広島工業大学紀要研究編
第 44 巻（2010）pp.69-76

論

文

構造信頼性理論と確率有限要素解析による河川堤防の浸透破壊確率の評価
市川勇人 *・中山隆弘 **（平成21年10月31日受理）

Probabilistic Evaluation of Seepage Failure of a Levee Based upon Structural
Reliability Theory and Probabilistic Finite Element Analysis
Hayato ICHIKAWA＊ and Takahiro NAKAYAMA＊＊(Received Oct. 31, 2009)

Abstract
To date, the stability of levees has been evaluated using the safety factor by seepage flow
analysis and circular arc method. Because the safety allowance is estimated from the stabilityof levees which depend on the underground waters, it is necessary to evaluate the probability ofseepage flow and the uncertainty of the resistance of levees quantitatively. In this study, theuncertainty of the geotechnical properties of levees was quantitatively evaluated, and the probabilistic estimates were made for the local failure and the global failure, assuming a circularslip surface. Specifically, the safety margin was evaluated by the failure probability and/or thereliability index by expressing the geotechnical parameters using the probabilistic model andthe stochastic finite element method. The action of seepage flow and the rise of water level ofthe river caused by rainfall were deterministically calculated by the transient analysis.
Key Words: seepage flow analysis, circular arc method, safety factor, stochastic finite element
method, reliability index

１．序

び堤体盛土の抵抗力の不確実性を定量的に評価する必要が論ある。また，安全率を用いた評価でもある程度堤防の安全近年，わが国では，１時間降水量 50mm を越える大雨性を判定することは出来るが，安全性の余裕，すなわち信が増加傾向にある。そのため，長年に亘る河川改修によっ頼度について，定量的な評価を求めることは困難である。て全般的な治水安全度は上がりつつあるものの，崩壊に起

そこで，本研究では豪雨に対する堤体の安全性余裕を，因する洪水の危険性が従来にも増して高まってきた堤防も堤体盛土の地盤物性値の不確実性を定量的に評価し，局所依然として数多く存在している。

破壊とすべり円弧を仮定した全体破壊に対して，確率有限周知の通り，これまでの設計指針における浸透に対する要素法を用いて破壊確率や信頼性指標で評価することを試

堤体の安定性評価は，浸透流解析と円弧すべり法による安みた。なお，降雨と河川水位上昇による地下水浸透流は非全率で行なわれてきた。しかし，本来，堤体内の地下水流定常浸透流解析で確定的に求め，各時刻歴における浮力とによる盛土の安定性については，地下水流の発生確率およ流体力については外力として扱った。

＊＊＊

広島工業大学大学院工学研究科建設系工学専攻＊＊＊

広島工業大学工学部都市建設工学科― 69 ―

市川勇人・中山隆弘

よび外力条件（降雨，河川水位）を設定するとともに，境２．解析方法

界条件等を入力して実施する。

解析方法は Fig. 1 の通りである。まず，浸透流解析の時2.2系列解析を実施する。次に解析結果である各時刻歴の地下確率有限要素法

水位と流速ベクトルを外力にとり，地盤パラメータの不確有限要素法は構造工学のみならず地盤工学の分野におい実性を考慮した確率有限要素法を実施する。解析の結果得ても用いられているが，多くの場合，土の材料特性のもつられた局所破壊と全体破壊に対する安全性余裕を確率論的確率変動を無視して確定値として扱っている。しかし，盛に評価するとともに，円弧すべり法により算出した安全率

土等の安定問題では材料定数の確率変動が解析結果に大きとの比較検討を行う。

な影響を与えることから，確率変動を考慮できる確率有限要素法が開発された１），２）。

START
Analytical modeling

本研究で用いた確率有限要素法では，破壊点まわりのテーラー展開による線形一次近似理論を適用し，さらに正Circular arc method

規分布以外の確率変数に対しては破壊点において正規近似
Component selection of
rainfall and river level化が行われているので，性能関数の定義式によらず，算定される破壊確率は不変性を有している。

Execution of unsteadyseepage flow analysis

解析において確率変数としたパラメータは，単位体積重量γ，粘着力 c および内部摩擦角φであり，性能関数は，Uncertain setting of thegeotechnical parameters

各要素で潜在すべり面としての層理面が存在しない場合と層理面が存在する場合を想定している。また，層理面に沿っGround water level,Flow velocity vector

た単一すべり面を想定したすべり面上における全体破壊についても定式化を行っている。

Execution of stochastic
finite element method

Circular arc shape

2.2.1

Safety factorの剛性方程式によって与えられる。
［K］｛ u ｝＝｛ P ｝Comparison, Assessment

2.1

ル，｛ P ｝は節点荷重ベクトルである。

Flowchart of the analysis

また，要素の応力と節点変位ベクトルとの関係は次のよ

浸透流解析

うになる。
｛ σ ｝＝［D］［B］｛ u ｝

浸透流解析は，実際に近い現象が再現できる非定常の飽（3）

ここで，［D］および［B］は，それぞれ応力とひずみ，ひ和・不飽和浸透流解析とした。

ずみと節点変位を結びつけるマトリックスである。

非定常の飽和・不飽和浸透流解析の基本式は Ep.（1）の１）変位の計算とおりである。
∂ψ  ∂ψ  ∂  ∂ψ∂ψ
αk＋k＋k＝（C＋ ・Ss）∂t ∂x  ∂x  ∂z  ∂z

（2）

ここで，
［K］は剛性マトリックス，｛ u ｝は節点変位ベクト

END
Fig. 1

要素の変位および応力に関する計算

有限要素法において，節点変位と節点荷重との関係は次

Failure probability,Reliability index（1）

各要素の節点変位の期待値 E［ui］，分散 Var［ui］および共分散 Cov［ui，uj］, は次のように計算される。まず，uiを確率変数 xk の破壊点まわりでテーラー展開し，２次以ここで，x：堤防横断面の水平方向の軸，z：堤防横断面の鉛直方向の軸，k：透水係数（m/hr），ψ：圧力水頭（m），C：比水分容量（l/m），α：１の場合飽和領域，０の場合不降の項を無視して線形近似する。

Σm＊＊ ∂ui  ui＝u（xx＊m）＋ （xk−x＊k）
1，x 2，･･･，i ∂xk ＊

飽和領域，Ss：比貯留係数（l/m），t：時間（hr）

（4）

k＝1

ここで，比水分容量 C は水分特性曲線の接線勾配とし

ここで，xk は確率変数であり，m はその個数である。て与えられ，比貯留係数 Ss については，砂質土について

また，x＊k は xk の破壊点，（∂ui/∂xk）＊ は破壊点における偏導は Ss＝１×10−4（l/m），粘性土については Ss＝１×10−3（l/関数の値を示す。
Ep.（4）より ui の期待値と分散が次のよう与えられる。

m）とした。
非定常の飽和・不飽和浸透流解析は，モデル化した堤防

Σm ∂ui ＊＊x＊m）＋ （μxk−x＊k）
E［ui］＝u（x1，x 2，･･･，i ∂x 

（堤体および基礎地盤）を対象に，土質定数，初期条件おk＝1― 70 ―k＊（5）構造信頼性理論と確率有限要素解析による河川堤防の浸透破壊確率の評価

Var［ui］＝E［｛E［ui］−ui｝2］Ep.（13）から，応力 σi の期待値，分散および応力 σi と σj（μ −x ）（）Σ∂xm＝Exkk＝1∂uikkの共分散は次のように与えられる。

2＊Σm＊ ＊ ∂σi  
E［σi］＝σ（xx 2，･･･，x＊m）＋ （xk−x＊k）
1，i ∂xk ＊ΣΣ＝mm

k＝1 l＝1 ∂ui   ∂ui  E［（μ −x ）］xkk（μxi−xi）
 ∂xk ＊ ∂xi ＊ΣΣ＝mm

k＝1 l＝1

 ∂ui   ∂ui  Cov［x ，k xi］
 ∂xk ＊ ∂xi ＊Var［σi］＝E［｛E［σi］−σi｝2］ΣΣ ∂x   ∂x  Cov［x ，x ］

（6）＝k＝1 l＝1＊ki＊kki（7）mm

k＊i（15）

∂σi

∂σi

＊ki

＊ki（16）＊ ＊x 2，･･･，x＊m）の算定
a）σ（i x 1，Ep.（3）より要素 j について応力と変位の関係は次式で与とにより，土質定数間の相関あるいは空間的な位置によるえられる。

土質定数の相関を考慮することができる。

｛σ｝
［D］
［B］
｛i＝jj u｝j

x 2，･･･，x m）の算定a）u（i x 1，b）（∂σi / ∂xk）＊の算定＊i（∂σi / ∂xk）＊の誘導方法を以下に示す。

また，確率変数 xk と xi の共分散マトリックスを含むこ

＊

＊

＊ ＊
Ep.（14）〜（16）の計算に必要な σ（xx 2，･･･，x＊m）および
1，iΣΣ ∂x   ∂x  Cov［x ，x ］
∂ui

∂σi

k＝1 l＝1

Cov［ui，uj］＝ E［｛E［ui］−u｛E−uj｝］i｝［ui］∂ui∂σiΣΣ ∂x   ∂x  Cov［x ，x ］

＝また，変位 ui と uj の共分散は次のように表される。
mm

Cov［σi，σj］＝E［｛E［σi］−σ｛E−σj｝］i｝［σi］

散である。

mmk＝1 l＝1

ここで，μxk は xk の平均値，Cov［xk，xi］は xk と xi の共分

＝

（14）

k＝1

＊

有限要素法において変位と荷重の関係は Ep.（2）によっ

Ep.（17）の両辺を xk で微分すると次式が得られる。て与えられる。ここで，Ep.（2）は未知の変数と既知の変位∂ σ｝∂ D ］j
∂ u｝
｛
［｛jj＝
［B］
｛
［D］
［B］
j u｝
j＋jj
∂xk
∂xk
∂xkに分けることにより次のように表される。
［K11］［K12］ ｛u未｝ ｛P1｝
＝

［K21］
［K22］ ｛u既｝ ｛P2｝（8）

［K11］［0］ ｛u未｝ ｛P1｝−［K12］｛u既｝＝
［0］ ［I］ ｛u既｝
｛u既｝

（9）

（18）

∂ B］j ∂xk＝［0］とな
ここで，［B］
j は xk とは独立であるので ［り，［B］j の偏導関数の項は省かれている。
（∂｛ σ ｝j/∂xk）＊ は｛u＊｝j および（∂｛ u ｝（18）に
j / ∂xk）＊ を Ep.
代入することにより求められる。
主応力の期待値，分散および共分散は次のように求めら

Ep.（9）より，未知の変位｛u未｝は次のように表される。
−1（17）（10）

れる。すなわち，平面問題を考えると主応力および最大せ

Ep.
（10）
において，確率変数である E，vは［K11］［，K12］に，ん断力は ξ，ζ 方向の応力を用いて，次式によって与えら

また，γ，Pは｛P1｝に，u は｛u既｝のベクトルに含まれる。しれる Ep.（20）〜（22）において，要素番号を示す添字 j は省たがって，後述する収束計算により，これらの確率変数の略している。

｛u未｝＝［K11］｛｛P1｝−［K12］｛u既｝｝

＊k

破壊点における値 x （k＝1，2･･･，m）を求めれば，Ep.
（10）により破壊点 x＊k における未知の変数 u＊iが求められる。
b）（∂ui / ∂xk）＊の算定
Ep.（2）の両辺を xk で微分すると次式が得られる。
∂ K］∂ u｝ ｛∂ P｝［｛｛u｝＋［K］
＝
∂xk
∂xk
∂xk

（11）

∂ u｝
∂ P｝ ［∂ K］｛−1 ｛＝［K］−｛u｝
∂xk
∂xk
∂xk

（12）

＊kT｛ σ’｝｛ σ 1 ，σ 2 ，τ m a x｝jj＝（19）

σ 1＝σ ξ＋ σ ζ  σ ξ− σ ζ  2＋τ 2  ξζ21/2

σ 2＝σ ξ＋ σ ζ  σ ξ− σ ζ 2 2＋τ 2  ξζ21/22

τ m a x＝ 

σ ξ− σ ζ 2 2＋τξζ
2 1/2



（20）

（21）

（22）

また，主応力の偏導関数は Ep.（20）〜（22）を xk に関して偏微分することにより与えられる。

収束計算により x を求めれば，Ep.
（12）の右辺に含まれ/∂xk）る各項は既知となり，（∂｛u｝＊を計算することができる。
２）応力の計算Ep.（19）〜（22）およびその偏導関数に１）および２）で求∂ σ ｝j/∂xk）＊ を代入して｛σ’＊｝∂ σ’｝j/∂xk）＊ をめた｛σ＊｝j ，（｛（｛j，各要素の応力の期待値 E［σi］，分散 Var［σi］および共分計算する。さらに，この結果を Ep.（14）〜（16）に代入すれ散 Cov［σi，σj］は次のように計算される。変位の計算と同様

ば，主応力の期待値，分散および共分散も求めることがでに，応力 σi を確立変数 xk の破壊点まわりにテーラー展開し，きる。また，ξ，ζ 方向の応力は単に Ep.
（17）
および Ep.
（18）二次以降の項を無視して線形近似する。

を Ep.（14）〜（16）に代入することにより得られる。

Σm＊ ＊ ∂ui  
σi＝σ（xx 2，･･･，x＊m）＋ （xk−x＊k）
1，i ∂xk ＊

（13）

k＝1

― 71 ―

市川勇人・中山隆弘

2.2.2

局所破壊

各要素の安全性指標は破壊点における確率変数の間に依１）層理面が存在しない場合存するので，破壊点を確定するための収束計算が必要にな

せん断破壊に関する性能関数を次のように定義する。

る。破壊点を求めるには Hasofer と Lind が提案している

gi＝ τ f i− τ m a x , i方法を用いる。この方法の概要を以下に示す。

11＝ci cosφi＋ （ σ 1 i＋ σ 2 i）sinφi− （ σ 1 i＋ σ 2 i）
22（23）

ここで，Fig. ２の通り，τf：モール円の中心から破壊基準

まず確率変数 xk，i による性能関数 Qs，i の偏導関数より次式で ak，i を計算する。
 ∂gi 1/2
 ∂xk,i ＊（Var［gi］）
a k,i＝1/2 m  ∂gi Var［gi］
k=1 ∂x
k,i＊までの距離，c：粘着力（kN/m2），φ：内部摩擦角（°）

Σ（26）

次に要素 i の βi を用いて，確率変数 xk の破壊点を次のように表わす。
x＊k,i＝μkk,i−ak,i β（Var［xk,i］）1/2
i（27）そして，この値を用いて，要素 i の βi を計算する。また，この計算は全要素について行う。ここで，各要素の βi のFig. 2

収束を判断し，すべての要素の安全性指標が収束するまでWith the slip surface

新しい βi，ak，i を与え，収束計算を繰り返す。βi，ak，i の初期

２）層理面が存在する場合

値には平均値まわりでテーラー展開したときの計算結果を用いる。

要素 i のせん断破壊に関する性能関数 gi については，同Ep.（25） に よ っ て βi が 得 ら れ れ ば， 破 壊 確 率 Pfi は一要素内ではすべり面上の垂直応力 σi が変化しないと仮定し，内部摩擦角をφi とすればクーロンの破壊基準によEp.（28）で表される。
Pf,i＝Φ（−βi）

り Ep.（24）で定義できる。
gi＝ τ f i− τ i ＝ ci ＋ σ i tanφi−τi

（24）

（28）

ここで，Φ（･）は標準正規確率分布関数を表わす。

2

ここで，τfi：破壊面のせん断抵抗（kN/m ），τi：潜在すべ2.2.3

り面の作用せん断力（kN/m2）

全体破壊

まず，単一すべり面に対する堤体の全体破壊に対する性能関数 G を局所破壊に対する性能関数 gi を用いて Ep.（29）で定義する。すなわち，想定した単一すべり面に対する全体破壊の性能関数 G は，Ep.
（29）に示すように，すべり面が存在する場合の各要素の性能関数 gi と各要素のすべり面の長さ Δℓi の積をすべり面全体で加算することで表される。

Σg Δl G＝mi（29）ii＝1Fig. 3

Without the slip surface

ここで，Fig. ３の通り，111
σ ＝ （ σ 1 ＋ σ 2 ）＋ （ σ 1 − σ 2 ）cos2θ，τ ＝ （ σ 1 ＋ σ 2 ）sin2θ
222
θ＝β・ψ＋π/2，β：水平面から層理面への角度，ψ：水平面から最大主応力面への角度，

Fig. 41 2 τξζ ψ ＝ tan−1σξ−σζ 2

このとき，信頼性指標 β は Ep.（30）によって得られる。

このとき，要素 i の安全性指標 βi は次式で表わされる。
E［gi］
β i＝
（Var［gi］）1/2

Slip surface passing the i-th element.

（25）
1/2

E［G］
β＝1/2 （Var［G］）

さらに，破壊確率 Pf は信頼性指標 β から Ep.（31）で表される。

ここで，E［gi］：gi の平均値，（Var［gi］） ：gi の分散― 72 ―（30）

構造信頼性理論と確率有限要素解析による河川堤防の浸透破壊確率の評価

Pf＝Φ（−β）

（31）

考にして Table.2 のように設定した。
次に浸透流解析に必要な外力条件（降雨，河川水位）の３．地下水流の影響

時刻歴変化を Fig. ６に示す。

浸透流の作用を受ける堤体内の応力は，自重による有効

この外力条件については，河川堤防の浸透に対する安全応力と浸透流による土に働く応力（浸透力）に大別され性検討を行う際に用いられている『河川堤防の構造検討の４）６）手引き』を参考に設定した。ただ，手引きでは最高水位

浸透力は要素物体力，すなわち，その点における動水勾付近までは事前降雨として 1mm/hr，その後河川水位が急配に水の単位体積重量 γw を乗じた値として与えられる。

降下する時間までは 10mm/hr の強度の降雨量を与えるも座標方向成分で表示すれば，Ep.（32）のようになる。のと記述されているが，本解析では，河川水位の変化に伴る 。

X＝−γw

∂H
∂H，Y＝−γw∂x∂y（32）

う水位条件の時刻歴を主として考慮するため，1mm/hr のTable.1

有限要素法で求める場合の任意三角形要素内では，Ep.

Soil parameters（33）のように離散的に表される。
X＝γw｛（yj−yk）Hi＋（yk−yi）Hj＋（yi−yj）Hk ｝
2Δ

γ
Y＝− w ｛（xk−xj）Hi＋（xi−xk）Hj＋（xj−xi）Hk ｝
2Δ

（33）

ここに，Δ：三角形要素の面積，xi，yi：その要素の i 節点の座標，xj，yj 等も同様，Hi，Hj，Hk：三節点の水頭値

４．解析概要4.1

解析モデル

Fig. ５に示す堤防モデルは実際の堤防をモデル化したものである。数字は層番号を表しており，Table.1 は各地盤物性値である。また，有限要素は三角形定ひずみ要素であり，要素数は 4991 である。堤体の単位体積重量，粘着力および内部摩擦角の変動係数については既往の文献５）を参Table.2

Coefficient of variation
Coefficient of variation

Unit weight（γ）

Fig. 5

Cohesion（c）

0.2〜0.4

Internal friction angle（φ）

0.1〜0.2

Analytical model

917.5

8

17.0

rainfallriver level6（a）Increase

16.5
16.0

5
4

15.5
15.0

3

14.5

2

14.0

1

13.5

0

river level (m)7rainfall (mm)0.02〜0.08

13.0
050

100

150

200

250300350（b）Drop

elapsed time t (hr)Fig. 6

Fig .7External force model― 73 ―

Distribution of underground water level in levee市川勇人・中山隆弘

強度の降雨を河川水位急降下時まで設定することとした。

Fig. ９ に Fs と θ の経時変化図を示す。同図によると，全体的挙動についてはよく一致しているが，数値的には大4.2

河川水位及び堤体内水位きな差が見られる。その差は，河川水位が上昇するまでの時間帯の方が，下降する時間帯より顕著である。この原因

浸透流解析の結果，得られた任意の時間の堤体内の水位は，浸透力を要素物体力として作用させる SFEM と円弧分布図を Fig. ７に示す。

すべり法との解析手法の違いによるものである。
4.3

すべり円弧

また，Fig. 10 にθとβの経時変化図を示す。同図によ全体破壊を検討するときに仮定するすべり円弧は，円弧ると，両者の挙動は比較的に良く一致している。したがっすべり法で求まる最小安全率時のすべり円弧を用いることて，河川水位等が変化する堤防の安全性をβで評価する意とした。また，高水位時の安定性を主眼とする観点から，義は大きいものと判断できる。

裏のり側のすべり円弧を対象とした。
5.2

５．解析結果5.1

局所破壊確率5.1 で示した時刻の局所破壊確率の分布のコンター図を，中央安全率と信頼性指標

Fig.11 に示す。同図より，全体破壊のすべり面は，局所破壊確率が大きい区域の境界付近をとおることがわかる。

任意の時間の単一すべり面に対する全体破壊の結果をFig. ８に示す。Fig. ８には，円弧すべり法より求めた安全5.3率 Fs，SFEM により求めた中央安全率 θ（せん断強度及びせん断応力の平均値の比）及び信頼性指標βを示す。ま

設計因子が信頼性指標 β に及ぼす影響粘着力，内部摩擦角及び単位体積重量の設計因子が β にた，浸透流解析より求めた流速ベクトルも示した，及ぼす影響を把握するため，Table.2 に示した各土質定数の変動係数を用いて Ep.（30）に従って β の経時変化を計算した。なお，計算は各土質定数の変動係数の最大，平均，最小値に対して行い，その際，その他２つの土質定数の変動係数についてはいずれも平均値を用いた。

3.02.72.7safety factor（a）130hr

3.02.4safety factor

2.42.1

central safety factoy θ

2.11.81.81.5

central safety factor θFig.12 より変動係数の小さい単位体積重量が β に与える

1.5130150170190210
elapsed time t (hr)

230

250

Fig. 9 Comparison between central safety factor and safety factor

7.0

3.0
2.75.0central safety factoy θ2.4

reliability index β6.0

reliability index β2.1

3.0

1.82.01.51.01.2
130（c）260hr
Fig. 84.0

Results of SFEM analysis and flow velocity distribution

150

170

190

210

elapsed time t (hr)230

central safety factor θ（b）237hr

250

Fig. 10 Comparison between central safety factor and reliability index― 74 ―

構造信頼性理論と確率有限要素解析による河川堤防の浸透破壊確率の評価影響は小さいことがわかる。また，内部摩擦角や粘着力のとを数値的に明らかにできた。一方，変動係数が比較的影響については，本研究の解析モデルが主に礫質土・砂質大きい粘着力や内部摩擦角の影響については，解析モデ土で構成されているため，粘着力の変動の影響よりも内部ルが礫質土・砂質土で構成されているため，内部摩擦角摩擦角の変動が β に与える影響が大きい結果となった。の変動が β に与える影響の方が大きい結果となった。
なお，今後の課題として，バラツキも大きく，浸透流解

６．結論

析結果（堤体内水位の時刻歴）にも大きく影響すると考え

本研究による結論をまとめれば以下の通りである。

られる透水係数の不確定性に対する検討がある。また，本（1）堤防の中央安全率 θ と信頼性指標 β の経時的変化を比研究では地盤物性値の空間的バラツキについては完全相関

較した結果，河川水位の動向に関係なく，ほぼ同じ傾向と仮定したが，その仮定が堤防の信頼性指標に及ぼす影響が得られた。このことより，本手法のような方法により，についても検討を行う必要がある。

河川水位等の変化する堤防の安全性を β で評価すること

謝の意義は大きい。
（2）堤防の局所破壊確率の分布のコンター図を描くことに辞

清水建設（株）技術研究所副所長

鈴木誠氏には研究遂

より，全体破壊のすべり面が，局所破壊確率が大きい区

行上欠かせない解析プログラムを提供していただくなど，域の境界付近をとおることを明らかにできた。

絶大なるご支援をいただいた。また，浸透流解析等におい（3）堤防の粘着力，内部摩擦角及び単位体積重量のバラツては，復建調査設計（株）東京支社支社長

吉浪

康行氏，

キが β に及ぼす影響を把握するため，各土質定数の一般復建調査設計（株）地盤環境部地盤環境課係長的な変動係数の変動幅を用いて β を計算した結果，バラに多大なるご協力を賜った。記して深甚なる謝意を表した

ツキの小さい単位体積重量が β に与える影響が小さいこい。

reliability index β8.0

清水豊氏

Vγ= 0.02
Vγ ave= 0.05
Vγ= 0.08

7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
130150（a）t = 130hr

170190210
elapsed time t (hr)230250230250230250（a）Unit weightreliability index β8.0

Vc = 0.2
Vc ave= 0.3
Vc = 0.4

7.0
6.0
5.0
4.0
3.02.0130150（b）t = 237hr

170190210elapsed time t (hr)（b）Cohesion

reliability index β8.0

Vφ= 0.1
Vφ ave= 0.15
Vφ= 0.2

7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
130（c）t = 260hr
Fig. 11150

170190210
elapsed time t (hr)（c）Internal friction angle
Fig. 12

Contour diagram of local failure probability― 75 ―

Effects of the coefficients of variations on reliability index

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