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日本ガスタービン学会誌

Vol. 50No. 22022.3

感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究
A Study on Development of Supersonic Turbine Stages with High Efficiency Aided
by Sensitivity Analysis
船﨑 健一＊1

小田島 達哉＊2

FUNAZAKI Ken-ichi

川崎 聡＊3ODASHIMA Tatsuya

KAWASAKI Satoshi

ABSTRACTThis study deals with an attempt to develop a new methodology for improving aerodynamic efficiency ofsupersonic turbine stages for rocket turbo-pump system. A key technology employed in this study is a sensitivity
analysis based on ANOVA (Analysis of Variation) decomposition and Sobol’ indices, which is applied to an analysisof the database formerly obtained by Namba et al. (1) during the optimization process of turbine blade profiles ina rocket turbo-pump. In this case a surrogate model is constructed from the database using Radial Basis Function
Network (RNFN) since a huge amount of data are necessary to calculate the Sobol’ indices. It is found from theinvestigation based on the Sobol’s indices that two parameters belonging to the 1st rotor and 2nd stator have dominant
impacts on total-to-static turbine efficiency, which are the ones that control camber lines near the trailing edges. Twoand three dimensional flow analyses using a commercial flow solver are then executed to elucidate the reason why
those two parameters can bring about higher turbine efficiency. Furthermore, structural static analyses are made toconfirm that there surely appears a trade-off relationship between the turbine efficiency and structural soundness.

キーワード：ロケット，超音速タービン，感度解析，Sobol 感度指標，高効率化
Key words : Rocket, Supersonic Turbine, Sensitivity Analysis, Sobol’ Index, High Efficiency．はじめに燃焼室を必要とせず，そのためシステムの簡素化や低現代文明を支える重要なインフラとして，気象衛星や圧化による高い信頼性を有するのが特徴である。その一GPS衛星など様々な人工衛星が挙げられる。これらの人方で，タービン駆動後のガスを外部に廃棄するため，推工衛星を宇宙空間へ投入する唯一の輸送手段がロケット

進薬の化学的エネルギーを十分に活用することができなであるが，打ち上げ需要の高まりとともに，より大きない。その難点を補うため，タービン段には一層の高効率

ペイロードを高い信頼性と低コストで実現するためのロ化が要求されている。著者らのグループでは，Fig. 1にケット開発競争が展開されている。

示す様な段からなるJAXA試作ターボポンプ用タービ

我が国の基幹ロケットシステムとして，H-2Aの後継

ン（初期タービン）の翼断面形状の最適化をサロゲート

であるH3の開発が進められている。H3では，経済性及モデルベースの遺伝的手法に基づいて実施し，最適化前び信頼性の観点からロケットエンジンサイクルにエキスのタービンと比較してパンダーブリードサイクルが採用されている。このサイ次元モデルでも3.7ポイントの効率向上を達成した⑴。しクルでは，ターボポンプから供給される液体燃料（水かし，翼断面形状をMesh Morphing法で機械的に変更

素）の一部を燃焼室やノズルスカート部の冷却用としてしているため，生成した翼断面形状とタービン段効率と分配し，そこでの熱交換によりガス化することでタービの関係の整理がなされておらず，得られた知見の高効率ン駆動ガスを生成し，その後そのまま駆動ガスを外部に超音速タービン設計法への反映が十分ではなかった。

排出する。このサイクルは＊＊＊次元モデルで5.5ポイント，

そこで，本研究では，Katoら⑵ の研究手法を参考に，

段燃焼サイクルのような副前回の研究⑴で構築したデータベースからサロゲートモ

原稿受付 2021年 月21日
査読完了 2022年 月14日
岩手大学理工学部〒020-8551 盛岡市上田 丁目 ‑E-mail: funazaki@iwate-u.ac.jp
シャープ㈱〒590-8522 堺市堺区匠町 番町
JAXA 角田宇宙センター〒981-1525 角田市君萱字小金沢 1
E-mail: kawasaki.satoshi@jaxa.jp

デルを構築し直し，分散に基づくグローバル感度解析
手法の一つであるSobol 法を用いて，Sobol 感度指標
（Sobol index）により翼断面形状制御パラメータの中で効率改善への寄与度の高いものの抽出を試みた。得られた知見を基に次元及び次元流れ解析，さらに構造解

析（静的解析）を実施し，ロケット用超音速タービン翼設計の改善に向けての新たな設計手法を検討した。
ー 64 ー

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Vol. 50No. 22022.3139

感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究

ように定義される。
⑸⑹
ここで， は入力変数 に対する

次オーダの感度指標

であり，主効果とも呼ばれる。 ,（ ≠ ）は
の感度で，

次オーダ

つの要因の交互効果を表す。感度指標の総和は以下のようにになる。
⑺．サロゲートモデルによる感度解析.
Fig. 1 A meridional view of the target 2-stage turbine with theircross-sectional proﬁles

サロゲートモデルの構築
難波ら ⑴ は，JAXAにより試作された段の超音速タービン（初期タービン）を対象として翼断面形状の最適化を行っている。その際，Fig. 2のような複数のパラ⑶,⑷．Sobol の感度指標メータで制御される格子上で翼断面形状を表現している。

Sobol 法は，分散に基づくグローバル（大域）感度解析の一つである。この方法により，ある数理モデル

α, β：翼前縁，翼後縁での反り制御パラメータ（ここではサロゲートモデル）の入力（複数個）
，出力
（

1

個）をそれぞれ確率変数と考えたとき，出力の分散

,

2

,

に対する各入力変数の分散の影響度（Sobol の感度指

：翼厚み制御パラメータ：翼前縁，翼後縁くさび角制御パラメータ

γ：スタガー角制御パラメータ標）を知ることが可能となる。ただし，相当数の変数空間上でのモンテカルロ法に基づく多重積分を行うため，

なお，計算負荷が高いという難点はあるが，近年のコンピューる。これらのパラメータをランダムに動かすことで得らタの性能向上やライブラリの整備により実用的になって

れる

きている。

RANS（Reynolds-Averaged Navier-Stokes） 解 析 を 実

Sobol 法 で は k 次 元 の 入 力 変 数 を 有 す る モ デ ル 関

,

は

,

1

2

と後者の中点で連結されてい次元翼列群に対して汎用コードANSYS CFXでの施してTotal-to-Static効率η を算出している。ここで，数 を次のように展開する。

⑹⑴

p0,in, T0,in, pout, T0,outは，それぞれタービン段入口でのよど
み点圧力，温度，及びタービン段出口での静圧，よどみ
点温度である。κは比熱比である。

ここで入力変数は単位超立方体空間で定義されているも計算対象となった翼列群の内，タービン段通過流量のとする。 0は の平均値である。式⑴の分解項は直交及びタービン出力が所定の範囲（流量変動，出力は初性を有し，その結果それぞれの項は多重積分によって求期タービンの流量，出力のそれぞれ±められる．例えば，

以上）に収まる全531パターンとそれぞれに付随する19⑵個の制御パラメータ（

段動翼1R

個，

%以内，99％
段静翼2S

個，

段動翼2R

ここで，上記の多重積分は xi を除く全ての入力変数に関お，

段動翼については，その形状的特徴（後縁部付近する積分である。これらの表現を踏まえて，モデル関数の厚み）から制御パラメータを減じている。このデータの総分散と式⑴の各項の偏分散を考える。

ベースから，線形人工ニューラルネットワークの一種で⑶⑷個）のデータベースを得ている。な

ある放射基底関数ネットワーク（Radial Basis Function
Network; RBFN）によってサロゲートモデルを構築した。
サロゲートモデルの予測性能評価には，

個抜き交差検証（Leave-one-out cross validation;LOOCV）⑵,⑸ を用い式⑶に式⑴を代入し，直交性を用いると，総分散を次元た。Fig. 3には評価結果を示す。低効率側での差異が目立の増加に従った偏分散の和に分解できる。これを元に，

つものの，相関係数R=0.8960（決定係数R2=0.8028）とな

総分散に対する各入力変数の寄与を表す感度指数が次のり，比較的良好な予測精度を有していると判断できる。

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感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究

. .

感度指標

日本ガスタービン学会誌

前述したサロゲートモデルを用い，19個の制御パラメータ毎にその可動域を与えSobol の感度指数を求めた。ここで各パラメータの可動域は，初期タービン翼での値を中央値として，次の様に設定している。
α：‑2.5°〜 2.5° β：‑2.5°〜 2.5°
,

,

1

,

2

: ±10%

γ : ‑5.0°〜 5.0°
Fig. 2 Blade proﬁle drawn on a deformable mesh by useof control parameters

ただし，段静翼については，前述の流量及び出力に関する要件を満たす個体数を十分に確保するためβ：‑5.0°〜 2.5°としている。
Fig. 4にSobol の感度指数を示す（制御パラメータの表示方法としては，例えば段動翼の翼前縁反り制御パ

ラメータは1R‑αとしている）。式⑹から感度指数の総和はとなることから，円グラフで全ての感度指数を表示している。なお，本研究では全てを計算し，

次オーダ（主効果）は

次オーダ以上の効果（Higher order項）の合計は式⑹から算出している。
この結果から，2S-βと1R-βの翼後縁での反り制御パラメータの感度指数が全体のそれぞれ30%程度を占め，続いてHigher order項が全体の25%程度となっていることがわかる。2S-β，1R-β以外の主効果の合計は16％程度に留まっているが，特にFig. 3 Performance check of the surrogate model by use of
LOOCV method

段動翼に関するパラメータの効果の割合が大きい。これはタービン出力に対して段での出力の割合が65%以上占めるパターンが大半であ.
. .

ることが関係している⑴。

感度分析
モンテカルロ積分⑹式⑵や式⑶の多重積分の評価には次元サイズの点からモンテカルロ積分での評価が一般的である。モンテカルロ積分は，確率密度関数p（x）の導入により通常の積分を確率変数として扱い，
積分値をその確率変数の期待値として算出するものである⑺。試行の回数を増やすことで，大数の法則により期待値は積分値に漸近する。実際には，モンテカルロ積分
であっても計算時間が長くなることから，計算の高速化が必要となる。具体的な方法としては，分散減少法と準モンテカルロ法（Quasi-Monte Carlo Method;QMC
Method）⑻ な ど が あ る が， 本 研 究 で は 前 者 の 一 つ で
あ る ラ テ ン 超 方 格 サ ン プ リ ン グ（Latin Hypercube⑼
Sampling; LHS）とQMC法を併用している。

モンテカルロ積分をSobol の感度指数（式⑷）の評価に適用する場合，展開された関数（式⑵）推定や総分散（式⑶）推定の際の積分変数空間全体におけるサンプル数nsampの選定が重要である。Katoら ⑵ の研究ではnsamp=1,000 〜 10,000が推奨値として紹介されている。
本研究では計算負荷を考慮し，nsamp=1,000とした。なお，
後述するように，QMC法でも評価しており，両者に大きな違いが生じないことを確認している。
実際の感度分析には，Pythonのライブラリー SAlib⑽を用いた。

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Fig. 4 Pie chart of Sobol sensitivity indicesVol. 50No. 22022.3141

感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究

Table 1 Comparison of Sobol ﬁrst-order sensitivity indicesobtained by LHS and QMC.

支配的な主効果の分析

ここまでの調査の結果，2S-β及び1R-βがタービン

Parameter

LHS

QMC

段効率に大きく関与することが明らかになった。ただ

2S-β

30.3%

30.4%

し，分散に基づく分析であるため良好な結果をもたらす

1R-β

29.1%

29.0%

方向性については明らかではない。そこで，19の制御パ

1R-LT2

4.65%

4.66%

ラメータのうちこの

1R-LT1

3.88%

3.68%

（可動域の中央値）に固定し，上記の1R-LTE

2.67%

2.63%

がタービン段効率に与える影響についてサロゲートモデ

つ以外を初期タービン翼の設計値
つのパラメータルを用いて調査した。その結果をFig. 5に示す。
この結果から，2S-βと1R-βの絶対値の増加とともにTable 2 Sobol second-order sensitivity indicesParameter

効率が上昇することが分かった。また，2S-βと1R-βのSensitivity indices

絶対値が相対的に小さい範囲では効率上昇は線形的であ

1R-LTE ‒ 1R-γ

4.83%

1R-LT1 ‒ 1R-γ

2.64%

.

1R-LTE ‒ 1R-α1.25%

前述のように，本研究では2S-βの可動範囲を‑5.0°〜

1R-LT2 ‒ 1R- LTE

1.10%

2.5°としているが，可動域の幅の違いがどのように感

1R-LT2‒ 1R-γ

1.04%

度指標の評価に影響しているかを検討する。Fig. 5から，

1R-LT1 ‒ 1R- LTE

1.02%

るが，次第に頭打ちになっている。
パラメータ可動域の影響

タービン段効率は1R-βと2S-βが線形的に変化することが明らかになったことから，その他のパラメータの影響

Table 1には，Sobol の次オーダ感度指標の算出のを無視し，タービン段効率を次のように近似する。

際に用いた手法の違いによる評価結果の比較を示す。こ⑺

れより，タービン段の効率に影響を与える主たる要因の抽出に対して，LHS法及びQMC法のいずれでもほぼ大

ここで，1R-βをβ̲R1，2S-βをβ 2としている。付録

差がないことが確認された。Table 2にはSobol ので求めた関係式から，1R-β，2S-βのSobol 感度指標 1，次

オーダ感度指標を示す。ここでは，100000サンプルによるQMC法で評価した。この結果から，

2は，それぞれのパラメータの可動域幅を ， とすると，段動翼のスタ⑻

ガ角は単独では影響度は小さいが，1R‑LTEや1R‑LT1との相互作用により影響度が高まっていることが分かる。

となる。Fig. 5から重回帰分析により係数 ,を求め，本研究で用いた =5.0， ＝7.5の場合と， = ＝5.0の場合を算出した。その結果より，=5.0， ＝7.5

1

＝0.471， 2=0.529=5.0， ＝5.0

1＝0.667， 2=0.333を得た。即ち，可動域幅を揃えると1R-βの効果が優位となることがわかる。簡素化した式に基づく検討の結果ではあるが，本研究で2S-βのSobol 感度指標が最も大きくなった原因は可動域幅が影響しており，実際には1R-βのSobol 感度指標の方が大きいと推定される。

．流れの数値解析による効率変化の要因調査.

調査手法

以上の感度指標の分析により，2S-β及び1R-βがタービン段効率に大きな影響度を有することが判明した。これを踏まえて，このつの制御パラメータ以外のパラメータを初期値に固定しつつ，2S-β及び1R-βを水

準（1R-β：①54.5［deg］ ②58.0［deg］ ③61.5［deg］，
2S-β：❶‑51.5［deg］ ❷‑55.0［deg］ ❸‑58.5［deg］）
で変化させることで，Fig. 6のような次元翼形状を生成した。②❷の場合がほぼ初期タービンの翼形状群である。なお，図中にはそれぞれの翼列基本データを併記しFig. 5 Impacts of two dominant parameters on the turbine
total-to-static eﬃciencyている。さらにそれをmidspan断面形状としてスパン方
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感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究

日本ガスタービン学会誌

向に伸展し次元翼形状を生成した。それぞれに対して

.

次元及び

次元流れ解析を実施した。流れ解析はほぼ

1R-β及び2S-βをそれぞれ⑴

次元流れ解析結果

既報 に準じており詳細は省略するが，以下に概要を紹

ケースの全てについて介する。

中で水準を揃えた

通り変化させた合計

次元RANS解析を行い，そのケースに関する解析結果をFig. 8に

流れ解析には，汎用コードANSYS-CFX Ver.15.0を示す。Fig. 8左図は絶対マッハ数分布，右図はエントロ

用 い，mixing planeを 用 い たRANS解 析 を 行 っ た。 乱

ピー分布である。また，Fig. 9には，軸方向への流量

流モデルはSST（Shear Stress Transfer）モデルであ平均エントロピー増加を示す。なお，図中のΔsa，Δsb，る。格子生成にはNumeca AutoGrid5 Ver.14.1を用いた。

Δscはmixing planeにおけるエントロピーの不連続増加

Fig. 6にはである⑾。

次元翼まわりに生成された計算格子を示す（計算領域はFig. 1に示す）。非定常解析時の計算負荷軽ケース①❶では，段静翼出口マッハ数が大きく，減を念頭に，翼近傍などでの乱流解析には壁関数を使用

段動翼前縁部に離脱衝撃波が発生している。さらにそのしている。それを踏まえて，壁に最接近する格子点の翼間流路内（およそ40%コード長の位置）にスロートがy+を50程度になるように調整している。総格子点数は生じ，その下流部で衝撃波が発生し境界層剥離を誘発している。そのため，Fig. 8右図のように約170万点である。

段動翼上流で広範囲にエントロピーの上昇が発生するとともに，翼負圧面で高エントロピー領域が発生している。その結果
として，段動翼流路で流量平均エントロピーが急激に増加し，タービン段出口での流量平均エントロピーはケースの中で最も大きくなっている。ケース②❷でも引き続き段動翼前縁での離脱衝撃波に関連したエントロ

ピー生成量は多いが，その後の流量平均エントロピー増
加は緩やかである。ケース③❸では，スロートは 段動翼の後縁部に位置し，その後段静翼で弱い衝撃波が発生しているが，それがエントロピー増加に与える効果は弱く，相当量のエントロピーはFig. 6 Cross-sectional proﬁles of turbine blades and vanes to be
calculated（top）and each cascade data（bottom）

段動翼と

段静翼間の

mixing planeで発生している。ただし，タービン段出口
での流量平均エントロピーは調査した範囲内で最も小さい。
初期タービン（ケース②❷に相等）段目出力は全体

出力の75％程度であるが⑴，この数値はロケット用ター
ビンで多く用いられてきた速度複式衝動タービンの目出力比とほぼ一致している⑿。そして，

段

段静翼出口

での高いマッハ数はそれを裏付けている。また，ケース
Fig. 7 Computational grids

Fig. 8 Results of 2D ﬂow analyses for three cases with diﬀerent
combinations of dominant control parameters （left:
absolute Mach number, right:entropy）

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Fig. 9 Mass-averaged entropy increase obtained in 2D ﬂow
analyses for three cases with diﬀerent combinations ofdominant control parameters

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感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究

Table 3 2D loss coeﬃcients for all combinations（deeper shademeans larger loss）
❶

❷

❸

①

0.43040.41510.3956②

0.40600.39280.3838③0.40390.38750.3583③❸で高効率が得られた理由は，それが各段における反動度を上げる方向であると解釈することができる。
Table 3には，調査した率から算出したケース全てのタービン段効次元損失係数ζを示す。
⑼

この表からもケース③❸の損失が最も少ないことが分かる。Denton⒀によれば，タービン段での損失はタービ
ン段でのエントロピー上昇に比例することが示されていFig. 11 Mass-averaged entropy increase obtained in 3D flow
analyses for three cases with diﬀerent combinations ofdominant control parameters

るが，Fig. 9やTable 3の結果からも概ねその傾向が確認
は約20%）。なお，ケース③❸の場合は，

できる。
.

元ともに

次元流れ解析結果

段動翼及び前節と同様に，1R-β及び2S-βを変化させた合計

次元，

次段目での割合は30%程度である。
段静翼まわりの次元的な損失発生状

次元RANS解析を行った。水況を明らかにするため，それぞれの翼間流路における軸ケースに関するmid-span絶対マッハ数及方向に垂直な面内での散逸関数φ⒁コンターをFig. 12にびエントロピーコンターをFig. 10に示す。Fig. 11には，示す。この図では，流路渦や翼先端漏れ渦など 次流れ

流量平均エントロピーの軸方向変化を示す。Fig. 10にによるエントロピー生成への寄与が大きいことが示され示す流れ場の全般的な特徴はFig. 8の二次元解析の結果ている。また，1R-β及び2S-βの絶対値を増加することと類似しているが，全体にエントロピーの生成量が増加

でし，マッハ数が低下していることが挙げられる。Fig. 11

静翼でのケースの全てについて準を揃えたに示す流量平均エントロピーをFig. 9と比較してみると，段動翼でのエントロピー生成が減少する一方，段次流れの寄与度が上がっていることが分かる。

Table 4にタービン段での次元損失係数を示す。

段動翼内での連続的なエントロピー上昇，タービン段

次元の場合の損失係数は，サロゲートモデルの場合と同全体のエントロピー生成量の増加（ケース①❶で1.17倍，様に1R-β及び2S-βに対して線形的な挙動を示していた

ケース②❷で1.18倍，ケース③❸で1.22倍）が確認されが，る他，ケース①❶，②❷の場合ではタービン段全体での振る舞うが，1R-βに対しては水準❸を除きそのようなエントロピー上昇に占めるで増加している（次元の場合の損失係数はS-βに対しては線形的に段目の割合が次元の場合

傾向にはなっていない。ただし，最小の損失係数はケー次元の場合は約10%，次元の場合

ス③❸であり，これはTable 5には次元の場合と同じである。

次元損失係数と次元損失係数との比を示す。ここで，Table 5中の損失係数比と前出の流量
平均エントロピー比がほぼ符合している点に留意願いたい。この結果から，水準③での比が他の 水準の場合よりも大きく，損失に与える次元性の効果が 段，

段

ともに強まったと考えることができる。このことは，次元流として得たデータでも高効率化をもたらす制御パラメータ探索はある程度可能であるものの， 次元性の効果把握の重要性を改めて示している。

Fig. 10 Mid-span contours obtained by 3D ﬂow analyses for threecases with different combinations of dominant control
parameters（left: absolute Mach number, right:entropy）

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感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究

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Fig. 13に は ケ ー ス ② ❷ 翼 の 有 限 要 素（Finite
Element;FE）モデルと対象とした種類の翼材料特性を示す。計算モデルには流れ解析で使用したFillet R付の段動翼CADデータを用い，Bliskを想定してディ

スク円周部の一部を含めたモデルを作成した。それをPointwise V18.2R1で読み込み1次要素からなる有限要素
モデルを作成し，さらにMSC Nastranで次要素モデルに変換した。要素数は約14,000，ノード数は約23,000である。

Fig. 12 Dissipation function contours for 1R（left）and 2R（right）
Table 4 3D loss coeﬃcients for all combinations（deeper shademeans larger loss）

Material

Young s Modulus［GPa］

PoissonRatio

Density［ton/mm3］

Inconel 718

193

0.28

8.19×10‑9

Ti-6Al-4V

117

0.31

4.43×10‑9Fig. 13 Finite Element model of 1R（Case ②❷）

❶

❷

❸

①

0.5053

0.4862

0.4611②

0.4751

0.46170.4416

応力解析（線形静解析）にはMSC Nastranを用いた。

0.4384

そこでは，FEモデルの底面，周方向側面を完全拘束し③

0.48610.4664た状態で，回転数60,600rpmでの遠心力及び次元定常流解析で得た流体力をモデルに課した。なお，翼表面のTable 5 Ratios of 3D to 2D loss coeﬃcients for all combinations

圧力をFEモデルの翼表面ノードに荷重としてマッピン

❶

❷

❸

①

1.174

1.171

1.166

②

1.17

1.175

1.151

を示す。既にFig. 10で見たように，ケース①❶では翼

③

1.204

1.204

1.224

前縁での離脱衝撃波に続き再加速後衝撃波が再度発生しグする際に，徳山⒅が開発した手法を用いた。
Fig. 14にケースの応力解析に用いた翼面圧力分布ているが，1R-βを増加させることで全体のマッハ数が．構造解析（静的解析）

低下するとともに翼後縁方向に流れが加速し，翼正負圧ロケット用ターボポンプには高い流体力学的効率に加面間の圧力差が後縁近傍で増大している。Fig. 15にえて構造的健全性が特に重視され，その駆動用タービン

ケースについてのvon Mises応力分布を示す。ここでのも例外ではない。ターボ機械の設計には流体力学的効率

解析は，翼形状変化による流体力の効果の違いを明らかと構造的健全性の間にはトレードオフ関係の認識が必要にするため，遠心力を課さずに実施された。この図から，⒂であるが ，ロケット用タービンでは雰囲気温度，回転

1R-βを増加させることで数，翼枚数等の関係で高サイクル疲労寿命評価が重要で面間の圧力差が増加し，結果として高von Mises応力領ある⒃。この課題に取り組むためには大規模な非定常流域が翼後縁近くでスパン方向帯状に発生する様子が確認

解析，共振応答解析などの実施が必要であり⒄，本研究できる。また，翼後縁根元部にも高von Mises応力領域の範囲を超えているが，高効率なタービンの構造的特徴が出現している。

を把握するため，前出の種類のタービン翼についての有限要素モデルを基に，遠心力及び定常流体力が静的に作用する状態でのvon Mises応力を求め比較した。

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段動翼後縁近傍での正負圧

Vol. 50No. 22022.3145

感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究

合と同様に翼形状の違いが非定常流体力，そして振動応力にも影響すると考えられる。
今後は，高サイクル疲労発生リスク低減など，構造的健全性を考慮した高効率タービン翼設計手法開発に取り組む予定である。

Fig. 16 Maximum von Mises stresses identiﬁed in 1R FE modelfor Inconel 718 and Ti-6Al-4V

Fig. 14 Static pressure contours over 1R entire surface for thethree cases．結論

本研究で得られた知見等は以下のように整理できる。
⑴ Sobol 感度指標による調査結果
本研究では，前回の研究⑴で構築したデータベースからサロゲートモデルを構築し，Sobol 感度指標により19個の翼断面形状制御パラメータの中で効率改善への影響度の高いパラメータの抽出を行った。その結果として，段動翼及びび2S-βの段静翼の反り角制御パラメータ1R-β及つが，高効率化に向けて60％程度の影響度を有する支配的パラメータであることが明らかになった。
⑵

次元及び次元RANS解析

得られた結果を基に，1R-β及び2S-βに対してそれぞれ水準を設定し，残りの制御パラメータを固定して個の翼断面形状を生成し，それに対して 次元及び

次

元RANS解析を行った。
①

次元RANS解析の結果から，
脱衝撃波を制御しつつ，

段動翼前縁での離段への流入マッハ数を上げることで高効率化が達成できていることが確認さFig. 15 Contours of von Mises stress over 1R entire surface forthe three cases（Inconel 718）れた。このことは難波ら⑴の知見とも一致している。
②

次元RANS解析からは，次元の場合と同様に高効率化に向けて1R-β及び2S-βが重要なパラメータであることが確認された。ただし，Fig. 16には遠心力を考慮した場合の最大von Mises応

異なり，力値の比較を示す。遠心力による効果が大きく，翼形状

次元の場合と次元では1R-β及び2S-βの絶対値に対しの違いのよる最大von Mises応力値の変化の傾向はこの

単調にはタービン段効率が増加せず，特に1R-βの効

図からは読み取れないが，Inconel 718の場合は，その果に関して差異が生じていることが明らかになった。

降伏応力（約1,000［Mpa］）の約60%の最大値が発生し⑶ 構造解析（線形静解析）
特徴的なている。今回は線形静解析のみを行ったが，動静翼空力
干渉等による非定常流体力が作用する場合，定常流の場

ー 71 ー
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ケースでの段動翼に対する構造解析を実施し，空力効率と構造的健全性とのトレードオフが発生

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感度解析を援用した超音速タービン段の高効率化に関する研究⒂

しうることをvon Mises応力値で改めて確認した。
これ以降の更なる議論の深化には非定常流解析とそれ⒃の課題である。
⒄

参考文献
難波海，船﨑健一，川崎聡，矢田和之，ロケットエンジン（A.2）ターボポンプ用タービン段の翼形状最適化に関する研究，ターボ機械，Vol. 48，No. 1（2019），pp.
53-60.
⑵ Kato, H., Ito K., and Lepot I., Sensitivity Analysis Basedon High Fidelity Simulation: Application to Hypersonic
Variable-Cycle Engine Intake Design, International
Journal of Engineering Systems Modelling and
Simulation, Vol. 2, Nos. 1/2（2010）,pp. 38-45.
⑶ Owen, A., Monte Carlo Theory, Methods andExamples, https://statweb.stanford.edu/˜owen/mc/（2021/07/05閲覧）.
⑷ 本間俊充，Global感度解析―Sobol 法，オペレーション
ズ・リサーチ，Vol. 55（10）（2010）,pp. 727-631.
⑸ Raschka, S., Mirjalili, V., Python機械学習プログラミン
グ（第3版，福島真太朗監訳），インプレス（2020）.
⑹ 横谷進弥，CDOプライシングの離散高速アプローチ（2）：ツリーを用いた準解析的プライシングのマルチ・ファクター・モデルの応用，金融研究，11（2007），pp.
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⑺ https://rayspace.xyz/CG/contents/montecarlo/（2021/07/26）.
⑻ 鈴木航介，合田隆，準モンテカルロ法の最前線，日本応用数理学会論文誌，Vol. 30，No. 4（2020），pp. 320-374..
⑼ McKay, M.D., Conover W.J., and Beckman R.J., A
comparison of three methods for selecting input
variables in the analysis of output from a computercode, Technometrics, Vol. 21, No. 2（1979）, pp. 239245..
⑽ Herman, J. and Usher, W. SALib: An open-source
Python library for sensitivity analysis. Journal of Open
Source Software, 2（9）,（2017）doi:10.21105/joss.00097.
⑾ Denton, J.D., Some Limitations of Turbomachinery
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⑿ Mohr, D., Turbomachines in Rocket Propulsion
Systems, Handbook of Turbomachinery（2nd edition,
Logan, E., Jr., Roy, R.）, CRC Press（2003）.
⒀ Denton, J.D., Loss Mechanisms in Turbomachines,
ASME Journal of Turbomachinery, Vol. 115, No. 4（1993）, pp. 621-656.
⒁ Lakshiminarayana, B., Fluid Dynamics and Heat
Transfer of Turbomachinery, Wiley（1995）, p.17.

⑴⒅

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川崎聡，船﨑健一，ロケット用ターボポンプのタービン技術と今後の展望，ターボ機械，Vol. 45，No. 5（2017），
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Funazaki, K., Iwaguchi, N. and Kawasaki, S., Unsteady
Flow Simulations in Two-Stage Turbines of a Rocket
TurboPump to Estimate Blade Structural Soundness
for Fatigue, accepted for publication in IOP Journal of
Physics: Conference Series.
徳山雄己，流体−構造連成効果を考慮したロケットエン
ジン用高効率高信頼性タービン開発に関する研究，岩手大学工学研究科，博士学位論文（2016）

付録（線形関数のSobol 感度指数）
式⑴のモデル関数を線形化した次の関数を考える。
（A.1）
こ の 関 数 に 対 し て， 領 域 Ω2（）でSobol 感度指数を求める。 0は の平均値であり，（A.2）となる。式⑵から，次の関係式を得る。

（A.3）

を得る。総分散D及び偏分散Di（i=1,2）は
（A.4）

（A.5）

よって，Sobol 感度指標 1， 2は次式で求められる。

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Martensson, H. and Groth, P., Methods for Aeroelasticity in
Propulsion, Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity ofTurbomachines（Transson, T.H. ed.）（1997）, pp. 565-582.

を基にした翼振動応答解析や疲労寿命予測などが必要であり，同時にそれらの知見を設計法へ組込む作業が今後

日本ガスタービン学会誌（A.6）