〈一般研究課題〉

家庭内排熱の有効利用に関する研究

助 成 研 究 者

大同工業大学佐藤義久

家庭内排熱の有効利用に関する研究
佐藤 義久（大同工業大学）

Study on the Output power characteristics ofShape Memory Alloy EngineYoshihisa Sato
(Daido Institute of Technology)
Abstract
It is necessary to use the low temperature thermal energy around 100 degrees C from a viewpoint of
global warming prevention. Even if a shape memory alloy is bent in normal temperature, when it isheated, it has the character which returns to the original straight form. Using this character of a shapememory alloy, unused thermal energy will be able to transform into rotation energy,and finally it canchange into electric energy．The research was done from both sides of theory and an experiment
about the rotation mechanism of the SMA engine，and its output characteristics．The theoreticalformula for calculating predicts the rotation speed(ω) and the output power(P) of the SMA engine,wasdrawn from the size of a SMA belt,Young's modulus,and the radiuses of high- temperature and lowtemperature rings．In addition,we conducted the experiment about rotation speed of SMA engine, andverified the validity of this theory indirectly．

1. はじめに地球環境保全の観点より，未利用熱エネルギの有効活用を図っていく必要がある。形状記憶合金（SMA： Shape Memory Alloy）は変形させても高温に加熱すると元の形状に戻る性質がある。SMAのこの性質を利用し，従来，大気中に捨てられていた家庭内排熱および海・河川などに捨てられていた蒸気タービン排熱を回収する新発電システムの開発を念頭に，SMA エンジンの回転メカニズム，− 81 −

出力特性について研究する。リング状にした SMA ベルトを 2 つの車輪に掛けたプーリ型熱エンジンに関しては既に W.S.Ginellおよび戸伏等によって基礎的な研究がなされている(1) ,(2) ,(3)。著者等は平角線 SMA ベルトを用いたプーリ型 SMA エンジンの回転数，出力を数式で表すことを試みた(4)。本研
究は，これらの研究をさらに発展させ，SMA ベルトの形状・寸法，ヤング率，SMA エンジンの大きさ（高温輪の半径および低温輪の半径）のみから SMA エンジンの回転数 n〔rpm〕，出力 P〔W〕を予測する理論式を導出し，その妥当性を実験により検証することを目的としている。高出力化に適した直径 2mm の丸線 SMA ベルトを用いた実験を，提唱した理論の妥当性を検証した。尚，形状記憶合金熱エンジンはガス給湯器，火力発電所，工場排熱，など数 10 ℃〜数 100 ℃の温度範囲の排熱に適用可能であるが，一般的な Ti-Ni 成分の形状記憶合金の変態温度が 100 ℃程度であること，200 ℃以上の温度領域では熱電素子，また 400 ℃以上では通常の蒸気タービン発電も可能であることより，本研究では対象とする温度領域を 100 ℃程度以下の未利用熱エネルギとした。

2. 研究の背景
従来，SMA エンジンの回転力は SMA ベルトの左右の張力差により発生すると考えられていたが，我々は SMA エンジンの動きを詳細に観察した結果，SMA ベルトが振動しながら回転するード振動モも存在することを発見した(4)。すなわち，SMA ベルトは点 1（t1）で高温輪に接触し熱を受けながら回転し点 2（t2）で高温になり，元のまっすぐな形状に戻ろうとするときの曲げモーメントが作用反作用の原理により，高温輪を蹴り，回転モーメント Mh を発生させる。SMA ベルトは風冷および低温輪で冷却され点 3（t3），点 4（t4）で冷え切る。
著者等の従来の研究(4)では図 1 および図 2 に示す点 3，すなわち SMA ベルトが低温輪に接する点の温度 t3 が自然冷却のため 56〜 62℃であり，図 2 に示すとおり，SMA ベルトのヤング率を E2（40GPa）と仮定するのはやや無理があった。そこで低温輪を強制冷却し，t2>>t1，t3，t4 の条件を満たすようにした。図 2 から明らかなように本研究の実験条件では点 2（t2=89 ℃）のおける SMA ベルトのヤン
グ率は E1（80GPa）であり t1，t3，t4 では E2（40GPa）であるとみなせるので，SMA ベルトのヤング

図1SMA エンジンの基本構成

図2− 82 −SMA ベルトのヤング率−温度の関係

率が点 2（t2）と点 1（t1），点 3（t3），点 4（t4）でステップ的に変化するものとモデル化し，回転数および出力を予測する理論式を求める。回転力の源となるひずみエネルギについては SMA ベルトが高温輪，低温輪に接する点 2，点 3，点 4，点 1 に於いて曲げ，あるいは伸ばされるひずみエネル
ギを SMA エンジンからみたエネルギの放出・吸収という観点から見直し（表 1 参照），このエネルギの単位時間当たりの差が高温輪・低温輪の回転エネルギの増加分と出力および損失に等しいとして，回転角速度ωに関する微分方程式を立て，それを解くことにより，回転角速度ωを理論的に導出する。実験に於いては十分空冷し（点 3 の温度を 50 ℃以下），モデル化した新理論の妥当性を実験的に検証する。

3. SMA エンジンの出力，回転数の理論的予測
3.1 SMA ベルトのエネルギの放出と吸収
SMA ベルトは点 2，点 3，点 4，点 1 の各点に於いてひずみエネルギを放出あるいは吸収するが，これをSMA エンジンの回転エネルギの観点から整理すると以下の通りとなる。
先ず点 2 で SMA ベルトはまっすぐになり，ひずみエネルギを放出する。これが，回転エネルギ源となる。次に点 3 では SMA ベルトは低温輪で曲げられ，ひずみエネルギを貯えるが，SMA エンジンの回転エネルギの観点からは，エネルギの吸収となる。点 4 で SMA ベルトは再びまっすぐに伸ばされ，ひずみエネルギを解放するが，SMA エンジンの出力的には負の仕事になる。つまり，回転エネルギ的にはエネルギの吸収となる。最後に点 1 で SMA ベルトはお湯につかり始めるが，曲げられるとき，ヤング率はまだ E2 であり，SMA ベルトにひずみエネルギを貯えるが，SMA エンジンの回転エネルギ的にはエネルギの吸収となる。

3.2 ひずみエネルギ
各点で SMA ベルトが吸収，放出するひずみエネルギは SMA ベルトの単位体積あたりのひずみエネルギに SMA ベルトが単位時間あたり移動する体積を掛け合わせたものとして求めることができる。
表1SMA ベルトのひずみエネルギー− 83 −

……………………………（1）点 2 における直径 d の丸線 SMA ベルトのひずみε 1 はε 1=d/2r であるから……………………………（2）となる．同様に点 3，点 4，点 1 のひずみエネルギ W3，W4，W1 は表 1 の通りとなる．表 1 には幅b，厚さhの平角線ベルトの場合も合わせて示した。
但し，丸線平角線である。

3.3 理論出力式の見直し
我々が発見した SMA ベルトの振動に起因する回転メカニズムに於いては，SMA ベルトの曲げモーメントの法線成分が回転力になっているのではないかと考え，SMA ベルトの振幅 S と SMAベルトの長さr（図 3 参照）を含む新回転メカニズムを考えた。SMA ベルトは点 1 で高温輪に接触し熱を受けながら回転し，点 2 で高温(SMA ベルトの変態温度)になり元のまっすぐな形状に戻ろうとする．このときの曲げモーメントの法線成分が作用反作用の原理により高温輪を蹴り，回転モーメント Mh を発生させる．SMA ベルトは点 2 で元のまっすぐな形状に戻ろうとするが，ループ状になっているため低温輪側に引き戻される。これを繰り返し，振動しながら回転するのではないかと考えた。

図3

トルク発生メカニズム

図4− 84 −L − Z 回路の過渡解

点 2 における SMA の曲げモーメント M は材料力学より……………………………（3）

但し，E1 はヤング率，I は SMA ベルトの断面 2 次モーメントである．この曲げモーメントの法線方向成分が回転モーメントとなるので，回転モーメント Mh は……………………………………………（4）振幅S は弦長rに比べて十分小さいので，………………………………（5）
したがって…………………………………（6）一方，高温輪，低温輪の回転角速度をω 1 ωとすると r ω 1=R ωであり，出力 P は回転モーメント（回転トルク）と回転角速度の積として求められるので………………………（7）以上よりSMA エンジンの理論出力 Pは下式のとおりとなる。
丸線SMA ベルトの出力……………（8）平角線SMA ベルトの出力……………（9）4

但し，SMA ベルトの断面 2 次モーメント I は丸線の場合： I= π d /64（d:直径），平角線の場合：
3I=bh /12（b:幅，h:厚さ） である。

3.4 回転メカニズムに関する微分方程式
エネルギバランスから SMA エンジンの回転数に関する微分方程式を立て，理論回転数を求める。
発電機の出力端を開放して無負荷状態とし，また無負荷損を無視すると，時間Δ t の間に SMA エンジンが得るエネルギは丸線 SMA ベルトの場合，（W2 − W3 − W4 − W1）Δ tとなり，その値は表1 より，となる。

SMAベルトのひずみエネルギの差 = 高温輪・低温輪の運動エネルギの増加 +（出力 + 損失）であるので，高温輪・低温輪の運動エネルギの増加を求めると− 85 −

出力+ 損失を回転数の 2 乗に比例すると考え，k ω 2 Δ tとし，2 次以上の高次の項を無視すると両辺をωΔ t で割り，Δ t → 0，Δω→ 0 の極限をとると，回転角速度に関する以下の微分方程式が得られる。
……………………………（10）
↓↓

V

↓

=+ Zi

式（10）の微分方程式は，よく知られている L − Z 回路に電圧を印加した場合の過渡方程式と同じ形をしており，諸量の対応関係は以下のとおりである。
⇔V

⇔L

ω

⇔

ik⇔

Z⇔…（11）⇔式（11）において時定数τは SMA ベルトがお湯につかり，温まる時間とみなせる筈であるから，
τ=πr÷ rω1（=R ω）と見なすことができるので，式（11）にτ=πr/R ωを代入すると，ω0 は以下の通りとなる。

以上求めたω 0 は無負荷時の回転角速度であるから，これをω 0= ω max とおく。

……………………………（12）同様にして，平角線 SMA ベルトの場合は以下のとおりとなる。

− 86 −

……………………………（13）

3.5 SMA エンジンの回転数，出力の予測提唱した理論より，SMA エンジンの出力 P，回転角速度ωを式（8），式（12）を用いて求めると図5，図 6 のとおりとなる。尚，図 5 には参考のため平角線の回転角速度も合わせて示した。

図5

理論回転数

図6

理論出力

4. 実験
SMA エンジンの出力 P，回転角速度ω max を予測する理論式を導出したが，その妥当性を検証するために，回転角速度ω max を測定し，間接的ではあるが，導出した理論の妥当性を実験的に検証する。

4.1 実験装置
丸線SMA ベルトを用いた回転数測定用実験装置の概要を図 7 に示す。

図7実験装置概観

図8

回転数の理論値と実験値の比較（r=3.5cm）

回転数は非接触の光学式回転数計（ライン精機株式会社，TM-5010）を用いた。

− 87 −

4.2 実験結果と考察
高温輪の半径 r を r=3.5cm，5cm，10cm とし，低温輪の半径 R を R=7.5cm，10cm，15cm として9 種類の車輪の組み合わせについて回転数測定を行った。実験結果は，図 8，図 9，図 10 に示すとおり，いずれの組み合わせにおいても低温輪の半径が 10cm のとき最大回転数が得られた。高温輪の半径が r=3.5cm の場合，図 8 に示すとおり，理論と実験は非常によく一致し，予想どうり最も高い回転数が得られた．高温輪の半径が r=5cm の場合，図 9 に示すとおり，理論と実験の傾向は非常によく一致しているが実験値の方が理論値より 20 〜 70%高い回転数が得られた。さらに図10 に示すように，高温輪の半径が r=10cm の場合は実験値の方が理論値の 5 倍以上高く，本理論には適用可能な範囲があり，高温輪の半径 r が小さく高回転・高出力の領域では理論と実験が非常によく一致しているが高温輪の半径 r が大きくなるにつれ，理論と実験の乖離が大きくなっていく傾向にある。しかし，SMA エンジンの高出力化，コンパクト化に必要な高温輪の半径が小さい領域で理論と実験は非常によく一致するので本理論の妥当性・有効性は確認できた。

図9

回転数の理論値と実験値の比較（r=5cm）

図 10

回転数の理論値と実験値の比較（r=10cm）

5. まとめ
形状記憶合金熱エンジンを用いた新発電システムの開発，設計製作に向け，形状記憶合金熱エンジンの回転メカニズムを見直し，SMA エンジンの回転角速度，出力を予測する理論式を導出した。
また，導出した理論式の妥当性を検証するための実験を行い，回転角速度について，理論値と実験値の比較検討を行い，間接的ではあるが理論の妥当性を検証した。今後，回転速度ωとトルク T を同時測定し，SMA エンジンの出力 P（= ω T）を直接測定し，理論値と実験値の比較検討を行い，理論の妥当性をさらに厳密に検証する予定である。

謝辞
本研究は財団法人 日比科学技術振興財団の研究助成金を受けて行なわれたものであり，ここに記して同財団に感謝の意を表します．

− 88 −

参考文献(1) W.S.Ginell，J.L.McNichols,Jr.，and J.S.Cory，Nitinol Heat Engines for low-grade thermal energy
conversion，Mech.Eng.Vol.101，No.5，（1979），26-33(2) H.Tobushi，J.R.Cahoon，Mechanical Analysis of a Solar-Powered Solid State Engine，Transactions of the Canadian Society of Mechanical Engineers，Vol.9，No.3，（1985），137-141(3) H.Tobushi，K.Kimura，H.Iwanaga，and J.R.Cahoon，Basic Research on the Output PowerCharacteristic of Shape Memory Alloy Heat Engine（2ndReport），JSME ，SeriesA，Vol.55，No.509，（1989），165-169(4) Y.Sato,N.Yoshida,Y.Tanabe and H.Fujita, Study on the Output Power Characteristic of a ShapeMemory Alloy Engine ,JSME, SeriesB, Vol.72, No.717, (2006-5), 227-233− 89 −