．１２６．（ａ）ｄＮ＝２πｎ０ａ−３／２ｅ −Ｕ／ｋＴＵ１／２ｄＵ。（ｂ）Ｕ 確率＝ｋＴ／２。
６．１２７．δＮ＝３２π１／２ｎ０ｅ−Ｅ／ｋＴｒ２δｒδη。ここでＥ＝Ｕ（ｒ）＋ｋＴ。
６．１２８．η＝ｎ ２ｅｘｐ（−ｈ 〜ω／ｋＴ）≒３×１０ −１０。ここでω＝Ｒ（１−１／ｎ ２）。Ｒはリードベルグ定数。
６．１２９．Ｎ／Ｎ ０＝（ｇ／ｇ０）ｅｘｐ（−ｈ 〜ω／ｋＴ）＝１．１３×１０−４。ここでｇとｇ０は各々３Ｐと３Ｓの準位の縮重度（ｇ＝６、ｇ０＝２）。
６．１３０．Ｎ２＝Ｎ／（１＋ｅｘｐ（ΔＥ／ｋＴ））。＜Ｅ＞＝（Ｅ １＋Ｅ ２ｅｘｐ（−ΔＥ／ｋＴ））／（１＋ｅｘｐ（−ΔＥ／ｋＴ））。ここでΔＥ＝Ｅ２−Ｅ１。図５１参照。
６．１３１．Ｃ Ｖ＝Ｎ（ΔＥ） ２ｅ ΔＥ／ｋＴ／（ｋＴ ２（１＋ｅ ΔＥ／ｋＴ） ２）。Ｃ Ｖ＝（Ｎ（ΔＥ） ２／（ｋＴ２））ｅ−ΔＥ／ｋＴ。ＣＶ＝Ｎ（ΔＥ）２／４ｋＴ ２。
６．１３２．τ＝ｎｈ〜ωｇ／ｇ０Ｐｅｘｐ（ｈ〜ω／ｋＴ）＝６５ｎｓ。ここでｇとｇ０は共鳴準位と基底準位の縮重度。
６．１３３．Ｎ 振動／Ｎ 回転＝（１／３）ｅｘｐ（−ｈ 〜（ω−２Ｂ）／ｋＴ）＝３．１×１０ −４。ここでＢ＝ｈ〜／２Ｉ、Ｉは分子の慣性モーメント。
６．１３４．ｒ ｍ＝（ｄ／ｈ 〜）（ｋＴμ） １／２−１／２＝８。ここでμはＯ ２分子の換算質量、ｄは酸
素分子の原子核間距離。距離ｒに対するＮｒ／Ｎ０の依存性は図５２参照。

６．１３５．＜Ｅ＞＝（ΣＥ ｖｅｘｐ（−Ｅ ｖ／ｋＴ）／（Σｅｘｐ（−Ｅ ｖ／ｋＴ））＝ΣＥ ｖｅｘｐ（−αＥ ｖ）／（Σｅｘｐ（−αＥ ｖ））。ここでＥ ｖ＝ｈ 〜ω（ｖ＋１／２）、α＝１／ｋＴ。これらより＜Ｅ＞＝ｈ 〜ω／２＋ｈ 〜ω／（ｅｘｐ（ｈ 〜ω／ｋＴ）−１）。Ｃ Ｖ振動＝Ｎ（∂＜Ｅ＞／∂Ｔ）＝Ｒ（ｈ 〜ω／ｋＴ） ２ｅｘｐ（ｈ 〜ω／ｋＴ）／（ｅｘｐ（ｈ 〜ω／ｋＴ−１） ２＝０．５６Ｒ。Ｒは気体定数。
６．１３６．Ｉ短波／Ｉ長波＝ｅｘｐ（−ｈ 〜ω／ｋＴ）＝０．０６７。３．９倍減少。
６．１３７．Ａ ＝Ａ／（ｎ−１）＝２０ｋＪ。
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６．１３８．η＝２Ａ ／ｉＲＴ＝０．２４。ここでｉ＝５。
６．１３９．２番目の時。
６．１４０．（ａ）η＝１−ｎ１−γ＝０．２５。（ｂ）η＝１−ｎ１／γ−１＝０．１８。
６．１４１．Ａ ＝Ｑ２（Ｔ１／Ｔ２−１）＝１６ｋＪ。
６．１４２．ε＝（１−η）／η＝９。
６．１４３．η＝１−２Ｔ３／（Ｔ １＋Ｔ ２）。
６．１４４．η＝１−ｎ１−γ＝６０％。
６．１４５．η＝１−ｎ−（γ−１）／γ。
６．１４６．η＝１−（ｎ＋γ）／（１＋γｎ）。
６．１４７．両方の場合で、η＝１−ｌｎｎ／（ｎ−１）。
６．１４８．両方の場合で、η＝１−（ｎ−１）／ｎｌｎ（ｎ）。
６．１４９．η＝１−（ｎ−１）／ｎｌｎ（ｎ）。
（ｂ）η＝１−（ｎ γ−１）／（γ（ｎ−１）
６．１５０．
（ａ）η＝１−γ（ｎ−１）／（ｎγ−１）。
γ−１）。
ｎ６．１５１．
６．１５２．Ａ最大＝ｍｃ（Ｔ １０−Ｔ２−Ｔ２ｌｎ（Ｔ１０−／Ｔ２））＝３４ＭＪ。ここでｃは鉄の比熱。
６．１５３．（ａ）ΔＳ＝Ｒｌｎｎ／（γ−１）＝１９Ｊ／Ｋ・モル。（ｂ）ΔＳ＝γＲｌｎｎ／（γ−１）＝２５Ｊ／Ｋ・モル。
６．１５４．ｎ＝ｅ ΔＳ／νＲ＝２．０。
６．１５５．ΔＳ＝νＲｌｎｎ＝２０Ｊ／Ｋ。
６．１５６．ΔＳ＝−ｍγＲｌｎｎ／Ｍ（γ−１）＝−１０Ｊ／Ｋ。
６．１５７．ΔＳ＝νＲ（γｌｎα−ｌｎβ）／（γ−１）＝−１１Ｊ／Ｋ。
６．１５８．Ｓ２−Ｓ１＝νＲ（ｌｎα−ｌｎβ／（γ−１））＝１．０Ｊ／Ｋ・
６．１５９．ΔＳ＝Ｒ（ｎ−γ）ｌｎτ／（ｎ−１）（γ−１）
６．１６０．ΔＳ＝νＲ（γ＋１）ｌｎα／（γ−１）＝４６Ｊ／Ｋ
６．１６１．ΔＳ＝−（Ｒ／２）ｌｎν。
６．１６２．Ｖｍ＝γｐ０／α（１＋γ）。
６．１６３．Ｔ＝Ｔ ０＋（Ｒ／ａ）ｌｎ（Ｖ／Ｖ０）。
６．１６４．ΔＳ＝Ｒｌｎ（（Ｖ２−ｂ）／（Ｖ１−ｂ））。
６．１６５．ΔＳ＝ＣＶｌｎ（Ｔ２／Ｔ１）＋Ｒｌｎ（（Ｖ２−ｂ）／（Ｖ１−ｂ））。
６．１６６．（ａ）Ｃ＝ＣＶ−Ｒ。（ｂ）ΔＳ＝（Ｃ Ｖ−Ｒ）ｌｎ（Ｔ２／Ｔ１）。
６．１６７．Ｓ＝ａＴ３／３。
６．１６８．ΔＳ＝ｍ（ａｌｎ（Ｔ２／Ｔ１）＋ｂ（Ｔ２−Ｔ１））＝２．０ｋＪ／Ｋ。
６．１６９．Ｃ＝Ｓ／ｎ。
６．１７０．Ｔ＝Ｔ ０ｅｘｐ（（Ｓ−Ｓ０）／Ｃ）。
６．１７１．（ａ）Ｃ＝−α／Ｔ。（ｂ）Ｑ＝αｌｎ（Ｔ １／Ｔ ２）。（ｃ）Ａ＝αｌｎ（Ｔ １／Ｔ ２）＋
ＣＶ（Ｔ １−Ｔ ２）。
６．１７２．（ａ）η＝（ｎ−１）／２ｎ。（ｂ）η＝（ｎ−１）／（ｎ＋１）。
６．１７３．ΔＳ＝νＲｌｎｎ＝２０Ｊ／Ｋ。
６．１７４．ΔＵ＝（２γ−１−１）ＲＴ０／（γ−１）、ΔＳ＝Ｒｌｎ２。
６．１７５．不可逆膨張の後、圧力は大きくなる。
６．１７６．ΔＳ＝ν１Ｒｌｎ（１＋ｎ）＋ν ２Ｒｌｎ（１＋１／ｎ）＝５．１Ｊ／Ｋ。
６．１７７．ΔＳ＝ｍ１ｃ １ｌｎ（Ｔ／Ｔ１）＋ｍ２ｃ ２ｌｎ（Ｔ／Ｔ２）＝４．４Ｊ／Ｋ。ここでＴ＝（ｍ１ｃ １Ｔ １＋ｍ ２ｃ ２Ｔ ２）／（ｍ １ｃ １＋ｍ ２ｃ ２）、ｃ１とｃ ２は銅の熱量量と水の熱容量。
６．１７８．ΔＳ＝ＣＶｌｎ（（Ｔ１＋Ｔ２） ２／４Ｔ１Ｔ ２）＞０。
６．１７９．ΔＦ＝ＲＴｌｎ（（Ｖ１−ｂ）／（Ｖ２−ｂ））＋ａ／Ｖ１−ａ／Ｖ ２。
６．１８０。ΔＳ＝νＲ／（γ−１）−ΔＦ／Ｔ（ηγ−１−１）＝０．２０ｋＪ／Ｋ。
６．１８１．
６．１８２．Ｖ＝ｋＴ／ｐη ２＝０．３７ｍｍ ３。
６．１８３．（ａ）Ｐ＝１／２ Ｎ。（ｂ）Ｎ＝ｌｇ（ｔ／τ）／ｌｎ２≒８０。ここでτ≒１０μｓ＝
平均飛行時間。
６．１８４．Ω確率＝Ｎ！／（（Ｎ／２）！）２＝２５２。ＰＮ／２＝Ω 確率／２Ｎ＝２４．６％。
６．１８５．Ｐ ｎ＝Ｎ！／（ｎ！（Ｎ−ｎ）！２ Ｎ）。各々１／３２，５／３２，１０／３２，１０／
３２，５／３２，１／３２。
６．１８６．Ｐｎ＝（Ｎ！／（ｎ！（Ｎ−ｎ）！））ｐｎ（１−ｐ） Ｎ−ｎ。ここでｐ＝Ｖ／Ｖ ０。
６．１８７．ｄ＝（６／πｎ ０η２）１／３＝０．４μｍ。ここでｎ ０は単位体積中の分子数。＜ｎ＞＝１／η ２＝１．０×１０６。
６．１８８．Ω＝１０＾（６．３×１０ ２２）。
６．１８９．Ｑ＝ｋＴｌｎη＝１．０×１０−１９Ｊ。
６．１９０．Ω／Ω ０＝（１＋ΔＴ／Ｔ０）ｉＮＡ／２＝１０＾（１．３１×１０２１）倍増大。
６．１９１．（ａ）η≒０．３７。（ｂ）η≒０．２３。
６．１９２．λ＝Δｌ／ｌｎη。
６．１９３．（ａ）Ｐ＝ｅｘｐ（−αｔ）。（ｂ）＜ｔ＞＝１／α。
６．１９４．
（ａ）λ＝０．０６μｍ。τ＝０．１３ｎｓ。
（ｂ）λ＝６×１０６ｍ。τ＝３．８時間。
６．１９５．１８倍。
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６．１９６．λ＝（２πＮＡ／３ｂ）２／３ｋＴ０／２１／２πｐ ０＝８４気圧。
６．１９７．ν＝πｄ２ｐ ０Ｎ Ａ（２γ／ＭＲＴ ０） １／２＝５．５ＧＨｚ。
６．１９８．（ａ）０．７Ｐａ。（ｂ）２×１０１４／ｃｍ ３。０．２μｍ。
６．１９９．（ａ）ν＝２ １／２ πｄ ２ｎ＜ｖ＞＝０．７４×１０ １０ ／ｓ。（ｂ）ν＝πｄ ２ｎ ２ ＜ｖ＞／
２１／２＝１．０×１０２０／ｓ・ｃｍ ３。ここでｎ＝ｐ０／ｋＴ０。＜ｖ＞＝（８ＲＴ／πＭ）１／２。
６．２００．（ａ）λ＝一定。ν∽Ｔ １／２。（ｂ）λ∽Ｔ。ν∽１／Ｔ １／２。
６．２０１．λ＝一定。νはｎ１／２倍増大する。（ｂ）λはｎ倍減少する。νはｎ倍増大する。
６．２０２．λ∽Ｖ。ν∽Ｖ −６／５。（ｂ）λ∽ｐ −５／７。ν∽ｐ６／７。（ｃ）λ∽Ｔ−５／２。ν∽Ｔ３。
６．２０３．λ∽Ｖ。ν∽Ｖ −（ｎ＋１）／２。（ｂ）λ∽ｐ−１／ｎ。ν∽ｐ（ ｎ＋１）／２ｎ。（ｃ）λ∽Ｔ１／（１−ｎ）。
ν∽Ｔ（ｎ＋１）／２（ｎ−１）。
６．２０４．（ａ）Ｃ＝Ｒ（１＋２ｉ）／４＝２３Ｊ／Ｋ・モル。（ｂ）Ｃ＝Ｒ（ｉ＋２）／２＝２
９Ｊ／Ｋ・モル。
６．２０５．ｎ＝ｎ ０ｅｘｐ（−ｔ／τ）。ここでτ＝４Ｖ／Ｓ＜ｖ＞、＜ｖ＞＝（８ＲＴ／πＭ） １／２。
６．２０６．（１＋η）／（１＋η１／２）倍増大。
６．２０７．α３／β＝２．０倍増大。
６．２０８．（ａ）Ｄはｎ倍増大。ηは一定。（ｂ）Ｄはｎ３／２倍増大。ηはｎ １／２倍増大。
６．２０９．Ｄはｎ ４／５≒６．３倍減少。ηはｎ１／２≒１．６倍増大。
６．２１０．（ａ）ｎ＝３。（ｂ）ｎ＝１。（ｃ）ｎ＝１。
６．２１１．０．１８ｎｍ。
６．２１２．ｄアルゴン／ｄヘリウム＝１．７。
６．２１３．Ｎ１≒２πηωＲ３／ΔＲ。ｐ＝２１／２ｋＴ／πｄ２ｎΔＲ＝０．７Ｐａ。
６．２１４．η＝（１／Ｒ１２−１／Ｒ２２）Ｎ１／４πω。
６．２１５．Ｎ＝πηωａ４／２ｈ。
６．２１６．Ｎ＝（πＭ／２ＲＴ）１／２ωａ４ｐ／３。
６．２１７．μ＝（πａ４Ｍ／１６ηＲＴ）｜ｐ２２−ｐ １２｜／ｌ。
６．２１８．Ｔ＝（κ１Ｔ １／ｌ１＋κ２Ｔ ２／ｌ ２）／（κ１／ｌ１＋κ ２／ｌ ２）。
６．２１９．κ＝（ｌ１＋ｌ２）／（ｌ１／κ１＋ｌ ２／κ ２）。
６．２２０．Ｔ（ｘ）＝Ｔ１（Ｔ２／Ｔ１）ｘ／ｌ。ｑ＝（α／ｌ）ｌｎ（Ｔ２／Ｔ１）。
６．２２１．ΔＴ＝（ΔＴ） ０ｅｘｐ（−αｔ）。ここでα＝（１／Ｃ １＋１／Ｃ２）Ｓκ／ｌ。
６．２２２．ｑ＝２ｉＲ３／２（Ｔ２３／２−Ｔ１３／２）／９π ３／２ｌｄ２ＮＡＭ１／２＝４０Ｗ／ｍ２。ここでｉ＝３，ｄはヘリウム原子の有効直径。
６．２２３．λ＝２３ｍｍ＞ｌ。ｑ＝ｐ＜ｖ＞（ｔ ２−ｔ １）／６Ｔ（γ−１）＝２２Ｗ／ｍ ２。ここで＜ｖ＞＝（８ＲＴ／πＭ） １／２、Ｔ＝（Ｔ１＋Ｔ ２）／２。
６．２２４．Ｔ＝Ｔ １＋（Ｔ２−Ｔ１）ｌｎ（ｒ／Ｒ１）／ｌｎ（Ｒ２／Ｒ１）。
６．２２５．Ｔ＝Ｔ １＋（Ｔ２−Ｔ１）（１／Ｒ１−１／ｒ）／（１／Ｒ１−１／Ｒ２）。
６．２２６．Ｔ＝Ｔ ０＋（Ｒ２−ｒ２）ｗ／４κ。
６．２２７．Ｔ＝Ｔ ０＋（Ｒ２−ｒ２）ｗ／６κ。
６．２２８．
２．２２９．（ａ）Ｔｘ＝Ｔ／２１／４。（ｂ）Ｔ ｘ＝Ｔ（１７／２）１／４。
６．２３０．Ｔ２＝ｂＴ１／（ｂ＋Ｎ１Δλ）≒１７５０Ｋ。
６．２３１．λｍ＝３．５μｍ。
６．２３２．５×１０９ｋｇ／ｓ。約１０１１年。
６．２３３．Ｔ＝（３ｃＲρ／σＭ） １／３＝２×１０ ７Ｋ。ここでＲは気体定数、Ｍは水素（Ｈ ２）のモル質量。
６．２３４．ｔ＝（η ３−１）ｃρｄ／１８σＴ ０３＝３時間。ここでｃは銅の比熱、ρは銅の密度。
６．２３５．Ｔ≒Ｔ ０（Ｒ／２ｌ） １／２＝２６６Ｋ。ここでＲは太陽の半径、ｌは太陽と地球の距離。
６．２３６．Ｔ２＝Ｔ１（ｄ／２ｌ）１／２≒４００Ｋ。
６．２３７．（ａ）Ｃ Ｖ＝（∂Ｕ／∂Ｔ） Ｖ＝１６σＴ ３Ｖ／ｃ＝３ｎＪ／Ｋ。ここでＵ＝４σＴ ４Ｖ／
ｃ。（ｂ）Ｓ＝１６σＴ３Ｖ／３ｃ＝１．０ｎＪ／Ｋ。
６．２３８．ＶＴ３＝一定。
６．２３９．（ａ）ω 確率＝２Ｔ／ａ＝５．２４×１０ １４／ｓ（ｂ）λ 確率＝２πｃａ／５Ｔ＝１．４４μｍ。
６．２４０．（ａ）ｕ ω＝（ｋＴ／π ２ ｃ ３）ω ２ 。（ｂ）ｕ ω＝（ｈ 〜 ／π ２ ｃ ３ ）ω ３ｅｘｐ（−ｈ 〜ω／ｋＴ）。
６．２４１．ｕ ν＝（１６π ２ｈ 〜／ｃ ３）ν ３／（ｅｘｐ（２πｈ 〜ν／ｋＴ）−１）。ｕ λ＝１６π ２ｃｈ〜λ−５／（ｅｘｐ（２πｈ〜ｃ／ｋＴλ）−１）。
６．２４２．ΔＰ＝４π２ｃ２ｈ〜Ｔ ５Δλ／ｂ５（ｅｘｐ（２πｈ 〜ｃ／ｋｂ）−１）＝０．３１Ｗ／ｃｍ２。ここでｂはウイーン変移則における定数。
６．２４３．Ｐｎ＝（１−ｅｘｐ（−ｘ））ｅｘｐ（−ｎｘ）。ここでｘ＝ｈ〜ω／ｋＴ。
６．２４４．ｎ ωｄω＝（１／π ２ｃ ３）ω ２ｄω／（ｅｘｐ（ｈ 〜ω／ｋＴ）−１）。ｎ λｄλ＝８πλ−４ｄλ／（ｅｘｐ（２πｈ〜ｃ／ｋＴλ）−１）。
６．２４５．Ｐ誘導／Ｐ自発＝１／（ｅｘｐ（−ｈ〜ω／ｋＴ）−１）＝７．０×１０−１８。ここでω＝３
Ｒ／４。Ｒはリードベルグ定数。
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６．２４６．
６．２４７．ａ＝（２Ｍ／Ｎ Ａρ） １／３＝０．３６ｎｍ。ここでＭはモル質量。
６．２４８．ａ＝（４Ｍ／Ｎ Ａρ） １／３＝０．３６ｎｍ。
６．２４９．ρ＝４（ＭＮａ＋ＭＣｌ）／Ｎ Ａａ３＝２．１８ｇ／ｃｍ３。
６．２５０．（ａ）ａ，ａ／２ １／２，ａ／３ １／２。（ｂ）ａ／２、ａ／３ １／
２、ａ／（１２） １／２。（ｃ）ａ／２、ａ／８１／２、ａ／３１／２。
６．２５１．
６．２５２．（１１１）、１．７７×１０１６原子／ｃｍ２。
６．２５３．ｃｏｓα＝ｈ／（ｈ ２＋ｋ ２＋ｌ ２） １／２。これよりα＝７４°３０ 。同様にしてβ＝５７°４０ 、γ＝３６°４０ 。
６．２５４．ｄＮω＝（ｌ／πｖ）ｄω。
６．２５５．ｄＮω＝（Ｓ ２／２πｖ２）ωｄω。図５３参照。
６．２５６．ｄＮω＝（Ｖ／２π２ｖ３）ω２ｄω。
６．２５７．（ａ）Θ＝（ｈ 〜 ／ｋ）πｖｎ ０ 。（ｂ）Θ＝（ｈ 〜／ｋ）ｖ（４πｎ ０） １／２。（ｃ）Θ＝（ｈ 〜／ｋ）ｖ（６π２ｎ０）１／３。
６．２５８．Θ＝（ｈ 〜／ｋ）（１８π ２ｎ ０／（ｖ ‖ −３＋２ｖ ⊥ −３）） １／３＝１７０Ｋ。ここでｎ ０は原子濃度。
６．２５９．ｖ≒ｋΘ／ｈ〜（６π ２ｎ０）１／３＝３．４ｋｍ／ｓ。ここでｎ０は原子濃度。
６．２６０．
６．２６１．ｄＮ／ｄω＝２ｌ／πａ（ω最大２−ω）１／２。Ｎ＝ｌ／ａ。
６．２６２．Ｕ０＝９ＲΘ／８Ｍ＝４８．６Ｊ／ｇ。ここでＭは銅のモル質量。
６．２６３．（ａ）Θ≒２２０Ｋ。（ｂ）Ｃ≒１０Ｊ／Ｋ・モル。（ｃ）ω 最大≒４．１×１０ １３／ｓ。
６．２６４．
６．２６５．ω最大＝（ｋＴ／ｈ〜）（１２π ４Ｒ／５Ｍｃ） １／３≒６×１０１３／ｓ。
６．２６６．是。
６．２６７．Θ＝（（３π４ｍＲ／５ＭＱ）（Ｔ２４−Ｔ１４））１／３＝３３０Ｋ。ここでＭはモル質量。
６．２６８．＜Ｅ＞＝３ｋΘ／８。
６．２６９．Ｕ０≒９πｈ 〜Ｎ Ａｖ／８ａ＝３ｋＪ／モル。
６．２７０．図５４参照。
６．２７１．ｈ〜ω最大＝２８ＭｅＶ。ｈ 〜ｋ最大≒１０−１９ｇ・ｃｍ／ｓ。
６．２７２．ｄＮ＝９Ｎ（ｈ 〜 ／ｋΘ） ３ ω ２ ｄω／（ｅｘｐ（ｈ 〜 ω／ｋＴ）−１）。
６．２７３．ｐ≒（３ｋＴ ４ｎ／Θ） ０∫ Θ／Ｔ（ｘ／（ｅ ｘ−１））ｄｘ＝２６０ＭＰａ（２．６×１０３気圧）。ここでｎは原子濃度。
６．２７４．（ａ）Ｋ 最大 ＝（３π ２ ｎ） ２／３ ｈ 〜２ ／２ｍ。（ｂ）＜Ｋ＞＝（３／５）Ｋ最大。
６．２７５．ΔＮ／Ｎ＝３η／２＝１．５％。
６．２７６．η＝１−２−３／２≒６５％。
６．２７７．０．９６。
６．２７８．約３００００Ｋまで。
６．２７９．ΔＥ＝２π２ｈ〜２／ｍＶ（３π２ｎ） １／３＝２×１０ −２２ e Ｖ。
６．２８０．（ａ）ｄｎｖ＝（ｍ３／π ２ｈ〜３）ｖ２ｄｖ。（ｂ）＜ｖ＞／ｖ最大＝３／４。
６．２８１．λ最小≒２ａ。
６．２８２．Ｔ≒２π ２ ｈ 〜２ｎ ２／３ ／ｋｍ＝３．３×１０ ５ Ｋ。ここでｎは原子濃度。ｍは電子質量。
６．２８３．ｄｎλ＝８πλ−４ｄλ。
６．２８４．ｐ＝（２／３）ｎ＜Ｋ＞＝９ １／３π ４／３ｎ ５／３ｈ 〜２／５ｍ＝５×１０ ６ｋＰａ（５×１０ ４気圧）。ここで＜Ｋ＞は自由電子の平均自由エネルギー。
６．２８５．Ｃ電子／Ｃ格子＝π ２ｋＴ／６ＥＦ＝０．００７７。
６．２８６．Ａ＝ｋＴ（ηＴ／ΔＴ−２）＝４．５ｅＶ。
６．２８７．ｎ＝（１＋Ｕ ０／Ｋ）１／２＝１．０２。ここでＵ０＝Ｋ最大＋Ａ。Ａは脱出仕事、Ｋ最大＝（３π２ｎ２）２／３ｈ〜２／２ｍ。
６．２８８．Ｅ最小＝２ｋＴ１Ｔ２ｌｎη／（Ｔ２−Ｔ１）＝０．３３ｅＶ。
６．２８９．α＝（１／ρ）∂ρ／∂Ｔ＝−πｃｈ 〜／ｋＴ ２λ Ｋ＝−０．０５／Ｋ。ここでρ∽ｅｘｐ（ΔＥ０／２ｋＴ）、ΔＥは禁制帯幅。
６．２９０．ΔＥ＝−２ｋΔ（ｌｎσ）／Δ（１／Ｔ）＝１．２ｅＶ、０．０６ｅＶ。
６．２９１．τ＝ｔ／ｌｎ（（ρ−ρ １)ρ２／（ρ−ρ ２）ρ１）＝０．０１ｓ。
６．２９２．ｎ＝ｈＢＵ／ｅｌρＵ Ｈ＝５×１０ １５／ｃｍ ３。ｕ ０＝ｌＵ Ｈ／ｈＢＵ＝０．０５ｍ ２／Ｖ・ｓ。
６．２９３．｜ｕ０−−ｕ０＋｜＝１／ηＢ＝０．２０ｍ２／Ｖ・ｓ。
６．２９４．ｎ＋／ｎ−＝η２＝４．０。
６．２９５．（ａ）ΔＰ＝４α／ｄ＝１３気圧。（ｂ）Δｐ＝８α／ｄ＝０．００１２気圧。
６．２９６．ｈ＝４α／ρｇｄ＝２０ｃｍ。
６．２９７．α＝ｐ ０ｄ（１−η３／ｎ）／８（η ２−１）。
６．２９８．Ｆ＝２αＲ＝０．６０ｍＮ。
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６．２９９．α＝ｐ（Ｒ３−Ｒ１３−Ｒ２３）／４（Ｒ１２＋Ｒ２２−Ｒ ２）。
６．３００．Ｒ＝ａｂ／（ａ−ｂ）。θ＝１２０°。
６．３０１．ｐ＝ｐ ０＋ρｇｈ＋４α／ｄ＝２．２気圧。
６．３０２．ｈ＝（ｐ０（ｎ３−１）＋４α（ｎ２−１）／ｄ）／ρｇ＝５ｍ。
６．３０３．Δｈ＝４α｜ｃｏｓθ｜（ｄ２−ｄ１）／ｄ１ｄ２ρｇ＝１０．５ｍｍ。
６．３０４．Ｒ＝２α／ρｇｈ＝０．６ｍｍ。
６．３０５．ｘ＝ｌ／（１＋ｐ０ｄ／４α）＝１．４ｃｍ。
６．３０６．α＝（ρｇｈ＋ｐ０ｌ／（ｌ−ｈ））ｄ／４ｃｏｓθ。
６．３０７．ｈ＝４α／ρｇ（ｄ２−ｄ１）＝６ｃｍ。
６．３０８．ｈ＝２αｃｏｓ／ρｇｘδφ。
６．３０９．Ｖ１＝πｄ２（２ｇｌ−４α（ｎ−１）／ρｄ）１／２／４（ｎ ４−１）１／２＝０．９ｃｍ３。
６．３１０．Ｒ＝２α／（ｍｇ／πａ２−ρｇｈ）。
６．３１１．Ｒ２−Ｒ１≒ρｇｈ３／８α＝０．２０ｍｍ。
６．３１２．α＝ｈＲ（ρ−ρ０）ｇ／２＝０．０７Ｎ／ｍ。ここでρとρ０はアルミニュームと水の密度。
６．３１３．ｍ≒２πＲ２α｜ｃｏｓθ｜（ｎ ２−１）／ｇｈ＝０．７ｋｇ。
６．３１４．Ｆ≒２αｍ／ρｈ２＝１．０Ｎ。
６．３１５．Ｆ＝２πＲ２α／ｈ＝０．６ｋＮ。
６．３１６．Ｆ＝２α２ｌ／ρｇｄ ２＝１３Ｎ。
６．３１７．ｈ＝２α（１−ｓｉｎθ）／ρｄ。
６．３１８．ｈ＝（α／ρｇ）１／２ｓｉｎ（θ／２）。
６．３１９．ｔ＝２ｌηＲ４／αｒ ４。
６．３２０．Ｑ＝２πα２／ρｇ。
６．３２１．（ａ）Ｆ＝παｄ２＝３μＪ。（ｂ）Ｆ＝２παｄ２＝１０μＪ。
６．３２２．（ａ）ΔＦ＝２παｄ ２（２ −１／３ −１）＝−１．５μＪ。（ｂ）Ａ ＝４πＲ ２ （２α＋Ｒｐ ０／３）。
６．３２３．Ｃ−Ｃ ｐ＝Ｒ／２（１＋３ｐ０ｒ／８α）。
６．３２４．
６．３２５．（ａ）ΔＳ＝−２（ｄα／ｄＴ）Δσ。（ｂ）ΔＵ＝２（α−Ｔｄα／ｄＴ）Δσ。
６．３２６．Ａ＝ΔｍＲＴ／Ｍ＝１．２Ｊ。
６．３２７．ｍ 水蒸気 ＝（Ｖ−ｍＶ 液体 ）／（Ｖ 水蒸気 −Ｖ 液体 ）＝２０ｇ。Ｖ 水蒸気＝１．０リットル。
ここでＶ液体 は水の比体積。
６．３２８．ｍ液体≒Ｍｐ０（Ｖ０−Ｖ）／ＲＴ＝２．０ｇ。ここでｐ ０は常圧。
６．３２９．η＝（ｎ−１）／（Ｎ−１）。η＝１／（Ｎ＋１）。
６．３３０．ΔＳ＝ｍｑ／Ｔ＝６．０ｋＪ／Ｋ。ΔＵ≒ｍ（ｑ−ＲＴ／Ｍ）＝２．１ＭＪ。ここでＴ＝３７３Ｋ。
６．３３１．ｈ≒（Ｑ−ｍｃΔＴ）ＲＴ／ｑｐＳＭ＝２０ｃｍ。ここでｃは水の比熱、ΔＴ＝１００
Ｋ、ｑは水の蒸発熱、Ｔは水の沸騰温度。
６．３３２．Ａ＝ｍｃ（Ｔ−Ｔ ０）ＲＴ／ｑＭ＝２５Ｊ。ここでｃは水の比熱、Ｔは蒸気の初期温度
で水の沸騰温度に等しい、ｑは蒸気の凝集熱。
６．３３３．Ａ＝ｍｑ（Ｔ１／Ｔ２−１）＝０．６７ＭＪ。ここでｑ＝２．２５ｋＪ／ｇ。
６．３３４．ｄ≒４αＭ／ηρＲＴ＝０．２４μｍ。ここでρは水の密度。
６．３３５．μ＝ηｐ０（Ｍ／２πＲＴ）１／２＝０．３５ｇ／ｓ・ｃｍ２。ここでｐ０は常圧。
６．３３６．ｐ＝μ（２πＲＴ／Ｍ）１／２＝０．９ｎＰａ。
６．３３７．Δｐ＝ａ／ＶＭ２＝１．７×１０４気圧。
６．３３８．ｐｉ≒ρｑ。約２００００気圧。
６．３３９．
６．３４０．ａ＝２７Ｒ２Ｔ臨界２／６４ｐ 臨界＝３．６気圧・リットル ２／モル２。ｂ＝ＲＴ 臨界／８ｐ 臨界＝０．０４３リットル／モル。
６．３４１．Ｖ臨界 ＝３ＲＴ 臨界／８Ｍｐ 臨界＝４．７ｃｍ３／ｇ。
６．３４２．（π＋３／ν２）（３ν−１）＝８τ。τ＝１．５。
６．３４３．（ａ）Ｖ最大＝３ｂｍ／Ｍ＝５．０リットル。（ｂ）ｐ 最大＝ａ／２７ｂ２＝２３０気圧。
６．３４４．Ｔ臨界＝８ａ／２７ｂＲ≒３００Ｋ。ρ臨界＝Ｖ／３ｂ＝０．３４ｇ／ｃｍ３。
６．３４５．η＝８Ｍｐ臨界／３ρＲＴ臨界＝０．２５。ここでρは室温におけるエーテルの密度。
６．３４６．
６．３４７．η＝ｃ｜ｔ｜／ｑ＝０．２５。ここでｑは氷の融解熱。ｔ＝−８０°の時。
６．３４８．ΔＴ＝−（ＴΔＶ ／ｑ）Δｐ＝−７．５ｍＫ。ここでｑは氷の融解熱。
６．３４９．Ｖ飽和 ≒ｑΔＴ／ＴΔｐ＝１．７ｍ ３／ｋｇ。ここでｑは蒸発熱。
６．３５０．ｐ飽和 ≒ｐ（１＋ｑＭΔＴ／ＲＴ２）＝１．０４気圧。ここでｑは蒸発熱、ｐ ０は常圧。
ΔＴ＝１．１Ｋ。
６．３５１． Δｍ／ｍ＝（ｑＭ／ＲＴ−１）＝５％。
６．３５２．ｑ＝Ｒ（ａ−ｂＴ）。
６．３５３．ｐ＝ｐ ０ｅｘｐ（（ｑＭ／Ｒ）（１／Ｔ ０−１／Ｔ））。
６．３５４．η＝ｃｐＴΔＶ ／ｑ ２＝０．０３。ここでｃは氷の熱容量、Ｔ＝２７３Ｋ、ｑは融解熱。
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６．３５５．（ａ）２１６Ｋ、５．１気圧。（ｂ）各々０．７８ｋＪ／ｇ、０．５７ｋＪ／ｇ，０．
２１ｋＪ／ｇ。
６．３５６．ΔＳ≒ｍ（ｃｌｎ（Ｔ２／Ｔ１）＋ｑ／Ｔ２））＝７．２ｋＪ／Ｋ。
６．３５７．ΔＳ≒ｑ融解熱／Ｔ１＋ｃｌｎ（Ｔ２／Ｔ１）＋ｑ 蒸発熱／Ｔ２＝８．６Ｊ／ｇ・Ｋ。
６．３５８．ΔＳ≒ｍｃｌｎ（Ｔ／Ｔ １）＝−１０Ｊ／Ｋ。ここでｃは銅の熱容量、Ｔ＝２７３Ｋ。
６．３５９．
（ａ）ｍ２ｃ ２ｔ２＜ｍ１ｇの時、氷は溶けないで、ΔＳ＝ｍ ２ｃ２（Ｔ ２／Ｔ １−１−ｌｎ（Ｔ２／Ｔ １））＝９．２Ｊ／Ｋ。ｍ ２ｃ２ｔ２＞ｍ１ｇの時、氷は溶て、ΔＳ＝ｍ１ｑ／Ｔ１＋ｃ２（ｍ１ｌｎ（Ｔ／Ｔ １）−ｍ ２ｌｎ（Ｔ ２／Ｔ））＝１８Ｊ／Ｋ。ここでＴ＝（ｍ １Ｔ １＋ｍ ２Ｔ ２−ｍ １ｑ／ｃ ２）／（ｍ １＋ｍ ２）。
６．３６０．ΔＳ＝ｍｑ（１／Ｔ １−１／Ｔ ２）＋ｍｃ（Ｔ ２／Ｔ １−１−ｌｎ（Ｔ ２／Ｔ １））＝０．４
８Ｊ／Ｋ。
６．３６１．Ｃ＝Ｃ ｐ−ｑＭ／Ｔ＝−７４Ｊ／Ｋ・モル。ここでＣｐ＝Ｒγ／（γ−１）。
６．３６２．ΔＳ＝ｑＭ／Ｔ ２＋Ｃ ｐｌｎ（Ｔ２／Ｔ１）。ここでＣｐ＝Ｒγ／（γ−１）。

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