実河川を想定した一次元開水路における非定常流解析

1.

水工学研究室

山中 悠資

指導教官

細山田 得三はじめに河川は水資源として利用されているが，その一方で水災害を引き起こす原因ともなる．河川の地形は，その流れにより地形を構成する土砂

図 1 一次元セルモデルの生産・移動が繰返され，時々刻々変化している．防災や将来的な地形変化を予測するというは隣接する格子との境界を表す．開水路では観点において，河川流を推定するということは常・射流の共存する場においてもこれを適用す重要である．また，河口付近においては海岸波ることができる．これを一次元開水路における動と河川流が互いに影響を与え，河川流はさら非定常流解析に適用し，実河川流及び海岸波動に複雑に挙動すると考えられるが，これらの現と河川流の相互作用について解析を行った．

象は未だ解明されていない．これまでに河川流や海岸波動と河川流の相互作用を推定する研究は数多く行われてきた．ある程度の傾向を把握することについては成果を挙げているものの，いずれの研究も河川断面を長方形などに理想化している場合が多い．断面を長方形に近似
すると川幅が水深に対して一定となり，水位上昇速度が現実と異なることになる．
国土交通省河川局所属の河川事務所では，管轄する河川断面の横断測量をほぼ毎年実施している．これらのデータを元に河川流を推定し，その結果を蓄積・整理して総合的に評価するこ2.

FDS 法の非定常流解析への適用
河川の支配方程式は以下の非線形浅水波の式を用いた．

∂A ∂Q+=0∂t ∂x∂v ∂  1 2
+  v + gh  = g ( I − I e )∂t ∂x  2
∂Z b1 ∂q B=−∂t(1 − λ ) ∂x

∂ 2 AC∂AC ∂vAC=K+∂x∂t∂x 2(1)(2)(3)(4)とが，実河川における様々な現象の解明につながると考えられる．本研究では実河川断面を近ここに，t は時間，x は流下距離，A は断面積，似的に再現するアルゴリズムを構築した．

Q は流量， v は流速， h は水深， g は重力加速

河川における非定常流の数値計算は，非線形長波方程式を基本としているが，その解法には度， I 及び I e は河床勾配及びエネルギー勾配，様々なものが提案されている．本研究ではそのZ b は河床位，q B は掃流砂量，λ は砂の空隙率，中の一つである FDS 法を一次元開水路に適用

C は物質濃度，K は拡散係数である．エネルギし，解析を行った．FDS 法は衝撃波の補足を目ー勾配はマニング式で，掃流砂量はブラウンの的に開発された手法であり，数値流束の概念を式で評価するものとしている．(1)式が非定常流導入し，この数値流束の差を流れの特性の伝播の連続式，(2)式が開水路における運動方程式，方向に分割して配分を行う方法である．図１に一次元セルモデルを示す．FDS 法では図 1 のようなセルモデルの整数点番号の格子内のパラメータを時間発展させて求める．また，i ± 1 / 2(3)式が土砂の連続式，(4)式が移流拡散方程式である． (1)～(4)式をベクトルで表示すると次のように表される．

∂W ∂E+=S∂t∂x(5)

水位以下の標高を持つ測量点を D j とし，地点番号を j ( j = 1,2, L m) とする．このとき，水位とQ


0

1
 A 
2
 v + gh g (I − I e )v
 S =
E =2W =
0
q
ZbB
2
 1− λ  AC  K ∂ AC  vAC ∂x 2 等しい標高を持つ地点を新たに作製する．この地点も D j に含むこととする．図 2 の断面形状は実河川断面を横断測量した結果の一例である．図2 の断面では，約 30 箇所で測量が実施されており，各測量点には，基準点からの横断方向の距

さらに(5)式を離散化するとWin +1

また，断面内に任意の水位が与えられたとき，(離と標高が与えられている．この各測量点を直)dt ~~= Wi −
Ei +1 / 2 − Ei −1 / 2 + dtS idx(6)となる．我々は整数点でのパラメータしか持た線で結ぶことで，近似的に実河川断面を再現することができ，これを用いることで，実河川断ないから，FDS 法では i ± 1 / 2 点での数値流束面の諸元を求めることができる．また， C i がE を次のように評価する．
1~
Ei +1 / 2 = Ei +1 + Ei − A(Wi+1 − Wi )i +1 / 22

持つ基準点からの横断距離と標高を[A] (7)i +1 / 2= Ri +1 / 2 Λ i +1 / 2 Ri−+11 / 2(8)(Yi , Z i ) (i = 1,2, L n) とし， D j が持つ基準点か()らの横断距離と標高を YY j , ZZ j ( j = 1,2, L m)とする．ここで，実河川断面の形状と水位によっては，河川内で断面が複数に分かれる場合がここに， A はヤコビアン行列， Λ は対角行列ある．このとき，河川内に生じた小断面の数をであり，その成分は絶対値である．

r とすれば，各小断面が持つ端点の総数は 2r となり，その総数は常に偶数となる．また，各小断面が持つ水位と等しい標高を持つ地点の地

実河川断面の諸元

3.

解析を行うためには実河川断面の諸元を求

点番号 P ( k ) ( k = 1,2 L 2r ) は水位以下の標高をめる必要がある．具体的には，水深 h ，断面積 A ， 持つ地点の地点番号 j ( j = 1,2, L m) から選択
水面幅 B ，潤辺 S ，径深 R である．本研究では，され，[P (2k − 1)，P (2k )] ( k = 1,2 L r ) で囲まれ地方整備局河川部が行っている河道の横断測る区間が小断面である．ただし， P ( k ) の値は量のデータを用いて実河川断面を近似的に再P (k ) ≤ P (k + 1) (k = 1,2 L 2r − 1) である．そし現し，その諸元を求める．て，各地点間を直線で結ぶことにより次のよう標高（T.P.m）

な近似式が成り立つ．なお，以下の公式は河川
Ci(Yi,Zi)

20断面の形状および水位によらず適用される．

Dj(YYj,ZZj)
水位

r

100

基準点からの距離（ｍ）

100

B = ∑ YYP ( 2 k ) − YYP ( 2 k −1)(9)

DY = YY j +1 − YY j

(10)

k =1

図 2 各測量点 C i と水位以下の標高を持つ
地点 D j の概念図

図２に各測量点 C i と水位以下の標高を持つ地点 D j の概念図を示す． C i は全ての測量点に割り当てられ，その地点番号を i (i = 1,2, L n) とする．

r

S =∑

P ( 2 k ) −1

∑ (ZZk =1 j = P ( 2 k −1)− ZZ j ) + DY 22j +1(11)r

P ( 2 k ) −1

1
A = ∑ ∑ ( H j + H j +1 ) × DY ×2
k =1 j = P ( 2 k −1)
H j = Zw − ZZ j

( j = 1,2, L m)

(12)hk′ = ( Z max − Z min)kN

(k = 1,2, L N ) (15)

ここに， hk′ ：任意に与えた水深， Z max ：右岸(13)

A
R=(14)
S
ここに， B ：水面幅， S ：潤辺， A ：断面積，R ：径深， H ：水深， Zw ：水位， ZZ ：標高である．以上のようにすることで，近似的に再堤防と左岸堤防の標高のうち小さい方，Z min ：断面内の最低標高， N ：断面分割数である．各点間における水深は一次線形補間により求められるものとすると，断面積の更新値

A n+1 が Ak′ ≤ A n +1 ≤ Ak′ +1 (k = 1,2, L N − 1) で あるとき，次式が成立する．

現された実河川断面の諸元を求めることがで

A n +1 − ba(16)

Ak′ +1 − Ak′hk′ +1 − hk′(17)

b = Ak′(18)

h n+1 =

きる．
ただし
4. 水深の推定

a=(6)式では断面積 A ，流速 v ，河床の高さ Z b ，単位長さ当たりの物質濃度 AC の更新値が求まる．水深 h の更新値はこれらの量から算出する必要がある．本研究で対象とする断面は複雑な形状を有しており，そのような断面で水深を求めることは困難である．そこで，断面の水深と断面積の関係について調べた．図 3 に図 2 の断面の水深と断面積の関係を示す．

ここに， a ：傾き， b ：切片である．(16)式を用いることで，断面積の更新値 A n +1 が与えられたときの水深 h n +1 を求めることができる．
ここで，FDS 法により求まった断面積の更新
値 A n +1 と，推定した水深 h n +1 から求まる断面積A∗n+1 の間には以下の関係が成立すべきである．
A n +1 = A∗n +1(19)600

断面積（㎡）

しかし求めた水深 h n +1 は近似値であることから，

A n+1 と A∗

400

n +1が完全に一致することはない．

そこで，(18)式に代わり次式を最小化させることで一定の精度を保障させるものとした．

200

f = lim A n +1 − A∗
N →∞

00

510
水深（ｍ）

n +1→ min

ここに， f ：真値 A n +1 に対する推定値 A∗

(20)
n +1の

図 3 水深と断面積の関係残差である．(15)式の断面分割数 N を無限に大

図 3 は図 2 の断面にいくつかの水深を与えたときくすることで(20)式は限りなくゼロに近づく

き，その値から求まる断面積をプロットし，直が，断面分割数 N とシミュレーションに要する線で結んだものである．なお，水深は以下の式

時間は比例関係にあるため，N を無限に大きなにより与えた．

値にすることは現実的ではない．したがって断面分割数 N は可能な限り小さな値であり，かつそのときの残差 f が限りなくゼロに近い値をとるものが最も合理的である．そこで，そのよ

0.0008

うな断面分割数 N を設定するために断面分割数 N と残差 f の関係を調べた．その結果を図 4
残差f（㎡）0.0006に示す．なお，図 4 は図 2 の断面における結果である．図 4 から， N が 1000 以上の値をとる0.0004と誤差が収束したと判断することができる．し0.0002

たがって， N は 1000 以上の値が望ましいと考えられる．また，この結果は断面の形状により0 210変化すると考えられるため，本研究では N を大きく見積もり， N = 5000 を採用した．

341010
断面分割数N（log）

105

図 4 断面分割数 N と残差 f

5. 解析結果
標高（T.P.m ）403020標高（T.P.m ）150501000100
基準点からの距離（ｍ）(A) 上流端断面(B) 下流端断面3020
100010

基準点からの距離（ｍ）

河川幅（ｍ）

標高（T.P.m ）5010000

200

100

0020000

10000

20000
縦断距離（ｍ）

縦断距離（ｍ）(C) 河床勾配(D) 河川幅図 5 解析に用いた河川形状Ⅰ10
標高(T.P.m)

標高(T.P.m)

1050−50400

800

50−501200

基準点からの距離（ｍ）

400

800

1200

基準点からの距離（ｍ）(A) 上流端断面(B) 下流端断面河川幅（m）

標高（T.P.m ）1000−4.8−4.82
0200400

900

800
0

縦断距離（ｍ）

200
縦断距離（ｍ）(C) 河床勾配(D) 河川幅図 6 解析に用いた河川形状Ⅱ400

解析に用いた河川形状と図 5~図 6 に示す．

勾配が急になっている箇所では水深が小さく，

図 5 は新潟県刈谷田川の河川形状であり，図 6

土砂の増減が大きくなり，河床勾配が緩やかなは新潟県阿賀野川の下流代表断面を参考にし箇所ではその逆の現象を示している．また，河て作製した河川形状である．実河川断面の横断床が局所的に低くなったり高くなったりして測量は数百 m ピッチで行われているため，そのいる箇所では，それに応じた水深及び土砂堆積データを使用した場合，波と流れの相互作用を量が得られている．流速については，順勾配部検討するためには格子間隔が大きすぎる．そのではある程度妥当性のある結果を得ることがため，河川流の解析を行う場合は図 5 の河川形できたが，逆勾配部においてはその勾配の大き状を，海岸波動と河川流の相互作用について解さに応じて流速が負の方向に大きくなるとい析を行う場合は図 6 の河川形状を使用した．図う結果となった．FDS 法により求められるパラ

5 の河川形状は断面の情報が 200m ピッチで存メータは全て格子内平均値であるため，格子内在するのに対して，図 6 の河川形状は 5m ピッに卓越した負の流速が存在する場合，結果としチで断面の情報が存在する．また，図 5 の実河て負の流速を得ることになる．これは数学的に川断面は全ての断面の形状が異なるため，上流は正しいが，物理的にはあり得ない結果である．

端と下流端の断面のみを示している．さらに，流速は水深及び土砂堆積量の推定にも影響す

図 6 の解析対象となっている区間内の断面は，るため，逆勾配部における流速をどのようにし上流端断面と下流端断面を用いた一次線形補て考え，取り扱っていくのかということが重要間により求められる．なお，図 5～6 の縦断距になるが，その解決法を見出すまでには至らな離とは上流端からの距離である．

かった．図 8 は波の発生が開始してから 15 分

図 7 に実河川における河川流の解析結果を示後の水面形であり，波が定常的に発生しているす．図 7(A)は，解析開始から 1 時間経過したと状態であるとみなすことができる．各解析ケー

きの水面形であり，境界条件として上流端の水スにおいて，波が下流から上流に向かって遡上深を 1m に設定している．なお，図 7(A)に示さする様子が確認されたが，波が遡上する距離はれる水面形はその値に収束しており，定常状態解析ケースにより異なるという結果となった．に達したと判断することができる．また，図Case1 に対して波の遡上距離に最も大きな差が7(B)にそのときの流速を示す．さらに，図 7(C)出たのは Case2 であった．これは波の周期と河は初期地形に対する土砂の堆積量を示してい川の流れが持つ固有周期の関係によるものだ

る．河床を構成する土砂のパラメータとして，と考えられるが，解析ケースが少ないため，さ密度 2.65，空隙率 0.3，粒径 1cm を与えている．

らに多くの解析ケースで解析を行い，これを確海岸波動と河川流の相互作用に関する解析結認する必要がある．

果を図 8 に示す．解析は，下流から波を sin 波として発生させた．図 8 は波の発生が開始して5.

まとめから 15 分後の水面形であり，Case1 を基準に新潟県刈谷田川の横断測量データを用いて，して，Case2 では波の周期を，Case3 では波の刈谷田川の平常時の流れ及び地形変化を表現

振幅を，Case4 では河川流量をそれぞれ大きくすることができた．しかし河床勾配が逆勾配をして解析を行った．

示す箇所については流速が不連続な解を捕ら

図 7 の実河川における河川流の解析では，水え，それに影響される水深や土砂堆積量の推定

面形と土砂堆積量についてはある程度理論的精度について疑問が残る結果となった．また，に整合性のある結果を得ることができた．河床阿賀野川河口付近を想定した河川断面を用い

20100010000

縦断距離（ｍ）

水深（ｍ）

標高（T.P.m）

水位
河床

30

3.2
3.1
30

20000

縦断距離（ｍ）

(A)

水面形

(A)

200

400

Case1

水深（ｍ）

流速（m/s)420−2−4010000

縦断距離（ｍ）

30

200
0−200
10000
縦断距離（ｍ）

200

縦断距離（ｍ）

(B)

流速

400

−400
0

3.1

20000

水深（ｍ）

体積（m3）

(B)

3.2

400

Case2

3.2
3.1
30

20000

200

縦断距離（ｍ）(C)(C) 土砂堆積量

400

Case3

4.1
水深（ｍ）

図 7 実河川流の解析結果て，海岸波動と河川流の相互作用について検討

43.9
3.80

した結果，それらの共存場では，波の周期と河200縦断距離（ｍ）

400(D) Case4川が持つ固有周期の関係が，支配的に河川流に図-8 波と流れの解析結果影響を与えることがわかった．今後は解析に用いる水路で河床勾配が逆勾配を示す箇所における流速の取り扱い方について検討していく

4) 大堀文彦，李光浩，水谷法美：河口部から入射する波と流れの相互作用に関する基礎必要がある．

的研究，土木学会中部支部研究発表会講演
概要集，pp.179-180，2008
5) 桑原真吾，大堀文彦，李光浩，水谷法美：
参考文献

河口部における波と流れの相互作用に関す

1) 藤田一郎，西堀剛士：ＦＤＳ法による常射る実験的研究，土木学会中部支部研究発表
界講演概要集，pp.181-182，2008

流混在流の計算，土木学会中部支部研究発
表会講演概要集，pp.151-152，1995
2) 大川秀典，清水康行，森明臣：ＦＤＳを用6)

川合茂，和田清，神田佳一，鈴木正人：河川工学，コロナ社，pp53-116，2007

いた開水路における流れの数値計算，土木学会論文集 No.614，pp.37-49，1999
3) 許東秀，水谷法美，前田祐介：３次元波動

謝辞

場における波・流れの相互作用に関する数

新潟県土木部河川管理課の河川の横断測量

値計算，土木学会第５７回年次学術講演概データを使用させて頂いた．ここに記して謝意要集，pp.15-16，2002を表する．