【論文】

多数決と論理― 社会的選択理論と論理学 ―Majority voting and logical reasoning—Social choice theory and logic—

竹

村

亮

TAKEMURA Ryo

目次
1

はじめに

2

パラドクス

3

判断集約理論と Arrow の定理

4

多数決と論理5

まとめと今後の課題

6

補論

（要旨）
本稿ではまず，多数決と論理推論の間の矛盾を表す Condorcet のパラドクスとその一般化である discursive paradox を紹介する。続いて，それらのパラドクスの研究から発展した
Arrow の定理および不可能性定理について判断集約理論の枠組みで概説する。本稿ではさらに，パラドクスの証明論的分析を行うために，判断集約理論に基づく多数決付きの推論システ
ムを導入する。そのシステムを用いて，先行研究で議論されてきたパラドクスの回避方法である前提多数決方式および結論多数決方式の証明論的分析を行う。

― 137 ―

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理

1

はじめに

4 節では，論理学における証明論の観点から，多数決を推論規則の一つとして含む推論シス

社会的，つまり集団での意思決定においてテムを導入し，Condorcet のパラドクスにつは，どのような意見集約方法を用いるかが問いて証明論的に分析する。さらに先行研究で題となる。たとえば，ゼミで合宿先を決める

盛んに議論されている前提多数決方式および場合から国政に至るまで，全員が合意するま

結論多数決方式によるパラドクスの回避策にで（何時間でも）話し合う，一人のリーダーついて証明論的に分析する。これまでの先行が（独裁的に）決める，くじ引きで（運に任研究は意味論的な分析が主であり，証明論的せて）決める，等々さまざまな意見集約方法

な手法の適用は少ない。（（Porello, 2017）はが用いられる。なかでももっとも広く用いら数少ない証明論的な研究のうちの 1 つであれる方法は多数決・投票であろう。多数決はる。
）証明論的な手法を用いる利点は，証明方法的にもシンプルで，ある程度の説得力が図によって結論の導出過程や矛盾の生じる過あるように思われる。しかしながら，18 世

程をステップバイステップで分析できる点で紀にフランスの Condorcet によって，多数ある。最後に 5 節で本稿のまとめと，今後の決は論理推論と矛盾する場合があることが示

課題について述べる。また，6 節では本稿のされた。誰もが認める前提から正しい論理推

補論として，不可能性定理の証明の概略を記論によって得られた結論は，基本的には誰もしておく。

が認めるようなものであろう。論理推論が，

本稿では紙幅の都合上，ある程度の論理学

どんな場合にも絶対ではないかもしれないの知識を前提としている。論理学の知識を前が，少なくとも論理推論と矛盾しない方が好提としない判断集約理論のイントロダクショ

ましいだろう。

ン と し て は， た と え ば（List, 2012; Grossi

それでは，論理推論と矛盾しないような

and Pigozzi, 2014）が挙げられる。また，判意見集約の方法としては，どのような方法

断集約理論のサーベイとしては（List andが あ り う る の だ ろ う か？ 1972 年 に ノ ー ベ

Puppe, 2009）が挙げられる。よりフォーマル経済学賞を受賞したアメリカの経済学者

ルに Arrow の定理と判断集約理論での不可Kenneth Arrow は，Condorcet の 結 果 を 基

能性定理との対応を解説している論文としてに Arrow の定理を確立した。Arrow の定理

は，（Dietrich and List, 2007; List and Pettit,

は，論理推論と矛盾しないことを含むいく

2004）等が挙げられる。また，経済学におけつかの「まっとうな」（民主的な？）条件のる社会的選択理論での Arrow の定理につい

下では，独裁的でない意見集約は不可能でては（Arrow, Sen, and Suzumura, 2002）おあるという社会的選択理論における定理でよびそこに収録されている（Campbell andある。Arrow の定理は近年，論理学の観点

Kelly, 2002），さらに日本語で読めるものとからより一般的な判断集約理論（Judgement

しては（鈴村, 2012; 坂井, 2013），また一般

aggregation theory）の枠組みで考察されて書としては（佐伯, 1980）等が挙げられる。

いる。
本稿ではまず 2 節で Condorcet のパラド

2

パラドクス

クスを紹介する。3 節では，判断集約理論とその枠組みにおける不可能性定理について概2.1

説する。Arrow の定理は判断集約理論にお以下は（List and Pettit, 2004）で紹介されける不可能性定理の特殊形として得られる。
『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

Condorcet のパラドクスているパラドクスである。

― 138 ―

多数決と論理例 2.1（Condorcet のパラドクス）

x > y，y<z（y> z の逆），x<z がアクセプトさy，a さん，b さん，c さんの 3 人が選択肢 x，z に対して，下の表ような選好をもっている。

れて z > x > y という順序になり，多数決と論理推論の間に矛盾は生じない。

ここで，x > y は選択肢 x が y よりも好ましいことを表している。また，各人は各選択肢のペア x と y について，必ず x > y か x<y かの
y> z

x>z

a さん

T

T

T

b さん

F

T

F

c さん

T

F

F

多数決

T

T

F

y> z

x>z

T

F

T

b さん

F

T

F

c さん

T

F

F

多数決

T

F

F

a さん

どちらかをアクセプトするものとする。
x>y

x>y

2. 2

Discursive paradox

上記の Condorcet のパラドクスは社会的選択理論におけるパラドクスであり，そこで

a さんは，表を横に読んで，x > y，y> z およの論理推論は，より厳密には選好関係の推び x > z が T，
すなわちこれらをアクセプトし，
b さんは x > y および x > z が F，すなわちこ移性である。しかしながら，この Condorcet

れらをリジェクトし（言い換えれば，その逆
x<y と x<z をアクセプトし），y> z をアクセ

特定の推論に限らずに，一般の命題と論理のパラドクスは選好関係の推移性のような推論におけるパラドクスへと一般化される。

プトしている。c さんについても同様である。 （Dietrich and List, 2007）は，Condorcet のパラドクスを一般化した以下のような例を考
このとき，今度は表を縦に読むと，x > y については a さんと c さんがアクセプトで，b さんのみがリジェクトなため，多数決によって全体としては x > y はアクセプトされる。同様に，y> z も多数決で全体としてアクセプト

察している。
例 2.2（Discursive paradox）以下の 3 つの命題 φ, ψ , φ →ψに対する判断について考され，x > z は多数決で全体としてリジェクトされる。しかしながら，x > y および y> z がえる。

成り立てば，選好 > の推移性から，論理的には x > z が成り立たなければならない。しφ： CO2 の排出量は閾値を超えている。

たがってこの多数決の結果は，多数決と論理

ψ： 地球温暖化が起こる。
φ →ψ：CO2 の排出量が閾値を超えているな

推論の間に矛盾が生じうることを表していらば，地球温暖化が起こる。

る。
また，a さんの x > z に対する選好が F だった場合には，a さん自身の選好が論理的に矛盾する。
もちろん，多数決と論理推論は常に矛盾するわけではない。たとえば，a さんの y> z に

φ

φ →ψ

ψ

a さん

T

T

T

b さん

F

T

F

c さん

T

F

F

多数決

T

T

F

先の例と同じく，T がアクセプト，F がリジェクトを表す。したがって，a さんは φ,

対する選好を T から F に代えた下の表のような状況だった場合，y> z は多数決によって

φ →ψ , ψという 3 つの命題すべてをアクセ

全体としてはリジェクトされ，全体としては

プトし，b さんは φ →ψのみ，c さんは φ― 139 ―

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理

3. 1

のみをそれぞれアクセプトしている。たとえば，b さんは φ が F，つまり CO2 の排出量論理体系

本 節 で は（Dietrich and List, 2007; List,

は閾値を超えていないと考えており，また c
さんは φ が T，つまり CO2 の排出量は閾値

2012）に従って，判断対象となる命題（文）を超えていると考えているが，そうだとしてび論理的帰結の概念を導入する。

も地球温暖化が起こるとは考えていない（ψと φ →ψが F）。

〔論理式〕ここでは，論理学でおなじみの命

このとき，多数決では φ と φ →ψがアク

題論理の体系を考え，論理結合子（接続詞）の記号表現である論理式を設定し，矛盾およ

セプトされ，ψがリジェクトされる（すなわの否定（not）¬，連言（and）∧，選言（or）

ち not ψがアクセプトされる）。しかしながら，φ と φ →ψがともに成り立つときには，∨，含意（imply）→から構成される通常の論理式を考えておく。一般の論理式を φ, ψ ,論理的にはψも成り立たなければならず，したがって，多数決で得られる 3 つの命題 φ,σ, ... で表す。

φ →ψ , not ψは全体として矛盾している。
ここでも多数決と論理推論との間に矛盾が生

記号表現が論理式であり，他にもたとえば
φ → ¬ ψ（φ implies not ψ）や ¬φ ∧（ψ

じている。

→ σ）（not φ, and ψ implies σ）等が論理式

先の例 2.2 に現れている φ や φ →ψ等のである。
上の表の各人の T/F のパターンは先の例
2.1 と同じであり，選好関係 > のみが一般の〔矛盾〕論理式のある集合について，そのそ命題に拡張されている。すなわち，このパラ

れぞれの論理式が同時に真でありうるとき，ドクスは Condorcet のパラドクスと同じ構

その論理式の集合は無矛盾（consistent）で造をしており，選好関係に限らない一般の命あるといい，同時に真にはなり得ないとき，題への拡張となっている。

その論理式の集合は矛盾（inconsistent）し3

判断集約理論と Arrow の定理ているという。
たとえば，φ とψが真のとき，φ ∧ψ（φCondorcet の パ ラ ド ク ス か ら 発 展 しand ψ）は真だから，論理式の集合｛φ, ψ ,φ ∧ψ｝は無矛盾だが，｛φ, ψ , ¬（φ ∧ψ）｝

た Arrow の 定 理 は， 経 済 学 の 社 会 的 選 択は矛盾している。

理 論 に お け る 定 理 で あ る が， 近 年 で は 論理学の観点からより一般的な判断集約理〔論理的帰結〕論理的帰結の具体的な定義は論（Judgement aggregation theory） の 枠

さまざまなものがあるが，特定の推論システ組 み で 考 察 さ れて い る。
（Arrow の 定 理にムに依存しない形での（意味論的な）定義は

つ い て は，
（Arrow, 2012; Arrow, Sen, and

たとえば以下のようなものである。論理式の集合｛σ 1, ..., σ n｝に ¬φ を加えた集合｛σ 1, ...,

Suzumura, 2002）参照。
）以下 3.1 節では判断集約理論で必要となる最低限の論理体系に

σ n , ¬φ｝が矛盾するとき，φ は σ 1, ..., σ n の論

ついて概説する。3.2 節と 3.3 節で判断集約理論について概説し，3.4 節で判断集約理論

理的帰結であり，σ 1, ..., σ n │=φ と表す。
これは σ 1, ..., σ n を前提として，φ が結論でにおける不可能性定理を紹介する。

きることを意味している。
φ, ψ│= φ ∧ψである。なぜなら，
たとえば，『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）― 140 ―

多数決と論理｛φ, ψ , ¬（φ ∧ψ）｝は矛盾するからである。

式の集合を i の判断集合と呼び，Ji で表す。
φ ∈ Ji のとき，個人 i は φ をアクセプトする。
ここでは，Ji は無矛盾であるとする。つま後に，4.1 節で推論システムに基づく論理

り，各個人の判断は矛盾していないものとす的帰結の（構文論的な）定義も導入する。

る。さらに，Ji は完全であるとする。すなわ
3. 2

判断集約理論（Judgement aggregation theory）

ち，アジェンダ A に含まれる対立する論理
式のペア φ と ¬φ について，必ずどちらか

以上のような論理学でおなじみの設定に基

一方は Ji に含まれるものとする。したがって，づいて，判断集約理論における基本概念は以各個人はアジェンダに含まれる対立する論理

下のように定義される。

式のうち，必ずどちらか一方をアクセプトする。

〔個人の集合〕n 人の個人 1, 2, 3, ..., n（これらの番号が個人の名前を表す）から成る集合をN で表す。つまり N=｛1, 2, 3, ..., n｝である。

た と え ば， 例 2.2 で は，a さ ん を 1，b さん を 2，c さ ん を 3 と し て，J1=｛φ, ψ ,φ →ψ｝，J2=｛¬φ, ¬ ψ , φ →ψ｝，J3=｛φ,ただし，n>−3 とする。つまりここでは 3 人以

¬ ψ , ¬（φ →ψ）｝である。

〔アジェンダ〕判断が下される論理式の集合〔プロファイル〕N の各メンバーの判断集合の列（J1, J2, ..., Jn）をプロファイルと呼ぶ。

上のグループでの判断集約について考える。

をアジェンダ（agenda）と呼び，A で表す。
アジェンダ A は，対立する論理式の集合であり，論理式 φ が A に含まれているときには，必ず ¬φ も A に含まれているものとする。

たとえば，例 2.2 のアジェンダは A=｛φ,¬φ, ψ ,¬ ψ , φ →ψ , ¬（φ →ψ）｝である。

個人の判断は，状況によって変わることもありうるとする。たとえば例 2.2 では，a さんは J1=｛φ, ψ , φ →ψ｝となっているが，別の状況下では同じ論理式に対して，a さんの判断が J1＊ =｛¬φ, ¬ ψ , φ →ψ｝ということもありうるとする。理論的には，a さんのここでは，¬¬φ と φ は同一の論理式とみなす。また，A には φ → φ のような恒真式

判断に限っても，各論理式に対する判断が T（トートロジー），および φ ∧¬φ のような集合がありうる。（3 人全体では，8 × 3=24

恒偽式
（矛盾式）
は含まれないものとする。
（恒

通りの表（プロファイル）がありうることに真式や恒偽式には判断の余地はないものと考なる。
）ただし，その中には論理的に矛盾すえる。
）
また，判断対象となる論理式は 3 つ以上ある判断も含まれる。たとえば，a さんの判断集合を｛φ, ¬ ψ , φ →ψ｝とすると，φ とるものとする。すなわち｜A｜>（互−3 である。

φ →ψが真なら，論理的にはψも真だから，か F の 2 通りで，2 × 2 × 2=8 通りの判断

いに無関係な 2 つの論理式のみからなる自明

この判断集合は矛盾している（だから本来こな（おもしろくない）アジェンダに対しては，論理推論は関係ないため，多数決と論理推論の集合は判断集合ではない）。矛盾した判断（¬φ, ¬ ψ, ¬（φ →ψ）;¬φ, ψ, ¬（φ →ψ）; φ,は当然矛盾しない。
）

ψ , ¬（φ →ψ）; φ,¬ ψ , φ →ψ）を除くと，〔個人の判断集合〕N のメンバーである個人 iが，アジェンダ A に含まれる論理式について，アクセプトする（それが真だと認める）論理

a さんの判断集合としては全部で 4 通りあり，
これらをそれぞれ J1, J1＊ , J1＊＊ 等と表す。
プロファイル（J1, ..., Jn）をベクトル表記→→を用いて J や J ＊等で表す。

― 141 ―

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理の論理式に対する判断が Ji ＊に変わっても φ〔集約規則〕個々人の判断集合から成るプロ

に対する判断は変わらない，これがすべてのファイルに対して，グループ全体としての集メンバーについて言えるときには，集約的に→→も φ に対する判断は F（J ）と F（J ＊）で変わっ

約的判断を定める規則を集約規則と呼ぶ。数→学的には，集約規則 F はプロファイル J から判断集合 F
（J）への関数である。

てはならない，ということを意味する。より簡潔に言えば，全メンバーにとって，φ に

3. 3

対する判断が他の論理式に対する判断から独立なときには，集約的にも φ に対する判断→集約規則の諸条件

集約規則にはたとえば，多数決や独裁制等
さまざまなものがありうる。個人の意見とはは他の論理式から独立でなければならないということである。

無関係に，最初から結果が決まっているよう

この条件はフォーマルには以下のようにな集約規則も考えることはできるが，そのような規則は「まっとう」とは言えない。どん表される。すべての i ∈ N について，φ ∈ Ji
if and only if φ ∈ Ji ＊が成り立つときには，な集約規則でも良いわけではない。そこでまφ ∈ F（J ）if and only if φ ∈ F（J ＊）が成ず，一般に挙げられる「まっとうな」集約規

り立たなければならない。
〔Systematicity〕Ji における φ に対する判断則が満たすべき（とされる）諸条件のうちのいくつかを紹介する。

→→と，Ji ＊におけるψの判断が一致している（つまり φ とψに対するアクセプト・リジェク〔Collective rationality〕グループ全体として

トのパターンが一致している）ことが全メンの集約的判断は，矛盾することはなく，またバーについて言えるときには，集約的にも→→F（J ）での φ の判断と F（J ＊ ）でのψの判断

完全でなければならない。数学的には，任意→のプロファイル J について（つまりどんな場
→

合にも）
，
集約規則 F に基づく集約的判断 F（ J）
が無矛盾で完全であるということである。
先に見たように多数決は，集約結果が論理推論と矛盾する場合があるため，Collectiveは一致しなければならない。
この条件は，上記の Independence を一般化したものであり，Systematicity のψが φと同一の論理式のときが Independence の条件となる。

rationality の条件を満たさない。

よりフォーマルには以下のように表され〔Unanimity〕全メンバーが φ をアクセプト
するときには，集約的にも φ はアクセプト

る。すべての i ∈ N について，φ ∈ Ji if and→only if ψ∈ Ji ＊が成り立つときには，φ ∈ F（J ）されなければならない。

if and only if ψ ∈ F（J ＊）が成り立たなけれ

フォーマルには以下のように表される。す→ばならない。

べての i ∈ N について φ ∈ Ji のときには，→φ ∈ F（J ）でなければならない。

上記のような集約規則の条件に加えて，通〔Independence〕φ のアクセプト・リジェク
トの判断がプロファイル Ji と別のプロファイ

常はアジェンダにもさらに条件が課される。

ル Ji ＊で一致している，このことがすべてのジェンダでは，多数決と論理推論は矛盾しな

メンバーについて言えるときには，集約的に→→も φ に対する判断は F（J）と F（J ＊）で一致

い（（Grossi and Pigozzi, 2014）の Theorem

しなければならない。
つまり，もとの Ji から状況が変わって他関係の推移性等の一定の論理構造をもった『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

バラバラで論理推論が関わらないようなア

3.2 を参照）。Condorcet のパラドクスは選好
アジェンダについて生じるのである。（List― 142 ―

多数決と論理and Polak, 2010）では，Arrow の定理の証→

明の概説を通して，選好関係およびその推移
性等に対応する判断集約理論での諸条件が考察されている。しかしながら，これらの諸条件は非常にテクニカルな条件として定式化されており（6.1 節参照）
，本稿ではこ→W =｛ J（φ）⊆ N ｜φ ∈ F（J ）｝→定義 3.3（Monotonicity）プロファイル J のもとで φ が集約的にアクセプトされていて，れらの条件を避けるために，以下で述べる

そのとき φ をアクセプトするメンバーは全→員，別のプロファイル J ＊でもやはり φ をアMonotonicity および Intersection closedness

クセプトするとする。このとき，φ は J ＊での条件を集約規則に課す。その上で，アジェ
ンダ A には特殊な条件は一切課さずに，単もやはり集約的にアクセプトされなければなに 3.2 節で述べた条件のみとする。
（3.2 節でフォーマルには以下のように表される。任はアジェンダに特別な構造を要求していない意のプロファイル J ，J ＊ と，任意の論理式
φ ∈ A について

が，以下の Intersection closedness の条件によって，アジェンダが一定の論理構造をもつ

→

らない。
→

→

→

→

φ ∈ F（J ）かつ J（φ）⊆ J ＊（φ）→

ならば，φ ∈ F（J ＊）ことが要求される。
）
3. 4

→

不可能性定理と Arrow の定理

本 節 で は，Monotonicity と Intersection
closedness の条件を導入し，判断集約理論における不可能性定理を紹介する。

定義 3.4（Intersection closedness）→
プロファイル J のもとで φ について決定→

的 な グ ル ー プ J（φ） と， 別 の プ ロ フ ァ イ→
ル J ＊ のもとでψについて決定的なグループ→＊

J （ψ）に共通のメンバーについて考えると，→定義 3.1 プロファイル J のもとで φ をアクセプトするグループ（coalition supporting φ）

その人たちはある論理式 σ について決定的なを J（φ）と表す。

よりフォーマルには以下のように表され→ →る。任意のプロファイル J ，J ＊ と，任意の→グループとなっていなければならない。

→→

J（φ）=｛i ∈ N ｜φ ∈ Ji｝

論理式 φ, ψ∈ A について，φ ∈ F（J ）かつ→＊→→φFψ∈ （J ）のときには，J（ ）∩ J ＊（ψ）=

すなわち，自身の判断集合に φ を含む（φをアクセプトする）N のメンバー全員からな→→I σ）かつ σ ∈ F（I ）となるようなプロファ（→
イル I と論理式 σ ∈ A が存在しなければならない。

る集合である。
→

この条件は，φ, ψ∈ A でそれぞれ集約的

定義 3.2 集約規則 F のもとで φ ∈ F（J）が成り立つ，すなわち φ が集約的にアクセプにアクセプトされるときには，アジェンダ Aが φ ∧ψもしくはそれに相当する論理式をトされるとき，その φ をアクセプトするグ→
ループ J（φ）を，φ について決定的なグルー含んでいることを要求する。すなわちこの条

プ（winning coalition supporting φ）と呼ぶ。
すなわち，φ について，集約結果におい件が，A が単なるバラバラの論理式から成るのではなく，ある程度の論理構造をもつことを要請している。

て意見が通っているグループが決定的なグ

一般には，これらの Monotonicity および

ループである。集約規則 F のもとで決定的なグループすべての集合を W で表す。

Intersection closedness は，集約規則 F の条件として課されることはなく，他のより基本― 143 ―

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理的な条件から導かれる F の性質である。

係として自然に 1 階述語論理に導入することこれらの条件から，以下の不可能性定理が得られる。

ができる。選好関係の論理は，大小関係 <（と等号 =）のみを扱う 1 階述語論理の部分体系である。よって，判断集約理論における不定 理 3.5（ 不 可 能 性 定 理 ）F を Collective

可能性定理の系（特殊形）として Arrow のrationality，Systematicity，Monotonicity，定理が得られる。（6.1 節参照。より詳しくはIntersection closedness を満たす集約規則と（Dietrich and List, 2007）を参照。）

するとき，F は独裁的である。
4

多数決と論理ここで，集約規則 F が独裁的であるのは，あるメンバー i ∈ N が存在して，どんなプロ

Arrow の 定 理 の 考 察 の 基 と な っ たファイル J についても，F（J）= Ji となるとCondorcet のパラドクスでは，多数決と論理きである。すなわち，どんな場合にも集約結推論が矛盾しうることが示されていた。しか果がすべて自身の判断と一致しているようなしながらこの矛盾の概念は，古典論理と呼ば

個人 i が独裁者である。

れる，数学で通常用いられる論理における矛→→上の定理は，決定的なグループすべての集盾の概念である。論理学では，古典論理に限合 W が，代数学的な ultrafilter を成すこと

らないさまざまな論理体系が研究されておから示される。
（証明の概略は 6.2 節参照。）
代数学の定理によって，N 上の ultrafilter W
は principal，すなわち以下を満たす個人 i ∈
N が存在することが知られている。

→

り，必ずしも古典論理が唯一の正統な論理体系というわけではない。論理推論が適用される文脈によっては，数学においてさえも古典論理が必ずしも適切ではなかったり，論理構
造の分析には古典論理では不充分な場合もあ→J（φ）∈ W if and only if i ∈ J（φ）

る。矛盾の概念もそれらの体系に応じてさま

この i が独裁者である。なぜなら，（6.2 節の2017）では，線形論理と呼ばれる古典論理を補 題 6.6 か ら）φ ∈ F（J）は J（φ）∈ W と→同値であり，
上の ultrafilter の性質から J（φ）

分析するためのシステムを用いて，必ずしも∈ W と i ∈ J（φ）が同値である。さらに定→J φ）
義から i ∈ （は φ ∈ Ji と同値である。よっている。

て，φ ∈ F（J）と φ ∈ Ji が同値，すなわち→F（J ）=Ji だからである。

体系に対して index（指標）を付けた推論シ→

ざまなものがありうる。たとえば（Porello,

→

→

→

多数決と論理推論が矛盾しないことが示され
以下 4.1 節では，最小論理と呼ばれる論理
ステムを導入する。最小論理は古典論理の部分体系であり，背理法等いくつかの哲学的に

不可能性定理は，命題論理に限らず 1 階述議論の的となる推論を制限することで得られ語論理でも同じように成り立つ。1 階述語論

る論理体系である。ここでは，連言∧と含意

理は数学を記述するための論理であり，四則→，否定 ¬ のみを考える（選言∨は扱わない）。

演算や等号 =，大小関係 < などの数学の定

さらにこの推論システムに対して，多数決を理を記述するのに必要な記号およびそれらが推論規則として導入する。4.2 節では，必ず満たすべき性質が公理として適宜導入されしも Condorcet のパラドクスのように多数る。Arrow の定理は，選好関係 < について

決と論理推論は矛盾するわけではないことを成り立つ定理であり，選好関係 < は大小関示す。

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）― 144 ―

多数決と論理

4. 1

多数決付推論システム

矛盾することはありうる。

3.1 節では，特定の推論システムに依存し⊥ない形での論理的帰結の概念を導入したが， 〔論理公理〕論理公理は以下の形である。
φ Nφ
本節では具体的な推論システムを導入し，それに基づく論理的帰結の概念を導入する。こすなわち，結論 φ が前提 φ の論理的帰結でこでは，論理学における代表的な推論システあることを，グループ全体 N がアクセプト

ムである Gentzen の式計算（Gentzen, 1934）

するという自明な事実である。

を用いる。式計算では論理式ではなく，式（sequent）と呼ばれる論理的帰結を表す論理〔非論理公理〕非論理公理は以下の形である。

式の列が基本要素となり，証明の出発点となる公理と，推論を進めるための推論規則から• α =｛i ∈ N｜¬φ ∈ Ji｝（つまり否定形の構成される。より厳密な定義と解説はたとえ

論理式 ¬φ）に対して，

ば，（Buss, 1998; 小野, 1994）を見て欲しい。
⊥

φ

α

→

アジェンダ A とプロファイル J を 1 つ固定し，それに対して推論システムを定義する。

• α =｛i ∈ N｜φ ∈ Ji で φ は否定形でない｝
に対して，〔式〕以下の形の論理式の列を式（sequent）
と呼ぶ。

⊥

φ

α

⊥

φ1, ..., φkαすなわち，グループ α の人々が φ をアクセプトすることを αφ と表し，¬φ をアクσ⊥

セプトすることを φ

⊥

この式は，

α

⊥

ここで，α ⊆ N である。の左側にある論理式が前提，と表し，これらを公理とする。

右側にある論理式が結論を表しており，結論
σ が前提 φ1,, ..., φk の論理的帰結であることを，グループ α のメンバーがアクセプトしてα式計算における推論規則は以下の形で表される。

いることを意味する。なお，前提に現れる論⊥ ⊥理式の順序は固定されていないものとする。
α の右辺に論理式が 1 つもない式 φ1, ...,φkαは，前提 φ1, ..., φk から矛盾が導けることを α のメンバーがアクセプトしているこまたは⊥とを意味する。とくに，両辺に論理式が一つもない式
α はグループ α のメンバーが全⊥員矛盾すること，

N

は N 全体が前提なしに矛盾をアクセプトすること，すなわち N 全⊥― 145 ―⊥

矛盾する状況はあってはならない状況だが，全体 N とは異なるグループ α のメンバーが上の表現は，上式 σ 1, ..., σk β φ1 および σ′1, ...,
σ′j γφ2 から，下式 δ1, ..., δl αφ が推論規則
rule によって導けることを意味する。
⊥

は誰も矛盾をアクセプトしないことを表す。グループ N 全体が0⊥

体が矛盾すること，

式計算における推論規則は，2 つのグルー『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理プから成る。1 つは論理結合子に直接関わるのメンバーは φ →ψから σ が帰結すること推論規則であり，ここではこれらを論理規則

をアクセプトすることを意味している。また，→ R 規則は，α のメンバーが φ からψが帰群と呼ぶ。またもう 1 つは，論理結合子に直接的には関わらない規則であり，ここでは構造規則群と呼ぶ。
論理規則群は以下の∧規則，→規則，¬ 規

結することをアクセプトするときには，α のメンバーは φ →ψをアクセプトすることを意味している。
〔¬ 規則（¬L と ¬R）〕則から成る。
〔∧ 規則（∧ L1，∧ L2 と∧ R）〕

上の規則では，σ 1, ..., σ ｋはコンテクストと呼¬L 規則は，φ が結論できることを α のメン
バーがアクセプトするときには，前提に ¬φ

ばれ，上式と下式で変わらず，直接的にはこを加えると矛盾することを α のメンバーがアの推論規則には関わらない。簡単のためにコンテクストの σ 1, ..., σ ｋを無視して考えると，∧ L1 規則は前提 φ から σ が結論できること
を α のメンバーがアクセプトするときには，

クセプトすることを意味する。また，¬R 規
則は，φ という前提から矛盾が結論できる
ことを α のメンバーがアクセプトするときにより強い前提 φ ∧ψ（φ ∧ψから φ は導け

は，φ でないこと，すなわち ¬φ が結論できることを α のメンバーがアクセプトするこる）からも σ が結論できることを α のメンとを意味する。

バーがアクセプトすることを意味している。
∧ L2 規則も同様である。

構造規則群は，以下の cut 規則，weak 規則，
contr 規則，mer 規則，mv 規則から成る。
〔cut 規則〕∧ R 規則は，α のメンバーが φ をアクセプ
トし，β のメンバーがψをアクセプトするときには，α と β に共通のメンバーは φ ∧ψを

cut 規則は，α のメンバーが φ が結論できることをアクセプトし，さらに β のメンバーがアクセプトすることを意味している。

ψから σ が結論できることをアクセプトする〔→規則（→ L と→ R）〕

ときには，α と β に共通のメンバーは σ が帰結することをアクセプトすることを意味する。

〔weak（weakening） と contr（contraction）
規則〕→ L 規則は，α のメンバーが φ をアクセプ
トし，β のメンバーがψから σ が帰結することをアクセプトするときには，α と β に共通『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）― 146 ―

多数決と論理上の証明図を，一番下に来る式

る結論は変わらないことを意味する。また，の証明図と呼ぶ。

⊥

weak 規則は，前提が増えてもアクセプトす¬（φ ∧ψ）

N

contr 規則は，同じ前提をまとめて 1 つと考
えてよいことを表している。

以 下 で は， 見 や す さ の た め に， ∧ L1 や〔mer 規則（Merge）〕¬R のような証明図中の論理規則の名前は省略する。ただし，構造規則には本稿独自のものが多いため，構造規則の名前は明示することにする。

mer 規則は，α のメンバーが σ 1, ..., σ k から φ

定義 4.2（証明可能性（論理的帰結））
式 σ 1, ..., σk α φ の証明図が存在するとき，
式 σ 1, ..., σk⊥ ⊥が帰結することをアクセプトし，β のメン
バーは別の前提 δ1, ..., δl から同じく φ が帰結

αφ は証明可能（provable）であるという。

..., σk , δ1, ..., δl から φ が帰結することをアクセ

とくに，σ 1, ..., σk N φ が証明可能なとき，
これは N のメンバー全員がアクセプトする

プトすることを意味している。
〔mv 規則（Majority voting 多数決）〕⊥することをアクセプトするときには，α もし
くは β のどちらかに所属するメンバーは，σ 1,

論理的帰結である。

，つまりグループ α の人数が過半数
4. 2

のとき，

パラドクスの分析

以下では，例 2.2 において多数決と論理推論が矛盾する過程について分析する。ここでは，議論を見やすくするために，→ではな
過半数を超えるグループ α のメンバーがアクセプトする論理的帰結は，多数決を通して，
全体 N がアクセプトすることを意味している。

く，以下のような∧に関するパラドクスを考える。例 2.2 と比べて，φ →ψをψに，ψをφ ∧ψに変更しただけであり，表の T/F の配置は変わらず，例 2.2 と本質的にまったく式計算における証明図は，これらの推論規則を積み重ねてできる下の例 4.1 のような木構造である。ただし，証明図の一番上（証明の出発点）には，公理（論理公理または非同一のパラドクスである。N=｛1, 2, 3｝とする。
また A=｛φ, ¬φ, ψ, ¬ ψ, φ∧ψ, ¬（φ∧ψ）｝

として，J1=｛φ, ψ , φ ∧ψ｝, J2=｛¬φ, ψ ,φ¬（ ∧ψ）｝, J3=｛φ, ¬ψ , ¬（φ ∧ψ）｝とする。

⊥

論理公理のいずれか）が来なければならない。
また，たとえば α=｛1, 2, 3｝のとき，φ α ψ⊥を（｛ ｝と , を省略して）φ

123

1

ψと表す。

例 4.1（証明図）N=｛1, 2, 3 ｝で ¬ ψ∈ J2，¬φ ∈ J3 のとき，

φ

ψ

φ ∧ψ

T

T

T

2

F

T

F

3

T

F

F

多数決

T

T

F

4. 2. 1

多数決と論理推論の組み合わせ

上記のパラドクスで矛盾が生じる過程は，証明図によって以下のように表すことができる。

― 147 ―

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理

式の考え方は，最初に論理推論を行い，推論結果を受け入れるかどうか多数決で判断するというものである。したがってわれわれの推論システムでは，前提多数決方式は証明の最初のステップにのみ多数決 mv 規則の適用が
，1
13 φ）

⊥

許され，結論多数決方式では証明の最後のスと 2 がψをアクセプトする（ψ）
。した

テップにのみ mv 規則の適用が許される証明⊥

1 と 3 が φ をアクセプトし（左上12がって，多数決 mv 規則により φ およびψがそれぞれ全体 N でアクセプトされ，よっ図として表現できる。

て φ ∧ψが全体でアクセプトされる。また，
右上の証明図では，2 が ¬φ をアクセプトし決 方 式 は， 集 約 規 則 の 条 件 Independence（φる。（Dietrich and Mongin, 2010; Grossi and⊥，したがって 2 は ¬（φ ∧ψ）をア
2）
クセプトする（φ ∧ψ 2）。同様に，
3 も ¬（φ⊥∧ψ）をアクセプトするため，mer 規則および mv 規則から，¬（φ ∧ψ）が全体でアク

ただし，前提多数決方式および結論多数に（ し た が っ て Systematicity に も ） 反 す
Pigozzi, 2014）を参照。
4. 2. 2

前提多数決方式

前提多数決方式では，証明の最初のステッセプトされる。最後に，左側の証明図と右側が証プでのみ多数決規則 mv の適用が許される。

明可能となる。先にも述べたように， N は
N 全体が矛盾をアクセプトする，すなわち N

したがって，前節 4.2.1 の証明図では右側の全体が矛盾していることを表している。

明図が得られる。

⊥の証明図を cut 規則で結合すると，N⊥

mv 規則の適用は許されず，以下のような証

注 4.3（多数決無し）多数決を用いなければ，矛盾は生じない。多数決 mv 規則なしで上と⊥同様の証明図を構成すると，⊥なことが示せるが，

0

0

が証明可能

は誰も矛盾をアクセプトしないということを意味し，矛盾ではな⊥い。

ることを表している。ここでは，2，3 のメ
ンバーの結論 ¬（φ ∧ψ）が，N 全体の結論

23は，2 および 3 のメンバーのみが矛盾すφ ∧ψと矛盾することを表しているが，N 全体の矛盾ではない。
（Nehring, 2005）は，前提多数決方式の困難として，以下のような例を挙げている。
多数決と論理推論の間の矛盾を避ける方法としてさまざまな方法が考案されているが，その代表的なものが「前提多数決方式（premise-based approach）」と「結論多数決方式（conclusion-based approach）」である。

例 4.4（前提多数決方式の困難）
N=｛1, 2, 3｝で，J1 =｛φ, ψ , ¬σ, ¬（（φ ∧ψ）∧ σ）｝, J2=｛¬φ, ψ , σ, ¬（（φ ∧ψ）∧ σ）｝,
J3=｛φ, ψ , ¬σ, ¬（（φ ∧ψ）∧ σ）｝とする。

前提多数決方式の考え方は，最初に前提に対して多数決を採って，その論理推論の結果を受け入れるというものであり，結論多数決方『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）― 148 ―

多数決と論理

結論多数決方式としては，テクニカルには 2通りのシステムが考えられる。1 つは，文字通り証明図の最後のステップに多数決規則の適用を許すシステムであり，もう 1 つは，多数決規則の下にも構造規則群の適用は許す（論理規則群の適用は許さない）システムである。先にも述べた通り，構造規則群の推論
規則は論理結合子に直接的には関わらない規則である。文字通り最後のステップにのみ多（φ ∧ψ）∧ σ

別々の 2 つの証明図が得られ，全体としてアクセプトされるのは φ ∧ψ N すなわち，⊥

ここで，N=｛1, 2, 3｝であるため，下側の証明図で最後に得られる（φ ∧ψ）∧ σ 123 は⊥Nと同一である。そうすると，

数決規則を許すシステムでは，上記のようなとが示される。

に構造規則群の適用は許すシステムでは，最ものを導入することでこの困難は避けることができる。全体 N を N+=｛1, 2, 3, †｝と拡張

後に cut 規則を適用することで， 1 が得られるが，これは 1 の判断が全体 N と矛盾す⊥テクニカルには，たとえば議長に対応する⊥¬（φ ∧ψ）である。また，多数決規則の下⊥最後に cut 規則を適用することで， N が証
明可能，すなわち N 全体が矛盾しているこ

して，† は議長を表すことにする。議長は，ることを意味しているだけであり，N 全体の矛盾ではない。結果的に得られる N 全体の判断集合を構成せず，非論理公理には関わら

結論は，もう一方のシステムと同じく ¬（φ

ないが，多数決においてのみ意思決定に関わ∧ψ）である。また，結論多数決方式に対しり，多数決の結果に必ず加わる。そうすると，+
N ≠｛1, 2, 3｝となり，下側の証明図で最後ては，Nehring の指摘も当たらない。

に得られる結論は，議長を含む全メンバー
N + にとってアクセプトされる結論とは異な

5

まとめと今後の課題
本稿では，多数決と論理推論が矛盾するという Condorcet のパラドクスとその一般化る。ただし，このような解決策が妥当かどうである discursive paradox を紹介した。続い

かには議論の余地がある。

て，それらのパラドクスの研究から発展した⊥

るものとなり，議長の分だけ N+（φ ∧ψ）∧ σ が全体としてアクセプトされることにな

不可能性定理および Arrow の定理について，
4. 2. 3

結論多数決方式

判断集約理論の枠組みで概説した。とくに，

結論多数決方式では，証明の最後のステッ

本稿では通常アジェンダに対して課されるテ

プでのみ多数決規則の適用が許される。した

クニカルな諸条件を避けるために，集約規則

がって，4.2.1 節の証明図では左側の 2 つのの 条 件 と し て Monotonicity と Intersection

mv 規則の適用が許されず，以下のような 2closedness の条件を導入した。本稿ではさらつの証明図が得られる。

に，証明論の観点からパラドクスを分析する
ために，最小論理における多数決付きの推論システムを導入した。証明論の利点は，意味論的な方法と異なり，推論過程を明確にたどることができる点にある。これにより，どこでどう矛盾が生じているか，何と何が矛盾し― 149 ―

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理ずに証明可能である。

り，推論規則の適用制限や証明の構成方針等を考察することで，パラドクスの回避策を検この定理から，以下のようにして推論シス
テムの無矛盾性が証明できる。任意の α ⊆ N

討することが可能となる。本稿では，多数決

について，

⊥

ているかの分析が可能となる。またそれによαが多数決 mv を用いずに証明可能であるとする。すると，よび結論多数決方式のもとではパラドクスがは cut か mer のいずれかしかない。なぜなら，回避できることを示した。

論理規則および weak，contr は，その上式と⊥付推論システムを用いて，前提多数決方式お

α

の上の規則

今後はまず，本システムの分析を深め，通下式に必ず論理式が 1 つ以上現れていなけれ

常の推論システムの持つ性質を調べる必要がばならないからである。mer の場合を考えてある。とくに，システム自体の無矛盾性を証みると，以下の形である。

明する必要があり（以下 5.1 節），さらにこのシステムに対応する意味論を設定する必要がある（5.2 節）
。
5. 1

無矛盾性

ただし，β ∪ γ = α である。したがって，問
β

もしくは

⊥

題は元と同じ形の⊥4.2 節 の 分 析 に よ り，discursive paradox

γ

の証明可能

は前提多数決方式および結論多数決方式に基性に還元される。よって，cut 規則の場合のづく多数決付の論理では矛盾は生じず，パラ

みが本質的であり，以下の形である。

ドクスは回避できることを示した。しかしな
がら，既存のパラドクス以外のその他の矛盾も一切生じないことを示すためには，推論シ
ステムの無矛盾性を証明しなければならな
ただし，β ∩ γ=α である。すべての証明図はクニカルな議論が必要となるため，ここでは公理から始まり，公理には必ず論理式が含ま議論しないが，証明論の基本定理であるカッれている。したがって，論理式が 1 つもないト消去定理（もしくは証明の正規化定理）に式より示される。この定理は，どんな証明もそ

明図をたどった時に論理式が現れるのは cut

れと同じ結論をもつ正規形の証明（cut 規則

規則を用いたときのみだから，その証明図にを用いない証明）に書き換えられることを述

は必ず cut 規則が適用されていなければならべており，正規形証明はそのシステムにおけない。しかしながら，カット消去定理から，る証明の構造を特徴づけ，証明論的分析の出もしも発点となる概念である。

用いずに証明可能でなければならない。これ

αが証明可能であるとすると，下から証αが証明可能なら，⊥⊥αは矛盾である。したがって，

は cut 規則を⊥

多数決 mv 規則が証明の最後にのみ適用さ⊥い。無矛盾性証明は証明論における非常にテ

α

は証明可能

れるシステムにおける証明図は，本質的にはでない。とくに，mv 規則を用いないシステムの証明図と同等

明可能ではなく，したがって，結論多数決方であり，通常の推論システムに対するカット式に基づく多数決付推論システムは無矛盾で消去定理を応用することで以下の形の定理がある。

⊥

N（N 全体の矛盾）も証証明できる。

議長付きの前提多数決方式のシステムで⊥カット消去定理：σ 1, ..., σk N φ が証明可能であれば，σ 1, ..., σk N φ は cut 規則を用い⊥『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

は，mv 規則に対する通常の cut 消去手続き
がそのままでは適用できないが，前提多数決― 150 ―

多数決と論理方式の性質を用いて，mv 規則の適用を分析することで，定理が証明できるものと考えら

res 規則を推論システムに加える必要がある。
：β ⊆ α のとき，
res 規則（Restriction）れる。このシステムのカット消去定理および
無矛盾性については，稿を改めて議論する。
5. 2

意味論

α のメンバーが φ をアクセプトするときに多数決 mv 規則を除けば，以下のように自然な形で本システムの集合論的意味論が与えは，α のサブグループである β のメンバーもφ をアクセプトすることを意味している。

られる。
• 原 子 論 理 式 P の 解 釈 ＊ は P ＊ =｛i ∈ N｜
P ∈ Ji｝，すなわち P をアクセプトするグルー

6

プである。

補論
本節では本稿の補論として，6.1 節で一般

• 連言∧および含意→の解釈＊は，通常の集合論的意味論と同じである。
（φ ∧ψ）＊

的なアジェンダの諸条件について，また 6.2=φ＊ ∩ψ＊ であり，また（φ →ψ）＊ = φ＊ →
ψ＊ =｛i ∈ N｜｛i｝∩ φ＊⊆ψ＊｝である。とく

ておく。

に，
（¬φ）＊ = φ＊ →⊥ ＊ であり，⊥は矛盾を

6. 1

節で不可能性定理の証明の概略について記しアジェンダの諸条件と Arrow の定理

本稿では，アジェンダには特別な条件を課表す定項である。
• ⊥の解釈は，特定の原子論理式 Q の解釈

さずに，集約規則に対して Monotonicity とと 同 一 で あ り， ⊥ ＊ = Q ＊ で あ る。 た だ し，⊥＊ ≠ N とする。

Intersection closed の条件を課した。これらは一般にはより基本的な条件から導かれる集
約規則の性質である。たとえば，（Dietrich

このような解釈のもとで，各判断集合 Ji を，（1）φ ∧ ψ ∈ Ji if and only if φ ∈ Ji andand List, 2007） は， 判 断 集 約 理 論 に お けψ∈ Ji，（2）φ →ψ∈ Ji if and only if φ ∈ために，アジェンダに対して以下の Path-Ji implies ψ∈ Ji を満たすものとすれば，一connected と Minimally connected の条件を般の論理式について φ＊ =｛i ∈ N｜φ ∈ Ji｝

導入している。これらの条件は，非常にテクが成り立つ。

ニカルな形をしているが，Arrow の定理おる 不 可 能 性 定 理 か ら Arrow の 定 理 を 導 く

Nφとよびその証明を一般化する上で，そこに用いα ¬φられている選好関係およびその性質に対応

は一般には両立し得る。矛盾⊥の解釈が必ずするものが抽出され一般化されているのであしも空集合とは限らないためである。

る。（List and Polak, 2010）では，Arrow の

⊥ ⊥

⊥

⊥

このような集合論的意味論では，N¬φ は両立し得ないが，
α φと多数決 mv 規則に対してそのまま集合論

定理の証明の概説を通して，対応する判断集的な解釈を与えるのは困難だが，たとえば

約理論での諸条件が考察されている。
〔Path-connected〕 論 理 式 の 集 合 X ⊆ A と（Eckert and Herzberg, 2009; Klamler andEckert, 2009）のような代数上の準同型写像
等によって与えることができると考えられる。
また，このような意味論と推論システムの対応を考える際には，推論規則として以下の論理式 φ, ψ∈ A について，X ∪｛φ｝および X ∪｛ψ｝は無矛盾であるが，φ と ¬ ψを加えた集合 X ∪｛φ, ¬ ψ｝は矛盾するとき，
φ │= ＊ψと表す。
（│= ＊は，先に導入した論理

的帰結関係│= の特殊形である。）― 151 ―

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理アジェンダ A が Path-connected であるの

agenda と呼ぶ。すなわち preference agenda

真であり偽でありうるような）すべての論理式 φ, ψ∈ A について，ある σ 1, ..., σ k ∈ A で，式のみからなるアジェンダである。Arrowφ │= ＊ σ 1 │= ＊・・・│= ＊ σ k │= ＊ ψとなるものが存

階 述 語 論 理 の 論 理 式 か ら 成 る Minimally在するときである。
（ここで，φ │= ＊ σ 1 │= ＊σ ２ は，φ │= ＊ σ 1 かつ σ 1 │= ＊ σ ２ の省略表現でconnected で Path connected な ア ジ ェ ン ダある。
）

and List, 2007）。 よ っ て，Arrow の 定 理 はは，互いに無関係な（つまりそれぞれ独立に〔Minimally connected〕矛盾している論理式の集合 X について，X から論理式を一つでとは，a > b および ¬（a > b）という形の論理の 定 理 に お け る preference agenda は， 一の一種であることが確かめられる（Dietrich
判断集約理論における不可能性定理 6.1 の系（特殊形）として得られる。

も除いたどんな部分集合 Y ⊆ X も無矛盾となるとき，X は minimally inconsistent であるという。たとえば，｛φ, ψ , ¬（φ ∧ψ）｝

系 6.2（Arrow の 定 理 ） ア ジ ェ ン ダ A を
preference agenda と す る。 集 約 規 則 Fは，これ自体は矛盾しているが，どれか 1 つ
でも論理式を除外してできる部分集合｛φ,が Collective rationality，Unanimity，

ψ｝や｛ φ, ¬（φ ∧ψ）｝，｛φ｝等は無矛盾である。したがって，｛φ, ψ ,¬（φ ∧ψ）｝はある。またその逆も成り立つ。

minimally inconsistent である。
アジェンダ A が Minimally connected であ

6. 2

Independence を満たすとき，F は独裁的で不可能性定理の証明の概略

本節では，本稿で導入した Monotonicity

るのは，以下の 2 つの条件が満たされるとおよび Intersection closedness の条件が不可

き で あ る。
（1）｜X｜＞― 3 と な る minimallyinconsistent な部分集合 X ⊆ A が存在する。

能性定理の証明にどのように用いられるかを（2）minimally inconsistent な部分集合 Y ⊆A で，（Y － Z）∪｛¬φ ∈ A｜φ ∈ Z｝ が 無

見るために，決定的なグループすべての集合
W が ultrafilter をなすことの証明を簡単に追っておく。以下の証明はとくに，（Eckert

矛盾となるような偶数個の論理式からなる部
分集合 Z ⊆ Y が存在する。

and Herzberg, 2009; Klamler and Eckert,（Dietrich and List, 2007）では，上記のようプがありうる。そのようなグループの集まりなアジェンダのもとで，以下の形の不可能性を考えたときに，それが以下の条件を満たす定理を証明している。

とき，そのグループの集まりは ultrafilter と2009）を参考にしている。
N のメンバーの間には，さまざまなグルー呼ばれる。
定 理 6.1（ 不 可 能 性 定 理 ）A を Minimallyconnected で な お か つ Path connected な アジ ェ ン ダ と す る。 集 約 規 則 F が Collective

定義 6.3（Ultrafilter） N のメンバーからなるいくつかのグループの集まりを X とする。

rationality，Unanimity，Independence を満たすとき，F は独裁的である。またその逆も成り立つ。

• 任意のグループ α, β について以下の条件を満たすときに X は superset closed であるという。

1 階述語論理の部分体系としての選好関係の論理におけるアジェンダを preference『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）― 152 ―

多数決と論理

ultrafilter である。
α ∈ X かつ α ⊆ β ならば β ∈ X
この定理は，以下の補題 6.6，6.7，6.8，6.9
X に属しているグループについては，それよの帰結である。

り大きいグループもすべて X に属しているということである。

• 以 下 の 条 件 を 満 た す と き に X は intersection closed であるという。

→

補題 6.6 任意のプロファイル J と任意の論理式 φ ∈ A について，→→

J（φ）∈ W if and only if φ ∈ F（J ）α, β ∈ X ならば α ∩ β ∈ X→

X に属しているグループ α と β については，その共通メンバーからなる集合 α ∩ β も Xに属しているということである。
• 以下の条件を満たすときに X は complete

Proof. ⇐）φ ∈ F（J ）とすると，W の定義→
から，J（φ）∈ W である。
→→⇒）J（φ）∈ W とすると，ある J ＊ , ψにつ→→→いて，J（φ）= J ＊（ψ）
かつψ∈ F（J ＊）であり，Systematicity から φ ∈ F（J ）である。
→であるという。

→▪

→

補題 6.7 N － J（φ）= J（¬φ）
α∈／ X ならば N － α ∈ X→→

Proof. i ∈ N － J（φ）とすると，i ∈／ J（φ），
あるグループ α が X に属していないときにすなわち φ ∈／ Ji である。⇒は，Ji の完全性

は，そのグループに属さないすべてのメン
バーからなるグループ（補集合）N － α が Xから，逆に⇐は Ji の無矛盾性から，¬φ ∈ Ji→
であり，すなわち i ∈ J（¬φ）である。 ▪

に属しているということである。
• superset closed で intersection closed で

補題 6.8（Complete）

あり，なおかつ 0 ∈／ X を満たす X は filter と呼ばれる。
• X が complete な filter のとき，X は ultrafilter と呼ばれる。

α ∈ W if and only if N － α ∈／W→Proof. ⇒）α, N － α ∈ W とする。α= J（φ）
とすると，i ∈ α は全員 φ ∈ Ji であり，k ∈→注 6.4 任意のグループ α ⊆ N は，ある J と→ある φ ∈ A について，α= J（φ）の形に書くことができる。なぜなら，適当な φ ∈ Aを選んで，α のメンバー全員が φ をアクセ

プトし，その他の全員，すなわち N － α のメンバー全員が φ をリジェクト，すなわち→¬φ をアクセプトするようにプロファイル Jを設定することができるからである。

定 理 6.5（Ultrafilter） 集 約 規 則 F の も とで 決 定 的 な グ ル ー プ す べ て の 集 合 W は，

N － α は全員 φ ∈／ J k である。J k の完全性から，k ∈ N － α は全員 ¬φ ∈ J k である。

→

α, N － α ∈ W だ か ら，φ ∈ F（ J ）か つ→→¬φ ∈ F（J ）となるが，これは F（ J ）が矛盾することを意味し，Collective rationality に
反 す る。 よ っ て，α ∈ W な ら ば，N － α ∈／W である。

⇐）α ∈／ W ⇒ N － α ∈ W を示す。
→→
α= J（φ）で，α ∈／ W と仮定すると，φ ∈／ F（J）である。すると，F（J）の Collective rationality→
か ら，¬φ ∈ F（J ）で あ り， 補 題 6.6 か ら，― 153 ―→

『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）

多数決と論理→J（¬φ）∈ W である。各 Ji の完全性・無矛盾→性から， J（¬φ）=N － α であり，よって N→＊－ α ∈ W である。

で あ り，Intersection-closedness よ り， あ る→→
プロファイル I と論理式 σ について，J（φ）▪

補題 6.9（Intersection closed）α, β ∈ W ならば，α ∩ β ∈ W
Proof. α, β ∈ W と す る と，W の 定 義 か ら，→→→
α= J（φ）で φ ∈ F
ある J と φ について，（ J）である。また，β についても同様に，ある→→J とψについて，β = J ＊（ψ）でψ∈ F
（J ＊）
→
→＊
α ∩ β= J（φ）∩ J （ψ）
である。したがって，

→

→

→

∩ J ＊（ ψ）= I（σ） か つ σ ∈ F（I ） で あ る。
→
α ∩ β= J（φ）
したがって，再び W の定義から，→∩ J ＊（ψ）∈ W である。

▪

Superset closed も，Monotonicity の 条 件から同様に導かれる。

（参考文献）
小野寛晰（1994）『情報科学における論理』日本評論社。
佐伯胖（1980）『「きめ方」の論理－社会的決定理論への招待－』東京大学出版会。
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（Abstract）
We review Condorcet’s paradox and discursive paradox, which show that the majority voting
and logical reasoning may be in conflict. We further review, in the framework of the judgement
aggregation theory, the impossibility theorem and Arrow’s theorem, which are developed based on
the investigation of the paradox. To investigate the paradox in view of proof theory, we introduce
an inference system that contains the majority voting as an inference rule. In the framework of
proof theory, we investigate premise-based and conclusion-based approaches to avoid the paradox,
which are discussed in the literature on the judgement aggregation theory.

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『商学集志』第 90 巻第 1 号（’20.7）