kDD =kobs2
kAA K=kobs2=

 − ∆ r G⊕ kAA exp  RT kobs2
 nFE Acell kAA exp RT

(1.6 × 10 dm mol s ) ( 96485 C mol ) × [ ( 0 .22 60 − 0 . 304 ) V ] (1.5 × 10 dm mol s ) exp  8.314 J mol K × ( 298.15 K ) ) (3=3−1−1 2−12−13−1−1−1= 9 . 5 × 104 dm3 mol−1 s−1

第 13 章13.7kc/KM とは，酵素と基質の二次反応速度定数 k2 であり，この条件で k2cE,0 が偽一次反応速度定数 k1 となる．
題意を式（11.21）に代入して，ln6 . 00 × 10−5 mol dm−32 . 20 × 10−4 mol dm−3) ((= − k2 × 1 . 00 × 10−8 mol dm−3 × 1 . 23 × 102 s)

k2 ≡ kc/KM＝1.06×106 dm3 mol−1 s−1 と得られる．
また，題意より，cs ＜ 2.20×10−4 mol dm−3 で KM/cs ＞ 1 ということであるので，KM は，2.5×10−4 mol dm−3より大きいと考えられる．
式（13.7）より

×105
4d cS
Vmax=dt
1 + K M /cSv≡−

3.5
3−dc（1＋K＝Vmaxdt
SM/cS）
これを積分すると
cS∫cS,0d cS − K McS∫cS,0d cS /cS = Vmaxt∫0dt

1.02.50.820.61.51c( cS,0 − cS ) + KM ln cS,0 = Vmax t0.4

KM

0.20.5S0

左辺第 1 項はゼロ次反応による濃度変化，第 2CES/CE,0−c/mol dm−313.801234t/s

56780項は一次反応による濃度変化を表している．
ある cS に対する t を計算し，t に対してプロットすると右図の●のようになる．破線はゼロ次反応を想定したときの濃度の減少の様子を表している．
また，式（13.6）より，ある cS に対する cES/cE,0 を求めて，対応する t に対してプロットすると，●のようになる．t＝44 s あたりで，cS＝KM となり，そのとき cES/cE,0＝0.5 となることがわかる．

13.9

式（13.14）に代入して，
KM =2 . 0 × 104 s−1 + 0 . 04 × 104 s−1
5 . 0 × 107 dm3 mol−1 s−1= 4 . 08 × 10−4 mol dm−3

また，k−1  k2 であるので，前駆平衡近似は成り立つ．
k1/kA＝A1exp（−Ea,1/RT），k−1/kA＝A−1exp（−Ea,−1/RT），k2/kA＝A2exp（−Ea,2/RT）と し，A1，A−1，A2は同程度であると仮定するなら，k−1  k2 であるため，ESS＋E の活性化エネルギーより，ESPcScE,0  k2cE,0 であるの＋E の活性化エネルギーの方が大きくなる．また，KM/cS  1 のとき，v＝（k2/KM）
で，図の（A）のように，S＋E

ES の活性化エネルギーは，ESP＋E の活性化エネルギーより大き演習問題の解答例

39くなる．また，KM/cS  1 のとき，cES/cE＝cS/KM  1 となり，ほとんどの酵素は ES 状態となる．そのときの律速段階は図の（B）に示すように，ESP＋E であり，系の活性化エネルギーは Ea,2 である．
（B）

（A）
Ea,1−Ea,−1＋Ea,2Ea,2Ea,,−1
エネルギー

エネルギー

Ea,2ESEa,1S＋E
ES

S＋E
P＋E

P＋E

反応座標

13.10

反応座標

問題のデータをプロットすると右の図のようになる．

0.4

式（13.7）にしたがって，v を c に対してプロットし，0.02，KM/mol dm−3＝0.058±0.007 と得られる．
同様に，vI を c に対してプロットし，重みをつけず

v0.3
v or vI/s−1

重 み を つ け ず に 非 線 形 回 帰 す る と Vmax/s−1＝0.48±に 非 線 形 回 帰 す る と Vmax/s−1＝0.238±0.009，KM/mol dm−3＝0.051±0.006 と得られる．誤差範囲内では0.2

0

KM は変化しておらず，Vmax だけが減少したと判断で

vI

0.1

0

0.05

0.1
0.15
cS/mmol dm−3

きる．式（13.42）の場合に相当して非拮抗阻害である．

13.11

問1vA =

問2

0.20.25式（13.7）に代入して(150 s ) × (1.00 × 10 mol dm )= 1 . 07 × 10 mol dm s
1 + ( 2 . 00 × 10 mol dm ) / ( 5 . 00 × 10 mol dm )−1kc c E,01 + K M,A / cA

−8−3−6=−6−3−6−3−1−3式（13.26）を上の式で割り，相当する値を代入すると

vA,I / vA =kc c E,0kc c E,0cI 
1+ 1+K M,A / cAK 

1 + K M,A / cA=

1 + K M,A / cAcI 1+ 1+K M,A / cAK 

IIcI


  1 + K M,A / cA − 1  ( K M,A / cA )1+=K I   vA,I / vA    1 + K M,A / cA KI = c I   − 1  cA / K M,A − 1 v/v
A,IA
(= 5 . 00 × 10−3 mol dm−3(−6  1 + 2 . 00 × 10 )) (mol dmm−3 / 5 . 00 × 10−6 mol dm−31/2) − 1  × ( 5.000 × 10 mol dm ) − 1  ( 2 . 00 × 10 mol dm )−6−3−6−3= 1 . 43 × 10−3 mol dm−3

問3

基質濃度が KM より十分小さい条件では，ほとんどの酵素は遊離状態にあるので，初速度は v＝cE,0cS で表される．したがって，速度の比は（kc/KM）

40

演習問題の解答例

(() () ())

150 s−1 / 2 . 00 × 10−6 mol d m−3vA ( kc,A / KM,A ) c E,0 cA ( kc, A / K M,A )==== 7.5v B ( kc,B / KM,B ) c E,0 cB( kc,B / KM,B ) 100 s−1 / 10 .00 × 10−6 mol dm−313.12

基質自身が阻害剤となっている（基質阻害（substrate inhibition）とよぶ）．ここで，基質阻害がなかった場合，破線のようになると考えるとする．cS の高いところで阻害が起こっているので，不拮抗阻害と考えられる．
式（13.32）の cI を cS に入れ替えて，次の式が得られる．
v=

13.13

k2 c E,tK
c1+ M + ScS
K SI

図 13.14 の各過程の速度定数を以下のように定義する．
A +EB+Fk1
k−1
k3
k−3EAk2P+FFB

k4Q+E

この過程で 4 つの酵素種が現れるので，4 つの式を連立させれば，各酵素濃度が得られる．簡単のため，各酵素種の濃度は小文字のイタリックで示すこととする（例えば，cEA ≡ ae）．4 つのうちの 1 つは，質量保存の法則である．
cE,0＝e＋ea＋f＋f b（1）他の 3 つは，題意にしたがい，4 種の酵素種のうち，任意の 3 種に対して定常状態近似すればよい．
（dea/dt＝）0＝k1cAe−（k−1＋k2）ea（2）（df/dt＝）0＝k2ea＋k−3 fb−k3cB f（3）（df b/dt＝）0＝k3cB f−（k−3＋k4）f b（4）また，酵素反応速度は次のように与えられる．
v ≡ k4 f b（5）

式（1）
〜（5）
を連立して，解けばよい．
式（4）
より，f＝
［{（k−3＋k4）/ k3}/cB］f b（6）fb
式（2）＋式（3）より，k2ea− k4 f b＝0 だから，ea＝（k4/ k2）（7）

f b＝fb式（1）に式（7）を代入して，e＝［{（k−1＋k2）/ k1}/cA］［{（k−1＋k2）/ k1}/cA］（k4/ k2）（8）式（6）, 式（7）, 式（8）を式（1）に代入して
c E,0 / f b =k− 1 + k2 k4
k−1 cA

k2+k4
k2+k− 3 + k4
k− 3 c B

k− 1 + k 2 k 4
k−1 + k2 k2  k2 + k4  +1 = 1++kkckkk−1 cA k2 + k4 +
2−1 A24（9）最後の式変形は，ミカエリス─メンテンの基本式のように，定数項を 1 とするためにまとめるためである．
式（9）を式（5）に代入して， kc ≡k2 k 4
k 2 + k4A, KM≡

k4

k−1 + k2

k2 + k4

k1

B, KM
≡

k2

k− 3 + k4

k2 + k4k3とおくと，式（13.48）が得られる．
ここで，酵素と基質 A あるいは B の触媒効率（二次反応速度定数）は次のように与えらえる．
kcAKM=k1 k2
k−1 + k2,

また，触媒定数はkc
BKM=k3 k4k− 3 + k4111=+と書き換えることができる．この逆数表現は，2 段の反応の直列に進行してkc k2 k4いることを示している（13.1 節 参考 13.2 ）演習問題の解答例

4113.14

図 13.13 の各過程の速度定数を以下のように定義する．
k1

A +Ek−1

B + EA

EAk2

EABk−2EAB( EPQ )
EQ

k4k3

EQ + P

E+Q

演習問題 13.13 と同様に，酵素の分子種は 4 つで，4 つの方程式は次のように与えられる．
cE,0＝e＋ea＋eab＋eq（1）（de/dt＝）0＝k−1ea ＋k4eq−k1cAe（2）（deab/dt＝）0＝k2cBea−（k−2＋k3）eab（3）（deq/dt＝）0＝k3eab−k4eq（4）v ≡ k4eq（5）式（1）〜式（5）を連立して解けばよい．
式（4）より，eab＝（k4/k3）eq（6）

eab＝［k4/式（3）に式（6）を代入して ea＝［（k−2＋k3）/（k2cB）］（k−2＋k3）（k2k3cB）
］eq

（7）

式
（2）に式（7）を代入して
e＝ea＋［k4/eq＝［{k−1k4}/（k1k2k3）［k−1/（k1cA）］（k1cA）］（k−2＋k3）}/（cAcB）］eq＋［k4/（k1cA）
］eq

（8）

式
（6）, 式（7）, 式（8）を式（1）に代入して
c E,0 / eq =k−1 ( k− 2 + k3 ) k4
k1 k2 k3 cA c B+k4k1 cA+( k− 2 + k3 ) k4 + k4 + 1
k2 k3 c B

k3k3 k4
 k3 + k4   k−1 ( k− 2 + k3 ) k4
( k − 2 + k 3 ) k 4 + 1=++ k3   k1 k2 ( k3 + k4 ) cA c B k1 ( k3 + k4 ) cA k2 ( k3 + k4 ) c B

式（9）を式（5）に代入して， kc ≡k3 k 4A

k3 + k4， KM ≡k3 k4

k1 ( k3 + k4 )B， KM ≡（9）k−1
( k−2 + k3 ) k4A， KI ≡とおくと，式k2 ( k3 + k4 )k1（13.44）
を得る．

13.15

問1ES 複合体生成反応の速度定数．

問2log（V ´max）が傾き 1 で pH に比例して増加しているので塩基触媒．

問3

酸触媒を表しており，折れ曲がり点はその pKa に相当する．

問4

ES 複合体生成に関する塩基触媒は His12 の塩基型で，酸触媒は His119 の酸型である．

問5

ES 複合体の分解（生成物生成）に関する塩基触媒は His119 の塩基型で，酸触媒は His12 の酸型である．

13.16

ここでは，フリーソフト gnuplot® を使って解析した結果について述べる．式（13.12）にしたがって，1/v を1/c に対してプロットし，重みをつけずに線形回帰すると
1/（v/mmol dm−3 s−1）＝A/（c/mmol dm−3）＋B とするとき，A/s＝62±7，B/dm3 mmol−1s＝14±1 と得られ
2

 d(1/B ) る．Vmax＝1/B であるので，誤差は δVmax = δ B 2 = δ B / B 2 となり，0.05 mmol と得られる（式 d B ×10−2 mmol dm−3 s−1 となる．また，KM＝A/B となるので，誤差は（14.37））．結果として Vmax＝（7.1±0.5）
222

 ∂A 
 A ∂( 1 / B )  δ A   Aδ B 2
δ KM = δ y 22 +  δ y 1 =  B  +  B ∂ A  B
∂BB2 A（14.37）．したがって KM＝（4.5±0.8）mmol dm−3 となる．

42

演習問題の解答例

2となり，0.75 mmol dm−3 と得られる（式式（13.7）にしたがって，v を c に対してプロットし，重みをつけずに非線形回帰するとv/mmol dm−3 s−1＝C×（c/mmol dm−3）/［D＋（c/mmol dm−3）］
で，C/s−1＝（8.2±0.5）×10−2，D/mmol dm−3＝6±1 と得られる．これより，Vmax＝C＝（8.2±0.5）×10−2 s−1，KM＝D＝（6±1）mmol dm−3 となる．
右図で，線形解析したものは赤の破線で，非線形解析したものは黒の実線で示している．逆数プロットでは，cS が小さい領域での誤差が，重みなしの線形解析に大きく影響する．また，結果の解釈に関しても，解析誤差の観点から，非線形解析の方が優れている．
2

 d(1/v ) δ v2 = δ v / v2 の誤差があるとし，重み付き線形解析を※ちなみに，1/v に対して， δ ( 1 / v ) =  d v 

すると，例えば，δv/mmol dm−3 s−1＝0.004 とした場合，A/s＝70±8，B/dm3 mmol−1 s＝12.4±0.7 となり，Vmax＝（8.1±0.5）×10−2 s−1，KM＝（5.6±0.9）mmol dm−3 となる．この結果は非線形回帰結果とほ

45
v/mmol dm−3 s−11/（v/mmol dm−3 s−1）ぼ一致する．このように，逆数の線形回帰をする場合には，必ず重み付きで解析しなければならない．

4035302520
15

00.1

0.2

0.3

0.4

0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0051/（cS/mmol dm−3）

101520cS/mmol dm−3

第 14 章14.9

式（14.13）と式（14.14）より ξ ==Dξ
また，式（14.13）
より， r = 6 πη =(1.38065 × 10− 23kBT)

J K −1 × ( 293.15 K )1.31 × 10−10 m2 s−1

3 . 09 × 10−11 kg s−1(6 × 3 . 142 × 1 . 002 × 10−3 Pa s)= 3 . 09 × 10−11 kg s−1= 1 . 64 × 10−9 m = 1 . 64 nm※これは水和したタンパク質の r である．式（14.13）は長い棒状分子には適用できない．

14.10

式（14.47）に代入して， D = RTu =zF

2

J 
−8 m 
 8 . 31 mol K  × ( 298 . 15 K) ×  8 . 29 × 10 V s C2 × 96485
mol= 1 . 06 × 10−9 m2 s−1式（14.46）に代入して，
C m2
A m2C  m2 = 0 . 01599= 0 . 01599= 1 . 6 0 × 10−2 m2 S mol−1
λ = z Fu = 2 ×  96485
×  8 . 29 × 10−8s V mol
V molmol  sV式（14.14）に式（14.47）を代入し，J＝kg m2 s−2＝C V であることに留意すると，
r=kBT
6 πη D=zF=
6 πηuN A2 × 96485

Cmol

kg  m2  1 ×  8 . 29 × 10−8× 6 . 23 × 102 36 × 3 . 14 ×  1 . 002 × 1 0−3ms s V  mol = 2 . 0 × 10−10 m = 2 . 0 Å

演習問題の解答例

43