Proceedings of the 7th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan (August 4-6, 2010, Himeji, Japan)

SKIN EFFECT IN RESISTIVE CONDUCTORS BASED ON
NEW MULTICONDUCTOR TRANSMISSION-LINE THEORY
Kenji Sato1,A,B), Hiroshi TokiB)A)
National Institute of Radiological Sciences, 4-9-1 Anagawa, Inage-ku, Chiba-shi, Chiba, 263-8555 Japan
B)
Research Center for Nuclear Physics, Osaka University, 10-1 Mihogaoka, Ibaraki-shi, Osaka, 567-0047 Japan
We have constructed new multiconductor transmission-line theory and have succeeded to explain the origin ofelectromagnetic radiation and noise. Sources of electric and magnetic fields in free space outside the resistive
conductors are true electric charge and conduction current inside conductors. Ohm’s law and continuity equation play
important role through new boundary conditions which differ from ones for perfect conductor. Based on the newmulticonductor transmission-line theory, we suppose that sources of electric and magnetic fields inside resistive
conductor is power supply which generates non-conservative electric field. Skin effect inside resistive conductor withcylindrical shape is formulated. A new component of current perpendicular to a normal one along transmission line isfound.

新多導体伝送線路回路理論に基づいて計算した抵抗性導体内部の表皮効果
ンシャルの源は導体内部の真電荷と伝導電流である。
2. 伝送線路の回路理論では、導体外部の空間の導多導体伝送線路の新しい回路理論の構築に成功し、 体表面の電位と、導体内部を流れる電流との関係をノイズと電磁波の起源を解明した 1,2) 。また、「電与える。
源と負荷と配線の対称化＋コモンモードフィルター
3. 電気の重ね合わせの原理では、電位を、電位係とノーマルモードフィルター」 3,4) を実現すれば、
数と各導体の真電荷の積の和として表す。
静的フィルターだけでもノイズは数ppmに抑制出来
4. 磁気の重ね合わせの原理では、ベクトルポテン
ることを論じた。最新の情報によれば、CERNのシャルを、誘導係数と各導体の伝導電流との積の和
LHCでは電源部門が整備され、それと同時に、対称として表す。
化を実現し、EMCは数ppmになっているとのことで5. 電位係数も誘導係数もノイマンの公式で計算さある5)。
れ、電位係数と誘導係数の比の平方根は光速になる。
ノイズと電磁波はいずれも電磁気現象であり、多6. 伝送線路の１本毎の特性インピーダンスが自己導体伝送線路の新しい回路理論とは言え、4つのマ電位係数と自己誘導係数の積の平方根として定まる。
クスウェル方程式とオームの法則及び連続の方程式
7. 導体を完全導体とする必要はなく、導体の抵抗＝電荷の保存則を完全に順守しており、何らの逸脱はノンゼロとして、導体内部でオームの法則が成立もない。しかし、何かがこれまでの電磁気学や回路するとすれば良い（図１参照）。
理論のものの見方や考え方と違っており、その理解
8. 導体内部で連続の方程式＝電荷の保存則が成立を助けるために、多導体伝送線路の新しい回路理論
する（図１参照）。
に関するまとめを列挙する。
9. 導体内部と導体外部の空間での導体表面での境
1. 抵抗性導体の外部の空間の電場と磁場、あるい界条件により、線路の方向の電場が一致する。これは、電位（スカラーポテンシャル）とベクトルポテ
により、導体内部と導体外部の空間の境界での電位とベクトルポテンシャルの関係が定まる。
１導体で、ノンゼロの抵抗 R≠0r
10. 抵抗性導体の境界条件（図１参照）の計算式は、
r
電磁波発生 ∑E//≠0 ∂ρ(r ,t) + divi (rr,t) = 0∂t
境界条件
従来の完全導体のものとは異なり、導体外部の電場
rr
rr
r r
i (r ,t ) = σ{E(r ,t ) + E (r ,t )}•⊗⊗◎導体外部の電場と磁場に寄与する真電荷と伝導電流を全て含む領域
源● 連続の方程式
導体内部の真電荷を体積積分や面積積分の対象とする。
● オームの法則
導体内部の伝導電流● 特性インピーダンスZ
11. 導体外部の電位とベクトルポテンシャルには、導体内部の電流● 抵抗≠0
導体内部の電場
ローレンス条件を満たす遅延ポテンシャルを採用す• E⊥ B⊥ ⊗ E//≠0•◎◎Z = P LTEM波
R ≠ 0 (Qσ ≠ ∞ )る。
12. 遅延時間に含まれる距離に比例する遅延時間は、
図1：抵抗性導体の外部の電場と磁場、あるいは、伝送線路においては非常に短い時間になることを利電位とベクトルポテンシャルの源は導体の真電荷と用して、テーラー級数展開し、その初項で近似する。
伝導電流。ただし、境界条件は従来の計算方法と異これにより、多導体伝送線路を流れる電流の総和でなることに注意。
あるアンテナモード電流が定義出来る。

１．はじめに

ext

+++++
+++
+
---------+
+++
+++++

------+
+
++
++++
+
+++
+++++
+
- -- -----

11

11

11 11

1

1

E-mail: sato@rcnp.osaka-u.ac.jp-257-

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13. 抵抗がノンゼロのときアンテナモード電流がノ
２．導線が１本のときの基本方程式
ンゼロになり、多導体伝送線路から電磁波が輻射される。
2.1 マクスウェル方程式他と電磁波が出ない近似
14. 抵抗がノンゼロのときの、導体外部の空間での前章のまとめの1項、7項、8項、9項、及び、10項
線路方向の電場が遠方での電磁波の起源であり、線路に垂直な電場は線路間で送信・受信するTEM波のについて詳しく検討したところ、表皮効果を示す抵起源である。
抗性導体の内部の電場と磁場、あるいは、電位とベ
15. 3本の導線の伝送線路では、ノーマルモードノ
クトルポテンシャルを知るには、その源を非保存的イズとコモンモードノイズとアンテナモードの３つな電場を発生させる外部起電力である電源とすればのモードが発生する。この3つのモードの結合こそ良いとの考えに達した（図2参照）。
がノイズの起源である。
ただし、導体内部に非保存的な電場が直接現われ
16. 抵抗がノンゼロでアンテナモード電流がノンゼることはないと考えて良く、電源は、電源と導体をロのとき電磁波が輻射されるが、その輻射エネル
含む閉回路を考えたとき、その閉回路を一周したとギーは電気回路的に計算される。
きの起電力の役割を果たすとすれば良い。
17.「電源と負荷と配線の対称化」を実現すれば、3問題は電磁波の輻射の取り扱いである。前章の16
つのモードの結合をほどくことが出来る。さらに、項や18項で述べたように、抵抗性導体では電磁波が対称な配置を持つ「コモンモードフィルターとノー輻射される。電磁波の輻射により電気的エネルギー
マルモードフィルター」を設けると、3つのモードが減衰し、その結果、表皮効果も影響を受ける。しのノイズを低減出来る。
かし、電磁波が輻射される現象は多導体伝送線路の
18. １本の導線は線状アンテナであるが、電源を繋新しい回路理論で別途計算出来るものとして、本稿いだときのアンテナモード電流の線路に沿っての分では電磁波は輻射されないと言う近似を採用する。
布が一意的に計算出来る。このとき、抵抗がノンゼ
従って、抵抗性導体内部では単に4つのマクスロであるので電磁波が輻射され、輻射の全エネル
ウェル方程式、連続の方程式＝電荷の保存則、及び、
ギーは電気回路計算で求めることが出来る。
オームの法則が成立するとすれば良い。このうち、以上のまとめから、従来の2導体伝送線路の回路
外部起電力があらわな形で式に現われるのは、オー理論との違いだけでなく、従来の電磁気学のもののムの法則である。
見方の変更を読み取ることが出来る。例えば、前章
1の3項では電気の重ね合わせの原理には静電係数で電気のガウスの法則： divE (r ,t ) = ρ (r ,t )(1)ε0はなく電位係数を採用するのが正しいと言うことなので、伝送線路では単位長さ当たりの電気容量は不(2)磁気のガウスの法則： divB(r ,t ) = 0
適切な物理量であり、従って、そこを流れるとして定義されて来た変位電流は存在出来ないことになる。 アンペール・マクスウェルの法則：
また、変位電流が存在出来ないので、キルヒホフの1∂E (r ,t )法則も成立出来ないことになる。そのキルヒホフの(3)
rotB(r ,t ) − ε 0= i (r ,t )μ0∂t法則に代わるのが9項と10項の境界条件である。
こうした新しい考え方に基づき、特に、抵抗がノ
ファラデーの電磁誘導の法則：
ンゼロの導体の内部でオームの法則と連続の方程式∂B(r ,t )＝電荷の保存則が成立することに着目し、表皮効果
rotE (r ,t ) +
=0
(4)
∂t
を検討した。ただし、抵抗性導体内部の電場と磁場、
あるいは、電位とベクトルポテンシャルが計算出来
連続の方程式＝電荷の保存則：
るためには、その源として、非保存的な電場を発生∂ρ (r ,t )させる外部起電力である電源が必要とされる（図2(5)+ divi (r ,t ) = 0参照）。そのとき、損失付きの波動方程式（ヘヴィ∂t
サイドが提唱した電信方程式で電信技手の方程式と１導体で、ノンゼロの抵抗 R≠0も呼ばれる）が得られ、その解として、抵抗性導体
電磁波は輻射されないとするを流れる伝導電流は線路に沿って流れるだけでなく、 導体内部の真電荷
半径方向の電場と電流
導体内部の伝導電流
それに垂直な方向にも流れることが判明した。
線路の長さ方向の電場と電流源
本稿では、表皮効果においては、垂直方向に流れ● 連続の方程式
導体内部の電流● オームの法則
導体内部の電場
る電流が存在すると言う新しい知見について報告すr
源rr∂ρ(r ,t)+ divi (r ,t ) = 0
る。しかし、抵抗性導体内部の電場として表皮効果
非保存的な電∂trr
rr
r r
場を発生させるi (r ,t ) = σ{E(r ,t ) + E (r ,t )}を知ろうとすると、今のところ、通常の計算方法で外部起電力である電源解を得るのが困難であることが判明した。そこで、その困難な事情について、併せて報告する。
図2：抵抗性導体の内部の表皮効果を計算するとき
+++++
+++
+
-----------+
+++
+++++

------++++++++
+
+++
+++++
+
- -- -----

ext

AC

の電場と磁場、あるいは、電位とベクトルポテン
シャルの源は非保存的な電場を発生させる電源。ただし、電磁波の輻射はないものとする。
-258-

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外部起電力があるときのオームの法則：(6)i (r ,t ) = σ E (r ,t ) + E ext (r ,t )ただし、外部起電力による非保存的な電場は(7)
rot E ext (r ,t ) ≠ 0を満たす。また、電気伝導率は導体内部と同じく σであるとしておく。

{}

３．３次元双曲形方程式のグリーン関数
3.1 ３次元双曲形方程式のグリーン関数6)(10)や(11)の偏微分方程式は3次元双曲形方程式で、
⎛
⎞
1 ∂2
1 ∂
⎜⎜ Δ3 − 2 2 − 2− μ 2 ⎟⎟u (r ,t ) = −v(r ,t )
(14)
t
∂
c
t
κ
∂
⎝
⎠

2.2 電場と磁場の基本方程式

はクライン・ゴルドン方程式の一般形と呼べるもの
前節で示した諸量のうち、外部起電力を除いてはである。この式は、1次元の場合にはヘヴィサイド
全て導体内部の値である。しかも、導体内部に限れば、オームの法則より、伝導電流と電場とは比例し、 が提唱した電信方程式に相当する。このとき、この(14)の方程式のグリーン関数はi (r ,t ) = σE (r ,t )
(8)
⎛
⎞
1 ∂2
1 ∂
が成立するので、伝導電流は求めるべき物理量に⎜⎜ Δ3 − 2 2 − 2− μ 2 ⎟⎟G (r ,t ; r ′,t ′)
(15)
∂
t
∂
c
t
κ
なっており、それ自体が電場と磁場の源とはなれな⎝⎠い。また、電気のガウスの法則より、真電荷も= −δ (r − r ′)δ (t − t ′)
ρ (r ,t ) = ε 0 divE (r ,t )(9)を満たす解 G (r ,t ; r ′,t ′) であると定義され、遅延条件が成立するので、真電荷も求めるべき物理量になっにおいてはており、それもまた電場と磁場の源にはなれない。
t ′ > t : G (r ,t ; r ′,t ′) = 0(16)
結局、導体内部の電場と磁場の源は、外部起電力と′t <t:考える必要があり、前節の6つの方程式から、真電
G (r ,t ; r ′,t ′)荷と伝導電流を消去してやれば良い。こうして、電c2
c − 2 κ 2 (t − t ′ )場と磁場の解くべき偏微分方程式が得られる。
=
eU {c(t − t ′) − r − r ′ }4π∂ 2 E (r ,t )∂E (r ,t )ΔE (r ,t ) − ε 0 μ 0− σμ0⎡ δ {c(t − t ′) − r − r ′ }
⎤
∂t
∂t 2
(17)
⎢
⎥
σ
σ
r − r′⎢⎥∂E ext (r ,t ) σ − ε 0 t ε 0 t′ ext
(10)
= σμ0
− e ∫ e ΔE (r ,t ′)dt ′
⎥
2
×⎢
t
ε0
∂t
⎢ jq 0 J 1 ⎧⎨ jq 0 c 2 (t − t ′)2 − r − r ′ ⎫⎬ ⎥
⎩
⎭⎥
σ
σ
⎢−
t′
σ − t
⎢
⎥
2
2
2
− e ε 0 ∫ e ε 0 rot rotE ext (r ,t ′) dt ′′′c (t − t ) − r − r
t
⎢⎣
⎥⎦
ε0
∂ 2 B(r ,t )∂B(r ,t )ΔB(r ,t ) − ε 0 μ 0− σμ0と与えられることが知られている。ただし、 U (t ) は∂t∂t 2
ユ ニ ッ ト ・ ス テ ッ プ 関 数 、 δ (t ) は デ ル タ 関 数 、(11)= −σμ0 rotE ext (r ,t )J 1 (ξ ) は1次のベッセル関数である。このとき、境界
2.3 時間変化が単振動の場合
条件と初期条件によらない、(14)の右辺を源とする
主要解は(10)と(11)の物理量の時間変化が単振動で e jωt であるとすると、次の偏微分方程式が得られる。
u (r ,t ) = ∫ ∫ v(r ′,t ′)G(r ,t ; r ′,t ′)dτ ′dt ′
(18)
t V
2
ΔE (r ) + ω ε 0 μ 0 − jωσμ0 E (r )と与えられる。なお、(17)は{(= jωσμ0 E
−

ext

(r )

[

)

]

1
σ
ΔE ext (r ) + rot{rotE ext (r )}
σ
ε0
+ jω
ε0
ΔB(r ) + (ω 2ε 0 μ 0 − jωσμ0 )B(r )= −σμ0 rotE ext (r )2.4}

3方向の成分の結合

(12)

(13)

c2
(19)
− μ2 > 04π 2が成立するときのグリーン関数であるが、(10)と(11) の 形 か ら し て 、 本 稿 で 取 り 扱 っ て い る の は
μ = 0 の場合である。
q0 =なお、(17)のグリーン関数は2つの項からなっているが、1次元の場合の電信方程式のグリーン関数は1つの項のみを含むことに注意しておきたい。

(10)、(11)、(12)、及び、(13)からは直ちには読み
3.2 解を得るのが困難な事情
取れないが、右辺の外部起電力の項は複雑な構造で(10)と(11)の右辺の外部起電力は複雑な構造でああるため、電場や磁場の3方向の成分は結合しているものと考えられる。その点、(21)と(22)を見れば、 るため、グリーン関数が分かるとしても、直ちに解を得るのは困難である。
結合するのがあからさまに読み取ることが出来る。

-259-

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４．円柱導体内部の表皮効果

1 ∂ ⎧ ∂E x (η , x ) ⎫ ∂ 2 E x (η , x )+ ω 2ε 0 μ 0 − jωσμ 0 E x (η , x ) = 0
⎨η
⎬+
∂η ⎭
η ∂η ⎩∂x 2(

4.1 円柱座標
導線は断面が半径 a の円で、長さが l とする。ここで、他の目的で使用する直角座標と球座標の定義と関連して、円柱座標を定義しておく。
直 角 座 標 を (x , y , z ) と し 、 単 位 ベ ク ト ル を(e ,e ,e )とする。線路の長さ方向を x 軸と定義し、
x

y

(24)

それぞれの偏微分方程式は独立しており、かつ同形であり、変数分離により、それぞれの解を求めることが出来る。その解を得る過程を省略するが、0次のベッセル関数と波動方程式の解との積となる。
k x
−k x
(25)
Eη (η , x ) = J 0 (kηηη ) Aη + e ηx + Aη − e ηx((

E x (η , x ) = J 0 (k xηη ) Ax + ez

球座標は x 軸に対し定義して (r ,θ ,ϕ ) とし、単位ベク)

k xx x+ Ax − e− k xx x)(26)

このとき、波数はそれぞれ次の関係を満たす。
(27)
ω 2ε 0 μ 0 + kηx 2 − jωσμ 0 = kηη 2

トルを (e r ,eθ ,eϕ ) とする。円柱座標も x 軸に対して定義して (η ,ϕ , x ) とし、単位ベクトルを (eη ,eϕ ,e x ) とす

ω 2ε 0 μ 0 + k xx 2 − jωσμ 0 = k xη 2る。
円柱座標において、全ての物理量は円柱回転対称で角度 ϕ には依存しないとし、さらに、電場の ϕ 成(28)

これらの解の問題は、電場の半径方向の η 成分

Eη (η , x ) と線路の長さ方向の x 成分 E x (η , x ) とがそれぞれ独立していて、第 4.2 節の (21) と (22) で論じたよ
うに、2つの成分が結合しないことである。

分もゼロとする。
Eϕ = 0)(20)

これより、電場の半径方向の η 成分及び電場の線
路の長さ方向の x 成分の偏微分方程式が得られる。

電場の半径方向の η 成分の境界条件と波数4.4波数を決めれば良いが、それには、境界条件を適用する。(8)からして、電場の半径方向の η 成分は、

4.2 導体内部の方程式

電流の半径方向の η 成分のことであり、この電流は(8) と (9) からして、電場のみを計算すれば知りた
導体表面を垂直に流れることはないから、半径がい物理量の全てが求まるので、以下では、時間的には単振動であるとし、 (12)のみを計算の対象とする。 η = a ではゼロになり、J 0 (kηη a ) = 0(29)
2
1 ∂ ⎧ ∂Eη (η , x ) ⎫ ∂ Eη (η , x )+ ω 2 ε 0 μ 0 − jωσμ 0 Eη (η , x )
⎬+
∂η ⎭
∂x 2

(

⎨η
η ∂η ⎩)= jωσμ 0 Eη (η , x )ext

で、ベッセル関数 J 0 (ξ ) のゼロ根でなければならな(21)∂E (η , x ) ⎫⎪∂ ⎧⎪ ∂Eη (η , x ) 1 ext
σ
1+ Eη (η , x ) +⎨⎬∂xε 0 σ + jω ∂η ⎪⎩ ∂η
η
⎪⎭
ε0
ext

−

が成立しなければならない。従って、 kηη a は実数
い。

ext
x

kηη i =)= jωσμ 0 E xext (η , x )ext∂E ext (η , x ) ⎫⎪∂ ⎧⎪ ∂Eη (η , x ) 1 ext
σ
1−+ Eη (η , x ) + x⎨⎬∂x
ε 0 σ + jω ∂x ⎪⎩ ∂ηη⎪⎭ε0

波数にも i 番目の添え字を付けた。
これと (27) とにより kηxi が複素数として定まるの(22)で、実数部と虚数部をそれぞれ
kηxi = − jkηxIi − kηxRi = − j (kηxIi − jkηxRi )成分及び線路の長さ方向の x 成分とが微妙に入り混じっていることや、同じ項を半径で偏微分したり、長さで偏微分したりしていることに注意する必要がある。その結果、抵抗性導体内部の電場は、半径方向の η 成分及び線路の長さ方向の x 成分とが結合すkηxIi =

ると考えられる。

kηxRi =

4.3 導体内部で右辺の外部起電力がゼロのときの解導体内部では、外部起電力による非保存的な電場は存在しないとして、右辺をゼロとして見る。
2

(

)

(31)

と定義する。途中の計算を省略するが、それぞれ

このとき、右辺は、外部起電力の、半径方向の η

1 ∂ ⎧ ∂Eη (η , x ) ⎫ ∂ Eη (η , x )+ ω 2ε 0 μ 0 − jωσμ0 Eη (η , x ) = 0⎨η⎬+η ∂η ⎩
∂η ⎭
∂x 2

(30)

a

ただし、 ξ i (i = 1,2,L) は i 番目のゼロ根であるので、

1 ∂ ⎧ ∂E x (η , x ) ⎫ ∂ 2 E x (η , x )+ ω 2 ε 0 μ 0 − jωσμ 0 E x (η , x )
⎨η
⎬+
∂η ⎭
η ∂η ⎩
∂x 2

(

ξi

2
⎡ 2
⎤
⎛ξ ⎞
⎢ω ε 0 μ 0 − ⎜ i ⎟
⎥
⎝a⎠
⎥
1⎢
⎢
⎥
2
2
2⎢
⎥
⎧⎪ 2
⎛ ξ i ⎞ ⎫⎪2⎢+ ⎨ω ε 0 μ 0 − ⎜ ⎟ ⎬ + (ωσμ 0 ) ⎥⎢⎥⎝ a ⎠ ⎪⎭
⎪⎩
⎣
⎦
ωσμ 0
2
⎤
⎡ 2
⎛ξ ⎞
⎥
⎢ω ε 0 μ 0 − ⎜⎜ i ⎟⎟
a⎠
⎝
⎥
⎢
1
⎥
⎢
2
2
2
2⎢
⎥
⎧⎪ 2
⎛ ξ i ⎞ ⎫⎪2⎢+ ⎨ω ε 0 μ 0 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ + (ωσμ 0 ) ⎥⎥⎢⎝ a ⎠ ⎪⎭
⎪⎩
⎦
⎣

(23)
と求められる。
-260-

(32)

(33)

Proceedings of the 7th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan (August 4-6, 2010, Himeji, Japan)(32)の波数は電場の半径方向の η 成分が x 方向に電場と磁場、あるいは、電位（スカラーポテンシャ
ル）とベクトルポテンシャルの源であるとして、導伝播するときの波数であるから、その伝播速度は体表面でのその電位と伝導電流の関係を与えるものω2=v xi =kηxRiである。このとき、導体の抵抗はノンゼロであるとkηxIi σμ 0(34)
して、導体内部でオームの法則と連続の方程式＝電ω=荷の保存則が成立するとして解けば良く、従来の回
2
⎡
⎤
2
2
⎧⎪ 2
1⎢ 2
⎛ ξi ⎞⎛ ξ i ⎞ ⎫⎪2 ⎥路理論に見られたような完全導体とする必要はない。
ω ε 0 μ 0 − ⎜ ⎟ + ⎨ω ε 0 μ 0 − ⎜ ⎟ ⎬ + (ωσμ0 ) ⎥2⎢⎝a⎠⎝ a ⎠ ⎪⎭⎪⎩
この新しい回路理論からすれば、抵抗性導体内部⎢⎣⎥⎦の表皮効果もオームの法則と連続の方程式＝電荷のの式で定まる。この伝搬速度は、光速より相当遅く、保存則が成立するとして解くべきであることになる。
伝送線路の間を伝搬する電気信号の伝搬速度を表し
しかし、これらの法則からして、導体内部の電場とているのではないことは明らかである。その一方で、磁場の源は真電荷と伝導電流にはなり得ず、そこで、この伝搬速度は導体内部の電場とは無関係に定まる抵抗性導体内部の電場と磁場の源は、非保存的な電ので、いわゆる易動度(mobility)により定まる真電荷場を発生させる外部起電力である電源であるとしなの速度とも異なる。
ければならない。
このことから考えて、図 2 のように両端に電源がそのとき、電磁波は輻射されないと言う条件の下繋がった抵抗性導体では、 x の正方向に伝搬する入で、解くべき基本方程式として (10) と (11) とが得られることを示した。これらの基本方程式の右辺に現射波と x の負方向に伝搬する反射波とが、光速よりわれる外部起電力の形からして、抵抗性導体内部のかなり遅い伝搬速度を持つ波動として伝搬している
電場と磁場は3方向で結合することを示しており、2と考えられる。
種類の解法を検討したが、いずれの解法でも、そのなお、 kηxRi は x 方向に伝播すると損失して行く
結合した解を得ることは困難であった。なお、解法ことを表わしている。
の1つでは、3次元双曲形方程式である一般化されたクライン・ゴルドン方程式のグリーン関数を利用す
4.4 参考：従来の解法との比較る。もう 1 つの解法では、導体内部では外部起電力がゼロとして、解を求める。
従来の表皮効果の計算は、 (10) や (11) において、いずれの解法も、電場と磁場を求めると言う解法
時間による 2 階微分を無視したものである。円柱座であったため、解を得るのが困難であった可能性も標で言えば、従来の表皮効果の計算は、 (23)の電場ある。そこで、別の解法としては、電位（スカラーの半径方向の η 成分 Eη (η , x ) を無視し、(24)において、
ポテンシャル）とベクトルポテンシャルと言う電磁
左辺の第3項の ω 2ε 0 μ 0 を無視した式で、さらに、 x
ポテンシャルを用いて、表皮効果を知ることが出来るかも知れない。今後是非挑戦して見る。
依存性を無視した電場の線路の長さ方向の x 成分
E x (η ) の式
1 ∂ ⎧ ∂E x (η ) ⎫⎨η⎬ − jωσμ 0 E x (η ) = 0
η ∂η ⎩ ∂η ⎭

参考文献

(35)

[1] H. Toki and K. Sato, “Three Conductor Transmission Line
Theory and Origin of Electromagnetic Radiation andの解を求めて来た。そのときの解は、 (26)からして、
Noise”, J. Phys. Soc. Jpn. 78(2009) 094201[2] K. Sato and H. Toki, “Challenge to Antenna-Mode Theory
E x (η ) = Ax J 0 η jωσμ0(36)
of Multiconductor Transmission-Line”, Proceedings of theであることが分かる。
6th Particle Accelerator Society Meeting 2009, pp.422-428,
JAEA, Tokai, Naka-gun, Ibaraki, Japan, URL:
4.5 解を得るのが困難な事情
http://www.pasj.jp/web_publish/pasj2009pubfinal/papers/
womgao4.pdf(30) から、 0 次のベッセル関数の無数のゼロ根が[3] K. Sato and H. Toki, “Synchrotron magnet power supply
解になることが知られた。しかし、電場の半径方向
network with normal and common modes including noiseの η 成分から、特定のゼロ根を定めるのは困難であ
filtering”, Nucl. Instr. & Meth. in Phy. Res. A565(2006)
351-357
る。
[4] 佐藤健次、土岐博、『多導体伝送線路回路理論、及この問題を克服しようとすると、電場の線路の長び、ノイズと電磁波の起源と低減』、日本物理学会
さ方向の x 成分との結合を考慮する必要があるもの
第 65 回年次大会「ビーム物理領域」、招待講演、と思われる。しかし、 (23) と (24) とは結合がないと
2010年3月22日午後前半の部、岡山大学
きの式となっており、解を得るのが困難である。
[5] 土岐博、 2010 年 7 月 8 日 CERN で “New Multiconductor
Transmission-line
TheoryandReduction
ofElectromagnetic Noise in Electric Circuit”と題した講演
５．議論を終えた後のメールによる私信
多導体伝送線路の新しい回路理論の構築に成功し、 [6] 篠崎寿夫・若林敏雄・木村正雄共著、『現代工学のノイズと電磁波の起源を解明した。その理論は、導ための偏微分方程式とグリーン関数』、現代工学社、体内部の真電荷と伝導電流が、導体外部の空間での1987年初版()-261-