量子Lyapunovスペクトル:
Sachdev-Ye-Kitaev模型および量子XXZスピン鎖を例として手塚真樹 (京都大学理学研究科)
Introduction: 古典系の有限時間 Lyapunov スペクトルの準位統計 [M. Hanada, H. Shimada and MT, PRE 2018 (arXiv:1702.06935)]
𝐾 個の自由度をもつ古典系
時刻 t = 0 ➔ te

微小な初期条件のずれ

t でのずれ:初期状態のずれに関し線形𝛿𝑥𝑖 𝑡 = 𝑀𝑖𝑗 𝛿𝑥𝑗 0log 𝑎𝑘 𝑡
𝜆𝑘 𝑡 =𝑡

準位間反発• GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble) 実対称; 𝛽 = 1• GUE (G. Unitary E.) 複素エルミート; 𝛽 = 2
固有値の結合確率分布
𝐾• GSE (G. Symplectic E.) 四元数エルミート; 𝛽 = 4
𝛽2𝑝 𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝐾 ∝ ෑ 𝑒𝑖 − 𝑒𝑗 ෑ 𝑒 −𝛽𝐾𝑒𝑖 Τ4量子系のスペクトル統計: 古くから多くの研究• 原子核の準位 [Wigner, …]• シナイビリヤードのシュレディンガー方程式

𝑘=1,2,…,𝐾

通常、𝑡 → ∞ 極限を考え、もし max 𝜆𝑘 > 0 ならカオス[Bohigas, Giannoni, Schmit PRL 1984]

本研究: 有限時間でのふるまいに着目

リアプノフスペクトル 𝜆𝑘 𝑡𝐾
𝑘=1 は系の詳細に依存する古典系のリアプノフスペクトル:𝑡 → ∞ 極限で全体を精度高く求めることは困難➔カオス系に共通するユニヴァーサリティ?

本研究: 量子系への拡張の提案[Norbert Wiener 1938][Larkin & Ovchinnikov 1969]

特異値: 𝑠𝑘 𝑡=2→ 𝑒 2𝜆L𝑡

𝛿𝑥𝑖 𝑡
𝐿=𝛿𝑥𝑗 0𝑒 2𝜆𝑘𝑡

1≤𝑖<𝑗≤𝐾𝑖=1𝜆𝑘 𝜆𝑘+1

Spectral form factor𝜌෤ 𝜆ሚ = 1𝜆

𝜌 𝜆 : 滑らかな状態密度スペクトルの「硬さ」を特徴づける“slope”𝜆ሚ

𝜆ሚ𝑘 𝜆ሚ𝑘+1𝜆𝜆ሚ = න 𝜌 𝜆′ 𝑑𝜆′“plateau”−∞

cf. ランダム結合系のリアプノフスペクトル
K=3600, 104 個[S. K. Patra and A. Ghosh]• 蔵本モデル [PRE 93, 032208 (2016)],• マップネットワーク[EPL 117, 60002 (2017)]
強結合  GOE
弱結合  ポアッソン

𝑍 𝜏 = ෍𝑒−𝑖𝜏𝜆𝑗~𝜏 1 “ramp”;

𝑗𝑍 𝜏 2𝑔 𝜏 == 𝐾 −2 ෍ 𝑒 𝑖𝜏 𝜆𝑗 −𝜆𝑘2
𝑍 0𝑗𝑘

[H. Gharibyan, M. Hanada, B. Swingle and MT, arXiv:1809.01671]
本研究: 系の状態 𝜙 （例えば固有状態）について𝑁෠𝜙 𝐿𝑎𝑏 𝑡 𝜙 の特異値 𝑠𝑘 𝑡 𝑘=1 を求め、展開すると out-of-time correlator (OTOC) が出る:
෡ 0 𝑉෠ 𝑡 𝑊
෡ 0 etc.
𝑉෠ 𝑡 𝑊

2𝑠 = 𝜆ሚ 𝑘+1 − 𝜆ሚ 𝑘𝜌 𝜆

量子系での対応物: Bose的な演算子 𝑉, 𝑊 なら、2෡ 0
𝐶𝑇 𝑡 = − 𝑉෠ 𝑡 , 𝑊

古典系で、正準共役な量 𝑥, 𝑝 の異なる時刻での関係
𝜕𝑥 𝑡
2𝑥 𝑡 , 𝑝 0 PB =𝜕𝑥 0

アンフォールディング成分がガウス分布するランダム行列:

𝑀𝑖𝑗 の特異値: 𝑎𝑘 𝑡 𝐾
𝑘=1
時間依存リアプノフスペクトル𝛿𝑥𝑖 0

リアプノフスペクトルをアンフォールドしたときの間隔分布 𝑃 𝑠 は、自由度𝐾が大きいとき、ある時間スケールで、ランダム行列の固有値の間隔分布
𝑃RMT 𝑠 に近づく。Spectral form factor も、ランダム行列のものに近づく。

多くのカオス系で、自由度 𝐾 が大きいとき、ある時間スケールで、リアプノフスペクトルはランダム行列のようにふるまう。

𝛿𝑥𝑖 𝑡
𝑀𝑖𝑗 =
𝛿𝑥𝑗 0𝜆𝑡

数値的結果数値的結果からの期待リアプノフスペクトルを 𝜆𝑘 𝑡log 𝑠𝑘 𝑡=2𝑡

例1: Sachdev-Ye-Kitaev模型

エントロピー生成に関して[Sachdev and Ye 1993][Kitaev 2015][Sachdev 2015]
冷却気体系での実現提案: [I. Danshita, M. Hanada and MT, PTEP 2017]

SYK4 極限𝑁 ≫ 1 で解析的に解けて、低温の極限で•• 「カオスの上限」を満たす [Kitaev’s talks at KITP; S. Sachdev, PRX 5, 041025 (2015); …]

反交換子を考える。

e.g. [A. M. García-García, B. Loureiro, A. Romero-Bermudez, and MT, PRL 2018 (arXiv:1707.02197)]

෡𝑎𝑏 𝑡 = 𝜒Ƹ 𝑎 𝑡 , 𝜒Ƹ 𝑏 0
𝑀• 最大リアプノフ指数と温度の比にピーク、低温では非カオス的𝑁

෡=𝐻SYK4

෍𝑁

ガウシアンランダムな全結合

6𝐽

𝑁3Τ2𝐾
𝐾𝑎𝑏 : average 0, standard deviation𝑁

複素フェルミオンで書くと、個数のパリティを保存• 最速のエントロピー生成系でもある

𝑗=1

1≤𝑎<𝑏
𝐽𝑎𝑏𝑐𝑑 : average 0, standard deviation• 最速のスクランブラーである[Sekino and Susskind 2008]だけでなく、

෡𝑗𝑎 𝑡 𝑀෡𝑗𝑏 𝑡
𝐿෠ 𝑎𝑏 𝑡 = ෍ 𝑀𝐽𝑎𝑏𝑐𝑑 𝜒Ƹ 𝑎 𝜒Ƹ 𝑏 𝜒Ƹ 𝑐 𝜒Ƹ 𝑑 + 𝑖 ෍ 𝐾𝑎𝑏 𝜒Ƹ 𝑎 𝜒Ƹ 𝑏

1≤𝑎<𝑏<𝑐<𝑑➔我々の conjecture: ブラックホールは𝑁

SYK2は互いに近づき、差は 1Τ𝑁 で減少• 𝜆𝑁 と 𝜆1 についても同様。リアプノフスペクトルは単一のピークに接近。
• 強結合では、全てが「カオスの上限」を満たすと期待。
• エンタングルメントエントロピーの生成率 ~ ℎKS = 正の(全ての) 𝜆𝑖 の和2𝜋𝑘B 𝑇• 「カオスの上限」: “物理的に自然な”仮定のもとで 𝜆L ≤ℏ[J. Maldacena, S. H. Shenker, and D. Stanford, JHEP 1608, 106 (2016)]• 一体ホッピングの項はカオス性を抑制

11 𝑁
𝜆𝑁 と 𝜆OTOC = log σ𝑖=1 𝑒 2𝜆𝑖 𝑡2𝑡𝑁で定義。

エンタングルメントエントロピー
初期状態: ȁ𝜓 𝑡 = 0 ۧ = ȁ000 … 000ۧ (複素フェルミオン基底)A➔ 2N/2-1 次元の行列の対角化 (𝑁 ≲ 34 で可能)

𝑁Τ2B

𝜌A 𝑡 = TrB 𝜌 𝑡 ,𝜌 𝑡 = ȁ𝜓 𝑡 ۧ‫ 𝑡 𝜓ۦ‬ȁ𝑐𝑗Ƹ =𝜒2𝑗−1 + i𝜒2𝑗2𝑆EE 𝑡 = −Tr log 𝜌A 𝑡

正の𝜆𝑖 𝑡の和とエンタングルメントが、ほぼ同じ時間スケールで増大

例2: ランダム磁場XXZスピン鎖多体局在 (MBL) の典型的模型, 𝑊c ≈ 3.7 で全ての状態が局在
e.g. [D. J. Luitz, N. Laflorencie, and F. Alet, PRB 91, 081103 (2015)]𝑁𝑁෢𝑧෡ = ෍ 𝑆෡𝑖 ∙ 𝑆෢𝐻𝑖+1 + ෍ ℎ𝑖 𝑆𝑖𝑖(Fixed-i) unfold したときの準位間隔分布

SYK4 極限付近:
長時間経っても GUEℎ𝑖 : 一様分布 [−𝑊, 𝑊]+−෢෡𝑎𝑏 𝑡 = 𝑆෢
𝑀𝑡,𝑆𝑎𝑏 0𝑖min 𝜖𝑖+1 −𝜖𝑖 , 𝜖𝑖+2 −𝜖𝑖+1𝑟 : average adjacent gap ratio, maxの平均
𝜖 −𝜖 , 𝜖 −𝜖𝑖+1𝑖𝑖+2𝑖+1

無相関(ポアソン分布)の場合: 2 log 2 − 1 ≈ 0.386
相関がある場合: より大 (GOE: 0.5307, GUE: 0.5996 etc. ) [Atas et al., PRL 2013]

𝑊 = 0.5: GUE に近づく

強い一体ホッピング：
Poisson に近づく

𝑊 = 4: Poisson に近いまま

さらに: 時間相関行列の特異値の対数
XXZ, all non-trivialexponents

SYK, largest 3 exponents

𝜙
𝐺𝑎𝑏 = 𝜙 𝜎෢+ 𝑎 𝑡 𝜎ෞ− 𝑏 0 𝜙

Fixed-i unfolded log of singular values of𝜙
𝐺𝑎𝑏 = 𝜙 𝜓෠𝑎 𝑡 𝜓෠ 𝑏 0 𝜙Preliminaryまとめ
有限時間での量子リアプノフ指数を定義し、量子カオスの特徴づけを試みた。SYK模型およびその変形, XXZ模型で、カオス的な状況でランダム行列と対応する準位統計, そうでない状況でポアソン的な準位統計がみられる。同様のふるまいは、時間相関行列の特異値からも得られる可能性がある。