秩序なし＋ギャップなしのドロドロ三つ巴液体状態を求めて
Keyword: スピン液体
1.

はじめに味といえる．さらに電荷の自由度が付加されると，高温超伝スピン系とは，空間に電子などが固定されて，そのスピ導のようなエキゾチックな状態までも生じる可能性がある．

ンだけの自由度を議論するモデルである．統計力学の講義
でモデルとして扱われることからわかるように，スピン系の物理は相当理解されている．多くの場合，スピン間相互3.

スピン液体の分類学

スピン系といえども，フラストレーションがあると量子作用によって低温でなんらかの長距離秩序が発生する．長モンテカルロ法などで負符号問題が生じ，低温の状態を調距離秩序が発生しない場合には，基底状態からの励起状態べるのが大変困難になる．そのため，スピン液体についてがエネルギーギャップを持つ「スピンギャップ」状態になの明確な理論は完成していない．図 2 の表は，スピン液体ると考えられている．1 次元の Haldane gap が有名である．

3）の分類をかなり大胆にまとめたものである．

このようにスピン系といえば，長距離秩序を持つか，ス表中一番上の欄は通常の長距離秩序がある場合である．

ピンギャップを持つかという 2 つの状態で話が終わると思2 番目の valence bond solid（VBS）は，スピン液体の一種とわれてきた．図 1（a）は一般的に信じられている相図である．

いうこともあるが，むしろ「固体」と呼ぶべきものであり長距離秩序もなくスピンギャップもない状態は，量子臨界スピンギャップを持つ．valence bond というのは 2 つのス点の 1 点でしか存在しない．スピンギャップ相からアプロ

ピンがスピン一重項を形成したもので，それが図 3（a）のーチすると，スピン励起のギャップが 0 となったときに，ように格子上にきちんと並んだ状態が VBS である．

スピン励起がボース凝縮して長距離秩序になると考えても3.1よい．

RVB 状態

表の 3 番目以降がスピン液体．図 3（b）では，valence bond

し か し 最 近， κ-（BEDT-TTF）2Cu（CN）
2
3 や EtMe3Sbが格子上に敷き詰められている状況は VBS と同じである［Pd（dmit）2］2 などの物質において，長距離秩序もなくスピが，その位置は固定されておらず，いろいろな配置の状態ンギャップもないようなスピン系が見つかっている． こが量子力学的な重ね合わせとなっている．この重ね合わせれをスピン液体という．実際，NMR などにより低温まで長を共鳴と呼んで resonating valence bond 略して RVB という．

1）

距離秩序が生じていないことが確認されるとともに，比熱や熱伝導の実験によって励起状態にエネルギーギャップがない（またはあっても非常に小さい）ということがわかっている．ここではスピン液体の理論についてまとめてみる．

2.

フラストレーション

まずどのような状況でスピン液体が生じるかを考える．

長距離秩序をこわすには，図 1（b）のように 3 番目のスピンがどちらを向いてもエネルギーが変わらないような状況を

図 1 （a）一般的な相図．横軸は適当なパラメータ．
（b）フラストレーション．

2）
考えればよい．これをフラストレーションという．
（日本語では，三つ巴・三すくみ，などと言う．） 例えば反強磁性三角格子・カゴメ格子・パイロクロア格子などがこの性質を持つ（長距離相互作用によるものも可能）．図 1（a）の横軸はこのようなフラストレーションの度合とみなされる．
ここで，相互作用が反強磁性であることが重要である．
この場合，スピンが 2 つだけでも基底状態はスピン一重項1/ 2（|↑↓〉−|↓↑〉）となり，この時点ですでに 2 つの状態の線形結合という量子力学的状態になっている．格子構造が幾何学的フラストレーションを持つ系に反強磁性相互作用があるというシンプルなハミルトニアンから，本質的に量子力学的な液体状態が生じるところがスピン液体の醍醐
130©2014 日本物理学会

図2

スピン液体の分類．

日本物理学会誌

Vol. 69, No. 3, 2014

つ壊れて，2 つの自由スピンが準粒子として振舞うと期待されたものである．この励起のために，温度 T に比例した電子比熱のようなものが得られると期待されている．
また（1）式で「超伝導」ギャップが d 波超伝導のようなノードを持つ場合も考えられる．この場合，励起がちょうどDirac 電 子 系 と 同 じ よ う な 分 散 関 係 を 持 つ の で，spinon
Dirac cone と呼ばれる（表の最下段）．algebraic spin liquid と呼んでいる研究者もいるが，実体は RVB 状態の 1 つである．
これら 2 つのスピン液体状態では，spinon がゲージ場と結合するとして，場の理論的な議論もされている．
3.3
図 3 各種のスピン状態．赤い○で囲まれた 2 つのスピンは，スピン一重項を形成しているとする．

RVB type II

表の 4 番目の RVB type II は非常に特異な状態で，理論的に未解明である．とくにカゴメ格子で実現しているのでは3）ないかと考えられている．
少数系でのハミルトニアンの1 つのスピンに着目すると，その valence bond の相手は時々

厳密対角化によると，この系には長距離秩序がなく，かつ刻々変化していると考えてもよい．その意味で「液体的」S＝0 の励起状態が基底状態のエネルギー近傍に異常に密な状態である．ただし重ね合わせの数は膨大であり，かつ集して多数存在していることがわかっている．このことは，それぞれの状態の係数がどのような値であるかは，はっき実験的に低温比熱の異常として見られるはずである．さらりとわかっているものではない．に最近では cuboctahedron 型と呼ばれる非常に風変わりな

ただし，そうは言っても記述することは可能である．P.

5）
り，カゴメ格子のスピン系はとても面白い．

W. Anderson は 1987 年に高温超伝導の候補として

PG | BCS 基底状態〉＝PG ∏ uk + vk ck†↑c－† k↓ | 0〉

スピン構造が実現しているのではないかという議論もあ（1）kという状態を考えた．4） PG は右側の波動関数から↑と↓の

4.

有機物でのスピン液体

最初に挙げた有機物でのスピン系は，異方的 2 次元三角電子が同じ格子上にいる状態を排除するという演算子であ格子上で実現されている．図 2 の表に従って考えると，ギる．格子の数と電子数が同じ場合，この演算子のおかげでャップや比熱の実験などから，超伝導ギャップの小さい電子は格子上に隙間なく敷き詰められて動くことができな

RVB type I か spinon Fermi surface がスピン液体の候補と考くなる．実際（1）式を実空間で表すと，確かに図 3（b）のよえられる．ただし，後者は数値計算などでは安定解としてうな RVB 状態になっていることがわかる．身動きできな見つかっていない．また，仮想的にではあるが spinon Fermi

いクーパー対が valence bond となっていて，図 3（b）の様々surface を仮定してゲージ場との結合を考慮すると，比熱がな配置の係数は uk と vk によって決まる．つまり（1）式は，

C ∝1/T 1/3 などとなって，実験結果と合わないこともわかっ明示的に書き下された RVB 状態の 1 つなのである．ている．筆者は spinon Fermi surface に限りなく近い RVB

実際，正方格子ではこの RVB 状態と反強磁性が共存しtype I であって，ゲージ場との結合が無視できるものと考たものが最もよい変分波動関数であることがわかっていえているが，まだ理論的には決着がついていない．

る． さらにこれにホールが導入されれば，電子が動ける

参考文献

4）ようになって，ただちに強相関の超伝導状態に移行できる
4）と考えられ，高温超伝導の候補の 1 つとなっている．

3.2

その他のスピン液体

RVB 状態の応用として，「超伝導」ギャップを 0 とすれば
PG | FS〉= PG ∏ ck†↑c－† k↓| 0〉| k |< k F（2）という状態になる．この状態は表の 5 番目の spinon Fermi

1）レビューとして，K. Kanoda and R. Kato: Ann. Rev. Condens. Matter Phys.
2（2011）167.
2）ま と ま っ た 本 と し て，Introduction to Frustrated Magnetism, ed. by C.
Lacroix, et al.（Springer, 2010）.
3）C. Lhuillier and G. Misguich: cond-mat/0109146 参考．
4）い ろ い ろ と 詳 し い 事 柄 に つ い て は，M. Ogata and H. Fukuyama: Rep.
Prog. Phys. 71（2008）036501 を参照．
5）L. Messio, et al.: Phys. Rev. Lett. 108（2012）207204.

surface である．フェルミ面が存在するような形に書かれているが，PG のために電子は動けず絶縁体であるのは変わ

小形正男〈東京大学大学院理学系研究科〉（2013 年 9 月 16 日原稿受付）

りがない．spinon とは，図 3（c）のように valence bond が 1
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