中学校

第３学年

数学

相似な図形

○単元の目標知識及び技能・平面図形の相似の意味及び三角形の相似条件について理解している。
・相似な平面図形の相似比と面積比の関係について理解している。
・基本的な立体の相似の意味を理解し、相似な立体の相似比と表面積の比や体積比の関係について理解している。
・誤差、有効数字の意味を理解し、近似値をa×10nの形に表現している。

（東京書籍

新しい数学３）

思考力、判断力、表現力等

学びに向かう力、人間性等

・三角形の相似条件などを基にして図形の基本的な性質を論理的に確かめることができる。
・平行線と線分の比についての性質を見いだし、それらを確かめることができる。
・相似な図形の性質を具体的な場面で活用することができる。

・図形の相似の意味や、相似な図形の相似比と面積比や体積比の関係を考えようする。
・図形の相似について学んだことを生活や学習に生かそうとする。
・相似な図形の性質を活用した問題解決の過程を振り返って検討しようとする。

○探究の過程
相似な図形に関する具体的な事象・問題を数学の舞台に乗せ、自分自身の課題として考える。
平面図形の相似の意味、三角形の相似条件、基本的な立体の相似の意味、相似な図形の相②情報の収集
似比と面積比や体積比など、問題解決に必要な知識・技能を身に付ける。
三角形の相似条件などを基にして図形の基本的な性質を論理的に確かめたり、相似比と面③整理・分析積比や体積比の関係を考えたりする。
相似な図形の性質や三角形の相似条件などを活用した問題解決の過程を発表することで、④まとめ・表現考えたことをまとめ・表現する力を身に付ける。
○単元計画（22 時間扱い）
探究の時
目標
学習活動
過程
①課題の設定１２３

身の回りにあるものを図形とみなして、その図形のある点を中心に拡大する方法や拡大してできる図形の特徴を理解することができる。

平面図形の相似の意味と相似な図形の性質を理解する。また、相似比の意味を理解し、相似比を求めることができる。
相似の位置にあることの意味を理解しある図形と相似の位置にある図形をかくことができる。
相似な図形の辺の長さを求めることができる。

４三角形の相似条件を理解することができる。
５６７８９10三角形の相似条件を利用して、２つの三角形が相似かどうかを判断することができる。
三角形の相似条件を利用して、図形の性質を証明することができる。
直接には測定できない距離や高さを、縮図を利用して求めることができる。
直接には測定できない距離や高さを、縮図を利用して求めることができる。
測定値の誤差の意味を理解し、真の値の範囲を不等式で表すことができる。また、有効数字の意味を理解し、測定値を a×10n の形に表すことができる。

・タブレット上での操作によって、図形がどのように拡大されているかを調べる。
・影の長さを利用してピラミッドの高さを測った数学者の存在を伝え、ピラミッドの高さや体積の求め方を考える。
・平面図形の相似の意味と表し方を知る。
・ある図形の拡大図をかいて、対応する部分の長さや角の大きさの関係を調べる。
・相似の位置にあることの意味を知る。
・ある図形と相似の位置にある図形をかく。
・相似な図形の辺の長さを、対応する辺の比が等しいことを使って求める。
・相似な図形の辺の長さを、となり合う辺の比が等しいことを使って求める。
・ある三角形と相似な三角形をかくためには、何が分かればよいかを考える。
・三角形の相似条件を確認する。
・相似な三角形を、三角形の相似条件ごとに整理・分類する。
・三角形の相似条件を利用して、図形の性質を証明する。
・直接には測定できない距離や高さを、縮図を利用して求める。
・相似な図形の性質や三角形の相似条件を活用して校舎の高さを求め、その過程を発表する
・測定値の誤差の意味を知り、真の値の範囲を不等号を使って表す。
・有効数字の意味を知り、測定値を a×10n の形に表す。

①②③④

11

与えられた手順でノートの罫線が３等分できることを、相似な図形の性質を利用して確かめることができる。
三角形と比の定理を証明し、それを利用して線分の長さを求めることができる。

1213141516171819202122

三角形と比の定理の逆を証明し、それを利用して２つの線分が平行かどうかを判断することができる。
中点連結定理を見いだし、それを利用して線分の長さを求めることができる。

中点連結定理を利用して、図形の性質を証明することができる。

平行線と比の定理を見いだし、それを利用して線分の長さを求めることができる。

平行線と比の定理を利用して、図形の性質を証明することができる。

相似な三角形について、相似比と面積比の関係を見いだすことができる。

相似な多角形や円について、相似比と面積比の関係を見いだすことができる。
相似な平面図形の相似比と面積比の関係を利用して、図形の面積を求めることができる。
立体の相似の意味を理解し、相似な立体の相似比と表面積の比や体積比の関係を見いだすことができる。
相似な立体の相似比と表面積の比や体積比の関係を利用して、立体の表面積や体積を求めることができる。

・与えられた手順でノートの罫線を３等分しその方法で３等分できるわけを考える。
・三角形の１辺に平行な直線が、他の２辺に交わるときにできる線分の比を調べ、成り立つ性質を証明する。
・三角形と比の定理を利用して、線分の長さを求める。
・三角形と比の定理の逆が成り立つことを証明する。
・三角形と比の定理の逆を利用して、２つの線分が平行かどうかを判断する。
・三角形の各辺の中点を結んでできた線分には、どんな性質があるかを調べる。
・中点連結定理を利用して、線分の長さを求める。
・四角形の各辺の中点を結ぶと、どんな図形になるかを調べる。
・四角形の各辺の中点を結んでできる四角形は、平行四辺形であることを証明する。
・平行線に直線が交わるときの線分の長さの求め方を考え、説明する。
・平行線と比の定理を利用して、線分の長さを求める。
・平行線と比の定理を利用して、線分の長さを与えられた比に分ける。
・平行線と比の定理を利用して、図形の性質を証明する。
・相似な三角形について、相似比と面積比の関係を調べる。
・相似な四角錐について、相似比と体積比の関係を予想させる。
・相似な平面図形の相似比と面積比の関係を確認する。
・相似な平面図形の相似比と面積の関係を利用して、具体的な問題を解決する。
・相似な立体の相似比と表面積の比や体積比の関係を確認する。
・相似な立体の相似比と表面積の比や体積比の関係を利用して、具体的な問題を解決する。
・ピラミッドの登頂部分を底面に平行な面で切り取った「切頭ピラミッド」の体積を求める。
・体積比を使う方法と使わない方法で体積を求め、発表する。

第３学年 数学科学習指導案（第１時）【①課題の設定 単元や節を貫く課題を設定させタイ】
１

単元名「相似な図形」（東京書籍

２

本時の計画新しい数学３）

目標

身の回りにあるものを図形とみなして、その図形のある点を中心に拡大する方法や拡大してできる図形の特徴を理解することができる。

探究の過程
課題の設定

相似な図形に関する具体的な事象・問題を数学の舞台に乗せ、自分自身の課題として考える。

○指導過程段
学習活動
形
階 ○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応 態
導 １ 本時の目標を確認する。
一入 ○身の回りのもので、拡大されたり縮小され 斉５たりしているものには何がありますか。
分 ◆地図。 ◆設計図。
◆模型。 ◆タブレットの画像。
展 ２ タブレット上での拡大について考える。 個開 ○タブレット上での２本の指の操作によっ 別
35て、図形がどのように拡大されていますか。
分 ◆形は変わらない。
◆ある場所が規準になっている。
◆内側から外側に拡大されている。

終結10分

３ 相似について知る。
○身の回りにある相似な図形にはどんなものがありますか。
◆車とプラモデル。
◆電気製品とその設計図。
◆実際の町とその模型。

一斉

４ ピラミッドの高さについて考える。
○ギリシャの数学者タレスは、どうやってピラミッドの高さを計算したと思いますか。
◆影の長さを利用して計算する。
◆見上げる角度を利用して計算する。

一斉

５ 身近な建物の高さの求め方を考える。
○自分の家や近くの建物などの高さを求める方法は他に考えつきますか。
◆影が半分になるときに考える。
◆比で考える。
６ 今後、校舎の高さを測る活動を行うことを知る。
○今後、学校の校舎の高さをそれぞれの考え方で測る時間をとります。

一斉

７ 次時の学習内容を知る。
○次回は相似な図形の性質を考えます。

一斉◎指導上の留意点◎机は最初から最後までグループの形態にさせ、自由に相談させる。

◎タブレットで実際に拡大させて、どのような性質があるか考えさせる。

◎相似の定義を確認させる。
◎身近なところにも、相似な図形の考え方が使われていることを確認させる。

◎ワークシートを活用し、ピラミッドの高さを測る方法を予想させる。
◎数学者タレスの方法では、棒の長さと影の長さが等しくなる時間まで待たなければいけないことに気付かせる。

◎身近にあるものの高さの求め方を自分で考えさせる。
◎既習である比の考え方について、振り返らせる。

一斉◎校舎の高さを測る活動を、単元を貫く課題に設定させる。
課題の設定◎次時の予告をする。

ワークシート

古代エジプトのピラミッドの高さを測った数学者タレス
古代エジプト最大のピラミッドはクフ王のギザ大ピラミッドです。底辺はほぼ正方形で、１辺が約230ｍでしたが、高さは測ることができませんでした。ギリシャの数学者タレスは、測量機器のない時代にどうやってピラミッドの高さを測ったのでしょうか。
予想【タレスの方法】（解答例）
タレスは、地面に立てた棒の影の長さに着目しました。棒の長さと影の長さが等しくなるときにピラミッドの影の長さを測ると、ピラミッドの高さになると言いました。

棒●タレスの考え方を使うとピラミッドの高さが分かるのはなぜでしょう。

第３学年 数学科学習指導案（第４時）【②情報の収集 知識・技能を身に付けさせタイ】
１

単元名「相似な図形」（東京書籍

新しい数学３）

２

本時の計画
目標
相似な図形の辺の長さを求めることができる。
探究の過程 平面図形の相似の意味、三角形の相似条件、基本的な立体の相似の意味、相似な図情報の収集 形の相似比と面積比や体積比など、問題解決に必要な知識・技能を身に付ける。

○指導過程段
学習活動階 ○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応
導 １ 課題を知る。
入 ○相似な図形の辺の長さを求めてみましょ10う。
分下の図で、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦであるとき、形態
一斉辺ＡＣの長さを求めなさい。

◎指導上の留意点◎相似な図形の性質を確認させる。
◎机は最初から最後までグループの形態にさせ、自由に相談させる。
◎相似な図形の性質を確認し、活用を促す。

ＤＡ

6cm

4cm

3cm

Ｂ

展開35分

２2.8cm

ＣＦ

Ｅ辺の長さを求める。

個
別

３：６＝ＡＣ：４
６ＡＣ＝１２ＡＣ＝２３

答 ２cm

課題を知る。

下の図で、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦであるとき、辺ＢＣの長さを求めなさい。

◎相似な図形の性質を活用して、三角形の辺の長さを求めさせる。
情報の収集◎グループ内で答えを確認させる。

一斉

Ａ
4cm

Ｂ

Ｃ8cm

Ｄ14cm

Ｅ

○辺ＢＣの長さは何 cm になると思いますか。
◆７cm になると思う。
◆14/３cm になると思う。
４

辺の長さを求める。

４：12＝ＢＣ：14
12ＡＣ＝56
ＡＣ＝◎辺ＢＣの長さを予想させる。

個
別
答cm

◎まずは、予想させ、その予想をノートに書かせる。
◎何人かに考えを発表させる。
◎相似な図形の性質を活用して、三角形の辺の長さを求めさせる。
情報の収集◎なぜ４：８ではなく、４：12 を使うかを説明させる。

終結５分

５

相似な図形の辺の長さを求めるときに必要な性質を確認する。
○相似な図形の辺の長さを求めるときは、どんなことが大切ですか。
◆対応する辺の長さの比を確認すること。

一
斉

６ 次時の学習内容を知る。
一○次回は、三角形の相似について学習します。 斉◎近くの生徒と、相似な図形の辺の長さを求めるときに必要な性質を確認させる。

◎次時の予告をする。

第３学年 数学科学習指導案（第６時）【③整理・分析 情報を整理させタイ】
１

単元名「相似な図形」（東京書籍

２

本時の計画新しい数学３）目標

三角形の相似条件を利用して、２つの三角形が相似かどうかを判断することができる。

探究の過程
整理・分析

三角形の相似条件などを基にして図形の基本的な性質を論理的に確かめたり、相似比と面積比や体積比の関係を考えたりする。

○指導過程段
学習活動階 ○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応
導 １ 本時の目標を確認する。
入 ○三角形の相似条件を利用して、相似な三角５形を相似条件ごとに分類してみましょう。
分２ 課題を知る。
○相似な三角形を見付けて、相似な理由を説明しましょう。

形態一斉一斉◎指導上の留意点◎机は最初から最後までグループの形態にさせ、自由に相談させる。

◎相似条件を利用して、三角形を分類させる。

下の図のなかから、相似な三角形の組を見つけ、記号∽を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。
Ａ
Ｂ

30°

45° Ｃ

ＭＪ

Ｌ
1Ｐ30°

ＱＨＶ

Ｕ
430°
1.2105°
45° Ｉ

Ｒ105°
2.1ＳＫ

Ｏ4Ｎ

Ｇ30° 7

Ｅ

322Ｆ

Ｄ46Ｘ

ＷＴ8展
開30分

３ 相似な三角形について考える。
○相似な三角形の組を見付け、相似条件を確認しましょう。
◆△ＡＢＣ∽△ＩＧＨ∽△ＱＲＰ
相似条件は、２組の角がそれぞれ等しい。
◆△ＤＥＦ∽△ＴＳＵ
相似条件は、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
◆△ＭＮＯ∽△ＶＷＸ
相似条件は、３組の辺の比がそれぞれ等しい。

個
別４ 課題を知る。
○この問題について考えましょう。

一斉

下のそれぞれの図で、相似な三角形を記号∽を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。
(1)
Ｄ２(2)

Ａ
１２Ｂ
Ｃ

Ｃ４Ｅ

Ｂ

Ｅ

(3)

Ａ

１Ａ ３ Ｅ
２Ｄ

Ｂ
Ｃ６Ｄ◎グループ内で考えを共有させる。
◎全体で答えを共有させる。
◎三角形の相似条件を基に三角形を分類させながら、図形の基本的な性質を論理的に確かめさせる。
整理・分析◎三角形の相似条件を利用することを確認させる。

５ 相似な三角形について考える。
○相似な三角形の組を見付け、相似条件を確認しましょう。
◆(1)△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ相似条件は、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
◆(2)△ＡＢＣ∽△ＤＥＣ
相似条件は、２組の角がそれぞれ等しい。
◆(3)△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ
相似条件は、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
終結
15分

６個
別相似な三角形の組を作図し、相似である理由を確認する。
○もう一度、三角形の相似条件を確認しましょう。
◆２組の角がそれぞれ等しい。
◆２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
◆３組の辺の比がそれぞれ等しい。

一斉

７ 次時の学習内容を知る。
○次回は、２つの三角形が相似であることを証明します。

一斉◎グループ内で答えを共有させる。
◎全体で答えを共有させる。
◎三角形の相似条件を基に、図形の基本的な性質を論理的に確かめさせる。
整理・分析◎何度も三角形の相似条件を確認させる。
◎作図した三角形が相似である理由をグループ内で共有させる。ノートをモニター等に写 しなが ら全 体で共有さ せる。

◎次時の予告をする。

第３学年 数学科学習指導案（第９時）【④まとめ・表現 相手意識を持った表現活動をさせタイ】
１

単元名「相似な図形」（東京書籍

新しい数学３）

２

本時の計画
目標
直接には測定できない距離や高さを、縮図を利用して求めることができる。
探究の過程
相似な図形の性質や三角形の相似条件などを活用した問題解決の過程を発表するこ
まとめ・表現 とで、考えたことをまとめ、表現する力を身に付ける。

○指導過程
段
学習活動
階 ○主な発問・指示 ◆予想される生徒の反応
導 １ 本時の目標を確認する。
入 ○どんな方法で校舎の高さを計算しますか。
５ ◆人と校舎の比を活用する計算方法
分 ◆仰角を利用する計算方法◆影の長さを利用する計算方法
２ 校舎の仰角や鉄棒の影の長さを測る。
○校庭に行って、必要な長さや角度を測りましょう。

グルー展
開35
分

形
態一斉プ

個別４ グループで、計算結果を確認する。
○グループの友達と計算結果を確認してみましょう。

グルー

３ 教室に戻って、校舎の高さを計算する。
○校舎の高さを実際に計算してみましょう。

プ終
結
10分

５ 計算過程を発表する。
○グループで発表者を１人決めて、順番に発表してください。

一斉

６

一斉

タンジェントを用いた計算方法を見て、計算方法は他にもあることを知る。

◎机は最初から最後までグループの形態にさせ、自由に相談させる。
◎グループごとにどの方法で計算するか決めさせる。

◎影の長さはメジャーで測らせる。
◎仰角は傾斜計で測らせる。
◎グループで役割分担を考えさせ、協働的に活動させる。

◎測定した値を基に、計算させる。
◎相似な図形の性質どこに活用しているかを意識させながら計算させる。

◎どの相似条件を適用したかについて考えさせる。
◎計算結果が違う場合は、もう一度計算させる。

◎相似な図形の性質を活用し、問題解決の過程をまとめ、相似な図形の性質をどこで活用したかはっきり分かるように発表させる。 まとめ・表現◎タンジェントの値を活用することで、計算過程を省略できることを伝える。
◎タンジェントの定義を確認させ、高校１年生の数学Ⅰで習う発展事項であることを伝える。

【タンジェントを用いた計算方法】
校舎から 16ｍはなれた地点から、校舎の先端を見上げたら 40°上に見えた場合も校舎の高さは、16×0.8391=13.4ｍとなる。
ここで、tan40°=0.8391 である。
７ 次時の学習内容を知る。
○次回は、測定値の表し方を学習します。

◎指導上の留意点

一斉◎次時の予告をする。

【傾斜計】①右上に穴を開けて、結び目を端に作ったひもを通し、結び目と反対側に硬貨などのおもりを取り付ける。
②傾斜計をバインダーにはさんで、矢印の方向から校舎の先端を見る。
③おもりをつけたひもが示す角度が校舎を見上げる角度となる。

●使い方の参考図

校舎