5Chapter

ベクトル空間と線形写像

この章では，ベクトル空間と線形写像の一般論を学ぶ．ここでは，ベクトルを向きと大きさをもつものとして考えるのではなく，加法とスカラー倍という演算が定義されるものとして考える．次に，ベクトルの線形独立性，基底と次元，ベクトル空間の直和について述べた後，線形写像を定義し，その像と核について説明する．また，基底を用いることによって，ベクトル空間に座標が導入され，線形写像が行列を用いて表されることを説明する．さらに，内積という演算がみたすべき性質にもとづいて，ベクトルの内積を定義することを考える．これにより，ベクトルの大きさや 2 つのベクトルのなす角度を測ることができる．このような一般化により，線形代数の理論がより多くの対象に対して適用できるようになる．

5.1

ベクトル空間

第 1 章と第 2 章では，向きと大きさをもつものをベクトルと定義し，物体に働く力や運動する点の位置や速度などをベクトルと考えた．ここでは，加法とスカラー倍という演算に着目したベクトルの定義を考える．そのために，平面上のベクトルがみたしている演算規則を調べる．
平面上のベクトルについては，基本的な演算である加法 x + y および，スカラー倍 kx（ただし，k は実数）が定義されている．例えば，x = (2, 1) とy = (−2, 3) に対して，

5.1 ベクトル空間

x+y =

 
21

+−23= 
04,

3x = 3 21=135

 63のような計算が実行できる．このような加法とスカラー倍という演算を行うとき，次の演算規則が自由に利用されている．

x + y = y + x,(x + y) + z = x + (y + z),α(x + y) = αx + αy,(α + β)x = αx + βx,

1x = x,α(βx) = (αβ)x.

ここで，x, y, z はベクトルで，α, β はスカラー（実数）である．また，上の6 つの規則の他に，普通の数の世界でいう「0」に相当する特別なものがある．
すなわち，• 特別なベクトル 0 があり，0 + x = x がどんな x に対しても成り立つ．
• どんな x に対しても −x があり，x + (−x) = 0 が成り立つ．の 2 つも演算規則として利用されている．
以上より，平面上のベクトルとは，加法とスカラー倍という演算が定義され，上の 8 つの演算規則をみたすものであると考えてもよいだろう．この見方は，平面上のベクトルに限られたものでない．そこで，加法とスカラー倍が定義され，それらに関して上記のような演算が自由にできる舞台をベクトル空間（線形空間）とよぶことにする．
定義 5.1

空でない集合 V 上に，加法とスカラー倍とよばれる演算で，上記の 8 つの演算規則をみたすものが定義されているとき，V を（実数をスカラー*1 とする）ベクトル空間という．
ここでは，平面上の「矢印」のように向きと大きさをもつものをベクトルとみなすという考え方から，加法とスカラー倍という演算ができて上の 8 つの演算規則をみたすものならば，何であってもベクトルと見なしてもよいという考え方へ移行しているのである．
*1

スカラーという用語の正確な意味については，付録 B を参照せよ．

136

問 5.1

第 5 章 ベクトル空間と線形写像

n 個の実数の組からなるものの集まり
Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn ) | x1 , x2 , · · · , xn は実数}がベクトル空間であることを確かめよ．つまり，x = (x1 , x2 , · · · , xn ) および y =(y1 , y2 , · · · , yn ) に対して，加法とスカラー倍⎛

x1 + y1⎞⎜⎟⎜ x2 + y2 ⎟⎜⎟,x+y =⎜.
⎟.
.
⎝⎠⎛

kx1⎞⎜⎟⎜ kx2 ⎟⎜kx = ⎜ . ⎟⎟⎝ .. ⎠

xn + ynkxnが定義され，上の 8 つの規則が成立していることを示せ．

n  4 のとき，n 個の実数からなる組 x = (x1 , x2 , · · · , xn ) は，もはや矢印で示せるような具体的に目で見える対象ではない．しかし，それらの集まりに対して加法とスカラー倍という演算が定義され，それらが上記の 8 つの規則をみたしているという意味で，n 個の実数からなる組をベクトルと考えてよいのである．このような意味において，Rn を数ベクトル空間とよぶ．例えば，2 個の実数からなる組 (x1 , x2 ) の集まりは数ベクトル空間 R2 であり，平面を表す．
発展 5.1 実数の場合と同様に，n 個の複素数からなる組をベクトルと考えることもできる．このとき，「スカラー」も複素数になる．このようなベクトルを複素ベクトルと．本書では，主として実数の場合のベクトル（実ベクトルという）を扱う．
いう（付録 C）
発展 5.2 閉区間 [a, b] 上で定義された実数値連続関数の全体 C[a, b] は，関数の和f + g とスカラー倍 cf を，それぞれ (f + g)(x) = f (x) + g(x), (cf )(x) = cf (x) によって定義することにより，ベクトル空間とみなせる．

本書では，主に数ベクトル空間 Rn を例にとりながらいろいろな事項を説明していくが，そのうちのほとんどは数ベクトル空間に限らず一般的なベクトル空間においても通用する．

部分空間
例えば，右図のような，平面上の直線 y = 2xを考えてみよう．この図形が，平面 R2 の一部分であることは明らかである．この直線が，W = {sv | v = (1, 2), s は実数}

5.1 ベクトル空間

137で表せることに注意すれば，W 上の 2 つのベクトル s1 v と s2 v を加えあわせた

s1 v + s2 v = (s1 + s2 )vも W 上にあることがわかる．また，W 上のベクトル s3 v を c 倍（c は実数）したベクトルが W 上にあることもc(s3 v) = (cs3 )v
よりわかる．すなわち，W 上に限って加法とスカラー倍という演算を行うとき，得られる結果もまた W 上にある．このとき，W は加法とスカラー倍に関して閉じているという．
この例からわかるように，部分空間（線形部分空間）とは，空間の一部分であって，加法とスカラー倍に関して閉じているものをさす．直観的なイメージとしては，全体空間の中の一部分であり，無限に広がる平らな直線的・平面的図形を思い浮かべればよい．ただし，注意すべきことは，部分空間は，零ベクトル 0 を必ず含むという点である．例えば，原点を通らない直線は平面 R2 の部分空間ではない．以上を踏まえて，部分空間の定義を次のように与える．
定義 5.2

次の条件をみたす W を部分空間という．

(0) 0 は W に含まれる：0 ∈ W .
(1) u1 , u2 が W 上のベクトルならば，u1 + u2 も W 上のベクトルである：

u 1 , u2 ∈ W=⇒ u1 + u2 ∈ W.

(2) u3 が W 上のベクトルならば，cu3 も W 上のベクトルである：
u3 ∈ W=⇒ cu3 ∈ W （c はスカラー）.

✔ 注意 5.1 論理的には，条件 (0) は条件 (1) と (2) に含まれている（条件 (0) を条．しかし，(1) と (2) を与えただけで (0) の成立
件 (1) と (2) から導いてみるとよい）を見抜くことは慣れていなければやや難しいので，ここでは，あえて条件 (0) も部分空間の定義に含めた．

138

第 5 章 ベクトル空間と線形写像

例題 5.1R3 内の平面
W = {(x, y, z) | 2x + y − z = 0}

が R3 の部分空間であることを示せ．
解0 = (0, 0, 0) が W に含まれていることは明らか．u1 = (x1 , y1 , z1 ) と

u2 = (x2 , y2 , z2 ) を W 上のベクトルとすると，2x1 + y1 − z1 = 0,2x2 + y2 − z2 = 0が成り立っている．上の 2 式の両辺の和をとると2(x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) − (z1 + z2 ) = 0であるから，u1 + u2 も W 上のベクトルである．また，u3 = (x3 , y3 , z3 ) をW 上のベクトルとすると，2x3 + y3 − z3 = 0 より2(cx3 ) + (cy3 ) − (cz3 ) = 0 （c は実数）であるから，cu3 も W 上のベクトルである．よって，W は R3 の部分空間

である．
問 5.2

R3 上の点の集合
W = {(x, y, z) | x + y − z = 0, 3x − y + 2z = 0}

について以下の各問に答えよ．

(1) W が R3 の部分空間であることを示せ．
(2) W はどのような図形であるか．

例題 5.1 では，R3 の部分空間の例として原点を通る平面 2x + y − z = 0 を取り上げた．この平面を 1 次方程式でなく，ベクトル方程式の形で表してみよう．平面上の 2 点 A(1, 0, 2) とB(0, 1, 1) をとる．このとき，平面上の任意のベクトル v は

5.2 ベクトルの線形独立性と行列のランク

139−→−→v = s OA + t OB （s, t は実数）−→ −→で表される．よって，この平面は 2 つのベクトル OA と OB を組み合わせたベクトル方程式の形で表される．したがって，R3 内の原点を通る平面である部
分空間 W は−→−→W = {s OA + t OB | s, t は実数}と表されることがわかる．
一般に，k 個のベクトル v 1 , v 2 , · · · , v k を組み合わせてつくられる部分空間としてW = {s1 v 1 + s2 v 2 + · · · + sk v k | s1 , s2 , · · · , sk は実数}を考えることができる．W は v 1 , v 2 , · · · , v kの張る部分空間とよばれ，

W = span{v 1 , v 2 , · · · , v k }と表される．例えば，例題 5.1 の平面は−→ −→W = span{OA, OB}のように表される．
一般的な k 個のベクトル v 1 , v 2 , · · · , v k の張る部分空間については，いくつかの「骨」で張られた「うちわ」をイメージするとよい．つまり，うちわ Wを支えている骨組みが v 1 , v 2 , · · · , v k で，うちわの面が 張られている部分空間なのである．

5.2

ベクトルの線形独立性と行列のランク

この節では，線形代数の理論上の出発点となるベクトルの線形独立性について説明しよう．1.7 節で述べたように，いくつかのベクトルが線形独立であるとは，大まかにいうと，それぞれのベクトルが異なる方向を向いていることを意味する．平面ベクトルの場合と同様に，これは次のように定義される．

140

第 5 章 ベクトル空間と線形写像

定義 5.3ベクトル空間上の k 個のベクトル a1 , a2 , · · · , ak は，次の条件をみたすとき線形独立（1 次独立）であるという．

s1 a1 + s2 a2 + · · · + sk ak = 0 =⇒ s1 = s2 = · · · = sk = 0.
この定義は，k 個のベクトルが異なる方向を向いているということを数学的に正確に表現したものであり，どんな空間においても通用する定義である．定義 5.3 の意味がよく理解できない場合は，1.7 節をもう 1 度読み直して復習してほしい．
例題 5.2

a1 = (1, 2, −1), a2 = (2, 1, 0), a3 = (0, −1, 1) は線形独立であることを示せ．
解s1 a1 + s2 a2 + s3 a3 = 0 =⇒ s1 = s2 = s3 = 0が成り立つことを示せばよい．s1 a1 + s2 a2 + s3 a3 = 0 は s1 , s2 , s3 の連立

1 次方程式(1)⎛ ⎞s1⎜ ⎟⎜A ⎝s2 ⎟
⎠ = 0,s3⎛

1⎜
A = (a1 a2 a3 ) = ⎜⎝2−120⎞⎟1 −1⎟⎠
0 1と見ることができる．A の行列式を第 1 行に関する余因子展開によって計算すると
1 2 02
1 −1

|A| =  2 1 −1 = 1 · 
−2·
−1

0 1

−1 0 1 −1
 = −1 = 01

であるから，定理 4.5 より A は逆行列をもつ．よって，式 (1) の両辺に A−1を左から掛けると

⎛ ⎞s1
⎜ ⎟
⎜s2 ⎟ = A−1 0 = 0⎝ ⎠s3

5.2 ベクトルの線形独立性と行列のランク141となり，s1 = s2 = s3 = 0 を得る．したがって，a1 , a2 , a3 は線形独立であることがわかる．

上の例題の解答を見ればわかるように，R3 上の 3 個のベクトル a1 , a2 , a3が線形独立であるかどうかは，これらを並べてつくられる行列 A = (a1 a2 a3 )の行列式 |A| の値が 0 でないかどうかで決まる．一般に，Rn 上の n 個のベクトルの線形独立性に関しては，次の定理が成り立つことが知られている．
定理 5.1

Rn 上の n 個のベクトル a1 , a2 , · · · , an が線形独立であるための必要十分条件は，det(a1 , a2 , · · · , an ) = 0 である．
系 5.1

Rn 上の n 個の線形独立なベクトル a1 , a2 , · · · , an を並べて得られる行列 A = (a1 a2 · · · an ) は正則である（逆行列をもつ）．
✔ 注意 5.2 例題 5.2 と同様に考えると，定理 5.1 の「十分条件」
det(a1 , a2 , · · · , an ) = 0 =⇒ a1 , a2 , · · · , an は線形独立を証明することができる．しかし，この逆を示すのはやや難しい．実際，

a1 , a2 , · · · , an は線形独立 =⇒det(a1 , a2 , · · · , an ) = 0

は連立 1 次方程式の解の構造定理（定理 3.3）を用いて示される．
問 5.3

R4 上のベクトル a1 = (0, 0, 1, −1), a2 = (1, 1, −1, 0), a3 = (0, 1, 1, −1),

a4 = (0, 1, −1, 0) が線形独立であることを示せ．

例題 5.2 では，R3 上の 3 つのベクトル a1 = (1, 2, −1), a2 = (2, 1, 0),

a3 = (0, −1, 1) が線形独立であることを示した．このとき a1 , a2 , a3 のうちの一部，例えば a2 , a3 は線形独立である．方向の異なるベクトルの中からいくつかのベクトルを選んだとき，その中に方向が同じものがあるはずはない．
また，P が逆行列をもつとき，P a1 , P a2 , P a3 は線形独立である．これは，直観的には次のように考えてみるとよい．P a1 , P a2 , P a3 のうちの一部，例
えば P a1 , P a2 が同じ方向になってしまったとしよう．このとき，a1 , a2 のつくる平行四辺形を P で移して得られる図形は P a1 , P a2 でつくられるが，これは平行四辺形ではなく線分につぶされている．つぶれてしまったものを逆に

142

第 5 章 ベクトル空間と線形写像戻すこと（P の逆変換）は不可能であり，P が逆行列をもつことに反する．
✔ 注意 5.3 P が正則行列，つまり，逆行列をもつための条件として，P の行列式が0 でないということはよく知られている（定理 4.5）．これは P が正則であるということを行列式によって特徴付けたものである．しかし，P が逆行列をもつということの本質は，「方向の異なるベクトルは，P によって方向の異なるベクトルに移される」にあるといってよい．ちなみに，P が正則であるとき，P a1 , P a2 , P a3 が線形独立であることは次のようにして証明できる．

s1 P a1 + s2 P a2 + s3 P a3 = 0
とおく．P は逆行列をもつので，上式の両辺に P −1 を左から掛けると，

s1 P −1 P a1 + s2 P −1 P a2 + s3 P −1 P a3 = P −1 0∴ s1 a1 + s2 a2 + s3 a3 = 0.
a1 , a2 , a3 は線形独立なので，s1 = s2 = s3 = 0 である．よって，P a1 , P a2 , P a3は線形独立である．この議論に行列式が全く現れないことに注意してほしい．

以上の考察は，次のようにまとめられる．
命題 5.1k 個のベクトル a1 , a2 , · · · , ak が線形独立であるとき，このう

ちの  個のベクトル ai1 , ai2 , · · · , ai は線形独立である．

命題 5.2

P を正則行列とするとき，a1 , a2 , · · · , ak は線形独立 ⇐⇒ P a1 , P a2 , · · · , P ak は線形独立

問 5.4

上の 2 つの命題を証明せよ．

例題 5.2 では，R3 上の 3 個のベクトルの線形独立性を調べたが，その目的は Rn 上の n 個のベクトルの線形独立性を調べることにある．次に，もう 1 歩だけ話を進めて，Rn 上の k 個（k = n でもよい）のベクトルの線形独立性を調べてみよう．

5.2 ベクトルの線形独立性と行列のランク

例題 5.3143

R4 上の 5 個のベクトル
⎞

⎛
1

⎜ ⎟
⎜2⎟⎜ ⎟a1 = ⎜ ⎟ ,
⎜−1⎟
⎝ ⎠3

⎞
−3⎜ ⎟⎜−2⎟⎜ ⎟a4 = ⎜ ⎟ ,⎜9⎟⎝ ⎠−5⎛⎛ ⎞0⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜ ⎟a2 = ⎜ ⎟ ,
⎜1⎟
⎝ ⎠0
⎛ ⎞1
⎜ ⎟⎜4⎟⎜ ⎟a5 = ⎜ ⎟⎜2⎟⎝ ⎠5⎞⎛
1

⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜ ⎟a3 = ⎜ ⎟ ,⎜−3⎟⎝ ⎠
1の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数を求めよ．
解3.5 節で説明した行列の行に関する基本変形を用いる．

A = (a1 a2 a3 a4 a5 )⎛1 0 1 −3⎜⎜ 2 1 1 −2⎜=⎜⎜−1 1 −3 9⎝
3 0 1 −5⎞
1⎟4 ⎟
⎟
⎟
2 ⎟
⎠
5

とおく．A に次の行基本変形を行い，階段行列の形に直す．

(1) 第 2 行−第 1 行× 2，
第 3 行+第 1 行，
第 4 行−第 1 行× 3(2) 第 3 行−第 2 行(3) 第 4 行−第 3 行× 2(4) 第 3 行÷ (−1)(5) 第 1 行−第 3 行，
第 2 行+第 3 行

a112−1310001000100010001000b1a2011001100100010001000100b2a311−31
1−1−2−21−1−1−21−1−101−1
100010b3

a4−3−2
9−5−34
64−34
24−3
4
20−3
4−2
0−12−20b4

a51425123212121210
12−102
1−10b5

144

第 5 章 ベクトル空間と線形写像

ここで，

⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
100⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟b2 = ⎜ ⎟ ,b3 = ⎜ ⎟ ,b1 = ⎜ ⎟ ,⎜0⎟⎜0⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠000⎛ ⎞⎛ ⎞−12⎜ ⎟⎜ ⎟⎜2⎟⎜1⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
b5 = ⎜ ⎟b4 = ⎜ ⎟ ,⎜−2⎟⎜−1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠00とおくと，b1 , b2 , b3 は線形独立で，b4 = −b1 + 2b2 − 2b3 ,(1)b5 = 2b1 + b2 − b3が成り立つことがわかる．ところで，行列 B = (b1 b2 b3 b4 b5 ) は，A に対して行基本変形を何回か行って得られる行列である．したがって，3.5 節で説明したことから，ある正則行列 P を用いて B = P A と表すことができる．
これより，(b1 b2 b3 b4 b5 ) = P (a1 a2 a3 a4 a5 ) = (P a1 P a2 P a3 P a4 P a5 )を得る．b1 , b2 , b3 は線形独立なので，命題 5.2 より

a1 = P −1 b1 ,a2 = P −1 b2 ,a3 = P −1 b3も線形独立であることがわかる．また，式 (1) の両辺に P −1 を掛けて(2)a4 = −a1 + 2a2 − 2a3 ,a5 = 2a1 + a2 − a3を得る．すなわち，a4 , a5 は，a1 , a2 , a3 の組み合わせの形（a1 , a2 , a3の線形結合（1 次結合）という）で表される．よって，a1 , a2 , a3 , a4 , a5のうちには，最大で 3 つの線形独立なベクトルがある．
問 5.5

R3 上の 4 つのベクトル a1 = (0, 1, −2), a2 = (4, 3, 0), a3 = (2, 2, −1),

a4 = (2, 1, 1) の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数 r を求めよ．また，この

5.2 ベクトルの線形独立性と行列のランク145

4 つのベクトルの中から r 個の線形独立なベクトルを選び出し，残りのベクトルをそれらの線形結合で表せ．

ところで，例題 3.7 を思い出すと，上の例題 5.3 で取り上げた 5 つのベクト
ル a1 , a2 , a3 , a4 , a5 からなる行列

A = (a1 a2 a3 a4 a5 )のランクと，A に行基本変形を行って得られた行列

B = (b1 b2 b3 b4 b5 )のランクは等しく，

r(A) = r(B) = 3であることがわかる．したがって，例題 5.3 の内容を一般的な形で整理して述べると，次のようになる．
命題 5.3A に行基本変形を行っても，ランクの値は変わらない．つまり，r(P A) = r(A) が成り立つ．ここで，P は基本行列である．

命題 5.4

行列 A に含まれる線形独立な列ベクトルの最大個数は，A のランク r(A) に等しい．
このように，行基本変形を利用すると，列ベクトルの線形独立性を調べることができる．証明は省略するが，列基本変形に対しても，同様に次が成り立つことが知られている．
命題 5.5

A に列基本変形を行っても，ランクの値は変わらない．つまり，r(AQ) = r(A) が成り立つ．ここで，Q は基本行列である．

命題 5.6

行列 A に含まれる線形独立な行ベクトルの最大個数は，A のランク r(A) に等しい．

146

第 5 章 ベクトル空間と線形写像✔ 注意 5.4 行基本変形を利用して列ベクトルの線形独立性が調べられるのと同様に，列基本変形を利用して行ベクトルの線形独立性が調べられるのは，次の命題が成り立つことによる（列基本変形は転置行列の行基本変形に等しい）．

命題 5.7

行列 A とその転置行列 tA のランクは等しい*2 ．すなわち，r(A) =r(tA)．
ここで，以上の結果を改めてまとめておこう．
定理 5.2 （ランクの基本性質） 行列 A に対し，以下はすべて同値である．

• r(A) は A に含まれる線形独立な行ベクトルの最大個数に等しい．
• r(A) は A に含まれる線形独立な列ベクトルの最大個数に等しい．
• r(A) は A のランク標準形 Ã に現れる 1 の個数である．
いくつかのベクトルが与えられたとき，それらが線形独立であるかどうかを判定する次の主張が，上の定理より直ちに導かれる．
系 5.2

Rn 上の k 個のベクトル a1 , a2 , · · · , ak が線形独立であるための必要十分条件は，行列 A = (a1 a2 · · · ak ) のランクが k であることである．
問 5.6

R4 上の 3 つのベクトル a1 = (1, 2, −1, 0), a2 = (2, 1, 0, 1), a3 = (0, −1,1, 1) が線形独立であることを示せ．

行列が与えられたとき，その中に含まれる線形独立な列ベクトルあるいは行ベクトルの最大個数がただ 1 通りに決まることは明らかである．それゆえ，行列を基本変形によってランク標準形に変形したとき，最終的に現れる 1 の個数は，基本変形の仕方によらずただ 1 通りに決まるのである．言い換えれば，行列の基本変形とは，行ベクトルや列ベクトルの線形独立性を保つような計算方法なのである．

*2 ランク標準形に現れる線形独立な列（行）ベクトルは標準的な単位ベクトルであり，その個数は列ベクトルの場合でも行ベクトルの場合でも同じであることに注意せよ．