通信理論に特化した深層学習
第２回ゼミ資料
並列干渉除去法
豊橋技術科学大学
電気・電子情報工学系
准教授 竹内啓悟

1

Single-input multiple-output (SIMO)通信路
受信次元𝑀𝑀のSIMO通信路
𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝑥𝑥 + 𝒘𝒘,BPSK送信信号

通信路ベクトル𝒘𝒘 ∼ 𝒩𝒩(𝟎𝟎, 𝜎𝜎 2 𝑰𝑰𝑀𝑀 )1ℙ 𝑥𝑥 = ±1 = .
2𝒂𝒂 ∈ ℝ𝑀𝑀 は受信側で既知のベクトル

AWGNベクトル

𝒘𝒘は平均𝟎𝟎共分散行列𝜎𝜎 2 𝑰𝑰𝑀𝑀 の𝑀𝑀次元ガウス確率ベクトル1
1− 𝒛𝒛−𝝁𝝁 T 𝚺𝚺 −1 (𝒛𝒛−𝝁𝝁)𝑒𝑒 2.
𝒛𝒛 ∼ 𝒩𝒩 𝝁𝝁, 𝚺𝚺 ⟺ 𝑝𝑝 𝒛𝒛 =𝑀𝑀/2
2𝜋𝜋 det Σ2十分統計量(Sufficient statistic)
統計量𝑇𝑇(𝑦𝑦)が与えられたときの𝑦𝑦の分布が𝑥𝑥に依存しないとき、統計量𝑇𝑇(𝑦𝑦)は𝑥𝑥に対する十分統計量と呼ばれる。
𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑇𝑇 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑇𝑇 𝑦𝑦 .

推定量とは、𝑥𝑥の統計量の中で推定用に定義された統計量と思えばよい。
解釈
十分統計量𝑇𝑇 𝑦𝑦 が与えられると、𝑦𝑦で不確かな部分は𝑥𝑥に依存しないため、𝑇𝑇(𝑦𝑦)は𝑥𝑥に関する十分な情報を含んでいる。

定理２.１

統計量𝑇𝑇(𝑦𝑦)が𝑥𝑥に対する十分統計量であるための必要十分条件は、条件付き確率分布が次のように因子分解できることである。
𝑝𝑝(𝑦𝑦|𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑔𝑔 𝑇𝑇 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 .

証明では、𝑦𝑦が離散確率変数であることを仮定する。
3

証明ー必要性
𝑦𝑦の分布が離散の場合のみに適用可能な証明を与える。

必要性の証明𝑇𝑇(𝑦𝑦)は十分統計量であると仮定する。
𝑇𝑇(𝑦𝑦)は𝑦𝑦の決定論的な関数なので、ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 |𝑥𝑥)ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 , 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡|𝑥𝑥) = �0

条件付き確率の定義から、

for 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇(𝑦𝑦0 ),for 𝑡𝑡 ≠ 𝑇𝑇 𝑦𝑦0 .

ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 |𝑥𝑥) = ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 , 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑇𝑇 𝑦𝑦0 |𝑥𝑥)
= ℙ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑇𝑇 𝑦𝑦0 , 𝑥𝑥 ℙ(𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑇𝑇 𝑦𝑦0 |𝑥𝑥).

𝑇𝑇(𝑦𝑦)は十分統計量なので、ℙ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑇𝑇 𝑦𝑦0 , 𝑥𝑥 は𝑥𝑥に依存しない。

それゆえ、ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 |𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 𝑔𝑔 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 .

∎4

証明ー十分性十分性の証明ℙ(𝑦𝑦|𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑔𝑔 𝑇𝑇 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 と因子分解できると仮定する。
確率分布ℙ(𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡|𝑥𝑥)の定義から、ℙ(𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡|𝑥𝑥) =�

𝑦𝑦0 :𝑇𝑇 𝑦𝑦0 =𝑡𝑡ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 |𝑥𝑥) = 𝑔𝑔 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

それゆえ、𝑡𝑡 = 𝑇𝑇(𝑦𝑦0 )に対して

�𝑦𝑦0 :𝑇𝑇 𝑦𝑦0 =𝑡𝑡

𝑓𝑓 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 .

ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 , 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡|𝑥𝑥)ℙ(𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 |𝑥𝑥)=
ℙ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 =ℙ 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡|𝑥𝑥ℙ(𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡|𝑥𝑥)
𝑓𝑓 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 𝑔𝑔 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡, 𝑥𝑥
𝑓𝑓 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0==.
∑𝑦𝑦0:𝑇𝑇 𝑦𝑦0 =𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0𝑔𝑔 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 ∑𝑦𝑦0 :𝑇𝑇 𝑦𝑦0 =𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0

最後の表現は𝑥𝑥に依存しないため、ℙ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 𝑇𝑇 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 も𝑥𝑥に依存しない。

したがって、𝑇𝑇(𝑦𝑦)は母数𝑥𝑥に対する十分統計量である。

∎5整合フィルタ（Matched filter, MF）の最適性
命題２.１

証明：

整合フィルタ出力𝑧𝑧 = 𝒂𝒂T 𝒚𝒚/ 𝒂𝒂 2 は、𝑥𝑥の十分統計量である。
2𝒚𝒚−𝒂𝒂𝑥𝑥
1−2𝜎𝜎2 .
𝑝𝑝 𝒚𝒚 𝒂𝒂, 𝑥𝑥 =𝑒𝑒
2𝜋𝜋𝜎𝜎 2 𝑀𝑀/2

条件付き確率密度関数 𝑝𝑝(𝒚𝒚|𝒂𝒂, 𝑥𝑥) が、定理２.１の因子分解可能なことを示す。
𝒚𝒚 − 𝒂𝒂𝑥𝑥 2 = 𝒚𝒚 − 𝒂𝒂𝑥𝑥 T 𝒚𝒚 − 𝒂𝒂𝑥𝑥 = 𝒚𝒚 2 − 2𝑥𝑥𝒂𝒂T 𝒚𝒚 + 𝒂𝒂 2 𝑥𝑥 2

上記の指数部の計算結果を代入すると、

2T2𝒚𝒚𝒂𝒂 𝒚𝒚𝒂𝒂
1− 2𝑥𝑥− 2 𝑥𝑥 222𝜎𝜎𝑝𝑝 𝒚𝒚 𝒂𝒂, 𝑥𝑥 =𝑒𝑒 2𝜎𝜎 𝑒𝑒 𝜎𝜎2𝑀𝑀/22𝜋𝜋𝜎𝜎定理２.１から、整合フィルタ出力𝑧𝑧 = 𝒂𝒂T 𝒚𝒚/ 𝒂𝒂 2 は𝑥𝑥の十分統計量である。 ∎6整合フィルタに基づく等価通信路
命題２.１から、整合フィルタを施しても、性能劣化は発生しない。
𝒂𝒂T 𝒚𝒚𝑧𝑧 == 𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,�𝒂𝒂 2𝒂𝒂T 𝒘𝒘
𝑤𝑤
�=.
𝒂𝒂 2

等価ノイズの性質

𝒘𝒘のガウス性から、𝑤𝑤のガウス性が従う。
�𝒂𝒂と𝒘𝒘の独立性と𝒘𝒘の定義とを使って、

𝒂𝒂T 𝔼𝔼 𝒘𝒘
𝔼𝔼 𝑤𝑤|𝒂𝒂�== 0,2𝒂𝒂

𝒂𝒂T 𝔼𝔼 𝒘𝒘𝒘𝒘T 𝒂𝒂𝜎𝜎 2𝔼𝔼 𝑤𝑤� 𝒂𝒂 ==.
42𝒂𝒂𝒂𝒂2

SIMO通信路は、AWGN通信路に帰着した。

事後平均推定量𝑥𝑥� = 𝔼𝔼 𝑥𝑥 𝒚𝒚, 𝒂𝒂 = tanh𝑧𝑧𝜎𝜎 2 / 𝒂𝒂 2𝒂𝒂T 𝒚𝒚= tanh.
𝜎𝜎 27Multiple-input multiple-output (MIMO)通信路
送信次元𝑁𝑁受信次元𝑀𝑀のMIMO
𝒚𝒚 = 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝒘𝒘,BPSK送信ベクトル

𝒘𝒘 ∼ 𝒩𝒩(𝟎𝟎, 𝜎𝜎 2 𝑰𝑰𝑀𝑀 )𝒙𝒙 = 𝑥𝑥1 , … , 𝑥𝑥𝑁𝑁 T ∈ 1, −1 𝑁𝑁 は独立なBPSK要素からなる。

通信路行列

𝑨𝑨 = (𝒂𝒂1 , … , 𝒂𝒂𝑁𝑁 ) ∈ ℝ𝑀𝑀×𝑁𝑁 は受信側で既知の行列

AWGNベクトル

𝒘𝒘は平均𝟎𝟎共分散行列𝜎𝜎 2 𝑰𝑰𝑀𝑀 の𝑀𝑀次元ガウス確率ベクトル8準最適な推定方法
𝑥𝑥𝑛𝑛 を推定する際、干渉信号を空間相関のないAWGNで近似する。
𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 + � 𝒂𝒂𝑛𝑛′ 𝑥𝑥𝑛𝑛′ + 𝒘𝒘𝑛𝑛′ ≠𝑛𝑛= 𝑰𝑰𝑛𝑛

MIMO通信路を近似的にSIMO通信路に帰着させた。
干渉信号の統計的性質𝔼𝔼 𝑰𝑰𝑛𝑛 𝑨𝑨 = � 𝒂𝒂𝑛𝑛′ 𝔼𝔼[𝑥𝑥𝑛𝑛′ ] = 𝟎𝟎,2𝔼𝔼𝑰𝑰𝑨𝑨𝑛𝑛T𝑰𝑰𝑀𝑀 ,𝔼𝔼 𝑰𝑰𝑛𝑛 𝑰𝑰𝑛𝑛 𝑨𝑨 ≈𝑀𝑀𝑛𝑛′ ≠𝑛𝑛

整合フィルタに基づく軟判定

𝒂𝒂T𝑛𝑛 𝒚𝒚𝑥𝑥�𝑛𝑛 = tanh,𝑣𝑣𝑛𝑛

𝔼𝔼 𝑰𝑰𝑛𝑛 2 𝑨𝑨
1
2= 𝜎𝜎 + � 𝒂𝒂𝑛𝑛′ 2 𝔼𝔼[𝑥𝑥𝑛𝑛2′ ] .
𝑀𝑀𝑀𝑀 ′𝑛𝑛 ≠𝑛𝑛

𝑣𝑣𝑛𝑛 = 𝜎𝜎 2 +1
� 𝒂𝒂𝑛𝑛′ 2 .
𝑀𝑀 ′𝑛𝑛 ≠𝑛𝑛

9並列干渉除去法（Parallel interference cancellation, PIC）
軟判定結果を使って、反復処理によって干渉除去を行う。
𝑡𝑡0とする。ただし、𝑥𝑥B,𝑛𝑛= 0。
反復𝑡𝑡における𝑥𝑥𝑛𝑛 の軟判定結果を𝑥𝑥B,𝑛𝑛𝑡𝑡
𝑡𝑡𝒚𝒚 − � 𝑎𝑎𝑛𝑛′ 𝑥𝑥B,𝑛𝑛′ = 𝒂𝒂𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 + � 𝒂𝒂𝑛𝑛′ (𝑥𝑥𝑛𝑛′ − 𝑥𝑥B,𝑛𝑛′ ) + 𝒘𝒘𝑛𝑛′ ≠𝑛𝑛𝑛𝑛′ ≠𝑛𝑛

整合フィルタに基づく軟判定

𝑡𝑡
𝑥𝑥
A,𝑛𝑛𝑡𝑡+1𝑥𝑥B,𝑛𝑛= tanh 𝑡𝑡,𝑣𝑣A,𝑛𝑛1𝑡𝑡
2𝑣𝑣A,𝑛𝑛 = 𝜎𝜎 +

� 𝒂𝒂
𝑀𝑀 ′
𝑛𝑛 ≠𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑥𝑥A,𝑛𝑛= 𝒂𝒂T𝑛𝑛 𝒚𝒚 − � 𝒂𝒂𝑛𝑛′ 𝑥𝑥B,𝑛𝑛′ ,𝑛𝑛′

2 𝔼𝔼

𝑥𝑥

𝑛𝑛′ ≠𝑛𝑛𝑛𝑛′2𝑡𝑡− 𝑥𝑥B,𝑛𝑛′ |𝑨𝑨.

平均二乗誤差を計算しやすい以下の事後分散で置き換える。
𝑡𝑡
𝔼𝔼 𝑥𝑥𝑛𝑛′ − 𝑥𝑥B,𝑛𝑛′2𝑡𝑡
𝒚𝒚, 𝑨𝑨 = 𝔼𝔼 𝑥𝑥𝑛𝑛2′ |𝒚𝒚, 𝑨𝑨 − 𝑥𝑥B,𝑛𝑛2𝑡𝑡= 1 − 𝑥𝑥B,𝑛𝑛2𝑡𝑡≡ 𝑣𝑣B,𝑛𝑛.

10並列干渉除去法の簡略化
大システム極限
負荷𝛼𝛼 = 𝑁𝑁/𝑀𝑀を固定して、𝑀𝑀と𝑁𝑁を無限大にした極限大システム極限で 𝑎𝑎𝑛𝑛 2 → 1を仮定して、PICを簡略化する。

モジュールA𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑥𝑥A,𝑛𝑛= 𝒂𝒂T𝑛𝑛 𝒚𝒚 − 𝑨𝑨𝑥𝑥B𝑡𝑡 + 𝒂𝒂𝑛𝑛 𝑥𝑥B,𝑛𝑛→ 𝑥𝑥B,𝑛𝑛+ 𝒂𝒂T𝑛𝑛 𝒚𝒚 − 𝑨𝑨𝒙𝒙𝑡𝑡B .

ベクトル形式で書き直すと、
𝑡𝑡
𝑣𝑣A,𝑛𝑛= 𝜎𝜎 2 +モジュールB

𝒙𝒙𝑡𝑡A = 𝒙𝒙𝑡𝑡B + 𝑨𝑨T 𝒚𝒚 − 𝑨𝑨𝒙𝒙𝑡𝑡B .

1
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
2
� 𝒂𝒂𝑛𝑛′ 2 𝑣𝑣B,𝑛𝑛′ ≈ 𝜎𝜎 + 𝛼𝛼𝑣𝑣B ≡ 𝑣𝑣A ,𝑀𝑀 ′𝑛𝑛 ≠𝑛𝑛𝑣𝑣B𝑡𝑡 =𝑁𝑁1𝑡𝑡
� 𝑣𝑣B,𝑛𝑛.
𝑁𝑁𝑡𝑡𝒙𝒙A𝒙𝒙𝑡𝑡+1= tanh 𝑡𝑡 , 関数を要素ごとに適用
B𝑣𝑣A
1 𝑡𝑡+1 2𝑡𝑡+1𝑣𝑣B ≈ 1 −𝒙𝒙.
𝑁𝑁 B

𝑛𝑛=111

並列干渉除去法の更新手順

𝑥𝑥B0 = 0,𝑣𝑣B0 = 1.

モジュールA
整合フィルタによる平均パラメータ𝒙𝒙𝑡𝑡A
分散パラメータ𝑣𝑣A𝑡𝑡

干渉除去モジュールB
最終判定
平均パラメータ𝒙𝒙𝑡𝑡+1B

シンボルごとの軟判定

分散パラメータ𝑣𝑣B𝑡𝑡+112