数とは何だろうか＊
上野 健爾

はじめに
万物は放であるといったのは古代ギリシアのピエタゴラスですが，今日，私たちのまわりではたくさんの数が飛び交っています．今日の降水確率は60％，昨夜の地．しかし，このよ
震のマグニチュードは5．6，我が国の国内総生産は500兆円，…‥
うに数を自由に使えるようになったのは比較的最近のことです．このことは，言い換えると数の世卯は∬いのほか複雑であることを意味します．今日は，数の不思議な世界を覗いてみたいと．酎、ます．特に，多くの人が疑問に持つ
1）なぜ0で割ることができないのか？

2）マイナス×マイナスはなぜプラスなのか？
3）分数のわり算では分母と分子を逆にして掛けるとなぜ正しい答えがでるのか？

といったことを中心に訪を進めたいと．思います．こうした疑問は，実は数学の奥探いところと関係していて話し出すとどれだけ時間があっても足らないほど面白いことがあります．
また，ここ藤岡市は関孝和にゆかりの深い地ですが，関孝和は傍書法という名前
で文字式を和算の世界に導入し，和算の発展の基礎を築いたことでも知られています．1、2，3，4と具体的に数を記すかわりに、αや∬という文字を使って数を記す
ことによって数学は深まってきました。数と式の深い関係がこれからの訪で少し理解してもらえることを期待します．

1 数の記法今日でほ，アラビア数字が使われていますが，このアラビア数字はインドにその源を持ち，アラビアを通してヨーロッパに伝わって来ました．インドや中近東では●2000年10月13日に行われた藤岡持主催の「おもしろ数学教室」での講演に基づき加筆修正したものです．

数とは何だろうか（上野鯉爾）

0︵U・
ハレ
ハレ

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5
6

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9一卜dJdノ0︺打Jのノ9︵リqノ世那アラビア数字l「「ミC「∨∧？

只じくqd〟叫口分じ片︶00gU只UOU

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14世紀

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10世紀

5∪∴Uし︵Lu・hリG．−りり・仁ノ−

4世紀

4gy甲甥もぷ4β戚

100項

3㍉JZ−乏そ巾ヲ333

−

ゴパル数字
（西カアラブ）

2﹁＼フ﹂7L7レフリn∠27Jln−■■

インド神聖数字唱−−−

図1：西洋におけるアラビア数字の変遷

今」lではアラビア数字と少し違った数字を使っています．我が国では中国から伝わった携数字を長い間使ってきましたが今日ではアラビア数字と漢数字が併用されています．こうした数の表記法は今日では10進法が使われ、位取り記数法を使って表されます。10進法による位取り記数法では0から9までの数を使ってすべての数を表しています。たとえば123は10進法位取り記数法では百二十三を表します。このように数を位取り記数法を仕って記すと、どんな大きな数でも簡単に記せることになります。洪字のように百、千、万、億といった数字を表す文字を用意しなくても0から9までの数を使ってすべての数を表すことができる10進法に基づく位取り記数
法は大変便利です。

ところで、現在の世界でも様々な数字の表し方が使われています。
￣it「代坤匡lでは数字は漢字で表す−一方で、実際に計算では算木（正確には算砦（さんちゅう）という）を使って数を表し計算していました。この方法は長く中国で使われ、我が国でも江戸時代に盛んになった和算でも算木を使った表記法が実際の計
斜二では佗われました。算木を使った表記法では図3のようになります。これは実質的に10進法による位取り記数法になっています。
位取り記数法は何進法を恍うかによって表す数が逼ってきますので注意が必要です。古代バビロニアでは60進法が使われていました。これは今日でも1時間は60分、1分は60秒を使うところにその名残が見ることができます。

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テ ル グ

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マラーティーサンスクリット

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ア ラ ビ ア
現代ベルシア：†▼て†つ＼○︑﹁︑さ○つ︑＼︑2丘Jつ（言語亀）

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数とは何だろうか（上野健爾）

オリヤーし夕甲Y訳99「マ■ラヤーラム卦M痛㈲り町川灯
シンハラ叫〜恥甲恥∂計？Q拍
タ ミ ル飢川繹㈲卸花纏綿

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ビ ル マ〇Jモ？3G？neo
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ラ オ スのd￡ム漁訂孔記紀0ジ ャワ¶宮田ム9く即戎餌β
中国一二三四五六七人九○
図2：アジアの国々の数字≡ ＝ 墓 l

一位
百仕
方位

2

l

十位
千位
4391

図3：算木（算筆）による数字の表記≡⊥±≡主≦≡

数とは何だろうか（上野健爾）

表面

某所

l対4：ハ代バビロニアの精一卜椒

図4は一l■イレヤビロニアの粘土板です。数表であることは昔から分かっていました。
−rt】イレ〈ビロニアの楔形文字での数字の表わし方はよく知られていました。粘土板．

のノ1二側には1から16までの数字が書かれていることがすぐ分かります。図5から分かるように59までの数字は10進法も初の二つの数は25×1＝25，25×2＝50を表わしていると考えられます。しかし、その次の数は25×3とは遠います。古代バビロニアの数学を研究していた人たちは困惑してしまいました。1二㌧代バビロニアでは60進法が使われていたことはよく知られていたのですが、数字をどのように記していたかは長い間分からなかったのです。

1920年代になって0．ノイゲバウアーが古代バビロニアでは60進法に基づく位耽り
記数法が使われていることを発見してこの問題は解決しました。右側の3番目の数は10進法の115ではなく、1と15の組み合わせで、15は60進法の1の位、1は60
進法の60の位と見ると60＋15＝75＝25×3となります。これは11時問15分は75分ということと実質的に同じ計算です。次の数字の140は60の位が1、1の位が40となる数ですので
60＋40＝100＝25×4

数とは何だろうか（上野健爾）

5

4

3

l▼
▼▼ 6
▼l

▼

▼

▼1

l

▼

1

2

イヰイ

†††
†

30

7

▼
▼ イ

▼
イ

■︑川

▼▼▼
▼▼▼ 9
▼▼▼

ァー8

I††

■W

†叩 ■イイ††

15

2

35

図5：楔形文字の数字となります。さらにその次の数字205は60の位が2、1の位が5の数を表わしますので−2×60＋5＝125＝25×5
九九ならぬ五卜九五十九の掛け算の25の段の数表であることが分かったのです。

ここで、・・つ記号を使うことにしましょう。数αをれ回掛けることをαれと書くことにします。
αn＝α×‥・×α．
し

Y

ノ
ーl

たとえば602＝60×60＝3600，103＝1000となります。この記号を使うと60進法で呈「かれた数たとえば60進法の8612を10進法の数に直すにほ8×603＋6×602＋1×60＋2＝1749662と計第すれば良いことが分かります。60進法では1から59にあたる数を表す記号が必婁になりますが、古代バビロニアでは数字は本質的には1から9にあたるものし
か位わず、59までの部分は実質的に10進法の位取り記数法を使っていたので、数学史家が混乱してしまったわけです。。

鮎斗仮には、たとえば58 39 25と書かれていました。これを10進法の583825
ではなく60進法の記法で10進法の数

582＋39×60＋25を表していたわけです。古代バビロニアでは数字0はありませんでした。位取り記数
法で数字を表すときに0にあたる部分は空自で記されています。位収り記数法としての0はあったけれども数字としての0の認識はなかったと歴史家は考えています。
ところで、・−−411は24時間で午前、午後がそれぞれ12時間であるのは12進法の名残です。英語の数詞で11はeleven，12はtwelve13からthirteen，forteenと続くのも12進法の名残です。しかし、21からはtwenty−One，tWenty−tWOと10進法になって数とは何だろうか（上野健爾）

います。フランス語では20進法の名残を見ることができます。80はquatre−Vingts（20の4倍）、82はquatre−Vingt−deux（20の4倍と2）90はquatre−Vingt−dix（20の4倍と10）と言います。10進法は私たちの指が両手で10本に由来し、12進法は親指を除いたそれぞれの指は関節によって3つの部分に分かれ、片手の指4本で12個あり、その部分を親指を数えると12まで数えることができることによると言われています。20進法は両手両足の指の数が20本あることによると思われます。20進法はマヤ文明で使われていました。

2 負の数
数

1，2，3，4，5，6，．‥は自然数と呼ばれます。フランスのように自然数に0を加える国もあります。何を自然数と呼ぶかは約束ですからどちらが正しいかという問いは意味がありません。
ただ、外国の本を読むときに注意する必要があります。

0が発見されたのはインドであると言われています。既にそれ以前古代バビロニ
アで位取りで0にあたる部分は空白で記されていましたが、明確に0と言う数が意識されていなかったと言われています。0と言う数は何もない状態を表す数であり、インドの空の一陽想と関述して、0が誕生したと言われています。ただ、歴史的に残された一番古い0の使月封ま今l］のタイヤカンボジア地域であり、インド文化圏と中国文イヒ圏が川会った所とされています。もちろん、残された資料は年号ですから10進法の位取り記数法を煙った計算の中でも本当に0が使用されていたのかという疑問は残ります。しかし、いずれにしても0があるおかげで
5−5＝0という計算を記すことができるようになったわけです。0の大切なはたらきはどのような自然数mを持ってきても
m＋0＝m，0＋m＝mが成り立つことです。

ところで、自然数と0の世界では足し算は自由にできますが、3−5のように引き算はできるとは限りません。そのために負の数を考える必要が出てきました。負の数の昭利としてよく借金を使って説明がされます。1000円の借金は−1000を表すと考えます。今、手元に3000円あり2000l・lJ借金をしていると、借金を返すことを考えると実掛軸二手元にと1000日残ります。これを3000＋（2000）＝1000

数とは何だろうか（上野健爾）の計算の説明に位うことができます。もちろん−2000＋3000＝1000と計算してもかまいません。しかし、これはあくまで負の数と正の数の足し算の・つの説明であってマイナス掛けるマイナスがプラスになる事の説明には伴えません。
借金と借金を掛け合わすことはできません。負の数は引き算をする必要から登場しましたが、足し算と0をもとに説明することができます。たとえば−31は自然数31をもとにして31＋（−31）＝（−31）＋31＝0となる数であると考えることができます。足し算ほ足す順序によらないことを強調したかったので二つの式をまとめて一緒に記しました。
上の式は言い換えると
0−31＝31と−31を決めることと同じになります。ここで大切な役割をするのは引き算は足し算の逆であるという事実です。文字をつかってこのことを説明しますと、引き算α−♭の答えがcである
α一占＝Cということはc＋占＝αとなる数cを見つけることに他ならないということです。具体的の例で説明すれば
500−700＝−200であることほc＋700＝500となる数cが−200ニぐあることを意味します。500日手元にあって700円借りると実質的な借金は200円であることが500−700＝一200の【・つの意味づけです。このことと500円手元にあるが700円必要があるとき200円借りればよいというのが−200＋700＝500の一つの解釈になります。このように整数の足し算、引き算の意味づけてとして借金と手元にあるお金を使うことができますが、これはあくまで一つの説明であって、掛け算の場合はこれでほ説明できないことに再度注意してください。

ところで、上の説明を使えば0−仁36）＝36▲般には0−（−α）＝αであることはすぐ分かります。C＋トα）＝0となるcはαだからです。この事実を−（−α）＝αと記すことがあります。また、α十（一−わ）＝α一占であることも言えます。

数とは何だろうか（上野健爾）

次に掛け算と割り算を考えましょう。自然数では掛け算は自由にできました。掛け算の意味は自然数の範囲内ではα×わは数αを占回足すことであると説明することができます。たとえば
5×3＝5＋5＋5＝15です。このように自然数の掛け算は同じ数を繰り返す足すことを表す記号だと解釈することができます。しかし、この解釈ですと
5×（−3）＝−15の説明はすぐにはできないことになります。負の数を含んだ掛け算には別の説明が必要になってきます。上の例ですと、掛け算は掛ける順番によらないので
5×（−3）＝−3×5＝（−3）＋‥イ（−3）＝−155と考えると、以前の掛け算の解釈を使うことができます。しかし、掛け算は掛ける
順序によらないことは自然数では明らかですが、負の数まで含めて正しいのだろう
かと疑問を持つひともいるでしょう。実は整数の掛け算をきちんと定義しようと思うと掛け算は掛ける順序によらないと約束する必要があります。この約束をすれば負の数掛ける正の数が負の数になることが、上のように負の数を何回か足すことと解釈できることから分かります。

しかしながら、これでも負の数掛ける負の数の計算をどうしてよいのか分かりません。そのためにはもう▼一つ約束をする必要があります。それは整数の足し算、引き算と掛け算とを結びつける法則結合法則がすべての整数で成り立つことを約束することです。糾合法則は文字を佗えば
α×（む＋c）＝α×む十α×Cと表されます。掛け算mxmを経と横がそれぞれm，rlの面接を表すと解釈すれば、この結合法則は長方形の面積を使って簡単に説明できます。
しかしながら、この面積の説明では負の数を含む掛け算に対してはきちんとした
説明ほできません。面積をつかうことはあくまで−一つの説明です。数学の立場からは分配法則がすべての整数の計馴二村して成り立つことを約束することによって負の数を含む掛け算を説明することができるのです。また、掛け算は掛ける順序によらないことも上で述べたようにいつも約束します。

分配法則が成り立つことを約束すると負の数の掛け算がどのようになるかが明ら
かになります。そのためには、まず0の役割をはっきりさせておく必要があります。
0＋0＝0ですので、すべての整数αに対して
α×（0＋0）＝α×0

数とは何だろうか（上野健爾）

図6∵長方形の両横と分配法則が成り立ちます。・・一方、分配法則から
α×（0＋0）＝α×0＋α×0が成り立ち、二つの式を合わせるとα×0十α×0＝α×0

が成り立ちます。この式の両辺からα×0を引くと
α×0＝0が成り立つことが分かります。すなわち、すべての整数αを掛けると0になることが分かります。αが正の整数であればα×0＝0×αは0をα回足すことを意味する
ので結果は0であることは明らかです。しかし、この説明はαが負の数の時は使えませんが、分配法則が成り立つことを約束することによって、いつでもα×0＝0を示すことができるわけです。

ではなぜ0でわることができないのでしょうか．割り算
α÷ら＝C
は
c xム＝αとなる数cを求めることを意味します。一般には整数の範囲でcを求めることはできませんので分数が必安となりますが、このことについては次節で説明します。

数とは何だろうか（上野健爾）

さて
α÷0＝C

と割り算ができたとしましょう．割り算は掛け算の逆ですのでこれはcxO＝αを意
味します．するとα＝0でなければなりません．ですから，まず，0以外の数を0で割ることはできないことが分かります．では0÷0はできるのでしょうか．0÷0＝Cとおくと，CXO＝0となる数cを見つけることになりますが，実はどのような数でも0を掛けると0になります．したがって答えが無数にあることになります．しかし割り算の答えは▼一つでないと困るので，0を0で割ることは禁止します．
このように考えてくると，数の計算はずいぶん難しいと思われるかもしれません．実際に，数の計算は数学の大切な基礎になっています．数の計算原理をもとにたくさんの数学ができあがっています．たとえば，0を0で割ることはできないことを言いましたが，このことをさらに深く考えることによって微分という考え方に到達します．私たちが，H頃何げなく行っている計算の先には広大な数学の世界が拡がっています．

さて、次にm，mを整数としましょう。
m十（一れ）＝0ですので

mx（m十（−m））＝mXO＝0
が成り立ちます。一方、分配法則から
mx†m＋（一円））＝mXm＋mx（一れ）が成り立ち

mxm十mx（−m）＝0となります。この両辺からm x乃を引くとmx（一m）＝−（mxm）
が成り立つことが分かります。このことはm，mが自然数であればmx（−m）＝一円Xmを使って説明することができます。しかし、上の方法ですと負の整数の場合も含んでいます。
さて、上の計算で自然数α，むを使ってm＝−α，m＝わと置いてみましょう。すると（一α）×（一り＝−（卜α）×りとなることが分かります。
−（（一「α）×り＝−（（α×り）＝α×ム

数とは何だろうか（上野健爾）

ですので（−α）×（一わ）＝α×bであることが分かります。この事実をマイナス掛けるマイナスはプラスになると言うことがあります。このように、分配法則が成り立つことを約束することによって
何故イナス掛けるマイナスはプラスになるかを説明することができました。しかし、これでほ分配法則が成り立つようにマイナス掛けるマイナスはプラスと約束したに過ぎないではないかという不満の声が聞こえてきます。これは鋭い指摘なのですが、じつはその通りなのです。逆に言えばマイナス掛けるマイナスはプラスと約束しな

いとおかしなことが起こるのです。そのことを見ておきましょう。
たとえば−5×ト3）＝−15が成り立ったとしましょう。一方−5×3ニー15

が成り立ちますので分配法則から−5×卜3＋3）＝−5×ト3）＋ト5）×3＝−15＋（15）＝¶30
が成り立ちます。−−一方−5×（−3＋3）＝−5×0＝0となります。したがって−30＝0が成立することになりますが、これは間遠っています。このようなおかしなことが吐じたのは−5×（−3）＝−15とイ反荒したことによります。
古代の小国では負の数の足し算、引き算は紀元元年前後には自F‡1にできる．ようになっていました。正の数は赤で負の数は黒で記したと伝えられています．しかし、負の数の掛け算、割り算ができるようになってのは12世紀でした。千年以上の長い年パが必要だったのです。ク用己法則が別称に意識されるようになったのほここ200咋
くらいのことですので、上の説明で納得しがたいことはやむを得ないことだと思います。しかし、負の数の計算という「・見易しいことの奥深くには深い数学が潜んでいるのです。
ところで、「！1イヒギリシア人は掛け算は而積と考えたためにα2は面積をαは良さを表すので足しあわせることはできないと考えていました。α2を面積と考えずにただの放と考えればα2＋αを考えることができるとほっきりと表明したのは16世紀のデカルトでした。そーれほど私たちの思い込みには根深いものがあります。数学の歴史
はこうLノたノÅh、込みからどれだけ山1」になれるかという歴史でもあります。

数とは何だろうか（上野健爾）

3 分数
さて、負の数を導入して整数をつくり、足し算、引き算、掛け算が自由にできるように計算の仕方も決めました。しかし、割り算は整数の中だけではできません。

そこで、昔から分数を考えました0α÷膵決める数をと記すことにしましょう。
いう立場をとりり

これだけでは竺の意味ははっきりしません。ここでは割り算は掛け算の逆であると α一Lます。すなわちα÷わ＝Cであることは数cがc x占＝α

満足することであると考えるのです。このことは整数αが整数占で割り切れるときはたとえば

18÷6＝3を考えれば分かるように、正しいことはすぐに分かります。したがってαがむで割り切れないときは数芸は
（ユ

ー×占＝α
ぁ

となる数であると考えるわけです。厳密にいえばこのような数はただ▲一つしかないことを示す必安がありますが、このことは保証されていると考えて先に進むことにします。このように説明すると怪訝そうな顔をする人がいます。′J、学校では分数は「全体の3分の1」といったように割合を表したり、ケーキ1個を3人で分けたときの∵人の分け前が3分の1であるというような分割を表すと教えられて、上のような説明を受けたこ とがないからだと思います。実際分数をどう考えるかはじつに長い時間がかかりました。分数は数だけでなく∬2＋3こ訂＋1∬4＋5こr2＋5のように分数式としても登場します。しかし、小数はではこのようなことはできません。次節で述べるように、小数は位取り記数法と深く関係していますが、分数は位取り記数法とは直接関係ありません。整数の全体では割り算ができないので新し
い数として分数は導入されます。この分数の役割は通常の数ではなく足し算、引き算、掛け算ができる「数」の体系（正確には整城という整数の全体や多項式の全休などを含む『数」の体系）で定義することができます。
分数の計算は足し算、掛け算が順序によらないこと、また分配法則が成り立つよ
うに約束する必尖があります。その前にまず、通分ができることを上の定義に基づ

いて礼ておきましょう0整数α，む，mに対して分数は
（l

×占＝α

数とは何だろうか（上野健爾）となる数でありは（〃‖×わm＝αm／り‖となる数です。最初の式の両辺をm倍すると
わ

×占m＝。mとなりますから
りJJJ

り

∴ ￣￣ト

＿

J〃JJ わでなければならないことが分かります。分数の足し算では分母が同じときは
α 占 α＋ムー＋−＝＋
JIIJJJ‖〜

だと小学校の帖に習いました。竺上皇はmα＋ゐ×m＝α＋ムmとなる数です。▼一方、分配法則を使うとmx（芸＋芸）

となりヱ＋

α

ゐ

JJJ

JJJ

＝m X一十m x−＝α＋占旦は竺上皇に・一致しなければならないことが分かります。分母が異な

7JIけI
JJi
るときは通分して計算すればよいわけです。

α 占 αm 占m （王れ＋占m
ー＋一＝−＋−
mm

m n mn mn

でほ分数の掛け算もI司じ考え方で説明がつくのでしょうか。そのためには3佃以上の数の掛け算の結合法則が成り立つことを必要とします。結合法則は
α×（ム×c）＝（α×占）×Cが成り立つということです。∃整数m，α，占に対して
り

＝‖

mX＝
（1）

と約札ます。ほmα【 ×わ＝mdゐ数とは何だろうか（上野健爾）という数ですが、結合法則を使うと（れ×芸）×ゐ＝mX（言×占）＝陀×α＝mαとなり、（1）が．了仁しいことが分かります。一般の分数の積は
α

m

αm

− × − ＝ −J） 7I JけJと約束しますが。これも

×

ニ

■・hU

m

TO

×

二

d一人Uα

（言×≡）×む乃＝言×（慧×呵り‖lとなって×はと等しいことが分かります0このように分数の計算は結合法
則、分配法則が成り立つように約束されていることが分かります。
では分数の割り算はなぜ分母と分子を入れ替えて掛けることになるのでしょうか。
α．C α

d αd

盲丁云＝盲×言＝高が割り符の公式です。割り算は掛け算の逆であることを分数でも正しいと約束しま

す0則ち÷＝皿Ax＝となる数月を求めることに他なりません。分数の掛け算の公式を使うと
αd c （ユC（ブ α×＝忘云となりA＝であることが分かります0何だかだまさ胱ような議論ですね0これでは納得でいないという人が多いようですので、もう少し説明を付け加えてみます。
割り算の基礎は実はを求めることにあります。といいますのは、積の結合法則から
芸丁≡＝言×（1÷≡）

C も成り立つことが分かるからです0なぜなら1÷＝βとおく
C

で、枯の結合法鼎より

×1÷×＝×β×＝×1＝〈芸（≡））≡≡（…）≡

数とは何だろうか（上野健爾）となるからです。しかし分数の積より
d c c（ゴー×−＝−＝1c （ゴ c（ゴ

となるので
l：

c （ブ
−／．

とβは分母と分・・r一を入れ称えた分数となるわけです。これが割り算では分母と分了▲を入れ粋えて掛け算をすることになる理山です。

このように考えてくると、分数を決めるためにはわ≠0であればcx♭＝αとなる
数cがただ一つあることが重安であることに気づきます。このことを保証している
事実は
m xれ＝0であればm＝0またはm＝0が成立するという当たり前の事実です。なぜならばもしClXわ＝α，C2×む＝αが成立したとすると、分配法則から（cl【C2）×占＝ClXもーC2×占＝0が示され、占≠0なのでcl−C2＝0でなければならないからです。このように、分数の計算は整数の性質を仕ってじつに上手に決められていることが分かります。こう
した分数の持つからくりが本当に分かったのは1920年代に仙象代数学が発達し、数の四則演算の持つ性質をはっきりさせたことによります。もちろん、こうした考え
を小学校で直接教えることはできません。こうしたことを理解するためにはある程
度抽象的に考えることができることが必要になるからです。それとともに、数学が抽象的になっていくのは、抽象化することによって数学的な対象が持つ性質を明確に取出し、その性質がどの範囲で成り立つのかをはっきりさせることによって、数学の適用できる範囲が拡がっていくからです。
ところで、分数の割り算を次のように小学生が工夫したという話を聞きました。
3

2

3×6÷2

9

5 ● 3 5×6÷310
分母分子の中間にJLlてくる数6は2と3の最小公倍数です。答えは通常の計算
3 2 3 3−−−9

⊥ニ＝ × − ＝ −5 ● 3 5 2 10と一致します。また（2）に出てくる6のかわりに2と3の公倍数をどのように選んでも正しい答えが川てきます。たとえば公倍数24を使うと
3

2

5

3

3×24÷236

5×24÷3

9

40 10

（2）

数とは何だろうか（上野健爾）となります。実は最初の計算方法はいつでも正しいのです。文字を使ったほうが分かりやすくなりますので文字を使って説明してみましょう。
α．C α×Cd÷c α×d α d
占 ● d 占×C（ゴ÷d 占×C む′ c×一と書けば分かりやすいと思います。このように具体的な数値による計算よりは文字を使うほうがどのような計算をしているのか計算のからくりがよく分かる場合があります。
分数は割り算の結果ですから（ユ

α．C＿ わぁ ● d Cと書くこともできます。事実割り算の記号÷を使うのはイギリスや日本など−・部の国です。以前、ロシアの数学の教科書を見せてもらったことがありますがα÷占のかわりにα／占と記してありました。このように割り算と分数の関係を考えれば
α C （Z÷c
●わ d ゐ÷d

が成り立つことが分かります。

ですからこれはα÷c

α．占 α d αd♭÷d 占言丁云言盲忘＝×＝

α．C＿αd
占 ● d 占cと確かに結束は一致します。／J、学生が行った計算はこうして文字を使って考えてみるとなかなか面白い着想であることが分かります。先生方もそんな計算法は教科書に書いてないと▼一蹴するのではなく、上の説明をもとに小学生に分かるような説明を工夫されることを希望します。
ところで、■古代ギリシア人は分数を数とは認めていなかったようです。分数は比の伯として捉えていて、l］然数だけが（古代ギリシアには負の数はありませんでした）数と考えていたようです。分母が1の分数は整数ですから、分数の全体を考えると加減乗除の四則演算ができることが分かります。分数の全体を有理数と呼びます。有理数は英語のrationalnumberの訳です。rationalはratioから出てきた言葉
でratioは「比」を意味します。ですから古代ギリシア人の思いを込めて訳すと有理数よりは有比数（比を持つ数）の方が正しい訳語だと思われます。

数とは何だろうか（上野健爾）

図7：ピエタゴラスの定理の一証明

4 無理数の誕生
ピエタゴラスは「万物は数である」と言ったと伝えられています。森羅万象のす
べては自然数を使って説明できるというのがピエタゴラスの考えだったのでしょう。
しかし、この素晴らしい考えが間違いであることを見いだしたのはピエタゴラスその人であったと伝えられています。中学校でビュタゴラスの定理（三平方の定理）を学びます。直川三角形の三辺の間には
α2＋ム2＝C2という関係があるという定理です。この定理は通常は幾何学仁朗こ証明されますが、文字式を援川すると次の図7から簡単に導くことができます。古代中国の天文学普「周脚算経」に出ている弦図はこの証明法を伐ったものと言われています。

図7の正方形の一辺の良さはcであり、直角三角形の面積は晋であり、真ん中の正方形の・一辺の長さはぁ−αである。したがって

c2＝4■＋（杭）2＝㌔＋㍍となります。
ピエタゴラスの定理を仕って−一辺の長さが1の正方形の対角線の長さを計算するとノラを得ます。もし、ヽ乃が有理数だとすると自然数p，9を使って、てI−Jて9

数とは何だろうか（上野健爾）

図8：周僻算経の弦図と・衣すことができます。このとき、p，ヴは共通の約数を持たないと仮定することができます。この両辺を2来すると2＝となりますので

292＝p2を符ます。したがってp2は2で割り切れなければなりません。するとp・は2で割り切れなければならなくなりp＝2〆と書くことができます。これより
92＝2p／2が成り立つことが分かり、上と同じ議論によりヴは2で割り切れなければならない
ことになります。するとp，ヴともに偶数となり共通の約数を持たないという仮定に反します。比＿1二の議論により、乃を有理数と考えると矛盾が生じることが分かります。これはノ碧が有理数でほないことを意味します。このようにして、有理数でほない数がこのようの中にあることが分かったのです。ピエタゴラスはこのことを知ると斗を生蟄として神に捧げたとの伝説が伝えられています。有理数以外の数が存在するということは古代ギリシア人にとっては彿撃的なことでした。プラトンの対

数とは何だろうか（上野健爾）

話編「テアイテトス」に平方数でない自然数mの平方根〜伝が撫理数であることの証明が詳しく記されています。皆さんも証明に挑戦してみてください。
ところで、無理数ほたくさんあります。円周率訂も撫理数です。このことほ後に示したいと思います。

5 小数
ところで数には分数のほかにノJ、致があります。′J、数は分数のかわりに割り算を繰り返し行うことによって得られます。たとえば、
1

一＝0．33333333333333‥・
3が成り立つことは皆さんもよく知っています．これは割り算を続けていくことによって分かります。
0．3 3 3

3 1 0
9

1 0
9
1

分数の割り算ほさらに仙渦こなります0
0．14 2 8 5 7（3）7

数とは何だろうか（上野健爾）

この後の計算は最初の計算の繰り返しになります。したがって
1−＝0．142857142857142857‥
7と同じ数の列の繰り返しになります。このような小数を循環′J、数といいます。繰り返す数の列14857を循環節といい、この循環小数を循環㈲の昂初と最後の数の上に・をつけて次のように表します。
0

●3

二

l一31一7● ＝ 0．142857

また●●

0．234＝0．234343434‥・

も術環ノ」、放です。その一プJで
1

1−＝0・25，＝0・54のように有限小数も分数を小数に直すときに出てきます。既約分数の分母が2と5の倍数の時のみイ」■限′J、数が出てきます。それ以外の有理数（分数）は循環小数になります。割り算をしていくとき、割り切れれば有限小数、割り切れないときは循環′」、数になります。割り算を行うと割り切れないときは余りは常に1から9までの数が山てきますので、割り算を繰り返していくと必ず以前に出たのと同じ余りがLl1てきます。そうすると後の計算は同じ余りになった以前の計算を繰り返すことになり、紆環小数が出てくるわけです。
小数は位耽り記数法に基づいていると■前の方でお話しました。これはどのような意味でしょうか。
1

1

両

i扇 面

1

1

0・1＝，0・01＝ ，0・0‥・01＝−｝ 10rln¶1ですから、有限ノJ、数ではたとえば0．523は5

2 3 523
＋＋＝￣

而i扉面

1000

を意味します。もっと・・般的に苦けば有限小数では0・叩2…qTl＝＋＋‥・＋を意味します。もし古代バビロニアのように60進法を伐って小数を記していればた
とえば

523

0・523＝＋＋
面面面

数とは何だろうか（上野健爾）となります。このように小数は何進法を使っているかによって意味が違ってくるのです。古代バビロニアの天体観測は大変正確であり、その観測結果は60進法の小数で記されていました。この観測結果はチェコ・ブラーエの観測が行われまで実際に使われていたと言われています。実際角度は1度は60分、1分は60秒という単位が使われているのは古代バビロニアの名残です。

ところで錘理数は、乃＝1．41421356…のように無限に続く小数として表すことができます。そうすると

諺＝＋＋＋＋＋…
扉面面面
4

142

と書くことができます。今度は有限小数と違って和は撫陳に続■きます。それを私た
ちは…と記しています。しかし、無限に続く和が本当に意味を持つのか考えてみると当たり前ではなくなってきます。このことについては後でお前しします。

6 無限の登場
話が少し対＝ノくなりましたので，頭の体拭をしてみましょう．
1−＝0．33333333333333‥・（4）

3の両辺を3倍すると
1＝0．99999999999‥・（5）が成り立ちます．

不思議な顔をしてい る人がたくさんいます．それほ当然です．0．9999999999999とたくさん9を並べても，絶対に1には等しくないからです．実は，等号＝の意味がここでは変わっているのです．

0．9，0．99， ．，0．9999999999，．‥，0．0．99999999999，‥とノJ、数点以下に現れる9の数を大きくしていくと，どんどん1に近づいていくというのが等号＝の新しい意味なのです．実は（3），（4）の等号の意味もこの新しい意味なのでした．

このことを実際に調べてみましょう。そのため、自然数m＝1，2，…に対して
αm＝0．99‥・9｝

乃と間きましょう。α1＝0．9，α2＝0．99，α。＝0．999とれが大きくなるにつれてαnも少しずつ大きくなっていくことが分かります。前節の説明から
α乃

999
＋＋＋…

面
＋

9＋＋
（去孟完

＋
面

両面i扉

9

＋

（6）

数とは何だろうか（上野健爾）

であることが分かります。分数の掛け算から
去＝（去）mが成り立ちますのでαmを調べるためには
ご＋ご2＋エ3＋…＋￡陀（7）を計算する必要があります0今の場合は∬＝です0式（7）に（1−−ご）を掛けてみます。次の式の計算では分配法則を使って計算しています。
（1−−こr）（諾十諾2＋ご3＋…＋ごm）＝（ご＋ご2＋￡3＋…＋ごn）一諾（∬＋㌶2＋∬3＋…＋∬m）＝（ェ＋ご2＋ご3＋…＋∬m）−（J2＋ご3＋∬4＋…＋〆 1）∬【∬n＋1

重初と最後の式を1一訂で割ると
ご＋諾2＋エ3＋・‥＋∬れ＝￡−Jm＋1（8）

1−、I、を得ます。0で測ることほ禁止していますので、この等式が成り立つためにほご≠1と約肘る必財あります0この等式（8）の￡をとおくと
m＋1 1

1．1
1
1、i石￣
＋十十‥＋＝＝筈（㌃（去「1）1−が成り立ちます。したがって式（6）より
刷

αm＝10×（㌃（去））＝ト（訂1二」1−−−

10丁−が山てきます。仰々しい計算をしましたが、このことは｝｝ 10†l11−0．99・‥9＝0．00・‥001＝−γlnと蒔接計節することが可能です。いずれにしてもmが大きくなっていけば1とα乃との差はどんどん小さくなって行き、無限の彼方で1になってしまうことを意味します。しかし、無限の彼ノナとは何でしょうか。そんなことを考えることに意味があるのでしょうか。Tlはどんなに大きくなっても維対に1より小さいのですから
1＝0．99999999‥・

放とは何だろうか（上野健爾）

はやはりおかしいのではないでしょうか。実はここで等号の意味が上で述べたように追って米ているのです。1＝0．99999…というのは71をどんどん大きくしていく
ときに1に近づくことを意味する等号です。
別の書き方をした方が分かりやすいかもしれません。−一般にれが大きくなるときに数列ム花がある数αに近づくことを
1im占n＝αn→00と記します。このことは言い換えると差α−αmはmが大きくなるにつれてどんどん小さくなっていくことを意味します。この記法を仕えば0．999999999…は
1im O．99・‥9m→∝， ｝†lを意味します。
このように等号の意味を拡張すると，たとえば0．6＝0．59999999‥・が成立します．なぜならば
0．0999999・‥＝0．01となり、0．5999999・・・＝0．5＋0．0999999‥・＝0．5＋0．1＝0．6となるからです。このように、有限′」、数ほ最後の桁の数から1を引いて次の桁から9が続く循環小数として表示することも可能です。
この訪は納得できないと思っているひとが沢山いるようです。これほ無限に関わる詣で古代ギリシアから問題にされてきたものです。皆さんの中にはアキレスと亀の訪を聞かれた方もいるかもしれません。このことをお話しする前に、鯉限の不思
議を教えてくれる話をまずしましょう。この話は物理学者のガモフの本「1、2、3…
無限大」に記されているものです。（日本語訳は「宇宙＝1、2、3・‥無限大」というタイトルで白揚社から山版されています。）
遠い星のホテルに旅人がやってきてフロントの係に空き部屋はないかと尋ねました。係から「お客様「いし訳ありません。あいにく今日は満室です。」と返事が返ってきました。旅人は凶ってしまいました。その星にはホテルが・一つしかなかったからです。客の困った顔を見ていたフロントは突然にっこり笑って「お客様、大丈夫です。部屋を用意できます。」と言い出しました。「1号室のお客様を2号室へ、2号室のお客様を3号室へ、3号室のお客様を4号室へと次々へ移ってもらいますので1号
室が空きます。」というのがフロントの説明でした。このホテルほ客室が無限にあっ
たのです。
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8

9

＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼
1

2

3

4

5

6

7

＼

数とは何だろうか（上野健爾）

図9：リンゴとミカンの個数を比較する

部屋が鮒剰こなかったら最後の部屋の客は移る部屋がありませんからこのようなことはできません。無限であることが重安です。
もっと不思議なことも無限では登場します。次のように自然数の全休と偶数の全休とは同じ無限の個数があると言うことができます。
10←20

←01

9←18

5

←

仁U

8←16

4

←

4

7←14

3

←

2

6←12

2

←

8

1

偶数は仁1然数の−−・部でしかないのに個数が同じというのは変なのですが、私たちは数を充分に数えることができなかった幼児のときは個数が同じかどうかを調べるにはこのように二つの集まりから一つずつ取り出して対を作ることを行いました。幼児にかえってこうした数え方を無限に対して行ってみると一見奇妙な結論に到達したわけです。
全体とその−−−一部の個数が等しいことがあるという奇妙な現象は無限に特有の現象です。このように、撫限を数えることを提案したのはカントールという数学者でした。かれがこうした提案をした19世紀後半には多くの数学者がこのカントールの考え 力一に反対しました。しかし、今日ではカントールの考え方は鯉限に対する基本になっています。カントールは多くの数学者が集合論に反対したときに「数学の本質はその日由性にある」と反論しました。自由に考えることは簡単そうで実は難しいことです。私たちの先入観がどれほど根強いものであるか、それから自由になるのはどれほど難しいことであるかはカントールの例が如実に語っています。カントー

ルは粕神病院でトー生を終わったのです。しかしカントールの創始した集合論は今日の数学では欠かすことのできないものとなっています。
さて、ゼノンの逆埋（パラドックス）で知られるアキレスと亀の問題を考えてみましょう。アキレスはギリシア神話に登場する足の速い神様です。一方、亀はゆっ
くりしか進めません。ゼノンのパラドックスはアキレスが先を進んでいる亀を追いかけるとき、私が茸捌こいた地点ろにアキレスが到達したとき、亀は先の方へ進ん

数とは何だろうか（上野健爾）

去≠鑓）L
￣

＝＝訂

図10：アキレスと亀で、地点ろに達しています。そこでアキレスは地点ろに向かって走りろに到達します。そのl肌こ亀は地点鳥に達しています。次にアキレスが為に達したときには亀はろに達しています。このように、アキレスが亀がいた地点に到達しても亀は常に先へ進んでいてアキレスはいつまでたっても亀に追いつかないというのがゼノンのパラドックスです。パラドックスというのはアキレスが亀に追いつくのは明らかだからです。ではゼノンの議論のどこがおかしいのでしょうか。
アキレスが100メートル先の亀を追いかける場面を考えてみましょう。アキレス
は1分間に100メートル進むとしましょう。一方，亀の方は1分間に1メートル進むとしましょう。アキレスが亀が最初にいた地点賞に到達するには100／100＝1分かかります．この間に亀は1メートル進み，地点ろに到達します．アキレスは1／100
分かかって地点ろに到着します．この間に亀は1／100メートル進んで為に達します．するとアキレスは1／100×1／100＝（1／100）2分かかって為に到達します．この間に亀は（1／100）2メートル進んでろに到達します．するとアキレスは（1／100）3分
かかって地点薫から地点昂に到達します．この間に亀ほ（1／100）3メートル進み地点島に到達します．アキレスが地点ろから地点昂へ到達するのにかかる時間は（1／10q）4．分です．これを繰り返していくと地点且に到達するまでにアキレスが走らなければならない時間Aれ分は
2

An＝1＋志＋（孟）＋（孟）3＋（孟）4＋…＋（孟）n￣1です．この和は（8）を使って（孟）れ］ト（1−と計算することができます．この和でmをどんどん大きくしていくと

1に近づいていきます．したがってれをどんどん大きくしていくとアキレスが走らな（両 百）れは0ければいけない・刷ま芸分に近づいていきます・実はアキレスは諾分後に亀に追いつくことが分かります・分間にアキレスは100×＝101メートル進9999

数とは何だろうか（上野健爾）

みます・この間に亀は＝1土メートル進みます・分後に亀が到達する地点
99

はアキレスの出発点から100＋1メートルですので，ここでアキレスと亀は一緒になり，アキレスは確かに亀に追いつきます．
ではゼノンの道理のどこがおかしかったのでしょうか．この間題は別の形でも表現できます．長さが1のひもを半分に切り，切った一方をまた半分に切ります．さらに切った一方を半分に切ります．このことを次々と続けていくことは可能ですがいつまでたっても終わりません．無l眼に続くこの操作は，もちろん数学的に考えてい■るだけで，現実には短くなってひもはそれ以上は切れなくな■ってしまいます．ですからこのような間道は考えることは意味がないということになります．アキレスと亀の問題でも（1／100）3メートルをアキレスが走ることほなく，実際は−−・またぎにさらに大きな距離を進むでしょう．こうした事実を指摘して数学は撫意味だとする人たちがいます．これは数学に対する誤解です．ひもを切る問題でもアキレスと亀の問題でも，数学的な理想化を行って純粋に数学的な問題として考えると，そこに撫限の問題が浮かび上がってくるのです．私たちは有限の時間では有限のことしかできません．それにも関わらず撫限を考えることができます．有限と無限の間の越えがたい満が人間にありますが，それでも無限を使った数学を発展させてきました．
面積や瞬間速度（よく台風に関するニュースで瞬間最大風速という言葉が登場します）といった言葉の意味を考えると無限に直面します．私たちは無意識のうちに撫限を含んだ言葉を使っているのです．様々な現象を数学を使って解析するときも無限の考えが必要になってきます．皆さんは微分や積分という言葉を聞いたことがあるかもしれません．微分や積分は直接に無限を考える必要があります．しかしその基礎は実は次に述べる実数の性質に基づいています．鯉限や既に上で述べた「限りなく近づくるためにも無限の考え方が必要になってきます．このことは後にお話しします．

7 実数
すでに、乃有理数ではないことを示しました．、乃を無限小数で表すにはどうしたらよいのでしょうか．ここでは分数を使った方法を紹介しましょう．まず
1＜ノラ＜2であることに注意しましょう．これは1＜2＜4から明らかでしょう．そこで
1㍉＝1＋（㍉−1）＝1＋T
万二了

（9）

数とは何だろうか（上野健爾）

α と書き直します・ここで分母が鯉理数の分数が登場しますが・その意味はα÷占＝
です．次に
ヽ乃＋1

1

＝1乃＋1

ヽ乃【1（v乍−1）（ヽ乃＋1）
であることを使うと式（9）は
1

、乃＝1＋

1乃＋1

と書けます．さらに2＜、乃＋1＜3よりこの式は
、乃＝1＋

1

1

1＋

㍉＋1 2＋（㍉一1）2十（ヽ乃−1）と苦けます．この方法は何度も繰り返すことができて
ヽ乃＝1十が成り立ちます．さらに
ヽ乃＝1＋

（11）

数とは何だろうか（上野健爾）などといくらでも続けることができます．これを撫限回適用すると連分数が出てきますが今回はこれ以上は探人りしないことにします．（10）に2＜1乃＋1＜3を使うと
1

1＋ 「 ＜㍉＜1＋
2＋

を得て

1＜㍉＜1
という不等式が得られます．これから
1．4＜、乃＜1．43が出てきます．（11）を使えばさらに精密な不等式＜、乃＜1＋

1

2＋＋ 1
2＋

1

2＋ 「

2＋

がでます．これを計算すると

1＜㍉＜1となります．これより1．4141＜、乃＜1．41429
を示すことができます．

さて，有理数と鰊理数を−一緒にしたものを実数と呼びます．英語ではrealnumberと言います．本当の数という意味合いが込められています．本当は複素数まで数を拡張してはじめて本当の数になるのですが，今回は時間の関係もあり複素数には触れることができません．

でた，無理数とは一体何のでしょうか．循環小数でない無限小数が無理数であるという答えがよく返ってきます．確かにそれでよいのですが，循環小数でない無限
小数
α＝m・mlm2m3＝●m†tmrl＋1＝●はどのような数を決めているのだと問われたとき，どのように答えたらよいのでしょうか．循環小数の場合を参考にすれば
αれ＝m・mlm2＝◆mTl

数とは何だろうか（上野健爾）という有限小数（したがって有理数）を考え，乃をどんどん大きくしていったとき
近づく数が無理数αだと答えることになるでしょう．循環ノJ、数の場合はαに当たる
数が分数として最初からありました．ところが，今度はαほ最初からあるとは言い難いのです．むしろ有理数α。でmを大きくしていったとき近づく数としか言いようがありません．実際，このような数が本当にあるのですかと聞かれるとどう返事してよいのか分からなくなります．実は有理数の列iαれ）が無理数αを決める（定義する）と考えるのです．このように有理数の列が限りなく近づくときの極限として推理数を捉えることが大切になります．これと違った無理数の定義もありますが，いつも有理数を使って撫理数を定義する必要があり，本質的にはここでの定義と同値になります．自然に存在すると思っていた実数が実はそんなに簡単に定義できないことに驚かれるかもしれませんが，実数の持つ本当の不思議さが分かるようになったのは19世紀になってからでした．実数の持つ性質を探く考察する過程で様々なことが分かりました．かっては大学での微積分の授業は実数論から始まりました．当
たり前と思っていたことが実は当たり前でないことが分かり，大いに驚いたものでした．現在では難しいからと授業で実数論を除外するところが増えています．二千
年以上もかかって人類が見出した智恵を学ばないことは実は大きな損失だと思っています．ここでは実数について充分に話すことはできませんが無限と関連して奥深い世界があることに気付いて頂けれることを希望します．
実数は1乃のようになじみ淡いものばかりでなく，よく分からないものもたくさんあります．皆さんにもなじみ探い円周率について述べてこの訪を終わりたいと思
います．

8 円周率
ここでは苦からよく知られている数日周率汀について簡単に触れることにします．
円周率の計算は電卓やコンピュータを使って行うことが可能です．ここでは円周率を考えることがどのような数学と結びついているかを知るために少し難しい数学も恐れずに佗うことにします．
今回の学習指導要領でl−］周率が3になると大騒ぎになりました．旧文部省も文部科学省も円周率は3．14であると主張し，新しい教科書も円周率は3．14と苦いてあります．ところが小数点以下2桁のノ」、数の計算は教科書で扱いませんので，円周率を3．14とした計算は電卓を使わないとできないことになってしまいます．たとえば半径が5のlリの面積は5×5×3．14＝78．5

ですが，これは電卓を使わなくても10÷2＝5を使えば10×10×3．14÷4＝314÷4＝78．5

数とは何だろうか（上野健爾）

図11：r†Jと正六角形と岡里に計算できます．こうした工夫を教えることのない教科書を強要する新学習
指導要領は数学的な考え方を伝えることができない欠陥品でしかありません．
円周率がどれくらいの偶になるかは正六角形を考えることによって分かります．半
径1の．●l仁三角形を6個集めて正六角形をつくることができます．正大角形の中心を■l■心とする半径1のl当を措くと正六角形の頂点を通る円が描けます．正六角形の外周の長さは6になります．この長さと円周とを比較するには一つの正六角形の一辺とH弧を比較すればすぐに分かります．

二点を結ぶ曲線のうちでいちばん短いのは直線であることを使えば円弧の方が正六角形の一辺より長いことが分かります．円の直径は2であり，円周率を打と記すと2汀＞6が分かりますので打＞3が分かります．円周率をおおよそ3とすることほ円の変わりに円に内接する正六角形をIリの近似と考えることに対応します．実際の生活ではこれで十分な場合もあり
ますが，図からわかるように不十分な場合もあります．
「丁拍悸の計算は背から円に内接する正多角形と外接する正多角形を使って計算するブイ法が知られていました．アルキメデスの計算は有名です．かれは円に内外接す
る止96仰lラを考えることによって
10

3＜打＜3

1

数とは何だろうか（上野健爾）

凶12：トリに内外接する正れ角形をホしました．

少し・一般的になりますが半径1のHに内接する正m角形の周の長さを2pれ，外接する二jl三m卯lラの周の良さを2月−と書くことにします．すると半径1の円に内接する正和角形の‥・辺の長さは2pれ／m，半径1の円に外接する正和角形の一辺の長さは2島／mになります．
このとき且＞灯＞pれが成り立ちます．上で正六角形で述べたことと同じ理由により2汀＞2pれが成り立つ
ことほすぐ分かります．・一■・方，半径1の円に外接する正和角形の面積は図13からすぐわかるように凡になります．この外接正れ角形の面積より半径1の円の面積汀が
小さいので
君−＞汀

が得られます．さらに内接正m角形から内接正2れ角形を描くためには円の中心から
内接．jEm角形の一辺へ垂線を下ろしその延長と円との交点と内接正れ角形の頂点とを結ぶことによって正2m角形を描く1ことができます．この作図より
p2n＞pnが分かります．外接正和角形の面積より外接正2rl角形の面積は小さいので
苫−＞fちn数とは何だろうか（上野健爾）

図13：円に内外接する正多角形の一辺が分かります．これから
君−＞fちn＞為n＞…＞訂＞‥・p血＞p2れ＞pnを得ます．p6＝3ですが，正三角形の相似から昂＝6／ヽ乃＝2ヽ乃が分かります．
pmとp2れとの田＝こ，また島とろnとの間には次の関係があります．
J一．．・

ハ，．−＝

−

2戎

1十刷2
2鳥

1＋抽2

最初の等式は次のようにして求めることができます．

図14でβCは内接正和角形の一辺であり，β刀は内接正2rl角形の一辺であるとし．ます．Aβは潰径，線分βAと線分βCの交点をβとします．弧C上）上の円周角として∠βββ＝∠上）βC＝∠上）ACが成り立ちます．また弧ββと弧C上）は長さが等しいので∠βA上）＝∠．DAC＝∠βACが成りニ11ち，．上の等式と合わせて∠βA上）＝∠丘■βJ）

数とは何だろうか（上野健爾）

D

図14：pnとp2nとの関係が成り立つことが分かります．三角形βββと三角形βAβとは∠βββ＝∠ββA＝直れ∠βββ＝∠ββAより相似であることが分かります．したがって
Jフβ βββA ノ1βが成り立ちます．これより等式
Aβ ββ

βA￣ββ
を柑ます．同様に三角形ββAと三角形βCAとは∠ββA＝∠βCA＝直角，∠βAβ＝∠βACより相似になり
CJ4 βC上）A ββが成り立ちます．この二つの等式より
A月＋CA

ββ＋βC

上）A

が噂かれます．

βC

上）β

塾

空空 塑

m

2rl m

Aβ＝2，βC＝，ββ＝と二三さドノJ■の定理を伴うと2p，l βC
p2n ββ2＋訴￣二￣石戸
ノ4」 2

＿
欄

数とは何だろうか（上野健爾）

岡15：島と為nとの関係を導くことができます．この等式を2来して変形することによって
卸三

J′，▲

1＋棚

を導くことができます．この式よりpnが分かればp2nも計算できることが分かります．もちろん平方根をとる必尖があるので筆算を行うことは大変ですが，今日では風車を川いれば簡単に計算することができます．
二州対数を仕えば

．3600
．1800
pn＝乃Sln￣＝乃別n￣2†1

れであることが分かりますので，倍角の公式を使えば上と同じ等式を導くことは難し
いことではありません．
次に外接正多角形を考えましょう．

図15でβCを点Aで半径1の円に接する外接正和角形の一辺とします．線分0上）
は・∠AOCの二等分線とするとAβは外接正2れ角形の一辺の半分になります．点Cを通り0上）に平行な直線を引き直線AOとの交点をC′とします．すると0βとCC′が平行なので∠AβC＝∠CC′0となります．−一刀∠OC′c＋∠OCC′＝∠AOC＝2∠AOβが成り立ちますので∠OCJc＝∠OCC／

数とは何だろうか（上野健爾）となり三角形OC′cは二等辺三角形であることが分かり，OC′＝OCが分かります．
・方三角形AO上）と三角形AC′cは相似ですので．■lf） ノl（フAC ノ1C／
が成り立ちます．これよりA上） ACAO ．4C／が成り立つことが分かります．これより

AC

．4C

AO＋OC／

此）＋OC

A上）

．．い

AC

が導かれます．ところで旦些
AO＝1，AC＝，Aβ＝
れ2mですので，」l二の等式よりが成立し，この式を整理して
2月−

fちm＝

1＋佃）2

を得ます．
三角関数を伴えば
鳥＝乃tan1800mですので，この等式も倍角の公式を使って導くことができます．p6＝3，昂＝21βですので，あとは電卓を使って計算できます．ただ注意しなければならないのは電卓の計算ほ近似値であり誤差を含みますのでp2れ，p血，p8乃と計算を進めて行くたびに誤差が大きくなっていく点です．このことを避けるためには小数点以下の桁数を大きくとって計算を行うか，できる限り平方根が入ったままの形で計算して最後に平方根を開くことです．小数点以下5桁で四捨五入した値を記しておきましょう．
71

pれ

雪−

6

3．00003．464212

3．10583．215424

3．1326

3．159748

3，1393

3．146196

3．14103．1428

数とは何だろうか（上野健爾）

この計算によって3．141＜汀＜3．1428

であることが分かります．

江戸時代の和算家は円に内接する正方形から計算を始めています．このときはp。＝21乃です．彼らは内接多角形しか考えませんでしたので円周率の正確な倍を上のように論理的に求めることはできませんでした．しかし，彼らは求めた鈷からさらに正確な数値を求める方法を知っていました．関孝和は内接正131072角形まで考え（131072＝217）p131072＝3．141592653288927759…まで計算しました．そして，得られた侶をもとに
p4γl￣p2rl
p2Tl￣pnがほぼ1／4に等しいことを見いだしました．これは数列αm＝p2n−pnが公比が1／4の等比級数に近いことを意味します．簡単のために
p2亘1ん￣p2gた，β＝1，2，3，…

p2一た￣p2い1たと置くとp2m戊 ＝ pん＋（p2ん−pゐ）＋（p4ん−p2鳥）＋…

＋（p2れた−p2m−1ん）＝ pん＋（p2ん−pん）（1＋rl＋γ1γ2＋…＋γ1γ2‥・γm】1と書くことができます．んが大きいときはγたは1／4にほとんど等しいのでγた＝1／4と置くと上の式は

1−（…）間・（p2た−pん）pん十（動沌【1勒）（1十…＋（…）2十…十（…）m￣1）＝射となります．ここでm→00として
1）＝

1p￡鞠＋「・（p2た−pん）＝

4p2た−p庵トと置きます．こうするとp￡1）はたが大き〈なるときpたより早く円周率に収束することが分かります・関孝和はこのことを知っていたようですが，かれは1／4を直接使わずに
p217￣p216

p216−p215

を付い，＝用牢として
p＝p218＋p217￣p2161「−r数とは何だろうか（上野健爾）

を使い3．14159265349を得ています．
もし関孝和がさらに祀一p￡1）を考えていたらさらによい円周率を見いだすことができたはずです．このことを実行したのは関孝和の弟子であった建部賢弘でした．
ただし，建部賢弘は直接にpれを考えずに戎を考え，上と類似の方法で正接正1024角形までの計算を行い小数点以
下39杵まで止しい円周率を求めました．

ここでは上のアルキメデスの計算を使って見ましょう．

晶．1J∴1．一1）

一pは1／16に近い偶になります．そこで上と同様の考えを使いp㌘）＝か（祀一新（1＋去＋（去）2十・‥）
1一16p￡1）十（祀−p￡1））・」

16p皇2−p￡1）

15と置きます．すると
p一

亜

mr

P▲

十

ん

64拙−p皇1）63と置きます．そこでp㌘）を計算してみましょう．
m

pn

）

p

p

）

）

3 2．59807621
3．13397460
6 3．00000000

3．14158006
3．14159265

3．14110472
12 3．10582854

3．1459245
3．14156197

24 3．13262861

数とは何だろうか（上野健爾）

驚くほど精密な円周率の値が出てくることが分かります．もう少しデータを記しておきます．

p96 ＝ 3．1410319508905096381113529264596601070364122161628
p284 ＝ 3．1415285829544733933946573544083768961801238236777
）

J・

／，lニー

＝ 3．1415926504578885880355820715331735811736828050092
）

tl

八ご
−

J一．

＝ 3．1415926535778923710362822296288678634661013376199＝ 3，1415926535897466351773772234428454972887004160086＝ 3．1415926536015510286691244185682298848328891238542

4）＝ 3．1415926535898399758399055304807508329880909599329

5）＝ 3．1415926535897940501425360446451136602357584181136

p,
−

J′．

＝ 3．1415926535408113531907866741942568735994032658367

Il

J，、
p,

＝ 3．1415907329687435437929459384473161706505418139896＝ 3．1415925335050571151034216282100730796650994250962：−＝ 3．1415926535897932384626441469649862182163579113463

汀 ＝ 3．1415926535897932384626433832795028841971693993751

この机上1を説明するには大学初年級の微積分の知識が必要になります．興味があることですので少し難しいのですが説明をしてみましょう．そのためには角度の計り方をこれまでの「度」ではなく3600を2打ラジアンとする弧便法を使う必要があります．半径1の円に内接する正4r乙角形の周の長さの半分pnは弧度法を使うと．

pn＝mSln￣汀mとなります．また半径1の円に外接する正m角形の周の半分は
君−＝mtan−打mと苦けます．弧便法を使うと三角関数は次の形にテイラー展開することができます．
Sin￡＝￡3訂5：r7
ご一＋−＋￡3 2∬5 17こr5tan∬＝∬＋十＋
したがって
pm＝

町3 7r5 7r7
汀￣＋■＋…
吉房両両

p2n ＝

打￣＋一

1刀−3

1訂5

1打7
両

＋

数とは何だろうか（上野健爾）が成り立ちます．すると
3 7r5 15 打5
4p2れ一pn＝3打一＋＋‥・
盲両両面が成り立ちます．pれは和一2のオーダーで汀に近づきますが，㌔）＝4p2和一pnはm−4のオーダーで打に近づきます．

このように数列がれの負べきで展開できているときにその展開をもとにさ．らに収束が早くなる数列を作って数列の極限値を求める方法をRichardson加速と言います．
建部賢弘はこうした加速法が西洋で見いだされる前に加速法を使っていました．

9 円周率は無理数
円周率は無理数であり，したがって循環ノJ、数ではない無限小数で表されることは数学的にきちんと証明できることです．この事実はコンピュータでどれだけの桁の円周率を計算しても示すことはできません．ここではⅠ∴Nivenによる短い証明を説明しましょう（IvanNiven：Asimpleproofthat7Tisirrational，Bu11．AMS，53（1947），

p．509．）微積分を使う必要がありますが，円周率をめぐる数学はそれだけの探さを持っていると見ることもできます．
証明は1乃のときと同様に背理法を使います．円周率打はイヨ 理数であると仮定しましょう．そこで自然数p，qによって
汀 ＝二l19pと苦けたと仮定しましょう．そこでごn（q−p∬）m
／（ご）＝

m！

と置きます．ここでれは自然数とします．後にmは十分大きな自然数をとりますが，
とりあえずはmに直接関係しないJ（ご）の性質を調べます．まず

掴＝去AJご恒た
た＝0と苦けることに注意します．ここでAメは整数です．したがってJ＜mのとき，／（￡）の〟階層昭］数J（メ）（卯こ対してJ（j）（0）＝0となります∴一一方，j≧mであれば

凸0）＝雲Aトれ＝（…1）（m＋2＝・A卜m
は生数となります．そこで
ダ（ご）＝J（ヱトJ（2）（ご）＋J（4）（ごト…＋（−1）nJ（2m）（ご）数とは何だろうか（上野健爾）と置くとF（0）は整数であることが分かります．さらにJ（ご）の定義より
J（ご）＝′（q／p【ヱ）が成り立ちますのでJ（メ）（ご）＝（−1）り（J）（ヴルーご）となり，J（J）（升）＝（一1）畑0）の整数となi）ます．このことが人切な役割をします．
さてダ（ご）の定義より（F／（x）sinx−F（x）cosx）＝Fll（x）sinx・F（x）sinx＝f（x）sinxとなり
f（x）sinxdx＝［Fl（x）sinx−F（x）cosx］；＝F（7r卜F（0）
ノ了てを得ます．すなわち，この積分の値は整数です．

ところで，0＜ご＜打では0＜sin￡＜1であり，また汀＝q／pより0＜ご＜升では0くサーp￡＜ヴとなります．したがって
竺竺 世0＜柏）sinご＜‖！ JI！

となり吏す．ところで乃！はmが大きくなるにつれて（叩）乃よりはるかに大きくなります．このことは後に証明します．いずれにせよ，上の不等式を佗うと0＜上汀仲）sinごゐ＜上汀誓d￡＝竺

となり，和が十分大きければ
が汀1ヴれ
＜］
乃！

となることが分かります．この不等式が成り立つようにれを選ぶと
0＜

．／二「

J（∬）sinm加＜1が成り立ちますが，一方上で示したように積分値は整数です．これは矛盾です．この矛盾は円周率汀を有理数と仮定したことにあります．したがってl当周率訂は推理
放でなければなりません．
最後に止の数αに対して＝0を証明しましょう．α＜mとなる自然数mを一つ間完します．すると
αれ

JII

m†l
円！ mm − ＜ −＝ 一

＜

J＝けt

m！

けI

1Tn＋2 m＋（n−m）

m！ m！
l

‖ 一一 丁里

数とは何だろうか（上野健爾）が成り立ちます．ここで
1i山1

れ→∞
m

が成り、∴ち，・一方慧は決まった数ですので＝0が成り、∴つことが分かります・

図16：建部賢弘著「綴術算維」（うえの けんじ，京都大学大学院理学研究科）