令和 4 年度

卒業論⽂

超伝導線材を⽤いた磁気浮上⼯具の性能向上及び電磁界解析

九州⼯業⼤学情報⼯学部
物理情報⼯学科 電⼦物理⼯学コース

学籍番号 192C3072

中塘 彩友美指導教員：⼩⽥部

荘司

⽬次
第1章

序論 .......................................................................................................................... 4

1.1 超伝導体 ....................................................................................................................... 4
1.1.1 超伝導体の歴史...................................................................................................... 4
1.1.2 第 I 種・第 II 種超伝導体 ....................................................................................... 5
1.1.3 磁束ピンニング...................................................................................................... 6
1.1.4 𝑛 値......................................................................................................................... 7
1.1.5 超伝導バルク ......................................................................................................... 8
1.1.6 超伝導線材 ............................................................................................................. 8
1.1.7 着磁 ........................................................................................................................ 9
1.1.8 超伝導体による永久磁⽯の浮上⼒ ...................................................................... 10
1.2 加⼯技術 ..................................................................................................................... 14
1.2.1 中空加⼯技術 ....................................................................................................... 14
1.2.2 磁気浮上⼯具(SUAM) ......................................................................................... 14
1.3 有限要素法(FEM) ...................................................................................................... 16
1.4 JMAG .......................................................................................................................... 18
1.5 𝐴-𝛷法.......................................................................................................................... 18
1.6 本研究の⽬的 .............................................................................................................. 20
第 2 章 FEM による解析 .................................................................................................... 21
2.1 解析⽅法 ..................................................................................................................... 21
2.1.1 モデル作成 ........................................................................................................... 21
2.1.2 メッシュ作成 ....................................................................................................... 24
2.2 磁気浮上⼯具の反発⼒計算 ........................................................................................ 24
第3章

結果および考察 ...................................................................................................... 25

3.1 解析結果 ..................................................................................................................... 25
3.1.1 円型モデルの反発⼒⽐較 ..................................................................................... 25
3.1.2 Alternate type と Parallel type の反発⼒⽐較 ....................................................... 27

1

第4章

結論 ........................................................................................................................ 28

参考⽂献................................................................................................................................ 29
研究実績................................................................................................................................ 30
謝辞 ....................................................................................................................................... 31

2

図⽬次
図 1.1

超伝導状態と常伝導状態の関係を表す相転移図 ............................................... 5

図 1.2 第 I 種超伝導体と第 II 種超伝導状態の相転移図 ............................................... 6
図 1.3

磁束ピンニング現象 ........................................................................................... 7

図 1.4𝑛モデルの𝐸-𝐽特性.............................................................................................. 8

図 1.5

Y 系超電導線材の構造........................................................................................ 9

図 1.6(a) 原点𝑂を中⼼に𝑥𝑦平⾯上に反時計回りに流れる半径𝑎の円電流𝐼と、円電流から⼗分に離れた点𝐏 (b) 円電流が中⼼軸上に作る磁束密度 ............................. 12
図 1.7

円筒座標系における点𝐏 ................................................................................... 12

図 1.8

電気双極⼦のつくる電界.................................................................................. 13

図 1.9 SUAM(SUperconductive Assisted Machine)の概要図 .................................... 15
図 1.10 永久磁⽯に取り付けられた研磨材 ................................................................. 15
図 1.11 実際の SUAM の稼働⾵景.............................................................................. 16
図 1.12 有限要素法の概念図 ....................................................................................... 18
図 2.1

JMAG を⽤いて作成した 5 つのモデル切断数を 0、4、8 個と変化させたモデルと 45°回転させたモデル............................................................................................... 22
図 2.2

作成した永久磁⽯の概要.................................................................................. 22

図 2.3

JMAG を⽤いて作成した Parallel type と Alternate type のモデル................. 23

図 2.4

GdBa1 Cu4 O67δ線材の𝐽8 -𝐵特性......................................................................... 23

図 2.5

磁気浮上⼯具の反発⼒計算の概要 ................................................................... 24

図 3.1

切断数(0, 4, 8)、⾓度(0°, 45°)変えた 5 つの円型モデルにおいて永久磁⽯を

着磁距離 10 mm から近づけた時の FEM による反発⼒の計算結果 ..................... 26
図 3.2 円型モデル 5 つの電流密度の⽐較..................................................................... 26
図 3.3

Alternate type と Parallel type のモデルにおいて、永久磁⽯を着磁距離 10 mmから近づけた時の FEM による反発⼒の計算結果................................................. 27

3

第 1 章 序論
1.1 超伝導体
1.1.1 超伝導体の歴史
1908 年、オランダの H. K. Onnes により、液化が最も難しいとされていたヘリウムの液化に成功し、様々な低温実験が可能となった。1900 年代では、低温下における導体の抵抗の変化について、オームの法則が続く・極低温で抵抗がゼロになる・極低温で電⼦さえも凍ることで抵抗が無限⼤になるなどの論点から、論争が⾏われており、1911 年、液体ヘリウム内で実験を⾏ったところ、他の⾦属に⽐べ純度の⾼い⽔銀の抵抗が 4 K 付近で突然ゼロになることを発⾒した[1]。以降、通常の導体異常に電気を通しやすい性質を持つ状態のこと
を超伝導状態、低温下で超伝導状態へ変化する物質を超伝導体という⼀⽅で、電気抵抗のある通常の電気伝導状態のことを常伝導状態という。超伝導体の特徴として、臨界温度以上の温度下では常伝導体と同じ電磁気的性質を⽰し、臨界温度以下では、電気抵抗がゼロかつ完
全反磁性を⽰すため、超伝導状態となる。1933 年には、ドイツの物理学者 F. W. Meissnerと R. Ochsenfeld によって、超伝導体には完全反磁性があることが発⾒された。完全反磁性
は Meissner 効果とも呼ばれ、超伝導体に外部磁場 𝐻; をかけても、超伝導体内に磁束が侵⼊できず、磁束密度𝐵をゼロのままにする特性のことである。超伝導体は、図 1.1 のように、ある温度や磁場の範囲内でそれらの特性を⽰し、超伝導状態となる最⼤の温度を臨界温度
𝑇= 、最⼤の磁場を𝐻= と呼ぶ。また、超伝導体はある⼀定の電流値を超えると電気抵抗が発⽣するため、電気抵抗がなく流せる最⼤の電流のことを臨界電流 𝐽= と呼ぶ。そのため、𝑇= 、
𝐻= 、𝐽= の範囲内では超伝導状態、範囲を超えると常伝導状態となる。以上より、超伝導体は、電気抵抗がゼロで完全反磁性である物質であり、この性質を利⽤し、⼤電流をエネルギーロ
スなしで通電できることが期待されたが、⻑い間決定的な理論が発⾒されなかった。
1957 年には、アメリカの J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer らによって超伝導の仕組みが解明された[2]。そのため、この理論は 3 ⼈の頭⽂字をとり、BCS 理論と呼ばれる。
BCS 理論では、超伝導体が超伝導状態になる臨界温度𝑇= が⽰されており、30 ‒ 40 K 程度と考えられていた[3]。
5 年後の 1962 年には、イギリスの B. D. Josephson により、薄い絶縁膜を挟んだ 2 つの超伝導体について、絶縁体層が極めて薄いとき、超伝導体間に直流の超伝導トンネル電流が流れることを発⾒した。これを Josephson 効果という。
さらに、1986 年には、ドイツの J. G. Bednorz とスイスの K. A. Müller によって、銅を含む酸化物として、𝑇= が 35 K であるLa17? Ba? CuO@などの La-Ba-Cu-O 系超伝導体が発⾒された。これにより、⾼温における超伝導体の発⾒が期待され、1987 年には、液体窒素の沸点である 77.3 K を超える 90 K で超伝導体となる Y 系超伝導体が発⾒された。1994 年には𝑇=4

図 1.1

超伝導状態と常伝導状態の関係を表す相転移図が 164 K のHgBa1 Ca1 CuO? の発⾒[4]、2008 年には銀系超伝導体が発⾒された。さらに、2015 年には単層膜において𝑇= が 100 K である超伝導体が記録されており[5]、また、H1 Sが⾼圧下において 203 K で超伝導状態になることが発⾒された。これにより、184 K の南極よりも⾼温超伝導体の臨界温度が⾼温であるため、冷却器を使わない研究が期待されている[6]。そして 2020 年には、炭素室硫⻩⽔素化物系の超伝導が 267 GPa という超⾼圧下で最⾼𝑇= : 287.7 K が記録された[7]。

1.1.2 第 I 種・第 II 種超伝導体
1.1.1 項では、超伝導体には電気抵抗がゼロ、完全反磁性があるという特徴を持つことを記述した。しかし、超伝導体は外部磁場𝐻; を⼤きくしていくと、超伝導状態が壊れ、完全反磁性ではなくなってしまい、磁束が内部に⼊り込み、常伝導状態になる。ここで、超伝導状
態が常伝導状態へ遷移するときの磁場を臨界磁場𝐻= といい、遷移する過程において、第 I 種
超伝導体と第 II 種超伝導体に分類される(図 1.2)。
第 I 種超伝導体は𝐻= 以上の𝐻; をかけると、完全反磁性が失われるため、常伝導体へ遷移する。⼀⽅、第 II 種超伝導体では、下部臨界磁場𝐻=D 以上の𝐻; をかけると、超伝導体状態が部分的に壊れ、磁束が⼀部侵⼊する超伝導状態と常伝導状態の 2 つが混ざった状態となる。

5

図 1.2 第 I 種超伝導体と第 II 種超伝導状態の相転移図
図２の第 II 種超伝導体のグラフより、
𝐻; が𝐻=D 以上、
上部臨界磁場𝐻=1未満の状態のことを、
混合状態または渦⽷状態と呼ぶ。𝐻; を⼤きくすると常伝導状態の範囲が増え、侵⼊する磁束が増える。𝐻; が上部臨界磁界𝐻=1 を超えると、超伝導状態は完全に壊れ、混合状態から常伝導状態へ状態が遷移する。以上より、第 I 種超伝導体と第 II 種超伝導体は、混合状態が存在するかどうかにより分類されている。

1.1.3 磁束ピンニング
第 II 種超伝導体の混合状態に磁場 𝑩 をかけると、混合状態の超伝導状態が⼀部壊れ、常伝導状態へ遷移した箇所へ磁束が侵⼊する。この状態で、超伝導体に電流を流すと、超伝導体に侵⼊した磁束線にローレンツ⼒𝑭G が働く(図 1.3)。𝑭G は、超伝導体に流れる電流密度を
𝑱 とおくと、𝑭G = 𝑱 × 𝑩と表される。このローレンツ⼒により、磁束が速度𝒗で運動をすると、電磁誘導により𝑬 = 𝑱 × 𝒗となる電圧𝑬が発⽣する。電圧が発⽣すると、損失の発⽣、つまり電気抵抗が存在することを⽰しており、この電気抵抗を防ぐためには、ローレンツ⼒に対抗して磁束の動きを妨げる必要がある。この磁束の運動を妨げる⼒をピンイング⼒と呼び、磁束の動きを⽌める作⽤のことを磁束ピンニングという。ピンニング⼒𝑭M は、𝑱= を超えない範囲で、𝑭G と等しくなり、最⼤で𝑭M = 𝑭G = 𝑱= 𝑩となる。したがって、𝑭M を強くすることで、𝑱= を向上させることができ、𝑭M を向上させるようなピンの形状や添加物を最適化する研究が進められている。
また、磁束ピンニングと完全反磁性を⽤いることで磁気浮上を⾏うことが可能となる。完
全反磁性によって磁⽯と超伝導体を反発させ、磁⽯を浮かし、磁束ピンニングによって永久磁⽯から発⽣する磁束を超伝導体内に固定することで磁⽯を空中に固定する。

6

図 1.3磁束ピンニング現象 混合状態である第 II 種超伝導体に電流密度 𝑱を流すと、超伝導体内へ侵⼊した磁束線にローレンツ⼒𝑭G が働き、抵抗が発⽣する。その抵抗を防ぐために𝑭G の動きを妨げるピンニング⼒𝑭Mが発⽣する

1.1.4 𝑛 値
第 II 種超伝導体の電界-電流密度(𝐸-𝐽)特性を図 1.4 に⽰す。グラフより、ゼロ抵抗の状態と抵抗が存在している状態の境界がなく、𝐸-𝐽特性が急速に⽴ち上がるような、強い⾮線形性を⽰している。このような第 II 種超伝導体内の電磁現象はべき乗則で考えられたモデル(𝑛モデル)があり、以下の式ように表される。
𝑬 ∝ 𝑱O(1.1)(1.1)式における指数𝑛は超伝導体の𝑛値と呼ばれ、第 II 種超伝導体の⾮線形性を⽰すパラメータとして⽤いられている[8]。𝑛 = 1のときは、超伝導状態とオームの法則を⽰す線形的な
⽴ち上がりとなる。𝑛値が⼤きい場合、わずかに電流値を減少させることで、発⽣電圧を⼤幅に抑えることができる。⼀⽅、𝑛値が⼩さい場合、臨界電流を多少上回る時でも緩やかな電圧の発⽣が⾒られる。

7

図 1.4𝑛モデルの𝐸-𝐽特性、H. Ueda, A. Ishiyama, 「低温⼯学」 J. Cryo. Super. Soc. Jpn,

『応⽤電磁気学：超電導機器応⽤のための電磁界数値解析 III ‒超電導特性と電磁界解析‒』48 巻 9 号 473 ⾴ より引⽤

1.1.5 超伝導バルク
超伝導バルクとは、超伝導体の塊のことであり、溶融凝固法によって作られる。バルクを磁場中で冷却し、磁束を補⾜させた後、磁場を取り除くことで強⼒な磁⼒を持つ磁⽯としての役割を果たすことができる。バルクは超伝導体の時期的側⾯を強く押し出し、磁束ピンニ
ングなどの磁気現象を利⽤する際に⽤いる。
現在、永久磁⽯において、最も⾼い磁場を持つものは Nb-Fe-B であり、最⼤発⽣磁場は1.5 T である。対し、超伝導バルクは、2003 年に YBCO バルクで 29 K の温度下において、永久磁⽯を上回る最⼤ 17 T の磁場補⾜が実現している[9]。
⾼磁場⽤超伝導磁⽯としての利⽤のほかに、超伝導バルクの応⽤利⽤例として、1.1.3 項で述べた磁束ピンニングを利⽤した磁気浮上を利⽤する⽅法もある。例として、⾮接触ペア
リングや電⼒貯蔵⽤フライホイール、超伝導ポンプ[10]などが挙げられる。

1.1.6 超伝導線材
超伝導線材は、保護層、超伝導層、中間層、⾦属基板、安定化層で構成されている(図 1.5)。
超伝導線材の中には、⾼温超伝導線材に分類されるものがあり、Bi 系や Y 系が代表的な 2つの⾼温超伝導線材として、⾼温超伝導ケーブルに使⽤される。
超伝導バルクと⽐較して、加⼯がしやすく、加⼯による性能劣化が少ないほか、𝐽= -𝐵特性が 100 倍ほど優れているという特徴を持つ。

8

図 1.5 Y 系超電導線材の構造、五⼗嵐光則 ほか「強磁場応⽤向けイットリウム系超電導線 材 」『 フ ジ ク ラ 技 報 』 (129), フ ジ ク ラ . 国 ⽴ 国 会 図 書 館 デ ジ タ ル コ レ ク シ ョ ン
https://dl.ndl.go.jp/pid/10206327 より引⽤

1.1.7 着磁磁性材料である超伝導体に外部磁場𝐻; を印加することで磁化し、超伝導体内部のピンニ
ング⼒により、磁束をピン⽌めさせる技術や操作のことを着磁という。着磁⽅法は、⼤きく
3 つ、磁場中冷却法(Field Cool Magnetization: FCM)、零磁場冷却法(Zero Field Cool
Magnetization: ZFCM)、パルス着磁法(Pulse-Field Magnetization: PFM)に分けることができる。
FCM は、材料の磁気特性を調べる際に使われる⽅法である。𝑇= 以上の温度において𝐻; を印加し、外部磁場を維持した状態で温度を臨界温度よりも低温領域まで冷やし、超伝導状態へ遷移させる。そして外部磁場を除去することで着磁を⾏う。これにより、超伝導体内に侵⼊した磁束に対し、その磁場が残るように超伝導体内に遮蔽電流が流れることで、磁束がピンニングされ、超伝導体に磁場が残るのである。材料の磁気遷移や磁気モーメントに関する情報が得られる⼀⽅で、磁気遷移の遅い材料の場合は時間がかかってしまったり、材料の不純物や⽋陥の影響を受けたりする可能性がある。
ZFCM では、磁場がゼロの状態で、超伝導状態に遷移させ、その後𝐻; を印加することで着磁を⾏う。この⽅法では、材料の磁気モーメントを温度の関数として測定し、得られた磁化曲線からは、温度依存性やその材料特有の磁気特性について知ることができる⼀⽅で、ノイズや熱ドリフト等の影響を受けてしまうことや、外部磁場の影響のデータが得られない可能性がある。そのため、固有の材料の磁気特性を調べる際は ZFCM が有効であるが、磁気特性に対する外部磁場の影響について調べたい時は FCM の⽅法が好まれる。
PFM では、材料の⾮常に⾼い磁場特性を調べる際に使われる⽅法である。材料の磁気モーメントがパルスを当てられた後、時間の関数として測定され、極端な条件下での磁気特性に関する情報を得ることができる。特に⾼温超伝導体を調べる際に使われる⽅法であり、幅広い材料で測定可能であるが、使⽤するには、専⽤器具と専⾨技術が必要であり、他の⽅法と⽐べ測定が難しく、また、材料において熱的損傷を引き起こす可能性がある。

9

以上より、作成したモデルに対する電磁界の解析を⾏う本研究では、FCM を採⽤しており、⾼い補⾜磁場を得られることから実験にも多く⽤いられている。

1.1.8 超伝導体による永久磁⽯の浮上⼒
超伝導体の磁気浮上実験では、⾼温超伝導体を液体窒素で冷却し、超伝導状態にしたのち、永久磁⽯を乗せることで磁⽯を浮上させる。これは、1.1.3 項で述べた磁束ピンニングにより、超伝導体内の磁束が固定されるからである。この浮上⼒の原理について述べていこうと思う。
まず、図 1.6(a)より、電気双極⼦に対応するものとして、微⼩円電流を考える。原点𝑂を中⼼に、半径𝑎の円電流𝐼が𝑥𝑦平⾯上に反時計回りに流れている。円電流から⼗分に離れた点 P(𝑟, 𝜃, 𝜑)での磁束密度𝑩について求めていく。
円電流がその中⼼軸に作る磁束密度𝐵V は(図 1.6)、Biot-Savart law より、真空の透磁率𝜇X 、
電流𝐼を⽤いて、𝐵V =𝜇X 𝐼𝑎 1
4

2(𝑎 1 + 𝑧 1 )1(1.2)

と表される。
そこで、まず円筒座標における点 P(𝑅, 𝜃, 𝜑)(図 1.6(b))での、ベクトルを求める。ベクト
ルポテンシャル𝑨は、𝑨=

𝜇X 𝒋
𝜇X 𝐼 d𝒍a d𝑣 =
a
4𝜋 d 𝑟
4𝜋 f 𝑟(1.3)

ここで、電流素⽚𝐼d𝒍は𝑥𝑦平⾯内にあるので、𝐴V (𝑅, 𝜑, 𝑧) = 0(1.4)

𝐴h (𝑅, 𝜑, 𝑧) = 0(1.5)

d𝒍 = acos (𝜑 − 𝜑′)d𝜑′(1.6)

また、円電流の対称性より、
ここで、図 1.7 より、三平⽅の定理と余弦定理を⽤いて、
𝑅n = o(PQ)1 + (SQ)1 = o(PQ)1 + {(OQ)1 +(0S)1 − 2(OQ)(OS) cos(𝜑 − 𝜑n )}1= o𝑧 1 + {𝑅1 + 𝑎 1 − 2𝑅𝑎cos(𝜑 − 𝜑n )}(1.7)と表される。ここで、𝜒 = 𝜑 − 𝜑n とおく。よって、𝑟 = 𝑅′より、
𝐴u (𝑅, 𝜑, 𝑧) =𝜇X 1v
𝑎cos𝜒d𝜒a
4𝜋 X o𝑧 1 + {𝑅1 + 𝑎 1 − 2𝑅𝑎cos𝜒}(1.8)

点 P は中⼼から⼗分離れていると考え(𝑟 ≫ 𝑎)、𝑧 1 + 𝑅1 = 𝑟 1より、(1.8)式の右辺の分⺟の部
分は、

10

D

o𝑧 1 + {𝑅1 + 𝑎 1 − 2𝑅𝑎cos𝜒} = 𝑟 7D x1 + y

7
1
𝑎 1 2𝑅𝑎1𝑅𝑎z − 1 cos𝜒{ ≅ x1 + 1 cos𝜒{
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟

(1.9)

よって、(1.9)式を(1.8)式へ代⼊すると、𝐴u (𝑅, 𝜑, 𝑧) ≅𝜇X 1v 1𝑅𝑎𝜇X 𝐼𝑎 1 𝑅ax1 + 1 cos𝜒{ 𝑎cos𝜒d𝜒 =4𝜋 X 𝑟𝑟
4 𝑟4(1.10)

ここで、𝑅 = 𝑟sin𝜃, 𝑟 = √𝑧 1 + 𝑅1 より、(1.10)式は𝐴u (𝑅, 𝜑, 𝑧) =𝜇X 𝐼𝑎 14

𝑅

(1.11)

4(𝑧 1 + 𝑅1 )1

よって、円筒座標系におけるベクトルポテンシャルは、(1.4)式、(1.5)式、(1.11)式より𝐴V (𝑅, 𝜑, 𝑧) = 𝐴h (𝑅, 𝜑, 𝑧) = 0
𝐴u (𝑅, 𝜑, 𝑧) =

𝜇X 𝐼𝑎
4

1

(1.12)

𝑅(1.13)

4(𝑧 1 + 𝑅1 )1と求めることができる。
次に磁束密度𝑩について𝑩 = rot 𝑨より、
𝐵h (𝑅, 𝜑, 𝑧) =1 𝜕𝐴V 𝜕𝐴u𝜇X 𝐼𝑎 1 𝑅 𝜕
−
=−
ƒ
𝑅 𝜕𝜑
𝜕𝑧
4 𝜕𝑧

𝑅

3

4 „ = 4 𝜇X 𝐼𝑎(𝑧 1 + 𝑅1 )1

𝑅𝑧

1

†

(𝑧 1 + 𝑅1 )1(1.14)

ここで、𝑅 = 𝑟sin𝜃, 𝑧 = 𝑟cos𝜃, 𝑟 = √𝑧 1 + 𝑅1 より、(1.14)式は
3
sin𝜃cos𝜃𝐵h (𝑅, 𝜑, 𝑧) = 𝜇X 𝐼𝑎 1
4
𝑟4

(1.15)となる。同様に𝐵u , 𝐵V についても求める。
𝐵u (𝑅, 𝜑, 𝑧) =𝐵V (𝑅, 𝜑, 𝑧) =𝜇X 𝐼𝑎 1=4

𝜕𝐴h 𝜕𝐴V
−
=0
𝜕𝑧
𝜕𝑅

1 𝜕
1 𝜕𝐴V 1𝜕(𝑅𝐴h ) −= 𝐴u +
𝐴
𝑅 𝜕𝑅
𝑅 𝜕𝜑
𝑅
𝜕𝑅 u

3𝜇X 𝐼𝑎 1
𝑅1
𝜇X 𝐼𝑎 1 1 3
sin1 𝜃
1
−
=
−
𝜇
𝐼𝑎
4
†
4
2 𝑟4 4 X
𝑟4(𝑧 1 + 𝑅1 )1(𝑧 1 + 𝑅1 )11(1.16)(1.17)

以上より、(1.15)式、(1.16)式、(1.17)式から極座標の磁束密度を求める。
1
cos𝜃 𝜇X 2(𝐼𝜋𝑎 1 )cos𝜃𝐵‡ (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝐵V cos𝜃 + 𝐵h sin𝜃 = 𝜇X 𝐼𝑎 1 4 =
2
𝑟
4𝜋
𝑟4
𝐵ˆ (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝐵h 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐵V 𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝜇X (𝐼𝜋𝑎 1 )sin𝜃
4𝜋
𝑟4𝐵u (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝐵u (𝑅, 𝜃, 𝜑) = 0(1.18)(1.19)(1.20)

ここで、𝜃 = 0とおくと、𝐵‡ (𝑟, 𝜃, 𝜑) =𝜇X 𝐼𝑎 1
4

2(𝑟 1 )1

(1.21)と表される。
Biot-Savart law より求まる(1.2)式と⽐較すると、(1.21)式はおおよそ⼀致する。

11

図 1.6(a) 原点𝑂を中⼼に𝑥𝑦平⾯上に反時計回りに流れる半径𝑎の円電流𝐼と、円電流から⼗分に離れた点𝐏 (b) 円電流が中⼼軸上に作る磁束密度

図 1.7

円筒座標系における点𝐏

12

図 1.8

電気双極⼦のつくる電界

次に、電気双極⼦の作る電場𝑬(図 1.8)について、以下の(1.22)式、(1.23)式と表すことがで
きる。
𝐸‡ =

1 2𝑝cos𝜃
4𝜋𝜀X 𝑟 4(1.22)

1 𝑝𝑠in𝜃4𝜋𝜀X 𝑟 4(1.23)

𝒑 = 𝑞𝒅

(1.24)𝐸ˆ =ここで、電気双極⼦モーメント𝒑は、と表される。電場𝑬の(1.22)式と磁束密度𝑩の(1.21)式を⽐較すると、磁気モーメント𝒎は、
𝒎 = 𝐼(𝜋𝑎 1 )𝒊V = 𝐼𝑺

(1.25)と求めることができる[11]。
次に浮上⼒と磁化と磁気モーメントの関係について述べていく。磁化とは、単位体積あたりの磁気モーメントである。超伝導において、物体内部での電流は無く、物体表⾯にのみ電流が流れるため、この表⾯に流れる電流を体積𝑉で平均したもの磁化をとして扱う。磁化を𝑴とし、磁束密度𝑩、磁場𝑯、真空の透磁率𝜇X とし、デルタ関数的に磁束が⼊り込んでいるとすると、𝑩 = 𝜇X (𝑯 + 𝑴) = 0
𝑴=𝒎𝑉(1.26)(1.27)のように表される。また、磁化と磁場の強さの⽐である磁化率χについて、磁化𝑴が磁場𝑯に⽐例するとき、13

𝑴 𝜇X 𝑴=𝑯
𝑩

(1.28)

𝜇X 𝒎 𝜇X 𝐼𝑺
=
𝑩 𝑉
𝑩 𝑉

(1.29)

χ=と表され、(1.25)式と(1.27)式より、
χ=と変形することができる。また、磁化は(1.28)式より
1
𝝌𝑩𝜇X

𝑴 = χ𝑯 =(1.30)と表すことができる。(1.30)式より、𝑴は磁束密度𝑩に⽐例することがわかる。磁性体の場
合、外部磁場の鉛直⽅向に𝑴が⽣じる。磁束密度𝑩がゼロからある値𝐵X まで増加した時の磁気エネルギー密度𝐸š の式は、
›œ𝐸š = − a 𝑩 d𝑴 =
X

1
𝝌𝐵 1
2𝜇X X

(1.31)

この時、磁性体が受ける⾯ベクトル⽅向の⼒すなわち単位体積あたりの反発⼒(浮上⼒) 𝐹は、
𝐹 = −grad 𝐸š =

1
d𝐵X
𝝌𝐵X
𝜇X
d𝑧

(1.32)

より求めることができる[12]。(1.32)式より、反発⼒は磁束密度に⽐例する。よって、磁気モーメント𝒎の(1.25)式、(1.29)式、(1.32)式より、超伝導体による単位体積あたりの浮上
⼒は𝐹=

1 𝜇X 𝐼𝑺 d𝐵X 𝐼𝑺 d𝐵X𝐵=
𝜇X 𝑩 𝑉 X d𝑧
𝑉 d𝑧

(1.33)と求まり、浮上⼒は電流と電流の流れる⾯積に影響を受ける。すなわち、より良い浮上⼒を得るには、磁気モーメントを構成する電流、⾯積の性能をあげれば良いことがわかる。

1.2 加⼯技術
1.2.1 中空加⼯技術
中空加⼯技術とは、内部に空洞が残るように加⼯する技術のことである。既存の技術として、成型加⼯の際に複雑な形状のものを作成するには 3D プリンター、成型後の加⼯として
は、旋盤加⼯が挙げられる。しかし、どちらも⼯具が⼊り込めない内部の研磨加⼯などを⾏うことは難しく、また、成型にかかる時間が⻑いという問題がある。

1.2.2 磁気浮上⼯具(SUAM)
1.2.1 項で記述したように、中空加⼯技術の現状として、加⼯が簡単であることに加え、

14短時間で複雑な形状に対応ができる技術が求められている。そこで、超伝導体の磁束ピンニ
ングを利⽤し、磁性体を浮上させることで、対象物の研磨を⾏う磁気浮上⼯具
SUAM(SUperconductive Assisted Machine)が提案されている。
この装置は図 1.9 より、永久磁⽯と超伝導体からなっており、研磨加⼯の流れとして、まず、超伝導体の上に永久磁⽯を任意の⾼さに配置し、液体窒素を流し⼊れ冷却する。これにより、永久磁⽯から発⽣する磁束線を超伝導体が補⾜し、磁束ピンニングを利⽤して永久磁⽯を浮上させ、固定することができる。浮上している永久磁⽯を加⼯対象物内に侵⼊させ、次に超伝導体を回転させることで、永久磁⽯を追従回転させる。そして、超伝導体を研磨したい⽅向へ動かし、回転している永久磁⽯を加⼯対象に押し付け、研磨を⾏うことできる。
このとき永久磁⽯が研磨する⽅向に図 1.10 のように研磨材を貼っている。実際に鈴⽊研究室にある SUAM の装置を図 1.11 に⽰す。

図 1.9 SUAM(SUperconductive Assisted Machine)の概要図

図 1.10 永久磁⽯に取り付けられた研磨材

15

図 1.11 実際の SUAM の稼働⾵景

1.3 有限要素法(FEM)
有限要素法(FEM: Finite Element Method)とは、モデルや領域を⼩さな要素に分割し、⼒のつり合いやひずみなどから解析的に解くことの難しい微分⽅程式の近似解を導く⼿法である。円柱や平板といった単純な形状のものだけでなく、複雑な形状のものの解析に⽤いら
れ、簡易的な三⾓形のような要素に物体を分割し、それぞれの要素で⽅程式を⽤いて近似表
現を⾏う(図 1.12)。
領域を簡易的な三⾓形の平⾯であるとし、要素は 3 つの辺と頂点(節点)で構成される。いずれ、もしくはすべての節点に外⼒が発⽣し、要素が変形したとすると、すべての要素に座標によって値が異なる空間の関数であるひずみ{𝜺}が発⽣する。同時に、空間の関数である
応⼒{𝝈}も要素内で⽣じる。この⼆つはあるマトリックス[𝑫]により関連づけられ、{𝝈} = {𝜺}[𝑫](1.34)と表される。ここで、ひずみエネルギー𝐸£ は応⼒ベクトル{𝝈}とひずみベクトル{𝜺}の内積を要素内で体積積分することで求めることができるため、以下の式のようになる。
𝐸£ =1
a {𝝈}¤ {𝜺}d𝑉
2 d(1.35)(1.34)式を(1.35)式へ代⼊すると、
1
1𝐸¥ = a ([𝑫]{𝜺})¤ {𝜺}d𝑉 = a {𝜺}¤ [𝑫]¤ {𝜺}d𝑉2 d2 d(1.36)

ここで、ひずみベクトル{𝜺}が節点変異ベクトル{𝒖}、そしてあるマトリックス[𝑩]を使って、{𝜺} = [𝑩]{𝒖}(1.37)のようにかけるとすると、{𝜺}は{𝒖}であるといえる。(1.36)式を(1.37)式へ代⼊すると、

16

1
1
𝐸¥ = a ([𝑩]{𝒖})¤ [𝑫]¤ {𝒖}d𝑉 = a {𝒖}¤ [𝑩]¤ [𝑫]¤ [𝑩]{𝒖}d𝑉
2 d
2 d
1
= {𝒖}¤ §a [𝑩]¤ [𝑫]¤ [𝑩]d𝑉¨ {𝑢}2d(1.38)のように変形できる。
⼀⽅で、外⼒は節点飲みに与えられており、外⼒が要素にする仕事、すなわち外部エネル
ギー𝐸; は、それぞれの節点の変異成分を並べた節点変異ベクトル{𝒖}と節点に作⽤する外⼒成分を並べた節点外⼒ベクトル{𝒇}の内積により計算できる。
𝐸; = {𝒖}¤ {𝒇}(1.39)

要素が外⼒により変形し、静的につり合っている時、内部エネルギーと外部エネルギーが等しいと考えて良い。
𝐸¥ = 𝐸;(1.40)

しかし、(1.40)式は常に成⽴するわけではないため、内部エネルギーと外部エネルギーの差𝛱を考える。
𝛱 = 𝐸¥ − 𝐸; =1{𝒖}¤ §a [𝑩]¤ [𝑫]¤ [𝑩]d𝑉¨ {𝒖} − {𝒖}¤ {𝒇}2d(1.41)

この差𝛱が最⼩、すなわち 0 であるとき、エネルギーがつり合っている状態であるため、
𝛱の最⼩値を求めるには、(1.41)式を節点変位{𝑢}で微分する。
𝜕𝛱
𝜕 1𝜕({𝒖}¤ {𝒇})=¬ {𝒖}¤ §a [𝑩]¤ [𝑫]¤ [𝑩]d𝑉¨ {𝒖}- −𝜕{𝒖} 𝜕𝒖 2𝜕𝒖d(1.42)(1.42)式は{𝒖}の全ての成分𝒖𝒊 微分し、{𝒖}が𝑛個の成分からなるとすると、𝑛元の偏微分⽅程式を解くこととなる。𝑛元の連⽴⽅程式を解くこと、
a [𝑩]¤ [𝑫]¤ [𝑩]d𝑉{𝒖} − {𝒇} = 0(1.43)dが得られる。ここで[𝑲¯ ] = a [𝑩]¤ [𝑫]¤ [𝑩]d𝑉{𝒖}(1.44)[𝑲¯ ]{𝒖} − {𝒇} = 0(1.45)dとおくと、(1.43)式は、のように表すことができる。(1.45)式について、⼀つの要素において、節点変位{𝒖}と荷重{𝒇}の関係を表す基本式である。[𝑲¯ ]は要素剛性マトリックスといい、FEM では、各要素の合成マトリックスをまとめて、⼀つの⼤きなマトリックス、すなわち全体剛性マトリックス[𝑲]とし、⾏列⽅程式を作成して解くことで、解を求める。全体剛性マトリックス[𝑲]を⽤い
た FEM の式は全体変位ベクトル[𝑼]と、全体荷重ベクトル{𝑭}を⽤いて、以下のように表すことができる[13]。
[𝑲][𝑼] − {𝑭} = 017(1.46)

図 1.12 有限要素法の概念図

1.4 JMAGJMAG は JSOL が開発した電気機器設計のためのシミュレーションツールであり、電磁界、熱、構造解析など様々な結果分析機能が搭載されている[14]。コンセプトとして、
「⾼
い分析⼒」
、
「⾼速計算」、「⾼い⽣産性」、「オープンインターフェース」の 4 つから成り⽴っている。

1.5 𝐴-𝛷法
渦電流問題を⾼速に解く⽅法として、磁気ポテンシャル𝑨と電気スカラポテンシャル𝝓を未知数として解くベクトルポテンシャル法(𝐴-𝛷法)がある。
磁束密度𝑩は、磁気ポテンシャル𝑨を⽤いると、
𝑩=∇×𝑨(1.47)∇ × 𝑬 = 𝑩̇ = 0(1.48)∇ × 𝑬 = −𝑩̇ = −∇ × 𝑨(1.49)と表せる。これを Maxwell ⽅程式に代⼊すると、と表すことができる。すなわち、(1.50)∇ × ´𝑬 + 𝑨̇µ = 0と表される。ここで𝑬は電場の強度，𝑩̇は𝜕𝑩⁄𝜕𝑡 である。任意のスカラー関数𝜙について、∇ × ∇𝜙 = 0であるため、𝑬は
𝑬 = −𝑨̇ − ∇𝜙

(1.51)と表せる。
次に透磁率𝜇、電気伝導率𝜎の導体中の磁場を𝑯、電流密度を𝑱とすると、∇ × 𝑯に関する Maxwell ⽅程式は
∇ × 𝑯 = 𝑫̇ + 𝑱 = 0(1.52)

であるが、周波数が極めて低い場合を考えるので電束密度𝑫の時間微分は無視できると考え、

18

∇×𝑯=𝑱(1.53)となる。式(1.36)に、式(1.43)及び関係式∇∙𝑱=0(1.54)

1𝑩
𝜇(1.55)

𝑱 = σ𝑬(1.56)∇ × 𝑯 = ∇ × § ∇ × 𝑨¨

1
𝜇(1.57)∇ ∙ 𝑱 = ∇ ∙ σ𝑬 = −σ∇ ∙ ´∇𝜙 + 𝑨̇µ = 0(1.58)

𝑯=を代⼊すると、となる。任意のベクトル𝑨において∇ × ∇ × 𝑨 = ∇(∇ ∙ 𝑨) − ∇1 𝑨

(1.59)

が成り⽴つ。これにクーロンゲージ条件(∇ ∙ 𝑨 = 0) を代⼊すると、∇ × ∇ × 𝑨 = −∇1 𝑨(1.60)となる。式(1.42)、式(1.43) に代⼊すると、

1 2∇ 𝑨 = σ(𝑨̇ + ∇Φ̇ )𝜇(1.61)となる。ここで𝜙 = Φ̇と定義し、式(1.59)、式(1.61)にそれぞれ代⼊すると、

1 2∇ 𝑨 = σ(𝑨̇ + ∇Φ̇ )𝜇(1.62)∇ ∙ σ´𝑨̇ + ∇Φ̇µ = 0(1.63)となり、これらが導体中の⽀配⽅程式である。
次に、空気領域において𝑱¯ を外部電流密度とすると磁場𝑯を⽤いて、Maxwell ⽅程式より∇ × 𝑯 = 𝑱¯
D

D

œ

œ

(1.64)と表される。𝑯 = ½ 𝑩 = ½ ∇ × 𝑨(𝜇X は真空中の透磁率)と Maxwell ⽅程式より、

1∇ × ∇ × 𝑨 = 𝑱𝑒𝑥𝜇(1.65)となる。よって空気領域における⽀配⽅程式は、

1 2∇ 𝑨 = −𝑱𝑒𝑥𝜇(1.66)となる。⽀配⽅程式を空間で離散化するとき誤差が⽣じる。導体中の⽀配⽅程式では、

1 2∇ 𝑨 − σ(𝑨̇ + ∇Φ̇ ) = 𝛿𝑥𝜇19(1.67)

となり、𝛿𝑥が誤差を表している。有限要素法では、左辺の微分⽅程式と右辺の誤差に重み𝛿𝑤をかけて体積積分したものをゼロと考えることにより、誤差𝛿𝑥を考慮しなくてもよいよ
うにしている。

1𝜇a 𝛿𝑥 ∙ Á ∇1 𝑨 − σ´𝑨̇ + ∇Φ̇µÂ 𝑑𝑉 = a 𝛿𝑤 ∙ 𝛿𝑤 𝑑𝑉
d(1.68)

𝑉

𝐴-𝛷法の有限要素法では、重み𝛿𝑤を A の各成分の微⼩変化を𝛿𝑤 = (𝛿𝐴? , 𝛿𝐴Ä , 𝛿𝐴V )(1.69)とする。
他の⽀配⽅程式についても同様の操作を⾏う。

1.6 本研究の⽬的
多くの機械の進歩に伴い、その機械を構成する部品の複雑化が進んでいる。また、SDGsの課題でもある地球温暖化やエネルギー問題への対策に向けて、加⼯技術では軽量化、加⼯時間短縮における消費電⼒の抑制などが求められている。
こ れ ら の 問 題 解 決 の ⼿ 段 の ⼀ つ と し て 、 1.2.2 項 で 記 述 し た 磁 気 浮 上 ⼯ 具
SUAM(SUperconducting Assisted Machine)が提案されている。この装置は、超伝導体の磁束ピンイングを利⽤し、磁⽯を浮上させ、空中で固定する。その後、超伝導体を回転させる
ことで磁⽯が追従回転し、対象物の研磨加⼯を⾏う。SUAM を⽤いることで、対象物と加⼯部品の⼯具⼲渉の⼼配がなくなるだけでなく、加⼯部品⾃体が浮いているため、対象物の内部の研磨加⼯も可能となる。実験では、超伝導バルクを⽤いた SUAM で、6 mmの浮上で約 20 N の反発⼒の測定に成功しており、研磨加⼯を⾏うことができている。また、現在、超伝導体の研究が進んだことにより、超伝導体の線材化が進み、超伝導バルクとの互換性について注⽬されている。そこで、現在、SUAM に使⽤されている超伝導バルクを線材に変更した際、磁気浮上に必要な永久磁⽯を浮上させる⼒、すなわち反発⼒の性能評価をする必要がある。
また、磁気浮上⼒について、1.1.8 項で述べたように、(1.25)式より、磁気モーメント𝒎は電流と電流の流れる⾯積の積であり、磁気浮上⼒を⽰す(1.33)式では磁気モーメントに依存しているため、本研究では、作成した超伝導線材モデルにおいて、⾯積全体に電流が⼗分に流れることが求められる。そのため、磁気モーメントの性能を上げることで、より良いモデ
ルの作成を⽬指した。
以上より、本研究では、超伝導バルクに⽐べ、𝐽= -𝐵特性が⾼く、加⼯がしやすい超伝導線材を⽤いてモデルを作成し、超伝導バルクを⽤いた際と同じ、もしくはそれ以上の性能が出せるか有限要素法(FEM)による解析を⾏ない、反発⼒の結果の評価と電流密度分布のベク
トルプロットより、モデルの違いによる結果の⽐較を磁気モーメントの観点から⾏った。

20

第 2 章 FEM による解析
2.1 解析⽅法
本解析では、JMAG-Designer20.0 を⽤いて電気特性のシミュレーションを⾏った。

2.1.1 モデル作成
現在、九州⼯業⼤学⼤学院情報⼯学研究院知的システム⼯学研究系鈴⽊恵友研究室にて磁気浮上⼯具(SUAM)の実験が⾏われている。本研究では、鈴⽊恵友研究室の装置・実験環
境を基にモデルを作成し、解析を⾏なった。超伝導線材については株式会社フジクラにて開発が⾏われている Y 系超伝導線材(GdBa1 Cu4 O67Ç)を基にした。
本研究では 2 つの項⽬に分けてモデルを作成し、加⼯物の浮上を安定させる反発⼒に重点を置き、解析をおこなった。
まず 1 つ⽬について、超伝導線材を永久磁⽯の形に合わせた円型モデルを作成した(図 2.1)。
ここでの超伝導線材のサイズは内径、外径共に磁⽯と同じ⼤きさであり、厚さは 10 µmに設定した。ここで、切断数と切断した際にできる隙間が磁⽯の NS 境界線上にあるか否かによる影響を⾒るため、図 2.1 に⽰すように、切断数が０個、4 個、8 個のものと、モデルを 45°回転させたものをそれぞれ作成した。永久磁⽯は、図 2.2 に⽰すように、リング型 4 極ネオジム磁⽯で、厚さ 10 mm、内径 20 mm、外径 59 mm、磁⽯の磁束密度が 450 mTのものを⽤いた。
2 つ⽬について、1 つ⽬のモデルは、現実的に幅の広く、厚い線材がないことから、現時点で実現不可能であるため、実際に鈴⽊恵友研究室で使⽤している⻑尺線材の幅のサイズを基に作成をおこなった。線材のサイズは⻑さ 72 mm、幅 12 mm、厚さ2 µm に設定した。
1 層に 6 枚使⽤し(図 2.3 内上)、2 通りのモデルを製作した。超伝導線材を 6 枚正⽅形の形
で 1 枚の平⾯を作り、それぞれ、平⾏に 5 層 100 µm 間隔で積み上げたものを Parallel type(図2.3 内左下)、互い違いに積み上げたものを Alternate type(図 2.3 内右下)とした。ここで100 µm 間隔について、1.1.6 項で述べたように超伝導線材は保護層、超伝導層、中間層、⾦属基盤、安定化層の 5 つの層で構成されている。その中の超伝導層の厚さは 2 µm であるため、これらの層と積層する際に⽣じる隙間を考慮し、100 µm 空けて積層モデルを作成している。永久磁⽯についても実際に実験で使⽤しているサイズを設定し、1 つ⽬のモデルで使⽤した磁⽯の内径が9.5 mmのものを⽤いた。
また、モデル作成において、計算の簡易化するため、SUAM に最低限必要である永久磁⽯、超伝導線材、周りの空気の 3 要素のみで構成となっており、GdBa1Cu4 O67Ç 線材の特性は
図 2.4 の 𝐽= -𝐵 特性の実験値を使⽤した[15]。

21図 2.1JMAG を⽤いて作成した 5 つのモデル切断数を 0、4、8 個と変化させたモデルと45°回転させたモデル

10 mm

29.5 mm
10 mm
図 2.2

作成した永久磁⽯の概要

22

Alternate type

Parallel type

図 2.3

JMAG を⽤いて作成した Parallel type と Alternate type のモデル

超伝導線材を 6 枚つなぎ合わせ、5 層分平⾏に積層した Parallel type のモデルと互い違いに積層した Alternate type のモデル

GdBCO

図 2.4

GdBa1 Cu4 O67Ç 線材の𝐽= -𝐵特性[15]232.1.2 メッシュ作成
JMAG-Designer では、対象物について 1.3 項で記述した有限要素法(FEM)を⽤いて解析を⾏う。そのため、メッシュは細かい⽅がより正確な解析を⾏うことができる。本研究では、
超伝導線材による永久磁⽯の磁気浮上⼒の解析を⾏うことを⽬的としているため、永久磁
⽯は 3 mm、超伝導線材は 1 mm とした。

2.2 磁気浮上⼯具の反発⼒計算
1.1.3 項で述べたように、永久磁⽯に超伝導線材を着磁し、永久磁⽯に近づけると、磁束ピンニングにより、永久磁⽯の運動に対して反対⽅向にピン⼒が働き、永久磁⽯の位置を元に戻そうとする。これにより、ピン⼒を利⽤して永久磁⽯が浮上する。本研究では、この浮上する⼒を反発⼒として解析した。反発⼒計算の概要を図 2.5 に⽰す。超伝導線材の上部に永久磁⽯を配置し、初期着磁距離を 10 mm と設定して着磁する。その後、永久磁⽯を0.001 mm/s で超伝導体に近づけ、永久磁⽯と超伝導体の距離が 1 mm になるまで計算を⾏
った。

図 2.5

磁気浮上⼯具の反発⼒計算の概要

24

第 3 章 結果および考察
3.1 解析結果
3.1.1 円型モデルの反発⼒⽐較
磁気浮上⼯具の切断数と⾓度を変えた円型モデル 5 つの反発⼒計算の結果を図 3.1 に⽰す。横軸は永久磁⽯と超伝導線材間の距離を⽰しており、縦軸は永久磁⽯に働く反発⼒を表している。また、グラフ横の 5 つのモデルの図について、反発⼒の⼤きい⽅から上から順に⽰している。5 つのモデル全てにおいて、永久磁⽯と超伝導線材間の距離が近くなるにつれて、反発⼒が⼤きくなっている。初期着時位置すなわち距離 10 mm の時、永久磁⽯による磁束の変化は起こらないため、ピン⼒が発⽣しない、つまり反発⼒はほぼゼロである。そして、永久磁⽯が超伝導線材に近づく程、超伝導線材に侵⼊する磁束が増加する。この磁束の侵⼊を妨げようとするピンニング⼒が永久磁⽯を元の位置に戻そうと反発するため、距離が近くなるほど反発⼒は⼤きくなると考えられる。また、最も切断数の少ないモデルの結果
がよく、順に、永久磁⽯の NS 境界線上に超伝導線材の切断線が来ているものでかつ切断数が 4 個、8 個、NS 境界線から超伝導線材の切断線が 45°ずれているもので切断数が 4 個、8 個と反発⼒の⼤きさが⼩さくなっていった。この結果より、切断数はなるべく少ない⽅が良く、永久磁⽯の NS 境界線上に線材の切断線がくる影響は、切断数の多さよりも⼩さいことがわかる。
そこで、切断数と⾓度の影響を⾒るために、それぞれのモデルにおいて永久磁⽯と超伝導線材を 1 mm まで近づけた際に超伝導線材に流れる電流密度のベクトルプロットを⽐較した。以下の図 3.2 に⽐較したものを⽰す。5 つのモデルは全て、永久磁⽯と超伝導線材の間の距離が 1 mm で、超伝導線材に流れる電流の電流密度のベクトルプロットを⽰しており、左上から右上へ、そして左下から右下へ反発⼒の⼤きい順で⽰している。また、永久磁⽯との NS 境界線と切断線の⽐較のため、右に永久磁⽯のモデルを⽰している。5 つのモデルの反発⼒の違いは遮蔽電流による影響であると考えられ、以下の図 3.2 より、超伝導線材に流れる電流は永久磁⽯の NS 境界線で 2 つに分断されていることがわかる。⼤きい反発⼒のためには、1.1.8 項の(1.33)式より、磁気モーメント𝒎が⼤きく関係しており、電流𝐼、⾯積
𝑺より、(1.25)式より𝒎 = 𝐼𝑺が成り⽴った。そのため、切断数が 0 のモデルでは電流が途切れることなく最⼤限電流が流れることができた⼀⽅、磁⽯の NS 極と線材の隙間がずれてしまったものは、⾯積⼀杯に電流が流れきれず、⼗分な磁束が得られなかったことが要因であると考えられる。
以上より、切断数が 0 のモデルが最も⼤きい磁気モーメント、すなわち反発⼒を得ることができ、次に電流が流れる⾯積が⼤きさに反発⼒の⼤きさが影響されたと考えられる。

25

20

8

Repulsive force (N)

t
cu

t)
cu
o
(n
e
el
gle glgleodnan e an
e
rm ea
re re
ula greeg eg
rc
Ci 0-de t 0-d 45-d
cu cut
4

4

10

8

0
0

cu
t4
5de
gr
ee

an
gle

5

10

Distance (mm)
図 3.1 切断数(0, 4, 8)、⾓度(0°, 45°)変えた 5 つの円型モデルにおいて永久磁⽯を着磁距
離 10 mm から近づけた時の FEM による反発⼒の計算結果

図 3.2 円型モデル 5 つの電流密度の⽐較

26

3.1.2 Alternate type と Parallel type の反発⼒⽐較
磁気浮上⼯具の Alternate type と Parallel type のモデルの反発⼒計算の結果を図 3.3 に⽰す。図 3.1 と同様、横軸は永久磁⽯と超伝導線材間の距離を⽰しており、縦軸は永久磁⽯に働く反発⼒を表している。また、Alternate type のモデルの図をグラフの右上に、Parallel
type のモデルをグラフの右下に⽰した。グラフより、両モデル、永久磁⽯と超伝導線材間の距離が近くなるにつれて、反発⼒が⼤きくないるが、わずかながら Alternate type の⽅が、反発⼒が⼤きいことがわかる。この⼆つのモデルの違いとして、Alternate type では、線材
同⼠の隙間の⾯積が0.25 mm1であるのに対し、Parallel type では、36 mm1 と、35.75 mm1の差があった。そのため 3.1.1 項でも述べた 1.1.8 項の(1.25)式の𝒎 = 𝐼𝑺において、Parallel
Type と、Alternate type とでは、線材同⼠の隙間の少ない Alternate type の⽅が、⾯積𝑺が⼤きくなり、より反発⼒が得られたと考えられる。

Repulsive force (N)20

Alternate type10

Parallel type

0
0

図 3.3

5
Distance (mm)10Alternate type と Parallel type のモデルにおいて、永久磁⽯を着磁距離 10 mm から近づけた時の有限要素法(FEM)による反発⼒の計算結果

27

第 4 章 結論
多くの機械の進歩に伴い、その機械を構成する部品の複雑化が進んでいる。また、SDGsの課題でもある地球温暖化やエネルギー問題への対策に向けて、加⼯技術の中でも、内部加⼯を⾏う中空加⼯技術では、軽量化、加⼯時間短縮における消費電⼒の抑制などが求められている。これらの問題解決の⼿段の⼀つとして、加⼯物を浮上させ、加⼯を空中で⾏う磁気浮上⼯具(SUAM)が提案されている。SUAM を⽤いることで、対象物と加⼯部品の⼯具⼲渉の⼼配がなくなるだけでなく、加⼯部品が浮いているため、対象物の内部の研磨加⼯も可能となる。超伝導バルクを⽤いた SUAM のさらなる性能向上を⽬指すため、𝐽= -𝐵特性が⾼く、加⼯がしやすい超伝導線材を⽤いてモデル作成を⾏い、加⼯物の浮上を安定させる反発⼒の解析を⾏なった。
本研究では、JMAG-Designer 20.0 を⽤いてモデルを作成し、SUAM に働く反発⼒について、有限要素法(FEM)を⽤いて𝐴-𝛷法を解くことで解析を⾏い、その評価を⾏った。解析では、永久磁⽯を超伝導線材に近づけた際に⽣じる反発⼒について計算し、より性能の良いモ
デル作成を⽬指した。SUAM では加⼯物を⽤いて研磨する際、安定して浮上させる必要があるため、反発⼒が重要となる。1 つ⽬の円型モデルでは、切断数のないモデルが最も⼤きい反発⼒を得ることができ、次に切断数が少ないもの、磁⽯の NS 境界線上に切断線が重なるものが良い結果となった。しかし、現状では幅の広い線材を⼊⼿することは困難であるため、実際の⻑尺超伝導線材で作成可能な 2 つ⽬のモデル、線材を互い違いに 5 層積層した
Alternate type と平⾏に積層した Parallel type の反発⼒を⽐較した。反発⼒の差はわずかだったものの、線材同⼠の隙間の少ない Alternate type の⽅が、反発⼒が⼤きい結果を得ることができた。
よって、1.1.8 項(1.25)式の磁気モーメント𝒎 = 𝐼𝑺に基づき、モデルを作成する際は⾯積を⼤きくするために、切断数をなるべく減らし、電流が流れる⾯積を⼩さくしないよう切断
線は磁⽯の NS 境界線上に来るよう配置するとより良い結果が得られることがわかった。加
えて、線材同⼠の隙間による損失を減らすために、Alternate type のように積層するとわず
かながら反発⼒の⼤きい結果が得られる。また、今後幅の広い線材が⼊⼿できるようになれ
ば、理想型としていた円型モデルを作れる可能性があるため、さらなる性能向上を望むことができると考える。

28

参考⽂献
[1] 村上雅⼈ (2003)，「超伝導 Web21」, 国際超電導産業技術研究センター, 『やさしい超伝導のおはなし（その 1）』4 ⽉号 1〜3 ⾴<http://www.istec.or.jp/web21/series/2003-murakami.pdf>[2] J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 108 (1957) pp. 1175‒1204[3] 村上, 前掲記事, pp. 12[4] J. Ge, Z. Liu, C. Liu, C. Gao, D. Qian, K. Xue, Y. Liu and F. Jia, Nature Materials 14(2015) pp. 285‒289[5] A. P. Drozdov, M. I. Eremets, I. A. Troyan, V. Ksenofotov and S. I. Shylin, Nature 525(2015) pp. 73‒75[6] Colin Barras, 「Warmest ever superconductor works at Antarctic temperatures」, 『NewScientist』<https://www.newscientist.com/article/dn28058-warmest-ever-superconductor-works-atantarctic-temperatures/>[7] Snider, E. et al. Nature 586(2020) 373‒377.
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YouTube, 2020.1.10, <https://youtu.be/Y2Cl_jly9eM>[12] 本河光博, 北村直之(2000), 「磁気浮上による無容器溶融」, 『⽇本マイクログラビテ
ィ応⽤学会誌』Vol. 17 No. 3, pp. 205[13] ⽯川博幸, ⻘⽊伸輔, ⽇⽐学(2014), 『解析塾秘伝 有限要素法の作り⽅！』, ⽇刊⼯業新聞社[14] JMAG Simulation Technology for Electromechanical Design, 「JMAG とは」<https://www.jmag-international.com/jp/products/>[15] M. Inoue, K. Tanaka, K. Imamura, K. Higashikawa, S. Awaji, K. Watanabe, T. Taneda,
M. Yoshizumi, T. Izumi, T. Kiss, Physics Procedia 67(2015) 903-907

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研究実績
国内学会
A. Nakato, S. Iwasaki, H. Ishii, E.S. Otabe, K. Matuo, K. Suzuki, The 7th Asian Applied
Physics Conference (Asian-APC), November 26 ‒ 27, 2022, Oita University, Dannoharu
Campus30

謝辞
本研究を進めるにあたり、指導教員として終始多⼤なご指導を賜った、九州⼯業⼤学⼤学
院

情報⼯学研究院

物理情報⼯学研究系

エレクトロニクス分野、⼩⽥部荘司教授に感謝申し上げます。超伝導体の基礎や、超伝導線材を⽤いた研究の⽅向性、学会等、様々な⾯で多くのご助⾔をいただきました。また、研究に限らず、社会⼈になって必要となるプレゼ
ンテーションのスキルやスライド作成のアドバイス、学会聴講の紹介など様々な⾯でサポートしていただきました。深く感謝申し上げます。
磁気浮上⼯具の研究にあたり、快く研究室に迎えて下さった、共同研究先の九州⼯業⼤学
⼤学院

情報⼯学研究院 知的システム⼯学研究系、鈴⽊恵友教授、並びに松尾健太郎⽒、

本⽥⼤夢⽒に感謝申し上げます。様々な視点から性能向上に向け、多くのご助⾔をいただきました。また、実験および測定結果の提供や、話し合いの際には、実験分野から研究における意⾒を多くいただき、研究を進めるに際し、⼤変参考になりました。深く感謝申し上げます。
本研究を進めるにあたり、ご助⾔を多く賜った、九州⼯業⼤学 情報⼯学府 先端技術⼯学専攻

電⼦情報⼯学分野、岩崎慎也⽒に感謝申し上げます。研究内容に対する質問に対応

してくださり、また、JMAG の使い⽅を教えていただきました。深く感謝申し上げます。
最後に、公私ともにお世話になりました、⼩⽥部研究室の皆様、⽀えて下さった⽅々に深く感謝申し上げます。

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