広島工業大学紀要研究編
第 44 巻（2010）pp.253-258

論文

解析接続の数値計算への応用
殿塚

勲 *・三登和希 *・古屋将宏 *（平成21年10月27日受理）

Analytic Continuation Applied to Numerical Calculation
Isao TONOZUKA, Kazuki MITO, and Masahiro FURUYA(Received Oct. 27, 2009)

Abstract
A power series with complex variable converges within the radius of convergence, absolutelyand uniformly. A holomorphic function is represented by a power series locally, i.e. within theradius of convergence. Starting from the local power series, we show a method to spread the region of convergence by means of suitable transformation of variable. If the region of convergence has a wide area than the original one, the convergence is expected to be fast, which canbe applied to a calculation of holomorphic function represented by a power series.
Key Words: power series, radius of convergence, complex function, holomorphic function, analytic continuation

１

はじめに

f z）＝
（

19 世紀の近代解析学では変数を実数から複素数にまで∞az
Σ
n＝0nn⑴

級数⑴の収束半径を rz とすると，その内部領域拡張したこと，および極限操作の交換の重要性が指摘され¦z¦ ＜ rzてきた。［1］⑵すなわち変数を複素数にまで拡張することで初等関数がでは正則関数を表す。図１の中の原点を中心とする円 C0統一的に記述され，その本質が複素関数の正則性のもとにがその収束円である。次に⑵の内部の１点 z0 の回りのベ制御されることが明かとなった。

f z）の z ＝ z0 における n 階微キ級数は，その点での関数 （一方極限操作の交換・移行とは例えば２重級数の和の順係数の値が分かれば序の交換であったり，関数項級数の項別微分や項別積分な）∞ f（n（∞z0）
nnb（（z－z0） ＝n z－z0）n!
n＝0n＝0Σ

どであり，このような極限の交換可能条件の吟味のもとに極限操作を移行することの重要性が認識されるようにな

Σ⑶り，例えばベキ級数により解析接続を行うときには極限操により与えられる。ここで⑶の展開係数を bn とおいた。

作の交換・移行が縦横に使われており，画期的な結果が導n 階微係数の値は⑴を n 階項別微分して z ＝ z0 と置いた

かれている。［2］［3］ものであるからここでは複素変数 z のベキ級数で表現された関数についbn＝て考える。

＊＊＊

広島工業大学情報学部知的情報システム学科― 253 ―）f（n（z0） 1 ∞d maz＝n!
n! m＝0 m dzn0 0Σ殿塚勲・三登和希・古屋将宏

bm ＝∞a  zΣm
n m＝nnn－m0⑼となる。これは記号 n と m を入れ換えれば⑷と同様である。すなわち，z ＝ z0 の回りの級数展開を n 階微係数を用いてもベキ展開の中心の平行移動⑹によっても同じ結果を得る。
⑺から⑻を導くためにも n の和と m の和を入れ換えていることに注意しよう。また展開係数 bm の値を求めるのに無限項の計算が必要がある。
図１

解析接続によりこれまで収束しなかった領域でも収束した

原点を移動する変換による解析接続

り，または収束するにしてもその収束の速度が早まれば数値計算にも有用となる。これをコンピュータを利用して実∞Σm（m － 1）…（m － n+1） m－namz0＝n!
m＝n＝∞

Σ

m＝n

際に行うとき新しい展開係数 bm の計算が無限項の和で表される，ということは，精度的にも計算の手間においてもmam z0m－n		n⑷困難が伴う。
次に述べる中心を変更しない変換によれば，新しい展開係数を求めるのに有限項の和の計算で済むことを示す。

で与えられる。
⑶の収束半径を rz0 とすればその収束域は z0 を中心とする円の内部¦z－z0¦ ＜ rz0⑸２ベキ級数の中心を変更しない変換⑴から出発してその収束域内の点をたどりながら⑼を求めつつ解析接続することは原理的に可能である。これをコである。領域⑸は図１の円 C1 の内部であり，これが C0ンピュータを用いて数値的に行うことを考える。そのためと重なる部分があるのは当然であるが，更に外部にはみ出には新しい係数⑻を何度も精度よく求めことが必要となすこともあり得る。これが解析接続である。ここで⑷を導る。しかしながら⑻は無限項の和であり，しかもこれを無くために微分演算と無限和をとる操作の交換がなされてい限個を知る必要がある。もちろん精度を決めておき，何項ることに注意しよう。これが可能なのは複素変数のベキ級まで求めればよいかを評価した上で行えばよいが，それで数の一様収束性による。

も解析接続は何段階もの変換を行うのであるから誤差の評価は極めて難しい。
一般に変換⑹のように展開の中心を変更したときは新し

次にベキ級数⑶はベキ展開の中心の平行移動

w ＝ z－z0⑹によっても作ることができることを示そう。すなわち級数

い展開の係数を求めるためには無限項の和が必要であることが知られる。しかし展開の中心を変更しない変換，例えば双一次変換⑴を

z＝∞∞∞∞a z ＝ Σ a（z +w）＝ Σ a Σ zΣmnnnm＝0nn＝0n0n＝0nnn－m0＝0wm

められる。実際ΣΣmn m＝0 ＝nan z0n－mwm＝m＝∞Σm＝0＝ αw（1 ＋ βw ＋ β2w2 ＋…）
1 － βw⑾を⑴に代入すると

bmwm∞∞b （z－z ）Σm＝0αwz＝として２重和の順序を入れ換えて∞⑽であれば，新しい係数は元の係数を用いて有限項の和で求⑺∞αwzすなわち w ＝α ＋ βz
1 － βwm0m∞a z ＝ Σ a α w（1－βw）
Σnn＝0⑻nn＝0＝と書くと bm はn∞n－nn∞

a α Σ（－β） wΣ m nm＝0nn－n＝0となるが，ここで２項係数の関係式― 254 ―mn＋m⑿解析接続の数値計算への応用

 －n ＝（－1）mn＋m－1
m m を用いると
∞∞

∞＝0＝0

a z ＝Σ ΣΣ
nnm＝0nnn＋m－1a αnβmwn＋m
nm⒁３変換⑽ z＝3.1

応用⑴αw の応用1－βw

次のベキ級数⒄の収束半径は r ＝ 1 であり，その収束域1内部ではに収束することはよく知られる。これに1－z変換⑽を行う。
n1 ＋ z ＋ z2 ＋ z3 ＋…＋ z ＋…となる。ここで k ＝ n+m とおき（n，m）の和を（k，m）

変換したあとの係数 bk で ak ＝ 1 とおくとの和に書き換えると

a0＋∞ k－1

ΣΣkm＝1＝0k－1  k－m m kak－m
α β w ＝a0＋
 m ∞

Σ
k＝1bkwkb k＝⒂となり，その展開係数 bk は m による有限和b 0 ＝ a0 b k ＝k－1αΣ m mk－1

k－1

Σm

 k－1 a αk－mβm（k ＞ 1） ⒃
 m  k－m－＝0rw ＝3.1.1

α＝2，β＝－このとき係数 bk はく。

1¦ α ＋ β¦⒆m＝1m＝2m＝3n＝0a0n＝1a1z0a1w

n＝222 0az2a2z0wa2w2

n＝3a3z303a3z20w

3a3z0w2a3w3

n＝4a4z404a4z30w

6a4z20w24a4z0w3234 k－1
bk ＝ 23⑻式の２重和のはじめの数項を次のような表に書く。となる。z ＝－1 は元の級数では発散するが，変換した後3の級数では w ＝－ なので⒁は8m＝41＋∞

Σk＝1a4w4bkwk＝1＋2＝1－この表より m を固定して先に n で和をとると，その和は一方⒁式を同様の表に示すと次のようになる。
m＝2m＝3m＝4a1αβ2w3a1αβ3w4a1αβ4w5n＝0a0

n＝1a1αwa1αβw2

n＝2a2α2w22a2α2βw3

3a2α2β2w4 4a2α2β3w5 5a2α2β4w6

n＝333a3α w

3a3α βw

6a3α3β2w5 10a3α3β3w6 15a3α3β4w7

n＝4a4α4w44a4α4βw5 10a4α4β2w6 20a4α4β3w7 35a4α4β4w8

n＝55…

4…

  － Σ3  8
k4

k－1

3k＝1

3 ∞  1 k－1 1－＝4 k＝1 2 2

Σ項の和が必要であった。

m＝13∞⒇となり収束する。⒇によると 10－10 の精度を得るために 32無限項になることは明かであろう。

a 5α w⒅である。

に対し，変換⑽では有限項で済む理由をここで説明してお5β ＝α（α＋β）k－1

収束半径は＝0

変換⑹では新しい係数を求めるのに無限項必要であるの

m＝0k－m mとなるので w 平面での収束円は w ＝ 0 を中心とし，そのにより求められる。

m＝0⒄

…

3w 平面の収束円は ¦w¦ ＝ rw ＝ であり，これを z 平面に戻4
すと…

w のベキ k ＝ n ＋ m が一定の項の和は斜めに和をとることであり，よって bk を求める和は有限項となるのである。
変換⑹ w ＝ z－z0 は原点移動を伴うのに対し，変換⑽zは原点は不変であり，これが新しい展開係数
α ＋ βzbk を求めるために無限項か有限項かの違いを産んでいる。
w＝

図２― 255 ―原点を移動しない変換による解析接続

殿塚勲・三登和希・古屋将宏︱ z ︱ 1︱ z－3 ︱＝ 21
束域 ¦w¦ ＜ の外側なので発散する。
3は２点 z ＝ 0 と z ＝ 3 からの距離の比が１対２であるようなアポロニウスの円となる。これは z ＝－1 を中心とし半3.2径２の円であり，元の収束円 ¦z¦ ＝ 1 を含むので，収束域応用⑵次にベキ級数が広がった。図２の円 C0 は元の収束円であり，円 C1 は－log（1－z）＝z＋変換した後の収束円である。z ＝ 1 は関数⒄の特異点であz2 z3zn＋ ＋…＋ ＋…
n23り，いかなる変換を用いてもこの点を収束円の内部には含に 変 換 ⑽ を 行 っ て み る。 関 数－log（1－z） の 特 異 点 はませることはできない。

z ＝ 1，∞でありこれらは分岐点なので，これら２点間に3.1.2z 面での収束半径は rz ＝ 1 である。

カットを入れた面で考える。
α＝2，β＝－1

係数 b0 ＝ 1，bk ＝ 2（k ＞－ 1）であり w 平面の収束半径は rw ＝ 1 でこれを z 平面になおすとw 平面に変換したあとの係数 bk ⒂で ak－m ＝
くと︱ z ︱︱ 2－z ︱＝ 1αΣ m  k－mm＝αΣm（! k－m）!
m＝Σ

は２点 z ＝ 0，2 の間の垂直２等分線 Re（z）＝ x ＝ 1 となる。
図２の直線 C2 がこの垂直２等分線であり，これより左側の領域が収束域となる。収束域はこの双一次変換⑽では最大となる。
は1
この場合，z ＝－1 は w ＝－ に対応し，この点で級数
31＋∞∞

b w ＝1＋2 ΣΣ－ 3  ＝ 2kk＝1kk1

1k＝1

k－1

bk＝＝0k－1（k－1）!

k

rw＝∞＝1kk∞z ＝ 2w
1－w

k－1

βkk

1
¦α+β¦

rw＝ 1
¦β ¦

¦α+β¦ > ¦β¦ のとき¦α+β¦ < ¦β¦ のときとなる。
α＝ 2，β＝－rw＝rw＝ 1
3b w ＝1＋2 Σ 3 w
Σkkk－m m

したがって w 面での収束半径は3.1.3 α ＝ 2，β ＝ 1

a0＋

β

kk!
1 β
αk－mβm× －m（k k! k－m）!
m＝0
k

3.2.1

bk＝2・3k－1（k＞－1）

k－m m＝0k－1だ。

b0＝a0＝11（α＋β） β－＝に収束する。

z ＝－1 のとき，パラメータを α ＝ 2，β ＝－1 に選んだ場
2合の級数の収束の速さは α ＝ 2，β＝－ よりも速い。実3際によれば 10－10 の精度を得るために 20 項の和で済ん

k－1

23

1－－ 1  2 4 
bk＝ k3

34kk

z ＝－1 のとき w ＝－k＝11とおk－m

383は z 平面では ¦z+1¦ ＝ 2 に対応し，4元の収束円 ¦z¦ ＝ 1 を完全に含む。（図２の円 C1）

w 平面の収束円 ¦w¦ ＝w＝ z2＋zw 平面の収束円は z 平面に変換すると∞b － Σ 8k－log（2）＝z ︱1＝ rw ＝¦w¦ ＝︱
3︱ z＋2 ︱より z 平面の収束円は z ＝ 0 と z ＝－2 からの距離が１対３であるようなアポロニウスの円なので実軸上，x ＝ 1 と1x ＝－ を通る円であり，これは21︱ 3︱︱ z － 4 ︱＝ 4と書ける。すなわちこれは元の収束域より狭い。

z ＝－1 は w 面では w ＝－1 に対応し，これは w 面の収― 256 ―＝13 kk1
1
1 2＝－ 1＋ ＋ 2
2  2 1 21－2
21 3
 1 41＋
1－42 1 2
1－ ＋
2
2
343

解析接続の数値計算への応用

1 51＋21－ ＋…
25となり係数 bk は5－10によると，10k＝1（－1） Σmb k＝の精度は 26 項の和が必要であった。

m＝02k－m－1
k－ma k－m4mとなる。ここで ak－m ＝ 1 とおいて級数⒄に適用すると
3.2.2

はα＝ 2，β＝－1w 平面に変換された級数の係数 bk は次のようになり

rw ＝ 1bk ＝2k（k ＝ odd） ：bk ＝ 4kbk ＝ 0 （k ＝ even）

したがって w 平面での収束域は円 ¦w¦ ＝ 1 であり，この領と な り，z ＝－1 は w ＝－3+2応するのでこの点では域を z 平面に戻すと直線 x ＝ 1 の左半平面となる。（図２1＋w2 w41＋w
＝2w1＋ ＋ ＋…
1－w
35∞4k（w ）Σkの直線 C2）－log（1－z）＝log

2 ＝－0.17157 ≡ w1 に 対k1＝1となる。これによれば 10－10 の精度は 14 項で得られた。

これは収束の速い式として知られており，対数の数値計算
1によく用いられる。［1］z ＝－ 1 は w 空間では w ＝－32であり α ＝ 2，β ＝－ の場合より収束は速い。
312432
1 1
1 1－log（2）＝log＝－ 1＋  ＋  ＋…333 53
11＋3

一 方 対 数 の 例  に 適 用 す る と， 元 の 級 数 の 係 数 を

ak－m ＝ 1/（k－m）とおくと変換された係数 bk は奇数項だ
けが残り

bk ＝1－4（k ＝ odd） : 0（k ＝ even）
kの形にまとまるので，k を改めて 2k+1 とおくと結果は∞（w ）Σ2k＋1k

4＝0

では 10－10 の精度は 9 項の和で済んだが，このように少12k＋1ない項で高い精度が得られたのは w の奇数項だけで表わとなる。これによれば z ＝－1 では 10－10 の精度を得るのされたからであろう。にわずか６項で達成された。

４3.3 より速い収束を求めておわりにこれまで双一次変換を用いてベキ級数をさらに収束の速［1］によると，解析学は実数関数だけを扱う場合でも複いベキ級数に変換することを行ってきた。この変換で α ＝ 2，素数までの考察が必要であるという。（第５章） さらに第β ＝－1 の場合の w 平面の単位円内が z 平面の半平面に写３章，第４章をよく読むと極限操作の交換可能性の重要性像されるときが最良の変換であろう。

が指摘されていることがわかる。

これを越えるには例えば複素関数が正則関数であることの条件として，よく知られ1－w 
1 － z ＝
 1＋w 2のような双一次変換ではない関数が必要となる。は z ＝ 0

た Cauchy-Riemann の関係式は複素関数を実部と虚部に分けて w ＝ （f z）＝ u（x，y）+iv（x，y）と書くと ux ＝ vy，uy ＝－vx であるが，これをは w ＝ 0 に，z ＝ 1 は w ＝ 1 に対応する。しかも z ＝ 1

f x＋iy） （f x＋iy）（＝xでは角度が２倍に写像されるので w の単位円内が z の全平面に１から実軸に沿って正方向にカットを入れたものにiyのように書きなおすこともできる。
これによれば正則関数は x に関する偏微分と y に関す１対１に写像される。

る偏微分の交換可能性であるといえるし，同時に z̅ ＝ x－iyよりは含まず，z ＝ x＋iy だけで書き表されることも意味して

4wz＝（1＋w）2いる。
このノートでは解析接続には極限操作の交換が重要な役を⑴のベキ級数に代入すると∞∞

a z ＝Σ b w
Σnk＝0nn＝0kk割を果たしていることを示し，またこれを積極的に利用して，収束域の拡大や収束の速さを調べた。このときパラメー
タや扱い方によっては前の級数よりも収束域が狭くなった― 257 ―

殿塚勲・三登和希・古屋将宏

り遅くなることもあるので，扱いには十分な注意が必要で参考文献ある。
［1］高木貞治，解析概論

改訂第３版，岩波書店（1961．7）［2］ 高 橋 秀 俊， 数 値 計 算 の 話， 科 学 pp706-713（1975．
12）岩波書店［3］殿塚勲・河村哲也，理工系の複素関数論（1999）― 258 ―

東大出版会