伊敷 吾郎 (京大基研)
以下の論文に基づく
JHEP0611(2006)089

Ishiki-Shimasaki-Takayama-Tsuchiya

PRD78(2008)106001

Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya

PRL102(2009)111601

Ishiki-Kim-Nishimura-Tsuchiya

JHEP0909(2009) 029

Ishiki-Kim-Nishimura-Tsuchiya

JHEP1111 (2011) 036

Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya

JHEP1302 (2013) 148

Asano-Ishiki-Okada-Shimasaki

arXiv:1308.3525

Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-Tsuchiya

Pos LATTICE2010, 253

Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-Tsuchiya

Pos LATTICE2011, 244

Honda-Ishiki-Nishimura-Tsuchiya

定式化

定式化のチェック

数値計算

共同研究者
石井氏 (Crete大), 島崎氏 (京大理), 土屋氏 (静岡大), 西村氏 (KEK, 総研大), Kim氏 (KIAS)
本多氏(KEK, 京大基研), 浅野氏 (京大理), 岡田氏 (京大基研), 高山氏 (元Bohr研), 太田氏(明治学院大)◆ 4次元のmaximal susyのゲージ理論◆ 超共形対称性 PSU(2,2|4), 16+16 SUSY
◆ AdS/CFT対応
予想
N=4 SYM

AdS5×S5上のIIB型超弦理論

ラージN, 強結合のN=4 SYM

AdS5×S5上のIIB型超重力理論◆ N=4 SYMの強結合領域を解析する方法
・ 特別なセクターに注目する (BPS, BMN極限, 可積分系, etc)
・ 数値計算 ← 今日の話

1. Planar N=4 SYMの非摂動的な定式化
2. 定式化のチェック
3. N=4 SYMの数値計算
4. まとめと展望

UV finiteな理論なので、SUSYは連続極限で回復する。Fine-tuning不要。
◆ 格子正則化[Kado-san’s talk, Catterall-Wiseman]◆ 運動量カットオフによる正則化[Anagnostopoulos-Hanada-Nishimura-Takeuchi]

1次元以下のSUSY理論は、数値計算ができる。

[他の方法⇒Hanada-Matsuura-Sugino, Kawamoto-san’s talk]◆ アイデア : 1d以下のSYMのラージN極限として、4d SYMを記述する。

ラージNリダクション

YM on Rd

Rd上のYM理論は、ラージN極限において、その次元簡約で得られる行列模型と等価である。
[Eguchi-Kawai, Okawa-san’s talk]

行列模型◆ しかしflatな時空の上で考えると、・ U(1)D対称性の破れによって、連続極限が取れない場合がある。
・ これを改良するためにquench, twist等の処方があるが、SUSYは破ってしまう。
[Bhanot-Heller-Nouberger, Gross-Kitazawa, Gonzalez-Arroyo-Okawa]⇒ 曲がった空間の上で考える。

◆ N=4 SYMは超共形対称性のおかげで、R4上の理論とR×S3上の理論は等価（radial quantization）
R×S3上のN=4 SYM
S3方向を次元簡約
Plane wave行列模型(PWMM)（BFSS行列模型のmass deformation）◆ ラージNリダクションを通して、PWMMを用いて、N=4 SYMが記述できる。
◆ quench, twist等の操作は必要なく、16 SUSY (SU(2|4)) の対称性が保たれる。
◆ N=4 SYMのラージN極限しか記述できない。

R×S3上の N=4 SYM

局所的には S3 ~ S1 ×S2(1) ラージＮリダクションの非自明なS1束への拡張(S1を再現)S1方向の次元簡約
R×S2上の SYM
S2方向の次元簡約
Plane wave 行列模型

(2) 非可換球面の可換極限(S2を再現)(1) と (2) を組み合わせることによりS3上の理論が行列模型から実現される。

◆ R×S3上の N=4 SYM

S3 ~ S1 ×S2◆ R×S2上の N=8 SYM(1) ラージＮリダクション(S1を再現)◆ PWMM(2) 非可換球面の可換極限(S2を再現)を0に置くとBFSS行列模型と同じ

[Eguchi-Kawai, Parisi , Gross-Kitazawa]

例 : R上の理論

Reduction

N個は一様に分布次の極限で、reduced model は元の理論のplanar 極限を再現する。

jikplanar場の理論を再現◆ Non-planarは場の理論には対応しないが、planar と比べて運動量を運べないで無視できる。

◆ ポイント： [P, ] は連続的な運動量(微分)と見なせる。

◆ S1上のラージＮリダクション
固有値は離散的S1上の運動量を再現

Non-planarの寄与を落とすために必要はS1上の理論のplanar極限を再現する。

R×S2上のSYMには、がモノポール解として存在

古典解 Dirac monopoleonon

このモノポール解周りのR×S2上のSYM理論 ⇒ R×S3上の N=4 SYM理論
Large N reduction行列模型
非可換球面の可換極限

S2上の場の理論

正方形行列

球面上の場(global な関数)

長方形行列

モノポール背景中の場(local section)

Fuzzy spherical harmonics

Monopole spherical harmonics

U(1) monopole背景中の場の基底
角運動量に下限

はモノポールが原点にある場合の角運動量演算子

Patch によって形が異なる。

[Grosse et al, Baez et al, Dasgupta et al]

長方形行列の基底

下限

UV Cutoffこの極限で、磁荷qのmonopole harmonicsにmapできる。

◆ スペクトル：→◆ 関数同士の積（環）の構造→=：

非可換球面解で可約表現のものを考える。
長方形は固定この解周りのPWMMは可換極限で磁荷周りのR×S2上のSYMと等価である。

を持ったモノポール解の

連続極限
(S2)
(S1)
(planar)

この古典解周りの行列模型は、R×S3上の N=4 SYM のplanar極限を再現する。
[Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya]

R×S3上のＳＹＭ
Planar 極限
次元簡約

ラージＮリダクション①4d Planar N=4 SYM= PWMMのある真空周りの理論のラージN極限②PWMMは数値計算可能③Planar N=4 SYMも数値計算可能（モノポール解周りの）R×S2上のＳＹＭ

次元簡約

非可換球面の構成

Plane wave 行列模型

◆ massive な理論であり、
quench等が必要ない。
◆ 従ってPWMMの持つ対称性
ゲージ対称性SU(2|4)対称性 (16 susy)を全て保つことが出来る。
◆ InstantonはラージNで無視できる。

◆ 1-loop計算

有限温度での自由エネルギーベータ関数◆ 摂動のall order(局所化)Wilson loop◆ 有限温度でのAdS/CFT[Witten]

N=4 SYM(planar limit, 強結合)
Deconfinement transition

Type IIB SUGRA

Hawking-Page transition◆ 弱結合(1-loop近似)における、R×S3上のN=4 SYM のラージN相転移[Sundborg, Aharony-Marsano-MinwallaPapadodimas-Raamsdonk]

[cf. Kawahara-Nishimura-Yoshida]◆ PWMMにおいて N=4 SYMを実現する古典解の周りで展開◆ S1方向のゲージ場が対角的で、定数のゲージをとる。
Moduli (holonomy)◆ ゲージ場のmoduli以外を1-loop近似で積分する。
1-loop 有効作用◆の積分をモンテカルロ法を用いて数値的に行った。

自由エネルギー[Ishiki-Kim-Nishimura-Tsuchiya]◆ 臨界温度は解析的に導くことができ、SYMの臨界温度と完全に一致する。
◆ 高温極限でのT4の振る舞いも再現することができる。[Kitazawa-Matsumoto][Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya]◆ N=4 SYMは共形場理論 ⇒ ベータ関数=0
PWMMから出発して、これを示せるか？

①理論を対応する真空周りで展開②ゲージ固定③ ”調和展開”④各モードについてファインマン則を作って計算Log発散二次発散(すべての図を足すとキャンセル)同様の計算により、が分かる。

[Erickson-Semenoff-Zarembo,
Drukker-Gross, Pestun]

PWMMを用いた定式化から出発して再現できるか？

cf. 非可換平面上のウィルソンループ[Ishibashi-Iso-Kawai-Kitazawa]

連続極限でS3上のウィルソンループ演算子に帰着するような行列模型の演算子が構成できる。 [Ishii-Ishiki-Shimasaki-Ohta-Tsuchiya]

連続極限: S3上のright-invariant 1-form◆ [Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya] では、ラダー近似で計算した。 [cf. Erickson-Semenoff-Zarembo]

等、vertexの入ったものは無視

Planar極限◆ [Asano-Ishiki-Okada-Shimasaki] では、局所化を用いてこれが厳密な結果であることを示した。

◆ PWMMのnon-lattice simulation
１．Euclidean時間方向に、IR cutoff （逆温度）２． ゲージ場（static diagonal gauge）

は定数
３．

を導入。
他の場

UV cutoffと各フーリエモードについてRHMCを行う◆ 初期配位として、N=4 SYMに対応する配位を取って、その周りで揺らがせる。

◆ cutoffの外挿12◆ 自由度 = (N2-1) (2Λ+1) = 875 ～ 44格子のSU(2)ゲージ理論

Instanton振幅◆ 大きな行列サイズを取れなかったので他の真空に移ってしまう可能性がある。の固有値（ 古典的には二次のカシミア）◆ Chiral primary 演算子: SO(6) scalar: traceless symtensor◆共形不変性から期待値の形は決まる。
・ ２点関数: 演算子の共形次元・ ３点関数◆（２点関数の係数）はcouplingに依らない。（非繰り込み定理）(Near) extremal な多点関数に対しても、非繰り込み定理は示されている。

[Eden-Howe-Sokatchev-West]◆や、その多点関数版はSUGRAから計算できる。 [GKP, Witten]（例）
SYM, N→∞, λ→0SUGRA

一般の規格化された3点関数に対する、弱い形の非繰り込み定理

SUGRA

一般の規格化された4点関数は繰り込みを受ける◆ このような性質が数値計算から理解できるか？

(例) ２点関数の場合

R4 → R×S3へのmapping(共形変換)(例)

S3上で積分の場合

Large N reduction
さらにこれをフーリエ変換して運動量空間の相関関数を数値計算

Free な場合には、解析的な計算から、SYMの結果を再現できる
連続極限

◆ N=4 SYMでは（非繰り込み定理）◆ 我々の結果の値連続極限では1に近づくか？
[Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-Tsuchiya]◆ N=4 SYMでは（非繰り込み定理）◆ 我々の結果弱い形の非繰り込み定理は成り立っているように見える。

規格化された4点は最大30％程度繰り込まれる。
ずれのオーダーは重力側と一致する。運動量依存性は一致しない。

[Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-Tsuchiya][Honda’s talk at Lattice20111]

12無限大へ外挿

Gaussian
Matrix model(exactな結果)のplanarでの値

◆ ラージNリダクション： S3上のゲージ理論は、その次元簡約で得られる行列模型をもちいて記述することが出来る。
◆ R×S3上のplanar N=4 SYM理論 = PWMMのあるラージN極限
PWMMは数値計算可能(lattice, non-lattice)なので、上の関係に基づいてN=4 SYMの数値計算も可能となる。
◆ 1-loop自由エネルギー, 1-loop beta関数, 円形Wilson loop（all order）が、この定式化に基づいて正しく再現された。
◆ N=4 SYMのChiral primary演算子の2,3,4点関数と円形Wilson loopをRHMCにより計算した。

◆ 大きなサイズの行列模型の数値計算が可能になれば、N=4 SYMのより精密な数値計算が可能になるはず。
AdS/CFTの精密検証

[Ishii-Ishiki-Shimasaki-Ohta-Tsuchiya][Ishiki-OhtaShimasaki-Tsuchiya]

S3/Zk上のChern-Simons理論
ラージＮリダクション(又はmatrix T-duality) の非自明なU(1)束への拡張[Ishiki-OhtaShimasaki-Tsuchiya]

S2上のBF理論（二次元Yang-Mills理論）[Shimasaki’s Poster ]非可換球面の構成
N=1*行列模型

◆と場を再定義する。

◆を対角化するゲージをとる。

◆とを先に積分する。

◆ S3上のChern-Simons 理論を記述する部分を抜き出す必要がある。

: SU(2) のM次元表現。
によって指定される。

は既約表現を指定

は重複度S3を実現する表現

この分配関数で記述される理論は,でS3上のラージNのChern-Simons理論を記述していると期待できる。

一方、S3上のChern-Simons理論では、

ただしここで

S3大円

一方、S3上のChern-Simons理論において、シューア関数