数学
注

数211

問題はから5意までで， 5 ページにわたって印刷してあります。

また，解答用紙は両面に印刷してあります。
2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 00 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

計算が必要なときは，この問題用紙の余白を利用しなさい。

5

答えは全て解答用紙にＨＢ又はＢの鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

学

6

答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。
63
例えば，と答えるのではなく，と答えます。
8
4
答えに根号が含まれるときは，根号の中を最も小さい自然数にしなさい。

7

例えば，388 と答えるのではなく，62 と答えます。

答えを選択する問題については，特別の指示のあるもののほかは，各問のア・イ・ウ・エのうちから，最も適切なものをそれぞれ 1 つずつ選んで，その記号の9の中を正確に塗りつぶしなさい。の中の数字を答える問題については，「あ，い，う，…」に当てはまる数字を，下の〔例〕のように， 0 から 9 までの数字のうちから，それぞれ 1 つずつの中を正確に塗りつぶしなさい。

選んで，その数字の10 答えを記述する問題（答えを選択する問題，の中の数字を答える問題以外のもの）については，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。
11

答えを直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。
受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面については，12

その数字の13の中を正確に塗りつぶしなさい。

〔例〕

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

あいに 12 と答えるとき

あ0

い02134567893456789問題は 1 ページからです。

1

次の各問に答えよ。
〔問 ₁ 〕 9 - 8 '12を計算せよ。

〔問 ₂ 〕 ₃（ ₅ a - b ）-（ ₇ a - ₄ b ） を計算せよ。
〔問 ₃ 〕 _ 2 -6 i_ 1 +6 i を計算せよ。

〔問 ₄ 〕 一次方程式

₉ x + ₄ = ₅（ x + ₈ ） を解け。

〔問 ₅ 〕 連立方程式*〔問 ₆ 〕 二次方程式

₃ x2 + ₉ x + ₅ = ₀〔問 ₇ 〕 次のの中の「あ」「い」に当てはまる数字を

7x - 3y = 6x+y=8を解け。
を解け。
階級（分）

それぞれ答えよ。

以上

₅₁₀₁₅₂₀₂₅

右の表は，ある中学校の生徒 ₄₀ 人について，自宅からＡ駅まで歩いたときにかかる時間を調査し，度数分布表に整理したものである。
自宅からＡ駅まで歩いたときにかかる時間が ₁₅ 分

度数（人）未満～～～～～

₁₀₁₅₂₀₂₅₃₀

計₁₂₁₄₁₀₃₁
₄₀未満である人数は，全体の人数の あい ％である。
〔問 ₈ 〕 次のの中の「う」「え」に当てはまる数字を

図1それぞれ答えよ。

Ｄ右の図 1 で，点Ｏは線分ＡＢを直径とする円の中心であり， ₂ 点Ｃ，Ｄは円Ｏの周上にある点である。
₄ 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは，図 1 のように，ＯＡ

Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄの順に並んでおり，互いに一致しない。

Ｂx

点Ｏと点Ｃ，点Ａと点Ｃ，点Ｂと点Ｄ，点Ｃと点ＤＣをそれぞれ結ぶ。
+ＡＯＣ=+ＢＤＣ，+ＡＢＤ= ₃₄°のとき，x で示した +ＯＣＤの大きさは， うえ 度である。
〔問 ₉ 〕 右の図 2 で，iＡＢＣは，鋭角三角形である。

図2Ａ

解答欄に示した図をもとにして，辺ＡＣ上にあり，ＡＰ=ＢＰとなる点Ｐを，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Ｐの位置を示す文字Ｐも書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
Ｂ1Ｃ

2

Ｓさんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［先生が示した問題］
図1a，b，h を正の数とし，a 2 bとする。
右の図 1 は，点Ｏ，点Ｐをそれぞれ底面となる円の中心とし，

Ａ

図2ＯＤＥＣＦＱ

Ｈ

₂ つの円の半径がともに a cm であり，四角形ＡＢＣＤはＢ

ＡＢ= h cm の長方形で，

ＧＲＰ

四角形ＡＢＣＤが側面となる円柱の展開図である。

右の図 2 は，点Ｑ，点Ｒをそれぞれ底面となる円の中心とし， ₂ つの円の半径がともに b cmであり，四角形ＥＦＧＨはＥＦ= h cm の長方形で，四角形ＥＦＧＨが側面となる円柱の展開図である。
図 1 を組み立ててできる円柱の体積をＸcm 3，図 2 を組み立ててできる円柱の体積をＹcm 3とするとき，Ｘ-Ｙの値を a，b，h を用いて表しなさい。と〔問 ₁ 〕［先生が示した問題］で，Ｘ-Ｙの値を a，b，h を用いて，Ｘ-Ｙ=表すとき，に当てはまる式を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ただし，円周率は r とする。
アhr（ a 2 - b 2）

イウr（ a - b ）2 h₂ r（ a - b ）hエr（ a - b ）h

Ｓさんのグループは，［先生が示した問題］で示された ₂ つの展開図をもとにしてできる長方形が側面となる円柱を考え，その円柱の体積と，ＸとＹの和との関係について次の問題を作った。
［Ｓさんのグループが作った問題］
a，b，h を正の数とし，a 2 b とする。

図3右の図 3 で，四角形ＡＢＧＨは，図 1 のＡ

Ｄ（Ｅ）

ＨＢＣ（Ｆ）Ｇ

四角形ＡＢＣＤの辺ＤＣと図 2 の四角形ＥＦＧＨの辺ＥＦを一致させ，辺ＡＨの長さが辺ＡＤの長さと辺ＥＨの長さの和となる長方形である。

右の図 4 のように，図 3 の四角形ＡＢＧＨが円柱の側面となるように辺ＡＢと辺ＨＧを一致させ，組み立ててできる円柱を考える。
［先生が示した問題］の ₂ つの円柱の体積ＸとＹの和を
Ｗcm 3，図 4 の円柱の体積をＺcm 3 とするとき，
Ｚ-Ｗ= ₂ rabh となることを確かめてみよう。

図4Ａ（Ｈ）
Ｄ（Ｅ）
Ｂ
（Ｇ）
Ｃ（Ｆ）

〔問 ₂ 〕［Ｓさんのグループが作った問題］で，Ｚ-Ｗ= ₂ rabh となることを証明せよ。
ただし，円周率は r とする。
23

右の図 1 で，点Ｏは原点，曲線 l は1 2関数 y =x のグラフを表している。
4点Ａは曲線 l 上にあり，x 座標は ₄ である。

図1y₁₅

曲線 l 上にある点をＰとする。
次の各問に答えよ。
〔問 ₁ 〕 次の①とlＰ②₁₀に当てはまる数を，下のア〜クのうちからそれぞれ選び，記号で答えよ。
点Ｐの x 座標を a，y 座標を b とする。

₅Ａ

a のとる値の範囲が - ₈ E a E ₂ のとき，b のとる値の範囲は，①EbE②である。

Ｏ-₅12₆₄

ア- ₆₄

イ-₂ウ₀エオ

₁カ₄キ₁₆ク④に当てはまる数を，下のア〜エのうちからそれぞれ選び，〔問 ₂ 〕 次のと③x₅記号で答えよ。
点Ｐの x 座標が - ₆ のとき， ₂ 点Ａ，Ｐを通る直線の式は，y=③x+④である。
③ア-④ア

₁₂52イ-₂ウ-イ₆ウ₄〔問 ₃ 〕 右の図 2 は，図 1 において，図21310エ-エ₂12yl

点Ｐの x 座標が ₄ より大きい数であるとき，y 軸を対称の軸として₁₅点Ａと線対称な点をＢ，x 軸上にあり，x 座標が点Ｐの x 座標と等しい点をＱとした場合を表している。

Ｐ

₁₀

点Ｏと点Ａ，点Ｏと点Ｂ，点Ａと点Ｐ，点Ａと点Ｑ，点Ｂと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を考える。
四角形ＯＡＰＢの面積がＢ

iＡＯＱの面積の ₄ 倍となるとき，₅Ａ

点Ｐの x 座標を求めよ。
-₅3Ｏ

₅Ｑx4

右の図 1 で，四角形ＡＢＣＤは図1正方形である。

Ａ

Ｄ

点Ｐは辺ＢＣ上にある点で，Ｑ頂点Ｂ，頂点Ｃのいずれにも一致しない。
点Ｑは辺ＣＤ上にある点で，ＣＰ=ＣＱである。
Ｂ

頂点Ａと点Ｐ，点Ｐと点ＱをＰＣそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

〔問 ₁ 〕 図 1 において，+ＢＡＰ= a °とするとき，+ＡＰＱの大きさを表す式を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ア （ ₉₀ - a ）度イ （ ₄₅ - a ）度

〔問 ₂ 〕 右の図 2 は，図 1 において，ウ （ a + ₄₅ ）度エ （ a + ₆₀ ）度

図2Ａ

辺ＡＤをＤの方向にＤ延ばした直線上にあり
ＡＤ=ＤＥとなる点をＥ，点Ｅと点Ｑを結んだ線分ＥＱを

Ｑ

Ｑの方向に延ばした直線とＲ線分ＡＰとの交点をＲとしたＢ場合を表している。

ＰＣ

次の①，②に答えよ。

①iＡＢＰ / iＥＤＱ であることを証明せよ。

②

次のの中の「お」「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図 2 において，ＡＢ= ₄ cm，ＢＰ= ₃ cm のとき，線分ＥＱの長さと線分ＱＲの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと，
ＥＱ：ＱＲ= おか ：きである。

4Ｅ

5

右の図 1 に示した立体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨは，

図1Ｄ

ＡＢ= ₆ cm，ＡＤ= ₈ cm，ＡＥ= ₁₂ cm の直方体である。
頂点Ｃと頂点Ｆを結び，線分ＣＦ上にある点をＰＣＡとする。

Ｑ

Ｂ

辺ＡＢ上にあり，頂点Ｂに一致しない点をＱとする。

Ｈ

頂点Ｄと点Ｐ，頂点Ｄと点Ｑ，点Ｐと点Ｑをそれぞれ結ぶ。

Ｐ

次の各問に答えよ。の中の「く」「け」「こ」に〔問 ₁ 〕 次のＧＥ

Ｆ当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

点Ｐが頂点Ｆと，点Ｑが頂点Ａとそれぞれ一致するとき，iＤＱＰの面積は，くけ〔問 ₂ 〕 次のこcm 2 である。の中の「さ」「し」「す」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

右の図 2 は，図 1 において，

図2Ｄ

点Ｑを通り辺ＡＥに平行な直線を引き，辺ＥＦとの交点をＲとし，頂点Ｈと点Ｐ，
頂点Ｈと点Ｒ，点Ｐと点Ｒをそれぞれ結んだＣＡ

場合を表している。

Ｑ

ＡＱ= ₄ cm，ＣＰ：ＰＦ= ₃ ： ₅ のとき，

Ｂ

立体Ｐ-ＤＱＲＨの体積は，さしす cm 3ＨＰである。
ＧＥ
Ｒ5Ｆ