DISEÑO
ÓPTIMO DEPRUEBASDISEÑO
ÓPTIMO DEPRUEBAS
Benjamin D. WrightMark H. Stone
Universidad de Chicago

MESA PRESS
Chicago
1979MESA PRESS
Avenida Kimbark 5835
Chicago, IL
60637

Copyright © 1979 por Benjamin D. Wright y Mark H. Stone
Todos los derechos reservados
Impreso en los Estados Unidos de América
Biblioteca del Congreso, Número de tarjeta del catálogo 79-88489
Diseño de portada: Andrew W. Wright
Gráficos y composición tipográfica: Betty Stonecipher
Traducción sin fines de lucro por: Agustín Tristán-López y Mayra-Melissa Sánchez-Sifer
Instituto de Evaluación e Ingeniería Avanzada
San Luis Potosí, México. Diciembre de 2018
Autorizada por Institute for Objective Measurement
Con la aprobación de Jack Stenner y J. Michael Linacre

AGRADECIMIENTOS
Este libro le debe más a Georg Rasch de lo que las palabras pueden expresar. Fueron
muchos meses de tutoría acuciosa e inspiradora durante 1960, en los cuales me mostró áreas deoportunidad y necesidades de medición, que fueron las bases para este trabajo producido por
Mark Stone y yo. Igual deuda tengo con Jane Loevinger por su sentido común durante el
Simposio de 1965 convocado por la Asociación Psicológica del Medio Oeste sobre "Modelos deProbabilidad Independientes de la Muestra en Medición Psicológica", a Darrell Bock por
animarme a hablar sobre "calibración de pruebas y medición de personas independientes de lamuestra" en la reunión de marzo de 1967 de la Psychometric Society y a Benjamin Bloom por
insistir en la "calibración de pruebas y medición de personas independientes de la muestra"
durante la Conferencia por Invitación sobre Problemas en Pruebas convocada por el Educational
Testing Service (ETS) en 1967.
Benjamin D. WrightDavid Farr inició una sesión de capacitación de la American Educational Research
Association (AERA) sobre "calibración de pruebas y medición de personas independientes de lamuestra en investigación educativa" en 1969. Desde entonces, gracias al apoyo de Richard Jaeger
y William Russell, se llevaron a cabo varias sesiones preliminares a los congresos de AERA,
verdaderos foros de debate sobre la teoría y la práctica de la medición con el modelo de Rasch,durante las cuales se fomentaron muchas colaboraciones instructivas. Estamos especialmenteen deuda con Louis Bashaw, Richard Woodcock, Robert Rentz y Fred Forster, por sus enseñanzas
sobre la forma de hacer mediciones útiles con el modelo de Rasch.
El largo y arduo trabajo de análisis matemático, programación informática y verificación
empírica que permiten que la medición de Rasch no solo sea práctica sino también fácil de usar
fue realizado por amigos del programa MESA, de la Universidad de Chicago. Esta gran aventura
comenzó en 1964 con Bruce Choppin y Nargis Panchapakesan y continuó con David Andrich,
Graham Douglas, Ronald Mead, Robert Draba, Susan Bell y Geoffrey Masters.
Dedicamos nuestro libro a todos ellos.
Benjamin D. WrightMark H. Stone
Universidad de Chicago
30 de marzo de 1979v

PREÁMBULO

viiPREÁMBULO
0.1 CÓMO USAR ESTE LIBRO
Este es un manual para aprender a hacer medición con el modelo de Rasch. Brindamos algunas
explicaciones teóricas pero el énfasis se centra en la práctica. Los Capítulos 2, 4, 5 y 7 usan un pequeño
problema para ilustrar con todo detalle la aplicación de la medición de Rasch. A los lectores que
aprenden mejor haciendo, les recomendamos ir directamente a los capítulos 2 y 4, para trabajar el
problema práctico desarrollado en ellos. Después les convendrá estudiar las secciones de los capítulos
5 y 7 donde continúa el análisis del problema y solo posteriormente regresar al capítulo 1.
Los procedimientos prácticos están debidamente sustentados y respaldado con base en los aspectos
metodológicos que motivan y gobiernan la medición con el modelo de Rasch, los cuales se desarrollan
en los capítulos 1, 5 y 6. A los lectores a quienes les gusta comenzar estudiando la teoría, lesrecomendamos leer estos capítulos antes de resolver el problema contenido en los capítulos 2 y 4.
Finalmente, si la medición con el modelo de Rasch es completamente nueva para usted, le convendría
comenzar con la Sección 0.3 de este preámbulo, donde encontrará la introducción al tema presentado
el 28 de octubre de 1967 en la Conferencia Nacional Sobre Problemas en Pruebas convocada por elETS (Wright, 1968).
La sección 0.2 revisa la motivación e historia de las ideas que culminaron en el libro de Rasch(1960) "Modelos probabilísticos para algunas pruebas de inteligencia y de logro". Las referencias
citadas en esa sección y en otras partes de este libro se centran en trabajos que (1) se relacionan
directamente con el tema que se analiza, (2) están escritas en inglés y (3) están disponibles encualquier biblioteca universitaria o pueden ser proporcionadas por nosotros (N.T. Numerosas
referencias pueden ser encontradas en Internet en el sitio del Institute for Objective Measurement y
Rasch Measurement Transactions: www.rasch.org).

0.2 MOTIVACIÓN E HISTORIA
Hace cincuenta años, Thorndike se quejó de que las pruebas de inteligencia contemporáneas
fallaban al especificar "hasta qué punto es apropiado sumar, restar, multiplicar, dividir y calcularvalores de razón obtenidos de las medidas" (Thorndike, 1926, 1). Una buena medida de la habilidad
sería aquélla "en la cual el cero represente la ausencia de la habilidad en cuestión y los valores 1, 2,
3, 4 y siguientes representen cantidades que aumenten en un intervalo constante" (Thorndike, 1926,4). Thorndike tuvo el valor de quejarse porque creyó haber resuelto el problema para la prueba deinteligencia que había desarrollado personalmente. Algo similar planteó en su oportunidad Thurstone(1925).
El método de Thurstone consistió en tomar la proporción de personas de un grupo de edad que
respondía correctamente a un ítem dado, transformarla en unidades de desviación de una distribución
normal y utilizar los valores como base construir una escala. Los valores comunes para diferentes
grupos etarios los obtuvo asumiendo una relación lineal entre los diferentes valores de escala de losítems compartidos por dos o más formas (o versiones) de una prueba, utilizando las medias de losgrupos y sus desviaciones estándar como parámetros para hacer la transformación a una escala
común. Thurstone replanteó parcialmente el trabajo de Thorndike para mostrar que su método

era mejor (Thurstone, 1927). Su "escala absoluta" (1925, 1927) corresponde aproximadamente
con una escala intervalar, pero depende bastante de la distribución de las habilidades de lamuestra utilizada. Además del asunto de la homogeneidad, el método de Thurstone involucra lasuposición de que la habilidad se distribuye normalmente dentro de los grupos de edad en la cualviiiPREÁMBULO

existen algunos parámetros poblacionales relevantes que toman valores fijos dentro de dichas
distribuciones. Basta con que la especificación de la población sea inapropiada para que
igualmente lo sean los valores estimados en la escala, es decir, no son invariantes del muestreo.
Por lo tanto, las muestras que difieran en sus distribuciones de las habilidades producirándiferentes valores en la escala, tanto en magnitud como en dispersión.
Thurstone usó la versión de 1925 de su método por el resto de su vida, pero la mayor parte delas calibraciones de pruebas se han basado en técnicas más sencillas de rangos percentilares yen puntajes estándar o tipificados. Lo inadecuado de estos métodos fue expuesto por el análisis
de Loevinger de 1947 al construir y evaluar pruebas de habilidad (Loevinger, 1947).
Loevinger demostró que la homogeneidad y la monotonicidad de la escala son criterios
esenciales para una correcta medición. Además, "un método aceptable de escalamiento debe darcomo resultado una escala derivada independiente de la escala original y del grupo originalmente
probado" (Loevinger, 1947, 46). Resumiendo el estado de avance de la calibración de pruebas en1947, Loevinger dice: "Ningún sistema de escalamiento ha demostrado ser adecuado según loscriterios propuestos aquí, a pesar de ser criterios que corresponden con las afirmaciones hechas
por el sistema de Thurstone" (Loevinger, 1947, 43). En cuanto a las confiabilidades basadas encorrelaciones: "Hasta que logremos encontrar un sistema adecuado de escalamiento, lacorrelación entre las pruebas de habilidades, incluso entre dos pruebas de la misma habilidad,
será accidental y en grado desconocido" (Loevinger, 1947, 46).
En 1950, Gulliksen concluyó su Teoría de las Pruebas Mentales con esta observación:
Se ha realizado relativamente poco trabajo experimental o teórico sobre cambios del grupo
medido y su efecto sobre los parámetros de un ítem. Si suponemos que para responder un ítemdeterminado se requiere una cierta habilidad, la proporción del grupo que respondecorrectamente aumentará o disminuirá conforme cambie el nivel de habilidad del grupo...
Todavía no se cuenta con un tratamiento teórico sistemático de la medida de la dificultad delítem dirigido a determinar la naturaleza particular de sus variaciones en función de loscambios en la habilidad del grupo. El trabajo experimental tampoco se ha dirigido a analizar
los ítems y determinar la invariancia relativa de sus parámetros con los cambios sistemáticos
en el nivel de habilidad del grupo medido (Gulliksen, 1950, 392-393).
En la Conferencia por Invitación de 1953 organizada por el ETS sobre problemas de las
pruebas, Tucker sugirió que "una prueba ideal puede concebirse como aquélla para la cual la
información transmitida por cada uno de los posibles puntajes escalados representan una
ubicación en un continuo unitario, de modo que las diferencias uniformes entre puntajes
escalados correspondan con diferencias uniformes entre desempeños en la prueba para todos losniveles de puntaje" (Tucker, 1953, 27). También propuso que la comparación de grupos dediferentes habilidades es un método poderoso para evaluar la homogeneidad de la prueba(Tucker, 1953, 25). En ese momento los otros participantes en la conferencia menospreciaron sus
propuestas como poco prácticas y utópicas.
En 1960, Angoff escribió en un artículo de su Enciclopedia sobre medición y escalamiento que:
La mayoría de las escalas de las pruebas que están actualmente en uso derivan sus sistemas
de unidades de los datos tomados de administraciones de prueba reales, y por lo tantodependen del rendimiento de los grupos medidos. Una prueba construida de este modo solo
tiene significado si el grupo está bien definido, por ello solo tendrá significado si tiene algún
parecido con los siguientes grupos o individuos que responden la misma prueba y para elmismo propósito de selección, diagnóstico o evaluación grupal. Sin embargo, si se encuentra
que el muestreo para el desarrollo de la escala de una prueba no es el idóneo o que se tienePREÁMBULO

ix

una utilidad limitada al grupo en el cual se hizo el escalamiento de la prueba, por ejemplo
debido a cambios en la población focal o en los propósitos educativos, entonces la escala misma
se pone en tela de juicio. Esto es un asunto serio. Una prueba cuya utilidad sea continua
debería contar con una escala que no cambie con el tiempo, lo que permitiría dar a conocer elsistema de unidades y propiciar que las personas lleguen a familiarizarse con ella,permitiendo una acumulación de datos útiles para comparaciones históricas (Angoff, 1960,
815).
Sin embargo, esos métodos fallidos, mencionados y criticados por Loevinger, Gulliksen y
Angoff, todavía se siguen utilizando ampliamente en la construcción y medición de pruebas. Estoa pesar del hecho de que en los últimos veinticinco años se han acumulado considerables
evidencias de que hay mejores métodos, posibles y prácticos.
Estos mejores métodos tienen sus raíces en los modelos psicofísicos del siglo XIX de Weber yFechner. Se basan en modelos simples acerca de lo que parece razonable que sucede cuando una
persona responde a un ítem en una prueba. Tradicionalmente se han utilizado dos distribuciones
estadísticas para modelar el comportamiento probabilista de este evento. La distribución normal
es la base para la medición de procesos mentales en la Ley de Juicio Comparativo 1920, propuesta
por Thurstone. El uso de la ojiva normal como modelo de respuesta al ítem parece haber sido
introducido por Lawley y Finney en la década de 1940. Lord convirtió a la ojiva normal en lapiedra fundamental de su enfoque para el análisis de ítems hasta aproximadamente 1967,
cuando bajo la influencia de Birnbaum se movió hacia un modelo logístico para la respuesta alítem (Lord, 1968).
La distribución logística fue utilizada por los biometristas para estudiar el crecimiento y lastasas de mortalidad en la década de 1920, siendo desde entonces Berkson el defensor de sus
ventajas prácticas sobre la distribución normal. Estas aplicaciones biométricas finalmente
fueron recogidas, probablemente por el trabajo de Bradley y Terry en la década de 1950, yformulado en un modelo logístico de respuesta para el análisis de ítems por Birnbaum (1968) y
Balcer (1961). Baker desarrolló programas informáticos para aplicar el análisis lógito y probitdel ítem y estudió su rendimiento con datos empíricos y simulados (Baker, 1959, 1963).
Sin embargo, en todos estos enfoques de análisis de ítems se buscan al menos dos parámetrospara cada ítem. Se han realizado numerosos intentos para estimar la dificultad del ítem como la
abscisa (o intercepto horizontal) de la ojiva de respuesta ante una probabilidad de un medio, asícomo también la discriminación del ítem tomando la pendiente de la ojiva en dicho intercepto.
Desafortunadamente esta elaboración aparentemente razonable para resolver el problema
introduce una dificultad insuperable para aplicar estas ideas en la práctica. Ha habido un debate
continuo durante al menos quince años sobre si hay alguna manera útil que permita estimar
otros parámetros como la discriminación del ítem o la "adivinación".
La inevitable solución de este debate ha estado implícita desde la invención de Fisher delestimador suficiente en la década de 1920 y el trabajo de Neymann y Scott en la coherencia delos estimadores condicionales en la década de 1940. Rasch (1968), Andersen (1973, 1977) y
Barndorff-Nielsen (1978) demuestran, cada uno de forma decisiva, que la dificultad del ítem sepuede estimar de manera consistente y suficiente a partir de los datos disponibles de respuesta
correcta/incorrecta. Estas pruebas dejan en claro que los datos de respuesta dicotómica
disponible para el análisis de ítems solo puede admitir la estimación de la dificultad del ítem ylos intentos de estimar cualquier otro parámetro de un ítem individual están necesariamente
condenados al fracaso.
Las matemáticas de estas pruebas no necesitan ser dominadas para convencerse de sus
implicaciones prácticas. Cualquiera que realmente examine el funcionamiento interno de losxPREÁMBULO

diversos programas de computadora disponibles para estimar la discriminación de los ítems eintenta aplicarlos a datos reales, encontrarán que las estimaciones resultantes dependen en granmedida de la muestra. Los intentos que se hagan en estos programas de computadora para iterara una convergencia aparente, solo obtienen una "convergencia" que se "alcanza" al interferir
arbitrariamente con la tendencia inevitable de que al menos una de las estimaciones de ladiscriminación del ítem será divergente al infinito. En la mayoría de los programas este problema
insuperable se evita ya sea por no iterar en absoluto o impidiendo que cualquier estimación
particular de discriminación exceda algún límite superior completamente arbitrario como por
ejemplo 2.0.
Por lo que podemos decir, fue el matemático danés Georg Rasch quien comprendió por primera
vez las posibilidades de una medición verdaderamente objetiva que reside en un modelo de
respuesta logístico simple. Aparentemente, también fue Rasch quien aplicó por primera vez lafunción logística al análisis real de datos de pruebas mentales para el propósito práctico deconstruir pruebas. Rasch comenzó su trabajo de medición psicológica en 1945 cuando estandarizó
una prueba de inteligencia grupal para el Departamento de Defensa danés. Fue al llevar a cabo
ese análisis de ítems que por primera vez "se dio cuenta del problema de definir la dificultad deun ítem independientemente de la población y la habilidad de un individuo independientemente
de cuáles ítems responde" (Rasch, 1960, viii). En 1952 ya había establecido el fundamento básico
para una nueva psicometría y resolvió dos modelos de probabilidad para el análisis de pruebasde lectura oral. En 1953 volvió a analizar los datos de una prueba de inteligencia y desarrolló loselementos esenciales de un modelo de probabilidad logística para el análisis de ítems.
Rasch publicó por primera vez su preocupación sobre el problema de las estimaciones
dependientes de la muestra en su artículo de 1953 sobre el análisis factorial simultáneo en varias
poblaciones (Rasch, 1953). Pero su trabajo sobre análisis de ítems fue desconocido en Estados
Unidos hasta la primavera de 1960 cuando visitó Chicago durante tres meses, presentó un
trabajo en el Simposio de Berkeley sobre Estadística Matemática (Rasch, 1961), y publicó“Modelos Probabilísticos para algunas Pruebas de Inteligencia y Logro” (Rasch, 1960).
En su revisión de 1965 sobre la persona y la población como conceptos psicométricos,
Loevinger escribió:
Rasch (1960) ha ideado un enfoque verdaderamente nuevo para los problemas psicométricos...
No utiliza ninguna de las psicometrías clásicas, sino que renueva la aplicación del álgebra a
un modelo probabilístico. Supone que la probabilidad de que una persona responda un ítemcorrectamente es el producto de un parámetro de habilidad perteneciente solo para la persona
y un parámetro de dificultad que pertenece solo al ítem. Más allá de especificar a una persona
como el estándar de habilidad o a un ítem como el estándar de dificultad, la habilidad
asignada a un individuo es independiente de la de otros miembros del grupo y de los ítems
particulares con los que está siendo medido; del mismo modo que ocurre con la dificultad delítem... De hecho, estas dos propiedades fueron sugeridas alguna vez como criterio para laescala absoluta (Loevinger, 1947); en ese tiempo los esquemas propuestos no parecíansatisfacer los criterios para la escala absoluta, así como tampoco lo hacía el escalamiento de
Guttman. Por lo tanto, se debe acreditar a Rasch por su contribución sobresaliente a uno delos dos problemas psicométricos centrales: conseguir medidas no arbitrarias. Rasch está
preocupado por un tipo de generalización más rigurosa que el propuesto por Cronbach,Rajaratnarn y Gleser. Cuando su modelo ajusta, los resultados son independientes de lamuestra de personas y de los ítems particulares dentro de límites bastante amplios, en loscuales la generalidad puede decirse que es completa (Loevinger, 1965, 151).

PREÁMBULO

xi

0.3 UNA INTRODUCCIÓN PARA EL PROBLEMA DE LA MEDICIÓNEl tema que me interesa es un problema en la medición. Es un viejo problema en las pruebas
educativas. Alfred Binet tenía la misma preocupación hace 60 años. Louis Thurstone estaba
preocupado por eso hace más de 40 años. El problema aún no está resuelto. Para algunos puede
parecer un pequeño punto. Pero cuando se considera cuidadosamente, creo que se encuentra queeste pequeño punto es una cuestión de vida o muerte para la ciencia de la medición mental. ¡La
verdad es que las llamadas mediciones que hacemos en pruebas educativas no son muy buenas!
Desde que tuve la edad suficiente para discutir con mis amigos sobre quién tenía el mejor
cociente intelectual (digo "mejor" porque algunos pensaron que 100 era perfecto y 60 estaba
apenas aprobado), me he quedado perplejo por la medición psicológica. Estábamos confundidos
sobre la escala. Las unidades de CI eran diferentes a cualquiera de las medidas de altura, peso
y riqueza con las que estábamos aprendiendo a construir ciencias de la vida. Incluso ese logro
noble, 100 por ciento, era ambiguo. Cien podría significar la buena noticia de que éramos
inteligentes. O podría significar que la prueba fue fácil. A veces rezábamos por pruebas más
sencillas para hacernos más inteligentes.
Más tarde aprendí la manera aproximada de usar un puntaje de una prueba. Si estuviera
dispuesto a aceptar en su conjunto el conjunto de ítems que componen una prueba estandarizada,podría obtener una medida relativa de habilidad. Si mi desempeño me colocaba en el percentil
ochenta entre los hombres de la universidad, sabría dónde estaba parado. ¿Será verdad? El
mismo puntaje también me pondría en el percentil ochenta y cinco entre las mujeres
universitarias, en el percentil nonagésimo entre los estudiantes de último año de la carrera, ypor encima del percentil noventa y nueve entre los estudiantes de secundaria. ¡Mi habilidad
dependía no solo de los ítems que tomaba, sino de quién era y los compañeros que tuviera!
La verdad es que un estudio científico de los cambios en la habilidad del desarrollo mental va
mucho más allá de nuestras débiles habilidades para hacer mediciones. Podemos obtener
respuestas cuantitativas a preguntas como: ¿Cuánto aumenta la comprensión de lectura en losprimeros tres años de la escuela? ¿Qué proporción de habilidad es innata y qué otra es aprendida?
¿Qué proporción de habilidad se logra por la madurez asociada a cada año de la infancia?
Espero recordarles algunos problemas que afligen la práctica actual en la medición mental.
Las escalas en las que se mide la habilidad son incómodamente resbaladizas. No cuentan con
una unidad regular. Su significado y calidad estimada dependen del conjunto específico de ítems
realmente estandarizados y la distribución de las habilidades particulares de los niños que se
incluyeron en la muestra con la que se hizo la estandarización.
Si un niño ha respondido todo un conjunto específico de ítems que desea medir, entonces
puedes obtener su posición percentilar entre los grupos de niños con los que se estandarizó laprueba. Pero, ¿cómo interpretar esta medida más allá de los límites de ese conjunto de ítems yde niños? Al cambiar a los niños se tiene un nuevo criterio. Al cambiar los ítems se tiene también
un nuevo criterio de medición. Cada colección de ítems mide una habilidad propia. Cada medida
depende de su significado en la cohorte aplicada. ¿Cómo podemos hacer mediciones mentales
objetivas y construir una ciencia del desarrollo mental cuando trabajamos con patrones elásticos?
El crecimiento de la ciencia depende del desarrollo de métodos objetivos para transformar
observaciones en medida. Las ciencias físicas son un buen ejemplo. Su base es el desarrollo demétodos de medición que son específicos del propósito previsto a medir e independiente de lavariación en las otras características de los objetos medidos o los instrumentos de medida usados.

xiiPREÁMBULO

Cuando queremos una medición física, rara vez nos preocupamos por la identidad individual delinstrumento de medición. Nosotros mismos no nos preocupamos por otros objetos distintos al quequeremos medir y que sean o hayan sido medidos con el mismo instrumento. Es suficiente saber
que el instrumento está aceptado dentro de la clase de instrumentos apropiados para el trabajo.
Cuando un hombre dice que está en el percentil nonagésimo en habilidad matemática,
necesitamos saber en qué grupo y en qué prueba antes de poder darle un sentido a su afirmación.
Pero cuando él dice que mide cinco pies y once pulgadas de alto, ¿pedimos ver su criterio?
Sabemos que las cintas de medir pueden diferir en color, temperatura, material, peso e incluso
tamaño. Sin embargo, suponemos que comparten una escala de longitud de manera
suficientemente independiente de estos caracteres secundarios, lo que permite dar un significado
objetivo a una medida de cinco pies once pulgadas. Esperamos que otro hombre de la misma
altura medirá aproximadamente cinco pies once pulgada, incluso con otra cinta diferente. Puedo
estar en un percentil de habilidad diferente respecto de cada grupo con el que me compare. Peroyo tendré el mismo peso de 175 libras en todos ellos.
Llamaremos "objetiva" a la medición que posee esta propiedad. Dos condiciones son necesariospara lograrla. Primero, la calibración de los instrumentos de medición debe ser independiente deaquellos objetos que se usan para la calibración. En segundo lugar, la medida del objeto debe serindependiente del instrumento que se utiliza para medir. En la práctica, estas condiciones solo
se pueden aproximar. Pero su aproximación es lo que hace que la medición sea objetiva.
La calibración del instrumento independiente del objeto y la medición del objeto
independiente del instrumento, son las condiciones que hacen posible generalizar la medición
más allá de las particularidades del instrumento utilizado, con lo cual se pueden comparar
objetos medidos con instrumentos similares – aunque no idénticos – y para combinar o dividir
instrumentos que se adapten a nuevos requisitos de medición.
La estrella guía hacia la cual deberían apuntar los modelos de medición mental es a este tipo
de objetividad. De lo contrario, ¿cómo podemos lograr una comprensión cuantitativa de las
habilidades mentales o cómo podemos tratar de construir una ciencia del desarrollo mental? Lacalibración de la dificultad del ítem debe ser independiente de las personas particulares
utilizadas para la calibración. Así como la medición de la habilidad de la persona debe serindependiente de los ítems de prueba utilizados para una medición particular.
Cuando comparamos un ítem con otro para calibrar una prueba, no debería importar quiénes
responden los ítems que usamos para la comparación. Nuestro método de calibración debería
darnos los mismos resultados independientemente de a quién administremos la prueba. Esta esla única forma en que podamos llegar a construir pruebas que tengan un significado uniforme
independientemente de a quienes elegimos para dichos ítems.
Cuando exponemos a personas a una selección de ítems de prueba para medir su habilidad,
no debería importar qué selección de ítems usemos o qué ítems respondan. Deberíamos sercapaces de comparar personas para llegar a medidas estadísticamente equivalentes de habilidad,
cualquiera que sea la selección de ítems que se hayan utilizado, incluso cuando han sido medidos
con pruebas completamente diferentes.
Es fácil exhortar sobre la objetividad y hacer sarcasmo a expensas de las prácticas actuales.
Pero ¿se puede hacer algo sobre este problema? ¿Hay una mejor manera? En el viejo modo dehacer cosas, calibramos un ítem de prueba al observar cuántas personas de una muestraPREÁMBULO

xiii

estándar tienen éxito en ese ítem. El concepto tradicional de "dificultad" es la proporción derespuestas correctas en una muestra de estandarización. La calidad del ítem se juzga a partir dela correlación entre las respuestas en ese ítem y los puntajes en la prueba. La habilidad de lapersona es una posición percentilar en la misma muestra "estándar". Obviamente, este enfoque
se basa mucho en suposiciones sobre la idoneidad de la muestra estandarizada de personas.
Es posible un enfoque bastante diferente, en el que no se necesitan estas suposiciones sobre
la distribución de la habilidad de las personas utilizadas. Este nuevo enfoque asume en cambio
un modelo muy simple de lo que ocurre cuando una persona responde a un ítem. El modelo dice
simplemente que el resultado del evento está enteramente gobernado por la diferencia entre la
habilidad de la persona y la dificultad del ítem. Nada más. Cuanto más capaz sea la persona,mejores serán sus posibilidades de éxito con cualquier ítem. Si un ítem es más fácil, será más
probable que cualquier persona lo resuelva. Es tan simple como eso.
Pero este modelo simple tiene consecuencias sorprendentes. Cuando la medición se rige por
este modelo, es posible tener en cuenta las habilidades de las personas en la muestra de ítems
calibrados y libera su estimación de las dificultades particulares. Los puntajes que obtienen las
personas en la prueba se pueden usar para eliminar la influencia de sus habilidades al hacer laestimación de la dificultad del ítem. El resultado es una calibración de ítems libres – o lo que ese
denomina independientes – de la muestra.
Lo mismo puede suceder cuando medimos personas. Los puntajes que reciben los ítems en
cualquier muestra que se use para calcular sus calibraciones se pueden usar a su vez paraeliminar la influencia de la dificultad del ítem a partir de la estimación de la habilidad de lapersona. El resultado es un examen libre – o independiente – de las medidas de las personas1.

1 Adaptado de las Memorias de la Conferencia por Invitación de 1967 sobre Problemas de las Pruebas. Copyright© 1968 por Educational Testing Service. Todos los derechos reservados. Reimpreso con permiso.

CONTENIDOAGRADECIMIENTOS ........................................................................................................................................................ v
PREÁMBULO .................................................................................................................................................................... vii
0.1 Cómo usar este libro ............................................................................................................................................ vii
0.2 Motivación e historia ........................................................................................................................................... vii
0.3 Una introducción para el problema de la medición .............................................................................................. xi
1 EL MODELO DE MEDICIÓN ..................................................................................................................................... 1
1.1 Cómo se mide por medio de pruebas ..................................................................................................................... 1
1.2 Cómo se utilizan los puntajes ................................................................................................................................ 4
1.3 Qué sucede cuando una persona contesta un ítem ................................................................................................. 9
1.4 El modelo de rasch .............................................................................................................................................. 15
1.5 Uso del modelo de rasch para calibrar y medir .................................................................................................... 17
1.6 Un procedimiento de estimación simple y práctico ............................................................................................. 21
1.7 Cómo aparecen los valores estadísticos tradicionales en la medición de Rasch .................................................. 24
2 CALIBRACIÓN DE ÍTEMS A MANO ..................................................................................................................... 28
2.1 Introducción ........................................................................................................................................................ 28
2.2 La prueba de los cubos de KNOX ....................................................................................................................... 28
2.3 Datos para el análisis de ítems ............................................................................................................................. 29
2.4 Calibrando ítems y midiendo personas ................................................................................................................ 30
2.5 Discusión ............................................................................................................................................................. 44
3. CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA ............................................................................................. 46
3.1 Introducción ........................................................................................................................................................ 46
3.2 Salida de bical del análisis con PROX de los datos de la prueba de los cubos de KNOX. .................................. 46
3.3 Comparación de PROX a mano contra PROX por computadora ........................................................................ 55
3.4 Análisis de la PCK con el procedimiento UCON ................................................................................................ 56
3.5 Comparación de UCON contra PROX con los datos de la PCK. ........................................................................ 60
3.6 Algoritmo informático para PROX...................................................................................................................... 61
3.7 Procedimiento incondicional UCON ................................................................................................................... 62
4 EL ANÁLISIS DE AJUSTE ....................................................................................................................................... 66
4.1 Introducción ........................................................................................................................................................ 66
4.2. La matriz de respuesta de la PCK ....................................................................................................................... 66
4.3 El análisis de ajuste a mano ................................................................................................................................. 69
4.4 Registros desajustados en las personas ................................................................................................................ 76
4.5 Registros de ítems desajustados........................................................................................................................... 77
4.6 Breve resumen del análisis de ajuste ................................................................................................................... 79
4.7 Análisis de ajuste por computadora ..................................................................................................................... 80
5 CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE ................................................................................................................. 83
5.1 Generalizando la definición de una variable ........................................................................................................ 83
5.2 Definición de la variable de la PCK. ................................................................................................................... 83
5.3 Intensificar y extender la variable de la PCK ...................................................................................................... 87

xv

xvi

CONTENIDO

5.4 Líneas de control para gráficas de identidad........................................................................................................ 94
5.5 Conectando dos pruebas ...................................................................................................................................... 96
5.6 Construcción de bancos de ítems ......................................................................................................................... 98
5.7 Transferencia al banco de datos de la PCKB ..................................................................................................... 106
5.8 Equiparación con personas comunes en la PCKB ............................................................................................. 109
5.9 Equiparación con ítems comunes en la PCKB................................................................................................... 112
5.10 La variable de la PCK como prueba con referencia a criterio.......................................................................... 118
5.11 Control de calidad de la calibración de los ítems ............................................................................................. 121
5.12 La variable de la PCKcomo prueba con referencia a norma ............................................................................ 126
6 DISEÑO DE PRUEBAS ........................................................................................................................................... 129
6.1 Introducción ...................................................................................................................................................... 129
6.2 El objetivo de la medición ................................................................................................................................. 129
6.3 Caracteristicas métricas de la prueba ................................................................................................................. 131
6.4 La forma de una mejor prueba ........................................................................................................................... 133
6.5 La precisión de una mejor prueba ...................................................................................................................... 134
6.6 El coeficiente de error ....................................................................................................................................... 135
6.7 El diseño de una mejor prueba........................................................................................................................... 137
6.8 Las reglas completas para el diseño óptimo de pruebas..................................................................................... 139
7 CONSTRUYENDO MEDIDAS ............................................................................................................................... 141
7.1 El uso de una variable para construir medidas ................................................................................................... 141
7.2 Conversión de puntajes con medidas por UCON, PROX y UFORM ................................................................ 142
7.3 Medidas de mejores pruebas con UFORM ........................................................................................................ 145
7.4 Pruebas individualizadas ................................................................................................................................... 151
7.5 Confección de la prueba por estatus .................................................................................................................. 153
7.6 Confección de la prueba por desempeño ........................................................................................................... 156
7.7 Prueba personalizada ......................................................................................................................................... 161
7.8 Ajuste de la persona y control de calidad .......................................................................................................... 165
7.9 Diagnostico del desajuste .................................................................................................................................. 170
7.10 Corrigiendo una medida .................................................................................................................................. 181
8. ELECCIÓN DE UNA ESCALA .............................................................................................................................. 191
8.1 Introducción ...................................................................................................................................................... 191
8.2 Fórmulas para construir nuevas escalas ............................................................................................................. 192
8.3 La menor diferencia medible ............................................................................................................................. 192
8.4 Definición del factor de espaciamiento.............................................................................................................. 195
8.5. Unidades de escalamiento normativo: nits ....................................................................................................... 198
8.6. Unidades de escalamiento sustantivo: sits ........................................................................................................ 199
8.7 Unidades de escalamiento de probabilidad de respuesta: chips ......................................................................... 201
8.8 Formularios de informes .................................................................................................................................... 205
APÉNDICES .................................................................................................................................................................... 211
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................................................. 217
ÍNDICE ............................................................................................................................................................................. 220

1 EL MODELO DE MEDICIÓN
1.1 CÓMO SE MIDE POR MEDIO DE PRUEBAS
Este libro trata de cómo hacer y usar pruebas mentales. Para hacerlo exitosamente debemos
tener un método que transforme las observaciones de desempeño en una prueba a medidas dehabilidad mental. La idea de una medida requiere tener una idea sobre la variable en la cual seubica la medida. Si se visualizan las variables como una recta, la medida se puede dibujar como
un punto en dicha línea. La relación entre la medida y la variable se presenta en la Figura 1.1.1.

Cuando aplicamos una prueba a una persona, el propósito que tenemos es estimar su
ubicación en la línea implicada en la prueba. Previamente debimos construir una prueba que
defina la línea. Debemos también tener una forma para transformar el desempeño de la persona
en una posición en la línea. Este libro presenta cómo usar los ítems de una prueba para definirlíneas y cómo usar las respuestas a los ítems para ubicar a las personas en esas líneas.
Para que una prueba defina una variable de una habilidad mental, los ítems con los que se
produce la prueba deben compartir una línea de exploración. Esta línea en común en dirección
creciente con la habilidad puede ser dibujada como una flecha apuntando a la derecha, hacia la
habilidad más alta, dejando la habilidad baja a la izquierda. El significado de la flecha lo
proporcionan los ítems que la definen. Si usamos los símbolos δ1, δ2… δι…para representar losniveles de dificultad de los ítems, entonces cada δι señala la posición del ítem en la línea. Los
valores δ son las calibraciones de los ítems a lo largo de la variable y todos esos ítems calibrados
son la definición operacionalizada de lo que mide la variable. Los ítems difíciles que retan a laspersonas más aptas se dirigen hacia el extremo superior a la derecha de la línea. Los ítems fácilesque pueden ser contestados hasta por las personas menos aptas, generalmente definen el
extremo inferior a la izquierda de la línea. La figura 1.1.2 presenta una variable definida por
cuatro ítems distribuidos a lo largo de su longitud.

12DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Una variable inicia como una idea general de lo que deseamos medir. Esta idea general seconcreta al escribir ítems encargados de extraer signos de la variable esperada en función delcomportamiento de las personas. Los ítems de la prueba se vuelven la definición operacional dela variable. Pero una intuición del constructor de la prueba y una construcción cuidadosa de lossupuestos ítems de la prueba no son suficientes. Necesitamos contar con evidencias de que la
prueba realmente se plasma en los ítems de la prueba. Debemos suministrar los ítems a unconjunto apropiado de personas y analizar sus patrones de respuesta para verificar que los ítems
corresponden a un conjunto de respuestas que entre sí definen una variable.
Para localizar a una persona en esta variable debemos aplicarle la prueba con ítems que
definen a la variable y después determinar si sus respuestas pueden sumarse para obtener una
posición en la línea. Si usamos el símbolo β para representar el nivel de habilidad de la persona,entonces β señala su ubicación en la línea.
La medida de la persona β en la Figura 1.1.2 ubica a esta persona sobre los tres ítems más
fáciles y por debajo del más difícil. Si la persona responde una prueba con estos cuatro ítems su
puntaje más probable sería de tres y por ello esperaríamos que conteste correctamente los tresítems más fáciles y que el cuarto ítem lo responda de forma incorrecta. Esta observación es más
importante de lo que parece, porque es la base de todos nuestros métodos para estimar las
medidas de las personas con base en los aciertos en una prueba. Si queremos saber dónde se
localiza una persona en una variable, obtenemos sus respuestas a algunos ítems que definen lavariable. El único lugar razonable para estimar su ubicación a partir de esos datos es la región
donde sus respuestas pasan de los ítems fáciles correctos a los ítems más difíciles que contesta
incorrectamente.
Antes de poder estimar la medida de una persona a partir de su puntaje, debemos examinarsu patrón de respuestas. Debemos ver si ese patrón es consistente con la forma en que esperamos
que responda a los ítems. Cuando los ítems con los que se examina a una persona han sido
calibrados a lo largo de una variable de fácil a difícil, entonces podríamos esperar que el patrónde respuestas de la persona sea más o menos consistente con el orden de dificultad de estos ítems

EL MODELO DE MEDICIÓN

3a lo largo de la variable. Esperamos que la persona tenga éxito en los ítems que deberían ser
fáciles para ella y que falle en los ítems que le deberían ser difíciles.
La Figura 1.1.3 muestra dos patrones de respuesta para una misma prueba de diez ítems. Los
diez ítems se encuentran ordenados por dificultad a lo largo de la variable. Cada patrón derespuestas se registra arriba de la línea de la variable. Los 1 representan las respuestas
correctas, en tanto que los 0 representan las respuestas incorrectas. Ambos patrones producen
un puntaje de seis.

En el Patrón A, los seis ítems más fáciles son correctos y los cuatro más difíciles son
incorrectos. Parece inconcebible ubicar a esta persona en cualquier lugar, excepto en la región
por encima de δ6, donde está el ítem de dificultad mayor que responde correctamente, pero por
debajo de δ7, que es el menos difícil del resto de ítems que se respondieron incorrectamente.

4DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

El patrón B, sin embargo, es muy difícil de conciliar con las implicaciones de un puntaje deseis. ¡Esta persona obtiene los seis ítems más difíciles correctos y los cuatro más fáciles
incorrectos! Si tratamos de localizar a esta persona por encima de δ10, que es el más difícil de losítems que responde correctamente, tendríamos que explicar cómo es que falló en los cuatro ítems
más fáciles. ¿Podría alguien ser tan descuidado? Por otro lado, si tratamos de ubicarlos por debajode δ1, el ítem más fácil que respondió incorrectamente, entonces, ¿cómo explicamos que los seisítems más difíciles sean incorrectos? Cualquier otra ubicación a lo largo de la variable, como
entre δ 6 y δ 7 para un puntaje de seis, es igualmente insatisfactorio como "medida" para la persona
que produjo el Patrón B. Este patrón de respuestas no es coherente con ninguna ubicación en lavariable definida por estos ítems. Estamos obligados a concluir que algo anda mal, o los ítems
usados están mal calibrados o que esta persona no los respondió de la manera que pretendíamos.
En cualquier caso, ninguna medida razonable puede ser derivada del Patrón B.
El ejemplo del Patrón B es importante porque nos muestra que incluso cuando hemos
construido ítems que pueden definir una variable válida, también tenemos que validar cadapatrón de respuesta de la persona antes de proceder a usar su puntaje como base para estimar
su medida. Cuando las calibraciones de los ítems han sido validadas por un número suficiente
de personas adecuadas, entonces la mayoría de los patrones de respuesta que encontraremos
entre dichas personas se aproximarán al Patrón A. Sin embargo, la posibilidad de que ocurran
patrones similares al Patrón B nos obliga a examinar y validar rutinariamente el patrón derespuesta de cada persona examinada, antes de hacer cualquier hipótesis para estimar una
medida a partir de su puntaje de prueba.
Para usar una prueba con el propósito de medir a una persona se deben considerar cuatro
pasos. Primero, debemos tener una idea clara de la variable sobre la que pretendemos tomar
medidas. En segundo lugar, debemos construir ítems que sean enunciados creíbles de esta idea
y que puedan conllevarnos a obtener signos de comportamiento de las personas que queremos
medir. En tercer lugar, debemos demostrar que los ítems conducen a resultados consistentes con
nuestras intenciones, si son aplicados a personas idóneas en la población focal. Finalmente, antes
de que usemos el puntaje de la persona como base para su medida, debemos determinar si supatrón particular de respuestas es, de hecho, consistente con nuestras expectativas.

1.2 CÓMO SE UTILIZAN LOS PUNTAJES
Un puntaje de prueba tiene como objetivo ubicar a una persona en la variable definida por losítems de la prueba. Casi todos los que usan puntajes de exámenes suponen que la ubicación dela persona en la variable se determina satisfactoriamente por el puntaje mismo o por alguna
función lineal del puntaje, como un porcentaje de aciertos o por un valor de escala basado en lanorma. Se da por sentado que el puntaje, o el valor en su escala equivalente, nos dice algo acerca
de la persona examinada que va más allá del momento o de los materiales de la prueba. También
se da por sentado que los puntajes son adecuados para su uso en operaciones aritméticas
necesarias para estudiar el crecimiento y comparar grupos. Pero ¿realmente los puntajes tienen
las propiedades necesarias para que sea razonable usarlos de todas estas formas?
Para que un puntaje en particular tenga significado, debe provenir de un patrón de respuesta
consistente con los ítems que definen una variable. Pero inclusive la demostración de la validezdel ítem, así como la validez de la respuesta no garantiza que el puntaje sea útil. Para poder
generalizar hacia la habilidad de la persona y descubrir lo que implica un puntaje, debemos teneren cuenta las particularidades de los ítems usados y ajustar algunos detalles. ¿Cómo es, entonces,que el puntaje de la prueba de una persona depende de las características de los ítems que
responde?

EL MODELO DE MEDICIÓN

5

6DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

La figura 1.2.1 muestra lo que puede suceder cuando una persona en un nivel de habilidad
particular responde cinco pruebas diferentes, todas las cuales miden en la misma variable pero
que difieren en el nivel y la distribución de sus dificultades de los ítems de fácil a difícil, con un
rango estrecho a amplio. Las dificultades de los ocho ítems en cada prueba se marcan en la línea
de la variable. Para ver cada prueba por separado, hemos vuelto a dibujar la línea de la variablecinco veces, una para cada prueba.
La habilidad de la persona en la medida también está marcada en cada línea, para que
podamos ver cómo se encuentra esta persona con respecto a cada prueba. Si bien cada prueba
tiene una posición diferente, porque la variable depende de las dificultades de sus ítems, laposición de esta persona, por supuesto, es la misma en cada línea. La figura 1.2.1 también
muestra los puntajes que esperaríamos pudiera tener esta persona ante las cinco pruebas.
La primera línea, "Prueba muy fácil", tiene ítems tan fáciles para esta persona que podemos
esperar que tenga un puntaje de ocho. La segunda línea, "Prueba muy difícil", tiene ítems tan
difíciles que esperamos un puntaje de cero. La tercera línea, "Prueba corta difícil", tiene siete desus ítems por encima de la habilidad de la persona y uno por debajo; en este caso el puntaje que
esperaríamos ver sería uno. La cuarta Línea, “Prueba corta fácil" tiene siete de sus ítems por
debajo de la habilidad de la persona y entonces esperamos un puntaje de siete. Por último, laquinta línea, "Prueba amplia fácil", tiene cinco ítems que deberían ser fáciles para la persona.
Esta prueba se centra en la misma posición que la prueba corta fácil, por lo tanto tiene el mismo
nivel de dificultad medio, sin embargo, debido a su mayor rango en dificultad de ítem, esperamos
solo un puntaje de cinco.
¡Para una persona dada tenemos cinco puntajes esperados: cero, uno, cinco, siete y ocho!
Aunque sabemos que la habilidad de la persona no cambia, los cinco puntajes diferentes sugieren
cinco habilidades diferentes. Los puntajes de los exámenes obviamente dependen tanto de las
características de los ítems de la prueba como de la habilidad de la persona que responde laprueba.
Si el significado de un puntaje de prueba depende de las características de los ítems de prueba,
entonces antes de que podamos determinar la habilidad de una persona a partir de su puntaje
de prueba, debemos "ajustar" su puntaje para los efectos de los ítems particulares utilizados enla prueba. Este ajuste debe ser capaz de traducir los puntajes obtenidos por las personas en la
prueba a medidas de habilidad independientes de la prueba.
Lamentablemente, con puntajes en la prueba de cero, en las que no hay ningún caso de éxito,
y de ocho, en que no hay ningún caso de falla, no hay un método satisfactorio para determinar
una medida finita para la persona. Todo lo que podemos hacer en esas situaciones es observar
que la persona que respondió todo incorrectamente o todo correctamente está sustancialmente
por debajo o por encima del nivel operativo de la prueba aplicada. Si deseamos estimar una
medida finita para esa persona, entonces tendremos que encontrar una prueba específica que sea
más apropiada a su nivel de habilidad.
Podríamos sentirnos tentados a interpretar puntajes perfectos como "dominio completo". Peroa menos que la prueba en cuestión en realidad contenga los ítems más difíciles que alguna vez
pudieran llegar a escribirse, siempre existiría la posibilidad de otros ítems que fueran todavía
más difíciles para esta variable. Estos ítems más difíciles pueden producir respuestas
incorrectas, hasta con nuestra persona que puntúa perfectamente, revelando que el dominio noestaba completo después de todo. Cuando una prueba es extremadamente fácil, por supuesto,
todos reconocen que incluso un puntaje perfecto es bastante consistente con la habilidad
intermedia.

EL MODELO DE MEDICIÓN

7

La dependencia de los puntajes de las pruebas en la dificultad del ítem es un problema con elcual la mayoría de los usuarios de las pruebas están familiarizados. Casi todo el mundo se dacuenta de que el cincuenta por ciento de respuestas correctas en una prueba fácil no significa lo
mismo que cincuenta por ciento de respuestas correctas en una prueba difícil. Algunos usuariosde pruebas se dan cuenta de que el setenta y cinco por ciento de lo correcto en una prueba corta
no implica tanta habilidad como setenta y cinco por ciento correcto en una prueba amplia. Pero
hay otro problema en el uso de puntajes brutos que a menudo se pasa por alto.
Es una práctica común calcular diferencias en los puntajes de las pruebas para medir una
tendencia de crecimiento o de mejora, combinando puntajes de una prueba haciendo sumas yrestas para comparar grupos, agregar y restar cuadrados, así como productos cruzados depuntajes de prueba para hacer análisis de regresión. Pero cuando estas operaciones aritméticas
simples se aplican a los puntajes de las pruebas, los resultados son siempre ligeramente
distorsionados y pueden ser sustancialmente engañosos. Aunque los puntajes de las pruebas
generalmente permiten estimar bastante bien el orden de las habilidades de las personas, nunca
estiman el espaciamiento satisfactoriamente. Los puntajes de las pruebas no son lineales en las
medidas que implican y para los cuales son usados.
En el uso estadístico de puntajes de prueba, los efectos de piso y techo son ocasionalmente
reconocidos. Pero casi nunca se ajustan estos extremos. Los efectos de frontera causan que
cualquier diferencia de puntaje varíe en su significado sobre el rango de puntaje en la prueba.
La distancia en la variable que implica una diferencia particular en los puntajes no es la misma
en un extremo de la prueba que en otro. Una diferencia de cinco puntos, por ejemplo, implica uncambio más grande en la habilidad al final de una prueba que en el medio.
La figura 1.2.2 ilustra este problema con los puntajes de pruebas. Tenemos dos personas con
medidas, βA y βB, que están a una distancia fija en la misma variable. Se administran cinco
pruebas diferentes a ambas personas, todas las pruebas miden la misma variable. Las
ubicaciones de las personas y, por lo tanto, su diferencia medible en la variable, sigue siendo lamisma de prueba a prueba, pero sus puntajes más probables varían ampliamente. Esto se debe
a que las cinco pruebas difieren en los niveles de dificultad de los ítems, extensión y espaciado.
Veamos cómo los puntajes esperados resultantes reflejan la diferencia fija entre estas dos
personas.
La Prueba I está compuesta de ocho ítems, todos los cuales se encuentran entre la Persona A
y la Persona B. Esperamos que la Persona A no contestará correctamente ninguno de estos ítems
llegando a un puntaje de cero mientras que se podría esperar que la Persona B acierte los ochoítems para un puntaje de ocho. En esta prueba, sus habilidades aparecerán separadas por ocho
puntos. Las habilidades están tan espaciadas cómo es posible con esta prueba.
La Prueba II se compone de ocho ítems, todos ellos muy por debajo de las dos personas.
Esperamos que ambas personas puedan obtener puntajes de ocho porque esta prueba es
demasiado fácil para ambos. Ahora su diferencia esperada en los puntajes de prueba es cero yparecen tener la misma habilidad.
La Prueba III se compone de ocho ítems muy difíciles. Ahora esperamos que ambas personas
obtengan puntajes de cero porque esta prueba es muy difícil para ellos. Una vez más, su puntaje
esperado tiene una diferencia de cero y sus habilidades parecerán ser las mismas.
La prueba I es más exitosa para separar a las Personas A y B. En cambio las Pruebas II y III
fallan en esta cualidad porque están demasiado lejos del objetivo. Tal vez solo sea necesario
centrar una prueba correctamente para poder observar la diferencia entre dos personas.

8DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASEL MODELO DE MEDICIÓN

9

La Prueba IV se centra entre la Persona A y la Persona B, pero sus ítems están tan dispersos
que hay una gran brecha en su centro en la cual caen la Persona A y la Persona B. Esto da un
resultado esperado de cuatro para ambas personas, porque cuatro ítems son demasiado fáciles ycuatro ítems son demasiado difíciles para ambos. Incluso para esta prueba que es más o menos
centrada en las dificultades de los ítems, se esperaría una diferencia de puntaje de cero y sus
habilidades parecerán ser las mismas.
Para concluir, la Prueba V es amplia y bastante centrada en las personas A y B. Contiene dosítems que caen entre sus posiciones y por lo tanto los separan. Esperamos que la Persona A
responda correctamente los cuatro ítems más fáciles para un puntaje más probable de cuatro.
Para la Persona B, sin embargo, esperamos que no solo obtengan los mismos cuatro ítems
correctos sino también los siguientes dos más difíciles porque estos dos ítems también están por
debajo de su nivel de habilidad. Por lo tanto, en la prueba V la diferencia esperada en los puntajes
entre las personas A y B se convierte en dos. En esta prueba, sus habilidades por lo generalparecen un poco distintas, aunque no extremadamente diferentes.
¿Qué podemos inferir sobre las diferencias en la habilidad entre las personas A y B depuntajes como estos? Las personas A y B tenderán a parecer igualmente capaces en las Pruebas
II, III y IV; serán algo distintas si se utiliza la Prueba V y muy diferentes en la Prueba I. Si lasdiferencias entre los puntajes de las pruebas de las mismas dos personas se puede hacer que
varíen tan ampliamente cambiando las dificultades de los ítems en la prueba, ¿cómo podemosusar las diferencias en puntajes de las pruebas para estudiar las diferencias de habilidad en una
variable?
La respuesta es, no podemos. No como están construidos los puntajes. Para poder usar lospuntajes de una prueba, que son no lineales en la variable que implican, o para analizar las
diferencias, debemos encontrar una forma de transformar los puntajes de las pruebas en medidas
que se aproximen a la linealidad.
Los puntajes de los exámenes siempre contienen una distorsión potencialmente engañosa. Si
tenemos la intención de usar los resultados de la prueba para estudiar el avance y para comparar
grupos, entonces debemos usar un método para producir medidas a partir de los puntajes de las
pruebas que marquen las ubicaciones a lo largo de la variable en un intervalo o una variablelineal.
En esta sección, hemos ilustrado dos problemas serios con los puntajes de las pruebas. La
primera ilustración mostró cómo los puntajes de las pruebas están limitados por la prueba y cómotenemos que ajustarlos a las características de sus ítems, antes de que podamos usar los puntajes
como base para la medición. La segunda ilustración presentó la manera en que los puntajes delas pruebas no marcan ubicaciones en sus variables de forma lineal y cómo tenemos quetransformar los puntajes de las pruebas en medidas que sean lineales antes de poder usarlaspara estudiar un avance o crecimiento en una habilidad o para comparar grupos.
1.3 QUÉ SUCEDE CUANDO UNA PERSONA CONTESTA UN ÍTEMLas discusiones en las Secciones 1.1 y 1.2 establecen nuestra necesidad de 1) ítems que
podamos demostrar que definen una variable, 2) patrones de respuesta válidos que pueden
usarse para ubicar a personas en esta variable, 3) medidas independientes de la prueba quepueden usarse para caracterizar a las personas de manera general y 4) medidas lineales que
pueden usarse para estudiar el avance y comparar grupos. Ahora debemos construir un método
que responda a estos requisitos.
Las respuestas de personas individuales a ítems individuales son los datos brutos con loscuales debemos comenzar. El método que desarrollamos debe tomar estos datos y a partir de ellos
construir las calibraciones y las medidas de las persona con las propiedades que requerimos. La
figura 1.3.1 muestra una matriz de datos simple que contiene las respuestas de ocho personas a10DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

una prueba de cinco ítems. Los cinco ítems están identificados en la parte superior de la matriz.
Las ocho personas se identifican a la izquierda. La respuesta de cada persona a cada ítem se
indica con "1" para una respuesta correcta y "0" para una respuesta incorrecta. Observe que a laderecha de la figura 1.3.1 aparece la suma de las respuestas para el total de ítems como puntaje
de cada persona y la suma de las respuestas de todas las personas en cada columna aparecen
como puntajes de los ítems.

La figura 1.3.1 muestra cómo son los datos básicos. Pero antes de que podamos poner estos
datos para trabajar debemos responder una pregunta fundamental. ¿De dónde creemos quevienen estos datos? ¿Qué se supone que estos puntajes de ítems y personas nos dicen sobre losítems y las personas? ¿Cómo creemos que se producen estos patrones de 1 y 0? Para descubrir
cómo utilizar estos datos debemos establecer un modelo razonable para lo que suponemos que
sucede cuando una persona intenta responder un ítem.
Quisiéramos que la habilidad βv de la persona n, lo cual es su ubicación en la variable, gobierne
qué tan lejos debemos esperar que se produzcan respuestas correctas a los ítems a lo largo de lavariable. De hecho, es la única situación en la que podemos usar las dificultades de los ítems ylas respuestas a ellos como base para medir a la persona.
Por supuesto, podemos pensar en otros factores que pueden afectar las respuestas de una
persona. Cuando se trata de ítems de opción múltiple, puede ocurrir alguna adivinación y las
personas difieren en qué tanto están dispuestas a arriesgar en su adivinación. Es interminablela cantidad de acontecimientos perturbadores que interfieren con la posibilidad de disponer deEL MODELO DE MEDICIÓN

11

una observación clara e inequívoca. Pero, si los que esperamos medir realmente es la habilidad
de la persona, entonces parece poco razonable dejar de hacer nuestro mejor esfuerzo paraorganizar las cosas de modo que sean las habilidades las que dominen el funcionamiento de laprueba. De hecho, para eso es la práctica administrativa que se realiza en las pruebas, por
ejemplo, para controlar y minimizar la intrusión de cualquier influencia que interfiera con ella.
También nos gustaría conocer la ubicación en la variable del ítem ι, por medio de su dificultadδι, para determinar qué tan lejos puede llegar un ítem a lo largo de la variable. Al igual que conlas personas, podemos pensar en las características del ítem, como la discriminación y lavulnerabilidad a la adivinación, lo que podría modificar las respuestas de las personas. Algunos
psicómetras intentan estimar estas características adicionales del ítem aunque hay buenas
razones para esperar que dichas estimaciones están condenadas al fracaso. Pero, de nuevo,
parecería poco razonable no hacer nuestro mejor esfuerzo para organizar las cosas de modo que
sea la dificultad del ítem la que decida la forma en que personas de diversas habilidades
responden a ese ítem. En todo caso, el hecho es que si utilizamos puntajes no ponderados como
resultados de nuestra prueba estamos asumiendo que, para fines prácticos, son las dificultades
de los ítems y las habilidades de las personas, las que dominan las respuestas de cada persona.

12DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Estas consideraciones nos llevan a establecer un modelo de respuesta que es la representación
más simple posible. La Figura 1.3.2 coloca a la persona n de habilidad βv respondiendo al ítem ιde dificultad δι, para producir la respuesta xvι. Estos son los elementos esenciales que tomaremos
en cuenta cuando tratemos de explicar los datos en la Figura 1.3.1. La figura 1.3.2 propone quela respuesta xvι ocurre cuando la persona v responde al ítem ι que se puede considerar gobernada
por la habilidad de la persona βv, y la dificultad del ítem δι y nada más.
Nuestro siguiente paso es decidir cómo queremos que la habilidad de la persona βv, y la
dificultad del ítem δι interactúen para producir xvι. ¿Cuál es una manera razonable y útil deestablecer una relación matemática entre βv y δι? Atendiendo a que requerimos que βv y διrepresenten ubicaciones a lo largo de una variable común que ambos comparten, la formulación
más conveniente y natural de esta relación será su diferencia (βv –δι).
Sin embargo, identificar la diferencia (βv –δι) no termina nuestro trabajo, porque también
debemos decidir cómo queremos que esta diferencia regule el valor de la respuesta xvι. Aún en elcaso de que una persona sea más capaz que la dificultad del ítem, es decir βv es mayor que δι,ocasionalmente podría ocurrir que esta persona no dé una respuesta correcta a ese ítemrelativamente fácil con lo que el valor resultante de xvι sería "0". También puede ocurrir
ocasionalmente que una persona de habilidad moderada tenga éxito en un ítem muy difícil.
Obviamente, se vuelve incómodo forzar una relación determinista de la forma en que (βv – δι)
rige el valor de la respuesta xvι. Una mejor manera de lidiar con este problema es reconocer quela forma en que la diferencia (βv – δι) influye en la respuesta xvι solo puede ser probabilística yconfigurar en consecuencia nuestro modelo de respuesta.
La figura 1.3.3 muestra cómo sería más razonable asociar la probabilidad de una respuesta
correcta con la diferencia (βv – δι). Cuando βv es más grande que δι, el nivel de habilidad de lapersona v es mayor que el nivel de dificultad del ítem ι y su diferencia (βv – δι) es mayor que cero,entonces queremos que la probabilidad de una respuesta correcta sea mayor que un medio (esdecir >½). Cuando, por otro lado, el nivel de habilidad de la persona  es menor que el nivel dedificultad del ítem ι, entonces su diferencia (βv – δι), es menor que cero, con lo cual querríamos
que la probabilidad de una respuesta correcta sea menos de un medio (es decir, <½). Finalmente,
cuando los niveles de la habilidad de la persona y la dificultad del ítem son los mismos, de modoque su diferencia (βv – δι) es cero, entonces la única probabilidad que parece razonable asignar a
una respuesta correcta (o incorrecta) es exactamente un medio (½).
La curva de la figura 1.3.4 resume las implicaciones de la figura 1.3.3 para todas las relaciones
entre las probabilidades de respuestas correctas y las diferencias entre la habilidad de la persona
y la dificultad del ítem. Esta curva especifica las condiciones que debe cumplir nuestro modelo
de respuesta. Las diferencias (βv – δι) podrían surgir de dos maneras. Podrían ser el resultado deuna variedad de habilidades de la persona que reaccionan a un solo ítem o pueden surgir de una
variedad de dificultades de ítems que miden la habilidad de una persona. Cuando la curva que
describe un ítem se dibuja tomando como variable la habilidad β, se llama "curva característicadel ítem o CCI" (ICC por sus siglas en inglés) porque muestra la forma en que el ítem incide enlas respuestas de las personas para cada nivel de habilidad. Cuando la curva se dibuja con la
dificultad δ como su variable para que describa cómo una persona responde a una variedad deítems, podemos llamarlo “curva característica de la persona o CCP” (PCC por sus siglas en
inglés).

EL MODELO DE MEDICIÓN

13

La curva de la figura 1.3.4 es una imagen del modelo de respuesta que necesitamos para
resolver el problema de cómo los parámetros, βv y δι que queremos estimar, dependen de los datos
xvι que podemos observar. Para medir a una persona, debemos estimar βv, y para calibrar un ítemdebemos estimar δι. Para estimar cualquiera de estos parámetros de las respuestas observadasde las personas a los ítems debemos construir una fórmula matemática que sea fiel a la relación
dibujada en la figura 1.3.4 y que relacione βv, δι y xvι de una manera útil. Esta formulación
también debe ser capaz de mostrarnos cómo usar datos parecidos a los de la Figura 1.3.1, con loscuales hacer estimaciones de la habilidad de la persona que sean independientes de la prueba yestimaciones de la dificultad del ítem que sean independientes de la muestra.

14DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASEL MODELO DE MEDICIÓN

15

1.4 EL MODELO DE RASCHPara construir una forma matemática factible para la curva en la figura 1.3.4 comenzamos
combinando los parámetros, βv para la habilidad de la persona y δι para la dificultad del ítem, a
través de su diferencia (βv – δι). Queremos que esta diferencia regule la probabilidad de lo que sesupone debe suceder cuando la persona v usa su habilidad βv contra la dificultad δι del ítem ι.
Pero la diferencia (βv – δι) puede variar de menos infinito a más infinito mientras que la
probabilidad de una respuesta exitosa debe permanecer entre cero y uno. Para abordar esta
situación utilizamos la diferencia (βv – δι) como un exponente del número e = 2.71828…, que es
la base de los logaritmos naturales y escribimos el resultado comoe(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 ) = exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )Esta expresión exponencial varía entre cero y más infinito y podemos acotarlo en el intervalo
entre cero y uno por medio de la relación
exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )/[1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )].
Esta formulación corresponde con una curva que sigue bastante bien la ojiva de la figura 1.3.4.
Puede ser utilizada para especificar la probabilidad de una respuesta exitosa como
P {x𝑣𝜄 = 1|𝛽𝑣′ 𝛿𝜄 } = exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )/[1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )][1.4.1]que es el modelo de Rasch.
Cualquier otra expresión matemática que describa una ojiva de la forma de la Figura 1.3.4
puede ser una solución al problema de linealidad, mediante la transformación de puntajes que
están restringidos entre 0 y 100 por ciento, a "medidas" que van desde menos infinito a más
infinito.
Cualquier forma matemática que relacione la probabilidad de xvι con la diferencia entre βv yδι y que tenga parámetros que puedan estimarse nos podría permitir estudiar la validez del ítemy su respuesta. Todo lo que tenemos que hacer es especificar un modelo viable de cómo (βv – δι)gobierna la probabilidad de xvι, usar este modelo para estimar βv y δι a partir de algunos datos y
examinar la forma en que estos datos se ajustan a las predicciones calculadas a partir del modelo.
Sin embargo, no cualquier ojiva ni cualquier formulación resuelven el problema. De hecho,solo la formulación de la Ecuación 1.4.1, que es el modelo de Rasch, nos permite estimar βv y διde forma independiente el uno del otro, para conseguir que las estimaciones βv se liberen de losefectos de δι y que las estimaciones de dι se liberen de los efectos de βv.
La función logística de la Ecuación 1.4.1 proporciona un modelo de respuesta simple y útil que
hace posible tanto la linealidad de la escala como la generalidad de la medida. Aunque losbiometristas han utilizado la función logística desde 1920, fue el matemático danés Georg Rasch(1960) quien apreció por primera vez su significado psicométrico. Rasch denomina "objetividad
específica" a la característica especial de esta función logística simple que hace posible lageneralidad en la medición. Tanto él como otros autores han demostrado que no hay otra
alternativa matemática a la formulación de la ojiva de la figura 1.3.4 que permite la estimaciónde la medida de la persona βv y la calibración del ítem δι, de forma independiente una de la otra
(Rasch, 1961, 1967; Andersen, 1973, 1977; Barndorff-Nielsen, 1978), en particular cuando sederivan estimadores 𝛽𝑣 y 𝛿𝜄 por la maximización de una función condicional de verosimilitud, son

16DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

imparciales, consistentes, eficientes y suficientes (Andersen, 1970, 1971, 1972a, 1973, 1977,
Haberman, 1977). Otras aproximaciones simples para estos estimadores condicionales demáxima verosimilitud que son lo suficientemente precisas para casi todos los propósitos prácticos
se describen en Wright y Panchapakesan (1969), Wright y Douglas (1975a, 1975b, 1977a, 1977b)
y Wright y Mead (1976). Estos procedimientos han sido útiles en una amplia variedad deaplicaciones (Connolly, Nachtman y Pritchett, 1971; Woodcock, 1974; Willmott y Fowles, 1974;
Rentz y Bashaw, 1975, 1977; Andrich, 1975; Mead, 1975; Wright y Mead, 1977; Cornish y Wines,
1977; Draba, 1978; Elliott, Murray y Pearson, 1977.

Podemos ver en la Ecuación 1.4.1 que cuando la persona n es más lista que la dificultad delítem ι, entonces βv es mayor que δι, por lo que su diferencia es positiva y la probabilidad de éxito
en el ítem ι es mayor que un medio. Cuanto más supere la habilidad de la persona la dificultaddel ítem mayor será la diferencia positiva y estará más cerca de 1 que es la probabilidad de éxito.
Pero cuando el ítem es demasiado difícil para la persona, entonces βv es menor que δι, su
diferencia será negativa y la probabilidad de éxito de la persona menor que un medio. Cuando
un ítem exija más de una persona, mayor será la diferencia negativa y la probabilidad de teneréxito se reducirá a cero.

EL MODELO DE MEDICIÓN

17

Las unidades matemáticas para βv y δι definidas por este modelo se llaman "lógitos". La
habilidad de la persona en lógitos es el logaritmo natural del momio de tener éxito en ítems deltipo elegido para definir el punto "cero" en la escala. La dificultad del ítem de lógitos es ellogaritmo natural del momio de inducir una falla de personas con habilidad "cero".
La Tabla 1.4.1 proporciona ejemplos de varias habilidades de personas y dificultades de ítems
en lógitos, sus diferencias (βv – δι) y las probabilidades de éxito resultantes. Los primeros seisrenglones ilustran las habilidades de varias personas y sus probabilidades de éxito relativas aítems de dificultad cero. Los últimos seis renglones dan ejemplos de varias dificultades de ítems
y la probabilidades de éxito en ellos por personas con habilidad nula.
El origen y la escala de los lógitos utilizados en la Tabla 1.4.1 son arbitrarios. Podemos agregar
cualquier valor constante a todas las habilidades y a todas las dificultades sin cambiar ladiferencia (βv – δι). Esto significa que podemos colocar el punto cero en la escala para que no se
tengan habilidades ni dificultades negativas. También podemos introducir factores de escala queconsideremos convenientes, tan grandes como queramos para eliminar la necesidad de utilizar
fracciones decimales. El Capítulo 8 investiga estas posibilidades en detalle.
La última columna de la Tabla 1.4.1 proporciona la información relativa I𝑣𝜄 = 𝜋𝑣𝜄 (1 − 𝜋𝑣𝜄 )disponible en una respuesta observada para cada (βv – δι). Cuando la dificultad del ítem δι estáa una distancia de un lógito de la habilidad de la persona βv, la información sobre δι o βv en una
observación es mayor que 0.20. Pero cuando la dificultad del ítem es mayor a dos lógitos fueradel objetivo esperado, la información es menor a 0.11 y para |βv – δι |>3 es menor que 0.05. Las
implicaciones para el muestreo eficiente en una calibración y el diseño óptimo de una prueba sonque las respuestas dentro de la región donde |βv – δι |<1 son más del doble de útiles de lo que setiene con ítems calibrados y personas fuera de la región |βv – δι |>2 más de cuatro veces que
cuando se está fuera de la región|βv – δι |>3.

1.5 USO DEL MODELO DE RASCH PARA CALIBRAR Y MEDIR
Hemos establecido la necesidad de un enfoque específico para la medición y mostrado cómo sepueden abordar los problemas de medición con un modelo que explica lo que sucede cuando lapersona responde un ítem. Ahora estamos listos para trabajar este modelo a través de lasmatemáticas y averiguar cómo usarlo para calibrar ítems y medir personas. El modelo especifica
que la persona con habilidad βv que produce una respuesta xvι al ítem ι con dificultad δι tiene
una probabilidad de acierto dada por:P{x𝑣𝜄 |𝛽𝑣′ 𝛿𝜄 } = exp[x𝑣𝜄 (𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )]/[1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )][1.5.1]

La respuesta xvι puede tomar solo dos valores,
xvι =0 cuando la respuesta es incorrecta yxvι =1 cuando la respuesta es correcta.
Cuando insertamos cada uno de estos valores de xvι en la Ecuación 1.5.1, encontramos que
conduce a las expresiones complementarias
P{x𝑣𝜄 = 1|𝛽𝑣′ 𝛿𝜄 } = exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )/[1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )][1.5.2]

para una respuesta correcta yP{x𝑣𝜄 = 0|𝛽𝑣′ 𝛿𝜄 } = 1/[1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )][1.5.3]

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

18

para una respuesta incorrecta. Estas dos expresiones se suman en una sola porque juntas cubren
todo lo que puede sucederle a xvι.
Cuando se administra un conjunto de L ítems a una muestra de N personas, el resultado es
un conjunto de NL respuestas ((xvι)) para n = 1, N; ι = 1, L y el paréntesis doble (( )) nos recuerda
que se está implicando una tabla completa de valores de xvι N por L. Estos datos pueden serorganizados en forma de matriz como la que se muestra en la figura 1.5.1. Las sumas marginales
de los renglones y columnas de esta matriz de datos son los puntajes de las personas.
Lr𝑣 = ∑ x𝑣𝜄

v= 1, Nιy los puntajes de los ítems.
Ns𝜄 = ∑ x𝑣𝜄
𝑣

ι= 1, LEL MODELO DE MEDICIÓN

19¿Qué sucede cuando analizamos estos datos como si estuvieran gobernados por el modelo dela Ecuación 1.5.1? De acuerdo con ese modelo, las únicas influencias sistemáticas en la
producción de xvι son las habilidades de N personas (βv) y las dificultades de L ítems (δι ). De todo
ellos resulta, además de estos parámetros, que los xvι son modelados para ser independientes los
unos de los otros. Esto significa que la probabilidad de toda la matriz de datos ((xvι)), dado elmodelo y sus parámetros (βv) y (δι ) se pueden expresar como el producto de la probabilidad decada xvι por separado, dados por la Ecuación 1.5.1 aplicados en su totalidad sobre v = 1, N y todoslos ítems ι = 1, L.
Este producto aplicado en su totalidad es
NL

P{((x𝑣𝜄 ))|(𝛽𝑣 ), (𝛿𝜄 )} = ∏ ∏ = {𝑣

𝜄exp[xvι (𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )]}1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )N

Cuando movemos los operadores de producto continuados

∏

L

y

𝑣

Ecuación 1.5.4 en la expresión exponencial[1.5.4]∏ en el numerador de la𝜄exp[xvι (𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )]se convierten en los operadores de sumatoria
NL∑ y ∑ para que
𝑣
N

𝜄
L

N

L

∏ ∏ = exp[xvι (𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )] = exp [∑ ∑ xvι (𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )]
𝑣

𝜄

N

L

𝑣

𝜄

entonces, desdeN∑ ∑ xvι 𝛽𝑣 = ∑ r𝑣 𝛽𝑣
𝑣

𝜄

𝑣

N

L

L

y
∑ ∑ xvι 𝛿𝜄 = ∑ sι 𝛿𝜄′𝑣𝜄𝜄

La ecuación 1.5.4 se convierteLexp[∑N𝑣 r𝑣 𝛽𝑣 − ∑𝜄 s𝜄 𝛿𝜄 ]P{((x𝑣𝜄 ))|(𝛽𝑣 ), (𝛿𝜄 )} = { N L}∏𝑣 ∏𝜄 [1 + (exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )][1.5.5]La Ecuación 1.5.5 es importante porque muestra que para estimar los parámetros (βv) y (δι),
solo necesitamos las sumas marginales de la matriz de datos, (rv) y (sι). Debido a que es la única
forma en que los datos ((xvι)) aparecen en la Ecuación 1.5.5. Por lo tanto, los puntajes de lapersona (rv) y los puntajes de los ítems (sι) contienen toda la información modelada sobre lasmedidas de las personas y las calibraciones de los ítems.
Finalmente, el numerador de la Ecuación 1.5.5 puede factorizarse en dos factores con lo que
el modelo de probabilidad de la matriz de datos queda:

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

20

𝐿[exp (∑N𝑣 r𝑣 𝛽𝑣 )][exp(− ∑𝜄 s𝜄 𝛿𝜄 )]P{((x𝑣𝜄 ))|(𝛽𝑣 ), (𝛿𝜄 )} = {}L∏N𝑣 ∏𝜄 [1 + (exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )][1.5.6]La Ecuación 1.5.6 es importante porque muestra que los parámetros de las personas y de losítems pueden estimarse independientemente uno del otro. La separación deN(∑ r𝑣 𝛽𝑣 )𝑣yL(∑ s𝜄 𝛿𝜄 )
𝜄en la Ecuación 1.5.6 hace posible condicionar cualquiera de los conjuntos de parámetros alestimar el otro conjunto. Esto significa, en el lenguaje de la estadística, que los puntajes (rv) y(sι) son suficientes para estimar las medidas de las personas y las calibraciones de los ítems.
Con esta base podemos usar los puntajes de las personas (rv) para eliminar los parámetros dela persona (βv) de la Ecuación 1.5.6 al calibrar los ítems. Esto libera las calibraciones de los ítems
de las características modeladas de las personas y a su vez se obtienen calibraciones de los ítems
independientes de la muestra. En cuanto a la medición de personas, podríamos usar los puntajes
de los ítems (sι) para eliminar los parámetros (δι) para los ítems de la Ecuación 1.5.6. Cuando
llegamos a la medición de la persona, sin embargo, encontraremos más conveniente trabajar
directamente con las calibraciones de los ítems estimados (dι).
Hay varias formas en que la Ecuación 1.5.6 puede usarse para estimar valores para (βv) y (δι).
La forma ideal es usar las estadísticas suficientes para personas (rv) para condicionar losparámetros de las personas (βv) de la ecuación. Esto conduce a una verosimilitud condicional que
involucra solo los parámetros del ítem (δι) y que se pueden estimar a partir de dicha verosimilitud
condicional (Fischer y Scheiblechner, 1970; Andersen, 1972a, 1972b; Wright y Douglas, 1975b,
1977b; Allerup y Sorber, 1977; Gustafsson, 1977).
Pero este método ideal es poco práctico e innecesario. Los tiempos de computación son
excesivos. Los errores de redondeo limitan su aplicación a pruebas de cincuenta ítems como
máximo. En cualquier caso, los resultados son numéricamente equivalentes a los de métodos más
rápidos y más robustos. Una alternativa conveniente y práctica consiste es usar la Ecuación 1.5.6
directamente. Para aprender más sobre la estimación incondicional de los parámetros de losítems, véase Wright y Panchapakesan (1969), Wright y Douglas (1975b, 1977a, 1977b) y el
Capítulo 3, Sección 3.4. de este libro.
Sin embargo este método incondicional, a menudo es innecesariamente detallado y costosopara su aplicación práctica. Si las personas que utilizamos para calibrar los ítems no se
distribuyen demasiado asimétricamente en el eje de habilidad y no están muy lejos del objetivo,
pueden ser más o menos representados por su media y su varianza, con lo que podemos usar un
método muy simple y viable para estimar las dificultades de los ítems. Este método, llamado
PROX, fue sugerido por primera vez por Leslie Cohen en 1973 (ver Wright y Douglas, 1977a;
Wright, 1977).

EL MODELO DE MEDICIÓN

21

1.6 UN PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN SIMPLE Y PRÁCTICO
En este libro se usarán tres métodos de estimación de los parámetros. El método generalincondicional llamado UCON requiere una computadora y un programa de computadora como
BICAL (Wright y Mead, 1976). UCON se discute e ilustra en el Capítulo 3. Un segundo método
llamado UFORM se puede hacer a mano con la ayuda de las tablas simples que figuran en el
Apéndice C, que se discuten y aplican en el Capítulo 7. El tercer método, denominado PROX, es
completamente manejable a mano. Además, la simplicidad de PROX nos ayuda a ver cómo
funciona el modelo de Rasch para resolver problemas de medición. Las derivaciones de las
ecuaciones UFORM y PROX se dan en Wright y Douglas (1975a, 1975b).
PROX asume que las habilidades de la persona (βv) se distribuyen aproximadamente en forma
normal con media M y desviación estándar σ, las dificultades de los ítems (δι) también sedistribuyen aproximadamente en forma normal con dificultad promedio H y desviación estándar
de dificultades ω.
Si𝛽𝑣 ~ N(M, 𝜎 2 )y(𝛿𝜄 ~ N(H, 𝜔2 ),entonces para cualquier persona v con puntaje rv en una prueba de L ítems se sigue que
b𝑣 = H + Xℓn [rv /(L − r𝑣 )][1.6.1]y para cualquier ítem ι con puntajes de ítems sι en una muestra de N personas se deduce que[1.6.2]d𝜄 = M + Yℓn[(N − s𝜄 )/s𝜄 ]Los coeficientes X e Y son factores de expansión que responden en el caso de X a la dispersiónde las dificultades de los ítems y en el caso de Y a la dispersión de las habilidades de las personas.
En particular:
1⁄

X = (1 + 𝜔2 /2.89) 2[1.6.3]y1⁄

Y = (1 + 𝜎 2 /2.89) 2[1.6.4]El valor 2.89 = 1.72 proviene del factor escalar 1.7 que hace que la ojiva logística coincida
aproximadamente con la ojiva normal. Esto es porque los valores de 1.7z de la ojiva logística
nunca están a más de uno por ciento de diferencia de la ojiva normal para valores de z.
Las estimaciones bv y dι tienen errores estándar
1⁄

ES(b𝑣 ) = X [L/r𝑣 (L − r𝑣 )] 2
1⁄

ES(d𝜄 ) = Y [N/s𝜄 (N − s𝜄 )] 2 .

[1.6.5][1.6.6]

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

22

Este método de estimación se puede aplicar directamente a los puntajes de ítems observados(sι) calculando el puntaje simple en lógitos del ítem ι como:[1.6.7]x𝜄 = ℓn[(N − s𝜄 )/s𝜄 ]y el lógito de puntaje de ítems de la persona v como

[1.6.8]y𝑣 = ℓn[r𝑣 /(L − r𝑣 )]Los factores de expansión X e Y son estimados por las expresiones
1

X = [(1 + U/2.89)/(1 − UV/8.35)] ⁄2 ,[1.6.9]para el factor de expansión en lógitos de la persona y
1

Y = [(1 + V/2.89)/(1 − UV/8.35)] ⁄2 ,[1.6.10]para el factor de expansión en lógitos del ítem.
En estas expresiones 2.89 = 1.72 y 8.35 = 2.892 = 1.74, con lo queL

U = (∑ xι 2 − Lx.2 ) /(L − 1),[1.6.11]𝜄

es la varianza del ítem en lógitos yN2

V = (∑ y𝑣 2 − Ny. ) /(N − 1),[1.6.12]𝑣

la varianza de la persona en lógitos.
Para completar esta estimación, establecemos el centro de la prueba en cero para que H = 0.
Entonces:d𝜄 = M + Yx𝜄 = Y(x𝜄 − x.) ,[1.6.13]para cada dificultad del ítem, y[1.6.14]b𝑣 = H + Xy𝑣 = Xy𝑣
por cada habilidad de persona.
Los errores estándar son
1

1

1

1

ES(d𝜄 ) = Y[N/s𝜄 (N − s𝜄 )] ⁄2 ≃ 2.5/ N ⁄2

[1.6.15]yES(b𝑣 ) = X[L/r𝑣 (L − r𝑣 )] ⁄2 ≅ 2.5/ L ⁄2 .

[1.6.16]

Finalmente, la media y la desviación estándar estimadas de la muestra de personas se
escriben[1.6.17]M ≈ −Yx.
1⁄

σ ≈ 1.7(Y2 − 1) 2

[1.6.18]

EL MODELO DE MEDICIÓN

23

Una vez que hemos estimado bv y dι, podemos usarlos para obtener la diferencia entre lo que
predice el modelo y los datos que realmente hemos observado. Estos residuos del modelo se
calculan estimando las expectativas del modelo en cada xvι a partir de bv y dι, restando esta
expectativa del xvι que se observó. La expectativa del modelo para xvι es:
E{x𝑣𝜄 } = 𝜋𝑣𝜄
con la varianza del modelo
V{x𝑣𝜄 } = 𝜋𝑣𝜄 (1 − 𝜋𝑣𝜄 )donde
𝜋𝑣𝜄 = exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )/[1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿𝜄 )].
Un residuo estandarizado sería
1z𝑣𝜄 = (X𝑣𝜄 − 𝜋𝑣𝜄 )/[𝜋𝑣𝜄 (1 − 𝜋𝑣𝜄 )] ⁄2 .

[1.6.19]

Si los datos se ajustan al modelo, este residuo estandarizado debería distribuirse más o menos
normalmente con media cero y varianza uno.
Si estimamos 𝜋𝑣𝜄 de pvι dondep𝑣𝜄 = exp(b𝑣 − d𝜄 )/[1 + exp(b𝑣 − d𝜄 )][1.6.20]

entonces podemos usar las distribuciones de errorz𝑣𝜄 ~N(0,1) yz𝑣𝜄 2 ~ x21
que nos servirán como pautas para evaluar en qué medida nuestro modelo de medición puede
utilizarse con cualquier otro conjunto particular de datos.
Podemos calcular para cada persona la suma de sus residuos cuadráticos zvι2. De acuerdo con
el modelo, esta suma de desviaciones normales al cuadrado debe aproximarse a una distribución
ji-cuadrado con aproximadamente (L – 1) grados de libertad. Esto nos da este estadístico jicuadradoL
2[1.6.21]f𝑣 = (L − 1)(N − 1)/N

[1.6.22]∑ z2𝑣𝜄 = C𝑣 ~ xf 2𝑣
𝜄con grados de libertad

y una media cuadrática
2v𝑣 = C𝑣 /f𝑣 ~Ff𝑣′ ∞[1.6.23]

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

24

que se aproxima a una distribución F cuando las respuestas de las personas se ajustan al modelo.
La suma de residuos cuadráticos para cada ítem se puede usar de la misma manera para
evaluar el ajuste del ítem. Dados los ítems
N
2[1.6.24]f𝜄 = (N − 1)(L − 1)/L

[1.6.25]∑ z2𝑣𝜄 = C𝜄 ~ xf 2𝜄
𝑣

con

y
2

v𝜄 = C𝜄 / f𝜄 ~ Ff𝜄′ ∞[1.6.26]

Finalmente, dado que xvι solo puede adquirir valores de uno o cero, podemos usar la definición de
pvι dada en la Ecuación 1.6.20 para calcular zvι y zvι2 directamente comoyz𝑣𝜄 = (2x𝑣𝜄 − 1 )exp[(2x𝑣𝜄 − 1)(d𝜄 − b𝑣 )/2]

[1.6.27]z𝑣𝜄 2 = exp[(2x𝑣′ − 1)(d𝜄 − b𝑣 )].

[1.6.28]

Esta relación también se puede trabajar de forma inversa. Si ya tenemos un zvι2 y deseamos
calcular la probabilidad de la respuesta observada xvι a la que se refiere para decidir si esa
respuesta es o no demasiado improbable para creer, entonces podemos usar
P{x𝑣𝜄 |b𝑣′ d𝜄 } = 1/(1 + z𝑣𝜄 2 ).

[1.6.29]

En contraste con el pvι de la Ecuación 1.6.20 que es la probabilidad estimada de una respuesta
correcta, la probabilidad de la Ecuación 1.6.29 se aplica a xvι independientemente del valor que
tome, si xvι =1 para una respuesta correcta o si xvι =0 para una incorrecta.

1.7 CÓMO APARECEN LOS VALORES ESTADÍSTICOS TRADICIONALES EN LA MEDICIÓN DE
RASCH
Las secciones 1.1, 1.2 y 1.3 discuten el propósito de las pruebas, el uso de los puntajes y losproblemas de generalidad y linealidad al construir medidas. Las secciones 1.4, 1.5 y 1.6 describen
una solución simple y práctica para estos problemas de medición. Debido a que la formulación
matemática puede ser nueva, parecería que usar el modelo de Rasch para analizar los ítems nos
alejará de la estadística tradicional con la que estamos familiarizados. Esto no es así.
La aplicación del modelo de Rasch en el desarrollo de la prueba nos da nuevas versiones delas antiguas estadísticas. Estas nuevas estadísticas contienen toda la información familiar que
ya conocemos, pero en una forma que resuelve la mayoría de los problemas de medición que
siempre han acosado a los constructores de pruebas. Para mostrar esto, examinaremos los tresítems tradicionales más comunes y las estadísticas de personas, para ver qué tan próximos seencuentran de las correspondientes medidas de Rasch.

EL MODELO DE MEDICIÓN

25

El valor p del ítemLa estadística tradicional más familiar es el valor p (o "p-valor") del ítem, que es la proporciónde personas que responden correctamente al ítem en una muestra específica. La Ecuación 1.6.2
para estimar PROX proporciona una forma conveniente de formular la relación entre el p-valor
tradicional y la dificultad de Rasch del ítem. Si el valor de p para el ítem ι se expresa comop𝜄 = s𝜄 /Nen el que sι es el número de personas que respondieron correctamente al ítem L en la muestra de
N personas. Entonces la dificultad de Rasch para el ítem estimada por PROX es
1⁄d𝜄 = M + (1 + σ2 /2.89) 2 ℓn[(1 − p𝜄 )/p𝜄 ][1.7.1]

La Ecuación 1.7.1 muestra que la dificultad de Rasch dι del ítem está en una relación de uno
a uno con el p-valor del ítem representado por pι. También muestra que la relación uno a uno es
curvilínea con base en la habilidad de la media M y la varianza σ2 de la muestra de calibración.
Lo que hace el modelo de Rasch es usar la función logística (o función lógito)ℓn[(1 − p𝜄 )/p𝜄 ]que conduce a transformar el p-valor del ítem – que no es lineal en la variable implicada – en unnuevo valor. Este nuevo valor en lógitos expresa la dificultad del ítem en una escala de intervalos
iguales que permite realizar de manera fácil la corrección posterior del p-valor del ítem para lahabilidad M y varianza σ2 de la muestra que se está calibrando.
Esta corrección se realiza escalando el lógito para eliminar los efectos de la varianza σ2 de lamuestra y traducir el valor escalado en lógitos eliminando a su vez los efectos de la media M dela muestra. Las dificultades de Rasch no solo se encuentran en una escala de intervalos iguales,sino también se liberan de la media de la habilidad observada y la varianza de la muestra decalibración. El p-valor del ítem pι tiene un error estándar (ES) binomial dado por:
1⁄

[1.7.2]ES(p𝜄 ) = [p𝜄 (1 − p𝜄 )/N] 2

por lo que la dificultad del ítem PROX dι se asocia estrechamente con su propio error estándar:
1⁄

1⁄

ES(d𝜄 ) = (1 + σ2 /2.89) 2 [1/Np𝜄 (1 − p𝜄 )] 2

[1.7.3]

Pero hay dos diferencias importantes entre las ecuaciones 1.7.2 y 1.7.3. A diferencia del error
estándar del p-valor en la Ecuación 1.7.2, el error estándar de Rasch en la Ecuación 1.7.3 escorregido para la varianza de habilidad σ2 de la muestra de calibración. La segunda diferencia
entre estas dos formulaciones es más sutil, pero aún más importante.
Los errores estándar del p-valor tradicional en la Ecuación 1.7.2 son máximos a la mitad delos p-valores cercanos a un medio y es cero en los extremos cuyo p-valor es cero o uno. Esto haceque parezca que sabemos más del ítem que tiene el error estándar más pequeño del p-valor
cuando, de hecho, sabemos menos. Esto se debe a que el p-valor del ítem se centra en la muestra
calibrada al mismo tiempo que en el ítem. Si la muestra se aleja del sitio donde apunta el ítem,entonces su p-valor se acerca a los extremos 0 y 1, haciendo que el error estándar se aproxime acero. Esto nos garantiza que el p-valor de la muestra particular está en un extremo, pero no nos

26DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

dice nada más sobre el ítem. Por lo tanto, aunque nuestro conocimiento del valor estuvieraaumentando, en cambio nuestra información con respecto a la dificultad real del ítem estádecreciendo. Cuando los p-valores de los ítems son cero o uno, la muestra de calibración que
esperábamos nos informaría cómo funciona el ítem se revela como demasiado capaz o demasiado
incapaz de interactuar con el ítem. De modo que sabemos en qué dirección se encuentra el ítempero no sabemos la posición en la que se encuentra.
En contraste, el error estándar de Rasch para d𝜄 varía de una manera más razonable. La
expresión pι (1 - pι) que es cero cuando pι es cero o uno, aparece en el denominador de la Ecuación
1.7.3 en lugar del numerador, como ocurre en la Ecuación 1.7.2. En consecuencia, el error
estándar de Rasch es menor en pι = 0.5, donde la muestra está centrada en el ítem y así nos dala mayor información sobre cómo funciona ese ítem. En los extremos, sin embargo, donde
tenemos la menor información, el error estándar de Rasch tiende al infinito recordándonos que
no hemos aprendido casi nada sobre ese ítem con ayuda de la muestra.
La correlación punto biserial del ítem.
El segundo parámetro tradicional de un ítem, ampliamente utilizado es la correlación punto
biserial entre las respuestas dicotómicas de las personas de la muestra ante un ítem y su puntaje
total en la prueba. La correlación punto-biserial tiene dos características que interfieren con su
utilidad como índice de qué tan bien correlaciona el ítem con el conjunto de ítems en el que
aparece. Primero, no hay una base clara para determinar un valor de referencia para establecersi es aceptable el ítem. Rechazar la hipótesis estadística de que la correlación punto-biserial es
cero no produce un criterio estadístico satisfactorio para validar un ítem. La segunda
característica es que la magnitud de la correlación punto-biserial está sustancialmente
influenciada por la distribución de los puntajes de la muestra usada en la calibración. La
correlación punto-biserial de un ítem dado es más grande cuando la dispersión de puntajes delas personas es amplia y a su vez se centran en el ítem. Por el contrario, si la varianza de lospuntajes de las personas disminuye o el nivel de la muestra se aleja del nivel en el que seencuentra el ítem, haciendo que el p-valor se acerque a cero o uno, con ello la correlación tiendea cero independientemente de la calidad del ítem.
El estadístico de Rasch que corresponde en significado a la correlación punto-biserial es elresiduo cuadrático medio del ítem, de la Ecuación 1.6.26. El residuo cuadrático medio no solo es
sensible a los ítems que no se correlacionan con el puntaje del examen, sino también con valores
inesperadamente grandes de la correlación punto-biserial. Esto sucede, por ejemplo, cuando una
variable no modelada produce una interacción local entre una característica única de un ítem y
alguna característica idiosincrática de algunos miembros de la muestra para la calibración.
En contraste con la correlación punto-biserial, el residuo cuadrático medio de Rasch para elítem se asocia a una útil distribución estadística de referencia. El valor de referencia para probarla hipótesis estadística de que un ítem pertenece a la prueba es una media cuadrática de uno,
con un error estándar de (2 / f)½ para f grados de libertad. De este modo, el grado en que la media
cuadrática excede el valor esperado de uno, puede ser probado por su significancia estadísticaante cualquier nivel de significancia considerada.
La media cuadrática de Rasch para el ítem es casi indiferente de la distribución de lahabilidad que tiene la muestra de calibración. Esto proporciona una prueba de ajuste del ítemque se centra en las características de la muestra y de los ítems que permanecen una vez que sehayan removido los valores modelados para la dificultad del ítem y la habilidad de la persona.

EL MODELO DE MEDICIÓN

27

El puntaje de la prueba de la persona
El parámetro estadístico tradicional y más familiar para es el puntaje en la prueba, es decir,
el número de aciertos que la persona obtiene en la prueba. Una vez más podemos usar laestimación de PROX por ser un procedimiento que muestra la conexión entre el puntaje
tradicional que obtiene la persona y la habilidad de Rasch. Usando la Ecuación de estimación
PROX (1.6.1) tenemos:
1⁄b𝑣 = H + (1 + ω2 /2.89) 2 ℓn[r𝑣 /(L − r𝑣 )][1.7.4]

con un error estándar de
1⁄

1

ES(b𝑣 ) = (1 + ω2 /2.89) 2 [L/r𝑣 (1 − r𝑣 )] ⁄2[1.7.5]en el cual
rv = puntaje del examen de la persona v,
L = cantidad de ítems en la prueba,
H = nivel de dificultad promedio de la prueba yω2 = varianza en las dificultades de los ítems de prueba.
Al igual que con el p-valor del ítem, la función de transformación en lógitos hace que lospuntajes no lineales de las personas cambien a una métrica aproximadamente lineal. También
vemos que la escala del valor en lógitos ocupa el ancho de la prueba, representado en la Ecuación
1.7.4 por la varianza de las dificultades de los ítems ω2 y, además, se traslada para ajustar el
nivel de dificultad de la prueba H, de modo que la habilidad estimada para la persona se libere
de los efectos locales de la prueba y se convierta en una medida independiente de la prueba.
El error estándar de esta medida es mínimo en puntajes cercanos al 50 por ciento de aciertos,
donde tenemos la mayor información sobre la persona y va al infinito en los puntajes de cero y
100 por ciento, donde tenemos la menor información sobre la persona.
Mientras que las prácticas de prueba tradicionales casi siempre enfatizan el análisis de lavalidez de los ítems, casi nunca se presta atención a la validez del patrón de respuestas que
conduce al puntaje de la persona. Hasta donde sabemos, nadie calcula el coeficiente punto
biserial de una persona con el propósito de determinar la relación entre las respuestas que lapersona da a cada ítem y los valores p supuestamente relevantes del ítem. Esta sería una forma
razonable de aplicar el coeficiente de correlación punto-biserial tradicional a la supervisión de lavalidez del puntaje de la persona.
El enfoque de Rasch para la validez del puntaje de la persona se describe en las Ecuaciones
1.6.19 a 1.6.23 y se discute e ilustra detalladamente en los Capítulos 4 y 7.
Hay otras conexiones que se pueden hacer entre las estadísticas de prueba tradicionales y las
estadísticas de Rasch. Podríamos revisar aquí las diversas formas en que el modelo de Raschaborda la validez y la confiabilidad (o fiabilidad) tradicional, el manejo de pruebas referidas anorma o de pruebas referidas a criterio, la equiparación (o igualación) de formas y las pruebasde desempeño. Pero cada uno de estos temas merece una profunda discusión que, de hecho, es elpropósito de los capítulos que siguen. El paso siguiente que vamos a ver es el funcionamiento delprocedimiento de estimación de PROX para resolver un problema simple en la construcción deuna prueba.

2 CALIBRACIÓN DE ÍTEMS A MANO
2.1 INTRODUCCIÓN
Este capítulo describe e ilustra en detalle un procedimiento extremadamente simple para calibrarítems con el modelo de Rasch. El procedimiento, llamado PROX, aproxima bastante bien los resultados
obtenidos por procedimientos más elaborados y, por lo tanto, más precisos. Con este procedimiento sealcanzan los objetivos básicos del análisis de Rasch, a saber, la linealización de la escala latente y elajuste de los efectos locales de la distribución de las habilidades de la muestra de personas. La
suposición que hace que PROX sea tan simple es que los efectos en la calibración del ítem sobre la
distribución de las habilidades de la muestra puede ser adecuadamente explicado con base solamenteen la media y la desviación estándar. Esta suposición hace que PROX sea tan simple que se puede
aplicar fácilmente a mano.
En la práctica, lo más conveniente es hacer la calibración de los ítems con ayuda de la computadora.
Sin embargo, PROX brinda la oportunidad de ilustrar el análisis de ítems con el modelo de Rasch enforma detallada, favoreciendo una mejor comprensión del proceso involucrado, en caso de que la
infraestructura informática no esté disponible o sea urgente verificar la plausibilidad de los resultadosde salida del programa, en este caso PROX proporciona un método para calibrar ítems que no requierenada más que la distribuciones observadas en los puntajes de los ítems y de las personas, una
calculadora portátil, papel y lápiz.
Los datos para ilustrar PROX provienen de la administración de los 18 ítems de la Prueba de losCubos de Knox, una subprueba de la Escala de Puntajes de Arthur (Arthur, 1947) aplicada a 35
estudiantes en Grados 2 a 7. Nuestro análisis de estos datos muestra cómo el análisis de ítems deRasch puede ser útil no sólo para gestionar la construcción de bancos de ítems nacionales, sinotambién para atender el problema de medición más pequeño imaginable, es decir, una prueba corta
aplicada a un grupo de examinados en un salón de clase.
Al utilizar las respuestas correctas/incorrectas de los estudiantes para cada ítem de la prueba,
trabajamos detalladamente cada etapa del procedimiento para el análisis de ítems PROX. El Capítulo
3 revisa la forma de analizar los mismos datos por computadora, con el procedimiento PROX y otro
más preciso, denominado UCON, utilizado en la mayoría de los programas informáticos para elanálisis de ítems de Rasch. Estos pasos detallados ofrecen una ilustración sistemática delprocedimiento de análisis de ítems con los cuales comparar resultados y comprender las salidas de losprogramas de computadora. También demuestran la facilidad de los cálculos a mano usando PROX(PROX se deriva y describe detalladamente en Wright y Douglas, 1975b, 1976, 1977a; Cohen, 1976, y
Wright, 1977). Finalmente, ilustran el desarrollo empírico de un rasgo o variable latente. Cada paso
se mueve desde los datos observados hasta la variable inferida, desde los límites de lo observado a
través de los puntajes de prueba hasta el otro extremo de las mediciones inferidas
independientemente de la prueba.

2.2 LA PRUEBA DE LOS CUBOS DE KNOX
La Escala de Puntajes de Arthur cubre una variedad de tareas mentales, entre las cuales la Prueba
de los Cubos de Knox implica un único rasgo latente. Para tener éxito en esta subprueba se requiere
aplicar la atención visual y la memoria a corto plazo ante una tarea simple de secuencias que parece
ser independiente del aprendizaje escolar y, por lo tanto, se toma como indicador de la capacidad ohabilidad intelectual no verbal.

28

CALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

29

La Prueba de los Cubos de Knox utiliza cinco cubos de una pulgada de lado. Cuatro de loscubos están fijos a una tabla, separados a cada dos pulgadas, y el quinto cubo se usa para realizar
una serie de golpes sobre los otros cuatro. Se hará referencia a los cuatro cubos fijos, de izquierda
a derecha, como "1", "2", "3" y "4", para evitar confusiones al especificar cualquier serie de golpes
particular que se vaya a efectuar. En la versión original de la prueba utilizada para este ejemplo,
hay 18 series de golpes que van desde secuencias de dos pasos (1-4) y (2-3) a una secuencia desiete golpes (4-1-3-4-2-1-4). Por lo general, se administra la prueba a cada sujeto en dos ocasiones,
utilizando otra subprueba de la batería. Sin embargo, para nuestro análisis solo necesitamos
usar la primera administración.
Las 18 series se presentan en la Figura 2.2.1. Estos son los 18 "ítems" de la prueba. Obsérveseque los ítems 1 y 2 requieren una secuencia de dos golpes; los ítems 3 a 6, definen una secuencia
de tres golpes; los ítems 7 a 10 una secuencia de cuatro golpes; los ítems 11 a 13 una secuenciade cinco golpes, los ítems 14 a 17 una secuencia de seis golpes y, finalmente, el Ítem 18, una
secuencia de siete golpes.

2.3 DATOS PARA EL ANÁLISIS DE ÍTEMS
Las respuestas de 35 estudiantes a una sola administración de los 18 ítems de la Prueba delos Cubos de Knox aparecen en la Tabla 2.3.1. Estas respuestas están organizadas en una matriz
de datos de personas contra ítems. La respuesta correcta de un estudiante a cada ítem se registra
como un 1 y un respuesta incorrecta como 0. Los ítems se han enumerado en la parte superior
en el orden de administración.

30DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Los puntajes de los estudiantes, es decir, el número de aciertos logrados por cada estudiante,
aparecen en la última columna a la derecha de cada renglón. Los puntajes de los ítems, es decir, elnúmero total de respuestas correctas a cada ítem, se dan en la parte inferior de cada columna.
La inspección de la Tabla 2.3.1 muestra que el orden de administración es muy similar al orden de
dificultad. Los ítems 1, 2 y 3 son respondidos correctamente por todos los estudiantes. Un segundo
nivel de dificultad, ligeramente más grande, se observa en los ítems 4 a 9. Después siguen los ítems
10 y 11 que muestran un fuerte aumento en la dificultad. Los ítems 12 a 17 son respondidos
correctamente por unos cuantos estudiantes y ningún estudiante logra responder correctamente alítem 18. Solo 12 estudiantes obtienen por lo menos un acierto en los ítems 12 a 17 y solo cinco dedichos estudiantes logran uno o más de la secuencia de seis golpes exitosamente.

2.4 CALIBRANDO ÍTEMS Y MIDIENDO PERSONAS
El plan general para realizar el análisis de ítems comienza con la edición de los datos en la Tabla
2.3.1 para eliminar las personas e ítems para los cuales no hay estimaciones definitivas de su
habilidad o de su dificultad, es decir, son los casos en que todas son respuestas correctas o todas son
respuestas incorrectas. Esto significa que la persona 35 y los ítems 1, 2, 3 y 18 deben ponerse aparte,dejando para el análisis solo a 34 personas y 14 ítems. Una vez hecho esto, la información restantesobre las personas y los ítems queda resumida en una distribución de puntajes de las personas y una
distribución de puntajes de los ítems.
A continuación, estas distribuciones de puntajes se representan como proporciones de su máximo
valor posible y se registra su frecuencia de ocurrencia. Las proporciones se convierten luego en
logaritmo del momio, o lógitos, calculando para cada ítem el logaritmo natural de la proporción derespuestas incorrectas dividida por la proporción de respuestas correctas y para las personas se
calcula el logaritmo natural de la proporción de aciertos dividida por la proporción de fallas. Esto
convierte a las proporciones, que estaban acotadas por 0 y 1, a una nueva escala que se extiende desde-∞ hasta + ∞ y es lineal en la variable subyacente.
La "dificultad del ítem" en la variable medida aumenta con la proporción de respuestas incorrectas.
La "habilidad de la persona" aumenta con la proporción de respuestas correctas. Ahora se calcula lamedia y la varianza para cada distribución de lógitos y la media en lógitos de los ítems se usa para
centrar los lógitos en el cero de la escala. Esta elección de origen para la nueva escala es forzosamente
arbitraria, pero es algo que debe hacerse. Basar la escala en los ítems en lugar de las personas ycolocarla en el centro de los ítems actuales es una acción natural y conveniente.
Las varianzas en lógitos de los ítems y de las personas se usan para calcular dos factores deexpansión, uno para los ítems y el otro para las personas. Estos factores se usan para calcular las
dificultades finales, independientes de la prueba y las habilidades independientes de las personas.
Los factores se necesitan porque las dificultades aparentes relativas de los ítems dependen de cuán
dispersas son las habilidades en la muestra de personas. Conforme más dispersas estén las personas,
más similar será la dificultad aparente. Esto también es cierto para la habilidad aparente. Cuantomás dispersa sean las dificultades de los ítems en la prueba, más similar aparentarán ser las
habilidades de las personas. Estos efectos de dispersión de la muestra y del rango de la prueba deben
ser eliminados de las estimaciones de las dificultades de los ítems y de las habilidades de las personas,
estas estimaciones deben hacerse independientes de la muestra y de la prueba.
Finalmente, se calculan los errores estándar de las estimaciones. Los errores estándar sonnecesarios para evaluar la precisión de las estimaciones. Dependen de los mismos factores deexpansión junto con qué tanto la dificultad de los ítems se centra en las habilidades de las personasy, a su vez, si las habilidades de las personas se centran en las dificultades de los ítems. Conforme
más centrado en el objetivo se tenga a los ítems y a las personas, más precisas serán sus estimaciones
y, por lo tanto, más pequeños sus errores estándar.

CALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

31

32

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Paso 1. Organización de la matriz de datos
La matriz de datos en la Tabla 2.3.1 se ha reorganizado en la Tabla 2.4.1 para que los puntajes
de las personas estén ordenados de menor a mayor, con sus respectivas proporciones dadas porla columna del extremo derecho y los puntajes de los ítems se ordenan de mayor a menor con sus
proporciones dadas en la fila inferior.
Paso 2. Edición de la matriz de datos
La matriz de datos de las respuestas de las persona contra los ítems en la Tabla 2.4.1 también
ha sido editada eliminando todos los ítems que fueron contestados correctamente por todos o pornadie, así como eliminando todas las personas que obtuvieron puntajes perfectos o que norespondieron correctamente ningún ítem.
Las líneas limítrofes dibujadas en la Tabla 2.3.1 muestran los ítems y personas eliminadas
por el proceso de edición. Los ítems 1, 2 y 3 se eliminaron porque todas las personas los
respondieron correctamente. La eliminación de estos tres ítems provocó la eliminación de laPersona 35, porque solo contestó estos tres ítems correctamente y por lo tanto ya no tuvo ningún
acierto después de que los tres ítems fueron eliminados. El ítem 18 fue eliminado porque ninguna
persona lo respondió correctamente.
La edición de una matriz de datos puede requerir de varios ciclos porque la eliminación deítems puede implicar que se eliminen personas y viceversa. Por ejemplo, si hubiera habido una
persona que contestó acertadamente todos los ítems excepto el 18, entonces la eliminación deeste ítem hubiera dejado a esta persona con un puntaje perfecto en los ítems restantes, en cuyo
caso esta persona también tendría que haber sido eliminada.
¿Por qué se eliminan algunos ítems y algunas personas? Si en una muestra de personas nadie
acertara en un cierto ítem, entonces podría decirse que ese ítem es demasiado difícil para esta
muestra de personas. Sin embargo, no se tendría información adicional disponible sobre qué tan
difícil es en realidad ese ítem. Si todos respondieran correctamente a un ítem entonces este ítemsería demasiado fácil para estas personas, pero de nuevo, no hay más información disponible
sobre exactamente qué tan fácil es realmente. Para poder hacer una estimación definitiva de unítem muy fácil debemos encontrar por lo menos una persona medible que lo responda
incorrectamente, y para un ítem muy difícil, al menos una persona medible debe contestarlocorrectamente. Es decir, debemos "encerrar" al ítem entre personas de modo que al menos una
ellas sea más capaz y al menos una sea menos capaz que lo que mide la dificultad del ítem. Porsupuesto, solo una persona por debajo de un ítem muy fácil o uno muy difícil no dará una
estimación muy precisa de la dificultad de ese ítem en particular.
Por lo tanto, tenemos datos insuficientes en nuestro ejemplo como para evaluar los ítems
extremos 1, 2, 3 y 18. Sabemos que los ítems 1, 2 y 3 parecen ser muy fáciles y que el ítem 18
parece ser muy difícil para estas personas, pero no tenemos suficiente información para
especificar estimaciones definitivas de las dificultades de estos cuatro ítems.
En cuanto a las personas extremas, ¿Puede decirse que las personas con puntaje cero no saben
nada? ¿Un puntaje de 100% es indicativo de personas que "lo saben todo" o tal vez solo han
respondido preguntas fáciles? Para hacer una estimación definitiva de una persona, debemos"encerrarla" entre ítems que sean más fáciles y más difíciles que la habilidad de la persona.
Los puntajes límite de 0% y 100%, tanto para los ítems como para las personas, representan
información incompleta. Nos dicen en qué dirección buscar una estimación de la habilidad de lapersona o de la dificultad del ítem, pero no nos dicen qué tan lejos llegar en esa dirección. Paraobtener suficiente información para hacer una estimación definitiva de la ubicación de la persona

CALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

33

la

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

34

o del ítem en la variable latente, debemos encontrar algunos ítems muy fáciles y algunos muy
difíciles para esas personas, así como personas más listas y otras más deficientes para esos ítems,
de forma que cada ítem y cada persona quede encerrada entre observaciones. De esta forma
podremos estimar dónde se encuentran en la variable medida.

Paso 3. Obteniendo calibraciones iniciales de los ítems
A partir de la matriz de datos de la Tabla 2.4.1, construimos una distribución agrupada de los
10 puntajes incorrectos diferentes en los ítems y sus lógitos. También calculamos la media y lavarianza de la distribución de los lógitos de estos ítems respecto de una prueba de 14 ítems, comose hace en la tabla 2.4.2.
EXPLICACIÓN DE LA TABLA 2.4.2_

NOTACIÓN Y FÓRMULAS_

Columna 1

de la Tabla 2.4.2. Proporciona los nombres de losítems de cada grupo de puntajes de los ítems.

Columna 2

da el puntaje del ítem que caracteriza a cadagrupo de puntajes. Debido a que hay 10
diferentes grupos de puntajes en este ejemplo,
G=10 y el índice los grupos de puntajes corre de1 a 10.

si

Columna 3

presenta la frecuencia de los ítems en cadapuntaje. La suma de esta frecuencias a lo largo
de los G=10 grupos de puntajes de los ítems, seaplica a los L=14 ítems que se están calibrandofi

i = 1,GG

L = ∑ fii

Columna 4

convierte los puntajes de los ítems en
proporciones de aciertos en la muestra de N=34
personas.

Columna 5

es la conversión de la proporción de aciertos pi
en la proporción de fallas 1-pi .

1 − pi = (N− si )/N

Columna 6

conviertelaproporciónderespuestas
incorrectas en lógitos. Cada grupo de puntajes
de los ítems en lógitos es el logaritmo natural dela proporción de respuestas incorrectas dividida
por su proporción de aciertos.

xi = ℓn[(1 − pi )/pi ]pi = si /NPuede facilitarse esta conversión con los valoresde lógitos: ℓn[p/(1 − p)] dada en la tabla 2.4.3.
Columna 7

es el producto de la frecuencia del ítem y el lógito
de respuestas incorrectas.

f i xiColumna 8es el producto de las frecuencias de respuestas
incorrectas en el ítem y el lógito, elevado al
cuadrado.

f i xi2

CALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

35

36

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

37

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

38

Se calcula en la Columna 6 la media y lavarianza en lógitos para el ítem a partir de losvalores en las Columnas 7 y 8 y se presenta
debajo de ambas.

Gx.= ∑ fi xi /LiG

U= (∑ fi xi 2 − Lx.2 ) / (L − 1)iColumna 9

Da los valores de la Columna 6 centrada
restando su media. Estas son las calibraciones
iniciales de los ítems, listas para ser corregidas
por el efecto de dispersión de la muestra.

odi = xi − x.

En este ejemplo, la media y la varianza han sido calculadas a partir de los valores de lasColumnas 7 y 8. La calibración a mano se puede facilitar todavía más con una expresión que
sirve de atajo para la desviación estándar propuesta por Mason y Odeh (1968). Para hacer esto,
se deben sumar los lógitos de los ítems de la Columna 9 (o de la Columna 6) para los sextos
primeros y últimos de los ítems ordenados por dificultad, y se toma el cuadrado del doble de ladiferencia de estas sumas divididas por el número de ítems menos uno.
Para los datos en la Tabla 2.4.2:
a. Una sexta parte de los ítems es 14/6 = 7/3, o 2.33 ítems en cada extremo.
b. Los lógitos de respuestas incorrectas de los ítems para los tres ítems superiores en la
Columna 9 son 3.29, que multiplicado por 2.33 es 3.29  2.33 = 7.67.
c. El lógito de repuestas incorrectas del ítem inferior es -2.94 y para los siguientes dos ítems
es -2.50. Entonces debe tomarse el ítem más bajo, -2.94, más 7/3 - 3/3 = 4/3 de los siguientes
dos ítems, que proporciona (–2.94) + (–2.50  1.33) = – 6.27.
d. La diferencia entre 7.67 y –6.27 es 13.94.
e. El doble de esta cantidad dividida por la cantidad de ítems menos uno y elevado al cuadrado
se convierte en una estimación de la varianza [2(13.94)/13]2 = 4.6.
Este valor obtenido con el atajo de 4.6 es algo menor que 5.7 pero el número de ítems espequeño y la distribución es más plana que la distribución normal asumida por el atajo.
La finalización de los pasos en la Tabla 2.4.2 proporciona los valores iniciales para las
dificultades de los ítems en preparación para el ajuste que compensará el efecto de la dispersiónde la muestra.
Paso 4. Obtención de medidas iniciales para la persona
En la Tabla 2.4.4, realizamos pasos idénticos a los de la distribución agrupada de puntajes delas personas para obtener la distribución de puntajes en lógitos de las personas y por lo tanto losvalores iniciales para las habilidades que se asocian con cada puntaje posible en la prueba.
EXPLICACIÓN DE LA TABLA 2.4.4_

Columna 1

de la Tabla 2.4.4. Proporciona el puntaje posible
de las personas 1 a 13.

NOTACIÓN Y FÓRMULAS_

r = 1, L-1

CALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

Columna 2

39

EXPLICACIÓN DE LA TABLA 2.4.4_

NOTACIÓN Y FÓRMULAS_

da la frecuencia de personas observadas en cadapuntaje. El total de personas N = 34 es igual ala suma de estas frecuencias de r = 1 a r = 13.

nr

L-1

N = ∑ nrrColumna 3

es la proporción de cada puntaje en la prueba de
L = 14 ítems.

pr = r / L

Columna 4

es el lógito de respuestas correctas de esa
proporción usando la Tabla 2.4.3.

yr = ℓn[pr /(1 − pr )]Columna 5es el producto de la frecuencia de las personas
por el lógito de respuestas correctas.

nr yrColumna 6

es el producto de la frecuencia de las personas
por el lógito de respuestas correctas elevado al
cuadrado.

nr yr 2

Columna 7

repite los valores de la Columna 4 porque en lo
que respecta a esta prueba, los puntajes enlógitos ya están centrados respecto de los lógitos
de los ítems. Estas son las medidas iniciales dela persona antes de la corrección para el ámbito
de dificultades de la prueba.

br o = yr

La media y la varianza para la distribución de lógitos de puntajes de las personas se dan enla parte inferior de la Tabla 2.4.4, con ayuda del atajo para el cálculo aproximado de la varianza.
Obsérvese que estamos interesados no solo en los puntajes observados en esta muestra sinotambién en las mediciones implicadas por cualquier puntaje posible que pueda observarse en
esta prueba de 14 ítems, los puntajes no observadas de 1, 12 y 13 se han agregado a la Tabla
2.4.4, junto con las medidas iniciales para estos puntajes. El modelo de medición especifica quelas medidas son equivalentes a estos puntajes incluso cuando ninguna persona en la muestra
realmente lo obtenga.
Para resumir el procedimiento que hemos realizado hasta ahora (dejaremos que cada ítemdefina sus puntajes en cada grupo de ítems, con el objeto de simplificar la notación, de modo queel índice del ítem corra de 1 a 14 en lugar de los grupos de puntaje que corren de 1 a 10 ítems):
Para una prueba de L' ítems que se aplican a N' personas, eliminamos todos los ítems quenadie contesta correctamente y que nadie contesta incorrectamente, así como todas las
personas que no tienen aciertos o que no tienen fallas, hasta que no queden ítems o personascon estas características.
Sea s𝜄 el número de personas que aciertan el ítem i, donde i = 1 a L y sea nr el número depersonas que tienen r ítems correctos, para r = 1 a L  1, calculamos la media y la varianza
sobre los ítems de los logaritmos del momio de respuestas incorrectas (o lógitos de los ítems
respondidos incorrectamente) en la muestra para cada uno de los L ítems y también
calculamos la media y la varianza sobre las personas de los logaritmos de momio de aciertos(o los lógitos de puntajes correctos) en la prueba para cada una de las N personas.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

40

Obtenemos, para cada ítem i, su lógito de respuestas
incorrectas en la muestra de N personas

xi =ℓn[(N − si )/si ]L

x.= ∑ xi /Liy la media y la varianza sobre los lógitos de los L ítems.

L

U= ∑( xi − x. )2 /(L − 1)iY obtenemos para cada puntaje r el lógito de respuestas
yr = ℓn[r/(L − r)]correctas en la prueba de L ítems,
L-1

y la media y la varianza sobre los lógitos de los puntajes
de las N personas.

y.= ∑ nr yr /Nr
L-1
2

V= ∑ nr ( yr − y.) /(N − 1)rAhora estamos listos para ajustar las calibraciones y medidas iniciales en las Tablas 2.4.2 y
2.4.4 para los efectos locales de la distribución de las habilidades de las personas de la muestra
y de la distribución de dificultades de los ítems de la prueba.
Paso 5. Cálculo de los factores de expansión2
Calculamos los factores de expansión para las estimaciones iniciales de las calibraciones delos ítems y de las medidas de las personas, que corrigen las calibraciones de los ítems en función
de la dispersión de la muestra y las medidas de las personas para el rango de los ítems de laprueba. De las Tablas 2.4.2 y 2.4.4 tenemos U = 5.72 y V = 0.46 (obtenidos con los valores delatajo U'= 4.6 y V'= 0.5).
a. El factor de expansión de la habilidad de laspersonas debido al rango de la prueba es:

1x=[

1 + U/2.89 ⁄2]
1 − UV/8.35
1⁄2
1 + 5.72/2.89=[]
1 − (5.72)(0.46)/8.35
1=[
o con el valor obtenido por el atajo:

2.98 ⁄2] = 2.09
0.68
1⁄

1 + U′/2.9 2x' = []
1 − U'V′/8.4
1

=[

⁄2
1 + 4.6/2.9]
1 − (4.6)(0.5)/8.4
1

2.59 ⁄2=[] = 1.9
0.73
2Para una explicación, ver el Capítulo Uno, Sección 1.6.

CALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

41

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

42
b. El factor de expansión para las dificultades
de los ítems debido a la dispersión de lamuestra es:

1Y=[

1 + V/2.89 ⁄2]
1 − UV/8.35
1⁄2
1 + 0.46/2.89=[]
1 − (5.72)(0.46)/8.35
1=[

1.16 ⁄2] = 1.31
0.68

o con el valor obtenido por el atajo:

1⁄

Y' = [

2
1 + V′/2.9]
1 − U'V′/8.4
1⁄2
1 + 0.5/2.9=[]
1 − (4.6)(0.5)/8.4
1=[

1.17 ⁄2] = 1.3
0.73

Paso 6. Corrección de las Calibraciones de los Ítems por Efecto de la Dispersión de la Muestra
De la Tabla 2.4.5 obtenemos las calibraciones finales corregidas de los ítems y su error estándar
con base en el factor Y de expansión por dispersión de la muestra.
EXPLICACIÓN DE LA TABLA 2.4.5_

Columna 1

contiene el nombre del ítem.

Columna 2

repite las calibraciones iniciales de los ítems dela Columna 9 de la Tabla. 2.4.2. (Recuérdese que
cuando los ítems se agrupan por puntajes elíndice i corre de 1 a G, total de grupos de puntaje
de ítems, en lugar de 1 a L que es el índice de losítems individuales).

NOTACIÓN Y FÓRMULAS_

di o = xi − x.

Columna 3

es el factor de expansión de la dificultad de losítems Y = 1.31 por la dispersión de la muestra.

Columna 4

son las calibraciones corregidas de los ítems,
obtenidas al multiplicar cada valor inicial de laColumna 2 por el factor de expansión 1.31.

di = Y di onos recuerda el número de personas que
acertaron los ítems en cada grupo de puntajes
de respuestas correctas.

siColumna 5

Y= Y(xi − x. )i= 1, GCALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

43

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

44

Columna 6

EXPLICACIÓN DE LA TABLA 2.4.5_

NOTACIÓN Y FÓRMULAS_

es el error estándar de las calibraciones de losítems.

ES(di ) = Y[N/si (N − si )] ⁄2

1

Paso 7. Corrección de las medidas de las persona para el efecto del rango de la prueba.
En la Tabla 2.4.6 obtenemos las medidas corregidas finales de las personas y sus errores
estándar con base en el factor de expansión X del rango de la prueba.
EXPLICACIÓN DE LA TABLA 2.4.6_

NOTACIÓN Y FÓRMULAS_

Columna 1

Contiene todos los puntajes posibles, porquequeremos obtener medidas para cada posible
puntaje en la prueba de 1 a L  1 en todos losresultados realmente observados.

r = 1, L − 1

Columna 2

Repite las medidas iniciales de las personas dela Columna 7 de la Tabla 2.4.4.

Columna 3

Es el factor de expansión de las habilidades delas personas X = 2.09 debido al rango dedificultades de la prueba.

Columna 4

Son las medidas corregidas para las personas
obtenidas al multiplicar cada valor inicial de laColumna 2 por el factor de expansión 2.09.

br = Xbr o = XyrColumna 5

Es el error estándar de las medidas corregidas
de la persona.

ES(br ) = X[L/r(L − r)] ⁄2

br o = yr
X1

2.5 DISCUSIÓN
El procedimiento de análisis de ítems del algoritmo PROX se describió detalladamente no solo
porque permite obtener las calibraciones de los ítems y, por lo tanto, las medidas de las personas,sino también porque es el método de análisis más simple que conjuga de manera lógica y directa
la interacción entre ítems y personas. La idea primordial en que se basa este análisis es que la
probabilidad de éxito está determinada por la habilidad de la persona y la dificultad del ítem. Se
supone que una persona más capaz siempre tiene mayores posibilidades de éxito en cualquierítem que otra persona menos capaz. También se parte del supuesto de que cualquier persona
siempre debe tener una mayor posibilidad de éxito en un ítem fácil que en uno difícil. En la
medida en que éste sea el caso, la probabilidad del éxito de cualquier persona en cualquier ítemse puede especificar como una consecuencia de la diferencia entre la posición de la persona en
una sola variable y la posición en esa misma variable. Éste es el modelo de Rasch para el análisis
de los ítems y la construcción de pruebas y, de hecho, es el modelo fundamental que está implícito
en el análisis de ítems de todos quienes trabajan con puntajes no ponderados (Andersen, 1977).

CALIBRACIÓN DE ITEMS A MANO

45

Toda la información observada sobre la posición de una persona en la variable, por ejemplo,
su habilidad, se supone que está expresada en sus respuestas al conjunto de ítems que se lepresentan en la prueba, haciendo un conteo no ponderado del número de ítems que respondecorrectamente. Para la dificultad de los ítems, se supone que la información observada estácompletamente contenida en el conteo no ponderado de las personas de la muestra que responden
correctamente a ese ítem.
Por supuesto, el modelo de interacción entre la persona y el ítem es una idealización y solopretende obtener una aproximación a lo que sucede en la realidad. Todas las ideas, sin embargo,
son a fin de cuentas, aproximaciones o abstracciones de la experiencia. Su valor puede juzgarse
solamente en términos de su utilidad, es decir, de su relevancia demostrable respecto de lasituación en estudio y de su simplicidad. Este capítulo ha ilustrado la simplicidad y laconveniencia potencial del análisis de ítems con el modelo de Rasch. Su utilidad puede
testimoniarse por miles de aplicaciones. Nuestra siguiente tarea es mostrar cómo se obtienen
resultados similares a los que acabamos de obtener a mano con el procedimiento PROX, cuando
se trabaja utilizando la computadora con UCON que es un procedimiento más elaborado.

3. CALIBRACIÓN DE ÍTEMS PORCOMPUTADORA
3.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo, mostramos y describimos la salida de un programa de computadora para lacalibración de ítems con el modelo de Rasch utilizando los procedimientos de estimación PROX y
UCON (Wright y Panchapakesan, 1969; Wright y Douglas, 1975b, 1977a, 1977b). Los datos de laPrueba de los Cubos de Knox que analizamos a mano en el Capítulo 2 se usan aquí con fines
ilustrativos. Los procedimientos de estimación son realizados por el programa informático BICAL(Wright y Mead, 19763). La precisión y la utilidad de la calibración manual descrita en el Capítulo 2
se evalúan comparando las estimaciones a "mano" con los que produce al análisis por computadora delos mismos datos. La idea de dar a conocer los pasos que podrían realizarse manualmente tiene el
propósito de facilitar la comprensión y el uso de la salida del programa de computadora.
Nos moveremos poco a poco por la salida del programa para destacar su organización y uso. BICAL
produce los resultados de las Tablas 3.2.1 a 3.2.9. Los valores estadísticos para los ítems y las personas
obtenidos con el algoritmo PROX a mano y por computadora se comparan en las Tablas 3.3.1 a 3.3.5.

3.2 SALIDA DE BICAL DEL ANÁLISIS CON PROX DE LOS DATOS DE LA PRUEBA DE LOSCUBOS DE KNOX.
La primera página de la salida, en la Tabla 3.2.1, recapitula las especificaciones de control
necesarias para aplicar la versión 1976 de BICAL a este proyecto de calibración (para más detalles
consulte el manual que acompaña al programa BICAL). En la parte superior tenemos el título delproyecto, los diferentes parámetros de control, el registro de columnas leídas, la clave de respuestas
correctas y una copia del registro de la primera persona leída. Finalmente, esta salida reporta que
hay 18 ítems y 34 personas que entraron en este análisis.

N.T. BICAL no está disponible actualmente, pero este capítulo es útil porque describe el algoritmo básico parael análisis por computadora.
3

46

CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

47

Los parámetros de control para este proyecto fueron:
1. Número de ítems (NITEM):
2. Tamaño de subgrupo más pequeño (NGROP):

18
10

Originalmente había 18 ítems en la PCK.

3. Puntaje mínimo (MINSC):
4. Puntaje máximo (MAXSC):
5. Longitud del registro a leer (LREC):

1
17
21

Puntaje mínimo que se utilizará es 1.

6. Procedimiento de calibración (KCAB):

1

El procedimiento de calibración que seutilizará es PROX. [El código de selección es:
1 = PROX, 2 = UCON]

7. Opción de calificación (SCORE):

0

Los datos ya están calificados.

Se deben formar subgrupos de al menos 10
personas para analizar el ajuste del ítem.
Puntaje máximo que se utilizará es 17.
Los datos provienen de las primeras 21
posiciones del registro de persona. [Lacolumna selecciona la tarjeta (enumerada enla Tabla 3.2.1 debajo de "COLUMNA
SELECCIONADA")
especifica
las18
columnas de las respuestas de la prueba.][El código de control es: 0 = datos a calificar
en forma dicótoma de acuerdo con la clave derespuestas correctas; 1 = los datos son enteros
sucesivos; 2 = calificar como "correcto", si elvalor de respuesta es igual o menor que laclave suministrada, en caso contrario secalifica como "Incorrecto"; 3 = calificar como"correcto", si el valor de respuesta es igual omayor que la clave suministrada, en caso
contrario se califica como "incorrecto".]

La Tabla 3.2.2 proporciona las frecuencias de respuesta de cada ítem para cada valor de
respuesta. Esta tabla puede acomodar hasta cinco valores de respuesta que especifique elusuario. Un valor de columna “desconocido" registra la cuenta de todos los demás valores
encontrados. La columna final es para la clave. La clave especifica el valor declarado comocorrecto cuando los datos aún no se han calificado. Como muestra la Tabla 3.2.2, los datos de la
PCK se ingresaron como previamente calificados, por lo tanto la clave correcta está formada por
un vector de “1” como se tiene en las Tablas 3.2.1 y 3.2.2. Cada ítem se identifica a la izquierda
por su número secuencial en el orden original de los ítems de la prueba, como son leídos por
BICAL. El nombre del ítem sirve como identificación y está formado por cuatro caracteres. Parala PCK se asignó el nombre del ítem de acuerdo con la cantidad de golpes requeridos.
La Tabla 3.2.2 permite examinar las respuestas observadas para detectar las discrepancias
obvias respecto de nuestro plan de prueba y con ello sugerir posibles explicaciones para losdesajustes graves. La distribución de las respuestas sobre los distractores en ítems de opción
múltiple, puede revelar la influencia indebida de algunos distractores en particular. Los efectos
que genera un tiempo insuficiente aparecen en la acumulación de respuestas en la columna
DESCONOCIDO hacia el final de la prueba. Los efectos relativos a la inexperiencia en responder
un examen aparece como acumulación de respuestas DESCONOCIDO en los ítems iniciales(ítems uno o dos), de la prueba.
Vemos nuevamente en la Tabla 3.2.2 lo que ya aprendimos en la Tabla 2.3.1, a saber, que losprimeros tres ítems son contestados correctamente por las 34 personas, que el ítem 18 no fue
respondido correctamente por ninguna persona y que hay un cambio rápido de respuestas que
pasa de una mayoría correcta a una mayoría incorrecta entre los ítems 9 y 11. Dado que elnombre del ítem proporciona el número de golpes en la serie, vemos que este cambio ocurre
cuando la acción pasa de una serie de cuatro golpes a una de cinco.

48DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASLa Tabla 3.2.3 reporta el proceso de edición. Es un resumen del trabajo de la rutina de edición
que elimina sucesivamente los registros de personas con puntaje cero o perfecto, así como losítems contestados correctamente por todas las personas o que ninguna persona acertó. Este
proceso continúa hasta que todas las personas o todos los ítems sean detectados y removidos. El
proceso de edición conduce a la matriz final de respuestas ítem-persona que pasará a seranalizada.
La Tabla 3.2.3 muestra que inicialmente no había personas con puntajes perfectos o nulos, yque 18 ítems entraron en la corrida del programa, sin que ninguna persona obtuviera un puntaje
inferior a 1 o superior a 17, dejando 34 personas para la calibración (La persona número 35 queaparece en la Tabla 2.3.1 ya había sido eliminada manualmente del conjunto de datos). Los ítems
1, 2 y 3 se eliminaron después en el proceso de edición porque todas las personas los respondieron
correctamente y también se eliminó el ítem 18 porque nadie lo respondió correctamente. Despuésde esta edición, la muestra utilizada para esta calibración sigue siendo de 34 personas, pero
ahora solo quedan los 14 ítems que se pueden calibrar, con el mismo puntaje mínimo de 1 pero
con un nuevo puntaje máximo de 13.
La Tabla 3.2.4 muestra la distribución de las personas sobre los puntajes de la PCK. La escaladel histograma se ajusta de acuerdo con el factor de escala impreso debajo del gráfico. La
distribución de puntajes de las personas brinda una imagen de cómo respondió la muestra depersonas al conjunto de ítems. También muestra qué tan bien “apuntan” estos ítems a laspersonas y cuán relevantes fueron las personas seleccionadas para este calibración. Para obteneruna mejor calibración, las personas deberían estar distribuidas más o menos uniformemente en
un rango de puntajes, alrededor y por encima del centro de la prueba. En nuestra muestra, vemos
una distribución simétrica alrededor de una moda en el puntaje de 7.

CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

49

50

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASLa Tabla 3.2.5 presenta como se distribuyen los ítems por su facilidad. La escala aparece enla parte baja de la gráfica. Los ítems 4 a 9 parecen bastante fáciles, siendo el ítem 8 el más difícilde ellos. El ítem 10 es ligeramente más difícil. El ítem 11 es mucho más difícil seguido de losítems 12 y 13 todavía más difíciles. Por último, los ítems 15, 16 y 17 son tan difíciles que
solamente una persona pudo contestarlos correctamente.

La Tabla 3.2.6 presenta la información estimada. En la parte superior están la dificultad ylos factores de expansión de habilidad obtenidos con PROX. Observe que estos valores son
idénticos a los que se obtuvieron manualmente en el Capítulo 2. En el cuerpo de la tabla, lasprimeras cuatro columnas tienen el número secuencial del ítem, el nombre del ítem, la dificultaddel ítem y su error estándar.

CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA51

La tabla 3.2.7 muestra la medida en lógitos de la habilidad y su error estándar para cadapuntaje en la PCK, con el número de personas de la muestra que obtienen cada puntaje. Podemos
ver la frecuencia de respuestas de las personas de la muestra para cada puntaje bruto, su
habilidad y el error estándar implicado por dicho puntaje. La media de habilidad de la muestra
y la desviación estándar aparecen en el parte inferior de la tabla.

La Tabla 3.2.8 proporciona las curvas características de los ítems y estadísticos de ajuste. Las
pruebas de ajuste se hacen dividiendo la muestra que participó en la calibración en subgruposde habilidades por nivel de puntaje. Se hicieron tres grupos a partir de la muestra de la PCK, las
10 personas con puntajes de 1 a 6, las 12 personas en el puntaje 7 y las 12 personas con puntajes
de 8 a 13. El control sobre el tamaño del grupo y, por lo tanto, el número de grupos utilizados, sedetermina con el parámetro de control NGROP. Una evaluación de la invariancia de la dificultad
de los ítems sobre estos grupos de habilidades se hace comparando las estimaciones de dificultad
de cada ítem sobre los diferentes grupos. Por lo tanto, las pruebas de ajuste son dependientes dela muestra. No obstante, una vez que las estimaciones de dificultad pasan estas pruebas, dichas
estimaciones resultan independientes de la muestra, específicamente de la muestra queintervino para hacer los cálculos. Por supuesto, el hecho de que se obtenga un ajuste exitoso delítem en una muestra no garantiza que se tendrá buen ajuste en otra. Sin embargo, como losgrupos de habilidades dentro de una muestra determinada están ordenados por puntajes,
obtenemos información sobre la estabilidad de las dificultades de los ítems a lo largo de diversas
habilidades y, por lo tanto, podemos ver si nuestros ítems son invariantes sobre estos grupos dehabilidades particulares, lo cual nos permite afirmar que nuestros ítems pueden ser utilizados
como instrumentos objetivos de medición.

52DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

53

En la sección "Curva característica del Ítem CCI" (o ICC por sus siglas en inglés) de la Tabla
3.2.8 tenemos la proporción de respuestas correctas dadas por cada grupo de habilidades paracada ítem. El rango de puntajes y la media de habilidad para cada grupo se tienen en la parteinferior de cada columna. Esperamos que estas CCI crezcan a medida que avanzamos deizquierda a derecha, de los grupos de puntajes de menor habilidad a los de mayor habilidad, comopodemos ver que lo hace la mayoría de los casos de la Tabla 3.2.8. Sin embargo, el Ítem 7 muestra
un patrón inverosímil. ¡La proporción de personas que contesta correctamente en el grupo depuntaje bajo es mayor que la proporción del grupo intermedio!
En el panel del medio de la Tabla 3.2.8 tenemos las diferencias en las proporciones de la CCI
para cada grupo de habilidad entre los observados y los predichos por el modelo de Rasch. Aquí
podemos ver dónde ocurren las mayores desviaciones proporcionales y qué dirección tienen.
Nuevamente, el ítem 7 está desalineado de los otros ítems, especialmente para el grupo dehabilidad más baja.
En la sección "Análisis de Ajuste" de la Tabla 3.2.8, tenemos una serie de ajustes cuadráticos
medios. Estos estadísticos de ajuste son residuos medios cuadráticos estandarizados para las
respuestas ítem-persona promediados sobre las personas y dividido en dos componentes, uno
entre los grupos de habilidades y el otro dentro de cada grupo de habilidades. Estos promedios
cuadráticos aumentan en magnitud por arriba del valor de referencia de 1 cuando la CCI
observada se aleja de la CCI esperada, es decir, cuando muchas personas de alta habilidad fallan
al responder un ítem fácil o demasiadas personas de baja habilidad responden correctamente unítem difícil. La significancia estadística de los valores grandes se puede juzgar comparando la
media cuadrática observada contra su valor esperado de 1 en términos de los errores estándar
esperados que se presentan en la parte inferior de la tabla.
El cuadrado medio "total" evalúa el acuerdo general entre la variable definida por el ítem y lavariable definida por todos los demás ítems en toda la muestra. Solo el ítem 7 estásignificativamente desalineado, con una media cuadrática observada de 1.73, más que tres veces
su error estándar esperado de 0.24 por arriba de su valor esperado de 1.
La media cuadrática “entre grupos” (o intergrupal) evalúa el acuerdo entre lo observado por
la curva característica del ítem y la curva del modelo de Rasch que mejor se ajusta sobre la
habilidad de los grupos. Nuevamente, el ítem 7 está desalineado con una media cuadrática 3.89,
más de tres veces su error estándar de 0.82 por arriba de 1.
La media cuadrática "dentro del grupo" (o intragrupal) resume el grado de desajuste que setiene dentro de un grupo de habilidad una vez que el desajuste “entre grupos" ha sido eliminadodel "total". El ítem 7 muestra un desajuste de 1.52 contra un valor esperado de 1 y un error
estándar de 0.25.
El índice de discriminación que se muestra en la penúltima columna de la Tabla 3.2.8 describe
la tendencia lineal de las desviaciones del modelo a través de grupos de habilidades expresadas
alrededor del valor modelado de 1. Cuando este índice está cerca de 1, entonces las CCI
observadas y esperadas están muy cercanas entre sí respecto de los puntos de referencia
definidos por los grupos de habilidades.
Si el índice es sustancialmente menor que 1, entonces la CCI observada es más plana que laesperada y el ítem particular no logra diferenciar entre las habilidades, en tanto que otros ítems
sí lo hacen. Esta condición, por supuesto, corre al parejo de una baja correlación punto-biserial,o correlación entre la respuesta del ítem y el puntaje total de la prueba. Sin embargo, el índicede discriminación está menos influenciado en su magnitud que la correlación punto-biserial
dependiendo de qué tan centrada o dispersa es la habilidad de las personas en la muestra.
Si el índice es sustancialmente mayor que 1, entonces el ítem aparenta distinguir la habilidad
más claramente que los ítems promedio de la prueba y debería investigarse la causa de esta
inusual "discriminación". Casi siempre se descubre que es causada por la interacción local entre

54DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

una característica secundaria del ítem y una característica secundaria de la muestra, una
condición dependiente de la muestra que, al identificarse, se considera como demasiado
idiosincrática para ser útil en un sistema de medición en general.
Las estadísticas de ajuste en la Tabla 3.2.8 muestran que el Ítem 7 desajusta tanto "entre"
como "dentro" de los grupos de habilidades y que su curva característica es muy plana. Ningúnotro ítem muestra un desajuste significativo. El ítem 14 muestra una baja correlación puntobiserial pero sus estadísticos de ajuste no están desalineados y, al igual que los ítems 15, 16 y
17, su baja correlación punto-biserial se debe principalmente a su dificultad para estas personas.
Observe cómo la magnitud de la correlación punto-biserial fluctúa ampliamente con el nivel de
ICC, ¡independientemente de qué tan bueno sea el ajuste de los ítems!
Esto nos deja con el desajuste que observamos para el Ítem 7. ¿Qué debemos concluir acerca
de este desajuste? ¿Se debe a una deficiencia general del Ítem 7 o se debe a una interacción entreel Ítem 7 y algunos patrones aberrantes de respuesta de las personas? Podría ocurrir que el Ítem7 funcione satisfactoriamente con la mayoría de las personas y que el desajuste observado aquí
se deba a respuestas irregulares de unas cuantas personas. Si ese fuera el caso, podríamos decidir
conservar en la prueba el Ítem 7 y plantearnos, en cambio, la plausibilidad de los patrones derespuesta de estas pocas personas inusuales. Discutiremos más a detalle sobre el ajuste del ítemy de la persona en el Capítulo 4.

CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

55

La Tabla 3.2.9 resume la información de la calibración de ítems en tres arreglos útiles.
Tenemos para cada ítem su nombre, dificultad, índice de discriminación y media cuadrática deajuste total. Aparece primero por orden de serie, después por orden de dificultad y en tercer lugar
por orden de ajuste. Mientras que en el ejemplo de la PCK tenemos solo unos pocos ítems, enpruebas más largas es muy conveniente reordenar los ítems por dificultad y por ajuste porquenos ayuda a encontrar ítems que desajustan al modelo y captar el patrón de desajuste si es que
lo hubiera. En nuestro ejemplo vemos nuevamente que el ítem con el mayor desajuste es el Ítem7, que se nos presenta en la parte inferior del tercer ordenamiento de la Tabla 3.2.9.

3.3 COMPARACIÓN DE PROX A MANO CONTRA PROX POR COMPUTADORA
Ahora podemos comparar los resultados de la estimación de PROX para las dificultades delítem y las medidas de las personas obtenidas a mano contra las producidas por computadora.
Los datos obtenidos a mano con PROX para las dificultades de los ítems y las medidas de laspersonas provienen de las Tablas 2.4.5 y 2.4.6 del Capítulo 2. Los datos en PROX por
computadora provienen de los cuadros 3.2.6 y 3.2.7. Todos los datos se han recogido en las Tablas
3.3.1 y 3.3.2.
En la Tabla 3.3.1, se tiene la calibración de cada ítem obtenida a mano y por computadora.
También se proporciona el error estándar para cada ítem calculado a mano y por computadora.
Los resultados de PROX a mano y PROX por computadora son prácticamente los mismos.

Las medidas de habilidad y sus errores estándar se dan en la Tabla 3.3.2. Nuevamente, lasdiferencias entre los dos métodos son mínimas. Solo los errores estándar de medida muestranuna diferencia de magnitud muy variada. Esta diferencia se debe al uso de una fórmula más
precisa pero también más laboriosa utilizada en la computadora para PROX. Por lo tanto,
excepción hecha de los errores estándar de medida, el muy simple procedimiento PROX realizado
a mano y el más preciso PROX por computadora producen virtualmente los mismos resultados.

56DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

3.4 ANÁLISIS DE LA PCK CON EL PROCEDIMIENTO UCON
Ahora que hemos visto cómo se compara PROX a mano con PROX por computadora, podemosrecurrir a un procedimiento un poco más elaborado pero también más preciso que no es adecuado
para el trabajo manual, pero sí es conveniente y económico de aplicar por computadora. Es elprocedimiento UCON, desarrollado por Wright y Panchapakesan en 1966 (1969), revisado yprobado posteriormente por Wright y Douglas en 1974 (1975b, 1977a) y Wright y Mead en 1975
(1975, 1976). La salida de la computadora de UCON es similar en forma a la de PROX. El análisis
de UCON de los datos de la PCK se muestra en las Tablas 3.4.1 a 3.4.4. Solo se presentan las
tablas que contienen resultados diferentes del análisis PROX.
La Tabla 3.4.1 proporciona los ítems de la prueba con sus calibraciones UCON y sus errores
estándar. UCON usa las dificultades de los ítems obtenidas con PROX como punto de partida,que se incluyen en la columna del extremo derecho de la tabla. La Tabla 3.4.2 muestra la medidade la habilidad obtenida con UCON, asociada con cada puntaje y el error estándar para cadamedida. Los errores estándar más grandes en los puntajes 7 y 8, para habilidades entre  2
lógitos son causados por la distribución bimodal de las dificultades de los ítems que se muestranen la Tabla 3.4.1. Seis de los 14 ítems tienen dificultades por debajo de -3.2 lógitos, mientras que
otros seis tienen dificultades superiores a +1.8 lógitos. Esto deja solo dos ítems que funcionan enel rango de 5 lógitos entre -3.2 y +1.8 y los errores estándar de medida en esa región son por
consiguiente más altos.

CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

57

58

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA59

La tabla 3.4.3 proporciona las Curvas Características de los Ítems que se tienen en la tabla 3.2.8,
las discrepancias de estas CCI respecto de las CCI esperadas por el modelo con base en lasestimaciones de UCON y las medias cuadráticas de ajuste que resultan del análisis del mismo
UCON. La tabla 3.4.4 resume la calibración de UCON en la misma forma que la Tabla 3.2.9
presentó las calibraciones con PROX.

60DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

En el Capítulo 2 demostramos la viabilidad de la calibración manual y mostramos el cálculo
en detalle. Esto se hizo para proporcionar una base para entender la forma en que el programade computadora realiza la misma tarea y la salida de resultados. La comparación de PROX a
mano y PROX por computadora demuestra su comparabilidad. En UCON tenemos un algoritmo
que proporciona una mayor precisión. Nuestro siguiente paso es comparar UCON contra PROX.

3.5 COMPARACIÓN DE UCON CONTRA PROX CON LOS DATOS DE LA PCK.
La Tabla 3.5.1 proporciona las calibraciones y los errores estándar para los datos de la PCK
producidos por los métodos UCON y PROX. Las diferencias de calibración entre UCON y PROX
corren alrededor de  0.3 lógitos. La diferencia entre sus errores estándar es a lo sumo  0.1
lógitos.

La Tabla 3.5.2 proporciona las medidas de las personas y sus errores estándar para UCON y
PROX. Las diferencias en las medidas que se alcanzan entre los métodos UCON y PROX son delorden de  0.7 lógitos.
Vemos que al usar el procedimiento UCON – que es más preciso, porque toma en cuenta las
distribuciones particulares de las dificultades de los ítems y las habilidades de las personas – seproduce una diferencia tangible para los datos de la PCK. Como hemos visto, los ítems de la PCK
tienen una distribución bimodal muy distintiva pero que no es manejada por el procedimiento
PROX. Desde luego, estas diferencias entre PROX y UCON nunca son tan grandes como un error

CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

61

estándar, y por lo tanto no pueden ser consideradas como estadísticamente significativas, sinembargo, podrían preocupar a algunos evaluadores. El origen de estas discrepancias se puede
atribuir a que este ejemplo de la PCK está hecho sobre pocos datos y a la bimodalidad de las
dificultades de los ítems. Para conjuntos de datos más grandes y para distribuciones de dificultadde ítems más uniformes, las diferencias en los resultados que se obtienen con PROX y UCON son
prácticamente inapreciables.

3.6 ALGORITMO INFORMÁTICO PARA PROX
Aquí presentamos una implementación concisa del procedimiento PROX, adecuado para
programarse en computadora:
1. Edite la matriz de datos binarios (o dicótomos) de respuestas persona-ítem de manera
que ninguna persona tenga un puntaje cero o una calificación perfecta, así comoningún ítem tenga cero respuestas correctas o un puntaje perfecto. Esta edición puede
ir más allá de una sola etapa si es que la eliminación de un ítem conduce a eliminar
algunas personas, y viceversa. El resultado final es un vector de puntajes de los ítems
si donde i corre de 1 a L y un vector de frecuencias de puntajes de las personas nr donder va de 1 a L- 1.
2. Haga:xi = ℓn [(N − si )/si ][3.6.1]

L

x. = ∑ xi /L[3.6.2]iyr = ℓn [r/(L − r)][3.6.3]

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

62
L-1

y. = ∑ nr yr /N[3.6.4]r
L

D = ∑(xi − x.)2 /2.89(L − 1)

[3.6.5]iL-1
2

B = ∑ nr (yr − y.) /2.89(N − 1)

[3.6.6]r[3.6.7]G=BD
3. Calcule los factores de expansión:1

X = [(1 + D)/(1 − G)] ⁄2[3.6.8]1

Y = [(1 + B)/(1 − G)] ⁄2[3.6.9]4. Estime las dificultades del ítem como:
di = Y(xi − x.),para

i = 1, L[3.6.10]

5. Con errores estándar de:
1

ES(di ) = Y [ N/ si (N − si )] ⁄2[3.6.11]

6. Las estimaciones de habilidad para este conjunto de ítems están dadas por:para

br = Xyr'r = 1, L − 1[3.6.12]

7. Con errores estándar de:
1

ES(br ) = X [ L/ r (L − r)] ⁄2[3.6.13]

3.7 PROCEDIMIENTO INCONDICIONAL UCONEl modelo de Rasch para observaciones binarias (o dicótomas) define la probabilidad de una
respuesta xvi al ítem i por la persona v como:P{x𝑣i |𝛽𝑣′ 𝛿i } = exp[x𝑣i (𝛽𝑣 − 𝛿i )] / [1 + exp(𝛽𝑣 − 𝛿i )]
donde

xvi=

[3.7.1]

correcto{ 10 sienescaso
contrario

βv = parámetro de habilidad de la persona v,
δi = parámetro de dificultad del ítem i.
La verosimilitud Λ de la matriz de datos ((xvi)) es el productorio (también llamado multiplicatorio
u operador producto) de la Ecuación [3.7.1] sobre todos los valores de v y de i, donde L es elnúmero de ítems y N es el número de personas con puntajes en la prueba entre 0 y L, ya que
puntajes de 0 y L conducen a valores indefinidos para los estimados de habilidad.
N

L

N

L

Λ = exp [∑ ∑ x𝑣i (𝛽𝑣 − 𝛿i )] / ∏ ∏[1 + exp (𝛽𝑣 − 𝛿i )]
𝑣

i

𝑣

i

[3.7.2]CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

63

Al tomar logaritmos y haciendo:
Lpuntaje de la persona v∑ x𝑣i = r𝑣iNyel puntaje del ítem i,∑ x𝑣i = si𝑣

el logaritmo de la verosimilitud λ puede escribirse:
N

L

N

L

λ = ℓn ⋀ = ∑ r𝑣 𝛽𝑣 − ∑ si 𝛿i − ∑ ∑ ℓn [1 + exp (𝛽𝑣 − 𝛿i )]𝑣

i𝑣[3.7.3]i

La reducción de la matriz de datos ((xvi)) a sus marginales (rv) y (si) y la separación de rv βv ysi δi en la Ecuación 3.7.3 establecen la suficiencia de rv para estimar βv y de si para estimas δi, asícomo la objetividad de tales estimaciones.
Es importante reconocer, por supuesto, que aunque rv y si conducen a estimadores suficientes
de βv y de δi, por sí mismos no son satisfactorios como estimadores. El puntaje rv de la persona no
es independiente de las dificultades de los ítems particulares que respondió en la prueba.
Tampoco el puntaje si del ítem es independiente de la distribución de habilidades de las personasque respondieron al ítem. Para lograr la independencia de estos factores locales se requiere
ajustar los valores observados de rv y si para la dificultad relativa del ítem y las distribuciones
de habilidad de las personas hasta para producir lo que deseamos: medidas de las personas
independientes de la prueba y calibraciones de ítems independientes de la muestra.
L

Con la condición lateral∑ 𝛿𝑖 = 0

que restringe la indeterminación del origen en los𝑖parámetros de respuesta, la primera y segunda derivadas parciales de λ con respecto a βv, y δise escriben:L𝜕𝜆= r𝜈 − ∑ 𝜋𝜈i𝜕𝛽𝜈𝜈 = 1, N[3.7.4]iL𝜕2𝜆= − ∑ 𝜋𝜈i (1 − 𝜋𝜈i )𝜕𝛽𝜈2[3.7.5]iN𝜕𝜆= −si + ∑ 𝜋𝜈i𝜕𝛿iyi = 1, L[3.7.6]𝜈N

𝜕2𝜆= ∑ 𝜋𝜈i (1 − 𝜋𝜈i )
𝜕𝛿i2[3.7.7]𝜈donde

𝜋𝜈i = exp (𝛽𝑣 − 𝛿i )/[1 + exp (𝛽𝑣 − 𝛿i )]Estas son las ecuaciones necesarias para estimar la máxima verosimilitud incondicional. Las
soluciones para las estimaciones de dificultad de los ítems en las ecuaciones 3.7.6 y 3.7.7
dependen de la presencia de valores para las estimaciones de habilidad de las personas. Dado
que los puntajes no ponderados son estadísticos suficientes para estimar las habilidades en la
prueba, todas las personas con puntajes idénticos obtienen idénticas estimaciones de habilidad.
Por lo tanto, podemos agrupar a las personas por su puntaje, haciendo que:
br
di
nr

sea la habilidad estimada para cualquier persona con puntaje r,
sea la estimación de dificultad del ítem i,sea el número de personas con puntaje r,

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

64

y escribiendo la probabilidad estimada de que una persona con un puntaje r responda
correctamente al ítem i como:pri = exp (br − di )/[1 + exp (br − di )]N

Entonces[3.7.8]L-1∑ 𝜋𝜈i ≈ ∑ nr pri , en lo que se refiere a las estimaciones.
r𝜈Un algoritmo conveniente para calcular los estimados (di) es:
1. Defina un conjunto inicial de (br) comobr ( 0 ) = ℓn (

r
)
L−r

r = 1, L − 1[3.7.9]2. Defina un conjunto inicial de (di), centrado en d.= 0, como
L

di

(0)

= ℓn (

N − siN − si) − [∑ ℓn (
)] /L
si
si

i = 1, L[3.7.10]idonde br(0) es la máxima verosimilitud estimada de βv para una prueba de L ítems equivalentes
centrados en cero y di(0) es la máxima verosimilitud estimada de δi, igualmente centrada parauna muestra de N personas de igual habilidad.
3. Aplicar el método de Newton-Raphson a la Ecuación 3.7.6 para mejorar cada di de acuerdo
con la expresión:di( j+1 )

= di

(j)

−

−si + ∑L−1
nr prir− ∑L−1
nr prirhasta alcanzar la convergencia en |didondepri ( j ) = exp (br − di

(j)

(j)

( j+1 )(j)(1 − pri ( j ) )

− di

(j)

i = 1, L[3.7.11])][3.7.12]| < .01) / [1 + exp (br − di(j)y el conjunto actual de (br) vienen dados por el ciclo anterior.
4. Recentrar el conjunto de (di) en d.= 0.
5. Usando este conjunto mejorado de (di), aplique el método de Newton a la Ecuación 3.7.4 para
mejorar cada br de acuerdo con esta expresión:b(r m+1) = br ( m ) −−r − ∑Li pri ( m )− ∑Li pri ( m ) (1 + pri ( m ) )hasta la convergencia en |b(r m+1) − br ( m ) | < .01

r = 1, L − 1[3.7.13]CALIBRACIÓN DE ÍTEMS POR COMPUTADORA

donde

65

pri ( m ) = exp(br ( m ) − di )/[1 + exp(br ( m ) − di )][3.7.14]y el conjunto actual de (di) se obtuvieron en el ciclo anterior.
6. Repita los pasos (3) a (5) hasta que las estimaciones sucesivas de todo el conjunto de (di) se
estabilice en
L

∑ (di

( k+1 )

− di

(k) 2

) / L<.00001[3.7.15]ilo cual generalmente ocurre en tres o cuatro ciclos.
7. Use los recíprocos de las raíces cuadradas negativas definidas en la Ecuación 3.7.7 como
estimadores asintóticos de los errores estándar de los estimados de dificultad:
L-1

ES( di ) = [ ∑ nr pri (1 − pri )]−1⁄2

i = 1, L[3.7.16]r

Andersen (1973) demostró que la presencia de los parámetros de habilidad (βv) en la Ecuaciónde verosimilitud de esta aproximación incondicional conduce a estimaciones sesgadas de las
dificultades (δi). Las simulaciones realizadas para probar UCON en 1966 indicaron que almultiplicar los estimadores centrados de las dificultades de los ítems por el factor [(L  1) / L]
compensa la mayor parte de este sesgo. Ver Wright y Douglas (1975b o 1977a) para una discusión
y evaluación del factor de corrección de sesgo [(L  1) / L].

4 EL ANÁLISIS DE AJUSTE
4.1 INTRODUCCIÓN
Los procedimientos para la calibración de los ítems a mano se dieron en el Capítulo 2, losejemplos de salida de las calibraciones hechas por un programa informático se discutieron en el
Capítulo 3. Sin embargo, estos procedimientos de calibración no son más que una parte delanálisis completo de una muestra de datos. El modelo de Rasch hace ciertos supuestos plausibles
sobre lo que sucede cuando una persona responde a un ítem y un análisis completo debe incluir
una evaluación de qué tan bien se ajustan los datos a estos supuestos. Cuando, por ejemplo, una
persona responde correctamente todos los ítems difíciles de una prueba, pero falla en varios ítems
fáciles, estaremos sorprendidos porque nos parecerá un patrón poco plausible de respuestas. Si
bien podríamos examinar a ojo los registros individuales para determinar qué tan plausibles son,en la práctica queremos realizar este tipo de apreciaciones sobre una base sistemática ymanejable. Queremos ser capaces de ser específicos y objetivos en nuestras reacciones ante lasobservaciones inverosímiles.
Incluso si el modelo de medición llega a ajustarse en una aplicación en particular, nopodríamos predecir de antemano qué tan bien otros nuevos ítems (o incluso los viejos)
continuarían funcionando en cada situación en la que podrían aplicarse, ni podríamos saber deantemano cómo responderían todas las personas. Por lo tanto, si somos serios en nuestrosintentos de medir, debemos examinar cada aplicación para ver qué tan bien cada conjunto de
respuestas corresponde con nuestras expectativas del modelo. Debemos evaluar no solo laplausibilidad de las respuestas de la muestra, sino también la plausibilidad de las respuestas decada persona al conjunto de ítems en su prueba. Para hacer esto debemos examinar la respuesta
de cada persona en cada ítem para determinar si es consistente con el patrón general de
respuestas observadas.

4.2. LA MATRIZ DE RESPUESTA DE LA PCKComenzamos el estudio del análisis de ajuste volviendo a la matriz de datos ítems-personasde la Prueba de los Cubos de Knox (PCK) de la Tabla 2.4.1. En esta tabla tenemos las respuestas
editadas y ordenadas de 34 personas a 14 ítems de la PCK. El proceso de edición eliminó losítems acertado por todos o por nadie, así como las personas que responden correctamente todos
o ninguno de los ítems. Las personas e ítems restantes ordenan en forma creciente de aciertos.
Esta matriz de ítems-personas, de 1 y 0, es el registro completo de las respuestas de laspersonas utilizables para esta prueba. Por inspección vemos que la dificultad creciente de losítems de la PCK divide a la matriz aproximadamente en dos triángulos: un triángulo inferior
izquierdo dominado por respuestas correctas significadas por 1 y un triángulo superior derecho
dominado por respuestas incorrectas significadas por 0.
Este es el patrón que esperamos. A medida que los ítems se vuelven más difíciles, recorriendode izquierda a derecha la Tabla 2.4.1, la cadena de aciertos de cualquier persona en particulardebería evolucionar gradualmente hasta terminar en una cadena de fallas en los ítems
demasiado difíciles para dicha persona. Del mismo modo, cuando examinamos el patrón derespuestas para cualquier ítem procediendo de la parte inferior de la Tabla 2.4.1 hacia arriba en

66

EL ANÁLISIS DE AJUSTE

67

la columna del ítem donde las personas se ordenaron por habilidad decreciente, esperamos quela cadena de aciertos evolucione en la parte inferior hasta acabar como fallas, a medida que laspersonas se vuelven demasiado bajas en su habilidad para acertar este ítem.
De nuestra calibración de los ítems de la PCK tenemos estimaciones de las dificultades delítem (di) y de las habilidades (br) asociados con los posibles puntajes (r) en esta prueba. En la
Tabla 4.2.1 mostramos las respuestas de la Tabla 2.4.1 a la que hemos agregado resultados denuestra calibración, las dificultades de los ítems (di) en la parte inferior y las habilidades (br)asociadas con cada puntaje en la columna derecha. Las dificultades de los ítems y los puntajes
de habilidad en la Tabla 4.2.1 fueron las estimadas a mano con PROX en el Capítulo 2.
Observe cómo la Tabla 4.2.1 está organizada en seis secciones para resaltar el patrón derespuestas. Los 14 ítems están divididos en los 7 más fáciles y los 7 más difíciles. Las 34 personas
se dividen en 10 que obtuvieron un puntaje por debajo de siete aciertos, 12 que tuvieron
exactamente siete y otras 12 que tuvieron un puntaje por arriba de siete. En la sección inferior
izquierda solo hay respuestas con 1. Todas las personas con habilidad superior respondieron
correctamente todos los ítems más fáciles. En la sección superior derecha solo hay valores de 0.
Todas las personas de menor habilidad responden incorrectamente los ítems más difíciles. Peroen las otras cuatro secciones hay un patrón de 1 y 0 que debe analizarse.
Cuando examinamos los patrones de respuestas inesperadas "correctas" e "incorrectas" ennuestros datos, encontramos que la Tabla 4.2.1 presenta varias excepciones al patrón de todos
los 1 seguido de todos los 0. Por supuesto, no esperamos que todas las personas fallen por primera
vez en un punto particular y luego continúen haciéndolo en todos los ítems más difíciles. Lo queesperamos es una serie de aciertos y fallas que finalmente conduzca a una serie de fallas
conforme los ítems se van haciendo demasiado difíciles. Sin embargo, algunas de las excepciones
en la Tabla 4.2.1 parecen exceder incluso esta expectativa. Para facilitar su revisión hemos
encerrado en un círculo las respuestas que parecen ser más inesperadas, dado el patrón general.
Las ubicaciones de estas respuestas aparentemente sorprendentes nos llevan a examinar másde cerca algunos de los registros de personas en la Tabla 4.2.1.
Para la Persona 2,

el patrón de respuestas es quizá demasiado razonable: todos los 1
seguidos por todos los 0.

Para la Persona 29,

este patrón, en cambio, es bastante desconcertante; muestra tantofallas en ítems fáciles como acierto en uno difícil.

El patrón esperado lo vemos en los registros de las Personas 12 o 23. Cada registro muestra
una cadena de 1, cerca de los cuales se alternan algunos 1 y 0, seguidos de un cadena de 0.
Si regresamos a los cuatro registros más cuestionables, vemos:
La persona 11,

falló el ítem 4 pero acertó los ítems 5 a 9 antes de fallar todos losítems restantes.

La persona 17,

respondió correctamente el ítem 4, falló en el ítem 5, acertó los ítems
6 a 10 y luego falló los ítems restantes.

Persona 13,

acertó los ítems 4 y 5, falló en los ítems 6 y 7, acertó los ítems 8 a 12
y luego falló en los restantes.

68DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASEL ANÁLISIS DE AJUSTE

La persona 29,

69
acertó los ítems 4 a 6, falló en los ítems 7 y 8, acertó en los ítems 9 a
11, falló en los ítems 12 y 13 y luego pasó el ítem 14 antes de fallar
todos los ítems restantes.

Hay algunos otros registros que también podrían examinarse como los casos de las Personas
3 y 12, pero a medida que echamos una ojeada a esta pequeña matriz, podemos ver que los otros
registros son menos excepcionales.
Ahora que hemos encontrado algunos casos de respuestas posiblemente irregulares, queremos
una forma sistemática de juzgar el grado de excepción que hemos observado en estos patronesde respuesta.
El modelo de Rasch fundamenta la calibración y la medición en dos expectativas: (1) que una
persona más capaz siempre debe tener una mayor probabilidad de éxito en cualquier ítem queotra persona menos capaz, y (2) que cualquier persona siempre debería ser más propensa a
responder mejor un ítem más fácil que uno más difícil. Cuando un patrón observado derespuestas muestra desviaciones significativas a estas expectativas, podemos usar los detallesdel modelo y las estimaciones de personas e ítems para calcular un índice de qué tan inesperado
es un registro de respuestas de cualquier persona en particular o de cualquier ítem.

4.3 EL ANÁLISIS DE AJUSTE A MANOEl primer paso en nuestro análisis de plausibilidad de las respuestas o ajuste (FIT en inglés)consiste en observar la diferencia (bv – di) entre las estimaciones de habilidad bv y la dificultad dipara cada persona e ítem. Cuando esta diferencia es positiva, significa que el ítem debe ser fácil
para la persona. Cuanto más positiva sea la diferencia, más fácil será el ítem y, por lo tanto,
mayor será nuestra expectativa de que la persona tendrá éxito. Del mismo modo, cuando ladiferencia entre la habilidad de la persona y la dificultad del ítem se vuelve más y más negativa,
el ítem debería ser más y más difícil para esa persona, y con ello aumentará nuestra expectativa
de su falla.
Para enfocar nuestra aplicación en estas ideas, hemos tomado de la Tabla 4.2.1 las respuestasde las seis personas con los patrones más inverosímiles a los siete ítems en cuales tienen lugar
sus respuestas poco plausibles. Estas respuestas seleccionadas se presentan en la Tabla 4.3.1.
Con esta tabla podemos estudiar más fácilmente las respuestas "correctas" o “incorrectas" másinesperadas.
Para empezar, podemos tabular el número de respuestas inesperadas para las personas eítems en la Tabla 4.3.1 llegando a un conteo simple con el cual describir lo que está ocurriendo.
Vemos que las personas 13 y 29 están en la peor condición con tres respuestas inesperadas cadauno. Sin embargo, este conteo simple no nos dice cómo ponderar y, por lo tanto, cómo juzgar elgrado en el que estas respuestas son inesperadas.
Una forma en que los estadísticos piensan sobre los resultados de eventos probabilísticos comoel lanzamiento de dados o de una moneda o la forma de obtener un ítem correcto en una prueba,
es definiendo el valor esperado de la variable, que se presenta en cualquier respuesta xvi, para lapersona v en el ítem i, como la probabilidad πvi de que dicha respuesta ocurra. Esto es útil porque,si tuviéramos que obtener una respuesta xvi muchas veces y su génesis estuviera más o menos
gobernada por la probabilidad πvi, entonces esperaríamos que ocurriera un acierto más o menos
πvi número de veces, del mismo modo como se espera que el "6" resulte aproximadamente una
sexta parte del tiempo cuando tiramos los dados o que “cara” aparezca aproximadamente la
mitad de veces que arrojamos una moneda.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

70

Nuestro modelo estima la probabilidad πvi de las instancias de respuesta xvi como
p𝑣i = exp(b𝑣 − di )/[1 + exp(b𝑣 − di )]Dondebv = la medida de habilidad estimada de la persona v

ydi=la dificultad de calibración estimada del ítem i.

Por lo tanto, podemos usar pvi como una estimación del valor esperado de instancias de xvi.
La misma teoría nos dice que la varianza esperada de instancias de xvi es πvi (1 – πvi), que
podemos estimar con pvi (1 – pvi). El resultado es un residuo estandarizado estimado zvi para cadaxvi de1⁄z𝑣i = (x𝑣i − p𝑣i )/[p𝑣i (1 − p𝑣i )] 2 .

[4.3.1]

Para estimar este residuo estandarizado zvi, restamos al valor observado xvi su valor estimado
esperado pvi y estandarizamos esta diferencia residual dividiendo entre
1⁄[p𝑣i (1 − p𝑣i )] 2

EL ANÁLISIS DE AJUSTE

71

que es la desviación estándar binomial estimada a partir de las observaciones. En la medida enque nuestros datos se aproximan al modelo, esperamos que el residuo estimado zvi se distribuya
de forma aproximadamente normal con una media de 0 y una varianza cercana a 1.
Por lo tanto, como un criterio aproximado pero útil para el ajuste de los datos al modelo,podemos examinar hasta qué punto estos residuos estandarizados se aproximan a una
distribución normal, es decir:
z𝑣i ~N(0,1)
o sus cuadrados se aproximen a una distribución ji-cuadrado con un grado de libertad, es decir:
z𝑣i 2 ~ x21
Los valores de referencia de 0 para la media y 1 para la desviación estándar y las
distribuciones de referencia N (0,1) y x12 nos ayudan a decidir cuando los residuos estandarizados
estimados se desvían significativamente de las expectativas del modelo. Este análisis de losresiduos sugerirá si podemos utilizar los ítems para hacer mediciones, o si debemos trabajar más
en ellos y en el diseño de la prueba para alinearlos con las expectativas razonables. También
permitirá identificar a personas que no respondieron a la prueba de manera plausible.
Cuando un residuo cuadrático en particular zvi2 se vuelve muy grande, nos preguntamos sialgo inesperado sucedió cuando la persona  respondió el ítem i. Por supuesto, una sola respuesta
inesperada es menos indicativa de problemas que una cadena de valores inesperadamente
grandes de zvi2. Entonces el impacto acumulado de estos valores tomados sobre los ítems en una
persona o sobre las personas para un ítem, generaría preocupación por la verosimilitud de lamedida de la persona o de la calibración del ítem y, por lo tanto, pondría en duda el significado
de la medición de esa persona o de la calibración de ese ítem.
Tomando en cuenta que xvi, adquiere solo los dos valores de "0" y "1", podemos expresar estos
residuos estandarizados en términos de las estimaciones bv y di.
De la ecuación 4.3.1 tenemos
1zx = (x − p)/[p(1 − p)] ⁄2
1

1

Entonces cuando

x = 0 entonces z0 = (−p)/[p(1 − p)] ⁄2 = −[p/(1 − p)] ⁄2

yx = 1 entonces z1 = (1 − p)/[p(1 − p)] ⁄2 = +[(1 − p)/p] ⁄2 .

Si partimos dep = exp(b − d)/[1 + exp (b − d)]

Entoncesp/(1 − p) = exp (b − d)y(1 − p)/p = exp (d − b).

Por lo tanto e

z0 = −exp[(b − d)/2]

z0 2 = exp(b − d)yz1 = +exp[(d − b)/2]

z1 2 = exp(d − b)o en generalz = (2x − 1) exp [(2x − 1)(d − b)/2][4.3.2]z2 = exp [(2x − 1)(d − b)][4.3.3]1

1

72DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Por lo tanto, exp (b – d) indica lo inesperado de una respuesta incorrecta a un ítemrelativamente fácil, mientras que exp (d – b) indica lo inesperado de una respuesta correcta a unítem relativamente difícil. Los valores de z02= exp (b – d) y z12= exp (d – b) determinarse paracada xvi de valores 0 o 1 y luego pueden acumularse sobre los ítems para evaluar la plausibilidad
de la medida de cualquier persona, o sobre todas las personas para determinar la verosimilitud
de la calibración de cualquier ítem.
Para evaluar las respuestas inesperadas en la Tabla 4.3.1, reemplazamos cada instancia de
una respuesta inesperada por la diferencia entre la medida de la habilidad para esa persona y la
dificultad de calibración para ese ítem. Para la persona 11 en el ítem 4, la respuesta incorrecta
inesperada asociada con la habilidad de persona bv de –1.2 y la dificultad de ítem di de –3.9
produce una diferencia (bv – di) de (–1.2) – (–3.9) = +2.7.
Esta diferencia de 2.7 para la Persona 11 en el ítem 4 se escribe en la posición de la respuesta
inesperada en la matriz de la Tabla 4.3.2 donde también hemos calculado las diferencias paralas otras instancias de respuestas inesperadas en la Tabla 4.3.1.

Las respuestas incorrectas inesperadas se han registrado como (b – d), pero las respuestas
correctas inesperadas se han registrado como (d – b). Esto se debe a que si la respuesta es
incorrecta, es decir, x = 0, entonces el índice de inesperado es exp (b – d), pero cuando la respuesta
es correcta, es decir, x = 1, entonces el índice es exp (d – b).
La evidencia de que la respuesta es inesperada en la Tabla 4.3.2 se muestra con una diferencia
positiva, ya sea (b – d) o (d – b). Los valores correspondientes para z2 se consultar en la Tabla
4.3.3 que proporciona los valores de z02= exp (b – d) para las respuestas incorrectas inesperadaso los valores z12 = exp (d – b) para las respuestas correctas inesperadas. El dato Cx en la Columna
1 de la Tabla 4.3.3 es C0 = (b – d) cuando x = 0 y la respuesta es incorrecta, o también C1 = (d – b)
cuando x = 1 y la respuesta es correcta.

EL ANÁLISIS DE AJUSTE

73*Para las respuestas incorrectas cuando x=0, se tiene C0 = (b – d). Para las respuestas correctas cuando x=1, setiene C1 = (d – b).

74DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Podemos ubicar la diferencia +2.7 en (b – d) para la Persona 11 en el ítem 4 en la primera
columna de la Tabla 4.3.3 y leer el valor correspondiente de z2 en la Columna 2 igual a 15. Este
valor y todos los demás valores para las diferencias en la Tabla 4.3.2 han sido registrados en la
Tabla 4.3.4, que ahora contiene todos los z2 para cada instancia inesperada que hayamos
observado para las seis personas y los siete ítems. En los marginales de la Tabla 4.3.4 están lassumas de estos z2 para cada persona e ítem. Estas sumas indican cuán inesperado es el patrónde respuestas de la persona o del ítem.
En la Columna 3 de la Tabla 4.3.3 tenemos p =1 /(1 + z2), que indica qué tan improbable es larespuesta observada. Esto proporciona un nivel de significancia para la hipótesis nula del ajustede cualquier respuesta particular. Con nuestro ejemplo que tiene una diferencia (b – d) de 2.7
tenemos un nivel de significancia de 0.06 contra la hipótesis nula de que la respuesta de laPersona 11 al ítem 4 esté de acuerdo con el modelo. Los valores están distribuidos
aproximadamente como χ2 con 1 grado de libertad cada uno. Cuando se acumulan sobre los ítems
para una persona o sobre las personas para un ítem, las sumas resultantes se distribuyen
aproximadamente como χ2 con (L – 1) grados de libertad para una persona y (N – 1) grados delibertad para un ítem.
En la Columna 4 de la Tabla 4.3.3 tenemos I = 400p (1 – p), se trata de un índice de la eficiencia
relativa con la que una observación en un valor (b – d) dado puede proporcionar información
sobre la interacción de la persona y del ítem. Este índice se escala por el factor 400 para que déEL ANÁLISIS DE AJUSTE

75

la cantidad de información disponible para la observación como un porcentaje de la información
máxima que podría proporcionar en (b – d) =0, es decir, justo en el objetivo. El porcentaje deinformación en una observación se puede usar para juzgar el valor de cualquier ítem particularpara medir una persona. Esto se puede hacer considerando cuánto de la cantidad de información
se perdería si se elimina ese ítem de la prueba. Por lo tanto, un valor I de 23% para la Persona
11 en el Ítem 4 nos da una indicación de cuánto ganamos al incluir el Ítem 4 en la medición dela Persona 11 o de cuánto perderíamos si elimináramos ese ítem 4.
La forma en que el concepto de información o eficiencia participa al juzgar el valor de una
observación es a través de su relación con la precisión de la medición. La precisión de una
medición depende de la cantidad de ítems que tiene un registro y de la relevancia de cada ítempara una persona en particular. Podemos evaluar de forma simple la contribución que hace cadaítem a nuestro conocimiento de la persona si calculamos el porcentaje que representa respecto
del mejor ítem posible. Eso es lo que proporcionan los valores de I en la Columna 4.
Si el ítem y la persona están cerca el uno del otro, es decir, en el “blanco” u objetivo, entoncesel ítem contribuye más a la medida de la persona que si el ítem y la persona están alejados.
Cuanto mayor sea la diferencia entre el ítem y la persona, mayor será el número de ítems
necesarios para obtener una medida de precisión comparable y, como resultado, menos eficiente
resulta cada ítem.
Por ejemplo, se requieren cinco ítems de 20% para proporcionar tanta información sobre una
persona de lo que podría ser proporcionada por un ítem de 100%. Por lo tanto, cuando (b – d) es
aproximadamente 3.0, se necesitan unas cuatro o cinco veces más ítems para proporcionar tanta
información como podrían proporcionar ítems que estuvieran a menos de un lógito de la persona,es decir, en la región |b – d|<1.
En general, la longitud de prueba necesaria para mantener un nivel específico de precisión
en una medición es inversamente proporcional a la eficiencia relativa de los ítems usados. Laúltima columna de la Tabla 4.3.3 presenta el número L de ítems poco eficientes que sonnecesarios para coincidir con la precisión de 10 ítems que estén justo en el “blanco” u objetivo
esperado4.
Para facilitar el uso de la Tabla 4.3.3, se ha organizado en cuatro secciones:
Justo en el “blanco”
u objetivo|b – d|< 2

La eficiencia del ítem es 45% o mayor, en la región|b–d|<1 es 79% o mayor. El desajuste es difícil dedetectar.

Ligeramente fueradel “blanco”
u objetivo

2 <|b – d|< 3

Eficiencia pobre, menos de 45%. El desajuste se llega
a detectar cuando se acumulan respuestas
inesperadas.

3 <|b – d|< 4

Eficiencia muy pobre, menos de 18%. Incluso las
respuestas individuales inesperadas pueden indicar
irregularidades significativas en las respuestas.

4 <|b – d|Eficiencia virtualmente nula, menos de 7%. Las
respuestas inesperadas son siempre inaceptables.

Fuera del “blanco”
u objetivo
Extremadamente
lejos del “blanco” uobjetivo

La palabra “target” usada por los autores para designar a la persona o grupo focales de la prueba, se podría
denominar el “blanco” o la “diana” en el caso de un tiro al blanco, pero esta denominación no pareció
suficientemente apropiada para el sentido de la traducción y por ello se optó por usar “objetivo”.
4

76DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

4.4 REGISTROS DESAJUSTADOS EN LAS PERSONAS
Al examinar los renglones de la Tabla 4.3.4 ante valores altos de z2 en los registros de laspersonas, hallamos que los valores acumulados más grandes se tienen con las personas 13 y 29.
Se trata de las dos personas cuyo patrón de respuestas es más cuestionable y por ello revisaremos
sus registros con mayor detalle.

EL ANÁLISIS DE AJUSTE

77

La Tabla 4.4.1 detalla los vectores de respuesta para las personas 13 y 29 sobre los 14 ítems.
Para cada persona mostramos sus respuestas de 0 o 1, sus diferencias calculadas (b – d) o (d – b),dependiendo de si la respuesta es 0 para incorrecta o 1 para correcta, y su valor correspondientede z2. Las sumas de la fila de z2 para la Persona 13 y la Persona 29 son, casualmente, 53. De
acuerdo con el modelo, estos valores z2 acumulados deberían seguir una distribución ji-cuadrado
con 1 grado de libertad por cada z2 menos el grado de libertad necesario para estimar la medidab de la persona.
Además, cualquier suma de z2, cuando se divide por sus grados de libertad, debe tener una
distribución de la media cuadrática con la expresión v = Σ z2/f, que puede ser convenientemente
evaluada conforme al estadístico t:2v = ∑ z /fyf= L−11

t = [ℓn(v) + v − 1][f/8] ⁄2 ~ N(0,1)[4.4.1][4.4.2]que se aproxima a una distribución normal unitaria.
Para la Persona 13 tenemos:
14

v13 = ∑ z2 13i /(14 − 1) = 53/13 = 4.1ipara cual1

t13 = [ℓn(v13 ) + v13 − 1][13/8] ⁄2 = [1.4 + 4.1 − 1][1.3] = 5.8,
que es un valor bastante improbable para t, si el rendimiento de esta persona estuviera ajustado
al modelo.
Para la Persona 29 observamos los mismos resultados y el mismo estadístico t. Con un
desajuste tan importante parece razonable diagnosticar ambos registros como fuentes de datos
inaceptables, tanto para la medición de estas dos personas como para la calibración de los ítems.

4.5 REGISTROS DE ÍTEMS DESAJUSTADOS
También podemos ver en la Tabla 4.3.4 que los Ítems 7 y 6 muestran el mayor desajuste,especialmente el Ítem 7 que tiene un valor acumulado z2 de 54. En la Tabla 4.5.1 analizamos los
vectores de datos completos de estos dos ítems, mostrando para cada persona la respuesta de 0 o
1, los datos asociados (b – d) o (d – b) y sus respectivos z2.
34v7 = ∑ z 2 𝑣7 /(34 − 1) = 57/33 = 1.7𝑣para cual1t 7 = [ℓn(v7 ) + v7 − 1][33/8] ⁄2 = [0.5 + 1.7 − 1][2.0] = 2.4
que es un valor de t que parece igualmente improbable, si el ítem estuviera ajustado al modelo.

78DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASEL ANÁLISIS DE AJUSTE

79

Para el ítem 634

v6 = ∑ z 2 𝑣6 /(34 − 1) = 29/33 = 0.9𝑣para el cual1t 6 = [ℓn(v6 ) + v6 − 1][33/8] ⁄2 = [− 0.1 + 0.9 − 1][2.0] = 0.4,
que obviamente no es un desajuste significativo.
Encontramos que la media cuadrática para el Ítem 7 es significativa pero que la media
cuadrática del ítem 6 no lo es. Sin embargo, si examinamos nuevamente la Tabla 4.5.1, vemos
que las dos personas 13 y 29, cuyo desajuste es significativo, son quienes más contribuyen al
desajuste de estos dos ítems. En este momento tenemos la oportunidad de mejorar el ajuste delos datos al modelo, ya sea eliminando el Ítem 7 y observando lo que sucede o eliminando a laspersonas 13 y 29.

4.6 BREVE RESUMEN DEL ANÁLISIS DE AJUSTE
Para cualquier respuesta de la Persona v al Ítem i
xvi = 0 si es “incorrecto” yxvi = 1 si es “correcto”
El residuo cuadrático medio estándar se convierte en
z2𝑣i = exp(b − d), para xvi = 0, incorrecto, yz2𝑣i = exp(d − b), para xvi = 1, correcto.
Para evaluar el ajuste general de la persona v, sumados su vector de residuos cuadráticos
estandarizados (zvi2) sobre los ítems de la prueba de i = 1, L y calculamos su estadístico dedesajuste personal como:L2
v𝑣 = ∑ z𝑣i/(L − 1)~FL−1, ∞[4.6.1]icon
1t 𝑣 = [ℓn(v𝑣 ) + v𝑣 − 1][(L − 1)/8] ⁄2 ~N(0,1)[4.6.2]

Para evaluar el ajuste del Ítem i, sumamos el vector de residuos cuadráticos estandarizados(zvi2) del ítem sobre la muestra de personas de v = 1, N y calculamos el estadístico de desajuste
como:
N
2
vi = ∑ z𝑣i/(N − 1)~FN−1, ∞𝑣

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

80
con
1

t i = [ℓn(vi ) + vi − 1][(N − 1)/8] ⁄2 ~N(0,1)[4.6.4]

4.7 ANÁLISIS DE AJUSTE POR COMPUTADORA
En el análisis de ajuste hecho a mano, vimos que ciertos registros de personas e ítems tenían
residuos que hemos calificado como significativos. Después de haber mostrado los procedimientos
para el análisis de ajuste a mano pasamos al análisis por computadora y volvemos a nuestra
calibración de la PCK con los 18 ítems y las 34 personas. En la calibración de la PCK vemos enla sección izquierda de la Tabla 4.7.1, que la media cuadrática de ajuste del Ítem 7 produce elmayor desajuste con un valor de 1.98 no muy lejos del valor 1.7 encontrado en nuestro cálculo
manual. Del análisis de desajuste de las personas sabemos que las personas 13 y 29
contribuyeron grandemente a este desajuste en el Ítem 7. Si careciéramos de esta información almomento de hacer la calibración, podríamos haber considerado desechar al ítem 7 debido a su
alto valor cuadrático medio y decidido recalibrar la prueba con el Ítem 7 eliminado. Al hacer esto,
se obtienen los resultados que se encuentran en la sección central de la Tabla 4.7.1. Ahora vemos
que el ítem 6 alcanza un desajuste de 2.73 a pesar de que previamente tuvo una media cuadrática
de 0.90, que ajustaba bien cuando hicimos la calibración de los 14 ítems. Este cambio en el estadodel ítem 6 es problemático. No parece que tenemos un buen conjunto de ítems. Sin embargo,demos un paso más y recalibremos una vez más, pero esta vez eliminando los dos Ítems 7 y 6.
Los resultados están en la sección derecha de la Tabla 4.7.1. Por desgracia, ahora nos
encontramos que el ítem 8 se ha desajustado. Estos intentos de encontrar un conjunto adecuadode ítems parecen estar condenados al fracaso.

EL ANÁLISIS DE AJUSTE

81

Supongamos, en cambio, que una vez terminada la primera calibración de los ítems de la PCK,
decidimos evaluar el ajuste de las personas. El análisis por computadora para el ajuste de laspersonas que se muestra en la Tabla 4.7.2, también identifica que las personas 13 y 29 son lasque producen los mayores estadísticos de desajuste. Así que volvamos a recalibrar los 14 ítems
completos, pero con estas dos personas eliminadas. Ahora, en la Tabla 4.7.3, vemos que lasmedias cuadráticas son lo suficientemente pequeñas en todos los ítems como para dejarnos
satisfechos. Quitando los dos registros de las personas inadecuadas hemos conseguido que todoslos ítems estén en buen acuerdo con el modelo.

82DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASParece claro que fueron los registros de respuestas impredecibles de estas dos personas losque produjeron que nos parecieran desajustados primero el ítem 7 y luego el ítem 6. Por lo tanto,
hemos aprendido que si eliminamos ítems de manera sucesiva sin analizar el ajuste de laspersonas, podemos llegar a creer que los ítems desajustan cuando, de hecho, son los registros derespuesta de unas pocas personas irregulares los que están causando los problemas. El tamaño
de muestra utilizado en nuestro ejemplo es muy pequeño, lo cual exagera el impacto de las dos
personas irregulares, pero incluso las muestras grandes no borran por completo la posible
influencia contaminante de los registros de personas irregulares, con la agravante de que en una
muestra grande los registros defectuosos pueden ser muy difíciles de detectar y, por lo tanto,
seguir siendo desconocidos a menos que se realicen rutinariamente pruebas explícitas de ajustede las personas.

5 CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE
5.1 GENERALIZANDO LA DEFINICIÓN DE UNA VARIABLE
En los capítulos 2, 3 y 4 hemos mostrado cómo exponer y evaluar las relaciones entre losinstrumentos que intentan hacer una medición, es decir, los ítems de la prueba y los objetos que
pretende medir, es decir, las personas. Esto nos prepara para el presente capítulo, que se ocupa
de la manera de definir una variable.
Con un procedimiento de calibración viable y un método para la evaluación del ajuste, resulta
práctico dirigir nuestra atención a una actividad mucho más importante, a saber, el análisis
crítico de los ítems calibrados para ver si implican la posibilidad de que una variable sea
generalizable en forma útil. Queremos saber si nuestros ítems calibrados se distribuyen demanera que muestren una dirección coherente y significativa. Si no se distribuyen de ninguna
manera entonces todo lo que hemos logrado es definir un punto, tal vez en alguna variable o tal
vez no. Pero la variable en sí misma, cualquiera que esta sea, podrá seguir siendo oscura.
Ahora intentaremos mostrar cómo se pueden usar los ítems calibrados para definir una
variable y cómo saber si tiene sentido la definición operacional resultante de esa variable.
Comenzaremos examinando el grado en que la dispersión de las dificultades de los ítems excede
sustancialmente el error estándar de sus estimaciones, es decir, el grado en que los datos le dan
una dirección a la variable. Por ejemplo, supongamos que consideramos las estimaciones de dos
dificultades de ítems con sus respectivos errores estándar. ¡Para que estos dos ítems puedan
definir una línea entre ellos, deberían tener una diferencia entre sus estimaciones
sustancialmente mayor que el error estándar de esta diferencia! Solo si las dos estimaciones
están bien separados por varios de estos errores estándar comenzaremos a ver una línea entre
los dos ítems que sugieren una dirección para la variable que definen.
Sin embargo, si la comparación estas dos estimaciones no difieren más que en uno o dos
errores estándar, entonces se superpondrían sustancialmente y, por lo tanto, no podríamos
asumir que estos dos valores difieren y por ello no definirían una dirección para la variable. En
cambio, los dos ítems pueden definir un punto, pero sin dirección.
La figura 5.1.1 ilustra esto. En el Ejemplo 1 tenemos los ítems A y B separados entre sí porvarios errores estándar. Incluso con dos ítems ya comenzamos a ver una dirección para lavariable, al menos como lo permiten estos dos ítems. En el segundo ejemplo, sin embargo,encontramos dos ítems tan cerca uno del otro que, teniendo en cuenta sus errores estándar, noson separables. Hemos encontrado un punto. Pero no se ha establecido ninguna dirección, por lo
que no puede implicarse una variable.
Como ejemplo de definición de la variable, continuaremos nuestro estudio de los datos de la
PCK a ver qué tan bien sus ítems logran definir una variable y qué variable parece ser.

5.2 DEFINICIÓN DE LA VARIABLE DE LA PCK.
Los ítems de la PCK se integran por una serie de golpes que crece en longitud aumentando elnúmero de golpes y crece en complejidad por la distancia entre golpes consecutivos y el número
de inversiones en la dirección del movimiento.

83

84

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

En la Figura 5.2.1 se tienen los 18 ítems que componen originalmente a la PCK. Cada ítemse describe por un nombre numérico, correspondiente a la serie de golpes y al patrón de orden dedichos golpes.
La Tabla 5.2.1 se centra en los 14 ítems de la PCK que fueron calibrados en los Capítulos 2 y
3. Los ítems 1, 2 y 3 no están incluidos porque fueron demasiado fáciles para las 34 personas dela muestra y el ítem 18 tampoco está incluido por ser demasiado difícil. La tabla 5.2.1 proporciona
los nombres de los ítems, las series de golpes, las dificultades de los ítems y sus errores estándar.
El rango de dificultades de estos 14 ítems va desde -4.2 lógitos a +4.6 lógitos.
Las dificultades de los ítems en la Tabla 5.2.1 los hacen cuantitativamente explícitos para
nuestra definición de la variable de la PCK ubicando los 14 ítems en sus posiciones calibradas alo largo de la recta de la variable. Esto se hace en la Figura 5.2.2. Debido a que varios ítems
tienen la misma dificultad o están muy cercanos en términos de sus errores estándar,
difícilmente pueden distinguirse, por lo que solo estamos mostrando los ocho ítems que mejor se
ubican a lo largo de la variable de la PCK. Los semicírculos en la Columna 2 de la Figura 5.2.2
muestran una tolerancia de un error estándar alrededor de cada dificultad estimada. Podemos
ver que los ítems 4, 6, 8 y 10 definen el extremo fácil de la variable. Luego hay una brechaindefinida bastante amplia en el medio. Finalmente, los ítems 11, 12, 14 y 16 definen el extremo
difícil. Los patrones de golpes en la columna 3 describen el movimiento que se realiza a lo largo
de la variable en términos del incremento en el número de golpes y de la complejidad del patrón.
La columna 4 da la distribución a lo largo de la variable de la PCK de las 34 personas queparticiparon en la calibración inicial.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

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86

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

87

Vemos que la mayoría de las personas de la muestra se encuentran en el centro de la prueba.
Pero eso es justo en esa zona donde tenemos una gran brecha en los ítems de prueba. Hemos
descubierto algo importante y útil para nosotros, a saber, que nuestro instrumento de prueba esmás débil en el punto donde está la moda de nuestra muestra. Resulta claro que, si queremos
discriminar entre la mayoría de las personas encontradas en el rango medio de la PCK, entonces
debemos construir algunos ítems adicionales cuya dificultad se encuentre dentro del rango medio
y que serán más apropiados para medir las habilidades dentro de este rango medio.

5.3 INTENSIFICAR Y EXTENDER LA VARIABLE DE LA PCKPara mejorar la medición a lo largo de la variable de la PCK, especialmente en el rango medio,
se requiere un mayor desarrollo de los ítems. Necesitamos ítems que llenen el vacío en ladefinición original de la variable y necesitamos ítems más fáciles y más difíciles para extenderel rango de la variable. Sin embargo, dado que toda nuestra muestra contestó acertadamente lostres ítems más fáciles, extendiendo la variable de la PCK hacia niveles más fáciles puede resultar
tarea difícil. Tendríamos que localizar algunas personas mucho menos capaces que lasdisponibles entre las 34 de la muestra original para poder calibrar ítems más fáciles. Por otrolado, solo hay un ítem de la PCK en el cual fallaron todas las personas de nuestra muestra.
Podría ser útil intentar agregar algunos ítems más difíciles que los ítems 15, 16 y 17, bajo elsupuesto de que con una muestra de personas más capaces podríamos obtener calibracionesútiles de estos ítems más difíciles y así extender la variable de la PCK hacia valores más altos.

88DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

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Con estas consideraciones en mente, se emprendió el desarrollo de la variable de la PCK. Se
conservaron los 18 ítems originales de la PCK y se agregaron diez nuevos ítems. La PCK original
proviene de la Forma II de la escala de puntajes de Arthur 5. Examinamos la Forma I y
encontramos tres ítems que no se usan en la Forma II (Arthur, 1943). A estos tres ítems se lesagregaron siete más. Cinco ítems fueron diseñados para llenar la brecha en el rango medio,
cuatro ítems fueron diseñados para extender la variable de la PCK hacia arriba y se esperaba
que uno de los ítems de la Forma I pudiera ubicarse cerca de los ítems 5, 6 y 7 anteriores. Las
series de golpes para estos ítems adicionales y sus ubicaciones en la variable de la PCK semuestran en las Figuras 5.3.1 y 5.3.2.
La Figura 5.3.1 muestra el ítem de la Forma I y los cinco nuevos ítems diseñados para llenarla brecha entre los viejos ítems 10 y 11 de la PCK, a su vez, la Figura 5.3.2 presenta los cuatroítems diseñados para extender la PCK hacia la región del Ítem 18. El resultado es una nueva
Forma de prueba, la PCKB, que contiene los 18 ítems originales junto con los 10 ítems nuevos.
Este nuevo instrumento de 28 ítems se administró a una muestra de 101 personas y se calibraronlos ítems 2 a 25. El ítem 1 siguió siendo demasiado fácil y los ítems 26, 27 y 28 fueron demasiado
difíciles para ser calibrados.
La columna 6 en la Tabla 5.3.1 proporciona las calibraciones de la nueva PCKB. El resto dela tabla 5.3.1 muestra la relación entre la PCK original y las calibraciones de la nueva PCKB.
La Columna 1 contiene los nombres de los 14 ítems originales de la PCK. La columna 2 muestra
sus calibraciones originales tomadas de la Tabla 3.4.4. Se observa en la Columna 6 que ahora
hemos obtenido calibraciones de los ítems 2, 3 y 18 de la PCK original, tres de los ítems originales
que no pudieron calibrarse en nuestro primer estudio con 34 personas.
La columna 3 de la Tabla 5.3.1 aplica el ajuste necesario para que las calibraciones previas
de la PCK queden alineadas con sus nuevas calibraciones en la nueva PCKB. Esto se hacerecorriendo o trasladando las calibraciones en la columna 2 con el valor constante 0.4 que es laposición media de la PCK original en las nuevas calibraciones de la PCKB. Esto causa que la
Columna 3 y la Columna 5 tengan la misma media de 0.4.
En la Tabla 5.3.1 vemos que los nuevos ítems 12 a 16 de la PCKB caen más o menos donde seesperaba, aunque tal vez un poco hacia el lado fácil. El ítem 25 de la PCKB junto con el ítem 18
de la PCK amplía el alcance de la variable de la PCK en 2 lógitos más hacia arriba, pero no hemos
encontrado a nadie que responda exitosamente a los ítems 26, 27 y 28 de la PCKB.
La Figura 5.3.3 compara las dificultades de los ítems que aparecieron tanto en las
calibraciones hechas con la PCK y con la PCKB. Cada uno de los 14 ítems se encuentra en la
Figura 5.3.3 con su par de estimaciones de dificultad. Si los ítems se ajustan al modelo demedición, entonces esperamos que estas estimaciones de sus dificultades sean estadísticamente
equivalentes.
Por lo tanto en la medida en que los 14 puntos caigan sobre la recta de identidad, se estaría
probando la invariancia de estas 14 dificultades. Como se muestra en la figura 5.3.3, los 14
puntos se encuentran dentro de las líneas de control de calidad del 95%. Este es el patrón al cualel modelo dice que deben aproximarse los ítems para ser útiles como instrumentos de medición.

NT. Se utiliza la palabra “forma” como sinónimo de “batería” de ítems que integran una “versión” o “cuadernillo”
de una prueba.
590DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

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DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

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DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

5.4 LÍNEAS DE CONTROL PARA GRÁFICAS DE IDENTIDAD
La Figura 5.3.3 contiene un par de líneas de control de calidad del 95% que nos ayudan a ver
qué tanto los 14 puntos que representan a los ítems se ajustan a la expectativa de nuestro modelo
de invariancia en la dificultad del ítem. En la gráfica que se utiliza para evaluar la invariancia
de la dificultad de los ítems y, por lo tanto, la calidad de los ítems, estas líneas del 95% facilitan
ver de qué manera se alinean los puntos de los ítems de la gráfica con la identidad esperada.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

95

La figura 5.4.1 muestra cómo se dibujan las líneas de control de calidad. Cada gráfica compara
una serie de pares de calibraciones de los ítems. Cada ítem tiene una dificultad d i y un error
estándar si de dos calibraciones independientes en las que apareció el mismo ítem. Por lo tanto,para cada ítem i contamos con los pares de valores (di1, si1) y (di2, si2). Dado que cada par decalibraciones se aplica a un ítem, esperamos que las dos dificultades d i1 y di2 permitan estimarla misma dificultad δi una vez que se haya hecho una sola traslación necesaria para establecer
un origen común a ambos conjuntos de ítems. También esperamos que el error de estas
estimaciones pueda ser estimado por medio de si1 y si2.
Tenemos un estimador estadístico para probar el grado en que los dos valores di estiman lamisma dificultad δi, es decir:
1⁄

t i12 = (di1 − di2 )/(si 21 + si 22 ) 2~N(0,1)[5.4.1]

1⁄

en el cual (si 21 + si 22 ) 2 estima el error estándar esperado de la diferencia entre las dos
estimaciones independientes di1 y di2 del único parámetro δi. Podemos introducir esta prueba dela calidad de cada punto en la gráfica dibujando las líneas de frontera o límites de control decalidad aproximadamente a dos errores estándar a cada lado de la línea de identidad.
Dado que la unidad de error estándar de diferencia paralelo a cualquier eje de la trama es
1⁄(si 21 + si 22 ) 2
la unidad de error perpendicular a la línea de identidad de 45 grados debe ser1⁄(si 21 + si 22 ) 2
Dos unidades de error perpendiculares a la línea de identidad en cada dirección producen un par
líneas de control de aproximadamente 95% de calidad. La distancia perpendicular Di1 2 entre
estas líneas de control de calidad y la línea de identidad se puede escribir:
1⁄

Di1 2 = 2[(si 21 + si 22 )/2] 2[5.4.2]

Cuando si1 y si2 son suficientemente similares de modo que la media de sus cuadrados sea
aproximadamente igual al cuadrado de sus medias, es decir.
(si 21 + si 22 )/2 ≃ [(si 2 + si 2 )/2]2

entonces la distancia Di1 2 de la línea de identidad a un límite de confianza del 95% puede
aproximarse por:
1⁄

Di1 2 = 2[(si 21 + si 22 )/2] 2≃ 2[(si1 + si2 )/2] = si1 + si2 .
Por lo tanto, para los ítems i = 1, K están disponibles sus pares de calibraciones y pueden
dibujarse las distancias (si1 + si2) perpendiculares a la línea de identidad, partiendo de cada punto(que representa a cada ítem), con ello se pueden localizar las líneas de confianza del 95% que
permiten evaluar la estabilidad general de las calibraciones de los ítems representados en la
gráfica.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

96
5.5 CONECTANDO DOS PRUEBASEl método habitual para equiparar pruebas se basa en la igualación de puntajes equipercentilares. Este procedimiento requiere una muestra de personas lo suficientemente grande
y lo suficientemente distribuida para asegurar una definición adecuada de cada conexión depuntaje a percentil. Con la medición de Rasch es posible contar con un método más económico ycontrolado para construir un banco de ítems. Se pueden insertar enlaces de 10 a 20 ítems
comunes en lo que podrían ser pruebas diferentes. Cada prueba puede administrarse a su propia
muestra de personas y ninguna persona necesita responder más de una prueba. Pero todos losítems en todas las pruebas pueden relacionarse posteriormente conectado a través de la red deenlaces (o eslabones) de ítems comunes.
Comencemos con un ejemplo simple tradicional para equiparar (igualar) dos pruebas A y B
de 60 ítems que podrían administrarse simultáneamente a una muestra de al menos 1200
personas como se representa en la parte superior de la Figura 5.5.1. Este es un plan probablepara obtener una definición detallada de percentiles de puntajes, necesaria para la equiparación
exitosa de percentiles. Cada persona debe responder ambas pruebas, es decir, 120 ítems.
Por el contrario, un enfoque de Rasch podría hacer el mismo trabajo haciendo que cadapersona responda una sola prueba de 60 ítems. Para lograr esto, una tercera prueba C de 60ítems está compuesta por 30 ítems de cada una de las pruebas originales A y B. Luego cada una
de estas tres pruebas se da a una muestra de 400 personas como se muestra en la parte inferior
de la Figura 5.5.1. En este caso, cada persona responde una sola prueba, pero se calibran los 120
ítems juntos a través de los dos enlaces (o eslabones) de 30 ítems que conectan a las tres pruebas.
El trabajo que tiene cada persona al responder la prueba es tan solo la mitad del requerido por
el plan de equiparación (o igualación) equi-percentilar.
Al equiparar (o igualar) las calificaciones separadas de cada prueba con el modelo de Rasch,se produce un par de dificultades para cada eslabón o ítem de enlace. De acuerdo con el modelo,las estimaciones en cada par es estadísticamente equivalente excepto por una sola constante detranslación común a todos los pares del enlace. Cuando se unen dos pruebas, A y B, mediante un
enlace (o eslabón) común de K ítems, cada prueba se administra a su propia muestra de N
personas, y diA y diB son las dificultades estimadas del ítem i en cada prueba, con errores estándar
de aproximadamente 2.5/N½, entonces la única constante necesaria para trasladar todas las
dificultades de los ítems al calibrar la Prueba B respecto de la escala de la Prueba A es
K

GA B = ∑(di A − di B )/K[5.5.1]i

con un error estándar de aproximadamente 3.5/(NK)½ lógitos.
La calidad de este enlace puede evaluarse mediante el estadístico de ajusteK∑(di A − di B − GA B )2 (N/12) [K/(K − 1)]∼χ2K[5.5.2]iel cual, de acuerdo con el modelo debe distribuirse aproximadamente como ji-cuadrado con K
grados de libertad.
El ajuste individual de cualquier ítem en el enlace puede ser evaluado por esta expresión:(di A − di B − GA B )2 (N/12)[K/(K − 1)]∼χ21[5.5.3]que según el modelo debe tener aproximadamente una distribución ji-cuadrado con un grado delibertad.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

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98

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Al usar estos estadísticos ji-cuadrado para juzgar la calidad del enlace, no debemos olvidar
cómo se ven afectados por el tamaño de la muestra. Cuando N excede unos 500 casos, losestadísticos ji-cuadrado pueden detectar defectos del enlace tan pequeños como para hacer quela diferencia sea tangible en GA B. Cuando las muestras de calibración son grandes, es más útilla raíz cuadrática media para medir el desajuste. Este estadístico puede usarse para estimar elaumento en lógitos que ocasionan los defectos del enlace en el error de calibración.
Al decidir cómo evaluar el ajuste del enlace debemos tener en cuenta que una incertidumbre
aleatoria de menos de 0.3 lógitos en la dificultad de un ítem no implica ningún efecto práctico enla medición de la persona (Wright y Douglas, 1975a, 35-39). Debido a la manera en que el tamaño
de la muestra interviene para el cálculo de la dificultad del ítem y, por lo tanto, en la evaluaciónde la calidad del enlace, podemos inferir que una muestra de 200 personas y un enlace de 10
buenos ítems, siempre serán más que suficientes para supervisar la validez de enlaces mayores
a 0.3 lógitos. De manera práctica hemos descubierto que podemos construir bancos de ítems
útiles con unidades muestrales tan pequeñas como 100 personas.

5.6 CONSTRUCCIÓN DE BANCOS DE ÍTEMS
A medida que establecemos y ampliamos la definición de una variable al agregar nuevos ítems
tenemos los elementos iniciales para construir un banco de ítems. Con una planificación
cuidadosa, podemos agregar sistemáticamente nuevos ítems y de esta manera construir un bancode ítems calibrados útiles para una amplia variedad de aplicaciones de medición. A medida queaumenta el número de ítems, se multiplican los problemas para administrar el banco. No es solo
la cuestión de qué tan bien seleccionamos y combinamos los ítems y las personas, sino cómo
gestionamos eficazmente la colección resultante de ítems calibrados. El modelo de medición deRasch proporciona una aproximación concreta bien definida para la gestión del banco de ítems.
La estructura básica necesaria para calibrar un conjunto de ítems en una sola variable es por
medio de un ítem común de enlace de un ítem común compartido por el conjunto de ítems deenlace de la prueba de enlace, que conecta a dos pruebas que, en otras condiciones, seríancompletamente diferentes. Una prueba fácil y una prueba difícil podrían estar vinculadas por un
conjunto de ítems comunes como se ilustra en la Figura 5.6.1. En este ejemplo, los ítems de enlace
son los “difíciles” de una prueba FÁCIL pero al mismo tiempo serían los ítems "fáciles" en la
prueba DIFÍCIL.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

99

Con dos o más pruebas de enlaces podemos construir una cadena del tipo mostrado en la
Figura 5.6.2. Hay que reconocer que la representación en la Figura 5.6.2 es incómoda. La
estructura de enlace puede ser representada de modo más conveniente por medio del esquemamás simple en la Figura 5.6.3 que enfatiza los enlaces y facilita hacer diagramas con estructurasmás complicadas.
Debe considerarse que el número de ítems de un banco y el rango de sus dificultades puede
crecer mucho más allá de la posibilidad de administrarle una prueba a una persona, por ello lacadena de ítems debe ser fraccionada en Formas (baterías de ítems o cuadernillos de prueba) que
sean manejables tanto en su longitud o número de ítems y en el rango de sus dificultades. En lafigura 5.6.3 cada círculo indica una prueba suficientemente corta en el rango de dificultades que
es manejable por una muestra de personas elegida convenientemente. Cada línea que conecta a
un círculo representa un enlace de ítems comunes compartidos por las dos pruebas a las que se
une. Las pruebas crecen en dificultad en sentido horizontal a lo largo de la variable y son dedificultad comparable en el sentido vertical.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

100

Pueden construirse tres enlaces para describir un circuito cerrado (o bucle) como el que se
presenta en la Figura 5.6.4. Este circuito (bucle) es una estructura de enlace importante porqueagrega una prueba de enlace adicional que sirve para dar coherencia al conjunto. Si los tres
enlaces del circuito son consistentes, entonces la suma de las tres traslaciones de enlace debería
ser aproximadamente cero.
(GA B + GB C + GC A ) ≃ 0
Observe que GA B significa el paso desde la Prueba A hacia la Prueba B a medida que
recorremos el circuito en sentido de las manecillas del reloj, de modo que GC A significa el paso dela prueba C de regreso a la prueba A. La estimación de cero significa "estadísticamente" que lasuma de los pasos entre prueba debe ocurrir en cero con menos de uno o dos errores estándar. El
error estándar de la suma GA B + G B C + GC A será aproximadamente:1

3.5(1/NA B KA B + 1/NB C KB C + 1/NC A KC A ) ⁄2
en el que las N son los tamaños de muestra de calibración y las K son el número de ítems en cadaenlace.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

101

Con cuatro o más pruebas, podemos construir una red de circuitos. Por ejemplo, una secuencia
de pruebas creciente en dificultad podría calibrarse comúnmente mediante una serie de enlaces
de conexión como se muestra en la Figura 5.6.5. Estas diez pruebas marcan siete niveles dedificultad entre las pruebas A y la D. Esta red podría conectar diez pruebas de 60 ítems por medio
de diecinueve enlaces de 10 ítems para cubrir 600 - 190 = 410 ítems. Si se contara con 200
personas para cada prueba, entonces los 410 ítems podrían evaluarse para una posible
calibración conjunta de las respuestas de solo 2,000 personas. Aún en el caso de tan solo 1,000
personas, es decir, 100 por prueba, se dispondría de una estimación sustancial de lasposibilidades de construir un banco de ítems para disponer de lo mejor de esos 410 ítems.

Los bloques de construcción de la red de pruebas son circuitos (bucles) de tres pruebas cadauno. Si un circuito se ajusta al modelo de Rasch, entonces la suma de sus tres traslaciones debería
ser cero, dentro de uno o dos errores estándar. Por lo tanto, el éxito de la red para el enlace delas calibraciones de los ítems se puede evaluar a partir de las magnitudes y direcciones de lassumas de los circuitos (bucles). Con ello se pueden identificar regiones inestables y se pueden
definir acciones para evitarlas o mejorarlas.

102DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

La utilización de redes de pruebas puede conducir a bancos con numerosos ítems comunes
calibrados, con una gran dispersión de dificultades, de mayor amplitud a lo que una sola persona
pudiera manejar. Los bancos resultantes, debido a la calibración de sus ítems en una variable
común, pueden proporcionar los recursos necesarios para tener una prolífica familia de pruebasútiles, largas o cortas, fáciles o difíciles, muy espaciadas en las dificultades de los ítems oenfocadas a un rango corto, todas igualadas automáticamente en sus respectivas medidas.
Estos métodos para producir bancos de ítems pueden aplicarse a pruebas existentes, si fueron
construidas cuidadosamente. Supongamos dos series de pruebas consecutivas no superpuestas
A1, A2, A3, A4 y B1, B2, B3, B4 que queremos igualar mediante el modelo de Rasch. Las ocho pruebas
pueden equipararse conectándolas con nuevas pruebas intermedias X, Y, Z, integradas por ítems
comunes a ambas series, como muestra la Figura 5.6.6. Inclusive en una etapa de planificación,
las series de pruebas A y B de la figura 5.6.6, podrían vincularse directamente incluyendo losítems comunes en cada prueba de acuerdo con el patrón propuesto en Figura 5.6.7.
Dado que la coherencia es una preocupación vital en la construcción de un banco de ítems,
estamos especialmente interesados en vincular estructuras que maximicen el control estadístico
sobre la coherencia conjunta de todas las calibraciones de ítems. Las redes maximizan lacantidad de enlaces entre Formas de pruebas, haciendo que cada una se enlace con el mayor
número posible de Formas. En el caso extremo, se puede construir una especie de “armadura” (ored)6, que es un tipo más complejo de red en la que cada ítem individual de una Forma de prueba
la relaciona con todas las demás.

N.T. Se toma como “red” la traducción de “network” y “armadura” para “web”, que sería un entramado o red máscompleja. Dado que “armadura” es poco usual en el área de evaluación español, se adoptó también la traducciónde “red”.
6

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

103

Para ilustrar tomemos un pequeño banco donde usamos 10 ítems por Forma de prueba en una
armadura (o red) en la cual cada uno los 10 ítems aparece en una de las otras 10 Formas deprueba diferentes. El conjunto completo de 10 + 1 = 11 Formas constituye una armadura (o red)tejida con 11  10/2 = 55 ítems individuales de enlace. Cada una de las 11 Formas está entretejida
con todas las demás Formas. El patrón se parece a la imagen de la Figura 5.6.8.
Este diseño de banco puede denominarse de armadura (o red) "completa" porque cada Formaestá tejida con todas las demás. Sin embargo en el diseño de redes útiles hay tres restricciones
que afectan su construcción: la cantidad total de ítems que queremos calibrar en el banco, el
número máximo de ítems que podemos combinar en una sola Forma y la medida en que el banco
que tenemos en mente se extiende en dificultades más allá de la habilidad de cualquiera de laspersonas.
Las condiciones de examen y la habilidad de las personas que responden a cada una de lasFormas de prueba limitarán la cantidad de ítems que podemos incluir en una sola Forma. Por lo
general, sucede que queremos calibrar muchos más ítems de los que podemos utilizar en una
armadura (o red) completa como la de la Figura 5.6.8. Hay dos esquemas posibles para incluirítems adicionales. El esquema más simple, aunque no el mejor estadísticamente, consiste endiseñar una armadura (o red) completa "nuclear" que utilice una parte de los ítems que podemos
incluir en una sola Forma de prueba. Luego completamos el resto de la Forma hasta la longitudo número de ítems requeridos con ítems adicionales "etiquetados". Estos ítems etiquetados
fueron calibrados en el banco junto con los ítems de enlace en sus respectivas Formas de prueba.

104DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

A diferencia de los ítems de enlace que siempre aparecen en dos Formas, los ítems etiquetados
aparecen solo en una de las Formas y, por lo tanto, no brindan ayuda para vincular otras Formas
en un solo banco calibrado con ítems comunes.
Otra posibilidad, que es mejor estadísticamente, consiste en incrementar el número deFormas utilizadas mientras se mantiene fijo el número de ítems de cada Forma de prueba hasta
el límite requerido. Esto abre la armadura (o red) de manera sistemática, pero utiliza dos vecescada ítem lo cual permite que el par de datos de cada ítem pueda ser utilizado para evaluar lacoherencia de las calibraciones del banco. La figura 5.6.9 muestra una red "incompleta" para eldiseño de 21 Formas de prueba con 10 ítems cada una, similar a la de la Figura 5.6.8, pero con
casi el doble de ítems utilizados en la armadura (o red) incompleta.
La armadura (o red) incompleta en la Figura 5.6.9 es adecuada para vincular un conjunto deFormas de pruebas paralelas. Sin embargo, cuando el banco de ítems tenga un alcance superiora la habilidad de cualquiera de las personas, no bastará ninguna de las armaduras (o redes
mostradas) en las Figuras 5.6.8 y 5.6.9 porque no podremos combinar ítems de los extremos
fáciles y difíciles en las mismas Formas. Los triángulos de enlace de ítems en las esquinas
superiores derechas de las Figuras 5.6.8 y 5.6.9 no serán funcionales y tendrán que sereliminados. Para mantener el equilibrio del enlace a lo largo de la variable, tendremos que haceralgo en cada extremo de la armadura (o red) para completar las Formas más fáciles y difíciles demodo que los extremos puedan enlazarse tan fuertemente como ocurre en la parte central. La
figura 5.6.10 muestra cómo hacerlo sistemáticamente para 21 Formas secuenciales. Todavía
tenemos 10 ítems por Forma de prueba pero ahora solo las Formas adyacentes están enlazadas
entre sí. No hay ítems comunes que enlacen las Formas más fáciles directamente con las Formas
más difíciles. Pero en el rango de la variable, las Formas de prueba que tienen dificultades
cercanas entre sí quedan entretejidas con el número máximo de ítems de enlace.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

105

Cada ítem de enlace en las redes que se muestran en las Figuras 5.6.8, 5.6.9 y 5.6.10 podrían
referirse a un conglomerado de dos o más ítems que aparecen juntos en cada una de las dos
Formas que enlazan. A veces, el diseño o el formato de impresión de los ítems los obliga aagruparse en conglomerados. Esto sucede generalmente en las pruebas de comprensión lectora
donde los conglomerados se refieren a un texto o pasaje a leer. También ocurre de manera naturalen las pruebas de matemáticas o en las que piden la recuperación de información, donde losconglomerados están referidos a gráficas comunes. Resulta evidente que la presencia deconglomerados aumenta la longitud (o número de ítems) de cada Forma de prueba por un factor
igual al tamaño del conglomerado.
El análisis estadístico de una red construida para un banco se simplifica si dicha red es tan
completa como la de la Figura 5.6.8. Las medias por renglón de la matriz de enlaces entre lasFormas son estimadas por mínimos cuadrados de las dificultades de las Formas de prueba. Solotenemos que ser cuidadosos con los signos. Si la celda Gj k estima la diferencia en dificultad (δ j – δ k)entre las formas j y k, con las dificultades de las Formas centradas en cero, de modo que δ. = 0,
entonces:M

Gj . = ∑ Gj k / M ≈ 𝛿jk

Las medias por renglón de la matriz de enlace calibran las Formas de prueba en una variable
común. Una vez que se obtiene la dificultad de cada Formas, solo se deben agregar a las
dificultades de los ítems dentro de ellas para llevar todos los ítems a la variable común que estácompartida por dichas Formas.

106DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Las armaduras (o redes) incompletas en las Figuras 5.6.9 y 5.6.10 requieren que estimemos
las medias de los valores de los renglones de una matriz con datos faltantes. La simetría oblicua
de las matrices de enlace ayuda a la solución de este problema que puede hacerse de manera
satisfactoria por iteración o regresión.

5.7 TRANSFERENCIA AL BANCO DE DATOS DE LA PCKB
La PCKB es una prueba corta que puede ser aplicada de manera práctica a 101 personas paraque contesten los 23 ítems, lo cual nos da la matriz de respuesta ilustrada en la Figura 5.7.1. Sin
embargo, la mayoría de los proyectos de bancos de ítems involucran la calibración de cientos deítems contestados por miles de examinados. Resulta imposible pedir a cada persona que responda
a cada uno de los ítems. Afortunadamente la construcción de un banco de ítems no requiere una
tarea tan agobiante. Como vimos en la Sección 5.6, los ítems pueden unirse por medio de una redde enlaces. En general, hay dos tipos posibles de equiparación de Formas de prueba: por personas
comunes y por ítems comunes.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

107

Una manera de enlazar Formas separadas es administrarlas a la misma muestra de personas.
Podemos ilustrar la equiparación con "personas comunes" con nuestros datos de la PCKB, paraello definimos dos pruebas secuenciales no superpuestas, FÁCIL y DIFÍCIL, y localizamos atodas las personas que produjeron respuestas medibles simultáneamente en ambas pruebas.
Este es un intento de equiparación vertical de una prueba fácil y una prueba difícil y podemos
esperar que las personas con puntajes utilizables en ambas pruebas sean escasas. Con nuestro
ejemplo de la PCKB, solo tenemos 29 de las 101 personas. La imagen de esta equiparación por
personas comunes en la Figura 5.7.2 muestra el núcleo de 29 personas de la muestra total que
une dos partes no superpuestas de la PCKB, con una prueba FÁCIL DE 9 ítems y una pruebaDIFÍCIL de 8 ítems.

108DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Una mejor manera de equiparar Formas de prueba es mediante el uso de ítems comunes. Este
enfoque para la PCKB se muestra en la Figura 5.7.3. Allí mostramos ocho ítems fáciles
conectados a nueve ítems difíciles por medio de un enlace de seis ítems que produce una FormaFÁCIL + ENLACE de 14 ítems que responden las 50 personas de puntaje más bajo y una Formade 15 ítems ENLACE + DIFÍCIL respondido por las 51 personas con el puntaje más alta.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

109

5.8 EQUIPARACIÓN CON PERSONAS COMUNES EN LA PCKB
Entre las 101 personas que respondieron los ítems 3 a 25 de la PCKB encontramos dos Formas
secuenciales que no se intersectan, llamadas FÁCIL y DIFÍCIL, en las cuales se tuvieron 29
personas con puntajes utilizables en ambas Formas de prueba. La Forma FÁCIL se hizo a partirde los ítems 5 a 11, 13 y 15. La Forma DIFÍCIL se hizo con los Ítems 12, 14, 16 a 20 y 22. Las 29
personas fueron aquéllas que permanecieron después de eliminar a las personas de puntajes
perfectos en la prueba FÁCIL y las personas de bajo puntaje eliminadas por haber tenido
puntajes nulos en la prueba DIFÍCIL.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

110

Las medidas de estas 29 personas en cada Forma de prueba constituyen los datos de personas
comunes para enlazar las Formas FÁCIL y DIFÍCIL en una sola. La diferencia entre las dos
medias de habilidad permite estimar el corrimiento requerido para llevar las Formas FÁCIL yDIFÍCIL a una escala común. Los parámetros estadísticos de habilidad para las 29 personas en
cada Forma de prueba son:Media de habilidad
Desviación estándar

Forma FÁCIL

Forma DIFÍCIL

1.49
0.80

-0.57
0.43

Diferencia
2.06

El procedimiento de equiparación es el siguiente:
1. Use la diferencia observada en la media de habilidades de la muestra 1.49 – (–0.57) = 2.06
como la diferencia de dificultad estimada entre las dos Formas de prueba.
2. Distribuya proporcionalmente esta diferencia sobre los nueve ítems de la Forma FÁCIL ylos ocho ítems de la Forma DIFÍCIL de modo que la dificultad promedio de los 17 ítems se
reduzca a cero.
Para los nueve ítems FÁCILES use[(17 – 9) / 17] (2.06) = 0.97
Para los ocho ítems DIFÍCILES use[(17 – 8) / 17] (2.06) = 1.09
3. Lleve las dos Formas de prueba a una escala común restando 0.97 a la dificultad de cadaítem de la Forma FÁCIL y sumando 1.09 a la dificultas de cada ítem de la Forma DIFÍCIL.
Estos cálculos se muestran en la Tabla 5.8.1. La columna 1 contiene el nombre de los 17 ítems
de la PCKB que fueron utilizados en las formas FÁCIL y DIFÍCIL. La columna 2 presenta lascalibraciones separadas de los ítems para la Forma FÁCIL. La columna 3 da las calibraciones
separadas para la Forma DIFÍCIL. Debido a que estas calibraciones separadas están centradasen su propia Forma de prueba, la suma de las columnas 2 y 3 es igual a cero.
Para referir las calibraciones de las Columnas 2 y 3 a una escala centrada de personas
comunes se requiere restar 0.97 de las dificultades de ítems de la Forma FÁCIL en la Columna
2 y agregar 1.09 a las dificultades de los ítems de la Forma DIFÍCIL en la Columna 3. Esto sehace en las Columnas 4 y 5, dando como resultado una escala de personas comunes para los 17ítems centrados en 0.0.
Para evaluar la eficacia de la equiparación con personas comunes, obtuvimos una calibración
combinada de los 17 ítems para las mismas 29 personas. La Columna 6 presenta las calibraciones
de referencia y la Columna 7 muestra las diferencias entre la escala de personas comunes y laescala de referencia.
La figura 5.8.1 compara la escala de personas comunes y la escala de referencia. Las pequeñas
diferencias entre las dos escalas permiten ver que la técnica de las personas comunes puede
producir resultados equivalentes a la calibración combinada de ambas pruebas.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

111

112

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

5.9 EQUIPARACIÓN CON ÍTEMS COMUNES EN LA PCKB
Para ilustrar la equiparación de ítems comunes hemos dividido los 23 ítems de la PCKB en
tres partes: FÁCIL, ENLACE y DIFÍCIL. La Forma FÁCIL + ENLACE contiene ocho ítems
FÁCILES y seis ítems de ENLACE para hacer una prueba fácil de 14 ítems. La Forma ENLACE+ DIFÍCIL contiene los seis ítems ENLACE comunes más nueve ítems DIFÍCILES que hacen
una prueba difícil de 15 ítems.
Cada una de estas Formas de prueba fue calibrada en muestras separadas. La Forma FÁCIL
+ ENLACE fue calibrada con las 50 personas con puntaje más bajo y la Forma ENLACE +DIFÍCIL fue calibrada con las 51 personas con mayor puntaje. Estas calibraciones estáncontenidas en la Tabla 5.9.1.
Los pares de calibraciones de los seis ítems de enlace, del 11 al 16, se presentan de nuevo enlas Columnas 2 y 3 de la Tabla 5.9.2. Sus diferencias D = dE – dH se tienen en la Columna 4. La
media de estas diferencias es 4.11, que es la diferencia de dificultad entre la Forma FÁCIL +ENLACE y la Forma ENLACE + DIFÍCIL. Si sustraemos al valor D esta diferencia de 4.11
tendremos los residuos del enlace dado en la Columna 5.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

113

Si estos ítems proporcionan un enlace utilizable, entonces sus residuos deberían distribuirse
alrededor de cero con el error estándar que predice el modelo. Los errores estándar de estos
residuos se calculan por medio de:
2

2

1⁄

SD = (SE + SH ) 2
los cuales están dados en la Columna 6. Los residuos estandarizados
z = (D − 4.11)/SD
se dan en la Columna 7.
La Figura 5.9.1 es un gráfico de las calibraciones FÁCILES de estos ítems de ENLACE contra
sus calibraciones en la Forma DIFÍCIL. Los puntos representan a los ítems que están dentro delas líneas de control de calidad del 95% lo cual demuestra que el corrimiento estimado con baseen este enlace puede ser utilizado usar para conectar las dos formas de prueba.

114DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Nuestro siguiente paso es conectar la Forma FÁCIL + ENLACE a la Forma ENLACE +DIFÍCIL. Para hacer esto conectaremos los dos ENLACES de las Formas FÁCIL y DIFÍCIL. La
Tabla 5.9.3 muestra el método utilizado. En la Columna 1 tenemos el nombre del ítem para cadauno de los 23 ítems de la PCKB. Las dificultades de los ítems desde 3 hasta 10 aparecen en la
Columna 2. Debido a que haremos referencia a todos los ítems a la Forma FÁCIL, registramoslas dificultades para los puntos 3 a 10 directamente en la Columna 6. Para los ítems de ENLACE
11 a 16 tenemos dos conjuntos de dificultades. En la Columna 2 tenemos los estimados dedificultad para ítems 11 a 16 calibrados con los ítems de la Forma FÁCIL. En la columna 3
tenemos los estimados de dificultad para estos mismos ítems obtenidos de su calibración con losítems de la Forma DIFÍCIL.
A las dificultades de ENLACE dH agregamos la diferencia de dificultad de enlace de 4.11. A
continuación hacemos el promedio de las dificultades de ENLACE dE con las dificultades de
ENLACE dH que fueron ajustadas por medio del corrimiento de ENLACE de 4.11. El promediode las dos estimaciones de ENLACE (dE + dH + 4.11)/2 para los ítems 11 a 16 se da en la Columna
5. Ingresamos estos valores en la Columna 6.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

115

116

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Finalmente, para hacer que los ítems de la Forma DIFÍCIL queden en la escala común,
agregamos 4.11 a los ítems 17 a 25 de esta Forma DIFÍCIL y los nuevos estimadores nos permiten
completar la Columna 6. De esta Forma tenemos en esta columna una nueva escala de los ítems
con el promedio de los valores estimados para las dificultades de dos ENLACES y los de los ítems
de las Formas DIFÍCIL y FACIL.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

117

La media de esta escala de ítems comunes en la columna 6 es 2.30, así que restamos 2.30 a la
dificultad de cada ítem de la Columna 6 para centrar la nueva escala en 0.00 como se muestra
en la Columna 7.
Para comprobar la idoneidad de esta equiparación de ítems comunes, compararemos con las
dificultades de los ítems que habríamos tenido si no hubiéramos intentado hacer el enlace sino
utilizado las 101 respuestas de las personas a los 23 ítems. Las dificultades de los ítems comunes
de la Tabla 5.9.3 se dan en Columna 2 de la Tabla 5.9.4. La Columna 3 proporciona lascalibraciones de referencia de los 23 ítems con las 101 personas y la Columna 4 muestra lasdiferencias entre las dificultades de los ítems comunes dC y las dificultades de los ítems en laescala de referencia dR. La gráfica de estos valores se presenta en La Figura 5.9.2 que muestra
cómo todos los ítems están cerca de lo esperado en la recta de identidad.

118DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

5.10 LA VARIABLE DE LA PCK COMO PRUEBA CON REFERENCIA A CRITERIO
Al ubicar los 23 ítems de la PCKB en una sola escala, podemos hacer más explícita ladefinición de la variable de la PCK. Estos ítems que ahora definen a la variable están construidos
por unos cuantos componentes básicos: número de golpes, número de inversiones y distancia total
entre los cubos. Es la Forma en que estos componentes subyacentes evolucionan a lo largo de lavariable lo que documenta el posible significado de las medidas en la variable de la PCK. La
figura 5.10.1 muestra el nivel de dificultad de los ítems de la PCKB junto con su número degolpes, inversiones y distancias.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

119

120

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

121

El renglón 1 de la figura 5.10.1 contiene los ítems de la PCKB ordenados por sus calibraciones enla variable de acuerdo con la escala de lógitos dada en la parte inferior de la figura. El número degolpes para cada ítem se da en el renglón 2. Los ítems 1 y 2 son ítems de dos golpes respondidos
correctamente por la totalidad de 101 personas en la muestra. A medida que avanzamos en la variable,el número de golpes pasa de dos a siete. Debajo del renglón 2, hemos marcado la mediana de dificultad
para cada número de golpes de dos a siete. El renglón 3 muestra el número de inversiones en cadaítem y la mediana de niveles de dificultad. El renglón 4 muestra las distancias entre los cubos queintervienen en cada serie de golpes y sus medianas.
El patrón de golpes, inversiones y distancias de la Figura 5.10.1 muestra cómo la variable de la
PCK se construye a partir de estas operaciones básicas. Esto proporciona una referencia sustantiva,
o criterio, para la variable de la PCK. La imagen resultante nos da una idea de la naturaleza de lavariable que subyace a los ítems individuales. En particular, nos muestra cómo generar más ítems
para cualquier nivel de dificultad que se desee.
También podemos aprender sobre la variable de la PCK viendo cómo se distribuyen en ella las 101
personas en nuestra muestra. En los renglones 5 y 6 mostramos la posición de cada persona en lavariable de acuerdo con su edad en años. Esto nos permite referir la variable a una norma relativa ala mediana de edad de tres a ocho años y nos da una distribución por edades de personas más"maduras" de 9 años de edad o mayores, con una media de 1.3 lógitos y una desviación estándar de
1.9 lógitos. Así, la figura 5.10.1 se convierte en un mapa de la variable que está referido al mismo
tiempo a criterio y a norma.

5.11 CONTROL DE CALIDAD DE LA CALIBRACIÓN DE LOS ÍTEMS
No podemos esperar que los ítems de un banco conserven sus calibraciones indefinidamente o que
funcionen igualmente bien para cualquier persona en la cual se están utilizando. La calidad de lacalibración de los ítems debe ser supervisada continuamente. Esto se puede hacer de manera
conveniente mediante un examen rutinario de las diferencias entre la manera cómo responden en un
momento dado las personas a ítems particulares y cómo esperamos que respondan con base ennuestras calibraciones de los ítems y nuestras medidas de las personas. Estas diferencias son residuos
de las expectativas. Un ítem que tiene un residuo sorprendente puede sugerir que aconteció una
situación anómala en la prueba o que hay alguna persona peculiar. Sin embargo, las tendencias en
los residuos de los ítems pueden ser indicativos de la falla del ítem. Las tendencias a que se presenten
problemas en los ítems, a que cambien su dificultad o a que muestran un sesgo respecto de algunos
grupos de personas, puede ser revelado por medio de un análisis acumulativo de los residuos del ítema lo largo del tiempo, de lugares y de grupos de personas. Los ítems problemáticos pueden eliminarsedel banco o actualizarse en su dificultad.
El objetivo del control de calidad de los ítems es supervisar de manera permanente la estabilidad
de sus calibraciones frente a las posibles influencias ocasionadas por la edad, el sexo, la educación ocualquier otro factor relacionado con las personas y que podría perturbar el funcionamiento de losítems. Un procedimiento de control de calidad requiere que el uso de cada ítem se vea acompañado deinformación sobre aspectos educativos y demográficos que proporcionen una base para analizar cuáles
otras variables pudieran amenazar la estabilidad de la calibración y, por lo tanto, alterar lainterpretación de las respuestas en la prueba. La discusión que sigue se basa en el análisis de ajustedesarrollado en el Capítulo 4.
Para implementar el control de calidad de los ítems, cada vez que se utiliza un ítem registramos
estos elementos:

xvi

la respuesta 0 o 1 de la persona v al ítem ibv

la habilidad estimada para la persona v derivada de su puntaje en cualquier “prueba"
integrada por los ítems calibrados que respondió y(yv)

el vector de información demográfica que caracteriza a la persona v.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

122

Cuando las dos piezas de información xvi y bv se combinan con la dificultad di procedentedel banco de ítems, podemos determinar un residuo estandarizado zvi que dispondrá de toda la
información de esta aplicación del ítem i, que se refiere a la posibilidad de una perturbación ensu funcionamiento.
En general, ese residuo estimado zvi es
1⁄

zvi = (xvi − pvi )/[pvi (1 − pvi )] 2
donde
pvi = exp(bv − di )/[1 + exp (bv − di )]es la probabilidad de acertar estimada para la persona v en el ítem i y, por lo tanto, la estimacióndel valor esperado de xvi con base en el modelo.
Dado que xvi solo puede adquirir uno de dos valores, 0 para una respuesta incorrecta y 1 para
una respuesta correcta, las posibilidades para zvi y su cuadrado zvi2 se limita a las opciones dadas
en Tabla 5.11.1. La improbabilidad de cualquier respuesta particular xvi, como una función de su
zvi2, es 1/(1+ zvi2). En el ejemplo de la PCKB, hay 101 personas que responden 23 ítems. Estas 23
 101 respuestas de ítems por personas implican 2323 posibilidades de tener un desajuste. Sin
embargo, el desajuste solo se comprueba cuando la diferencia entre la habilidad de la persona bv
y la dificultad del ítem di es lo suficientemente grande como para que uno de los valores posibles
para la respuesta xvi se vuelva significativamente improbable. Para que esto suceda la diferencia(bv – di) debe ser por lo menos de tres lógitos. En consecuencia, solo hay unas 500 ocasiones derespuestas ítem por persona en las que podría ocurrir un desajuste.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

123

La tabla 5.11.2 brinda un resumen de las respuestas inesperadas observadas en los datos dela PCKB. La Columna 1 proporciona el rango de la diferencia absoluta entre la habilidad de lapersona y la dificultad del ítem. La Columna 2 expresa esta diferencia como z2= exp (|b – d|) yla Columna 3 convierte z2 a la improbabilidad de respuesta 1/ [1+ z2] que ella implica.

Hemos contado la cantidad de interacciones ítem-por-persona que podrían caer dentro de cadarenglón de la Tabla 5.11.2 y multiplicado este conteo "posible" por su improbabilidad para
estimar el conteo que podríamos esperar si estos datos se ajustaran al modelo. Esto fue hecho almultiplicar (226) x 0.01 ≅ 2, (226 + 133) x 0.02 ≅ (2 + 5) y (226 + 133 + 184) x 0.05 ≅ (2 + 5 + 20).
Los conteos realmente observados en los datos se dan en la Columna 6. Por lo tanto, cuando (b – d) es
mayor que 4.6 lógitos, esperamos dos respuestas improbables y observamos tres. Cuando (b – d)está entre 3.9 y 4.6, esperamos alrededor de cinco respuestas improbables y nuevamente
observamos tres. Finalmente cuando (b – d) está entre 2.9 y 3.8 esperamos cerca de veinte
respuestas improbables pero solo observamos ocho. Estos datos parecen ajustarse bastante bien
al modelo.
Cuando revisamos las 14 respuestas más inesperadas de los ítems y las personas que figuran
en la Tabla 5.11.2, vemos que están bien distribuidos sobre los ítems y las personas. Solo losítems 3 y 7 y las personas 49M y 95M aparecen dos veces y los sexos están igualmente
representados. Debemos concluir que no se ha detectado ningún signo claro de desajuste
sistemático en estos datos.
Sin embargo, al usar el ejemplo de la PCKB para mostrar la aplicación del control de calidad
de los ítems, procederemos con un análisis adicional de las seis respuestas más inesperadas.
Estas respuestas de las personas 49M, 68F, 79M, 83F, 93F y 95M a los puntos 4, 7, 8, 9, 10 y 12
se dan en la Tabla 5.11.3. Para cada una de tales respuestas incorrectas inesperadas cometidas
por las personas capaces al fallar en los ítems fáciles, hemos incluido el valor correspondiente a(bv – di). Además incluimos las características de cada ítem dentro de la variable de la PCK, es
decir, su número de golpes, las inversiones y la distancia, así como las características
demográficas de sexo, edad y grado para cada persona.

124DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

Podemos esperar que las características asociadas con la dificultad de los ítems – eninversiones y distancia – se incrementen conforme los ítems se van haciendo más difíciles. Por
un lado, los seis ítems están en el extremo fácil de la variable. Por otro lado, las seis personas
son adultos relativamente capaces. Esto sugiere que, si se llega a detectar una fuente sistemática
de desajuste, solo sería una ligera tendencia ocasionada por el descuido, o por falta de atención,
entre algunas de las personas mayores que respondieron ítems demasiado fáciles para ellos.
Las matrices de análisis de ajuste, como la de la Tabla 5.11.3, que reúnen las características
de la persona y el ítem en las respuestas más inesperadas, son convenientes para supervisar lacalidad del funcionamiento del ítem. Estas matrices identifican y sugieren correcciones para las
fuentes de falla que ocurren sistemáticamente en los datos.
Los cálculos necesarios para evaluar las respuestas inesperadas se pueden realizar de tres
maneras. Las dos primeras son por computadora con el modelo UCON y el método manualexplicado en Capítulo 4. La tercera manera es con un método de ajuste burdo (también llamado
ajuste crudo o aproximado), que es rápido y a menudo resulta suficiente para efectos prácticos.
Este método burdo de análisis de ajuste consiste en identificar y calcular solo los pocos valores
más grandes de z2 observados en un ítem y luego agregarles un 1 por cada persona que respondea ese ítem. Esto supone que toda la perturbación observada en el ítem se debe a sus residuos
excepcionales, mientras que el resto del patrón se presenta más o menos como se esperaba.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

125

La Tabla 5.11.4 ilustra este método. Ahí hemos tomado de la Tabla 5.11.3 solo el valor de zvi2
más grande observado en nuestros datos de la PCKB y se le agrega un 1 por cada persona que
responde ese ítem, en este caso 100. Esto da zvi2 + 100 = χ2 como el valor de ji-cuadrado para eseítem y vi = χ2/100 como su media cuadrática.
Para ver si este método burdo puede ser útil, lo compararemos con UCON y el método manual
descrito en el Capítulo 4, pero ahora aplicado a estos datos de la PCKB. En esos procedimientos
sumamos los 101 valores de z2 que realmente ocurrieron para hacer nuestro análisis de ajuste deítem y luego dividimos esta suma de cuadrados por sus 100 grados de libertad para obtener las
medias cuadráticas que se muestran en la Tabla 5.11.5.

Los métodos UCON y de ajuste manual se aproximan bastante entre sí. A pesar de que loscuadrados medios del ajuste burdo son algo más grandes en magnitud, son del mismo orden a losde los otros métodos y sus valores son suficientemente cercanos para tener una idea clara sobre
el ajuste relativo de estos seis ítems. La Tabla 5.11.5 sugiere que el método burdo puede ser útilpara hacer un análisis rápido del funcionamiento de los ítems.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

126

5.12 LA VARIABLE DE LA PCK COMO PRUEBA CON REFERENCIA A NORMA
Las normas no son tan fundamentales para calibrar los bancos de ítems como pudieran serlas distribuciones de las estaturas de las personas al construir una escala, pero es útil disponerde algunas características demográficas de la variable definida por el banco de ítems, porquepueden tener implicaciones normativas en circunstancias particulares. Debido al cambio deénfasis, normar una variable con el modelo de Rasch requiere mucha menos información que
normar una prueba. Solo requerimos suficientes ítems para estimar los estadísticos de"normalización" deseados. Una vez normada la variable, cualquier puntaje de cualquier prueba
extraída del banco calibrado queda automáticamente normado respecto de la variable.
A menudo estamos satisfechos con una media y una desviación estándar para cada celda denuestro plan de muestreo normativo. Ambos estadísticos podrían estimarse a partir de una
muestra aleatoria de unas 100 personas que responden a una prueba de tan solo dos ítems. Porsupuesto, una prueba de 10 a 15 ítems hará un mejor trabajo. No solo las estimaciones seránmejores sino que los ítems adicionales arrojarán errores estándar en torno a los estadísticos denormalización con los cuales hacer una prueba de ajuste para la plausibilidad de los datos. Sin
embargo, rara vez serán necesarios más de 15 ítems en una prueba referida a norma. Esto
significa que podríamos referir a la norma a seis variables diferentes dedicando 15 ítems en cadauna de las seis sub-pruebas, como si se tratara de una prueba compuesta de 90 ítems.
Podemos estimar normas por un método corto a partir de datos de frecuencia en los ítems
calibrados del banco, sin tener que medir a las personas individualmente. Esto puede ser útilcuando no resulta pertinente recortar datos de la muestra. Por ejemplo, si buscamos una muestra
de la probabilidad de una población, sería preferible no distorsionar las cualidades de la muestra
eliminando algunas personas solo porque obtuvieron puntajes cero o perfectos.
El procedimiento de normalización por el método corto se realiza trabajando con el modelo
dado un número observado de respuestas correctas para cada ítem calibrado, de este modo:
1. Para cada celda de muestreo en el estudio normativo, seleccione del banco de ítems un
conjunto de K ítems calibrados, suficientemente espaciados en dificultad di para cubrir ladispersión esperada de las habilidades de la celda particular muestreada. Debe observarseque, en principio, cada celda de muestreo tiene su propia prueba normativa.
2. Administre la prueba de K ítems a una muestra aleatoria de N personas de la celda
especificada.
3. Observe el número de personas si que responden correctamente en cada ítem.
4. Calcule el logaritmo natural del momio hi de las respuestas correctas si para cada ítemhi = ℓn [si /(N − si )]i = 1,K[5.12.1]

5. Realice la regresión de los logaritmos de momio hi de las dificultades de los ítems di sobre
los K ítems para obtener el intercepto (u ordenada al origen) A y la pendiente C de la recta
de mínimos cuadrados.
6. Estime la media poblacional M y la desviación estándar SD de las habilidades de la celda:
M = −A/C[5.12.2]2

2

1⁄

SD = 1.7[(1 − C )/C ] 2[5.12.3]

Aplicaremos estos procedimientos a la muestra de 101 personas de la PCKB para ver qué tanbien reproducen la media y la desviación estándar de la muestra que ya hemos estimado de lasmedidas de cada una de las 101 personas, es decir, M’ = 0.19 y SD’ = 2.44.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VARIABLE

127

Tenemos las dificultades di de los ítems 3 a 25 y, por lo tanto, solo necesitamos calcular loslogaritmos naturales de los momios hi de las respuestas correctas observadas para cada uno deestos ítems. Los valores de hi se dan en la Columna 3 de la Tabla 5.12.1 con las dificultades
correspondientes en la Columna 4.
Al hacer la regresión de los logaritmos de los momios de las respuestas correctas contra las
dificultades de los ítems sobre los 23 ítems, obtenemos un intercepto de A = 0.07 y una pendiente
de C = – 0.56.
La Ecuación 5.12.2 estima la media de la muestra como
M = −A/C= −0.07/−0.56= 0.13

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

128

La Ecuación 5.12.3 estima la desviación estándar de la muestra como
2

1⁄

SD = 1.7[(1 − C )/C ] 2
2

1= 1.7[(1 − 0.31)/0.31] ⁄2= 2.54.
Estas estimaciones por el método corto de regresión normativa que dieron 0.13 para la media
y 2.54 para la desviación estándar son satisfactoriamente comparables con los valores de 0.19 y
2.44 calculados al medir cada una de las 101 personas y luego calculando su media y desviación
estándar de la manera habitual.
La gráfica de los logaritmos naturales de los momios de las respuestas correctas contra las
dificultades di de los ítem de la Figura 5.12.1 muestra qué tan bien se ajustan estos datos
normativos recta esperada por el modelo.

6 DISEÑO DE PRUEBAS7
6.1 INTRODUCCIÓN
En el Capítulo 5 vimos cómo establecer la definición operativa de una variable por medio deun banco de ítems calibrados. El siguiente paso es descubrir cómo usar estos ítems calibrados
para construir medidas. Para ello debemos considerar dos preguntas relacionadas. En primer
lugar debemos encontrar la manera de hacer la mejor selección posible de ítems calibrados denuestro banco para hacer que cualquier medida que tengamos en mente sea lo más efectiva
posible. En segundo lugar, a partir de dicha selección de ítems y de un patrón de respuestas
observado en ellos, necesitamos encontrar la manera de evaluar la calidad de esta observacióny, si es válida, cómo extraer de ella la medida que buscamos, junto con su error estándar. La
primera de estas preguntas, la del diseño óptimo de una prueba, es el tema principal de este
capítulo. El Capítulo 7 se encarga de presentar la forma de construir medidas.
6.2 EL OBJETIVO DE LA MEDICIÓN
Cuando planificamos una medición, debe haber una persona o un grupo de personas que
forman el “blanco” u objetivo8 acerca de quienes queremos saber más de lo que ya sabemos. Si
nos preocupamos por la calidad de las mediciones que pretendemos realizar, entonces deberíamos
construir nuestro instrumento de medición con los detalles de este objetivo en mente. Para hacer
esto sistemáticamente debemos comenzar por definir tan claramente como podamos lo queesperamos de nuestro “blanco” u objetivo. ¿Dónde suponemos que está ubicado en la variable?
¿Qué tan inciertos estamos de esa ubicación aproximada? ¿Cuál es la habilidad más baja que
pensamos puede tener nuestro “blanco” u objetivo? ¿Cuál es la más alta? ¿Cómo se distribuyen
entre medio de estos extremos los otros valores posibles?
A veces tenemos conocimiento previo explícito sobre nuestro “blanco” u objetivo. Tal vez
nosotros, u otros evaluadores, lo hemos podido medir antes y por ello podemos sugerir su
ubicación probable y la dispersión directamente en términos de estas medidas previas sobre lavariable y sus errores estándar. Algunas veces podemos usar ítems calibrados a lo largo de lavariable, algunos de los cuales creemos que caen probablemente justo en el objetivo, así como
otros son demasiado difíciles y otros más son demasiado fáciles. Entonces a partir de las
dificultades de estos ítems de referencia podemos tomar indicaciones aproximadas de laubicación probable del centro y los límites de nuestro objetivo.
De una forma u otra, reunimos y clarificamos nuestras suposiciones sobre nuestro “blanco” uobjetivo tan bien como podamos para derivar de ellos el diseño de prueba que tiene la mayor
posibilidad de incrementar nuestro conocimiento sobre dicho objetivo.
Obviamente, si ya sabemos todo lo que queremos saber sobre nuestro “blanco” objetivo,
entonces no tendríamos que medirlo en primer lugar. Sin embargo, no importa lo poco que
sepamos, siempre debemos tener alguna idea acerca de donde está nuestro objetivo. Es esencial
tener la mayor claridad posible acerca de ese conocimiento previo, para diseñar la mejor prueba
posible.

7 Graham A. Douglas colaboró en la preparación de partes de este capítulo. Ver Wright & Douglas, 1975a.
8 Ver nota en la página 75.

129

130

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

La especificación del “blanco” u objetivo es una declaración sobre dónde suponemos que está dicho
objetivo. Expresamos mejor nuestra conjetura si especificamos dónde se encuentra el centro delobjetivo, su supuesta dispersión y tal vez su supuesta forma o distribución. Hagamos:
M = nuestra mejor estimación en cuanto a la ubicación del objetivo
S = nuestra mejor estimación en cuanto a la dispersión del objetivo,
D = nuestra mejor estimación en cuanto a la distribución del objetivo,
entonces podemos describir un “blanco” u objetivo G por la expresión G (M, S, D) y así podemos resumir
nuestro conocimiento previo, y por lo tanto, nuestros requisitos de medición para cualquier objetivo
que deseamos medir, asumiendo de la mejor manera posible, los valores de los tres parámetros
objetivo M, S y D.
Una imagen de un objetivo se da en la Figura 6.2.1. Suponer la ubicación M del objetivo essumamente fácil. Sin embargo, adivinar la dispersión S y la distribución D nos obliga a pensar en ladiferencia que se tiene entre un “blanco” u objetivo cuando se trata de una sola persona, de otro que
es el objetivo en un grupo. Para una persona sola, S puede describir la extensión de nuestra
incertidumbre respecto a la posición donde se encuentra esa persona. Cuanto mayor es nuestra
incertidumbre, mayor es el valor de S.
Si podemos especificar los límites dentro de los cuales nos sentimos bastante seguros de encontrar
a la persona, podemos establecer el valor S de modo que M± kS defina estos límites. Entonces, incluso
si no tenemos una idea clara sobre la distribución D de nuestra incertidumbre entre estos límites,
podemos sin embargo esperar que al menos 1 – 1/k2 de las posibles medidas caiga dentro M± kS.
Si vamos más allá y esperamos que las medidas que creemos posibles para la persona se apilan
cerca de M, entonces incluso podemos estar dispuestos a asumir que una distribución normal es útilpara describir la forma de nuestra incertidumbre. En ese caso, podemos esperar que 0.95 de lasposibles medidas caigan dentro de M± 2S y prácticamente todas ellas caen dentro de M± 3S.
Nos referiremos a estas dos distribuciones objetivo como el intervalo de Tchebycheff y como la
distribución normal. Podríamos considerar otras distribuciones objetivo, pero estas dos parecen cubrir
bastante bien todas las formas de “blanco” u objetivos razonables. Por ejemplo, si llegáramos asentirnos infelices tratando de imaginar nuestro objetivo como aproximadamente normal, entonces
puede ser poco probable que tengamos en mente otra alternativa. Por lo tanto, la alternativa más
probable a un “blanco” u objetivo normal es una distribución desconocida, capturada mejor por unintervalo de Tchebycheff. Es importante comprender que todas las posibles formas del objetivo sepueden representar satisfactoriamente con solo dos alternativas razonables, haciendo que una
solución única al problema del diseño óptimo de una prueba no solo sea posible sino incluso práctica.
Si el objetivo es un grupo en lugar de un individuo, entonces podemos utilizar S y D para nuestra
mejor estimación como la desviación estándar y la distribución de ese grupo. Si pensamos que el grupo
tiene una distribución más o menos normal, entonces la asumiremos como nuestra mejor estimaciónpara D. De lo contrario, siempre podemos recurrir al intervalo de Tchebycheff.
Finalmente, debemos ser explícitos sobre cuán precisa queremos que sea nuestra medición.
Después de todo, este es nuestro motivo para hacer mediciones. Es solo porque nuestro conocimiento
actual sobre nuestro objetivo es demasiado aproximado para satisfacernos que queremos saber deforma más precisa dónde está dicho objetivo y, si es un grupo en lugar de un solo individuo, conocer
su dispersión de manera más precisa. Sin embargo, si el objetivo es un individuo o un grupo, nuestra
decisión sobre el valor esperado del error estándar de medida ESM (o SEM, por sus siglas en inglésStandard Error of Measurement) se hará en términos de individuos, para eso a fin de cuentas, es paralo que medimos realmente.
En el caso de que el objetivo sea una persona, queremos que el SEM sea lo suficientemente máspequeño que S como para recompensar nuestros esfuerzos de medición con un incremento útil en la
precisión de nuestro conocimiento acerca de la posición donde se encuentra esa persona objetivo. En

DISEÑO DE PRUEBAS

131

el caso de un objetivo grupal, queremos disponer de una estimación mejorada no solo de M, elcentro del grupo, sino también de S, su dispersión. La varianza observable de las medidas sobre
los valores estimados del grupo, permiten estimar tanto la varianza subyacente de la habilidad
S2 como la varianza del error de medida SEM2. Nuestra capacidad de ver la dispersión de nuestro“blanco” u objetivo en el contexto del error de medición depende de que podamos distinguir entre
estos dos componentes de la varianza. Puesto que entran en igualmente en la varianza
observable de las medidas estimadas, mientras más pequeño sea el valor de SEM2 encomparación con S2, mejor será nuestra identificación y estimación de S2, que es el componenteasociado con la dispersión del objetivo. Por lo tanto, para todos los objetivos buscamos un SEM
considerablemente más pequeño que S.

6.3 CARACTERISTICAS MÉTRICAS DE LA PRUEBA
Una prueba es un conjunto de ítems convenientemente calibrados que se eligen para formar
de manera conjunta un instrumento de medida. La especificación completa de una prueba es el
conjunto de todos los parámetros que caracterizan a estos ítems. Pero cuando examinamos una
imagen de cómo funciona una prueba para transformar los puntajes observados en medidas
estimadas, vemos que la curva de operación es bastante simple y puede especificarse por medio
de unos cuantos parámetros de la prueba. Sabemos que cuando la forma en que funcionan
nuestros ítems se ajusta al modelo de Rasch, entonces los únicos parámetros que debemos
considerar para determinar las características operativas de una prueba son las dificultades delos ítems. Cuando imponemos una distribución fija razonable sobre estas dificultades, entonces noimporta cuántos ítems usemos, podemos reducir el número de parámetros de la prueba a tan solo tres.

132DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

En la Figura 6.3.1 podemos ver de la forma de la curva operativa de la prueba que sus dos
cualidades notables son su posición a lo largo de la variable, que podemos denominar altura dela prueba y el rango de habilidades sobre las cuales la prueba puede medir de manera más omenos precisa una característica producida en principio por la dispersión de las dificultades delos ítems, lo que denominaremos su ancho o rango
Pero la altura y su ancho o rango no caracterizan a una prueba de manera completa. Si
miramos más de cerca a la forma en que la curva de la prueba transforma los puntajes observados
en medidas inferidas, veremos que hay una discontinuidad en los puntajes observados que es laque determina el incremento más pequeño en habilidad que podemos medir con una prueba en
particular. Esta MDM que es la diferencia más pequeña o Mínima Diferencia Medible (LMD por
sus siglas en inglés Least Measurement Difference) depende de la Mínima Diferencia Observable
MDO (o LOD por sus siglas en inglés Least Observable Difference). Atendiendo a que el menorcambio posible en el puntaje de una prueba es 1, la MDO en puntaje relativo f = r/L será 1/L.
En la sección 6.5 encontraremos que el error estándar de medida, o la menor diferencia aceptable,
SEM también depende del número de ítems de la prueba. De hecho SEM = MDM½. Por lo tanto,para caracterizar finalmente a la prueba, también debemos especificar su longitud.

DISEÑO DE PRUEBAS

133

Por lo anterior, vemos que cualquier diseño de prueba puede definirse más o menos
completamente especificando tres características de la prueba; altura, ancho y largo. Si hacemos:
H = altura de la prueba en la variable, es decir es, la dificultad
promedio de los ítems seleccionados,
W = ancho de la prueba en dificultades de los ítems, es decir, el
rango de sus dificultadesyL = longitud de la prueba en número de ítems,
entonces podemos describir el diseño de una prueba T por la expresión conveniente T (H, W, L).
En la aplicación práctica del diseño óptimo de una prueba, sin embargo, tendremos que
aproximarnos a nuestro diseño óptimo de T para un objetivo G a partir de un conjunto finito deítems disponibles. Para distinguir en nuestra mente lo que es el diseño óptimo de prueba T (H,W, L) y su realización aproximada, describiremos una prueba real como t (h, w, L) donde
h = dificultad promedio de los ítems utilizados en la prueba,yw = estimación del rango de dificultades de los ítems utilizados
en la prueba.

6.4 LA FORMA DE UNA MEJOR PRUEBA
La mejor prueba es la que proporciona mejores medidas en la región en de la cual se espera
realizar la medición9. Medir mejor significa medir de manera más precisa. Un diseño óptimo deprueba T (H, W, L) es el que tiene el error mínimo de medición SEM sobre el “blanco” u objetivo
G (M, S, D) para la longitud dada L (o dicho en forma equivalente, con la L más pequeña para
un valor dado de SEM). ‘Sobre el “blanco” u objetivo’ implica minimizar la distribución de posibles
SEM y, por lo tanto, debe tomarse una postura con respecto a la distribución más probable del“blanco” u objetivo antes de proceder a hacer la minimización de SEM.
Hemos reducido la enorme diversidad de posibles formas centrándonos en dos extremos – elintervalo y distribución normal. ¿Cómo se debe especificar la minimización en cada caso? Para
un objetivo normal parece razonable maximizar la precisión promedio, es decir, minimizar el
SEM promedio, sobre todo el objetivo.
Para decidir qué hacer cuando el objetivo está definido por medio de un intervalo, necesitamos
saber cómo varía el SEM sobre los posibles puntajes de la prueba. Cuando derivamos una forma
exacta para la precisión de la medición, encontramos que para pruebas ordinarias con menos detres lógitos entre elementos adyacentes, se tiene un máximo en la precisión de las mediciones
realizadas en el centro de la prueba y disminuye a medida que la prueba y el objetivo están
descentrados, es decir, cada vez más alejados entre sí. Para pruebas centradas en sus objetivos
esto significa que maximizar la precisión en los límites de un “blanco” dado por un intervalo es
una buena forma de maximizar la precisión sobre el intervalo objetivo. Entonces para “blancos”
u objetivos de intervalo maximizaremos la precisión en los límites del objetivo.
Cuando derivamos el SEM2 de nuestro modelo de respuesta, descubriremos que es el recíproco
de la información sobre la habilidad que suministra la respuesta a cada ítem promediada en la
prueba. Dado que los ítems más informativos son los más cercanos a la habilidad que se mide y
Birnbaum (1968, pp. 465-471) intentó cumplir este requisito. Nuestras ideas son consistente con sus esfuerzos,
pero las hemos llevado a su conclusión lógica y práctica.
9

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

134

las menos informativas son las más alejadas, la precisión sobre el objetivo no solamente dependede la distribución del “blanco” u objetivo, sino también de la forma de la prueba. Por lo tanto, lacuestión de cuál es la mejor prueba también depende de que tomemos una posición con respecto
a la mejor distribución de las dificultades de los ítems en la prueba.
¿Cuáles son las posibilidades razonables? Si queremos medir un objetivo normal, entonces laprueba compuesta por ítems distribuidos en forma normal debería conducir al óptimo deprecisión sobre el objetivo. Esta es la conclusión implícita en el análisis de Birnbaum sobre
maximizar la información (Birnbaum, 1968, p.467).
Sin embargo, las pruebas con distribución normal en los ítems son inapropiadas para serconstruidas. Usar estadísticas de la distribución normal para definir un conjunto de dificultades
de los ítems, es una labor tediosa. Más problemático es el extraño concepto de medición a partirde un instrumento compuesto por ítems distribuidos de forma normal. Una prueba normal sería
equivalente a una vara de medir (o cinta métrica) cuyas marcas están agrupadas en el medio ydispersas en los extremos. Medir con una vara de medir con esta distribución irregular sería
incómodo. A la larga, incluso para “blancos” u objetivos normales, nuestro interés se extiende demanera uniforme sobre todas las habilidades que pueden medirse con una prueba. Una prueba
con los ítems igualmente espaciados es la que mejor sirve a nuestros intereses. Esa es la forma
en que construimos una vara de medir. El diseño de una prueba correspondiente a una vara demedir con marcas uniformemente distribuidas es en la cual los ítems están espaciados de manera
uniforme de lo más fácil a lo más difícil (Birnbaum, 1968, p.466).
Dos distribuciones del “blanco” u objetivo, normal y de intervalo, y dos formas de prueba,
normal y uniforme, producen cuatro combinaciones posibles de objetivo y prueba. Wright y
Douglas (1975a) investigaron de manera muy extensa estas cuatro combinaciones y encontraron
que la prueba normal funciona mejor en un objetivo normal y la prueba uniforme lo hace mejor
en un objetivo de intervalo. Sin embargo, cuando compararon las pruebas normales y uniformes
en objetivos normales, ambas formas de prueba difieren tan poco en la precisión de su medición
que pueden considerarse equivalentes para fines prácticos. En consecuencia, la mejor forma deprueba de propósito general es la prueba uniforme.

6.5 LA PRECISIÓN DE UNA MEJOR PRUEBA
Ahora pasemos a la formulación del modelo de respuesta del error estándar de medida SEM
de modo que podamos establecer explícitamente qué diseños de prueba maximizan la precisión
al minimizar el SEM. Debemos averiguar cómo el diseño de prueba T (H, W, L) influye en el SEM
y cómo podemos variar las características H, W y L de la prueba, como respuesta a una
especificación del G (M, S, D) para minimizar el SEM sobre ese objetivo.
El modelo de respuesta especifica que:pfi = exp(bf − di )/[1 + exp (bf − di )][6.5.1]donde

pfi = probabilidad de una respuesta correcta en f e i, di =bf = habilidad estimada en puntaje relativo f = r / L,
di = dificultad calibrada del ítem i.
La medida bf se estima a partir de una prueba de longitud L con ítems {di} para i = 1, L a travésde la siguiente ecuación (para detalles ver las Secciones 1.5 y 3.7):
L

f = ∑ pfi /L,
ifor f = 1/L, (L − 1)/L

[6.5.2]

DISEÑO DE PRUEBAS

135

con varianza asintótica
L

1/ ∑ pfi (1 − pfi ) = SEM f

2[6.5.3]iEste es el cuadrado del error estándar de medida en el puntaje relativo f.
Vemos que SEMf depende de la suma de pfi (1 – pfi) sobre i. Por lo tanto, es una función de bf y
todos los di. Sin embargo, las fluctuaciones en p (1 – p) son bastante suaves para p entre 0.2 y 0.8.
Para agilizar la comprensión de la composición de SEMf podemos reformularlo de modo que elpromedio de pfi (1 – pfi) sobre i sea un componente y la longitud de la prueba L sea el otro.
1⁄
2

L

SEM f = {L/ [∑ pfi (1 − pfi )]}11(1/L) ⁄2 = (C f /L) ⁄2[6.5.4]i

en el cual

−1

L

Cf = [∑ pfi (1 − pfi )/L]i

En esta expresión, factorizamos en SEM la longitud de prueba L para encontrar un coeficiente deerror cf, independiente de la longitud.
Reanudando nuestro estudio de la curva operativa de una prueba dada en la Figura 6.3.1 vemos∂bque la diferencia menos medible en la habilidad MDM es ( ) MDO. Dado que el menor incremento∂fobservable en el puntaje relativo es 1 / L, todo lo que necesitamos para completar la formulación de la
MDM es la derivada de b con respecto a f, que con base en las ecuaciones 6.5.1 y 6.5.2 es
−1

L

𝜕b
= [∑ pfi (1 − pfi )/L]𝜕f

[6.5.5]iEste es el coeficiente de error Cf, por lo tanto, la diferencia menos medible en el puntaje relativo f es
MDM f ≃ C f /L

[6.5.6]y
1

1

SEM f = MDM f ⁄2 ≃ (C f /L) ⁄2
Con SEMf definida de esta forma, observamos que en lo que respecta a la forma de la prueba, Cf es laque requiere minimización. Esto será cierto ya sea que usemos Cmin para minimizar SEMf dada L opara minimizar L dado SEMf.

6.6 EL COEFICIENTE DE ERROR
Ahora necesitamos saber más sobre este coeficiente de error Cf. El ingrediente esencial de Cf es laexpresión pfi (1 – pfi). Esta es la información Ifi sobre bf contenida en una respuesta al ítem i dedificultad di (Birnbaum, 1968, p.460-68). Su valor promedio es
L

I f. = ∑ Ifi /L = C f−1

ique se calcula sobre los ítems de una prueba y es la información promedio sobre bf por cada ítemincluido en dicha prueba. Por lo tanto, Cf es el recíproco del promedio de la información de la prueba.
Cuanto mayor sea la información obtenida por una prueba menor será Cf y por lo tanto, el SEMf serátambién más pequeño y, por consiguiente, la precisión será mayor.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

136¿Qué valores podemos esperar que tome Cf? Abordemos esta pregunta de dos maneras: entérminos de la influencia de los valores razonables de (bf – di) en pfi y, para pruebas uniformes,en términos del ancho W de la prueba y las probabilidades límite pfi para i = 1, el ítem más fácil,y pfL para i = L, el ítem más difícil. La probabilidad pfi se definió en la Ecuación 6.5.1.
Comenzando con valores razonables de (bf – di), vemos que cuando bf = di donde la diferencia
es cero, se tiene que pfi =1/2, pfi (1 – pfi)=1/4 y Cf =4, pero cuando (bf – di)= –2 se tiene que pfi=1/8,
pfi (1 – pfi)=1/9 y Cf =9. Pero también se tiene que Cf =9 cuando (bf – di)= +2 y pfi =7/8. Dado que
un promedio nunca puede ser mayor que su elemento máximo ni menor de su mínimo, podemosusar estas cifras como límites para Cf.
Cuando−2 < (bf − di ) < +2

entonces

1/8 < pf i < 7/8

y

4 < C f < 9.

[6.6.1]

Volviendo a los límites que podemos derivar para Cf con base en el ancho W de la prueba y las
probabilidades límite pfi y pfL de una prueba uniforme, podemos usar una expresión para Cf en
función de W obtenida por Wright y Douglas, 1975a (ver también Birnbaum, 1968, p.466).
C f w = W/(pf1 − pf L )donde
W = ancho de dificultades de los ítems en una prueba uniforme
pfi = probabilidad de respuesta correcta por bf en el ítem más
fácil en la prueba, y
pfL = probabilidad de respuesta correcta por bf al ítem más difícil
en la prueba.
Cuando bf está contenido dentro de los límites de dificultad de la prueba y W es mayor que 4,
entonces 1/2 < (pfi – pfL) < 1 y Cf w debe estar entre W y 2W, por lo que
Cuandod1 < bf < dL
W>4y

W < C f w < 2W.

entonces[6.6.2]De estas consideraciones se deduce que SEM=(C/L)½ está acotado por
1

1

2/L ⁄2 < SEM < 3/L ⁄2para cualquier prueba en la que−2 < (bf − di ) < +2,
y por
1

1

(W/L) ⁄2 < SEM < (2W/L) ⁄2
para pruebas uniformes cuando
W > 4 and d1 < bf < dL .

DISEÑO DE PRUEBAS

137

6.7 EL DISEÑO DE UNA MEJOR PRUEBAEl diseño óptimo de una prueba depende de relacionar las características del diseño de la prueba
T (H, W, L) con las características del objetivo G (M, S, D) para que el SEM se minimice en la regiónde la variable donde se espera que se realicen las mediciones. La relación entre la prueba y el “blanco”
u objetivo que se plasman en la Figura 6.7.1 hacen evidentes los principios generales del diseño óptimode una prueba. Para hacer coincidir la prueba con el “blanco” u objetivo, apuntemos la altura de laprueba al centro del objetivo, ampliemos la prueba lo suficiente para cubrir la dispersión objetivo yalarguemos la prueba hasta que proporcione la precisión que requerimos.
Para el diseño óptimo de prueba, tanto en un objetivo de intervalo o de distribución normal,
seleccionamos un conjunto de ítems equivalentes (donde W = 0) o un conjunto de ítems uniformes con
la W indicada en la Tabla 6.7.1. Esta Tabla 6.7.1 proporciona anchos óptimos para pruebas uniformes
con objetivos de distribución normal o de intervalo. Por ejemplo, si creemos que el objetivo es
aproximadamente normal y suponemos que tiene una desviación estándar S = 1.5, entonces el ancho
W óptimo para la prueba es 4. Si, por otro lado, el objetivo se distribuye de manera más uniforme
entonces el ancho óptimo puede ser tan grande como 8. Debemos tener en cuenta que para cualquiervalor de S, un ancho W pequeño siempre está indicado cuando se espera una forma normal “agrupada”
alrededor del “blanco” u objetivo.
La Tabla 6.7.1 también muestra la eficiencia de una regla simple para relacionar el ancho deprueba W a la dispersión S del objetivo. La regla W = 4S se acerca al óptimo W para “blancos” uobjetivos que tienen un intervalo estrecho y para objetivos normales amplios. Cuando estamos
indefinidos acerca de dónde está nuestro objetivo, estaremos igualmente vagos sobre sus límites. Esa
es propiamente la situación en la que estaríamos dispuestos a usar una distribución normal como laforma de nuestro objetivo incierto. En cambio, cuando nuestro objetivo sea estrecho será la ocasión enque estaremos bastante seguros de sus límites objetivo, pero no tan dispuestos a especificar nuestras
expectativas en cuanto a su distribución precisa dentro de tales límites estrechos. Así como las formas
de intervalo son esperadas naturalmente para objetivos estrechos, del mismo modo las formas
normales son inevitables para objetivos amplios, W = 4S es una regla simple de mucha utilidad.
La eficiencia de esta regla simple para “blancos” u objetivos normales y de intervalo se da en las
columnas finales de la Tabla 6.7.1. Ahí vemos que su eficiencia casi nunca es inferior a 90 por ciento.
Si pasamos de un objetivo de intervalo a otro distribuido en forma normal con una dispersión esperada
superior a 1.4, entonces la eficiencia no será inferior a 95 por ciento. Esto significa, por ejemplo, que
una prueba de 20 ítems cualesquiera nunca es menos precisa que una prueba óptima de 19 ítems.
Nuestras investigaciones han demostrado que dado el objetivo M, S y D siempre existe un diseñoóptimo H y W que permitirá generar un conjunto único de L ítems cuyos parámetros {δ i } estén
uniformemente distribuidos. Sin embargo, este diseño no es más que una idealización y no puede ser
perfecto en la práctica. Los bancos de ítems reales son finitos y cada dificultad del ítem no es más que
una estimación de su correspondiente parámetro y, por lo tanto, está inevitablemente sujeto a unerror de calibración. Nunca podremos seleccionar los ítems exactos estipulados por el diseño óptimode prueba {δ i }. En cambio, debemos tratar de seleccionar entre los ítems disponibles, un conjunto realde {di} que esté tan cerca como sea posible a nuestro diseño ideal {δ i }.
Por lo tanto, paralelamente a la especificación de diseño T (H, W, L) debemos escribir la descripciónde la prueba t (h, w, L) que caracteriza la prueba real {di} que es la que podemos construir en la
práctica. Esto nos conduce al problema de estimar h y w.
La altura estimada para la prueba puede determinarse por el promedio de las dificultades
estimadas de los ítems de pruebaLh = ∑ di /L = d.
i[6.7.1]

138DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASDISEÑO DE PRUEBAS139

El ancho estimado para la prueba w se puede determinar a partir del rango de las dificultades
estimadas, o tal vez de forma un poco más precisa a partir de una estimación del rango basado
en los dos ítems más fáciles d1 y d2 y los dos más difíciles, dL–1 y dL.
w = [(dL + dL−1 − d2 − d1 )/2][L/(L −2 )][6.7.2]

6.8 LAS REGLAS COMPLETAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS
Ahora estamos en condiciones de dar reglas explícitas, objetivas y sistemáticas para el diseño
y uso de la mejor prueba posible. Para diseñar la prueba T (H, W, L) para el objetivo G (M, S, D):
1. A partir de nuestra hipótesis sobre M deducimos H = M.
2. A partir de nuestra hipótesis sobre S derivamos un W óptimo ya sea mediante consultaen la Tabla 6.7.1 o usando la regla simple W = 4S.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

140

3. A partir de nuestros requisitos para la precisión de medida relativa a la SEM que
buscamos, derivamos L=C/SEM2. En la Tabla 6.8.1 podemos encontrar un valor bastantepreciso para C que, para varios puntajes relativos esperados, conduce a f el valor de C
minimizado para W elegido en el Paso 2. Alternativamente, el valor de C puede seraproximado por una de los reglas simples: C = 6S o C = 6 de las ecuaciones 6.6.1 o 6.6.2.
4. A partir de estos H, W y L, generamos el conjunto de ítems de diseño {δ i } según la fórmula𝛿i = H − (W/2 )[(L − 2i + 1)/L]

for i = 1,L

Luego, para la prueba t (h, w, L) del diseño T (H, W, L):
5. Seleccionamos ítems d1 de nuestro banco de ítems para que se aproximen mejor al conjunto{δ i } minimizando la discrepancia (di – δ i).
6. CalculamosLh = ∑ di /L = d.
iyw = [(dL + dL−1 − d2 − d1 )/2][L/(L −2 )]7. Administramos el conjunto de {di} como la prueba t (h, w, L).

7 CONSTRUYENDO MEDIDAS
7.1 EL USO DE UNA VARIABLE PARA CONSTRUIR MEDIDAS
En este capítulo veremos cómo transformar puntajes brutos en medidas. Pero antes de que
mostremos esto en las secciones 7.2 y 7.3, revisaremos cómo construir medidas utilizando losítems que definen una variable en una prueba.
Para construir una medida recolectamos y combinamos una serie de respuestas observadasde modo que permitan sustentar una inferencia acerca de la posición que tiene la habilidad deuna persona en una variable dada. Podemos concretar en forma resumida estas observaciones
en un puntaje basado en ellas que usamos para inferir la medida de la persona en dicha variable.
Sin embargo, la variable por sí misma es más bien una idea más que una experiencia directa. Su
naturaleza puede ser inferida solamente de muestras relevantes de observaciones
cuidadosamente seleccionadas.
El propósito de la variable es proporcionar una base para comparar a las personas ygeneralizar su posición relativa. Este propósito requiere que se satisfaga la objetividad en ladefinición de la variable y la forma en que se hacen las medidas. La idea de la variable trasciende
cualquier conjunto particular de observaciones y del mismo modo la medida de la variable debe
trascender a las respuestas observadas sobre las cuales está fundamentada. Construir medidas
con pruebas requiere ítems objetivamente calibrados con base en las respuestas observadas en
cada uno de ellos y con ello las calibraciones traducen estas respuestas en la escala de la variable.
Son estos ítems los que definen operacionalmente a la variable y le dan sentido a la medición delas habilidades de la persona.
Las distintas formas de obtener un puntaje particular en una prueba nos conducen adiferentes opiniones de las habilidades de las personas que responden a una prueba. Cuando dos
personas obtienen el mismo puntaje, dudosamente pensaríamos ubicar a una persona adelantede otra porque haya contestado correctamente algún ítem en particular. Esto es porquepensamos que cada puntaje es el resultado de la misma exposición a los mismos ítems, dando acada persona la misma oportunidad de demostrar cierta habilidad. Pero cuando deseamos que
idénticos puntajes tengan el mismo significado sin tomar en cuenta cuáles ítems fueron
efectivamente contestados, entonces estamos practicando lo que conocemos como medición"independiente del ítem". La práctica generalizada de la medición independiente del ítem en una
prueba implica, sin asumir nada más, que la medida es independiente de la prueba dentro de unbanco de ítems calibrados.
Un banco de ítems calibrados proporciona un recurso con el cual varios subconjuntos de ítems
pueden seleccionarse para formar pruebas específicamente diseñadas con característicasóptimas. Los puntajes obtenidos con estas pruebas, pueden producir diferentes combinaciones derespuestas "correctas" a diversas elecciones de ítems, sin embargo todas pueden convertirse en
medidas comparables a través de las calibraciones del banco. Los procedimientos para obtener
medidas comparables para pruebas específicas se presentan en las secciones 7.4 a 7.7.
Para validar estas medidas, sin embargo, debemos evaluar el grado en que las personas en
cuestión, han respondido los ítems en la forma en que pretendíamos que fueran respondidos. Las
calibraciones de los ítems del banco provienen de ocasiones en las que ocurrió que muchas
personas respondieron estos ítems de una manera particular consistente. Este es el contexto en
el cual las calibraciones de los ítems adquieren significado. El significado que nos transmiten
ahora estas calibraciones depende de cómo responden a estos ítems las nuevas personas que seestán midiendo. La validez de sus medidas depende de la presencia de relaciones aceptables

141

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

142

entre lo que realmente observamos y lo que esperamos observar de acuerdo con nuestro modelo demedición y nuestras calibraciones de los ítems. Por lo tanto, antes de poder aceptar cualquier medida
como válida, debemos examinar la verosimilitud del patrón de respuestas en que se basa esa medida.
El procedimiento para realizar el análisis del ajuste de la persona, necesario para establecer la validez
de la medida, se describe en las Secciones 7.8 y 7.9. En estas secciones, mostramos cómo detectar
personas desajustadas al modelo y cómo se ven los tipos de desajuste que pueden ocurrir.
Cuando se identifica el desajuste, el siguiente paso es abordar el problema del control de la calidad
de la medición que ocasiona este desajuste. Si podemos identificar las circunstancias que conducen al
desajuste, entonces podremos extraer de cada registro de respuesta defectuoso una medida que pueda
fundamentar al patrón observado de respuestas. Mostramos cómo hacer esto en la Sección 7.10.

7.2 CONVERSIÓN DE PUNTAJES CON MEDIDAS POR UCON, PROX Y UFORM
Cuando una persona responde una prueba, la observación resultante de la persona es su puntaje
en dicha prueba. Para ver cómo obtener de este puntaje r la medida estimada b que implica, nosreferimos al modelo de medición,

P{xi = 1} = 𝜋i = exp(𝛽 − 𝛿i )/[1 + exp(𝛽 − 𝛿i )][7.2.1]que especifica cómo la calibración del ítem δ i y la medida β de la persona están involucradas en la
respuesta observada xi. El modelo implica que por cada respuesta de una persona a un ítem podemos"esperar" un valor "probable" intermedio que no sea ni xi = 1 para una respuesta correcta ni tampoco
xi = 0 para una respuesta incorrecta, sino más bien un valor entre ellos. Este valor "esperado" es laprobabilidad πi para xi = 1 dada en la Ecuación 7.2.1, que funciona igual que nuestra expectativa deque una moneda no cargada cae la mitad del tiempo en “cara”. Ya que "esperamos" un valor en cadalanzamiento de moneda, de modo que la mitad del tiempo caiga “cara” y la otra mitad de tiempo caiga“cruz”, a pesar de que lo que suceda solo puede ser uno o el otro, nuestro valor esperado para un
lanzamiento en particular no es 0 ni 1, sino a medio camino entre ellos, en π=½.
Por lo tanto, el valor esperado de la respuesta xi esE{xi } = 𝜋ila probabilidad modelada para una respuesta correcta al ítem i.
Dado que el puntaje de la prueba r = ∑Li xi es la suma de las respuestas a los ítems, el valor
esperado de r es la suma de sus expectativas,
L

L

L

E{r} = E {∑ xi } = ∑ E{xi } = ∑ 𝜋iiii

Si ahora sustituimos en πi, la medida br que se estimará para β sobre la base del puntaje r y de lascalibraciones estimadas {di} para {δ i}, tenemos una ecuación de estimación que relaciona a r y br de lasiguiente maneraLr = ∑ exp (br − di )/[1 + exp(br − di )].

[7.2.2]i

A partir de esta ecuación, el puntaje r de una persona y las calibraciones {di} de los ítems que
respondió, podemos determinar la medida implicada br.
Una forma de resolver la Ecuación 7.2.2 es usar el algoritmo o procedimiento UCON descrito en el
Capítulo 3. La medida estimada por UCON se obtiene realizando j = 1, m iteraciones de
L

br

j+1

j

L
j

= br + (r − ∑ pri ) / [∑ pri j (1 − pri j )]ii[7.2.3]

CONSTRUYENDO MEDIDAS

143

en el cualpri j = exp(br j − di )/[1 + exp(br j − di )][7.2.4]

donde el primer valor de br j es

br o = ℓn[r/(L − r)].
El algoritmo UCON requiere unas 3 o 4 iteraciones y un criterio de convergencia entre valores
sucesivos br j como este
br j+1 − br j | < .01 lógitos.
Cuando se alcanza el criterio de convergencia, entonces la medida estimada es el último valor de
br a saber
br = br j+1[7.2.5]con error estándar
−1⁄
2

L

sr = [∑ pri j (1 − pri j )][7.2.6]iEl algoritmo UCON responde en detalle a la distribución de dificultades de ítems {di} y así seestima una medida br que está completamente libre de cualquier distribución característica quepudiera tener la prueba en función de las dificultades de sus ítems. Si ocurre que las dificultades
de los ítems se distribuyen aproximadamente en forma normal con di ∼ N(H, 𝜎d2 ), entonces elalgoritmo o procedimiento PROX descrito en el Capítulo 2 es una excelente aproximación al
algoritmo UCON.
La medida estimada PROX br se puede encontrar sin hacer iteraciones como1⁄

br = h + [1 + (sd 2 /2.89)] 2 ℓn[r/(L − r)][7.2.7]

en el cualLh = ∑ di /L=d.
ique proporciona una estimación de la altura de prueba H yL

sd = (∑ di 2 − Ld.2 ) /(L − 1)2iestima la varianza σ
br es

d2 de las dificultades de los ítems de la prueba. El error estándar para este1⁄1

sr = (1 + sd 2 /2.89) 2 [L/r(L − r)] ⁄2 .

[7.2.8]

Dado que es frecuente que las di de una muestra de nuevos ítems se aproximen a una
distribución normal y dado que es típico que las muestras de personas se distribuyan en forma
normal, PROX suele ser útil para calibrar nuevos ítems. Al construir medidas, sin embargo,
podemos aprovechar los ítems previamente calibrados y distribuirlos uniformemente di ~U(H,W) sobre el rango de habilidades a medir. Una prueba uniforme como ésta puede describirse
completamente por su altura H, su ancho W y su longitud L. Sus medidas pueden calcularse demanera eficiente mediante el algoritmo o procedimiento UFORM descrito en la Sección 7.3.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

144
La medida bf estimada por UFORM es:

bf = h + w(f − 0.5) + ℓn(A/B)
donde[7.2.9]A = 1 − exp(−wf)
B = 1 − exp[−w(1 − f)]Lyh = ∑ di /L = d.
ique estima la altura H de la prueba,
w = [(dL + dL−1 − d2 − d1 )/2] [L/(L − 2)]estima el ancho W de la prueba yf = r/Les el puntaje relativa en la prueba de L ítems (Wright y Douglas, 1975a, 21-23).
El error estándar para este valor bf es
1

sf = [(w/L)(C/AB)] ⁄2
donde[7.2.10]A = 1 − exp(−wf)
B = 1 − exp[−w(1 − f)]
C = 1 − exp(−w).

Para ejemplificar el uso de estos procedimientos hemos escogido nueve personas de nuestra
muestra de 101 que contestaron la PCKB. Tres de estas personas están en nivel preescolar, tres más
están en nivel primario y los últimos tres son adultos.
En las columnas 2 a 4 de la Tabla 7.2.1 tenemos el sexo, la edad y el grado de estas nueve personas.
La Columna 5 contiene sus puntajes en la PCKB. Sus habilidades UCON correspondientes se tienen
en la Columna 6.

CONSTRUYENDO MEDIDAS

145

7.3 MEDIDAS DE MEJORES PRUEBAS CON UFORM
Previamente a la calibración de los ítems, nuestro conocimiento de sus dificultades provienede nuestro concepto general que tenemos de la variable que supuestamente definen los ítems. No
conocemos la distribución verdadera de esos ítems a lo largo de su variable. En cuanto calibramoslos ítems, como hicimos con la PCKB, tenemos una imagen detallada de dónde se ubican. Comoresultado podemos utilizar subconjuntos de estos ítems calibrados, seleccionados especialmentepara hacer una medición más ágil.
Estas pruebas especialmente diseñadas o “a la medida” pueden variar en longitud, en nivel
de dificultad y en el rango de habilidades cubiertas, dependiendo del objetivo de la medición. Las
medidas estimadas de estos subconjuntos de ítems pueden hacerse eficientemente porquepodemos construir la distribución de dificultades de los ítems de manera que satisfagan nuestro
propósito. En particular, si queremos optimizar la eficiencia de nuestros diseños de pruebas,
podemos construirlas asegurándonos de que los ítems se distribuyan con dificultades
uniformemente espaciadas a lo largo de las medidas de nuestro objetivo. Esto hace que laestimación de medidas con base en puntajes resultantes de estas pruebas, sea enteramente
manejable por el algoritmo simple UFORM.
Todo lo que necesitamos para aplicar UFORM es contar con estimaciones de la altura H, elancho W y a longitud L de la prueba. Con ello, una sola tabla de conversión que organiza lospuntajes relativos y el ancho de la prueba, nos proporcionará las medidas que necesitamos paralas personas. Una segunda tabla, organizada de manera similar nos dará los coeficientes
necesarios para obtener los errores estándar de estas medidas. La Tabla 7.3.1 es una versión
reducida de estas medidas relativas y la Tabla 7.3.2 es una tabla reducida de los coeficientes deerror. Las tablas completas de medidas relativas y sus coeficientes de error se presentan en el
Apéndice Tablas A y B.
Para usar las Tablas 7.3.1 y 7.3.2 (o las tablas A y B), necesitamos el ancho aproximado w dela prueba y los puntajes relativos de las personas f = r/L. Ambos datos determinan la habilidad
relativa de la persona xfw y su correspondiente coeficiente de erros Cfw. Cuando combinamos esta
información con la altura h y la longitud L de la prueba, obtenemos la medida bfw =h + xfw y su
error estándar sfw = Cfw½ /L½.
Para aplicar las tablas 7.3.1 y 7.3.2 en una prueba en particular, necesitamos valores
estimados de las características básicas de la prueba H, W y L. La longitud L es evidente por sí
misma. La altura H se estima del promedio de dificultades de los ítems, sea h = ∑Li di /L =d. La
estimación del ancho W, sin embargo, puede ser problemático cuando no puede evitarse una
distribución irregular de los ítems en los extremos del intervalo.
El ancho de la prueba se puede estimar de varias maneras. Por ejemplo:
w1 = (dL − d1 ) [L/(L − 1)]
w2 = [(dL + dL−1 − d2 − d1 )/2] [L/(L − 2)]
w3 = [(dL + dL−1 + dL−2 − d3 − d2 − d1 )/3] [L/(L − 3)]o también:
ws = 3.5sd

donde

2
2
s 2d = (∑Li di − Ld. ) /(L − 1)

El método que mejor funciona en la práctica es w2, que está basado en la diferencia promedio
entre los dos ítems más fáciles y los dos ítems más difíciles. Este procedimiento para estimar elancho de la prueba se ilustra en la Tabla 7.3.3 donde calculamos w para cinco formas de la PCKB.

146DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUYENDO MEDIDAS147

El primer renglón de la Tabla 7.3.3 se refiere al “banco de 23 ítems” de la PCKB. Con estos 23ítems hemos construido tres pruebas de rango estrecho focalizadas en tres niveles de habilidad:
una forma para preescolar de 8 ítems, una forma para primaria de 15 ítems y una forma para
adulto de 15 ítems, así como una forma piloto con 7 ítems de rango amplio. Las calibraciones delos dos ítems más difíciles y los más fáciles de cada una de estas formas están dadas en la Tabla
7.3.3. Con todas estas calibraciones podemos estimar los diferentes anchos de las pruebas usando
el método w2 para calcular w’ de esta forma:w´ = [(dL + dL−1 − d2 − d1 )/2] [L/(L − 2)][7.3.1]y al redondear w’ al entero más cercano se tiene el valor de w usado en las tabla 7.3.1 y 7.3.2.
Ahora aplicamos los algoritmos de medición UCON, PROX y UFORM a nuestra muestra denueve personas y comparamos los resultados. La Tabla 7.3.4 muestra las medidas y errores de
UCON para los puntajes de la PCKB de 1 a 22. La Tabla 7.3.5 da los puntajes en la PCKB de lasnueve personas, sus medidas de habilidad correspondientes y los errores para cada uno de dichos
puntajes calculados con UCON, PROX y UFORM.
La persona 29M, por ejemplo, obtuvo un puntaje de 10 respuestas correctas de los 23 ítems
de la PCKB. Su habilidad y error en UCON, consultados en la Tabla 7.3.4, son b = - 0.9 y s = 0.6.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS148

Su habilidad y error calculados con PROX a partir de h = 0, X = 2.2 y L = 23 sonb = h + Xℓn[r/(L − r)]= 0 + 2.2ℓn[10/13]= −0.6y1

s = X [L/r (L − r)] ⁄2
1= 2.2 [23/10(13)] ⁄2= 0.9
El valor del factor de expansión X se obtiene a partir de la varianza de las dificultades de losítems sd2 =11.0 como
1⁄

X = (1 + sd 2 /2.89) 2
1= (1 + 11/2.89) ⁄2= 2.2

CONSTRUYENDO MEDIDAS149

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

150

La habilidad y el error calculados con UFORM con el puntaje relativo f = r / L = 10/23 = 0.43
y los valores para xfw y Cfw½ que se encuentran en las Tablas A y B del apéndice con h = 0, w = 11
y L = 23. Por lo tantob = h + xfw ,xfw = −0.8

de la Tabla A

1⁄
2 = 3.3de la Tabla B= 0 − 0.8
= −0.8ys = Cfw

1⁄
1
2 /L ⁄2 ,Cfw

1= 3.3/23 ⁄2= 0.7
Las últimas columnas de la Tabla 7.3.5 dan la diferencia entre PROX o UFORM y UCON.
Con excepción de la medida PROX para la Persona 3M, ninguna diferencia es mayor a 0.4 lógitos.
Todas las diferencias son menores a la mitad de los errores estándar asociados con sus medidas
de habilidad.
La confianza que puede tenerse en el uso de las Tablas 7.3.1 y 7.3.2 para UFORM o en las
Tablas A y B del Apéndice depende del conocimiento de su funcionamiento en una variedad desituaciones de prueba típicas. Wright y Douglas (1975a) investigaron su funcionamiento con un
estudio de simulación diseñado para verificar las principales amenazas al uso exitoso de estastablas para proporcionar útiles medidas.
Los resultados de su estudio se resumen en la Tabla 7.3.6 por los límites que corresponden
con la posibilidad de que las dificultades de los ítems de una prueba difieran de la distribución
uniforme, antes de que las medidas basadas en dicho supuesto lleguen a ser inaceptables. La
Tabla 7.3.6 muestra combinaciones de H – β, W y L dentro de las cuales el sesgo al estimar βcausado por la falta de uniformidad en las dificultades de los ítems es inferior a 0.1 lógitos.
El margen o la tolerancia que se muestra en la Tabla 7.3.6 puede parecer sorprendente, ya
que permite que la dificultad del ítem adquiera valores tan aleatorios como d = 2.0 cuando launiformidad requiere δ =1.0. Cuando se calculan h y w a partir de las di reales de una prueba,
puede demostrarse que el espectro de diseños de pruebas, por más amplio que sea, es
excepcionalmente robusto frente a las desviaciones aleatorias en la uniformidad en las
dificultades de los ítems.
La Tabla 7.3.6 muestra que a medida que la longitud aumenta por arriba de 30 ítems, ninguna
prueba se ve amenazada por un sesgo de medida lo suficientemente grande como para ser
importante. Las pruebas de alrededor de 30 ítems, de ancho inferior a 8 lógitos y que seencuentran a menos de 1 lógito de su objetivo β están, para todos los propósitos prácticos, libresdel sesgo causado por desviaciones aleatorias en la uniformidad de la calibraciones de los ítems,
siempre que sean de magnitud inferior a 1 lógito. Solo cuando las pruebas son cortas, menores a
10 ítems, o más amplias que 8 lógitos o más de 2 lógitos fuera del objetivo, el sesgo causado porla falta de uniformidad aleatoria de las dificultades de los ítems llega a exceder 0.2 lógitos. Esto
significa que, a pesar de que se basan en la suposición de pruebas perfectamente uniformes, lastablas de medición UFORM se puede utilizar para transformar puntajes en medidas en la
mayoría de las aplicaciones prácticas.

CONSTRUYENDO MEDIDAS

151

7.4 PRUEBAS INDIVIDUALIZADAS
La necesidad de pruebas individualizadas se vuelve obvia si encontramos que se le han
aplicado ítems inapropiados a una persona. La solución a este problema es construir pruebas ala medida de las personas. La construcción de un banco de ítems calibrados hace que sea simple
la implementación eficiente de pruebas “confeccionadas a la medida”. La uniformidad de la
precisión de la medida cerca del centro de las pruebas de altura y ancho típicos muestra que solo
necesitamos disponer de ítems seleccionados en valores próximos a un lógito del objetivo previsto
para lograr una prueba a la medida "suficientemente buena". Esto se puede hacer de varias
maneras.
Confección por estatus. La información sobre la ubicación por grado o por edad a menudo serásuficiente para confeccionar una prueba escolar. Se puede utilizar el conocimiento previo de laubicación aproximada que tiene un grupo “blanco” o un alumno objetivo dentro del grado escolar,
junto con la información normalizada de las variables en dicho grado, para determinar unsegmento apropiado de ítems. Los datos normativos en una variedad de materias escolares
sugieren que las desviaciones estándar dentro del grado son de aproximadamente un lógito.
Cuando esto es así, una medida burda de la medida del estudiante, tan burda como del orden deun cuartil en el grado, puede proporcionar información más que suficiente para diseñar una
mejor prueba para ese alumno.
Confección por desempeño. Cuando no es suficiente contar con información sobre el grado ola edad, se puede hacer la construcción a la medida con una prueba piloto de 5 a 10 ítems
distribuidos a lo largo de las dificultades para cubrir lo más ampliamente el objetivo esperado.
Si la prueba piloto se configura para ser auto evaluable, entonces los alumnos pueden usar su
número de respuestas correctas para guiarse en una segunda prueba específicamente
confeccionada a su nivel de habilidad implícito en su puntaje dentro de la prueba piloto.
Auto confección. Un tercer esquema aún más individualizado puede resultar práctico en
muchas circunstancias. La persona a medir recibe un cuadernillo con los ítems presentados en
orden uniforme creciente de dificultad y se le pide que encuentre su mejor nivel en el que puede
trabajar. La prueba comienza cuando la persona encuentra ítems lo suficientemente difíciles
como para interesarle, pero lo suficientemente fáciles como para dominarlos. La prueba continúacon ítems más difíciles hasta que la persona decida que el nivel de dificultad está más allá de su
habilidad. La prueba auto confeccionada o personalizada que servirá para medir a esta persona
está formada por el segmento continuo de ítems que se intentaron.

152DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUYENDO MEDIDAS

153

Este enfoque se auto-adapta a las variaciones individuales de velocidad, comodidad en la
prueba y nivel de desafío o reto productivo. La gran variedad de segmentos de pruebas diferentes
que pueden construirse es fácil de manejar. El número secuencial de los ítems más fáciles y más
difíciles que se intentaron y la cantidad de respuestas correctas entre ellos, se puede leer en una
hoja de respuestas para auto-calificación y convertirse en una medida, en tanto el error estándar
se obtiene simplemente buscando estos tres estadísticos en una tabla simple de una página quepuede incluirse dentro del cuadernillo de la prueba.
Las pruebas auto confeccionadas corresponden al uso de niveles de piso y techo en pruebas
administradas individualmente como la Stanford-Binet. La única diferencia es que, con una
prueba auto confeccionada, el segmento de los ítems administrados lo determina la persona que
responde la prueba en lugar de que sea definido por un examinador.
7.5 CONFECCIÓN DE LA PRUEBA POR ESTATUS
Para ilustrar la confección por estatus, asignamos nuestros ítems de la PCKB a tres Formas
secuenciales. La Forma Preescolar está dirigida a niños en edad preescolar. La Forma Primariaestá dirigida a niños en el primer grado escolar. La Forma para Adultos es para personas que yaterminaron la educación primaria. Figura 7.5.1 muestra la distribución de los ítems en estas tres
Formas.
La Forma preescolar se compone de los primeros 10 ítems. Solo los ítems 3 a 10 estáncalibrados porque prácticamente todos cuantos han contestado la prueba han acertado en losítems 1 y 2 .La Forma Primaria se compone de los Ítems 5, 6 y 8 a 20 para cubrir el rango mediode la variable. La Forma para adultos está compuesta por los ítems 11 a 25, que son los ítems
calibrados de mayor dificultad, y los ítems 26, 27 y 28 que son tan difíciles que nadie ha podido
acertar en ellos.
Debe tenerse en cuenta que podemos incluir estos cinco ítems "fuera de límite" en nuestras
formas de prueba sin afectar en absoluto nuestras mediciones. Esto se debe a que podemos
enfocar nuestra medición en la parte de la prueba que responde la persona con base en los ítems
calibrados mientras dejamos que los ítems extremos sigan trabajando como el límites de lavariable PCK. Si eventualmente llegamos a encontrar personas que fallan en los ítems 1 o 2 oque responden los ítems 26, 27 o 28, entonces también los podremos calibrar en la variable PCK
y usar sus respuestas en nuestras mediciones.
Los ítems para cada una de las tres formas y sus correspondientes dificultades, donde son
conocidas, se dan en la Tabla 7.5.1. Debajo de los ítems en cada Forma están las características
de la Forma de prueba: altura h, ancho w y longitud L.
Estas tres Formas de prueba se aplicaron a las nueve personas. La Tabla 7.5.2 muestra las
respuestas de las personas en cada una de las Formas. Las personas 3M y 6F pueden medirse
solo con la Forma Preescolar, mientras que las personas 98F y 101F solo pueden se miden con la
Forma para Adulto. La persona 12M produjo un registro medible en las Formas Preescolar yPrimaria. Las personas 69M y 88M produjeron registros medibles en las Formas Primaria y para
Adultos. Las personas 29M y 35F produjeron registros medibles en las tres Formas.
Para la persona 29M con puntaje relativo de 0.75 en la Forma Preescolar (h = – 3.3, w = 4,
L = 8) buscamos xfw = 1.4 y Cfw½ = 2.6 en las tablas A y B para encontrar la estimaciónb = −3.3 + 1.4 = −1.9
con error estándar
1

s = 2.6/8 ⁄2 = 0.9

154DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUYENDO MEDIDAS155

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

156

Para el puntaje relativo de 0.47 obtenido por la Persona 29M en la Forma Primaria (h = –0.6,
w = 6, L = 15) buscamos xfw =–0.2 y Cfw½ = 2.6 para encontrar la estimaciónb = −0.6 − 0.2 = −0.8
con error estándar
1

s = 2.6/15 ⁄2 = 0.7
Para el puntaje relativo de 0.27 obtenido por la Persona 29M en la Forma para Adulto (h =1.8, w = 8, L = 15) buscamos xfw = –0.2 y Cfw½ = 3.0 estimarb = 1.8 − 2.0 = −0.2
con error estándar
1

s = 3.0/15 ⁄2 = 0.8
Aunque solo una de las formas consideradas se focaliza más en una persona para realizar su"mejor" medida, todavía podemos ver en la Tabla 7.5.2 que, a pesar de la gran variación en el
puntaje en diferentes Formas, las medidas para una persona determinada son comparables en
su mayoría. La persona 29M produce la mayor variación en las medidas sobre estas tres Formas. Sus
tres puntajes relativos de 0.75, 0.47 y 0.27 varían ampliamente como respuesta a la variación en
dificultad de las tres formas. De acuerdo con nuestro modelo sus tres medidas de –1.9, –0.8 y –0.2
deberían ser estadísticamente equivalentes, aunque dan la impresión de variar más de lo quepudiéramos desear. Cuando su variación se evalúa a la luz de su errores estándar de 0.9, 0.7 y
0.8 vemos que la estimación más baja de –1.9 más un error estándar en la Forma Preescolar y laestimación más alta de –0.2 menos un error estándar en las Formas para Adulto, se acercan alvalor –1.0.
La Tabla 7.5.3 muestra la medida de habilidad para cada persona en toda la PCKB y su
medida de habilidad en cada una de las tres formas secuenciales. La diferencia entre cada Formade prueba y la PCKB se dan a la derecha de la tabla. Cuando estas diferencias se comparan con
los errores asociados a ellas se puede ver que todas esas diferencias son menores a medio error
estándar, excepto los de las personas 29M y 98F.
Los errores estándar para cada habilidad en la PCKB y las tres Formas de prueba se tienen
en la Tabla 7.5.4. Estos valores son estables y consistentes en todas las Formas para las nueve
personas.

7.6 CONFECCIÓN DE LA PRUEBA POR DESEMPEÑO
Para ilustrar la confección por desempeño desarrollamos una forma piloto de siete ítems apartir de la PCKB. La figura 7.6.1 muestra la distribución de estos siete ítems. Fueron
seleccionados para que se distribuyeran lo más uniformemente posible en el rango de 15 lógitos
de la variable de la PCK. La tabla 7.6.1 indica las dificultades de los ítems y las características
de la Forma Piloto. La altura está centrada en 0.0. El ancho efectivo es de 15 lógitos.
Para demostrar la confección por desempeño con esta Forma Piloto utilizaremos los resultadosde nuestras nueve personas en dicha Forma Piloto para señalar la forma secuencial más
apropiada para medir cada uno de ellos. Luego, los mediremos en la Forma secuencial ycompararemos su medida "confeccionada por desempeño" contra su medida basada en los 23ítems de la PCKB.

CONSTRUYENDO MEDIDAS

157

158

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

En la Tabla 7.6.2 damos el nombre y la habilidad en la PCKB de cada persona. A continuación
damos su desempeño en la Forma Piloto. Esto incluye su puntaje piloto r, el puntaje relativo f,la habilidad b1 y el error s1. Después mostramos los intervalos alrededor del objetivo (de b1 – s1 a
b1 + s1) relativo a cada desempeño en la Forma Piloto. A continuación se tiene la forma secuencial
indicada y la habilidad b2 calculada con base en su desempeño. Finalmente, mostramos la
diferencia (b2 − 𝛽̂ ) entre la medida 𝛽̂ en la PCKB y la medida b2 en la Forma secuencial, junto
con el error s𝛽̂ en la PCKB.
Por ejemplo, la Persona 29M tiene una medida de habilidad de –0.9 en la PCKB. Si usamos
la Forma Piloto encontramos que su habilidad es de +1.1 con un error estándar de 1.5, que indica
un rango objetivo de –0.4 a 2.6. Dado que la Forma para Adultos está centrada en 1.8 lógitos,
puede decirse que es la forma secuencial indicada para medir a 29M. Como resultado de ello, su
medida en esta Forma es de –0.2 lógitos.
En la Tabla 7.6.2 vemos que en siete de las nueve personas la diferencia entre su medida enla PCKB y su medida en el rendimiento de la Forma secuencia a la medida difiere en menos demedio error estándar. Sin embargo, las personas 29 M y 98F muestran discrepancias del orden
de un error estándar entre sus medidas en la PCKB y la Forma de prueba secuencial que son delorden de un error estándar.

CONSTRUYENDO MEDIDAS

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DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUYENDO MEDIDAS

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7.7 PRUEBA PERSONALIZADA
Para desarrollar un ejemplo de prueba personalizada, confeccionada a la medida volvemos a losregistros originales de respuestas 1 y 0 de las personas para ver cómo podrían identificarse patronesde respuesta individualizados dentro de una matriz como la de la Tabla 2.3.1. Queremos seleccionar
un registro para cada una de nuestras nueve personas verificando que se aproxima a una secuencia
personalizada de ítems. Para obtener estos segmentos individualizados hemos establecido un nivel
basal, a partir del punto en el que una persona en particular responde los ítems, de forma que tenga
tres aciertos antes de la primera falla. Establecimos también un nivel de techo, que se tienen en elpunto en que una persona podría dejar de contestar a los ítems teniendo tres fallas sucesivas. Esto
produjo una secuencia personalizada única de ítems para cada una de nuestras nueve personas.
En la Tabla 7.7.1 mostramos los patrones de respuesta de estas pruebas personalizadas. Porejemplo, el primer ítem que falló la Persona 29M es el ítem 6. Continuó contestando con aciertos yfallas en los siguientes ítems hasta que falló los ítems 17, 18 y 19 sucesivamente. Esto definió unsegmento a la medida para esta persona, que va desde el Ítem 3 hasta el Ítem 19. En estos 17 ítems
alcanzó un puntaje r = 10.
En la Tabla 7.7.2, calculamos una medida para cada persona en función de su segmento de prueba
personalizada. Para hacer este cálculo determinamos las características de prueba h, w y L para cadasegmento. Las características de prueba del segmento de prueba personalizada para cada persona seencuentran a la izquierda de la Tabla 7.7.2.
Por lo tanto, la Persona 29M tiene un puntaje relativo de 10 en su segmento personalizado de 17ítems. Tomando en cuenta que su segmento tiene un ancho w = 8, este puntaje de 10 produce una
medida de habilidad relativa de 0.7 lógitos, que cuando se ajusta para la altura de su segmento (h =–1.5) produce un estimado de habilidad de –0.8 con un error estándar de 0.7. Esta estimación dehabilidad está a solo 0.1 lógitos de distancia de su estimación de habilidad en la PCKB de –0.9 conerror de 0.6. Una inspección de las diferencias que figuran en la Tabla 7.7.2 entre las medidas de cadasegmento a medida y sus correspondientes medidas en la PCKB muestra que todos los valores
obtenidos por construcción de la prueba personalizada están cerca de las medidas de habilidad
obtenidas por la PCKB.
En la Tabla 7.7.3 mostramos la eficiencia en el uso del ítem para cada una de nuestras nueve
personas, para cada tipo de prueba personalizada. Vemos que se puede ahorrar una cantidad
considerable de ítems sin sacrificar mucha precisión de las estimaciones de habilidad.
La Persona 29M con un segmento de 17 ítems personalizados a su medida requiere la mayoría delos ítems, incluso este segmento menor en 6 ítems que el total de 23 ítems de la PCKB y prácticamente
no hay pérdida de precisión en su medición. La Persona 3M produce una estimación casi tan precisa
con solo 4 ítems personalizados que la que es posible obtener usando los 23 completos. Esto ahorra 19ítems. La persona 3M, sin embargo, se encuentra en el extremo inferior de la variable de la PCK.
Como resultado de ello, solo los cuatro ítems más fáciles son relevantes para medir su habilidad. Si se
tuvieran disponibles algunos ítems fáciles adicionales podríamos usarlos ventajosamente para
mejorar la precisión de la medida de esta Persona 3M.
El procedimiento a medida siempre consigue la utilización más eficiente de los ítems. Esto es
especialmente útil cuando se hacen medidas en los extremos de la escala, en este caso, más allá de 4
lógitos en la escala de habilidad de la PCKB. Sin embargo, si bien apreciamos esta aparente eficiencia,
también debemos darnos cuenta de que los ítems que estamos conservando pueden ser inapropiados
para su objetivo. Nuestro verdadero objetivo es hacer mediciones suficientemente precisas para serútil. La precisión depende del número de ítems utilizados que están lo suficientemente cerca de lapersona a medir, con lo que cada ítem contribuye convenientemente a la medida estimada. Esto
significa que requerimos que los ítems estén alrededor de un lógito de su objetivo. Una vez que losítems se acercan a su objetivo, todas las consideraciones adicionales de precisión y, por lo tanto, deeficiencia, se reducen a la pregunta de cuántos de estos ítems "personalizados a la medida" resultan
prácticos para que los conteste la persona.

162DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUYENDO MEDIDAS

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DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUYENDO MEDIDAS

165

7.8 AJUSTE DE LA PERSONA Y CONTROL DE CALIDAD
Durante la administración de la prueba, puede parecer que un examinado ha respondido a laprueba de acuerdo con la forma planeada. Sin embargo, siempre es necesario examinar el patrón
real de respuestas para ver si corresponde de hecho con expectativas razonables.
Consideremos, por ejemplo, una prueba de 10 ítems administrados en orden creciente dedificultad. La Tabla 7.8.1 muestra cinco maneras diferentes en que se puede lograr un puntaje
de cinco en tal prueba. Los patrones de respuesta de las Personas A y B, e incluso la C, parecen
razonables. Los aciertos ocurren en los ítems más fáciles de la izquierda y las fallas se presentan
en los ítems más difíciles ubicados a la derecha. Sin embargo, los patrones de las Personas D y
E son bastante inverosímiles. ¿Cómo puede suceder que la Persona D obtiene un puntaje de cinco
al responder acertadamente los cinco ítems más difíciles mientras al mismo tiempo falla en loscinco ítems más fáciles? Eso es tan contradictorio con nuestras expectativas para interpretar unregistro de prueba que no podemos tomar el puntaje de cinco, obtenido por la persona D, comobase para una medida válida de su habilidad. La persona D puede ser inteligente y descuidada
o tonta y afortunada, pero una cosa es cierta, la Persona D no tiene la habilidad intermedia que
implica obtener un puntaje de cinco.
El registro de respuestas de la Persona E también nos genera preguntas. Si la persona E
pudiera responder correctamente los ítems en el rango medio de dificultad, incluyendo también
cuatro o cinco de los ítems más difíciles, ¿cómo es posible que falle en los tres ítems más fáciles?
El modelo de medición de Rasch conduce a un procedimiento integral pero de fácil aplicaciónpara evaluar la validez del registro de respuestas de cada examinado. Este procedimiento
compara el registro de respuesta de la persona contra nuestra expectativa de lo que debería
suceder de acuerdo con el modelo de respuesta. El procedimiento usa esta comparación para
calcular un estadístico de "ajuste" que indica el grado en que el desempeño de la persona en la
prueba está de acuerdo con las expectativas del modelo.
Si xvi es la respuesta de la persona v con la medida tentativa bv al ítem i que tiene una
calibración di en el banco y si xvi = 0 para una respuesta incorrecta o xvi = 1 para una respuesta
correcta, entonces, de acuerdo con nuestro modelo de medición:
z2vi = exp [(2xvi − 1)(di − bv )][7.8.1]es un residuo cuadrático estandarizado para evaluar la relación entre la respuesta observada xvi
y sus expectativas de acuerdo con el modelo, dados bv y di. Según las expectativas este zvi2 debería
distribuirse aproximadamente como ji-cuadrado con cerca de (L  1) / L grados de libertad, donde
L es el número de ítems en la prueba utilizada para estimar bv. Si el conjunto de {zvi2} se
distribuye de esta manera, entonces no tenemos ninguna razón interna para invalidar bv. En
caso contrario, debemos reconocer una desviación en los datos de nuestras expectativas ydebemos ver qué podemos hacer al respecto.
Cada respuesta xvi en el conjunto de i = 1 a L proporcionada por la persona v produce su propio
valor prácticamente independiente zvi2. Podemos sumar este conjunto de L residuos {zvi2} en un
estadístico ji-cuadrado con aproximadamente (L  1) grados de libertad, y por conveniencia
expresamos este estadístico estandarizado ji-cuadrado de esta forma:
1

tv = [ℓn(vv ) + (vv − 1)][(L − 1)/8] ⁄2~N (0,1)[7.8.2]

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

166

Donde vv es la media cuadrática:
L[7.8.3]

vv = ∑ z2vi /(L − 1)iEl divisor 8 que aparece en la Ecuación 7.8.2 proviene de promediar dos valores
estandarizados opuestos de la media cuadrática v. Entonces, si:
1t1 = (v − 1)[(L − 1)/2] ⁄2~N (0,1)y
1t2 = [ℓn(v)][(L − 1)/2] ⁄2~N (0,1)entonces:1t = (t1 + t2 )/2=[ℓn(v) + (v − 1)][(L − 1)/8] ⁄2~N (0,1)

En la Tabla 7.8.2 hemos realizado el análisis de ajuste para los patrones de respuestas de laspersonas 12M, 35F y 88M. La persona 12M tiene una medida preliminar o tentativa de b = 2.8.
Para su primer ítem, d= 6.2, su respuesta es x =0. Esto le genera una diferencia (d  b) de(d − b) = [−6.2 − (−2.8)] = −3.4
Dado que(2x − 1) = −1

Se tiene que

z2 = exp [(2x − 1)(d − b)] = exp[−(−3.4)] = exp[(3.4)] = 30

CONSTRUYENDO MEDIDAS167

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

168

Para cualquier otra respuesta en el segmento personalizado de 9 ítems de la Persona 12M, hemos
dado su x, (d  b) y z2. El análisis residual basado en esta fila de z2 para la Persona 12M conducea9∑ z2i = 35,ique, para 8 grados de libertad, produce una media cuadrática de v = 4.4 y una desviación
aproximadamente normal t = 4.9. Los análisis residuales para estas tres personas se resumen
en la Tabla 7.8.3.
Observe que en la Tabla 7.8.2 hemos usado (d  b) en lugar del (b  d) que se utilizó en el
Capítulo 4. Esto se debe a que la forma (d  b) es conveniente para el cálculo de z2. Cada vez que una
respuesta es 0, se debe agregar un signo menos a la diferencia (d  b) que lo convierte en (b  d). Sin
embargo, si tenemos en cuenta este cambio de signo, podemos usar la Tabla 4.3.3 para
determinar los valores en la Tabla 7.8.2. Sin embargo, si se usa la Tabla 4.3.3, encontraremos
que los valores en la Tabla 7.8.2 son ligeramente más exactos que los valores determinados en la
Tabla 4.3.3. La diferencia es más grande en las respuestas que se ajustan bien, pero estas
respuestas son las que intervienen menos en el análisis del desajuste. La suma de cuadrados Σz2
de 12M con base en la Tabla 4.3.3 debería ser 33 en lugar de 35 que aparece en la Tabla 7.8.3. El
valor de t resultante sería 4.5 en lugar de 4.9.
El estadístico de ajuste t se distribuye más o menos normalmente pero con colas más largas.
En nuestra experiencia práctica, el nivel de rechazo de 2 aceptado generalmente es
innecesariamente conservador. Las pautas generales que usamos actualmente para interpretar
t como un indicador de desajuste son:

CONSTRUYENDO MEDIDAS

169

Si t <3aceptamos la medición de la persona como probablemente válida.

Si 3 <t <5hacemos un examen cuidadoso del patrón de respuesta para identificar yconsiderar posibles fuentes de desajuste.

Si t> 5rechazamos la medida tal como está y realizamos los pasos que podamos para
extraer una medida "corregida" de un segmento aceptable del registro derespuesta, en caso de que exista.

El estudio detallado de personas que desajustan al modelo depende, por supuesto, de un estudiodetallado de las desviaciones aproximadamente normales en los registros de respuestas:zvi = (2 xvi − 1){exp[(2 xvi − 1)(di − bv )/2]}
con ese estudio se rastrean las posibles fuentes de irregularidad.
Dado que las partes de Σ z2 que más contribuyen en el valor de t son los términos positivos
más grandes, podemos simplificar la determinación de la validez de registro con ayuda de unestadístico que se calcule rápidamente enfocándonos en las respuestas más inesperadas. La
Tabla 4.3.3 (también dada en la Tabla C del Apéndice) muestra que la diferencia entre la medidab de la persona y la dificultad d del ítem debe ser del orden de 2.0 antes de que z2 se haga mayora 7 o que su probabilidad sea menor que 0.12. Para poder alcanzar una probabilidad de 0.05
menos en una respuesta dada, debemos relajar nuestro estándar para que la diferencia (d  b)
sea de 3 produciendo una z2 de 20.
Si ahora nos concentramos en ver las respuestas inesperadas para las cuales |d  b|>3,
entonces los valores de z2 pueden consultarse en la Tabla 4.3.3 (o en la Tabla C del Apéndice) y
combinarse con un valor promedio de 1 para todos los ítems restantes en el segmento de
respuesta, con lo que se produce un valor burdo (o aproximado) de Σ z2 para el cual, a su vez,puede calcularse un valor burdo (o aproximado) del estadístico t.
Por ejemplo, sobre las 9 respuestas de la Persona 12M, solo hay una sorpresa que ocurre donde(d  b)= 3.4 y z2 =30. Combinando este valor de 30 con ocho veces 1 para los ocho ítems restantes
de la prueba, nos dan un valor burdo de Σ z2 =38 y un valor burdo de t = 5.3. Este valor para t noestá lejos de 4.9, que es el valor más exacto que calculamos en la Tabla 7.8.2 y que nos lleva a lamisma conclusión de desajuste significativo.
En la Tabla 7.8.4 resumimos el análisis residual para las nueve personas. Presentamos lamedida de la habilidad y el error estándar de cada persona en su segmento de ítems
confeccionado a la medida. A continuación damos la suma de cuadrados, grados de libertad,
medias cuadráticas y estadísticos de ajuste para el registro de cada persona. En ocho casos noencontramos evidencia de desajuste, por lo que aceptamos que sus medidas son plausibles. Soloel segmento personalizado a la medida de la Persona 12M muestra un desajuste significativo.
Como vimos en la Tabla 7.8.2, este desajuste se debe completamente a que tiene una respuesta
incorrecta en el primer ítem que es el más fácil de este registro. El origen de esta respuesta
incorrecta podría ser una falla al responder la prueba o un error de funcionamiento personal. En
cualquier caso, todavía estamos interesados en determinar la mejor estimación posible de lahabilidad de la Persona 12M. El problema de extraer la mejor medida posible con base en unregistro defectuoso se analizará en la Sección 7.10.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

170

7.9 DIAGNOSTICO DEL DESAJUSTE
Consideremos nuevamente la prueba de 10 ítems ordenados por dificultad creciente como seconcibió en la Tabla 7.8.1. Si encontráramos que el patrón producido por la Persona E fuera elsiguiente:
Puntaje0001011011
5
estaríamos desconcertados y nos preguntaríamos cómo pudo responder correctamente esta
persona las preguntas difíciles fallando en tres primeras preguntas más fáciles. ¿Será que estaba"durmiendo" en la parte más fácil de la prueba? Sería un patrón de “dormilón” 10.
Por otro lado, si encontráramos el patrón de respuesta
1010000111

Puntaje5

nuestra sorpresa sería tan grande como la anterior, pero ahora podríamos inclinarnos a explicar
la irregularidad como el resultado de tener la buena suerte de "adivinar" la respuesta correcta
en los tres ítems más difíciles.
Tanto la naturaleza probabilística del modelo como nuestra experiencia cotidiana con lospatrones típicos de respuesta, nos llevan a esperar patrones mixtos con una región central de
respuestas correctas e incorrectas. Si ahora nos encontramos con un patrón como este:
1111100000

10 Sleeping se tradujo como “dormilón”.

Puntaje
5

CONSTRUYENDO MEDIDAS

171

nos parecería "demasiado bueno para ser verdad". Este patrón inesperadamente regular es aveces producido por personas que trabajan muy lentamente y con sumo cuidado, de tal modo que
se niegan a pasar al siguiente ítem hasta que han hecho todo lo posible por responder
correctamente al presente ítem. Nos referiremos a este patrón como "cauteloso"11.
Finalmente, también identificamos una variante especial del “dormilón” que podría ser mejor
llamado "descuidado"12, en el que las respuestas incorrectas se agrupan al comienzo de la prueba,
sugiriendo que la persona tuvo problemas al inicio de la prueba.
Para resumir, identificamos los siguientes tipos de patrones de respuesta:
Puntaje"normal"1111010000
1110101000

5
5"dormilón" o“descuidado”

0001011011

5"adivinador"

1010000111

5"cauteloso"

1111100000

5En la Sección 7.8 identificamos un patrón de respuesta de desajuste para la Persona 12M.
Ahora investigaremos los registros que desajustan, como el de la Persona 12M, para ver lamanera de diagnosticar patrones de respuesta irregulares. El patrón de respuesta personalizado
para la persona 12M, con ítems en orden creciente de dificultad, es
011111000

Puntaje5

La evaluación de este patrón de respuesta en la Tabla 7.8.3 muestra un desajuste significativo,
t = 4.9. En la Tabla 7.9.1 mostramos nuevamente el patrón de respuesta para la Persona 12M yagregamos para cada respuesta la probabilidad p de ocurrencia de acuerdo con el modelo.
También damos su patrón de respuesta en términos de z además de z2. Cuando presentamos enforma gráfica los valores de z para la Persona 12M en la Figura 7.9.1, vemos qué se puede parecera un patrón de respuesta "dormilón" o "descuidado". Esta figura muestra el segmento de ítems
respondidos por la persona. Cada ítem está espaciado horizontalmente a lo largo la variable PCK
según su dificultad en la escala de lógitos. Su posición vertical está determinada por el residuo
estandarizado z de la persona al responder ese ítem.
El patrón de respuesta de la Persona 12M que se observa en la Figura 7.9.1 muestra cómo elestadístico z indica desajuste. El ítem 3 tiene una z = 5.5 mientras que los otros ítems tienen z
cerca de su valor esperado de cero. El efecto del ítem 3 sobre el patrón de respuesta de la persona
12M se puede resaltar al considerar los dos patrones alternativos dados en la Tabla 7.9.1 y en la
Figura 7.9.1.
En la misma figura, el patrón alternativo A conduce a un puntaje de cinco al intercambiar la
respuesta correcta de "1" en el Ítem 8, que es un ítem relativamente difícil, por la respuesta
incorrecta de "0" en el ítem 3, que es el ítem más fácil de la prueba. Ahora tenemos el patrón:
111110000
11 Plodding se tradujo como “cauteloso”, de preferencia a “lento”.
12 Fumbling se tradujo como “descuidado” de preferencia a “torpe” que parece peyorativo.

Puntaje5172DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASCONSTRUYENDO MEDIDAS173

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174

Los estadísticos de desajuste para estos tres patrones se resumen en la Tabla 7.9.2. Ahí vemos
que la Alternativa A tiene una t = 1.0 en lugar de t = 4.9 para la persona de 12M.
En el patrón alternativo B, intercambiamos la respuesta correcta de "1" al ítem 5 con la
respuesta incorrecta de "0" al ítem 15, que es el ítem más difícil en el segmento. Esto produce elpatrón de respuesta alternativa
111100001

Puntaje5

Curiosamente, el desajuste debido al intercambio en el patrón B es pequeño, tan solo t = 0.1. Esto
es debido a que el ítem 15, con dificultad d = 1.5, no es tan difícil en relación con la habilidadb = 2.8 de la persona 12M porque el Ítem 3 es demasiado fácil, con dificultad 6.2.
En las Tablas 7.9.3 y 7.9.4 y en la figura 7.9.2 ilustramos los patrones de respuesta del"dormilón" y del "adivinador" usando el registro observado de la Persona 88M. Para cambiar su
patrón de respuesta a un patrón dormilón tomamos dos de los ítems fáciles y reemplazamos sus
respuestas correctas por incorrectas y pasamos estas dos respuestas correctas a los ítems 17 y
21, manteniendo constante su puntaje r = 6. Ahora tenemos el patrón de respuesta
00111111000
que es característico del dormilón. Este patrón alcanza t = 9.1 en la Tabla 7.9.4.

Puntaje
6

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176

Para hacer un patrón de adivinación, reorganizamos las respuestas para formar
11110000011

Puntaje6para el cual t = 5.3 en la Tabla 7.9.4. la Figura 7.9.2 compara el patrón de respuestas de lapersona 88M aceptado previamente, con este patrón alternativo inaceptable del dormilón y deladivinador.
Un patrón característico de "descuidado" se ilustra en Tablas 7.9.5 y 7.9.6 y en la Figura 7.9.3
donde el patrón de respuesta aceptable de la Persona 29M ha sido modificado para mostrar
respuestas incorrectas en los primeros cuatro ítems de la prueba, es decir, en los Ítems 3 a 6.
Mientras que el efecto de una respuesta incorrecta entre estos primeros cuatro ítems no producen
un desajuste significativo, como se ve en el patrón observado para la Persona 29M, si hacemos
que los cuatro ítems sean incorrectos para ilustrar "descuido", el desajuste se vuelve significativo
con t = 24.1.
El segundo patrón ilustrado en la figura 7.9.3 es "cauteloso". En este patrón la persona
responde acertadamente todos los ítems correctos hasta donde puede y todos los ítems restantes
son incorrectos. Este patrón puede presentase en función de un estilo de responder a la prueba
gobernado por hábitos de trabajo lentos y deliberados. Mientras que el dormilón, el adivinador yel descuidado conducen a valores positivos de t, el patrón cauteloso, en cambio, produce un valor
de t negativo. El valor negativo indica que el patrón de respuestas observadas se ajusta mejor delo que esperamos. ¡Indica que incluso falta la variabilidad aleatoria esperada por el modelo!

CONSTRUYENDO MEDIDAS

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7.10 CORRIGIENDO UNA MEDIDA
Cuando detectamos un desajuste significativo en un registro de respuesta, pasamos adiagnosticar el patrón de respuesta e identificar las posibles razones por las cuales puede ocurrir,
llevándonos finalmente a la necesidad de decidir si puede determinarse alguna medida mejorada.
Decidir si esta medida estadísticamente "corregida" es justa para la persona o apropiada a ciertas
circunstancias es algo que no puede resolverse por simple estadística. Sin embargo, el hecho desaber cómo corregir objetivamente una medida puede darnos una mejor comprensión de su
posible significado en el desempeño de una persona.
Hemos identificado que la respuesta de la persona 12M al primer ítem es poco verosímil en el
primer segmento de prueba dado en las Tablas 7.9.1 y 7.9.2. Si llegamos a decidir que esta
respuesta en particular no es típica de la Persona 12M, entonces deberíamos eliminar la
respuesta incorrecta al ítem 3 y calcular una nueva estimación de habilidad basada en sus
respuestas a los ocho ítems restantes. Este nuevo cálculo de su medida de habilidad se da en las
Tablas 7.10.1 y 7.10.2. La medida corregida b' = 2,2 coloca a la Persona 12M aproximadamente
0.6 lógitos más arriba en la variable de la PCK. La figura 7.10.1 muestra el efecto de esta
corrección en el ajuste de la Persona 12M con t’ = 0.8 en lugar de t = 4.9.
Ahora tenemos dos estimaciones de la habilidad de la Persona 12M, una en b = 2.8 y otra enb’ = 2.2. Para decidir cuál de las dos es una mejor estimación depende de cómo evaluamos larespuesta de la Persona 12M al Ítem 3. Si pensamos que esta respuesta es inverosímil y que es
muy probable que obtenga el ítem 3 correcto, en caso de que lo intentara de nuevo, entonces
podríamos usar como su medida el valor corregido b’ = 2.2. Por el contrario, si pensamos que la
Persona 12M obtuvo el ítem 3 incorrecto debido a un error significativo al responder, entonces
podríamos considerar que b = 2.8 es mejor para reflejar su posición en la variable de la PCK.
La experiencia clínica con la variable de la PCK apoya la probabilidad de que un error de este
tipo es de hecho un indicador de una deficiencia y que su respuesta incorrecta al ítem 3 podría
ser un elemento importante a tomar en cuenta en su evaluación. En consecuencia, en este caso,
podríamos elegir la medida sin corregir b = 2.8.
En las Tablas 7.10.3 y 7.10.4 y en la figura 7.10.2 mostramos la corrección de un patrón típico
de "adivinador". Las respuestas de la persona a ítems sucesivamente más difíciles muestrancuatro respuestas correctas seguidas de cinco respuestas incorrectas y luego dos respuestas
correctas. Este patrón de respuesta tiene un desajuste significativo de t = 5.3. Debemos
preguntarnos si el estimador de habilidad b = 3.2 es un buen indicador de la posición de esta
persona en la variable de la PCK. Dada la cadena de respuestas incorrectas de esta persona antes
de sus dos últimas respuestas correctas, podríamos calcular una nueva estimación con estas dosúltimas respuestas sorprendentes eliminadas del registro. Con este nuevo patrón truncado setiene b’ = 1.7 y t’ = 1.2. El análisis estadístico por sí solo no nos puede decir cuál estimación esla más apropiada, pero sí puede detectar y organizar la información disponible en un resumen
conciso y objetivo para que nosotros lo usemos como parte de nuestra evaluación de la persona.
Las personas que adivinan pueden responder acertadamente a ítems difíciles con más
frecuencia de lo que sus habilidades podrían predecir, especialmente en ítems de opción múltiple.
Esto los hace parecer más capaces, especialmente cuando muchos ítems son demasiado difíciles
para ellos, porque su frecuencia de éxito no disminuye a medida que aumenta la dificultad delítem. Un efecto similar pero opuesto ocurre cuando las personas capaces se vuelven descuidadascon ítems fáciles que hacen que estas personas parezcan menos capaces.
Las respuestas de los ítems que se ven afectadas por la adivinación o el descuido en realidad
reflejan la influencia simultánea de dos variables. Por un lado, existe la habilidad que se está
midiendo y además, está la tendencia a adivinar o a ser descuidado. La posibilidad de"adivinación" ante un ítem puede o no ser una función simple de su dificultad en la variableprincipal o de los distractores en el caso de ítems de opción múltiple, sin embargo, para

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poder medir a la persona, hay dos variables involucradas: una es su habilidad, la otra es su
inclinación a adivinar o a ser descuidado. La medición de cualquiera de las variables estáamenazada por la presencia de la otra.
En las situaciones donde pensemos que la adivinación puede verse influida por el formato dela prueba como, por ejemplo, cuando pensamos que una persona puede adivinar al azar sobre malternativas de opción múltiple, podríamos usar la probabilidad de adivinar de 1/m como unumbral por debajo del cual suponemos que puede ocurrir la adivinación. Para proteger nuestras
medidas contra este tipo de adivinación, podemos entonces eliminar todos los ítems de un registro
de respuesta cuya dificultad es mayor que b + ln (m  1) donde b es la habilidad inicial estimadade la persona. Después de esta eliminación, volvemos a estimar la habilidad de la persona con
los ítems que le faltaron de contestar. Si hacemos esto, tomaremos la posición donde los ítems
son tan difíciles que propician que una persona pueda obtener una mejor calificación si adivina
contra la posibilidad de intentar contestarlos. De hecho tales ítems no deberían usarse para
estimar la habilidad de la persona.
En las Tablas 7.10.5 y 7.10.6 mostramos un patrón "descuidado" y su corrección. Aquí tenemos
un segmento de 17 ítems de dificultad creciente y el patrón de respuesta inicia con cuatro
respuestas incorrectas seguidas por diez respuestas correctas y luego tres incorrectas. El patrón
parece poco verosímil y se identifica un desajuste importante de t = 23.1. Algún factor extraño
parece estar influyendo en las primeras cuatro respuestas. Podría ser un problema causado por
el procedimiento de administración de la prueba, o por el comportamiento de la persona que seestá examinando. Un patrón de respuestas corregidas podría formarse eliminando las primeras
cuatro respuestas incorrectas y considerando solo el segmento continuo de respuestas correctas
y las tres incorrectas que los siguen.
Las respuestas corregidas que resultan de este cambio muestran un patrón "cauteloso" con t= 3.0. Este patrón produce una medida de habilidad b’ = 1.1, considerablemente mayor que laoriginal b = 0.9. No se puede tomar una decisión final sobre este problema, sin embargo, hasta
que haya suficiente información clínica o de comportamiento que pueda recopilarse para aclarar
el significado de esas primeras cuatro respuestas incorrectas.
En resumen, los aspectos estadísticos de nuestra estrategia de corrección son:a. Cuando la mayoría de las respuestas inesperadas son "incorrectas" y t > 3, deben
desecharse todos los ítems "demasiado fáciles" de dificultad d1 < (bv  2)
1. Calcule la nueva estimación de habilidad después de eliminar los ítems
"demasiado fáciles".
2. Haga un nuevo análisis de ajuste.
b. Cuando la mayoría de las respuestas inesperadas son "correctas" y t > 3, elimine
todos los ítems "demasiado difíciles" de medida d1 > [bv + ln (m  1)] donde m esel número de alternativas.
1. Calcule la nueva estimación de habilidad después de eliminar los ítems
"demasiado difíciles”.
2. Haga un nuevo análisis de ajuste.

CONSTRUYENDO MEDIDAS

189

190

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

8. ELECCIÓN DE UNA ESCALA
8.1 INTRODUCCIÓN
Los lógitos son las unidades de medida que hemos usado hasta ahora. Estas unidades seobtienen directamente del modelo logístico de respuesta que especifica la estimación de laprobabilidad de que la persona v responda correctamente al ítem i, como
pvi = exp(bv − di )/[1 + exp(bv − di )]donde bv es la habilidad estimada para la persona v y di es la dificultad estimada para el ítem i.
Se deduce que la probabilidad de una respuesta correcta se expresan en función del momio:
pvi /(1 − pvi ) = exp (bv − di )de la cual el logaritmo natural del momio para una respuesta correcta es:ℓn [pvi /(1 − pvi )] = (bv − di ).
Los logaritmos de los momios se denominan "lógitos" y las diferencias entre ítems y personas se
expresan en unidades de lógitos.
La elección de una unidad es completamente arbitraria, pero es absolutamente necesarioelegir alguna unidad de medida. Es posible continuar utilizando los lógitos iniciales como las
unidades de medida, pero esto tiene dos desventajas. Los lógitos involucran valores negativos ydecimales que son características numéricas que pueden hacerlos innecesariamente confusos.
Por ejemplo, la escala de la PCK en lógitos se extiende de 5.8 a +5.2. En las longitudes deprueba habituales, los valores del error estándar de medida pueden ser tan bajos como 0.6 lógitos.
Podríamos agregar una constante, del orden de 10, para eliminar los valores negativos, pero esto
no permitiría evitar los decimales simplemente redondeando al entero más cercano de lasmedidas en lógitos obtenidas en la PCK. El redondeo produciría una diferencia menos apreciablede casi dos errores estándar y, por lo tanto, podría anular diferencias significativas. Si
transformamos el valor a una escala de lógitos multiplicando por 10 y sumando 100,
obtendríamos medidas en una nueva escala de medidas de 42 a 152, que transmitiría la misma
información que la escala inicial en lógitos, pero que estaría libre de valores negativos ydecimales.
Para crear una nueva escala sin la inconveniencia de los decimales, debemos multiplicar loslógitos por un factor de escala o "espaciamiento" suficientemente grande para no perder
información útil al redondear las nuevas unidades al entero más cercano. Una vez elegido elfactor de espaciamiento y determinada la unidad de nuestra nueva escala, agregaremos un valor
de corrimiento o "ubicación" que hará que las nuevas unidades enteras sean suficientemente
grandes para que el valor más bajo posible sea mayor que cero. La nueva escala se define
determinando dos valores: el factor multiplicativo establece el espaciado, o unidades de la escalay el valor aditivo que establece la ubicación u origen de la escala.
Generalmente es fácil elegir el valor aditivo que localiza todos los valores posibles por encima
de cero. Sin embargo, la elección de un factor multiplicativo requiere más consideraciones.
Si queremos trabajar en unidades enteras, debemos organizar todo para que tenga sentido

191

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

192

cualquier diferencia menor a un entero en nuestra nueva escala. Esto requiere que investiguemos
el tamaño de la diferencia menos significativa.
Además de determinar una diferencia mínima significativa, deberíamos disponer de puntos
fáciles de recordar, como 50, 100 o 500 en la nueva escala, ubicados en valores asociados con
criterios importantes a lo largo de la variable o en ubicaciones típicas de una referencia grupal onormativa. Es posible que encontremos de utilidad relacionar nuestra nueva unidad de medida
con las probabilidades de respuesta que puede predecir el modelo de respuesta. También
podemos desear movernos entre probabilidades de respuesta fáciles de recordar como 0.10, 0.25,
0.50, 0.75 y 0.90 con incrementos regulares de 5, 10, 20 o 25 unidades a lo largo de nuestra nueva
escala.
Por lo tanto, además de eliminar negativos y decimales innecesarios, al agregar una constante
y establecer una unidad menos significativa mayor que uno, podremos organizar nuestra escalaalrededor de las consideraciones normativas, sustantivas o de probabilidad de respuesta.

8.2 FÓRMULAS PARA CONSTRUIR NUEVAS ESCALAS
Para explicar cómo se construye una nueva escala, haremos su definición como la transformación
lineal y = α + γ x en la cual x es la escala en lógitos, y es la nueva escala,  es el factor de ubicaciónpara determinar el origen de la nueva escala, γ es el factor de espaciado para determinar la nueva
unidad de la escala. Hacemos esta transformación lineal porque deseamos conservar las
características de intervalo en lógitos que produce el modelo de Rasch.
Nuestras nuevas medidas B y las nuevas calibraciones D pueden expresarse en términos de sus
contrapartes en lógitos b y d como:

B =  + 𝛾 b para las personas[8.2.1]D =  + 𝛾 d para los ítems

[8.2.2]

Los nuevos errores estándar de medida y calibración son:ES(B) = 𝛾ES(b)[8.2.3]

ES(D) = 𝛾ES(d)[8.2.4]

Esto muestra cómo las características de nuestra nueva escala dependen de los valores de α y γelegidos para definirla.
De paso debemos revisar de nuevo que las habilidades de las personas y las dificultades de losítems permiten ubicar posiciones de interés en una variable común. Construimos esta variable
trabajando necesariamente con las calibraciones de los ítems que la definen. Sin embargo, cuando
usamos la variable para medir a las personas debemos trabajar con las medidas a lo largo de lavariable definida por los ítems, no por las personas. Lo que una medida nos dice acerca de la persona
es cuál es el nivel de dificultad de los ítems que esa persona puede responder correctamente la mitadde las veces. De la misma manera, la calibración de un ítem nos habla del nivel de habilidad de laspersonas que probablemente lo respondan correctamente la mitad del tiempo. De hecho si nodijéramos "medida" para referirnos a la ubicación de las personas y "calibración "para referirnos a laubicación de los ítems, podríamos intercambiar los términos para hablar de la dificultad del ítem comosu medida y de la habilidad de la persona como su calibración.

8.3 LA MENOR DIFERENCIA MEDIBLE
Queremos liberar de decimales a nuestra nueva escala, pero no queremos cancelar el uso de
información útil. Como resultado, tenemos que determinar la menor diferencia medible MDM (oLMD por sus siglas en inglés) en nuestra escala de lógitos para que podamos elegir un factor deELECCIÓN DE UNA ESCALA

193

espaciamiento 𝛾 que hace que la MDM en lógitos se traduzca al menos por un entero en nuestra nueva
escala. Aunque dos personas estén muy cercanas sus puntajes observados deben estar suficientemente
separados, sin ser el mismo valor. Esta es la mínima diferencia observable MDO (o LOD por sus siglas
en inglés). Necesitamos transformar esta MDO en su correspondiente MDM en lógitos de habilidad.
La habilidad b en lógitos se obtiene del puntaje r a través de la expectativa del modelo de respuesta:L

r= ∑{exp (br − di )/[1 + exp (br − di )]}i

Como resultado, el MDM debe seguir al MDO por una razón de cambio ∂b/∂r por la cual los puntajes
de r producen medidas de b, es decir:
𝜕b
MDO
𝜕r

MDM≃

Para estandarizar las observaciones respecto de la longitud de prueba L generalizamos el puntaje
bruto r al puntaje relativo f = r / L. Luego, con MDO = 1 en el puntaje r y f = r / L, tenemos que MDM= 1 / L en puntaje relativo f, con lo que se tiene:
𝜕b
𝜕b[8.3.1]
(1/L)
MDO =
𝜕f
𝜕f
El modelo de respuesta de Rasch nos da la relación esperada entre el puntaje relativo f y laprobabilidad estimada de respuesta pfi:
MDM≃L

f= ∑ pfi /Li

En donde: pfi = exp(bf − di )/[1 + exp (bf − di )].
Por lo tanto, la razón de cambio a la cual el puntaje relativo f produce b es
L

−1

𝜕b
= [∑ pfi (1 − pfi )/L]
𝜕f

= Cfw

i

que resulta ser el coeficiente de error Cfw discutido en los Capítulos 6 y 7.
Los subíndices de este coeficiente indican el ancho w y el puntaje relativo f porque, como
aprendimos en el Capítulo 6, los valores exactos de este coeficiente no solo dependen de la relación
entre el nivel de dificultad de la prueba y la habilidad de la persona expresada en puntaje relativo f =r / L, sino también depende del rango de dificultad cubierto por la prueba. Esto nos da al menos una
diferencia medible:𝜕b[8.3.2](1/L) = Cfw /L
MDM≃𝜕f
La forma en que Cfw y, por lo tanto, MDM varía con b, se muestra en la figura 8.3.1. Conforme la
medida de habilidad se aleja del centro de prueba y / o la curva de operación de la prueba se vuelve
más plana, MDM se hace más grande. Afortunadamente, el rango de valores que Cfw tendrá en la
práctica es limitado.
Cuando

1/8 < pfi < 7/8

entonces

4 < Cfw < 9yCfw = 6i=1, Lse puede usar como un valor único de trabajo conveniente para Cfw (consulte la Tabla 6.8.1 paraobtener más información).
Esto nos da una definición de trabajo de la menor diferencia medible:
MDM = 6/L
que implica un factor de espaciamiento:

𝛾MDM > L/6[8.3.3]

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS194

El MDM se aproxima a la unidad significativa más pequeña posible, ya que se deriva de la
Mínima Diferencia Observable. Sin embargo, desde el punto de vista de la estimación, podríamos
considerar que un error estándar de medida ESM (o SEM por sus siglas en inglés) es en realidad
la menor diferencia “creíble”. En lógitos, el ESM se relaciona con el MDM como:
1

1

1

ESM = (MDM) ⁄2 = Cfw ⁄2 /L ⁄2
que sugiere el valor de trabajo
1

ESM = 2.5/L ⁄2[8.3.4]

como una base alterna para determinar el factor de espaciamiento
1

𝛾ESM > L ⁄2 /2.5
Siempre que haya más de seis ítems en nuestra prueba, el ESM determina un γ menor que elMDM, porque1

L ⁄2 /2.5 < L/6

cuandoL > 6.

Una escala basada en el ESM, podría ser más simple numéricamente, sin embargo, también
sería menos discriminante en su incremento entero que otra escala basada en el MDM. Cuál
elección es preferible en cualquier situación particular no puede resolverse con base en
consideraciones estadísticas. La elección dependerá inevitablemente del uso al que se destinenlas medidas.

ELECCIÓN DE UNA ESCALA

195

Finalmente, podríamos considerar la diferencia menos significativa entre las medidas
independientes, ya sean réplicas de respuestas de la misma persona o comparaciones entre
diferentes personas, como un límite superior de cuán burda podríamos permitir que seconvirtiera nuestra nueva escala. Para determinar esta diferencia menos significativa MDS (o LSD
por sus siglas en inglés) tomamos
2

2

1⁄

2

1⁄

MDSab = (ESMa + ESMb ) 2 ≃ (2 ESM ) 2
y llegar al valor de trabajo
1

MDS = 1.4 ESM = 3.5/L ⁄2[8.3.5]que produce un factor de espaciamiento mínimo
1𝛾MDS > L ⁄2 /3.5
Siempre que el número de ítems en nuestra prueba sea mayor a seis, las magnitudes relativasde las bases para determinar un límite inferior para el factor de espaciamiento son
MDM < ESM < MDS
y entonces los factores de espaciamiento que determinan están ordenados
𝛾MDM > 𝛾ESM > 𝛾MDS
La figura 8.3.2 muestra las relaciones entre MDM, ESM y MDS en lógitos para la Prueba
PCKB de 23 ítems. Los ítems, sus valores en lógitos, puntajes equivalentes y MDO de los ítems
3, 4, 12 a 13, 18 a 19 y 20, 21 junto con sus respectivos MDM, ESM y MDS.
Podemos comparar los valores exactos en la Figura 8.3.2 con las aproximaciones dadas porlas ecuaciones 8.3.3, 8.3.4 y 8.3.5.
MDM = 6/L = 6/23 = 0.26
1

ESM = 2.5/L ⁄2 = 2.5/4.8 = 0.52
1

MDS = 3.5/L ⁄2 = 3.5/4.8 = 0.73

Mínimo valor de 
42
1.5

Debido a que el rango de 13 lógitos de la PCKB es inusualmente amplio, estas aproximaciones
son más pequeñas que los valores exactos dados en la figura 8.3.2. El mínimo factor  deespaciamiento de MDM indicado por los valores exactos sería aproximadamente de 2 mientras
que las aproximaciones podrían conducir a un mínimo de  de 4. Dado que solo estaríamos en
riesgo de perder información si las aproximaciones nos llevaran a un valor de  menor a 2, vemos
que incluso en esta situación extrema las aproximaciones no nos engañan.

8.4 DEFINICIÓN DEL FACTOR DE ESPACIAMIENTO
Una vez definida la diferencia menos significativa en lógitos, ya sea como la mínima diferencia
medible MDM(b) = 6/L para mantener la máxima amplitud de observación o con base en el error
estándar de medida ESM(b) = 2.5/L½ y su mínima diferencia significativa MDS(b) = 3.5/L½ paramantener la confiabilidad estadística, de esta forma podemos usar esta diferencia menos
significativa para establecer un factor de espaciamiento, que hará que todas las diferencias
interpretables en nuestra nueva escala sean mayores que uno.
Si nuestro objetivo es hacer la diferencia menos medible en la nueva escala MDM (B) > 1,
entonces, dado que = MDM (B) / MDM (b), se sigue, como en la Ecuación 8.3.3,
𝛾MDM > L/6[8.4.1]

196DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASELECCIÓN DE UNA ESCALA

197

es el factor de espaciamiento que garantiza que no se cancelen las diferencias observables altomar el redondeo al entero más cercano.
En cambio, si estuviéramos interesados en mantener el factor de espaciamiento  lo máspequeño posible, para evitar la presentación de diferencias de escala que son estadísticamente
poco confiables, podríamos establecer  en 1/ESM (b) o incluso 1/MDS (b) que es
1

𝛾ESM = L ⁄2 /2.5

[8.4.2]o
1𝛾MDS = L ⁄2 /3.5

[8.4.3]A menudo, sin embargo, habrá otras consideraciones que nos llevarán a permitir que  pueda
ser incluso mayor que L/6 para alcanzar intervalos de escala de referencia como 5, 10, 20, 25, 50
o 100.
Para tener una idea aproximada de los valores típicos útiles de , enumeramos en la Tabla
8.4.1 algunos valores para las diferencias menos significativas en función de varias longitudes
de prueba. En la tabla 8.4.1 vemos que raramente estaríamos satisfechos con un factor deespaciamiento menor que 5 aunque rara vez necesitamos uno más grande que 100. La Tabla
8.4.1 sugiere que podríamos trabajar satisfactoriamente con estos valores: = 5 para pruebas cortas en el aula de 20 o 30 ítems,
 = 10 para pruebas con unidades típicas de 50 a 60 ítems
 = 20 o 25 para pruebas largas de 120 a 150 ítems.
ySolo en pruebas de duración poco convencional, tales como exámenes de 1,000 ítems, es que
podríamos necesitar  = 100.

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

198

Una vez decidido el valor de γ lo aplicamos a nuestras medidas de personas b y dificultades
de los ítems d para ubicarlos en nuestra nueva escala como valores B y D. La relación entre MDM
y ESM en lógitos para MDM(b) = [ESM(b)]2 es fácil de recordar, mientras que su relación en lanueva escala también involucra a γ. Ya que
MDM(B) = γMDM(b)ESM(B) = γESM(b)Pero

MDM(b) = [ESM(b)]2

de lo que se sigue en nuestra nueva escala
MDM(B) = [ESM(B)]2 /γ[8.4.4]

1
ESM(B) = [γMDM(B)] ⁄2[8.4.5]

Por ejemplo, supongamos que para re-escalar la PCKB que se muestra en la figura 8.3.2
elegimos como valor de γ = 5. Entonces se tiene esta relación en lógitos
MDM(B) = [ESM(b)]2
en nuestra nueva escala
MDM(B) = [ESM(B)]2 /5y1ESM(B) = [5MDM(B)] ⁄2

Así, mientras que un ESM(b) de 0.75 = 0.57½ se asocia con un MDM(b) de 0.57, cuando γ = 5,
entonces
MDM(B) = 5 × 0.57 = 2.81
pero

1

ESM(B) = 5 × 0.75 = 3.75 = (5 × 2.81) ⁄2

8.5. UNIDADES DE ESCALAMIENTO NORMATIVO: NITS
Si queremos que nuestra escala se fundamente en una referencia normativa, podemos usar
como factores la media observada en lógitos m y la desviación estándar s en lógitos de la muestra
normativa elegida. Estos factores entran en una transformación preliminar d´= (d  m)/s y b´=(b  m)/s, que pone la media del grupo normativo en cero y la unidad de la escala en una
desviación estándar normativa.
Después de este paso preliminar, elegimos un factor de espaciamiento lo suficientemente
grande para que las diferencias significativas se vuelvan más grandes que uno y en un valor que
fija la desviación estándar normativa en alguna unidad fácil de recordar, como 10, 20, 50 o incluso
100. Al mismo tiempo, elegimos el factor de ubicación α para que la media del grupo normativo
sea también fácil de recordar, por ejemplo, en 50, 100 o 500.
Por lo tanto, para crear una escala basada en unidades normalizadas (o normativas), llamadas
NIT, utilizamos esta expresión para las personas:
B = 𝛼 + γ(b − m)/s

[8.5.1]y esta para los ítems:
D = 𝛼 + γ(d − m)/s
Luego en la nueva escala de NIT tenemos la media normativa M = α y la desviación estándar
normativa S = γ.

ELECCIÓN DE UNA ESCALA

199

Usando la administración de la PCKB a las 68 personas mayores de 8 años como datos
normativos, tenemos m = 1.3 y s = 1.9, ambos en lógitos. Si ahora elegimos α = 50, γ =10,
obtenemos una nueva escala en NIT, en la cualB = 50 + 10 (b − 1.3)/1.9[8.5.2]= 50 − 10 (1.3/1.9) + 10b/1.9= 43.2 + 5.3byD = 43.2 + 5.3dObserve que con esta definición de escala, la media normativa de m = 1.3 lógitos se convierte en
M = 43.2 + 5.3(1.3) = 50 NIT
Si ahora establecemos b en
m + s = 1.3 + 1.9 = 3.2
entonces
M + S = 43.2 + 5.3(3.2) = 60 NIT
así que se tiene
M + S − M = S = 60 − 50 = 10 NIT
es la desviación estándar normativa en la nueva escala de NITs.
La figura 8.5.1 muestra la distribución de las 68 personas normativas. Debajo de su
distribución se tienen las medidas de habilidad para cada puntaje en lógitos y en NITs, y en laparte inferior están los ítems de la PCKB que definen la variable. En la figura 8.5.1 vemos que
30 NITs → m − 2s, 40 NITs → m − s, 50 NITs → m, 60 NITs → m + s 𝑦 70 NITs → m + 2s

8.6. UNIDADES DE ESCALAMIENTO SUSTANTIVO: SITS
Con otro propósito, podríamos optar por referir nuestra nueva escala con base en
consideraciones sustantivas como por ejemplo un nivel basal y otro nivel de competencia, un nivel
de entrada y un nivel de salida o cualquier jerarquía sobre dos niveles de dominio o dedesempeño. Para lograr esto, encontramos los niveles de dificultad d1 y d2 en nuestra escala delógitos que marcan nuestra elección de dos posiciones de criterio. A continuación transformamos
estos lógitos a los valores D1 y D2 en una nueva escala sustantiva o SIT, que permiten ubicar
nuestros criterios en posiciones fáciles de recordar como 50, 100 o 200.
Si d1 y d2 identifican las posiciones de los criterios en lógitos y D1 y D2 representan esas
posiciones fáciles de recordar para dichos criterios en la nueva escala, entonces
𝛼 = (D1 d2 − D2 d1 )/( d2 − d1 )y entonces

𝛾 = (D2 − D1 )/( d2 − d1 )B = 𝛼 + 𝛾b
D = 𝛼 + 𝛾d

Se vuelvenyB = [(D1 d2 − D2 d1 ) + (D2 − D1 )b]/( d2 − d1 )D = [(D1 d2 − D2 d1 ) + (D2 − D1 )d]/( d2 − d1 )[8.6.1]

200DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASELECCIÓN DE UNA ESCALA

201

Para aplicar este método a nuestro ejemplo de la PCKB, designaremos un nivel basal en la
mediana de 3 golpes donde d1 = 3.4 lógitos y un nivel de competencia en la mediana de 5 golpes
donde d2 = 1.4 lógitos. Luego, nos organizaremos para reportar ambos criterios como D1= 30 parael nivel basal y D2= 50 para el nivel de competencia usando:
𝛼 = [30(1.4) − 50(−3.4)]/[1.4 − (−3.4)]= (42 + 170)/4.8= 44.2y𝛾 = (50 − 30)/[1.4 − (−3.4)]= 20/4.8= 4.2
con lo que se define nuestra nueva escala sustantiva en SITs como
B = 44.2+4.2b[8.6.2]yD = 44.2+4.2d
Esta escala transforma la mediana de 3 golpes en d1 = 3.4 lógitos a D1= 44.2 + 4.2 (3.4)=30
SIT y la mediana de 5 golpes en d2 = 1.4 lógitos a D2= 44.2+4.2 (1.4)=50 SIT.
En la figura 8.6.1 mostramos los ítems de la PCKB y una definición sustantiva de la variablede la PCK, marcando las posiciones de la escala de cada número en la mediana de golpes. Los
puntajes de habilidad en lógitos y en SIT aparecen debajo de esta definición sustantiva.

8.7 UNIDADES DE ESCALAMIENTO DE PROBABILIDAD DE RESPUESTA: CHIPS
Si estamos interesados en utilizar nuestra prueba para predecir tasas de respuesta dedesempeño exitoso, entonces una “escala con referencia a un desempeño” puede ser útil. Las
unidades de probabilidad de respuesta o CHlPs (por Chicago Probability Units) sirven para
identificar los cambios a través de probabilidades de respuesta de 0.10, 0.25, 0.50, 0.75 y 0.90,
con múltiplos fáciles de recordar en la variable, como 5, 10, 20 o 25.
A partir del modelo de respuesta
p = exp(b − d)/[1 + exp (b − d)]podemos determinar las diferencias (b  d) entre la habilidad de la persona y la dificultad delítem que corresponden con las probabilidades de respuesta 0.10, 0.25, 0.50, 0.75 y 0.90. Al
resolver para (b  d) en lógitos tenemos:(b − d) = ℓn[p/(1 − p)]con lo que se llega a:
Probabilidad de éxito
p
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90

Diferencia entre la habilidad de la persona
y la dificultad del ítem en lógitos.
b-d
-2.2
-1.1
0.0
1.1
2.2

202

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASELECCIÓN DE UNA ESCALA

203

Para determinar una nueva escala de esta manera usamos
B = 𝛼 + 𝛾(b − c)

[8.7.1]

en el cualc=puede elegirse como normativa o sustantiva
para la ubicación en la escala de lógitosγ=

un múltiplo atractivo de 1 / 1.1 = 0.91 deforma de que 5, 10, 20 o 25 lleven a losvalores de 𝛾 en 4.55, 9.1, 18.2 o 22.75

α=50, 100 o 500yPara la PCKB podríamos hacer una elección normativa de c = 1.3 lógitos en la media de lógitos
del grupo normativo de 68 personas. También podríamos establecer γ =4.55 que nos da un
espaciamiento CHIP de 5 y elegir α para ubicar la media normativa en 50. En consecuencia
nuestra formulación de escala CHIP se convierte de esta forma:
B = 50 + 4.55(b − 1.3)

[8.7.2]= 44.09 + 4.55b= 44.1 + 4.6b
Tenga en cuenta que cuando b se ubica en la media del grupo normativo, entonces
B = 44.1 + 4.6(1.3) = 50 CHIPs
Nuestra elección de γ =4.55 produce las siguientes relaciones entre las posiciones relativas deuna persona en B y un ítem en D:
Probabilidad de éxito
p
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90

Diferencia entre la habilidad de la persona
y la dificultad del ítem en CHIPS.
B-D
-10
-5
0
5
10

Por lo tanto, esperamos que cuando una persona confronte a un ítem que esté 10 CHIPs por
debajo de su habilidad, entonces la probabilidad de una respuesta correcta es aproximadamente
de 0.90. Cuando está 5 CHIPs por debajo, la tasa de éxito pronosticado es de 0.75. Por otro lado,si un ítem es 5 CHIPs más difícil que para la habilidad de la persona, esperamos que la tasa deéxito se reduzca a 0.25 y cuando la persona está en desventaja de 10 CHIPs, esperamos éxito
solamente 0.10 de las veces.
Si tuviéramos que hacer una elección sustantiva de una ubicación en la escala, podríamos
usar la mediana de 5 golpes en la PCK, que se encuentra en 1.4 lógitos como nuestra ubicaciónde referencia en lugar de la media de la muestra normativa en 1.3 lógitos. Entonces nuestra
formulación de escala CHIP se convertiría en:
D = 50 + 4.55(d − 1.4)
= 43.63 + 4.55d= 43.6 + 4.6dy entonces
B = 43.6 + 4.6b[8.7.3]

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

204

De esta forma, cuando b se encuentre en la mediana de 5 golpes en 1.4 lógitos, se tiene:
B = 43.6 + 4.6b(1.4) = 50 CHIPs
La tabla 8.7.1 pone juntas las escalas en lógitos, NIT, SIT y CHIP para la PCKB.

ELECCIÓN DE UNA ESCALA

205

8.8 FORMULARIOS DE INFORMESEl uso del modelo de Rasch en la construcción de una prueba puede facilitar su interpretación.
Vamos a ilustrar esto con un formulario de informe desarrollado para la variable PCK.
La Figura 8.8.1 proporciona un mapa de la variable PCK. Este mapa muestra todos los datos
reunidos hasta ahora: los ítems PCKB posicionados a lo largo de la variable según sus niveles dedificultad, los criterios sustantivos del número de golpes, retrocesos y distancias entre bloques yla información normativa de la mediana de edades para los niños, así como la media y ladesviación estándar para los adultos. El mapa muestra hasta qué punto se ha definido la variable
PCK y cómo varias medidas posibles de PCK se relacionan con consideraciones sustantivas ynormativas. Un formulario de informe se puede desarrollar a partir de este mapa.
La figura 8.8.2 es un formulario de informe para interpretar el desempeño individual en el
PCKB. Esta forma, que podría usarse para un solo individuo o para un grupo completo, muestra
el rendimiento de las personas 12M y 88M, así como un registro de respuesta idéntico al puntaje
de 88M pero diseñado para mostrar un patrón "dormilón" de varias fallas inesperadas.
Observe que Persona 12M con su puntaje de 5 se ubica en -2.8 lógitos en la variable de la
PCK. Esto lo pone a medio camino entre 3 y 4 golpes definidos sustantivamente y en la posición
de la mediana normativa de 5 años de edad. Sin embargo, la Persona 88M ubicada en 3.0 lógitos
funciona sustantivamente en 6 golpes y aproximadamente a una desviación estándar por arriba
de la media normativa del adulto.
En muchos casos, será útil detectar el desajuste inmediatamente después de registrar las
respuestas de la persona. El formulario de informe de la figura 8.8.2 es ideal para este propósito.
Para ello debemos registrar la respuesta correcta o incorrecta a cada ítem en su posición sobrela variable y también la posición resultante de la persona en la misma variable. El desajuste
puede ser estimado directamente de este formulario de respuesta por medio de una Regla deDesajuste.
La figura 8.8.3 muestra una Regla de Desajuste escalada en lógitos. Está marcada para
indicar las desviaciones en lógitos y el correspondiente índice de desajuste y2 = (z2  1) a izquierda
y derecha de su valor central. Observe que las desviaciones de las respuestas inesperadas de 1,
2, 3 y 4 lógitos corresponden con una y2 de 2, 6, 19 y 54 respectivamente. Si colocamos el centro
de la regla en el punto de la variable donde se encuentra la persona y comparamos las marcas dela regla con la respuesta que hace la persona a cada ítem, podremos calcular, de un vistazo, el
desajuste del registro de la persona.
Siempre que observemos una respuesta inesperada, es decir, un "0" para una respuesta
incorrecta en la región fácil a la izquierda o un "1" para una respuesta correcta en la región dedifícil a la derecha, entonces los y2 correspondientes en la regla se adicionan para formar la suma
Q= Σ y2 solo por las respuestas inesperadas del registro. Esta suma Q dividida por la raíz
cuadrada del número total de ítems L en la prueba produce el estadístico de desajuste1

U = Q/L ⁄2[7.8.1]si el registro se ajusta al modelo de respuesta, entonces se distribuye aproximadamente como
U ~ N(0,2)
Este estadístico es fácil de calcular y puede utilizarse para evaluar el desajuste. Si U > 5 laprobabilidad de que el registro sea aceptable se reduce a menos de 0.01 y parece razonable
cuestionar la validez de dicho registro.
En una aplicación práctica con un lote de registros para evaluar, es más razonable comenzar
con el registro para el que U es máximo y ver si la fuente de invalidez puede ser identificada y206DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBASELECCIÓN DE UNA ESCALA

207

DISEÑO ÓPTIMO DE PRUEBAS

208

buscar la forma de enfrentarla. Los casos siguientes pueden ser manejados en función de losvalores de U hasta descubrir todas las explicaciones útiles sobre la invalidez que implica alcanzar
U > 5.
La figura 8.8.2 muestra el segmento de prueba de 23 ítems de la PCKB en orden creciente dedificultad, junto con tres registros de respuesta. Estos registros muestran las respuestas
correctas e incorrectas en los 23 ítems. Para evaluar el ajuste del registro de la persona 12M,
colocamos el centro de la Regla de Desajuste en la flecha que marca su posición en 2.8 lógitos
determinados por su puntaje de 5. Su respuesta incorrecta al Ítem 3 en 6.2 lógitos produce una
y2 de aproximadamente 30 para Q= 30 y U=30/23½=6.3. Esto corresponde a t = 4.5 que está
muy próximo del valor más exacto de t dado en la Tabla 7.8.3. Nuevamente, vemos que es muy
improbable que esta respuesta llegue a aceptarse como parte de una medida válida para la
Persona 12M.
La Regla de Desajuste también se aplicó a la Persona 88M y al patrón "dormilón" con el mismo
puntaje de 18. El patrón para la Persona 88M produce un registro de respuesta que conduce aΣy2 = 2 y U= 0.4. Los patrones "dormilones", sin embargo, producen esto:∑ y2 = 46 + 20 + 2 + 3 = 71
y entonces1

U = 71/23 ⁄2 = 14.8
Todos estos resultados se concentran en la Tabla 8.8.1

ELECCIÓN DE UNA ESCALA209

APÉNDICESTABLA A

212 y 213TABLA B214 y 215

TABLA C

216

211

212

APÉNDICESAPÉNDICES

213

214

APÉNDICESAPÉNDICES

215

216

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ÍNDICE
Adivinador (ver Patrón: respuesta)
Ajuste burdo (ver Ajuste)
Ajuste:análisis, 2 – 4, 23 – 24, 66 – 82
corrección del desajuste, 181 – 190
burdo, 124 – 125
diagnóstico de desajuste, 170 – 180
ejemplo a mano, 69 – 79ítem, 52 – 55, 58 – 59, 77 – 79, 121 – 125
enlace (eslabón), 93 – 96, 98
circuito (bucle), 100
persona, 2 – 4, 76 – 77, 121 – 125, 165 – 180, 205 –209
respuesta, 69 – 77, 121 – 125, 165 – 180
regla para el análisis de ajuste, 208 – 209
resumen del análisis de ajuste, 79 – 80
tabla para análisis de ajuste, 73, 216
ejemplo por computadora, 52 – 55, 58 – 59, 80 – S2
Algoritmos de cálculo:
BICAL, 46 – 54
PROX, 61 – 62
ejemplo a mano, 30 7 44
ejemplo por computadora, 46 – 55
UCON, 62 – 65
UFORM, 143 – 151
tablas, 146, 212, 214
Análisis de ajuste (ver Ajuste)

Construcción del banco de ítems, 98 – 118
armadura (web), 102 – 106
cadena, 99
circuito (bucle), 100
enlace (eslabón), 96 – 106
PCK ejemplo, 106 – 118
red (network), 101 – 103
Control de calidad de la calibración del ítem, 121 – 125(ver Ítem: ajuste)
Control de calidad de la medida de la persona, 155 –
170 (ver Ajuste: persona)Control de calidad, 121 – 125, 165 – 170 (ver Ajuste)
Corrección de una medida, 181 – 190
Criterio, referencia a, 118 – 121, 199 – 202, 204, 206 –207
Delta  (ver Ítem: calibración de la dificultad)
Desajuste, diagnóstico de, 170 – 180
Desajuste (ver Ajuste)
Descuidado (ver Respuesta: patrón)
Diagnóstico de desajuste, 170 – 180
Dificultad  y d (ver Ítem: calibración de la dificultad)
Discriminación (ver Ítem: índice de discriminación)
Diseño óptimo de prueba (ver Prueba: diseño)
Diseño o confección a la medida, 151 – 164
desempeño (rendimiento), 156 – 160, 164
estatus, 153 – 156, 164personalizado, 161 – 164
Diseño de pruebas, 131 – 140
altura H y h, 132 – 133, 137 – 140
ancho (o rango) W y w, 132 – 133, 136 – 140
curva operativa, 132 – 133, 138
distribución de ítems o personas, 130 – 139
forma, 132 – 140
longitud L, 132 – 133, 136 – 140
Distribución normal de ítems o personas, 21, 130 – 131,
133 – 134, 137, 139
Distribución de intervalos de ítems o personas, 130 –
131, 133 – 134, 137, 139
Dormilón (ver Respuesta: patrón)

Banco (ver Construcción del banco de ítems)
Beta (ver Persona: medida de habilidad)
BICAL, 46 – 54
control, 46 – 47
salida de resultados, 46, 48 – 52, 54
Bucle (ver Circuito)
Cadena, 99
Calibración  y d (ver Ítem: calibración de la dificultad)
Calibración del ítem independiente de la muestra, vii –xiii, 15, 20, 25– 26
Características métricas de la prueba, 131 –133
Cauteloso (ver Respuesta: patrón)
CHIP (ver Escala: CHIP)
Circuito (bucle), 100 (ver Construcción del banco deítems)
ajuste, 100
Coeficiente de error Cf, 135 – 140, 146, 193 – 194, 214
Conexión de dos pruebas, 96 – 98 (ver Enlace: formas
de pruebas)
Confiabilidad de la calibración (ver Error estándar de lacalibración del ítem)Confiabilidad de la medida (ver Error estándar de lamedida de la persona)

Edición de datos, 31 – 34, 47 – 49
Eficiencia, 74 – 75, 139, 161, 164
Enlace:formas de pruebas, 96 – 106ítems comunes, 108 – 109, 112 – 118
personas comunes, 107 – 112
Enlace (eslabón), 96 – 98 (ver Construcción de bancode ítems)
ajuste, 94 – 96

220

BIBLIOGRAFÍA

Equiparación con ítems comunes, 108 – 109, 112 – 118
Equiparación con personas comunes, 106 – 112

221
ajuste del ítem, 24, 77, 79
análisis de anclaje, 96
Habilidad  y b (ver Persona: medida de habilidad)

Error estándar:
calibración del ítem PROX, 21 – 22
calibración del ítem SE(di), 21 22, 25 – 26, 61 –65, 143 – 146, 192
circuito (bucle), 100
coeficiente Cf, 135 – 140, 146, 193 – 194, 214eslabón (enlace), 96 – 98
factor de espaciamiento, 195
línea de identidad, 89, 92 – 95
medida de la persona PROX, 21 – 22
medida de la persona SE(bv), Sv, ESM y S, 21 – 22,
27, 61 – 65, 132 – 136, 140, 192, 194 – 198
PROX calibración del ítem, 21 – 22
PROX medida de la persona, 21 – 22
Escala, 191 - 204
CHIP, 201 - 204
factor de espaciamiento , 191 - 198
lineal, vii, 7 - 9, 25, 27, 191 - 192
lógito, 16 - 17, 25, 27, 30, 34, 36, 191 - 192
MDM, 132, 135, 192 – 198
NIT, 198 – 200, 204
SIT, 199 – 202, 204valor aditivo , 191 – 192
Estadísticas tradicionales de las pruebas, 24 – 27
Estimación de aproximación uniforme UFORM, 143 –
151, 212, 214
Estimación aproximadamente normal PROX, 21 – 22,
28 – 45, 50 – 55, 60 – 62, 143, 149 – 150
algoritmo informático, 61 – 62
algoritmo manual, 21 – 22, 34, 38 – 40, 42, 44
ejemplo de computadora, 46 – 55
ejemplo manual, 30 – 44
manual vs computadora, 55 – 56
PROX vs UCON, 60 – 61
Estimación de la máxima verosimilitud incondicional
UCON:
algoritmo de computadora, 62 – 65
ejemplo de computadora, 56 – 61
UCON vs. PROX, 60 – 61
Extendiendo una variable, 87 – 93
Factores de expansión X e Y, 21 – 22, 30, 40 – 44, 50,
62, 148
Factor de espaciamiento  (ver Escala: Factor deespaciamiento)
Fiabilidad de la calibración (ver Error estándar de lacalibración del ítem)Fiabilidad de la medida (ver Error estándar de la medidade la persona)
Formularios de informes, 205 – 209
Grados de libertad, 23 – 24, 71, 74, 77, 79
ajuste burdo, 125
ajuste de persona, 23, 76 – 77, 79, 165 – 168

Igualación con ítems comunes, 108 – 109, 112 – 118
Igualación con personas comunes, 106 – 112
Igualación de formas de prueba (ver Enlace: formas depruebas)Información Ifi, 16 – 17, 73 – 75, 135, 161 – 164
Intensificando una variable, 87 – 94
Ítem:ajuste, 52 – 55, 58 – 59, 77 – 79, 121 – 125
calibración de la dificultad  y d, 17 – 22, 25, 30, 34– 38, 40 – 42, 54 – 55, 61 – 65
curva característica, 12 – 14, 51 – 53, 58 – 59
discriminación, ix – xíndice de discriminación, 52 – 55
índice, 52 – 55
p valor, viii, xi – xiii, 25 – 26
puntaje si, 10, 18 – 22, 32 – 35
punto biserial, viii, x, 26
KCT (ver Prueba de los Cubos de Knox)
Linealidad, vii, 7 – 9, 15, 25, 27, 191 – 192
Líneas de control para gráficas de identidad, 94 – 95
Línea de identidad, 89, 92 – 95
LMD Least Measurement Difference (ver Mínima
diferencia medible)
LOD Least Observable Difference (ver Mínima
diferencia observable)
Logaritmo del momio (ver Lógito)
Logística:
distribución, ix – xfactor escalar 1.7 para la ojiva, 21 – 22
función, 15, 25, 27, 36
Lógito, 16 – 17, 25, 27, 30, 34, 36, 191 – 192
LSD Least significant difference (ver Mínima
diferencia significativa)
Mapa (ver Variable: definición)
Matriz de datos, 10, 18,31, 33, 68, 107 – 109
MDM (ver Mínima diferencia medible)
MDO (ver Mínima diferencia observable)
MDS (ver Mínima diferencia significativa)
Media cuadrática residual v, 23 – 24, 26, 53, 71 – 74, 76– 82, 165 – 170
Medida  y b (ver Persona: medida de la habilidad)
Medida objetivo (ver Objetivo: medición)
Medición de la persona independiente de la prueba, vii– xiii, 15, 20, 27, 141
Media cuadrática estandarizada t, 77 – 80, 165 – 169
Mejor diseño de prueba (ver Prueba: diseño)
Métodos de estimación, ix – x, 15 – 20, 44 – 45
PROX, 21 – 22, 28 – 45, 50 – 56, 60 – 62, 143, 149– 150
UCON, 56 – 65, 142 – 143,148 – 150

222
UFORM, 143 – 151, 214, 216
Mínima diferencia medible MDM, 132, 135, 192 – 198
Mínima diferencia observable MDO, 132, 135, 194, 196
Mínima diferencia significativa MDS, 195 -196
Modelo de Rasch, 9 – 27
NIT (ver Escala: NIT)
No linealidad de los puntajes de la prueba, 7 – 9Normas por el método corto, 126 – 128
Objetividad, viii xiii, 15, 141
Objetivo de medición, 129 – 131
dispersión S, 129 – 131, 133 – 134, 137 – 140
distribución D, 130 – 131, 134 – 139
ubicación M, 130 – 131, 137 – 139
PCK (ver Prueba de los Cubos de Knox)
Persona:ajuste , 2 – 4, 76 – 77, 121 – 125,165 – 180, 205 –209
curva característica, 12 – 14
Medida de la habilidad  y b, 17 – 22, 134 – 136,
142 – 151
PROX, 37 – 39, 43 – 44, 51, 56, 61 – 62, 143, 148 –149
puntaje rv,4 – 10,18 – 22
convertir a medida br, 21 – 22, 27, 37 – 40, 43 –44, 61 – 65, 142 – 151
dependencia de la prueba, 4 – 6
no linealidad, 7 – 9
puntaje relativo fr, 132, 134, 140, 144 – 146, 149,
193 – 194
respuesta, xvi, 9 – 14, 68 – 77, 165 – 180
UCON, 57, 61 – 65, 142 – 143, 147 – 149
UFORM, 143 – 147,149 – 151, 212
Precisión de la medida (ver Error estándar: medida de lapersona)
PROX (ver Estimación aproximadamente normal)
Prueba de los Cubos de Knox PCK, 28 – 29
banco de ítems de la PCKB, 106 – 118
definición de la variable, 83 – 91,119 – 120, 206 –207
KCTB, 106 – 121
matriz de respuesta, 31 – 33, 66
PCKB, 106 – 121referencia a criterio, 118 – 121, 206 – 207
referencia a norma, 120, 126 128, 200, 204, 206 –207
Prueba, diseño 131 – 140
altura H y h, 132 – 133, 137 – 140
ancho (o rango) W y w, 132 – 133, 136 – 140
curva operativa, 132 – 133, 138
distribución de ítems o personas, 130 – 139
forma, 132 – 140

BIBLIOGRAFÍA

longitud L, 132 – 133, 136 – 140
Pruebas individualizadas (ver Diseño o confección a lamedida)Puntaje r de la prueba, 2 – 10, 18 – 20, 27
convertir a medida br, 142 – 164
PROX, 21 – 22, 27, 37 – 40, 43 – 44, 61 – 62, 143
UCON, 62 – 65, 142 – 143
UFORM, 143 – 151, 212
Puntaje (ver Prueba: puntaje)
Red (armadura), 102 – 106 (ver Construcción del bancode ítems)
completa, 103 – 104
incompleta, 104 – 106
Red, 101 – 103 (ver Construcción del banco de ítems)
Referencia a criterio, 118 – 121, 199 – 202, 204, 206 –207
Referencia a un desempeño (ver Escala CHIP)
Referencia a norma, 120 – 121, 126 – 128, 151, 198 –
200, 204, 206 – 207
Residuo (ver Residuo estandarizado)
Residuo estandarizado z y z2, 23 – 24, 70 – 80, 121 –
125, 165 – 180, 205 – 209
Respuesta:
ajuste, 69 – 75, 121 – 125, 165 – 180
curva, 9 – 14
improbable (no plausible), 71 – 74
matriz de la PCK, 31, 33, 66 – 69
modelo, 9 – 14
patrón, 2 – 4, 170 – 180adivinador, 171, 174 – 177, 181, 185 – 187
cauteloso, 171, 176, 178 – 180, 188
descuidado, 171, 176, 178 – 180, 188 – 190
dormilón, 171 – 177, 181 – 184
SEM (ver Error estándar de medida)
SIT (ver Escala: SIT)
UCON (ver Estimación de la máxima verosimilitud
incondicional)
UFORM (ver Estimación de aproximación uniforme)
Unidad de probabilidad de Chicago (ver Escala: CHIP)
Unidad de escalamiento normativo (ver Escala: NIT)
Unidades de escalamiento sustantivo (ver Escala: SIT)
Unidad de probabilidad (ver Escala: CHIP)
Unidad de escala de probabilidad de respuesta (verEscala CHIP)
Valor de escala aditivo  (ver Escala: Valor aditivo )
Validez de la calibración (ver Ajuste: ítem)Validez de la medida (ver Ajuste: persona)
Variable definición de, 1 – 4, 98 – 106
PCK, 83 – 91, 119 – 120, 206 – 207

NOTACIÓN

Para las Personas v = 1, N

Para los Ítems i = 1, Lv
bv
SE(bv)
rv

Parámetro de habilidad de la persona v
Estadístico estimador de v
Error estándar del estadístico bv
Puntaje en la prueba observado para lapersona vidiSE(di)
si

Parámetro de dificultad del ítem i
Estadístico para estimar iError estándar del estadístico di
Puntaje observado en la muestra para elítem ibrnr

Habilidad estimada para el puntaje r
Número de personas con puntaje r

piValor p para el ítem i en la muestrayv

Puntaje en la prueba en lógitos para lapersona v
Lógito del puntaje en la prueba rMedia de la muestra de personas en lógitos
Varianza de la muestra de personas en
lógitos
Factor de expansión en lógitos de laspersonas
Para ajustar por ancho de la prueba

Xi

Puntaje en lógitos para el ítem i en lamuestraMedia de los ítems de la prueba en lógitos
Varianza de los ítems de la prueba en lógitos
Factor de expansión de los ítems en lógitos

yr
y.
V
X

xvi
p {xvi |v,i }
vi
pvi
pri
lvi
zvi

vv
fv
tv

x.
U
Y

para ajustar por la dispersión en la muestra

Respuesta de la persona v al ítem i
Probabilidad de respuesta xvi dados v y i
Probabilidad de respuesta correcta, es decir: xvj = 1
Estimado de vi basado en bv y di
Estimado de vi para el puntaje r basado en br y diInformación en xvi sobre la persona v y el ítem i
Residuo estandarizado de xvj a partir de la expectativa estimada

Residuo medio cuadrático para la persona v
Grados de libertad en vv
Media cuadrática estandarizada vv

vi
fj
ti

Residuo medio cuadrático para el ítem i
Grados de libertad en vi
Media cuadrática estandarizada vi

Puede haber excepciones a esta notación cuando es conveniente localmente, en particular con “s”.

NOTACIÓN
(Continuación)

Para la muestra de N personas

M
m

s

Para una prueba de L ítems

Habilidad media de las personas
Estimador de M
Desviación estándar de la habilidad de las personas
Estimador de 

H
h

W
w

Media de dificultad de los ítems
Estimador de H
Desviación estándar de la dificultad de los ítems
Rango de dificultades de los ítems
Estimador de WeLogaritmo neperiano o natural en base e = 2.71828...

e(v – i)exp(v – i)base e elevada al exponente (v – i)𝑀∑(𝑦𝑗 )

Suma de valores vj para j = 1, M𝑗𝑀∏(𝑦𝑗 )

Producto de valores yj para j = 1, M

𝑗

ln(y)
E {y}
V {y}

Logaritmo natural de y
Valor esperado de y
Varianza de y

1.7
2.89 = 1.72
8.35 = 2.892 =1.74

Coeficiente que aproxima la ojiva logísticade distribución acumulada en 0.01
a la ojiva de la distribución normal acumulada

MODELO DE RASCHPara la respuesta correcta

xvi = 1
P{xvi =1|βv , δi } = exp(βv − δi )/[1 + exp(βv − δi )]Para la respuesta incorrecta

xvi = 0P{xvi =0|βv , δi } = 1/[1 + exp(βv − δi )]Para cualquier respuesta

xvi = 1 o 0
P{xvi |βv , δi } = exp[xvi (βv − δi )]/[1 + exp(βv − δi )]