株価の動的相関の推定と変化点検出・ネットワーク分析への応用
磯貝孝

首都大学東京 大学院経営学専攻 特任教授、日本銀行金融機構局
統数研共同研究集会「経済物理学とその周辺」— H28 年度第一回研究会 ——本資料の内容は筆者個人の私的な研究に基づくものであり、日本銀行の業務・公式見解などとは何ら関係ありません.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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概要

概要
1

はじめに

2

資産相関とボラティリティ3

動的相関の推定4

動的相関行列の固有値分解

5

動的ネットワークとしての分析・観察6

まとめ— 本日の発表の詳細については、以下の文献をご参照ください
Isogai, T., ”Building a dynamic correlation network for fat-tailed financial asset returns”, Applied
Network Science 1(7):1-24, 2016, http://link.springer.com/article/10.1007/s41109-016-0008-x
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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はじめにリサーチの背景と課題
背景: 資産収益率の動的な相関とは?
二つの資産間のペアワイズの相関からなる相関行列（静的）▶

例: 株価や為替レート相関行列の動的な拡張▶

相関はダイナミックに変化している？

動的な相関の分析は、ポートフォリオのリスク管理や市場モニタリングに有益

課題: 動的な相関行列の推定およびその観察に関する手法の提案
ファットテール性に起因する偽相関（spurious correlation）問題への対処
モデルベースの動的相関行列の推定推定した相関行列の変化を観察し、相関の強さの変化や異例な動きを発見する（変化点の検出）
動的ネットワークとしての特徴変化の観察
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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はじめに資産収益率データから相関行列を計算する
Static な分析の流れ–単一の相関（隣接）行列:

Preprocess

DataCorrelation matrix

Adjacency matrix

1010.20.2

10.1

Asset price

0.1

1e.g. log returns

00.2

0.2

0Correlation network

0.1

=0.1

010Network analysis

Data filtering for network building

Dynamic なモデルでは、複数の相関（隣接）行列を推定する:
Data

Conditional (dynamic) correlation

Time series
ix 1
matr
tion
rela
r
ix 2otr
C
ma
tion
ix 3
rela
Cor
matr
noti
4
relaatrix
Cormntiorela
Cor

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関Unconditional (static)correlation

eCorr

latio

nmatrix

2016 年 8 月 29 日

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資産相関とボラティリティ

1

はじめに

2

資産相関とボラティリティ3

動的相関の推定4

動的相関行列の固有値分解

5

動的ネットワークとしての分析・観察6

まとめ磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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資産相関とボラティリティ

ボラティリティ変動から生じる線形相関の歪み
線形相関:
Cov (X , Y )ρX ,Y = √Var (X ) Var (Y )線形相関 ρX ,Y の高さと相関関係?

x2

2. Large shock-25-20-20-15-15-10x1-10-5-500

1. White noise

0501001502002503000Index

50100150200250300Index

相関ゼロのランダムノイズの二つの時系列 ∼ N (0, 1) ⇒ cor(x 1, x 2) = 0
新たにシンクロした大きなショックが加わると ∼ N (0, 10) ⇒ cor(x 1, x 2) = 0.8磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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資産相関とボラティリティ

ボラティリティ変動要因の分離（残差の相関）
GARCH モデルでフィルタリング:
推定したボラティリィの変動要因をリターン系列から除去する

i.i.d.; variance=1
Fat-tailed
returnDatamean=

Location+Volatility
Scaling factor(Deterministic)

Distorted correlation
磯貝 孝 (TMU)×Standardized
residual
Probabilistic
variable

Reliable correlation
株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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資産相関とボラティリティ

ARMA–GARCH モデル(M)GARCH:
1/2(1)

r t = µt + εt = µt + H t z tµt = E (r t |Ft−1 ) , E (z t ) = 0, Var (z t ) = I n

where H t is a conditional variance covariance matrix (volatility), I n is an identity matrixof order n, and Ft−1 is the information set at time t.

Mean model: conditional means modeled by ARMA(P, Q), separatelyµt = µ +P∑

ai rt−i +

i=1

Q
∑

bj εt−j(2)j=1Volatility model: conditional volatilities as a vector form of GARCH(p,q)
ht = ω +q∑

Ai εt−i ⊙ εt−i +i=1p∑

B i h t−i(3)j=1where ⊙ denotes the Hadamard operator (the entrywise product).
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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資産相関とボラティリティ

動的相関行列の推定のためのデータフィルタリング
データプロセッシングのイメージ:
1

Data filteringstock1stock2Return data

stock3stock4GARCH
filtering
GARCH
filtering
GARCH
filtering
.
.

01

0.2

0.2

10.1

0.1

1

00.2

0.2

00.1
10.1

00

Correlation matrix

Adjacency matrix
Static network

1

01
1 1

0.2 0.1
10.2 0.1
0.21 1 0.2 0.1
0.2 10.2
1 1
0.1
0.1
10.1
1 1

1
1

Correlation matrices

00 00.2 0.1
00.2 0.10.20 0 0.2 0.1
0.2 00.20 00.10.100.10 000

Adjacency matrices
Dynamic network

動的な相関行列の推定方法▶

‘Moving window’ (- - ->) あるいは ‘モデルベース’ の推定方法 (—>)

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関の推定

1

はじめに

2

資産相関とボラティリティ3

動的相関の推定4

動的相関行列の固有値分解

5

動的ネットワークとしての分析・観察6

まとめ磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関の推定(1) Moving window 法による標本相関の計算 (一般的な手法)
Unfiltered log-returns の標本相関行列 R t :R t は時点 t ではなく、window (e.g., 30 取引日) に依存する.
TimeNon-overlapping window

Type1sample

TimeType2sample

11
1 1

0.2 0.1
10.2 0.1
0.21 1 0.2 0.1
0.2 10.2
1 1
0.1
0.1
10.1
1 1

11

Correlation matrices

Overlapping window

Spurious correlation problem(lagged effect)

市場横断的に大きなショックが発生すると、そのショックが Window に含まれる限り、相関の歪み・偽相関などの問題を引き起こし得る. ⇒Moving
window 法の問題点
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関の推定(2) モデルベースの動的相関行列の推定
DCC–GARCH: 動的な相関を持つ多変量 GARCH モデル
Multiplecorrelation
matrices

Dynamic Conditional Correlation

GARCH
filteringstock1

volatility×

residual

stock2

volatility×

residual

Joint
distribution
modeling
Correlation
dynamics
modeling

同時分布のモデル化には、t-copula を用いる

(fr t |µt ,)√ht , R t , η= c St (u1·t , . . . , uN·t |R t , η)

N
∏

√

i=1

where ui·t = Fi (ri·t |µi·t ,√1
fi·t (zi·t |θi )
hi·t

(4)

hi·t , θi ), θi is a parameter set including the ARMA–GARCH

parameters and distributional parameters of i.i.d. residual zi , c St (·) is the Student t-copula
density function, and η is the shape parameter of the Student t-copula.

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関の推定(2) モデルベースの動的相関行列の推定
DCC–GARCH: 動的な相関のモデル化
R t の時間依存構造のモデル化: 代理変数 Q を用いて間接的に時間依存の構造を示す−1−1

R t = diag (Q t ) 2 Q t diag (Q t ) 2mn() ∑∑()′Q t = Q̄ +ai z t−i z t−i − Q̄ +bj Q t−i − Q̄
i=1(5)(6)

j=1

Q t は R t の proxy 変数、z t は standardized residuals (shocks).

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

1

はじめに

2

資産相関とボラティリティ3

動的相関の推定4

動的相関行列の固有値分解

5

動的ネットワークとしての分析・観察6

まとめ磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

日本の株価を用いたケーススタディ
2 業種のサンプルデータセットを用意した:時価総額順に 50 の銘柄を 2 業種からそれぞれ選んだ:輸送用機器 (自動車や関連部品等)
銀行 （メガバンク、地銀等)
観測期間: 2008 年 1 月〜2015 年 6 月; 日次終値ベースの対数収益率▶

リーマンショック (2008 年) と東日本大震災 (2011 年) を含む.

相関: 動的な相関 (DCC) と moving window 法による動的な相関 (窓の幅200 取引日)

Comparative analysis
Stock returns
1. Transportation 50
2. Banks 50

磯貝 孝 (TMU)

Correlation
1. Dynamic
2. Moving window

株価の動的相関Observation
1. Intensity
2. Structure2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

モデルベースの動的相関の計算
DCC-GARCH モデルのパラメータ推定:
株価データから DCC–GARCH のパラメータを推定する推定したパラメータに基づいて、各時点の動的相関 R t を計算できる

DCC Estimation Result
Sector

m, n

a1

b1

b2

b1+b2

η

Transportationequipment

1, 2

0.0061(0.0007)0.4161(0.0808)0.4493(0.0805)

0.865430.4160(1.2898)

Banks

1, 2

0.0094(0.0009)0.3940(0.0686)

0.4461(0.0695)

0.8402

21.5952(1.0033)

Note: DCC order (m, n) and parameters a1 , b1 , and b2 are defined in (6). η is theshape parameter of the Student t-copula in (4).

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

相関行列の動的な変化の分析
動的相関行列の固有値分解 (固有値、固有ベクトル):
Largest eigenvalue

λ( max scalar)

Correlation
matrixobserve systematicchanges in correlation

Intensity

Eigenvalue
decomposition

Largest eigenvectorq( max vector)

observe divergencefrom usual relationshipDirection

固有ベクトル ⇒ 最大固有値に対応する固有ベクトル q max ·t について、全期間平均 q̄ max (benchmark) からの距離をもとに相関構造における重大な変化を検出する.
距離指標として、標準コサイン距離（normalized cosine distance) を用いる∑
xi yi
x ·ycos(θ) == √∑ ∑ , γ(x, y) = 1 − cos(θ)(7)∥x∥ ∥y∥xi2

νmax ·t =磯貝 孝 (TMU)

yi2γ(q max ·t , q̄ max )std(γmax )株価の動的相関(8)2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

最大固有値だけみれば十分か？
同サイズのランダム行列の最大固有値の分布の上限と比べて判断する:
輸送用機器、銀行ともに最大固有値だけみればほぼ問題ない

Eigenvalues of Dynamic Correlation Matrix
Eigenvalue
Largest
2nd largest(min - max) (min - max)
Transportation equipment
Dynamic
Moving Average
Banks
Dynamic
Moving Average

99 percentile
Tracy-Widom

24.28 - 27.17
19.97 - 31.39

0.97 - 1.40
1.32 - 2.67

1.38

31.56 - 35.20
25.89 - 39.60

1.25 - 1.73
0.84 - 2.70

1.38

Note: Eigenvaues of R t are calculated on every trading day during the observation period. The min andmax represent the minimum and maximum of the vector of corresponding eigenvalues, respectively.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

最大固有値の推移: 輸送用機器
28Moving window(right)

312927272625

232524
2008/0121

Dynamic correlation(left)
2009/01

2010/01

2011/01

2012/01

2013/01

2014/0119
2015/01

DCC による動的相関の方が変化に対する反応がよい:
市場混乱期 (2008, 2011) には、相関の強さが増している.

DCC と moving window では、固有値の水準、変化のパターンがかなり違う.
予想通り ‘Moving window’ には、lagged eﬀects が見られた.
▶

多数のショックが続くとこの効果がより強く現れる.

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

最大固有値の推移: 銀行
3639

35

Moving window(right)

3735
34
33

33

31

Dynamic
correlation(left)

32

31
2008/01

292725
2009/01

2010/01

2011/01

2012/01

2013/01

2014/01

2015/01

DCC による動的相関の方が変化に対する反応がよい:
市場混乱時に高い相関.

‘Moving window’ には明らかに lagged eﬀect あり.
▶

相関の強さの変化の度合いとタイミングを把握し難い.

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

標準コサイン距離の推移: 輸送用機器
146

Dynamic correlation (left)
12

Moving window (right)

510
4
83
62
4
120
2008/010
2009/01

2010/01

2011/01

2012/01

2013/01

2014/01

2015/01

DCC による動的相関の方が変化に対する反応がよい:
期間平均からの乖離が大きい ⇒ 通常とは異なる相関パターン.

‘DCC による動的な相関’ は、相関の変化の発生時点を明確に示唆している.
‘Moving window’ は、相関の強さ同様、深刻な lagged eﬀects が認められる.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的相関行列の固有値分解

標準コサイン距離の推移: 銀行
522201816

Dynamiccorrelation(left)

4

143

Moving window (right)

12102861420
2008/0102009/01

2010/01

2011/01

2012/01

2013/01

2014/01

2015/01

DCC による動的相関の方が変化に対する反応がよい:2008 年のリーマンショック時に目立ったベンチマークからの乖離はない⇒ 平常時と同じ相関パターンであったが、より強い相関が認められた.

‘Moving window’ は、lagged eﬀects のため使いづらい
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的ネットワークとしての分析・観察

1

はじめに

2

資産相関とボラティリティ3

動的相関の推定4

動的相関行列の固有値分解

5

動的ネットワークとしての分析・観察6

まとめ磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

23 / 34

動的ネットワークとしての分析・観察

動的ネットワークのトポロジー変化
相関ネットワークの変化を観察する:
注目する指標ネットワーク密度 D(A)：全ノード（銘柄）間の全体的な連結強度（相関の強さ）を表す指標.1 に近いほど全てのノードの相関が強いことを意味する.
∑ ∑mean (k)mean (k)ij>i Aij=≈D(A) =(9)n (n − 1) /2
n−1n∑
ki =
Aij(10)j̸=i

ki はノード次数磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的ネットワークとしての分析・観察

動的ネットワークのトポロジー変化
相関ネットワークの変化を観察する:
ネットワーク中心性 C (A)：一つのノードが全ノードと完全に連結（相関1）していて、それらのノードは互いにつながっていない（星型ネットワー
ク）時に 1 となる. 全ノードが同じ程度の連結度を持っていれば 0.

()
nmax (k) mean (k)−n−2n−1n−1()
nmax (k)max (k)=− D(A) ≈− D(A)n−2n−1nC (A) =(11)ネットワーク異質性 H(A)：ノード間の連結度の違いを示す（連結度の分布の相対的な散らばりとして定義）. 高いほど相関の高低が存在する.
√ ∑√var (k)n i ki2=
H(A) =(12)∑2 −1mean (k)( i ki )磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

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動的ネットワークとしての分析・観察

ネットワーク密度: 輸送用機器
0.55

B
0.53

A
0.51

0.49

0.47

0.45
2008/1

2009/1

2010/1

2011/1

2012/1

2013/1

2014/1

2015/1

リーマンショック（A）、東日本大震災（B）では、ネットワーク密度が高まっている（市場混乱時の相関の強まり）.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

26 / 34

動的ネットワークとしての分析・観察

ネットワーク中心性: 輸送用機器
0.13

A
0.12

0.110.10
2008/1

B

2009/1

2010/1

2011/1

2012/1

2013/1

2014/1

2015/1

中心性には大きな変化はない（銀行よりも中心性は相対的に高い）.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

27 / 34

動的ネットワークとしての分析・観察

ネットワーク異質性: 輸送用機器
0.14

0.13

0.12

0.11

AB

0.10
2008/1

2009/1

2010/1

2011/1

2012/1

2013/1

2014/1

2015/1

リーマンショック（A）、東日本大震災（B）では、ネットワーク異質性が低下している（市場混乱時に相関パターンがより一様化している）.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

28 / 34

動的ネットワークとしての分析・観察

ネットワーク密度: 銀行
0.70

B0.68

A

0.66

0.64

0.62

C
0.60
2008/1

2009/1

2010/1

2011/1

2012/1

2013/1

2014/1

2015/1

リーマンショック（A）、東日本大震災（B）では、ネットワーク密度が高まっている（市場混乱時の相関の強まり）. 輸送用機器よりも銀行の方が密度が高め.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

29 / 34

動的ネットワークとしての分析・観察

ネットワーク中心性: 銀行
0.08

CA
0.07

0.06

0.05
2008/1

B

2009/1

2010/1

2011/1

2012/1

2013/1

2014/1

2015/1

中心性には大きな変化はない.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

30 / 34

動的ネットワークとしての分析・観察

ネットワーク異質性: 銀行
0.11

C
0.10

0.09

0.08

BA
0.07
2008/1

2009/1

2010/1

2011/12012/1

2013/1

2014/1

2015/1

リーマンショック（A）、東日本大震災（B）では、ネットワーク異質性が低下している（市場混乱時に相関パターンがより一様化している）.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

31 / 34

まとめ

1

はじめに

2

資産相関とボラティリティ3

動的相関の推定4

動的相関行列の固有値分解

5

動的ネットワークとしての分析・観察6

まとめ磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

32 / 34

まとめ

まとめ
主な分析結果:ファットテールな株価の収益率の動的な相関を DCC–GARCH モデルを用いて推定した.
日本株のデータによる実際の推定例では、異時点の比較や変化点の特定などの目的に対しては、動的相関行列は利便性が高いことが示された.
伝統的に用いられている標本データに基づく moving window 法による相関は、偽相関のリスクが高く、ダイナミックな分析でも問題が多い.
動的ネットワークとしての分析では、輸送用危機、銀行の 2 業種について、市場混乱時にネットワーク密度の上昇、異質性の低下が顕著にみられた.
ポートフォリオのリスク管理や市場モニタリングに応用できる可能性あり.

今後の課題:
より包括的かつ詳細な株価の動的な相関分析（異時点間比較、構造変化抽出など）.
ダイナミックネットワーク分析へのさらなる応用、動的コミュニティ分析など.
磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

33 / 34

ご清聴ありがとうございました.

磯貝 孝 (TMU)

株価の動的相関2016 年 8 月 29 日

34 / 34