結合カオス回路にみられる同期現象とインターミッテンシーによる同期崩壊
Synchronization in Coupled Chaotic Circuits

and its Breakdown by Intermittency
上手洋子 †西尾芳文 †† 徳島大学工学部電気電子工学科

Yoko Uwate†
Yoshifumi Nishio†
Dept. of Electrical and Electronic Eng., Tokushima University†
1

はじめに

カオス回路における同期とその前後にみられる分岐現象は，自然科学における高次元の非線形現象を説明する優れたモデルである．特にカオス同期の崩壊は非常に興味深い現象であり，多くの研究者によってそれらのメカニズムが明らかにされてきた [1]-[5]．しかしながら，カオス同期に関する多くの現象にはその他の非線形現象と同様にまだ不明瞭な点がある．したがって，このような現象を理解し有効に利用するためには，それらの発見・モデル化・研究・調査が非常に重要である．
一方，インターミッテンシー・カオスはカオスの縁と深い関係がある [7]．多くの研究者は，この秩序とカオスの間の現象が様々な種類の情報処理において完全に発達したカオスよりも良い性能を得ると述べている．それゆえに，明らかにされたインターミッテンシー・カオスが持つ様々な機能が工学アプリケーションの応用のために重要であると考える．
本研究では，インターミッテンシー・カオスが発生するカオス回路を 2 つ結合したときに見られる複雑な現象について調査を行う．まずはじめに，それぞれのカオス回路が 3 周期解を生成するときの同期状態が異なる 3 つのタイプに分かれることを観測する．次に，3 周期窓付近のインターミッテンシー・カオスを生成するためにそれぞれのカオス回路のパラメータを変化させる．そうすることによって，3 つの同期状態の複雑な現象を観察することができる．これは，インターミッテンシー・バーストが同期の妨げをし，異なる同期をバーストが落ち着いたあと後に再発させていると考えられる．
このような興味深い複雑な現象を 4 状態からなる1 次元のマルコフ・チェインによってモデリングを行う．状態間の遷移確率は数多くのコンピュータシミュレーションを行い，全ての遷移をカウントすることにより得られる．それぞれの状態での状態確率と滞在時間は遷移確率によって計算される．これ
らの統計量はコンピュータシミュレーションによって得られたものと同等であるとみなされる．また，
3 周期解の同期とインターミッテンシーによって引き起こされる複雑な現象を数値実験と回路実験の両方で観察する．

2回路モデル

本研究で用いた回路モデルを図 1 に示す．この回路は，2 つの同じカオス回路を抵抗 R によって結合したものである．

L1

I1

L1

I2

i1v1

Ci2v2

L2C

L2R-r-r

図 1: Circuit model.
ダイオードの i − v 特性は式 (1) に示すような区分線形関数で近似される．

1vd (ik ) = (rd ik + E − |rd id − E|).
2(1)式 (2) に示した変数変換とパラメータを用いるこ

とによって，

Ik =t=CExk ,L1γ=Rik =C,L1

δ = rdCEyk ,L1

L1α=,
L2

L1 Cτ ,β=rx1

vk = Ezk ,(a)C,
L1

x2
tC,
L1(2)
回路方程式を式 (3) に記述したように正規化することができる．

x1(b)⎧2⎪dxk⎪⎪= β(xk + yk ) − zk − γxj⎪
⎪⎪
⎪ dτ
j=1⎪
⎪
⎨

x2dyk

(k = 1, 2)= αβ(xk + yk ) − zk − f (yk )⎪⎪dτ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ dzk = xk + ykdτtx1(3)(c)
ここで，関数 f は式 (4) に示す．

f (yk ) = 0.5 (δyk + 1 − |δyk − 1|)

x2
(4)

t3

同期現象

単独のカオス回路で観察される 3 周期アトラクタを図 2 に示す．数値計算は 4 次のルンゲクッタ法を用いて行う．このときステップ幅は h = 0.001 とする．
Z k 1.5vk

0-1.5-1.50(a)

1.5xk

Ik(b)

図 2: Three-periodic attractor observed form each
subcircuit. (a) Computer calculated result. xk vs.
zk . α = 7.0, β = 0.152, γ = 0.0 and δ = 100.0.
(b) Circuit experimental result. Ik vs. vk . L1 =300mH, L2 = 10mH, C = 33nF, r = 740Ω andR = 0.0Ω.

図 3: Time waveforms of three synchronization
states (computer calculated results). α = 7.0,
β = 0.152, γ = 0.005 and δ = 100.0. (a) State T1 ,(b) State T2 , and (c) State T3 .

3 周期アトラクタを生成している 2 つの回路を結合したときに観察された異なる 3 タイプの同期状態を図 3 に示す．これら 3 つの同期状態は，異なる初期条件によって得ることができる．この図より，2 つの回路は逆相同期する傾向があると考えられる．これは結合抵抗 R によってエネルギーを消費された状態は安定な同期状態に相当するからである．また，3 周期解なので波形に 3 つの異なるピークが存在する．それゆえに，図 3 に示すように 3 つの異なる同期状態が共存することができるのである．この 3 つの同期状態をそれぞれ T1 ，T2 ，T3 とする．回路実験においても同様に 3 つの異なる同期状態の生成を確認することができた．これを図 4 に示す．
次に，図 5 に示すような 3 周期窓付近のインターミッテンシー・カオスを発生させるために各々のカオス回路のコントロールパラメータを変化させる．

vk

Z k 1.5I1(a)0I2-1.5t

0-1.5

1.5Ikxk(a)(b)

図 5: Intermittency chaos near the three-periodicwindow. (a) Computer calculated result. xk vs.
zk . α = 7.0, β = 0.133682, γ = 0.0 and δ = 100.0.
(b) Circuit experimental result. Ik vs. vk . L1 =300mH, L2 = 10mH, C = 33nF, r = 735Ω andR = 0.0Ω.

I1(b)I2tな現象と同様の現象を回路実験でも確認することができた．回路実験で観察された同期状態の変化を図 7 に示す．

I1(c)
x2I2t

1.4
1.2
10.80.60.40.20020406080100120140t

図 4: Time waveforms of three synchronization states (circuit experimental results). L1 =300mH, L2 = 10mH, C = 33nF, r = 740Ω andR = 40.0Ω. (a) State T1 , (b) State T2 , and (c)State T3 .
インターミッテンシー・カオスが発生したときに 2つのカオス回路を結合すると，3 つの同期状態の複雑な現象を観察することができる．すなわち，インターミッテンシー・バーストが同期を混乱させ，カオスになっていく過程で異なる同期を発生させたり消滅させたりしているのである．

図 6: Time series of synchronization states disturbed by intermittency chaos (computer c alculated results). α = 7.0, β = 0.133682, γ = 0.005
and δ = 100.0.

4

マルコフ・チェインによるモデリング

本節では，このような興味深い複雑な現象を 4 状態からなる 1 次元のマルコフ・チェインによってモデリングする．本研究で用いるマルコフ・チェインを
図 8 に示す．ここで，T1 ， T2 ，T3 はそれぞれ 3 つの同期状態を表すものであり，B は 3 つの状態間を遷移するときに現れるバースト状態を示す．さらに P (B|B) は式 (5) を満たさなければならない．

この複雑な現象を調査するために，ポアンカレ
3
断面を z1 = 0，x1 < 0 に定義する．さらに，x1 がP (B|B) = 1 −P (B|Ti ).
(5)−1.2 よりも小さいときにポアンカレマップに x2 のi=1データをプロットする．このしきい値は，x1 が図 3
図 8 の状態遷移図表から遷移確率の行列 P が以の波形のなかで最も大きいピーク値をとるときだ
けのデータを抽出するために導入したものである． 下のように求まる．
⎡⎤
P (T1 |T1 )00
P (B|T1 )説明した方法で得られた x2 のデータを図 6 に示す．
|T)
0P
(B|T)
0P
(T2 22 ⎦⎣この図から，インターミッテンシー・バーストが同P (B|T3 )00
P (T3 |T3 )期状態を崩壊させ，バーストが終わった後に異な
1 − P (T1 |T1 ) 1 − P (T2 |T2 ) 1 − P (T3 |T3 ) P (B|B)
る同期を再発させていることがわかる．この複雑(6)1-P(T1 |T1 )1-P(T2 |T2 )1-P(T3 |T3 )P(T3 |T3 )P(T2 |T2 )P(T1 |T1 )T2

T1

P(B |B )B

T3
P(B |T3 )P(B |T2 )P(B |T1 )

図 8: Markov chain model.
式 (9) より，Q(T1 ) の滞在時間は以下のように計算することができる．

I1

EST (Q(T1 )) =∞

{n × PST (Q(T1 ), n)}n=1= (1 − P (T1 |T1 ))I2=t
図 7: Time series of synchronization states disturbed by intermittency chaos (circuit ex perimental results). α = 7.0, β = 0.133682, γ = 0.0and δ = 100.0.
状態確率分布は各々の位相状態にある解の確率を表しており，

Q = [Q(T1 ), Q(T2 ), Q(T3 ), Q(B)]T(7)

以下の式から計算することができる．

Q = PQ

and3

Q(Ti ) + Q(B) = 1.

(8)

i=1

さらに，それぞれの状態での滞在時間は遷移確率を用いることによって推定することが可能である．例えば，Q(T1 ) における滞在時間の確率密度関数は式 (9) で与えられる．

PST (Q(T1 )), n) = P (T1 |T1 )n−1 (1 − P (T1 |T1 ))
(9)

5

1
1 − P (T1 |T1 )∞nP (T1 |T1 )n−1n=1(10)結果および検討

遷移確率を理論的に得ることができなかったため，数多くのコンピュータシミュレーションを行い，全ての遷移をカウントすることによって遷移確率を求めた．状態遷移確率は，

P (T1 |T1 ) = 0.91641,
P (T2 |T2 ) = 0.33261,
P (T3 |T3 ) = 0.79080,
P (TB |TB ) = 0.84255,
P (TB |T1 ) = 0.03922,
P (TB |T2 ) = 0.05680,
P (TB |T3 ) = 0.06142,のように求めることができた．ここでパラメータは，
図 6 に示しているものを用いた．これらの遷移確率を用いて各状態での状態確率と滞在時間を計算した．その結果を表 1，2 に示す．表での “Simulation”
は回路方程式の数値計算を行い状態をカウントすることによって得られた結果で，“Markov”は式 (6)(10) を用いて計算した結果である．
これらの結果から，マルコフ・チェインによって得られた結果が数値計算で得られた結果とよく一致していることがわかる．

表 1: Stationary Probability Q.

State
Q(T1 )
Q(T2 )
Q(T3 )
Q(B)

Simulation
0.25470.04600.15870.5406

Markov
0.25397
0.04606
0.15888
0.54116

表 2: Expected sojourn times EST .

State
EST (Q(T1 ))EST (Q(T2 ))EST (Q(T3 ))EST (Q(B))

6

Simulation
11.9632
1.49844.7801
6.3391

Markov
11.9198
1.49844.75006.3490まとめ

本研究では，インターミッテンシー・カオスが発生するカオス回路を 2 つ結合したときに見られる複雑な現象についての調査を行った．それぞれのカオス回路が 3 周期解を生成するときに，同期状態が異なる 3 つのタイプに分かれることを観測することができた．また，3 周期窓付近のインターミッテンシー・カオスを生成するためにそれぞれのカオス回路のコントロールパラメータを変化させると，インターミッテンシー・バーストは同期の妨げをし，異なる同期をバーストが落ち着いたあと後に再発させることがわかった．この複雑な現象を4 状態からなる 1 次元のマルコフ・チェインによってモデリングを行った．各状態での状態確率と滞在時間の計算を行った結果，モデリングによって得られた結果と数値計算で得られた結果がよく一致することがわかった．さらに，この現象を回路実験においても確認することができた．

References[1] N. Platt, E.A. Spiegel and C. Tresser, ”On-Oﬀ Intermittency: A Mechanism for Bursting,” Phys.
Rev. Lett., vol. 70, no. 3, pp. 279-282, 1993
[2] E. Ott and J.C. Sommerer, ”Blowout Bifurcations: the Occurrence of Riddled Basins and OnOﬀ Intermittency,” Phys. Lett., vol. A 188, pp.
39-47, 1994.
[3] P. Ashwin, J. Buescu and I. Stewart, ”Bubblingof Attractors and Synchronisation of Chaotic Oscillators,” Phys. Lett., vol. A 193, pp. 126-139,
1994.
[4] T. Kapitaniak and L.O. Chua, ”LocallyIntermingled Basins of Attraction in Coupled
Chua’s Circuits,” Int. J. Bifurcation and Chaos,vol. 6, no. 2, pp. 357-366, 1996.

[5] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, ”Analysis ofBifurcation Phenomena on Two Chaotic Circuits
Coupled by an Inductor,” IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5, pp. 869-875, May
1997.
[6] Y. Pomeau and P. Manneville, “IntermittentTransition to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems,” Comm. Math. Phys., vol. 74,pp. 189-197, 1980.
[7] C.G. Langton, “Computation at the Edge ofChaos: Phase Transitions and Emergent Computation,” Physica D, vol. 42, pp. 12-37, 1990.