広島工業大学紀要研究編
第 ₄₇ 巻（₂₀₁₃）47 – 51

論文

特殊区分放物線補間による分光画像推定
亀本真寿男*・小田和磨*・柏原陣**・鬼追一雅***（平成₂₄年₁₀月₃₁日受付）

Spectral Image Estimation with the Special Piecewise Parabolic Interpolation
Masuo KAMEMOTO, Kazuma ODA, Jin KASHIHARA and Kazumasa KIOI
（Received Oct. 31, 2012）

Abstract
The authors applied special piecewise parabolic interpolation (SPPI) to the spectral image estimation
for the pattern separation which is based on double eigenvector analysis for orthogonal system. As aresult of a measurement, interpolated images were obtained successfully.
Key Words: special piecewise parabolic interpolation, pattern separation processing

₁ ．まえがき₂ ．特殊区分放物線補間

我々の研究室ではこれまでに，QF サンプリング法［₁］₂.₁.

ラグランジュ補間の補間方法について理論的検討を行い，理論予測値を与え図 ₁ にラグランジュ補間の原理を示す。時刻 t = t i , i ∈ることに成功している。今回，補間性能の優れた方法として特殊区分放物線補間（SPPI; Special Piecewise Parabolic{₀, ₁, ₂, ₃} における測定点 Yi から，t = tD（₀ ≦ D ≦ ₃）における補間値 Yˆ ( t ) を測定する場合を考える。この場合のInterpolation）を提案し［₂］，分光画像推定への適用を検討

ラグランジュ補間は次の式で与えられる。

Dしたので報告する。

t −t33Yˆ ( t D ) = ∑ i = 0 Yˆi ∏ m= 0 D m , m ≠ iti − t m

分光画像処理においてパターン分離という処理がある。
この処理は波長の異なる ₂ 種類の画像から，対象物に含まれる ₂ 種類の吸光物質の濃度分布画像を抽出する処理であ（₁）

サンプリング間隔が等間隔 ti = t₀ + iTd でかつ，推定点が中央 tD = t₁.₅ のとき，る。一つのカメラで画像を取得する場合，それぞれの波長の分光画像を交互に取得するので，欠落画像が生じる。パ

1991Yˆ ( t1.5 ) = − ⋅ Y0 + ⋅ Y1 + ⋅ Y2 − ⋅ Y3
16161616

ターン分離を行うためには補間によって欠落画像の推定を行う必要がある。
我々は補間値画像を用いた場合の濃度分布画像と，同期画像を用いた場合の濃度分布画像とを比較し， ₁ 台のカメラで交互に時分割取得した両波長の分光画像から ₂ 種類の吸光物質の濃度分布画像を導出するための基礎データを得た。これにより現在， ₂ 台のカメラを同期させながら取得している ₂ 波長の分光画像を ₁ 台のカメラで取得できる可能性が示された。

図₁* 広島工業大学大学院工学系研究科情報システム科学専攻** 広島工業大学大学院工学系研究科情報システム科学専攻修了*** 広島工業大学情報学部情報工学科
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₄ 点ラグランジュ補間（₂）

亀本真寿男・小田和磨・柏原陣・鬼追一雅となり，これは以下で説明する特殊区分放物線補間の G =における補間値 Yˆ ( t D ) を推定する。特殊区分放物線補間は₁/₁₆ の場合と一致する。

次の式で与えられる。

₂.₂.

1

1

Yˆ ( t1.5 ) = GY0 +  + G  Y1 +  + G  Y2 − GY3
22

区分放物線補間（₅）

次に区分放物線補間について考える。図 ₂ にその原理を

図 ₄ に特殊放物線補間の模式図を示す。ここで G の値を示す。前項と同様に時刻 t = ti, i ∈ {₀, ₁, ₂, ₃} における測定
点 Yi から，t ≦ t ≦ t における補間値 Yˆ ( t ) を測定する場

変えたときの補間性能を評価し，補間性能の予測を行った。

₁₂D合を考える。ここで t D は連続値であり，₁ ≦ D ≦ ₂ である。変数 D の代わりに d =D - ₁ を使うと，区分放物線補間は次の式で与えられる。

図₄

特殊区分放物線補間

その結果，ハードウェアを考慮した推奨値は G = ₁/₁₆ +₁/₃₂ = ₃/₃₂ = ₀.₀₉₃₅ となった。これは d = ₀.₅ の区分放物線補間では式（₄）の a = ₃/₈ = ₀.₃₇₅ のことである。特殊区
分放物線補間は G = ₁/₁₆ とした場合に，ラグランジュ補間
図₂と一致する。

₄ 点の区分放物線補間

₃ ．パターン分離法

Yˆ ( td + 1 ) = ( ad 2 − ad )Y0 + ( − ad 2 + ( a − 1 )d + 1 )Y1（₃）

我々は生体内の内部拡散反射過程に Lambert-Beer 則を適推定点が中央，すなわち d = ₁/₂ のとき，上記の式（₃）

用し，異なる ₂ 波長の分光画像から ₂ 種類の吸光物質の濃+( − ad 2 + ( a + 1 )d )Y2 + ( ad 2 − ad )Y3は度分布画像を得る方法として二重固有値解析法［₃］［₄］に11
1 1 
1 1 
Yˆ ( t1.5 ) = − aY0 +  + a Y1 +  + a Y2 − Y3 （₄）
2 4 
2 4 
44となる。この式は a = ₄G という置き換えで，特殊区分放物基づくパターン分離法を提案した［₅］。本研究においては，このパターン分離法を用いるための分光画像の推定に適用した。
以下，パターン分離法の処理過程について説明する。

線補間そのものになる。

一般に波長 λ における，ある物質の吸光度は，次に示す
₂.₃.

特殊区分放物線補間

Lambert-Beer 則によって与えられる。

提案した特殊区分放物線補間は，上記で説明した区分放 I( λ ) = ε( λ )P− log10  I 0( λ )

物線補間およびラグランジュ補間との間に図 ₃ のような包含関係がある。

（₆）

ここで I₀(λ ) は入射光強度，I(λ ) は透過光強度である。ま時刻 t = t i , i∈{₀, ₁, ₂, ₃} における測定点 Y i から，t = t₁.₅た ε (λ ) は波長 λ におけるモル吸光係数（M-₁cm-₁），P は吸光物質の濃度パターンである。内部拡散反射過程においては I(λ ) は反射光強度である。本研究では，酸化ヘモグロビン（以下 oxy-Hb）と還元ヘモグロビン（以下 deoxy-Hb）の₂ 種類の吸光物質の処理過程を扱った。
いま，波長 λ ₁ と λ ₂ の ₂ 種類の波長の光源を用いてそれぞれの分光反射光強度 I(λ ₁) と I(λ ₂) を測定し，それぞれの波長 λ（i= ₁, ₂）に対する吸光度を得る。ε O(λ i) を波長 λ i にi

図₃₄ 点補間（N = ₃）における分数遅延フィルタの各補間法の包含関係

おける oxy-Hb のモル吸光係数，ε D (λ i ) を波長 λ i におけるdeoxy-Hb のモル吸光係数とする。また P O と P D をそれぞ─ 48 ─

特殊区分放物線補間による分光画像推定

れ oxy-Hb と deoxy-Hb の濃度パターンとする。
モル吸光係数 ε O(λ i) および ε D(λ i) は既知の値を用いる。
PO と PD はそれぞれ oxy-Hb と deoxy-Hb の濃度に比例した値である。カメラによる撮影で得られる輝度 Y(λ i ) は反射

図₆

₁ 台のカメラで分光画像を取得

光強度 I(λ i) に比例した値である。標準白色板は全ての波長領域で反射率 ₁ であるとすると，その輝度 YS(λ i) は入射光強度 I₀(λ i) に比例する。
従って式（₆）における入射光強度と反射光強度の比はI₀(λ ₁)/I(λ ₁) = YS(λ ₁)/Y(λ ₁) および I₀(λ ₂)/I(λ ₂) = YS(λ ₁)/Y(λ ₂)となり，i = ₁,₂ の連立方程式を PO と PD について解くとY ( λ )
log10 S 1 Y ( λ1 )
 PO  1  ε D( λ 2 ) − ε D( λ1 )  P  = ∆  − ε ( λ ) ε ( λ )  YS( λ 2 )21OODlog10
Y ( λ 2 ) 

図₇（₇）

直線補間による画像推定

図 ₇ は直線補間による画像推定の様子を模式的に表した

ただし ∆ = ε O( λ1 )ε D( λ 2 ) − ε O( λ 2 )ε D( λ1 )図である。四角で示された分光画像がカメラで取得した画となる。式（₇）を画像中の各画素について計算することに像を示している。波長 λ ₁の分光画像は奇数番目の R₁, R3, R₅,より，oxy-Hb と deoxy-Hb の濃度分布画像を得ることがで…，波長 λ ₂の分光画像は偶数番目の I₂, I₄, I₆ … である。 物

きる。この処理をパターン分離処理と呼ぶ。

質濃度パターンを得るためには同時刻の分光画像 ₁ と分光画像 ₂ が必要である。分光画像 ₁ では偶数番目の画像，分₄ ．補間処理による画像推定実験
₄.₁.

光画像 ₂ では奇数番目の画像を，前後の画像から直線補間

分光画像の欠落画像推定処理を行って補間値画像を得ることにする。

これまでは ₂ 台のカメラを用いて，時間 t₁ のときに波長λ ₁ の画像 R₁ と波長 λ ₂ の画像 I₁，t₂ のときに R₂ と I₂ … のよ₄.₃.

特殊区分放物線補間による欠落画像推定

うに同期画像を取得していた。図 ₅ は， ₂ 台のカメラで ₂次に特殊区分放物線補間を欠落画像推定への適用を検討

種類の波長 λ ₁ と λ ₂ の画像を時間同期して分光画像を取得した。図 ₈ は，パターン分離処理のため，特殊区分放物線する様子を表した模式図である。取得した分光画像から物補間による画像推定の様子を模式的に表した図である。

質濃度パターン PO と PD を導出している。

図₅

図₈

₂ 台のカメラで時間同期画像を取得

特殊区分放物線補間による画像推定

分光画像 ₁ の時刻 t₄ における推定輝度 R ＇₄と分光画像 ₂
今回は，補間処理を用いて， ₁ 台のカメラでヘモグロビの時刻 t₅ における推定輝度 I ＇₅ を求める様子を模式化した。

ン（Hb）濃度分布動画像を取得する方法を検討した。具体

実験に使用した画像は ₂ 台のカメラを時間同期させて取得

的には，直線補間と特殊区分放物線補間を用いて，分光画した波長 λ ₁と波長 λ ₂ の分光画像である。波長 λ ₁ の画像は像の欠落画像推定に適用した。

奇数番目の R₁, R₃, R₅, … が原画像，波長 λ ₂ の画像は偶数番
目の I₂, I₄, I₆ … が原画像である。次に前後の画像から補間₄.₂.

直線補間による欠落画像推定値画像を生成して欠けた画像を補う。波長 λ ₁では R ＇₂, R ＇₄,直線補間を分光画像の欠落画像推定への適用を検討した。図 ₆ は， ₁ 台のカメラを用いて ₂ 種類の波長 λ を切りR ＇₆, … が補間値画像，波長 λ ₂では I ＇₃, I ＇₅, I ＇₇ … が補間値画像である。
時刻 t₄ における推定輝度 R ＇₄ に，特殊区分放物線補間を替えながら分光画像を取得する様子の模式図である。R₁, I₂,R₃と分光画像 R と I を交互に取得することを前提として検採用し，討を行った。
─ 49 ─

亀本真寿男・小田和磨・柏原陣・鬼追一雅

11

R ’4 = −G ⋅ R1 +  + G  ⋅ R3 +  + G  ⋅ R5 − G ⋅ R7
22

（○，△）が元の輝度データから導出された Hb 濃度で，塗とした。G はスペクトル解析結果からの推奨値，G＝₀.₀₇れた Hb 濃度である。 理想的には，両者が一致するべきでを使用した。

ある。

りつぶし（●，▲）が直線補間後の輝度データから導出さ

図₁₁は Hb 濃度の平均誤差である。 oxy-Hb 濃度分布画像
₄.₄.

実験の結果と考察の₂₀点を計測し，相対誤差を求めたところ，相対誤差は

波長 λ ₁ の分光画像と波長 λ ₂の分光画像からパターン分離₂₁.₉％であった。 直線補間という単純な方法であっても処理を行って oxy-Hb 濃度分布画像と deoxy-Hb 濃度分布画₂₀％程度の誤差であり，適切な補間方法を使用すれば，大像を得る実験に適用した。時刻 t₂ においては R＇₂と I₂，時刻

きな劣化のない Hb 濃度分布画像が得られる可能性がある。

t₃ においては R₃ と I＇₃，のように各時刻において原画像と補間値画像の ₂ 枚から oxy-Hb 濃度分布画像と deoxy-Hb 濃度分布画像を生成した。図 ₉ に生成した oxy-Hb 濃度分布画像の例を示す。実験では ₂ 台のカメラで全時刻の画像を取得しているので，補間値画像に対応する元画像が存在する。これを期待値として原画像のみ（同期画像）から生成した oxy-Hb 濃度分布と比較した。

図₁₁

Hb 濃度の平均誤差

波長 λ ₁の画像と波長 λ ₂ の画像とからパターン分離処理を行って oxy-Hb 濃度分布画像と deoxy-Hb 濃度分布画像を図₉得る実験に適用した。時刻 t₂においては R＇₂と I₂，時刻 t₃ に直線補間により得られた Hb 濃度分布画像

おいては R₃ と I ＇₃，のように各時刻において原画像と補間
図 ₉ が得られた Hb 濃度分布画像である。左の画像が同値画像の ₂ 枚から oxy-Hb 濃度分布画像と deoxy-Hb 濃度分期画像から生成した oxy-Hb 画像である。右が補間値画像

布画像を生成した。図₁₂に生成した oxy-Hb 濃度分布画像から生成した oxy-Hb 画像である。取得した Hb 濃度分布画の例を示す。

像から₂₀点を計測し，誤差を算出した。
図₁₀は oxy-Hb と deoxy-Hb の濃度について，その時間変化を示すグラフである。丸印（○，●）が oxy-Hb で，三角印（△，▲）が deoxy-Hb である。それぞれ，白抜き(a) 原画像から生成（a）原画像から生成
図₁₂(b)補間値画像から生成（b）補間値画像から生成

特殊区分放物線補間による oxy-Hb 画像

直線補間と特殊区分放物線補間による補間画像を生成
し，補間画像と期待値画像の輝度比較を行った。図₁₃にその結果を示す。菱形（◆）と四角（■）は直線補間の結果を示し，それぞれ ₇₆₀ nm の分光画像および ₈₅₀ nm の分光画像における誤差を示す。三角（▲）と罰点（×）が特殊区分放物線補間の結果であり，それぞれ ₇₆₀ nm の分光画
図₁₀

Hb 濃度の時間変化像および ₈₅₀ nm の分光画像における誤差を示す。直線補─ 50 ─特殊区分放物線補間による分光画像推定適化するとともに， ₁ 台のカメラによる時分割分光画像の撮影方法を検討しなければならない。

文献［ ₁ ］鬼追一雅，柏原陣，波多野雅俊，“ディジタル直交検波器の一構成法”，広島工業大学紀要研究編，第₄₅巻，pp. ₂₁₃ – ₂₁₇，₂₀₁₁年 ₂ 月．
［ ₂ ］柏原陣，“特殊区分放物線補間法によるインタポレータの性能改善”，広島工業大学大学院
図₁₃

修士論文，平

成₂₄年 ₂ 月．

元の画像（期待値）と補間画像の差分［ ₃ ］河田聡編著，科学計測のためのデータ処理入門，CQ
出版社（₂₀₀₂）．pp. ₁₈₇ – ₁₈₉.

間（◆と■）における輝度の平均偏差は約₀.₀₁₂および約₀.₀₀₉であった。それに対して，特殊区分放物線補間（▲［ ₄ ］K. Sasaki and S. Kawata, ＂Component pattern separationと×）における輝度の平均偏差は約₀.₀₀₇および約₀.₀₀₆でof unknown-mixture images by double eigenvectorあった。特殊区分放物線補間による補間値画像は直線補間

analysis,＂ J. Optical Society of America A, Vol. ₇, No. ₃（₁₉₉₀）．pp. ₅₁₃ – ₅₁₆.に比べて，大きく改善されることが示された。

［ ₅ ］垣内優一，H₁₈年度電気・情報関連学会中国支部連合

₅ ．まとめ

大会講演論文集，Vol. ₅₇（₂₀₀₆）．p. ₅₇₆.

直線補間と特殊区分放物線補間をパターン分離処理の欠［ ₆ ］S. Prahl, Optical Absorption of Hemoglobin, URL: http://落画像推定に適用し Hb 画像を生成した。また，同期原画

omlc.ogi.edu/spectra/hemoglobin, Oregon Medical

像だけを用いて生成した Hb 画像と比較を行った。補間画

Laser Center（Oct. ₂₀₁₀）.

像であっても大きく劣化することなく Hb 濃度分布画像が［ ₇ ］岩元睦夫，河野澄夫，魚住純，近赤外分光法入門，幸得られる可能性があることを示した。 今後は補間方法を最─ 51 ─書房（₁₉₉₄）．p. ₅₀.