計測自動制御学会東北支部 40 周年記念学術講演会
2004 年 12 月 22 日，23 日 日本大学工学部

講演番号：B13

車輪型移動ロボットの動的前輪持ち上げ○高島 亨 (東北大学)

高橋隆行（福島大学） 中野栄二 (東北大学)

Front Wheel Lifting Control of a Wheeled Mobile Robot by Acceleration∗T.Takashima (Tohoku University), T.Takahashi (Fukushima University)and E.Nakano(Tohoku University)
Abstract– Wheeled mobile robots are used in various places because of their highly mobile ability
on ﬂat surfaces. However, in general their locomotion capability is not so high on rough terrains. It isespecially diﬃcult for a wheeled mobile robot with passive wheels to negotiate even a small diﬀerencein level. In this paper we propose a front wheel lifting control of a 4-wheeled mobile robot with passive
front wheels by the acceleration of the 2 active rear wheels in order to deal with small obstacles on theway. Finallly, we describe the mechanical design of a wheeled mobile robot to transit from its 4-wheeledstate to its 2-wheeled state.
Key Words: Wheeled Mobile Robot, Front Wheel Lifting, Acceleration, Inverted Pendulum

1緒言

m1 J 1

車輪型移動ロボットは，主に工場内の搬送用ロボットなど様々な場所で利用されている．その主な理由は，平坦地走行能力 (エネルギー効率や走行速度) が優れており，脚型等と比較して機構も簡単であり，アクチュエータが少なく低コストであるためである．また，搬送物の荷重を車体と比較して大きくできるため，一回の移動で多くの物を輸送できるという長所がある．しかしながら，段差などの不整地対応能力は低いため整地された場所で用いられることが多い．特に，キャスタなどの受動輪を備えたものは，受動輪の特性により著しく段差踏破性が低く，わずかな段差でさえ踏破することは大変困難なものとなる．また，受動輪は大きな旋回スペースを必要とするため，設計上その径を大きくすることが困難であり，径を大きくしてもその段差踏破性は低いままである．しかしながら，受動輪はアッカーマンリンク等の機構が必要とならないため，低コストであり車輪型移動ロボットの長所を活かすことできる．

lG
yx

モデルと実験機

2.1

モデル化

J m θ2rlFig. 1: Physical parameters of the experimental
wheeled mobile robot in its 2-wheeled stateθ1 : 車体傾斜角度
θ2 : 駆動輪回転角度
J1 : 車体重心回り慣性モーメントJ2 : 駆動輪慣性モーメントJm : モータの慣性モーメントm1 : 車体質量
m2 : 駆動輪質量

本研究では，車輪型移動ロボットが本来備えている長所を活かすため，段差を踏破するための特殊な機構を極力用いずに，ある程度の段差のある環境で，荷物を運搬する車輪型ロボットを開発することを目指している．ロボットは後輪が駆動輪であり前輪が受動輪である４輪を想定し，通常の平地走行時は静的安定を保ち，段差踏破等の必要な場合にのみ，後輪のみ接地している２輪状態に遷移を行う．段差昇降にあたり前輪を段差に乗せる必要があり，本発表では，前輪の持ち上げ動作として，加速による静的安定状態から不安定状態への遷移の解析と制御を行う．また，車輪型倒立振子ロボットの関係を述べ，その設計指標を導出する．

2m2 J 2

θ1
θG2.2 運動方程式
運動方程式を式 (1) に示す．
γ +δ−β sin θ1 +δθ¨1α+δ
−β sin θ1 +δθ¨2 
0fr2 (θ˙1 + θ˙2 )++2fr2 (θ˙1 + θ˙2 )−β θ˙1 cos θ1
 τ2k2 cos θ1=+0
τ2145(1)ただし

α = J2 + m1 r2 + m2 r2(2)β = rm1 lG(3)

γ = J1 + m1 lG

まずロボットの静的不安定状態である２輪接地状態のモデルを Fig.1 に示す．ここで θ1 ，θ2 が変数であり，その他は定数となっている．各パラメータを以下に示す．

lG : 車体重心距離
θG : 車体重心角度
r : 駆動輪半径l : ホイールベース
fr2 : 駆動輪の粘性抵抗
n: 減速比τ2 : 減速後のトルク2(4)δ = n2 Jm(5)

k2 = m1 lG g(6)とする．式 (1) において，左辺第 1 項は慣性項，第 2 項は遠心力項，第 3 項は粘性項，第 4 項は重力項になっていて，右辺は入力トルク項になっている．

DC motor

Rotary encoder

Table 2: Physical parameters of the DC motor

Gyroscopeθ1−θGReduction ratio of the gear
Eﬃceincy of the gearhead
Torque constant of the motor
Armature resistanceFig. 2: Structure and photograph of the experimental
mobile robot
Table 1: Parameters in the equation of motion
α: 6.976 × 10−3 [kgm2 ]β: 5.944 × 10−3 [kgm2 ]γ: 3.277 × 10−2 [kgm2 ]δ: 1.044 × 10−3 [kgm2 ]k2 : 1.651 × 10−0 [Nm]fr2 : 5.500 × 10−3 [Nm/(rad/s)]

400 [ms]

2.3 実験機の構成
実験機の構成を Fig.2 に示す．車体傾斜角速度 θ̇1 はジャイロにより測定し，その数値積分を車体傾斜角度
θ1 としている．また，車輪回転角度 θ2 はモータのエンコーダにより算出した角度と θ1 との差となる． また，重心角度 θG は 67.0[deg] である．Table.1，Table.2 にそれぞれ実験機，モータのパラメータを示す．

実験3.1 制御方法
ここでは部分線形化を行い，θ1 を τ2 によって制御することを考える．このとき制御しきれていない θ2 がZero Dynamics となる．まず，制御を行う準備として運動方程式 (1) を整理し式 (7) のようにおく．
  
d11 d12θ̈1p1
τ2+=(7)d21 d22p2
τ2θ̈2−d22 p1 + d12 p2
d22 − d12
τ22 +d11 d22 − d12
d11 d22 − d12 2の部分線形化を達成する制御入力は

d11 d22 − d12 2−d22 p1 + d12 p2
τ2 = −+v
d22 − d12d22 − d12(8)4(9)(10)となる．制御としては，θ1 をある目標軌道に沿って追従させるため

v = θ̈1d − f1 (θ1 − θ1d ) − f2 (θ̇1 − θ̇1d )(11)の PD 制御を行う．ここで θ̈1d ，θ̇1d ，θ1d はそれぞれ車体傾斜目標軌道の角加速度，角速度，角度である．この場合，誤差方程式は次に示すような線形 2 次系になっている．
ë + f2 ė + f1 e = 0(12)

実験結果

設計指標

ここでは，車輪型移動ロボットが静止した状態から前輪を持ち上げて倒立振子状態に車輪を滑らせずに移行するための機械設計上の課題に焦点を当て，その設計パラメータを決定する際の指標を導出する．また，その際に各物理パラメータではなく，以下に定義する無次元パラメータを用いる．またアクチュエータとしてＤＣモータを想定し，その特性を考慮した上で，最大の電圧を加えた際に倒立振子状態移行可能と不可能の境界の無次元パラメータ群を探索し設計指標を導出す
る [1][2]．なお，この設計指標は車輪型倒立振子ロボットが車体を傾けて休止している状態から通常の倒立振子状態へ移行する際に満たさなければならない車体パラメータに関するそれと等価である．

4.1

アクチュエータによる制約条件

ロボットの運動性能は，アクチュエータの性能に大きく左右される．アクチュエータとしてＤＣモータを想定し，ＤＣモータの特性を考慮する．ここでは，広く用いられている式 (14) をＤＣモータの特性方程式とここで，ë，ė，e はそれぞれ軌道誤差の角加速度，角速度，角度であり，e を次のように定義する．

e = θ1 − θ1d

目標軌道

目標軌道に追従させた実験結果を Fig.4 に示す．このときサンプリング周期は 1[ms] とした．目標軌道 (a)，(b)，(c) ともに全体的によく追従しているのが分かる．
よって目標軌道により偏差特性が変わらず，式 (12) に基づいているといえる．またソフトランディングを地面に対してでなく段差に対して行うことにより，前輪の着地時の衝撃を小さくすることができる．の関係を得る．よって

θ̈1 = v

300 [ms]

実験のイメージを Fig.3 に示す．車体傾斜角度には，400[ms] 後に重心位置が駆動輪軸の鉛直上になり，1300[ms] 間その倒立振子状態のまま前進し，その300[ms] 後に前輪が地面に対してソフトランディング(θ̇1 = 0) を行うような軌道を与える．これを目標軌道(a) とする．軌道生成には初期時刻と終了時刻での θ̈1 ，θ̇1 ，θ1 それぞれ 6 個を与えるために 5 次多項式を用い，これを組合わせた．
また，同様に倒立振子状態に移行する別の軌道を (b)，6.2[V] ステップ応答の軌道を目標軌道としたものを (c)とし，この目標軌道に追従させる実験を行う．

3.3

これよりθ̈1 =

1300 [ms]Fig. 3: Target motion in experiments
3.2

3

n: 1.371 × 101
η: 8.000 × 10−1
K: 2.420 × 10−2 [Nm/A]
Ra : 2.210 × 10−0 [Ω]

(13)

146

95

N Normal force
Angle θ1 [deg]90(b)τ2 Torque of driving wheelr(a)F Friction forceµ Coefficient of friction

Radius85reference
experiment

8075Fig. 5: Forces related to the driving wheel(c)
70(θG) 67

0500

1000

1500

2000

35.0 [kg]Time [ms]2.7 [kg]

Fig. 4: Experimental results (θ1 )60 [deg](a) smallest model

して採用する．また，減速後の出力トルク τ2 とモータのトルク τm との関係は式 (15) になる．モータの回転数が大きくなるほど，逆起電圧の影響でトルクは出しにくくなる．静止した状態から前輪を持ち上げて倒立振子状態に移行する際に加速が必要であり，モータの回転数が大きくなるためモータの出力トルクに制限が生じる．この制限内で目的の運動を実現させなければならず，よって設計にはＤＣモータの特性を考慮することが不可欠となる．

K(V − Kwm )Raτm =τm : モータの出力トルク
K : トルク定数n: 減速比ω=(15)2J1 + m1 lGγ=β
rm1 lG

(19)

n2 Jm
δ
=β
rm1 lG(20)γ =δ =2
fr2=

Kv =n2 η K
Raβωnη RKaβω 2Vmax =F =nη RKam1 l G gVmax(23)

τ2r(24)(25)

ここで，滑らない条件を摩擦力 < 最大摩擦力とするとF < µN(26)となる．静止している状態から最大電圧を加えた際，式(14)，(15) より最も滑りやすい初期状態のみを考慮し無次元パラメータで表すと結局

Kv < µρα α(27)となる．ここで ρα は

ρα

=
=

(m1 + m2 )r2
J2 + (m1 + m2 )r2(m1 + m2 )(m1 + 32 m2 )(28)で表され，J2 が車輪の慣性モーメントが支配的であるとして
1J2 = m2 r2(29)22n2 η K
R=√am1 lG rg

gr

N = (m1 + m2 )g

ここで ω は無次元化係数である．無次元化された運動方程式はＤＣモータの特性方程式 (14)，(15) を考慮す
ると式 (17) で表され，また無次元パラメータは式 (18)から式 (22) で表される．また，θ1 ，θ2 を無次元化したものがそれぞれ θ1 ，θ2 となっている．
  − sin θ1 +δ γ  +δ θ̈1− sin θ1 +δ α +δ θ̈2   0fr2 (θ̇1 + θ̇2 )++−θ̇12 cos θ1(θ̇1 + θ̇2 )fr2cos θ1
Kv V+=(17)0Kv V(18)4.3 無次元パラメータを用いた車輪の滑りの条件
最大電圧を加えた際に，車輪が滑ってしまう場合も考えられる．ここでは，車輪が滑らず倒立振子状態へ移行することを対象としているため，車輪が滑らない条件を加える必要がある．車輪に作用する力の簡易モ
デルを Fig. 5 に示す．また車輪に作用する力を式 (24)，(25) に示す．また，車輪に作用する力には，車体の回転運動による遠心力などが働くが，その影響は最大電圧の２倍，３倍の電圧を加えた場合でも十分に小さいことを確認しており，ここでは簡単のためこれらを採用する．

Ra : 電機子抵抗
wm : モータ回転数
η : ギアへッド効率

J2 + (m1 + m2 )r2α=βrm1 lG(b) largest model

ここで Vmax はモータの定格電圧であり，入力 V の最大値が V = 1 となるような正規化を行った．

4.2 運動方程式の無次元化
運動方程式 (1) を無次元化するために無次元時間 τを定義する．
τ = ωt(16)α =10.0 [kg]Fig. 6: Range of the robot size on simulation(14)

τ2 = nητm

0.300 [m]0.095 [m]0.5 [kg](21)と仮定している．ρα は車体質量 m1 と駆動輪質量 m2の比で表され，これはメカニズム設計の際に設計者が決める値であり約 0.80〜0.92 の値をとる．

(22)

147

Table 3: Nondimensional parameters
00
5.044
5.513
8.080



α:γ:
δ :CEAC’Dα’ 01

Fig. 7: Possible range of the parameters on the transition to the inverted pendulum state (2-wheeled state)θG = 67[deg]

※ 1:
※ 2:

θG = 72[deg]

04
13.04

× 10−1
× 100
× 10−4non-slip transition being possible by reducing
the input V
non-slip transition being impossible

振子状態に遷移可能な領域となる．したがって，点Ｄが遷移不可能なものであり，点Ｂが滑らず遷移可能なものであり，点Ａと点Ｃが遷移可能であるが滑ってしまうものである．しかし，点Ａと点Ｃでは特徴が異なる．点Ａのパラメータを持つロボットの場合，入力 Vを小さくすることにより点Ｂに移行できるため滑らず遷移が可能である．ここで式 (17) より，入力 V を調整し小さくすることは Fig.7 上で Kv を調整することと同じである．しかし点Ｃでは，入力を小さくして滑らない領域にある点Ｃ’ に移行しても遷移不可能領域になってしまうため適切に滑りを制御せざるを得ない．そしてこの境界が線Ｅとなっている．以上のことを踏まえて Fig.7 の点Ａから点Ｄに関して Table.4 にまとめる．
以上より，滑りに関して必ずしも制御が必要ないという観点においては点Ａ，点Ｂが望ましく，選択できる入力の幅が広く倒立状態までに生成できる軌道の多様性から考えると点Ｂよりも点Ａのパラメータを持つロボットの方が優れているといえる．また，重心角度
θG の影響を Fig.8 に示す．重心角度 θG が倒立状態に近くなると，遷移可能な領域が増えていくのが分かる．

Fig. 8: Eﬀect of θG on the transition to the inverted
pendulum state (2-wheeled state)
4.4

03
11.04

Table 4: Classiﬁcation of the transition to the inverted
pendulum state (2-wheeled state)Transition possibility Non-slip Comments
A○△
※1
B○○
C○×
※2D×

Slip boundary α’ 03
α’ 02
α’ 00

θG = 62[deg]

02
9.040
6.0001756

Transition boundary
α’ 04

B01
7.042
5.757
119.1

探索結果と考察

倒立振子状態移行可能と不可能の境界の無次元パラメータ群を探索する際のシミュレーション方法とその結果に関して述べる．シミュレーション方法は，式 (18)から式 (22) の無次元パラメータ α ，γ  ，δ  ，Kv と重心角度 θG をそれぞれ想定している最大値から最小値まで刻み，その各々の組み合わせにおいて最大の電圧を加えた際に倒立振子状態移行可能と不可能の境界のfr2を探索する．ここでシミュレーションを行う範囲をFig.6 に示す．Fig.6 の (a) が現在製作してある実験機であり想定している最小の大きさであり，(b) が現在想定している最大の大きさである．慣性モーメントや必要なモータを適切に見積もり，式 (18) から式 (22) より各無次元パラメータを算出し，これらを全て含むような範囲で各無次元パラメータを変化させてシミュレーションを行い探索する (Table.3 参照)．

5
，縦軸が Kv
探索の結果を Fig.7 に示す．横軸が fr2であり，α によって遷移限界曲線が分かれる．これら
は影響力が大きく，特に fr2と Kv はモータと減速比に関するものであり，それらの選択が重要であることを意味する．また，Kv ，α は式 (27) より滑り限界曲線にも用いられる．一方想定している範囲内において γ  ，δ  の影響力は小さい．また，重心角度 θG の影響は後で述べる．遷移限界曲線より上側が倒立振子状態遷移可能領域であり，下側が不可能領域となっている．また，滑りに関しては式 (27) より滑り限界曲線の上側が滑る領域であり，下側が滑らない領域である．なお，ここでは摩擦係数 µ = 0.5，ρα = 0.8 を用いている．よって
α が 03 の場合，斜線で囲まれた領域が滑らずに倒立148

結言

車輪型移動ロボットを用いて，少ないアクチュエータでかつ簡単な機構で段差を踏破するために，前輪の持ち上げ動作として車輪型移動ロボットの移動状態遷移の解析と制御を行った．制御には部分線形化を用いて，車体傾斜角度 θ1 をある目標軌道に追従させた．また，地面に対してソフトランディングを実現し，これを段差に対して行うことにより，前輪の着地時の衝撃を小さくすることができる．また，前輪を持ち上げて倒立振子状態へ遷移可能なロボットを設計するための設計指標を導出した．現在は後輪乗り上げの解析を行っている．

参考文献[1] 有川，広瀬: ３Ｄ荒地用歩行ロボットの研究，日本ロボット学会誌，vol.13, no.5, pp.138-144,1995[2] 有川，美多: 多自由度跳躍ロボットの設計，日本ロボット学会誌，vol.20, no.2, pp.214-222,2000