351

日本ガスタービン学会誌

Vol. 51No. 42023.7

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究
Study on the Multi-Objective Optimization of Bladed Disks
for Forced and Self-Excited Vibration and Amount of Unbalance
金子 康智＊1

渡邉 敏生＊2

古川 達也＊2

KANEKO Yasutomo

WATANABE Toshio

FURUKAWA Tatsuya

ABSTRACT
Although bladed disks are nominally designed to be cyclically symmetric (tuned system), the vibration
characteristics of all blades on a disk are slightly different due to the manufacturing tolerance, deviations in thematerial properties, and wear during operation. These small variations break the cyclic symmetry and split the
eigenvalue pairs. Bladed disks with small variations are referred to as a mistuned system. Many researchers suggestthat while mistuning has an undesirable effect on the forced response, it has a bene¿cial (stabilizing) effect on bladeÀutter (the self-excited vibration). Therefore, it is necessary to optimize a bladed disk for forced vibration and blade
flutter. In this study, a practical optimization method of mistuned bladed disks that optimizes the resonant stress,
the amount of unbalance and the stability for the blade Àutter. To verify the proposed optimization method, ¿rst, theoriginal mistuned bladed disk, which has the maximum ampli¿cation factor, is generated by Monte Carlo simulations.
Second, the optimal bladed disk with the minimum ampli¿cation factor and the amount of unbalance is searched byusing Monte Carlo simulations and the genetic algorithm, while improving the stability for blade Àutter. From theanalysis results, the validity of the proposed optimization method is veri¿ed.
キーワード：強制振動，自励振動，不釣合い振動，翼，ミスチューニング，最適化
Key words : Forced Vibration, Self-excited Vibration, Unbalance Vibration, Blade, Mistuning, Optimization．緒言

じるランダムミスチューンの影響を緩和する方法も検討

ターボ機械の信頼性を向上させるためには，動翼に作されている⑸,⑹。

用する運転中の振動応力を低減させることが不可欠であ

一方，軸流ターボ機械の動翼ではフラッタに対する安る。このため，従来の翼の振動強度設計では，定性を確保することも重要であり，翼の振動強度設計で⑴ 明瞭な加振力との共振を回避させる。

は共振応力（強制振動）に対する安全率とフラッタ（自⑵ 動静翼間距離の拡大やクロッキングにより加振力を励振動）に対する裕度を同時に考慮することが必要であ低減させる。

る。このため著者らは，共振応力とフラッタの両方に対⑶ 非対称配置静翼構造を利用して加振力を低減させ⑴,⑵

る

実用的な手法として，下記の手法を提案した⑺。

。

⑷ 摩擦型ダンパなどを採用して構造減衰を増加させ⑶,⑷る

して振動強度上最適な翼・ディスク系を実現するための⑴ フラッタに対する安定性を確保するため，交互ミス
チューン系，すなわち隣接翼の振動数を僅かに変化。

させた翼・ディスク系を設計する。

などの対策が取られてきた。また，ミスチューンによる共振応答の増大効果を抑制するため，設計段階で個々⑵ 製作後に個々の翼の固有振動数を計測する。

の翼に意図的なミスチューン（インテンショナルミス

⑶ ランダムミスチューンの影響が小さくなるように，

チューン）を与え，工作誤差や材料定数の変動により生すなわち着目する共振応答が最小になるように，交＊＊原稿受付 2022年10月17日
査読完了 2023年 月 日
龍谷大学〒520-2194 大津市瀬田大江町横谷 ‑E-mail: y̲kaneko@rins.ryukoku.ac.jp
三菱重工業〒676-8686 高砂市荒井町新浜 丁目 番互ミスチューンを保持したままディスク上の翼を並び替える。
さらに続報⑻においては，翼・ディスク系の振動強度だ
けでなく，軸振動の原因になる不釣合い量も考慮して最適化を行う手法を検討した。 この手法は，翼先端部をカットすることにより交互ミスチューン系を作成し易い

号

ー 61 ー
Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

352

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究

日本ガスタービン学会誌

場合は実用的な信頼性向上策になり得ることを数値計算−］は循環行列であり，その要素ω
− は，翼単体の固有［Ω

により確認しているが，個々の翼の振動数のばらつきが振動数（着目するモード族の固有振動数）の周方向の大きい場合には敢えて交互ミスチューン系にしなくても，分布を離散フーリエ変換したときの 番目の成分であり，ディスク上の翼を並び替えるだけで，強制振動（共振応

式⑷で表すことができる。

答），自励振動（フラッタ），不釣合い量を同時に最適化できると考えられる。この観点から，本研究では航空エ⑷

ンジン用のガスタービン動翼を対象にして，ディスク上の翼を並び替えることにより，強制振動，自励振動，不ここで，Δω（ ）はミスチューンにより生じた 番目の翼

釣合い量を同時に最適化できるかどうかを検討する。翼の固有振動数の偏差であり，チューン系の翼単体の固有の最適配列を求めるためには，翼・ディスク系の共振

振動数をω（0），ミスチューン系の 番目の翼の固有振動

応答解析を繰り返し行うことが必要になるため，前報数をω（ ）とすると，式⑸から求めることができる。

と同様に低次元モデルFMM（Fundamental Mistuning
Model）⑼,⑽を利用する。最適化手法には，モンテカルロ⑸

法や遺伝的アルゴリズムの一種であるDDE（Discrete
Diﬀerential Evolution）法⑾を利用する。

.

ミスチューン系の安定性解析

ミスチューン系の安定性を解析する場合には，式⑵に．解析方法

流体連成効果を表す非定常力項を追加した式⑹の固有値.

解析を行い，複素固有振動数ω を求める。

FMMによるミスチューン系の固有値解析

FMMの理論については文献⑼,⑽ に詳しく説明されて⑹いるので，ここでは要点だけを記述する．FMMでは，翼・ディスク系のモード族が完全に分離しているとき，

ここで｛ミスチューンがある翼・ディスク系の着目するモード族

なわち翼・ディスク系（チューン系）の振動によっての振動モードを，チューン系の当該モード族の振動モー

フィードバックされる非定常力（モーダル外力）であり，ドの重ね合わせで式⑴のように表す。

式⑺のように表すことができる。

｝は作動流体との連成による非定常力，す⑺⑴
式⑺右辺の｛
ここで，｛φ ｝はミスチューン系の着目するモード族に｝は影響係数を対角要素にする流体力行列であり，式⑻のように表すことができる。

おける 次の振動モード，｛φ0 ｝はトラベリングウェー
ブモードで表示したチューン系の当該モード族の 次の⑻振動モードであり， は全周の翼枚数である。β はミスチューン系の 次の振動モードに占めるチューン系の次のトラベリングウェーブモードの振幅を表す係数

式⑻の影響係数は一般には複素数であり， 節直径の（以下，TWMの振幅）であり，式⑵の固有値問題を解

振動モードに対する付加剛性や付加減衰に相当しておくことにより求めることができる。

り，CFDコードを利用して求めることができる。具体的にCFDコードを利用して影響係数⑵動翼のを求める際には，通路分をモデル化し，隣接翼との境界に 節直径モードの翼間位相差を考慮した周期対称条件を与える。
ここで［Ω 0］は，チューン系の固有振動数を対角成分につぎに構造解析から得られる振動モードでCFD格子をする対角行列であり，チューン系の振動モードをトラベ移動させ，翼面上にフィードバックされる非定常流体力

リングウェーブモードで表示し翼間位相差が増加する順の変位に比例する成分から付加剛性を，速度に比例するに振動モードを並べたとき，これに対応する順に固有振成分から付加減衰を求める。式⑹から得られる 次モー

動数を並べている。ω はミスチューン系の 次の固有−振動数である。［Ω］は，ディスク上の個々の翼の振動数

ドの固有振動数の実部をω ，虚部をω とすると，流分布の離散フーリエ変換を成分にする行列であり，式⑶めることができる。

体力による 次モードのモーダル減衰比ζ は式⑼から求のように表すことができる。

⑼⑶

モーダル減衰比ζ が負であれば空力減衰は負であり，フラッタが発生する。

ー 62 ー
Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

Vol. 51.

No. 42023.7353

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究.

ミスチューン系の強制振動解析

最適ミスチューン系の定義

本研究では，翼の共振応力，フラッタに対する安定性，

ハーモニック加振力に対するミスチューン系の周波数応答を解析する場合には，式⑵に外力項を追加した式⑽および軸振動の原因になる不釣合い量を同時に最適化すを解析する。

る翼の配列（最適ミスチューン系）を求めるが，具体的
⑽

w

ここで，｛

には，式⒄の目的関数を最小にするミスチューン系を最適ミスチューン系と定義している。

｝は偏流や翼列干渉力のように作動流体と⒄の連成を考慮しない非定常力（モーダル外力）の振幅で⒅あり，ωは加振力の周波数である。周波数応答を解析する場合はチューン系の 次のモードに対して構造減衰を⒆導入するため，［Λ 0］の要素を式⑾で定義する。
⑾
0

0

ここで，

はチューン系に対するミスチューン系の共振応答の増大率（Ampliﬁcation factor），

ここで，ω とζ はチューン系の 次のモードの固有振列を変更する前の不釣合い量

動数と減衰比である。式⑽からTWMの振幅 が求まる

い量と配列変更後の不釣合との比率である。Δζはチューン系の空力減衰と，物理座標での周波数応答は式⑿から求めることがでζきる。

な変化量であり，ζ
⑿は翼の配に対するミスチューン系の空力減衰ζ の相対的

また，

，

，

は正規化するための係数である。

はそれぞれ

，

，Δζに対する重み係数である。本研究では，提案する手法が実際の翼の行列［ ］は物理座標で表した変位とトラベリングウェー

開発に適用できるかどうかを検証することを目的にしブモードで表した変位の座標変換行列であり，行列［ ］ており，一番単純なケースとして，今回の計算ではの k 行 列の要素 k , は式⒀で表すことができる。

，⒀

を何れも1.0にしている。また，式⒄のΔζのオーダーを同一にするため，ζ

予想されるため，ζ

ミスチューン系の不釣合い量の解析

翼・ディスク系を構成する 番目の翼の質量，＝0.004にして最適計算をしている。すなわち，Fig. 4より安定化させるためには（ζ −ζ

.

，

，

）の大きさが約0.004になると＝0.004にしている。

を式⒁で定義すると，翼・ディスク系全体の不釣合い量 は．解析結果

式⒂から求めることができる。

.

解析条件

Fig. 1に解析に使用した翼・ディスク系の有限要素モ⒁

デルを，Fig. 2に周期対称法で解析したチューン系の固⒂

有振動数（キャンベル線図）を示す。Fig. 1の有限要素モデルの節点数はセグメント当たり約7900節点であり，

翼・ディスク系全体（ =34）では約27万節点である。
ここで，0以下の解析では，強制振動については

はディスク上の全翼の質量の平均値，Δ

次モード族と前番目の翼を基準に置静翼枚数16とのノズルウェーク共振を解析対象にしてして測った各翼の周方向の取付け角度である。翼の周

おり，周波数応答解析を行うときの翼・ディスク系の対方向の取り付け角度については偏差が小さいと考え，数減衰率（δ）は全モードに対して0.01と仮定している。

Δθ ＝0と仮定している。また，また，自励振動については

は 番目の翼の質量の偏差，θ は0

は翼重心までの半径次モード族のフラッタに対であり，各翼の重心は同一半径上にあると仮定している。

する安定性を評価する。具体的には最適ミスチューン系

なお，大型の翼では，各翼の重量と重心位置を計測しての探索は，以下の手順で実施している。

ロータのバランシングを行うが，この場合は式⒂を式⒃⑴ 単独翼の固有振動数（ 次モード， =1,2）の分布がのように変更すれば良い。ここで正規分布（Case 1：変動係数σ =は 番目の翼の重心までの半径である。

動係数σ =%）に従い，%，Case 2：変

次モードと

次モード

の固有振動数は無相関と仮定する。
⒃⑵ モンテカルロ法を利用して性解析と次モードに対する安定

次モードに対する共振応答解析を個別に行い，フラッタに対する安定性が最小（空力減衰最小）になる

次モードのミスチューン分布， 次モードの共振応答が最大になるー 63 ー
Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

次モードのミスチュー

354

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究

日本ガスタービン学会誌

ン分布を求める。得られたワーストミスチューン系

直径モードまでの空力減衰は負（不安定）であり，最も（フラッタに対する安定性が最小，

空力減衰の値が小さいモードは−6節直径モード（ζ

次モードの共振

応答が最大になるミスチューン系）をオリジナルの＝−0.349％）になっている。

Aerodynamic damping ratio [%]ミスチューン系と定義する。

Blade
No. of nodal diameter of TW mode

Bladed disk

Fig. 3 Aerodynamic damping of tuned bladed disk

Natural frequency of bladed disk [Hz]30

15

Aerodynamic damping ratio [%]Fig. 1 FEA model of bladed disk
20

10

Harmonics

15

5Natural frequency [Hz]Fig. 4 Stability of tuned bladed disk

Rotaon frequency [Hz]Fig. 2 Campbell diagram of tuned bladed disk.
⑶ 翼の質量と固有振動数は無相関であり，翼の質量分
布 も 正 規 分 布（Case 1： 変 動 係 数 σ =2：変動係数σ =%，Case%）に従うと仮定し，オリジナ

Case 1（翼振動数と翼質量の変動係数が%）のときの解析結果
Fig. 5からFig. 7に，個々の翼の

次モードと

次モー

ドの固有振動数の変動が正規分布（変動係数σ =%）ルのミスチューン系の翼質量分布（の分布）を生成に従うと仮定し，FMMとモンテカルロ法（解析回数する。

10,000回）でワーストミスチューン系を求めた結果を示⑷ 上記のケース（Case 1，Case 2）についてモンテ

す。Fig. 5は，ワーストミスチューン系（フラッタに対カルロ法やDDEを適用して式⒄を最小にする最適解

する安定性が最小，を求める。すなわち，翼の共振応力

ミスチューン系）に対するミスチューン分布（固有振動

因になる不釣合い量と軸振動の原を可能な限り小さくし，空力

次モードの共振応答が最大になる数の分布）を，Fig. 6はワーストミスチューン系の減衰Δζを可能な限り大きくする翼の配列（最適ミ

モードの安定性解析結果を，Fig. 7はスチューン系）を求める。

数応答解析結果を示す。

Fig. 3は次次モードの周波次モードの安定性解析に使用した非定常流

体力（空力減衰）であり，横軸は振動モードの節直径｝の虚部）を示している。タービン翼列では翼に作用する非定常流体力は当該翼と隣接翼の影響を強く受けるため，概ねFig. 3のような特性を示す。このため本研究では，既報⑻で使用したCFD解析結果の横軸（節直径数）を補正して使用している。Fig. 4は式⑹の複素固有値解析から

1st mode

Frequency deviation [%]数を，縦軸は空力減衰（式⑹の非定常流体力｛

2nd mode

求めたチューン系の安定性解析結果であり，横軸は流体‑構造連成系の固有振動数を，縦軸は空力減衰を示している。Fig. 3やFig. 4から分かるように，この翼・ディ
スク系（チューン系）では−1節直径モードから−11節
ー 64 ー
Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

Blade No.
Fig. 5 Frequency deviation of the worst mistuned bladed disk
（Case 1）

No. 42023.7355

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究

Fig. 9とFig. 10は モ ン テ カ ル ロ 法（ 解 析 回 数10,000

Aerodynamic damping ratio [%]Vol. 51回）を利用してCase 1に対する最適ミスチューン系を求めた結果であり，Fig. 9はと次モードの共振応答倍率のマップを，Fig. 10はと次モードの空力減衰ζ のマップを示している。Fig. 9から分かるようにオリジナルのミスチューン系（図中の青丸，=1.00，=1.68）に対して最適ミスチューン系（図中の赤丸，式⒄のが最小になるミスチューン系）では，は0.0355に，Natural frequency [Hz]は1.39に低下している。

Fig. 6 Stability of the worst mistuned bladed disk（Case 1）
Original (1.00, 1.68)

Normalized amplitude, AF

Amplification factor

AF=1.68

Tuned

Normalized unbalance factor, UF

Excitaon frequency [Hz]Opmal (0.0355, 1.39)

Fig. 7 Frequency response of the worst mistuned bladed disk
（Case 1）

Fig. 9 Map of unbalance factor and ampliﬁcation factor（Case 1）

Fig. 4とFig. 6の比較から分かるように，ワーストミ

また，Fig. 10から分かるように，最適ミスチューン

スチューン系ではフラッタに対する安定性は改善されて系の空力減衰（図中の赤丸）は依然として負であるが，いるが幾つかのモードの減衰は依然として負であり，空オリジナルのミスチューン系の空力減衰（図中の青丸）

力減衰の最小値はζ ＝−0.300％になっている。また，

ζ =−0.300％に対して最適ミスチューン系では，空力Fig. 7に示すように，ワーストミスチューン系では減衰の値は−0.0589％まで増加している。

次

モードの共振応答はチューン系の1.68倍に増大している。
Fig. 8には，翼の固有振動数の分布（Fig. 5）と質量

Original (-0.300, 1.68)（変動係数σ =Normalized amplitude, AFの分布との間には相関はなく，質量の分布は正規分布%）に従うと仮定して生成した各翼の質量分布を示している。Case 1の解析では，Fig. 5からFig. 8の特性を持つワーストミスチューン系をオリジナ
ルのミスチューン系と定義し，ディスク上の翼の配列を変えることにより，翼列干渉力に対する
振応答倍率

次モードの共と軸振動の原因になる不釣合い量を小さくし，空力減衰Δζを大きくする翼の配列（最適ミスOpmal (-0.0589, 1.39)

チューン系）を求めている。

Min. aerodynamic damping [%]Fig. 10 Map of aerodynamic damping and ampliﬁcation factor（Case 1）

Original mass deviation [%]UF=1.0 (Base)Fig. 11はモンテカルロ法で求めた最適ミスチューン
系の翼質量の分布と従来のバランス法で翼を配置したときの翼質量の分布を示しており，Fig. 11中にはそれぞれの方法で翼を配置した時の不釣合い量の値（式⒅の）も記入している。従来のバランス法では，翼質量の小さい順に翼を並べ，翼質量の近い翼同士が180°対
抗する位置に来るように翼を配置している。Fig. 11かBlade No.

ら分かるように，従来のバランス法ではFig. 8 Blade mass distribution of the worst mistuned bladeddisk（Case 1）

り，オリジナルの状態（
ー 65 ー

Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

=0.183であ=1.00）に比べると不釣合い356

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究

日本ガスタービン学会誌

量は低減しているが，依然として不釣合い量が残っている。一方，提案する手法では，翼列干渉力との共振応答）を1.68から1.39まで低減させ空力減衰の値をOpt. index

倍率（‑0.300%から‑0.0589%まで増加させるとともに，不釣合い量についても=0.0355（従来のバランス法の19%）Opmal
(0.656)

Optimal mass deviation (MCS) [%]に低減できている。
MCS (UF=0.0355)
Iteraon No.

Aerodynamic damping ratio [%]Fig. 12 Convergence of optimal index by DDE

balancing (UF=0.183)
Blade No.

Fig. 11 Mass distribution of the optimal bladed disk（Case 1）

Fig. 12からFig. 14は，DDEを利用してCase 1に対する
最適ミスチューン系を求めた結果を示している。DDEを利用した最適ミスチューン系の探索では，個体数100，

Natural frequency [Hz]Fig. 13 Stability of the optimal mistuned bladed disk（Case 1, DDE）

反復回数（世代数）300，突然変異確率0.70，交叉確率0.85にして解析した。これらのパラメータを変更した計

AF=1.44

Amplification factor

算も行ったが，最終的に得られる最適化指標（式⒄）の値には有意な差がなかった。Fig. 12にはCase1についてDDEで最適化計算を行ったときの最適化指標の収束状況を示しており，Fig. 13は最適

ミスチューン系に対する安定性解析結果を，Fig. 14は周波数応答解析結果を示している。Fig. 13に示すように，最適ミスチューン系の空力減衰は依然として僅かに負であるが，オリジナルのミスチューン系の空力減衰（Fig. 6）ζ =−0.300％に対して最適ミスチューン系では，空力減衰の値は−0.0165％まで増加している。また，
Fig. 7とFig. 14の比較から分かるように，共振応答倍率Excitaon frequency [Hz]Fig. 14 Frequency response of the optimal mistuned bladed disk
（Case 1, DDE）

次モードの
.

は1.68から1.44に低下している。紙面の制約からDDEで求めた最適解に対する翼の質量分布

Case 2（翼振動数と翼質量の変動係数が%）のときの解析結果
Case 2の解析もCase 1と全く同様に，最初に，個々の解析結果（Fig. 11に対応する結果）は省略している
が，DDEで求めた最適ミスチューン系とモンテカルロの翼の法で求めた最適ミスチューン系では，共振応答，空力減

独立の正規分布（変動係数σ =衰，不釣合い量の何れについても，ほぼ同等の値になる

FMMとモンテカルロ法（解析回数10,000回）によりワーことが確認できた。なお，空力減衰の値については，何ストミスチューン系（フラッタに対する安定性が最小，れの最適化手法を用いても改善はできているが，全てのモードの空力減衰を正にすることはできていない。これ

次モードと次モードの固有振動数の変動が%）に従うと仮定し，次モードの共振応答が最大になるミスチューン系））
を求めた。

は，Fig. 4に示すように，チューン系の空力減衰の最小Fig. 15はワーストミスチューン系の次モードの安値を‑0.349%（対数減衰率に換算して‑0.02）と仮定して定性解析結果を，Fig. 16はおり，すなわちチューン系に対して大きな負減衰を仮定

結果を示している。Fig. 6とFig. 15の比較から分かるよ

しているため，うに．翼の固有振動数の変動係数を%のランダムミスチューン系では，翼次モードの周波数応答解析%にすると，ワーの並び替えを行うだけでは安定化できないためと考えら

ストミスチューン系のれる。

（Fig. 6） か ら −0.269 ％ に 改 善 さ れ て い る が， 依 然 と次モードの安定性は−0.300％

して空力減衰の値は負（不安定）になってい る。一ー 66 ー
Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

Vol. 51No. 42023.7357

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究

方，Fig. 7とFig. 16の比較から分かるように．変動係数%にするとワーストミスチューン系の次モードの共振応答倍率は1.68（Fig. 7）から1.81まで増大している。
Case 2の解析では，Fig. 15，Fig. 16の特性を持つワー
ストミスチューン系をオリジナルのミスチューン系と定義し，ディスク上の翼の配列を変えることにより，翼列干渉力に対する

次モードの共振応答倍率の原因になる不釣合い量

Original (1.00, 1.81)

Normalized amplitude, AF

を

と軸振動

を小さくし，空力減衰Δζ

を大きくする翼の配列（最適ミスチューン系）を求めてNormalized unbalance factor, UFいる。

Opmal (0.0480, 1.39)

Normalized amplitude, AF

Aerodynamic damping ratio [%]Fig. 17 Map of unbalance factor and ampliﬁcation factor

Natural frequency [Hz]Original (-0.269, 1.81)

Opmal (0.0718, 1.39)

Fig. 15 Stability of the worst mistuned bladed disk（Case 2）

Min. aerodynamic damping [%]Amplification factor

AF=1.81Fig. 18 Map of aerodynamic damping and ampliﬁcation factor

Fig. 19とFig. 20は，DDEを利用してCase 2に対する
最適ミスチューン系を求めた結果を示している。DDE

Tunedの計算に使用したパラメータはCase 1と同様であり，Fig. 19は最適ミスチューン系に対する安定性解析結果
を，Fig. 20は周波数応答解析結果を示している。Fig.
19に示すように，最適ミスチューン系の空力減衰はζ =0.109％まで増加しており十分に安定化されている

Excitaon frequency [Hz]だけでなく，個々の振動モードの空力減衰のバラツキもFig. 16 Frequency response of the worst mistuned bladed disk
（Case 2）小さくなっている。すなわち，Fig. 4（チューン系）とFig. 19の比較から分かるように，最適解では空力減衰

Fig. 17とFig. 18はモンテカルロ法（解析回数10,000

が最小であった振動モードの空力減衰は増加し，空力減回）を利用してCase 2に対する最適ミスチューン系を求衰が最大であった振動モードの空力減衰は減少していめた結果であり，Fig. 17はる。その結果，全てのモードの空力減衰がほぼ同一にな

次モードの共振応答倍率
次モードの空力り安定化されている。またFig. 16とFig. 20の比較から減衰ζ のマップを示している。Fig. 17から分かるよう

分かるように，オリジナルのミスチューン系（Fig. 16，とのマップを，Fig. 18はと=1.00，=1.81）に対して最適ミスチューン系（Fig. 20）では=1.81）に対して最適ミスチューン系（図中の赤丸）

最大共振応答が1.37まで低下するともに，全翼の共振振にオリジナルのミスチューン系（図中の青丸，
では，は0.0480に，は1.39に低下している。また，

幅のバラツキが小さくなっている。

Fig. 18から分かるように，最適ミスチューン系の空力

紙面の制約から最適解に対する翼の質量分布の解析結減衰（図中の赤丸）はζ =−0.0718％まで増加しており，果は省略しているが，Case 2についてもCase 1と同様に，

翼・ディスク系は十分に安定化されている。

DDEで求めた最適ミスチューン系とモンテカルロ法で求めた最適ミスチューン系では，共振応答，空力減衰，不釣合い量の何れについても，ほぼ同等の値になることが確認できた。特に空力減衰については，チューン系に対して大きな負減衰を仮定しているため%のランダムミスチューン系（Case 1）では翼の並び替えを行うだけー 67 ー
Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

358

翼・ディスク系の強制振動，自励振動，不釣合い量の多目的最適化に関する研究

Aerodynamic damping ratio [%]参考文献⑴

金子康智，森一石，奥井英貴，非対称配置静翼を利用した圧縮機動翼の振動応力低減，日本機械学会論文集C編，Vol. 71, No. 712（2005）, pp. 3409-3416.

⑵ Sun, T., Hou, A., Zhang, M., Niu, Y, Gao, J. and Guo, H.,
Analysis on the Reduction of Rotor Blade Vibration
Using Asymmetric Vane Spacing, Proceedings of ASME⑶
Natural frequency [Hz]Fig. 19 Stability of the optimal mistuned bladed disk
（Case 2, DDE）⑷
AF=1.37

Amplification factor

日本ガスタービン学会誌

Turb Expo 2015, GT2015-42778（2015）.
Cigeroglu, E., An, N. and Menq, C-H, Wedge Damper
Modeling and Forced Response Prediction ofFrictionally Constrained Blades, Proceedings of ASME
Turb Expo 2007, GT2007-27963（2007）.
Petrov, E. P., A high-accuracy model reduction foranalysis of nonlinear vibrations in structures withcontact interfaces, Transactions of the ASME, Journal ofEngineering for Gas Turbines and Power, Vol. 133, No.
10（2011）, 102503.

Tuned

⑸

Han, Y., Murthy, R., Mignolet, M. P. and Lentz, J.,
Optimization of Intentional Mistuning Patterns for the
Mitigation of the Effects of Random Mistuning, ASME
Journal of Engineering for Gas Turbines and Powers,
Vol. 136（2014）, pp. 1-9.

Excitaon frequency [Hz]⑹

Fig. 20 Frequency response of the optimal mistuned bladeddisk（Case 2, DDE）

では安定化できなかったが，Transactions of the ASME, Journal of Engineering for
Gas Turbines and Powers, Vol. 138（2016）, pp. 1-10.

%のランダムミスチュー

ンがある場合には，交互ミスチューンを採用しなくても⑺

ディスク上の翼を並び替えるだけで共振応答と不釣合い量を最小化すると同時に，空力減衰の値を正にして安定化できることが確認できた。
⑻．結 論
本研究では，強制振動，自励振動，不釣合い量を考慮したタービン動翼の最適化手法を提案した。具体的には，加振試験から得られる各翼の固有振動数分布と重量計測⑼

から得られる各翼の質量分布を用いて，ディスク上の翼の配列を変更することにより共振応答，不釣合い量，空力減衰を同時に最適化した。提案した手法の有効性を検⑽証するため，航空エンジン用のガスタービン動翼の翼・結果，提案した手法を適用すると，交互ミスチューンを⑾

応答と不釣合い量を最小化すると同時に，空力減衰の値を正にして安定化できることが確認できた。
本手法では，従来，品質管理を目的に計測していた翼の固有振動数と重量だけを利用しており，本手法を設計
開発プロセスに組み込めば，コストを増加させることな
く，製品の信頼性向上に寄与できると考えられる。

ー 68 ー
Download service for the GTSJ member of ID , via 157.1.136.4, 2024/10/20.

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

金子康智，岸本星太，森一石，大山宏治，ミスチューンを有する翼・ディスク系の最適設計に関する研究，日本機械学会論文集，Vol. 84, No. 861（2018）, DOI:10.1299/
transjsme. 17-00447.
金子康智，吉田陸，渡邉敏生，古川達也，ミスチューンを有する翼・ディスク系の最適設計（強制振動，自励振
動，不釣合い量の同時最適化），日本機械学会論文集，
Vol. 87, No. 898（2021）, DOI:10.1299/transjsme.20-00368.
Feiner, D. M. and Griffin, J. H., A fundamental model of
mistuning for a single family of modes, Transactions of
the ASME, Journal of Turbomachinery, Vol.124（2002）,
pp. 597-605.
Feiner, D. M. and Griffin, J. H., Mistuning identificationof bladed disks using a fundamental mistuning modelpart 1: theory, Transactions of the ASME, Journal of
Turbomachinery, Vol. 126（2004）, pp. 150-158.

ディスク系に対して最適ミスチューン系を求めた。その採用しなくてもディスク上の翼を並び替えるだけで共振

Hohl, A. and Wallaschek, J., A Method to Reduce theEnergy Localization in Mistuned Bladed Disks by
Application ‑ Specific Blade Pattern Arrangement,

北 山 哲 士, 荒 川 雅 生, 山 崎 光 悦，Discrete Differential
Evolutionの提案，日本機械学会論文集C編，Vol. 76, No.
772（2010）, pp. 3828-3836.