特別企画「平成の飛跡」

ホログラフィー原理――素粒子分野から拡がる双対性
橋本幸士
1.

〈大阪大学大学院理学研究科koji＠phys.sci.osaka-u.ac.jp〉
4

ホログラフィー原理

ホログラフィー原理とは，AdS/CFT 対応，ゲージ重力対応とも呼ばれる対応のことである．1997 年にマルダセ

理は，重力相互作用を持たない量子論においてある種の極限をとると重力現象が現れるという意味で，既に分野をまたぐものである．

ナ（J. Maldacena）が具体的な対応を初めて主張した論文 1）が，素粒子・原子核分野で最も多く引用されている論文（2019 年現在）であることからも分かる通り，arXiv が創始

2.

ハドロン物理学と弦理論の再邂逅

マ ル ダ セ ナ の AdS/CFT 対 応 は，重 力 相 互 作 用 の な い

されたおよそ 30 年前から見て，ホログラフィー原理はこCFT（共形場理論）と AdS 時空上の超重力理論との対応での分野に最も影響力があった概念であると言えるかもしれあるが，この後者「重力側」は，実際には量子重力理論，ない．これは，d＋1 次元の漸近反ドシッター（AdS）時空正確にはⅡB 型超弦理論である．すなわち，N＝4 超対称における量子重力理論と，重力を含まない d 次元時空におヤン‒ミルズ理論などのゲージ理論が，弦理論と等価になける場の量子論（特に共形場理論（CFT））との，等価性のことである．*1るという予想である．重力だけではなく弦の励起が含まれているということが具体的に示されたのは，pp-wave 極限

ホログラフィー原理はなぜ成立するのだろうか．マルダと呼ばれる状況を考えた 2002 年のベレンシュタイン（D.

セナが示した最初の例である，N＝4 超対称ヤン‒ミルズ理Berenstein），マルダセナ，ナスタセ（H. Nastase）の論文 3）

論とⅡB 型超重力理論との対応は，双方の対称性が同じでであった．

あり，弦理論の D ブレーンの 2 つの見方から類推された．

弦理論の歴史は，南部陽一郎，ニールセン（H. Nielsen），

しかし，一般的な証明は未だ与えられていない．将来，汎サスキンドらが 1970 年頃にハドロンの自由度を与える物

用的な証明が与えられた際には，「重力は創発現象である」体として弦を導入したことから始まる．その後，ハドロンという言葉の意味するところが物理学的に明確になり，はクォークとグルーオンから構成され，ヤン‒ミルズ場を我々の宇宙の重力現象の基礎的理解に大きく貢献するのは含む量子色力学（QCD）として定式化されたため，ハドロン疑いがない．そこまでは到達していない現況において，と弦との関係は，弦による定式化というより，クォークと1997 年の発見以来のホログラフィー原理の研究は，2 つのグルーオンによって如何に QCD 弦を有効的な記述として種類に大きく分けられると考えられる：第一に，ホログラ出すか，すなわち閉じ込めの証明の問題，へと姿を変えた．

フィー原理の計算による確認と新しい辞書作り，第二に，弦理論は重力を含む量子論すなわち統一理論として研究

その原理の応用による多様な物理学の重力的理解，である．

が進められたが，1997 年の AdS/CFT 対応の発見からほど以下では主に後者の研究の進展を振り返ってみたい．

なくして，ハドロン物理と再邂逅することになる．5 年ほ

歴史的には，トフーフト（G. ʼt Hooft）やサスキンド（L.

どの間に辞書作りが進み，特に，超対称性を破る方法，基Susskind）が，ブラックホールのエントロピーを地平面の本表現のクォークを導入する方法が発見され，QCD に近い面積に関連付けたベケンシュタイン（J. Beckenstein）の公理論を AdS/CFT 対応で研究することが可能となった．こ式を概念的に拡張して「ホログラフィー原理」を唱えた

れは，超弦理論を漸近 AdS の時空上で考えると，QCD 的1994 年頃から既に，弦理論を含む量子重力における現象なゲージ理論で書くことができる，ということを言っていは空間次元が下がった量子論と深く関係していることが分るため，ハドロンの弦理論としての超弦理論が，AdS/CFTかりつつあった．その後，マルダセナはそこに具体例を提対応に強固な基礎を得ることになったのである．

示した，と位置付けることができる．それ以降の発展が著

AdS/CFT 対応を用いて QCD を研究する分野は「ホログ

しいのは，マルダセナの例を変形することで多様な検証がラフィック QCD」と呼ばれて確立し，酒井 ‒ 杉本模型 4）の進むこと，そしてマルダセナの例がヤン‒ミルズ理論といような，QCD のカイラル対称性の破れなどの特徴を捉えう素粒子論の根幹をなす量子論であった，ということに起た弦理論が考案された．さらには，QCD 相転移をブラッ因している．すなわち，以降の発展の一部は，こういったクホールの重力現象と理解できるだけでなく，重イオン衝素粒子原子核物理学で培われてきたゲージ理論の土壌の上突実験で確認されたクォークグルーオンプラズマの粘性がに成立しており，そのため多様な応用研究が生まれるのは小さいという性質を，AdS/CFT 対応の重力側での計算 5）で自然であったとも言える．なお，本稿のタイトルには「素説明できる．このように弦理論が QCD 現象論として機能粒子分野から拡がる双対性」とあるが，ホログラフィー原することが示され，弦理論の研究上の立場も変化した．現352©2019 日本物理学会

日本物理学会誌

Vol. 74, No. 6, 2019

Part 2.

在も QCD の有効模型として精力的な研究が続く．

物理学の新展開とから，量子ビットと深い関連がある．上記では物質との関係に重きを置いて解説してきたが，ホログラフィー原理

3.

超伝導から多様な物質系への様々な場の量子論への応用において，もう 1 つの大きな

AdS 時空中のスカラー場がブラックホールの地平面近傍観点にそのエンタングルメント・エントロピーがある．

で凝縮しうることから，CFT 側では超伝導もしくは超流動

笠 ‒ 高柳の公式 8）は，エンタングルメント・エントロピーと考えられるようなホログラフィック模型が，2008 年にを漸近 AdS 時空内の極小曲面の面積と関連付け，ベケン考案された． 一般に高温超伝導物質は電子が強相関相互シュタインのブラックホールエントロピーの公式を拡張し作用をしており理論解析が難しいが，AdS/CFT 対応ではた．量子エンタングルメントは，ゲージ理論のみならずお強結合の QFT を古典重力で解析できるという利点がある．

およそ全ての量子系で考えられる概念であり，また系の量「ホログラフィック超伝導」と呼ばれるこの模型は，ホ子性を測る重要な量であるため，笠 ‒ 高柳の公式はホログ

ログラフィー原理に基づいた様々な重力理論により物質のラフィー原理の応用を一挙に拡大した．量子ビットがどの性質を記述する端緒となり，弦理論の応用エネルギースようにエンタングルしているかという性質が，双対であるケールを QCD からさらに下げ，物性物理学とも融合する重力の時空の存在や性質を決める，ということがわかりつ形となった．超伝導現象に限らず，非フェルミ流体などのつある．量子情報理論の助けにより，エンタングルメン強相関現象への応用研究が進み，準粒子描像が無い物性系ト・エントロピー以外の情報量やそれらの満たす不等式なの特徴づけも進んだ．また，時間依存する系や非平衡系などが精査され，重力側での対応物が発見されている．特に，ど計算が困難な系を古典重力に持ち込んで解くなどの計算

アインシュタイン方程式の一部が導出されている．

6）

重力双対がある量子系とは，何なのか．ホログラフィーがなされた．ホログラフィー原理を通じて，重力との対応から新たに発見された輸送係数も存在する．

原理の適用限界はどこにあるのか．これらの問いをめぐり，ホログラフィー原理の物質への応用は，原理の適用限界

応用先が開拓されることで，驚くべき対応が次々と発見さを大きく広げた．もちろん，ホログラフィー原理は証明されてきた．その先には，ホログラフィー原理の証明と，我々れていないため，元から適用限界がわかっているわけではの宇宙の重力現象が実際にホログラフィックに理解できる無い．しかし心理的にもヤン‒ミルズ理論から離れ，一般ものであるのか，という物理の大問題が控えている．の物質系，特にスピン系のように離散的な自由度が格子の上に並んだ理論において，臨界点近傍で CFT に近くなる

参考文献期待されるカオスのリャプノフ指数の上限に達している．

1）J. M. Maldacena, Int. J. Theor. Phys. 38, 1113（1999）［Adv. Theor. Math.
Phys. 2, 231（1998）］.
2）S. S. Gubser, I. R. Klebanov, and A. M. Polyakov, Phys. Lett. B 428, 105（1998）; E. Witten, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253（1998）.
3）D. E. Berenstein, J. M. Maldacena, and H. S. Nastase, JHEP 0204, 013（2002）.
4）T. Sakai and S. Sugimoto, Prog. Theor. Phys. 113, 843（2005）.
5）G. Policastro, D. T. Son, and A. O. Starinets, Phys. Rev. Lett. 87, 081601（2001）; P. Kovtun, D. T. Son, and A. O. Starinets, Phys. Rev. Lett. 94,111601（2005）.
6）S. S. Gubser, Phys. Rev. D 78, 065034（2008）; S. A. Hartnoll, C. P. Herzog,and G. T. Horowitz, Phys. Rev. Lett. 101, 031601（2008）.
7）J. Maldacena, S. H. Shenker, and D. Stanford, JHEP 1608, 106（2016）.
8）S. Ryu and T. Takayanagi, Phys. Rev. Lett. 96, 181602（2006）.

カオスに上限があることは，大自由度極限の場の量子論で（2018 年 11 月 27 日原稿受付）という考えからホログラフィー原理が適用され研究が進展を見せることは，原理の根源的な理解につながる可能性を拓く．
実際，2015 年にはキタエフ（A. Kitaev）が，多数のマヨラナフェルミオンがランダムに全結合する Sachdev-YeKitaev（SYK）模型を考案し，それが AdS/CFT 対応の良いおもちゃ模型であることを示した．この量子力学は，ある極限で相関関数が厳密計算可能であり，特に非時間順序の相関関数が，重力側でブラックホールの地平面の存在から期待され， その上限は重力双対がある場合に満足される
7）

ことから，SYK 模型とその変形は，ホログラフィー原理の根幹につながっていると考えられている．

4.

量子情報：重力は創発現象かSYK 模型はマヨラナフェルミオンでできているが，マヨラナフェルミオンの状態とは | 0〉もしくは | 1〉であるこ

特別企画「平成の飛跡」 ホログラフィー原理

*1 GKP-Witten 関係式 2）と呼ばれる次式が，左辺の重力を含まない場の量子論と右辺の漸近 AdS 時空上の重力理論とを関係付けている：éù
exp ò φ（O（ x） = exp ê－ S重力［φ］0 x）
úφ（r =∞）=φ0 ûCFTë
ここで左辺は場の量子論の生成汎関数で，演算子 O（ x）のソースがϕ（（ x, r）の0 x）となっており，一方右辺は重力理論の古典作用に場 ϕAdS 境界 r → ∞における境界値が ϕ（0 x）である古典解を代入したものである．左辺のゲージ群の階数が大きく，強結合の極限において，右辺は古典重力理論となる．

353©2019 日本物理学会