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2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
物性物理科学 II－３／６問題２
スピン S = 1 の常磁性イオンがあり，ハミルトニアン ℋ" がℋ" = % & 3 () * − (,( + 1/ 0 + 1 [ (3 * − (4 * ]で与えられる．ここで a, b はともに正の定数，(3 , (4 , () はスピン演算子 S の互いに直交する x, y, z 成分である. ただしスピンの大きさはプランク定数 h を27で割った ℏを単位として表す.

z 方向のスピンの固有状態 | : ⟩ を | +1 ⟩, | 0 ⟩ , | − 1⟩ と表現

し， () | : ⟩ = : | : ⟩ である．以下の問いに答えよ．
[1](± ≡ (3 ± ? (4(複号同順) を用いて，ハミルトニアン ℋ" の第 2 項を ( および(! で表現し，ℋ" を書き換えよ.
[2]

ただし ? は虚数単位 , ? * = −1 / である.

| : ⟩ を基底としたハミルトニアン ℋ" の行列要素 ⟨ : | ℋ" | :′ ⟩ をすべて求め,ハミルトニアン ℋ" の行列表現を書け. ここで，(± | : $ = % ( , ( + 1 / − : , : ± 1 / | : ± 1 ⟩(複号同順)の関係を用いてよい.
[3] ハミルトニアン ℋ" の固有値を求めよ.

(次ページにつづく)

物性物理科学 II－４／６
問題２ のつづき

次に, このスピン系が一様な外部磁場 H に置かれているとする. 簡単のため, 以下
b = 0 の場合を考える．このとき ゼーマン相互作用の項を加えたハミルトニアン ℋ*は,ℋ* = % & 3 () * − (,( + 1/ 0 + &'( ) ∙ , '+ , /となる. 外部磁場は z 方向にある, つまり , = , 0, 0, .) / であるとし, & 値は正の定数とし，'+ は真空の透磁率, '( はボーア磁子である．以下の問いに答えよ．
[4] ハミルトニアン ℋ* の行列要素 ⟨ : | ℋ* | :′ ⟩ をすべて求め, ハミルトニアン ℋ*の行列表現を書け.
[5] スピンの固有状態 | : ⟩ のエネルギー固有値 /, : / をすべて求め, /,+1/, /, 0 /,/,−1 / を外部磁場 .) の関数として 1 つのグラフに図示せよ.

このときグラフの縦軸との切片を明記せよ.
[6] 設問[5] の結果から，ある外部磁場を境に基底状態が変わることがわかる. その境界となる外部磁場の値を求め, 境界値以下および以上で基底となるスピンの固有状態をそれぞれ答えよ.

2023 年度大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程（一般）入学試験
物性物理科学 II－５／６
問題３
十分な長さ𝐿𝐿を持つ一次元自由電子系を考える. 自由電子のエネルギーを 𝐸𝐸 としたとき, エネルギー 𝐸𝐸 以下の電子が占有する全状態数 𝑁𝑁 は,2𝐿𝐿 2𝑚𝑚∗ 1/2

𝑁𝑁 = 𝜋𝜋 � ℏ2 �

𝐸𝐸1/2(1)で表される. ここで, 電子の波動関数は, 空間反転に対し対称性は保たれている（パリティ保存）.
また, ℏはプランク定数を2𝜋𝜋で割った定数, 𝑚𝑚∗は電子の有効質量（ 𝑚𝑚∗ > 0）である.
[1] スピンの自由度を考慮し, 上記(1)式を導け.
[2] 上記(1)式を用いて, 単位長さ当たりの状態密度𝐷𝐷(𝐸𝐸)を求めよ.
一次元の真性半導体について考える. 𝐸𝐸V を価電子帯上端のエネルギー, 𝐸𝐸C を伝導帯下端のエネルギー, 𝐸𝐸g をバンドギャップ, 𝜇𝜇 を有限温度におけるフェルミ粒子系の化学ポテンシャル, 𝑘𝑘B をボルツマン定数, 𝑇𝑇を温度とする. また, 𝐸𝐸g が 𝑘𝑘B 𝑇𝑇より十分大きいとする. 以下の問いに答えよ.
[3] 真性半導体のバンドギャップ𝐸𝐸g を 𝐸𝐸V , 𝐸𝐸C を用いて表せ.
[4] 価電子帯上端から 𝜀𝜀h だけエネルギーが下がった準位 𝐸𝐸V − 𝜀𝜀h , 伝導帯下端から 𝜀𝜀e だけエネル
ギーが上がった準位 𝐸𝐸C + 𝜀𝜀e に対応する状態密度をそれぞれ 𝐷𝐷h , 𝐷𝐷e とする. また, 𝜀𝜀h , 𝜀𝜀e はそれぞれ, 価電子帯の正孔の有効質量 𝑚𝑚h∗ , および伝導帯の電子の有効質量 𝑚𝑚e∗ をもつ自由電子系のエネルギーと考えてよい. このときエネルギーの関数である𝐷𝐷h (𝐸𝐸), 𝐷𝐷e (𝐸𝐸)をそれぞれ, 𝐸𝐸V , 𝐸𝐸C ,𝜇𝜇, 𝑚𝑚e∗ , 𝑚𝑚h∗ , ℏ, E のうち, 必要なものを用いて表せ.
[5] 有限温度 𝑇𝑇のとき, 電子はフェルミ－ディラックの分布関数 𝑓𝑓(𝐸𝐸) に従って価電子帯から伝導帯に励起する. 励起した電子濃度を n, 励起によって価電子帯にできたホール濃度を p としたとき,n, p をそれぞれ, 𝐷𝐷h (𝐸𝐸), 𝐷𝐷e (𝐸𝐸), 𝑓𝑓(𝐸𝐸) を用いて定積分形式で表せ. ただし, 具体的な定積分の計算はしなくてよい. また, n, p はそれぞれ, 単位長さ当たりの電子濃度, ホール濃度とする.

（次ページにつづく）

物性物理科学 II－６／６
問題３のつづき[6] 伝導帯に励起した電子濃度 n を計算し 𝐸𝐸V , 𝐸𝐸C , 𝜇𝜇, 𝑚𝑚e∗ , ℏ, 𝑘𝑘B, 𝑇𝑇 のうち, 必要なものを用いて表せ. ただし, 𝑚𝑚e∗ は, 設問[4]で用いたものと同じ伝導帯の電子の有効質量である. また, 𝐸𝐸g が𝜇𝜇−𝐸𝐸𝑘𝑘B 𝑇𝑇 より十分大きいとし, 近似したフェルミ－ディラックの分布関数 𝑓𝑓(𝐸𝐸) ≅ exp �∞𝑘𝑘B 𝑇𝑇� に従っ𝜋𝜋て電子の占有確率が決まるとする. また, ∫0 𝑥𝑥 −1/2 exp(−𝛼𝛼𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝛼𝛼 を用いても良い. 𝛼𝛼 は定数である.
𝐸𝐸 +𝐸𝐸C[7] 𝑚𝑚h∗ > 𝑚𝑚e∗ であるとし, バンドギャップの中心エネルギー V2を原点においたとき, 横軸に状態密度, 縦軸にエネルギーをとって, 設問[4]で導出した 𝐷𝐷h (𝐸𝐸), 𝐷𝐷e (𝐸𝐸)を図示せよ. 作成した図に𝐸𝐸 +𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝐸𝐸

有限温度における EV, EC, 𝜇𝜇, V 2 C を, 適切な位置が分かるように書き込め. さらに, 𝜇𝜇 と V 2 Cの大小関係を定めた理由を説明せよ.