〈一般研究課題〉 機械構造物の結合部に着目した減衰特性制御技術の開発
助 成 研 究 者

豊橋技術科学大学

松原真己

機械構造物の結合部に着目した減衰特性制御技術の開発
松原 真己（豊橋技術科学大学）

Development of damping characteristics control ofmechanical structure focused on joints
Masami MATSUBARA(Toyohashi University of Technology)

Abstract：
Generally, a mechanical structure such as an automobile is a combination of several parts, and a
joint portion exists between the parts. Dynamic characteristics including resonance frequency,
vibration shape, and damping characteristics related to vibration and noise of the mechanicalstructure greatly change by this joint. Among them, the damping characteristics is important for
reduction of noise and vibration. However, it is difficult to model the joint because of complex.
Therefore, there were many studies about vibration analysis including joint models. Many of theseresearches model joints in already designed states in detail, predicting damping characteristics, andthere is no research on the subject of controlling the damping characteristics by the design of theposition of the joints. In this study, for the purpose of controlling the damping characteristics, theattenuation (structural damping) of the base metal itself and the contribution of the friction
damping at the coupling part are separated with respect to the damping characteristic of thestructure having the coupling part. Furthermore, the relationship between design factors anddamping characteristics is clarified. As a specific example of a structure having a coupling portion,a two-piece laminated plate having a bolt connection is used. The energy dissipation mechanism of
the joint is generally thought to be due to friction. Therefore, the dissipated energy due to friction
and structural damping at the interface of the plate is calculated, and the contribution of each－ 153 －

dissipated energy to the attenuation characteristic is analyzed.
１．はじめに振動・騒音の発生は不快感や人体へ悪影響を与える場合があるため、適切に振動を抑えることは重要である。一般に自動車などの機械構造物はいくつかの部品が組み合わされた物であり、部品間において結合部が存在する。この結合部によって、機械構造物の振動・騒音に関わる動的特性（共振周波数、振動形状、減衰特性）は大きく変化する(1)。中でも減衰特性は振動や騒音を抑え込む特性として重要である。効率よく機械設計を行うためには結合部のモデル化が重要となるが、特に減衰特性については結合部界面に発生する摩擦のモデル化が難しく、多くの研究が進められている(2) -(4)。これらの研究の多くは、既に設計された状態の結合部を詳細にモデル化し、減衰特性を予測するものが多く、結合部の位置等の設計によって減衰特性を制御する主旨の研究はない。そこで本研究では減衰特性を制御することを目的として、結合部を有する構造物の減衰特性に対して、母
材自身が持つ減衰（構造減衰）と結合部における摩擦減衰の寄与度を分析し、設計因子と減衰特性の関係を明らかにする。そこで結合部を有する構造物の具体例としてボルト結合を有する二枚合わせ板を用いる。例えば大型の工作機械では鋼板を二枚合わせてボルトやスポット溶接で結合すること
で減衰特性向上が図るといった取り組みがなされており、先行研究においても対象とされている基
本的な構造物である(3)(5)。このような結合部のエネルギー散逸機構は一般に摩擦によるものと考えられている。そこで，板の界面における摩擦および構造減衰による散逸エネルギーを算出して各々の散逸エネルギーの減衰特性に対する寄与度を分析する。さらに設計因子として有力と考えられる
ボルト間隔と摩擦による散逸エネルギーの寄与度の関係を調査する。この研究成果により、設計初期段階において結合部が機械構造物に与える影響を考慮して、動的特性を設計することができる。
特に、人の近くで使用される機械構造物の設計に活かすことで快適な空間創成に寄与することができる。
2．2枚合わせ板の振動特性評価
2.1 実験方法
ステンレス鋼板（SUS304）のフラットバーに貫通穴を加工した2枚の板を準備し、その2枚をボルトによって締結したものを2枚合わせ板（図1）とする。貫通穴を100mm等配で4箇所設けている。
図2に実験概略図を示す。2枚合わせ板の境界条件は両端固定支持、両端自由支持とした。自由支持においては、糸で吊るすことで境界条件を再現し、支持位置は2枚合わせ板の長さに対応するはりの 1 次モードの節の位置付近とした。インパクトハンマ（PCB 086C03）を用いてはり中央位置を打撃し，同位置（裏側）に取り付けた超小型加速度計（PCB 372A73）より加速度を計測する。インパ ク ト ハ ン マ か ら の 力 入 力、 加 速 度 計 か ら の 加 速 度 応 答 を デ ー タ 解 析 装 置（小 野 測 器
DataStation3000）に取り込み、5回平均によって周波数応答関数（以下、FRF）を算出する。
固有振動数はCo-Quad線図（周波数応答関数の実部及び虚部）を用いて推定する(6)。質量m、ばね剛性kからなる1自由度系のアクセレランスαは次の式で表される。なお、gは構造減衰係数を表し、jは純虚数、f は周波数を表す。

－ 154 －

する。インパクトハンマからの力入力、加速度計からの加速度応答をデータ解析装置（小野測器
DataStation3000）に取り込み、5 回平均によって周波数応答関数（以下、FRF）を算出する。
固有振動数は Co-Quad 線図（周波数応答関数の実部及び虚部）を用いて推定する(6)。質量 m、ばね剛性 k からなる 1 自由度系のアクセレランスαは次の式で表される。なお、g は構造減衰係数を表し、j は純虚数、f は周波数を表す。
− (2πf )

2


1k
2

= −(2πf ) 
2
1
β
−
+
jg
k − m( f 2π ) + jgk
ここで、βは次のように表される。なお、fp は固有振動数を表す。
ここで、βは次のように表される。なお、f
ここで、βは次のように表される。なお、f は固有振動数を表す。
pは固有振動数を表す。
ここで、βは次のように表される。なお、fpp は固有振動数を表す。
ここで、βは次のように表される。なお、fは固有振動数を表す。
p
β = f fp
β = f fp2
ここで、βは次のように表される。なお、fp は固有振動数を表す。

α( f ) =2ββ== ff ff pp
αI とし、分けて記述すると次式のようになる。
式(1)を実部βαR=と虚部の係数を
f fp
α とし、分けて記述すると次式のようになる。
式(1)を実部α と虚部の係数を式(1)を実部α と虚部の係数をαとし、分けて記述すると次式のようになる。
式(1)を実部αRRと虚部の係数をαII とし、分けて記述すると次式のようになる。
式(1)を実部αRR と虚部の係数をαII とし、分けて記述すると次式のようになる。
1 − β 22 k2
− β 22 k
f
2
f
=
−
α
π
式(1)を実部αR と虚部の係数を2 αI1とし、分けて記述すると次式のようになる。

(1)

(2)
(2)
(2)
(2)
(2)

(( ))
(
)
(
)
(3)
((11 β−− 22ββ)22 ))+kkg 22f=) −(2πf )22 (1 −
α
R(
(3)
(
)
(
)
f
2
f
=
−
α
π
(3)
α RR ( f=) −(2πf ) (1 −β2 )222 + g 2
(3)
(
1β
kgg 2
− 2β)) )+2 (1 −(1−+βα R ( f=) −(2πf )2(3)
β g2 ) k+ g 2
2 (1 − −gk−
α I ( f=) −(2πf )2(4)) −((22ππff ))22 (1 − β−− 22gg)22 kk+ g 22
α
I ( f=
(4)
α
2
=)) −
−(2πf ) (1 − βα II (( ff=
(4)
)
g
+
2 2
2
(4)
−
2g) k+ g 2
2 (1 − β
(
)
1
g
−
+
β
α I ( f=) −(2πf )
f 、構造減衰係数gで整理すると次式の方程式が成立す
式(3)、(4)より、kを消去し、固有振動数
(4)
2 2
2

(

)

p

式(3)、(4)より、k を消去し、固有振動数
g で整理すると次式の方程式が成立する。
1 − β +ffp、
g 構造減衰係数
式(3)、(4)より、k を消去し、固有振動数、
構造減衰係数 g で整理すると次式の方程式が成立する。
る。
式(3)、(4)より、k を消去し、固有振動数 fpp、構造減衰係数 g で整理すると次式の方程式が成立する。
式(3)、(4)より、k を消去し、固有振動数
 α I f f 22  1 fp、構造減衰係数 g で整理すると次式の方程式が成立する。
αI f
 I f固有振動数ff 2  12 −fpg、構造減衰係数 g で整理すると次式の方程式が成立する。
α式(3)、(4)より、
k
を消去し、
=
(5)
α RII ff =  αα
1 g
I Rff f ff 2 
α
α
(5)
α
 ff1p22 −
g
−
I f =
I
f
α
α
(5)
=  α R f 2  f p2 − g
R
(5)
α
f
f
f
α
1
α RRI 2f =  αI RR f  f pp − g
(5)
2


式(5)は傾きα1/fp2f、切片 gαの 1f 次関数と見なすことができ、最小二乗法より、固有振動数
fp、構造減R p2、切片
R 1 次関数と見なすことができ、最小二乗法より、固有振動数
 gの
 fp
式(5)は傾き 1/f
fp、構造減2
式(5)は傾き1/f、切片gの1次関数と見なすことができ、最小二乗法より、固有振動数p、構造式(5)は傾き1/fp2p、切片
g の 1 次関数と見なすことができ、最小二乗法より、固有振動数 f f、構造減
衰係数
g を同定することができる。なお、構造減衰係数は損失係数と同値であり、減衰比の2 倍の式(5)は傾き1/fp 、切片 g の 1 次関数と見なすことができ、最小二乗法より、固有振動数 fpp、構造減衰係数 g を同定することができる。なお、構造減衰係数は損失係数と同値であり、減衰比の2 倍の2減衰係数gを同定することができる。なお、構造減衰係数は損失係数と同値であり、減衰比の2倍
衰係数
g を同定することができる。なお、構造減衰係数は損失係数と同値であり、減衰比の2 倍の式(5)は傾き1/fp 、切片 g の 1 次関数と見なすことができ、最小二乗法より、固有振動数 fp、構造減値である。本研究では損失係数を用いて減衰特性の評価を行う。
衰係数
g を同定することができる。なお、構造減衰係数は損失係数と同値であり、減衰比の2 倍の値である。本研究では損失係数を用いて減衰特性の評価を行う。
値である。本研究では損失係数を用いて減衰特性の評価を行う。
の値である。本研究では損失係数を用いて減衰特性の評価を行う。
衰係数
g を同定することができる。なお、構造減衰係数は損失係数と同値であり、減衰比の 2 倍の値である。本研究では損失係数を用いて減衰特性の評価を行う。
値である。本研究では損失係数を用いて減衰特性の評価を行う。

(( ))
(( ))
( )
( )
( )

(( ))
(( ( )) )( )( (( ) ))( )(a) 全体図（両端自由支持）(a) 全体図（両端自由支持）(a) 全体図（両端自由支持）(a) 全体図（両端自由支持）(a) 全体図（両端自由支持）(b) 斜視図(b) 斜視図(b) 斜視図(b) 斜視図
斜視図
図 1.(b)
2 枚合わせ板
図 1. 2 枚合わせ板
図 1. 2 枚合わせ板
図 1. 2 枚合わせ板
図 1 . 2 枚合わせ板
図 1. 2 枚合わせ板

図 2. 実験概略図
図 2. 実験概略図
図 2. 実験概略図
図
2. 実験概略図
図 2 . 実験概略図
図 2. 実験概略図

2.2 実験結果
2.2 実験結果
2.2ここでは、両端自由支持の結果のみを示す。ボルト締結は外側
実験結果
2 箇所、内側 2 箇所の 2 条件とし
2.2実験結果
実験結果
2.2
ここでは、両端自由支持の結果のみを示す。ボルト締結は外側 2 箇所、内側 2 箇所の 2 条件とし
ここでは、両端自由支持の結果のみを示す。ボルト締結は外側
2 箇所、内側 2 箇所の 2 条件とし2.2
実験結果た。応答の時刻歴データを図3、アクセレランスを図 4 に示す。この結果より、ボルト締結位置に
ここでは、両端自由支持の結果のみを示す。ボルト締結は外側
2 箇所、内側 2 箇所の 2 条件とし
ここでは、両端自由支持の結果のみを示す。ボルト締結は外側2箇所、内側2箇所の2条件とした。応答の時刻歴データを図3、アクセレランスを図 4 に示す。この結果より、ボルト締結位置にた。応答の時刻歴データを図3、アクセレランスを図4に示す。この結果より、ボルト締結位置に
ここでは、両端自由支持の結果のみを示す。ボルト締結は外側
2 箇所、内側 2 箇所の 2 条件としよって減衰特性、共振周波数が大きくことなることがわかる。これはボルト締結位置によって2枚た。応答の時刻歴データを図 3、アクセレランスを図 4 に示す。この結果より、ボルト締結位置にた。応答の時刻歴データを図3、アクセレランスを図4に示す。この結果より、ボルト締結位置によって減衰特性、共振周波数が大きくことなることがわかる。これはボルト締結位置によって 2 枚
よって減衰特性、共振周波数が大きくことなることがわかる。これはボルト締結位置によって2枚た。応答の時刻歴データを図3、アクセレランスを図 4 に示す。この結果より、ボルト締結位置に合わせ板の構造が大きく変化するためである。
よって減衰特性、共振周波数が大きくことなることがわかる。これはボルト締結位置によって2枚
よって減衰特性、共振周波数が大きくことなることがわかる。これはボルト締結位置によって2枚合わせ板の構造が大きく変化するためである。
合わせ板の構造が大きく変化するためである。
よって減衰特性、共振周波数が大きくことなることがわかる。これはボルト締結位置によって2枚式(5)を用いて各条件における固有振動数、損失係数を求めた。処理としては共振周波数付近の合わせ板の構造が大きく変化するためである。
合わせ板の構造が大きく変化するためである。
式(5)を用いて各条件における固有振動数、損失係数を求めた。処理としては共振周波数付近の式(5)を用いて各条件における固有振動数、損失係数を求めた。処理としては共振周波数付近の合わせ板の構造が大きく変化するためである。
40
点のデータを基に同定を行った。表 1 に 1 枚板の結果も併せて示す。これより、2 枚合わせ板に式(5)を用いて各条件における固有振動数、損失係数を求めた。処理としては共振周波数付近の40 点のデータを基に同定を行った。表 1 に 1 枚板の結果も併せて示す。これより、2 枚合わせ板に40式(5)を用いて各条件における固有振動数、損失係数を求めた。処理としては共振周波数付近の点のデータを基に同定を行った。表 1 に 1 枚板の結果も併せて示す。これより、2 枚合わせ板に40 点のデータを基に同定を行った。表 1 に 1 枚板の結果も併せて示す。これより、2 枚合わせ板に－ 155 －
40 点のデータを基に同定を行った。表 1 に 1 枚板の結果も併せて示す。これより、2枚合わせ板に3
3
3
3

式(5)を用いて各条件における固有振動数、損失係数を求めた。処理としては共振周波数付近の40点のデータを基に同定を行った。表1に1枚板の結果も併せて示す。これより、2枚合わせ板になることで、固有振動数、損失係数が変化していることがわかる。特に損失係数の変化は大きく、2なることで、固有振動数、損失係数が変化していることがわかる。特に損失係数の変化は大きく、なることで、固有振動数、損失係数が変化していることがわかる。特に損失係数の変化は大きく、枚合わせ板の界面において摩擦散逸が起こったためであると考えられる。よって2枚合わせ板の損
2 枚合わせ板の界面において摩擦散逸が起こったためであると考えられる。よって 2 枚合わせ板の2 なることで、固有振動数、損失係数が変化していることがわかる。特に損失係数の変化は大きく、枚合わせ板の界面において摩擦散逸が起こったためであると考えられる。よって 2 枚合わせ板の失係数に対して摩擦散逸は支配的であるといえる。
損失係数に対して摩擦散逸は支配的であるといえる。
2なお、2枚合わせ板になることでモード形状が変化していることが考えられたため、実験モード枚合わせ板の界面において摩擦散逸が起こったためであると考えられる。よって 2 枚合わせ板の損失係数に対して摩擦散逸は支配的であるといえる。
なお、2 枚合わせ板になることでモード形状が変化していることが考えられたため、実験モード
損失係数に対して摩擦散逸は支配的であるといえる。
なお、2 枚合わせ板になることでモード形状が変化していることが考えられたため、実験モード
解析によるモード形状の確認を行ったが、大きく変化しないことがわかった。また、両端固定条件
解析によるモード形状の確認を行ったが、大きく変化しないことがわかった。また、両端固定条件
なお、2 枚合わせ板になることでモード形状が変化していることが考えられたため、実験モード
解析によるモード形状の確認を行ったが、大きく変化しないことがわかった。また、両端固定条件
においては境界条件の再現性の問題があり、同定したデータのばらつきが大きいため割愛していにおいては境界条件の再現性の問題があり、同定したデータのばらつきが大きいため割愛している。
解析によるモード形状の確認を行ったが、大きく変化しないことがわかった。また、両端固定条件
においては境界条件の再現性の問題があり、同定したデータのばらつきが大きいため割愛している。
る。
においては境界条件の再現性の問題があり、同定したデータのばらつきが大きいため割愛している。

図 3. ボルト締結位置による応答の違い
図 3. ボルト締結位置による応答の違い

図 4. ボルト締結位置による周波数応答の違い
図 4. ボルト締結位置による周波数応答の違い

図 3 . ボルト締結位置による応答の違い

図 4 . ボルト締結位置による周波数応答の違い

図 3. ボルト締結位置による応答の違い
図 4. ボルト締結位置による周波数応答の違い
固有振動数と損失係数
表表1.1 .固有振動数と損失係数
表 1. 固有振動数と損失係数
ObjectNatural frequency
Loss factor [-]表 1.Natural
固有振動数と損失係数
Objectfrequency
Loss factor [-]One plate
39.0 Hz
0.002
NaturalLossfactor [-]OneObjectplate
39.0frequency
Hz
0.002
Outside jointing plate (two-ply)
70.7 Hz0.0196
One plateplate (two-ply)
39.0HzHz
0.002
Outside jointing
70.7
0.0196
Inside jointing plate (two-ply)
50 .0 Hz0.0782
Outsidejointing
plate(two-ply)Hz
0.0196
Insidejointing
plate(two-ply)
5070.7.0 Hz
0.0782Inside jointing plate (two-ply)
50 .0 Hz0.07823.
3. 22枚合わせ板の力学的エネルギーと損失係数算出式の導出
枚合わせ板の力学的エネルギーと損失係数算出式の導出
3. 2 枚合わせ板の力学的エネルギーと損失係数算出式の導出
3.1
3.1 22枚合わせ板における摩擦散逸エネルギーのモデル化
枚合わせ板における摩擦散逸エネルギーのモデル化
3. 2 枚合わせ板における摩擦散逸エネルギーのモデル化
枚合わせ板の力学的エネルギーと損失係数算出式の導出
3.1
2 枚合わせ板においては、界面に生じる摩擦力と 2 枚の相対変位の積によってエネルギーが散逸
2枚合わせ板においては、界面に生じる摩擦力と2枚の相対変位の積によってエネルギーが散逸
3.1
2 枚合わせ板における摩擦散逸エネルギーのモデル化
2 枚合わせ板においては、界面に生じる摩擦力と2 枚の相対変位の積によってエネルギーが散逸されることにより、減衰が大きくなっていると考えられる．そこで，2 枚合わせ板界面で発生する
されることにより、減衰が大きくなっていると考えられる．そこで，2枚合わせ板界面で発生する
2 枚合わせ板においては、界面に生じる摩擦力と 2 枚の相対変位の積によってエネルギーが散逸されることにより、減衰が大きくなっていると考えられる．そこで，2枚合わせ板界面で発生する相対変位を求める。板は寸法、材質が同一のものを使用することを考える。全長 l の均質で一様な相対変位を求める。板は寸法、材質が同一のものを使用することを考える。全長lの均質で一様なされることにより、減衰が大きくなっていると考えられる．そこで，2 枚合わせ板界面で発生する相対変位を求める。板は寸法、材質が同一のものを使用することを考える。全長l の均質で一様な断面を持つオイラー・ベルヌーイはりの曲げ振動を対象とし、板幅を h、板厚を b、縦弾性係数を断面を持つオイラー・ベルヌーイはりの曲げ振動を対象とし、板幅をh、板厚をb、縦弾性係数をE、相対変位を求める。板は寸法、材質が同一のものを使用することを考える。全長l の均質で一様な断面を持つオイラー・ベルヌーイはりの曲げ振動を対象とし、板幅をh、板厚を b、縦弾性係数をE、断面二次モーメントを I とし、図 5 に示すような同じ板が 2 枚合わさったものを考える。座標
断面二次モーメントをIとし、図5に示すような同じ板が2枚合わさったものを考える。座標系は、断面を持つオイラー・ベルヌーイはりの曲げ振動を対象とし、板幅をh、板厚を b、縦弾性係数をE、断面二次モーメントをI とし、図 5 に示すような同じ板が 2 枚合わさったものを考える。座標
系は、はりの長手方向をx、x 軸に垂直な方向を y とし、中立軸における y 方向変位を w、x 軸方向
はりの長手方向をx、x軸に垂直な方向をyとし、中立軸におけるy方向変位をw、x軸方向のひずみをE、断面二次モーメントをI とし、図5 に示すような同じ板が2 枚合わさったものを考える。座標
系は、はりの長手方向をx、x
軸に垂直な方向をy とし、中立軸におけるy 方向変位を w、x 軸方向のひずみを e とおく。 また添え字は、上板を表すものを 1、下板を表すものを 2 とする。このとeとおく。また添え字は、上板を表すものを1、下板を表すものを2とする。このとき、変位-ひず系は、はりの長手方向をx、x 軸に垂直な方向を y とし、中立軸におけるy 方向変位をw、x 軸方向のひずみをe とおく。 また添え字は、上板を表すものを
1、下板を表すものを2 とする。このとき、変位-ひずみ式は次のように与えられる。
み式は次のように与えられる。
のひずみを e とおく。 また添え字は、上板を表すものを 1、下板を表すものを 2 とする。このとき、変位-ひずみ式は次のように与えられる。
2
2

∂ w

∂ w

∂∂x w1∂∂x w2き、変位-ひずみ式は次のように与えられる。
ε1 = y1 ∂ 2 w211 、 ε 2 = y2 ∂ 2 w222
ε1 = y1 ∂x22 、 ε 2 = y2 ∂x22

(6)
(6)

ε1 の曲率は次式で与えられる。
= y1 2 、 ε 2 = y2
また、板 1、2
また、板1、2の曲率は次式で与えられる。
∂x 2∂x
また、板 1、2 の曲率は次式で与えられる。

(6)

また、板 1、2 の曲率は次式で与えられる。
－ 156 －

4
4

図
5. 2
枚合わせ板モデル
図
図 5.
5. 2
2 枚合わせ板モデル
枚合わせ板モデル
図 5 . 2 枚合わせ板モデル

5. 2 枚合わせ板モデル
11∂∂ 2222 w
1 図∂∂ 2222 w
1w
11 、 1
1 =
∂
w
1
∂ w
w22222
=
(7)
=
=
21 、
(7)
ρ 2 = ∂∂xx 222+ h = ∂x 2 、 ρ
ρ2 +
ρ
(7)
ρ 222 ∂x
ρ 222 + hh ∂∂xx 22
このとき、曲率が板の厚さに比べて非常に大きいと考えれば、2枚の板は同一の変形をしていると
1∂ 2 w11 ∂ 2 w2
このとき、曲率が板の厚さに比べて非常に大きいと考えれば、2枚の板は同一の変形をしていると==、このとき、曲率が板の厚さに比べて非常に大きいと考えれば、2枚の板は同一の変形をしていると(7)
このとき、曲率が板の厚さに比べて非常に大きいと考えれば、2枚の板は同一の変形をしていると
ρ 2 ∂x 2
ρ 2 + h ∂x 2
仮定できる。その代表変形をwで表すと、界面の相対変位Δεは次のように与えられる。
仮定できる。その代表変形をwで表すと、界面の相対変位は次のように与えられる。
仮定できる。その代表変形を w
w で表すと、界面の相対変位で表すと、界面の相対変位ΔεΔεΔεは次のように与えられる。
は次のように与えられる。
仮定できる。その代表変形を
2
2
h
h
∂
w




2
h
h
∂
w
このとき、曲率が板の厚さに比べて非常に大きいと考えれば、2枚の板は同一の変形をしていると∂2w=h− εε1  −− h  =∆ε =hεεε 22  h  −
∆
(8)
2
1
(8)
=
h
ε
−
−
∆εε =
=
2
∂
2
2
x
2
1




(8)




2
2 2 
122∂x仮定できる。その代表変形をw で表すと、界面の相対変位Δεは次のように与えられる。
2
2
∂x


次に摩擦による散逸エネルギーを界面の相対変位と等価動摩擦力Fdの積で求める。このとき、相次に摩擦による散逸エネルギーを界面の相対変位と等価動摩擦力
F∂2w
次に摩擦による散逸エネルギーを界面の相対変位と等価動摩擦力
Fddd の積で求める。このとき、の積で求める。このとき、
 hh
次に摩擦による散逸エネルギーを界面の相対変位と等価動摩擦力
Fd の積で求める。このとき、
ε 2   − ε1  −  = h 2∆ε =対変位が半周期毎に正負が入れ替わることに着目すると、振幅の極値の前後1/4周期の間に散逸さ(8)相対変位が半周期毎に正負が入れ替わることに着目すると、振幅の極値の前後1/4周期の間に散逸∂x 2
2
相対変位が半周期毎に正負が入れ替わることに着目すると、振幅の極値の前後
1/4
相対変位が半周期毎に正負が入れ替わることに着目すると、振幅の極値の前後
1/4 周期の間に散逸周期の間に散逸れる微小区間あたりのエネルギーは次式のように表される。
される微小区間あたりのエネルギーは次式のように表される。
される微小区間あたりのエネルギーは次式のように表される。
次に摩擦による散逸エネルギーを界面の相対変位と等価動摩擦力 Fd の積で求める。このとき、される微小区間あたりのエネルギーは次式のように表される。
22
相対変位が半周期毎に正負が入れ替わることに着目すると、振幅の極値の前後
1/4 周期の間に散逸w  2222
2
∂∂∂ 222 w
22 dx =22 
w2  dx

dW
F
ε
F
h
=
∆
(9)
2 =
d ∆ε 2 dx =d h2 
dW
F
F
dx
(9)
される微小区間あたりのエネルギーは次式のように表される。
dW222 =
Fddd ∆ε dx =Fddd h  ∂∂xx 222  dx
(9)

(((

)))

 ∂x 22
2
2 ∂ w 
よって、応答が極値の最大値をとったときを基準としてn番目の極値のまわり半周期の間によってよって、応答が極値の最大値をとったときを基準として番目の極値のまわり半周期の間によってよって、応答が極値の最大値をとったときを基準として
nn 番目の極値のまわり半周期の間によってdW2 =Fd (∆ε ) dx =Fd h  2  dx(9)
よって、応答が極値の最大値をとったときを基準として
n 番目の極値のまわり半周期の間によって
x∂
散逸されるエネルギーは次式のようになる。
散逸されるエネルギーは次式のようになる。
散逸されるエネルギーは次式のようになる。
散逸されるエネルギーは次式のようになる。
22ll
よって、応答が極値の最大値をとったときを基準としてl ∂ 22 w  222
l d 22φ  222n 番目の極値のまわり半周期の間によって
22φ 
22 w 
2 22 ll 
2 ll 
d∂22
 d φ2  dx
WF
Fdd hh 22 A
2 
(10)
W22,,nn =F hh 2  ∂ w  dx =dx(10)
散逸されるエネルギーは次式のようになる。
22  dx=F
W22,,nn =dx =Fdd h A
Annnn2 0  dx= Fdddd h 2 0  ∂∂xx 2222  dx(10)
0  dx 2 
0


∫∫∫
 ∂x 

∫∫∫ dx 

00

2
2
0
l
2
2




w
d
φ
∂
W2,n = Fd h 2 ∫  2  dx = Fd h 2 An2 ∫  2  dx
dx 
∂x 
0
0
構造減衰による散逸エネルギーのモデル化
3.2構造減衰による散逸エネルギーのモデル化
3.2
0
00
l

(10)

3.2 構造減衰による散逸エネルギーのモデル化
3.2 構造減衰による散逸エネルギーのモデル化
曲げの復元力に対して減衰が作用していると考えられると、微小区間において散逸されるエネル
曲げの復元力に対して減衰が作用していると考えられると、微小区間において散逸されるエネ
曲げの復元力に対して減衰が作用していると考えられると、曲げの復元力に対して減衰が作用していると考えられると、微小区間において散逸されるエネル
微小区間において散逸されるエネル
ギは次式のように表すことができる。ここで、cが減衰係数を表す。
ルギは次式のように表すことができる。ここで、cが減衰係数を表す。
11ギは次式のように表すことができる。ここで、c3.2 構造減衰による散逸エネルギーのモデル化 11 が減衰係数を表す。
ギは次式のように表すことができる。ここで、c1 が減衰係数を表す。
2
3
2
曲げの復元力に対して減衰が作用していると考えられると、微小区間において散逸されるエネルw  22111  c EI ∂∂∂ 333 w
w  dx
dW
(11)
1 =
1

dW
c
EI
dx
=
2
(11)

 1
ギは次式のように表すことができる。ここで、cdW111 = cc1 EI
1 が減衰係数を表す。
(11)
EI  c11 EI ∂∂xx 222 ∂∂tt  dx

c111 EI ∂x ∂t  2
1 
∂3w 
応答が極値の最大値をとったときを基準としてn c1 EI 2  dx
dW1 =応答が極値の最大値をとったときを基準としてn番目の極値のまわり半周期の間によって散逸され応答が極値の最大値をとったときを基準として
n 番目の極値のまわり半周期の間によって散逸さ番目の極値のまわり半周期の間によって散逸さ(11)
応答が極値の最大値をとったときを基準として
n 番目の極値のまわり半周期の間によって散逸さ
c
EI
x
t
∂
∂


1
れるエネルギーは次式のようになる。
れるエネルギーは次式のようになる。
るエネルギーは次式のようになる。
れるエネルギーは次式のようになる。
2π ωn ll22
応答が極値の最大値をとったときを基準として
n 番目の極値のまわり半周期の間によって散逸さ
πωnn lll  d 22φ  22
 222
π
11 
11 22
∂∂ 3333 w
π ω
ωnn lll  d 22φ w
W
EI  d φ2  dx=
1  cc11 EI
1 πA∂ w  dxdt =2ω n c
(12)
W
dx
(12)
れるエネルギーは次式のようになる。
22  dx
 c11 EI
W1111,,,,nnnn =EI ∂∂xx 2222 ∂∂tt  dxdt
dxdt =
Annnn2ω
EI 0  dx
πA
ω nnn cc1111 EI= 22 π= 0 0 cc1 EI
(12)

EI
0 0 1
0  dx 2 ∫∫∫ ∫∫∫c EI 

∫∫∫000  dx 2∂x ∂t 1122l
 d 2φ 
1 
1 2
∂3w 
 c1 EI 2  dxdt = πAn ω n c1 EI ∫  2  dx
W = ∫ ∫
ここで、Anはn番目の極値の振幅、φは固有関数を表す。すなわち、
ここで、An は1,nn 番目の極値の振幅、
2
c EI dx ∂φxは固有関数を表す。すなわち、
∂t 
0 0 1
0
5
5
w = A(t )φ ( x )
5
00
0

00
0
π ωn lとしている。
としている。

5
3.3 散逸エネルギーのつり合いを基にした損失係数計算－ 157 －
1 枚板に蓄えられるポテンシャルエネルギーは次式で表される。
2

(12)
(13)

φは固有関数を表す。すなわち、
ここで、Aは nn 番目の極値の振幅、
ここで、A
ここで、Annnn はは nn 番目の極値の振幅、番目の極値の振幅、φは固有関数を表す。すなわち、
ここで、Aは番目の極値の振幅、φφは固有関数を表す。すなわち、は固有関数を表す。すなわち、
ここで、An w
は=n A
番目の極値の振幅、は固有関数を表す。すなわち、(t )φ (x )(t )φ ((xx ))
w
=A
w
w=
=A
A((tt ))φφ (x )としている。
としている。
としている。
としている。
としている。

(13)
(13)
(13)
(13)
(13)

3.3 散逸エネルギーのつり合いを基にした損失係数計算
3.3
散逸エネルギーのつり合いを基にした損失係数計算
3.3
3.3 散逸エネルギーのつり合いを基にした損失係数計算
散逸エネルギーのつり合いを基にした損失係数計算
3.3
散逸エネルギーのつり合いを基にした損失係数計算
1枚板に蓄えられるポテンシャルエネルギーは次式で表される。
3.3
散逸エネルギーのつり合いを基にした損失係数計算
1 枚板に蓄えられるポテンシャルエネルギーは次式で表される。
枚板に蓄えられるポテンシャルエネルギーは次式で表される。
1
1枚板に蓄えられるポテンシャルエネルギーは次式で表される。
1 枚板に蓄えられるポテンシャルエネルギーは次式で表される。
1 枚板に蓄えられるポテンシャルエネルギーは次式で表される。
2

 222211 llll  ∂∂ 2222 w
w
l 

2
=
U
EI
∂
1
w
= 1 EIUdx∫  ∂ w22  dx
U= 222 EIU=
EI ∫∫00  ∂∂∂xxx 222  dx
dx
2 000  ∂x 

(14)
(14)
(14)
(14)
(14)

 1

l  d 2φ  22
22 ll φ  2 dx − 111 EIA 222 llll  ddd 2222φφφ  222 dx 
dd 222φ∆U=22 ××  111 EIA

2 l 




2
2
+
1
n
n
U
EIA
dx
EIA
dx
−
∆
=
∆U =2 ×  2 EIAnnn2 ∫∫  ddxφ222  dx − 12 EIAnnn2+++111 ∫∫  ddxφ222  dx 2 
∆U =2 ×  22 EIAn ∫000  dx
2 
dx 22  dx − 222 EIAn +1 ∫0000  dx
dx
 dx 
0 dx 
 2
dx
 



0
0
2

ll
222φ  222
d
111 22ll 
 d 2φ  2 dx=
Ann222ω
EI ∫l  dd 2φdx
πAω nnn ccc111 EI= 222 ×× 1π
φ222  dx
A
EI
π
ω
=
×
n
2
∫
2 
dx
dx
= 2 × 22 πAnn ω nn c11 EI ∫000  dx

2 
dx

0 dx
2

0

(15)
(15)
(15)
(15)
(15)


111

ln
ln
1 c 
ln 1 − πωπωnn cc11 ln 1 − πωη= 11 −η111 =−ππωnnn c111 
=
η
π
η11 =
π

(16)
(16)
(16)
(16)
(16)

 1

l
2  22
φφ  2 dx − 111 EIA 222 llll  ddd 2222φφφ  222 dx 
 11 EIA 222 lll  ddd 222φ
2
U
∆
=
×
 d φ22  dx
nn2+
−
∆U
=2 ×
×  1 EIAnnn22 ∫  d φ22  dx

12 EIA+111 ∫ 
∆
=
dx
EIA
dx
−
nn2+
dx
dx
+1 ∫
22 
22 
2
dx



00 
U =22 ×  222 EIA
EIAnn ∫∫000  dx
dx
EIA
dx
−
∆U



2
dx
dx
n
+
1
2 
∫
 dx 2  
 2
0  dx 
00 2
 2 220
 ll 022 222 
ll
2



1
l
l
d
d
φ
22 22 l  d 22φ  2
φφ  222 dx
11 πA 222ω c EI ll  dd 2222φl 2 dd 2φ

F
dx
+
×
=
22 A
2
dd h
nn22 ∫
n
n
1
F
h
A
dx
A
c
EI
π
ω
2
+
×
=
2
∫


φ22  dx + 2 × 12 πAnnn2ω nnn c111 EI  ddxφ222  dx
=
dx
2 
2 
 dx
 dx + 2 × 22 πAn ω n c1 EI ∫∫00  dx
Fddd hh 2 A
Annn2 ∫∫000  dx
dx
=F
dx
dx
2 
2 
0



0 dx
0 dx 
2


0
0

(17)
(17)
(17)
(17)
(17)

ここで、1枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が板自体の構造減衰に
ここで、1枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が板自体の構造減衰に
ここで、1枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が板自体の構造減衰に
ここで、1
ここで、1 枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が板自体の構造減衰に枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が板自体の構造減衰に
ここで、1枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が板自体の構造減衰による散逸エネルギーであると考えると次式が成立する。
よる散逸エネルギーであると考えると次式が成立する。
よる散逸エネルギーであると考えると次式が成立する。
よる散逸エネルギーであると考えると次式が成立する。
よる散逸エネルギーであると考えると次式が成立する。
よる散逸エネルギーであると考えると次式が成立する。
l
l
22
22
2
2

これより、対数減衰率より損失係数は次のように表される。
これより、対数減衰率より損失係数は次のように表される。
これより、対数減衰率より損失係数は次のように表される。
これより、対数減衰率より損失係数は次のように表される。
これより、対数減衰率より損失係数は次のように表される。
これより、対数減衰率より損失係数は次のように表される。


1

π

次に、2
次に、2枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が摩擦および板自体の構
次に、2 枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が摩擦および板自体の構
枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が摩擦および板自体の構
次に、2枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が摩擦および板自体の構
次に、2枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が摩擦および板自体の構
次に、2 枚合わせ板の半周期あたりのポテンシャルエネルギーの変化分が摩擦および板自体の構造減衰による散逸エネルギーの和であると考えると次式が成立する。
造減衰による散逸エネルギーの和であると考えると次式が成立する。
造減衰による散逸エネルギーの和であると考えると次式が成立する。
造減衰による散逸エネルギーの和であると考えると次式が成立する。
造減衰による散逸エネルギーの和であると考えると次式が成立する。
造減衰による散逸エネルギーの和であると考えると次式が成立する。
22
22
l
l
2
2

これより、固有関数の積分項を両辺割ることができため、次式のように変形できる。
これより、固有関数の積分項を両辺割ることができため、次式のように変形できる。
これより、固有関数の積分項を両辺割ることができため、次式のように変形できる。
これより、固有関数の積分項を両辺割ることができため、次式のように変形できる。
これより、固有関数の積分項を両辺割ることができため、次式のように変形できる。
これより、固有関数の積分項を両辺割ることができため、次式のように変形できる。
2
2
2 2
2
2 − F h 22 A 22 − πA 22ω ηEI
EIA
=
nnηEI
EIAnn2222++11 EIA
EIA=
EIAnn22 −Fdd hh 2 A
Ann2 −
Annnn22ω
=
−F
− πA
EIA
nnηEI
EIAnnn +++111 EIAnnn2 − Fddd h22 Annn2 − π
π
An ω
ω
=
nηEI
2




hh 22
  F



22
22
d
F
 A
 Fddd h 2 +An22+1 == 11 −
πω
⇔
nn c
nn22
πω
c
A
⇔
+
11 

h
Annn2+++111 = 1 −
πω
c
A
⇔A
−  FEI
+


d
EI
⇔ An +1 = 1 −  EI+ πωnnn c111  Annn2


EI

 

(18)
(18)
(18)
(18)
(18)

よって
1 周期あたりの振幅変化から対数減衰率は次式のようになる。
よって周期あたりの振幅変化から対数減衰率は次式のようになる。
よって1周期あたりの振幅変化から対数減衰率は次式のようになる。
よって 11
1 周期あたりの振幅変化から対数減衰率は次式のようになる。
周期あたりの振幅変化から対数減衰率は次式のようになる。
よってよって 1 周期あたりの振幅変化から対数減衰率は次式のようになる。







1


1
ln
1


ln
2
1
2
ln
 
Fh2d2ln 1 −  Fh
Fddd h 2 +πωn ccc11  + πω−  FEI1−
1
d h + πω n
EI + πωnnn c111  
1 −  EI
 
=
η

=   EI
η
2
2

η
2 =
π
2
π
η2 =
π

(19)
(19)
(19)
(19)
(19)

π

このように、2枚合わせ板による減衰特性向上は、界面に存在する等価動摩擦力と相対変位に関わ66る板厚によって支配されていることがわかる。 666－ 158 －

このように、2 枚合わせ板による減衰特性向上は、界面に存在する等価動摩擦力と相対変位に関わる板厚によって支配されていることがわかる。
4．等価動摩擦力の推定
4. 等価動摩擦力の推定
式(19)をもとに算出した等価動摩擦力を表2に示す。モード形状を考えた場合、外側締結位置よ式(19)をもとに算出した等価動摩擦力を表 2 に示す。モード形状を考えた場合、外側締結位置よりも内側締結位置においてたわみが大きくなるため面圧が高くなることから内側締結条件においてりも内側締結位置においてたわみが大きくなるため面圧が高くなることから内側締結条件におい等価動摩擦力は大きくなると考えられる。表2より、損失係数の大きい条件であった内側締結におて等価動摩擦力は大きくなると考えられる。表 2 より、損失係数の大きい条件であった内側締結にいて等価動摩擦力が大きくなるという結果を得ており、摩擦散逸が効率的に発生していることがわ
おいて等価動摩擦力が大きくなるという結果を得ており、摩擦散逸が効率的に発生していることがかる。以上より、減衰特性を大きくするためには対象となるモード形状のたわみの位置にボルト締わかる。以上より、減衰特性を大きくするためには対象となるモード形状のたわみの位置にボルト結位置を設けるのが良いという知見を得ることができた。今後、実証試験を行う予定である。
締結位置を設けるのが良いという知見を得ることができた。今後、実証試験を行う予定である。
表 22.
. 等価動摩擦力の算出
表
等価動摩擦力の算出

ObjectEquivalent dynamic friction force

Outside jointing plate (two-ply)

39 N

Inside jointing plate (two-ply)

169 N

5．まとめ
5. まとめ本研究では、2枚合わせ板構造の損失係数に与える設計因子について検討し、損失係数算出式を
本研究では、2 枚合わせ板構造の損失係数に与える設計因子について検討し、損失係数算出式を導出した。得られた知見は以下の通りである。
導出した。得られた知見は以下の通りである。
2 枚合わせ板では損失係数が 1 枚板に対して大幅に増加することを確認した。また、固有振動
1.1. 2 枚合わせ板では損失係数が1枚板に対して大幅に増加することを確認した。また、固有振動数も同様に変化した。
数も同様に変化した。
1 枚板と 2 枚合わせ板のモード形状は同様であることを確認した。この結2.2. 本本研究で取り扱った研究で取り扱った1枚板と2枚合わせ板のモード形状は同様であることを確認した。この結果を基に、2 枚板における上板、下板のモード形状が同一であると仮定した。
果を基に、2枚板における上板、下板のモード形状が同一であると仮定した。
2 枚合わせ板の上板と下板のモード形状が同一であることを前提として半周期あたりのポテ
3.3. 2 枚合わせ板の上板と下板のモード形状が同一であることを前提として半周期あたりのポテン
ンシャルエネルギーの変化と板自体の構造減衰および摩擦散逸によるエネルギーの和が釣り
シャルエネルギーの変化と板自体の構造減衰および摩擦散逸によるエネルギーの和が釣り合う合うという条件より、損失係数の算出式を提案した。その結果、ボルト締結位置によって等価という条件より、損失係数の算出式を提案した。その結果、ボルト締結位置によって等価動摩動摩擦力が大きく変化し、損失係数の値に影響を与えることを確認した。
擦力が大きく変化し、損失係数の値に影響を与えることを確認した。
上述のように固有振動数が変化しているため、モード形状は変化しているはずである。今後継続
上述のように固有振動数が変化しているため、モード形状は変化しているはずである。今後継続
して実験・解析による検証を行う予定である。
して実験・解析による検証を行う予定である。
参考文献
参考文献
(1) 吉村允孝，深野明，工作機械結合部のばね剛性と減衰係数の同定 : 単純化モデルにおける測(1) 定
吉村允孝，深野明，工作機械結合部のばね剛性と減衰係数の同定: 単純化モデルにおける測と計算機シミュレーションによる一手法，精密機械，vol.45，No.540(1979),
pp.1418-1424.
(2) 品川幹，社本英二，機械構造の結合部における摩擦減衰の解明と定量的予測（ねじり振動が作
定 と計算機シミュレーションによる一手法，精密機械，vol.45，No.540(1979), pp.1418用する場合），日本機械学会論文集Ｃ編，vol.78,No.790(2012), pp.2048-2063.
1424.
(3) 遠藤弘樹，
上野貴大，丸井 悦男，スポット溶接・ボルト接合が板構造物の減衰能および静剛 性(2) に与える影響，日本設計工学会，vol.41，No.6(2006)，pp.295-300.
品川幹，社本英二，機械構造の結合部における摩擦減衰の解明と定量的予測（ねじり振動が(4) 平居嵩朗，鞍谷文保，小出一志，城戸一郎，部分的な重なりを有する平板接合構造の簡易減衰作用する場合），日本機械学会論文集Ｃ編，vol.78,No.790(2012), pp.2048-2063.
推定法，日本機械学会論文集，vol.80，No.812(2014).
(3) Hadjila
遠藤弘樹，上野貴大，丸井悦男，スポット溶接・ボルト接合が板構造物の減衰能および静剛(5)
Bournine, David J. Wagg,
Simon A. Neild, Vibration damping in bolted friction beam-columns，
性に与える影響，日本設計工学会，vol.41，No.6(2006)，pp.295-300.
(4) 平居嵩朗，鞍谷文保，小出一志，城戸一郎，部分的な重なりを有する平板接合構造の簡易減7
衰 推定法，日本機械学会論文集，vol.80，No.812(2014).
(5) Hadjila Bournine, David J. Wagg, Simon A. Neild, Vibration damping in bolted friction beam-－ 159 －

columns，Journal of Sound and Vibration, vol.330(2011), pp.1665-1679.
(6) Shozo Kawamura, Masato Kita, Masami Matsubara, Tomohiko Ise, Study of the effect ofspecimen size and frequency on the structural damping property of beam, MechanicalEngineering Journal, Vol.3, No.6(, 2016), Paper Np.16-00446.

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