前回の復習:
前回の復習 ド・ブロイの物質波(deド・ブロイの物質波
Broglie wave):
全ての物質は"粒子性"と"波動性"を合わせ持つ。この物質の"波動性"のことをド・ブロイの物質波という。
運動量p、エネルギーE を持つ質量mの物質の物質波の波長λと周波数f は、ℎ = , 2.3= , 2.4 ,ℎとなる。一方、光子の場合は、 (2.3)、(2.4)式を逆に使って、波長λと周波数 f から光子の運動量 pとエネルギー E を求めることができる。また、(2.5)式の波数kと(2.6)式の振動数ωを使うと、(2.3)、(2.4)式は、それぞれ(2.8)、(2.9)式となる。
2ℎ
≡
2.5 ,
 ≡ 2 2.6 ,ℏ≡2.7 ,
2ℎ = = ℏ 2.8 ,= ℎ = ℏ 2.9 ,1

前回の復習:
前回の復習
シュレーディンガー方程式(Schrödinger equation):
シュレーディンガー方程式
質量mの粒子の1次元の定常状態のシュレーディンガー方
程式は、ℏ    −+    =   ,2.112  #$, ! =   " %ℏ ,: 粒子のエネルギーとなる。
また、粒子の運動量pは、運動量演算子P を作用させた下記の偏微分方程式を解くことで得られる。
ℏ  
ℏ P  ==   ,2.12 P =' ' 

前回の復習:
前回の復習 量子力学(Quantum量子力学
Mechanics)の基礎の基礎:の基礎• 原子や電子や光子は、"波動"でもあり"粒子"でもある"量子"である。その存在は空間的に広がっており、波動関数Ψ であらわされる。波動関数の(絶対値の)2乗が粒子の存在確率となる。
• 量子の波動関数ΨとエネルギーEは、シュレーディンガー方程式と呼ばれる偏微分方程式を解くことで求められる。
しかし、シュレーディンガー方程式の一般解を導くことは難しい。簡単な問題以外は近似もしくは数値計算を用いて解かなければならない。
• 物質内の全ての電子の波動関数ΨとエネルギーEが求まれば、電子の動き(電子状態)や物質の様々な物性がわかる。
2

前回の復習:
前回の復習 自由電子の波動関数
1次元の自由空間内(ポテンシャルエネルギーV=0)の電子の波動関数Ψは、#$%)#ℏ
, ! =   " %ℏ = ("%.*+/$+%.*-/$= ("+ ,",#$*+ ℏ+%

)#

#$*-ℏ
ℏ
+ ,"
(, ,: 複素定数となる。第1項目は、xの正の方向に向かう波を、第2項目は負の方向に向かう波をあわらしており、それぞれの項の電子の運動量pは、第1項目:  = 2 ,第2項目:  = − 2 ,となっている。

34

例題3.1 1次元で、xが正( 0 0)の領域(領域II)にポテン
シャル障壁V0がある場合に、V0よりも低いエネルギーE(<V0)を持つ電子が、左から入ってきてポテンシャル障壁に当たって跳ね返される確率(反射率)Rを求めよ。
 00
  =2 3,0 40(解答) 前回の例題2.2から、xが負の領域(領域I)のシュレーディンガー方程式は、ℏ   5 ae ikx−= 5  ,2  となるので、これを解いて波動関数は、
)#5)#

5  = (" % ℏ * + ," +% ℏ *= (" %.* + ," +%.* 3.1 , (, ,: 複素定数

qe -αxbe -ikx

61となる。一方、領域IIの波動関数は、前回の最後の問題か
ら、シュレーディンガー方程式に、ℏ   55 −+ 3 55  = 55  ,2  とV0の項が付加されるので、その波動関数はE がE–V0に変わり、
) #+78) #+78**ℏℏ55  = 6" %+ 9" +%, 6, 9: 複素定数となる。また、今回のケースでは E–V0 < 0 なので、) 78 +#) 78 +#**ℏℏ
+ 9" ,
55  = 6" +として平方根の中を正にしておく。ここで、上式をよく見ると、右辺第2項はxが大きくなると無限大に発散してしまい今回のケースでは物理的に正しくない波動関数なので削除する。
よって、領域IIの波動関数は、7となるので、上の2式がx =0で一致するという条件から、
5= 0 = 55= 0 ,' (" %.3 − ," +%.3 = −;6" +:3 ,' (−,−= 6,3.4;が得られる。上記の(3.3),(3.4)式を組み合わせてqを消すと、' (−,''(+, =−,(+1 =,−1 ,;;;, ' +;=,( ' −;となる。従って、反射率Rは、
 + ;
,' +;
?≡
== 
= 1,3.5+ ;
(' −;となる。ちなみに、今回のケースでは、正の区間で波動関数は指数関数的に減衰して無限遠では0になってしまうので、古典力学の結果と同様に電子は全反射(R=1)される。となる。しかし、領域IIでは xの正の方向に向かう波しか無いので、負の方向に向かう波を表している上式の右辺第2項は削除して、%) #+78*ℏ
= 6" %E* ,55  = 6"F≡2− 3 ⁄ℏ3.6となる。ここで、またx = 0の境界で領域Iの波動関数(3.1)式と領域IIの波動関数(3.6)式の値が一致するという条件から、
5 0 = 55 0 , (" %.3 + ," +%.3 = 6" %E3 , ( + , = 6, 3.7が得られる。さらに、x = 0の境界で波動関数の微分値も一致しなければならないという条件から、
5= 0 = 55= 0 ,' (" %.3 − ," +%.3 = 'F6" %E3 ,(−,= 6,3.8Fが得られる。上記の(3.7),(3.8)式を組み合わせてqを消すと、
11) 78 +#*ℏ= 6" +:*

55  = 6" +;≡2 3 −3.2 ,⁄ℏとなる。
量子力学では、各領域の境界で波動関数の値とその傾きが一致していなければならないという原則がある。そこで、
まずx = 0の境界で領域Iの波動関数(3.1)式と領域IIの波動関数(3.2)式の値が一致するという条件から、
5 0 = 55 0 , (" %.3 + ," +%.3 = 6" +:3 , ( + , = 6, 3.3が得られる。次に、(3.1)、(3.2)式をそれぞれ微分して傾きを計算すると、>
 0 = ' (" %.* − ," +%.*
5= 0 => 5>
55= 0 = 0 = −;6" +:* ,> 55

虚数軸

V0k
実数軸–ααE

波動関数の染み出し

例題3.2 例題3.1で電子のエネルギーE がポテンシャル障壁V0より大きい場合(E >V0)、反射率Rはどうなるか?
(解答) 例題3.1から、負の領域(領域I)の波動関数は、(3.1)
式のままであるが、正の領域(領域II)の波動関数は、E–V0 >0なので、@A BCD8*ℏ55  = 6" %(+, =(−,,F,=(となる。従って、反射率Rは、,?≡(=−F+F@A BCD8*ℏ+ 9" +%

=, 6, 9: 複素定数10(−1 =,+1 ,FF−F,+F−− 3≤ 1, 3.9+− 3となる。このケースでは、電子は一部反射され、残りは領域IIへ透過する。

122

例題3.3 区間[0 L] (領域II)だけにポテンシャル障壁V0がある場合に、 V0よりも低いエネルギーE(<V0)の電子が、領域Iから領域IIIにトンネルする確率(透過率)T を求めよ。
 0≤≤H  =2 3,0  4 0, H 4 

1次元のポテンシャル障壁による電子の反射率R:E = V0
例題 3.2
E > V0

反射率R

例題 3.1
E < V0ik  Rik  2kRk12(やや難しいやや難しい)
やや難しい

電子のエネルギーE [J];≡2 3 −⁄ℏ ,F≡

2− 3 ⁄ℏ

13555  = I" %.* , 3.10 I: 複素定数となる。一方、領域IIでは、例題3.1で学習した様にシュレーディンガー方程式にV0の項が付加されるので、その波動関数はE がE–V0に変わり、
) #+78) #+78**ℏℏ+ 9" +%, 6, 9: 複素定数
55  = 6" %となるが、今回のケースも E–V0 < 0 なので、) 78 +#ℏ55  = 6" ++:*:*= 6"+ 9" 3.11 ,*) 78 +#*ℏ+ 9" ; ≡ 2 3 − ⁄ℏとして平方根の中を正にしておく。
先ほど学習した様に、各領域の境界(x =0, L)では、波動関数の値とその傾きが一致していなければならない。まず、
x =0で(3.1),(3.11)式の波動関数の値が一致するという条件
から、(解答)領域Iの波動関数は、
ae ikx
例題3.1と同様に、
5  = (" %.* + ," +%.* 3.1 ,(, ,: 複素定数 となる。
be -ikx
また、領域IIIの波動関数はxの正の方向に向かう波しか無いので、(3.1)式のうち右辺第1項だけとって、17L
14

5 0 = 55 0 , (" %.3 + ," +%.3 = 6" +:3 + 9" :3 ,( + , = 6 + 9,3.12が得られる。次に、領域IとIIの波動関数を微分したものがx =0で一致する条件から、
5= 0 = 55= 0 ,' (" %.3 − ," +%.3 = −; 6" +:3 − 9" :3 ,−' ( − ,= 6 − 9,3.13;が得られる。上記の(3.12),(3.13)式を足し引きすると、
16=; (+, −' (−, ,3.142;
19=; (+, +' (−, ,3.152;となる。次に、x=Lで(3.10),(3.11)式の波動関数の値とその傾きが一致するという条件から、同様にして、

15

55 H = 555 H ,6" +:J + 9" :J = I" %.J ,3.16
′55 H = ′555 H ,−; 6" +:J − 9" :J = ' I" %.J ,3.17が得られる。次に、(3.14)~(3.17)の4つの関係式を使って、qとrを消去する。まず(3.16)式に(3.14),(3.15)式を代入すると、
1L ; ( + , − ' ( − , " +:J2;+ ; ( + , + ' ( − , " :J M = I" %.J ," :J + " +:J ; ( + , + " :J − " +:J ' ( − ,= 2;I" %.J ,; ( + , cosh ;H + ' ( − , sinh ;H = ;I" %.J ,( ; cosh ;H + ' sinh ;H + , ; cosh ;H − ' sinh ;H= ;I" %.J ,(ξ + ,ζ = ;I" %.J ,ξ ≡ ; cosh ;H + ' sinh ;H , ζ ≡ ; cosh ;H − ' sinh ;Hce ikx

16;I" %.J − (V,3.18ζとなる。また、(3.17)式に(3.14),(3.15)式を代入すると、
1L ; ( + , + ' ( − , " :J
2− ; ( + , − ' ( − , " +:J M = ' I" %.J ,:J" − " +:J ; ( + , + " :J + " +:J ' ( − ,= 2' I" %.J ,; ( + , sinh ;H + ' ( − , cosh ;H = ' I" %.J ,( ; sinh ;H + ' cosh ;H + , ; sinh ;H − ' cosh ;H= ' I" %.J ,(W + ,X = ' I" %.J ,W ≡ ; sinh ;H + ' cosh ;H , X ≡ ; sinh ;H − ' cosh ;H' I" %.J − (W,=,3.19
X,=183となる。最後に、(3.18),(3.19)式を組合わせてbを消去すると、;I" %.J − (V ' I" %.J − (W=,ζX%.J%.J;XI" − (XV = ' ζI" − (ζW,( ζW − XV = I" %.J ' ζ − ;X ,I" %.J
ζW − XV=,3.20(' ζ − ;Xとなる。(3.20)式の分子は、
ζW − XV= ; cosh ;H − ' sinh ;H ; sinh ;H + ' cosh ;H− ; sinh ;H − ' cosh ;H ; cosh ;H + ' sinh ;H= ;  +  cosh ;H sinh ;H + '; cosh ;H − sinh ;H− ;  +  cosh ;H sinh ;H + '; cosh ;H − sinh ;H= 2' ; cosh ;H − sinh ;H = 2' ;,と変形できて、分母は、' ζ − ;X= ' ; cosh ;H − ' sinh ;H − ; ; sinh ;H − ' cosh ;H=  − ;  sinh ;H + 2' ; cosh ;H ,と変形できるので、結局(3.20)式は、I" %.J
ζW − XV2' ;== ,(' ζ − ;X− ; sinh ;H + 2' ; cosh ;HI2' ; · " +%.J
= ,
3.21

(− ; sinh ;H + 2' ; cosh ;Hとなる。従って、電子の透過率Tは、4;  I IZ≡= = 
((− ; sinh ;H + 4;   cosh ;H4;  = [[− 2;+ ; sinh ;H + 4;   1 + sinh ;H194;  

トンネル確率の例
トンネル確率の例:の例[ + 2;   + ; [ sinh ;H + 4;  4;  =V0=1.5××10-21 [J], L=10 [nm]10.9 + ;   sinh ;H + 4;  4 2 3 −
2=
2 + 2 3 −sinh ;H + 4 2 3 −
24 3 −= ,
3.22
3 sinh ;H + 4 3 −
2
2 3 −=,;=ℏℏとなる。電子のエネルギーEが大きくなる程、透過率Tも大きくなる。

0.80.7

透過率T=

20

0.6
0.5
0.4
0.30.20.1

電子のエネルギーE [××10-22 J]
021

電子のトンネル現象:
電子のトンネル現象

012345678910111222

電子のトンネル効果の応用例:
電子のトンネル効果の応用例
トンネルダイオード(エサキダイオード):(補足)(3.15)式でr =0とすると、つまり領域IIで負の方向に進む波が無いと仮定すると、
1; ( + , + ' ( − , = 0,2;
; ( + , = −' ( − , ,( ' +; =, ' −; ,, ' +;
' +;
=,? ≡
,
( ' −;' −;通常のダイオード

トンネルダイオード

フラッシュメモリ:となり、例題3.1の反射率Rの式である (3.5)式が得られる。

23244

フラッシュメモリのしくみ:フラッシュメモリのしくみ

走査トンネル顕微鏡(Scanning Tunneling Microscope: STM)

25

26

次回の予告:
次回の予告
井戸型ポテンシャル内の電子と3次元のシュレーディンガー方程式を解いて、水素原子の周りを回っている電子の波動関数φとエネルギーEを導出する。

放射性元素のアルファ崩壊:
放射性元素のアルファ崩壊
ウランやラジウム等の放射性元素は、トンネル効果でアルファ線を放出して放射性崩壊する。
^_^[]\ → ]3Zℎ + ;,s軌道

p軌道

d 軌道

2827

(付録)1次元のポテンシャル障壁による電子の反射率
R vs V0:
例題 3.1
E < V0

反射率RRRkkik  ik  22

例題 3.2
E > V0E = V0ポテンシャル障壁V0  2mV  E  h ,   2mE  V  h 00325