18 ─第 1 章／複素数平面
例題 ７ 軌跡と領域
不等式 |z−1|≦|z|≦1 を満たすzが存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．
解

この不等式は，|z−1|≦|z| ……① かつ |z|≦1 ……②と同値である．
P（z），A（1）とおけば，①は，AP≦OP となり，点Pが OA の垂直二等分線 l に関して点Aと同じ側（ l 上の点も含む）にあることを表す．

¥

また，②は，OP≦1 となり，点Pが原点を中心とする半径1の円1の内部または周上にあることを表す．
以上により，点zの存在範囲は右図の斜線部分になる．

-1O

ただし，境界も含む．

12

1 ≈

-1

16 次の不等式を満たすzが存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．
⑴

2＜|z|＜|z−4i|⑵|z|≦3，|z＋3|≦3|z−1|⑶

2|z−2|≦|z−3|≦|z−1|⑷|z−2|＜|z＋2i|，0＜z＋z＜417 複素数zの実部が1以上のとき，w＝ z で表される複素数 w が存在する範囲を複素数平面上に図1示せよ．

18 不等式 |z|≦1，（1−i）z＋（1＋i）z≧2 をともに満たすzが存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．
例題 ８ 実数・純虚数条件と図形
複素数平面上に，3 点 A⑴，B（3i），C（a＋i）がある．ただし，a は実数とする．
⑴

3点 A，B，C が一直線上にあるようなaの値を求めよ．

⑵

AB⊥AC となるようなaの値を求めよ．

解

α＝1，β＝3i，γ＝a＋i とおくと，
γ−α a−1＋i （a−1＋i）（2−3a）i（−1−3i） 4−a＋＝……①＝＝10
β−α −1＋3i （−1＋3i）（−1−3i）
23⑴①が実数となればよい．よって，（虚部）＝0 より，2−3a＝0，a＝⑵①が純虚数となればよい．よって，（実部）＝0 より，4−a＝0，a＝4

●ポイント
①

円 |z−α|＝r を C とすれば，|z−α|＜r，|z−α|＞r はそれぞれ点zが C の内部，外部にあることを表す．
②|z−α|＜|z−β| は，点zが2点α，βを結ぶ線分の垂直二等分線に関して点αと同じ側にあることを表す．
③ 16

⑵

④ 18

第2式については，z＝x＋yi とおいて考えるとよい．

第2式については，両辺を2乗して考える．

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2複素数と図形─ 19

19 複素数平面上に，3 点 A（−2＋i），B（−4），C（−1＋ai）がある．ただし，a は実数とする．
⑴

3点 A，B，C が一直線上にあるようなaの値を求めよ．

⑵

AB⊥AC となるようなaの値を求めよ．

20 複素数平面上に，4 点 A（1），B（−3＋3i），C（−4），D（ai）がある．ただし，a は実数とする．
⑴

AB™CD となるようなaの値を求めよ．

⑵

AB⊥CD となるようなaの値を求めよ．

21 次の問いに答えよ．

複素数平面上に，3 点 A
（α）
，B（β）
，C（γ）を頂点とする⑴

する点を P，辺 AB を 3：5 に内分する点を Q，ABC がある．辺 BC を 5：2 に内分

ABC の重心を G とするとき，3 点 P，Q，Gは一直線上にあることを示せ．
⑵ α，βは |α|＝|β|＝1，α ±β を満たすとする．複素数平面上の3点を A（α），B（β），C（α2β）とするとき，OA⊥BC であることを示せ．
例題 ９ 三角形の形状判定
複素数平面上の異なる3点 A（α）
，B（β）
，C（γ）について，α−β＝ 3 i が成り立つとき，γ−βABC の3つの角の大きさを求めよ．
解α−β∏が純虚数なので，BA⊥BC であり，∠B＝γ−β2＝ 3 より，|α−β|＝ 3 |γ−β|，BA＝ 3 BC
|α−βγ−β|

また，∏∏
よって，AB：BC＝ 3：1 より，∠A＝ ，∠C＝63

22 複素数平面上の異なる3点 A（α），B（β），C（γ）について，次の等式が成り立つとき， ABC の3つの角の大きさを求めよ．
⑴ α−β＝i（γ−β）⑵ α−γ＝（1＋ 3 i）
（β−γ）

⑶ （1＋i）
α＝β＋iγ2⑷ （β−γ）＝（α−β）（γ−α）

23 複素数平面上の異なる3点 A（α），B（β），C（γ）について，次の等式が成り立つとき， ABC の3辺の比を求めよ．
⑴4（γ−β）＝3i（β−α）⑵ γ＋2 2 iα＝（1＋2 2 i）
β●ポイント①

異なる4点 A
（α）
，B（β）
，C（γ）
，D（δ）に対し，3点 A，B，C が一直線上AB™CD

δ−γが実数β−α0003-0023_1_高校リード数学C_本冊_InD20.indd

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γ−αが実数
β−αAB⊥AC

γ−αが純虚数
β−αAB⊥CD

δ−γが純虚数β−α2022/08/25

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20 ─第 1 章／複素数平面
例題 10図形と証明

複素数平面上に異なる4点 A
（α）
，B（β）
，C（γ）
，D（δ）がある．α＋γ＝β＋δ かつ2（δ−α）＋（β−α）2＝0 が成り立つとき，四角形 ABCD は正方形であることを証明せよ．

解α＋γ β＋δ
α＋γ＝β＋δ より，＝……①222δ−α δ−α また，（δ−α）2＋（β−α）2＝0 より，＝−1，＝±i ……②β−α 
β−α①より，対角線 AC，BD の中点が一致するから，四角形 ABCD は平行四辺形である．
また，②より，|δ−α|δ−αδ−α∏＝1 かつ arg＝＝±|β−α| β−αβ−α2||

AB＝AD かつ ∠A＝∏2

ゆえに，四角形 ABCD は正方形である．

24 複素数平面上に異なる4点 A（α），B（β），C（γ），D（δ）があり，α＋γ＝β＋δ……①が成り立っている．このとき，四角形 ABCD について，次の問いに答えよ．
⑴①かつ（δ−α）2＋3（β−α）2＝0 のとき，この四角形は長方形であることを証明せよ．

⑵①かつ（γ−α）2＋4（δ−β）2＝0 のとき，この四角形はひし形であることを証明せよ．

25 複素数平面上の異なる4点 A（α），B（β），C（γ），D（δ）を頂点とする四角形が正方形であるための必要十分条件は，「α＋γ＝β＋δ かつ（γ−α）2＋（δ−β）2＝0」であることを証明せよ．

26 複素数平面上の異なる3点 A（α），B（β），C（γ）を頂点とする三角形が正三角形であるための必要十分条件は，α2＋β2＋γ2−αβ−βγ−γα＝0 であることを証明せよ．

27 複素数平面上で，原点と点α（ 0）を通る直線を l とする．
⑴

点zが l 上の点であるための必要十分条件は，αz＝αz であることを証明せよ．

⑵

2点 z1，z2 が l に関して対称であるための必要十分条件は，αz1＝αz2 であることを証明せよ．

⑶ α＝2−i とするとき，点 −1−4i と l に関して対称な点を表す複素数を求めよ．

28 絶対値が等しい異なる4つの複素数の和が0であるとき，これら4つの複素数は複素数平面上で長方形をなすことを証明せよ．

●ポイント
① 26

ABC が正三角形|β−α|＝|γ−α| かつ arg

γ−α∏＝±β−α3② 28 例えば，4 つの複素数をα，β，γ，δ（原点を中心とする円周上に反時計回りに並ぶ）などと定める．また，複素数の性質を使うとともに，初等幾何的なアプローチも行うとよい．

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混合問題─ 21A

1 単位円上を動く点，直線 |z−1|＝|z−3−2i| 上を動く点を表す複素数をそれぞれ w ，w とすると
12

き，|w2−w1| の最小値を求めよ．

2 複素数平面上の点 z，w が w＝ z−2 を満たすとする．
iz⑴

点zが虚軸上を動くとき，点 w はどんな図形を描くか．

⑵

w の虚部が0以上1以下となるような点zが存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．

（ z−β）＝（z−β）（ z−α）を満たす点zが描く図形は直線で3 α β のとき，複素数平面上で，（z−α）
あることを示せ．

4 単位円上の異なる3点 A（α），B（β），C（γ）を頂点とする三角形が正三角形となるための必要十分条件は，α＋β＋γ＝0 であることを証明せよ．

B

5 複素数平面上で，原点を中心とする半径 2 2 の円をCとし，点αがC上を動くとする．
⑴

iα＋iα のとり得る値の範囲を求めよ．

⑵

点αにおける円Cの接線を lα とする．点zが lα 上を動くとき，w＝1で表される点 w は円z−iを描くことを示し，この円の半径を rα とするとき，rα のとり得る値の範囲を求めよ．

6 3点 A（α），B（β），P（z）があり，点Pは OAB の外心で，αβ＝iz を満たすとする．
⑴

αが満たすべき条件を求め，点Aが描く図形を複素数平面上に図示せよ．

⑵

点zが存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．

7 複素数平面上に，どの3点も一直線上にない異なる4点 A（α），B（β），C（γ），D（δ）がある．
⑴

β−γ α−δ
4点 A，B，C，D が同一円周上にあるための必要十分条件は，・＝（実数）であるこ
α−γ β−δとを証明せよ．
⑵

4点 −3，3−3i，9＋3i，−1＋9i は同一円周上にあることを示せ．

■ヒント

57⑵

まず，z が満たす方程式を求める．また，⑴は式変形の際のヒントになっている．

⑴

円周角の定理と内接四角形の性質（対角の和が ∏）を用いる．

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12:01:1722 ─第 1 章／複素数平面A
1次のとき，1＋cosθ＋i sinθ を極形式で表せ．ただし，0≦（偏角）＜2∏ とする．
⑴

20＜θ＜∏⑵ ∏＜θ＜2∏

次の問いに答えよ．
⑴ α＝⑵∏とする．sin 3α＝cos 2α であることを利用して，sinα，cosα の値を求めよ．
10複素数平面上に，原点と点1を結ぶ線分を1辺とする正五角形がある．他の3つの頂点を表す複素数の虚部がすべて正であるとき，これら3つの複素数を求めよ．

3a を実数とし，0 でない複素数α，βが α4−2aα2β2＋（a＋6）
β4＝0 ……
（＊）を満たすとする．
（＊）
を満たすすべてのα，βについて，複素数平面上で，3 点 O，A（α），B（β）が ∠O＝∏の直角三角形2をなすようなaの値の範囲を求めよ．

4− 3＋3i 
1000以下の自然数nのうち，が負の実数になるものは何個あるか．
 4＋4i 5w＝cosn22∏＋i sin ∏ とするとき，次の問いに答えよ．
55⑴w4＋w3＋w2＋w＋1 の値を求めよ．

⑵

P＝|z−1|2＋|z−w|2＋|z−w2|2＋|z−w3|2＋|z−w4|2 とする．複素数zが |z−1−i|≦1 を満たすと

き，P のとり得る値の範囲を求めよ．

6複素数平面上の原点Oと点 A（10），B（4＋3i）を頂点とする

OAB の外心，および内心を表す複素数をそれぞれ求めよ．

7w＝z＋2iとする．複素数平面上で，点zが点αを中心とする半径1の円上を動くとき，点 w は2z＋i原点を中心とする半径rの円を描くという．このようなαとrの組を求めよ．

8複素数zが |z−1|≧1，z＋z≧2 をともに満たすとき，w＝2で表される複素数 w が存在する範囲
zを複素数平面上に図示せよ．

9複素数平面上の単位円上に，異なる4点 z1，z2，z3，z4 がこの順に並んでいるとき，これら4点が作る四角形の対角線が直交するための必要十分条件は，z1z3＋z2z4＝0 であることを証明せよ．

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章末問題─ 23

B
1

複素数平面上の点zが単位円上を1周するとき，w＝z3−iz2 で表される点 w の軌跡が実軸，および虚軸と交わる回数をそれぞれ求めよ．

22つの数列｛an｝，｛bn｝を，次の式で定める．
a1＝1，an＋1＝78
a − b （n＝1，2，3，……）5 n 5 nb1＝1，bn＋1＝41
a − b （n＝1，2，3，……）5 n 5 n⑴an＋1＋βbn＋1＝α（an＋βbn）が成立するような複素数α，βを求めよ．

⑵⑴のβについて，|an＋βbn|＝1 がすべてのnについて成り立つことを示せ．

⑶

すべてのnに対して，|an|≦ 2，|bn|≦1 となることを示せ．

33次方程式 3x 3−ax＋1＝0（aは実数）の解が次の条件を満たすようなaの値の範囲を求めよ．
⑴

45⑵すべての解の絶対値が1より小さい

方程式 x 7＝1 の虚数解のうち，虚部が正であるものを z1，z2，z3 とし，その実部をそれぞれ Re（z1），Re（z2），Re（z3）と表す．次の問いに答えよ．
1であることを示せ．
2⑴Re（z1）＋Re（z2）＋Re（z3）＝−⑵

Re（z1），Re（z2），Re（z3）は3次方程式 8x 3＋4x 2−4x−1＝0 の解であることを示せ．

n を3以上の自然数とし，α＝cos⑴6すべての実数解の絶対値が1より小さい2∏2∏＋i sinとする．次のことを証明せよ．
nnn＝
（1−α）
（1−α2）……
（1−αn−1）⑵n∏2∏n−1＝sin sin…… sin∏2n−1nnn|iを満たすような複素数zが存在する範囲
2すべての正の数rに対して，不等式 2|rz−1|≧ rz−|を複素数平面上に図示せよ．

7

実数係数の4次方程式 x 4＋ax 3＋bx 2＋cx＋d＝0 は2を解にもち，この方程式の4つの解は複素数平面上で，1 つの角が∏である円に内接する四角形となり，その面積は 4 3 になるという．この3とき，a，b，c，d の値を求めよ．

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