情報通信システム(特)論II
Information and Communication Systems II

第４回講義資料
Lecture notes 4

無線通信路と統計モデル２
Wireless Channels and Statistical Modeling 2

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1

目標(Goal)
物理層における無線通信システムのほとんどは、物理法則に基づいて以下のシステムでモデル化できることを学ぶ。
Learn that almost all wireless communication systems in the physical layer can be modeled withthe following system based on physical laws.

無線通信路の離散時間統計モデル(Discrete-time statistical model of wireless channels)
𝒚𝒚 = 𝑯𝑯𝑯𝑯 + 𝒘𝒘,𝒘𝒘 ∼ 𝒞𝒞𝒞𝒞(𝟎𝟎, 𝜎𝜎 2 𝑰𝑰𝑀𝑀 )𝒙𝒙 ∈ ℂ𝑁𝑁 ：送信ベクトル(Transmitted vector)
𝑯𝑯 ∈ ℂ𝑀𝑀×𝑁𝑁 ：通信路行列(Channel matrix)

𝑦𝑦 ∈ ℂ𝑀𝑀 ：受信ベクトル(Received vector)

𝒘𝒘 ∼ 𝒞𝒞𝒞𝒞(𝟎𝟎, 𝜎𝜎 2 𝑰𝑰𝑀𝑀 )：加法的白色ガウス雑音(AWGN)ベクトル
Additive white Gaussian noise (AWGN) vector

統計的仮定(Statistical assumptions)• 送信ベクトル𝒙𝒙は平均𝟎𝟎である。(The transmitted vector 𝒙𝒙 is zero mean.)• 確率変数𝑯𝑯、𝒙𝒙、𝒘𝒘は独立である。(𝑯𝑯, 𝒙𝒙, and 𝒘𝒘 are independent random variables.)2

無線通信システムの概要 (Overview of wireless communication systems)
データシンボル
Data symbols

White Gaussian noise𝑦𝑦(𝑡𝑡)

帯域幅Bandwidth𝑤𝑤(𝑡𝑡)Down-conversion

Up-conversion𝑥𝑥b (𝑡𝑡)

𝑊𝑊搬送波周波数
Carrier frequency

今日の目標
Today’s target

無線通信路

高周波信号

High frequency signals

Wireless channel

受信器(Receiver)

ダウンコンバート

アップコンバート

Baseband signals

Band limitation{𝑥𝑥𝑛𝑛 }
白色ガウス雑音

ベースバンド信号

帯域制限ℎ(𝜏𝜏, 𝑡𝑡)

ベースバンド受信信号
Baseband received signals

𝑦𝑦b (𝑡𝑡)

𝑓𝑓c𝑥𝑥(𝑡𝑡)

送信器(Transmitter)
サンプリングSampling

周期
Period𝑇𝑇 = 1/𝑊𝑊

受信シンボル
Received symbols{𝑦𝑦𝑛𝑛 }
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フェーディング*(Fading)
受信信号が、時間、周波数、空間的に変化する現象を言う。
Changes of received signals in the domains of time, frequency, and space.

長距離スケールのフェーディング(Large-scale fading)
搬送波の波長に比べて、十分に大きいスケールで変化するフェーディングFading changes in sufficiently large spatial scale, compared to the carrier wavelength.

例(Example)：経路損失(Path loss)、遮蔽(Shadowing)
送信ベクトル𝒙𝒙の電力のモデル化に影響を与える。
Influence on modeling of the power of the transmitted vector 𝒙𝒙.

短距離スケールのフェーディング(small-scale fading)

複数伝送経路の重ね合わせによって生じる波長スケールのフェーディング
Fading changes in spatial scale comparable to the wavelength, caused by a superposition of multipaths.

通信路行列𝑯𝑯のモデル化に影響を与える。
Influence on modeling of the channel matrix 𝑯𝑯.

後者を単にフェーディングと呼ぶ。(The latter is simply called fading.)*：電子情報通信学会では、「フェージング」という訳を定めているが、「phase」と誤解する学生がいるため、英語の発音により近い「フェーディング」という表記を使う。

4

自由空間に固定された送受信アンテナ(Fixed transmit and receive antennas in free space)
原点に置かれたアンテナから時間𝑡𝑡に送信される周波数𝑓𝑓の正弦波
cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)に対して、十分に離れたアンテナ(球座標系での位置𝒖𝒖 =(𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙))の受信電場波形

Received electric waveform of an antenna at a position 𝒖𝒖 = (𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙) in the spherical coordinates
system far from the origin for a sinusoid cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) with frequency 𝑓𝑓 transmitted from anotherantenna in the origin at time 𝑡𝑡.

𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 cos{2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑡𝑡 − 𝑟𝑟/𝑐𝑐)},𝐸𝐸 =𝑟𝑟𝑐𝑐：光の速度(Speed of light)

𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 ：送受信アンテナパターンの影響を表す実係数

Real coefficient representing the influence of transmit and receive antenna patterns

周波数応答(Frequency response)𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 −2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑒𝑒 𝑐𝑐
𝐻𝐻(𝑓𝑓) =𝑟𝑟
5マルチパス(Multipaths)
アンテナの近傍で生じる反射(Reflection in the neighborhood of antennas)
𝑟𝑟 ′𝑟𝑟𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 cos{2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑡𝑡 − 𝑟𝑟/𝑐𝑐)} 𝛼𝛼′ 𝑓𝑓 cos{2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑡𝑡 − 𝑟𝑟′/𝑐𝑐)}
+𝐸𝐸 =
𝑟𝑟𝑟𝑟′

𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 cos{2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑡𝑡 − 𝑟𝑟/𝑐𝑐)} 𝛼𝛼𝛼 𝑓𝑓 cos{2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑡𝑡 − 𝑟𝑟/𝑐𝑐 − 𝑑𝑑/𝑐𝑐)}
+=𝑟𝑟
𝑟𝑟𝑟

経路長差を𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 ′ − 𝑟𝑟として、𝑑𝑑/𝑐𝑐の遅延広がりが生じる。

Multipaths result in a delay spread of 𝑑𝑑/𝑐𝑐 for the path-length difference 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 ′ − 𝑟𝑟 .

周波数応答(Frequency response)𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 −2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑓𝑓 𝛼𝛼 ′ 𝑓𝑓 −2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑓𝑓−2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑒𝑒 𝑐𝑐 +𝑒𝑒 𝑐𝑐
𝐻𝐻 𝑓𝑓 =,𝑟𝑟
𝑟𝑟𝑟

𝑑𝑑𝜏𝜏 =𝑐𝑐6

自由空間で動く送受信アンテナ(Moving transmit and receive antennas in free space)
動径方向の相対速度が𝑣𝑣 ≪ 𝑐𝑐で相対運動する送受信アンテナ

Relatively moving transmit and receive antennas at a relative speed 𝑣𝑣 ≪ 𝑐𝑐 in the radial direction.

𝐸𝐸 =𝛼𝛼 𝜃𝜃𝑡𝑡 , 𝜙𝜙𝑡𝑡 , 𝑓𝑓 cos{2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑡𝑡 − (𝑟𝑟 + 𝑣𝑣𝑣𝑣)/𝑐𝑐)},𝑟𝑟 + 𝑣𝑣𝑣𝑣

𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 cos{2𝜋𝜋𝑓𝑓[ 1 − 𝑣𝑣/𝑐𝑐 𝑡𝑡 − 𝑟𝑟/𝑐𝑐]}≈𝑟𝑟

近似は𝑟𝑟 ≫ 1のためである。(The approximation is due to 𝑟𝑟 ≫ 1.)

相対運動により、周波数のドップラーシフト−𝑓𝑓𝑓𝑓/𝑐𝑐が生じる。
Relative moving results in the Doppler shift −𝑓𝑓𝑓𝑓/𝑐𝑐 of the frequency

周波数応答(Frequency response)𝛼𝛼 𝜃𝜃, 𝜙𝜙, 𝑓𝑓 −2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑓𝑓−2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑐𝑐
𝐻𝐻 𝑓𝑓, 𝑡𝑡 ≈,𝜏𝜏(𝑡𝑡) =𝑟𝑟
𝑐𝑐
周波数応答は、時変である。(The frequency response is time-varying.)
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ノイズのない時変線形モデル(Noiseless time-varying linear system)
周波数領域(Frequency domain)

𝑌𝑌(𝑓𝑓, 𝑡𝑡) = 𝐻𝐻 𝑓𝑓, 𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑓𝑓)𝑋𝑋(𝑓𝑓)：実送信信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)のフーリエ変換(Fourier transform of a real transmitted signal 𝑥𝑥(𝑡𝑡))𝑌𝑌(𝑓𝑓)：実受信信号𝑦𝑦(𝑡𝑡)のフーリエ変換(Fourier transform of a real received signal 𝑦𝑦(𝑡𝑡))
時変周波数応答(Time-varying frequency response)
𝐻𝐻 𝑓𝑓, 𝑡𝑡 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝜏𝜏𝑖𝑖 (𝑡𝑡) ,𝑖𝑖

𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑡𝑡 =𝑑𝑑𝑖𝑖 + 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑐𝑐

分離可能な経路𝑖𝑖の利得𝑎𝑎𝑖𝑖 は、時間にも周波数にも依存しないと仮定する。
The gain 𝑎𝑎𝑖𝑖 for resolvable path 𝑖𝑖 is assumed independent of time and frequency.

時間領域(Time domain)𝑇𝑇d𝑦𝑦 𝑡𝑡 = � ℎ 𝜏𝜏, 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,ℎ 𝜏𝜏, 𝑡𝑡 = 0 for 𝜏𝜏 ∉ [0, 𝑇𝑇d ].

𝑇𝑇d ：遅延広がり(Delay spread)𝑊𝑊d = 1/𝑇𝑇d をコヒーレンス帯域幅と呼ぶ。(𝑊𝑊d is called coherence bandwidth.)
0時変インパルス応答(Time-varying impulse response)ℎ 𝜏𝜏, 𝑡𝑡 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝛿𝛿(𝜏𝜏 − 𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑡𝑡 )𝑖𝑖8

コヒーレンス時間(Coherence time)
異なる分離可能な経路の利得は、無相関であると仮定する。
The gains for different resolvable paths are assumed uncorrelated.

周波数応答の自己相関関数(Autocorrelation function of the frequency response)
𝐶𝐶 𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑓𝑓 ≝ 𝔼𝔼 𝐻𝐻 𝑓𝑓, 𝑡𝑡1 − 𝔼𝔼 𝐻𝐻 𝑓𝑓, 𝑡𝑡1

𝐻𝐻 𝑓𝑓, 𝑡𝑡2 − 𝔼𝔼 𝐻𝐻 𝑓𝑓, 𝑡𝑡2∗= � 𝕍𝕍[𝑎𝑎𝑖𝑖 ]𝑒𝑒 −2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑡𝑡1 +2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝜏𝜏𝑖𝑖 (𝑡𝑡2) = � 𝕍𝕍 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑒𝑒 2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑣𝑣𝑖𝑖 (𝑡𝑡2−𝑡𝑡1)/𝑐𝑐 ≝ 𝐶𝐶(𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1 , 𝑓𝑓)𝑖𝑖𝑖𝑖

ドップラー電力スペクトル(Doppler power spectrum)∞∞𝑆𝑆 𝜌𝜌, 𝑓𝑓 ≝ � 𝐶𝐶 𝑡𝑡, 𝑓𝑓 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋j𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝕍𝕍[𝑎𝑎𝑖𝑖 ] � 𝑒𝑒 2𝜋𝜋j𝑓𝑓𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑡𝑡/𝑐𝑐 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋j𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑−∞

𝑓𝑓𝑣𝑣𝑖𝑖.
= � 𝕍𝕍 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝜌𝜌 −𝑐𝑐𝑖𝑖−∞𝑖𝑖

𝑊𝑊c = max{𝑓𝑓 𝑣𝑣𝑖𝑖 /𝑐𝑐}：ドップラー広がり(Doppler spread)𝑇𝑇c = 1/𝑊𝑊c をコヒーレンス時間と呼ぶ。(𝑇𝑇c is called coherence time.)

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無線通信路の分類(Classification of wireless channels)
𝑊𝑊：帯域幅(Bandwidth)

𝑁𝑁
≪ 𝑇𝑇c
𝑊𝑊
𝑁𝑁> 𝑇𝑇c
𝑊𝑊

𝑁𝑁：符号長(Code length)𝑊𝑊 ≪ 𝑊𝑊d ：狭帯域(Narrowband)
Time-invariant, frequency-flat

Time-invariant, frequency-selective

時間選択性、周波数平坦

時間・周波数選択性

Time-selective, frequency-flat

Time-frequency selective

時不変、周波数平坦

𝑊𝑊 > 𝑊𝑊d ：広帯域(Wideband)
時不変、周波数選択性

直観的理解(Intuitive understanding)
コヒーレンス時間𝑇𝑇c 、コヒーレンス帯域幅𝑊𝑊d 、搬送波の波長が、通信路の時間、周波数、空間スケールを決める。
Coherence time, coherence bandwidth, and carrier wavelength determine the temporal, frequency,
and spatial scales of channels.

狭コヒーレンス帯域幅
広帯域

Narrow coherence bandwidth

Wideband短サンプリング周期長コヒーレンス時間

Short sampling periodLong coherence time

高周波数

短波長

短コヒーレンス時間

High frequency

Short wavelength

Short coherence time10

中心極限定理(Central limit theorem)
定理4.1(Theorem 4.1)
𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 を平均𝜇𝜇、分散𝜎𝜎 2 、３次モーメントが有界な独立同一分布した確率変数列とする。標準化された確率変数𝑌𝑌の分布は、𝑛𝑛 → ∞のときに、標準ガウス分布に収束する。

Let 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 denote independent and identically distributed (i.i.d.) random variables with zeromean, unit variance, and a finite 3rd moment. Then, the distribution of the standardized randomvariable 𝑌𝑌 converges to the standard Gaussian distribution in the limit 𝑛𝑛 → ∞.

𝑛𝑛1𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝜇𝜇 d→ 𝒩𝒩 0,1 as 𝑛𝑛 → ∞.
�𝑌𝑌 =𝜎𝜎𝑛𝑛𝑖𝑖=1

直観的解釈(Intuitive interpretation)

同程度の大きさの多数の独立な確率変数の和は、元の分布によらず、ガウス分布に従う。この性質が、ガウス分布がしばしば出現する理由である。
The sum of many independent random variables with an identical order of magnitude follows aGaussian distribution, regardless of the original distributions. This property is a reason why
Gaussian distributions often appear.
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レイリーフェーディング(Rayleigh fading)𝑇𝑇dℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 = � ℎ 𝜏𝜏, 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔 𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝜏𝜏 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋j𝑓𝑓c 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,0

通信路利得ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 の統計的仮定を導入する。

ℎ 𝜏𝜏, 𝑡𝑡 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝛿𝛿(𝜏𝜏 − 𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑡𝑡 )𝑖𝑖

We introduce statistical assumptions of the channel gain ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 .

仮定1Assumption 1

仮定２
Assumption 2

仮定３
Assumption 3ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐 𝜏𝜏𝑖𝑖 (𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑖𝑖

多数の分離可能な経路が存在する。(There are many resolvable paths.)

分離可能な経路{𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝜏𝜏𝑖𝑖 }は、経路ごとに独立である。
The resolvable paths {𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝜏𝜏𝑖𝑖 } are independent for different paths.

遅延波は一様に存在する。(Delayed waves exists uniformly.)

仮定４

支配的に大きな利得を持つ経路は存在しない。

Assumption 4

There are no paths that have dominantly large gains.

ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 は円対称な複素ガウス分布に従う。（レイリーフェーディング）ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 follows a circularly symmetric complex Gaussian (CSCG) distribution. (Rayleigh fading)12ライスフェーディング(Rician fading)

仮定1
Assumption 1

仮定２
Assumption 2

仮定３Assumption 3仮定４’ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐 𝜏𝜏𝑖𝑖 (𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑖𝑖

多数の分離可能な経路が存在する。(There are many resolvable paths.)
分離可能な経路{𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝜏𝜏𝑖𝑖 }は、経路ごとに独立である。
The resolvable paths {𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝜏𝜏𝑖𝑖 } are independent for different paths.

遅延波は一様に存在する。(Delayed waves exists uniformly.)

見通しがある。

Assumption 4’ There is line-of-sight (LOS).

ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 は非零平均の複素ガウス分布に従う。(ライスフェーディング)ℎ𝑚𝑚,𝑛𝑛 follows a complex Gaussian (CSCG) distribution with non-zero mean. (Rician fading)13