1 電荷と電場

→

2 静電場

→

3 静電ポテンシャル→

4 静電ポテンシャルと導体→ 5 電流の性質 → 6 静磁場 → 7 磁場とベクトル・ポテンシャル → 8 ローレンツ力→ 9 時間変動する電場と磁場→ 10 電磁場の基本的な法則 → 11 電磁波と光 → 12 電磁ポテンシャル

1

電荷と電場

学習目標
・クーロン力を考察し，それを電場で表す必要性を理解する．
・点電荷がつくる電場の表式を求めることができるようになる．
・電場が電気力線で表されることを理解する．
・電荷密度を理解する．
・電荷密度を使って電場を表すことができるようになる．
電磁気学の始まりはクーロン力である．クーロン力は空間的に離れた電荷の間にはたらく力であるため，遠隔作用と見なされる．しかし，原因があって結果が生じるという因果関係を考えると，その途中が何も影響しない遠隔作用は科学的には納得しにくい．どのような作用も，その途中で次々に影響が波及すると考える近接作用で表すのが望ましい．そこで空間に広がって存在する電場を導入し，クーロン力は点電荷が周囲に電場を生み出し，それが遠く離れた別の点
電荷におよんで作用するという近接作用的な考えで議論する．
クーロン力は力であり，力はベクトル量なので，電場もベクトルである．空間
中の電場を可視化するのに電気力線を用いる．点電荷が複数個あるときの空間中の任意の場所での電場は，重ね合わせの原理により，それぞれの電荷がその場所につくる電場の和として表される．特に電荷が密に分布する場合には単位体積当たりの電荷量として電荷密度が定義できて，空間中の任意の場所の電場は電荷密度を使って表現される．

1.1

クーロンの法則

本書で学ぶ電磁気学で最も基本的な要素の 1 つは電荷であるが，それが何かの色がついていて見えるわけでもないし，どっしりした重さを感じるわけでもない．すでに学んだ力学的な現象と違って，電磁気的な現象は直接目に1．電 荷 と 電 場

2

見えないのである．それが電磁気学のとっつきにくさ，理解し難さに関係しているのかもしれない．しかし，冬の乾燥した時期にドアノブに触れるとバ
チッと感電することがあるし，夏の風物詩である雷には畏怖さえ感じる．これらの日常的な現象の背後では電荷が活躍しているのである．また，子供の頃，下敷きを頭でこすると頭髪が下敷きに引き付けられたり，机上の小さな紙屑が上から近づけた下敷きに向かって持ち上がることも経験したであろう．これらも同様である．
こうした日常的な経験と科学者・技術者たちの長年にわたる地道な研究に
よって，電荷の存在には疑う余地がなくなった．また，エボナイト (黒くて光沢をもつ硬質ゴム) など 2 つの絶縁体を摩擦などによって帯電させて近づけると，反発したり引き付け合ったりすることがわかった．そして，2 つの電荷の間にはたらく力はその電荷を結ぶ直線上に作用し，斥力 (反発力) と引力があることから，電荷には正負 2 種類があり，2 つの電荷が同符号のときが斥力であり，異符号のときが引力であることもわかってきた．すると，次の問題は，電荷同士にはたらく力の定量的な法則である．
まず，相互に作用する 2 つの電荷の量が問題であるが，これは直観的に，それぞれの電荷の量が多ければ多いほど，はたらく力も強くなることが予想されるであろう．すなわち，それぞれの電荷の量を q1, q2 とすると，それらの間にはたらく力の強さが，電荷量の積 q1 q2 に比例すると考えられる．問題
は，力が 2 つの電荷の間の距離 r とどのように関係するかである．これを実験的にはっきりさせたのがクーロン (1785 年) である．
いま，距離 r［m］だけ離れた 2 つの電荷 q1［C], q2［C］があるとすると，それらの間にはたらく力 F［N］はF=

1 q1q24πε0 r 2(1.1)と表される．この力をクーロン力といい，関係式 (1.1) をクーロンの法則という．ここで電荷の単位はクーロン［C］であり，力 F の単位は力学で学んだ

1.1 クーロンの法則

3

ニュートン［N］である．また，ε0 は真空の誘電率とよばれ，
ε0 =

107
F
C2
12
=
2 = 8.8541878 … × 10
m
4πc
N・m2





という値をもつことが知られている (c は光の速さ)．なお，単位［

(1.2)
］内の

F は静電容量の単位 ファラドであり，今後 電磁気学を学んでいくにつれてその意味がはっきりするであろう．物質が何もない真空に，なぜ電気を誘起することに関係する誘電率 ε0 があるのかと，不思議に思うかもしれない．
これから学ぶように，電場や磁場は空間のもつ性質であって，この意味でε0 は空間の性質を表す量であると考えなければならないのである．
力には，それがはたらく向きと強さ (大きさ) があり，ベクトル量であることは力学で学んだとおりである．したがって，図 1.1 のように，クーロン力
もベクトル F で表され，その大きさ F が (1.1) で与えられることになる．
そして，2 つの電荷 q1, q2 が同符号 (q1 q2 > 0) のときが斥力であり，異符号(q1 q2 < 0) のときが引力であることは，それぞれ図 1.1(a)，(b) のように図示できる．この図では，電荷 q1 が電荷 q2 から受けるクーロン力を F としている．したがって，作用・反作用の法則から，電荷 q2 が電荷 q1 から受ける
クーロン力は −F である．

－F
q2

－F
F

r
F

q2
r

q1

q1

（ a ）斥力（q1 q2 ＞ 0）（ b） 引力（q1 q2 ＜ 0）

図 1.1

2 つの電荷 q1，q2 の間のクーロン力 F

1．電 荷 と 電 場

4

問 題 1

2 個の同量の電荷 q［C］をもつ点電荷が 50 cm だけ離れていてクー

ロン力が 2 N のとき，電荷量 q を求めよ．

クーロンの法則 (1.1) を見ると，その形が力学で学んだ万有引力の法則とよく似ていることがわかる．質量 m1［kg］と m2［kg］の 2 つの物体が距離r［m］だけ離れているとすると，それらの間にはたらく万有引力 Fg［N］はFg = G

m1 m2
r2

(1.3)

と表される．ここで，G は万有引力定数であり，その値は2

G = 6.67 × 1011

 N・m
kg 
2

(1.4)

である．
ここは
ポイント！

確かに (1.1) と (1.3) を比較すると，両者が共に距離 r の 2 乗に逆比例している．しかし，上に記したように，クーロン力には引力も斥力もあるが，万有引力にはその名の通り，引力しかない．この事実は，これら 2 つの力の本質的な違いを表している．その上，両者の力の大きさには極端な違いがある．それを次の例題でみてみよう．
例 題
水素原子は陽子 (質量 mp) と電子 (質量 me) からなり，その質量はそれぞれ，mp = 1.673 × 1027 [kg]，me = 9.109 × 1031 [kg]である．
また，これらは正負の電気素量 e = 1.602 × 1019 [C] (C：クーロン，電荷の単位) をもつことが知られている．距離 r［m］だけ離れた陽子と電子の間にはたらくクーロン力 (この場合，引力) と万有引力との比を求めよ．

1.1 クーロンの法則

5解 陽子と電子について (1.1) と (1.3) の比を求めればよいので，
F
e2
=
Fg
4πε0Gmpme=

1.602 × 1038
4 × 3.14 × 8.85 × 1012 × 6.67 × 1011 × 1.67 × 1027 × 9.11 × 1031≅ 2.27 × 1039





C2
= 2.27 × 1039
N・m2 2
C
kg
2・
2
N・m
kg
2

となる．すなわち，電気的なクーロン力の方が万有引力に比べて圧倒的に大きく，両者が同時にはたらくときには万有引力は全く無視してかまわない．

それでは，なぜ私たちは はるかに強いはずの電気的な力を日常的にはそれほど感じず，コップを床に落として割るようなことをするのであろうか．ポイントは，万有引力の方は質量が正だけで引力だけなのに対して，クーロン
力がはたらく電荷には正負 2 種類があって，引力も斥力もあるということである．
例えば，私たちが地上で持つコップには地球の各部から引力だけがはたら
き，それが地球全体で加算されて大きくなり，結果として手から離すと地球に引かれて落ちる．ところが，クーロン力の場合には，正負の電荷の同符号の電荷同士の間には斥力が，異符号の電荷同士の間には引力がはたらく．しかも，正負の電荷は同数あるために全体としては中性になり，引力と斥力がちょうどキャンセルし合う．そのために，電気的に中性なコップと地球の間には電気的な力がはたらかず，
はるかに微弱なはずの万有引力だけが残って，床に落下するのである．電気的に中性な地球と太陽の間にも電気的な力がはたらかず，万有引力だけが残って，地球が太陽の周りを公転することも力学で学んだとおりである．
逆にいうと，正負の電荷を分けて制御できれば，重力とは比較にならないほどの力を生み出せることも理解できるであろう．これが，電磁気学的な現1．電 荷 と 電 場

16

1.6

まとめとポイントチェック

電磁気学の始まりは空間的に離れた電荷の間にはたらくクーロン力である．離れたもの同士の相互作用としては，力学で学んだ万有引力があり，距離の 2 乗に反比例するという点ではクーロン力と共通している．しかし，正の質量しかない万有引力は引力だけであるが，電荷には正負 2 種類があるために，クーロン力では斥力と引力がある点が両者の大きな違いである．さらにクーロン力は万有引力に比べて圧倒的に強いので，正負の電荷を制御できれば電気力が利用可能になる．電気の実用性の基礎を理解するためにも，電磁気学を学ばなければならない．
クーロン力は互いに離れた電荷の間にはたらく力の形をとるため，遠隔作用と見なされる．しかし，科学的な因果関係の視点では，何らかの作用があるとその結果はまずその近くにおよぶと考える近接作用の方が自然である．
すなわち，クーロン力は，点電荷が周囲に電場を生み出し，それが遠く離れた別の点電荷におよんで作用するという近接作用的な考えで理解できる．こうして，何もない空間に広がる電場が導入される．この限りでは，電場は便宜上導入された単なる仮想的な概念のように思われるかもしれないが，電荷が振動運動すると周囲に電磁波が放出されることが観測され，電場が実在する物理量であることがわかっている．
クーロン力は力であり，ベクトル量なので，クーロン力を電荷量で割った
電場もベクトルである．したがって，空間中の電場は向きと大きさをもつ矢印で表すことができる．実際に矢印で表すのは面倒なので，矢印ベクトルを空間的に滑らかに辿った曲線として電気力線で表すのが一般的である．
電荷が複数個あるときの空間中の任意の場所での電場は，重ね合わせの原理により，それぞれの電荷がその場所につくる電場の和として表される．特に電荷が密に分布する場合には電荷密度が定義できて，空間中の任意の場所の電場は電荷密度を使って表される．

1.6 まとめとポイントチェック

17

ポイントチェック
次章に進む前に本章で学んだことをチェックしてみよう．もしよくわからなかったり，理解があいまいだったりするところがあれば，直ちに本章の関連する節に戻ってはっきりさせることが，これからの学習に非常に重要である．これは，次章以下のポイントチェックでも同様である．

□

クーロン力が遠隔作用的であることが理解できた．

□

クーロン力と万有引力の類似点と相違点がわかった．

□

クーロン力の方が万有引力に比べてはるかに強いことがわかった．

□

近接作用の方が科学的には より合理的であることが理解できた．

□

なぜ電場を導入するのかが理解できた．

□

点電荷がつくる電場ベクトルの表式が理解できた．

□

電場の可視化としての電気力線の便利さがわかった．

□

電気力線は正電荷から出て，負電荷に入ることがわかった．

□

重ね合わせの原理の重要性が理解できた．

□

電荷密度が理解できた．

□

点電荷が密に分布するときの電場の表式が理解できた．

それでは，電磁気学の基礎を理解するために次に進むことにしよう．

1 電荷と電場

→

2 静電場

→

3 静電ポテンシャル→

4 静電ポテンシャルと導体→ 5 電流の性質 → 6 静磁場 → 7 磁場とベクトル・ポテンシャル → 8 ローレンツ力→ 9 時間変動する電場と磁場→ 10 電磁場の基本的な法則 → 11 電磁波と光 → 12 電磁ポテンシャル

2

静 電 場

学習目標
・静電場の基本法則を理解する．
・積分形のガウスの法則を理解する．
・ガウスの法則をいろいろな問題に応用できるようになる．
・静電場の渦なしの法則の必要性を説明できるようになる．
・ベクトル場の数学定理を使えるようになる．
・微分形の静電場の基本法則を理解する．
前章では，電場はクーロンの法則をより物理的な近接作用として理解するために導入された．本章では電場が空間に実在するものとして，それが空間的にどのように変化するかを，時間的に変化しない静電場の場合について考察する．
まず前章の結果を踏まえ，電気力線が電荷を起源にしていることに注目して，積分形のガウスの法則を導く．次に，電気力線は正電荷から出て負電荷に入ることから，静電場が渦なしの場でなければならないことに注目し，積分形の渦なしの法則を定式化する．最後に，ベクトル場の数学定理であるガウスの定理とストークスの定理を使って，数学的により簡便な微分形のガウスの法則と，静電場における渦なしの法則を導く．この 2 つの法則が静電場の基本法則である．

2.1

積分形のガウスの法則

前章で，電荷が周りの空間に電場を生み出すことをみた．この電場が空間的にどのような変化をするかは，電気力線の変化で直観的・定性的にはわかるが，電場の空間変化を定量的に表す式を求めたい．そこで，電荷が電場を生み出すことをよりどころにして，それを考えてみよう．
図 2.1 のように，空間に点電荷 Q があり，それを囲む任意の閉曲面を S と2.1 積分形のガウスの法則

19する．電荷は，その電荷量に比例した電場を周囲の空間につくる．その電場の様子
Eは，電荷から射出し，電荷量に比例した本

A

数の電気力線で表される．これは前章でみQたとおりである．図 2.1 をみてわかるように，閉曲面 S を通る電気力線の数はその中Sにある電荷量 Q で決まり，電荷を閉曲面 S
内に含む限り，S を変形してもその数は変わらない．前章でみた重ね合わせの原理から，閉曲面 S 内に点電荷がいくつあってもこのことは成り立つ．そして，この閉曲面

図 2.1 閉 曲 面 S 内 の 点 電 荷 Q
が 射 出 す る 電 気 力 線 (細 い 矢印) と S の表面上の点 A につくる電場 E

S 上で電場 E を面積分すると，これは閉曲面 S を通る電気力線の総数を数えることになる．したがって，閉曲面 S 上での電場 E の面積分は，S 内の点電荷の総量に比例するはずである．このことを以下で計算して調べてみよう．
1.5 節で議論したのと同様に，空間に電荷が分布しており，位置ベクトル rの点での電荷密度を ρ(r) とする．図 2.2 のように，空間中の閉じた領域 Vとその表面である閉曲面 S を考える．V 内の点 P (位置ベクトル r') を囲む
微小領域 dV ' にある電荷 dQ' は dQ' = ρ(r') dV ' と表される．この微小電
荷 dQ' が 領 域 V の 表 面 S 上 の 点 A (位 置 ベ ク ト ル r) に つ く る 電 場 をdE(r；r') とし，AP =  r − r'  = R とすると，この様子は前章の図 1.9 と同じであり，電場 dE(r；r') は (1.13) より
dE(r；r') =1 r − r'r − r'
1dQ' =ρ(r') dV' (2.1)
4πε0 R 3
4πε0  r − r'  3で与えられる．ただし，図 1.9 では r は空間の任意の点であったが，ここでは閉曲面 S 上の点であることに注意しよう．
ここで，点 A の周辺の面積要素 (微小面積) を dS とし，その面に垂直な単

2．静

20
dE

（ a）

電

場

（b ）

n
θ

A
r－ r′

dS
R

r

dS A

dV′
dQ′
＝ρ
（r′
）dV ′
P

dS⊥

r′
S

V

r － r′ RPO
図 2.2 (a) V 内の点 P の周りの微小領域 dV' にある電荷 dQ' が表面 S 上の点 Aにつくる電場 dE．dS は点 A における面積要素であり，n はその法線ベクトル．
(b) dS = dS cos θ

位ベクトルである法線ベクトルを n (大きさ n = 1) とする．n は空間中の面の向きを与える重要な単位ベクトルであり，ここでは図 2.2(a) のように閉曲面 S の外向きにとっておく．微小電荷 dQ' から出て，この面積要素を通過する電気力線の数は，点 A における電場 dE(r；r') の法線成分 dE(r；r')cos θ (θ は dE(r；r') と n のなす角) と面積要素 dS の積で与えられる．なぜなら，電気力線がこの面積要素 dS を実質的に通過する面積は dS cos θ だからである．もし，この面積要素の法線ベクトル n が電場 dE に直交すると(面積要素が電場ベクトルに平行ならば)，それを通過する電気力線がないことは容易にわかるであろう．こうして，面積要素 dS を通過する電気力線の数はdE(r；r') cos θ dS = dE(r；r')・n dS(2.2)

で与えられる．
一方，ベクトル r − r' (電場ベクトル dE(r；r') に平行) と n とのなす角も θ であるから，(r − r')・n = R cos θ で与えられる．また，図 2.2(b) のように，面積要素 dS を r − r' に垂直な面に投影した面積要素を dS とする

2.1 積分形のガウスの法則

21と，この 2 つの面積要素 dS と dS とのなす角も θ なので，dS = dS cos θ
である．以上のことに注意し，(2.1) を (2.2) に代入すると，dE(r；r')・n dS =ρ(r') dV 'ρ(r') dV 'R cos θ dS =dS
4πε0 R 2
4πε0 R 3(2.3)

が得られる．
ここで，図 2.2 の領域 V 内の点 P の周りの微小領域 dV ' は，点 A にある
面積要素 dS の大きさに比べて限りなく点に近いとしよう．このように仮定するのは計算上の便宜のためであるが，最終結果には影響しない．そこで次に図 2.3(a) のように，この点 P を中心にして半径 1 の単位球面 S1 を考え，
図 2.3(b) のように，点 P から面積要素 dS または dS を見込むときに球面S1 をよぎる微小面積を dS1 とする．この図で微小面積の比 dS ／ dS1 をとると，これは点 P からの距離の 2 乗に比例してR2 になるので，dS = R2 dS1 と表される．これを (2.3) に代入してdE(r；r')・n dS =ρ(r') dV '
dS1
4πε0

(2.4)

が得られる．

（ a）

（b ）

dE

dS A

θ n

S1

dS1
1

P

V

S

図 2.3
(b)

(a)

R

dS⊥

A
r－ r′

dS

P
S1

点 P を中心とする単位球面 S1

点 P から面積要素 dS を見込むときに球面 S1 をよぎる微小面積 dS1

1 電荷と電場

→

2 静電場

→

3 静電ポテンシャル→

4 静電ポテンシャルと導体→ 5 電流の性質 → 6 静磁場 → 7 磁場とベクトル・ポテンシャル → 8 ローレンツ力→ 9 時間変動する電場と磁場→ 10 電磁場の基本的な法則 → 11 電磁波と光 → 12 電磁ポテンシャル

3

静電ポテンシャル

学習目標
・静電場の 2 つの基本法則を 1 つにまとめることができるようになる．
・静電ポテンシャルの導き方と意味を説明できるようになる．
・静電場と静電ポテンシャルの関係を理解する．
・点電荷の静電ポテンシャルを求めることができるようになる．
・静電ポテンシャルの等電位面を説明できるようになる．
・ポアソン方程式，ラプラス方程式の意味を理解する．
・静電ポテンシャルの計算の仕方を理解する．
前章で学んだ最も重要なことは，静電場に関してガウスの法則と渦なしの法則という 2 つの基本法則があるということである．本章ではまず，渦なしの法則が自動的に満たされるように，静電場を静電ポテンシャルで表す．このとき，静電場は静電ポテンシャルの勾配で表されることがわかる．静電ポテンシャル
は静電場の中に置かれた点電荷の位置エネルギーという物理的な意味をもつ．
点電荷の静電ポテンシャルは容易に求められるので，それと重ね合わせの原理を使って，点電荷が分布する場合の任意の位置における静電ポテンシャルの表式を求める．
静電ポテンシャルの空間的な様子をイメージするためには，それが指定された値をとる等電位面を描けばよい．典型的な場合の等電位面を描き，それと電気力線との関係を調べる．静電ポテンシャルの導入によって渦なしの法則を問題にする必要がなくなるので，もう 1 つの静電場の基本法則であるガウスの法則を静電ポテンシャルで表すと，それが静電場を決めるただ 1 つの基本方程式となる．これがポアソン方程式であり，電荷のない空間中ではそれはラプラス方程式となる．そして，代表的な静電ポテンシャルが電荷のないところではラプラス方程式を満たすことを確かめる．

3．静電ポテンシャル

46

3.1

渦なしの法則と勾配の場前章でみたように，静電場の基本法則はガウスの法則 (2.26) と渦なしの法則 (2.28) の 2 つである．そのために，たとえ微分方程式 (2.26) を満たす解が求められたとしても，(2.28) を満たさないと物理的な静電場として認めることができない．これは手続きとして煩わしいことである．そこで，渦なしの法則∇ × E(r) = 0(2.28)の右辺がゼロであることに注目する．ガウスの法則 (2.26) には右辺に電荷密度があり，それが量的に変わると，それに応じて静電場も量的に変化する．
それに対して，渦なしの法則 (2.28) の方は「渦なし」という静電場の性質が問題なのであり，この特質が満たされるように静電場の関数形が限定される可能性があるからである．
(2.28) の左辺にあるベクトル演算の回転 (∇ ×) は，付録 A でも強調しているように，任意のベクトル場から回転的な空間変化を抜き出す演算子である．それが (2.28) のようにゼロであるということは，静電場 E(r) に回転的な空間変化あるいは渦を巻くような空間的振舞いがないことを意味する．
ベクトル解析では，そのような性質をもつ場が勾配の場として存在することがよく知られている．
いま，空間の位置 r を指定すると 1 つの値 f (r) が決まるようなスカラー関数を考える．これはスカラー場であり，例えば電荷密度 ρ(r) などもその例である．位置 r から微小量 dr だけ離れた近くの位置 r + dr では，このス
カラー場は f (r + dr) の値をもつ．そこで，この 2 点でのスカラー場の差
df (r) = f (r + dr) − f (r) を 2 点間の距離 dr で割ると，それは位置が drだけ移動したことによる このスカラー場の変化の割合であり，近似的にf (r) の位置 r での傾きを与える．こうして，dr → 0 の極限をとることにより，

3.1 渦なしの法則と勾配の場

lim
dr  047

f (r + dr) − f (r)∂f (r)
=
dr
∂r

(3.1)

という，スカラー場 f (r) の空間中での勾配 (傾き) を与えるベクトルを定義することができる．
(3.1) がベクトルである理由は，傾きにはその大きさと向きがあるためである．場が空間的に変化する割合が x, y, z の 3 方向に分けられることは明らかだから，この勾配ベクトルに対して微分演算の記号を定義して，∂f (r) ∂f (r) ∂f (r)∂f (r),,= ∇f (r) = grad f (r) =
∂x
∂y
∂z
∂r



 (3.2)と表す．ここで (3.1) や (3.2) が意味することから明らかなように，∇f (r)をスカラー関数 f (r) の傾きまたは勾配という．(3.2) で微分演算の記号 ∇の代わりに grad とも記したが，これは勾配や傾きの英語 gradient のはじめの 4 字をとったものであることは，発散 (divergence) や回転 (rotation) のときの div や rot と同様である．
今後の議論の便宜のために，スカラー場の微小な差 df (r) を ∇f (r) で表
しておこう．(3.1) の両辺に dr を掛けることにより，
df (r) = f (r + dr) − f (r) =∂f (r)
・dr = ∇f (r)・dr∂r(dr → 0)(3.3)

が得られる．これは微分が微小量の割り算であることを使って導いた結果に過ぎないが，納得がいかない場合には，姉妹書の『物理学講義 力学』の付録
A を参照していただきたい．
なお，(3.3) は任意のスカラー場 f (r) について成り立つ関係式であり，これを空間の点 A から B まで線積分すると
B

f (B)

A

f (A)

 ∇f (r)・dr = 

df = f (B) − f (A)(3.4)

が得られる．上式で右辺は変数 f について 1 を f (A) から f (B) まで積分し

1 電荷と電場

→

2 静電場

→

3 静電ポテンシャル→

4 静電ポテンシャルと導体→ 5 電流の性質 → 6 静磁場 → 7 磁場とベクトル・ポテンシャル → 8 ローレンツ力→ 9 時間変動する電場と磁場→ 10 電磁場の基本的な法則 → 11 電磁波と光 → 12 電磁ポテンシャル

7

磁場とベクトル・ポテンシャル

学習目標
・2 つの静磁場の基本法則を 1 つにまとめることができるようになる．
・ベクトル・ポテンシャルを理解する．
・ベクトル・ポテンシャルが満たす方程式の導き方を理解する．
・ビオ - サバールの法則の導き方を理解する．
・ビオ - サバールの法則が使えるようになる．
静電ポテンシャルを導入することで，静電場の 2 つの基本法則が 1 つのポア
ソン方程式で表されることは第 3 章で学んだ．前章では静磁場の基本法則がや
はり 2 つあることを知った．そこで静磁場の場合にも，ベクトル・ポテンシャルを導入して，2 つの基本法則を 1 つの方程式にまとめる．この方程式の解を求めることによって，与えられた電流の分布から空間の任意の位置でのベクトル・ポ
テンシャルを得る表式を導く．これをベクトル・ポテンシャルの定義式に代入すれば，与えられた電流の分布から空間の任意の位置での磁場を計算できる表式が導かれる．それがビオ - サバールの法則である．
アンペールの法則も電流と磁場の関係であるが，求めたい磁場が積分や微分の中に入っていて，電流分布の対称性がよい場合でないと使いにくい．その点，ビオ - サバールの法則は便利である．その便利さを具体例でみる．

7.1

ベクトル・ポテンシャル

前章の議論で磁場に関してわかったことは，磁荷が単独では存在しないことと，電流が磁場を生み出すことであった．このことを微分形で表現したのが，静磁場の基本法則

7．磁場とベクトル・ポテンシャル

126

ここは
ポイント！

∇・B(r) = 0(6.4)∇ × B(r) = μ0 i(r)(6.18)

である．これは，具体的な境界条件のもとに電流の空間分布 i(r) が与えられると，これらの微分方程式を解くことで磁場の空間分布 B(r) が得られるという仕組みになっている．
ところで，第 3 章で学んだことは，同じく 2 つの基本法則で表される静電場 E(r) が，静電ポテンシャル ϕ(r) を使うことで 1 つのポアソン方程式∇2ϕ(r) = −

1
ρ(r)
ε0

(3.28)

だけで議論できることであった．2 つの微分方程式を扱うより，1 つで済ますことができるなら，実用的にははるかに便利であろう．静電場の場合と同様に，磁場の場合にもこれが可能であることを，これから議論する．
静電場の場合には，静電場の基本法則の 1 つである (2.28) の ∇ × E = 0が静電ポテンシャルを導入する根拠であった．(3.6) で示したように，E =−∇ϕ とおくと，この渦なしの法則が自動的に満たされるからである．
磁場の場合について同じように考えると，右辺がゼロである (6.4) が候補に挙げられる．ベクトル解析の知識を使って，(6.4) の左辺が恒等的にゼロとなるような B(r) の表式が得られるかもしれないからである．実際，(6.4)
が自動的に満たされるようにするにはB(r) = ∇ × A(r)(7.1)

とすればよいことがわかる．この A(r) はベクトルなので，ベクトル・ポテ
ンシャルとよばれる．ベクトル解析に現れる回転演算子 ∇ × は，任意のベクトル場 A(r) に作用して渦状の特徴を抜き出す演算子であることは，付録
A の A．
2 節で説明する．
前章でみたように，
磁力線は渦状なので，∇ × A(r)は確かに磁場の性質をもつ．
問 題 1(7.1) が自動的に (6.4) を満たすことを示せ．
［ヒント：ベクトル解

析の発散の定義 (2.22) と回転の定義 (2.25) を使えばよい．
]

7.1 ベクトル・ポテンシャル

127

静電ポテンシャルを導入する根拠であった静電場の渦なしの法則 (2.28)
は，電場が時間に依存する場合には変更を受ける．電場が時間的に変化すると電場の渦が生じるからで，その場合には，電場は (3.6) のように静電ポテンシャルだけでは表すことができない．ところが，磁場の場合にベクトル・
ポテンシャルの導入の根拠とした (6.4) は，単独の磁荷 (磁気単極子) がこの世に存在しないことを表し，磁場が時間に依存する場合にも普遍的に成り立つ．すなわち，磁場に対してはいつでも (7.1) のようにおいてベクトル・
ポテンシャルを使ってよい．その意味で，これは非常に重要だということが
できる．
例 題 1
B を定数として，次のベクトル・ポテンシャル；1
1
A1(r) = (0, Bx, 0)， A2(r) = (−By, 0, 0)， A3(r) = − By, Bx, 0
2
2





はいずれも，
z 軸方向の一様な静磁場 B = (0, 0, B)を与えることを示せ．
解 ベクトル解析の回転の定義 (2.25) を使って計算してみればよい．
∇ × A1 =∂A1

∂A1 ∂A1

∂A1 ∂A1

∂A1 ∂y − ∂z , ∂z − ∂x , ∂x − ∂y  = (0, 0, B) = B

同様にして，∇ × A2 = (0, 0, −(−B)) = (0, 0, B) = B

∇ × A3 = 0, 0,

1
1
B− − B22 = (0, 0, B) = Bとなり，いずれも z 軸方向の一様な静磁場 B = (0, 0, B) を与えることがわかる．
ただ，どのベクトル・ポテンシャルも z 成分はゼロで，xy 平面内にあることに注意
しよう．上の計算からわかるように，z 成分があって空間的に変化すると，磁場はz 軸からずれてしまう．

このように，ベクトル・ポテンシャルはいろいろな形にとることができて，一義的に決められないというあいまいさがある．これは，その定義 (7.1) の

ここは
ポイント！

7．磁場とベクトル・ポテンシャル

128

左辺がベクトル関数なのに対して，右辺がベクトル関数の微分になっていることからきている．
例えば，(7.1) の右辺で A(r) に何か定数のベクトルを加えても右辺全体が変わらないことはすぐにわかるであろう．それだけでなく，より本質的には，A(r) の代わりにそれにスカラー関数 χ(r) の勾配ベクトル ∇χ(r) を加えてA(r) + ∇χ(r)(7.2)

としても，(7.1) の右辺は変わらないことがわかる．それは，(3.2) に従って任意のスカラー関数 χ(r) に勾配演算子 ∇ を作用させて勾配ベクトルの場∇χ(r) にしてしまうと，渦的な性質が消えてしまい，∇ × ∇χ(r) = 0 が恒等的に成り立つからである．すなわち，勾配の場は渦なしであり，それこそが，渦なしである静電場に対して静電ポテンシャルを導入した根拠でもあっ
ここは
ポイント！

たのである．
しかし，このあいまいさはベクトル・ポテンシャルの欠点ではない．このあいまいさを逆手にとれば，自分の都合のよいようにベクトル・ポテンシャ
ルを決められるという自由度があるということもできるのである．この自由度は今後しばしば使うことになるので，前もって注意しておく．
問 題 2(7.1) の右辺で A(r) の代わりに (7.2) のようにしても，同じ磁場

B(r) が得られることを示せ．［ヒント：ベクトル解析の回転の定義 (2.25) と勾配の定義 (3.2) を使って，恒等的に ∇ × ∇χ(r) = 0 を示せばよい．
]

7.2

ベクトル・ポテンシャルのポアソン方程式(7.1) で導入したベクトル・ポテンシャル A(r) を使うと，静磁場の基本
法則 (6.4) が自動的に満たされることが前節の議論でわかった．したがって，(7.1) を静磁場のもう 1 つの基本法則 (6.18) に代入すれば，A(r) が満
たすべき方程式が得られ，それを解けば A(r) を求めることができる．磁場

1 電荷と電場

→

2 静電場

→

3 静電ポテンシャル→

4 静電ポテンシャルと導体→ 5 電流の性質 → 6 静磁場 → 7 磁場とベクトル・ポテンシャル → 8 ローレンツ力→ 9 時間変動する電場と磁場→ 10 電磁場の基本的な法則 → 11 電磁波と光 → 12 電磁ポテンシャル

9

時間変動する電場と磁場

学習目標
・時間変化する電場と磁場は互いに結び付いていることを理解する．
・アンペール - マクスウェルの法則を理解する．
・変位電流の存在を理解する．
・電磁誘導の法則の表式の導き方がわかるようになる．
・電磁誘導の法則の本質が説明できるようになる．
・電磁場の基本法則を理解する．
これまでは，時間的に変化しない静電場，静磁場の空間的な振舞いを議論してきたが，本章から，電場，磁場の時間的な変化も考える．そのためにもう一度，
静電場，静磁場の基本法則を復習しておこう．
まず，静電場の 2 つの基本法則には∇・D = ρ(2.27)∇×E = 0(2.28)があった．ここで，D = ε0 E である．次に，静磁場については∇・B = 0

(6.4)

∇×H = i(6.20)

が基本法則であった．ここで，B = μ0 H である．
ところで，(2.27) は単独の正負の電荷があること，(6.4) は単独の磁荷がないことに関連した，空間の局所的な位置における関係式なので，電場，磁場が時間的に変化してもそのまま成り立つ．他方，(2.28) は静電場が渦なしであることを，(6.20) は電流がその周りに渦状の磁場をつくることを表していて，閉曲線に関わる現象についての法則である．閉曲線上のある位置において電場，磁場が変化すると，その後に別の位置での電場，磁場に影響し，それらを変えてしまうであろう．そのために，電場，磁場が時間的に変化する場合には，(2.28) と(6.20) は式の形が変わる可能性がある．本章では，それぞれ，どのような影響を受けるかについて述べる．

152

9.1

9．時間変動する電場と磁場

アンペール - マクスウェルの法則(6.20) は電流が磁場をつくるという，アンペールの法則であった．電流が時間的に変化したからといって，突然磁場の発生が止まることはあり得ない．
しかも時間変化がゆっくりになった極限では，(6.20) がそのまま成り立つはずである．したがって問題は，電場や磁場が時間変化するとき，(6.20) がどのように変更を受けるかである．
電場，磁場が時間変化しても (6.20) がそのまま成り立つとすると，どのような矛盾が生じるかをみてみよう．そこで，(6.20) の両辺の発散をとるために左から ∇・を作用させると，∇・(∇ × H) = ∇・i(9.1)

が得られる．ところが，第 7 章の問題 1 でみたように，回転の発散は恒等的にゼロであり，∇・(∇ × H) = 0 なので，このとき電流密度は∇・i = 0(9.2)

を満たさなければならないことになる．しかし，電荷は決してどこかで突然現れたり消えたりしないので，電荷の保存則∂ρ+ ∇・i = 0
∂t

(5.6)

が厳密に成り立つ．(9.2) は，電流が時間変化しないときは別にして，明らかに，この (5.6) と矛盾する．
この矛盾を解決するために，(9.1) の右辺に ∂ρ∂t を付け加えて，∇・(∇ × H) = ∇・i +

∂ρ
∂t

(9.3)

としてみると，左辺は数学的に恒等的にゼロとなり，右辺は物理法則としての電荷の保存則からゼロとなって，矛盾がなくなる．そこで，(9.3) の右辺の電荷密度 ρ に時間変化する場合でも成り立つ (2.27) を代入すると，

9.1 アンペール - マクスウェルの法則∇・(∇ × H) = ∇・i + ∇・

∂D
∂t

153

(9.4)

が得られる．ただし，上式の右辺第 2 項で微分の順序を変えてもよいことを使った．
(9.4) のすべての項に発散演算子 (∇・) が掛かっていることに注意し，これをとり外すと，∇×H = i+

∂D
∂t

(9.5)

が成り立つことがわかる．しかも，時間依存性がなくなると，自然にもとの(6.20) の関係に戻る仕組みになっていて，好都合である．D は (2.8) で定義した電束密度である．(9.5) はアンペールの法則 (6.20) の一般化であり，
マクスウェルによって導かれたために，アンペール - マクスウェルの法則ともよばれる．
(9.5) の右辺は，第 1 項の自由に動き回ることができる荷電粒子の流れである電流 i だけでなく，空間にある電荷が動いて (変位して) も，それが磁場の変化に寄与することを表す．その意味で，第 2 項の ∂D∂t を変位電流という．この変位電流を具体的にイメージするためには，次のように考えればよい．
電流は荷電粒子の集団的移動であるが，束縛されていて電流に寄与しない電荷ももちろん存在する．例えば，原子・分子を構成する電子がその例である．したがって，原子・分子でできている絶縁体などは束縛電荷の集まりと見なされる．これらの束縛電荷は電場がかかってもずっと一方向に移動し続けることはなく，定常電流にはなり得ない．しかし，電場が正負に振動すると，束縛電荷とはいえ，それらはその場所でゆすられる．これも一種の電荷の移動であり，変位電流に寄与する．
ここで重要なことは，近くに原子・分子が見当たらない真空であっても，電場が時間変化すれば変位電流が現れることである．真空も誘電率 ε0 を

ここは
ポイント！

9．時間変動する電場と磁場154もっており，電場によってゆすられる．真空の寄与および束縛電荷の動きによる電場の変化もすべて含めて，電場が時間変化すると，D = ε0E の時間変化として変位電流が生じるのである．このことは奇妙に思われるかもしれな
いが，真空中およびガラスや水などの絶縁体中を伝播する電磁波の存在によってはっきりと実証されている．これについては後の章で詳しく述べる．
問 題 1

変位電流 ∂D∂t が電流密度の単位をもつことを示せ．

ここは
ポイント！

(9.5) でもう 1 つ重要なことは，静電場・静磁場のときはそれぞれが分離独立していたのに，時間変化すると互いに影響し合う点である．そこで今後は，電場と磁場をまとめて議論する場合には電磁場とよぶことにしよう．電場が時間変動する場合へのアンペールの法則 (6.20) の一般化である (9.5)
は，(2.27) と (6.4) に次ぐ電磁場の基本法則である．
例 題 1
静電容量 C の平行平板コンデンサー (極板の面積 S，間隔 d) の両極間に交流電圧 V = V0 sin ωt をかけたとき，コンデンサー内 (誘電率 ε0) に生じる変位電流 Id を求めよ．
解 (9.5) の右辺から，電流密度 i に対する変位電流が ∂D∂t である．電束密度
D はコンデンサー内で一様と見なされ，その大きさは (2.8) より D = ε0 E であって，極板間の電場は E = V／d なので，D = ε0 E =

ε0V0
ε0V
=
sin ωtdd(1)となる．変位電流は，(1) を時間微分して，
ε0ωV0
∂D
=
cos ωt∂td(2)である．これと極板の面積が S であることを考慮して，変位電流 Id はId =ε0ωSV0∂DS=
cos ωt = ωCV0 cos ωt
∂t
d

(3)

と求められる．ここで，平行平板コンデンサーの容量が C = ε0S／d であることを9.2 ファラデーの電磁誘導の法則

155

使った．
問 題 2

容量 1 μF の平行平板コンデンサーに周波数 50 Hz，振幅 100 V の交

流電圧をかけたときの変位電流の振幅を求めよ．

9.2

ファラデーの電磁誘導の法則

電流が磁場をつくるというエールステッドの実験を知ったアンペールが，それなら 2 本の電流同士は互いに力をおよぼし合うであろうと考え，ついにはアンペールの法則に辿り着いたことは，すでに第 6 章で述べた．それに対してファラデーは，電流が磁場をつくるのであれば，逆に磁場が電流をつくるのではないかと考え，実験を行なった (1831 年)．これももっともな推論である．そこで次に，ファラデーの実験を考えてみよう．
ファラデーは，図 9.1 のように，ドーナツ形の鉄に巻かれた一方の電流

コイルに電流を流して鉄心に磁場が流れるかどうかを調べた．その

A

電流計

第2

第１

を発生させ，他方のコイルに電流I

結果，まずわかったことは，流す電流が一定のときは何の変化も見られないことであった．ところ
が，その電流のスイッチを入れたドーナツ形の鉄
図 9.1

ファラデーの実験

ときと切ったときには，いつも他方のコイルに電流が流れ，しかも，一方のコイルに流す電流の向きを変えな
くても，そのスイッチを入れたときと切ったときでは，他方のコイルに流れる電流の向きが逆転したのである．
この実験結果の意味を考えてみよう．ドーナツ形の鉄は，第 1 のコイルに流した電流がつくる磁場をそれに閉じ込めておくという役割を果たす．その