2021 kldÀdfdfÁbifWcR±Å:¨ÆKf°Ävf IÈËÊÍvf IwÎ_ÃË*Ì%!Z_­¢ÇZ_Ã!¢!_Ã!­¢­¢¥   .,"Ç /P!­¢¥®K,ÉË(_Ã!Y/Ç ,/,É_ÃË`Ë!)´½ ¾ ℓ !£!J ´½ m !´ ag-z,É£!@¡"X O ag- +Ç£",%(!,É¼S"<[Åz³!~[Æ,É!´!ºU/­OFÇ¼ST¹l!d/ g ) Éθ ℓ mx

[1] `Ë!)y¯g?m¤Åxyz m¤Æ!6367407   /<Émg[2] 636745!gG}/ x, y, z --!m !ºU~n/φ)ÉgG}"Ç}~n!}/:§, w)É[3] ´!D¦"#, %, &/m,m¤yg,(,Ém¤636740
7/Ç21698636745!ºU~n *Ç`>-,%, &-- !ºU~n/')É    [4] !¤!rm/y{ÇHe½/LE É[5] %:gI%' ´ºU,' = ,$&~[!O¹l/')É[6] %:gI%' ´ºU,BÇ¯_[2]'ºU~n-!LEªn/'ÇºU~n>!/\&Â!w^/¸$)ÉÇ;®B

,&~[!¬¹l/() ,Éu«-#­¢ () /©É[7] ¯_[6] ®¶B!!´! z m/'Ç() /.
[8] ¯_[6]®¶BºU,´%~[!sh|S/T p!ºU/²$).

Ç|+| ≪ 1!sin + ≃ +Çcos + ≃ 1 !·Cn x+ ©É%Çu«-#­¢ () /©É2021 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
物性物理科学Ｉ—２／５
問題２

図２のような電気抵抗 R の抵抗と自己インダクタンス L のコイルからなる回路があり，スイッチS を a 側に入れることで起電力 φ の電池とつなぐことも，b 側に切り替えて短絡させることもできる．
まず時刻 t = 0 のとき，スイッチ S を a 側に入れた．時刻 t = 0 で電流は流れていなかったとし，以下の問いに答えよ．
[1] t 秒後に回路を流れている電流を求めよ．
[2] t 秒経過するまでの間に電池のする仕事 W および抵抗に発生するジュール熱 J を求めよ．
[3] 設問[2]において求めた W と J の差 ( W−J ) はエネルギー保存の観点から何を意味しているか答えよ．
[4] その後十分に時間が経過し，回路に定常電流 I0 が流れるようになった．その値 I0 を求めよ．
[5] この定常値 I0 にできるだけ速く近づくようにするには R や L の値がどのようであったらよいか答えよ．

次に，スイッチ S を b 側に切り替えた．この時刻を新たに t’ = 0 とする．設問[4]で求めた定常電流 I0 が時刻 t’ = 0 において回路に流れていたとして，以下の問いに答えよ．
[6] 時刻 t’ ( ただし t’ > 0 ) において流れている電流を求めよ．
[7] 設問[6]のとき十分に時間が経過し，回路に流れていた定常電流が消えるまでの間に抵抗に発生するジュール熱 J’ を求めよ．またこの J’ に相当するエネルギーは，もともとどこにどのように蓄えられていたものか答えよ．

!
& $%

"

#図２

2021 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
物性物理科学 I - ３／５
問題３

ポテンシャル"(!)

図３に示すように，粒子の一次元の量子力学的運動を考える．質

粒⼦量!の粒子がエネルギー"をもって，ポテンシャル障壁に# < 0の領域から#の正方向に入射する． & および ()を正定数として，粒0((#) = - ()0(# ≤ 0)− − − 領域 I

(0 < # < &)− − − 領域 II(# ≥ &)− − − 領域 III"&'子が感じるポテンシャル ((#)は以下の通りとする．

!

d0図３ℏをプランク定数ℎを25で割った定数として，以下の問いに答えよ．
[1] 領域 I，II，III において，波動関数を6(#)として時間に依存しないシュレディンガー方程式を書け．
[2] # = 0 および # = &において，設問[1]の6(#)が満たすべき条件を示せ．ただし，領域 I，II，III において，6(#)をそれぞれ 67 (#)，677 (#)，6777 (#)とあらわして良い．
[3] " < () のとき，粒子が障壁で反射されて#の負方向へ進む確率 R，および透過して領域 III に存在する確率 T を，それぞれ計算せよ．
[4] " < () のとき，ポテンシャル障壁の幅 &が，侵入する粒子の量子力学的な波長に比して十分に<=厚いとき，透過率 T は，近似的にexp ;− ℏ >2!(() − ")?に比例することを示せ．
[5] 設問[4]の結果は" < () の場合でも，有限の確率で粒子がポテンシャル障壁をすり抜けられることを示している．この効果をなんと呼ぶか答えよ．
ポテンシャル
真空準位

金属表面に強い電界が加わると，電子が真空中"&に放出される現象を電界放出と言う．この現象を フェルミ準位考察しよう．金属の表面に一様な電界@を印加することにより，図４で示した様に，表面（# = 0）でのポテンシャル（大きさ：()）によって金属内に閉じ込められた電子が感じるポテンシャル障壁の幅'(電⼦"(!)

'

⾦属内部

0!&!

図４を薄く変化させることができる．電子が感じるポテンシャル((#)は，金属内部（# < 0）と金属外部(# ≥ 0)で異なり，正の定数Aを電気素量として，（次ページにつづく）

物性物理科学 I - ４／５
問題３のつづき0(# < 0)() − A@#(# ≥ 0)((#) = Bとあらわすことができる．

強い電界@を印加することにより，金属内の電子は，設問[5]で述べた効果により，金属の外に飛び出すであろう．エネルギー"を持つ電子の透過率C D は，設問[4]の結果を拡張することにより，C D =<G

exp {− ℏ ∫) H >2!(((#) − ") &#}と近似できる．ここで#) は電子がポテンシャル障壁を抜けだす位置である．また図 4 中の"J はフェルミ準位を示す．

[6] 金属内で最も外に飛び出しやすい電子について，その#) を@，"J ，()などを用いて表せ．
[7] 最も外に飛び出しやすい電子の透過率 C D を印加電界 @の関数として示せ．
[8] フェルミ準位から真空準位までの高さが 4.0 eVである金属に対して，電子の電界放出を誘起するにはどの程度の電界の大きさが必要か検討せよ．必要であれば次の物理定数：ℏ ≈ 1.0 ×10 RS J∙s，電子の質量 ! ≈ 9.0 × 10 RV kg，電気素量 A ≈ 1.6 × 10 VX C，および √2 ≈ 1.4，
√5 ≈ 2.2 を用い，透過率 C D = 0.4（ ≈ exp(−1) ）程度を電子が外部に放出される目安として良い．

2021 ೥౓େࡕେֶେֶӃ‫ڀݚֶ޻ૅج‬Պത࢜લ‫ظ‬՝ఔʢҰൠʣೖֶࢼ‫ݧ‬෺ੑ෺ཧՊֶ I–̑ʗ̑໰୊̐N ‫ݸ‬ͷಠཱཻͨ͠ࢠ͔ΒͳΔ‫ܥཱݽ‬ͷ೤ฏߧঢ়ଶΛߟ͑Δɽ֤ʑͷཻࢠ͸ɼ−!0 ͱ !0 ͷ 2 ͭͷΤωϧΪʔঢ়ଶ͔͠ͱΓ͑ͳ͍ͱ͢Δɽ!0 ͷΤωϧΪʔঢ়ଶʹ͋Δཻࢠ਺͔Β −!0 ʹ͋Δཻࢠ਺Λࠩ͠Ҿ͍ͨ਺Λ M ͱॻ͘ͱɼશཻࢠͷΤωϧΪʔ ! ͸ ! = M !0 Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱɼ!0 ͸ਖ਼ͷ࣮ఆ਺Ͱ͋Δɽ࣍ͷ໰ʹ౴͑Αɽͨͩ͠ɼϘϧπϚϯఆ਺͸ k ͱॻ͘͜ͱɽ[1] ঢ়ଶͷ਺ WM Λ M ɼN Λ΋͍ͪͯදͤɽ

[2] ‫ܥ‬ͷΤϯτϩϐʔ S Λ k ɼM ɼN Λ΋͍ͪͯදͤɽ
ͳ͓ɼStirling ͷۙࣅɼlog n! ≈ n log n − nɼΛ࢖ͬͯΑ͍ɽ[3] લ໰ [2] Ͱ‫ٻ‬ΊͨΤϯτϩϐʔ S ͷදࣜʹ‫·ؚ‬ΕΔ M ͕೤ྗֶతฏ‫ۉ‬஋ #M $ ʹ౳͍͠ͱ͖ɼ
1∂SԹ౓Λ T ͱͯ͠ɼ‫ٯ‬Թ౓ β = kT
ͱ S ͱͷؒʹ β = k1 ∂Eͱ͍͏ؔ܎͕੒Γཱͭɽͨͩ͠ɼE͸಺෦ΤωϧΪʔɼ͢ͳΘͪ ! ͷ೤ྗֶతฏ‫ۉ‬஋Ͱ͋Δɽβ Λ !0 ɼ#M $ɼN Λ΋͍ͪͯදͤɽ

[4] ౷‫ֶྗܭ‬తͳʠෛͷԹ౓ʡྖҬΛߟ͑ͳ͍৚݅Ͱ #M $ ͷऔΓಘΔൣғΛࣔͤɽ[5] ಺෦ΤωϧΪʔ E Λ !0 ɼN ɼβ Λ΋͍ͪͯදͤɽ

[6] ൺ೤ C Λ !0 ɼk ɼN ɼβ Λ΋͍ͪͯදͤɽ

[7] લ໰ [6] ͷൺ೤ C ͷԹ౓ґଘੑͷάϥϑΛඳ͚ɽͨͩ֓͠‫Ͱܗ‬Α͍ɽ·ͨɼ͋Δ෺࣭ͷൺ೤ͷԹ౓ґଘੑͷଌఆ݁Ռʹ͓͍ͯɼ͜͜Ͱٞ࿦ͨ͠Ϟσϧ͕ద༻Ͱ͖Δͱߟ͑ΒΕͨ৔߹ɼσʔλ͔ΒͳʹΛಡΈऔΔ͜ͱ͕Մೳ͔ɼ؆୯ʹઆ໌ͤΑɽʢ30 จࣈఔ౓ʣ