200あとカぐき
微分幾何はその名の示すように，微積分の方法を幾何学的問題に応用する学問で，その歴史は微積分のそれと同様に古いといえる．実際，平面曲線の.Huygens（ホイゲンス） (1626‑
1695）やI.Newton（ニュー曲率の研究は， C
1642‑1727）がすでに手懸けたし，空間曲線の微分幾何も G.Mongeトン） (（モ ンジ ュ）(
1746‑1818）により 1770年代に始められた．そして JBernoulli（ベルヌイ） (16671748),L.Euler（オイラ ー）(
1707‑
1783)
,J.B.M.C.

Meusnier（ムー ニ エ）(
1754‑
1793)
, G.
Mongeの 弟 子 C.Dupin（デ、 ユノfン）(
1784‑
1873），そのイ也 J.L.Lagrange（ラグランジュ） (
1736‑
1813)
,A.L.
Cauchy（コ ー シー）(
1789‑1857）などの努力によって曲面論も次第に発展し.F.Gauss（力、、ウス）(
1777‑
1855）が 1827年に発たが，現代的な微分幾何は C表した Disquisitionesgeneralescircasuperficiescurvas （曲面の研究）にaussは，曲率を球面表示によ始まるといってよいであろう．その論文で Gって対応する球面と曲面の小さな部分の面積の比の極限として定義し，それを第一および第二基本形式で表したのち，長い計算で「aEacaFac Iac¥214(EG‑F2)
2K= El一一一一 一 2一一一一 十（一一 ）｜lavav auav ¥auJJraEac aEacaEaFauav avau avav。
円1F ac aFa
F1‑2I,̲,aua
u+4auavI「aEac aEaF IaE¥
21+ GIIIauau 2aua
v+1‑1¥avJI
2「a2E a2F a2Gl2(EG‑F) l ~ － 2 一一一十一一｜Lav auav au2J+ Fl
一一一一一 一一一一一一 2Iという式を導き，曲率が第一基本形式にしかよらないという有名な定理を述

auss‑Bonnetの定理を，特別な場合，すなわべている．同じ論文の中で G
ち，測地線を辺とする三角形の場合に証明している. (1848年に 0.Bonnet.
,,.

『曲線と曲面の微分幾何（改訂版）』 （小林昭七著／裳華房）あとがき（ボンネ） (1819‑1892）がそれを一般の場合に証明した．）

201

また，曲面を 2つaussであのパラメータ− U, V で表示して調べる方法を体系化したのも G
る. G
aussの時代にはヨーロッパでさえも，まだ地図が正確で、なく Gauss
自身，測量の理論的な面と実地とをやっており，それが微分幾何の仕事と前後しているのはもちろん偶然ではない．
微分幾何の次の大発展のきっかけとなったのは 1854年 に G.F.B.

Riemann（リーマン） (1826‑1866）が Gottingen（ゲッチンゲン）大学での就任
講演 UberdieHypothesen,welchederGeometriezugrundeliegen（幾何学の基礎をなす仮定について）で，その中で Gaussの曲面論を n次元の多様体に拡張することを提唱した．これが今日 Riemann幾何と呼ばれているものの始まりである．

872年に F.Klein（クライン）は Erlangen（エルランゲン）大学でのまた 1
就任講演で VergleichendeBetrachtungtiberneueregeometrischeFors‑chungen（最近の幾何学研究の比較考察）という話をし，幾何学とは与えられた変換群で不変な性質を研究する学問であるという見方を打ち出した．これにより，ユークリッド幾何，射影幾何，アフィン幾何など，種々の幾何がleinの講演は， Erlanger Pro‑
統一的立場から理解されるようになり， Kgramm（エルランゲンの目録）の名の下に後々までも大きな影響を残した．
その千麦， C.G.Ricci（リッチ） (1853‑
1925）と T.
Levi‑
Civita（レビ・チビタ）(
1873‑1941）のテンソル解析に関する 1901年の論文， Levi‑Civitaの1917年の Riemann空間における平行移動に関する論文をへて， Riemann幾何は次第に発展してきた. A.Einstein（アインシュタイン） (1879‑1955）が一般相対性理論（ 1916）を記述するために，4次元の不定値形式の Riemann
計量に基づくテンソル解析を使用して以来，高次元 Riemann幾何の研究はますます盛んになった．

.Weyl（ワイル） (1885‑1955）
は， Riemann幾何から，共変微分，一方， H918），測地線の概平行移動の概念を抜き出すことによりアフィン微分幾何（ 1念を抽出することにより射影微分幾何，また角の概念にだけ目をつけることにより共形微分幾何（ 1921）を創始した．この We
予lの仕事はアメリカの L.

202

あとがきP.Eisenhart（アイゼンハルト） (1876‑1965),0.Veblen（べブレン） (1880‑.Thomas（トーマス） (1899‑
1984）などによって引き継がれ，
1960)
,T.Y
1920年代， 30年代の微分幾何に大きな影響をもった．
一方，フランスの E C
artan（カルタン） (
1869‑
1951）
は1923年から 1925年にかけて，アフィン，射影，そして共形微分幾何を K
leinの思想と調和する形で展開した．

,vに依存するベクトル場
本文中で，曲面を調べるにあたって，座標系 uPu,Pv を使う方法の他に， u,vとは無関係な正規直交系 ei,e2,e3 を使う

heoriegeneraledes
方法も説明したが，これは 4巻からなる曲面論の本（ T.
G.Darboux（ダルブー） (1842‑1917）によって始surfaces）で知られている Jめられた動標構の方法である. Cartanは動標構を駆使し，また微分形式の方法を創始し， リ一群論，微分幾何で多くの重要な仕事を残した．球面は曲oincareの上半平面は曲率が負の定数の曲面であることを率が正の定数， P学んだが， Cartanは，それを高次元に一般化する対称空間というものを発見した．これは，今日ユニタリー表現論，その他で重要な役割をはたしてい.deRham（ド・ラム） (1903‑1990）が博士論文る．また微分形式は， G(1931）で多様体のコホモロジーを表すのに使って以来，多様体のトポロジーの研究だけでなく，代数幾何の研究にも必須の道具となった．動標構は今日トポロジーその他で大切なファイパー・バンドルの概念の元祖といえる．
この本の第 4章では曲面の場合に Gauss‑Bonnetの定理を証明したが，高次元への一般化は，ユークリッド空間内の閉超曲面の場合， 1925年に H.

1895‑1971）が，そして一般の次元の閉部分多様体の場合，
Hopf（ホップフ） (1940年に C.B.Allendoerfer（アレンデルファー） (1911‑
1974）と W.Fenchel（フェンチェノレ） (1905‑
1988）がそれぞれ独立に証明したのを足場にして，1943年に一般の閉 Riemann空間に対し AllendoerferとA Weil（べイユ）(1906‑1988）が証明した．その翌年に S.
S.Chern（チャーン，陳省身） (1911rans‑‑2004）が与えた簡単な証明はその後トポロジーで重要となった転入（ tontrjagin（ポントリャーギン）gression）の概念を含んでいる．この方面は P(1908‑1988）類の発見 (1944年） ,Chern類の発見（ 1946年）を経て， F.
Hir‑，え」.
.

あとがき

203zebruch（ヒルツェブルフ） (1927‑ ）の一般化された Riemann‑Roch（リーtiyah（アテイヤ） (1929‑ ）と I.M.Singer（シンマン・ロッホ）の定理， M.A
1924ガー） (）による指数定理へと，目ざましい発展を遂げた．

第 3章の §6で測地線を変分法の立場から見たが，これは，変分学の歴史

Poincare（ポアとともに古い研究分野で，特に，閉じた測地線の研究は H.
1854‑1912）が，凸曲面上には必ず閉測地線が 1つは存在することをンカレ） (1892‑1977）の理論と結ぴっき，今証明して以来，力学系， Morse（モース） (日でも研究の盛んな分野である．
第 5章では基礎的なことしか述べなかったが，極小曲面の理論も変分学と.
L.Lagrangeに始まり，ともに発展してきた研究対象である．変分学の父 J
G.
Monge, J.
B.M.C.Meusnier,0.B
onnet,B.Riemann,K.Weierstrass（ワイエノレシュトラス） (
1815‑
1897)
, H.A.Schwarz（シュワルツ） (
1843‑

1921)
,E.Beltrami（ベルトラミ） (
1835‑
1900)
,187
3年に針金で、作った閉曲線を縁として石鹸膜を張ることにより極小曲面を実現して見せた J
.A.P
la‑

1801‑
1883)
, S.
N.Bernstein（ベルンシュタイン） (1880‑teau（プラトー） (1968),Plateauの問題を解決した T.Rad6（ラドー） (1895‑
1965）と J.Doug‑las（ダグラス） (1897‑
1965）などの研究を経て，いまでも研究が非常に活発に行われている分野である．
微分幾何は Gauss‑Bonnetの定理，その一般化が示すように，トポロジーとも関係が深く，測地線その他を通して，力学系，常微分方程式と結ぴっ
き，極小曲面その他の研究により偏微分方程式や関数論とも縁が深くなり，Kahler多様体を通して代数幾何にも立ち入るようになり，数学の色々の分野と密接に結ぴついて発展してきた．これは，数学の大部分がなんらかの多様体を基にしており，微分幾何は多様体上の微積分学であることから当然のことともいえよう．また，相対性理論の最も大切な道具であることも上に説明した．そして，このような微分幾何の成功の元を質すとき，それが Gaussと Riemannの曲率の概念にあることを知り，あらためて，この 2人の数学者の偉大さを理解するわけである．
このような微分幾何の性格からわかるように，色々の数学を研究するのに

204

あとがき

微分幾何的方法を習得する必要がある一方，微分幾何を研究する人も他の数学の分野や物理の造詣を深めて，広い視野に立った仕事をする必要がある．
この本を終えられた読者は，多様体論を勉強されたのち， Riemann幾何，関数論 (1変数および、多変数）， Lie群論，代数幾何など，広く数学を勉強されることを望みたい