信号解析論
Signal Processing

第１３回講義資料
Lecture notes 13

スペクトル解析と窓関数
Spectral analysis and window functions

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi
1スペクトル解析(Spectral analysis)
今日の目標(Today’s goal)
以下の連続時間信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)の周波数特性を周期𝑇𝑇s でサンプリングすることによって解析する。

Analyze the frequency response of the following continuous-time signal 𝑥𝑥(𝑡𝑡) via sampling with period 𝑇𝑇s .

sin 𝜋𝜋𝜋𝜋,𝑥𝑥 𝑡𝑡 =𝜋𝜋𝜋𝜋

真の周波数特性(True frequency response)∞∞1𝑋𝑋� 𝑓𝑓 = � 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �0∞∵ � 𝑋𝑋� 𝑓𝑓 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �−∞

1/2−1/2𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

解析における前提(Assumptions in analysis)••𝑥𝑥 0 = 0for 𝑓𝑓 ≤ 1/2,otherwise

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 �1/20sin 𝜋𝜋𝜋𝜋cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝜋𝜋𝜋𝜋𝑥𝑥(𝑡𝑡)がどんな信号かは事前にわからない。(We have no information on 𝑥𝑥(𝑡𝑡) in advance.)
ナイキスト周波数𝑓𝑓N = 1/(2𝑇𝑇s )以上の周波数成分は𝑥𝑥(𝑡𝑡)に存在しない。
𝑥𝑥(𝑡𝑡) contains no signals with frequency higher than the Nyquist frequency 𝑓𝑓N = 1/(2𝑇𝑇s ).

2

素朴な方法(Naïve method)
有限サンプリング(Finite sampling)
サンプリング周期𝑇𝑇s で𝑥𝑥(𝑡𝑡)を量子化する。(Quantize 𝑥𝑥(𝑡𝑡) with sampling period 𝑇𝑇s .)𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥

𝑁𝑁𝑇𝑇𝑛𝑛 −2 s

離散フーリエ変換(Discrete Fourier transform)

for 𝑛𝑛 = 0, … , 𝑁𝑁 − 1

𝑁𝑁−1

𝑋𝑋 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑁𝑁
𝑛𝑛=0

スペクトル解析(Spectral analysis)��
𝑥𝑥(𝑡𝑡)のフーリエ変換𝑋𝑋(𝑓𝑓)の推定値𝑋𝑋(𝑓𝑓)を以下とする。
��
Define an estimate 𝑋𝑋(𝑓𝑓)of the Fourier transform 𝑋𝑋(𝑓𝑓)of 𝑥𝑥(𝑡𝑡) as𝑋𝑋�𝑘𝑘= 𝑇𝑇s 𝑋𝑋[𝑘𝑘]𝑁𝑁𝑇𝑇s

𝑁𝑁を大きくすると、周波数の解像度が上がる。
The resolution of frequency increases as 𝑁𝑁 grows.

3一致性(Consistency)
定理１３.１(Theorem 13.1)
極限𝑇𝑇s → 0, 𝑁𝑁𝑇𝑇s → ∞において、In the limit 𝑇𝑇s → 0 and 𝑁𝑁𝑇𝑇s → ∞,証明(Proof)�𝑋𝑋� 𝑓𝑓 → 𝑋𝑋(𝑓𝑓)１２回講義資料p. 8から、極限𝑇𝑇s → 0において、
From the lecture notes 12, p. 8, we find that as 𝑇𝑇s → 0,

よって(Thus,)𝑋𝑋� 𝑘𝑘/ 𝑁𝑁𝑇𝑇s

Let 𝑋𝑋� 𝑘𝑘/ 𝑁𝑁𝑇𝑇s∞𝑇𝑇s 𝑋𝑋 𝑘𝑘 → �∞

𝑇𝑇−𝜖𝜖−𝜖𝜖𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑1𝑘𝑘
�� 𝑇𝑇s 𝑋𝑋 𝑘𝑘 𝛿𝛿− 𝑓𝑓 → 𝑋𝑋(𝑓𝑓)
𝑁𝑁𝑇𝑇s𝑁𝑁𝑇𝑇s𝑘𝑘=−∞= 𝑇𝑇s 𝑋𝑋[𝑘𝑘]とおくと、極限𝑇𝑇s → 0, 𝑁𝑁𝑇𝑇s → ∞において、= 𝑇𝑇s 𝑋𝑋[𝑘𝑘]. In the limit 𝑇𝑇s → 0 and 𝑁𝑁𝑇𝑇s → ∞,∞1𝑘𝑘� 𝑇𝑇s 𝑋𝑋 𝑘𝑘 𝛿𝛿− 𝑓𝑓 → � 𝑋𝑋� 𝑓𝑓 ′ 𝛿𝛿(𝑓𝑓 ′ − 𝑓𝑓) 𝑑𝑑𝑓𝑓 ′ = 𝑋𝑋� 𝑓𝑓
𝑁𝑁𝑇𝑇s𝑁𝑁𝑇𝑇s−∞
𝑘𝑘=−∞

∎4

𝑋𝑋� 𝑓𝑓

𝑇𝑇s = 1/7に対する素朴なスペクトル解析(Naïve spectral analysis for 𝑇𝑇s = 1/7)

𝑓𝑓5

リップルの原因(Cause of ripples)
離散フーリエ変換は時間領域信号の周期性を暗に仮定する。
The discrete Fourier transform postulates the periodicity of the time-domain signal implicitly.

𝑥𝑥[𝑛𝑛]

𝑁𝑁 = 128

𝑇𝑇s = 1/7

𝑛𝑛
信号が滑らかにつながっていない。(The signals are not connected smoothly.)

6矩形窓による解釈(Interpretation via the rectangular window)
離散時間フーリエ変換(Discrete-time Fourier transform)
信号𝑥𝑥𝑤𝑤 𝑛𝑛 = 𝑤𝑤[𝑛𝑛]𝑥𝑥 𝑛𝑛 の離散時間フーリエ変換を𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑓𝑓 とする。
Let 𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑓𝑓 denote the discrete-time Fourier transform of 𝑥𝑥𝑤𝑤 𝑛𝑛 = 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑥𝑥[𝑛𝑛].

∞𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = � 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ,
𝑛𝑛=−∞

矩形窓

Rectangular window

素朴な方法Naïve method𝑛𝑛,
𝑤𝑤 𝑛𝑛 = 𝑤𝑤
𝑁𝑁 − 1∞

𝑤𝑤 𝑡𝑡 = �10

𝑓𝑓s = 1for 𝑡𝑡 ∈ 0, 1 ,otherwise

𝑋𝑋 𝑘𝑘 = � 𝑤𝑤[𝑛𝑛]𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑁𝑁 = 𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑘𝑘/𝑁𝑁𝑛𝑛=−∞

𝑋𝑋[𝑘𝑘]は離散時間フーリエ変換𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 の𝑓𝑓 = 𝑘𝑘/𝑁𝑁でのサンプル値とみなせる。
𝑋𝑋[𝑘𝑘] is regarded as a sample at 𝑓𝑓 = 𝑘𝑘/𝑁𝑁 of the disrete-time Fourier transform 𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .

解釈

有限サンプリングは、時間領域で信号𝑥𝑥[𝑛𝑛]を𝑥𝑥𝑤𝑤 [𝑛𝑛] に歪ませている。

Interpretation In finite sampling, the time-domain signal 𝑥𝑥[𝑛𝑛] is distorted to 𝑥𝑥𝑤𝑤 [𝑛𝑛].

7周波数領域における歪み(Distortion in frequency domain)
周波数領域における畳み込み(Convolution in frequency domain)∞∞
𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∞
𝑛𝑛=−∞ 、 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞ 、 𝑥𝑥𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞ の離散時間フーリエ変換をそれぞれ𝑋𝑋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 、𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 、𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 とする。
Let 𝑋𝑋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 , 𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 , and 𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 denote the discrete-time Fourier transforms of 𝑥𝑥 𝑛𝑛∞∞
𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞, and 𝑥𝑥𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞, respectively.

定理１２.１より

From Theorem 12.1,𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋=�

1−𝜖𝜖−𝜖𝜖′∞𝑛𝑛=−∞ ,′𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓 𝑋𝑋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓−𝑓𝑓 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

矩形窓の離散時間フーリエ変換(Discrete-time Fourier transform of the rectangular window)
∞

𝑁𝑁−1

𝑛𝑛=−∞

𝑛𝑛=0

𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = � 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = � 𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋=1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
sin 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋−𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑁𝑁−1)𝑓𝑓= −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋=𝑒𝑒
sin 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑁𝑁−1

𝑊𝑊 1 = � 1 = 𝑁𝑁
𝑛𝑛=0for 𝑓𝑓 ≠ 08

𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 /|𝑊𝑊(1)|

矩形窓の振幅特性(Amplitude response of the rectangular window)

メインローブサイドローブレベル

Main lobe

Sidelobe level

サイドローブSidelobes

第１(First)第２(First)

𝑓𝑓

𝑇𝑇s = 1/79窓関数を用いたスペクトル解析(Spectral analysis by windowing)
窓関数を用いたサンプリング(Sampling with a window function)
サンプリング周期𝑇𝑇s で𝑥𝑥(𝑡𝑡)を量子化する。(Quantize 𝑥𝑥(𝑡𝑡) with sampling period 𝑇𝑇s .)𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥𝑤𝑤 𝑛𝑛 = 𝑤𝑤
𝑁𝑁 − 1

𝑁𝑁𝑇𝑇s𝑛𝑛 −2

離散フーリエ変換(Discrete Fourier transform)

for 𝑛𝑛 = 0, … , 𝑁𝑁 − 1

𝑁𝑁−1

𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑁𝑁
𝑛𝑛=0

スペクトル解析(Spectral analysis)
�𝑥𝑥(𝑡𝑡)のフーリエ変換𝑋𝑋(𝑓𝑓)の推定値
𝑋𝑋�𝑤𝑤 (𝑓𝑓)を以下とする。
�Define an estimate 𝑋𝑋�𝑤𝑤 (𝑓𝑓) of the Fourier transform 𝑋𝑋(𝑓𝑓)of 𝑥𝑥(𝑡𝑡) as𝑋𝑋�𝑤𝑤𝑘𝑘= 𝑇𝑇s 𝑋𝑋𝑤𝑤 [𝑘𝑘]
𝑁𝑁𝑇𝑇s

10

ハミング窓(Hamming window)
時間領域表現(Time-domain representation)
𝑤𝑤 𝑡𝑡 = �𝑎𝑎 − 1 − 𝑎𝑎 cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋0for 𝑡𝑡 ∈ 0, 1otherwise,

周波数領域表現(Frequency-domain representation)
𝑊𝑊 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑁𝑁−1= 𝑎𝑎 � 𝑒𝑒
𝑛𝑛=0∞

𝑎𝑎 = 0.54

𝑁𝑁−1𝑛𝑛𝑛𝑛−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋= � 𝑤𝑤= � 𝑤𝑤
𝑁𝑁 − 1𝑁𝑁 − 1𝑛𝑛=−∞−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛

𝑛𝑛=0

𝑁𝑁−1 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋/(𝑁𝑁−1)− 1 − 𝑎𝑎 �𝑒𝑒+ 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋/(𝑁𝑁−1) −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑒𝑒2𝑛𝑛=0−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋{𝑓𝑓−1/(𝑁𝑁−1)}

1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 1 − 𝑎𝑎 1 − 𝑒𝑒
1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋{𝑓𝑓+1/(𝑁𝑁−1)}= 𝑎𝑎−+−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋−2𝜋𝜋𝜋𝜋{𝑓𝑓−1/(𝑁𝑁−1)}
21 − 𝑒𝑒1 − 𝑒𝑒1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋{𝑓𝑓+1/(𝑁𝑁−1)}11sin𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓−sin
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓+sin 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 1 − 𝑎𝑎
𝑁𝑁 − 1𝑁𝑁 − 1−𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑁𝑁−1)𝑓𝑓++
= 𝑒𝑒
𝑎𝑎11
sin 𝜋𝜋𝜋𝜋2sin 𝜋𝜋 𝑓𝑓 −sin 𝜋𝜋 𝑓𝑓 +𝑁𝑁 − 1
𝑁𝑁 − 111𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 / 𝑊𝑊 1

ハミング窓の周波数特性(Frequency response of the Hamming window)𝑓𝑓

𝑇𝑇s = 1/7

12

時間領域における滑らかさ(Smoothness in time domain)

𝑥𝑥𝑤𝑤 [𝑛𝑛]𝑁𝑁 = 128

𝑇𝑇s = 1/7𝑛𝑛

歪みは生じるが、滑らかにつながる。
The signals are connected smoothly while they are distorted.
13

𝑋𝑋�𝑤𝑤 𝑓𝑓

ハミング窓を用いたスペクトル解析(Spectral analysis with the Hamming window)𝑓𝑓

𝑇𝑇s = 1/7

14

演習(Exercises)
矩形窓に関する以下のパラメータを評価せよ。
Evaluate the following parameters for the rectangular window:

1. 第𝑘𝑘サイドローブのピーク位置𝑓𝑓𝑘𝑘 > 0(Peak positions 𝑓𝑓𝑘𝑘 > 0 of the 𝑘𝑘th sidelobes)
2. サイドローブレベル[dB](Sidelobe level [dB])
𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑗𝑗𝑓𝑓110 log10
𝑊𝑊 1 22

3. 十分大きな𝑁𝑁に対する近似的サイドローブレベル[dB]Approximate sidelobe level [dB] for sufficiently large 𝑁𝑁.

以下の近似を用いよ。(Use the following approximation:)
sin 𝑥𝑥 ≈ 𝑥𝑥 for 𝑥𝑥 ≪ 115