社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

SPICE を用いた Floquet の定理による周期解の安定判別
片岡大茂†

山上喜廣†

西尾芳文†

牛田明夫†

† 徳島大学〒 770-8506 徳島県徳島市南常三島町 2-1
E-mail: †{hiroshige,yamagami,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

回路設計において、安定判別は重要である。特に強非線形回路においては常に考慮すべきテーマである。

今回提案する手法は、Floquet の定理を SPICE に応用した周波数応答における安定判別を行うアルゴリズムである。
詳しくは、SPICE によって求めた周期解からヤコビ行列を求め、その固有値から安定判別を行う。最後に例として、非線形キャパシタを含んだ 2 次の共振回路の安定判別を行う。なお、このアルゴリズムでは Floquet の定理の他に調波平衡法を基にした Sine-Cosine 回路、弧長法を基にした解曲線追跡回路を用いる。
キーワード Floquet の定理，SPICE，調波平衡法

SPICE-Oriented Algorithm for Assessment of Stabilityof Periodic Solutions
Hiroshige KATAOKA† , Yoshihiro YAMAGAMI† , Yoshifumi NISHIO† , and Akio USHIDA†† Dept. of E.E. Eng., Tokushima University, 2-1 Minami-Josanjima, Tokushima 770-8506, JAPANE-mail: †{hiroshige,yamagami,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract The assessment of the stability for periodic solutions is very important for designing the circuit. Thereare many method for the assessment of the stability. In this article, we propose a SPICE-oriented method for theassessment of the stability, that is based on the Floquet theory. By using our method, we can assess the stabilityof the circuit easily. First, we obtain the periodic solutions of the circuit by using the SPICE. Next, we calculate
the eigenvalues of a Jacobian matrix by solving variational circuits based on the Floquet theory. As an example,
we assess the stability of the periodic solutions for second order resonance circuit including nonlinear capacitors.
Key words Floquet theory, SPICE, harmonic balance method

1. ま え が き
本研究では、Floquet の定理 [1] を SPICE に応用した周波数応答における安定判別を行うアルゴリズムを提案する。従来は次の非線形共振回路の安定判別を行う。

2. SPICE による周波数解析と安定判別
2. 1 Sine-cosine 回路

変分方程式から周期解を導出し、そのヤコビ行列の固有値を求

ここでは調波平衡法の決定方程式から考案された sine-cosine

め、安定判別を行っていた。それに対し、本研究では SPICE回路について説明する。電圧、電流をフーリエ級数で表すと次を用いて変分回路から周期解を求め、そのヤコビ行列の固有値のようになる。

から安定判別を行う。2.1 章では調波平衡法を基に考案された

sine-cosine 回路 [2] について説明する。今回、sine-cosine 回路
は変分回路を作成するにあたり必要となるパラメータを導出するために使用する。2.2 章では弧長法 [3][4] を基に考案された解曲線追跡回路について説明する。この解曲線追跡回路を使用することにより、非線形回路に見られる特殊な周波数特性の解析を行うことができる。2.3 章では今回の提案手法の基であるFloquet の定理について説明し、第 3 章では例題回路として 2nX

(VCSk sin kωt + VCCk cos kωt)
 v = V0 +
k=1nX


(ICSk sin kωt + ICCk cos kωt)
 i = I0 +(1)k=1

また、キャパシタ、インダクタに関して次の関係式が成り立つ。

iC = C

diLdvC, vL = Ldtdt(2)—1—が得られ、図 3 の回路で表すことができる。

式 (1)、式 (2) からキャパシタの特性に関して、

iC =nX(−kωCVCCk sin kωt + kωCVCSk cos kωt)(3)

2p Xdvidsi=1k=1+dvω
ds2=1(6)が成り立つ。ここで着目するのは電圧・電流それぞれの sine

式 (6) において vi (i = 1, 2, . . . , p)、vω は、それぞれ式 (5) の成分、cosine 成分にかかる各係数である。式 (3) について、電vx (x = 1, 2, . . . , n)、vx (x = n + 1) に対応する。図 3 におい流における cosine 成分の係数は電圧における sine 成分の係数て、入力は電圧制御電流源 (VCCS) によって決定される。に依存することが分かる。また、電流の sine 成分は、電圧のcosine 成分に依存することが分かる。
同様に、インダクタの特性から

vL =nX(−kωLICCk sin kωt + kωLICSk cos kωt)(4)k=1が成り立つ。以上のことから、図 1 のような RLC 回路を sine-cosine 回路（各素子における sine 成分、cosine 成分の係数変化に着目した回路）に置き換えると図 2 が得られる。
図 3 解曲線追跡回路

2. 3 周期解の安定性
式 (7) のような微分代数方程式を考える。

f (ẋ, x, y, ωt) = 0(7)ここで、定常周期解 x̂、ŷ に対し、微小変分量 (∆x, ∆y) を与

図 1 RLC 回路

え、変分方程式を導出する。すなわち、n x = x̂ + ∆x(8)y = ŷ + ∆yを式 (9) に代入し、

˙ x̂, ŷ, ωt) +f (x̂,˙∆x∂f ∂f ∂f|x=x̂,y=ŷ ∆x  = 0 (9)∂ ẋ ∂x ∂y∆yが得られる。x̂、ŷ は定常周期解のため、式 (9) における第 1 項目は零である。よって、第 2 項目の変形から

˙ = A(t)∆x∆x(10)が得られる。ここで、A(t) は周期が T = 2π/ω の周期関数であり、この系に対し、Floquet の定理を適用する。つまり、上式の基本行列解を Φ(t) とすると、任意の初期値 ∆x(0) に対す
る 1 周期後の解は

図 2 図 1 の回路より得られる sine-cosine 回路∆x(T ) = Φ(T )∆x(0)2. 2 解曲線追跡回路(11)

我々のアルゴリズムで解析を行う際、解曲線追跡回路を利用となり、Φ(T ) の固有値 (λ1 , λ2 , . . . , λn ) が |λk | < 1 (k =する。解曲線追跡回路は弧長法を基に提案された回路である。

1, 2, . . . , n) を満たすときに定常周期解は安定であり、安定(n+1) 次元のユークリッド空間 x において、微小変化は式 (5)判別を行うことができる。

で表すことができる。
qds = (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 + · · · + (dx(n+1) )2(5)ここで弧長 s を時間変数 t、各 x 成分を電圧と仮定すると式 (6)—2—と定義すると以下の変分方程式が導出される。
d∆i1


+ α∆q1 + β3q10 2 ∆q1e(t) = R1 ∆i1 + L1
dt
d∆i2
α∆q1 + β + 3q10 2 ∆q1 = R2 ∆i2 L2+ α∆q2
dt


+β3q20 2 ∆q2d∆i3
α∆q2 + β3q20 2 ∆q2 = R3 ∆i3 + L3dtd∆q1
= ∆i1 − ∆i2dt d∆q2 = ∆i2 − ∆i3dt

図 4 非線形キャパシタを含む 2 次の共振回路(15)

このとき、高次成分は十分小さいものとして考える。これらの変分方程式から、図 6 の変分回路が導出される。図 6 において、

図 5 図 4 の SPICE モデル

3. シミュレーション例
図 6 図 5 の変分回路

図 4 に示す非線形キャパシタを含む 2 次の共振回路に対し、第 2 章で説明した回路・定理を適用する。ただし、図 5 において正弦波電圧源、非線形キャパシタの特性は次のように与えられるものと仮定する。
 e = Em sin ωtC1 ; v1 = α1 q1 + β1 q1 3q0 = Qc cos ωt + Qs sin ωt.

図 5 の回路は、図 4 の回路の SPICE モデルである。
図 5 の回路の回路方程式は次のように表すことができる。

ij = ij0 + ∆ijqk = qk0 + ∆qk ,期値を与える。

•∆i1 = 1[A] かつその他の値が零•∆i2 = 1[A] かつその他の値が零•∆i3 = 1[A] かつその他の値が零•∆q1 = 1[V ] かつその他の値が零•∆q2 = 1[V ] かつその他の値が零また、5 パターンそれぞれの ij 、qk が 1 周期 (式 (16) に代入する ω から求める) 後に示す値、つまり計 25 種類の変位から(13)Φ(T ) を導出する。
ここで、2.3 章を参考に変数 ij (j = 1, 2, 3)、qk (k = 1, 2) を((16)である。図 6 の回路の ∆ij 、∆qk に対し、次の 5 パターンの初(12) C ; v =α q +β q 3221 22 2di13 e(t) = R1 i1 + L1 dt + αq1 + βq1




di2

33


 αq1 + βq1 = R2 i2 + L2 dt + αq2 + βq2



di3
αq2 + βq2 3 = R3 i3 + L3
dt



dq1

 dt = i1 − i2 dq2 = i − i .
23dt

q10 と q20 は図 5 の sine-cosine 回路から与えられる定常周期解(14)∆i1(i1 =1)∆i2(i1 =1)∆i3(i1 =1)∆q1(i1 =1)∆q2(i1 =1) ∆i1(i2 =1)Φ =  ∆i1(i3 =1) ∆i1(q1 =1)∆i1(q2 =1)∆i2(i2 =1)∆i3(i2 =1)∆q1(i2 =1)∆i2(i3 =1)∆i3(i3 =1)∆q1(i3 =1)∆i2(q1 =1)∆i3(q1 =1)∆q1(q1 =1)∆i2(q2 =1)∆i3(q2 =1)∆q1(q2 =1)∆q2(i2 =1) ∆q2(i3 =1) ∆q2(q1 =1) ∆q2(q2 =1)

この Φ(T ) から固有値を導出し安定判別を行う。

—3—

4. シミュレーション結果

我々は参考文献 [4] に対して同条件の回路をシミュレーションし、安定・不安定の両状態を含む波形を得た。この

図 7、8、9 は i1 、i2 、i3 (q1 、q2 は比較対象とする [4] に示さ章 で は 、我 々 の 手 法 に よ る 結 果 と 参 考 文 献 [4] の 結 果 をれていないので省略する) に対して、SPICE で sine-cosine 回比 較 す る 。今 回 は 図 7、8、9 上 で 示 す ω = 4.5[rad/sec]、路と解曲線回路を用いて解析を行った結果である。 シミュレー

ω = 5.0[rad/sec]、ω = 5.5[rad/sec] の三点で安定判別を行った。まず、ω = 4.5[rad/sec] の場合





0.123

0.255

−0.7670.1450.124

 1.034
Φ =  −0.314
 −0.673−0.222

0.449

0.990

−0.134

0.102

0.636

−0.030

0.208

0.160

−0.204−0.132

1.334

0.138


0.116 

−0.235 
0.235 

−0.202となる。次に、ω = 5.0[rad/sec] の場合



図 7 i1 の周波数応答特性



0.465

0.113

0.006

−0.182−0.013 0.397Φ =  0.036
 0.912

0.238

0.847

−0.771

0.052−0.1061.516

0.1170.008−1.7000.200−0.279

1.699

0.002


0.260 

−0.236 
0.140 

−0.070となる。最後に ω = 5.5[rad/sec] の場合





1.399

−0.075−0.5900.164−0.060 −0.099
Φ =  −0.470
 −0.929

0.779

0.988

−0.597−0.213−0.035

2.032

0.034

0.452

−1.380−0.022−0.136−0.5310.061


0.297 

−0.225 
0.232 

0.182となる。これらの行列式の固有値を求め、まとめたものが表 1である。表 1 から ω = 4.5[rad/s] のとき、すべての λ に対し
図 8 i2 の周波数応答特性

表1

Φ の固有値ω [rad/s]|λ1 ||λ2 |ω = 4.50

0.610 0.610 0.564 0.564 0.853|λ3 ||λ4 ||λ5 |ω = 5.00

0.530 0.530 0.405 0.851 1.043

ω = 5.50

2.411 0.866 0.593 0.593 0.149|λ| < 1 なので安定である。しかし、ω = 5.00 と ω = 5.50 のとき、|λ| < 1 を満たさない固有値があるので不安定であるといえる。この結果から、我々が提案した単純な SPICE のアルゴリズムで参考文献 [4] と等しい結果が得られたことが分かる。

5. ま と め
本研究では、Floquet の定理を SPICE に応用した周波数応答における安定判別を行うアルゴリズムを提案した。安定判別
図 9 i3 の周波数応答特性法として Floquet の定理を用いる際、周期解を単純な SPICEのアルゴリズムで直接求めることにより安定判別を簡略化できションで用いた素子の各パラメータは次のとおりである。

たと考えられる。非線形キャパシタを含む 2 次の共振回路におEm = 0.35[V ], α1 = 2.4, β1 = 12.0, α2 = 1.0, β2 = 5.0,

けるいくつかの ω に対し我々の提案手法で安定判別を行い、従R1 = 0.1[Ω], R2 = R3 = 0.02[Ω], L1 = 0.2[H], L2 = 0.8[H],

来の手法を用いた結果と一致することを確認した。今後の課題

L3 = 0.10101[H]は、回路の大規模化に対して我々の手法を効果的に適用することである。

—4—

謝

辞本 研 究 の 一 部 は 、日 本 学 術 振 興 会 の 科 学 研 究 費 補 助 金(22500203) により得られた成果である。
文

献[1] F.L. Traversa, F. Bonani and S.D. Guerrieri, “A frequencydomain approach to the analysis of stability and bifurcations in nonlinear systems described by differential-algebraicequations,” International Journal of Circuit Theory and Applications, vol.36, pp.421-439, 2008.
[2] T. Kinouchi, Y. Yamagami, Y. Nishio and A. Ushida,“Spice-oriented harmonic balance Volterra series methods,”
Proc. of NOLTA’07, pp.513-516, 2007.
[3] Y. Inoue, “DC analysis of nonlinear circuits using solutiontracing circuits,” Trans. IEICE, vol.J74-A, pp.1647-1655,
1991.
[4] E. Ikeno and A. Ushida, “The arc-length method for thecomputation of characteristic curves,” IEEE Trans. Circuits
Syst., vol.23, pp.181-183, 1976.

—5—