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東京大学 UTokyo OCW 学術俯瞰講義
Copyright 2014, 岡本和夫

The University of Tokyo / UTokyo OCW The Global Focus on Knowledge Lecture Series
Copyright 2014, Kazuo Okamoto

学術俯瞰講義
数学－革新の歴史と伝統の力
2014年度夏学期
第４回「数学－発想の力」
2014/05/08 岡本和夫

まずは宿題から＊

気が付きましたか？
誰が最初に見つけたの？

『ある島に井戸と松の木と梅の木がある。
井戸から松の木まで歩いていき，左回りに90度向きを変え，同じ距離だけ進み，そこに杭を打つ。
次にもう一度井戸に戻って，井戸から梅の木まで歩いていき，右回りに90度向きを変え，同じ距離だけ進み，そこに杭を打つ。
この杭と杭の真ん中の地点に財宝を埋めた』と，古文書には書いてある。その財宝を見付けようと，行ってみると松の木と梅の木はあるが，井戸が埋まってしまっていて，見付けられなかった（杭は打てず，悔いが残る？）。
【『高等学校指導要領解説 数学編』（文部科学省、平成21年11月）、第1部2章6節「数学活用」、p.61より引用，一部修文】

井戸

梅の木

松の木

杭を打つ

財宝？
杭を打つ

財宝は何処に！

梅の木
松の木a , b0 , 0L , 0 
L  b , a  Lb ,  a LL , 22ポイント

数学の問題は難しくすると簡単に解ける（場合がある）
そもそも，こんなことに気が付くかどうか（初めに気が付いた人が偉い）このポイントは学校の数学に限ったことではない

というわけで＊題材を初等幾何学から誰が見つけた？

ナポレオンの定理

Joseph-Louis Lagrange
1746-1818

Gaspard Monge
1746-1818

Jean Baptist Joseph Fourier
1749-1827

Pirre-Simon Laplace
1749-1827

Jean Victore Poncelet
1788-1867フェルマー点

RAAP  BQ  CRQXBCPAXB  BXC CXA
 120

AXBC

3つの角がいずれも 120より小さい時にはAX  BX  CX が最少となる点 X がフェルマー点

与えられた三角形の外心

ナポレオンの定理

外ナポレオン三角形

3つの正三角形の中心の作る三角形は常に正三角形となる。

RACR
 3DFFDCDAF  CAR  CAB  60
AC AR
 3AD AFADF  ACR

RCR
 3DFCR
 3EFFDB

FD  EFDE  EF  FDCE

ナポレオン点

もとの三角形の頂点と、対辺側にあるナポレオン三角形の頂点を結ぶ3つの線分は一点で交わる。

AB AC 3AF ADAK AFC
BK BFCAF

AF  AC  AB  ADBL BEA
CL CEAAFC  ADBCM CDBAM ADBKDMNBLCAK BL CM1BK CL AM

E
チェバの定理もとの三角形とナポレオン三角形は重心を共有する。

一般に、互いに相似な三角形を各辺に付け加えてみる。
ナポレオン三角形は特別な場合。

与えられた三角形の重心

外側の三角形の重心

もとの三角形と新しく作った三角形も重心を共有する。

F
tx  s1  y ,1  sx  t 1  y 0,1 AG

s, t  D

B x, y 1
x, y  13

EC 0, 0

1  t x  sy, sx  1  t y OA  OB  OC  3OG  OD  OE  OF

Napoléon Bonaparte
1769-1821

最後に3つの三角形の面積の関係を示す。
これはナポレオン以降に分ったことらしい。

この3点も正三角形を作る。

ナポレオンの定理（承前）内ナポレオン三角形

DE  EF  FD  BC  aACA  b3 2
DEF 
4FAB  c

DAF  CAB  60

DBC





3 23 2122 a  b  c  ABC
4242E

UV  VW  WU  '

BC  aACA  b3 2'UVW 
4AB  c

UAV  60  CAB
UVWC

33 21222' a  b  c  ABC
4242B

ABC  DEF  UVWA

FUVDBWCE

113 2DEF  ABC  UVW  ABC a  b2  c22224

ここで数学は少し休みます
前回の復習というほどではないですが･･･

数学の形

モデル
数学

言語

数学

道具

数学

ニュートンさんの場合

Sir Isaac Newton
1643-1727

天体

Sir Isaac Newton by Sir
Godfrey Kneller, Bt,
1702. NPG 2881.
© National Portrait
Gallery, London
http://www.npg.org.uk/collections/search/portrai
t/mw04660/Sir-IsaacNewton
CC BY-NC-ND 3.0

ケプラーの法則
言語
万有引力の法則

道具

数学

逆問題（微分積分学の誕生）

万有引力の法則
運動の法則

言語
ケプラーの法則

道具

数学

ケプラーの法則

 楕円軌道の法則： 惑星の軌道は、太陽を１つの焦点とする楕円である。

 面積速度一定の法則： 太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に通過する面積は、その惑星の軌道上の位置によらず一定である。
 調和法則： 惑星の公転周期の２乗は軌道の長軸の長さの３乗に比例する。

ニュートンの法則

 慣性の法則： 静止している物体は、ほかからの作用を受けない限り、もと と同じ状態を続ける。
 運動の法則： 物体の運動の変化は力の作用に比例し、その力の働く方向に起こる。
 作用反作用の法則： ２つの物体が互いにおよぼし合う力は、大きさが等しく方向が反対である。

楕円が出てきたので調子に乗って数学の教材を少々

テーマ
二次曲線
極座標
私が高等学校時代にもっとも感動した結果の一つですImage by Duk at en.wikipedia CC BY-SA 3.0
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conic_sections_2.png

2次曲線は円錐曲線としてあらわされる

放物線

楕円双曲線
Image by Marcelo Reis, from Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0［放物線］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas2.PNG［楕円］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas1.PNG［双曲線］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas3.PNG

F , F'

焦点

FF'［円錐と楕円］Image by Marcelo
Reis, from Wikimedia Commons
CC BY-SA 3.0
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas1.PNG

PF  PT

HPF '  PT 'TPF  PF '  PT  PT '
 TT 'F
P
F'T'P

動点

［円錐と楕円］Image by Marcelo
Reis, from Wikimedia Commons
CC BY-SA 3.0
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas1.PNG

楕円の定義 2点からの距離の和が一定

PPF  PF ' 2aF'F［円錐と楕円］
Image by Marcelo
Reis, fromWikimedia
Commons
CC BY-SA 3.0
http://commons.wiki
media.org/wiki/File:C
onicas1.PNG



F

'F'

'


 , '準線

［円錐と楕円］
Image by Marcelo
Reis, from
Wikimedia
Commons
CC BY-SA 3.0
http://commons.wiki
media.org/wiki/File:C
onicas1.PNG


T R
FPF'

Q



［円錐と楕円］
Image by Marcelo
Reis, from
Wikimedia
Commons
CC BY-SA 3.0
http://commons.wiki
media.org/wiki/File:C
onicas1.PNG

QT RFPPQ  PR  RPT  
PQR  F'PR  PT cos PR  PQ sin sin PT PQcos PF  PT

［円錐と楕円］
Image by MarceloReis, fromWikimedia
CommonsCC BY-SA 3.0
http://commons.wiki
media.org/wiki/File:Conicas1.PNG

QF ' P  ePQ 'F

'PF'FP  ePQ

切り口の平面ではFP  ePQP

QF0  e 1
離心率Image by Marcelo Reis, from Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0［放物線］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas2.PNG［楕円］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas1.PNG［双曲線］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas3.PNG

e 10  e 11 e

放物線

楕円双曲線

極座標表示rPr , r  OP

  XOP


XOO

極OX

始線

どんな点も

r , で表される！

楕円の極座標表示（焦点を極とする）
FP  r , EFP  FE P

e

QX

FEr
PQ e



r
 FE  r cos  eer1  e cos FP  ePQ

Image by Marcelo Reis, from Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0［放物線］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas2.PNG［楕円］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas1.PNG［双曲線］http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conicas3.PNGr
1  e cos e 10  e 11 e

話変わって＊最先端の話題をひとつ
決着は皆さんに託された

フェルマーの最終定理

x y z
nnxyz  0
整数の解 x , y , z は存在しないn3n4n  p (奇素数)nn3
余白が足らない！

n3

Adrian-Marie Legendre
1752-1833

n5
Leonhard Euler
1707-1783

Perre de Fermat
1601-1665n4＊Sir Andrew John Wiles
by Unknown photographer.
© National Portrait Gallery, London

Andrew John Wiles
1953-63x y z
33xyz  03

整数解が存在しないことはオイラーが証明した。
数学は楽観的な見方が勝利する本当か？

2682440  15365639  18796760

4 20615673

44427  84  110  133  144
55555abc予想
2012年9月に解決した（かもしれない）という不思議な予想
いろいろなバージョンがありますが次のものは未解決
もしこの事実が正しいならばフェルマーの最終定理は簡単な帰結です

互いに素な自然数の組 a , b , c 
で a  b  c, a  b  cとするとき

c  rad (abc)

265

（イロハ予想）

互いに素な自然数の組 a , b , c 
で a  b  c, a  b  cとするとき

c  rad (abc)2rad (1562512345)  rad (15625)  rad (56 )  rad (5)  5rad (2  3  7 11 )  rad (2  3  7 11)  2  3  7 11rad (13446972)  rad (462)  462
2432

x y znaxnnb yncznnz  rad ( x y z )  rad ( xyz )  xyz   znnn n

22n6n  3 , n  4 , n  5 については個別に解決済

26

授業準備の参考にして面白かった本等

ボザマンティエ・レーマン『偏愛的数学I：脅威の数』坂井公訳、岩波書店、2011年

ボザマンティエ・レーマン『偏愛的数学II：魅惑の図形』坂井公訳、岩波書店、2011年

黒川信重、小山信也『ABC予想入門』
PHP研究所、2013年