山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書「倍の見方」の指導に関する一考察

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 初等教育分野 山口国之1. はじめに平成 29 年告示の学習指導要領より,第 4 学

割合は難しい教材の一つである．比例関係が年で「簡単な場合の割合」の学習が加わった.そ捉えられないことや，2 量を比べるときに倍の見方ではなく差の考えで問題を解決してしま

こには「ここで育成される資質・能力は，第 5う実態がある．このことは，過去の全国学力・る数量,割合,百分率などの考察に生かされる」（p.217）と記されている.本研究では，第 4 学

学習状況調査の結果や，先行研究から示されている．改善にあたっての指導への示唆についても各種調査や先行研究から示されている．
早川(2003)は「『同じ割合をつくる』活動を導学年の異種の二つの量の割合として捉えられ年の学習に焦点を当てていく.
2.研究の目的

入指導で行うことで，同じ割合をもとにして筆者は，割合の導入場面や素地指導として，『比例の見方』を養うことができた.」（p.23）

比例関係を顕在化することは大切だと考える．と述べている．導入指導で「同じ割合をつくる」
活動を行えば，児童は 2 つの数量の間に比例関児童がさまざまな場面において「比例関係」を認め，倍の見方をすることで割合の理解につな係が内在していることに気づくことができる．
そして，2 量の割合同士を比べる場面では，比がるからである．

例関係を前提として，差の比較ではなく倍の見た量を比べるときに，差の考えで比べてきた．

方で比べることができるのではないか．
石田(2022)は「二つの数量の関係と別の二つ例えば 5cm の鉛筆と 3cm の鉛筆の長さを 5−3をして差を 2cm と求めてきた．第 4 学年の「倍の数量との関係を割合を用いて比べる」問題の解答状況を値上がり問題と値下がり問題を用の見方」の学習では「A と B の包帯はどちらが伸びるといえそうですか」という問題で，A のいて調査した．その結果，「二つの数量の関係と別の二つの数量との関係を割合を用いて比べ伸びる前 30cm と伸びた後 60cm という同種の2 量の関係を，同じく同種の 2 量の関係であるる」ことが第 4，5，6 学年で困難であることがわかった．指導への示唆としては，「『割合の計B と比べ，「倍の考え」によって 3 倍伸びる Bと答えを出す．しかし，これまで量の比較を差算』に至る前段階として，差を使って比べることの不適切さを理解できるような活動を大切によって比べてきたので，ここでは「差の考え」で解釈してもよいという考えが変容しない児にしたい．
」と述べている．
昨年度の筆者の研究では，「同じ割合をつく童もいる．そして，後の学習においても割合で比べるべき 2 量を「差の考え」で比べようとする」活動を第 5 学年の「単位量あたりの大きさ」で導入場面に位置付け研究を行った．同じ混み具合をつくる活動を導入に取り入れることで，る実態もある．
改善にあたっては，差と倍の両者を比べ，差の不適切さを理解できるような活動を行うこ

異なる割合を比べる時に，割合の本質である，倍の考えで比べることや比例の考えを前提ととが示されている．
つまり，比例関係の顕在化，差の考えの不適して問題を解決することができた．

切さ，これら 2 つの考えが表出する題材を考え，第 4 学年の児童は，長さや重さ，時間といっ－ 376 －山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書

授業実践を行い，分析をとおしてこれら２つの考えを大切にすることが「倍の見方」の理解を促すのに有効であったかどうかを検証することが研究の目的である．

（表 1）問題で提示した表もと

後

中パック

100200

大パック

250

□

3.研究の内容

学習指導要領では, 第 4 学年で（同種の）二つの数量を比べる場合に,割合を用いる場合があることを知ることと記されているため,教科書6 社はすべて同種の量を扱っている.しかし，比例関係を顕在化させるためには異種の量の方がよいと考える．また，差の考えも出やすいため(1)のような題材を考え，（同種の）二つの数量を比べる活動の前時に位置付けた．

(図 1)

(図 2)

問題「値上がり方を同じにする時，大パックはいくらですか．
」から児童は「同じ値上がり方」について「差の考え」か「倍の見方」のどちらでつくっていけばいいか必然的に考えることになる．

単元名 「倍の見方」
・数量の関係に着目して何倍かを求める
方法を考える（第一用法）
・・・1 時間目（差の考え）
200−100＝100

250＋100＝350（倍の見方）

・数量の関係に着目して比較量を求める
方法を考える（第二用法）
・・・2 時間目

200÷100＝2250×2＝500
大パックも同じ値上がり方で考えるとき・数量の関係に着目して基準量を求める

は 250 円に 100 円足して 350 円とするのか，2 倍して 500 円にするのか考えること

方法を考える（第三用法）
・・・3 時間目
・「同じ値上がり方」を調べる活動（たまごパックの問題）
・・・4 時間目（本時）・二量の割合同士の比べ方について考えになる．その考えの違いを「ひき算かわり算かどちらで考えればいいのだろう．
」を課題として設定して解決していく．

る（包帯の問題）・・・5 時間目③ 比例関係の顕在化について
児童は日常生活での買い物の経験から，はじめに提示した中パックや大パック以外(1)題材について① 必然性を伴う課題と数値設定
最近の物価高による物の値上がりを導入で話題とし，「卵パック」の値上げについての他の大きさについても考えるであろう．

考える．さまざまな種類の卵を売っている一つのお店が値上がり方を同じにして，卵を売る場面を設定する．

小パックの値段といった極端な例を想定することで，比例関係を顕在化させることが② 差と倍の考えについて
児童から比例関係を出したいので，まず「中パック」「大パック」を提示する．児童から「小パック」「1 個あたり」などの他の見方を引き出すため，（図 1，2)も提示する．
また，数値は差と倍の両方の見方ができる数値にした．(表 1)－ 377 －

より大きい特大パックの値段やより小さいできる．
あらかじめその他の大きさと値段を設定しておくことで，もとの値段と後の値段を比較してどの大きさのパックも 2 倍の関係になっていることを理解できる．また，パック同士を比較して「小パック」から「中パック」はもとの値段も後の値段も 2 倍になっていることや，「1 個の値段」から「大パッ山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書

ク」は 5 倍になっていることなど様々なパパックの値上げ前と値上げ後の差に着目してックの値段を比較して比例関係を見出すことができるのではないかと考える．

いる児童．表を縦にみて中パックの値上げ前の100 円と大パックの値上げ前の 250 円の値上がり方が 150 円なので，中パックの値上げ後の値段 200 円に 150 円を足して 350 円と答える

4.研究の方法

令和 4 年度山梨県内の国立大学附属小学校児童がいた．
（kk 児）

第 4 学年 33 名を対象に行った．
先行研究にあたり指導への示唆を得ること．
全国学力・学習状況調査から課題と改善例をまとめること．そして，そこから得た知見をもと(図 3)kk 児(図 4)is 児に授業実践を行う．第 4 時間目の授業実践で得これらの児童はいずれも自力解決の段階では，た，児童のノート記述，プロトコル，板書など差で考えることの不適切さに気づいていない．

から目的が達成されたか明らかにする．

中パックも大パックもどちらも100 円値上がりをしているのだから，問題文の「値上がり方が5.授業の実際と分析同じ」の意味と合致していると捉えている．

(1) 課題提示
問題「値上がり方を同じにする時，大パック② 倍の見方で考える児童の実態はいくらですか．
」（表 1）を提示した．児童か倍の見方で考える児童は 11 人いた．式で考ら出た答え，350 円と 500 円に着目し自力解決に入った．

えた児童は中パックが 2 倍だから大パックも 2倍して 250×2=500 と解決していた．
（図 5）(2)自力解決
自力解決の考え（表 2）は次の通りである．
（表 2）自力解決の児童の考え
10 人

(図 5)

言葉

4人

式

7人

（ア）1 個の個数の値段の比例関係を捉えて線分図で表した児童 hn 児

図など

2人

差の考え

11 人

倍の見方
言葉

1人

式

3人

図など

7人

わからない

8人

誤答 650 円

1人(図 6)hn 児
hn 児は，中パックと大パックそれぞれ１個分の値段に着目した．
（図 6）
この後の wk 児も 1 個分に着目しているが，素材の「卵パック」のイメージをつかむために① 差で考える児童の実態差の考えの児童が 10 人いた．4 人は言葉で「中パックが 100 円値上げしているから，大パックも 100 円値上げして 350 円になる．
」と考えていた．7 人は式のみで，または式と言葉（is児）で，答えを出していた．表を横にみて，中提示した絵（図 1，2）には個数が示されている．
児童は，パック以外にも個数にも着目して課題解決していくことになった．そしてそのことが１個分の値上がり方にも比例関係を見出す事になり，全体の「パック」も比例関係を見出していくきっかけとなった．

－ 378 －

山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書

した．
（図 9）同様にテープ図と数直線図に表し（イ）1 個の個数の値段の比例関係を捉えて図で表した wk 児

た児童は数名いた．児童は前時の 2 時間目の比較量を求める学習で同じ構造のテープ図と数直線をかき，立式し答えを出している．
このように，自力解決の段階では，差の考えと倍の見方で考える児童がいた．また，1 個あたりの値段に着目した児童もいたので，それらの値段を比較して比較検討では，比例関係を見出していくこととした．

(図 7)wk 児
wk 児は hn 児と同様に 1 個の値段を 25 円と(3)比較検討して，値上がり後の 1 個の値段を 50 円として①差の考えいる．個数が 2 倍になっていることから，パッまず差の考えから取り上げた．kk 児(図 3）

ク全体も 2 倍になると考えている．
（図 7）

は表を縦にみて中パック 100 円から大パック
250 円は 150 円値上がりしているから 200＋（ウ）値上がり前を 1 として値上がり後を 2 と150=350 で 350 円とした．次に is 児(図 4)が表みて数直線に表した児童 st 児

を横にみて，中パック 100 円が 100 円値上がりしているから，大パックも 100 円値上げして250＋100=350 で 350 円になると説明した．

(図 8) st 児st 児は，数直線に中パック大パックともに，もとの値段を 1 とみて，値上がり後の値段を 2

T31:中パックの元の値段が 100 円で後が 200円に値上がりしているんだね is さん．

みて数直線に関係を表した．
（図 8）中パックはのかなって．

100 円から 2 倍になっているから大パックも 2T32:ここ（中 100 円）から 100 円値上げした倍になっていると比例関係を捉えることができている．さらに，「差の考えに対し，250 円かってこと.
C52:大パックも 100 円値上げしてんのかなあ

ら 350 円にいくと変だし（上の図を見て）」と自身の 250 円から 500 円と 2 倍した数直線上って思った．

C51:中パックは同じ会社だから 100 円上がるに 350 円（?）と記している．数直線上の倍の考えと見比べることで差の考えの不適切さに③ 倍の見方（表を縦に見る）差の考えの後，倍の考えを取り上げた．hn 児
は卵 1 個分の値段に着目した．中パックは値上がり後 200 円で大パックは値上がり後は 500円．
それを踏まえて 1 個分の値段 25 円を求め，気づいている．
（エ）テープ図と数直線図に表した kn 児

中パックと大パックどちらも 1 個の値上がり後は 50 円となることから同じ値上がり方をすると捉えていた．

(図 9) kn 児

C62:一つの卵が 25 円で中パックの時．大パッ
クのときは 25 円ぴったりで．後の値上がりしkn 児は中パックと大パックのもとの値段と値上がり後の関係をテープ図と数直線図に表た方を 4 つに分けたら中パックは，50 円だったから大パックも 50 円だとして計算したら－ 379 －

山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書

500 円になるから私は 500 円になると思います．
（図 10）
このとき差の考えの 1 個分については議論していない．

（図 12）
C78:100 から 2 に 2 倍してるから，それで 500の方も，下の大パックの方も，250 を×2 にして，2 倍にして同じようにそんな感じで 500 円（図 10）だと思う.

この考えに対して他の児童は C63「何となく．
」C64「よくわからない．
」と納得していな④ 倍の見方（表を縦に見る）い様子であった．差の考えのみの説明では，比in 児は，③の横に見る考えを理解しつつも，べるものがないため，違いが捉えにくいことが②の縦に見る考えを解釈しようとして，次のよわかったので，児童から 1 個分についての他のうな発言をした．差の考えで中パック 200 円も大パックと同様に 2 倍以上値上がりしなけれ考えを発表させた．hn 児は続けて，ばいけないのに，350 円と 2 倍にも満ちていな
C71:中パックが 100 円値上げして大パックいから差の考えだとおかしいと，縦の比例関係も 100 円値上げして 350 円なら大パックのを捉えて倍の考えが正しい理由を説明していた．
（図 13）

方が大きいのに値上げの値段が少なくなるから．と差と倍の値上げ後の値段を比較して，差の考C89:大パックは中パックの 2 倍以上だから，T63:もう一回言ってした．差の考えの「中パック値上げ後の 200 円」

C90:大パックは中パックの 2 倍以上だから，T64:これ（差の考えの 200 円→350 円）を言っをもとにすると，大パックは 350 円よりも，もっと値段が高いはずだと考えていることがわてる？
C91:150 円（値上げ後の中パック 200 円→350

かる．
（図 11）

円の差の 150 円のこと）だと少なすぎる.

えだと値上がり方が同じではないことを説明（図 13）（図 11）
ik 児は，in 児の考えを式表現で表して説明しようとしていた．
（図 14）④ 倍の見方（表を横に見る）
nh 児は表を横に見て，中パックの 100 円から 2 倍しているから，大パックも同じように 2倍して，250×2=500 と考えていた．
（図 12）

C98:500 円の方なんですけど，中パックって 1パック 4 個じゃないですか．それが 200 円じゃないですか.〜（中略）〜大パックは 10 個入ってるわけで 4 の塊が，2 個じゃないですか.

－ 380 －

山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書

大パック（10 個） 250（図 14）
1 個分の値上がり方を倍の見方だけではなく

350

35倍の見方もと

後

1 個の値段

1個255050

中パック（4 個）

100

20050

大パック（10 個） 250

50050

差の考えと比較すると，先ほどとは違い多くの児童が納得している様子であった．
値上げ後の卵 1 個の値段について考える．差C123「10 円変わっちゃう」とは題意とは異なの考えだと，中パック（4 個）は 200÷4=50 円．

説明である．差の考えだと 1 個 25 円が値上が大パック（10 個）は 350÷10=35 円となり，1個当たりの卵の値段が 1 個だと 125 円，4 個（中パック）だと 50 円，10 個（大パック）だり「同じ値上がり方」にはなっていないことのり後は 1 個分が 35 円になり，倍の見方ではどちらも 50 円となり値上がり方が 1 個分はどちらも同じになっている．と 35 円となり値段がそれぞれ違うこと．一方
倍の見方だと，中パック（4 個）は 200÷4=50円．大パック（10 個）は 500÷10=50 円となり1 個当たりの値段が同じになる．
（図 15）

C118:あの，分けるって言ったじゃないですか
1 個の値段を（差の考えで）350 を 10 個に分けたら 1 個 35 円じゃないですか．でも普通の25 円よりも 10 円しか上がってないじゃないですか．

hn 児

C119:ここ（差の考えの□）がもし大パックが100 円上がった時に，大パックが 10 個だから1/10 して 35 が 10 個できる．
T88:35 ってなんの数．

hn 児

C120:35 は 350 を 10 で・・・

（図 15）

T89:そうなんだけど 35 ってなんの数．
C121:1 個の数，値段．

T82:1 個分ね，1 個が今いくら
C112:25 円
T83:卵 1 個分で考えたんだね.1 個分で考えた
時に
C113:それだと合わない
T84:ひき算で考えた時は，1 個の値上がりはいくらになるの，＋100 だから
C114:1 個の値上がりは，125 円
C115:それは 50 円
T86:の値上がりの仕方ね.値上がり方を同じにするんだね.
差の考え

もと後

1 個の値段

1個25125125

中パック（4 個）

10020050

C122:で 10 円しか上がらない．
C123:中パックは値上がりすると 50 円になる
んですよ，割れば 4 個だから 250 円を大パッ
クは 350 円にして 10 で割ると 35 になっちゃうから値上がりした一つの値段が，中パックと大パックで 1 個の値段が変わっちゃうから，10円変わっちゃうからそれだと同じになってないから．
T90:hn さん．
C132:これは中パックと同じで 50 円になって大パックが 500÷10 で 50 円になるから，こっちの方が値段が一緒で，同じ値上がり方になる．
このように同じ値上がり方の根拠を 1 個分（1 個あたりの値段）で比べ，倍の見方で考えた方が適切であることを説明できた．

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山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書⑤ 「何が同じ」を問う場面

C142:500 円の方がいい．

1 個分の値上がり方を差と倍の両者で見比べることで多くの児童が差の考えの不適切さ

C143:でもそれなら逆にいいじゃん，それより（中パック）高いけどお得だから．値上がりしに気づいた．しかし，まだわからない児童もてることは値上がりしてるけど．
C144:正確的なのは 500 円でしょ．

数人いた．そのため今度はパック全体に着目した．自力解決の時点で図 9 の kn 児と同じ数直線で考えた hk 児が書いたテープ図と数直差の考えと倍の見方を改めて見比べた．児童からは，差の考えでは 1 個分の値上がり後は線をもとにして考えていった．

「高い．
」特大パックになると「他と比べて売れまた導入で「1 個」や「特大パック」に目を向ける児童がいたので，中パックと大パッてしまう．
」といった見方をした.

ク以外の大きさも児童と一緒に黒板に記して倍の見方では「全部平等．
」といった見方をした．

いった．
（図 16，17）差の考えと倍の見方の両者を見比べた．差の考えでは 1 個分の値上がり後は「高い．
」特大パックになると「他と比べて売れてしまう．
」といった見方.倍の見方では「全部平等．
」といっ(図 16)た見方をした．
改めて「何が同じか．
」問うと，差の考えでは，小パックから特大パックまで全て「100 円値上がりしていること」が同じ．倍の見方では，小(図 17)

このように，倍の見方で考えるためには，差の考えと倍の見方を比べることや，比例関係を顕在化させること，何が同じかを問うこと，そしていること」が同じに児童は気づくことができた．

して共通点と相違点を見出すことが差の不適切さを感じ取るために大切だということが明らかになった．

T96:is さんうなずいていますが，（4）まとめ・振り返り

C135:同じにしたつもりだったけどしてなかった.

最後に，「値上がり方を同じにするときはもとの値段を 1 とみて倍で考えて比べる」とまとT97:こっち（差）で考えて同じにしたつもりだ
ったけどしてなかった.

めていった．
学習感想には，iw 児「値上がり方を同じにすC136:どっちも同じなんだけどね．
T98:どっちも同じって何が同じなの．

る時は，わり算や倍を使って計算することがわかりました．最初は 350 円だと思っていたけ

C137:（差）350 円の方はどっちもプラス 100円してるし（倍）500 円の方はどっちも×2 してるからどっちも同じなんじゃないかな．

ど，わり算やテープ図，1 この値段を考えれば500 円になることもわかりました．
」in 児「値上がり方を同じにする時はもとの値段を 1 とT99:値段が違うとなんでいけないの．
C138:だって大パックの方が売れちゃうから．

みて考えるとかんたんな気がする．
」is 児「さいしょはひき算だと思っていたけど，kn さん

C139:大パックはお得だ．
C140:青の 350 円の大パックの方が安いから，hn さんからテープ図のことを教えてもらってすごいいっぱい買うようになっちゃう．
C141:大パックはお得になっちゃっていっぱいた．
」といったように，もとの値段を 1 とみて倍の見方で考えることや，1 個あたりの大きさ買ってなくなっちゃう．
T100:値上がり方を同じにする時.

を比べることで，同じ値上がり方について考えることができたことが明らかになった．

パックから特大パックまで全て「2 倍値上がり全部平等にしなければならないことがわかっ－ 382 －

山梨大学教職大学院 令和４年度 教育実践研究報告書

なる 2 量を比べる前時に取り組むことで，「倍(5) 次時の様子「同じ値上がり方」を調べる活動（4 時間目）の見方」で割合同士を比べることができた．
課題としては，比例関係を捉えやすい数直線を行った後に，基準の異なる 2 量の割合を比べは何か吟味する必要があった．本時では値上げる授業（5 時間目）を行った．

前と値上げ後の数直線は倍を求める包含除の5 時間目は，全ての児童が倍の見方で包帯 A意味合いを持つ数直線であった．素材が異種のと包帯 B の伸び方を考えた．倍の見方で 2 倍 3量であり，比例関係を視覚的に見やすくするた倍を比べ，3 倍伸びる B がよく伸びると判断できた．
（表 3）

めには，1 個あたりを見やすくする等分除の意
味合いを持つ数直線を示す方が良かったのではないか．一方が 2 倍 3 倍になればもう一方も（表 3）児童の考えの変容

2 倍 3 倍になるといった比例関係については，同じ割合を作る

基準の異なる今後学習する．しかし，これまで児童は既習の（本時）２量の割合を比べる「かけ算」や「変わり方調べ」において比例に素材

卵パック包帯つながる素地として学習してきている．既習と差の考え100の関連，そして今後の学習との関連を考えたと倍の見方

1133

きにより比例関係を意識できるような数学的表現方法を選択していく必要がある．
山口（2021）の実践からも異種の量である「単6.研究のまとめ成果として，「卵パックの個数と値段」といった異種の量が内在している素材を扱うことで，児童は 1 個分に着目して，比例関係を捉えることができた．1 個の値段だけではなく，4 個のまとまりの値段といったように，さらに大きな括りでも「個数」と「値段」には比例関係が成り立っていることを理解することができた．
次に，差の考えと倍の見方が表出するような数値設定が大切であることが明らかとなった．
また，問題文の意味に答え方が左右されることもわかった．例えば差の考えも「中パック大パック共に 100 円値上がりしている」し，倍の見方も「中パック大パック共に 2 倍している」し，どちらも「値上がり方はどちらも同じ」と捉えていいのではないかという実態があるということである．しかし，「何が同じ」かを問うことで，「2 倍が同じ」ことを捉えることができ，「問題の意味」を問うことで，倍の見方は「全部平等」と「値上がり方が同じ」ことに気づき差の不適切さを感じ取ることができた．差の考
えと倍の見方を比べることで差の不適切さが明確になった．

位量あたりの大きさ」において，比例関係を捉えられず差の考えで「混み具合」を考える児童の実態が明らかになっている．差と倍の見方を対峙させることは，本研究のように第 4 学年で扱うだけでなく，単位量や割合，比の学習などにおいてその都度行う必要がある．このような割合に関する問題を解決する際，常に比例関係を前提として捉え，問題を解決していく児童を育てていきたい．
引用・参考文献
早川健（2003）.「同じ割合」に焦点を当てた割合指導の導入.日本数学教育学会学会誌，
85（12），17-30.
石田淳一(2022). 「二つの数量の関係と別の二つの数量との関係を比べる」問題の解答状
況に関する調査研究−値上がり問題と値下がり問題を用いて− 日本数学教育学会誌，
104(10)，2-11.
文部科学省(2018).小学校学習指導要領(平成 29年告示)解説算数編.日本文教出版.
山口国之(2021).「単位量あたりの大きさの指導

そして，「同じ割合をつくる活動」を基準の異－ 383 －の一考察」 ，山梨大学教職大学院令和 3 年度教育実践研究報告書，135-142.