講演

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～
早稲田大学理工学術院

教授

清水

泰隆

JARIP フォーラム・日本アクチュアリー会研究集会 2018 年 1 月 13 日
ご紹介にあずかりました早稲田大学の清水と申し分の話が展開されています。アクチュアリー会員のます。どうぞよろしくお願いいたします。基調講演

方々は数学がとても好きな方ばかりだと思いますのということで、私が基調講演をしていいのかという、で、今日は生保、年金、損保の話が後でありますかちょっと僭越な思いもあるのですけれども、なんとら、バランスを取って、このような分野の話がある

かやらせていただきます。

のもいいかなと思って話をさせていただきます。

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Modern Actuaries

今日のトピック

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～

リスク理論とは？

～目的と位置付け～

保険数理の基本問題

清水 泰隆
早稲田大学 理工学術院

破産理論について（1 期間から多期間へ）

JARIP フォーラム with 日本アクチュアリー会
2018 年 1 月 13 日@日本アクチュアリー会

応用と発展（ソルベンシー・リスク評価）
学術論文投稿への道（2026 年への指針）c⃝ShimizuLab.
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

JARIP フォーラム

私は元々は数理統計の研究をしているのですが、今日の話ですけれども、最初にリスク理論とは何

ここ 10 年ぐらいですか、保険数理にも興味を持っかということで、目的とか、学術界でどのような位て、学術的なところで研究をしています。それで、置づけなのかという話をしたいと思います。リスク

話は現代リスク理論ということなのですけれども、理論というのは、皆さん、アクチュアリー試験の時

保険数理というと、普通は年金とか生保、損保などに少し勉強をされたという程度で、あまり実務ではという分野に分かれていますが、その中にも、もうお目にかからないという話も聞くのですけれども、一つの分野と言ってもいいと思うのですけれども、

実は、アカデミックには現在でも結構盛んに研究さ

リスク理論という分野があります。リスク理論は、れていて、国際学会の半分とはいかないですけれど

例えばアクチュアリー会の教科書など、損保数理のも、大半がリスク理論にかかわるような発表をされ教科書などに入っていたりするので、一般的には損ているということを、後で少しお話をします。それ

保数理の分野かなというように認識されていたりもから、保険数理の基本的な問題は何かということすると思いますが、損保に限らず、一般的にリスクで、簡単な数理的定式化を通して破産理論というもをどう評価するかというような、非常に数理的な部のについて少し述べます。今日の目的としては、あ
リスクと保険47

まり詳しい所までは述べませんが、このような分野会になると思います。学会といいますか、国際会議もあるのだなということで、後々、必要になったり、ですね。今年は 7 月に、シドニー、University of

例えば研究するとか、そのようなときに思い出して

New South Wales というところであるのですけれいただければと思ってお話します。それから、2026

ども、この 4 年後に ICA が同じ大学であります。

年ですか、いわゆる ICA があります。そこへ向け

それから、もう一つ大きいのは、Actuarial Researchて皆さんの論文書きの動機付けの一つとしてお聞き

Conference、ARC というものがありまして、これいただければ幸いです。最後のほうでは、学術論文は毎年開催されます。今年は 8 月に、ややこしいの投稿のために、例えば、われわれがどのような手順ですが、Western University、ロンドンだけどオで論文を書いたり研究をしたりするかということをンタリオという、ロンドンだけれどもカナダである

少しお話して、2026 年への指針にするということという、今年はそのような場所で開催されます。実

にいたします。

務者と研究者の混合会議ということです。

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

それから、近いところでは、先ほど名前が上がっ

Conclusion

Modern Actuariesていましたが、APRIA。今年はシンガポールであ

代表的な学術会議
International Congress of Actuaries (ICA) (国際アクチュアリー会議)
4 年に 1 回 (6 月 4-8 日@Berlin)
実務者とアカデミック混合では最大の会議．2026 年には日本で開催決定!
Insurance: Mathematics and Economics (IME)
毎年開催 (7 月 16-18 日@UNSW, Sydney)

ります。それから JARIP、この JARIP フォーラムの母体となるところです。それから、統計学会に私は所属していますが、保険数理の問題というのは

講演者はほぼ研究者．

Actuarial Research Conference (ARC)
毎年開催 (8 月 8-11 日@Western U, London, Ontario)

割と独特の統計の問題があって、しかし、統計学者

実務者と研究者混合会議．
その他：

もその存在をあまり知らないということがあるの

Asia-Pacific Risk and Insurance Association (APRIA)
日本保険・年金リスク学会 (JARIP)
日本統計学会：企画セッション「アクチュアリアル・サイエンス」(毎年やりたい．．．どなたか？)
Y.Shimizu

で、統計学会でアクチュアリアル・サイエンスに関WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

する企画セッションをやろうということで、今年はまず、代表的な学術会議にはどのようなものがあ小暮先生や田中先生、それから実務のほうでは藤澤

るかというお話をしますが、最初に田中先生からもさん、いらっしゃいますか。後ろにいらっしゃいま

お話があったように、ICA、国際アクチュアリー会

すね。あと、研究者でもうお一方、白石先生にもお議というものが、おそらくこの分野では一番大きい越しいただきました。このような産学合同のセッシ学会だと思います。私自身、まだここに出たことはョンを毎年やりたいと思っていますので、もしよかないので、今年は参加しようと思っておりますが、ったら、来年度の統計学会でどなたか実務のほうか

4 年に 1 回開催で、今年は 6 月の 4 ～ 8 日で 1 週間

らご講演をいただければと思っています。このようかけて行われます。ここは実務者だけではなくて、なところで保険数理が議論されております。

アカデミックの研究者もたくさん出ている混合の会議になっていて、2026 年には日本で開催されるということです。
このほかにも大きい学会がいくつかありまして、
例えば、Insurance: Mathematics and Economics、
通称 IME と言われますが、これはほぼ研究者だけによる国際会議で、保険数理関連では一番大きい学
48

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

グさせたりとか、いろいろなことがなされています。

Conclusion

Modern Actuaries

これからアクチュアリーの方々にとって大事なの

リスク理論 (Risk Theory) とは？
Bühlmann, H. (1970), Mathematical Methods in Risk Theory, Springer.
Risk process; premium principle, reinsurance, ruin probability, dividends, utility theory.

Kaas, R. et al. (2009), Modern Actuarial Risk Theory using R, Springer.

が、多分、ビッグデータとかデータサイエンスというキーワードだと思いますが、それに加えて、いろ

上記に加え，Risk measure, Credibility, IBNR, (with GLM) など．

いろなソルベンシー規制などで市場整合的な評価だ

岩沢 宏和 (2010), リスク・セオリーの基礎，培風館．
同様なトピック＋クラス料率．

保険数理のアカデミズム
確率過程，マルチンゲール理論，確率微分方程式，確率解析，シミュレーション (モンテカルロ法，とか時価評価ということが話題になってくると、確サンプリング法，etc.)，統計理論（特に，確率過程の統計推測），数理ファイナンスとの融合的研究．

⇒

現代アクチュアリーに必要な素養 ?

率過程に関する素養というものも今後ますます必要

Ruin Theory (破産理論) ⇒ ファイナンス理論との親和性
サープラス＝資産過程，破産確率＝デフォルト率，破産リスク評価＝リスク尺度，プライシング

Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラムになるのではないかというように個人的には思っています。

さて、リスク理論というのはどのようなものかといこの中でも Ruin Theory というのはこの中の非うことなのですが、古くは、リスク理論に関する一番

常に核になる部分で、これは、アクチュアリーの教きちっとした教科書というのは、多分、Buhlmann

科書では「危険理論」というように訳されていますの 1970 年ですか、これが、最初のものかはわかりが、一般的には「破産理論」と言うことが多いです。

ませんが、代表的なものだと思います。この中の目

これはファイナンスの理論と非常に似たようなとこ

次を見ると、Risk process とか premium principle、ろがあって、例えば、保険で言うサープラスという

reinsurance、ruin probability、dividends、utility

ものを資産過程と思うと、破産確率というのはデフ

theory と、このような感じで並んでいます。ぐっと

ォルト率に相当したり、破産のリスク評価をすると、最近になって、Kaas et al、先ほどの IME の Editor

リスク尺度で何かをやるとか、あるいはオプションになっているような有名な方々が書いた、Modernのプライシングに似たようなことをやるとか、そのActuarial Risk Theory using R。R を使っていろ

ようなことと近いものがあるので、数学が好きな人

いろなリスク理論の計算をするというようなものでにとっては結構面白いところで、大学など数学科のすけれども、これを見ると、同じようなトピックにようなところで講義をすると、実務的な内容よりは、

加 え て、Risk measure と か Credibility、IBNR とやはり学生はこちらの方に食い付きがいいというこいうようなトピックが加えられています。それから、とがあるので、私も早稲田の講義でやっております。

日本ではすごく有名で入手困難な、岩沢先生の『リIntroduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Modern Actuaries

スク・セオリーの基礎』という日本語の本がありま

Ruin Theory

すけれども、こちらは上の内容にさらに加えて、ク
破産理論の目的

ラス料率のような話も入っているという感じで、リ

定性的な議論では十分に合理的な結論を出しにくい状況，たとえば，長期的な事業計画策定や，マクロな観点からのソルベンシー評価等において，定量的なモデルを用いた分析は大きな方向性を打ち出せる意味で極めて有効と考（「損保数理」8.5 節，破産確率の基礎，より抜粋）
えられる．

スク理論というと、この辺の話題が中心になって認経営者にとっては，再保険の手配，あるいは自己資本の拡充などの政策決定の際にこれらの手法が有用となる． （「損保数理」8.1 節，危険理論の概要，より抜粋）

識されているのかなと思います。

確率過程モデルの合理性

一方、アカデミックのほうだと、さらにいろいろ⇒

資産の時価評価・市場整合的評価など

確率解析，統計学，数値計算技法の発展による利便性
ファイナンスモデルとの親和性な学術的なことが結構加わって、確率過程の理論だ
とか、マルチンゲールだとか、もっとやると、確率Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

解析の難しいことをやったりとか、プラス統計の話、

さて、Ruin Theory とは何かということで、こそれから、数理ファイナンスのようなものとマッチン

れはアクチュアリー会の損保数理の教科書から抜粋
リスクと保険49

したものですけれども、まず 8.5 節、「破産確率のそれでは、リスク理論はどれぐらい盛んに研究さ基礎」というところから取ったものですが、長期的れているのかということですが、これは昨年、オーな事業計画とかソルベンシー評価において、定量的

ストリアのウィーンで IME が開かれまして、3 日

なモデル、これは確率過程を用いたモデルですね。

間あるのですが、ここで大体 225 講演のうち、各分

そのようなものが大きな方向性を打ち出すために重野でこれぐらいの講演数がありましたという表で要であると、こう書かれています。それから 8.1 節、す。年金制度、損保、リスク理論とも書いてありま「危険理論の概要」の最初のほうを見ると、破産理

すが、あとはファイナンスと統計という分野があっ論の応用として、再保険とか自己資本の拡充とか、て、各セッション名がここに書かれています。このこのような政策決定に有用であるというように書い

学会は 3 日間でこれだけやるので、八つとか九つのてあります。先ほども言ったように、時価評価とかパラレルセッションでダーッとやるので、ほとん整合的評価という意味では、確率モデルを使って議ど聞きたい講演が聞けないのですけれども、初め論をするというのは割と意味があるのかなというこて、全部一生懸命数えてみました。先ほど挙げたリとです。それから最近は、確率解析とか数理統計の

スク理論の分野ですと、Risk Measures とか Risk

ほうも、あるいは数値的手法など、いろいろ発展しmodels、ruin theory、再保険とか配当、このようてきているので、複雑なモデルもだんだん扱えるよな分野の講演を集めると、大体 225 件のうち 68 件

うになっているということです。先ほど言った、フというようになっています。Optimal strategy とァイナンスとの親和性があって、数理的にはなかないう、この辺はちょっと微妙で、ファイナンスとのか面白い分野の一つです。ただ、これをやったから境界領域のような感じなので、Dependence とかフと言って、そのまますぐに実務に応用できるというァイナンスとか、この辺はそれぞれファイナンスのものではないかもしれませんし、現に実務の人と話方に入れても、リスク理論はこれくらいあるというをするとアクチュアリー試験のほか使ったことはあことです。

りません、という返事が返ってきます。しかし、こその中でも、破産理論に関わるところというのが、れはもったいないというか、実はリスクを評価する

Risk models とか Ruin theory なのですけれども、という考え方といいますか、そのような洞察を得る

この中だけで見ても結構な割合で講演が行われていには非常に重要なことをやっていて、知っておくにるということで、実務ではあまり日の目を見ません

はいいところだと思います。

が、アカデミックでは多くの研究者が参入している

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

分野になっています。赤いのは招待講演で、後でまConclusion

Modern Actuaries

た言いますが、毎年のように Ruin theory の招待

国際学術学会 (IME) での分野別講演数講演が入っているという感じで、学会では盛んです。

Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム50

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

から 17 年、去年は、ちょっと長いので皆ファース

Conclusion

Modern Actuaries

トネームで Corina と呼んでいますが、この人が破産理論が再注目

Ruin Probability に関する発表をしたという感じ

Gerber and Loisel (2012). Why ruin theory should be of interest for
insurance practitioners and risk managers nowadays?, Proceedings ofActuarial and Financial Mathematics, Bruxelles, Belgium.

で、毎年破産理論の講演がなされています。このよ

連続時間モデルによるベンチマーク化推奨.

Solvency II: Solvency Capital Requirement (SCR), 配当水準の評価．

うに破産理論は今でも学術的には非常に中心的な話

Wüthrich (2015). From Ruin rheory to solvency in non-life insurance,
Scand. Act. J., (6), 516–526.

題ですね。

Lundberg モデルを修正したソルベンシー評価．

Plenary talks in Congress on IME:
@Copenhagen: Dickson (2013), Finite-time ruin probability revisited.
@Shanghai: Gerber (2014). Risk measures and premium calculation principles.
@Atlanta: Landriault (2016). Exit time problem for insurance risk processes.

Introduction@Vienna: Constantinescu-Loeﬀen (2017), Ruin probabilities in insurance risk models.

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Ruin probability

保険数理の基本問題
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

リスク管理Ω: 起こりうるシナリオ ω ∈ Ω

X : Ω → X ，将来払うべき保険金，コスト，負債，...etc.

最近、この破産理論がまたいろいろと注目され

w : X → R，“見るべきリスク”に変換“Solvency Risk”: based on P(w (X ) > u). (u は準備金)ています。例えば、Gerber さんというのは保険数

本来のリスク管理は “破産確率”を見るべき：
X が将来の支払額：

理では非常に有名な方ですけれども、この方と、P(X > u)Loisel さんという、日本ではあまり馴染みのないX = (Xt )t≥0 が資産のダイナミクス：()
P sup (−Xt ) > v(多期間の破産確率)

方かもしれませんが、業界では有名な先生で今度のICA でも招待講演をされるのですけれども、彼ら(１期間の破産確率)0≤t≤T

リスク分布の裾確率 (tail probability) の評価が重要！
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

がベルギーの会議で発表したのが、「なぜ今、破産

それで、破産理論で何をするかということですが、理論が実務家に重要なのか」というようなタイトル

保険数理の非常に基本的な部分を基本的なモデルでの論文です。これは、破産理論を使って Solvency

評価するということが土台になっていて、例えば、Ⅱの SCR、Solvency Capital Requirement を評価

リスク管理で何をやるかというと、何かシナリオをしましょうと、そのような感じの論文です。破産理考えます。これを例えば、Ω と書きますが、このシ論はこれからもっと使ったほうがいいよという趣旨

ナリオに対応してリスク X のようなものが決まりの論文です。

ます。これは保険金の支払額だったり、コストだっそれから、Wuthrich さん、これはスイス ETHたり、負債だったり、数学的には確率過程だったり、の先生で、ご本人もアクチュアリーですが、Ruin

実数値の確率変数だったり、いろいろとあるわけで

theory からソルベンシーへというような感じの論

すが、そいつを関数 w で、何かわれわれが評価し文ですね。これは最近出た、と言っても、書いていたいものに変換して、例えば、w（X）がリスク量だ

たのはもう 3 年ほど前の話ですけれども、いわゆるとします。そのリスク量がわれわれの準備したお金

古典的なモデルを使っています。Lundberg モデル

u を超えてしまうような確率がどれぐらいですか、というのは後でまた紹介しますが、それを用いたソということです。このようなものが、いわゆる破産

ルベンシーの評価法というものを書いています。

確率というものです。

それから、先ほどの IME では、plenary talk とリスク管理というのはやはり破産確率を見るのがいって、参加者全員が聴く招待講演がありますが、本来いいのではないかということを、多分、何年か毎年のように、例えば 2013 年は Dickson さん、メ前の JARIP の会長講演で楠岡先生もおっしゃって

ルボルン大学の人です。14 年が Gerber さん。16

いたと記憶していますが、破産確率をどう評価しま

年 は、 ウ ォ ー タ ー ル ー の Landriault さ ん。 そ れ

しょうかというと、1 期間で見るのだったら、例えリスクと保険51

ば、X が将来の支払額だとすると、X が初期備金をうことです。こうすると、N というのが確率変数な

超えてしまう確率ですので、このような w（X）のので、こいつの分布関数を求めようとすると、この分布のテイル（裾）の評価をするということになりようなコンボリューションを使った級数になって非ます。もし X が、何か確率過程のような、資産過常に複雑な分布になってしまうということで、一般

程のようなものだったとすると、これが大きくなれには計算できません。

ば安全で、小さくなれば危ないというような場合にIntroduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Ruin probability

は、－X の最大額のようなものを見ておいて、そい

裾確率近似

つがある一定額を超えてしまったら破産するという標準的な理論では，N が幾何分布 Ge(p) に従うと仮定：

P(N = k) = (1 − p)p kような定式化ができます。そうすると、やはりこのような確率変数の裾確率が重要だということになっFX (u) := P(X ≤ u) =て、結局、保険数理ではあるリスクの裾確率を評価

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

k=0(1 − p)p k · FU∗k (u)F X (u) = pF U (u) + pFU ∗ F X (u),ただし，∗ は畳み込み: G ∗ H(u) =すると、分布のテイルが軽いのか、重いのかといっ

Introduction∞∑

F X (u) := P(X > u) の再生型方程式：

するというのが一番基本的な問題になります。そうた議論になって、話が分かれていくということです。

(k = 0, 1, 2, . . . )複合幾何分布!

∫uu ≥ 0.

G (u − z)H(dz).
0=⇒ 再生理論 (Renewal Theory) などの恩恵！
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

では、例えば、簡単な方法としてはどのような方

Conclusion

Ruin probability

1 期間破産理論

法があるかというと、N に対して幾何分布というも集合的リスクモデルのを仮定しましょうと。そうすると、さっきの X のよUi ∼ FU : i 番目のクレーム額 (IID)，N: クレーム件数，に対して，
X =

N
∑

うな複合リスクの分布関数を評価しようとすると、複Ui合幾何分布ならこのように書けるよということです。

i=1⇒ 準備金 u > 0 の下での破産確率：P(X > u)??

これをちょっと変形すると、分布のテイルについS は複合分布に従う：P(X ≤ u) =∞∑FU∗k (u)P(N = k)てこのような形の積分方程式が書けます。＊（スタk=0

複雑で一般には計算不可！

Y.Shimizuー）というのはコンボリューションの意味です。畳WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

み込みですね。この方程式は、いわゆる再生理論と今日はあまり時間がないので、ちゃんと話せるかいうところでよく出てくる方程式で「再生型方程式」

わかりませんが、ザザッといくと、1 期間の破産確といいますが、この理論を使うと、分布のテイルに率、破産理論ということで、基本的によく使われる

関していろいろな結果が出てきます。

モデルというのが集合的リスクモデルというものでIntroduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Ruin probability

す。クレームというのが分布 F の IID で起こります。

裾確率近似 I (e.g., Willmot and Lin, 2001)

それで、そのクレーム件数 N というのも確率変数ですというように仮定して、支払額、クレームの総額を X として、Ui の N 個の和と、このようなもの

調整係数 γ > 0：ある ϵ > 0 に対して，mU (γ + ϵ) < ∞(小規模災害条件)ならば，F X (u) ∼u → ∞.

FX (VaRα (X )) = α に注意．α → 1 のとき VaRα (X ) → ∞ とすると，
1−p−γVaRα (X )
, α→1
e
′ (γ)
γp · mU][1−α1′γp · mU (γ) , α → 1
VaRα (X ) ∼ − log
γ1−pα = 1 − F X (VaRα (X )) ∼ 1 −u という備金を持っていたら、X が u を超える確率

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～

1−pe −γu ,
γp · mU′ (γ)

VaR の近似

X を考えて、要はこいつの裾確率を出しましょうと。

52

mU (γ) = p −1]

Theorem (小規模災害の条件下)を「複合リスク」と言いますが、そのようなリスクはいくらでしょう。このようなことがやりたいとい[

クレームサイズの積率母関数：mU (s) := E e sU1⇔
Y.Shimizu
JARIP フォーラム

WASEDA Univ.

例えば、このような裾確率の近似法があります。

うような、これは Embrechts や Mikosch らが書い

クレームサイズの積率母関数というのを、mu と書た極値論の教科書に載っているのですが、そのようくことにしましょう。それで、m（γ）＝ 1/p、p 分
u

な結果があります。このようなものを使って、先ほの 1 の p は幾何分布のパラメータの p ですが、こどのスライドと同様に、裾の重い場合のバリュー・の等式を満たすγというのを調整係数と呼んで、こアット・リスクの近似評価などが可能になります。

のγを使うと、例えば、γ＋εのようなオーダーの

この場合、複合リスクのバリュー・アット・リスク

積率母関数がもし存在するならば、つまり指数オー

が、クレーム分布のバリュー・アット・リスクを使

ダーのモーメントが存在するとすれば、裾確率とって近似できるという結果になっています。

いうのは初期備金が大きいときにこのような近似

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Dynamic modelsができますよという、これは Lundberg 近似とかDanish fire insurance claims and a surplus

Cramer 近似といわれる方法ですが、こういうのがあります。これは、いわゆる指数モーメントが存在するので、クレームの分布の裾が非常に軽い場合の話です。そのような場合にはこのような近似評価ができます。このようなものを理由とすれば、S に関するバリュー・アット・リスクを評価できますよということが下に書いてあります。これは後で資料を見てください。
Introduction

Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

ただ、1 期間の場合はそうなのですが、多期間だ

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theoryとどうかというと、例えば、これは有名なデンマー

Conclusion

Ruin probability

クの火災保険データで R にも装備されていますけ

裾確率近似 II (e.g., Embrechts et al., 2003)
クレーム分布の裾が重い (heavy tailed) 場合：ある κ > 0 に対して，

F U (x) = O(x −κ ),e.g.,

れども、11 年間にわたって、たしか 80 年から 90

x → ∞,=⇒ 積率母関数が存在しない！

年にわたって、火災保険のクレームデータというもTheorem (大規模災害の条件下)ある κ > 1 に対して，F U (x) = O(xF X (u) ∼−κのを調べています。時系列に沿っていくらのクレー)(大規模災害条件)となるとき，p
F U (u),1−pu→∞ムがあったかというのをプロットしたものですね。

VaR の近似(前項と同様に)α → 1 のとき VaRα (X ) → ∞ とすると，
α∼1−
⇔

p
F U (VaRα (X )),1−p−1

このクレームに沿って、クレームとクレームの間はα→∞

VaRα (X ) ∼ FU (β) = VaRβ (U),α→1

保険金が入ってきて資産が増えると仮定して、剰余

ただし，β = 1 − (1 − p)(1 − α)/p
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

金のプロセスのようなものを書いてみると、このよ

一方で、クレーム分布の裾が重い、指数モーメン

うな感じでジグザグジグザグして、大きいクレーム

トが存在しないような場合はどうなるかということがあるとドンと下がるという、このような図が書けですが、例えば、クレームの分布の裾が多項式のオます。

ーダーで減衰するような場合には、積率母関数が存

このようなものをモデル化するにはどうすればよ在しません。このような場合にはどうなるかいうと、いのかと考えて、先ほど言った Cramer さん、それ

これは「大規模災害の条件」と言われていて、このから Lundberg さんという人が、この方はスウェーように評価できます。つまり、複合リスクを評価す

デンのアクチュアリーの人ですけれども、次のようるには、一発のクレームの分布で評価できますといな破産理論というものを創始しました。
リスクと保険53

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

れども、先ほどの破産確率というものを微分すると、Conclusion

Dynamic models

このような微分と積分の混じった方程式が出てきま

破産理論 (Ruin Theory)(Classical) Cramér-Lundberg Theory

す。これを解くのはなかなか数値的にも大変なので、Cramér-Lundberg Model
Xt = u + ct −Nt∑

もう少し変形して、例えば、この微分をなくします。

Ui

i=1

Lundberg, F. (1903) Ph.D. thesis.
H.Cramér

F.Lundberg

両辺を積分してしまうと、先ほど出てきた、再生型のこのようなコンボリューションが入った積分方程τ = inf{t > 0|Xt < 0}
破産確率:ψ(u) = P(τ < ∞|X0 = u)?

Y.Shimizu

WASEDA Univ.

式が出てきます。この形というのは先ほどの複合幾
何分布と同じ形をしていますということで、実は、JARIP フォーラム

破産確率というのは複合幾何分布で書けるというこ

ここで使われているモデルというのは、Xt といとが分かるわけです。

うのが時刻 t における資産、サープラスですね、そIntroduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Dynamic modelsの値だとすると、初期資産 u に対して時刻 t で保険破産確率近似(∑S ∗ := supt>0のクレームが起こって、それぞれのクレームサイズ

S ∗ は複合幾何分布！

リーの教科書にも出ている古典的なモデルですね。

= supt>0 (u − Xt ),∞∑(1 − p)p k H ∗k (u),ψ(u) = P(S ∗ > u)ψ(u) = 1 −が Ui というようなモデルです。これはアクチュア)

Nt
i=1 Ui − ct

料が ct 入ってきます。さらに、時刻 t までに Nt 回

k=0

p=

VaR 型破産リスク尺度“破産水準”ϵ > 0 に対して，
ρ(X ) := inf{u > 0|ψ(u) < ϵ}

図を書くとこのような感じです。こいつが負になっ(破産確率 ψ を ϵ 以下にするための最小備金)

ρ(X ) = inf{u > 0|FS ∗ (u) ≥ 1 − ϵ} = VaR1−ϵ (S ∗ ).

てしまうと、保険金が支払えなくなって破産する、

複合幾何分布の裾確率近似 (小規模・大規模災害) が使える!
Y.Shimizuという話です。

1
1+θ

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

それで、知りたいのは、破産時刻をτと書くと、破産確率が複合幾何分布の裾だということであれ

τがいつ起こるか、起こる確率はどれくらいかと、ば、ここの X に当たるのは何かというと、このモ

このようなものが基本的な問題になるわけですね。

デルではこうなります。要するに、支出から収入をIntroduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

引いた、これはリスクですね。このリスクの最大値

Conclusion

Dynamic models

を S*と書きます。そうすると、破産確率は S*のテ

破産確率と複合幾何分布
Nt ∼ Po(λt), µ = E[U1 ] =⇒ λµ (純保険料),

イル、裾確率に当たるという流れになります。つまc = (1 + θ)λµ

り、この sup を取ったリスクの最大値というのは

Net Proﬁt Condition: θ > 0 (安全付加率)
微分=積分方程式 (Integro-diﬀerential equation):λλψ (u) = ψ(u) −
c
c
′

∫ x
0

λ
ψ(u − z)FU (dz) − F U (u)c

複合幾何分布に従うということで、破産確率の表現(「損保数理」日本アクチュアリー会，8.7.4 節)

再生型方程式 (Renewal-type equation)

ψ(u) = pH(u) + pH ∗ ψ(u),ただし，H(u) = µ1

∫u
0

p=

が導かれるということになります。

1
1+θ

このようなものを使うと、例えば、バリュー・ア

F U (x) dx (梯子分布, ladder-height distribution).

(再掲：複合幾何分布が満たす方程式) F X (u) := P(X > u),

ット・リスク型の破産リスク尺度というようなもの

F X (u) = pF U (u) + pFU ∗ F X (u)Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラムが考えられて、資産プロセス X に対するリスク量

このときの破産確率の評価には、いろいろと複雑というのを、あるεに対して破産確率がεを超えななことがあるのですが、まあアクチュアリー会の教いような最小の備金というように定めると、少し変科書をパッと見ると、これらのような式が書いてあ形すると、こいつが S*のテイルですから、こう書

ります。ですから教科書レベルの話ではありますけ

き直すと、これは S*のバリュー・アット・リスク

54

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～

になります。このようにすると、S*に対して先ほIntroduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Recent development

どの小規模災害とか大規模災害の近似が使えること

リスク理論の広がり：サープラスモデルの拡張になって実務的にも計算や推定が可能になります。

Brown 運動 W = (Wt )t≥0 による摂動 (Gerber and Landry, 1991)
Xt = u + ct − St + σWt

こうやって、1 期間から多期間へ話を進めることが

S: Lévy 過程（独立定常増分過程) (Huzack et al., 2004)

できます。

確率微分方程式 (Shimizu and Garrido, 2012)

dXt = a(Xt ) dt + σ(Xt ) dWt − dSt ,Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

X0 = uConclusion

Lundberg モデル: dXt = c dt − dSt ， に金利 r > 0 を導入すると，Dynamic models

例：ALM with Ruin Theory

dXt = (c + rXt ) dt − dSt ,X0 = u⇒ Ornstein-Uhlenbeck 過程：確率解析の莫大な恩恵！
1 純資産過程：Xt = At − Lt がう

まくモデリングできれば．．．

Y.Shimizu

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JARIP フォーラム

2 リスク尺度 ρt : X → R を用いて “free capital” を算出:

3

さて、このような破産理論ですけれども、今まで

SCRt = Xt − ρt (X )例えば，時刻 t での破産確率:

ψt (u) = P(inf Xs < 0|Xt = u)s>tのようなもので，

ρt (X ) = sup{z ∈ R|ψt (u − z) < ϵ}.

のは古典的な話で、教科書のような話ですけれども、これが最近アカデミックではどのように発展してい（z は今使ってもよい額: free capital）

るかというと、例えば、資産のプロセスをもっとど
Y.Shimizu

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JARIP フォーラム

んどん拡張していくという流れが来ています。例え

そ れ か ら、 先 ほ ど、Gerber さ ん な ど が Ruin

ばブラウン運動による摂動をいれると、実際のプロ

Theory を用いてソルベンシーを考えなさいというセスが Lundberg モデルから外れた時に、どんな影ようなことを言っているという話をしましたが、そ響が出るかを解析できますし、見方によっては、これは大雑把に言うとどのようなことかというと、例

れは様々な不確実性をブラウン運動に押し込めたモ

えば、バランスシートで、こちらに資産があります。

デルとも言えます．そうなると、もっと一般の確率

こちらは負債です。それで、At から Lt を引いたも微分方程式でモデル化するという話も自然でして、のが純資産で、これを Xt とします。こいつがうま

例えば金利 r を考えますと、資産過程はこのようなくモデリングできれば、何かリスク尺度をうまく持

線形の確率微分方程式（Ornstein-Uhlenbeck 過程）ってきて、今使っていい額、これだけ使っていいよになって、これは数学的にはよく性質が研究されてという、free capital のようなものを評価できます。

います。このように、とにかくモデルを拡張するとその free capital を除いたものを Solvency Capital

いう方向性が一つの大きな流れ。もう一つは、破産

Requirement（SCR）にしなさいよ。このような確率というものをもっといろいろな尺度で見ましょ感じで決めることができるということです。

う、いろいろなリスクを考えましょう、という流れ

例えば、時刻 t 以降の破産確率を考えると、例えです。

ば、今、u 円持っていて、z 円使ってもまだ破産確率がε以下だと。このような z を探しなさい。それを free capital とすればいいですよというような感じです。こうやって応用しなさいということが言われています。

リスクと保険55

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Recent development

Recent development

破産リスクの一般化 I：割引罰則関数

破産リスクの一般化 II: パス依存型破産リスク
一般化 Gerber-Shiu 関数 (Feng and Shimizu, 2013)

Gerber-Shiu 関数 (Gerber and Shiu, 1998)(超) 関数 f : R → R に対して，可測関数 w : R2 → R (“penalty” function)，r ≥ 0 に対して，[]
ϕ(u) = E e −r τ w (Xτ − , Xτ )1(τ < ∞)|X0 = u

Φ(u) = Er = 0, w ≡ 1 のとき，破産確率

[∫

τ
0

�
]
�
�
e −rt f (Xt ) dt �X0 = u
�

X が Lévy 過程のとき，f を以下の様にとると Gerber-Shiu 関数になる：∫ ∞f (x) = w (0, 0)δ0 (x) +w (x, z − x) ν(dz)r = 0, w (x, y ) = 1(y ≤ z) のとき，欠損額分布：ϕ(u, z) = P(|Xτ | ≤ z, τ < ∞|X0 = u)x

ただし，δ0 は 0 に集中した Dirac(超) 関数，ν は X の Lévy 測度．

(「損保数理」日本アクチュアリー会，8.7.3 節)

X が Lévy 過程のとき，ϕ は再生型方程式を満たす．Biﬃs and Morales (2010)

X が Lévy 過程のとき，ϕ は再生型方程式を満たす．

統計推測：Shimizu (2011, 2012), Shimizu and Zhang (2017)

X が (ジャンプ型の) 確率微分方程式に従う場合には，ある種の微分＝積分方
程式 (Poisson 型方程式) の解になることが分かっている．

Y.Shimizu

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Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

JARIP フォーラム

例えば、これは最近一時代をなした Gerber-Shiu

それから、これも我々が最近やったことで恐縮で関数と言われるものですが、破産したときのサープ

すが、リスクをパスに依存するような量として考え

ラスの額、これは負になっているところですけれどましょうと。リスクは破産時とその直前だけで決まも、そのときの額と破産する直前の額とを合わせて、るわけでもないでしょうから、それまでの歴史に何かリスク量を計算して、そいつを破産時刻から現依存するという考え方は自然です。それらを破産

在を割り引いて期待値を取るというような、こうや

時刻から割り引いて期待値を考える、我々は一般って破産リスクを取り出す。期待割引罰則関数と言化 Gerber-Shiu 関数と呼んでいますが、このよう

われていますが、このようなものが考えられたりしなものも考えられたりします。だから、ここの f とています。

いうのをちょっと特殊な関数に取ると、先ほどの

例えば、この w というものをインディケーター
に取ると、これはアクチュアリー会の教科書にも載っている、欠損額分布が出てくると、このような感

Gerber-Shiu 関数になるということが分かっていて、こういう意味で一般化になっています。
Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Recent development

じですね。それを拡張したバージョンです。このGerber-Shiu 関数は破産確率の拡張ですから、やは

破産リスクの一般化 III: 有限時間型
有限時間 Gerber-Shiu 関数 (Garido et al., 2014)r ≥ 0，T > 0 に対して，[]
ϕ(u, T ) = E e −r (τ ∧T ) w (X(τ ∧T )− , X(τ ∧T ) )|X0 = u

り同様に再生型方程式を満たすことがしられており、しかもレヴィ過程というもっと広いクラスのサ

Gerber-Shiu process ϕ(u, T ) = (ϕt (u, T ))t≥0 :{ [� ]E e −δ(τ ∧T ) w (X(τ ∧T )− , Xτ ∧T )�Ft
ϕt (u, T ) =∞ープラスモデルの下でそれが成り立ちます。また、

on {τ > t}on {τ ≤ t}

Dynamic risk measure (Tanaka and Shimizu, 2017):
{
}
ϵ
GSt,T
(X u ) = inf z ∈ R | ϕXt (u + z, T ) < ϵ

これに関する統計推測の話は、最近我々がやってお

a.s.

a.s.

将来時点 t における “Gerber-Shiu risk”を ϵ 以下に抑えるために，現在いくらの資産を積むべきか？

ります。
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

それから、有限時間バージョンと言って、普通、
破産確率というのは無限の時間を考えて破産する
確率を調べますが、適当に T を固定して、T までに破産する確率と、それを拡張して T までの GerberShiu 関数と、このようなものも議論されています。最近田中先生とやった仕事では、この有限時間
56

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～

Gerber-Shiu 関数を用いた動的リスク尺度というもIntroduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Endingのを提案して、ALM に活用できるような話を提案

結びに代えてしていますが、詳しいことはちょっと時間がないの
これらの内容を本にしました（もうすぐ出版？，共立出版，理論統計学教程シリーズ）

で飛ばしましょう。

「保険数理と統計的方法（仮題）」
1 確率論の基本事項（測度論的確率論，スティルチェス積分，条件付き期待値，ラプラス

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

変換，各種極限定理：ルベーグ収束定理，項別微分，フビニ，大数の法則，分布収束）

Conclusion

2 リスクモデルと保険料（保険料計算原理，複合分布の計算）

Recent development

3 ソルベンシー・リスク評価（小規模・大規模リスクとリスク尺度）

信用リスクモデルとの関連

4 保険リスクの統計推測（複合リスクとリスク尺度に対する統計理論）
5 確率過程（マルチンゲール，Brown 運動，複合 Poisson，Lévy 過程）
6 古典的破産理論（Lundberg モデル，拡散近似，再保険，統計的推測論）

企業価値を表す確率過程 V = (Vt )t≥0 :(Vt = V0 exp ct + σWt −

Nt
∑

Ui

i=1

)

7 現代的破産理論（Gerber-Shiu 解析，Lévy モデル，配当戦略，信用リスク）
8

Merton’s default model: for a given d ∈ R,

Y.Shimizu

Xt := log Vt − log d とおくと，
Nt∑

WASEDA Univ.

JARIP フォーラムτd = inf{t > 0 | Vt < d}

Xt = X0 + ct + σWt −Appendix （絶対連続性，Lp -空間，再生理論，確率過程の弱収束）(幾何レヴィ過程)ということで、最後は結びに代えてということで
Ui ,X0 = log V0 /d,

すが、今話をしたような内容を、実は本にしました。

i=1

このとき，

τd = inf{t > 0 | Xt < 0}

割と数学チックに書きましたので、測度論的確率論となって，信用リスクの問題を破産理論の問題に帰着できる．
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラムの基礎から破産理論の話まで、バーッと一気に書い後は、信用リスクモデルとの関連ということで、ています。ただ、出版社の都合などで、これはいつ

破産理論の話が使えますよという話です。信用リス

出るか、ちょっとまだよくわかりません。もう書き

ク解析ではおおきく分けて構造モデルと縮約モデル上がったのですが、もし出ましたら、見ていただけという 2 つのアプローチがありますが、いわゆる

れば幸いです。

Merton による構造モデルアプローチでは、企業価

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Ending値を確率過程でモデリングしておいて、それが一定

学術論文投稿への道

レベルを下回るときデフォルトと定義されます。こ1 テーマ・トピックの選定
2 周辺事項のサーベイ (時間をかけるべき箇所)，研究方針，方向性の決定のようなデフォルト・モデルでは、デフォルトは突3 実験・考察 (議論)・計算・証明（ここは実質的には短いことが多い）
4 結果の検証・吟味 ＋ 論文執筆開始

然起こるという経験的なところから、下側にジャン5 学術会議等（国内？国際？）での発表（Priority の確保）

プするモデルがよく用いられていて、実証研究でも

6 投稿先候補の選択（雑誌の特色・レベル，査読期間，編集委員の顔ぶれ？）＊この辺りで論文はある程度形にしておくのが望ましい．

7(オンライン上での論文公開)
SSRN: https://www.ssrn.com/en/ （社会科学系論文のオープンアクセス）

そのようなモデルの当てはまりがいいことが知られ

arXive: https://arxiv.org/（数学系論文のアーカイブ）
8 学術誌への投稿（査読平均３～６か月，採択まで１年，掲載１年半～２年後）＊つまり掲載された論文は，学術界では少し古い結果ています。すると、代表的なモデルは指数の肩に、先ほどの拡散摂動モデルを載せたような、いわゆるY.Shimizu

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JARIP フォーラム

幾何レヴィ過程が一般的です。このデフォルト時刻

最後に、学術論文投稿への道ということで、どのを少しへんけいしてやりますと、破産理論におけるような手順で論文を書くかということですけれど

破産時刻とぴったり同じ形になるわけで、ここからも、最初にテーマやトピックを選定しないといけまは破産理論がそのまま応用できるわけですね。このせん。何か興味のあることを選んだら、その周りでように、現代のファイナンス理論も、実は古典的などのような論文が出ているというサーベイが当然必

保険数理の枠組みで話をすることができます。

要ですね。田中先生もおっしゃっていましたが、ここは一番時間をかけて、いろいろと調べたほうがいいでしょうということです。ここを調べながら、どのようなことがはやっているかとか、学術的な方向
リスクと保険57

性とか、そのようなことが分かりますので、研究の雑誌に投稿する前に論文を公開することもできま方針というものを決定しましょう。これをやると決す。例えば、社会科学系の論文だと SSRN という

まって、これくらいなら大体できるというような直ものがあって、これはソーシャル・リサーチ・ネッ

感があると、いろいろなことを実験したり、計算し

トワーク、ソーシャル・サイエンスかな。というとたり、証明したりというのは、意外と短い時間で済ころとか、あとは、数学系だと arXive というサイんだりします。もちろん、数学の難しいことをやっトがあって、ここには自分の責任で論文を出して、ていると、ここはなかなか証明できずに大変だった

だれでも見られるようにすることができます。修正

りしますが、割とシンプルなことを考えていれば、も何度でもできます。このようなサイトを利用して大体できるという直感があると、この辺は 1 カ月ぐ

おくと、例えば、雑誌によっては、arXive にもしらいで終わったりしますので、サーベイをきっちり論文を載せていたら、その URL を送ることで投稿としたほうがいいと思います。

を代用できる雑誌もありますから、ここに掲載してここで、証明や計算結果などをまだ完全に検証すいると数学界にはだいぶ広く認知されます。

る前に、論文は書き始めてしまったほうがいいと僕学術誌へ投稿すると、査読期間が平均して 3 カ月

は思っています。というのは、証明したり計算したから 6 カ月、ひどいと 1 年とか、時には 3 年ぐらいりというのを原稿に起こすと、細かい間違いや論理

返ってこないようなものもたまにありますけれども、の破綻などが非常によくわかるので、まだ完全に出平均するとこのようなものかと思います。こちらが査来上がる前に執筆し始めるのがいいと思っています。

読をやると、最近は厳しいので 2 週間で査読結果をその後は、もちろん論文ができる前に、プライオ

返せと言ってくるところもありますが、通常は大体こ

リティを確保するという意味で、国際学会とか、それくらいかかります。採択されるまでに 1 年ぐらいはのような学術会議で発表するのが望ましいでしょ

かかるでしょう。その後、出版を待ってつかえていう。このようなところへ行って、誰かが興味を持っる論文などもあって、1 年半とか 2 年ぐらいたってよてくれると「論文はないのか？」と必ず言われます

うやく出るという感じなので、皆さんが、例えばあるから、この段階では、ある程度この後少し手を加え雑誌で 2017 年という論文を見ると、それは大体 2015

れば論文ができますというぐらいにはしておくのが年とか 14 年ぐらいに議論されていた論文だという認

いいかなと思います。

識で読んだほうがいいです。学会ではもっともっと、

その後は、論文ができればどこへ投稿するかということになりますが、これは結構難しいです。雑誌

そのときにはもう進んでいるという感じですから。
Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Endingの特色、雑誌の方針もありますし、レベルもありま

代表的な保険関連の学術誌

すし、物によっては非常に査読期間の長い雑誌もあInsurance: Mathematics and Economics (IME)
先の会議の母体．理論寄りだが，実用的・意味のある研究を重視．

Scandinavian Actuarial Journal (SAJ)

るしということで、これはあまりよくないですけれ

理論寄り．分野問わず．

ASTIN Bulletin (ASTIN)

ども編集委員にだれが入っているか（笑）、という

昔は理論寄り．今は非常に実務寄り．

North American Actuarial Journal (NAAJ)
実務寄り．

ことも考えながら選ぶのがいいと思います。自分のEuropean Actuarial Journal (EAJ)
2011 年から刊行．理論寄り．

分野に近い人や知り合いが入っていれば門前払いを

Statistics & Risk Modeling (STRM) (with Applications in Finance and Insurance)
元々は統計雑誌 (Statistics & Decisions)．2012 年から名称変更．

されることはないでしょうとか、実際にはいろいろ

その他： 通常の (応用) 確率論，統計雑誌等も対象．

と考えたりします。
58

現代リスク理論の広がり～破産理論を中心に～

AAP, JAP, SPA, SPL, MCAP, MMS...etc.
Y.Shimizu
JARIP フォーラム

WASEDA Univ.

もう時間が過ぎましたが、最後に、投稿するのだ

Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

Endingったら保険数理だとこのような雑誌がありますよというのをまとめておきましたので、よかったら後で見てください。いろいろな特色があって、例えば、先ほどの IME という雑誌がありますが、これは割と、保険数理の研究者が最初に投稿しようかなと考えるような雑誌です。Scandinavian Actuarial
Journal というのは、これは何でも載せてくれるというような感じですね。ASTIN Bulletin、これはBibliography II[8]Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Aterförsäkering
av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.

[9]

清水 泰隆 (2011). 危険理論における Gerber-Shiu 関数と統計的推測. 統計数理, 59, (1), 105–124.

[10] Shimizu, Y. (2011). Estimation of the expected discounted penalty function for Lévy
insurance risks. Math. Method of Statist., 20, (2), 125–149.
[11] Shimizu, Y. (2012). Nonparametric estimation of the Gerber-Shiu function for theWiner-Poisson risk model. Scandinavian Actuarial Journal, (1), 56–69.
[12] Shimizu, Y. and Tanaka, S. (2016). Dynamic risk measures for stochastic asset processes
from ruin theory, submitted: “Gerber-Shiu dynamic risk measures for solvency evaluation”
presented at The 19th IME, Liverpool, UK.
[13] Shimizu, Y. and Zhang, Z. (2017). Estimating Gerber-Shiu functions from discretely observedLévy driven surplus, Insurance: Math. Econom., 74, 84–98.
[14] Trufin, J.; Albrecher, H. and Denuit, M. M. (2011). Properties of a risk measure derived fromruin theory. The Geneva Risk and Insurance Review. 36, 174–188.
[15] Willmot, G. E. and Lin, X. S. (2001). Lundberg approximations for compound distributions
with insurance applications. Springer-Verlag, New York.
Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

皆さんもよくご存じだと思いますが、損保系のものとか、North American Actuarial Journal、この辺は割と最近の実務的な論文が多いですね。昔は理論系のものもたくさん載っていて、先の GerberShiu 関数も最初に発表されたのはこの雑誌です。
ですけれども、最近は理論だと門前払いですね。
それから、最近できたのが、European Actuarial
Journal というものがあったり、昔、統計雑誌でStatistics & Decisions というものがあったのですが、これが最近、ファイナンスと保険の雑誌に変わりました。
あとは一般的な確率・統計関連の雑誌にも、保険数理のトピックで載せてくれます。AAP（Annals of Aplied
Probability）とか、SPA（Stochastic Processes andtheir Applications）とか、このようなものがありますというところで、おしまいにしたいと思います。
ご清聴どうもありがとうございました。
Introduction

Fundamental problem

Ruin theory

Modern risk theory

Conclusion

EndingBibliography I[1]Biﬃs, E. and Morales, M. (2010). On a generalization of the Gerber-Shiu function to pathdependent penalties, Insurance: Math. Econom., 46, 92–97.

[2]

Embrechts, P.; Klüppelberg, C. and Mikosch, T. (2003). Modelling Extremal Events for
Insurance and Finance, Springer-Verlag, Berlin.

[3]Feng, R. and Shimizu, Y. (2013). On a generalization from ruin to default in a Lévy
insurance risk model. Methodol. Comput. Appl. Probab., 15, (4), 773–802.

[4]

Garrido, J.; Cojocaru, I. and Zhou X., (2014). On the ﬁnite-time Gerber-Shiu function,
Preprint, Concordia University, Montreal, Canada.

[5]

Gerber, H. U. and Landry, B. (1998). On the discounted penalty at ruin in a jump-diﬀusion
and the perpetual put option, Insurance Math. Econom., 22, no. 3, 263–276.

[6]

Gerber, H. U. and Shiu, E. S. W. (1998). On the time value of ruin; with discussion and a
reply by the authors. N. Am. Actuar. J., 2, (1), 48–78.

[7]

Huzak, M., Perman, M., Šikić, H. and Vondraček, Z. (2004). Ruin probabilities anddecompositions for general perturbed risk processes, Ann. Appl. Probab., 14, no. 3,
1378–1397.

Y.Shimizu

WASEDA Univ.

JARIP フォーラム

リスクと保険59