交通流変分理論の最適化問題への緩和によるプローブ車両データからの交通状態推定に関する基礎的考察
Traffic Flow Estimation with the Relaxation of Variational Theory into an Optimization Problem○堀口 良太 1，桑原 雅夫 2
○Ryota HORIGUCHI 1 and Masao KUWAHARA 2
本研究は、ある区間を走行するプローブ車両の時空間軌跡情報から、当該区間での時空間交通状態を推定する手法の理論的な枠組みを考察するものである。これは、交通量センサが設置されていない区間や、災害時にセンサがダメージを受けて情報が得られない場合でも、各種の通信手段でプローブ車両の軌跡情報が得られれば、それを元にどのような交通状態になっているかを推定し、適切な交通運用施策の実施に役立てることを目的としている。論文では、Daganzo が提唱する交通量変分理論(VT: variationaltheory)を最適化問題に緩和してやることで、プローブ軌跡を境界条件としてではなく、制約条件として扱うことで、現実的なプローブデータへの適用性改善を試み、数値実験を通して、VT を応用した交通状態推定に関する基礎的な考察を行う。
Keywords: 交通状態推定, 交通量推定, variational theory, kinematic wave theory, プローブデータに従う交通流に対して、時空間での任意の境界線上の１．はじめに
本研究は、ある区間を走行するプローブ車両の時空間累積交通量高さ Nを境界条件として、図 1 のように境界軌跡情報から、当該区間での時空間交通状態を推定する端部から 前進波(FW: Forward wave)と 後退波(BW:手法の理論的な枠組みを考察するものである。これは、Backward wave)で進む軌跡が交わるまでの範囲の累積交交通量センサが設置されていない区間や、災害時にセン通量を求める「交通量変分理論(VT: variational theory)」2)

サがダメージを受けて情報が得られない場合でも、各種を提唱している。この境界条件は、交通量センサやプロの通信手段でプローブ車両の軌跡情報が得られれば、そーブ軌跡などから与えることができ、計測原理の異なるれを元にどのような交通状態になっているかを推定し、データを交通流の動学理論に基づいて融合できる柔軟性

1)

適切な交通運用施策の実施に役立てることを目的 としを併せ持つことから、様々な応用が取り組まれているている。

3)4)5)。

本稿では、交通状態を時空間上の任意の点における累しかしながら、現実のプローブデータに VT を適用す積交通量の高さを与える 3 次元曲面で表現する。
Daganzo

る場合、理論での前提が現実にそぐわず、以下のようには、交通量の出入がない区間で交通量保存則と FIFO 原適用性が損なわれる場面が見られる。

則を仮定したとき、三角形近似された交通量－密度関数① 区間中で車両が出入りしたり、複数車線があること
で、交通量保存則や FIFO 原則が成立せず、プローブx軌跡が交差したり、途中で途切れたりして、整合性のある境界条件を与えられない。

Distance

Backward wave

② プローブデータの記録方式によっては、間欠的な位置情報しか得られず、時空間で連続した境界条件が形成されない。

N(t, x)N③ 複数のプローブ軌跡が得られたとしても、それぞれForward waveNを独立の境界条件として、個別に交通状態を推定するしかなく、総合的な活用ができない。
このため、本研究では解析的な VT の計算手順を最適Time
図 1 交通量変分理論での交通状態推定範囲
12t化問題に緩和してやることで、プローブ軌跡を境界条件としてではなく、制約条件として扱うことで、現実的なプローブデータへの適用性改善を試みる。

正会員，博士(工学)・TOE，㈱アイ・トランスポート・ラボ〒101-0052 東京都千代田区神田小川町 3-10
e-mail: rhoriguchi@i-transportlab.jp
正会員，Ph.D，東北大学大学院

Phone: 03-5283-8527

Bottleneck以降では、VT を最適化問題として記述した上で、評価値であるエネルギー関数を最小化する数値探索の計算機実験を通して、VT を応用した交通状態推定に関する基礎的な考察を行う。
２．交通流変分理論の最適化問題への緩和2.1 ネットワークを用いた VT の解法
VT は時空間をネットワーク空間に離散化して、各ノードの累積交通量を求める洗練された解法 6)が示されている。ネットワークにはいくつかのパターンが提案されDistanceているが、ここでは図 2 に示した、FW（水色の線）とBW（桃色の線）が単位時間幅t で並んで交差するネットワーク構成を用いる。ここで、各 FW と BW には、時刻順に添字が降られ、i 番目の FW と j 番目の BW が交差Time

図 2 VT ネットワーク構成と制約条件設定リンクする点（ノード）における累積交通量を Ni,j とするとき、0, ⋯VT では境界条件として与えられた既知の Nに隣接する,ノードから、次式(1)で逐次累積交通量を求める。
min,

ここで、 x,,

∆,,,

(1)

∆,

,⋯,

,⋯,

∆,

(3),,,∆: ジャム密度(3) プローブ軌跡のエネルギー: グリッドの単位距離（図 2 参照）

VTで求めた交通状態と整合がとれたプローブ軌跡（図である。即ち、非渋滞流では右辺カッコ中の第 1 項によ2 緑の線）は、累積交通量曲面の等高線に沿っている。って、FW に沿った 1 つ上流側のノードと同じ高さの累

このため、プローブ軌跡上の任意のノード間で、式(4)積交通量となり、渋滞流では第 2 項によって、BW に沿のエネルギーEを導入した場合、Ni,j との整合がとれてった 1 つ下流側のノードから、ジャム密度で並んだ台数いれば必ず 0 になる。

分だけ高い累積交通量になることを示している。また、VT で求めた累積交通量曲面の高さ n の等高線を時空間,,,⋯ ∀, ,∀∈,

(4)に投影したものは、n 番目に流入した車両の走行軌跡を示している。

(4) 渋滞区間中 BW のエネルギー

2.2 エネルギー関数の導入

プローブ軌跡のうち、特に渋滞流となっている区間（図2 赤点線）上のノードにおける累積交通量 Nm,n は、C

ここで、VT で求められた交通状態に対して、以下のBW に沿った 1 つ下流のノードの累積交通量 Nm-1,n からエネルギー関数を導入する。

x だけ増えている。この渋滞流が下流にある既知のボ(1) FW のエネルギートルネックから延伸していると仮定すれば、さらに BW

式(1)は、累積交通量曲面を FW に沿って前方に進むときは、必ず勾配が 0 以下であることを意味している。従に沿ってボトルネック位置に至るまで（図 2 赤矢印）、次式(5)のエネルギーEC が 0 になる。って、図 2 青矢印の FW に対して次式(2)のエネルギーEFを導入した場合、VT で求められた交通状態では、必ず,

∆,

,⋯ ∀,

∈(5)

EF は 0 になる。
0,,

⋯,,,

(5) ショックウェーブ（SW）波面軌跡のエネルギー,⋯,(2),(2) BW のエネルギー

仮に、複数のプローブ軌跡の速度変化点を繋ぐようにSW 波面の軌跡（図 2 紫矢印）が与えられたとして、SW 前後の渋滞流の速度から流率がわかれば、もしくは同様に、式(1)は、累積交通量曲面を BW に沿って後方下流のボトルネック容量が既知であれば、それらの速度に戻るときは、必ず勾配が 0 以上かつx 以下であるこ

その変化点間の次式(6)のエネルギーEを導入したとき、とを意味している。従って、図 2 桃色矢印の BW に対し値が 0 になる。て次式(3)のエネルギーEB を導入した場合、VT で求められた交通状態では、必ず EB は 0 になる。

∆,

∆⋯∀∆
ここで、 Vf,,∀1,,,

表 1 数値実験の条件
(6)

∈⁄

(7)

: FW 速度: BW 速度 (<0)

QD : 渋滞中の流率である。即ち、ノード(m, n)から図 2 紫点線に沿って(p, s)に達する経路の累積交通量変化分が、Nm,n と Np,s の差に等しいことを意味している。

パラメータ記号値

単位FW 速度

Vf15.000m/sec

BW 速度

-10.000m/sec

ジャム密度0.125

pcu/m

区間容量

Qc

0.750

pcu/sec

臨界密度

Kc

0.050

pcu/m

下流端捌け容量Qd

0.400

pcu/sec

区間長

L300m

グリッドの単位時間幅

t

1sec

グリッドの単位距離

x6m

2.3 エネルギー最小によって求められる交通状態
以上で導入したエネルギーを合計すると、VT で求められた交通状態と整合するプローブ軌跡や SW 波面軌跡が与えられた場合にゼロとなり、全ての合計も最小となる。
これは必要条件ではあるが、十分条件ではないため、制約条件であるプローブ軌跡や SW 波面軌跡のエネルギーを最小にする交通状態は一意には定められない。しか1816141210864しながら、制約条件を追加していくことで、解の範囲が2狭くなり、その精度が改善されていくと期待される。

0そこで、それぞれの制約に相当するエネルギーを最小

Arrival flow

[veh/20sec]

020406080100120140

図 3 設定到着交通量パターン化することで、どのように解の範囲が限定されていくかを考察する。
まず、プローブ軌跡のエネルギーを最小化する場合、そのプローブ軌跡に渋滞区間があれば、そこから BW に沿って下流ボトルネックまでの範囲（図 2 オレンジのハッチング）にあるノードの累積交通量高さの相対関係が決まる。さらに、この場合、自由流から渋滞流に変わる速度変化点からBW に沿って下流ボトルネックに到達する経路が見かけ上の SW に遭遇する FW の範囲（図 2 水色のハッチング）でも、累積交通量高さの相対関係が決まる。さらに、SW 波面軌跡のエネルギーを最小化する
場合、上と同様にその SW に遭遇する FW の範囲（図 2青のハッチング）
で累積交通量高さの相対関係が決まる。
３．計算機実験
以上で導入したエネルギー関数の最小化によって、どのように交通状態が求められるかを、表 1 に示した条件の単路区間で、数値実験によって確認した。この場合、区間下流端がボトルネックとなっており、上流端から図3 で示したような、ボトルネック容量を超える 2 つのピークを持つ 20 秒毎の到着パターンを与えたとき、図 4に示したような累積交通量曲面が求められる。これを正解として、以降ではプローブ軌跡が与えられた場合に、到着パターンを未知変数としてエネルギーを最小化するパターンを数値探索で求め、制約条件が増えることで、精度が向上していくことを段階的に確認する。なお、数図 4 VT で求められた累積交通量曲面（上：等高線コンター、下：3D 表示）

160[sec]

値探索では、到着パターンの初期値を全て 0 とした。ま

図 7 は数値探索によって求められた到着交通量パター

た、数値探索の手法を精査することは本論文の主眼ではンである。この場合、20～60 秒の最初のピークについてないため、ここでは、Microsoft Excel のソルバー（GRG

は、ばらつきはあるものの、合計で正解 24 台に対して非線形）を適用した。

25.5 台と、比較的良好に交通量が推定されている。

(1) 渋滞区間を含まないプローブ軌跡が与えられたとき(3) 断片的なプローブ軌跡が与えられたとき

まず、渋滞区間を含まないプローブ軌跡が与えられた

次に、区間全体を走行しない、断片的なプローブ軌跡場合を考える。ここでは、図 5 上の時空間図に青矢印でが与えられた場合を考える。
ここでは、
図 8 上のように、示された軌跡の両端点について式(4)を適用した。初期状それぞれ黄色、水色、緑色のプローブ軌跡について式(4)態で全ての範囲の累積交通量高さが 0 であるため、当然を適用する。また、各プローブ軌跡に渋滞区間が含まれながら図 5 下のように初期状態から変化せず、この場合ているため、該当する範囲に式(5)を適用した。

は正解に近づかない。
(2) 渋滞区間を含むプローブ軌跡が与えられたとき

その結果、図 8 下に示したような累積交通量曲面が求められた。累積交通量が求められた範囲は 2.3 で考察し次に、渋滞区間を含むプローブ軌跡が与えられた場合を考える。ここでは、図 6 上の 2 本の赤矢印の端点についてそれぞれ式(4)を適用し、渋滞区間の軌跡について、式(5)を適用した。
その結果、2.3 で考察したとおり、渋滞区間の軌跡から下流の BW に沿った範囲と、そこから FW に沿って上流に遡る範囲の累積交通量が求められた。また、実験では20 秒毎の到着交通量を求めているので、プローブ軌跡のエネルギーを最小にするためには、上流端の到着時刻が40～60 秒での交通量も求めることになり、プローブ軌跡より後の範囲でも累積交通量高さが求まった。

図 6 渋滞区間を含むプローブ軌跡が与えられたときの数値探索結果の累積交通量曲面
Arrival flow estimation[veh/20sec]

ans (82)est (26)

1816141210864200

図 5 渋滞区間を含まないプローブ軌跡が与えられたときの数値探索結果の累積交通量曲面

20406080100120140

図 7 推定された到着交通量パターン(2)160[sec]

た通りだが、ここでは各軌跡の影響が及ぶ範囲（例えば(4) SW 波面の軌跡が与えられたとき水色と緑の軌跡の渋滞区間が含まれる渋滞領域）が重な続いて、これらプローブ軌跡の速度変化点を繋いで、ることで、複数の制約を加味した推計になっていること

図 10 上のピンク点線の矢印で示した SW 波面の軌跡ががわかる。ただし、黄色と水色のプローブ軌跡の間は、与えられた場合を考える。即ち、3 本のピンク点線の両正解では渋滞長が連続して短くなっているところが、一端に対して、それぞれ式(6)を適用する。

旦渋滞長が 0 になり、その後また渋滞が延伸する状況とこの場合、SW 波面から FW に沿った上流側の範囲でなっており、この領域に制約条件が不足していることがも累積交通量高さが求められるため、(3)で不十分であっわかる。

た黄色と水色のプローブ軌跡の間の領域についても影響

図 9 に数値探索によって求められた到着交通量パターンを示した。この場合、総量は正解 82 台に対して 71 台が及び、(3)で見られたような渋滞長の伸び縮みが抑制されている。と近づいたが、正解が 2 つのピークに対して、3 つのピークを持つパターンになっている。

図 11 に数値探索によって求められた到着交通量パターンを示した。この場合は、2 つのピークがあるパター

図 8 断片的なプローブ軌跡が与えられたときの図 10 SW 波面軌跡が与えられたときの数値探索

数値探索結果の累積交通量曲面

結果の累積交通量曲面

Arrival flow estimation[veh/20sec]

ans (82)est (71)18

ans (82)est (75)

181616141412121010886644220

Arrival flow estimation[veh/20sec]

0020406080100120140

図 9 推定された到着交通量パターン(3)160[sec]

020406080100120140

図 11 推定された到着交通量パターン(4)160[sec]

ンが求められた。また、総量も正解 82 台に対して 75 台

害時のモビリティ支援」の一環として行ったものである。となり、最初の 20 秒間での 8 台分を除いて、ほぼ正しい研究推進にあたり、貴重な意見をいただいた「データ指量となっている。

向型モビリティ情報生成グループ（通称 DOMINGO）」のプロジェクトメンバーに深甚なる謝意を表します。

４．おわりに以上において、交通流変分理論(VT)を最適化問題に緩

参考文献

和し、プローブ軌跡やショックウェーブ軌跡を制約条件

1) 大畑長, 浦山利博, 花井健太, 彦坂健太, 花房比佐友,として与えた場合の、交通状態推定手法について、基礎今井武, 津田博之, 江藤和昭: 災害時と平常時の交通的な考察を行った。VT 最適化問題として記述するにあマネジメントのためのデータ融合解析システムの紹

たっては、ボトルネック位置や容量を既知としたり、プ介, 土木計画学研究発表会春大会, 2013.6.

ローブ軌跡の形状からショックウェーブ波面の軌跡を推

2) C. F. Daganzo: A variational formulation of kinematic

定したり、いくつかの前提をおいている。これらは、プwaves: basic theory and compleax boundary conditions,

ローブデータから直性得られる情報ではなく、いわばヒTransportation Research Part B, Vol. 39, pp. 187-196.

ューリスティックな情報を援用していることになるが、2005.

VT では 1 つの境界条件に対して独立に交通状態を推定

3) B. Mehran, M. Kuwahara: Fusion of probe and fixed

するのに対して、最適化問題に緩和した場合は、得られsensor data for short-term traffic prediction in urban

た観測データやヒューリスティックな情報を総合して、

signalized arterials, Special Issue for the International

より確度の高い交通状態が推計できることを計算機実験

Journal of Urban Sciences on Urban Transportation,によって確認した。

DOI:10.1080/12265934.2013.776291, 2013. 4.

今後は、より現実的な状況での交通状態推定を目標と

4) 桑原雅夫, 大畑長, 瀧川翼, 阿部公一, 今井武: プロ

し、現実のプローブデータで見られるような誤差の影響

ーブデータと車両感知器データを融合活用した都市や、区間途中の出入交通量の影響を考慮した、ロバスト間高速道路における交通状態の推定, 土木計画学研な交通状態推計手法の構築に取り組む。また、効率的な数値探索手法についても、検討の必要がある。

究発表会春大会, 2013. 6.
5) 瀧川翼, 和田健太郎, 桑原雅夫: 動的信号制御のネッ
トワーク設計問題としての定式化, 土木計画学研究

謝辞

発表会, 秋大会, 2013.11.

本研究は、独立行政法人情報通信研究機構（NICT）委6) C. F. Daganzo: A variational formulation of kinematic

託研究「ソーシャル・ビッグデータ利活用・基盤技術のwaves: Solution methods, Transportation Research Part B,

研究開発・課題 A ソーシャル・ビッグデータ利活用アVol. 39, pp. 934-950. 2005.

プリケーションの研究開発－多様なデータ融合による災