●講座

図学と折り紙（ 5 ）Graphic Science and Origami（5）三谷 純

Jun MITANI

1. 平織り（Tessellation）のがあります．図 1 に示す例のように，平織りには幾何D学的な基本パターンを並べることで平面を充填させる特B

CAA
B

Cの一つに，平織り（Origami Tessellation）と呼ばれるもD

紙を折ることで生まれる幾何学的な造形を楽しむ分野徴があります．モザイク模様のように見え，光を透かせて陰影を楽しむこともできます．このような折り技法は，服飾に用いられるプリーツにも見られ，古くから多

図22.2正方形を基本としたねじり折り

鏡像パターンの連結

くのパターンが知られています．近年ではコンピュータ

図 2 に示したねじり折りは，一方を鏡映反転することを用いたパターン設計も可能となり，新しい折り模様がで図 3 のように連結できます．この連結したパターンは今も多くの愛好家によって創作されています．連載 5 回

互いに干渉することなく，整合性を保ったまま折りたた

目の今回は，この平織りについて紹介します．平織り

むことができます．互いに連動するので，実際に折るとは，全体の折り線が互いにリンクしていて，折るときにきには，両方をいっぺんに動かすようにします．一方はは全体を一度に折る必要があります．そのため，綺麗に他方の鏡像なので，ねじる方向は逆になります．

仕上げるには手間がかかりますが，できたときの喜びはその分大きなものです．図を見るだけでは完成形をイメージするのが難しいでしょうから，是非実際に手を動かして折ってみてください．
図3

ねじり折りの鏡像の連結

さらに，図 3 のパターンを水平線で鏡映反転して連結すると図 4 のパターンができます．中央部に大きな閉領域ができますが，これも問題なく折りたためます．
図1

平織の例

2. ねじり折り平織りと呼ばれるものの多くは連載第 1 回で紹介した「ねじり折り」を構成要素とし，平坦に折りたたまれます．ここではまず，ねじり折りについてより深く見ていきましょう．
2.1

正方形を基本としたねじり折り

図4

4 つのねじり折りの連結

正方形をベースとしたねじり折りは，図 2 に示すよう以上の考察から，正方形を基本とするねじり折りは図な折り線から構成され，一般的な折紙用紙から簡単に折5 に示すようにいくつでも連結でき，平面上に敷き詰めり出すことができます．図 2 左に示す展開図では45度傾られることがわかります．互いに隣接するねじり折りいた正方形が中央に置かれ，水平，垂直方向に折り線がは，一方が他方の鏡像になります．これが平織りの 1 つ伸びています．これを折りたたむと，図 2 右のようになの例になります．図 2 の展開図における，中央部の正方りますが，この際に中央の正方形が反時計回りに90度回形の大きさの比率を変えることで，異なる印象の平織り転します．紙をねじるようにして折りたためるのでねじを作り出すことができます．

り折りと呼びます．

図学研究 第47巻 2 ・ 3 号（通巻140号）平成25年 9 月43

と，他方は180°－ θ となり，θ の値は自由に設定できます．例として，正方形の傾きを変えて θ を20度にしたパターンは図 8 のようになります（折った後の図は隠れて見えない折り線も表示しています）．角度を小さくすると，重なる領域が小さくなり，裏側には正方形の隙間が生まれることになります．
図5

正方形を基本とするねじり折りから作られる平織りの例．左から展開図，表面，裏面．実際に折っθた後は，展開図に比べると小さくなる．

2.3

θ

山谷反転パターンの連結

先ほどの例では，鏡映反転を使って隣り合うねじり折りのパターンを連結していましたが，図 6 のように折り線の位置はそのままにして，平行移動させて連結するこ

図 8 中央の正方形の傾きを変えたねじり折りともできます．その際に，山谷の符号を反転させます．

傾きの角度を変えたねじり折りのパターンも，これま一方の正方形は裏側に現れることになります．

での例と同様の方法で連結し，平面上に敷き詰められます．このバリエーションは，基本となる正方形の大きさと，回転させる角度 θ の値という 2 つのパラメータで形を決定できます．
図 8 のねじり折りに，2.1節で述べた鏡像パターンを山谷が反転した 2 つのねじり折りの連結連結する方法（図 4 ）を適用すると，折った後の裏側はこのようなパターンもやはり連結を繰り返して平面をとても興味深い外観になります．図9,10に示すように，充填できます． 4 つ連結させると次のようになります．

1 枚の紙を折っただけでありながら，まるで複数の帯が図 4 の鏡像を用いたものと異なり，裏と表は区別なく同互い違いに交差した織物（文字通り「平織り」の外観）じになります．のように見えます．

図6

2.4

図7

山谷が反転した 4 つのねじり折りの連結

正方形のねじり折りを基本としたパターンのバリエーション

図9

図 8 のねじり折りを 4 つ連結したパターン．

左から展開図，表面，裏面

図 2 のねじり折りは平坦に折りたためますが，なぜ折りたためるかを改めて考察してみましょう．連載第 2 回で紹介したように，平坦に折りたたまれる展開図の頂点に注目すると， 1 つおきの内角の和が180度であるという法則（川崎定理）があります．図 2 の頂点 A を見てみると，正方形の内部から反時計回りに90度，45度，90度，135度であり，確かにこの法則が成り立つことが分かります．基本となる中央の多角形が正方形なので最初の90度は固定です．すると，それと対を成す角も90度で固定

図10となります．残りの角に注目すると，これは45度と135填した裏側はまるで織物のよ度に限定されないことがわかります．一方を θ とするうに見える

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Journal of Graphic Science of Japan Vol. 47 No. 2・3 /Issue no. 140 September 2013

図 8 のねじり折りを充2.2 正三角形，正六角形をベースとしたねじり折りのバ

よって紹介されています［ 1 ］．まず，平面に敷き詰めたリエーション各正多角形を，その重心を中心として同じ比率で縮小し正方形のねじり折りだけでも，いろいろなバリエーます．すると隙間ができるので，もともと同じ場所にあっションを作れることを確認しましたが，平面を敷き詰めた頂点同士を連結して，新しい多角形を作ります（同じられる正多角形には，ほかにも正三角形と正六角形があ場所にあった頂点が 4 つの場合は四角形が作られます）．

ります．そのため，図11に示すねじり折りも，これまで続いて，縮小した多角形を一定角度だけ回転させます（新と同様にして平面を充填することができます．

しく作った多角形もそれに合わせて回転します）．不思
議に感じられますが，このようにして作られたパターンは，各頂点が局所平坦折り条件を満たすので，平坦に折りたたむことができます．このようなアプローチで平織りの展開図を生成できるソフトウェアTessがインターネット上で公開されています［ 2 ］．

図11

正三角形，正六角形のねじり折りの基本パターン

正三角形と正六角形，それぞれを敷き詰めたタイリン
グパターンは双対の関係（各タイルの中心を連結して作られるパターンが他方と同じものになるという関係）を図13

縮小して回転させる操作持つため，図11の基本パターンを敷き詰めて得られるも正多角形の組み合わせで平面を充填するタイリングパのは結果としてどちらも図12に示すものになります．よターンの中で，すべての頂点の形状が一様なパターン

く見ると，正三角形のねじり折りと正六角形のねじり折（アルキメデスの平面充填と呼ばれます）は正平面充填りが混在していることがわかります．

形を含めれば全部で11種類ありますが，頂点の形状が一正三角形を平面に敷き詰めると 1 つの頂点に 6 つのタ様でなくてもよいのであれば，それらは無数にありまイルが接続するので，山谷の反転または鏡映のパターンす．したがって，この「縮小して回転させる」という驚を交互に配置できます．一方で，正六角形の場合は 1 つ

くほど簡単な操作で，無数の平織りパターンを生成できの頂点に 3 つのタイルが接続するので，山谷反転またはるのです（図14）．

鏡映のパターンを交互に配置できず，図11とは異なる山谷の付け方で折りたたむことになります．

図12

正三角形と正六角形のねじり折りから作られる平織りのパターン（左）と，それを折りたたんだ様子（右）3. 異なる正多角形によるタイリング
これまでは，同一の多角形を敷き詰めて作るパターン

図14

異なる正多角形（正八角形と正方形）の組みあわせによるパターン（Tessの画面）（正平面充填形と呼びます）に基づく平織りを見てきまでは，この「縮小して回転させる」という操作で平織した．それでは，異なる正多角形の組み合わせによる平りパターンを作る方法は，正多角形のタイリングだけに面充填のパターン（Uniform Tiling）からも平織りを作有効なのでしょうか．いえ，この操作は非常に強力で，「隣り出せるでしょうか．この問いに対する回答はYESです．

接する 2 つのタイルの回転中心を結ぶ線と， 2 つのタイ異なる正多角形を敷き詰めてできるタイリングについてルが接する辺の成す角が90度である」という条件を満たも，図13に示す「縮小して回転させる」という手順で，せば，どのような形のタイルの組み合わせでも実現可能

平らに折りたたまれる展開図を作れることがBatemanになことがLangとBatemanによって示されています［ 3 ］．

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無限に広い平面を充填するには，何かしらの周期性が必要になりますが，ボロノイ図はこのような条件を満たしますので，図15に示すようなランダムな点群によって生成したボロノイ図からも，「縮小して回転させる」という操作で平坦に折りたためる折り線を生成できます．
図17

異なる立体構造の組みあわせ

5. おわりに
今回は周期的な折りのパターンで幾何学的な造形を作り出す平織りについて紹介しました．ねじり折りを組み合わせて作るパターンには際限がなくさまざまなものがあること，そして立体的な折り構造をもつ形も組みあわせられることを紹介しました．もちろん，ねじり折り以外の折りを組み合わせることも可能です．多くの折り紙作家による，装飾の美しい作品がインターネット上には
図15

ランダムな点群から生成したボロノイ図（左上），各多角形を30%縮小させて20度回転させて作った展開図

多数公開されています［ 5 ］．平織りは，紙による造形のとても興味深い分野の 1 つです．

，展開図を折りたたんだ様子（下）（右上）

4. 立体的な基本要素の配置
これまでは平らに折りたたまれるものに限った話をしてきましたが，さらに対象を広げて立体的な折り構造の
タ イ リ ン グ に つ い て 考 え て み ま し ょ う（ 海 外 で はOrigami Corrugations と呼ばれることもあります）．筆者の開発した ORI-REVO というソフトウェア［ 4 ］で作られ参考文献［ 1 ］ アレックス・ベイトマン，平織り（折り紙テッサレーション）デザインのためのコンピュータ・ツールとアルゴリズム，折り紙の数理と科学，Thomas Hull編，森川出版，第12章（2005）［ 2 ］ A lex Bateman，Tess：origami tessellation software，
http://www.papermosaics.co.uk/software.html

る折り紙の形の 1 つに，図16に示すような，多面体の外［ 3 ］ Robert J. Lang，Alex Bateman，Every Spider Web Has a側に三角錐状の突起がついたものがあります．この形状

Simple Flat Twist Tessellation，Origami 5 ，CRC Press，

は展開図および折った後の底面が正多角形になるので，pp.455‒473（2011）

やはり平面上に敷き詰めることができます．図中の丸で［ 4 ］ J un Mitani，ORI-REVO：A Design Tool for 3 D

囲った部分の幅を隣接する構造体と一致させることで，Origami of Revolution，http://mitani.cs.tsukuba.ac.jp/ori_

異なる立体形状を連結させることも可能です．正多角形から構成されるタイリングパターンに対しては，このよrevo/［ 5 ］ Origami Tessellations，http://www.flickr.com/groups/
origamitessellations/

うな立体構造を配置できることになります．

図16 ORI-REVOで 設 計 で き る 立 体的な構造を持つ折り紙

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Journal of Graphic Science of Japan Vol. 47 No. 2・3 /Issue no. 140 September 2013●2013年 5 月10日受付
みたに じゅん
筑波大学大学院システム情報系 准教授
2004年，東京大学大学院工学系研究科精密機械工学専攻博士課程 修了．
博士（工学）．2011年より現職．CG，
形状モデリングに関する研究に従事．
mitani@cs.tsukuba.ac.jp