Vol. 23

振動工学会員堀城之序
東日本大地震が発生した。4 年以内に震度 7 クラス（２） 応答の地震が都内で起こる確率が 70％になると東京大学

一般解 x は，地震研究所の平田直教授から発表された。東日本大地
震以降 M5 クラスの地震発生頻度が東日本大地震発生前に比べて，高くなった（気象庁

Xh：一般解，Xp：特解

http://www.seisvol.kishou.go.jp/eq/2011_03_11_tohoku/aftershock/）。

Xpを，と仮定し，Xpを方程式（1）に代入する。

斯かる状況下，振動制御装置，免震装置などの研究も盛んに行われているようである。斯かる発明を担当する弁理士を多いであろう。当該発明を処理するに当H(i ω)：複素周波数レスポンス関数

たって，振動解析の基礎知識が必要となる。
そこで，振動制御に必要な振動解析のために必要なここで，が位相シフトであるため，基本的な知識を記載した。行列の偏微分方程式を見ただけでアレルギーを起こす人もいるかもしれないが，要は固有値問題である。仕事をする上で参考になれば幸甚である。
なお，本稿は，当初英文で作成したものを和訳した過渡的な力(Transient force)に対する応答ものである。

上記外力は周期力である。過渡的な力(transientforce)の場合，x は次のように示され，これは¸単位レ

１．1 自 由 度 系 (Single Degree Of Freedom

スポンス関数(unit response function)¼と呼ばれていSystem)る。

Fig.1 に示す 1 自由度系（¸S.D.O.F.¼）を考える。
ダランベールの原理による運動方程式は，（１） 運動方程式

これをデュアメル積分という。

f(t)の物体への作用は，

２．多 自 由 度 系 (multi degree of freedom system)
次に，多自由度系振動方程式の導き方をラグラジアン方程式に基づき記載する。

ω0：固有円振動数β：減衰定数Vol. 65

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で習った固有値問題である。

（１） ラグランジュ方程式

n 自由度系における方程式（5）を解くことにより，ナンバーが（n）のωを導くことが出来る。ωはそれぞれ，各振動系ごとに異なっている。つまり，各振動をラグランジュ方程式という。

系の固有振動数である。
解ωiを方程式（2）に代入し，T：運動エネルギー，V：ポテンシャルエネルギー，F：散逸関数，Q：外力
なので，T=

mi2，V ＝ki Xi2，F ＝Ci

これによって2となる。これをラグランジュ方程式に代入して解く

直行性に従って，と，各振動系で，1．
（1）の新藤方程式が得られ，これらを纏めるとマトリクスで簡単に表すことが出来る。

実際に手で解くのも簡単で，（6）の方程式で添え字（２）マトリクスによる振動方程式

i，j のものも作り，それぞれの各項に，t φ j（t：転置の意），t φ i をかけて，各項を転置にして解いたものを，前記 t φ j ，t φ i を掛けた式から引いてやれば，（7）が出てくる。すっきりするので，酒を飲みながらn×n

でもやってみてください。
方程式（1）の解を，次に示す。

M：質量マトリクス，C：減衰マトリクス，K：剛性マ

まず，方程式（1）の解を，トリクス，F：外力マトリクスとすれば（対角行列，正方行列），と仮定する。となる。

Φはモードマトリクスであり，これは次の方程式に（３）モーダル解析よって得ることができる。

モーダル解析によって，上記振動方程式を解くことが可能である。
まず最初に，上記行列式から減衰マトリクスと外力マトリクスとを除いて（実際の構造物の場合，減水マトリクスの振動系に与える影響は小さい。それ故，昨マトリクスΦのそれぞれの列は，それぞれの固有振動

今話題の長周期地震動波により構造物は長時間振動すモードとして，新しく構成されている。

るのである），方程式（8）を方程式（1）に代入する

方程式（2）の解を仮定し，方程式（3）を（2）に代入すると有意な解が存在するためにはφ≠ 0 であるから，
det:determinant:行列式

直行性に起因し，非対称の要素はすべて 0 である。

方程式（5）を満たすωは，固有円振動数（数学の分それゆえ，野における¸固有値¼）であり，ωに対応するφは固有振動数モード（数学の分野における¸固有ベクトル¼）である。高校の線形代数

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３．その他同様に，振動解析に必要なキーワードを以下に掲げる。
（１） フーリエ変換，フーリエ級数，フーリエ積分
約 250 年前にジョセフフーリエが考え出した式。
F(f)＝ ,なぜならつまり，時間データを周波数データに変換する方程式。この逆を逆フーリエ変換という。この方程式は，フーリエ積分（ネットで検索すると出てきます）が全ての周波数に存在することを示している。フーリエ積
分は高校で習う三角関数の積分を使えばできます。
,,煩雑な三角関数が見事にスパッと消えます。ストレであるため，従って，ス解消にやってみてください。ヒント：j ＝ k,j≠k，2 π（２） FFT アナライザ
高速フーリエ変換器。例えば構造物を振動台に乗せて，不規則振動を与えて各階の固有振動数を計測する
方程式（17）は二次微分方程式（10）が非結合方程式

当該計測結果と上記 1，2 で解いた固有振動数が一致に変換されることを意味する。これは，モード解析でするか実験する時などに使われる。の最も特徴的である。

（３） エルセントロ地震波
実際にアメリカのエルセントロで起きたときの地震

微分方程式を解いて，波。例えば，前記（2）で構造物を揺らすときに用いる
解ηiを方程式（15）に代入して，解 X を得ることがで不規則振動波。

きる。

（４） ウェーブレット変換
約 30 年前に土木技師に発案された解析方法に用い減衰マトリクスを考察する場合，もし減衰マトリクスられる方程式。平たく言うと，フーリエ変換が時間をが次のように対照的であったら，周波数に変換するのに対して，ウェーブレット変換
は，時間情報も保持する。筆者が大学院に在籍していた頃，出てきた解析方法で，当時は建築物の振動解析にはあまり用いられていなかった。現在，将来は？。
（５） 変数分離形

モード解析が適用できる。実際の解析においては，振動方程式では，以下の式になることがある。
物理学だと波動方程式といい，数学では双曲型偏微βiを仮定して方程式（19）を導くことが出来る。
モード解析は，上記のように，理論上は対象的で，分方程式という。これを解くときに用いるのが変数分離法である。

振動特性を考慮している間に，同時に解が得られるものである。しかし，適用できるのは，線形の M.D.O.F.

y を x と t の関数として式を作る。の系のみである。減衰が入ると非線形になって解くに

y(x,t)= X(x) T(t)は試行錯誤する。

y を x で 2 階微分したものと，t で 2 階微分したもなお，2 自由度系なら減衰項があっても解くことがのとをつくり，上記方程式に代入して整理すれば，例出来る。上述の通り，建設物では減衰項を無視できる

えば右辺が t の関数のみ，左辺 x の関数のみになり，ので，2 自由度系を割愛した。

これで変数分離されたことになる。各辺は，任意の定数と等しいとおき（例えばて，2 階微分して-Vol. 65 No. 12−3−），解を T(t)=Cとしと等しいとした t の関数に代入す

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る。X(x)についても同様。これらを y の式に代入す

参考書

れば解法は終わり。あとは任意定数に，初期条件等をMECHANICAL VIBRATIONS J. P. DEN HARTOG

代入すれば，式が特定される。

振動力学演習 Masaru Hoshiya, Toshiyuki Katada
土木振動学

以上

Seima Kotsubo

最新耐震構造学

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Akinori Shibata

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