シリーズ「人工知能と物理学」

解説

量子コンピュータを用いた変分アルゴリズムと機械学習
御手洗光祐

藤井啓祐

大阪大学大学院基礎工学研究科

大阪大学大学院基礎工学研究科

mitarai＠qc.ee.es.osaka-u.ac.jp

fujii＠qc.ee.es.osaka-u.ac.jp

44

ファインマンが指摘したように，量子系

ピュータ上で実行する変分法では，量子状―Keywords―

は粒子数に対して指数的に自由度が増える

態を効率のよい試行関数によって表現する

ため，従来コンピュータでのシミュレー必要がある．密度行列繰り込み群やテンソ

NISQ デバイス：ションは難しくなる．量子力学の原理に

ルネットワークなど，計算コストをできる

よって計算を行う量子コンピュータは，こだけ抑えて量子相関を取り込む方法が検討のような問題を根本的に解決することがでさ れ て き た．そ れ に 対 し て，量 子 コ ン

きると期待されている．今では，原子や電ピュータ上の量子状態を試行関数として利子，そ し て 量 子 化 さ れ た 電 気 回 路 な ど，用すれば，複雑な量子相関を取り込んだと個々の量子系を精密に制御する量子エレク

しても，その状態の生成からエネルギーやトロニクス技術の進展に伴って，量子コン

観測量の評価は，物理法則を用いて効率よ

ピュータの実現が現実味を帯びつつある．

く実行することができる．まさに，ファイ

現在，Google，IBM，Microsoft などの巨大ンマンが指摘したように，量子力学で動作

IT 企 業 に 加 え，ベ ン チ ャ ー 企 業 で あ る

する量子コンピュータを用いて変分法の試

Rigetti computing などが量子コンピュータ

行関数を表現するのである．このようなアの実現に向けた基礎研究開発を行っており，

プローチで，量子多体系の基底状態を求め

すでに数十量子ビット程度の規模の量子コる変分法が変分量子固有値法（Variational

ンピュータが実現している．さらに，ここQuantum Eigensolver, VQE）である．

数年で数百量子ビット規模の量子コン試行関数によるモデル化は，物理分野だ

ピュータが実現されると期待されている．

けでなく，ニューラルネットワークなどの十分に精度の高い操作が可能な 100 量子

機械学習においてもよく行われている．最ビット程度の系ができれば，スーパーコン

近では，量子多体系をニューラルネット

ピュータを用いても完全にシミュレーショ

ワークで表現したり，物質相を機械学習でンすることは難しく，このような規模でも分類する，といったアプローチの研究も進

大きな潜在能力を秘めている．一方で，量んでいる．我々の最近の研究では，教師あ子誤り訂正を実装できるほどの規模がない

り機械学習に量子回路を用いた変分的なアため，複雑な量子アルゴリズムを実装する

プローチを利用することを提案している．

ことはできない．このようなデバイスは，

量子ビットに対して指数的に大きな次元とNoisy Intermediate Scale Quantum（device）

なるヒルベルト空間を機械学習のための特を略し NISQ デバイスと呼ばれている．

徴量空間として利用しようという試みであNoisy intermediate scale quantum デバイスの略．ここ数年で実現されると思われている
量子コンピュータ，すなわち数十〜数百量子ビットを備えるがノイズの影響を無視できないようなデバイスのこと．
〜100 量子ビットの量子系をシミュレートするのがスーパーコンピュータを用いても難しいことから，ある意味で古典計算機を超えた計算能力を持っていると考えられる．
この計算能力を活かすためのアルゴリズムが探索されている．
変分量子アルゴリズム：
量子コンピュータを用いて適
当なパラメータを持った波動関数を作り出し，その波動関数に依存する何らかの目的関数を逐次的に最小（最大）化
するアルゴリズムのこと．パ
ラメータの最適化ルーチン自体は古典計算機上で走らせ，
量子コンピュータは波動関数の生成と物理量の測定に徹す
る．古典計算機ではそもそも表現できない波動関数を扱える可能性があり，特に量子系の解析において注目を集めている．

NISQ デバイスはノイズの影響から，多る．また，このような量子コンピュータをくのステップを要するような複雑な量子計用いた機械学習を基底状態などの量子系を算を実行することができない．できるだけ，学習するために応用する研究も行っている．

量子計算をコンパクトに設計し有効活用すこのように，変分アプローチによる量子る方法が求められており，物理分野でも古古典ハイブリッドアルゴリズムは，NISQ

くから行われてきた，変分法による量子系

デバイスでの利用が期待されており，発展の解析が注目を集めている．従来のコンが期待される分野である．

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日本物理学会誌

Vol. 74, No. 9, 2019

1.

はじめに

2）
mediate Scale Quantum）時代と呼ばれている．

量子コンピュータとは，量子力学の原理に基づいて計算

NISQ 時代の量子コンピュータが抱えるミッションは大を行うコンピュータであり，その原点は，1980 年代にまできくわけて 3 つある．1 つ目は，量子コンピュータによっ

遡る．量子電磁気学への貢献でノーベル賞を受賞したファて計算が加速されるという現象（量子超越性）を定量的にイ ン マ ン は， Nature isnʼt classical, ... if you want to make a

検証することである．人類は未だ量子力学を用いて計算がsimulation of Nature, youʼd better make it quantum mechani-加速されるという現象を観測していない．これを情報科学

cal と指摘している．また，それと同時に， itʼs a wonder-

的な緻密な議論に基づいて検証しようという試みであful problem, because it doesnʼt look so easy とも言った．80

る．3, 4） 2 つ目は，夢の大規模な量子コンピュータの実現に

年代当時の感覚では，1 つ 1 つの原子やスピンなどを量子むけた問題点を洗い出すためのテストベッドとしての役割的に操作し測定する，というのは全く現実的ではなかったである．50 量子ビットが実現されれば量子情報をノイズであろう．しかし 21 世紀に入り，光子，原子，電子，そから守る，量子誤り訂正の実証実験を行うことができる．

して量子化された電気回路など，様々な物理系において，

この実証実験からさらなる大規模化に必要な技術的問題点

個々の量子系を精密に制御する，量子エレクトロニクス技を洗い出し，解決方法を見出す必要がある．3 つ目は，そ術が発展してきた．2012 年には，真空中に捕獲したイオの量子超越性を活かした応用計算だ．応用分野としては，ンを用いて量子状態を制御するイオントラップ技術を開発

量子力学が有利に働くであろうと予想される，物性系や分したワインランド（D. J. Wineland），そして，空洞共振器

子（化学系）の量子シミュレーションに始まり，機械学習，

内の量子化された電磁波と原子との相互作用による量子状

近似最適化に至るまで多岐にわたっている．従来の量子コ態制御を実現したアロシュ（S. Haroche）らにノーベル賞がンピュータ上のアルゴリズムは，高度に作り込まれたもの授与されている．また，1999 年，当時 NEC にいた中村・であり，その結果，量子的な計算の加速についての緻密な蔡らによって世界で初めて実現された超伝導量子ビットは，議論を展開することができる．その一方，操作が複雑すぎ

20 年の時を経て，現在量子コンピュータの最有力候補とて NISQ 時代の量子コンピュータでは動かすことができな

して集積化に向けた研究が進められている． また，2014

い．NISQ 時代の量子コンピュータは，ノイズの影響によっ

年以降，Google や IBM，そしてベンチャー企業の Rigettiてできるだけ速く計算を終わらせる必要があり，許された

computing らが参入してくることによって研究開発が加速

量子操作の回数も限定される．このような状況で，動作すされており，現在 20 量子ビット（空間の次元にして 220 次

る量子アルゴリズムが最近盛んに研究され始めた．興味深

元）が高い精度で自在に制御可能になってきている．さらいことに，このような現実的な問題と折り合いを付けるこに，50‒100 量子ビット規模の量子コンピュータの実現にとによって，新たに従来の物理的な手法との接点や類似性むけた取り組みが行われている．

が出始めている．

1）

しかしながら，依然として現実と理想とのギャップは大

本稿では，このような NISQ 時代の量子コンピュータをきい．理論家が夢想する完全な量子コンピュータの実現に物性計算，量子化学計算，そして機械学習等に活用するたは，ノイズを克服するための量子誤り訂正機能の搭載が不めの量子古典ハイブリッドアルゴリズムについて解説し，

可欠であり，さらに 20 年はかかると予想されている．現

他の物理分野の接点について眺めてみたい．

在実現されている量子コンピュータに量子誤り訂正機能を搭載させると 1 つの守られた量子ビットを作るのがせいぜいで，量子情報を守りながら計算をすることはできない．

2.

変分量子固有値法（VQE）

物性物理や量子化学において，基底状態のエネルギーを一方で，地道な実験家の努力のおかげで，ノイズの原因と求めたり物性値を計算することは重要な問題である．厳密なる物理の理解は進み，量子ビットの寿命や量子操作の精対角化や量子モンテカルロ法など様々なアプローチが研究度はますますよくなってきている．50 量子ビットの量子されている．変分法によるアプローチでは，古くから知ら

計算は，従来コンピュータで愚直にシミュレーションする

れているレイリー・リッツ法に始まり，量子多体系の相関と，2 個の複素数を確保する必要があり，単純にこの容をうまく取り込んだ試行関数を用いる密度行列繰り込み量を計算すると，これは単精度小数を用いてもペタバイト

群，5） そしてテンソルネットワーク法 6）などの研究が知らのオーダーのメモリが必要となる．もう少し洗練されたシれている．複雑な量子相関（エンタングルメント）を取りミュレーション方法を用いたとしても，十分高い精度の込むと一般に計算コストは大きくなり，厳密解を得るため

100 量子ビットの量子コンピュータを従来コンピュータでに必要な計算資源は，対象とする物理系のサイズに対して

シミュレートすることは難しそうだと思われている．この指数関数的に増えていく．

50

ように，誤り耐性のある量子コンピュータよりは規模が小量子コンピュータ上では，量子状態の表現や観測量の評

さくノイズも含まれるが，従来コンピュータによるシミュ

価などを，効率よく行うことができる．量子ビットの集合

レーションが難しくなるようなレベル，というのが現在のとみなせるスピン 1/ 2 系の量子状態はもちろんのこと，ボ量子コンピュータの立ち位置であり，NISQ（Noisy Inter-

ソンやフェルミオンのものについても，適切な変換を行えシリーズ「人工知能と物理学」 量子コンピュータを用いた変分アルゴリズムと機械学習

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ば，考えたいヒルベルト空間の次元 D に対して log2 D 程度の量子ビットで表現可能である．変分量子固有値法（Varia‒

H = å hi Pi ,（2）itional Quantum Eigensolver, VQE）7 9）は，量子コンピュータの形で与えられているとする．ここで hi は実数の係数であに対する量子ゲート操作を用いて，量子状態として試行関る．VQE では，このハミルトニアンのエネルギー期待値数を構築する．この試行状態は，一般に古典コンピュータ
では表現できないような状態も含む．そして，その状態からエネルギーを測定し，試行関数のパラメータ（量子操作に含まれるパラメータ）をエネルギーを下げる方向に更新することによって，基底状態とそのエネルギーを求める方〈 H（θ）〉＝〈ψ（θ）| H | ψ
（θ）〉,

（3）

を求めるために，それぞれの項 Pi のエネルギー期待値〉＝〈ψ（θ）| Pi | ψ（θ）〉,〈 P（θ）
i（4）法である．VQE は，量子コンピュータ実機を用いた簡単を別個に測定する．例えば，Pi＝X Ä Z Ä I Ä … I であれば，な実証実験とともに 2014 年に提案された比較的新しいア

1 つ目と 2 つ目の量子ビットをそれぞれ X 基底と Z 基底でプローチである．測定したエネルギーやその勾配情報から，

測定し，その測定結果±1 の積の期待値を求めればよい．

パラメータの更新方法を決める部分は従来のコンピュータ

このように〈 Pi〉の期待値は，個々の 1 量子ビットへの測定で処理することから，量子古典ハイブリッド量子アルゴリと測定結果の処理から取得できる．その後古典計算機上でズムの一種とされており，すべて量子コンピュータ上で処理をしエネルギーを求める従来の量子位相推定アルゴリズ〈 H（θ）〉= å h〈
（
〉,
i P
i θ）

（5）

i

ムに比べると小規模の NISQ デバイス上でも動作するといを計算し，ある変分パラメータ θ におけるエネルギー期待う利点がある．

値〈 H（θ）〉を得るのである．測定したエネルギー期待値

VQE は，与えられたハミルトニアン H の基底状態を変〈 H（θ）〉はパラメータ θ の関数となっており，回路パラメー

分的に求めるアルゴリズムであり，図 1 のように古典コン

タ θ を調節することを繰り返し，〈 H（θ）〉を最小化するこ

ピュータと共同して動作する．n 量子ビットの量子コンとで，近似的な基底状態を得るのが VQE の基本的な考え

ピュータがあったとしよう．物理系としては，n 個のスピ方である．ここで，パウリ演算子の集合 P は量子ビット

ン 1/ 2 が張るヒルベルト空間と等価である．量子回路 U（θ）

の数に対し指数個の元を持つが，通常の物理系のハミルトは，量子ビットの回転の角度などの量子操作を決めるパラニアンならば，そこには量子ビットの数に対し多項式個のメータ θ が含まれており，量子コンピュータ上で効率よくパウリ演算子しか含まれないことに注意されたい．このた実行できる 2 ×2 のユニタリ演算子である．それを初期状

めエネルギー期待値の計測にかかる時間は，量子ビットの態に作用して出力される状態数に対して指数的に増えることはない．

nn| ψ（θ）〉＝U（θ）| 0〉Än

（1）

さて，このようなアルゴリズムにおいてその性能の鍵となるのは，回路パラメータ θ の最適化方法であろう．あるが変分法の試行関数となる量子状態であり，以降，試行状関数（VQE の場合は〈 H（θ）〉）を最小化するパラメータを態と呼ぶことにする．

求めよ，というパラメータの最適化問題が与えられたとき，ここでは，ハミルトニアン H がスピン 1/ 2 粒子のパウリ

その解法は，目的関数の勾配情報を使うものと使わないも演算子の積で与えられるような場合を考える．対象とするのとで大きく二分できる．一般には，勾配情報を使う勾配系がフェルミ粒子系であればジョルダン・ウィグナー変換

降下法などのほうが勾配情報を使わない方法と比べて有をすればよく，ボーズ粒子系であれば，1 つ 1 つのモード

利だと考えられる．そこで筆者らは，エネルギー期待値

を有限の粒子数状態で打ち切り，1 モードを複数の量子〈 H（θ）〉の θ に関する勾配を求めるための手法を提案してビットを用いて表現すればよい．さて，スピン 1/ 2 のパウ

いる．10） 試行状態のパラメータは，1 量子ビットの回転

リ演算子を｛ I, X, Y, Z ｝と書くことにし，n 量子ビットのパゲート，例えば e−iθX / 2 のような形で与えることが多い．こÄn
ウリ演算子を Pi ∈ P＝
｛ I, X, Y, Z ｝
を用いて，ハミルトニ

れは量子ビット同士の相互作用を必要とする 2 量子ビット

アン H は，ゲートのほうが制御が難しいためである．このようなとき，

図 1 変 分 量 子 ア ル ゴ リ ズ ム の 代 表 例，Variational
Quantum Eigensolver と Quantum Approximate Optimization Algorithm．与えられたハミルトニアン H の基底状態を探索する．

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ハミルトニアンの期待値は法を改善することも一つの大きなテーマである．例えば，〈 H（θ）〉＝〈0 | eiθXHe−iθX | 0〉（6）

従来の変分的アプローチでも使われているような虚時間発展によるパラメータ最適化 14）が提案されている．また，基底状態だけではなく，励起状態を得るためにも様々なアと書けるので，その微分はd〈 H（θ）〉 i= 〈( 0| X eiθX /2H e－iθX /2| 0〉－〈0| eiθX /2H e－iθX /2 X | 0〉)
dθ
2
（7）

である．この物理量はそのままでは観測することが難しい．

‒

プローチがなされている．15 17） 我々も一方式として，量子回路のユニタリ性を有効に利用して低エネルギーの部分空間を求める，部分空間探索 VQE（subspace search VQE）を提案している．18）

この微分の表式を直接評価する手法としては，補助ビットを用いて間接測定することも考案されている

が，NISQ

11）

デバイスの限られたリソースの中で 1 量子ビットを消費す

VQE の枠組みは 0, 1 変数からなる最適化問題（0, 1 計画問題）にも応用できる．最小化するハミルトニアンとして，
いわゆるイジングハミルトニアン

るのは大きな痛手である．しかしながら実はこの量は－iθX /2eθθ= cos I －i sin X
2
2

（8）

ö
÷÷÷
ø

n

i

i =1

i =1 j =1（10）を採用して VQE を適用すれば良い．イジングハミルトニ
アンのような最適化問題に VQE を適用したとき，特に，というパウリ演算子のよく知られた性質を用いると，ææ
d〈 H（θ）〉 1 çæπö
πö
= çç H ççθ + ÷÷÷ － H ççθ － ÷÷÷
è
è
dθ
2è
2ø
2ø

n

H = å hi Z i + å å Jij Z i Z j（9）

量 子 近 似 最 適 化 法 19）（Quantum Approximate Optimization
Algorithm, QAOA）とも呼ばれており，量子アニーリングのように，補助量子ビットを使わずとも評価できるのであの拡張として位置付けられている．アメリカのベンチャー

る．この手法は，θ の値を微妙に変化させて勾配を評価すである Rigetti 社は，超伝導量子ビットを使った QAOA のる単純な差分法に似ているが，それよりもはるかに誤差に20）実験を発表している．

対して堅牢である．
VQE が古典コンピュータに対して優位性があるかどうかはいまだ分かっていない．そもそも，与えられたハミル

3.

機械学習への応用 : 量子回路学習

試行関数のパラメータを変分的に最適化することは物理

トニアンの基底状態とそのエネルギーを求める問題は，最だけでなく，幅広い分野で用いられている．その最たる例

悪の場合量子コンピュータがあっても効率よく解けないが，ニューラルネットワークによる機械学習であろう．以QMA（Quantum Merlin Arthur 問題と呼ばれ，NP 問題の量

降では，機械学習の基本的な考えから解説し，量子コン

4）子版と思ってもらってよい） という非常に難しいクラス

ピュータを用いた機械学習，量子機械学習について解説すに属する．例えば，ランダムネスのある 2 次元ハバード模る．特に，前節で紹介した量子古典ハイブリッド型の変分型の基底エネルギーを求める問題は，どの QMA 問題よりアルゴリズムである VQE の考え方を機械学習へと拡張しも難しい（QMA 困難）問題であり，量子コンピュータを用た量子回路学習と，その応用について解説する．

いても効率よく解けないと考えられている．しかしながら，

3.1

量子機械学習我々が興味をもっているような自然界で実現しているよう

機械学習とは，過去に得られている多数のデータ｛ xi ｝かな多くの系であれば（自然界で実現しているのだから），らモデル （f x）を構築し，新たなデータ x に対する予測を量子力学と互換性のある量子コンピュータでその状態を効行う枠組みである．一般に，そのようなモデル （f x）を構率よく生成できると期待されている．また，ノイズがない

築することを 学習 と呼ぶ．f（ x）の形には様々なものが場合には，より広いヒルベルト空間（よりエンタングルし用いられる．例えば線形回帰ではた状態）を探索できるので，古典コンピュータによる変分（f x）＝w・x＋b ,法に対して優位性があると期待される．ノイズがあり，量（11）子回路のサイズが制限された場合に従来手法に対する優位（w, b は実数のパラメータ）を仮定するし，ロジスティッ

性があるかどうかは現在研究が進められているところであク回帰ではる．例えば，VQE の提案論文 7）で用いられた Unitary Cou-w・x＋b（f x）＝ew・x＋b（1＋e）/

pled Cluster と呼ばれる試行状態は，古典コンピュータでは効率的に生成することができない状態である．
VQE に関して最近の研究をいくつか紹介しよう．一つを，近年話題のディープラーニング（多層ニューラルネッ
トワーク）では，の方向性は，試行状態を生成するパラメータ付き量子回路

（…
（ g（W
）…）
（
f x）＝g（W
n
n
2
2 g（W
1
1 x）

U
（θ）の構成に関する研究である．ノイズの影響を抑える
12）ために使われる量子ゲートを可能な限り少なくしたり，

そもそもノイズの影響を受けにくい量子回路を構成したりといった研究がある．回路パラメータ θ の最適化手

13）

（12）

（13）

（Wi はパラメータ行列，gn は活性化関数）のような階層的な形を用いる．
機械学習では，特徴量空間という概念も非常に重要であシリーズ「人工知能と物理学」 量子コンピュータを用いた変分アルゴリズムと機械学習

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図2

量子回路学習（QCL）の概念図．

る．通常データ｛ xi ｝として与えられるのは，画像のピクセ
ル値を羅列したものや音声の波形データなど，そのままでは意味の分かりにくいものである．例えば音声認識であれ
ば，与えられたデータに対してフーリエ変換を施し周波数成分を取り出したもののほうが，そのデータの特徴をつか

図3

2 量子ビットを使った QCL の例．

みやすいだろう．このように，与えられたデータ｛ xi ｝に対して，特徴的な量を抽出する目的で何らかの処理を施したトベクターマシン 23）や量子線型回帰 24, 25）などが作られて｛φ（ x）｝
量
を特徴量と呼び，その量が存在する空間を特徴量いる．これらのアルゴリズムは量子加速が示されているも空間という．特に分類問題では，元データ｛ xi ｝ではうまくのの，非常に多くの量子ゲートが必要であり，本稿の主題分類することができないとき，データを元の次元よりも高である NISQ デバイスにとってはほとんど不可能である．

い次元を持つ空間へ持っていくといったことがよく行われ

3.2

NISQ デバイスによる量子機械学習

我々は，変分的なアプローチによる NISQ デバイス向けている．
機械学習は大きく教師あり学習と教師なし学習，それとの量子機械学習アルゴリズムである，量子回路学習 10）

強化学習に分けられる．ここでは教師あり学習を例として，（Quantum Circuit Learning, QCL）を提案した．これは，状学習がどのように行われるのかを説明しよう．教師あり学

態の最適化を目的とする VQE を拡張し，量子回路からの習では，データ｛ xi ｝と対応する教師データ｛ yi ｝が与えられ出力と教師データとの誤差を最小化を目指して回路パラる．例えば，｛ xi ｝は 0〜9 の手書き数字の画像であり，教メータを調整するという提案である．著者の一人は，この師データ｛ yi ｝はそれぞれのラベル（0〜9）である．このよ

提案に先立って，複雑な量子多体系の実時間ダイナミクス

うな教師あり学習では，教師データ｛ yi ｝とモデル｛（
f xi）｝と線形回帰によって学習を行う，量子レザバー計算を提案の間の差を，モデル内のパラメータ（上の例では w, b やしており 26）NMR 固体量子スピンアンサンブル系を用いたWi）を調節することにより，できるだけ小さくすることで実証実験 27）も行っている．量子レザバー計算は，量子多学習が行われる．｛ yi ｝と｛ （f xi）｝の差を測る関数

体系の自然なダイナミクスをそのまま利用し，線形回帰にL（f xi）｝）｛ yi ｝,｛ （（14）

よってモデルを構築する方法であるのに対して，QCL は
通常のニューラルネットワークのようにパラメータを調整

はコスト関数と呼ばれる．コスト関数の例としては，回帰することによってモデルを構築する．VQE においては古問題に使われる二乗誤差や，分類問題に使われるクロスエ

典コンピュータでは作り出すことのできない量子状態を試

ントロピーなどがあげられるだろう．教師あり/ 教師なし

行関数とするところに量子コンピュータを利用する強みが学習・強化学習のどれであっても，行いたいタスクに適しあった．QCL は，テンソル積によって指数的に次元が大たコスト関数，もしくはそれに準ずるものを考える．コス

きくなるヒルベルト空間を特徴量空間として利用し，そこト関数を最小化するようなモデル （f x）をパラメータの最に作用するユニタリ変換のパラメータを調整することに適化によって構築するのが機械学習である．さらなる詳細

よってモデルを学習しようという提案である．つまり，は文献 21 をあたられたい．

ニューラルネットワークが線形変換のパラメータと与えら

量子コンピュータを用いた機械学習は，2009 年の Har-れた非線形関数（活性化関数）からモデルを構築するのに

row-Hassidim-Lloyd による行列計算アルゴリズム 22）（HHL

対して，量子回路学習は，テンソル積構造に起因する非線

アルゴリズム）に端を発し，様々なアルゴリズムが提案さ

形性とパラメータ付きユニタリ変換の調整によってモデルれている．HHL アルゴリズムは適当な条件下で，N×N のを学習することになる．

行列 A に対する線型方程式 Av＝b を，O（log N）の時間で解もう少し詳しく QCL について解説していこう．概念図

くアルゴリズムである．これを応用し，例えば量子サポーを 図 2 に，2 量 子 ビ ッ ト を 使 っ た 具 体 例 を 図 3 に 示 す．

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QCL ではまず，入力量子回路 V（ x）によって量子状態にデータ x をエンコードする．図 3 では一次元のデータ x によって決まる y 軸回転ゲート

うに，パラメータ θ の最適化を行う枠組みである．
実は QCL では，量子回路がユニタリ変換であることにより，過学習をある程度抑えられるという効果がある．一－1
R（= 1－ x 2 I －i xY
y sin x）

（15）

般に過学習とは，モデル f にデータ点数と同程度の数の学
習パラメータを設定してしまった時に発生する現象である．

をそれぞれの量子ビットにかけている部分が入力量子回路

モデルが過学習を起こしてしまうと，訓練データ点 だけに相当する．このゲートの直後の状態を表す密度演算子はを完全に記憶してしまい，未知のデータが与えられたとき

æ I + xX + 1－ x 2 Z ÷öÄ 2÷÷ρin（ x）= ççç÷øçè2となっている．回転ゲートの引数を sin

（16）
−1

x としているのは，に全く正しい予想ができなくなる．例えば線形回帰（式（11））では，過学習を起こすと線形結合の重み w のノルムが大きくなることが多い．そこでこれを回避するために，

一つ一つの量子ビットを測定したときに x に関して線形なコスト関数に || w || を足すことによってパラメータのノル

出力を得るためである．この入力状態について，X Ä X とムが大きくなりすぎることを抑制する，正則化と呼ばれるいうオブザーバブルの期待値を測定すれば手法がある．翻って QCL について考えてみると，例えば式（22）における線型結合の重み c1 , c2 は量子回路のユニタ〈X Ä X〉＝Tr（ ρin X Ä X ）
＝x 2

（17）

リ性によって | c1 | 2＋| c2 | 2＝1 である．常にパラメータのノとなり，一つの量子ビットを見ていた時には表れない x 2

ルムが 1 に制限されているため，正則化が自動的に行われという関数を引き出すことができる．このようにたとえているような形となっている．このことから，通常の同じV（ x）が非常にシンプルなゲート，例えば単一量子ビット

特徴量空間を使った線型回帰に比べれば，QCL は過学習

回転を組み合わせたものであっても，量子系の直積構造かを起こしにくいといえるだろう．
上記の関数の汎化だけではなく，分類問題も QCL で実ら，量子状態（18）

行することができ，簡単な 2 値分類問題について論文で報の振幅 a（k x）はデータ x について高次の非線形性を持つ．

IBM のグループが超伝導量子ビットを用いて実験的にここのようにして生まれる指数的な次元の特徴量空間が，量れを実現している．28） それ以降も，NISQ デバイスをもち子コンピュータを使う強みである．もちろん単純化のためいた変分アプローチによる量子機械学習については，様々に x をそのまま入力したが，何らかの非線形関数 ϕ（ x）とな提案が次々に発表されている．例えば，機械学習におけして入力してもよい．

る生成モデルを NISQ デバイスへと拡張し，これを量子コ

Än
| k〉
| 0〉
= å a（
V（ x）
k x）
k

告している．そして，この QCL による分類を提案した直後，入力 V（ x）の後，適当な量子回路 U（θ）によって量子状態

29）
ンピュータの性能評価へと応用する試みがある．
また，を変換し，出力状態 ρout
（ x, θ）を得る．QCL ではこの出力

カ ナ ダ の ベ ン チ ャ ー 企 業 で あ る Xanadu の グ ル ー プ が，状態の適当なオブザーバブル O の期待値〈O（θ, x）〉を測り，NISQ デバイス上での敵対的生成ネットワークの構築を提これを量子回路が構築するモデル （f x | θ）と考える．図 330）案している．
これらの試みが，実際の NISQ デバイス上の例で，例えばオブザーバブルとして第一量子ビットの Z

でどれほどの性能を出すことができるかはいまだ未知数で演算子をとり，あるが，今後の発展に期待したい分野である．

（
f x | θ）＝Tr（ ρout
（ x, θ）
Z Ä I）（19）

3.3

量子データのための量子機械学習

以上では古典的なデータを量子コンピュータでどのようとしてみよう．U（θ）のパラメータを適切に調整すれば，に学習するか，という枠組みで議論を行ってきた．しかし，このモデル （f x | θ）は量子機械学習がその恩恵を一番受けることができるのは，（
f x | θ）＝x 2

（20）

（21）

をあげている 31）以上，量子コンピュータを量子系の学習に用いれば，さらなる成果が期待できるだろう．この文脈における研究としては，量子自己符号化器 32）（quantum au-

とも，またこれらの関数の線型結合（
f x | θ）＝c1 x＋c2 x2

うな場面の学習問題に適用したときであると考えられる．
近年の研究で古典コンピュータによる量子系の学習が成果

とも，（
f x | θ）＝x

おそらく量子的なデータやモデルの背景に量子系があるよ（22）

toencoder）の提案は，量子系を量子コンピュータで学習しようという新しい取り組みである．量子自己符号化器の後ともなりうるだろう．さらに多くの量子ビットを使えば，続研究として，変分量子対角化 33）（variational quantum di-

これらの関数の数は指数的に増えていく．QCL は，このagonalization）がごく最近提案されている．我々も，量子ように様々な関数を表現できるモデル （f x | θ）を用いて，回路学習を発展させ，量子コンピュータを用いて量子系を

教師データ yx を可能な限り再現するモデルが得られるよ

学習しようという方向の研究を進めている．

シリーズ「人工知能と物理学」 量子コンピュータを用いた変分アルゴリズムと機械学習

609©2019 日本物理学会

ここでは，VQE によって得られた基底状態を機械学習

38）
tional Quantum Gate Optimization）を提案している．
これと同じように 汎化 させるという，最近の我々の研究には，1 量子ビット演算の精度が 99.9% 以上という高精度でついて少し解説する． VQE は，一つのハミルトニアンあることに比べ，2 量子ビット演算は，高次の摂動項やパH の基底状態を求めるアルゴリズムであったが，量子化学

ルスの混信などの寄与によって，精度が低くなるというこ

においては，例えば結合長によるエネルギーの変化を求めとに着目している．これまで，これらの効果を打ち消すパたいという要求がある．この目的を従来の VQE によってルスが考案されてきたが，我々の変分アプローチでは，そ達成するには，それぞれの結合長 r におけるハミルトニアのような量子操作を最適化によって見つけようというもの

ンH（r）を与え，一つ一つの基底状態・基底エネルギーをで あ る．ま た，VQE が 状 態 の 最 適 化 で あ る の に 対 し，求めてゆくほかなかった．一方で機械学習によってこのよ

VQGO は量子操作の最適化であり，より一般的な変分ア

うな問題を解く場合，ある少数の｛ ri ｝について学習を行い，ルゴリズムへの拡張と捉えることもできる．

34）

未知の r が与えられた時も正しいエネルギーを返すようなモデルを構築するのが常道である．このように未知データに対しても正しい答えを返すことをモデルの汎化と呼ぶ．

4.

ノイズ低減のための取り組み

ここまでは NISQ デバイスをどのように応用していくか，

もし VQE の出力である基底状態をこの意味で汎化させら

そのアプリケーションを紹介してきた．だが，エラーが無れれば，調べたい系のパラメータについてその系がどのよ視できない実際の NISQ デバイスを使用するには，ノイズ

うに変化するか，比較的少数の点において量子回路を訓練の影響をどれだけ減らせるかが鍵となる．もちろんノイズ

することで調べられるだろう．そこで我々は，回路深さを

それ自体を減らすには，ハードウェア側の性能向上を待つ

無限大とした極限で断熱時間発展を必ず実現できるような，しかない．それではソフトウェア側でやれることはないのパラメータ数の比較的少ない量子回路 U（θ）を提案し，だろうか？

VQE の出力の汎化を試みた．そのような回路を選んだの

計処理をうまく行ったり，量子回路の構成を工夫したりすは，十分長い時間をかけた断熱時間発展を行えば，目的のることで，測定される観測量に対するノイズの影響を少な

ハミルトニアンの形によらずに基底状態が得られるというくしようという研究がなされている．これらの研究で提案

事実に立脚したいと考えたためだ．もちろん，回路深さがされている手法は，一般にノイズ補償（error mitigation）手有限であるときには，断熱時間発展を厳密に行うことはで法と呼ばれる．

きないため，各結合長 r において U（θ）| 0〉を VQE によって最適化したとき，得られる最適な回路パラメータ θ * は r

決してそのようなことはなく，測定結果の統一つの手法は，量子ビットにかかるノイズの大きさを人為的に変化させ，それに伴う観測量の変化から，理想的な‒に依存した形 θ *（r）として得られる．我々は，少数の点｛ ri ｝* ri）｝を求め，訓練（訓練点）において VQE を走らせて｛ θ（

観測量を復元するというものである．39 41） この手法は外挿点の間における θ *（r）を，訓練点における｛ θ*（ri）｝の補間呼ばれている．観測する量を O，ノイズの大きさが ² であによって求めるという単純なアプローチによって，最適な* r）を学習することを提案した．このアプパラメータ θ （るときの O の期待値を〈O（²）〉としよう．外挿法では，人ローチにより，物理系のパラメータについてその性質がど数点測定する．その後，² について線型関数 a²＋b もしくのように変化するか，従来の単純な VQE よりも高速に予は指数関数 Ae−a² などによってフィッティングを行い，そ法によるノイズ補償（error mitigation with extrapolation）と為的にノイズを変化させた系における期待値｛〈O（²i）〉｝を測することができると考えている．また，磁場の強度などの外挿によってノイズ無しの系における理想的な期待値のパラメータについて，量子相転移現象などを量子回路で〈O〉〈O（0）〉を得るのである．この手法は，実験的に
ideal＝

学習し基底状態を汎化することができるか，といった興味

42）もその有効性が検証されている．
ここでは詳細は述べな

深い問題も残されている．

いが，ノイズモデルを知った上でその補償を行う，擬確率

3.4

量子最適制御のための量子機械学習

分布を用いた手法も提案されている．39, 41）

量子データの機械学習のみならず，近年では量子系の精密な制御にも機械学習的な手法が使われ始めている．量子系の制御は核磁気共鳴の分野で古くから研究がなされているが，最近になって，特に量子コンピュータの実現に向けてさらに高度な手法が提案されている．その皮切りとなったのは，最急上昇法によるパルスエンジニアリング 35）であり，今では制御したい量子系をそのまま用いて量子制御を精緻化する手法が現れている．36, 37） 筆者の一人は，超伝
導量子ビットの実験グループと共同で，超伝導量子ビットに対する 2 量子ビット演算の精度の向上のために，量子回路による変分アプローチを適用する方法（VQGO: Varia610©2019 日本物理学会

図 4 外挿法による誤差緩和．² はノイズの大きさ，〈O（²）〉はあるノイズの大きさにおける観測量 O の期待値．
日本物理学会誌

Vol. 74, No. 9, 2019

5.

おわりに

本稿では，すでに実現している，もしくは近未来的に実現する規模の量子コンピュータを用いた量子古典ハイブ
リッド変分アルゴリズムについて解説した．量子多体系の基底状態を探索する VQE（変分量子固有値法）は，パラ
メータ付き量子回路によって生成される量子状態を試行関数として用いる変分法であった．これは，従来コンピュータ上で実行することが前提となっている，密度行列繰り込み群やテンソルネットワークなどの変分アプローチの量子コンピュータへの拡張と捉えることができる．基底状態だ
けではなく，励起状態も変分アルゴリズムとして求めることができることも述べた．Feynman が指摘したように，量子コンピュータ上では時間発展をそのままシミュレーショ
ンすることができるので，基底状態と励起状態の間の複雑な遷移ダイナミクスも取り込むことができるだろう．また，
エネルギー固有状態などの状態の最適化だけではなく，入力データと教師データから量子回路をモデルとして学習，
量子回路学習も紹介した．
これら，NISQ デバイスをターゲットにした量子アルゴ
リズムでは，できるだけ小規模の量子コンピュータで多少ノイズがあっても動作するように構成されている．このような制約のもと機能を低下させないために，NISQ デバイ
ス用の量子アルゴリズムでは，様々なアイデアが試されている．このように，NISQ デバイスの登場によって，大規
模な量子コンピュータだけを主眼としていた頃の量子アルゴリズム設計とは異なった方向性で新しいアイデアが提案されている．まさに，クロック数もメモリ容量も小さかったファミリーコンピュータ上でのゲーム開発（スーパーマ
リオブラザーズやドラクエなど）に似た面白さがある．そして，ここで生まれた創意工夫は，NISQ 時代だけではな
く，大規模な量子コンピュータが登場した後にも役立つことだろう．
最近，ニューラルネットワークを用いた量子状態の表現
や物質相の分類，そして深層学習と物理の接点など，機械6）原田健自，数理解析研究所講究録 1848, 83（2013）．
7）A. Peruzzo et al., Nat. Commun. 5, 4213（2014）.
8）B. Bauer et al., Phys. Rev. X 6, 031045（2016）.
9）A. Kandala et al., Nature 549, 242（2017）.
10）K. Mitarai et al., Phys. Rev. A 98, 032309（2018）.
11） G. G. Guerreschi and M. Smelyanskiy, arXiv:1701.01450（2017）.
12）P.-L. Dallaire-Demers et al., arXiv:1801.01053（2018）.
13）I. H. Kim and B. Swingle, arXiv:1711.07500（2017）.
14）S. McArdle et al., arXiv:1804.03023（2018）．
15）J. R. McClean et al., Phys. Rev. A 95, 042308（2017）.
16）O. Higgott, D. Wang, and S. Brierley, Quantum, 3, 156（2019）.
17）S. Endo et al., Phys. Rev. A 99, 062304（2019）.
18）K. M. Nakanishi, K. Mitarai, and K. Fujii, arXiv:1810.09434（2018）.
19）E. Farhi, J. Goldstone, and S. Gutmann, arXiv:1411.4028（2014）.
20）J. S. Otterbach et al., arXiv:1712.05771（2017）.
21）C. M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning（Springer, 2006）.
22）A. W. Harrow, A. Hassidim, and S. Lloyd, Phys. Rev. Lett. 103, 150502（2009）.
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24）N. Wiebe, D. Braun, and S. Lloyd, Phys. Rev. Lett. 109, 050505（2012）.
25）M. Schuld, I. Sinayskiy, and F. Petruccione, Phys. Rev. A 94, 022342（2016）.
26）K. Fujii and K. Nakajima, Phys. Rev. Appl. 8, 024030（2017）.
27）M. Negoro et al., arXiv:1806.10910（2018）.
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30）P.-L. Dallaire-Demers and N. Killoran, Phys. Rev. A 98, 012324（2018）.
31）G. Carleo and M. Troyer, Science 355, 602（2017）.
32）J. Romero, J. P. Olson, and A. Aspuru-Guzik, Quantum Sci. Technol. 2,045001（2017）.
33）R. LaRose et al., npj Quant. Inf. 5, 8（2019）.
34）K. Mitarai, T. Yan, and K. Fujii, Phys. Rev. Appl. 11, 044087（2019）.
35）N. Khaneja et al., J. Magn. Reson. 172, 296（2005）.
36）J. Li, X. Yang, X. Peng, and C.-P. Sun, Phys. Rev. Lett. 118, 150503（2017）.
37）D. Lu et al., npj Quant. Inf. 3, 45（2017）.
38）K. Heya et al., arXiv:1810.12745（2018）.
39）K. Temme, S. Bravyi, and J. M. Gambetta, Phys. Rev. Lett. 119, 180509（2017）.
40）Y. Li and S. C. Benjamin, Phys. Rev. X 7, 021050（2017）.
41）S. Endo, S. C. Benjamin, and Y. Li, Phys. Rev. X 8, 31027（2018）.
42）A. Kandala et al., Nature 567, 491（2018）.

著者紹介
御手洗光祐氏： 量子計算，特に量子コンピュータをどのように実応用していくかに興味がある．
藤井啓祐氏：

専門は量子情報，特に量子計算，量子誤り訂正，そして量子計算と物理との接点に興味がある．

学習分野のアイデアがますます物理に浸透してきている．

（2018 年 12 月 15 日原稿受付）

多体量子系を学習するには，量子コンピュータ上でモデルを構築し学習する量子機械学習が有利であると期待される．
VQE は，量子コンピュータ上でモデル（試行状態）を構築

Variational Algorithms on a Quantum Computer and Their
Applications for Machine Learning

し変分的に最適化する方法であった．また，量子回路学習

Kosuke Mitarai and Keisuke Fujii

は，ニューラルネットワークの代わりに量子系のテンソル

abstract: The recent progress of the hardware of the quantum comput-積構造と巨大な次元のユニタリ変換を利用する，という試みである．この，多体量子系をモデル化する試行関数，機械学習，量子計算の距離が急速に縮まっているように感じる．今後の展開に目が離せない．

er are dramatic, and quantum computers with several hundreds of qubits might be within reach in a few years. This progress is motivating
the world to search for applications of such devices. Here we give theoverview of the recent development of algorithms for near-term, noisy
quantum computers. This article is focused especially on so-called

参考文献

variational quantum algorithms where classical and quantum computers1）阿部英介，伊藤公平，応用物理 86, 453（2017）．
2）J. Preskill, Quantum 2, 79（2018）.
3）S. Boixo et al., Nat. Phys. 14, 595（2018）.
4）森前智行，日本物理学会誌 74, 98（2019）.
5）西野友年，奥西巧一，引原俊哉，物性研究 68, 133（1997）．

works together to solve a given task. The near-term quantum computers
are expected to be applied in the area ranging from machine learning toquantum chemistry calculation. We also review some of the approaches
to mitigate the noise effect.

シリーズ「人工知能と物理学」 量子コンピュータを用いた変分アルゴリズムと機械学習

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