16方程式の利用⑵

3章

方程式

復習問題
１

速さの３公式（小学校） 次の（ ）にあてはまるものを答えなさい。

⑴

2

道のり=速さ*()⑵

時間=(道のり)⑶

速さ=(())

食塩水の濃度（小学校） 次の□にあてはまる数を求めなさい。
⑴

6％の食塩水 150g にふくまれる食塩の量は□ g である。

⑵

10g の食塩を 90g の水に溶かして作った食塩水の濃度は□％である。

学習の基本1 (道のり)=(速さ)*(時間)の利用
弟が家を出てから8分後に，弟の忘れ物に気づいた姉が自転車で弟を追いかけた。弟の速さを毎問題

分 60m，姉の速さを毎分 140m とすると，姉は家を出てから何分後に弟に追いつくか求めなさい。

考え方

姉が出発してからx分後に追いつくとすると，弟は，追いつかれるまでに（x+8）
分間歩くことになる。

(姉が進む道のり)=(弟が進む道のり)より方程式をつくる。
解き方

毎分 140m

x 分間

x 分間

進んだ道のりが等しくなる。

これを解くと，x=6

姉が家を出てから6分後は，問題に適している。

8分間

姉

姉が家を出てからx分後に追いつくとすると，140x=60(x+8)

毎分 60m

弟答

6分後

確認問題

1 「Ａが時速 10km で出発してから1時間後に，Ｂが同じ地点から時速 15km で出発した。ＢがＡに追いつくのは，Ｂが出発してから何時間後ですか。」
この問題を次のようにして解いた。
解にあてはまるものを書きなさい。

Ｂが出発してからx時間後に追いつくとすると，それまでに進む道のりは，Ｂ…15x km，Ａ…
（km）となる。
①
2人の進む道のりは等しいから，方程式は，15x=
これを解くと，x=③Ｂが出発してから④②

時間後は，問題に適している。

2 兄が分速 70m で家を出てから18分後に，妹が分速 160m の自転車で兄を追いかけた。妹が兄に追いつくのは，妹が家を出てから何分後ですか。

106

1，2「追いつく」の問題では，次の2つのことを使って方程式をつくる。
·(道のり)=(速さ)*(時間)·2人の進む道のりは等しい。

(道のり)
学習の基本2 (時間)=の利用
(速さ)

16

方程式の利用⑵家から 1500m 離れた市役所へ行くのに，はじめは毎分 60m の速さで歩いていたが，途中から毎分問題

150m の速さで走ったところ，家を出てから15分後に市役所に着いた。歩いた道のりは何mですか。

考え方

歩いた道のりを x m とすると，1500m走った道のりは 1500-x（m）となる。

歩いた道のりxm(歩いた時間)+(走った時間)=15（分）より方程式をつくる。
解き方

歩いた道のりを x m とすると，これを解くと，x=500

x1500-x+=1560150

走った道のり(1500-x)m全体でx+ 1500-x 分 = かかった時間
60 分
150

歩いた道のり 500m は，問題に適している。

500m答

確認問題

3 「2400m の道のりを，途中までは分速 80m で進み，残りを分速 100m で進んだら，全部で25分かかった。分速 80m で進んだ道のりを求めなさい。」

3
次の2つのことを使って方程式をつくる。
(道のり)·(時間)=(速さ)· それぞれでかかった

この問題について，次の問いに答えなさい。

分速 80m で進んだ道のりを x m として，次の方程式をつくった。

⑴(にあてはまる数や式を書きなさい。
=②

時間の和)

=x+80 ①

(全体でかかった時間)⑴の方程式を解いて，分速 80m で進んだ道のりを求めなさい。

⑵

学習の基本3 食塩水の問題

10％の食塩水と4％の食塩水を混ぜて，8％の食塩水を 600g 作りたい。10％の食塩水を何 g 混ぜ問題

10％ればよいか求めなさい。
考え方

10％の食塩水を x g 混ぜるとすると，数量の関係は右の表のようになる。混ぜる前と後では，全体の食塩の量は変わらないことに注目する。
解き方

10％の食塩水を x g 混ぜるとすると，x*これを解くと，x=400x

食塩水（ g ）食塩（ g ） x*

4％

600-x

8％
600

1048(600-x)*
600*
100
100
100

10
48+(600-x)*
=600*
100
100
100

10％の食塩水の重さ 400g は，問題に適している。

答

400g

確認問題

4 「6％の食塩水と15％の食塩水を混ぜて，12％の食塩水を 300g 作りたい。6％ 4と15％の食塩水をそれぞれ何 g 混ぜればよいか。」(食塩水の量)*(濃度)この問題について，次の問いに答えなさい。
6％の 食 塩 水 をxg⑴混ぜるとして，右の表を完成させなさい。

6％

食塩水（ g ）食塩（ g ）⑵

②x(食塩の量)=

15％

12％
300

①③

濃度（％）
は，分数または小数で表す。

④⑴の表をもとにして方程式をつくり，6％と15％の食塩水をそれぞれ何 g 混ぜればよいか求めなさい。

107

16

方程式の利用⑵定 着 問 題学1

1 （道のり）=（速さ）×（時間）の利用（追いつく問題）⇨類 1

Ａが時速 25km で出発してから2時間後に，Ｂが同じ地点から時速 35km で出発した。ＢがＡに追いつ⑴

くのは，Ｂが出発してから何時間後ですか。

弟が分速 60m で家を出てから12分後に，兄が分速 240m の自転車で弟を追いかけた。兄が弟に追いつく⑵のは，兄が家を出てから何分後ですか。

2 （道のり）=（速さ）×（時間）の利用（周回する問題）⇨類 2

周囲が 2100m ある公園の周りを，Ａさんは分速 60m，Ｂさんは分速 80m で，同じ地点から反対方向に⑴向かって同時に歩き出した。2人がはじめて出会うのは，歩き出してから何分後か求めなさい。

() ()

B A

Ａが進んだ
Ｂが進んだ+=2100
道のり
道のりとなったときである。

⑵

公園

周囲が 1200m ある池の周りを，Ａさんは分速 70m で歩き，Ｂさんは分速 220m の自転車で，スタート地点から同じ方向に向かって同時に出発した。ＢさんがＡさんをはじめて追いぬくのは，出発してから何分後か求めなさい。

学2

() ()

「追いぬく」/「1周差がつく」だから，Ｂが進んだ
Ａが進んだ
=1200
道のり
道のりとなったときである。の利用
3 （時間）=（道のり）
（速さ）

BA池

⇨類 3

家から 1500m 離れた駅へ行くのに，はじめは毎分 70m の速さで歩いたが，途中の公園から毎分 80m の速さにしたら，全部で20分かかった。家から公園までの道のりは何ｍか求めなさい。

108

16
学3

方程式の利用⑵4 食塩水の問題⇨類 46％の食塩水と3％の食塩水を混ぜて，5％の食塩水を 780g 作りたい。6％と3％の食塩水をそれぞれ⑴

何 g 混ぜればよいか求めなさい。

10％の食塩水 360g に5％の食塩水を混ぜて，8％の食塩水を作りたい。5％の食塩水を何 g 混ぜればよ⑵

いか求めなさい。

5 割合の問題⑴⇨類 5

商品Ａを定価の4割引きで買って1000円を出したら，おつりが40円だった。商品Ａの定価を求めなさい。

(「4割引き」/もとの 1-

⑵

)

4倍の値段
10

ある中学校の生徒数は，男女あわせて450人である。このうち，運動部に所属しているのは，男子は65％，女子は60％で，合計281人である。全体の男子の人数を求めなさい。
・男子をx人とすると，女子は(450-x)人である。
・(男子の65％)+(女子の60％)=281

6 利益の問題⇨類 6定価1600円の品物を25％引きで売ったが，まだ原価の20％の利益がある。この品物の原価を求めなさい。

()「原価の20％の利益」がある金額は，20原価の 1+倍の金額である。
10010916方程式の利用⑵

類 題 演 習1 （道のり）=（速さ）×（時間）の利用（追いつく問題）⑴

Ａが時速 28km で出発してから5時間後に，Ｂが同じ地点から時速 63km で出発した。ＢがＡに追いつくのは，Ｂが出発してから何時間後ですか。

姉が分速 80m で家を出てから13分後に，弟が分速 210m の自転車で姉を追いかけた。弟が姉に追いつく⑵のは，弟が家を出てから何分後ですか。

2 （道のり）=（速さ）×（時間）の利用（周回する問題）⑴

周囲が 3000m ある池の周りの道を，Ａさんは分速 50m，Ｂさんは分速 70m で，同じ地点から反対方向に向かって同時に歩き出した。2人がはじめて出会うのは，歩き出してから何分後か求めなさい。
B A
池

⑵

周囲が 2700m ある公園の周りを，Ａさんは分速 75m で歩き，Ｂさんは分速 300m の自転車で，スタート地点から同じ方向に向かって同時に出発した。ＢさんがＡさんをはじめて追いぬくのは，出発してから何分後か求めなさい。
B
A

公園の利用
3 （時間）=（道のり）（速さ）

家から 2200m 離れた図書館へ行くのに，はじめは毎分 50m の速さで歩いたが，途中の交番から毎分 70mの速さにしたら，全部で36分かかった。家から交番までの道のりは何ｍか求めなさい。

110

16

方程式の利用⑵4 食塩水の問題

4％の食塩水と8％の食塩水を混ぜて，5％の食塩水を 200g 作りたい。4％と8％の食塩水をそれぞれ⑴

何 g 混ぜればよいか求めなさい。

12％の食塩水 250g に3％の食塩水を混ぜて，6％の食塩水を作りたい。3％の食塩水を何 g 混ぜればよ⑵

いか求めなさい。

5 割合の問題⑴ある商品を定価の3割引きで買って1000円を出したら，おつりが90円だった。この商品の定価を求めな

さい。

⑵

あるスポーツクラブに所属している小学生と中学生の人数は，あわせて56人である。このうち，女子の人数は，小学生は45％，中学生は25％で，女子の合計は18人である。全体の中学生の人数を求めなさい。

6 利益の問題

定価2800円の品物を35％引きで売ったが，まだ原価の30％の利益がある。この品物の原価を求めなさい。

111

STEP ❶

知識・基本

15. 方程式の利用⑴16. 方程式の利用⑵〈重要事項の確認１〉（空らんをうめなさい。）〈重要事項の確認2〉（空らんをうめなさい。）▶

▶

文字の値を求める問題では，与えられた解を方程式に▶
▶

する。
①なしと桃を合計20個買った。なしをx個とす柿の個数は③（個）と表せる。

1 xについての方程式 x-a=5(x+a) が x=-3

兄が分速 90m で追いかけた。兄が弟に追いつく時間を兄が出発してからx分後とすると，ると，桃は(個)と表せる。
②柿を生徒1人に4個ずつ配ると9個余る。このとき，生徒をx人とすると，弟は分速 60m で家を出発し，その10分後に，方程式は，90x=60(▶

)①7％の食塩水と12％の食塩水を混ぜて，10％の食塩水を 500g 作った。7％の食塩水をxgとすると，方程式は，712x+(500②100100)=500*10100を解にもつとき，aの値を求めなさい。

4 Ａさんの車が時速 30km で出発してから2時間後に，Ｂさんの車が同じ地点から時速 50km でＡさんの車を追いかけた。Ｂさんの車がＡさんの車に追いつくのは，Ｂさんの車が出発してから何時間後か求めなさい。

2 1個120円のドーナツと1個200円のケーキを合わせて12個買ったら，代金はちょうど2000円だった。ドーナツとケーキをそれぞれ何個買ったか求めなさい。

5 4％の食塩水と12％の食塩水を混ぜて，7％の食塩水を400 g 作りたい。4％と12％の食塩水をそれぞれ何 g 混ぜればよいか求めなさい。

3 クッキーを何人かの子どもに配るのに，1人に5枚ずつ配ると8枚余り，1人に7枚ずつ配ると4枚足りない。このとき，子どもの人数とクッキーの枚数を求めなさい。

112

思考と表現・応用問題補充

STEP ❷

15. 方程式の利用⑴16. 方程式の利用⑵

思考と表現

1 次の問題について，あとの問いに答えなさい。
色紙を生徒に配るのに，1人に4枚ずつ配ると4枚不足し，1人に3枚ずつ配ると9枚余る。このとき，色紙の枚数と生徒の人数を求めなさい。
⑴

Ａさんは，この問題を解くために，次のような正しい方程式をつくった。
①，②にあてはまる記号（+，-，*，/）をそれぞれ答えなさい。
4x⑵①4=3x②

9

Ｂさんは，この問題を解くために，次のような正しい方程式をつくった。
xx+1= -343

この方程式で，両辺はどんな数量を表しているか，答えなさい。

⑶

色紙の枚数と生徒の人数を求めなさい。

応用問題補充

2 色紙を，姉は45枚持っていて，妹も何枚か持っている。姉が持っている色紙のうち17枚を妹にあげたとこ
ろ，姉と妹の持っている色紙の枚数の比が 2:3 になった。はじめに妹が持っていた色紙の枚数を求めなさい。

3 ある商品に，原価の3割の利益を見込んで定価をつけた。この商品を定価の2割引きで売ると880円の利益がある。この商品の原価を求めなさい。

4 Ａ地からＢ地まで自転車で行くのに，時速 15km で走るのと，時速 18km で走るのとでは20分の差がある。
Ａ地からＢ地までの道のりは何 km か求めなさい。

113