プロジェクト報告書(最終)Project Final Report

提出日(Date)2024/01/17

数理モデリングプロジェクト
Mathematical Modeling Project
1021094 山田真史 Masafumi Yamada

員会が予測することができるようになれば，1.1.1 で1. はじめに述べた問題を解決できると考えた．

1.1 背景2. 先行研究及び技術・知識の習得

公立はこだて未来大学では，毎年「未来祭」が開催されている．そこで，未来祭が抱える問題を調査

本章では目的達成のために調べた先行研究およびした結果，未来祭で配布するパンフレットに過不足習得した技術・知識について述べる.

があるという問題があった．実際 2023 年度の未来

2.1 Python による数値計算とシミュレーショ

祭では，1 日目に用意していたパンフレットの半分ン についての輪以上を配ってしまったため，2 日目に 1 グループに 1

数理モデルは，複数の微分方程式を用いて時間と冊配っていた．不足しないよう余分に用意した場合ともに変化する現象を簡略化して表現する手法であに，結果として多く作りすぎてしまって無駄になっり，具体的には数値計算法は数理モデルを構成するてしまうこともある．

微分方程式の近似解を繰り返し計算によって得る手

したがって，本プロジェクトでは，解決すべき問法である. そのために輪講形式で数値計算に関する題として「配布するべきパンフレット数の予測が困学習を行った.

難である．
」ということにした．

2.2 輪講の内容

1.2 問題に対する考察

輪講では，数値計算の仕組みの理解と Python に

1.1 で述べた問題を解決するためには，未来祭の参よる数値計算のコーディングを行った.

加者数を予測する事ができれば，問題解決に繋がる

まず，数値計算の基本であるオイラー法についてと考えられる．

学んだ. オイラー法は単純で理解しやすい反面，精1.3 目的度が低いという欠点もある. 数値解析においては，1.1 で述べた問題を解決するために，「未来祭の参オイラー法は基本的な手法として用いられることが加者数を予測し，未来祭実行委員会が利用できる予あるが，厳密な解を求めるためには他の高度な数値測ツールを作成する．
」ということを目的とした．未積分法や数値解法も検討されることがある.

来祭の参加者数を予測することで，配布すべきパン続いて，ルンゲ＝クッタ法について学んだ. ルンフレット数の予測できるようになると考えられる．

ゲ=クッタ法は，オイラー法に比べて精度と効率のまた，誰でもイベント参加者数を予測できるような面で優れており，さらに幅広い種類の微分方程式に予測ツールを作成することによって，未来祭実行委対応できる.

1ルンゲ=クッタ法の一般的な形式は，4 次のルン数理モデルである．まず，それぞれ時刻 t における

ゲ=クッタ法である. これは以下のステップで数値解

S，I，R の人数を S=S(t)，I=I(t)，R=R(t) とするを計算する.と，S，I，R は以下のような微分方程式で表せる．
𝑑𝑆= −𝛽𝑆𝐼𝑑𝑡
𝑑𝐼= 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼𝑑𝑡𝑑𝑅
= 𝛾𝐼{𝑑𝑡

微分方程式と初期条件dy= f(𝑥 , 𝑦)

(2.1)

𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0(2.2)

dxステップ 1. 初期条件を使用して𝑦0 = 𝑦(𝑥0 )を設定す

(2.8)

る.

𝛽 :感染率ステップ 2. 𝑥0 から初め，ステップサイズ h だけ x を

𝛾 :回復率進める.

これらの 3 つの式によって，各状態の人口の増減がステップ 3. 以下の４つの係数を求める.

表されるモデルが SIR モデルである．

𝑘1 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥, 𝑦)

(2.3)

ℎ
𝑘1
𝑘2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥 + , 𝑦 + )22(2.4)ℎ𝑘2,𝑦 + )22(2.5)𝑘4 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘3 )(2.6)

𝑘3 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥 +3. イベント参加者数の予測方法
本プロジェクトの目的は「未来祭の参加者数を予測し，未来祭実行委員会が利用できる予測ツールを作成する．
」である．目的を果たすためにはまず参加者を予測する手段を得る必要がある．本章では参加

ステップ 4. 新しい y の値を計算する.
𝑦1 = 𝑦 +𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4
6

者を予測する手段について述べる．

3.1 SIR モデル(2.7)

本プロジェクトでは，イベントの参加者数はイベステップ 5. 新しい x の値を計算し𝑥0 を更新する.

ントについての情報を知っている人数に関係するとステップ 6. 𝑥1 が目標の x の値に達していない場合考えた．そこで感染症の拡がり方を予測することがのみ，ステップ 2 から繰り返す．そうでなければ計できる SIR モデルに注目し，情報の拡散の様子につ算を終了し，数値解が得られる．

いても予測することができると考えた．また，輪講

2.3 輪講の成果

で SIR モデルについて学んでいたため，プロジェク

輪講を通じてオイラー法やルンゲ=クッタ法を学

トのメンバー全員がどのようなモデルを扱っている習した．それを活用して数学的モデルを構築し，のか分かりやすいという点から SIR モデルを選ん

Python プログラムを使用して現実の現象のシミュレだ．

ーションに応用することができた. スキルの習得に3.2 SIR モデル改良

より，プロジェクトメンバーはさまざまな現象に対SIR モデルの改良をするにあたり，大きく 3 つのする洞察を深め，問題の解決に貢献できるようになステップに分けて改良を行った．

った.

ステップ 1. 対象の集団をグループに分ける.

2.4 SIR モデルについての輪講

ステップ 2. 各グループ間の相互作用を考える

SIR モデルとは，感染症が流行したときに，どのステップ 3. 相互関係を数式化する

ように感染者が広がっていくのかを表したモデルで以下が 3 つのステップにより完成したモデルであるある．

[1].

次に SIR モデルがどのような微分方程式を用いた数理モデルなのかを述べる．ある集団を S: 未感染者，I: 感染者，R: 隔離者の 3 つの状態に分けたときに，各状態の人口の増減が時間変化とともにわか2

るようにする．
」を達成するために，本サイトの目的を「利用者にデータを入力してもらうことによって，未来祭の参加者数の予測を出力する．
」ことに決定した．

4.2 Web サイト機能

式 1 情報拡散の数理モデル
C:割合じゃないパラメータ「X における未来祭参者予測ツール」という WebP:確率サイトを作成した．

3.3 パラメータの設定

本 Web サイトは利用者に参加者数の予測を行って前節では未来祭の情報を知っている人の人数や，もらい，イベント運営の手助けになる事を目的とし情報を拡散する人の人数を予測する数理モデルにつて以下の機能を実装した．

いて述べた．前節で述べた数理モデルのパラメータ• 入力された値を元に参加者数の予測を行う機能を決定するために，今年度の未来祭と X に関するア• 入力された参加者数の希望値と予測値から希望すンケートを実施した．

る人数が来る確率を求める機能

本アンケートは未来祭に参加した人と参加しなか• 参加者数の推移をグラフとして出力する機能

4.2.1 入力する値

った人をそれぞれ対象とし実施した.アンケート結果
から以下のパラメータを設定することが出来た．

4.1 で述べた利用者に入力してもらうデータについ3.4 参加率て説明する.

前節で述べたアンケート結果から 3.2 で述べたモ• イベントまでの日数

デルの各状態 S,I,R から未来祭に参加する割合につい• イベント開催期間て算出することが出来た．以下が各状態の参加率で• 参加者数の希望値

ある．

(イベントに来てほしい人数)

S の参加率 = 0.34232...

• 対象者の総人数

I の参加率 = 0.98619...

(イベントに参加する可能性がある X アカウント保R の参加率 = 0.77285...

有者数)

X 未来祭モデルのシミュレーションからの参加者数• X の平均フォロワーの算結果が実際のデータに近づくように各 参加率を(対象者の X の平均フォロワー数)調整した．その結果，各参加率は以下のように決定• 初めにポストする人数

した．

(初めて開催日時が分かる情報を含んだポストを行S’の参加率 → 0.34う人数)

I’の参加率 → 1.0

本 Web サイトでは以上のデータを入力することで対R’の参加率 → 0.8

象のイベントの参加者数を予測することが出来る．

これらを用いた参加者数の計算式は以下の通りであ4.2.2 参加者数の推移のグラフ化

る．

本 Web サイトの機能である参加者数の推移のグラ

参加者数 = S’ ×(S’ の参加率）+ I’ ×(I’の参加率）

フ化について述べる．

+ R’×(I’の参加率）

本 Web サイトでは，1 日毎の各集合の移り変わり及び参加者数の推移を出力する機能を実装した．入4. Web サイトの作成

力された値を元に，どのような情報の拡散が行われ

4.1 Web サイト作成の目的ているかわかりやすく伝えるため，出力にはグラフ

本サイトは本プロジェクトの目的である，「未来祭を用いた．以下の図 1 が参加者予測の出力結果であの参加者数を予測し，未来祭実行委員会が利用できる．

3し，未来祭実行委員会が利用できる予測ツールを作成する．
」ことを目的に，未来祭の参加者数を予測す
る Web サイトを作成した．しかし，成果物の評価実験や成果発表会の評価アンケートよりいくつかの課題が露呈した．成果発表会の際，数理モデルについての説明が不足している点である．本プロジェク
トでは成果発表会の際，数理モデルの作成手順や変数の意味，パラメータの導出方法などを詳細に説明した．しかし，成果発表会の評価アンケートでは「変数や式が難しいのでより簡単かつ分かりやすい
図 1 出力結果説明が欲しい」といった意見をいただいた．この問

この図では棒グラフが参加者数の推移を表してお題解決のために今一度，数学に詳しくない方にも内り，折れ線グラフでは各集合の推移を表している．

容を伝えられるような表現やデザインを模索してい棒グラフについては緑色の部分がイベント開催期間く必要がある．今後行われる秋葉原での成果発表会

前時点での予測参加者数，水色のグラフがイベントまでに上述した問題を解決し，来ていただいた方に開催期間内での予測参加者数を表している．折れ線

理解していただけるよう努めたい．

グラフでは青色のグラフが対象者のうち X 経由で情参考文献報を知らない人数，赤色のグラフが対象者のうち情報を知っており拡散を行う人数，黄色のグラフが対[1] 小高知宏, 2018, Python による数値計算とシミ

象者のうち情報を知っているが拡散しない人数を表ュレーション, オーム社

している．

[2] 岡田佳之・榊剛史・鳥海不二夫・篠田孝祐・風間一洋・野田五十樹・沼尾正行・栗原 聡．2013．拡

5. まとめ張 SIR モデルによる Twitter でのデマ拡散過程の5.1 プロジェクトの総括

解析．https://www.

本プロジェクトは「未来祭の参加者数を予測し，jstage.jst.go.jp/article/pjsai/JSAI2013/0/JSAI2013_3I

未来祭実行委員会が利用できる予測ツールを作成す

4OS14b1i/_pdf

る．
」を目的に活動してきた．目的を果たすために本[3] たにぐちまこと．よくわかる PHP の教科書：プロジェクトでは X における情報拡散のモデルの作

PHP7 対応版．マイナビ出版．2018

成と，作成したモデルから参加者数を予測する Web
サイトの作成を行った．Web サイトの評価実験を行った結果半数以上の人が実際に使ってみたいと回答してもらうことが出来た．このことから本 Web サイトは，本プロジェクトの目的である「未来祭の参加者数を予測し，未来祭実行委員会が利用できる予測ツールを作成する．
」を果たすことが出来ると考える．時期の関係上，実際の未来祭運営の場面で利用してもらうことはできなかったが，参加者数を予測する Web サイトの作成は達成できた．

5.2 今後の展望
本プロジェクトでは，「未来祭の参加者数を予測4