シリーズ「人工知能と物理学」

解説

機械学習における物理が果たす役割――量子機械学習とその現状

大関真之
東北大学大学院情報科学研究科
mohzeki＠tohoku.ac.jp
4

機械学習では，入力と出力の関係がよくや概念を学ぶため，私たちの感覚のアップ

わからないものに対して，とりあえず自分

デートを必要とするというのも大きい．こたちが扱うことのできる簡素な関数を用意の量子力学は，機械学習とは一切関係のなする．猫の姿を見て，猫だと認識するのは，さそうなものである．しかし人類はそうし入力が画像データであるのに対して，猫だたものですら，より豊富な表現力を得るたという指摘をする結果をはじき出すのだか

めに，機械学習において利用する関数に取らよくわからない入出力関係があるのは間り込もうとしている．

違いない．しかしそれをコンピュータが実

量子力学では，エネルギーの固有状態を践できるように扱いがしやすい関数を用意調べるのに，原理的には高次元の行列の対する必要がある．ただし，その関数には変角化を伴い，最終的には数値計算に頼る．

更可能なパラメータを複数含ませておき，

また時間発展にしても，ハミルトニアンができるだけ広い豊富な表現力をもつように指数関数化されて状態ベクトルにかかるこしておく．後で微調整を行い，実際に入力とにより，そう単純ではない変化を生み出を与えた時に適切な出力が与えられるよう

し，やはり数値計算に頼る他なかった．問にする．関数に変更を加えてなんとか辻褄

題設定そのものは単純に行えるとしても単を合わせるというのは変分法に相当する．

純ではない変化を生み出すのが量子力学の変更可能なパラメータ以外にも機械学習で難しさである．しかしこの部分を積極的に

は，非線形変換を伴う関数を利用して，そ利用すれば，機械学習で利用されうる「複の 表 現 能 力 を 増 強 す る こ と が で き る．

雑な非線形変換」を作り出せることが期待

ニューラルネットワークが深層化を経て，される．量子機械学習とはそういう営みで非常に複雑な非線形変換を獲得するのも，あると換言できる．

そうした目的があるためだ．

他にもニューラルネットワークでなされ非線形変換というのは，ある種の飛躍でる誤差逆伝播法から始まる勾配法による最あり，計算の難しさの象徴として現れる．

適化を，運動方程式により駆動される系の

例えば高校生のときに二次関数まで学んだ変化と捉えれば，その運動方程式をシュ

のちに，三角関数をはじめ，指数関数と対

レーディンガー方程式に置き換えるなどし数関数を学び，その豊富な数学の表現力にて量子力学の原理を導入することも考えら魅了される．しかし同時にその扱いに厄介れる．これも量子機械学習の一つのあり方さを覚えることもある．ただ慣れてくれば，と言える．

その扱いもその存在も親しみをもって普段こうした自然に量子力学を取り入れよう

使いをする対象となる．人間というのはなとする発想が出てきた理由は，近年注目さかなか勝手なものである．

れる量子コンピュータを始めとして制御可

そうした機械学習の分野で一つ気になる

能な量子デバイスの進展があり，実際に動用語が登場しつつある．量子機械学習であ作する量子デバイスを手にしているというる．その冠にある量子力学は理解をすんな現状にある．人類にとって，もはや量子力

りと許さない，厄介な対象となる代表例で学は親しみをもって普段使いする対象になある．交換しない演算子を利用して微視的りつつあるのだ．

――用語解説――
ニューラルネットワーク：
ニューラルネットワークは，入力された引数に対して非線形変換と線形変換を繰り返し
非自明な関数を構築する．その繰り返しの回数に応じて，層の深さが決まり，深いほど関数の複雑度が増す．さて，その非線形変換を量子力学に現れるユニタリ変換に変更したらどうなるだろうか．

図に示すのはよく現れる
ニューラルネットワークの抽象的な図である．右端の丸印が入力の引数を表し，縦に並ぶ丸の数は入力の次元に対応
する．青線で引かれて左側に移るたび，係数がかかり和を取るルールである．丸印を経ると任意の非線形変換が実行されて次第にその値を変えていき，最も左側ではある値に変わり出力となる．この青い線で行われることは線形変換，丸印で行われることは非線形変換であるが，それぞれの変換を変更する余地がある．それにより新しい形のモデルを作ることができる．

な自由度の変化を追う際に新しい計算方法
194©2021 日本物理学会

日本物理学会誌

Vol. 76, No. 4, 2021

1.

機械学習に対するアプローチ

いようにするためには，次のような損失関数を用意する．

機械学習とは何か．たった一言で言えば，「非自明な関

L
［ g］=

数を自明な関数に」コンピュータを用いて，変換すること

1 N
2
（ti－（
g x i）
）
2 
i =1

（3）

である．自明，非自明という言葉は，素性がわかっている

ここで N 個の異なるデータについて和を取り，データセッ

かどうか，を表す．素性がわかっているのであれば，そのトの中にあるデータ全てについて和を取ることを意味する．

関数を利用することは原理的に可能であり，その関数によ学習のために用意されたデータセットを特に訓練データ

る入力と出力の関係を当然のことながら完璧に再現するこ

セットとよぶ．この損失関数は，モデル g（x）に対する関とができる．例えば犬か猫かを見た目から識別するという数であるから汎関数である．この g（x）の変分を取り，損作業は，2 次元画像を縦横に並んだ数値からなる行列また失関数が最小となれば，少なくとも目の前にあるデータはそれを一列に並べたベクトルによる入力として，出力結セットにはあった自前の自明な関数 g（x）を得ることがで果として 2 値を返す作業と言える．これは全くの非自明なきる．おそらくその関数は，データセットから，真のモデ関数による入出力関係である．それを自分が所有するコンルの （f x）の構造を反映したものになっているのだから，ピュータ上でプログラムされた自明な関数として利用でき試したことのない入力 x に対しても，出力 t を精度よく予るようにしたいというわけだ．

測できるだろうと期待できる．その期待がどれだけ信頼で1.1

モデルと損失関数

きるものか裏切られるものかを示す指標を汎化性能とよぶ．

基本的な機械学習を大別すると，教師あり学習と教師な機械学習では，その汎化性能ができるだけ高くなるように，し学習に分類される．前者は入力 x に対して，出力 t が出ありとあらゆる手段を講じる．その方法の一つが正則化でるという非自明な関数関係を仮定する．いわば背後にあるある．目の前に与えられたデータセットに合わせすぎるこ

真のモデルを置くことから始まる．

となくモデルの形に対しての罰金項や別の項を付け加える

t＝f（x）（1）

ことにより，汎化性能を保つ．
教師なし学習の場合についても同様である．教師なし学

ここで x はベクトルであり，t は簡単のためスカラーとし

習では，x という出力のみがあり，その出力の背後には，た．もちろん出力をベクトルにする一般化は容易に行える．

とりあえず真のモデルがあるとしよう．そしてそのモデル

しかし上記のモデルはあくまで妄想だ．多分そうであろう

は確率分布関数からなる生成モデルとよばれ，出力をとにくらいの意味で，全く知ることのできないものだ．我々がかくするものとする．

知ることのできるものは，入力 x に対して出力 t がこのよ

x〜P
（x）

うにして与えられるという入出力関係を示すデータのみで（4）ある．そのデータがいくつか与えられたデータセットをも

ここで波線は，確率分布関数 P（x）に従って，データ x がつところから話が始まる．その意味でデータは機械学習の出力されるという意味だ．いくつかのデータを引き取って，大前提である．

データセットをもつところから始まる．このデータには，

ここで注意をすると，真のモデルは，データを通してのきっと何がしかの傾向があるだろうと期待して，私たちがみ知ることのできるブラックボックスなのだ．つまり全く妄想する傾向を示す自前の自明な確率分布関数 Q（x）を非自明な関数というわけだ．そのブラックボックスのヒン

もってこよう．この確率分布関数から生じたものであるな

トを与えてくれるデータセットに対して，私たちの妄想をらば，その尤もらしさを示す尤度関数，ないしは次のよう具体的に書き下す．真のモデルの形は知る由もないからな対数尤度関数が大きくなると考えられる．

（f x）とは全く異なる g（x）で表現しよう．
t＝g（x）＋²NL（xi）［Q］=  log Q

（2）

（5）

i =1

再び汎関数が現れて，データセットと矛盾のない確率分布² はいわば真のモデルと自分で用意したモデルとの誤差で関数を探してこいという問題設定が浮上する．

ある．ここで問題となるのは，入力 x に対しての出力 g（x）

1.2

モデルの用意は決してデータセットの通りに出力されることはないとい

機械学習の具体的な手順においては，その汎関数の最小うことだ．しかしできるだけ近い方が望ましい．そこで化ないしは最大化において，関数 g（x）または Q（x）をいg（x）を変化させながら t ≈ g（x）となることを目指す．この

くつかのパラメータにより特徴付ける．教師あり学習にお過程を学習とよぶ．ここで g（x）を用意することをモデル

いて，単純な方法は，次の線形モデルである．

化とよぶ．ここで自前で用意した関数をモデルとよび，モデル g（x）は自前で用意しているという意味では，「自明な」（
g x）=  akφ（
k x）

（6）

k

関数であると言える．自分で扱いのしやすい形にしておく

この係数としてかかる ak が変分パラメータとなり，機械ことで，後々の面倒を避けるためだ．この自前の自明な関学習の分野では単純にパラメータとよばれる．ϕ（x）
は既k数g（x）が真のモデルからの出力 t と矛盾ができるだけな知の関数であることが多い．これは自分で設定して構わなシリーズ「人工知能と物理学」 機械学習における物理が果たす役割

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い．パラメータの数が多いほど，モデルの複雑さが増す．

ことを目的としていると見ることができる．時には統計力

その複雑さでもって多様なデータに合わせることが可能と学の分野で利用されてきたイジング模型を利用することもなる．パラメータの数を無限大として，和の代わりにヒルある．その場合は特にボルツマン機械学習とよぶ．

ベルト空間上での内積を採用しても差し支えない．
g（x）＝〈a | ϕ（x）〉

E（x）=－ Jij xi xj－ hi xi

（7）

i≠ j

（12）

i

この自明な関数 g（x）ないしは Q（x）の「自明な」という

ここで | a〉＝| a1, a2 , …〉であり，| ϕ（x）
, ϕ（x）, …〉である．
1
2

文言をここでさらに細分化する必要が出てくる．g（x）のこの膨大なパラメータを学習する，つまり最適化をする手

構成は線形モデルにせよ，ニューラルネットワークにせよ，続きについてはやや不安を覚えることだろう．しかし二乗

非線型変換と線形変換の単純な繰り返しとなっている．x

誤差を損失関数として，正則化としてパラメータの大きさを入力して，出力がどんなものになるのかを調べるのは非を用意して，最もデータに合ったものを求めると，常に容易である．x が示すものが非常に高次元なデータでN| a〉=  wi |φ（xi）
〉
i =1

（8）

あり，ニューラルネットワークの場合に何度も変換を経る
場合には，その計算量が大きなものとなってくるが，それにという形をもつことを示すことができる（表現定理）．再対応した専用計算機を用いる現代ではさほど大きな問題とびこれをモデルに戻すと，はならない．一方でボルツマン機械学習の場合には，自前で

N

|φ（x）
（
g x）=  w〈（〉i φ x i）
i =1

（9）

用意した確率分布関数 Q（x）は，形こそ自明であれ，その結果を出力する際には，マルコフ連鎖モンテカルロ法に代という形に直すことができる．無限個のパラメータの代わ表されるサンプリング計算に時間を要する．そのためボルりに，有限のデータセットの個数分のパラメータによりモツマン機械学習は，その表現力の豊かさの一方でイマイチ

デルを定めることができるようになる．しかもその意味は流行を迎えるということはなかった．つまり自前で作った明快である．wi という重みにより各データが新たな入力 xモデルであり，その素性がよくわかっていたとしても扱いに対してどの程度寄与をするのか，それを考慮して線形結がしやすいかどうかは全く別問題であり，計算量という観合によりモデルを表現している．その際に新たな入力 x と点が重要となってくる．その意味で自明といえども簡単に

これまでの入力に相当する各データ xi の「距離」を定める実行できることは意味していない．線形モデルやニューラのが K（ x′, x）＝〈ϕ（x′）| ϕ（x）〉である．この部分は用意した

ルネットワークは，自明で簡単なものと言える．しかしボ

非線形変換の形により元々は決まるものであるが，モデル

ルツマン機械学習は設定は自明だけどその結果を得ることを決定するためには，要するに距離として適切な対称なグはそれほど簡単なものではない．そのため学習は闇雲な設

ラム行列を用意すればよい．重み wi を計算するには基本

計をしてはならない．うまい計算上の工夫や実現可能性を的には N×N 次元の逆行列の計算を必要とするだけで単純踏まえて設計をする必要がある．逆に言えばどんな関数をである．そこでこのグラム行列を切り替えて（カーネルト用意できるかは計算能力の向上とともに変化していくのだ．

リック）モデルを用意する方法として，カーネル法がある．

これは機械学習そのものの発展にも過去も現在でも言える

この線形モデルを階層的に複雑にしていったものが，いことであり，そして未来についても言えることだ．

わゆるニューラルネットワークだ．このニューラルネット

さらにモデルとデータによっては，学習においてその計ワークも至言すれば，線形変換と非線形変換により構成さ算量が問題となってくる．パラメータの最適化が必要で，れた複雑な非線形変換 ϕ（x）
に対して最後は線形結合をk

その最適化にかかる計算時間が膨大となってくるのだ．近取った形（6）をしている．

年ではその計算時間の削減に計算機の性能の向上とアルゴ
リズムの改良により大きく進歩があった．

さて教師なし学習においては，Q（x）として，
Q（x）∝exp（−βE（x））

（10）

1.3

学習における最適化手法

さて自明な関数 g（x）などを用意したら，最適化問題をというギブスボルツマン分布を置き，このエネルギー関数解くことで機械はそのデータセットについて，自前で用意E（x）にデータの特性を加味した様々な形を仮定する．例

した関数の範囲で学ぶこと，すなわち学習を達成すること

えば x はごく少数のパターンの組み合わせで生じたと仮定ができる．自明な関数に含まれるパラメータを動かし，最すれば，適なパラメータを探索するために，素朴な勾配法を利用す

（x）=
E

1
|| x－Bz || 2
2

（11）

として，いくつかのパターンを有する行列 B とどのパターンに起因しているかを示すベクトル z で x を記述することを期待する．この際 z の次元は x よりも少ない場合に元のデータ x に対して次元圧縮を行い，より簡素な表現を得る
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る．まずは最も単純なものは最急降下法を利用したものだ．
（13）a＝a−ηm
ここで m は勾配であり，
m=

L
a

（14）
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と計算される．ここで η は学習率とよばれ，勾配に応じて

a＝a−η′γ（a−〈b〉
T）

どれだけ更新をするのかを定める．物理屋の視点では，こ（20）の学習率を微小時間であると見なせば，上記の更新式はとパラメータを更新する．ここで〈b〉T は T 時間におけるオーダーダンプなランジュバン方程式で温度 0 極限を取っT
経験平均〈b〉
T＝å t＝1 bt /T である．この bt の更新により aたものである．もちろんアンダーダンプなランジュバン方の周辺で典型的な状態へ到達させて，その結果を受けて a

程式で温度 0 極限を取ったものもあり，モーメント勾配法

を更新することからエントロピー勾配降下法という名称がとよび，現在の勾配に前回利用した勾配を足したものを採ついている．より詳しくは原論文に記載されているが，局用するものである．これにより，前の更新時の勢いを利用

所エントロピーを定義して，それぞれ勾配を計算すると，する．

上記の更新則が自然に得られる．

機械学習においては，データ，モデル，最適化手法の 3 要
素を駆使して，データセットにうまく合わせること，汎化
性能をよくすることを目標とする．その方針で進化してき2.

量子機械学習へ

それでは機械学習に量子力学を導入したらどうだろうか．

たために，物理的なメカニズムとの接点を意識するよりも，

いわば量子機械学習というものである．発想の飛躍があり

とにかく汎化性能をよくするものを求めてきた経緯がある．

そうに映るかもしれないが，割と自然な発想である．機械

例えばよく利用されているのは鞍点やプラトーを抜け出す

学習の構成要素は，データはもちろんのこと，モデル，損失

ようなメカニズムを導入した Adam（Adaptive Momentum）

関数とその最適化手法である．データが量子系そのものでというものであり，パラメータの更新則は以下の通り，少あるという対象は，多くの研究があるわけではない．そこ

し変更が加えられている．

で後の 2 つについて残る誌面で紹介することにしよう．まa = a－η

m
v +

（15）

また勾配は一次と二次の項に注目して以下のような量を計ずは損失関数とその最適化手法に量子性を導入してみよう．
2.1

量子勾配法

素朴にはトンネル効果により，学習の途中に現れる損失関数の極小を抜け出すようなメカニズムがうまく働くので算する．
Lm = β1 m +（1－β1）
a

（16）

L
L
v = β2 v +（1－β2） 
a
a

（17）

全く物理では見たこともない更新式であろう．ここで⦿ははないだろうか．パラメータを自由度として，それに対して非可換な運動量を導入する．損失関数に運動エネルギーを追加する．その際に量子系を導入して，その密度演算子をpˆ 2 
［ gˆ ］－ρˆ ∝ exp －βL2 λ 

（21）

ベクトルの成分ごとの積を表す．式（15）のように分母にg はモデルに含まれるパラメータ a が演算とする．ここで＾勾配の大きさを入れておくことで，あまりうまくパラメー子＾
a となったことを示している．これに対して，運動量演

タが更新されていない方向については勾配を実効的に大き算子＾
p とは［ap］＝i という交換関係をもつ．ここで量子系＾,＾

くする作用がある．これにより，鞍点やプラトーの抜け出をシミュレートするために演算子から c 数にするために経しを効率的に行う．

路積分表示をする．その結果として密度演算子から虚時間

それでは物理学で見られるようなダイナミクスに基づく更新則は，機械学習では議論されないのであろうか．もちろん存在する．有限温度のオーバーダンプなランジュバン
方程式を利用することにより，最適なモデルの周辺や，極方向に並んだ巨大な系の確率分布関数を得る．
P（at = 0 , at =1 , …, at =T ）Tλ∝  exp －βL［ gt ］－ || at －at－1 || 22


2
t =1

（22）

値で特徴付けられるモデルをサンプリングする手法 1）が提この指数の肩の部分を実効的な損失関数と見立て，有限温案されている．

度（逆温度 β）でのダイナミクスを考えると，その損失関a = a－ηm + 2Tη （18）

ここで ² は平均 0，分散 1 のガウス分布に従う確率変数である．他にも局所エントロピーという量を導入して，暫定的なモデルの周辺におけるエントロピーを加味して，損失数をポテンシャルエネルギーとして，オーバーダンプなランジュバン方程式を構成すれば，以下のような勾配法を構築することができる．
λ 2at －at－1－at +1）+ 2Tη  .
a t = a t － ηm + （（23）

関数とともに自由エネルギーを最小化する手法も提案され

ただし虚時間の長さだけの並列したモデルを用意するため，

2）ている．エントロピー勾配降下法とよばれる．
まず仮想

実際上の応用を考慮した手法としては非合理的であるが，的な時間発展

量子力学的要素がもたらす効果を見たいということで試し

bt +1 = bt －ηm + 2Tη  +（γ a－ b t ）（19）

を T 時刻だけ進めて，その結果を元にシリーズ「人工知能と物理学」 機械学習における物理が果たす役割

3）てみる．その結果，図 1 に示すように汎化性能が上がる．

図 1 に示す例は，有名な手書き文字認識のデータセット
MNIST に 対 す る 識 別 を 例 に し た も の で あ る．た だ し
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MNIST の識別は現在では，最も簡単なタスクの一つであり，それこそ Adam による最適化を多層のニューラルネッ

T

γ
2

P
（a）≥   dbt exp －βL［ gt ］－ （a－bt ）


2
t =1

（24）

トワークに対して行えば，非常に高い識別率を示す．このここで γ は元の P（a）で 2 次形式をなす行列の最大固有値か実験では 2 層のニューラルネットワークに対して，訓練

ら決まる定数である．各虚時間ごとに右辺の指数関数の肩データセットを少なめに用意して，MNIST であっても識別の部分をポテンシャルエネルギーとしたオーバーダンプな率を向上させるのに骨が折れるような状況にしている．そランジュバン方程式を，at について微分をとり構築すると，のような条件設定で，量子揺らぎの導入により汎化性能の式（19）を得る．ここで T 個のアンサンブル平均の代わりに，向上をみた．全く同じ勾配率で，MNIST 以外にも顔認識

ランジュバン方程式における時間平均を採用することにすのデータセットによる検証も行われ，同様の結果を得ている．そして a の更新においても勾配を計算すれば，式（20）る． 量子ゆらぎによる項を単純に正則化として捉えるこを得る．a の更新を繰り返すことにより P（a）に対する下ともできるが，物理学由来のメカニズムによる理解をする

限を更新して，周辺確率の最大化が近似的に達成される．

ことができる．

残念ながらモデルによっては，非凸な構造をもつため極大

3）量子効果を完全に手で追うのは困難なため，古典解を求化にとどまる．つまり量子勾配法の古典解周りの挙動は近め，そこからのゆらぎを調べる．どのような古典解が選択

似的に，エントロピー勾配降下法の挙動と一致することがされているのかを調べるためだ．素朴にはその古典解の間わかる．エントロピー勾配降下法では，局所エントロピーを遷移するのが，量子勾配法のダイナミクスとなる．各虚と損失関数からなる，いわば自由エネルギーの最小化を経

時間ごとに古典解 a からのゆらぎを at＝a−bt として表す．

て，平坦な極小解に落ち込みやすいという性質がある．量ここで古典解とは at＝a とした場合に損失関数を最小化す

子勾配法は，そのような平坦な極小解を求めて，トンネルる解である．bt は大きさが非常に小さい，古典解からのゆ効果により谷同士を飛び越えるという性質をもつことがわ

らぎを示す．そこから量子効果を示す部分をフーリエ変換

かる．

を駆使して対角化を行うと，そのゆらぎについての独立な

さて平坦な極小解に陥ることは機械学習への応用を考え

2 次形式を得ることができる．それぞれ bt について積分をた際に顕著な性質が得られる．汎化性能に対する影響であして，a に関する周辺確率を取り出す．解として選ばれる

る．汎化性能とは，パラメータの最適化に用いられた「訓のは，この周辺確率が最大となるところであるから，この練」用のデータセットとは異なる，「テスト」用のデータ

周辺確率の下限を代わりに最大化することを考える．代理

セットに対して，同様のタスクを実施した際にどれだけ良関数法とよばれる手法だ．

好な性能をもつかを示す指標である．基本的には訓練用のデータセットとテスト用のデータセットにはある程度の相関があり，似たものであるはずだ．図 1 にあるような，幅に違いのある極小の谷を 2 つ考える．訓練用のデータセッ
トによる損失関数で狭い極小の谷に落ち込んだ場合は，そのパラメータのままでテスト用のデータセットによる損失関数においては極小の谷とはよべないところに引っかかってしまう．しかし広い谷に落ち込んだ場合には，訓練用でもテスト用の損失関数であっても，さほど大きな差が生じない（図 2）．つまり汎化性能を引き上げるためには，広い谷に落とすような工夫が必要となる．量子勾配法及びエントロピー勾配降下法は，平坦な極小を好むことから汎化性能を引き上げるメカニズムを有していることがわかる．ただし量子勾配法そのものは虚時間にわたる並列的なモデル

図 1 量子勾配法による汎化性能の様子．赤が Adam，青が量子ゆらぎを導入した Adam による学習を経た場合の識別率である．多数の実験による性能を重ね打ちしている．平均を青の太い線，赤の太い点線で示した．

を用意する必要があり，実用上は有用ではない．もしも量子系があれば話は別なのだが．

図 2 平坦な極小は汎化性能が高い．赤が訓練
データ，青がテストデータであり，グレーは両者に共通するデータであるとする．赤の訓練
データに合わせる際に利用する損失関数の振る舞いを中央部に赤線で示した．青のテストデー
タに対する損失関数を重ねている．広い極小の谷は訓練データとテストデータに対する合わせ方として両者にうまく合う形であり，狭い極小の谷では訓練データに過剰に合わせている．

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2.2

モデルの量子化T

勾配法，すなわち最適化手法に量子性を導入するという

|Ψ
| ψ〉
（a）
〉=  U（at ）

（25）

t =1

量子機械学習の型があれば，モデルに量子系を導入すると

ここで at は各ステップで実行されるユニタリ変換を特徴づいう型もある．まずはその背景について紹介しよう．量子けるパラメータである．単一パラメータにより特徴づけさ系を扱う研究は，数値計算による手法が主流である．原理れるユニタリ変換もあれば，2 つのパラメータで特徴づけはシンプルな割に，その時間発展をつぶさに追うのが難しされるものもある．| ψ〉は比較的用意するのが容易な量子いためである．しかし量子力学に従う実験系を作ってしま状態にして，そこから順次ユニタリ変換を実行することでえば，そのような計算量困難とは無縁となる．耳にしたこ

様々な量子系を作ることを想定している．これはちょうどとがあるかもしれないが，最近これらの量子力学に従う実

ニューラルネットワークに入力をしたのち，線形変換と非験系として，量子デバイスの開発が急速に進んでいる．そ

線形変換を繰り返すことと同様である．つまり量子系を作の究極的な形が量子コンピュータであろう．量子コンるためにどのようなユニタリ変換を構成するのか，というピュータでは任意のユニタリ変換を施すことが可能なデバものがモデルを作る部分に相当する．5）

イスである．

さてこのように用意した自明な量子系のパラメータを動

任意のユニタリ時間発展演算子を実行することができれかして，非自明な量子系の基底状態のエネルギーを探る．

ば，シュレーディンガー方程式に基づく時間発展をシミュ

自明な量子系によるハミルトニアンの期待値を以下のようレートすることができる．これまではデジタルコンピューに定義する．

タ上で，そのシミュレートをすることで，我々は量子系の振る舞いについて予言を行い，実際の実験とともに比較し| Hˆ | Ψ
〈Ψ
（a）
（a）
〉
E
（a）
≡
| Ψ a）
〈Ψ
（a）（
〉

（26）

て，その理解につなげていた．逆に言えば，これが計算量

この期待値が最小となるような自明な量子系を探せというの壁を感じさせる源である．量子系をデジタルコンピューのが問題となる．自明な量子系は自らが構成してパラメー

タ上でシミュレートしようとしているから計算量の壁を感タを用意しているから，上記の期待値をパラメータに関すじるのだ．むしろ，デジタルコンピュータ上でのシミュる微分を行い，パラメータの更新を行う勾配法を設計する

レートではなく， 量子 コンピュータ上でのシミュレー

ことは容易である．ユニタリ変換の順番や構成が量子コン

トを行うことでシュレーディンガー方程式通りの時間発展

ピュータにおける回路の構成に相当するので，この方法ををするとしたらどうだろう．

変分量子固有状態法（Variational Quantum Eigensolver）6）と現状の量子コンピュータでは，限られたゲート操作回数で動作するのみであり，そして操作ごとに生じるエラーを訂正する機構を実装することなく出力を得るものになってよび（図 3），量子機械学習の一つのトレンドを作っている．
上記はいわば参考になるデータが存在しないという意味
では教師なし学習である．

いる．理論通りの量子コンピュータと区別して，Noisy

それでは量子機械学習の発想で，教師あり学習に相当す

4）Intermediate-Scale Quantum computer（NISQ）とよばれる．

ることをどのように行えばよいだろうか．要するに自明な

そうは言ってもせっかくできた操作のできる量子系だ．こ

モデルとして量子系を用意すればよいと考えると発想はれを使わない手はない．

次々と出てくるであろう．ユニタリ変換により非線形変換

全く非自明な量子系の基底状態のエネルギーを求めたいとしよう．ハミルトニアン自体 ＾H は自明である．形はわを行うモデルを用意するのが素直な発想である．

かっている．しかしその固有状態 | Ψ〉は非自明ということ| Ψ（x）〉＝U（x）| ψ〉（27）

で，非自明な量子系と称した．その量子系の基底状態のエ

まずデータ x に対して決められたユニタリ変換を用意する．

ネルギーを求めるにはどうしたらよいだろうか．機械学習

これが非線形変換に相当するということに注目すれば，そのアプローチと同様に，自明な関数をもってくればよい．

の内積により決まる次の量は，カーネル法におけるグラム

そこでもち出してくるのは，自前の自明な量子系をもって行列に相当することがわかる．

くるという方法だ．その自明な量子系は，いくつかのユニ
タリ時間発展を通して自明な量子系を用意するとしよう．

図3
シリーズ「人工知能と物理学」 機械学習における物理が果たす役割

K（ x′, x）＝〈Ψ（x′）| Ψ（x）〉（28）

変分量子回路の様子．

199©2021 日本物理学会

既存のカーネル法と同様にカーネルトリックによりグラムウリ行列の z 成分，x 成分である．この量子ボルツマンマ

行列として量子系の内積を利用すればよいという素朴な発

シンともよぶべき自明なモデルが相手にする非自明なモデ想が浮上する．

ルは確率分布関数 P（ x）である必要はなく，より一般の量＾
子系の密度行列 P である．これらの密度行列の距離として，

ただしその利用には注意があり，データの数が大きくな
ればなるほど，グラム行列の行列要素を準備するのに時間がかかり，さらにパラメータの決定に必要な逆行列計算に伴う時間については別に方法を考える必要がある．幸いなことに後者の逆行列計算は，ユニタリ変換を自在に操る量

量子相対エントロピーを用いる．
S（Pˆ | Qˆ ）= Tr  Pˆ log Pˆ －Pˆ log Qˆ 

（32）

子コンピュータを用いることで高速化できる．将来にはそこの量子相対エントロピーの最小化を通して，できるだけ＾P に近い ＾
Q を求めることが目的となる．これまでと同様に7）の点の問題を解消することがある程度期待できる．
実際

パラメータに関する微分をとり，勾配法により更新を行いにグラム行列を伴うサポートベクターマシンの学習におけ最適なパラメータの探索をする．例えば相互作用 Jij に関る逆行列演算を効率的に行うアプローチも提案されていする微分は次の関係を与える．

る． また逆行列計算については，量子コンピュータを利8）用した計算を参考にして，脱量子化，すなわち古典的なア（Pˆ | Qˆ ）= Tr  σ iz σ jzPˆ －Tr σ iz σ jz Qˆ 
S
Jij

（33）

プローチでも高速に逆行列計算が実行できることが明らか

量子系の期待値の差をできるだけなくすことで目標が達成となっている． そうは言っても量子機械学習という仰々することが見て取れる．前者は対象となる非自明な量子系

しい名前がある割には，変わったグラム行列を用意するのに関する観測結果である．後者は自らが用意した自明な量

みであるといった使い方では芸がない．非線形変換に続け子系に関する期待値で，計算をすることが求められる．して，変分可能な（学習可能な）ユニタリ変換をさらに付けかしながら量子系の期待値を計算することは容易ではな足したアプローチが提案されている．

い．特に有限温度の期待値を計算するためには膨大な計算

9）

10）

W（a）| Ψ（x）〉（29）

量を必要とする．ここで量子デバイスの登場というわけだ．
例えば量子アニーリングマシンとして知られる D-Wave

最終的に出力の基底による観測を通して，出力結果の確率

2000Q（現在は D-Wave Advantage も利用可能）を用いるな分布を得る．

どが候補となる（図 4）．しかし残念ながら量子アニーリン| y | W（a）| Ψ（x）〉| 2
P（ y）＝〈（30）

グマシンは現在のところパウリ行列の z 方向の基底のみで観測できるものであり，任意の方向の観測が可能ではない．

これはちょうど非線形変換の後に線形結合によりモデルとそのため例えば横磁場に関する微分で現れる物理量についする式（7）の形への帰着とも言える．入力 x に対して非線て，その観測を行うことができないため，正しく横磁場の形変換を通して，重み W（a）で線形結合を行う 2 層のニュー値について学習を行うことができない．そこで横磁場を固ラルネットワークと捉えることもできる．多層化を行うこ

定されたパラメータとして，ある種の正則化として捉えるとも容易であり，その誤差逆伝搬法を構築することも系統ことがある．その効果により，横磁場のないボルツマンマ

的に行うことができる．

シンに対して，量子ボルツマンマシンの方がよい性能を与量子系で自明なモデルを用意するということであれば，える可能性があることがいくつかの研究で指摘されているギブスボルツマン分布を作るというのも手である．ただしが，それが本質的に量子系ならではの結果かどうかは，決その場合は密度行列がモデルとなる．例えば量子アニーリ

定的なことはまだ言えない．また用意できる量子系が横磁ングでよく用いられる横磁場をもつイジング模型をハミルトニアンとして，密度行列 ＾Qを場をもつイジング模型のみであり，モデルの範囲が制限さ

N


1
Qˆ =
exp －βE（σˆ z）+ β Γ  σˆix 

Z



（31）

i =1

σix はパとしよう．ここで E（σ＾iz 及び＾＾z）は式（12）であり，σ図4200©2021 日本物理学会れている．実際のデバイスについてはそういう状況ではあるものの，量子ボルツマンマシンは量子系を用いることで，指数関数的加速を示す例 11）であり，対象となる非自明なモデルが量子系ではないものであっても，グローバーの探

量子ボルツマンマシンの学習の様子．
日本物理学会誌

Vol. 76, No. 4, 2021

索アルゴリズムと同様な二乗の加速を示す 12）ことが知らという分野であり，単なるブームや流行り言葉で終わるこれている．その意味では，今後量子デバイスの開発が進み，とはないだろう．短いながらも一人でも多くの読者が共感用意できる量子系の範囲が広がることで量子ボルツマンマ

したり刺激を受けることを願って，とりあえずここまでとシンの有効性が向上することが期待される．

しよう．

3.

機械学習と物理学の関係

最後に機械学習はデータに根差した一手法にとどまらず，そのものの概念が，物理学と非常に馴染みのあるものであるということを強調しておきたい．特に量子力学では，そもそも非自明な波動関数を自明な関数で表現しようと変分的アプローチを取ってきたし，他にもフーリエ変換が行っていることも非自明な関数を自前で用意した三角関数で理解しようとする営みだ．機械学習ではその自明な関数には
多くのパラメータが含まれるため，計算を通してデータに合わせるというスタイルを取る．物理学ではごく少数のパラメータをもつ洗練されたモデルが考案され，実験をいかにうまく広く説明するのかにより判定され，いくつも提案されて廃れての繰り返しを続けてきた．その手続きを系統的に行うことができれば，どれだけ効率的になるだろうか．
ただ系統的に行うのはよいとしても，その解釈や起源をどこに求めたらよいのだろうか．次なる悩みも抱える．そうした悩みは尽きないにしても，量子機械学習のような物理

参考文献
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4）E. Grumbling, M. Horowitz 編，西森秀稔訳，『米国科学・工学・医学ア
カデミーによる量子コンピュータの進歩と展望』（共立出版，2019）．
5）P. J. J. OʼMalley, Phys. Rev. X 6, 031007（2016）.
6）A. Peruzzo et al., Nat. Comm. 5, 5213（2014）.
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8）P. Rebentrost, M. Mohseni, and S. Lloyd, Phys. Rev. Lett. 113, 130503（2014）．
9）E. Tang: in STOC 2019: Proceedings of the 51st Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing（ACM, 2019）p. 217.
10）M. Schuld and N. Killoran, Phys. Rev. Lett. 122, 040504（2019）.
11） M. Kieferovà and N. Wiebe, arXiv:1612.05204（2016）.
12）N. Wiebem, A. Kappor, and K. M. Svore, arXiv:1412.3489（2014）.

著者紹介
大関真之氏： 量子アニーリングをはじめ，量子力学と統計力学を利用して情報科学の問題に取り組む．飽きっぽい性格なので，次はどの分野で遊んでみようかと常に考えている．

学と機械学習がマージした格好で発展しつつある分野の登（2020 年 5 月 30 日原稿受付）

場は，物理学者としてはなかなかに味わい深いものではないだろうか．物理としての最大の武器である「自然に聞けばわかる」というところをよりどころにしている点は注目

Role of Physics in Machine Learning―Quantum Machine Learning and Its Current Statusに値する．人工的に構築した量子デバイスは，その自然に

Masayuki Ohzeki

問いかける実験装置である．そうした意味では量子機械学

abstract: Machine learning consists of three essential parts as data,

習はまさに物理学の営みである．物理学における数値シmodel, and optimization. We review these in short and then consider

ミュレーションが実験の代わりを果たすようになり，次第

several generalizations into their quantum versions, namely quantumに非自明な振る舞いを引き出して，その価値を見出された
ように，量子機械学習も今後その価値を強く示すようになるだろう．また機械学習の機械の意味が，デジタルコン
ピュータである時代から，量子コンピュータを始め，もっと広い機械を相手にした意味合いに変わりつつある．量子デバイスの活用が機械学習の方法論の一つに組み込まれ，物理学そのものだけでなく機械学習の発展にも寄与するこ

machine learning. In optimization, we consider a generalization of theloss function with a noncommutable operator. The result demonstrates
the superiority in generalization performance when we add this noncommutable operator. Next, we discuss quantum machine learning with
the quantum model. The implementation of the quantum model is now
realizable by various quantum devices appearing so far. How to use thequantum device and compute several necessary quantities are described.

ととなる．そうした両分野を刺激するのが，量子機械学習シリーズ「人工知能と物理学」 機械学習における物理が果たす役割

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