―身近な現象の物理―

物理屋のための地震学入門波多野恭弘〈東京大学地震研究所

hatano＠eri.u-tokyo.ac.jp〉
4

日本に住む者ならば地震はきわめて身近な自然現象であが揺れからどうやって求まるのかを知るのは教訓的なので，り，なおかつ社会に甚大な影響を与える点で，漠然と興味

以下少し解説する．震度はもともと人間が主観的に決めてをもっている物理屋も多いのではないかと想像する．とくいたものであまり科学的な量ではないが，現在では揺れのに，2011 年 3 月の東北太平洋沖地震（図 1）は様々な社会加速度とその継続時間を用いて客観的基準を設定している．

問題を明るみに出した．本稿では，そのような地震学の現

ただし，揺れの加速度は震源からの距離に依存するので，状を物理屋のみなさんに簡単に紹介したい．

震度は一回の地震の大きさそのものを特徴付ける量にはなり得ない．その目的のためには，減衰補正を入れて震源か地震学事始め

日本人にとって地震は「身近な現象」だが，明治初期にらの距離に依らない量に直す必要がある．基本的には，固有周期 T の地震計 *2 で計測された最大変位振幅を A，震源欧州や英国からやってきたお雇い外国人教授にとっては大からの距離を R，震源の深さを h として，マグニチュード変驚く現象であったようである．実際，近代科学としてのM は log A＋f（R, T, h）と 書 か れ る．こ こ で （f R, T, h）が 補

地震学は，お雇い外国人教授たちが地震の揺れを記録する正関数であるが，この設定は大変難しい．まず地震波にもために日本で地震計を発明・開発したことから始まった．

バルクを伝わってくる実体波（body wave）と表面を伝わっ外国人教授たちにより地震計が開発されたのが 1880 年代てくる表面波（surface wave）などがあり，減衰の仕方はそのことであるが，日本人教授である大森房吉が余震の発生れぞれで異なる．使用する波の種類や周期を指定し，それ頻度に関して現在でも重要な法則（大森則，後述）を発表に応じて減衰関数（f R, T, h）を 指 定 し て 初 め て マ グ ニ

したのは 1894 年で，地震学の産声を聞いてからわずか 10*1 このような明治初期における地震年程度のことである．

チュードが定義されるので，マグニチュードには様々な定学の誕生は，東洋と西洋の出会いとして新しい学問が生まは「波」の大きさではなく「震源」の大きさを定量化したマれた例として科学史的にも興味深い．

グニチュードが一般的に用いられている．だが，「震源の1.

2）

我々の感じる自然現象としての地震は言うまでもなく地表の揺れである．地震のニュースで報じられるのは各地の義があり得る．このような状況を改善するために，現在で大きさ」とは何だろうか？

そのためには揺れをもたらす地下の実体を知る必要がある．
地下での急激な運動は周囲に弾性波を放射するが，その震度と震源地，マグニチュード程度であるが，これらの量4）過程は線形弾性論から詳細に計算することができる．
これは原因から結果を導く順問題であるが，そもそもの原因が分からない場合は，逆に，観測された地震波のデータと整合するような震源の運動を推定しなくてはならない．こ35302520151050

れは逆問題の一種である．原理的には震源で起こっている運動をなんらかの形で仮定し，そこから導かれる地震波形

1451444241401433914238371413614035 139

図 1 2011 年東北太平洋沖地震によるプレート境界の食い違い量の分布を地図の上に等高線で表示した．単位はメートル．沖合側がとくに大きくすべり，海溝まで達した．データの提供は井出哲氏（東京大学）のご厚意による．1）

*1 1906 年のサンフランシスコ地震の後に現地を視察した大森房吉は既2）に現地新聞に「地震学の世界的大家」として紹介されたそうである．
なお，長岡半太郎の原子モデル提唱は 1903 年．

836©2016 日本物理学会の計算結果と観測結果との誤差を最小にするような震源運*3 逆問題を解くために必要な情動を探索することになる．
報は地表での揺れの空間的分布であり，そのためには高精度の地震計が各地に多数必要となる．実際，「地震の揺れの原因は断層面の食い違い運動である」という命題の証拠として足るデータが得られるようになったのはきわめて遅く，1960 年代に入ってからであった．*4
このような一種の「つじつま合わせ」によって，断層運*2 古典的な地震計は振り子の原理に基づくので固有周期をもっている．
*3 震源は通常地下 5 km から 30 km，プレート沈み込み帯深部での地震に至っては深さ 600 km 程度にあり，我々が見ることは決してできない．したがって，震源運動の詳細は全てこのような逆問題を解くことによって求められている．
*4 プレートテクトニクスの確立とほぼ同時代である．
日本物理学会誌

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のだろうか？

一つの答えは「再現性・普遍性に注目する」ことであろう．そのような研究で分かってきた一つの重要な事実は，地震の進行過程が自己相似的ということである．簡単のため，（ x, z）平面上にある 1 次元の断層（ z＝0）を考え，z＝0 を挟んだ相対変位が±x 方向に伝播していくとする．このとき時刻 t における断層面上の食い違い変位D（ x, t）は，α を任意の正定数として次のようにスケールされることが観測結果から分かっている 5）：D（ x, t）≃αD（ x /α, t /α）.

（3）

ここで，≃は「観測の精度の範囲内で，平均的に成り立つ」という意味である．式（3）は，「時間が α 倍になったら，食い違い面はだいたい α 倍に広がり，食い違い量も α 倍される」こと，同時に，「食い違い面の広がる速度（伝播速度と呼ぶ）が一定である」ことも意味している．この伝播速度
図 2 （a）断層のイメージ図．地震で食い違い運動して地震波を放射した領域を震源域と呼ぶ．（b）震源域の内部ですべり量は一様ではなく，かなりの分布がある．その分布を本文中では Δ D（ x, y）と書く．

を c と書くと，上の自己相似関係式は実は以下の動的スケーリング式と同等であることがすぐに示せる：
D（ x, t）≃ct （f x /ct）.

動のダイナミクスが地震計のデータから推定される（図 2）．

（4）

ここで，f（・）は無次元の関数である．

具体的には，時刻 t における断層面（ x, y）上での相対変位式（4）の意味するところは「断層運動の伝播過程には固量 D（ x, y, t）が求まるのだが，地震の前と後で比べた最終有の長さ定数も時定数もない」ということである．（次元

変位量 Δ D（ x, y）を用いて，まず以下の量を定義しよう．

をもつ固有の定数は速度定数 c のみ）．一様な弾性体は固（ x, y）
M o：= G ò Δ Dd xdy¶（1）有の長さ定数や時定数を含まないが，その直接の反映と言える．しかし，そもそも岩石や断層や地殻は一様からは程ここで G は岩石の剛性率であり，積分 ò∂ d xdy は断層面上遠いと思われているのに，その特徴的波数が破壊伝播過程についてとる．この量 Mo は地震モーメント（seismic mo-に効かないのは不思議である．また，伝播速度 c は音速でment）と呼ばれ，地震で解放されるエネルギーに概ね比例あることが予想されるが，実際は音速よりもだいぶ小さいすると考えられている．この地震モーメントを使って，モーメントマグニチュードと呼ばれる量 Mw を以下のようことが知られている：地震によって大きなばらつきはあるが，たいてい横波速度の 50% から 70% 程度である．*5 こに定義する．のことは，地震の進展にブレーキをかけるようなエネル

M w：=

2log M o－const .
3（2）

ギー散逸があることを示している．断層面に働く摩擦力は重要な要因であるが，少なくとも理論計算においては，摩ここで定数は地震波の振幅を用いた様々なマグニチュード

擦特性が空間的に均一ならば伝播速度は音速になることがとなるべく整合するように決められている．当然ながら

6）
知られている．
そこで一つの試みとして，摩擦特性にフモーメントマグニチュードの導入は，震源運動が断層の食ラクタル的な空間不均一性を導入してみると，式（4）を満い違い運動であることが分かった時期よりさらに遅くたしつつも音速より遅い伝播速度が再現できることが知ら1979 年のことで，ここに至って初めて地震の大きさが震れており，空間不均一性が本質的であることが示唆されて源の実体として定量化されたと言うべきだろう．実は，地7）いる．
ここでは不均一性がフラクタル的であることが重震学というのはかなり若い学問分野なのである．

要で，「特徴的長さスケールがない」という式（3），（4）に矛盾しない．

2.

断層運動の再現性と普遍性とはいえ，断層の食い違い運動の詳細は完全に再現性がこのように逆問題としての原理が確立してしまえば，地ないわけでもないから話はややこしい．たとえば，プレー震が起こった際にその断層運動を推定し，「いまの地震はト境界では同じ場所がしばしば比較的短い周期で小さい地こういう地震でした」と言うことができる．しかし，地震震を繰り返すことが知られているが，その地震波は毎回ほは日頃からあちこちで起き，断層運動は一回の地震ごとにとんど同じ波形で，断層運動の時空間発展もほとんど同じ多種多様である．その度に断層運動の詳細をああだったこ

8）である．
たとえば釜石沖深さ 50 km 程度の同じ場所におうだったと論じるだけではやはり物足りなさが残る．
では，このような観測データから科学者は何をすべきな
話題

物理屋のための地震学入門

*5 稀に，伝播速度が横波速度を超える地震もある．

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ていない．断層形状とその摩擦特性を仮定した力学シミュ

6

レーション研究は盛んになされているが，特定地域におけMagnitude

5

る過去の地震サイクルの再現を目指している段階であり，

4

地震サイクルの普遍的特性を探る段階には未だ達していな

3

い．

2

3.

1
0
1950

地震発生率の統計法則

他方，地震現象においてもっとも普遍的な法則は，断層運動のダイナミクスとは一切関係がない形で述べられてい
1960

1970

1980
year

1990

2000

2010

図 3 釜石沖深さ約 50 km の同じ場所で繰り返す地震の発生時間とマグニチュード．

る．地震計による観測網が発達していない時代（現在でも地域によってはそうであるが），一回の地震について確かに分かることは「発生時刻，規模，場所」だけであった．
歴史的には，これら 3 つの性質だけを相手にして地震発生いて 5〜6 年周期で繰り返す地震はその顕著な例である（図に関する様々な性質を明らかにしようとしてきた研究がある．*8 その中でも以下で説明する二つの法則は地域や時期

3）．日本以外ではパークフィールド断層（米カリフォルニなどによらず普遍的に成り立っており，地震の統計性につア州）が有名で，毎回多少の揺らぎはあるものの約 22 年いて中心的な役割を果たす法則である．

間隔で比較的大きめ（マグニチュード 6 程度）の地震を起

一つ目は，地震のマグニチュード Mw とその発生頻度こしており，断層運動もその都度よく似たパターンを示しN（Mw）の関係を表す法則で，グーテンベルク・リヒターていた．つまり，同じ断層に注目すれば，地震時の断層運（Gutenberg-Richter）則と呼ばれる：動にはそこそこの再現性がある．これを敷衍すると，「同N（Mw）∝10−bMw .

じ断層が地震を起こすのはだいたい周期的で，その周期の（5）ばらつきはある確率分布に従う」，そして「次の地震でもここで，N（Mw）はある地域・ある時間幅においてマグニ前回とだいたい同じような断層運動が起こる」というややチュード Mw よりも大きい地震の発生数である（図 4）．正

楽観的な仮説をたてたくなるのは人情であろう．この楽観の無次元数 b はおおよそ 1 程度の値をとるが，注目してい的な仮説は現在の地震リスク評価における根本仮定になっる時間幅や地域によって（0.7 から 1.5 程度まで）揺らぐこている． ただし，同じ場所における地震の周期性・再現

3）とが経験的に知られている．
マグニチュード Mw はモー性はあくまで経験的なもので，それもたいてい数回〜十数メント Mo の対数だったことを思い出すと，式（5）はモー回程度で確認されているに過ぎない．後述するように，実メントがベキ的に分布しており，その指数が−2b / 3 というは大きな地震ほど低頻度なので，その周期性は古文書の調ことを意味している．

9）

査から確認するより他はなく，ほとんどの場合十回に満た*6 こない程度の繰り返しから周期を推定することになる．

係がある．動的スケーリング（4）に従いながら発展する断のようにして推定された周期の平均値と標準偏差はたいて層運動はいずれどこかで停止する（そうでないと地球全体

い 同 程 度 で あ る こ と は 教 訓 的 で あ ろ う．ま た，パ ー クフィールド断層では約 22 年間隔のところ，2004 年の地震が壊れることになる）．式（4）に運動完了時の時刻 tf を代入し，*9 ctf は最終的な震源断層のサイズにほぼ等しいのでこは前回から 38 年の間隔があき，地震の伝播様式もその前れを L とおくと，式（4）は以下のようになる．

法則（5）は先に述べた断層運動の自己相似性と密接な関までとはだいぶ異なっていた．このような見かけの周期性

D（ x, tf ）≃L（f x /L）.とその破れは，（近くで起こった地震などによる）弾性ひずみの増加レートの揺らぎが原因と思われているが，弾性ひずみ自体は可観測量ではないので検証が難しい．*7
このように，同一断層における地震の繰り返しと周期性

この式は，断層面上での食い違い量が震源断層のサイズに比例することを意味する．式（6）を使うと地震モーメント
マグニチュード（1）は以下のように書ける．

（「地震サイクル」と呼ばれる）に関しては，その社会的重M o . GL 2 ò du （f u）∝ L2 .

要性にも関わらず，経験則の域を越えた知見は未だ得られ*6 た と え ば，東 海 地 震 は 歴 史 上，684 年，887 年，1096 年，1498 年，1605 年，1707 年，1854 年の 7 回が観測されているので，周期のサンプルとしては 6 つしかない．平均周期は 195 年，周期の標準偏差は111 年である．
*7 GPS などの測地的手法で分かるのは地表での変位だけで，地下でのひずみは何らかの地質構造モデルに基づいて推定するしかない．今後何百年間と測地的観測データが溜まっていってもこの事情は同じである．

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（6）

（7）

すなわち，地震モーメントは断層サイズの 2 乗に比例する（3 次元なら断層サイズの 3 乗に比例）．グーテンベルク・*8 このような点過程としての地震研究は現在でも盛んになされており，たとえばネットワーク理論的な解析と組み合わせた研究などは新し
10）い方向性として興味深い．
*9 実は，動的スケーリング式（4）は地震の停止過程では成立しないのでこれは正しくないが，オーダー評価程度には使えるだろう．
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10-2rate [1/sec]

101010
図 4 グーテンベルク・リヒター則．丸印が累積頻度 N（Mw）で，三角印は確率密度．局所的な傾きの値（b）が＋印でプロットされている．データは岩手県鬼首地域で 1996 年 8 月 11 日から 9 月 30 日まで発生した地震．

リヒター則は，「地震モーメントがベキ的に分布している」ことを意味するが，断層運動の自己相似性により，「震源断層サイズがベキ的に分布している」ことも同時に意味し-1-3-410-510

310

451010time [sec]6107図 5 余震に関する大森則．データは図 4 と同じく岩手県鬼首地域のもの．
1996 年 8 月 11 日にやや大きめ（M5〜6 程度）の地震が立て続けに 3 つ発生した．ここではその後 9 月 30 日までの地震発生率をとっている．実線は大4森則（8）で，p＝1.4，c＝6×10（s）としたもの．ている．すると，「震源断層サイズはどうやって決まるのか？」こそが問われるべきであるが，これに関しては未だなすか」という問題は重要だが，たいていは経験的にほぼ答えはない．実は，2011 年の東北太平洋沖地震以前には，明らかなので問題になることは少ない．（つまり，厳密な「地質学的構造から予め静的に決まっている」という見方定義はない）．ただし，大きめの余震がまたその余震を引が主流であった． しかし，比較的小さな（M7 クラスの）き起こしているとみられる場合はしばしばあり，少なくと震源しかないと思われた太平洋プレート沈み込み帯で M9もこのような場合には「本震」と「余震」の区別は曖昧であ

地震が起こったことで，このような単純な見方は変更を迫る．この考えを極限まで敷衍すると，「全ての地震は余震られている．たとえば対極的な見方として，（静的な不均を引き起こす」ということになるが，実際にその考えに基一構造を仮定せずとも）完全に均一な系から動的な仕掛けづいてグーテンベルク・リヒター則（5）と大森則（8）を結によってフラクタル的震源形状が創発するという自己組織合させ，そこから与えられる地震発生レートをもつ非定常化臨界的なアプローチがある． この考え方は地質学的構ポアソン過程で地震が発生するという確率モデルがあ造が本質であるとする立場とは相容れないように見えるが，これら二つの見方がいかに止揚されるかは今後の興味深い

13）
る．
このモデルは実際に観測される地震発生率をきわめ*11 観測データとの整合は必ずしもそのてよく説明する．

課題である．

前提が正しいことを保証するわけではないが，実地の地震

11）

12）

他方，グーテンベルク・リヒター則と同等に重要なもう発生予測という観点からはきわめて有用なツールと目され一つの普遍的法則は，冒頭でも触れた大森則である．比較ており，モデルの様々なバリエーションを集めて地震発生的大きな地震のあとに，より小さな地震が数多く発生するの予測コンテストが行われたりもしている．14）

ことは経験的にもよくご存知だろう．このような地震群を大変面白いことに，地震の統計法則（5），（8）は実験室レ余震と呼び，きっかけとなった地震を本震と呼ぶ．余震の15）
ベルでの破壊現象においても成立している．
たとえば，発生頻度 n は時間とともに低下していくが，その減衰は以岩石などの不均一媒質に強い力をかけていくと最終的には下のような式に従うことが経験的に知られている．

試料全体が一気に破壊されるが，それに先行して無数の局

n（t）∝（1＋t /c）−p .

（8）

所的かつ微小な破壊が検出される．それら微小破壊のマグ
ニチュードに関してグーテンベルク・リヒター則（5）が成ここで t は本震からの経過時間，c は時間の次元をもつ定15）
16）
立し，さらに余震も存在することが知られている．
ま数，p は 1 程度の無次元数であり地震によって 0.8 から 1.5*10 実際の地震データの例が程度くらいまでの幅をもつ．

た，アモルファス粒子系に単純剪断を加えた系でも式（5）図 5 に示されている．

17）が成り立つ．
このようなスケールの全く異なる系におけここで，「そもそも本震とは何か」「どの地震を余震とみ*10 大森房吉が 1894 年に提唱したのは p＝1 の特別な場合である．定数 pを含む形でより一般的に提示したのは宇津徳治であり，一般的には大森・宇津公式あるいは改良大森則などと呼ばれる．

話題

物理屋のための地震学入門は幅広く成立し，「余震」的な挙動も存在して大森則（8）る統計的性質の普遍性は，地震発生率を支配する物理もまたスケールフリーであることを示唆している．
*11 ただし，群発地震を説明できないなどの例外はある．

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地震発生率を支配する物理過程についてはこれまで数多くのモデルが提唱されてきたものの，現時点で決定打はな

4.

結論

現在の地震学のごく一部を駆け足で紹介したが，観測い．一般的に言って，実験や観測データはモデルや理論にデータの質と量の充実に伴い，物理的に説明されていない対して制約条件として働き，よいモデルと悪いモデルを選たくさんの現象が溢れているフロンティアであることが伝別する．したがって制約条件が多ければ多いほどモデルはわれば幸いである．他方，地震予知やスロー地震など興味鍛えられ，真理へと近づいていくことが（素朴には）期待深い数々の話題に触れる紙幅がなかったことをお断りしてされるが，地震の場合は観測からの制約条件がまだまだ弱おきたい．これらに関してはまたいずれ別の機会に紹介記いのである．たとえば，グーテンベルク・リヒター則にお事が書ければと思っている．

けるパラメター b や大森則における指数 p は時間・空間に関してある程度の揺らぎを示すが，その揺らぎの決まり方（他の物理量に対する系統的な依存性など）は分かっていないし，揺らぎの統計的性質なども分かっていない．そのような状況ではモデルの優劣を判断し理論を発達させていくことは困難であろう．
ただし，近年になって重要な制約条件になりそうな観測結果は現れてきている．とくに，グーテンベルク・リヒ
ター則における b の値と大森則における時定数 c が，断層における剪断応力と負の相関をもつという仮説は重要であ
18, 19）る（剪断応力が高いほど b や c の値が小さくなる）．
たとえば，b や c の値を観測からモニターしていれば，断層*12 もちろに働く応力の変動が推定できるかもしれない．
ん断層に働く剪断応力は可観測量ではなく，先行研究 18, 19）では応力と間接的に相関する量との関係を確かめたに過ぎない．しかし，室内実験 15）やシミュレーション 21）においては応力依存性の直接的証拠があり，背後にあるメカニズムに関する理論が待たれる段階である．

*12 一般に言って，断層の応力が高まっていって地震が起こるので，地震前には b や c の値が低下することになる．実際に 2011 年の東北太平洋沖地震や 2004 年のスマトラ地震など M9 クラス地震の前に b の値が継続的に減少していたという報告は特筆される．20）

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（2016 年 1 月 19 日原稿受付）

日本物理学会誌

Vol. 71, No. 12, 2016