通信工学概論
Introduction to Communication Engineering

第５回講義資料
Lecture notes 5

デジタル変調と通信路
Digital modulation and channel

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi
1デジタル変調の例 (Example of digital modulation)
例５.１ (Example 5.1){−3, −1, 1, 3}のいずれかを等確率で取る４PAM信号を考える。
４PAM信号を表す離散確率変数𝑋𝑋を定義せよ。

Consider a 4 PAM signal that takes −3, −1, 1, or 3 with uniform probability. Define a discreterandom variable 𝑋𝑋 that represents the 4 PAM signal.

−3−11ℙ 𝑋𝑋 = −3 = ,4ℙ 𝑋𝑋 = 1 =1,
411ℙ 𝑋𝑋 = −1 = ,4ℙ 𝑋𝑋 = 3 =31
4

デジタル信号は、離散確率変数を使って表現できる。
A digital signal can be represented with a discrete random variable.
2

なぜデジタル変調を使うのか？(Why is digital modulation used?)
デジタル変調を使う理由（Reason why digital modulation is used）
費用対効果が良いから（Good cost-effectiveness）
古典的な理由は間違っている？(Classical reasons might not be correct.)
1. アナログ信号を生成する効率的な誤り訂正符号がない。（誤）No efficient error-correcting codes generating analog signals (Not correct)

空間結合スパース重ね合わせ符号（Spatially coupled superposition coding）
2. 送受信機でデジタル・アナログ/アナログ・デジタル変換器を使うから。（誤）Due to digital-to-analog/analog-to-digital converters in the transmitter/receiver (Not correct)

3. ダイナミックレンジが有限の電力増幅器を使うから。（誤）Due to power amplifiers with finite dynamic range (Not correct)

圧縮センシングで解決可能（Solvable by compressed sensing）
ただし、実現には高性能（高コスト）なハードウェアが必要。
Unfortunately, high-performance (high-cost) hardware devices are required.
3

確率とは何か？ (What is probability?)
確率とは相対頻度である。(Probability is a relative frequency.)例５.２ (Example 5.2)
コインを投げると、確率1/2で表が出る。(A head occurs with probability 1/2 in tossing a coin.)
百万回コインを投げると、約５０万回表が出る。

Heads occur approximately half a million times when a coin is tossed one million times.

例５.３ (Example 5.3)
サイコロを振ると、確率1/6で２が出る。(2 occurs with probability 1/6 in rolling a dice.)
６百万回サイコロを振ると、約百万回２が出る。
2 occurs approximately one million times when a dice is rolled six million times.

4非一様な確率(Non-uniform probability)
発生確率は常に等確率というわけではない。
Occurrence probability is not always uniform.

例５.４

サイコロを振ると、２以下の目が確率1/3で出る。

Example 5.4

The eyes on the dice are less than 3 with probability 1/3 in rolling a dice.

サイコロを３百万回振ると、２以下の目が約百万回出る。
The eyes become less than 3 approximately one million times when a dice is rolled three million times.

サイコロの目(Eyes on the dice)

出た回数(Number of occurrences)

1498616

2500986

3501127・・・・

・・・・
5確率変数(Random variables)
確率変数は、発生する事象に応じて割り当てられた実数値を取る。
A random variable takes real numbers allocated according to occurrence events.

例５.５(Example 5.5)
サイコロを振ったときに、出た目に千円をかけた賞金が得られるゲームを行う。
賞金を表す離散確率変数𝑋𝑋を定義せよ。
In rolling a dice, you get one thousand yen times the number equal to the eye. Define a discreterandom variable 𝑋𝑋 that represents the prize money in this game.

𝑋𝑋 = 1000となる確率は1/6である。
𝑋𝑋 = 1000 holds with probability 1/6.

ℙ 𝑋𝑋 = 1000 = 1/6と書く。
We write this as ℙ 𝑋𝑋 = 1000 = 1/6.

同様に、ℙ 𝑋𝑋 = 2000 = 1/6、・・・、ℙ 𝑋𝑋 = 6000 = 1/6を得る。
Similarly, we have ℙ 𝑋𝑋 = 2000 = 1/6, …, ℙ 𝑋𝑋 = 6000 = 1/6.

離散確率変数を定義するとは、各値を取る確率を定めることである。
A discrete random variable is defined via determining probabilities with which it takes all possible values.
6平均とは何か？(What is mean?)
実数列{𝑎𝑎1 , … , 𝑎𝑎𝑁𝑁 }に対して、(For a real sequence {𝑎𝑎1, … , 𝑎𝑎𝑁𝑁 },)算術平均(Arithmetic mean)𝑁𝑁

1𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑁𝑁
� 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑛𝑛=1

算術平均は統計学における標本平均と同じである。
The arithmetic mean is the same as sample mean in statistics.

幾何平均(Geometric mean)𝑁𝑁� 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛=11/𝑁𝑁= 𝑁𝑁 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ⋯ 𝑎𝑎𝑁𝑁

確率論で扱う平均は、このいずれでもない。
Mean in probability theory is neither the arithmetic nor geometric mean.

7

確率論における平均の例 (Example of mean in probability theory)
例５.６(Example 5.6)
例５.５のゲームを百万回行ったときに、得られる賞金の算術平均を答えよ。
Answer the arithmetic mean of the prize money obtained via one million game trials in Example 5.5.

サイコロの目出た回数

Eyes on the dice

Number of occurrences

Total prize money

1165740165740000

2166951333902000

3165564

496692000

4165918663672000

5167749838745000

61680781008468000

賞金総額

賞金総額の算術平均は、(The arithmetic mean of the total prize money is)165740000 + 333902000 + ⋯ + 1008468000= 3507.219 ≈ 3.5 × 103
1000000

8確率論における平均の例 (Example of mean in probability theory)
例５.７(Example 5.7)
例５.５のゲームを無限回行ったときに、得られる賞金の算術平均を答えよ。
Answer the arithmetic mean of the prize money obtained via infinite game trials in Example 5.5.

ゲームの試行回数を𝑛𝑛とし、サイコロの目𝑖𝑖（= 1, 2, … , 6）が出た回数を𝑛𝑛𝑖𝑖 とすると、
For 𝑛𝑛 game trials, let 𝑛𝑛𝑖𝑖 denote the number of occurrences for the eye 𝑖𝑖 (= 1, 2, … , 6) on the dice.

1
1000𝑛𝑛1 + 2000𝑛𝑛2 + 3000𝑛𝑛3 + 4000𝑛𝑛4 + 5000𝑛𝑛5 + 6000𝑛𝑛6
𝑛𝑛𝑛𝑛1
𝑛𝑛2
𝑛𝑛3
𝑛𝑛4
𝑛𝑛5
𝑛𝑛6
= 1000 + 2000 + 3000 + 4000 + 5000 + 6000
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛
極限𝑛𝑛 → ∞において、相対頻度𝑛𝑛𝑖𝑖 /𝑛𝑛は確率1/6に収束するので、
The relative frequency 𝑛𝑛𝑖𝑖 /𝑛𝑛 tends to probability 1/6 in the limit 𝑛𝑛 → ∞. Thus,

111
1
1
1→ 1000 + 2000 + 3000 + 4000 + 5000 + 6000 = 3500
666666∎9確率論における平均の例 (Example of mean in probability theory)
例５.８(Example 5.8)
サイコロを振ったときに、２以下の目が出たときに千円を、それ以外の場合に2千円を獲得できるゲームを考える。このゲームを無限回行ったときに得られる賞金の算術平均を答えよ。
Suppose that one thousand yen is obtained in rolling a dice when the eye on the dice is smaller than 3.
Otherwise, two thousand yen is obtained. Answer the arithmetic mean of the total prize money obtained
in infinite trials of this game.

ゲームの試行回数を𝑛𝑛とし、千円と二千円が得られた回数をそれぞれ𝑛𝑛1 と𝑛𝑛2 とする。
For 𝑛𝑛 game trials, let 𝑛𝑛1 and 𝑛𝑛2 denote the number of events in which one or two thousand yen
has been obtained, respectively.

1000𝑛𝑛1 + 2000𝑛𝑛2
𝑛𝑛1
𝑛𝑛2
12 5000= 1000 + 2000 → 1000 + 2000 =
3
3
3
𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛𝑛

極限は、相対頻度𝑛𝑛1 /𝑛𝑛と𝑛𝑛2 /𝑛𝑛がそれぞれ確率1/3と2/3に収束するため。

The limit holds because the relative frequency 𝑛𝑛1 /𝑛𝑛 and 𝑛𝑛2 /𝑛𝑛 tends to probability 1/3 and 2/3, respectively.
10

確率論における平均 (Mean in probability theory)
𝐾𝐾個の離散値{𝑥𝑥𝑘𝑘 : 𝑘𝑘 = 1, … , 𝐾𝐾} をそれぞれ確率𝑝𝑝𝑘𝑘 で取る離散確率変数𝑋𝑋の平均𝔼𝔼 𝑋𝑋 は以下で定義される。

Let 𝑋𝑋 denote a discrete random variable that takes 𝐾𝐾 discrete values {𝑥𝑥𝑘𝑘 : 𝑘𝑘 = 1, … , 𝐾𝐾} with probability 𝑝𝑝𝑘𝑘 ,respectively. The mean 𝔼𝔼 𝑋𝑋 of 𝑋𝑋 is defined as follows:

𝐾𝐾

𝔼𝔼 𝑋𝑋 = � 𝑥𝑥𝑘𝑘 𝑝𝑝𝑘𝑘 = 𝑥𝑥1 𝑝𝑝1 + 𝑥𝑥2 𝑝𝑝2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝐾𝐾 𝑝𝑝𝐾𝐾𝑘𝑘=1

実現値にその発生確率をかけた項の総和

Summation of realizations multiplied by the corresponding occurrence probability

期待値(Expectation)
確率変数を含まない決定論的な実関数を𝑓𝑓 とする。上記の確率変数𝑋𝑋 に対して、𝑓𝑓(𝑋𝑋)の期待値𝔼𝔼[𝑓𝑓 𝑋𝑋 ]は以下で定義される。
Let 𝑓𝑓 denote a deterministic real function that contains no random variables. For the random variable
defined above, the expectation of 𝑓𝑓(𝑋𝑋) is defined as follows:

𝐾𝐾

𝔼𝔼 𝑓𝑓(𝑋𝑋) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘 )𝑝𝑝𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )𝑝𝑝1 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )𝑝𝑝2 + ⋯ + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐾𝐾 )𝑝𝑝𝐾𝐾
𝑘𝑘=1

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注意(Remarks)•••

恒等写像𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥の場合の期待値𝔼𝔼 𝑓𝑓 𝑋𝑋= 𝔼𝔼[𝑋𝑋]を平均と呼ぶ。

For the identity mapping 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, the expectation 𝔼𝔼[𝑓𝑓 𝑋𝑋 ] = 𝔼𝔼[𝑋𝑋] is called mean.

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝔼𝔼 𝑋𝑋For 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝔼𝔼 𝑋𝑋

2の場合の期待値𝕍𝕍 𝑋𝑋 = 𝔼𝔼[ 𝑋𝑋 − 𝔼𝔼[𝑋𝑋] 2 ]を分散と呼ぶ。

2 , the expectation 𝕍𝕍 𝑋𝑋= 𝔼𝔼[ 𝑋𝑋 − 𝔼𝔼[𝑋𝑋] 2 ] is called variance.

例５.７の場合(In the case of Example 5.7,)

𝑥𝑥1 = 1000, 𝑥𝑥2 = 2000, 𝑥𝑥3 = 3000, 𝑥𝑥4 = 4000, 𝑥𝑥5 = 5000, 𝑥𝑥6 = 6000
•𝑝𝑝𝑘𝑘 = ℙ 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑘𝑘

1= for 𝑘𝑘 = 1, 2, … , 66

𝑥𝑥1 = 1000,𝑥𝑥2 = 2000

例５.８の場合(In the case of Example 5.8,)

𝑝𝑝1 = ℙ 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥1

1= ,3

𝑝𝑝2 = ℙ 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥2

2=312データ通信の歴史(History of data communication)
有線(Wired)
1990～

固定電話網
Telephone network

第２世代移動通信（2G）～28.8 kbps

ADSL
～47 Mbps

第３世代移動通信(3G)
384 kbps～42 Mbps

0.3 kbps～56 kbps
2000～

無線(Wireless)

ツイストペアケーブル
Twisted pair cable～10 Gbps
2010～

光ファイバーケーブル
Optical fiber cable～250 Tbps (2021)
2020～

第４世代移動通信(4G)326 Mbps～1.7 Gbps
第５世代移動通信(5G)
4.2 Gbps～

表を作成する際、社会への普及状況を考慮した。
Popularization in society was taken into account in creating the table.
13通信路の例(Examples of channels)
有線(Wired)
通信路(Channels)
同軸ケーブル、電話線、ツイストペアケーブル、光ファイバー、電力線
Coaxial cable, telephone line, Twisted pair cable, Optical fiber cable, power line

信号(Signals)
電気信号、波長が1000 nm～1675 nmの光信号
Electronic signals and optical signals with wavelength between 1000 nm and 1675 nm

無線(Wireless)
通信路(Channels)
空気中、真空中、海中(Air, vacuum, and underwater)
信号(Signals)
波長が0.1 mm以上の電磁波、波長が380 nm以上の光信号Radio waves, optical signals with wavelength longer than 380 nm
14通信路の条件(Conditions of channels)
以下の条件を満たせば、何でも通信路として利用できる。
Everything is available as a channel if the following conditions are satisfied:

可到達性(Reachability)
送信信号が受信者まで届く。(Transmitted signals reach the receiver.)
高伝搬速度(High propagation velocity)
送信信号が速く伝搬する。(Transmitted signals propagate at high speed.)
大容量性(Large capacity)
多くの情報を伝送できる。(A lot of information can be transmitted.)
低コスト性(Low cost)
低コストで通信できる。(Low-cost communication is available.)15

演習 (Exercise)
例５.１で定義した４PAM信号を表す離散確率変数𝑋𝑋の平均と分散を計算せよ。
Compute the mean and variance of the discrete random variable 𝑋𝑋 that represents 4 PAM signals definedin Example 5.1.

通信に関する注意(Remarks on Communications)
デジタル変調信号𝑋𝑋の平均𝔼𝔼[𝑋𝑋]は、0でなければならない。
Digital modulation signals 𝑋𝑋 must have zero mean 𝔼𝔼 𝑋𝑋 = 0.

デジタル変調信号𝑋𝑋の分散𝕍𝕍[𝑋𝑋]は、平均電力𝑃𝑃 = 𝔼𝔼[𝑋𝑋 2 ]に等しい。

The variance 𝕍𝕍[𝑋𝑋] of a digital modulation signal 𝑋𝑋 is equal to the average power 𝑃𝑃 = 𝔼𝔼[𝑋𝑋 2 ].

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