福井県教育総合研究所 紀要 第 128 号
研究

小学校算数科における数学的に表現する力を高めるための学習活動－言葉、図、式を関連付けて考え、伝え合う活動を通して－
教科研究センター 小中学校教科研究課
加畑里奈
本研究では、数学的に表現する力を高めるための学習活動として主に、ワークシートの活用の工夫、伝え合う活動の工夫、振り返りの工夫の三つを取り入れ、割合の学習に関する単元において数学的な表現を関連付けて伝え合う活動を設定し、授業実践を行った。そのうち、２年目となる今年度の実践を中心に、概要、成果と課題について報告する。
＜キーワード＞ 数学的な表現 関連付ける かけ算 何倍でしょう 割合 小数のわり算

Ⅰ はじめに
中央教育審議会答申「幼稚園、小学校、中学校、高等学校及び特別支援学校の学習指導要領等の改善及び必要な方策等について」（平成 28 年 12 月 21 日）において、算数科・数学科における平成 20 年度改訂の学習指導要領の成果と課題について、「全国学力・学習状況調査等の結果からは小学校では、『基準量、比較量、割合の関係を正しく捉えること』や『事柄が成り立つことを図形の性質に関連付けること』、中学校では、『数学的な表現を用いた理由の説明』に課題が見られた。また、高等学校では、『数学の学習に対する意欲が高くないこと』や『事象を式で数学的に表現したり論理的に説明したりすること』が課題として指摘されている。
」と示されている。
数学的な表現に関しては、小学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説算数編の算数科の目標において「数学的な表現を用いて事象を簡潔・明瞭・的確に表したり、目的に応じて柔軟に表したりする力を養う」
ことが示されているように、小学校においても数学的な表現力を育成することが求められており、そこで育成された表現力が中学校、高等学校の土台となると考える。この数学的な表現について、中原（1999）は、
算数・数学における表現様式を、現実的表現、操作的表現、図的表現、言語的表現、記号的表現の五つに分類した（図１）。そして、「算数教育指導用語辞典」では、中原が分類した五つの表現を取り上げ、「五つの表現を用いる経験を豊かにする教材や活動を工夫するとともに、それぞれの表現をほかの表現に読み換える
活動を十分に行い、表現方法が関連づけられて身につくようにすることが大切である」、「多様な表現活動を関連づけることによって、表現能力も高まる」と示している。
割合に関しては、小学校では、現行の学習指導要領において、第４学年に「簡単な場合についての割合」
が追加されるなど、内容が充実された。そこでは、割合が２、３、４などの整数で表される簡単な場合について、ある二つの数量の関係と別の数量の関係とを比べる場合に割合を用いる場合があることを知り、図や式などを用いて比べ方を考察する力を伸ばしていく。その際、基準量、比較量、割合の関係を正しく捉えることが必要となり、そのためには、数学的な表現を関連付けるような活動を取り入れることが大切である。
そこで、本研究では、新しく追加された第４学年「簡単な場合についての割合」の単元とそれに関連する
他学年の単元に注目し、それらの単元で、言葉、図、式を関連付けて考え、伝え合う活動を行うことで、割合の単元における数学的に表現する力が高まるのではないかと考え、実践を行った。１年目は、第３、４学年において実践を行い、２年目は、学習内容や使用する図のつながりを考慮し、実践を第２学年から第５学
年の４学年に広げた。

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研究
現実的表現

実世界の状況、実物、具体物などによる表現

操作的表現

学習具などに動的操作を施すことによる表現

図的表現

絵、図、グラフなどによる表現

言語的表現

日本語、英語など日常言語を用いた表現

記号的表現

数字、記号など数学的記号を用いた表現

図１ 算数・数学における表現様式

Ⅱ 研究の目的
本研究は次の２点を目的とする。
・割合に関する単元における言葉、図、式を関連付けて考え、伝え合う活動の提案
・数学的に表現する力を高めるために、言葉、図、式を関連付けて考え、伝え合う活動は有効であるかどうかの検証

Ⅲ 研究の方法
以下の３点について、各学年の発達段階に応じて取り入れ、研究を進める。
・ワークシートの活用の工夫
・考えを伝え合う活動の工夫・振り返りの工夫
昨年度の実践では、言葉、図、式を関連付けて考えることができるよう、これらを一覧性できるワークシート
を、単元を通して使用した（図２）。ワークシートの上部には問題文を示し、左側には絵や図、右側には関係図、下部には式や説明をかけるようにした。実践後の児童アンケートを分析すると、「ワークシートを使うと、言葉、図、式をつなげて考えやすい」という問いに対し、肯定的な回答（当てはまる、どちらかというと当てはまる）をした児童の割合は、第３学年（31 名）は 93.6％、第４

図２ 昨年度使用したワークシート例

学年（14 名）は 100％であった。また、実践を行った教員からは、授業が進むにつれて抵抗なく図をかいていたなどの声が聞かれ、一定の効果があることがうかがえた。そこで、２年目は、ワークシートの形式や活用の仕方を工夫した。第２学年は、どこに何をかけばよいかをより明確にしたワークシートを、第３学年、第４学年は、三つに区切った一覧性のあるワーク
シートをそれぞれ使用した。第５学年においては、必要な図を自己選択できるように、ノートを使用した。ワークシートやノートに関しては、児童の実態や問題に応じて、タブレット端末を適宜使用した。そして、考えを伝え合う活動については、伝え合う内容を焦点化し、立式の理由を伝え合った。振り返りに
ついては、児童が自分でかいたもの（言葉、式、図）や説明について細かく振り返るよう視点を与えた。
詳しくは、各学年の授業実践で示す。

Ⅳ 研究の概要
１ 実践する単元と数学的表現について県内で使用されている「わくわく算数（啓林館）」の教科書において「簡単な場合についての割合」を学

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習する単元は、第４学年「割合」である。そこでは、関係図と、
数直線とテープ図を組み合わせた図（以下、テープ図）を用いて、整数の場合における、比較量÷基準量により割合を求める考え方（第１用法）、基準量×割合により比較量を求める考え方（第２用法）、比較量÷割合により基準量を求める考え方（第３用法）

図３ 関係図の例

について学習する。関係図は、問題文中の数量が「どのような関係になっているのか」を、矢印を使って端的に表した図であり、問題文の文章構造を順思考的に組み立てる図である（図３）。テー
プ図は、「量（長さ）」で数量関係を表している図であり、テープ
図に表すことで、量的にイメージしやすくなる（図４）。上田・竹

図４ テープ図の例

間（2021）は、割合学習の導入となる４年生の授業では、色々な図とその考え方を丁寧に扱う必要があり、関係図に限らず「量的なイメー ジ」と「倍の関係」を関連付けて意識させていくことが必要であることを示した。このことから、関係図だけでなくテープ図などの量的なイメージをもつことができる図を使用することも必要であると考え、「割合」の学習内容と関連すると思われる単元や、関係図やテープ図を使用して学習する単元を調べた。その結果、図５に示した学年や単元が関係するのではないかと考えた。第２学年「かけ算」では、整数を用いた倍について取り扱い、「基にする量の何倍」という割合の見方の基礎を学習する。その際、〇などの図を用いて表現したり、その表現と「〇（一つ分の大きさ）の△つ分（幾つ分）」という言語的表現や記号的表現（式）とを関連付けたりして学習する。第３学年「何倍でしょう」では、割合や数量が整数の場合の三つの用法について、関係図に表して学習する。第５学年「小数のわり算」では、割合や数量が小数の場合の三つの用法について、関係図とテープ図を用いて学習する。

学年、単元
第２学年
「かけ算（２）」
第３学年「何倍でしょう」
第４学年
「割合」
第５学年
「小数のわり算」

学習内容
整数を用いた倍の意味
整数の場合の三つの用法
３要素２段階の順思考
整数の場合の三つの用法（「割合」という用語を導入）
３要素２段階の逆思考
小数の場合の三つの用法
３要素２段階の順思考

主に使用する図的表現
絵や図
絵や図
関係図
テープ図

図５ 対象とする学年、単元、学習内容、主に使用する図

また、問題文から数量の関係を捉えたり、考えを説明したりする際に用いる言語的表現を図６に示す。保
森（2020）は、割合の３用法ごとに図と演算決定における説明を整理し、第２学年から第６学年までの系統表を開発した。さらに、演算決定における説明指導について、各学年に共通して考えられる指導方法として、「問題場面を図に表現する際、
『一つ分』
『１倍』
『基にする大きさ』『１に当たる大きさ』『いくつ分』を問題場面の中から見つけたり、図に表現したりする作業を行いながら作図させる」こと「演算決定について説明する際も前述のキーワードを用いて行うように指導するし、必要に応じて児童と共に説明モデル（話型）を作り、継続的に指導する」ことを含む五つの指導方法を示した。そこで、本研究においても、「一つ分」、「いくつ分」の表現を意識して実践を行うこととした（図６）。児童が考えを伝え合う際にも、式だけでなく、立式の理由を伝え合うことで、単元を通して意識する割合に関する表現を引き出せるようにした。

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学年、単元
第２学年
「かけ算（２）」

単元を通して意識する割合に関する表現「〇（一つ分の大きさ）の△つ分（いくつ分）」を意識
例「〇の△つ分だから、〇×△」

第３学年「何倍でしょう」「倍＝いくつ分」、「〇（一つ分の大きさ）の△つ分（いくつ分）」を意識
例「何倍かを求めることは、いくつ分かを求めること」、「〇の△つ分だから・・・・」、「一つ分は・・・」「〇（一つ分の大きさ）の△つ分（いくつ分）」、「１としたもの」を意識
例「〇の△つ分だから・・・」、「一つ分は・・・」、「〇を１として考えると・・・」「１としたもの」を意識
例「〇を１として考えると・・・」

第４学年
「割合」

第５学年
「小数のわり算」

図６ 実践を行う学年、単元、単元を通して意識する割合に関する表現
２ 各学年の授業実践(1) 第２学年①単元計画
単元名 「かけ算（２）」単元計画（全 13 時間） （
時
１･２
３･４
５
６
７
８
９
10
11
12
13

紹介する実践）目標
６の段の九九の構成の仕方を理解し、その唱え方を知る。
６の段の九九を用いて、適用することができる。
７の段の九九を構成の仕方を理解し、その唱え方を知る。
７の段の九九を用いて、適用することができる。
８の段と９の段の九九を構成の仕方を理解し、その唱え方を知る。
８の段の九九を用いて、適用することができる。
９の段の九九を用いて、適用することができる。
基準量が１のときの乗法の意味を理解し、１の段の九九を構成することができる。
問題づくりを通して、乗法の理解を深める。
学習内容を適用して問題を解決したり、理解を確実にしたりする。
乗法と加法、乗法と減法が組み合わされた３要素２段階の問題を解くことができる。
同じ数のまとまりに着目して、L 字型に並んだものの数をかけ算を使って求めることができる。
学習内容を適用して問題を解決したり、理解を確実にしたりする。

前単元の「かけ算（１）」と、「かけ算（２）」の第 10 時までの学習において、児童は、言葉、図、式を一覧できるワー
クシートを使用して適用題に取り組んできた。ワークシートの上部に問題文を示し、左側には絵や図と説明、右側には式をかけるようにするなど、児童の発達段階を考慮してワーク
シートの工夫をし、単元を通して使用することとした（図７）。また、図６で示した「〇（一つ分の大きさ）の△つ分

図７ 使用したワークシートの例（いくつ分）」という表現についても、教員が問いかけるな
どして、児童が意識できるようにした。その際、例えば、「４人のりの車が３台」のように、問題場面に沿った具体的な表現を重視していきながら、徐々に「４の３つ分」と抽象的な表現ができるようにした。
この指導を継続することで、児童は、徐々に図や式、説明をかくことができるようになってきていた。

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研究②授業の実際
第 11 時は、乗法と加法や減法を組み合わされた３要素２段階の問題を解決したり説明したりする学習として、以下の問題を取り扱った。
問１ 高さ５cm のつみ木を４こつみました。その上に、８cm のつみ木を１こつみました。
高さは何 cm になりましたか。
問２ １まい９円の色紙を６まいと、80 円ののりを１つ買いました。みんなで何円ですか。
問３ はこにまんじゅうが４こずつ５れつはいっています。３こ食べると、何このこりますか。
児童は、乗法と加法や減法を組み合わせた問題に初めて取り組むた
め、問１では、教員が２種類の積み木を積む様子を示すことで、児童が問題場面をイメージできるようにした。問２、問３では、児童は、
問題文の「一つ分の大きさ」と「いくつ分」に印をつけた上で、問題に取り組んだ。問題場面を絵や図で表現し、式や説明を書いた後、ペアや全体で発表する活動を行った（図８）。最後に、気付いたこと、分かったこと、自分の書いた図や説明について振り返りを記入した。

図８ 全体での発表

第 12 時は、同じ数のまとまりに着目し、乗法を使って考えたり、説明したりする学習として、以下の問題を取り扱った。第 12 時の問題は、様々な数のまとまりを作ることで式につなげる問題であるため、タブレット端末を用いて、試行錯誤しやすくし、様々な考えを引き出せるようにした。
問 はこの中にチョコレートは何こありますか。

まず、同じ数のまとまりに着目して、乗法を使ってチョコレートの数を求めることをおさえた上で、児童は、タブレット端末を用いて、どのような数のまとまりを作るとよいかを考えた（図９）。次に、ワークシート（図 10）に考えをまとめ、求め方の説明を書き、発表した。最後に、振り返りを記入した。

図９ タブレット端末を用いて同じ数のまとまりを作る

図 10 使用したワークシート③成果と課題授業の様子からは、図と関連付けながら、説明する児童の姿が見られた。一覧性のあるワークシートを用いることで、複数の表現を行き来することができたと考える。また、第 12時の児童のワークシートを分析すると、90％の児童が、「〇（一つ分の大きさ）の△つ分（いくつ分）」の表現を用いて、説明を書くことができていた（図 11）。さらに、単元末のテス
トでは、児童全員が正しく立式することができていた。この図 11 児童が書いた説明

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研究ことから、単元を通して「〇の△つ分」の表現を意識したことで、「〇の△つ分」の表現を用いて説明することや表現に着目して文章を読み取ることができたと考える。児童の振り返りには、「説明や図をかいたりすることができるようになってきた」、「図をかくことが楽しくなってきた」、「問題文をしっかり読むと何算になるか分かった」、「〇の△つ分を使って説明を書くと分かりやすい」などが書かれており、自分の表現力が高まったことを感じていたり、表現する際の大切なことなどに気付いたりしていた。
単元終了後の児童アンケートを分析すると、「図を見たり、図をつかったりして考えるとわかりやすくなる」という問いに対して、肯定的な回答（当てはまる、どちらかというと当てはまる）をした児童の割
合は 83.3％、「図をつかってかんがえをつたえると、わかりやすくなる」という問いに対して、肯定的な回答をした児童の割合は 88.8％であり、児童の多くが、図の有効性を感じていた（図 12）。
18 名の回答

図 12 児童アンケート結果
一方、授業の様子から、自分の考えをワークシートに書くことはできても、相手に分かりやすく伝えることは難しい児童の姿が見られた。実践した教員からも、相手に分かりやすく伝えることが課題であるという声が聞かれた。
(2) 第３学年①単元計画
単元名「何倍でしょう」
単元計画（全４時間） （紹介する実践）時
目標
１ 関係図に表して数量の倍の関係を捉え、除法を適用して何倍かを求めることができる。
２ 何倍かの関係にある２量のうちの一方が分からない場面で、その量を求めることができる。
３ ａのｂ倍のｃ倍の場面で、順に考える考え方と、何倍になるかに着目してｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考え方の２通りの考え方を知り、問題を解くことができる。
４ ａのｂ倍のｃ倍の場面で、何倍になるかに着目してｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考える方
法で問題を解くことができる。
昨年度の実践の課題として、関係図のかき方や関係図の読み方の定着が十分ではなかったことや、何倍であるかを問われているが長さを答えているなど、問いに正対した答えを求めることができなかったことが挙げられる。
そこで本年度は、次の点に留意し、実践を行った。
・関係図が表していることを読み取る活動を取り入れる。
・分かっていること、求めることを明確にした上で、問題に取り組む。
・ワークシートの形を変え、児童にとって書きやすいものにする（図 13）。
図 13 今年度使用したワークシート例

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研究②授業の実際
第１時は、関係図に表して数量の倍関係を捉え、何倍かを求める方法を学習した。これは、比較量÷基
準量により割合を求める考え方（第１用法）で、以下の問題を取り扱った。
問 ゴムで動く車の走った長さをくらべました。
赤は４ｍ、青は８ｍ走りました。赤の走った長さの何倍が、青の走った長さですか。
（第１用法）
昨年度の実践を踏まえて、問題文のどの言葉が関係図のどこに表されているかを考え、関係図を丁寧に扱うことを心がけた（図 14）。その後、第２学年の乗法の学習である、「倍」は「いくつ」を表すということから、「４ｍがいくつ分で８ｍになるのか」、つまり「８ｍの中に４ｍがいくつあるか」を求めることを確認し、問題に取り組んだ。
「４×□＝８」の式による表現から考える児童や、図 15 のように、８ｍのテープの下に４ｍのテープを二つ並べて、考えを表現する児童の姿も見られた。

図 14 関係図の読み取り

図 15 児童のワークシート例

第２時は、何倍かの関係にある２量のうちの一方が分からない場面で、その量を求める方法を学習した。これは、比較量÷割合により基準量を求める考え方（第３用法）、基準量×割合により比較量を求める考え方（第２用法）で、以下の問題を取り扱った。
問１ バケツで水を運んで水そうをいっぱいにします。８回運んで、48L はいる水そうがいっぱいになりました。バケツには、何 L の水がはいりますか。
（第３用法）
問２ ロールケーキがあります。３cm ずつ切ると、切ったケーキはちょうど５こできました。はじめのケーキの長さは何 cm でしたか。
（第２用法）
この問題は、問題文に「倍」という表現がないため、まずは、倍の関係を捉える必要があった。ワーク
シートの左側に問題場面の図や絵をかくことで、問１では、「バケツの８倍が、水そうの水の量」、問２では、「切ったケーキの５倍が、はじめのロールケーキの長さ」であることを捉え、その後、式や説明を書き、考えを発表した（図 16）。

図 16 問１のワークシート

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研究第３、４時は、ａのｂ倍のｃ倍の場面で、順に考える考え方と、何倍になるかに着目してｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考え方の２通りの考え方があることを学習した。これは、基準量×割合により比較量を求める考え方（第２用法）で、以下の問題を取り扱った。
問１ ゴムで動く車の走った長さをくらべました。赤は４ｍ走りました。青は赤の２倍、黄は青の３倍走りました。黄は何ｍ走りましたか。
問２ ペットボトル、バケツ、水そうがあります。ペットボトルには水が２L はいります。バケツには
ペットボトルの４はい分、水そうにはバケツの２はい分はいります。水そうには水が何 L はいりますか。
問３ 大、中、小の３しゅるいの箱があります。小の箱にはケーキが２こはいります。中の箱には小の３倍、大の箱には中の２倍はいります。大の箱にはケーキが何こはいりますか。
問１は、赤、青、黄の走った長さの関係を整理し、青を基準とする考え方と、赤を基準とする考え方の２通りの考え方を用いて、黄が走った長さを求める問題である。昨年度の実践では、青を基準として黄が走った長さを求める考え方は、多くの児童が理解できていたため、赤を基準とする考え方に重点的に取り組んだ。児童は、ワークシートに、図や式、説明をかき、発表した（図17）。児童が発表する際、教員が「３倍は何が三つ分ですか」などと問いかけ、基準としたものを明確にできる

図 17 問１のワークシート

ようにした。問１の考え方を用いて、問２、問３の問題に取り組んだ。
振り返りは、１枚のワークシートを使い、毎時間の終わりに行った（図 18）。児童は、授業で大切だと思ったこと、自分がかいたもの（式、図、言葉）や説明を振り返った。

図 18 振り返りシート③成果と課題
児童の振り返りには、「今日は図をかけてうれしかった」、「自分で考えることができなかったけれど、友達の図を見てかけた」、「図に表すと何倍かが分かりやすい」などが書かれており、自分の表現力が高まったことや図の有効性を感じていた。
単元終了後の児童アンケートを分析すると、「図を見たり、図を使ったりして考えると、わかりやすくなる」という問いに対して、肯定的な回答をした児童の割合は 90％、「図を使って考えを伝えると、わか
りやすくなる」という問いに対して、肯定的な回答をした児童の割合は 80％であり、児童の多くが図の有効性を感じていた（図 19）。特に、考える際に図の有効性を感じていた。

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研究

20 名の回答

図 19 児童アンケート結果
また、単元終了後に割合の三つの用法の問題に取り組んだ。正しく立式し答えを求めていた児童の割合
は、以下の通りである（図 20）。児童の多くが、三つの用法についての理解を深めることができたと考える。
問題
青テープの長さは３cm、赤テープの長さは 15cm です。
赤テープの長さは、青テープの長さの何倍ですか。
（第１用法）
赤テープの長さ 15cm の３倍が黄テープの長さです。
黄テープの長さは、何 cm ですか。
（第２用法）
白テープの長さの２倍がみどりテープの長さ 50cm です。
白テープの長さは、何 cm ですか。
（第３用法）

正答率
85.7％
95.2％
85.7％

図 20 授業後のテストの結果
一方、授業の様子から、立式することはできても、数量の関係を図に表すことや考えをかいたり説明したりすることが難しい児童の姿が見られた。図の読み方や書き方の学習を丁寧に行う必要があると考える。また、授業の様子から、ａのｂ倍のｃ倍の場面で、ｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考え方に難しさを感じている児童の姿が見られた。言葉、図、式を関連付けて、三つの数量の関係を捉えたり、一つの数量に対して基準となるものを変えて、数量の関係を考察したりする活動を充実させることが必要であると考える。
(3) 第４学年①単元計画
単元名 「割合」
単元計画（全４時間）（
紹介する実践）時
目標
１ 第３学年「何倍でしょう」の問題を用いて、除法を適用して何倍かを求めたり、何倍かの関係にある２量のうちの一方が分からない場面で、その量を求めたりすることができる。
２ 除法を適用して何倍かを求めたり、何倍かの関係にある２量のうちの一方が分からない場面
で、その量を求めたりすることができる。
３ ａのｂ倍のｃ倍の場面で、順に考える考え方と、何倍になるかに着目してｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考え方の２通りの考え方を知り、問題を解くことができる。
４ ある二つの数量の関係と別の二つの数量の関係とを割合を用いて比べる場合に割合を用いる場
合がことを知る。
４年生の児童は、昨年度も第３学年「何倍でしょう」の単元において、実践を行っている。それを受けて本年度は、第３学年と同様に、図 13 のようにワークシートの形を変え、児童にとって使いやすいものにして、実践を行った。

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研究②授業の実際
第１時では、第３学年「何倍でしょう」に関する以下の問題を用いて割合の三つの用法について復習し、倍を割合という用語で捉え直した。
問１ 白と黄のテープがあります。白のテープは 10cm です。白のテープの長さの４倍が黄のテープの長さです。黄のテープの長さは、何 cm ですか。
（第２用法）
問２ バケツで水を運んで水そうをいっぱいにします。８回運んで、48L はいる水そうがいっぱいになりました。バケツには、何 L の水がはいりますか。
（第３用法）
問３ ゴムで動く車の走った長さをくらべました。赤は４ｍ、青は８ｍ走りました。赤の走った長さの何倍が、青の走った長さですか。
（第１用法）
問４ ゴムで動く車の走った長さをくらべました。赤は４ｍ走りました。青は赤の２倍、黄は青の３倍走りました。黄は何ｍ走りましたか。
（第２用法）
第２時では、以下のような割合の三つの用法の問題に取り組んだ。
問 Ｓ、Ｍ、Ｌの３つのサイズのフライドポテトがあります。
①Ｓサイズの重さ 50ｇの６倍がＬサイズの重さです。Ｌサイズの重さは何ｇですか。
（第２用法）②Ｍサイズの重さの２倍がＬサイズの重さ 300ｇです。Ｍサイズの重さは何ｇですか。
（第３用法）③Ｓサイズの重さは 50ｇ、Ｍサイズの重さは 150ｇです。Ｓサイズの重さの何倍がＭサイズの重さですか。
（第１用法）
この問題では、テープ図が示されているワークシートに目盛りを書き込むようにしたことで、１とする
ものやそれに対して何倍になっているかを考えることに焦点化できるようにした（図 21）。

図 21 ワークシート例
第３時では、ａのｂ倍のｃ倍の場面で、順に考える考え方と、何倍になるかに着目してｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考え方の２通りの考え方で基準量を求める学習をした。これは、比較量÷割合により基準量を求める考え方（第３用法）で、以下の問題を取り扱った。
問 テレビとうの高さは 90ｍで、これは百貨店の高さの３倍です。百貨店の高さは、学校の高さの２倍です。学校の高さは何ｍですか。
順に考える考え方は、図 21 のワークシートのようにテープ図が示されているものを使用し、何倍になるかに着目した考え方は、テープ図を自分でかくようなワークシートを使用した。授業中は、基準としたものを明確にして考えをワークシートに書く姿や、ワークシートの図を見せながら説明する姿が見られた（図 22、23）。

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研究

図 22 順に考える考え方の基準としたものを

図23 何倍になるかに着目した考え方の基準と明確にしているワークシート

したものを明確にしているワークシート

第４時では、ある二つの数量の関係と別の二つの数量の関係とを比べる時に、割合を用いる場合があることを学習した。
「わくわく算数（啓林館）」では、イルカとクジラの成長率を取り扱っているが、ここでは、取り扱う問題をゴムの伸びに関するものに替え、変化の様子をイメージできるように工夫した。以下が取り扱った問題である。
あ は 10cm までのびます。もとの長さが５cm のゴム○
い は 15cm までのび問１ もとの長さが５cm のゴム○ます。どちらのゴムがよくのびたといえますか。
う は 40cm までのびます。もとの長さが 10cm のゴム○
え は 30cm までのび問２ もとの長さが 20cm のゴム○ます。どちらのゴムがよくのびたといえますか。
まず、問１で、差による比べ方と割合を用いた比べ方があることを理解した後に、問２に取り組んだ。
問２では、差による比べ方をしてゴムの伸びはどちらも同じであると考える児童と、割合を用いた比べ方
え の方がよく伸びたと考える児童がいた。その後、問１と比較することで、問１のゴム○
あ とゴをしてゴム○
い は、もとの長さが同じであるが、ゴム○
う とゴム○
え は、もとの長さが異なっていることに気付いた。そム○

して、もとの長さが異なると差ではうまく比べられないことや、もとの長さが異なるときは、割合を用いて比べることを理解した。
振り返りは、１枚のワークシートを使い行った。授業で大切だと思ったこと、自分がかいたもの（式、図、言葉）や説明を振り返った（図24）。

図 24 振り返りシート③成果と課題
児童の振り返りには、「式だけでは伝わらないから図や理由を伝えることが大切だと思った」、「自分なりの図をかいて考えることが楽しかった」、「図は問題文を簡単に表せるから説明がしやすい」などが書かれており、自分の考えを伝える際に大切なことに気付いたり、図の有効性を感じたりしていた。
単元終了後の児童のアンケートを分析すると、「図を見たり、図を使ったりして考えると、わかりやす福井県教育総合研究所 紀要 第 128 号
研究くなる」という問いに対して、肯定的な回答をした児童の割合はそれぞれ 90.0％、「図を使って考えを伝えると、わかりやすくなる」という問いに対して、肯定的な回答をした児童の割合は 86.6％であり、児童の多くが図の有効性を感じていた（図 25）。
30 名の回答

図 25 児童アンケート結果
また、単元の前後で割合の三つの用法の問題に取り組んだ。正しく立式し答えを求めていた児童の割合
は、以下の通りである（図 26）。三つの用法についての理解が深まっていると考える。
＜授業後＞

＜授業前＞
問題
青テープの長さは５cm、赤テープの長さ
は 15cm です。赤テープの長さは、青テープの長さの何倍ですか。
（第１用法）
青テープの長さ５cm の６倍が黄テープの長さです。黄テープの長さは、何 cm ですか。
（第２用法）
緑テープの長さの２倍が白テープの長さ40cm です。緑テープの長さは、何 cm ですか。
（第３用法）

正答率
70.3％

81.4％

77.0％

問題
青テープの長さは３cm、赤テープの長さ
は 15cm です。赤テープの長さは、青テープの長さの何倍ですか。
（第１用法）
赤テープの長さ 15cm の３倍が黄テープの長さです。黄テープの長さは、何 cmですか。
（第２用法）
白テープの長さの２倍が緑テープの長さ50cm です。白テープの長さは、何 cm ですか。
（第３用法）

正答率
96.0％

96.0％

88.8％

図 26 単元の前後のテストの結果
一方、授業の様子から、第３学年と同様に、ａのｂ倍のｃ倍の場面で、ｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍の考え方を理解し活用することに難しさを感じている児童の姿が見られた。実践した教員からも、ａのｂ倍のｃ倍の場面で、ｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍の考え方について、時間が足りずに定着が不十分であったという声が聞かれた。言葉、図、式を関連付けて、三つの数量の関係を捉えたり、一つの数量に対して基準となるものを変えて、数量の関係を考察したりする活動を充実させることが必要であると考える。この課題については、第３学年においても同様の課題が見られている。単元計画を工夫し、数量が複数ある場合の数量の関係を考察する活動を充実させていくとよいのではないかと考える。
(4) 第５学年①単元計画
単元名 「小数のわり算」
単元計画（全 14 時間）（
紹介する実践）時
目標
１ （整数）÷（帯小数）の場面を式に表し、除法の意味について考え、理解することができる。
２ （整数）÷（帯小数）の計算の仕方を、整数の計算に帰着させて考え、理解することができる。
３ （整数）÷（純小数）の場面を式に表し、計算することができる。
被除数と小の大小関係を調べ、除数の大きさによりことを理解する。
４ （小数）÷（小数）の場面を式に表し、計算することができる。
５ 除数が小数の除法の筆算の仕方を考え、筆算で計算をすることができる。
６ 被除数に空位の０をつけたしてわり進む場合の筆算の仕方を理解することができる。

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研究
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わり進む場合の筆算で、わり切れないときの商を概数で表すことができる。
余りのある除法で、余りの大きさを正しく判断し、筆算で商と余りを求めることができる。
学習内容を適用して問題を解決したり、理解を確実にしたりする。
割合や数量が小数で表された場面で、割合や比較量を求めることができる。
割合や数量が小数で表された場面で、基準量を求めることができる。
ａのｂ倍のｃ倍の場面で、何倍になるかに着目してｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考え方で解くことができる。
小数の加減や乗除についても、整数と同じ計算の間の関係が成り立つことを理解する。
学習内容を適用して問題を解決したり、理解を確実にしたりする。

５年生の児童は、昨年度の実践で、第４学年「割合」の単元において、言葉、図、式を関連付けて考えを伝え合う活動を行っている。それを受けて今年度は、必要な図を自己選択し、相手に分かりやすく説明することを意識した実践を行った。ここでは、第 10 時、第 11 時、第 12 時の実践を紹介する。
②授業の実際
第 10 時は、割合や数量が小数で表された場面で、割合や比較量を求める学習をした。これは、基準量×割合により比較量を求める考え方（第２用法）、比較量÷基準量により割合を求める考え方（第１用法）である。まず、第４学年「割合」の学習で、テープ図や関係図を用いて考えたことを振り返り、次の問題に取り組んだ。
問 赤、青、黄、白の４本のテープがあります。赤は 1.2ｍ、青は 1.8ｍ、黄は３ｍ、白は 2.4ｍです。
① 長さが、白のリボンの 0.75 倍になっているのは、どのリボンですか。
（第２用法）② 赤のリボン、黄のリボンの長さは、それぞれ、白のリボンの何倍になっていますか。
（第１用法）
問①は、割合が１より小さい小数の場合の比較量を求める問題である。割合が１より小さい数の場合、基準量と比較量の関係をテープ図に表すと、基準量となるテープの長さよりも比較量となるテープの長さが短くなる。割合が１より小さい小数の場合の基準量と比較量の関係を量的にイメージできるように、問①では、タブレット端末上でテープ図を操作する活動を行った。白のテープがかかれているテープ図を用
い、白のテープを１とすること、それに対して 0.75 は目盛りが左になることを確認した。そして、赤、青、黄のテープを動かし、白のテープよりも短い赤と青のテープのどちらかであることを確認した（図27）。

図 27 タブレット端末を用いたテープ図の操作
第 11 時は、割合や数量が小数で表された場面で、基準量を求める学習をした。これは、比較量÷割合
により基準量を求める考え方（第３用法）で、以下の問題を取り扱った。
問 夕方に木のぼうを立てて、そのかげの長さをはかると、かげの長さは 1.2ｍでした。これは、立てた木のぼうの長さの 1.6 倍です。木のぼうの長さは何ｍですか。

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研究
児童は、まず、ノートに自分の考えをまとめた。その後、自分の考えを書いたノートに、言葉や図を書
き加えながら、ペアやグループで考えを伝え合った（図 28）。その際、タブレット端末を用いてノートの写真を撮り、そこに言葉や図を書き加えながら伝え合う児童の姿も見られた（図 29）。

図 28 ノートに書き込みながら図 29 写真に書き込みながら考えを伝え合う考えを伝え合う
第 12 時は、ａのｂ倍のｃ倍の場面で、何倍になるかに着目してｂ倍のｃ倍が（ｂ×ｃ）倍になる考え方を用いて問題を解く学習をした。これは、基準量×割合により比較量を求める考え方（第２用法）、比較量÷割合により基準量を求める考え方（第３用法）で、以下の問題を取り扱った。
問１ 全体の面積が 2000 ㎡の公園があります。公園全体の面積の 0.4 倍が広場の面積、広場の面積の0.8 倍がしばふの面積です。しばふの面積は何㎡ですか。
（第２用法）
問２ 赤、青、白の大きさのちがう３つのボールがあります。ボールの直径を比べると、白の直径の1.4 倍が青の直径、青の直径の 2.5 倍が赤の直径でした。赤のボールの直径が 24.5cm のとき、白のボールの直径は何 cm ですか。
（第３用法）
問１では、全体の面積を基準とする考え方を用いて、しばふの面積を求めた。倍を表す数として、
0.4、0.8、0.32（0.4×0.8）の三つの数が考えられる。それぞれの数が表していることを、関係図やテープ図を用いて考えた。その際、教員が「関係図の矢印のはじまりはどこですか」、「0.32 は何を１としていますか」などと問いかけ、基準としたものを明確にできるようにした。その後、問２に取り組み、ペアやグループで考えを伝え合ったり、発表したりした（図 30、図 31）。

図 30 考えを伝え合う

図 31 全体での発表

振り返りは、１枚のワークシートを使い、毎時間の終わりに行った。授業で大切だと思ったこと、自分がかいたもの（式、図、言葉）や説明を振り返った（図 32）。

図 32 振り返りシート③成果と課題
児童の振り返りには、「割合では何を１として考えるかが大切でそれを明確にして説明することが大切福井県教育総合研究所 紀要 第 128 号
研究だと思った」、「説明することがうまくなった」などが書かれており、自分の考えを伝える際に大切なことに気付いたり、自分の表現力が高まったことを感じたりしていた。
単元終了後の児童アンケートを分析すると、「図を見たり、図を使ったりして考えると、わかりやすくなる」という問いに対して、肯定的な回答をした児童の割合は 100％、「図を使って考えを伝えると、わか
りやすくなる」という問いに対して、肯定的な回答をした児童の割合は 92.3％であり、児童の多くが図の有効性を感じていた（図 33）。
13 名の回答

図 33 児童アンケート結果
単元終了後に割合の三つの用法のうちの比較量÷基準量により割合を求める考え方（第１用法）の問題に取り組んだ。正しく立式し答えを求めていた児童の割合は、64.2％であった（図 34）。数量と割合が小数の問題において理解が不十分であることが課題として挙げられる。
問題
白のリボンは３ｍ、黄のリボンは 2.4ｍです。
黄のリボンは、白のリボンの何倍にあたりますか。
（第１用法）

正答率64.2％

図 34 単元終了後のテストの結果
３ 結果と考察
各学年の実践を通して、一覧性のあるワークシートを使用することは、児童にとって、言葉、図、式を関連付けて考えるために有効であり、言葉、図、式をかく場所が決まっていたため、児童にとって取り組みや
すいものであったことがうかがえた。実践を行った教員からは、児童の思考が把握しやすかったという声が聞かれ、教員にとっても適切な支援を行うために役立つものであったと考える。他の単元や教科においても、本研究のように、ワークシートを区切ったり使用する図を示したりするなど、学年の発達段階に応じて児童が考えを表現できるよう、支援することが重要であると考える。さらに、図を系統立てて学習することを通して、児童が表現様式を自己選択して考えを表現できるように、支援していくことも大切であると考える。
考えを伝え合う活動については、伝え合う内容を焦点化し、立式の理由を伝え合うようにしたことで、自分の考えを伝えるために、図と関連付けたり、図を工夫したりする児童の姿が見られた。また、伝え合ったことを基に、よりよい表現にするために図や言葉を修正する姿が見られた。実践を行った教員からも、考えを説明する活動を取り入れることで、理解が深まることを改めて実感できたという声が聞かれた。また、単元を通して意識する割合の表現が明確であったため、ただ問題を解くという授業ではなく、一つ分を捉える
ことを意識して授業を進めることができたという声も聞かれた。
振り返りについては、自分が書いたものを振り返る視点を与えたことで、考えを説明する際に必要な言葉や相手に伝わりやすい言葉に着目して、振り返ることができていた。また、「図がかけるようになった」、「説明することがうまくなった」など、自分の表現力の成長を感じることができていた。しかし、「〇の△つ分を明確にできたか」などと児童が自己評価できるような視点を細かく示していくことも必要であったと考える。また、どのような言葉があるとよいか、図には何があるとよいかなどの、相手に伝わる表現について児童とともに考えていくことも必要であると考える。

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研究
割合の三つの用法については、数量や割合が整数の場合において、児童の理解を深めることができた。言葉、図、式を関連付けて考えたことで、数量の関係を把握して立式し、答えを出すことができた。しかし、数量や割合が小数の場合においては、十分な定着が見られなかった。特に、割合が１より小さい小数になる
場合に困難さを示しているようであった。本研究は、割合に関係する単元において実践を行ったが、小数や分数など数を理解するという視点からも、割合に関連する単元を検討する必要があったと考える。

Ⅴ おわりに
本研究では割合に関係する内容を取り扱ったが、割合以外の内容についても数学的な表現力を高めることが必要である。数学的な表現力を高めるためには、本実践だけでなく、児童が様々な数学的表現の有効性を感じられるようにすることも重要であると考える。本研究では、対象とした学年の児童の多くが図の有効性を感じていたが、そのように感じなかった児童もいた。理由としては、図の書き方や読み方、図を使ってどのように考え、伝えるとよいか活用の仕方についての理解が十分ではなかったこと、問題解決や伝え合う際に、図の必要性を感じなかったことが予想できる。その場合、図を使う必然性がある課題を設定したり、図に関して系統立てて学習したりできるようにすることが必要であったと考えるが、その点については、十分に検証することができなかった。これらのことを踏まえ、今後も児童の数学的な表現力を高めるため、先行研究を参考にしたり取組みの工夫を重ねたりして、研究に取り組んでいきたい。
参考・引用文献(1) 文部科学省（2016）『幼稚園、小学校、中学校、高等学校及び特別支援学校の学習指導要領の改善および必要な方策について』（答申）(2) 文部科学省（2018）『小学校学習指導要領 (平成 29 年告示)解説 算数編』日本文教出版(3) 中原忠男（1999）『構成的アプローチによる算数の新しい授業づくり』東洋館出版社(4) 日本数学教育学会（2013）『算数教育指導用語辞典［第四版］』教育出版(5) 伊禮哉子（2017）『児童一人一人が見通しをもち、主体的に学ぶ学習指導の工夫～思考ツールを用いた数学的活動を通して～』 南部広域行政島尻教育研究所 平成 29 年度 前期教育研究員 研究報告書(6) 上田美智穂・竹間光宏（2021）『４年生で割合を学習する意義－「倍でくらべる」から「割合の意味」へ－
教職キャリア高度化センター教育実践研究紀要 第３号(7) 保森智彦（2020）『割合の見方・考え方を育てるための系統表の開発－図と演算決定における説明を関連付
けた学習指導に着目して－』岡山理科大学紀要 第 56 号 B pp31-38(8) 山下英俊（2018）『「割合」指導の３つの方略』東洋館出版社(9) 市川啓・髙橋丈夫・青山尚司・加固希支男（2020）『算数教材研究 割合』東洋館出版(10) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数２下』啓林館(11) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数２下 指導書 第２部詳説』啓林館(12) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数３下』啓林館(13) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数３下 指導書 第２部詳説』啓林館(14) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数４上』啓林館(15) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数４上 指導書 第２部詳説』啓林館(16) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数５』啓林館(17) 清水静海ほか（2021）『わくわく算数５ 指導書 第２部詳説』啓林館