国際物理オリンピック

研修用テキストⅡ
電磁気学
【改定版】

特定非営利活動法人 物理オリンピック日本委員会

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1.1 ⇕ᖹ⾮࡜ᗘyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy12ୈ 11.2ষ ⤒㦂ⓗ੩ి‫ؾ‬ᗘyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
1

1.3
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3
1.1 ⇕⭾ᙇిՙͱిՙอଘଇ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
4
1.4
1.2 ≧ែ᪉⛬ᘧΫʔϩϯͷ๏ଇ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5
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6
1.3 ⇕࡜⇕ᐜ㔞ి৔ͱిҐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 ఏ⇕ᶵᵓ
7
ి৔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
1.7 ᑐὶ࡜ᨺᑕ
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
9
1.3.2 ిҐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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11➨㸰❶ ศᏊ㐠ື
1.3.3 ి৔ΛిҐͷޯ഑Ͱද͢
. . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 ẼయࡢศᏊ㐠ືΨ΢εͷ๏ଇyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11
2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Ψ΢εͷ๏ଇͷԠ༻yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
20
2.2 ᅛయࡢẚ⇕
1.4.2 Ψ΢εͷ๏ଇͷূ໌. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 ศᏊ㐠ື࡜⇕ఏᑟyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
21
1.5 ⌮᝿Ẽయࡢ⤫ィຊᏛΨ΢εͷ๏ଇͷඍ෼‫ͱܗ‬ϙΞιϯͷํఔࣜ. . . . . . . . . 16➨㸱❶
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26
1.5.1 ൃࢄ (div) ͱൃࢄఆཧ yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1626
  3.1 ⊂❧⢏Ꮚ⣔ࡢ⤫ィᖹᆒ࡜ศᕸ㛵ᩘ
1.5.2 Ψ΢εͷ๏ଇͷඍ෼‫– ܗ‬㐠ື㔞✵㛫࡜࣐ࢡࢫ࢙࢘ࣝศᕸ. . . . . . . . . . . . . . . . yyyyyyyyy
17
3.2 ༢ཎᏊ⌮᝿Ẽయࡢෆ㒊࢚ࢿࣝࢠ࣮
29
1.5.3 ϙΞιϯͷํఔࣜ. . . . . . . . . . . . .yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
. . . . . . 17
3.3 ࢹࣗࣟࣥ-ࣉࢸ࢕ࡢἲ๎
-఩┦✵㛫࡜࣎ࣝࢶ࣐ࣥศᕸ31
ಋମ‫ܥ‬
.
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. . . . . . 18
1.6
3.4 㸰ཎᏊศᏊ⌮᝿Ẽయ -୍⯡໬ᗙᶆࢆ౑ࡗࡓ࣎ࣝࢶ࣐ࣥศᕸ-yyyyyyyyyyyyyyyyyy33
1.6.1 ಋମͷੑ࣭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
➨㸲❶ ⇕ຊᏛ➨㸯ἲ๎yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy39
1.6.2 ಋମද໘ͷిՙີ౓ͱి৔ . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 ⇕ຊᏛ➨㸯ἲ๎yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy39
1.6.3 ੩ి༠ಋ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 ࢪ࣮̺ࣗࣝࢺ࣒ࢯࣥࡢᐇ㦂࡜⌮᝿Ẽయࡢෆ㒊࢚ࢿࣝࢠ࣮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyy40
1.6.4 ి‫ؾ‬ө૾ʢ‫૾ڸ‬ʣ๏ . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Ẽయࡢ≧ែኚ໬yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy42
1.6.5 ੩ి༰ྔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 ⌮᝿Ẽయࡢ‽㟼ⓗ᩿⇕ኚ໬yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy44
1.6.6 ίϯσϯαʔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 ࢝ࣝࣀ࣮࣭ࢧ࢖ࢡࣝyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy47
1.7 ి৔ͷΤωϧΪʔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
➨㸳❶ ⇕ຊᏛ➨㸰ἲ๎࡜࢚ࣥࢺࣟࣆ࣮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy52
1.7.1 ίϯσϯαʔʹ஝͑ΒΕΔΤωϧΪʔ . . . . . . . 28
5.1 ྍ㏫㐣⛬࡜୙ྍ㏫㐣⛬yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy52
1.7.2 ి৔ͷΤωϧΪʔີ౓ . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 ⇕ຊᏛ➨㸰ἲ๎yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy52
1.8 Ұൠͷಋମ‫ *ܥ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 㸰ࡘࡢ⇕※ࡢ㛫࡟ࡣࡓࡽࡃ⇕ᶵ㛵yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy54
5.4 ⇕ຊᏛⓗᗘyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy55

5.5 ࢡࣛ࢘ࢪ࢘ࢫࡢ୙➼ᘧyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy57
5.6 ࢚ࣥࢺࣟࣆ࣮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy57i

ii
5.7 ࢚ࣥࢺࣟࣆ࣮ቑ኱ࡢཎ⌮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy58
5.8 ⇕ຊᏛ➨㸱ἲ๎yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy61

ୈ 2 ষ ఆৗిྲྀͱ࣓৔
33➨㸴❶ ┦ᖹ⾮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy63
2.1 ిྲྀɾ఍߅ɾ‫ ྗిى‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1 ᅛ┦㸪ᾮ┦㸪Ẽ┦yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy63
2.1.1 ఍߅ͱΦʔϜͷ๏ଇɼిྲྀີ౓ . . . . . . . . . . . 33
6.2 㣬࿴⵨Ẽᅽ࡜ ᗘࡢ㛵ಀyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy63
2.1.2 ిྲྀີ౓ɼి‫఻ؾ‬ಋ཰ͱ఍߅཰ . . . . . . . . . . . 33
6.3 ᐇᅾࡢẼయyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy65
2.1.3 δϡʔϧ೤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 ⇕ຊᏛⓗᖹ⾮࡜⮬⏤࢚ࢿࣝࢠ࣮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy66
2.1.4 ి஑ͷ‫಺ͱྗిى‬෦఍߅ . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.5 ࣇ࢓࣭ࣥࢹ࣭࣮ࣝ࣡ࣝࢫࡢ≧ែ᪉⛬ᘧyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
682.1.5 Ωϧώϗοϑͷ๏ଇ. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
69
6.6 ⇕ຊᏛ㛵ᩘ2.1.6
࿈ଓͷํఔࣜʢిՙอଘଇʣ . . . . . . . . . . . . 36
6.7 ࣐ࢡࢫ࢙࢘ࣝࡢ㛵ಀᘧ
71
2.2 ࣓৔ . . .yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
➨㸵❶ ࣐ࢡࢫ࢙࢘ࣝศᕸ࡜࢚ࣥࢺࣟࣆ࣮
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
7
2.2.1 ϩʔϨϯπྗͱ࣓৔ʢ࣓ଋີ౓ B ʣͷఆٛ . . . . . 384
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
74
7.1 ࣐ࢡࢫ࢙࢘ࣝࡢ㏿ᗘศᕸ๎2.2.2 ࣓৔தͷిྲྀʹಇ͘ྗ. . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 ⌮᝿Ẽయࡢ࢚ࣥࢺࣟࣆ࣮ࡢᚤどⓗ࡞ᑟฟɆ࣎ࣝࢶ࣐ࣥࡢཎ⌮
yyyyyyyyyyyyyyyyy
8
2.3 ఆৗిྲྀͷͭ͘Δ࣓৔ʢ࣓ଋີ౓ʣ . . . . . . . . . . . . . 400-αόʔϧͷ๏ଇ . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 ϏΦ➨㸶❶ ගᏊࡢ⤫ィຊᏛyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
84
2.3.2 ిྲྀͷดճ࿏ͷͭ͘Δ࣓৔
* . . . . . . . . . . . . . 44
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
84
8.1 㯮యᨺᑕሙ࡜ࣉࣛࣥࢡศᕸ
2.3.3 Ξϯϖʔϧͷ๏ଇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 ࣉࣛࣥࢡࡢᨺᑕබᘧ
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
85
2.3.4 ετʔΫεͷఆཧͱΞϯϖʔϧͷ๏ଇͷඍ෼‫ܗ‬* . . 8751
8.3 ගᏊࡢ࢚ࢿࣝࢠ࣮ὶ㔞
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
2.3.5 ࣓৔ͷϕΫτϧϙςϯγϟϧ* . . . . . . . . . . . . 52
91
௜㘓A ೫ᚤศyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
A.1 ೫ᚤศ࡜඲ᚤศyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy91

ୈ 3 ষ ༠ిମ55
3.1 ి‫ؾ‬૒‫ ࢠۃ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
௜㘓 B ࢫࢱ࣮ࣜࣥࢢࡢබᘧࡢ⡆༢࡞ド᫂yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy95
3.1.1 ి‫ؾ‬૒‫ࢠۃ‬ͷి৔ͱిҐ . . . . . . . . . . . . . . . 55
௜㘓 C ࣛࢢࣛࣥࢪࣗࡢᮍᐃ஌ᩘἲ
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy96
3.1.2 ి‫ ؾ‬2 ॏ૚ͱͦͷిҐ
* . . . . . . . . . . . . . . . . 57
௜㘓 D ࢞࢘ࢫ✚ศyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
98
3.2 ి‫ؾ‬෼‫ݱۃ‬৅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1 ి‫ؾ‬෼‫ͱۃ‬෼‫ిۃ‬ՙ . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 ి‫ؾ‬෼‫ۃ‬ϕΫτϧ P . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.3 ిଋີ౓ D ͱ༠ి཰ . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.4 ిଋີ౓ͷΨ΢εͷ๏ଇͷඍ෼‫ *ܗ‬. . . . . . . . . 62
┦ᑐㄽ
3.2.5 ి৔ɾిଋີ౓ͷ‫ڥ‬ք৚݅ . . . . . . . . . . . . . . 63
➨㸯❶ ┦ᑐㄽ࡬ࡢࣉ࣮ࣟࣟࢢ
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy101
3.2.6 ෼‫ͱۃ‬෼‫ిۃ‬ՙͷؔ܎(ඍ෼‫ *)ܗ‬. . . . . . . . . . . 65
3.2.7 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy101෼‫ిۃ‬ՙͷͭ͘Δి৔ (൓ి৔)* . . . . . . . . . . . 65
1.1 ࢚࣮ࢸࣝ࡜ග⾜ᕪ
A.2 ೫ᚤศࡢබᘧyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy93

1.2 ࣇࣞࢿࣝࡢ㝶కಀᩘyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy103

ୈ 4 ষ ࣓ੑମ69
1.3 ࣇ࢕ࢰ࣮ࡢᐇ㦂yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy104

4.1 ࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτɼ(Ծ૝) ࣓ՙɼ࣓ଋີ౓ͷΨ΢εͷ๏ଇ . . 69
➨㸰❶ ≉Ṧ┦ᑐᛶ⌮ㄽyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy107
4.1.1 ిྲྀճ࿏ͷ΋࣓ͭ‫ؾ‬Ϟʔϝϯτ . . . . . . . . . . . 69

2.1 ග㏿୙ኚࡢཎ⌮࡜࣮ࣟࣞࣥࢶኚ᥮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy107
2.2 ┦ᑐㄽⓗຊᏛyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy112

2.3 ㉁㔞࡜࢚ࢿࣝࢠ࣮ࡢ➼౯ᛶyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy118ii

iii➨㸱❶ 㟁☢ሙࡢ┦ᑐㄽyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy123
3.1 㟁ὶࡀ㟁Ⲵ࡟ཬࡰࡍຊyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy123

4.1.2 (Ծ૝) ࣓ՙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.3 ࣓ଋີ౓ͷΨ΢εͷ๏ଇ . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 㟁☢ሙࡢ᪉⛬ᘧࡢ࣮ࣟࣞࣥࢶ୙ኚᛶϨ㸸㟁ⲴࡢᏑᅾࡋ࡞࠸ሙྜyyyyyyyyyyyy134
4.2 ࣓‫ؾ‬෼‫࣓( ۃ‬Խ)M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 㟁☢ሙࡢ᪉⛬ᘧࡢ࣮ࣟࣞࣥࢶ୙ኚᛶϩ㸸㟁ⲴࡢᏑᅾࡍࡿሙྜyyyyyyyyyyyyyy137
4.3 ࣓৔ H ͷఆٛͱΞϯϖʔϧͷ๏ଇ . . . . . . . . . . . . . 74
➨㸲❶ ➼౯ཎ⌮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy140
4.3.1 ࣓৔H ͷఆٛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1 ័ᛶຊyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy140
4.3.2 Ұൠʢ෺࣭தʣͷΞϯϖʔϧͷ๏ଇ . . . . . . . . . 75
4.2 㔜ຊ㉁㔞࡜័ᛶ㉁㔞
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy141
4.3.3 Ұൠʢ෺࣭தʣͷΞϯϖʔϧͷ๏ଇͷඍ෼‫ܗ‬* . . . 77
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy144
4.3 ࣃ࢘ࣥࢻ࣭ࣞࣉ࢝ࡢᐇ㦂
4.3.4 ࣓Խ཰ͱಁ࣓཰
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 㔜ຊሙ୰࡛ࡢ᫬㛫ࡢ㐜ࢀ࡜㛗ࡉࡢ▷⦰yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy146
4.3.5 ࣓Խͷͭ͘Δ࣓৔ (൓࣓৔)*. . . . . . . . . . . . . 78
4.5
㔜ຊ࡟ࡼࡿගࡢᒅᢡ
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy148
4.4 ࣓৔ɾ࣓ଋີ౓ͷ‫ڥ‬ք৚݅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy155➨㸳❶
4.5 ┦ᑐㄽࡢ㸲ḟඖ⾲⌧ిྲྀճ࿏ͱ౳Ձ࣓ੴ൘
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1
᫬✵㛫(࣑ࣥࢥࣇࢫ࣮࢟✵㛫)
4.6 ࣓‫ؾ‬ճ࿏ . . . . . . . . .yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy155. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2
͞·͟·ͳ࣓ੑମyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy157* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7 㸲ḟඖⓗ㐠ື᪉⛬ᘧ
4.7.1 ৗ࣓ੑମ . . . . . yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy161. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 㸲ඖຊ࡜㐠ື㔞㸪࢚ࢿࣝࢠ࣮
4.7.2 ൓࣓ੑମ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 ᇶᮏࢸࣥࢯࣝ
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy163
4.7.3 ‫࣓ڧ‬ੑମ .yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 ࣋ࢡࢺࣝ࡜ࢸࣥࢯࣝ
3.2 㟁☢ሙࡢ࣮ࣟࣞࣥࢶኚ᥮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy127➨㸴❶ 㟁☢ẼᏛࡢࢸࣥࢯࣝ⾲⌧yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy173
ୈ 5 ষ ௒఻ಋ*91
6.1 ࣐ࢡࢫ࢙࢘ࣝ᪉⛬ᘧࡢ᭩ࡁ᥮࠼yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy173
5.1 ௒఻ಋମͱ࣓৔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 㟁☢ሙࡢ㸲ḟඖ⾲⌧yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy176
5.2 ௒఻ಋମද໘ʹ͓͚Δ࣓ଋີ౓ͷ‫ڥ‬ք৚݅ . . . . . . . . . 93
6.3 㟁☢ሙࡢ㸯ḟඖ࣮ࣟࣞࣥࢶኚ᥮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy178

ୈ 6 ষ ࣌ؒมԽ͢Δి࣓৔

6.1

96

ి࣓༠ಋ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.1.1 ࣓ଋ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.2 ి࣓༠ಋͷ๏ଇͱϨϯπͷ๏ଇ . . . . . . . . . . . 97
㔞ᏊຊᏛ
6.1.3 ి࣓༠ಋͷ๏ଇͷඍ෼‫ *ܗ‬. . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.4 ૬‫͓ޓ‬Αͼࣗ‫ݾ‬༠ಋͱΠϯμΫλϯε
. . . . . . . 104➨1❶ 㔞ᏊຊᏛධ㛛yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy181
࣓৔ͷΤωϧΪʔ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . 107
6.2
1.1 ྂ඾≀⌮Ꮫࡢ⾜ࡁワࡲࡾyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy181
6.2.1
ίΠϧʹ஝͑ΒΕΔΤωϧΪʔ
.
.
.
.
.
. . . . . . 107
1.2 ග㟁ຠᯝࡢ㔞Ꮚㄽyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy186
6.2.2
࣓৔ͷΤωϧΪʔີ౓
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . 107
1.3 ගᏊࡢ㐠ື㔞࡜ࢥࣥࣉࢺࣥຠᯝyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy188ަྲྀճ࿏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3
1.4 ࣮࣎࢔ࡢỈ⣲ཎᏊࡢ⌮ㄽyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy191
6.3.1 มѹ‫ث‬ʢτϥϯεʣ . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.5 ゅ㐠ື㔞ࡢ㔞Ꮚ໬yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy197
6.3.2 LC ճ࿏ͷి‫ৼؾ‬ಈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.6 㟁Ꮚࡢᴃ෇㌶㐨࡜స⏝✚ศࡢ㔞Ꮚ໬yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy202
6.3.3 ަྲྀͱίΠϧɼަྲྀͱίϯσϯαʔ . . . . . . . . . 111
1.7 ཎᏊࡢ㟁Ꮚᵓ㐀࡜ࣃ࢘ࣜ᤼௚ᚊyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy206➨㸰❶ ἼືຊᏛධ㛛yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy212
2.1 ࢻ࣭ࣈࣟ࢖Ἴ࡜ࢩ࣮ࣗࣞࢹ࢕࣮ࣥ࢞᪉⛬ᘧyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy212iii

iv
2.2 Ἴື㛵ᩘࡢ☜⋡ゎ㔘yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy216
2.3 ஭ᡞᆺ࣏ࢸࣥࢩࣕࣝ࡟᮰⦡ࡉࢀࡓ㟁Ꮚyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy220

6.3.4
6.3.5

‫ ৼڞ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.4 ஭ᡞᆺ࣏ࢸࣥࢩࣕࣝ࡟ᩓ஘ࡉࢀࡿ㟁Ꮚyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy227

ෳૉදࣔ* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.5 ㄪ࿴᣺ືᏊ࡜୙☜ᐃᛶཎ⌮yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy232

ୈ 7 ষ ϚΫε΢Σϧํఔࣜ, ి࣓೾, ి࣓৔ͷΤωϧΪʔ

7.1

7.2
7.3

7.4

7.5

7.1.1 ిଋిྲྀͷଘࡏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.2 ΞϯϖʔϧɾϚΫε΢Σϧͷ๏ଇ . . . . . . . . . . 120
7.1.3 ΞϯϖʔϧɾϚΫε΢Σϧͷ๏ଇͷඍ෼‫ *ܗ‬. . . . 121
ϚΫε΢Σϧํఔࣜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
ి࣓೾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.1 ి࣓೾ͷ఻ൖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.2 ௚ઢภ೾ͷਖ਼‫ݭ‬೾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ϙΠϯςΟϯάɾϕΫτϧͱΤωϧΪʔͷྲྀΕ . . . . . . . 129
7.4.1 ϙΠϯςΟϯάɾϕΫτϧ . . . . . . . . . . . . . . 129
7.4.2 ฏ໘ి࣓೾ʹ൐͏ϙΠϯςΟϯάɾϕΫτϧ . . . . 130
7.4.3 ి࣓৔ͷΤωϧΪʔอଘଇ* . . . . . . . . . . . . . 133
ి࣓৔ͷΤωϧΪʔͱώεςϦγεଛ* . . . . . . . . . . . 134
7.5.1 ి࣓৔ͷඍখมԽʹ൐͏ΤωϧΪʔ . . . . . . . . . 134
7.5.2 ώεςϦγεଛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

ୈ 8 ষ ి࣓৔ͷӡಈྔͱԠྗ*

8.1
8.2
8.3

140

Ԡྗ (ྗֶͷ෮शͱิ଍) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
ి࣓৔͕͋Δͱ͖ͷӡಈྔอଘଇ . . . . . . . . . . . . . . 145
ి࣓৔ͷӡಈྔͱԠྗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

ୈ 9 ষ ి࣓೾ͷ์ࣹ*

9.1

119

ిଋిྲྀͱΞϯϖʔϧɾϚΫε΢Σϧͷ๏ଇ . . . . . . . . 119

153

ి࣓৔ͷϙςϯγϟϧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

         ศᢸᇳ➹⪅㸸⇕≀⌮ ➨ 1,2,4㹼7 ❶  ᮡᒣᛅ⏨

9.1.1 εΧϥʔϙςϯγϟϧͱϕΫτϧϙςϯγϟϧ . . 154
9.1.2 ి࣓৔ͷϙςϯγϟϧͷࣗ༝౓ (ήʔδ) . . . . . . 155
┦ᑐㄽ      ᮡᒣᛅ⏨ 
9.2 ஗Ԇϙςϯγϟϧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
㔞ᏊຊᏛ        ᕝᮧ Ύ
9.3 (ి‫ )ؾ‬૒‫ ࣹ์ࢠۃ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.3.1 ԕํͷి࣓৔ϙςϯγϟϧ . . . . . . . . . . . . . . 159
9.3.2 ਖ਼‫ৼݭ‬ಈ͢Δ૒‫ʹࢠۃ‬ΑΔ์ࣹ (ྫ) . . . . . . . . . 162
9.3.3 ૒‫ࣹ์ࢠۃ‬ͷి৔ɾ࣓৔ (Ұൠతදࣜ) . . . . . . . 166

                         ➨ 3,8 ❶ ᕝᮧ Ύ

iv

v
ୈ 10 ষ ਺ֶతิ଍

170
10.1 ϕΫτϧͷੵͷެࣜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.1.1 ಺ੵ (εΧϥʔੵ) ͱ֎ੵ (ϕΫτϧੵ) . . . . . . . 170
10.1.2 εΧϥʔ 3 ॏੵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.1.3 ϕΫτϧ 3 ॏੵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.2 σϧλؔ਺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3 ͞·͟·ͳ࠲ඪ‫ ܥ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.3.1 ฏ໘‫࠲ۃ‬ඪ (r, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.3.2 ʢ3 ࣍‫ݩ‬ʣ‫ۃ‬ʢ‫ٿ‬ʣ࠲ඪ (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . 174
10.3.3 ʢ3 ࣍‫ݩ‬ʣԁ౵࠲ඪ (r, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . 174
10.4 ඍ෼ԋࢉͱඍ෼ԋࢉࢠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.4.1 ภඍ෼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.4.2 ޯ഑ (grad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.4.3 ൃࢄ (div) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.4.4 ճస (rot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.4.5 ϥϓϥεͷԋࢉࢠʢϥϓϥγΞϯ, Δʣ . . . . . . . 178
10.4.6 ͞·͟·ͳ࠲ඪ‫͚͓ʹܥ‬Δද‫ ݱ‬. . . . . . . . . . . 179
10.4.7 Ӕͳ͠ͷ৔ͱൃࢄ͕ 0 ͷ৔ͷϙςϯγϟϧ . . . . . 180
10.5 ੵ෼ԋࢉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.5.1 ମੵੵ෼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.5.2 ໘ੵ෼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.5.3 ઢੵ෼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.6 ൃࢄఆཧͱͦͷূ໌ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.7 ετʔΫεͷఆཧͱͦͷূ໌ . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.8 ϕΫτϧղੳͷެࣜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.9 4 ষ (4.1), (4.3) ͷূ໌* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188*ͷ͍ͭͨষɼઅɼྫ୊ɼ͓Αͼখ͞ͳࣈͷ෦෼͸ɼ΍΍਺ֶత͋Δ͍͸ઐ໳తͰ͋Δɻ࠶ಡ͢Δ‫ػ‬ձͷͨΊʹ‫ޙ‬ճ͠ʹͯ͠΋Α͍ɻ·ͨɼྫ୊ͷղ౴͕ࣜͰऴΘΔͱ͖ʹ͸ [ղ౴ऴΓ] Λলུͨ͠ɻ

ࣥචऀɹ౦௰ߒ෉v

1

ୈ 1 ষ ੩ి‫ؾ‬
1.1ిՙͱిՙอଘଇ

෺࣭͸෼ࢠʢ‫ࢠݪ‬ͷू߹ʣʹΑͬͯͭ͘ΒΕ͍ͯΔɻ‫ࢠݪ‬͸ిࢠͱ‫ݪ‬ࢠ͔֩ΒͳΓɼ‫֩ࢠݪ‬͸ཅࢠͱதੑࢠ͔ΒͳΔɻిࢠɼཅࢠɼதੑࢠͷ͏ͪɼཅࢠ͸ਖ਼ͷిՙ (electric charge) Λ΋ͪɼిࢠ͸ෛͷిՙΛ΋ͭɻ͜ΕΒͷਖ਼ෛͷిՙͷઈର஋͸ಉ͡Ͱɼ͜ΕΛి‫ؾ‬ૉྔ͋Δ͍͸ૉిՙ(elementary electric charge) ͱ͍͍ɼ௨ৗɼ‫ ߸ه‬e Ͱද͢ɻిՙΛଌΔ୯
ҐͰ͋ΔΫʔϩϯʢcoulomb, ‫ ߸ه‬CɼC. A. de Coulomb ʹҼΉʣͰද͢ͱɼి‫ؾ‬ૉྔ͸ۙࣅతʹe = 1.602 × 10−19 C(1.1)

෺ମͷ΋ͭిՙ͸ͦͷ෺ମʹ‫·ؚ‬ΕΔిࢠɾཅࢠͷ΋ͭిՙͷ୅਺࿨Ͱ
͋ΔɻిՙΛి‫ͱྔؾ‬΋͍͏ɻ·ͨɼిՙΛ΋ཻͭࢠΛՙిཻࢠ (charged
particle) ͱ‫Ϳݺ‬ɻ‫ࢠݪ‬ɾ෼ࢠͷঢ়ଶมԽɼԽֶ൓Ԡɼ‫֩ࢠݪ‬൓Ԡɼૉཻࢠ൓ԠͳͲ͋ΒΏΔมԽͷલ‫Ͱޙ‬ɼిՙͷ૯ྔʢ୅਺࿨ʣ͸ҰఆͰ͋Δɻ͜ΕΛిՙͷอଘʢଇʣ(conservation of electric charge) ͱ͍͏ɻిՙͷอଘଇ͸෺ཧͷ‫ج‬ຊ๏ଇͷҰͭͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔɻిՙͷྲྀΕ͕ిྲྀͰ͋Δɻిྲྀͷ୯Ґ͸࣍ࣜͰఆٛ͞ΕΔΞϯϖΞʢampere, ‫ ߸ه‬AɼA.-M. Ampère ʹҼΉʣͰ͋Δɻ

1A=1

C
s

(1.2)

ిՙ͸ՙిཻࢠ͕΋͍ͬͯΔ͔Βɼిՙ͸ຊདྷɼཻʑʹʢ཭ࢄతʹʣ෼෍͍ͯ͠Δɻ͔͠͠ɼ༗‫ʹۭؒͳݶ‬ඇৗʹଟ਺ͷՙిཻࢠ͕ଘࡏ͍ͯ͠
Δͱ͖ʹ͸ɼిՙΛ࿈ଓతʹ෼෍͍ͯ͠Δͱߟ͑ͯ΋Α͍ɻ͜ͷͱ͖ɼ఺r Λத৺ͱ͢Δඍখͳମੵ ΔV ͷதʹ͋ΔిՙΛ Δq ͱͯ͠ɼ࣍ͷ‫ݶۃ‬Λ-1-

ୈ 1 ষ ੩ి‫ؾ‬2

఺ r ͷిՙີ౓ (charge density) ͱ͍͏ɻ఺ r ͷిՙີ౓Λ ρ(r) ͱදͤ͹

ρ(r) = lim

Δq

ΔV →0 ΔV

(1.3)

͜ͷςΩετͷి࣓‫Ͱؾ‬͸ɼిࢠɾཅࢠ͸େ͖͞ͷͳ͍఺ͱߟ͑Δɻ͕ͨͬ͠
ͯɼจࣈ௨Γ ΔV → 0 ͱ͢ΔͱɼΔV ͷதʹ‫·ؚ‬ΕΔՙిཻࢠͷ਺͸ 0 ͔ 1 Ͱ͋Γɼిՙີ౓͸ 0 ͔ ∞ ʹͳΔɻ͔͜͜͠͠Ͱ͸ɼΔV ͕े෼ଟ਺ͷՙిཻࢠΛ‫ؚ‬Έɼಉ࣌ʹɼΔV ͷลͷେ͖͕͞ண໨͢Δ‫ݱ‬৅Λද͢ͷʹे෼ͳࡉ͔͞Λ΋ͭͱ͜ΖͰ‫ݶۃ‬ΛͱͲΊΔɻ‫ݱͰޙ‬ΕΔిྲྀີ౓ͳͲʹ͓͍ͯ΋ಉ͡Ͱ͋Δɻ͜ͷࡉ͔͞Ͱ‫͖ͱͨݟ‬࿈ଓؔ਺Ͱද͞ΕΔͱ͍͏ͷ͕ʮ࿈ଓతʹʯͷҙຯͰ͋
Δɻʢจࣈ௨Γ ΔV → 0 ͱͨ͠ɼ0 ͔ ∞ ͷ஋Λ΋ͭిՙີ౓ͳͲ΋༗༻ͳ֓೦
Ͱ͋Δ͕ɼ
ʮී௨ͷʯؔ਺Ͱ͸දͤͳ͍ɻ͜ͷͨΊɼσϧλؔ਺͕ಋೖ͞Εͨ: 10
ষ 10.2 અࢀরɻʣ

1.2

Ϋʔϩϯͷ๏ଇ

େ͖͞ͷͳ͍ʢߟ͍͑ͯΔ‫ݱ‬৅ͷ௕͞ɾ‫ʹ཭ڑ‬ൺ΂ͯʣ఺ͱΈͳͤΔ
ిՙΛ఺ిՙ (point charge) ͱ͍͏ɻਤ 1.1 ͷΑ͏ʹɼ2 ͭͷ఺ిՙ q1 [C]ͱ q2 [C] ͕‫ ཭ڑ‬r [m] ཭Ε͍ͯΔͱ͖ɼ͜ΕΒ͸‫࣍ʹ͍ޓ‬ͷେ͖͞ͷྗΛ‫͏͋͠΅ٴ‬ɻF =q1 q 2[N]
4πε0 r2(1.4)

͜͜Ͱɼ෼฼ͷ ε0 ͸ి‫ؾ‬ఆ਺ʢਅۭͷ༠ి཰ʣ(electric constant, permit-

tivity of vacuum) ͱ‫ݺ‬͹ΕΔఆ਺Ͱɼͦͷ஋͸࣍ͷͱ͓ΓͰ͋Δʢ෼฼
ͷ 2.99792458 · 108 ͸ m/s Λ୯Ґͱ͢Δਅۭதͷޫ଎ʣɻ
ε0 =

107
F/m = 8.854 × 10−12 F/m
4π × (2.99792458 · 108 )2(1.5)·ͨɼ୯ҐϑΝϥουʢfarad, ‫ ߸ه‬FɼM. Fraday ʹҼΉʣ͸࣍ͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɻ

C2(1.6)
Nmྗͷ޲͖͸ 2 ͭͷ఺ిՙΛ݁Ϳઢ෼ͷ޲͖Ͱɼq1 ͱ q2 ͕ಉූ߸ͷͱ͖ੱྗɼҟූ߸ͷͱ͖ҾྗͰ͋Δɻిՙͷؒʹಇ͘ྗΛΫʔϩϯྗ (Coulomb
force) ͱ‫ͼݺ‬ɼΫʔϩϯྗͷେ͖͞ͱ޲͖ͷ๏ଇΛΫʔϩϯͷ๏ଇ (Coulomblaw) ͱ‫Ϳݺ‬ɻ
1F=1

-2-

1.2. Ϋʔϩϯͷ๏ଇ

3
q

F12

1
r -r
1 2

r

q
2

1

r

O

q q >0
1 2

q
1

F21

F21
F12

2

q

2

q q <01 2

ਤ 1.1: Ϋʔϩϯྗʢࠨ͸ಉූ߸Ͱੱྗɼӈ͸ҟූ߸ͰҾྗʣϕΫτϧΛ༻͍Δͱɼr1 ʹ͋Δ఺ిՙ q1 ͕ɼr2 ʹ͋Δ఺ిՙ q2 ͔Βड͚Δྗ F12 ͸࣍ͷΑ͏ʹද͞ΕΔɻ

F12 =q1 q 2 r 1 − r 2
4πε0 |r1 − r2 |3(1.7)·ͨɼ఺ిՙ q2 ͕఺ిՙ q1 ͔Βड͚Δྗ F21 ͸

F21 =q2 q 1 r 2 − r 1
4πε0 |r2 − r1 |3(1.8)

Ͱ͋Γɼ࡞༻൓࡞༻ͷ๏ଇ

F12 = −F21

(1.9)͕੒Γཱ͍ͬͯΔɻଟ਺ͷ఺ిՙ͕͋Δ৔߹ɼҰͭͷ఺ిՙʹಇ͘ྗ͸ɼଞͷ఺ిՙͦΕͧΕ͔ΒΫʔϩϯͷ๏ଇʹΑͬͯಇ͘ྗͷϕΫτϧͱͯ͠ͷ࿨ʹͳΔɻ‫ݴ‬͍‫͑׵‬Ε͹ɼ͋Δిՙͷରͷؒʹಇ͘Ϋʔϩϯྗ͸ଞͷిՙͷଘࡏʹӨ‫͞ڹ‬Εͳ͍ɻҰൠʹɼ‫ݪ‬Ҽ͕ଟ਺͋Δͱ͖ͷ݁Ռ͕‫ݸ‬ʑͷ‫ݪ‬ҼʹΑΔ݁
Ռͷ࿨Ͱ͋Δͱ͖ɼॏͶ߹Θͤͷ‫ݪ‬ཧ (principle of superposition) ͕੒Γཱͭͱ͍͏ɻ͜ͷද‫ݱ‬Λ༻͍ΔͱɼΫʔϩϯྗ͸ॏͶ߹Θͤͷ‫ݪ‬ཧʹै͏ɼ͋Δ͍͸Ϋʔϩϯྗʹ͸ॏͶ߹Θͤͷ‫ݪ‬ཧ͕੒Γཱͭɻ[ྫ୊ 1.1] ఺ిՙ qi (i = 1, 2, . . .) ͕ͦΕͧΕ ri (i = 1, 2, . . .) ʹ͋Δͱ͖ɼ఺ r ʹஔ͔Εͨ఺ిՙ q ͕ड͚Δྗ͸࣍ͷΑ͏ʹද͞ΕΔ͜ͱΛࣔͤɻF =q

 qi r − r i
4πε0 |r − ri |3i-3-(1.10)

ୈ 1 ষ ੩ి‫ؾ‬4[ղ౴] ఺ిՙ qi ͔Βड͚Δ࣍ͷྗΛॏͶ߹ΘͤΕ͹ʢՃ͑Ε͹ʣ༩ࣜʹͳΔɻ

qi q r − r i
4πε0 |r − ri |3ిՙ͕ిՙີ౓ ρ Ͱ࿈ଓతʹ෼෍͍ͯ͠Δͱ͖ʹ͸ɼిՙͷ෼෍͍ͯ͠
ΔମੵΛඍখମੵʹ෼͚ɼri ʹ͋Δඍখମੵ ΔVi ʹ‫·ؚ‬ΕΔిՙ Δqi =ρ(r)ΔVi ͔Βड͚ΔྗΛ଍͠߹Θͤͯɼ఺ిՙ q ͷड͚Δྗ͸ Δqi r − ri
 ρ(ri )ΔVi r − ri
q
=q
3
4πε
|r
−
r
|
4πε0 |r − ri |30iiiඍখମੵ΁ͷ෼ׂΛແ‫͔͘͢ࡉʹݶ‬Ε͹ɼମੵ V ʹ͍ͭͯͷʢମੵʣੵ෼ʹΑΓρ(r  ) r − r dV 3V 4πε0 |r − r |ͱද͞ΕΔʢମੵੵ෼ʹ͍ͭͯ͸ 10 ষ 10.5.1 અΛࢀরʣɻ
F =q

1.3

ి৔ͱిҐ

1.3.1

ి৔

(1.11)

2 ͭͷ఺ిՙͷؒʹಇ͘ྗ͸Ұํͷిՙ͔Βଞํͷిՙʹ௚઀‫ٴ‬ΜͰ͍
Δͱߟ͑Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δ͕ɼҰํͷిՙ͕ͦͷपΓʹଞͷిՙʹྗΛ‫ٴ‬΅͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔΑ͏ͳʮ৔ʯ(ﬁeld) Λͭ͘Γɼଞํͷిՙ͸ࣗ਎͕ஔ͔Εͨ৔ॴͷʮ৔ʯ͔ΒྗΛड͚͍ͯΔɼͱߟ͑Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δʢલऀ
Λԕִ࡞༻࿦ɼ‫ऀޙ‬Λۙ઀࡞༻࿦ͱ͍͏ʣɻ͜ͷ৔Λి৔ʢ·ͨ͸ిքʣ(electric ﬁeld) ͱ‫Ϳݺ‬ɻྗ͸ϕΫτϧ͔ͩΒి৔͸ϕΫτϧ৔Ͱ͋ΔɻΫʔϩϯྗͷେ͖͞͸
2 ͭͷిՙͷੵʹൺྫ͢Δ͔Βɼి৔Λ୯Ґిՙ (1 C) ͷड͚ΔྗʹΑΓఆٛ͢Δɻ͢Δͱɼి৔ E ͷ৔ॴʹஔ͔Εͨిՙ q ͷड͚Δྗ F ͸

F = qE(1.12)

ి৔ͷ୯Ґ͸ N/C Ͱ͋Δ͕ɼ୯ҐϘϧτʢvolt, ‫ ߸ه‬VɼA. G. A. A. VoltaʹҼΉʣΛ࣍ͷΑ͏ʹఆٛͯ͠ V/m ͱද͢ɻ

1V=1

-4-

N
m
C

(1.13)

1.3. ి৔ͱిҐ5

ਤ 1.2: ఺ిՙͷి৔ʢࠨ͸ਖ਼ిՙɼӈ͸ෛిՙʣ୯ҐϘϧτΛ༻͍Δͱ୯ҐϑΝϥου͸ C/V ͱͳΔɻ

1F=1

C2
C
C
=1
=1
Nm
Nm/C
V

(1.14)

઀ઢ͕ͦͷ఺ͷి৔ʹฏߦͰ͋ΔΑ͏ͳ‫ۂ‬ઢΛి‫ྗؾ‬ઢ (line of electricforce) ͱ͍͏ɻి‫ྗؾ‬ઢ͸ਖ਼ͷిՙ͔Βग़ൃ͠ɼෛͷిՙʹೖΔ͔ɼແ‫ݶ‬ԕʹୡ͢Δɻ·ͨɼಉ͡఺ͷి৔͕ 2 ͭͷ஋Λ΋ͭ͜ͱ͸ͳ͍͔Βి‫ྗؾ‬ઢಉ࢜͸ަΘΒͳ͍ɻి৔ͷ༷ࢠ͸ి‫ྗؾ‬ઢʹΑͬͯද͞ΕΔɻ·ͨɼి‫ྗؾ‬ઢͷີ౓Λి৔ͷେ͖͞ʹൺྫ͢ΔΑ͏ʹͱΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δʢ1.4.1
અ [ྫ୊ 1.8] ࢀরʣɻ[ྫ୊ 1.2]ʢ఺ిՙͷి৔ʣ‫͋ʹ఺ݪ‬Δ఺ిՙ q ͕৔ॴ r ʹͭ͘Δి৔͸࣍ࣜͰ༩͑ΒΕɼਤ 1.2 ͷΑ͏ʹදͤΔ͜ͱΛࣔͤɻE=

q r
4πε0 r3(1.15)

·ͨɼి৔ͷ୯Ґ͕ V/m ʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱΛ͔֬ΊΑɻ[ղ౴] (1.7) Ͱ r1 = r, q2 = q, r2 = 0ʢ‫఺ݪ‬ʣ, F12 = F ͱ͢Ε͹F =q1 q rq r=q1
4πε0 |r|34πε0 r3(1.16)

Ͱ͋Δ͔Βɼి৔͸༩ࣜʹͳΓɼి‫ྗؾ‬ઢ͸‫͔఺ݪ‬Β์ࣹঢ়ʹͳΔɻ·ͨɼ୯Ґ͸ C/[(F/m)m2 ] = C/[(C/V)m] = V/m.[ղ౴ऴΓ]ଟ਺ͷ఺ిՙ qi (i = 1, 2, . . .) ͕ͦΕͧΕ ri (i = 1, 2, . . .) ʹ͋Δ৔߹ɼr ʹ͓͚Δి৔ E(r) ͸ɼ(1.10) ʹΑΓ qi r − r iE(r) =(1.17)
4πε0 |r − ri |3i-5-ୈ 1 ষ ੩ి‫ؾ‬

6·ͨɼిՙີ౓ ρ Ͱ෼෍͍ͯ͠Δͱ͖ʹ͸ɼr ʹ͓͚Δి৔ E(r) ͸(1.11) ʹΑΓ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻρ(r  ) r − r E(r) =
dV(1.18)
4πε0 |r − r  |3Ұൠʹɼ͋Δ఺ r ʹඍখͳ఺ిՙ Δq ʢࢼిՙʣΛஔ͍ͨͱ͖ɼΔq ʹಇ͘ྗ͕ ΔF Ͱ͋Δͱ͢Δͱɼ఺ r ͷి৔ E(r) ͸࣍ͷΑ͏ʹද͞ΕΔɻ

E(r) = lim

ΔF(1.19)

Δq→0 Δq

Δq → 0 ͷ‫ݶۃ‬ΛͱΔͷ͸ࢼిՙΛஔ͍ͨ͜ͱ͕पΓʹӨ‫ڹ‬Λ༩͑ͳ͍Α͏ʹ͢ΔͨΊͰ͋Δʢ‫ݻ‬ఆ͞Εͨ఺ిՙͷ‫ܥ‬ͷ৔߹ʹ͸ɼ͜ͷ‫ૢݶۃ‬࡞͸ඞཁͳ͍͕ɼҰൠʹ͸ Δq Λஔ͘ͱిՙͷ෼෍͕มԽ͢Δ͔Β‫ݶۃ‬ΛͱΔʣɻ
·ͨɼ࣌ؒతʹ഑ஔ͕มԽ͠ͳ͍఺ిՙ΍ిՙີ౓ʹΑͬͯͭ͘ΒΕ
Δి৔ͷΑ͏ʹɼ࣌ؒతʹมԽ͠ͳ͍ి৔Λ੩ి৔ (static electric ﬁeld)ͱ‫Ϳݺ‬ɻ

1.3.2

ిҐి৔͕༩͑ΒΕͨͱ͖ɼਤ 1.3 ͷΑ͏ʹɼ1C ͷ఺ిՙΛ‫ج‬४఺ O ͔Β࠲ඪ r ͷ఺ P ·ͰӡͿͨΊͷ࢓ࣄΛʢ‫ج‬४఺͔Βଌͬͨʣ఺ P ͷిҐ(electric potential) ͱ‫Ϳݺ‬ɻ‫ج‬४఺ͱಓ‫ے‬ΛܾΊΕ͹ిҐ͸࠲ඪ r ͷؔ਺ʹͳΔɻ࢓ࣄΛ‫ٻ‬ΊΔʹ͸ O ͔Β P ·Ͱͷಓ‫ے‬Λඍখͳઢ෼ Δsi , (i = 1, 2, . . . , N )ʹ෼ׂ͠ɼ֤ઢ෼ʹԊͬͯిՙΛӡͿͨΊͷ࢓ࣄΛ‫ٻ‬Ίͯ଍͠߹Θͤͯɼ෼ׂΛແ‫ݶۃ͔ͨ͘͠ࡉʹݶ‬ΛͱΔɻඍখઢ෼ Δs Ͱͷ࢓ࣄ͸ɼి৔͔Βͷྗ E ʹ௼Γ߹͏ྗ −E ΛՃ͑ͯ Δs ͚ͩಈ͔͢ͷ͔ͩΒ −E · Δs Ͱ͋
Δɻ͕ͨͬͯ͠ O ͔Β P ·Ͱͷ࢓ࣄ͸
V = − lim

N →∞

N


Ei · Δsi

i=1ӈลͷ‫ݶۃ‬ͷ෦෼Λ O ͔Β P ·Ͱͷಓ‫ʹے‬Ԋͬͨి৔ͷ઀ઢ੒෼ͷઢੵ෼ͱ‫ͼݺ‬ɼ࣍ͷΑ͏ʹද͢ʢઢੵ෼ʹ͍ͭͯ͸ 10 ষ 10.5.3 અࢀরʣɻ
 P
 P
N

ds · E =E · ds = lim
Ei · Δsi
O

N →∞

O

-6-

i=1

1.3. ి৔ͱిҐ

7
P

-E

O

θ

Δs

E

ਤ 1.3: ిҐΛఆٛ͢ΔͨΊͷੵ෼͜ͷΑ͏ʹ఺ O Λ‫ج‬४ͱͨ͠఺ P ͷిҐ V ͸ɼ࣍ͷΑ͏ʹɼO ͔Β P ·Ͱͷઢੵ෼Ͱද͞ΕΔɻ

V =−

 P

ds · E(1.20)

OӈลʹϚΠφε͕ͭ͘ͷ͸ɼ1C ͷిՙΛӡͿࡍʹɼిՙ͕ड͚Δྗͱ௼
Γ߹͏ྗ −E ΛՃ͑ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍͔ΒͰ͋Δɻ[ྗֶୈ 5 ষͷ‫ݴ‬༿Λ༻͍Ε͹ɼిҐ͸ 1C ͷ఺ిՙ͕ి৔ͷதͰ΋ͭϙςϯγϟϧʢҐஔΤωϧΪʔʣͰ͋Γɼ্ࣜ͸ಉষ (5.18) ࣜʹରԠ͢Δɻ]࣮͸ɼ੩ి৔ͷ৔߹ʹ͸ɼ(1.20) ͷӈลͷ஋͸ੵ෼ͷ࢝఺ͱऴ఺͚ͩʹґଘ͠ɼ్தͷಓ‫ʹے‬ΑΒͳ͍ɻࣜͰද͢ͱɼ೚ҙͷϧʔϓʢด‫ۂ‬ઢʣCʹରͯ͠
ds · E = 0͕੒Γཱͭʢ‫߸ه‬

(1.21)C͸ 1 पʹ͍ͭͯͷੵ෼Ͱ͋Δ͜ͱΛද͢ʣɻ੩ి৔ͷిҐΛ੩ిҐ (electrostatic potential) ͱ‫Ϳݺ‬ɻੵ෼ͷಓ‫ʹے‬ґଘ͠ͳ͍͔Βɼ‫ج‬४఺ΛܾΊΕ͹੩ిҐ͸఺ r ͷ 1 Ձͷؔ਺Ͱ͋Δɻ[ྗֶୈ 5 ষͷද‫ݱ‬Λ༻͍Ε͹ɼʮ੩ి৔͸ిՙʹରͯ͠อଘྗ৔Ͱ͋Δʯɻ]ࣜ (1.21) ͕Ұͭͷ఺ిՙͷͭ͘Δి৔ʹରͯ͠੒Γཱͭ͜ͱΛ۩ମతʹ‫͖Ͱ͕ͱࣔͯ͜͢͠ࢉܭ‬Δʢྗֶୈ 5 ষ 5.3 અࢀরʣɻෳ਺‫ݸ‬ͷ఺ిՙ
͕͋Δ৔߹Ͱ΋ɼ֤఺ిՙͷͭ͘Δి৔ʹରͯ͠੒Γཱ͔ͭΒɼ݁‫ہ‬ෳ਺‫ݸ‬ͷ఺ిՙ͕ͭ͘Δ੩ి৔ʹରͯ͠੒ΓཱͭʢॏͶ߹Θͤͷ‫ݪ‬ཧʣɻ·ͨɼ࿈ଓతʹ෼෍ͨ͠ిՙͷ৔߹ɼ෼෍ͨ͠ిՙΛඍখͳిՙͷू߹ͱΈͳͤΔ͔Βɼ࿈ଓతͳిՙ෼෍ͷ৔߹ʹ΋੒Γཱͭ͜ͱʹͳΔɻ[ҎԼͷখࣈ෦෼͸ɼ࠷ॳʹ͜ͷςΩετΛಡΉͱ͖ʹ͸‫ޙ‬ճ͠ʹͯ͠ʢͨ͠ํ
͕ʣΑ͍ɻ]-7-ୈ 1 ষ ੩ి‫ؾ‬

8

10 ষ 10.7 અͷετʔΫεͷఆཧΛ༻͍Δͱɼ(1.21) ͸ి৔ E ͷճసʢϩʔςʔγϣϯʣrot E ͷ໘ੵ෼ʹΑͬͯ
ds · E =rot E · dS = 0
CSͱॻ͖௚ͤΔɻ͜͜ͰɼS ͸ੵ෼࿏ C Λԑͱ͢Δ‫ۂ‬໘Ͱ͋Δʢճసʹ͍ͭͯ͸ 10
ষ 10.4.4 અɼ໘ੵ෼ʹ͍ͭͯ͸ 10 ষ 10.5.2 અΛࢀরʣɻ͜ͷ͕ࣜ೚ҙͷ Cʢ͠
͕ͨͬͯ೚ҙͷ Sʣʹ͍ͭͯ੒Γཱ͔ͭΒɼ੩ి৔͸࣍ͷੑ࣭Λ΋ͭɻrot E = 0(1.22)

ిҐͷ‫ج‬४͸ऴ࢝Ұ؏͍ͯ͠Ε͹Ͳ͜ʹͱͬͯ΋Α͍͕ɼऔΓѻ͏໰୊ʹΑͬͯద੾ͳͱΓํ͕͋ΔɻՄೳͳΒ͹ແ‫ݶ‬ԕΛ‫ج‬४ʹ͢Δ͜ͱ͕
ศརͳ͜ͱ͕ଟ͍ͷͰɼ҉໧ʹͦ͏͢Δ͜ͱ΋ଟ͍ɻిҐ V ͱిՙ q ͷੵ qV ͸ిՙ q ͷ΋ͭϙςϯγϟϧʢΤωϧΪʔʣͰ͋Γɼ୯Ґ͸ J Ͱ͋Δɻ

1 CV = 1 (Nm/C)C = 1 J(1.23)

఺ిՙ q ͕‫͋ʹ఺ݪ‬Δͱ͖ɼແ‫ݶ‬ԕΛ‫ج‬४ͱ͢Δ఺ r ͷిҐ V ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻ

V =q
4πε0 r

(1.24)

·ͨɼଟ਺ͷ఺ిՙ qi (i = 1, 2, . . .) ͕ͦΕͧΕ ri (i = 1, 2, . . .) ʹ͋Δ৔߹ͷɼr ʹ͓͚Δʢແ‫ݶ‬ԕΛ‫ج‬४ͱ͢ΔʣిҐ V (r) ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻ

V (r) =

 1
qi
4πε
|r
−
ri |
0
i

(1.25)

͞Βʹɼిՙ͕ిՙີ౓ ρ(r) Ͱ෼෍͍ͯ͠Δͱ͖ʹ͸ɼr ʹ͓͚ΔిҐ

V (r) ͸࣍ͷΑ͏ʹମੵੵ෼Ͱද͞ΕΔɻ
1 ρ(r  )V (r) =dV
4πε0 |r − r  |[ྫ୊ 1.3] (1.24)ɼ(1.25)ɼ(1.26) Λࣔͤɻ-8-

(1.26)

1.3. ి৔ͱిҐ9[ղ౴] ఺ిՙ q ͕‫͋ʹ఺ݪ‬Δͱ͖͸ɼແ‫ݶ‬ԕ͔Βಈ‫ʹ޲ํܘ‬Ԋͬͯੵ෼͢Ε͹ɼ࣍ͷΑ͏ʹ (1.24) ͕ಘΒΕΔɻ

r
 r
q
q
q
V =−
dr
=
=
4πε0 r2
4πε0 r ∞ 4πε0 r∞ଟ਺ͷ఺ిՙ͕͋Δͱ͖͸ɼి৔͸֤఺ిՙͷͭ͘Δి৔ͷ࿨Ͱ͋Δ͔ΒɼిҐ΋֤఺ిՙͷͭ͘ΔిҐͷ࿨ͱͳΔɻΑͬͯɼ(1.25) ͕੒Γཱͭɻ(1.26) ΋ಉ༷Ͱ͋Δɻ[ղ౴ऴΓ]

1.3.3

ి৔ΛిҐͷޯ഑Ͱද͢

ిҐ V ͸ྗֶͷҐஔΤωϧΪʔʹରԠ͢Δ͔Βɼ1 C ͷిՙ͕ड͚Δ
ྗɼ͢ͳΘͪి৔ E ɼ͸ిҐͷޯ഑ (gradient, ‫ ߸ه‬gradɼ·ͨ͸ nabla,‫ʹ )∇ ߸ه‬Αͬͯ࣍ͷΑ͏ʹද͞ΕΔʢ10 ষ 10.4.2 અ·ͨ͸ྗֶ 5 ষ 5.4
અࢀরʣɻ
E = −∇V = −∂V ∂V ∂V,,∂x ∂y ∂z(1.27)

͢ͳΘͪɼి৔͸ిҐͷޯ഑ (grad) ʹෛ߸Λ͚ͭͨ΋ͷʹ౳͍͠ɻ ޯ഑ʹ‫ݱ‬ΕΔԋࢉࢠ ∇ Λ xyz ࠲ඪͰ࣍ͷΑ͏ʹද͞ΕΔϕΫτϧͱߟ͑ͯ΋Α͍ɻ

∂
∂
∂
,
,
∇=
∂x ∂y ∂z[ྫ୊ 1.4] ఺ిՙ q ͕‫͋ʹ఺ݪ‬Δͱ͖ͷిҐ (1.24) ͔Βి৔Λ‫ٻ‬Ίɼ(1.15)
ͱҰக͢Δ͜ͱΛ͔֬ΊΑɻ[ղ౴] ௚֯࠲ඪ xyz Ͱ͸ r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 ͔ͩΒ
∂r
x ∂r
y ∂r
z
= ,
= ,
=
∂x
r ∂y
r ∂z
r
Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δͱɼ
1∂r ∂r ∂r∇ =,,r
∂x ∂y ∂zd 1
x y z
= − 3, 3, 3
dr r
r r r

ΑͬͯҰக͢Δɻ[ղ౴ऴΓ]-9-