広島工業大学紀要教育編
第 14 巻（2015）23-28

論文

GPA の適正な有効数字
尾崎徹＊・井上光＊＊（平成26年10月29日受付）

Signiﬁcant Figures Proper for Grade Point Average (GPA)
Tōru OZAKI and Hikaru INOUE（Received Oct. 29, 2014）

Abstract
Grade Point Average (GPA) is a numerical value evaluating a student’s quality of performance andtherefore has the signiﬁcant ﬁgures. In order to obtain the signiﬁcant ﬁgures proper for GPA，wemodeled a report card which included sixty-eight total subjects graded respectively with ﬁve integral Grade Points (GP)，0，1，2，3，4. The Semester GPA，the Cumulative GPA and their uncertainties were calculated by applying a statistical theory of experimental data processing. We obtained
the values of the Semester GPA and the Cumulative GPA which had at most three signiﬁcant ﬁgures
between 0.00 and 4.00. This is supported by the obtained values of the uncertainties and consistent
with the signiﬁcant ﬁgures of GPA graded in many universities at home and abroad. We should
evaluate the student’s performance on the basis of his/her GPA with the proper signiﬁcant ﬁgures.
Key Words: Grade Point Average (GPA)，Semester GPA，Cumulative GPA，signiﬁcant ﬁgure，

standard deviation，uncertainty
今や GPA は学生の人生を左右する重要な数値であり，そ1 ．はじめにの有効数字を確認したうえで活用する必要がある。

大学は学生の成績を厳格に評価することが求められてい私たち物理学の教員は物理学実験に力を入れている［5，る［1］。そのための評価方法として，米国で一般的に実施6］。学生に，理工学の方法と考え方を身につけて信頼されされている Grade Point Average（GPA）制度を採用するる技術者になるためのスタートラインに立ってもらうためように奨められている［2］。その結果，GPA 制度は平成 23である。そのために，「測定値には必ずランダムな誤差が年度までに国内の大学の 61％に相当する 453 大学で採用含まれており有効数字がある。」と口を酸っぱくして言っされるまでになった。GPA は受講科目の平均的な評価をGPA は成績を評価する平均値であり，ている。同じように，表す数値である。本学では，平成 18 年度から GPA 制度を限られた桁数の有効数字を持つ。そのことを教職員と学生開始しており，GPA を学生の学修指導のみならず，奨学が認識して GPA を活用することは，本学のような理工系金や授業料免除，大学院進学や就職の推薦の基準としての大学において重要である。学生に，「あなたの GPA に有使っている［3］。これに対して，GPA の値を学修指導だけ効数字がありますね。それと同じように，あなたが実験をに使い，奨学金や授業料免除の基準に使わないことを明示して得た測定値には有効数字があります。有効数字は測定している大学もある［4］。このような GPA の活用範囲の違者が責任を持って公表する値です。」と説得力のある指導

いは，GPA の確からしさに対する認識の違いによると考をしたい。本論文では，成績のモデルを作り，それに実験えられる。その確からしさを表す指標が有効数字である。

データ処理法を適用して GPA とその不確かさを計算する＊＊＊

広島工業大学工学部電子情報工学科（物理担当グループ）＊＊＊

元広島工業大学教授（物理担当グループ）― 23 ―

尾崎徹・井上光

ことにより，GPA に適正な有効数字とその桁数を得る。

を表す当該期 GPA（Semester GPA）や入学時から当該学それをもとにして，GPA を有効数字の範囲内で活用する

期 末 ま で 通 算 し た GPi の 平 均 値 を 表 す 通 算 GPA

ことが GPA 制度の目的にかなうことを述べる。

（Cumulative GPA）がある。

2 ．GPA とその活用範囲
2.1

2.2

GP，GPS と GPAGPA の桁数と活用範囲

GPA の桁数とその活用範囲は大学によって異なる。ま日本の大多数の大学で採用されている評点と標語

ず，式（1）で表される GPA の数値の桁数を紹介する。米（Grade）の関係を使って GPA を具体的に説明する。成績

国の大学を含めてほとんどの大学では小数第３位以下を切を評価する数値を Grade Point と呼んで GP と略すことにり捨て，小数第２位までの３桁にして 0.00 ≦ GPA ≦ 4.00する。表１のように，GP は評点と標語に対応した成績をの範囲で表している［2，4，7，8］。これに対して，本学で表す数値であり，一般的に評点の高い方から順に４，３，２，は小数第５位を四捨五入し，小数第４位までの５桁にして１，０の整数値である［7，8］。標語は大学によって変わるが，0.0000 ≦ GPA ≦ 4.0000 の範囲で表している［3］。

GP は変わらない。本学や大阪大学などでは，GP を 4.0，3.0，GPA はおもに学生の学修指導に使われているが，活用範2.0，1.0，０の２桁の数値で表している［3，4］。これは，囲は異なる。例えば，大阪大学では，教員が学修指導をす評点をもとにして標語を慎重につけていることをアピールるときに活用し，また学生が履修計画を作成するときに活していると解釈される。しかし，実際には４，３，２，１，０用させている［4］。しかし，GPA は成績書に記載せず，奨の整数値を使っているので，表１のように整数値の GP を学金受給候補者や留学候補者の選考にも使わない。筑波大

公表すべきである。米国では，標語をさらに細かく分けて学でも，GPA を教員の学修指導に利用して，学生に自律的GP と GPA をともに 4.00 と 0.00 の間の３桁で表しているに活用させている［7］。ここでは GPA を成績書に記載して，大学が多い［2］。

進級や大学院受験の条件，学外の奨学金の選考，就職の推薦などに利用している可能性がある。岡山大学では，学生表１．評点，標語と GP. *評点

標語

GP90 － 100

＠

480 － 89

ABCD370 － 79
60 － 69
0 － 592が GPA をもとにして受講届をする科目数を自主規制する判定ように促している
［8］
。本学では
［3］
，当該期 GPA はおもに学生の短期的な学修指導に使い，通算 GPA は奨学金受合格給候補者や大学院推薦入試志願者の選別，就職の推薦など10に使っている。さらに，５桁の通算 GPA を成績証明書に不合格記載している。同じ学修指導でも本家の米国の方がきめ細* 標語は本学のものを示した．

かくしかも厳しい［2］。例えば，GPA ＜ 2.00 が続くと退学受講した科目を自然数 i で区別して，その単位（credit）を ci で表そう。ci の値は，例えば，演習などは１，講義はが勧告され，通算 GPA ≧ 2.00 でなければ卒業することができない。

２，実験は２または３であり，卒業研究は５である。科目GPA の桁数によって活用範囲が決まっているはずであ

数が n のとき，GPAは科目 i ごとの単位 ci を重みにした受るが，日米のどの大学も GPA の桁数を定めた根拠を明ら

講科目の GPi の平均値として，次式で表されている［2，3，かにしていない。次節では，GPA に適正な桁数の有効数4，7，8］。

字があることを示す。

3 ．GPA の有効数字（1）

GPA の適正な有効数字について具体例で考えたい。そのために比較的順調に単位を取得して４年間で卒業した学生を念頭において成績表のモデルを作成した。その当該期と通算期の科目数 n，単位数 C と GPS および結果の GPA

分母のは受講届をした科目の単位の合計である。

本学では，学期の途中で放棄した科目の単位も含むが［3］，含まない大学もある。分子のを表２に示す。
物理学実験では測定値一般について有効数字の扱い方とは，受講届をし統計的な考え方を教えている。そこには GPA の場合と共た科目 i ごとの単位 ci と GPi の積 ciGPi の和である。それ通のルールや考え方があるので，これらをもとにしながらをここでは Grade Point Sum と呼んで GPS と略すことに話をすすめたい。引用の便宜のため，関連する事項を本学しよう［9］。GPA には，学期ごとに受講した GPi の平均値の物理学実験の教科書［10］から抜粋して付録にまとめてい― 24 ―

GPA の適正な有効数字
表２．成績表のモデルを作成して計算した当該期 GPA と通算 GPA.*
学年 学期
12
34

当該期

通算

科目数 n

単位数 C

GPSGPA

標準偏差不確かさ

科目数 n

単位数 C

GPSGPA

標準偏差

不確かさ

前

162582

3.28

0.68

0.17

162582

3.28

0.68

0.17

後

132159

2.81

1.21

0.34

29

46141

3.07

0.96

0.18

前

1427682.52

0.94

0.254373

209

2.860.97

0.15

後

81742

2.47

1.070.38

5190

251

2.79

0.99

0.14

前

91861

3.39

0.88

0.29

60

108

312

2.89

0.99

0.13

後

61339

3.00

0.89

0.37

66

121

351

2.90

0.98

0.12

前

1284－

－

67

123

359

2.92

0.98

0.12

後

1515

3－

－

68

128

374

2.92

0.97

0.12

* ４年後期末までの受講科目数：１単位科目 15，２単位科目 48，３単位科目４，５単位科目１．

る。

４年後期のように受講科目が１科目だけの場合はGPA=GP であり，例外的な扱いになる。
3.1

GPS の有効数字と GPA の有効数字

つぎに，通算 GPA を考える。１年前期では，この値は教科書［10］では，データ処理法の章を「１. 有効数字と当該期 GPA と同じである。１年後期以降では GPS は３桁その表記法」，「２. 有効数字を考慮する計算」の節から始であり，したがって通算 GPA も小数第２位までの３桁のめている。そこでは測定値の表記法と計算法を，例を使っ数値になる。表値にみられるように，通算の意味が増してて説明した上で，その後の計算で学生が有効数字の判断でくる２年次以降ではルール４による見直しは不要であり，迷うことが少ないように，４つの「ルール」にまとめてあルール３による判断までで十分である。

る。個々のルールについては付録を参照されたい。以下でどの大学も GPA の桁数の根拠をとくに説明していないは，表示桁数の選択についてのルール２～ルール４が必要が，上のルール２～ルール４が暗黙裡に認められているとである。なお，これらのルールは測定値どうしの計算に適思われる。本学で物理学実験を受講した学生は自分の GPA用されるものである。測定値と定数の積また商の計算では，の有効数字を上のルールをもとに考えることができる。

結果の有効数字の桁数は測定値の桁数と同じである。さら3.2に，GP に適用する場合はルール中の言葉「測定値」を単GPA の統計的ゆらぎに「変数」（または「標本値」）に置き直して考えればよい。

GPA の有効数字を統計論の立場で調べたい。そのためルールにしたがって成績モデルの GPA を計算しよう。に，GP の集まりについて，標準偏差と平均値の不確かさ式（1）で変数として有効数字を考える必要のある量は整の２つの統計量を試算する。具体例として，表２の４年後数の評価値 GP（変数値０，１，２，３，４のどれか）と GPS期末の通算 GPA の場合を取り上げる。この場合の GPA=および小数点以下に値を持つ GPA である。単位 ci とその2.92 のもとになっている GP =（０，１，２，３，４）に対す

合計 C は整数の定数であり，有効数字の桁数の判断にはる科目数と単位数の度数分布を図１に示す。受講科目には関係しない。まず，ルール２により整数値 GPS ではすべ２単位科目（モデルでは全 68 科目中 48 科目）が多い上にての桁が有効数字になる。つぎに，GPA=GPS/C の有効数

１単位科目と３単位以上の科目が打消し合うので，単位数字の桁数はルール３により単純には GPS の有効数字の桁は科目数の約２倍になっている。成績評価の GP と物理的数と一致する。これ以降は，ルール４による見直しが必要な測定値は無論同列におくべきではないが，統計と確率のになる。

点で数学的には同じ式が使える。以下，付録の式と考え方

まず，当該期 GPA を考える。３年後期まで当該期間のを引用しながら話をすすめる。

GPS は２桁であり，ルール３によれば，当該期 GPA は小まず，標準偏差を付録の式（A2）で計算する。各教員数第１位までの２桁の数値である。しかし，表２にみられが与える GP の独立性の立場から，ここでは科目数の分布るように，単位数 C は 13 ～ 27 と 20 前後の数であるので，を使うべきである。式（A2）で， = 2.92 とすれば，標準値が隣り合う２つの GPS から２桁の GPA を出すと，四捨偏差は s = 0.97 となる。この値は，図１に示すように，GP五入されて同じ値になる場合が頻出する。たとえば，GPSの分布の広がり方の目安である。成績ムラの大きさとみるが 59（表値）でも 58 でも GPA は 2.8 になる。GPS のすのが妥当である。

べての有効数字を区別して GPA に移すためにはルール４

つぎに，平均値の不確かさを付録の式（A3）で計算する。

により少数第２位までの３桁を使う方がよい。４年前期と上の標準偏差 0.97 を全科目数の平方根√68 で割ると 0.12― 25 ―

尾崎を得る。さらに，式（A4）により平均値

徹・井上

光

= 2.92 の前後確かさは標準偏差に比例し，科目数の平方根に反比例してに 0.12 の幅をもつ区間 2.80 ～ 3.04 を考える。これ以降はいる。科目数が少ないと不確かさはこれよりも大きくなる。

確率的な話に移る。

実際に上の方法で表２のモデルについて３年後期までの当該期 GPA の不確かさを試算したところ，結果は 0.17 ～ 0.38

仮に，図１の分布が付録の式（A5）のガウス分布に従っているならば，平均値つまり GPA は 68％の確率で上の区の間に散らばった。

間内にあるといえる。物理学実験ではガウス分布を母集団

物理学実験では実測データのとりまとめ方を通して，有分布とする仮定が一般的に認められ，結果もこのように確効数字の扱いに加えて，平均値や平均誤差などの統計量の率つきで解釈されている。しかしながら，今のところ図１確率的な見方を教えている。丁寧にガイダンスをすれば，の分布が従う母集団分布は不明であり，相当する確率の算学生は自分の GPA について，上のような試算とその結果出は不可能である。分布を仮定するためには多数の実例をの考え方を会得するであろう。

分析する必要がある。ただ，統計論の極限則である中心極

₄ ．まとめ限定理によれば，平均値そのものはガウス分布に近い分布に従うので，確率は 68％と大差はないと思われる。一般に，多くの大学で採用されている GPA 制度の概要を紹介し，未定・不明の部分を含みながら結論をだす必要のある場合問題点を指摘した。とくに，GPA の桁数に明確な根拠をはこのような確率的な表現以上のことはできない。

与えるために，全科目数 68，全単位数 128 の成績モデル

表２や図１はモデルの１例にすぎないが，上に得た不確を作って GPS と GPA を計算し，さらに GP の標準偏差おかさ 0.12 は「通算 GPA の有効数字は不確かさと同じ小数よび GPA の不確かさを試算した。このために物理学実験点以下２桁までとれば十分である」ことを示している。こで教えている有効数字の扱い方および統計的な考え方を適れは前節のルールで決めた結果と同じである。GP は教員用した。成績モデルは１例にすぎないが，実際に得られた各位がよく考えて決めているとしても，それを集めた学生値をもとにして，桁数に関しては次のように結論される。

個人の GPA にはこの程度の「統計的なゆらぎともいえる（1）１年後期以降の通算 GPA は３桁の有効数字を持つ。

不確かさ」が付随している。式（A3）によれば，この不これが適正であることは通算 GPS の有効数字が３桁であることから直接に結論されるが，４年後期の通算GPA に見られた 0.12 程度の不確かさからも支持される。
（2）３年後期までの当該期 GPA も３桁の有効数字を持つ。
ただし，もとになる当該期 GPS の有効数字は２桁であり，GPA の小数点以下２桁目の数字は GPA=GPS/C の計算に伴う精度の劣化を防ぐ役をしているに過ぎない。
また，モデルに見られた不確かさ 0.17 ～ 0.38 は当該期GPA の有効数字が３桁または２桁であることを示している。どちらにするかは GPA をどう使うかにもよる。
これ以上は複数のモデルによる検討が望まれる。
桁数の検討にあたって，統計的な意味での GPA の不確かさの程度も分かってきた。もともとは確率的な表現方法からくるものである。GPA の値だけによる断定的な判断を避ける方がよい。将来の可能性を育てる教育の場で，これは大切な視点である。
最後に，GPA の有効数字は高々３桁であり，それより桁数の多い値を使って成績を評価しても，厳格でないのみならず，適正に評価したことにはならない。特に，GPAの有効数字の桁数を越えて順位をつけてはならない。学修
指導では，当該期 GPA と通算 GPA をそれぞれの有効数字の範囲内で活用することが大切である。それが GPA 制度の目的にかなっている。
図１

成績表のモデルにおいて４年後期末まで通算した科目数と単位数を出現度数として表した GP の分布．

― 26 ―

GPA の適正な有効数字

文

有効数字の適正な扱い方

献

まず具体例を示した上で，表記法と計算法を次の４つのルールにまとめている。

［1］文部科学省，大学における教育内容等の改革状況等にn

ルール１：物理量の値は〔有効数字〕× 10 に単位名を添ついて（平成 23 年度）．

えた形で表す。

http://www.mext.go.jp/a_menu/koutou/daigaku/04052

ルール２：測定値どうしの和または差の計算では，両測定

801/1341433.htm
調査結果（１～４），GPA 制度の活用．

値の下位桁に有効数字がある範囲で計算する。

http://www.mext.go.jp/a_menu/koutou/daigaku/04052

必要に応じて四捨五入を行う。
ルール３：測定値どうしの積または商の計算では，結果の801/_icsFiles/aﬁeldﬁle/2014/03/10/1341433_03.pdf

桁数は有効数字が少ない方の測定値の桁数と同［2］The Pennsylvania State University ，Grades andじとする。必要に応じて四捨五入を行う。

Grade-Point Average．

ルール４：測定値どうしの積または商の計算では，もとのhttp://handbook.psu.edu/content/grades-and-grade-

測定値の四捨五入の影響を受ける桁までを結果

point-averageの有効数字とする。

［3］広島工業大学，GPA に関する取扱規則，CAMPUS

GUIDE 2016，p.232．

測定値の精度が計算途上で失われるのを防ぐためにルー［4］大阪大学，グレード・ポイント・アベレージ（GPA）

ル４が必要である。ルール３はルール４に含まれる。大抵の場合，ルール３までですむ。

制度．

http://www.osaka-u.ac.jp/ja/education/gpa［5］広島工業大学物理グループホームページ，教育活動，

測定値は真の値の付近で偶発的にある値に決まるように

１授業，1-1 学部，［13］物理学実験シラバス．

見える。ひとつの測定値だけでは真値の見当はつくが，誤http://www.physics.cc.it-hiroshima.ac.jp/［6］尾崎徹，鈴木貴，大政義典，北野保行，細川伸也，“接続型教育を目指して

第４報

ランダムな測定値に伴う誤差の評価法

差は分からない。測定を繰り返して，誤差の大きさを推定する。ここで，測定値の集まりの平均値，標準偏差，平均

基礎物理科目から専門科目への接続の調査と改善”

誤差の３つの統計量を扱う。ある測定を n 回繰り返して広島工業大学紀要 教育編，第９巻，pp.2₇-₃6，2010．

得た一連の測定値を X1 ，X2 ，…Xn で表すと，これらの統

http://harp.lib.hiroshima-u.ac.jp/it-hiroshima/meta

計量は次式で計算される。

data/8099［7］筑波大学，GPA 制度の導入について．

平均値

（A1），［（2），（7）］https://www.tsukuba.ac.jp/education/gpa.html［8］岡山大学，GPA 制度について．

 （A2），［（3），（26），（31）］標準偏差

http://www.okayama-u.ac.jp/tp/life/gpa_h20.html［9］本論文の Grade Point（GP）と Grade Point Sum（GPS）

平均誤差



（A3），［（6），（17），（25），（32）］は，それぞれ，米国の Grade Point Equivalent と GradePoints に対応している．文献［2］を参照されたい．
［10］中西助次，井上光，尾﨑［徹，細川伸也，大政義典，

小島健一，工科系のための物理学実験＜第３版＞，第］内の番号は教科書［10］の式につけられた式番号である。
測定の回数 n を増すにつれて，これらの各量はそれぞ２章，2014，東京教学社．ISBN97₈- 4-8082-2061- ₇

れ特徴的な振る舞いをする。平均値

http://www.physics.cc.it-hiroshima.ac.jp/education2.

動するが，そのゆらぎ方はだんだん小さくなり一定の値

html

X0 に近づく。この X0 は真値とみなされる。同様に，標準は，始めは大きく変偏差 s も似たパターンの揺らぎを示しながら一定の値 σ
付録

物理学実験のデータ処理に近づく。このσは測定の操作（測定装置または器具など）

物理学実験では始めの数コマを使ってデータ処理法の授に固有の量で，測定値 Xi の変動範囲の目安とみなされる。

業を行っている［5］。その内容である「有効数字の適正な平均誤差σX はゼロに近づく。そのゆらぎ方がだんだん小扱い方」と「ランダムな測定値に伴う誤差の評価法」を本さくなるようすが平均値文中で引用したい。以下にその要点を教科書［10］から抜粋

σX が平均値する。の式で表される。
― 27 ―のゆらぎ方と似ている。このの誤差とみなされる。真値 X0 との関係は次尾崎

真値 X0 の推定値

徹・井上（A4），［（6），（18）］

光

ガウス分布

（A5）
，
［（4），（5），（30）］＋σX 間にあることを意味

この場合，確率 p は 68％となる。確率の値は式（A4）でしている。ただし，100％の確かさで言うのではない。確表す値の信頼度といえる。おおまかに言えば，３回に２回かさは確率 p で表される。の割合で「当り」を得るような事柄の表現法である。

この式は真値 X0 が －σX と

測定値 X1 ，X2 ，…Xn がしたがう分布（これらの度数分

誤差の伝播則などの物理的なデータ処理公式の多くはガ布を表せる関数）を仮定すれば，この確率が計算できる。

ウス分布をもとにして導きだされる。学生にとって導出や物理的なデータ処理では，ガウス分布（正規分布）を仮定証明が難しい場合は，数値例を使って納得してもらう。

している。

― 28 ―