〈一般研究課題〉 渦法による軽量大スパン構造の風荷重評価法に関する研究
助 成 研 究 者

名古屋市立大学

張景耀

渦法による軽量大スパン構造の風荷重評価法に関する研究
張 景耀（名古屋市立大学）

A Study on Evaluation of Wind Loadings on
Large-span Light-weight Structures by using Vortex Method
Jingyao ZHANG(Nagoya City University)

Abstract：
Japan is well-known as an earthquake-prone country. At the same time, it is also attacked bymany strong winds, including four typhoons landed every year. Economy loss due to strong winds infact exceeds that due to earthquake. In this study, we focus on light-weight long-span structures.
Light-weight structures are able to cover a large space with small amount of materials, and thus,
they are widely used for public structures, e.g., sports stadiums, shopping malls etc. Due to its
light weight, and accordingly long natural periods, this kind of structures is sensitive to strong
winds instead of earthquake. They behave large deformations while subjected to strong winds, andthis would change the wind loads acting at the structures. For such interaction, computational fluid
dynamics (CFD) can help a lot in understanding. For a long-term goal, we are to develop novel
methodologies for evaluation of dynamic effects of wind loadings acting on light-weight structures.
For conventional CFD, it is necessary to remesh the computational region so as to take account oflarge deformation of the light-weight long-span structures. However, the remeshing process is very
costly. To solve such problem, we adopted vortex method. Vortex method is a mesh-free method,
the boundary as well as the computational region are modelled by (point) vortices, so it is good at
dealing with moving boundary. Furthermore, vortex method is efficient in the sense of no need tosolve the coupled equations in terms of velocity as well as pressure. In particular, in this study, we－ 191 －

are to summarize and develop the basic theory for vortex method, and then to evaluate its potential
in dealing with large deformation of the long-span structures by using several numerical examples.
1. はじめに日本は国土が小さいわりに、地震の大国だけでなく、強風の大国でもある。日本には毎年平均４１．はじめにつほどの台風が上陸しており、ダウンバーストや竜巻などの局地的強風も頻発している。台風や竜日本は国土が小さいわりに、地震の大国だけでなく、強風の大国でもある。日本には毎年平均４巻や突風などの強風による構造物の被害が多い。地震より強風の発生頻度が高く、影響範囲も大きつほどの台風が上陸しており、ダウンバーストや竜巻などの局地的強風も頻発している。台風や竜いので、強風による被害総額が地震によるものを超えているという報告もある。その主な被害メカ
巻や突風などの強風による構造物の被害が多い。地震より強風の発生頻度が高く、影響範囲も大きニズムとしては、建物の外部にかかる風荷重によるものと、突風や飛来物などによりできた開口部
いので、強風による被害総額が地震によるものを超えているという報告もある。その主な被害メカが生じた後、内圧の上昇によるものがある(図 1)。

今後は、地球温暖化に伴い、日本周辺の海水温が高くなり、台風などの強風の発生数および最大ニズムとしては、建物の外部にかかる風荷重によるものと、突風や飛来物などによりできた開口部
風速が年々増加する傾向にあるため、それによる物的・人的被害の拡大が懸念される。
が生じた後、内圧の上昇によるものがある(図1)。
本研究では軽量かつ効率的に大きな無柱空間を覆う大スパン軽量構造を研究対象とする。大スパ
今後は、地球温暖化に伴い、日本周辺の海水温が高くなり、台風などの強風の発生数および最大ン軽量構造は、軽量かつ効率的に大きな無柱空間を覆う構造形式であるため、体育館やショッピン
風速が年々増加する傾向にあるため、それによる物的・人的被害の拡大が懸念される。
グモールや大型倉庫など大きな内部空間を必要とする構造物によく利用されている。
これらの構造本研究では軽量かつ効率的に大きな無柱空間を覆う大スパン軽量構造を研究対象とする。大スパ
物の多くは、大型集客施設であり、災害時の避難所としても指定されるため、非常に重要な社会的ン軽量構造は、軽量かつ効率的に大きな無柱空間を覆う構造形式であるため、体育館やショッピン存在でもある。
グモールや大型倉庫など大きな内部空間を必要とする構造物によく利用されている。これらの構造
大スパン軽量構造は、スパンのわりに非常に軽く、固有振動数が低いため、地震被害が少ない。
物の多くは、大型集客施設であり、災害時の避難所としても指定されるため、非常に重要な社会的一方で、通常の構造物より柔らかく、大変形が起こりやすいため、台風、竜巻や突風などの強風に存在でもある。
よる被害は国内外でも数多く報告されている。
大スパン軽量構造は、スパンのわりに非常に軽く、固有振動数が低いため、地震被害が少ない。
空間構造を設計する際、それに作用する風荷重は、縮尺模型の風洞実験により特定されることが一方で、通常の構造物より柔らかく、大変形が起こりやすいため、台風、竜巻や突風などの強風に多い。しかし、風洞実験施設に限界があり、レイノルズ数の近似則が満足されないため、縮尺模型
よる被害は国内外でも数多く報告されている。
の風洞実験により、強風時の空力的不安定現象を再現するのは不可能である。また、既存の流体・空間構造を設計する際、それに作用する風荷重は、縮尺模型の風洞実験により特定されることが固体連成解析方法には、構造物の大変形によりメッシュの再分割が必要となるため、高額な計算コ多い。しかし、風洞実験施設に限界があり、レイノルズ数の近似則が満足されないため、縮尺模型
ストを伴う。
の風洞実験により、強風時の空力的不安定現象を再現するのは不可能である。また、既存の流体・
渦法は次世代の計算流体力学法であり、数値的安定性の確保と計算格子不要など多くのメリット
固体連成解析方法には、構造物の大変形によりメッシュの再分割が必要となるため、高額な計算コがある。渦法をベースとし、流体解析と構造解析を統合した連成解析法により、軽量大スパン構造
ストを伴う。
に作用する風荷重を評価できる新たなフレームワークの提案という長期的目標を目指して、渦法の有効性を考察することは本研究の目的である。

(a) 風圧力による構造被害(b) 開口部による構造被害

図 1．風被害のメカニズム

図 1．風被害のメカニズム－ 1922－渦法は次世代の計算流体力学法であり、数値的安定性の確保と計算格子不要など多くのメリットがある。渦法をベースとし、流体解析と構造解析を統合した連成解析法により、軽量大スパン構造に作用する風荷重を評価できる新たなフレームワークの提案という長期的目標を目指して、渦法の有効性を考察することは本研究の目的である。
2．渦法
2.1渦法
渦法の特徴
2.
2.1流体現象は、あらゆるところに存在する。しかし、その理解は現代科学が大幅に進んでいるにも渦法の特徴かかわらず、未だ完全にできるものではない。流体現象の中に、「乱流」として知られる複雑な現流体現象は、あらゆるところに存在する。しかし、その理解は現代科学が大幅に進んでいるにも象がある。乱流理論は古典力学に残された最後の難問といわれている、それを完全に解明する理論
かかわらず、未だ完全にできるものではない。流体現象の中に、「乱流」として知られる複雑な現は未だ確立なされていない。
象がある。乱流理論は古典力学に残された最後の難問といわれている、それを完全に解明する理論

観測も予測が難しい乱流現象に対しては、例えば衛星写真に写る台風の運動を見るように、そのは未だ確立なされていない。
運動を容易に観測できる。また、不十分ではあるがある程度の予測もできるようになっている。そ観測も予測が難しい乱流現象に対しては、例えば衛星写真に写る台風の運動を見るように、そのの原因の一つとして、台風のような流れは典型的な「渦」構造をしており、それが特徴的な構造と運動を容易に観測できる。また、不十分ではあるがある程度の予測もできるようになっている。そして我々の目に見えることが挙げられる。
の原因の一つとして、台風のような流れは典型的な「渦」構造をしており、それが特徴的な構造とこのような事実からもわかるように、流れ中の渦構造に注目することによって複雑な流体現象をして我々の目に見えることが挙げられる。
記述しようという考えは、非常に古くからある。渦に注目して流体運動を理解するということを、
このような事実からもわかるように、流れ中の渦構造に注目することによって複雑な流体現象を記述しようという考えは、非常に古くからある。渦に注目して流体運動を理解するということを、
Helmholtz は数学によって定式化した。彼は流れから渦を定量的に抜き出すために渦度と呼ばれる
Helmholtz
は数学によって定式化した。彼は流れから渦を定量的に抜き出すために渦度と呼ばれる量を誘導し、その時間変化を扱う数学的枠組みを提案した。その後、渦を通した流体現象の理解が量を誘導し、その時間変化を扱う数学的枠組みを提案した。その後、渦を通した流体現象の理解が活発に行われるようになり、現在もなお有効な流体現象の研究手法を提供している。
活発に行われるようになり、現在もなお有効な流体現象の研究手法を提供している。
渦法では、導入渦の挙動を時間系列に追跡するので、渦度の離散化スケールとしていわゆる乱流
渦法では、導入渦の挙動を時間系列に追跡するので、渦度の離散化スケールとしていわゆる乱流のコルモゴロフスケールに相当する渦コアスケールの微細渦要素(eddy) を大量に流れ場に導入すのコルモゴロフスケールに相当する渦コアスケールの微細渦要素(eddy) を大量に流れ場に導入す
れば乱流を直接解析できる。
れば乱流を直接解析できる。
渦法 (Vortex Method) は比較的に単純なポテンシャル流の枠組みで、流れの特徴的渦構造の相互渦法 (Vortex Method) は比較的に単純なポテンシャル流の枠組みで、流れの特徴的渦構造の相互作用によって生成される非定常な流れを表現できる。その理由は以下のとおりである。
作用によって生成される非定常な流れを表現できる。その理由は以下のとおりである。
• 流れ場の連続的な渦度分布を多数の微小渦要素によって離散的に表すこと•• 流れ場の連続的な渦度分布を多数の微小渦要素によって離散的に表すこと
渦度輸送方程式を数値的に解いて各渦要素の渦度変化を時刻に捉えること•• 渦度輸送方程式を数値的に解いて各渦要素の渦度変化を時刻に捉えること
流れに乗った渦要素の移動と拡散を追跡すること•
流れに乗った渦要素の移動と拡散を追跡すること
また、渦法の画期的特徴としては、以下のものがある。
また、渦法の画期的特徴としては、以下のものがある。
• 流れ場の格子が不要である• 流れ場の格子が不要である• RANS 型乱流モデルが不要である• RANS 型乱流モデルが不要である• 移動・変形境界が自在に取り入れられる• 移動・変形境界が自在に取り入れられる
2.2 渦法の基本
2.2 渦法の基本
二次元において、渦度ωは以下のように定義される。
二次元において、渦度𝜔𝜔は以下のように定義される。
∂𝑣𝑣

∂𝑢𝑢

𝜔𝜔 = ∂𝑥𝑥 − ∂𝑦𝑦

(1)

ここで、
𝑢𝑢と𝑣𝑣はそれぞれ𝑥𝑥と𝑦𝑦方向における速度である。渦度は流れの回転成分だけを表している。
ここで、uとvはそれぞれxとy方向における速度である。渦度は流れの回転成分だけを表している。
二次元において、流体の非圧縮条件は以下のように表す。
∂𝑢𝑢
∂𝑥𝑥

∂𝑣𝑣

+ ∂𝑦𝑦 = 0

－ 193 －

(2)

外力が働かない密度一定の非粘性・非圧縮流体に対して、渦度はラグランジュ保存量である。そのため、初期に渦度が存在している領域にある流体粒子の運動に沿ってのみ渦度は変化する。また

2.2 渦法の基本
二次元において、渦度𝜔𝜔は以下のように定義される。
∂𝑣𝑣

∂𝑢𝑢

𝜔𝜔 = ∂𝑥𝑥 − ∂𝑦𝑦(1)

ここで、𝑢𝑢と𝑣𝑣はそれぞれ𝑥𝑥と𝑦𝑦方向における速度である。渦度は流れの回転成分だけを表している。
二次元において、流体の非圧縮条件は以下のように表す。
二次元において、流体の非圧縮条件は以下のように表す。
∂𝑢𝑢

∂𝑣𝑣

+ ∂𝑦𝑦 = 0∂𝑥𝑥(2)

外力が働かない密度一定の非粘性・非圧縮流体に対して、渦度はラグランジュ保存量である。そ外力が働かない密度一定の非粘性・非圧縮流体に対して、渦度はラグランジュ保存量である。そのため、初期に渦度が存在している領域にある流体粒子の運動に沿ってのみ渦度は変化する。またのため、初期に渦度が存在している領域にある流体粒子の運動に沿ってのみ渦度は変化する。または、初期に渦度が存在しない領域にある粒子の運動に沿って渦度はゼロのままである。
は、初期に渦度が存在しない領域にある粒子の運動に沿って渦度はゼロのままである。
また、外力が働かない密度一定の非粘性・非圧縮流体に対して、渦度はその時間発展を通じて生
また、外力が働かない密度一定の非粘性・非圧縮流体に対して、渦度はその時間発展を通じて生成も消滅もしないという性質がある。そのため、渦度が（流れ場の微分で定義できる）場の量であり
3
また、外力が働かない密度一定の非粘性・非圧縮流体に対して、渦度はその時間発展を通じて生
また、外力が働かない密度一定の非粘性・非圧縮流体に対して、渦度はその時間発展を通じて生成も消滅もしないという性質がある。そのため、渦度が（流れ場の微分で定義できる）場の量であながら、粒子（の集合）のように振る舞う。
成も消滅もしないという性質がある。そのため、渦度が（流れ場の微分で定義できる）場の量であ成も消滅もしないという性質がある。そのため、渦度が（流れ場の微分で定義できる）場の量でありながら、粒子（の集合）のように振る舞う。
二次元の場合、境界からの渦度の生成のメカニズムを除けば、生成された渦度はラグランジュ保
りながら、粒子（の集合）のように振る舞う。
りながら、粒子（の集合）のように振る舞う。
二次元の場合、境界からの渦度の生成のメカニズムを除けば、生成された渦度はラグランジュ保存量としてふるまい続けるため、渦度の存在する領域にだけ着目してその運動を理解することは可二次元の場合、境界からの渦度の生成のメカニズムを除けば、生成された渦度はラグランジュ保
二次元の場合、境界からの渦度の生成のメカニズムを除けば、生成された渦度はラグランジュ保存量としてふるまい続けるため、渦度の存在する領域にだけ着目してその運動を理解することは可能である。
存量としてふるまい続けるため、渦度の存在する領域にだけ着目してその運動を理解することは可存量としてふるまい続けるため、渦度の存在する領域にだけ着目してその運動を理解することは可能である。
しかし、粘性流体に対して、渦度はラグランジュ保存量ではなくなる。流体粒子に沿って渦度は
能である。
能である。
しかし、粘性流体に対して、渦度はラグランジュ保存量ではなくなる。流体粒子に沿って渦度は動くということを踏まえると、渦度はこの粒子軌道に沿って粘性によって減衰しながら運動する。
しかし、粘性流体に対して、渦度はラグランジュ保存量ではなくなる。流体粒子に沿って渦度はしかし、粘性流体に対して、渦度はラグランジュ保存量ではなくなる。流体粒子に沿って渦度は動くということを踏まえると、渦度はこの粒子軌道に沿って粘性によって減衰しながら運動する。
動くということを踏まえると、渦度はこの粒子軌道に沿って粘性によって減衰しながら運動する。
粘性が小さな流体に対しては、渦度の減衰が遅いので、渦度が初期に存在している領域だけを考え動くということを踏まえると、渦度はこの粒子軌道に沿って粘性によって減衰しながら運動する。
粘性が小さな流体に対しては、渦度の減衰が遅いので、渦度が初期に存在している領域だけを考え
粘性が小さな流体に対しては、渦度の減衰が遅いので、渦度が初期に存在している領域だけを考えてその運動を調べる方法もある。
粘性が小さな流体に対しては、渦度の減衰が遅いので、渦度が初期に存在している領域だけを考えてその運動を調べる方法もある。
てその運動を調べる方法もある。
てその運動を調べる方法もある。
2.3 点渦と速度2.3 点渦と速度2.3この節では、非圧縮・渦無しのポテンシャル流に関する理論を拡張し、点渦近似モデルにより非
点渦と速度
2.3
点渦と速度
この節では、非圧縮・渦無しのポテンシャル流に関する理論を拡張し、点渦近似モデルにより非
この節では、非圧縮・渦無しのポテンシャル流に関する理論を拡張し、点渦近似モデルにより非
この節では、非圧縮・渦無しのポテンシャル流に関する理論を拡張し、点渦近似モデルにより非粘性・非圧縮の流れのシミュレーションに適用する。ここでは、定常および非定常な流れが含まれ粘性・非圧縮の流れのシミュレーションに適用する。ここでは、定常および非定常な流れが含まれ粘性・非圧縮の流れのシミュレーションに適用する。ここでは、定常および非定常な流れが含まれ粘性・非圧縮の流れのシミュレーションに適用する。ここでは、定常および非定常な流れが含まれ
ている。
ている。
ている。
ている。
中心における特異値を避けるために、点渦が一定の半径εをもつ円とする。また、その速度ポテ中心における特異値を避けるために、点渦が一定の半径εをもつ円とする。また、その速度ポテ中心における特異値を避けるために、点渦が一定の半径εεをもつ円とする。また、その速度ポテをもつ円とする。また、その速度ポテ中心における特異値を避けるために、点渦が一定の半径
ンシャルKは2次ガウス関数により以下のように定義される。
ンシャル
K は 2 次ガウス関数により以下のように定義される。
ンシャル
2 2
ンシャル K
Kはは 22 次ガウス関数により以下のように定義される。
次ガウス関数により以下のように定義される。
1−𝑒𝑒 −𝑟𝑟2 /𝜀𝜀2
2 /𝜀𝜀
−𝑟𝑟
/𝜀𝜀2
𝐾𝐾 = 1−𝑒𝑒
(3)
−𝑟𝑟
1−𝑒𝑒
2π𝑟𝑟 2
𝐾𝐾 = 2π𝑟𝑟(3)(3)
22π𝑟𝑟 20,y0)までの距離である。すなわち、
ここで、r は評価点(x,y)より点渦の中心(xここで、rは評価点(x,y)より点渦の中心(x0 )までの距離である。すなわち、
ここで、rは評価点(x,y)より点渦の中心(x,y000,y)までの距離である。すなわち、)までの距離である。すなわち、
ここで、r は評価点(x,y)より点渦の中心(x00,y𝑟𝑟 = �(𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥0 )2 + (𝑦𝑦 𝑦 𝑦𝑦0 )2(4)𝑟𝑟 == �(𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥
𝑥𝑥00 ))22 +
+ (𝑦𝑦
(𝑦𝑦 𝑦
𝑦 𝑦𝑦
𝑦𝑦00 ))22(4)
�(𝑥𝑥 𝑥𝑟𝑟(4)
点渦の強さを ωとした時、それによる評価点における速度は、以下のように求められる。
点渦の強さをωとした時、それによる評価点における速度は、以下のように求められる。
ω
点渦の強さをωとした時、それによる評価点における速度は、以下のように求められる。
とした時、それによる評価点における速度は、以下のように求められる。
点渦の強さを

𝑢𝑢 = −(𝑦𝑦 𝑦 𝑦𝑦0 )𝜔𝜔𝜔𝜔
)𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑢𝑢 =
= −(𝑦𝑦−(𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦00 )𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑢𝑢
𝑣𝑣 = (𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥0 )𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑣𝑣
)𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑣𝑣 =
= (𝑥𝑥
(𝑥𝑥 𝑥
𝑥 𝑥𝑥
𝑥𝑥00 )𝜔𝜔𝜔𝜔

(5)
(5)
(5)

図2には、点渦の半径を0.1, 0.2, 0.3とした場合、その中心からの距離rと速度ポテンシャルKの関係を表している。図2(a)から分かるように、点渦の中心においては、速度ポテンシャルKがゼロとなるが、少し離れたところに最大値となり、それ以降に急激的に減っていく。また、図2(b)には点渦による速度の大きさVを表している。点渦の半径には、Vが最大値となる。以下の例題でも、渦法の適用性と実装を目的としているので、各値に単位を付けないことにする。
図3には、(2, 0)に位置する点渦による速度ベクトルの分布(a)およびその大きさの等高線(b)を示している。この場合の点渦の半径を0.1とし、強さを1.0としている。図2に示している速度ポテン
シャルからも分かるように、点渦の中心より遠いところの速度が小さくなる。また、正の渦度によ－ 194 －(a) 速度ポテンシャル K(a) 速度ポテンシャル
速度ポテンシャル K
K(a)(b) 速度の大きさ V(b)(b) 速度の大きさ
速度の大きさ VV

点渦の強さを ωとした時、それによる評価点における速度は、以下のように求められる。
3.2. オノマトペと筆圧・筆速の対応づけ

𝑢𝑢 = −(𝑦𝑦 𝑦 𝑦𝑦0 )𝜔𝜔𝜔𝜔

筆圧・筆速という筆記特徴量とオノマトペの関係性を示した先行研究 14) では，促音，濁音，長(5)𝑣𝑣 = (𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥0 )𝜔𝜔𝜔𝜔
音，拗音の音節が筆圧と筆速に及ぼす影響を調査するために，筆記に関係するオノマトペとして「す」「すっ」「ずっ」「すーっ」「しゅっ」が用いられている．本研究でも同様に，筆記のオノマトペと

して「す」
「すっ」
「ずっ」
「すーっ」
「しゅっ」を用いることとする．各オノマトペの持つ筆圧・筆速の成分値は，書写を学んだ経験のある学生が各オノマトペをイメージしつつ横線を 5 回書いたときの平均値から算出した．
3.3. オノマトペによる筆遣いの再現
文字は，1 つまたは複数のストロークで構成されるが，1 つのストロークに対しても筆圧や筆速を変化させることで，文字の印象を変化させることができる．本研究では，文字を構成するストロークをさらに部分ストロークに分割し，それぞれの部分ストロークに対してオノマトペを付与することで筆遣いの再現を行う．
まず，文字を構成する要素（用筆，点画）ごとに制御点を決定する．つぎに，隣接する 2 つの制御点 i，i + 1 で構成される部分ストロークにオノマトペの印象を付与する．具体的には，オノマ(b) 速度の大きさ V(a) 速度ポテンシャル K
トペの印象は筆圧と筆速で構成されると考え，部分ストロークの制御点
i，i + 1 それぞれに，筆圧
図 2．点渦の半径・中心からの距離と速度ポテンシャル・速度との関係
図 2．点渦の半径・中心からの距離と速度ポテンシャル・速度との関係の成分値 op(i)，op(i + 1) および筆速の成分値 ov(i)，ov(i + 1) を割り当て，部分ストロークを構成す
る点列の筆圧・筆速を線形補間により求める．すなわち，部分ストロークの構成点 k (k = 0,…,n) における筆圧 p(k)，筆速 v(k) は，次式で算出される．
(a) 速度ベクトルの分布(b) 速度の等高線

4

𝑘𝑘
𝑘𝑘
図 3．一つの点渦(N=1)による周りの速度分布
𝑝𝑝(𝑘𝑘) = �1 − � 𝑜𝑜𝑝𝑝 (𝑖𝑖) + 𝑜𝑜𝑝𝑝 (𝑖𝑖 + 1)
𝑛𝑛
𝑛𝑛

𝑘𝑘
𝑘𝑘
図 2 には、点渦の半径を 0.1, 0.2,𝑣𝑣(𝑘𝑘)
0.3 とした場合、その中心からの距離
r と速度ポテンシャル K= �1 − � 𝑜𝑜𝑣𝑣 (𝑖𝑖) + 𝑜𝑜𝑣𝑣 (𝑖𝑖 + 1)𝑛𝑛𝑛𝑛の関係を表している。図 2(a)から分かるように、点渦の中心においては、速度ポテンシャル K がゼロとなるが、少し離れたところに最大値となり、それ以降に急激的に減っていく。また、図 2(b)p(k) は z 軸上の筆先の位置制御，v(k)は(x, y) 平面上の筆軸の位置制御に使用する．なお，運筆には点渦による速度の大きさ
V を表している。点渦の半径には、Vが最大値となる。以下の例題での際にトレースする(x, y) 平面上の座標点列は，既製フォントを細線化し，2 次元ベジェ曲線を用
も、渦法の適用性と実装を目的としているので、各値に単位を付けないことにする。
速度ベクトルの分布(b) 速度の等高線
いてスムージングした軌跡を用いて生成した．
図 3 には、(2,(a)0)に位置する点渦による速度ベクトルの分布(a)およびその大きさの等高線(b)を示
図 3．一つの点渦(N= 1 )による周りの速度分布
図 3．一つの点渦(N=1)による周りの速度分布
3.4. ひらがな文字の再現している。この場合の点渦の半径を0.1 とし、強さを 1.0 としている。図 2 に示している速度ポテ

本節では，ひらがな文字の再現を行う．
ンシャルからも分かるように、点渦の中心より遠いところの速度が小さくなる。また、正の渦度にる速度場は反時計まわりとなる。
図2 には、点渦の半径を0.1, 0.2, 0.3 とした場合、その中心からの距離
r と速度ポテンシャル
K
図 3 に「は」の制御点を示す．図
4 に，「は」のそれぞれの制御点に表
1 のオノマトペを付与
よる速度場は反時計まわりとなる。
b
N個の点渦が存在するとき、ある評価点(x, vibK)は各点渦i, yi)において、すべての点渦による速度(ui𝑏𝑏
𝑏𝑏がゼの関係を表している。図2(a)から分かるように、点渦の中心においては、速度ポテンシャル
した際の動作結果を示す．同図より，筆の強弱が表現されていることが見て取れる．特に，制御点
N 個の点渦が存在するとき、ある評価点(xi, yi)において、すべての点渦による速度(𝑢𝑢𝑖𝑖 , 𝑣𝑣𝑖𝑖 )は各点
jによるものの線形和で計算できる。
ロとなるが、少し離れたところに最大値となり、それ以降に急激的に減っていく。また、図2(b) 「す」⑧から⑩ において「ず」「すっ」「す」と徐々に筆圧が下がり，結びの部分で筆圧が最小となる
渦
j によるものの線形和で計算できる。

には点渦による速度の大きさ
V を表している。点渦の半径には、Vが最大値となる。以下の例題でによって，なめらかな曲線が描かれている．
𝑢𝑢𝑏𝑏 = − ∑𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦𝑗𝑗 �𝜔𝜔𝑗𝑗 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖

𝑁𝑁
も、渦法の適用性と実装を目的としているので、各値に単位を付けないことにする。
つぎに，「いろは」の再現を行う．
「いろは」には，単一方向，回り，結び，折れのすべての用筆(6)𝑣𝑣𝑖𝑖𝑏𝑏 = ∑𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑗𝑗 �𝜔𝜔𝑗𝑗 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖
図 3が含まれているため，ロボットの動作確認として適していると考える．図には、(2,
0)に位置する点渦による速度ベクトルの分布(a)およびその大きさの等高線(b)を示
図4には、同じ強さ(ω= 2,5 に示すフォントから
図
4 には、同じ強さ(𝜔𝜔𝑗𝑗j=1.0)をもつ複数の点渦(N= 1.0)をもつ複数の点渦(N= 2,3,3,4)による速度ベクトルの分布を示してい
4)による速度ベクトルの分布を示してしている。この場合の点渦の半径を0.1 とし、強さを 1.0 としている。図 2 に示している速度ポテ
抽出された座標点列を基に文字を再現する．
る。点渦の間の領域においては、相殺効果によりその速度が低くなっている。
いる。点渦の間の領域においては、相殺効果によりその速度が低くなっている。
ンシャルからも分かるように、点渦の中心より遠いところの速度が小さくなる。また、正の渦度に
図 6(a) に強弱を意識して再現した文字を，また，図 6(b)，6(c)，6(d) に同一のオノマトペを付与
よる速度場は反時計まわりとなる。
して再現した文字を示す． 図 6(a) は，オノマトペを意識的に付与することで，書道で見られるよN 個の点渦が存在するとき、ある評価点(xi, yi)において、すべての点渦による速度(𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏 , 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑏𝑏 )は各点

渦 j によるものの線形和で計算できる。

5

𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏 = − ∑𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦𝑗𝑗 �𝜔𝜔𝑗𝑗 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑏𝑏 = ∑𝑁𝑁
𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑗𝑗 �𝜔𝜔𝑗𝑗 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖(6)

図 4 には、同じ強さ(𝜔𝜔𝑗𝑗 = 1.0)をもつ複数の点渦(N = 2, 3, 4)による速度ベクトルの分布を示している。点渦の間の領域においては、相殺効果によりその速度が低くなっている。
(a) N = 2(b) N = 3(c) N = 4
－ 195 －

図 4．複数の点渦による周りの速度分布��� = ∑������� − �� ��� ���(6)

図 4 には、同じ強さ(�� = 1.0)をもつ複数の点渦(N = 2, 3, 4)による速度ベクトルの分布を示している。点渦の間の領域においては、相殺効果によりその速度が低くなっている。

(b) N = 3(a) N = 2(c) N = 4

4．複数の点渦による周りの速度分布
図図4．複数の点渦による周りの速度分布5(a)(a)速度ベクトルの分布
速度ベクトルの分布(b)(b)速度分布等高線
速度分布等高線(a)
速度ベクトルの分布(b)
速度分布等高線(a) 速度ベクトルの分布(b) 速度分布等高線
図 5．一様流における直角四辺形周りの定常流
図
5．一様流における直角四辺形周りの定常流
図
5．一様流における直角四辺形周りの定常流
5．一様流における直角四辺形周りの定常流
図図
5．一様流における直角四辺形周りの定常流
2.3 点渦と境界条件
点渦と境界条件
2.32.3点渦と境界条件
2.3
点渦と境界条件
2.3 点渦と境界条件
従来の計算流体力学手法においては、境界条件の設定が難しいが、渦法には境界に渦点を置くだ
従来の計算流体力学手法においては、境界条件の設定が難しいが、渦法には境界に渦点を置くだ
従来の計算流体力学手法においては、境界条件の設定が難しいが、渦法には境界に渦点を置くだ
従来の計算流体力学手法においては、境界条件の設定が難しいが、渦法には境界に渦点を置くだ
従来の計算流体力学手法においては、境界条件の設定が難しいが、渦法には境界に渦点を置くだ
けなので、その設定は非常に簡単に設定できる。これは、従来手法と比べて、渦法の優れているとけなので、その設定は非常に簡単に設定できる。これは、従来手法と比べて、渦法の優れているとけなので、その設定は非常に簡単に設定できる。これは、従来手法と比べて、渦法の優れているとけなので、その設定は非常に簡単に設定できる。これは、従来手法と比べて、渦法の優れているとけなので、その設定は非常に簡単に設定できる。これは、従来手法と比べて、渦法の優れているところでもある。
ころでもある。
ころでもある。
ころでもある。
ころでもある。
一般的に、流れの中にある建物の表面においては、その法線および切線方向の流速はともにゼロ
一般的に、流れの中にある建物の表面においては、その法線および切線方向の流速はともにゼロ
一般的に、流れの中にある建物の表面においては、その法線および切線方向の流速はともにゼロ
一般的に、流れの中にある建物の表面においては、その法線および切線方向の流速はともにゼロ
一般的に、流れの中にある建物の表面においては、その法線および切線方向の流速はともにゼロ�になる。境界（建物の表面）においてN個の点渦が配置され、更にN
̅個の評価点が定義されたとする。
になる。境界（建物の表面）において
NN個の点渦が配置され、更に𝑁𝑁個の評価点が定義されたとす�
�個の評価点が定義されたとすになる。境界（建物の表面）においてになる。境界（建物の表面）においてN個の点渦が配置され、更に𝑁𝑁個の評価点が定義されたとす�𝑁𝑁になる。境界（建物の表面）においてN 個の点渦が配置され、更に個の点渦が配置され、更に𝑁𝑁個の評価点が定義されたとす境界にある点渦を含むすべての点渦により、境界にある評価点においては、法線および切線方向のる。境界にある点渦を含むすべての点渦により、境界にある評価点においては、法線および切線方る。境界にある点渦を含むすべての点渦により、境界にある評価点においては、法線および切線方る。境界にある点渦を含むすべての点渦により、境界にある評価点においては、法線および切線方る。境界にある点渦を含むすべての点渦により、境界にある評価点においては、法線および切線方
向の流速がゼロとなる。すなわち、その方向および方向の成分の総和もゼロとなる。
流速がゼロとなる。すなわち、そのx方向およびy方向の成分の総和もゼロとなる。
向の流速がゼロとなる。すなわち、その向の流速がゼロとなる。すなわち、そのxxx 方向およびx 方向およびyyy 方向の成分の総和もゼロとなる。
y 方向の成分の総和もゼロとなる。
向の流速がゼロとなる。すなわち、その方向および方向の成分の総和もゼロとなる。

𝑢𝑢
𝑢 =
0
𝑢𝑢
0
𝑖𝑖 =
𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢𝑢==00�
=0,0, (( 𝑖𝑖𝑖𝑖( =
=
1,2,
……
, 𝑁𝑁
𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣=
�0,
𝑖𝑖 =1,2,
1,2,
…
)))�)
𝑣𝑣𝑣
�, 𝑁𝑁
𝑖𝑖 =
0, ( 𝑖𝑖 =1,2,… ,, 𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖 =

(7)(7)
(7)
(7)
𝜔𝜔
(
𝑗𝑗
=
1,2,
…
,
𝑁𝑁)
は未知数であるが、境界にある評価点における下記の条件式によ
点渦の強さ
j=1,2,…,
N)は未知数であるが、境界にある評価点における下記の条件式によっ
点渦の強さω
(𝜔𝜔𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔j 𝑗𝑗(( 𝑗𝑗𝑗𝑗( ==𝑗𝑗 =1,2,
1,2,
1,2,
……
𝑁𝑁)
, 𝑁𝑁)
は未知数であるが、境界にある評価点における下記の条件式によは未知数であるが、境界にある評価点における下記の条件式によ
点渦の強さ
点渦の強さ
𝜔𝜔
…
,, 𝑁𝑁)
は未知数であるが、境界にある評価点における下記の条件式によ点渦の強さって同定できる。
て同定できる。
って同定できる。
って同定できる。
って同定できる。
𝑓𝑓
𝑓𝑓 𝑓𝑓
�
𝑨𝑨𝑨𝑨
+
𝒖𝒖
==𝒖𝒖
𝟎𝟎 𝟎𝟎
�
�=
𝑨𝑨𝑨𝑨
𝑨𝑨𝑨𝑨
+
𝒖𝒖
=
� 𝒖𝒖
𝑨𝑨𝑨𝑨
++
𝒖𝒖𝑓𝑓𝒖𝒖 =
= 𝒖𝒖
𝒖𝒖
==𝟎𝟎
𝟎𝟎

(8)
(8)
(8)(8)

� ×𝑁𝑁
2𝑁𝑁
2N
�̅×N
×𝑁𝑁
ここで、係数行列𝑨𝑨
𝑨 𝑨𝑨𝑨
𝑨𝑨2𝑁𝑁
の成分
AijijAijは、iは、i番目の評価点における番目の点渦による速度成分で2𝑁𝑁
×𝑁𝑁×𝑁𝑁
ここで、係数行列A∈Rの成分A
は、i番目の評価点におけるj番目の点渦による速度成分であ
ここで、係数行列𝑨𝑨
ここで、係数行列𝑨𝑨𝑨
𝑨𝑨��2𝑁𝑁の成分の成分
A
番目の評価点における番目の評価点におけるjj 番目の点渦による速度成分で
j 番目の点渦による速度成分でij は、i

ここで、係数行列𝑨𝑨 𝑨 𝑨𝑨の成分 Aij は、i 番目の評価点における j 番目の点渦による速度成分では各評価点において一様流(𝑢𝑢𝑣𝑣ある。また、𝒖𝒖
𝑓𝑓 は各評価点において一様流(𝑢𝑢0 ,, 00𝑣𝑣)に対応する速度ベクトルであり、奇数の成分は,00𝑣𝑣)に対応する速度ベクトルであり、奇数の成分は)に対応する速度ベクトルであり、奇数の成分はある。また、𝒖𝒖ある。また、𝒖𝒖
る。また、uf は各評価点において一様流(u0 ,v
𝑓𝑓
𝑓𝑓 は各評価点において一様流(𝑢𝑢00 )に対応する速度ベクトルであり、奇数の成分は)に対応する速度ベクトルであり、奇数の成分はある。また、𝒖𝒖
𝑓𝑓 は各評価点において一様流(𝑢𝑢0 , 𝑣𝑣0
𝑓𝑓

𝑓𝑓

𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑓𝑓= 𝑣𝑣 である。式(8)によると、未知数である各点渦の強さベクトルf 𝑓𝑓 = 𝑢𝑢 で、偶数の成分は𝑢𝑢f𝑢𝑢u2𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑓𝑓2i-1
𝑓𝑓
=𝑢𝑢
=
𝑢𝑢
𝑢𝑢
=u=
0 である。式(8)によると、未知数である各点渦の強さベクトルは以下
2i =v2𝑖𝑖
0 で、偶数の成分は𝑢𝑢0 である。式(8)によると、未知数である各点渦の強さベクトル=0 で、偶数の成分はu𝑢𝑢000𝑢𝑢で、偶数の成分は𝑢𝑢
で、偶数の成分は𝑢𝑢==𝑣𝑣𝑣𝑣000𝑣𝑣である。式(8)によると、未知数である各点渦の強さベクトルである。式(8)によると、未知数である各点渦の強さベクトル
𝑢𝑢2𝑖𝑖𝑖𝑖
2𝑖𝑖𝑖𝑖
2𝑖𝑖
2𝑖𝑖𝑖𝑖
2𝑖𝑖 2𝑖𝑖は以下のように求めることができる。
は以下のように求めることができる。
は以下のように求めることができる。
のように求めることができる。
は以下のように求めることができる。
− −𝑓𝑓
−
𝝎𝝎𝝎𝝎=
= −𝑨𝑨
𝒖𝒖𝑓𝑓𝑓𝑓𝒖𝒖𝑓𝑓(9)(9)
− 𝒖𝒖
𝝎𝝎
−𝑨𝑨
(9)
𝝎𝝎 ==−𝑨𝑨
−𝑨𝑨
𝒖𝒖
(9)
−
�
−
−
ここで、𝑨𝑨
は行列𝑨𝑨の一般逆行列を表している。2𝑁𝑁
は未知数の数𝑁𝑁よりも大きい場合には、式(9)��− は行列𝑨𝑨の一般逆行列を表している。2𝑁𝑁
ここで、𝑨𝑨
ここで、𝑨𝑨
は行列𝑨𝑨の一般逆行列を表している。2𝑁𝑁
は未知数の数𝑁𝑁よりも大きい場合には、式(9)�は未知数の数𝑁𝑁よりも大きい場合には、式(9)ここで、Aは行列Aの一般逆行列を表している。2N
̅は未知数の数Nよりも大きい場合には、式(9)ここで、𝑨𝑨
は行列𝑨𝑨の一般逆行列を表している。2𝑁𝑁
は未知数の数𝑁𝑁よりも大きい場合には、式(9)は式(8)の最小二乗解となる。
は式(8)の最小二乗解となる。
は式(8)の最小二乗解となる。
は式(8)の最小二乗解となる。
は式(8)の最小二乗解となる。
図
5
には速度が
(𝑢𝑢
0.0)
である一様流の中に、2.0×
2.00 ,,, 0𝑣𝑣
図
5
5 には速度が(𝑢𝑢
𝑣𝑣,00𝑣𝑣)))0==) =(1.0,
(1.0,
(1.0,
0.0)
0.0)
である一様流の中に、2.0である一様流の中に、2.0××2.0の直角四辺形を置いている。
の直角四辺形を置いている。
の直角四辺形を置いている。
0
図図
5 には速度がには速度が(𝑢𝑢(𝑢𝑢=(1.0,0.0)
である一様流の中に、2.0×2.0
2.0の直角四辺形を置いている。
0 𝑣𝑣0
図の中では、青い円は評価点の位置、赤いスターは点渦の位置を示している。一様流には、各点に図の中では、青い円は評価点の位置、赤いスターは点渦の位置を示している。一様流には、各点に図の中では、青い円は評価点の位置、赤いスターは点渦の位置を示している。一様流には、各点に図の中では、青い円は評価点の位置、赤いスターは点渦の位置を示している。一様流には、各点に－ 196 －
おける流れの回転がないため、渦度がゼロとなる。
しかし、流れの中に障害物を置くことによって、おける流れの回転がないため、おける流れの回転がないため、渦度がゼロとなる。
渦度がゼロとなる。
しかし、流れの中に障害物を置くことによって、流れの中に障害物を置くことによって、おける流れの回転がないため、渦度がゼロとなる。しかし、しかし、流れの中に障害物を置くことによって、障害物周辺に流れの回転が生じる。また、この例では、点渦の運動や流体の粘性による影響を考慮
障害物周辺に流れの回転が生じる。また、この例では、点渦の運動や流体の粘性による影響を考慮
障害物周辺に流れの回転が生じる。また、この例では、点渦の運動や流体の粘性による影響を考慮
障害物周辺に流れの回転が生じる。また、この例では、点渦の運動や流体の粘性による影響を考慮

図5には速度が(u0 ,v0 )=(1.0,0.0)である一様流の中に、2.0×2.0の直角四辺形を置いている。図の中では、青い円は評価点の位置、赤いスターは点渦の位置を示している。一様流には、各点における流れの回転がないため、渦度がゼロとなる。しかし、流れの中に障害物を置くことによって、障害物周辺に流れの回転が生じる。また、この例では、点渦の運動や流体の粘性による影響を考慮していないため、流速の分布は対称となっている。

正面と背面の中央に近づけるほど、速度がゼロとなる境界条件により、その速度がゼロに近くな
正面と背面の中央に近づけるほど、速度がゼロとなる境界条件により、その速度がゼロに近くな
正面と背面の中央に近づけるほど、速度がゼロとなる境界条件により、その速度がゼロに近くな
正面と背面の中央に近づけるほど、速度がゼロとなる境界条件により、その速度がゼロに近くな
正面と背面の中央に近づけるほど、速度がゼロとなる境界条件により、その速度がゼロに近くなる。
四辺形の隅には、流れの速度が一様流の流速よりも速くなっており、流れの剥離が生じている。
る。四辺形の隅には、流れの速度が一様流の流速よりも速くなっており、流れの剥離が生じている。
四辺形の隅には、
流れの速度が一様流の流速よりも速くなっており、流れの剥離が生じている。
る。
四辺形の隅には、流れの速度が一様流の流速よりも速くなっており、
流れの速度が一様流の流速よりも速くなっており、流れの剥離が生じている。
流れの剥離が生じている。
る。
四辺形の隅には、
また、上下辺の中央付近では、再付着が発生している。
る。また、上下辺の中央付近では、再付着が発生している。
また、上下辺の中央付近では、再付着が発生している。
また、上下辺の中央付近では、再付着が発生している。
また、上下辺の中央付近では、再付着が発生している。
3.3．渦法による非定常流シミュレーション
渦法による非定常流シミュレーション
3.
渦法による非定常流シミュレーション
3. 第渦法による非定常流シミュレーション
3.
渦法による非定常流シミュレーション
2 節には、渦法に基づいて非粘性・非圧縮の定常流シミュレーションについて説明した。実際
第2節には、渦法に基づいて非粘性・非圧縮の定常流シミュレーションについて説明した。実際
第節には、渦法に基づいて非粘性・非圧縮の定常流シミュレーションについて説明した。実際
第 22
2 節には、渦法に基づいて非粘性・非圧縮の定常流シミュレーションについて説明した。実際
節には、渦法に基づいて非粘性・非圧縮の定常流シミュレーションについて説明した。実際第の流体では、粘性が存在することにより、境界表面における切線方向の速度がゼロから流れ本体のの流体では、粘性が存在することにより、境界表面における切線方向の速度がゼロから流れ本体のの流体では、粘性が存在することにより、境界表面における切線方向の速度がゼロから流れ本体のの流体では、粘性が存在することにより、境界表面における切線方向の速度がゼロから流れ本体のの流体では、粘性が存在することにより、境界表面における切線方向の速度がゼロから流れ本体の速度へ加速するため、境界表面に薄い境界層が存在する。既存研究では、渦法において乱流モデル
速度へ加速するため、境界表面に薄い境界層が存在する。既存研究では、渦法において乱流モデル
速度へ加速するため、境界表面に薄い境界層が存在する。既存研究では、渦法において乱流モデル
速度へ加速するため、境界表面に薄い境界層が存在する。既存研究では、渦法において乱流モデル
速度へ加速するため、境界表面に薄い境界層が存在する。既存研究では、渦法において乱流モデルを取り入れることもある。本研究では、ランダム・ウォークによる分子のブラウン運動、そして粘を取り入れることもある。本研究では、ランダム・ウォークによる分子のブラウン運動、そして粘を取り入れることもある。本研究では、ランダム・ウォークによる分子のブラウン運動、そして粘を取り入れることもある。本研究では、ランダム・ウォークによる分子のブラウン運動、そして粘を取り入れることもある。本研究では、ランダム・ウォークによる分子のブラウン運動、そして粘性効果をシミュレーションする。
性効果をシミュレーションする。
性効果をシミュレーションする。
性効果をシミュレーションする。
性効果をシミュレーションする。
3.1 ランダム・ウォーク
3.1 ランダム・ウォーク
𝑏𝑏
𝑏𝑏
3.1
ランダム・ウォーク
3.1ある点(xランダム・ウォーク
3.1
ランダム・ウォークi, yi)の速度(ui, vi)は、各点渦による求められた速度の線形和(𝑢𝑢𝑖𝑖 , b 𝑣𝑣𝑖𝑖 b)プラス一様流の流速
𝑏𝑏 i , v𝑏𝑏
ある点(x)プラス一様流の流速i, yi)の速度(ui, vi)は、各点渦による求められた速度の線形和(u𝑏𝑏
ある点(xyi)の速度(u)の速度(ui,, vvi)は、各点渦による求められた速度の線形和()は、各点渦による求められた速度の線形和(𝑢𝑢𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏 ,, 𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏i)プラス一様流の流速)プラス一様流の流速
i,, y
𝑓𝑓 𝑓𝑓
ある点(x
(𝑢𝑢ある点(x, 𝑣𝑣f )である。
ii, yii)の速度(uii, vii)は、各点渦による求められた速度の線形和(𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖 )プラス一様流の流速f𝑓𝑓(u𝑓𝑓,v𝑣𝑣)である。
(𝑢𝑢である。
(𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑓𝑓 ,,, 𝑣𝑣
𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 )))である。
である。
(𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑗𝑗 = 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏 + 𝑢𝑢 𝑓𝑓

𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 == 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ++ 𝑢𝑢
𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑢𝑢
𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑗𝑗 = 𝑢𝑢
𝑏𝑏
𝑓𝑓
𝑏𝑏
=
𝑣𝑣
+
𝑣𝑣
𝑣𝑣
𝑏𝑏
= 𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑖𝑖 ++ 𝑣𝑣
𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =
𝑣𝑣

(10)
(10)
(10)
(10)
ランダム・ウォークとは、上記の式(10)にランダムな十分小さい値
𝛿𝛿1 および𝛿𝛿2 を付けて、流れの乱
𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖
ランダム・ウォークとは、上記の式(10)にランダムな十分小さい値δ
およびδを付けて、流れの乱
1
2
ランダム・ウォークとは、上記の式(10)にランダムな十分小さい値𝛿𝛿11 および𝛿𝛿
および𝛿𝛿22 を付けて、流れの乱を付けて、流れの乱
ランダム・ウォークとは、上記の式(10)にランダムな十分小さい値
𝛿𝛿および𝛿𝛿を付けて、流れの乱
ランダム・ウォークとは、上記の式(10)にランダムな十分小さい値
𝛿𝛿
れを近似的に表現する。
1
2
れを近似的に表現する。
れを近似的に表現する。
れを近似的に表現する。
れを近似的に表現する。
𝑢𝑢𝑗𝑗 = 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏 + 𝑢𝑢 𝑓𝑓 +𝛿𝛿1

𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 == 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ++ 𝑢𝑢
𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 +𝛿𝛿
+𝛿𝛿
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑢𝑢
𝑣𝑣 +𝛿𝛿1112
𝑣𝑣𝑗𝑗 = 𝑢𝑢
𝑏𝑏
𝑓𝑓
=
𝑣𝑣
+
𝑣𝑣
+𝛿𝛿
𝑣𝑣
= 𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏 ++ 𝑣𝑣
𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 +𝛿𝛿+𝛿𝛿22
𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 =
𝑣𝑣

(11)
(11)
(11)
(11)
ここで、𝛿𝛿1 および𝛿𝛿2 のオーダーは解析用の時刻刻み∆𝑡𝑡およびレイノルズ数
Re と以下の関係をもつ。
𝑗𝑗
2
𝑖𝑖𝑖𝑖
ここで、
𝛿𝛿δ
および𝛿𝛿
のオーダーは解析用の時刻刻み∆𝑡𝑡およびレイノルズ数
Re と以下の関係をもつ。
と以下の関係をもつ。
ここで、1 およびδ
2 のオーダーは解析用の時刻刻み∆tおよびレイノルズ数Reと以下の関係をもつ。
1
2
ここで、
𝛿𝛿
および𝛿𝛿
のオーダーは解析用の時刻刻み∆𝑡𝑡およびレイノルズ数
Re
1 および𝛿𝛿
2 のオーダーは解析用の時刻刻み∆𝑡𝑡およびレイノルズ数
ここで、
𝛿𝛿
Re
と以下の関係をもつ。
𝛿𝛿1 , 𝛿𝛿2 ~2∆𝑡𝑡/𝑅𝑅𝑅𝑅
(12)
1
2
𝛿𝛿
,
𝛿𝛿
~2∆𝑡𝑡/𝑅𝑅𝑅𝑅(12)
𝛿𝛿111 ,, 𝛿𝛿𝛿𝛿222 ~2∆𝑡𝑡/𝑅𝑅𝑅𝑅~2∆𝑡𝑡/𝑅𝑅𝑅𝑅
(12)
𝛿𝛿
(12)
レイノルズ数 Re は、流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元数である。
式(12)レイノルズ数Reは、流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元数である。式(12)レイノルズ数Reは、流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元数である。
式(12)レイノルズ数Re は、は、流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元数である。
流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元数である。式(12)式(12)レイノルズ数Reによると、レイノルズ数が大きければ慣性力に比べて粘性力が小さいので、ランダム・ウォークにによると、レイノルズ数が大きければ慣性力に比べて粘性力が小さいので、ランダム・ウォークにによると、レイノルズ数が大きければ慣性力に比べて粘性力が小さいので、ランダム・ウォークにによると、レイノルズ数が大きければ慣性力に比べて粘性力が小さいので、ランダム・ウォークにによると、レイノルズ数が大きければ慣性力に比べて粘性力が小さいので、ランダム・ウォークにおいて𝛿𝛿1 と𝛿𝛿2 で表す流れの乱れも小さいであることを意味する。
おいてδとδで表す流れの乱れも小さいであることを意味する。
1
2
おいて𝛿𝛿
と𝛿𝛿
で表す流れの乱れも小さいであることを意味する。
1
2
おいて𝛿𝛿
と𝛿𝛿
で表す流れの乱れも小さいであることを意味する。
1 と𝛿𝛿2 で表す流れの乱れも小さいであることを意味する。
おいて𝛿𝛿
1
2

3.2 点渦の運動
点渦の運動
3.2
3.2
点渦の運動
点渦の運動
3.2
時刻
t における点渦 j の位置を(𝑥𝑥𝑗𝑗𝑡𝑡 , 𝑦𝑦𝑗𝑗𝑡𝑡 )で表す。時刻𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡には速度(𝑢𝑢𝑗𝑗𝑡𝑡 , 𝑣𝑣𝑗𝑗𝑡𝑡 )により(𝑥𝑥𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 , 𝑦𝑦𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 )に
点渦の運動
3.2
𝑡𝑡t
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡 t+∆t t+∆t
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ttt𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 , 𝑦𝑦𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
時刻
t における点渦
j の位置を(𝑥𝑥,, 𝑦𝑦)に
𝑗𝑗j𝑡𝑡𝑡𝑡)で表す。時刻t+∆tには速度(u𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡 ,, 𝑣𝑣
𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
時刻における点渦jの位置を(xの位置を(𝑥𝑥𝑦𝑦𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡 )で表す。時刻𝑡𝑡)で表す。時刻𝑡𝑡 ++ ∆𝑡𝑡には速度(𝑢𝑢∆𝑡𝑡には速度(𝑢𝑢𝑣𝑣𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡 )により(𝑥𝑥)により(𝑥𝑥𝑦𝑦𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 )に)に
時刻tにおける点渦,yj )に移動する。
j ,y𝑗𝑗j , vj )により(xj
時刻tt における点渦
jj の位置を(𝑥𝑥
,, 𝑦𝑦
移動する。
𝑗𝑗 , 𝑦𝑦𝑗𝑗𝑗𝑗 )で表す。時刻𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡には速度(𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑣𝑣𝑗𝑗𝑗𝑗 )により(𝑥𝑥𝑗𝑗𝑗𝑗
移動する。
移動する。
移動する。

𝑥𝑥𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑡𝑡 + 𝑢𝑢𝑗𝑗𝑡𝑡 ∆𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑡𝑡 𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡 ∆𝑡𝑡
𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡=𝑦𝑦𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑗𝑗𝑡𝑡𝑡𝑡 +
+ 𝑢𝑢
𝑢𝑢
∆𝑡𝑡
𝑗𝑗𝑗𝑗 ∆𝑡𝑡==(13)
𝑦𝑦𝑗𝑗𝑥𝑥𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗++𝑣𝑣𝑗𝑗𝑢𝑢∆𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
=
𝑦𝑦
+
𝑣𝑣
∆𝑡𝑡
(13)
𝑦𝑦
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑗𝑗
𝑗𝑗
𝑗𝑗
=
𝑦𝑦
+
𝑣𝑣
∆𝑡𝑡
(13)
𝑦𝑦
点渦が建物の境界以内に移動した場合、該当の点渦を削除する。したがって、計算ステップごとに= 𝑦𝑦 + 𝑣𝑣 ∆𝑡𝑡
(13)
𝑦𝑦

𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗
点渦が建物の境界以内に移動した場合、該当の点渦を削除する。したがって、計算ステップごとに点渦が建物の境界以内に移動した場合、該当の点渦を削除する。したがって、計算ステップごとに最大N個の点渦が新しく生成される。計算ステップ数が増やせば、計算領域内の点渦の数が（最悪
点渦が建物の境界以内に移動した場合、該当の点渦を削除する。したがって、計算ステップごとに点渦が建物の境界以内に移動した場合、該当の点渦を削除する。したがって、計算ステップごとに最大
N 個の点渦が新しく生成される。計算ステップ数が増やせば、計算領域内の点渦の数が（最悪最大N個の点渦が新しく生成される。計算ステップ数が増やせば、計算領域内の点渦の数が（最悪の場合）線形的に増える。また、評価点における速度の計算はすべての点渦による影響を計上する
最大
N 個の点渦が新しく生成される。計算ステップ数が増やせば、計算領域内の点渦の数が（最悪個の点渦が新しく生成される。計算ステップ数が増やせば、計算領域内の点渦の数が（最悪最大Nの場合）線形的に増える。また、評価点における速度の計算はすべての点渦による影響を計上するの場合）線形的に増える。また、評価点における速度の計算はすべての点渦による影響を計上するの場合）線形的に増える。また、評価点における速度の計算はすべての点渦による影響を計上するの場合）線形的に増える。また、評価点における速度の計算はすべての点渦による影響を計上する必要があるため、点渦の数の増加により計算量が爆発的に増える恐れがある。これは、渦法のデメ必要があるため、点渦の数の増加により計算量が爆発的に増える恐れがある。これは、渦法のデメ必要があるため、点渦の数の増加により計算量が爆発的に増える恐れがある。これは、渦法のデメ必要があるため、点渦の数の増加により計算量が爆発的に増える恐れがある。これは、渦法のデメ
リットの一つでもある。
－ 197 －
リットの一つでもある。
リットの一つでもある。
リットの一つでもある。
しかし、点渦の運動およびそれによる速度分布の計算には、Navier–Stokes 方程式にあるように速しかし、点渦の運動およびそれによる速度分布の計算には、Navier–Stokes
方程式にあるように速しかし、点渦の運動およびそれによる速度分布の計算には、
点渦の運動およびそれによる速度分布の計算には、Navier–Stokes 方程式にあるように速方程式にあるように速しかし、Navier–Stokes
度と圧力の連成項がないため、各計算ステップにおいては連成方程式を解くための繰り返し計算が必要があるため、点渦の数の増加により計算量が爆発的に増える恐れがある。これは、渦法のデメ
リットの一つでもある。
しかし、点渦の運動およびそれによる速度分布の計算には、Navier–Stokes方程式にあるように速度と圧力の連成項がないため、各計算ステップにおいては連成方程式を解くための繰り返し計算が不要である。
3.3 円周りの非定常流れ不要である。

この節には、図6にある一様流における円まわりの非定常流れのシミュレーションを行い、その結果について考察する。この円形の半分モデルは曲面軽量大スパンの代表であるドームとして想定
3.3 円周りの非定常流れ

することもできる。
この節には、図 6 にある一様流における円まわりの非定常流れのシミュレーションを行い、そのfxの正方向に速度の大きさ1.0の一様流((u,v f )=(1.0,0.0))を考える。(0, 0)のところに半径が1.0の結果について考察する。この円形の半分モデルは曲面軽量大スパンの代表であるドームとして想定することもできる。
円形を置く。計算領域については、x方向に[-5.0,
10.0]とy方向に[-5.0, 5.0]の直角四辺形の領域とx の正方向に速度の大きさ 1.0 の一様流((𝑢𝑢 𝑓𝑓 , 𝑣𝑣 𝑓𝑓 ) = (1.0, 0.0))を考える。(0, 0)のところに半径が 1.0

する。時間刻みを0.2とする。また、レイノルズ数を105 としたため、ランダム・ウォークのオーの円形を置く。計算領域については、x 方向に[-5.0, 10.0]と y 方向に[-5.0, 5.0]の直角四辺形の領域とダーが10-6 となる。

する。時間刻みを 0.2 とする。また、レイノルズ数を 105 としたため、ランダム・ウォークのオー

赤い円は境界（円の周長）にある点渦を表し、併せて20個がある。各点渦の半径を0.1とする。境
ダーが 10-6 となる。

界上の点渦の間に青いスターで表す20個の境界条件評価点を設けている。境界上以外の点渦を青
赤い円は境界（円の周長）にある点渦を表し、併せて 20 個がある。各点渦の半径を 0.1 とする。
境界上の点渦の間に青いスターで表す 20 個の境界条件評価点を設けている。境界上以外の点渦をい四角形で表す。
青い四角形で表す。
各境界条件評価点において、その法線方向および接線方向の速度がゼロである。この条件によっ
各境界条件評価点において、その法線方向および接線方向の速度がゼロである。この条件によって、各点渦の強さを式(9)によって同定し、さらに各点渦の速度を式(11)によって計算し、その運動て、各点渦の強さを式(9)によって同定し、さらに各点渦の速度を式(11)によって計算し、その運動を式(13)によって追跡する。

を式(13)によって追跡する。

代表的ステップにおける点渦の運動は図7に示している。最初の段階(150ステップぐらいまで)に
代表的ステップにおける点渦の運動は図 7 に示している。最初の段階(150 ステップぐらいまで)
おいては、境界から生成された点渦の数が増えるため、計算コストが上がる一方にある。それ以においては、境界から生成された点渦の数が増えるため、計算コストが上がる一方にある。それ以降、計算領域の外側に出た点渦と境界から新しく生成された点渦の数がほぼ等しくなるため、計算
降、計算領域の外側に出た点渦と境界から新しく生成された点渦の数がほぼ等しくなるため、計算領域の内部にある点渦の数はほぼ変わらない。そのため、この段階の各ステップの計算コストは横領域の内部にある点渦の数はほぼ変わらない。そのため、この段階の各ステップの計算コストは横ばいとなる。

図6．円周りの流れに関する初期設定
6．円周りの流れに関する初期設定
図－ 198 －
8

5 ステップ

10 ステップ

15 ステップ

30 ステップ

40 ステップ

50 ステップ

70 ステップ

100 ステップ

150 ステップ

200 ステップ

250 ステップ

300 ステップ

400 ステップ

500 ステップ

750 ステップ

図 7．円周りの非定常流シミュレーション
図 7．円周りの非定常流シミュレーション

9－ 199 －

ばいとなる。
図7から分かるように、上下の頂点を超えたところで流れの剥離が発生する。また、ランダム・
ウォークに基づいた乱流によって、剥離が発生する位置が変動し、後流においては大きく振動する
様子が見て取れる。これは、実現象とよく対応しているが、実験データとの詳細比較は今後の課題
となる。
4．結論
渦法は、乱流をシミュレーションする計算流体力学法の一種である。メッシュの生成が不要であるため、計算の前処理が非常に行いやすくなるとともに、構造物が大変形を起こる際に、従来方法において高い計算コストを占めるメッシュの再生成も不要である。そのため、本研究では、軽量大スパン構造の大変形を追跡し、それにかかる動的風荷重を評価するために、渦法を採用した。本研
究は、以上の長期的目標を達成するための初歩的研究として位置づけられる。
本研究では、まずは渦法に関する基礎的理論について整理を行った。また、直角四辺形周りの定常流および円形周りの非定常流のシミュレーションによって、渦法が流線型構造物（円形）とそうではない構造物（直角四辺形）周りの流れを解析できることを定性的に検証できた。しかし、シミュレーションの精度に関する定量的評価は、今後の課題となる。
また、点渦の分布およびその強さから、計算領域における速度分布を簡単に求めることができる
が、速度から圧力を一意的に求めることは、今後の課題の一つとなる。
参考文献
1.	坂 上貴之、渦運動の数理的諸相 (連携する数学 2)、北海道大学数学連携研究センター (編集)、
共立出版社、2013
2.	亀本喬司、渦法から DES へ：次世代の CFD を担って、(特集)渦法、流れ (MSME)、2002.9 月号
3.	井沢精一郎, 木谷勝, 渦法における乱流モデル, 日本機械学会論文集, 65-630, B(1999), 581-589.
4.	G .H. Cottet and P.D. Koumoutsakos. Vortex Methods. Theory and Practice. Cambridge
University Press, 2000.
5.	A. Gharakhani and M.J. Stock. 3-D vortex simulation of flow over a circular disk at an angle ofattack. In Proceedings of the 17th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, Toronto,
Ontario Canada, June 2005.
6.	L .F. Greengard and R. Vladimir. A fast algorithm for particle simulations. Journal ofComputational Physics, 73(2):325–348, 1987.
7. D.J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice Hall, 3rd edition, 1999.
8.	A.J. Chorin. Numerical study of slightly viscous flow. Journal of fluid mechanics. 57(04):785-96,
1973.
9.	D .G. Long. Convergence of the random vortex method in two dimensions. Journal of theAmerican Mathematical Society. 1988;1(4):779-804.

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