楕円関数論から見た初等超越関数論

目次
1関数マンダラ．

2初等超越関数
3微分形式．

‥ 4

3．1微分形式・外微分

3．2微分形式の積分…………………………………………………… 6
3．3GreenrStokesの公式．
4角度．‥‥

5曲線上のGorenstein形式
6逆3角関数・3角関数
7加法定理．

8対数関数・指数関数．
9逆双曲線関数・双曲線関数．．
10複素化

1 関数マンダラ
角という図形，角の値としての角度，角度の絶対値としての角の大きさ等，「角」という言葉はかなり乱用されている．角度というものの定義が走らないと，三角関数の定義もあやふやなものとなってしまう．正三角形の一つの角の値は汀／3と答えられるが，ピタゴラスの三角形として有名な三辺の長さがそれぞれ3，4，5である三角形の3の長さの辺と5の長さb辺で挟まれた角の値はいくつかというと，首を傾げたくなる・tan￣1きという答を用意すると，今度は関数tan￣1二ごの定義が気になる．どうも，トートロジカルな議論に終始しそうである．

…．13

数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞

対数関数は指数関数の逆関数として定義される場合が多いが，対数関数は有理関数による積分表示を持っている．このことは高校の数学の教科書ならどの本にも書いてある．
また，三角関数はその定義から単位円と密接なっながりを持っている．そこで，高校の数学の教科書に散在している次なる項目
数学Ⅰ 第2章 三角比
数学Ⅱ 第2孝 三角関数
第3章 指数関数・対数関数
数学Ⅲ 第2葦 微分法とその応用 §2 種々の関数の導関数
数学C 第2章 いろいろな曲線§2 2次曲線を，次のような真にまとめてみた．
三角関数
対数関数 指数関数
ご2−y2＝1

ご2＋y2＝1

何か見えてこないであろうか．

微分積分学の基本的な事柄は理解しているが，具体的な関数は一つも知らないと仮定しよう．このとき，初等超越関数呼ばれる，3角関数，指数関数，対数関数は如何に定義されるべきか．これが，この論説の出発点となる問題意識である，ある種の量を表現すべく，幾何学的な事実から積分で定義された関数は，幾何学的な背景を色濃く反映している．ここでは「級数」という手段でほなく，「積分」という手段で初等超越関数を捉え直す．既存の方法に背を向け，無理関数のみを既知として，関数を積分という手法で定義する．自分の持っている知識を他の視点から見ることば，その知識の表す数学的現象のより深い本質に迫る行為であると考えられる．
視点は楕円積分である．

2次曲線と初等超越関数には如何なる関係があるのか，これが我々の調べる目標である．
以下の表の？を埋めて下さい．

∬2＋y2＝1 ？ 三角関数 ？ 対数関数 指数関数 ご2【y2＝1 ？ ？

ヒントは次の用語と公式群です：
逆関数

y＝eご ⇔ ヱ＝logy
陰関数を解く∬2＋y2＝1⇔cos2♂＋sin2β＝1
回転

ご2一計2＝（ご▼y）（ご＋y）＝1⇔方y＝1

楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

実際，教科書，問題集，大学の入試問題等に，上記の麦の？の部分を問うているものがあります．例を見てみましょう．
秋田大学
次の間に答えよ（1）ご＋β二7＝まとおくことにより，不定積分ノ、伊二了ゐを求めよ・（2）曲線ご2−y2＝1上に点ア（p，9）（p＞1，冒＞0）と点A（1，0）がある・2直線OA，OPとこの曲線とで囲まれる図形の面積5をpの式で表せ．
（3）（2）における∫を豊とおくとき，p，qをβの式で表せ・
中央大学（理工）eご＋e￣ご時刻ま＝0に点（0，1）を出発した点アが曲線C：y＝の上を動く．時刻まにおけるアの座標を（／（り，タ（ま））と表すとき，次の（i），（ii）が成立している．
（i）Jい）はま＝0で連続である■ （ii）ま＞0に対して，（J′（り）2＋（〆（ま））2＝1，J′（f）＞0．
このとき，（1）J（りを求めよ （2）曲線Cとご軸，y軸，ご＝J（1）で囲まれた図形の面積∫を求めよ．

防衛医科大学校
y＝Sinご（一昔≦ご≦昔）の逆関数をy＝J（ご）（一1≦ご≦1）とする・（1）ごy平面に上にy＝／（ご）のグラフの概形をえがけ・（2）J′（ご）をごを用いて表せ・ここで−1＜ご＜1とする・（3）／（0），／′（0），J′′（0），／′′′（0）の値を求めよ

2 初等超越関数
3角関数ご＝Sinβ，y＝COSβは当然，単位円の方程式ご2＋y2＝1を満たす．この意味において，3角関数は円関数とも呼ばれている．また，それらの逆関数は（代数関数による）積分表示をもっている．
β＝COS￣1￡＝・l− −一詔、／i￣＝￣平ゝ■ （ブ／β＝Sin￣1二ご＝、、l￣・・・￣

双曲線関数
ご＝COShβ＝eβ＋e▲♂

e♂一・e−βy＝Sinhβ＝

数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞

も当然，双曲線の方程式ご2−y2＝1を満たす，これらの連関数も積分表示を持っている．
＝log（ご＋、／㌻7）♂＝COSh−1ご＝上方岩

0＝Sinh−1ご＝上y蒜 ＝log（x・v祈了）

指数関数y＝eβの連関数β＝logyも積分表示を持つ。
β＝logy＝

この場合，3角関数の単位円にあたる式がない．無理に探さなくとも容易に見つかる．実は，ごy＝1がそれにあたる．表の3行目を打／4だけ回転して，ヽ乃倍したものが第2行目であることを考えれば，それは当然のことである．
β＝logご＝β＝logy＝

上γ芋

上ご写 ÷

では，積分表示に表れた被積分関数と2次曲線との間に何らかのcanonicalな関係があるのだろうか．また，積分の幾何学的な意味はなんだろう．次節で考察する．

3 微分形式
3．1 微分形式・外微分
ここでは且つの開集合において微分形式を考察するが，誤解の恐れがないときは，その定義域である開集合を明記しない．

さて，忍コの座標を（ご，封）とすると，1次微分形式山とは，山＝J（ご，y）ゐ＋g（ご，y）dyと表されるものである・ここで，J（ご，y），g（ご，y）は然るべき開集合で定義されたご，yの関数で，必要に応じて滑らかさを仮定する．
例1（1）ごdy（2）−yゐ（3）（ごd…叫・■（4）

ご2＋y2・∴

楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

次に，2次微分形式nとは，n＝／（ご，y）ゐ∧如と表されるものである．ただし，

ゐ∧dご＝dy∧dy＝0，軸∧dご＝−ゐ∧軸と定める．関数は0次微分形式と考える。

以上のことをまとめると以下のようになる，0次微分形式．f（ご，y）
微分形式＝1次微分形式J（ご，y）ゐ十ダ（ご，訂）軸（2次微分形式／（ご，y）ゐ∧勾

Cl級0次微分形式，すなわち関数fに対して，その微分（外微分（exteriorderivative））を邸＝ゐ＋dyと定義する．

例2（1）dlog

ご2＋y2＝∴−・・J・・・−J

エ2＋y2

ご．㌧・・∴、い（2）darctan＝
ご ご2＋y2
αご2＋2んヱy＋らy2（3）d

ご2十y2

んご2＋ヱy（ら−α）一壁）（ごdy−y叫（ご2＋y2）2

次に，1次微分形式に対しては，その外微分を
d（Jゐ十g如）＝ 紺∧dヱ＋如∧砲＝（監小飼∧机（雛十錮∧旬ゐ∧山∧机＜和十∧dy＝（一芸十紳ご∧みと定義する．

数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞

C2級の関数J（ご，y）に対して

d2′＝棚＝d（監机錮＝（慧折詰dy）柏＋（蒜姉別∧dy＝ 0が成り立つ．
例3（1）d（−yd可＝一旬∧dご＝ゐ∧毎1d（Jdy）＝dご∧d訂

したがって，特に（2）d（三（ごd…ゐ）〉＝dご∧軸（3）昭諾）＝d（darctan芝）＝d2（arctan芝）＝0［注意］（1）見れにおいても同様である，（2）一般の可微分多様体においては，r階共変テンソル場をr次微分形式（differentialform）と呼ぶ．Rコにおいては，座標をご，打とすると，上記のような表現をとる．
（3）関数の微分はもはや関数ではない・それは（1次）微分形式と呼ばれるものである．

3．2 微分形式の積分
Rlの区間α≦f≦古から月コの中へのCl級写像（紳），￠（り）による像Cを，向きづけられた滑らかな曲線（smootllCurVe）という・
例4（1）ご＝p＋叫封＝ヴ＋如，（α，占）≠（0，0），i・e・，占（ご一−p）＝α（ylヴ）
1一子2

2ま（2）ご＝i了手）y二百手）
まi・e・，ご2＋y2＝1（ご≠−1）

ま2（3）ご＝千丁育）y＝巾7Z≠−1）i・e・ウニ3＋y3＝ごy（4）ご＝ま2，y＝ま3，i．e．，y2＝ご3
月コ内の曲線Cの近傍Uで定義された連続関数J（ご，y），タ（ご，y）に対して，積分石碑），刷警d叫（綽）洲）響df

楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

を，微分形式Jdヱ＋gdyのCに沿う繰積分といい，上伸＋gdyで表す．この積分は曲線を表現する変数には無関係である。
例5

上。三極一y叫＝領郎の面積・・ ．・∵・・
ご2＋y2＝曲線Cの偏角の増分2次微分形式J（ご，y）ゐ∧みに対しては，面積分を上J恒）ゐ∧dy＝上J恒）輌で定義する．したがって，

ゐ∧軸＝領域βの面積となる．

［注意］線素（d可2＋（軸）2は微分形式ではないが，微分形式もどきの積分として掲げておく．
（ゐ）2＋（dy）2＝曲線Cの長さ3．3 Green−Stokesの公式
定理（Green−Stokesの公式）

β⊂且っは相対コンパクトな領域とし，その境界は何個かの有限個の区分的に滑らかな曲線からなるもとのとする．山は一次微分形式で万で連続，かつ刀でClならば上。U＝上んただし，∂βは刀の境界を表し，その向きはβに関して正，すなわち領域βを左にみて進むものとする．
系

上β三（ごdy−y叫＝上dご∧砲＝上1輌＝領卯の面積
ここで，2つほど例を挙げてみよう．
1一ま2（1）ご＝手諦y＝手荒（−∞＜ま＜∞）で囲まれる領那の面那

数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞∫＝上月喜（加b一両可＝エ吉（援一揺）dままま2（−∞く壬＜∞っ土≠−1）で囲まれる領域βの面積∫

y＝（2）ご＝丁‡下7

これは，Descartesの正英形（foliumofDescartes）といわれる・∫＝上β喜（功一如可＝上∞去（ご雷一揺）d壬dまl

ま16二ご3＋y3＝ごyがご＝（1＋ま3）2f2（−∞＜ま＜∞7ま≠−1）のような媒介変数表
i二両口下）
示をもつということばご3＋〃3＝ごyが特異点を持った有理曲線であるという事実に対応しy＝まている．ちなみに，ご3＋y3＝エツにおいて，壬＝旦とおくと，y＝まごとなり，ご＝−ご1十王37となる・

y＝［注意］Green−Stol（eSの公式の原型はやはり1変数の定積分の公式である・
抑（ご）dご＝．r（ご）とすると，

ム甜（ご）＝ムb］警

dご＝ム占］榊＝上古′伸＝恥瑚＝ム，。］顆）となるので，

上古］甜や）＝ム，b】顆）4 角度
1点0から発する2つの半直線OA，OBからなる図形を角（angle）AOBといい，∠AOBで表す■ 0をその頂点（vertex），OA，OBをその辺（side）という・合同な角は同じ大きさをもつ・∠AOBの大きさをl∠AO］〕lと書くこともある・楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

角度というものはごy平面でほその多価性のゆえに大域的な表現をもち得ない。しかし，局所的に限るなら角度は座標関数諾，yによる表現をもつ．たとえば，0＜∬に限るなら，原点0と点（ご，y）を結ぶ半直線がご軸の正の向きとなす角の大きさをβ（ラジアン）とす
ると，β＝ar。ta。旦：ごとなる．同様にして，0＜yとすると，ユ：β＝＿ar。tan＿2yご＜0とすると，β＝打＋ar。ta。
ニー、y＜0とすると，β＝＿ar。ta。＿2ニ†、yとなる．

実際，0＜ごかつ0＜yの場合，
旦

ニl、・・ ご・ar。tan＝＿ar。tan＿が成り立つ．他の場合も同様である．
したがって，いずれの場合も・∴ −・∵．■・了f一）＝ご2＋y2となる．しかし，われわれは角度を定義し，三角関数を定義するのが目的である．級数などを用いて天下りにarctanヱを定義することもできるが，その場合諸概念の因果的構造が見えなくなってしまう．応用を目的とするならともかく，そのような構成はわれわれの目的ではない．しかし，後半の式・い∴J、・∴（押＝ご2＋y2はわれわれに何をすべきかを教えている・すなわち，βはj㍗−（（0，0））の普遍被覆空間の関数であって，j㍗一（（0，0））では大域的な表現をもち得ない・しかし，dβはそれが可能であるといっているのである．したがって，あとはこれを積分すればよいのである，dβこそ角素と呼ばれるにふさわしいものである．dβと書くと，すでに♂が存在するかのごとく思われるので，以後山と書くことにする．

［注意］
Cく〉
11＋ヱ2得る．

Cく）＝∑（一1）mェ2m（Jごl＜1）を積分してarctanご＝∑（−1）mm＝0

γ1＝0

ご2m＋12n＋1（lごl＜1）を数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞

OA上に点Pをとり，0］〕上に点Qをとる．点Pと点Qを滑らかな曲線Cで結ぶ，積分り．

−αい・h∫

JαりU〝′ん

ご2＋y2のイ直はGreen−Stokesの公式から点P，点Q，および曲線Cの選び方によらない．
実際，点0を中心とした単位円と半直線OA，OBとの交点をそれぞれR，Sとする，曲線C，親分PR，円弧RS，線分SQで囲まれた領域をDとする．Green−Stokesの公式より上。山＝上ん＝0（ただし，山＝・・■−、 ‥い

ところで，微分形式山ほ，線分SQとRPの上では，足方向比（p，曾）に対してご＝〆，y＝q壬であるから，0である．よって，円弧SRを7とすると，l7山上山＝0
すなわち1u＝上山
これが，まさに∠AOBの開き具合，すなわち角度を表現しているのである．曲線Cの向きに応じて，角度は向きをもつ．

では，次に，弧7でのuの積山のイ直を実際に計算してみよう．
分 J7上ではご2＋y2＝1であるから，nぬ＋ydy・ご・・・、・・−・いy2＝上ェd…dご＝0となり，上封l∴l−l

したがって，角度とは円弧RSの長さであるという解釈ができる．また，線分OS，円弧RS，線分ORで囲まれた領域をEとすると，微分形式uは，線分OSとORの上では0であることとGreen−Stokesの公式から
ごdリーyゐご2＋y2＝2上云三（功一函可＝2上ゐ∧如＝（領那の面積）の2倍となり，扇形RSOの面積の2倍であるという別の解釈ができる．
この解釈はごy＝1，ご2−y2＝1にも適用できる．これが三角関数と双曲線関数の類似の一因である．

角度の絶対イ直を角の大きさと呼ぶ．しからば，原点を頂点とする角の大きさとは，その角が切りとる単位円の円弧の長さということになる・そこで，単位円の弧長をβ（もちろん，右回りに計るときは負の値をとる）とすると，∴楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

ここにいたってほじめて，局所的ではあるが角度の表現を手に入れたことになる，この角度βを変数のyで微分すると，（′f）

1￣如、／′王￣＝ヂとなる．微分が正であるから，単調増加，よって逆関数が存在する．それをy＝Sinβとおく．これがまさに三角関数の正弦関数である．逆関数の微分の公式より

霊＝√弄
したがって，
廿日＝乳＝。

sinβ dsinβ

百二6 βdβ＝1♂＝。

をうる．さて，

ご＝vr＝手であるから，
cos∂＝

1−Sin2βと定める．これより
dsinβ1−Sil12♂＝COSβ（siilβ）′＝
dβとなる．また，−2sinOcosO（cosβ）′＝2紬

＝−Sinβとなり，Sinβは無限回微分可能である．

1次微分形式十J・∴ご・こ⊥− ＝

諾2＋y2は，全平面から原点を除いた領域〟で定義され，db＝0である．従って，ストークスの定理より，局所的には積分可能であり，二つの積分路がホモトープであるなら，これら二つの積分路での山の積分は同じ値をとる．即ち，積分のイ直は積分路の選び方に依らず，始点と終点のみで決る．

ご−y平面から原点とご軸の負の部分を除いた領域βにおいて
ハ′、／（ヱ，y）諾dy−yゐβ（ご7y）＝＝イニ0） ご2＋y2とおくと，βは単連結であり，β（ご，y）はβ上の1価関数として確定する．βは原点と点（ご，y）を結ぶ線分がご軸の正の部分となす角度である．

数学を語り合う広場く初等超越関数の世界＞［注意］

勿鼠弧度法による三角関数が定義されていれば，極座標（r，β）が使えるので
X＝rCOSO，y＝rSinO
より

dx＝COSOdr−rSinOdO，dy＝SinOdr＋rcosOdOとなり
ごdツーyゐ＝ イ（）

ご2＋y2となる．

ちなみに，この山はdz ＿Z・・J ゞ・−・

ご2＋y2

ご2＋y2の虚部である．
等式
旦＝一字f
卜lより
（ゐ）2十（dy2）

凱k＋ydy

ご2＋y2

刀＝（ご2＋y2≦り，C＝∂刀とすると
上u＝上ごdy−ydご＝2上dご∧軸＝2打

5 2次曲線上のGorenstein形式
補題 J（ご，y）＝0が特異点のない曲線C＝†（ご，y）∈R2げ（ご，y）＝0）を定義すると
き，曲線C上においてム（ご，y）ゐ＋ム（ご，y）み＝0
従って，
（ム≠0）

√／．上、（ん≠0）とするとき，山はC上の1次微分形式となる，C上の点PからQまでの積分
f山は確定する．

楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

補題 タ（ご，y）＝y2−J（ご）＝0のとき

2（fy（J′≠0）
U ＝了、‡、・丁、丁（J≠0）

補題 ん（ご，y）＝αご2＋2んごy＋あy2−C＝0のとき
ニ：・（αご十旬≠0）■∴・∴・、・
LJ ＝−（？二7・んご＋らy≠0）
んご＋占y

従って，加比の理より．‥∴−J∴・ 十∫．・．・∴・
ししI＝＝

ご・1・．J．・

6 3角関数
ご2＋y2＝1のとき
2こごゐ＋2ydy＝0であるから
（ご≠0）

ー（寝0）
とおくと

．J ．ト

LJ＝ − ＝ −−
ごy．ご・．∴ − ∴・＝ごdy−yあご2＋y2・／．・、．、・−．ご ∴従って（ゐ）2＋（み）2＝Ju！

即ち，角素の絶対値は線素である．

上u＝上。山＝上。

ごdy−ydご＝2上ゐ∧dy＝2（ガの面積）

数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞

ご2＋y2＝1の右半分ご＝v／「マでは−●●−■‥

卜1＜y＜1）β＝イご：；）

ご2＋訂2

vTニヂ

0＝arCSinyi．e．，y二SinO霊＝）仁手＝ご＝COSβ
ご2＋y2＝1の上半分y＝∨／「二手では‥− 、−■∂＝震）−、￣■￣−

ご2＋y2（−1＜ご＜1）

0＝arCCOSこごi．e．，X＝COSO
ご＞0でほ・・‥∴・・い■・・ ・−・∂＝イご‡；）

ご2＋y2

エ2＋封2

β＝tan

よって−1旦∫y sillOOtan♂＝エ＝cos♂

．上、7 加法定理
平面R2の点P，A，B，Cの座標をそれぞれP（1，0），A（cosα，Sinα），B（cosβ，−Sinβ）
C（cos（α＋β），Sin（α＋β））とする・β回転，即ち角度がβである回転を点（ご，y）に（ご，y）（−Sinβを対応させる一次変換とすると，点月にβ回転を施すと点Pとなる．では，β回転をAに施したら点Cになるであろうか．それは，3角関数の加法定理が成り立てば可能である．即ち（cosα，Sinα）＝（cos（α＋P），Sin（α＋β））（）が成り立つ．そこで，3角関数の加法定理を示しておこう．
定理

Sin（x＋y）＝Sinxcosy＋cosxsiny

楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

証明

f（3：，y）＝Sinxcosy＋cosxsiny
とおくと，
∂J

扁

＝COSXCOSy￣SillごSiny＝∂J有となるから，J（ご，y）はご＋yだけの関数となる・即ち，ある一変数関数￠が存在してJ（ご，y）＝￠（ご＋y）
今，y＝0とすると
sinご＝￠（ご）よってSin（x＋y）＝Sinxcosy＋cosxsiny［附記］命題
丁tブ、王一1＋ご2 2
証明

単位円をCとすると．・・∴ ．．∴・＝2¶・

ご2＋y2である．汀／2回転，即ち一次変換（ご，y）→（一y，ご）により積分
ごdy−yゐ
ご2＋y2

ごdy−yゐ（−y）dェーごd（−y）（−y）2＋ご2→■：．・一‥、・∴・．∴・
ご2＋y2

ご2＋y2

従って，積分の加法性より

ご2＋y2

震0）

㍍）

ご2＋y2

・∴ 、∴・
2町＝4イご：ニヱ2＋y2

美二，・い・・−、−、∴・
ご2＋y2数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞

平和
ご2＋y2

＝壬盛上

さて，積分
dご

y＝上ご

1＋ご2

によって〇の連続関数yが区間∞＜ヱ＜∞において定義される。
＞0−一忘i了手であるから，関数yは，単調（一打／2から打／2）に増大するから，逆関数
ご＝tanyが確定する．

8 対数関数・指数関数
対数関数の逆関数として指数関数が定義される。
−−■−よりごdy＋yゐ＝0であるから（ご≠0）

重一（y≠0）．Jfとおくと・・−∴〔J ＝ − ＝ −￣ ＝ LJ＝tヱ、二り（両町骨材

三点（0，0），（ご，y），（1，1）が囲む面積をβとすると▼エ・トJ、l−∂＝log二ご＝、．（．ノー

log（uu）＝ノ1ル雲＝言祝害＋王領U害log（肌）＝logu＋logγ
ご＝eXpβ，y＝−eXユ）βi＝盛上￡楕円関数論から見た初等超越関数論（渡辺公夫）

9 逆双曲線関数・双曲線関数
逆双曲線関数の逆関数として双曲線関数が定義される．
ご2−y2＝1
より

2こrdエー2ydy＝0であるから
（ご≠0）

（y≠0）
yと定めると∴．・・・一山 ＝ 一 ＝ −・t、 J／

従ってd（ご＋y））

β＝差三 ；）山＝イf‡；）雲＝㍍＝log（ェ＋y）

二J、＋J／βの意味は
β＝イf：； 警、／王了ず＝上y＝log（何＋y）

lノ、l・＝log（ご＋ヽ／手￣＝￣丁）v／才二了

β＝イごニ；）苦＝ノご

従って′ ′
y＝′ ‥●

22

さらに．・−． ∴・．∴・■ ∴・LJ＝【ご＝ −ご2−y2y諾dy−yゐ＝2．J・∴．‥J−でもある．この事実は以下のような意味となる。
「双曲線諾2−y2−1上の1点Pをとり，原点0（0，0）と双曲線の頂点A（1，0）とを結ぶ線分，線分0ア，および双曲線の弧APで囲まれた面積がβ／2であるとき，Pの座標をβの関数と考ズてcoshO，SinhOとすれば
y＝eβ−e￣∂eβ＋e▲β＋＋，＋ユ ＝￣￣￣（2となる．」
さて、、 ・∴ ．∴

数学を語り合う広場＜初等超越関数の世界＞

より

2yd芳＝ご鞘＋yゐ一山
これを積分して2Jエ∨手二7ゐ＝ご、庸二て−log（ご十、／′「＝声）2ユ‥dy＝ごdy−yゐ＋山これを積分して2上y、何dy＝何y＋log（vす石＋y）

10 複素化最初に掲げた表の第1列，第2列，第3列でそれぞれ複素化を行うことがで菖る．例えば第2列で複素化するとどうなるか？
u＋壱γ＝logz＝＝log

上之芋ご2＋y2＋摘（ご，y）

この逆としてご＋壱y＝eu（cosu＋五sinu）を得る．この事突から、いろいろおもしろい数学へ発展する．しかし，ここで時間がなくなってしまった．

「複素化」はまたの機会に詳しく述べることにしよう．乞うご期待！
参考文献

岩波数学辞典第3版 日本数学会編集 岩波書店
高木貞治「解析概論」岩波書店（わたなべ きみお，筑波大学数学系）講演が終わって（右端が筆者）