スキルミオン――60 年の進展

Keyword: スキルミオン

1.

はじめにして有限エネルギー解は，常に整数値をとる不変量 Q＝

この言葉は，最近よく聞くようになったと思っている人

1）が多いかもしれないが，60 年近く前に提案され，さらに∞（1/ 2π）ò −∞ ∂x ϕ d x＝1/ 2π（ϕ（∞）−ϕ（−∞））を も つ．図 1 のϕ（ x）は Q＝＋1 の解であるため，連続変形で Q＝0 の真空1980 年代に量子色力学（QCD）の 1 つの表現として大流行ϕ（ x）＝0 とつなぐことはできない．このように，連続な場したテーマでもある．語源は提案（発見）者である英国人の関数によって表されるとびとびの位相的不変量があると，の Tony Skyrme から来ている．この名前は「スカーム」と量子ゆらぎなどの微小変動によって異なる Q の状態に帰発音するのが正しいようなので，スキルミオン（Skyrmion）着できない安定解が存在するのである．

も本当はスカーミオンであろう．「-on」は量子論，素粒子論で粒子を意味する接尾辞であるから，スキルミオンも粒子の名前ということになる．さて，どんな粒子だろうか．

3.

核子のスキルミオン模型

位相的ソリトンをクォークとグルーオンからなるハド

一言で言うと，スキルミオンは点状でなく広がった構造をロンに適用し，スピン 1/ 2 をもつ核子（陽子や中性子）をもち，位相的な不変量によって安定な粒子である．まず，表す模型としたのが元祖・スキルミオンである．数学的なアナロジーによる直感的な理解を試みよう．

構造は，基礎理論である量子色力学（QCD）のカイラルSU（2）R×SU（2）L 対称性とその自発的な破れ，その結果生2.

位相的ソリトンの 1 次元模型

じる質量が 0 の南部ゴールドストンボゾン（パイオン）の空間と時間が（1＋1）次元系における実スカラー場 ϕ（ x, t）

場の理論に基づいている．（u, d）クォークからなる擬スカの理論を考える．
（適当に無次元化した表示で）ラグランジラーメソンであるパイオンは，3 つの荷電成分（アイソスア ン を L＝（1/ 2）［（∂t ϕ）−（∂x ϕ）］−（1−cos ϕ）と す る．こピン）に対応する 3 成分のスカラー場（ϕ1 , ϕ2 , ϕ3）で表され22のポテンシャルは周期的で，ϕ＝0，±2π，±4π，... で最小値る．このパイオン場を低エネルギーで主要な自由度とする

0 となる．この方程式の時間に依存しない定常解が満たす有効理論がスキルミオンのもととなる．変数としてユニタ

非 線 形 微 分 方 程 式 ∂ 2x ϕ＝sin ϕ に は 境 界 条 件 ϕ（−∞）＝0，リ行列の場 U≡exp（iτa ϕa /fπ）
（τa はアイソスピンを表すパウ−1ϕ（＋∞）＝2π を満たす解 ϕ（ x）＝4 tan （e ）が存在する．こリ行列）をとる．Lμ≡U †∂μ U を用いると，Skyrme が提案しの解（図 1）は x＝0 の周辺に局在する有限エネルギーをもた理論はラグランジアン

xつ孤立波解（solitary wave）で，両端が固定されているためにダイナミクスの詳細にはよらない幾何学的（位相的）安L =－f π2
12+
Tr［ Lμ L μ］
Tr［ Lμ , L ν］,
432e 2（1）定性をもち，安定粒子のように振舞うため位相的ソリトンで与えられる．この系にも U がもつ周期的な構造に起因ともよばれる．

する非自明なトポロジーをもつ定常解が存在する．この解

数学的には，この系の無限遠（−∞，＋∞）を同一点とみは原点を中心とする極座標系の動径方向の単位ベクトル er

な し，ϕ（ x）を 2π を 法 と し て 周 期 的 な 変 数 と み な す と，を用いて，ヘッジホッグ（ハリネズミ）とよばれる ϕ（r）
＝aϕ（ x）は 1 次元単位円（S 1）から同じく S 1 への連続写像と（er）a F（r）の形で与えられ，F（r＝0）＝nπ，F（r →∞）＝0 の1位相的に同一となって，ホモトピー群 π（S）＝Z（Z は整数1

境界条件を満たす（図 2（左））．一点とみなした無限遠での群）で示される非自明な位相構造をもっている．対応

U＝1 となる有限エネルギーの条件から，π（SU（2））＝Z で3

図 1 （1＋1）次元の孤立波解．

608©2020 日本物理学会

図2ヘッジホッグスキルミオンと磁気スキルミオン．

日本物理学会誌

Vol. 75, No. 10, 2020

表される位相的構造をもつ．対応して位相不変量（巻数）はスピンの向きを球面 S 2 の 1 点とみなし，2 次元平面の無B＝（1/ 24π 2）ò ²ijkTr［Li Lj Lk］d3x が整数値 n を取る．Skyrme は限遠方（周辺）を 1 点とみなすと，S 2 から S 2 への連続写像

この巻数を核子などを数えるバリオン数であるという大胆とみなすことができる．ちょうど，上で与えたスキルミオな提案をして，この位相構造による安定性がバリオン数のンの次元を 3 から 2 に 1 つ減らしたことに対応していて，保存に対応するとした．

同様の巻数を定義することができる．この磁気スキルミオンは，トポロジーによる安定性により，連続変形で壊すこ

4.

スキルミオンの量子論とができないので，磁性体中で巻数という情報をもった

さて，ここまでのスキルミオンは非自明な位相的構造を（準）安定な粒子として振舞うため，さまざまな応用的価値もつ古典解であって，まだ量子論的な粒子とみなせない．

がある．多数のスキルミオンによる結晶状態を作り出してSkyrme はヘッジホッグ解が回転対称性とアイソスピン対さらに安定にしたり，スピン流を用いてスキルミオンを動称性を同時に破ることに注目し，実空間とアイソスピン空かして電磁誘導を起こすといった面白い現象が可能になる．

間での回転運動をそれぞれ量子化して得られるスピン，ア一方で，核子のスキルミオン模型と様相が違うのは，磁イソスピンの固有状態が核子を表すとした．このように有気スキルミオンは古典系として扱われていて，その量子化限の広がりをもった核子（フェルミオン）を，ボソンであはあまり議論されていない点である．多数のスピンが関与るパイオン場で作り出すという先進的なアイデアは，1960するので，集団運動はかなり遅い運動になっていて，核子年代にはかなり違和感があったと思われ，あまり注目されの場合のように高速回転して角運動量の固有状態を作るよなかった．特に，回転によって核子のスピンとアイソスピうなことは考えられていない．核子のスキルミオン模型でンが半奇数値（1/ 2）となることは自明ではなかった．

も，多スキルミオンの古典状態が結晶（的）な構造を作る

Skyrme の大胆な提案は 20 年後に Witten らによって再発ことが知られていて，原子核と対応させる場合もある．た見された． Witten は QCD の量子異常の構造を用いて，カ

だし，核子多体系は量子ゆらぎ効果が大きいため，古典系ラー数とバリオンのスピンや量子統計性に関係があることとしての記述は成功していないのが実情である．磁気スキを示した．すなわち，クォークのカラー数 Nc が奇数であルミオンの量子振動状態やその応用が将来可能になるかもれば，スキルミオンはフェルミオンとなり，スピンおよびしれないが，そのときにはまさに，Skyrme のアイデアがアイソスピンが 1/ 2 をもつことを示したのである．現実のハドロン物理を超えて応用されることになるだろう．

2）

QCD では Nc＝3 だから，まさに Skyrme の予想通りである．
実は，スキルミオン模型ではカラー数はさらに重要な役割を果たしている．上記のスキルミオンの回転などの量子ゆ6.

おわりにTony Skyrme は，核物理分野では，核子間の短距離核力

らぎは Nc が大きいと，1/Nc の高次効果として抑制されて，を接触型ポテンシャルで表して，多核子系の平均場記述にNc が無限大の極限で古典解が厳密な解となる．

適用できるようにした「スキルム力」の提案でもよく知らしたがって，スキルミオンは Nc が大きい極限での QCDれている．4） 核力を一点で作用するデルタ関数で表すスキの有効模型であることが明らかになり，一躍脚光をあびる

ルム力と核子に広がりをもたせるスキルミオンは，核子多に至った．元祖スキルム模型はさまざまな場面へと拡張さ体系としての原子核の 2 つの極端な見方を代表している．

れ，たとえば多核子系（原子核）をスキルミオンの集合と独創的なアイデアでこの両極の先駆者となった Skyrme は，して表すような試みも行われた．しかし，定量性を追求す磁気スキルミオンを見ることはなく 1987 年に没した．

ると必ずしも成功とは言えない事例が増えてきて，スキルミオン研究ブームは 1990 年代には次第に下火となった．

5.

磁気スキルミオン

物理においては，ある分野で生まれた概念が思いもかけず他の分野に適用されるということがしばしば見られる．
核子の模型として大流行したスキルミオンの研究は，Wit-

参考文献
1）T. H. R. Skyrme, Proc. Roy. Soc. London 260, 127（1961）; Nucl. Phys. 31,556（1962）.
2）E. Witten, Nucl. Phys. B 160, 57（1979）; G. S. Adkins, C. R. Nappi, and E.
Witten, Nucl. Phys. B 228, 552（1983）.
3）A. Bogdanov and A. Hubert, J. Magn. Magn. Mater. 138, 255（1994）; 十倉好紀，第 63 回定例仁科記念講演会講演集（2017）．
4）T. H. R. Skyrme, Nucl. Phys. 9, 615（1959）.

ten からさらに 20 年経って，全く別分野で磁性体の構造，磁気スキルミオンとして蘇ったのである．3）
磁気スキルミオンは，強磁性体の 2 次元系で，図 2（右）のように中心にスピンがダウンの格子点があって，連続的岡真〈日本原子力研究開発機構先端基礎研究センター

oka＠post.j-parc.jp〉
4（2020 年 4 月 26 日原稿受付）に遠方のスピンアップに繋がった位相構造である．この系
現代物理のキーワード

スキルミオン609©2020 日本物理学会