「初歩の物理」補充問題
第１章（A）基本問題(1) 時速 4 km で歩く人が、最初の 30 分間は東に向かって歩き、次にそこから北側に 60°の角度をなす方向に 30 分間歩いた。この人の現在の位置と、歩いていた間の平均の速度を求めよ。
(2) 銀河系の形は扁平楕円体であるが、その長径は約 9.5×1020 m である。
光がこの長径を伝わる時間を求めよ。（光速は c=3×108 m/s とする。）(3) 太陽から発射された光は 8.8 s で地球に届く。このことから、地球と太陽の距離を求めよ。
(4) 水素原子１個の半径はボーア半径とよばれ、rB=0.503×10-10 m である。
１モルの水素原子をぴったり立方体に積み上げると、その立方体の 1 辺 a は何 m になるか、2 桁まで正確に求めよ。ただし、積み上げるときは下の原子（球）の真上に上の原子を積み上げることとする。
（１モル中には 6×1023 個の原子（分子）がある。
）（B）チャレンジ問題(5) (a) 地球の回転により、地球上で静止している人も地球外から見ると速度をもっている。赤道上に静止している人の速度の大きさを求めよ。
（言うまでもなく、この人は 1 日かけてちょうど地球 1 周の距離を動いたことになる。）
ただし、地球の半径は 6,378km である。
(b) 地球は太陽の周りを回っている。この公転により地球上の人は（地球の自転は無視する）外から見ると速度をもっている。この公転による地球上の人の速度の大きさを求めよ。また、それは(a)の場合の何倍になっているか。
ただし、地球の公転の平均半径を 1.5×108 km とする。
(6) 位置ベクトルが時間と共に変化し、r＝Ct2 + r0 と表されるとき、この速度および加速度の時間変化はどのように表されるか。式とグラフで示せ。
(7) 振動数（周波数）ｆの音を出しているスピーカーのコーンの中心の位置の振動はr＝r0sin２πftで表される。このコーンの速度（速さ）と加速度を求めよ。また、速度および加速度の最大値は振動数にどのように関係しているか。

第2章（A）基本問題(1) 車のアクセルを大きく踏み込んで加速させている時、1 秒間に時速 2 km の割合で速度が増していった。車の重量（全質量）が 1 トンであるとして車に加わっている力を求めよ。また、この力は車にかかっている重力の何倍になるか。

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(2) 2 個の水素原子が水平面上で距離１ナノメートル離れて静止している。
これらの間に働く万有引力を求めよ。ただし、水素原子の大きさは無視できるとし、その質量は 1.673×10-27 [kg]である。
(3) 地球と月の間に働く万有引力を求めよ。また、太陽と地球の間の万有引力の大きさを求め、地球と月の間の場合の何倍になっているかを調べよ。ただし、太陽、地球、月の質量はそれぞれ 1.989×1030、1.989×1030×3.0404
×10-6、1.989×1030×3.0404×10-6×0.0123 kg であり、地球―太陽、地球―月の間の平均距離はそれぞれ 1.5×108 km、3.8×105 km である。
(4) 動いている時の車のタイヤと路面との間の摩擦係数が 0.5 であるとすると、スリップしない限界の車の加速度はどれくらいになるか。
(5) 2 つの力 Fａと Fｂが釣り合っているとき、それぞれの力の成分間にはどのような関係が成り立っているか。ただし、これらの力の成分表示は次の式で表されるとする。
Fa = Ax i + Ax j + Ax k

Fb = Bx i + Bx j + Bx k(6) 1 つの物体（質点とみなす）に３つの力が働いて釣り合っている。このうち 2 つの力の(x,y,z)方向の成分が F1(2,-5,3)、F2(4,6,-5)であるとき、3 つ目の力の成分はどのようであればよいか。ただし、力の各成分の数字の単位は N（ニュートン）である。
(7) 凍った登りの坂道では、前に何かがあってブレーキを踏んで止まっても、後ろに滑り落ちることがある。タイヤと凍った路面との静止摩擦係数μと、スリップしない限界の坂の傾き角θとの間に成り立つ関係式を求めよ。
（B）チャレンジ問題(8) 水平なテーブルの面にテーブルクロスがかけられており、その上に物体が置かれている。テーブルクロスを水平方向に急に引っ張って取り除いても、物体はテーブル上にあり、下に落ちないようにしたい。
テーブル面は１×１ｍ2 で、テーブルクロス（質量ｍとする）もこれと同じ面積であり、物体（質量Ｍとする）はその中央に置かれているとする。さらに、物体とテーブルクロスの間の静止摩擦係数が 0.3、すべり摩擦係数が 0.1であり、物体が置かれている部分のテーブルクロスとテーブル面との静止摩擦係数を 0.3、すべり摩擦係数を 0.1 とする。物体の大きさ（底面積）およびテーブルクロス自重による摩擦は無視できるとする。
(a) テーブルクロスを水平方向に急に引っ張って取り除く時、引っ張る加速度 A がいくら以上であれば物体とテーブルクロスの上面と下面の両方がすべるか。
(b) テーブルクロスの両面がすべっている時、物体の加速度 a はいくらか。
また、このときの物体の運動方程式と、テーブルクロスの運動方程式とそれぞれの運動方程式の解を求めよ。ただし、テーブルクロスを手で引っ張っている力をＦとする。
(c) やがて、物体はテーブルクロスから抜けてテーブルの上をすべりだした。
このときの物体の運動方程式とその解を求めよ。
(d) 物体がテーブルから落ちないための条件、すなわち、物体がテーブルの端に到達する前に止まる場合の、テーブルを引く力Ｆについての条件を求めよ。

2第３章（A）基本問題(1) 速度が次の式で表される直線運動について、位置（進んだ距離）ｒを時間ｔの関数として表せ。ただし(a), (b)はｔ＝０をスタート時刻（初期値、基準値）とし、(c), (d)は仮想的な運動であり、ｔ＝１をスタート時刻とする。
(a) V= at(b) V= bt2(c) V= ct-1(d) V= dt-2
(2) 上の(1)の(c), (d)の運動について時刻 t1 から t2 までの間に進んだ距離を求めよ。
(3) 距離 L 離れた地点まで列車 A に乗って速度 V0 で等速運動をして行った。
次の回に、かかる時間を半分にするために列車 B で最初 V0 から等加速度運動をして行った。このときの列車 B の運動を式で表すことにする。
(a) 列車 A が到着までにかかった時間を求めよ。
(b) 列車 B の加速度を a と置き、列車 B の位置ｒを出発してからの時間ｔの関数として表せ。
(c) 列車 B の加速度 a を求めて(b)の式に代入し、列車 B のｒとｔの関係式を完成させよ。
(d) 縦軸を速度 V、横軸を時間ｔとして、それぞれの列車の運動を１つの同じグラフの中で図示せよ。
(4) (a) 重りに糸を付けてぐるぐる回している。回転の半径をｒ、1 秒間に回転する角度をωとして、重りの速さｖを求めよ。（角度はラジアン単位で測る。
360°=2π rad）
(b) 時刻 t=0 での重りの速度ｖと、t=1 [s] （1 秒後）の重りの速度ｖ’ を図で示せ。（このとき、重りはωラジアンだけ回転していることに注目せよ）(c) ｖ’ ベクトルを平行移動してその始点をｖの始点と一致させた時、２つのベクトルのなす角を求めよ。また、この様子を図で示せ。
(d) このとき、ｖベクトルの先端が 1 秒間に描いた長さ dv を求めよ。
このことから、等速円運動をしている重りの加速度の大きさを求めよ。
(5) 車が曲率半径 R のカーブを速度ｖで走っている。動いている時の車のタイヤと路面との間の摩擦係数をμとして、スリップしない限界の車の速度ｖを求めよ。
(6) 曲率半径 R のカーブを速度ｖで走っている電車について、レール面をどれだけ傾ければ重力と遠心力の合力がレール面に垂直に働くようになるか。
（B）チャレンジ問題(7) 等速円運動をしている質量ｍの物体について、角速度ベクトルωが(0,0,ω)、位置ベクトルｒ が(0,r,0) の成分を持つ。この場合の円運動の速度、加速度、物体に働く遠心力を求めよ。
ヒント； v= ω×r および a= ω×v のベクトル積に、2 つのベクトルの成分表示を用いたベクトル積の式
A×B = (AyBz-AzBy)i + (AzBx-AxBz)j + (AxBy-AyBx)kを利用せよ。

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(8) 波を表す式 y=Asin(kx-ωt)
を k またはωを使って表せ。

について、この波の波長と周期、振動数(9) 波が伝わる速さｖは波長λと振動数ｆを掛けたものになることを示せ。
(10) (a) バネを引っ張ったり縮めたりすると、伸びた距離または縮めた距離ｘに比例してもとに戻そうとする力Ｆが生じる。このときの比例定数をｋとおいて、この比例関係を等式で表せ。
(b) このバネに質量ｍの重りを付けて A だけ引っ張ってから手を離すと、重りは単振動をする。このときの重りの運動を表す運動方程式を立てよ。
(c) サイン関数 x=Asinωt はこの運動方程式を満たす（解である）ことを示し、同時にωを求めよ。
(11) 振り子の長さと周期を測れば、重力加速度を求めることができることを示せ。
(12)長さのわかっている振り子を月面上で振らせてその周期を測れば、月の質量を求めることができるだろうか？ただし、万有引力の定数Ｇはわかっているとする。さらに、地球上から月の上下を見込む角や、地球の半径など、異球上で測定可能な物理量はわかっているものとする。

第４章（A）基本問題(1) W=F・r の式から仕事の単位はどのように表されるか。この仕事の単位は、あらためて[J]（ジュール）と決められている。
(2) エネルギーという言葉の意味を説明せよ。
(3) 仕事とエネルギーの関係を説明せよ。
(4) 質量ｍの物体を３０°の斜面に沿って距離ｘだけ動かした。このときに物体に与えた仕事を求めよ。ただし、斜面と物体の間の摩擦は無視する。
(5) (a) 半径 20m の観覧車に体重 50kg の人が乗って頂上まで上がったとき、人がされた仕事は何ジュールになるか。
(b) この観覧車が最初から一定の角速度ωで回っているとき、人が乗ってから頂上に到達するまでの間で、電気のエネルギーが人にする仕事を時間の関数として表せ。
(c) このときの仕事率（消費電力）を時間の関数で表せ。ただし、仕事率
P は 1 秒間にする仕事であり、dt 秒間に dW の仕事をする場合、 P=dW/dt と表され、その単位は [J/s]＝[W] （ワット）である。
（B）チャレンジ問題(6) 距離２Ｒ離れた A 駅と B 駅の間に地下トンネルを掘り、レールを敷いて列車を走らせるとする。
トンネルは半円形であり、最深部の深さはＲである。
列車の運動に対して摩擦や抵抗は無いものとする。
(a) 列車が A 駅を静かに発車してから最深部に達したときの列車の速度を求めよ。また、このとき列車の乗客が感じる重力は通常の何倍になるか。
(b) ２駅間を直線で結ぶ中点をＯとし、水平線 OA から列車を見込む角をθとして、発射してから任意の時刻ｔにおける列車の速度をθの関数として求4

めよ。さらに、列車の乗客が感じる重力の大きさも求めよ。
(c) 列車が A 駅を静かに出発してから B 駅に到着するまでの所要時間を求めるには、どのような考え方をすればよいか。ただし、列車には外から何もエネルギーを与えないものとし、また、重力加速度は 9.8 m/s2 で一定とする。
(7) 距離ｒだけ離れた質量 M とｍの 2 つの物体（どちらも質点とみなせる）間に働く万有引力により、どちらも位置エネルギーを持つ。それぞれの物体の位置エネルギーをｒの関数として求めよ。
(8) 質量 ｍ の物体を高さ ｈ の位置から静かに真下に落とす場合と、傾き角45°の摩擦の無い斜面を滑らせながら下ろす場合とで、高さがちょうど真ん中の位置で物体が持つ位置エネルギーと運動エネルギーの比がどのように違うかを比べよ。

第５章（A）基本問題(1) 運動量とはどういう物理量であるかを説明せよ。また、それはどのような条件があれば保存されるか。
(2) 運動量保存則は運動方程式から導かれることを示せ。
(3) 静止している質量２ｍの物体に、質量ｍの物体が速度ｖで正面から衝突した。衝突後の２つの物体の速度を求めよ。ただし、衝突は１次元であり、衝突の際のはね返り係数（反発係数）は 0.7 であった。
(4) 角運動量とはどういう物理量であるかを説明せよ。また、それはどのような条件があれば保存されるか。
(5) 回転の運動方程式、(5.10)式の示す意味を説明せよ。
（B）チャレンジ問題(6) 太陽の周りを回っている地球の角運動量を求めてみよ。実際には楕円運動であるが、ここでは平均半径 a=1.496×1011 [m]で円運動をしているとする。
(7) 原子核の周りを半径 0.053 nm で電子 1 個が等速円運動をしている、古典的な水素原子のモデルを考える。この場合の向心力はクーロン力 F = e2/4πε0ｒ2 である。この電子の角運動量はいくらになるか。ただし、電子の質量は me= 9.1×10-31 [kg] 、電気量は e=-1.6×10-19 [C]、ε0=8.854×10-12 [F/m]である。

第６章（Ａ）基本問題(1) 物理分野から日常生活までの広い範囲で、静電気を利用する場合があればその例を挙げて説明せよ。また、静電気が邪魔になり、それを避ける場合についても例を挙げて説明せよ。

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(2) クーロンの法則の比例定数は１つの記号（文字）ではなく、一見、複雑な形になっている。この理由を説明せよ。
(3) ２つの 1 [C] の正電荷が距離ｒ[m] 離れて置かれている。互いの反発力が１[N] のとき、ｒはいくらか。また、反発力が２[N] になるｒはいくらか。
(4) 水平な平面上に電気量ｑを帯びた質量ｍの２つの粒子が距離ｒ離れて固定されている。いま、一方の固定をはずした。その後の粒子の運動の仕方について正しいのは次のうちどれか。理由を付けて答えよ。ただし、面と粒子との間の摩擦や、空気抵抗などは無視できるとする。
(a) 等速度運動を続ける。
(b) 等加速度運動を続ける。
(c) 速度が次第に増加し、やがて一定の速度になる。
(5) 真空中で 1 [C] の正電荷から距離１[m] 離れた位置での電場の強さを求めよ。
(6) 一様な電場Ｅの空間で電気量ｑを帯びた質量ｍの粒子を静かに離した。
その後、粒子はどのような運動をするか。
(7) 真空中で 1 [C] の正電荷を中心に置いた半径１[m] の球面上で、電気力線は１m2 あたり何本引かれるか。また、この球面全体を突き抜けて出る電気力線は何本になるか。
(8) 電位φとはどういう物理量であるかを説明せよ。
(9) 電場 E がわかっていて、この量から電位φを求めるにはどうすればよいか。
（Ｂ）チャレンジ問題(10) 電位φがわかっていて、この量から電場 E を求めるにはどうすればよいか。
(11) 一様な電場Ｅの空間で正の電気量ｑを帯びた質量ｍの粒子を電場の方向に距離ｄだけ移動させた。このときの粒子が感じた電圧の変化は何ボルトになるか。また、粒子の位置エネルギーはどれだけ増加または減少するか。
そのエネルギーはどこから与えられたか、またはどこに放出したか。
(12) (a) 水平な平面上で、電荷Ｑから距離ｒだけ離れた所に正の電気量ｑを帯びた質量ｍの粒子が固定されている。この粒子を電場の方向に距離ｄだけ移動させたとき、粒子の電圧はどれだけ変化するか。また、このときの粒子が得る、または失うエネルギーはいくらか。
(b) もとの固定されていた位置で粒子を静かに離すと反発して遠ざかってゆくが、十分離れたところでの粒子の速度はどのようになるか。ただし、摩擦や空気抵抗などは無視できるとする。
(13) 容量が 3,000μF のコンデンサーに 100V の電圧を加えて十分時間をかけて充電した。コンデンサーに貯まった電気量はいくらか。また、コンデンサーに蓄えられたエネルギーはいくらか。
(14) 極板の面積がＳで極板間の距離がｄの平行板コンデンサーが電圧Ｖで充電されている。この極板間に蓄えられているエネルギーは(6.17)式で表されるが、それは体積１m3 当りにするといくらになるか。この空間のエネルギー密度を、(6.17)式に(6.21)式を代入し、さらに V=Ed の関係を利用して、6

空間の電場の強さＥを用いて表せ。
（電場Ｅが存在する空間には、何も無い真空中であってもこのような密度でエネルギーが存在するのである。
）

第７章（Ａ）基本問題(1) 電気量（電荷）Ｑはすでに知っているが、この物理量から電流を定義するにはどのようにすればよいか。
(2) ある場所（たとえばコンデンサーの電極）に電流が流れ込んでいる。電流 I がわかっていて、貯まった電気量Ｑを求めるにはどうすればよいか。
(3) 電流１[A] が流れている導線の、ある（仮想的な）断面を１秒間に何個の電子が通過しているか。
(4) 鉄や銅など色々な金属がどれくらい電気を通しにくいか、あるいは通しやすいかを比べたいとき、どのような物理量を使えばよいか。
（Ｂ）チャレンジ問題(5) 電圧Ｖがかかっている真空の空間を電気量ｑを帯びた粒子が移動すると、粒子は運動エネルギーｑＶを得ることを学んだが、電圧Ｖがかかっている導体（金属）中では電流が流れ、その電流をになっている電荷は一定の速度で流れているはずなので（電流が一様に流れているとしているので）、運動エネルギーの増加は考えられない。この矛盾を解決せよ。
(6) 抵抗値が R1、R2、R3 の３つの抵抗をすべて並列につないで全体を１つの抵抗としたとき、その抵抗値（合成抵抗）Ｒはいくらになるか。
(7) １つの抵抗（抵抗値 R1）と、２つの抵抗（抵抗値 R2 がと R3）を並列につないだ合成抵抗とを直列にして電圧Ｖの電池につないだ。R2 を流れる電流とR3 を流れる電流をキルヒホッフの法則を用いてそれぞれ求めよ。

Ｉ2Ｒ2Ｉ3Ｒ3Ｒ1Ｉ1Ｖ7第８章（Ａ）基本問題(1) 磁気量１[Wb] を帯びた 2 つの磁荷が互いに１ｍ離れて置かれている。
これらの間に働く力の大きさを求めよ。
(2) 真空中に固定されている磁気量ｍ’[Wb] から距離ｒ[m] だけ離れた位置での磁場の強さを、その単位も含めて求めよ。
(3) 半径Ｒの円形の導線に電流 I が流れているとき、円の中心の磁場の強さをビオ‐サバールの法則を用いて計算せよ。

dｘdＨ dΦＲＩ（Ｂ）チャレンジ問題(4) 縦、横の長さがそれぞれ a、b の長方形の 1 巻きコイルが、両側の横の辺の中心を通る水平な軸の周りに回転できるようになっている。このコイルに電流Ｉを流し、さらに一様な磁束密度 B の磁場を水平方向で回転軸に垂直にかけた。コイルの回転力（トルク）の最大値はいくらか。

baBＩ－＋(5) １[V] の電圧で電子 1 個を水平方向（ｘ方向）に加速した。この電子の進行方向に垂直に、同じ水平面内で（ｙ方向に）１[T]の磁束密度をかけたとき、電子が受ける力とその方向を求めよ。
(6) 長い直線の導線に１[A] の電流が流れている。この導線から１[m] 離れた位置での磁場の強さを求めよ。
(7) 半径 10 cm 長さ１ｍのボビン（コイルを巻く枠）に太さ 0.5 mm のエナ
メル線がきっちり 1 層に巻いてあるソレノイドコイルに１[A] の電流を流す。
(a) コイルの中央の中心に発生している磁場の強さを求めよ。ただし、コイルの両端の影響は無視できるものとし、無限に長いソレノイドと同様であると考えてよい。
(b) このコイルの自己インダクタンスを求めよ。
(8) 自己インダクタンス L [H] のコイルに I [A] の直流電流が流れている。
このコイルに貯えられているエネルギーは何ジュールか。
(9) 自己インダクタンス L [H] のコイルに電流 I [A] が流れているとき、コイルが持つエネルギー(1/2)LI2 を時間ｔで微分すれば-VI、すなわち誘導起8

電力による消費電力になることを示せ。

第９章（Ａ）基本問題(1) テキストの(9.3)で表されるＲＣ回路に電池をつないでｔ秒後に流れる電流を考える。
(a) 時間ｔで微分せよ。
(b) 時間ｔ＝０からｔまでの範囲で積分せよ。
(2) 抵抗値Ｒの抵抗と容量Ｃのコンデンサーを直列に接続したＲＣ回路に起電力Ｖの電池をつないだ。最初、コンデンサーには電荷は貯まっていなかったとして、電池をつないでからｔ秒後に抵抗を流れている電流を I 、コンデンサーに貯まった電荷をＱとして、抵抗に加わっている電圧とコンデンサーの電圧を求めよ。また、この両方の電圧の和が電池の電圧に等しいことから電圧に関する関係式を求めよ。
(3) (2)の電圧に関する関係式の両辺を時間ｔで微分して、電流に関する方程式にせよ。ここでＲ，ＣおよびＶは時間変化しない定数であるが、I とＱは時間とともに変化することに注意せよ。さらに、I=dQ/dt の関係を用いてＱを消去すること。（テキスト P.91 の一口メモを参照。
）(4) ＲＣ回路の時定数τ＝ＲＣの単位は[Ω]・[Ｆ]であるが、これが時間の単位[s] に等しいことが何からわかるか。
(5) 100 kΩの抵抗と 0.1 μF のコンデンサーを直列につないだＲＣ回路の時定数を求めよ。
（Ｂ）チャレンジ問題(6) 図のように抵抗値Ｒが大きい抵抗と容量Ｃが大きいコンデンサーを接続した回路がある。回路の左側を入力（入り口）、右側を出力（出口）とする。
いま、入力に交流電圧 Vin=V0sinωt を加えたとき、この電圧はほとんど抵抗の両端の電圧に等しくなる。この場合、コンデンサーは容量が大きいのでほとんど導通していると考える。
(a) 回路を流れる電流を求めよ。
(b) 出力には、わずかではあるが、コンデンサーの両端に現れている電圧
Vout=Q/C が出ている。この電圧を(a)で求めた電流を用いて表せ。また、この電圧は入力電圧を積分したものに 1/RC をかけたものであることを示せ。

RVin

ＣVout

(7) 図のように、容量Ｃが小さいコンデンサーと抵抗値Ｒが小さい抵抗とを接続した回路がある。回路の左側を入力（入り口）、右側を出力（出口）とす
9る。いま、入力に交流電圧 Vin=V0sinωt を加えたとき、この電圧はほとんどコンデンサーの両端の電圧に等しくなる。この場合、抵抗はその値が小さいのでほとんど導通していると考える。
(a) 回路を流れる電流を求めよ。
(b) 出力には、わずかではあるが、抵抗の両端に現れている電圧 Vout=RIが出ている。この電圧を(a)で求めた電流を用いて表せ。さらに、この電圧は入力電圧を微分した形であることを示せ。

ＣVin

RVout

(8) テキスト９．４で RLC 回路に交流電圧を加えたとき、回路に流れる電流は、(9.11)に(9.15)、(9.16)を代入した形で表されること、および(9.18)で表される共振周波数で最大値をとることを学んだ。このときの最大値を求めよ。また、このとき、加えた電圧に対して、流れる電流は時間的にどれだけずれているかを調べよ。

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