あもんノート
ユークリッド幾何学、ニュートン力学から、相対論、量子論、素粒子論、宇宙論、そして超ひも理論まで、理論物理学を簡潔にかつ幅広く網羅したノートです。TOP へは下の URL をクリックして行けます。専用の画像掲示板で、ご意見、ご質問等も受け付けております。

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1

目次
第 25 章 スカラー場と正則化

325.1 特殊相対論の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325.2 スカラー場の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

525.3 定常的な場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

525.4 湯川ポテンシャルと核力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

625.5 荷電粒子のエネルギーと正則化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

725.6 作用汎関数の一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

825.7 運動する粒子が作るスカラー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

925.8 運動方程式のくりこみ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

第 25 章スカラー場と正則化特殊相対論においては、4 元ポテンシャル (ベクトル場) に加え、スカラー場を導入することもできます。電気力 (クーロン力) が同種斥力なのに対し、スカラー場の力は同種引力になります。このためスカラー場は、特殊相対論において荷電粒子が持つ特異性、いわゆる古典電磁気学の無限大の困難を解消するのに用いることができます。このことを見ていきましょう。

25.1

特殊相対論の復習

特殊相対論の作用は、∫∑∫() 1√µdτn mn + qn un Aµ (xn ) −Ssr = −d4 x Fµν F µν .
4n
ここで、mn , qn はそれぞれ n 番目の粒子の質量と電荷で、xµn は 4 元座標、

dxµn
µun =dτnは固有速度、√dτn = gµν (xn )dxµn dxνnは微小固有時間、gµν (x) は時空の計量です。また、√ √= − det gであり、g は計量の行列表記です。Aµ (x) は 4 元ポテンシャルと呼ばれるベクトル場で、Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµは電磁場です。これは反対称テンソル場になります。作用 Ssr は一般座標変換に対して不変で、この性質を、共変性、あるいは一般相対性原理といいます。
特にローレンツ座標 ( g = diag(1, −1, −1, −1) ) においては、各世界線上のパラメータを λn として、()
δSsr
duµndτnµν
gλµ mn− qn F ν (xn )un=δxλn (λn ) dλndτn3を得ることができるので、作用原理 : δSsr /δxµn (λn ) = 0 より、

mn

duµn= qn F µ ν (xn )uνn .
dτn

これは粒子の運動方程式です。また、δSsr /δAν (x) = 0 より、∑ ∫µνqn dxνn δ 4 (x−xn )∂µ F (x) =nが得られ、これはマックスウェル方程式です。
一方、エネルギー運動量テンソルは、

2 δSsrµνTsr=−√δgµνにより定義され、ローレンツ座標においては、∫∑
1µνmn dxµn uνn δ 4 (x−xn ) + F µλ Fλ ν + g µν Fρσ F ρσTsr=4nとなり、これは保存カレントになります :µν∂µ Tsr= 0.

詳しくは特殊相対論の章を参照してください。
◇ 念のため δSsr /δxλn (λn ) の式の導出だけ記しておきましょう。ローレンツ座標においては計量gµν が定数であることに注意して、作用 Ssr の各粒子座標に関する変分は、()∑ ∫δSsr = −δ dτn mn + qn Aµ (xn )uµn

 √µµν∑ ∫dxn dxndx+ qn Aµ (xn ) n =−δ dλn mn gµνdλn dλndλnn()
µ∑∫
1 dλn
dδxµn dxνndδxµn
ν dxn=−dλn mn2gµν+ qn ∂ν Aµ (xn )δxn+ qn Aµ (xn )2 dτndλn dλndλndλnn)(∫∑dxνn µdxνn µduνn µδx + qn ∂µ Aν (xn )δx − qn ∂ν Aµ (xn )δx=−dλn −mn gµνdλn ndλn ndλn nn)(∑∫duνndxνnδxµn− qn Fµν (xn )=dλn mn gµνdλdλnnnnのようになるので、()
δSsrduµnduνndxνndτnµν− qn Fλν (xn )=gλµ mn− qn F ν (xn )un .
= mn gλνδxλn (λn )dλndλndλndτn4

25.2

スカラー場の導入

φ(x) をスカラー場とし、特殊相対論の作用に、スカラー場の作用 :∫∑ ∫1√kn dτn φ(xn ) +Sφ = −d4 x (g µν ∂µ φ∂ν φ − µ2 φ2 )2nを追加します。kn は粒子とスカラー場との結合定数で、電荷と同様な粒子の属性です。また、µ は定数で、正の実数とします。この作用は一般座標変換に対して不変なので、共変性が保持されます。
特にローレンツ座標においては、()
duµnδSφdτnµ νµgλµ φ(xn )+ ∂ν φ(xn )un un − ∂ φ(xn )= kn
δxλn (λn )dλndτnが得られるので、粒子の運動方程式は、() duµ()µµµ νν
= qn F ν (xn )un + kn ∂ φ(xn ) − ∂ν φ(xn )un un
mn + kn φ(xn )dτnと変更されることになります。また、δSφ /δφ(x) = 0 より、スカラー場の方程式として、∑ ∫2(¤ + µ )φ(x) = −kn dτn δ 4 (x−xn )nを得ます。マックスウェル方程式は変更ありません。
エネルギー運動量テンソルに対するスカラー場の寄与は、2 δSφTφµν = − √δgµν∑ ∫()1kn dxµn uνn φ(xn )δ 4 (x−xn ) + ∂ µ φ∂ ν φ − g µν ∂λ φ∂ λ φ − µ2 φ2=2nと計算され、全体のエネルギー運動量テンソルは、µνT µν = Tsr+ Tφµνで、これが保存カレントになります : ∂µ T µν = 0.

25.3

定常的な場合以下、ローレンツ座標 xµ に対して、x0 = t, xi = (r)i という表記を用います。
マックスウェル方程式は、4 元ポテンシャルを用いて、¯∑ dxµ¯n 3µµνδ (r−r n ) ¯qn¤A (x) − ∂ ∂ν A (x) =dtntn =tn5と表せますが、特に定常性の仮定のもとでは、∑△A0 (r) = −qn δ 3 (r−r n ), −△A(r) + ∇∇·A(r) = 0nとなります。右式は A(r) = 0 で満たされます。すなわち定常的な場合、ベクトルポテンシャルは 0 と仮定できます。また、スカラー場の方程式は、定常性の仮定のもとで、∑2kn δ 3 (r−r n )(△ − µ )φ(r) =nとなります。
一方、系のエネルギーは、定常性の仮定のもとで、∫∫
00
P 0 = d3 r T 00 = d3 r (Tsr+ Tφ00 )
∫()
∑
∑
1
30 222 2kn φ(r n ) +mn +=d r |∇A | + |∇φ| + µ φ2nnと整理されるでしょう。空間積分の部分は、部分積分し、上に示した定常的な場合のマックスウェル方程式、およびスカラー場の方程式を用いれば、さらに簡単になり、結果、∑1∑
1∑
P0 =mn +qn A0 (r n ) +kn φ(r n )22nnnとなります。

25.4

湯川ポテンシャルと核力

ここで、電荷 q, スカラー場との結合定数が k の粒子がただ一つ原点に静止している系を考えてみましょう。このときスカラー場の方程式は、(△ − µ2 )φ(r) = kδ 3 (r)ですが、特に遠方で 0 に漸近する解は、

k e−µ|r|φ(r) = −4π|r|となり、湯川ポテンシャルと呼ばれます (解析力学の章参照)。一方、マックスウェル方程式は、△A0 (r) = −qδ 3 (r)6ですが、遠方で 0 に漸近する解は、

A0 (r) =q4π|r|となり、クーロンポテンシャルと呼ばれます。(湯川ポテンシャルの式において、µ → 0, k → −q とおくことで得られます。)
これらの結果、および粒子に働く力が、定常近似で、−qn ∇A0 (r n ) − kn ∇φ(r n )であることに注意すると、電磁力は同種斥力ですが、スカラー場による力は逆で、同種引力であるとわかります。また、スカラー場の力の及ぶ距離 (到達距離) が µ−1程度であることもわかるでしょう。µ の値が大きければ到達距離は短くなり、逆に小さければ到達距離は長くなります。µ = 0 のときは、電磁場と同様、到達距離は無限大ということになります。
例えば、陽子や中性子などの核子を原子核に閉じ込めている力は核力と呼ばれますが、この力は近似的にこのようなスカラー場で記述されます。このとき µ−1はおよそ原子核のスケール ∼ fm ∼ (200 MeV)−1 で、それゆえ原子核はかようなサイズを持つというわけです。(量子化して現れる粒子が π 中間子です。)
一方、µ−1 の値が観測のスケールと比べずっと小さいとき、スカラー場の存在をあらわには認識できないという点に注意してください。つまり、本当は理論にスカラー場 φ(x) があるのだが、観測スケールにおいては無視してよい、という可能性が考えられるわけです。

25.5荷電粒子のエネルギーと正則化

上記の系のエネルギーは、粒子の質量を m として、)( 2q 0kqk 2 e−µr0
P = m + A (0) + φ(0) = m + lim−r→0 8πr
228πrですが、もし理論にスカラー場がなく k = 0 なら、これは発散してしまいます。
理由は荷電粒子の周りの電磁場が無限の正のエネルギーを持つからで、このことは、2 つの同種荷電粒子を同一点に持っていくために、無限のエネルギーを要することからも容易に想像されます。この問題を 電磁気学における無限大の困難 といいます。
しかしもし、k = q の場合、あるいはもっといえば、電荷とスカラー場の結合定数が元来同じもの (kn = qn ) という場合は、上式は、

q2q2µ1 − e−µrlim=m+8π r→0r8πと評価され、ちゃんと極限値が存在します。すなわち、無限大の困難はないわけです。
P0 = m +7例えば電子などの実際の素粒子を考えると、スカラー場による力は観測されないので、µ−1 は観測されるスケールよりずっと小さいはずで、このため q 2 µ/(8π)
は非常に大きい値になります。しかしそれでも有限です。またこの場合、2 つの同種荷電粒子を同一点に持っていくのに、有限のエネルギーで済みます。2 つの荷電粒子を近づけてゆくと、µ−1 程度の距離からスカラー場の引力が効いてきて、距離 0 の極限で電磁力とスカラー場の力がちょうど相殺するからです。
逆にこのような引力が存在しない理論は、荷電粒子がその内部に無限の反発力を有し、安定であり得ません。このことは、荷電粒子を含む電磁気学はそれ自身では満足な体系ではないことを意味しています。このため、ここでは非常に到達距離の短い引力をスカラー場により導入したわけです。このような手法を一般に正則化 (regularization) といい、正則化のために導入された場をレギュレーターといいます。
◇ 量子電磁力学における正則化については、古くにはパウリ・ヴィラースの方法があり、これは作用の符合を逆にして引力化しなおかつ質量を持たせたベクトル場を、4 元ポテンシャルとは別に導入することに対応しています。しかしこのような場は底なしのエネルギーを持つため、計算のための便宜上の場と考えられます。また、最近では次元正則化がよく用いられます。ここで示したスカラー場のレギュレーターは、あくまで古典論においてですが、もっと実在的な場と考えることができます。しかし一方、量子電磁力学において仮にこのようなスカラー場を導入しても、無限大の困難を解消することはできません。古典論と量子論では少し事情が異なるのです。

25.6

作用汎関数の一意性

レギュレーターとしてのスカラー場を含めた電磁気学 (特殊相対論) の作用を、改めて記しておきます。
∑∫()
dτn mn + qn φ(xn ) + qn uµn Aµ (xn )Ssr + Sφ = −∫n1+2√

1d x (g ∂µ φ∂ν φ − µ φ ) −44µν

2 2∫√
d4 x Fµν F µν .

この理論には無限大の困難がなく、無矛盾と考えられます。そして、µ−1 より大きなスケールにおいては、スカラー場は無視され、通常の電磁気学に漸近します。
スカラー場は、各粒子のごく近傍にまとわりついているというイメージです。
上の作用は、粒子、スカラー場、ベクトル場を含み、場に関して 2 次、すなわち場の方程式が線形で、かつ座標不変な、ほとんど唯一なモデルであることに注意してください。
例えば理論を拡張するとすれば、∫∫√4 √ µν
d x g Aµ Aν ,d4 x ∇µ Aµ ∇ν Aν ,8∫√
d4 x ∇µ Aν ∇ν Aµのような項の追加が考えられますが、これらはゲージ不変性を壊してしまうので普通は加えません。また、ϵµνρσ を 4 次元レビ・チビタとして、∫d4 x ϵµνρσ Fµν Fρσは、∫∫∂x′ µνρσ ∂xα ∂xβ ∂xγ ∂xδdxϵd x det
ϵFαβ Fγδ
∂x∂x′µ ∂x′ν ∂x′ρ ∂x′σ∫∫′∂x∂x= d4 x det
ϵαβγδ det ′ Fαβ Fγδ = d4 x ϵµνρσ Fµν Fρσ∂x∂x4 ′ µνρσ′′FµνFρσ=4なので座標不変で、かつゲージ不変ですが、実は被積分関数が、ϵµνρσ Fµν Fρσ = 4 ϵµνρσ ∂µ Aν ∂ρ Aσ = ∂µ (4 ϵµνρσ Aν ∂ρ Aσ )というように時空の全微分になっているので、その時空積分はストークスの定理から遠方の境界に押し付けられ、0 とみなされます。

25.7運動する粒子が作るスカラー場レギュレーターとしてのスカラー場の方程式は、∑ ∫2qn dτn δ 4 (x−xn )(¤ + µ )φ(x) = −nです。これを解くため、(¤ + µ2 )G(x; µ) = δ 4 (x)という偏微分方程式を考えます。G(x; µ) はクライン・ゴルドン演算子 (¤ + µ2 )の逆 (主要解) を意味します。フーリエ展開により、∫d4 k1G(x; µ) =e−ik·x422(2π) −k + µ
∫
∫
1d3 k
dω −iωteeik·r=32222π(2π) |k| + µ − ω√∫− µ2 −ω 2 |r|dω −iωt e=e2π4π|r|.
√√
ただし ω > µ のとき µ2 − ω 2 は i ω 2 − µ2 を意味するものします。k 積分の実行に関しては解析力学の章を参照してください。

9よって、一般に運動する粒子が作るスカラー場は、∫∫∑
4 ′′φ(x) = d x G(x−x ; µ)(−qn ) dτn δ 4 (x′ −xn )=∑∫(−qn )ndτn G(x−xn ; µ)n=

∑ −qn ∫n4π∫dτn

√ 2 2dω −iω(t−tn ) e− µ −ω |Rn |e2π|Rn |.

ここで Rn = r − r n です。指数関数をテイラー展開すれば、)(∫∞2 k/2∑ −qn ∫dω −iω(t−tn ) ∑ (−µ)kω
φ(x) =dτne|Rn |k−1 1 − 24π2πk!
µnk=0()k/2∫∞k2∑ −qn ∫
∑√
1(−µ)
ddω
dtn 1−|v n |2=|Rn |k−1 1 + 2 2e−iω(t−tn ) .
4π2πk!
µ dtnnk=0

ここで v n = dr n /dtn は n 番目の粒子の座標速度です。tn について部分積分し、ω と tn の積分を順に実行すれば、()k/2∞¯∑ −qn ∑√1 d2(−µ)k¯k−121+ 2 2
1−|v n | ¯
φ(x) =|Rn |4πk!
µ dtn
tn =tnk=0を得ます。

k が奇数の部分においては、微分演算子 (1 + µ−2 d2 /dt2n )k/2 は無限に続く級数で与えられることに注意してください。このような級数の収束性は一般に良いとは限りませんが、少なくとも粒子の近傍 (Rn ∼ 0) を考える限りにおいては性質の良い級数になると考えられます。

25.8

運動方程式のくりこみ

粒子の速度が光速に比べて十分遅い場合 (非相対論的近似) を考えると、v n の 2次以上を無視して、

dr n
Rn ·v nd|Rn | =·∇n |Rn | = −dtn
dtn|Rn |,d2Rn · v̇ n|R|=−ndt2n|Rn |.

ここで v̇ n = dv n /dtn です。これに注意すると、スカラー場の方程式の解は、やはり v n の 2 次以上を無視して、∑φn (x),φ(x) =n−qnφn (x) =4π()¯¯
1µ2 |Rn | Rn · v̇ n µ3 |Rn |2 µRn · v̇ n−µ+−−++ · · · ¯¯|Rn |22|Rn |
62tn =t10のように展開されます。ここで φn (x) は n 番目の粒子が周囲に作るスカラー場を意味していますが、特に粒子自身の位置において、

φn (xn ) = −qn
qn µ+4π|0| 4π,∇φn (xn ) =qn v̇ nqn µv̇ n−8π|0|8πと評価されます。φn (x) の式の省略されている項 · · · はこれらに寄与しません。このことは例えば次元解析からわかるでしょう。|0| は lim |Rn | の意味であり、すr→r n

なわち上の 2 式はどちらも発散することがわかります。
一方、n 番目の粒子の運動方程式は、非相対論的近似において、(mn + qn φ)v̇ n = qn E + qn v n ×B − qn ∇φですが、粒子自身の位置における電場が、E n (xn ) = −qn v̇ nqn v̈ n+8π|0|6πであり、やはり発散することを思い出しましょう (電磁気学の章参照)。これら無限大は、運動方程式において正確に相殺され、次のようなくりこまれた運動方程式を得ます。

( (r))
qn2 v̈ n(n)(n)(n)mn + qn φ v̇ n = qn E + qn v n ×B − qn ∇φ +6π.
ここで、

φ(n) = φ − φn ,E (n) = E − E n

は自身の寄与を除いた場です。また、

qn2 µ(r)mn = mn +8πは、くりこまれた質量であり、これはちょうど 1 粒子の静止系におけるエネルギー(有効質量) と一致しています。一方、qn2 v̈ n /6π はローレンツ摩擦力で、これは通常の電磁気学と同じで、変更がないわけです。
◇ ここの内容は私独自の研究によるものです。荷電粒子を含む電磁気学の理論的な無矛盾性のために、特に数理的な意味で非常に重要であるにもかかわらず、ほとんど知られていないと思われます。

11索引
か核力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
クーロンポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
クライン・ゴルドン演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . .9
さスカラー場の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
スカラー場の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
正則化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
た電磁気学における無限大の困難 . . . . . . . . . . . . 7
到達距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7や湯川ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6ら

レギュレーター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812