水工学論文集,第53巻,2009年2月

二周波降水レーダアルゴリズムの基礎方程式とその解法に関する研究
CHARACTERISTICS AND SOLVING METHODS OF A SET OF EQUATIONSAS A PRIMITIVE DUAL-FREQUENCY PRECIPITATION RADAR ALGORITHM

瀬戸心太1・井口俊夫2・沖大幹1
Shinta SETO, Toshio IGUCHI, and Taikan OKI
1正会員

博士(工学)

2非会員

Ph.D (独)情報通信研究機構

東京大学生産技術研究所(〒153-8505 東京都目黒区駒場4-6-1)(〒184-8795 東京都小金井市貫井北町4-2-1)

This study investigates characteristics and solving methods of a set of primitive equations for dual-frequency
precipitation radar algorithms. There are some previously proposed solving methods such as forward method,backward method, and recursion method, but none of them can always give the right answer. The set of primitive
equations for multiple ranges can be decomposed into lemmas for one range, which are deeply examined in this study.
A lemma composing the backward method usually has a unique solution, while a lemma composing the forward
method usually has multiple solutions. This implies that the backward method is a relatively stable method, but thismethod requires accurate surface reference estimates. We need to develop some criteria to select one solution frommultiple solutions. For that, we conduct a preliminary study by using the TRMM/PR standard product. Moreover,the deficiency of the recursion method is explained with a definition of stability of solutions.

Key Words : dual-frequency precipitation radar(DPR), drop size distribution, GPM, TRMM, PR

１．はじめに世界初の衛星搭載二周波降水レーダ(DPR)は全球降水観測(GPM)計画の主衛星に搭載され2013年に運用を開始する予定である．DPRは，KuPRおよびKaPRと呼ばれる
2つのレーダから構成される．KuPRは，1997年から現在まで運用されている熱帯降雨観測衛星(TRMM)搭載の降雨レーダ(PR)と似た構成であり，Ku帯のマイクロ波である周波数13.6GHzを用いる．一方，KaPRは，Ka帯のマイクロ波である35.5GHzを用いる．DPRのPRに対する長所は，大きく分けて2つあるとされている．1つは，より感度の高いKaPRにより，弱い雨および固体降水の観測が可能になることである．もう1つは，KuPRとKaPRの同時観測により，粒径分布の推定がより正確に行えることである．
DPRは観測頻度が数日に1回程度と低いため，単独では実利用に応用できる範囲は限られる．しかし，観測頻度の高いマイクロ波放射計などの他のセンサの降水強度推定アルゴリズムの開発・検証にDPRを用いることで，他のセンサによる降水推定精度を向上させ，現在よりさらに高精度な高解像度全球降水マップ(HRPP)の開発に寄与することが期待できる．HRPPは，現在も世界の複数のグループで開発が進められており，水工学分野への応用も既にいくつか検討されている1)．DPR単独での降水強度推定精度を高めることが，近い将来のHRPPの精度をさらに向上し，広く実利用されるためにも重要である．
二周波レーダの観測から降水強度を推定するアルゴリ
ズムの開発は，古くは1970年代から行われている2)．
TRMMの計画段階において一時期，レーダを二周波とすることも検討された．Meneghini et al.3)(以下M92)は，降水の粒径分布をガンマ分布と仮定して2つのパラメータ(N0,D0)で表し，2周波の観測レーダ反射因子ZmをMie散乱理論により計算した．初期の多くの研究2)は，Mie散乱の効果を無視するRayleigh近似を行う，あるいは降水強度が鉛直方向に変化しないといった仮定をおいており，対象となる降水の種類が限定されていたが，M92の定式化には，そうした制約がない．本研究では，この定式化により得られる「基礎方程式」の特性と解法について，既往の研究を踏まえた考察を行う．
以下本論文では，2節で基礎方程式の定式化，3節で既
往の研究における基礎方程式の解法を紹介した後，4節以降で基礎方程式の特性と解法について検討する．

- 373 -

２．基礎方程式(1)レーダ観測の定式化
M92に習い，レーダ観測の定式化を行う．降水の粒径
分布関数N(D)[mm-1m-3]としてガンマ分布を仮定する．
N ( D ) = N 0 D μ exp[− (3.67 + μ ) D / D0 ] (1)
ここに，Dは粒径[mm]，N0[mm-1m-3]・D0[mm]・μ[-]はガンマ分布のパラメータである．減衰の影響を考慮しない場合のレーダ反射因子Ze[mm6m-3]は，式(2)のように表される．
Ze = CZ ∫∞D =0

σ b ( D ) N ( D)dD

図-1 レーダ観測とその離散化の概念図(左)および減衰の定義の説明(右)．

(2)

ここに，Czは，レーダの波長λ[mm]，降水粒子の複素屈
折率n(温度T[K]に依存)から式(3)のように与えられる．

{

F ( D0 ) = 10 log10 CZ ∫G ( D0 ) = Ck ∫

2

∞

D =0

∞

D =0

σ b ( D) D μ exp[−(3.67 + μ ) D / D0 ]dD

σ t ( D) D μ exp[−(3.67 + μ ) D / D0 ]dD

}

(11)
(12)

F,G,dBZe,kなど周波数に依存する変数および関数について，KuPR(KaPR)の周波数で計算されたことを明示する
場合は添字1(2)をつける．また，太字で表すことで，両σbは後方散乱断面積[mm2]であり，Mie散乱係数al,blを用
周波数に対応する値を要素とするベクトルであることをいて，式(4)のように求められる．
示す．例えば，dBZe=(dBZe1,dBZe2)Tである．
2
λ2 ∞
(4)
σb =
次に，dBZmについて考える．ここで，レンジ内の一様∑ (−1) l (2l + 1)(al − bl )4π l =1性を仮定しているから，図-1に示すようにレーダから当図-1に示すように，レーダ位置を0として観測方向に
該レンジの中央までの往復で生じる減衰(dBAとする)の測った距離をr[km]とする．位置rにおける観測レーダ反影響を受けていると考えれば良い．すなわち，
射因子Zm(r)は，式(5)により表される．
dBZm=dBZe－dBA
(13)
r
(5)
dBZm (r ) = dBZe (r ) − 2∫ k ( s)dsと表現できる．式(9),(10),(13)から，M個のレンジにおけ
s =0
ただしdBZ=10×log10Zを表す．sはrのダミー変数である． るdBZmをM個のレンジにおける(N0,D0)で表すことができる．これは，観測数(方程式の数)が2M個に対して，未知kは減衰係数[dB km-1]であり，式(6)で求められる．
∞
数が2M個と同数である連立非線形方程式であり，本論(6)
k = Ck ∫ σ t ( D) N ( D)dD
D =0
文において「基礎方程式」と呼ぶ．
ここで，Ck＝0.01×log10eであり，σtは消散断面積[mm2](3)補題の設定であり，(7)で表現される．
以下の議論のために，次の2つの擬似物理量dBZe(－)お
2 ∞
λ
(7)
よびdBZe(＋)を定義しておく．
σt =∑ (2l + 1) Re(al + bl )2π l =1(14)dBZe(－)=dBZm+dBA(－)
ただし，Re(X)は複素数Xの実部を表す．ところで，降水(＋)(＋)
dBZe =dBZm+dBA(15)
強度R[mm h-1]は，次のように表現できる．
(－)
ただし，dBA はレーダから当該レンジ上端までの往復∞
3で生じる減衰量であり，dBA(＋)はレーダから当該レンジ(8)
R = C R ∫ v( D) D N ( D) dD
D =0
下端までの往復で生じる減衰量である(図-1参照)．当該
ただし，v(D)は粒子の落下速度[m s-1]，CR=0.6π×10-3でレンジ半分の往復で生じる減衰は，k×(L/2)×2=kLであある．すなわち，N0およびD0を求めることは，Rを求めるから，式(16),(17)のように，あるレンジのdBZe(－)およることと同等である．
びdBZe(＋)は，そのレンジのN0とD0で表現できる．
(2)DPRへの適用
dBZe(－)=dBZe－kL=10log10N0+F(D0)－N0×G(D0)×L (16)図-1に示すように，DPRにより幅L[km]のM個のレンdBZe(＋)=dBZe＋kL=10log10N0+F(D0)＋N0×G(D0)×L (17)
ジで観測する場合を考える．1つのレンジ内でのN0およ
ここで，以下の3つの補題を定義しておく．
びD0は一様であり，nおよびμは既知の定数として扱う． 「補題O」dBZ を既知として(N ,D )を求める
e0 0
このとき，あるレンジのdBZeおよびkはそのレンジのN0「補題F」dBZe(－)を既知として(N0,D0)を求めるとD0のみの関数となり，式(9)および(10)で表される．
「補題B」dBZe(＋)を既知として(N0,D0)を求める(9)dBZe=10log10N0+F(D0)
補題はレンジごとに独立して設定することができる．いk=N0×G(D0)(10)
ずれも，観測数が2個に対して，未知数が2個の連立非線
ただし，F，Gは以下の関数を簡略化したものである．
形方程式である．

λ4 n 2 + 2
CZ = 5 2
π n −1(3)- 374 -

図-3 D0－dBZe(－)Δ平面におけるdBZe(－)2の等値線図．ただし，点線は∂dBZe(－)2/∂D0=0の等値線を示す．

図-2 FΔ(D0)．T=300[K]，L=0.25[km]，μ=3の場合．

３．既往の研究における解法

ではPIA[0]=0を仮定する．この方法を繰り返し法と呼ぶことにする．
Adhikari et al.9)は，基礎方程式に繰り返し法を適用した
結果，真値と異なる解が得られる場合があることを示している．すなわち，PIAは収束するが，その際に得られる(N0,D0)が真値と異なる．M=17，L=0.25km，μ=0，
N0=8000mm-1m-3の場合，D0=1.1mm(降水強度3.2mm h-1)な
らば正解が得られるが，D0=1.5mm(降水強度13.7mm h-1)
では正解が得られない．Rose et al.10)も同様の結果を示し，正解が得られる場合の(N0,D0)の条件を経験的に示している．このように基礎方程式に対する既存の解法はいずれも適用に限界がある．

2節で定義された基礎方程式の解法を考える．いくつかの既往研究4)では，表面参照法により推定されたレーダから地表面までの減衰量(PIA)を観測量に加えて解いている．PIAは2つの周波数について求まるから，観測量が2M+2個となり，未知数の個数よりも多くなる．PIAは地表面のすぐ上にあるレンジMに対するdBA(+)のことであるから，式(15)によりレンジMに対するdBZe(+)が求まる．レンジMにおいて補題Bが解ければ，式(10)によりkが計算できる．次に，レンジ(M-1)に対するdBA(+)は，レンジMのdBA(+)からk×2Lを引くことで求まる．以下，この順で下から上のレンジについて順次，補題Bを解くことで，基礎方程式を解く．これは，いわゆる後退法と呼４．解の個数ばれる解法である．
これに対して，いわゆる前進法は上から下のレンジの順に解くものである．レンジ1に対してのdBA(－)は0であ
3節で紹介した既往研究からも分かるように，基礎方るから，式(14)からdBZe(－)=dBZmである．補題Fを解くこ
程式は，本質的には補題Fまたは補題Bの積み重ねであとができれば(N0,D0)が求まり，さらにkが得られるから， る．本節では，補題Oを加えた3つの補題について解のレンジ2に対してのdBA(－)もk×2Lとして求まる．以下，特性と解法を調べる．なお，以下ではDPRの設計にあわこれを繰り返す．一周波数の場合，前進法はHitschfeldせてL=0.25km，PR標準アルゴリズムに習いμ=3とした．
5)
Bordan法 と呼ばれるが，後退法に比べて解が発散しや
また，粒子の温度T=300Kとした．Tは式(3)の複素屈折率すい6)．
の計算に用いるが，以下の結果に強くは影響しない．
一方で後退法も，特に陸上では表面参照法の信頼性が(1) 補題O (dBZeが既知の場合)低いため7)，精度に問題がある．そこで，Mardiana et al.8)
式(9)を改めて2つの周波数に対して示す．
では，表面参照法に頼らない後退法を提案している．具
(9-1)
dBZe1=10log10N0+F1(D0)
体的には，iを繰返し数として，PIAをPIA[i]と仮定して(9-2)
dBZe2=10log10N0+F2(D0)
後退法により全レンジの(N0,D0)を求める．ここから，式(9-2)から(9-1)を引いてN0を消去する．
(10)により求めたkを積算することで改めてPIAを計算で(18)
dBZeΔ=FΔ(D0)
きる．この値をPIA[i+1]とする．PIA[i]とPIA[i+1]の差が
ただし，添え字ΔはKaPRの場合からKuPRの場合を引い十分に小さくなるまで繰り返す．なお，最初のステップた差であることを示す．右辺のFΔ(D0)は図-2に表される- 375 -

図-5 D0－dBZe(α)Δ平面におけるα×N0の分布(ただし，等値線の目盛りはα×dBN0で表示する)．薄い赤(青)で示すのはα＞0(α＜0)となる領域，紫線はα×N0=0の等値線．

図-4 D0－dBZe(＋)Δ平面におけるdBZe(＋)2の等値線図．下の図は，上の図の左上部分を拡大表示したもの．ただし，点線は∂dBZe(＋)2/∂D0=0の等値線を示す．

に解が3個存在する場合も見られる．例えば，ような関数形となり，D0=D0sにおいて極大値をとる．こdBZe(+)1=36.1dB，dBZe(+)2=39.1dB(dBZe(+)Δ=3dB)に対して，の場合D0sは約1.0mmである．0≦dBZeΔ＜FΔ(D0s)である
D0の解は0.503mm，0.796mm，0.902mmの3個存在する．
場合，dBZeΔからD0を一意に決めることができない．
(4) 統一した表現
dBZeΔ<0およびdBZeΔ=FΔ(D0s)である場合には解が一意に以上3つの補題は，次の式(21)で定義されるdBZe(α)か定まる．D0が求まれば，(9-1)または(9-2)に代入することら(N0,D0)を求める問題として統一的に表現できる．
でN0を求めることができる．以上から，補題Oは解が1(21)dBZe(α)=10log10N0+F(D0)+α×N0×G(D0)×L
つまたは2つ存在することが分かる．
(－)
補題Oはα=0の場合，補題Fはα=－1の場合，補題Bはα(2) 補題F (dBZe が既知の場合)=1の場合である．図-5には，横軸D0，縦軸dBZe(α)Δとし式(16)について2つの周波数の差をとる．
て，α×N0の等値線を示している．α×N0=0の等値線は，dBZe(－)Δ=FΔ(D0)－N0×GΔ(D0)×L(19)
図-2のFΔ(D0)の関数と一致し，α×N0<0となる領域は，
式(19)をN0について解き，その値をいずれかの周波数に
図-3に示した補題Fの解が存在する範囲に対応し，α×ついての式(16)に代入すると，N0が消去されD0のみの方
N0>0となる領域は，図-4に示した補題Bの解が存在する
程式が得られる．解の個数を視覚的に考察するために，(－)(－)
範囲に対応することが確認できる．また，図-6には，
横軸D0，縦軸dBZe Δをとった平面上に，dBZe 2の等値(－)
dBZe(α)1の等値線図を示す．この図からも，各補題の解線を示した(図-3)．グレーで示された範囲の(D0，dBZe(－)の個数について調べることができる．点線は∂dBZe(α)1/Δ)をみたす解は存在しない．補題Fは，dBZe
Δおよび∂D0=0を表す線であるが，dBZe(α)Δ/∂D0=0であるから，dBZe(－)2を既知としてD0を求める問題と等値であり，解点線は∂dBZe(α)2/∂D0=0を表す線とも一致する．なお，の個数は，図-3の横軸に平行な直線と等値線の交点の個
緑線については6節で後述する．
数に対応する．ここで点線は∂dBZe(－)2/∂D0=0となる場合を示す．補題Fの解は点線の左側と右側に2つ存在する
場合がある．
５．解の選択(3) 補題B (dBZe(＋)が既知の場合)
式(17)について2つの周波数の差をとる
前節に示すように，補題O,F,Bはいずれも解が2つ以上dBZe(＋)Δ=FΔ(D0)＋N0×GΔ(D0)×L(20)
存在する場合がある．こうした場合に，正しい解を選択
補題Fの場合と同様にして，N0を消去してD0のみの方程するためには，何らかの条件を導入する必要がある．
式を得ることができる．図-4に，横軸D0，縦軸dBZe(＋)Δ(1) D0>D0s
をとった平面上に，dBZe(＋)2の等値線を示す．横軸に平条件として，D0>D0sを与えることにすれば，補題Oで行な直線と等値線の交点の個数が，補題Bの解の個数に対応する．点線は，∂dBZe(＋)2/∂D0=0となる場合である． は解が唯一に求まる．また，補題Fについても，少なく
とも今回用いた条件下では，解が唯一に定まる．D0<D0s
多くの場合は解の個数は1個であるが，dBZe(＋)Δ>0の場合- 376 -

図-6 D0－dBZe(α)Δ平面におけるdBZe(α)1の等値線図．点線
は∂dBZe(α)1/∂D0=0の等値線を示す．また，緑線は安定度が0の線であり，内側が安定度が正となる．

図-7 緑点は2A25から再現された(D0，dBZe(－)Δ)．実線はα=0，点線は∂dBZe(α)2/∂D0=0，破線は安定度T=0を示す．
(T=273.15[K]で計算している)．

て，T=273.15Kとして計算する．μ=3.0，L=0.25kmはことなるのは，相当に弱い雨であり，Mie散乱の影響が小さく二周波を使う意味に乏しい点から，D0>D0sという条
れまでと同じである．結果を図-7に示す．図-7は，図-6と同様に横軸がD0，縦軸がdBZe(α)Δであり，α=0に相当
件で限定することは妥当である．しかし，補題Fの場合する線(実線)および∂dBZe(＋)2/∂D0=0に相当する線(点線)には，D0sより大きい解が2つ存在する場合があるから，
この条件を導入しても解が唯一には定まらない．このこを示している．2A25から再現された(D0, dBZm(-)Δ)の結果とは基礎方程式の解法として，補題Fを用いる前進法は， が実線より下側(α<0の領域)に示されている．点線より左側(右側)に位置する場合，補題Fの2つの解のうち，D0
補題Bを用いる後退法に比べて，正しい解を得ることがが小さい(大きい)方の解であることを示す．全137072個困難である理由を示唆している．
の降雨ケースのうち，D0が小さい方の解が正解となるの(2)TRMM/PR標準プロダクトに基づく解の経験的分布は26436個(19%)であり，大きい方の解が正解となるのは解の選択のための良い条件を作るには，現実の雨がど
110636個(81%)であった．この結果からは，D0が大きいのような経験的分布を持つかを調べてデータベース化す解を選ぶのが良いと考えられるが，経験的分布についてることが一つの最善な方法であろう．ここでは，
11)
は様々なデータに基づいたさらなる検討が必要である．
TRMM/PR標準プロダクト2A25 を用いて，解の経験的分布を調べる予備的考察を行った．2A25では，次式(22)で表されるk-Ze関係を用いている．
６．解の安定性
k=ε×α×Zeβ(22)
ここで，αおよびβは降水タイプとレンジ位置により決められる定数であり，εはレンジ位置には依存せずパス
繰り返し法では，前節で述べたような解の選択が考慮されていない．このため，暗黙のうちにいずれかの解をごとに一定の値であり，表面参照法により修正される．
選択していることになり，必ずしも正しい解を選択でき
式(22)の両辺をZeで割り，式(23)を得る．
ないと考えられる．
(23)
k/Ze=ε×α×Zeβ-1
繰り返し法の問題点を説明するために，補題F(またはこの式の値は2A25により計算される．一方で，式(9)お補題B)を以下の方法で解くことを考える．
よび(10)から，(24)[1] kを仮定する(k[i]とする．ただし，iは繰返し数)k Z e = G ( D0 ) 10 F ( D0 ) 10
[2] kを式(16)(または式(17))に代入してdBZeを求める．
として，k/ZeをD0の関数で表現できる．この関数は単調[3] 補題Oに帰着するので，補題Oを解く．
増加である．したがって，2A25からD0を算出すること[4] D0を式(9)に代入して，N0を求める．
が可能である．D0が求まれば，式(10)によりN0が算出され，さらにDPRの周波数に対応した観測量も模擬できる． [5] D0,N0を式(10)に代入して，kを求める(k[i+1]とする)[6] k[i]とk[i+1]の差が一定以下になるまで繰り返す．
2A25の軌道番号20700から20709までの10軌道を対象
ここで，問題となるのはステップ[3]およびステップ
として，上述の方法によりDPRの観測を模擬した．その[6]である．言い換えると，以下に述べるステップ[6]の際，0℃の水に相当するレンジのみを用いる．したがっ- 377 -

問題が解決するならば，補題F(または補題B)は補題Oと等価である．
解R=(N0,D0)の周りの微小な変動をΔRとして，これに対応するdBZeおよびkの変動をΔdBZeおよびΔkと表す．
このとき，十分に小さい任意のΔRに対して，|ΔdBZe|>|Δk×L|(25)が成り立つ場合，真値(ktと書く)に十分近いk[i]を仮定す
れば，|k[i]－kt|>|k[i+1]－kt|が成り立つ．この場合を，解Rは安定であると呼ぶことにする．一方で，(25)が成り立たない場合には，真値に十分近いk[i]を仮定しても，|k[i]－kt|<|k[i+1]－kt|となるため，kが真値に収束しない．この場合，解Rは不安定であると呼ぶことにする．解Rが安定となる条件は，具体的に次のように導出される．
ΔR=(ΔN0,ΔD0)T=(δcosθ,δsinθ)Tとおく．このとき，
⎛ ∂k
∂k ⎞
⎛ ∂dBZe ∂dBZe ⎞⎟⎟ΔR (26)⎟⎟ΔR; Δk = ⎜⎜ΔdBZe = ⎜⎜∂D0 ⎠⎝ ∂N 0 ∂D0 ⎠⎝ ∂N 0

した．複数のレンジに対する基礎方程式は，１つのレンジに対する補題に分解して考えることができる．既往の研究で提案されている繰り返し法は，暗黙のうちに解の選択を行っており，真値に収束することが保障されない．
前進法を構成する補題は一般に2つの解が存在するため，解の選択基準を作成する必要がある．後退法は，D0>D0sという条件の下で解が一意に求まるため前進法よりも安定である．ただし，後退法には正確な表面参照法が必要となる．表面参照法の精度向上は，DPR用のアルゴリズ
ム開発における重要な課題の一つである．
謝辞：本研究は宇宙航空研究開発機構とのTRMMデータ利用公募型共同研究「Development of surface reference technique for dualfrequency precipitation radar」(PI：沖大幹)の成果の一部である．

参考文献：
1) 例えば，Su, F., Y. Hong, and D. P. Lettenmaier: Evaluation of
TRMM Multisatellite Precipitation Analysis (TMPA) and its utilityと書くことができる．安定性の条件は，以下の式(27)でin hydrologic prediction in the La Plata basin. J. Hydromet., vol.9,
導出されるSが任意のθに対して正となることである．
pp622-640, 2008.
2
2
S = ΔdBZe − | Δk × L |2) 例えば，Eccles, P. J., and E. A. Mueller: X-band attenuation and2222liquid water content estimation by a dual-wavelength radar. J. Appl.
δ 2 ⎡ ∂dBZe∂k × L∂dBZe∂k × L ⎤
⎢
⎥
=
−
+
−
Meteorol., vol.10, pp1252-1259, 1971.
2 ⎢ ∂N 0
∂N 0
∂D0
∂D0 ⎥
⎣
⎦
3) Meneghini, R., T. Kozu, H. Kumagai, and W.C. Boncyk: A study2222
δ 2 ⎡ ∂dBZe∂k × L∂dBZe∂k × L ⎤of rain estimation methods from space using dual-wavelength radar⎢⎥ cos 2θ+−−+
2 ⎢ ∂N 0
∂N 0
∂D0
∂D0 ⎥
measurements at near nadir incidence over ocean. J. Atmos. Ocean.
⎣⎦Technol., Vol.9, pp364-382, 1992.
⎡ ∂dBZe ∂dBZe ∂k × L ∂k × L ⎤
+δ 2⎢
•
−
•
4) 例えば，Kozu, T., K. Nakamura, R. Meneghini, and W.C.
⎥ sin 2θ
∂D0
∂N 0
∂D0 ⎦
⎣ ∂N 0
Boncyk: Dual-parameter radar rainfall measurement from space: A2= δ [T + U cos 2θ + V sin 2θ ]test result from an aircraft experiment. IEEE Trans. Geosci.
= δ 2 T + U 2 + V 2 cos(2θ + ϕ )(27)
Remote Sensing, Vol.39, pp690-703, 1991.
5) Hitschfeld, W., and J. Bordan: Errors inherent in the radar
ただし，T,U,Vは導出の途中で簡略に記すために用いて
measurement of rainfall at attenuating wavelengths. J. Meteor.,
いる．また，ϕ = cos −1 U U 2 + V 2 である．Sの各項を計
Vol.11, pp58-67, 1954.
算すると， T = U 2 + V 2 が良い近似で成り立つため，任6) Iguchi, T., and R. Meneghini: Intercomparison of single-frequency
意のθに対してS>0となる条件は，T>0と近似できる．T
methods fro retrieving a vertical rain profile from airborne or
spaeeborne radar data. J. Atmos. Ocean. Technol., Vol.11, pp1507を安定度と呼ぶ．T=0となる線を図-6および図-7に重ね
1516, 1994.
て示している．2つの線の内側がT>0,すなわち安定解の7) Seto, S., and T. Iguchi: Rainfall-induced changes in actual surface
存在する部分であり，外側が不安定解の存在する部分でbackscattering cross sections and effects on rain –rate estimates byある．図-6から分かるように，補題Fに対して，2つの解
spaceborne precipitation radar. J. Atmos. Ocean. Technol., Vol.24,の組み合わせは，安定解2つ，不安定解2つ，安定解と不pp1693-1709, 2007.
安定解1つずつのいずれも起こりうる．
8) Mardiana, R., T. Iguchi, and N. Takahashi: Dual-frequency rain
図-7に示したすべてのケースは安定解であった．また，
profiling method without the use of surface reference technique.
既往の研究9),10)で，正しい解が得られない条件も，以上IEEE. Trans. Geosci. Remote Sensing, Vol.42, pp2214-2225, 2004.
の定義では安定解となる場合が多い．１つのレンジでは
9) Adhikari, N., T. Iguchi, S. Seto, and N. Takahashi: Rain reterieval
理論上安定解となる場合であっても，複数のレンジを対
performance of a dual-frequency precipitation radar technique with
象とする場合，数値計算上生じる誤差が次のレンジへと
differential-attenuation constraint. IEEE. Trans. Geosci. Remote
伝播することにより，正しい解が得られないことが背景
Sensing, Vol.45, pp2612-2618, 2007.
10) Rose, C. R., and V. Chandrasekar: A systems approach to GPMにあると考えられる．
dual-frequency retrieval. IEEE. Trans. Geosci. Remote Sensing,
Vol.43, pp1816-1826, 2005.
11) Iguchi, T., T. Kozu, R. Meneghini, J. Awaka, and K. Okamoto:
７．まとめ
Rain-profiling algorithm for the TRMM precipitation radar. J. Appl.
Meteorol., Vol.39, pp2038-2052, 2000.

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二周波レーダ降水強度推定アルゴリズムの基礎方程式について，その特性と解法を既往の研究をふまえて考察- 378 -

(2008. 9. 30 受付)