平成 29 年度
修士学位論文

時間依存 Ginzburg-Landau 方程式を用いた
異なるピンにおける超伝導体内の磁束線運動に関する研究

谷村 賢太
学籍番号：14676118
九州工業大学大学院

情報工学府

先端情報工学専攻 電子情報工学分野

指導教員：小田部 荘司
平成 30 年 2 月 9 日

目次
第 1 章 序論 .......................................................................................................................... 3
1.1 はじめに ..................................................................................................................... 3
1.2 磁束ピンニング .......................................................................................................... 3
1.3 (Time-Dependent)Ginzburg-Landau 方程式 ........................................................... 5
1.3.1 Ginzburg-Landau(G-L)方程式 ........................................................................... 5
1.3.2 Time-Dependent G-L(TDGL)方程式 ................................................................. 6
1.3.3 TDGL 方程式の簡易化 ........................................................................................ 7
1.4 近接効果 ....................................................................................................................11
1.5 ピーク効果 ................................................................................................................11
1.6 ガウス＝ザイデル法 ................................................................................................. 13
1.7 微分方程式の数値解法 ............................................................................................. 13
1.7.1 オイラー法 ......................................................................................................... 13
1.8 本研究の目的 ............................................................................................................ 14
第 2 章 計算手法................................................................................................................. 15
2.1 計算条件 ................................................................................................................... 15
2.1.1 電流密度と外部磁束密度の条件 ........................................................................ 15
2.1.2 オーダーパラメータとスカラーポテンシャルの初期条件 ................................ 15
2.1.3 境界条件 ............................................................................................................ 16
2.2 シミュレーションモデル ......................................................................................... 17
2.2.1 球の形状を持ったピン(球状ピン) ..................................................................... 18
2.2.2 円柱の形状を持ったピン(円柱状ピン) .............................................................. 24
2.2.3 板の形状を持ったピン(面状ピン) ..................................................................... 31
第 3 章 計算結果及び考察 .................................................................................................. 34
3.1 𝐸-𝐽特性 ..................................................................................................................... 34
3.1.1 球状ピンにおける𝐸-𝐽特性 ................................................................................. 34
3.1.2 円柱状ピンにおける𝐸-𝐽特性 .............................................................................. 38
3.1.3 面状ピンにおける𝐸-𝐽特性 ................................................................................. 44
3.2 𝐽c-𝐵特性.................................................................................................................... 46
3.2.1 異なる個数で導入された球状ピンにおけるピンニング効果の比較 ................. 46
3.2.2 球状ピンにおける超伝導電子の染み出しによるピンニング効果の比較 .......... 47
3.2.3 異なるスケールで導入された球状ピンにおけるピンニング効果の比較 .......... 48
3.2.4 異なる個数で導入された円柱状ピンにおけるピンニング効果の比較.............. 49
3.2.5 円柱状ピンにおける超伝導電子の染み出しによるピンニング効果の比較 ...... 50
3.2.6 異なる間隔で配置された円柱状ピンにおけるピンニング効果の比較.............. 51
13.2.7 異なる格子形状に配置された円柱状ピンのピンニング効果の比較 ................. 53
3.2.8 異なる角度で導入された円柱状ピンのピンニング効果の比較 ........................ 54
3.2.9 異なる厚さを持つ面状ピンのピンニング効果の比較 ....................................... 55
3.2.10 異なる形状を持つピンのピンニング効果の比較 ............................................ 56
第 4 章 総括 ........................................................................................................................ 58
4.1

総括.......................................................................................................................... 58

4.2

𝐸-𝐽 特性................................................................................................................... 58

4.3 𝐽c-𝐵 特性 .................................................................................................................. 58
4.4 今後の課題 ............................................................................................................... 59
参考文献 ............................................................................................................................... 60

2

第1章

序論

1.1 はじめに超伝導現象は、超伝導体という物質の電気抵抗が温度の低下とともに消滅する現象であり、1911 年にオランダの物理学者 H.K.Onnes によってはじめて水銀で発見された。その後多くの元素、金属、化合物について超伝導現象が確認されている。超伝導体は、その電気抵抗が消滅する性質から様々な工学的な応用に期待されているが、その性質は、現在までに発見された多くの超伝導体において、わずかな磁界や温度によって失われてしまうために応用が難しいものであった。このように、超伝導体はある磁界や温度の範囲内でのみ
超伝導現象を示すものであり、その転移温度を臨界温度𝑇c 、転移磁界を臨界磁界𝐵c と呼ぶ。
超伝導現象は、現在までにその発現機構や性質に関する研究が進められており、1933 年にド イ ツ の 物 理 学 者 W.Meißner と R.Ochsenfeld に よ っ て 超 伝 導 体 の 完 全 反 磁 性（Meißner-Ochsenfeld 効果）を発見し、さらに 1957 年に J.Bardeen、L.N.Cooper、
J.R.Schrieffer らによって BCS 理論が提唱され、超伝導現象の発現機構における基本的な理解が与えられた。しかし、BCS 理論では、超伝導体の𝑇c は 30 K を超えない（これは BCS
理論の壁と呼ばれる）と予想されていたが、1986 年にドイツの物理学者 J.G.Bednorz とス
イスの物理学者 K.A.Müller らによって、𝑇c が 35 K となる La-Ba-Cu-O 系の超伝導体が発見された。この発見以降に世界各国で𝑇c の高い超伝導体の探索が行われ、1987 年に、液体窒素温度(77 K)より高い𝑇c をもつ超伝導体が発見された。高温超伝導体の中でも、銅酸化物
であるものは銅酸化物高温超伝導体と呼ばれる。𝑇c が 77 K を超える高温超伝導体が発見されるまで、液体ヘリウムが超伝導体の冷媒に用いられていたが、ヘリウム資源は地中からの採掘以外では回収が困難であり、その採掘量も枯渇していくことが予想されている。しかし、𝑇c が 77 K を超える高温超伝導体が発見されてからは、その冷媒に液体窒素を用いる
ことや、冷却手段として冷凍庫を使用することが可能となった。窒素はヘリウムと比較して回収が容易であることから、超伝導体の冷却コストの低減により様々な機器への応用が期待されている。しかし、これらの高温超伝導体にも実用化に向けて様々な課題が残されているため、現在でも研究が続けられている状態である。

1.2 磁束ピンニング
超伝導体は、それが超伝導状態にあるときに、電流を流した場合や外部磁場をかけた場
合、その磁気的な性質、振る舞いの違いにより、第一種超伝導体と第二種超伝導体に区別される。第一種超伝導体は、電流および外部磁界を与えていない場合、その超伝導体の𝑇c 以下の温度において超伝導状態となり完全反磁性を示す。しかし、これに外部磁界を与えていくと、ある外部磁界の大きさにおいてその超伝導状態が破壊されてしまう。この磁界は3前述した𝐵c である。一方で、第二種超伝導体は、第一種超伝導体と同じようにある磁界までは完全反磁性を示すが、その磁界を超えると第一種超伝導体とは異なり、超伝導体内部に一定の磁束（磁束線）を侵入させ、超伝導状態を維持することができる。磁束線を侵入させた領域は常伝導状態となるが、全体としては超伝導状態を維持している。この状態を混合状態と呼ぶ。さらに、この第二種超伝導体に外部磁界を与えていくと超伝導状態が破壊される。第二種超伝導体の完全反磁性を示さなくなる転移磁界を𝐵c1 、超伝導状態が破壊される転移磁界を𝐵c2 とする。
現在発見されている超伝導体では、第一種超伝導体の𝐵c と比較すると、第二種超伝導体の𝐵c2は非常に大きいことが知られている。このために、工学的な応用には第二種超伝導体が用いられていることが一般的である。第二種超伝導体は、前述したとおり混合状態においては超伝導体内部に磁束線が侵入している（この磁束線の磁束密度を𝑩とする）。そのため、超伝導体に流す輸送電流（この電流密度を𝑱とする）により、その磁束線（正確には、その磁束線を留める渦糸電流）に Lorentz 力𝑭L が与えられる(Fig. 1.1)。この𝑭L は、
𝑭L = 𝑱 × 𝑩(1.1)と表すことができる。また、この𝑭L により磁束線が速度𝒗で運動した場合、Josephson の式
より、誘導起電力
𝑬 = 𝑩×𝒗(1.2)

が生じる。この𝑬は、𝑱と同じ向きに生ずるので、
𝑱∙𝑬>0

(1.3)

こうした状態が定常的に続くためには、この誘導起電力に見合った損失が発生しなければならない。すなわち、この𝑬は超伝導体に対して Ohmic な損失をもたらすこととなり、超伝導体の超伝導状態を破壊する原因となる。しかしながら、実際の第二種超伝導体には磁束の運動を止める（𝒗 = 0）作用があり、第二種超伝導体に含まれる常伝導析出物、空隙、結晶粒界面など、あらゆる欠陥や不均質物質がその作用をする。こうした欠陥などをピン
ニング・センターと呼び、それらの作用を磁束ピンニングと呼ぶ。磁束ピンニングは、𝑭L がある臨界値を超えるまで磁束線の動きを止めるため、𝑬による損失を生じさせないようにすることができる。単位体積当たりのピンニング・センターが磁束線に及ぼす力をピン力密度𝑭p とすると、超伝導体に𝑬が生じ始める電流密度（これを𝑱c とする）の下では、磁束線に単位体積当たりに
𝐹L = 𝐽c 𝐵(1.4)の Lorentz 力が働いており、これが𝑭p と釣り合っていることから、
𝐽c =

𝐹p
𝐵

(1.5)

の関係がある。(1.4)式の𝐽cを臨界電流密度という。第二種超伝導体は、𝑇c 、𝐵c2、𝐽cそれぞれのパラメータが工学的な応用において重要となっている。

4

Fig. 1.1：超伝導体に対して電流密度と磁束密度を垂直に与えた場合

1.3 (Time-Dependent)Ginzburg-Landau 方程式
1.3.1

Ginzburg-Landau(G-L)方程式

Ginzburg-Landau (以降 G-L と記す)理論は、1950 年に V.L. Ginzburg と L.D. Landau に
よってロシアで提唱された超伝導を説明する現象論である[1]。G-L 理論は磁界と超伝導が共存する場合の相転移を取り扱ったもので、とくに第二種超伝導体の磁気特性をよく記述することが知られている[2, 3]。
この G-L 理論では、まず超伝導状態の秩序を表す量として、複素数のオーダーパラメータ𝛹 = |𝛹|exp(𝑖𝜑)を定義し、𝑛s を超伝導電子密度として以下の式を満たすものとする。
|𝛹|2 ∝ 𝑛s(1.6)

超伝導状態の自由エネルギー𝐸s は𝑛s に依存しているため、(1.6)式より|𝛹|2の関数となる。ここで、転移点近傍において|𝛹|2は十分小さいと期待できるため、𝐸s は以下の式にように|𝛹|2のべき展開ができる。
𝐸s = 𝐸n + 𝛼|𝛹|2 +

𝛽
|𝛹|4
2

(1.7)

𝐸n は常伝導状態の自由エネルギーである。また、超伝導-常伝導転移(以降 S-N 転移と記す)を記述するためには|𝛹|4 の項までの展開で良い。𝛼および𝛽はそれぞれべき展開した際の 1
次と 2 次の係数である。𝑇 < 𝑇c では𝛼 < 0、β > 0である。
次に、磁界の存在が𝛹の空間的変化に寄与することを考慮して、(1.7)式に磁界のエネルギ
ー密度と運動エネルギー密度を加算する。
5

𝐸s = 𝐸n + 𝛼|𝛹|2 +𝛽1
1|𝛹|4 + (𝜵 × 𝑨)2 +|(−𝑖ℏ𝜵 + 𝑒 ∗ 𝑨)𝛹|2
2
𝜇0
2𝑚∗

(1.8)

𝜇0 は真空中の透磁率、𝐴はベクトルポテンシャル、𝑚∗ は超伝導電子の質量、𝑒 ∗は超伝導電子の電荷量、ℏはプランク定数、iは虚数単位である。
𝐸s を最小とするように、𝛹の共役複素数𝛹 ∗と𝑨について変分法を適用すると、
δ𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝐸s
=
− [𝜵 ∙
]=0
∗
∗
𝛿𝛹
𝜕𝛹
𝜕∇𝛹 ∗

(1.9)

δ𝐸s 𝜕𝐸s
𝜕𝐸s=− [𝜵 ∙
]=0
𝛿𝑨
𝜕𝑨
𝜕∇𝑨

(1.10)となり、(1.9)式と(1.10)式をそれぞれ解くと、以下の 2 式が得られる。
1(−𝑖ℏ𝜵 + 𝑒 ∗ 𝑨)2 𝛹 + α𝛹 + 𝛽|𝛹|2𝛹 = 02𝑚∗(1.11)

1iℏ𝑒 ∗ ∗𝑒 ∗𝟐∗)
(𝛹|𝛹|𝟐 𝑨
𝜵×𝜵×𝑨=
𝜵𝛹
−
𝛹𝜵𝛹
−
𝜇0
2𝑚∗
𝑚∗

(1.12)

ここで、Coulomb ゲージ𝜵 × 𝑨 = 0を用いた。また、条件として超伝導体表面を横切って電流が流れないことを仮定した。この(1.11)、(1.12)式を G-L 方程式という。

1.3.2

Time-Dependent G-L(TDGL)方程式

Time-Dependent G-L(以降 TDGL と記す)方程式は、G-L 方程式に時間依存性を付与したものである。 (1.9)及び(1.10)式に対して時間発展する場合を考えると、以下の 2 式となる。
δ𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝛹
=
− [𝜵 ∙] = −γ
∗
∗
∗
𝛿𝛹
𝜕𝛹
𝜕∇𝛹
𝜕𝑡

(1.13)

δ𝐸s 𝜕𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝑨=− [𝜵 ∙] = −ν
𝛿𝑨
𝜕𝑨
𝜕∇𝑨
𝜕𝑡

(1.14)

γとνはそれぞれ𝛹と𝑨の時定数である。さらにゲージ変換を与えると、ℏ∂𝛹𝜕→ (ℏ + i𝑒 ∗ 𝑉) 𝛹𝜕𝑡𝜕𝑡

(1.15)

∂𝑨 𝜕𝐴
→
+ 𝜵𝑉
𝜕𝑡
𝜕𝑡

(1.16)となる。ここで、𝑉はスカラーポテンシャルである。(1.15)、(1.16)式を(1.13)、(1.14)式それぞれに代入すると、
𝜕𝛹
1(−𝑖ℏ𝜵 + 𝑒 ∗ 𝑨)2 𝛹 + α𝛹 + 𝛽|𝛹|2𝛹 = 0+ i𝑒 ∗ 𝑉𝛹) +𝜕𝑡2𝑚∗(1.17)

𝜕𝑨1iℏ𝑒 ∗ ∗𝑒 ∗𝟐(𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ ) − ∗ |𝛹|𝟐 𝑨 = 0
𝜈 ( + 𝛁𝑉) + 𝜵 × 𝜵 × 𝑨 +
∗
𝜕𝑡
𝜇0
2𝑚
𝑚

(1.18)𝛾(となる。
6

1.3.3

TDGL 方程式の簡易化

本研究では TDGL 方程式をシミュレーションを用いて解くが、(1.17)、(1.18)式をそのまま解くのは困難であるため、細線近似と規格化による 2 つの簡易化を行う[4, 5]。
細線近似では、非常に細い超伝導線(以降 SC ナノワイヤと記す)に外部磁界𝑩extを印加した時、SC ナノワイヤ全体に𝑩ext が侵入すると仮定する。これにより、𝑨は𝑩ext にのみ依存する変数となる。本研究で𝑩ext は一定とするため、(1.18)式は、左辺第一項の時間偏微分が 0となり一定となる。
次に(1.17)、(1.18)に対して規格化を行う。超伝導体のコヒーレンス長𝜉と磁界侵入長𝜆は
熱力学的臨界磁界を𝐻c として以下の 2 式のように表す。
𝜉=ℏ(1.19)√2𝑚∗ |𝛼|𝜆=𝑒 ∗ 𝜇0 𝐻c(1.20)√𝑚∗|𝛼|

そして、(1.21)~(1.26)式に記す規格化を行う。
𝜉𝜵 → 𝜵

(1.21)|𝛼|𝑡→𝑡𝛾(1.22)

𝑒 ∗𝛾
𝑉→𝑉
|𝛼|

(1.23)

𝜆𝑨→𝑨(1.24)𝛽 2( ) 𝛹→𝛹
|𝛼|(1.25)√2𝜇0𝐻c1

すると、(1.17)式左辺第 1 項は、
1

1

|𝛼| 2
|𝛼|
|𝛼| 2
𝜕𝛹
𝜕
𝛾(
+ i𝑒 ∗ 𝑉𝛹) → γ [( ) 𝛹 + i𝑒 ∗ ( ∗ 𝑉) ( ) 𝛹]
𝛾
𝜕𝑡
𝑒 𝛾
𝛽
𝜕 ( 𝑡) 𝛽|𝛼|11|𝛼| 2 𝜕𝛹|𝛼| |𝛼| 2= γ [( )+i( ) 𝑉𝛹]𝛾𝛽𝛾 𝛽
𝜕 ( 𝑡)|𝛼|1

1|𝛼| 2 𝜕𝛹 1
|𝛼| 2
1
= γ [ |𝛼| ( )+ |𝛼| ( ) i𝑉𝛹]
𝛾
𝛽
𝜕𝑡 𝛾
𝛽
1

|𝛼| 2 𝜕𝛹= |𝛼| ( ) [+ i𝑉𝛹]
𝛽𝜕𝑡(1.17)式左辺第 2 項は、
7(1.26)

1(−𝑖ℏ𝜵 + 𝑒 ∗ 𝑨)2 𝛹
2𝑚∗
1

2

|𝛼| 2
1
𝜵
√2𝜇0 𝐻c
∗
→
(−iℏ
−
𝑒
𝑨)
(
) 𝛹
2𝑚∗
𝜉
𝜆
𝛽
1

2

|𝛼| 2
= (−iℏ𝜵−𝑒𝑨) ( ) 𝛹
𝛽√2𝑚∗𝜉√2𝑚∗ 𝜆1√2𝜇0 𝐻c∗(1.27)
21|𝛼| 2√2𝑚∗ |𝛼|√2𝜇0 𝐻c√𝑚∗ |𝛼|= ( ) (−iℏ𝜵 − 𝑒∗𝑨) 𝛹
𝛽√2𝑚∗ ℏ√2𝑚∗ 𝑒 ∗ 𝜇0 𝐻c
1|𝛼| 2= |𝛼| ( ) (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹
𝛽(1.17)式左辺第 3 項は、
1|𝛼| 2α𝛹 → 𝛼 ( ) 𝛹
𝛽(1.28)(1.17)式左辺第 4 項は、
1

2

1

|𝛼| 2
|𝛼| 2
𝛽|𝛹|2 𝛹 → 𝛽 |( ) 𝛹| ( ) 𝛹𝛽𝛽(1.29)

12|𝛼|= |𝛼| ( ) |𝛹|2𝛹
𝛽(1.26)~(1.29)式をまとめると、(1.28)式右辺のαは負で、
1|𝛼| 2 𝜕𝛹𝛼( ) [+ i𝑉𝛹 + (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹 − 𝛹 + |𝛹|2 𝛹] = 0𝛽𝜕𝑡(1.30)

1|𝛼| 2(1.30)式の両辺を𝛼 ( 𝛽 ) で割ると、
𝜕𝛹+ i𝑉𝛹 + (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹 − 𝛹 + |𝛹|2 𝛹 = 0
𝜕𝑡(1.31)(1.18)式も同様に簡易化する。(1.18)式左辺第一項は、𝑨が一定として、
1 |𝛼|𝜈𝜵𝑉 → 𝜈 𝜵 ∗ 𝑉
𝜉 𝑒 𝛾
=

|𝛼|
𝜈𝜵𝑉
𝜉𝑒 ∗ 𝛾=√2𝑚∗ |𝛼| |𝛼|∙ ∗ 𝜈𝜵𝑉
ℏ𝑒 𝛾(1.18)式左辺第 2 項は、

8(1.32)

1
1 1
1√2𝜇0 𝐻c
𝜵×𝜵×𝑨→ ∙ 𝜵× 𝜵×
𝑨
𝜇0
𝜇0 𝜉
𝜉
𝜆
=

√2𝐻c
𝜵×𝜵×𝑨
𝜉2𝜆

2𝑚∗ |𝛼| √𝑚∗ |𝛼|=∙ ∗∙ √2𝐻c 𝜵 × 𝜵 × 𝑨ℏ2
𝑒 𝜇0 𝐻c=(1.33)

2√2𝑚∗ |𝛼|√𝑚∗ |𝛼|
𝜵×𝜵×𝑨ℏ2 𝑒 ∗ 𝜇0(1.18)式左辺第 3 項は、iℏe∗ ∗(𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )
2𝑚∗
1

1

1

1

|𝛼| 2
|𝛼| 2 1
|𝛼| 2 ∗iℏe∗ |𝛼| 2 ∗ 1
→
{(
)
𝛹
𝜵
(
)
𝛹
−
(
)
𝛹
𝜵
(
) 𝛹 }
2𝑚∗
𝛽
𝜉
𝛽
𝛽
𝜉
𝛽
(1.34)=iℏe∗ |𝛼| 1 ∗∙∙ (𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )2𝑚∗ 𝛽 𝜉=iℏe∗ |𝛼| √2𝑚∗ |𝛼| ∗(𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )
∙
∙
2𝑚∗ 𝛽
ℏ

=

i𝑒 ∗|𝛼|√2𝑚∗ |𝛼| ∗(𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )2𝑚∗ 𝛽(1.18)式左辺第 4 項は、
1

2

𝑒 ∗2
𝑒 ∗ 2 |𝛼| 2√2𝜇0 𝐻c2|𝛹|𝑨→|( ) 𝛹|
𝑨
∗
∗
𝑚
𝑚
𝛽
𝜆
=

𝑒 ∗ 2 |𝛼| √2𝜇0 𝐻c|𝛹|2 𝑨
∙
∙
𝑚∗ 𝛽
𝜆

=

𝑒 ∗ 2 |𝛼|√𝑚∗|𝛼||𝛹|2 𝑨
∙
∙
𝐻
∙
√2𝜇
0 c
𝑚∗ 𝛽
𝑒 ∗ 𝜇0 𝐻c=𝑒 ∗ |𝛼|√2𝑚∗ |𝛼||𝛹|2 𝑨𝑚∗ 𝛽(1.35)(1.32)~(1.35)式をまとめると、
2√2𝑚∗ |𝛼|√𝑚∗ |𝛼|
𝜵×𝜵×𝑨ℏ2 𝑒 ∗𝜇0𝑒 ∗ |𝛼|√2𝑚∗ |𝛼|i√2𝑚∗ |𝛼| |𝛼|
2
∗
∗ )}
(𝛹
=
{|𝛹|
𝑨
−
𝜵𝛹
−
𝛹𝜵𝛹
−
∙ ∗ 𝜈𝜵𝑉𝑚∗𝛽2ℏ𝑒 𝛾(1.36)式の両辺を|𝛼|√2𝑚∗ |𝛼|で割ると、
9(1.36)

2𝑚∗
𝑒∗
i
1
𝜵
×
𝜵
×
𝑨
=
{|𝛹|2𝑨 − (𝛹 ∗ 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )} − ∗ 𝜈𝜵𝑉2∗∗ℏ 𝑒 𝜇0𝑚 𝛽
2ℏ𝑒 𝛾(1.37)

ここで、本研究では TDGL 方程式を𝛹と𝑉について解くが、変数が 2 つに対して方程式が(1.31)式のみであるため、電流の発散の式
𝜵∙𝑱=0(1.38)

1
𝜵×𝜵×𝑨
𝜇0(1.39)

を第二の方程式として解く。 ここで、𝑱=である。(1.37)式の両辺に𝜵と内積を取ると、
𝑒∗i
10 = 𝜵 ∙ [ ∗ {|𝛹|2 𝑨 − (𝛹 ∗ 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )} − ∗ 𝜈𝜵𝑉]
𝑚 𝛽
2
ℏ𝑒 𝛾
↔

𝑒∗ i
1
{ (𝛹 ∗ 𝜵2 𝛹 − 𝛹𝜵2 𝛹 ∗) − |𝛹|2𝑨} = − ∗ 𝜈𝜵2 𝑉
∗
𝑚 𝛽 2
ℏ𝑒 𝛾

i
𝑚∗ 𝛽
↔ (𝛹 ∗ 𝜵2 𝛹 − 𝛹𝜵2 𝛹 ∗ ) − |𝛹|2 𝑨 = − ∗ 2 𝜈𝜵2 𝑉
2ℏ𝑒 𝛾(1.40)i↔ 𝜎𝜵2 𝑉 = (𝛹 ∗ 𝜵2 𝛹 − 𝛹𝜵2 𝛹 ∗ ) − |𝛹|2𝑨2が得られる。ここで、−𝑚∗𝛽ℏ𝑒 ∗ 2𝛾

𝜈→𝜎(1.41)とする。本研究では(1.31)式と(1.40)式をシミュレーションを用いて解析する。
一方、SC ナノワイヤの対破壊電流密度𝐽d を考えると、1 次元の G-L 方程式は𝛹(𝑥) =𝑓exp(i𝑞𝑥)に対して𝑨 = 0として、(1.31)式より、
0 = ∇2 𝛹 + (1 − |𝛹|2 )𝛹
=𝑑2(𝑓𝑒 i𝑞𝑥 ) + (1 − 𝑓 2 )𝑓𝑒 i𝑞𝑥
𝑑𝑥 2(1.42)= (−𝑞2 + 1 − 𝑓 2 )𝑓𝑒 i𝑞𝑥
故に、
𝑓 = 1 − 𝑞2

(1.43)

が成り立つ。このパラメータ𝑓と𝑞は𝐽sから決定される。
𝐽s = |𝛹|2

𝜕𝜑𝜕𝑥= 𝑓 2𝑞= 𝑞(1 − 𝑞2 )𝑞(1 − 𝑞2 )は𝑞 =

1
√3

2

≈ 0.577のとき最大値3√3 ≈ 0.385を取るため、

10(1.44)

𝐽s ≤ 𝐽d =23√3(1.45)≈ 0.3852(1.45)式より、規格化された電流密度𝐽は3√3 ≈ 0.385を超えて印加すると、対破壊電流を超えた電流を流していることになるため、注意する必要がある。

1.4 近接効果
本研究では超伝導領域の内部にピンニング・センターとして様々な形状を持った常伝導析出物(以降ピンと記す)を導入するが、この超伝導体とピンが接触した系において、ピンの領域に超伝導電子が緩やかに染み出すことが知られている[6]。これによってピンが超伝導性を示す現象を近接効果(proximity effect)という。
ピンの領域においては、(1.31)式に代わる方程式として、
𝜕𝛹+ i𝑉𝛹 + (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹 + 𝜂𝛹 = 0
𝜕𝑡(1.46)

を解く[7 - 10]。ここで、
1

𝜉 2
𝜂=( )
𝜉n

(1.47)であり、𝜉n はピンの領域のコヒーレンス長である。(1.40)及び(1.41)式より、𝜉n が大きいほど𝜂が小さくなり、示す超伝導性が強いピンとなる。一方、非現実的であるが、ピンの領域に超伝導電子の染み出しが全くない理想的なピンを考慮した場合、ピンの領域において(1.40)式に代わる方程式を、
𝛹=0(1.48)とする。

1.5 ピーク効果
超伝導体における臨界電流密度𝐽cは通常の場合、外部磁界の増加とともに単調に減少するはずであるが、ある磁界の大きさにおいて𝐽cのピークを示すことがある。この現象をピーク
効果(peak effect)という[2]。このピーク効果が観測される超伝導体は、金属系超伝導体や銅
酸化物超伝導体がある。ここで、 (1.19)と(1.20)式の比で表される GL パラメータ𝜅=𝜆𝜉

(1.49)

が十分小さい超伝導体は、上部臨界磁界𝐵c2 近傍において𝐽c のピークが現れることが経験的に知られている。そして、𝜅がそこから大きくなるにつれて𝐽c のピークは相対的に低磁界側11に移動する。特に𝜅が非常に大きい銅酸化物超伝導体では、かなり低い磁界で𝐽c のピークが現れる。これを特にフィッシュ・テール効果という(Fig. 1.2 参照)[2, 11, 12, 13]。

Fig. 1.2 : 各種超伝導体におけるピーク効果。(a)𝜅が低い Nb-50 at%Ta、(b)𝜅が高い Ti-22
at%Nb 及び(c)Y-Ba-Cu-o 高温超伝導体𝐵 ∥ 𝑐軸。
この𝐽cのピークをもたらす要因として、様々な機構が提案されているが、本研究ではその中の 1 つであるマッチング機構に注目する。

12

1.6 ガウス＝ザイデル法
連立 1 次方程式の解法には様々な手段があるが、その中に反復法の名で総称される 1 群の方法がある。この反復法の 1 つにガウス＝ザイデル法がある[14, 15, 16]。
このガウス＝ザイデル法は反復法の 1 つであるヤコビ法を改良したもので、連立 1 次方程式𝐴𝒙 = 𝒃を仮定すると、ヤコビ法では、
𝑖−1

𝑛𝑥𝑖𝑘+1 = (𝑏𝑖 − ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 − ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 )
𝑗=1
𝑗=𝑖+1

(1.50)と定義され、ガウス＝ザイデル法では、
𝑖−1𝑛𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑖𝑘+1 = (𝑏𝑖 − ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 − ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 )
𝑗=1
𝑗=𝑖+1

(1.51)と定義される[17]。変化値|𝑥𝑖𝑘+1 − 𝑥𝑖𝑘 |が任意の変化値以下になるまで繰り返しでこの計算を行う。ガウス＝ザイデル法はヤコビ法と比べて実装した際の使用容量と計算速度の両方の点で優れている。

1.7 微分方程式の数値解法
1.7.1

オイラー法

常微分方程式の数値解法の一つにオイラー法がある[15, 17]。これは導関数の定義式
𝑑𝑥𝑓(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑓(𝑡)= 𝑓(𝑡, 𝑥) = lim
Δ𝑡
𝑑𝑡
Δ𝑡

(1.52)

が元となっている。ここで、Δ𝑡が十分小さいと仮定し、(1.51)式を
𝑓(𝑡, 𝑥) =𝑓(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑓(𝑡)Δ𝑡(1.53)のように差分商で置き換える。これより、𝑡 + Δ𝑡における変数の値𝑥(𝑡 + Δ𝑡)は、𝑥(𝑡 + Δ𝑡) = 𝑥(𝑡) + Δ𝑡 ∙ 𝑓(𝑡, 𝑥)(1.54)と表現できる。オイラー法は数学的にシンプルであり、プログラムに実装することも容易であるが、1 階段数常微分方程式の数値解法としては、𝑡の発展に伴って誤差が蓄積されるため精度が悪い。この計算誤差を低減するためにいくつかの手法が考えられている[15]。

131.8 本研究の目的
過去の様々な研究において、超伝導体内のピンの条件の違いからその超伝導体の臨界電流密度𝐽cが変化することが知られている[18 - 24]。超伝導材料の工業的な応用において、よ
り大きな𝐽cが得られる超伝導材料の開発は極めて重要な課題である。そのため、より大きな𝐽cが得られる超伝導体を調査する研究が求められている。
しかしながら、ピンの濃度、形状、大きさ、配置などの条件の組み合わせは無数に存在するため、超伝導材料を実際に開発・測定・評価し、それを繰り返し行うのではコストが非常に大きくなり得る。一方、シミュレーションを用いて解析し調査する方法は、超伝導材料を作製する物質的資源が不要であることから非常に合理的である。
さらに、近年ではコンピュータの計算処理速度が大幅に向上していることから、シミュレーションを用いた解析に要する時間も大きく改善していることが容易に予想される。
そこで、本研究では横磁界下における真空中の SC ナノワイヤに導入するピンにおいて、
その濃度、形状、大きさ、配置、超伝導電子の染み出しの強さの違いが𝐽cにどのように影響するのかについて、簡易化した TDGL 方程式をシミュレーションを用いて解析することで、臨界電流密度-外部磁界特性(以降𝐽c-𝐵特性と記す)を調査することを目的とする。

14

第2章

計算手法

2.1 計算条件
本研究では、3 次元の TDGL 方程式について計算を行った。SC ナノワイヤはコヒーレン
ス長𝜉で規格化したサイズにおいて 1 辺の長さが10の立方体を仮定した。その後、ピンについて様々に条件を変えて計算を行った。座標軸を Fig. 2.1 のように定義する。

Fig.2.1：真空中における立方体の形状を持った超伝導体

2.1.1

電流密度と外部磁束密度の条件

SC ナノワイヤに与える電流密度𝑱と磁束密度𝑩はそれぞれ以下 2 式のように定義する。
𝑱 = 𝐽𝑦 𝒊𝑦(2.1)

𝑩 = 𝐵z 𝒊𝑧(2.2)

𝑱に対して𝑩を垂直に与える。つまりは横磁界である。

2.1.2

オーダーパラメータとスカラーポテンシャルの初期条件

オーダーパラメータ𝛹とスカラーポテンシャル𝑉の初期条件は以下のように定義する。
𝛹(𝑡 = 0) = cos𝜃 + i ∙ sin𝜃𝑉(𝑡 = 0) = −𝐽𝑦 ∙ 𝑦
𝜎

(2.3)
(2.4)

ここで、𝜃は位相を意味しており、初期値は0 ≤ 𝜃 ≤ 2πの範囲で乱数によって決定される。
15

2.1.3

境界条件

真空と超伝導体の境界について、超伝導体から真空へ電流が流出・流入しない、つまりは境界面を横切って電流が流れないという条件を与える。ここで、超伝導電流密度𝐽sの𝑥成分について考慮し、𝑥方向の単位面ベクトル𝒏𝑥 との内積を 0 と置くことでこの条件を求める。
(1.32)式より
i
𝐽s = (𝛹 ∗ 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ ) − |𝛹|2 𝑨
2

(2.5)

𝛹 = 𝛹R + i𝛹I 、𝛹 ∗ = 𝛹R − i𝛹I として、𝑥成分において展開すると、i(𝛹 ∗𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ ) − |𝛹|2 𝑨|
2
𝒙
i
𝜕
𝜕
= {(𝛹R − i𝛹I ) (𝛹R + i𝛹I ) − (𝛹R + i𝛹I ) (𝛹R − i𝛹I )} − (𝛹R2 + 𝛹I2 ) ∙ 𝐴𝑥
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
i
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
= (𝛹R 𝛹R + i𝛹R 𝛹I − i𝛹I 𝛹R + 𝛹I 𝛹I − 𝛹R 𝛹R + i𝛹R 𝛹I
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕
𝜕
− i𝛹I 𝛹R − 𝛹I 𝛹I ) − 𝛹R2 𝐴𝑥 − 𝛹I2 𝐴𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
= 𝛹I

(2.6)

𝜕
𝜕
𝛹 − 𝛹R 𝛹I − 𝛹R2𝐴𝑥 − 𝛹I2 𝐴𝑥
𝜕𝑥 R
𝜕𝑥

𝜕
𝜕
= 𝛹I ( 𝛹R − 𝛹I 𝐴𝑥 ) − 𝛹R ( 𝛹I + 𝛹R 𝐴𝑥 )𝜕𝑥𝜕𝑥(2.6)式が 0 になるには、以下の条件を満たせば良い。
∂
𝛹 − 𝛹I 𝐴𝑥 = 0
𝜕𝑥 R

(2.7)

𝜕
𝛹 + 𝛹R 𝐴𝑥 = 0
𝜕𝑥 I

(2.8)

𝜕
𝛹 + i𝐴𝑥 𝛹 = 0
𝜕𝑥

(2.9)

(2.7)及び(2.8)式をまとめると、超伝導体と真空のすべての境界は、(2.9)式を元に同様の手順で求めることができる。まとめると、𝜵𝛹 + i𝑨𝛹 = 0(2.10)となる。
次に、スカラーポテンシャル𝑉についての境界条件を定義する。y方向の境界面において、以下の条件を定義する。

16

𝜵𝑉 = −

𝑱𝜎

(2.11)

𝜎は常伝導体の誘電率である。(2.11)式は、超伝導体を𝑦軸方向において導体で挟んで電流を流すことを意味している。

2.2 シミュレーションモデル
本研究では Fig. 2.2 に示すシミュレーションモデルを基本とする。座標系は直角直交座
標(𝑥, 𝑦, 𝑧)で示している。前述したように一辺が規格化した長さにおいて 10 の立方体に超伝導体が満ちていると定義している。この立方体空間の空間離散幅ℎは 0.2 で定義している。
つまりメッシュ数は、
10 3( ) = 503
0.2(2.12)= 125000である。Fig. 2.2 の立方体空間の内側に様々な条件を持ったピンを導入して計算を行う。

Fig. 2.2 : 計算するシミュレーションモデルの基本型
17

2.2.1球の形状を持ったピン(球状ピン)

ここでは、球の形状を持ったピン(球状ピン)についてのモデルを仮定する。ただし、空間
離散幅ℎの大きさの関係で、厳密には球の形状をしていない。球状ピンの半径を𝑟とし、ある球状ピンの 1 つにおける中心位置を(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 )とすると、
𝑟 ≥ √(𝑥 − 𝑥𝑛 )2 + (𝑦 − 𝑦𝑛 )2 + (𝑧 − 𝑧𝑛 )2(2.13)の範囲内に存在する要素で球の形状を構築する。
具体的には、Fig. 2.3 に示すような形状で球を近似している。ℎ = 0.2, 𝑟 = 0.5とし、簡単のために、𝑥-y 平面で示している。
球状ピンは合計 7 つのモデルを定義して計算を行う。

Fig. 2.3 : ℎ = 0.2, 𝑟 = 0.5における球の形状の近似

18Tab. 2.1 : 球状ピンを導入したもモデル 1（Fig. 2.4 と対応）
ピンの個数

1

ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)(5.0 , 5.0 , 5.0)ピンの半径 𝑟0.5

ピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.4 : 半径 0.5 の球状ピン 1 個を空間中心に導入
Fig. 2.4 は、半径 0.5 の球状のピンを 1 個、超伝導領域中心に導入した場合のモデルである。このモデルは、超伝導体内に侵入する磁束線のうち 1 本しか留めることができないであろうことが予想される。このモデルは、球状ピンの個数が異なるモデルとの比較に用いる。

19

Table 2.2 : 球状ピンを導入したもモデル 2（Fig. 2.5 と対応）
4

ピンの個数

(5.0 , 3.0 , 3.0) , (5.0 , 3.0 , 7.0) ,ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)(5.0 ,7.0 , 3.0) , (5.0 , 7.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟0.5

ピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.5 : 半径 0.5 の球状ピン 4 個を𝑥軸中心に間隔 4 で導入
Fig. 2.5 は、半径 0.5 の球状ピンを 4 個、𝑥軸中心に間隔 4 で配置したモデルである。磁束線を 2 本留めることが可能であると想定している。このモデルは、同じく磁束線を 2 本留めることが可能であると想定されるモデルと比較する。

20

Table 2.3 : 球状ピンを導入したもモデル 3 - 5（Fig. 2.6 と対応）
8

ピンの個数

(3.0 , 3.0 , 3.0) , (3.0 , 3.0 , 7.0) , (3.0 , 7.0 , 3.0) ,(3.0 , 7.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0 , 3.0) , (7.0 , 3.0 , 7.0) ,ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)(7.0 , 7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟0.5
𝛹=0ピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂𝜂 = 0.4
𝜂 = 2.0

Fig. 2.6 : 半径 0.5 の球状ピン 8 個を間隔 4、四角格子で配置
Fig. 2.6 のモデルについては、ピンにおける|𝛹|2の染み出しの強さに異なる条件を設定して計算する。オーダーパラメータ𝛹を強制的に0にする理想的なピンに加え、𝜂 = 0.4および
𝜂 = 2.0の 3 つの場合について解析を行う。

21

Table 2.4 : 球状ピンを導入したもモデル 6（Fig. 2.7 と対応）
8

ピンの個数

(3.0 , 3.0 , 3.0) , (3.0 , 3.0 , 7.0) , (3.0 , 7.0 , 3.0) ,(3.0 , 7.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0 , 3.0) , (7.0 , 3.0 , 7.0) ,ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)(7.0 , 7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟0.7

ピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.7 : Fig. 2.6 のモデルからピンの半径を 0.7 に変更したモデル
Fig. 2.7 においては、挿入するピンの個数と中心位置は Fig. 2.6 と全く同じである。その上で、ピンの半径について異なる条件を設定している。ピンの半径𝑟は 0.7 としている。このモデルについては、ピンにおける|𝛹|2の染み出しの強さは𝛹 = 0のみ計算する。

22

Table 2.5 : 球状ピンを導入したもモデル 7（Fig. 2.8 と対応）
8

ピンの個数

(3.0 , 3.0 , 3.0) , (3.0 , 3.0 , 7.0) , (3.0 , 7.0 , 3.0) ,(3.0 , 7.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0 , 3.0) , (7.0 , 3.0 , 7.0) ,ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)(7.0 , 7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟1.0

ピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.8 : Fig. 2.6 のモデルからピンの半径を 1.0 に変更したモデル
Fig. 2.8 においても Fig. 2.7 と同様である。ピンの半径のみ条件を変えている。ピンの半径𝑟は 1.0 である。

23

2.2.2円柱の形状を持ったピン(円柱状ピン)

ここでは、円柱の形状を持ったピン(円柱状ピン)についてのモデルを仮定する。ただし、球状ピンの場合と同じく、厳密には円の形状をしていない。
円柱状ピンは合計 11 個のモデルを定義して計算を行う。
Table 2.6 : 円柱状ピンを導入したもモデル 1（Fig. 2.9 と対応）
ピンの個数

1

ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(5.0 , 5.0)ピンの半径 𝑟0.5

ピンの長さ方向𝑧 axis2

ピンにおける|𝛹| の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.9 : 半径 0.5 の円柱状ピン 1 個を𝑥軸𝑦軸中心に導入
Fig. 2.9 は、半径 0.5 の円柱状のピンを 1 個、超伝導領域中心に対して z 軸方向に導入した場合のモデルである。このモデルは、超伝導体内に侵入する磁束線のうち 1 本しか留めることができないであろうことが予想される。このモデルは円柱状ピンの個数が異なるモデルとの比較に用いる。
24

Table 2.7 : 円柱状ピンを導入したもモデル 2（Fig. 2.10 と対応）
ピンの個数

2

ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(5.0 , 3.0) , (5.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟0.5

ピンの長さ方向𝑧 axisピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.10 : 半径 0.5 の円柱状ピン 2 個を𝑥軸中心に間隔 4 で導入

25

Table 2.8 : 円柱状ピンを導入したもモデル 3-5（Fig. 2.11 と対応）
ピンの個数

4

ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(3.0 , 3.0) , (3.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟0.5

ピンの長さ方向𝑧 axis𝛹=02

ピンにおける|𝛹| の染み出しの強さ 𝜂𝜂 = 0.4
𝜂 = 2.0

Fig. 2.11 : 半径 0.5 の円柱状ピン 4 個を間隔 4、𝑥-𝑦平面において四角格子で配置

26

Table 2.8 : 円柱状ピンを導入したもモデル 6 - 8（Fig. 2.12 と対応）
ピンの個数

4

𝑑 = 3.0, ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(3.0 , 3.0) , (3.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0)

𝑑 = 3.6,ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(3.0 , 3.0) , (3.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0)

𝑑 = 4.6,ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(3.0 , 3.0) , (3.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟0.5

ピンの長さ方向𝑧 axisピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.12 : 半径 0.5 の円柱状ピン 4 個を間隔𝑑、𝑥-𝑦平面において四角格子で配置

27

Table 2.9 : 円柱状ピンを導入したもモデル 9（Fig. 2.13 と対応）
ピンの個数

4

ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(2.0 , 3.4) , (4.0 , 6.8) , (6.0 , 3.4) , (8.0 , 6.8)ピンの半径 𝑟0.5

ピンの長さ方向𝑧 axisピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.13 : 半径 0.5 の円柱状ピン 4 個を間隔 4、𝑥-𝑦平面において三角格子で配置

28

Table 2.10 : 円柱状ピンを導入したもモデル 10（Fig. 2.14 と対応）
ピンの個数

3

ピンの中心位置(𝑥 , 𝑦)(2.0 , 3.4) , (4.0 , 6.8) , (6.0 , 3.4)ピンの半径 𝑟0.5

ピンの長さ方向𝑧 axisピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.14 : 半径 0.5 の円柱状ピン 3 個を間隔 4、𝑥-𝑦平面において三角格子で配置

29

Table 2.11 : 円柱状ピンを導入したもモデル 11（Fig. 2.15 と対応）
ピンの個数

4

ピンの中心位置(𝑥 , 𝑧)(3.0 , 3.0) , (3.0 , 7.0) , (7.0 , 3.0) , (7.0 , 7.0)ピンの半径 𝑟0.5

ピンの長さ方向𝑦 axisピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂

𝛹=0Fig. 2.15 : 半径 0.5 の円柱状ピン 4 個を間隔 4、𝑥-𝑧平面において四角格子で配置

30

2.2.3板の形状を持ったピン(面状ピン)

ここでは、板の形状を持ったピン(面状ピン)についてのモデルを仮定する。
面状ピンは合計 2 個のモデルを定義して計算を行う。
Table 2.12 : 板状ピンを導入したもモデル 1（Fig. 2.16 と対応）
ピンの個数

1

ピンの中心位置(𝑥)(5.0)

ピンの厚さ 𝑟

0.6
∠𝑥 =

ピンの角度
ピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂𝜋, ∠𝑦 = 0 , ∠𝑧 = 02
𝛹=0Fig. 2.16 : 厚さ 0.6 の板状ピン 1 個を𝑥軸中心に導入

31

Table 2.12 : 板状ピンを導入したもモデル 2（Fig. 2.17 と対応）
ピンの個数

1

ピンの中心位置(𝑥)(5.0)

ピンの厚さ 𝑟

1.0
∠𝑥 =

ピンの角度
ピンにおける|𝛹|2 の染み出しの強さ 𝜂𝜋, ∠𝑦 = 0 , ∠𝑧 = 02
𝛹=0Fig. 2.17 : 厚さ 1.0 の板状ピン 1 個を𝑥軸中心に導入

32

Fig. 2.4 から Fig. 2.17 までの全てのモデルを Table 2.13 にまとめる。
Table 2.13 : ピンの条件一覧

FigureShape

Numberof pins

𝑑
-

s1

2.4

1

s2

2.5

4

2.6

sphere
8

-

4.0

2.7

0.7

s7

2.8

1.0

c1

2.9

1

c2

2.10

2

c3

𝛹=0
0.4

c5
c6

𝛹=0

4.0

2.11
cylinder

4

2.12

0.4
2.0

s6

c7

𝜂

0.5

s5

c4

Lengthdirection

𝛹=0

s3
s4

Diameter 𝑟(Thickness)

3.0

0.5

𝑧-axis

2.0

3.6

c8

4.6

c9

2.13

c10

2.14

3

c11

2.15

4

p1

2.16

p2

2.17

plane

𝛹=0

4.0
𝑦-axis

1

-

0.6
1.0

𝑦𝑧-axis𝛹=0

Table 2.13 において、表の 1 列目（左端側）は 3 章以降において説明を簡単にするために定義したモデル番号である。𝑑は複数のピンを導入した場合における隣り合ったピン同士のピン中心からの間隔、𝜂はピンにおける超伝導電子の染み出しの強さを表す((1.46)式参照)。

33

第3章

計算結果及び考察

3.1 𝐸-𝐽特性
3.1.1

球状ピンにおける𝐸-𝐽特性

Fig. 3.1 から Fig. 3.7 に、球状ピンを導入した場合の𝐸-𝐽特性を示す。本研究では、上部臨界 磁 界 𝐵c2 で 規 格 化 し た 外 部 磁 界 𝐵 （ 各 𝐸 - 𝐽 特 性 グ ラ フ の 横 軸 ） に つ い て 、
𝐵 = 0.05, 0.10, ⋯ ,0.60の全てにおいて計算を行っているが、この𝐸-𝐽特性グラフを確認しやすくするために、この節においては𝐵 = 0.10, 0.20, ⋯ ,0.60をピックアップして示す。ここで、それぞれ全ての𝐸-𝐽特性グラフにおいて、赤の直線で示すような抵抗基準を設定し、この直線と𝐸-𝐽カーブとの交点を臨界電流密度𝐽cと定義した。この𝐽c以下の範囲では、Fig. 3.8 に示
すように、量子化磁束線がピンに留められて、時間発展しても量子化磁束線が駆動しない
ことが確認できた。このことから、𝐽c以下ではフロー抵抗による損失は発生していないことが示唆された。
Fig. 3.1 から Fig. 3.7 に示す𝐸-𝐽特性グラフを確認すると、それぞれの𝐸-𝐽カーブは、ある𝐽の値において電界𝐸の立ち上がりが確認できた。

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.1 : 𝐸-𝐽 特性 (table 2.13 (s1))

34Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.2 : 𝐸-𝐽特性(table 2.13 (s2))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.3 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (s3))

35Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.4 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (s4))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.5 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (s5))

36Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.6 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (s6))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.7 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (s7))

373.1.2円柱状ピンにおける𝐸-𝐽特性

Fig. 3.8 から Fig. 3.18 に、円柱状ピンを導入した場合の𝐸-𝐽特性を示す。𝐸-𝐽特性グラフを確認しやすくするために、この節においては𝐵 = 0.10, 0.20, ⋯ ,0.60をピックアップして示す。臨界電流密度𝐽cは 3.1.1 節と同様に定義する。
それぞれの𝐸-𝐽特性を確認すると、球状ピンにおける𝐸-𝐽特性と同様に電界𝐸の立ち上がりが確認できる。

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.8 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c1))

38Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.9 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c2))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.10 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c3))

39Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.11 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c4))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.12 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c5))

40Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.13 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c6))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.14 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c7))
41Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.15 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c8))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.16 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c9))
42Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.17 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c10))

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.18 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (c11))
43

3.1.3面状ピンにおける𝐸-𝐽特性

Fig. 3.19 と Fig. 3.20 に、面状ピンを導入した場合の𝐸-𝐽特性を示す。𝐸-𝐽特性グラフを確認しやすくするために、この節においては𝐵 = 0.10, 0.20, ⋯ ,0.60をピックアップして示す。
臨界電流密度𝐽cは 3.1.2 節と同様に定義する。
それぞれの𝐸-𝐽特性を確認すると、球状ピンと円柱状ピンにおける𝐸-𝐽特性と同様に電界𝐸の立ち上がりが確認できる。しかし、面状ピンにおいては、抵抗基準の直線の下側において、電流密度𝐽の増加とともに電界𝐸の線形的な増加が顕著に見られる。球状ピンと円柱状
ピンにおいても、𝐸の立ち上がりの前に𝐽の増加に対する𝐸の線形的な増加はわずかに見られたが、これは、10 × 10 × 10の立方体モデルの上下の境界（𝐽の流入面と流出面）に流れる
常伝導電流が影響していると考えられる。面状ピンの場合、更に導入したピンの影響から、
球状ピンと円柱状ピンの場合から更に常伝導電流の影響を受けて、𝐽の増加に対する𝐸の線
形的な増加が大きく現れるようになったのではないかと考えられる。

Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.19 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (p1))

44Normalized electric field E

0.2

B=0.1
B=0.2
B=0.3
B=0.4
B=0.5
B=0.6

0.1

0
0

0.1

0.2

0.3

Normalized current density J
Fig. 3.20 : 𝐸-𝐽 特性(table 2.13 (p2))

45

3.2 𝐽c -𝐵特性
3.2.1

異なる個数で導入された球状ピンにおけるピンニング効果の比較

導入する球状ピンの個数によるピンニング効果の違いを確認するために、Table 2.13 (s1) (s3)の場合における臨界電流密度の磁界依存性(𝐽c-𝐵特性)を Fig. 3.21 に示す。Fig. 3.21 を確認
すると、0.35 ≤ B ≤ 0.6の範囲内では球状ピンを 8 個導入したモデルの𝐽cが比較的大きいことがわかる。これは、𝐵の値が大きくなるほど、超伝導領域に侵入する磁束線の本数が増加することが原因であると考えられる。球状ピン 1 個を導入したモデルの場合は磁束線を 1本、4 個導入したモデルの場合は磁束線を 2 本、8 個導入したモデルは磁束線を最大 4 本留
めることができると予想できるため、𝐵の値が大きい範囲では、ピンの個数が多いほうが𝐽cの向上に有利であると言うことが予測できる。一方で、𝐵 = 0.3においては、球状ピンを 4 個導入したモデルの𝐽c が最も大きいことが確認できる。これは、𝐵 = 0.3においては、磁束線
格子間隔の関係で、モデル内に磁束線の本数が 2 本ある状態が最も安定しているのではな
いかと考えている。

Normalized critical current density Jc

0.385
Sphere 1Pin
Sphere 4Pin
Sphere 8Pin

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5
Normarized magnetic field B
Fig. 3.21 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (s1) - (s3))
461

3.2.2球状ピンにおける超伝導電子の染み出しによるピンニング効果の比較

球状ピンにおいて、(1.64)式と(1.68)式の違いによるピンニング効果の違いを確認するために、Table 2.13 (s3) - (s5)の場合における臨界電流密度の磁界依存性(𝐽c-𝐵特性)を Fig. 3.22 に示す。ここで再度(1.64)式と(1.68)式を(3.1)式にまとめる。
𝜕𝛹2{ 𝜕𝑡 + i𝑉𝛹 + (−i𝜵 − 𝑨) 𝛹 + 𝜂𝛹 = 0
𝛹=0

(3.1)

Fig. 3.22 を確認すると、それぞれの𝐽c-𝐵特性は似た傾向をとっていることが確認できる。
また、それぞれの𝐽c-𝐵特性は近い値を取っていることが確認できる。このことから、球状ピンの場合、超伝導電子の染み出しの強さを与える条件は、理想的なピンの場合の条件𝛹 = 0とするのが良い近似となり得ることが示唆された。ここで、それぞれの𝐽c-𝐵特性を比較すると、磁界𝐵の値ががおよそ0.4のところで若干のピークが現れていることが確認できる。この𝐽cのピークは、マッチング機構によるものであると考えられる。しかしながら、𝜂 = 0.4と
𝜂 = 2.0の場合ではこの𝐽cのピークは𝛹 = 0の場合と比較して小さいことも Fig. 3.22 から確認できる。この差はそれほど大きなものではないが、ピンにおける超伝導電子密度の染み出しの強さの違いが僅かに影響しているものであると考えられる。

Normalized critical current density Jc

0.385
Sphere 8Pin(  =0)
Sphere 8Pin(  =2.0)
Sphere 8Pin(  =0.4)

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5
Normarized magnetic field B
Fig. 3.22 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (s4) - (s6))
471

3.2.3異なるスケールで導入された球状ピンにおけるピンニング効果の比較

球状ピンのスケールによるピンニング効果の違いを見るために、Table 2.13 (3), (6), (7)の場
合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.23 に示す。Fig. 3.23 を確認すると、それぞれの𝐽c-𝐵特性はよく似た傾向を取っていることが確認できる。また、0.3 ≤ 𝐵 ≤ 0.6の範囲内では、𝐽cの大きさもおおよそ一致していることが確認できる。このことから、球状ピンの直径が 1 から 2 の範囲内で変更しても、𝐽cの大きさに影響を与えないということが示唆される。一方で、𝐵 ≤ 0.2
では、球状ピンの直径が小さいほうが大きな𝐽c が得られていることが確認できる。これは、球状ピンの直径が大きいほど、モデルにおいて超伝導電流が流れる断面積が小さくなることが原因ではないかと考えている。侵入する磁束線の数が多いB ≥ 0.3の範囲では、磁束線とピンの領域が重なることで超伝導電流が流れる断面積に大きな違いは生じないが、磁束線の本数が少ない𝐵 ≤ 0.2の範囲ではピンが占める領域が超伝導電流が流れるの断面積を多く取ってしまうため、𝐵 ≤ 0.2の範囲で𝐽cが劣化してしまったのではないかと考えられる。

Normalized critical current density Jc

0.385
Sphere 8Pin (r=0.5)
Sphere 8Pin (r=0.7)
Sphere 8Pin (r=1.0)

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5
Normarized magnetic field B
Fig. 3.23 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (s3), (s6))

48

1

3.2.4異なる個数で導入された円柱状ピンにおけるピンニング効果の比較

導入する円柱状ピンの個数によるピンニング効果の違いを確認するために、Table 2.13(c1) - (c3)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.24 に示す。Fig. 3.24 を確認すると、3 つの𝐽c-𝐵特性において𝐽cのピークが現れていることが確認できる。また、そのピークは導入した円柱状
ピンの本数が多いほど高磁界側に、少ないほど低磁界側にあることが確認できる。B ≤ 2.5の範囲では柱状ピンが 1 および 2 本の場合が 4 本の場合より𝐽cが大きく出ていることが確認できるが、これは 3.2.3 節の考察と同様に、超伝導電流が流れる断面積の大きさの違いによるものであると考えられる。円柱状ピンが 1 本の場合と、2 本が y 軸方向に並んでいる場合の𝐽cの大きさが近いこともこれを示唆している。
円柱状ピン 1 本の場合と 2 本の場合の𝐽c-𝐵特性を比較すると、0.25 ≤ B ≤ 0.35の範囲内で、円柱状ピン 2 本の場合の𝐽cが比較的大きいことが確認できる。これは、3.2.1 節での考察と同様に、超伝導体内に侵入する磁束線の本数が関係していると考えられる。

Normalized critical current density Jc

0.385
Cylinder 1Pin
Cylinder 2Pin
Cylinder 4Pin

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5
Normarized magnetic field B
Fig. 3.24 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (c1) - (c3))

491

3.2.5円柱状ピンにおける超伝導電子の染み出しによるピンニング効果の比較

次に円柱ピンにおいて、(3.1)式によるピンニング効果の違いを確認するために、Table 2.13(c1)-(c3)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.25 に示す。Fig. 3.25 を確認すると、B ≥ 0.3の範囲
内ではピンの領域の𝛹についての方程式が𝛹 = 0の場合が最も𝐽cが大きく、続いて𝜂 = 2.0の場合の𝐽cが大きいことが確認できる。3.2.2 節の球状ピンの場合と比較して、円柱状ピンでは超伝導電子の染み出しの強さの違いは𝐽cの大きさに大きく影響することがわかる。
一方、B ≤ 0.25の範囲におけるそれぞれの𝐽c -𝐵特性を確認すると、𝜂 = 2.0と𝜂 = 0.4における𝐽cの大きさは、𝛹 = 0の場合の𝐽cよりも大きいことが確認できる。3.2.2 節における球状ピンの場合においても𝜂 = 2.0と𝜂 = 0.4における𝐽c の大きさは𝛹 = 0の場合よりも大きいが、円柱状ピンの場合においてはこの差が顕著である。この差は、低磁界側における円柱ピンの𝐽cが小さいことが原因である。この原因を考察すると、3.2.3 節の考察と同様に、超伝導電流が流れる断面積の違いが影響していると思われる。ピンの領域の𝛹についての方程式が𝛹 = 0の場合は、その領域において超伝導電子密度が強制的に 0 になるため、その領域分だ
け超伝導電流が流れる断面積が少なくなってしまう。一方、0.4 ≤ 𝜂 ≤ 2.0の場合は超伝導電子の染み出しにより、超伝導電流が流れる断面積の影響がかなり緩和されると予想される。

Normalized critical current density Jc

0.385

Cylinder Pin(  = 0)
Cylinder Pin(  = 0.4)
Cylinder Pin(  = 2.0)

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5
Normarized magnetic field B
Fig. 3.25 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (c3) - (c5))
5013.2.6異なる間隔で配置された円柱状ピンにおけるピンニング効果の比較

次に間隔の違う円柱状ピンにおけるピンニング効果の違いを見るために、Table 2.13 (c3),(c6) - (c8)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.26 に示す。Fig. 3.26 を確認すると、柱状ピンの間
隔𝑑 = 4.0では𝐵 = 0.40で、𝑑 = 4.6では𝐵 = 0.35で𝐽cのピークが顕著に現れていることが確認できる。ここで、𝐵の値に対応する磁束線格子間隔𝑎f を見積もるために、新たに Fig. 3.27 のモデルのようなピンを導入していない場合について計算した。適当な𝐽を与え、Fig. 3.26 の
𝑑 = 4.0の場合において𝐽cのピークを確認できる𝐵 = 0.40について同様に計算したところ、𝑎fが𝜉で規格化した長さにおいておよそ3.9であることを確認した。ここで、𝐵と𝑎f の関係
1

2𝜙0 2
1
𝑎f = (
) ∝
√3𝐵
√𝐵

(3.2)

から、𝐵 = 0.35の場合の𝑎f を見積もると、およそ𝑎f = 4.2となった。この結果から、円柱状のピンを導入した計算について、配置したピン同士の間隔が𝑎f に近づくときの対応する𝐵の値において、Fig. 3.26 のような顕著な𝐽cのピークが現れたと考えられる。
次に、𝑑 = 3.0の場合に注目すると、𝑑 = 4.0と𝑑 = 4.6の場合のような顕著なピークが得られていないことが確認できる。𝑑 = 3.0の場合は𝑎f = 3.0において𝐽c のピークが現れると予想できるため、(3.2)式から𝑎f = 3.0のときの𝐵の値を導くと、およそ𝐵 = 0.68となり、B ≤ 0.6の範囲内に存在しないことがわかる。
最後に、𝑑 = 3.6の場合に注目すると、こちらも𝑑 = 4.0と𝑑 = 4.6の場合のような顕著なピークが得られていないことが確認できる。𝑑 = 3.6の場合は𝑎f = 3.6において𝐽c のピークが現れると予想できるため、(3.2)式から𝑎f = 3.6のときの𝐵の値を導くと、およそ𝐵 = 0.46となる。
しかし、𝑑 = 3.6の場合における𝐽c-𝐵特性を確認しても、𝐵 = 0.45で最も大きな𝐽cのピークは確認できない。

51

Normalized critical current density Jc

0.385

Cylinder Pin(3.0 )
Cylinder Pin(3.6 )
Cylinder Pin(4.0 )
Cylinder Pin(4.6 )

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5

1

Normarized magnetic field B
Fig. 3.26 : 𝐽c-𝐵 特性 (Table 2.13 (c3), (c6) - (c8))

Fig. 3.27 : ピンが導入されていないモデルに侵入する磁束線の構造。外部磁界は𝐵 = 0.4で固定。 (a) そのモデルの 3 次元ビューおよび、(b) 二次元ビュー。 二次元ビューから磁束線間距離の平均を取ることで磁束線格子間隔𝑎f の長さが3.9と見積もられる。
52

3.2.7異なる格子形状に配置された円柱状ピンのピンニング効果の比較

次に、円柱ピンにおけるピンの格子配置形状（四角格子と三角格子）によるピンニング
効果の違いを見るために、Table 2.13 (c3), (c9)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.28 に示す。
Fig. 3.28 を確認すると、2 つの𝐽c-𝐵特性は異なる傾向を取っていることが確認できる。また、四角格子の場合の𝐽cが、三角格子の場合の𝐽cより大きいことが確認できる。この原因を考察すると、三角格子で配置したモデルは四角格子で導入した場合よりも、ピンとモデル境界（超伝導体と真空との境界）との距離が近いことから、境界からの影響を強く受けていると考えられる。境界が面ピンのように働くことから、この四角格子で配置したモデルと三角格子で配置したモデルは同一の円柱状ピンではなく、別のピンとなっているため、𝐽c-𝐵特性の傾向が異なっていると考えられる。
ここで、上記の境界の影響を取り除いた場合の、四角格子と三角格子におけるピンニン
グ効果の違いを見るために、
Table 2.13 (c3), (c10)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.29 に示す。
Fig. 3.29 を確認すると、2 つの𝐽c-𝐵特性はよく似た傾向を取っていることが確認できる。この結果から、円柱状ピンを四角格子で配置した場合と三角格子で配置した場合では、その𝐽c-𝐵特性にほとんど違いがないことがわかる。

Normalized critical current density Jc

0.385

0.3

Cylinder 4Pin(Square lattice)
Cylinder 4Pin(Triangular lattice)

0.2

0.1

0
0

0.5
Normarized magnetic field B
Fig. 3.28 : 𝐽c-𝐵 特性 (Table 2.13 (c3), (c9))
531Normalized critical current density Jc

0.385

0.3

Cylinder 4Pin(Square lattice)
Cylinder 3Pin(Triangular lattice)

0.2

0.1

0
0

0.5

1

Normarized magnetic field B
Fig. 3.29 : 𝐽c-𝐵 特性 (Table 2.13 (c3), (c10))

3.2.8

異なる角度で導入された円柱状ピンのピンニング効果の比較

次に円柱状ピンにおいて、超伝導体に導入する角度が異なる場合のピンニング効果の違いを見るために、Table 2.13 (s3), (c3), (c11)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.30 に示す。
Fig. 3.30 において、青色のマークが磁界𝐵と円柱ピンの長さ方向がともに𝑥軸(Table 2.13 (c3))、
桃色のマークが円柱ピンの長さ方向が𝑦軸(Table 2.13 (c11))である。この 2 つの𝐽c-𝐵特性を比較すると、高磁界側において、磁界𝐵の方向に円柱ピンの長さ方向を合わせた場合において高い𝐽cが得られていることが確認できる。これは、磁束線とピンが接触する領域の大きさの違いが影響していると考えられる。ここで、球状ピン(Table 2.13 (s3))における𝐽c-𝐵特性との比較を行うと、Table 2.13 (s3)と Table 2.13 (c11)の𝐽c-𝐵特性はよく似た結果となっていることがわかる。この結果から、磁束線と磁束線の流れる方向に対して垂直に円柱状ピンを導入しても、磁束線とピンの接触する領域程度しかピン留めする能力を持っていないことが示
唆される。

54

Normalized critical current density Jc

0.385

0.3

Cylinder 4Pin(4.0 )x−axis
Cylinder 4Pin(4.0 )y−axisSphere 8Pin(4.0 )

0.2

0.1

0
0

0.5

1

Normarized magnetic field B
Fig. 3.30 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (s3), (c3), (c11))

3.2.9

異なる厚さを持つ面状ピンのピンニング効果の比較

次に厚さの異なる板状のピンにおけるピンニング効果の違いを見るために、Table 2.13(p1), (p2)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.31 に示す。Fig. 3.31 を確認すると、2 つの𝐽c-𝐵特性は非常に近い結果となっていることがわかる。このことから、面状ピンを導入した場合は、そのピンの厚みが𝜉で規格化した長さにおいて 1 より小さい 0.6 の場合でも、厚さ 1 と同等程度のピンニング効果を期待できると考えられる。

55

Normalized critical current density J

0.385
Plane 1Pin (r=0.6)
Plane 1Pin (r=1.0)

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5

1

Normarized magnetic field B
Fig. 3.31 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (p1), (p2))

3.2.10異なる形状を持つピンのピンニング効果の比較

最後にピンの形状によるピンニング効果の違いを見るために、Table 2.13 (s2), (c2), (p2)の場合における𝐽c-𝐵特性を Fig. 3.32 に示す。Fig. 3.32 を確認すると、Table 2.13 (p2)の面状のピンの場合における𝐽c-𝐵特性は、𝐵の増加とともに𝐽cが単調に減少していることが確認できる。
また、3 つの𝐽c-𝐵特性を比較すると、面状ピンにおいて高い磁界中で最も大きな𝐽cが得られていることが確認できる。

56

Normalized critical current density Jc

0.385
Sphere 4Pin(d=4.0)Cylinder 2Pin( d=4.0)Plane 1Pin

0.3

0.2

0.1

0
0

0.5
Normarized magnetic field B
Fig. 3.32 : 𝐽c-𝐵 特性(Table 2.13 (s2), (c2), (p2)).

57

1

第4章
4.1

総括

総括

超伝導材料の工業的な応用において、より大きな𝐽cが得られる超伝導材料の開発は極めて重要な課題である。そのため、より大きな𝐽cが得られる超伝導体を調査する研究が求められていた。この調査には様々な方法が考案されているが、本研究では、超伝導材料を作製す
る物質的資源が不要であること、近年におけるコンピュータの処理速度の向上から解析が現実的な時間内で完了すること、磁束線の構造と動きなど視覚的に表現することができる
ため、シミュレーションを用いた調査を選択した。本研究では横磁界下における真空中のSC ナノワイヤに導入するピンにおいて、その濃度、形状、大きさ、配置、超伝導電子の染
み出しの強さの違いが𝐽cにどのように影響するのかについて、簡易化した TDGL 方程式をシミュレーションを用いて解析することで、その𝐸-𝐽特性と𝐽c-𝐵特性の調査を行った。

4.2

𝐸-𝐽 特性

本研究では横磁界下における真空中の SC ナノワイヤにおいて、球状ピン、円柱状ピン、
面状ピンなど様々に条件の異なるシミュレーションモデルをについて、簡易化した TDGL
方程式をシミュレーションを用いて解析し、電界の電流密度依存性（𝐸-𝐽特性）を調査した。
この結果、Table 2.13 に示す全てのモデルにおいて電界𝐸の立ち上がりが確認できた。また、
実際にシミュレーションを実行した際、Fig. 3.1 から Fig. 3.20 において定義した抵抗基準の
赤の直線より上側においては、時間発展とともに磁束線が駆動している状態が確認できている。この赤の直線より下側においては、磁束線がピンに固定され、時間発展しても磁束線が駆動しない状態が確認できた。このことから、抵抗基準の下側では少なくとも磁束フローによる損失は発生していないことが判明した。

4.3 𝐽c -𝐵 特性
3.1 節で示した𝐸-𝐽特性を元に、Table 2.13 に示す全てのモデルにおける𝐽c-𝐵特性を明らかにした。
球状ピンにおいては、個数やスケール、超伝導電子の染み出しの強さなど様々に変えても、全体的にその𝐽c-𝐵特性は傾向および𝐽cの大きさに顕著な差は得られていないことが確認できている。この結果から、球状ピンは磁束線を留めるピンとしての能力をそもそも大して持っていないであろうと予想できる。しかし、理想的なピンを導入した場合（ピンにおいて𝛹 = 0）に着目すると、円柱状ピンおよび面状ピンと比較して、低磁界側で最も大きな
𝐽cが得られているのは球状ピンを導入したモデルである。しかしながら、この結果は超伝導
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電流が流れる断面積の大きさが、球状ピンの場合比較的大きく取れることが理由であると考えられるため、球状ピンだからこそ低磁界側で𝐽cが大きくなるとは言えない。結局のところ、球状ピンのみが導入された超伝導体に、大きな臨界電流密度𝐽cが得られることは期待できないであろう。
円柱状ピンにおいては、理想的なピンを導入した場合（ピンにおいて𝛹 = 0）に着目すると、円柱状ピンの長さ方向を、磁界印加方向に合わせた全てのモデルにおいてピーク効果を確認できた。球状ピンと比較するとその差は歴然である。円柱状ピンのモデルにおける𝐽cのピークは、ピンの配置間隔に大きく影響することが確認できている。ピンの配置間隔と磁束線格子間隔が近づくと𝐽cのピークが確認できていることから、マッチング機構による𝐽cの向上であると考えられる。
円柱状ピンの長さ方向を磁界印加方向と合わせた場合、ピンと磁束線が重なる体積が効率的に増加するため、円柱状ピンの𝐽c-𝐵特性は球状ピンの場合よりも全体的に特性が良くなると予想していたが、実際に解析して結果を確認すると、低磁界領域の𝐽cが、球状ピンに比べて大きく劣化していることが確認できている。この原因は超伝導電流が流れる断面積を
ピンが大きく奪うことに起因すると考察した。一例として、円柱状ピンを 4 本入れた Fig. 2.11のモデルにおいては、超伝導電流が流れる断面積を最大で 20％失うことになる（10×10 の平面において直径 1 の円柱状ピンが 2 つ並んで導入されているため）。しかし、ここで球状
ピン 8 個を導入した Fig. 2.6 のモデルにおける𝐽c-𝐵特性（Fig. 3.21 参照）と比較すると、
𝐵 = 0.05における𝐽cは 40％程度低い値になっている。超伝導電流が流れる断面積の減少以外にも𝐽cを劣化させる要因（例えば超伝導領域に導入されたピンの濃度の違い）があると考えられる。
面状ピンにおいては、𝜉 で規格化された長さにおいて、厚さ 0.6 と 1.0 の場合の𝐽c-𝐵特性はほぼ同様な結果になることが示された。また、その𝐽c-𝐵特性は、球状ピンと円柱状ピンの場合の特性と傾向が異なり、𝐽cピークが存在せず、𝐵の増加とともに𝐽c が単調に減少していることが確認できた。

4.4 今後の課題本研究で解析したモデルは、全て真空に囲まれた、𝜉で規格化した長さにおいて 10 の立方体の形状を持った超伝導体である。解析モデルのスケールが非常に小さいため、どうしても境界からの影響を受けてしまう。また、立方体という形状からも少なからず影響が与えられる。解決手段としては、単純に空間を広げることや、解析を行う超伝導体の形状を立方体から円柱などにすると形状の効果を受けにくくなると予想している。ただし、解析する空間を広げると、それに比例して計算資源が必要になるため、シミュレーションを高速に実行できる新たな手段を提案しなければならない。しかし、空間を広げて規模の大きな計算を行なうことができれば、𝐽cのスケール則などのマクロな特性と合わせて議論を行なうことができるかもしれない。
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参考文献
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[4] D. Y. Vodolazov, Phys. Rev. B 88 (2013) 014525[5] J. F. Blackburn et. al: Philosophical Magazine 80 (2000) 1455
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29 (1969) p.276.
[13] H. Küpfer, I. Apfelstedt, R. Flükiger, C. Keller, R. Meier-Hirmer, B. Runtsch, A.
Turowski, U. Wiech and T. Wolf : Cryogenics 29 (1989) 268.
[14] 高橋亮一, 棚町芳弘: 計算力学と CAO シリーズ差分法 培風館 東京 1991
[15] 田中敏幸: 数値計算法基礎 コロナ社 東京 2006[16] 戸川隼人: 数値解析とシミュレーション 共立出版 東京 1987[17] 新濃清志, 船田哲男: 数値解析の基礎-理論と PAD・PASCAL・C 培風館 東京 1991
[18] A. Schmid: Phys. Condens. Mat. 5 (1966) 302[19] M. Tinkham: Introduction to Superconductivity, second ed., McGraw-Hill,1996[20] e.g. R. S. Thompson and C.-R. Hu: Phys. Rev. Lett. 27 (1971) 1352
[21] N. Kopnin: Theory of Nonequilibrium Superconductivity, Clarendon Press, Oxford,
2001[22] R. Kato, Y. Enomoto, S. Maekawa: Phys. Rev. B 44 (1991) 6916
[23]松本 圭司、松本 要:平成 23 年度日本金属学会九州支部学術講演会(2011) B5[24]一野ら:第 75 回応用物理学会秋季学術講演会(2015) 17p-A21-1560

謝辞
本研究を行うにあたり、多大なる御指導をしていただきました小田部 荘司教授に最大限の敬意と感謝を捧げます。小田部先生からは、研究に関する知識や数多くのアイデアをご教授頂きました。また、研究のみでなく、就職活動においても熱心にご協力くださいました。第一志望の企業から内定をいただけたのも、小田部先生からの協力なしには実現し得なかったと確信しています。さらに、よく体調を崩してしまう私の健康状態に対して、幾度となく配慮してくださったことは感謝してもしきれません。
松下 照男名誉教授からは、研究において必要不可欠な超伝導の基礎的な知識をご教授いただきました。
木内 勝准教授には、研究に関して幾度となくご指摘をいただきました。私の出来が悪いばかりに、何度もご迷惑をおかけしましたが、それでも根気強く指導してくださったことに感謝いたします。
産総研の馬渡 康徳様、有明高専の松野 哲也先生、量子化磁束動力学シミュレーション研究会の皆様からは、私の研究に関する指摘や指導をしてくださいました。さらに最新の研究の紹介など、研究に関する多くの知見をくださいました。深く感謝申し上げます。
同期の田邊 裕也氏からは、精神面で幾度となく支えとなってくださいました。共に研究をしているだけで楽しい気分になり、自分自身に対して自信が持てるようになりました。
同期の柏木 啓氏からは、日常的に研究に関するディスカッションをして、お互いの研究を高め合う相手となってくださいました。
技術職員の新山 誠二氏、元後輩の平松 裕太氏、木戸 竜馬氏、学部 4 年の方たちからは、
公私共にお世話になりました。本当にありがとうございました。
最後になりますが、私とともに研究を行い、本研究のシミュレーションプログラムの計算処理を 70 倍以上高速化し、本研究の進捗に大きく貢献してくださった九州工業大学木内研究室の吉原 敬貴氏に深く感謝申し上げます。

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研究業績
国際学会
1. K. Tanimura, et al.: “TDGL simulation on the motion of flux lines with different
kinds of pins in thin superconducting wire in transverse magnetic field”, 30th
International Symposium on Superconductivity, Iino Hall and Conference Center,
December 13 2017.

国内学会
1. 谷村 賢太，小田部 荘司，木内 勝，馬渡 康徳，松野 哲也「時間依存Ginzburg-Landau 方程式を用いた横磁界下における超伝導体内の磁束線についての研究」，第 63 回 応用物理学会九州支部学術講演会，対馬市交流セン
ター，平成 28 年 12 月 3 日
2. 谷村 賢太，小田部 荘司，木内 勝「時間依存 Ginzburg-Landau 方程式を用いた横磁界下における超伝導体内の磁束線についての研究」，低温工学・超電導学会 九州・西日本支部 研究成果発表会，鹿児島大学，平成 28 年 12 月 9日
3. 谷村 賢太，小田部 荘司，木内 勝，馬渡 康徳，松野 哲也「時間依存Ginzburg-Landau 方程式を用いた横磁界下における超伝導体内の磁束線についての研究」，第 64 回 応用物理学会九州支部学術講演会，パシフィコ横浜，
平成 29 年 03 月 16 日
4. 谷村 賢太，小田部 荘司，木内 勝，馬渡 康徳，松野 哲也「時間依存Ginzburg-Landau 方程式を用いた横磁界下における超伝導体内の磁束線についての研究」，第 65 回 応用物理学会九州支部学術講演会，福岡国際センター，平成 29 年 09 月 06 日

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