博士（理学）横山和義
学位論文題名Global Existence of Solutions to Systems of Wave
Equations with Critical Nonlinearity（臨界非線形性を持つ連立波動方程式の解の大域存在）

学 位 論 文 内 容の 要 旨

本論 文では， 2次元空間 および3次元空間における連立波動方程式
Ot2y.i̲ cl
Aui =Fz（〇u， a2u） (i =l,.
..
,m)

in

[0,00)xR'(n=2,3)に対する初期値問題について，時間大域解の存在条件を論ずる．ただし，非線形項を与える
関数Fiおよび初期値はすべて滑らかであるとし，滑らかな解を考察する．また，Fiが未知
関 数utの2階導 関数につ いて1次であ る，いわ ゆる準線 形の場合を考える，初期値としてsmall dataを考えるとき，時間大域解が存在する条件は(8LL, 82ZL)＝0の近傍でのザの未知関数についての次数に依存する．この次数に関する依存は餌u−△u〓｜atulp（m＝1）という方程式についてよく調べられている． Pc‑（n十l)/(n―1）とするとき，p冫P
cなら十分 小さい初 期値に対 して大域解が存在し，1くp≦ P
cならばたとえsmalldataであっても大域解は必ずしも存在しない，そこで，Pcがcr
it
ica
lpo
werを与える．critic
alpowerにおい てはFiの主 要部はPc次 斉次多項式 であり， 存在条件 はその多項式に対するある代数的条件で与えられる．この条件をnul
l conditionとよぶ，
著者はcritica
l powerを持つ非線形項Fiについてnullconditionの下での時間大域解の存在定理を研究した．特に伝播速度の異なる連立方程式を扱うのが特徴である．方程式における伝播速度を表す定数ciが一致しない場合には，cr
itic
alpow
erでの時間大域解の存在を許すような非線形項に，単独方程式にはない連立方程式に特有の形が現れる．この非線形項はresonan
ce formと呼ばれるもので，最初はnullc
onditionを満たすものであるとは認識されていなかった．ところが，これと従来からnullformとして知られていた非線形項とを統一する形で条件が述ぺられるようになったため，実際に統一的に扱えるようにしようというのがひとつの動機である．もともと別々に扱われていた，これら2つの型を共に含むような非線形項を考察することは伝播速度によらない方法で必要な評価を導＜ことを意味する．
伝播速度の一致しない連立波動方程式はまた，弾性体の方程式と密接なっながりを持つ．
n‑3の場合には線型の弾性体の方程式に対する解について発散と回転をとると，これらは2つの異なる速度に対する波動方程式の解になっている．さらに，ある自然な物理的仮定から導かれる弾性体の方程式は3次元のcritical powerにあたる2次の非線形性を持ち，その解 の 発 散 と 回 転 は 異 な る 2つ の 伝 播 速 度 を 持 つ 非 線 形 連 立 波 動 方 程 式 を 満 た す ．
本 論 文 はPartIおよびPart IIか ら成る． PartIにおいて は，n‑3であ って伝播 速度ctが必ずしも一致しない場合に，nullcon
ditionをみたせば時間大域解が存在することを示して いる ． ま ず解 の N次導関数 のウェイ ト付Loo ‑ L2評価 を導き， 次に解の N次導関数のL2ノルム が有界で あることを示すことにより，small dataに対する解の2次導関数の己oo
ノルムがアプリオりに有界であることが示され，そこから時間大域解の存在が示される．ここで用いた評価法は従来の方法に較べ，複雑なウェイトを意識する必要がなく，見通しが立てやす いとぃう 利点を持 つ．そこ で，より 複雑な3次元の2次の非線形性をもつ弾性体の方程式にも応用されている．
PartIIは著者の指導教官との共同研究に基く．PartIIにおいては，n‑2であって伝播速度ciが必ずしも一致しない場合に，nullc
onditionをみたす多項式のうち，reson
anceformと呼ばれる多項式に対応する非線形項について時間大域解の存在を示している．時間大域解存在の ための論 法はPartIと同 様である が，この時点ではnullformとresona
nce formを同時に扱えず，部分的な結果にとどまっている．
以上の研究により，臨界非線形性をもつ連立波動方程式に対する時間大域解の存在定理を統一的な視点から述べることに成功した．

学 位 論 文 審 査 の要 旨
主査

教授

上見練 太郎副査

教授

久保田 幸次

副査

教授

儀我美一

副査

教授

小澤徹

学位論文題名Global Existence of Solutions to Systems of Wave
Equations with Critical Nonlinearity（臨界非線形性を持つ連立波動方程式の解の大域存在）

本 論 文 で は ， 2次 元 空間 お よ び3次 元 空間 に お ける 連 立 波 動方 程 式
at2Ui̲ c Z
LXu.i= F'(au,82u） (j=l,..
.,m)in[0,00) xR'(n=2,3)に 対す る 初 期値 問 題 につ い て ， 時間 大域解 の存在条 件を論 ずる．た だし， 非線形項 を与え る
関 数F｛ お よび 初 期 値は す べ て 滑ら かで あるとし ，滑ら かな解を 考察す る．また ，F｛ が未知
関 数 ぜ の 2階 導 関 数 に つ い て 1次 で あ る ， い わ ゆ る 準 線 形 の 場 合を 考 え る． ま ず ， 時間 大域 解が 存 在 する か 否 かは (8'LL， D2V,)〓0の 近 傍で の ず の未 知 関数 について の次数に 依存する．8t2y一△u‑latulp(m＝1）としゝう方程式におし、て，Pc‑（n十l)/(n−1）とするとき，p>凡 な ら 十 分 小 さ い 初 期 値 に 対 し て 大 域 解 が 存 在 し ， 1く p≦Pcな らば た と え smalldataで あっ て も 大域 解 は 必ず し も 存 在し な い ．そ こ で ，Fiの 主要 部 が Pc次 斉 次多 項 式 で ある とき に臨 界 非 線形 性 を 持っ と ぃ う ．こ のとき ，大域解 の存在 条件はそ の多項 式に対す るある 代
数的条 件で与 えられる が，こ の条件を nullcondit
ionとよぶ ．
著 者 は 臨界 非 線 形性 を 持 つ 非線 形 項 F
iに つ いて nul
l conditionの 下で の 時 間大 域 解 の存
在 定理 を 研 究し た ． 特に 伝 播 速 度の 異 な る連 立 方 程式 を 扱 うの が 特 徴で あ る ．方 程 式 に おけ る伝 播 速 度を 表 す 定数 ciが 一致 し な い場 合 に は， 臨 界 非線 形 性 を持 ち な がら 時 間 大 域解の 存在 を 許 すよ う な 非線 形 項 に ，単 独方程 式にはな い連立 方程式に 特有の 形が現れ る．こ のresonanceformと呼 ば れ る非 線 形 項と ， 従 来か ら nu
ll formと して知ら れていた 非線形 項とー15―

を統一する形で条件が述べられるようになったため，実際に統一的な枠組で大域解の存在を論じることが著者の目的である．
伝播速度の一致しない連立波動方程式はまた，弾性体の方程式と密接なつながりを持つ．
n‑3の場合には線型の弾性体の方程式に対する解について発散と回転をとると，これらは2つの異なる速度に対する波動方程式の解になっている．さらに，ある自然な物理的仮定から導かれる弾性体の方程式は3次元のcritica
l powerにあたる2次の非線形性を持ち，その解 の 発 散 と 回 転 は 異 な る 2つ の 伝 播 速 度 を 持 つ 非 線 形 連 立 波 動 方 程 式 を 満 た す ．
本論 文 はPartIおよび Part IIから成る ．PartIにおい ては，n‑3で あって伝播 速度ciが必ずしも一致しない場合に，nullconditionをみたせば時間大域解が存在することを示している．ここで用いた評価法は従来の方法に較ベ，複雑なウェイトを意識する必要がなく・見通 しが立て やすいと ぃう利点を 持つ．そ こで，より複雑な3次元の2次の非線形性をもつ弾性体の方程式にも応用されている．
P
artIIは著者の指導教官との共同研究に基く．P
artII
においては，n‑2であって伝播速度Qが必ずしも一致しない場合に，nullconditionをみたす多項式のうち，reso
nanceformと呼ばれる多項式に対応する非線形項について時間大域解の存在を示している．時間大域解存在 のための 論法はPartIと 同様である が，この時点ではnullformとresonan
ce formを同時に扱えず，部分的な結果にとどまっている．
以上の研究により，臨界非線形性をもつ連立波動方程式に対する時間大域解の存在定理を統一的な視点から述べることに成功した．よって著者は北海道大学博士（理学）の学位を授与される資格あるものと認める．