●講座

図学と折り紙（ 6 ）Graphic Science and Origami（ 6 ）三谷 純

Jun MITANI

1. はじめに

これまでには，平坦に折りたたむことで作られる形に本講座のタイトルは「図学と折り紙」であることか関する研究が広く行われてきました．第 3 回で紹介したら，これまでは折り紙の図的，幾何学的な内容を主に取ような，目的の形を木構造で表現し，各枝の長さを半径り扱ってきました．しかし，折り紙の研究には，その文とする円領域を敷き詰めることで展開図を設計するアプ化歴史の研究から，教育での活用，そして産業応用まローチが，目黒俊幸と Robert J. Lang によって考案，研で，幅広い対象があります．最終回となる今回は，この究され，またボックスプリーツという矩形の折り領域折り紙の研究について，国内外では現在どのようなものの組み合わせ用いた設計技法などが，体系化されていが研究テーマとなっているかを紹介したいと思います．

ます ［ 5 ］．立体的な折り紙についても，簡単なものであ

筆者のアンテナがカバーする範囲の制約から，主に理工れば本講座の第 4 回で示したように，鏡映変換を基本と学系の内容になりますが，折り紙に関係する分野は幅広することで，対話的な形状設計が可能になっています．

いので，読者の皆さんの関心と重なる領域が，きっと見剛体折り紙つかることでしょう．

「多角形の剛板がヒンジで連結されたモデル」に置き

2. 折り紙に関するさまざまな研究分野

換えても，折りたたむことが可能な折り紙を剛体折り紙

以降で紹介するように，折り紙に関する研究は数学・と呼びます．折り紙作品の多くは，紙がしなやかに変形工学・生物学を含むさまざまな分野で行われています．

することを利用した折りたたみ工程が含まれ，剛体折り折り紙に関係する研究の多くは，これまでに開催された紙でないことがほとんどです．一方で，剛体折り紙とし折り紙の国際会議（OSME）で発表されており，それらて知られるミウラ折りの構造は自由度が 1 であるため，の研究論文は第 3 回以降，書籍の形でまとめられていま1 か所を固定し，もう 1 か所を把持して動かすことで，す．それ以前の古い論文は入手が困難なものも多いです

全体の開閉を行えるという特徴があります．剛体折り可が，現在も文献［ 1 - 3 ］は通常の書籍として購入可能

能な構造は，実際に工業製品や建築物を作る上で重要にです．興味を持たれた方は，是非それらをご覧くださなるため，剛体折り紙で意図した形を実現することは実い．以降では，折り紙に関する研究を筆者なりにいくつ用上大切なテーマです．剛体折り紙に関しては，意図しかのテーマに分けて，その概要を紹介します．

た形の設計，与えられた展開図が剛体折り可能であるか折り紙の設計技法どうかの判定，折りによる変形のアニメーション生成な紙を折っていたら，なにかの動物のような形になっど， 関 連 す る 研 究 テ ー マ は 多 く あ り ま す． 特 に 文 献た．というようなアプローチで，折り紙作品が生まれる［ 6 ］では，この剛体折りについて詳しく説明されていことがあります．このような「見立て」による創作も盛ます．

んにおこなわれますが，あらかじめ想定した形を 1 枚の曲線折り・曲面折り紙

紙を折るだけで作り上げるにはどのようしたらよいか，紙はしなやかに曲げることができるので，曲線・曲面という問題を考えるのが折り紙設計です．前川淳によるを含む形も表現できます．曲面から構成される折り紙作［4］

作品「悪魔」（1989）

が折り紙設計の時代を拓いたと品が，数学者の David Huffman 氏によって数多く作られ評されています．折り紙の設計技法は，これまでの連載ました［ 7 ］．一方で，その設計技法については，可展面で主に取り上げてきたものであり，筆者が最も興味をに鏡映変換を施す以外の方法は，あまり考案されていま持っているテーマの 1 つでもあります．折り紙設計につせん．鏡映変換で作り出される折り線は平面曲線に限定いて考えるには，そもそも 1 枚の紙から作り出される形され，空間曲線での折りを含む形の設計は未だ難しい問は，どのような条件を満たしていなければならないか，

題です．その解決方法として，平面四角形の集合で離散ということを考える必要があり，折り紙の幾何に関する化し，最適化によって曲線折りを近似表現するアプロー知識が求められます．

チも取られています［ 8 ］．同心円状に配置した折り線を図学研究 第47巻 4 号（通巻141号）平成25年12月

19山谷交互に折ると，素材が発生させる応力とのバランスデル化するのは，厚さをゼロとみなす理想的な折り紙ので，複雑に曲がった立体ができあがりますが，この形状問題よりはるかに難しい問題です．剛体折り紙の制作のが数学的にどのように表されるのかも明らかになっていために，干渉する場所を取り除いたり，基準となる面に［9］ません．このように，空間曲線での折りに関して対して裏と表の両方から傾斜を持つ部材を組み合わせては，まだ研究の余地が大いにあります．図 1 は，曲面を対処する手法も考案されています［11］．布や革など，厚含む折り紙として，筆者がデザインした最近の折り紙作さのある柔軟素材を対象とした，対話的な折りのシミュ品です．

レーションも研究されています［12］．

ロボットによる折り紙
紙を折ることで作り出される製品が設計された場合，効率的な製造のためにはロボットによる折り工程の自動化が望まれます．紙をロボットで折ることは難しい問題
で，まだまだ課題が多い分野です．これまでに，吸盤と薄板を用いた折りロボット［13］や，複数のリンク機構を図1

平坦ねじり折りパターンを基にデザインした，曲線折りを含む折り紙持つロボットアームの開発事例［14］があります．また，マニピュレータの開発において，その「器用さ」を示すパフォーマンスとして，折り紙をすることも行われてい計算折り紙（Computational Origami）
折り紙に関する諸問題を，コンピュータを使って解決ますが，ロボットが自分で「鶴」を折れるようになるのは，まだ当分先のことだろうと思われます．

しようという試み全般を指して Computational Origami と一方で，折り紙の仕組みを積極的にロボットの機構に呼びます．折り紙の設計技法が体系化された1990年代ご組み込んでいくことを目的とした研究も多く行われ，ろから普及してきた分野です．特定の課題があるわけでOribotics という言葉も生まれています［15］．

はなく，近年では，折り紙の設計や，折りのシミュレー

生物との関係ション，対話的な折り紙デザインなど，コンピュータが昆虫が羽化するときには，小さく折りたたまれた羽根折り紙のさまざまな分野の研究に活用されるようになっが驚くほど大きく広がります．また，植物のツボミが開てきています．対話的な操作で紙の折り操作をコン花する時も同様です．その仕組みを解明するために，折ピュータ上でシミュレートできるようにした研究としてり紙の知識が役立ちます．

は，Miyazaki らの研究［10］が，もっとも古いものと言えるでしょう．

また，これとは逆に，生物がどのように広い膜を小さなスペースに格納しているかを学ぶことで，それを折りコンピュータを積極的に用いることで，折り紙設計や紙の分野に活用することも考えられます．たとえば，トシミュレーションを効率化，高精度化でき，新規分野のンボは羽化の時にどのように羽を開くかの研究が，大き開拓に役立ちます．これまで手作業では設計できなかっな幕の巻取りや展開の技術へ応用されたりしました．こた形の創造に貢献するようになってきています．折り紙のようなバイオミミクリーの発想を折り紙分野に適用すの数理と，アルゴリズムやデータ構造，ユーザインタることも研究されています［16］．

フェースなどを組み合わせることで，折り紙に関する研折り紙と数学究がますます推進されると予想されます．

厚みのある素材での折り紙

紙を折る操作は，幾何学に密接な関係があり，古くから数学の分野で折り紙の研究が行われてきました．本連

折り紙の技術を工業製品に応用するためには，素材の載の第 2 回で紹介した，山谷の折り線が平坦に折りたた

厚さを無視できません．厚さのある素材は厳密には平坦めるための条件（前川定理・川崎定理）など，数学的なに折りたためないため， 2 次元平面の問題が 3 次元物体

知見が折り紙の設計に，ふんだんに活用されています．の問題になります．折り線の扱い，折り線が交差する点設計以外にも，折り操作で 3 次方程式を解く，角の三等は，厚みによる干渉が発生するため，その扱いには工夫分をする，正多角形を折り出す（10角形まではすべて折が必要になります．場合によっては素材の伸縮，折り曲れる）など，折り紙を使って数学的な問題を解くというげ箇所でのひずみや皺の発生などを考慮する必要があことも行われています．また，例えば「折り線が与えらり，厚みのある素材を折ることによる造形をしっかりモれたときに，それを平坦に折りたたむことはできるか否20

Journal of Graphic Science of Japan Vol. 47 No. 4 /Issue no. 141 December 2013

か判定せよ」という問題や「妥当な紙の重なり順を列挙んあります．展開図から，折った後の形や，折り手順，せよ」というような問題が与えられたときに，その解を折り方を説明するためのアニメーションの生成などを行得るのにどの程度の計算量が必要か，など折り紙に関すう研究，ユニット折りやテセレーションと呼ばれる，折る諸問題の計算量を求める研究も盛んにおこなわれていり紙の特定分野についての設計技法に関する研究もあります．これらの問題を幅広く紹介したものとして文献

ます．ステントの折りたたみなど，医療への応用，折り［17］があります．

方の認知に関する研究，などなど，この他にもまだまだ折り紙と教育ありそうです．そもそも「折り紙」の定義が多種多様で折り紙を通して，角の二等分や，三角形の性質を学ぶあるため，「平坦なものを折る」という操作が含まれるなど，簡単な初等数学の教育に活用することが試みられものは，なんでも折り紙の研究と行ってしまって構わなています．例えば，鶴の展開図から，直角三角形，角のいようにも見えます．折り紙の研究は，異分野の研究が二等分線と三角形の内心などの幾何の学習を行うことが混じり合う，稀有な研究対象と言えるでしょう．

できます．実際に手を動かして形を作ることが，子供た

4. 折り紙についてさらに学ぶためにちの興味と集中力を引き出すことにつながるのでしょ

最後に，折り紙についてさらに学ぶためのヒントを紹う．折り紙に適した学習テーマを見つけることができれ介します．

ば，教育にも有効に貢献できるものと思われます．「折折り紙作品を鑑賞するり紙」と「数学」をキーワードに検索すれば，たくさん折り紙について学ぶ第一歩は折り紙作品を実際に自分の書籍が見つかります．の目で見ることでしょう．そして，実際に折ってみるこ折り紙の産業応用とです． 最近の折り紙技術の進歩は目覚ましいものが素材を紙に限定しなければ，「折り」の技術は産業にあり，驚くほど精巧で，かつ芸術的な作品が世界中で作大きく寄与しています．人工衛星の太陽電池パネルの折られています．東京都文京区には「折紙会館」と「おりりたたみや，飲料缶の表面への凹凸の付加などが，よくがみはうす」があり，折り紙作品が多数展示されていま取り上げられますが，身近なところでは，菓子箱や紙す．都内に赴くことが難しい場合はインターネット上で袋，夏場に活躍する扇子やパラソルなども折りの技術のもさまざまな作品の写真を見ることができます．最近で応用とみることができます．最近では，折りたたみ可能は，写真共有サイトであるFlickr（http://www.flickr.com/）なカヤックが登場しました．一方で，最新の折り技術を上で折り紙作品を公開している方が多く，少し覗いてみ応用した，新しい工業製品が次々に登場するかというると膨大な数の折り紙の写真が見つかります．海外からと，なかなかそうでもありません．その理由の 1 つに，の投稿が多く，「origami」をキーワードに検索すると，「折って作る」ということが大量生産を難しくしている

いくら時間があっても見きれないほどの件数がヒットしことがあります．複雑な折りが必要な形の容器は，射出ます．ある程度ターゲットを絞るためには，origami に成型で作ってしまう方が効率的です．また， 1 枚の素材関するグループを検索するといいでしょう．たとえば，を折ることによる利点として，気密性を維持できること

Origami Tessellations，Computer Aided Origami，Curvedがありますが，それを気にしないのであれば，無理に 1

Fold，Origami Boxes，のように，特定の分野に特化した枚の素材を折ることにこだわる必要はありません．産業

折り紙に関するグループを見つけることができます．

利用を考えた場合は，ニーズとコストのバランスが重要

最新の情報を収集するであり，製造工程まで考慮した製品設計が必要となる点が，まだまだ難しい問題として残っています．

新しい情報を得るには研究会に参加するのが一番でしょう．本学会でも折り紙に関する研究がこれまでに発小さくたたむ以外にも，素材の強度を調整する目的で表されてきましたが，折り紙に特化した研究会として「折り」が使用されることもあります．飲料缶の表面のは，年に 2 回，日本折紙学会が主催する折り紙の科学・凹凸は強度を増すためのものであり，車体のサイドメン数学・教育研究集会があります．折り紙だけを研究をしバに折り構造を加えることで，効率的に衝突エネルギーている人はあまりいませんので，参加する方々のバックを吸収できるようにする研究や，板材の軽量化など，材グランドは様々です．大学に籍をおいている人よりも，料面での応用も検討されています．

そうでない人の方が多いのも特徴で，老若男女，多様なその他分野の方々集まります．毎回10件前後の発表があり，参これまでの分類にうまくあてはまらない研究もたくさ

加者は30名程度といった小規模なものですが，最近の折図学研究 第47巻 4 号（通巻141号）平成25年12月

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り紙の話題を共有できる楽しい研究会です．Web ページ
は http://origami.gr.jp/OSME/ です．
日本応用数理学会の中に折紙工学研究部会があり，主に折りの技術を工学的に活用する研究が発表されます．
もう少し気軽な折り紙イベントとして，折り紙のコンベンションや講習会に参加するのも選択肢の 1 つです．日
本を代表する折り紙作家や研究者，気鋭の若手愛好家たちに会うことができます．

折り紙の国際会議
折り紙は日本だけでなく世界中で多くの研究者に関心を持たれています．図学国際会議（ICGG）や，国際図学 会（ISGG） が 発 行 す る 論 文 誌 Journal for Geometry
and Graphics でも，折り紙の研究が多数発表されています．International Meeting of Origami Science, Mathematics［ 3 ］ Patsy Wang-Iverson（編）, Robert J. Lang（編）, MarkYIM（編）, “Origami 5 : Fifth International Meeting ofOrigami Science, Mathematics, and Education”, A K
Peters/CRC Press, 2011
［ 4 ］ 前川 淳, 笠原 邦彦, “ビバ!おりがみ”, サンリオ（1989）［ 5 ］ Robert J. Lang, “Origami Design Secrets: Mathematical
Methods for an Ancient Art”, Second Edition, A K Peters/
CRC Press, 2011.
［ 6 ］ 野島 武敏（編）, 萩原 一郎（編）, “折紙の数理とその応用”, 共立出版, 第 5 章, 2012.
［ 7 ］ Cones, curves, shells, towers: He made paper jump to life.
The New York Times, June 22（2004）［ 8 ］ Martin Kilian, Simon Flöry, Zhonggui Chen, Niloy J.
Mitra, Alla Sheffer, Helmut Pottmann, Curved folding,
ACM Transactions on Graphics, 27（ 3 ）, Artcile No.75（2008）and Education（OSME）という，折り紙に特化した国際［ 9 ］ Koschitz, D., Demaine, E., Demaine, M.: Curved crease

会議があり，これは1989 年にイタリアで開催されて以origami, In Abstracts from Advances in Architectural

来， 4 - 6 年毎に開催されています．これまでに 5 回，イタリア（1989），日本（1994），アメリカ（2001），アメリカ（2006），シンガポール（2010）の順番で開催されてきました．第 6 回目にあたる次回は，2014年 8 月10日 ~13日に東京大学で開催されることが決まっています．20年ぶりの日本での開催です．Web ページは http://origami.gr.jp/ 6 osme/ です．

4. おわりに図学と折り紙に関する連載講座も，第 6 回となる今回で，最終回となりました．これまでの連載を通して，「なるほど，折り紙もなかなか奥が深そうだ」と感じて

Geometry, pp.29–32（2008）［10］ Miyazaki, S.Y., Yasuda, T., Yokoi, S. and Toriwaki, J. I. “Anorigami playing simulator in the virtual space”, Journal ofVisualization and Computer Animation, 7 （ 1 ）: 25-42,
1996［11］ Tomohiro Tachi, “Rigid-Foldable Thick Origami”, in Proc.
of 5 OSME, 2010.
［12］ Lifeng Zhu, Takeo Igarashi, and Jun Mitani, “SoftFolding”, The 21 st Pacific Conference on ComputerGraphics and Applications, 32（ 7 ）, 2013［13］ Devin J. Balkcom, Matthew T. Mason: Robotic origami
folding. International Journal of Robotics Research 27（ 5 ）:613-627（2008）

いただけたなら幸いです．紙を折るだけのことでありな［14］ 大島裕貴,木原康之,横小路泰義,“直接教示の容易性と高がら，折り紙の世界は奥深く，研究としても面白い対象難易度の折り紙作品の実現を考慮したロボットハンドです．ORIGAMI という言葉は，世界中で使われる言葉となりましたが，海外でも活発に研究が行われ，今や日本が最先端だとは言い難い状況にあります．本連載によって，折り紙に関する研究に興味を持たれた方がいらっしゃれば，望外の喜びです．の設計”,第12回システムインテグレーション部門講演会,2011［15］ Matthew Gardiner, “Oribotics by Matthew Gardiner”,
http://www.oribotics.net/［16］ 野島 武敏（編）, 萩原 一郎（編）, “折紙の数理とその応用”, 共立出版, 第 6 章, 2012.

最後になりましたが， 1 年半にわたり，ご支援をいた［17］ Erik D. Demaine, Joseph O’Rourke, 上原 隆平（訳）, 幾

だきました日本図学会編集委員の皆様に感謝申し上げま

何的な折りアルゴリズム―リンケージ，折り紙，多面す．

参考文献［ 1 ］ Thomas Hull, 川崎 敏和（訳）, “折り紙の数理と科学”,
森北出版, 2005
［ 2 ］ Robert J. Lang（編）, “Origami 4 ”, A K Peters/CRC Press,
2009

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Journal of Graphic Science of Japan Vol. 47 No. 4 /Issue no. 141 December 2013

体, 近代科学社, 2009.

●2013年10月15日受付
みたに じゅん
筑波大学大学院システム情報系 准教授
2004年,東京大学大学院工学系研究科精密機械工学専攻博士課程 修了.博士（工学）.2011年より現職.CG,形状モデリングに関する研究に従事.
mitani@cs.tsukuba.ac.jp