高校生のための現代数学基礎教程＊＊ 千葉大学サマースクール ＊＊
志賀 弘典

はじめに
1996年7月28日から8月1日までの5日間，上記のいわゆる「パイロット講義」
が開催された．高校1年から3年までの40名であったが，県内，東京都および近県の他，近畿地方からの参加者もあり，熱心で積極的な聴講生たちであった．
最終日の授業を終えて，すぐにさる会議の席に急いだが，カメラ持参の高校生たち
が記念根影のために私を追いかけて探しまわっていたとか，後でその話を聞いて，高校生のメンタリティーをかわいいと思い，同時に済まないことをしたと思った．
授業は連日午前，午後にわたり，演習を伴って進められる主講義と，3つのトピッ
ク講義「組み合わせ論の話題から」，「今年の世界数学オリンピックの問題から」，「暗号と数学」との組み合わせで行われた．ここでは，世話人の筆者が受け持った主講義の概要を紹介する．
出来るだけ系統的に数学の手法と思想スケールを紹介すること，実践を通じて数学を理解してもらうことを心がけたつもりである．

1 正多面体
定義1．1すべてが合同な正多角形を有限個用意して，互いの辺どうしを貼りあわせて
すきまなく閉じられた図形がつくられたとする．このとき得られた図形が凸図形で，各頂点に同数の辺が集まっているとき正多面体という．
定義1．2有限個の多角形を用意する．これらのうちの等しい長さの辺をもつものを貼りあわせていって，すきまなく閉じられた図形ができたとき，これを多面体という．
定義1．3多面体Pの内部にある2点を任意にとったとき，その2点を結ぶ線分がアの内部にあるときfは凸多面体であるという．

千葉大サマースクール（志賀弘典）［別の定義］有限個の平面によって限られた空間内の有界な図形を凸多面体という．

例1．1いくつかの多面体で頂点の数，辺の数，面の数を数えてみよう．
＊＊＊＊＊

定理1．1（Eulerの等式）

凸多面体Pにおいてその頂点の数をγノ辺の数をeノ面の数を5とすると等式
γ−e＋5＝2が成り立つ．

＊＊＊＊＊

証明については後に述べることにするが，この定理を用いると正多面体を決定することができる．

＊＊＊＊＊

定理1．2（テアイテートス・ユークリッド）

正多面体は，正4面体，正6面体，正8面体，正12面体，正20面体の5種類のみ
存在する．

＊＊＊＊＊

［その証明］ひとつの正多面体を想定する．それは，正p角形がβ個でつくられ，ひとつの頂点に9個の多角形が集まっているものとして，p，ヴ，5についての可能な組
み合わせを限定してゆく．実際，（1−2／p）×37「＜（1−2／p）×叩＜2汀

から，3≦p≦6となり，Eulerの等式から定まる整数解を列挙すると，必要条件として5つの（p，ヴ，3）の組み合わせのみに限定され，その5種類に対応する正多面体は実際に存在する．

［疑問］ここでもしかして次のような疑問が生じてこないだろうか？この多面体あるいは正多面体が置かれている空間はどこにあるのか？現実の空間なのだろうか？それとも架空の空間なのだろうか？

高校生のための現代数学基礎教程［正多面体余談］正多面体の決定と，プラトン派の宇宙論．ルネッサンス期にプラトンの哲学が復活したこと，さらにケプラーの宇宙論の出発点に正多面体に基づくプラトン的宇宙観（太陽中心説）があったことなどを紹介した．詳細は割愛する．
［演習問題1］［1．1］α，♭，Cは2≦α≦占≦cなる整数とする．
111

＋＋＝1

言古言
となる組（α，も，C）をすべて決定せよ［1・2］（エジプト分数の問題）吉の形の分数を単位分数ということにする・孟の形の分数は，2つの異なる単位分数の和に書けることを証明せよ（Erdo6sの問題）：三の形の分数は異なる3つの単位分数の和に表わせるか？（現在未解決）［1．3］正5角形を定規とコンパスのみを用いて作図せよ

2 正多面体群
R3における4点

γ1＝（壬ト（三三卜3＝仁卜仁〕
を考えると，各点間の距離は等しく，これらを頂点とする正4面体が考えられる．これ
ら4頂点γ1，γ2，U3，γ4の入れ替えを引き起こす球面回転を調べてみよう．
その前に簡単な幾何学的考察を行っておく・γ壱，りの中点を几弟jと表わすことにすると，ズー軸は〟13，〟24を通っている．同様に，y一軸は叫4，Aち3を通っており，Z㌧軸
は凡才12，ルち4を通っている．また，Z＝Cでの切り口はcの値ごとに形の変化する長方形となって現われる．

さて，正4面体の頂点を入れ替える球面回転の軸は，頂点（たとえばγ1）を通るものと，ねじれの位置にある対辺の中点を結ぶもの（すなわち座標軸）とが考えられる．
後者はこの軸に関して1800の回転となり計3個，前者は軸の回りを1200回るものと2400回るものとが考えられ，軸は4本あるから計8個の回転が現われる．さらに，回転させないという恒等変換Jを加えた12個の変換（∫0（3，R）の元）
よびTで表わす．

を正4面体群と千葉大サマースクール（志賀弘典）

正4面体群Tを考察しよう．z一朝のまわりを反時計回りに1200回転させる変換を∫，〟14，〟ら3を通る軸すなわちy一朝のまわりの1800回転をrと名付ける．さらにごー

軸のまわりの1800回転をぴとしておく．
Tの元はそれぞれ頂点ul，む2，U3，U4の入れ換えを引き起こしているが，異なる変換
は異なる入れ換えをもたらしている．したがってTの元は頂点の入れ換えによって指定されてしまう・4つの文字からなる集合†uユ，リ2，U3，U。）から自分自身への全単射を4文字の置換の全体を4次対称群と呼んで∫4で表わす．

4文字の置換とよび，上の考察は，Tから∫。への単射な写像が得られることを示している．この対応を正確に述べてみよう．変換∫について考える．∫においてはulは入れ換わらない．
u2の席がu4の席になった．
γ3の席がリ2の席になった．
γ4の席がリ3の席になった．

と考えられる．このことをダイヤグラム

P（∫）＝（壬……；）

で麦わし，写像
●

1

1
2

4

3
■

4

2
3

■
●

2

1

3

3

＼・．．−■′′ノ

2

4

4

1

二

︶
r
︵

P

′し

と同一視する．つぎに変換アを考えると同様にしてが得られる・ここでぶをやってからアをほどこす変換をr05▼で表わす．（それは行列としてのこの順番に作った積と一致する）一方，変換r。∫に対応する置換ア（r。∫）
が定まるがそれはつぎのような演算で計算できる．
4一2一

︑1Jノ

4

3

す 2 3

っ．U

一2一l

1⊥l

／′l■■111︑■■∫′ノ

ー﹂・一1

3

3一2︻

2

4

J−′一■■111

2 3

以下同様にして，さまざまなTの変換に対する4文字の置換を計算することができる．
2

3

4

3

4

1

2

＼︑ノ

1

二

′′し

︶

4

P⊥

3

rrU

4

︵

3

2

＼J

2

P（J）＝

1
4

2

3

4

3

〃︶

0

1

＼−・

二

＼︑−■ノ＼︶

2

3

4

3
2

2

41

二

P⊥

︵

︹J．

グ

／′−・＼′′■− 1 ∴ − ．

〜︶

︹J

︵

タ

1

高校生のための現代数学基礎教程
ア（ro乙り＝

ア（∫0了「）＝二ア（∫0了10乙J）＝
3

4

1

2

4

＼︺ノ

2

P（∫2。rOと／）＝3

P（∫20こ／）＝1

P（∫2。71）＝′／しア（∫2）＝

例2．1上の空欄を埋めよこれらはすべて異なるゆえ，Tの元をすべてとり尽くしている．すなわち，Tの元はすべて∫，ア，Uの組み合わせで表わされることが分かる．
＊＊＊ まとめ ＊＊＊正4面体群Tの各元は，ひとつひとつ4文字の置換と対応し，全体として∫4の半分の12個の置換からなる集合A4と1：1に対応する．Tにおける回転の合成は，A4における置換の合成によって翻訳され，この意味で両者は同一視することができる．
＊＊＊ さらに ＊＊＊他の正多面体についても，同様の議論ができる．実際正8面体群は∫4全体と，正20面体群は5文字の交代群A5と同一視されるが，幾何学的な翻訳のプロセスは上で見たものほどは単純でない．

3 集合・写像・一般的記号，幾何学が展開される空間とは？
N：自然数の全体
Z：有理整数環＝整数の全体
Q：有理数体＝有理数の全体

これらは既知のものと考える（この段階では実数はまだ定められていない）．
数学的対象の集まりで，その要素であるかどうかが確定するものを集合という．ごが集合ズの要素であることをご∈ズと表わし，ご≠ズでその否定を表わす．
一般に，集合は要素を（）ではさんで表わす．空集合を田で表わし，ひとつだけの要素ごからなる集合も，それを集合と考えるときには（ご）で表わす．
［余談：ラッセルのパラドックス］ 自分白身を要素に含まないような集合すべての集まり ズを考えてみる．ズ白身はズの要素であろうか？

千葉大サマースクール（志賀弘典）

もし，そうだとすると，ズの定義 自分白身を要素として含まない に反する．そこ
で，ズ白身はズの要素でないとしよう．すると，ズは自分自身を要素として含まない集合であるから，＿Xの要素になってしまう！結局，ズ自身がズに属するかどうか決定できない．したがって，このような巨大な対象は数学で扱う集合とはみなせない．
［余談の余談］ ラッセルのパラドックスは聴講生にはかなり難解だったみたいだ．
アシスタントをしてくれた大学院生から教わった，ラッセルのパラドックスの変形を紹介する．
＊＊ 図書館のパラドックス ＊＊可能な限りの世の中の図書目録をすべて考える．某R図書館では，自分白身がそのリストに載せられていない図書目録だけをすべてとり揃えてある（他の書物は何も置いていない）．今，自分白身がそのリストに載っていない図書目録をすべてリストアップ
した図書目録を考える．その図書目録はR図書館に置いてあるか？
話をもとにもどして，どのくらいの大きさの集合ならば，このパラドックスにひっかかったりせずヤバクないのか？決定的な基準は今日でもない．このように，数学を論理体系として完結したものにしようとすると，いつも未確定な部分がのこされるが，それは数学基礎論の課題である，一般の数学者はその点に関しては楽観的に考えている．
つまり，数学の形式的な体裁ば，数学的事実を叙述するための道具と捉えている．
［集合と写像に関する定義と記号］

二つの集合ズ，yを考える．ズの任意の元がyの元になっているとき，ズはyの部分集合であるといい，このことをズ⊂yで表わす．空集合￠はすペての集合の部分集合と考える．ズ⊂yかつy⊂ズのときズとyとは等しいといいズ＝yでこのことを表わす．

A，β⊂ズとする．AUβ＝（ご∈ズ：ご∈Aまたはご∈月）と定め，これをAとβの和集合という．

Anβ＝（ェ∈ズ：ご∈Aかつご∈β）と定め，これをAとβのまじわりまたは共通部分という．
4⊂ズ（豆∈J）とする．（Jはある添え字集合を表わす）∪壱∈上月盲：＝（ご∈ズ：ご∈4］五∈J）と定める．また，∩；∈JA盲：＝（ご∈ズ：ご∈4 ∀五∈J）高校生のための現代数学基礎教程

ここで］＊ぱ ある＊に対して またば ・‥となる＊が存在する という文章の省略記号である．
また∀＊ば すべての＊に対してという文章の省略記号である．

例3・1（i）A乃＝（ご∈Q：−1／乃≦ご≦1／m）⊂Q（乃∈N）のとき∩几∈NAれ＝？

（ii）乱＝（ご∈Q‥0＜ご≦1／m）⊂Q（乃∈N）のとき∩几∈N月乃＝？

（iii）Cm＝（ご∈Q‥m≦諾）⊂Q（n∈N）のとき∩れ∈NC乃＝？

定義3・12つの集合ズ，yを考える．ズの各元ヱに対してyの元J（ご）を対応させる規則が確定しているときJはズからyへの写墾であるという・

J（ズ）＝（．r（∬）∈y：ご∈ズ）
をJによるズの像とよぶ．また，y∈yに対して
J￣1（y）＝（ご∈ズ：J（ご）＝y）

をyのJによる原像という．
写像J：ズ→yに対して，J（ズ）＝yとなるとき／は全型であるという・各y∈yに対してJ￣1（y）がたかだかただ一つの要素からなるときJは畢型であるという・全射かつ単射な写像を全畢型という・

例3．2以下の写像について単射，全射，全単射となっているかどうか判定せよ．
（i）ム（諾）＝2ごで定まる写像ム＝Z→Z（ii）ム（ご）＝2ヱで定まる写像ム：Q→Q（iii）ム（ご）＝諾2で定まる写像ム：Z→Z
次の事実を証明せよ．

（iv）NからQ への全単射が存在する．

千葉大サマースクール（志賀弘典）＊＊＊実数体Rについて＊＊＊実数の全体RはQを含む集合として次のように定義される．
2つの実数エ，yに対して，和ヱ＋yと積ご・yが定まっていて以下の性質が成り立つ：
・lJ（ご＋y）＋z＝ヱ＋（y＋z）

エ＋0＝エ

ごに対してヱ＋ご′＝0となるご′が存在する．
（このご′を−ごと表わす）

ご＋y＝y＋ごtI一！

（∬・y）・Z＝ヱ・（y・Z）

ご・1＝ごヱ≠0ならば㌫了＝1となるご＊が存在する．
（このご■をご￣1と表わす）
ヱ●y＝y●ごα・（ェ＋y）＝α・諾＋α・y

以後，α・むをαぁと略記する．
（ⅠⅠ）

任意の2元α，占∈Rに対してα＜あ，α＝あ，α＞ものいづれかの関係が成り立ち，
α＜あ，らくCならばα＜C
d＜ゐ，C∈Rならばα＋c＜占＋c
d＜占，C＞0ならばαC＜占cα＜♭ならば−α＞−ら（ⅠⅠⅠ）

α，占∈Rのときα＞0ならば］m∈N；ゐ＜れα（IV）（実数の連続性の1表現＝区間縮小法の原理）

高校生のための現代数学基礎教程

閉区間列ん＝rα乃，転］＝（ご∈R：α≦ご≦りは縮小列，すなわちんっん＋1（m＝1，2，3，・・・）とすると，∩乃∈Nん≠の以上（Ⅰト（IV）の性質をもつ集合（構造体）を室数墜と定義し，これをRで表わす・
実数体の元を墾という・

数学的な論点としては，そのような数学的対象の存在を確認すること，またそのよ
うな存在ば 本質的に ただひとつしかないこと，また，それはどのように構成されるのかを論じる必要がある．
性質（Ⅰ）〜（ⅠⅠⅠ）は有理数体Qに対しても成立するから，（IV）がとりわけ重要である．これは，直観的にはRが隙間なく分布していることを表現しているのである．
ここではそれらの議論は割愛し，以上の性質を既定のものと認めて議論する．
［注意］ 任意の実数αは無限小数
α＝α0・el亡2＝・E乃＝に展開される．これは，縮小区間列

ん＝［α0＋ト＋，…＋‥・＋］から定まる数である．
＊＊＊実数体の直積空間＊＊＊

集合ズと集合yの直垂をズ×y：＝（（ご，y）：ご∈芳，y∈y）によって定義する．これによって
R2＝（（ご，y）：ご，y∈R）
一般にR乃‥＝（（ヂ1，…，ご乃）‥ごi∈R 五＝1，…，n）

が定義される．これらが，数学で扱われる（ユークリッド）空間であり，とくにR3が，多面体たちが論じられる空間なのである．それは，現実の空間ではなく，思弁的に構成された架空の世界である．
［問題3］

千葉大サマースクール（志賀弘典）〔3．1］A＝（1，1／2，1／3，‥・，1／㍑，・＝）から月＝（1ノ2，1／3，‥・，1／n，…）への全単射を定めよ．

［3．2］半開区間（0，1］から開区間（0，1）への全単射を構成せよ．
〔3．3］NからR（または開区間（0，1））への全単射は存在しないことを証明せよ．
（背理法で考えよ）

4 オイラーの等式の証明
第1節で述べたオイラーの等式（Theoreml．1）を平面図形の問題に言い替えて証明する．そのために，以下に述べる 押しつぶし操作 を行う．
正4面体の場合を考える．その一つの面を底面と考え，（ェ，y）−平面の上に置く．この立体図形を（ご，y）一平面に射影すると，頂点が底面の中心に落ちていて，各稜線ほそこから底面の3角形の各頂点に伸びる線分となっている．こうして得られた平面図形では，平面が3偶の有限な領域と，外側の無限領域と計4つ現われ，それらを区切る境界
線が6本，3個以上の境界線が集まる点すなわち頂点が4点となる．したがって，領域の数β，境界線の数e，頂点の数りとして
β−e＋γ＝2が成り立っている．
一般の凸多面体の場合には，一つの面を底面としてそれを（ご，y）ヰ面上におき，空間のz一座標を用いてz≧0なる点（〇，y，Z）はある値〟によってご′＝可1一之／〟），y′＝y（1一之／〟）などと変形して，コ㍉y）一平面からの高さに応じて圧縮してゆく．このとき底面は不変であるから，適当な〟の備によって射影がすべて底面に含まれるように変形される．この変形操作で，問題にしている面，辺，頂点の勘定はもちろん変わらない．このような，頂点と辺とのつながり方だけが反映されるように変形と平面への射影を組み合わせたものを，凸多面体での押しつぶし操作とよぽう．
例4．1正8面体を押しつぶし操作した平面図形を求めよ
さらに考察を続けるために，次の定義を行う．
平面上に置かれた有限偶の頂ノ煮を有限個の線分で結んだ図形を平面グラフという．
ただし，線の両端は必ず頂点になっているものとし，点を結ぶ線は直線でも曲線でもよ高校生のための現代数学基礎教程

い．線どうしは頂点以外の点を共有しないものとする．幾つかの線で囲まれていてそれ以上分割されない図形をこの平面グラフの頭重とよぶ．平面グラフには必ず一個の無限領域がある・無限領域以外に領域を持たない平面グラフを些担であるという・また，全体がひとつながりになった平面グラフを連結であるという．
上の押しつぶし操作を経て，オイラーの等式はつぎの平面グラフの定理の証明に帰
着される．
＊＊＊＊＊

定理4．1連結な平面グラフCにおいて，その領域の数r，境界の数あ，頂点の数pとすると，
r【ら＋p＝2が成り立つ．
＊＊＊＊＊

例4．2幾つかの連結な平面グラフで上の事実を確認する．
まず簡単な場合を考察しておく．

命題4．1単純連結な平面グラフに対しては，上の定理が成立する．すなわち
占＋p＝1

である．

証明も頂点の個数についての帰納法によって明らかであろう．
本定理の証明は次のように行う．

連結な平面グラフCの各有限領域の境界をひとつずつ消去して連結単純グラフClにする．グラフの外側には水が満たされているとして，各部屋の壁をひとつずつ取り壊
して，すべての部屋に水が浸水するようにしたのである．つぎに，各領域の内部に頂点を定め，これらを，消去された境界を通って結んでゆく．このようにして新たに連結単純領域C2がつくられる．Clの頂点の数pl＝pである．Clの境界の数を占1とする．
C2の頂点の数p2＝rであり，境界の数占2とすると，つくり方から，占1＋占2＝らである．これと，上の命題とから，
2＝（−ら1＋pl）＋（−ゐ2＋p2）＝一占＋p＋rとなり，証明が完成する．

千葉大サマースクール（志賀弘典）

正12面体での図を参考に挙げておく（Coxeterの教科書から借用）．

5 置換と対称群
4人で引くあみだくじをつくってみよう．くじの上下両端に数字1，2，3，4を書き込んで，間に はしごを渡して各人のあたり番号をつくる方式でつくることにする．うまくはしごをかけてやれば，どのような組み合わせのあたりかたでも思い通りにつくることができる．いくつかの例をやってみよう．
n個の要素からなる集合ズ＝（1，2，‥・，m）

から自分自身への全単射をm文字の置換という．
m文字の置換1−→‡1

2tizzz＝・・・→ ∴：

を
2

J＝（∴

のように表わす．

2つのm文字の置換グ，丁に対して官2

高校生のだめの現代数学基礎教程

JをやってからTをほどこすことをTJで表わし，打とTの積という．上のグに対
して逆写像
71一→1
宣2→2

J，ミ → ‖

で与えられる置換をグの空軍堕とよびJ￣1で表わす．恒等写像で与えられる置換を恒等置換と呼び，idで表わす．

例5．1置換の積をいくつか計算してみる．
m文字の置換全体を∫几で表わす．∫れは置換の合成に関して閉じていて次の性質を持つことか分かるであろう．このことにより∫nを乃次対称群という：1）（drγ）人＝打（T人）for J，丁，人∈∫n2）Jl＝1（7＝打 払r ∀J∈∫m
3）∀J∈∫mに対してJÅ＝1となるÅすなわちげ￣1が存在する．

この性質を一般化して，群という概念を定義する．ある集合Cに対して，その任意の2元α，らの間の演算αゐによってGの元が定まっているものとする．この演算が次の性質をみたすときCを群とよぶ．
1）（結合法則）（αん）c＝α（ムc）for α，ム，C∈G2）（単位元の存在） Gに特別な元（単位元という）eが存在していてαe＝e（1＝α br ∀α∈G3）（逆元の存在） ∀α∈Cに対してαα＊二eとなるα＊（αの逆元）が存在する．
これをα￣1で表わす．
［考察］群は数学のさまぎまな対象のもつ最も基本的な構造（の一つ）であり，その基本構造だけを抽象化した対象である．群の例をいくつかすぐに挙げることができる．
＊＊＊ 対称群の性質 ＊＊＊2つの文字（壱，J）を入れ換え，その他の文字を変えない置換を室堕とよび，（壱，J）で表わす．

千葉大サマースクール（志賀弘典）

命題5．1すべての置換は有限個の互換の積として表わされる．ひとつの置換Jを表わ
す表わし方はいく通りもあるが，そのときに用いられる互換の個数の偶奇は一定となる・それに応じて打は埋塁選または重畳墜と呼ばれる・証明はここでは割愛する．
［考察］あみだくじは， 1，2，…，れの席にいたものがそれぞれ，壱1，五2，‥，五mの席に動く ものと考え，これを置換Jと同一視する．
すると，上から順に見て行くと，はしごが次々に現われる．ひとつひとつのはしごは，渡されている2つの席の互換であるから，ひとつのあみだくじは互換の積として表わされた置換と見なされる．
例5．2あみだくじによって4文字の置換を互換の積に表わす実例
上の命題の応用：＊＊どのような置換でも，あみだくじによって実現することができる．＊＊
定義5・1Am＝（J∈∫m‥Signature（打）＝1）

をm次交代群という．

［由来］ れ個の変数ご1，…，エmの多項式J（ご1，…，エm）に対して置換J∈乱の作用をJJ（ご1，…，ご几）＝／（ち（1），…，ち（m））
で定める．ご‡＋…＋ごま，ご1…Jmのように，㍑文字の置換すべてに関して不変な多項式を対称式という，また，（ご1−ご2）…（ェ1一ご柁）（ご2−−ご3）・‥（ご几一1−ごm）のようにすべての偶置換で不変な多項式を交代式という．対称群，交代群という名は対称式，交代式から由来している．
［話題］対称群を利用して3次方程式の解法を見つける：実数係数の3次方程式
ズ3＋αレオ2＋d2ズ十α。＝0（1）を考える・ズ′＝ズ＋吉α1とおくとズ′について2乗の項のない方程式となるから，最初から
ズ3＋α2一￥＋α3＝0（2）

高校生のための現代数学基礎教程を考察する．α1，α2，α3をこの方程式の3根とする（α1は実根としておく）．山＝（−1＋ノ：巧）／2として
β1＝A＝α1＋山α2＋山2α3
β2＝〕A
β3＝山2A
β4＝月＝α1＋山2α2＋〕α3
β5＝山β

伽＝U2β

とおき，βい…，伽を根とする6次方程式（且）を考える．このとき，
α1＝（A＋β）／3，α。＝（山2ノ1＋山β）／3，α。＝（山A＋山2月）ノ3となる．したがって，（且）が解ければ（2）の根が分かる．計算によって（且）はy6十27α3y3−27α…＝0となり，これから

β＝3が得られる．以上から次の公式が導かれる．

定理5．1（カルダノ・タルクリアの公式，1535年）

ズ3＋α2ズ＋α3＝0の根は上の4βを用いて（山…2ん月）（に0，1，2）で与えられる．ただし，3乗根は複素数でとられA＋月が実数となるように定める．

6 線形変換R几において単位ベクトル

ら＝t（1，0，・・・，0），・・，㌫＝t（0，…，0，1，0，…，0），・・，㍍＝t（0，…，0，1）（3）

千葉大サマースクール（志賀弘典）

を定めておく．任意のベクトル言＝f（諾1，…，ヱm）は（言＝）ご1ろ＋・‥ごれe几＝（ら，…，㍍）と表わされる（ただしtは転置を表わす）．ここで，上の式の右辺は左辺の式を意味するものとして定義される．

RmからRmへの写像Jで，任意のご，y∈Rれ任意のc∈Rに対してJ（言＋の＝J（言）＋／（のJ（c言）＝CJ（g）

をみたすものを線形写像という・れ＝mのときは線形変換と呼ばれる・＊＊＊＊＊

定理6．1R乃からRmへの写像／をJ（g）＝士（ム（g），‥・，ん（可）＝f（yl，…，ym）と書いたとき，各ム（言）＝ム（ご1，…，ご几）が定数項を含まないご1，…，ごnの一次関数になっているとき／は線形写像であり，逆に線形写像はそのようなものに限られる．
＊＊＊＊＊

その証明］ここでは割愛する．

れ＝m＝2の場合，このような写像は
yl＝ム（ェ1，ご2）＝α11ご1＋α12ヱ2〈 y2＝ム（ご1，エ2）＝α21ご1＋α22ご2の形で与えられる．このとき
A＝（≡；：…：…）

をJの表現行列という．すると，／は（；：）＝A（；：）と表わされる．

A＝（；：ニ；；；），β＝（≡；：≡三；）（4）

高校生のための現代数学基礎教程に対して，線形変換言′＝A言，g′′＝月宜′を合成すると
言′′＝（βA）gが得られる．ここでβAは行列の積＋ら12α21み11α12＋β．⊥1＝＋ゐ22（Z21ら21α12＋

（

を表わす．
定義6・1〟（m，n；月）で月に要素をもつ（m，乃）型行列全体を表わす．また，〟（れ；月）で月に要素をもつれ次正方行列全体を表わす．
A＝（αi烏）∈〟（m，g；月主β＝（毎）∈〟（ゼ，れ；月）の壁Aβは

A月の（盲，J）一成分＝ ∑んαi烏ゐたゴ
によって定義される．〟（乃；R）の元で（五，壱）一成分（壱＝1，・‥，n）がすべて1，（盲，ノト成分（盲≠ブ）はすべて0となっているものを単位行列とよび軋＝且で表わす．

定義6．2

A＝（…三）

に対して，detA＝αd一占cと定めAの定型垂という．これは，単位正方形をAによって写像して得られる平行4角形の面積である．
α12 α13α22 （Z23
A＝（………

α32 α33（5））

に対しては，
de七月＝α11α22α33＋α12α23鶴1＋α13α21α32−−d13α22α31−α12α21α33−α11α23α32 （6）と定める．これは，単位立方体をAによって写像して得られる平行6面体の体積である．
＊＊＊逆行列と連立1次方程式＊＊＊

正方行列Aに対して，A月＝βA＝且となる行列βが存在するとき，βをAの逆行列とよび，βをA￣1で表わす．このとき，行列Aを正則行列とよぶ．
定理6．2

A＝（：三）

千葉大サマースクール（志賀弘典）

に対してA￣1が存在するためには，detA≠0となることが必要十分である．このとき
A−1＝（de七月）−1（ユニら）となる・同様に・3次正方行列Aに対してA￣1が存在するためにはdetノ4≠0となることが必要十分である．

定義6．3ベクトルに対して（言，占）＝∬1yl＋ご2y2＋∬3y3と定めて言，ぁの内積という．また，とおき，言の長さという．

命題6・1言，らのなす角をβを0＜β＜打の範囲で定めると，
cosβ＝

e
d

卜的的1仇yl 的

仇

t
e

3 3
1 1
ご ご ご J ご

e

2 ご

d d

l言×占l＝

1Jノ〜︶ノ＼1ノ2t︵︵′′■ll＼

十

二

×

﹂︼．〇

﹂α

を言とゐの外積という．

l∂l2lら」2−（言，ら）2となり，その値は言，ぁのつくる平行4辺形の面積に適当に符号をつけたものと等しい．
さらに定義と（6）式から，ベクトルご＝f（zl，Z。，Z3）に対してdet

ご2 y2 Z2
ご3 y3 Z3となることがわかる．

＝（言×ら，可■︼−−斎〜〜■−1−−1−−・1︐と−〜ノ11 111一プーノ■′一−

ご1 訂1 Zl

高校生のための現代数学基礎教程
命題6・2ノ4，β∈〟（m；R）に対してdet（AB）＝detA・detBが成り立つ．

定義6．4すべての言，古∈R3に対して（J匝），冊））＝（言，占）となる線形変換／を直交変換，その表現行列を直交行列という．m次直交行列の全体を0（町R）で表わす・

また，∫0（町R）＝（A∈0（町R）：detA＝1）と定める．
定理6・3ノ4∈〟（3，R）が直交行列であるためには，fAノ4＝且となることが必要十分である．
例6．1平面上の回転の合成から3角関数の加法公式が導かれる．

例6．2Aが3次正則行列ならば連立一次方程式A￡＝ぎの解がただひと絶定まり，
g＝A￣1ごで与えられる．

7 複素数の導入
定義7・1ズ＝R2の任意の2元α＝（α1，α2），β＝（ら1，ム2）に対して

α＋β＝（α1＋ゐ1，α2＋占2）α・β＝（α1ら1−α2占2，α1ゐ2＋α2あ1）

によって和と積を定義する．このような演算を定めたズを複素数体と呼びCで表わ
す・また，その元を埜垂塑という・A＝（（α1，0）∈ズ）は自然に実数体Rと同一視される．以後，この間一視を断わりなしに用いる．また積の記号・を省略する．
（0，1）（0・1）＝ト1，0）＝−1となる．この元を五で表わす．すると一般の複素数
α＝（α，占）は（α，ら）＝（α，0）＋（0，ら）＝（α，0）＋（占，0）（0，1）＝α＋み五千葉大サマースクール（志賀弘典）と書かれる．以後この表記によって複素数を表わす．

複素数z＝ご＋y；を座標平面上の点（ご，y）によって表わす．このときの平面を複素平面とよび，これもCで表わす・このときのごを表わす座標軸を茎塾yを表わす座
標軸を塵塑という・

複素数z＝ご＋五yに対して，ヲ＝ご一旬をzの共役複素数という．また，lzl＝ノ話＝＞耶をzの絶対値という．zが0でなければ，ある角度βによって
z＝rZl（cosO＋isinO）と表わされる・この角度0をzの垣負とよびargzで表わす・

偏角はzに対して一通りではなく，27rγ1（㍑＝1，2，…）だけのとりかたの自由度が残されている．
命題7．1（i）lzl＋z21≦lzll＋lz21（ii川zlト」zll≦lzl±z21≦lzll＋lz21（iii）zl＝rl（cosOl＋isinOl），Z2＝r2（cosO2＋isinO2）に対して

zIZ2＝rlr2（cos（β1＋β2）＋五sin（β1＋β2）），

とくにIzIZ2l＝lzlllz2larg（zIZ2）≡argZl＋argz2（mod 27r）

命題7．2 1のm乗根はつぎの式で与えられるn個である．
cos（）＋流（）（た＝0，‥・，n−1）mm

8 鏡映群概説
定義臥1 Rmにおけるベクトルα（≠0）をとってくる．Rmの変換

Jα‥エーご一αをαに関する鏡映という．鏡映は線形変換でありその行列を〟。としておく．

鏡映についての以下の性質は定義から容易に導かれる．
（1）J。（α）＝−α（2）（ェ，α）＝0ならJ。（ご）＝ごとなる・高校生のための現代数学基礎教程（3）J。は直交変換でグ三＝JかつdetJ。＝−1．
＊＊＊ R2における鏡映と回転の関係 ＊＊＊α＝t（sin…，−COS豊）のとき，O∧ロー2＼︑■．ノノ

S

S

dりー一2

C

O

n

旦2

1−2cos2

♂一2

dりー一2

S

n

2

．

n

β一2

2

・l

S

2

2

⁚Sl

1

／し

．廿．

C

＝（；：言ご≡ぎβ）となる．これをβ＝t（0，1）に関する鏡映Jβと合成すると
β

J。OJβ＝几ね怖＝（）となり，角度βの回転が得られる．
β＝町／m（m≧3）のとき，J。とJβの合成で得られる変換たちは，正m角形の回転による重ね合せ（計m個）と，頂点または辺の中点を通る軸での折り返し（計m個）との総計2m個の変換の集合となる．

これらは群をなす・これを正2面体群とよびJ2（m）で表わす．これは正多角形を裏
表のある煎餅状の 立体 とみての形状を保つ直交変換たちと対応する．
例8．1R3における鏡映のいくつかの例［余談］

このように鏡映から生成される有限群のことを有限鏡映群という．一般には，あらかじめ有限個の鏡映を用意しても，それらで生成される変換たちは有限個では済まな
い．3次元の鏡映を有限個用意すると，その鏡映面で仕切られだ 鏡の部屋 がつくられる．その部屋に入ると，ふつう自分の姿が無限に続いているだろう．また，2個の鏡映から生成される鏡映群は合わせ鏡の像となって，これも一般には無限に像が現われる．したがって，うまい配置に鏡を置かなければ有限鏡映群は現われない．では，どのような鏡映を用意しておくと有限鏡映群になるのだろうか．それは興味ある問題であるが，今日完全に決定されている．

さらに鏡映群はLie群の分類，特異点論，超幾何関数論とも深い関係があり，今日の数学と直接つながっている．

＊＊＊ 3次元での有限鏡映群 ＊＊＊空間内の4点

ul＝（…ト＝仁卜3＝廿4＝仁）

千葉大サマースクール（志賀弘典）

を考える．これらは，すでに考察した正4面体の頂点たちであった．さらに

α1＝（三1ト（う1），α3＝（三）とおき，これらα1，α2，α3に関する鏡映を，それぞれ弧，〟2，鳩とする．〟1は
Jl＝（：……；）

4

3

︑＼︼・ノ

3

1

4

2

1
2
′／．し

4

二

4

2

3

3

3
1

b

2

1
︵

っ山

二

︺′

で定まる頂点の入れ換えを引き起こし，几ち，〟3はそれぞれbによって定まる入れ換えを引き起こす．Jl，J2，J3たちのさまざまな組み合わせで得られる置換すべての集合を，システム（Jl，J2，J3）

によって生成される群とよび＜Jl，J2，J3＞で表わす．この によって生成される群 という言葉は，■他の場合にも同様の意味で用
いる．

命題8．1
＜Jl，J2，J3＞＝∫4が成り立つ．

証明は，これらから6個すべての互換がつくれることを見ればよい．
この命題によって，鏡映〟1，几ち，爪先によって生成される変換群Cは有限鏡映群となり，それは∫4と1：1対応している（同型である）ことを示している．したがって，
命題8．2＜〟1，鳩，几ち＞＝正4面体の形状を保つ直交変換全体が成り立つ．

証明】左辺は右辺に含まれるし，右辺の元は頂点の入れ換えを生じ頂点を動かさなければそれは恒等変換であることから示される．
＊＊＊ 有限鏡映群の分類と正多面体 ＊＊＊ここでつぎの事実を用いる：

Rmにおける有限鏡映群Ⅳは高々れ個のベクトルαh・・〟（凸1），…，〟（α乃），α几による鏡映高校生のための現代数学基礎教程から生成される．もし，m個より少ない個数の鏡映で生成されるなら，lγはより低い次元での鏡映群に還元される．さらに，Ⅳを定めるベクトルα盲，αメたちのなす角度βiJは7r

COSβiJ＝−COS−＜0
川i▼7の形になるようにとれる．ここで用量はある自然数である・
定義8．2上で述べたベクトルたち（αl，…，α乃）のことを有限鏡映群WのSimpleSystemと呼ぶ．
SimpleSystemはそれらの交角から定まり，それらは，数mijたちで決定される．

例8．2正4面体から定まる鏡映群G．の場合にSimpleSystem（α1，α2，α3）から命題∂．Jを用いて用量を計算してみよう．（こたえ：m12＝m23＝3，m13＝2）
また，正6面体についても同様の考察ができる．実際

β1＝（三1），β2＝（ヱ），β3＝（…）とおくと，これらに関する鏡映によって生成される変換群G6は

γチ＝（三1トチ＝仁トま＝（≡壬トま＝（三‡）を頂点とする正6面体の形状を保つ直交変換全体と一致する．これからm12＝3，m13＝
2，m23＝4を得る．
Simplesystemは交角Oijたちで決まるのであったが，さらにそれを視覚的に明確にするために次の方法でグラフ化する：

まず，各ベクトルαiをまるで表わす．さらに，α汗qをつぎのルールで線分で結ぶ‥
m労＝2のとき，すなわちαi，αJが直交するとき，結ばない・
m圭＝3のとき，線分で結ぶ．

mfJ≧4のとき，線分で結んでその上に数m宥を書き込む・このようにして得られたグラフを有限鏡映群WのCoxeterGraphという．

千葉大サマースクール（志賀弘典）

定理8．1（有限鏡映群の分類定理）

有限鏡映群に対応するCoxeterGraphの一覧表は次で与えられる：
An O−−−−−○…一一一一一○一−rOq

B。 ○−一｛）‥…‥○−一0一−○

Dn O一−−−｛〕一…一一一一（n≧4）○−−一一−○

E8

F4

0−○

O

H3 0岬Cト一三−−05

H4 0−○一一○−−○l2（m） ○−LO（m≧3）

例8．3（1）G4のSimplesystem（α1，α2，α3）に対してのCoxeterGraph（2）G6のSimplesystem（β1，β2，β3）に対してのCoxeterGraph〔考察］第1節で正多面体の決定を行ったが，そのときの決め手はTheoreml・1のオイ
ラーの等式であった．では，R4，R5等の高次元の空間での 正多面体 を決定するにはどのようにしたらよいのだろうか．オイラーの等式の高次元版は存在するが，次元が高くなると幾何学的な図形を定めるための条件は複雑化し，その等式から得た情報だけで正多面体を決定してゆくことばできない．
3次元の場合にもどって考えたとき，正多面体は，正多面体群という空間の変換群で不変となるような対称性を持った図形として特徴づけられることに注目する．そして，正多面体群はすべて有限鏡映群と対応している．したがって，R3における正多面高校生のための現代数学基礎教程

体を決定することば，3個の元で生成される有限鏡映群を決定することから導かれる（だろう）．そして，高次元空間R乃の正多面体もm個の元から生成される有限鏡映群を決定すれば分かる．
このような展望のもとに，有限鏡映群のCoxeterGraphの一覧表を見てみよう．

まず，長さ2のグラフはJ2（m）のみである．これらは，正m角形あるいは，それを表裏はり合わせた正2面体に対応する．つぎに，長さ3のグラフはA3，β3，ガ3の3種のみである，A3はExample8．3で見たように，正4面体に対応し，Example8．3で見たように，正6面体からβ3が導かれる．また正8面体は，正6面体の各面の中心を頂点として得られる双対の図形であり，この2つがβ3に対応する．同様にしてガ3は正12面体および正20面体に対応する．
このようにして，CoxeterGraphの一覧表の中には，高次元正多面体の秘密が書き込まれている．つまり，あらゆる次元の可能なかぎりの正多面体の作り方がこの表一枚の中に指示されている！

では，実際R4ではどのような正多面体が存在できるのかを調べよう．長さ4のグ
この枝分かれによって，図形の対称性が下がり，このグラフに対応する図形は正多面体にはならない．また，A4，賞は左右対称でこのとき双対はもとの図形と一致する．
月4，且lでは双対が異なった図形として現われる．このようにして，6種の4次元正多面体の存在が確認される．さらに，5次元以上になると，枝分かれのないグラフはA乃，βれ
以外にはなく，錐体と，高次元立方体およびその双対の3種類のみになっていることも分かる．
このように，変換群的考察によって，素朴な方法では到達できない数学的世界の探索が楽しめるのである．

9 不変式と特異点
この節の内容は，拙論「数学の技法としての本歌取り」（数学48巻4号（1996））中の例と重複するので割愛する．ただ，単純特異点の分類が対応するCoxeterGraph＝Dynkin Graphで定まること，さらに，特異点のグラフA2，A3，♪4，β5，且6，且7，且8は8次元までのパッキング問題の最良解を与えるもので，トピック講義の組み合わせ論の話
題とも結び付いて，聴衆の興味を引いたことを付け加えておく．
（しが ひろのり 千葉大学理学部）⁝−−7−−一−一−−雫−．11ヨーL−−1−1．1イ＼■︻→11−†−−I−1′一

ラフは，月4，β4，刀4，為，ガ4の5種類である．これらの中で，♪4は枝分かれしている．