サーストンの 3 次元多様体論
早稲田大学理工学術院
小島

1

定吉

序
本稿は，2018 年 3 月 17 日に東京大学で開催された筆者が表題のタイトルで講師を務めた市民講演会の報告記である．ちなみにもう一人の講師は新井仁之氏であった．
講演は，サーストンが 1980 年初頭に幾何化予想を含め一連の 3 次元多様体に関する問題群を提示し 2012 年にその全てが解決したことを踏まえ，彼の自己完結した 3 次元多様体論を紹介することを目標にした．ところが，話の組み立てを相当間違ったようで，主要な聴衆である一般の方からの質問はなく，講演会後に話した数人の懇意の方からも「私の理解を超えていた」という話があり，要するに失敗だった．一人目の新井氏の講演があまりに素晴らしかったので，二人目の筆者が聴衆の盛り上がった気分をすっかり台無しにしてしまったのではないかと，しばらく自己嫌悪に陥った．
ところで，市民講演会の講演者には数学通信に記事を書くことが連動しており，必然筆者にも市民講演会の講演者と確定した直後に依頼が来ていた．連動の趣旨は，市民講演会は数学会のハイレベルなアウトリーチ活動であることを前提として，当日出席しなかった会員に数学のアウトリーチ活動一般の「良き見本」となる講演内容を伝えることと想像している．しかし今回の私の場合は倣うべき見本ではなく，講演後本稿をどう書くかいろいろ考えて見たが，結局，いまさら失敗の言い訳しても仕方ないので，当日使ったスライドをそのまま掲載し批判を甘んじて受けたいと思うに至った．

2

市民講演会で用いたスライド
本章は，当日使ったパワーポイントファイルからアニメーション効果を除き，さらにタイポ等を修正した 32 ページのスライドを並べる．推敲の過程で，著作権関係に抵触する可能性のあるイメージを一つを削除した．また，筆者は 4 月に本記事に記す現職に異動したが，スライドでの所属は当時のままとした．

サーストンの３次元多様体論
小島 定吉
東京工業大学情報理工学院

2018/03/17

市民講演会

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Pre Thurston• ポアンカレの「位置解析」（1895‐1904）– 本編と５編の補遺でトポロジーを創始– 最後の補遺で疑問を提起（1904）

基本群が自明な３次元単連結閉多様体は３次元球面に位相同型か？

2018/03/17

市民講演会

2

Pre Thurston• ポアンカレ予想が導いたトポロジーにおける基本的な問題設定– 基本群の一般化であるホモトピー論が発展– ３次元の場合，基本群が自明なら３次元球面にホモトピー同値

ホモトピー同値な閉多様体は位相同型か？

2018/03/17

市民講演会

3

Pre Thurston• 連結和分解– 任意の球面が球体を囲む３次元多様体は既約– クネーザー（1929）とミルナー（1962）により向きつけ可能3次元閉多様体は，有限個の既約多様体またはの連結和に一意的に分解

2018/03/17

市民講演会

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Pre Thurston• ハーケン多様体の階層構造– 本質的埋込曲面を含む既約多様体をハーケン– ハーケン多様体は本質的埋込曲面に沿って切り開き球体の和に至る階層構造がある– ワルトハウゼン（1968）によりハーケン多様体の間のホモトピー同値写像は位相同型にホモトピック
2018/03/17

市民講演会

5

Pre Thurston• トーラス分解– ザイフェルト束空間– ジェイコー・シャーレンとヨハンセン（1977）により本質的埋込トーラスを含む既約多様体では，ザイフェルト束構造をもつ部分空間の位置はイソトピーを除いて一意的

2018/03/17

市民講演会

6

Pre Thurston• JSJ理論の系– ザイフェルト束部分空間の補空間では，本質的埋込トーラスは境界にホモトピック（本質的トーラスを含まない場合を含め，この性質を非トーラス的という）– 基本群が Z × Z を含めば境界の基本群の部分群に共役であるときホモトピー非トーラス的という– ホモトピー非トーラス的ならば非トーラス的– 逆が成立しないザイフェルト束空間がありスモールと呼ばれている
市民講演会

2018/03/17

7

Pre Thurston
非ハーケン

球面的

ハーケン

ホモトピー非トーラス

非トーラス
スモールザイフェルト

JSJ分解トーラス

2018/03/17

ハーケンザイフェルト

市民講演会

8

Pre Thurston• JSJ 後の基本的な課題– スモールザイフェルト束空間以外の基本群無限の非ハーケン多様体はあるか？
– スモールザイフェルト束空間以外の非トーラス的多様体はどのような構造をもつか？ とくにホモトピー非トーラス的多様体はどうか？

2018/03/17

市民講演会

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Thurston Era• ８の字結び目のデーン手術– ８の字結び目の補空間は双曲理想正4面体二つを貼り合わせてできる– エンドの完備性を仮定せず4面体の構造を連続変形，デーン手術のスロープを連続的に拡張し，完備化の特異集合を幾何的に解釈，とに有理ス
ロープに沿う場合は結び目に沿う錐状の特異集合が生じる

2018/03/17

市民講演会

10

Thurston Era• ８の字結び目のデーン手術の結果– 10個の例外を除き，ザイフェルトではない非ハーケン双曲多様体が得られる• 双曲多様体は至る所−１の定断面曲率をもつリーマン多様体• 双曲多様体はホモトピー非トーラス的

2018/03/17

市民講演会

11Thurston Era• デーン手術定理（1976?）
双曲結び目のデーン手術の結果には，有限個の場合を除くと双曲構造が入る

2018/03/17

市民講演会

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Thurston Era• ハーケン多様体に対する双曲化定理（1976?）
任意のホモトピー非トーラス的ハーケン多様体には双曲構造が入る

市民講演会

2018/03/17

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Pre Thurston
非ハーケン

球面的

ハーケン

ホモトピー非トーラス

非トーラス
スモールザイフェルト

JSJ分解トーラス

2018/03/17

ハーケンザイフェルト

市民講演会

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Thurston Era
非ハーケン

ハーケン

球面的球面的非トーラス

双曲的双曲的

スモールザイフェルト

JSJ分解トーラス

2018/03/17

市民講演会

15

Thurston Era• Smith 予想の解決（1978?）– いくつものアイデアが結集• シャーレンによる，サーストンのハーケン多様体に対する幾何化定理とバスによる表現の整性に関する結果を使った議論• ゴードン・リザラントによるミークス・ヤウによる極小曲面論による古典論の同変版を使った議論

2018/03/17

市民講演会

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Thurston Era• 幾何化予想（1980）
任意の３次元閉多様体の連結和分解さらにトーラス分解の後の各ピースには，８種類のうちのいずれかの幾何構造が入る

市民講演会

2018/03/17

17

Thurston Era
非ハーケン

ハーケン

球面的
球面的非トーラス

双曲的双曲的

スモールザイフェルト

JSJ分解

トーラス

2018/03/17

市民講演会

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Thurston Era
非ハーケン

ハーケン

球面的
球面的非トーラス

スモールザイフェルト
スモールザイフェルト

双曲的双曲的

JSJ分解

トーラス

2018/03/17

市民講演会

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Thurston Era• 仮想ファイバー予想（1980）– 「任意の基本群が無限の３次元多様体は有限ハーケン被覆を持つ」というワルドハウゼンの予想に関連して任意の３次元閉双曲多様体は円周上の曲面束となる有限被覆をもつ

2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• 幾何化予想はペレルマンが肯定的に解決（2003）• 仮想ファイバー予想はエイゴルが肯定的に解決（2012）

2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• ハミルトンのリッチ流– 多様体のリーマン計量全体の空間上のフローで，以下のテンソルに関する方程式で定義される

ここで Ric はリッチテンソル

2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• ハミルトンの最初の仕事（1982）– Ric > 0 の場合に，リッチ流は時間大域解を持ち，スケーリングすると正定曲率に収束する• この結果に対する注目度– サーストンは軌道体定理の証明の最後の部分にハミルトンの結果を使う– ヤウはハミルトンにリッチ流は幾何化予想の解に収束するのではと示唆する

市民講演会

2018/03/17

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Post Thurston• ハミルトンの幾何化予想解決プログラム– 崩壊および手術を経て求める計量に至る– 一般の計量からスタートする議論は未開発• ペレルマンの仕事– 一般の計量からスタートしたときの崩壊現象が制御可能であることを示す– ハミルトンのプログラムを多少修正し，手術を適切に定式化し幾何化予想解決を宣言（2002/3）

2018/03/17

市民講演会

24

Post Thurston• ペレルマンの幾何化予想解決宣言は2006にには数学コミュニティーで認知された幾何化予想は正しい

2018/03/17

市民講演会

25

Post Thurston• ペレルマンの証明は– 一般次元のリッチ流の研究を促進– より一般に，偏微分方程式の解の爆発（blow up）の研究にブレークスルを与え，偏微分方程式の専門家から高く評価されている

2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• エイゴルによる仮想ファイバー性判定条件– 部分群の分離性の一つとして剰余有限有理可解性を定義し，それが仮想ファイバー性の十分条件であることを示した（2008）– 直角アルティンの部分群は剰余有限有理可解• 背景にワイズによるスペシャル群論– 「特別な」キューブ複体の基本群として定義– 直角アルティン群の部分群と特徴付けられる2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• カーン・マルコビッチのブレークスルー（2012）
任意の３次元閉双曲多様体はいくらでも測地的に近い擬フックス閉曲面を含む

2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• ベルゲロン・ワイズの観察（2012）– NPCキューブ複体への作用を壁系から関手的に構成する手法がサギーフにより整備（1997）

カーン・マルコビッチの結果から，余コンパクトクライン群の３次元双曲空間への作用に対する（サギーフによる）壁系が得られる

2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• エイゴルの結果（2012）– ベルゲロン・ワイズにより構成された壁系の作用がスペシャルであること見出す

とくに，仮想ファイバー予想は正しい．

2018/03/17

市民講演会

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Post Thurston• 実はより一般に
NPCキューブ複体に余コンパクトに作用する双曲群は仮想スペシャルである• 純粋に幾何学的群論の命題で，次元の束縛はないが，証明にはサーストンのDehn 手術のアイデアが生きている
2018/03/17

市民講演会

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まとめ• サーストンは１９７０年半ばから３次元多様体論の研究を加速した• １９８２年に発表した３次元多様体のトポロ
ジーに関する二つの基本的問題はその後の研究活動を牽引した• 二つの基本問題は予期せぬ方法で解決され，しかも各々独自の発展に結びついている

2018/03/17

市民講演会

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