非可換の世界を覗いてみよう
筑波大学数学系

星野光男

意識したことはないと思いますが、我々が扱っている数（実数または複素数）というのは「掛け算の順序が交換可能である」という著しい性質を持っています。つまり、我々は可換の世界で暮らしているわけです。従って、非可換の世界（即ち、掛け算の順序が交換可能でない様な数を基にした世界）においては、我々の常識が必ずしも通用しないという事態が起こり得ます。実際、可換から遠く離れた世界では、ちょっと想像出来ない様な現象が起こります。ここでは、非可換の世界をほんのちょっとだけ覗いてみることにしましょう。

1環

整数全体の集合を Z で表すことにします。本節では、Z が持っている代数的な構造を抽出して、「環」の概念を導入しましょう。
先ず、範囲が確定したものの集まりのことを集合と呼びます。また、もの a が集合 A に属するとき、a ∈ A と書き a のことを集合 A の元または要素と呼びます。特に、元をひとつも持たない集合も考え、それを空集合と呼びます。
定義１ 空でない集合 A に２種類の演算（それぞれ和、積と呼ばれる）A × A → A, (a, b) 7→ a + b,

A × A → A, (a, b) 7→ abが定義されていて、以下の条件（１）〜（７）がみたされるとき、A のことを環と呼びます：（１）任意の a, b ∈ A に対して a + b = b + a が成り立つ；（２）任意の a, b, c ∈ A に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ；（３）ある特別な元 0 ∈ A が存在して、任意の a ∈ A に対して a + 0 = a が成り立つ（この元 0 のことを A の零元と呼びます）；（４）任意の a ∈ A に対して、a + x = 0 をみたす x ∈ A が存在する（この xのことを −a と書きます。また、a + (−b) のことを a − b と書きます）；（５）任意の a, b, c ∈ A について、(ab)c = a(bc) が成り立つ；（６）ある特別な元 1 ∈ A が存在して、任意の a ∈ A に対して 1a = a1 = a が成り立つ（この 1 のことを A の単位元と呼びます）；（７）任意の a, b, c ∈ A に対して (a + b)c = ac + bc, a(b + c) = ab + ac が成り立つ。

演習問題１ 環 A について、次の（１）〜（６）を証明しなさい。
（１）零元 0 は一意である。
（２）任意の a ∈ A に対して、−a は一意である。
（３）単位元 1 は一意である。
（４）任意の a ∈ A に対して、a0 = 0a = 0 が成り立つ。
（５）任意の a, b ∈ A に対して、(−a)b = a(−b) = −ab が成り立つ。
（６）もし 0 = 1 が成り立てば、A の元は 0 だけである。
以下においては、演習問題１の（６）を考慮に入れて、環はすべて条件 0 6= 1をみたすと仮定しましょう。
定義２ 環 A において、任意の a, b ∈ A に対して ab = ba が成り立つとき、Aのことを可換環と呼びます。更に、 a 6= 0, b 6= 0 ⇒ ab 6= 0 をみたす可換環のことを整域と呼びます。
さて、Z が整域であることは明らかですが、整域ではない可換環の例を紹介しましょう。
例１ 自然数 p ≥ 2 をかってに固定します。整数 a, b ∈ Z に対して、a − b が pで割り切れるとき、a と b とは p を法として合同であると言いa ≡ b (mod p)と書くことにします。各 n ∈ Z に対して、Z の部分集合[n] = {a ∈ Z | a ≡ n (mod p)}のことを（p を法とする）n の合同類と呼びます。このとき、[n] = [m] ⇔ n ≡ m (mod p)が成り立ちます。互いに異なる合同類全体の集合を Z/(p) で表すことにします。このとき、
Z/(p) = {[n] | 0 ≤ n ≤ p − 1}が成り立ちます。さて、Z/(p) における和、積をそれぞれ[n] + [m] = [n + m],[n][m] = [nm]と定義すれば、Z/(p) は可換環となります。更に、p が素数であることと Z/(p) が整域であることとは同値です。
演習問題２ 例１の主張を確かめなさい。

この節の最後に、可換ではない環の例を挙げましょう。
例２ F2 = Z/(2) とおきます。例１でみたように、F2 は [0], [1] の２個の元から成る整域です。さて、F2 の元を成分に持つ２次の行列のなかで!
Ãa b0 cの形のもの全体の集合を A としましょう。このとき、通常の行列の和、積に関して A は可換でない環になります。
演習問題３ 例２の主張を確かめなさい。
実は、例２の環は可換でない環のなかで元の個数が最小のものです。先ず、例２の環は８個の元から成ることがすぐ判ります。他方、元の個数が７個以下の環は可換です。少し難しいかもしれませんが、これの証明に挑戦してみてください。
演習問題４ 元の個数が７個以下の環は可換であることを証明しなさい。

2体

実数全体の集合を R と書くことにします。本節では、R が持っている代数的な構造を抽出して「体」の概念を導入しましょう。
定義３ 環 A の元 0 6= a ∈ A に対して、ax = xa = 1 をみたす x ∈ A が存在するとき、この元 x のことを a−1 と書き a の逆元と呼びます。
演習問題５ 環 A について、次の（１）〜（３）を証明しなさい。
（１）元 0 6= a ∈ A に対して、ax = ya = 1 をみたす x, y ∈ A が存在すれば、x = y である。
（２）元 0 6= a ∈ A に対して、もし a−1 が存在すれば a−1 は一意である。
（３）元 a, b ∈ A に対して、逆元 a−1 , b−1 がともに存在すれば、(ab)−1 が存在し、(ab)−1 = b−1 a−1 が成り立つ。
定義４ 環 A において、すべての 0 6= a ∈ A が逆元 a−1 を持つとき、A のことを斜体と呼びます。特に、可換な斜体のことを体と呼びます。
演習問題６ 有限個の元から成る整域は体であることを証明しなさい。
さて、R が体であることは明らかですが、その他の体の例を紹介しましょう。
例３ 有理数全体の集合を Q で表すことにします。このとき、任意の q ∈ Q に対して、R の部分集合√√
Q( q) = {a + b q | a, b ∈ Q}は通常の和、積に関して体になります。
演習問題７ 例３の主張を確かめなさい。
例４ 例２において p が素数のとき、Fp = Z/(p) は p 個の元からなる体になります。
演習問題８ 例４の主張を確かめなさい。
さて、次節で体ではない斜体の例を構成してみせますが、その前に複素数の構成を復習しましょう。
例５ 集合 R2 = {(a, b) | a, b ∈ R} における和、積をそれぞれ(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )(a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 )によって定義します。また、文字 i を用いて(a, b) = a + biと書くことにします。ただし、

a + 0i = a,0 + bi = bi,a + (−b)i = a − biと書きます。このとき、集合

C = {a + bi | a, b ∈ R}
における和、積がそれぞれ(a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i(a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )iによって定義され、C は体になります。この体 C のことを複素数体と呼びます。
特に、i2 = −1 であることに注意して下さい。この文字 i のことを虚数単位と呼√び、 −1 とも書きます。
演習問題９ 例５の主張を確かめなさい。

3四元数体

本節では、例５における複素数体 C の構成を少し変えて、ハミルトンの四元数体と呼ばれる斜体を構成しましょう。
例６ 集合 R4 = {(a, b, c, d) | a, b, c, d ∈ R} における和、積を次のように定義します：和は成分ごとの和(a1 , b1 , c1 , d1 ) + (a2 , b2 , c2 , d2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 , d1 + d2 )によって定義し、積は(a1 , b1 , c1 , d1 )(a2 , b2 , c2 , d2 ) = (a3 , b3 , c3 , d3 )ただし

a3 = a1 a2 − b1 b2 − c1 c2 − d1 d2b3 = a1 b2 + b1 a2 + c1 d2 − d1 c2
c3 = a1 c2 − b1 d2 + c1 a2 + d1 b2
d3 = a1 d2 + b1 c2 − c1 b2 + d1 a2によって定義します。また、文字 i, j, k を用いて

(a, b, c, d) = a + bi + cj + dkと書くことにします。このとき、集合

H = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R}
における和、積がそれぞれ(a1 + b1 i + c1 j + d1 k) + (a2 + b2 i + c2 j + d2 k)= (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i + (c1 + c2 )j + (d1 + d2 )k(a1 + b1 i + c1 j + d1 k)(a2 + b2 i + c2 j + d2 k)=(a1 a2 − b1 b2 − c1 c2 − d1 d2 )+ (a1 b2 + b1 a2 + c1 d2 − d1 c2 )i+ (a1 c2 − b1 d2 + c1 a2 + d1 b2 )j+ (a1 d2 + b1 c2 − c1 b2 + d1 a2 )kによって定義され、H は斜体になります。この斜体 H のことをハミルトンの四元数体と呼びます。また

i2 = j 2 = k 2 = −1,

ij = −ji = k,jk = −kj = i,ki = −ik = jが成り立ちます。特に、H においては −1 の平方根が ±i, ±j, ±k の６個存在します。
演習問題１０ 例６の主張を確かめなさい。
定義５ 環 A に対して、すべての x ∈ A に対して ax = xa が成り立つような元a 全体から成る集合を Z(A) と書き、A の中心と呼びます。
演習問題１１ 次の（１）〜（３）を証明しなさい。
（１）任意の環に対して、中心は可換環である。
（２）斜体の中心は体である。
（３）ハミルトンの四元数体 H の中心は実数体 R である。

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スコフィールドの定理

本節では、１９８０年代に A. Schofield によって証明された斜体の拡大に関する定理を紹介しましょう。（斜体のことを英語で skew field と呼びますが、名前がよく似てますね。）残念ながら、具体的な構成方法を紹介することはできません。
ここでは、単に事実だけを述べることにします。
定理 任意の自然数 n, m ≥ 2 に対して、次のような斜体 D, E が存在する：（１）E は D の拡大である。即ち、E は D を含んでいて D の演算は E の演算を制限したものである。
（２）左拡大次数は n である。即ち、ある n 個の元 v1 , . . . , vn ∈ E が存在して、任意の x ∈ E は
x = a1 v1 + · · · + an vn , a1 , . . . , an ∈ Dの形に一意に表せる。
（３）右拡大次数は m である。即ち、ある m 個の元 w1 , . . . , wm ∈ E が存在して、任意の x ∈ E は

x = w1 b1 + · · · + wm bm ,b 1 , . . . , bm ∈ Dの形に一意に表せる。
これは驚くべき結果だと思うのですが、驚くためには素養が必要で、おそらくみなさんに驚いて貰えないのが残念です。
最後にひとつだけ注意をしておきましょう。
注意 上の定理において、D が中心上有限次元であったとしましょう。即ち、ある有限個の元 u1 , . . . , ul ∈ D が存在して、任意の y ∈ D がy = c 1 u1 + · · · + c l ul ,c1 , . . . , cl ∈ Z(D)の形に一意に表せると仮定しましょう。このとき、nl = ml が成り立ち、従ってn = m が成り立ちます。つまり、中心上有限次元の斜体を扱う限りにおいては、そんなに不思議な現象は起こりません。

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参考書

スコフィールドの定理を除けば、本原稿の内容は代数学の入門書ならどの本にも書いてあります。例えば・松阪和夫著「代数系入門」岩波書店
等を参照して下さい。スコフィールドの定理については、構成方法を理解するには何年もかかりますので、参考書は挙げません。