最急降下法を用いた超伝導体の電界-電流密度特性評価の検討

小田部研究室増田嘉道
平成 26 年 2 月 13 日
電子情報工学科

目次
第1章

序論 ............................................................................................................ 1

1.1

はじめに ........................................................................................................... 11.2

磁束ピンニング ................................................................................................. 21.3

磁束クリープ・フローモデル............................................................................ 3

1.3.1 磁束クリープ.............................................................................................. 3
1.3.2 磁束フロー ................................................................................................. 5
1.3.3 ピン・ポテンシャル ................................................................................... 7
1.3.4 磁束クリープ・フローモデル ..................................................................... 9
1.4

不可逆磁界 ...................................................................................................... 101.5

最急降下法 ...................................................................................................... 11

1.6

シンプソン法 .................................................................................................. 12

1.7

本研究の目的 .................................................................................................. 13

第2章

計算手法 ................................................................................................... 14

2.1

計算方法 ......................................................................................................... 14

2.2

計算環境 ......................................................................................................... 16

2.3

解析に用いるモデルデータ ............................................................................. 16第3章

実験結果 ................................................................................................... 18

3.1 計算精度 ......................................................................................................... 18
3.1.1 仮想データ ............................................................................................... 18
3.1.2 実験データ ............................................................................................... 20
3.2 計算時間 ......................................................................................................... 22
3.3

距離-計算回数特性 .......................................................................................... 23

i

第4章

考察 .......................................................................................................... 24

4.1

計算精度について ........................................................................................... 24

4.2

計算時間について ........................................................................................... 25

4.3

距離-計算回数特性について ............................................................................ 25

第5章

結論 .......................................................................................................... 26

5.1

結論 ................................................................................................................ 26

5.2

今後の課題 ...................................................................................................... 26

謝辞 ....................................................................................................................... 27
参考文献 ................................................................................................................. 28

ii

表目次
2.1 初期値の範囲 ....................................................................................................... 14
2.2 計算環境 .............................................................................................................. 16
2.3 実験データのピンニングパラメータ .................................................................... 16
2.4 実験時のパラメータ ............................................................................................. 16
3.1 計算時間 .............................................................................................................. 23
4.1 仮想データを対象とした場合に算出されたピンニングパラメータ ...................... 24
4.2 距離の最小値・平均値・最大値 ........................................................................... 24
4.3 プログラム１回あたりの平均計算回数と平均計算時間 ....................................25

iii

図目次
1.1 磁束クリープにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係 ............................ 3
1.2 磁束フローにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係 ............................... 6
1.3 磁束線と平行方向の相関距離と超伝導層厚による磁束バンドルの体積 ................. 8
1.4 不可逆曲線 ........................................................................................................... 10
1.5 最急降下法 ........................................................................................................... 11
1.6 シンプソン法 ....................................................................................................... 12
2.1 フローチャート .................................................................................................... 13
2.2 仮想データ ........................................................................................................... 17
2.3 実験データ ........................................................................................................... 17
3.1 仮想データを対象とした場合のパラメータの分散 ............................................... 18
3.2 仮想データを対象とした場合の最良解 ................................................................. 19
3.1 仮想データを対象とした場合の最悪解 ................................................................. 19
3.4 実験データを対象とした場合のパラメータの分散 ............................................... 20
3.5 実験データを対象とした場合の最良解 ................................................................. 21
3.6 実験データを対象とした場合の最悪解 ................................................................. 21
3.7 仮想データを対象とした場合の計算時間の分布................................................... 22
3.8 実験データを対象とした場合の計算時間の分布................................................... 22
3.9 計算回数と距離の関係 ...................................................................................... 23

iv

第1章

序論
1.1

はじめに

1908 年にオランダの Leiden 大学の Kamerlingh Onnes が世界で初めてヘリウムの液化に成功し、1911 年に液体ヘリウムを用いて水銀の電気抵抗を測定す
る過程において、4.2 K 以下において電気抵抗が測定不能なほどに小さくなることを発見した。さらに、1933 年には Fritz Walther Meissner によって超伝導体の完全反磁性(Meissner 効果)が発見された。この 2 つの現象を超伝導現象と言い、一定条件下で超伝導現象を示す物質を超伝導体と言う。超伝導体は電気抵抗が 0 であることから大きな電流を損失なく通電することができると期待されていた。しかし、超伝導体はある磁界を超えると超伝導状態を維持できなくなることがわかった。超伝導状態から常伝導状態に代わる温度を臨界温度𝑇c 、磁界を臨界磁界𝐵c と言う。超伝導状態になる条件はあるが、電気抵抗が 0 となることは非常に有用性が高いため、現在も研究は続けられている。
その後も超伝導現象の発現については不透明なままだった。しかし、1957
年に John Bardeen，Leon Neil Cooper，John Robert Schrieffer によって提唱された BCS 理論によって、超伝導現象の発現のメカニズムが明らかになっていった。BCS 理論によると、𝑇c は 30 K を超えないだろうと予測されていたが、1986 年に Johannes Georg Bednorz と Karl Alex Müllar によって臨界温度が30 K を超える酸化物超伝導体が発見された。その 1 年後には𝑇c が液体窒素の常圧下での温度(77.3 K)を超えるYBa2 Cu3 O7−δ やBi2 Cr2 Ca2 Cu3 O10+δ (𝛿は微小量)などの酸化物超伝導体が発見された。これらは銅酸化物超伝導体または高温超伝導体と呼ばれ、液体ヘリウムよりも安価な液体窒素中で超伝導状態となることから応用が期待されている。
また、2001 年の青山学院大学の秋光純教授らによるMgB2 の発見、2008 年の東京工業大学の細野秀雄教授らによる鉄ヒ素系超伝導体の発見など、現在に至るまで盛んに超伝導体の発見が試みられている。

1

1.2

磁束ピンニング

超伝導体は磁気的な振る舞いによって第一種超伝導体と第二種超伝導体の 2種類に分類される。第一種超伝導体は超伝導状態において常に完全反磁性を示
すが、𝐵c を超えたところで超伝導状態が消失する。一方で、第二種超伝導体は下部臨界磁場𝐵c1までは第一種超伝導体と同様に完全反磁性を示すが、それ以上の磁界を加えていくと部分的に超伝導状態が常伝導状態となる混合状態となり、上部臨界磁場𝐵c2を超えるとすべての超伝導状態が消失する。
第一種超伝導体の𝐵c と第二種超伝導体の𝐵c1は𝐵c2より非常に小さい。そのため、工業的応用においては𝐵c1 と𝐵c2の間である混合状態で用いられる。混合状
態では、常伝導状態の部分に磁束線が侵入する。この時、侵入した磁束線は電流を流すと Lorentz 力𝑭L を受ける。この𝑭L は超伝導体を流れる電流密度𝑱と侵入した磁束密度𝑩を用いて、𝑭L = 𝑱 × 𝐁と表すことができる。ここで、𝑭L を受けた磁束線が速度𝒗で動いたとすると、電磁誘導によって𝑬 = 𝑩 × 𝒗の電界が生じる。しかし、実際には磁束線の運動を妨げるように、Lorentz 力とは反対向きの同じ大きさの力が働く。この力をピン力といい、ピン力が働く作用のことを
磁束ピンニングと言い、常伝導析出物や結晶粒界などのピンニングに作用する
様々な欠陥(超伝導状態にならない部分)をピンニングセンターと言う。また、単位体積あたりのピン力を𝑭p という。𝐽𝐵 = |𝑱 × 𝑩|とすると、𝐽𝐵が𝐹p の最大値を超えなければ電界が発生しない。このことから、電気抵抗 0 で流すことのできる最大の電流密度𝐽c は𝐽c = 𝐹p /𝐵と表すことができ、𝐽c を臨界電流密度という。𝐽cは超伝導体の応用において𝑇c と𝐵c2に並んで重要なパラメータである。𝐹p の向上によって𝐽𝑐 は上昇し、𝐹p は後天的に上昇させることができるパラメータである。
ピンニングセンターは超伝導体の不均一さ、つまり欠陥によるものであり、人工的に加えてもピンニングセンターとして働く。ピンニングセンターを人工的に導入することでより大きな𝐽c を得ることができるように研究がなされている。

2

1.3

磁束クリープ・フローモデル

1.3.1 磁束クリープ
磁束クリープとは、ピンニングセンターに捕まっている磁束線が熱振動によって確率的にピンニングセンターから外れてしまう磁束線の運動である。この運動の影響が顕著に現れるのが、直流磁界を加えた時に発生する超伝導電流の緩和である。理論的には外部環境が変化しない限り超伝導電流は減衰しないと考えられるが、実際に超伝導電流を長時間測定し続けると減衰している。つまり、外部環境が一定であるにもかかわらず、超伝導電流が時間とともに減衰しており、ピンニングに基づく超伝導電流が真の永久電流ではないことを示している。また、高温になると熱運動が盛んになるため超伝導電流の減衰が激しくなり[1]、高温超伝導体の場合には𝐽が 0 となることもある。
超伝導体内には磁束線が量子化して侵入するため、磁束クリープの際には磁束線が束になって移動すると考えられている。その磁束線の束を磁束バンドルという。電流が流れている状態における一つの磁束バンドルについて考える。
この時の磁束バンドルの変位によるエネルギーの変化は図 1.1 のように示すことができる。図が右下がりとなっているのは Lorentz 力を考慮しているためである。磁束バンドルがピン止めされた状態から外れるには、エネルギーバリアの𝑈や𝑈 ′ を超えなければならない。熱振動がなければ図の状態で安定である。
磁束バンドルは温度𝑇の下では熱エネルギー𝑘B 𝑇(𝑘B はボルツマン定数)により、ある確率でエネルギーバリア𝑈を超える。この確率は Arrhenius の式より
exp⁡(−𝑈/𝑘B 𝑇)で与えられる。超伝導体に侵入した磁束線は格子間隔𝑎f の三角格
子を組むことから、磁束バンドルは𝑎f 移動することによって次の準安定状態に
なる
2

U'

0

U

flux bundle

U0

af

-2

Flux Creep
図 1.1：磁束クリープにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係
-4

-10

0

3

10

と予想される。したがって、磁束バンドルの熱振動数ν0 とすると、この時のLorentz 力方向の平均の磁束線の移動速度𝑣+ は𝑈
𝑣+ = 𝑎f ν0 exp (−
)
(1.1)
𝑘𝐵 𝑇
となり、Lorentz 力と反対方向への磁束バンドルの平均の移動速度を考えると、全体での移動速度𝑣は𝑈
𝑈′𝑣 = 𝑎f ν0 [exp (−) − exp (−
)]
(1.2)
𝑘B 𝑇
𝑘B 𝑇
となる。また、ν0 と𝑎f はそれぞれ
ν0 =𝜁𝜌f 𝐽c02π𝑎f 𝐵

(1.3)

1

2𝜑0 2
𝑎f = (
)
√3𝐵

(1.4)

で与えられる[1]。ここで、𝜁はピンニングセンターの形状に依存する定数であり、点状のピンニングセンターの場合は𝜁 ≅ 2π[2]、ピンニングセンターが𝑎f 以上の非超伝導粒子の場合は𝜁 = 4であることが知られている[3]。また、𝜌f はフロー比
抵抗、𝜙0 は磁束量子である。さらに、磁束クリープがないと仮定した場合の仮想的な臨界電流密度𝐽c0 は経験的に
𝑚

𝑇 𝑇𝐶𝑁_𝑇𝐵 𝑇𝐶𝑁_𝐵
𝛾−1
𝐽c0 = 𝐴 (1 − ( )
) 𝐵
(1 −
)
𝑇𝑐
𝐵c2

(1.5)

と表現できる。ここで𝐴はピンの強さ、𝑚と𝛾はピンニングパラメータと呼ばれるパラメータ、𝑇𝐶𝑁_𝑇と𝑇𝐶𝑁_𝐵はスケール則内での次数である。例として、銅酸 化 物 超 伝導 体 におい て 、 𝑇𝐶𝑁_𝑇 = 2、𝑇𝐶𝑁_𝐵 = 2 で あ る 。 したが っ て 、𝑬 = 𝑩 × 𝒗の関係より、生じる電界の大きさは(1.1)式より
𝑈
𝑈′
𝐸 = 𝐵𝑎f ν0 [exp (−) − exp (−
)]
(1.6)
𝑘B 𝑇
𝑘B 𝑇
となる。すなわち、磁束クリープにより超伝導体に(1.6)式の電界が発生している。
磁束バンドルの中心位置𝑥に対するエネルギー変化は、一般的に図 1.1 のような正弦洗濯板状ポテンシャルになり、
𝑈0(1.7)
sin(𝑘𝑥) − 𝑓𝑥2で与えられる。ここで𝑈0 /2はポテンシャルの振幅、𝑘 = 2π/𝑎f は波数、𝑓 = 𝐽𝐵𝑉は
磁束バンドルに働く Lorentz 力である。磁束バンドルが平衡位置にある時を𝐹(𝑥) =

4𝑥 = −𝑥0 とおくと、𝑥 = 𝑥0 のときエネルギーは極大となる。したがって、それぞれの位置でのエネルギーの変化量は 0(𝐹 ′ (𝑥) = 0)となる。これより
𝑎f
𝑓𝑎f
𝑥0 =
cos −1 (
)
(1.8)
2π
𝑈0 π
が求まる。また、𝑈 = 𝐹(𝑥0 ) − 𝐹(−𝑥0 )より
𝑓𝑎f
𝑓𝑎f
𝑓𝑎f
𝑈 = 𝑈0 sin [cos−1 ()] −cos−1 (
)
𝑈0 π
𝜋
𝑈0 π
1
2 2

2𝑓
2𝑓
2𝑓
= 𝑈0 [{1 − () } −cos−1 (
)]
𝑈0 𝑘
𝑈0 𝑘
𝑈0 𝑘

(1.9)

と表される。但し、sin(cos−1 𝑥) = √1 − 𝑥 2 を用いた。仮に熱振動がなければ、
𝑈 = 0 の 理 想 的 な 臨 界 状 態 と な る と 予 想 で き る 。 そ の た め に は 2𝑓/𝑈0 𝑘 =2𝐽c0 𝐵𝑉/𝑈0 𝑘 = 1となることから
2𝑓
𝐽
=
=𝑗
(1.10)
𝑈0 𝑘 𝐽c0となる。これより(1.9)式は
1

𝑈(𝑗) = 𝑈0 [(1 − 𝑗 2 )2 − 𝑗 cos−1 (𝑗)](1.11)となる。また、𝑘 = 2π/𝑎f 及び(1.10)式より
𝑈 ′ (𝑗) ≅ 𝑈 + 𝑓𝑎f = 𝑈 + π𝑈0 𝑗(1.12)となる。この関係を用いて磁束クリープにより発生する電界の式である(1.6)式を整理すると𝑈(𝑗)π𝑈0 𝑗
𝐸 = 𝐵𝑎f 𝜈0 exp (−) [1 − exp (−)](1.13)𝑘B 𝑇
𝑘B 𝑇となり、磁束クリープにおける電界が求まる。

1.3.2 磁束フロー
磁束フローとは、磁束クリープ状態から更に𝐽c0 を超えた大きな電流を流した時、Lorentz 力がピン力の最大値を超え、磁束線が連続的に運動している状態のことを指す。この時、図 1.2 に示すようにポテンシャルは変位に対して単調減少となる。
電界を磁束フローについてのみ評価するために、磁束クリープの影響のない状態を仮定する。超伝導体に電流が流れ、外部磁界が印加されている時の単位
体積当たりの磁束線に働く Lorentz 力は𝑱 × 𝑩で与えられる。また、これまでに

5

図 1.2：磁束フローにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係述べたように、磁束線は Lorentz 力と逆向きにピンニング力を受ける。Lorentz
力の方向の単位ベクトルを𝜹 = 𝒗/|𝒗|とすると、この釣り合いの式は𝑱 × 𝑩 − 𝜹𝐹p = 0(1.14)となる。この時の電流密度は𝐽c0 となることから、|𝑱| = 𝐹p0 /𝐵 = 𝐽c0 の関係が得られる。ここで、磁束フローの影響を考慮すると粘性力が働くため、𝐵
𝑱 × 𝑩 − 𝜹𝐹p −𝜂𝒗 = 0𝜙0(1.15)となる。ここで、𝜂は粘性係数である。さらに、𝐽c0 = 𝐹p /𝐵及び𝑬 = 𝑩 × 𝒗について解くと、
𝐽＝𝐽c0 +

E
𝜌f

(1.16)となる。ここで、𝜌f = 𝐵𝜙0 /𝜂はフロー比抵抗である。また、𝜌f は常伝導状態における抵抗密度𝜌0 を用いて、𝜌f = 𝜌0 𝑇𝐵/𝑇c 𝐵c2で求まる。(1.16)式を𝐸について整理すると、
𝐸 = 𝜌f (𝐽 − 𝐽c0 )(1.17)となり、磁束フローにより発生する電界が求まる。

6

1.3.3 ピン・ポテンシャル
ピンニングセンターの持つポテンシャルは磁束クリープによる超伝導電流の緩和や不可逆曲線を決定する上で重要である。そのピン・ポテンシャルエネル
ギー𝑈0 は、単位体積あたりの平均化したピン・ポテンシャル𝑈0 と磁束バンドルの体積𝑉の積で表され、
̂0 𝑉(1.18)
𝑈0 = 𝑈̂0 は Labusch パラメータαL と相互作用距離𝑑i を用いてとなる。この𝑈
1
̂0 = 𝛼L 𝑑i2
𝑈2と表せることから、ピン力密度𝐹p と𝐹p = 𝐽c0 𝐵= αL 𝑑iの関係が得られる。ここで、𝑑i がピンの形状により決定する𝜁、𝑎fと
𝑎f
𝑑i =
𝜁
の関係が有ることから、(1.19)式を用いて
1
𝑈0 =𝐽 𝐵𝑎 𝑉2𝜁 c0 f

(1.19)(1.20)(1.21)(1.22)と表される[4]。したがって(1.22)式より𝑈0 の値の決定にはピン力の強さだけではなく、磁束バンドルの体積が重要であることがわかる。
磁束バンドルはある領域内で秩序が保たれた磁束線の集団であり、集団で一緒に運動する。この秩序は単純には磁束格子のピンニング相互作用で与えられ、磁束バンドルのサイズはピンニング相関距離によって与えられる。磁束線と平行(縦)方向及び垂直(横)方向の相関距離をそれぞれ𝐿，𝑅とすると、これらによって磁束バンドルの体積が決定される。また、磁束バンドルの体積を求めることで、(1.22)式より理論的な𝑈0 の値を求めることができる。この磁束バンドルの体積を模式的に表した図を図 1.3 に示す。𝑅は磁束格子間距離𝑎f かその数倍であると考えられており、
𝑅 = 𝑔𝑎f(1.23)で表す。ここで、𝑔2 は磁束バンドル内の磁束線数である。この値は熱力学的な原理から磁束クリープ下での𝐽c が最大となるように決定すると考えられ、
5𝑘B 𝑇
𝐵𝑎f ν0𝑔2 = 𝑔e2 [log ()](1.24)
2𝑈e𝐸cが得られる[5]。ここで、𝑔e2 は完全格子を組んだ際の𝑔2 の値、𝑈e は𝑔2 = 𝑔e2 の時の𝑈0 の値である。また、𝑔e2 は
7

𝑑

𝐿

𝑑

𝐿
𝑩

𝑅
𝑅
𝑅

𝐿<𝑑

𝑅
𝐿<𝑑

図 1.3：磁束線と平行方向の相関距離と超伝導層厚の関係による磁束バンドル
の体積

𝑔e2 =

0
𝐶66
2π𝐽c0 𝐵𝑎f

(1.25)

0で与えられる[5]。この𝐶66は完全格子の剪断定数であり、
0
𝐶66
=

𝐵c2 𝐵
𝐵
(1 −
)
4𝜇𝐵c2
𝐵c2

(1.26)である。ここで、𝐵c は熱力学的臨界磁場である。
一方、𝐿は弾性理論より
1

1

𝐶44 2
𝐵𝑎f 2
𝐿=( ) =()
𝛼L
𝜁𝜇0 𝐽c0(1.27)となる。ここで、𝐶44 = B2 /𝜇0 は磁束線の曲げ歪みに対する弾性定数である。こ
の𝐿は超伝導層が薄い場合には、その厚さ𝑑に制限されることがあり、平行方向のバンドルサイズは𝐿 < 𝑑と𝐿 > 𝑑の時でそれぞれ異なる。𝐿 > 𝑑の場合、ピンニ
ングは 3 次元ピンニングとなり、図 1.3 に示すように平行方向のバンドルサイ
ズは𝐿となる。したがって、磁束バンドルの体積は𝑉 = 𝑅 2 𝐿で与えられ、この時
𝑈0 は
1/2

0.835𝑔2 𝑘B 𝐽c0(1.28)
𝜁 3/2 𝐵1/4となる。また、𝐿 > 𝑑の場合は 2 次元ピンニングとなり、平行方向のバンドル
サイズは𝑑となる。したがって、磁束バンドルの体積は𝑉 = 𝑅 2 𝑑となり、𝑈0 は
𝑈0 =

8

𝑈0 =
7/4

となる。ここで、(1/2)(2/√3)

4.23𝑔2 𝑘B 𝐽c0 𝑑
𝜁𝐵1/2(1.29)
3/2(𝜙07 /𝜇02 )1/4 ≈ 0.835𝑘B、(1/2)(2/√3)

3/2

𝜙0

≈ 4.23𝑘Bの数値的関係を用いた。数値的関係において𝑘B を用いたのは、𝑈0 を熱エネルギー𝑘B 𝑇と関連付けるためである。

1.3.4 磁束クリープ・フローモデル
これまでに述べたように、超伝導体には磁束クリープと磁束フローそれぞれによって電界が発生する。この 2 つの電界を考慮して超伝導体に発生する全体の電界を理論付けする計算モデルが磁束クリープ・フローモデルである。1.3.1
節、1.3.2 節より、磁束クリープによって発生する電界𝐸cr 、磁束フローによって発生する電界𝐸ff は𝑗 < 1において
𝑈(𝑗)
π𝑈0 𝑗
𝐸cr = 𝐵𝑎f ν0 exp (−) [1 − exp (−)](1.30)
𝑘B 𝑇
𝑘B T(1.31)

𝐸ff = 0となる。また、𝑗 > 1においては
𝐸cr = 𝐵𝑎f ν0 [1 − exp (−

π𝑈0
)]
𝑘B T

(1.32)

𝐸ff = 𝜌f (𝐽 − 𝐽c0 )(1.33)となる。但し、(1.32)式は𝐸cr が残留するためこのような式になると仮定されている。これら 2 つによって生じる電界𝐸′を
2 + 𝐸2𝐸 ′ = √𝐸cr
ff

(1.34)

とおく。
一般に酸化物超伝導体は超伝導体内が不均一であるため、ピン力が分布していると考えられる。そこで、(1.5)式の𝐴の分布を表す関数を(log 𝐴 − log 𝐴m )2
𝑓(𝐴) = 𝐾exp [−](1.35)
2𝜎 2で表現する。𝐾は規格化定数、𝜎 2 はピン力の分散、𝐴m はピン力の最頻値を表す。
(1.35)式は対数正規分布に基づいている。この𝐴の分布を考慮して発生する電界
は∞𝐸(𝐽) = ∫ 𝐸 ′ 𝑓(𝐴)d𝐴(1.36)

0となる。この(1.36)式を計算することで、理論的な𝐸-𝐽特性を得られる [6]。
9

1.4

不可逆磁界

1.2 節で述べたように第二種超伝導体は第一種超伝導体より高い磁界で超伝導状態を維持することができる。混合状態において上部臨界磁場𝐵c2 まで電気抵
抗 0 で流せる電流が存在すると考えられていた。しかし、実際には𝐵c2 付近においてピンニングが有効でなくなり、𝐽c も 0 となる。また、ピンニングによる超伝導体の磁化の不可逆性もなくなり、磁化が可逆となる。この𝐽c = 0と𝐽c ≠ 0の境界の磁界を不可逆磁界𝐵iという。また、温度毎の不可逆磁界の値を連ねた曲
線を不可逆磁界といい、これを図 1.1 に示す。

𝐵
𝐵c2 (𝑇)
𝐵i (𝑇)

可逆領域

𝐽c = 0不可逆領域
𝐽c ≠ 0𝑇
図 1.4：不可逆曲線

10

1.5

最急降下法

最急降下法(Steepest descent method)とは、関数の傾きのみから関数の最小値を探索する勾配法のアルゴリズムである。このアルゴリズムは一階微分しか行わないため、勾配法の中では最も単純なアルゴリズムとされているが、傾きのみから最小値を求めるアルゴリズムであるために、局所解(極小値)に陥りやすいという特徴がある。以下にアルゴリズムの流れの例を示す。
1. ランダムに初期注目点を決定
2. 任意の評価関数を用いて各注目点を評価
3. 各変数について偏微分を行う
4. 停止条件を満たさない場合は注目点を更新し 2 に戻る
5. 最終的に評価が最も高いものを解とする。
但し、注目点の変数ベクトル𝒙(𝑘) を更新する際には(1.37)
𝒙(𝑘+1) = 𝒙(𝑘⁡) − 𝛼 × grad(𝑑)とする。ここで、αは 1 未満の正の定数、𝑑は評価関数とする。この時の概略図を図 1.5 に示す。

d
4
(k+1)

x

(k)

×grad(d)xgrad(d)

2

局所解

大域解
0
x
図 1.5：最急降下法

-1

0

11

1

1.6 シンプソン法
シンプソン法とは、関数𝑓(𝑥)の定積分を、ラグランジュ補間を用いることで簡単に行うものである。ラグランジュ補間とは、𝑓(𝑥)上の(𝑛 + 1)点を通る𝑛次多項式Pn (𝑥)を生成するものであり、𝑃𝑛 (𝑥)は𝑛

Pn (𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑗 )𝑙𝑗 (𝑥)(1.38)𝑗=0

𝑙𝑗 (𝑥) =(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑗−1 )(𝑥 − 𝑥𝑗+1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 )(1.39)(𝑥𝑗 − 𝑥0 )(𝑥𝑗 − 𝑥1 ) … (𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 )(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗+1 ) … (𝑥𝑗 − 𝑥𝑛 )で表される。今回は𝑛 = 3の場合を説明する。積分範囲を𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏とする。積分範囲を 3 等分にした幅をℎとすると、ラグランジュ補間によって𝑃3 (𝑥)を求められる。これを用いて積分を行うと、
𝑏

𝑏

𝑎

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 ≅ ∫ 𝑃3 (𝑥)d𝑥3ℎ= 8 [𝑓(𝑎) + 3𝑓(𝑎 + ℎ) + 3𝑓(𝑎 + 2ℎ) + 𝑓(𝑏)](1.40)となる。この時の図を図 1.6 に示す。このままでは誤差が非常に大きくなるた
め、𝑏を𝑎に近づけ、それを多数連ねることによって誤差を小さくする。積分範
囲𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛 の分割数を𝑠とすると、

P3(x)

2 f(x)0ah=(b-a)/3
a+ha+2h

図 1.6：シンプソン法

0
12

b

𝑥𝑛

∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 ≅𝑥0

3(𝑥0 − 𝑥𝑛 )[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )8𝑠+ ∑(3𝑓(𝑥3𝑖+1 ) + 3𝑓(𝑥3𝑖+2 ) + 2𝑓(𝑥3𝑖 )](1.41)となる。(1.41)式は係数が 3/8 となっていることから特にシンプソン 3/8 則と呼
ばれる。

1.7

本研究の目的超伝導体の性質を把握するためには、電界-電流密度特性を知ることが非常に重要になる。これにより、様々な次回及び温度においてどれくらいの電圧が超伝導体に発生するかがわかり、種々の超伝導機器の設計や開発が可能となる。
その際に磁束クリープ・フローモデルを利用することはよく知られている。磁
束クリープ・フローモデルを用いた計算において、適切なピンニングパラメー
タを決定する必要がある。現在は近似した特性の理論値が出るまで、ピンニン
グパラメータを逐次代入することで推定を行っており、非常に時間がかかってしまう。前年度までの研究において、遺伝的アルゴリズムを用いてピンニング
パラメータの推定についての研究を行っていたが、計算の高速化においてアルゴリズムが複雑であるため困難であった。
本実験では、遺伝的アルゴリズムよりも単純な最急降下法を用いることで、磁束クリープ・フローモデルのピンニングパラメータの探索の可能性の検討・実用化を実現し、超伝導体のピンニング特性の解析を円滑にするのが本研究の目的である。

13

第2章

計算手法
2.1 計算方法
本研究ではモデルデータの𝐸-𝐽特性を、最急降下法を用いてピンニングパラメ
ータの推定を行った際の精度・計算時間の両方の面から検討・考察を行う。最急降下法における評価関数を今回は距離と呼ぶことにする。距離𝑑は
𝛽
2
(2.1)
∑(log(𝐸exp ) − log(𝐸theo ))𝑁とする。但し𝐸exp は測定値、𝐸theo は理論値、𝑁はサンプル数とする。電界-電流𝑑=

密度特性は両対数グラフを用いてプロットを行うことが主流であるため、対数軸上での距離の評価を行うものとする。また、係数の𝛽は最急降下法において、パラメータのステップ幅が大きくなりすぎることを防ぐための係数であり、今回は1.0 × 10−4 とする。
ピンニングパラメータは𝐴m 、𝜎 2 、𝛾、𝑚、𝑔2の 5 つである。これらの変数は(1.5)、(1.28)、(1.29)、(1.35)式に含まれる。現在変化させているパラメータが𝐴m 、
𝜎 2 、𝛾の 3 つであるため、今回は𝐴m 、𝜎 2 、𝛾の 3 つを探索する場合について考察する。ピンニングパラメータを 5 つ推定することは非常に困難であるため、今回は行わないものとする。磁束バンドル内の磁束線数は 1 であることが多い
ため𝑔2 = 1とし、𝑚は実験データの試料が以前の測定において 3 であることがわかっているため、𝑚 = 3とする。さらに、最急降下法における初期点を 20 点、(1.37)式における𝛼を 0.5 とする。以上を 1 回の実行とし、考察する際に統計的に評価するために、これを 50 回実行する。初期値は乱数で決めるものとし、今回設定した初期値の範囲を表 2.1 に示す。
表 2.1：初期値の範囲
𝐴m

𝜎2

最大値

1.0 × 1012

1.0 × 10−2

最小値

11

−3

1.0 × 10

1.0 × 10𝛾
1.0
1.0 × 10

−2

𝑚

𝑔2

3.0

1

3.0

1

磁束クリープが支配的な状況、磁束フローが支配的な状況それぞれにおいて、
電界-電流密度特性は直線に近似できるものと考えることができる。よって 1 つの𝐸-𝐽特性につき最低 2 点存在すればよい。今回の計算において𝐸-𝐽特性それぞ
14

れから𝐽が最大の点、最小の点の 2 点よりピンニングパラメータを推定する。今回のプログラムにおいて磁束クリープ・フローモデルの積分ではシンプソン
3/8 則を用い、積分する部分のみ CPU の並列処理を利用して計算を行う。ピンニングパラメータの推定においては、探索する変数を減らすために、はじめに外部磁界𝐵 = 1のみで𝛾以外のパラメータの推定を行い、𝑑 < 1.0 × 10−6となると𝛾以外のパラメータを固定し、𝛾の推定を行う。計算の強制終了条件は複数あるため、図 2.1 において説明する。図中の𝑡はその初期点の評価回数とする。
最急降下法

最急降下法
No

No

t < 10000

t < 10000

Yes
No

2

0<𝜎 <1Yes𝑑 ≠ 非数値

Yes

No
Δ𝛾 < 1.0 × 10−4

Yes

No

𝑡 < 1000Noまたは

𝑑 < 1.0 × 10−6No

𝑑 < 1.0 × 10−5

Yes
Yes

No

パラメータ書き込み、次へ|grad(𝑑)| > 10−4
A

Yes

No

No

Yes

A

𝑑 ≠ 非数値AYes

𝑑 < 1.0 × 10−7
Yes

計算強制終了、次へ

図 2.1：フローチャート

15

2.2 計算環境
表 2.2 に計算環境を示す。
表 2.2：計算環境

2.3

OS

Windows 7 Professional(32-bit)

メインメモリ

4 GB(3.46 GB 使用可能)

CPUIntel Core i3-3220

コア数

2

スレッド数

4

動作周波数

3.30 GHz

解析に用いるモデルデータ

今回は事前に設定したピンニングパラメータを用いて算出した𝐸-𝐽特性と、温度 20 K、磁界 1～3 T において測定した𝐸-𝐽特性を用いる。便宜上、前者を仮想データ、後者を実験データと呼ぶこととする。仮想データのピンニングパラメ
ータや想定環境は実験データと同一とする。仮想データをプロットしたものを
図 2.2 に、実験データをプロットしたものを図 2.3 に、ピンニングパラメータを表 2.2 に、その他の実験時のパラメータを表 2.3 に示す。
実験データは住友電気工業株式会社の Ni クラッド基板上に PLD 法を用いて、4 層を 25 m/h で積層したGd1 Ba2 Cu3 O7−δ超伝導コート線材である。𝐸-𝐽特性は磁化緩和測定によって測定したものより求めたものである[17]。
表 2.3：実験データのピンニングパラメータ
𝐴m

𝜎2

𝛾

𝑚

𝑔2

1.05 × 1011

9.50 × 10−3

5.80 × 10−1

3.00

1.00

表 2.4：実験時のパラメータ
𝑇

20 K

𝑇c

92.6 K𝐵c2 (0)

100 T

𝜁

6.28

𝑑

1.04 μm

𝜌0

2.0 × 10−6

16

-8

10

-9

3T 2T

1T

E [V/m]

10

10

-10

10

-11
10

10
2
J [A/m ]
図 2.2：仮想データ

10

-8

1T
3T 2T
-9

E [A/m]

10

10

-10

10

-11

10

10
2

J [A/m ]
図 2.3：実験データ
17

第3章

計算結果
3.1

計算精度

3.1.1 仮想データ
仮想データについてピンニングパラメータを推定した場合に算出されたパラメータの分散を図 3.1 に、50 回実行した内の最良解の𝐸-𝐽特性を図 3.2 に、最悪解の𝐸-𝐽特性を図 3.3 に示す。推定されたパラメータが仮想データで設定したパラメータを中心に分布している。また、𝐸-𝐽特性が仮想データに近似していることがわかる。

1.3

1.30×1011

1.30×10-2

6.10×101

Estimations
Model
1.2

1.1

1

0.9

0.8
8.00×10Am

108.00×102

-3

5.60×10-1

図 3.1：仮想データを対象とした場合に推定されたピンニングパラメータの分散。黒線の 1 本 1 本が計算結果を表している。縦軸はパラメータごとに範囲が異なり、グラフ上の数字、グラフ下の数字がそれぞれ一番下にあるパラメータごとの範囲の最大値、最小値である。
18

-8

10

-9

E [V/m]

10

10

-10

10

-11

3T 2T

1T

Estimation
Model

10

10
2
J [A/m ]

図 3.2：仮想データを対象とした場合の最良解
-8

10

-9

E [V/m]

10

10

-10

10

-11

3T 2T

1T

Estimation
Model

10

10
2
J [A/m ]

図 3.3：仮想データを対象とした場合の最悪解
19

3.1.2 実験データ
実験データについてピンニングパラメータを推定した場合に算出されたパラメータの分散を図 3.4 に、50 回実行した内の最良解の𝐸-𝐽特性を図 3.5 に、最悪解の𝐸-𝐽特性を図 3.6 に示す。推定されたパラメータが手動で計算した場合に比べて大きな値を示している。また、𝐸-𝐽特性が実験データに近似していることがわかる。

1.30×1011

1.30×10-2

6.10×10-1

1.3
Estimations
Experimence

1.2

1.1

1

0.9

0.8
8.00×10Am

108.00×102

-3

5.60×10-1

図 3.4：実験データを対象とした場合に推定されたピンニングパラメータの分散。黒線の 1 本 1 本が計算結果を表している。縦軸はパラメータごとに範囲が異なり、グラフ上の数字、グラフ下の数字がそれぞれ一番下にあるパラメータごとの範囲の最大値、最小値である。

20

-8

10

-9

E [V/m]

10

10

-10

10

-11

3T 2T

1T

Estimation
Experimence

10

10
2
J [A/m ]

図 3.5：実験データを対象とした場合の最良解
-8

10

-9

E [V/m]

10

10

-10

10

-11

3T 2T

1T

Estimation
Experimence

10

10
2
J [A/m ]

図 3.6：実験データを対象とした場合の最悪解

21

3.2

計算時間

回数 [回]

仮想データを対象にしてパラメータを推定した場合にかかった時間の分布を
図 3.7 に、実験データを対象にしてパラメータを推定した場合にかかった時間の分布を図 3.8 に示す。また、それぞれの最大計算時間・最小計算時間・平均計算時間を表 3.1 に示す。計算時間の分布を見ると、仮想データを対象とした
場合は実験データを対象とした場合より、安定した短い時間でパラメータが推定できることがわかる。
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
～80

80～100100～120 120～140 140～160 160～180

180～

時間 [s]

図 3.7：仮想データを対象とした場合の計算時間の分布。
20
18
16
14

回数 [回]

12
10
8
6
4
2
0
～80

80～100100～120 120～140 140～160 160～180

時間 [s]

図 3.8：実験データを対象とした場合の計算時間の分布

22

180～

表 3.1：計算時間
最小計算時間 [s]

平均計算時間 [s]最大計算時間[s]

仮想データ

65.5

93.8

140.1

実験データ

73.4

150.5

249.8

3.3

距離-計算回数特性

計算回数と距離の関係を図 3.9 に示す。一度𝑑が 1.0 × 10−7 以下になった後、大きく増加し、その後また下がっているのがわかる。

10

-1

距離 d

model Exp
10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

best
worst

10

0

10

1

10

2

計算回数 t [回]図 3.9：計算回数と距離の関係

23

10

3

第4章

考察
4.1

計算精度について

今回の計算において、仮想データを対象にピンニングパラメータを推定した
場合、最良解においては設定したピンニングパラメータを算出することができた。表 4.1 に仮想データを推定した場合に算出されたピンニングパラメータの最良解と最悪解を示す。このことより、推定するピンニングパラメータが 3 つの場合には実用可能な精度を示すことができると予想できる。そこで、実験において測定した𝐸-𝐽特性を用いてピンニングパラメータの推定を行った。その結果、図 3.5 や図 3.6 に示すように実験値に近似した𝐸-𝐽特性を求めることが出来た。
具体的に精度についての考察を行うために、距離について考える。表 4.2 に仮想データ、実験データそれぞれを対象とした場合の距離の最小値、平均値、最大値を示す。全く同じパラメータを示しているにもかかわらず、𝐸-𝐽特性に差が生じている。これは、仮想データを生成した時には表 4.1 に示しているような値通りだが、推定する場合には表示している数値は 3 桁で丸めた結果しか出力しないためだと考えられる。
表 4.1：仮想データを対象とした場合に算出されたピンニングパラメータ
仮想データ
最良解
最悪解

𝐴m

𝜎2

1.05 × 1011
11

1.05 × 10

11

1.18 × 10

𝛾

𝑚

𝑔2

9.50 × 10−3

0.58

3.0

1.0

−3

0.58

(3.0)

(1.0)

−2

0.58

(3.0)

(1.0)

9.50 × 10
1.12 × 10※( )内の数値は固定した数値
表 4.2：距離の最小値・平均値・最大値
最小値

平均値

最大値

仮想データ

3.036 × 10−7

6.598 × 10−7

1.269 × 10−6

実験データ

8.613 × 10−7

1.165 × 10−6

1.408 × 10−6

24

4.2

計算時間について

表 4.3 に平均計算回数と平均計算時間を示す。1 計算あたりにかかる時間に大きな差は無いが、計算回数が大幅に異なっている。1 計算当たりにかかる時
間は、計算内容は変わらないため同じような値を示している。つまり、計算回
数や計算時間が異なる理由は、推定する対象となるデータにあることになる。
また、設定している環境は同じであるため、データの個数に差は存在しない。
したがって、データが理論に対して整っているかどうかという違いが計算回数に影響を及ぼしていると考えられる。
実際の使用を想定して、表 4.3 の実験データの列に注目して考える。現在行っている逐次代入によるパラメータの推定では、30 分以上かかってしまう場合もある。このことを考えると、現在かかっている時間の 10%以下の時間で計算が終わることとなる。
表 4.3：プログラム 1 回あたりの平均計算回数と平均計算時間
平均計算回数 [回]平均計算時間 [s]1 計算にかかる時間 [ms]仮想データ

24434.08

93.8

3.839

実験データ

41392.02

150.5

3.636

4.3

距離-計算回数特性について

今回は 1 回目の探索として、実験データの中から外部磁界が1⁡Tの実験データのみに注目してパラメータを推定し、2 回目の探索として、その他の実験デー
タ対象とした推定を行うようにしている。このため、一度𝑑が1.0 × 10−7 以下になった後、推定していないデータが追加されるため、大幅に増加する。プログ
ラムが結果を出力して終了する条件は、𝛾の変化量がほとんどない、もしくは𝑑 < 1.0 × 10−6 となることが条件である。これらのことと図 3.9 を比較すると、正確にプログラムが動作していることが考えられる。
また、今回は計算時間の長時間化を防ぐために、1 回目の探索において 1000
回計算が終了するまでに𝑑 < 1.0 × 10−6 となっていない初期点は計算を強制終了するようにしていたが、図 3.9 を見ると計算回数が 1000 回以内でも十分なデータを取ることが可能だと考えられる。

25

第5章

結論
5.1

結論

最急降下法を用いて超伝導体の電界-電流密度特性の評価を行った結果、推定
するピンニングパラメータが 3 つの場合、事前にピンニングパラメータを設定して算出した𝐸-𝐽特性においては正しいパラメータを推定することができた。また、実験データを用いてパラメータを推定した場合には、現在行っている方法の 1 割以下の時間で実用化可能な精度を出すことができた。

5.2

今後の課題

今回の計算において、高速化においては CPU による並列化、実験データの評価する点の選別など、様々な工夫を行った。しかし、計算精度に関しては、探索するピンニングパラメータの分割しか行わなかった。
今後の課題として特に重要なことは、推定することができるピンニングパラ
メータを増やすことである。また、推定するパラメータを増やす場合、計算時間がそれだけ増加するため、更なる計算時間の短縮に関する工夫を行う必要が
ある。

26

謝辞
本研究を行うにあたり、多大な御指導と御助力を頂きました小田部荘司教授に深く感謝いたします。また、様々な御助言や御協力を頂いた木内勝准教授に深く感謝いたします。そして、プログラムの高速化において御助言を頂いた
硴崎賢一教授に深く感謝いたします。
最後に、公私共々御世話になりました小田部・木内研究室の皆様に深く感謝
致します。

27

参考文献
[1] K. Yamafuji, T. Fujiyoshi, K. Toko, and T. Matsushita: Physica C 159 (1989) 743.
[2] D. O. Welch: IEEE Trans. Magn. 27 (1991) 1133.
[3] K. Yamafuji, T. Fujiyoshi, K. Toko and T. Matsushita: Physica C 159 (1989) 743.
[4] T. Matsushita, T. Fujiyoshi, K. Toko and K. Yamafuji, Appl.
Phys. Lett. 56 (1990) 2039
[5] T. Matsushita: Physica C 217 (1993) 461.
[6] M. Kiuchi, K. Noguchi, T. Matsushita, T. Kato, T. Hikata, and K. Sato
Physica C 278 (1997) 62.
[7] E. S. Otabe, M. Kiuchi, CHAPTER VI FLUX CREEP-FLOW MODEL.
[8] 松下照男、「磁束ピンニングと電磁現象」、産業図書 (1994)[9] 松下照男、「超伝導応用の基礎」、米田出版 (2004)[10]茨木俊秀、「最適化の数学 (共立講座 21世紀の数学 13) 」共立出版 (2011)[11]Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas. Numerical Analysis, (7th Ed),
Brooks/Cole. (2000)[12] 秋吉裕哉 (2012) 「遺伝的アルゴリズムを用いた超伝導体の電界-電流密度特性評価のGPGPUによる高速化に関する研究」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文[13] 南潤 (2010) 「遺伝的アルゴリズムを用いた超伝導パラメータ推定手法の検討」 九州工業大学情報工学府情報システム専攻論文[14] 瓜生幸太郎(2011) 「遺伝的アルゴリズムを用いた磁束クリープ・フローモ
デルのパラメータ解析における評価方法の検討」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文[15] 枝元剛典(2010) 「遺伝的アルゴリズムを用いた磁束クリープ・フローモデ
ルのパラメータ解析」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文[16] 石橋知裕(2011) 「CUDAによる高速な磁束クリープ・フローモデルの数値
計算と性能評価」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文[17] 高橋祐治(2009) 「CVD法によるYBCO線材の磁化緩和特性に超伝導層厚が与える影響」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文

28