2017解説
１「隙間や重なりなく大空を埋め尽くす」
群れから少し離れている２羽の鷹も右図のように移動すればピッタリと収まり，これらの鷹は平面を隙間や重なりなく埋め尽くすと考えられます。
（詳細は後述）２「鷹一羽の面積は，このハガキ上で1.3×4.6÷2＝2.99㎠になります」
繰 り 返 し 現 れ る 図 形 （ 鷹） を 求
積 可 能 な 多 角 形 に 変 形 す るに は ，対応する頂点を結べばよい。
例 え ば 鷹 の 首 の つ け 根 を結 ん で

A

D

B

C

右図のような長方形を考えた場
合 ， 長 方 形 の 中 に 鷹 ２ 羽 分の 頭 や羽 が あ る こ と が 分 か る の で， こ の長 方 形 の 面 積 を 半 分 に す れば 鷹 １羽分の面積を求めることができる。
AB1.3㎝×BC4.6㎝÷2＝2.99㎠あるいは，首のつけ根を次々と結んで鷹１羽分の多角形を明Aらかにすると，右図のような菱D形になる。
B

菱形の面積は，C

AC1.3㎝×BD4.6㎝÷2＝2.99㎠３

実は，この平面充填は「ちょっとインチキ」です
一見，右や左を向いている鷹で平面を充填しているように見えます。
しかし ，実は， 鷹の輪 郭は平面 を充填し ています が，鷹の 絵は周期 的に配 置しているわけではありません。

- 1 -2017解説
輪郭については，右図で，赤の長方形部分が，上下に平行移動，左右に線対称移動（鏡映）して，平面を充填しています。（分類では pm）

４

作画の過程と「ちょっとインチキ」になった理由(1) 作画の計画①

地面に接触している鳥ではなく，飛んでいる鳥にし た かっ た の で， 歯 医 者の 待 ち時 間 に 手帳 の余 白に羽 を 広げ た 鳥 を描 き ま した 。 その 際 ， 羽の 上下 の隙間を隣の鳥の羽で埋めることにしました。

②

羽を広げた鳥の形や羽が交互に長方形net

菱形net

隙間を埋める配置から，格子は長方形 net ではなく菱形 net に しました。

③

ただ飛 んでい る鳥より は，獲物 を狙って いる方が イイかな という ことで， テーマを 「 獲 物 を 狙 う 鷲 」（ 新 し い 年 に イ イ 物 落 ち て い な い か な ） と し ， 鷲 の 顔 が 同 一 方
向を向いているのは「探してる感」がないので，充填方法（図形の移動方法）に「 すべり鏡映」を入れることにしました。

④

すべり鏡映（glide reflection）【すべり鏡映】すべり鏡映（すべって，鏡に映る）とは，「任意の方向に一定の距離だけ図形を平行移動させ，平行移動した方向と平行な直線を軸に線対称移動する移動」のことです。
平面上の図形の移動方法には，「平行移動」「 回 転 移 動 」「 線 対 称 移 動 」 の ３ つ が あ り ますが，これらの３つの移動方法を任意に連続して組み合わせたとき，第４の移動「平行移動と線対称移動の合成」が現れます。
それを「すべり鏡映」といいます。
言い換えると，合同な平面図形のいかなる 位 置 関 係 も ，「 平 行 移 動 」「 回 転 移 動 」「 線対 称 移 動 」「 す べ り 鏡 映 」 の ４ つ の う ち の い
ずれか１つだけで表すことができます。

- 2 -mirrorＡの図形を①の距離だ
け上に平行移動して…

Ｂ①Ａ②②の破線を対称の軸として線対象したら，Ｂの図形に移動することができる。この一連の移動を「すべり鏡映」とよぶ。
ＡからＢへの移動は，平行移動だ
け，回転移動だけ，線対称移動だけでは実現できないので，第４の移動「すべり鏡映」を新たに位置づける。

2017解説
どういうことかって？

ザックリと説明すると…（数学嫌いの方はスルーで）【２つの合同な平面図形を１回の移動でピッタリ合わせるには】
例えば，方向と距離の異なる２回の平行移動は１回の平行移動で表すことができる。また，中心と回転角の異なる２回の回転移動も１回の回転移動で表すことができる。
【２つの平行移動の合成】【２つの回転移動の合成】【２つの線対称の合成】
その１ 交わる場合【２つの線対称の合成】
その２ 平行の場合

a・b＝１つの平行移動 c

Ｐ130・Ｑ60＝１つの回転移動 Ｒ70ℓ・mℓ・m＝１つの回転移動 Ｐθ

＝１つの平行移動 a

ただし，回転角θはℓ，m のなす角の２倍

ただし， a の方向はℓ と垂直で距離はℓ，m 間の距離の２倍

A'bA"

A
130°cA"Qa60°

PAA"mA"P

A'
130-60=70° 回転方向が違うので，回転R角は差になる

θ

A'A'ℓAmaAℓ

では，３つの移動方法を，任意の回数と順番で組み合わせたときの移動結果は，１回の移動で表せるのだろうか。すべての移動の組み合わせを考えるのは大変そうだが…
上の図の右の２つの例から明らかなように，平行移動や回転移動は，線対称移動だけを使って表すことができる。
つまり，あらゆる線対称移動の組み合わせを考えれば，すべての移動の組み合わせを考えたことになる。
「あらゆる線対称の組み合わせ」とはいうものの，任意の点の位置は他の３点の位置から特定できるので，図形の任意の移動はたかだか３本以下の線対称軸で決定される。
AℓAℓℓ

D(A)

D(A)

CX
DCEX'CFB

B

B
点Ｘの位置は２点Ａ，Ｂとの関係だけでは特定できない。（Ｘ’の可能性もある）
第３の点Ｃとの関係が与えられれば，Ｘの位置はただ１つに特定される。
したがって，三角形ABCの移動を考えれば必要十分である。

E(B)

EC

合同な２つの三角形△ABCと△DEFの位置関係は，最大３つの線対称の軸を明らかにすればよい。
ＡをＤに写す軸はℓmFm△ABCを ℓ を軸に対称移動した△DBCで，ＢをＥに写す軸はmF△DBCをmを軸に対称移動した△DECで，ＣをＦに写す軸は直線DE
すなわち，３つの軸 ℓ ，m，DEにより，△ABCは△DEFに移動できる。

３本以下の軸の位置関係とそれに対応する移動を示すと下図のようになる。したがって，「すべり鏡映」を位置づければ，合同な平面図形のいかなる位置関係も，「平行移動」「回転移動」「線対称移動」「すべり鏡映」の４つのうちのいずれか１つ１回の移動で表すことができるようになる。
(1) １本線対称(2) ２本・交点数が１か０

回転移動

平行移動

(3) ３本・交点数が１か０

線対称- 3 -線対称(4) ３本・交点数が３か２

すべり鏡映

すべり鏡映

2017解説(2) すべり鏡映ではつまらなかったので「ちょっとインチキ」しました
すべり鏡 映を使 って鷹を 敷き詰め るために ，平行移 動距離は 菱形の 高さの半 分，線対称軸は菱形の辺の中点を通る縦の直線としました。

mirrormirror

右図で，破線が線対称の軸，矢印が平行移動の方向と距離②を表しています。

①③④

このとき，塗りつぶした菱形部分で飛んでいる鷲をデザインするために，まず羽の右上部である折れ線①を描きます。
すると，①を上にすべり鏡映させると折れ線②が，①を下にすべり鏡映させると折れ線③が生成されます。また，折れ線③を下にすべり鏡映させると④が生成されます。
このとき①と②，③の接点である■がぴったりつながるよ
うに①の形を工夫します。
同様に，鷲の羽の左上部である折れ線⑤を描くと，折れ線⑥などが生成されます。

⑤⑥

この輪郭内に顔を付けると…
縦の列の顔の向きが全部同じになってしまいます。

作 画 し 始 め て 気 付 い た の で す が ， こ れ は 当 た り 前 の こ と で ， ½の 距 離 の す べ り 鏡 映を ２回繰り 返すと （真上や 真下の鷲 になるの ですが） 裏返しの 裏返し なので， 基の図形に戻ります。つまり，ただの平行移動になります。
これでは余りにも整然としていて面白くないので，上下の⑦鷹の顔の向きを変えるために，最初に作った折れ線①の線対称図形を⑦の位置で反映させることにしました。
そうすると，当然のことながら，⑦のすべり鏡映によって生成される折れ線の結果，鷹は線対称図形になります。下の図では，左右を向いている鷹の顔が重なって，１羽の鷹にクチバシが２つになっています。

- 4 -①

2017解説
そこで，輪郭は線対称図形のままで内部を非対称に描くことで，ある意味自由に（ 周期性を無視して）鷹を配置できるようにしました。（下図は原画）

ちなみに…平行移動で充填すると（分類 p1）

すべり鏡映で充填すると（分類 pg）（おしまい）- 5 -