国立防災科学技術センター研究報告第17号

1977年3月

551，465．15：551，566．8

海水混合に果たす潮汐の役割り
一緩やかに水深が変化する海域を伝わる内部波に対するKdV方程式について一
都

司

嘉

宣＊

国立防災科学技術セソター平塚支所

KdV

Eq㎜tio皿forthe

Two−Layered

Imtema1Waves
Sea

on

an

PropagatingUne▽eninthe

BottomBy
Yoshimobu

Tsuji

H伽α亡舳んα肋α伽ん，N洲o伽Z肋8θα86ん0〃θγ力γ1）づsαs亡〃1〕閉θ伽づo仇
No．9−2，W｛ゴづ9αんα伽α，11づγα舌8仇庇α，1（α犯ασαωα一んθ物

254

Abstmct
Recently，Apelθfα1．（1975）observed the striped features of packet of slicks
on the ocean surface of continenta1shelf from the Earth Resources Techno1ogy
Sate1lite and pointed out that these slicks are a㏄ompanied with the intemal

waves propagating on the season乳I thermoc1ine，and that the packet of short
1ength intema1waves has the same period as semidiumal tide．
In this paper，KdV equation for intemal waves propagating in the two−
1ayered sea with slowly varing of depth is deduced． It is shown that thesemidiuma1intemalsolitary

wave

waves

fissioninduced
on

the

by

she1f

tide
and

at

tum

the
into

continental
packetsof

s1ope

intemalundergowaves

ofshort1ength．

1．はじめに最近，ニューヨーク沖やケープタウン近海の大陸棚海域の衛星写真上に，等深線にほぽ平
行な，特徴あるうろこ状の模様が現われているという報告が，Ape1ら（1975）によってなされた．そのうろこ状模様は，ニューヨーク沖のものでは，水深100m前後の海域で発生し，陸に向って進んでおり，水深50m前後の，シーズナノレ・サモクライン（季節水温躍層，以下躍層と呼ぶ）が海底とぶつかる海域で消滅している（図1）．

Ape1らは，このうろこ状模様を形成する1本1本のしま模様は，躍層を伝わる内部波の1波1波に対応していること，さらにうろこ1枚分を形成するこれらのしま模様の群れ，つまり内部波の波群（Ape1らに従ってウェーブ・パケットと呼ぶ）の発生の周期は，半目周潮＊沿岸防災第1研究室
一167一

国立防災科学技術セソター研究報告第17号

1977年3月の周期に等しいことを示し・このうろこ状模様匿縫の生成原因が，潮汐であることを指摘している．

月や太陽による起潮力が，直接内部波を起こすことはできないということは，Defant（1961）

によって示されている．Coxら（1962）は，表面重カ波（バロトロピックモード）としての，

普通の潮汐のエネルギーの一部が，海堆や陸棚斜面の海域で，内部波となることを理論的に導いている．また湾や湖などで，潮汐に近い周期を持つ内部波が，実測された例も数多くある．

そして理論的な研究にしろ，観測事実にしろ，

潮汐が直接，問接の原因となって生ずる内部波
図1

は，それによる躍層の鉛直運動，あるいは流速

ニューヨーク沖海域にみられる，内部波のウェーブ・パケットによるうろ
こ状模様（右下方），上方はロソグアイの時間変化は，ともに潮汐の主要成分である半ラソド島 衛星写真をコソピュータによる濃淡紅明化の処理をしたもの．

Appelら（1975）による1973年7月24

目周のM。潮と同じ周期の，正弦曲線的な形を日のデータ．
Fig．1 The feature of packets of s1icks

取ることが示されている．

a㏄ompanied

ところがApe1らが衛星写真上に見出したもwithmtemalwaves（lower right hand comer），from
Earth Resources Technology Satel−のは，周期・波長の短い数多くの内部波のバケ

lite，o任New

York，July24．1973．

The

enhancedpictureing

ットが，全体としてこの半目周潮の周期で現わ

the

is

contrast

processing．（after

for

with

stI

ech−

comPuter

Ape1功αZ．（1975））

れているという点で，上述の多くの内部潮汐の実測例とは異なっており，Coxらの理論だげでは説明できないものである．

潮汐によって，どうしてこのように周期の短い内部波のウェーブ・バケットが形成されるのかということについては，Ape1
らは不明であるとしている．

潮汐のように，周期・波長の非常に長い波によって，陸棚斜面の影響で誘起されて生じた内部波は，大陸棚上を陸に向って進み始める．誘起された当初，

内部波はもとの潮汐と同じ半目

図2

ケープタウソ北方海域にみられるウェーブ・バケット．

APPelらによる，1972年8月16のデータ．
Fig．2

The

easternfeatures

coast

of

Town，Aug．16．1972．

一168一

of

South

intemalwave

Africa，just（afterpackets，o任

northApelθfα1．）

of

Cape

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司の周期を持っているはずである．ここで観測されたウェーブ・バケットは，こうしてできた長い周期と，長い波長を持つもとの内部波が，何らかのメカニズムで，波長の短い多くの内部波に分裂したものと考えられる．

本稿では，第2節で内部波の存在がどうして上空から観測されるのかというその理由を述べ，第3節でウェーブ・バケットの実態をいま少し詳しく観察し，第4節以下でその生成のメカニズムについて考察してみることに寸る．

2．内部波が上空から観測できる理由
内部波とは躍層などの密度境界面を伝わる波である．その躍層は，普通水深数10mまたはそれ以深にあるから，そこを伝わる内部波を上空から直接観察することは，たいていの場

合不可能である．ところが，航空写真や，衛星写真に，内部波の存在を示すしま模様が現われることがある（図3）．このように内部波が上空から「見る」ことができる理由として，次に挙げるような2つのメカニズムを考える
ことができる．

（1）内部波によって誘起される表面物
質の離合躍層に振幅の大きな内部波があると，海表面に縮まった部分と，伸びた部分ができる．その様子を模式的に図4に示す．いま
内部波によって躍層が太い実線で示す形をなしていて，右方へ速度6で伝わっているとする．細い実線で示されただ円や短い線

図3航空写真から観測される内部波．白線は船の航跡である．Ape1らによる．
Fig．3 An example of slicks a㏄ompanied

分は，各水深での水粒子の軌道を表わす．

withintemal（afterAPe1功αユ．）

wave

observedonaircraft．

黒丸は，内部波が図に示されたような状態

Aに内部波がある時点での，水粒子の軌道上BCに占める位置を表わす．表面付近にあるA，

H

B，Cの三つの位置にある水粒子に着目す（）（）（）（：）（）（）

す

一間隔である．ところがこの図の時点では，一○

ると，それらの軌道の中心はおのおの半波○

長ずつ隔たっているから，各平均位置は等

r一

■ヰ「

C

○

⇒

（）O（）（）（）（）

AB粒子間の距離はこの平均（＝半波長）よ

り縮められ，BC粒子間は逆に引き伸ぼされている．つまり，内部波の山の真上では

」

図4

臭

一169一

」ま＿

一

」…二

内部波によって誘起される表面物質の離合．

Fig．4

海の表面が収縮し，谷の真上では拡大して

一

Convergencesurfa．cemms

anddivergenceinducedbyofintemal

the

sea

wave．

国立防災科学技術セソター研究報告第17号

1977年3月

いることになる．

海の表面には，油膜やその他の有機物が浮遊して薄膜を形成していることが多い．内部波が存在すれぼ，上に述べた表面での水粒子の動きに従って，これらの表面浮遊物質もまた，その場所での内部波の位相によって収束，発散をくり返す．このようにしてできた表面浮遊
物質のむらは，表面張カの不均一を引き起こす．ケノレビン・ヘノレムホルツの理論によると，

さざ波は風速σが次式で示されるσ血i皿の値を越えたとき発生する．

レ〉甘師1一・）（1）

ここで，ρ，ρ岨はそれぞわ海水と空気の密度，9は重カの加速度，Tは表面張カである．（1）

式からわかるように，さざ波が発生ゴる条件には，表面張力の大きさが関係してくる．広い

海面に一様な風が吹いていても，場所によって表面張力に差があれば，さざ波の発生のしやすさに差が現われる．

このような理由で内部波は，海面浮遊物質の収束・発散，あるいはこれに伴うさざ波の分布の差として上空から観測されうる．

（2）

内部波によって誘発されるさざ波の捕獲領域

内部波が躍層を伝わっているとき，その山の前面に当たる海面には流速の収束領域が形成され，ここにさざ波が捕獲（トラップ）される可能性がある．その様子を図5に示す1図の下半分には内部波が波速oでα右方に伝わる時の，各場所での水粒子の動きの水平成分が

ら0・示してある図の上半分のク

一臼

ラフは，海表面での流速仇の分布を示している．波の進行

A

B

C

D

方向に

E

軸を取るとすると，

このような速度場では，内部

C⇒

波の山の後面では∂仇伽＜0，

すなわち収束領域となる．いま図のA点の左方から群速度がo。であるさざ波がやって寺

中÷来たとすると，B点に到着す

今

図5内部波の山の後面に当たる海面に，さざ波の集中する場
所ができるわけ．
Fig．5 Schematic d肋wing

れば，そこでの内部波による水平流速の値がちょうど6σofintemalwave

Noticざthe existence the packet of ripples
sloPe of the intemal wave proile．

一170一

system，
on

downと等しいから，さざ波はこの点より右へ進むことができな

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司

い．同様にCD間に発生したさざ波はE点より右に進むことができない．またB

C間で発生したさざ波はすべて左方に流されるが，やはり同じ理由でA点より左方へは進めない．結局内部波が存在するために，このような海面の水平流速の分布ができた海では，風が何かの原因によって発生したすべてのさざ波は，AB間，DE間のような収束領域に引き込まれ，そこに捕えられて，脱出できなくなってしまう．実際には，このような流れの場白体が，内部波の伝播速度6で，内部波に伴って右方に移動しているのであるから，内部波による最大表面水平流速をσ㎜正として，o一σ㎜。≦6。≦c＋σ㎜

なる群速度6。を持つさざ波に対して，このような捕獲領域が生じ，さざ波がそこに集中するという現象が起こる．

図6，図7は，内部波によって捕えられたさざ波の実験写真である．上層は比重O・78の灯油，下層は比重1．Oの着色水で，内部波は両図とも右方に進んでいる．いずれも内部波の山の前方の灯油の上層の表面に，小さなさざ波が二，三波捕えられているのがわかる．

この様な状態を上方から見ると，内部波それ白身は直接見ることはできなくても，さざ波がせまい帯状に何本か存在している様子から，内部波の存在が間接的に観測されるであろう．
以上に述べた（1），（2）いずれのメカニズムが，より普遍的であるかは不明であるが，躍層を伝わる内部波の存在が上空から間接的に観測されるということは，十分ありうることであると了解されるであろう．

3．うろこ状模様の特徴

1ク

図1，図2に見られるうろ
こ状模様の特徴をいま少し細

LAND
わ

1

かく兄てみると，Ape1らも指摘しているように，次のような特徴があることがわかる．

すなわち図8に模式的に示さC1

れるように，

トの先頭のすじが最も鮮明でC2（a）各ウェーブ・バケッ

4

あって，後方のすじほど順次C3

薄くなってゆく．

（b）

1パケットを形成す

る，各すじの間隔は，バケッ
トの前の方ほど大きい．すな

図8

うろこ状模様の特徴を模式的にかいた図

Fig8．Schematic

一171一

drawingoftheinternal

wave

packets．

国立防災科学技術セソター研究報告
わち図8においてα。＞α。＞α。…

（c）

第17号

1977年3月

である．

あるパケット先頭のすじと，次のパケットのそれとの間隔は，陸に近いほど小さい．

すなわち図8において6。＜6。＜6。…

（d）

である．

パケットの一番先頭のすじと，次のすじの間隔は，陸により近い位置にあるバケッ

トのものほど大きい．すなわち図8においてoユ＜6、＜o。…

である．

ウェーブ・バケットの形成の原因を究明する際には，この四つの特徴をすべて合理的に説明できるようなメカニズムを想定することが必要となる．

これらのうち（d）の特徴は，線型近似の範囲内での内部波の波速に関する知識だけで説明することができる．すなわち2層構造の海を伝わる内部波の波速は，波長が水深に比べてト分長いとき，上下層の厚さをそれぞれん，とし，密度をρ，〆とすると，・。＝〉σ（ρ一〆）（ρ〃十〆／ん1）

1（2）

で与えられる．上層とは，海面から躍層までの層，つまり表面混合層である．これは通常広い範囲にわたって厚さ一定であることが多い．図1のニューヨーク沖の場合その厚さは約50mである・〃を一定とすると，（2）式より，波速o。は，下層の厚さんが小さいほど，
つまり浅い海ほど小さくなる．ウェーブ・バケットの発生原因が潮汐であるのなら，あるウェーブ・パケットの先頭のすじが形成されてから次のウェーブ・バケットのそれが形成されるまでの時間は半目周潮周期，すなわち12．4時間たっているはずである．この時間に（2）式で計算した波速o。を乗ずると，一つのウェーブ・バケットの先頭のすじから次のウェー

γ

荷

＝

30
わ

？
20

ユ0

＼

わ

0

0

ユ00

200

300

400

。・

500

Dep七h｛m〕
図9 ウェーブパケットの先頭のすじの問隔と深度の関係．実線は（各深度での内部波波速）×∫半目周潮周期）．

temal
the

of

success1ve

wa▽e

data

of

front

packets
the

of

and

the

in＿

depth

for

γ・舳

0

x
図10

Fi・・9R・1・t1…h・い・tw…th・di・一tance＼＼。＼・＼＼

Fig．10

Fig．2（sma11circ1e）．

FulI1ine shows the product of periodof semidiumal tide and intema1wave
ve1ocity6o calculated by the equation
（2）．

＿172一

座標系と変数の定義．

Coordinate

systemandnotations．

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司

図6

内部波に捕えられたさざ波．内部波は右に進んでいるが，その谷の前面にさざ波が捕えられている．

Fig．6

Experimentfor

exemplifyingofpacket of ripp1es entrapped by in＿temal wave propagates1eft to right，
and a packet of ripP1es is entrapPed
on

the

down

slope

of

it．

図7内部波に捕えられたさざ波．内部波は右に進んでいる．その谷のおのおのの前面に，それぞれさざ波が捕えられている．
Fig．7

図13正立した内部孤立波の実験写真．下層より上層の方が層が厚い場合生ずる．
上層は灯油（〆＝O．78），下層は着色水（ρ＝1．O）．

Fig．13 Intemal solitary wave of norma1
type，which appears in the case thatthe lower1ayer is thicker than the
uPPer

図14

1ayer、

倒立Lた内部孤立波の実験写真．上層より下層の方が厚い場合生ずる．用いた液体は図13と同じ．
Fig．14

Interna1solitary

wave

of

upsidedown type，which appears in the casethat the upper1ayer is thicker than

the1ower

layer．

＿173一

Three

packets

trappedbyintema1ofripples

pI・opagates

Ieft

to

right．

are

wave

en−

which

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司

ブ・バケットのそれまでの間隔，すなわち図8のo。，o。，6。，…に近い値が得られるはずである．このことを図2のケープタウン近海の衛星写真にみられる6重のウェーブ・バケットについて検証すると，図9が得られる．横軸は水深で，太実線はo。×12．4時間の値を表わしている．ん＝60m，（ρ一ρ）／ρ＝2．Ox1O■3と推定して計算してある．小円は図2から得られたo。（仁1，2，…，5）である．小円の分布は実線にかなりよく一致している．
（a），（b），（c）の特徴は，線型理論の範囲の議論だけでは説明できない．

4．計算の方針と基本方程式
本節以下では，水深が緩やかに変化する，2層構造の海を伝わる，長波性の内部波の非線型第1近似までの議論を展開する．内部波の波高の，層厚に対づる比を1次微小量εと考える．流体力学の基本方程式を線型化して第0近似としての線型解を求め，その結果を基礎に，摂動法により非線型第1近似解を求める．
内部波は等深線に垂直な方向に進行すると仮定し，等深線に平行な方向には運動の変化がないとすると，2次元の間題として取り扱うことができる．海底のある1点に原点を取り，海の進行方向に軸，鉛直上方にμ軸を取る．海底地形はψ＝6（ω）で表わされるとする．静止の位置からの躍層の鉛直変位をη（，τ）と寸る．海底および躍層面での摩擦，粘性，地球回転の影響などは無視する．上下各層の海水の運動はともにうずなし運動であると仮定すると，各層に速度ポテンシャル関数φ，φがそれぞれ存在する．（以下をつけたものはすべて上層に関する量とし，つけてないものは下層に関する量とする．）このとき連続の方程式は，

72φ＝O，および72φ＝O（3−a，b）となる．内部波の直接の影響による海面の昇降は，大変小さく，海の表面は静止した水平面を保ち続けると考えてよい．こう考えて取り扱ってもよいという理由の正確な論証について

はTsujiandNagata（1974）にゆずることにする．ともかく，今の問題に対しては，流速のμ方向成分を似としたとき，〃＝O

at〃＝6＋ん十ん（4）という海表面での境界条件が成り立つ．

躍層の厚さは無視する．すなわち上下両層は躍層の所で直接接していると考える．そこでの運動学的連続条件から，＿立十ω立㎝ψ＿ん十6＋η（5一・）・＿立十〃亙。。〃＝ん十6＋η

（5−b）

∂f

∂t

∂

∂

が得られる．また圧力の連続条件から，／／一繁・・1・去（州／＋晋・・1・古（μ）／・u−1…1（・）一175一

国立防災科学技術セソター研究報告第17号

1977年3月が得られる．海底における境界条件は，

〃 肌
一＝一
仇 伽

〇nμ＝6

（7）

となる．

5．微小量と各物理量の大きさの程度（オーダー）の見積り

躍層を伝わる内部波に対して，基本的な長さ，および時間のスケールとして，水深亙（＝ん十〃）と，周期丁を考える．周期といっても解が必ずしも明白な周期性を持つとは限らないから，およそ内部波1波が通過する程度の時間とする．

内部波の波高の，水深に対する比を微小量の単位と考え，εで表わす．すると前節で定義した躍層の鉛直変位量η（）は，εHの程度（オーダー）の量であるということができる．このことを
η＝0（ε互）（8）と表わすことにする．

大陸棚の水深は，一般に200mより浅いのが普通である．これに対し図1，図2に見られるような内部波の波長（より正確には水平スケール）は，小さく見積っても2〜3km程度である。すなわち波長は水深に比べて「かなり大きなオーダーの量」である．

いま内部波の水平スケーノレLは，前に定義したεを使って，
ム＝0（ε一1／2互）（9）であると仮定する．
（8），（9）式より

ηL2／亙3＝O（1）（10）

が得られる．ここに現われたη工2阻3は，孤立波，クノイド波のような有限振幅の表面浅海波の理論でのUrSe11のバラメータと呼ぼれる量である．すなわち，（9）式はこの内部波の問題に対して，有限振幅の浅海波の理論と同様に，UrSe11の条件が満たされているという条件
を式で表わしたものである．

これらの基本の量のオーダーが定まると，内部波に関する諾量のオーダーが以下のように定まる．まず水平流速仇のオーダーは，連続の方程式
∂㏄ ∂似
一十一＝O
∂
∂μ
におし・て．

＝0（η／T）＝0（ε1H1T■1）∂＝0（L）＝0（ε1／2H一ユ）∂μ＝0（H1）

であるから
一176一

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司
仇＝0（〃L／H）＝0（ε1／2亙1T−1）と定まる．重力加速度σのオーダーは（2）式において6。のオーダーがoo＝0（L／T）＝0（ε■1／211τ1r−1）であることに注意すれば
σ＝0（ε一1H1T■2）xρノ（ρ一ρ）と定まる．密度ρ，〆に関する部分は，オーダーの見積りのさいには問題としないことにする．

さらに，水深の変化カミ「緩やか」であるという条件を付け加え，その「緩やかさ」のオー
ダーは，たかだか・（芸）一糾であると仮定する．すなわち海底の勾配の大きさは，たかだか内部波の波形勾配のオーダーの量であると仮定する．

以下の議論に出てくる数式の中の，どの項を残してどの項を無視するかは，上に示した諾
量のオーダーを兄積ることにより，判定することができる．

6．微小量；による基本式の展開
上層での速度ポテンシャノレφ1を，海面の位置〃＝互。のまわりでTay1or展開して1φ＝ΣΦ㈹（μ一H。）冗

（11）

肌＝o

と置く．ここでH。は＝Oにおける水深である．（3−b）に代入すると，

小・・伽・・）缶叫（け戸一・となる．各項の係数をOとおくと，次の関係が得られる．
ψ1比十、＝一1が丁￠1正、、＝・（2ん十1）・2ん〃一ψlF一

1＝（一1）庇が庇十1（2ん十1）！d

2叱十1

列，

1
が
1 砕
一Φ1正．。＝・・＝（一1）正一一￠1．
2ん・（2ト1）〃2ん！伽止

ところで（4）の条件をαで表わし，（11）を代入すると，

Φ1＝0が得られ，結局上層での速度ポテンシャルは，
φ

1
d2
1
d4
一￠1一亙（ザ凪）2万￠名・亙（μ一凪）4万φ6＋0（ε3￠ξ）

（12）

となる．

下層の速度ポテンシャルについては，海底μ＝伽）からのTay1or展開した形で表わして，
φ＝Σ：ψ皿（肌＝0−177一）（に6）帆（13）

国立防災科学技術セソター研究報告第17号

1977年3月と置く・これを（3−a）に代入し・各項の係数をOと置いて海底条件（7）を使えぼ，前と同様に，・斗去（・一1）・か・｝（け島軋・伽一1）如・榊（・・）が得られる・上層の場合の（12）式と違って，右辺第4項として海底勾配を表わす項がつけ加わっていることに注目すべきである．

7・線型近似の解

さて以上に述べた各条件を満たす解を求めるのであるが，その第1歩として線型近似の範囲での議論から始めることにする．線型近似では，波を表わす4つの物理量η，φ，ω，に関する2次以上の積の項はすべて無視される．すなわち，（5−a），（5−b），（6）の三つの境界条件
は，それぞれ，＿∂ηL∂ηト万at〃＝ん十61（15一・）に万atψ＝ん十6・（15−b）

および，（1繁一1・晋）一11（1一・）・・1一川（・・）となる・速度ポテンシャルφ1φ1は1（12）！（14）各式の最初の2項のみ採用し，0（ε・￠。），0（ε・￠6）

以下の項を省賂する・（15−a），（15−b）式を速度ポテンシャノレで書き換えると，

去・F÷告・（・・一・）

去叶告・（・・一・）となる・（16）式中の速度ポテンシャルとして（12），（14）式の第1項のみ取って代入し，（17．
a）・（17−b）の両式によってこれらを消去すると，∂2η＿。∂2η

万■碗万

（18）

という波動方程式が得られる．ここで6。は波速を表わす．線型近似の範囲での波速という意味で・添え文字0をつけておく．6。の値は（2）式で与えられる．（2）を見れぼわかるようにo・は波数の関数ではない・したがって表面波における長波の場合と同じく，（18）式の解は非分散性の波である・（18）式の解は周知のように，波速6。で正方向へ伝わる波と，負方向へ伝わる波の和で表わされる．外洋から大陸棚へやって来る波について考えているときには，正の方向へ伝わる成分のみ議論をすれぼ十分である．このときには（18）式を満たす解の
うち

一178＿

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司∂η＿∂η
一一一〇。一∂む∂（19）を満足する方の解が議論の対象となる．
（19）の関係を（17−a），（17−b）に代入し，で積分すれば，仇，〃がηで表わされて∂∂

伽o＝一一φ。＝o。η。／ん（20−a）∂
仇名＝一一φ名＝一6oηo／ん（20−b）∂

が得られる．いずれも添文字Oは線型近似の量であることを表わしている．
（20−a），（20−b）を出すときのように，被積分関数に直接・間接に6，あるいはんが含まれている場合，一・・からまでの定積分をした結果，オーダーの繰り上がりが生ずる可能性があることに注意する．つまり，

肋伽

一＝0（ε3／2）

ではあっても，この左辺を上述の定積分をした値は［6］王。。＝ん一［ん］炉＿。。＝0（εo互1）なるオーダーの量となるからである．

8．非線型第1近似解
非線型の解を求めるためには，躍層面と海底での各条件（5−a），（5−b），（6），（7），および速度

ポテンシャルの展開式（12），（14）のすべてにおいて，線型理論のときよりεについて1次だ

け高次の項まで採用しなければならない．また躍層面での条件については，近似的に以＝ん十6での値で代用したが，これもμ＝ん十6＋ηでの値をい用なければならない．
まず（5−a），（5−b）の左辺に現われる似，びを所要の精度まで計算すると，μ＝ん十6＋ηに
おいて，

∂φ
〃＝一一
∂ψ

一呼・1箒一÷晋一告繁・・（舳→となる．右辺第2，3，4の各項は第1項よりε1だけ高次の項であるから，これらの項を前節の線形理論で得た（20−a），（20−b）を使って変数をηに書き換えても精度は落ちない．すなわち，

・一呼一青1票・半箒・耕1・・牌…
が得られる，

同様にがについても
一179一

国立防災科学技術セソター研究報告第17号

1977年3月

が一一・晋・景1票・午祭・・（舳一1）が得られる．

これらを（5−a），（5−b）に代入すれば，それぞれ，

告一呼柵（青1祭一箒一÷豊1）一・・（21−a）

告・呼・伽（一青1祭十祭）一・（21−b）

が得られる．

つぎに圧カの連続条件である（6）式について考える．εについて1次の項までを採用する．
両辺の第4項が，似2の項は無視できる．第3項はεについて1次の項だから，（20−a），（20−b）を用いてηで書き換えることができて，

1o1
1．L6。。
プ＝万η2・およびす炸アη
となる．第1項は，（12），（14）を代入し，εの1次の項については，上と同様の書き換えを行
ない，さらに（19）式を使うと，∂φ＿∂￠o

o看ん

∂2η

、

∂φ

∂ψ6

o言ん

∂2η

一一一一一一，およぴ∂む∂τ 2∂ 2
∂亡一＝一十一一∂む 2∂ 2が得られる．これらの関係を使うと（6）式は結局，・1（1一・）一（令・晋）・音／（11・〃）箒・（素一舟）ゲ／一・（・・）となる．（21−a），（21−b），（22）から￠。，Φ6を消去し，高次の項に対しては演算子∂／∂老を一6。∂／∂に置き換えることができるから，

祭一借・・1（号・舟）→告［｛音（素十）ゲ・去（ρん・〃）斜

一素渕

（・・）

が得られる．この式と線型近似の解を求めて得られた（18）式とを比較すると，右辺第2項以下の，大かっこでくくられた非線型項を含んだ部分がつけ加わっていることがわかる．この式は形式的には，τに？いての2階偏微分方程式であるので，やはり正負の方向へ伝わる2種類の波の解を含んでいる．いま（18）式から（19）式を求めたときと同様に，（23）式から，正方向に伝わる波のみを表わす，（23）式と対等な式を求めると（計算手順は付録参照），

景・舟仲舟）∴音（素一缶）1豊・舌（l1・〃）告寸老1／一・（24）が得られる．結局この（24）式が，2層の浅い海を伝わる長波性の内部を規定する式となる．

大陸棚外縁での刻々の条件を与えたとき，大陸棚海域を陸に向ってゆく内部波の様子は，こ一180一

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司の式を時間積分することにより求めることができる．

この（24）式は，一般にKdV方程式と呼ばれるものの一種である．このKdV方程式の持つ一般的な性質については，節を改めて述べることにする．

（24）式において，ρ

＝Oと置き，州伽＝一肋伽に注意すると，∂η ∂η 36。∂η 1 ∂3η 1ρ。舳一十6。一十一一η一十一6。が一十一一一η＝O

∂τ

∂

2ん

∂

6

∂

3

4んd

となる．この式はKakutani（1971）によって求められ，Johnson（1973），Shuto（1973）に

よって議論された，水深が緩やかに変化する海を伝わる有限振幅表面波に対するKdV方程式である．

8．KdY方程式の一般的な性質について（24）式のη，，をに対して次のような変数変換を行なう．

・一r。。昔一f・・一1・

1一音（号・舟ヅ（素一舟）1

（25）

さらに，

／一古（号・舟）㍉・〃）・

1＋（青・舟）㌣豊と置くと（24）式は，
ζr＋ζζx＋βζヱxx＋γζ＝0（26）、となる．ここで添文字「，Xは，それによる偏微分を表わす．

水深一定の場合にはβは定数，γ＝Oとなって，
ζπ十ζζx＋βζx〃＝Oが得られる．この式が，Korteweg

and

de

（27）

Vries（1895）によって初めて導かれて以来，今目まで数多くの研究がなされている，いわゆるKdV方程式の標準形である．（27）式を満たす解のうち定常解，すなわち時間とともに形が変化しない波の解は，x−丁座標で見たときの波の速度をσとして，∂／∂Tを一σ∂／∂Xで置き換えることにより得られる．すなわち，
一σζx＋ζζx＋βζxxx＝O．

X→±・・でζ＝0という境界条件を与え，この式を積分する．（27）式の解として結局／一肪・…／〉毒（H）／
なる孤立波の式が得られる． 変数をもとに戻すと，
＿181一

（・・）

国立防災科学技術セソター研究報告第17号！977年3月

1一峠・与）（条十）一…吋去〉子／卜（・・州1（・・）となる．波の伝播速度は（1＋σ）o。である．

（28）式において，4β＝1とし，σ＝0．1，0．2，O．5，1．0，および2．0とした時の波形を図11に示す．波形はどれも左右対称で，中央が最も高く，
ソ

リ

ト

ζ
，

ン

6

1山型であり，孤立波とよ

5 6＝20

ばれるゆえんである．バラ4

メータσが決まると，中央

3
1．Oにおける波高と，広がりの2O．5程度，伝播速度の3つが同1時に定まってしまう．逆に
一2

一3

一1

いうと波高が決まれば波の広がりの程度と波速が決ま

図11孤立波の形．ζ＝3σsech・〉7

0

0．2

O．1

1

2

3

xx

のσ＝O．1，O．2，O．5，1．Oお＿よび2．Oの各場合の形．
ってしまう．局い波など幅
Fig．11 Forms of solitary wave；ζ＝3σsech2〉7 ，for theがせまく波速の大きい波とcaseofσ＝0．1，O．2，O．5，1．0，and2．O．

なり，逆に低い波ほど幅の広い，波速の小さい波となる．波高→Oの極限では，波速1は6。となって，線型近似での値に帰する．

2

波高が有限である限り，孤立波の波速は必

3

ずこの線型近似の値より大きい値となる．

それでは，r＝Oでの初期条件として，

4式で表わされる孤立波と，同じ高さをもちながら，幅がこれより広い波を与えた場合，どうなるであろうか．当然，このような波は，初めての形を保ったまま，伝わること

5
図12孤立波分解の模式図．
Fi9・12Schematic d「awi㎎of solita「yWaVe丘SSiOn ．

はない．皿adsenら（1969），Zabuskyら（1971）などによると，このような場合，波は進行する途中で，いくつかの孤立波に分裂してゆく．その様子は，図12に模式的に示されるよ
うに，前方から順次孤立波が産み出される．そして最初に産み出されるものほど背が高く，幅が狭く，速度が速く，あとで産み出されるものほど背が低く，幅が広く，速度が遅い孤立波となる．そしていくつかの孤立波が産み出された後には，孤立波を作り出すことのできない部分が，さざ波となってとり残される．どのような初期条件のとき，いくつかの孤立波に分裂するかについてはLax（1968）の研究がある．
先に分裂した背の高い孤立波ほど波速が大きく，後の背の低い孤立波ほど波速が小さいた＿182一

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司

め，分裂した後，各孤立波は，お互いの間隔を広げてゆくことになる．

以上述べたような孤立波分裂の現象は，KdV

方程式によって支配される系において著しい特色をなすものである．

水深が一定でない時には，波形不変のまま定常的に伝わる孤立波というものは存在しない．

しかし水深の変化が緩やかであれぼ，ローカルには定常的な孤立波は存在しうる．しかし長く伝わるうちに水深が変わると，もはやその水深での定常的な孤立波ではなくなる．そうな

るとその海域で，上に述べた孤立波分裂がおこる可能性がでてくる．Madsenら（1969）は，有限振幅の表面浅海波について，この問題を論じている．

以上の議論は表面波であれ内部波であれば成立する．

表面波の場合，孤立波は常に図のように上向きにとがり出した形をとる．ところが内部波の孤立波の場合には，条件により下にとがり出すこともありうる．（29）の右辺の前にかかる係数のうち（ρ／んLρってくる．ρとρ

〃2）一1係数のうちの正負に応じて，上下どちらにとがり出すかが決まとは通常の海では103程度の差しかないから，ほぼんとの大小に応じて決まる．すなわち，上層が下層より厚さが大きいときには上に，逆のときには下にとがり出す．図13，図14は，この二つの場合の実験写真である．
（ρ／んL〆〃2）がほぼOの場合には，（24）式中の非線型項がほぼ消えてしまい，正弦曲線に近い波形の内部波が安定した形を保って伝播する．

さてKdV方程式の支配する系における孤立波分裂の以上に述べた，各特徴は，まさにApe1らの観測したウェーブ・バケットのもつ特徴に相応している．すなわち節で述べた（a）の特徴である，バケットの前方のすじほど鮮明であることは早い時点で前方から分裂した孤立波
ほど，波高が高いことに相応し，（C）の特徴，陸に近いバケットほどすじとすじの問隔が広いことは，分裂した各孤立波相互の間隔が時とともに広がってゆくことに相応しているのである．

さらに，分裂する孤立波の波高が発生する順に幾何級数的であることが確かめられれば，（b）の特徴も説明がつくことになる．

さて，定性的には，ウェーブ・バケットの形成は，Kd▽方程式によって支配される系における，2層内部波の孤立波分裂であるらしいという予想が立てられた．以下の節では，このことを定量的に確かめるために，数値計算を行なうのであるが，その前に，数値計算結果のチェックの手段として，KdV方程式によって支配される運動系の，保存量について述べておくことにしよう．

10．KdV方程式によって支配される運動系における保存量について（24）式の1次微小項である左辺の後3項の係数をP，Q，況とおき，この式を，

亙十、。五十Pη五十Q並十助一0
∂亡

∂

∂

一183一

∂が

国立防災科学技術セソター研究報告第17号

1977年3月と表わす．簡単な計算によって，

伽
一＝2五
伽
であることがわかる．この関係は以下での積分の計算の際，しばしば使われる．またP，Q，
五は方向に緩やかに変化する数であるが，1次微小量であるので，（一・・，・・）の間の定積分をする際には定数として扱ってもよい．ただし第2項の係数6。のみは，第O次項であって，しかも7節で述べたような，定積分によるオーダーの繰り上がりが生ずる可能性があって，定数と考えることはできない．以下に出てくる積分の上限と下限は±・・としてあるが，実際には内部波の運動の影響の及ぶ範囲にわたる積分を意味すると解してよい．

以上のことを念頭に置いて，まず平均躍層水深レベルより上に出ている下層水の総量∬の時間変化を考えると，

晋一音／r。。ψ一一／1。。（舟・1告・・祭・助）伽一一［榊・去・ゲ・・釘。。・／l。。（1缶一助）伽一／1。。榊となる．水深一定の場合にはこの値はO，すなわち（・・）は時間的に不変な量となる．

次にこの内部波の持つポテンシャノレエネルギーの総量亙の時間的変化は，、（、≡。）晋一去舌／1。。榊一一／工1（舟・1告・鳴・月1）伽一一［今去・叫・／・1箒一（釘／11。。・／l。。ゲ（堵一児）伽

＝O

（32）

となって，ポテンシャルエネノレギー刀は一定値を保存することが判明する．

ある初期条件のもとに，数値計算により（24）の解を時間積分して求めて行く際，数値打ち

切り誤差の累積，差分計算の有効桁落ちなどのために，解析的な意味での厳密解に相応する
ような，合理的な数値解が得られるとは限らない．〃，亙に関する二つの保存関係（31），（32）は，数値計算の結果をチェックする有力な手段となる．

11．数値計算ニューヨーク沖の観測データに対応する数値計算を行なった．計算に用いた海のモデルを
図15に示す．観測結果から，図1の写真が得られた時期には，〃＝50m，ρ／ρ＝10■3であることがわかっている．海底の形は，水深100mの平坦な部分（図のAB間）と，図のC点に頂点を持つような放物線で表わされる部分（BC間）よりなる．AB間の長さは，ちょうど半目周潮に等しい12．4時間を周期とする内部波が1波長分入るよう，22．1kmとし，初期
一184一

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司

条件として高さ10mの正弦曲線形の内部波がある状態を与えた．

図のB点に相当する水深100mの所ではん＝〃＝50mとなり，（24）式の非線型項である
第3項がほぼOとなる．したがって，9節で述べたような事情で，潮汐によって誘起された半日周期の長い正弦波形の内部波が，ほぽ形を変えることなく，この水深100mの海域に達すると考えられる1このようなことからAB間は実際の海

丈

18

c1

底の形とは異なる，水深一定な海を設定した．

50mm⇒

計算に用いた格子間隔は，100mとし，AC間に1001

」ξm
T

50m

点を設定した．タイムステッ
0プは，最も深いAB間でも計算不安定を生じないよう2分

77．9km

図15数値計算に用いた2層の海のモデルと，条件．

とした．数値積分はリープ・フロッグ法によったが，1ス

x

22．1km

内部波の初期

Fig．15 0ur mode1of the two layered sea，and
itial displacement for the intema1wave．

the

in一

テップごとに時間に関する前

h
0，0

3．0

5．口

目．0

1〜．O

15，0
18．口

21，0
24，0

27，0
3口．0

ヨヨ．0

36，0
38．口

A

O

B

1

50

100㎞
C

図16数値計算結果．左端の数字は経過時問，曲線は各時問での波の位置と形状を示す．下のA，B，Cはおのおの図15の各位置を示している．
Fig．16The

resultsofnumericaI

caIculation

of

the

intemalsolitarywave丘ssion．Figuresin the1eft hand side column show the time elapsed，and each curve shows the dis−placement of the interface．Points A，B，and C correspond to those in Fig．15．一

一185一

国立防災科学披術セソター研究報告第17号

1977年3月

方差分値と後方差分値を計算し，その平均値を採用して次のステップでの値を求めた．丸めや桁落ちによる誤差のチェックは，エネノレギー保存を示す（32）の関係を用いて行ない，誤差が累積して，エネノレギーの値がもとの2％以上変化した時は，（5％，90％，5％）なるフィル
ターによるスムージング操作，および絶対値修正を行なうことにより補正した．

以上の手続きによって計算した結果を図16に示す、図において左端の数字は経過時間で，各曲線がその時刻における波の位置と形を示す．下に併記したA，B，Cは図15での各位置に対応している．

初めのうちは，前後対称であった1山形の内部波も，次第に前面が急勾配となり，約24時
問を経過したころから，その前面から次々と内部波が分裂している．すなわち単一の長い波から，ウェーブ・パケットが形成されることが定量的にもありうることが判明する．また前に位置する孤立波ほど，背が高くなっている．すなわち3節で述べた（a）の特徴が数値的に再現されている．

この分裂した孤立波の，その後のふるまいを論ずるには，ここで用いた数値計算の格子が粗すぎたために，今回は良い結果は得られなかったが，（30）式に示されるように，背の高い前の方の孤立波は速く，後方の背の低い孤立波は遅く進行するため，しだいに孤立波間の距離が広がるはずであることから，この数値計算結果は，（C）の特徴も裏付けるものであるということができる．

数値計算では，水深65mのあたりで孤立波分裂が起こりはじめている1図1の写真では，
水深75mのあたりからウェーブ・バケットが観測されている．この差が生じた原因として，（1）初期条件が実際と合ったものではなかった，（2）水深100m以深の海域での状況が計算に入っていない，（3）躍層面での大きなシァーの存在は孤立波分裂を促す傾向を持つが，この影響が数値計算では反映していないため，などいろいろ考えられるが，結局はっきりした
ことはわからない．

3節に述べた（b）の特徴を裏付ける結果は，遺憾ながら特に得られなかった．

これらの諾点を明らかにするためには，分裂後の孤立波の1波1波を十分多くの格子点によって表現されるような，より小さな格子間隔による数値計算を，より多くのケースについて行ない，さらに室内実験など合わせて行うことが必要となろう．

ケープタウン近海の図2のデータについては，海域実地観測がなく，躍層の深さ，上下層の密度差のデータがないため，数値計算は行なわなかった．こちらのケースでも，内部波は100m以浅の海域まで侵入していることから，躍層はやはり水深数10mの所にあると推定され，しかもウェーブ・バケットの形成が500m以深の海域で始まっているから，（24）式

中の非線型項の係数が負，すなわち，ニューヨーク沖の場合とは異り，図14の室内実験写
真に見られるような，下にとがり出した倒立型孤立波による孤立波分裂が生じたものと推定
される．

一186一

海水混合に果たす潮汐の役割り一都司

12．む

す

び

Ape1ら（1975）が大陸棚海域の術星写真上に発見したうろこ状のしま模様は，躍層を伝わる内部波の波群であって，それは潮汐によって誘起された半目周潮の内部波の非線型性に基づく孤立浪分裂の結果生じたものであるらしいということが，以、．ヒの考察から立証された．

躍層をはさむ上下二つの海水の混合には，そこを伝わる内部波が大きな役害■1りを果たすが，波長の短い内部波ほど，この混合を促進する効果が大きい（都司，1975）．つまり，この内部波の孤立波分裂の現象は，潮汐のエネルギーの一部を，効率よく海水混合にふり向ける機能を果たしているということができるであろう．

13．謝

辞

KdV方程式に関する多くのご教示をいただいた理化学研究所の長島秀樹氏，および中央大学工学部の首藤伸夫教授に感謝の意を表します．
参
1︶
2︶
3︶
4︶

5︶
9︶
7︶
8︶

9︶

10）

考

文

献

Apel，J．R．，H．M．Byme，J．R．Proni，and R．L．Charte1l（1975）： 0bservations of oceanic
intemal and surface waves from the Earth Resouces Techno1ogy sate1lite．∫．Gθoρ肋s．
1…三θ8．，80，865−881．

Benjamin，T．B．（1966）：

waves

of

inite

Cox，C．and耳．Sandstrom（1962）：CouplingofintemaI1η仇｛δvariab1e

Intemalamplitudeandpermanent

form．∫．

waves

water

1吻θcん1，25，241−270．

depth．

andsurfaceinof∫．0cθα犯oσγ．S06．Jαρα犯，20肋α仰ττ伽〃8αγμ似o伽伽θ．

Defant，A．（1961）

Pん蝸北α10cθα犯oσγαoんμ，2，P〃σα肌o怖1〕㈹8s，0Ewing，G．（！950）：

SIicks，surface

Johnson，R．S．（1973）：

On

the

mms

and

∫o〃．

intema1waves．∫．〃αγ．亙θ8．，9，161−187．

developmentofaso1itarywave

mo▽ingoveranunevenon

gravity

waves．∫．P肋8．Soc．Jαρα仇

intemalso1itary

waves．∫．児θ8．B〃ωω0∫changeform

longbottom．1〕γ06．0α肌b．1〕〃Z．Soo．，73，183−203．

Kakutani，T．（1971）：

E冊ect

of

an

unevenbottom30，272−276．

Keulegan，G．H．（1953）：
Sτα仇dαγd8，51，Characteristics

of

133−138．

Korteweg，D．J．and

G．deVries（1895）：

On

rectangu1ar

on

long

cana1and

Lax，P．D．（1969）：
0o伽伽仇犯｛．o犯

P仇γ8

a

new

type

Integrals

α犯♂

of

of

the

nonlinear■4ρρ工．！吻αtん．，

of

waves

advancingina

evo1ution

andsolit肌ywaves．

11，467−490．

Long，R．R、（1956）：

Madsen，O．S．and C．C．Mei（1969）： Transformation
bottom．J．刑％〃〃26ん．，39，781−791．

13）

Miura，R．M．，C．S．Gardner，and D．M．Kruska1（1967）： Korteweg de▽aries equatiOn
and generalizations．II．Existance of conservation laws and constants of motion．∫．
1吻αfん．1〕んμ8．，

9．

14）

Shuto，（1973）：

Shoa1ing

17）

one−and

two

Huid

of

a

systems．

他〃㏄s，8，460−471・

solitary

wave

over

an

uneven1204−1209．

anddeformationofnonlinearIongwaves．0oα8τ．亙犯α。Jαρα犯，

1−12．

Tsuji，Y．and
ocean．

16）inequationsof1〕〃工．〃αg．，5（39），422−433．

12）

15）

waves

wave．

11）

16，

Solitaryofstation肌y工Y．Nagata（1974）：

Lineartheoryfor

intemaI

waves

in

a

muIti1ayeredα〃θγ，12，171−185、都司嘉宣（1975）：水温躍層を伝わる内部波の減衰．国立防災科学技術セソター研究報告，11，49−66・Zabusky，N．J．and C，J，Galvin（1971）： Sha11ow water waves，the Korteweg−de vries
equationandsolitons．

∫．1ηω｛d〃θ6ん．，25，241−270．
（1976年10月27日原稿受理）

一187一

国立防災科学披術セソター研究報告第17号

1977年3月

付録：（23）式より（24）式を導き出す計算手順．
（23）式を尊＝。1並十。1学十、看B立
∂が

∂が

∂鮒

（A−1）

∂

と書く．ここでλ一（糾）て音（素一舟）什去（l1・〃）糾・一一素（号・舟ヅ砦である．いま（A−1）は正および負方向に伝わる二つの波の解を含んでいるが，そのうち正方向に伝わる波を表わす方程式を求めるため，
∂η＿
∂む

∂
∂

一一一〇〇一｛η十F（η）｝（A−2）と置く．ここでF（η）は0（εη）の量とする．（A−1）に代入してで積分し，∂o．／∂＝一2Bに注意すると，

ユ（η十F）一。。⊥（η十λ）』助
∂亡

∂

（A．。）

2

が得られる．もう一度（A−2）を代入して

∂F

∂F

∂λ

B

∂OO一一■＝00■一60■η
∂￠∂
2となる、Fに対しては∂／∂ま＝一〇。∂ノ∂と演算子を置き換えてもよいから，∂F 1∂λ 3∂一＝一一一一η
2∂
4となる．これを（A−2）に代入してλ，Bをもとの変数に戻すと，

告・舟峠・舟）て音（素十）1告・÷（l1・〃）祭寸豊1／一・（A−4）となって（24）式が得られた．

一188一