信号解析論
Signal Processing

第１０回講義資料
Lecture notes 10

離散時間線形時不変システム１
Discrete-time and linear time-invariant systems 1

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi
1離散時間線形時不変システム(Discrete-time linear time-invariant systems)
非因果的システム(Non-causal systems)∞

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = ℎ ∗ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]
入力信号(Input signals)
𝑥𝑥 𝑛𝑛

𝑚𝑚=−∞

フィルタタップ(Filter taps)

∞
𝑛𝑛=−∞

ℎ 𝑛𝑛

∞
𝑛𝑛=−∞

出力𝑦𝑦[𝑛𝑛]は、すべての入力信号 𝑥𝑥 𝑛𝑛
The output 𝑦𝑦 𝑛𝑛 depends on all input signals 𝑥𝑥 𝑛𝑛

出力信号(Output signals)
𝑦𝑦 𝑛𝑛

∞
𝑛𝑛=−∞

∞
𝑛𝑛=−∞ に依存する。

∞
𝑛𝑛=−∞ .

インパルス応答(Impulse response)
インパルス信号𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝛿𝛿𝑛𝑛,0 を入力すると、(Input the impulse signal 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝛿𝛿𝑛𝑛,0.)∞

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑛𝑛−𝑚𝑚,0 = ℎ[𝑛𝑛]𝑚𝑚=−∞{ℎ 𝑛𝑛 }をインパルス応答と呼ぶ。
{ℎ 𝑛𝑛 } are called impulse response.

2離散時間線形時不変システム(Discrete-time linear time-invariant systems)
因果的システム(Causal systems)
𝑛𝑛 < 0に対してℎ 𝑛𝑛 = 0の場合、システムは因果的である。
The system is said to be causal if ℎ 𝑛𝑛 = 0 holds for all 𝑛𝑛 < 0.

∞

∞

𝑚𝑚=−∞

𝑚𝑚=0𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚] = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]

出力𝑦𝑦[𝑛𝑛]は、未来の入力信号 𝑥𝑥 𝑚𝑚∞
𝑚𝑚=𝑛𝑛+1 に依存しない。

The output 𝑦𝑦 𝑛𝑛 is independent of the input signals 𝑥𝑥 𝑚𝑚∞
𝑚𝑚=𝑛𝑛+1 in the future.

有限インパルス応答(FIR)システム(Finite impulse response (FIR) systems)
因果的かつ𝑛𝑛 > 𝑀𝑀に対してℎ 𝑛𝑛 = 0となるような𝑀𝑀 > 0が存在する。
Causal systems with some 𝑀𝑀 > 0 such that ℎ 𝑛𝑛 = 0 for all 𝑛𝑛 > 𝑀𝑀.

∞𝑀𝑀

𝑚𝑚=0𝑚𝑚=0𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚] = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]3離散時間線形時不変システム(Discrete-time linear time-invariant systems)
無限インパルス応答(IIR)システム(Infinite impulse response (IIR) systems)
𝑃𝑃𝑄𝑄

𝑚𝑚=0

𝑚𝑚=1𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � 𝑝𝑝 𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 − � 𝑞𝑞 𝑚𝑚 𝑦𝑦[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]

𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 ∉ 0, … , 𝑃𝑃 ,定理１０.１(Theorem 10.1)

𝑞𝑞 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 ∉ 0, … , 𝑄𝑄

インパルス応答{ℎ 𝑛𝑛 }を以下で定義する。(Define the impulse response {ℎ 𝑛𝑛 } as)
𝑄𝑄ℎ 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 𝑛𝑛 − � 𝑞𝑞 𝑚𝑚 ℎ 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 for 𝑛𝑛 > 0,𝑚𝑚=1ℎ 𝑛𝑛 = �𝑝𝑝[0]0for 𝑛𝑛 = 0,for 𝑛𝑛 < 0IIRシステムの入出力関係は、等価な因果的システムで表現できる。

The input/output relationship for the IIR system can be represented with an equivalent causal system:∞𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]𝑚𝑚=0

一般に、等価システムはFIRにならない。(In general, the equivalent system does not have FIR.)
4

証明(Proof)
∞

∞

𝑚𝑚=−∞

𝑚𝑚=−∞

� 𝑞𝑞 𝑚𝑚 𝑦𝑦[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚] = � 𝑝𝑝 𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 ,𝑞𝑞 0 = 1

𝑃𝑃(𝑧𝑧)と𝑄𝑄(𝑧𝑧)を{𝑝𝑝 𝑛𝑛 }と{𝑞𝑞 𝑛𝑛 }のZ変換として、定理９.２を使って両辺をZ変換する。
Let 𝑃𝑃(𝑧𝑧) and 𝑄𝑄(𝑧𝑧) denote the Z-transforms of {𝑝𝑝 𝑛𝑛 } and {𝑞𝑞 𝑛𝑛 }, respectively. Use Theorem 9.2 to evaluate
the Z-transforms of both sides.

𝑄𝑄 𝑧𝑧 𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝑃𝑃 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧){ℎ 𝑛𝑛 }のZ変換を𝐻𝐻(𝑧𝑧)とすると、𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧)なので、𝑃𝑃 𝑧𝑧 = 𝑄𝑄 𝑧𝑧 𝐻𝐻(𝑧𝑧)を満たすようにインパルス応答{ℎ 𝑛𝑛 }を定めればよい。

Let 𝐻𝐻(𝑧𝑧) denote the Z-transform of {ℎ 𝑛𝑛 }. Since 𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧) holds, it is sufficient to define {ℎ 𝑛𝑛 } thatsatisfies 𝑃𝑃 𝑧𝑧 = 𝑄𝑄 𝑧𝑧 𝐻𝐻 𝑧𝑧 .

𝑃𝑃 𝑧𝑧 = 𝑄𝑄 𝑧𝑧 𝐻𝐻(𝑧𝑧)を逆Z変換すると、(Use the inverse Z-transform of 𝑃𝑃 𝑧𝑧 = 𝑄𝑄 𝑧𝑧 𝐻𝐻(𝑧𝑧).)
𝑄𝑄

𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑞𝑞 ∗ ℎ 𝑛𝑛 = � 𝑞𝑞 𝑚𝑚 ℎ[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚] ,𝑚𝑚=0ℎ 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 < 0𝑞𝑞 0 = 1を使ってℎ[𝑛𝑛]に関して解くと、ℎ[𝑛𝑛]の更新式を得る。
Solving this with respect to ℎ[𝑛𝑛], with 𝑞𝑞 0 = 1, we obtain the update rule of ℎ[𝑛𝑛].

∎5安定性(Stability)3
𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 1 ,𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝛿𝛿𝑛𝑛,0 ,𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 < 0
Example 10.1
2
𝑦𝑦 0 = 𝑥𝑥 0 = 1、𝑛𝑛 > 0に対して等比数列𝑦𝑦 𝑛𝑛 = (3/2)𝑦𝑦[𝑛𝑛 − 1]を解くと
例１０.１

𝑦𝑦 0 = 𝑥𝑥 0 = 1. For 𝑛𝑛 > 0 solve the geometric sequence 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = (3/2)𝑦𝑦[𝑛𝑛 − 1].
𝑛𝑛3𝑦𝑦 𝑛𝑛 =→ ∞ as 𝑛𝑛 → ∞2
有界入力有界出力(BIBO)安定性(Bounded-input bounded-output (BIBO) stability)
任意の有界入力 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∞𝑛𝑛=−∞ に対して、出力 𝑦𝑦 𝑛𝑛
システムはBIBO安定である。
The system is said to be BIBO-stable if the output signals 𝑦𝑦 𝑛𝑛∞.
input 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞∞𝑛𝑛=−∞ も有界であるとき、∞
𝑛𝑛=−∞ are bounded for any bounded

定理１０.２(Theorem 10.2)

システムがBIBO安定であるための必要十分条件は、以下である。
A necessary and sufficient condition for the BIBO-stability of a system is∞� |ℎ 𝑛𝑛 | < ∞𝑛𝑛=−∞

FIRシステムはBIBO安定
Any FIR system is BIBO-stable.
6証明(Proof)
十分性の証明(Proof of the sufficiency)
入力は有界なので、すべての𝑛𝑛に対して 𝑥𝑥 𝑛𝑛 < 𝐾𝐾を満たす𝐾𝐾 > 0が存在する。
The input boundedness implies that there is some 𝐾𝐾 > 0 such that 𝑥𝑥 𝑛𝑛 < 𝐾𝐾 holds for all 𝑛𝑛.
∞∞

𝑦𝑦 𝑛𝑛 < � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 | < 𝐾𝐾 � ℎ 𝑚𝑚 < ∞𝑚𝑚=−∞

必要性の証明(Proof of the necessity)𝑚𝑚=−∞

対偶を証明する。つまり、∑∞
𝑛𝑛=−∞ |ℎ 𝑛𝑛 | = ∞ならば、システムはBIBO安定でない。
Proof the contraposition: the system is not BIBO-stable if ∑∞𝑛𝑛=−∞ |ℎ 𝑛𝑛 | = ∞ holds.

以下の入力信号を考える。(Consider the following input:)ℎ −𝑛𝑛 /|ℎ −𝑛𝑛 |𝑥𝑥[𝑛𝑛] = �0

for ℎ −𝑛𝑛 ≠ 0,
for ℎ −𝑛𝑛 = 0

定義から、この入力は有界である。(The definition implies that this input is bounded.)
∞

∞

𝑚𝑚=−∞

𝑚𝑚=−∞

𝑦𝑦 0 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥 −𝑚𝑚 = � |ℎ 𝑚𝑚 | = ∞∎7

BIBO安定性(BIBO-stability)
システムがBIBO安定であるための必要十分条件は、{ℎ 𝑛𝑛 }のZ変換
Corollary 10.1 𝐻𝐻(𝑧𝑧)の収束域が、単位円|𝑧𝑧| = 1を含むことである。
系１０.１

証明(Proof)

The system is BIBO-stable if and only if the unit circle |𝑧𝑧| = 1 is included into the region ofconvergence (ROC) for the Z-transform 𝐻𝐻(𝑧𝑧) of {ℎ 𝑛𝑛 }.

収束域の定義から、∑∞
𝑛𝑛=−∞ ℎ 𝑛𝑛 < ∞である。
The definition of ROC implies ∑∞𝑛𝑛=−∞ ℎ 𝑛𝑛 < ∞.

∎𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 0（1/𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 0）を満たす𝑧𝑧を𝐻𝐻(𝑧𝑧)の零点（極）と呼ぶ。

零点と極

Zeros and poles Points 𝑧𝑧 are called zeros (poles) of 𝐻𝐻(𝑧𝑧) if 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 0 (1/𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 0) holds.

定理１０.３ 因果的システムがBIBO安定であるための必要十分条件は、𝐻𝐻(𝑧𝑧)のTheorem 10.3 すべての極が単位円 𝑧𝑧 = 1の内側に含まれることである。
証明(Proof)

The causal system is BIBO-stable if and only if all poles of 𝐻𝐻(𝑧𝑧) are included in the unit
open disk.

BIBO安定BIBO-stable

系１０.1

性質９.1

Corollary 10.1

Property 9.1

𝑧𝑧: 𝑧𝑧 = 1 ⊂ ROC𝑧𝑧: 𝑧𝑧 ≥ 1 ⊂ ROC

自明(Trivial)∎8IIRシステムの例(Example of an IIR system)
例１０.２(Example 10.2)
例１０.１のIIRシステムがBIBO安定かどうかを判定せよ。
Decide whether the IIR system in Example 10.1 is BIBO-stable.

3
𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 1 ,2

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 < 0

性質９.４を使って、両辺をZ変換すると、Use Property 9.4 to evaluate the Z-transforms of both sides.

3 −1
𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝑋𝑋 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 𝑌𝑌(𝑧𝑧)2∴ 𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋 𝑧𝑧 ,2𝐻𝐻(𝑧𝑧) =2 − 3𝑧𝑧 −1

𝐻𝐻(𝑧𝑧)は単位円の外側に極𝑧𝑧 = 3/2を持つため、定理１０.３からシステムはBIBO安定ではない。

Since 𝐻𝐻(𝑧𝑧) has a pole 𝑧𝑧 = 3/2 outside the unit disk, Theorem 10.3 implies that the system is notBIBO-stable.

9IIRシステムの例(Example of an IIR system)
例１０.３(Example 10.3)
次のIIRシステムがBIBO安定になるように、実フィードバック係数𝐾𝐾 ∈ ℝを定めよ。
Determine the real feedback factor 𝐾𝐾 ∈ ℝ to BIBO-stabilize the following IIR system:

3𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 1 − 𝐾𝐾𝐾𝐾[𝑛𝑛 − 2],2性質９.４を使って、両辺をZ変換すると、Use Property 9.4 to evaluate the Z-transforms of both sides.

3 −1
𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝑋𝑋 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 𝑌𝑌 𝑧𝑧 − 𝐾𝐾𝑧𝑧 −2 𝑌𝑌(𝑧𝑧)2𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 < 02𝑋𝑋 𝑧𝑧 ,∴ 𝑌𝑌 𝑧𝑧 =𝑄𝑄(𝑧𝑧)𝑄𝑄 𝑧𝑧 = 2 − 3𝑧𝑧 −1 + 2𝐾𝐾𝑧𝑧 −2𝑄𝑄(𝑧𝑧)の零点が単位円の内側にあれば、システムはBIBO安定である。
The system is BIBO-stable if all zeros of 𝑄𝑄(𝑧𝑧) are in the unit open disk.

𝑄𝑄 𝑧𝑧 = 0を𝐾𝐾に関して解くと、(Solve 𝑄𝑄 𝑧𝑧 = 0 with respect to 𝐾𝐾.)
3𝑧𝑧 −1 − 2 3
𝐾𝐾 == 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 2 ≡ 𝑓𝑓(𝑧𝑧)
−22𝑧𝑧
210

IIRシステムの例(Example of an IIR system)
零点𝑧𝑧が実数の場合(Case of real zeros 𝑧𝑧)(3/4, 9/16)
𝐾𝐾(1/2, 1/2)

(1, 1/2)

𝐾𝐾 = 𝑓𝑓(𝑧𝑧)𝑧𝑧

実零点𝑧𝑧が区間(−1, 1)に含まれるのは、1/2 < 𝐾𝐾 ≤ 9/16のときReal zeros are included into the interval (−1, 1) for 1/2 < 𝐾𝐾 ≤ 9/16.

11

IIRシステムの例(Example of an IIR system)
零点𝑧𝑧が複素数の場合(Case of complex zeros 𝑧𝑧)

𝑟𝑟 ∈ 0, 1 かつ𝜃𝜃 ∈ (0, 𝜋𝜋)に対して零点を𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑒𝑒 ±𝑗𝑗𝑗𝑗 とおく。
Let 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑒𝑒 ±𝑗𝑗𝑗𝑗 denote zeros for 𝑟𝑟 ∈ (0, 1) and 𝜃𝜃 ∈ (0, 𝜋𝜋).

3 ±𝑗𝑗𝑗𝑗
332 ±𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
2𝐾𝐾 = 𝑟𝑟𝑒𝑒− 𝑟𝑟 𝑒𝑒= 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 cos 2𝜃𝜃 ± 𝑗𝑗𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 sin 2𝜃𝜃
222ℑ 𝐾𝐾 = 0なので、ℑ 𝐾𝐾 = 0 implies

3𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 =43
𝐾𝐾 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 2 cos 2𝜃𝜃2992
2= − 𝑟𝑟 2−1=𝑟𝑟
816𝑟𝑟 29≤ 𝐾𝐾 < 1∴16答え(Answer)
1< 𝐾𝐾 < 123for 𝑟𝑟 ≥ ,41
𝐾𝐾 =212𝜋𝜋𝜃𝜃 ∈ 0,2ℑ[𝑧𝑧]
7𝐾𝐾 = 14347−49𝐾𝐾 =161ℜ[𝑧𝑧]
12

演習(Exercises)
次のIIRシステムがBIBO安定になるように、実係数𝑎𝑎 ∈ ℝを定めよ。
Determine the real coefficient 𝑎𝑎 ∈ ℝ to BIBO-stabilize the following IIR system:

1𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 2 ,4𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 < 013