王ヨ92年12月王7日
保険数学1・1・…

保険数学1（問題）1．次の｛1〕から（10〕までについて、それぞれ五つの選択肢の中から正しい答を一つ運んで、所定の解答用紙にその記号〔｛A〕から（E）のうちいずれか一つ。〕を書己入せよ。

｛50点｝｛1〕7，11，15，19．23．27年後にそれぞれ工を支払う給付の弄1』率i（i〉O〕に基づく現価は次のうちどれに等しいか。
自可副一嵩■

畠珊一a■

｛＾〕

｛B〕

S，十a11

畠，十a11a■回一封■｛C）

萱3＋a11

自可団一aη｛D）一S百十a11｛E〕

a■日一a■

一S■十a11（2）30歳でカロ入し・60歳で退会する団体を組織する。この団体の構成員は・生存数が＾で表される生命表に従rて死亡するものとし、死亡以外での中途脱退はないこととする。録年の加入者が一様に追。。人であり、何年後かには定情状態に到達す11！脇次の文中川川・〕1でのl／1正！／1／111！れか。但！・・¥出1狐rこの団体が定常状態に到達するのは（A〕年後である。その時の団体の人数は｛B〕である。定常状態に到達した後・ある階点で30歳からえO歳の間にある者が、60歳までに死亡する入数は（C〕、60歳まで生存して退会する硫率は｛D〕である。この団体の死亡者の平均年齢は｛E〕である。」

（A）30

（B，T

一丁阯

（C）Tn−T

一工04

o｛D〕

TiO互
一丁｛E〕

T，o−T 一300
互 一旦

（3〕第王の生命表が坦。＝90−x（O≦x≦90〕に従い、第1の生命衰での生存確率一p■．と、第2の生命表での生存蔽邸。p一．との関係が一pも。＝e0・．一t㌦pn｛O≦t≦30〕であるとき、第2の生命表での死力μ一の値に最も近いのは次のうちとれか。但し、oは自然対数の底を表し、必要ならe≒2．？を用いよ。
（A〕O．023（B〕O．027（C〕0，032（D）O，043（E〕0，052d｛4）一、■ε。を表す式のうち、正しいものは次のどれか。
舳｛A〕μ一口1ε＾一1｛B〕μ■、Iε＾一1｛C〕μ■・、一ε■一■p■｛D，μ、、。・，Iε、一、p、＝E〕μ。、、・、Iε．一μ、叶…1一州を表す式のll・舳の1次舳｛A）τ

＾』す｛C〕す＾十μ、、、一μ。十nδ一τ■十μ＾＾一μ■一nδ

｛B〕万、、一百、一μ、、、十μ、一nδ

（D〕す皿。、一す，十η｛6〕C。＝如。D■、■135．OOO．N■。一，682，000．i＝O，05の時、A｛A〕O．070｛B）O，075｛C〕O．080｛E）万、、、一τ。一nの値に最も近いのは次のうちどれか．

｛D〕0，085

一ユ5一（E〕O．090

1保険数学1・・｛7〕π歳加入、期間2n年の保険で、次の給付を行う保険を考える。

死1献金榊／1、：二111；器：榊1／11：1二年二通二：

この保険の年払平準総保険料Pは、保険期閥中、被保険者が生存する限り冬保険牛皮始に払い込まれるものとする。いま、P己O．0850とし、保険金期末払の養老保険の年払統保険料を戸、川＝0．1705，P。＝衙！O．0何0とするとき、予定利率の値に最も近いのは次のうちどれか。
｛A〕5．O％（8〕P＝｛A〕

刊q■十｛B〕5．1％，一■q■十…

｛B〕｛D〕5．3％

十列、＾、IIq■十列、、P＾

自■q■十自■一1q＾十…

M■．，
N。一N口．。

｛C〕5．2％

十昌■、＿IIq9＋自i，P

3｛B〕一2000〕

一V，V：6％は次のうちどれに等しいか。

M。一M。川M。一M。。、十D。
｛C〕｛D）
N■一N 。＾
N 一N、．、

1｛9〕A■。，ドA。．F＾…t−A。かつlV。＝一のとき、
83｛A〕一｛E）5．

N

M．
｛E〕
一N■＾

M■十 ＾
N端一N、一V。川の櫨は次のうちどれか。

2｛C〕一1

1｛D〕一工5｛E）一7！丁目E0．Oμ4，，V，；＝π巴O．1410，一V，…1π＝O，23．IV

6

1■一，！0．0545．，V

川I＝0．3048のとき、≡■■■の値に最も近いのは次のうちどれか。

｛A）O−1726｛B〕O．1731｛C，O．1736｛D〕O．工741｛E）0．1746

2．第t保険年度の死亡保陰金領S。が次の条件を着たすような＾歳加入11年定期保険｛保険金期末払、保険料全期払込〕を考える。

SIq＾〉Slq1〉…

〉Sτq■．τ．Iく…

くSh−q■。、．1くS，q＾。、＿．

いま、この保険の年払平準納保険料PiこついてP〉刊Slq■が成立しているとき、次のU〕および｛2〕を征明せよ。
｛25点〕｛1〕刊S．q、、．．一≦PくS．，，q。、．を清たす整数m｛T≦mくη〕が1つ存在する。

｛2）第t保険年度末輔保険料式責任準備金Vl−t＝1，…

、n一リはすべて正である。
，世3．x薗加入、保険期間n年、保険料全期払込の次の絵付を行う保険を考える。

t①第t保険年度中に被保険者が死亡した場合には、死亡給付金として一を即馴こ支払うとともに、寡t保険年度末から箆
nn保険年度末まで甚年度末に被保険者の遺族に年金を｛遺族の生死に関係なく〕支払う。この年金額は、第一回日はr、第2回日はr｛1＋j〕・第3回目はrO＋2j）・…と毎年逓増していくものとする。

②清朝まで被保険者が生存した場合には、清朝保険金として1を支払う。
この保険について、次の間に答えよ。

｛25点〕｛1〕牢払平準舳保険料を求めよ。

｛2〕被保険者が生存している場合の繁t保険年度末締保険料式資任準備金を過去桧および将来法で表し、それらが一致することを示せ。

一16一

2

保険数学1（解答例）
1．

設問番号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（7）

、（6）

（8）

（1O）

（9）

A

解答欄

A

正解は上表のとおりであるが，以下に各設間の解法を略記する。
（1）

…

（E）

求める現価＝〃7＋ひ11＋リ15＋〃19＋〃鴉十リ
三リ

（2）

…

…

16＋加）

。1一〃24＿（1一〃28）一114）
一1書≒ギ斗1）3；1半・面一（1・ll−1）

T30−T60−30460が正しい。

30−460（C）

dμ・・F証4・・d

よってμ1・・F亙2・9（30−t）＝30−t

潤B＝e岨。lt・tp．oよりμtp（4）…

4＋が十ひ12＋（E）（E）は30＋（3）＝パ（1＋60，t：μ。o，t−0．01＝130−t

1
24

一0．01

60＝一一0．01÷0．032（C）

芸・一い去（。・工1＿）一（基。・。）1＿・。・工（基1＿）＝nP工（μ工一μ工、n）ε皿、n＋皿P工（μ工、nδ工、n−1）宝nP工μ工さ工、、一nP工＝μ工、一さ五一。P工（5）…

（D）

d一一d 一一一〇工讐。工（μ工十δ）一1より一（o工十κ）・・o工（μ工十一δ）

砒曲よって∫：∂＿（μ工・t・δ）・t巾。t・tl：：；一；バ盲工・・（6）・・（A）

Cユニ〃DエーDエ、IよりDエ＝（1＋｛）（Cエ十Dエ、1）宮1．05x（40＋35，000ト36，792

NユDエ

Aエ：1−dαエ＝1−d−i1一ゴ
Dユ十Nエ。10．05
・＝1一1＋｛Dエ1．05

巳O．0696…

一ユ7一36，792＋682，00036，792

（D）

（7）…

A工、司十P工、編d工、弼p工、司1
これにA工面ヨp工司α工祠＝B工司…α柵＝ E工編・・を代入すれば1

題意より，Pd工＝繭＝0，5A工、司十0．5A工：歴∴2P＝・・一。工売一P細十d。工司これを・について解けは，P工＝荊十d2P工、珂（P−P工：売）
d＝一d．0．0503＝1−d2xO．1705x｛0．0850−0．0740）

O．1705＋0．0740−2x0．0850

p工＝司十P工、遍一2P

拳0．0503＝00529．0．9497（C）（8）…

A工、司，d工：罰を確率論的に表示すれば，
A工、而＝〃q工十〃『□q工斗…十州一11q工十〃n，P工

d工＝祠＝d■q工十d田1−q工斗．．．十d司n＿一一q五十d珂nP工であるから，A工、祠M工一Mエヰ、十D工、。

P＝d工、祠＝Pエホ＝（9）…

N工一N工。。

（D）Aエ、t−Aエ

tV工＝

1−A工

Aエ、2せ一A工、t

1

tV工、t＝

1−A工斗ttVエ、t1−A工

1tV工

1−A工、tA工、t−A工

1 1−A工を利用すれば，題意により，

11V工⊥tV工 ＝ 8 竺一
11−tV工1一一1 7

よって，tVエ、。＝8（10）・（A）

tV工：珂＝1d工、t＝nを利用すれば，d工、罰

d．O＝㎜ ＝1d。。＝固3V37：面＝1d3島＝田d40，1回d35＝司（1一一V37＝衙〕｛1−5V35、祠）

δ。。：田δ。。、衙d。菖＝田

1−3V35、祠・（1−0．0545）（1−0．2483）

握1

1−0．1410

÷O．1726

一18一＝12．（1）j＝1，…，nに対して，数列1b」1を次のように定義する。
bj＝vSjq工、j，1−P
条件Slq工〉S，q工。1＞…〉S．q工、。L1〈…くS、．1q工、。．。〈S，q工、。皿1により，b1〉b2＞…〉bT＜…くb、．1〈b、である。

また，P＞〃Slq王よりbiく0．．．bjくO（j＝1，…，T）…①

さらに。b。〉0である。なんとな棚ま，もしb、≦0とす棚ま，bj〈O（トT、…，n−1）となり，これと①よりj＝1，…，n−1でbjく0となるので，
ひSjq工十j一、くP（j＝1．…，n−1），〃S．q垣、。．1≦Pゆえに（1＋〃Pエ十…十ひ。一1P工）P〉〃Slq工十リP工・〃S2q工斗I＋…十ハニlP工・リS．q工、、、1となるが，収支相等の原則によれば，この両辺は等しくなければならず，これは矛盾だからである。
よってb。〈0，b。く…〈b、，b、＞0ゆえ，ある整数jo（T〈jo≦n）が存在してbj≦0（jくjo）：〉0（j≧jo）（すなわち，j：T，…，nでbjは単調増大なので，初めてbjを正にするj＝j。がただ1っ存在する。）

そこで，m＝jバ1とすればT≦mくnであり，bm＝リSmq工。而．］一P≦0bm．1呈リSm．1q工。m−P＞0（．

mくjo）

（．．

m＋1≧jo）であるから，これが題意を満たすmである。

（2）この保険について，Fack1erの再帰式を考えると，
Vt−1＋P＝vStq、。t．1＋〃VtP工、t．I（t＝1，…．n）…②

1≦t〈mの場合とm≦t〈nの場合とに分けてVt〉Oを証明する。

i）1≦t〈mの場合②よりVt＝1（Vt．1＋P一〃Stq工、t．1）なので〃P工。H

t三1のとき1
Vl二一（Vo＋P一ひSIq工）〉0（∵〃p工＞0，Vo＝0，P〉〃Slq工）

リP工
t＝κ一1のときV此、1〉0が成立しているとすると，
V・＝

1（V・一I＋P一〃S．q工。ト1）＞0（VP工。止一1−19一

リP工、吐．1＞0，P＞〃S，q工、片．1）

ゆえに帰納的にVt〉0が証明された。

ii）m≦t〈nの場合②よりVt㍉St，lq工、t−P＋リVt，1p、、tなので，t＝n−1のときV。．≡＝〃S．q工、。．；一P＋〃V．P工、、．旦〉0（∵P〉リS，qユ。、一11V。邊O〕

t土κ十1のときV。、1〉0が成立しているとすると，V。ヨ〃S。、1q工、。一P＋〃V。、lP工、。〉0（．．．P〈〃S＾、lq工、。，〃V。、1p工。。〉0）

ゆえに帰納的にVt〉0が証明された。

3．

（王）求める保険料をPとすると，（収入の現価）Pd工＝耐

1 一
一（IA）二、而（支出の現価）・死亡給付金

n・遺族年金

第t保険年度に被保険者が死亡した場合の，その年度末における年金の現価をF（t）とすると，

F｛t）＝rd［十rj（Io）nであるから，加入時の現価はΣF（t）言三州一1・満期保険金t≡1。E工収支相等の原則により，
1＿nF（t）・C工、t．1

一（IA）㌧＝何十Σ

P＝（2）nt−l

D工十、E工d工＝莉tVRを過去法，tVPを将来法の責任準備金とすると，
・α工・一／÷（臥・之F（k）言三工十＾．11

tVR＝tE工t−

1＿n−tF（t＋k）・Cエ、t、。．ltVP＝一A工土tn＋一（IA）工土t高十Σ
n＝n：＾・lDユ、t十、一tE工。t−Pα工。t一方，記号の定義により，次の①〜④の等式が成立する。
①（IA）！：ポ（IA）！＝■十tE工｛仏工土t＝同十（IA）＾：n｝
・F（κ）・C工、比⊥1②ΣトヨDエtF（κ）・C工、此．1・一tF｛t＋κ）・C工。丘一1Dエ．

Dエ川＝Σ。。1十tE工Σ
。≡1③。E工＝tE工・。．一E工、一一20一n

④d工：面＝d且、五十tE工・d工。t＝i1

1
そこで，一×①十②十③一Px④を辺々計算し，右辺をtE工について整理すれば，n左辺は収支相等の原則により0であるから，・一1÷（肌・之F（κ）；三工十五■1一・・躬1／・t・工・t・・となる。ところが，中括弧内は一tE工・tVRに等しいので，tVR＝tVPとなる。

以上

一21一