ゲージ重力対応
・ 強結合のゲージ理論(ラージ Nc 極限)

AdS/CFT対応[1998, Maldacena]

曲がった時空上の古典重力- 興味深い性質
強結合ゲージ理論が重力側から手計算で解ける。
逆に、重力(超弦理論)がゲージ側から理解できる。
- 多彩な研究
ホログラフィックQCD, ホログラフィック超伝導…

しかしながら、ゲージ重力対応は予想である。

検証が重要ゲージ・重力対応

格子超対称性の進展[1998, マルダセナ,...][2004~, カプラン,杉野,… ]超対称性を含む系で、格子ゲージ理論を用いたゲージ理論 と 重力(超弦理論) をつなぐ新しい研究

格子を用いたゲージ重力対応の検証～格子ゲージ理論からブラックホールの物理へ
離散的手法による場と時空のダイナミクス＠ＫＥＫ
2013年9月28日(土曜)加堂大輔 (KEK, 素核研)

立教大Ｄ３鎌田翔君との共同研究に基づく
PoS LATTICE 2012:064, D.K. and S.Kamataトークプラン
1. 研究動機
2. １次元SYMとゲージ重力対応
3. 格子作用の構成
4. 数値計算の結果- 超対称ウォード高橋恒等式- 高温展開の計算- ブラックホール内部エネルギー(準備段階)

5. まとめと今後の展開

２. 1次元SYMとゲージ重力対応・連続理論の作用: ゲージ場: スカラー場: フェルミ場

トフフト結合定数・16個の超対称不変性: 16個の変換パラメータターゲット理論のゲージ重力双対性

1998 Itzhaki-Maldacena-Sonnenschein-Yankielowicz

16個超対称チャージを持つ１次元SYM

N D0-ブレーン

IIA 型超弦理論のN D0-ブレーン解
ブラックホールt

ブラックホール内部エネルギーの重力側からの解析計算

1996 Klebanov -Tseytlin

格子を用いてゲージ理論側からブラックホールの物理量を計算し、双対性が成り立つかをチェックする。

なぜ格子を使うのか？
思想：
格子理論は….
(1) 連続理論でできることは格子でもできる。
(2) 数値計算で非摂動領域が調べられる。
(3) 非摂動領域を調べる上でもっともパワフルな道具（の1つ）である。

実際、QCDのときは成り立っていそう。
格子QCD : 摂動計算も可能。ハドロン質量、崩壊定数はもはや数%の統計誤差で評価できる。

格子でゲージ重力対応を調べるのも自然だろう。

先行研究(16個超対称チャージを持つ1d SYMの数値解析)(1) Non-lattice (格子でない数値計算)

運動量シャープカットで正則化
ブラックホールの内部エネルギー重力側の予言とあっている。

温度

(2) Lattice (格子計算)

ゲージ場はコンパクトなリンク場(厳密なゲージ不変性)

格子正則化

重力側とあっていない…….

これはnon-lattice の立場が優れていることの証左なのか？

格子超対称性は不要なのか？
格子の成果や進展はQCDに限られるのか？

西村淳さん （PoS LAT2009 (2009) 016より引用）「non-lattice simulations are indeed useful for studying supersymmetriclarge-N gauge theories….」“格子は必要ない”と言わない所が良いなあ
花田政範さん （2010年頃のプレゼンスライドより引用）「Lattice is not needed; momentum cutoff method is much more powerful.」
本多正純君 （Lattice2012 パラレルトーク スライドより引用）「Lattice ;hopeless... 」

・ 正則化された理論の持つ対称性
正則化後の対称性 ： Non-lattice > lattice ?

Non-lattice(西村さんら)

Lattice(カテラルら)

Lattice(本研究)

ゲージ対称性(BRST対称性)

×

○

○

超対称性

××

2つおかしい… 格子の方が残ってる対称性が高いようだ。
我々は、杉野さんが提唱された超対称性を2個格子上に保つ定式化を用いる。
cf. 摂動論的な次数勘定連続極限で生き残りうるSUSYな演算子は、p=1のＯ(9)大域対称性で禁止

格子上の超対称性
・ SUSY代数は不成立
ライプニッツ則の破れ
ライプニッツ則

格子では格子間隔のオーダーで破れる
超対称不変性への影響

ライプニッツ則格子超対称性の難しさ ＆ その解決法
・0
しかし、これは量子補正を加味すると成り立たない。

SUSYな頂点SUSYを破るファインマングラフ

ループ由来の発散

シミュレーションする上ではたくさんの係数の微調整は困難

格子上に超対称性を部分的に保つ定式化と成り得る

・格子上の超対称性の現状(係数の微調整なしで望ましい連続極限)

N=(8,8)低次元の場合の “AdS/CFT”

N=(4,4)N=4AdS/CFT

N=2

Seiberg-Witten理論

N=(2,2)
N=2 SCFT

N=1

SUSY現象論

D=4

連続作用のＱ-exact形
・は16個の超対称チャージ

・ ターゲットのゲージ理論の作用は-の線形結合で与えられる。

-exact型に書き直せる。
実７個の補助場変換

・ 作用はライプニッツ則を用いずに不変である。

格子上でＱ変換の作り方
・ 変数として： スカラー場
・ 連続のQ変換(： ゲージ場

： フェルミ場)
BRST変換のようにより自動的に定まる

・ 格子上でのQ変換自動的に定まる。

格子上でも格子作用
・ 格子上で閉じた[2005, F.Sugino]
変換を定義することができる。

・ 格子作用の定義

積分と共変微分  和 と共変差分に置換：リンク場で定義される前方共変差分16個のうち2個分の超対称不変性が厳密

シミュレーションの詳細
・ HMC法配位：補助場を含む

・パフィアンは絶対値と位相部分を分けて計算（位相の効果はクエンチするか、リウェイト法で取り入れる）

・パフィアンの絶対値は擬フェルミ法と分数近似で用意

超対称ウォード高橋恒等式・ 超対称性の破れの源：(1) 温度

物理的(2) 格子間隔

非物理的・ カットオフ由来の超対称性の破れを温度と分離して議論したい。
超対称ウォード高橋恒等式を数値的に調べる
c.f. 2007, 金森-鈴木, 2次元 N=(2,2) SYM・ 連続理論において、作用に質量項超対称ウォード高橋恒等式を加えたときの超対称カレント質量項由来の破れの項

超対称ウォード高橋恒等式の数値的結果・ 相関関数の比をプロット。
.

この格子間隔ですでにが良く成り立っている。

超対称ウォード高橋恒等式の連続極限・零質量極限- 連続極限・ 格子間隔を3点でのデータに定数フィットを行い、プラトー値の連続極限を取る。

- 零質量極限・左図よりカットオフによる超対称性の破れの効果は、連続極限で消え去っている。.

・零質量極限を取ると、,

ブラックホール内部エネルギーの格子計算

ボソン作用
フェルミ作用補助場(7個)の作用

・ ゲージ理論側の定義・ 温度を変えた格子計算
低温領域重力側の解析解と一致すると期待

高温領域

ゲージ理論の高温展開と比較

高温展開
・ 作用をフーリエ変換し、ゼロモード

川原-西村-竹内(2007)とノゼロモードで表すと、の高次ノンゼロモード積分は摂動計算で、ゼロモード積分は行列模型の数値計算で評価（行列模型の期待値）

・ ＮＬＯでの内部エネルギー念のために再計算

高温展開 - 再考
・行列模型による係数の評価

川原-西村-竹内(2007)
我々の再計算？

・ Schwinger-Dyson方程式

・ SD方程式の結果との比較

川原-西村-竹内(2007)
我々の再計算何事も確かめるのが良いブラックホールの内部エネルギー(準備段階)

重力側 (1996 Klebanov -Tseytlin)

高温展開(NLO,N=14)
川原-西村-竹内(2007),
加堂-鎌田(準備中)・ブラックホール内部エネルギーの低温領域- 補正項を加えたフィット[我々の結果][西村氏らの非格子計算の結果(2009)]

西村さんらの非格子計算との比較

5. まとめと今後の展開✔ 16個超対称チャージを持つ1次元SYM

IIA型超弦理論のN D0-ブレーン解

格子ゲージ理論.
✔ 格子作用は2/16個の超対称変換を厳密に保つ(杉野氏の定式化)✔ 超対称ウォード高橋恒等式の数値計算から
 格子間隔効果による超対称性の破れは連続極限で消え去り、格子理論は望ましい連続理論を再現する。
✔ ブラックホールの内部エネルギーの結果(準備段階)- 高温展開の計算[川原-西村-竹内(07)]の修正- 格子計算から

今後の展開・ 1次元 SYMの計算- 係数の連続極限- 低温領域の計算から最低次の係数7.41の説明- 他の物理量(ウィルソンライン,…)での計算- 1/N 補正の計算….

・ 次元を上げた場合での双対性の検証

カテラルらの格子計算

最後に、西村-花田らのnon-lattice計算

我々の格子計算

格子超対称性は不要か？
そんなことはない。
大きな発展性がある分野です。
格子はhopelessか？

いえいえ、hopefulです。