広島工業大学紀要研究編
第 44 巻（2010）pp.259-267

論文

準正多面体の構成と色の塗り分け
殿塚

勲 *・藤原祥史 *・吉田政春 *（平成21年10月27日受理）

Construction and Coloring of Semi-Regular Polyhedrons
Isao TONOZUKA, Yoshifumi FUJIWARA and Masaharu YOSHIDA(Received Oct. 27, 2009)

Abstract
This paper deals with the coloring of semi-regular polyhedrons. The famous four-color
theorem comes into effect for this type of polyhedrons as well as the 2-dimensional maps.
The semi-regular polyhedrons are constructed from regular polyhedrons by means of suchoperations as truncation. In the cource of the constructions of semi-regular polyhedrons fromregular polyhedrons, a careful observation leads us a finding of coloring of the semi-regularpolyhedrons by use of minimum kind of colors.
This method is global, whereas our proposal in the previous report is local.
Key Words: semi regular polyhedron, global coloring, four-color theorem, regular polyhedron

１の段階になって４色以内で塗り分けが不可能になったり，はじめにあるいは更によい解の存在を知る場合もある。

［1］

ここでは準正多面体の塗り分けを取り上げる。準正多面

前回の報告 では正多面体の塗り分けを，隣の面同士が同じ色にならないように色を選ぶことを試みた。この際，体はアルキメデスの多面体とも呼ばれ［5］

有名な４色定理［2］により多くとも４色で塗り分けができる（ⅰ）有限個の多角形で囲まれた凸多面体である。

ことを前提とし，使われる色の種類が最小になるように決（ⅱ）各 面はすべて辺の長さが等しい正多角形から成る。

めた。その結果

ただし正多面体は除く。

正４面体

４色

（ⅲ）各頂点での多角錐はすべて，合同である。の条件を

正６面体

３色

正８面体

２色

正12面体

４色る。正多面体から準正多面体を得るには［5］正20面体

３色（１）切隅満たす。
準正多面体を構成するにはすべて正多面体から出発すが塗り分けの最小の色の種類であることを示した。

（２）中央切りそこでは隣同士の面が同じ色にならないように塗り分け（３）二重切りるアルゴリズムを提案したが，それはある面の色を仮定し（４）削辺て隣の面同士が異なるように順々に決めて全体の面の色を（５）捩り切り決めてゆくもので，いわば局所的な（ローカルな）色の塗の５種類の操作をしながら構成してゆく。

り分け方法である。したがって順々に色を決めてゆき最後＊＊＊

広島工業大学情報学部知的情報システム学科― 259 ―

上の操作をしながら準正多面体を構成するその途中過程

殿塚

勲・藤原祥史・吉田政春

を観察しながら各面の色の塗り分けをしてゆくと，色の塗１面だけ少ない。

り分けの全体像が理解しやすく，色の種類の最小解にたどりつくことが分かった。

388 の塗り分けに４色が必要であることは，図 14（４）タイプ D との比較からこれが最低の色の数であることが分

この方法によればグローバルな見地から色の塗り分けがかる。

でき，かつ色の種類が最小であることの見通しを直観的に理解できることがよい点である。ここで得られた塗り分け

2.1.2

正多面体の形成が色の種類の最小解であるかどうかを判断することは一般には難しい。ここでは，準正多面体に含まれる頂点や辺，正 ６面体以外の正多面体の「切隅操作」による準333==>366

多角形の関係が図 14 の６種類のどのタイプを含むかによ図２（１）は正四面体から切隅操作で 366 を作った結果り塗り分けの色の最小種類を判別した。

であり，正四面体自身の塗り分けには４色必要であり，なお多面体の名称であるが，頂点の回りをどのような正２次元射影図の図２（２）からわかるように 366 でも４多角形で構成しているか，により名づけることにする。例
えば正６面体の１つの頂点は３つの正四角形でできている色となる。
3333==>466ので正６面体は 444 である。正多面体はすべてこのような

図 ３（１）は正八面体から切隅操作で 466 を作った結表 記 の 仕 方 が 可 能 で あ り 正 ４ 面 体 は 333， 正 ８ 面 体 は果である。正八面体は２色で塗り分けができるが，切3333，正 12 面体は 555，正 20 面体は 33333 である。

隅操作で切り口はその２色とは異なる色が必要なの

準正多面体もこのような表記法が可能であり，それは準で，466 では３色が図３（２）必要となり，図 14（ １）正多面体の条件（ⅲ）による。例えば 388，566，3434 等

タイプ A または図 14（５）タイプ E よりこれが最小のがある。なお正多面体は５ 種類であり，準正多面体の種類は 13 である。但し異性体を入れると 16 種類という見色の種類である。
555==>31010

方もあるがここでは基本的な 13 種類の準正多面体をとり

正 12 面体の塗り分けにはもともと４色が必要であり，あげる。

切隅操作してできた 31010 でも４色を要する。（図４２（１），図４（２））図 14（ ４）タイプ D より４色が最小正多面体から準正多面体を作る過程である。

2.1 「切隅」操作による準正多面体の構成

33333==>566

正多面体の各辺上に２点を選び，各面が正多角形になる

正 20 面体の塗り分けは３色でできるが，切隅操作しようにして残りの隅の部分を切りとることにより多面体をてできた切り口は３色すべてと面が隣り合わせになる作る。出発点としては５種類すべての正多面体を選ぶことので，４色が必要となる。（図５（１），図５（２））

ができる。例として立方体 444 から出発して準正多面体

４色は図 14（６）タイプ F より最小である。

388 を構成する過程を図１（１）（２）（３）（４）に示す。
2.2 「中央切り」操作による準正多面体の構成
2.1.1　正 ６面体の「切隅操作」による準正多面体 388 の形成 （444==>（切隅）==>388）

切隅では１辺を３つの部分に分割しているが，さらに切り込みを深くして各辺の中点を結んだ線を結ぶ。

正６面体（立方体）の１つの面の各辺に２点づつ点を選

444==>3434

び，これらを結ぶと正８角形になるように点を決める（図正方形の各辺の中点を結ぶと，各面には面積が半分で１（１））。これを各面について行い６つの正８角形の色を45 度回転した正方形が現れる。これらの面は点以外正６面体の塗り分けを行ったと同様に行うと３色で可能ででは接していないので同じ色で塗りつぶすことができある（図１（２））。

る。（図６（１）, 図６（２））

余った８つの頂点部分の切隅をするとその切り口は正３切隅された残りの断面は３角形であり，これも第二の角形であり，これら８つの正３角形を第４色で塗れば（図色で塗りつぶすと 3434 は２色で塗り分けが可能であ１（３）），６つの正８角形と８つの正３角形とは隣同士にる。（図６（３），図６（４））実際，各頂点は図 14（２）は同じ色は現れず，しかもこれが最小の種類の色による塗タイプ B だけから成り立つ。

り分けとなる（図１（４））。

図６（５）は 3434 の２次元射影図である。

388 の塗り分けには４色必要。図１（５）は 388 を２次元555==>3535に射影した図［１］であり，立体の裏も見え，かつ隣同士図７（１）は正 12 面体（555）から中央切りにより作ったの色が異なることが見てとれるが，面の数は射影のために3535 である。その作り方は上の 3434 とほぼ同様であ― 260 ―準正多面体の構成と色の塗り分ける。各頂点は図 14（ ２）タイプ B だけから成り立ち，で囲われた部分は正方形になるようにしてこれには第２色で塗り分けが可能である。

２色を塗る。正 12 面体の 20 個の頂点を切隅してでき図７（２）は 3535 の２次元射影図。

た３角形部分ははじめの正５角形とは隣接していないのでこれと同じ第１色で塗りつぶす。図 11（１）2.3 「二重切り」操作による準正多面体の構成

3444 と同様に各頂点は図 14（２）タイプ B から成り立

444==>468

ち２色で塗りつぶしが可能である。図 11（２）は 3454の２次元射影図。

立方体（444）の各面に元の面の２倍の角の正多角形を描く。立方体（444）から出発するので各面に８角形が６個できるが，隣の面との間で出来る平行部分が正方2.5「捩り切り」操作による準正多面体の構成形になるように各辺の切り込みを調節し，同時に立方444==>33334

体の頂点を切り込んでその断面が正６角形にすること

立 方体の各面内により小さな正方形を捩って配置すができる。（図８（１）図８（２）図８（３））［5］［6］る。
その配置はその正方形の回りに２つの正三角こうして６面の８角形を第１色，立方体の辺と同じ個形を通じて隣の正方形につながるように位置を決め数の 12 面の正方形を第２色，立方体の頂点と同じ枚る。結果的には正方形の隅の周りに４つの正三角形が数の正６角形は第３色で塗りつぶせば，それらの面は回り込むように配置される。

接していないので，３色で塗り分けができる。（図８各頂点は図 14（３）タイプ C から成り立ち３色で塗り（４））各頂点は図 14（ １）タイプ A または図 14（ ５）タつぶしが可能である。捩り切りは５種類の操作の中でイプ E から成り立つので最小種類は３色となる。図最も複雑である。

８（５）は 468 の２次元射影図。

図 12（５）は 33334 の２次元射影図。

555==>4610

555 ==> 33335

正 12 面体の５角形の各面内に正 10 角形を描き，隣の正 12 面体 555 の正５角形の各面上に小さな５角形を面の５角形との平行線が正方形になるようにする。同配置し，その正５角形の隅の周りに４つの正三角形が時に正 12 面体の各頂点の切り口が正６角形になるよ回り込むように配置される。

うにすると準正多面体 4610 ができる。

33334 と同様に各頂点は図 14（ ３）タイプ C から成り

色の塗り分けは上の 468 と同様に３色でできる。図９

立ち３色で塗りつぶしが可能である。

（１）

図 13（２）は 33335 の２次元射影図。

図９（２）は 4610 の２次元射影図。

３2.4 「削辺」操作による準正多面体の構成

終わりに13 種類の準正多面体のすべてに対し最小の色の数での444==>3444

塗り分けを行った。［1］とは異なり，見通しよくグローバル

立方体（444）の各面に元の面よりも小さい面（正方形）に面の色を決めることができた。さらに得られた結果が最を描き第１色で塗りつぶす。図 10（１）,図 10（２）小の色の数であるということは頂点や多角形の構造から図その大きさは隣の面上の正方形との間でできる平行線

14 のタイプ A，B，C，D，E，F などに分けた各タイプで囲われた部分が正方形になるように選ぶ。こうしてに あ て は め て 確 認 が で き た。 す べ て の 準 正 多 面 体 は辺を削除してできた正方形には第２色を塗る。図 10

Zalgaller の多面体［3］と呼ばれる 92 種類の多面体に含まれ，（３）その頂点座標などのデータは［4］により計算され公開されて残りは立方体の頂点を切隅した３角形部分が８個できいる。ここでは 13 種類の準正多面体の頂点座標などのデーるがこれは辺を削除してできた正方形と隣どうしではタはこれによらず，ここで述べたような正多面体からの構あるが，はじめに描いた平行線とは隣接していないの成により求めたものである。

で，第１色で塗りつぶす。図 10（４）。

我々は準正多面体を正多面体から構成する過程をすべて

図 10（５）は 3444 の２次元射影図。各頂点は図 14（２）３次元グラフィックスで作成したが，これは準正多面体のタイプ B から成り立ち２色で塗りつぶしが可能であ構造を学ぶためのよい教育用教材になると考えている。

る。

参考文献

555==>3454正 12 面体の５角形の各面内により小さな正５角形を［1］殿塚勲・村上智秋，多面体の塗り分け，広島工業大学描き，第１色で塗りつぶす。隣接する５角形の平行線― 261 ―

紀要，第 43 巻 pp331−337（2009）

殿塚勲・藤原祥史・吉田政春［2］ロビン・ウィルソン，茂木健一郎訳，四色問題，新潮

多面体の頂点座標の計算」電気通信大学紀要，第５巻

社（2004.11）（1992）,p147−184［3］関口次郎，多面体の数理とグラフィックス，牧野書店（1996.2）［5］一松信，正多面体を解く，東海大学出版会（1983.6）［6］ 阿 原 一 志， 数 理 科 学，NO.362，pp54−59（1993），［4］小林光夫・鈴木卓治「正多角形を面にもつすべての凸― 262 ―NO.363，pp59−65（1993）

準正多面体の構成と色の塗り分け

切隅操作による準正多面体の構成
444 ==>388

図１(1)

図１(2)

図１(3)

図１(4) 388

図１(5)388の2次元射影図

図２(1)

図２(2)

333==>366

366

366の2次元射影図

3333==>466

図３(1)466

図３(2)466の２次元射影図― 263 ―

殿塚

勲・藤原祥史・吉田政春

555==>31010

図４(1)

31010

図５(1)

566

図４(2)

31010の2次元射影図

33333==>566

図５(2)566の2次元図

中央切操作による準正多面体の構成
444==>3434

図６(1)

図６(2)

図６(4)

図６(3)

図６(5)

― 264 ―

準正多面体の構成と色の塗り分け

555==>3535

図７(1)3535

図７(2)3535の２次元射影図

２重切り操作による準正多面体の構成
444==>468

図８(1)

図８(2)

図８(3)

図８(4)

図８(5)

図９(1)4610

図９(2)4610の２次元射影図

555==>4610― 265 ―

殿塚

勲・藤原祥史・吉田政春

削辺操作による準正多面体の構成
444==>3444

図10(1)

図10(2)

図10(3)

図10 (4)

図10 (5)

図11(1)3454

図11(2)3454の２次元射影図

555==>3454

捩り切り操作による準正多面体の構成
444==>33334

3454

図12(1)

図12(2)― 266 ―

図12(3)

準正多面体の構成と色の塗り分け

図12(4)

図12(5)

図13(1)33335

図13(2)33335の２次元射影図

555==>33335

図14(1)タイプＡ

図14(2)タイプＢ

図14(4)タイプＤ

図14(5)タイプＥ― 267 ―

図14(3)タイプＣ

図14(6)タイプＦ