高等学校数学科における複眼的に思考する力を育む授業実践とその分析－数学 A「場合の数」最短経路問題から－
M19EP033
望月 宏紀
1. 問題と目的

い学びを実現するために、事象を数学的な根（１） 問題拠（定義・定理・公式・証明など）に基づき

平成２８年１２月の中央教育審議会答申で複眼的に思考する力を育む授業の在り方につは、高等学校数学科において、数学の学習にいて研究する。さらに、その研究成果を自ら対する意欲が高くないことや事象を式で数学の授業改善につなげることだけにとどめず、的に表現したり論理的に説明したりすること広く教育現場へも還元する。

が課題として指摘されている。答申を踏まえ、平成３０年に告示された学習指導要領改訂で

2. 授業の活性化に向けての方法

はこれらの課題に適切に対応できるよう改善

実習校での授業実践では、教師主導型の一が図られた。そこでは、育成すべき資質・能斉授業ではなく、グループワークを取り入れ力が、「知識及び技能」、「思考力、判断力、表て授業の活性化を図ろうとした。しかし、グ現力」、「学びに向かう力、人間性等」の３つループワーク授業では課題や問題点として次の柱で整理して示されている。高等学校教育の２点がよく指摘される。一部の生徒だけがについては大学入学者選抜や資格の在り方等活躍し、議論に全く参加しない生徒がしばしの外部要因によって、その教育の在り方が規ば見られること、他にも課題に対する視点が定されてしまい、目指すべき教育改革が進め見つからず議論が停滞したままのグループなにくいと指摘されてきた。しかし、先行き不ども見られることである。以上述べたような透明な社会を生き抜くためには、前述した資課題や問題点を乗り越えるために、教師には、質・能力を身に付けること、また、生涯にわ明確な授業構想をもつことと周到な事前準備たって能動的に学び続ける姿勢は生徒にとっが求められる。つまり、教師はファシリテーて不可欠な要素である。これらのことを踏まターとして授業を構造化する存在でなければえた時、各高等学校ですべきことは、学習のならないということである。そこで本研究の質を一層高めるような授業改善を行い、資質・能力の向上に努めることである。従来行授業実践においては、一人ひとりの生徒が役割や責任をもち、協同的に問題解決を図るこわれてきた教師主導型の一斉授業は、効率とができるとされるグループワークの技法を的・効果的に知識を注入することができるか用いることとした。今年度は、知識構成型ジもしれない。しかし、特定の授業形態で固定グソー法を用いる。飯窪他（2017）によれば、化し、画一的な指導を繰り返すだけでは、生「知識構成型ジグソー法」とは以下のような徒が主体となり、知識を相互に関連付けてよものである。
「知識構成型ジグソー法とは、一り深く理解することは困難であると考えられ人では十分な答えが出せない課題に対して、る。それでは、資質・能力の育成は実現でき仲間と教材の力を借りながら、答えを自ら創ないだろう。

り上げていく授業形態である。その途中で仲（２）目的間と違う資料を分担することで誰もが一度は（１）の問題を受けて、主体的・対話的で深話し手になる機会や、グループで答えを交換するところで同じ問いに対する多様な表現を具体的な数値を代入させてから答えを予想さ聞いて考えを深める機会が用意されている。

せる発問である。良い発問とは、生徒の学びそれを通して『主体的（全員が学ぶ主体となに向かう態度を引き出す動機付けになる。まる）・対話的（めいめい勝手にでも情報交換でた、生徒が数学的な見方や考え方を働かせ、もなく共に答えを創る）で深い学び（期待す既習事項と関連付けながら思考を深めていくるゴールに向かって学びを深める）』である原動力になる。教師からの発問の良し悪しが、『協調学習』を実現しようとしている。
」知識

その授業全体の流れを決めるといっても過言構成型ジグソー法の良さや効果を最大限引きではないだろう。質の高い問いや発問こそ授出すためには、授業者がその技法の利点を十業を活性化させる第一条件となる。そのよう分に認識し、適切に運用していくことが条件な考えをより一層強めることとなった。となる。特に授業者に求められることとは明（２）実習校での授業実践

確な授業構想をもつことであるが、その中で授業時期：令和元年９月下旬～１０月中旬

も様々なアプローチが可能な問いの設定こそ

実習校：山梨県立Ａ高等学校（普通科）が重要となる。なぜならそのような問いの存

対 象：１年Ａ組（２７名）

在が、生徒同士の対話を生み出すことにつな

単 元：数学Ａ「場合の数・確率」

がると考えるからだ。他にも、教師はグルー９月下旬から１０月中旬までの約３週間、プワークを活性化させるため、ワークシート

１年Ａ組で、数学Ａ「場合の数」の全授業をなども工夫して作成しておかなければならな担当した。授業数は全１５時間で、最後の１い。以上から、本研究の授業実践では、一人時間（まとめ）を研究授業にあてることにしひとりの生徒が主体となるグループワークのた。

技法を用いて、1.（２）目的の達成を目指す。

実習校では、各学年教師達が綿密な指導計画を立て、それに基づいて一斉授業で進める

3. 研究の手順

ことが多く、生徒達もそのような授業形態に（１）実習校での授業観察慣れていた。したがって、授業実践を開始し（２）実習校での授業実践

た当初、今後グループワークを取り入れるこ（３）実習校での研究授業（グループワーク）とで、生徒達から不満などが出ないか懸念を

１．問いの提示 ～ ８．分析（４）所属校での研究授業（一斉）抱いていた。そこで、一斉授業の中に一部グ（５）グループワーク授業と一斉授業の比較

シートを通して生徒一人ひとりと対話するこ

ループワーク取り入れること、また、ＯＰＰとから始めた。グループワークでは、一斉授（１）実習校での授業観察
今年度は、５月から１０月までの約半年間、業で獲得した知識や解法をグループ内で共有させることから始めて、少しずつ生徒同士が山梨県立Ａ高等学校（以下Ａ高校）で実習を対話する機会を増やしていった。また、ＯＰ行った。まず、５月から７月にかけて、数学

Ｐシートを活用して、毎時間生徒達の学習に科の教師８名の授業観察を行った。授業観察

対する意欲や理解度の実態把握にも努めた。

では、2.で述べた授業の活性化に向けて、特に生徒達のグループワークでの様子やＯＰＰシ問いの設定及び発問の仕方に注目した。授業ートの記述で分かったことは、生徒達は、互観察全体を通して特に印象に残っている発問

いに教え合い学び合うことのできる存在であは２つあった。１つ目は、教師が例題に対するということである。生徒達はグループワーる２つの解法を示した後、それら２つの解法クを取り入れた授業を肯定的に捉えていた。

を生徒に比較検討させる発問、２つ目は、既他者との関わりをもつことが授業に対する意

習知識との関連付けが困難な問いに対して、欲を高め、自らの知識を整理する上で効果的であると感じているようであった。そのよう

１．問いの提示な生徒の実態を踏まえ、研究授業では当初予定していた通り、生徒の主体性や自主性を尊重するため、極力グループワークには関与せず、ファシリテーターとしての役割を果たすこととした。そして、「知識構成型ジグソー法」
を用いて、2.で述べた課題を乗り越えようと考えた。

図１ 個人活動① 最初の問い（３）実習校での研究授業（グループワーク）
次に、授業実践の最後である研究授業につ最短経路問題は、教科書で応用例題としていて述べる。知識構成型ジグソー法には、「組扱われる内容である。教科書の例題や練習でみ合わせ型」「多思考型」という２つの大きなは、すべて通行可能な場合の道順の数、あるアプローチから問いに迫る方法がある。飯窪

いは一箇所通行不可能な場合の道順の数を求

他（2017）は、組み合わせ型とは「課題を解める設問ばかりである。
（図１）のような複雑くのに必要な複数の考えを各エキスパートがな最短経路問題を扱うことはない。したがっ担当し、組み合わせて課題の解決を図る方法て、（図１）の問題は、場合の数を学習して間である。
」多思考型とは「課題に対する複数のもない１年生にとって、解法のパターン暗記

異なるアプローチを各エキスパートが担当し、では解くことが困難であり、十分に難易度の比較検討しながら課題解決を行うとともに、高い課題といえる。

各アプローチの共通点や差異に着目し、理解２．個人活動①の抽象化を図る方法である。
」と述べている。

グループワーク前の個人活動①で正答・誤今回の研究授業では、「多思考型ジグソー法」

答であった生徒の数（２７名中）を用いることとした。

正答４名<研究授業の概要>

・解法Ａ ２名・解法Ｂ ０名・解法Ｃ ２名

実施日：令和元年１０月１６日

誤答２３名

実習校：山梨県立Ａ高等学校（普通科）

・解法Ａ ０名・解法Ｂ ５名・解法Ｃ ７名

対 象：１年Ａ組（２７名）
単 元：数学Ａ「場合の数・確率」

・視点が見つからず途中で断念した １１名
次に、個人活動①が終了した後、生徒がワー

内 容：「最短経路問題」

クシートに書いた記述の一部を挙げる。
（原文【５５分授業の展開】のまま）

１．問いの提示（２分）

質問１ どのような方法で解こうと考えましたか。

２．個人活動①（８分）

・先に全体を求めて、そこから通れない道を引いた

３．グループワーク①(１５分)・足していく方法

・エキスパート活動Ａ（分岐点に注目）

・複雑な経路と簡単な経路に場合分けして考える・エキスパート活動Ｂ（道順の総数−通る道順）

・応用例題のように→↑を一列に並べる順列の総数

・エキスパート活動Ｃ（書き込み式）

質問２ どのようなところが難しく感じられますか。

４．グループワーク②(１５分)・大きいマスがあってジャマ・ジグソー活動

・空白の部分をどうやって数えるか※グループワーク①②とも３人×９グループ

・通れないところがある

５．クロストーク（全体交流）（３分）

・２マスで１つになっているところや３マスで１つになって

６．個人活動②（１０分）
７．振り返り（ＯＰＰシート）（２分）

いるところをどう表すか・記述式で、端から端まで数えていく方法

個人活動①や記述の結果から、問いに対しできる。したがって、次のジグソー活動で、て、自分なりに方針を定め、解こうと試みたグループワークが活性化するために、問いを生徒は半数を超えていたことが分かる。しか解くために最適なアプローチとは何か、複数し、正確に表現・処理できた生徒は４名にとの視点から比較検討できるような課題（資料）

どまった。また、生徒の記述からは、方針をを作成した。エキスパート活動では、グルー定めても、事象を式など数学的に表現するこ

プワークを通して、個々がその課題の内容をとに困難さを抱えていたことも分かる。

理解し、その課題の「エキスパート」になる

３．グループワーク①必要がある。しかし、必ずしもそうでなくて（エキスパート活動Ａ・Ｂ・Ｃ）よい。なぜなら、次のジグソー活動で、他者からの指摘や助言を取り入れる中で自らのエキスパート課題を理解する可能性があるからだ。そのため、エキスパート課題の理解が不十分な生徒に対しても、教師はあまり関与しないよう注意を払わなければならない。
４．グループワーク②（ジグソー活動）
ジグソー活動では、エキスパート活動Ａ・Ｂ・Ｃを経験したメンバーが一人ずついるよ

図２ エキスパート課題Ａの資料

うグループを再編し、全員が自らのエキスパート課題について説明することから始めるよ
う指示した。その後、各グループはホワイトボードを使い、記述解答を作成した。

図３ エキスパート課題Ｂの資料

図５ ジグソー活動後の解答（２つの班がＡの解法で記述）

図４ エキスパート課題Ｃの資料問いに対して、３つの異なるアプローチから迫ることのできるエキスパート課題をそれぞれＡ（図２）Ｂ（図３）Ｃ（図４）とした。
「多思考型ジグソー法」では、３つの課題（資図６ ジグソー活動後の解答料）を組み合わなくても答えを求めることが（１つの班がＢの解法で記述）

６．個人活動②

図７ ジグソー活動後の解答（６つの班がＣの解法で記述）
ジグソー活動後、全９グループが正答に至っ

図８ 個人活動② 最後の問いた。

出所：小樽商科大学商学部 2010 入試問題

・解法 A ２つのグループ

グループワーク後の個人活動②で正答・誤・解法 B １つのグループ答であった生徒の数（２７名中）・解法 C ６つのグループ

正答 ２０名

全生徒が、エキスパート活動、ジグソー活・解法 A ３名・解法 B ０名・解法 C １７名

動２回のグループワークに積極的に参加し、誤答 ７名活発に議論を交わしていた。エキスパート活・解法 A １名・解法 B ０名・解法 C ４名

動で分かったこと、あるいは分からなかった・視点が見つからず途中で断念した ２名ことを説明する生徒、その生徒の話に耳を傾最後の問い（図８）は、最初の問い（図１）けながらメモを取る生徒、リーダー的な役割の類題とした。その理由は、２回のグループを果たそうとする生徒など、議論に参加してワークで、最短経路問題に対する個人の思考いない生徒は皆無だった。また、全９グルーがどのように深まり、問題解決を図ることがプが正答に至った結果から判断すると、個人できるか検証するためである。活動の結果、活動①で正答率が低かった問いに対して、少視点が見つからず途中で断念した生徒が大幅なくともグループ内で解き方や考え方を共有に減り、正答した生徒が２０名と大幅に増えして解決することができたといえる。

た。グループワークに続き、個人に戻ってか

５．クロストーク（全体交流）

らも、どの方法で解くことが最適か、引き続

ジグソー活動後、各グループの代表生徒が、ホワイトボードにまとめた記述解答（図５・き判断しようとしていたことが分かる。
７．振り返り（ＯＰＰシートの一部）

図６・図７）を全体の前で説明した。発表で※ワークシートの記述も含む（原文のまま）

は、記述解答の説明に加えて、グループ内で・分からないところを班の人と一緒に考えられて良かった話題になったことなども説明し、全体で共有・同じ問題をさまざまな視点から考え、意見を共有し合うこを図った。とで分からないところは補い、新しい考え方は取り入れることができた
・自分一人で考えていたらできなかったであろう問題を解くことができ、とても良かった
・最初全くと言っていいほど分からなくて、すごく焦ったのですが、１回目のグループワークをしてみて、こんな簡単な方法があったんだと発見することができました。また、２回目のグループワークでは、新しい考え方に触れることができました
・一人では分からないことも多人数の考え方を共有すること

ジグソー活動後、全体交流での様子で解決することができることが面白かったエキスパート活動、ジグソー活動２回のグ・３種類の解き方をしっかり理解できた
・１０００通り以上出てきそうな場合は、Ｃでは時間がかかループワークが個人活動②にどのような影響るので、Ａのやり方がいいと思ったを及ぼしたのかに焦点をあてる。
（表１）

・自分にとって一番わかりやすかったのはＣのやり方。Ａは（ⅰ）個人活動②で正答した２０名

考え方がわかればできるけど、少し難しかった

個人活動①で正答した生徒は４名（正答率

・Ｂのやり方は、図が大きくなっても安定して早くできそう14.9％）であったが、個人活動②で正答した生だと思った

徒は２０名（正答率 74.1％）と正答率が大幅

・最初私は道があると仮定する求め方で挑戦した。でも、グに上がった。４．～７．で述べた通り、グルループでの分岐点の考え方がやりやすいと思った！だけど、ープワークが活性化したことが、個人によい分岐点を見落とすのが危険だった

影響を及ぼしたと考えられる。

・Ｃの考え方が一番簡単。今後このような問題が出たらこの（ⅱ）個人活動①で正答した４名
この４名に共通していた点は、個人活動①

やり方でやる・Ｃは計算ミスがけっこうでるのでおススメできないで正答していたものの、グループワークにお・（Ｃのやり方は）足せば何とかなる。でも間違いがこわいいて、積極的に他者の考えを取り込もうとし・Ｃは時間がかかると思ったていたところだ。例えば、生徒１は、個人活・最後の問題が自力で解けて良かった

動②において解法Ａで正答したが、解法Ｃにこれらの記述から見とることができる事柄も挑戦していた（Ｃでは誤答）。生徒１７は、は、生徒達が、「グループワークをすることでクロストーク（全体交流）において、代表生問題の解決に積極的に向かっていること」「グ徒としてホワイトボードを使い解法Ｂを説明

ループワークを通して、新しい考え方を身にした。
（図６）この生徒は、個人活動①を解法付けようとしていること」「問いを複眼的に捉Ｃ、個人活動②を解法Ａで解くなど、すべてえ、理解を深めていること」などである。の解法を理解しており、問いに応じて柔軟に８．分析使い分けることができた。生徒１３、１６に

表１ A 高校の個人活動とエキスパート活動の実態

ついても、グループワークではリーダー的な（×は視点が見つからず誤答だった生徒）役割を担い、グループメンバーを牽引してい

生徒１
生徒２
生徒３
生徒４
生徒５
生徒６
生徒７
生徒８
生徒９
生徒10
生徒11
生徒12
生徒13
生徒14
生徒15
生徒16
生徒17
生徒18
生徒19
生徒20
生徒21
生徒22
生徒23
生徒24
生徒25
生徒26
生徒27

個人活動①
正答
誤答
A
B
B
C
××
C
××C
C
C
A
×C
C
C
×C
××B
B
×××B

Exp活動
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C

個人活動②
正答
誤答
A
C
C
C
C
C
C
C
C×C
C
A
C
C
C
A
C
C
C
C
ACCC
×Cた姿が印象的であった。
（ⅲ）個人活動①で視点が見つからず誤答した１１名
個人活動②では解法Ｃを使い１１名中８名が正答（正答率 72.7％）した。３名は誤答となったが、どの生徒も思考を巡らせ判断しようとしていた点は評価できる。この生徒達にとってもグループワークでの活動が有効に働いたと考えられる。
（ⅳ）担当したエキスパート活動が個人活動②に与えた影響について
エキスパート活動Ａ・Ｂを担当した生徒は、最後の問いで１８名中１２名が正答（正答率66.7％）した。エキスパート活動Ｃを担当した生徒は、９名中８名が正答（正答率 88.9％）した。これらの結果から、最後の問いは、エ
キスパート活動Ｃを担当した生徒達にとって有利な問いだったのかもしれないことが分か（３）実習校での研究授業（グループワーる。

ク）が終了して以来、もし同一問題（図１）（４）所属校での研究授業（一斉）を教師主導型の一斉授業で行った場合、生徒<研究授業の概要>の思考がどう深まっていくのか気になってい

実施日：令和元年１２月１２日た。そこで、当初予定していなかったが、所

所属校：山梨県立Ｂ高等学校（普通科）属校である山梨県立Ｂ高等学校（以下Ｂ高校）

対 象：１年Ｂ組（３６名）に依頼し、一斉授業を行った。
一斉授業では、個人活動①が終わった後、

単 元：数学Ａ「場合の数・確率」

教師（筆者）が黒板で最初の問いを３つの解

内 容：「最短経路問題」【６５分授業の展開】

法Ａ・Ｂ・Ｃ（図２・図３・図４）で解いて１．問いの提示（２分）みせた。
（３）実習校での研究授業と異なる展

２．個人活動①（８分）

開は、Ｂ高校では１コマ６５分授業であるた

３．一斉授業（解法Ａ・Ｂ・Ｃ）（３０分）

め、補助問題として個人活動③を追加したこ

４．個人活動②（１０分）とである。
個人活動がどう変化したのか（表２）にま５．個人活動③（１３分）
６．振り返り（ＯＰＰシート）
（２分）

とめた。

表２ Ｂ高校の個人活動とエキスパート活動の実態（５）グループワーク授業と一斉授業の比較
Ａ高校とＢ高校は同市内の普通高校である。

（×は視点が見つからず誤答だった生徒）
個人活動①
正答
生徒１
生徒２
生徒３
生徒４
生徒５
生徒６
生徒７
生徒８
生徒９
生徒10
生徒11
生徒12
生徒13
生徒14
生徒15
生徒16
生徒17
生徒18
生徒19
生徒20
生徒21
生徒22
生徒23
生徒24
生徒25
生徒26
生徒27
生徒28
生徒29
生徒30
生徒31
生徒32
生徒33
生徒34
生徒35
生徒36
生徒37

欠

誤答
×
B
欠
×××××××
B
×A
B
B×C×
B
B
××
B
××××
B
B
××××
B
×××

一斉授業

欠

個人活動②
正答

欠

個人活動①から②で、正答率はＡ高校が誤答
CC欠CC
B
B
B
C
C

14.9％から 74.1％、Ｂ高校が 8.3％から 30.6％

C数」の新しい知識や考え方を学んだばかりである。一方、Ｂ高校の３６名に対しては、事CAA
CAとどちらも大幅に上がった。しかし、比較するためには２つの高校の諸条件について整理しなければならない。Ａ高校の２７名に対しては、９月下旬から１０月中旬まで全１５時間の授業を担当し、最後のまとめとして研究授業を行った。したがって、生徒は「場合の前に内容を知らせずに一斉授業を行った。Ｂ高校では、「場合の数」の授業は９月に終了しCA
A
CCており、約３か月の期間が空いていた。授業中の観察では、Ａ高校と同様、学習意欲の高B
C
C
B
C
B
B
B
C
B
Cい生徒が多く、真面目に取り組む姿が見られた。しかし、「場合の数」を学習して間もない
Ａ高校の生徒に比べ、問いに答えるために必要な知識が抜け落ちている生徒も多く存在した。
２回研究授業の機会を与えていただいたが、以上述べてきたように２校の諸条件があまりBに異なるため、この結果を基に個人思考の深C
B
Cまりを比較することは困難であると考えられCる。

今後は、同じ学校の生徒集団間で比較するらの指摘によって、なぜ自分の解答が正しくなど、もう少し条件を整えてから実践する予ないのか解答過程を見直す生徒が多くいた。

定である。

他にも、他者からの助言によって様々な視点最後にＢ高から問いを捉える大切さを学んでいる生徒も校だけで行っいた。これらは一斉授業の中ではなかなか見た個人活動③られない光景である。２つ目は、生徒達が主について述べ体となってグループワークを進めたことで、たい。個人活動個々に責任感が芽生えていたことだ。また、③の問い（図９）

グループで問題解決を図ることで、達成感やは、研究授業で充実感を得ている生徒も多く見られた。これ扱った（図１）

らも大きな成果といえる。次に課題についてや（図８）の問述べる。
「多思考型ジグソー法」を取り入れたいと比較して授業を設計する場合、問いの設定に加えてエも、最も難易度が高いと考えられる。なぜなキスパート課題の設定が難しい。本実践でも、らマス目が多いため計算が煩雑になること、課題の難易度にバラつきが出てしまった。そ重複なく数えるためにはどの点を分岐点としの差が大きくなると、その他の活動に影響がて考えるべきか等注意しなければならないこ出ることが予想される。次年度に向けて改善とが多いからである。多くの生徒が挑戦し、すべき課題となった。2.で述べたように、グル４名の生徒が正答した。解法Ｃで正答した生ープワークを取り入れる場合、教師はファシ徒の他に、解法Ａを基に点Ｃ、Ｄ、Ｅを通るリテーターとして授業を構造化する存在でな３つの場合が排反であることに気づき、正答ければならない。その役割を果たすためには、した生徒もいた。その生徒のＯＰＰシートに明確な授業構想に加えて、授業運用力を高めは、「求め方が一つではないことを知ることがていく必要があると感じた。

ＢＣ

Ｄ
ＥＡ

図９ 個人活動③の問い
出典：マスター・オブ・場合の数（p15）

できて良かった。問題によって方法を使い分来年度も引き続き、1.（２）の目的を達成すけていくのがいいかなと思った」（原文のまま）るためグループワーク授業について研究するとの記述が見られた。既習単元の一斉授業で予定である。今年度の成果と課題を踏まえ、あっても、初めて知る知識や考え方を積極的に活用し、深い理解につなげていたことが分さらに教師と生徒双方が充実する授業を目指していく。

かる。
4．成果と課題

5．引用文献主に（３）実習校での研究授業（グループ・飯窪真也・齋藤萌木・白水始（2017）ワーク）の分析結果から述べる。個人活動①「知識構成型ジグソー法による数学授業」

から②で見られた正答率の上昇や生徒の OPP

東京大学 CoREF

シートの記述を総合的に判断したとき、この・協調学習 授業デザインハンドブック第 3 版「多思考型ジグソー法」は、1.（２）の目的を「知識構成型ジグソー法を用いた授業づくり」

達成する上で有効な方法であると考えること

東京大学 CoREF 自治体との連携による協調ができる。また、グループワークを観察した学習の授業づくりプロジェクト場面でもその有効性を感じることができた。
そのように感じられた場面を２つ挙げる。１
つ目は、他者との交流が個人思考を深める良い機会となったことである。例えば、他者か・大学への数学「マスター・オブ・場合の数」
東京出版
・高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解説数学編 理数編