球面三角形をはりあわせると
東大数理・古田幹雄

概要
空間の曲がり方には正とゼロと負の可能性があります．空間の曲がり方がプラスマイナ
ス無限大に発散しているブラックホールのような点は，特異点と呼ばれます．講演では，正の足曲率をもった特異点付の曲面を題材とします−．球面三角形をいくつか貼り合わせてできる角のある図形のことです．

実はこうした図形は2，3年前に，私自身が研究の途中に出会ったものです．球面上に角が3箇所ある曲面の場合にはこうした図形を分類することができました．でも，角が4箇所になると分類できていません．素朴な対象ですが，現代的なき馴可芋と深く関係しています．まだまだわからないことだらけなので，もしこの先を考えてくださる方がいれば，大歓迎です．

1 はじめに2000年の喜に，高校生を主な対象とする「湘南数学セミナー」において「球面三角形をはりあわせると」というタイトルで二日間にわたって話をさせていただきました1．2時間程度の話を計4回行うペースでした．上の「概要」はセミナーの案内の文章です．以下に述べるのは，そのときの様子の記録です．

参加者は計20数名．内訳は中学生が数名，社会人が2名，大字以上の学生等が2名，あとの大多数は高校生でした．
題材を選んだ背景について少し説明します．
RieInann面上の確定特異点付射影接続という概念の数学的扱いを，私は10年ほど前岡本和夫氏，岩崎克則氏の研究を学んだときに知りました．2特に，トーラス等の複素構造の変形を伴う場合には，河井真吾氏の先馬区的な仕事が産まれるのを端で見ていました．また，a侃rle構
造に関する平行した考察としては，橋本義武・大場清の両氏が複素平面のはりあわせを利用して扱う理論を構成しつつある時期でした．その後，数年前に梅原雅顕氏から，モノドロミーがSO（3）に含まれる場合には，射影接続が3次元双曲空間内のCMC−1曲面と関係していること
1湘南国際村センターにて．2001年12月23日14：00〜24日13：00
2共形場理論の定式化に射影接続が現れることを聞いたのは，それより前だったかもしれません．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

を聞き及びました．これらを受けてト服部善信氏は修士論文において，このモノドロミ一に制限がある場合の射影接続の分類問題を，球面三角形のはりあわせとして初等的に扱える場合があることを示しました．
射影接続の幾何の長い歴史や主流の研究からみると，これらはエピソードのようなものかもしれません．しかし，私が個人的に接してきたこうした経過の一端を，時間的順序とは逆さまの展開によって解説すると，高校生に初等的な題材の延長上に現代数学の世界が広がっていることを感じてもらえるのではないかと考えました．
話の前半の目標は，球面三角形の構成と分類を通じて図形を手でいじって，イメージを豊かにしてゆくことです．
話の後半の目標はトーラス等の複素構造の変形を伴う場合の考察で，変形の自由度はどのくらいあるか，というモジュライ空間の概念に通じる問題に，肌で親しむことです．
そして最後に，実は球面三角形を貼り合わせた図形は，複素変数の微分方程式（射影接続）を用いて表現できるんだ，ということをお話としてスケッチしました．
2日間の問，4人の院生等の方々に手助けを御願いしました．参加者たちに彼等のことをなんと呼んでもらったらいいか迷いましたが，チューターと呼ぶことにしました．
話の概要をあらかじめまとめて配ろうと思っていたのですが，時間的余裕がなくてできませんでした．窮余の策として，題材として取り上げたいトピックを演習問題の形にして配りました．結果的にこれはおもいがけずうまくいきました．
前半は演習問題をやりながら進むことができましたが，後半は一方的にまくし立てることとなりました．以下の記録では，前半のやりとりを中心にまとめました．
記録の後に，参加者に配った演習問題集と，参加者の幾人からかメールでもらった感想を置いてあります．
この記録をまとめるに当たって，参加者のひとりである青木藍さんのノートを参考にさせてもらいました．また感想のメールの仲介を吉田隆彦君にしてもらいました．御二人と共に，感想をよせてくださった参加者の方々に感謝いたします．

2 話の前に［演習問題集を配る．参加者，チューター，講師の自己紹介を全員でする．昨年来たのでまた来た，友達に誘われた，というグループもあったが，ほとんどの人は初めてとのことであった．
参加者全体を最初にたまたま座った場所に応じて4つの班にわけ，チューターひとりづつに班長（？）になってもらう．後で述べる「問」では，数分から十数分の時間をとって，班単位で議論してもらう．チューターは特に司会をとるわけではないが，それを見守り，質問を受ける役割をしてもらう．話を始める前に，どんな質問をしてもいいこと，もし話がわからないと
き，多くの場合は話手の責任であると思うと説明する．］

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

3 なにを考えたいのか
この話で考えたいのは，ちょっと変わった図形です．それがどんなものであるかの直観的な説明します．まず，半径1の球面を考えてください．それが紙のような素材でできていると想像してみます．この紙でできた球面は，はさみで切ることができ，折り曲げて糊で貼ることもできます．

球面上に線を描くときには，大円（の一部）だけを考えます．だから，球面上に描かれた三角形や四角形というのは，すべての辺が，大円の一部であるものとします．
これから考えたいのは，球面三角形などとともに，それらを貼り合わせてできる次のような図形です．

（1）北極と南極を結ぶふたつの大円（の半分）で球面を切りとると，「二角形」が得られる．
その両辺を貼り合わせてできる図形．（図1）（2）球面上の「球面三角形」をひとう考える．それを裏返しにした球面三角形をもうひとつとってくる．両者の対応する辺同士を貼り合わせてできる図形．（図2）
これらの図形には「角」があります．しかし，角以外の点（のまわり）は貼り合わせのときにちょっと歪んでいるかもしれないけど，その歪みを無視すると（本来の）球面上の普通の点（のまわり）と同じく，滑らかです．
（1）はふたつの角があるつぶれかけた球面のような図形である．
（2）は3つの角があるつぶれかけた球面のような図形である．
他の例として次のようなものもあります．
（3）球面上の「長方形」の向かい合った辺をはりあわせた図形．はりあわせてえられるものはひとつの角のあるドーナツのような形をしている．（図3）
滑らかな点のまわりをく・るりとまわる角度は27rです．しかし，角のまわりの角度は，2打ではないことに注意してください．
上の（1）の例では，ふたつの角のまわりの角度は等しい．
上の（2）の例では，球面三角形の頂点の角度をβ1，β2，β3とおくと，3つの角のまわりの角度は2仇，2β2，2♂3である．
上の（3）の例では，長方形のひとつの頂点の角度を♂とすると，ドーナツの形の図形の角の周りの角度は4βになる．
これから，しばらくの間，球面三角形について考えてみます．そのあと，それを貼り合わせてできる，角のある（つぶれかけた）球面や，角のあるドーナツや，もっと一般の図形について考えてみます．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

1

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図ほ
図4

伺良臥βヌ．玖瑠．の稀蔭三郎夕御願ア）球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

4 球面三角形を作ってみよう
問：球面上に角度β1，β2，β3の球面三角形が存在するためが存在するための条件はcos201＋cos202＋cos203＋2cosOICOSO2COSO3＜1
であることを示せ．

普通の平面上の三角形では，どの角度も0より大きく打より小さくなります．これまで，角度がβ1，♂2，β3の球面三角形というとき，これらの角度も0より大きく升より小さいものを念頭において図に書いてきました．

でも，この球面三角形の補集合に注目すると，補集合は，3つの頂点と3つの辺をもつ図形
で，その角度は角度が2打−β1，2打−β2，2打−≠んeね3になっています．
これからは球面三角形というとき，こうしたものも考えることにします．また，角度が升の頂点というのも考えることにします．
問：さらに角度が2打−β1，β2，β3あるいは角度が27r−♂1，27r−β2，β3である球面≡角形も存在することを示せ．（図4）
ここでもっと想像をたくましくして，角度が27丁より大きな球面三角形を考えることはできるでしようか？

実際にそうした球面三角形を作ってみます．その準備として次のふたつのタイプの球面二角形を考えます．

（Ⅰ型）ふたつの頂点の角度がともに0＜β＜27rであり，ふたつの辺の長さは升である．（図5）（1Ⅰ型）ふたつの頂点の角度はともに27丁であり，ふたつの辺の長さは0＜J＜2汀である．（図6）（Ⅰ型）は，前にのべた例（1）で既にでてきたものです．（ⅠⅠ型）は，要するに，球面に，長さJの大円弧の切りこみをいれたものです．

さて，球面上に（自己交叉なしに描かれたこれまで考えてきたような）球面三角形があったとします．その頂点の角度をβ1，β2，β3とおき，それらと向かい合った辺の長さをJl，g2，J3とおきます．以下，この図形を△と略記します．
△の長さJlの辺の部分に，（1Ⅰ型）で2辺がJlの球面二角形を貼り合わせてみます．（図7）すると，3辺の長さをかえずにその辺の両側の2つの角度を27r増やした新しい球面三角形が得られます．ただし，この新しい球面三角形は，球面上に書こうとすると，球面を1重以上に覆っている部分があります．しかし，このような図形も，これからは考えることにします！
上の操作は何回でえも繰り返すことができます．（図8）・長さJlの辺にml個の（ⅠⅠ型）球面二角形をはりあわせ，・長さJ2の辺にm2偶の（H型）球面二角形をはりあわせ，・長さg3の辺にγn3個の（ⅠⅠ型）球面二角形をはりあわると，

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

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勃、3フ∠「

〃tlニ3

図8

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球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

できあがった球面三角形の頂点の角度は
β1＋2打（m2＋m13），β2＋2訂（m3＋ml），β3＋2汀（ml＋mノ2），となります．ここで次の間を考えてみよう．
問：0以上の整数叫，m2，m3が，3角不等式を充たすと仮定する（等号も許す）．このとき，頂点の角度が
β1＋2訂ml，♂2＋2灯れ2，β3＋27rr13，であるような球面≡角形を作れ．

もし，ml＋m2＋れ3が偶数のときには，ml＝m2＋γn3，乃2＝m3＋ml，m3＝ml＋m2となる
0以上の整数ml，m2，m3が存在するので，上の構成によって答えはYesです．
実は，れ】＋m2＋m3が奇数のと早には，（ⅠⅠ型）の球面二角形のかわりに，次のような球面二角形を用いれば，やはり求める球面三角形を構成することができます．
（ⅠⅠⅠ型）ふたつの頂点の角度はともに打であり，ふたつの辺の長さは〜，2画一gである．ただし，〜は0＜J＜2町なる実数である．（図9）
この（ⅠⅠⅠ型）球面二角形とは，図形としては半球のことであり，境界の大円上の二点を頂点と見たてたものです．
すると，今度は（ⅠⅠⅠ型）の球面二角形を奇数個はりあわせると，辺の長さはJから2打−Jへと変わります．

さて，以上の構成では，辺の長さはいずれにせよ2刀−をこえることはありませんでした．
問：長さが27rを超える辺をもつ球面≡角形を作れ．
これは？欠のようにすればできます．

半球に，境界のひとつの点から長さJの切れこみをいれた図形を考えます．（図10）切れこみをいれる角度を，境界に対して♂（したがってその反対側では灯一β）になるようにしておきます．このとき0＜g＜打であり，0＜β＜打となります．この図形も一種の球面三角形と考えることができます．頂点の角度はβ，打−♂，2打であり，それらと向かい合う辺の長さはJ，J，2打である．これを「半球型球面三角形」とよぶことにします．
球面上に描かれた△の長さg2の部分に，「半球型球面三角形」であって頂点の角度がβ3，打−β3，2升であり辺の長さがJ2，J2，27「であるものを貼り合わせてみます．（図11）ただし，△の角度β3の頂点には角度汀−♂3の頂点を貼り合わせるものとします．すると，もともと合った角度β3の頂点は，もはや頂点ではなくなりますが，できあがるのはやはり球面三角形です．頂点の角度はβ1＋27r，β2，∂3であり，辺の長さはgl＋2打，J2，J3となります．この操作をた回繰り返すと，頂点の角度がβ1＋2た打，β2，♂3であり，辺の長さがgl＋2た打，J2，J3である球面三角形ができあがります．（図12）
これにさらに（ⅠⅠⅠ）型の球面二角形をはりあわせてもっと大きな球面三角形を作ることはできるでしようか？

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

ムユl

図13

堪プ1

明ヌユJ

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）（ⅠⅠⅠ）型球面二角形の辺の長さは2升未満でした・だから，これを貼り合わせるなら，長さがJ2，J3の辺に対してだけ可能です．（図13）すると，0以上の自然数α，わに対して，頂点の角度がβ1＋2打（α＋わ＋た），β2＋2打化，♂3＋2升わであり，それらと向いあう辺の長さがgl＋2打た，〜2，g3である球面三角形ができあがります．ここで
ml＝わ，m2＝α＋わ＋た，m3＝αとおくと，た＞0のとき，ml，乃2，わ3は三角不等式を充たさないことに注意してください．これによって次の間が肯定的に解けることになります．

問：0以上の整数ml，m2，m3が，3角不等式を充たさないと仮定する．このとき，頂点の角度がβ1＋2刀171，β2＋27け12，♂3＋27r†13，であるような球面三角形を作れ．
結局，三角不等式を充たしても，充たさなくても，球面三角形は存在することになります．

5 あたらしい手法：球面≡角形の分類
これまで作られた球面三角形の例では，長さが27rより大きな辺は，あったとしてもひとつだ
けでした．

問：長さが2打より大きな辺がふたつ以上あるような「球面≡角形」は存在するだろうか？
実は存在しない，というのが答えです．
これまでは球面三角形を具体的に貼り合わせによって作る話ばかりをしてきました．だから，何かがあることはわかっても，何かがないことを証明するヒントになる議論はありませんでした．何かが存在しないことを確かめるためには，これまでとは全く違う議論をしなくてはなりません．

新しい議論の出発点として，球面二角形の次の性質を使うことにします．
（球面二角形の性質）球面二角形の2辺の長さは必ず2升未満である．
つまり，2辺の長さが両方とも27r以上であるような球面二角形は存在しない，という主張です．だから，上の性質も，何かの非存在の主張と思うことができます．
だから，非存在の証明を別の非存在の証明に帰着させるだけなので，ちょっとインチキです．
でも，いまはこれを仮定して先に進みましよう．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

図16

†β卓説

朝≒占孔

占β≒ユ九

紬≒／沌

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

実際に証明するのは次の命題です．
命題：△′を長さがgl，Jら，〜；の辺をもつ球面三角形とする・だだし，Jら，〜；＞汀を仮定する・このとき，〜妄あるいはg；の長さは2升未満である・
辺と向かい合う頂点をpl，p2，p3とおく．
実は，もうひとつ次の補題を使います．
補題：△′上の2点に対して，それを結ぶ最短経路が存在する．
これはきっと直観的にはもっとも．2点を両端としてゴム紐をピンとはれば，貼りきったところが最短経路になりそうですね．実際，このアイディアを正当化することによって，数学的な証明に仕立て上げることが可能です．でも，今はこの補題は認めて自由に使うことにします．
さて，pl，p2を結ぶ最短経路を考えます．補題によってそれは確かに存在するわけです．次のふたつの可能性があります．（図14）（あ）最短経路はp3を経由しない．
（い）最短距離はp3を経由する．
長さが打を超える辺は，その両端の2頂点を結ぷ最短経路ではありえないことは容易にわかります．（辺の一部で汀を少し超える弧の部分をちょっとだけずらすと，長さが短くなってしまいますから．）これから次のことがわかります．
（あ）の場合には，最短経路は両端を除いて△′の内部をとおる．
（い）の場合には，pl，p3を通る最短経路は両端を除いて△′の内部を通る．
したがって（あ）の場合には辺pl，p2を通る最短経路によって△′を切断すると，球面三角形と球面二角形に分割される．

（い）の場合には辺pl，p3を通る最短経路によって△′を切断すると，球面三角形と球面二角形に分割される．
すると巨球面二角形の辺の長さは27r未満であることを用いると，求める命題が証明されます．
残されたのは次の間です．
問：球面二角形の辺の長さが必ず2升未満であることの証明を言式みよ．
これの証明はいわないことにします3．

実は，上の議論をと同様な議論をすることによって，球面三角形は，前の章で具体的に構成したものによって全て尽くされることを証明できます．それほど難しくはありませんが，場合分けが必要になり，ちょっと複雑です．でも黒板の上でやると，黄と赤と青のチョークで塗り分けられるので，なかなかおもしろいです．残念ですが，時間の関係で省略します．
問：書式みてみよ．

［別の種顆の議論ができるのではないかという質問が参加者Fからでた．前にでてもらい，黒板で説明してもらう．測地線を回転させてそれが掃く図形を考察する方法である．］
3難しくはないが，きちんというためには時間を要するので

球面三角形をはりあわせると（古田幹友酎

6 失敗：分岐被覆【球面の分岐被覆の説明を行おうとした・これを利用すると，角の角度が2打の倍数である図形をつくることができるからである．この方法でトーラスなどが現れることを具体的に見たかった．（トーラスの場合，角の個数と角度が特別な場合には，この方法によって構成されるものによってつき，分類問題が解決される．11章の問29参照．）
しかし，分岐被覆の説明の段階で早く挫折した．

分岐被覆とEuler数を説明し始めたが，皆の反応が鈍かった．被覆の概念を手を変え品を変え，直観的にわかってもらおうとしたが，伝わりにくいようであった．

食事前にさしかかり，皆の目もとろんとしてきたので，敗北宣言（？）をする．
食事とその前後の休み時間に，どのように話の構成を立て直すか思案する．］

7 夕食後：変形族
これまでは球面三角形を主に考えてきました．今度は，球面三角形や球面四角形を貼り合わせて得られる，ひしやげて角のある球面やドーナツなどの図形を考えます．ちなみにドーナツの表面のような図形はトーラスと呼ばれています．
r以下，話しの内容の要約のみを記す・］

7．1 ひとつの角をもつトーラス（1）ひとつの角をもつトーラスの例が，球面長方形の対辺を貼り合わせることによって構成された．（図15）この方法だと，角の周りの角度βが2汀＜β＜6打め範囲のものしか作ることができない．

問：もっと大きな角度の角をもつトーラスを作れ．
（2）合同な球面正三角形2つをはりあわせてひとつの角をもつトーラスを作ることができる．（図16）この方法だと，角の周りの角度βが2打＜β＜10打までの範囲のものを作ることができる．

問：球面正方形からできるトーラスと，球面≡正角形2個からできるトーラスとが，合同になることがあるだろうか？

（3）実は，どんな大きさの球面正方形と球面三角形を考えても，できるトーラスが合同になることはない．
このことは，トーラスのもつ対称性を考察することによって示すことができる．
（4）簡単のため，球面正方形や球面正三角形はなく，平面上のふつうの正方形や普通の正三角形に対して考察してみよう．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

問：これらのトーラスを裏返すような自分自身への合同変換（であって与えられた一点を固定するもの）はいくつあるだろう？

その個数が違うようなトーラスは，図形として互いに合同でないトーラスである．
（5）さて，正方形を利用してできるトーラスは，平面を正方格子で「割った」図形である．
平面の裏返しであって正方格子を保つものを考えることに帰着する．これは4個ある．
（6）一方，正三角形を利用してできるトーラスは，平面をやはりある格子で「割った」図形である．このことを利用すると，裏返しの合同変換は，6個ある．
したがって，両者は絶対に合同ではありえない．
（7）球面正方形，球面正三角形からできるトーラスの場合にも，同様の結論が成立する．

（8）なお，一般的なトーラスでは，裏返しの合同変換はひとつの存在しない．
問：他に，裏返しの合同変換が存在するトーラスはあるか？
ヒント：正方形の一般化として長方形，正三角形の一般化として二等辺三角形を考えよ．

7．2 モジュライ空間の形式的次元【閉曲面の種放と角の数が与えられたとき，「球面三角形をはりあわせて得られるような図形」のモジュライ空間4の次元を形式的に求める直観的議論を次の順序で行った．】（1）E11ler数の定義を三角形分割を利用しておこなう．三角形分割の細分による不変性を確かめる．以下，三角形分割において角はかならず頂点にふくめておく．
（2）球面三角形による分割が与えられたとする．辺の長さをずらすことによって，新しい図形を作ることを考えよう．ずらす可能性の自由度は辺の個数だけある．
（3）しかし，勝手にずらすと，頂点の角度が変わってしまう．これが変わらないようにする
ためには，辺の長さのずらしかたは，頂点と同じ個数だけの方程式を充たさなくては成らない．
（4）すると，辺の敷から頂点の数をひいたものが，モジュライ空間の次元に一見みえる．
（5）しかし，これは誤りである．同じ図形を異なるやりかたで三角形分割することができるからである．「異なるやりかた自由度」（「ゲージ変換の自由度」といってもいい）は角となっていない頂点を面の上を動かす自由度と一致し，角となっていない頂点の数の2倍だけある．
（6）よって，頂点，辺，面の個数をc。，C】，C2とおき，角の個数をdとおくと，もとめる自由度は，−2（cリーd）＋cl−Co＝2d＋cl−3coに等しい．三角形分割においては，2cl＝3c2が成立するので，Cl＝3（cl−C2）である．これを代入すると＝2d【3（c2−Cl＋co）＝2d−3x4「モジュライ空間」という言葉は使わなかったが

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）となる．ただし，XはEuler数である．これが求める答えである．

（7）例えば，d＝3，X＝2のとき，この値は0になる．これは，球面上に3個の角のある図形は，角のまわりの角度を決めると，局所変形ができないことを意味している．（実際，3個の角度が与えられると，このような図形は一意的であることが示される．次章参照．）（8）例えば，d＝1，X＝0のとき，この値は2になる．これは，トーラス上に1個の角のある図形は，角のまわりの角度を決めると，局所変形が2次元あることを示唆している．（これは，丁度複素構造の変形の自由度と一致している．5）

8 夜の部【ラウンジで参加者，チューターなどが自由に話した・私は主に，社会人2人の参加者達の質問を受けていた．10代の参加者たちは勝手に盛り上がっていた・］

9 翌日…
［以下の話を午前中にして終わった．かなりの超特急であった．（なお，あらかじめ，複素数，
微積分についてまだやっていない参加者がいることを挙手で確認しておいた．）］（1）複素数とはなにか：加法と乗法と等角写像について最低限の直観的説明をする．（「複素数の分数式をなんでもいいから考えると，それが定義している写像は角度を保つ」）
球面三角形のはりあわせと1次分数変換による複素平面のはりあわせとの関係を説明する．
（現代数学の用語でいえば，射影構造であって，モノドロミ一群がSO（3）にはいるものである．）（2）微分，微分方程式とはなにか：運動方程式（加速度＝定数・力）の説明．チョークを投げる．その運動に注目してもらう．バネの場合に位置，速度のグラフを書いて説明する．（一般解がcosとsinの1次結合でかける．）（3）複素数に対してバネの微分方程式と同じ形のものを考える．

d2J ＝−J−dz2
その解をある領域Uで考えると，COSとsiIlの1次結合が基本的な2つの解となっている．その比をダ（z）とおく．

別の領域Vで，別の1次結合を基本的な2つの解として採用するとしよう．その比をC（z）とおく．

5しかし，トーラスの複素構造と角のまわりの角度を決めても，図形は一意的でなく，いくらでも多くの同型類をもつ場合がある．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

すると，UとVの共通部分で，F（z）とC（z）とは互いに1次分数変換の関係で結びついている．

（4）これが，球面三角形の話と微分方程式の話が関係する入り口である．
（5）たとえば，「角が3つある球面」は，合同な球面三角形をふたつ（裏返しに）貼り合わせて得られるものしかないことを梅原さん，山田さんという人たちが，このような方法で証明をした．

10 感想（メール到着順）
Y，高1セミナーは楽しかったです．ハイ．セミナーみたいなのには初めて行ったんですけ
ど，やっぱりチューターがいたのがうれしかったですね．あの人たちがいなかったらちょっとヤバかったです．相当難しかったんで．
はじめは現代数学ってなんかわけのわからない事をやってるってイメージがあったんですけど（スミマセン）もしかしたら楽しいかもしれない，1回くらいやってみたら考え方が変わるかもしれないと思って今回のセミナーに応募したんです．友達を誘って．じやあやっぱり思っ
たよりずっと楽しかったです．
レベルは……・思ったよりずっと高かったです．ある程度数学には自信があったんですけど，終わってみればレベルが高かったな〜と思いました．数学オリンピックで世界大会に出てた人もいましたし．
友達は…‥

これは最高でした．はじめは知らない人ばかりだったけど，最後は半分くらいの人と喋ってましたし．いろんな人と友達になって今もメールとかしてますから．しかもみんなレベルが高いからお互いに高めあっていけるっていう感じのいい意味でライバルがたくさん出来た感じです．

A，高1 私は，セミナーのことは月刊誌 大学への数学 で知りました．広告（？）は巻末に出ていて，内容については，「球面三角形を貼り合わせると」とだけでした．申し込んだ理由は，数学が好きだったのと，現代数学というのをほとんど知らなくて，なんとなく惹かれた，とい
うのと，やっぱり，全国の数学好きの高校生が集まる，ということでした．理系離れがいわれていますが，それは案外本当なのかも知れません．学校の友達には数学が好きな人はほとんどいないんです．

内容は… やっぱり難しかったです．最初に「球面三角形を貼り合わせると」というテーマ
を見て，どんな内容になるのかをすこし予想してみたのですが，その時，私は普通学校でやる
ような幾何の考え方しかなくて，セミナーで考えたような内容になるとは思っていなくて，球面や，ほかの国有の曲面などについてがちやがちややるのだと思っていました．そんな感じのままセミナーに行ったので，初日にあほな質問をするまでずっと私の頭の中では貼り合わせた球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

曲面がゆがんだりしていました．質問後は，違和感もとれて色々考えたりすることが出来たと思います．
ポケットラウンジではチューターさんを囲んで質問をしたり，次の日に要りそうなことを教えてもらったりしていました．それまでは，ほとんど他の参加者の人とは話す機会がなかったのですが，このときはメールアドレスを交換したり，話をしたりすることができてよかったで
す．チューター制度はすごくよかったとおもいます．気軽に質問が出来るし，大学の詰も聞けるので．

セミナーの内容は，考えることも，考える基準もまったく真新しくて，どれもこれも新鮮，という有様だったのですが，特に新鮮に感じたのは 自由度 のところでした．確かに，ああいう場面で考えたくなることなんだけど， こんなことを考えるんだ〜！！ という感じで．
難易度とか早さは，初日，2日目の最初は良かったのですが，最後の微分方程式の所はかな
り早くて，さいしよにちょっとビビってたところにあの早さで，泣きっ面に蜂状態でした．最後の最後まであほな質問をしていて，恥ずかしかったです… それで思ったのですが，やっぱり，時間が短いです！勝手に，もう1回あったらいいな，と思ったのですが，他にも，短いと思ってる人はいたみたいです．泊まるところはショポくていいから，講義長くして！みたいな．
セミナーの内容は，私にとっては，分かったとか，分からなかったとか，そういうこととは少し違うように感じました．私は，高校に入学してから，学校があんまり面白くなくてくさってたりとかどんなことをやろうか，とか，どんなふうに勉強をしようか，とかかなり悩んでいた
んですけど，今回のセミナーでいろんなことが吹っ切れた気がしました．本当におもしろくて，
いろんなことを考えてみたいと思ったし，高校の数学だけで数学を終わってしまうのは，とてももったいなく思ったんです．父や母はそれだけですごい収穫だ，といってくれます．
あの後，本を読んだりしていると，時々，ふとセミナーの内容で疑問に思っていたことが分かった（ような気がした）り，他の内容のはなしが何となくセミナーの内容とつながったりす
ることがあります．私が感じることがあっているかどうかは別として，そういうときはすごく楽しいです．
セミナー自体は一人で参加したのですが，自然にメールアドレスを交換したりして冬休み中というのもあってか，頻繁にやりとりをしています．内容はかなり数学をはなれて干し柿の話しになったりもしていますが… こういう友達も，地元にいては絶対に出来ません．集まってる人はすごくハイレベルで，圧倒されてばかりでした．こんな人たちがいるんだと思うと，大学に行くのがすごく楽しみで仕様がないです．セミナーは何もかもがすごく印象的でした．こんな機会がもっとあれば良いな，と思ったし，そのためにも，もっといろんな勉強をしたいです．私次第でもっと楽しくもなるように思いました．とっても楽しかったです．
N，高2 ばくは，彼らがポケットラウンジで真夜中を過ぎても『数学』を楽しく（もしくは眠そうに）話し合っているのは驚きました（なんとなく想像はつきましたが）．正直その集団の球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

中に入れた僕自身もふくめて『ヤバイかな？（色んな意味で）』と思いました．また，独特の雰囲気があるのを文型の僕は感じ取りました．ぽくは，校則変更運動で署名を約300人集めたり，クラブを創ったり，テコンドーの道場に通ったり，ボランティアをしたり（労働待機者（職に就けない，ダンボール集めてる人たちのこと）の援護），スーパーコンピュータコンテスト準優勝したりと，浅く広く活動しているのに対して，彼らは特殊な分野を深く掘り下げてやってきているなあと思いました．大げさに言えば（ある意味率直な意見として），『生きる基準（尺度）』が違うと思いました．数学にたとえて言えば，『基にしている前提（公理など）が違うた
めに，別の数学が繰り広げられていく』ように『生きる基準が違うので，僕とは違う世界を彼らが繰り広げている』と言う感じでした．（例えば，ヤクザならヤクザの行動を駆り立てる本質
みたいなのがあるはずです．）まわりの人たちから，『数学に関係した職につきたい』ということを聞いて『なるはどなあ…』と思っていました．因みに，そう感心していた僕は，【経営・語学・コンピューター】を総合した実践的なビジネスを学習したいと思っていたのです．最後に，おもしろいエピソードを一つ，誰かの言った『短い間ですが…』と言う言葉にたいしての先生の意見が，はずれではないなと思いました6．なぜなら，1月からセミナーで同じだった一人が，偶然にもばくの行ってる数学専門塾Surにくることになったからです．1ケ月後にはこの塾を卒業していますが，こういった接点が出てくるのはおもしろいなあと感じました．

H，嵩2 セミナー自体のレベルは高く，あまり理解できなかったが，大学での数学の勉強の仕方のようなものに触れられたような気がして嬉しかったです．一番の収穫は講義そのものというより，そこで色々な人に出会えて，色々な事が話せたことであると思います．数学好きの人達と，2日間泊りがけでお喋りができたので，その人の数学哲学であるとか，勉強法だとかが聞けたのは本当に良かったです．良い経験をしたと思っています． 講義も面白かったけれども，僕にはレベルが高すぎました．特に，講義がいきなりリーマン幾何学を使って進められたのはちょっと驚きました．ちょっと知らせておいてもらえば少しそのあたりの事を予習してから行ったのに…と少し思いました． でも，いずれにせよ，本当に良い経験が出来たと今つくづく思っています．教えてくださった先生にも，チューターの方々にも感謝しております．あ
りがとうございました．

K，高2 難易度は私にとってはすごく難しかったです．始めのうちは特に，初めて見る記号もあって，話されていることがチンプンカンプンでした．内容は面白そうだとは思いますが，私はわからなかったのでそう思えませんでした．
Ⅰ，中2 とりあえず，まず講義の感想について，書かせていただきます．もしかしたら，ばくがただ聞き落としているだけ，ということもあるかもしれませんが，もしあったらすみません．
6「短い間ですがよろしく」という自己紹介の挨拶が多かったので，これはひよつとすると一生の付き合いにつながるかもしれないよ，とコメントをした．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

まず，講義の内容についてですが，これは大変興味をもてました．球面3角形，という幾何学的な対象で，微分方程式とか，あとこれは講義では取り上げられませんでしたが被覆写像とか，そういう対象に広がっていくのはすごく楽しかったです．また，講義の進め方も，問題を提起しながら，考えながら進んでいく，というスタイルは，よかったとおもいます．現代数学になかな
かなれていなくて学んでいるほうとしては，定義，定理，証明…というスタイルより，ああいうスタイルのほうがなじみやすかったとおもいます．それで，講義をうけるなかで，ちょっとやりにくいかな，とおもったところを，いくつか書かせていただきます．僕の勘違いだったら申し訳ありません．講義を受けていておもったのは，細かい定義をもうちょっとしっかり示してくれたら，見通しがよかったような気がします．たとえば，球面三角形の定義をどんどん拡張していきましたが，そのときに，はじめに，一般の（角度を自由にして，自己交差を許した）球面
三角形はどのようなものなのか，ということを明示していただいたら，あるいは一般の曲面に対する「裏返し写像」がどのような写像なのか，ということを明示していただいたら，よかった
ような気がします．それで，こんなことは古田さんにもうしあげても，どうしようもないのですが，セミナーの時間は，やはりもうすこし長いほうが，受けるほうも，講義されるほうも，楽だし，深くできるのではないか，という感想を持ちました．次に，講義以外の交流等ですが，それは僕の場合とてもうまくできたとおもいます．夜は，ポケットラウンジで，チューターの1人で4年生の方を囲んだお話会のようなものに加わっていたのですが，とても楽しめました．なによりもよかったのは，数学が好きな中高生がこうやって集まれることって言うのは，なかなかなく，そうしたことができたことだとおもいます．そのときいた方たちの何人かとは，メール
アドレスを交換して，いまもいろいろとメール交換をしていたりします．そういうふうな方ができただけでも，あのセミナーは価値があったとおもいます．さいごになりましたが，ああいうふうにおなじぐらいの年で，同じ趣味を持った人と過ごす，というのはやはりとても楽しかった
ので，来年もぜひ参加してみたいな，とおもいました．
M，高1数学は大変好きというほどでもないのですが，数学フアンの友達に誘われて，またテーマが「球面三角形」とあまり考えた事もないようなものだったこともあって参加しました．微分はまだまだ初心者なので最後の微分方程式は理解できませんでしたが，球面三角形を貼り合わせるという，僕には形を想像するのさえ，難しい図形を，最終的に数式で表すこともできるのだと感動しました．それとともに，想像できない世界までも本質的な部分を変えずに発展させることができる数学はすばらしいと思いました．

11Appendix：当日配った演習問題集
やさしいものも難しいものもあります．（例えば問26の答えを私は知りません．）参加者達に，未解決の問題といっても，パズルでもなく，歴史的大問題でもない，日常的なものがあること

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）を示したかったことがあります．途中の脚注で，講義の中で説明する，と書いた事項は結局説明する余裕がありませんでした．
話を聞くのと平行して皆さんに考えてもらいたい演習問題です．大文字で善かれたものは，講演の中で取り上げたいと考えているものです．

11．1 球面三角形について
以下，半径1の球面上の図形を考えます．
問1．0＜∂1，β2，♂3＜打が与えられたとします．このとき，これらの角度をもつ球面三角形が存在するための必要十分条件は，

cos201＋cos202＋cos203＋2cosOICOSO2COSO3＜1
であることを証明してください．
問2．球面三角形の頂点の角度が0＜β1ノβ2，β3＜町であるとき，その面積は♂1＋β2＋β3一打
であることを示してください．
（ヒント：三辺をふくむ三偶の大円によって球面を分割し，面積に関する連立方程式をたててみてください．）（注：実は上の公式は，どれかの角度が打以上のときにも成立します．）
問3．上の面積の公式は，球面m角形ではどうなるでしようか．
（ヒント：球面m角形を球面三角形に分割することができます．）
問4．頂点の角度が0＜∂1，β2，♂3＜打である球面三角形が2つあったとすると，それらは互いに合同であることを示してください．
（注：角度のひとつが打であるときにはこの命題は成立しません．）
問5．角度0＜♂1ノβ2，β3＜打の球面三角形が存在したとします．このとき，次の角度をもつ球
面三角形が存在することを示してください．
J．27r−β1，27丁−β2ノ27丁−β3
2．2打−β1，27丁−β2，♂3
β．27r−β1，β2，β3

また，上のいずれかの角度をもつ球面三角形が存在するとき，他の角度をもつ球面三角形が存在することを示してください．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

問6．0＜β1，♂2，β3＜27rが与えられたとします．ただし，βiはいずれも打とは等しくないと仮定します．このとき，これらの角度をもつ球面三角形が存在するための必要十分条件は，

cos201＋cos202＋cos203＋2cosOICOSO2COSO3＜1
であることを証明してください．
問7．球面三角形と球面二角形のそれぞれの一辺の長さが等しいとき，その辺を貼り合わせる
ことによって，新しく球面三角形を作ることができます．この方法によって，3個の角度がい
ずれも2打を越えるような球面三角形をできるだけたくさん作ってください．
問臥一辺の長さが27rを越えるような球面三角形を作ってください．7（注：前問の方法だけでは作ることはできません．）
問9．β1，β2，伊3＞0が与えられたとします．ただし，鋸まいずれも訂の倍数とは等しくないと仮定します．このとき，これらの角度をもつ球面三角形が存在するための必要十分条件は，

cos201＋cos202＋cos203＋2cosOICOSO2COSO3＜1
であることを証明して〈ださい．
（注：実は上の条件は必要条件でもあります．なぜでしよう？）
問10．♂1，♂2，β3＞0が与えられたとします．ただし，βはいずれも汀の倍数とは等しくないと仮定します．このとき，これらの角度をもつ球面三角形は，もし2つ存在するなら，その2つは互いに合同になることを証明して〈ださい．
（ヒント：球面二角形の貼りつけ等の構成の「逆」を考えます．）
問11．前問，前々問において，ひとつ（以上）の角度が汀の倍数である場合には結論はどうなるでしようか？

11．2 閉じた曲面
以下，「角」以外の点では（本来の）球面と同じ曲がり方をした曲面のみを考えます．また，「角」とは，球面多角形をふたつ貼り合わせたときに生じる特異点と同じ形状をさすことにします．

問12．角が1個の「球面」であって，その角度が27「と異なるものは存在するでしようか．
（注：上の問の中で「球面」とは，正確には，位相的には（本来の）球面と同じ形状をした
角付きの曲面をさしています．）
7服部書信さんによる構成です．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

問13．角が2個の「球面」にはどんなものがありますか．

問14．角が2個および3個の「球面」のもつ自由度を形式的に敢えてください．角がm個の場合はどうでしようか．

問15．合同な2個の球面三角形を貼り合わせることによって様々な「角が3個の「球面」」を作ってください．

問16．角が3個の「球面」は，必ず合同な2個の球面≡角形の貼り合わせによって作ることができるでしょうか．また，そのような球面≡角形は一意に定まるでしょうか．
問17．m個の角をもち，それらの角度が♂1，β2，…，βnである「球面」の面積をAとおくと，
nA＝4打＋∑（βi−2打）
i＝1が成立することを示してください．
問18．角が1個の「トーラス」のもつ自由度を形式的に数えてください．角がれ偶の場合はどうでしようか．

問19．角が1個の「トーラス」であって，様々な角度βの角をもつものを作ってください．
問20．m個の角をもち，それらの角度が♂1，β2，‥リβれである「トーラス」の面積をAとおくと，n

月＝∑（β −2升）
f＝1が成立することを示してください．

問21．角が1個の「トーラス」は，必ず合同な2個の球面三角形の貼り合わせによって作ることができるでしようか．また，そのような球面三角形は一意に定まるでしようか．

問22．裏返しに自分自身に重ねるやり方が3個ある「角が1偶の「トーラス」にはどんなものがあるでしようか．
問23．球面長方形の対辺同士を貼り合わせると，角が1個の「トーラス」が得られます．こうして得られる角が1個の「トーラス」は，裏返し写像がふたつあり，その2通りの写像は，どちらを先に行って合成しても同じ結果になります．このような2つの裏返し写像をもつ「角が1個の「トーラス」」は，どのくらいたくさんあるでしょうか．（特に，角度を固定したとき，どのくらいたくさんあるでしょうか．）
問24．裏返し写像をもつ「角が1個の「トーラス」」であって，裏返し写像がひとつしかない
ものはどんなものでしようか．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

11．3 被覆について
問25．m個の角をもつ「球面」が，どの角の角度も2打の倍数であるとき，角をもつ「球面」の面積はある自然数dによって4訂dとあらわされます．このとき，この角をもつ「球面」によって，本来の角をもたない球面を，ほとんどd重に覆うことができることを示してください・た
だし，「d重」には例外の点があり，それがm個の角と丁度一致しています・
上の問のような状況のとき，m個の角をもつ「球面」は，本来の角をもたない球面上の分岐d重被覆であるといわれます．
問26．ml，m2，m。を正の整数とします．d次の対称群に属する3個の要素であって，次の条件をみたすものを「本質的に」分類してください．
・五＝1，2，3に対してαよは長さmよの巡回置換である・●α1，α2，α3によって生成される部分群は推移的である．
こ子で，「本質的な分類」とは，対称群の内部自己同型によって写りあうことをいいます・（ヒント：角が3個ある「球面」であって，角の角度が2汀の倍数であるものの分類に帰着してください．）
間27．球面の分岐2重被覆の分岐点の個数は必ず偶数になることを示してください．
問28．球面の分岐2重被覆が「トーラス」になるのは，分岐点の個数が4のときであることを示してください．
（注：こうして作られるのは4個の角をもつ「トーラス」であってどの角の角度も4打となります．）
問29．1個の角をもつ「トーラス」であって，角の角度が47rの倍数であるものを，分岐被覆を利用してつくってください．

（注：実は，1個の角をもつ「トーラス」であって，角の角度が47rの倍数であるものは，分岐被覆を利用してつくられるものに限ることが示されます．）
問30．上の問（とその後の注）を利用して，1偶の角をもつ「トーラス」であって，角の角度が4汀の倍数であるものの分頬を，組み合わせ論的な問題に帰着してください．

8「対称群」，「巡回置換」，「内部自己同型」の定義は話の巾で説明する予定です．

8

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

11．4 微分方程式について．
月（∬）を∬の有理式とし，微分方程式
d2J（∬）＝月（∬）／（∬）
d∬2を考えます．ただし，∬は複素数を動くものとし，月（￡）の係数も複素数とします・
月（￡）は次の仮定を満たしているものとします・・月（∬）の分母がゼロになる点ではゼロの重複度が2以下である・●上の仮定のもとで，任意の∬。に対して
1im（ェー∬。）2J？（∬）∫→Joは収束する．その極限をα（ご。）とおくとき，人に関する2次方程式
入（人−1）＝α（∬0）の2解の差は，整数でない実数である．（「整数あるいは半整数が解でない」という条件と同値である．）（注：2解の差が整数のときにも，もう少し月（∬）に条件をおくと，扱うことができます．）
この微分方程式を用いると，∬の住みかである複素平面を，角のある「平面」とみなすことができます．このことは話の中で説明したいと思います．
たとえば，点∬0の周りの角度をβとするとき，上の2次方程式の解の差はβ／27rになっています．
「球面」や「トーラス」は，複素平面をいくつか貼り合わせたものとして理解できます．たとえば「球面」は∬，yで表されるふたつの複素数の動くふたつの複素平面を∬y＝1の関係式
によって貼り合わせたものと理解することができます．
したがって，微分方程式による定式化は，「球面」や「トーラス」の場合にも行うことができます．

微分方程式による定式化の便利なところは，たとえば「球面」を角つきとみなすふたつのやり方があったとき，それの「差」のようなものを，月（ェ）の差として考察できることです．
これを利用すると，応用として，「3個の角のある「球面」は2つの合同な球面三角形を貼り合わせて得られる．しかもその球面三角形の取り方は一意である」という命題を，次の代数的命題に帰着させることができます9．

9梅原雅開・山Ⅲ光太郎の両氏による議論です．

球面三角形をはりあわせると（古田幹雄）

Lemma31．有理式A（x），B（y）が，次の条件を同時にみたすことは，いずれも恒等的にゼロである場合を除いてありえない．
ノ．
β（y）＝A（y￣1）y￣4（d（∬）＝β（∬￣1）∬￣4）が成立する．この条件はもっと見やすくいうなら「鞘＝1のときβ（y）（吻）2＝A（∬）（d可2が成立する」ということである．
g．A（∬）の分母がゼロになるとしたら，それは∬＝0または∬＝1のいずれかであり，しかも重複度は1である．
β・β（訂）の分母がゼロになるとしたら，それはy＝0またはy＝1で，しかも重複度1である・
問32．上の主張を示してみてください．

参考文献【1］W・ChenandC・Li，Whatkindsofsingularsurhcescanadmitconstantcurvature？，Duke

MatIl．J．，ア8（1995）437−451［2］M．FurutaandY・Hattori，2−dimensionalsingularsphericalspacefbrms，PrePrint・【3］Y．HashirnotoandK・Ohba，CuttingandpastingofRiemannsurahceswithAbeliandif−

fcrentials，Universit主itBieleLbldpreprint96−069，1996【4］Y・Hattori，MScthesis，fuMSKyotoUniversity，January1998【5］F．LuoandG．Tian，Lioubi11eequationandsl〕hericalconvexpolytopes，Proc．Amer．
Soc・116（1992）1119−1129【6】J．Milnor，MorsctlleOry，AnnalsofMathematicsStudy51，PrinstonUrliv．Press，Princeton，
1963．

【7］M．TrayaIlOV，MetricofcoIIStantCurVatureOnaSPherewithtwoconinalsingularities，DifrbrentialGeometry，Lect・NotesinMath．1410，Springer−Verlag，（1989）296−3D6【8］M・nayanOV，PrescribiIlgCurVatureOnCOmPaCtSurraCeSWithconicalsingularities，Trans．
Amcr．Math．Soc．324（1991）793−821【9】M．UmeharaandK．Yamada，MetricsofcoIIStantC11rVaturelwiththreeconicalsingularities
On2−Spllere，InaれDG／9801137（この参考文献も演習問題と一緒に配ったものです．）（ふるたみきお，東京大学大学院数理科学研究科）