249

日本ガスタービン学会誌

Vol.48No.4

2020.7

翼・ディスク系の共振応答と不釣合い量の多目的最適化に関する研究
Study on The Optimization of Blade Resonant Response and Amount of Unbalance
金子 康智＊1

渡邉 敏生＊2

古川 達也＊3

KANEKO Yasutomo

WATANABE Toshio

FURUKAWA Tatsuya

ABSTRACTThis study proposes a practical optimization method of bladed disks that makes resonant response and amount ofunbalance of the bladed disk small by sorting the blades on a disk. To verify the proposed optimization method, first,
the original mistuned bladed disk is generated by Monte Carlo simulations. Second, the optimal bladed disk with asmall amplification factor and a small amount of unbalance is searched by using Monte Carlo simulations and thegenetic algorithm. The amplification factor and the amount of unbalance of the optimal bladed disk are compared withthose of the original bladed disk. In addition, the amount of unbalance of the optimal bladed disk is also comparedwith that by the conventional balancing method. From the analysis results, the validity of the proposed optimization
method is verified. Applying the proposed method, the reliability of bladed disks can be increased without increasing
the manufacturing cost.
キーワード：ガスタービン，蒸気タービン，強制振動，ミスチューニング，不釣合い量，最適設計
Key words : Gas Turbine, Steam Turbine, Forced Vibration, Mistuning, Amount of Unbalance, Optimal Design
する方法も検討されている⑶。

．緒言
ターボ機械の動翼の損傷原因は，高サイクル疲労や腐一方，これらの設計段階での対策とは別に，可変速機食疲労など振動に起因するものが最も多く，設計段階でで明瞭な加振力との共振回避が困難な単独翼構造の翼・翼に発生する振動応力を正確に予測し，振動強度を向上ディスク系（翼させることが不可欠になっている。このため，翼の共振有する翼・ディスク系）に対しては，翼を製作した後に応力を低減させるために，従来の翼設計では，個々の翼の固有振動数を計測し，明瞭な加振力との共⑴運転回転数範囲内で明瞭な加振力との共振を回避させ振応力が最小になるようにディスク上に翼を配置するこ本

本をディスクに植え込む翼構造をとが共振応力低減対策として有効であると考えられる⑷。

る。
⑵動静翼間距離の拡大などにより加振力を低減させる。

なお，明瞭な加振力とは，偏流による低次のハーモニッ⑶クロッキングや非対称配置静翼構造を利用して加振力

ク加振力や翼列干渉による加振力のように，翼の振動強を低減させる⑴。

度設計において強度評価が必要な加振力を意味している。

⑷プラットフォーム型ダンパやシュラウド翼構造などを⑵

このため本研究では，個々の翼の固有振動数計測結果と重量計測結果を利用して，翼の共振応答と軸振動の原因採用して構造減衰を付加する 。などの対策が取られてきた。また，ミスチューンによるになる不釣合い量を同時に考慮した最適配列を探索する

共振応答の増大効果を抑制するため，設計段階で個々の手法を提案する。具体的には，Fig. 1に示すような振動翼に意図的なミスチューンを与え，工作誤差や材料定数試験により全数の翼の固有振動数を計測した後，計測しの変動により生じるランダムミスチューンの影響を緩和た翼の固有振動数分布と質量分布に対応する翼・ディスク系（ミスチューン系）の解析モデルを作成する。つぎ＊＊＊

原稿受付 2019年11月28日
査読完了 2020年 月18日
龍谷大学
〒520-2194 大津市瀬田大江町横谷 ‑E-mail: y̲kaneko@rins.ryukoku.ac.jp
三菱重工業㈱〒676-8686 高砂市荒井町新浜 ‑ ‑三菱日立パワーシステムズ㈱〒676-8686 高砂市荒井町新浜 ‑ ‑に，ミスチューン系に発生する共振応答と不釣合い量の解析を行い，モンテカルロ法や最適化手法DDE（DiscreteDiﬀerential Evolution）⑸を利用して，共振応答と不釣合い量の両方が最適になる翼の配列を求める。DDEは遺伝的アルゴリズムに基づく最適化手法であり，整数や離散的な変数を効率良く取り扱うことができる。最適配列を求めるためには，翼・ディスク系の共振応答解析を繰
ー 67 ー

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250

翼・ディスク系の共振応答と不釣合い量の多目的最適化に関する研究

Tapping hammer

日本ガスタービン学会誌である。また， 1 は翼に作用するモーダル加振力の振Microphone

幅（実数）である。ωは加振力の角振動数，φ は翼・FFT

ディスク系が回転することによって生じる位相角であり，

Blade

ロータの回転数をΩ ，加振力のハーモニック数を とす
ると式⑶で表すことができる。

Test blockwith groove

Pushing rodHydraulic jack⑶

式⑴の解を式⑷のように仮定し，モーダル法を適用す
ると，すなわち実験結果から得られるモーダル減衰を組
Test table

み込んで加振ハーモニック数 に対する周波数応答を求Fig. 1 Set-up for frequency measurement of blade

めると，式⑸が得られる。
⑷

り返し行うことが必要になるため，計算負荷が小さい等⑸

価ばね・質量モデル⑹を利用する。
提案する最適化手法を典型的な単独翼構造の翼・ディスク系モデルに適用して数値シミュレーションを行い，共振応答や不釣合い量の低減効果を確認するとともに，⑹従来のバランス法との比較を行う。
ここで下添え字は全周の翼・ディスク系を表してい．解析方法る。また，{φ }とω は，式⑴の右辺を零とおいた固有.

値方程式から求まる翼・ディスク系全体の固有ベクトルミスチューン系の共振応答解析

単独翼構造の翼・ディスク系をFig. 2に示す等価ばね・質量モデルで表す。Fig. 2において，1, k 1,の等価質量，等価剛性，等価減衰係数であり，1は翼と固有振動数であり，下添え字 は振動モードの次数を表す。k はモーダル剛性，ζはモーダル減衰比である。

, k32はディスクの等価質量，等価剛性である。また，k 4はディスクの周方向の連成を表す等価剛性である。上添え字 がついている量は個々の翼で値が異なることを示す。

k4

略し，「等価質量」は単に「質量」として説明する。なm2

お，Fig. 2の等価ばね・質量モデルは，翼・ディスク系

k3の振動特性を表すことができる最も単純な力学モデルであり，や21

k1i

k1i −1

簡単のため，以下の説明では「等価」という語句を省の運動方向は 方向のみである。すなわち，

k 1，k 3，k 4は何れも 方向の変位に対するばねになる。
Fig. 2に示す翼・ディスク系が，偏流などに起因するハーモニック加振力を受けるとき，翼・ディスク系全体の運動方程式は式⑴で表すことができる。ただし，減衰項はモーダル減衰として導入するので式⑴では省いている。これは，翼の減衰は翼構造やモード毎にモーダル減衰として整理されることが多く，既存の設計データを解析に反映し易くするためである。

k4m2

k3

k1i +1m2

k4k3
ΩFig. 2 Analysis model of bladed disk.

ミスチューン系の不釣合い量の解析

翼・ディスク系を構成する 番目の翼の質量を式⑺1で定義すると，不釣合い量 は式⑻から計算することができる。
⑺⑴⑻

ここで，01

1100

1120}={}, {+1}={4⑼

ここで，⑵0で あ り，{31}（ ： 全 周 の 翼 枚 数 ）はディスク上の全翼の質量の平均値，Δ

は 番目の翼の質量の偏差，θ は1番目の翼を基準にして測った 番目の翼の周方向の取付け角度であり，式⑼で表すことができる。なお，ディスク翼溝の周方向位置ー 68 ー
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1Vol.48No.4

2020.7については偏差が小さいと考え，Δθ=0と仮定している。
0251

翼・ディスク系の共振応答と不釣合い量の多目的最適化に関する研究

は翼の重心までの半径であり，各翼の重心は同一半⑵下記のケースについて，オリジナルミスチューン系の翼の質量分布（Δ1/1の分布）を生成する。

径上にあると仮定している。なお，大型の翼では，各翼・Case 1 : 翼の固有振動数と質量との間には明確な相の重量と重心位置を計測してロータのバランシングを行関はなく，翼質量の分布は翼の固有振動数の分布とうが，この場合は式⑻を式⑽のように変更すれば良い。

は独立に正規分布（変動係数ここで，%）に従うと仮定したケース。

は 番目の翼の重心までの半径である。

・Case 2： 翼質量の分布と翼の固有振動数の分布に強い相関がある，すなわち相関係数の絶対値が⑽に近いと仮定したケース。
なお，ここで生成する翼質量の分布は各翼の固有振動数.の分布とは無関係であり，バランシングだけに使用され最適ミスチューン系の定義

本研究では，ハーモニック加振力により生じる翼の共る。

振応答と軸振動の原因になる不釣合い量を同時に考慮し⑶ ⑴で生成した固有振動数の分布と⑵で生成した翼質て最適な翼の配列（最適ミスチューン系）を求めるが，量の分布を割り当てた

具体的には式⑾の目的関数を最小にするミスチューン系ジナルミスチューン系）について，モンテカルロ法やを最適ミスチューン系と定義している。

DDEを適用して式⑾の目的関数を最小にする最適解を⑾⑿

ケースのミスチューン系（オリ求める。すなわち，翼の共振応答と軸振動の原因になる不釣合い量を同時に考慮した最適な翼の配列（最適ミスチューン系）を求める。

⒀
はチューン系に対するミスチューン系のFrequency [Hz]ここで，共振応答の増大率（Ampliﬁcation factor）であり式⑿で定義される。

は翼の配列を変更する前の不釣合い量と配列変更後の不釣合い量とはととの比率である。また，

1st mode familyに対する重み係数である。本研究では，提案する手法が実際の翼の開発に適用できるかどう
No. of nodal diametersかを検証することを目的にしており，一番単純なケースとして，今回の計算ではとFig. 3 Natural frequency of bladed diskを何れも1.0にしている。

．解析結果
.

Fig. 4は，個々の翼の剛性（k 1）の偏差が正規分布（変動係数解析モデル%）に従うと仮定してモンテカルロ法（解析回Fig. 3に解析に使用した翼・ディスク系（ =28）の固数10,000回）で求めた各翼に生じる最大共振振幅のヒス有振動数を示す。翼・ディスク系の共振応答の解析では，トグラムである。Fig. 5は共振応答が最大になるワース次モード族と偏流（ =4）との共振を解析対象にしてトミスチューン系（オリジナルのミスチューン系）の周おり，翼・ディスク系の対数減衰率（δ）は全てのモー波数応答解析結果であり，28枚の翼の周波数応答を重ねドに対して0.01（モーダル減衰比に換算するとζ≒δ/書きしている。なお，各翼に生じる最大共振振幅は式⑸（2π）=0.159%）と仮定している。最適ミスチューン系から求めた応答振幅の最大値であり，以下の説明では各の探索は，以下の手順で実施している。

翼の最大共振振幅をチューン系の共振振幅で正規化した⑴ 単 独 翼 の 剛 性（k 1） の 偏 差 が 正 規 分 布（ 変 動 係 数（式⑿）で表示している。

%）に従うと仮定し，モンテカルロ法によりワーストFig. 4に示すように，ミスチューンを有する翼・ディミスチューン系（共振振幅が最大になるミスチューンスク系では，固有振動数の分化や振動モードの局在化系）を求め，このワーストミスチューン系をオリジナル

により，ほとんどの翼の共振応答はチューン系よりものミスチューン系と定義する。すなわち，ミスチューン小さくなりディスク上の数枚の翼のみに大きな振幅が発が小さい場合には，ミスチューンの原因に拘わらず各翼生する。従って，ミスチューン系の共振応答の平均値はの共振応答の偏差は各翼の固有振動数の分布だけで説明

チューン系よりも小さくなるが，振幅最大の翼が破損できるため，ここでは翼の固有振動数の偏差を翼剛性を引き起こすため，ミスチューンにより発生する最大（k 1）の偏差として与え，共振応答が最大になる翼の固振幅を小さくすることが必要になる。Fig. 5に示すよう有振動数の分布を求める。に，オリジナルのミスチューン系でも大部分の翼の共振ー 69 ー

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翼・ディスク系の共振応答と不釣合い量の多目的最適化に関する研究

振幅はチューン系より小さくなっているが，数枚の翼に日本ガスタービン学会誌数の偏差である。

チューン系よりも大きな共振振幅が発生しており，最大Case 1の最適計算では，Fig. 5とFig. 6の特性を持つ

共振振幅の大きさはチューン系に対して1.59倍に増大しオリジナルのミスチューン系に対して，ディスク上の翼ている。の配列を変え，共振振幅と不釣合い量を同時に考慮した最適なミスチューン系を求めている。
Tuned. .

モンテカルロ法による最適化（Case 1） Fig. 7

はモンテカルロ法（解析回数10,000回）を利用してCaseNo .of blades1に対する最適ミスチューン系を求めた結果を示している。Fig. 7から分かるようにオリジナルのミスチューン系（図中の青丸，=1.00，=1.59）に対して最適ミスチューン系（図中の赤丸）では，Max. 1.59は0.0038に，は1.21に低下している。Fig. 8は，モンテカルロ法で求めた最適ミスチューン系に対する周波数応答解析結果（Ampliﬁcaon factor=1.21）を示している。Fig. 8に示すように，最適ミスチューン系ではオリジナルのミスチューン系（Fig. 5）

Fig. 4 Histogram of ampliﬁcation factorと比較して最大共振振幅が1.21まで低下するともに，全翼の共振振幅のバラツキが小さくなっている。

AF=1.59

Amplification factor

Fig. 9は オ リ ジ ナ ル の ミ ス チ ュ ー ン 系 と 最 適 ミ ス
チューン系の翼質量の分布を示している。また，Fig. 9
中には，オリジナルのミスチューン系と最適ミスチューTuned

ン系の不釣合い量の値（式⒀の）を記入している。

Fig. 9に示すように，オリジナルの翼の配列（=1.0）に対して翼を並び替えるだけで，最適ミスチューン系では共振応答を低減できるだけでなく不釣合い量を0.0038まで低減できている。なお，本研究の目的は実際の翼設

Excitaon frequency [Hz]計に適用できる「翼の共振応答とロータの不釣合い量をFig. 5 Frequency response of original bladed disk

数と質量の相関が無いケース（Case 1）と翼の固有振動数と質量の相関が大きいケース（Case 2）について，オリジナルミスチューン系の翼の配列を変更し，式⑾のが最小になる最適ミスチューン系を求める。
.

翼の固有振動数と質量には相関がないと仮定したCase 1の最適化

Fig. 6は翼の固有振動数と質量に相関がないと仮定して生成した翼質量の分布と翼の固有振動数の関係を示し
次モードの固有振動数の平均値，Δ 1 は 番目の翼の次モードの固有振動

Frequency deviation, ∆ / ̅ [ %]ている。Fig. 6において 1 は翼のOriginal (1.00, 1.59)

Amplification factor, AF

以下の最適ミスチューン系の探索では，翼の固有振動

Optimal(0.0038, 1.21)

AF+UF=Opmal

Unbalance factor, UF
Fig. 7 Pareto optimal solution for ampliﬁcation
and unbalance factor by MCS（Case 1）

Amplification factor

AF=1.21Mass deviaon,

∆/[%]

Tuned

Excitaon frequency [Hz]Fig. 6 Distribution of blade frequency and mass oforiginal mistuned bladed disk（Case 1）

Fig. 8 Frequency response of optimal
bladed disk by MCS（Case 1）

ー 70 ー
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No.4

2020.7[ %]Original(UF=1.0)

253

翼・ディスク系の共振応答と不釣合い量の多目的最適化に関する研究

ミスチューン系の翼質量の分布を示している。Fig. 11/数を100回程度にすれば，∆に示すように，DDEで最適計算を行う場合には反復回束する。また，これらの解析結果から分かるように，オMass deviation,

Vol.48の値は最小値に収て最適ミスチューン系では，リジナルミスチューン系（=1.00，=1.59）に対しは0.038に，は1.16に低下している。モンテカルロ法で求めた最適値（Opmal(UF=0.0038)=1.214） に 比 べ る とDDEで 求 め た 最 適 値（=1.200）の方が僅かに改善されているが，ほぼ同

Blade No.

Fig. 9 Original and optimal unbalance factor by MCS（Case 1）等の最適解が得られている。なお，DDEで求めた最適はモンテカルロ法で求めた最適よりも僅かに改善同時に低減する手法の開発と検証」であり，それを実現されているが，DDEで求めた最適はモンテカルロ法する手段としてで求めた最適（個のパラメータを組み合わせた指標）を利用している。従って，解析結果の評価は，最適化指標とともにやの個々のよりも改悪になっている。最適解に占めるとの割合は，⑾のと）を変更すればコントロールできる。とに対する重み係数（式値で議論している。
Fig. 10は，従来のバランス法を使用してオリジナル
Opt. index (AF + UF)

ミスチューン系の翼の配置を変更したときの翼質量の分布を示している。従来のバランス法では，翼質量の小さい順に翼を並べ，翼質量の近い翼同士が180°対抗する位置にくるように翼を配置していく。Fig. 10から分かるように，従来のバランス法ではリジナルの状態（=0.1296であり，オ=1.0）に比べると不釣合い量は低Opmal
1.200減しているが，依然として不釣合い量が残っている。一方提案する手法では，Fig. 7，Fig. 8，Fig. 9に示すようIteraon No.に共振振幅を低減すると同時に，不釣合い量についても=0.0038（従来のバランス法の不釣合い量のFig. 11

Convergence of optimal solution by DDE（Case 1）%）に

Amplification factorAF=1.16

UF=0.1296

Tuned

Mass deviation,∆/[ %]低減できている。

Excitaon frequency [Hz]Fig. 12 Frequency response of optimal bladed disk by DDE（Case 1）

Blade No.

. .

[ %]

Fig. 10 Mass distribution by conventional balancing（Case 1）

DDEによる最適化（Case 1） DDEを利用した（世代数）200，突然変異確率0.70，交叉確率0.85にして∆解析した。これらのパラメータを変更した計算も行った

Mass deviation,/最適ミスチューン系の探索では，個体数100，反復回数が，最終的に得られる最適化指標値は小数点（式⑾）の桁までは同一であり有意な差はなかった。

Fig. 11にはDDEで最適化計算を行ったときの最適化指標の収束状況を示しており，Fig. 12は最適ミスチューン系に対する周波数応答解析結果を示していOpmal(UF=0.038)

Blade No.

Fig. 13 Original and optimal unbalance factor by DDE（Case 1）

る。また，Fig. 13はオリジナルミスチューン系と最適ー 71 ー
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Original(UF=1.0)

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翼の固有振動数と質量の相関が大きいと仮定した

[ %]

.

翼・ディスク系の共振応答と不釣合い量の多目的最適化に関する研究

Case 2の最適化
定して生成した翼質量の分布と翼の固有振動数の関係を∆示している。Case 2の最適計算では，Fig. 5とFig. 14のMass deviation,特性を持つオリジナルのミスチューン系に対して，ディスク上の翼の配列を変え，共振振幅と不釣合い量を同時に考慮した最適ミスチューン系を求めている。
. .

UF=0.9214/Fig. 14は，翼の固有振動数と質量の相関が強いと仮

日本ガスタービン学会誌

モンテカルロ法による最適化（Case 2） Fig. 15

Blade No.

は モ ン テ カ ル ロ 法（ 解 析 回 数10,000回 ） を 利 用 し て

Fig. 16 Mass distribution by conventional balancing（Case 2）

Case 2に対する最適ミスチューン系を求めた結果を示. .

している。Fig. 15から分かるようにオリジナルのミスチューン系（図中の青丸，=1.00，=1.59）に対して最適ミスチューン系（図中の赤丸）では，に，は0.024

DDEによる最適化（Case 2） DDEを利用した

最適ミスチューン系の探索では，Case 1と同様に，個体数100，反復回数（世代数）200，突然変異確率0.70，交叉確率0.85にして解析した。Fig. 17にはDDEで最適化計は1.18に低下している。

Fig. 16は従来のバランス法を使用してオリジナルミ算を行ったときの最適化指標の収束状況を示

スチューン系の翼の配置を変更したときの翼質量の分布しており，Fig. 18は最適ミスチューン系に対する周波数を示している。Fig. 16から分かるように，従来のバラン応答解析結果を示している。また，Fig. 19はオリジナル

ス法では=1.0）のミスチューン系と最適ミスチューン系の翼質量の分布に比べると不釣合い量はほとんど低減せず，不釣合いを示している。Fig. 17に示すように，Case 2においても量が残っている。一方提案する手法では，Case 2の場合

Case 1（Fig. 11）と同様に，DDEで最適計算を行う場

でもFig. 15に示すように共振振幅を低減すると同時に，合には反復回数を100回程度にすれば，不釣合い量についてもは最小値に収束している。また，これらの解析結果から=0.9214であり，オリジナルの状態（%）まで低減できている。

Frequency deviation, ∆ / ̅ [ %]不釣合い量の=0.024（従来のバランス法のの値分かるように，オリジナルのミスチューン系（=1.00，=1.59）に対して最適ミスチューン系では，は0.103（従来のバランス法の不釣合い量の11%）に，は1.16に低下している。すなわち，翼の固有振動数と質量の相関が強いCase 2についても，共振応答を低減できると同時に，従来のバランス法よりも不釣合い量を大幅に低減できることが示されている。さらにFig. 18に示すように，最適ミスチューン系ではオリジナルのミスチューン系（Fig. 5）と比較して最大共振振幅が1.16まで低下する
ともに，全翼の共振振幅のバラツキが小さくなっている。
Mass deviaon,∆/[%]

Opt. index (AF + UF)

Amplification factor, AF

Fig. 14 Distribution of blade frequency and mass oforiginal mistuned bladed disk（Case 2）

Original (1.00, 1.59)

Opmal1.258

Iteraon No.
AF+UF=Opmal

Fig. 17 Convergence of optimal solution by DDE（Case 2）

Optimal(0.024, 1.18)

Unbalance factor, UF
Fig. 15 Pareto optimal solution for amplification
and unbalance factor by MCS（Case 2）

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2020.7

翼・ディスク系の共振応答と不釣合い量の多目的最適化に関する研究

255に計測していた翼の固有振動数と重量だけを利用しておAF=1.16
Amplification factor

り，本手法を設計開発プロセスに組み込めば，コストをほとんど増加させることなく，製品の信頼性向上に寄与できると考えられる。

Tuned

本手法を設計プロセスに組み込むためには，実機計測による精度検証，および等価ばね・質量モデルに代わる解析モデルの高度化が必要になる。また，翼・ディスク系の固有振動数と軸の危険速度が近接している場合について，提案する手法の適用限界を検証することも必要で

Excitaon frequency [Hz]ある。解析モデルの高度化については，FMM⑺ などのFig. 18 Frequency response of optimal bladed disk by DDE（Case 2）低次元モデルを使用した検証を実施中であり，計算コス

Mass dMevaisastidoenv,iati∆on [%/]

[ %]トなども含めて，今後，公表する予定である。
Original(UF=1.0)

参考文献⑴⑵
Opmal(UF=0.103)

Blade No.

⑶

Fig. 19 Original and optimal unbalance factor by DDE（Case 2）．結論
本研究では，翼・ディスク系に対する実用的な信頼性向上対策として，加振試験から得られる各翼の固有振動⑷数分布と重量計測から得られる各翼の質量分布を用いて，ディスク上の翼の配列を変更することにより共振応答と不釣合い量を同時に考慮した最適配列を探索する手法を提案した。さらに，提案した手法の有効性を検証するた⑸

め，典型的な単独翼構造の翼・ディスク系に対して最適ミスチューン系を求めた。その結果，提案した手法を適用すると共振応答を低減できると同時に，従来のバラン⑹ス法よりも不釣合い量を大幅に低減できることが確認できた。
本論文の計算はすべてノートPC（Intel® Core™ i78565U@1.80GHz 1.99GHz） に 搭 載 し たMatlabで 行 っており，ケース当たりの計算時間はモンテカルロ法⑺（Fig. 7）の場合は13.0分，DDE（Fig. 11）の場合は8.7分であった。また，本手法では，従来，品質管理を目的

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