A.4

複 素 数■ 本講の目標 ■●R から複素数を構成できることを理解する．

●

複素数の絶対値，偏角を理解する．

●

複素数平面において，複素数の掛け算が回転と拡大の合成としてとらえられることを理解する．

この節では，複素数について定義と性質を簡単にまとめる．通常，複素数は，虚数単位という数をいきなり導入して定義されるが，これでは，どうしてそのような数を考えられるのか，整合性はきちんととれるのかなど，どうしても不明瞭さが拭いきれない＊．そこで，ここではやや天下り的で抽象的にはなるが，これまでの議論を踏襲して実数から複素数全体の集合を構成する方法を考えてみよう．結果的には，虚数単位を用いて定義したものと同じになる．
集合 C を C := R として定める．C の 2 つの元 (x,y),(a,b) ∈ C に対して，その和，および積を次のように定める．
(x,y) + (a,b) := (x + a,y + b)(x,y)⋅(a,b) := (xa − yb,xb + ya)
す る と，こ れ ら の 演 算 に よ り C で は 四 則 演 算 が で き る．実 際，任 意 の(x,y) ∈ C に対して，(x,y) + (0,0) = (0,0) + (x,y) = (x,y)
であるので，(0,0) が零元＊2 であり，(x,y) + (−x, −y) = (−x, −y) + (x,y) = (0,0)
であるから，(−x, −y) が (x,y) の加法に関する逆元 (マイナス元) である．
また，和に関する結合法則や交換法則は明らかに成り立つ．
一方，積については，＊＊2

数学的には正しいのだが，厳密に示すには高度な代数学の知識が必要になる．
加 法 単 位 元 と も い う．任 意 の (x,y) に 対 し て，(x,y) + (z,z) = (z,z) + (x,y) =(x,y) を満たすような元 (z,z) のことである．R における 0 に相当する．

2 ● 付録((x,y)⋅(a,b))⋅(s,t) = (xa − yb,xb + ya)⋅(s,t)= (xas − ybs − xbt − yat,xat − ybt + xbs + yas)(x,y)⋅((a,b)⋅(s,t)) = (x,y)⋅(as − bt,at + bs)= (xas − xbt − yat − ybs,xat + xbs + yas − ybt)なので結合法則が成り立つことが分かる．また，任意の (x,y) ∈ C に対して，(x,y)⋅(1,0) = (1,0)⋅(x,y) = (x,y)
であるので，(1,0) が乗法単位元＊ である．さらに，(x,y) ≠ (0,0) であれば
x + y ≠ 0 であり，(x,y)⋅であるから，−yx−yx

 x + y , x + y  =  x + y , x + y ⋅(x,y) = (1,0)


−yx

 x + y , x + y  が (x,y) の逆元である．さらに，積に関する

交換法則も明らかに成り立つ．また，簡単な計算により，和と積の分配法則が成り立つことも分かる＊2．以上により，C は単に 2 つの R の直積集合というだけでなく，四則演算を兼ね備えた集合とみなせる＊3．
ここで，カンの鋭い読者からは，どうして積を(x,y)⋅(a,b) := (xa,yb)と定めないのかと質問されそうである．結論を知っている我々からすれば，このように定義してしまっては，これまで高校の数学で扱ってきた複素数の演算と両立しなくなるからと一蹴すればそれまでなのであるが，もう少しこの文脈に沿った回答を考えてみよう．もし，上記の積を定義にしてしまうと，割り算ができなくなるのである．実際，この場合，(1,1) が乗法単位元になるが，非零元である (1,0) にどのような元を掛けても (1,1) にはならない．つまり，(1,0)
は逆元を持たない．したがって，この場合，零元以外の任意の元で割り算ができるという性質を持たなくなるので，四則演算を考えたい我々としては都合が悪いのである．
さて，ここで，写像 ι : R → C を ι(x) = (x,0) によって定めよう．すると，＊

任 意 の (x,y) に 対 し て，(x,y)⋅(e,e) = (e,e)⋅(x,y) = (x,y) を 満 た す よ う な 元(e,e) のことである．R における 1 に相当する．
＊2 興味がある読者はぜひ確かめてみてほしい．
＊3

たい

専門用語で体という．

A.4

複 素 数 ● 3

ι は単射であるから，ι を通して x と (x,0) を同一視することにより，R を Cの部分集合とみなせる．さらに，この同一視は単に集合としての同一視というだけでなく，上で定めた四則演算とも相性がいい．実際，任意の実数 x,a ∈ Rに対して，
ι(x) + ι(a) = (x,0) + (a,0) = (x + a,0) = ι(x + a),ι(x)⋅ι(a) = (x,0)⋅(a,0) = (xa,0) = ι(xa)となるので，x と a に対応する元どうしの和と積は，それぞれ，x と a の和と積に対応する元に一致する．よって，この意味で，R は四則演算も込めて C の部分集合だと思って差し支えない．つまり，a ∈ R と (a,0) ∈ C に対して，(a,0) = a とみなす．このとき，i := (0,1) とおくと，i  = (−1,0) = −1 が成り立つ．最後に，C に R の元のスカラー倍を
a⋅(x,y) := (ax,ay)， a ∈ Rによって定めよう．このとき，任意の元 z = (x,y) ∈ C は
z = (x,y) = (x,0) + y(0,1) = x + yiと表される．C の元を複素数と呼ぶ．
以上によって，四則演算を持つ複素数の集合 C を R から構成できた．次に，
C の 解 析 的，お よ び 幾 何 的 性 質 に つ い て 簡 単 に ま と め て お こ う．複 素 数z = x + yi ∈ C に対して x,y をそれぞれ，zの実部，および虚部といい，ImRe (z) := x， Im(z) := yと表す．虚部は yi ではないことに注意せよ．

z=x+yiyi

また，複素数 z = x + yi に対して，x − yiを z の共役な複素数といい (単に，z の共役とxOReもいう．
)，z で表す．複素数全体 C は，集合とし て は R と し て 定 義 さ れ て お り，複 素 数
x + yi は (x,y) に対応している．R を単なる−yi¯
z=x−yi平面ではなく，複素数全体の集合とみなしたものを複素数平面という．複素数平面の横軸，縦図 A.8

4 ● 付録

軸をそれぞれ実軸，および虚軸といい，それぞれ，Re，Im と表す．
複素数 z,w に関して以下が成り立つ．
z = z，
例 A.5z+w=z+w，zw = zw.

実数係数 2 次方程式
ax + bx + c = 0，a,b,c は実数， a ≠ 0は，判別式 D = b − 4ac が負のとき，2 つの虚数解
x=−b ±  4ac − b i2aを持つ．これらは互いに共役である． ◆複素数 z = x + yi に対して，zz
=x +yImは 0 以上の実数である．そこで，
|z| :=  zz
 = x +yz=x+yiyizで定義される実数 |z| を z の絶対値という．
複素数平面をユークリッド平面と同一視して考えるとき，|z| は原点 O から z までの距離に他xOReならない．
図 A.9

ここで，zz = |z|であり，一般には，|z| ≠ z であることに注意せよ．また，z ≠ 0 のとき，|z| > 0 であり，z=z|z|である．絶対値に関して以下が成り立つ．
定理 A.5

任意の z,w ∈ C に対して，(1)|z + w| ≤ |z| + |w|(2)|zw| = |z||w|(三角不等式)z ≠ 0 のとき，平面ベクトル Oz が実軸の正の方向から角 θ の位置にあると

A.4Imする．このとき，θ を z の偏角といい，

z=x+yi=r（cosθ+i sinθ）

yi=（r sinθ）iθ = arg zrと表す．角 θ は 2π の整数倍を除
い て 一 意 的 に 定 ま る．い ま，

θr = |z| とおくと，
x = r cos θ，

複 素 数 ● 5x=r cosθ ReO

y = r sin θ

図 A.10であり，
z = r(cos θ + i sin θ)と書ける．このような表し方を z の極座標表示または極形式という．
複素数の極座標表示を用いると，複素数のIm乗法 (除法) を視覚的にとらえることができ

zw

る．複素数 z,w の極座標表示をそれぞれ，z = r(cos α + i sin α)，rl

w = l(cos β + i sin β)とすると，三角関数の加法定理より

zzw = rl(cos (α + β) + i sin (α + β))βとなる．すなわち，zw の位置ベクトルは zαの位置ベクトルを |w| 倍に拡大 (または縮rO小) したものを，原点 O の周りに角 arg w だRe
図 A.11

け回転させたものである．
以下の公式は有名である．
定理 A.6(ド・モアブルの公式)

任意の整数 n ∈ Z に対して，

(cos θ + i sin θ) = cos nθ + i sin nθ.
これは，数学的帰納法によっても証明できるが，複素数 cos θ + i sin θ を掛けることが，原点 O の周りの角 θ だけの回転に対応していることを考えると理解が早い．図 A.12 は，θ = π／4 のときの様子である．
複素数は複素数平面における初等幾何学的な図形を表す際に便利なことがあ6 ● 付録Im
i=z2
z=cosθ+i sinθz3−1=z41=z0O

Rez5−i=z6

図 A.12Imる．いくつか簡単な例を挙げてみよう．
Czr

円の方程式
αα ∈ C とし，r > 0 を正の実数とする．
複素数平面上で，|z − α| = rを満たすような複素数 z の集合をO

ReC =  z ∈ C | |z − α| = r とおく．すると，C は α から距離が r の複素図 A.13
Im数全体の集合であり，これは複素数平面上における，α を中心とする半径 r の円を表している．
β垂直二等分線の方程式
α,β ∈ C，α ≠ β と す る．複 素 数 平 面 上で，|z − α| = |z − β|を満たすような複素数 z の集合を

αOL
図 A.14Re

A.4

複 素 数 ● 7

L =  z ∈ C | |z − α| = |z − β|
とおく．すると，L は α からの距離と，β からの距離が等しいような複素数全体の集合であり，これは複素数平面上における，α と β を結ぶ線分の垂直二等分線を表している．

演習問題 A.4
A.4.1

複素数 z = x + yi に対して，以下の複素数 w の実部と虚部を求めよ．
(1)

A.4.2z(2)1z1+z1−z(3)次の複素数の極座標表示を求めよ．
(1)

1+ 3i−1 + i(2)

(3)

i1+i

A.4.3

方程式 z = −1 を複素数の範囲で解き，解を複素数平面上に図示せよ．

A.4.4n ≥ 1 に対して，z = (1 + i) が実数となるときの n と，そのときの z の値

を求めよ．
A.4.5

複素数平面上で z が円 C : |z − 2| = 1 上を動くとき，次の複素数 w は複素数平面上でどのような図形を描くか．
(1)

A.4.6

z+i(2)

3z(3)



実数係数の代数方程式 x + ax1z+ ⋯ + ax + a = 0 の 1 つの複素数解を w とするとき，x = w も解であることを示せ．

演習問題 A.4 の略解

(2)
(3)

ReReRe (z ) = x − y ，Im(z ) = 2xy．

(1)

A.4.1

1−y1x

 z  = x + y ，Im z  = x + y ．








1−x −y1+z





2y1+z

 1 − z  = (1 − x) + y ，Im 1 − z  = (1 − x) + y .
2(cos (π／3) + i sin (π／3))

A.4.2

(1)

(3)

1(cos (π／4) + i sin (π／4))
2(2)



 2 (cos (3π／4) + i sin (3π／4))z = r(cos θ + i sin θ) とおくと，−1 = r (cos 3θ + i sin 3θ) となる．両A.4.3

辺 の 絶 対 値 を と っ て，r = 1 を 得 る．し た が っ て，z = cosi sin

π + 2π3

π + 2π+3 ( = 0,1,2) を得る．図は省略．
z = ( 2 ) (cos (nπ／4) + i sin (nπ／4)) であるから，n が 4 の倍数のとき z

A.4.4は実数である．n = 4m とすると，その値は ( 2 ) ⋅(−1) = (−4) = (−4)  となる．
(1)

A.4.5

w = z + i とおくと，z = w − i であるので，w − (2 + i) = 1 となる．つまり，w は 2 + i を中心とする半径 1 の円上を動く．
(2)

w = 3z とおくと，z =wwであるので， − 2 = 1 となる．これを変形して，
33

w − 6 = 3 となるので，w は 6 を中心とする半径 3 の円上を動く．
(3)w=

111であるので， − 2 = 1 となる．これを変形して，とおくと，z =wzw

2w − 1 = w となる．両辺を 2 乗して整理すると，3ww
 − 2w − 2w
 + 1 = 0 となるので，さらにこれを整理すると， w −る半径1の円上を動く．
3

A.4.6

仮定より，w + aw



221となる．よって，w は を中心とす=333+ ⋯ + aw + a = 0 が成り立つ．ここで，両辺の複素共役をとれば，w
 + aw

+ ⋯ + aw + a = 0 となるので，これは wが与式の解であることを示している．