小特集

量子もつれの基礎および量子情報や物理との関係
井元信之〈大阪大学大学院基礎工学研究科

imoto@mp.es.osaka-u.ac.jp〉

量子もつれの基本的概念を 2 体の 2 準位系から多体の多準位系を例にとり解説する．量子もつれと切り離せない量子テレポーテー
ション，量子もつれの強度，生成法，弱い量子もつれから強いもつれへの濃縮法，情報や物性等各方面との関係について述べる．

1.

はじめに

・r B］
i （k 0－k）（rA, r B）= ∑ eik・rA e［ψ

複数の系にまたがる量子状態が個々の系の状態に分離で（2）k

きないさまをシュレーディンガーはドイツ語で Verschrän-と表される．k が連続ならば和は積分になる．この波動関

kung と呼び，同時にそれを entanglement と英訳した． こ

数は 3 次元空間を伝わる 2 つの波動関数の積の形に分離での英語は糸や人間関係が複雑に絡まっている様子を表し，

きず，6 次元の配位空間を伝わる形でしか書けない．（2）

純粋な状態からはほど遠い乱雑さを表す．対してドイツ語式において粒子 A の波数を観測して K という値を得たとの方は連座あるいは腕組みの意であり，乱雑な様相を表さすれば，k の和または積分がとれて K 単独になるので，B

1）ない．entanglement が最大となるのは乱雑でない純粋状態の波数は自動的に k 0−K に決まる．このことからも状態がであること（後述）を考えると，Verschränkung の方がよい．

分離していないことがわかる．波数は運動量なので，2 つ訳はさしずめ連結状態や量子相関となろうが，これは語感の粒子の運動量が強く関連していることになる．それだけが地味である．一般には量子もつれと呼ばれたり，エネル

でなく，位置も強く関連している．実際（2）式で k を連続

ギーやエントロピーのようにそのままエンタングルメント

量として積分を実行するとと書かれるが，本稿では語感が面白く字数が少ない利点を（rA－r B）
ψ（rA, r B）= eik 0・r B ∫ dk eik・=（δ rA－r B）

持つ「量子もつれ」で話を進める．

（3）

量子もつれは元々量子論の基本に関する議論に端を発し，となる．最後の等号で定数（2π）3 や位相因子 eik0・rB は省い

近年では量子情報処理に不可欠の概念として研究が進展し，

3）た．
これは粒子 A の位置を観測したら粒子 B も対応する

最近では物性物理でもその概念が使われるようになってき位置にいることを意味する．すなわち粒子 A の検出を伝た．量子もつれはベル不等式を破るための必要条件になっ令としてそのときの B の位置が知れるので，これはいわゆている点で量子論の基本との関わりが深いが，ベル不等式

る「伝令付き」単一光子の発生に用いられている．位置とについての解説はこの号の筒井氏の記事や文献 2 に委ねる

運動量のように不確定関係にある物理量それぞれについてとして，この記事では量子もつれの概念・量子情報処理と複数粒子間で強い相関を示すのも量子もつれの特徴である．

の関わり・物理での新たな使われ方について概観する．

有 名 な EPR（Einstein-Podolsky-Rosen）の 論 文 4）で ア イ ンシュタインは（2）式の状態を例に挙げ，A の位置を知りた

2.

量子もつれとはければ直接測り A の運動量は間接的に B のそれを測るこ

量子力学的な粒子（波としても振る舞う粒子）が 2 つあるとし，それぞれ A，B と名付ける．2 つが独立に波数 k A ，とにすればどちらも実在であろうと指摘した．これがシュレーディンガーの論文 1）を触発した．

k B の平面波を成しているとすると，全体の波動関数は
ψ（rA, rB）＝eikA・rA eikB・rB

（1）

3.

n 体の m 準位系

量子もつれが現れる最も簡単な系は 2 個の 2 準位系であのように単なる積で表される．時間依存部 e−iωAt，e−iωBt やる．2 つの準位をケット記号で | 0〉，| 1〉と名付けると，粒規格化定数は省いた．一般に 2 粒子の波動関数は 6 次元の子 A と B が | 0〉A | 0〉B とか | 1〉
A | 1〉B のように積で表される配位空間を伝わるが，この波動関数は 3 次元実空間を伝わときは（1）式と同様もつれていない状態である．しかしる 2 つの波動関数に分離されている．これは「もつれていない」状態である．

（4）|ψ〉= p | 0〉
1－ p |1〉
A | 0〉+
B
A |1〉
B

次に，波数が k A＋k B＝const.≡k 0 の関係にある波動関数のような場合は（2）式と同じく「もつれて」いる．p＝0 やがいくつか重ね合わさった状態にあるとしよう．パラメトリック下方変換（k 0 はポンプ光の波数）や粒子 ‒ 反粒子対

p＝1 のときは単なる積状態なので，量子もつれに強さと発生（k 0＝0）で作られる状態である．それは（1）式を重ねと予想される．その予想は正しいので先取りすると，いうものがあるとすれば，p＝1−p＝1/2 のとき最大になる

合わせて
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量子もつれの基礎および量子情報や物理との関係

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図2

3 体の 2 準位系の量子もつれ．

図 1 2 体の 2 準位系の量子もつれ．準位と位相 0・π の組み合わせで 4 つのベル状態がある．
図 3 4 体の 2 準位系の量子もつれの例．上から GHZ 状態，W 状態，クラスター状態．

| 00〉+ |11〉2

（5）となるが，これを | ϕ＋〉と書いて，ベル状態と呼ぶ．添え字 AB を書かないのは誤解がないため省略したもので，00

図4（または 11）の左の 0（または 1）が粒子 A で右が粒子 B と2 体の 4 準位系の量子もつれの例．

約束する簡略記法である．さらに規格化定数の 1/ 2 すら
省略することがある．最大もつれ状態は無数にあるが，（5）
式と直交基底をなすものは他に 3 つあり，それぞれ | ϕ−〉≡| 00〉−| 11〉，| ψ＋〉≡| 01〉＋| 10〉，| ψ−〉≡| 01〉−| 10〉と定義され（規格化定数は省いた），これらもベル状態という．2 粒子のヒルベルト空間は 4 次元だが，その基底の最も単純な選び方は | 00〉，| 01〉，| 10〉，| 11〉のようにもつれていないも＋−＋の だ け か ら 成 る 基 底 で あ ろ う．逆 に | ϕ 〉，| ϕ 〉，| ψ 〉，

味は後述の LOCC という概念のところで説明する．
4 体の 2 準位系でも GHZ 状態| GHZ4〉≡| 0000〉+ |1111〉
2（8）と，W 状態| W4〉≡|1000〉+ | 0100〉+ | 0010〉+ | 0001〉
4（9）| ψ−〉はどれも最大もつれ状態であるベル状態ばかりからという量子もつれ状態がある．これ以外にもクラスター状成る基底である．単純基底とベル基底の基底変換は量子テ態と呼ばれる

レポーテーションのところで重要となる．図 1 に 4 つのベル状態を 2 準位系のイラストで描いた．

| C 4〉≡| 0000〉+ | 0011〉+ |1100〉－|1111〉
4（10）

なお量子情報の分野では 2 準位系のことを qubit（量子などがある．この状態は一方向量子計算に使われる．最後ビット）と呼ぶ．2 準位といっても，エネルギー的には等の項がマイナスであることは重要である．もしプラスなら

しい 2 状態であることが多い．無磁場中のスピンの x 方向

そ の 状 態 は（| 00〉AB＋| 11〉AB）（| 00〉CD＋| 11〉CD）/2 と 因 数 分の up と down（または y 方向または z 方向の up と down），1

解され，これは A と B はもつれており，C と D ももつれてつの光子の縦横偏光（または±45 度偏光または右回りと左いるが AB 系と CD 系に二分すると積状態になっているこ

＋

−

＋

−

回りの円偏光）などである．なお | ϕ 〉，| ϕ 〉，| ψ 〉，| ψ 〉とを意味する．しかし（10）式は 1 カ所マイナスなのでどののうち初めの 3 つは粒子の入れ替えに対して変化しないが，ように仕切りを入れてももつれている．図 3 に | GHZ4〉，−−

最後の | ψ 〉は符号が反転する．| ψ 〉はシングレット状態，| W4〉，| C4〉を描いた．4 体の場合，これ以外の量子もつれ

最初の 3 つはトリプレット状態と呼ばれる．これらのベルもあると確信されるが，万人が満足の行く量子もつれの分状態にある 2 つの量子ビットのことをベルペアと呼ぶ．

類法は今のところない．

次なる複雑化は（a）多体の 2 準位系すなわち多 qubit 系

次に（b）の 2 体の多準位系の方向であるが，たとえば 2へ進むか，（b）2 体の多準位系か，（c）n 体の m 準位系へ進体の 4 準位系を例にとると，4 準位すべてを等振幅等位相

む方向がある．まず（a）の方向であるが，3 体の 2 準位系

で足し合わせるとでは GHZ 状態 と呼ばれる
5）| 000〉+ |111〉| GHZ〉
≡
2

（6）

（7）

という量子もつれ状態がある．
図 2 に GHZ 状態と W 状態を描いた．3 体の場合これ以外の量子もつれはないことがわかっている．「ない」の意
846©2014 日本物理学会（11）という状態になる．図 4 にそれを描いた．このように等振幅で足し合わせた状態は最大もつれ状態（MES: Maximallyという量子もつれ状態と，W 状態と呼ばれる|100〉+ | 010〉+ | 001〉
| W〉
≡
3

| 00〉+ |11〉+ | 22〉+ | 33〉
4

Entangled State）と呼ばれる．
準位が 4 つでなく多数あるいは連続的になれば（11）式は∑ | n〉A | n〉B あるいは ∫ d x | x〉A | x〉B

（12）

n

のように表される．ただし規格化定数は省いた．物理的に日本物理学会誌

Vol. 69, No. 12, 2014

認すればよい．）
図5

したがって「量子もつれが最大の状態とは，部分トレー4 体の 4 準位系の量子もつれの例．

スをとったとき最大混合状態を示す状態」と言える．もちろん系 A と系 B に分割するときにヒルベルト空間のサイ発生できる状態としては規格化できなければならないので，ズに注意しなければならないし，多体の多準位系ではどん

和や積分の範囲を有限にするか分布を一様でなくしたもの

な分割の仕方でもコンシステントにこれが言えるとは限らになる．x は連続的に分布する準位のサフィックスである

ない，という注意を払う必要はあるが．

が，準位に限らず何らかの「モード」でよい．たとえば（2）この考え方を進めると，部分系 A の密度演算子のフォ式の量子もつれ状態をブラケット記号で（ついでに波数 k

ン・ノ イ マ ン エ ン ト ロ ピ ー SA≡−Tr［―これはB ρ̂ log ρ̂］でなく角振動数 ω で）書くと，（15）式の場合は−［ p log p＋（1−p）log（1−p）］であるが―∫ dω| ω〉A | ω0－ω〉B（13）

これをもって量子もつれの強さと言うことができそうである．確かにこの定義は積状態 p＝0 または 1 のときに 0 となのように書かれるが，これは非線形光学結晶に角周波数り，p＝1/2 のときに最大となる．2 準位系に限らず，全系

ω0 の強いレーザー光（ポンプ光と呼ばれる）を照射したとが純粋状態のときこの定義は有効である．全系が純粋状態

きに生成される「もつれた光子対」の状態で，光の量子情のとき一般に SA は SB≡−Tr［A ρ̂ log ρ̂］に等しいので，A と報処理実験では日常的に使われる．実際に使われる状態はB のどちらのトレースをとるかに依らない．この量はエン（13）式の積分変数 ω の範囲は―先に書いたように―無限7）タングルメント・エントロピーと呼ばれることがある．

ではなく，位相整合条件と呼ばれる条件を満たす中心角周

全系がもともと混合状態のときは注意を要する．このと波数の回りに分布する重みを付けた積分となるが，中心角き全系のフォン・ノイマンエントロピー S は元来正なので，周波数の近くしか興味がない場合は概念的に（13）式のよ

部分系のフォン・ノイマンエントロピーが正であることがうに書かれる．

観測されたとしても，それが量子もつれによるものなのか6）

最後は（c）の多体の多準位系の方向である．4 体の 4 準位系を例にとると，たとえば 4 体すべての準位が揃った状

元々の不確実さによるものかすぐにはわからないからである．

態を等振幅等位相で足し合わせた状態は| 0000〉+ |1111〉+ | 2222〉+ | 3333〉
4

（14）

4.

LOCC

先に複数の系の状態が個々の積状態に分離されるならばそれは量子もつれ状態ではないと書いた．これは純粋状態という状態になる．図 5 にそれを図示した．
さて，量子もつれを有する複数の系の 1 つだけに着目しの積か混合状態の積かに依らず正しい．では積状態に書けたときの状態を考えよう．まず全系の密度演算子を ρ̂ とす

ない状態はただちに量子もつれ状態かというと，そうとはると，そのトレースは 1 になる．密度演算子を対角化する限らない．たとえば

基底で密度行列にするとそれぞれの基底にある確率が対角成分に並ぶので，これは「個々の基底にある確率を足すとρ̂≡p | 00〉〈00 |＋（1−p）| 11〉
〈11 |

（16）

1」を意味する．つまり全系がどの基底にあるかを見ないという密度演算子で書かれる混合状態を考える．これは純のであれば，何らかの基底にある確率は 1 であり，これが粋状態の積でないことはもちろん，混合状態の積でもない．

Tr［ ρ̂］＝1 に対応している．複数の系にまたがる場合も，系 A と B を 1 つのブラあるいはケットに入れてしまう略記

系 B の中身を見ないことは系 B だけトレースをとることにを使わずきちんと書けば，これは対応する．そうすれば，系 B が何らかの基底にあってもそれは見ずに捨てたときの系 A の密度演算子が残る．すな|＋（1−p）| 1〉|
p | 0〉〈〈0〈〈1
A 0 |⊗| 0〉
B
A 1 |⊗| 1〉
B（17）

わち ρ̂A＝Tr［＝∑ nB〈n | ρ̂ | n〉B である．この TrB のことをB ρ̂］と書かれるが，これは粒子 A と B の密度演算子の積の和（TrA もそうであるが）部分トレースという．簡単のため 2である．ではこれを量子もつれと呼ぶかというと，呼ばなつの量子ビット系で（4）式の | ψ〉を例にとると，ρ̂＝| ψ〉〈ψ |い．なぜならば，確かに粒子 A と B の間には準位の相関としてただちにはあるが，| 00〉と | 11〉の間の位相関係は全く不定である．

ρ̂A＝p | 0〉〈0 |＋（1−p）| 1〉
〈1|

（15）

準位と位相のように不確定関係にある量の両方が相関を示すわけではないので，それは量子もつれではない．（17）式を得る．p＝0 または p＝1 ならばこれは系 A が | 1〉か | 0〉にが（4）式と異なっていることは，（4）式の密度演算子 | ψ〉
〈ψ |決まっている純粋状態で，p＝1/2 のときどちらか全くわかを書いてみればらない最大混合状態であり，それ以外の p は「どちらか多少はわかる」混合状態を表す．
（純粋状態か混合状態かの判定は，ρ̂ が純粋状態であるための必要十分条件 ρ̂2＝ρ̂ を確
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量子もつれの基礎および量子情報や物理との関係|＋（1−p）| 1〉|
p | 0〉〈〈0〈〈1
A 0 |⊗| 0〉
B
A 1 |⊗| 1〉
B|＋| 1〉|）（18）
p 1－ p）＋ （（ | 0〉〈〈1〈〈0
A 1 |⊗| 0〉B
A 0 |⊗| 1〉
B
847©2014 日本物理学会

となり，あくまで混合状態である（17）式とは別ものであような LOCC だけで量子もつれ状態に変えることはできなることからもわかる．

い．逆に言えば，量子もつれとは LOCC で創出できないも以上の考察から，2 体の量子もつれとして次のような定のという特徴付けをしてもよい．

義が考えられる．系 A の密度演算子 ρ̂（A）
n と系 B の密度演算子 σ̂（B）（16）式を一般化した
n を用いて，ρˆ = ∑ pn ρ（ˆ nA）⊗ σ（ˆ nB）

以上は 2 体系に限らず多体の場合も同様である．ここで（7）式直後に「3 つの量子ビットがもつれた状態は GHZ 状

（19）

n

態と W 状態以外にない」と書いたことを思いだそう．これは「GHZ 状態と W 状態は 3 体間の LOCC では移りあえなのように全系の密度演算子 ρ̂ が書ける場合は「もつれていい．しかしこれ以外に LOCC で移りあえない 3 体の量子もない」と言い，こう書けない場合に「もつれている」と定義

つれ状態はない」という意味である．正確に言うと確率 1

する．ここで pn は非負で ∑ n pn＝1 の確率分布をなす．もしでなくてもよい LOCC（確率的 LOCC．SLOCC と呼ばれる）

特定の n に対して pn＝1 でそれ以外の pn が 0 ならば（19）式で移りあえるか，あるいはそれでも移りあえないかというは積状態となるので，この定義は単なる積状態も含んでい意味である．SLOCC の観点から 3 体の 2 準位系（3 つの量

る．以上は 2 体系に限らず多体の場合も同様である．

8）子ビット）についての分類はクリアであり，3 体の 2 準位

量子もつれを物理的に作るにはどのような条件が必要だ
ろうか？

以上の系については，いくつかの場合について 9）クリアに先に述べたようにある種の非線形光学結晶に強なっている．しかしより高準位な系や 4 体以上の系になる

いポンプ光レーザーを照射すれば（13）式あるいは（2）式でと SLOCC による方法では「係数が少しでも違うと移りあ表される量子もつれ光子対を作ることができる．一般に，えないので別のもつれ」という，ややつまらないことにもつれていなかった 2 つの系をもつれさせるには物理的相なってしまう．GHZ や W 以外にクラスター状態その他の互作用が必要である．初めから離れていたもつれのない系

有用な量子もつれ状態があり，それらの性質などはよくわ

を没交渉のままもつれさせることはできない．この場合，かっているが，全く一般の状態について SLOCC に根ざし電話やメールで連絡をとることが許されるならば古典相関

た方法でつまらなくない分類はまだ発展途上である．

を形成することはできる．
2 つの光子を電話連絡だけでもつれさせることはできな
さそうである．（16）式あるいは（17）式あるいはそれを一5.

量子テレポーテーション

量子テレポーテーションは量子情報処理実現のために必般化した（19）式のような古典相関しか持たない状態なら要であるという実用上の意義があるだけでなく，量子情報

ば，いうまでもなく電話連絡だけで相関を作ることができ処理の根本にかかわる極めて重要な概念である．

るが．

いま，地点 A にある系 X の量子状態を地点 B に配送す

この「離れた二人が電話連絡だけで行い得る操作」を考るというタスクを考える．簡単のため系とは量子ビットす

えてみる．系 A と B が離れている場合，系 A のところになわち | 0〉と | 1〉の 2 状態のみとる系とする．具体的にはいる人（慣例によりアリスと呼ぶ）はもちろん系 A に物理

1 つの光子が水平偏光の状態を | 0〉で表し，垂直偏光を的操作をすることができ，系 B のところにいる人（ボブと| 1〉で表すと，45 度偏光は（| 0〉＋| 1〉）/ 2 ，−45 度偏光は呼ぶ）は系 B に物理的操作ができる．物理的操作とはユニタリ変換のような可逆なものも，観測や散逸・デコヒーレ
ンスといった不可逆なものも含む．しかしアリスは系 B を（| 0〉−| 1〉）/ 2 ，左回り円偏光は（| 0〉＋i | 1〉）/ 2 ，右回り

円偏光は（| 0〉−i | 1〉）/ 2 となる．スピンの方が慣れている場合は x スピン，y スピン，z スピンそれぞれ up と down

直接操作はできないしボブは系 A を直接操作することはの状態が対応する．このような光子あるいはスピンを地点できない．もちろんアリスもボブも系 A と系 B を相互作

A から B へ直接運べば，もちろん配送タスクは遂行される．

用させることはできない．しかしアリスとボブは電話や

しかし光子やスピンを散逸やデコヒーレンスから守って運

メールで連絡を取り合い，自分がした操作や測定の結果をぶことは至難である．そこで量子テレポーテーションが登互いに伝え合うことはできるとする．アリスはボブへの連場する．物理系そのものを送るのでなく，地点 B に受け皿絡を通じてボブが系 B に施す操作の選択に影響を与えることなる物理系があって，その状態を系 X の量子状態にすとはできる．同様にアリスもボブからの連絡に応じて系 Aるという手法である．

に施す操作を変えることができる．アリスとボブが離れた

例として系 X の量子状態が α | 0〉
X＋β | 1〉
X という重ね合地点にいる場合，せいぜいこのような通信とローカルな操

わせ状態であるとしよう．ただし | α | 2＋| β | 2＝1 である．α

作を有限回行うことが，最大限できることである．これを，や β を知っているなら，地点 A から地点 B に電話をかけて

local operation and classical communication の 頭 文 字 を と っ「そちらで α | 0〉＋β | 1〉の光子なりスピンなりを作れ」と言て LOCC と呼ぶ．なぜ classical communication と言うかとえば済む話なので，系 X の量子状態を知らないとする．

いうと，電話やメールなど通常の通信は量子通信ではなく古典通信だからである．
系 A と B がもともと量子もつれ状態にないとき，この848©2014 日本物理学会

いま量子ビット X の他に，ベル状態の 1 つである | ψ−〉AB≡（| 0〉A | 1〉B−| 1〉A | 0〉B ）/ 2 であるような量子ビット A と量子ビット B をそれぞれ地点 A と地点 B に持っていたと
日本物理学会誌

Vol. 69, No. 12, 2014

先に「このタスクを行う我々は X の状態を知らないと仮定する」と書いたが，知っていても電話連絡だけでは済まず量子テレポーテーションを使わなければならない場合がある．それは X がどこかにある系 Y と量子もつれ状態になっている場合である．たとえば（4）式のような量子もつれ状態にある 2 つの量子ビットの片割れは，それだけ見ると（15）式のような混合状態になっているが，それを知っていたとして地点 B に「（15）式の状態を作れ」と電話した
図6としても，単独で（15）式の状態になっている B しか作れ

量子テレポーテーション．

ず，（4）式のように Y ともつれている B にはならない．このようなときも量子テレポーテーションを使えば量子もつ

しよう．すると系 X と系 AB は独立なので単なる積となり，実用的な見地から言うと，量子暗号を 100 km よりずっ

全系の状態は| 0〉
A |1〉－
B |1〉
A | 0〉
B| Ψ〉=（α | 0〉+β |1〉）
X
X
2
1=（α | 0〉
α | 0〉
X | 0〉
A |1〉－B
X |1〉
A | 0〉
B2+ β |1〉
β |1〉
X | 0〉
A |1〉－B
X |1〉
A | 0〉）
B

（20）

（21）

ここで量子ビット X と A の基底としてベル基底 | ψ 〉XA ，−＋

ビームだろうが大きな光損失が避けられないため，この量
子リピーター）．この場合，ベル状態にある光子ペアの配送が（光損失のため）失敗することは気にせず，成功するまで行い，成功したのを見届けてから最後に X を入力するということで，量子特有の脆弱性から重要な量子ビット| ψ 〉XA ，| ϕ 〉XA ，| ϕ 〉XA を用いると，その結果はX を守ることができる．これは X を入力してからそれをテ

1| Ψ〉=－ ［ |ψ－〉（α | 0〉+
β |1〉
XA
B
B）
2

レポートするという順序を逆転させて，「チャンネルを確立する」というサブルーチンを確保してから X を入力する

β |1〉（α | 0〉－+ | ψ +〉
XA
B
B）

ことができるからで，量子情報処理特有のことである．

β | 0〉（α |1〉+－|φ －〉XA
B
B）（α |1〉］－|φ +〉XA
B − β | 0〉B）と遠距離で行おうとすると，光ファイバーだろうが空間
子テレポーテーションの世話にならなければならない（量−＋れを保ったまま転送できるのである．

（22）

一方，量子コンピューターへの応用を考えよう．これまでタスクは「単に量子状態を遠方に送る」と限定してきたとなることが簡単に示される．これは量子ビット XA がが，実は「量子ビット X に量子コンピューティングの演算（1）| ψ−〉と観測されたなら量子ビット B は α | 0〉＋β | 1〉で，を施す」代わりに，ベル状態の片割れである量子ビット B＋に先に演算を施しておくと，B にテレポートされるのは X−にその演算を施した状態となる．昨今 C-NOT などの重要（2）| ψ 〉と観測されたなら量子ビット B は α | 0〉−β | 1〉で，（3）| ϕ 〉と観測されたなら量子ビット B は α | 1〉＋β | 0〉で，（4）| ϕ＋〉と観測されたなら量子ビット B は α | 1〉−β | 0〉でな量子演算はなかなか確率 1 で成功させることができていあることを意味する．このようにベル基底に射影する測定

ないが，そんな状況でも B への演算を成功するまで行い，をベル測定というが，結果が（1）なら何もしなくても量子成功してから X をテレポートすれば（確率が低くても）X

ビット B は元の X の状態になっており，（2）なら位相反転を失わずに済む．これもサブルーチンを先に行ってからそをすればよく，（3）ならビット反転をすればよく，（4）なのサブルーチンへの X の入力を行うことができるというらその両方を反転すればよい．かくしてどの結果が出ても量子情報処理特有の特質が使われている．これを複雑化し無駄なく元の X の状態が量子ビット B に出現するのであたのがクラスター状態を用いた一方向量子計算であり，こる．これが量子テレポーテーションである．

の方面の研究は最近活発に行われている．

言い換えると，量子ビット X をもらう以前に（あるいはこのように量子テレポーテーションを行うには事前準備

X を保存しておけるなら以後でもよいが）ベル状態にあるとしてベル状態の配布を必要とする．もし配布する量子量子ビット A と B をそれぞれ地点 A と B に配っておけば，

ビット A と B の状態が完璧なベル状態でないとどうなる

後は X と A のベル測定を地点 A で行い，測定結果を地点 B

か？

に電話（古典通信）すればよい．量子ビット X を物理的にる．ところがここに量子もつれの蒸留 11）という方法があ

もちろん量子テレポーテーションも完璧ではなくな

地点 B に運ばなくてもその量子状態が地点 B に出現するこる．これは地点 A と B に配布した粒子ペア A1 と B1 ，A2 ととからテレポーテーションと呼ばれる．この方法は地点 A

B2 ，A3 と B3 ，…，An と Bn が理想的ベル状態でなくても，から B へ測定結果を伝えるというステップを含んでいるの

地点 A と B の LOCC だけで純粋なベルペアに蒸留するこで，そこが光速を超えることができないため，量子テレとができるというものである．もちろんそのときペアの数

ポーテーション全体としては光速を超えて「量子状態転は n より少ない m になる．量子もつれ蒸留は簡単な場合に送」することはできない．

12）
実験も行われている．
特に量子もつれ劣化の原因が光通

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量子もつれの基礎および量子情報や物理との関係

849©2014 日本物理学会

なお，量子もつれの詳細で優れた解説論文として文献

信特有の「集団的ノイズ」と呼ばれる雑音であるとき，蒸留の方法は洗練されてきており，初期の実験 13）から最新

16 を挙げておく．

の改良提案 14）まで研究が進んでいる．

6.

量子もつれの強さ

7.

おわりに量子もつれはベル不等式を破るための必要条件という重前節最後で「もつれ度合いの弱い n 個のペアから純粋要性を有しているし，量子通信や量子コンピューティング

なベルペアを m 個蒸留できる」と書いた．そうであるならに欠かせない基本技術である．そのような基本技術としてば m/n（これは 1 より小さい）を量子もつれの強さの指標と使いたい場合，放っておくと環境との相互作用に対し脆弱することができそうである．n も m も整数であるから，な量子もつれを如何に忠実に形成し送り届け保持するかと

lim n → ∞（m/n）のような漸近的定義をとる必要があるが．こいう問題がある．前述のようにこの方面の研究も盛んに行の定義による量子もつれ強度の指標を distillable entangle-

われているが，多数の弱い量子もつれ状態から少数の最大

ment（通常 ED と書かれる）と呼ぶ．つまり「その強度のペ

量子もつれ状態を蒸留する方法や集団的雑音に対して有効

ア 1 つから平均何個（1 より小さい）のベルペアが蒸留できな雑音除去法などの研究が目覚ましく進んでいる．

るか」である．

一方，エンタングルメント・エントロピーはブラック

一方，離れた系 A と B に量子もつれを作るには LOCC

7）
ホールのエントロピーと密接な関係があり，これが最近だけではできないので量子通信―量子ビットを送ること―

17）
では物性物理へも広がってきている．
たとえば相転移をが必要である．そこで「そのペア 1 つを作るのに平均何個表現するにはオーダーパラメーターに対する磁化などのマの量子ビット通信を必要とするか」（これも 1 より小さい）

クロな量をプロットして，その変化が不連続あるいはなめというのも量子もつれの強度を表す指標となる．これはらかでなく折れることを見るのが普通の方法であるが，こentanglement cost と呼ばれ，通常 EC と書かれる．ED も EC

れでは見えない相転移が量子もつれの強度をプロットするも全系が混合状態でも成り立つ定義であるが，具体的計算と見えてきたりする．このような新しい方向も含め，量子法は与えていない概念的な定義である．

もつれの重要性と応用可能性は広がりかつ深まる一方であ他方，第 3 節で「フォン・ノイマンエントロピーが量子る．深まっているとはいえ，これまで述べてきたように多もつれの強さの指標になり得る」と述べた．これは計算法

体の多状態系の量子もつれの分類や指標など，未解決の問が与えられている定義であるが，純粋状態の場合の話で題も山積している．量子もつれそのものの研究も使い方のあった．純粋状態に限るとこれは entanglement of formation

研究も，これから大いに発展していくことを期待したい．

と呼ばれるものに一致し，それは通常 EF と書かれる．以上 3 つの指標には ED ≤ EC ≤ EF の関係がある．
2 体の 2 準位系（2 量子ビット系）に話を限ると，より計算法が具体的なコンカレンスという指標も用いられるが，
これは EF と関数関係にある．
このように量子もつれの強さを表す指標は種々提案されているが，これらに共通するのは「LOCC で量子もつれが増えることはない」という点である．あるいはこれが指標に要求される要請と言ってもよい．種々あっても 2 体系のようにもつれの大小関係を最大限に定量化するような指標の場合，最大もつれ状態は混合状態でなく純粋状態となっている．
以上のように量子もつれの強さを定量的に示す指標の他にも様々な見方がある．たとえば部分系の混合度の観点か
らは GHZ 状態の方が W 状態より量子もつれが強いわけであるが，逆に「粒子をひとつずつ失っていった場合に量子もつれがどのくらい残るか」という観点もある．GHZ 状態
はたったひとつ失うだけで量子もつれが消滅するが，W状態はいつまでも残る．それだけでなく，その減り方が最も遅い 15）ので，粒子喪失に対する耐性が最大の状態とも言える．要はどの目的にも誰にも最適な指標がひとつあるのではなく，目的に応じて適切な概念なり指標なりを使う
のである．
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©2014 日本物理学会

参考文献
1）E. Schrödinger: Proc. of the Cambridge Philosophical Society 31（1035）
555; ibid. 32（1936）446.
2）井元信之：数理科学 49（2011）40.
3）（3）式は粒子 A と B が同じ位置にあることを意味するので現代の実験状況と異なるように見えるが，次の文献 4 の（9）式の X0 のような相対位置を組み込むと粒子 A と B の相対位置が決まることになり，実験状
況と合致する．
4）A. Einstein B. Podolsky and N. Rosen: Phys. Rev. 47（1935）777.
5）Greenberger, Horne, Zeilinger の頭文字をとって GHZ 状態と呼ばれる．
D. M. Greenberger, M. A. Horne and A. Zeilinger: Bell ʼs Theorem, Quantum
Theory, and Conceptions of the Universe, ed. M. Kafatos（Kluwer, Dordrecht, 1989）pp. 69‒72; arXiv: 0712.0921.
6）パラメトリック下方変換でポンプ光が強い場合，光子ペアが 1 つだけ
でなく複数できる．その場合（12）式の左式の和の中にボルツマン因子がかかり，このとき規格化定数はカノニカル分布の分配関数の値となる．これは粒子 ‒ 反粒子生成も同じである．このように現実の状態は常に規格化可能である．
7）たとえばブラックホールの傍で起こる粒子 ‒ 反粒子生成において片方がブラックホールに吸い込まれた場合，外からはもう一方が放射されたように見える．その数分布がボルツマン因子に比例するため，それがブラックホールの温度とも関係するし，放射される粒子数のエント
ロピーはエンタングルメント・エントロピーに等しくなる．
8）A. Acin, D. Bruss, M. Lewenstein and A. Sanpera: Phys. Rev. Lett. 87（2001）040401.
9）A. Miyake: Int. J. Quantum Information 2（2004）65.
10）C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres and W. K. Wootters: Phys. Rev. Lett. 70（1993）1895.
11） C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu and B. Schumacher: Phys. Rev. A
53（1996）2046.
12）J-W. Pan, S. Gasparoni, R. Ursin, G. Weihs and A. Zeilinger: Nature 423
日本物理学会誌

Vol. 69, No. 12, 2014

（2003）417.
13）T. Yamamoto, M. Koashi, S. K. Ozdemir and N. Imoto: Nature 421（2003）
343.
14）H. Kumagai, T. Yamamoto, M. Koashi and N. Imoto: Phys. Rev. A 87（2013）
052325.
15）M. Koashi, V. Buzek and N. Imoto: Phys. Rev. A 62（2000）050302.
16）R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and K. Horodecki: Rev. Mod.
Phys. 81（2）（2009）865.
17）高柳 匡，笠 真生：日本物理学会誌 62（2007）421; 高柳 匡，西岡辰磨，笠 真生：同 69（2014）361; 古川俊輔，白石潤一：同 69（2014）
541.

著者紹介

井元信之氏：

東京大学大学院工学系

Basics of Quantum Entanglement for Quantum Information
and Physics
Nobuyuki Imoto
abstract: The basic concept of entanglement is introduced taking examples from the simplest two two-level systems to many multi-levelsystems. Related concepts are explained such as quantum teleportation,
magnitude of entanglement, generation method, concentration of weakened entanglement, and also relationships between different areas suchas information, communication, and condensed-matter physics are described.

研究科（物理工学）修了．NTT 物性科学基礎研究所・総合研究大学院大学教授を経て現職．

（2014 年 6 月 19 日原稿受付）

小特集

量子もつれの基礎および量子情報や物理との関係

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