〈一般研究課題〉 集合住宅および家庭内の廃熱回収型新発電システムの実用化に関する研究

助 成 研 究 者

大同大学

佐藤 義久

集合住宅および家庭内の廃熱回収型新発電システムの実用化に関する研究佐藤 義久（大同大学）

Study on the Domestic exhaust-heat recovery type power
generation system with Shape Memory Alloy Engine
Yoshihisa SATO
（Daido University）

Abstract
The purpose of this research is to improve the rotation mechanism theory of the SMA engine.
The main results obtained by this research are as follows. After having taken the bending moment
into consideration and having incorporated that into the rotation mechanism theory, we have
stepped up to the next level of accuracy.According to our modified theory, we will be able tocalculate the predicted values of rotation speed ω and output powerwith higher accuracy. We

designed and assembled a large-sized equipment which allowed us to measure the rotation speed
and the torque simultaneously.We compared the experimental values of the output power with thetheoretical values, and partially verified the validity of the theory. We obtained the maximum
output power 3.74W.

1. はじめに（研究目的）, （3）,
我々は単純プーリー型SMAエンジン（1）（2）の回転角速度ω［sec-1］，出力 ［W］をSMAベルトの形

状，寸法，ヤング率，SMAエンジンの高温輪，低温輪の半径のみから理論的に予測することを試
み，SMAベルトのひずみエネルギとSMAエンジンの回転エネルギのバランスから出力特性を数式で表すことに世界で初めて成功した（4）。回転角速度ωに関する微分方程式を導出し，その時定数tをSMAベルトがSMAエンジンを一周する時間，τ＝ ÷ ωと見直し，回転角速度ωを予測する式− 85 −

,の中にSMAベルトの長さ を取り込んだ（5）（6）。さらに， 振動モード によるSMAエンジンの回転の様子を高速度カメラを用いて詳細に観察し直した結果，SMAベルトが真っ直ぐになるときの曲げモーメントMの反作用は回転力として作用するが，引き戻されるときの回転モーメント は回転を妨げる方向に作用することが分かった。また，新たに考案した実験手法に基づき，時定数τを
SMAベルトがSMAエンジンを 回周回する時間 τ＝÷ ωmax と見直すことにより，微分方程式を導く際に導入した（出力＋損失）の比例定数kが，時定数τの中の未知数 に置き換わり，未知の比例定数kを装置の回転角速度が一定になるまでの周回数 を測定することにより決定できることになり，実験結果をより合理的に説明出来るようになった。以上のとおり，本研究の目的は，
SMAエンジンの回転角速度ωと出力 を予測する理論式をより正確に導き，回転角速度ωとトルク［N・m］を同時測定可能な実験装置を設計製作し，見直した理論の妥当性を実験的に検証し，従来の研究成果をさらに改善・発展させることである。

2. 主な記号
ਥߥ⸥ภ


ML

R

：低温輪の半径［cm］
 ਥߥ⸥ภ
：高温輪の半径［cm］

4 Low-temperature wheel 3
J2
㧔t3 42͠ 㧘e2 㧘E2㧕㧔t4 41͠ 㧘e2 䋬E2 㧕：SMAベルトの直径
［mm］
Mc
1

：SMAベルトの高温域のヤング率
［GPa］

2

：SMAベルトの低温域のヤング率
［GPa］

1 M

h

M

r

1
㧔t1 45͠ 㧘 e1 䋬E2 㧕：SMAベルトの曲げモーメント
［N・m］

2

J1

㧔t2 85͠ 㧘e1 㧘E1㧕

㧔97͠㧕High-temperature wheelh：高温輪の回転モーメント
［N・m］

L

：低温輪の回転モーメント［N・m］

Fig. 1 The symbols of experiment equipment：SMAベルトの温度［℃］：SMAベルトの断面二次モーメント［m4］

ω：高温輪の回転角速度［sec-1］Young’sYoung’ s modulus E 1Young's modulus[GPa]Young’smodulus[GPa]ω1-1：低温輪の回転角速度［sec ］：SMAエンジンの出力
［W］

1

2

2

：高温輪の慣性モーメント［kg・m ］
2

：低温輪の慣性モーメント［kg・m ］

Point 2 8589 ͠
㷄Point 1 Point
41 㷄1 45 ͠

60

Point 4 Point
41 ͠4 44 㷄

40Young ’s modulus E 2

Point350 㷄
Point342 ͠

20：SMAベルトの長さ
［m］



：出力輪
（低温輪）
のトルク
［N・m］
k

80

0

20

40
60
80
Temperature [͠]
[㷄]

100

Fig.2 Relation between Young s modulus
and temperature：出力+損失の比例定数［N・m・sec］

 ⎇ⓥߩ⚻✲：SMAベルトの周回数
MPP ：Maximum Power Point（最大出力点） ⎇ⓥߩ⚻✲

3. 研究の経緯
SMAエンジンを用いた排熱回収型新発電システムの研究開発を目指し，著者等は，SMAエンジンの回転角速度ω，出力PをSMAベルトの形状・寸法・高温域および低温域のヤング率，SMAエン
ジンの高温輪および低温輪の半径等の外形諸量のみから理論的に予測することを試み，SMAベル− 86 −

トのひずみエネルギとSMAエンジンの回転エネルギのバランスから出力特性を数式で表すことに成功した（４）。第２報（５）および第３報（６）では，SMAベルトのひずみの分布を考慮してひずみエネル
ギを正確に算出し，またエネルギバランスより回転角速度ωに関する微分方程式を導出し，その時定数t をSMAベルトがお湯につかり温まり，SMAエンジンを一周する時間として，τ＝ ÷ ωを導入した。本見直しにより，回転角速度ωを予測する式の中にSMAベルトの長さ を含むSMAエンジンの外形諸量がほぼ全て取り込め，実験結果をより合理的に説明することができるようになった。その後， 振動モード によるSMAエンジンの回転の様子を高速度カメラ（1200コマ/秒）を用いて詳細に観察し直した結果，SMAベルトが真っ直ぐになるときの曲げモーメント の反作用は回転力として作用するが，引き戻されるときの回転モーメント は回転を妨げる方向に作用することが分かった。つまり，回転モーメント
き戻されるときの回転モーメント
1

,

2

＝

h

はそれらの差，即ちh＝ − となることが判明した。引

/ に含まれるヤング率 は点２と点３におけるヤング率の平均値とみなした。さらに，時定数τをSMAベルトがSMAエンジンを 回周回する時間，

すなわち，τ＝

÷ ωと従来の 倍に見直した。SMAエンジンが一定速度で回転している状態

で，SMAベルトを強制的に一瞬停止させ，そこから元の一定の回転角速度に戻るまでの時間を測定する実験方法を考案した。時定数をτ＝÷ ωと置くことは，微分方程式を導く際に導入した（出力＋損失）の比例定数kが，時定数τの中の未知数 として置き換わったことになる
｛τ=
（（
/）
1
2

＋ 2）
/k=

/ ω｝
。したがって，装置固有の未知数である比例定数kを回転角速度が一定になるま

でにSMAベルトが装置を周回する周回数 で置き換え，それを測定することで比例定数kを決定できることになる。以上述べたように，今回の見直しにより，従来の理論は大幅に改善され，実験結
果をより合理的に説明出来るようになった。本研究の目的は，SMAエンジンの回転メカニズム理論において，回転モーメントの項および時定数を見直し，SMAエンジンの回転角速度ωと出力 を予測する理論式をより正確に導き，さらに，回転角速度ωとトルク を同時測定可能な実験装置を設計製作し，見直した理論の妥当性を実験的に検証し，従来の研究成果をさらに改善・発展させることである。

4. 形状記憶合金エンジンの回転メカニズム
従来，SMAエンジンの回転力はSMAベルトの左右の張力差によって発生すると考えられていたが，我々はSMAエンジンの実験装置を設計製作し，その動きを詳細に観察した結果，SMAベルトの振動に起因する回転メカニズムが存在することを発見した（４）。すなわち，図１に示すように
SMAベルトは点１（ 1）で高温輪に接触して曲げられ，熱を受けながら回転し，点２（ 2）で高温（SMAベルトの変態温度）になり元のまっすぐな形状に戻ろうとする。この時の曲げモーメントが作用反作用の原理により高温輪を蹴り，回転モーメントhを発生させる。SMAベルトは点２で元のまっすぐな形状に戻ろうとするが，ループ状に接続されているため低温輪側に引き戻される。これを繰り返し，振動しながら回転しているのではないかと考えた。また，SMAベルトは空冷および低温輪で冷却され，点３（ 3），点４（ 4）で冷え切り，常温になる。各点の温度が図２に示す 2 ≫ 1，
， 4 の条件を満たすようにSMAベルトが自然空冷される長さを決め，SMAベルトのひずみエネル

3ギの吸収と放出という観点からSMAエンジンの回転メカニズムを解明する。点２におけるSMAベルトの曲げモーメント は材料力学より，− 87 −

E1 I
r

M

（１）

ただし，

1

はSMAベルトのヤング率， はSMAベルトの断面二次モーメントであり，断面形状が直径 の丸線の場合，

Sd 4

64

I

（２）

式
（１）
の曲げモーメントが回転力の源となる。一方，SMAベルトは点２〜点３の間において引き戻され，このとき図３に示すように逆に回転を抑制する方向に力が働き，その曲げモーメント は

Mc

E cI
r

（３）

つまり，SMAエンジンの回転モーメントMhは次式となる。

h

M Mc

（４）

ただし，SMAベルトが点２〜点３で引き戻されるときのヤング率 は点２のヤング率
ヤング率

Ec

2

の平均値とみなした。つまり

E1  E 2
2（５）

したがって，高温輪の回転モーメント

Mh

Mh

M Mc

は

h

( E1  E 2 ) I
2r

（６）




M Mc
Mh

1

,点３の
Mc

M



Fig. 3 Relation between bending
moment and rotation momentとなる。以上が今回，回転メカニズム理論を見直した主要ポイントである。

また，低温輪の回転モーメントを とすると，

T

R
Mh
r

R ( E1  E 2 ) I
2r 2h/ = / であるから

  

（７）

SMAエンジンの出力 は回転モーメント（回転トルク）と回転角速度の積として求められるのでPȦTȦ1 M hȦR ( E1  E 2 ) I
2r 2

  

（８）

となる（ ω 1 = ω）.

5. 形状記憶合金エンジンの回転角速度
5-1 SMAベルトのひずみエネルギ
SMAエンジンの各部分に作用する力の関係に関する方程式は非常に複雑であるが，SMAエンジ
ンのエネルギバランスを考えると，回転角速度に関する微分方程式を容易に導くことができる。
SMAベルトは点2,点3,点4,点１の各点においてひずみエネルギを放出あるいは吸収するが，これらの差がSMAエンジンの回転エネルギの源となる。各点のひずみエネルギを整理すると以下の通り
となる。
（１）
点２
（ヤング率

1

,ひずみε1 ,エネルギ放出）

点２でSMAベルトは変態温度に達しヤング率は− 88 −

1になり，SMAベルトはまっすぐになり，エᒻ⁁⸥ᙘว㊄ࠛࡦࠫࡦߩ࿁ォⷺㅦᐲᒻ⁁⸥ᙘว㊄ࠛࡦࠫࡦߩ࿁ォⷺㅦᐲ5࡮1 SMA
SMA ࡌ࡞࠻ߩ߭ߕߺࠛࡀ࡞ࠡ
ࡌ࡞࠻ߩ߭ߕߺࠛࡀ࡞ࠡ 5࡮1ᒻ⁁⸥ᙘว㊄ࠛࡦࠫࡦߩ࿁ォⷺㅦᐲᒻ⁁⸥ᙘว㊄ࠛࡦࠫࡦߩ࿁ォⷺㅦᐲ
ネルギを放出する。これがすべての回転エネルギ源となる。
5࡮1 SMA ࡌ࡞࠻ߩ߭ߕߺࠛࡀ࡞ࠡ 
5࡮1
SMAࡌ࡞࠻ߩ߭ߕߺࠛࡀ࡞ࠡ

（２）
点３
（ヤング率
2 ,ひずみε2 ,エネルギ吸収）ᒻ⁁⸥ᙘว㊄ࠛࡦࠫࡦߩ࿁ォⷺㅦᐲ

点３に達するまでにSMAベルトは自然空冷され，ヤング率は2となる。点３でSMAベルトは

5࡮1 SMA ࡌ࡞࠻ߩ߭ߕߺࠛࡀ࡞ࠡ 

曲げられ，ひずみエネルギを貯えるが，SMAエンジンの回転エネルギの観点からはエネルギの吸収となる。
以下同様に，

Table. 1 Strain energy of SMAbelt.

（３）
点４
（ヤング率

2

,ひずみε2 ,エネルギ吸収）

Strain energy

Point

Young’smodulus/temperaturestrain2

E1/85͠

H1

W2

3

E2/42͠

H2

W3

ものとして求めることができるので，次式で求められ

4E2/41͠

H2

W4

る。

1

E2/45͠

H1

W1

（４）
点１
（ヤング率

2

ひずみε1 ,エネルギ吸収）以上説明した各点におけるSMAベルトのひずみエ
ネルギは単位体積あたりのひずみエネルギにSMAベルトが単位時間当たりに移動する体積を掛け合わせた

W

³

d
2

0

1 § x·
E¨ ¸
2 ©r¹

2

E1Sd 4 rȦ1
64r 2
E2 Sd 4
 RȦ
64R 2
4
E2 Sd
 RȦ
64R 2
4
E2 Sd
 rȦ1
64r 2

rZ1=RZ 2Sxdx  rȦ
,1
ᢿ㕙Ⓧ

d
d䋺diameter

（９）

ㅦᐲ

න૏૕Ⓧ޽ߚࠅߩ
߭ߕߺࠛࡀ࡞ࠡ࡯

式（９）より，点２における直径 の丸線SMAベルトのひずみエネルギは
W2

࡮

d

1
2S
E1  2  rȦ1 2 x3dx
0
2
r

³

࿁ォⷺㅦᐲߦ㑐ߔࠆᓸಽᣇ⒟ᑼ ࡮࡮E1Sd 4
 rȦ1
64r 2

（10）

となる。同様に点3，点4，点１のひずみエネルギ 3， 4， 1は表１の通りとなる。
࿁ォⷺㅦᐲߦ㑐ߔࠆᓸಽᣇ⒟ᑼ ࿁ォⷺㅦᐲߦ㑐ߔࠆᓸಽᣇ⒟ᑼ
5-2 回転角速度に関する微分方程式の間に࡮ エネルギバランスからSMAエンジンの回転角速度に関する微分方程式を立てる。時間⊿࿁ォⷺㅦᐲߦ㑐ߔࠆᓸಽᣇ⒟ᑼ ࡮ ࿁ォⷺㅦᐲߦ㑐ߔࠆᓸಽᣇ⒟ᑼ ࡮ ࿁ォⷺㅦᐲߦ㑐ߔࠆᓸಽᣇ⒟ᑼ
SMAエンジンが得るエネルギは（W 2 - 3 - 4 - 1）⊿ となり，その値は表１より，Sd 4 § E1  E2 2 E2 ·
 2 ¸ RȦ  ǻt¨
64 © r 2
R ¹

（11）

となる。
一方，時間⊿ の間の高温輪・低温輪の運動エネルギの増加を求めると
1
1
1
§1
·
2
J 1 (Ȧ1  ǻȦ1 ) 2  J 2 (Ȧ  ǻȦ) 2  ¨ J 1Ȧ1  J 2 Ȧ 2 ¸
2
2
2
©2
¹

2

1 §R·
1
J 1 ¨ ¸ (2Ȧ  ǻȦ  ǻȦ 2 )  J 2 (2Ȧ  ǻȦ  ǻȦ 2 )（12）2 ©r¹
2

SMAエンジンのエネルギバランスは，SMAエンジンが得るひずみエネルギ＝高温輪・低温輪の運動エネルギの増加分+（出力+損失）であるので，出力+損失を回転角速度の２乗に比例すると考えkω2⊿ とし，２次以上の高次の項を無視するとSd 4 R § E1  E2
¨
64 ©

r2

2E ·
 22 ¸ȦǻtR ¹­° § R · 2½°
2® J 1 ¨ ¸  J 2 ¾Ȧ  ǻȦ  kȦ ǻt°̄ © r ¹°¿（13）

両辺をω⊿ で割り，⊿ → 0，⊿ω → ０の極限をとると，回転角速度に関する次の微分方程式が得られる。

− 89 −

Sd 4 R § E1  E2 2E2 · 2 ¸¨
64 © r 2
R ¹­° § R ·2½° dȦ®J1 ¨ ¸  J 2 ¾  kȦ°̄ © r ¹
°¿ dt

（14）

式
（14）
を解くと，
2

Sd 4 R § E1  E2 2 E2 ·
 2 ¸
¨
t
 ½
R ¹ ­
64 © r 2࡮®1  e W ¾‫ޓ‬㧘W
k
¿
¯

Z

§R·
J1 ¨ ¸  J 2
©r¹
k

（15）

ここで，十分時間が経った後の回転角速度をωmaxとおくと，
2E ·
§E E
ʌ d 4 R¨ 1 2 2  22 ¸r
R ¹©
W   ­° § R · 2½°
64® J 1 ¨ ¸  J 2 ¾°̄ © r ¹
¿°

Ȧmax

（16）

式
（16）
において時定数 はSMAベルトがSMAエンジンを 回周回する時間，すなわち
L y RȦmax u n

ĲnL / RȦmax

（17）

ただし， ：SMAベルトの長さ， ωmax：SMAベルトの回転速度， ：SMAエンジンの回転角速度が一定になる周回数 と考えると，
2E ·
§E E
ʌ d 4 Rr 2 ¨ 1 2 2  22 ¸r
R ¹ nL
©

2
2
RȦmax
64 J 1 R  J 2 r

Ȧmax

2E ·
§E E
n ʌ d 4 Lr 2 ¨ 1 2 2  22 ¸
R ¹
© r
‫ޓޓ‬
64 J 1 R 2  J 2 r 2? Ȧmax（18）

次に，SMAエンジンの回転角速度が一定になる周回数 について考察する。

させてからのSMAエンジンの回転角速度ωと時間 の関係は，= 2mmの 場 合， 図 ４ に 示 す と お り と な っ た。 図 ４ よ り，
SMAエ ン ジ ン の 回 転 角 速 度 ωが 一 定 の 収 束 値（図 ４ で は
ω16.15［sec-1］）の63.2%（１−e-1）に達するまでの時間は， 0

Rotation Speed Z [sec-1]

一定速度で回転中のSMAエンジンを一瞬止め，再度回転

18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0

= 7.7secであり，その間に低温輪を通過するSMAベルトの長
さは

10

20

30

50

70

Time t[sec]t0³ 0 RȦ(t )dt となる。

Fig. 4 Relation between ω and

一方，その間にSMAベルトがSMAエンジンを 回周回するので次式が成立する。
t0³‫ޓ‬0 RȦ(t )dt nL

18

（19）

16

]
14
ecs
[

1-

12

式
（18）の左辺の値は図４のω‐ 曲線を積分することで求められる。図４の網掛け部分の面積より，となる。したがって，nRLt0 ‫ޓ‬³ Ȧ(t)dt
0

³

t0
0

Ȧ (t )d t

58 .53

i

10
ed
ep
s 8
n
o
tia 6
t 4
o
R

d=2mm
d=1.5mmd=1.2mm2000.31u 58.53
3.16 ѳ 3
5.75

10

20

30

40

50

Time t [sec ]Fig. 5 Relation between ω and− 90 −

60

以上より，SMAエンジンの回転角速度 が一定になる周回数 を =３と決定した。
SMAベルトの直径を =1.2mm， =1.5mm， =2mmと変化させた場合の実験結果を図５に示す。
同様にして の値を求めると以下のとおりとなる。
R t0 ‫ޓ‬
0.31u 34.95
1.88 ѳ 2=1.2mmのとき， 0 =11sec， n L 0 Ȧ(t )dt
5.75
R t0 ‫ޓ‬
0.31u 35.64
Ȧ(t )dt
1.92 ѳ 2=1.5mmのとき， 0 =9sec， n
0
L
5.75

³

³

SMAベルトの直径が異なる３種類の実験で， の値は若干異なるが， は回転角速度を予測する
理論式の中において平方根で効いてくることと，以降の実験では最大出力が得られる直径 =2mmのSMAベルトを用いるので， ＝３を採用することとした。
੍஻ታ㛎㧔ࡌ࡞࠻ߩᦨㆡ㐳ߐߩ᳿ቯ㧕੍஻ታ㛎㧔ࡌ࡞࠻ߩᦨㆡ㐳ߐߩ᳿ቯ㧕
6. 予備実験（SMAベルトの最適長さの決定）
高出力実験装置は低温輪に自転車の車輪（26インチ）を応用し，より実機に近い従来装置の約２倍の大きさの大型実験装置とした。予備実験では図１に示す点３，点４，点１の温度が自然空冷で
図２に示す関係を満たし，かつ回転角速度が最大となるSMAベルトの最適長さを決める。予備実੍஻ታ㛎㧔ࡌ࡞࠻ߩᦨㆡ㐳ߐߩ᳿ቯ㧕
験装置の概念図を図６示す。低温輪 =31cm，高温輪 =10cmと固定し，SMAベルトの長さを=5.25m，5.5m，5.6m，5.75m，5.8m，6mと変化させたときの出力輪（低温輪）の回転角速度の実験結果を図７に示す。SMAエンジンの回転角速度は非接触光学式回転数計（ライン精機株式会社，
TM- 5010）で測定した。図７において，は回転角速度ωの平均値を，Ⅰは測定値のバラツキ（最大値と最小値）を示す。式（19）から明らかなように回転角速度ωはSMAベルトの長さ の平方根に比例する筈であるが図７に示すとおり，実験結果はSMAベルトの長さに最適値があることを示している。その理由として，SMAベルトが短過ぎると冷却不十分になり，点３の温度が図２の条件3を満たさなくなり，回転力が落ちるからである。一方，長過ぎても，回転角速度が落ちるがその原因は，現時点では未解明であり，今後解明すべき重要な研究課題である。しかし，SMAベルトの長さに最適値が存在することは装置の経済的な設計・製作の観点からは望ましいことである。また，高温輪の半径を =5cmから =10cmに変化させても，SMAベルトの長さ =5.75mに対してはπ×0.05m÷5.75m=2.7%であり，SMAベルトの長さLを固定した影響は無視できるものと考えた。
690

Rotation speed Ȧ [sec-1]

Low-temperature
wheel



Rotation meter
550

ታ㛎㧔
ታ㛎㧔

3090
High-temperaturewheelࠛࡦࠫࡦߩ಴ജ․ᕈ㧕
1850ࠛࡦࠫࡦߩ಴ജ․ᕈ㧕Hot water bath

7࡮1
7࡮1 ታ㛎ߩ⋡⊛ታ㛎ߩ⋡⊛ 
Conventional equipment      

20
15
10
5
0
5.25

5.5

5.75

6

6.25

Length of the SMA belt L [m]Fig.7 Relation between ω and

Fig. 6 Conceptual figure ofexperiment equipment

77࡮2
࡮2 ታ㛎ⵝ⟎ታ㛎ⵝ⟎ ታ㛎㧔䇭 Experiment䇭 r =10cm䋬R =31cm



25

5

Jack
New equipment

30ࠛࡦࠫࡦߩ಴ജ․ᕈ㧕

7࡮1 ታ㛎ߩ⋡⊛ 

7࡮2 ታ㛎ⵝ⟎ − 91 −

7. 実験
（SMAエンジンの出力特性）
7-1 実験の目的予備実験で使用した実験装置を出力実験用，すなわち，回転角速度ωとトルク を同時測定できるように改造し，実験で求めたSMAエンジンの出力 と，導出した理論値を比較検討し，見直した理論の妥当性を実験的に検証する。

7-2 実験装置
SMAエンジンの回転角速度ωとトルク を同時測定し，出力 （=ω ）を実験値（ω， ）から計算で求めることのできる大型実験装置を設計製作した（図９参照）。回転角速度ωは非接触光学式
回 転 数 計 で 測 定 し， ト ル ク は ト ル ク 変 換 器（KYOWA製：TP- 20KCE）， 動 ひ ず み 測 定 器（KYOWA製：DPM- 601）
，オシロスコープによって測定する。トルク変換器の負荷側に擬似負荷としてヒステリシスブレーキ（小倉クラッチ製：HB- 10）を取り付けた。ヒステリシスブレーキの励磁電流を変化させることにより負荷の大きさを任意に制御してSMAエンジンのトルクを測定した。予備実験よりSMAベルトの長さは =5.75mと固定し，出力 は低温輪の半径 にはあまり依存しないので低温輪の半径も =31cmと固定し，高温輪の半径を =5cm，7.5cm，10cm，15cmと変化させて出力実験を行った。尚，慣性モーメント 1， 2 は以下に示す中空車輪（円環）の慣性モーメントの式で求めた。

J³ r dm2

1
s
1
Ut1Sr14  Ut 2 b r2 3  r13  Ut3 S r3 4  r2 4
2
3
2

（20）

ρは車輪の素材の比重［kg/m3］， 1， 2， 3 は車輪の各点の厚さ［m］，bはスポーク幅［m］， はス
ポーク本数である。一例として，高温輪半径 =7.5cmの慣性モーメントはρ=2.79×103 kg/m 3，1= 2 = 3 =1.04×10-2 m， =1.02×10-2 m， 1 =2.69×10-2 m， 2 =6.44×10-2 m， 3 =7.51×10-2 mを式（20）に代入すると， 1 =7.86×10-4 kg・m2 となる（図８参照）。実験に使用した車輪の慣性モーメントを同様に計算し，表２に示す。
7࡮3 ታ㛎⚿ᨐ 
7-3 実験結果
7࡮3 ታ㛎⚿ᨐ 
最大出力が得られた =7.5cmの場合の回転角速度ωとトルク の関係を図10に，出力 とωの7࡮3ታ㛎⚿ᨐ 関係を図11に示す。
=5cm，10cm，15cmの場合のω- ， -ωの関係も図1,図11と同様であった。
以上の実験で得られた最大出力点（Maximum Power Point）と高温輪の半径の関係を図12に示す。
図1,図12に示すとおり =5.75m， =31cm， =7.5cmのとき，最大出力3.74Wが得られた。
Outer radius r3

Inside radius r2
Thickness t

Inner radius r1

Width of spoke b

Radius of wheel

Inertial moment[kg࡮m2]

r=5cm

J1=1.5410-4

r=7.5cm

J1=7.8610-4

r=10cmJ1=2.0010-3

r=15cmJ1=4.9110-3

R=31cmJ2=6.4410-1

Fig. 8 Outline of the wheel for
inertial moment

Table. 2 Inertial moment− 92 −        

690

Hysteresis brake
Torque converter-1

Rotaion speed Ȧ [sec ]Low-temperature
wheel
Rotation meter
3090

High-temperaturewheel
Hot water bath

50

Output Power P max[W]Output powerP [W]

2
1
0
10

10

0.2

20




0.6

0.8



䇭䇭 Experiment䇭䇭 R =31cm䋬L =5.75m

5
4
3
2
1
0

30

0

Rotation speed Ȧ [sec-1]

Fig. 11 Relation between

0.4



3

0

‫ ޓ‬r =7.5cm, L =5.75m

15 10 Relation between ω and （ = 7 . 5 cm）
Fig.

‫ ޓ‬r =7.5cm, L =5.75m

4‫ޓ‬Experiment‫ ޓ‬Maximum power point

Torque T [N䊶m]‫ޓ‬Experiment‫ ޓ‬Maximum power point

MPP

20

        Fig. 9 Large-sized experimentequipment
5

MPP

0

        

Jack

25

5

10

15

20

Radius of high-temperature wheel r [cm]     




and ω
（ = 7 . 5 cm）

Fig. 12 Relation between P and

8. 考察
⠨ኤ
⠨ኤ
⠨ኤ
⠨ኤ
⠨ኤ
⠨ኤ
SMAエンジンの最大出力maxを予測する理論式は次式を満たす。
Pmax

Ȧ

Sd 4 R( E1  E 2 )Sd 4 R( E1  E 2 )㧨Ȧmax 2
128r
128r 2

（21）

T
T max

しかし，式
（21）には出力が最大となる回転角速度ωが未知数として残っている。

T



Tmax

Z max

 Z  Tmax

MPP

SMAエンジンの出力特性は図10，図11のとおりとなり，図10から明らかなようにω-Tの関係は図13に示すような直線で近似できる。したがって，SMAエンジンの出力は下式となる。

Pmax

§ T
·
Z ¨¨  max ࡮ Z  Tmax ¸¸© Z max¹

式（22）は，
Z

Z max
2

Pmax

dP
dZ

2

Tmax

Z max



Fig. 13 Relation between

Tmax࡮ Z  Tmax࡮ Z

Zmax Z

and ω

2

Z max

࡮ Z  Tmax0

0 よ り，Z

Z max
2

（22）
で， 極 大 値 を と る。 つ ま り， 出 力 はで最大となり，その値は，

Z max §·TZ¨  max ࡮ max  Tmax ¸¨¸
2 © Z max
2¹

Z max Tmax2࡮2となる。すなわち，SMAエンジンのω- 特性が図10に示すような直線で近似できるとき，そのZ max
1
Z max࡮Tmax となることが分かる。
のとき，最大出力 Pmax
出力は Z
2

4

図10，図13は =31cm， =7.5cm， =5.75mの場合についての説明図であるが，他の組み合わせ（ =5.75mおよび =31cmは固定し，高温輪の半径 を =5cm，10cm，15cmと変化させた場合）の実− 93 −

験結果においてもω- の関係は直線で近似できるので，この関係は成立している。
したがって，SMAエンジンの最大出力 maxは以下の実験式で予測することができる。
Pmax

Ȧ

Sd 4 R ( E1  E2 )128r 2Ȧmax Sd 4 R ( E1  E2 )

2128 r 2

（23）

式
（23）
と実験値 （＝ω ）を比較した結果を図14に示す。
図14に示すとおり， ≧7.5cmの範囲において理論値と実験値の傾向および絶対値は非常に良く一致している。一方， ＜7.5cmの範囲において理論値と実験値は傾向・絶対値共に一致しないが，その主な原因は以下のように考えられる。
（１）＜7.5cmではSMAベルトのひずみが１%を越えてしまい，SMAベルトが高温輪に上手く巻
き付かない（上手く蹴れない）。
（２）
SMAベルトが，曲げモーメントの反作用で高温輪を蹴るとき，高温輪とSMAベルトの間ですべり が発生する。
（３）
SMAベルトは点１で熱を受け，点２で変態温度に達するが，この間の伝熱時間，途中の過程を無視している。
（１）については，図15に示すように， ≧7.5cmの範囲において，SMAベルトは高温輪に沿うよ
うにしっかりと巻きついている。しかし， ＜7.5cmの範囲では，高温輪の曲率半径が小さ過ぎるため，SMAベルトと高温輪との間にたるみが生じてしまい，しっかり巻きついていないことがわかる。これにより回転力が弱まり，SMAエンジンの出力が低下したのではないかと考えられる。
尚，式（19）に示す理論式では，高温輪の半径 が０に近づくと，SMAエンジンの理論最大出力 max
は無限大に発散してしまうが，高温輪の半径rには以下のような上限値・下限値の制約がある。
（a）
高温輪の半径 の上限値について
SMAエンジンが回転する為には，回転エネルギの源となるSMAベルトのひずみエネルギの差が正の値でなければならない。つまり，式（11），式（13），式（14），式（15）あるいは回転角速度を表す式（16）の
｛（

1

− 2）
/ 2 −22/ 2｝の項が正の値でなければならない。つまり，高温輪の半径 と低温輪の半径 は，以下の関係を満たさなければならない（必要条件）ので，r ( E 1  E 2 ) / 2 E 2࡮ R

本研究で用いた形状記憶合金（大同特殊鋼（株）製品KIOKALLOY-R3）では，

1＝80GPa，2＝40GPaであるから，r  R / 2 である。
（b）
高温輪の半径 の下限値について
一方，高温輪の下限値については，SMAベルトのひずみは弾性限界値として約１%が目安となるので，高温輪の半径 =7.5cm， =5cmについてSMAベルトのひずみ（ε= /2 ）を計算より求
めると，高温輪の半径
İ

d
2r

2 mm
2 u 7 .5 cm

高温輪の半径İd2r=7.5cmでは

2 mm
2 u 5 cm

0 .013 ѳ 1㧑

=5cmでは
0 . 022㧑

− 94 −

となる。以上より，SMAベルトが高温輪に適切に巻きつく為には高温輪の半径 の下限値は＞ /2ε＝7.5cm以上でなければならないことが分かった。これは，図15に示すSMAベルトが高温

輪に巻き付く様子と良く一致している。
（２）番目の原因と考えられる高温輪とSMAベルト間の すべり および（３）番目の原因と考えられるSMAベルトが変態温度に達する伝熱時間については，現時点では未解明であり，今後，早急に解明すべき重要な研究課題である。
一方，第３報の旧理論値は図14に線で示すとおり，実験値を大きく下回っている。今回改善した理論値は ≧7.5cmにおいて，実験値とほぼ一致しており，本研究成果を応用すれば，SMAエンジンを試作せずとも，その出力特性を推測できるようになり，旧理論に比べ，遥かに高い精度でSMAエンジンの出力特性を予測できることが分かった。以上の結果は本研究で見直した理論の妥当性を間接的に示しているものと考えられる。
Output power P [W]1210Modified Theory
Old Theory
Experiment

8
6
4
2
0
0

5
10
15
20
Radius of high-temperature wheel r [cm]Fig. 14 Comparison of the theoretical and experimental values of the output power of the SMA engine

Slackr  7.5

7 .5 ҇ r

Fig. 15 Relation between r and curvature radius of SMA belt߹ߣ߼
9. まとめ߹ߣ߼
本研究で得られた主な成果を以下にまとめて示す。
（１）
SMAエンジンの回転メカニズムを見直し，SMAエンジンの最大出力 maxを予測する理論式を以下のように見直した。
Pmax

Ȧmax

Zmax ʌ d 4 R ( E1  E2 )2128r 2

[W]

2E ·
§E E
n ʌ d 4 Lr 2 ¨ 1 2 2  22 ¸
R ¹ [sec-1] 㧘 n =2㧘3
© r
64 J1R 2  J 2r 2

その結果，旧理論に比べ，より高い精度でSMAエンジンの出力特性を予測できるようになった。

− 95 −

（２）
今回見直した理論には高温輪の半径r に関し，
≧7.5cm（ε＝ /2 ≦0.01）という適用範囲があることがわかった。

（３）
低温輪の半径 =31cm，高温輪の半径 =7.5cm，SMAベルトの長さ =5.75m，SMAベルトの直径 =2mmの組み合わせにおいて，最大出力 max=3.74Wを得ることができた。
以上のとおり，本研究により，SMAエンジンの出力特性を従来以上に高い精度で予測することができ，SMAエンジンを用いた新発電システムの実用化に貢献することができた。

謝辞
本研究の一部は財団法人 日比科学技術振興財団の研究助成金を受けて行なわれたものであり，
ここに記して同財団に感謝の意を表します。

参考文献
（１）
W.S.Ginell，J.L.McNichols,Jr.，and J.S.Cory，Nitinol Heat Engines for low-grade thermalenergy conversion，Mechanical Engineering.Vol.101，No.5，（1979），pp.26 - 33
（２）
H.Tobushi，J.R.Cahoon，Mechanical Analysis of a Solar - Powered Solid State Engine，Transactions of the Canadian Society of Mechanical Engineers，Vol. 9，No. 3，（1985），
pp.137 - 141（３）
H.Iwanaga，H.Tobushi，and H.Ito，Basic Research on the Output Power Characteristic of
Shape Memory Alloy Heat Engine（1 st Report），transaction of Japan Society of MechanicalEngineers, SeriesA，Vol.54，No.497，（1987），pp.177 - 180（４）
Y.Sato, N.Yoshida, Y.Tanabe and H.Fujita, Study on the Output Power Characteristic of a
Shape Memory Alloy Engine , transaction of Japan Society of Mechanical Engineers, SeriesB,
Vol.72, No.717,（2006 - 5）
, pp.227 - 233.
（５）
Y.Sato and Y.Tanabe, Study on the Output Power Characteristic of a Shape Memory Alloy
Engine（2nd Report）, transaction of Japan Society of Mechanical Engineers , SeriesB, Vol.73,
No.734,（2007 - 10）, pp.166 - 172.
（６）
Y.Sato,M.Kobayashi,Y.Kobayashi and M.Suzuki，Study on the Output Power Characteristicsof the Shape Memory AlloyEngine（3 rdReport）, transaction of Japan Society of MechanicalEngineers, SeriesB, Vol.74, No.741,（2008 - 5）,pp.162 - 168.

− 96 −