山梨大学教職大学院

令和５年度

教育実践研究報告書

探究活動のための ICT 教材について－「散布図と相関」の BYOD 活用実践－

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 功刀聡将

１. 研究の動機と目的

生徒の気付きに影響を与えるはずである。生

1.1 数学教育における ICT 教材の意義

徒自ら操作するための ICT 教材は，これまで

高校数学の授業で ICT 教材 の利用はこれまで多く実践されており，FunctionView やのものとは違った設計思想が必要になるはずである。能動的なツールに必要ものとは何か，

Grapes などのフリーウェアが使用されてきた。

これについて考察していきたい。

数学教育において，紙面上に描かれた図から

1.3 研究の目的

動きや変化をイメージする事が難しい題材は多い。それらの図形を頭の中で想像して構築

自ら操作する BYOD の ICT 教材は，生徒が「能動的な気付き」を得るための機会を作り，する能力は，人によって差異が大きく，特に題材への深い理解のための補助ツールである。

立体図形や空間認識となると非常に顕著に現そのためには教師が与えるばかりでなく，生れる。しかし，ICT 教材は，図形やグラフを自在に動かすことが出来るため，その動きを徒の探究活動＊２は欠かすことが出来ない。本
研究の目的は，BYOD の活用として ICT 教材

観察する事で直感的に性質を読み取ることがを使った探究活動を行い，そのような教材の出来る，強力な学習ツールである。ICT 教材

在り方を考察することとする。

を活用することは，多面的・多角的に思考するための補助として非常に有意義である。

1.4 先行研究についての考察（中村 2015）では，
「わかる」
「できる」
「見

1.2 BYOD による教材の在り方の変化つける」「つくる」「使う」５つの観点から高＊１

昨年度 2022 年 4 月より高等学校において

校数学科の目標を捉え直すと，「できる」「わBYOD の使用が開始された。もちろん，ICT
教材を活用する絶好の機会となる。しかも，かる」観点での目標を実現し，さらに「見つける」「つくる」「使う」観点での目標を達成

これまでと違う点は，生徒一人一人が自分自することが，高校数学科の目標であると捉え身の端末で教材を扱えることだ。従来型の授直すことができると述べている。さらに，ICT

業では，ICT 教材は教師の意図通りの動きを生徒に一方向的に見せるだけの，生徒にとっ活用は数学指導の目標の達成を握るカギであり，ICT を活用しなければ十分に達成できなては，与えられるだけの受動的なツールだっいのではないかと述べている。また，ICT をた。しかし，BYOD 型授業では，生徒が意図活用した５つの指導事例の提案がされている。

した動きで ICT 教材を操作できるため，自らの気付きを与えることができる能動的なツー①二次関数の係数を変化させるとグラフがどうに変化するのかを観察する教材。観点は「見ルに変化するだろう。

つける」
「できる」
。

ここで重要な点は，すでに理解している教②本日の売上額が同じコーヒーショップ A と師が操作するのと，その題材を知らない生徒が操作するとでは，おそらく ICT 教材の在り

B の 20 日間のデータの箱ひげ図と散布図や各代表値から傾向を分析する教材。観点は「使方が変わってくる事だ。どこまで情報を見せう」。

るのか，機能性・視認性・操作感によっても，③ガモフの宝探しの問題。図形の性質を予想－ 174 －

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教育実践研究報告書して，そのことが成立する事を証明に活かす

２. 探究活動の教材検討

教材。観点は「見つける」。

2.1 題材「散布図と相関」について④双曲線と楕円のグラフを定義どおりの軌跡として描き，標準形の式と一致する事を見出

題材は，高等学校 数学Ⅰ「データの分析」の「散布図と相関」とした。現実事象の膨大す教材。観点は「わかる」「見つける」。

なデータを複雑な数式に落とし込むため，生⑤正方形の周の２つの動点 P，Q の距離を同時

徒は公式で何を計算しているのか理解しづらにグラフに表示し，発展問題作成に活かす教材。観点は「わかる」「見つける」「つくる」。

い。
（例えば図２の相関係数の公式理解）①②

図２ 複雑な公式の例：相関係数の公式
分散・標準偏差・共分散・相関係数は，公式から計算される数値と公式の数式自体との関係が難解であり，教科書でも説明なく機械⑤③

的解法が推奨されることが多い。そのため理解は曖昧なのに何となく解けているため，それで満足してしまう傾向がある。機械的解法を覚えてしまう前に，公式の意味理解ができ④

る補助教材が必要であると考える。
探究活動として，「散布図の点の分布と共分
散公式を比較して，何を計算しているのか理
解すること」つまり「相関の正負が，共分散
図１ ICT を活用した事例画面（中村 2015）の正負と一致することを理解すること」を実践することにする。動的・視覚的な理解の助「問題の動的な扱い」「問題の発展的な扱い」

けとなる ICT 教材にできないか考えてみる。

「性質の発見から証明へ」「グラフ的表現と幾

2.2 一般的な教授法の問題点

何的表現の関連付け」「社会や日常生活との関連付け」を取り入れた授業づくりを行うこと

相関係数の一般的教授法は，図３のように
Excel など表計算ソフトが使われる事が多い。

が重要と論じている。
５つの事例は，「見つける」「つくる」「使う」のいずれかの観点が含まれており，探究活動のための教材事例と理解できる。特に「見つける」は，筆者が先述した「能動的な気付き」と同義であると考えられる。
ただし，紹介事例は実際に授業実践されているか不明であり，また ICT 教材の設計思想
や作成時間が明記されていず，実際に生徒が図３ Excel での教授法

操作するときに思考に集中できる工夫がなされているのか不明瞭である。授業者にとっての関心事は，「実際に作れるのか」「どのよう①「標本データ」を入力する。
② グラフ作成ツールで「散布図」を描く。

な事に配慮が必要なのか」の実行可能性であ③ 表を使って「公式」を計算する。

る。これは教師にとって重要な関心事だ。

この教授法では②と③が独立した別々の作業－ 175 －

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教育実践研究報告書になっているため，公式の意味がブラックボの相関の分布では負の数値と推量できる。こックス化されており，「散布図」と「公式」のれで「②散布図」と「③公式」の関係が理解

関係が掴みづらい。公式計算が機械的な計算作業になりがちである。

できる。では，この手法を実現できるような
ICT 教材について，2.2 で取り上げた問題点の改善を検討する。
2.4 問題点の改善手法の検討
まず，公式理解を助けたいという見方でExcel の散布図を見たとき，「標本点を自由に動かして分布を自由に変えてみたい」と考え

図４ Excel 教授法の構造イメージ

た。多様な分布に変化させることで，公式のこの教授法の構造イメージが図４である。
問題点を挙げると，まず明らかに，「②散布図」

動的な数値変化を即時に比較観察できるからだ。また，「①標本データ」は，散布図の標本と「③公式」の乖離が見られ，「公式」理解を点の座標として判読可能であるため，乱数で困難にしている。また，「①標本データ」入力

自動生成して非表示にする。これにより②③の機械的な単調作業は時間がかかるだけである。さらに，①②③３つの比較が思考を複雑

２つのみの表示にできるため，視認性の向上と思考の簡略化を期待できる。最後に，散布化させている。「公式」理解のためには，「散図上に，公式に登場する数値「平均・偏差・布図」に多くの書き込みをする必要があるが，偏差積」に該当する図形を表示した。②③両

Excel のグラフ機能で，それは叶わない。また，散布図の多様な分布を即時に試すことができ方に共通のものを可視化すれば，比較観察の補助となり，②と③の乖離を解消できる。図ない。以上が，「散布図」と「公式」の関係理６が改善した教授法の構造イメージである。

解を困難にさせている５つの問題点である。
2.3 新たな教授法のアイディア
共分散公式の意味理解は，散布図への書き込みが不可欠である。平均線・偏差・偏差積を書きこんだものが図５である。偏差は ２変量の平均線の交点と各標本点との距離で，偏差積は 長方形の面積と解釈できる。

図６ 教授法改善の構造イメージ「標本点を指で動かす」と，「散布図への書き込み」，の２点を実装することが改善のカギであり，GeoGebra ならこの２点の教材改善を期待できる。
（ただし，GeoGebra には表計算機能があり，そちらでも散布図を表示できる。
しかし，Excel 同様，上述の２点の実装が不可能であるため，この機能は使用しない。
）

図５ 散布図への書き込み

特に，標本点を指で動かせる散布図である
ため，これこそが直感的な探究活動を可能に

つまり，二本の平均線により分断された領域

する一番の改善と言える。多彩な分布変化での右上から順に半時計回りに，第１,第２,第３,

即時に公式との比較観察を可能とし，教材の第４象限として，第１第３象限で偏差積はプラスとなり，第２第４象限で偏差積はマイナ

一番の特徴になる。この ICT 教材を作成でき
れば，相関係数の教授法として，新規性のあスになる。これで共分散公式の偏差積の和をる手法となり，BYOD の実践事例としても意考えれば，正の相関の分布では正の数値，負義あるものになると考える。

－ 176 －

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2.5 教材作成アプリについて
GeoGebra の利点を挙げてみる。まず，オブジェクトを動かす方法が多彩である。これは，探究活動しやすい環境を実装できる自由度が高い事を示している。
「画面をタッチして指で動かす」「変数で動きを制御する」「他のオブジェクトに連動して動かす」「スクリプト（プログラミング）で命令して動かす」。また，レ
イアウト性に優れており，操作性・視認性を工夫できる。また，を使用できるため，

図７ 操作系ボタンなどの拡大図

数式表示がきれいである。さらに, ブラウザで動くため，開発環境と利用環境の汎用性が高生徒の立場になったとき，徐々に場面転換できる仕組みはいい「足場かけ」となる。大量

く，URL を配布するだけで済む。

の情報を一度に見ると，どこから処理すればただし欠点もあり，現時点で開発者のためいいか判断できず，思考停止に陥ることはまの日本語書籍がなく，体系的に学ぶ Web サイ
トもないため，ほぼ独学になることである。

まある。冷静かつ論理的に対処するための環
境作りは重要だ。しかし答をすぐ示してしま

2.6 設計思想（アーキテクチャ）

う設計も，思考停止と等しく探究活動にはな

BYOD における ICT 教材は，生徒が操作すりえない。何をどう観察するか探索する自由る事を前提とした設計を心掛ける必要がある。
特に探究活動をするためには，思考に集中で度と，その補助となる足場かけ，この２点が思考を働かせる教材作りは必須である。

きる，直感的な操作感が重要だ。
「画面タッチ

④ 散布図の標本点を動かすことで，公式の数による指での操作感を意識すること」，「シン値が動的に変化し，標本点の分布と公式の数

プルな操作性と視認性に配慮すること」。この２点に注意して教材作成を試みる。

値を交互に観察することが出来る。正の数値
では青，負の数値では赤，０は緑を配色した。

タッチする指が画面を遮らないよう，ボタ⑤ スライダの一番上の場面転換（図８）で，ン等の操作系は画面の下に配置し，少なめに画面の下に相関係数スライダを表示する。シする。配色も控えめにする。自由に指で動かす直感的な操作感のために，変数の直接入力

ームレスに相関係数の数値を変えて，分布の変化をアニメーションで体感する事ができる。

は可能な限り使用しない。基本として指だけで操作する仕様に努める。
2.7 作成した教材の特徴① 標本点をタップすると， 𝑥座標と𝑦座標として標本データを表示し，また，公式の該当部分が強調表示されるようになっている。
② 画面下方のボタンをタップすると，該当する正負と強弱で散布図を表示する。また，[another data] をタップすることで，乱数により新たに別の散布図を生成可能である。

図８ 一番上の場面転換の状態③ 画面右側のスライダを動かすことで，該当する特徴のみを開示するように場面転換する※今後,こちらの ICT 教材を「相関変動散布図

ことができる。共分散の公式も，それに応じする。これは，GeoGebra で開発した完全オリジナルの ICT 教材である。

て表示形態を変化させて，交互に観察できる。

（Correlation variation scatter plot）」と呼称－ 177 －

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３．授業実践
3.1 授業概要と探究課題
授業の流れとしては，探究活動をとおして【相関の正負と共分散の公式の関係】を感得する。つまり，共分散公式の計算の意味理解をする。その上で相関係数を求める例題解説と問題演習へと移っていくことにした。
図 11 『偏差』の視覚的解釈【探究課題】
BYOD で「相関変動散布図」を使って，指で標本点を動かし，[散布図]の分布を変化させる。連動して，[共分散式]の数値も変化するため，２つを交互に比較観察して【相関の正負と共分散の公式の関係】を感得する。

3.3 展開①：公式の提示
ここで初めて，相関係数 𝑟とその分子に当る共分散 𝑆𝑥𝑦 の公式を生徒に紹介する。相関係数の分母は，既習である２変量それぞれの標
準偏差 𝑆𝑥 と𝑆𝑦 の積であることを確認する。

図 12 相関係数と共分散の公式
分母は必ず正であるため，特に分子の共分散が重要であり，「相関の正負を判断できる式」
である事を伝える。まずはその理由を，共分
散の公式をよく観察して考えることを指示する。５分間，隣と相談してよいと伝える。そ図９ 相関変動散布図の一場面
3.2 導入：既習事項の確認
まず，既習事項の確認を行う。図 10 を使って，散布図における「相関係数の数値的役割」の後，何らかの結論が出た人がいるか挙手してもらうと２名手が挙がった。考えを聞きた
いところだが，他の人にも自身で感得する機会を与えたい旨を話し，展開②に移る。ここで挙手した２名（後述の会話記録の生徒 C，E）
が共分散公式の意味を，この時点で確実に理解していたかは定かでない。
3.4 展開②：BYOD による探究活動
次の展開では，本実践の主となる探究活動を行った。予め Google Classroom にアップし

図 10 相関係数の数値的役割を確認する。
（相関係数の公式はこの時点では未修であり，図 10 のように散布図との関係のみ示してある。
）また，図 11 を使って，大事な用語である「『偏差』の視覚的解釈」について確認する。これらは，前日に確認しているためスクリーンで端的に進める。

ておいた教材「相関変動散布図」を起動するよう指示する。GeoGebra の教材は，これまでに何度か操作しているため，簡単に操作方法を話すのみとした。探究活動の目的は【相関の正負と共分散の公式の関係】を理解する事であり，隣の２，３名で 10 分間意見を出し合うよう指示した。教師は，探究活動の観察に徹して，核心になることは何も言わない。

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教育実践研究報告書(1) 会話記録①「２変量の偏差の確認」(3) 会話記録③「負の面積への疑問」

17:31（授業開始からの経過時間）
A「これが偏差ね。平均から矢が出るとこ」

20:15
E1「長方形の面積の総和を，長方形の数でB「あ～！これ，ひとつひとつが偏差？」割ったようなもんなんだけどさ。
」
E2「ただちょっと，長方形の面積なのにマイナスになってる。でもそれって何て言うのかな。あくまでも 𝑥と𝑦の数なので…」

図 13 散布図上の２変量の偏差
偏差は既習事項であるが，この章で初めて２変量データを扱っており，散布図における偏差の視覚的解釈も初めてである。生徒 A・B の会話は，複数ある矢印一つ一つが偏差であること。また，標本点１つにつき，縦方向と横

図 15 負の面積（左上と右下の長方形）

方向の２種類ある矢印をどのように解釈する

発言 E1 から，共分散の数式が散布図上の何を意味するのか理解している事がわかる。しかのか確認し合っている場面である。
(2) 会話記録②「偏差積の正負のバランス」

し，発言 E2 で，面積が負になる事に悩んでいる。負の面積への疑問は想定していたが，敢18:25
C1「これ 52.5 ってどういうこと？ 面積，
こっちの方が でかいよってこと？」えて説明していない。面積とは図形上の解釈であり，公式内における偏差積は，図形とし

C2「あっ！わかった！これだ！赤い点があての面積を意味していないからだ。生徒 E もるじゃん。これが負の方向だよ。こっち側にいっぱいあれば 負になるのね」「あくまでも 𝑥と𝑦の数なので…」と言っていC3「こっちが減るから，（負の部分に）飛びるように，解釈である事に気付き始めている場面だ。しかし，教材中で面積と表示してい出てるのが ちょっとしかないから，淘るため，一言説明した方がいいだろう考える。
生徒 C もそうだが，生徒たちは指で直感的汰されちゃう。
」に動かし夢中になっている様子だった。正負の動的に変化する配色も説明しなかったが，自然に理解している様子だった。自由に探索するための「足場かけ」になったと考える。
3.5 展開③：生徒による解説
意欲的な生徒たちの姿を見て，解説は生徒
図 14 正の相関が強い状態の散布図に委ねた。流れは変えずに要約を下記に示す。

発言 C1 では，平均線の交点から離れるほど，

生徒 C による解説（要約）

長方形の偏差積（面積）が拡大する事を示唆する言葉が窺える。発言 C2 では，偏差積がマ「第１象限と第３象限ってやったと思うけ

イナスになる部分がどこかを明確に気づいた
発見への喜びが窺える。さらに発言 C3 で，偏スの積だから面積プラス。逆に，第２象限と第４象限に長方形ができる時に，マイナスと差積が正になる点が多ければ，少しくらい負になる点があったとしても，全体的には相殺

プラスの積だから面積マイナス。

される。偏差積の正負のバランスで全体の正と第３象限のプラスの足し算と，第２象限と負が決まる事の気付きを得ている場面だ。

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ど，プラスとプラスの積，マイナスとマイナ

共分散の和を計算してあげると，第１象限山梨大学教職大学院

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第４象限のマイナスの足し算で，第１象限とが一番拘ったものだ。生徒の記述から，自分第３象限の方が多かったってことじゃん。つまり，こっちの方がでっかい面積だから，右の探究心への欲求を形にしたことが功を奏したと感じる。「点をこっちの象限に動かせば，式の正負が逆転するはずだ」という予想を即上がりの直線状の正の相関になる。
逆に，共分散の和がマイナスだったら，第２象限と第４象限の方にいっぱいさ，長方形

座に実行 確認できる。思った結果が得られなができて負の相関になるよね。
」

り，気になるところを動かす。Excel では出来ない事だ。「『こうしたい』想いを即座に指でければ，新たな疑問を得て試行錯誤したくな

直感的に実現できる」教材だった事が，今回の題材の探究活動に向いていたと実感できた。
・教科書だけでは分かりにくいグラフの動き
方など，ICT でしか出来ないことがある。
図 16 生徒による解説

・我々生徒が分かりやすいような工夫が施されていて充実していた。

生徒 C の説明は，1 分 30 秒ほどの簡潔なものだった。
「象限」という言葉は，散布図上でそのような表現をするとは授業で扱っていない。

・最初に相関係数の式を見ただけでは，どん

しかし，データを標準化することで該当する
象限に変換されるため，決して間違った表現

ったが，ICT 教材を使ったことで とても理解しやすくなりました。

ではない。
「標準化」は未修であり，生徒たち
も「象限」という表現を素直に受け入れていICT 教材により，紙面上では見られない動きを見ることが出来る良さを感じていると読たため補足しなかった。生徒 C による説明をみ取れる。また，「我々生徒が分かりやすい工聞く生徒たちを見ていて，教室にとてもいい夫が施されていた。
」という記述から，視覚的空気感が生まれていた。そのくらい生徒たち
が教材操作に夢中だったのだと推察できる。
この後は，共分散 𝑆𝑥𝑦 を 𝑆𝑥 と𝑆𝑦 で割ること効果だけでなく，条件に応じてオブジェクト
表示の ON/OFF を切り替えたり，動的に変化

で，数値を－１から１に調整する。その数値を仕組んでおく事は大事だ。操作する生徒のを相関係数と定義していると説明した。数値
範囲の説明は，教科書でも言及されていない

心情を読み，その視点から思考に集中できる
アーキテクチャを心掛ける事が必要と考える。

ため，参考資料として渡すのみにとどめた。

3.7 探究活動による理解度

なことを表しているのか，全くわからなかする配色設定など，それとなく「足場かけ」

3.6 生徒のアンケート記述の抜粋
・自分が気になったところを動かせること
で，理解がより深まった。
・話を聞いているだけではイメージ出来ない
ものを，自分で動かしたりできるから，より理解しやすくなった。
上記２名の記述から，自分で動かせる能動的な学びが出来たと感じている事が読み取れ

図 17 理解度の調査集計

る。教材の問題点を改善するアイディアを考図 17 を見ると，【相関の正負と共分散の公える中で，自分自身が「散布図上の点を，指で自由に動かしたい」と思った。Excel の散布

式の関係】の理解度は，教材使用前４人（挙手したのは２人）となっている。教材使用後

図を見ていて，分布を自在に変化させて散布は，全員が理解できたと答えている。どの程図と式の関係を観察したい欲求があり，自分度理解できているのか一人一人と話さなけれ－ 180 －

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ば知る事はできないが，今回の実践により，なくとも 50 時間を要する。
従来の「教材研究」

一定の成果が見られたのではないかと考える。

に加えて，「開発スキル」＋「作成時間の捻出」

実際，授業開始から 20 分ほどで教師の説明なしに，【相関の正負と共分散の公式の関係】のが必要になる。開発スキルには，論理演算・エラー処理などの専門スキルが必要で，個人理解に辿り着き，それを説明できる生徒が現レベルでの ICT 教材作成は，真夜中の作業とれた。これこそ ICT 教材の利点であり，生徒なり困難を極める。年間で１，２個ほど少し自身が能動的に操作し感得することで得られた結果であろうと考察する。

ずつ作ることが出来れば及第点だろう。また，教員に求められるものが年々増え続け, 教材
研究さえも儘ならない現状がある。GIGA スク

4. 研究の成果と課題

ール構想を推進するためにも，この現実から

4.1 探究型 ICT 教材の在り方
BYOD の授業は，単に内容の理解が深まると誰も目を背けてはならないだろう。
いきいきと教材を操作する生徒たちを見て，いうだけでなく，ICT 教材の工夫次第で生徒

探究心の芽生えを目の当たりにした。教材にの探究心を刺激できると確認できた。
図 18 に，「足場かけ」を適度に施した結果だ。探究心

生徒の思考を可視化してみた。2 つ目を見て欲に繋がる教材の「足場かけ」について自分自身が探究し，さらに効果的な ICT 教材について今後も考えていきたい。

図 18 BYOD 授業における生徒の思考
しい。
「直感的な操作による自発的疑問（探究

注釈＊１：本研究の ICT 教材とは，数学の内容を探究するための教材を指す。共同編集ア

心を芽生え）」だ。これがトリガーとなり「主プリや掲示板アプリ，クイズアプリ等は除く。

体的に思考を働かせる」試行錯誤へ繋がる。

注釈＊２：本研究の探究活動とは，「総合的な「ただ解けた」だけでなく，「学びに充実感や
達成感といった付加価値」を生徒に与えて「真探究の時間」で見られるような自ら課題を設定する探究活動とは異なる。数学の授業内のに深い学び」に繋がる。

学習内容になるため，教師が設定した課題とつまり，ICT 教材を「ただ作る」でなく，しての探究活動である。

生徒に達成感という付加価値を生み出す工夫が必要だ。探究心というトリガーを引くため

引用・参考文献の「足場かけ」を，教材のどこにどの程度仕・今井康晴（2008）「ブルーナーにおける「足組むか，その匙加減が重要であり，簡単すぎ場かけ」概念の形成過程に関する一考察」広

ても難しすぎても探究の妨げとなる。
「生徒のこうしたいという想いを即座に指で直感的に島大学大学院教育学研究紀要 第一部 第 57 号実現できる教材」を目指す事が要である。

2008 pp.35−42
・中村好則（2015）「高校数学科における ICT

また，生徒の思考を羽ばたかせるために，を活用した指導とその意義」岩手大学教育学

教材を自由に触らせ，教師は核心に迫ることは何も言わずに見守る事が肝要である。これ部附属教育実践総合センター研究紀要 第 14号 pp.37−45

は裏を返せば，生徒が混乱しない矛盾のない

・宮崎県教育庁高校教育課 資質・能力育成研

教材を作る必要があるということになる。

究会（2022）授業研究部門(数学) 令和３年度

4.2 見えてきた諸課題
現状，高校数学における BYOD 活用のため

学習指導案①
・文部科学省（2020）「算数・数学科の指導にの ICT 教材の乏しさこそが課題であろう。特

おける ICT の活用について」に今回のような ICT 教材を作成するには，少－ 181 －