4章

比例と反比例

単元

19

覚えよう！

1

教科書

関数／比例⑴
へんすう

いろいろな値をとる文字を変数という。ともなって変わる2つの変数x，yがあって，xの値を決めると，それに対応するyの値がただ1つ決まるとき，yはxの関数であるという。
かんすう

へんいき

2

変数のとる値の範囲を，その変数の変域といい，不等号を3

xやyの値が変化しても変わらない一定の数を定数という。

使って表したり，数直線を使って表したりする。

ていすう

4

P.130〜136

yがxの関数であり， y=ax のような式で表されるとき，yはxに比例するという。
ただし，aは0でない定数で，比例定数という。

5

比例の式を求めるには，まず y=ax とおき，この式に対応するx，yの値を代入して，aの値を求める。

チェック1 関数

時速 50km で走る自動車がx時間走るとykm 進むとして，次の問いに答えなさい。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ yはxの関数であるといえますか。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴時速 50km でx時間走るときに進む道のりは，50×x=50x(km)となり，y=50x と表せる。

解⑵xの値を決めると，それにともなってyの値もただ1つに決まるから，yはxの関数であるといえる。
答

確認問題１⑴ y=50x⑵いえる。

次の問いに答えなさい。

分速 1.5km で走る列車がx分間走るとykm 進むとして，次の問いに答えなさい。

⑴① yをxの式で表しなさい。

②〔

yはxの関数であるといえますか。

〕〔

x円のものを買って1000円出したときのおつりをy円として，次の問いに答えなさい。

⑵① yをxの式で表しなさい。

②〔〕

yはxの関数であるといえますか。

〕〔〕

チェック2 変域
変数xが，次の範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。

例題

⑴

2以上

⑵ 2以上7未満••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••>，<…より大きい，より小さい，未満(その数をふくまない)≧，≦…以上，以下(その数をふくむ)⑴ x≧2

解2をふくむ。

確認問題２⑴（0⑵ 2≦x<72はその値をふくむことを表す。
）

両側の不等号 （の向きは同じ。

027はその値をふくまないことを表す。
）
答 ⑴ x≧2⑵ 2≦x<7

次の問いに答えなさい。

変数xが，次の範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。
①5より大きい〔②1以上6以下〕〔③〕

7以上10未満〔〕〔〕〕 yの変域〔〕⑵ 540km の道のりを，時速 45km で進むとき，x時間で進む道のりをykm として，次の問いに答えなさい。
① yをxの式で表しなさい。

②

x，yの変域をそれぞれ求めなさい。

xの変域〔

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4章

比例と反比例

チェック3 比例する量

分速 80mで歩く人がx分間に進む道のりをym として，次の問いに答えなさい。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ yがxに比例するとき，その比例定数を答えなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••y=ax という式で表されるとき，yはxに比例し，aの値が比例定数である。 x

解⑴ 1分間に 80m 進むから，x分間に 80x m 進む。よって，y=80x⑵ y=ax の形になるから，yはxに比例し，比例定数は 80 である。
確認問題３y00

答

12 3 4 …
80 160 240 320 …
⑴ y=80x⑵80

次の⑴〜⑶について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するものにはその比例定数を，比例しないものには×を書きなさい。

分速 200m の自転車がx分間に進む道のりはym である。

⑴式〔〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕〔〕 比例定数〕

縦がxcm ，横が 3x cm の長方形の面積はycm2 である。

⑵⑶

正方形の1辺の長さがxcm のとき，周の長さはycm である。
式
〔チェック4 比例の式

yはxに比例し，x=4 のとき y=12 である。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ x=5 のときのyの値を求めなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解⑴ y=ax に x=4，y=12 を代入すると，12=a×4，a=3⑵ y=3x に x=5 を代入すると，y=3×5=15確認問題４

よって，y=3x
答⑴ y=3x⑵y=15

次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=3 のとき y=-18 である。
①②

yをxの式で表しなさい。

x=-6 のときのyの値を求めなさい。

⑵ yはxに比例し，x=-2 のとき y=6 である。
①②

③〔〕

〔〕

〔〕

〔〕 x=-4〕〔〕yをxの式で表しなさい。

x=3，x=-4 のときのyの値をそれぞれ求めなさい。

y=15 のときのxの値を求めなさい。

x=3〔

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4章

比例と反比例

単元20

覚えよう！

P.137〜143
yじく

右の図で，横の数直線をx軸または横軸，縦の数直線をy軸または縦軸，x軸とy
ざ ひょう

げんてん

軸を合わせて座標軸，座標軸の交わる点Ｏを原点という。

2

右の図で，点Ｐの位置は，点Ｐからx軸，y軸にそれぞれ垂直な直線を引き，x軸，y軸と交わる点の目盛りの数値の組(2，3)で表す。このとき，(2，3)を点Ｐの座標，2を点Ｐのx座標，3を点Ｐのy座標という。また，点ＰをＰ(2，3)とも書く。
①a>0 のとき

y② a<0 のとき右上がり増加比例のグラフ 比例 y=ax(aは0でない定数)のグラフは，原点を通る直線である。

3右下がり増加x増加

y4軸
32-2O

座標軸
Px軸
42-2 原点

x正の向き

xO

減少

O

y正の向き

1

教科書

比例⑵

チェック1 座標
次の問いに答えなさい。

例題⑴

右の図で，点P，Q，R，Sの座標を答えなさい。

⑵

次の点を，右下の図にかき入れなさい。

yA（2，5），B（-4，2），C（-2，-3），D（3，-5）

Q••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解⑴それぞれの点からx軸，y軸に垂直にひいた直線が，x軸，y軸と交わる点の目盛りを読み取る。

R4P2-4 -2 O-22-4

Ｐ…x=4，y=3 に対応するから，P(4，3)
Ｑ…x=-2，y=2 に対応するから，Q(-2，2)S
yＲ…x=-5，y=-1 に対応するから，R(-5，-1)
Ｓ…x=3，y=-4 に対応するから，S(3，-4)⑵ Ａ…原点から右へ2，上へ5だけ進んだところの点。

B

Ｂ…原点から右へ-4（左へ4），上へ2だけ進んだところの点。
Ｃ…原点から右へ-2（左へ2），上へ-3（下へ3）だけ進んだところの点。
Ｄ…原点から右へ3，上へ-5（下へ5）だけ進んだところの点。

4A

2-4 -2 O-22

C -4

答

確認問題１

⑴

P(4，3)，Q(-2，2)，R(-5，-1)，S(3，-4)

次の問いに答えなさい。

⑴ 右の図で，点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔ，Ｕの座標を答えなさい。

y55ORU-55Ａ(4，2)
Ｂ(-2，5)Ｃ(-1，-4)

SＤ(4，-6)
Ｅ(0，2)

Ｐ〔〕 Ｑ〔〕Ｒ〔〕 Ｓ〔〕Ｔ〔〕 Ｕ〔〕Dyにかき入れなさい。
Tx

x4

右の図

⑵ 次の点を，右の図

PQ-5⑵

x

4-5O

5x-5Ｆ(-4，0)

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4章

比例と反比例

チェック2 比例のグラフ⑴y=2x について，次の問いに答えなさい。

例題

xの値に対応するyの値を求め，右の表の空欄を⑴うめなさい。

y=2x のグラフをかきなさい。

⑵

x…

y-3 -2 -101

2…

…

…
y•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解3⑴ y=2x に，x=-3，-2，-1，……，3をそれぞれ代入して，yの値を求める。

5順に，y=2*(-3)=-6，y=2*(-2)=-4，y=2*(-1)=-2，y=2*0=0，y=2*1=2，y=2*2=4，y=2*3=6⑵ 対応するx，yの値を座標とする点（-3，-6），（-2，-4），（-1，-2），-5（0，0），（1，2），（2，4），（3，6）をとり，それらを直線で結ぶ。
比例のグラフは原点を通る直線だから，原点以外に通る1点を求め，その点と原-5点を通る直線をひいてもよい。
答

確認問題２…

y

順に，-6，-4，-2，0，2，4，6-4 -3 -2 -101234x1x2…

y5…

-6 -4 -202…

46-5-5…

⑴ y

グラフが右の図の⑴〜⑶になる比例の式をそれぞれ求めなさい。

5••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解

グラフ上の原点以外の点を1つ読み取り，その点のx座標，y座標の値を y=ax⑵に代入して，aの値を求める。

⑴グラフは点(1，-4)を通るから，y=ax に x=1，y=-4 を代入して，-4=a*1，a=-4 よって，y=-4x-5答⑴

y=-4x-51
y= x3⑵右のグラフ⑴〜⑶について，yをxの式で表しなさい。

⑶

5-5⑴
〔〕

⑵
〔〕

⑶〔x5O

⑶

⑵ グラフは点(3，1)を通るから，y=ax に x=3，y=1 を代入して，11
1=a*3，a=よって，y= x33⑶ グラフは点(5，-2)を通るから，y=ax に x=5，y=-2 を代入して，22-2=a*5，a=よって，y=- x55

確認問題３x5O…

チェック3 比例のグラフ⑵
例題

上の図y…

…

⑵ y=⑵

下の表の空欄をうめて，グラフを右の図にかき入れなさい。

⑴ y=-xx⑴

x5O〕

y2x5⑴
⑵

O-5y=-5x⑶95094-095_KeyworkGAKUTO_GU.4Bg.indd 95

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4章

比例と反比例練単元191習問

題

その180L の水が入った水そうから，毎分 15L ずつ水を出し続けるとき，水を出し始めてx分後の，水そう1 関数に残った水の量をyＬとする。次の問いに答えなさい。
⑴

下の表のア〜オにあてはまる数を求めなさい。
x0y18012345アイウエオ

yをxの式で表しなさい。

⑵

ア〔〕 イ〔〕 ウ〔エ〔〕 オ〔〕⑶ x=8 のときのyの値を求めなさい。
⑷ y=30 のときのxの値を求めなさい。
単元1922 変域⑴

変数xの変域は，-1 以上5以下〔③②〔〕〔〕〔〕

変数yの変域は，-5 より大きく -2 未満〔〕

変数xの変域は，-7 以上12未満〔⑵〕

次の問いに答えなさい。

次の変数の変域を，不等号を使って表しなさい。
①④〕

変数yの変域は，-3 より大きく9以下〔〕〕

変数xが下の数直線に示された範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。

①-503 比例する量②5〔
単元1931-50〕

5〔〕

次の⑴〜⑸について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するものにはその比例定数を書き，比例しないものには×を書きなさい。
⑴

分速 55m でx分間歩くと，ym 進む。

〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

式〔〕 比例定数〔〕式〔〕 比例定数〔〕

式〔
⑵

⑶

正方形の1辺の長さがxcm のとき，面積はycm2 である。
1m が120円のリボンをxm 買うときの代金はy円である。

⑷ 50g の箱に1個 180g のボールをx個つめたときの全体の重さはyg である。

⑸

xmL のジュースを7個のコップに同じ量ずつ分けると，コップ1個分のジュースの量はymL である。

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4章

練

単元19
3

1 比例する量習問

題そのを書きなさい。

2 比例の式〕 比例定数〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

yはxに比例し，x=4 のとき y=-28 である。次の問いに答えなさい。

⑴ yをxの式で表しなさい。

⑵ x=-6 のときのyの値を求めなさい。

⑶ y=35 のときのxの値を求めなさい。

単元20
1

2

底辺がxcm，高さが 18cm の三角形の面積をycm2 とするとき，yをxの式で表し，比例定数

式〔

単元194

比例と反比例

3 座標⑴

次の問いに答えなさい。

y

右の図の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏの座標を答えなさい。

5⑵Ａ〔〕 Ｂ〔〕Ｃ〔〕 Ｏ〔〕B-5

Ｅ(0，4)

Ｆ(4，0)

Ｇ(3，-1)5O

右の図に，次の各点をかき入れなさい。
Ｄ(-6，5)Ax-5C

y
単元2024 比例のグラフ⑴ y=3x⑵ y=1x3

1⑶ y=- x
4⑷ y=-3x2

次の比例のグラフを右の図にかき入れなさい。

5-5O

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4章

比例と反比例Key プラス
単元194

その

1

1 次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=3 のとき y=-9 である。xやyが次の値のとき，それぞれに対応するyやxの値を求めなさい。
① x=-2③②〔y=-10〕④〔x=53y=15〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

⑵ yはxに比例し，x=-6 のとき y=-9 である。xやyが次の値のとき，それぞれに対応するyやxの値を求めなさい。
① x=-4③〔y=-15x=-14④3y=4〕〔単元203②〕

2 右のグラフは，比例のグラフである。次の問いに答えなさい。
⑴

y⑵右のグラフ①〜③について，yをxの式で表しなさい。
①〔〕

②〔〕

③〔〕

①5-5①，②のグラフ上の，y座標が3である点の座標をそれぞれ求めな②O

5x③さい。
①〔〕 ②〔-5〕

3 次の問いに答えなさい。
⑴

3点(a，-15)は，y= x のグラフ上の点である。aの値を求めなさい。
5〔⑵〕原点(0，0)と点(-2，8)を通る直線がある。点(-20，b)がこの直線上にあるとき，bの値を求めなさい。

〔〕⑶ 2点Ａ(3a，b)，Ｂ(a+4，3b-1)がある。点Ａを右に8，下に3だけ移動すると点Ｂに重なるという。a，bの値を求めなさい。

〔〕

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4章

Key プラス

比例と反比例
その1 右の図の台形 ABCD で，点Ｐは辺 BC 上をＢからＣまで動く。BP の長さ

2A

D2をxcm，三角形 ABP の面積をycm として，次の問いに答えなさい。
⑴ yをxの式で表しなさい。

〔

6 cm〕

⑵ x，yの変域をそれぞれ求め，下のような形で答えなさい。

Bôxô ， ôyôxの変域〔〕 yの変域
〔10し，座標の1目盛りを1cm とする。
辺 OA の長さを求めなさい。
〔⑵〕

y2 右の図のような三角形 OAB について，次の問いに答えなさい。ただ⑴C

P9 cm〕

B

5

頂点Ｂからx軸に垂直な直線をひき，x軸と交わる点をＣとすると

き，BC の長さを求めなさい。
〔⑶単元202〕5Ox三角形 OAB の面積を求めなさい。

〔〕
33 y=- 2 x のxの変域を -4ôxô2 として，次の問いに答えなさい。
⑴ 変域の部分について，グラフを右の図にかき入れなさい。

⑵

10Ayの変域を求めなさい。

y5-5O

5x-5〔〕

4 次の三角形の面積を求めなさい。ただし，座標の1目盛りを1cm とする。
⑴ 3点Ａ(-2，3)，Ｂ(-2，-3)，Ｃ(7，1)を頂点とする三角形⑵ 3点Ａ(1，4)，Ｂ(-2，-5)，Ｃ(9，4)を頂点とする三角形⑶ 3点Ａ(-3，4)，Ｂ(-1，-4)，Ｃ(5，-1)を頂点とする三角形

〔〕

〔〕

〔〕
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