社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

インダクタで交差結合した簡単なカオス回路に見られる同期パターンの調査
内谷友美子†

西尾 芳文†† 徳島大学 〒 770-8506 徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{uchitani,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

結合カオス回路における同期現象は様々な分野で広く研究されている．本研究では，簡単な回路構成であるカオス回路を多数，インダクタで全体的に交差結合させ，発生する同期現象のパターンについて，コンピュータシミュレーション及び回路実験により調査を行った．
キーワード

カオス回路，複雑系，同期現象

Investigation of Synchronization Patterns inSimple Chaotic Cross-Coupled via Inductors
Yumiko UCHITANI† and Yoshifumi NISHIO†† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University 2-1 Minami-Josanjima,Tokushima, 770–8506, Japan
E-mail: †{uchitani,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, synchronization patterns generated in globally cross-coupled chaotic circuits are investigated. Computer simulations and circuit experiments show that this coupled system produces several phasepatterns.
Key words chaos circuit, complex system, synchronization

1. ま え が き

2. 基本となる回路モデル [3] [4]結合カオス回路における同期現象は自然科学の高次元非線形現象のモデルであり，様々な分野で広く研究されている．カオスの同期現象を調査することは将来，カオスを利用する工学分野に活用出来るのではないかと考える [1]．また，近年ニューラルネットワークの分野では発振現象を情報処理に利用出来ないかと様々な研究が行われている [2]．我々は発振型ニューラルネットワークが様々な種類の位相パターンを発生させることに注目し，その特性を高度な連想記憶や画像処理に利用できないかと考え，本研究に着手した．以前我々は，簡単な回路構成の2 個のカオス回路を交差結合，また，多数のカオス回路をリング状に交差結合させ、発生する現象の調査を行い「同相同期」「逆相同期」「90 度位相ずれ」の 3 種類の状態推移現象を観測した [3]- [5]．本研究では，この交差結合カオス回路の同期パターンの特性に基づき，3 個，また 4 個のカオス回路を全体的に交差結合させ，コンピュータシミュレーション及び回路実験により発生する同期現象のパターンについて調査を行った．

図 1 基本となる回路モデル.

以前、我々は簡単な回路構成の 2 個のカオス回路 [6] [7] を交差結合させたモデルより観測された現象について調査を行った．
回路モデルは図 1 に示される．この回路は 2 個のカオス回路をインダクタにより交差結合させている．正規化された回路方程—1—

式は以下の通りである．

2.5

ẋk = zk ẏ = α{γy − w − βf (y − z )}kkkkk

żk = β f (yk − zk ) + wk+1 − xk

0-2.502.5

02.5 -2.5

(a1)

(a2)

2.0(1)

y1 0-2.0
2.0

y2 0ẇk = δ(yk − zk+1 )

-2.0
2.0

τ

(a3)

1200

この時，パラメータは以下の通りである．

√√
L1 ik1L1 ik2, wk =,xk =
CVC
22 V√vk2vk1
 yk = V , zk = V , t = L1 C2 τ,√√
 α = C2 , β = L1 G, γ = L1 g,

C1C2C2Ld1
 δ=, “·”=L2(b1)(2)

γ = 0.1, δ = 0.0014. (b) 回路実験結果. L1 = 9.93mH, L2= 800mH, C1 =32.8nF, C2 =49.5nF, g=683mS. (a1) y1 − z1 .
(a2) y1 − y2 . (a3) 時間波形. (b1) v11 − v12 . (b2) v11 − v21 .
(b3) v11 , v21 の時間波形.

f は非線型抵抗の電流電圧特性を表しており次のような区分線形によって近似する．

f (yk − zk ) =(b3)

図 2 同相同期での状態推移現象. (a) 数値計算結果. α = 2.5, β = 4.0,dτ yk − zk − 1(b2)2.50(yk − zk > 1)(|yk − zk | <= 1)

yk − zk + 1(yk − zk < −1)

0-2.5(3)0

2.5 -2.50

2.5

2.0

y1 0-2.0
2.0

y2 0-2.00

図 2 は図 1 の回路から観測された現象の一例である．図 2(a)

τ1200

τ

1200(1a)は式 2 をルンゲクッタ法を用いての数値計算での結果を表しており，図 2(b) は回路実験での結果を表している．この回路により観測されたカオスは y1 -y2 平面で第 1 象現と第 3 象現を行き来している事により同相同期だと言える．このカオスの振舞いの興味深いところは，y-z 平面の解が (y, z)=(±1.2, 0) 付近の固定点で収束して見えるということである．しかし，固定点(1b)で収束したあと突然他方の固定点へと移動する．このように 12.5つの回路が正の領域から負の領域へと，また負の領域から正の0領域へと切り替わる．状態が切り替わった後，また各領域で上-2.5記で示した振舞いをする．初期値を変化させることにより，図02.5 -2.502.52.0

y10-2.02.0

3 に示すように逆相同期，4 相同期での状態推移現象を観測す

y2 0-2.00ることが出来た．図 4 は結合係数 δ を増加させたとき，どのよ(2a)うに同期状態が変化するのかを示している．横軸は結合係数 δを，縦軸は遅延時間 τ の平均を表している．×は y1 の立上り時間から次の y1 の立上り時間までの滞在時間の平均を表しており，□は逆相同期の時の，また，○は 4 相同期の時の y1 を基準としたときの y2 の遅延時間の平均を表している．この図より同相同期，逆相同期，4 相同期は広範囲に渡り共存しているということが分かる．

3. 全体的に交差結合したカオス回路

(2b)
図3

状態推移現象. (1) 逆相同期. (2) 4 相同期. (a) 数値計算結果.

α = 2.5, β = 4.0, γ = 0.1, δ = 0.0014. (b) 回路実験結果. L1= 9.93mH, L2 = 1.2H, C1 =32.8nF, C2 =49.5nF, g=495mS.

本研究では，図 1 の交差結合カオス回路を基に、多数のカオス回路を全体的に結合した系を考える．すなわち，n 個全てのカオス回路を，他の回路と直接的に交差結合させるということである．図 5 は 3 個のカオス回路を全体的にインダクタで交差結合させたものである．このままではインダクタでのループが出来てしまうので、それを避けるために微小抵抗 R を取合では各節点からの結合インダクタの数は 2 個である．つまり，回路が 3 個の場合，結合インダクタの数は 3 × 2 × 2/2 = 6個である．回路が n 個の場合の結合部分インダクタの数はn × 2 × (n − 1)/2 = n(n − 1) と表す事が出来る．
回路が 3 個の時の正規化された回路方程式を以下に示す．

り入れた．各回路は 2 個節点を持っており，回路が 3 個の場—2—ẋk = zk (k = 1, 2, 3) ẏ1 = α{γy1 − w1 − w2 − βf (y1 − z1 )} ẏ2 = α{γy2 − w3 − w6 − βf (y2 − z2 )}ẏ3 = α{γy3 − w4 − w5 − βf (y3 − z3 )}ż1 = β f (y1 − z1 ) + w4 + w3 − x1





ż
 2 = β f (y2 − z2 ) + w2 + w5 − x2-g

L1

C2

C1i 13id3v 32v 31ż3 = β f (y3 − z3 ) + w1 + w6 − x3(4)ẇ1 = δ(y1 − z3 − ²w1 )ẇ2 = δ(y1 − z2 − ²w2 )ẇ3 = δ(y2 − z1 − ²w3 )ẇ4 = δ(y3 − z1 − ²w4 ) ẇ5 = δ(y3 − z2 − ²w5 )

L2i 24RL2R

Ri 21

L2i 22 R

Ri 26

L2v 11-g

C1i 25L2v 12id1

L2C2L 1 -gv 21

R i 23i 11C1v 22id2i 12C2L1

図 5 カオス回路 3 個での交差結合回路モデル.

ẇ6 = δ(y2 − z3 − ²w6 )ここで，² は微小抵抗 R を表す．

状態の数値計算結果を図 6 に示す．この時の結合係数 δ の値は，4. 同期パターン

なぜなら，各節点から他の節点への結合インダクタの数が 2 倍2 つのカオス回路を交差結合させることにより「同相同期」になるからである．これより，図 2，図 3 で示した時間 τ の値

カオス回路 2 個結合の場合の結合係数 δ の値の 1/2 倍である．

「逆相同期」「4 相同期」の 3 種類の同期現象が観測出来たこと

で，状態を観測することが出来る．

から多数のカオス回路を交差結合させることにより様々な種類

図 7 に TYPE II の同期状態の回路実験結果を示す．の同期パターンを観測することが出来る．

6. 4 個のカオス回路を結合させた場合

5. 3 個のカオス回路を結合させた場合

4 個のカオス回路を交差結合させた場合，起こりうる全ての3 個のカオス回路を交差結合させた場合，同期状態は y1 を基

位相パターンを先ほどと同じ表記法により以下のように表記す準としたときの y2 と y3 の位相差より表現することが出来る．

ることが出来る．

例えば，完全同相同期の場合には [0, 0, 0] と，また，y1 に対しTYPE I :[0, 0, 0, 0]て y2 が π/2 ずれ (4 相)，y1 に対して y3 が π ずれ (逆相) の場

TYPE II :[0, 0, 0, π/2]合であれば [0, π/2, π] と表記出来る．この表記法により，起こTYPE III :[0, 0, 0, π]

りうる全ての位相状態を以下のように表記することが出来る．

TYPE IV :[0, 0, π/2, π/2]

TYPE I :[0, 0, 0]

TYPE V :[0, 0, π, π]

TYPE II :[0, 0, π/2], [0, π/2, 0], [0, 0, −π/2],

TYPE VI :[0, 0, π/2, π][0, −π/2, 0], [0, π/2, π/2], [0, −π/2, −π/2]

(5)

(6)

結合構造を左右対称にすることにより位相状態の全ての組合せ

TYPE III :[0, 0, π], [0, π, 0], [0, π, π]を得ることが出来る．4 個のカオス回路を交差結合させた場合

TYPE IV :[0, π/2, π], [0, π, π/2], [0, π, −π/2],に観測した全ての同期状態の数値計算結果を図 8 に示す．結合[0, −π/2, π], [0, π/2, −π/2], [0, −π/2, π/2]

係数 δ の値は 2 個結合の場合の結合係数 δ の値の 1/3 倍にする
ことにより，図 2，図 3 で示した時間 τ で，状態を観測するこ同じタイプの全ての組合せは，結合構造を左右対称にすることが出来る．とにより得る事が出来るのでこのように表記することが出来る．

3 個のカオス回路を交差結合させた場合に観測した全ての同期

7. ま と め
本研究では，多数のカオス回路を全体的に交差結合させた時600

τの同期パターン特性について調査した．これより，初期値を変化させることによりカオス回路を 3，4 個結合させた場合の様々500な同期パターンを観測することが出来た．より多数のカオス回
400路を結合させた時に，どのような現象を観測することが出来る
300のか，また，この現象の発生メカニズムの調査及び信号処理や200

画像認識，連想記憶への応用を考察することが今後の我々の課題である．

10000.0008

δ
0.001

0.00120.00140.00160.00180.002

図 4 同期状態の特性. α = 2.5, β = 4.0, γ = 0.1.

—3—

2.5

2.5

2.5
00-2.500

2.5 -2.5

2.5 -2.50(a)0-2.50(c)

(b)

-2.5

2.5

2.0

0

2.0

2.5 -2.50

2.5 -2.5(a)0

2.5(c)

(b)

-2.0
2.0

-2.0
2.0

y2 0

-2.0
2.0

-2.0
2.0

0

y3 0

-2.0
2.0

y1 0

y40

0

2.5 -2.5

2.5 -2.5

(c)

(b)

0

2.5(d)

y1 0

y2 0
y3

2.5 -2.5

2.0

y1 0

-2.50

(a)

(d)

-2.0
2.0

0
-2.0

-2.0
2.0

y40

τ

(e)

0-2.0

1200

0(e)

τ1200

τ

1200

τ

1200

2.5

y2 0

2.5-2.0
2.0

00

y3 0

-2.50

2.5 -2.5(a)

-2.00

τ

(d)

1200

0

2.5 -2.50

2.5 -2.5(c)

(b)

0

2.5

-2.5(d)(a)2.5 -2.50

2.5 -2.500

2.5(d)

-2.0
2.00

τ

(e)

0
-2.0

1200

0

(e)
2.5

2.5

2.5(c)(b)

2.5 -2.5

-2.0
2.0

y4

0
-2.0

0

0

(c)

y3 0

-2.0
2.0

-2.5

2.5 -2.5

y2 0

-2.0
2.0

y3 0
y40

(b)

-2.0
2.0

y2 0

0

2.5 -2.5

y1 0

-2.0
2.0

2.50(a)

2.0

2.0

y1 0

00

2.0

y1 0

-2.5
-2.5

-2.0
2.0

0

2.5 -2.5

(a)

2.0

0

2.5 -2.50

2.5 -2.5

(c)

(b)

0

2.5

y2 0
-2.0
2.0

y3 0
τ(d)

1200

-2.0
2.0

-2.0
2.0

y2 0

y2 0

-2.0
2.0

-2.0
2.0

y3 0

y3 0

y40

2.5 -2.5

0

(c)

(b)

2.5 -2.50

2.5(d)

-2.0
2.0

y4

0
-2.0

2.5 -2.5

2.0

y1 0

-2.0
2.0

-2.0
0

0

(a)

(d)

y1 00

τ

(e)

1200

0-2.00(e)2.5

図 8 6 種類の同期状態 (数値計算結果). α = 2.5, β = 4.0, γ = 0.1,0-2.5

δ = 0.00046, ² = 0.0005. 左上から, TYPE I, II, III, IV, V,
0

2.5 -2.5(a)2.00

2.5 -2.50

and VI. (a) y1 − y2 平面でのアトラクタ. (b) y2 − y3 平面で2.5(c)(b)のアトラクタ. (c) y3 − y4 平面でのアトラクタ. (d) y4 − y1 平y1 0面でのアトラクタ. (e) 時間波形.

-2.0
2.0

y2 0-2.0
2.0y3 0-2.00

τ

(d)

1200

謝辞2.5

本研究は矢崎科学技術振興記念財団の援助を受けて実施され0たものである．
-2.5002.5 -2.5(a)2.5 -2.5(b)

02.5

文(c)

献

2.0

y1 0

[1] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Syn--2.0
2.0chronization and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation andy2 0-2.0
2.0

Chaos, vol. 15, no. 11, pp. 3423-3433, 2005.

y3 0-2.00

τ

(d)

1200

[2] S. Campbell and D. Wang, “Synchronization and Desynchronization in a Network of Locally Coupled Wilson-

図 6 4 種類の同期状態 (数値計算結果). α = 2.5, β = 4.0, γ = 0.1,

δ = 0.0007, ² = 0.0005.

上 か ら, TYPE I, II, III, IV.

(a) y1 − y2 平面でのアトラクタ. (b) y2 − y3 平面でのアトラクタ. (c) y3 − y1 平面でのアトラクタ. (d) 時間波形.

Cowan Oscillators,” IEEE Trans. Neural Networks, vol. 7,
no. 3, pp. 541-553, Mar. 1996.
[3] Y. Uchitani, R. Imabayashi and Y. Nishio, “State Transition
Phenomenon in Cross-Coupled Chaotic Circuits,” Proc. ofNOLTA’07, pp. 397-400, Sep. 2007.
[4] Y. Uchitani and Y. Nishio, “Investigation of State Transition Phenomena in Cross-Coupled Chaotic Circuits,” Proc.
of ISCAS’08, pp. 2394-2397, May. 2008.
[5] Y. Uchitani and Y. Nishio, “Synchronization Patterns Gen-(a)(b)(c)erated in a Ring of Cross-Coupled Chaotic Circuits ,” Proc.
of IJCNN’08, pp. 3854-3859, Jun. 2008.
[6] M. Shinriki, M. Yamamoto and S. Mori, “Multimode Oscillations in a Modiﬁed van der Pol Oscillator Containing a
Positive Nonlinear Conductance,” Proc. of IEEE, vol. 69,
pp. 394-395, 1981.
[7] N. Inaba, T. Saito and S. Mori, “Chaotic Phenomena in(d)図 7 回 路 実験結 果.

L1 = 10.25mH, L2 = 1.5H, C1 =32.2nF,

C2 =49.5nF, g=512mS. (a) v11 − v12 平面でのアトラクタ.

a Circuit with a Negative Resistance and an Ideal Switchof Diodes,” Trans. of IEICE, vol. E70, no. 8, pp. 744-754,
1987.

(b) v12 − v13 平面でのアトラクタ. (c) v13 − v11 平面でのアトラクタ. (d) v11 , v21 の時間波形.

—4—