広島工業大学紀要研究編
第 ₄₇ 巻（₂₀₁₃）19 – 24

論

文

準天頂衛星を用いた地殻変位検知システム
浦崎修治*・黒田晋嗣**・大島正資**（平成₂₄年 ₉ 月₂₁日受付）

Crustal Movement Observation System Using Quasi-Zenith Satellites
Shuji URASAKI, Shinji KURODA and Tadashi OSHIMA(Received Sep. 21, 2012)

Abstract
We propose observation system of crustal movement at the area of earth stations using two quasizenith satellites which have retro-directive antenna on board. Inthis sysyem, the crustal movement isobtained by interfering with two singnals from retro-directive antennas which transmit the receivingwaves from the earth station antenna towarad the direction of the earth station antenna.
From the link budget of this system, for the earth station anntenna we select the spherical reflector
anntenna having two anntena beams.
Key Words: interferometry, quasi-zenith satellites, earth station antenna, spherical reflector antenna

₁ ．まえがき
VLBI（Very Long Baseline Interferometry，超長基線電︵₁︶波干渉計）を用いた地殻変位検知システムは，電波星と地上の距離が長いため受信電力が弱くなり地上のアンテナ開口径が増大する。また，観測精度を高めるには地上局間の距離も長くなり，オンライン観測を行う場合には通信設備が増大する。いずれにおいても建設費用が増大するという問題点がある。
今回提案する地形変位検知システムは，地上局からリトロディレクテイブアンテナを搭載した ₂ 個の準天頂衛星 ︵₂︶へ向けて電波を送信し，リトロディレクテイブアンテナ ︵₃︶

図₁により送り返された受信波を地上局の設備内で干渉させることにより，地上局が設置されている地殻の変位を観測す

準天頂衛星の軌道の設計結果を報告する。

るものである。これにより原子時計を不要とし，簡素化し₂ ．地殻変位検知システムた地殻変位検知システムを得るものである。図 ₁ に代表的な準天頂衛星の軌道 ︵₄︶ を示す。

提案する地殻変位検知システムを図 ₂ に示す。宇宙空間

今回，地球局から発射した電波が準天頂衛星のリトロには，リトロディレクティブアンテナ装置を搭載した，軌ディレクテイブアンテナにより地球局へ送り返されるまで道位置が既知である ₂ 個の衛星を配置する。ここでリトロの回線設計を行い，このシステムに適した地球局アンテナ

ディレクティブアンテナ装置は，受信した信号の到来方向* 広島工業大学工学部電気システム工学科** 三菱電機株式会社
─ 19 ─

浦崎修治・黒田晋嗣・大島正資

図₂

地殻変位検知システムの構成

図₃を検知し，到来方向へ向けて電波を送信する装置であり，各方面で応用されている︵₃︶

距離差の情報から， ₂ 個の衛星を基準とした地上局アンテナの位置を計算することができる。

。

地球上には， ₂ 個のアンテナビームをもつ地上局アンテ

図 ₃ に示すように，地上局アンテナと衛星 a との距離をナを設置する。この地上局アンテナは ₂ 個の衛星に向けてr，地上局アンテナと衛星 b との距離を r + x とすると，次電波を同時に送信し，次に各リトロディレクティブアンテ式が得られる。

ナ装置により送り返された電波を受信する。この地上局アンテナには， ₂ 個の受信波による時間差，すなわち位相差に基づいて ₂ 個の衛星を基準とした地上局アンテナの位置を決める干渉装置，衛星の複数個の位置に対する地殻変位を記録する地上局位置記録装置，および衛星の軌道上の位( r + x ) = d cos β + r cos α（₂）

d sin β = r sin α（₃）

ここで，衛星 b を中心として，衛星 a 方向と地上局アンテナ方向のなす角を β とする。

置などを事前に蓄積する衛星位置蓄積装置を配置している。

この式より，衛星 a と地上局アンテナとの距離 r，ならびに衛星 b と地上局アンテナとの距離 r + x が求められる。

₂.₁

地殻変位検知法

次に，地上局アンテナから基線方向へ下ろした垂線と基地上局アンテナは，地球上の地殻変位を観測したい位置に設置される。図 ₂ の衛星位置蓄積装置から送られてきた線との交点を H とする。衛星 a と交点 H との距離 z は，次式で与えられる。

衛星の軌道上の位置に基づき，地上局アンテナは同時に ₂z = ( r + x )cos β − d

ビームを ₂ 個の衛星 a，b へ送信する。

（₄）

衛星 a，b では，地上局アンテナからの送信波を受信した

この距離 z は，地上局位置記録装置へ蓄積される。所定

後，それぞれに搭載されたリトロディレクティブアンテナの時間毎に距離 z を求めることにより，地上局の位置する装置によって地上局アンテナへ信号を送り返す。地上局ア場所の地殻変動を求めることができる。

ンテナで受信された ₂ 個の受信波は，干渉装置へ送られる。

すなわち，上記の観測を例えば ₂ 回行い， ₁ 回目に求この干渉装置では，これら受信 ₂ 波が干渉装置へ入力さまった衛星 a と交点 H との距離を z， ₂ 回目に求まった距

れる時間の差から，地上局アンテナと衛星 a 間の距離と，離を z′ とすると，この差分 δ = z′- z が，地上局アンテナの地上局アンテナと衛星 b 間の距離との差 x を検出する。

位置の基線方向の変位量を表す。この地上局アンテナの位リトロディレクティブアンテナ装置が電波を受信してから地上局アンテナへ向けて送信するまでに要する時間は一置の変位を検知することにより，地上局付近の地殻の変位を検出することができる。

定である。地上局アンテナが ₂ 個の衛星に電波を送信してこのシステムでは，衛星を用いているため，従来の電波から受信するまでの時間をそれぞれ τ a，τ b，光速を c とす星を用いたシステムに比べて，通信距離がかなり短くなりると，次式から距離差 x を求めることができる。

通信装置が簡素化される。また地上の観測装置間の干渉は

x = (τ b − τ a ) ⋅ c（₁）

干渉装置では，この地上局アンテナと ₂ 衛星間の距離差不要となり，建設費用が安価になるため，地殻変位を観測したい地上局が多数ある場合でも建設費用が莫大にならないという利点がある。

x， ₂ 個の衛星の軌道位置から求められる衛星間距離 d と，使用する衛星としては，静止衛星，準天頂衛星［₂］，低および地上局アンテナから送信される ₂ ビーム間の角度 α

軌道衛星が考えられる。また₂₄時間，常に観測するために

─ 20 ─

準天頂衛星を用いた地殻変位検知システム

δ = z′ − z= ( r ′ + x ′ )cos β ′ − ( r + x )cos β（₇）

また図 ₃ に示した各パラメータ間の関係式を再記すると次のようになる。
( r + x ) = d cos β + r cos α（₈）

d sin β = r sin α（₉）

式（₈），（₉）から r を消去して次のようになる。

ααd cos  β +  = x cos

22

（₁₀）

同様に変化した成分についても次式が成り立つ。
図₄ααd cos  β ′ +  = x ′ cos22

準静止衛星の衛星軌道（₁₁）

式（₁₀），（₁₁）から次式が得られる。
は静止衛星，準天頂衛星が選択される。静止衛星は，赤道( x′ − x )近辺の地点からは高仰角であるが，高緯度地域では低仰角となる。低仰角の場合には，通信条件が変動する大気伝播準天頂衛星が有効である。準天頂衛星は，赤道に対して傾いた軌道を有し，地球から見た準天頂衛星の衛星軌道を，
図 ₄ に示すように一定の地域に ₈ の字を描くようにすることができる。

αd  sin β tan − cos β  = − x
2（₁₃）αd  sin β ′ tan − cos β ′ = − x ′


2（₁₄）

式（₁₃）,（₁₄）から次式が得られる。

図 ₄ では， ₈ の字の上半分の衛星軌道は ₈ 時間で，下半αd {tan (sin β ′ − sin β ) − (cos β ′ − cos β )}2= −( x ′ − x )分の衛星軌道は₁₆時間で一周する。この衛星軌道の上半分に ₂ 個の衛星 a，b が配置されている間，地上局アンテナからは， ₂ 個の人工衛星 a，b を結ぶ基線が高仰角天空で回転しているように見える。すなわち，複数個の準天頂衛星のとすると次のようになる。

よって，準天頂衛星ペアを結ぶ基線方向の地殻変位成分を検出する。従って，この衛星軌道に ₆ 個の衛星を配置すれば，地上局アンテナの高仰角上に，₂₄時間，常に衛星が存在し，回転する基線方向における地殻変位を観測できる。

−( x ′ − x )αd  tan cos β + sin β 2cos Δ ≒ ₁（₁₆）

sin ∆ ≒（₁₇）

式（₁₅）の (cos β ′ − cos β ) は次のようになる。

α{sin β cos ∆ + cos β sin ∆2( x′ − x )− sin β} +dcos β ′ − cos β = tan

数値検討

図 ₂ に示したシステムの干渉結果から x を測定できるものとすると z を再記すると次のようになる。
（₅）

次に ₂ 回目以降の観測によって，z が z′ に変化したものとすると次のようになる。
z ′ = ( r ′ + x ′ )cos β ′ − d（₁₅）

ここで，β ′ = β + Δ とおく，Δ は β に比べて十分小さい値

うち， ₂ 個の準天頂衛星ペアを時間的に切り替えることにz = ( r + x )cos β − d（₁₂）

式（₁₁），（₁₂）から x，x′ を求めると次のようになる。の距離が増大し観測精度が劣化するため，高緯度地域では

₂.₂cos α2αα= cos  β ′ +  − cos  β + d2
2

（₁₈）

式（₁₆），（₁₇）を式（₁₈）に代入して次のようになる。
cos β ′ − cos β =( x ′ − x ) sin β cos α2⋅dsin β + α2()（₁₉）

したがって，β ′ は β によって次のように表わされる。
（₆）

ここで，変化したものに ′ をつけている。なお，z′ は地
上局アンテナが置かれている点 E が変位したものによる変化であり，d を一定とすると E の変位 δ は次のようになる。
─ 21 ─cos β ′ = cos β +( x ′ − x ) sin β cos α2⋅dsin β + α2()式（₇）,（₂₀）から δ を求めると次のようになる。

（₂₀）

浦崎修治・黒田晋嗣・大島正資

d(cos 2 β ′ − cos 2 β )1 − cos α1+( x ′ cos β ′ − x cos β ) 1 −
1 − cos α os β2d co(cos β ′ − x cos β )=1 − cos α≒ − cos α ( x ′ cos β ′ − x cos β )1 − cos α( x ′ − x )sin β cos α2( 2d cos β − x ′ cos α )=d(1 − cos α )sin β + α2δ=()cos α cos β−( x′ − x )1 − cos ααx′( x ′ − x )  sin β cos 2 
2 cos β − cos α 
=
α 
d
1 − cos α  sin β + 2 − cos α cos β (式（₂₅）の図₅)

₃.₁（₂₁）なる ︵₅︶，︵₆︶。
PG G λPˆs = t tr sa2( 4π r )x′
cos α の x′ を x と近似すると，式（₈），
（₉）
d（₂₆）

る。

{}

sin β(cos α − 1 ) + cos β dsin αsin(α + β ) − sin β=dsin αまた，地球局の送受信アンテナ利得 G tr とアンテナの幾何学的な面積 A との間には，次式が成り立つ。
（₂₂）

Gtr =

δ = −( x ′ − x )cos( 2β + α )2 sin α2 sin β + α2()（₂₃）

式（₂₃）において，三角形 Eab が二等辺三角形とすると

π −α2( )

（₂₇）

（₂₄）

径を D とすると，A は π D 2 / 4 である。
リトロディレクティブアンテナ内蔵のアンプ利得を ga とおくと，準天頂衛星に搭載したリトロディレクティブアンテナから放射され，地球局で受信したときの受信電力 Ps は（₂₆）式を用いて次式で書ける。

式（₂₄）を式（₂₃）に代入して，次のようになる。
( x′ − x )2 sin α24πη A
λ2

ここで η は開口能率であり，またパラボラアンテナの直式（₂₂）を式（₂₁）に代入して次のようになる。

δ=2

ここで，r は地球局－準天頂衛星間距離，λ は波長であx ′≒=xβ=

信号処理後 SNR の計算

一つの準天頂衛星が受信する信号電力 P̂s は次式のようにから次のようになる。

=

設計パラメーター

Ps =（₂₅）（₂₈）

地球局の受信機雑音電力 PN は次式で表される。

したがって，α が大きい場合，すなわち衛星 a，b が離れPN = kTBN Fると分解能は向上する。

（₂₉）

ここで，k はボルツマン定数（＝₁.₃₈×₁₀-₂₃），B は受信

ここで，( x ′ − x ) は干渉計の精度である。今，α を₄₀゜，d を ₂ mm とすると，干渉計の精度として ₄.₅₆ ps（ピコ秒）2PˆsGtr Gsa g a λ 2 Pt Gtr2 Gsa
ga λ 4=2( 4π r )( 4π r )4

機帯域幅，NF は受信機雑音指数である。

が要求される。いま，周波数を ₂₂ GHz とすると，₄.₅₆ ps

よって，信号処理前の SNRin は次式となる。

は₃₆°の位相差に対応する。

SNRin =

₃ ．回線設計

Ps
P G2 G2 g λ 4= t tr 4 sa aPN ( 4π r ) kTBN F（₃₀）

ここで，地球局において受信信号のコヒーレント積分を

図 ₅ に回線設計に必要なパラメータを示す。ここで，P t行い，位相を抽出することを考える。積分時間を Tcoh とす

は地上局アンテナの送信尖頭電力，Gtr は地上局アンテナのると，コヒーレント積分による積分利得 Gcoh は次式で書け

送受信アンテナ利得，G sa は準天頂衛星搭載リトロディレる。

クティブアンテナの送受信アンテナ利得，準天頂衛星搭載
リトロディレクティブアンテナ内蔵のアンプ利得を ga であGcoh = BTcoh（₃₁）

従って，コヒーレント積分後の SNRout は次式で表される。

る。
─ 22 ─

準天頂衛星を用いた地殻変位検知システム

₃.₂

2
Pt Gtr2 Gsa
g a λ 4Gcoh( 4π r )4 kTBN F

SNRout =距離精度計算例

式（₂₇），（₃₂），（₃₈）を用いて，地上局の送受信アンテ

P G 2 G 2 g λ 4Tcoh= t tr sa4 a( 4π r ) kTN F（₃₂）

ナの直径を変化させたときの地殻変位 δ の推定誤差の RMS
値

Var(δ ) （変位推定誤差）との関係を計算した。計算に用いたパラメータを表 ₁ に示す。アンテナ直径と推定距離₃.₂

地殻変位計測精度誤差との関係を図 ₄ に示す。

地球局から放射された電波が衛星 a に到達し，再び地球

上記の計算例では，内蔵アンプ利得 ₃₅ dB，アンテナ直局にて受信されるまでに要する時間を τ ₁，同様に衛星 b に径が ₁₀ m のときに変位計測精度 ₀.₄ mm 程度となること

放射した電波が地球局にもどってくるまでの時間を τ ₂ とすが分かった。ただし，内蔵アンプ利得が ₃₅ dB より高くなる。地球局にて，送信信号と各衛星からの受信信号とを干ると，アンテナ直径を ₁₀ m から小さくできる。

渉させて観測した位相 Φ̂1 ， Φ̂ 2 において， Φ̂1 = 2π f 0τ 1 ，
表₁Φ̂ 2 = 2π f 0τ 2 が成り立つので，地球局－衛星 a 間と地球局－衛星 b 間の距離差 x は次式のようにかける。
x=ˆ −Φˆ )c( Φ21
4π f 0光速（₃₃）

計算パラメータ
₃×₁₀₈ m/s

c

送信信号周波数₂₂ GHzf₀

開口能率 η₇₀％ˆ −Φˆ には整数値バイアスが含まれており，
ただし， Φ21

アンテナ直径D₅ m, ₁₀ m, ₁₅ m, ₂₀ m

あらかじめ決定しておく必要がある。すなわち，距離差 x

送信尖頭電力Pt

パラメータはあらかじめ波長オーダーで決定されてなければならない。

距離式（₂₅）に従い，x と二回目以降に観測した距離差 x′ とを用いて，地球局アンテナの基線方向の変位 δ は次式のよ送信局アンテナ利得

Gtr

衛星搭載アンテナ利得

うにかける。

δ=₃₆₆₀₀ km

Rx′ − x2 sin α2（₃₄）

従って，観測位相 Φ̂1 と Φ̂ 2 の観測精度限界から，変位 δの観測精度限界が計算される。
まず Φ̂1 の観測精度理論限界（CRLB; Cramer-Rao LowerBound）は次式で与えられる ︵₇︶．
ˆ )≧Var( Φ112SNRout（₃₅）

Gsa

₅₉.₇ dBi, ₆₂.₆ dBi, ₆₅.₇ dBi,₆₉.₂ dBi, ₇₁.₇ dBi
₂₀ dBiリトロディレクティブアンテナ
内蔵アンプ利得 ga

₃₅ dB

ビーム間角度 α₄₀ deg

受信機温度

₂₉₀ K

T

受信機帯域幅B

₁ MHz

受信機 NF

NF

₃ dB

観測時間

Tcoh

₁ sec

ここで，Var(⋅) は分散を表す。衛星 b から受信した信号の SNRout が衛星 a と同じであり， ₂ 個の信号から観測された位相が互いに独立だとすると， ₂ 衛星間の位相差の分散は次式となる。
ˆ −Φ
ˆ )≧Var( Φ211SNRout（₃₆）

また，距離差 x の分散の理論限界は上式（₃₆）と式（₃₃）
を用いて次式となる。
ˆ −Φˆ )c 2Var( Φc221Var( x ) =≧2( 4π f 0 )2 SNRout( 4π f 0 )（₃₇）

₁ 回目に推定した距離差 x と二回目以降に推定した距離差 x′ とが互いに独立であるとして，変位 δ の分散は式（₃₄）,（₃₇）から次のようになる。
Var(δ ) =Var( x ′ − x )(4 sin α2)2≧()2c232 sin α2 (π f 0 )2 SNRout（₃₈）

─ 23 ─

図₆

変位推定誤差の理論限界と地上局アンテナ直径の関係

浦崎修治・黒田晋嗣・大島正資

精度 ₀.₄ mm を得るため，周波数 ₂₂ GHz， ₂ ビーム間隔₄₀度，内蔵アンプ利得 ₃₅ dB とすると地球局アンテナの直径は ₁₀ m となる。この ₂ ビームアンテナ形式として，球面鏡アンテナを選択し鏡面設計した。今回の回線設計においてアンテナビームが狭ビームのためアンテナ雑音を無視した。内蔵アンプ利得が ₃₅ dB より高くなるとアンテナ直径は減少するが，この場合アンテナビームが広がるためアンテナ雑音も考慮した設計が必要となる。なお，干渉装置の位相検出において，₂π の整数倍の不確実性の除去法は超音波探傷で検討されている ︵₉︶。

文献

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原，松本，“レトロディレクティブ機能を備えた平面型アクティブ集積アンテナアレーの検討，”信学技₂ 個の高利得アンテナビームにおいて，両ビームの角度

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有効性の検討，”http://www.enri.go.jp/report/hapichi/

前章の結果から，変位計測精度 ₀.₄ mm 程度を得るためには ₂ ビーム間隔は₄₀度，アンテナ直径は ₁₀ m となる。図₈ に，主反射鏡は点 C を中心とする球面鏡，副反射鏡は球

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