11 速さ

かつやさん，さやかさんの 2 人は，川にそった遊歩道をランニングしました。2 人の会話文を読んで，1あとの問いに答えなさい。

かつや：4.5 km ランニングするのに 36 分かかったよ。

さやか：わたしは 1.8 km ランニングするのに 12 分かかったわ。
かつや：どちらが速く走ったんだろう。

さやか：1 分間あたりに進む道のりなら分速，1 時間あたりに進む道のりなら時速だったよね。だから，分速を比べたらどうかしら。

かつや：4.5 km は 4500 m，1.8 km は 1800 m だね。わたしは 4500 m 走るのに 36 分かかった
あから，分速m だ。

さやか：わたしは 1800 m 走るのに 12 分かかったから，分速 いだから，わたしの方がかつやさんより うm よ。

走ったということね。

かつや：さっきランニングしたときと同じ速さで，わたしが 3 km 走るとすると，かかる時間は え分になるね。

⑴

あ，いにあてはまる数，うにあてはまることばを考えます。①〜⑥にあてはまる数，⑦にあてはまることばを答えなさい。
・かつやさんが 1 分間あたりに進んだ道のりは，〕÷ ②〔①〔〕＝ ③〔（m）なので， あ〕にあてはまる数は，〔③〕（m）なので， い〕にあてはまる数は，〔⑥〕です。
・さやかさんが 1 分間あたりに進んだ道のりは，〕÷ ⑤〔④〔〕＝ ⑥〔です。
よって，⑵

う にあてはまることばは⑦〔〕です。

え にあてはまる数を考えます。①〜③にあてはまる数を答えなさい。
かつやさんが走る道のりは①〔〕m で，速さは分速②〔

つまり，かかる時間は，〔 ① 〕÷〔 ② 〕＝ ③〔
よって，

え〕
m です。

（分）です。
〕にあてはまる数は，〔③〕です。

⑶ 3.3 km はなれた A 地点と B 地点を通る一本道があり，かつやさんは A 地点から，さやかさんはB 地点から同時に出発して，⑴と同じ速さで向かい合って走ります。このとき，2 人は出発してから何分後に出会うかを，次のように求めました。①〜③にあてはまる数を答えなさい。
1 分間に 2 人が走る道のりの合計は①〔
2 人が走った道のりの合計が②〔のは出発してから，③〔24〕分後です。

〕m です。
〕
m になったとき 2 人は出会うので，2 人が出会う112

速さ

ちひろさん，たつやさんはそれぞれ学校と図書館の間を歩いて往復しました。学校と図書館の間の道のりは 1200 m です。2 人の会話文を読んで，あとの問いに答えなさい。
一定の速さで歩いて午後 3 時 16 分に図書館に着いたわ。
ちひろ：わたしは午後 3 時に学校を出発して，図書館を出発したのは午後 3 時 46 分で，行きより少しおそい一定の速さで歩いて，学校には午後 4 時 10 分にもどったの。

たつや：わたしは学校を出発して，行きも帰りも同じ一定の速さで歩いたよ。学校から 720 m はなれた公園の前を通り過ぎてから図書館に着くまでは，7 分 30 秒かかったよ。

ちひろ：行きと帰りの全体で考えると，わたしとたつやさんでは，どちらの方が速く歩いたといえるのかな。
たつや：ちひろさんの行きの速さは，分速
ちひろ：わたしの帰りの速さは，分速

いあm だね。

m ね。

たつや：わたしの方は，公園から図書館まで歩いたところから速さを計算することができて，分速うm だ。

ちひろ：行きと帰りで歩いた速さがちがうから，比べにくいね。
たつや：歩いた道のりは同じだから，速さを計算しなくてもわかるよ。
ちひろ：速さ以外のものでどちらが速いかを比べることができるのね。
あ 〜⑴

うにあてはまる数を，それを求めた式とあわせて答えなさい。

あ式〔〕

答え〔〕

い式〔〕

答え〔〕〕

答え〔〕

⑵

う 式〔

たつやさんが行きと帰りにかかった時間の合計を，次のように求めました。①，③にあてはまる数，②にあてはまる式を答えなさい。
たつやさんが学校と図書館の往復で歩いた道のりの合計は，①〔〕m です。

よって，たつやさんが往復するのにかかった時間の合計は，②〔⑶〕＝ ③〔（分）です。
〕

下線部について，速さを計算しなくてもわかる理由を書き，その考えを使って，ちひろさんとたつやさんのどちらの方が速く歩いたかを答えなさい。

理由

答え〔〕
25

１９ 数・計算の利用

はるきさん，なつみさん，あきなさんの 3 人がカレンダーを見ながら話しています。3 人の会話文

1を読んで，あとの問いに答えなさい。

日

月火

水木

金

土

123456789101112131415161718192021222324252627282930

31

はるき：今月のカレンダーを見ているけど，数がたくさん書いてあるね。
なつみ：曜日ごとに，順番にならんでいるよ。
あきな：数のならび方に規則があるのかな。
はるき：横の数は右にいくにつれて，1 ずつ大きくなっているね。

なつみ：たての数は下にいくにつれて，7 ずつ大きくなっているよ。これは 1 週間が 7 日だからだね。
あきな：ほかに規則はないかな。

はるき：横にならんでいる 3 つの数の和は，3 の倍数になっているよ。

123192021

なつみ：例えば，1，2，3 だと，3 つの数の和は 6 で 3 の倍数。19，20，21 だと 3 つの数の和はAで，これも 3 の倍数だから，どこでも必ず 3 の倍数になりそうだね。

あきな：一直線に右ななめ下にならんでいる 3 つの数の和の場合はどうかな。
はるき：例えば，右の図の 6，14，22 の場合だと，和はBで 3 の倍数になるね。このようなならび方もどこでも必ず 3 の倍数になるね。

6なつみ：これら以外の囲み方でも，3 つの数の和がどこでも必ず 3 の倍数に14なる囲み方があるね。

22

あきな：なるほど。それじゃあ，4 の倍数になる囲み方はあるのかな？

はるき：4 つの数の和にすれば，4 の倍数になる場合があるよ。

なつみ：「一直線にたて」や「一直線に横」，「一直線にななめ」などのように 4 つの数がならんでいるところを調べてみればよさそうかな。

あきな：ところで，右の図のように，横にならんでいる 3 つの数の和が 3 の倍数になるのはなぜかな。

はるき：㋐の数は㋑の数より 1 小さく，㋒の数は㋑の数より 1 大きい。だから，㋐と㋑と㋒の数の和は，㋑の数の 3 倍になるよ。

なつみ：それで㋐と㋑と㋒の数の和が 3 の倍数になるんだね。

40

㋐㋑㋒

19

数・計算の利用

あきな：右の図 1 のように，右ななめ下にならんでいる 3 つの数の和が 3 の 図 1倍数になる理由も同じように説明できるよ。

㋐

はるき：㋑の数をもとにして，㋐と㋑と㋒の数の和を考えればいいんだね。

⑴

A，

B

㋑㋒にあてはまる数を答えなさい。

A〔〕

B〔〕

⑵ 3 つの数がくっついて一直線にならんでいる場合で，3 つの数の和がどこでも必ず 3 の倍数になる囲み方を，次の図の例のように，をつなぐ形ですべてかきなさい。

（例）⑶

4 つの数がくっついて一直線にならんでいる場合で，4 つの数の和がどこでも必ず 4 の倍数になる囲み方を，⑵のように，⑷をつなぐ形ですべてかきなさい。

下線部の考え方にならって，図 1 のように一直線に右ななめ下にならんでいる 3 つの数の和が 3の倍数になる理由を，㋑の数をもとにして，㋐，㋑，㋒の記号を使って，説明しなさい。

41

21 展開図の利用①

はるきさん，なつみさん，あきなさんの 3 人の会話文を読んで，あとの問いに答えなさい。

1

はるき：立方体の展開図はいろいろあるよね。
なつみ：全部で 11 通りあると聞いたことがあるよ。

あきな：表面に文字や絵がある立方体の展開図はどうなるのかしら。

AB

はるき：例えば，右の図のように A，B が 2 つの面に書かれた立方体の展開図を考えてみよう。

なつみ：まず，立方体の展開図に A の文字を入れてみたよ。

A

あきな：B は A の右横に，A と同じ向きで書いてあるから，A の右どなりの面に，A と同じ向きで B をA B書き入れればいいわけね。
はるき：じゃあ，もし，A が図 1 のように入っていた
ときは，B はどこの面にどの向きで入るかな。

なつみ：図 1 の展開図を図 2 のよ

図1図2うに折り曲げていくと，A が書いてある面の右どAA

Aなりの面になる部分がわかるから，そこに B の文B

字をA の向きにそろうよ
うに書き入れればいいと思うよ。

あきな：あとは，もとの立方体の頂点にア〜クの記号をつけて，展開図を考える方法もあるよ。
なつみ：展開図でア〜クに対応する点はどう考えるの？
はるき：まず，A の向きに気をつけると，A は面アイカオにあり，A の上が辺アイ，A の下が辺オカ，A の右側が辺イカになるように，ア，イ，カ，オの記号をつけられるね。

オカエクオ

カイウ

キカウイウエアエ

アアエク

オ

イウキカア

A

A BキクアエAイオAアウアBエエイイア

あきな：面アイカオは，面オカキクと辺オカでくっついているので，展開図で，面アイカオの左どなりの面は，面オカキクになるよね。そして，面オカキクの左どなりの面は面クキウエになって，展開図を組み立てたときに，頂点ア，イ，ウ，エが重なる点にア，イ，ウ，エをつけられるよ。
なつみ：そうすると，面キカイウに辺イウでくっついている面が面ウイアエになるのね。
48

21

展開図の利用①

はるき：これで，展開図に頂点ア〜クをつけることができたから，B がある面イウキカに，B を書くことができるよ。
あきな：B の上が辺イウ，B の下が辺カキ，B の左側が辺イカになるように，B の向きを考えて書き入れるのね。
はるき：問題によって，考えやすい方法で文字の位置や向きを考えるといいよ。
⑴

図 4 は，図 3 の立方体の展開図です。 図 3

アルファベットの A が面エアオク，B が面イウキカに書いてあります。この立方体の頂点ア〜クを B の場所と向きに注意して，アオエイ

図4ウAク B キカ〔〕〔〕

〔〕
〔〕

〔

図 4 の展開図に書き入れなさい。また，Aの文字を場所と向きを考えて図 4 の展開図〕

B〔〔〕

〔〔〕〕〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕に書き入れなさい。

⑵

右の図のように，2 つの面に A と B のアルファベットが書かれた立方体があります。

この立方体の正しい展開図を下のあ〜くの中からすべて選びなさい。
いうB

B

B

AA
きくB

BAかA

おA

A

B

〔
図 6 は，図 5 の立方体の展開図です。アルファ 図 5ベットの A，B，C が 1 つずつ，立方体の面に書いてあります。C の文字は図 6 の展開図に向きを考えて，すでに書き入れてあります。残りの A と B の文字を，場所と向きを考えて図 6 の展開図に書き入れなさい。

B〕

図6CAC⑶

B

AA

B

えB

あA

49