通信工学概論
Introduction to Communication Engineering

第３回講義資料
Lecture notes 3

ベースバンド及び高周波信号１
Baseband and radio-frequency signals 1

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1周波数帯域の効率的利用(Efficient use of frequency bands)
周波数割り当て(Frequency allocation)
用途ごとに使用する周波数帯を規制することで、周波数の効率的な利用を図る。
Usage of frequency bands are regulated for efficient frequency use.

表３.１：主な周波数の割り当て(Table 3.1: Part of frequency allocation)
用途(Usage)

周波数帯(Frequency bands)

第5世代移動通信(5G)Sub 6: 3.6～4.1 GHz、4.5～4.6 GHz、
ミリ波: 27.0～28.2 GHz、29.1～29.5 GHz

Wi-Fi 6 (IEEE 802.11.ax)

2.4～2.5 GHz、5.1～5.7 GHz

効率的な利用に向けて(Toward efficient frequency use)
フーリエ級数に基づく干渉対策では、基本周波数の整数倍のみ利用できる。
Interference management based on the Fourier series allows us to use only integer multiples ofa fundamental frequency.

割り当てられた周波数帯を最大限に利用したい。
Use the allocated frequency bands most efficiently.
2複素フーリエ級数(Complex Fourier series)∞

𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇 𝑘𝑘=−∞ は、区間[−𝑇𝑇/2, 𝑇𝑇/2]上の二乗可積分関数𝑔𝑔の空間に対する直交基底関数である。
∞

𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡/𝑇𝑇 𝑘𝑘=−∞ are orthogonal basis functions for the space of square-integrable functions 𝑔𝑔
on the interval −𝑇𝑇/2, 𝑇𝑇/2 .

∞𝑔𝑔 𝑡𝑡 = � 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇 ,証明(Proof)

𝑘𝑘=−∞

1 𝑇𝑇/2𝑐𝑐𝑘𝑘 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
𝑇𝑇 −𝑇𝑇/2

複素フーリエ級数は実フーリエ級数と等価であることを示す。

The complex Fourier series is equivalent to the real Fourier series.

実フーリエ級数(Real Fourier series)∞

𝑎𝑎02𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡+ 𝑏𝑏𝑘𝑘 sin+ � 𝑎𝑎𝑘𝑘 cos
𝑔𝑔 𝑡𝑡 =𝑇𝑇𝑇𝑇2𝑘𝑘=12 𝑇𝑇/22𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑 ,𝑎𝑎𝑘𝑘 = �𝑔𝑔 𝑡𝑡 cos
𝑇𝑇 −𝑇𝑇/2𝑇𝑇,

2 𝑇𝑇/2
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑 .
𝑏𝑏𝑘𝑘 = �𝑔𝑔 𝑡𝑡 sin
𝑇𝑇 −𝑇𝑇/2𝑇𝑇3

複素フーリエ級数の導出(Derivation of the complex Fourier series)
𝑐𝑐𝑘𝑘 = 𝑎𝑎𝑘𝑘 − 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑘𝑘 /2とおく。(Let 𝑐𝑐𝑘𝑘 = (𝑎𝑎𝑘𝑘 − 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑘𝑘 )/2.)

1 𝑇𝑇/2
𝑐𝑐𝑘𝑘 = �𝑔𝑔 𝑡𝑡
𝑇𝑇 −𝑇𝑇/2

2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡− 𝑗𝑗 sincos𝑇𝑇𝑇𝑇

1 𝑇𝑇/2
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
𝑇𝑇 𝑇𝑇/2

実フーリエ級数にcos 𝜃𝜃 = (𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 )/2とsin 𝜃𝜃 = (𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 )/(𝑗𝑗𝑗)を代入する。
Substitute cos 𝜃𝜃 = (𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 )/2 and sin 𝜃𝜃 = (𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 )/(𝑗𝑗𝑗) into the real Fourier series.
∞
𝑎𝑎0
𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡/𝑇𝑇 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡/𝑇𝑇𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡/𝑇𝑇 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡/𝑇𝑇+ � 𝑎𝑎𝑘𝑘
+ 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑡𝑡 =

2𝑘𝑘=1∞

2𝑗𝑗𝑗−∞

𝑎𝑎0
𝑎𝑎𝑘𝑘 − 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇
𝑎𝑎−𝑘𝑘 + 𝑗𝑗𝑏𝑏−𝑘𝑘 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇+�𝑒𝑒𝑒𝑒=+ �
222∞

𝑘𝑘=1

= � 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇 .
𝑘𝑘=−∞∵𝑘𝑘=−1

𝑏𝑏0 = 0,𝑎𝑎−𝑘𝑘 = 𝑎𝑎𝑘𝑘 ,𝑏𝑏−𝑘𝑘 = −𝑏𝑏𝑘𝑘 .
∎4

フーリエ変換(Fourier transform)
無限区間(−∞, ∞)上の絶対可積分関数𝑔𝑔に対して、

For any absolutely integrable function 𝑔𝑔 on the infinite interval (−∞, ∞),∞𝐺𝐺 𝑓𝑓 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,−∞直観的な導出(Intuitive derivation)∞

𝑔𝑔 𝑡𝑡 = � 𝐺𝐺 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
−∞複素フーリエ級数において𝑓𝑓 = 𝑘𝑘/𝑇𝑇とおき、極限𝑇𝑇 → ∞を取る。
Let 𝑓𝑓 = 𝑘𝑘/𝑇𝑇 in the complex Fourier series and take the limit 𝑇𝑇 → ∞.

𝑇𝑇𝑐𝑐𝑘𝑘 = �𝑇𝑇/2

𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 → 𝐺𝐺 𝑓𝑓 .

−𝑇𝑇/2∞∞1
� 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑘𝑘𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑇𝑇 → � 𝐺𝐺 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
𝑔𝑔 𝑡𝑡 =𝑇𝑇−∞𝑘𝑘=−∞

∵ リーマン積分の定義より(Due to the definition of the Riemann integral.)5フーリエ変換の意味(Meaning of the Fourier transform)
複素フーリエ級数(Complex Fourier series)∞

𝑔𝑔 𝑡𝑡 = � 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑇𝑇𝑘𝑘=−∞|𝑐𝑐𝑘𝑘 |は、𝑔𝑔(𝑡𝑡)に含まれる周波数𝑓𝑓 = 𝑘𝑘/𝑇𝑇の信号成分の強度を表す。

𝑐𝑐𝑘𝑘 represents the magnitude of the signal component at frequency 𝑓𝑓 = 𝑘𝑘/𝑇𝑇 included in 𝑔𝑔(𝑡𝑡).

𝑔𝑔(𝑡𝑡)が有限区間上の関数の場合、周波数成分は離散的。

The frequency components are discrete when 𝑔𝑔(𝑡𝑡) is a function on a finite interval.

逆フーリエ変換(Inverse Fourier transform)∞𝑔𝑔 𝑡𝑡 = � 𝐺𝐺 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑−∞

|𝐺𝐺 𝑓𝑓 |は、 𝑔𝑔(𝑡𝑡)に含まれる周波数𝑓𝑓の信号成分の強度を表す。

𝐺𝐺(𝑓𝑓) represents the magnitude of the signal component at frequency 𝑓𝑓 included in 𝑔𝑔(𝑡𝑡).

𝑔𝑔(𝑡𝑡)が無限区間上の関数の場合、周波数成分は連続的。

The frequency components are continuous when 𝑔𝑔(𝑡𝑡) is a function on an infinite interval.

6偶関数と奇関数(Even and odd functions)
偶関数(Even function)
実関数𝑔𝑔は、次を満たすとき、偶関数と呼ばれる。
A real function 𝑔𝑔 is called an even function if the following is satisfied:

偶関数の性質(Property of even functions)𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑎𝑎𝑔𝑔 −𝑥𝑥 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑎𝑎� 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑔𝑔 −𝑥𝑥 ′ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑎𝑎0𝑎𝑎= 2 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 .

奇関数(Odd function)−𝑎𝑎00∵ 𝑔𝑔 −𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥

実関数𝑔𝑔は、次を満たすとき、奇関数と呼ばれる。
A real function 𝑔𝑔 is called an odd function if the following is satisfied:

奇関数の性質(Property of odd functions)
𝑎𝑎

𝑎𝑎

𝑎𝑎

𝑎𝑎0𝑔𝑔 −𝑥𝑥 = −𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑎𝑎� 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑔𝑔 −𝑥𝑥 ′ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ′ 𝑑𝑑𝑥𝑥 ′ = 0.
−𝑎𝑎

00007

フーリエ変換の計算(Computation of the Fourier transform)
例３.１(Example 3.1) 以下の関数𝐻𝐻(𝑓𝑓)の逆フーリエ変換ℎ(𝑡𝑡)を計算せよ。
Compute the inverse Fourier transform ℎ(𝑡𝑡) of the following function 𝐻𝐻(𝑓𝑓):

解答
Answer

𝐻𝐻 𝑓𝑓 = �∞

1/𝑊𝑊0for 𝑓𝑓 ≤ 𝑊𝑊/2,
otherwise.

𝑊𝑊/21ℎ 𝑡𝑡 = � 𝐻𝐻 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑓𝑓 = �
𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑊𝑊 −𝑊𝑊/2−∞

1 𝑊𝑊/2
𝑗𝑗 𝑊𝑊/2
2 𝑊𝑊/2= �cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 + �sin(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
𝑊𝑊 −𝑊𝑊/2
𝑊𝑊 −𝑊𝑊/2
𝑊𝑊 0
赤色の等号の導出で、cos −𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃とsin −𝜃𝜃 = − sin 𝜃𝜃を使った。
In the derivation of the red equality, we have used cos −𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃 and sin −𝜃𝜃 = − sin 𝜃𝜃.

2 𝑊𝑊/2ℎ 0 = �𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 ≡ sinc(0).
𝑊𝑊 0𝑡𝑡 ≠ 0の場合、For 𝑡𝑡 ≠ 0,sin 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ(𝑡𝑡) =𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑊𝑊/20sin(𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)≡ sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊).
=𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋8sinc関数(sinc function)
時間領域表現Time-domain representation

周波数領域表現

sin 𝜋𝜋𝜋𝜋,sinc 𝑡𝑡 =𝜋𝜋𝜋𝜋Frequency-domain representation∞

sinc 0 = 1.

� sinc 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �−∞ナイキスト条件

任意の整数𝑛𝑛に対して、Nyquist criterion

For any integer 𝑛𝑛,

10sinc 𝑛𝑛 = �

1 for 𝑓𝑓 ≤ 1/2,0 otherwise.

for 𝑛𝑛 = 0,
for 𝑛𝑛 ≠ 0.

∵ 定義よりsinc 0 = 1。𝑛𝑛 ≠ 0に対して、We have sinc 0 = 1 due to the definition. For 𝑛𝑛 ≠ 0,

sinc 𝑛𝑛 =sin(𝜋𝜋𝜋𝜋)
= 0.
𝜋𝜋𝜋𝜋∎
9sinc(𝑡𝑡)sinc(𝑥𝑥)の関数形(Graw sinc(𝑥𝑥))𝑡𝑡10フーリエ変換の性質(Properties of the Fourier transform)
実関数のフーリエ変換(The Fourier transform of real functions)𝑔𝑔(𝑡𝑡)が実関数の場合、
For a real function 𝑔𝑔(𝑡𝑡),∞∞

𝐺𝐺 𝑓𝑓 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐺𝐺 −𝑓𝑓 .
−∞−∞非負の周波数𝑓𝑓 ≥ 0に対するフーリエ変換𝐺𝐺(𝑓𝑓) は、時間領域における実信号𝑔𝑔(𝑡𝑡)に関する全情報を含んでいる。

The Fourier transform 𝐺𝐺(𝑓𝑓) for non-negative 𝑓𝑓 ≥ 0 contains all information on the original real
signal 𝑔𝑔(𝑡𝑡) in time domain.

注意(Remark)𝑔𝑔(𝑡𝑡)は複素関数

𝐺𝐺(𝑓𝑓) ≠ 𝐺𝐺(−𝑓𝑓)𝑔𝑔(𝑡𝑡) is a complex function

ベースバンド信号は一般に複素関数である。
Baseband signals are complex functions in general.

周波数のシフト 𝑔𝑔0 (𝑡𝑡)のフーリエ変換を𝐺𝐺0 (𝑓𝑓)とする。𝑔𝑔 𝑡𝑡 = 𝑔𝑔0 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝑡𝑡 のフーリエ変換𝐺𝐺(𝑓𝑓)は以下を満たす。
Frequency shift
Let 𝐺𝐺0 (𝑓𝑓) denote the Fourier transform of 𝑔𝑔0 (𝑡𝑡). The Fourier transform 𝐺𝐺(𝑓𝑓) of𝑔𝑔 𝑡𝑡 = 𝑔𝑔0 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝑡𝑡 satisfies∞∞𝐺𝐺 𝑓𝑓 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔0 (𝑡𝑡) 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑓𝑓−𝑓𝑓c 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐺𝐺0 𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c .
−∞

−∞

11

畳み込み(Convolution)
フーリエ変換(Fourier transform)∞

𝐺𝐺 𝑓𝑓 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,−∞畳み込み(Convolution)∞

𝑔𝑔 𝑡𝑡 = � 𝐺𝐺 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
−∞二つの関数𝑥𝑥(𝑡𝑡)と𝑦𝑦(𝑡𝑡)に対して、以下の演算を畳み込みと呼ぶ。
For two functions 𝑥𝑥(𝑡𝑡) and 𝑦𝑦(𝑡𝑡), the following operation is called convolution.

∞𝑥𝑥 ∗ 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = � 𝑥𝑥 𝜏𝜏 𝑦𝑦 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
−∞畳み込みのフーリエ変換(Fourier transform of the convolution)
畳み込み𝑧𝑧 𝑡𝑡 = (𝑥𝑥 ∗ 𝑦𝑦)(𝑡𝑡)のフーリエ変換𝑍𝑍(𝑓𝑓)は、𝑥𝑥(𝑡𝑡)と𝑦𝑦(𝑡𝑡)それぞれのフーリエ変換𝑋𝑋(𝑓𝑓)と𝑌𝑌(𝑓𝑓)の積に等しい。
The Fourier transform 𝑍𝑍(𝑓𝑓) of the convolution 𝑧𝑧 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 ∗ 𝑦𝑦 𝑡𝑡 is the product of the Fouriertransforms 𝑋𝑋(𝑓𝑓) and 𝑌𝑌(𝑓𝑓) of 𝑥𝑥(𝑡𝑡) and 𝑦𝑦(𝑡𝑡), respectively.

𝑍𝑍 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋 𝑓𝑓 𝑌𝑌 𝑓𝑓 .

12

証明(Proof)
フーリエ変換𝑍𝑍(𝑓𝑓)を計算し、重積分の順序を入れ替える。
Evaluate the Fourier transform 𝑍𝑍(𝑓𝑓) and switch the order of integration in the double integral.

𝑍𝑍 𝑓𝑓 = �∞

−∞=�∞

−∞∞

� 𝑥𝑥 𝜏𝜏 𝑦𝑦 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑−∞∞𝑥𝑥(𝜏𝜏) � 𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
−∞𝑡𝑡に関する積分で、𝑡𝑡 ′ = 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏と変数変換する。

Use the change of variables 𝑡𝑡 ′ = 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 in the integration with respect to 𝑡𝑡.

∞∞′� 𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑡𝑡 = � 𝑦𝑦 𝑡𝑡 ′ 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑡𝑡 +𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑌𝑌 𝑓𝑓 .
−∞したがって、(Thus,)∞−∞

𝑍𝑍 𝑓𝑓 = � 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑌𝑌(𝑓𝑓) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑋𝑋 𝑓𝑓 𝑌𝑌 𝑓𝑓 .
−∞∎13

演習(Exercises)
以下の関数𝑔𝑔(𝑡𝑡)のフーリエ変換𝐺𝐺(𝑓𝑓)を求めよ。
Evaluate the Fourier transform 𝐺𝐺(𝑓𝑓) of the following function 𝑔𝑔(𝑡𝑡):𝑔𝑔 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 −|𝑡𝑡|14