計測自動制御学会東北支部 40 周年記念学術講演会
2004 年 12 月 22 日，23 日 日本大学工学部

講演番号：C10

変数変換に対する連続時間システムの 2 次モード について
○今野剛人

阿部正英 川又政征 （ 東北大学）

On the Second Order Modes of Continuous-Time Systems
under Variable Transformation∗T. Konno, M. Abe and M. Kawamata (Tohoku University)
Abstract– This paper proves that the second-order modes of continuous-time systems decrease undervariable transformation with the driving-point impedance of an LCR circuit. The decrease is proved byobtaining the state-space representation of the transformed system, and its controllability / observability
grammians in terms of those of the original system and the LCR circuit system.
Key Words: variable transformation, continuous time system, second-order modes, analog ﬁlter, state-space
representation

1At W + W A = −ct c

まえがき

2 次モードとは，極や零点のようにシステムに固有の値であり，ハンケル特異値ともよばれる．極や零点はシステムの安定性や過渡応答などに関して極めて重要な値であることが広く知られているが，一方 2 次モード は詳しい性質はあまり明らかにされていない．そこで，その詳しい性質を明らかにすることが著者らの研究の目的である．
現時点で 2 次モードは，モデルを低次数化する際や，丸め誤差および統計的感度の最小値を求める際に用いられることがわかっている．1 次元の離散時間システム（デ ィジタルフィルタ）において，周波数変換に対して 2 次モードが不変であるという性質が証明されて
おり [1]，これによってシステムの実現と動的性質に関する重要な性質が得られている．また，分母分離形 2次元離散時間システムにおいて，ある条件を満足する周波数変換を適用した場合に限り，2 次モード の不変性が成立することが証明されている [2]．
一方，1 次元の連続時間システム（アナログフィルタ）においても，周波数変換に対する 2 次モード の不変性が証明されている [3]．連続時間システムの周波数変換に用いられる変換変数の一般形はリアクタンス関数，すなわち LC 回路の駆動点インピーダンス関数である．RC 回路の駆動点インピーダンス関数による変数変換に対しては，2 次モードが減少することが証明されている [4]．本稿では，LCR 回路の駆動点インピーダンス関数を変換変数に用いた際の 2 次モード の解析を行う．

2システムの表現と 2 次モードN 次の 1 入力 1 出力の安定な連続時間システムを考える．Fig. 1 に示すように，このシステムを状態空間表現で表した場合の係数行列を A, b, c, d とすると，伝達関数 H(s) は係数行列を用いて以下のように表すことができる．
H(s) = c(sI N − A)−1 b + d

ここで，(A, b, c, d) が最小実現であれば，可制御性グ
ラミアン K と可観測性グラミアン W は正定対称行列となる．このとき，行列積 KW の固有値はすべて正であり，その正の平方根 θi (i = 1, 2, · · · N ) をこのシス
テムの 2 次モード という．2 次モード はシステムの等価変換に対して不変である．

3

LCR 回路の駆動点インピーダンス関数を持つシステム

M 次の LCR回路の駆動点インピーダンス関数1/F (s)を考える．LCR回路の駆動点インピーダンス関数 は以下のような実係数の正実関数で表すことができる [5]．
b0 sn + b1 sn−1 + · · · + bn−1 s + bn
1
=F (s)
a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an

(1)

1/F (s) = γ(sI M − α)−1 β + δ(5)である．ここでは，(α, β, γ, δ) は最小実現であるとする．このとき，LCR回路の駆動点インピーダンス関数をもつシステムの状態空間表現に関して，次の定理が成立することが知られている [6]．

αt Q−1 + Q−1 α = −lt l√
Q−1 β = γ t − 2δlt

(2)

153

(4)

正実関数の分母多項式と分子多項式の次数差はたかだ
か 1 次であるが，本報告では線形システムの状態空間表現を用いていることから，プロパーな正実関数についてのみ扱う．
1/F (s) の状態空間表現を (α, β, γ, δ) とすると，定理 1 1/F (s) = γ(sI M − α)−1 β + δ がLCR 回路の駆動点インピーダンス関数であるための必要十分条件は，次の関係を満たす正定対称行列 Q と，ある M 次元横ベクトル lが存在することである．

システム (A, b, c, d) に対して，次のリアプノフ方程式の解 K と W は可制御性グラミアンおよび可観測性グラミアンとよばれる．

AK + KAt = −bbt

(3)

(6)
(7)

式変形では，以下の行列の公式およびクロネッカ積の性質を利用している [7][8]．

du(t)

x(t)

1/s

by(t)

(I − AB)−1 A = A(I − BA)−1(16)(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD)

(17)

cA

1/F(s)

x(t)

5.1

y(t)

(20)

dv(t)
= Av(t) + Bu(t)dty(t) = Cv(t) + Du(t)b⊗β−1C = c(I N − δA)(9)

A K + K A = −B Btt

A W + W A = −C C

+ (E −1 b ⊗ β)(E −1 b ⊗ β)t(23)= K ⊗ (αQ) + K ⊗ (Qα )t+ (AE −1 K) ⊗ (βγQ)+ (KE −t At ) ⊗ (Qγ t β t )+ (E −1 bbt E −t ) ⊗ (ββ t )(24)= K ⊗ (αQ + Qαt )√+ (AE −1 K) ⊗ (β(β t + 2δlQ))√+ (KE −t At ) ⊗ ((β + 2δQlt )β t )+ (E −1 bbt E −t ) ⊗ (ββ t )

(25)

(26)

ここで，E −1 AK + KAt E −t + E −1 bbt E −t

LCR回路の駆動点インピーダンス関数1/F (s) による変数変換後のシステム (A, B, C, D) の可制御性グラミ
アンを K ，可観測性グラミアンを W とすると，これらは以下のリアプ ノフ方程式の解である．
t+ (K ⊗ Q)(I N ⊗ α + AE −1 ⊗ βγ)t⊗ (ββ t )

(10)

(13)

t⊗ βγ)(K ⊗ Q)

+ (E −1 AK + KAt E −t + E −1 bbt E −t )(12)

D = d + δc(I N − δA)−1 b(22)= K ⊗ (−Ql lQ)√+ 2δ(E −1 AK) ⊗ (βγQ)√+ 2δ(KE −t At ) ⊗ (Qlt β t )(8)(11)⊗γ= (I N ⊗ α + AE

−1tt

ここで，A, B, C, D は以下のように与えられる．

A = I N ⊗ α + A(I N − δA)−1 ⊗ βγ

(21)

変数変換後の可制御性グラミアンt

Fig. 2 のように，N 次の伝達関数 H(s) = c(sI N −A)−1 b+d に対して，LCR回路の駆動点インピーダンス関数1/F (s) = γ(sI M − α)−1 β + δ を用いて s ← F (s)の変数変換を行うことを考える．この変数変換を行って得られるシステムを (A, B, C, D) として，このシステムを (A, b, c, d) と (α, β, γ, δ) を使って表すことを考える．
いま，H(s) の次数は N 次であり，1/F (s) の次数はM 次であるから，H(F (s)) の次数は M N 次となる．
そこで，M N 次の状態変数ベクトルを v(t) とすると，H(F (s)) の状態方程式は以下のように与えられることが知られている [1]．

5⊗BA(K ⊗ Q) + (K ⊗ Q)A + B B

変数変換後のシステム

B = (I N − δA)=A−1

変数変換後の可制御性グラミアン K を求める．まず，リアプ ノフ方程式を参考に以下の計算を行う．式の変形においては，定理１の式 (6)–(7)，および式 (10) の Aと式 (11) の B を用いている．また，E = (I N − δA)
とおいて式を簡略化している．

cFig. 2: Variable transformation.

−1(19)−1(A ⊗ B)t = At ⊗ B tA

4A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C(A ⊗ B)

db(18)−1Fig. 1: State-space representation.

u(t)(A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C(27)=E−1(AKE + EKA + bb )E=E−1(AK(I N − δA) + (I N − δA)KAttt−t(28)tt+ bbt )E −t=E−1(29)(AK + KA + bb − 2δAKA )Ettt= −2δAE −1 KE −t At(14)(15)−t(30)(31)

より，式 (26) は以下のように変形できる．

(26) = −(K ⊗ (Qlt lQ)√− 2δ(E −1 AK) ⊗ (βγQ)√− 2δ(KE −t At ) ⊗ (Qlt β t )変数変換後の 2 次モード

本節では，変数変換後の 2 次モード を求める．
可制御性グラミアンと可観測性グラミアンにより 2次モード は定義されるので，まず変数変換後の各グラミアンを求める．そして，求められた各グラミアンから，変数変換後の 2 次モード を求める．

+ 2δ(AE −1 KE −t At ) ⊗ (ββ t ))
= −XX

154

t(32)
(33)

= E −t (At W (I N − δA) + (I N − δA)t W A

ただし，
1X = K 2 ⊗ (Qlt ) −√12δ(AE −1 K 2 ) ⊗ β+ ct c)E −1(34)

とおいた．結局，式 (22) と式 (33) から次式が得られる．
t(45)= E −t (At W + W A + ct c − 2δAt W A)E −1(46)tA(K ⊗ Q) + (K ⊗ Q)A + B B = −XX t (35)= −2δE −t At W AE −1(47)より，式 (42) は以下のように変形できる．

(42) = −(W ⊗ (lt l)√+ 2δ(E −t At W ) ⊗ (γ t l)√+ 2δ(W AE −1 ) ⊗ (lt γ)

式 (35) から式 (14) を引くと，以下の式が得られる．
tA(K ⊗ Q − K) + (K ⊗ Q − K)A = −XX t (36)+ 2δ(E −t At W AE −1 ) ⊗ (γ t γ))

ここで，リアプ ノフ方程式について以下の安定性に関する定理がある [9]．

= −Y Y定理 2 A が漸近安定のとき，任意の Q =Qt ≥ 0 に対してリアプ ノフ方程式 At P +PA = −Q は一意解 P = P t ≥ 0 を持つ．

(49)

ただし，1Y =W2 ⊗l+式 (36) と定理 2 から，以下の式が導ける．

√2δ(W 2 AE −1 ) ⊗ γ
1tt(37)A (W ⊗ Q−1 ) + (W ⊗ Q−1 )A + C C

等号は l = 0 かつ δ = 0 のときに成立する．これは変換変数に LC回路の駆動点インピーダンス関数 を用いた場合，すなわちシステムに一般的な周波数変換を適用した場合に相当する [3]．

= −Y t Yt

A (W ⊗ Q−1 ) + (W ⊗ Q−1 )A + C C= (I N ⊗ α + AE+ (W ⊗ Q+ (cE−1⊗ γ) (cE= W ⊗ (α Q+ (E−1−1A W ) ⊗ (γ β Q−t ttt−1−1c cE) ⊗ (Q−1−1−1tA (W ⊗ Q−1 − W ) + (W ⊗ Q−1 − W )A(38))⊗ βγ)⊗ γ)) + W ⊗ (Qt+ (W AE+ (E⊗ βγ) (W ⊗ Q)(I N ⊗ α + AE
tt−t−1t−1= −Y t Yα)

式 (52) と前節の定理 2 から，以下の式が導ける．

W ⊗ Q−1 − W ≥ 0KW ⊗ I M ≥ K Wβγ)) ⊗ (γ γ)√+ (E −t At W ) ⊗ (γ t (γ − 2δl))√+ (W AE −1 ) ⊗ ((γ t − 2δlt )γ)

定理 3 n × n の複素行列 A, B は共にエルミートであるとし，A, B の固有値を大きいものから順に λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn と番号をつけるものとする．A ≥ B のとき，λi (A) ≥λi (B) (i = 1, 2, · · · , n) が成立する．

(41)= W ⊗ (−l l)√− 2δ(E −t At W ) ⊗ (γ t l)√
− 2δ(W AE −1 ) ⊗ (lt γ)
t+ (E −t At W + W AE −1 + E −t ct cE −1 )⊗ (γ t γ)(54)

等号は l = 0 かつ δ = 0 のときに成立する．これは変換変数に LC回路の駆動点インピーダンス関数 を用いた場合，すなわちシステムに一般的な周波数変換を適用した場合に相当する [3]．
ところで，正定行列に関して以下の定理がある [10]．

(40)= W ⊗ (αt Q−1 + Q−1 α)+ (E −t ct cE −1 ) ⊗ (γ t γ)

(53)

等号は l = 0 かつ δ = 0 のときに成立する．これは変換変数に LC回路の駆動点インピーダンス関数 を用いた場合，すなわちシステムに一般的な周波数変換を適用した場合に相当する [3]．

)

t(52)

5.3 変数変換後の 2 次モード変数変換後の 2 次モード θ̄ を求める．式 (37) と式(53) から，次式が得られる．

(39)−1(51)式 (51) から式 (15) を引くと，以下の式が得られる．

5.2 変数変換後の可観測性グラミアン
変数変換後の可観測性グラミアン W を求める．前節と同様，まずリアプ ノフ方程式を参考に以下の計算を行う．式の変形においては，定理１の式 (6)–(7)，および式 (10) の A と式 (12) の C を用いている．また，E = (I N − δA) とおいて式を簡略化している．
−1(50)

とおいた．結局，式 (38) と式 (49) から次式が得られる．

K ⊗Q−K ≥0t(48)t

式 (54) と定理 3，および 2 次モード の定義より，変数変換前の 2 次モード θ と変換後の 2 次モード θ̄ の関係は以下のようになる．

(42)

ここで，

θi ≥ θ̄j

E −t At W + W AE −1 + E −t ct cE −1(43)= E −t (At W E + E t W A + ct c)E −1(44)155

i = 1, 2, · · · , Nj = M (i − 1) + 1, M (i − 1) + 2, · · · , M i(55)C=
prototypetransformed1|H(jΩ)|

0.17920.3584(62)(63)(θ̄1 , θ̄2 , θ̄3 , θ̄4 )= (0.0650, 0.0235, 0.0006, 0.0003)

0.6(64)

したがって，式 (58) と式 (64) から，LCR回路の駆動点インピーダンス関数1/F (s) による変数変換に対して，
2 次モード は減少することが確認できる．

0.470.2002468Frequency Ω [rad/sec]

10

参考文献
[1] C. T. Mullis and R. A. Roberts, Roundoﬀ Noise inDigital Filters: Frequency Transformations and Invariant, IEEE Trans. ASSP-24, pp. 538–550, 1976.
[2] M. Kawamata, S. Koshita, On the Invariance ofSecond-Order Modes under Frequency Transformation in 2-D Separable Denominator Digital Filters,
Proceedings of IEEE ISCAS, vol.5, pp. 777–780,
2002.
[3] M. Kawamata, On the Invariance of Second-Order
Modes of Continuous-Time Systems under General
Frequency Transformation, Proceedings of IEEE ISCAS, vol.1, pp. 505–508, 2003.
[4] 今野剛人，阿部正英，川又政征，変数変換に対する連続時間システムの 2 次モードについて，計測自動制御学会
東北支部，217-6，2004.
[5] 高橋宣明，よくわかる回路理論，pp. 101–104，オーム社，1995.
[6] 高橋進一，有本卓，回路網とシステム理論，pp. 204–206，
コロナ社，1974.
[7] 太田快人，システム制御のための数学 (1)，pp. 210–213，
コロナ社，2000.
[8] D. Zwillinger, Standard Mathematical Tables andFormulae, pp. 135–136, CRC Press, 1996.
[9] 前田肇，線形システム，pp. 195–199，朝倉書店，2001.

ただし ，θ1 ≥ θ2 ≥ · · · ≥ θN , θ̄1 ≥ θ̄2 ≥ · · · ≥ θ̄M である．
以上より，LCR回路の駆動点インピーダンス関数 による変数変換対して，連続時間システムの 2 次モードは減少することを示した．

計算例

LCR回路の駆動点インピーダンス関数1/F (s) による変数変換に対して，2 次モードが減少する例を示す．
まず，以下の 2 次の伝達関数を考える．
H(s) =

s2 +1√
2s + 1(56)

この伝達関数は，遮断周波数 1[rad/sec] の 2 次バタワー
スフィルタであり，Fig.3 の実線に示すような特性をもつ．このシステムの状態空間表現 (A, b, c, d) は以下のように与えられる．
⎞⎛ √− 2 −1 1A b0 0 ⎠(57)=⎝ 1c d01 0[10] 児玉慎三，須田信英，システム制御のためのマトリクス理論，pp. 269–275，計測自動制御学会，1978.

このシステムの 2 次モード θ は次のように得られる．

(θ1 , θ2 ) = (0.6830, 0.1830)(58)

システム (A, b, c, d) に対して，以下の LCR回路の駆動点インピーダンス関数1/F (s) を用いて s ← F (s) の変数変換を行うとする．

s2 + 2s + 3
1= 2F (s)4s + 5s + 6(59)

変換後のシステム (A, B, C, D) の特性は図 3 の点線のようになり，(A, B, C, D) および 2 次モード θ̄ は次のように得られる．
⎛⎞−1.4704 −1.9407 −0.1324 −0.2648⎜ 1.0000⎟
000⎟A=⎜⎝ 0.1324
0.2648 −1.2831 −1.5662 ⎠001.00000(60)0.70620 0.17650t

あとがき

本報告では，LCR回路の駆動点インピーダンス関数による変数変換対して，連続時間システムの 2 次モード は減少することを示した．この性質をど う応用するかが今後の課題である．

Fig. 3: Amplitude characteristic.

B=0.0662

D = 0.0441

0.8

60.0331(61)

156