あもんノート
ユークリッド幾何学、ニュートン力学から、相対論、量子論、素粒子論、宇宙論、そして超ひも理論まで、理論物理学を簡潔にかつ幅広く網羅したノートです。TOP へは下の URL をクリックして行けます。専用の画像掲示板で、ご意見、ご質問等も受け付けております。

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目次
第 26 章 カルツァ・クライン理論

326.1 重力と電磁力の統一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326.2 束縛型カルツァ・クライン理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

426.3 5 次元アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

526.4 円柱条件とリッチテンソルの計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

526.5 一般相対論の演繹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

726.6 粒子の運動方程式と固有時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

926.7 ライスナー解と荷電粒子の世界線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

第 26 章カルツァ・クライン理論

一般相対論において時空を 5 次元と仮定すると、電磁場が重力場の一部として自然に現れることがわかり、カルツァ・クライン理論と呼ばれます。これは重力と電磁力の古典統一場理論と考えられます。ここではカルツァ・クライン理論をあるわかりやすい形式において紹介します。この理論からは物質粒子を含め、完全な形の一般相対論が導かれます。

26.1

重力と電磁力の統一

時空を 4 次元のリーマン空間とする通常の一般相対論においては、重力場が時空の幾何学構造であるのに対し、電磁場は時空上のテンソル場にすぎません。すな
わち電磁場には明確な存在理由がありません。このことは力の場が重力場と電磁場しか知られていなかった当時、不満なことでした。電磁場に幾何学的意味を与える研究はアインシュタインが一般相対論を提示した直後から行われています。
例えばワイルは、通常のリーマン空間を拡張し、“長さ” に不定性を与えることで、電磁場の 4 元ポテンシャルを時空の接続構造の一種とみなせることを示しました (1918 年)。ワイルのこの理論はゲージ理論 (ものさし理論) と呼ばれ、この名前は後の場の量子論においてやや拡張された意味で用いられることになります。ワ
イルの理論自体はさほど魅力がなく、廃れてしまったのですが、名前だけは後世に残ったという珍しい事例です。
一方、カルツァは、時空が 4 次元ではなく、実は 5 次元であると考えることで、電磁場が重力場の一部として自然に現れることを発見しました (1921 年)。電磁場は 5 番目の方向の重力場とみなせるというわけです。しかし我々の空間は 3 次元であり、時間と合わせて時空は 4 次元です。5 番目の方向など見当たりません。クラ
インは、「5 番目の方向は小さく丸まっているので我々には認識できない」というコンパクト化の考えを打ちだし、カルツァの理論に肉付けを行います (1926 年)。
このためこの 5 次元時空の理論はカルツァ・クライン理論という名で広く知られることになりました。
例えば、細長いチューブを考えると、これは 2 次元状の物体 (曲面) ですが、もしチューブの半径が非常に小さければ、これは 1 次元のひものように見えることになるでしょう。時空の 5 番目の方向は細長いチューブの周回方向に相当し、ほ3とんど認識できないと考えられるわけです。あるいは次元を 1 つ上げるなら、薄い板を考え、ただし板の上面と下面が実は同じ面であると考えます。板の内部は3 次元空間ですが、板が非常に薄ければ、これはほとんど 2 次元の空間として認識されます。前者は R1 × S 1 、後者は R2 × S 1 と大域的に同相です。
◇ アインシュタインはこのような幾何学的な統一場理論をすこぶる気に入り、晩年の研究テーマとします。しかしその研究はあくまで古典論であったため、多くの科学者から骨董品扱いされました。一方で多次元時空のアイディア自体は、後に量子重力理論である超重力理論や超ひも理論において重宝されることになります。

26.2

束縛型カルツァ・クライン理論

5 次元時空の座標を xA とします。ここで A ∈ {0, 1, 2, 3, 5} で、x5 が 5 番目の座標です。以下、大文字のラテン文字の添字 A, B, · · · 等は 0, 1, 2, 3, 5 を走るものとし、ギリシャ文字 µ, ν, · · · 等は 0, 1, 2, 3 を走るものとします。
√B
n 番目の粒子の座標を xA,質量をm,
微小固有時間をdτ=gAB (xn )dxAnnnn dxnと書きます。gAB (x) は 5 次元時空の計量です。カルツァ・クライン理論の作用は、∫∫∑
1√d5 x Rmn dτn −Sg = −2καn√ √であり、ここで= det g で、R は 5 次元時空 (リーマン空間) のスカラー曲率です。また、κ = 8πG で、G は万有引力定数、α は長さの次元を持つ定数で、5番目の方向のスケールを意味します。(2κα)−1 はひっくるめて質量次元 3 の定数であることに注意してください。このため作用 Sg の質量次元は、普通そうであるように、0 になります。
さらにここではカルツァ・クライン理論を特に簡単な形で具現化するため、∫1√Sφ = −d5 x (g55 + 1)φ2καという作用を Sg に加えた理論を考えます。φ(x) は運動項を持たない補助場です。
Sφ は 5 次元一般座標不変性をあらわに破るもので、5 番目の方向の特殊性を理論に付加するものです。作用が、S = Sg + Sφで与えられる 5 次元時空の理論を、ここでは束縛型カルツァ・クライン理論と呼ぶことにします。この理論が電磁場を含む通常の一般相対論と等価であることを、これから見ていくことします。
◇ Sφ の追加は私が独自に考案したものです。通常、カルツァ・クライン理論は物質粒子について満足な形式ではないのですが、私は物質粒子を含め無矛盾で簡単な形式を発見したので、ここではそれを紹介することにします。

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26.3

5 次元アインシュタイン方程式

作用 Sg , Sφ をそれぞれ補助場 φ(x) で汎関数微分すると、

δSg= 0,δφ

δSφ
1 √(1 + g55 )=−δφ2καなので、場の方程式として、g55 = −1を得ます。
一方、gAB (x) による汎関数微分は、それぞれ、()∫1∑δSg11√B 5=−mn dxA
RAB − g AB R ,n un δ (x−xn ) +δgAB2 n2κα2()1 √ 1 ABδSφ=−g (g55 + 1)φ + δ5A δ5B φ
δgAB2κα2Aとなります。uAn = dxn /dτn は粒子の 5 元固有速度です。よって場の方程式は、
g55 = −1 に注意して、

RAB −1 AB
g R = κT AB + δ5A δ5B φ2となります。これを 5 次元アインシュタイン方程式と呼ぶことにします。ここで、∫√ −1 ∑B 5ABmn dxA
T=αn un δ (x−xn )nは粒子の 5 次元エネルギー運動量テンソルです。α は 5 番目の方向のスケールなので、これは巨視的に、∫√ −1 ∑B 4ABmn dxA
T=n un δ (x−xn )nと表されることになります。

26.4

円柱条件とリッチテンソルの計算

5 次元のリッチテンソル RAB の計算を行いましょう。
場の方程式として g55 = −1 が成り立つことに注意し、5 次元時空の計量を、

gµν = ḡµν − aµ aν ,gµ5 = g5µ = aµ ,5g55 = −1のように表します。ḡµν は 4 次元のテンソルです。このとき逆行列である上付き計量は、
g µν = ḡ µν , g µ5 = g 5µ = aµ , g 55 = −1 + (a)2となります。ここで ḡ µν は ḡµν の逆行列で、4 次元のベクトル aµ は ḡµν , ḡ µν により添字を上げ下げされるものとします。また、(a)2 = aµ aµ です。
ここで座標条件として、∂5 gAB = 0を仮定しましょう。これは広く円柱条件と呼ばれるものです。
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そうすると、接続係数 : ΓCAB = (−∂C gAB + ∂B gCA + ∂A gBC ) は、
2111aµ fλν + aν fλµ − aλ hµν ,22211Γ5µν = hµν , Γλµ5 = Γλ5µ = fµλ (他の成分は 0 ).
22Γλµν = Γ̄λµν +ここで Γ̄λµν は 4 次元の接続係数で、また、

fµν = ∂µ aν − ∂ν aµ ,hµν = ∂µ aν + ∂ν aµです。最初の添字を上げ、ΓA BC = g AD ΓDBC を作ると、11aµ f λ ν + aν f λ µ ,22111Γ5 µν = aλ Γ̄λ µν + aµ aλ fλν + aν aλ fλµ − hµν ,22211
Γλ µ5 = Γλ 5µ = fµ λ , Γ5 µ5 = Γ5 5µ = aλ fµλ (他の成分は 0 ).
22Γλ µν = Γ̄λ µν +また、ΓA = ΓB BA に対し、

Γµ = Γ̄µ ,Γ5 = 0を得ます。ここで Γ̄µ = Γ̄ν νµ です。
リッチテンソル : RAB = ∂C ΓC AB − ∂B ΓA + ΓC ΓC AB − ΓC DA ΓD CB を計算するのは少々大変ですが、結果は、) 11(1aµ ∇λ f λ ν + aν ∇λ f λ µ − fµλ f λ ν + aµ aν (f )2 ,224111Rµ5 = R5µ = − ∇λ f λ µ − aµ (f )2 , R55 = (f )2244Rµν = R̄µν +6となります。R̄µν は 4 次元のリッチテンソルで、∇µ は 4 次元の共変微分です。また、(f )2 = fµν f µν . 添字を上げれば、

11aν ∇λ f λµ − f µ λ f λ ν ,22111R5µ = − ∇λ f λµ , R55 = − aµ ∇ν f νµ − (f )2224Rνµ = R̄νµ +Aとなり、よってスカラー曲率 : R = RAは、

R = R̄ +1(f )24となります。R̄ は 4 次元のスカラー曲率です。
さらに、

det g = − det ḡが次のように証明されます。

[証明] 4 次元一般座標変換により任意の時空点で ḡµν = ηµν , a1 = a2 = a3 = 0 とすることができますが ( ηµν はローレンツ計量)、このときその点において det g = 1,det ḡ = −1 となることが簡単に確かめられます。一方、4 次元一般座標変換に関して、(()2)2∂x∂x
det g ′ = det ′ det g, det ḡ ′ = det ′ det ḡ∂x∂xなので、det g/ det ḡ は 4 次元一般座標変換に関して不変です。これらから恒等的に det g/ det ḡ = −1 であることがわかります。[証明終]√ √これにより特に= − det ḡ です。

26.5

一般相対論の演繹

5 次元アインシュタイン方程式 :RAB −1 ABg R = κT AB + δ5A δ5B φ
2は 5(5 + 1)/2 = 15 個の独立な場の方程式を意味します。その (A, B) = (µ, ν) 成分は、
1µRµν = g νA RA= g νλ Rλµ + g ν5 R5µ = R̄µν − f µ λ f λν2に注意して、()
1 µν 211 µνµλνµνµνf λ f + ḡ (f )R̄ − ḡ R̄ = κT +2247を与えます。これは、

aµ =とおくことで、√2κAµ ,1Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = √ fµν2κ()11R̄µν − ḡ µν R̄ = κT µν + κ F µ λ F λν + ḡ µν (F )224となり、Aµ を 4 元ポテンシャル、Fµν を電磁場と考えた場合、これはよく知られた 4 次元のアインシュタイン方程式になっています。
次に、5 次元アインシュタイン方程式で添字を下げた式 :ARB−1 AδB R = κTBA + δ5A gB5 φ2を考え、これの (A, B) = (µ, 5) 成分を取り出すと、

∇λ f
これは、

λµ= −2κT5µ∴ ∇λ Fλµ√= − 2κ T5µ .

∫√√ √ −1 ∑µj = − 2κ T5 = − 2κ
mn dxµn un5 δ 4 (x−xn )µnを 4 元電流密度と考えることで、4 次元のマックスウェル方程式 :∇λ F λµ = j µになります。
円柱条件により計量 gAB (x) が x5 に依存せず、すなわち x5n は循環座標であり、さらに、√∂LngAB ẋB∂nA
B= −mn A gAB (xn )ẋn ẋn = −mn √= −mn unAA∂ ẋn∂ ẋngCD ẋCn ẋDnに注意すると、un5 が運動の定数になることに注意してください。よって j µ の式
から、n 番目の粒子の電荷は、√qn = − 2κ mn un5で与えられることになります。mn は荷電粒子の “裸の質量” を意味するので、mn ∼ −∞. また、古典論においては電荷 qn は有限値と考えられるので、un5 はほとんど 0 でなければいけません :un5 ∼ 0.
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A
一方、RB−1 A
δB R = κTBA + δ5A gB5 φ の (A, B) = (5, 5) 成分は、
2()31
φ = R̄ + (f )2 + κ T55 − aµ T5µ28という補助場 φ(x) に関する方程式を与えます。特に粒子が存在しない時空点においては、アインシュタイン方程式から R̄ = 0 となるので、φ = (3/8)(f )2 です。よってもし補助場を導入していなければ、粒子が存在しない時空点において(F )2 = 0 となってしまい、これは一般相対論にはない命題です。言い換えると、もし補助場を導入しないとするなら、g55 = −1 かつ ∂5 gAB = 0 となるような簡単な 5 次元計量からは一般相対論は演繹されないということです。このためここでは補助場を導入したわけです。
自由度 15 の 5 次元アインシュタイン方程式は、自由度 10 のアインシュタイン方程式、自由度 4 のマックスウェル方程式、自由度 1 の補助場に関する方程式を与え、これで勘定が合っていることに注意してください。

26.6

粒子の運動方程式と固有時間束縛型カルツァ・クライン理論における粒子の方程式は、

duCnB+ ΓC AB uAn un = 0dτnとなるはずです。特に C = λ の成分は、すでに計算した接続係数の式を使い、

duλn+ Γ̄λ µν uµn uνn + aµ f λ ν uµn uνn + fµ λ uµn u5n = 0dτnを与えますが、ここで、µ5un5 = g5A uAn = g5µ un + g55 un= aµ uµn − u5nに注意すると、

duλn+ Γ̄λ µν uµn uνn = −un5 f λ µ uµn .
dτn√√
さらに f λ µ = 2κ F λ µ , qn = − 2κ mn un5 に注意すると、
duλnqn λ µ+ Γ̄λ µν uµn uνn =F µ undτnmnとなります。これは一般相対論における粒子の運動方程式に他なりません。
9B
一方、固有速度に関する恒等式 : gAB uAn un = 1 は、ḡµν uµn uνn − (aµ uµn − u5n )2 = 1を与えるでしょうが、aµ uµn − u5n = un5 ∼ 0 に注意して、

ḡµν uµn uνn ∼ 1∴ dτn2 ∼ ḡµν dxµn dxνnとなります。すなわち ḡµν はまさに 4 次元の計量を意味しているわけです。
以上、5 次元時空を基礎とする単純な束縛型カルツァ・クライン理論から、粒子と電磁場を含んだ 4 次元の一般相対論が導かれることを見ました。束縛型カルツァ・クライン理論は古典論にすぎませんが、これは低次元のあまり単純でないモデルが、高次元のより単純なモデルから導かれる例であり、多次元統一場理論の簡単で教育的な例と考えられます。

26.7

ライスナー解と荷電粒子の世界線

物質粒子がない場合、アインシュタイン方程式、およびマックスウェル方程式の球対称で静的な解は、4 次元時空の座標を、

x0 = t,x1 = r,x2 = θ,x3 = φとして、

κM−1ḡ00 = −ḡ11=1−+4πrḡ22 = −r2 ,A0 =Q4πr,κQ232π 2 r2 ,ḡ33 = −r2 sin2 θ(非対角成分は 0 ),A1 = A2 = A3 = 0であり、ライスナー解、あるいはライスナー・ノルドシュトロム解という名で知られています。これは質量 M , 電荷 Q の静止した荷電物体の周りの時空と考えられ、Q = 0 でシュヴァルツシルト解になります。

ḡ00 は動径座標 r の関数で、r = r0 :=Q24πMにおいて、最小値、

κM 2ḡ00 |r=r0 = 1 −2Q210を与えることがわかるでしょう。よって質量 M が大きく、κM 2 > 2Q2 を満たす
場合、中心の特異点は事象の地平面に覆われ、ブラックホールを成します。しかしそうでない場合、事象の地平面が存在せず、中心の特異点が露出したものになります。例えば、電子においては、

κm2e∼ 2.4 × 10−43 < 122eであり、中心の特異点が露出していることになります。ここで me は電子の質量、e は素電荷です。
いま、スカラー引力の導入などにより中心の特異性が正則化されているものとし、これを 5 次元時空において考えると、荷電粒子の 5 番目の方向の座標速度は、
u5 ∼ aµ uµ = a0 u0 に注意して、{5√+∞ (Q > 0)
uv 5 = 0 ∼ lim a0 = 2κ lim A0 ∼r→0r→0u−∞ (Q < 0)となります。よって、5 次元時空における荷電粒子の世界線は、ほとんど 5 番目の方向を向き、何度も周回するため、5 番目の方向に広がった 2 次元の面のようになります (図 26.1)。

図 26.1: 荷電粒子の世界線

一方、固有速度については、{√+2 (Q > 0)2κ A0∼
u5 ∼ lim a0 u0 = lim √r→0r→0ḡ00−2 (Q < 0)11となることが確かめられるでしょう。束縛型カルツァ・クライン理論が採用している計量においては、荷電粒子の質量や電荷に依らずに、|u5 | ∼ 2 と定まってしまうわけです。
このような多次元時空における荷電粒子の描像は、量子論を無視したものであるため、何ら予言能力がなく、物理としてはほとんど意味がありません。しかし古典論の数理として知っておくべきでしょう。例えば多次元時空におけるある量子論があったときに、「古典論でどうなるかはまったくわからないが、量子論では確かにこうなる」といったような理解では、片手落ちと考えられるからです。
◇ ライスナー解の等方座標表示は、)(κMκ2 M 2 − 2κQ2r = r̄ 1 ++8πr̄
256π 2 r̄2√という変換によって得られ、dτ 2 = f (r̄)dt2 − g(r̄)dxi dxi , r̄ = xi xi . ここで、

(f (r̄) =κ2 M 2 − 2κQ21−256π 2 r̄2()2 /g(r̄),g(r̄) =κM
κ2 M 2 − 2κQ21++8πr̄
256π 2 r̄2)2です。シュヴァルツシルト時空同様、M は系のエネルギーに等しく、事象の地平面が存在する場合、地平面内部のエネルギーは 0 になることが確かめられます。

12索引
あ円柱条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
かカルツァ・クライン理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 次元アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . 5
コンパクト化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
さ束縛型カルツァ・クライン理論 . . . . . . . . . . . . 4た多次元統一場理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10らライスナー解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013