光子の運動量： The momentum of light(From The Feynman Lectures on Physics, Volume I, Chap. 34
Relativistic Eﬀects in Radiation, Section 34-9)
Masahiro Yamamoto
September 29, 2021

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Fy BzFigure 1: The magnetic force on a charge which is driven by the electric ﬁeld is in the direction of the light beam. 電場によって駆動される電荷への磁気力は、光ビームの方向になります。
以下原文の英語を左のカラムに，右のカラムにその日本語訳（DeepL での翻訳を個人的に修正）を示しております。
さて、ここで話は変わってきます。これまでの数章では、光に付随する磁場の影響については一切触れてきませんでした。通常、磁場の影響は非常に小さいものですが、磁場の結果として 1 つの興味深く重要な影響があります。
光源からの光が電荷に作用して、その電荷を上下に動かしているとします。電界は x 方向にあると仮定し、電荷の動きも x 方向になります。図 34-13 に示すように、位置 x と速度 v を持ちます。磁界は電界と直角になっています。さて、電界が電荷に作用して上下に動かすと、磁界はどうなるでしょうか。磁場が電荷（電子）に作用するのは、電子が動いているときだけですが、電子が動いているのは電場の力を受けているからで、両者は一緒に働いています。物体が上下に動いている間は速度があり、B × v × q の力が働きますが、この力はどの方向に働くのでしょうか？ それは、光の伝播方向です。したがって、電荷に光を当て、その光に反応して電荷が振動している場合、光の方向に駆動力が働くことになります。これを放射圧または光圧といいます。

Now we turn to a diﬀerent topic. We have never, in all ourdiscussion of the past few chapters, said anything about
the eﬀects of the magnetic ﬁeld that is associated withlight. Ordinarily, the eﬀects of the magnetic ﬁeld are verysmall, but there is one interesting and important eﬀect
which is a consequence of the magnetic ﬁeld. Supposethat light is coming from a source and is acting on acharge and driving that charge up and down. We will
suppose that the electric ﬁeld is in the x-direction, so themotion of the charge is also in the x-direction: it has aposition x and a velocity v, as shown in Fig. 34-13. The
magnetic ﬁeld is at right angles to the electric ﬁeld. Now
as the electric ﬁeld acts on the charge and moves it up anddown, what does the magnetic ﬁeld do? The magnetic
ﬁeld acts on the charge (say an electron) only when it ismoving; but the electron is moving, it is driven by theelectric ﬁeld, so the two of them work together: While
the thing is going up and down it has a velocity and there
is a force on it, B times v times q; but in which directionis this force? It is in the direction of the propagation oflight. Therefore, when light is shining on a charge and itis oscillating in response to that light, there is a driving
force in the direction of the light beam. This is calledradiation pressure or light pressure.
1輻射圧の強さを調べてみましょう。明らかにそれは F =qvB であり、あるいはすべてが振動しているので、これの時間平均である ⟨F ⟩ である。(34.2) から、磁場の強さは電場の強さを c で割ったものと同じなので、電場の平均、速度の平均、電荷の平均、1/c の平均を求める必要がありま
す: ⟨F ⟩ = q⟨vE⟩/c。しかし、電荷 q に電場 E をかけたものが電荷にかかる電気力であり、電荷にかかる力に速度をかけたものが電荷にかかる仕事 dW /dt です したがって、光によって 1 秒間に与えられる力、つまり「押す勢い」は、1 秒間に光から吸収されるエネルギーの 1/c 倍に相当します。これは一般的な法則です。振動子の強さや、電荷の一部が相殺されるかどうかは言いませんでした。光が吸収されている状況では、どんな場合でも圧力がかかっている。
光の勢いは、吸収されたエネルギーを c で割ったものと常に等しい。

Let us determine how strong the radiation pressure is.
Evidently it is F = qvB or, since everything is oscillating, it is the time average of this, ⟨F ⟩. From (34.2) thestrength of the magnetic ﬁeld is the same as the strengthof the electric ﬁeld divided by c, so we need to ﬁnd theaverage of the electric ﬁeld, times the velocity, times thecharge, times 1/c: ⟨F ⟩ = q⟨vE⟩/c. But the charge q
times the ﬁeld E is the electric force on a charge, and theforce on the charge times the velocity is the work dW /dt
being done on the charge! Therefore the force, the pushing momentum, that is delivered per second by the light,
is equal to 1/c times the energy absorbed from the light
per second! That is a general rule, since we did not say
how strong the oscillator was, or whether some of thecharges cancel out. In any circumstance where light isbeing absorbed, there is a pressure. The momentum thatthe light delivers is always equal to the energy that isabsorbed, divided by c:⟨F ⟩ = (dW /dt)/c⟨F ⟩ = (dW /dt)/c(34.24)(34.24)That light carries energy we already know. We now understand that it also carries momentum, and further, thatthe momentum carried is always 1/c times the energy.

光がエネルギーを運ぶことはすでに知っています。さらに、その運動量は常にエネルギーの 1/c 倍であることも理解しています。

When light is emitted from a source there is a recoil effect: the same thing in reverse. If an atom is emitting
an energy W in some direction, then there is a recoil momentum p = W/c. If light is reﬂected normally from amirror, we get twice the force.

光源から光が放出されると反跳効果がありますが、これは逆の場合も同じです。原子がある方向にエネルギーW を放出しているとすると、反跳運動量 p = W/c となります。光が鏡から正常に反射されると、2 倍の力が得られます。

That is as far as we shall go using the classical theoryof light. Of course we know that there is a quantum
theory, and that in many respects light acts like a particle. The energy of a light-particle is a constant times thefrequency:

ここまでが、古典的な光の理論である。もちろん、私たちは量子論があることを知っており、多くの点で光が粒子のように振る舞うことを知っています。光粒子のエネルギーは、定数に周波数をかけたものです。

W = hν = h̄ω(34.25)W = hν = h̄ω

ここで、光はエネルギーを c で割った値に等しい運動量を持っていることがわかりました。したがって、これらの有効な粒子である光子が運動量を持っていることも事実です。

We now appreciate that light also carries a momentum
equal to the energy divided by c, so it is also true thatthese eﬀective particles, these photons, carry a momentum
p = W/c = h̄ω,c = h̄k.

(34.26)

p = W/c = h̄ω,

p = h̄k.

c = h̄k.

(34.26)

運動量の方向は、もちろん、光の伝搬方向です。そこ
で、ベクトル形式にすると

The direction of the momentum is, of course, the direction of propagation of the light. So, to put it in vectorform,
W = h̄ω,(34.25)(34.27)

W = h̄ω,p = h̄k.

(34.27)

もちろん、粒子のエネルギーと運動量は 4 ベクトルを形成するはずだということもわかっています。私たちは、
ω と k が 4 ベクトルを形成することを発見したところです。したがって、(34.27) がどちらの場合も同じ定数であることは、量子論と相対性理論が相互に矛盾しないことを意味しています。

We also know, of course, that the energy and momentumof a particle should form a four-vector. We have justdiscovered that ω and k form a four-vector. Therefore
it is a good thing that (34.27) has the same constant inboth cases; it means that the quantum theory and thetheory of relativity are mutually consistent.
2Equation (34.27) can be written more elegantly as pµ =h̄kµ , a relativistic equation, for a particle associated witha wave. Although we have discussed this only for photons, for which k(the magnitude of k) equals ω/c andp = W/c, the relation is much more general. In quantum mechanics all particles, not only photons, exhibit
wavelike properties, but the frequency and wave numberof the waves is related to the energy and momentum ofparticles by (34.27) (called the de Broglie relations) evenwhen p is not equal to W/c.

式 (34.27) は、よりエレガントに書くと、pµ = h̄kµ という相対論的な式になり、波と結びついた粒子を表すことができます。ここでは、k（k の大きさ）が ω/c に等しく、p = W/c である光子についてのみ説明しましたが、この関係はもっと一般的です。量子力学では、光子に限らずすべての粒子が波のような性質を示しますが、p が W/c に等しくなくても、波の周波数や波数と粒子のエネルギーや運動量は（34.27）で関係しています（ドブロイ関係といいます）。

In the last chapter we saw that a beam of right or left circularly polarized light also carries angular momentum inan amount proportional to the energy E of the wave. In
the quantum picture, a beam of circularly polarized lightis regarded as a stream of photons, each carrying an angular momentum ±h̄, along the direction of propagation.
That is what becomes of polarization in the corpuscularpoint of view̶the photons carry angular momentum likespinning riﬂe bullets. But this bullet picture is reallyas incomplete as the wave picture, and we shall haveto discuss these ideas more fully in a later chapter on
Quantum Behavior.

前章では、右円または左円の偏光ビームも、波のエネ
ルギー E に比例した量の角運動量を持つことを見ました。
量子力学的には、円偏光の光は、伝播方向に角運動量 ±h̄を持つ光子の流れと考えられます。これが、円偏光の視点での偏光であり、光子は回転するライフルの弾丸のように角運動量を持っています。しかし、この「弾丸」の図式は、「波」の図式と同様に不完全なものであり、これらの考え方については、後の「量子的挙動」の章で詳しく説明しなければなりません。

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