第24回 回路とシステムワークショップ
The 24th Workshop on Circuits and Systems
in Awaji, August 1-2, 2011

大規模多角形発振器ネットワークで観測される同期現象とフラストレーションに関する研究

Synchronization and Frustration in Coupled Large-scale
Polygonal Oscillatory Networks
上 手 洋 子†
西 尾 芳 文†† 徳島大学 工学部 電気電子工学科

Yoko UWATE†
Yoshifumi NISHIO††Dept. of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University
はじめに期現象についての調査を行ってきた．ここでは，一つの多角形ネットワークを構成する発振器は奇数個同期は二つ以上の振動体が影響を受けることで，とした。なぜなら，参考文献 [11],[12] のような結合ある一定のリズムに落ち着く現象であり，蛍の発光の場合，奇数個の多角形ネットワークには，構造のフ現象や，心臓細胞の律動など自然界の様々な分野でラストレーションが生じることで，同相や逆相といっ観測される．同期の調査は，そのメカニズム解明だけた安定な解が観測されずに，隣接する発振器の位相ではなく，より高度なアプリケーション開発が期待さが 2π/N (N : 結合する発振器の数) ずつずれた N 相れるため，物理学，生物学，神経科学，工学，経済学同期が観測されるからである．フラストレーションなど様々な分野で活発に研究が行われている [1]-[7]．
をそれぞれ持つ二つの多角形ネットワークを結合さ同期現象の数理モデルとしては，蔵本によって提案せることで，より強い構造のフラストレーションがされた蔵本モデルが有名であるが，発振器やカオス回路システムに与えられると考えられる．対称なシ回路など電気回路を用いたモデルも多数提案されてステムとして，同じ発振器数の多角形ネットワークいる．遠藤らは，van der Pol 発振器を梯子状，環状，を結合させた場合，非対称なシステムとして，異な二次元配列状に結合したシステムの理論解析と回路る発振器数の多角形ネットワークを結合させた場合実験結果を報告している [8]-[10].の同期現象について調査を行った．隣接する発振器
また，自然界にはハニカム構造や結晶構造など様々 間の位相差に着目し，理論的に位相差を求める手法
なタイプのネットワーク構造が存在する．しかし，発 を提案した [12]．また，発振器はシステム全体の消振器の大規模結合系の研究としては，環状や二次元 費エネルギーを最小にするように同期することを明格子状のモデルが多く，多角形が結合されたネット らかにした．しかし，これまでの研究では，フラスワークトポロジーについての研究はこれまであまり トレーションが発振器にどのように影響しているか報告されていない．我々は，発振器をより複雑なネッ の詳細な調査は行っていなかった．
トワーク構造に応用することで，それぞれのネットワーク構造が持つ新しい特徴を見出すことができる
そこで，本研究では，フラストレーションの度合のではないかと考える．さらに，結合発振器システ いを表す指標として，発振器の振幅の変化に注目すムに何らかのジレンマやフラストレーションが与え る．また，フラストレーションの影響を理解するためられたときの同期現象は非常に興味深く，発振器シ に三角形ネットワークと偶数個の多角形ネットワー
ステムの大規模化や複雑系ネットワークの観点から クを一辺を介して結合した場合の同期現象について研究を行う場合に，より実際のシステムと対応がつ 調査を行う．さらに大規模化のケースを考え，偶数くといえる．
個の多角形ネットワークの発振器数を 4 から 100 ま1

これまでの研究で，我々は二つの多角形ネットワー
クの一辺を介して結合したシステムで観測される同で変化させたときの位相差およびフラストレーションについて調査を行う．

− 12 −

2

三角形ネットワークと偶数個の多角形ネットワー
クの結合系

図 1 に三角形型発振器ネットワークと偶数個の多角形ネットワークを一辺を介して結合した回路モデ
ルの概略図を示す．本回路モデルにおいて，Ne は偶数個の多角形ネットワークに結合される発振器の個数を表す．一例として，偶数個の多角形ネットワー
クが四角形ネットワークの場合の回路図を図 2 に示す．発振器モデルとして，van der Pol 発振器を用いる．隣接する発振器の結合方法は，発振器のコイルを介して接地された抵抗につなぐものとする．
4th osc.

5th osc.

1st osc.
3rd osc.

6th osc.

Shared branch

7th osc.
(Ne)-th osc.
Even number
polygonal network

図 1: 三角形ネットワークと偶数個の多角形ネット
ワークの結合回路 (Ne = 4, 6, 8, ...100)．

4th oscillator

3LR

rm

ic23L

rm

3Lv3

3rd oscillatorR

ic5 3LiR5
Cv2

2nd oscillator[Fourth oscillator]() dx4 = ε 1 − 1 x 2 x − (y + y + y )

44a4
c4b4

dτ3

{}
dy a41=x4 − ηya4 − γ(ya4 + yb5 )dτ3{}
1dy b4=x−ηy−γ(y+y)4c1b4b4

dτ3

{}

 dy c4 = 1 x4 − ηyc4
dτ3C

R(3)

(4)

(5)

[Fifth oscillator]v5

5th oscillator

図 2: 発振器の結合方法 (例: 三角形ネットワークと四角形ネットワークの結合回路)．
この回路において非線形抵抗の vk − iRk 特性は式 (1) に示すような 3 次特性の多項式で近似される．

(1 2)dx5

=
ε1−x5 x5 − (ya5 + yb5 + yc5)dτ3}dy a51{=x5 − ηya5 − γ(ya5 + yc2 )dτ3{}
dy1b5=x−ηy−γ(y+y)
5a4b5b5dτ3}1{ dy c5=x5 − ηyc5dτ3

ここで，変数変換とパラメータは下式に示す．

iRk = −g1 vk + g3 vk 3(2)

rm

iR2
C

ib5

ia53L
rm

rm

i R33Lrm

ib2

ia23L3L

rm

rm

ib3

R3L

ic3

v4

R

ia3

C

rm

R3L

ia4
iR4

Cv1

3L

ic4

rm

3L

i R1

ib43L
rm

3L

rm

1st oscillator
ic1
ib1
ia1[Second oscillator]() dx2 = ε 1 − 1 x 2 x − (y + y + y )
22a2c2b2
dτ3

{}
dy a21
=x2 − ηya2 − γ(ya2 + yb3 )dτ3}
dy b21{=x−ηy−γ(y+y)
2a1b2b2
dτ
3


}
dy1{
c2

=x2 − ηyc2 − γ(ya5 + yc2 )dτ3[Third oscillator]() dx3 = ε 1 − 1 x 2 x − (y + y + y )
33a3c3b3
dτ3

{}
dy a31
=x3 − ηya3 − γ(ya3 + yb1 )
dτ3}
1{
dy b3


=x−
ηy−γ(y+y)
3a2b3b3
dτ3

}
dy1{
c3

=x3 − ηyc3dτ3

2nd osc.

Triangular
network[First oscillator]() dx1 = ε 1 − 1 x 2 x − (y + y + y )
11a1c1b1

dτ3

{}
dy a11
=x1 − ηya1 − γ(ya1 + yb2 )dτ3}
dy b11{=x−ηy−γ(y+y)1a3b1b1

dτ3

}
dy1{
c1

=x1 − ηyc1 − γ(yb3 + yc1 )dτ
3(g1 , g3 > 0),(1)t=(k = 1, 2, 3, 4, 5).

√iak =正規化後の回路方程式は次のようになる．

− 13 −

√

g13g3

√

LCτ ,√C
yak ,Lg1
xk ,3g3√√
g1
C
ibk =ybk ,3g3 L

vk =(6)√
ε = g1

L,C√
γ=RC,L√η = rmAnti 180
phaseC.
L170

Shared oscillators
Oscillators connected to triangular network
Other oscillators

この回路方程式において，γ は結合係数，ε は発振器の非線形性を表すパラメータである．偶数個の多角形ネットワークの発振器数が増えた場合も，同様に回路方程式を導出することができる．シミュレーションによる調査では，式 (2) を 4 次のルンゲ=クッタ法（ステップサイズ: h = 0.005）で解く．また各
パラメータは，ε = 0.1， γ = 0.1， η = 0.001 のように設定した．

1401301101000102030405060708090100Ne

同期現象

図 3: 各発振器の位相差の変化.

図 3 に偶数個の多角形ネットワークの発振器数を4 から 100 に増やしたときの，各発振器間の位相差の変化を示す．図 1 の回路モデルにおいては，次のように位相差が三種類に区別される．

• 共有発振器（一番と二番目）間の位相差• 三角形型ネットワークの発振器間の位相差• 偶数個の多角形ネットワークの発振器間の位相差共有発振器間の位相差は，偶数個の多角形ネットワー
クの発振器数が小さいとき (Ne = 4) は 140◦ 付近を示しているが，発振器の増加とともに減少し，Ne = 50になると 122◦ に収束している様子がわかる．三角形型ネットワークの位相差は，Ne = 4 のときは 110◦ 付近を示し，発振器の増加とともに増加し，Ne = 50 のところで 120◦ に収束している．最後に，偶数ネットワークの発振器間の位相差は，Ne = 50 以降は 180◦に収束している．これらの結果から，システムの大規模化に伴い三角形型の発振器ネットワークは三相同期に近づき，偶数個の多角形ネットワークの発振器は逆相同期に限りなく近づくことがわかった．

2.2150Three 120phase

フラストレーション

次に，結合発振器のフラストレーションについて調査を行う．式 (2)-(6) の γ がゼロ，すなわち発振器間の結合がない場合，各々の発振器の振幅は 2.0 である．しかし，結合発振器ネットワークに何らかのフラストレーションが与えられると，発振器の振幅が変化する．我々は，発振器の振幅の変化をフラストレーションとして扱い調査を行う．フラストレーション (F ) は以下の式に示されるように発振器の振幅の減少率よって定義される．

F =2.0 − Ak× 100[%],2.0(7)

ここで，Ak は k 番目の発振器の振幅を示す．
図 4 に偶数個の発振器ネットワークの発振器数を増加させた場合の，フラストレーションの結果を示す．前節での位相差と同様に，フラストレーションも次の三種類に分類される．

• 共有発振器（一番と二番目）のフラストレーション• 三番目の発振器のフラストレーション• 偶数個の多角形ネットワークのフラストレーション
10

Decrease ratio of amplitude of oscillator
F [%]

2.1

Phase difference160ave. of 1st and 2nd oscillators
3rd oscillator
ave. of other oscillators
10.1

10100Ne

図 4: フラストレーションの結果.
このグラフより，図 1 のシステムにおいて最もフラストレーションが高いのは三番目の発振器であることがわかる．続いて，共有発振器のフラストレー− 14 −

ションが高く，偶数個の発振器ネットワークに結合されている発振器のフラストレーションは他のと比べて低いことがいえる．また，共有発振器および三番目の発振器は，システムの増加に伴いフラストレーションの値はそれほど変化せずに 6 付近に収束するのに対して，偶数個の多角形ネットワークのフラストレーションは変化率が大きく，最終的には 0.2 と非常に小さい値になっていることがグラフから読み取れる．
これらの結果より，偶数個の多角形ネットワークの発振器の増加に伴い，システム全体のフラストレーションが小さくなっているのがわかる．
最後に，偶数個の多角形ネットワークの発振器数が Ne = 4, 100 のときの，三角形型発振器ネットワー
クのキャパシタ電圧 (x1 , x2 , x3 ) の時間波形を図 5 に示す．この図より，偶数個の多角形ネットワークの発振器数が多くなるにつれて，三角形型のネットワークが三相同期に近づいていることがわかる．
21.5
1x1, x2, x3

0.50-0.5-1-1.5-20500

1000

1500

2000

2500

3000

2000

2500

3000

time(a) Ne = 4.
2
1.5
1x1, x2, x30.50-0.5-1-1.5-20500

1000

1500

参考文献
[1] L.L. Bonilla, C.J. Perez Vicente and R. Spigler,“Time-periodic phases in populations of nonlinearly coupled oscillators with bimodal frequency
distributions,” Physica D: Nonlinear Phenomena,
vol.113, no.1, pp.79-97, Feb. 1998.
[2] G. Abramson, V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic solutions for nonlinear waves in coupled reacting systems,” Physica A: Statistical Mechanics
and its Applications, vol.305, no.3-4, pp.427-436,
Mar. 2002.
[3] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer,“Synchronization and graph topology,” Int. J. Bifurcation and Chaos, vol.15, no.11, pp.3423-3433,
Nov. 2005.
[4] C.M. Gray, “Synchronous oscillations in neural systems: mechanisms and functions,” J. Computational Neuroscience, vol.1, pp.11-38, 1994.
[5] R. Stoop and C. Wagner, “Neocortex’s architecture optimizes computation, information transferand synchronizability, at given total connection
length,” International Journal of Bifurcation andChaos, vol.17, no.7, pp.2257-2279, 2007.
[6] T. Suezaki and S. Mori, “Mutual synchronization of two oscillators,” Trans. IECE, vol.48, no.9,pp.1551-1557, Sep. 1965.
[7] H.B. Fotsina and J. Daafouza, “Adaptive synchronization of uncertain chaotic colpitts oscillators
based on parameter identification” Physics LettersA, vol.339, pp.304-315, May. 2005.
[8] T. Endo and S. Mori, “Mode analysis of a multimode ladder oscillator,” IEEE Trans. Circuits
Syst., vol.23, pp.100-113, Feb. 1976.
[9] T. Endo and S. Mori, “Mode analysis of twodimensional low-pass multimode oscillator,” IEEE
Trans. Circuits Syst., vol.23, pp.517-530, Sep. 1976.
[10] T. Endo and S. Mori, “Mode analysis of a ring of alarge number of mutually coupled van der Pol oscillators,” IEEE Trans. Circuits Syst., vol.25, no.1,pp.7-18, Jan. 1978.
[11] Y. Uwate, Y. Nishio and R. Stoop, ”Synchronization in Two Polygonal Oscillatory Networks Sharing a Branch,” Proc. of NDES’10, pp. 62-65, May2010.

time(b) Ne = 100.

図 5: 三角形型ネットワークの時間波形.

3

行った．位相差およびフラストレーションに着目し，システムの規模がある程度以上大きくなると位相差もフラストレーションも変化しないことがわかった．
フラストレーションを考慮した場合の，理論的解
析による位相差の導出および van der Pol 発振器をカオス回路にした場合の調査が今後の課題である．

まとめと今後の課題

本研究では，三角形型の発振器ネットワークに大規模な偶数個の多角形発振器ネットワークを一辺を介して結合したシステムで観測される同期現象についての調査をコンピュータシミュレーションによって[12] Y. Uwate and Y. Nishio, ”Synchronizing Coupled− 15 −

Oscillators in Polygonal Networks with Frustration,” Proc. of ISCAS’11, pp. 745-748, May 2011.