中学校

第１学年

数学

比例、反比例（東京書籍

新しい数学１）○単元の目標知識及び技能・関数関係の意味を理解することができる。
・比例、反比例について理解することができる。
・比例、反比例を表、式、グラフなどに表すことができる。

思考力、判断力、表現力等
・比例、反比例として捉えられる２つの数量について、表、式、グラフなどを用いて調べ、それらの変化や対応の特徴を見いだすことができる。
・比例、反比例を用いて具体的な事象を捉え考察し表現することができる。

学びに向かう力、人間性等・関数関係の意味や比例、反比例について考えようとしている。
・比例、反比例について学んだことを生活や学習に生かそうとしている。
・比例、反比例を活用した問題解決の過程を振り返って検討しようとしている。

○探究の過程①課題の設定②情報の収集③整理・分析
④ま と め ・ 表 現

比例、反比例に関する具体的な事象・問題を数学の舞台に乗せ、自分自身の課題として考える。
関数関係や比例、反比例の意味、比例や反比例のグラフのかき方や式の求め方など、問題解決に必要な知識・技能を身に付ける。
比例、反比例として捉えられる２つの数量について変化や対応の特徴を論理的に確かめたり、表、式、グラフの関係を考えたりする。
比例、反比例の性質やグラフのかき方、式の求め方などを活用した問題解決の過程をまとめたり発表したりすることで、考えたことをまとめ・表現する力を身に付ける。

○単元計画（19 時間扱い）
時

目標

学習活動

１

身の回りの問題を、関数の考えを利用して解決することができる。

・プールが満水になるまでの時間を予想するためにプールの形やプールに入れる水の量の変化など、どんなことが分かればよいかを考える。
・関数の意味を知る。
・変域の意味と表し方を知る。
・変域を不等号を使って表す。
・２つの数量の間に関数の関係があるかどうかを調べる。
・関数の関係を「～は…の関数である」という言い方で表す。
・２つのシュレッダーがコピー用紙何枚分の紙を裁断することができるかを、関数の考えを利用して求める。
・比例の意味を知る。
・y を x の式で表して、y が x に比例するかどうかを調べる。
・反比例の意味を知る。
・y を x の式で表して、y が x に反比例するかどうかを調べる。
・算数で学習した比例の性質やグラフの特徴を振り返る。
・x の変域や比例定数を負の数に広げても、比例の性質が成り立つかどうかを調べる。
・x の変域や比例定数が負の数の場合を含めた比例の式を考える。

２３４５６７関数の意味及び変域の意味と表し方を理解し、変域を不等号を使って表すことができる。また、２つの数量の間に関数の関係があるかどうかを判断することができる。

身の回りの問題を、関数の考えを利用して解決することができる。
比例の意味を理解し、比例の関係を式に表すことができる。また、反比例の意味を理解し、反比例の関係を式に表すことができる。

x の変域や比例定数を負の数にひろげても、比例の性質が成り立つことを理解することができる。
y が x に比例するとき、１組の x、y の値から、比例の式を求めることができる。
座標の意味や点の位置の表し方を理解し、点の座標を求めたり、座標を平面上の点で表したりすることができる。

・変域を負の数に広げたときの比例のグラフをかくために、負の数も範囲に入れた点の位置の表し方を考える。
・点の座標を求めたり、座標を平面上の点で表したりする。

探究の過程①８９10111213141516171819

比例のグラフは、その式を満たす点の集合であり、原点を通る１つの直線であることを理解することができる。また、比例のグラフの特徴を理解することができる。
比例について、x の値が増加するときの y の値の変化の特徴を理解することができる。また、比例のグラフの特徴を基に、グラフをかくことができる。
比例の表、式、グラフを関連付けて理解することができる。また、比例のグラフから式を求めることができる。
x の変域や比例定数を負の数に広げても、反比例の性質が成り立つことを理解することができる。

・変域を負の数に広げたときの比例のグラフがどのようになるかを、点を細かく取って調べる。
・比例定数が負の数の場合の比例のグラフをかいて、正の数の場合との共通点や違いを調べる。
・比例について、x の値が増加するときの y の値の変化の様子を、比例定数が正の数の場合と負の数の場合で、表やグラフを用いて調べる。
・比例のグラフの特徴を基に、グラフをかく。
・比例の性質を調べる方法を振り返る。
・比例の表やグラフから式を求める方法を考える。
・比例の表、式、グラフのどこに比例定数が現れるかをまとめる。
・比例のグラフから式を求める。
・算数で学習した反比例の性質やグラフの特徴を振り返る。
・x の変域や比例定数を負の数に広げても、反比例の性質が成り立つかどうかを調べる。
・x の変域や比例定数が負の数の場合を含めた反比例の式を考える。

y が x に反比例するとき、１組の x、yの値から、反比例の式を求めることができる。
反比例のグラフは、その式を満たす点 ・変域を負の数に広げたときの反比例のグラフがどの集合であり、なめらかな２つの曲線のようになるかを、点を細かく取って調べる。
であることを理解することができる。
反比例のグラフの特徴を理解するこ ・比例定数が負の数の場合の反比例のグラフをかいとができる。また、反比例のグラフをて、正の数の場合との共通点や違いを調べる。まかくことができる。
た、x の値を大きくしたり０に近付けたりするとグラフはどうなるかを調べる。
・反比例のグラフをかく。
反比例の値の変化の特徴を理解する ・反比例について、x の値が増加したときの y の値ことができる。の変化の様子を、比例定数が正の数の場合と負の数の場合で、表やグラフを用いて調べる。
・反比例の性質を調べる方法を振り返る。
反比例の表、式、グラフを関連付けて ・反比例の表やグラフから、式を求める方法を考え理解することができる。また、反比例る。のグラフから式を求めることができ ・反比例の表、式、グラフのどこに比例定数が現れる。
るかをまとめる。
・反比例のグラフから式を求める。
身の回りの問題で、関数の関係にある ・行列の待ち時間を予想するために、どんなことが数量を見いだし、その関係を比例とみ分かればよいかを考える。
なして解決することができる。
・１人がポップコーンを買うのに掛かる時間を一定と考えて、並んでいる人数から待ち時間を予想する。
身の回りの問題を比例や反比例を利 ・身の回りの問題を、比例や反比例を用いて解決す用して解決することができる。また、る。
a＝bc で表される関係において、それ ・a＝bc の式で、a、b、c のうち、１つの変数の値をらの数量の間の関係を考えることが決めたとき、他の２つの変数の関係がどうなるかできる。
を調べる。
身の回りの問題を、比例のグラフを利 ・身の回りの問題を、比例のグラフを利用して解決用して解決することができる。
する。
・比例のグラフから、具体的な事象を読み取る。

②③

④

第１学年
【①課題の設定

数学科学習指導案（第 1 時）
単元や節を貫く課題を設定させタイ】

１

単元名「比例と反比例」（東京書籍

２

本時の計画
目標新しい数学１）

身の回りの問題を、関数の考えを利用して解決することができる。

探究の過程
課題の設定

比例、反比例に関する具体的な事象・問題を数学の舞台に乗せ、自分自身の課題として考える。
形態

○指導過程
段
学習活動
◎指導上の留意点
階○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応
導 １ 問題を把握し、予想する。
課題の設定
入
空のプールに水を入れるとき、満水になるまでどのくらいの時間が掛かるでしょうか。
３◎直感で答えさせる。
分 ◆３０分、１時間、半日、２日…。
○どうやって確かめられますか。
◆計算で求められそう。
展 ２ どう考えれば予想できるか考える。
開 ○計算するために必要なことは何ですか。
◎現実世界の事象を数学的に考察するた40 ◆水がどのくらいの時間で、どのくらいたまっめに、理想化、一般化していくことを分ていくか。
押さえて指導に当たる。
○たまり方が分かればよいですね。
何が決まればたまり方が分かりますか。
◆水の入れ方。
○そうですね。他にはありますか。
◆プールの形。
○どんな形ですか。
◆直方体。
◆真ん中（端）にかけて深くなっている。
○ここでは直方体としてみて考えていきます。
◎厳密には直方体ではないことにも触れておく。
一斉
一斉

４一斉

３ 条件を整理する。
○条件を整理します。プールの形は。
◆直方体。
○水の入れ方はどうですか。
◆一定。
○そうですね。蛇口を開けたり閉めたりしないので、一定と考えます。深さの変化はどうですか。
◆一定。
○これらの条件で問題を考えてみます。
具体的な問題を把握し、解く。

空のプールに水を入れ始めてから２時間後に、20cm の深さまで水がたまっていました。満水のときの水の深さは 120cm。満水になるのは何時間後でしょうか。

５一斉

◆６時間。
○なぜですか。
◆120÷20＝６だから。
○そうですね。それでは、80cm、100cm、110cmのときはどうなりますか。また、１時間後や３時間後の深さはどうなりますか。
○毎回個別に考えるのは大変ですね。たまっていく様子を表せたらよさそうです。

◎いくつか連続して問うことで、水の深さの変化に目を向けさせる。

課題を把握する。

○何で表したらよいでしょうか。
◆式、表…

本単元のテーマを確認し、学びたいことを整理する。
〇この単元では関数について学習します。どんなことを学びたいですか。
◆２つの数量の関係の調べ方や表し方。
◆具体的に関数になる関係について。
〇確認してみましょう。
〇（まとめる。）〇次回からこれらのことを学習していきます。

◎タブレット端末を活用させる。

個別→一斉

９一斉

終結
７分◎机間指導を行い、共有時の発表者を決め、声掛けしておく。また、発表に使うノートを撮影しておく。

)

８ 共有する。
〇(式で考えた生徒を指名する。)◆(学習活動６の①の考え方を発表する。)〇(表で考えた生徒を指名する。)◆(学習活動６の②の考え方を発表する。)〇(「変数」「関数」について説明する。)

グループ ペ(ア７ 自分の考えを伝える。
〇グループ（ペア）で、自分の考えを伝え合いましょう。考えが同じでも、自分の言葉で伝えましょう。伝える内容は、表した方法、選んだ理由や利点などです。終わっていない人は、途中までで構わないので考えたことを伝えてください。
◆活動に取り組む。

個別

６ 課題の解決に取り組む。
○では、課題について考えてみましょう。
◆①式を使った考え。
y＝10x◆②表を使った考え。
x0
1
2
34
56…
y0
10 20 30 40 50 60…

一斉

プールに水を入れ始めてから x 時間後に、水の深さは ycm になった。プールが満水になるまでの時間と深さの関係を表してみよう。

課題の設定◎タブレット端末で入力、提出させる。

◎提出されたものを提示しまとめる。

第１学年【②情報の収集１

単元名「比例と反比例」
（東京書籍

２

本時の計画

数学科学習指導案(第８時)
知識・技能を身に付けさせタイ】
新しい数学１）

目標

比例のグラフは、その式を満たす点の集合であり、原点を通る１つの直線であることを理解することができる。また、比例のグラフの特徴を理解することができる。

探究の過程
情報の収集

関数関係や比例、反比例の意味、比例や反比例のグラフのかき方や式の求め方など、問題解決に必要な知識・技能を身に付ける。

○指導過程段
学習活動階○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応
導 １ 課題を把握する。
入
比例のグラフについて知ろう。
３○小学校ではどのようにしてグラフをかいてい分ましたか。
◆表をつくって点をとった。
○同じようにかいてみましょう。
展開40
分

２

問題解決に取り組む。

y＝２x のグラフをかいてみましょう。
○まずは何をすればよいですか。
◆表をつくる。
○小学校のときとの違いはありますか。
◆負の数もある。
○x の値を負の数まで広げて考えましょう。
表を完成させて、点を取ってください。
xy…
…

-3-6-2-4-1-200122436…
…

○点と点の間はどう考えればよいですか。
◆直線を引けばよい。
○なぜ直線になるのですか？
◆…。
○どのように確かめればよいですか。
◆x が小数のときの点も取ればよい。
○班で手分けしてやってみましょう。

形態◎指導上の留意点

一斉◎導入はテンポよく進める。

一斉
→

情報の収集
◎見通しを持たせる。
◎数の世界を負の数に拡張していくことを確認させる。

個別→

一斉◎根拠を明確にしながら考えを進めていく姿勢を大事にする。
→

グループ→

一
○どのようになりましたか。
◆点の間がまだあるけど、直線になると思う。 斉○確かめてみましょう。

個別

３ シミュレーションを確認する。
○シミュレーションを活用して調べてみましょう。
◆点がたくさん取られてつながっていく。
◆直線になっている。
○これらの点はどんな点ですか。
◆y＝２x が成り立つような点。
○それらの点が集まって１つの直線になっていますね。

情報の収集◎操作できるものがある場合は生徒に実際に操作させる。

４ 新たな問題に気付く。
一○変域を負の数に広げて考えてみました。
斉 ◎パラメータを変える発想を生徒から引他に変えて考えてみたいことはありますか。
き出す。
◆比例定数を負の数にしてみたい。
○やってみましょう。
５

問題解決に取り組む。

-3-6-2-4-1-200

122436…
…

６ ２つのグラフを比較して性質を考える。
○２つのグラフを比較して、どのようなことが分かりますか。
◆どちらも直線。
◆どちらも原点を通る。
◆比例定数が正だと右上がりで、負になると右下がりになる。
７ 振り返りを行う。
○分かったことや疑問、他の意見を聞いて増えた視点、新たに考えたいと思ったことなど書きましょう。
◆グラフが、式を成り立たせる値の組を表す点の集まりであることが分かった。
◆比例のグラフの性質が分かった。
◆直線になるのだから、定規を使ってすぐに引けると思う。
○次回は、比例のグラフの性質を確認して、グラフを簡単にかく方法について考えてみましょう。

◎タブレットを活用して提出させる。
◎提出させたものを全体で共有させる。

個別→一斉

…
…

◎全体で共有させる。

個別→一斉

終結
７分

◆
xy

個別

y＝-2x のグラフをかいてみましょう。

◎タブレットを活用して提出させる。
◎提出させたものを全体で共有させる。

第１学年

数学科学習指導案(第10時)【③整理・分析１

単元名「比例と反比例」（東京書籍

２

本時の計画

情報を分析させタイ】

新しい数学１）

目標比例の表、式、グラフを関連付けて理解することができる。また、比例のグラフから式を求めることができる。

探究の過程
整理・分析

比例、反比例として捉えられる２つの数量について変化や対応の特徴を論理的に確かめたり、表、式、グラフの関係を考えたりする。

２…
…

課題を設定する。

整理・分析

比例の表、式、グラフを関連付けて調べてみよう。
○実際に問題を解いて考えてみましょう。
３ 問題解決に取り組む。
◆比例定数は-3
・表から① x が１増えると y が３減っているから。
② x×(-3)＝y(y÷x＝-3)だから。
③ x＝１のとき、y＝-3 だから。
・グラフから④ x＝１のとき、y＝-3 だから。
⑤ x が１増えると y が３減っているから。

◎表を横に見る見方。
◎表を縦に見る見方。
◎y＝ax に x＝１のとき、y＝a。
◎y＝ax のグラフは点(１,a)を通る。
◎傾きが a。
グループ→一 斉

４ 共有する。
○それぞれの考えを班で伝え合いましょう。途
中まででもかまいません。
◆（伝え合う。）○全体でも確認します。○○さん、お願いします。

一斉 個別展開40分◎指導上の留意点

一斉○比例の式を求めるためには何が分かればよいですか。
◆比例定数が分かればよい。
○そうすると、「表やグラフから比例の式を求める」というのはどういうことですか。
◆表やグラフから比例定数 a を求めること。

形態○指導過程段
学習活動階○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応
導 １ 問題を把握する。
入
次の表やグラフは、y が x に比例する関係を５表したものです。この表やグラフから比例の分式を求めましょう。
x… -3 -2 -10123
y…
96
30-3 -6 -9◎机間指導を行い、全体で共有する際の発表者を決めて声掛けをし、発表用にノートを撮影しておく。
◎学習活動３の①～⑤について発表させる。

◎プリントを配布する。

個別

６ 適用問題を解く。
○まとめたことを使って、次の問題を解いてみましょう。

個別→一斉

５ まとめる。
○皆さんが考えたことを基にまとめてみましょう。
◆◎解答、解説をタブレット端末で見られるように準備しておき、各自で答え合わせを行うようにする。

次のグラフは比例のグラフです。
比例の式を求めましょう。

７ 振り返りを行う。
○分かったことや疑問、他の意見を聞いて増えた視点、新たに考えたいと思ったことなどを書きましょう。
◆表、式、グラフのそれぞれに比例定数が表れるところがあることが分かった。
◆比例のグラフから表の関係から、式を求められることが分かった。

個別→一斉

終
結５分

◎タブレットを活用して提出させる。
◎提出させたものを全体で共有させる。

第１学年 数学科学習指導案(第17時)【④まとめ・表現 相手意識を持った表現活動をさせタイ】
１

単元名「比例と反比例」（東京書籍

新しい数学１）

２

本時の計画
身の回りの問題で、関数の関係にある数量を見いだし、その関係を比例とみなして解目標決することができる。
探究の過程 比例、反比例の性質やグラフのかき方、式の求め方などを活用した問題解決の過程をまとめ・表現 まとめたり発表したりすることで、考えたことをまとめ・表現する力を身に付ける。
形態 一斉○指導過程段
学習活動◎指導上の留意点
階○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応
導 １ 問題を把握する。
まとめ・表現入 ○問題を読みましょう。
７
体育の横山先生は、生徒みんなにプールを楽しんでほしいと考え、夏休みに次のような企画分を考えました。
＜１日目＞みんなでプール掃除＜２日目＞水と泳ぎに親しむ日①プール清掃をした後、プールは空のままにしておく。
②水をため始めたときからプールを開放する。
③泳ぎが苦手な生徒は浅いときに、泳ぎが好きな生徒は深いときにそれぞれ楽しめる。
⑴ １日目のプール清掃は、午後３時から行う予定です。遅くとも何時までに水を抜き始める必要がありますか。
⑵ ２日目のイベントは、午前９時から行う予定です。初級者、中級者、上級者のそれぞれに、おすすめの時間帯を説明しましょう。
【参考】深さの目安：膝→40～50cm、股下→80cm、腰高→100cm、胸→120cm
一斉

２ 見通しを立てる。
○問題を解決するには何を知りたいですか。
◆どのくらい水がたまっているか。
◆水を抜くときの、水の減り方。
◆水をためるときの、水の増え方。
○そうですね。このようになっていました。

◎必要な条件について個で考える時間を確保してから確認させる。

○満水で、深さ 120cm の水がたまっている。
○満水状態から水を抜いたとき、３時間後には深さ 60cm になっていた。
○空の状態から水をためたとき、３時間後に 72cm の深さまで水がたまっていた。
３ 問題解決に取り組む。
○それでは、問題に取り組んでみましょう。
○⑴について確認してみます。
◆⑴ ６時間後・60÷３＝20120÷20＝６・120÷60＝２
２×３＝６○引き続き⑵にも取り組みます。何を使って考えたらよいでしょうか。
◆表。式。グラフ。
○そうですね。

個別展
開35分◎⑴について全員が解ける程度の時間を確保する。
◎机間指導で、発表者を決めて声掛けしておく。

個別

４ 課題を把握し、取り組む。
○⑵についても考えてみましょう。分かりやすい説明を考えましょう。考えがまとめられた人は、タブレット端末で写真を撮影し、提出してください。提出できた人は、伝えるための資料を作ってみましょう。

◎級友に質問をしてもよいこととする。
◎生徒の様子を見ながら、表やグラフが視覚的に捉えやすいことなどを必要に応じて示唆する。
◎タブレット端末を活用して、提出させる。

◆（例）
時刻9101112131415(時)時間
012
3456(時間後)
深さ024
4872
96 120 120(cm)
水が怖い人には９時～11時が、初心者には11～12時が、中級者、上級者には13時以降がおすすめ。水が怖い人は膝くらいなら大丈夫だと思う。初心者の人は後半になれば少し泳げて、立ったときに腰くらいなら安心だと思う。
中級者以上は泳げるから、午後をすすめる。

７ 振り返りを記入する。
○他の人の考えを聞いて考えたことや感じたことをかきましょう。
◆グラフを使うと、変化の様子が想像しやすいと思った。
◆表だと一目で分かるよさがある。
◆苦手な人の立場で考えると、上がる時間を教えたり、不安が減る方法で伝えたりするといいと思った。
○分かったことや疑問、他の意見を聞いて増えた視点、新たに考えたいと思ったことなど書きましょう。
◆身の回りに比例を活用できるものがあることが分かった。
◆他にも比例を活用できたり、予想できたりするものがあると思う。
◆反比例が使えるようなものもあるのかな。

◎ＩＣＴを活用して、共有する場を設ける。
個別

終結
８分

◎机間指導で、発表者を決めて声掛けしておく。
◎タブレット端末を活用して、発表に必要な資料を集めておく。

一斉

６ 全体で共有する。
○他の人の考えを聞いてみましょう。
◆（全体に向けて発表する。）

グループ５ グループで共有する。
○おすすめの時間帯とその考え方について、それぞれ発表しましょう。資料を作った人は、それを使ってもかまいません。
◆表で考えた。ぴったり○時しか分からないけど、一目で分かる。
◆グラフで考えた。表より分かりにくいかもしれないけど、増え方がなんとなく分かるから安心できると思う。
◆入れる時間だけではなくて、プールから上がった方がいい時間も考えてみた。

◎タブレット端末を活用して、提出させる。
◎提出させたものを全体で共有させる。