計測自動制御学会東北支部40周年記念学術講演会
2004 年12 月22 日，23 日 日本大学工学部

講演番号：B14

圧電素子の非線形性を利用したマイクロ移動機構の研究＊（駆動原理の理論的検討）
古 畑 義 治 ， 堀 地 一 久 ， 岡 部 宏 ， 坂 野 進
A Research on Micro step Mechanism utilizing
Hysteresis of Piezoelectric Element( Analytical Investigation of Driving Principle )Yoshiharu Furuhata，Kazuhisa Horichi，Hiroshi Okabe，Susumu Sakano
Dept. of Mechanical Engineering, College of Engineering, Nihon University
1 Nakagawara, Tokusada, Tamura-cho, Koriyama-shi, Fukushima, 963−8642
The small actuator utilizing the bimorph piezoelectric device had been developed．But, it had beendifficult that the actuator produced the large force because the phenomenon of the sliding contact was used as
the driving principle．The another driving principle of the actuator has been found on the basis of the abovementioned research. The hysteresis of the material was utilizing as the driving power of the actuator．It wasclarified experimentally that the moving mechanism moved to right and left by the frequency of the power
applied to the piezoelectric device which constitutes the moving mechanism. Afterwards, the theoreticalinvestigation was repeated, and it would be possible to theoretically clarify the moving principle of themoving mechanism. In this paper，while the theoretical investigation is described, it is also shown on thecorrespondence with the experiments shown in the previous report.

Key Words :Micro Actuator，Small Linear Actuator，Hysteresis of Material，Piezoelectric Element，Non-Contacting Drive．

1.

緒法を報告した．しかし，圧電素子に印加する電圧の周論

波数によりアクチュエータが左右に移動する現象の理論的解明は未解決のままであった．

バイオテクノロジ、ナノテクノロジなど新しい技

本報告では，材料の非線形性を用いたアクチュエ術に係わる研究が活発に行われている．これらの研究

ータの駆動原理を理論的に解明した結果を示す．また，において，アクチュエータのマイクロ化は課題の一つ先に報告した実験的結果との対比を示す．最初に，バであり，研究開発の重要性が増している．アクチュエ

イモルフ形圧電素子を一様な荷重を受ける片持ち梁とータのマイクロ化の研究として，新しい駆動機構や新して取り扱うことの妥当性について述べる．次に，発しい機能性材料の組み合わせによる種々の方式のアク生駆動力について解析と実験との対比を示す．最後に，チュエータが取り上げられ，研究･開発が活発に行わアクチュエータの左右への移動の解明と移動速度につれている．前に提案したアクチュエータは材料の非線いて述べる．

形性を利用したもので，非線形材料を振動させた時に変位のヒステリシス特性により材料の支持端に生ずる力のアンバランスを駆動力としたものである．外部か

２．アクチュエータの構成と動作原理

ら何らかの手段を用いてアクチュエータを構成する非線形材料を振動させた時に発生する力でアクチュエー

図１に動作原理を示す．圧電素子にある周波数のタは左右に移動する．アクチュエータを駆動・制御す電圧を印加すると圧電素子は振動する．振動変位はヒる電源ケーブルを不要とする可能性を有する新しい方149ステリシス特性を示す．圧電素子の周波数に応じて移動体は左右に移動し，一次共振の場合には図面上で左ax
X n ( )X n ( )lle iωt
22 22(ω n − ω ) + (2Cω )∞xw
y( , t ) =∑l
ρA n =1方向に，二次共振の場合には右方向に移動する．

（１）
ここに，ρは圧電素子を構成する材料の密度，Ａは圧moving direction

電素子の断面積である．また，(a) First mode of vibration

x1Xn( ) =lλnmoving direction

ω n2 =(b) Second mode of vibration

2C =Fig. １ Driving principle of actuatorxxcos(λ n ) + cosh(λ n )llxxsin(λ n ) + sinh(λ n )ll

λ4n EIl 4 ρA
λ4nl

4

ξ

（２）

（３）

I
ρA（４）

Ｅは young率，Ｉは断面 2次モーメント，ξは梁の断３．移動現象の解析面における粘弾性損失係数である．
３．１ 解析のための仮定

上式における X n ( x / l ) は規準関数と呼ばれ，振動移動現象の解明のために次のような仮定をした．

姿態を表し，λｎは梁の境界条件による振動方程式の① バイモルフ形圧電素子の電圧−変位における非線解である．片持ち梁の一端固定，一端自由の境界条件形性を図２に示すように直線で近似する．

から求まる定数である．λ1＝1．875，λ２＝4．694、これらの直線は次式で表される．

・・・である．

② 駆動電圧に対する圧電素子の変形を一様な荷重をwe iωt受ける片持ち梁の変形とする．
Deformation Y(V)al

Hysteresis

Y1(V)

xl

Voltage (V)
Y2(V)
Fig.２

yFig. 3 Vibration of canti-lever

Nonlinear characteristics of piezoelectric element

ｗを梁全長に一様に分布させ，梁の先端における振動
３．２ 一様荷重を受ける片持ち梁の振動変位結変位を求めると次式となる．

晶には，速度に比例する損失（粘弾性損失）がある．

y (1, t ) =圧電素子の振動変位の解析において，粘弾性損失を考慮した方程式を基に解析を進める．図 3 に示すように片持ち梁の支持端から（ａ／ｌ）のところに働く周期2 w ∞ 1 cos λ n + cosh λ n∑
ρA n =1 λ n sin λ n + sinh λ n×的な力による（ｘ／ｌ）の箇所の振動変位は次式として表せる(12)．ｌは梁の全長である．

X n (1)(ω − ω ) + (2Cω )2n

2 22e iωt（５）150さらに整理すると次式のように表せる．

る最大電圧で発生する変位（ｍｍ），ａは電圧に対す∞
1 cos λ n + cosh λ ny (1, t )= 16∑ 5y stn =1 λ n sin λ n + sinh λ nる変位（ｍｍ/V），ｂは定数（ｍｍ）である．

1Y (V ) = δ * (aV − b)

X n (1)

×(7)

12


2C 2 ω 2
ω 2
1 − ( )  + ( ) ( )ωn ωn ωn

1Y (V ) = δ * (aV + b)(8)2

図５に示すように片持ち梁の固定端からｘの位置の（６）微小部分ｄｘに働くｗＹｉ(V)ｅiωt の荷重を受けた場

ここに， y st は静荷重ｗを梁に一様に加えた場合にお合の固定端（移動体）に働く力は次式のように表せける梁先端のたわみである．

る．

バイモルフ形圧電素子に 60Ｖの電圧を印加し，電Fi ( x, V ) = wYi (V )e iωt sin αdx ≈ wFi (V )e iωtαdx

圧の周波数を変化させた場合の振動変位の実験結果と= wYi (V )e iωt

式（６）による理論値との対比を図 4 に示す．実験における振動変位の測定は光学的測定器を用いて行った．
図 4 に示すように理論値と実験結果とはほぼ一致してdy ( x)dxdx

いる．圧電素子の振動変位を一様荷重を受ける片持ち(9)梁の固定端から先端まで積分することにより働く総力梁の振動変位として表すことの妥当性を示している．

が求められる．

図中，ω/ω1＝2．5 〜 5．0 の部分で実験値は一様の
2[wYi (V )] l 4 ∞ 1 cos λ n + cosh λ n
F (V ) = 2傾向を示している．通常の強制振動では反共振点が現れる部分であるが，圧電素子の場合には反共振とならiEIない結果が得られた．一様な荷重を受ける片持ち梁でバイモルフ形圧電素子のモデル化を行う場合に，反共n =1X n (1)e×振点の近傍では圧電素子の特性とは異なる結果となる．

∑ λ sin λ + sinh λ5nnniωt2

2C 2 ω 2ω 21 − ( )  + ( ) ( )ωn ωn ωn：calculation：experiment
10Traveling ratio(y/yst)(10)ｗYi(V)ｅiωt
10.1
0.11Frequency ratio10( ω/ω1)

ｘFig. 5 Deformation and force by load wYi(V)Fig. 4 Frequency response of piezoelectric device
F1(V)−F2(V) は圧電素子におけるヒステリシスにより３．３ 駆動力の算定

図３に示したバイモルフ形

一周期の振動の間に圧電素子が移動体を押す力となる．

圧電素子の電圧−変位の非線形性を次に示すような直式(7)，式(8)および式(１0)を用いて整理すると次式の関＊線で近似する．式において，δ は圧電素子に印加す係が得られる．

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ここに，ｘは移動距離，ｍは移動体の質量である．ま∞1− 4w 2 l 4*ab∑v25EIδ *n =1 λ nた，Ｆ＝Ｆ１（Ｖ）−Ｆ２（Ｖ）である．

X n (1)e iωtcos λ n + cosh λ n×sin λ n + sinh λ n3002ω 2
2C 2 ω 2
1 − ( )  + ( ) ( )ωn ωn ωn(11)：experiment

200
Velocity

ここに，：calculation(mm/min)F 1 (V ) − F 2 (V ) =v * は圧電素子に印加される最大電圧である．圧電素子に対する駆動最大電圧における変位と，100一様な荷重ｗを受ける片持ち梁の先端の変位との関係＊からｗを求める．ｗと δ との関係は次式となる．
(ω／ωn)

8EI
w= 4 δ*l0（12）0.1110Frequency ratio

最終的に，圧電素子のヒステリシスによる力のアンバ
ランスに起因する移動体への駆動力は次式と求まる．
この力は圧電素子の振動の一周期間に生ずる力である．

−10振動を繰り返すことにより連続的な力の発生となる．

F 1 (V ) − F 2 (V ) =cos λ n + cosh λ nsin λ n + sinh λ nFig. 6 Velocity of calculation and experiment∞
1− 256 EI*ab×∑v
45ln =1 λ n図に示すように，一次共振に対応して左方向の移動が，X n (1)e iωt

二次共振に対応して右方向の移動が得られた．

2ω 2
2C 2 ω 2
1 − ( )  + ( ) ( )ωn ωn ωn

５． 結 言(13)

材料の非線形性を用いたアクチュエータの駆動方法について解析により駆動の可能性を示すとともに実験

３．４ 移動速度の算定との対比を行った．圧電素子を一様荷重を受ける片持発生力の対比が出来たのち梁として取り扱い，周波数特性およびアクチュエーで，次に発生力による移動体の速度を算定し，実験とタにおける駆動力の発生については解析と実験がほぼの対比を行う．図 6 に結果を示す．実験では，標点距一致することを示した．また，正負の駆動力の発生に離１０ｍｍを移動する時間から平均速度を求めた．計より移動体が周波数により左右の移動が可能であるこ算では，エネルギーの関係から次式のようにして速度とを明らかにした．しかし，移動体の速度に関す結果を求めた．

は摩擦の存在により実験結果は理論値よりも一桁小さ

mv = Fx2(１4)い値となる結果となった．提案した駆動方法をアクチュエータとする場合に摩擦を極力小さくすることが必要である．駆動力を与えるバイモルフ形圧電素子の長v=

Fxm

さの影響について検討し，圧電素子の全長，すなわち，(１5)共振振動数は駆動力の大小に全く影響しないことを明確にした．この結果から，移動機構のマイクロ化を図った場合においても所望の駆動力の発生が期待できる．

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