差分進化法を用いた
磁束クリープ・フローモデルのパラメータ推定

小田部研究室田口 拓人

平成 29 年 2 月 22 日
電子情報工学科目次
目次 .................................................................................................................................. ii
第1章

序論 ................................................................................................................. 1

1.1

はじめに........................................................................................................................ 11.2

磁束ピンニング............................................................................................................ 21.3

磁束クリープ・フローモデル .................................................................................... 3

1.4

不可逆磁界.................................................................................................................. 10

1.5

差分進化法.................................................................................................................. 11

1.6

シンプソン法.............................................................................................................. 14

1.7

本研究の目的.............................................................................................................. 15

第2章

推定手法 ....................................................................................................... 172.1

推定方法...................................................................................................................... 172.2

計算環境...................................................................................................................... 18

2.3

実験データ.................................................................................................................. 19

第3章

結果及び考察 ............................................................................................... 223.1

計算精度...................................................................................................................... 22

3.2

ピンニングパラメータ𝑔2 ......................................................................................... 25

3.3

パラメータ収束度...................................................................................................... 26

3.4

差分進化の制御パラメータ ...................................................................................... 28

第4章

まとめ ........................................................................................................... 34

参考文献 ........................................................................................................................ 36
謝辞 ................................................................................................................................ 37

図目次
Fig. 1.1 磁束クリープにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係 .................. 3
Fig. 1.2 磁束フローにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係 ...................... 6
Fig. 1.3 磁束線と平行方向の相関距離と超伝導層の厚さの関係 .................................. 8
Fig. 1.4 不可逆曲線............................................................................................................ 10
Fig 1.5 DE の概略図 .......................................................................................................... 12
Fig 1.6 DE の探索初期 ...................................................................................................... 13
Fig 1.7 DE の探索中盤 ...................................................................................................... 13
Fig. 1.8 シンプソン法....................................................................................................... 15
Fig. 2.1 実験値と理論値の𝑬-𝑱特性における精度評価の模式図 .................................. 17
Fig. 2.2 住友電気工業製の𝐆𝐝𝐁𝐚𝟐𝐂𝐮𝟑𝐎𝟕 − 𝜹コート線材の𝑬-𝑱特性 .......................... 20
Fig. 2.3 SpuperPower 製の市販のコート線材(SCS2050)の𝑬-𝑱特性 .............................. 21
Fig. 3.1 推定したピンニングパラメータの𝑬-𝑱特性#1 ................................................. 23
Fig. 3.2 推定したピンニングパラメータの𝑬-𝑱特性#2 ................................................. 24
Fig 3.3 DE で求めた場合のピンニングパラメータの分散 ......................................... 27
Fig 3.4 DE で求めた場合のピンニングパラメータの分散 ......................................... 27
Fig. 3.5 様々な個体数𝑵における世代数と評価値𝒅との関係 ..................................... 29
Fig. 3.6 様々なスケーリングファクタ𝑭における世代数と評価値𝒅との関係 .......... 29
Fig 3.7 様々な交叉率𝑪𝑹における世代数と評価値𝒅との関係 .................................... 30
Fig 3.8 様々な個体数𝑵における世代数と評価値𝒅との関係 ....................................... 31
Fig 3.9 様々なスケーリングファクタ𝑭における世代数と評価値𝒅との関係 ............ 32
Fig 3.10 様々な交叉率𝑪𝑹における世代数と評価値𝒅との関係 ................................... 33

表目次
Table 2.1 探索点の範囲#1 ................................................................................................. 18
Table 2.2 探索点の範囲#2 ................................................................................................. 18
Table 2.3 計算環境 ............................................................................................................ 18
Table 2.4 住友電気工業製の𝐆𝐝𝐁𝐚𝟐𝐂𝐮𝟑𝐎𝟕 − 𝜹コート線材 ........................................ 20
Table 2.5 SpuperPower 製のコート線材(SCS2050) ......................................................... 21
Table 3.1 ピンニングパラメータと評価値𝒅及び推定時間#1 ...................................... 23
Table 3.2 ピンニングパラメータと評価値𝒅及び推定時間#2 ...................................... 24
Table 3.3 ピンニングパラメータと評価値𝒅及び推定時間#3 ...................................... 25

第1章

序論

1.1 はじめに1911 年にオランダの Kamerlingh Onnes は、水銀の電気抵抗測定実験において、極低温下で電気抵抗が突然ゼロに限りなく近くなる超伝導現象を発見した。超伝導現象は、
電気抵抗がない状態で大量の電気を通電させることが期待され、コイル状の超伝導対を用いて強力な電磁石の作成が試みられたが、ある磁界を境目に超伝導状態は保たれなかった。このように超伝導体はある温度、磁界の範囲内でのみその特性を示し、これらの超伝導現象を示さなくなる磁界、温度をそれぞれ臨界磁界𝐵c 、臨界温度𝑇c と呼ぶ[1]。その後、超伝導現象の発現機構や性質に関する研究が進められてきたが、大きな進展や具体的な理論は現れないままであった。しかし 1933 年に W. Meissner と R. Ochsenfeld によって、超伝導体は完全反磁性(マイスナー効果)を持つことが示された[2]。さらに 1957
年には J. Bardeen と L. N. Cooper および J. R. Shrieffer の BCS 理論により、超伝導現象の特徴である完全反磁性やエネルギーギャップなどについて説明され、超伝導現象の発現機構が明らかになってきた。BCS 理論によると𝑇c は 30 K を超えないと予想されていたが、1986 年に J. G. Bednorz, K. A. Müller らによって La-Ba-Cu-O 系の超伝導体が発見され、30 K を超える温度で超伝導が発現する可能性が示された。この発表以降、世界各国
で高温超伝導の探索が続けられ、翌年には液体窒素の沸点である77.3 Kを超える𝑇c =93 KのYBa2 Cu3 Oyが C. W. Chu らにより発見された。さらに、1988年には、H. Maeda ら
によって𝑇c = 100 K を超える Bi-Sr-Ca-Cu-O 系の超伝導体が発見されている[3]。
現在、超伝導体は、主に線材としての応用が期待されている。超伝導体には電気抵抗
0 Ωという特徴があり、エネルギーの損失なく大電流を流すことが可能なためである。
また、医療現場で使用されている MRI(Magnetic Resonance Imaging)やリニアモーターカ
ー、電力・エネルギー分野での運用が検討されている SMES(Superconductive 1 Magnetic
Energy Storage)、SQUID(Superconducting QUantum Interference) といった高感度センサなど様々な分野での応用が期待されている。

-1-

1.2 磁束ピンニング
超伝導体は磁気的な振る舞いの違いから第一種超伝導体と第二種超伝導体に分類される。第一種超伝導体は臨界温度 𝑇c 以下の温度で超伝導状態となり完全反磁性（Meissner 効果）を示す。しかし、外部から磁界を加えていくと、ある磁界を超えた
ところで超伝導状態が消失する。この超伝導状態と常伝導状態の境目となる磁界を臨界
磁界 𝐵c という。一方で、第二種超伝導体は下部臨界磁場𝐵c1 までは第一種超伝導体と同様に完全反磁性を示すが、それ以上の磁界を加えていくと部分的に超伝導状態が常伝導状態となる混合状態となり、上部臨界磁場𝐵c2 を超えるとすべての超伝導状態が消失する[4]。
第一種超伝導体の𝐵c と第二種超伝導体の𝐵c1 は𝐵c2 より非常に小さい。そのため、工業的な応用に用いられるのは主に混合状態での第二種超伝導体である。混合状態では超伝導体内部に磁束が侵入しているため、磁束線が内部を流れる電流によって Lorentz 力
𝐹L を受ける。この Lorentz 力 𝐹L によって磁束線が運動すると、電磁誘導により誘導起電力が生じ、超伝導状態を保てなくなる。この磁束線の運動を妨げるため Lorentz 力と反対向きに働く力をピン力といい、この現象を磁束ピンニングという。また、格子欠
陥や常伝導析出物、結晶界面などピン力を左右し、磁束ピンニングに影響するものをピ
ンニングセンターと呼ぶ。直流電流を超伝導状態まで流すことの出来る最大の電流量である臨界電流 𝐼c と、その時の電流密度である臨界電流密度 𝐽c は 𝑇c や 𝐵c2 と並び、超伝導体の性能を示す重要なパラメータの一つである。この値が大きければ超伝導体に流れる最大の電流量が増えるため、様々な機器で利用することが可能となる。単位体積
当たりのピン力密度を 𝐹P とすると、誘導起電力が発生し始める臨界電流密度 𝐽c の下では磁束線に単位体積当たり 𝐽c 𝐵 の Lorentz 力が働いていて、これが 𝐹P と釣り合いの関係にあることから 𝐽c は、
𝐽c =

𝐹p
𝐵

(1.1)

表わされる。𝑇c や 𝐵c2 は超伝導体の材料固有の値だが、𝐹P は後天的に決定される。このことより、ピンニングセンターの導入や改善によって 𝐹P を向上させることで、より大きな 𝐽c を得ることが可能である[5,6]。

-2-

1.3 磁束クリープ・フローモデル
1.3.1

磁束クリープ

磁束クリープとは、ピンニングセンターに捕えられた磁束線が熱運動により、ある確率でピンニングセンターから外れてしまう磁束線の運動のことである。この運動の影響
により超伝導電流の緩和が起こる。第二種超伝導体では、磁束ピンニングに起因する超伝導電流は外部環境が一定であるにもかわらず時間とともに減衰する。また、高温になると熱運動が活性化するため、超伝導電流の減衰は著しくなり[1]、高温超伝導体の場合には電流密度が 0 A/m2となることもある。このため、この現象が高温超伝導体に与える影響は非常に大きい。
外部磁界を超伝導体に加えた時、超伝導体に磁束線が侵入し、磁束線がピンニングセ
ンターによってピン止めされる。そのため、磁束クリープの際には磁束線が相互作用により束になって移動する。この磁束線の束を磁束バンドルという。電流が流れている状
態で、一つの磁束バンドルに注目した場合、磁束バンドルの変位によるエネルギーの変化を Fig. 1.1 のように表わせる。Fig. 1.1 の縦軸はエネルギー、横軸は位置を表している。Lorentz 力が影響しているため、図が右下がりとなっている。磁束バンドルはエネ
ルギーの壁によってピン止めされている状態であり、磁束バンドルが移動するためには活性化エネルギー 𝑈 を超える必要がある。

Fig. 1.1 磁束クリープにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係-3-

磁束バンドルは温度 𝑇 において、熱エネルギー 𝑘B 𝑇 (𝑘B は Boltzmann 定数) により、ある確率で活性化エネルギー 𝑈を越える。この確率は Arrhenius の式
exp(−𝑈/𝑘B 𝑇) で与えられる。また、磁束バンドルが磁束クリープによって 𝑈を越えた時の移距離は磁束線格子間隔 𝑎f であると考えられるため、熱振動周波数を 𝜈0 とす
ると Lorentz 力と同じ方向への磁束バンドルの平均移動速度 𝑣+ は
𝑣+ = 𝑎f 𝜈0 exp (−

𝑈
)
𝑘B 𝑇

(1.2)

と表わされる。また、𝜈0 と 𝑎f はそれぞれ
𝜈0 =𝜁𝜌f 𝐽c02𝜋𝑎f 𝐵

(1.3)

1

2𝜙0 2
𝑎f = (
)
√3𝐵

(1.4)

で与えられる。𝜁 はピンニングセンターの種類によって決定される定数であり、𝜙0 は量子化磁束を表わす。格子間距離が 𝑎f を超えるような非超伝導素子の場合は𝜁 = 4 になり、点状のピンニングセンターの場合は 𝜁 ≅ 2𝜋程度になることで知られている。また、
𝐽c0 は磁束クリープが無いと仮定した場合の臨界電流密度である。これは、経験的に、
𝑚

𝑇 2
𝐵 2
𝐽c0 = 𝐴 [1 − ( ) ] 𝐵𝛾−1 (1 −
)
𝑇c
𝐵c2

(1.5)

と表わされる。𝐴 はピン力の強さを示し、𝛾 と 𝑚 はそれぞれ 𝐽c0 の磁界依存性と温度依存性を示している。したがって、Lorentz 力とは逆方向の磁束バンドルの平均移動速度を考慮した場合の全体での移動速度 𝑣 は𝑣 = 𝑎f 𝜈0 [exp (−𝑈𝑈′) −exp (−
)]
𝑘B 𝑇
𝑘B 𝑇

(1.6)

と表わされる。𝑈 ′ は Lorentz 力とは逆方向の活性化エネルギーである。これによって生じる電界の大きさは 𝐸 = 𝐵 × 𝑣 であるから
𝐸 = 𝐵 𝑎f 𝜈0 [exp (−𝑈𝑈′) −exp (−
)]
𝑘B 𝑇
𝑘B 𝑇

(1.7)

となる。
Fig. 1.1 より、磁束バンドルの位置に対するエネルギーが正弦波状であると考えると、エネルギーの変化は𝐹(𝑥) =𝑈0sin(𝑘𝑥) − 𝑓𝑥
2

(1.8)

と表わされる。ここで、𝑘 = 2π/𝑎f 、𝑓 = 𝐽𝐵𝑉 であり、𝑈0 / 2 はポテンシャルの振幅、
𝑘 はポテンシャルの周期、𝑓 は Lorentz 力による傾き、V は磁束バンドルの体積を表している。磁束バンドルが平衡位置にあるときを 𝑥 = − 𝑥0 としたとき、𝑥 = 𝑥0 のときにエネルギーが極大値をとる。平衡、極大の位置ではエネルギーの変異は 0 となるた-4-

め、エネルギーの変化量 𝐹′ (𝑥0 ) 及び 𝐹′ (−𝑥0 ) は 0 となる。これより
𝑥0 =

𝑎f
𝑓𝑎f
cos −1 (
)
2𝜋
𝑈0 𝜋

(1.9)

が求められる。また、活性化エネルギー 𝑈 は
𝑓𝑎f
𝑓𝑎f
𝑓𝑎f
𝑈 = 𝑈0 sin [cos −1 ()−
cos−1 (
)]
𝑈0 𝜋
𝜋
𝑈0 𝜋

(1.10)

で表わされる。(1.10) 式は sin(cos−1(𝑥)) = √1 − 𝑥 2 を用いることにより
1

2𝑓 2 2 2𝑓
2𝑓
𝑈 = 𝑈0 [{1 − () } −cos −1 (
)]
𝑈0 𝜋
𝑈0 𝑘
𝑈0 𝑘

(1.11)となる。なお、(1.11) 式では 𝑘 = 𝑎f /2𝜋 としている。このとき、熱振動が無いと仮定することで、𝑈 = 0 の理想的な臨界状態となると予測できる。このとき、
2𝑓
𝐽
=
=𝑗
𝑈0 𝑘 𝐽c0(1.12)という関係式で表わすことが出来る。𝑗 は規格化電流密度である。これより、(1.11) 式
は1

𝑈(𝑗) = 𝑈0 [{1 − 𝑗 2 }2 − 𝑗 cos −1 (𝑗)](1.13)となる。したがって、磁束クリープにより発生する電界は (1.7) 式より
𝐸 = 𝐵 𝑎f 𝜈0 exp (−

𝑈(𝑗)
𝜋𝑈0 𝑗
)]
) [1 − exp (−
𝑘B 𝑇
𝑘B 𝑇

となり、磁束クリープにおける電流が求まる[7,8]。

-5-(1.14)

1.3.2磁束フロー

磁束フローとは、磁束クリープ状態から更に𝐽c0 を超えた大きな電流を流したとき、Lorentz 力がピン力の最大値を超え、磁束線を支えきれなくなり、すべての磁束線が連続的に運動している状態のことを指す。Fig. 1.2 にエネルギーの状態を示しており、ポテンシャルは変位に対して単調減少となることが分かる。

Fig. 1.2 磁束フローにおける磁束バンドルの変位とエネルギーの関係

磁束クリープより、𝑈 = 0 となるのが臨界状態であると考えられる。そのときの電流密度が仮想的な臨界電流密度 𝐽c0 で与えられる。単位体積の磁束線に働く Lorentz
力は 𝑱 × 𝑩 で与えられ、Lorentz 力とは逆方向にピン力密度による抵抗を受ける。
この Lorentz 力の方向の単位ベクトルを 𝛿 = 𝑣/|𝑣| とし、ピン力の強さを 𝐹p とす
るとつり合いの式は𝑱 × 𝑩 − 𝜹𝐹p = 0(1.15)となる。この時の電流密度は𝐽c0となることから、|𝑱| = 𝐹p0 /𝐵 = 𝐽c0の関係が得られる。
磁束フローの影響を考慮すると粘性力が働くため、
𝑱 × 𝑩 − 𝜹𝐹p −𝐵
𝜂𝒗 = 0𝜙0(1.16)となる。ここで、𝜂は粘性係数である。また、𝐽c0 = 𝐹p /𝐵及び𝑬 = 𝑩 × 𝒗について解くと、-6-

𝐽＝𝐽c0 +E𝜌f(1.17)となる。ここで、𝜌f = 𝐵𝜙0 /𝜂はフロー比抵抗である。また、𝜌f は常伝導状態における抵
抗密度𝜌0 を用いて、𝜌f = 𝜌0 𝑇𝐵/𝑇c 𝐵c2 で求まる。(1.17)式を𝐸について整理すると、
𝐸 = 𝜌f (𝐽 − 𝐽c0 )(1.18)となり、磁束フローによって発生する電界が求まる。

1.3.3

ピン・ポテンシャル

ピンニングセンターの持つポテンシャルは磁束クリープによる超伝導電流の緩和や不可逆曲線を決定する上で重要である。そのピン・ポテンシャルエネルギー𝑈0 は、単位̂0 と磁束バンドルの体積𝑉の積で表され、体積あたりの平均化したピン・ポテンシャル𝑈
̂0
𝑈0 = 𝑈(1.19)

̂0 は Labusch パラメータαL と相互作用距離𝑑i を用いてとなる。この𝑈
1
̂0 = 𝛼L 𝑑i2
𝑈2(1.20)と表せることから、ピン力密度𝐹p と𝐹p = 𝐽c0 𝐵= αL 𝑑i(1.21)の関係が得られる。ここで、𝑑i がピンの形状により決定する𝜁、𝑎f と𝑎f𝜁(1.22)

1
𝐽 𝐵𝑎 𝑉2𝜁 c0 f

(1.23)

𝑑i =の関係が有ることから、(1.19)式を用いて
𝑈0 =と表される。したがって(1.23)式より𝑈0 の値の決定にはピン力の強さだけではなく、磁束バンドルの体積が重要であることがわかる。
磁束バンドルはある領域内で秩序が保たれた磁束線の集団であり、集団で一緒に運動する。この秩序は単純には磁束格子のピンニング相互作用で与えられ、磁束バンドルのサイズはピンニング相関距離によって与えられる。磁束線と平行(縦)方向及び垂直(横)方向の相関評価値をそれぞれ𝐿，𝑅とすると、これらによって磁束バンドルの体積が決定される。また、磁束バンドルの体積を求めることで、(1.23)式より理論的な𝑈0 の値を求めることができる。この磁束バンドルの体積を模式的に表したものを Fig.

1.3 に示す。𝑅は磁束格子間距離𝑎f かその数倍であると考えられており、
𝑅 = 𝑔𝑎f(1.24)で表す。ここで、𝑔2 は磁束バンドル内の磁束線数である。この値は熱力学的な原理から磁束クリープ下での 𝐽c が最大となるように決定すると考えられ、-7-

𝑔2 = 𝑔e2 [5𝑘B 𝑇𝐵𝑎f ν0
log (
)]
2𝑈e
𝐸c

(1.25)

が得られる。ここで、𝑔e2 は完全格子を組んだ際の 𝑔2 の値、𝑈e は𝑔2 = 𝑔e2 の時の𝑈0 の値である。また、𝑔e2 は

𝑑

𝐿

𝐿

𝑡

𝑩

𝑅
𝑅
𝑅

𝐿<𝑡

𝑅
𝐿<𝑡

Fig. 1.3 磁束線と平行方向の相関距離と超伝導層の厚さの関係

𝑔e2 =

0
𝐶66
2π𝐽c0 𝐵𝑎f

(1.26)

0で与えられる。この𝐶66は完全格子の剪断定数であり、
0
𝐶66
=

𝐵c2 𝐵
𝐵
(1 −
)
4𝜇𝐵c2
𝐵c2

(1.27)である。ここで、𝐵c は熱力学的臨界磁場である。
一方、𝐿は弾性理論より
1

1

𝐶44 2
𝐵𝑎f 2
(1.28)
𝐿=( ) =()
𝛼L
𝜁𝜇0 𝐽c0となる。ここで、𝐶44 = 𝐵2 /𝜇0 は磁束線の曲げ歪みに対する弾性定数である。この𝐿は超伝導層が薄い場合には、その厚さ𝑡 に制限されることがあり、平行方向のバンドルサイ
ズは𝐿 < 𝑡と𝐿 > 𝑡の時でそれぞれ異なる。𝐿 > 𝑡 の場合、ピンニングは 3 次元ピンニン
グとなり、Fig. 1.3 に示すように平行方向のバンドルサイズは 𝐿 となる。したがって、
磁束バンドルの体積は𝑉 = 𝑅 2 𝐿で与えられ、この時𝑈0 は
1/2

𝑈0 =

0.835𝑔2 𝑘B 𝐽c0
𝜁 3/2 𝐵1/4

-8-

(1.29)

となる。また、𝐿 > 𝑡 の場合は 2 次元ピンニングとなり、平行方向のバンドルサイズは𝑡となる。したがって、磁束バンドルの体積は𝑉 = 𝑅 2 𝑡となり、𝑈0 は
𝑈0 =
7/4

となる。ここで、(1/2)(2/√3)

4.23𝑔2 𝑘B 𝐽c0 𝑑
𝜁𝐵1/2(1.30)
3/2(𝜙07 /𝜇02 )1/4 ≈ 0.835𝑘B、(1/2)(2/√3)

3/2

𝜙0

≈ 4.23𝑘Bの数値的関係を用いた。数値的関係において𝑘B を用いたのは、𝑈0 を熱エネルギー𝑘B 𝑇と関連付けるためである。

1.3.4

磁束クリープ・フローモデル

これまで述べてきたことから、超伝導体では磁束クリープと磁束フローによる電界が発生する。この二つの電界から、超伝導体に発生する全体の電界の理論値を計算することが可能である。このモデルが磁束クリープ・フローモデルである。
磁束クリープによって生じる電界𝐸cr は、
𝑈(𝑗)
π𝑈0 𝑗
)]
) [1 − exp (−
𝑘B 𝑇
𝑘B T

(1.31)

𝐸ff = 0(1.32)

𝐸cr = 𝐵𝑎f ν0 exp (−となる。また、𝑗 > 1においては
𝐸cr = 𝐵𝑎f ν0 [1 − exp (−

π𝑈0
)]
𝑘B T

𝐸ff = 𝜌f (𝐽 − 𝐽c0 )(1.33)(1.34)となる。但し、(1.33)式は𝐸cr が残留するためこのような式になると仮定されている。これら 2 つによって生じる電界𝐸′を
2 + 𝐸2𝐸 ′ = √𝐸cr
ff

(1.35)

とおく。
一般に酸化物超伝導体は超伝導体内が不均一であるため、ピン力が分布していると考えられる。そこで、(1.5)式の𝐴の分布を表す関数を(log 𝐴 − log 𝐴m )2]
2𝜎 2

𝑓(𝐴) = 𝐾exp [−(1.36)

で表現する。𝐾は規格化定数、𝜎 2 はピン力の分散、𝐴m はピン力の最頻値を表す。(1.36)
式は対数正規分布に基づいている。この𝐴の分布を考慮して発生する電界は∞𝐸(𝐽) = ∫ 𝐸 ′ 𝑓(𝐴)d𝐴0となる。この (1.37) 式より、理論的な E-J 特性を得ることが出来る。

-9-(1.37)

1.4 不可逆磁界
1.2 節で述べたように第二種超伝導体は第一種超伝導体より高い磁界で超伝導状態を維持することができる。混合状態において上部臨界磁場𝐵c2 まで電気抵抗 0 で流せる電流が存在すると考えられていた。しかし、実際には𝐵c2 付近においてピンニングが有効でなくなり、𝐽c も 0 となる。また、ピンニングによる超伝導体の磁化の不可逆性もな
くなり、磁化が可逆となる。この𝐽c = 0と𝐽c ≠ 0の境界の磁界を不可逆磁界𝐵i という。
また、温度毎の不可逆磁界の値を連ねた曲線を不可逆磁界といい、これを Fig. 1.4 に示す。

Fig. 1.4 不可逆曲線- 10 -

1.5 差分進化法
差分進化法(Differential evolution, DE)とは、進化的アルゴリズムの一種であり、確率的な直接探索によって解集団を用いた多点探索を行うアルゴリズムである[9,10,11,12,13]。
差分進化法は、非線形問題、微分不可能な問題などの現実的な実行時間では厳密な解を求めることが困難な問題に対して近似解を求めることが可能であり、さまざまな最適化
問題に適応されている。以下にアルゴリズムの流れを示す。
1.

ベクトル集団の作成指定された各次元の最小値と最大値の範囲で一様乱数によって𝑁個の初期個体𝒙𝒊 の生成を行うことで、初期集団{𝒙𝒊 , i = 1,2, … , N}を構成する。

2.

変異
各個体𝒙𝒊 に対し、4 つの個体𝒙0 , 𝒙1 , 𝒙2 , 𝒙3 を重複しないようにランダムに選択する。新しいベクトル𝒙′ を基本ベクトル𝒙1 及び差分ベクトル𝒙2 −𝒙3 から以下のように生成する。
𝒙′ = 𝒙1 + 𝐹(𝒙2 − 𝒙𝟑 )スケーリングファクタ𝐹はユーザが値を設定する変数で[0,1]の区間で定義されるア
ルゴリズムの制御パラメータである。

3.

交叉ベクトル𝒙′ と親𝒙0 の各次元の要素を交叉率𝐶𝑅の確率で𝒙′ の要素から継承し、1 − 𝐶𝑅の確率で親𝒙𝑖 から継承することで子ベクトル𝒙𝑛𝑒𝑤を生成する。
i4.

選択
子ベクトル𝒙𝑛𝑒𝑤
が親ベクトル𝒙0 より評価が良い推定された場合、親ベクトル𝒙0 を子iベクトル𝒙𝑛𝑒𝑤に置換する。
i

5.

終了判定
終了条件を満たしていればアルゴリズは終了する。満たしていない場合、2. から 5.
を繰り返す。

- 11 -

Fig 1.5 DE の概略図

DE の特徴は、ランダムに選択した個体間の差分ベクトルを用いて新たな個体を生成する点である。このような差分ベクトルを用いることで探索初期では、Fig. 1.6 のように探索点は広く分布しているので差分ベクトルは長くなりやすい。そのため、新しい個体
は元の解の候補より遠い位置に生成されるようになることで大域範囲での探索が可能である。また、探索を行なうに連れ、Fig. 1.7 のように探索点が最適解の周辺に生成され、差分ベクトルは短くなり、局所的な探索を行なうようになる。

- 12 -

Fig 1.6 DE の探索初期

Fig 1.7 DE の探索中盤- 13 -

1.6 シンプソン法
シンプソン法とは、関数𝑓(𝑥)の定積分を、ラグランジュ補間を用いることで簡単に行うものである。ラグランジュ補間とは、𝑓(𝑥)上の(𝑛 + 1)点を通る𝑛次多項式Pn (𝑥)を生成するものであり、𝑃𝑛 (𝑥)は𝑛

Pn (𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑗 )𝑙𝑗 (𝑥)(1.38)𝑗=0

𝑙𝑗 (𝑥) =(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑗−1 )(𝑥 − 𝑥𝑗+1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 )(𝑥𝑗 − 𝑥0 )(𝑥𝑗 − 𝑥1 ) … (𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 )(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗+1 ) … (𝑥𝑗 − 𝑥𝑛 )(1.39)

で表される。今回は𝑛 = 3の場合を説明する。積分範囲を𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏とする。積分範囲
を 3 等分にした幅をℎとすると、ラグランジュ補間によって𝑃3 (𝑥)を求められる。これを用いて積分を行うと、
𝑏𝑏∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 ≅ ∫ 𝑃3 (𝑥)d𝑥
𝑎

𝑎

=

3ℎ
[𝑓(𝑎) + 3𝑓(𝑎 + ℎ) + 3𝑓(𝑎 + 2ℎ) + 𝑓(𝑏)]8(1.40)となる。この時の図を Fig. 1.8 に示す。このままでは誤差が非常に大きくなるため、𝑏を𝑎に近づけ、それを多数連ねることによって誤差を小さくする。積分範囲𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛 の分割数を𝑠とすると、- 14 -

Fig. 1.8 シンプソン法
𝑥𝑛∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 ≅𝑥0

3(𝑥0 − 𝑥𝑛 )[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )8𝑠+ ∑(3𝑓(𝑥3𝑖+1 ) + 3𝑓(𝑥3𝑖+2 ) + 2𝑓(𝑥3𝑖 )](1.41)となる。(1.41)式は係数が 3/8 となっていることから特にシンプソン 3/8 則と呼ばれる。

1.7 本研究の目的
高温超伝導体は実用化に向けて研究がされており、電界-電流密度特性(𝐸 -𝐽特性)を知ることで超伝導機器の設計・開発が行われている。また、𝐸 -𝐽特性の特徴は磁束クリー
プ・フローモデルを利用することで確認することが可能であることがよく知られている。
磁束クリープ・フローモデルを用いた計算において、適切なピンニングパラメータを決定する必要がある。ピンニングパラメータは、これまでメッシュ法(mesh)を用いて推定を行なっており、mesh はパラメータの探索範囲を等間隔で分割してそれぞれの計算点の組み合わせを全通り計算することで最適なパラメータを推定している。しかし、meshはすべての組み合わせを計算しているために推定に時間がかかってしまう点や、組み合
わせに漏れた計算点の計算を行なわない点などの問題が挙げられる。これらの問題点を改善するアルゴリズムに DE がある。DE は、非線形問題や微分不可能な問題など様々
な最適化問題を高速に解くアルゴリズムであり、差分ベクトルを用いることでステップ
幅が自動で調整されるため、mesh の問題点を改善することができる。

- 15 -

本研究では、差分進化法を用いることで磁束クリープ・フローモデルのピンニングパ
ラメータの推定を行い、従来のアルゴリズムであるメッシュ法と比較することによって、差分進化法を用いたパラメータ推定の可能性を検討することを目的とする。

- 16 -

第2章

推定手法

2.1 推定方法
本研究では、DE を用いて𝐸-𝐽特性のピンニングパラメータの推定を行った際の精度と実行時間の 2 つの面から検討・考察を行う。本研究で用いる評価値を

𝑑=12∑(log(𝐸exp ) − log(𝐸theo ))
𝑁

(2.1)

で表し、𝑑を評価値と呼ぶ。但し𝐸exp は測定値、𝐸theo は理論値、𝑁はサンプル数である。
電界‐電流密度特性は両対数グラフを用いてプロットを行うことが主流であるため、対数軸上で評価を行う。精度評価を行う際の模式図を Fig. 2.1 に示す。

Fig. 2.1 実験値と理論値の𝑬-𝑱特性における精度評価の模式図- 17 -

今回推定するパラメータは、𝐴m 、𝜎 2 、𝛾、𝑚、𝑔2の 5 つである。これらのパラメータは、式(1.5)、式(1.35)に含まれる。差分進化法における探索点の個体数を 50 点、スケー
リングファクタ𝐹を 0.5、交叉率𝐶𝑅を 0.9、世代数を最大 10000 とする。今回、磁束クリープ・フローモデルの積分では、シンプソン 3/8 則を用い、積分する部分のみ CPU の並列処理を利用して計算を行う。初期値は乱数で決めるものとし、今回設定した初期探索
点は Table 2.1 及び Table 2.2 の範囲で行なった。

Table 2.1 探索点の範囲#1

𝐴m

𝜎2

最大値

1.0 × 1013

最小値

11

1.0 × 10𝛾𝑚

𝑔2

5.0 × 10−2

1.0

5.0

1

−3

0.5

1.0

1

𝛾

𝑚

𝑔2

5.0 × 10

Table 2.2 探索点の範囲#2

𝐴m

𝜎2

最大値

1.0 × 1013

5.0 × 10−2

1.0

5.0

1

最小値

11

−3

0.5

1.0

5

1.0 × 10

5.0 × 102.2 計算環境
Table 2.2 に計算環境を示す。
Table 2.3 計算環境

OS

Windows 7 Professional(32-bit)

メインメモリ

2 GB

CPUIntel Core 2 Duo

コア数

2

スレッド数

1

動作周波数

2.13 GHz- 18 -

2.3 実験データ
パラメータ推定を行なう超電導線材の諸元及び測定条件を Table. 2.3、Table 2.4 に示す。Table 2.3 は SQUID の磁化緩和測定で実験を行なっている。GdBa2 Cu3 O7−𝛿 は、優れた磁界依存性を持ち、高磁界下で高い𝐽c を得られることから線材は住友電気工業製のGdBa2 Cu3 O7−𝛿 コート線材を用いている。また、Table 2.4 は四端子法を用いて実験を行なっており、高温下で高い𝐽c を得ることができる SupuperPower 製のコート線材を利用している。Fig. 2.2、Fig. 2.3 は、Table 2.3 と Table 2.4 の環境下で測定した𝐸-𝐽特性であり、横軸は超電導体における電流密度、縦軸は超電導体に印加された電界を示している 。 Fig. 2.2 は 超電導体の温度が 20 K, 40 K、 磁 界 が 1 T, 2 T, 3 T 、 Fig. 2.3 は超電導体の温度が 66.6 K, 70.1 K, 77.3 K、磁界が0.1 T, 0.2 T, 0.3 Tで測定を行なっている。
Fig. 2.2、Fig. 2.3 より電界は電流密度に対して単調に増加しており、各温度で磁界が増加すると電流密度は単調に減少する。また今回測定した SupuperPower 製のコート線材
は、GdBa2 Cu3 O7−𝛿 コート線材に比べ高温で測定しているため、Fig. 2.3 は Fig. 2.2 に比べデータにばらつきが生じている。

- 19 -

Table 2.4 住友電気工業製の𝐆𝐝𝐁𝐚𝟐 𝐂𝐮𝟑 𝐎𝟕−𝜹 コート線材

測定温度 𝑇

20 K, 40 K

材料

GdBa2 Cu3 O7−𝛿0Kにおける𝐵c2
𝐵c2 (0)

100 T

測定磁場

1 T, 2 T, 3 T

超伝導層の厚さ 𝑡

1.56 𝜇m

臨界温度

92.2K

常伝導状態における抵抗率 𝜌01.50 × 10−6

ピン形状による
定数6.28

Fig. 2.2 住友電気工業製の𝐆𝐝𝐁𝐚𝟐 𝐂𝐮𝟑 𝐎𝟕−𝜹 コート線材の𝑬-𝑱特性- 20 -

Table 2.5 SpuperPower 製のコート線材(SCS2050)

測定温度 𝑇 K

66.6 ,70.1 ,77.3

材料

GdBa2 Cu3 O7−𝛿0Kにおける𝐵c2
𝐵c2 (0) [T]200

測定磁場 [T]1, 2, 3超伝導層の厚さ 𝑡 [𝜇m]1.0臨界温度 [K]89.0

2.0 × 10−6

ピン形状による
定数6.28

常伝導状態における抵抗率 𝜌0 [Ω・𝑚]10−2

70.1 K

77.3 K−3

E [V/m]10

66.6 K

10−4

0.3 T 0.2 T 0.1 T
10

−5

10

10
2

10

11

J [A/m ]Fig. 2.3 SpuperPower 製の市販のコート線材(SCS2050)の𝑬-𝑱特性- 21 -

第3章

結果及び考察

3.1 計算精度
Table 2.3 と Fig. 2.2、Table 2.4 と Fig. 2.3 の線材の実験データをもとに、Table2.1の範囲で DE と mesh それぞれのアルゴリズムを用いて推定したピンニングパラメ
ータとその評価値𝑑及びパラメータの推定にかかった時間を Table 3.1、Table 3.2に示す。DE は世代数 3000、個体数𝑁 = 50スケーリングファクタ𝐹 = 0.5、交叉率𝐶𝑅 = 0.9で行なっており、mesh は分割数K = 10で行なっている。また、Fig. 3.1、Fig. 3.2 に推定したピンニングパラメータを用いて算出した𝐸 -𝐽特性を示す。Fig.
3.1 の黒のシンボルは実験データを、赤の実線は DE でパラメータ推定を行なった
際の𝐸-𝐽特性、青の線は mesh でパラメータ推定を行った際の𝐸-𝐽特性を表している。
Fig. 3.2 のシンボルは実験データを表しており、実線は DE でパラメータ推定を行った際の𝐸-𝐽特性を表している。Fig. 3.1 より、DE と mesh ともに実験値に近い
𝐸-𝐽特性となっていることからパラメータの推定が正しく行われている。Table 3.1の𝑑を見ると DE が7.56 × 10−3に対して、mesh は4.18 × 10−2となっており、実行時間は DE が32秒で mesh が213秒となっていることから、DE の方が mesh
より𝑑の値が小さく、さらに実行時間は短いことが分かる。従って、DE のパラメータ推定は mesh より短時間で正確なピンニングパラメータを推定している。また、Fig. 3.2 の𝐸-𝐽特性は測定温度が高温であるため Fig. 3.1 の𝐸-𝐽特性に比べて対数グラフ上で直線に並んでおらず、ピンニングパラメータの推定は困難であると考えられ、実際に Table 3.2 の𝑑は Fig. 3.1 の評価値𝑑より DE と mesh ともに大
きな値となっている。しかし、測定温度が高温である場合でも 𝑑は DE が3.62 ×
10−2、mesh が1.22 × 10−1となっており、DE の方がより正確にピンニングパラ
メータの推定が行えている。このことから、どのような𝐸-𝐽特性を持つ超伝導体でも mesh で行うよりも DE でパラメータ推定を行うことの方が優位であると考えられる。

- 22 -

Table 3.1 ピンニングパラメータと評価値𝒅及び推定時間#1

σ2

DE

1.32 × 10

1.39 × 10

mesh1.00 × 1011

1.00 × 10−2

6.40 × 10−1

3.60

1T

𝑚

1T

𝛾

3T

𝐴m
11

𝑑

Time [s]3.66

7.56 × 10−332

4.18 × 10−2

213

−9

2T

3T

20 K

40 K

E [V/m]10

6.30 × 10

−1

−8

2T

10

−2

10

−10

Experience
DE
mesh
10

−11

10

10
2

J [A/m ]Fig. 3.1 推定したピンニングパラメータの𝑬-𝑱特性#1- 23 -

Table 3.2 ピンニングパラメータと評価値𝒅及び推定時間#2

𝐴m

σ2

𝛾

𝑚

𝑑

DE

1.33 × 1012

3.04 × 10−2

7.11 × 10−1

1.61

3.62 × 10−2

41

mesh

12

−2

−1

1.40

−1

214

1.58 × 10

10

5.00 × 10

7.00 × 10−2

77.3 K

66.6 K−3

E [V/m]10

1.22 × 10

Time [s]

10

−4

0.3 T
0.2 T
0.1 T
10

70.1 K

−5

10

10

11

10 2
J [A/m ]Fig. 3.2 推定したピンニングパラメータの𝑬-𝑱特性#2- 24 -

1012

3.2 ピンニングパラメータ𝑔2
𝑔2は、式(1.25)で示すように磁束バンドル内の磁束線の数であり、3.1 章では𝑔2 = 1と固定値にしたため、推定するピンニングパラメータは𝐴m , 𝜎 2 , 𝛾, 𝑚の 4 つで行なった。そこで、推定するピンニングパラメータを𝐴m , 𝜎 2 , 𝛾, 𝑚, 𝑔2の 5 つにした場合、 及び実行時間がどのように変化するか DE と mesh の両方でパラメータ推定を行い、調査する。
Table 2.4 と Fig. 2.2 の実験データを用いて Table 2.2 の探索範囲でパラメータ推定を行った際の最適なピンニングパラメータと 及び実行時間を Table 3.3 に示す。Table 3.3より、𝑔2を固定値にした場合の Table 3.1 とピンニングパラメータ及び評価値 に変化はなかった。しかし、実行時間は、𝑔2を固定値にした場合では DE が41秒、mesh が241秒であるのに対して、𝑔2を推定する場合には DE は35秒、mesh は2452秒となった。
すなわち、𝑔2を推定する場合 DE はほとんど時間に変化がない、mesh の実行時間は10倍になっていることが分かる。DE は𝑃個のピンニングパラメータを推定する場合、各次元の要素がピンニングパラメータとなる𝑃次元のベクトルで表される探索点を交叉させることで最適なパラメータを推定している。交叉は各要素が独立して行うので推定す
るパラメータが増加しても 及び実行時間に変化はない。対して、本研究では mesh は個のピンニングパラメータそれぞれの探索範囲を 10 分割にして、10𝑃 通りのピンニン
グパラメータで最も が小さい組み合わせを最適なパラメータを推定している。そのため、推定するパラメータが 1 つ増えると を計算する回数は10倍になり、実行時間も10倍になると考えられる。以上の点より、推定するピンニングパラメータの数を増加させると実行時間は DE の場合には変化がほとんどなく、mesh の場合には指数関数的に増加する。

Table 3.3 ピンニングパラメータと評価値𝒅及び推定時間#3

DE

𝐴m

𝜎2

𝛾

𝑚

𝑔2

𝑑

Time [s]1.33 × 1012

3.04 × 10−2

7.11 × 10−1

1.61

1.00

3.62

35

× 10−2mesh

1.58 × 1012

5.00 × 10−2

7.00 × 10−1

- 25 -

1.40

1.00

1.22
× 10

2452
−1

3.3 パラメータ収束度
DE 及び mesh を用いて 3.1 章で推定したピンニングパラメータの中で が小さい 30
組のパラメータの分散を Fig 3.3、Fig 3.4 に示す。横軸は、左から𝐴m , 𝜎 2 , 𝛾, 𝑚を表しており、縦軸はパラメータごとに範囲が異なり、グラフ上の数字、グラフ下の数字がそれぞれのパラメータごとの範囲の最大値、最小値を示している。Fig 3.4 では、パラメータの分散は小さく 1 ヶ所に集中するように分布しているが、Fig 3.4 では、パラメータの分散が大きく、広い範囲で分布している。これは、DE は探索初期では広い範囲で探索を行い、探索終盤には狭い範囲で推定を行なう特徴を持っているため最終的なパラメータの分散は小さくなっている。対して、mesh は、探索範囲を等間隔で分割している
ため、常に同じ探索範囲で探索を行なっているのでパラメータの分散は大きい。DE のように探索が進むにつれて、パラメータの分散が小さくなる利点は、 が大きくなると予想される範囲の探索を行なわないようになるため、パラメータ推定の高速化が図れる点である。mesh のようにパラメータの分散が大きい利点は、常に広い範囲で探索を行なうために局所解に陥りにくい点である。

- 26 -

1.0×101.0×10Am

13

11

5.0×10

−3

1.0

−2

1.5×102
σ5.0×10
γ

5.0

−1

1.0
m

Fig 3.3 DE で求めた場合のピンニングパラメータの分散

1.0×10

1.0×10Am−3

13

5.0×1011

1.5×10
2
σ

−2

1.0

5.0×10
γ

5.0

−1

1.0
m

Fig 3.4 DE で求めた場合のピンニングパラメータの分散- 27 -

3.4 差分進化の制御パラメータ
差分進化法では、探索点の数𝑁、スケーリングファクタ𝐹、交叉率𝐶𝑅 の 3 つの制御パラメータを設定することによってパラメータの推定を行っている。Fig. 3.5 は、𝐹 =0.5、𝐶𝑅＝0.9 としたときに N を 10 から 50 まで 10 ずつ変化させたときの世代数と𝑑の関係、Fig. 3.6 は𝑁＝30、𝐶𝑅＝0.9 としたときに𝐹を 0.1 から 0.9 まで 0.2 ずつ変化させた
ときの世代数と𝑑の関係、Fig. 3.7 は𝑁＝30、𝐹 =0.5 としたときに𝐶𝑅を 0.1 から 0.9 まで
0.2 ずつ変化させたときの世代数と𝑑の関係を表している。Fig. 3.5 は、𝑁＝0.1のときは、200 世代以降𝑑にほとんど変化が見られず、高い値の𝑑を示している。𝑁 > 0.1では、ある世代数までは𝑑が減少しており、それ以降は𝑑に変化がなくなり、すべての𝑁で同じ𝑑を示すようになった。従って、𝑑が小さすぎる場合には、探索点の収束が早く、狭い範囲で探索を行う傾向が強くなり、𝑁 = 0.1の場合のように局所解に陥ることが考えられる。Fig. 3.5 を見ると、𝐹＝0.1のときは 1000 世代以降、𝐹＝0.3のときは 500 世代以降、𝑑に変化がなくなっており、𝑑の値が高い。また、𝐹 = 0.5 と𝐹 = 0.7では、2000 世代以降𝑑に変化がなくなっており、𝐹 = 0.9では、4000 世代以降𝑑に変化がなくなり、𝐹 > 0.3
は 4000 世代以降では同じ𝑑の値を示している。これは、𝑁の場合と同じく𝐹が小さい場
合、狭い範囲で探索を行いやすくなるためパラメータ推定の時間は短くなるが、局所解に陥りやすくなることが原因である。従って、𝑁及び𝐹が小さいほどパラメータ推定の時間効率は良くなるが、最適なパラメータとは異なる組み合わせを推定する可能性があるため適切な値に設定する必要がある。次に Fig. 3.6 を見ると、𝐶𝑅 ≤ 0.5のときは世代数が増えるごとに𝑑は常に減少しており、𝐶𝑅 = 0.3及び𝐶𝑅 = 0.5の場合は𝐶𝑅 = 0.1のときに比べて𝑑の値は小さくなっている。𝐶𝑅 = 0.7では 7000 世代までは世代数が増えると𝑑は減少しており、7000 世代以降では、𝑑に変化はなくなっている。𝐶𝑅 = 0.9では 3000
世代までは世代数が増えると𝑑は減少しており、3000 世代以降では、𝑑に変化はなくなっている。従って、𝐶𝑅が大きいほど評価値の良いパラメータの推定が行なえている。
これは、𝐶𝑅は、同時に変化させるパラメータの数を制御しているため、パラメータ間の相関が強いほど𝐶𝑅は大きく設定することでより適切なパラメータ推定を行なえるためである。このことから、E-J 特性はパラメータ同士の相関が強いことが考えられる。

- 28 -

10

2

N = 0.9
100

N = 0.3score dN = 0.7
N = 0.5
1010

N = 0.1

−2

−4

10

0

2

10
generations

10

4

Fig. 3.5 様々な個体数𝑵における世代数と評価値𝒅との関係

100

F = 0.1score dF = 0.7
10

F = 0.9−2

F = 0.3

F = 0.5
10

−4

10

0

2

10
generations

10

4

Fig. 3.6 様々なスケーリングファクタ𝑭における世代数と評価値𝒅との関係- 29 -

CR = 0.3
10

CR = 0.1

0score dCR = 0.5
10−2

CR = 0.7

10

−4

10

CR = 0.9
0210
generations

10

4

Fig 3.7 様々な交叉率𝑪𝑹における世代数と評価値𝒅との関係

次に制御パラメータを変更させたときの、各探索点のパラメータごとの分散の推移を評価する。
Fig 3.10 に𝑁 = 10, 20, 30のときの世代数とパラメータの分散、
Fig 3.11 に𝐹 =0.1, 0.2, 0.3のときの世代数とパラメータの分散、Fig 3.12 に𝐶𝑅 = 0.1, 0.5, 0.9のときの世代数とパラメータの分散を示す。横軸は世代数を表しており、縦軸はピンニングパラ
メータごとの分散を表している。Fig 3.11、Fig 3.11、Fig 3.12、よりある世代数までは、
どの制御パラメータもパラメータの分散に変化はなく高い分散をしめしているがある
世代数を超えると急激にパラメータの分散は小さくなっている。また、制御パラメータの値によってパラメータの分散の変化率が異なっている。Fig 3.12 より、𝑁が小さくなるほどパラメータの分散は小さくなっている。これは、𝑁が小さいほど探索範囲が収束しやすくなるために早い段階で似たようなパラメータを推定するようになるためと考えられる。さらに、𝑁が小さい場合、1 組のパラメータがパラメータの分散に与える影響が大きいため世代数が増える場合でもパラメータの分散が急激に増加することがある。 Fig 3.11 より、𝐹が小さくなるほどパラメータの分散は小さくなっている。これは𝐹が小さくなるほど DE の変異によって発生するパラメータが探索点に近いパラメータとなるためであると考えられる。また、Fig 3.12 より𝐶𝑅 = 0.1 のときはパラメータの分
散にほとんど変化がない。これは、𝐶𝑅が小さい場合、すでにある探索点の要素を子ベクトルが継承しやすくなるためである。従って、𝐶𝑅が小さすぎる場合は DE の特徴であ- 30 -

る世代数が増えるごとに探索範囲が狭くなることが生かせないので正しい推定が行なえていないことが考えられる。

102

N = 30variation of m
10 variation of Am

variation of each elements0

N = 50variation of γ
10

−2
2

10
10
10

10

−4

variation of σ

−6

N = 10

−8

−10

10

0

10

2

generations
Fig 3.8 様々な個体数𝑵における世代数と評価値𝒅との関係- 31 -

10

4

10

2

F = 0.9

variation of m
10 variation of Am

variation of each elements

0variation of γ
10
10
10
10

10

−2

−4

variation of σ

F = 0.5−6

F = 0.1

−8

−10

10

0

10

2

10

generations
Fig 3.9 様々なスケーリングファクタ𝑭における世代数と評価値𝒅との関係- 32 -4

102

CR = 0.5 CR = 0.1

variation of m
10 variation of Am

variation of each elements

0variation of γ
10

−2
2

10
10
10

10

−4

variation of σ

−6CR = 0.9

−8

−10

10

0

10

2

generations
Fig 3.10 様々な交叉率𝑪𝑹における世代数と評価値𝒅との関係- 33 -

10

4

第4章

まとめ

𝐸 -𝐽特性は磁束クリープ・フローモデルを用いることで確認することができるが、そのためにはピンニングパラメータと呼ばれる変数を設定する必要がある。ピンニングパラ
メータは、従来 mesh を用いて推定を行っている。mesh は探索範囲を等間隔で分割してそれぞれの組み合わせを全て計算することで最適なパラメータを推定するアルゴリ
ズムである。 mesh の分割数 を増やすと精度の高いピンイングパラメータを推定できるが、すべての組み合わせを計算しているため推定には莫大な時間がかかる。そのため、本研究では、DE を用いてパラメータ推定を行い、mesh と推定の精度や速度の比較やDE でより精度の高い推定をするために制御パラメータを変更し、その評価を行った。
ピンニングパラメータの推定に用いた 𝐸 -𝐽 特性のデータは SQUID で行った実験と四端子法で行った実験の 2 つの実験データである。これらのデータを利用して、パラメー
タの推定を行なった。
DE は世代数 3000、個体数𝑁 = 50、スケーリングファクタ𝐹 = 0.5、交叉率𝐶𝑅 =
0.9 で行なっており、mesh は分割数𝐾 = 10で行なっている。DE と mesh それぞれで推定したパラメータを比較したところ、SQUID で行った実験のデータでは、 は DE では7.56 × 10−3、mesh では4.18 × 10−2となり、DE の方が𝑑は小さく、高い精度で推定が行なえている。さらに、実行時間は DE が 32 秒で mesh が 213 秒となったので DEの方が短い時間で推定を行えた。四端子法で行なった実験データでは、𝑑は DE では
3.62 × 10−2、mesh では1.22 × 10−1、実行時間は DE が 41 秒で mesh が 214 秒とな
り、SQUID で行った実験のデータと同様に高い精度かつ短い時間で推定を行えた。また、推定するピンニングパラメータに𝑔2を加えて、DE と mesh それぞれでパラメータを推定した。DE と mesh ともに推定したピンニングパラメータは、𝑔2を固定にした場合と同じ値であったため、𝑑に変化はなかった。しかし、𝑔2を推定する場合、実行時間
は DE が 35 秒、mesh は 2452 秒であり、𝑔2を固定にした場合の DE での推定にかかる時間はほとんど変化がないのに対して、mesh では、10 倍に増加している。この原因として、DE は推定するパラメータの数と実行時間に相関がないが、mesh は推定す
るパラメータが 1 つ増えるごとに 10 倍の実行時間になるためである。従って、推定す
るパラメータを増加させても DE の方が mesh より高い精度、短い実行時間で推定が行えた。DE は、探索初期に広い探索範囲で探索を行い、探索後期では狭い範囲で探索を行なう。そのため、効率よくパラメータの推定を行なうことができる。対して、mesh では探索範囲内で等間隔に分割を行なっているためパラメータの分散は大きく、パラメー- 34 -

タ推定に時間がかかる欠点を持つが広い範囲で推定を行なうため局所解に陥りにくい利点がある。
DE では、制御パラメータと呼ばれる探索点の数𝑁 、スケーリングファクタ𝐹 、交叉率 𝐶𝑅の 4 つの変数を適切に設定することによってパラメータ推定の効率を高めることができる。
𝑁を 10 から 50 まで 10 刻みでパラメータを推定すると、𝑁＝10の場合では、局所解に陥っており、𝑁 > 10では はほとんど同じ値で𝑁が小さいほど、少ない世代
数で に変化がなくなった。次に、𝐹を 0.1 から 0.9 まで 0.2 刻みでパラメータを推定すると、𝐹 ≤ 0.3の場合では、局所解に陥っており、𝐹 > 0.5では𝑑はほとんど同じ値
で𝐹が小さいほど、少ない世代数で𝑑に変化がなくなった。従って、𝑁及び𝐹は小さすぎる場合には局所解に陥りやすくなり、大きすぎる場合には推定が終わるのに時間がかかる。また、𝐶𝑅を変更すると同時に変化させるパラメータの数が変化するため、推定するパラメータ間の相関が強いほど𝐶𝑅は大きく設定するとより効率よくパラメータの推定を行なえる。𝐶𝑅を 0.1 から 0.9 まで 0.2 刻みでパラメータ推定をすると𝐶𝑅が大きいほど𝑑が低いパラメータ推定が行なえたので 𝐸-𝐽特性はパラメータ間の相関が強いといえる。
今回のパラメータ推定では、初めにパラメータの探索範囲を設定する必要がある。そのため、探索範囲の設定しだいで結果が大きく変わる可能性がある。今後の課題としいて、パラメータの範囲によって制御パラメータや学習させる世代数を自動で調節できるよ
うにすることで更なるパラメータ精度の向上を行なう必要がある。

- 35 -

参考文献[1] K. Yamafuji, T. Fujiyoshi, K. Toko, and T. Matsushita: Physica C 159 (1989) 743.
[2] D. O. Welch: IEEE Trans. Magn. 27 (1991) 1133.
[3] T. Matsushita, T. Fujiyoshi, K. Toko and K. Yamafuji, Appl. Phys. Lett. 56 (1990) 2039
[4] T. Matsushita: Physica C 217 (1993) 461.
[5] M. Kiuchi, K. Noguchi, T. Matsushita, T. Kato, T. Hikata, and K. Sato Physica C 278 (1997) 62.
[6] E. S. Otabe, M. Kiuchi, “Critical Currents in Superconductors”, Fuzambo International (2005) pp71, 89[7] 松下照男、「磁束ピンニングと電磁現象」、産業図書 (1994)[8] 松下照男、「超伝導応用の基礎」、米田出版 (2004)[9] 秋吉裕哉「遺伝的アルゴリズムを用いた超伝導体の電界-電流密度特性評価のGPGPUによる高速化に関する研究」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文 (2012)[10] 南潤「遺伝的アルゴリズムを用いた超伝導パラメータ推定手法の検討」 九州工業大学情報工学府情報システム専攻論文 (2010)[11] 瓜生幸太郎「遺伝的アルゴリズムを用いた磁束クリープ・フローモデルのパラメータ解析における評価方法の検討」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文 (2011)[12] 枝元剛典「遺伝的アルゴリズムを用いた磁束クリープ・フローモデルのパラメータ解析」 九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文 (2010)[13] 牛山 泰伸「機械学習を用いた差分進化性能改善」 東京大学大学院情報理工学系研究科修士論文(2015)- 36 -

謝辞
はじめに、私の指導教官である九州工業大学大学院情報工学研究院電子情報工学研究
系エレクトロニクス分野 小田部荘司教授にお礼申し上げます。私の研究指導のみならず、学生生活や進路等多くの助言を頂いたことに深く感謝いたします。
そして、九州工業大学大学院情報工学研究院電子情報工学研究系エレクトロニクス分
野 木内勝准教授に深く感謝申し上げます。本研究では、磁束クリープ・フローを用いており、理論の詳しい説明や研究のサポートを頂きました。
九州大学システム情報科学研究院

船木亮平助教には、アルゴリズムの提案や文章の校正等様々な助言を頂きました。心から感謝申し上げます。
小田部研究室・木内研究室にてお世話になりました九州工業大学大学院情報工学府先端情報工学専攻の柏木啓氏、谷村賢太氏、木戸竜馬氏、平松佑太氏、伊原大輔氏、
田邊裕也氏と九州工業大学電子情報工学科 4 年の鶴田祐基氏、高橋悠氏、吉村彩華氏、早瀬利伸氏、宮島悠氏、濱久保翔吾氏及び技術職員の新山誠司氏に感謝申し上げます。

本研究を行うにあたり、多大なるご指導、助言を頂いた小田部荘司教授に改めて深く感謝致します。また、アルゴリズムの提案や文章の校正等様々な助言を頂いた九州大学
システム情報科学研究院の船木亮平助教に心から感謝申し上げます。
最後に、公私共々お世話になりました小田部・木内研究室の皆様に感謝いたします。

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