分数の計算とトランプの数学 ∗飯高 茂（学習院大学理学部教授）

シャフリング

1

トランプで遊ぶときにはよく切ることが大切です. トランプのカードを２つに分けて, それを交互に混ぜ合わせて切ることをシャフリングといいます.
高度なシャフリング技の持ち主は多くの尊敬を集めることができますね. さてシャフリングをした結果, カードはどんな風に並ぶのでしょうか. それを次に考えてみます.
簡単のために, １０枚のトランプでシャフリングをしてみます.
最初は（便宜上, Ａのカードを 1 とした）

12345678910
です. さてこれを２つにわけて12345 678910とし, 右側から始めて交互に並べると, 次のようになります.

61728 394105
確かに, 順番が見事に乱れていることがわかります.
これを繰り返すとどうなるでしょう. 実は, ここに面白い数学が隠れているのです.
最初はもっとやさしい分数の計算をしてみます. 皆さんも計算してくださいね∗ 藤岡市おもしろ数学教室 (２００７年１０月２４日鬼岩中学校体育館，出席者全校生徒
２００名ほどおよび教員その他)

1

2

分数の計算
1を縦書きの計算で小数に展開してください7「誰でもできると思うけど, 君やってくれる？ やってくださいね. ありが問題 分数とう.」07).
114285705540907320821046506431

1= 0.142857142857142857 · · · = 0.1̇42857̇
7こういう分数の計算は, 日本の生徒さんの得意とするところなのです. 日本のように分数の計算をきちんと教える国は現代の世界では珍しい部類に入ります. 多くの国での学校教育で計算は電卓に頼っています. だから, 小数の計算しかできないのです. 君たちは何の苦もなくこういう分数の計算ができることを誇りに思って良いのです.
この種の機械的計算には十分なれていますね. 次に帯分数で計算をやり直してみましょう.

103= 1 + (帯分数に直して，分子を１０倍してつぎに)
7730
2= 4 + (同じようにして続ける)
77620=2+7760
4=8+7740
5=5+7750
1= 7 + (分子に１が出た．これからは繰り返し)
77
かくしてできた数列 {1 4 2 8 5 7} を 商の列, 数列 {3 2 6 4 5 1} をあまりの列，周期は 6 といいます．

商の列としてでてきた数 {1 4 2 8 5 7} はとても面白い性質をもっています. ６個の数からできているので, ２分してできた 1 4 2 と 8 5 7 とを足してみましょう.（表１）
表 1:+)

142857999

さらに３分してできた 1 4 と 2 8 と 5 7 とを足してみましょう.（表２）
こうして何度も９が出てきました.
ついでにあまりの列も足してみよう.（表 3）
ボーイングの飛行機 Ｂ－７７７ が出てきました. 不思議ですね.
1問題 分数を縦書きの計算で小数に展開してください
111
問題 分数を縦書きの計算で小数に展開してください13表 2:+)14258799表 3:3+)

問題 分数

3

2

64

5

17771を縦書きの計算で小数に展開してください
17６進法で計算

1の計算は易しいのですが, １０進ではなく６進法で計算してくだ
11さい. 実はかなり面倒です.
やってみましょうね. 誰かやってみてください. やり方は帯分数に直したあと, 分子を１０倍ではなく, ６倍してするのです（結局, 講師自身がする羽目になってあわてた）.
さて

66=0+
(帯分数に直して，分子を 6 倍してつぎに)1111336=3(帯分数に直して，分子を 6 倍し, 同様に続ける)
1111187=11111942=3111154
10=4111160
5=5111130
8=2111148
4=4111124
2=2111112
1=11111
分子に１が出たので, 元に戻ります. かくしてできた数列 {0 3 1 3 4 5 2 4 2 1 }が 商の列, 数列 {6 3 7 9 10 5 8 4 2 1} があまりの列，そして周期が１０です．

余りの列には 1, 2, 3, · · · , 10 が全部出てきましたが, その並び方はすごく違いますね.

{0 3 1 3 4 5 2 4 2 1 } を 2 分して表 4:+)1の６進展開11053214324155555

今度は, ５が並びました. １学期の成績と２学期の成績を足したら, 全部５になった. すごいですね.
1問題を７進法で計算してください.
134

シャフリングを繰り返す
１０枚のカードを使ったシャフリングの話に戻ります. 生徒さんに出ていただいて, シャフリングをしてもらいます. ここにトランプがありますから,これで実際にシャフリングをし, その結果を別の人に書いてもらいます.（実は, 転記ミスがでてうまくいかない. 講師がやり直した）
さて, できた表を見ると５回繰り返した結果逆順になることがわかりました. さらに５回すると元に戻ります. すなわち, １０回繰り返すと, 元の並び順に戻りました.
これは驚くべきことですね. シャフリングを繰り返すと, トランプをよく切ることになるのだから, 切れば切るほど, 並び順が複雑になりそうなのですが,繰り返した結果元に戻ってしまったのです.
この結果があらかじめ分かっていれば, これを利用して得をすることができますね. トランプでずるいことをするのと違います. 元に戻る回数を数学の力であらかじめ知ってこれを利用することができます. 知識は力なりですね.
表での左端の数は回数を示します. そこで３列目の数を縦に眺めてみましょう.
1
これは, どこかで見た数です. そうです. 11を６進法で小数に展開してでた数がでてきました. トランプが分数の計算を自分でしていたのです.
４列目の数をみると, ３列目の数を縦にずらしてできた数です. 上と下をつないで, 時計のようにした方がわかりやすいでしょうね.

図 1: ３列目の数

回数

1234567891012663167921843791042105583731062951844975311086425610591084796358423721167884582110579421691063379102142638410516375879910

表 5: １０枚トランプ

図 2: ４列目の数

表 6:
最初のカード

12345678910

回転度数

109286137455

数はどうなっているか
最初のカードの数は 1 であすが, シャフリングした結果, 最初の数字は６になりました. そこで, 試みに他のカードの数も６倍してみましょう. すると,シャフリングした結果の数の求め方がわかります.
すなわち, カードの各数を６倍します. ただし１１を超えたら１１を引くのです. これで, シャフリングした結果がわかるのです.
例えばカードの数が５ならどうなるか？ ６倍して３０. そこで, １１を２回引きます.
３０－１１－１１＝８だから, ８になる. 確かに, シャフリング後の, ５番目のカードには８がきています.
さらにシャフリングをくり返すとどうなるでしょう. シャフリングを１０回すると, 元の並び方に戻るのです. ５回シャフリングすると
１０，９，８，７，６，５，４，３，２，１となり, 逆順になることがわかります.

6

トランプのカードジョーカーを除くとトランプのカードは５２枚ありますね. このときは, ２６回シャフリングしてようやく, 逆順になり, さらに２６回すると元に戻ることがわかります.
1
シャフリングを分数の計算で行うと, 53について, まず分子を２７倍します.

さらに分子を２７倍してから, 帯分数に直し, その真分数部分の分子を２７倍して, また帯分数に直すことを繰り返すと, 分子の部分にシャフリングをした
ときの, １枚目のカードの数が順に出てきます.
分数の計算としては結構大変な労力が必要です. そこでエクセルに任せてやってもらいましょう. コンピュータですの準備をします.
（教育委員会で用意したｗｉｎｄｏｗｓ２０００にｕｓｂのメモリーを差すと, 再起動を要求したりで時間がかかる. 仕方ないから急造のネタでしのぐ）「ところで, 平方根を知っていますか？ √２を 『一夜一夜にひと見頃に』などと言って覚えますね. えっ, 知らないですか（後で, きいたら, 中学３年で平方根を学習するのだそうだ）」「 いいことを教えてあげよう. 『次郎, 四股名, 五井さん』というんだ. 言ってみよう. これは大輪教授に考えた√７の新しい覚え方です.」
ようやく, プロジェクターにエクセルの表が写るようになりました.
２枚のジョーカーを加え, ５４枚でシャフリングをすれば１０回で逆順, さらに１０回するれば, 元に戻ります. この場合は, ５２枚の時, ５２回で元に戻ったのと比べれば, 案外簡単になったと言えます.

図 3: カードは５２枚

トランプでは, よく切ることが大切です. シャフリングを鮮やかにして, さらに繰り返せばますます良く切ったことになり, 分からなくなりそうですが,５４枚でシャフリングをすれば, １０回で逆順なのだから, これを知っておいて, トランプ手品に見せかけたら, きっと大受けするでしょう.
しかし, シャフリングを正確にするのは, よほどの名人でないと難しいです
ね. ときどき, 失敗してすうまい落として, それを入れ直したり, すると, 下手ですから, きっとそんなことをしてインチキしていると思われるかもしれません.
実際には, そういった失敗があるため, 予測しがたいシャフリングになるのでしょう. 結果として, うまくトランプが切れれば, それでＯＫです.
シャフリングにはいろいろな方法があるそうです. たとえば, ある惑星に住む生物は手が３本ありそれで, トランプのシャフリングをするとしましょう.
彼らはトランプを３つに分けて巧みに合わせているかもしれません. 人間が３に分けるシャフリングをするのは難しそうですが, 実際トランプの本にはそのやり方が説明してあります.
シャフリングの新しいやり方をいろいろ工夫することができます. どんなやり方でもいいのですがそれを繰り返すと, いつの間にか必ず元の並び方に戻ります. これは数学での群論にある定理です. これは非常に不思議なことです.
トランプを切るとき, 繰り返して十分よく切りますね. こんなに, 繰り返したから, カードの順番はめちゃくちゃになってと思うのが常識です.
しかし, 数学の定理によればある回数だけ繰り返すとと必ず元に戻るというのです. 切ったことにならないのです. ５２枚で普通のシャフリングをすると, ５２回してようやく元に戻ります.
一般に, ２ｎ枚のカードで普通のシャフリングをすると, ２ｎ回してようやく元に戻ったとすると, ２ｎ＋１は素数になる, という数学の定理があります.
５２＋１＝５３は素数ですが, ５４＋１＝５５は５でわれるので, 素数ではありません. ５３は素数だという事実の中にトランプの面白さの秘密があります. このように, トランプには面白い数学が隠れています.
講演の後, 質疑応答の時間があった. 意外なことに中学生は次から次へ質問が切れ目無く出た.