自ら動く物質における秩序とトポロジカル欠陥
Keyword: アクティブマター
1.

アクティブマターとはアクティブマター（Active Matter）とは，自ら動く粒子

2.

相互作用と運動形態による分類

上で述べた多様なアクティブマターは，粒子の運動形態（物体）とその集合体を表す概念である．各粒子は，何らと粒子間相互作用によって分類できる．簡単のため運動とかの方法でエネルギーを消費しながら，持続的な運動を行して，粒子の極性方向に運動する場合（Polar）と極性を持う．実際にそのような粒子（集合体）の例としては，自己たず確率的に前後運動を繰り返す（Apolar）の 2 種類を考駆動するコロイド粒子（図 1a）がある他，微生物（図 1b），える．また，粒子間相互作用として，互いに向きを揃える生体分子モーター（図 3a），鳥，魚の群れなどあらゆるスPolar 相互作用と軸に向きがなく角度が 0 度または 180 度にケールの現象が含まれる．これらは，非平衡状態の凝縮系揃う Nematic 相互作用の 2 種類を考える．従って，組み合と呼ぶこともできる．現象を記述する数理モデルとして，わせで図 2 の 4 つのタイプがある．便宜上，運動形態の頭相互作用しながら運動する粒子集団のモデル 1）があるが，文字（P または A）と相互作用の頭文字（P または N）の組連続体の極限では，アクティブな力を含む異方性流体の方み合わせで，PP，PN，AP，AN タイプと呼ぶことにすると，程式により記述が可能である． 平衡系と異なり，自由エそれぞれで方向性秩序の現れ方が異なり，その様相はトポネルギーの最小化で構造が決まらず，多彩な振る舞いが見ロジカル欠陥を考えることで理解が可能である．

2）

られる．この分野では，各物体の運動機構や非平衡状態特有の新状態の有無，秩序・無秩序転移の有無，非平衡ゆらぎの性質などについて活発な研究が行われている．

2, 3）

3.

トポロジカル欠陥と方向秩序（1）PP タイプは，群れ運動のモデルとして知られる Vic-sek（ヴィチェック）モデル 1, 3）などがこれに相当する．各素子は，半径 r 内の近傍にいる他の個体の平均の向きに自分の向きを揃え運動するが，そこにゆらぎが加わる．具体例としては，界面電気現象で自己駆動するコロイド粒子の系などがあり，106 個程度の粒子系が実現できる（図 1a）．
大きさのない PP タイプの点粒子モデルは，XY モデルに似ているが，2 次元 XY モデルでは，Marmin-Wagner の定理により，近距離相互作用の回転連続対称性が自発的に破れることはなく，真の長距離秩序は存在せず，トポロジカル欠陥が対を形成する Kosterlitz-Thoules 転移が起こることが知られている．一方，Vicsek モデルでは，各素子が空間
図 1 a: 半球面を金属コートした Janus 粒子（直径 3 μm）．電場は紙面に垂直に印可されているが，電気浸透流の効果で各粒子は固有の向きに運動する．
（PP タイプ） b: 細長く成長させたバクテリアを薄い容器内に閉じ込めると，方向秩序が現れ，対向した運動が観測される．
（PN タイプ）を動き回るために，長距離秩序が存在すると信じられている．無秩序状態から秩序状態への遷移は 1 次転移的で，相分離共存状態では，ソリトンや伝搬するバンドなどの構造が出現する．また，欠陥は見られず，長距離にわたって一つの方向に揃う傾向があるため，Ising モデルで見られるような Domain Wall の存在が考えられるものの，モデルでは要素間の排除体積相互作用がないため，異なった向きに運動する集団は互いにすり抜けるか，向きを揃えてしまうた
め，Domain Wall も安定ではない．このことも長距離秩序形成の理由となっている．欠陥が存在するのは，球面上の運動などトポロジカルな拘束条件がある場合に限られる．
（2）PN タイプでは，粒子の運動は向きを持つが，粒子間の相互作用は，相対角度が 0 度または 180 度に揃う傾向を

図 2 アクティブマターの分類：各粒子の運動形態と粒子間相互作用により，4 つのタイプに分けられる．

8©2017 日本物理学会持つ．この場合も，Vicsek モデルのように粒子間の排除体積効果が弱いと，ネマチックな秩序状態が現れる．数値計
日本物理学会誌

Vol. 72, No. 1, 2017図 3 a: 生体分子モーター（キネシン）の基板上のフィラメント（微小管）の運動．フィラメント間の衝突が顕著になると，vortex や asterなどのトポロジカル欠陥が現れ，方向性秩序が弱くなる．
（PN タイプ）
b: 神経幹細胞を基板上で培養すると，長手方向に往復運動をし，ネマティック秩序が見られるが，±1/2 の欠陥が現れる．
（AN タイプ）

図 4 2 次元アクティブマターのトポロジカル欠陥と指数：トポロジ
カルな点欠陥は，向きが決まらない特異点であり，点の周りを一周したとき，粒子の向きが 2π の m 倍だけ角度が回転した場合，指数 mのトポロジカル欠陥と呼ぶ．指数の大きい欠陥の励起は，より大きいエネルギーを要するため，低次の指数のみを示している．

算では，2 つの方向秩序を持った系が，互いに逆方向にすれ違いながら運動する状態が現れ，あたかも Vicsek モデルの重ね合わせと見なすこともできる．実際に，図 1b のような運動と相互作用が存在し，Interkinetic 運動と呼ばれていな細長いバクテリアの集団では，そのような状態が見られ，る．対向運動により細胞が互いにすれ違うことができるた

実験の精度内では，方向秩序は長距離相関を持つことが報め，密な環境でも細胞の相互位置の入れ替えが可能であり，告されている． PN タイプの系で，排除体積効果が強く発生過程などにおいて重要な運動と考えられる．図 3b は，なると，トポロジカル欠陥が現れる．指数＋1 の欠陥には，神経幹細胞の培養系でみられる±1/2 のトポロジカル欠陥

右回りと左回りの渦の他，運動方向を表す矢印が内側を向である．これらの欠陥の周りでは，細胞密度の変化が起こいた十字型と外側を向いた十字型があるが，外側を向いた

7）
り 3 次元構造の形成が起こることが最近明らかになった．

十字型は離散してしまうので安定ではなく，内側を向いた（4）AP タイプは一見，XY モデルのようであるが，粒子4）アスター型と渦，それと−1 の欠陥が存在しうる．これらが運動し，運動方向が確率的に反転する点で，熱平衡系とのトポロジカル欠陥の存在は，系の長距離秩序を容易に破は異なっている．この場合，±1 の欠陥が可能となる．対壊する．最近，生体分子モーター（キネシン，ミオシン，応する実験系はまだ見つかっていない．

ダイニンなど）とフィラメント（微小管やアクチンフィラメントなど）の再構成系において，高密度で実験を行うと様々の集団運動が起こることが明らかになってきた．これ

4.

展望

動き回る粒子の集団を理論的，数値的に調べることが可らの系で，フィラメント同士の衝突が無視できなくなるよ

能となり，これまで個別に扱われてきた現象が統一的に理うな条件で実験を行うと，図 3a のように多くの渦構造が解できる．また，一見複雑に見える細胞集団の振る舞いや観測される．また，アスター型の欠陥は，衝突により拮抗構造も，トポロジカル欠陥とそのダイナミクスなどに着目して動きにくくなるため，クラスターを形成したり，ジャすることで，新たな視界が開けつつある．

ミングと呼ばれる極めてゆっくり変化する相の出現をもたらす．別の分子モーター系では，Vortex Lattice と呼ばれる渦が周期的に配列したパターンが観測されているが，これは＋1 の欠陥が三角格子状に並んだ構造になっている．5）（3）AN タイプの系では，各粒子の運動方向が確率的に反転する点が PN タイプの場合と異なっている．このような系で排除体積相互作用があると，±1/2 のトポロジカル欠

参考文献
1）T. Vicsek, et al.: Phys. Rev. Lett. 75（1995）1226.
2）M. C. Marchetti, et al.: Rev. Mod. Phys. 85（2013）1143.
3）太田隆夫：日本物理学会誌 70（2015）347.
4）D. Nishiguchi, et al.: arXiv: 1604.04247.
5）Y. Sumino, et al.: Nature 483（2012）448452.
6）F. C. Keber, et al.: Science 345（2014）1135.
7）K. Kawaguchi, et al.: arXiv: 1605.06470.

陥が存在できる．具体的な系としては，加振された細長い粉体の系や，キネシンとバンドル状の微小管の系 6）などがこれに相当する．また，ある種の細胞集団では，このよう現代物理のキーワード

自ら動く物質における秩序とトポロジカル欠陥

佐野雅己〈東京大学大学院理学系研究科

sano＠phys.s.u-tokyo.ac.jp〉
4（2016 年 7 月 7 日原稿受付）
9©2017 日本物理学会