3-2 因数分解 啓林館
1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

因数分解 啓 P.21
いんすう

★因数…単項式や多項式が，いくつかの単項式や多項式の積の形で表されるとき，その1 つ 1 つの式を，もとの式の因数という。

展開(2x＋3)( 2x－3)
4x2－9

2xy では，2，x，y は因数である。

因数分解

いんすうぶんかい★因数分解…多項式をいくつかの因数の積の形に表すことをその多項式を因数分解するという。
きょうつういんすう★ 共 通因数…ax＋ay のように，各項に共通な因数 a をもつ多項式は，共通因数 a をとり出して因数分解することができる。

ax＋ay＝a(x＋y)

因数分解 啓 P.21

2
BCDE

空らんをうめなさい。
単項式や多項式が，いくつかの単項式や多項式の積の形で表されるとき，その 1 つ 1 つ〇因数の式を，もとの式の（〇多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，その多項式を

因数分解

（
〇
3

）という。

）するという。

ax＋ay の a，4a＋4b の 4 を（

共通因数

）という。

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

共通因数をくくり出す 啓 P.21～22
次の式を因数分解しなさい。
(1) x2－6x＝x×x－x×6(2)

4ab＋2a＝2a×2b＋2a×1＝x(x－6)＝2a(2b＋1)
共通因数

共通因数をくくり出す 啓 P.21～22

4
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

x2－6x
＝

x(x－6)② 4ab＋2a＝2a(2b＋1)

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P2 【3-2 因数分解 啓林館】

共通因数をくくり出す 啓 P.21～22

5
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

a2b－ac＝② 3ax＋3bxa(ab－c)＝

共通因数をくくり出す 啓 P.21～226
A

次の式を因数分解しなさい。
①

9x2y＋12 xy2＝

x2y－xy2②

3xy(3x＋4y)＝

次の式を因数分解しなさい。
①② 12x2y－9xy2＋3xy

9ab－9ac＝8xy(x－y)共通因数をくくり出す 啓 P.21～22

7
ABCDE

3x(a＋b)9a(b－c)＝3xy(4x－3y＋1)

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

和と差の積の利用 啓 P. 22★公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b)を利用して，因数分解をする。
(1)

9x2－4

64x2－1(2)＝(3x)2－22＝(8x)2－12＝(3x＋2)(3x－2)＝(8x＋1)( 8x－1)

9
ABCDE

和と差の積の利用 啓 P. 22
次の式を因数分解しなさい。
①

9x2－4

② 64x2－1＝(3x)2－22＝＝(8x)2－12(3x＋2)(3x－2)＝(8x＋1)( 8x－1)

10
ABCDE

和と差の積の利用 啓 P. 22
次の式を因数分解しなさい。
①

25x2－y2＝② 36x2－81y2(5x＋y)(5x－y)＝(6x＋9y)(6x－9y)11A

和と差の積の利用 啓 P. 22
次の式を因数分解しなさい。
①

25x2－9y2＝② 49a2－1(5x＋3y)(5x－3y)＝(7a＋1)(7a－1)

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P3 【3-2 因数分解 啓林館】

12
DE

和と差の積の利用 啓 P.22
次の式を因数分解しなさい。
①

64－a2

＝

② a2－

(8＋a)(8－a)

＝

16 2
b
25


4 
4 
a＋ ba－ b
5 
5 


13
E

和と差の積の利用 啓 P.22
次の式を因数分解しなさい。
－x 2＋100＝100－x 2＝

14(10＋x)(10－x)

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平方の公式の利用（１） 啓 P.22～23★公式 x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2

x2－2xy＋y2＝(x－y)2 を利用して，因数分解をする。
(1) a2＋6a＋9
[解き方]

(2)

x2－10xy＋25y2

9＝32，6a＝2×a×3[答]

25y2＝(5y)2，10xy＝2×x×y×5(a＋3)2

[答]

15
ABCDE

平方の公式の利用 啓 P.22～23
次の式を因数分解しなさい。
①

a2＋6a＋9② x2－10xy＋25y2

9＝32，6a＝2×a×3＝

25y2＝(5y)2，10x＝2×x×y×5(a＋3)2

＝

16
ABCDE

(x－5y)2
平方の公式の利用 啓 P.22～23

次の式を因数分解しなさい。
①

a2＋16a＋64② x2－8x＋1664＝82，16a＝2×a×8＝

16＝42，8x＝2×x×4(a＋8)2＝17A(x－5y)2(x－4)2平方の公式の利用 啓 P.22～23

次の式を因数分解しなさい。
①

x2＋4x＋4
4＝22，4x＝2×x×2＝(x＋2)2② x2－14x＋49
49＝72，14x＝2×x×7＝(x－7)2

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P4 【3-2 因数分解 啓林館】

18

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平方の公式の利用（２） 啓 P.23
★公式 x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2

x2－2xy＋y2＝(x－y)2 を利用して，因数分解をする。
(1)

9x2＋12x＋4

4a2－20ab＋25b2(2)[解き方] 9x2＝(3x )2，4＝22，12x＝2×3x×2 4a2＝(2a)2, 25b2＝(5b)2, 20a＝2×2a×5b[答](3x＋2)2[答](2a－5b)2

19
ABCDE

平方の公式の利用 啓 P.23
次の式を因数分解しなさい。
①

9x2＋12x＋4② 4a2－20ab＋25b2

9x2＝(3x )2，4＝22，12x＝2×3x×2＝

4a2＝(2a)2，25b2＝(5b)2，20ab＝2×2a×5b(3x＋2)2＝(2a－5b)2

20
ABCDE

平方の公式の利用 啓 P.23
次の式を因数分解しなさい。
①

4x2＋12x＋9② 9x2－30x＋25

4x2＝(2x )2，9＝32，12x＝2×2x×3＝(2x＋3)29x2＝(3x)2，25＝52，30x＝2×3x×5＝(3x－5)2

21
CDE

平方の公式の利用 啓 P.23
次の式を因数分解しなさい。
①

x2－x＋

1
4

② a2＋

1  1 21＝
， x＝2×x×
4 2
2


1 2
x－ 
2


2
1
 1  ， 1 a＝2×a× 1＝
16  4 
2
4


1 2
a＋ 
4


＝

＝

22
E

1
1
a＋
2
16

平方の公式の利用 啓 P.23
次の式を因数分解しなさい。
x2＋81－18x＝x2－18x＋81
81＝92，18x＝2×x×9＝(x－9)2

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P5 【3-2 因数分解 啓林館】

23
BCDE

平方の公式の利用 啓 P.23
次のにあてはまる正の数を書きなさい。

10 x＋25＝(x＋ 5

x2＋

①

)2

② x2－12x＋

36 ＝(x－ 6

24
BCDE

平方の公式の利用 啓 P.23
次の
①

25

)2

にあてはまる正の数を書きなさい。

4x2－

12 x＋9＝( 2x－3)225 x ＋20x＋4＝( 5
2

②

x＋2)2

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解（１） 啓 P.23～24★公式 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)を利用して，因数分解をする。

(1)x2＋6x＋5[解き方](2) y2＋7y＋10

x2 ＋ 6 x＋5y2 ＋ 7 y

＋10

a＋b＝6

ab＝5

a＋b＝7

a＝10

積が＋5

和が＋6

積が＋10

－ 1， 5○－1，－10

和が＋7－1，－10

－1，－5

－2，－5

○

－2，－5

x2＋6x＋5＝(x＋1)(x＋5)

y2＋7y＋10＝(y＋2)(y＋5)[答] (x＋1)(x＋5)[答] (y＋2)(y＋5)

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P.23～24

26
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

x2＋6x＋5＝② y2＋7y＋10(x＋1)(x＋3)＝(x＋2)(x＋5)

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P6 【3-2 因数分解 啓林館】

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P.23～24

27
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

x2＋9x＋8＝② x2＋10x＋21(x＋1)(x＋8)＝

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P.23～2428
A

次の式を因数分解しなさい。
①

a2＋7a＋12＝② x2＋11x＋18(a＋3)(a＋4)＝(x＋2)(x＋9)

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P.23～24

29
A(x＋3)(x＋7)

次の式を因数分解しなさい。
①

x2＋10x＋16＝② t2＋10t＋24(x＋2)(x＋8)＝(t＋4)(t＋6)

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P7 【3-2 因数分解 啓林館】

30

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解（２） 啓 P. 24★公式 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)を利用して，因数分解をする。

(1)x2－7x＋6[解き方]

t2－6t＋8(2)

x2 －7 x＋6

t2 －6 t

＋8

a＋b

ab

a＋b

ab

和が－7

積が＋8

積が＋6
－1，－6

－1，－8

－1，－6

－1，－8

○

－2，－3

－2，－4

－2，－3

－2，－4

x2－7 x＋6＝(x－1)(x－6)[答] (t－2)(t－4)

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P. 24

31

次の式を因数分解しなさい。
①

x2－7x＋6＝②(x－1)(x－6)

t2－6t＋8＝(t－2)(t－4)

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P.24

32
ABCDE

○

t2－6t＋8＝(t－2)(t－4)[答] (x－1)(x－6)

ABCDE

和が－6

次の式を因数分解しなさい。
①

a2－5a＋6＝②(a－2)(a－3)

x2－8x＋15＝(x－3)(x－5)

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P8 【3-2 因数分解 啓林館】

33

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解（３） 啓 P. 24★公式 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)を利用して，因数分解をする。

(1)x2－x－2[解き方](2)x2－2x－8x2－1x－2 として考える
x2 －1 x－2

x2 －2 x

－8

a＋b

ab

a＋b

ab

積が－2

和が－1

積が－8

－1，－2

○

－1，－8

－1，－2

和が－2

－1，－8
－2，－4

○

－2，－4

x2－x－2＝(x＋1)(x－2)[答](x＋1)(x－2)

x2－2x－8＝(x＋2)(x－4)[答] (x＋2)(x－4)

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P. 24

34
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

x2－x－2＝② x2－2x－8(x＋1)(x－2)＝

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P. 24

35
ABCDE

(x＋2)(x－4)

次の式を因数分解しなさい。
①

a2＋2a－35＝② t 2－10t－11(a－5)(a＋7)＝(t＋1)(t－11)

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P9 【3-2 因数分解 啓林館】

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P. 24

36
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

a2－7a－30＝② x 2＋10x－24(a＋3)(a－10)

次の式を因数分解しなさい。
9＋x2－10x＝x2－10x＋9
＝

38
ABCDE

(x－2)(x＋12)

x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解 啓 P. 24

37
DE

＝

(x－1)(x－9)

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

因数分解の公式のまとめ 啓 P.25
★因数分解の公式のまとめ

Ma＋Mb＝M(a＋b)
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2
x2－2xy＋y2＝(x－y)2
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
因数分解の公式のまとめ 啓 P.2539
A

因数分解の公式を書きなさい。
Ma＋Mb
a2－b2

＝

M(a＋b)＝(a＋b)(a－b)

2

a ＋2ab＋b＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)22x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)

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P10 【3-2 因数分解 啓林館】

因数分解の公式のまとめ 啓 P.2540A

因数分解の公式を書きなさい。
Ma＋Mb

＝

M(a＋b)a2－b2＝(a＋b)(a－b)

a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)

因数分解の公式のまとめ 啓 P.2541A

因数分解の公式を書きなさい。
Ma＋Mb

＝

M(a＋b)a2－b2＝(a＋b)(a－b)

a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)

因数分解の公式のまとめ 啓 P.2542A

因数分解の公式を書きなさい。

Ma＋Mb

＝

M(a＋b)a2－b2＝(a＋b)(a－b)

a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)

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P11 【3-2 因数分解 啓林館】

因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

43
ABCDE

因数分解の公式を書きなさい。

Ma＋Mb

＝

M(a＋b)a2－b2＝(a＋b)(a－b)

a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

44
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

a2－6a－16＝①② x2＋2x－15(a＋2)(a－8)

t2＋11t＋18＝＝(x－3)(x＋5)② y2－5y－36(t＋2)(t＋9)＝(x＋4)(x－9)
因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

45
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

x2－2xy－3y2＝③② x 2＋8xy＋16y 2(x＋y)(x－3y)

x2－10xy＋9y 2＝＝

a2＋4ab－5b2④(x－y)(x－9y)＝(a－b)(a＋5b)因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

46
ABCDE

(x＋4y)2

次の式を因数分解しなさい。
①

x 2－9y 2＝③② x 2＋8xy＋12y 2(x＋3y)(x－3y)

x 2－10xy－24y 2＝＝(x＋2y)(x＋6y)④ x 2－8xy＋16y 2(x＋2y)(x－12y)＝(x－4y)2

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P12 【3-2 因数分解 啓林館】

因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

47
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①

x2＋3xy－10y 2＝③② x 2＋8xy＋7y2(x－2y)(x＋5y)

x 2＋12xy＋36y2＝＝④(x＋6y)2(x＋y)(x＋7y)a2－4a－21＝(a＋3)(a－7)
因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

48
E□にあてはまる数式を入れて，公式を完成させなさい。

(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd

因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

49
Ex2＋px－12 を(x＋a)(x＋b)の形に因数分解したい。a，b を整数とするとき，何通りの因数分解が考えられますか。(ただし，p は整数とする。)(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab より，ab＝－12

積が－12 になる組み合わせは(－1，12)，(－2，6)，(－3，4)，(－4，3)，(－6，2)，(－12，1) である。

6 通り

よって，6 通り

因数分解の公式のまとめ 啓 P.25

50Ex2＋7x＋a が，自然数 b，c を用いて(x＋b)(x＋c)と因数分解できるような定数 a の値をすべて答えなさい。
7＝b＋c であるから，(b，c)の組み合わせは(1，6)，(2，5)，(3，4)の 3 通りである。

また，a＝b×c であるから，a の値は 6，10，12 となる。

a＝6，10，12

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P13 【3-2 因数分解 啓林館】

51

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

いろいろな因数分解（１） 啓 P.26
次の式を因数分解しなさい。
2(1) ax ＋8ax＋15a★因数分解の解き方❶次数の大きい順に並びかえる❷

共通因数は a＝a(x2＋8x＋15)＝a(x＋3)(x＋5)❸❷共通因数を取り出す

因数分解❸かっこの中の式の因数分解を考える(❶，❷はしなくて良い場合もある)(2) 24x－48－3x2＝－3x2＋24x－48＝－3(x2－8x＋16)＝－3(x－4)2
52
ABCDE

いろいろな因数分解 啓 P.26
次の式を因数分解しなさい。
① ax2＋8ax＋15a② 24x－48－3x2＝a(x2＋8x＋15)＝＝－3x2＋24x－48

a(x＋3)(x＋5)＝－3(x2－8x＋16)＝－3(x－4)2

53
ABCDE

いろいろな因数分解 啓 P.26
次の式を因数分解しなさい。

① 8－8x＋2x2② －8＋2x2＝2x2－8x＋8＝2x2－8＝2(x2－4x＋4)＝2(x2－4)2(x－2)2＝＝2(x＋2)(x－2)

54A

いろいろな因数分解 啓 P.26
次の式を因数分解しなさい。
①

ax2＋6ax＋5a② 5x2－80＝a(x2＋6x＋5)＝＝5(x2－16)a(x＋1)(x＋5)＝

5(x＋4)(x－4)

55
ABCDE

いろいろな因数分解 啓 P.26
次の式を因数分解しなさい。
① －x2－3x＋54② －3x2＋33x－90＝－(x2＋3x－54)＝＝－3(x2－11x＋30)－(x－6)(x＋9)－3(x－5)(x－6)＝

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P14 【3-2 因数分解 啓林館】

56
A

いろいろな因数分解 啓 P.26
次の式を因数分解しなさい。
①

4ax2－16ax＋16a② 2ab2－72a＝2a(b2－36)＝4a(x2－4x＋4)＝57

4a(x－2)2＝2a(b＋6)(b－6)

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

いろいろな因数分解（２） 啓 P.26～27(1) (x－y)2－4(x－y)＋4(2)

2ax＋a－2bx－bx－y＝A とおく

＝a(2x＋1)－b(2x＋1)

A2－4A＋4

2x＋1＝A とおく＝(A－2)2＝aA－bA＝{(x－y)－2}2＝A(a－b)＝ (x－y－2) 2＝ (2x＋1)(a－b)

58
BCDE

いろいろな因数分解 啓 P.26～27
次の式を因数分解しなさい。
① (x－y)2－4(x－y)＋4② 2ax＋a－2bx－bx－y＝A とおく

＝a(2x＋1)－b(2x＋1)

A2－4A＋4

2x＋1＝A とおく＝(A－2)2

aA－bA＝{(x－y)－2}2＝A(a－b)＝(x－y－2)2

＝

59
CDE

(2x＋1)(a－b)
いろいろな因数分解 啓 P.26～27

次の式を因数分解しなさい。

①(x－y)2＋(x－y)－20② (y＋3)2－2(y＋3)－3

x－y＝A とおく

y＋3＝A とおく

A2＋A－20

A2－2A－3＝(A＋5)(A－4)＝(A＋1)(A－3)＝{(x－y)＋5}{(x－y)－4}＝(y＋3＋1)(y＋3－3)＝(x－y＋5)(x－y－4)＝(y＋4)y＝y(y＋4)

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P15 【3-2 因数分解 啓林館】

60
CDE

いろいろな因数分解 啓 P.26～27
次の式を因数分解しなさい。

①

2x(3－y)－y＋3② xy－x－y＋1＝2x(3－y)＋3－y＝x(y－1)－(y－1)v

3－y＝A とおく

y－1＝A とおく

2xA＋A

Ax－A

＝A(2x＋1)＝A(x－1)＝(3－y)(2x＋1)＝(y－1)(x－1)

61DE

いろいろな因数分解 啓 P.26～27
次の式を因数分解しなさい。

①

2ax＋2a－x－1② x(x＋y)－x－y＝2a(x＋1)－(x＋1)＝x(x＋y)－(x＋y)

x＋1＝A とおく

x＋y＝A とおく

2aA－A

Ax－A

＝A(2a－1)＝A(x－1)＝(x＋1)(2a－1)＝(x＋y)(x－1)

62DE

いろいろな因数分解 啓 P.26～27
次の式を因数分解しなさい。

①② (x＋y)2－81

ax＋ay－bx－by＝a (x＋y)－b(x＋y)

x＋y＝A とおく

x＋y＝A とおく

A2－92

aA－bA

＝(A＋9)(A－9)＝A(a－b )＝＝(x＋y＋9)(x＋y－9)(x＋y)(a－b)

63E

いろいろな因数分解 啓 P.26～27
次の式を因数分解しなさい。
①② x2－4x＋4－y2

x2－x－y2＋y＝x2－y2－x＋y＝(x－2)2－y2＝(x－y)(x＋y)－(x－y)

x－2＝A とおく

x－y＝A とおく＝A2－y2＝A(x＋y)－A＝(A＋y)(A－y)＝A(x＋y－1）＝＝(x－2＋y)(x－2－y)(x－y)(x＋y－1)

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P16 【3-2 因数分解 啓林館】

64

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

E

いろいろな因数分解（３） 啓 P.26～27(1)x2＋ax－3 を因数分解すると(x－3)(x＋b)になるとき，a，b の値を求めなさい。

[解き方] (x－3)(x＋b)を展開すると，x2＋(－3＋b)x－3b となるので
x2＋ax－3＝x2＋(－3＋b)x－3ba＝(－3＋b)

…①

3＝3b

…②

②より b＝1

これを①に代入して連立方程式を解くと
a＝－2[答] a＝－2，b＝1(2)x2＋px－5＝(x＋a)(x＋b)の形に因数分解できるような整数 p の値をすべて答え

なさい。
[解き方]

－5＝5×(－1) ，－5＝1×(－5) だから
x2＋px－5＝(x＋5)(x－1)

x2＋px－5＝(x＋1)(x－5)＝x2＋4x－5＝x2－4x－5[答] p＝－4，＋4

65
E

いろいろな因数分解 啓 P.26～27
次の問いに答えなさい。
①

x2＋ax－3 を因数分解すると(x－3)(x＋b)になるとき，a，b の値を求めなさい。
(x－3)(x＋b)を展開すると，x2＋(－3＋b)x－3b となるので
x2＋ax－3＝x2＋(－3＋b)x－3b②

a＝(－3＋b)

…①

3＝3b

…②

②より b＝1

これを①に代入して連立方程式を解くと

a＝－2

a＝－2，b＝1x2＋px－5=(x＋a)(x＋b)の形に因数分解できるような整数 p の値をすべて答えなさい。
－5＝5×(－1) ，－5＝1×(－5) だから

x2＋px－5＝(x＋5)(x－1)＝x2＋4x－5

x2＋px－5＝(x＋1)(x－5)＝x2－4x－5

p＝－4，＋4

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P17 【3-2 因数分解 啓林館】

66
E

いろいろな因数分解 啓 P.26～27
次の問いに答えなさい。
①

x2＋ax－6 を因数分解すると(x－3)(x＋b)になるとき，a，b の値を求めなさい。
(x－3)(x＋b)＝x2＋(－3＋b)x－3b だから
x2＋ax－6 より
6＝3b
3b＝6
b＝2

これを(x－3)(x＋b)に代入(x－3)(x＋2)＝x2－x－6
x2＋ax－6 より
a＝－1

a＝－1，b＝2②x2＋px－18=(x＋a)(x＋b)の形に因数分解できるような整数 p の値をすべて答えなさい。
ab＝－18 より
p＝1－18＝－17
p＝2－9＝－7
p＝3－6＝－3
p＝－1＋18＝17
p＝－2＋9＝7
p＝－3＋6＝3

p＝－17，－7，－3，3，7，17
67
BCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

式の計算の利用 啓 P.29～30
連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は 4 の倍数になることを証明しなさい。
[証明] n を整数とすると，連続する 2 つの奇数は 2n＋1，2n＋3 と表される。
それらの積に 1 を加えた数は(2n＋1)(2n＋3)＋1＝4n 2＋8n＋3＋1＝4n 2＋8n＋4＝4(n＋1)2

n＋1 は整数なので，4(n＋1)2 は，4 の倍数である。
よって連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は，4 の倍数になる。

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P18 【3-2 因数分解 啓林館】

68
BCDE

式の計算の利用 啓 P.29～30
連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は 4 の倍数になることを証明しなさい。

n を整数とすると，連続する 2 つの奇数は 2n＋1，2n＋3 と表される。
それらの積に 1 を加えた数は(2n＋1)(2n＋3)＋1＝4n 2＋8n＋3＋1＝4n 2＋8n＋4＝4(n＋1)2

n＋1 は整数なので，4(n＋1)2 は，4 の倍数である。よって，連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は，4 の倍数になる。
69
E

式の計算の利用 啓 P.29～30
連続した 2 つの奇数の積は奇数になることを証明しなさい。

n を整数とすると，連続した 2 つの奇数を 2n－1，2n＋1 とする。
その積は，(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1＝2(2n2)－1

2n2 は整数なので，2(2n2)－1 は奇数になる。
よって，連続した 2 つの奇数の積は奇数になる。

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P19 【3-2 因数分解 啓林館】

70
DE

式の計算の利用 啓 P.29～30
連続した 2 つの偶数の平方の差は 4 の倍数であることを証明しなさい。

n を整数とすると，連続した 2 つの偶数を 2n，2n＋2 とする。
その平方の差は，(2n＋2)2－(2n)2＝4n2＋8n＋4－4n2＝8n＋4＝4(2n＋1)
2n＋1 は整数なので，4(2n＋1)は 4 の倍数になる。

よって，連続した 2 つの偶数の平方の差は 4 の倍数になる。
71
E

式の計算の利用 啓 P.29～30
連続する 3 つの整数で，最大の数と最小の数の積に 1 を加えた数は，中央数の平方になることを証明しなさい。

まん中の整数を n とすると，連続する 3 つの数は，n－1，n，n＋1 と表される。
このとき，最大の数と最小の数の積に 1 を加えた数は，(n＋1)(n－1)+1＝n2－1＋1＝n2

n2 は整数だから，これは中央数の平方である。
72
E

式の計算の利用 啓 P.29～30
連続する 3 つの整数で，最大の数の 2 乗から最小の数の 2 乗をひいた差は，まん中の数の 4 倍になることを証明しなさい。

まん中の整数を n とすると，連続する 3 つの数は，n－1，n，n＋1 と表される。
このとき，最大の数と最小の数の 2 乗の差は，(n＋1)2－(n－1)2＝n2＋2n＋1－(n2－2n＋1)＝4n
これは，まん中の数の 4 倍に等しい。

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P20 【3-2 因数分解 啓林館】

73

式の計算の利用 啓 P.29～30

E連続する 3 つの整数があり，中央の数は 3 の倍数である。これら 3 つの整数のうち，最小の数を M，最大の数を N とするとき，MN＋1 は 9 の倍数であることを文字式を使って証明せよ。

n を整数とすると，中央の数は 3n，M＝3n－1，N＝3n＋1 と表される。

MN＋1＝(3n－1)(3n＋1)＋1＝9n 2－1＋1＝9n 2

n2 は整数なので，9n 2 は 9 の倍数となる。
よって成り立つ。

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P21 【3-2 因数分解 啓林館】

74

式の計算の利用 啓 P.29～30

E

十の位の数字が a，一の位の数字が b である 2 けたの自然数 A と，その十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできた自然数 B がある。A2－B2＝1980 であるとき，次の各問いに答えなさい。
①

a2－b2 の値を求めよ。
A＝10a＋b

B＝10b＋aA2－B2＝1980(10a＋b)2－(10b＋a)2＝1980
100a2＋20ab＋b2－(100b2＋20ab＋a2)＝1980
1002＋20ab＋b2－100b2－20ab－a2＝1980
99a2－99b2＝1980

20

a2－b2＝20② 自然数 A を求めよ。

a 2－b 2＝20(a＋b)(a－b)＝20
このときの乗法の組み合わせは(20，1)，(10，2)，(5，4)である
この中で a，b ともに自然数になるのは(10，2)のみである
よって a＋b＝10，a－b＝2 より a＝6，b＝4

64

A＝10a＋b なので A＝10×6＋4＝64
75
ABCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

因数分解を利用した計算 啓 P.30
★因数分解の公式を利用すると，計算が簡単にできることがある。
652－352＝(65＋35)×(65－35)＝100×30＝3000
因数分解を利用した計算 啓 P.30

76
ABCDE

因数分解を利用して，次の計算をしなさい。
652－352＝(65＋35)(65－35)＝100×30＝

3000

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P22 【3-2 因数分解 啓林館】

因数分解を利用した計算 啓 P.30

77
BCDE

因数分解を利用して，次の計算をしなさい。
①

252－352542－442＝(25＋35)×(25－35)＝(54＋44)×(54－44)＝60×(－10)＝98×10

＝
78

②

－600

＝

980

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

展開を利用した計算 啓 P.30★式の展開を利用すると，計算が簡単にできることがある。
852＝(80＋5)2(1)＝802＋2×80×5＋52＝6400＋800＋25
＝7225
(2)

28×32＝(30－2)×(30＋2)＝302－22＝900－4＝896
展開を利用した計算 啓 P.30

79
BCDE

展開を利用して，次の計算をしなさい。
①

852＝(80＋5)2②

28×32＝(30－2)(30＋2)＝802＋2×80×5＋52＝302－22＝6400＋800＋25＝900－4＝7225＝

展開を利用した計算 啓 P.30

80
CDE

896

因数分解や展開を利用して，次の計算をしなさい。
①

31×29

② 982

＝(30＋1)×(30－1)＝(100－2)2＝900－1＝10000－400＋4

＝

899

＝

9604

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P23 【3-2 因数分解 啓林館】

展開を利用した計算 啓 P.30

81E

因数分解や展開を利用して，次の計算をしなさい。
①

292② 103×97＝(30－1)2＝(100＋3)×(100－3)＝900－60＋1＝10000－9

＝

841

＝

9991
展開を利用した計算 啓 P.30

82DE

因数分解や展開を利用して次の計算をしなさい。
① 72＋102－132＝(10－3)2＋100－(10＋3)2＝100－60＋9＋100－(100＋60＋9)＝100－60＋9＋100－100－60－9＝100－120－20＝② 82－102＋122－172＋202－232＝(10－2)2－102＋(10＋2)2－(20－3)2＋202－(20＋3)2＝(100－40＋4)－100＋(100＋40＋4)－(400－120＋9)＋400－(400＋120＋9)＝100－40＋4－100＋100＋40＋4－400＋120－9＋400－400－120－9＝－310
展開を利用した計算 啓 P.30

83E

因数分解や展開を利用して次の計算をしなさい。
①

3.04×2.96② 5.12×3.14－4.92×3.14＝(3＋0.04) (3－0.04)＝(5.12－4.92)×3.14＝32－0.042＝(5.1＋4.9) (5.1－4.9) ×3.14＝9－0.0016＝10×0.2×3.14＝

8.9984＝

展開を利用した計算 啓 P.30

84
E

6.28

次の式を計算せよ。

(－0.72)2＋2×0.72×0.58＋0.582＝(0.72＋0.58)2＝(1.3)2＝

1.69

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P24 【3-2 因数分解 啓林館】

85
BCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

式の値の計算 啓 P.31
x＝35，y＝3 のとき，(x＋3y)2－(x＋y)(x＋4y)の値を求めなさい。
[解き方] 式を簡単にしてから代入する。

(x＋3y)2－(x＋y)(x＋4y)＝x2＋6xy＋9y2－(x2＋5xy＋4y2)＝xy＋5y2＝y(x＋5y)＝3×(35＋5×3)
＝3×50
＝150
86
BCDE

式の値の計算 啓 P.31

x＝35，y＝3 のとき，(x＋3y)2－(x＋y)(x＋4y)の値を求めなさい。
(x＋3y)2－(x＋y)(x＋4y)＝x2＋6xy＋9y2－(x2＋5xy＋4y2)＝xy＋5y2＝y(x＋5y)＝3×(35＋5×3)
＝3×50
＝

150

87
BCDE

式の値の計算 啓 P.31
2

x＝63 のとき，x －6x＋9 の値を求めなさい。
x2－6x＋9＝(x－3)2＝(63－3)2
＝

3600

88
CDE

式の値の計算 啓 P.31
2

x＝27 のとき，(x－3)(x－6)－(x－5) の値を求めなさい。
(x－3)(x－6)－(x－5)2＝x2－9x＋18－(x2－10x＋25)＝x2－9x＋18－x2＋10x－25
＝x－7
＝27－7
＝

20

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P25 【3-2 因数分解 啓林館】

89
DE

式の値の計算 啓 P.31

x＝17，y＝5 のとき，(x＋y)(x－y)－x(x－2y)の値を求めなさい。
(x＋y)(x－y)－x(x－2y)＝x2－y2－(x2－2xy)＝x2－y2－x2＋2xy＝－y2＋2xy＝－52＋2×17×5
＝

145

90
DE

式の値の計算 啓 P.31
a＝6.25，b＝3.75 のとき，a2－b2 の値を求めなさい。
a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝(6.25＋3.75)×(6.25－3.75)＝10×2.5
＝

25

91
E

式の値の計算 啓 P.31

a＋b＝5，ab＝4 のとき，a2＋b2 の値を求めなさい。
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4
＝25－8
＝

17

92

式の値の計算 啓 P.31

E

a＋b＝4，ab＝－①9のとき，次の式の値を求めなさい。
4

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×(－
＝16＋

9
2

9
)
4

② (a2－1)(b2－1)＝a2b2－a2－b2＋1＝(ab)2－(a2＋b2)＋1
＝(－

＝

32 9
＋
2
2

＝

＝

41
2

＝

9 2 41) － ＋14
2

81 328 16
－
＋
16
16
16

231
－
16

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P26 【3-2 因数分解 啓林館】

93
BCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

図形の性質の証明 啓 P.31～32
右の図のように，一辺の長さが х である正方形の土地の周りに，幅 a の道がある。
この道の面積を S，道のまん中を通る線の長さを ℓ とするとき，S＝aℓ となる。
このことを証明しなさい。
[解き方] S，ℓ をそれぞれ a，x を使って表す。
[証明]

S＝(x＋2a) 2－x2＝x2＋4ax＋4a2－x2＝4ax＋4a2 …①ℓ＝4(x＋a)＝4x＋4a
したがって，aℓ＝a(4x＋4a)＝4ax＋4a2 …②①，②より，S＝aℓ94

図形の性質の証明 啓 P.31～32

BCDE

右の図のように，一辺の長さが х である正方形の土地の周りに，幅 a の道がある。この道の面積を S，道のまん中を通る線の長さを ℓ とするとき，S＝aℓ となる。このことを証明しなさい。

S＝(x＋2a) 2－x2＝x2＋4ax＋4a2－x2＝4ax＋4a2 …①ℓ＝4(x＋a)＝4x＋4a
したがって，aℓ＝a(4x＋4a)＝4ax＋4a2 …②①，②より，S＝aℓ

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P27 【3-2 因数分解 啓林館】

図形の性質の証明 啓 P.31～32

95
CDE

下の図のように，長方形の 2 辺にそって，幅 a の道路がある。この道の面積を S，道路のまん中を通る線の長さを ℓ とするとき，S＝aℓ となる。このことを，長方形の土地の縦の長さを b，横の長さを c として，証明しなさい。

S＝(b＋a)(c＋a)－bc＝bc＋ab＋ac＋a2－bc＝ab＋ac＋a2

…①

1

1

＝b＋c＋

1
1
a＋ a
2
2

ℓ＝(b＋ 2 a)＋(c＋ 2 a)＝b＋c＋a
したがって，aℓ＝a(b＋c＋a)＝ab＋ac＋a2…②①，②より，S＝aℓ

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P28 【3-2 因数分解 啓林館】

96

図形の性質の証明 啓 P.31～32

BCDE

半径 r の池の周りに幅 a の道がついている。道のまん中を通る線の長さを ℓ とすると，道の面積 S＝aℓ になることを証明しなさい。

外の円の面積は π(a＋r)2
中の円の面積は πr2だから，道の面積 S は，

S＝π(a＋r)2－πr2＝π(a2＋2ar＋r2)－πr2＝πa2＋2πar＋πr2－πr2＝πa2＋2πar
また，ℓ＝2π(

…①

a
＋r )
2

＝πa＋2πr
よって，aℓ＝πa2＋2πar①，②より，S＝aℓとなる。
図形の性質の証明 啓 P.31～32

97
E

…②

縦が a cm 横が b cm の長方形がある。この長方形の縦を 6cm 長くし，横を 3cm 短くして長方形を作ると，その面積はもとの長方形の面積と等しくなった。a を b の式で表しなさい。
(a＋6)(b－3)＝ab
ab－3a＋6b－18＝ab－3a＝－6b＋18
a＝2b－6

a＝2b－6

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P29 【3-2 因数分解 啓林館】

図形の性質の証明 啓 P.31～32

98
E

右の図のような正方形で，色をつけた中の四角形の面積を求めなさい。

(答えは計算をしてできるだけ簡単にしなさい。)(色をつけた中の四角形)＝(正方形)－(三角形)×4(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2
x×y÷2＝xy2

xy×4＝2xy2x2＋2xy＋y2－2xy＝x2＋y2

x2＋y2
図形の性質の証明 啓 P.31～3299
E

右の図の斜線部分の面積を求めなさい。

a＋b 2
a
b
(
) π÷2－( )2π÷2－( )2π÷2
2
2
2
a＋b 2
a
b
＝{(
) －( )2－( )2}π÷2222(a＋b)2 a2 b2＝{－ － }π÷244
4a2＋2ab＋b2 a2 b2＝{－ － }π÷2
4
4
4
＝

2ab
π÷2
4

ab
π
4

ab
＝ π
4

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P30 【3-2 因数分解 啓林館】

図形の性質の証明 啓 P.31～32100E

右の図で AC：CB と面積 P：Q の間にはどんな関係があるか答えなさい。
x

x＋y 2
x
y
P＝( )2π÷2＋() π÷2－( )2π÷2
2
2
2
＝{(
＝(
＝(

C

x 2 x ＋y 2
y) ＋() －( )2}π÷2222x2 (x＋y)2 y2＋－ )π÷24
4
4x2 x2＋2xy＋y2 y2＋－ )π÷24
4
4x＋ y 2xyQ＝() π÷2－( )2π÷2＋( )2π÷2
2
2
2

＝

2x2＋2xyπ÷24x ＋y 2xy＝{ () －( )2＋( )2}π÷2
2
2
2

＝

x2＋xy
π÷2
2

(x＋y)2 x2 y2＝{－ ＋ }π÷2
4
4
4

＝

xπ
(x＋y)
4

＝{

x2＋2xy＋y2 x2 y2－ ＋ }π÷244
42xy＋2y2
＝
π÷2
4
y2＋xy
＝
π÷2
2
yπ
＝
(x＋y)
4
xπ
yπ
P：Q＝
(x＋y)：( x＋y)
44＝x：y

AC：CB＝ P：Q＝AC：CB101
DE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

学びを身につけよう 啓 P.36～37
次の㋐と㋑において，計算結果が小さくなるのはどちらですか。式の展開を利用して，説明しなさい。
㋐ 201×199㋑ 202×198[説明] 200 を x とすると，㋐ 201×199＝(x＋1) (x－1)＝x2－1㋑

202×198＝(x＋2) (x－2)＝x2－4

よって，㋑が小さい。

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P31 【3-2 因数分解 啓林館】

102

学びを身につけよう 啓 P.36～37DE

次の㋐と㋑において，計算結果が小さくなるのはどちらですか。式の展開を利用して，説明しなさい。
㋐

201×199㋑ 202×198

200 を x とすると，㋐201×199＝(x＋1) (x－1)＝x2－1㋑

202×198＝(x＋2) (x－2)＝x2－4

よって，㋑が小さい。
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