オストログラドスキーの定理：

整合的な修正重力理論への道のり
Keyword: オストログラドスキーの定理
1.

要旨る．この余分な 1 自由度がゴーストである．

現代宇宙論における最大の謎の一つは宇宙の加速膨張を引き起こすダークエネルギーの正体であり，これを説明するために一般相対論に変更を加える修正重力理論の研究がこれを明確に見るために，補助変数を導入した形

L = 
xy －1 2y2（3）

近年注目されている．1） 一般相対論は太陽系スケールで精を考えよう．両者が等価であることは，y に関する運動方密に検証されており，今後はブラックホールや中性子星の程式 y＝ẍ を式（3）に代入すれば元のラグランジアンに帰着

連星合体時の重力波波形などからも検証が可能となる．そすることから分かる．第一項を部分積分を用いて−x y にのような制限を満たしつつ，加速膨張を実現するために定書き換え，変数の再定義 z＝（ x＋y）
/ 2 ，w＝（ x−y）/ 2 に性的に重力理論を変更する代表的な試みの一つが，一般相より運動項を対角化すると，対論にスカラー場を一つ加えたスカラー・テンソル理論である．スカラー場をどのような形でラグランジアンに導入

L =－1 2 1 2 1z + w － （z － w）2224（4）

するべきかは自明ではなく，理論的整合性のもとでどの程となる．これより，2 階微分運動方程式に従う 2 つの自由度一般相対論から拡張することができるかということが近度があり，そのうち 1 つは負の運動エネルギーを持つこと

年盛んに研究されている．理論的整合性の一つとして，「ハが分かる．ハミルトニアンは，ミルトニアンが下に有界であること」が要請される．ハミルトニアンは系のエネルギーを与えるため，もしこれが下H =－1 2 1 2 1pz + pw + （z － w）2224（5）に有界でない場合，エネルギーの最小状態が存在しないことなり，正と負の運動エネルギーの項が同時に存在するたとになる．そのような系は通常の系との相互作用を考えため上下に非有界になっていることが見て取れる．この z の場合に不安定になるため，整合的な理論とはみなせない．

自由度がゴーストであり，特に今回のように高階微分に起有界でないハミルトニアンを引き起こす自由度をゴースト因するものはオストログラドスキー・ゴーストと呼ばれる．と呼ぶ．その中でも特に高階微分を含む理論で生じるもの
はオストログラドスキー・ゴーストまたは線形不安定性 *1

このゴーストは，以下で見るように一般にハミルトニアンと呼ばれる．ゴーストの存在の有無を判定するための最もも呼ばれる．に運動量の線形項として現れることから，線形不安定性と2, 3）基本的な定理がオストログラドスキーの定理である．

このように高階微分を含むラグランジアンは一般にゴーこの定理自体は，一般相対論の知識を用いず拘束系の解析ストを持つが，常に持つわけではない．より一般のラグラ力学の手法 4）により理解できるため，本稿では定理の面白ンジアンに対してゴーストの有無の判定条件を与える定理

さと，最近の研究における応用を紹介したい．

がオストログラドスキーの定理である．オストログラドス
キーの原論文 2）は 150 年以上前に書かれたものだが，近年2.

オストログラドスキーの定理

ウッダードの講義録 3）で定理が紹介されてから広く認識されるようになった．この原論文はフランス語で書かれた

まず簡単な例としてラグランジアン

L=1 2
x2（1）130 ページを超える大著であり，インターネット上では入手できないが，関西学院大学に蔵書が存在する．

を考えよう．これは自由粒子のラグランジアン L＝x2/ 2 とでは定理の中身を見てみよう．一般のラグランジアン

似ているが，2 階微分である点が異なる．オイラー・ラグL（q̈, q, q）に対して，オストログラドスキーの定理の主張

ランジュ方程式は

は「∂ 2L /∂ q̈ 2≠0 を満たす（ラグランジアンが非縮退であるx =0（2）と 4 階微分方程式になり，系の時間発展を指定するために4 本の初期条件を必要とする．通常の 2 階微分運動方程式という）とき，ハミルトニアンが上下ともに非有界となる」
である．オイラー・ラグランジュ方程式は

¶ 2L

q =（3 階微分以下）¶q2（6）では 1 自由度につき 2 本の初期条件が必要となるため，こなので，ラグランジアンが非縮退であれば式（6）は 4 階微の数え方に焼き直せば，2 つの自由度が存在することにな

分方程式となり，系の時間発展を記述するために 4 本の初734©2016 日本物理学会

日本物理学会誌

Vol. 71, No. 11, 2016

期条件が必要である．したがって先ほどと同様に，系は 2る．前節の議論は一変数ラグランジアンに対するものだが，自由度を持つことになる．

より一般の多変数ラグランジアンに対して縮退条件を拡張

実際にハミルトニアンに運動量の線形項が現れて上下とし，それを場の理論に応用すれば，ゴースト自由度を持たもに非有界となることを確かめる．ラグランジュ未定乗数ない整合的なスカラー・テンソル理論を構築するための道λ と補助変数 Q を導入した標として利用できる．

L（Q , Q, q）+ （λ Q－q）,（7）

オストログラドスキー・ゴーストを自明に回避するスカ
ラー・テンソル理論として，近年ホルンデスキー理論 5）がという等価な形を考えよう．この時点ではラグランジュ未注目を集めている．この理論は，ラグランジアン自体はス定乗数も含めて 3 個の力学変数があり，仮に拘束条件がなカラー場と重力場の高階微分を含むにもかかわらず，オイければ 6 本の初期条件が必要である．Q，q，λ の正準運動量

ラー・ラグランジュ方程式が 2 階微分方程式となるようにはそれぞれ，構築されたものである．非常に広いクラスの理論を包含し

P=

¶L,
¶Q

（8）

p =－λ , π = 0 ,ており，スカラー・テンソル理論による宇宙の記述を考えるうえで，整合的な理論の枠組みとして機能している．と与えられる．一般に正準運動量の式が速度について解け

最近の研究では，このホルンデスキー理論をさらに拡張ない場合は，位相空間の自由度を減らす拘束条件として機した， beyond Horndeski と呼ばれるクラスの可能性も活能する．上の p，π の式には Q，q，λ が現れていないため，発に議論されている．このクラスの特徴は，オイラー・ラそれらについて解くことができず，まず p＋λ＝0，π＝0 とグランジュ方程式が高階微分方程式であることを許しつついう 2 本の拘束条件があることが分かる．もし P の式が速ゴースト自由度を含まないようにラグランジアンを構築す度について解けなければ，拘束条件が 1 本増え，合計 3 本るという点である．そのために，どのようなラグランジアの第 1 種拘束条件があることになる．しかし，ラグランジンに対してゴーストが現れるのか，その性質の理解がます

アンが非縮退すなわち ∂P/∂ Q≠0 である場合，陰関数定理ます重要になっている．

により，少なくとも局所的に Q＝Q（P, Q, q）と解けることオストログラドスキーの定理に代表されるゴースト判定が保証される．したがって拘束条件の数が 2 本に留まるた

条件を修正重力理論に適用し，ゴーストを持たない一般的め，余分なゴーストの自由度が生じてしまうのである．最なラグランジアンの形は何か，そのような理論を用いてイ終的に拘束面上で評価したハミルトニアンはンフレーション，ダークエネルギー，ブラックホールなど P, Q, q）
 P, Q, q）
H = pQ + PQ（－ L（Q（, Q, q）（9）であり，運動量 p が第 1 項の線形項のみに現れるため上下ともに非有界である．
オストログラドスキーの定理を回避するには，非縮退のを記述するときどのような帰結が起こり得るのか，そしてそれをいかにして観測的に検証するか，これらを調べることが現代宇宙論における大きな流れの一つになっている．
参考文献
1）小林 努：日本物理学会誌 65（2010）621；須藤 靖：日本物理学会誌
69（2014）442；辻川信二：日本物理学会誌 69（2014）444；日本物理学会誌 70（2）（2015）―特集「発展し続ける一般相対論」．
2）M. V. Ostrogradsky: Mem. Acad. St. Petersbourg VI 4（1850）385.
3）R. P. Woodard: Lect. Notes Phys. 720 （2007） 403 ［arXiv: astro-ph/0601672］; Scholarpedia 10（2015）32243［arXiv: 1506.02210］.
4）P. A. M. Dirac: Lectures on Quantum Mechanics（Belfer Graduate School ofScience, New York, 1964）.
5）G. W. Horndeski: Int. J. Theor. Phys. 10（1974）363.

仮定を破ればよい．ラグランジアン L（q̈, q, q）の場合，縮退条件 ∂ L /∂ q̈ ＝0 を課せば，式（6）の 4 階微分項の係数が22消え，同時に 3 階微分項の係数も消える．したがって運動方程式は 2 階微分方程式になっており，実際にハミルトニアンも有界で 1 自由度しかないことが分かる．このように縮退条件を満たすラグランジアンに制限することで，ゴーストを持たない整合的な理論を考えることができる．

3.

本橋隼人〈シカゴ大学カブリ宇宙物理研究所

スカラー・テンソル理論

motohashi＠kicp.uchicago.edu〉
4

初期宇宙のインフレーションや現在の加速膨張宇宙を説（2016 年 4 月 1 日原稿受付）

明する方法の一つが，一般相対論にスカラー場を加えたス
カラー・テンソル理論である．整合的な理論を作るためには，オストログラドスキー・ゴーストを持たないようにラグランジアン中の微分相互作用項をデザインする必要があ
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オストログラドスキーの定理

*1 線形不安定性は様々な文脈で用いられる用語だが，本稿ではハミルトニアン中の正準運動量の線形項に由来する不安定性という意味で用いる．

735©2016 日本物理学会