社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

リング状に交差結合されたカオス回路にみられる同期現象の調査
蔭山 侃杜†

上手洋子†

西尾芳文†

† 徳島大学 〒 770–8506 徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{n-kage, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし 同期現象に関する研究は様々な分野で広く行われている. 最近では特に, カオス回路における同期現象は多くの研究者によって研究がなされている. カオス現象は初期値に非常に依存し, 非周期的挙動を示す長期的予測が困難なものである. また, 同期現象は非常に興味深い現象を引き起こしている. 同期現象およびカオス系における分岐は,自然科学の分野において様々な高次元の非線形現象を記述するために用いられる. 本研究では, 簡単な回路構成である森・神力回路をインダクタによりリング状に交差結合させた回路を対象とし, 3, 5, 9, 11 および 31 個の回路を結合した場合に発生する現象の調査をコンピュータシミュレーションを用いて行った.
キーワード

カオス回路, 交差結合, 同期現象

Investigation of Synchronizations
in a Ring of Cross-Coupled Chaotic Circuits
Naoto KAGEYAMA† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Dept. of E.E. Eng, Tokushima University 2-1 Minami-Josanjima, Tokushima, 770–8506, Japan
E-mail: †{n-kage, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Studies on synchronization phenomena are extensively carried out in various fields. Recently, in particular, synchronization phenomena in chaotic circuits are studied many researchers. Chaos phenomena are quite
dependent on initial values and not periodical and predictable. Moreover, the synchronization phenomena havecaused very interesting phenomena. Synchronization and the related bifurcation of chaotic systems are good methods to describe various higher-dimensional nonlinear phenomena in the field of natural science. In this study, weinvestigate synchronization phenomena observed in a ring of simple chaotic circuits cross-coupled via inductors.
Interesting synchronization phenomena can be confirmed by computer simulations.
Key words chaotic circuit, cross-coupled, synchronization

1. ま え が き
結合発振システムにおける同期現象は, 自然科学の分野において, 様々な高次元非線形現象を記述すのに非常に適したモデいて調査し, 特に小さな電圧の振動が N 相同期を発生することを確認した.

2. 回路モデル

ルであり, 結合カオス回路の同期現象に関する研究が広く様々

回路モデルは図 1 に示される. この回路は森・神力回路をイな分野で行われている [1]-[10]. カオスの同期現象を調査するこンダクタ L2 により交差結合させている. まず, ダイオードでとは将来, カオスを利用する工学分野に活用出来るのではない構成される非線形抵抗の v − i 特性を次の 3 セグメント区分線かと考える. 我々の以前の研究では, 交差結合カオス回路を調形関数によって近似する.

査し, 様々な興味深い同期現象を報告している [11]-[13]. しかし, 過去の研究ではリング状に交差結合されたカオス回路における電圧の小さな振動についての調査を行っていない [12]. そこで, 本研究では我々は過去の研究を拡張し, n 個の森・神力回路をインダクタを介してリング状に交差結合したものについて,発生する同期現象についてコンピュータシミュレーションを用idn = G(v1n − v2n − V )




(v1n − v2n > V )0(|v1n − v2n | <=V)

G(v1n − v2n + V )(v1n − v2n < −V )(1)(n = 1, 2, 3, ..., n)—1—L1i 1nvn2-g-g

C1

C2idn v n1i 2n-1

L2L2i 42i2nv 11C1L1i 24 v42i d4 C 2C 2 id1v12L2i 11L1v41i 21v21-gv22C1L2L2i 22i 23v31id2i 12C2

L 1 -gid3
C1C1-gv32C2i 13
L1

図 1 回路モデル.

x˙n = zn y˙n = α(γyn − ωn − βf (yn − zn )回路方程式は次のように表される.

di1n


L1= v2n


dt



dv1n


 C1 dt = gv1n − i2n − idn(2)

dv2n


C2= idn + i2,n−1 − i1n

dt





 L2 di2n = v1n − v2,n+1 ,n

ここで v20 = v2n および v2n+1 = v21 となる. 次の式 (3) のパラメータおよび式 (4) の変数を用い, 正規化された回路方程式
は式 (5) のように与えられる.

%% α = C2 , β = L1 G, γ = L1 g, δ = L1 ,C2


%
C2
 i1n =V xn , v1n = V yn ,L1%
C2 v2n = V zn , i2n =V ωn ,L1(n = 1, 2, 3, ..., n)n+1

ここで z20 = z2n および z2n+1 = z21 となる.

(n = 1, 2, 3, ..., n)

C2n(5)(n = 1, 2, 3, ..., n)

dtC1√
t = L1 C2 τ,z˙n = βf (yn − zn ) + ωn−1 − xn ω˙ = δ(y − z )L2(3)非線形関数 f (·) はダイオードによって構成される直線非線形抵抗の v − i 特性に対応しており, 次の 3 セグメントの区分線形関数によって記述されているものとする.

f (yn − zn ) =y − zn − 1
 n



(yn − zn > V )0(|yn − zn | <=V)yn − z n + 1(yn − zn < −V )(6)(n = 1, 2, 3, ...n).
(4)

3. シミュレーション結果
我々は図 1 で示す回路より興味深い同期現象を観測することが出来た. 式 (5) をルンゲクッタ法を用いてコンピューターシミュレーションを行い, その結果を図 2, 3, 4, 5 に示す. これらの同期状態は, 式 (3) で示されているパラメータの値をそれぞれ, α = 2.0, β = 4.0, γ = 0.15 および δ = 0.004 と固定し, 初—2—期値を変化させた場合に得られたものである.
図 2 は回路の結合数 n が 3 の場合におけるアトラクタと電圧の時間波形を示したものである. 図 2(b) のアトラクタと電圧の時間波形は図 2(a) の回路から得られたものである. 3 つの回路はすべて時間波形では同相同期しているように見えるが, アトラクタは, 同相同期を示していない. しかし, 拡大した時間波形である図 2(c) をみてみると, 3 つの電圧の小さな振動は明確に三相で同期しており, 図 2(b) においてアトラクタが完全に同相同期していない原因となっている. また, アトラクタの形状が位相平面上の第一象限および第三象限における位相差を表していることが確認できる. このことから, 我々は小さなの振動の局所的な三相による多数の定常状態の存在を期待するとができ, いくつかの異なった定常状態を確認することができた.
図 3 は回路の結合数 n が 5 の場合におけるアトラクタと電圧の時間波形を示したものである. 図 3(a) に示している 5 つの回路をリング状に結合した場合においても, 図 2 の場合と同様に5 つの電圧の小さな振動が五相で同期することを確認した. また, 小さなの振動の局所的な五相によるいくつかの異なった定(a)常状態を確認することができた.
図 4 は回路の結合数 N が 7, 9, 11 および 31 の場合における電圧波形を表しており, 図 5 は図 4 におけるそれぞれの波形の一部を拡大したものである. 図 4 の電圧波形は, 正, 負の領域での小さな電圧の振動についてみてみると, 図中において左から順に (M + 1)/2 番目と (M + 3)/2 番目の波形の間で位相差が少し大きくなっているが, 図 1(b) および図 2(b) と同様にそれぞれ, 七相, 九相, 十一相, 三十一相で同期しているといえる. 図

5 の拡大した電圧波形をよく見てみると, 接続数 n が大きくなるにつれて (M + 1)/2 番目と M 番目の波形に近づくにつれ,1 つ遅れている波形に対しての位相差が小さくなっていることが確認できる.
それぞれの波形は図 1 の回路モデルにおいて, 時計回りお(b)よび反時計回りとなるような順番で遅れて同期状態をを示しており, 例として, 図 5(a) の場合では, 図中において左から

n = 4, 2, 7, 5, 3, 1, 6 番目の回路, 図 5(b) の場合では, 図中において左から n = 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6 番目の回路順番で波形が遅れている. 図 1 において 1 つの回路に対して隣り合う回路 (e.g.

n = 4 の回路を基準とするとそれに対して, n = 3, 5 の回路)
は, 時計回りおよび反時計回りのどちらの順番から数えた場合でも基準とした回路から最も遠くなる順番で波形が表れる. これらの波形の遅れの順番は, 図 5(a), (b), (c), (d) いずれの場合でも初期値によって決まり, N 相での同期状態となる場合上であげた特性が常に示されることが確認できた. また, これらの現象は回路数 n が奇数の場合でのみ確認でき, 偶数の場合では発生しなかった.

4. ま と め
本研究では, インダクタによりリング状に交差結合されたカ(c)
図 2

3 つのカオス回路を交差結合したモデル. (a) 回路モデル. (b)上図 : 位相平面でのアトラクタ (左から y1 −y2 , y1 −y3 およびy2 −y3 ). 下図 : 時間波形 (y1 , y2 および y3 ). (c) 拡大した時間波形.

オス回路から得られる同期現象についての調査を行った. 時間波形の詳細な調査ではいくつかの興味深い現象を明らかにした.
発生のメカニズムを詳細に説明する事と同様に, この現象の—3—-gc1c2

L1id1i11

L1i15v25

c1L2v 12i21L2i25

id5c2v21-gv11c2(a)c1i d2v15v 22i22-gL2

L1i 12L2i24v 13i23-g4v2L2c1i d3v 234i141Lidv1c2c24i 13

c1

L1-g(b)(a)(c)(b)
図 3 5 つのカオス回路を交差結合したモデル. (a) 回路モデル. (b) 上
図 : 位相平面でのアトラクタ (左から y1 −y2 , y1 −y3 , y1 −y4 ,y1 −y5 および y2 −y3 ). 中図 : 位相平面でのアトラクタ (左から y2 −y4 , y2 −y5 , y3 −y4 , y3 −y5 および y4 −y5 ). 下図 : 時間波形 (y1 , y2 , y3 , y4 および y5 ).

(d)
図 4 回路モデルから得られた電圧の時間波形. (a) N = 7, (b) N = 9,(c) N = 11, (d) N = 31.

—4—

状態の詳細な調査や統計分析を出す事が今後の我々の課題である.

謝辞

0.7

0.6

本 研 究 の 一 部 は, 日 本 学 術 振 興 会 の 科 学 研 究 費 補 助 金

0.5(23700269) により得られた成果である.

0.4

文0.3

0.2

0.1

0-0.1
315400315600315800316000316200316400316600

(a)

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-0.1

165400165600165800166000166200166400166600166800215200215400215600215800

(b)

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-0.1

214400214600214800215000

(c)
0.7

0.6

献

[1] Ch. von der Malsbuurg and J. Buhmann, “Sensory Segmentation with Coupled Neural Oscillators,” Biol. Cybern., vol.
67, pp. 233-242, 1992.
[2] N. Platt, E.A. Spiegel and C. Tresser, “On-Off Intermittency: A Mechanism for Bursting,” Phys. Rev. Lett., vol.
70, no. 3, pp. 279-282, 1993.
[3] P. Ashwin, J. Buescu and I. Stewart, “Bubbling of Attractors and Synchronization of Chaotic Oscillators,” Phys.
Lett. A,193, pp. 126-139, 1994.
[4] E. Ott and J.C. Sommerer, “Blowout Bifurcations: theOccurrence of Riddled Basins and On-Off Intermittency,”
Phys. Lett. A,199, pp. 39-47, 1994.
[5] Y. Nishio and A. Ushida, “Spatio-Temporal Chaos in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEEE Trans. Circuits Syst.
I, vol. 42, no. 10, pp. 678-686, 1995.
[6] N.F. Rulkov and M.M. Sushchik, “Robustness of Synchronized Chaotic Oscillations,” Int. J. Bifurcation and Chaos,vol. 7, no. 3, pp. 625-643, 1997.
[7] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Bifurcation Phenomena in Two Chaotic Circuits Coupled by anInductor,” IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5,
pp. 869-875, 1997.
[8] Y. Nishio and A. Ushida, “Chaotic Wandering and its Analysis in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEICE Trans.
Fundamentals, vol. E85-A, no. 1, pp. 248-255, 2002.
[9] G. Abramson,V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic Solutions for Nonlinear Waves in Coupled Reacting Systems,”
Physica A: Statistical Mecanics and its Applications, vol.
305, no. 3-4, pp. 427-436, 2002.
[10] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation andChaos, vol. 15, no. 11, pp. 3423-3433, 2005.
[11] Y. Uchitani and Y. Nishio, “Investigation of State Transition Phenomena in Cross-Coupled Chaotic Circuits,” Proc.
of ISCAS’08, pp. 2394-2397, May 2008.
[12] Y. Uchitani and Y. Nishio, “Synchronization Patterns Generated in a Ring of Cross-Coupled Chaotic Circuits,” Procof IJCNN’08, pp. 3854-3859, Jun. 2008.
[13] Y. Uchitani and Y. Nishio, “Synchronization of Small Oscillations in Cross-Coupled Chaotic Circuits,” Proc of ISCAS’09, pp. 2629-2632, May 2009.

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0-0.1
54000

54200

54400

54600

54800

55000

55200

(d)
図 5 拡大した時間波形. (a) N = 7, (b) N = 9, (c) N = 11, (d)N = 31.

—5—