あもんノート
ユークリッド幾何学、ニュートン力学から、相対論、量子論、素粒子論、宇宙論、そして超ひも理論まで、理論物理学を簡潔にかつ幅広く網羅したノートです。TOP へは下の URL をクリックして行けます。専用の画像掲示板で、ご意見、ご質問等も受け付けております。

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1

目次
第 17 章 量子電磁力学の近似

317.1 ディラック方程式の非相対論的近似 . . . . . . . . . . . . . . . . .

317.2 クーロン相互作用の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

517.3 ランダウ準位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

617.4 ゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

717.5 荷電粒子の光子放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

817.6 水素原子の軌道遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

第 17 章量子電磁力学の近似

量子電磁力学の非相対論的な近似理論についてここにまとめておきます。非相対論的な場の量子論で用いてきたクーロン相互作用の導出や、外部磁場がある場合の量子論として、ランダウ準位、ゼーマン効果、さらに光子放出が関与した水素原子における軌道電子の遷移確率について説明します。

17.1

ディラック方程式の非相対論的近似

ディラック場のラグランジアン密度は、

ψ̄ = ψ † γ 0 ,LD = ψ̄(iγ µ Dµ − m)ψ,Dµ = ∂µ + iqAµでした。ここで q は電荷、Aµ は電磁場の 4 元ポテンシャルです。ガンマ行列は、()µ0σ̄
γµ =, σ µ = (1, σ)µ , σ̄ µ = (1, −σ)µσµ 0で与えられ、ここで σ はパウリ行列です。
ラグランジアン密度 LD は、

LD = ψ†()iσ·D −mψ−m iσ̄·Dと表すこともできますが、ここで ψ1 , ψ2 をそれぞれ 2 成分の場として、()( )e−imt 1 1
ψ1ψ= √
ψ22 1 −1とおくと、

iσ·D e−imt = e−imt (iσ·D + m),iσ̄·D e−imt = e−imt (iσ̄·D + m)に注意して、)( )( )† (1 ψ1i(σ+ σ̄)·Di(σ− σ̄)·Dψ1.
LD =ψ2i(σ− σ̄)·D i(σ+ σ̄)·D + 4m2 ψ23さらに、1(σ + σ̄)µ = (1, 0)µ ,2に注意して、(LD =ψ1ψ21(σ − σ̄)µ = (0, σ)µ2)( )iD0iσ·D
ψ1
ψ2iσ·D iD0 +2m)† (となります。
特に非相対論的領域では、場の振動数は質量 m に比べ十分小さいと考えられるので、iD0 +2m → 2m と近似することができます。そうすると ψ2∗ に関する場の方程式は、
iiσ·Dψ1 + 2mψ2 = 0 ∴ ψ2 = −σ·Dψ12mと解けてしまいます。質量 m は非常に大きい量と考えられるため、ψ1 を大きい成分と呼ぶのに対し、ψ2 は小さい成分と呼ばれます。
上式を LD の式に戻し、ψ2 を消去すると、()
1LD = ψ1† iD0 +(σ·D)2 ψ1 .
2m
パウリ行列の性質 σ i σ j = δji + iϵijk σ k に注意すると、(σ·D)2 = |D|2 + iσ·(D×D)
ですが、D = ∇ − iqA なので、D×D = −iq∇×A = −iqB.
ここで B = ∇×A は磁場です。また、D0 = ∂t + iqA0 ですから、結局、ラグランジアン密度は、大きい成分 ψ1 を改めて ψ と書いて、()
1q
LD = ψ † i∂t +|∇−iqA|2 − qA0 +σ·B ψ2m2mとなります。場の粒子の磁気モーメントが qσ/(2m) であることが読み取れますが、実際に電子はこのような磁気モーメントを持っていることが実験で確かめられています。

2 成分の場 ψ に関する場の方程式は、()
1qi∂t +|∇−iqA|2 − qA0 +σ·B ψ(r, t) = 02m2mとなりますが、これをパウリ方程式といいます。一方、固有方程式、()
1q20−|∇ − iqA| + qA −σ·B φn (r) = ϵn φn (r)2m2m4を電磁場を含むシュレーディンガー方程式といいます。この方程式を満たす固有関数 φn (r) を用いると、パウリ方程式の一般解は、∑cn φn (r)e−iϵn tψ(r, t) =nと書けます。量子論では c∗n は軌道 n に粒子を生成する生成演算子になります。
◇ 素電荷を e, 電子の質量を me とすると、電子の磁気モーメントの大きさは、非相対論的近似の最低次で、µB =e∼ 0.2963 MeV−1 ∼ 57.88 µeV/T2me( T ∼ 195.35 eV2 はテスラ)と見積もられるわけですが、これはボーア磁子と呼ばれます。実際に観測される電子の磁気モーメントの大きさはこれに対してわずかにずれるのですが (異常磁気モーメント)、そのずれは量子電磁力学の高次摂動計算により非常に高い精度で説明されることが知られています。

17.2

クーロン相互作用の導出

電磁場のラグランジアン密度は、ファインマンゲージにおいて、

1Lem = − ∂µ Aν ∂ µ Aν2でした。非相対論的領域においては、ベクトルポテンシャル A, および電磁場の時間微分項 (運動項) を無視できると考えられるので、QED 全体のラグランジアン
密度 L = LD + Lem は、()
11L = ψ † i∂t +△ − qA0 ψ + ∂i A0 ∂i A02m2と近似されることになります。このときスカラーポテンシャル A0 の場の方程式は、△A0 = −J,であり、これは解けてしまいます :0A (r) =∫J = qψ † ψJ(r ′ )dr
4π|r − r ′ |.
3 ′これをラグランジアン密度に戻して、()∫′
113 ′ J(r)J(r )†dr
L = ψ i∂t +△ ψ−+ (空間の全微分項)
2m24π|r − r ′ |を得るでしょう。これがクーロン相互作用する粒子系の非相対論的なラグランジアン密度で、シュレーディンガー場の量子論において用いてきた式です。
5

17.3

ランダウ準位一様な磁場 B の中にあって、光より十分遅い速度で運動する荷電粒子は、古典的に考えると、qv×B の求心力を受けます。運動方程式が qvB = mvω のように書けることに注意すると、荷電粒子は ω = qB/m の角振動数で円運動、もしくは一般にらせん運動することがわかります。これをサイクロトロン運動といいます。この現象を量子論で考えるとどうなるのか考えてみましょう。以下、デカルト座標を r = (x, y, z) とします。
電場はなく、また z 軸の正の方向に大きさ B の一様な磁場があるとし、4 元ポテンシャルを、A0 = 0, A = (0, Bx, 0)とします。電磁場を含むシュレーディンガー方程式は、)
1 ( 2223−∂ + (∂y − iqBx) + ∂z + qBσ φ(r) = ϵφ(r)2m xとなります。これを解くために、

φ(r) = f (χ) eiky y+ikz z ,χ=x−kyqBとおくと、1 ′′(qB)2 2kz2qB 3−f (χ) +χ f (χ) +f (χ) −σ f (χ) = ϵf (χ)
2m2m2m2mを得ます。これは本質的に調和振動子系のシュレーディンガー方程式と等価です。
左辺第 3 項と第 4 項はエネルギーの底上げに他なりません。対応する調和振動子の角振動数は |q|B/m であり、これは古典的なサイクロトロン運動の角振動数と一致します。
結果、エネルギー固有値は、()
1kz2|q|BqBsn++
ϵ=−m22mm(n = 0, 1, 2, · · · , s = ±1/2)となります。この式をランダウ準位といいます。
また、対応する固有関数は、質量 m, 角振動数 ω の調和振動子系の規格化された固有関数を hn (mω; x) として、)(γskyφ(r) =eiky y+ikz z , (γs )s′ = δss′hn |q|B; x −2πqBです。エネルギー固有値には量子数 ky が含まれておらず、よって ky に関して無限の縮退があります。一方、固有関数は x 方向にだけ特殊な形をしていますが、これら無限の縮退があることを考えれば、もともとの z 軸のまわりの回転対称性が回復可能なものであることがわかるでしょう。
6ゼーマン効果

17.4

もし任意の方向に一様な磁場 B があるなら、対応するベクトルポテンシャルは、

A=1B ×r2で与えられます。実際このとき、

111ji j j(∇×A)i = ϵijk ∂j ( ϵklm B l xm ) = (δli δm−δmδl )δm B l = (3B i −B i ) = B i .
222
また、∇·A = 0 が確かめられるので、

q2|∇ − iqA| = △ − 2iqA·∇ − q |A| = △ + qB ·J − |B ×r|2 .
4222

ここで、

J = −ir×∇は軌道角運動量演算子です。q 2 を含む項は反磁性項と呼ばれ、これはスケール的な意味で無視できる場合が多いのでここでは無視します。そうすると、電磁場を含むシュレーディンガー方程式は、()
1q−△ + qA0 −B ·(J + σ) φ(r) = ϵφ(r)2m2mとなります。左辺括弧内の第 3 項はゼーマンエネルギーと呼ばれます。
磁場が z 方向であるとすれば、()
1qB 303−△ + qA −(J + σ ) φ(r) = ϵφ(r)2m2mですが、いま、通常のシュレーディンガー方程式、()
10△ + qA φn (r) = ϵ̄n φn (r)−2mは解けているものとし、さらに、固有関数 φn (r) は軌道角運動量やスピン角運動量の固有関数になっているものとします。すなわち、)(1σ33.
φn (r) = sn φn (r)sn = ±J φn (r) = mn φn (r),22mn は磁気量子数、sn はスピン量子数と呼ばれるものです。そうすると、ゼーマンエネルギーを含む方程式の固有関数も φn (r) であり、エネルギー固有値は、
ϵn = ϵ̄n −qB(mn + 2sn )2m7となります。磁場の存在によりエネルギーが変化し、エネルギー準位が分岐する
この現象は、ゼーマン効果と呼ばれます。
例えば s 軌道 (ln = 0) にある電子 (q = −e) を考えると、mn = 0, sn = ±1/2に注意して、mn + 2sn = ±1 の 2 通りに分岐します。これはスピンの上下がエネルギーに寄与し、エネルギーの縮退が解けたことを意味します。また、p 軌道(ln = 1) にある電子を考えるなら、mn + 2sn = ±2, ±1, 0 の 5 通りに分岐することになります。この場合 mn + 2sn = 0 は、いまだ (mn , sn ) = (1, −1/2), (−1, +1/2)の 2 つの軌道を意味し、縮退は完全に解けていないことがわかります (図 17.1)。

図 17.1: ゼーマン効果

全角運動量の z 成分は mn + sn であることに注意。軌道角運動量とスピン角運動量では、磁気モーメントへの寄与が 2 倍だけ異なるのです。
◇ 外部磁場を弱くしていくと相対論的な高次効果であるスピン軌道相互作用などが効いてきます。このため外部磁場を完全になくしても軌道の分岐が残ります。この現象を異常ゼーマン効果といいます。また、外部磁場を強くしたときに通常のゼーマン効果に漸近する現象はパッシェン・バック効果と呼ばれます。歴史的には異常ゼーマン効果 (スピン軌道相互作用の効果) がアルカリ金属の原子において発見されたことが、電子のスピン提唱のきっかけになりました。

17.5

荷電粒子の光子放出

ディラック場のラグランジアン密度は、非相対論的近似で、)(q120†|∇ − iqA| − qA +σ·B ψLD = ψ i∂t +2m2m()
1= ψ † i∂t +△ − qA0 ψ + LI2mでした。ここで LI はベクトルポテンシャル A を含む項で、

iqiq †q2q ††LI = −∇·A ψ ψ − ψ A·∇ψ −|A|2 ψ † ψ +ψ σ·Bψ.
2mm2m2m8これを相互作用ラグランジアン密度と考え、相互作用表示をとりましょう。そうすると、スカラーポテンシャル A0 だけを外部ポテンシャル (古典場) とした場合のシュレーディンガー方程式、)(10△ + qA φn (r) = ϵn φn (r)−2mの固有関数 φn (r) を用いて、量子場 ψ(x) は、∑cn φn (r)e−iϵn t , {cn , c∗n′ } = δnn′ ,ψ(x) ={cn , cn′ } = 0nと表されることになります。一方、ベクトルポテンシャルは、∫3()d3 k ∑−ik·x∗
ik·xA(x) =ε(k)a(k)e+a(k)e,λλλ(2π)3 2k 0k 0 = |k|,λ=1

[aλ (k), a∗λ′ (k′ )] = (2π)3 2k 0 δλλ′ δ 3 (k−k′ ),[aλ (k), aλ′ (k′ )] = 0のように基準モード展開されるのでした。
いま、軌道 n にある電荷 q のディラック粒子が、軌道 n′ に遷移し、運動量 p,横波偏光モード λ (= 1, 2) の光子を 1 個放出する過程を考えると、その S 行列要素は、最低次の近似で、∫i d4 x LI ∗∗cn |0 >< 0| cn′ aλ (p)Scn |0 > = < 0| cn′ aλ (p) T e∫

d4 x < 0| cn′ aλ (p) LI c∗n |0 >∫q=d4 x < 0| cn′ aλ (p) ψ † A·∇ψ c∗n |0 >m∫iq
d4 x < 0| cn′ aλ (p) ψ † σ·B ψ c∗n |0 > .
+2m=i∇·A は縦波モードの生成消滅演算子しか持たないことに注意。ψ(x), A(x) の式を代入し整理すると、()< 0| cn′ aλ (p)Sc∗n |0 > = 2πδ ϵn′ −ϵn +p0 Mλnn′ (p),()1qελ (p)·I nn′ (p) + (p×ελ (p))·J nn′ (p) ,Mλnn′ (p) =m2∫∫
3−ip·r †I nn′ (p) = d r eφn′ (r)∇φn (r), J nn′ (p) = d3 r e−ip·r φ†n′ (r)σφn (r)を得ます。考えている遷移が起こる微小確率は、dΓ = | < 0| cn′aλ (p)Sc∗n |0 > |29d3 p(2π)3 2p0ですが、上の < 0| cn′ aλ (p)Sc∗n |0 > の式を代入すると、¯¯p0dΓλ2¯=|M(p)|′nn¯0T dΩ8π 2
p =ϵn −ϵn′を得ます。dΩ は p の微小立体角、T は系の時間スケール (→ ∞) で、よって dΓ/Tは単位時間あたりにこのような遷移が起こる微小確率を意味することになります。

17.6

水素原子の軌道遷移一例として、水素原子における電子の軌道遷移を考えてみましょう。
電子の質量を me , 素電荷を e としたとき、水素原子における軌道電子のエネル
ギーは、
me e4ϵn = −32π 2 n2で与えられるので、放出される光子のエネルギーは、()
me e4 110p = ϵ n − ϵ n′ =−.
32π 2 n′2 n2
また、軌道電子の波動関数の広がりのスケールであるボーア半径は、a=4π
me e2ですから、

e2ap <∼ 10−3 .
8π
よって、I nn′ (p) および J nn′ (p) の式において e−ip·r の因子を無視してもよいでしょう。そうすると、固有関数の直交性から、J nn′ (p) は 0 と評価され、∫I nn′ = d3 r φ†n′ (r)∇φn (r)0だけを計算すれば良いことになります。このとき、∑|Mλnn′ (p)|2 =e2 ∑ iji
ελ (p)εjλ (p) Inn′ Inn′2me
λ=1,2λ=1,2ですが、εiλ (p) が回転の変換係数とみなせることに注意して、∑
λ=1,2εiλ (p)εjλ (p) =3∑εiλ (p)εjλ (p) − εi3 (p)εj3 (p) = δji −λ=110pi pj(p0 )2 .よって、∑|Mλnn′ (p)|2 =λ=1,22em2e((|I nn′ |2 −p·I nn′p0)2 )を得ます。結果、単位時間あたりの遷移確率は、∫∑Γp0= 2 dΩ|Mλnn′ (p)|2T8πλ=1,2∫ π0)
e2 (pdθ sin θ 2 1 − cos2 θ |I nn′ |2= 2 · 2π8πme0e2 (ϵn −ϵn′ )=|I nn′ |223πmeで与えられるになります。
水素原子の固有関数は、主量子数 n, 方位量子数 l, 磁気量子数 m, スピン量子数σ のものを φnlmσ と書いたとき、γσ −r/aγσ (r ) −r/2aφ1s0σ = √e,e, φ2s0σ = √1−2aπa38πa3γσγσφ2p0σ = √r e−r/2a cos θ, φ2p±σ = ∓ √r e−r/2a sin θ e±iφ .
5532πa64πa
また、ナブラについては、極座標表示で、∂x = sin θ cos φ ∂r + (∂θ , ∂φ の項),

∂y = sin θ sin φ ∂r + (∂θ , ∂φ の項),

∂z = cos θ ∂r + (∂θ の項)であったことに注意します。そうすると、2s → 1s については I nn′ は 0 になります。また、2p0 → 1s については、(√ )16 2I nn′ = 0, 0,,81a2p± → 1s については、(I nn′ =)∓16 −16i
081a, 81a,と計算されます。よって、軌道遷移 2p → 1s が単位時間あたりに起こる確率は、2p0 からにせよ 2p± からにせよ、

Γe10 me=T4·38 π 511であり、2p の寿命は、e ∼ 0.3028, me ∼ 0.5110 MeV, sec ∼ 1.519 × 1015 eV−1 という近似値を用いて、4·38 π 5T∼ 2.425 × 1012 MeV−1 ∼ 1.60 × 10−9 sec= 10
Γe meと見積もられ、これは実験値と良く合っています。一方、2s の寿命の実験値は8.23 sec と非常に長く、2s → 1s は高次効果による遷移と考えられます。
◇ 原子の軌道電子が軌道を変え光を放出することは、高校生でも習って知っているわけですが、このことを定量的に計算できる人が、一体どれだけいるのでしょうか ? 光子という言葉をよく使うけれど、それをちゃんと記述でき、計算できる人が、一体どれだけいるでしょうか ? 本当に一部の人達に限られるでしょう。このことは、理論物理学が度重なるパラダイムシフトにより高度すぎる概念と化し、好奇心と数学センスを持ち合わせた特定の人にしか理解できなくなっていることを、まさに象徴しているように思います。

12索引
あ異常磁気モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
異常ゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
大きい成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4か軌道遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
クーロン相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
光子放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
さサイクロトロン運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
スピン軌道相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ゼーマンエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
た小さい成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
電磁場を含むシュレーディンガー方程式 . . . 5
はパウリ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
パッシェン・バック効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
反磁性項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ボーア磁子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5ら

ランダウ準位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613