東海大学紀要情報通信学部
Vol.16,2023,pp.26-29
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

トピックス

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大学初年次における数学教材の提案（その 45）～ 良性の行列と悪性の行列 ～貴田 研司*1

A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.45~ Well-Conditioned Matrix and Ill-Conditioned Matrix ~byKenshi KIDA*1( received on Nov.24,2023 &accepted on Jan.26,2024 )あらまし
本論文においては，連立一次方程式の解の感度について，具体的な例を挙げながら考察して行くことにするが，測定する量の一つである条件数について言及する．

Abstract
In this paper, we give explanation of sensivity for solutions of system of equations.We refer to example of calculations. Furthermore, wemention the concept of condition numbers.
キーワード：良性の行列, 悪性の行列，条件数
Keywords: Well-Conditioned Matrix, Ill-Conditioned Matrix, Condition Number

1. は じ め に，ただし連立一次方程式 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴 𝐴𝐴，𝑎𝑎��𝑎𝑎��
𝐴𝐴 𝐴 � ⋮𝑎𝑎��

𝑎𝑎��
𝑎𝑎��
⋮𝑎𝑎��

⋯ 𝑎𝑎��
⋯ 𝑎𝑎��
⋱⋮ ��⋯ 𝑎𝑎��𝑥𝑥�𝑥𝑥�𝐴𝐴 𝐴 � ⋮ � �𝑥𝑥�𝑏𝑏�𝑏𝑏�
𝐴𝐴 𝐴 � �⋮𝑏𝑏�の解 𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙�� 𝒃𝒃 の感度（解のもろさ）すなわち，𝒃𝒃𝒃が少し変化したときの解 𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙�� 𝒃𝒃 に対する影響の大きさを計ることを考える．影響が僅かであるときに係数行列 𝐴𝐴 は，良良性の行列（良条件）と呼ばれ，影響が大きいときに悪悪性の行列（悪条件）と呼ばれる．

条件数とは，データの変化量に対する解の変化量の比を与える指標であり，この場合は 𝒃𝒃𝒃がデータであり， 𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙−1𝒃𝒃𝒃が解である．係数行列 𝐴𝐴 が良性の行列（良条件）であるか悪性の行列（悪条件）を判定する指標となっている．正定値対称行列𝐴𝐴𝐴に対して，固有値を0 ≤ 𝜆𝜆� ≤ 𝜆𝜆� ≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆� とおけば，連立一次方程式 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴 𝐴𝐴𝐴の解𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙�� 𝒃𝒃 および誤差𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿�� 𝛿𝛿𝛿𝛿は‖𝑥𝑥‖ ≥を常に満たす．

‖𝑏𝑏‖‖𝛿𝛿𝛿𝛿‖および ‖𝛿𝛿𝛿𝛿‖ ≤𝜆𝜆�
𝜆𝜆�

*1 理系教育センター 教授
STEM Education Center，Professor―
1 −―− 26貴田研司

ヘッダー

したがって，相対誤差は‖𝛿𝛿𝛿𝛿‖�ｘ �≤𝜆𝜆� ‖𝛿𝛿𝛿𝛿‖𝜆𝜆� ‖𝑏𝑏‖でおさえられる．量cond�𝐴𝐴� =𝜆𝜆𝑛𝑛 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚=𝜆𝜆1
𝜆𝜆mincond�𝐴𝐴� =max�𝜆𝜆𝑖𝑖 �min�𝜆𝜆𝑖𝑖 �は 𝐴𝐴𝐴の条
条 件 数 と呼ばれ，正定値対称行列の仮定を外すと，条件数はとなる 1)2)．条件数が大きいときは悪性の行列（悪条件）であり，小さいときは良性の行列（良条件）となっている．
本論文では，例題 1（悪性の行列（ill-conditioned）），例題 2（良性の行列（well-conditioned））の 2 つの例題によって，連立一次方程式 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴 𝐴𝐴𝐴を解くときの解の𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙�� 𝒃𝒃𝒃𝒃不確かさについて理解し，そしてコンピュタでの数値解析を行なう際のその不確かさ（感度，解のもろさ）（数値解析に適している度合い）を測る尺度として，条件数を挙げる．条件数が小さい場合（例題 2）は良条件 (well-conditioned)」であり、条件数が大きい場合（例題 1）は「悪条件 (ill-conditioned)」である．

2. 良 性 の 行 列 と 悪 性 の 行 列【 参 考 】 定 理 （クラーメルの公式）
𝑛𝑛𝑛個の未知数 𝑥𝑥� , 𝑥𝑥� , ⋯ , 𝑥𝑥� を含む𝑛𝑛 個の方程式からなる連立一次方程式

𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�+++𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�

𝑎𝑎��
𝑎𝑎��
𝐴𝐴 = � ⋮𝑎𝑎��

𝑎𝑎��
𝑎𝑎��
⋮
𝑎𝑎��

⋯ 𝑎𝑎��
⋯ 𝑎𝑎��⋱⋮ �,⋯ 𝑎𝑎��

�∗�
について

�

𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�

++⋮+

⋯
⋯

++

⋯

+𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�𝑎𝑎�� 𝑥𝑥�

𝑥𝑥�
𝑥𝑥�
𝐴𝐴 = � ⋮ � ,𝑥𝑥�===𝑏𝑏�
𝑏𝑏�

𝑏𝑏�

𝑏𝑏�
𝑏𝑏�
𝐴𝐴 = � �⋮𝑏𝑏�とおけば, 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴 𝐴𝐴 𝐴𝐴 �∗∗� と表される．また，𝑛𝑛𝑛次行列𝐴𝐴𝐴の第𝑘𝑘𝑘列のみを𝑏𝑏𝑏に置き換えてできる𝑛𝑛𝑛次行列をとおく.

𝑎𝑎��
𝑎𝑎��
𝐴𝐴� = � ⋮𝑎𝑎��⋯⋯⋱⋯𝑎𝑎�,���
𝑎𝑎�,���
⋮𝑎𝑎�,���

𝑏𝑏�
𝑏𝑏�⋮𝑏𝑏�𝑎𝑎�,���
𝑎𝑎�,���
⋮𝑎𝑎�,���

⋯⋯⋱⋯|𝐴𝐴| ≠ 0 ならば�∗�はただ一つの解をもつ．

𝑥𝑥� =|𝐴𝐴� ||𝐴𝐴|�𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘�

―2 −―− 27𝑎𝑎��𝑎𝑎��
⋮ �𝑎𝑎��

�𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘�

大学初年次における数学教材の提案（その 45）〜良性の行列と悪性の行列〜

ヘッダー

例 題 １ （ 悪 性 の 行 列 （ ill-conditioned）））
次の連立一次方程式を，クラーメルの公式を用いて解け．

�1��𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢（解答）𝑢𝑢𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑣 𝑣
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣

�2�𝑢𝑢𝑢�
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑣 𝑣
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣

加減法，代入法ではなく，敢えてクラーメルの公式を用いて解く．
まず|𝐴𝐴| = � 1
1

とおくことにする．

�1� 𝑢𝑢 𝑢＜答＞

12�|𝐴𝐴| 2.0001
= 1.

1 1
1
1
�=
�
× 0.0001 = 1 , 𝑣𝑣 𝑣
|𝐴𝐴| 11.00010.000112
�=× 0.0001
2.00010.0001𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

�2� 𝑢𝑢 𝑢＜答＞

1
� =0.0001
1.000112
�
|𝐴𝐴| 2.0002

𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

1 1
11
�=
�
× 0=0 , 𝑣𝑣 𝑣|𝐴𝐴| 1
1.00010.000112
�=× 0.0002=2.
2.00020.0001））
例 題 2（ 良 性 の 行 列 （ well-conditioned）
次の連立一次方程式を，クラーメルの公式を用いて解け．

�1�

�0.0001𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑣𝑣
𝑣𝑣（解答）𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑣 𝑣

�2�

�0.0001𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢

例題１と同様に，加減法，代入法ではなく，敢えてクラーメルの公式を用いて解く．
まず|𝐴𝐴| = � 0.0001
1とおくことにする．

�1� 𝑢𝑢 𝑢𝑣𝑣 𝑣＜答＞

1� = −0.9999
1

1 1.0001
�|𝐴𝐴|1

1 0.0001
�|𝐴𝐴|111
�=× 0.0001 = −0.00010001 ,1−0.9999

11.0001
�=× �−1� = 1.0001.0001.
1−0.9999

𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢―
3 −―− 28𝑣𝑣
𝑣𝑣

𝑣
𝑣

𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑣

貴田研司

ヘッダー

�2� 𝑢𝑢 𝑢𝑣𝑣 𝑣＜答＞

1 1.0002
�|𝐴𝐴|
1

1 0.0001
�
|𝐴𝐴|
1

11
�=
× 0.0002 = −0.00020002 ,1−0.9999

11.0002
�=× �−1.0001� = 1.0002.0002.
1−0.9999

𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

例題 1 では，2 本目の方程式の定数項が 2.0001から 2.0002 に変わっただけで，解は 𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢 𝑢 から𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢 𝑢 に大きく変わった．一方の例題 2 において 1 本目の方程式の定数項が 1.0001から1.0002に変わったものの解は 𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 から 𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 へと僅かに変化しただけである．それぞれの条件数を比較すると，例題 1（悪性の行列）では，40002 であり，例題 2（良性の行列）では −2.61839となっている．

また，敢えてクラーメルの公式で連立一次方程式を解いた行列式も解の感度を計るものになりそうであることを示すた

めに，敢えてクラーメルの公式で連立一次方程式を解いたのであるが，実際には次数の影響を大きく受けることからもあまりよい尺度とは言えないことを付け加えておく．

参考文献
1) ギルバート・ストラング著，山口昌也哉監訳，井上昭訳「線形代数とその応用」産業図書，1978
2) ギルバート・ストラング著，松崎公紀・平鍋健児訳「教養の線形代数」近代科学社，2023―
4 −―− 29