令和元年度
修士学位論文
時間依存ギンツブルグ-ランダウ方程式による異方性を考慮した超伝導体内の磁束運動の研究

小田部研究室
(学籍番号：18676128)
米塚 里奈
九州工業大学 情報工学府
先端情報工学専攻 電子情報工学分野
指導教員：小田部 荘司 教授
令和 2 年 2 月 7 日

目次
第1章

序論---------------------------------------------------------------------------------------1

1.1

はじめに------------------------------------------------------------------------------1

1.2

第一種超伝導体・第二種超伝導体---------------------------------------------1

1.3

酸化物超伝導体---------------------------------------------------------------------2

1.4

磁束ピンニング---------------------------------------------------------------------3

1.5(Time-Dependent) Ginzburg-Landau 方程式------------------------------------4

1.5.1

Ginzburg-Landau (G-L) 方程式------------------------------------------------5

1.5.2

Time-Dependent Ginzburg-Landau (TDGL) 方程式------------------------6

1.5.3

TDGL 方程式の簡易化----------------------------------------------------------7

1.6

近接効果----------------------------------------------------------------------------11

1.7

ピーク効果-------------------------------------------------------------------------11

1.8

超伝導体の異方性----------------------------------------------------------------12

1.9

目的----------------------------------------------------------------------------------15

第2章

計算手法-------------------------------------------------------------------------------16

2.1

主要アルゴリズム----------------------------------------------------------------16

2.1.1

ガウス=ザイデル法------------------------------------------------------------16

2.1.2

オイラー法-----------------------------------------------------------------------16

2.1.3

二分探索法-----------------------------------------------------------------------17

2.2

計算条件----------------------------------------------------------------------------172.2.1

電流密度𝑱と外部磁束密度𝑩の条件----------------------------------------17

2.2.2

オーダーパラメータ𝛹とスカラーポテンシャル𝑉の初期条件------18

2.2.3

境界条件--------------------------------------------------------------------------18

2.3

シミュレーションモデル A (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 10, 10)---------------------20

2.3.1

球状ピン 8 個--------------------------------------------------------------------212.3.2

𝑧軸柱状ピン 4 本----------------------------------------------------------------22-i-2.3.3𝑥𝑦面ピン 1 枚--------------------------------------------------------------------22

2.3.4

𝑦𝑧面ピン 1 枚--------------------------------------------------------------------23

2.4

シミュレーションモデル B(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (20, 10, 10)----------------------24

2.4.1

球状ピン 16 個-------------------------------------------------------------------25

2.4.2

𝑧軸柱状ピン 8 本----------------------------------------------------------------27

2.4.3

𝑦軸柱状ピン 8 本----------------------------------------------------------------28

2.4.4

𝑥𝑦面ピン 1 枚--------------------------------------------------------------------29

2.4.5

𝑦𝑧面ピン 1 枚--------------------------------------------------------------------29

2.4.6

𝑦𝑧面ピン 2 枚--------------------------------------------------------------------30

第3章
3.1

計算結果及び考察-------------------------------------------------------------------32
𝐽c -𝐵特性シミュレーションモデル A (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 10, 10)---------32

3.1.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)----------------------------32

3.1.2

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)-------------------------33

3.1.3

球状ピン 8 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性---------------------------------------34

3.1.4

𝑧軸柱状ピン 4 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性----------------------------------34

3.1.5

𝑥𝑦面ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性--------------------------------------------35

3.1.6

𝑦𝑧面ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性--------------------------------------------36

3.2

𝐽c -𝛾𝑧 特性

シミュレーションモデル A (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 10, 10)--------37

3.2.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)--------------------------37

3.2.2

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)--------------------------38

3.2.3

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)--------------------------39

3.3

𝐽c -𝐵特性シミュレーションモデル B (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (20, 10, 10)---------41

3.3.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)----------------------------41

3.3.2

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)-------------------------43

3.3.3

球状ピン 16 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性--------------------------------------433.3.4

𝑧軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性-----------------------------------44

3.3.5

𝑦軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性----------------------------------45

3.3.6

𝑥𝑦面ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性--------------------------------------------46-ii-

3.3.7𝑦𝑧面ピン 1 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性---------------------------------------47

3.3.8

𝑦𝑧面ピン 2 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性---------------------------------------48

3.4

𝐽c -𝛾𝑧 特性

シミュレーションモデル B(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (20, 10, 10)--------49

3.4.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)--------------------------49

3.4.2

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)--------------------------50

3.4.3

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)--------------------------51

第4章

総括-------------------------------------------------------------------------------------53

参考文献-------------------------------------------------------------------------------------------54
謝辞-------------------------------------------------------------------------------------------------56
研究業績-------------------------------------------------------------------------------------------57

-iii-

図目次
図 1.1 磁化の磁界依存性[1](a)第一種超伝導体(b)第二種超伝導体 ............. 2

図 1.2 代表的な高温酸化物超伝導体の結晶構造[4] .......................................... 2
図 1.3 球状ピンを有する超伝導体内の様子 ....................................................... 4
図 1.4 超伝導体と常伝導体（ピン）が接触している状態[12] .......................11
図 1.5 Bi 濃度を周期的に変えてピンを導入した Pb-Bi 薄膜の特性[1] ........ 12
図 1.6 異方的な超伝導体の量子化磁束(𝛾𝑧 = 512) .......................................... 14
図 1.7 異方性の強い酸化物高温超伝導体における 2 次元パンケーキボルテックス[14] ....................................................................................................... 14
図 2.1 電流密度𝑱と磁束密度𝑩の定義 ................................................................ 17
図 2.2 シミュレーションモデル A ..................................................................... 20
図 2.3 球状ピン 8 個 ............................................................................................. 21
図 2.4 柱状ピン 4 本 ............................................................................................. 22
図 2.5 𝑥𝑦面状ピン 1 枚 ....................................................................................... 23
図 2.6 𝑦𝑧面状ピン 1 枚........................................................................................ 24
図 2.7 シミュレーションモデル B ..................................................................... 25
図 2.8 球状ピン 16 個 ........................................................................................... 26
図 2.9 𝑧軸柱状ピン 8 本 ...................................................................................... 27
図 2.10 𝑦軸柱状ピン 8 本.................................................................................... 28
図 2.11 𝑥𝑦面状ピン 1 枚...................................................................................... 29
図 2.12 𝑦𝑧面状ピン 1 枚...................................................................................... 30
図 2.13 𝑦𝑧面状ピン 2 枚...................................................................................... 31
図 3.1 様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1) ....................................... 32
図 3.2 様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512) ................................... 33
図 3.3 球状ピン 8 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ..................................................... 34
図 3.4 𝑧軸柱状ピン 4 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性. .............................................. 35
図 3.5 𝑥𝑦面ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ............................................................. 36-iv-

図 3.6 𝑦𝑧面ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ............................................................. 37
図 3.7 様々なピンの形状における𝐽c − 𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1) ................................ 38
図 3.8 様々なピンの形状における𝐽c − 𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3) ................................ 39
図 3.9 様々なピンの形状における𝐽c − 𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5) ................................ 40
図 3.10 様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1) ..................................... 42
図 3.11 磁束線とピンの様子 (a)𝑧軸柱状ピン, (b)𝑦軸柱状ピン...................... 42
図 3.12 様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512) ................................. 43
図 3.13 球状ピン 16 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 .................................................. 44
図 3.14 𝑧軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ............................................. 45
図 3.15 𝑦軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ............................................. 46
図 3.16 𝑥𝑦面ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ........................................................... 47
図 3.17 𝑦𝑧面ピン 1 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ................................................... 48
図 3.19 𝑦𝑧面ピン 2 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性 ................................................... 49
図 3.19 様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1) .................................. 50
図 3.20 様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3) .................................. 51
図 3.21 様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5) .................................. 52

-v-

表目次
表 2.1 球状ピン 8 個の詳細条件(モデル A) ..................................................... 21
表 2.2 𝑧軸柱状ピン 4 本の詳細条件(モデル A) ............................................... 22
表 2.3 𝑥𝑦面状ピン 1 枚の詳細条件(モデル A) ................................................. 23
表 2.4 𝑦𝑧面状ピン 1 枚の詳細条件(モデル A) ................................................. 23
表 2.5 球状ピン 16 個の詳細条件(モデル B).................................................... 25
表 2.6 𝑧軸柱状ピン 8 本の詳細条件(モデル B)................................................ 26
表 2.7 𝑦軸柱状ピン 8 本の詳細条件(モデル B) ............................................... 27
表 2.8 𝑥𝑦面状ピン 1 枚の詳細条件(モデル B) .................................................. 28
表 2.9 𝑦𝑧面状ピン 1 枚の詳細条件(モデル B) .................................................. 29
表 2.10 𝑦𝑧面状ピン 2 枚の詳細条件(モデル B) ................................................ 29

-vi-

第1章
1.1

序論

はじめに

超伝導とは、ある物質を非常に低い温度まで冷却すると電気抵抗がゼロになる現象である。この超伝導は、1911 年にライデン大学の Heike Kamerlingh Onnes
によって発見された。1933 年には Fritz Walther Meissner によって超伝導体のマ
イスナー効果(完全反磁性)が発見された。完全反磁性とは、超伝導体に外部磁界
𝐻e を加えても超伝導内部の磁束密度𝐵はゼロのまま変化しないという特性である。電気抵抗ゼロと完全反磁性の 2 つの現象を超伝導現象といい、超伝導状態に対応する電気抵抗がゼロでない状態を常伝導状態という。1950 年には、Vitaly
Lazarevich Ginzburg と Lev Davidovich Landau が Ginzburg-Landau(G-L)理論を発表した。1957 年には John Bardeen、Leon Neil Cooper、John Robert Schrieffer らのBCS 理論により超伝導発現機構が説明された。BCS 理論では、超伝導体の臨界温度𝑇c がおよそ 30 K と考えられていたが、1986 年に Johannes Georg Bednorz とKarl Alex Mü ller により、𝑇c が 30 K を超える超伝導体が発見された。これ以降、
高温超伝導体の探索が続けられている。

1.2

第一種超伝導体・第二種超伝導体

超伝導体は磁気的な性質により二種類に区別される。第一種超伝導体は、臨界磁場𝐻c までは磁場を完全に排除するが、臨界磁場𝐻c 以上になると超伝導状態から常伝導状態へ遷移する。
第二種超伝導体では、下部臨界磁界𝐻c1 まで磁場を完全に排除するが、𝐻c1 以上になると磁束（磁束線）が侵入する。磁束線を侵入させた領域は常伝導状態となるが、全体としては超伝導状態を維持している。この状態を混合状態という。
さらに外部磁場を印加し、上部臨界磁界𝐻c2 以上となると超伝導状態は破壊され、常伝導状態に遷移する。

-1-

図 1.11.3

磁化の磁界依存性 (a)第一種超伝導体、(b)第二種超伝導体[1]酸化物超伝導体

超伝導体の臨界温度𝑇c は、1986 年に銅酸化物高温超伝導体が発見されるまで、
Nb3 Geの 23K より大きな上昇はなく𝑇c に上限があると考えられていた[2]。酸化物超伝導体の𝑇c は 30K(La2−𝑥 Ba𝑥 CuO4 )、90K(YBa2 Cu3 O7 )と高く、様々な分野において応用できる可能性が広がった[3]。
図 1.2 に代表的な高温酸化物超伝導体の結晶構造を示す。超伝導層(CuO2 面)とブロック層とで構成された積層構造である。このような構造を持つため、異方的な特性を有する。

図 1.2

代表的な高温酸化物超伝導体の結晶構造[4]

-2-

1.4

磁束ピンニング

第二種超伝導体は、混合状態において超伝導体内に磁束線が侵入している。
この状態で電流を流すと、図 1.3 に示すように超伝導体内の量子化磁束にローレ
ンツ力𝑭𝐋 が働く。この𝑭𝐋 は、
𝑭L = 𝑱 × 𝑩(1.1)と表すことができる。なお、𝑱は超伝導体内に流す輸送電流密度、𝑩は磁束密度である。また、このローレンツ力𝑭𝐋 により磁束線が速度𝒗で運動した場合、誘導起電力
𝑬 =𝑩×𝒗(1.2)

が生じる。この誘導起電力𝑬によりオーミックな損失が生じ、超伝導体も電気抵
抗をもつことになる。電気抵抗ゼロで電流を流すためには、磁束の運動を止めて誘導起電力が生じないようにする必要がある。この磁束運動を止める作用のことを磁束ピンニングという。磁束ピンニングに寄与するものは、常伝導析出物・結晶粒界面・転移などの不均質部分や欠陥である。こうした欠陥などをピンニン
グ・センター（ピン）と呼ぶ[5]。また、特性向上を目的として人工的に導入されたナノサイズのピンを人工ピン(APC: Artificial Pinning Center)という[6]。本研究では、1 次元 APC の柱状ピン、2 次元 APC の面状ピン、3 次元 APC の球状ピンを導入し議論する。
単位体積当たりのピンが磁束線に及ぼす力をピン力密度𝑭𝐩 とすると、ローレ
ンツ力𝑭𝐋 がピン力密度𝑭𝐩 を越えなければ磁束は運動をしない。よって、
𝐽c =

𝐹p
𝐵

(1.3)

という関係がある。なお、臨界電流密度𝐽c は電気抵抗ゼロで流せる最大の電流密
度である。

-3-

図 1.3 球状ピンを有する超伝導体内の様子。ローレンツ
力𝑭𝐋 と反対方向にピン力密度𝑭𝐩 が生じ、磁束線の運動が止められている。

1.5(Time-Dependent) Ginzburg-Landau 方程式

1.5.1

Ginzburg-Landau(G-L)方程式

Ginzburg-Landau(G-L) 理論は、 1950 年に Vitaly Lazarevich Ginzburg と Lev
Davidovich Landau によって発表された超伝導を説明する現象論である。この GL 理論は、磁場と超伝導が共存している問題を取り扱う[1]。
まず、複素数のオーダーパラメータ𝛹を定義する。この時、|𝛹|2 が超伝導電子密度𝑛s を与えるものとする。超伝導体の自由エネルギー𝐸s は超伝導電子𝑛s に依存しており、|𝛹|2 の関数である。ここで、転移点近傍において|𝛹|2 は小さいと期待
でき、
𝛽
|𝛹|4
(1.4)
2
と|𝛹|2 のべき展開ができる。なお、𝐸n は常伝導状態の自由エネルギーである。
次に、磁場の存在によりオーダーパラメータが空間的に変化することを考慮する。運動エネルギー密度は、
𝐸s = 𝐸n + 𝛼|𝛹|2 +-4-1|(−iℏ𝛁 + 𝑒 ∗ 𝑨)𝛹|2
2𝑚∗

(1.7)

と書ける。𝑒 ∗ は超伝導電子の電荷である。さらに磁場のエネルギー密度も含め、
𝛽11(𝛁 × 𝑨)2 +|(−iℏ𝛁 + 𝑒 ∗ 𝑨)𝛹|2(1.8)
𝐸s = 𝐸n + 𝛼|𝛹|2 + |𝛹|4 +
2
2𝜇0
2𝑚∗
と書ける。𝜇0 は真空中の透磁率、𝑨はベクトルポテンシャル、𝑚∗ は超伝導電子の質量である。ここで、𝛹と𝑨について変分法を適用する。
δ𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝐸s
=
−
[𝛁
∙
]=0
𝛿𝛹 ∗ 𝜕𝛹 ∗𝜕𝛁𝛹 ∗δ𝐸s 𝜕𝐸s
𝜕𝐸s=− [𝛁 ∙
]=0
𝛿𝑨
𝜕𝑨
𝜕𝛁𝑨
この(1.9)式と(1.10)式を解くと、(1.9)(1.10)

1(−iℏ𝛁 + 𝑒 ∗ 𝑨)2 𝛹 + α𝛹 + 𝛽|𝛹|2 𝛹 = 02𝑚∗(1.11)

1iℏ𝑒 ∗ ∗𝑒 ∗𝟐∗)
(𝛹|𝛹|𝟐 𝑨
𝛁×𝛁×𝑨=
𝛁𝛹
−
𝛹𝛁𝛹
−
𝜇0
2𝑚∗
𝑚∗

(1.12)となる。この 2 式を G-L 方程式という。

1.5.2

Time-Dependent Ginzburg-Landau(TDGL)方程式

G-L 方程式を時間発展させたものが、Time-Dependent Ginzburg-Landau(TDGL)
方程式である。(1.9)、(1.10)式を時間発展すると、
δ𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝛹
=
− [𝛁 ∙] = −γ
∗
∗
∗
𝛿𝛹
𝜕𝛹
𝜕∇𝛹
𝜕𝑡

(1.13)

δ𝐸s 𝜕𝐸s
𝜕𝐸s
𝜕𝑨=− [𝛁 ∙] = −ν
𝛿𝑨
𝜕𝑨
𝜕𝛁𝑨
𝜕𝑡

(1.14)

なお、γとvはそれぞれ𝛹と𝑨の時定数である。更にゲージ変換を与えると、ℏ∂𝛹𝜕→ (ℏ + i𝑒 ∗ 𝑉) 𝛹𝜕𝑡𝜕𝑡

(1.15)

∂𝑨 𝜕𝑨
→
+ 𝛁𝑉
𝜕𝑡
𝜕𝑡

(1.16)-5-なお、𝑉はスカラーポテンシャルである。(1.15)、(1.16)式に(1.13)、(1.14)式を代
入すると、

𝜈(

𝜕𝛹
1
(−iℏ𝛁 + 𝑒 ∗ 𝑨)2 𝛹 + α𝛹 + 𝛽|𝛹|2 𝛹 = 0𝛾(+ i𝑒 ∗ 𝑉𝛹) +𝜕𝑡2𝑚∗(1.17)

𝜕𝑨1iℏ𝑒 ∗ ∗𝑒 ∗𝟐∗)
(𝛹|𝛹|𝟐 𝑨 = 0+ 𝛁𝑉) + 𝛁 × 𝛁 × 𝑨 +
𝛁𝛹
−
𝛹𝛁𝛹
−
𝜕𝑡
𝜇0
2𝑚∗
𝑚∗

(1.18)

となる。

1.5.3

TDGL 方程式の簡易化

細線近似と規格化により、TDGL 方程式を簡易化する[7, 8]。
細線近似では、非常に細い超伝導線(以降 SC ナノワイヤと記す)に外部磁界
𝑩ext を印加した際、SC ナノワイヤ全体に𝑩ext が侵入すると仮定する。よって、𝑨は𝑩ext にのみ依存する変数となる。本研究では𝑩ext は一定とする為、(1.18)式は左
辺第一項の時間偏微分が 0 となり一定となる。
次に、(1.17)、(1.18)式に対して規格化を行う。コヒーレンス長𝜉と磁場侵入長𝜆は熱力学的臨界磁場を𝐻c として、ℏ
(1.19)
𝜉=√2𝑚∗ |𝛼|𝜆=𝑒 ∗ 𝜇0 𝐻c√𝑚∗ |𝛼|(1.20)と表す。そして、(1.21) – (1.25)式に記す規格化を行う。
𝜉𝜵 → 𝜵

(1.21)|𝛼|𝑡→𝑡𝛾(1.22)

𝑒 ∗𝛾
𝑉→𝑉
|𝛼|

(1.23)

𝜆𝑨→𝑨(1.24)𝛽 2( ) 𝛹→𝛹
|𝛼|(1.25)√2𝜇0 𝐻c1-6-よって、(1.17)式左辺第一項は次のようになる。
1

1

|𝛼| 2
|𝛼|
|𝛼| 2
𝜕𝛹
𝜕
𝛾(
+ i𝑒 ∗ 𝑉𝛹) → γ [( ) 𝛹 + i𝑒 ∗ ( ∗ 𝑉) ( ) 𝛹]
𝛾
𝜕𝑡
𝑒 𝛾
𝛽
𝜕 ( 𝑡) 𝛽|𝛼|11|𝛼| 2 𝜕𝛹|𝛼| |𝛼| 2= γ [( )+i( ) 𝑉𝛹]𝛾𝛽𝛾𝛽
𝜕 ( 𝑡)|𝛼|1

1|𝛼| 2 𝜕𝛹 1
|𝛼| 2
1
= γ [ |𝛼| ( )+ |𝛼| ( ) i𝑉𝛹]
𝛾
𝛽
𝜕𝑡 𝛾
𝛽
1

|𝛼| 2 𝜕𝛹= |𝛼| ( ) [+ i𝑉𝛹]
𝛽𝜕𝑡(1.26)

また、(1.17)式左辺第二項は次のようになる。
1

2

|𝛼| 2
1
1
𝜵
𝐻
∗
2
∗ √2𝜇0 c
(−𝑖ℏ𝜵
+
𝑒
𝑨)
𝛹
→
(−iℏ
−
𝑒
𝑨)
(
) 𝛹
2𝑚∗
2𝑚∗
𝜉
𝜆
𝛽
2

1

|𝛼| 2
= (−iℏ𝜵−𝑒𝑨) ( ) 𝛹𝛽√2𝑚∗ 𝜉
√2𝑚∗ 𝜆1𝐻∗ √2𝜇0 c

2

1
2

=(

√2𝑚∗ |𝛼||𝛼|) (−iℏ𝜵−𝑒𝛽√2𝑚∗ ℏ

𝐻 √𝑚∗ |𝛼|∗ √2𝜇0 c√2𝑚∗ 𝑒 ∗ 𝜇0 𝐻c

𝑨) 𝛹

1

|𝛼| 2
= |𝛼| ( ) (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹
𝛽(1.27)(1.17)式左辺第三項は次のようになる。
1|𝛼| 2α𝛹 → 𝛼 ( ) 𝛹
𝛽(1.28)(1.17)式左辺第四項は次のようになる。
1
2

2

1

|𝛼|
|𝛼| 2
𝛽|𝛹|2 𝛹 → 𝛽 |( ) 𝛹| ( ) 𝛹
𝛽
𝛽

-7-

1

|𝛼| 2
= |𝛼| ( ) |𝛹|2 𝛹
𝛽(1.29)(1.26) – (1.29)式をまとめると、(1.28)式右辺の𝛼は負で、
1|𝛼| 2 𝜕𝛹𝛼( ) [+ i𝑉𝛹 + (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹 − 𝛹 + |𝛹|2 𝛹] = 0𝛽𝜕𝑡(1.30)1|𝛼| 2となる。次に、(1.30)式の両辺を𝛼 ( 𝛽 ) で割る。
𝜕𝛹
+ i𝑉𝛹 + (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹 − 𝛹 + |𝛹|2 𝛹 = 0
𝜕𝑡(1.31)

同様に、(1.18)式も簡易化する。(1.18)式左辺第一項は𝑨が一定として、
1 |𝛼|𝜈𝜵𝑉 → 𝜈 𝜵 ∗ 𝑉
𝜉 𝑒 𝛾
=

|𝛼|
𝜈𝜵𝑉
𝜉𝑒 ∗ 𝛾=√2𝑚∗ |𝛼| |𝛼|∙ ∗ 𝜈𝜵𝑉
ℏ𝑒 𝛾(1.32)となる。
(1.18)式左辺第二項は次のようになる。
11 1
1√2𝜇0 𝐻c
𝜵×𝜵×𝑨→ ∙ 𝜵× 𝜵×
𝑨
𝜇0
𝜇0 𝜉
𝜉
𝜆
=

√2𝐻c
𝜵×𝜵×𝑨
𝜉2𝜆

=

2𝑚∗ |𝛼| √𝑚∗ |𝛼|∙ ∗∙ √2𝐻c 𝜵 × 𝜵 × 𝑨ℏ2
𝑒 𝜇0 𝐻c=2√2𝑚∗ |𝛼|√𝑚∗ |𝛼|
𝜵×𝜵×𝑨ℏ2 𝑒 ∗ 𝜇0(1.33)(1.18)式左辺第三項は次のようになる。
iℏe∗ ∗(𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )
2𝑚∗
1

1

1

1

|𝛼| 2
|𝛼| 2 1
|𝛼| 2 ∗iℏe∗ |𝛼| 2 ∗ 1
→
{(
)
𝛹
𝜵
(
)
𝛹
−
(
)
𝛹
𝜵
(
) 𝛹 }
2𝑚∗
𝛽
𝜉
𝛽
𝛽
𝜉
𝛽

-8-

=

iℏe∗ |𝛼| 1 ∗∙∙ (𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )2𝑚∗ 𝛽 𝜉=iℏe∗ |𝛼| √2𝑚∗ |𝛼| ∗(𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )
∙
∙
2𝑚∗ 𝛽
ℏ

=

i𝑒 ∗ |𝛼|√2𝑚∗ |𝛼| ∗(𝛹 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )2𝑚∗ 𝛽(1.34)(1.18)式左辺第四項は次のようになる。
∗2

∗2

1
2

2

|𝛼|
𝑒
𝑒
√2𝜇0 𝐻c|𝛹|2 𝑨 → ∗ |( ) 𝛹|
𝑨
∗
𝑚
𝑚
𝛽
𝜆
=

𝑒 ∗ 2 |𝛼| √2𝜇0 𝐻c|𝛹|2 𝑨
∙
∙
𝑚∗ 𝛽
𝜆

=

√𝑚∗ |𝛼|𝑒 ∗ 2 |𝛼||𝛹|2 𝑨
∙
∙
𝐻
∙
√2𝜇
0 c
𝑚∗ 𝛽
𝑒 ∗ 𝜇0 𝐻c𝑒 ∗ |𝛼|√2𝑚∗ |𝛼||𝛹|2 𝑨𝑚∗ 𝛽(1.32) – (1.35)式をまとめると、=(1.35)

2√2𝑚∗ |𝛼|√𝑚∗ |𝛼|
𝜵×𝜵×𝑨ℏ2 𝑒 ∗ 𝜇0=√2𝑚∗ |𝛼| |𝛼|𝑒 ∗ |𝛼|√2𝑚∗ |𝛼|
i
2
∗
∗ )}
(𝛹
{|𝛹|
𝑨
−
𝜵𝛹
−
𝛹𝜵𝛹
−
∙ ∗ 𝜈𝜵𝑉
𝑚∗ 𝛽
2
ℏ
𝑒 𝛾

となる。次に、(1.36)式の両辺を|𝛼|√2𝑚∗ |𝛼|で割ると、
2𝑚∗
𝑒∗
i
1
𝜵
×
𝜵
×
𝑨
=
{|𝛹|2 𝑨 − (𝛹 ∗ 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )} − ∗ 𝜈𝜵𝑉2∗∗ℏ 𝑒 𝜇0𝑚 𝛽
2ℏ𝑒 𝛾(1.36)(1.37)となる。
ここで、TDGL 方程式を𝛹、𝑉について解く。しかし、変数 2 つに対し方程式が(1.31)式のみである為、電流の発散の式を第二の方程式として解く。
𝜵∙𝑱=0(1.38)

1
𝜵×𝜵×𝑨
𝜇0(1.39)

ここで、𝑱=である。(1.37)式の両辺に𝜵と内積を取ると、-9-

0= 𝜵∙[↔

𝑒∗i1{|𝛹|2 𝑨 − (𝛹 ∗ 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ )} − ∗ 𝜈𝜵𝑉]
∗
𝑚 𝛽
2
ℏ𝑒 𝛾

𝑒∗ i
1
{ (𝛹 ∗ 𝜵2 𝛹 − 𝛹𝜵2 𝛹 ∗ ) − 𝜵 ∙ (|𝛹|2 𝑨)} = − ∗ 𝜈𝜵2 𝑉
∗
𝑚 𝛽 2
ℏ𝑒 𝛾

i
𝑚∗ 𝛽
∗
2
2
∗
2
↔ (𝛹 𝜵 𝛹 − 𝛹𝜵 𝛹 ) − 𝜵 ∙ (|𝛹| 𝑨) = − ∗ 2 𝜈𝜵2 𝑉2ℏ𝑒 𝛾i↔ 𝜎𝜵2 𝑉 = (𝛹 ∗ 𝜵2 𝛹 − 𝛹𝜵2 𝛹 ∗ ) − 𝜵 ∙ (|𝛹|2 𝑨)
2(1.40)𝑚∗ 𝛽となる。ここで、− ℏ𝑒 ∗2 𝛾 𝜈 → 𝜎とする。𝜎は常伝導領域の導電率である。本研究では、(1.31)式と(1.40)式について数値解析を行う。
次に、SC ナノワイヤの対破壊電流密度𝐽d を考える。1 次元の GL 方程式は
𝛹(𝑥) = 𝑓exp(i𝑞𝑥)に対して𝑨 = 0として、(1.31)式より
0 = 𝛁 2 𝛹 + (1 − |𝛹|2 )𝛹
𝑑2(𝑓𝑒 i𝑞𝑥 ) + (1 − 𝑓 2 )𝑓𝑒 i𝑞𝑥
𝑑𝑥 2= (−𝑞 2 + 1 − 𝑓 2 )𝑓𝑒 i𝑞𝑥=(1.41)

よって、
𝑓 = 1 − 𝑞2

(1.42)

が成り立つ。このパラメータ𝑓と𝑞は𝐽s から決定される。
𝐽s = |𝛹|2

𝜕𝜑
𝜕𝑥

= 𝑓2𝑞
= 𝑞(1 − 𝑞 2 )ここで、𝑞(1 − 𝑞 2 )は𝑞 =1√3(1.43)
2≈ 0.577のとき最大値3√3 ≈ 0.385を取るため次の不等式が言える。
𝐽s ≤ 𝐽d =23√3≈ 0.385(1.44)(1.44)式から分かるように、𝐽を約 0.385 以上印加した場合𝐽d を超えた電流を流していることになる為、注意する必要がある。

- 10 -

1.6

近接効果

超伝導体と常伝導析出物（ピン）が接触している時、超伝導電子がピン側に染み出し、ピンが超伝導性を示す現象を近接効果という[9]。
ピン領域では、(1.31)式に代わり以下の式を解く[10, 11]。
𝜕𝛹+ i𝑉𝛹 + (−i𝜵 − 𝑨)2 𝛹 + 𝜂𝛹 = 0
𝜕𝑡(1.45)

ここで、𝜂 = √𝜉/𝜉n である。また、𝜉n はピン領域のコヒーレンス長である。
一方、ピン領域に超伝導電子が染み出さない理想的なピンを考慮した場合、(1.40)式に代わり、
𝛹=0(1.46)

とする。

図 1.4

1.7

超伝導体と常伝導体（ピン）が接触している状態[12]ピーク効果

通常、臨界電流密度𝐽c は磁場𝐵が増加するにつれて単調減少する。しかし、何らかの要因により𝐽c がピークを持つ。この現象をピーク効果という[1]。ピーク効果をもたらす要因として、マッチング機構がある。このマッチング機構とは、磁束線格子間隔𝑎f とピンの間隔𝑑が一致する磁場において臨界電流密度𝐽c が極大となるものである。図 1.5 に示す Pb-Bi 薄膜の𝐽c -𝐵特性では、磁場𝐻1 においてピークが出現している。この時、Bi 濃度の周期(2𝑎)と磁束線格子間隔が一致している。
- 11 -

図 1.51.8

Bi 濃度を周期的に変えてピンを導入した Pb-Bi 薄膜の𝐽c -𝐵特性[1]超伝導体の異方性

高温超伝導体は、結晶軸の方向により特性が異なる。この異なる特性（異方性）
は、エネルギーギャップ・磁場侵入長・コヒーレンス長などがある。
本研究では、有効質量・有効導電率モデルを用いて超伝導体の異方性を再現す
る。
1.8.1

有効質量・有効導電率モデル

異方性を有する超伝導体内のふるまいを観測する際、電子質量および導電率が見かけ上、軸ごとに異なっていると考えることができる[13]。この見かけの質
量および導電率を、有効質量と有効導電率といい、
𝛾𝑥2𝑚⋆ → ( 0
0

0
𝛾𝑦2
0

- 12 -

00 ) 𝑚⋆
𝛾𝑧2(1.47)

1
𝛾𝑥2

0

0

0

1
𝛾𝑦2

0

0

0

1
𝛾𝑧2 )

𝜎→
(

𝜎

(1.48)と表すことができる。なお、𝛾𝑥 , 𝛾𝑦 , 𝛾𝑧 はそれぞれ𝑥, 𝑦, 𝑧軸方向の異方性であり、各軸への異方性パラメータという。
ここで、オーダーパラメータに関する式に異方性パラメータを反映する。(1.31)
式の左辺第三項は、
2
𝜕− 𝐴𝑥 )
𝜕𝑥
+
𝛾𝑥2
2
𝜕
(−i
− 𝐴𝑦 )
𝜕𝑦(−i𝛁 − 𝑨)2 𝛹 →
𝛹
+
2
𝛾𝑦

(−i

2
𝜕
(−i − 𝐴𝑧 )
𝜕𝑧
+
{
}
𝛾𝑧2

次に、スカラーポテンシャルに関する式を考える。(1.40)式は、
1
𝛾𝑥2

0

0

0

1
𝛾𝑦2

0

0

0

1
𝛾𝑧2 )

𝜎
(

=

i
2
(

1
𝛾𝑥2

0

0

0

1
𝛾𝑦2

0

0

0

1
𝛾𝑧2 )

𝜵2 𝑉

(𝛹 ∗ 𝜵2 𝛹 − 𝛹𝜵2 𝛹 ∗ )- 13 -(1.49)

1
𝛾𝑥2

0

0

0

1
𝛾𝑦2

0

0

0

1
𝛾𝑧2 )

−𝜵 ∙ |𝛹|2(𝑨(1.50)

このように異方性を導入した場合、量子化磁束の構造は図 1.6 のようになる。
なお、オーダーパラメータ𝛹の位相により色分けしている。図 1.7 に示すような
パンケーキ状の磁束を再現できている。

図 1.6

異方的な超伝導体の量子化磁束(𝛾𝑧 = 512)

図 1.7 異方性の強い酸化物高温超伝導体における2 次元的パンケーキボルテックス[14]- 14 -

1.9

目的

超伝導体は、核磁気共鳴器(NMR)や磁気共鳴画像(MRI)、国際熱核融合実験炉(ITER)などに応用されている。応用するにあたり、更なる特性向上が求められている。よって、高特性(高𝐽c )の超伝導材料開発が重要である。
超伝導体内においてピンの条件(形状, 配置など)を変えることで臨界電流密度𝐽c が変化することが知られているが、理論的に確認されたケースは少ない。そこ
で、TDGL 方程式を数値的に解き、超伝導体内の磁束運動についてシミュレーシ
ョンを行う。シミュレーションを用いて調査することで、材料開発費用や特性測定・評価にかかる時間を削減できるというメリットがある。
過去の研究では、TDGL 方程式を用いたシミュレーションの様々な報告がされている[15 – 21]。本研究では、TDGL 方程式を用いたシミュレーションにおいて、超伝導体内のピン条件を変更し臨界電流密度𝐽c がどのように変化するか調査する。先行研究では、ピンの形状によって𝐽c -𝐵特性が変化することが報告された[22]。ただし、先行研究で扱っていた超伝導体は理想的なものを想定している。
実用される超伝導体は、高温酸化物超伝導体のように異方的特性を持つが、異方性を考慮した𝐽c -𝐵特性は調査されていない。
そこで、本研究では異方性を持つ超伝導体について調査する。異方性を持つ超伝導体は、𝑐軸方向に磁場を印加すると異方性により𝐽c が減少してしまうという問題点がある。解決方法として、ピンの挿入による𝐽c 向上が考えられる。ピンの形状, 配置により異方性の影響を抑える効果が変化する為、様々な形状のピンにおける𝐽c -𝐵特性について詳しく調査する。

- 15 -

第2章

計算手法

2.1

主要アルゴリズム

2.1.1

ガウス=ザイデル法

ガウス=ザイデル法とは、連立一次方程式を反復法で解く方法の 1 つである。
反復法とは、繰り返し計算を行い真の解へ近づける方法で、並列計算に適している。まず、連立一次方程式を
𝐴𝒙 = 𝒃とする。ここで、𝐴は𝑛次正方行列、𝒙と𝒃は𝑛次元のベクトルである。
ガウス=ザイデル法は、
𝑖−1

(2.1)

𝑛

𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑖𝑘+1 = (𝑏𝑖 − ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 − ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 )
𝑗=1

(2.2)

𝑗=𝑖+1

と定義される[23 – 25]。

2.1.2

オイラー法

オイラー法とは、常微分方程式を解く方法の 1 つである。導関数の定義式
𝑑𝑥𝑓(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑓(𝑡)(2.3)
= 𝑓(𝑡, 𝑥) = lim
Δ𝑡𝑑𝑡
Δ𝑡が元となっている。ここで、Δ𝑡が十分小さいと仮定し以下のように差分商で置き換える。
𝑓(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑓(𝑡)Δ𝑡
これより、ある時刻𝑡からΔ𝑡だけ時間が経過した変数の値𝑥(𝑡 + Δ𝑡)は、𝑓(𝑡, 𝑥) =𝑥(𝑡 + Δ𝑡) = 𝑥(𝑡) + Δ𝑡 ∙ 𝑓(𝑡, 𝑥)

(2.4)

(2.5)

となる。刻み幅Δ𝑡が十分小さい場合は、比較的制度の良い近似解を得ることができる。しかし、Δ𝑡を小さくすると数多くのステップを繰り返し計算する為、丸め
誤差の蓄積があることに注意する必要がある[23 – 25]。

- 16 -

2.1.3

二分探索法

二分探索法とは、ソート済み配列に対する探索アルゴリズムの 1 つである。
ここで探索とは、多くのデータの中から目的とするデータ𝑥を見つけることを意味する。二分探索法では、ソート済み配列の中央のデータと、目的とするデータ
𝑥の大小関係を比較し探索していく。中央のデータが𝑥より小さい場合、𝑥は中央のデータより右側の配列にしか存在しないので、探索範囲をその部分に限定する。中央のデータが𝑥より大きい場合、𝑥は中央のデータより左側の配列にしか存在しないので、探索範囲をその部分に限定する。目的とするデータと等しいデータを見つけるまで、繰り返し探索を行う[26]。

2.2

計算条件

2.2.1

電流密度𝑱と外部磁束密度𝑩の条件

SC ナノワイヤに与える電流密度𝑱と磁束密度𝑩は図 2.1 に示すように、𝑱 = 𝐽𝑦 𝒊𝑦(2.6)

𝑩 = 𝐵z 𝒊𝑧(2.7)と定義する。

図 2.1

電流密度𝑱と磁束密度𝑩の定義- 17 -

2.2.2

オーダーパラメータ𝛹とスカラーポテンシャル𝑉の初期条件

オーダーパラメータ𝛹とスカラーポテンシャル𝑉の初期条件は、
𝛹(𝑡 = 0) = cos𝜃 + i ∙ sin𝜃𝑉(𝑡 = 0) = −𝐽𝑦 ∙ 𝑦
𝜎

(2.8)
(2.9)

と定義する。なお、𝜃はオーダーパラメータ𝛹の位相である。初期値は0 ≤ 𝜃 < 2πの範囲で乱数によって決定される。

2.2.3

境界条件

本研究では、真空に囲まれた超伝導体を取り扱う。超伝導体から真空へ電流が流入及び流出しないという境界条件を与える。
ここで、超伝導電流密度𝐽s の𝑥成分を考慮し、𝑥方向の単位面ベクトル𝒏𝒙 との内積を 0 と置くことでこの条件を求める。(1.12)式より、
i𝐽s = (𝛹 ∗ 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ ) − |𝛹|2 𝑨
2(2.10)となる。また、𝛹 = 𝛹R + i𝛹I 、𝛹 ∗ = 𝛹R − i𝛹I として𝑥成分において展開する。
i{ (𝛹 ∗ 𝜵𝛹 − 𝛹𝜵𝛹 ∗ ) − |𝛹|2 𝑨}|
2𝒙𝜕)(𝛹 + i𝛹I )
+(𝛹
−
i𝛹
R
I
i
𝜕𝑥 R
= {
} − (𝛹R2 + 𝛹I2 ) ∙ 𝐴𝑥
𝜕2−(𝛹R + i𝛹I ) (𝛹R − i𝛹I )𝜕𝑥𝜕𝜕𝛹R + i𝛹R 𝛹I
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕
𝜕
−i𝛹
𝛹
+
𝛹
𝛹I
I
R
I
i
𝜕𝑥
𝜕𝑥
=
− 𝛹R2 𝐴𝑥 − 𝛹I2 𝐴𝑥𝜕𝜕2−𝛹R 𝛹R + i𝛹R 𝛹I
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕
𝜕
( −i𝛹I 𝜕𝑥 𝛹R − 𝛹I 𝜕𝑥 𝛹I )
+𝛹R

= 𝛹I

𝜕
𝜕
𝛹R − 𝛹R𝛹 − 𝛹R2 𝐴𝑥 − 𝛹I2 𝐴𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥 I- 18 -

𝜕𝜕= 𝛹I ( 𝛹R − 𝛹I 𝐴𝑥 ) − 𝛹R ( 𝛹I + 𝛹R 𝐴𝑥 )𝜕𝑥
𝜕𝑥

(2.11)(2.11)式が 0 になる為には、∂
𝛹 − 𝛹I 𝐴𝑥 = 0
𝜕𝑥 R𝜕𝛹 + 𝛹R 𝐴𝑥 = 0
𝜕𝑥 Iという条件を満たせば良い。この 2 式をまとめると、(2.12)(2.13)

𝜕(2.14)
𝛹 + i𝐴𝑥 𝛹 = 0
𝜕𝑥超伝導体と真空の全ての境界は、(2.14)式を元に同様の手順で求めることができる。
𝜵𝛹 + i𝑨𝛹 = 0(2.15)

続いて、スカラーポテンシャル𝑉の境界条件を定義する。𝑦方向の境界面において、
𝜵𝑉 = −とする。

- 19 -

𝑱𝜎(2.16)

2.3

シミュレーションモデル A (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 10, 10)

図 2.2 にシミュレーションモデルを示す。一辺の長さはコヒーレンス長𝜉で規格化している。結晶構造上の𝑎, 𝑏, 𝑐軸をシミュレーション上の𝑥, 𝑦, 𝑧軸とし、図のように定義する。
メッシュ数は、空間離散幅ℎ = 0.2と定義しているので、
10 3( ) = 503
0.2
= 125000(2.17)である。
この超伝導体内に様々な形状のピンを導入し計算を行う。ピンのモデルについては 2.3.1 節以降で詳しく紹介する。

図 2.2

シミュレーションモデル A- 20 -

2.3.1球状ピン 8 個

図 2.3 に球状ピンを示す。表 2.1 に球状ピン 8 個の詳細条件を示す。
表 2.1

球状ピン 8 個の詳細条件(モデル A)

ピン位置(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ピン 1(3, 3, 3)

ピン 2(3, 3, 7)

ピン 3(3, 7, 3)

ピン 4(3, 7, 7)

ピン 5(7, 3, 3)

ピン 6(7, 3, 7)

ピン 7(7, 7, 3)

ピン 8(7, 7, 7)

図 2.3

ピン半径𝑟

ピン距離𝑑

0.5

4

球状ピン 8 個- 21 -

2.3.2𝑧軸柱状ピン 4 本

図 2.4 に柱状ピンを示す。表 2.2 に𝑧軸柱状ピン 4 本の詳細条件を示す。
表 2.2

𝑧軸柱状ピン 4 本の詳細条件(モデル A)

ピン位置(𝑥, 𝑦)
ピン 1(3, 3)

ピン 2(3, 7)

ピン 3(7, 3)

ピン 4(7, 7)

図 2.4

2.3.3

ピン半径𝑟

ピン距離𝑑

0.5

4

柱状ピン 4 本

𝑥𝑦面状ピン 1 枚

図 2.5 に𝑥𝑦面状ピンを示す。表 2.3 に𝑥𝑦面状ピン 1 枚の詳細条件を示す。

- 22 -

表 2.3𝑥𝑦面状ピン 1 枚の詳細条件(モデル A)

ピン 1

図 2.5

2.3.4

ピン位置(𝑧)

ピンの厚さ

(5.5)

0.6

𝑥𝑦面状ピン 1 枚

𝑦𝑧面状ピン 1 枚

図 2.6 に𝑦𝑧面状ピンを示す。表 2.4 に𝑦𝑧面状 1 枚の詳細条件を示す。
表 2.4
ピン 1

𝑦𝑧面状 1 枚の詳細条件(モデル A)
ピン位置(𝑥)

ピンの厚さ

(5.5)

0.6

- 23 -

図 2.62.4

𝑦𝑧面状ピン 1 枚

シミュレーションモデル B (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (20, 10, 10)

2.3 節で紹介したモデル A は、超伝導体の大きさが(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 10, 10)であった。しかし、後で分かるように空間が小さいことが原因で、超伝導-真空境界面による影響を大きく受けていた。そこで、超伝導体の大きさを量子化磁束の運動方向(𝑥軸方向)に拡大したモデルを紹介する。
一辺の長さはコヒーレンス長𝜉で規格化している。結晶構造上の𝑎, 𝑏, 𝑐軸をシ
ミュレーション上の𝑥, 𝑦, 𝑧軸とし、図のように定義する。
メッシュ数は、空間離散幅ℎ = 0.2と定義しているので、
(

20
10
10
) × ( ) × ( ) = 250000
0.2
0.2
0.2

(2.18)である。
この超伝導体内に様々な形状のピンを導入し計算を行う。ピンのモデルについては 2.4.1 節以降で詳しく紹介する。

- 24 -

図 2.72.4.1

𝑥軸方向に拡大したシミュレーションモデル B

球状ピン 16 個

図 2.8 に球状ピンを示す。表 2.5 に球状ピン 16 個の詳細条件を示す。
表 2.5

球状ピン 16 個の詳細条件(モデル B)

ピン位置(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ピン 1(4, 3, 3)

ピン 2(4, 3, 7)

ピン 3(4, 7, 3)

ピン 4(4, 7, 7)

ピン 5(8, 3, 3)

ピン 6(8, 3, 7)

ピン 7(8, 7, 3)

ピン 8(8, 7, 7)

ピン 9(12, 3, 3)

ピン 10(12, 3, 7)- 25 -

ピン半径𝑟

ピン距離𝑑

0.5

4

ピン位置(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ピン 11(12, 7, 3)

ピン 12(12, 7, 7)

ピン 13(16, 3, 3)

ピン 14(16, 3, 7)

ピン 15(16, 7, 3)

ピン 16(16, 7, 7)

図 2.8

ピン半径𝑟

ピン距離𝑑

0.5

4

球状ピン 16 個- 26 -

2.4.2𝑧軸柱状ピン 8 本

図 2.9 に𝑧軸柱状ピンを示す。表 2.6 に𝑧軸柱状ピン 8 本の詳細条件を示す。
表 2.6

𝑧軸柱状ピン 8 本の詳細条件(モデル B)

ピン位置(𝑥, 𝑦)
ピン 1(4, 3)

ピン 2(4, 7)

ピン 3(8, 3)

ピン 4(8, 7)

ピン 5(12, 3)

ピン 6(12, 7)ピン 7(16, 3)

ピン 8(16, 7)

図 2.9

ピン半径𝑟

ピン距離𝑑

0.5

4

𝑧軸柱状ピン 8 本- 27 -

2.4.3𝑦軸柱状ピン 8 本

図 2.10 に𝑦軸柱状ピンを示す。表 2.7 に𝑦軸柱状ピン 8 本の詳細条件を示す。
表 2.7

𝑦軸柱状ピン 8 本の詳細条件(モデル B)

ピン位置(𝑥, 𝑧)
ピン 1(4, 3)

ピン 2(4, 7)

ピン 3(8, 3)

ピン 4(8, 7)

ピン 5(12, 3)

ピン 6(12, 7)ピン 7(16, 3)

ピン 8(16, 7)

図 2.10

ピン半径𝑟

ピン距離𝑑

0.5

4

y 軸柱状ピン 8 本- 28 -

2.4.4𝑥𝑦面状ピン 1 枚

図 2.11 に𝑥𝑦面状ピンを示す。表 2.8 に𝑥𝑦面状ピン 1 枚の詳細条件を示す。
表 2.8

𝑥𝑦面状ピン 1 枚の詳細条件(モデル B)

ピン 1

図 2.112.4.5

ピン位置(𝑧)

ピンの厚さ

(5.5)

0.6

𝑥𝑦面状ピン 1 枚

𝑦𝑧面状ピン 1 枚

図 2.12 に𝑦𝑧面状ピン 1 枚の場合を示す。表 2.9 に𝑦𝑧面状ピン 1 枚の詳細条件
を示す。
表 2.9
ピン 1

𝑦𝑧面状ピン 1 枚の詳細条件(モデル B)
ピン位置(𝑥)ピンの厚さ(10.5)

0.6- 29 -

図 2.122.4.6

𝑦𝑧面状ピン 1 枚

𝑦𝑧面状ピン 2 枚

図 2.13 に𝑦𝑧面状ピン 2 枚の場合を示す。表 2.10 に𝑦𝑧面状ピン 2 枚の詳細条件を示す。
表 2.10𝑦𝑧面状ピン 2 枚の詳細条件(モデル B)
ピン位置(𝑥)

ピン 1

(6.0)

ピン 2

(14.0)- 30 -

ピンの厚さ0.6図 2.13𝑦𝑧面状ピン 2 枚- 31 -

第3章

計算結果及び考察

3.1

𝐽c -𝐵特性 シミュレーションモデル A (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 10, 10)

3.1.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)

図 3.1 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)を示す。
ピンの形状は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン・球状ピン・𝑧軸柱状ピンである。
低磁場領域:𝐵 = 0-0.1では、球状ピンが最も高い𝐽c 、𝑧軸柱状ピンが最も低い𝐽cであった。低磁場領域ではピンの面積が小さい方が良い特性となるといえる。
𝐵 = 0.4では、柱状ピンが最も高い𝐽c となっている。このことから、低磁場領域

Normalized critical current density Jc

ではピンの面積によって𝐽c が左右されていたが、その他の領域ではあまり関係ないことが分かる。

xy plane pin
yz plane pin
sphere 16pin
columnar 8pin (z−axis)

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)

- 32 -

3.1.2

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)

図 3.2 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)を示す。ピンの形状
は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン・球状ピン・𝑧軸柱状ピンである。
低磁場領域:𝐵 = 0 – 0.1では、𝑥𝑦面状ピンが最も高い𝐽c 、𝑧軸柱状ピンが最も低い𝐽c であった。𝑥𝑦面状ピンの結果を見ると、約𝐽c = 0.385となっていて不自然である。これは、異方性パラメータ𝛾𝑧 を大きくすると𝑥軸方向に磁束が繋がり、𝑥 =0, 10(境界面)でピン止めされてしまったことが原因である。この境界面でのピン止めを解決するには、①ピンの幅を狭める、②超伝導空間を拡大する、という方法が考えられる。①ピンの幅を狭めるでは、ピンの端をそれぞれ1𝜉ずつ狭めたが、𝐽c はあまり変わらなかった。そこで、②超伝導空間を拡大した結果を 3.3 項で詳しく説明する。
また、𝛾𝑧 = 1の場合(図 3.1)と比較すると、𝑧軸柱状ピン・𝑦𝑧面状ピンは𝛾𝑧 を大Normalized critical current density Jc

きくしても𝐽c があまり変わらなかった。球状ピンは低磁場において𝐽c が顕著に減少している。このことから、球状ピンは𝛾𝑧 の影響を受けやすく、𝑧軸柱状ピン・
𝑦𝑧面状ピンは𝛾𝑧 の影響を打ち消す作用があることが分かる。

xy plane pin
yz plane pin
sphere 16pin
columnar 8pin (z−axis)

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.2 様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)

- 33 -

3.1.3球状ピン 8 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

Normalized critical current density Jc

図 3.3 に、球状ピン 8 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ𝛾𝑧 は
1, 8, 64, 512である。低磁場では、異方性パラメータの違いによって、𝐽c が大きく変わっていた。しかし、磁場が高くなるにつれて𝐽c に大きな差は現れなくなった。
よって、低磁場では異方性の影響を受けやすいことが分かる。

z = 1z = 8z = 64z = 512

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.3

3.1.4

球状ピン 8 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

𝑧軸柱状ピン 4 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.4 に、𝑧軸柱状ピン 4 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ𝛾𝑧は1, 8, 64, 512である。
𝐽c は、𝐵が大きくなるにつれて減少していくが、𝐵 = 0.4でピークが出現している。これはピンの間隔𝑑と磁束線格子間隔𝑎f が一致した為である。磁束線格子間
隔𝑎f は、
1

2𝜙0 2
1𝑎f = (
) ∝
√3𝐵
√𝐵

(3.1)

を用いて計算すると𝐵 = 0.4では𝑎f ≒ 3.9となり、ピン間隔𝑑 = 4.0とおおよそ一- 34 -

Normalized critical current density Jc

致していることが分かる。
また、異方性パラメータ𝛾𝑧 による𝐽c の差はなかった。このことから、𝑧軸方向にピンを入れることで異方性の影響を打ち消すことが分かる。このようなピンを𝑐
軸相関ピンといい、𝐵 ∥ 𝑐においてピンニング特性を向上させる[26]。なお本研究では、𝑧軸が𝑐軸に対応している。

z = 1z = 8z = 64z = 512

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.4

3.1.5

𝑧軸柱状ピン 4 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

𝑥𝑦面状ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.5 に、𝑥𝑦面状ピンにおける 𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ 𝛾𝑧 は1, 8, 64, 512である。𝐽c は、異方性パラメータ𝛾𝑧 が大きくなるにつれて増加している。この不自然なふるまいは、3.1.2 項でも説明したが、異方性パラメータ𝛾𝑧 を大きくすると𝑥軸方向に磁束が繋がり、𝑥 = 0, 10(境界面)でピン止めされてしまったことが原因である。この問題を解決する為に、3.3 項で超伝導空間を拡大し調査している。

- 35 -

Normalized critical current density Jc

0.4z = 1z = 8z = 64z = 512

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.5

3.1.6

𝑥𝑦面状ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

𝑦𝑧面状ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.6 に、𝑦𝑧面状ピンにおける 𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ𝛾𝑧 は
1, 8, 64, 512である。
𝐽c は𝐵 = 0.15 – 0.40で急激に減少している。また、𝑧軸柱状ピンと同様に異方性パラメータ𝛾𝑧 による𝐽c の差はなかった。このことから、𝑧軸方向にピンを入れる
ことで異方性の影響を打ち消すことが分かる。

- 36 -

Normalized critical current density Jc

z = 1z = 8z = 64z = 512

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.6

3.2

𝑦𝑧面状ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

𝐽c -𝛾𝑧 特性 シミュレーションモデル A (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 10, 10)

3.1 節では𝐽c -𝐵特性を調査したが、これでは𝛾𝑧 依存性が分かりづらい。その為、ここでは様々な形状のピンにおいて、一定磁場で𝐽c -𝛾𝑧 特性がどのように変化するかを比較する。
3.2.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)

図 3.7 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)を示す。ピンの形状は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン・球状ピン・𝑧軸柱状ピンである。𝛾𝑧 は、1, 2, 4, ⋯ , 512
で計算を行った。
球状ピンの𝐽c は、𝛾𝑧 = 4 – 16で減少した。𝑧軸柱状ピンと𝑦𝑧面状ピンの𝐽c は一定であった。𝑥𝑦面状ピンの𝐽c は𝛾𝑧 が大きくなるにつれて増加しているが、境界面でピン止めが生じている為、無視すべき結果である。

- 37 -

Normalized critical current density Jc

0.3

0.2

0.1

B = 0.1
0
10

図 3.7

3.2.2

xy plane pin
yz plane pin
sphere 8pin
columnar 4pin (z−axis)

0

1

2

10
10
z axis anisotropy parameter z

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)

図 3.8 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)を示す。ピンの形状は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン・球状ピン・𝑧軸柱状ピンである。𝛾𝑧 は、1, 2, 4, ⋯ , 512
で計算を行った。
球状ピンの𝐽c は、𝛾𝑧 = 4 – 16で少し減少しているが、全体的に見ると𝐽c = 0.1
付近で値が前後しておりほぼ一定とみることができる。𝑧軸柱状ピンと𝑦𝑧面状ピンの𝐽c はほぼ一定であった。𝑥𝑦面状ピンの𝐽c は𝛾𝑧 = 1 – 16で増加し、その後一定となっている。

- 38 -

Normalized critical current density Jc

0.2
xy plane pin
yz plane pin
sphere 8pin
columnar 4pin (z−axis)

0.1

B = 0.3
0

0

10

図 3.8

3.2.3

1

2

10
10
z axis anisotropy parameter z

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)

図 3.9 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)を示す。ピンの形状は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン・球状ピン・𝑧軸柱状ピンである。𝛾𝑧 は、1, 2, 4, ⋯ , 512
で計算を行った。
球状ピンの𝐽c は𝛾𝑧 = 1 – 16で減少し、その後一定となっている。𝑧軸柱状ピンと𝑦𝑧面状ピンの𝐽c はほぼ一定であった。𝑥𝑦面状ピンの𝐽c は𝛾𝑧 = 1 – 16で増加し、その後一定となっている。

- 39 -

Normalized critical current density Jc

0.2
xy plane pin
yz plane pin
sphere 8pin
columnar 4pin (z−axis)

0.1

B = 0.5
0

0

10

図 3.9

1

2

10
10
z axis anisotropy parameter z

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)

- 40 -

3.3

𝐽c -𝐵特性 シミュレーションモデル B (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (20, 10, 10)

3.2 節までは、超伝導立方体(10𝜉 × 10𝜉 × 10𝜉)で調査をした。しかし、空間が小さいことが原因で、超伝導-真空境界面による影響を大きく受けていた。そこで、超伝導体の大きさを量子化磁束の運動方向(𝑥軸方向)に拡大し調査する。
3.3 節では、超伝導体の大きさを(20𝜉 × 10𝜉 × 10𝜉)とする。

3.3.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)

図 3.10 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)を示す。ピンの形状は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン 1 枚・𝑦𝑧面状ピン 2 枚・球状ピン・𝑧軸柱状ピン・𝑦軸
柱状ピンである。
𝐵 = 0.1の時、𝐽c の大小関係は 𝑧軸柱＜𝑦軸柱＜球＜𝑥𝑦面, 𝑦𝑧面 2 枚＜𝑦𝑧面 1 枚となっている。低磁場：𝐵 = 0.1では、ピンの面積が少ない方が高特性である。
しかし、ピンの面積が同じ𝑧軸柱状ピンと𝑦軸柱状ピンでは𝐽c が大きく異なる。これは、低磁場において出現する磁束線が少ないことが原因である。磁束線の出現
位置はランダムで、𝑥軸方向に運動する。その為、磁束線の出現本数が少ない低磁場においては、図 3.11(b)に示す𝑦軸柱状ピンであれば磁束線と必ず鎖交し、𝑧
軸柱状ピンより高𝐽c となる。一方、𝑧軸柱状ピンは磁束線がすり抜ける確率が高
くピン留めされにくい。
𝐵 = 0.2-0.3では𝑦𝑧面状ピン 2 枚の𝐽c が最も高い。𝐵 = 0.4では𝑧軸柱状ピンの𝐽cが最も高い。これはピーク効果によるものである。

- 41 -

図 3.10

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 1)

図 3.11 磁束線とピンの様子(a) 𝑧軸柱状ピン, (b)𝑦軸柱状ピン
磁束線は𝑥軸方向に運動する。低磁場では磁束線の出現本数が少ない。(a)の場合ピンと鎖交せずすり抜ける確率が高い。(b)の場合ピンと必ず鎖交する。

- 42 -

3.3.2

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)

図 3.12 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)を示す。ピンの形状
は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン 1 枚・𝑦𝑧面状ピン 2 枚・球状ピン・𝑧軸柱状ピン・
𝑦軸柱状ピンである。
𝐵 = 0.1の時、𝐽c の大小関係は 𝑧軸柱＜𝑦𝑧面 2 枚＜𝑥𝑦面, 球, 𝑦軸柱＜𝑦𝑧面 1 枚となっている。𝛾𝑧 = 1の時と比較して、𝑦軸柱状ピンの𝐽c が大きく向上している。
これは、3.3.5 項でも述べるが、磁束が𝑥軸方向に繋がったためである。
𝐵 = 0.2-0.3では𝑦𝑧面状ピン 2 枚の𝐽c が最も高い。𝐵 = 0.4では𝑧軸柱状ピンの𝐽cが最も高い。この傾向は𝛾𝑧 = 1の時と同じである。よって、𝑧軸方向にピンを入Normalized critical current density Jc

れることで異方性の影響を打ち消すことが分かる。

xy plane pin
yz plane pin
yz plane 2pin
sphere 16pin
columnar 8pin (z−axis)
columnar 8pin (y−axis)

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.123.3.3

様々なピンの形状における𝐽c -𝐵特性(𝛾𝑧 = 512)

球状ピン 16 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.13 に、球状ピン 16 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ𝛾𝑧は1, 8, 64, 512である。3.1.3 節では球状ピン 8 個で計算を行ったが、モデル B では空間を広げたため同じ本数ではピン密度が一致しないので、16 個に増やし計算を行った。

- 43 -

𝐽c は、𝐵が増加するにつれて減少している。𝐽c の大小関係は、𝛾𝑧 = 1 > 𝛾𝑧 = 512となるのが自然であるが、低磁場領域：𝐵 = 0.1においては大小関係が逆転している。これは、図 3.13 挿入図に示すように、磁束が𝑥軸方向に繋がったためである。

図 3.13 球状ピン 8 個における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性
挿入図は𝐵 = 0.1、𝛾𝑧 = 512
𝑥軸方向に磁束が繋がっていることが分かる

3.3.4

𝑧軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.14 に、𝑧軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ
𝛾𝑧 は1, 8, 64, 512である。3.1.4 節では柱状ピン 4 本で計算を行ったが、モデル B
では空間を広げたため同じ本数ではピン密度が一致しないので、8 本に増やし計算を行った。
𝐽c は、𝐵が増加するにつれて減少している。𝛾𝑧 による差はあまり見られなかった。
また、𝐵 = 0.4においてピークが出現している。これはピンの間隔𝑑と磁束線格- 44 -

子間隔𝑎f が一致した為である。

Normalized critical current density Jc

0.2

z = 1z = 8z = 64z = 512

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.143.3.5

𝑧軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

𝑦軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.15 に、𝑦軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ
𝛾𝑧 は1, 8, 64, 512である。
3.1 項では、𝑧軸柱状ピンと𝑦𝑧面状ピンは異方性の影響を受けないことが分かった。この 2 つのピンにおいて共通する点は、磁場と平行にピンを挿入していることである。そこで、磁場と垂直である𝑦軸方向にピンを挿入しどのような特性を持つか調査した。
𝐽c は、𝐵が増加するにつれて減少している。3.3.3 項で示した球状ピンと同様に、低磁場領域：𝐵 = 0.1においては𝛾𝑧 = 1の時より𝛾𝑧 = 512の𝐽c が高い。これは、図3.14 挿入図に示すように、磁束が𝑥軸方向に繋がったためである。
このように、3.3.4 項で示した𝑧軸柱状ピンとは異なる特性を持ち、挿入する方向によってピンニング特性が変化することが分かる。

- 45 -

図 3.15𝑦軸柱状ピン 8 本における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性
挿入図は𝐵 = 0.1、𝛾𝑧 = 512
𝑥軸方向に磁束が繋がっていることが分かる

3.3.6

𝑥𝑦面状ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.16 に、𝑥𝑦面状ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ𝛾𝑧 は
1, 8, 64, 512である。
低磁場領域：𝐵 = 0.1においては、異方性パラメータ𝛾𝑧 によって𝐽c が変化している。これは、磁束が僅かに𝑥軸方向に繋がったためである。
また、その他の領域では𝐽c にあまり差が出なかった。

- 46 -

Normalized critical current density Jc

z = 1z = 8z = 64z = 512

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.163.3.7

𝑥𝑦面状ピンにおける𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

𝑦𝑧面状ピン 1 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.17 に、𝑦𝑧面状ピン 1 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ
𝛾𝑧 は1, 8, 64, 512である。
どの異方性パラメータ𝛾𝑧 においても、𝐽c に変化はなかった。磁場と平行にピンを挿入することで、異方性による𝐽c の減少が抑えられたことが分かる。

- 47 -

Normalized critical current density Jc

z = 1z = 8z = 64z = 512

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.173.3.8

𝑦𝑧面状ピン 1 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

𝑦𝑧面状ピン 2 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

図 3.18 に、𝑦𝑧面状ピン 2 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性を示す。異方性パラメータ
𝛾𝑧 は1, 8, 64, 512である。
どの異方性パラメータ𝛾𝑧 においても、𝐽c に変化はなかった。磁場と平行にピンを挿入することで、異方性による𝐽c の減少が抑えられたことが分かる。
低磁場𝐵 = 0.1においては、𝑦𝑧面状ピン 1 枚の𝐽c に負けているが、中磁場では高特性となっている。

- 48 -

Normalized critical current density Jc

z = 1z = 8z = 64z = 512

0.3

0.2

0.1

0
0

0.2

0.4

0.6

Normarized magnetic field B
図 3.18𝑦𝑧面状ピン 2 枚における𝛾𝑧 別𝐽c -𝐵特性

3.4𝐽c -𝛾𝑧 特性 シミュレーションモデル B (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (20, 10, 10)

3.4.1

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)

図 3.19 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)を示す。ピンの形状
は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン 1 枚・𝑦𝑧面状ピン 2 枚・球状ピン 18 個・𝑧軸柱状
ピン 8 本・𝑦軸柱状ピン 8 本である。𝑧軸異方性𝛾𝑧 = 1, 8, 64, 512において計算を行った。
𝑥𝑦面状ピンの場合、𝛾𝑧 を大きくするにつれて𝐽c がわずかに増加していたが、ほぼ一定と見ることができる。
𝑦𝑧面状ピンの場合、𝛾𝑧 を大きくしても𝐽c は一定であった。また、𝑦𝑧面ピン 1 枚
では𝐽c が最も高い結果となった。𝑦𝑧面状ピンを 2 枚に増やすと 1 枚の時と比べて𝐽c は下がった。これは、超伝導電流が流れる断面積が小さくなることが原因だと考えられる。
球状ピンの場合、𝛾𝑧 を大きくすると𝐽c が増加していた。これは、図 3.12 挿入図に示すように磁束が𝑥軸方向に繋がったことで𝐽c が増加したと考えられる。

- 49 -

Normalized critical current density Jc

𝑧軸柱状ピンの場合、𝛾𝑧 を大きくしても𝐽c はほぼ一定であった。
𝑦軸柱状ピンの場合、𝛾𝑧 を大きくすると𝐽c が増加していた。これは、図 3.14 挿入図に示すように磁束が𝑥軸方向に繋がったことで𝐽c が増加したと考えられる。

0.3

0.2

0.1

B = 0.1
010

図 3.193.4.2

xy plane pin
yz plane pin
yz plane 2pin
sphere 16pin
columnar 8pin (z−axis)
columnar 8pin (y−axis)

0

1

2

10
10
z axis anisotropy parameter z

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.1)

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)

図 3.20 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)を示す。ピンの形状
は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン 1 枚・𝑦𝑧面状ピン 2 枚・球状ピン 18 個・𝑧軸柱状
ピン 8 本・𝑦軸柱状ピン 8 本である。𝑧軸異方性𝛾𝑧 = 1, 8, 64, 512において計算を行った。
𝑥𝑦面状ピン、𝑦𝑧面状ピン 1 枚、𝑦𝑧面状ピン 2 枚は異方性パラメータ𝛾𝑧 によって𝐽c に差は現れなかった。
球状ピン、𝑦軸柱状ピンは異方性パラメータが大きくなると𝐽c が減少した。よってこのピンでは、異方性による𝐽c の減少を抑えることができないと分かる。
𝑧軸柱状ピンは、3.4.1 項の低磁場：𝐵 = 0.1においては𝐽c が減少することはなか
ったが、𝐵 = 0.3では異方性パラメータが大きくなると𝐽c が減少した。

- 50 -

Normalized critical current density Jc

0.15

xy plane pin
yz plane pin
yz plane 2pin
sphere 16pin
columnar 8pin (z−axis)
columnar 8pin (y−axis)

B = 0.3
0.1

0.05

0

0

10

図 3.20

3.4.3

1

2

10
10
z axis anisotropy parameter z

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.3)

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)

図 3.21 に、様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)を示す。ピンの形状
は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン 1 枚・𝑦𝑧面状ピン 2 枚・球状ピン 18 個・𝑧軸柱状
ピン 8 本・𝑦軸柱状ピン 8 本である。𝑧軸異方性𝛾𝑧 = 1, 8, 64, 512において計算を行った。
𝑥𝑦面状ピン、𝑦𝑧面状ピン 1 枚、𝑦𝑧面状ピン 2 枚、𝑧軸柱状ピンは異方性パラメータ𝛾𝑧 によって𝐽c に差は現れなかった。𝑥𝑦面状ピン以外は、磁場と平行にピンを挿入している点が共通している。よって、磁場と平行にピンを挿入することで、異方性による𝐽c の減少が抑えられたことが分かる。
球状ピン、𝑦軸柱状ピンは異方性パラメータが大きくなると𝐽c が減少した。よってこのピンでは、異方性による𝐽c の減少を抑えることができないと分かる。
以上の結果をまとめると、①異方性パラメータ𝛾𝑧 が大きい場合においても、ピンを工夫することで𝐽c の減少を抑えることができる。具体的には、磁場と平行にピンを挿入するとよい。②中磁場：𝐵 = 0.3, 高磁場：𝐵 = 0.5においては予想した結果となっていた。しかし、低磁場：𝐵 = 0.1では予想と異なる結果となっていた。これは、磁束が𝑥軸方向に繋がった為、𝐽c が増加したと考えられる。
- 51 -

0.05
xy plane pin
yz plane pin
yz plane 2pin
sphere 16pin
columnar 8pin (z−axis)
columnar 8pin (y−axis)

Normalized critical current density Jc

B = 0.50010

図 3.211

2

10
10z axis anisotropy parameter z

様々なピンの形状における𝐽c -𝛾𝑧 特性(𝐵 = 0.5)

- 52 -

第4章

総括

本研究では、Time-Dependent Ginzburg-Landau (TDGL)方程式による異方性を考慮した超伝導体内の磁束運動について調査をした。異方性を持つ超伝導体（高温
酸化物超伝導体）は、𝑐軸方向に磁場を印加すると異方性により臨界電流密度𝐽cが減少するという問題点があった。解決方法として、ピンの挿入による𝐽c 向上が考えられる。そこで、様々な形状ピンにおける𝐽c -𝐵特性を明らかにする。
異方性は、有効質量・有効導電率モデルを用いて再現した。𝑧軸方向(結晶構造上の𝑐軸)の異方性パラメータを𝛾𝑧 として、𝛾𝑧 = 1, 8, 64, 512と変更し計算を行った。
超伝導体モデルは A(10, 10, 10)と B(20, 10, 10)の 2 つ用意した。これは、モデル
A(10, 10, 10)の場合空間が小さいことが原因で、超伝導-真空境界面による影響を大きく受けていた。そこで、超伝導体の大きさを量子化磁束の運動方向(𝑥軸方向)に拡大したモデル B(20, 10, 10)を導入した。また、様々な形状のピンを挿入し計算を行った。ピンの形状は、𝑥𝑦面状ピン・𝑦𝑧面状ピン 1 枚・𝑦𝑧面状ピン 2枚・球状ピン 18 個・𝑧軸柱状ピン 8 本・𝑦軸柱状ピン 8 本を用意した。その中でも、𝑦𝑧面状ピンと𝑧軸柱状ピンは異方性による𝐽c の低下を抑える効果があった。
この 2 つのピンに共通することは、磁場と平行にピンを挿入している点である。
よって、磁場と平行にピンを挿入することで異方性の影響を受けなくなるといえる。このように、異方性が強い場合でもピンを工夫することで𝐽c の減少を抑えることが可能となる。
𝑦軸柱状ピンと球状ピンは低磁場𝐵 = 0.1において𝐽c のふるまいが予想とは異なる結果だった。これは、磁束が𝑥軸方向に繋がったことが原因であった。
𝑧軸柱状ピンは、𝐵 = 0.4で𝐽c のピークが出現している。これはピンの間隔𝑑と磁束線格子間隔𝑎f が一致した為である。磁束線格子間隔𝑎f は、𝐵 = 0.4において
𝑎f ≒ 3.9となりピン間隔𝑑 = 4.0とおおよそ一致していることが分かる。
このように、異方性を持つ超伝導体の様々な形状ピンにおけるピン留め効果を明らかにした。
また、モデル A(10, 10, 10)の場合空間が小さいことが原因で、超伝導-真空境界面による影響を大きく受けていたが、空間を拡大したモデル B(20, 10, 10)を導入したことで境界面でのピン留め問題を解決することができた。しかし、完全に境界によるピン留め問題が解決されたわけではない。論文中では述べていないが、磁場を回転した際に角でピン留めされてしまうという問題が起きた。これを解決するには、超伝導体を球体または円柱にするなどして角でピン留めされな
いような工夫が必要である。

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参考文献[1] 松下照男. 磁束ピンニングと電磁現象. 産業図書, 1994
[2] これ 1 冊でわかる超伝導実用技術. 日刊工業新聞社, 2013
[3] 小原春彦 ほか. 銅酸化物高温超伝導体. 日本物理学会. 2016[4] 岸尾光二. 異方性と磁束ピンニングの化学的制御. まてりあ. 1995, Vol. 34,
No. 12[5] 松下照男. 量子化磁束の運動とピンニング. 日本金属学会会報. 1990, Vol. 29,
No. 9, pp. 722-723[6] 吉田隆. ナノサイズの人工ピンを導入した高温超伝導薄膜. 低温工学. 2016,
Vol. 51, No. 1 pp. 3-4[7] D. Y. Vodolazov, Phys. Rev. B. 2013, Vol. 88, No. 014525[8] J. F. Blackburn et al. Philosophical Magazine B. 2000, Vol.80, p. 1455
[9] 松下照男, 井口家成. 超電導応用. 表面科学. 1991, Vol. 12, No. 9[10] T. Matsushita. J. Phys. Soc. Jpn. 1982, Vol. 51, No. 9[11] D. A. Jacobson. Phys. Rev. 1965, Vol. 138, No. 4A[12] 松下照男. 超伝導体における磁束ピンニング[3]. 低温工学. 2008, Vol. 43, No.
11[13] I. A. Sadovskyy et al. J. Comput. Phys. 2015, Vol. 294[14] 小林典男, 西嵜照和. 混合状態の相図と磁束構造. まてりあ. 1995, Vol. 34,
No. 12[15] R. Kato, Y. Enomoto, and S. Maekawa. Phys. Rev. B. 1991, Vol. 44[16] R. Kato, Y. Enomoto, and S. Maekawa. Phys. Rev. B. 1993, Vol. 47[17] G. W. Crabtree et al. Physica C. 1996, Vol. 263[18] A. E. Koshelev et al. Phys. Rev. B. 2016, Vol. 93[19] M. P. Sorensen et al. Physica C. 2017, Vol. 533[20] J. Deang et al. Physica B. 2001, Vol. 64[21] M. Machida and H. Kaburaki. Phys. Rev. Lett. 1993, Vol 71[22] 谷村賢太. 時間依存 Ginzburg-Landau 方程式を用いた異なるピンにおける超伝導体内の磁束線運動に関する研究. 2018[23] 篠原能材. 数値解析の基礎. 日新出版, 1978[24] 鈴木誠道, 矢部博, 飯田善久, 中山隆, 田中正次. 現代数値計算法. オーム社, 1994[25] 新濃清志, 船田哲男. 数値解析の基礎. 培風館, 1991
[26] 藤原暁宏. アルゴリズムとデータ構造. 東北出版, 2010
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[27] 淡路智 ほか. 重イオン照射 Er123 膜における相関ピンニング特性. 低温工学. 2009, Vol. 44, No. 12- 55 -

謝辞
最初に、九州工業大学大学院情報工学研究院電子情報工学研究系エレクトロニクス分野、小田部荘司教授にお礼を申し上げます。私の研究、および学生生活に多くの助言や励ましの言葉をいただきました。国際学会、国内学会と何件も参加できる環境を作って頂き、とても感謝しています。修士の期間で国際論文を 2
本投稿することができたのは先生のおかげです。深く感謝致します。
また、松下照男名誉教授にもお礼を申し上げます。超伝導の基礎など数多くのサポートで研究を支えて頂きました。深く感謝致します。
共同研究者である産総研の馬渡康徳様、有明高専の松野哲也先生からは、研究に関する大変有意義な御助言・御助力を頂きました。国際論文を投稿するにあた
り、何度も支えて頂きました。国際論文がアクセプトされた際に、自分の事のように喜んで下さったことを今でも覚えています。2 年間という短い期間でしたが、先生方の熱心な御指導にとても感謝しています。
木内勝准教授には、超伝導の基礎知識をご教授頂きました。また、学部時代のNb3 Snの研究では大変有意義な御助言・御助力を頂きました。深く感謝致します。
福間康裕准教授には、エレクトロニクス分野の講究において、的確な質問を頂きました。研究の問題点や、今後の研究方針を見つめ直すことができました。深
く感謝致します。
昨年卒業されました上地和典氏、濱田雄成氏は同じ量子化磁束動力学シミュ
レーショングループとして大変お世話になりました。
最後に、公私ともお世話になった小田部研究室の皆様に深く感謝致します。

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研究業績発表
1. 米塚 里奈, 田邊 裕也, 米中 友浩, 木内 勝, 小田部 荘司, 松下 照男, 文珠
義之, 水田 泰次, 太刀川 恭治, 長村 光造「第四元素を添加した Nb3Sn の上部臨界磁界及び臨界電流密度特性」、低温工学・超電導学会 九州・西日本支部若手セミナー支部研究成果発表会、奄美市 AiAi ひろば 平成 29 年 9 月 12日
2. 米塚 里奈, 濱田 雄成, 谷村 賢太, 吉原 敬貴, 小田部 荘司, 馬渡 康徳, 松
野 哲也「時間依存 Ginzburg-Landau 方程式を用いたシミュレーションによる臨界電流密度𝐽c のピンの角度依存性解析」第 79 回 応用物理学会秋季学
術講演会, 名古屋国際会議場, 平成 29 年 09 月 19 日
3. 米塚 里奈, 濱田 雄成, 上地 和典, 谷村 賢太, 吉原 敬貴, 小田部 荘司, 馬渡 康徳, 松野 哲也「時間依存 Ginzburg-Landau 方程式を用いたシミュレーションによる臨界電流密度𝐽c のピンの角度依存性解析」第 97 回 低温工学・超電導学会, 山形テルサ, 平成 29 年 11 月 19 日
4. Rina Yonezuka, Yusei Hamada, Kazunori Kamiji, Kenta Tanimura, Takaki Yoshihara,
Edmund Soji Otabe, Yasunori Mawatari, Tetsuya Matsuno “TDGL Simulation on
Angular Dependence of Critical Current Density in Superconductors with Columnar
Defects”, 31st INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON SUPERCONDUCTIVITY,
Tsukuba International Congress Center, December 12, 2018
5. Rina Yonezuka, Yusei Hamada, Kazunori Kamiji, Edmund Soji Otabe, Yasunori
Mawatari, Tetsuya Matsuno “TDGL Simulation of Critical Current Density
introducing 𝑧 -axis Anisotropy 𝛾𝑧 ”, 32nd INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON
SUPERCONDUCTIVITY, Miyako Messe, December 5, 2019
6. Rina Yonezuka, Yusei Hamada, Kazunori Kamiji, Edmund Soji Otabe, Yasunori
Mawatari, Tetsuya Matsuno “The Relationship Between 𝑧-axis Anisotropy Strength
𝛾𝑧 and Critical Current Density 𝐽c Simulated by Using TDGL”, 10th ACASC/ 2nd
Asian-ICMC/ CSSJ Joint Conference, Okinawa Convention Center, January 8, 2020

論文
1. Rina Yonezuka, Yusei Hamada, Kazunori Kamiji, Kenta Tanimura,
Takaki Yoshihara, Edmund Soji Otabe, Yasunori Mawatari, Tetsuya- 57 -

Matsuno “TDGL Simulation on Angular Dependence of Critical Current
Density in Superconductors with Columnar Defects”, Journal of Physics:
Conference Series 1293(2019) 012018
本研究は JSPS 科研費 19H00771 の助成を受けたものです。

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