ZEITSCHRIFT
fürKRISTALLOGRAPHIEMINERALOGIE

Band601924®

XII. 'Ober die Analogie der Kristallsymmetrie inder Ebene.
VonG. Pol)'a in Zßricb.

(Aus einem an den Herrn Schrinteiler gerichteten Brief.)(Mil' eiDer gaDJSeiUgen TexUigur.)

MU regullr verteilten Punktsystemen 1 regullren Plantellungen usw.,
kurzum mlt der Analogie der KrislGIIsymmetrle in der Ebene, haben afch
mehrere Verfasser bescbllf\igt. Meines Wiaaens sind aber zwei naheliegende Punkte von.. einigem Interesse nicht berührt worden:
4. Die Einteilung_ der Symmetrien von dem gruppentheoretischenStandpunkt 'us 1 aur den die Untersuchungen von Schönnies und Ihr
Lehrbuch sieb stellen.
2. Die Bedeutung dieser Symmetrien (Qr Kunstgeseblchte und Kunst·gewerbe; es handelt sieh nllmlieh dabei eigenUich um die S)'mmelrle
periodisch in der Ebene ausgebreiteter Ornamente, wie solehe als Stoffund Topetenmuster1 ParketUerungen usw. jedermann geliuOg sind.
Man kann die Symmelrie von einem in der Zeichenebene ausgebreiteten »Tapetenmusterc aur zwei Arten auffassen. Man betrachtet entweder:
I. Dewegungen der Zeichenebene in sieb selbst und Spiegelungenaut dazu .senkrechten Spiegel- und Gleitspiegelebenen (•undurebaichUgec Zeicbenebene),
2. Bewegungen der Zeichenebene Im Raume (•durebsiehllgec Zeich'enebene),
nlm1ich solche Bewegungen bzw. Spiegelungen, die das Tapetenmuster
mit sieh .selbst zur Deckung bringen. Die erste Aurrassung ist viellelchLl'ft vielen Hinsichten natürlicher; ich schließe mich wegen einigt" BequemUc)keilen der zweiten an.

Ober die Analogie der Krlatallsymmelrla ID der Ebene.

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Die Deckbewegungen dea 'fapetenmuatera können also vlererlet sein:parallel zur Zetcheneberie. !. Drehung um eine zur
Zeichenebene senkrechte Achse, die dieselbe Im Drehzentrum durcbslüßl 3. Umklappung (Drehung um •80°) um eine in der Zeichenebene liegende Klappacbse. • · Schraubung mit einem rolaUven
Teil von 480° um eine in der Zeichenebene gelegene Gleitachse.
Die Gesamthell der Deckbewegungen des Tapetenmusters bildet seine
Gruppe. Slim\liche in der Gruppe enthaltenen TronslaUonen sind durch
zwei unabbinglge, d. h. nicht parallele TronsJalionen erzeugt: hierin besteht kein Unterschied zwischen den Gruppen. Die geometrische Formdes durch die Translationen erzeugten Gitters kann jedoch verschieden
sein: die Gittermasche kann ein allgemeines Para1Jelogramm, Rechteck,Rhombus, Qundrot oder nus zwei glelcbseiUgen Dreiecken vereinigt sein;nach diesem Binteilungsgrund gibt es also tonr Typen von Mustern.
Wenn wir ·auf den rotlUven Tell der Deckbewegungen achten, finden
wir Unterschiede zwischen den Gruppen. Die Drehzen\ra kGnnen bekanntlich nur !-, 3-, ,_ oder 6-znhUg sein; sie kOnnen sich ferner mit Umklapp~ngen kombinieren; so ßnden wir nach dem besagten Eintellungasrund zehn Kl~en (die den Si Kristallklauen entsprechen). Ich bezeichne sie mit~. TranstaUon

01 bedeutet, daß nur TrnnslaUonen vorkommen, D1 bedeutet oino
einzige Umklappung; (Qr n ~ 2 bedeutet 0,. die zyklische, Dra die Diedergruppe mit einer zur Zeichenebene senkrechten n-zlbllgen Achse.
Man kann endlieb o.ls BinteUungagrund die Struktur der Gruppen
wlblen. Hierbei spielt also nur die Art und ZU&ammeobaog der Symmetrieelemente eino Rolle; die metrische Spezialisierung der Translotionsuntergruppe (aur einen der ronr Giltertypen) kommt nur Insofern lnBetracht, als dieselbe durch die tlbrigen Symmetrieelemente mitbedingt ist.
leb fand , daß nur f 1 Gruppen von verschiedener Struktur in derEbene existieren.
In jeder der Klassen Ch <;, 0,, 04, 0. Ist nur je eine Gruppe ent·halten.
Zur Klasse D1 gehGren S Gruppen:
1J1 kk: Glllermmsche Rechteck, nur Kloppochsen;
D1gg:•• Gleltnchaen;

D1kg:•Rhombus, abwechselnd Klapp-. und Gleilachsen.

u•

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G. P6lya.

Zur Klasse D; gehören i Gruppen:a) Mn rechteckiger Gillermasche:
Dskkkk: belden Rechteckselten parallel nur Klappacbsen;
D2gggg:,"• Gleit.acbsen;
Dskkgg: Klappachsen der einen, Gleitachsen der anderen
Rechteckseite parallelb} Mit Rhombus als Glltermascbe:
Dskgkg: Belden Rhombusdiagonalen parallel abwechselnd
Klapp- und Glelt.achaen.
Zur Klasse D, gehGren 2 Gruppen:
D4*: Durch aUe i-zlhllgen Drehzeotra Kloppacbsen;
D4°:" keine""•Zur Klasse Da gebOren ! Gruppen:
D,*: Durch slmUiche 3-zllhllgen Drebzentra Klappacbsen;
D3°:;. der"""Zur Klasse De gehOrt nur 4 Gruppe.
Zusammenrassend: 5+S+i+2+2+4=n Gruppen in der ~bene.
Vergleichen wir die Resultate miL den entsprechenden Im Rnum:
EbeneRaum

Gitter5HKlassen
403217230
GruppenDen Beweis f'ilr die Vollstindlgkeit der Aurzablung zu erbringen Ist
rar den Kenner der SchoenCilesschen Untersuchungen und Ibrea Lehrbuchs bloß eine Obungaaurgabe. Ich setze meinen Beweis nicht hierher,
dB er mir nicht genUgend abgerundet eracbelnl
Ich gebe 47 Ornamentenmuster zur Erliuterung der 47 Gruppen.
FQr i Gruppen, nllmlich !Or Dskkkk, D,•, D,•, D8 Ist die Begrenzungdes Fundamentalbereichea, weil aus lauter Klappachsen bestehend, elndeuUg beaUmml Die Figuren fGr die Qbrlgen 4S Gruppen stellen eigentlich die Zerlegung der Ebene in Fundamentalbereiche dar, nur sind,um leidliche Muster zu erzielen, einige Grenzlinien weggelassen. Die so
entstandenen Figuren sind Eintellungen der Ebene io lauter kongruente
Teile; die einzelnen Teile sind nun nicht immer Fuodamentalbereicbe,
sondern Vereinigungen mehrerer Fundament.albereicbe, zeigen aber dararbesondere Symmetrie. Z. B. Ist der einzelne FlAchentell in der Darstellung von On aus n. Fundamentalbereieben %usammengeselzt, die umein n-zibliges Drehzentrum herum in zyklischer Anordnung liegen,
IJ = 4, ~, 3, 11 G. In der Dnratellung von IJskkgg sind sogllr unendlichObor die ADalogle der Krlatallsymmotrfe ID der Ebento.

.... .... ....
V IV....,rv.... ....

281

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G. P61ya. Ober die Analogie cler Kriltalla7JDmetrie lo cler Ebene.

viele Fundamen\albereiche zu einem Band vereinigt usw. Die Figuren
tnr Os, C,, 04 , D1gg sind ad hoc erfunden. Um auf alltigllc:he Beispiele hlnzuweiaen.slnd D1kg, D2 kgkg 1 D2gggg durch das gewOhnlichste
Ziegelstein-, Backstein- bzw. ParkeUengefOge Illustriert. Die Obrigen
Figuren sind Schemata fiberlieferter Ornamente, verscbiedenen kunstgescbichUic:hen Ursprungs.
Übrigens liefert das Studium der Ornamente auch andere mathemallsche Probleme. Eine besonders einfache Aurgabe ist die folgende :es sind alle verschiedenen Strukturen der Symmetrie einer Bordare(Band, Fries) aufzuzählen ; es gibt deren sieben. Daß das mathemallsehe
Studium der Ornamente auch vom künstlerischen Gesichtspunkte aus
etwas Interesse hat, will ich anderswo erürtern.