6 空間図形(中1)まとめ
1次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

投影図 啓 P.182とうえい ず★投影図…立体をある方向から見て平面に表した図を投影図という。立体を投影図で表すとき
へいめんずは，真上から見た図（平面図）と，真正面
りつめんずから見た図（立面図）を使って表すことが多い。

立面図
平面
図

三角柱
2ABCDE

円錐

次の①～③の投影図で表された立体の名前を答えなさい。
①②円柱

③四角錐

④球

⑤三角柱

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円錐

P2 【6 空間図形(中1)まとめ】

3次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

見取図，展開図,投影図★角柱の見取図，展開図，投影図
見取図

展開図

3cm3cm3cm

投影図

AC BJID EG H5cm

F

★角錐の見取図と展開図,投影図
見取図

B

展開図

CE5cm4cm

A

投影図

DHF4cmG★円柱の見取図と展開図,投影図
見取図

展開図

投影図

3cm3cmADB

C★円錐の見取図と展開図,投影図
見取図

A

展開図
B

投影図
CCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【6 空間図形(中1)まとめ】

4ABCDE

右の投影図㋐，㋑で表されている立体について，次の問いに答えなさい。
① 頂点の数

㋐

㋐

6つ

㋑

5つ

㋐

9つ

㋑8つ

㋑

② 辺の数

5ABCDE

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

いろいろな立体
図Ⅰのように，直方体の頂点 A から G にひもをかける。ひもの長さがもっとも短くなるようにかけるとき，ひもの様子を図Ⅱの展開図に書き入れなさい。
図ⅠAAD

図ⅡCB

HEF

G

[解き方]
ひもの長さが最も短くなるとき，ひものようすは，展開図のうえでは，A と G を結ぶ線分になる。
6ABCDE

次の図のように，ひもの長さがもっとも短くなるように，円柱の側面の点 A から B までひもをかけた。このときのひものようすを，展開図にかき入れなさい。
AA

B

B

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P4 【6 空間図形(中1)まとめ】

7

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

位置関係
★2 直線の位置関係…空間内の 2 直線の位置関係は，交わる，平行である，ねじれの位置にある，の 3 つの場合がある。交わる角度が 90°のとき，2 つの直線は垂直であるという。
ⅠⅡ

交わるⅢ

平行である

ねじれの位置にある(交わらない)

同じ平面上にある場合

同じ平面上にない場合★直線と平面の位置関係…直線ℓと平面 P が交わらないとき，直線ℓと平面 P は，平行であるという。直線ℓと平面 P の位置関係は，直線は平面上にある，交わる，平行であるの 3 つの場合がある。

ℓ

直線ℓと平面 P が点 A で交わっていて，点 A を通る平面 P 上のA

すいちょく

全ての直線と垂直であるとき，直線ℓと平面 P は 垂 直 であると

P

すいせん

いう。このとき，直線ℓを平面 P の垂線という。
Ⅰℓ

Ⅱ

Pℓ A

Bℓ

ⅢAP

直線は平面上にあるP交わる

平行である★２平面の位置関係…2 つの平面 P,Q が交わらないとき，平面 P と平面 Q は，平行であるという。平面 P と平面 Q の位置関係は，交わる，平行であるの 2 つの場合がある。
右の図のように平面 P と平面 Q が交わっていて，ℓ

平面 Q が平面 P に垂直な直線ℓをふくんでいるとき，

Q

すいちょく

2 つの平面 P,Q は 垂 直 であるという。
ⅠPQ交わる

PⅡ
Q
P

平行である

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P5 【6 空間図形(中1)まとめ】

8ABCDE

右の図は，直方体を 2 つに分けてできた三角柱である。次の問いに答えなさい。
① 直線 AB と平行な直線はどれか。
A直線 DC, 直線 EF, 直線 HG

B

D
C

E

② 直線 BG とねじれの位置にある直線はどれか。

HF

G

直線 AD, 直線 DH, 直線 DC
直線 AE, 直線 EF, 直線 EH③ 直線 AB と平行な平面はどれか。

平面 DCGH, 平面 EFGH
④ 直線 GH が含まれる平面はどれか。

平面 ABGH, 平面 EFGH, 平面 DCGH
9BCDE

右の図は，直方体を 2 つに分けてできた三角柱である。次の問いに答えなさい。
① 直線 DH と垂直な直線はどれか。
A直線 AD, 直線 CD

BCE

直線 GH, 直線 EH② 直線 DH と垂直な平面はどれか。

DFH
G

平面 ABCD, 平面 EFGH
③ 平面 BCG と平行な直線はどれか。

直線 AD, 直線 EH, 直線 AH, 直線 AE, 直線 DH④ 平面 ABGH と垂直な平面はどれか。

平面 AEHD, 平面 BFGC

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P6 【6 空間図形(中1)まとめ】

10

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

体積
★角柱や円柱の体積…底面積を S，高さを hr

体積をＶとすると

V＝Sh

hh★円柱の体積…底面の半径を r，高さを h
S

体積をＶとすると

S

V＝πr2h★角錐や円錐の体積…底面積を S，高さを h，体積を V とする

V＝1Sh3hh★円錐の体積…底面の半径を r，高さを h，体積を V とする

V＝SS

1πr2h
3

★球の体積…球の半径を r，体積を V とすると

V＝4πr 33r

次の図形を直線 ℓ を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ℓABCDE
114cm3cm

体積

2 つの円錐の体積の和を求める。

11112×π×42×3＋ ×π×42×4＝π(cm3)3334cm

112
πcm3
312

次の㋐，㋑について，㋐の体積は㋑の体積の何倍ですか。

BCDE㋐㋑3cm3cm

3cm3cm㋐(π×32)×3＝27π(cm3)㋑

4
1×(π×33)× ＝18π(cm3)32327π÷18π＝2

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3倍2rP7 【6 空間図形(中1)まとめ】

13

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

表面積
ひょうめんせきそくめんせき★ 表 面積…立体の表面全体の面積を表面積という。また，側面全体の面積を側面積，ていめんせき

１つの底面の面積を底面積という。
★角柱や円柱の表面積…(表面積)＝(側面積)＋(底面積)×2 で求められる。
底面の半径が 3cm，高さが 5cm の円柱の表面積を求めなさい。
3cm
[解き方]
側面積の横の長さ＝底面の円周側面積…5×(2π×3)＝30π(cm2)

3cm
5cm

5cm

底面積…π×32＝9π(cm2)
表面積…30π＋9π×2＝48π(cm2)[答]

48πcm2★角錐や円錐の表面積…(表面積)＝(側面積)＋(底面積)で求められる。

6cm

底面の半径が 2cm，母線が 6cm の円錐の側面積を求めなさい。
[解き方 1] 側面のおうぎ形の中心角を求める。

2cm側面のおうぎ形の中心角を a とすると，弧の長さ：円周の長さ＝a：360 より，4π：12π＝a：360

2cm

12π×a＝4π×360
a＝360×a＝1204π
12πa120
したがって，側面積は 62×π×＝12π(cm2）360[解き方 2]6cm

弧の⾧さ
2π×2(cm)
おうぎ形の面積
6cm
S(cm2)

120°(おうぎ形の面積)：(円の面積)＝(おうぎ形の弧の長さ)：(円の周の長さ)

S：(π×62)＝(2π×2)：(2π×6)
S×(2π×6)＝(π×62)×(2π×2)

両辺÷(2π×6)

S×(2π×6) (π×62)×(2π×2)＝(2π×6)(2π×6)
S＝(π×6)×2
S＝12π(cm2）[答] 12πcm2★球の表面積…球の半径を r，表面積を S とすると，S＝4πr 2Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

円周の⾧さ2π×6(cm)
6cm 円の面積π×62 (cm2)P8 【6 空間図形(中1)まとめ】

14ABCDE角柱の表面積 啓 P.205
次の角柱の表面積を求めなさい。
3cm5cm

3×5×4cm

4cm＝15＋566cm

6cm

15

1×2＋(3＋5＋6)×4
2

5cm

3cm＝71(cm2)71cm2

底面の直径が 8cm，高さが 10cm の円柱の表面積を求めなさい。

BCDE

側面積

10×(2π×4)＝80π(cm2)

底面積 π×42＝16π(cm2)
表面積80π＋16π×2＝80π＋32π

112πcm2＝112π(cm2)16底面の半径が 8cm，母線が 12cm の円錐の表面積を求めなさい。

CDE

側面のおうぎ形の中心角を求める。
側面のおうぎ形の中心角を a とすると，弧の長さ：円周の長さ＝a：360 より，16π：24π＝a：360
24π×a＝16π×360
a＝360×a＝240

16π24π
したがって，側面積は 122×π×240＝96π(cm2)360

底面積は，82×π＝64π(cm2)， 表面積は，96π＋64π＝160π(cm2)[別解](おうぎ形の面積)：(円の面積)＝(おうぎ形の弧の長さ)：(円の周の長さ)

S：(π×122)＝(2π×8)：(2π×12)
S×(2π×12)＝(π×122)×(2π×8)
S×(2π×12)＝(2π×12)両辺÷(2π×12)(π×122)×(2π×8)(2π×12)S＝(π×12)×8
S＝96π(cm2)
底面積は，82×π＝64π(cm2)， 表面積は，96π＋64π＝160π(cm2)160πcm2

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P9 【6 空間図形(中1)まとめ】

17次の図の正四角錐の体積と表面積を求めなさい。

BCDE

12cm

10cm

186×6×10×側面積

 1 ×6×12×4＝144(cm2)
2


底面積

6×6＝36(cm2)

表面積144＋36＝180(cm2)

体積

6cm

1＝120(cm3)3

体積

120cm3

表面積180cm2表面積36πcm2

直径 6cm の球の体積と表面積を求めなさい。

BCDE

体積

4π×33＝36π（cm3）3

表面積4π×32＝ 36π（cm2）体積

1936πcm3次の図の体積と表面積を求めなさい。

CDE

8cm

10cm6cm

1＝96π(cm3)3体積π×62×8×

底面積π×62＝36π

側面のおうぎ形の中心角を a とすると，弧の長さ：円周の長さ＝a：360 より，12π：20π＝a：360
20π×a＝12π×360
a＝360×a＝21612π20π
したがって，216＝60π(cm2）
360

側面積

102×π×表面積36π＋60π＝96π(cm2)体積

96πcm3表面積

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96πcm2

P10 【6 空間図形(中1)まとめ】

20

次の図形を直線 ℓ を軸として 1 回転させてできる立体の体積と表面積を求めなさい。

BCDE

6cm

6cm

ℓ

体積

π×62×6＝216π(cm3)側面積6×2π×6＝72π(cm2)

底面積62×π×2＝72π(cm2)

表面積72π＋72π＝144π(cm2)体積216πcm3

表面積144πcm221

空間に直線や平面があるとき，これらの直線や平面について述べた次の㋐～㋔について，DE正しいものをすべて選びなさい。
㋐

1 つの直線 ℓ に平行な 2 つの直線 m，n は平行である。

㋑

1 つの直線 ℓ に平行な 2 つの平面 Q，R は平行である。

㋒

1 つの平面 P に垂直な 2 つの直線 m，n は平行である。

㋓

1 つの平面 P に垂直な 2 つの平面 Q，R は平行である。

㋔

1 つの直線 ℓ に垂直な 2 つの平面 Q，R は平行である。

㋐，㋒，㋔

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P11 【6 空間図形(中1)まとめ】

22

右の図は 1 辺が 4cm の立方体の各面の対角線の交点を結んでできる立体 ABCDEF である。

DE

次の問いに答えなさい。

A① 立体 ABCDEF の名前を答えなさい。

㋔ E

正八面体
②B

㋐C㋑㋓
㋗ ㋒

立体 ABCDEF の体積を求めなさい。
四角形 BCDE の面積は，対角線×対角線÷2DF＝42÷2＝8(cm2)

1×底面積×高さ×23

求める体積は，四角錐 ABCDE の体積×2＝＝1×8×2×2
3＝32(cm3)332cm33③ 右の図は立体 ABCDEF の展開図である。

㋐㋐，㋑と平行になる面をそれぞれ答えなさい。
㋖㋐㋗㋑㋔㋕㋔㋓㋒㋑㋗

23

右の立体は大きい円柱から，小さい円柱をくりぬいたものである。立体の体積と表面積を求め

DEなさい。
体積は，半径 9cm の円柱の体積－半径 6cm の円柱の体積6cm

π×92×30－π×62×15＝2430π－540π

15cm＝1890π(cm3)30cm

表面積は，π×92＋2×9π×30＋π×62＋2×6π×15＋(π×92－π×62)＝81π＋540π＋36π＋180π＋45π＝882π(cm2)体積

1890πcm3

表面積882πccm2

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9cmP12 【6 空間図形(中1)まとめ】24次の図について，直線 ℓ を軸として 1 回転させてできる回転体の体積と表面積を求めなさい。

CDE

ℓ体積

4152π×23× ＋22π×3＝π(cm3)
323

表面積

4π×22×体積52πcm332cm

1＋2×2π×3＋22π＝ 24π(cm2)
22cm3cm

表面積24πcm225

右のような台形について，直線 ℓ を軸として回転させてできる立体の見取図をかきなさい。

DE

また，その体積と表面積を求めなさい。

ℓ5cm3cm5cm

別解4cm4cm6cm

体積

11×π×62×(4＋4)－ ×π×32×4＝84π(cm3)33

側面積大きい円錐の側面のおうぎ形の面積－小さい円錐の側面のおうぎ形の面積π×102×3
3－π×52× ＝45π(cm2)55

底面積 π×62＋π×32＝45π(cm2)
表面積
体積2645π＋45π＝90π(cm2)

84πcm3

表面積90πcm2次の立体は立方体の一部である。この立体の体積は立方体の体積の何倍かを求めなさい。

DE

立方体の 1 辺を acm とすると

1 11
××a×a ×a＝ a33 26

立方体の体積は a3 だから

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1倍
6P13 【6 空間図形(中1)まとめ】

27

正方形の厚紙を折って，右の図のような三角錐をつくった。次の問いに答えなさい。

CDE① 右の三角錐で，辺 AD と垂直な辺をすべて答えなさい。 DAA

辺 DB，辺 CDB② 三角錐の高さを求めなさい。

4cm

D4cm

BCDCD

③ 三角錐の体積を求めなさい。

83cm
3118×22× ×4＝ (cm3)32328

右の図は，円錐を頂点 O を中心として平面上で転がしたところ，図で示した円 O の上を 1 周DEして元の位置に戻るまでに，3 周回転した。円錐の母線と側面積を求めなさい。
円 O の円周は，8×2π×3＝48π(cm)母線＝円 O の半径だから，母線を x とすると

8cm

2xπ＝48π
Ox＝24(cm)
側面積 おうぎ形(側面積)の中心角を a とすると，16π：48π＝a：360

48π×a＝16π×360
a＝360×a＝120
母線

24cm

16π48π側面積は，242π×側面積120＝192π(cm2)360192πcm2

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P14 【6 空間図形(中1)まとめ】

29

下のような図形を，直線ℓ を軸として 1 回転させてできる立体の体積と表面積を求めなさい。

DEℓ体積は，半径 3cm の円柱の体積－半径 3cm の球の体積
π×32×6－4π×33＝54π－36π
3＝18π(cm3)

表面積は，半径 3cm の円柱の表面積＋半径 3cm の球の表面積6cm

π×32×2＋2×3π×6＋4π×32＝18π＋36π＋36π＝90π(cm2)3cm

体積18πcm3

表面積90πcm2

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