広島工業大学紀要研究編
第 45 巻（2011）pp.9-15

論文

回転対称形球面鏡アンテナの鏡面修整法
浦崎

修治 *・岡田尚樹 **（平成22年８月３日受付）

Reflector Shaping Method of an Axially Symmetrical Spherical Reflector Antenna
Shuji URASAKI and Naoki OKADA(Received Aug. 3, 2010)

Abstract
In an axially symmetrical reflector antenna having the sub-reflector and the additional reflector of non-quadric surface between the spherical main reflector and the primary feed, we
present the reflector shaping method to correct the spherical aberration and to control the amplitude distribution in the aperture of the main reflector.
Key Words: reflector antenna, aperture antenna, spherical reflector antenna

１．まえがき球面鏡アンテナは球面収差が存在するため，球面収差を補正する副反射鏡を設ける必要があり，この副反射鏡を用いた場合の球面鏡，すなわち主反射鏡上の開口分布は逆テーパ分布であることが報告されている（１）。
逆テーパ分布は利得低下，サイドローブレベルの上昇などの放射特性劣化をもたらすので，開口分布を制御できる
ためには主反射鏡である球面鏡と一次放射器との間に，副反射鏡の他にもう一枚の反射鏡，すなわち補助反射鏡を設ける必要がある。この開口分布を制御するための副反射鏡，
図１

補助反射鏡は非二次曲面すなわち修整曲面となる。

鏡面構成

カセグレンアンテナの鏡面修整法において，修整曲面を数値的に求める方法（２），また，これらの修整鏡面を異なテナ全体の外形を初期値として与える必要がある。次に，る鏡面定数を持つ二次曲面群で構成する方法が報告されて反射の条件，光路長一定の条件，および電力の条件から修（３）いる

整副反射鏡と修整補助反射鏡を求める鏡面修整法について。ここでは，後者の二次曲面群による鏡面修整法述べる。

を示す

２．鏡面修整法

2.1

外形寸法

主反射鏡である球面鏡と一次放射器に設ける修整曲面で主反射鏡，副反射鏡および補助反射鏡は Z 軸に関してある副反射鏡，および補助反射を設計する場合，まずアン回転対称とする。主反射鏡の周辺 M1，M2 に入射した光線＊＊＊

広島工業大学工学部電気システム工学科＊＊＊

三菱電機エンジニアリング―9―浦崎修治・岡田尚樹

は以下，副反射鏡の周辺 S1，S2 に，補助反射鏡の周辺 D1，（12）

D2 に向かい，最終的には焦点 Fd に集束する。主反射鏡はZ 軸上の点 C を中心とする球面で，開口径 M1M2 を Dm，点 Fm を含み，Z 軸と垂直な面，すなわち開口面と点 M1頂点を点 O とする。M1，M2 における反射光線はＺ軸と交へ入射する光線が交わる点を Am とすると，Am から Fd まわり，これを Fm とする。∠ M1FmO（＝∠ M2FmO）は主反での全光路長 L は次のようになる。

射鏡の開口角 θmm である。この Dm，θmm を与えると球面鏡の半径 Rm および点 M1，Fm の Z 座標 Zm1，Zfm は次のようになる。

（13）
（1）
（2）
（3）

2.2

反射の条件

図２に示すように，主反射鏡の点 M（Xm，Zm）に入射した光線が反射して副反射鏡上の点 S（Xs，Zs）に向かうものとする。光線 MS が Z 軸と交わる点を F（0，Zf）とする。

Xm をパラメータとして与えると，Zm，Zf は次のようになる。

次に，副反射鏡の開口径 S1S2 を Ds とする。また，S1，（14）S2 で反射した光線も Z 軸と交わり，これを Fs0（0，Zfs0）とする。点 Fs0 から S1S2 を見込む角（半値）を θsm， Fs0S1（＝（15）

Fs0S2 ）を rsm とすると点 S1，S2 の反射の条件から次のようになる。

（16）
（4）
（5）

次に，点 S で反射した光線が補助反射鏡上の点 D（Xd，Zd）に進むものとする。光線 SD が Z 軸と交わる点を，F（0，sZfs） と す る。 最 後 に， 点 D で 反 射 し て， 焦 点 F（0，Z d）dへ集束する。したがって，図２に示すように点 S は点 F，ここで，ρsm は FmS1（＝ FmS2 ）で次のようになる。
（6）

Fs を焦点とする楕円面上の点であり，点 D は点 Fs，Fd を焦点とする楕円面上の点となる。

なお，点 S1，S2 は点 Fs0，Fm を焦点とする楕円面上の点である。
次に，点 Fs0 を通過した光線は補助反射鏡の周辺 D1，D2Zd）に集束するもに向かい，ここでも反射して焦点 F（0，dのとする。したがって，点 D1，D2 は点 Fs0，Fd を焦点とする楕円面上の点である。補助反射鏡の開口径 D1D2 を Ddとすると，R1m（＝ Fs0D1 ， Fs0D2 ），R2m（＝ FdD1 ， FdD2 ）は次のようになる。
（7）
（8）
（9）

図２

反射の法則

点 S を含む楕円面において， FS を ρs， SFs を rs，∠

したがって，補助反射鏡の焦点距離 fd，離心率 ed は次FFsS を θs とすると次式が得られる。のようになる。
（10）
（11）

― 10 ―

（17）
（18）
（19）

回転対称形球面鏡アンテナの鏡面修整法

（20）

（34）

ここで，es は離心率，fs は焦点距離である。

（35）
ここで，ed は離心率，fd は焦点距離である。図２におい

点 S における反射の法則は付録から次のようになる。
（21）（22）て，点 Fm を含む開口面と点 M へ入射する光線と交わる点を点 A とすると，A から Fd までの全光路長 L は次のようになる。
（36）

式（20）を（21）の右辺の第一項に代入して，次のよう式（36）は es，fs，ed，fd を用いると次のようになる。になる。

（37）
（23）

また，ρs は楕円の公式から次のようになる。

（38）
（24）

また，焦点 F，Fs および Fd 間の関係から次式が得られる。
（39）

式（24）を（21）の左辺に代入すると，次のようになる。
（25）

（40）
次に式（20），式（35）から次式が得られる。
（41）

ここで，g01，g02 は次式で与えられる。
（26）
（27）

上式から，ed は次のようになる。
（42）

式（25）を整理すると次のようになる。
（28）

（43）
（44）

式（21），（23），（28）から次のようになる。
（29）

式（39），（42）を式（37）に代入して次式を得る。
（45）

ここで，g0，B0 は次式で与えられる

（46）
（30）
（47）
（31）
2.4

2.3

電力の条件

開口面の振幅分布 Ea，点 Fd に置かれるホーンの放射パ

光路長一定の条件

点 D を含む楕円面において， Fd D を ρd， DFs を rd，ターンを Ep とすると，次の電力条件が成り立つ。

DFs とＺ軸とのなす角を θd とすると次式が得られる。
（32）

（48）

（33）
ここで，θdm は点 D が周辺 D1 に一致した場合の θd である。
― 11 ―

浦崎修治・岡田尚樹いま，振幅分布 Ea，放射パターン Ep を次のように与える。
（60）
（49）
（50）

（61）

式（49），（50）を式（48）に代入して次式を得る。
（62）
（51）
式（55）から式（15）の xm を上式に代入して次のようになる。

desの常微分方程式が次のようになる。
dθm（52）2.5（63）

３．鏡面修整法の一般化

微分方程式の導出

式（45）の両辺を θm で微分すると，次の常微分方程式3.1が得られる。

鏡面の組み合わせ２章の式で導き出される鏡面は，副反射鏡および補助反（53）

射鏡は楕円面鏡であるが，修整鏡面は場所によって楕円面鏡から双曲面鏡へと変化する。
したがって，各場所で副反射鏡が楕円面鏡で補助反射鏡が双曲面鏡，また逆に副反射鏡が双曲面鏡で補助反射鏡が上式に式（29）を代入すると次のようになる。
（54）

楕円面鏡，両者とも双曲面鏡となり，種々の組み合わせとなる。副反射鏡で反射した光線と z 軸との交点が副反射鏡と補助反射鏡の間にある組み合わせの場合を CROSS 形，

dg1 dg2式（46），（47）から dθ ，dθ を求めて整理すると，次のmmようになる。

一方，副反射鏡で反射した光線と z 軸との交点が副反射鏡と 補 助 反 射 鏡 の 外 側 に あ る 組 み 合 わ せ の 場 合 を NO−

CROSS 形として，表１に示すように５種類の鏡面の組み
表１（55）
NO-CROSS 形

CROSS 形

（56）

α型
β型
γ型
δ型
原型

鏡面の組み合わせ
副反射鏡
双曲面
楕円面
楕円面
楕円面
楕円面

補助反射鏡
楕円面
双曲面
双曲面
楕円面
楕円面

（57）
（58）
（59）

図３― 12 ―α 型の鏡面構成

図
図３
図４
図５
図６
図１回転対称形球面鏡アンテナの鏡面修整法

3.2

組み合わせの式

組み合わせによって鏡面修整法の式も変化する。ここでは 2 章で示した式から，変化する式のみを示す。
3.2.1

NO−CROSS 形

ここで α は α 型の鏡面を選択した場合，α ＝−1 とし，β は β 型の鏡面を選択した場合，β ＝−1 とする。同様に
γ 型の鏡面を選択した場合は γ ＝−1 とする。
式（4）は次のようになる。
（64）
図４

β 型の鏡面構成

式（8）は次のようになる。
（65）
式（10），（12）は次のようになる。
（66）
（67）
式（13）は次のようになる。

（68）
図５

γ 型の鏡面構成

式（17），（18）は次のようになる。
（69）
（70）
式（20）は次のようになる。
（71）

式（24），および ρd は次のようになる。
（72）
（73）
図６

δ 型の鏡面構成合わせについて検討する。ここで，原型は２章で示した組式（32），（33），（35）は次のようになる。

み合わせとする。

（74）

NO−CROSS 形は α 型，β 型および γ 型の組み合わせで（75）ある。これらを図３，図４，および図５に示す。CROSS（76）

形は原型と δ 型の組み合わせである。原型は２章で示したので，δ 型のみを図６に示す。
式（36）は次のようになる。

― 13 ―

浦崎修治・岡田尚樹

式（35）は次のようになる。
（89）

（77）
式（39）は次のようになる。

式（37）は次のようになる。

（90）

（78）
式（41）は次のようになる。
式（39）は次のようになる。

（91）

（79）
式（42）は次のようになる。

式（41）は次のようになる。
（80）

（92）

４．むすび

式（43），（44）は次のようになる。
（81）
（82）

要求する開口分布を一様とした場合，反射の条件，光路長一定の条件，および電力の条件から副反射鏡の離心率に関する常微分方程式を導いた。これを数値的に解いて修整鏡面である副反射鏡および補助反射鏡の鏡面形状を求めることができる。具体的な計算結果について，後報する。

式（47）は次のようになる

付録
（83）

反射の法則

図７に示す凹面の場合の反射の法則は次のようになる。

式（56），（57）は次のようになる

（93）
（94）
（84）

（95）
（96）

（97）
（85）

式（95），（96）を θ に関して微分し，整理すると式（58），（59）は次のようになる。
（86）
（98）
（87）

3.2.2

CROSS 形（99）

ここで δ 型の鏡面を選択した場合は δ ＝−1 となる。
式（10）は次のようになる。
（88）― 14 ―

式（98），（99）を式（93）に代入して整理すると

回転対称形球面鏡アンテナの鏡面修整法

図７

凹面の反射の法則

図８

凸面の反射の法則

（100）
（101）

図８に示す凸面の場合，式（100）は次のようになる。
（102）

文

献

［1］浦崎， 球面収差補正形球面鏡アンテナの設計法 ，信学技報，A・P2009-76（2009-7）．
［2］水沢， 鏡面修整カセグレンアンテナの放射特性に及ぼす副反射鏡放射パターンの効果，，信学論（B），52-B，2（昭 44-02）．
［3］浦崎，牧野，宮原，小林， 異なる鏡面定数の２次曲
面 群 を 用 い た 鏡 面 構 成 法，， ア ン テ ナ 伝 播 研 資，
AP86-87．

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