Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres

J EAN -L OUIS N ICOLAS
Sur l’ordre maximum d’un élément dans le groupe Sn des permutations, I
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 7, no 2 (1965-1966),
exp. no 13, p. 1-8.
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Séminaire DEIANGE-PISOT-POITOU

13-01(Théorie des Nombres)
7e année, 1965/66, n° 13

14 mars 1966

SUR L’ORDRE MAXIMUM D’UN ÉLÉMENT DANS LE GROUPESn DES PERMUTATIONS, I.

par Jean-Louis NICOIAS’Cet exposé a pour but de préciser les résultats décrits par LANDAU

On rappelle qu’un élément 03C3du groupe

S n des permutations dedécompose en cycle de façon unique. Par exemple, pourL’ordre d’un élément(le plus petit entier mtion identique) e st donc le p. p.

ple ci-dessus, l’ordre e st donc
Si 03C3 ~ Sn , soientn = 5a

7tels quetel que

03C3msoit la permuta--cycles. Dans l’exem-la longueur desescycle s, on a :12.

est un système

quelconque d’ entiers >, 1n - n ~ + n 2 + ... + nk . Par exemple, le nombre
npartitions :(n~ ~ n~ ~Si... ,~ . Aobjets ayant k cycles de lon5 = 2 + 2 + 1 , on associe, par exemple,nest une partition quelconque deélément deobjets seses

Il est facile de construire une permutation degueur

9 ,nde la longueur denl ’ n2 , ... , n.

D’ autre part, une partition den , 2 ... , nk ~c. m.

1=n~~~~, ~ 61) .

dont l’ordre soit: p.p.

n, il existe donc un

n2 ’ ... , %) .
Nous allons nous intéresser à la fonction arithmétique :Sc. m.

désignant l’ ensemble des partitions den .

de~ g (n) .

1.

g(n) divise n: .
l’élément 03C3’ E Sn+1g(n) est croissante (soit 03C3 ES,n+, qui laisse invan
riant (~a fi ~ ) et coïncide a,illeurs avec ~ , a même ordre..

-Tableau des valeurs:-n3456789lo

L11z

13g(n)

34b6lz15zo

303060603 42;3

6 3;4 3;5

4;5

2,3,5@

1;2;3

La troisième ligne indique lag(n)cul deg(n)-,1,2,3,5(ou le s) partition den’ e st pas comnode dè s quen5;6 3,4,5 1,3,4,5n

Le cal-d’ ordre

devient grand.

n’est pas strictement croissante:g(lz) _ g(1,3) e

11 ! on constate que plusieurs partitions sont d’ ordre g(n)(on appelle ordre d’une partition, l’ordre d’un élément a de Sn associé).
Parmi les partitions d’ordre g(n) il en existe une, telle que lessoient des puissances de nombres premiers ou des 1 . En effet, si..

Pourn ~b,n --et sini = ab , avec a>l ~ b>1 ,(a ~ b) =1 ~et les partitions

ont même ordre, le s multiple s deabétant le s mêmes que ceux dea +b

puisque(a, b) =1 .
Dans la formule de définition delede.

"sup"g(n) , on peut se restreindre au cas où ni =pr:s’étendant à tous les systèmes de couples

p,r ( p premier,r E~!~ ~2. Majoration et minoration deg(n) .

p h étant le h-ième nombre premier(p.

rjh logh) , on pose :1jz

345b’~~

9p. Jz3571i13~’~~92.3zz8
41~ol’~
5~
5,7~~ o0nétant donnée

Pj+1 .

-Minoration deP.

définit jonfonction decommenparP .

n- On a"o(p.)
donceg(n) , avec e(x) = 03A3 log pétant la fonction de ebyev.

p~x"

g(n) . - Le nombre de facteurs du produit g(n) = ~ p

Majoration deest in-férieur ou égal à j , sinon:

LEMME. - Le produit de(7-) quand leskk

nombres desomme

donnéenest maximum etégal ànombres sont égaux.

Le résultat est bien connu pour

3. Etude de la fonctionk~k = 2 , il

y=(n k)k .

segénéralise par récurrence.

On peut montrer facilement que jfacteurs

kFinalement,(k % j )den

Pj n Pj+1 ,7 ,somme

4. Calcul d’ un é!E?-valent dePourh, j ,nne

pour

n % 7 . Le produitg(n)=Îl pran , donclog g(n) .

tendant vers l’infini,

Ce calcul sera justifié par la suite.

D’autre part,P. ~+~ .. P. ~On en déduitlog n

Or=(j+ 1)’+1 ~ ~o’zlo ’ ~~ ~ ~ ) , doncet2 log j, puis

6(pi) ‘ log g(n) ~ j(logn -log j] ,On en déduit :5. Développement asymptotique delog g(n) .

Nous allons maintenant chercher un développement asymptotique de9 (p..) et dej logJ. Il y aura cinq étapes 1(a) Développement de~b) Développement de(c) Développement de~d~ Développement de8

phenfonction deP.J

enfonction de j .

jenfonction den.

~p .J ~

enfonction den.

enfonction den.

(e) Développement de j log(a) Développement de p het, en intégrant

PourDex - p ,li (x) =il (x~=nenfonction deh . - On sait quex2 dx log x par parties,

h , en prenantk = 2 ,

ph rv h log h , on déduit que(b) Développement deP.aenh.

fonction de j .

onobtient

on a ~

Utilisons la formule sommatoire d’Euler-MacLaurinl’ordre([1], chapitre VI, § 3, n° 1) à

1 ~(a) Posons f(t)x ~ 1 ~ m = j - 2 ,On voit que(p) Posons f(t)~ l=.

t log t ;onobtient :est majoré parR

2=t=f’(t)

log t + 1 ;f"(t)= ~ ~ f~(t) = --~?
o~t

C . On trouve :t log log t ;1=f’(t)~~2014~ " ~ ; x=3 ; m=j -2
t la t=log log t +f"(t)tlog t. Comme dans cet exemple,fetsesdérivées sont plus petites que précédemment, tous les termes, qui étaient négliet

le sont encore

Nous utilisons le théorème ([1 ] ,chapitre V, § 3, n° 3, prop. 6) :(limite uniforme sur tout
compact de fonctions en escalier) définies sur ]a , + ~[, telles que
Soientfetg

deux fonctions numériques régléesOn a,Commeenfait,r(t)=o(t) d’après le théorème précédente

Finalement :(c) Développement de jenfonction deOn avait vu(d) Développement de 03B8(pj)+enn. - Comme

P.. -P.=o(j ) ~o (1)) , d’où

fonction den.

-On sait que :13-08En remplaçant jpar sa valeur,(e) Développement

Résultat :avec -"~ lim inflim supa ~ ~- - log
22 ~ 0~ 1 .

BIBLIOGRAPHIE(Nicolas). - Fonctions d’une variable réelle, chap. 4 à 7. - Paris,Hermann, 1951 (Act. scient. et ind. 1132, Bourbaki, 12).
[2] LANDAU (Edmund). - Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. -[1]BOURBAKI

Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1909.