社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

非同期同時振動発振器のリング結合系に見られる同期現象
藤岡 沙織†

楊暘††

上手洋子†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 〒 105–0123 徳島県徳島市常三島 2–1†† The Institute of Artificial Intelligence and Robotics., Xi’an Jiaotong University
No. 28 Xianning-West-Road, Xi’an, China
E-mail: †{saori,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††yyang@mail.xjtu.edu.cn
あらまし 本研究では, インダクタでリング状に結合された 2 個の共振器を含む発振器から観測される波動現象を調査した. 結果として, コンピュータシミュレーションによりダブルモードと N 相の非同期同時振動が安定して発生することが確認された. 著者の知る限りでは, これまでにこれらの興味深い同期現象は発見されていない.
キーワード

同期現象, 同時振動, 硬い発振器

Synchronization phenomena
in a ring of coupled simultaneous oscillators
Saori FUJIOKA† , Yang YANG†† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Dept. Electrical and Electronic Eng., Tokushima University
2-1 Minami-Josanjima, Tokushima, Japan†† The Institute of Artificial Intelligence and Robotics., Xi’an Jiaotong University
No. 28 Xianning-West-Road, Xi’an, China
E-mail: †{saori,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††yyang@mail.xjtu.edu.cn
Abstract In this study, a ring of coupled simultaneous oscillators with two LC resonators is investigated. By
computer simulations, asynchronous oscillations of double-mode and N -phase are confirmed to be stably generated.
Careful observation reveals various interesting synchronization phenomena which have not reported before.
Key words Synchronization phenomena, Simultaneous oscillation, Hard oscillator

1. 序論に発振することを発見した [4]. 倉光もまた, 3 個もしくはそれ以上の自由度を持つ発振器による同時振動を理論的に調査して自然界には様々な同期現象があふれている. 例として, ホタおり, 回路実験で 3 種類の異なる周波数を持つ同時振動の発生

ルの発光, 振り子の動きやカエルの合唱などが挙げられる. こを確認している [5]. 同時振動は代表的な非線形現象のひとつでれらは同期現象の代表的なものである. 非線形抵抗を含む発振あり, 自然科学の分野では様々な高次元システムで調査されて器において, 非線形抵抗が 5 次の電圧電流特性を持つ場合, 発いる. しかしながら, 近年の研究では著者の知る限り [6], [7] の振器は発振しにくいことが知られている [1] [2]. この場合発振研究を除いて同時振動に関する基礎的なメカニズムの多くは解を促すためには, 初期値に原点から遠ざけた値, つまり漸近安明されていない. これまでの研究では, ２個もしくはそれ以上定である領域を超えた電圧を印加する必要がある. Datardinaの硬発振器をラダー状に結合した系にみられる同期現象に関すと Linkens はインダクタで結合された硬い非線形性を持つ同る調査を行ってきた [8]- [10]. これらの調査では, 非同期ダブル一の発振器を調査し, 3 次特性の場合では観測されなかった非モード振動を含む様々な同期現象を観測し, 更には波動現象に共振のダブルモード振動を確認した [3]. 同様に, いくつかのパ関する興味深い結果を得ることができた. 本研究では, インダク

ラメータ範囲内において 4 種類の異なる発振（発振停止, どち

タでリング状に結合された 2 個の共振器を含む発振器から観測らか一方のみ発振, ダブルモード）が共存することを確認した.

される波動現象を調査した. 研究手法にはコンピュータシミュ

1954 年, Schaﬀner は 2 個の自由度を持つ発振器では 5 次の非レーションを用い, ダブルモードと N 相の非同期同時振動が安線形特性を持つ場合, 2 種類の異なる周波数を持ち尚且つ同時定して発生することを確認した. 著者の知る限りでは, これま—1—

iC に対応する yC は以下のように導かれる.

(yCj = γ yj1 − yj+1,1 +yj2 − yj+1,2αL).

(7)

また, 正規化した式中で使用される 5 次の非線形特性を含んだf (·) を以下に示す.

(f (x) = ε x −)β 3 1 5x + x .
35(8)3. 実 験 結 果
この節では, いくつかのコンピュータシミュレーションの結図 1 2 個の共振器を含む硬い発振器をリング状に結合した系

果を示す. 始めに, ここでの結果は５個の発振器を結合した結合発振器から得られたものである. 図２にこの回路モデルから得でにこれらの興味深い同期現象は発見されていない.

られる代表的な結果を示す. 図２ (a) は１０個の共振器からそれぞれ観測されたアトラクタである. ここで, 上図は上側の共2. 回路モデル

振器に対応しており, それぞれのアトラクタの形がトーラスで本研究で使用した回路モデルを図１に示す. この回路はインダクタで結合された 2 個の LC 共振器を含み, なおかつ硬い非線形性を持つ N 個の発振器で構成されている. 本研究に用いられる非線形抵抗の 5 次特性の式を以下に示す.

iR (v) = g1 v − g3 v + g5 v
35(g1 , g3 , g5 > 0).

致しており, 単一の周波数持つ. 図２ (b) では, 隣あう左右の共図は下側の共振器にそれぞれ対応している. 上図では, 共振器(1)れた発振器の式を以下に示す.

dtdi
j1

L1

dt

 L2 dij2dt

ドの発生が確認できたと言える. 一方下図は下側の共振器と一振器の位相差を示している. 図２ (a) と同様に上図は上側, 下上下に結合された 2 つの共振器は異なる周波数を持つ. 結合さdvj1
C1
dtdvj2 C2あることが分かる. このことから, 上側の共振器でダブルモー同士が同相で同期しており, また下図でも同期が確認できるが,こちらは複数の周波数を持つ. 図２ (c) は上下に位置する共振器同士の位相差を示す. 同期状態が確認できないことから上下=−ij1 − iRj − iCj + iC,j−1=−ij2 − iRj − iCj + iC,j−1=vj1=vj2の共振器の関係は非同期同時振動であると言える. 次に図３は(2)(j = 1, 2, · · · , N ),結合インダクタに流れる電流 iCj の式は以下のように導かれる.

iCj =

L1 (ij1 − ij+1,1 ) + L2 (ij2 − ij+1,2 ).
LC(3)(a)非線形抵抗に流れる電流 iRj は以下のように表される.

iRj = iR (vj1 + vj2 ).

(4)以下に示すパラメータと変数の変換を行い,√√

g1xmn ,
vmn = 45g5αC =√ε = g1L1,
C1C1,
C2
β=

g1
imn = 45g5αL =
3g3
g1

L1,
L2

√

g1,5g5√γ=t=C1ymn ,
L1

L1,
LC
√

(b)(5)

L1 C1 τ .

式 (2) は以下のように正規化される.

dxj1dτ
 dxj2dτdyj1
dτ dyj2dτ==(c)
図 2−yj1 − f (xj1 + xj2 ) − yCj + yC,j−1
αC {−yj2 − f (xj1 + xj2 ) − yCj + yC,j−1 }(a) １０個の共振器のアトラクタ. Horizontal: xjk . Verti-(6)==xj1αL xj2５個の発振器を結合した結合発振器から得られる代表的な結果 αC = 0.8, αL = 1.0, γ = 0.3, ε = 0.3, and β = 3.5.

cal: yjk . (b) １０個の共振器の位相差. Horizontal: xj+1,k .
Vertical: xjk . (c) １０個の共振器の位相差. Horizontal: xj2 .

(j = 1, 2, · · · , N ),Vertical: xj1 .

—2—

(a)

(a)

(b)

(b)

図 3 １０個の共振器の時間波形 αC = 0.8, αL = 1.0, γ = 0.3,ε = 0.3, and β = 3.5.

１０個の共振器の電圧の時間波形を示した図である. 図３ (b)は図３ (a) を拡大したものである. これらの結果から, 上側の共振器ではダブルモードが発生しており, ビートラインが５相で振動しているのが確認できる. さらに, それぞれの波形をみると同相で同期しており, 一定な振幅で振動している. また, 下側の共振器でもほぼ一定の振幅で５相に発振している. ここで,(c)

上下の共振器では基本的な振動周波数が異なることに注意した

図 4 結合強度を変化させた１０個の共振器の時間波形. (a) γ = 0.35.

い. つまりこれは上下の共振器同士が非同期であることを示し(b) γ = 0.4. (c) γ = 0.5.ている. 我々の知る限り, これらの複雑な現象はこれまで発表されていない. 自然界における高度な非線形現象への理解を深める上で, 本研究が重要となると著者は考える.

られなかった.

4. 発振器の数を増やした場合

3. 1 結合強度による変化
続いて, 結合強度 γ を変えることによる影響について調査

最後に発振器の数を増やしたシミュレーション結果を示す.

を行った. その他のパラメータは図２, ３と同じ値に固定する.

図６は, 発振器を７個結合した場合に得られる代表的な非同期

図４は γ の値を増やすことによって, １０個の共振器の電圧の振動の結果を示している. 一方図７は 15 個の発振器をつないだ時間波形が変化していく様子を示している. 上側の共振器では結合発振器から得られた電圧の時間波形を示している. 結果とビート発振が値を変えることにより, だんだん弱くなっている

して我々が予測した通り, これらのような拡張した回路からも,ことが分かる. 最終的には, 図４ (c) から分かるようにシンプル

上側の共振器からはダブルモード, 下側の共振器からは N 相のな同相同期に落ち着いている. 一方で下側の共振器では, 最初振動を確認することができた. さらに上側の共振器では, やはは図４ (b) のような弱いダブルモードが確認出来るが, 図４ (c)りダブルモードを形成するビートラインが７相, もしくは１５から分かるように最終的にはほとんど振幅がゼロに近い.

相で発振することを確認した.

3. 2 固有振動数の比率による変化

5. 結論

次に, 固有振動数の比率 αC を変化させることにより起こる影響について調査を行った. その他のパラメータは図２, ３と本研究では, インダクタでリング状に結合された 2 個の LC同じ値に固定する. 図５は αC の値を増やすことによって, １共振器を含む発振器から観測される波動現象を調査した. 研究

０個の共振器の電圧の時間波形が変化していく様子を示してい手法にはコンピュータシミュレーションを用い, ダブルモードとる. 上側の共振器ではビート発振が固有振動数の値を変えるこN 相の非同期同時振動が安定して発生することを確認した. さとによりだんだん変化していくことが分かる. 一方５相で振動らに結合強度や固有振動数の比率を示すパラメータを変化させ,している下側の共振器では, 固有振動数の変化による影響はみ現象の変化とその影響に関しても調査を行った. また, フュー—3—

(a)

(a)

(b)

(c)

(b)

(d)

(c)
図 5 固有振動数の比率を変化させた１０個の共振器の時間波形.

(a) αC = 0.5. (b) αC = 0.7. (c) αC = 0.85.

図 6 ７個の発振器を結合した結合発振器によるダブルモードと７相の同時振動 αC = 0.8, αL = 1.0, γ = 0.3, ε = 0.3, and β = 3.5.

(a) １４個の共振器のアトラクタ. Horizontal: xjk . Vertical: yjk . (b) １４個の共振器の位相差. Horizontal: xj+1,k .

チャーワークとして, ３個もしくはそれ以上の数の共振器を用

Vertical: xjk . (c) １４個の共振器の位相差. Horizontal: xj2 .

いた回路モデルの解析を行う予定である.

Vertical: xj1 . (d) １４個の共振器の時間波形.

文

献[1] C. Hayashi, Nonlinear oscillations in physical systems,
Princeton Univ. Press, p. 367, 1984.
[2] V.I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary
diﬀerential equations, Springer-Verlag, pp. 270-272, 1988.
[3] S.P. Datardina and D.A. Linkens, “Multimode oscillations
in mutually coupled van der Pol type oscillators withﬁfth-power nonlinear characteristics,” IEEE Trans. Circuits
Syst., Vol. 25, No. 5, pp. 308-315, May 1978.
[4] J. Schaﬀner, “Simultaneous oscillations in oscillators,” IRE
Trans. Circuit Theory, Vol. 1, pp. 2-81, Jun. 1954.
[5] M. Kuramitsu and F. Takase, “Averaged potential analysis
of multi mode oscillators with hard operating conditions,”
IEICE Technical Report on NLP, Vol. 81, No. 13, pp. 1-10,Sep. 1981.
[6] M. Matsuki and S. Mori, “Asynchronous simultaneous oscillations in negative resistance oscillatory circuit containing
periodically operating analog switch,” IEICE Technical Report on CAS, Vol. 101, pp. 81-87, Jun. 1993.
[7] M. Matsuki and S. Mori, “Asynchronous excitation phenomena in negative resistance oscillatory circuit containing
periodically operating analog switch,” IEICE Technical Report on NLP, Vol. 94, pp. 51-58, May 1994.
[8] Y. Nishio, Y. Yang and Y. Uwate, “Synchronization phenomena in simultaneous oscillators coupled by an inductor,”

図 7 １５個の発振器を結合した結合発振器によるダブルモードと１５相の同時振動 αC = 0.8, αL = 1.0, γ = 0.3, ε = 0.3, andβ = 3.5.

Proceedings of NCSP’11, pp. 147-150, Mar. 2011.
[9] S. Fujioka, Y. Yang, Y. Uwate and Y. Nishio, “Double-mode
simultaneous oscillation in three coupled hard oscillators,”
Proceedings of NCSP’12, pp. 72-75, Mar. 2012.
[10] S. Fujioka, Y. Yang, Y. Uwate and Y. Nishio, “Two kindsof waves in a ladder of coupled simultaneous oscillators,”
Proceedings of NDES’12, pp. 232-236, Jul. 2012.

—4—