信号解析論
Signal Processing

第１５回講義資料
Lecture notes 15

デジタルフィルタの設計２
Design of digital filters 2

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1理想的低域通過フィルタの設計(Design of ideal low-pass filter)
今日の目標(Today’s goal)
以下の周波数特性を持つ理想的低域通過フィルタを設計する。
Design a digital filter that has the following ideal low-pass frequency response:

𝐻𝐻 𝑒𝑒

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1=�0for 𝑓𝑓 ≤ 𝑓𝑓c
for 𝑓𝑓 ∈ (𝑓𝑓c , 1/2]

𝑓𝑓c ∈ (0, 1/2]：遮断周波数(Cutoff frequency)

設計要求(Design requirements)•因果性(Causal)•BIBO安定性(BIBO stability)•

通過/阻止帯域リップル

𝐻𝐻(𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )1 −𝑓𝑓c−21O𝑓𝑓c

12𝑓𝑓

IIRフィルタで設計する。
Use an IIR filter.

Passband/Stopband ripples•

高速・低遅延(High speed and low latency)
2

IIRフィルタの設計手順(Design flow of an IIR filter)
アナログプロトタイプの設計(Design of an analog prototype filter)
設計要求を満たすアナログフィルタのラプラス変換ℋ(𝑠𝑠)を設計する。
Design the Laplace transform ℋ 𝑠𝑠 of an analog filter satisfying the design requirements.

𝑀𝑀次のバターワースフィルタを用いる。(Use the 𝑀𝑀th-order Butterworth filter.)𝑀𝑀−12𝜋𝜋𝑓𝑓cℋbw 𝑠𝑠 = �,𝑠𝑠 − 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚
𝑚𝑚=0𝑠𝑠𝑚𝑚 = 𝑒𝑒

𝑗𝑗𝑗𝑗

1 2𝑚𝑚+1+2 2𝑀𝑀

因果性およびBIBO安定性を満たす。(The filter is causal and BIBO-stable.)
IIRフィルタのZ変換の設計(Design of the Z-transform of an IIR filter)• インパルス不変法(Impulse invariant method)
フィルタタップがアナログインパルス応答のサンプル値となる。
The filter taps are obtained via sampling of the analog impulse response.

•双線形変換法(Design via bilinear transform)
エイリアシングの発生を防ぐ。(Aliasing does not occur.)3

バターワースフィルタの導出(Derivation of the Butterworth filter)
以下の周波数特性を持つバターワースフィルタを導出する。
Derive the Butterworth filter satisfying the follow frequency response:ℋbw 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓= 1+𝑓𝑓c

2𝑀𝑀 −1/2

インパルス応答が実関数になるように、以下の対称性を課す。
Impose the following symmetry so as to make the impulse response be real.

ℋbw −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = ℋbw (2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)

𝒢𝒢 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = ℋbw 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℋbw (−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)とおくと、(Let 𝒢𝒢 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = ℋbw 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℋbw (−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋).)
𝒢𝒢 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = ℋbw 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℋbw (2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) = ℋbw 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋とおいて、𝒢𝒢(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)の定義域を拡張すると、Let 𝑠𝑠 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 to extend the domain of 𝒢𝒢(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋).

𝑠𝑠𝒢𝒢 𝑠𝑠 = 1 +2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋c2𝑀𝑀 −1

2= 1 + 𝑓𝑓/𝑓𝑓c 2𝑀𝑀 −1−1 𝑀𝑀 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 2𝑀𝑀=−1 𝑀𝑀 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 2𝑀𝑀 + 𝑠𝑠 2𝑀𝑀4

バターワースフィルタの導出(Derivation of the Butterworth filter)ℑ[𝑠𝑠]𝒢𝒢(𝑠𝑠)の極は以下で与えられる。(The poles of 𝒢𝒢(𝑠𝑠) are given by)
𝑠𝑠 2𝑀𝑀 = −1 𝑀𝑀+1 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 2𝑀𝑀 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 2𝑀𝑀 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑀𝑀+1)ℜ[𝑠𝑠]1 2𝑚𝑚+1
𝑠𝑠𝑗𝑗𝑗𝑗 +∴= 𝑒𝑒 2 2𝑀𝑀 ≡ 𝑠𝑠𝑚𝑚 for 𝑚𝑚 = 0, … , 2𝑀𝑀 − 12𝜋𝜋𝑓𝑓c

𝒢𝒢(𝑠𝑠)の極は角度𝜃𝜃0 = 𝜋𝜋{1/2 + 1/(2𝑀𝑀)}から𝜃𝜃2𝑀𝑀−1 = 2𝜋𝜋 + 𝜋𝜋{1/2 − 1/(2𝑀𝑀)}まで半径2𝜋𝜋𝑓𝑓c の円上に等間隔に並んでいる。
The poles of 𝒢𝒢(𝑠𝑠) are evenly spaced on a circle of radius 2𝜋𝜋𝑓𝑓c from the angle 𝜃𝜃0 = 𝜋𝜋{1/2 + 1/(2𝑀𝑀)} to𝜃𝜃2𝑀𝑀−1 = 2𝜋𝜋 + 𝜋𝜋{1/2 − 1/(2𝑀𝑀)}.

ℋbw (𝑠𝑠)をBIBO安定にするために、左半平面にある極をℋbw (𝑠𝑠)に割り当てる。
Allocate the poles on the left half-plane to ℋbw 𝑠𝑠 for the BIBO stability.

𝑀𝑀−1𝑀𝑀−12𝑀𝑀−1𝑚𝑚=0𝑚𝑚=0𝑚𝑚=𝑀𝑀2𝜋𝜋𝑓𝑓c−2𝜋𝜋𝑓𝑓c−2𝜋𝜋𝑓𝑓cℋbw 𝑠𝑠 = �, ℋbw −𝑠𝑠 = �= �
𝑠𝑠 − 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚
𝑠𝑠 + 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚
𝑠𝑠 − 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚

このℋbw (𝑠𝑠)は、𝒢𝒢 𝑠𝑠 = ℋbw 𝑠𝑠 ℋbw (−𝑠𝑠)を満たす。
This ℋbw (𝑠𝑠) satisfies 𝒢𝒢 𝑠𝑠 = ℋbw 𝑠𝑠 ℋbw (−𝑠𝑠).

∎∴ 𝑠𝑠𝑚𝑚+𝑀𝑀 = −𝑠𝑠𝑚𝑚5インパルス不変法(Impulse invariant method)𝑎𝑎
インパルス不変変換ℋ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠 − 𝑏𝑏
Impulse invariant transform
性質１𝑎𝑎
𝐻𝐻 𝑧𝑧 =
1 − 𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1

左半平面にあるℋ(𝑠𝑠)の極は、𝐻𝐻(𝑧𝑧)の単位円内にある極に変換される。

Property 1 Any pole of ℋ(𝑠𝑠) in the left half-plane is transformed into a pole of 𝐻𝐻(𝑧𝑧) in the open unit disk.

証明 ℜ 𝑏𝑏 < 0とすると、𝐻𝐻(𝑧𝑧)の対応する極𝑧𝑧 = 𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑏𝑏 に対して、 𝑧𝑧 ≤ 𝑒𝑒 ℜ 𝑏𝑏 𝑇𝑇 < 1
Proof Let ℜ 𝑏𝑏 < 0. For the corresponding pole 𝑧𝑧 = 𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑏𝑏 of 𝐻𝐻(𝑧𝑧),∎注意 ℋ(𝑠𝑠)がBIBO安定ならば、𝐻𝐻(𝑧𝑧)もBIBO安定である。
Remark

性質２

If ℋ(𝑠𝑠) is BIBO-stable, 𝐻𝐻(𝑧𝑧) is BIBO-stable.

Property 2

証明(Proof)ℋ(𝑠𝑠)と𝐻𝐻(𝑧𝑧)のインパルス応答をそれぞれ𝒽𝒽(𝑡𝑡)とℎ[𝑛𝑛]とすると、
Let 𝒽𝒽(𝑡𝑡) and ℎ[𝑛𝑛] denote the impulse responses of ℋ(𝑠𝑠) and 𝐻𝐻(𝑧𝑧), respectively.

ℎ 𝑛𝑛 = 𝒽𝒽(𝑛𝑛𝑛𝑛)

ラプラス変換表より(From the Laplace transform table,)𝑛𝑛−1 = ∑∞ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 .)1 − 𝑥𝑥 −1 = ∑∞𝑛𝑛=0
𝑛𝑛=0 𝑥𝑥 を用いると、(Use 1 − 𝑥𝑥∞

𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 � 𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1
𝑛𝑛=0𝑛𝑛∞= � 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑇𝑇 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 ,𝑛𝑛=0𝒽𝒽 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑏𝑏 ,∴ ℎ 𝑛𝑛 = 𝒽𝒽(𝑛𝑛𝑛𝑛)∎6バターワースフィルタの場合(Case of the Butterworth filter)
部分分数分解(Partial fraction decomposition)
𝑀𝑀−1

1 2𝑚𝑚+12𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑗𝑗𝑗𝑗 +ℋbw 𝑠𝑠 = �, 𝑠𝑠𝑚𝑚 = 𝑒𝑒 2 2𝑀𝑀
𝑠𝑠 − 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚
𝑚𝑚=0ℋbw (𝑠𝑠)の極は、位数1ですべて異なるので、(ℋbw (𝑠𝑠) only has distinct poles of order 1.)
𝑠𝑠 − 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚
1𝑎𝑎𝑚𝑚 = limℋbw 𝑠𝑠 = �
𝑠𝑠→2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚
𝑠𝑠𝑚𝑚 − 𝑠𝑠𝑚𝑚′
2𝜋𝜋𝑓𝑓c′𝑚𝑚 ≠𝑚𝑚

対称性(Symmetry)𝑠𝑠𝑚𝑚 の定義から、(From the definition of 𝑠𝑠𝑚𝑚 ,)𝑠𝑠𝑀𝑀−𝑚𝑚−1 = 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗

それゆえ (Thus)𝑎𝑎𝑀𝑀−𝑚𝑚−1 =�

1 2𝑀𝑀−2𝑚𝑚−1+22𝑀𝑀𝑚𝑚′ ≠𝑀𝑀−𝑚𝑚−1= 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗

1 2𝑚𝑚+1+2 2𝑀𝑀= 𝑠𝑠𝑚𝑚
𝑀𝑀111= �= �= 𝑎𝑎𝑚𝑚′′𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚 − 𝑠𝑠𝑚𝑚′𝑠𝑠−𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑀𝑀−𝑚𝑚 −1𝑚𝑚′′𝑚𝑚 ≠𝑚𝑚𝑚𝑚 ≠𝑚𝑚

7

バターワースフィルタの場合(Case of the Butterworth filter)
𝑀𝑀/2−1

𝑀𝑀が偶数の場合
Case of even 𝑀𝑀

𝑀𝑀/2−1

𝐻𝐻𝑀𝑀 𝑧𝑧 = �𝑚𝑚=02𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎𝑚𝑚
2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎𝑚𝑚
+1 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1 1 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1ℜ 𝑎𝑎𝑚𝑚 − ℜ 𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1= 4𝜋𝜋𝑓𝑓c �1 − 2𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c ℑ[𝑠𝑠𝑚𝑚 ]𝑇𝑇) 𝑧𝑧 −1 + 𝑒𝑒 4𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −2𝑚𝑚=0∵ 𝑒𝑒 𝑧𝑧 = 𝑒𝑒 ℜ[𝑧𝑧] 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗[𝑧𝑧] = 𝑒𝑒 𝑧𝑧̅

𝑀𝑀が奇数の場合(Case of odd 𝑀𝑀)(𝑀𝑀−1)/2−12𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎 𝑀𝑀−1 /22𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎𝑚𝑚
2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎𝑚𝑚
𝐻𝐻𝑀𝑀 𝑧𝑧 =+�+1 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1 1 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1
1 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠 𝑀𝑀−1 /2 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1𝑚𝑚=0= 4𝜋𝜋𝑓𝑓c(𝑀𝑀−1)/2−1�𝑚𝑚=0ℜ 𝑎𝑎𝑚𝑚 − ℜ 𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −11 − 2𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c ℑ[𝑠𝑠𝑚𝑚 ]𝑇𝑇) 𝑧𝑧 −1 + 𝑒𝑒 4𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −22𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎 𝑀𝑀−1 /2+,
1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1𝑎𝑎 𝑀𝑀−1 /2 =𝑀𝑀−1 /2−1�

𝑚𝑚=01=(−1 − 𝑠𝑠𝑚𝑚 )(−1 − 𝑠𝑠𝑚𝑚 )𝑀𝑀−1 /2−1�

𝑚𝑚=011 + 2ℜ 𝑠𝑠𝑚𝑚 + 𝑠𝑠𝑚𝑚 28IIRフィルタの時間領域表現 (Time-domain representation of the IIR filter)𝑥𝑥[𝑛𝑛]と𝑦𝑦[𝑛𝑛]をIIRフィルタの入出力信号とする。

Let 𝑥𝑥[𝑛𝑛] and 𝑦𝑦[𝑛𝑛] denote the input and output signals of the IIR filter, respectively.

𝑀𝑀が偶数の場合
Case of even 𝑀𝑀

𝑀𝑀/2−1

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � 𝑦𝑦𝑚𝑚 [𝑛𝑛] ,𝑚𝑚=0𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 1 − 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑛𝑛 − 1 − 𝛿𝛿𝑚𝑚 𝑦𝑦𝑚𝑚 𝑛𝑛 − 2 ,𝛼𝛼𝑚𝑚 = 4𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑎𝑎𝑚𝑚 ,𝛽𝛽𝑚𝑚 = −4𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 ,𝛾𝛾𝑚𝑚 = −2𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c ℑ[𝑠𝑠𝑚𝑚 ]𝑇𝑇) ,𝑀𝑀が奇数の場合
Case of odd 𝑀𝑀

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑦𝑦(𝑀𝑀−1)/2 +(𝑀𝑀−1)/2−1�𝑚𝑚=0𝛿𝛿𝑚𝑚 = 𝑒𝑒 4𝜋𝜋𝑓𝑓c ℜ 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑇𝑇𝑦𝑦𝑚𝑚 [𝑛𝑛] ,𝑦𝑦 𝑀𝑀−1 /2 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼 𝑀𝑀−1 /2 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝛾𝛾 𝑀𝑀−1 /2 𝑦𝑦(𝑀𝑀−1)/2 𝑛𝑛 − 1 ,𝛼𝛼(𝑀𝑀−1)/2 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑎𝑎 𝑀𝑀−1 /2 ,𝛾𝛾 𝑀𝑀−1 /2 = −𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑇𝑇

9

𝐻𝐻𝑀𝑀 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c = 0.4と𝑇𝑇 = 1に対する周波数特性(Frequency response for 𝑓𝑓c = 0.4 and 𝑇𝑇 = 1)

𝑓𝑓

バターワースフィルタは帯域制限されていないため、エイリアシングは不可避
Aliasing is inevitable because the band of the Butterworth filter is not limited.
10双線形変換法(Design via bilinear transform)
双線形変換
Bilinear transform

2 1 − 𝑧𝑧 −1
𝑠𝑠 =𝑇𝑇 1 + 𝑧𝑧 −1IIRフィルタ(IIR filter)

性質３(Property 3)※ (𝑠𝑠, 𝑧𝑧 −1 )は双線形方程式𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑧𝑧 −1 − 2 + 2𝑧𝑧 −1 = 0の解(𝑠𝑠, 𝑧𝑧 −1 ) is a solution to the bilinear equation 𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑧𝑧 −1 − 2 + 2𝑧𝑧 −1 = 0

2 1 − 𝑧𝑧 −1
𝐻𝐻 𝑧𝑧 = ℋ
𝑇𝑇 1 + 𝑧𝑧 −1双線形変換は、単位円内から左半平面への一対一写像である。
The bilinear transform is the one-to-one mapping from the open unit disk onto the left half-plane.

証明
Proof𝑧𝑧 < 12
(1 − 𝑧𝑧 −1 )(1 + 𝑧𝑧̅ −1 )2(1 − 𝑧𝑧 −2 )ℜ 𝑠𝑠 = ℜ=<0−12−12𝑇𝑇
𝑇𝑇 1 + 𝑧𝑧
1 + 𝑧𝑧

さらに双線形変換は、次の逆写像を持つ。

Furthermore, the bilinear transform has the following inverse mapping.

注意Remarkℋ(𝑠𝑠)がBIBO安定ならば、𝐻𝐻(𝑧𝑧)もBIBO安定である。
If ℋ(𝑠𝑠) is BIBO-stable, 𝐻𝐻(𝑧𝑧) is BIBO-stable.

𝑧𝑧 =2 + 𝑇𝑇𝑇𝑇
2 − 𝑇𝑇𝑇𝑇 ∎11プリワーピング(Prewarping)
性質４
Property 4ℋ(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓a )と𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 の間には、以下の関係がある。
ℋ(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓a ) and 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 have the following relationship:

1tan 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓a =𝜋𝜋𝜋𝜋

証明

双線形変換の定義から、ProofFrom the definition of the bilinear transform,

2 1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓a =𝑇𝑇 1 + 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1 sin 𝜋𝜋𝜋𝜋1=tan 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓a ==𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 + 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝜋𝜋𝜋𝜋 cos 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

プリワーピング(Prewarping)∎

IIRフィルタの遮断周波数が𝑓𝑓 = 𝑓𝑓c となるように、バターワースフィルタのpw
遮断周波数を𝑓𝑓c に事前に補正する。
pw

Prewarp the cutoff frequency of the Butterworth filter to 𝑓𝑓cfilter is equal to 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓c .

pw
𝑓𝑓c =1tan 𝜋𝜋𝑓𝑓c
𝜋𝜋𝜋𝜋so that the cutoff frequency of the IIR

12

IIRフィルタの性質(Properties of the IIR filter)
バターワースフィルタの周波数特性
Frequency response of the Butterworth filterℋbw 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓a= 1+IIRフィルタの周波数特性

𝑓𝑓apw

𝑓𝑓c

2𝑀𝑀 −1/2

Frequency response of the IIR filter

𝐻𝐻𝑀𝑀 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋= 1+1pw

𝑓𝑓c

IIRフィルタの時間領域表現

𝜋𝜋𝜋𝜋

tan 𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑀𝑀 −1/2

tan 𝜋𝜋𝜋𝜋= 1+tan 𝜋𝜋𝑓𝑓c

2𝑀𝑀 −1/2

Time-domain representation of the IIR filter

省略(Omitted)

13

𝐻𝐻𝑀𝑀 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c = 0.4と𝑇𝑇 = 1に対する周波数特性(Frequency response for 𝑓𝑓c = 0.4 and 𝑇𝑇 = 1)

𝑓𝑓

エイリアシングは発生しない。(Aliasing does not occur.)14

演習(Exercises)
𝑀𝑀次のバターワースフィルタに基づき、双線形変換法によって設計したIIRフィルタの阻止域端周波数𝑓𝑓st が、以下をみたすように次数𝑀𝑀を定めよ。
Via the bilinear transform, design an IIR filter based on the Butterworth filter with degree 𝑀𝑀.
Determine the degree 𝑀𝑀 such that the stopband edge frequency 𝑓𝑓st of the IIR filter satisfies

𝑓𝑓st = 0.42,

𝐻𝐻𝑀𝑀 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓st≤ 10−1 for 𝑓𝑓c = 0.4

15