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次世代物質探索のための離散幾何学
科学研究費助成事業「新学術領域研究（研究領域提案型）」
平成 29 年度〜令和 3 年度

News letter

Vol.

06

A01 班代表挨拶
A01 班の研究対象は、トポロジカル物質です。近年の物性物理学の⼤きな潮流であるトポロジカル物質とは、トポロジーという数学の概念に基づいた物質の分類において⾮⾃明な物質のことです。通常、物質の相を決めるには、磁化や⽐熱、抵抗といった物理量の測定により、それらの温度依存性や圧⼒依存性、電荷密度依存性などがあまり変わらない領域、という⽅法で決めます。しかしトポロジカル物質は、物質を切断した時の表⾯にのみ特殊な性質が現れるものであり、従来の⽅法では特徴付けできないものです。これが、トポロジーという数学で分類されました。
A01 班の特⾊は、A01-1 班と A01-2 班の⼆つに分かれ、それぞれが数学

⼤阪⼤学⼤学院
理学研究科 物理学専攻教授

橋本

HASHIMOTO Koji

者と物理学者の集合として組織されていることです。さらに実験物理学者を含む７名の公募研究グループが参加し、数学者・物理学者・実験材料科学者が⼀堂に会する稀有な場所となっています。数学者と物理学者は、通例、⽬指すことや⼿法、そして概念の捉え⽅まで⾮常に異なるものです。しかし、我々はトポロジカル物質というテーマを中⼼に集まり議論をすることで、新しいトポロジカル物質の捉え⽅、そしてその材料への可能性に⾄るまで、数学と物理の融合により新しい知の開拓を⽬指しています。このニュース
レターでは、A01 班の研究概要と研究成果をご紹介しましょう。

幸⼠

研 究 分 野 : 理論物理学
研究テーマ : 超弦理論・量⼦重⼒理論
研究概要 : 重⼒と素粒⼦を統⼀する超弦理論・量⼦重⼒理論について研究しています。
特に、量⼦重⼒理論で基本的な役割を果た
す AdS/CFT 対応やブレーンなどの概念を、トポロジカル物質や量⼦⾊⼒学、深層学習といった関連する様々な概念に数理上で関係づけ橋を創ることで、数理的な統合による新しい理論物理学を⽬指しています。

東京⼤学⼤学院
数理科学研究科 数理構造論⼤講座
教授

古⽥幹雄
FURUTA Mikio

研 究 分 野 : 幾何学
研究テーマ : ゲージ理論・４次元トポロジー
研究概要 : 多様体上の線形および⾮線形の偏微分⽅程式系の解空間を利⽤してその多様体の性質を研究しています。線形⽅程式
では指数の局所化、⾮線形⽅程式では４次元空間上のゲージ理論由来の Yang-Mills⽅程式、Seiberg-Witten ⽅程式を主な対象とし、⽅程式系の無限次元幾何学として展開を⽬指しています。

02 News letter

離散幾何と材料

A01 班研 究 の 概 要
A01 班の研究テーマは「トポロジカル物質」であり、その計画班として、以下の⼆つの研究計画を掲げています。

A01 - 1 指数定理の展開とトポロジカル表⾯状態( 研究代表 : 古⽥幹雄 )A01 - 2 ブレーンとソリトンの量⼦異常が導くトポロジカル物質 （研究代表 : 橋本幸⼠）
本新学術領域研究が開始されて４年⽬を迎えておりますが、それまでの研究成果として、それぞれの班での多くの研究のうちいくつかを紹介しましょう。
トポロジカル物質には「バルクエッジ対応」と呼ばれる対応原理が知られており、これは特に、バルクすなわち物質内部での物質の波動関数が持つトポロジーが、エッジすなわち物質表⾯での特殊な伝導状態の存在を⽰す定理のことです。
この数学的な背景には、指数理論があります。A01-1 計画班は幾何学を専⾨とする数学者が集まり、バルクエッジ対応の背後にある数学の定式化と物理学への橋渡しを⾏っています。その成果の⼀つとして、Atiyah-Patodi-Singer の指数定理と呼ばれるものを拡張し、物理学で普段⽤いられる境界の場合にも定理が成⽴することを証明したものがあります。この証明には理論物理学者も参加し、物理学者にもフレンドリーな照明の直観的理解の⽅法なども得られました。この成果は広く研究コミュニティーに受け⼊れられつつあります。
また、A01-2 班の重要な成果の⼀つに、「コーナー状態の存在を予⾔した」ことが挙げられます。バルクエッジ対応においては、表⾯の伝導状態（エッジ状態）が予⾔されますが、これを拡張して、ある種のトポロジカル物質には、境界の境界すなわちコーナーに状態が局在化することを我々は予⾔しました。この予⾔には、理論物理学の数理的な⼿法である超弦理論の数理が⽤いられました。興味深いことに、このような予⾔をしたグループが世界に同時期に複数現れ、実際のその物質まで発⾒されています。今⽇、コーナー状態を持つ物質は「⾼次トポロジカル物質」と呼ばれ、物性物理学の世界的潮流となっています。
このような成果は、新学術研究領域の後期として公募され新たに採択された 7 つの A01 公募研究と相互作⽤しながら検討され、統合的な描像の模索や、幾何学と理論物理学の間の橋造りへとつながっています。

論文・書籍紹介
A01 班のこれまでの成果はついては下記の⽂献が参考になります。
[1] K. Sato, R. Tanaka, "Solitons in one-dimensional mechanical linkage", Physical Review E 98 (1) (2018).
[2] T. Kimura, V. Pestun, "Quiver W-algebras", Letters in Mathematical Physics 108 (6) (2018) 1351-1381.
[3] Y. Hidaka, S. Pu, D.L. Yang, "Nonlinear responses of chiral ﬂuids from kinetic theory", Physical Review D 97 (1) (2018).
[4] K. Hashimoto, K. Murata, N. Tanahashi, "Chaos of Wilson loop from string motion near black hole horizon", PhysicalReview D 98 (8) (2018).
[5] K. Hashimoto, S. Sugishita, A. Tanaka, A. Tomiya, "Deep learning and the AdS/CFT correspondence", Physical Review D98 (4) (2018).
[6] S. Hayashi, "Toeplitz operators on concave corners and topologically protected corner states", Letters in MathematicalPhysics (2019) 1-32.
[7] M. Elyasi, K. Sato, G.E.W. Bauer, "Topologically nontrivial magnonic solitons", Physical Review B 99 (13) (2019).
[8] K. Gomi, C. Tauber, "Eigenvalue crossings in Floquet topological systems", Letters in Mathematical Physics (2019).
[9] R. Okugawa, S. Hayashi, T. Nakanishi, “Second-order topological phases protected by chiral symmetry", Physical Review B
100 (23) (2019).
[10] D. Baraglia, H. Konno, "A gluing formula for families Seiberg-Witten invariants", Geom. Topol. 24 (3) (2020) 1381-1456.
[11] Hidenori Fukaya, Mikio Furuta, Shinichiroh Matsuo, Tetsuya Onogi, Satoshi Yamaguchi & Mayuko Yamashita, "The AtiyahPatodi-Singer Index and Domain-Wall Fermion Dirac Operators", Commun. Math. Phys. (2020)[12] H. Konno, M. Taniguchi, "Positive scalar curvature and 10/8-type inequalities on 4-manifolds with periodic ends", Invent.
Math. 222 (3) (2020) 833-880

News letter

離散幾何と材料03

A01 班 公募研究紹介
研究代表者

研究内容

研究題⽬

ファンデルワールス物質におけるトポロジーの光学的計測法
による観測
東北⼤学
材料科学⾼等研究所（AIMR） 教授

Yong P. CHEN
Yong P. CHEN
研 究 分 野：物性実験
研究テーマ：量⼦材料・デバイス、量⼦輸送・フォトニクス、スピ
ントロ⼆クス、トポロジカル材料物性、⼆次元材料
研究概要：トポロジカル半⾦属における光学的応答の微視的機構は結晶構造の対称性や⾮⾃明なベリー曲率など幾何学的な概念と密接に関係することは知られているが、現状としてトポロジカルバンド構造による光学的応答の明確な証拠は得られていない。本研究では新規材料の設計を⽬指した数理解析の応⽤可能な実験計測法を提案する。具体的には、電⼦輸送特性の計測と光学特性計測を組み合わせた新奇計測法の開発を⾏い、電⼦物性トポロジーの光学的観測を実現する。

研究代表者

研究内容

研究題⽬

局所トンネル分光によるトポロジカルエッジ状態の検出

東北⼤学
材料科学⾼等研究所（AIMR） 助教

岡博⽂
OKA Hirofumi

研 究 分 野：薄膜・表⾯界⾯物性、ナノ材料科学
研究テーマ：表⾯電⼦物性、表⾯・ナノ磁性、プローブ
顕微鏡
研究概要：薄膜やナノ構造では、量⼦効果や表⾯・界⾯の効果が強く現れ、バルクとは異なる新奇な物性が発現します。
そこで、電⼦線蒸着やパルスレーザー堆積法を⽤いて⾦属や酸化物薄膜・ナノ構造を作製し、⾛査トンネル顕微鏡（STM）による原⼦レベルの電⼦状態計測を⾏うことにより、そのような新奇物性の発現機構を解明し、新たな電⼦材料や電⼦デバイスへの応⽤につなげることを⽬指しています。

研究代表者

研究内容

研究題⽬

⾮エルミートバンド構造が織りなす新奇トポロジカル物質

研究計画

⾮エルミートバンド理論に基づき、電気回路、メカニカル・メタマテリアルをターゲットに⾮エルミート・トポロジカ
ル物質の開拓を⾏う

筑波⼤学
数理物質系

吉⽥助教

恒也
YOSHIDA Tsuneya

研 究 分 野：物性理論
研究テーマ：トポロジカル絶縁体・超伝導体、古典系でのトポロジカル物性、強相関系
研究概要：トポロジカルに⾮⾃明な系でのバンド分散の理論は量⼦⼒学で記述されるミクロな系のみならずマクロな系でも成り⽴つ事が明らかとなってきた。この研究の発展の⼀⽅で近年、⾮エルミートハミルトニアンで記述される系において、新奇な現象が多数報告されている。
本研究では、⾮エルミート性が制御可能なマクロな系を中⼼に、⾮エルミートトポロジカル系の物質開拓を⾏う。

04 News letter

離散幾何と材料研究代表者

研究内容

研究題⽬

磁性体・冷却原⼦系におけるトポロジカル相の探求
東京⼤学⼤学院
理学系研究科 准教授

桂法称
KATSURA Hosho

研 究 分 野：物性理論、統計⼒学
研究テーマ：トポロジカル物性、強相関量⼦多体系、可解模型
研究概要：磁性体や冷却原⼦系は、量⼦多体系の物理を探求する格好の舞台ですが、これらの系におけるトポロジカルに⾮⾃明な相の理論的研究を進めています。特に、磁性体中の素励起であるマグノンが⽰すトポロジカル相の開拓、⾮エルミート性や散逸のある量⼦多体系のトポロジカル不変量を⽤いた特徴付け、スピン⾃由度をもつ遍歴ボソン系での対称性に保護されたトポロジカル (SPT)相に関する研究などを⾏っています。

研究代表者

研究内容

研究題⽬

トポロジカルナノワイヤにおけるスピンメカニクス機能開拓
東京⼤学⼤学院
総合⽂化研究科

塩⾒准教授

雄毅
SHIOMI Yuki

研 究 分 野：物性物理学、スピントロニクス
研究テーマ： 物性物理材料におけるスピントロニクス機
能の開拓
研究概要：トポロジカル物質などの物性物理材料におけるスピントロニクス機能を開拓することを⽬指して実験研究を⾏っている。本研究課題ではトポロジカル物質のナノワイヤ試料を合成し、特徴的な形状や柔軟性を利⽤した新しいスピン - ⼒学相関効果を探索する。⼒学特性などの曲がった空間のトポロジカル物性を研究することで、トポロジカル・スピンメカニクスを開拓する。

第65 話 情報量と単純さのはざまに第５話を執筆してから 1 年が過ぎました。COVID-19 と命名された新型コロナウイルス感染症の世界的⼤流⾏（パンデミック）により、1 年前には想像もできなかった⽇々となりました。ここで「想像もできなかった」と表現しましたが、⼈類に限らず動物、そして植物も、感染症との闘い、パンデミックを幾度となく経験し、⼤きなダメージを受けながらもそれを乗り越えてきた歴史があり、しっかりと過去に学んでいれば想像はできたのであろうと思います。
1918 年から 1919 年にかけ猛威を振るったスペインかぜ（流⾏源不明のインフルエンザ）は死者数千万⼈と⾔われ、また、1980 年代以降世界に広がった後天性免疫不全症候群（AIDS）のように今なお⼈類が格闘している感染症もあり、パンデミックはフィクションではなく現実の脅威です。そして新たなパンデミックが⼈類に⽛をむく可能性は常に⽬の前にあったはずなのですが、COVID-19 の出現まで、少なくとも筆者は、パンデミックというのは映画の中に出てくる物語のように錯覚しておりました。
⼈々が国と国の間を⾏き交う現代においてひとたび感染が始まれば、これほど早く全世界へと広がるのだ、ということを今回私たちは学びました。教科書を読んで蓄える知識とは異なり、鮮烈に、私たちの記憶に突き刺さりました。現代に⽣きる私たちの多くにとっては初めての経験であり、どのような対応をとっても 100％の正解はなく、効果があったりうまくいかなかったりの繰り返し、トライアル・アンド・エラーになるのでしょうが、私たちはこの学びを未来に⽣きる⼈々のために記録し、活かしていかねばならないのでしょう。
6 ページへ続くNews letter

離散幾何と材料05

研究代表者

研究内容

研究題⽬

トポロジカル材料のバルク境界対応における平⾯・空間充填研究計画
東京⼯業⼤学理学院教授

トポロジカル絶縁体のバルク境界対応での平⾯充填・空間充填の 役 割 の 探 索、実際の物質探索と実験実証の提案、バルク境界対応の頑強性の⽴証

村上修⼀
MURAKAMI Shuichi

研 究 分 野：物性理論
研究テーマ：トポロジカル相・スピントロニクス
研究概要：物質で実現するさまざまなトポロジカル相（トポロジカル絶縁体・半⾦属）における新規物性、また物質中のスピン輸送に関する新規現象を理論的に探索しています。⼿法としてはモデル計算と理論構築が中⼼であり、⼀⽅で第⼀原理計算研究者や実験研究者と積極的に共同研究を⾏って、⼀般性があり現実の物質にも広く応⽤可能な理論の構築を⽬指しています。

研究代表者

研究内容

研究題⽬

表⾯にマヨラナ粒⼦をもつ超伝導体物質探索のためのトポロジカル不変量の研究
名古屋⼤学理学研究科
助教

⼭影相
YAMAKAGE Ai

研 究 分 野：物性理論
研究テーマ：トポロジカル絶縁体・半⾦属・超伝導体
研究概要：トポロジカル物質（絶縁体・半⾦属・超伝導体）についての基礎的な研究を⾏っています．例えば、線ノードと呼ばれるトポロジカルなバンド構造を特徴づけるトポロジカル不変量を導⼊し、また、実験研究者との共同研究により、候補物質の予測も⾏いました。さらに、トポロジカル超伝導体の表⾯に現れるマヨラナ粒⼦が⽣じうる電磁気⾃由度を明らかにすることで、将来のマヨラナ物性研究のための基礎を確⽴していきます。

5 ページの続き

世界保健機関 WHO が COVID-19 の感染拡⼤を初めてパンデミックと認識表明した 3 ⽉ 11 ⽇の前後、⽇本においては、感染拡⼤防⽌の政策決定に「数理モデル」に基づく予測結果が活⽤されました。科学・技術系の研究者であれば馴染みのある数理モデル。しかし、⼀般的には必ずしも認知度が⾼いとは⾔えなかった「数理モデル」という⾔葉が、毎⽇のようにマスメディアの報道に登場し、そしてまた実際にそれが、政策決定に直接影響したことは画期的でした。もちろん、計算結果はパラメータのとりかたでも⼤きく変わるため、全てが数理モデルの予測通りになるとは限りませんが、数理モデルがもつ可能性を社会全体に印象付けることができたのは明らかと思います。
「数理モデル」という響きが、筆者の遠い昔の記憶、25 〜 30 年前の記憶を蘇らせます。筆者はその頃、X 線回折やその他分光法によって得られた波形パターンの分解（ピーク分離）を⾏うプログラムを作っていました。プログラミングが得意だった訳ではないのですが、市販のソフトウエアではどうにも対応できない解析が必要となり、もう⾃分で書くしかないと、⾮線形最⼩⼆乗プロファイルフィッティングのコードを書き始めました。完成したプログラムを様々なパターンの分解に応⽤しましたが、ガウス関数やローレンツ関数など（実際に使ったのはそれらの混合関数である擬似 Voigt 関数）のピーク形状を表現するパラメータの個数とフィッティング結果の関係が気になりました。また同じ頃、このプログラミングとはまた別の多変量解析を⾏っていたのですが、それでも似たようなの問題意識に遭遇しました。可変パラメータの数を多くすればするほどフィッティング結果は良くなる（残差⼆乗和が⼩さくなる）のですが、何か現象の本質を⾒抜いていないのではないかと感じるようになっていたのです。
⾃分なりの試⾏錯誤の結果、フィッティング精度は多少落ちてしまうのですが、幾つかのパラメータは動かさずに固定して少数の可変パラメータで勝負

06 News letter

離散幾何と材料

グループ研究報告
研究会「トポロジカル表面状態、ブレーンとソリトン、指数定理 」（A01 班会議）
⽇時：2020 年 2 ⽉ 17 ⽇（⽉）18 ⽇（⽕）

会場：⼤阪⼤学理学部 南部陽⼀郎ホール

A01 班のメンバーによって、トポロジカル相に関する研究会が⼤阪⼤学で開かれました。2 ⽇間にわたり、様々な分野から計 19 ⼈の講演が⾏われました。
まず、初⽇は初⾙安弘⽒（筑波⼤学）の招待講演から始まりました。トポロジカル相の歴史から、近年のホットトピックである⾼次トポロジカル相まで広範なテーマが説明されました。さらに、A01 班のメンバーによって、物性物理学からの⼿法だけでなく⾼エネルギー物理や数学を⽤いたトポロジカル相へのアプローチが紹介されました。この分野横断的アプローチは新しいトポロジカル相を理解するための本新学術領域の⽬指すところであり、⾮常に盛況な議論がなされました。

2020 年度 第 1 回 オンライン領域会議
⽇時：2020 年 6 ⽉ 13 ⽇（⼟）20 ⽇（⼟）

会場：zoom によるオンライン開催

2020 年度第 1 回⽬の領域会議は、新型コロナウィルス感染症の状況を鑑みて、オンラインで開催されました。
2 ⽇間にわたり、A01，A02，A03，B01 の計画班及び公募班の研究代表者を含む 38 名によって講演が⾏われました。
初⽇は⼩⾕代表の挨拶から始まり、各計画班の研究代表者によって研究概要の紹介と進捗の報告がなされました。また、今年度から新しくメンバーに加わった⽅々を含め、⾃⼰紹介を交えながら公募班のメンバー及びインターフェースによる発表が⾏われました。
領域外からも数学、材料科学などの分野を問わず多くの⽅に参加していただき、それぞれの講演に対して多数の質問が⾶び交い、⾮常に活発な議論がなされました。
2 ⽇間に渡った会議の最後には講評が⾏われ、分野と班の垣根を超えて積極的に交流がなされました。

をするようになり、その結果、重要と考えられる要因を絞り込み、腑に落ちる結果が得られるようになっていきました。動かすパラメータの数とフィッティング精度のバランスがとれたちょうどよいところがあるのだろう、と、⾃⼰満⾜的なものでしたが、確信した瞬間でした。後⽇、知⼈にそのような経験談を話したところ、⾚池情報量規準（AIC）というものがあると教えていただきました。AIC 最⼩のモデル、すなわち、モデルの複雑さ（パラメータの数）と実測データとの適合性のバランスをとったモデルが最もよいモデルであると考えるその理論は、筆者⾃⾝が漠然と考えていたことを数学的に明確に表現していて、感⼼といいますか、感嘆したことを覚えています。
ビッグデータの時代。膨⼤なデータから意味のある情報を抽出すために、数学者、数理科学者、情報科学者が、様々な⼿法を開発しています。筆者⾃⾝は、数理、情報科学の専⾨家ではないため、それぞれの研究の詳細についてはよくわかりませんが、とはいえ、かつて⾃らが経験した漠然とした感覚、情報の⼤きさや複雑さと単純さの「はざま」に物事の本質はあるのだろう・・・というとらえかたは、⼤正解ではないにしても、的外れというところまではいかないのかな、と 2020 年の⼤晦⽇、新たな⼀年の⾏⽅を思いつつ、ひとり妄想しています。

池⽥ 進
1990 年東北⼤学理学部地学科卒業。セメント会社勤務後、2000 年に東京⼤学⼤学院理学系研究科で学位取得。同⼤学院新領域創成科学研究科の助⼿・助教等を経て、2008 年より東北⼤学 AIMR 助教、2010 年より同准教授。2011 年より副事務部⾨⻑（研究担当）を、また 2018 年より研究⽀援部⾨⻑を併任（2019 年 9 ⽉まで）。現在は客員研究員として東京⼤学にて勤務。
岩⽯・鉱物、セメント、表⾯、薄膜成⻑、有機半導体デバイス等の幅広い物質・材料分野の研究経歴を踏まえ、異分野融合や組織間連携を推進する役割を担っている。

News letter

離散幾何と材料07

活動記録2020 年2 ⽉ 17 ⽇ - 18 ⽇

研究会「トポロジカル表⾯状態、ブレーンとソリトン、指数定理」
会場：⼤阪⼤学理学部 南部陽⼀郎ホール

2 ⽉ 24 ⽇ - 28 ⽇

Workshop "Topological phenomena in non-Hermitian and non-equilibrium systems"
会場：東北⼤学⽚平キャンパス AIMR

3 ⽉ 16 ⽇ -18 ⽇

ミニワークショップ「場の理論、代数トポロジー、量⼦化」
会場：ルノアール四⾕店会議室

3 ⽉ 17 ⽇

総括班会議

5 ⽉ 14 ⽇ -（定期開催）オンラインセミナーシリーズ「ディープラーニングと物理学 2020オンライン」

5 ⽉ 30 ⽇、6 ⽉ 6 ⽇

A03 班セミナー MOF とトポロジー

6 ⽉ 13 ⽇、20 ⽇

2020 年度第 1 回領域会議

7 ⽉ 28 ⽇

オンライン MI サーベイレクチャー
第２回「マテリアルズ・インフォマティクスによる材料設計と技術動向」

9 ⽉ 19 ⽇

2020 年度 第 1 回 A02 班会議

9 ⽉ 24 ⽇

化学⼯学会第 51 回秋季⼤会（オンライン）内 SY-80 [ 材料・界⾯部会シンポジウム ]次世代物質・材料探索のための新たなアプローチ

10 ⽉ 23 ⽇、11 ⽉ 20 ⽇

オンラインセミナー「数学と材料科学」※会場の記載がない場合はオンライン開催です。

今後の行事予定
2021 年 1 ⽉ 27 ⽇

九⼤先導研・新学術「材料離散幾何解析」
合同シンポジウムマテリアルズインフォマティクス講演会〜材料科学と情報科学のクロスオーバー〜

募集
⼈材募集する場合は領域ウエブサイトに情報掲載いたします。

問い合わせ先⼩⾕ 元⼦（領域代表）
東北⼤学材料科学⾼等研究所（AIMR）
E-mail : contact@math-materials.jp 領域ウエブサイト：https://math-materials.jp/News letter Vol. 06

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離散幾何と材料

編集担当 : 渡部 淳、福⽥ 瑞季、池⽥ 進（東北⼤学 AIMR）