論文

I

はじめに

II

三つの主張

III 分析
（以上、本号）
IV 議論
おわりに

V

道路 の混雑：独学者のための＊ミクロ 経済分析入門 Ⅰ

I

はじめに

長年、専門性を踏まえた仕事をしてきた人には、
自分 の専門分野について、1回きりの機会で、水先案内めいた内容を話すように求められた経験があるだろう。例えば、大学教員の 場合、新入生対象の教養科目のリレー講義において、各分野の教員が1回ずつ 分担してそれぞれの専門について話 す場合 や、高校訪問やオープンキャンパスでの模擬井手一郎

講義、あるいは、各地で催されている様々な勉強

Ichiro Ide会などで、内容 の細かい指定なしで講演を任され滋賀大学 経済学部 / 准教授

る場合などがこれに当たる。近年 は、講演が 録画され、電子メディアで公開されることも増えている
ので、潜在的な聴衆の範囲は、当初の想定を超えた広がりをもってきている。電子技術の発展とともに、多くの工夫や活用の余地がある、知的コミュニ
ケーションの 独自の機会 の一 つであると言えるかもしれない。
このような場で聴衆として現れる人々を、本稿では、独学者と呼んでみたい。独学者という言葉には、確固 とした 信念 に 基 づく継 続的実 践 としてのautodidacticismを連想する向きも少なくないであろうが、ここでは、ふとした好奇心から、いつもと違

1）学会やコンファレンス、ワークショップなどで行われる研究発表の場合、発表の外形的な手順はほぼ定型化されており、また、聴衆の大半は同業の研究者であるので、主題に応じた高い水準の専門知識を前提してかまわない。他方、大学の通常授業の場合には、多くの分野で優れた教科書が準備＊JEL Classification Codes: A20 。

されているので、15回程度の講義機会を使って、教科書の体系的構成を念頭に置いて授業を進めることができ、また、受講生は入学試験等で一定以上の学力を示すことができた学生たちであるので、受講者の学力の水準は均質とまでは言えないものの、かなりならされている。これに対して、1回きりの機会における、公衆を広く潜在的な聴衆とする、独学者のための学習案内は、話者の間で内容 の満たすべき条件につい

034

彦根論叢

Winter / Jan. 2023 / No.434

う場所に足を踏みいれ、昨日までとは異 なる知的することで、この問いに答えることへ向けた、筆者

風景を一瞥してみようとする、いわば、その場そのの試 みの跡を記したい。

1）

時 の、気軽な 独学者を念頭に置いている 。独学

さて、ミクロ経済分析を主題とする、独学者 の者のための学習案内を主題とすることは、総合性、ための学習案内の要件 は、どのようなものであろ

教養、あるいは、イノベーションについて、実践的うか。1回の講義にすべてを詰め込むことができなに考える契機になる。例えば、ある専門家が、自分いのは自明であるが、まず、細部を扱うにしても、その専門の垣根を越え、総合性の方へ踏み出すとき、こから分析の全体像の印象を引き出せるものが望あるいは、結果として画期的な発見・発明・イノ

ましいだろう。次に、難易度としては、講演内容 のベーションをもたらす可能性 のある、専門の 通念

骨格を、初めて声を聴き活字 を追うその 場で、理に反した「非常識」な試 みに着手するときなど、そ解可能であることが望ましい。例えば、数学的準備の人の姿 は独学者と似ているかもしれない。戦略だけで1年以上を費 やすような難度の主題を話 す的な独学者 が 多様な学術的試行錯誤 を踏まえて、 のは論外である。前提する数学 の水準については、
一歩一歩、進んでいくとすると、専門家養成のため

高校の数学が一つの基準となろう。さらに、ミクロに敷 かれたレールの上を真っすぐに突っ走る人々

経済分析 が 分析である限り、単純なものでも、実に比べて、むしろ、独学者には、多くの分野にわた

際 に自分 で 使うことができる理解 を目指したい。

る、効率的な試行錯誤 のための、充実した一群の最後に、経済学は社会科学の一部であるので、個2）

学習案内が 必要である 。政治家、経営者、編集

人の選択と社会の仕組みとの対照や関係がくっき者など、総合性において突出することが望まれる立りと際立つ素材が興味深いかもしれない。

場の人々の、多くの分野を横断する事実認識の正

本稿では、道路 の混雑のミクロ経済分析を取り

確さや物事 の軽重に関する価値判断 の 健全さを上げる3）
。道路 の混雑の経済学については、ピグー保つためには、総合性と教養 のための、広い意味の古典的著作以降 に限っても多くの 研究 が 蓄積でのインフラストラクチュアの充実が求められる。

されている。その 一部 については後半で 触 れる。

独学者のための学習案内はそのような広義のイン

先回りして注記しておきたいが、本稿は、多くの先

フラストラクチュアに属する要素の一つである。

行研究を「食材」にして、混雑の経済分析を主題と

特に、ミクロ経済分析を主題として、1回きりのする、独学者のための学習案内という、一つの「料講演を行う場合、その内容をどのように構成すべ理」を作ることを狙いにしている。本稿に貢献があきであろうか。このような問いに唯一の正解がある

りうるとすれば、それは新たな「食材」の提供ではとは思わないが、本稿では、一つの具体例を提示

なく、様々な既存の「食材」を使った「料理」の作り方に関してであろう4）。

ての共通理解が乏しく、水準も多様である。この点で、それは先に進んでいくという順序になろう。また、独学者の歩みに終研究発表 や通常授業とは異なる、まだまだ未開拓の試行の着点はなく、常に途上にあるともいえよう。

範疇に属しているように見える。

2）独学者を、独自の言語と分析枠組みを駆使して思考し、他（traﬃc jam）の方が近しいか
3）日常用語としては、交通渋滞もしれないが、本稿の分析はその他のネットワークの混雑現者の知的支援を必要としない人と定義すると、定義により、独象にも応用できるので、混雑（congestion）という語の汎用性

学者は他者による学習案内を必要としないので、独学者のたに注目して、こちらを用いる。

めの学習案内という表現は矛盾を含むものになろう。しかし、

人は自分独自の言語と分析枠組みをあらかじめ 備えて誕生するのではない。独学者の歩みは、まずは他者の著作で自分を鍛えながら歩き始め、どこかの時点で、自分 の書いたものを、自分向けに自分で編集した教科書・問題集に加えて、さらに道路の混雑：独学者のためのミクロ経済分析入門 Ⅰ

4）本稿の基本モデルの内容を、筆者が経済学の初学者向けの授業や講演等で使い始めたのは2010 年以前に遡る。本稿はそれらの経験を踏まえて、エッセイと論文の中間のスタイ
ルを意識して執筆されたが、敢えて、専門分野の分類表に当てはめるなら、経済学教育一般のカテゴリーになろう。

井手一郎

035

総合性に配慮した関連文献の 提示を考えると、礎となる社会認識 の根拠をどこに求めるかという一 つの 専門分野 の中で 先行研究を一覧 することことである。社会認識 の分析的枠組みを刷新する

だけでは十分ではない。複数の専門分野を横断しことが、『君たちはどう生きるか』を生きた古典として、あるいは、専門以前のところから、関連する作て、その良い部分を明日に引き継ぐための必要条

品 の系譜 を示 すことが重要である。さらに、専門件になるように思われる。

分野 の入門的教科書等 の関連する部分 について

1974 年 に宇沢弘文 は『自動車 の 社会的費用』

も言及がある方が親切であろう。ここでは、道路 のを著し、「自動車の問題性」を正面から問うた。宇混雑にかかわる最小限 の系譜として、次の二つの沢 は現代経済学 の 批判的吟味 に加えて、混雑 だ

文献を指摘しておきたい。

けでなく、自動車事故や大気汚染などを含 む、自1937年に出版された、吉野源三郎の『君たちは動車を取り巻く全体状況について強力な問題提どう生きるか』の本文は、主人公 の中学生が霧雨起を行った。その問いかけに対して、上記 の本 での降る銀座の百貨店の屋上で、銀座通りの自動車

宇沢は完璧な解答 を与えたわけではなかったが、の 流 れを 俯瞰 する描写 から始まる。通勤による、道路を社会的共通資本としてとらえ、その 特徴の潮の満ち引きのような、人口や交通量の変動。そ一つに、混雑現象の発生を挙げている点が注目さの波の中の「水 の分子」のような個人。道路 の混れる6）。

雑は個人の選択を条件づける社会 の運動法則のところで、宇沢は、社会批判の先達の一人として描像として用いられている。その指摘だけにとどま

ヴェブレンに言及し、宇沢がヴェブレンに由来する

らず、社会認識との関係の中で「どう生きるか」ととしたアプローチを制度主義と呼んだ。宇沢は制いう主体 の 条件 を問うのが 吉野 のこの 著作 の 特度主義について、いろいろな論考の中で繰り返し徴であるようだ5）。

触れているが、例えば、宇沢弘文（2000）では、ア

ところで、気になるのは、この社会認識がどのよ

ダム・スミスにも言及しつつ、マルクス主義と新古

うな理論的基礎 に依るのか、という点である。著

典派経済学 の両方を退 け、それぞれの国や 地域

述家 にとって思想警察 が 現実 の 脅威 であった 時の制度的条件に依拠した経済学 の必要性を論じ

代に、吉野は中学生を主人公とすることで、作品のている。本稿 の上の文脈 からは、制度主義 は、マ思想的背景を官憲から見えにくくすることに成功しルクスにかかわる現実政治的な一切とは独立したている。また、そのことが作品世界を今日の読者にところで、現代社会に対 する批判的実践 のためのも近 づきやすいものにしていると思われるのだが、理論的基礎を作る試 みである、と理解することが作品 の中 では生産関係といったマルクス経済学

できる7）
。

の用語 が 使 われている。上記 の本 の出版 から80

本稿は、このような意味での、吉野−宇沢の系

年以上に及ぶ世界史を踏まえ、異論・反論は様々

譜の延長線上に、ミクロ経済分析の視点から、道にあるかもしれないが、一つの問いは、マルクス経路 の混雑に関する一つの注釈を追加するものであ済学 やマルクスを 援用する様々な言説 が 説得力る。では、次章にて、三つの問いを提示することかを失う中 で、現代社会 に対 する批判的実践 の 基ら、本論を始めよう。

（1981）に語ってもらおう。
「吉
5）この点については、丸山眞男

思われます。
「」世界の『客観的』認識というのは、どこまで行っ

野さんの思想と人格 が 凝縮されている、この1930 年代末 のても私達の『主体』の側のあり方の問題であり、主体 の利害、書物に展開されているのは、人生いかに生くべきか、という倫主体 の責任とわかちがたく結 びあわされている、ということ

0

0

0

0

0

理だけでなくて、社会科学的認識とは何かという問題であり、

─その意味でまさしく私達が『どう生きるか』が問われていむしろそうした社会認識の問題ときりはなせないかたちで、人る」など。

間のモラルが問われている点に、そのユニークさがあるように

036

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II

三 つの主張以下の三つの主張を考えることから始めよう。

「地点 Aから地点 Bへ 行くには、二つの 道ア、イが利用できる。道アを使うと交通量に関係なく1時間で到着。道イはその道を使う人数をxとすると、x 時

主張1「個人に選択の自由があるのと、選択の自由間かかる。
（ つまり、道イを使う人 が 多いほど混雑が制限されるのとでは、自由な方が良い。例えば、して時間がかかる。）地点 Aから地点 Bへ移動する

二つの道 があって、どちらでも好きに選 べるのと、人は多数いて、その全人数を（単位を適切に選 ぶ

人によって通れる道が決まっているのとでは、自由

ことで）1とする。

に選べる方がいい。後者 の場合、自分に指定され（1）それぞれが自分で道を選 ぶ場合、人々はどのた道よりも満足 が高まるから別の道を通りたいとように道を使うか。

望むのであり、それを自由に選 ばせればその人の（2）社会的に最適な道の使い方はどのようなもの

満足は明かに高まるからだ。」

か。」

主張 2「通れる道が二つだけなのと、それ以外 の道

以上の二つの小問に続けて「（3）先の主張1を、も通れるようになって三つ以上の経路 の選択肢がこの問題に 即して批判せよ」を追加 する方が、主確保されるのとでは、後者 の方がいい。なぜなら、張1の 批判的検討という設問の意図は明確になる

前者で選んだ道も後者で選ぼうと思えば選べるかが、三つの主張の是非については、本稿後半 の議らだ。」

論で扱いたいので（3）は設けず、本節ではもっぱら、後の考察 の根拠となる論理的事実を確認する。さ主張 3「道路 を改修 すべきかどうかは費用と効果て、この問題の解答 を考える前に、文中の仮定のの大小で決まるが、改修工事によって同じ混雑度

意味を確認し、明確に説明されていない条件を補での 通勤時間 が削減されることが 明らかであり、いながら、問題の再定式化を試 みよう。

その工事 の費用がごくわずかであれば、改修工事をやる方がいいのは自明だ。」

まず、個人の 行動についてである。個人 は自分の所得が大きいほど嬉しいとして、例えば、自宅のあるA 地点から、仕事場 のあるB 地点に移動 する

どの主張も、もっともそうに見えるのではなかろことで、初めて十分に大きい所得を手に入れることうか。以下、これらの主張の是非を検討していきたができるとすると、個人 は必ず仕事場 に移動 する

いが、まず、各主張を道路 の混雑に関する設問の（ すなわち、自宅にとどまる選択 はない）と考えて

形式 で表現することを試 みよう。設問の形式に書よい。

き直すことで、議論の焦点を明晰にすることができるからである。

例えば、主張1を次のような問題の形で表現してみる。

しかし、移動のために、個人は移動時間を費さなければならない。いま、1時間あれば1000 円を稼ぐことができるとすると、移動に1時間をかけることは 稼 げたはずの1000 円を犠牲にすることになる。

（1974）p.126-130、155-157。
6）宇沢（2000）p. 20-21。なお、経済学史上の事実とし
7）宇沢弘文て、欧米には様々な制度主義・制度学派の存在を認めることができる。

道路の混雑：独学者のためのミクロ経済分析入門 Ⅰ

井手一郎

037

T

T

Tァ

1

1

Tァ

か

Tィ

Tィ

う
0

図1

お

1

x

道ごとの個人の移動時間

え

0

1

図2

現実的な移動時間の例

x

これを移動費用の尺度と考えると、所得を最大にる。全員が道アを選択すればx = 0、全員が道イをしたいと考える個人は、移動時間の短い方の道を選択すればx = 1で、xは0から1までの 値を取るこ選 ぶと考えてよい。

とができる。

ここで、1000 円を新 たな貨幣 の単位として1新円と呼ぶことにすると、移動時間の数値がそのまま各人の行動の結果、どのようなx が実現するか。
これが（1）で問われていることである。

新円単位の（犠牲にした稼ぎの額で計測した）移

図1は横軸に道イを選 ぶ人の人数 x、縦軸に個人

動費用を表すので便利である。すなわち、道アをの移動時間T をとっている。道イを選択 する場合

選 ぶと移動時間は1時間、移動費用は1新円。道イの個人の移動時間Tイはx の関数で、
x < 1では道アを選ぶと移動時間はx 時間、
移動費用はx 新円になを選択する場合の移動時間Tア = 1よりも下にあり、る。以下、本稿では、新円以外 の貨幣単位は登場

x = 1では同じ高さになる。すなわち、全員が道イをしないので、新の字をとって、新円を改めて円と表選択する状況
（ x = 1）では、Tア = Tイ = 1となる。

記することにする。

なお、道イの移動時間について、上で「道イを使同様に、人口に関する単位についても、移動 すう人数をxとすると、x 時間かかる」と仮定しているる人の総数 が、例えば、10万人であるとすると、10が、これではx がゼロに近い場合、ほとんど移動時

万人を人口の単位とすることで、
「全人数を
（単位を

間なしでBまで移動できることになり不自然である、

適切に選 ぶことで）1とする」ことができる。この時、という批判もありえよう。これに対しては、道ア、道例えば、道イを選 ぶ人口が0.5であるなら、それはイのそれぞれを通る人が少ないうちは移動時間は10万人を1とした0.5、すなわち、5万人を意味する。

一定で、臨界的な移動人数を超えると混雑による各個人の 行動の結果、社会全体としてのx が決ま

遅延 が始まるというモデルも可能である。例えば、

038

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図2では、道イは図の「うえ」の人数を超えると混雑が始まり、道アは点(1, 0)を原点として左向きに計

III

分析

測して「おか」の人数を超えると混雑が始まる状況

3.1 主張1：自由な選択 は 常 に 好ましい 結果をが作図されている。しかし、このような変形はモデもたらすのか？

ルを複雑にするので、モデルを現実の方へ向けて変形できることを確認したうえで、差し当たり、モデ

主張1の是非を検討 するために、次の問題を考え

ルをできるだけ容易に理解できるものにするというよう。

方針に従って、本稿では図1で表現される、初めの単純な仮定の方を選びたい。

問題1

地点 Aから地点 Bへ行くには、二つの道ア、

次に、「社会的に最適な道の使い方」を考えるた

イが利用できる。道アを使うと交通量に関係なく1

めには、社会的に最適であることの基準、すなわち、時間で 到着。道イはその道を使う人数をxとすると、社会的厚生の基準を考えておく必要がある。ここ

x 時間かかる。
（つまり、道イを使う人が多いほど混では、個人が移動時間の最小化を目指して行動す

雑して時間がかかる。）地点 Aから地点 Bへ移動すると仮定しているので、一つの社会的厚生の基準る人は多数いるが、（単位を適切に選 ぶことで）全として、社会的移動時間に注目しよう。社会的移

体 の人数を1とする。

動時間は、全個人の移動時間を社会全体 で 集計
した値で定義される。例えば、人口の1/3が道アを

道ア

用い、残りが道イを使う場合、社会的移動時間は、

1 · (1/3) +(2/3) · (2/3) = 7/9になる。以下では、

1

Ｂ

Ａ

社会的移動時間が小さいほど、その時の移動状況
は社会的に好ましいと考える。
（ これは、社会的移道イ

動時間にマイナスを付けた値を大きくするほど好ｘ

ましい、と表現するのと同じである。）なお、本稿では、移動時間の数値がそのままで移動費用を表す（1）それぞれが自分で道を選 ぶ場合、人々はどのので、社会的移動時間 の 最小化 は、社会的移動

ように道を使うか。ただし、個人 は移動時間が 最

費用の最小化と同じと考えてよい。

小になるように行動すると考えてよい。

社会的移動時間をx の関数として表し、それを（2）社会的に最適な道の使い方はどのようなものか。

最小にするx の値を求める。これが（2）で問われてなお、社会的厚生は社会的移動時間（社会全体でいることである。

集計した移動時間）が小さいほど高いと考えよ。

以上を考慮して問題を書き直すと、次節の問題

1が得られる。では、分析に取り掛かることにしよう。

では、解答を考えよう。まず、個人の道の選択であるが、道アを選べば1時間必ずかかる。道イを選
べば、最悪で1時間（ x = 1の時）。幸運（ x < 1）なら道路の混雑：独学者のためのミクロ経済分析入門 Ⅰ

井手一郎

039

S

T

1

1
S = S(x)

3/4

0

図3

α Tァ

1/2

1

x

道イを通る人数と社会的移動時間

Tィ

1/2

β

0

1/2

図4

1

x

社会的に最適な道の利用

1時間より短い時間で済む。従って、道イは道アに（2）であるが、社会的移動時間は、道アを次に、対して、悪くて同点、それ以外では勝るので「全員選 ぶ人数 が1 − x、道イを選 ぶのがxで、それぞれが 道イを選 ぶ」が 一 つの結論になる。これは直観に一人あたりの移動時間、1とxをかけて足せば求的にわかりやすい推論であろう。

まる。道イを選 ぶ人 がx の時 の 社会的移動時間をところで、人口が10万人で、自分以外 の99999人

S(x)とすると、は全員道イを選択しているとする。残りの一人は、どちらの 道を選択 すべきか。道アを選 べば1時間

S(x) = 1 · (1 − x) + x · x = x 2 − x + 1

かかる。道イを選べば、x =10万 / 10万 = 1なので、= {x − (1/2)}2 + (3/4)

やはり1時間かかる。どちらを選 んでも同じ結果である。従って、最後の一人は道アを選択するという関数 S(x)は 二次関数なので、そのグラフを描き、のがもう一つの結論 である。
（ この時、道アを選 ぶ

最小値を求めることができる。
（図3を参照。）社会

一人の選び 方は10万通りある。）人口が十分に多的移動時間を最小にするx の値をx*とすると、x* =いならば、結果としてx = 1の近傍が実現すること1/2である9）。これが（2）の解答である。

になる。この時、道イを選んでいる人の移動時間は

この結果 から、社会的に好ましい道の利用x* =99999 / 100000 < 1となっているので、誰も道ア

1/2に比較して、個人 が 道を自由に選択する場合を選び 直したいとは思わない。

の道の利用x = 1は、道イが過剰に利用されている

従って、（1）の 解答 は、「全員が道イを選 ぶ。あるいは、一人が道アを選び、他の 全 ての人が道イという意味で、社会的に好ましいものではないことがわかる。

を選 ぶ」となる8）。

「x = 1およびその近傍が実現する」というのを、「x = 18）以下、が実現する」と短く表記する。

9）もちろん、Sをxで微分して、増減表を作るという手順を踏んで最小値を求めても良い。

040

彦根論叢

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T

T

あ

1

Tァ

Tィ
x き
か

0
図5

い

う

x

社会的厚生の図解

X＋ΔX

き’

x

い’’

き

い

か

え

1

あ あ’

1

お

x

0
図6

う

Tァ

お

Tィ
い’

う’

x X＋ΔXえ1x

道アから道イへの変更1

なぜ、個人が自由に道を選択すると社会的に望∆xだけなくなり、道アから道イに変わる人にとって、ましい道の利用を実現できないのか。図4を見ると、

道イを使う移動時間が(x + ∆x)∆xだけ発生する。

図4 の点βの縦軸の値が社会的に最適なx*におけこれを差し引きすると、(x − 1 + ∆x)∆xになる。∆

る道イを選 ぶ個人の移動時間1/2を表す。この時、xが十分に小さいなら、(∆x)2は非常に小さくなる

道アを選 ぶ個人の移動時間は点αの縦軸の値で、のでこれを無視する（ゼロと置く）と、道アから道イ

それはxと独立で、常に1である。つまり、社会的にへ変わる個人の移動時間の変化は(x − 1)∆xとな

望ましいx* = 1/2において、道アの移動時間は道り、x − 1 < 0である限り、∆x > 0とすることで、こイの移動時間の2倍になっている。その結果、社会の 個人の移動時間を削減 できる。こうして次々に的に望ましい道の利用が実現している状況 から、

道イを使う個人が増えていく。

道の選択 が自由化されると、道アを使っていた個

他方、社会的な移動時間は、二つの道を使う全

人は道イを選びなおすことで、移動時間を減らすこ員の 移動時間 の 変化 を 考慮して、{(x + ∆x)2 −とができる。そのため、次々に道アから道イに変更

x 2} − 1 · ∆x = (2x − 1)∆x + (∆x)2だけ変化 す

する人が出ることで、結局、二つの道の移動時間がる。上と同様 に二乗 の 項を無視すると、(2x − 1)

同一になるまで、道アから道イへの変更 が 続き、x

∆xが社会的移動時間の 変化を表すことがわかる。

= 1が実現する。

これは、(x − 1)∆x + x∆xと分解でき、前者 が 先

言い換えると、道アを使おうとしている個人が道に 求 めた 道アから道イを 選 びなおす個人の移動

イを選びなおすことで、x が∆xだけ増えるとすると、時間の変化であり、後者がもとから道イを使っていこの変更によって道アを使っていた移動時間が1 ·た人たちの移動時間が、混雑により増加する分を道路の混雑：独学者のためのミクロ経済分析入門 Ⅰ

井手一郎

041

T

T
2

2

お’

Tァ

く

き’
き

Tァ

1

お

あ’

α

3/2

Tィ

あ け

Tィ

い’
い

1

う＝ｙ
う’ = y + Δｙ

0

図7

1/2

1

y

道ごとの個人の移動時間2

0

か

図8

う う’

1え

y

道アから道イへの変更2表す。個人は前者しか考慮しないが、社会的には減少の大きさは(「あい」−∆x) · ∆x = 四角形「あ後者も含めた全移動時間の変化が重要である。個い い あ 」の面積である。この値を∆xで割って人は後者を考えに入れないため、道イの過剰利用

人口1単位当たりの数値に直し、さらに、∆xをゼロが実現する。

に近づけると、減少の大きさは「あい」になる。

以上の議論は図を用いて表現できる。図5はx <これに対して、道イを選び 直した人以外 の移動

1/2について、道ごとの個人の移動時間を描いたも時間は、道アを使い続ける人には変化がなく、初めの（つまり、図1にx < 1/2を書き込 み、関連する点から道イを使っていた人にとっては、道イを使う人に「あ」から「き」を記したもの）である。

数 が増えるため、混雑によって増加する移動時間

社会的移動時間S(x)はS(x) = 1 · (1 − x) + x ·の大きさは、「いき」·∆x = 四角形「いきき い 」のxである。ところで、四角形「あうえお」の面積 = 1 ·

面積 である。これを∆xで割って人口1単位当たり(1 − x)、四角形「いうかき」の面積 = x · x であるの数値に直し、さらに、∆xをゼロに近づけると、増ので、S(x) = 四角形「あうえお」の面積+四角形「い加の値は「いき」になる。

うかき」の面積 である。

移動時間の「あい」の減少と「いき」の増加は、x道イを使う人数 が図6のxである時、道アを使う、いき」<「あい」であり、xを増やす< 1/2の時には「

ごく少数の人々∆x =「うう 」が道イを選びなおす

ことで 社会的移動時間を 減少 できる。x > 1/2のとすると、その人たちの移動時間は、「あう」·∆x =時には「いき」>「あい」になり、xを減らすことで社

四角形「あうう あ 」の面積から、(「いう」+∆x) ·会的移動時間を減少できる。以上より、「 いき」=∆x = 四角形「い うう い 」の面積に減少する。

「ただし、個人は移10）以下、問題1の二つの追記、すなわち、動時間が最小になるように行動すると考えてよい」と「なお、社
会的厚生は社会的移動時間（社会全体 で 集計した移動時間）が小さいほど高いと考えよ」は継承されているものと考え、問いの文中では省略する。

042

彦根論叢

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「 あい」となるx = 1/2の時に、社会的移動時間は

道ア最小になる。

1

3.2 主張2：選択 できる経路 の 増加 は 必 ず 厚生を改善 するのか？

Ａ

Ｂ

0

さて、主張 2を検討 するために、新しい問題を考yえよう10）
。

問題 2

ｘ

C

C’

1

道イ

地点 Aから地点 Bへ 行くには、二つの 道（3）それぞれが自分で道を選 ぶ場合、人々はどのが 利用できる。道アを使うと中間 の 地点Cまではように道を使うか。

交通量に関係 なく1時間で 到着。その 後 はその 道（4）社会的に望ましい道の 使い方はどのようなもを使う人数をxとすると、x 時間かかる。道イを使うのか。

と中間の地点C’までは道を使う人数をyとすると、y時間かかる。その 後 は交通量にかかわらず1時間

さて、解答を考えよう。
（1）については、道ごとので到着する。地点 Aから地点 Bへ 移動 する人数 は

個人の移動時間のグラフを描くとわかりやすい。
図7について、yを0 ≤ y ≤ 1の範囲で与えて、個全体で1とする。

人がどちらの道を選択するかを考えると、
「人口の

道ア
1

C

半分 の人が道アを、残りの半分は道イを選 ぶ」こと

ｘ

がわかる。

Ａ

Ｂ

y

C’

1

道イ

（2）については、まず、社会的移動時間を計算する。それぞれの道を通る一人当たりの移動時間と人数をかけて、二つの道で合計 すると、(1 + x) ·x + (1 + y) · yとなる。x = 1 − yなので、道イを選
ぶ人数がyの時の社会的移動時間をS(y)とすると、（1）それぞれが自分で道を選 ぶ場合、人々はどのように道を使うか。

S(y) = (1 +1 − y) · (1 − y) +(1 + y) · y（2）社会的に望ましい道の 使い方はどのようなも= 2{y 2 − y +1}のか。

= 2{y − (1/2)}2 +(3/2)

いま、地点Cと地点C’との間に新たに道ができ、地点Cと地点C’は時間をかけずに移動できるようになるとする。
（ つまり、地点Cと地点C’は時間距

従って、社会的移動時間を最小にするyの値をy*とすると、y* = 1/2 。

今回も、社会的移動時間を図8から読み取って、離的には同じ地点とみなせる。）

その変化を考えることができる。道イを通る人数が道路の混雑：独学者のためのミクロ経済分析入門 Ⅰ

井手一郎

043

図8の「う」= y < 1/2から「う 」= y +∆yに増加す

道アの前半
1

る場合を考えよう。道イを通る人たちの人数 が図8の「う」= yである時、社会的移動時間 = 道アを通C

道イを通る人たちの移動時間（四角形「 いうかき」

yの面積）となる。同様にして、道イを通る人 たちの人数が図の「う 」= y + ∆yになると、社会的移動
時間 = 四角形「 あ う えお 」の面積 + 四角形

道イの前半
図9

Ｂ

=

Ａ

る人たちの移動時間（四角形「あうえお」の面積）+

道アの後半
ｘ
C’

1
道イの後半

道CC があるときの道路地図の書き換え「い う かき 」の面積、となる。後者から前者を引
くと、道イを通る人が図8の「う」= yから「う 」= y

前に見たような図が、2回連続して登場している+∆yに増加する場合の社会的移動時間の変化（∆

ことがわかる。A → C = C’とC = C’→ Bは、それS）を求めることができる。すなわち、∆S = 道アをぞれ問題1で見 た道路地図と同じである。従って、使 い 続ける人 たちの混雑 が 緩和され 移動時間が問題1の 解答 を2回反復すればよいということにな

減少する効果（−四角形「おお あ け」の面積）+る。すなわち、自由に道を選択できる場合、全員が道アから道イに変わる人たちの移動時間が減少す

A → C’→ C → Bの経路を選択する。この時、y =る効果（− 四角形「けい くあ」の面積）+もとから

x = 1。また、社会的に最適な道の利用法は、人口

道イを使っている人たちの混雑が増加し移動時間の半分 がA → Cを、残りがA → C’を選択、その後、が増加する効果（四角形「くいきき 」の面積）= −（CC’間で人の移動があってもよいが）人口の半分[{2 − ( y +∆y)} − 1]∆y −{(2 − y) − (1 + y +∆がC → Bを、残りはC’→ Bを選択することである。

y)}∆y + y∆yとなる。今回は、道アを使い続ける個

この交通状況は、CC’間に道がなかった時に満た

人の移動時間が混雑によって変化するのが新しいされていた。すなわち、今回の例では、CC’間に道点である。∆yは十分にゼロに近いと考えて(∆y)2のがない時には、人々が自由に道を選択することで、項を無視すると、∆S = −(1 − y)∆y − (1 − 2y)∆

社会的に最適 な 移動 が 実現していた。ところが、

y + y∆y = (4y − 2)∆yとなる。従って、4y − 2 < 0CC’間に道 ができることで混雑が 発生し、社会的なら ∆y > 0とすることでSを減らすことができ、4y

な移動時間はかえって増大することになっている。

− 2 > 0なら ∆y < 0とすることで S を減らすことがCC’間に道ができた後でも、個人はその道を選でる。4y − 2 = 0、すなわち、y = 1/2 の時に、S はばずに、CC’間の道がなかったころの経路を選択最小になる。

することができる。このことを、確認してみよう。

さて、（3）（4）を考える際には、地点Cと地点C’（問題 2前半 の図のように）CC’間に道がなかっが時間距離的には同一地点であると考えてよいこ

た時、個人が選べる経路は以下の二つであった。

とを使って、道路地図を図9のように書き直すとわ（i）AC＋CB

かりやすい。

（ii）AC ’＋C’B

044

彦根論叢

Winter / Jan. 2023 / No.434

（問題 2後半 の図のように）CC’間に道ができる

となる。
（ i）
（ii）は、CC’間に道ができる前後で、物と、個人 が 選 べる 経路 は 以下 のように 増 える。

理的な道としては同じであるものの、移動時間で（CC’間で何度も行ったり来 たりする可能性を 無指標化した道の 質 は同じではないことがわかる。

視すると）

つまり、CC’間に道ができることで、道の質が変化（i）AC＋CB

しており、道の質を含めた同じ経路を選択するこ（ii）AC ’＋C ’Bとは個人にはできなくなっている。道の質は社会の（iii）AC＋CC ’＋C ’B

中で内生的に決まる変数であり、個人には制御で（iv）AC ’＋C ’C＋CB

きない、ということが重要である。
「CC’間に道 が初めの二つの経路（i（）ii）は、CC’間に道ができるできた後でも、個人 はその 道を選 ばずに、CC’間前後で共通しており、確かに常に選択可能である。

の道 がなかったころの経路を選択することができその意味で、「CC’間に道ができた後でも、個人はる」という主張は道の質の変化を無視しており、こその道を選 ばずに、CC’間の道 がなかったころのの主張 に対しては、「CC’間に道 ができることで、経路を選択することができる」というのは正しい。

人々の行動が 変容し、道の質も変わる。その結果、

ところが、実際、CC’間に道ができると、個人は道の質を含めて経路を定義すると、CC’間の道が依然として選択可能な（i）（ii）を選ばず、（iv）を選

なかったころと同じ経路を選択することは、個人に択する。その 結果、個人の移動時間は3/2 時間かとって不可能になっている」と言える。

ら2 時間に増えてしまう。一見、不思議に思えるが、この謎を解くには、道をその物理的な特質、つまり3.3 主張3：ほぼ 無費用 でできる有効な道路改（今の場合）始点と終点だけでなく、その質（混雑修 は 常 に 望ましい 結果をもたらすのか？

に左右される移動時間）を含めて考えることが重要である。道の始点と終点のあとに移動時間を併さて、新しい問題に進もう。次の問題の
（3（
）4）は、

先の主張 3にかかわる設問である。

記してみると、以下のようになる。

CC’間に道がなかった時、個人が選べた経路は、

問題 3

A 地点からB 地点に移動 する問題を考え（i（）AC ，1）＋（CB ，1/2）

る。AB間には 二つの 道 がある。道アを使うとAB（ii（）AC’，1/2）＋（C’B ，1）

間を1時間で移動 できる。道イを使う場合 の移動

CC’間 に道 ができると、個人 が 選 べる経路 は

時間は、この道を使う人数に依存し、x の人が道イ（CC’間で何度も行ったり来 たりする可能性を 無を利用しているとき移動時間はx + kである。ここ

視すると）、

で、kは0 < k < 1を満たす実数である。AB間を移（i（）AC ，1）＋（CB ，1）

動する人数は多数であるが（単位を選 ぶことで）全（ii（）AC’，1）＋（C’B ，1）

体 の人数を1とする。

（iii（）AC ，1）＋（CC’，0）＋（C’B ，1）（iv（）AC’，1）＋（C’C ，0）＋（CB ，1）

道路の混雑：独学者のためのミクロ経済分析入門 Ⅰ

井手一郎

045

道ア

1

Ａ

C

Cィ= x + k

Ｂ
β

1

道イ

ｘ+ k

α

Cァ＝１

(1+k)/2

簡単のため、1時間の移動時間は1円の費用にあたkると考える。すなわち、道アを使うとき、AB間の一0人あたりの移動費用Cアは1円。道イを使う場合の一人あたりの移動費用Cイは、この道を使う人数に

図10(1-k)/2 1 - k

1x

道ごとの個人の移動費用依存し、x の人が道イを利用しているとき、Cイ = x+ k円となる。社会的な移動費用Sは全個人の移動費用を集計した額で定義される。また、各個人は好きなように道を選べる場合には、移動費用が小さい方の道を選んでAB間を移動すると考えてよい。

（1）（2）については、道ごとの個人の移動費用のグラフを描くとわかりやすい11）。

社会的移動費用をS(x)とすると、（今 の場合、こ（1）社会的な移動費用を最小にするという意味で、 れは社会的移動時間の値に等しい。）
社会的に最適な道の 使用をもたらすx の 値 x*を求めよ。

S(x) = (x + k) · x + 1 · (1 − x)（2）各個人 が自分 の好きなように道を選 ぶ 場合、= x 2 − (1 − k)x + 1実現するx の値を求めよ。また、その状況は経済厚= {x −

生的にどのように評価できるか。

1−k 2 1
} + (3 − k)(k + 1)
2
4（3）社会的に最適な道の使用が実現しているとする。kを低下させることは社会的厚生を改善するか。

となるので、x* = (1 − k)/2 。個人が自由に道を選（4）各個人が自分 の好きなように道を選 んでいる

ぶ 場合 のx は、Cア = Cイとして、x = 1 − k。このとする。ごく小さな費用f > 0をかけて（例えば、道値 はx* = (1 − k)/2より大きいので、社会厚生的

路 のでこぼこを直すなどして）k > 0を削減 するとに見て、道イの 過剰な利用が生じている。社会的いう提案を、あなたは支持するか。あるいは、反対に最適なx*は図10のβから下に延びる点線に対応するか。理由を明記して判断を記せ。

するx* = (1 − k)/2で、個人 が自由に道を選 べる

場合 のxは、αの下から延びる点線に対応するx =1 − k である12）。

11）なお、ここでは、0 < k < 1と仮定しているが、k = 0なら問12）例えば、k =1/2とする。全人口が10万人であるとして、道ば道アが、必ず選ばれるので、これらの自明の場合をこの仮選んでいるとき、最後の一人は道アを選んでも道イを選んでも、定で排除している。

移動時間が1になる。従って、この最後の一人には道アと道イ

題1と同じである。仮に、k < 0であれば 道イが、k > 1であれ

アを選 ぶ人が5万人、残りのうち一人を除く49999人が道イをのいずれかを選ぶ自由度がある。
このことは問題1の場合と同じである。いずれにしても、x = 1 − k かその近傍が実現する。

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彦根論叢

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C

S(x* )

1

1

図11

1

α’

Cィ= x + k’
Cァ＝１k

S(x* )
0

-1

α

k’
3

0

k

図12

道を最適に利用している際の、k の変化

1 - k‘ 1x

k′< k の下での道ごとの個人の移動費用に対する、社会的移動時間の変化（3）については、社会的に最適な道の利用が実動費用と変 わらないので、費 やした金額 f > 0 が現しているとは、x = x*ということなので、x = x*を無駄になっている。従って、提案には反対である。

S(x)に代入すると、（続く。参考文献はⅡに掲載。）

1(3 − k)(k + 1)
41
= − (k − 1)2 + 1
4S(x*) =

図11が示すように、S(x*)は0 < k < 1の範囲で k の増加関数になる。
従って、kを削減するとS(x*)を引き下げることができるので、社会的厚生は高まる13）。
（4）について、個人が自由に道を選択できる場
合、図12のαに対応する当初の状況から、kをわずかに削減してk ′< k にすると、道イを通る人の移動費用を表す曲線は下方にシフトする。しかし、道イを選 ぶ人が増えるため、結局、新たなk ′の下でも、

図12のα′が実現し、二つの道を通る人の移動費
用は同じ1円になる。この値は当初のαにおける移13）もちろん、S(x*)を 微分して、0 < k < 1であるkについて

dS(x*)/dk = (1/2)(1 −k) > 0を示しても良い。

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