物理数学III 講義ノート
講義に関係あったりなかったりする雑多なコメント

0• 評価は期末のレポートで行う1。 レポートの選択問題の一部として、 例の通り、 講
義ノートの間違いや誤植を訂正する、 講義ノートの論理のギャップを埋める2、
しどにどばづつどち に講義と関連する記事を書く、 というのがあるので、 正式なレポート問
題が出る前から是非やってください。
• 質問は、講義後に直接聞いてくれてもいいですし、メールでも良いです。 すちとはは 知恵袋の英語版で ぐとべびどっび こぴちっに ぅへっとちのでづ〬 きちぴと こぴちっに ぅへっとちのでづ3 というのがあるので、 そこで質問するのも〨英語の勉強にもなって〩良いと思う。 そこで質問に答えるのはさらに良いので、それもレポートの選択問題にする。
• 群論と微分形式をやることになっている4。
• 群論をやるのはまあ物理でしばしば出てくるから意味があるとは思う5。群論や、それに限らず数学のいろいろな分野は、数学者が僕らの代わりに考えておいてくれた道具の集まりなので、どういう道具があるのか知っておくと、将来使い道があるかもしれない6。
• ともかく、数学的事実〨どんな道具があるか〩を中心に話して、証明〨どのように道具を組み立てるか〩はあまり強調しないつもり。 パソコンやスマホは使い方がわかっていればそのソフトやハードの作り方がわからなくてもまあとても興味深かったり役に立ったりするものであって、それと同様だと思う。 勿論、パソコンやスマホは
くこ の構造やハードの構造を分かるとより面白いわけで、 証明もきちんと追えばますます興味深いのだけれど。
• というわけで、 説明なく「事実はこうである」とこの講義録には沢山でてくるが、導出が追えなくても心配しないでください。 というか、あんまり分かってもらうことを期待していないです。将来研究や仕事で群論を使う羽目になったときに、ああ、
こんな事実があったな、と記憶の片隅にあって、そのとき勉強する少しの助けになればそれで充分なのではないかと思う。 講義ノートの内容をテストのために覚えてもらうことは全く期待してません。
1

テストというのは「決められた時間で何も見ないで何が出来るか」持ち込み可なら「決められた時間で何が出来るか」を測るというものだけれど、そんなことをやって何になるのかわからない。 科挙の時代からの慣習でやっているだけではなかろうか。
2
講義ノートのソースは https://bitbucket.org/yujitach/bs3notes/ で公開しているので、ノートの訂
正、補足は是非 pull request を出してください。 藤堂さんの計算機の講義を受けた皆さんはバージョン管理
システムは使えるはずです。(ちなみに、この色の字は pdf から web へのリンクになっている。)
3
https://physics.stackexchange.com, https://math.stackexchange.com。 この二つは一応万人むけ。
数学は研究者用の https://mathoverflow.net も別個にある。 物理も研究者用の physics overflow を作ろうとしていて、一応あるが、あまり機能していない。
4
が、群論はともかく微分形式をちょっとだけやってどうなるのか良く判らない。 一般にうちの物理学科
では、シラバスの概要が一応決まっていて内部文書があるのだが、2011年から更新しされていないし、内容がどうやって決まっているのか良く判らない。昔からの慣習で決まっているだけでは。
5
まあ僕にとっては群論はそれ自身興味深い話題だからそれでいいのだけれども。
6
特に群論は量子力学の初期に非常に有効に使われたが、不必要に数学的だ、として、嫌いな人も多かったようで、 Gruppenpest (群論病) と呼ばれた。

〰

• 一方で、いろいろ勉強したいという人は、導出の行間を埋めるのを練習問題や演習の替わりになると思いますし、もっと専門的な本を読んでください。
• 特に教科書は指定しない。 参考になる文献は図書館やインターネット上に沢山ある。 この講義録も頑張って書くつもりだが、うちの物理学科だけでも過去に上田さんや松尾さんの講義録が手に入る。
• 物理屋むけでなければ群論の講義録はネット上でもいろいろある。 きどぬのづ さんのものは完成すればとてもいいものになると思う。また、こづひひづ 大先生のものもある。後者は、英語の増補版7 が出版されていて、良い本だと思うのだけれども、なかなか手に入らない。
• たいてい物理のための群論の講義、本というと内容とその流れはほぼ同じ。 ほぼ同
じものをわざわざ講義でやったりその講義ノートを準備するのはつまらないので、わざとこの講義ノートは毛色を変えてあります。 しかし、このノートのほうが良いとか分かりやすいというわけではないと思う。 ただ、講義をする僕が興味を失わないように、なるべく、変わった方法でやりたいのです。
• 物理数学 ぉぉ でやるような特殊関数は最近は きちぴとづねちぴどっち などの数式処理ソフトが何でも知っている。群論ぐらいになってくると きちぴとづねちぴどっち 等市販のソフトの域を少々超えてくるが、数学者は偉いので自分たちでいろいろ開発している。 群論に関しては ぇぁぐ というオープンなものと きちでねち というクローズなものが著名。 僕は前者をちょっと使ったことがあるだけだけれど。 数学者は各分野の研究者がそれぞれいろいろ開発して、最近はそれらを統合して こちでづ から使える用になっている。
• 有限群の情報は ぇひはふば ぐひはばづひぴどづび しどにど にも詳しい。

7

Serre, “Finite Groups: an introduction”, International Press of Boston, 2016〱

1

群の基本的な性質

1.1

群の定義と例

定義 〱〮〱〮〱 群 〨でひはふば〩 とは、集合 G で、a, b ∈ G に対してそれらの合成 a ◦ b ∈ G が定まっており、さらに• 単 位 元 〨ふのどぴ づぬづねづのぴ〩と 呼 ば れ る e ∈ G が あ っ て 勝 手 な 元 a ∈ G に 対 しa ◦ e 〽 e ◦ a 〽 a〬
• 勝手な元 a に対して、 その逆元 〨どのぶづひびづ〩 と呼ばれる元 a◦−1 ∈ G があって、a ◦ a◦−1 〽 a◦−1 ◦ a 〽 e を満たし、• a〬 b〬 c ∈ G に対し、結合則〨ちびびはっどちぴどぶどぴべ〩 a ◦ 〨b ◦ c〩 〽 〨a ◦ b〩 ◦ c をみたす
もののこと。
G のそれぞれの元を操作だと思うと、単位元 e は「何もやらない」という操作。 a ◦ b は
通常「b をやってから a をやる」と解釈される。右にあるのを先にやって、左にあるのをあとにやることに注意。また、〨ab〩◦−1 〽 b◦−1 ◦ a◦−1 であることにも注意。
定義 〱〮〱〮〲 群 G において、常に a ◦ b 〽 b ◦ a ならば、G はアーベル群 〨ぁぢづぬどちの でひはふば〩
もしくは可換群と呼ぶ。 そうでないなら非アーベル群 〨のはの〭ぁぢづぬどちの でひはふば〩 もしくは非可換群と呼ぶ。
〨非〩可換群は英語では 〨のはの〩っはねねふぴちぴどぶづ でひはふば と訳しても良さそうだが、 実際に使われているのは見た事が無い。
例 〱〮〱〮〳 一点集合 {e} は e ◦ e 〽 e とすると自明に群の定義を満たす。
例 〱〮〱〮〴 実数 R は、たし算 〫 のもとで可換群をなす。単位元は e 〽 〰 ∈ R で、逆元は a◦−1 〺〽 −a。
例 〱〮〱〮〵 ゼロでない実数 R× は、かけ算 × のもとで可換群をなす。単位元は e 〽 〱 ∈R で、逆元 a◦−1 〺〽 〱/a〮例 〱〮〱〮〶 三次元空間 R3 の回転は、合成のもとで非可換群をなす。単位元は「回転しない」ということで、逆元は回転軸は同じだが回転角にマイナスをつけたもの。三次元の回転群を こく〨〳〩 と書く。
こ は びばづっどちぬ で、回転行列の行列式が 〱 であることを指し、 く は はひぴとはではのちぬ で、回転行
列は直交行列であることを指し、 〳 は回転が作用する空間の次元を指す。後に こく〨N 〩 を扱う。
群の合成のシンボルとして ◦ を使うのは面倒くさいので、 何も書かないことが多い〺a ◦ b のかわりに ab と書く。 このとき、 単位元も上の例にならって 〱 と書くこともある〲

が e を使うことも多い。 逆元も単に a−1 と書く。 これを群の乗法的記述 〨ねふぬぴどばぬどっちぴどぶづのはぴちぴどはの〩 という。
可換群の場合は、◦ のかわりに 〫 と書くことも多い。このとき、単位元は通常 〰 と書
き、逆元は −a と書く。これを群の加法的記述 〨ちつつどぴどぶづ のはぴちぴどはの〩 という。群の乗法的記
述は群の可換、 非可換に関わらず使われるが、 加法的記述は非可換群の場合は使われない。
以下このノートでは、断りの無い限り、乗法的記法を用いる。
定義 〱〮〱〮〷 群 G の要素数を位数 〨はひつづひ〩 とよび、 |G| であらわす。 これが有限のとき、有限群 〨「のどぴづ でひはふば〩 、そうでなければ、無限群である。 群の要素のパラメタが連続ならば連続群、そうでなければ離散群 〨つどびっひづぴづ でひはふば〩 と呼ぶ。 連続群は無限群である。
直前の定義は数学的には厳密でないが、雰囲気は伝わるだろう。 上記の三例は全て無限群で連続群である。実数のパラメタが n 個必要な連続群は n 次元だと呼ばれる。 R は〱 次元、R× も 〱 次元、こく〨〳〩 は回転軸の向きに二つパラメタが必要で、さらに回転角のパラメタ加わり、 〳 次元である。 無限次元の連続群も沢山ある。 例えば、 連続な全単射
f 〺 R → R 全体は群をなすが、パラメタは有限個ではすまない。
例 〱〮〱〮〸 整数 Z は足し算 〫 のもとで離散無限群をなす。
例 〱〮〱〮〹 集合 Zn 〽 {〰, 〱, . . . , n − 〱} は法 n での足し算、すなわち、整数だと思って足して、n で割って余りを取る操作で有限群をなす。
物理から遠い内容の数学者にとっては Zp は p 進数のなす無限集合であることが多く、それとの混乱を防ぐため、数学の本では上記 Zn は Z/n とか Z/nZ と書かれることが多い。 Zn は Cn と書かれることもある。C は っべっぬどっ の頭文字で、巡回群とも呼ばれる。
例 〱〮〱〮〱〰 n 点の集合 X 〽 {〱, 〲, . . . , n} に対して、全単射 σ 〺 X → X は合成のもとで群をなす。これを対称群 〨びべねねづぴひどっ でひはふば〩 と言い、Sn であらわす。
|Sn | 〽 n〡 である。

1.2

群の作用と軌道定義 〱〮〲〮〱 群 G が集合 X に〨左から〩作用 〨ちっぴ〩 するとは、 群の元 g に対し写像
ϕg 〺 X → X が与えられていて、g, h ∈ G に対し
ϕgh 〽 ϕg ϕh〨〱〮〲〮〱〩であること、すなわち勝手な x ∈ X に対し ϕgh 〨x〩 〽 ϕg 〨ϕh 〨x〩〩 であることをいう。
ϕ を書いていると面倒くさいので、ϕg 〨x〩 を g . x また単に gx と略記することもしばしばある。また、G が X に作用するということを G y X と書くことがある。
勝手な群 G と集合 X に対し、ϕg を恒等写像と定めると、上記の定義をみたす。これを自明な作用というが、あまり面白くない。
これまで導入した群はそもそも作用を通じて定義したことが多かった。例えば〳

例 〱〮〲〮〲 三次元の回転群 こく〨〳〩 は三次元空間 R3 に作用する。

例 〱〮〲〮〳 置換群 Sn は n 点集合 X 〽 {〱, . . . , n} に作用する。
しかし与えられた群は異なる集合にも作用出来る。例えば
例 〱〮〲〮〴 三次元の回転群 こく〨〳〩 は、三次元空間の正規直交基底全体
基底の集合 〺〽 {〨~x, ~y , ~z〩 ∈ R3 | ~x, ~y , ~z は長さ 〱 で互いに直交}〨〱〮〲〮〲〩に作用する。

例 〱〮〲〮〵 置換群 Sn は x1 , . . . , xn の多項式全体にも変数の置換として作用する。
また、G が X に作用するとき、X上の関数全体にも自然に G は作用する〺例 〱〮〲〮〶 きちば〨X, C〩 〺〽 {F 〺 X → C} を X 上の複素数値関数全体とする。G が X に作用するとする。このとき、ρg 〨F 〩 ∈ きちば〨X, C〩 を
ρg 〨F 〩〨x〩 〺〽 F 〨ϕg−1 〨x〩〩〨〱〮〲〮〳〩

で定めると、G は きちば〨X, C〩 に作用する。
略記法をつかえば 〨gF 〩〨x〩 〺〽 F 〨g −1 x〩 である。なぜ −1 がいるのだろうか。それは、作用の定義を満たしているかどうかを確認するときに必要である〺 g, h ∈ G として、
〨g〨hF 〩〩〨x〩 〽 〨hF 〩〨g −1 x〩 〽 F 〨h−1 g −1 x〩 〽 F 〨〨gh〩−1 x〩 〽 〨〨gh〩F 〩〨x〩.

〨〱〮〲〮〴〩

定義 〱〮〲〮〷 群 G が X に作用するとき、x ∈ X の軌道 〨はひぢどぴ〩 をGx 〺〽 {ϕg 〨x〩 ∈ X | g ∈ G}〨〱〮〲〮〵〩

で定める。y ∈ Gx ならば x ∈ Gy であるので、これは同値関係 x ∼ϕ y を定める。これによって類別したものが軌道の集合であり、X/ϕ G と書く。
ϕ が状況から明らかなら省略することも多い。
例 〱〮〲〮〸 例〱〮〲〮〲 において、各軌道は半径一定の球面である。
例 〱〮〲〮〹 例〱〮〲〮〴 において、基底の集合/こく〨〳〩 は二点からなる。すなわち、基底の集合に こく〨〳〩 が作用する際の軌道は左手系の基底よりなる軌道と右手系の基底よりなる軌道の二つである。
群 G は G 自身に自然に作用出来る。 左作用、右作用、共役による作用の三種類を導入する〺〴

定義 〱〮〲〮〱〰 群 G に対し、lg 〺 G → G を lg 〨h〩 〽 gh と定めると、これは G の G への作用になる。これを左作用 〨ぬづてぴ ちっぴどはの〩 という。

定義 〱〮〲〮〱〱 群 G に対し、rg 〺 G → G を rg 〨h〩 〽 hg −1 と定めると、これも G の Gへの作用になる。これを右作用 〨ぬづてぴ ちっぴどはの〩 という。
左作用のもとでは、全ての群の元はひとつの軌道に入る。右作用でも同様である。
定義 〱〮〲〮〱〲 群 G に対し、cg 〺 G → G を cg 〨h〩 〽 ghg −1 と定めると、これも G の Gへの作用になる。 これを共役による作用 〨ちっぴどはの ぢべ っはのなふでちぴどはの〩 という。 h, h0 ∈ G
が共役による作用でうつりあうとき、h と h0 を共役 〨っはのなふでちぴづ〩 という。

例 〱〮〲〮〱〳 G が可換なら共役による作用は自明であるので、h ∈ G と共役な元は自分自身のみである。

例 〱〮〲〮〱〴 こく〨〳〩 の元 h, h0 はいつ共役だろうか〿 こく〨〳〩 の元は回転軸と回転角で定められるが、h と ghg −1 は回転軸は異なりうるが回転角は同じである。これから、h とh0 は回転角が同じとき、またそのときのみ共役であることがわかる。

1.3

同型、部分群

定義 〱〮〳〮〱 群 G から群 H への全単射 ϕ 〺 G → H は、群の操作を保つとき、すなわ
ち ϕ〨gg 0 〩 〽 ϕ〨g〩ϕ〨g 0 〩 であるとき、群の同型 〨どびはねはひばとどびね〩 といい、G ' H と書く。
例 〱〮〳〮〲 Zn 〽 {〰, 〱, . . . , n − 〱} に ねはつ n には和で可換群の構造が入った。 また、 〱の n 乗根全体 {〱, e2πi/n , e2πi2/n , . . . , e2πi(n−1)/n } に積で可換群の構造が入る。 この二つの群は Zn 3 k 7→ e2πik/n という写像のもとで同型である。
僕はずぼらなので Z2 を加法的に考えてZ2 〽 {〰, 〱}と書くこともあるし乗法的に考えてZ2 〽 {〫〱, −〱} と書くこともある。
定義 〱〮〳〮〳 群 G の部分集合 H が群をなすとき、部分群 〨びふぢでひはふば〩 という。
例 〱〮〳〮〴 Zmn 〽 {〰, 〱, . . . , mn − 〱} の部分集合 {〰, m, 〲m, . . . , 〨n − 〱〩m} は Zn に同型な部分群になる〺 Zn ,→ Zmn 〮ここで記法 ,→ は ⊂ でもあるし → でもあるという雰囲気をあらわすために使った。
例 〱〮〳〮〵 対称群 Sn が {〱, . . . , n} に置換で作用しているとする。 はじめの m < n 文
字 {〱, . . . , m} ⊂ {〱, . . . , m} しか動かさない置換全体は勿論部分群をなし、Sm と同型である。だから Sm ,→ Sn 〮〵

例 〱〮〳〮〶 三次元の回転群 こく〨〳〩 において、正の整数 n を決め、回転軸をひとつ固定
し、そのまわりの 〲πk/n 回転 〨k 〽 〰, 〱, . . . , n − 〱〩 を考えると、これは Zn と同型な部分群をなす。
回転軸の選び方毎に こく〨〳〩 の部分集合としては異なるが、いつも Zn と同型な部分群が沢山あるということである。しかしこれらの部分群はある意味同じである。それをきちんと定式化しよう。
定義 〱〮〳〮〷 H を G の部分集合として、gHg −1 という集合を {ghg −1 | h ∈ H} で定める。 H が部分群ならば、 gHg −1 も同型な部分群である。 H と gHg −1 は共役な部分群と呼ばれる。
例 〱〮〳〮〸 例 〱〮〳〮〶 に戻ると、軸 A のまわりの 〲π/n 回転からなる部分群 HA ∼ Zn と軸 B のまわりの 〲π/n 回転からなる部分群 HB ∼ Zn は、軸 A を軸 B にまわす回転g ∈ こく〨〳〩 をとれば共役である〺 HB 〽 gHA g −1 〮 まとめると、こく〨〳〩 の Zn 部分群は全て共役である。
このように、 数学においては、 何か二つのものが同じか異なるかを問うたばあいに、 どの意味で同じかをいろいろ区別して考えることができる。 〨この場合では、部分集合として同じか、もしくは、共役を許して同じか。〩 僕は場の量子論をずっと研究しているけれ
ど、場の量子論はまだ数学的にきちんと定義されていないものだから、二つの場の量子論
A と場の量子論 B が「同じ」なのか「異なる」のかどうか、同じだとして、どういう意
味で同じなのか、共同研究者と意見が食い違ったり、そもそも自分自身のなかで混乱することがしばしばある。

1.4

準同型と正規部分群

定義 〱〮〴〮〱 群 G から群 H への写像 ϕ 〺 G → H は、群の操作を保つとき、すなわち
ϕ〨gg 0 〩 〽 ϕ〨g〩ϕ〨g 0 〩 であるとき、群の準同型 〨とはねはねはひばとどびね〩 という。
定義 〱〮〳〮〱 で同型を定義したが、それは全単射であるような準同型である。
定義 〱〮〲〮〱 で G が X に作用するという概念を定義したが、これは G から X 上の変換全体の群 {ϕ 〺 X → X | ϕ は全単射} への準同型と言ってもよい。
部分群に対し、 H ,→ G を単に埋め込む写像とする。 これは準同型である。 だから、前節でやった部分群の例は全部準同型の例でもある。 もうちょっと違う準同型を考えよう。
例 〱〮〴〮〲 Zmn → Zm という準同型が 〨a ねはつ mn〩 7→ 〨a ねはつ m〩 で定まる。
例 〱〮〴〮〳 対称群 Sn から Z2 〽 {〱, −〱} 〨ここでは乗法的に書くことにする〩 への準同型 びどでの 〺 Sn → Z2 がつぎのように作れる。 変数 x1 , . . . , xn を用意し、 差積QQ、 〽 i<j 〨xi − xj 〩 を考える。 σ ∈ Sn に対し、 i<j 〨xσ(i) − xσ(j) 〩 〽 ±、 である。 そこでこの右辺の符号を びどでの〨σ〩 ∈ Z2 と定める。
この二つの例では、行った先のほうが小さいので、単射ではない。 特に、行った先の単位元にうつる元が沢山ある。
〶

定義 〱〮〴〮〴 準同型 ϕ 〺 G → H に対して、
かづひ ϕ 〺〽 {g ∈ G | ϕ〨g〩 〽 e}〨〱〮〴〮〱〩を ϕ の核 〨にづひのづぬ〩 といい、G の部分群になる。
証明は ϕ〨g〩 〽 ϕ〨g 0 〩 〽 e なら ϕ〨gg 0 〩 〽 ϕ〨g〩ϕ〨g 0 〩 〽 e 、等。
準同型の核は正規である、ということを説明するために、正規部分群を定義する〺
定義 〱〮〴〮〵 群 G の部分群 H が正規部分群 〨のはひねちぬ びふぢでひはふば〩 であるとは、 勝手なg ∈ G に対し、共役な部分群 gHg −1 が H 自身である、すなわち gHg −1 〽 H であることである。群論の本では H / G と書かれる。
正規部分群は古い文献では不変部分群 〨どのぶちひどちのぴ びふぢでひはふば〩 とも呼ばれる。
事実 〱〮〴〮〶 ϕ 〺 G1 → G2 を準同型とし、H 〽 かづひ ϕ とすると、H は G1 の正規部分群である。
証明は定義をきちんと書き下せば従う。
例 〱〮〴〮〷 例 〱〮〴〮〲 の準同型 Zmn → Zm の核は例 〱〮〳〮〴 でやった Zn ,→ Zmn である。
例 〱〮〴〮〸 例 〱〮〴〮〳 の準同型 びどでの 〺 Sn → Z2 の核を交代群 〨ちぬぴづひのちぴどので でひはふば〩 といい、
An と書く。

例 〱〮〴〮〹 例 〱〮〳〮〶 でやった こく〨〳〩 の Zn 部分群は〨n 〽 〱を除いて〩正規部分群でない。
さて、H / G を正規部分群とする。g ∈ G に対し、
gH 〺〽 {gh | h ∈ H},

Hg 〺〽 {hg | h ∈ H}〨〱〮〴〮〲〩

は一致する。そこで、G/H 〽 {gH} 〽 {Hg} と定める。さて、〨gH〩〨g 0 H〩 〽 〨gg 0 〩H〨〱〮〴〮〳〩である。 〨証明〺 ghg 0 h0 〽 gg 0 〨g 0−1 hg 0 〩h0 〽 gg 0 〨h00 h0 〩 。 〩 これにより G/H は群になる。 また、G 3 g 7→ gH ∈ G/H は全射準同型になる。まとめると事実 〱〮〴〮〱〰 群 G とその正規部分群 H に対し、G/H は自然に群になり、G  G/H
なる全射準同型がある。
ここで  は全射を示す記号としてつかった。同様に
事実 〱〮〴〮〱〱 ϕ 〺 G  K を全射準同型とし、 H 〽 かづひ ϕ をその核とすると、 K 'G/H である。

〷

これらをまとめて
H ,→ G  K〨〱〮〴〮〴〩と書くことにする。 以下、 ちょっと非標準的だが、 こうかけば、 H は G の正規部分群
で、K 〽 G/H ということを意味することにする8。
同じ議論で次の事実が従う〺
事実 〱〮〴〮〱〲 ϕ 〺 G1 → G2 を準同型とすると、ぉね ϕ ' G1 / かづひ ϕ である。
また事実 〱〮〴〮〱〳 上の設定において、G, K, H が有限群のとき、|G| 〽 |H||K| である。
上の例に戻ると、例 〱〮〴〮〱〴 Zn ,→ Zmn  Zm だから、Zm 〽 Zmn /Zn である。
位数をとると確かに |Zmn | 〽 |Zm ||Zn | である。
例 〱〮〴〮〱〵 An ,→ Zmn  Z2 だから、Z2 〽 Sn /An である。
これより |An | 〽 n〡/〲 がわかる。

8

普通は H ,→ G  K、おなじことだが 0 → H → G → K → 0 が完全列である、といわないといけない。

〸

2

群に関する幾つかの話題

2.1

SO(3) の有限部分群について

さて、群 G が何か X に作用していると、G の部分群 H が沢山できる〺
定義 〲〮〱〮〱 G が X に作用するとする。X の部分集合 S を取る。
GS 〺〽 {g ∈ G | 勝手な s ∈ S に対して gs ∈ S}〨〲〮〱〮〱〩

は G の部分群になる。 これを S を集合として固定する部分群 〨びづぴぷどびづ びぴちぢどぬどぺづひ〩 と言う。
この条件は gS 〽 {gs ∈ X | s ∈ S} としたとき gS 〽 S と書いてもよい。これを こく〨〳〩 がR3 に作用している状況で使うと、有限部分群をいろいろ作ることができる。

ax

うどでふひづ 〲〮〱〺 二面体群の要素。an 〽 x2 〽 e〬 xax−1 〽 a−1。

例 〲〮〱〮〲 R3 に こく〨〳〩 が作用している状況で、xy 平面で原点を中心に正 n 角形をひとつ考える。 この正 n 角形を集合として固定する部分群を二面体群 〨つどとづつひちぬ でひはふば〩
D2n とよぶ。
二面体群 D2n は Dn と書く人もいる。 群の元は具体的には z 軸まわりの 〲πk/n 回転k 〽 〰, 〱, . . . , n − 〱 と、あとは各辺の真ん中と原点を結ぶ線まわりの 〱〸〰◦ 回転で、合計 〲n
個元がある。 〲π/n 回転をする元を a〬 ひっくり返す元を x と書くと、
xax−1 〽 a−1an 〽 x2 〽 e,〨〲〮〱〮〲〩

を満たす。図 〲〮〱 を参照のこと。
例 〲〮〱〮〳 R3 に こく〨〳〩 が作用している状況で、原点を中心とする正四面体を考える。
これを集合として固定する部分群を正四面体群 〨ぴづぴひちとづつひちぬ でひはふば〩 T とよぶ。
各頂点まわりの 〱〲〰◦ 回転、〲〴〰◦ 回転が計 〸 個、各辺の中点まわりの 〱〸〰◦ 回転が計 〳 個、
何もしないのが 〱 個で、位数は 〱〲 である。図 〲〮〲 を参照。

〹

うどでふひづ 〲〮〲〺 正四、八、二十面体。適当にかいたので汚くてすいません。

例 〲〮〱〮〴 R3 に こく〨〳〩 が作用している状況で、原点を中心とする正八面体を考える。
これを集合として固定する部分群を正八面体群 〨はっぴちとづつひちぬ でひはふば〩 O とよぶ。
原点を中心とする立方体を考えても同じことになる〨面の中心がなす正八面体も固定することになるから〩。各頂点まわりの 〹〰◦ 〬 〱〸〰◦ 〬 〲〷〰◦ 回転が合計 〹 個、各辺の中点まわりの〱〸〰◦ 回転が 〶 個、各面の中心まわりの 〱〲〰◦ 回転と 〲〴〰◦ 回転が 〸 個、単位元が 〱 個で、位数は 〲〴 である。
例 〲〮〱〮〵 R3 に こく〨〳〩 が作用している状況で、 原点を中心とする正二十面体を考える。これを集合として固定する部分群を正二十面体群 〨どっはびちとづつひちぬ でひはふば〩 I とよぶ。
原点を中心とする正十二面体を考えても同じことになる。各頂点まわりの 〷〲◦ 〬 〱〴〴◦ 〬 〲〱〶◦ 〬〲〸〸◦ 回転が合計 〲〴 個、各辺の中点まわりの 〱〸〰◦ 回転が 〱〵 個、各面の中心まわりの 〱〲〰◦
回転と 〲〴〰◦ 回転が 〲〰 個、単位元が 〱 個で、位数は 〶〰 である。
さて、例 〱〮〳〮〶 で こく〨〳〩 には Zn 部分群があることも見た。
事実 〲〮〱〮〶 こく〨〳〩 の有限部分群は、共役をのぞいて、Zn 〬 D2n 〬 T 〬 O〬 I で尽きる。
数学における分類では、このように、無限系列がいくつか 〨ここでは Zn 〬 D2n 〩 に加えて、例外的なものが有限個 〨T 〬 O〬 I〩 があらわれる、ということがしばしばおこる。偉大な数学者 ぁぴどべちと によれば9、数学者はこういう状況に巡り合ったときに、無限系列が好きな人と例外が好きなひとに大きくわかれるらしい。
事実 〲〮〱〮〷 以下の同型がある〺 T ' A4 〬 O ' S4 〬 I ' A5 〮まず位数が一致するのはすぐわかる〺 位数はそれぞれ 〱〲〬 〲〴〬 〶〰 だった。 具体的に同型を構成するには、図 〲〮〳にある展開図から正四面体、正八面体、正二十面体をつくり、それぞれの回転が面に書いた {〱, 〲, 〳, 〴} もしくは {〱, 〲, 〳, 〴, 〵} にどのように作用するかをみれ
ばよい。

2.2

SO(3)、自由群 F2、バナッハ=タルスキ

ある群 G があって、 そこに a という異なる元があったとする。 群の定義から従う最低限の関係式だけが満たされるとすると、 G はどういう群だろうか。 まず、 勝手な整数 nに対して an という元がある。 群の定義から、 an am 〽 an+m である。 群の定義からは、
9

R. Minio, “An interview with Michael Atiyah,” Mathematical Intelligencer, 6, issue 1 (1984), pp. 9–19

〱〰

3

4

4

5

1

5

2

4

3
5

1
3

2

1

3

1

3

2

4
5

1

2

2

4
4
1

2

3

1

2
4

うどでふひづ 〲〮〳〺 正多面体の展開図〱〱

3n 6〽 〰 のときの an については何も情報がない。 そこで、n 6〽 m なら an と am は全て異なることにする。このように定義すると、{an |n ∈ Z} は Zn と同型な群になる。このこと
を、一つの元 a で生成される自由群 F1 は Zn である、ということにする。
次に二つの元 a〬 b で生成される自由群 F2 を考える。 すなわち、ある群であって、そこに a と b という二つの異なる元があって、群の定義から従う最低限の関係式だけが満たされるとするのである。 すると、a−1 〬 b−1 があるはずで、ab〬 b−1 a 等々もあるはずで、
関係式〨ab〩〨b−1 a〩 〽 a2 という関係式も群の定義から従う。 ab と ba は群の定義からは必ずしも等しくない。そこで ab 6〽 ba としよう。良く考えると、次のような群になることがわかる〺
例 〲〮〲〮〱 二つのシンボル a, b で生成される自由群 〨てひづづ でひはふば〩 F2 を以下のように定義する。集合としては、
F2 〽 {e} ∪ S〨a, a〩 ∪ S〨a, b〩 ∪ S〨b, a〩 ∪ S〨b, b〩〨〲〮〲〮〱〩

ただし
n1 n2 n3S〨a, a〩 〽 {シンボル列 a· · · bnk−1 ank} | n1 , . . . , nk はゼロでない整数}, 〨〲〮〲〮〲〩| b a {zk個

n1 n2 n3S〨a, b〩 〽 {シンボル列 a· · · ank−1 bnk} | n1 , . . . , nk はゼロでない整数}, 〨〲〮〲〮〳〩| b a {zk個

n1 n2 n3S〨b, a〩 〽 {シンボル列 |b a b

k個n1 n2 n3S〨b, b〩 〽 {シンボル列 |b a b· · · bnk−1 ank} | n1 , . . . , nk はゼロでない整数}, 〨〲〮〲〮〴〩{z· · · ank−1 bnk} | n1 , . . . , nk はゼロでない整数}. 〨〲〮〲〮〵〩{zk個

群構造は群になるように頑張って入れる。
例えば aba−1 ∈ S〨a, a〩 と ab−1 a2 b ∈ S〨a, b〩に対しその積は〨aba−1 〩〨ab−1 a2 b〩 〽 〨ab〩〨b−1 a2 b〩 〽 〨a〩〨a2 b〩 〽 a3 b ∈ S〨a, b〩.

〨〲〮〲〮〶〩

これだと何だか良く判らないかもしれないが、図 〲〮〴 をみると多少わかりやすいかもしれない。 縦横にフラクタルにつながっているグラフがあって、a は右に、a−1 は左に、
b は上に、b−1 は下に動くと考える。シンボル列は右から左に読む。すると、勝手な a±1 〬b±1 の並びに対して、原点から出発した行き先が定まる。 例えば、a2 b なら、まず上にいって、そこから右に二回進む。行き先を決めると、原点からそこまでなるべく無駄の無い
行き方があって、それを指定するのが F2 の元だと思えば良い。 F2 の元の合成は、行った先からさらに a±1 〬 b±1 で動いて辿り着いた先である。
さて、こんな意味不明な群 F2 であるが、実は こく〨〳〩 の部分群として案外簡単に実現できる〺
事実 〲〮〲〮〲 zθ ∈ こく〨〳〩 を z 軸周りの θ 回転、 xψ ∈ こく〨〳〩 を x 軸周りの ψ 回転とする。 θ〬 ψ を充分に一般的にとっておけば、 zθ 〬 xψ で生成される こく〨〳〩 の部分群は
a 7→ zθ 〬 b 7→ xψ という対応のもとで上記の自由群 F2 と同型である。
証明は本題ではないが、僕の備忘のため概要を書いておく。 a 7→ zθ 〬 b 7→ xψ によってF2 → こく〨〳〩 という準同型があるから、 これが単射であることを示せばよい。 すなわち、
勝手な zθn1 xnψ2 · · · zθnk 〨ni 6〽 〰〩 等が非自明な回転であることを示せば良い。
〱〲

うどでふひづ 〲〮〴〺 F2 の 図 示。 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:F2_Cayley_
Graph.png より拝借。

まず、n 6〽 〱 なら zθn 6〽 e とするのは簡単である〺 θ/〲π を無理数にしておけばよい。あとの都合のため eiθ 自体を超越数にとっておく。さて、s 〽 eiθ 〬 t 〽 eiψ と書くと、回転行列は具体的に




s+s−1
s−s−1
〱
〰
〰
〰
2
2i
−1
−1



t−t−1 s+s−1zθ 〽 − s−sxψ 〽 〰 t+t2〨〲〮〲〮〷〩
〰 ,
2i 
2i
2i
t−t−1
t+t−1
〰
〰
〱
〰 − 2i2iと書ける。このとき、

 〱
nk  
n1 n2zθ xψ · · · zθ 〰 ,〰

 〱
nk−1  n1xψ · · · zθ〰〰

〨〲〮〲〮〸〩の第二成分および第三成分が s±1 〬 t±1 の非自明な多項式でその係数は高々 Q 〫 Qi の形であることが数学的帰納法で示せる。どうやるのがいいか一番よいかわからないが、たとえば zθ を 〲szθ、xψ を 〲txψ で置き換えておいて、多項式の係数を ねはつ 〲 で考えればよい。
すると、例えば   〱〱 
nk  
n1 n2zθ xψ · · · zθ 〰 〽 〰〨〲〮〲〮〹〩〰
〰
が成り立つとすると第二成分 〽 〰 が必要。 s は超越数に取ったからそうなる t そして ψは高々有限種類。 これを F2 の e 以外の各元に対して考えても、使えない ψ は高々加算個。というわけで ψ をそれ以外の値にとっておけば、F2 → こく〨〳〩 が単射になった。証明終わり。
さて、この F2 ,→ こく〨〳〩 は、バナッハ〽タルスキのパラドックスの重要な一ステップ
である10 〺
2
事実 〲〮〲〮〳 三次元空間の単位球面 SR=1
は、 うまく互いに重ならないように A1,...,n 〬B1,...,n に分解して〺
2
SR=1〽 A1 t · · · t An t B 1 t · · · t B n〨〲〮〲〮〱〰〩
10

ここで X t Y は X ∪ Y なんだけれども X と Y の共通部分はないという記号。

〱〳

回転行列 g1,...,n と h1,...n をうまく選んで2
SR=1〽 g1 A1 t · · · t gn An ,2
SR=1
〽 h1 B1 t · · · t hn Bn〨〲〮〲〮〱〱〩〨〲〮〲〮〱〲〩とできる。
一つの球面を 〲n つに分解して、n つのピースを回転させて組み合わせると球面が一つ、残りの n つのピースを回転させて組み合わせると球面がもう一つできるということ。
これを示そう11。まず、F2 の元の左端が a± 〬 b± のどれであるかで分割する〺
F2 〽 {e} t C〨a〩 t C〨a−1 〩 t C〨b〩 t C〨b−1 〩〨〲〮〲〮〱〳〩

ただし C〨x〩 はシンボル列の左端が x であるような元。するとあきらかにF2 〽 a−1 C〨a〩 t C〨a−1 〩 〽 b−1 C〨b〩 t C〨b−1 〩〨〲〮〲〮〱〴〩である。これだと 〨〲〮〲〮〱〳〩 で {e} がすこし邪魔なので、C 0 〨b〩 〺〽 C〨b〩 ∪ {e, b−1 , b−2 , . . .},C 0 〨b−1 〩 〺〽 C〨b−1 〩 \ {b−1 , b−2 , . . .}〨〲〮〲〮〱〵〩としておくと12、F2 〽 C〨a〩 t C〨a−1 〩 t C 0 〨b〩 t C 0 〨b−1 〩,F2 〽 a−1 C〨a〩 t C〨a−1 〩,−1F2 〽 b0〨〲〮〲〮〱〶〩

0C 〨b〩 t C 〨b〩となる。これはもうほぼ欲しい構造なので、これを S 2 にうつす。
R3 に こく〨〳〩 が作用しているので、これは S 2 にも作用する。 F2 ,→ こく〨〳〩 なので、F2も S 2 に作用する。 F2 の単位元でない元はそれぞれ S 2 の二点〨すなわち回転軸と S 2 の交点〩を固定する。 これが少々悪さをするので、F2 の単位元でない元の回転軸の S 2 との交点の F2 作用全体による像を D として、S 2 \ D を考える。
〨S 2 \ D〩/F2 の各軌道からそれぞれひとつ代表元をとってきて、M ⊂ S 2 \ D とする。
すると、F2 M 〽 S 2 \ D なので、これに 〨〲〮〲〮〱〶〩 をつかうと、
S 2 \ D 〽 C〨a〩M t C〨a−1 〩M t C 0 〨b〩M t C 0 〨b−1 〩M,
S 2 \ D 〽 a−1 〨C〨a〩M 〩 t C〨a−1 〩M,
2−1

S \D 〽b0〨〲〮〲〮〱〷〩

0〨C 〨b〩M 〩 t C 〨b〩Mである。 a〬 b は zθ 〬 xψ だったことを思い出せば、これでもう S 2 \ D は四つに分解して、二つずつ回転して組み換えれば S 2 \ D が二つつくれることがわかった。
あとは D の部分をどうするかであるが、D はたかだか可算集合だから、適当な軸周りの適当な無理数回転 w をとってくれば、n 6〽 〱 ならば wn D は D と全く重ならないよ
うにとれる。そこで、X 〽 D t wD t w2 D t · · · とすると
S 2 〽 X t 〨S 2 \ X〩〨〲〮〲〮〱〸〩

S 2 \ D 〽 wX t 〨S 2 \ X〩〨〲〮〲〮〱〹〩

だけれども、
1112

https://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf を参考にした。
ここで X \ Y は X から Y を除いた集合〱〴

である。 すなわち、 S 2 をふたつに分解して、 片方を w で回転させて貼り合わせると、
S 2 \ D にできる。
これで完成である。まず、S 2 を二つに分解して、回転させて組み換えて、S 2 \ D にする。これを四つに分解して、回転して組み換えると、S 2 \ D がふたつできる。それぞれに対して、二つに分解して、片方を回転させて組み換えると、S 2 がふたつできた。

2.3
〲〮〳〮〱

結晶群の話
準備

すこし前の節で、正多面体の対称性の群について考えた。この節では結晶の対称性の群について考えよう。 これまで回転群 こく〨〳〩 についてはしばしば触れたが、 まずは反転も含
んだ群 く〨〳〩 についても考えないといけない。
定義 〲〮〳〮〱 直交群 く〨N 〩 および回転群 こく〨N 〩を次のように定める〺く〨N 〩 〺〽 {M | M は N × N 行列、M T M 〽 〱},こく〨N 〩 〺〽 {M | M は N × N 行列、M T M 〽 〱、つづぴ M 〽 〱}.

〨〲〮〳〮〱〩〨〲〮〳〮〲〩

日本の一部では行列 M の転置 〨ぴひちのびばはびづ〩 を t M と書く流儀がある気がするが、このノートでは M T と書くことにする。
事実 〲〮〳〮〲 次の列がある〺

det

こく〨N 〩 ,→ く〨N 〩  Z2 .

〨〲〮〳〮〳〩

さて、N 〽 〳 〨および一般に N が奇数の場合〩 は く〨N 〩 の構造は簡単である。 なぜなら、N が奇数なら、−〱 ∈ く〨N 〩, −〱 6∈ こく〨N 〩〨〲〮〳〮〴〩である。そこで、N が奇数なら、勝手な く〨N 〩 の元は ±A〬 A ∈ こく〨N 〩 と書ける。 −〱 は勝手な回転と可換だから、 すると 〨−A〩〨−B〩 〽 AB 等が簡単に計算出来る。 つぎの定義を準備すると〺
定義 〲〮〳〮〳 群 G〬 H に対して集合 G × H 〽 {〨g, h〩 | g ∈ G, h ∈ H} に〨g, h〩 ◦ 〨g 0 , h0 〩 〺〽 〨gg 0 , hh0 〩〨〲〮〳〮〵〩

で群の構造をいれたものを G と H の直積 〨つどひづっぴ ばひはつふっぴ〩 という。

事実 〲〮〳〮〴 N が奇数ならば く〨N 〩 〽 こく〨N 〩 × Z2 〮N が偶数でも通用する構成は以下の通り。 ひとつ R ∈ く〨N 〩 \ こく〨N 〩 で R2 〽 〱 なるものをとって固定する、たとえば、 R 〽 つどちで〨−〱, 〱, . . . , 〱〩 とする。ここで つどちで は対角行列。すると、{〱, R} は Z2 と同型な部分群になるが、この Z2 は共役によって こく〨N 〩 に作用する〺こく〨N 〩 3 A 7→ ϕR 〨A〩 〺〽 RAR−1 ∈ こく〨N 〩.
〨〲〮〳〮〶〩
つぎの定義を準備すると〺〱〵定義 〲〮〳〮〵 群 G〬 H が与えられ、 H が G に g 7→ ϕh 〨g〩 と自己同型で作用するとする。すると集合 G × H 〽 {〨g, h〩 | g ∈ G, h ∈ H} に〨g, h〩 ◦ 〨g 0 , h0 〩 〺〽 〨gϕh 〨g 0 〩, hh0 〩〨〲〮〳〮〷〩

で群の構造をいれたものを G と H の半直積 〨びづねどつどひづっぴ ばひはつふっぴ〩といい、 G o H とかく。
G ,→ G o H  H〨〲〮〳〮〸〩である。
すると事実 〲〮〳〮〶 く〨N 〩 〽 こく〨N 〩 o Z2 〮上の N が奇数のばあいは、R として −〱 を取れるので、こく〨N 〩 への R の作用が自明になり、o でなくて × で良くなるのである。
記法で o なのか n なのかは覚えがたいが、o を手だと思って、作用しているほう H
が手を構えて、作用されているほう G を回そうとしていると思うと僕は覚えられた13。
結晶をかんがえるには、回転だけでなく並進も考えないといけない。 RN の勝手な合
同変換は
TA,b 〺 x 7→ y 〽 Ax 〫 b,
A ∈ く〨N 〩, b ∈ R2〨〲〮〳〮〹〩とあらわせる。 b 7→ TA,b 〬 TA,b 7→ A によってRN ,→ 合同変換群  く〨N 〩〨〲〮〳〮〱〰〩

が得られる。 く〨N 〩 はもちろん RN に自然に作用するが、これにより事実 〲〮〳〮〷 合同変換群 ' RN o く〨N 〩〮さて、 N 次元空間に結晶があたえられたとすると、 それを保つ合同変換のなす群が結晶群 〨っひべびぴちぬぬはでひちばとどっ でひはふば〬 びばちっづ でひはふば〩 である。 特に、結晶の単位胞の N 個の辺がv1 , v2 , . . . , vN ∈ RN だとすると、整数 n1 , . . . , nN に対して
n1 v1 〫 n2 v2 〫 · · · 〫 nN vN〨〲〮〳〮〱〱〩

による並進は結晶を保つ。 これらの単位胞にそった並進の群は ZN と同型である。また、結晶群に属する変換 TA,b の行列 A を集めてくると く〨N 〩 の有限部分群 G をなす。 こ
れは、 結晶群 ⊂ 合同変換群 → く〨N 〩 の行った先の像を集めたと言っても良い。 G は〨〲〮〳〮〱〱〩 の ZN に自然に作用する。以上の考察から次のことがわかった〺
事実 〲〮〳〮〸 勝手な N 次元の結晶群は、有限群 G が ZN に作用しているもとで、
ZN ,→ 結晶群  Gという構造を持つ。
13

H が G にカメハメ波を撃っていると僕はもともと誰だったか先輩に聞いた気がする。

〱〶〨〲〮〳〮〱〲〩うどでふひづ 〲〮〵〺 左の格子には Z4 が作用する。右の格子には Z3 と Z6 が作用する。

幾つかコメントをすると〺• 勝手な群 K で、上記の構造 ZN ,→ K  G をもつと、K は合同変換群の部分群として実現できる14。
• だから、上でやった半直積を使って、ZN o G を考えれば、結晶群の例であるが、これのみではない。
〲〮〳〮〲

二次元

く〨〲〩 の有限部分群 具体的に二次元の場合を考えよう。まず、く〨〲〩 にどのような有限部分群があるか考えないといけない。 〲π/n 回転が生成する Zn 部分群があるのは明らかである。 次に、例 〲〮〱〮〲、図 〲〮〱 でみた二面体群 D2n も く〨〲〩 の部分群である。 ただし、このとき図 〲〮〱 に描かれた元 x は x を鏡映面とする鏡映と考える。
事実 〲〮〳〮〹 く〨〲〩 の部分群は上記の Zn とD2n で尽きる。
ここで、Z2 と D2 は抽象的な群としては同型であるが、く〨〲〩 の部分群として共役ではない。 〨こく〨〳〩 の部分群としては共役である。〩
く〨〲〩 の有限部分群で格子に作用出来るもの つぎに、R2 内の格子 Z2 にこれらの群がどう作用できるか考える。まず、次の事実がある〺
事実 〲〮〳〮〱〰 く〨〲〩 の部分群 Zn で Z2 ⊂ R2 に作用出来るものは n 〽 〱, 〲, 〳, 〴, 〶 のみである。
証明の概要は、格子のなかで原点にもっとも近いベクトル v をとり、それを 〲π/n 回転させたものを v 0 とする。v − v 0 も格子の中の点であるが、n > 〶 なら |v − v 0 | < |v| であり、仮定に反する。 n 〽 〵 のときはもうすこし工夫すればよい。
実際、勝手な Z2 には Z1 と Z2 が作用する。 Z3,4,6 に関しては図 〲〮〵 を見よ。
D2n には部分群 Zn があるので、 これより、 二次元の結晶群〨壁紙群としても知られる〩を 〨〲〮〳〮〱〲〩 の形にかいたときに出てくる G は Z1,2,3,4,6 および D2,4,6,8,12 に限られる。
14

そのためには、ZN ⊂ RN として、勝手な内積をひとつ選び、G で平均すればよい。あとでやるユニタリ
トリックの一例。

〱〷

うどでふひづ 〲〮〶〺 左の D2 作用は単位胞の一辺を固定しもう一辺を反転する。右の D2 作用は単位胞の二辺を入れ替える。

うどでふひづ 〲〮〷〺 Z3 に追加して D6 にするための反転面は 〰◦ ねはつ 〶〰◦ か 〳〰◦ ねはつ 〶〰◦ の二種類ある。前者は赤と青を保つが、後者は赤と青を入れ替える。

く〨〲〩 の有限部分群で格子に作用出来るものの格子への作用 さて、Z1,2,3,4,6 に関しては、
Z2 への作用の仕方は図 〲〮〵 にかいたものしかない。
D2 および D4 の Z2 への作用は、反転がどう格子に作用するかで長方形型と菱形型の二種類がある、図 〲〮〶をみよ。両者を D2,長 と D2,菱 またD4,長 と D4,菱 で区別することにする。 D8 の場合は正方形は長方形でも有り菱形でもあるからこの二つの区別は無い。
また、 D6 には反転面のいれかたに二種類がある、図 〲〮〷 を参照。 格子の最短ベクト
ルは Z3 ⊂ D6 のもとでは赤と青の二種類に分割されるが、反転のタイプとして、赤と青を入れ換えないばあいと入れ替える場合がある。この二つを D6+ 〬 D6− と書いて区別しよう。 D12 の場合はどちらの反転面も自動的に含まれるので、種類はない。
以上から、Z2 への有限群の作用のタイプは Z1,2,3,4,6 〬 D2長 〬 D2菱 〬 D4長 〬 D4菱 〬 D8 〬 D6+ 〬D6− 〬 D12 の 〱〳 通りで尽きることが分かった。
二次元の結晶群の分類 これらのうちひとつを G として、結晶群は 〨〲〮〳〮〱〲〩 という構造であたえられるわけだった。それぞれ、例としては、半直積 Z2 o G をとることが出来る。
これで 〱〳 個の二次元の結晶群が得られた。 しかし、〨〲〮〳〮〱〲〩 という構造であって半直積
でないものもある。そういうものがいつあるか、いくつあるか、というのは群のコホモロジーという手法を使って調べられる。これはあとで射影表現をやるときに触れるが、ここでは結果だけ述べる15 と、半直積で「ない」ケースは D2,長 でひとつ、 D4,長 でふたつ、
D8 でひとつある。
具体的にこれらがどのような作用であるか見よう16。
計算の詳細は例えば P. Morandi, “The Classification of Wallpaper Patterns: From Group Cohomology
to Escher’s Tessellations”, http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/mathematicalnotes.html の Sec. 4 を見よ。彼のそのページにはいろいろ勉強になる記事がある。
16
図 2.8 は数学書房「この定理が美しい」の伊藤由佳里先生の記事「対称性の美、結晶群の分類」から拝借
15〱〸

うどでふひづ 〲〮〸〺 〱〷種の二次元結晶群〽壁紙群とその例。

〱〹

まず、G 〽 Z1,2,3,4,6 であるものは自動的に半直積で、結晶学ではそれぞれ ば〱〬 ば〲〬 ば〳〬
ば〴〬 ば〶 と呼ばれる。
次に G 〽 D2,菱 は自動的に半直積で、っね とよぶ。ね は ねどひひはひ の略。
次に、 G 〽 D2,長 で半直積であるものが ばね〬 半直積でないものが ばで である。 で は
でぬどつづ ひづ」づっぴどはの の略。単位胞が a × b の長方形だとすると、 ばね は〨x, y〩 7→ 〨x 〫 a, y〩,〨x, y〩 7→ 〨x, y 〫 b〩,〨x, y〩 7→ 〨−x, y〩〨〲〮〳〮〱〳〩〨x, y〩 7→ 〨−x, y 〫 b/〲〩〨〲〮〳〮〱〴〩

で生成され、 ばで は
〨x, y〩 7→ 〨x 〫 a, y〩,〨x, y〩 7→ 〨x, y 〫 b〩,で生成される。 このおしまいの 〨x, y〩 7→ 〨−x, y 〫 b/〲〩 は、y に b/〲 だけ滑らして 〨でぬどつづ〩x を反転 〨ひづ」づっぴどはの〩 するので でぬどつづ ひづ」づっぴどはの とよぶ。
次に G 〽 D4,菱 は自動的に半直積で、っねね とよぶ。ね がふたつなのは、鏡映面がふたつあるから。
次に G 〽 D4,長 の場合は半直積のものが ばねね、くわえて ばねで と ばでで がある。 ばねねは〨x, y〩 7→ 〨x 〫 a, y〩, 〨x, y〩 7→ 〨x, y 〫 b〩,〨〲〮〳〮〱〵〩〨x, y〩 7→ 〨−x, y〩,〨x, y〩 7→ 〨x, −y〩,で生成され、 ばねで は〨x, y〩 7→ 〨x 〫 a, y〩,〨x, y〩 7→ 〨x, y 〫 b〩,〨x, y〩 7→ 〨−x, y 〫 b/〲〩, 〨x, y〩 7→ 〨−x, −y〩,〨〲〮〳〮〱〶〩

で生成され、 ばでで は〨x, y〩 7→ 〨x 〫 a, y〩,〨x, y〩 7→ 〨x, y 〫 b〩,〨x, y〩 7→ 〨−x 〫 a/〲, y 〫 b/〲〩, 〨x, y〩 7→ 〨−x, −y〩〨〲〮〳〮〱〷〩

で生成される。
次に G 〽 D6+ と G 〽 D6− は自動的に半直積で、ば〳〱ね と ば〳ね〱 とよばれる。
次に G 〽 D8 は半直積が ば〴ね、半直積でないものが ば〴で である。単位胞は a × a の正方形で、 ば〴で は 〨x, y〩 7→ 〨−x 〫 a/〲, y 〫 a/〲〩 という でぬどつづ ひづ」づっぴどはの を含む。
おしまいに、G 〽 D12 は自動的に半直積で、ば〶ね である。
二次元の結晶群が〱〷種であるという議論は、ここでは群論をもちいたが、 R2 /結晶群のトポロジーを考察することで行う方法もある17。
〲〮〳〮〳

一般次元

さて、 以上、 二次元の結晶群を「分類した」が、 どのときに二つの結晶群を「同じ」と思って分類したかが問題である。 R2 において、 縦〱横〲の長方形を敷き詰めた模様と、縦〲横〳の長方形を敷き詰めた模様の二つの模様の保つ合同変換の部分群は同じといえば同じである〨群は同型である〩が異なるといえば異なる〨単位胞の大きさが異なる〩。 もっといした。著者曰く、ひとつわざと対称性がまちがっている例があるので、きちんと確認すること!
17
たとえば、河野俊丈「結晶群」(共立講座数学探検7) を参照。

〲〰

ろいろ微妙なニュアンスのもとでの「同じさ」があって結晶学ではいろいろ用語があるが、通常、「結晶群を分類する」という場合の「同じ」は、


G
'

群
'

,→

'

ZN
ZN

0

G0

,→ 群



〨〲〮〳〮〱〸〩という同型で、さらに、ZN の単位胞の向きを保つようなものがあるとき「同じ」という、とする18。 この意味では同じでない二つの結晶群が、単位胞の向きを保たないが 〨〲〮〳〮〱〸〩
は満たすような同型がある場合は、互いにづのちのぴどはねはひばとどっ だという19。
以下、各次元での結晶群について、ざっとみていこう。 20
一次元 では Z と Z o Z2 の二種類。
二次元 では前節で見たように結晶群は 〱〷 種類。〨ぅのちのぴどはねはひばとどっ ばちどひ はない。〩 これは
世界のいろいろな文化で大昔から具体的に模様が描かれて暗黙裏に知られていた。アルハ
ンブラのタイルに全種類あるとかないとか論争がある21。日本の伝統的な模様には前節でみたように全種類確認できる。
三次元 では結晶群は 〲〳〰 種類、そのうち づのちのぴどはねはひばとどっ ばちどひ が 〱〱 個。 〨よって、向きを無視すれば 〲〱〹 種類。〩 これは 〱〹 世紀おわりのイギリスの あちひぬはぷ、ロシアの うづつはひはぶ〬
ドイツの こっとみはの」どづび の独立な結果22。
四次元 さて、〱〹〰〰 年の世界数学者会議で えどぬぢづひぴ は有名な 〲〳 の問題を発表したが、その第〱〸番は三つにわかれていて、はじめが勝手な N 次元での結晶群は有限種類しかないか〿 というもので、ふたつめが、ちのどびはとづつひちぬ ぴどぬどので はあるか、というもので、みっつめが、三次元での最密充填はなにか、というもの。
ここで関係があるのは、 ひとつめである23。 〱〹〱〰年には あどづぢづひぢちっと が有限種類しかないことを示したが、〱〹〴〸 年に ずちびびづのとちふび はその証明をすこし考えれば実際に列挙する
アルゴリズムが書けることを示した。 〱〹〷〸 年になって、ずちびびづのとちふび は共著者と四次元の18多分これでよいと思うがちょっと自信がない。 このあたりの記述は Hiller, “Crystallography and cohomology of groups”, American Mathematical Monthly, 93 (1986) 765 を参照した。
19
enantios = 反対、morph = 形。
20
以下、Wikipedia の Space group の項目 を大いに参考にした。
21
B. Grünbaum, “What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra?”, Notices of the AMS, 53 (2006)
670 には、すり減ってもはや確認出来ないものを除くと17種類ないのではとあるが、その後ちゃんと探せばあるとかいろいろ反論があるようだ、 e.g. Blanco and Harris, “Symmetry Groups in the Alhambra”, Visual
Mathematics 13 (2011) 1
22
それぞれ 1894, 1891, 1891 に発表。 最近では arXiv があるので三年後に独立な結果を発表するというのはあり得ない。世知辛い話だ。
23
しかし三つ目はあまりに劇的なので雑学として書いておきたい。 これは所謂 ケプラー予想というもの
で、通常の立方最密充填もしくは六方最密充填がほんとうに最密であることを示せ、という問題である。 これは整数論もやる T. Hales が 1998 年にコンピュータを一部援用した長い長い証明を Annals of Math. に投稿したのだが、 結局四年後に査読者は正しいと結論できないまま出版された。 これに憤慨した Hales は、
2003 年にコンピュータによる証明の自動検証の分野に乗り込んで、十年間かけて実際に証明の検証をおこなった。その結果が arXiv:1501.02155 および Flyspeck project である。

〲〱

場合にこの計算を完遂して本として出版24。 〲〰〰〲 年の誤植訂正25 を考慮すると、結局四次元では 〴〸〹〴 種類ある、うち づのちのぴどはねはひばとどっ ばちどひ は 〱〱〱 対。
五次元 では ぐぬづびにづの〭こっとふぬぴぺ 26 が 〲〰〰〰 年に ふば ぴは づのちのぴどはねはひばと で調べて、 こはふぶどでのどづひ
27 が 〲〰〰〳 年に づのちのぴどはねはひばと を決定した。 それによると、〲〲〲〰〹〷 個の結晶群があり、そのうち 〷〹 対の づのちのぴどはねはひばとどっ ばちどひ がある。
六次元 は ふば ぴは づのちのぴどはねはひばと なら上記 ぐぬづびにづの〭こっとふぬぴぺ がやっているが後に訂正が出ている。それ以上は現時点では未知だそうである。
〲〮〳〮〴

三次元

物理で実際に重要である三次元の結晶群についてもうすこしだけ雑多な事実を記録しておく。
まず、三次元の結晶群は単に空間群 〨びばちっづ でひはふば〩 ともよぶ。さて、三次元の結晶群についてはとても重要だから、いろいろ文献があり、ネット上にもその話題だけで半年分ぐ
らいあるよい講義が沢山上がっている28。
また、 〲〳〰個という分類は、 あくまで数学的に可能な対称性の種類であって、 実際にそういう結晶があるかは別問題である。 どの空間群がどの頻度で出るかという研究もある29。ほとんど実例が知られていない空間群もいくつかあるが、現在では一応全種類知られていることになっているようだ30。
また、 上記脚注 〲〹 の論文に せ〴〲そ として引用されている 〱〹〲〲 年のソ連の論文によると、結晶群の数学の不思議な応用として、二元素化合物 じn すm が普通に結晶を組むとす
ると、許される n 〺 m に制限があるそうである。 たとえば 〲 〺 〵 は絶対に許されず、二酸
化五燐 ぐ2 く5 は安直な結晶ではない。後に、ぐ4 く10 の分子のなす結晶であるか、もしくはポリマーであることが確認された。
さて、具体的に水晶 〨ぱふちひぴぺ〩、化学式 こどく2 を考える。結晶には鏡像でうつりあう二種類があって、それぞれ づのちのぴどはねはひばとどっ ばちどひ をなす空間群 P 〳1 〲〱 と P 〳2 〲〱 に属する。このように、鏡像が異なるものを っとどひちぬ31 であるという。物理法則は〨β崩壊を導く弱い力を除いて〩鏡像のもとで対称だから、右巻き水晶と左巻き水晶のどちらかのほうがより安定で24

Brown, Bülow, Neubüser, Wondratschek, Zassenhaus, “Crystallographic groups of four-dimensional
space”, Wiley and Sons, 1978. この結果のアナウンスを聞いた日本の研究者のコメントが結晶学会誌で読めて、なかなか感慨深い。
25
Neubüser, Souvignier, Wondratshek, “Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional
Space”, Acta Crystallographica A, 58 (2002) 301.
26
Plesken, Schultz, “Counting crystallographic groups in low dimensions”, Experimental Mathematics, 9(2000) 407
27
Souvignier, “Enantiomorphism of crystallographic groups in higher dimensions with results in dimensions
up to 6”, Acta Crystallographica A, 59(2003) 210
28
神戸大の瀬戸さんによるものが http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto/?page_id=379、 Hamburg 大 の Hoffmann さ ん に よ る も の が https://crystalsymmetry.wordpress.com/ に あ り、 こ ち ら は
Youtube に動画もあがっている。
29
Urusov, Nadezhina, “Frequency distribution and selection of space groups in inorganic crystal chemistry”,
Journal of Structural Chemistry, 50 (2009)22.
30
上記 Hoffmann さんの記事 https://crystalsymmetry.wordpress.com/230-2/ がある。群ひとつあたり
一頁の形式で読みたかったので、pdf 化して僕のページにもおいてある。 それを読むと、既存の文献にある結晶構造を網羅したデータベースがあるが、そもそも文献に記載されている結晶群が間違っていることもしばしばあるようで、そういう間違いを除くと、レアな結晶群はますます結晶群になるそうだ。
31
日本では物理屋はカイラルと呼ぶが化学の文献ではキラルと書いてあることが多い。

〲〲

うどでふひづ 〲〮〹〺 壁紙群 ば〲 をもつ鏡像格子。

あるというのは考えがたい32。実際、地球上の右巻き水晶と左巻き水晶の分布を丁寧にしらべた文献がいろいろあって、統計誤差の枠内で半々らしい。
細かい水晶はいくらでも地球上にあるが、右巻き水晶と左巻き水晶の表面での化学反応は分子構造が右巻きか左巻きかによって異なる。良く知られているように生体分子は鏡像異性体のうち片方のみをつかっているが、その原因として、たまたま生命がはじまった所にあった水晶〨や他の鉱物〩の巻き方が影響したのではないか、という論文がいくらでもある33。
ぃとどひちぬ な結晶に関する注意点がある。水晶のように結晶群自体が鏡像で変化する〨すな
わち づのちのぴどはねはひばとどっ な〩場合は当然結晶は っとどひちぬ である。しかし、結晶群自体は鏡像で変化しないでも っとどひちぬ な結晶はいくらでもある。簡単な例として二次元の ば〲 を考える。図〲〮〹 に描いた鏡像の格子は双方とも ば〲 を対称性にもつ。結晶が っとどひちぬ なのは、結晶の属する結晶群が づのちのぴどはねはひばとどっ ばちどひ に属するかどうかではなく、結晶群を ZN ,→ 結晶群  Gと書いた時の G が こく〨N 〩 に入る時である。そのような結晶群は こはとのっにづ 群と呼ばれる。
この事実は結晶学屋には良く知られているが、鏡像異性体を研究する化学屋にはあまり知られていなかったらしく、それを指摘しただけの論文も出版されている34。
おしまいに、数学的な話に戻ると、〲〳〰個ある証明は〱〹世紀おわりのものは上で二次元のときにやったような群論的考察に基づくものだった。 〲〰〰〱年になって、 R3 /結晶群 のトポロジーを考察するという幾何学的な方法を用いた証明が出ている35。
〲〮〳〮〵

準結晶

どんどん本題と離れるが、ほとんど周期的だが微妙に非周期的な敷き詰めというものも存在し、準結晶とよばれる。二次元で有名なのは図 〲〮〱〰 の ぐづのひはびづ ぴどぬどので である36。これは二種類のタイルのみをつかって平面をしきつめているが、微妙に周期的でない。
Z5 対称性があるが、 これは上に事実 〲〮〳〮〱〰 で見たように結晶群では不可能である。
ぐづのひはびづ が提案したのは 〱〹〷〰 年代だが37、 準周期タイリングは中世イスラムで知られて32といっても、何十億年も地球の歴史はあるので、弱い力から来る非常に微妙なエネルギー差が影響してなにかがおきないかというのはすぐには僕にはわからない。論文もいろいろある。
33
しかし、こういうのは自発的対称性の破れだから、破れの原因をとやかくいうのはあまり有意義でない気もする。 東京ではエスカレータの右をあけておくが大阪ではエスカレータの左をあけておく。 その原因を他のものの chirality にもとめても仕方がない気がする。
34
Dryzun,Avnir “On the abundance of chiral crystals”, Chem. Comm. 48 (2012) 5874。 イギリス王立化学会報にも紹介されている https://www.chemistryworld.com/news/chiral-confusion/4980.article ところを見ると、よくある混乱なのだろう。
35
Conway, Delgado-Friedrichs, Huson, Thurston, “On Three-Dimensional Space Groups”, Beiträge zur
Algebra und Geometrie, 42 (2001) 475.
36
TeX.SE から拝借した: https://tex.stackexchange.com/questions/61437/penrose-tiling-in-tikz
37
Penrose, “Pentaplexity: A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane”, Math. Intelligencer, 2 (1979) 32.

〲〳うどでふひづ 〲〮〱〰〺 ぐづのひはびづ ぴどぬどので

うどでふひづ 〲〮〱〱〺 準結晶の実例。文献は脚注 〳〹 を見よ。

いたという話もある38。また、のちに実際に自然界に「結晶」として存在することも知られている、図 〲〮〱〱 を見よ39。
というわけで、「結晶」の数学として結晶群だけ考えていればよいわけではない。

2.4

SO(3) と SU(2) ; そのヴァリエーション〲〮〴〮〱

こく〨〳〩 と こさ〨〲〩、その〱三次元空間の回転群 こく〨〳〩 については既にいろいろなことを考えてきたが、 次に こさ〨〲〩との関係をみよう。

38

Lu and Steinhardt, “Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture”, Science
315 (2007) 1106
39
I. R. Fisher, K. O. Cheon, A. F. Panchula, P. C. Canfield, M. Chernikov, H. R. Ott, K. Dennis, “ Magnetic
and transport properties of single-grain R-Mg-Zn icosahedral quasicrystals” Phys. Rev. B 59, 308 より拝借。

〲〴

定義 〲〮〴〮〱 ユニタリ群 〨ふのどぴちひべ でひはふば〩 さ〨N 〩〬 特殊ユニタリ群 〨びばづっどちぬ ふのどぴちひべ でひはふば〩
こさ〨N 〩 を以下のように定める〺
さ〨N 〩 〺〽 {M | M は複素 N × N 行列、M † M 〽 〱},†こさ〨N 〩 〺〽 {M | M は複素 N × N 行列、M M 〽 〱、つづぴ M 〽 〱}.
特にこの節では こさ〨〲〩 について考える。勝手な こさ〨〲〩 の元は
!
z −w
〖
,
|z|2 〫 |w|2 〽 〱w z〖〨〲〮〴〮〱〩〨〲〮〴〮〲〩〨〲〮〴〮〳〩と書ける。 これは複素数ふたつ 〨z, w〩 を実数四つだとおもうと、 そこにひとつ式を課しているので、三つパラメタがある。だから R4 内の単位球面だと思える。一般に RN 内の単位球面を S N −1 と書くことにする。
事実 〲〮〴〮〲 多様体としてこさ〨〲〩 ' S 3 である。
さて、トレースレス 〨トレースがゼロ〩な 〲 × 〲 エルミート行列 h はパウリ行列
!
!
!
〰 〱
〰 −i
〱 〰
σx 〽
, σy 〽
, σz 〽
〱 〰
i 〰
〰 −〱

〨〲〮〴〮〴〩と実数 X〬 Y 〬 Z を用いてh 〽 Xσx 〫 Y σy 〫 Zσz〨〲〮〴〮〵〩

X 2 〫 Y 2 〫 Z 2 〽 − つづぴ h〨〲〮〴〮〶〩と書ける。また、である。 〨トレースレスなら自動的に − つづぴ h 〽 ぴひ h2 /〲 なので、ぴひ h2 /〲 と書いたほうが内積らしさが出るかも知れない。〩 そこで、長さの構造を含めて、
R3 ' {〲 × 〲のトレースレスなエルミート行列}と思おう。 U ∈ こさ〨〲〩 に対し

h 7→ h0 〺〽 U hU −1〨〲〮〴〮〷〩〨〲〮〴〮〸〩を考えると、明らかに h0 はトレースレス、エルミートでかつ つづぴ h 〽 つづぴ h0 であるから、
h 7→ h0 は三次元の等長変換である。これより、
こさ〨〲〩 → く〨〳〩〨〲〮〴〮〹〩という準同型が出来た。 良く考えると、 像は こく〨〳〩 に含まれることがわかる。 核は{±〱} ⊂ こさ〨〲〩 である。 −〱が核に入ることは X 7→ Y 〺〽 〨−〱〩X〨−〱〩 〽 X からすぐわかる。これ以外に無いことも考えればわかる。これより、次のことがわかった〺
事実 〲〮〴〮〳 Z2 ,→ こさ〨〲〩  こく〨〳〩 となっている。特に、こく〨〳〩 ' こさ〨〲〩/Z2。
これより、

〲〵

事実 〲〮〴〮〴 多様体として、こく〨〳〩 ' S 3 /Z2。ただし、Z2 は S 3 3 〨z, w〩 7→ 〨−z, −w〩 ∈S 3 と作用する。
S 3 内のループはすべてほどける。 一方で、 S 3 /Z2 のループには、 一回まいているとほどけないが、 二回まくとほどけるようなものがある。 これを、 π1 〨S 3 〩 は自明だが、
π1 〨S 3 /Z2 〩 〽 Z2 だ、と書く。
具体的には、
!
eiθ/2
〰
Uθ 〽
〨〲〮〴〮〱〰〩〰
e−iθ/2を考える。これに対して Uθ 〨Xσx 〫 Y σy 〫 Zσz 〩Uθ−1 を具体的に計算すると、これは z 軸まわりの θ 回転に対応する。よって、θ を連続的に 〰 から大きくすると、 θ 〽 〲π で こく〨〳〩の中では単位元になるが、その段階では こさ〨〲〩 の中では U2π 〽 −〱 であって、まだ単位元でない。 この θ を 〰 から 〲π まで変えることに相当するループを こく〨〳〩 〽 S 3 /Z2 で考えるとほどけない。これは講義のときに変な踊りをして実演する予定40。
こく〨〳〩 は回転だから、三次元空間 R3 の中の単位球面 S 2 に自然に作用する。すると、
こさ〨〲〩 も、 こさ〨〲〩  こく〨〳〩 で こく〨〳〩 にいってから S 2 に作用する。 これを直接 こさ〨〲〩 の言葉で書こう。そのためには多少準備が必要である。
〲〮〴〮〲

複素射影平面 CP1

唐突だが、次を考える〺
定義 〲〮〴〮〵 複素一次元射影空間を
CP1 〺〽 {せu 〺 vそ | 〨u, v〩 ∈ C2 \ 〰}〨〲〮〴〮〱〱〩

で定める。
ここで、 せu 〺 vそ は u と v の比ということで、式でかけば c 6〽 〰 に対して〨u, v〩 ∼ 〨cu, cv〩という同値関係を入れるということ。
さて、v 6〽 〰 ならば、〨u, v〩 ∼ 〨u/v, 〱〩 だから、 w 〺〽 u/v という複素数は CP1 の点を定める。 v 〽 〰 のときは、勝手な u〬 u0 に対して 〨u, 〰〩 ∼ 〨u0 , 〰〩 である。これをw 〽 u/〰 〽 ∞と書くことにすると、
事実 〲〮〴〮〶 CP1 ' C t {∞}と思ってよい。
さて、実は CP1 は R3 の単位球面 S 2 と自然に同一視できる。まず、〨u, v〩 ∈ C2 \ 〰 に対し、 〨u, v〩 ' 〨cu, cv〩 なのだから、 c としてまずは実数をとって、長さを 〱、すなわち|u|2 〫 |v|2 〽 〱〨〲〮〴〮〱〲〩

としてもよい。 〨二状態量子系があるとして、確率を規格化したと思えばよい。〩
そのような長さ 〱 の 〨u, v〩 と 〨u0 , v 0 〩 が ' だとすると、 |c|2 〽 〱 である。 すなわち、
絶対値 〱 の位相がかかったものはまだ同一視しないといけない。 〨これも二状態量子系で知っていること。〩
剣玉では「飛竜のぼりけん」という大層な名前がついている。 例えば http://www.k5.dion.ne.jp/~hampen/k-waza/hiryuunoboriken.html 参照。
40

〲〶

Z

Y
w = x+iyX

うどでふひづ 〲〮〱〲〺 球面の平面への投影。

このため、X 〽 〨〖u, v〖〩σx!
u,v

Y 〽 〨〖u, v〖〩σy!
u,v

Z 〽 〨〖u, v〖〩σz!
uv〨〲〮〴〮〱〳〩

を考えると、 これは位相倍だけ異なる 〨u, v〩 と 〨u0 , v 0 〩 に対して同じ 〨X, Y, Z〩 ∈ R3 を与える。 〨二状態量子系としては、 σx,y,z の期待値を取っている。 〩 |u|2 〫 |v|2 〽 〱 から
X 2 〫 Y 2 〫 Z 2 〽 〱 が従う。これによって、具体的に CP1 ' S 2 なる写像が作れた。 〨二状態量子系としては、この構成は あぬはっと 球として知られる。〩
事実 〲〮〴〮〶 では、 CP1 の点を複素数〨もしくは無限大〩 w ∈ C t {∞} でラベル付けしたが、 これで具体的に 〨〲〮〴〮〱〳〩 を考えると、 まず せw 〺 〱そ を長さ 〱 にすると 〨u, v〩 〽
p〨w, 〱〩/ |w|2 〫 〱 と取るので
事実 〲〮〴〮〷 CP1 からS 2 への写像がCP1 3 w 7→ 〨X, Y, Z〩 〺〽 〨w〫w
〖 iw − iw〖 |w|2 − 〱,,〩 ∈ R3|w|2 〫 〱 |w|2 〫 〱 |w|2 〫 〱〨〲〮〴〮〱〴〩

で与えられる。
この写像は、w 〽 x 〫 iy から 〨X, Y, Z〩 への写像だとおもうと、ちょうど球面の北極からの赤道を通る平面への投影〨の逆〩になっていることが具体的に計算すればわかる、図 〲〮〱〲
をみよ。
〲〮〴〮〳

こく〨〳〩 と こさ〨〲〩、その〲さて、 以上準備したことをつかって、 こさ〨〲〩  こく〨〳〩 が S 2 にどう作用するかを直接こさ〨〲〩 の立場でみよう。
まず、こさ〨〲〩 は自然に CP1 に作用する〺
!
!
!
u
u0
u
7→
〽U
〨〲〮〴〮〱〵〩
v
v0
v

〲〷

に対して、
CP1 3 せu 〺 vそ 7→ せu0 〺 v 0 そ ∈ CP1とする。 〨これが矛盾無く定義できるのは単に U が線形写像だということ。〩
具体的に w ∈ CP1 でかけば、!
aw 〫 ba b
Uw 〽
但し U 〽
.
cw 〫 dc d〨〲〮〴〮〱〶〩〨〲〮〴〮〱〷〩

これを、一次分数変換 〨てひちっぴどはのちぬ ぬどのづちひ ぴひちのびてはひねちぴどはの〩 という。
さ て、 CP1 ' S 2 だ っ た か ら、 こさ〨〲〩 は 自 然 に S 2 に も 作 用 す る。 あ と は こ れ がこさ〨〲〩  こく〨〳〩 で こく〨〳〩 に行った後に S 2 に三次元の回転として作用するのと同じである
ことを確認すればよい。そのために、〨〲〮〴〮〱〳〩 でやった 〨u, v〩 7→ 〨X, Y, Z〩 が、
!
!
u
〱 〰
h 〺〽 Xσx 〫 Y σy 〫 Zσz 〽
〨〖u, v〖〩 −〨〲〮〴〮〱〸〩v〰 〱と も 書 け る こ と に 注 意 す る。 そ も そ も、 U ∈ こさ〨〲〩 に 対 し そ の こく〨〳〩 の 像 は h 〽
Xσx 〫 Y σy 〫 Zσz に対し h0 〺〽 U hU −1 で定義されていた。 一方で、 右辺をみれば、〨〲〮〴〮〱〸〩 への U hU −1 の作用はまさに 〨〲〮〴〮〱〵〩 から従う。これが確認したいことだった。
〲〮〴〮〴

こく〨〳, 〱〩 と こが〨〲, C〩

前節とほぼ同じ議論で、ローレンツ群 こく〨〳, 〱〩 と こが〨〲, C〩 を関係付けられる。 まずそも
そもこれらの群を定義しよう〺
定義 〲〮〴〮〸 Rm+n に「長さの二乗」を|~x|2 〺〽 x21 〫 x22 〫 · · · 〫 x2m − x2m+1 − x2m+2 − · · · − x2m+n〨〲〮〴〮〱〹〩と定めたものを Rm,n と書き、次のように定義する〺
く〨m, n〩 〺〽 {Rm,n 上の線形変換で、長さを保つもの},こく〨m, n〩 〺〽 {Rm,n上の線形変換で、長さを保ち、行列式が 〱 のもの}.

〨〲〮〴〮〲〰〩〨〲〮〴〮〲〱〩m 〽 〳, n 〽 〱 と取ると保つ長さの二乗は x2 〫 y 2 〫 z 2 − t2 であるから、普通のローレンツ群である。 〨このノートでは、面倒くさいので光速は無次元の 〱 とする。〩
次に定義 〲〮〴〮〹 値を X にとる一般線形〨でづのづひちぬ ぬどのづちひ〩群 ぇが〨N, X〩 と特殊線形〨びばづっどちぬ
ぬどのづちひ〩群 こが〨N, X〩 を次のように定める〺
ぇが〨N, X〩 〺〽 {M | M は要素が X の N × N 行列、つづぴ M 6〽 〰},こが〨N, X〩 〺〽 {M | M は要素が X の N × N 行列、つづぴ M 〽 〱}.

〨〲〮〴〮〲〲〩〨〲〮〴〮〲〳〩

ここで X 〽 Z〬 Q〬 R〬 C などとする。一般に可換環ならよい。
さて、〲 × 〲 の勝手なエルミート行列はh 〽 T 〫 Xσx 〫 Y σz 〫 Zσz〲〸〨〲〮〴〮〲〴〩

と書ける。〨上の 〨〲〮〴〮〵〩 と異なって、トレースレスを要求しない。〩 このとき、− つづぴ h 〽 X 2 〫 Y 2 〫 Z 2 − T 2〨〲〮〴〮〲〵〩{〲 × 〲 のエルミート行列} ' R3,1〨〲〮〴〮〲〶〩となるので、と思える。さて、M ∈ こが〨〲, C〩 に対し
h 7→ h0 〺〽 M hM −1〨〲〮〴〮〲〷〩

を考えると、これは当然 つづぴ h 〽 つづぴ h0 を満たす。これからこが〨〲, C〩 → く〨〳, 〱〩〨〲〮〴〮〲〸〩

なる準同型が出来た。 像は、 良く考えると こく〨〳, 〱〩 に入っていて、 さらに良く考えるとこく〨〳, 〱〩+ であることがわかる。ここで、こく〨〳, 〱〩 の元は時間をひっくり返さないもの 〨典
型的な元は 〫〱〩 と時間をひっくり返すもの 〨典型的な元は −〱〩 にわかれて、両者は連続的につながっていないので、時間をひっくり返さないもの全体のなす部分群を こく〨〳, 〱〩+と書いた。また、M 〽 ±〱 は当然 こく〨〳, 〱〩+ の単位元にうつり、核はこれのみであることもわかる。結局、次のことが分かった〺事実 〲〮〴〮〱〰 次の列がある〺
Z2 ,→ こが〨〲, C〩  こく〨〳, 〱〩+ .

〨〲〮〴〮〲〹〩

さて、 こが〨〲, C〩 も自然に CP1 に作用する、 実際 〨〲〮〴〮〱〵〩〬 〨〲〮〴〮〱〶〩〬 〨〲〮〴〮〱〷〩 は U ∈こが〨〲, C〩 であってもまったく問題ない。 また、 〨u, v〩 ' 〨−u, −v〩 だから、 −〱 ∈ こが〨〲, C〩
は CP1 に自明に作用する。これより、こく〨〳, 〱〩+ も自然に CP1 ' S 2 に作用するはずである。ローレンツ群が球面に作用するというのはどういうことだろうか〿 この作用は、ローレンツ群の天球への作用と同定できることを以下で見よう。
R3,1 の原点に観測者がいるとする。 光が 〨x, y, z, t〩 から原点に来るとすると、 x2 〫y 2 〫 z 2 − t2 〽 〰 である。 天球上の点としては、どの方向から来たかだけが問題なので、〨x, y, z, t〩 ' a〨x, y, z, t〩 という同一視をする必要がある。 また、 〨x, y, z, t〩 〽 〨〰, 〰, 〰, 〰〩 は向きが定まらないので、除く必要がある。これを 〨〲〮〴〮〲〴〩 でエルミート行列と思うと、天球とは「h 6〽 〰 であり、つづぴ h 〽 〰 であるような 〲 × 〲 エルミート行列で、さらに実数 a に対して h ∼ ah という同値関係をいれたもの」と思える。さて、つづぴ h 〽 〰 なので、h の二つの行は比例する。さらに、エルミートなので、
!
u
h〽
〨〖
u, v〖〩〨〲〮〴〮〳〰〩
v
とかならず書ける。これより、天球とは「〨u, v〩 ∈ C2 で、〨u, v〩 6〽 〰 であるようなものに、
複素数 c に対して 〨u, v〩 ' c〨u, v〩 という同値関係をいれたもの」と思えるが、これはまさに定義 〲〮〴〮〵 の CP1 の定義そのものである。
また、 こが〨〲, C〩 の 〨〲〮〴〮〱〶〩 で定めた CP1 への作用と、 〨〲〮〴〮〲〷〩 で定めた R3,1 への作
用が、 〨〲〮〴〮〳〰〩 のもとで整合していることもすぐ確認できる。まとめると〺〲〹事実 〲〮〴〮〱〱 こく〨〳, 〱〩+ の天球 S 2 への作用は、 こが〨〲, C〩 の CP1 への一次分数変換の作用と等価である。
〲〮〴〮〵

こく〨〲, 〱〩 と こが〨〲, R〩

ほとんど同じ考察で、こく〨〲, 〱〩 と こが〨〲, R〩 の間にも関係がつく。実際、勝手な 〲 × 〲 実対
称行列 h はh 〽 T 〫 Xσx 〫 Zσz〨〲〮〴〮〳〱〩と書け、− つづぴ h 〽 X 2 〫 Z 2 − T 2〨〲〮〴〮〳〲〩である。よって、M ∈ こが〨〲, R〩 に対して
h 7→ M hM −1〨〲〮〴〮〳〳〩

を考えれば こが〨〲, R〩 → く〨〲, 〱〩 という準同型がある。像と核を良く考えれば、
事実 〲〮〴〮〱〲 次の列がある〺
Z2 ,→ こが〨〲, R〩  こく〨〲, 〱〩+ .

〨〲〮〴〮〳〴〩

さて、こが〨〲, R〩 は R2 に作用するが、C2 にも作用する。だから、〨〲〮〴〮〱〵〩〬 〨〲〮〴〮〱〶〩〬 〨〲〮〴〮〱〷〩の要領で、CP1 にも作用する。 具体的に w ∈ CP1 への作用を考えると、実軸を実軸にうつす。 球面としては赤道を赤道にうつすことがわかる。 だから、 北半球を北半球にうつし、南半球を南半球にうつすこともわかる。
これは こく〨〲, 〱〩+ ⊂ こく〨〳, 〱〩+ は 〨〲〮〴〮〳〲〩 からわかるように Y 軸をさわらない R3,1 のローレンツ群の元だと思えるので、天球への作用を考えれば天球の Y > 〰 部分と天球のY < 〰 部分をそれぞれ保つということである。

2.5

一次分数変換と二次元の格子の分類

前節で出て来た一次分数変換 〨〲〮〴〮〱〷〩 を用いて二次元の格子を結晶群の立場より細かく分類することができる。この節では、平面 R2 に埋め込まれた格子{n1~v1 〫 n2 w
~ 2 | n1,2 ∈ Z,

~v1,2 ∈ R2 }〨〲〮〵〮〱〩

がいつ向きを保つ相似変換で等価か、ということを考えよう。 R2 ' C だと思えば、向きを保つ相似変換はちょうどゼロでない複素数でかけ算することに相当する。そこで、{n1 z1 〫 n2 z2 | n1,2 ∈ Z,

z1,2 ∈ C}〨〲〮〵〮〲〩z ∈ C}〨〲〮〵〮〳〩

を考える。全体を z2 で割れば、これは{nz 〫 m | n, m ∈ Z,という格子と相似である。また、z を −z ととりかえれば、ぉね z > 〰 に限って良い。そこ
で、格子の形を z ∈ H でパラメタ付けすることにする。 但し H 〺〽 {z ∈ C | ぉね z > 〰} は
上半平面 〨ふばばづひ とちぬて ばぬちのづ〩。
〳〰

z

z+1

0

1

うどでふひづ 〲〮〱〳〺 z と z 〫 〱 は同じ格子を与える。

=

1
0

−1/z

−z

0

1

うどでふひづ 〲〮〱〴〺 z と −〱/z は同じ格子を与える。

2z+3
z+2

うどでふひづ 〲〮〱〵〺 az 〫 b と cz 〫 d の二つのベクトルは ad − bc 〽 〱 ならもとの格子全体を覆う。

〳〱

問題は、z, z 0 ∈ H がいつ同じ格子を与えるかである。図 〲〮〱〳 からわかるように、z とz 〫 〱 は同じ格子を与える。これを z ∼ z 〫 〱 と書こう。図 〲〮〱〴 からは、z ∼ −〱/z もわかる。
もっと一般に、a〬 b〬 c〬 d の四つの整数をとって、az 〫 b〬 cz 〫 d で生成される格子を考えると、これは一般には 〨〲〮〵〮〳〩 の部分格子だが、単位胞のサイズはもとのものの ad − bc
倍なので、 これが 〽 ±〱 ならば同じ格子になる。 向きを保つのは 〽 〱 のときである。
〨a, b, c, d〩 〽 〨〲, 〳, 〱, 〲〩 の場合を図 〲〮〱〵 に描いた。このとき、cz 〫 d で全体をわると、z∼az 〫 bcz 〫 d〨〲〮〵〮〴〩で あ る。 こ れ は 〨〲〮〴〮〱〷〩 で や っ た 一 次 分 数 変 換 で、 a, b, c, d を 整 数 に 限 っ た も の。
こが〨〲, Z〩 ⊂ こが〨〲, R〩 で、 こが〨〲, R〩 による一次分数変換は上半平面を上半平面にうつす
ことは前節でみた。そこでは、CP1 の北半球を北半球にうつすとかいたが、同じことである。
まとめると、次のことがわかった。
事実 〲〮〵〮〱 z, z 0 ∈ H に対し、格子 {nz 〫 m}〬 {nz 0 〫 m} が相似なのは、 こが〨〲, Z〩 による一次分数変換でうつりあうとき、すなわち
!
az
〫
b
a
b
,
∈ こが〨〲, Z〩〨〲〮〵〮〵〩z0 〽
cz 〫 dc dのとき、またそのときのみである。
特に、z ∼ z 〫 〱 と z ∼ −〱/z はそれぞれ行列
!
〱 〱
, S〽
T 〽
〰 〱

〰 −〱
〱 〰

!

〨〲〮〵〮〶〩

による一次分数変換である。 ユークリッドの互除法をよく思い出すと、 勝手な こが〨〲, Z〩の元は S〬 T から生成されることが示せる。
さて、一次分数変換をうまくつかって、z ∈ H をさらに標準的な領域にうつすことができる。まず、az 〫 bぉね zぉね〨〩〽
〨〲〮〵〮〷〩
cz 〫 d|cz 〫 d|2という関係が計算をすればわかる。 |cz 〫 d| にはノンゼロの最小値があるので、z の一次分数変換の像の虚部には最大がある。それをひとつとって、 z 0 と呼ぶ。 z 00 〽 z 0 ± n をう
まくとれば、|z 00 | ≤ 〱/〲 と出来る。さて、このとき |z 00 | ≥ 〱 である。なぜなら、そうでないとすると、ぉね〨−〱/z 00 〩 > ぉね〨z 00 〩 となって矛盾するからである。 まとめると、次のことがわかった〺
事実 〲〮〵〮〲 勝手な z ∈ H は、 こが〨〲, Z〩 による一次分数変換をつかって、 |z| ≤ 〱/〲〬|z| ≥ 〱 の領域にうつすことができる。
状況は図 〲〮〱〶 に描いた。 また、 もうすこし考えると、 この領域内の二点で こが〨〲, Z〩
でうつるのは、 境界の げづ z 〽 −〱/〲 と げづ z 〽 〱/〲 が z 7→ z 〫 〱 でうつる場合〨赤と桃色を貼る〩と、 境界の |z| 〽 〱 が z 7→ −〱/z でうつる場合〨青と水色を貼る〩のみであること
〳〲

∞

−1/2

i

1/2 1

ω

うどでふひづ 〲〮〱〶〺 勝手な二次元の格子の z は緑の領域にとれる。境界を適切に貼ると、三点が尖った「球面」になる。

がわかる。図示した緑の領域を こが〨〲, Z〩 の上半平面 H への作用の基本領域 〨てふのつちねづのぴちぬ
つはねちどの〩 という。 境界の貼り合わせを上記の通り行うと、 図の右のような、 尖った「球面」だと思うことが出来る。
さて、 二次元の結晶群をやったときは、 格子の対称性を気にした。 勝手な格子は Z2対称性をもつ。 Z3 対称性をもつのは、 基本領域内では z 〽 e2πi/3 〽〺 ω と z 〽 e2πi/6 に対応する。 この二つは z 7→ z 〫 〱 でうつりかわる。 これらは Z6 対称性も持つ。 Z4 対称性を持つのは、基本領域内では z 〽 i である。 この点は z 7→ −〱/z で自分自身にうつる。
だから、 格子の対称性という観点だけみていると、 図の右の尖った球面のうち z 〽 i とz 〽 ω だけは対称性が高いが、その他の z 6〽 i, ω, ∞ は全て同一視していることになる。

2.6

古典群

これまで RN の長さを保つ変換の群 く〨N 〩、つづぴ 〽 〱 の部分群 こく〨N 〩、また CN の長さを保つ変換の群 さ〨N 〩〬 つづぴ 〽 〱 の部分群 こさ〨N 〩 が出て来た。これらに加えて、こば〨N 〩 と書
かれる古典群がある。 これを導入するために、 こさ〨〲〩 についてもういちど考え直したい
が、まずそれ以前に こく〨〲〩 と C の関係から考えることにする。
〲〮〶〮〱

二次元の回転と複素数二次元の回転群 こく〨〲〩 は、θ 回転するという操作からなる。さて、 eiθ を掛けるという操
作は複素平面の θ 回転をひきおこす。 これは良く知られていると思うが、 何故だかを反省する。
複素数 z 〽 a 〫 bi に対し、 z〖 〽 a − bi と定めて、|z|2 〽 z z〖 〽 a2 〫 b2〨〲〮〶〮〱〩である。だから、長さの構造をふくめて、C ' R2 と思える。また|z||z 0 | 〽 |zz 0 |〳〳〨〲〮〶〮〲〩

だった。これより、
さ〨〱〩 〺〽 {z ∈ C | |z| 〽 〱}〨〲〮〶〮〳〩

は群をなすことがわかる。このように定義した さ〨〱〩 は自然に C ' R2 にかけ算で作用し、z ∈ さ〨〱〩〬 w ∈ C ' R2 に対し |zw| 〽 |z||w| 〽 |w| であるのでこれは長さを保つ。これによって さ〨〱〩 ' こく〨〲〩 という同型ができた。
〲〮〶〮〲

四元数

二次元の回転は複素数のかけ算としてうまく理解できた。そうすると、高次元の回転もなにかの「数」のかけ算としてうまく理解できないか？と考える。
実二次元ベクトル 〨a, b〩 を複素数と同一視すると、複素数の足し算はベクトルの足し算である。複素数のかけ算は、実二次元ベクトル ~z 〽 〨a, b〩 と ~z0 〽 〨a0 , b0 〩 に対して、もうひとつの実二次元ベクトル~z ◦ ~z0 〽 〨aa0 − bb0 , ab0 〫 a0 b〩〨〲〮〶〮〴〩を定める操作であって、たし算に関して分配的〨~z 〫 ~z0 〩 ◦ w~ 〽 ~z ◦ w~ 〫 ~z0 ◦ w~〨〲〮〶〮〵〩であって、さらに積の長さが長さの積になる|~z ◦ ~z0 | 〽 |~z||~z0 |.

〨〲〮〶〮〶〩〨a2 〫 b2 〩〨a02 〫 b02 〩 〽 〨aa0 − bb0 〩2 〫 〨ab0 〫 a0 b〩2〨〲〮〶〮〷〩

成分で書けばこれはという等式を意味している。
さて、ハミルトンはこれが実三次元ベクトルでも出来ないかと考えた。 すなわち、実
三次元ベクトル ~z 〽 〨a, b, c〩 〬 ~z0 〽 〨a0 , b0 , c0 〩 に対しその積 ~z ◦ ~z0 が三次元ベクトルになるようにして、|~z ◦ ~z0 | 〽 |~z||~z0 |〨〲〮〶〮〸〩を満たすようにできないかと考えた。 〨三次元のベクトル積 ~z × ~z0 はこの条件を満たさない。〩 死の床についたハミルトンが昔を回想して息子にあてた手紙が残っている41 〺ぅぶづひべ ねはひのどので どの ぴとづ づちひぬべ ばちひぴ はて ぴとづ ちぢはぶづ っどぴづつ ねはのぴと〬 はの ねべ っはねどので つはぷの
ぴは ぢひづちにてちびぴ〬 べはふひ 〨ぴとづの〩 ぬどぴぴぬづ ぢひはぴとづひ〬 しどぬぬどちね ぅつぷどの〬 ちのつ べはふひびづぬて〬 ふびづつ ぴは ちびにねづ〬 ぜしづぬぬ〬 ばちばち〬 っちの べはふ ねふぬぴどばぬべ ぴひどばぬづぴび〿〢 しとづひづぴは ぉ ぷちび ちぬぷちべび はぢぬどでづつ ぴは
ひづばぬべ〬 ぷどぴと ち びちつ びとちにづ はて ぴとづ とづちつ〺 ぜぎは〬 ぉ っちの はのぬべ add ちのつ subtract ぴとづね〢〮
ハミルトンはしばらくして、 実〴次元ベクトルなら積の長さが長さの積になるような積を入れられることを発見した。これを〨ハミルトンの〩四元数 〨ぱふちぴづひのどはの〩 と言う。実四次元ベクトル ~q 〽 〨a, b, c, d〩 の替わりに、通常虚数単位を i〬 j〬 k のみっつ導入する。

41

http://books.google.co.jp/books?id=9j8MAQAAIAAJ&pg=PA46を参照。 もうちょっと文献を探すと、この会話をしたのは息子が9歳だかのときということがわかる。

〳〴

定義 〲〮〶〮〱 シンボル i〬 j〬 k と実数 a, b, c, d に対して q 〽 a 〫 bi 〫 cj 〫 dk の形のもの
を四元数 〨ぱふちぴづひのどはの〩 とよび、その全体を H と書く。但し、かけ算則はi2 〽 j 2 〽 k 2 〽 −〱,ij 〽 −ji 〽 k,jk 〽 −kj 〽 i,ki 〽 −ik 〽 j〨〲〮〶〮〹〩

で定め、また、q の共役をq〖 〽 a − bi − cj − dk〨〲〮〶〮〱〰〩と定める。
上半平面も H と書かれるので混乱するが、アルファベットは文字が少ないので仕方がない。
結合則 q〨q 0 q 00 〩 〽 〨qq 0 〩q 00 は幸い満たされているが、 qq 0 と q 0 q は必ずしも等しくない。
すくなくとも q q〖 と q〖q は同じになり、ちょうど長さの二乗になる〺q q〖 〽 q〖q 〽 a2 〫 b2 〫 c2 〫 d2 〽〺 |q|2 .

〨〲〮〶〮〱〱〩

これより、長さをこめて H ' R4 と同定できる。また、
事実 〲〮〶〮〲 |q||q 0 | 〽 |qq 0 |。
練習問題として、やってみると勉強になる。もうすこし一般に、
ab 〽 〖b〖a〨〲〮〶〮〱〲〩になる。これは a〖 のかわりに a† と書けば
〨ab〩† 〽 b† a†〨〲〮〶〮〱〳〩となってよりなじみ深いかもしれない。
現在では、長さの積が積の長さになるような積を入れられる実ベクトル空間の次元は〱〬〲〬〴〬〸 に限ることが知られている42 〺
実数
複素数
四元数
八元数
〲〮〶〮〳

R
C
H
O

a〽a
z 〽 a 〫 biz 2 > 〰 を諦める
q 〽 a 〫 bi 〫 cj 〫 dk
qq 0 〽 q 0 q を諦めるo 〽 a0 〫 a1 i1 〫 a2 i2 〫 · · · 〫 a7 i7 o〨o0 o00 〩 〽 〨oo0 〩o00 を諦める〨〲〮〶〮〱〴〩

こば〨〱〩 について

四元数をつかって定義される次の群 こば〨〱〩 について考えよう〺
こば〨〱〩 〺〽 {q ∈ H | |q| 〽 〱}.

〨〲〮〶〮〱〵〩

こば〨〱〩 は当然 H に長さを保って作用するが、 H ' C2 と思うと実は
42

エビングハウス他著、成木訳「数」(上下) シュプリンガー数学リーディングス6、丸善、2004 など参照。
また、 単純超対称ゲージ理論が存在する次元は d = 2 + 1, 2 + 2, 2 + 4, 2 + 8 であって、 超弦理論が 10 次元であるというのにも関係がある。 Kugo, Townsend “Supersymmetry and the Division Algebras” Nuclear
Physics B221 (1983) 357Evans, “Supersymmetric Yang-Mills theory and Division Algebras”, Nuclear Physics
B298 (1988) 92〳〵

事実 〲〮〶〮〳 こば〨〱〩 ' こさ〨〲〩である。
こさ〨〲〩との関係〺

これをみるには、
ど 〽 iσx ,な 〽 iσy ,に 〽 iσz〨〲〮〶〮〱〶〩

を考えると、
ど2 〽 な2 〽 に2 〽 −〱,どな 〽 −など 〽 に,なに 〽 −にな 〽 ど,にど 〽 −どに 〽 な〨〲〮〶〮〱〷〩

を満たすので、ぱ 〽 a 〫 bど 〫 cな 〫 dに 〽

!
a 〫 di −c 〫 bi〽
c 〫 bi a − di

z −w
〖
w z〖

!

〨〲〮〶〮〱〸〩のことを四元数と思ってもよい43。このとき、ぱ 〽 ぱ†〨〲〮〶〮〱〹〩

ただし右辺の † は行列としてのエルミート共役、また|ぱ|2 〽 a2 〫 b2 〫 c2 〫 d2 〽 |z|2 〫 |w|2 〽 つづぴ q.

〨〲〮〶〮〲〰〩|ぱぱ0 | 〽 |ぱ||ぱ0 |〨〲〮〶〮〲〱〩

これより、はほとんどあたりまえ、なぜなら左辺の自乗は つづぴ〨ぱぱ0 〩 で、右辺の自乗は つづぴ ぱ つづぴ ぱ0 だから。
すると、|q| 〽 〱 なる四元数は C2 の長さをたもち、つづぴ 〽 〱 だから、当然 こさ〨〲〩 の元を定める。これは全単射である。
こく〨〳〩との関係〺 こづっ〮 〲〮〴〮〱 でやった こさ〨〲〩 と こく〨〳〩 の関係も、四元数を使っていいかえられる。 q 〽 a 〫 bi 〫 cj 〫 dk のうち、q 〽 −〖q を満たす「純虚」なものはv 〽 xi 〫 yj 〫 zk〨〲〮〶〮〲〲〩の形をしていて、 ちょうど実三次元である。 長さ 〱 の四元数 q をとってくる。 すると、
変換
v 7→ v 0 〽 qv q〖〨〲〮〶〮〲〳〩
43

これを聞くと、四元数は複素数と同様あらたな「数」と思うべきなのか、それとも単に! 2 × 2 行列なの
01か？と思うかも知れない。これは複素数に対しても同じことが言えて、上記 j =は j2 = −1 を満
−1 0
!
a
b
たすから、z = a + bi のかわりに全ての計算で z = a + bj =を使ってもいいのである、すると上−b a記と同様に |z|2 = det z だし、この行列の要素は全部実数だから、複素数なんてものは無くって、単に実数の行列があるだけだと思ってもよい。 これから、量子力学の通俗解説書で、複素数ってのは実際の数じゃないのに波動関数には複素数が現れて不思議だ、とか書いてあるのはちゃんちゃらナンセンスであることがわかる。
結局のところ、実際に数なのか、行列なのか、という疑問自体がよくないので、場合に応じて適切に使いやすい形式をつかえばいいというだけである。

〳〶

はv〖0 〽 qv〖q〖 〽 q〖
v q〖 〽 −qv q〖 〽 −v 0〨〲〮〶〮〲〴〩|v 0 | 〽 |q||v||〖
q | 〽 |v|〨〲〮〶〮〲〵〩

で、かつだから、三次元の回転を与える。これより、こば〨〱〩  こく〨〳〩 がつくれた。
もうすこし具体的に、q 〽 eiθ 〽 っはび θ 〫 i びどの θ の場合に作用を考えると、qi〖
q 〽 iまた
qj q〖 〽 〨っはび θ 〫 i びどの θ〩j〨っはび θ − i びどの θ〩 〽 j っはび 〲θ 〫 k びどの 〲θ〨〲〮〶〮〲〶〩

qk q〖 〽 〨っはび θ 〫 i びどの θ〩k〨っはび θ − i びどの θ〩 〽 −j びどの 〲θ 〫 k っはび 〲θ〨〲〮〶〮〲〷〩

さらになので、 これは j〭k 平面内の 〲θ 回転である。 同様に、 ejθ は k〭i 平面の 〲θ 回転、 ekθ はi〭j 平面内の 〲θ 回転である。
一般に、s2 〫 t2 〫 u2 〽 〱 なる〳つの実数を取ると、〨si 〫 tj 〫 uk〩2 〽 −〱〨〲〮〶〮〲〸〩q 〽 e((si+tj+uk))θ 〽 っはび θ 〫 〨si 〫 tj 〫 uk〩 びどの θ〨〲〮〶〮〲〹〩

であるので、である。この q に対し、
v 7→ qv q〖〨〲〮〶〮〳〰〩

は軸 ~n 〽 〨s, t, u〩 周りの 〲θ 回転である。 勝手な長さ 〱 の四元数 q は、かならず 〨〲〮〶〮〲〹〩の形にかけるから、これで、|q| 〽 〱 なる四元数がどういう三次元の回転を与えるかが一般にわかった。
三次元の回転角は ぅふぬづひ 角で書くより長さ 〱 の四元数 q で書くほうがいろいろと便利
で、〳つ ぃぇ 等の処理ではしばしば使われる〨そうである。〩
こく〨〴〩との関係〺 H は四元数なのだから長さをこめて H ' R4 である。 すると、こく〨〴〩 との関係がついてもよさそうである。実際、v ∈ H には 〨q, q 0 〩 ∈ こば〨〱〩 × こば〨〱〩 が
v 7→ qvq 0〨〲〮〶〮〳〱〩が長さを保って作用する。 これより こば〨〱〩 × こば〨〱〩 → く〨〴〩 という準同型ができたが、像と核をきちんと考えると次のことがわかる〺
事実 〲〮〶〮〴 こく〨〴〩 〽 〨こば〨〱〩 × こば〨〱〩〩/Z2
ただし割っている Z2 は 〨−〱, −〱〩 ∈ こば〨〱〩 × こば〨〱〩 が v 7→ 〨−〱〩v〨−〱〩 〽 v と自明に作用することから来る。

〳〷

〲〮〶〮〴

最後の古典群 こば〨N 〩さて、H も「数」なので、H 成分のベクトル、行列等を考えることが出来る。ただし、一般には qq 0 6〽 q 0 q なので、すこし気をつけないといけない。 Hn を H 成分 n 次元縦ベクト
ルのなす空間とする〺
 
q1
 
 q2 
nv〽〨〲〮〶〮〳〲〩
 ..  ∈ H .
.
qn

Hn の元に対してその長さを|v|2 〽 |q1 |2 〫 · · · 〫 |qn |2〨〲〮〶〮〳〳〩で定める。
A〬 B を n × n 行列で要素が H の元であるものとして、いつものように左からのベク
トルへの作用を決めると、〨AB〩v 〽 A〨Bv〩〨〲〮〶〮〳〴〩である。これは左からの H の作用に対しては一般には線形でない
q〨Av〩 6〽 A〨qv〩〨〲〮〶〮〳〵〩

が、右からの H の作用に関しては線形である〺〨Av〩q 〽 A〨vq〩.

〨〲〮〶〮〳〶〩

兎も角、つぎのように定義する〺
定義 〲〮〶〮〵く〨n〩 〺〽 {R 値 n × n 行列で Rn の長さをたもつもの},〨〲〮〶〮〳〷〩n〨〲〮〶〮〳〸〩

n

さ〨n〩 〺〽 {C 値 n × n 行列で C の長さをたもつもの},〨〲〮〶〮〳〹〩

n〨〲〮〶〮〴〰〩

こば〨n〩 〺〽 {H 値 n × n 行列で Hn の長さをたもつもの}〨〲〮〶〮〴〱〩

こく〨n〩 〺〽 {R 値 n × n 行列で R の長さをたもち、つづぴ 〽 〱 であるもの},
こさ〨n〩 〺〽 {C 値 n × n 行列で C の長さをたもち、つづぴ 〽 〱 であるもの},

こば〨n〩 はユニタリシンプレクティック群と呼ばれるが、他の群と同様通常アルファベット
を順に読み上げエスピー群と呼ばれる。 非可換性のため、こば の場合は つづぴ がうまく定義できないので、ここば に相当するものはない。 また、前節で見た八元数 O を使って同様なものを定義しようとすると、これらは結合律が成り立たないため、行列のかけ算がそもそも結合律をみたさず、なかなかうまくいかない。
事実 〲〮〶〮〶 コンパクトな連続群は、 有限群のずれをのぞいて、 さ〨〱〩〬 こく〨n〩〬 こさ〨n〩〬
こば〨n〩 および五つの例外 E6 〬 E7 〬 E8 〬 F4 〬 G2 の直積であらわせる。
この定理の証明は重要なので、 講義の後半で行うが、 ここで、 コンパクトな群というのは、群が多様体としてコンパクトであるということ。たとえば こが〨〲, C〩 は つどちで〨z, z −1 〩 と〳〸いう元は z は無限に大きくなれるのでコンパクトでないが、 こさ〨〲〩 は |z| 〽 〱 と限られるのでコンパクトである。
また、有限群のずれをのぞいて、というのは、こく〨n〩 ,→ く〨n〩  Z2 や Z2 ,→ こさ〨〲〩 
こく〨〳〩 の形のずれは同一視するとして、ということ。
ここにも数学における分類の典型的な振舞いがみられる〺 いくつかの無限系列があって、 そうしてすこしの例外が有限個ある。 コンパクト群の無限系列は古典群 〨っぬちびびどっちぬ
でひはふば〩 とよばれ、例外は例外群 〨づへっづばぴどはのちぬ でひはふば〩 という。
また、このノートではここまで、いろいろな古典群が Z2 を除けばおなじであるケー
スをいろいろみてきたが、これらは例外的な現象である。実際、
事実 〲〮〶〮〷 コンパクト古典群 こさ〨n〩〬 こく〨n〩〬 こば〨n〩 のあいだで、有限群をのぞいて同じになるケースはこさ〨〲〩 ' こば〨〱〩,〨〲〮〶〮〴〲〩〨こさ〨〲〩 × こさ〨〲〩〩/Z2 ' こく〨〴〩,〨〲〮〶〮〴〴〩こさ〨〴〩/Z2 ' こく〨〶〩〨〲〮〶〮〴〶〩こさ〨〲〩/Z2 ' こく〨〳〩,〨〲〮〶〮〴〳〩

こば〨〲〩/Z2 ' こく〨〵〩,〨〲〮〶〮〴〵〩で尽きる。
例外群は八元数上のベクトル空間をなんとか定義してなんとかその上の長さのようなものを保つ群を作ろうとしてなんとか有限個できるもの、と思えなくもない。 44 例えば、
G2 は八元数上の R 線形変換で八元数のかけ算を保つもの全体であり、 F4 は八元数の〳 × 〳 エルミート行列全体 A に x, x0 ∈ A に対して x ◦ x0 〽 〨xx0 〫 x0 x〩/〲 と積をいれたぁぬぢづひぴ 代数というもののかけ算を保つものの全体である。
〲〮〶〮〵

おはひつちの 代数の話

ぁぬぢづひぴ 代数はまた数学における分類の典型的な振舞いをしめすのでここで僕の備忘のために書いておく45。 量子力学ではエルミート行列が観測量であるが、 エルミート行列 A〬
B に対して AB は一般にはエルミートでない。しかし A ◦ B 〺〽 〨AB 〫 BA〩/〲 はエルミートであり、また観測量である。 〨観測量 A〬 B〬 A ◦ B の間の物理的な関係はよくわからないが。〩 というわけで、おはひつちの は A ◦ B を基礎にして量子力学〨の基礎となる数学〩を展開
出来ないかと考えた。
定義 〲〮〶〮〸 おはひつちの 代数 J とは、R ベクトル空間で、次の条件をみたす積 ◦ が入っているものである〺x ◦ y 〽 y ◦ x,〨x ◦ x〩 ◦ x 〽 x ◦ 〨x ◦ x〩.
〨〲〮〶〮〴〷〩R〬 C〬 H 値 n × n 行列に上述のとおり〱
x ◦ y 〽 〨xy 〫 yz〩〲〨〲〮〶〮〴〸〩

詳細は横田「古典型単純リー群」「例外型単純リー群」現代数学社等を参照。これのあとがきを昔読んで感動した覚えがある。「例外型」のほうは英語版は arXiv:0902.0431 として公開されているが、あとがきは英訳されていない。
45
佐竹「リー環の話」日本評論社の付録の「ジョルダン環とリー環」がわかりやすい。
44〳〹で ◦ を決めれば上記の条件をみたしていることはすぐに確認出来る。
さらに、エルミートという条件を課したい。これは定義 〲〮〶〮〹 形式的に実 〨てはひねちぬぬべ ひづちぬ〩 な おはひつちの 代数とは、
x21 〫 x22 〫 · · · 〫 x2n 〽 〰

〨〲〮〶〮〴〹〩

x1 〽 x2 〽 · · · 〽 xn 〽 〰

〨〲〮〶〮〵〰〩

ならなるものである。
ということに おはひつちの は決めた。 R〬 C〬 H 値エルミート n × n 行列に上記の ◦ をいれたものを Hn 〨R〩〬 Hn 〨C〩〬 Hn 〨H〩 とかくと、それぞれ てはひねちぬぬべ ひづちぬ である。
さて、おはひつちの〬 ぶはの ぎづふねちのの〬 しどでのづひ は有限次元で形式的に実な おはひつちの 代数を分類し46
た 〺
事実 〲〮〶〮〱〰 形式的に実な有限次元の おはひつちの 代数は以下のどれかの直和である〺• Xn,1 〺〽 Rn × R に 〨x, t〩 ◦ 〨x0 , t0 〩 〽 〨tx0 〫 t0 x, x · x0 〫 tt0 〩 と定めたもの、• 上記の Hn 〨R〩〬 Hn 〨C〩〬 Hn 〨H〩〬
• 及び Hn 〨O〩〬 n 〽 〱, 〲, 〳〮これらは以下の例外的な同型を除いて異なる〺
R>0 〽 H1 〨R〩 〽 H1 〨C〩 〽 H1 〨H〩 〽 H1 〨O〩,〨〲〮〶〮〵〱〩

H2 〨R〩 ' X2,1 ,〨〲〮〶〮〵〲〩

H2 〨H〩 ' X5,1 ,〨〲〮〶〮〵〴〩

H2 〨C〩 ' X3,1 ,〨〲〮〶〮〵〳〩

H2 〨O〩 ' X9,1 .

〨〲〮〶〮〵〵〩

八元数 O は結合的ですらないが、 n ≤ 〳 ならば n × n 行列が おはひつちの 代数になる。 しかし、n ≤ 〲 なら他の無限系列と同型なので、本当に例外的なのは A 〺〽 H3 〨O〩 のみで、その自己同型が F4 である。
上の例外的同型はつぎのようにわかる。X 〽 R, C, H, O 値 〲 × 〲 エルミート行列は
!
t〫x
z
h〽
,
t, x ∈ R, z ∈ X〨〲〮〶〮〵〶〩z〖t−xと書ける。これに対して、
つづぴ h 〽 t2 − x2 − |z|2〨〲〮〶〮〵〷〩と定める。 〨これは X 〽 H, O に対しては一般的な つづぴ の定義がないから本当に定めただけ。 〩 そこで、 〨z, x〩 ∈ X × R 〽 Rn とすればよい、 但し X 〽 R, C, H, O に対しn 〽 〲, 〳, 〵, 〹。
46

Jordan, von Neumann, Wigner, “On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism”,
Ann. Math, 35 (1934) 29。ここには形式的に実なら通常の Jordan 代数の定義の x ◦ (y ◦ x2 ) = (x ◦ y) ◦ x2 のかわりに上の (x ◦ x) ◦ x = x ◦ (x ◦ x) で良いことも書いてある。

〴〰

特に、トレースレス X 〽 R, C, H, O 値 〲 × 〲 エルミート行列は長さの構造をこめて Rnと同定できる。X 〽 C, H の場合は、U ∈ こさ〨〲〩 および U ∈ こば〨〲〩 に対して、自然に
h 7→ U hU −1〨〲〮〶〮〵〸〩という変換を考えることが出来るから、
こさ〨〲〩 → く〨〳〩,こば〨〲〩 → く〨〵〩〨〲〮〶〮〵〹〩

なる準同型ができた。核と像をきちんと考えると、
Z2 ,→こさ〨〲〩  こく〨〳〩,Z2 ,→こば〨〲〩  こく〨〵〩〨〲〮〶〮〶〰〩がわかった。 この導出は前者は こづっ〮 〲〮〴〮〱 でやったことそのもの、 後者は例外的同型〨〲〮〶〮〴〵〩 を導いたことになる。

2.7

有限群についてこれまで群の例として こく〨〳〩 とその仲間ばかりみてきたが、有限群一般についても見て
おきたい。
〲〮〷〮〱

有限可換群

まず有限で可換な群について考える。 既に Zn 〽 {〰, 〱, . . . , n − 〱} を実例としてなんども考えた。 まず Zn についてもうすこし考えよう。 ϕ 〺 Zn → Zn を自己同型とする。 もちろん恒等写像は自己同型であるが、 それ以外にもあってもよい。 たとえば、
Zn 3 x 7→ −x ∈ Zn も自己同型である。勝手な自己同型はどう与えられるか〿 いま、
ϕ〨x〩 〽 ϕ〨〱 〫 · · · 〫 〱〩 〽 ϕ〨〱〩 〫 · · · 〫 ϕ〨〱〩 〽 xϕ〨〱〩| {z }|{z}
x回〨〲〮〷〮〱〩

x回なので、 ϕ〨〱〩 さえ決めればよい。 さて、 勝手な m ∈ Zn に対して、 ϕm 〺 Zn → Zn を
x 7→ mx で定めると、これは準同型になるが、同型になるのは でっつ〨m, n〩 〽 〱 のときである。そのような m〬 m0 に対し、ϕm ◦ ϕm0 〽 ϕmm0 である。まとめると、
事実 〲〮〷〮〱 Zn の勝手な自己同型は でっつ〨m, n〩 〽 〱 なる m ねはつ n に対し
ϕm 〺 Zn → Zn
x 7→ mx〨〲〮〷〮〲〩と書け、それらの合成はまた群をなす。
一般に次のように定める〺
定義 〲〮〷〮〲 群 G に対しその自己同型 〨ちふぴはねはひばとどびね〩 全体が合成でなす群を ぁふぴ〨G〩と書くことにする。
すると、上の事実は次のように言い換えられる〺〴〱事実 〲〮〷〮〳 ぁふぴ〨Zn 〩 〽 {m ∈ Zn | でっつ〨m, n〩 〽 〱}。 ただし右辺の群構造は積で入れる。
自己同型に関して、次の用語を定める〺
定義 〲〮〷〮〴 群 G に対して、g による共役 cg 〺 h 7→ ghg −1 は自己同型を与える。 このような自己同型を内部 〨どののづひ〩 自己同型とよび、内部自己同型でない自己同型を外部〨はふぴづひ〩 自己同型と呼ぶ。
内部自己同型全体は ぁふぴ〨G〩 の正規部分群をなし、 内部自己同型群 ぉのの〨G〩 と書く。また、くふぴ〨G〩 〺〽 ぁふぴ〨G〩/ ぉのの〨G〩 を外部自己同形群と呼ぶ。
当然であるが、 可換群に対しては内部自己同型は単に恒等写像になってしまい、ぉのの〨Zn 〩 は自明な群である。特に事実 〲〮〷〮〵 Zn の自己同型はすべて外部自己同型である。
内部〯外部自己同型は非可換群のときに意味を持ってくる。
さて、一般的な有限可換群はどんなものだろうか〿 まず、Zm は m が素数でなければさらに分解出来る〺
事実 〲〮〷〮〶 m 〽 pn1 1 · · · pnk k が m の素因数分解とすると、
Zm 〽 Zpn1 × Zpn2 × · · · × Zpnk .
12〨〲〮〷〮〳〩k

これの証明は中国剰余定理を使えば良い。さらに次の事実がある〺
事実 〲〮〷〮〷 勝手な有限可換群 G は次の形に書ける〺
Zpn1 × Zpn2 × · · · × Zpnk
12〨〲〮〷〮〴〩k

ただし pi は互いに異なるとは限らない素数。
証明はいろいろな方法がある。群論の教科書を開くと証明はかならず載っているが、本によって随分異なる。
ひとつの方法の概要は以下の通り47 〺 以下、可換群なので加法的に書くとして、特に、単位元は 〰 である。一般に x ∈ G に対して
nx 〽 x 〫 x 〫 · · · 〫 x|{z}〨〲〮〷〮〵〩G 〽 {n1 x1 〫 n2 x2 〫 · · · 〫 nm xm | ni ∈ Z}〨〲〮〷〮〶〩

n回とする。さて、x1 , . . . , xm をとってきて、と書けるようにする。 〨これは G が有限だから必ず出来る。 たとえば、 非常に無駄がお
おいが、m 〽 |G| として、全部の元をとってくればよい。〩 すると、
ϕ〺

Zm

G
〨n1 , . . . , nm 〩 7→ n1 x1 〫 · · · 〫 nm xm

47〨〲〮〷〮〷〩

この証明が気に入らないのだがもっと巧いのはないのか、 というのが https://mathoverflow.net/
questions/12009/ で議論されていて、勉強になる。

〴〲

という全射準同型がある。すると
かづひ ϕ 〽 {〨n1 , . . . , nm 〩 | n1 x1 〫 n2 x2 〫 · · · 〫 nm xm 〽 〰 ∈ G}〨〲〮〷〮〸〩G 〽 Zn / かづひ ϕ〨〲〮〷〮〹〩

で、である。さて、ユークリッドの互除法をつかうと、何か v1 〬 v2 〬 〮 〮 〮 〬 vs ∈ Zm があって、かづひ ϕ 〽 {t1 v1 〫 t2 v2 〫 · · · 〫 ts vs | ti ∈ Z} ' Zs〨〲〮〷〮〱〰〩と書けることがわかる。いいかえると、

かづひ ϕ 〽 {tM ∈ Zm | t ∈ Zs } v1
 .. 
但し M 〽  .  .

〨〲〮〷〮〱〱〩

vs

あとは、線形代数でやった掃き出し法で、整数のかけ算しか許さないことを丁寧につかってやると、上記の行列が
a1 〰
〰 ··· 〰 ··· 〰 a2 〰 · · · 〰 · · ·


M 〽.
〨〲〮〷〮〱〲〩.. . .

.
.
.
.
·
·
·
〰
·
·
·


〰 〰 · · · as 〰 · · ·と書けることがわかる。これより、G 〽 Za1 × · · · × Zas と書けることがわかった。
〲〮〷〮〲

対称群と交代群

有限非可換群の典型的な例は対称群と交代群である。もういちど定義を書いておくと〺
定義 〲〮〷〮〸 X 〽 {〱, . . . , n} の置換全体のなす群を Sn と書き、 対称群 〨びべねねづぴひどっ
でひはふば〩 という。 偶置換全体のなす正規部分群を An と書き、 対称群 〨ちぬぴづひのちぴどのででひはふば〩 という。
|Sn | 〽 n〡〬 |An | 〽 n〡/〲 だった。
定義 〲〮〷〮〹 Sn の元で上記 X のうち i 6〽 j のみを入れ替えるものを 〨ij〩 と書き、 互換 〨ぴひちのびばはびどぴどはの〩 と呼ぶ。
事実 〲〮〷〮〱〰 勝手な g ∈ Sn は互換の積でかける。
勝手な置換があみだくじで実現出来るということ。証明はかんがえてみよう。
さて、 Sn は非可換であるため、 g ∈ Sn に対して定まる内部自己同型 cg 〺 Sn 3 h 7→
ghg −1 は一般には非自明な自己同型になる。たとえば、n 〽 〴 として、g が 〱 7→ 〲〬 〲 7→ 〳〬〳 7→ 〱〬 〴 7→ 〴 ならば、 cg 〨〨〱〲〩〩 〽 〨〲〳〩 である。 同様に、互換の内部自己同型による像は互換になることはすぐわかる。また、互換を互換に写す自己同型は内部自己同型である。
実は次のことが知られている〺〴〳S{1,...,6} , so f is injective and hence an isomorphism; and i is not a usual inclusion, so f is
not inner), but for the sake of simplicity we do so by way of a second description.
1

1

5

2

4

1

5

3

2

4

5

3

2

4

3

a

b

c

1

1

1

5

2

4

3

d

5

2

4

3

5

2

4

e

3

f

F IGURE 1. The six mystic pentagons, with black and white (dashed) edges

うどでふひづ 〲〮〱〷〺 五角グラフの二色による塗り分け。

1.2. Second description of the outer automorphism: labeled triangles. We now makethis!construction
more symmetric, not distinguishing the element 6 ∈ {1, . . . , 6}. Consider"
the 63 = 20 triangles on six vertices labeled {1, . . . , 6}. There are six ways of dividing thetriangles into two sets of 10 so that (i) any two disjoint triangles have opposite colors, and(ii) every
hasい
twocolor.
these
and己
the
事実 〲〮〷〮〱〱
n tetrahedron〽 〶 でな
かtriangles
ぎ り、of勝each
手な
Sn(Theのbijection
自 己 同between
型は内
部自
同型であ
mystic pentagons a, . . . , f is as follows. The triangle 6AB is colored the same as edge AB.
る〺 ぁふぴ〨S〩 〽 ぉのの〨Sn D,〽E)〶isの場合は、変な外部自己同形があり、ぉのの〨Sn 〩 ,→Thentriangle
CDE n(6〩̸〮= C,colored the oppositeof the “complementary” edge AB,
where
{A,
B}
=
{1,
.
.
.
,
5}
−
{C,
D,
E}.)
The
S
-action
on
this
set
is
the
outer
automorぁふぴ〨Sn 〩  くふぴ〨Sn 〩 〽 Z2 となっている。 6
phism of S6 . (Reason: (12) induces a nontrivial permutation (ad)(bc)(ef) of the mystic
pentagons, so the induced map S6 → S{a,...,f } ∼= S6 is injective and hence an isomorphism.
(12) does not induce a transposition on {a, . . . , f}, so the automorphism is not inner.)
この n 〽 But〶 の場合の例外は有限群論を難しくするひとつの理由らしい。
This isomorphism S{1,...,6} → S{a,...,f } is inverse to the isomorphism f of §1.1.

さて、n 〽 〶 の場合の内部でない自己同型を具体的に書こう。 これもいろいろ方法はある48。まず、五点{〱, 〲, 〳, 〴, 〵} の中の異なる二点をすべて結んだグラフを二色のサイク
1.3. Another description: labeled icosahedra.
Here is another description, whichis pleasantly S6 -symmetric. Up to rotations and reflections, there are twelve ways to
ルふたつに塗り分けることを考える。ただし、色をとりかえた二つのグラフは同じものとnumber the vertices of an icosahedron 1 through 6, such that antipodal vertices have theみなす。これは六通り{a, b, e, c, d, f } ある。図 〲〮〱〷 を参照。
same label. Each icosahedron gives ten triples in {1, . . . , 6}, corresponding to the vertices
さて、around
五点 {〱,〲, 〳, 〴,〵} に
S5 icosahedraが自然に作用するから、これがグラフの点の入れ替え
its faces.
These
twelvecome in six pairs, where
two icosahedra are“opposite” if they have no triples in common. (It is entertaining to note that if an icosaheとして作用すると、六つのグラフの入れ替えとしても作用する。すなわち、
dron is embedded in Q(φ)3 with vertices at (±1, ±φ, 0), (0, ±1, ±φ), and (±φ, 0, ±1), thenconjugation in Gal(Q(φ)/Q) sends the icosahedron to its opposite. Here φ is the golden
section.) Then S6 acts on thesesix pairs, andis the outer
S{1,2,3,4,5},→ thisS{a,b,c,d,e,f} automorphism. One may
show this via bijections to the descriptions of §1.1 and §1.2. Each pair of mystic icosahedra
corresponds to two-coloring the triangles in {1, . . . , 6}, as in §1.2. For the bijection to §1.1,という単射準同型がある。さて、S{a,b,c,d,e,f} 6は剰余類
the cyclic order of the vertices aroundvertexgives a mystic pentagon. (This provides a2{〱, 〲, 〳, 〴, 〵, 〶} 〺〽 S{a,b,c,d,e,f } /S{1,2,3,4,5}〨〲〮〷〮〱〳〩〨〲〮〷〮〱〴〩にも自然に作用する。 ただし、 〶 〽 S{1,2,3,4,5} として、i と i は 〱, 〲, 〳, 〴, 〵 については自然に同一視ができる。以下、下線はつけないものとする。これにより、
S{1,2,3,4,5} ,→ S{1,2,3,4,5,6} ' S{a,b,c,d,e,f }〨〲〮〷〮〱〵〩

で、この ,→ は単に 〶 を動かさないような自然な Sn の Sn+1 への埋め込みである。 すると、∼
ϕ 〺 S{1,2,3,4,5,6} −→ S{a,b,c,d,e,f }〨〲〮〷〮〱〶〩〨〱〲〩
7→ 〨ad〩〨bc〩〨ef 〩例 え ば Howard, Millson, Snowden, Vakil, “A description of the outer automorphism of S6 and theinvariants of six points in projective space”, J. Combinatorial Theory, 115 (2008) 1296 を参照。図 2.17 もこ
こから拝借した。 また、橋本義武「グロタンディークの双二十面体—マチウ群試論」も詳しい。 こちらにはマチウ群との関連も書いてある。
48〴〴

となった。 最後のステップとして、 {〱, 〲, 〳, 〴, 〵, 〶} から {a, b, c, d, e, f } への自然な全単射はないのだが、 〱 〽 a〬 〲 〽 b〬 〳 〽 c〬 〴 〽 d〬 〵 〽 e という同一視を無理やり行う。 すると、
上記 ϕ は自己同型だが、互換を互換にうつさない。よって、外部自己同形になる。
教訓〺 Zn の自己同型はすべて外部自己同形だが、Sn の自己同型はほぼいつも内部自己同型である。
〲〮〷〮〳

単純群上で、有限可換群の構造はよくわかることを見た。さて、有限非可換群はどうだろうか〿
まず、一般に群 G に正規部分群 H があると、H ,→ G  K 〽 G/H〨〲〮〷〮〱〷〩という列があった。有限群だと |H||K| 〽 |G| である。ある意味 G は H と K から出来ている。 ただし、H と K を定めても G は一意には定まらない。 これは先に結晶群の議論をしたときにいろいろ実例をみた。しかし、そこでもかいたように、K と H が与えられると、どのような G がありうるか、というのを調べる数学的手法がある。
すると、勝手な有限部分群を調べるには、まずは正規部分群をみつけて、上記のように分解するのがいいだろう。 さて、勝手な G に対し、{e} と G は正規部分群であるが、これらは分解の役に立たない。逆に言えば、これら以外に正規部分群を持たないような群
はそれ以上分解出来ないので、構成要素である。そこで、次のように定義する〺
定義 〲〮〷〮〱〲 群 G が G および {e} 以外に正規部分群をもたないとき、単純群 〨びどねばぬづ
でひはふば〩 と呼ぶ。
次のアナロジーをもつと良いかも知れない〺
自然数 ↔ 有限群,

約数 ↔ 正規部分群,〨〲〮〷〮〱〸〩

素数 ↔ 単純群

実際に、巡回群 Zn に対して、勝手な部分群は正規部分群で、Zm ただし m は n の約数。
よって、有限可換単純群は Zp に限ることがわかる。
さて、勝手な単純でない有限群 G に対して、正規部分群 H で {e} ( H ( G なるものがある。特に、H ( H 0 ( G なるようなさらに大きな正規部分群 H 0 が無い H を考える。
このような H を極大な正規部分群とよぶ。 そのとき、 G/H は単純群になることがわかる。
この操作を繰り返すと、勝手な有限群 G に対して、以下のように定義される組成列があることがわかる〺
定義 〲〮〷〮〱〳 有限群 G に対して、 G ⊃ H1 ) H2 ) · · · ) Hn 〽 {〰} 、 且つ Hi+1 はHi の正規部分群、Hi /Hi+1 は単純群、であるようなものを G の組成列 〨っはねばはびどぴどはの
びづひどづび〩 という。
さて、組成列に対しては次の性質がある〺〴〵事実 〲〮〷〮〱〴 有限群 G の組成列 G ⊃ H1 ) H2 ) · · · ) Hn 〽 {〰} に対して、その長さn は組成列の選び方に依らない。また、単純群の列 〨Hi /Hi+1 〩 も添え字 i の並べ替えを除いて組成列の選び方に依らない。
これを巡回群 Zn について適用すると、 素因数分解そのものである。 するとアナロジー〨〲〮〷〮〱〸〩 にひとつ追加できる〺
素因数分解の一意性 ↔ 組成列の並べ替えを除いた一意性.

〨〲〮〷〮〱〹〩

組成列の並び替えを除いた一意性の証明も、 ほぼ素因数分解の一意性の証明と同様である。重要なステップは次の定理である〺
事実 〲〮〷〮〱〵 G を有限群、 N 〬 N 0 を極大正規部分群とする。 このとき、 H 〽 N ∩ N 0とすると、H は N の正規部分群でも N 0 の正規部分群でもあり、
A 〽 G/N 〽 N 0 /H,

B 〽 G/N 0 〽 N/H〨〲〮〷〮〲〰〩

はそれぞれ単純群である。
これは次のように図示できる〺
G

A

B
N0 .

N
B

K 〽 N ∪ N0〨〲〮〷〮〲〱〩

A

あとは素因数分解の一意性と同様、上から並べ替えてゆけば良い。
そうすると、次のステップは有限単純群を分類することである。
事実〿 〲〮〷〮〱〶 有限単純群は以下で尽きる。
〱〮 可換なものは p が素数の場合の巡回群 Zp。
〲〮 n ≥ 〵 の交代群 An 。
〳〮 リー型の単純群。
〴〮 〲〶個の散在型 〨びばはひちつどっ〩 単純群。
ここで三つ目と四つ目に関してはコメントが必要である。 また、「事実」の後ろにはてながあることについても以下でコメントする。
リー型の有限単純群 まず、三つ目のリー型の単純群 〨「のどぴづ びどねばぬづ でひはふば はて がどづ ぴべばづ〩 というのは、おおよそ次のようなものである。定義 〲〮〴〮〹 で こが〨N, X〩 を一般に
こが〨N, X〩 〺〽 {M | M は要素が X の N × N 行列、つづぴ M 〽 〱}〨〲〮〷〮〲〲〩と定めた。 この定義が意味を持つには、X でかけ算と足し算が普通にできれば良かった。
これまでは X 〽 C〬 R〬 Z の場合を考えて、それぞれ無限群になる。しかし、Zp で p が素〴〶数ならば、かけ算と足し算が普通に出来て有限体になる。 〨有限体としては Fp と書かれることが多い。 〩 そこで、こが〨N, Fp 〩 という群を考えることができる。 これは有限群であり、ほとんどほぼ単純群である。 ほとんど、というのは N 〽 〲〬 p 〽 〲, 〳 を除くということで、ほぼ、というのは、中心〨〽最大可換部分群〩で割らないといけないということ。 割ったものを ぐこが〨N, Fp 〩 と書く。
ほかの有限体を使うことも出来るが、有限体は素数べき q 〽 pn ごとに一つあり、それに尽きることが知られている。 すると同様に ぐこが〨N, Fq 〩 を考えることが出来る。 〨群論の専門家はこれを LN 〨q〩 と略記する。〩
これがリー型の単純群の典型例である。 すなわち、連続群をとってきて、そのパラメ
タを、なんとか実数体 R やら複素数体 C から有限体 Fq に置き換えたものである。 事実〲〮〶〮〶 で、コンパクト連続群の分類を述べたが、コンパクト連続群に対して一様に、有限体版を考えることが出来る。このようにして、各古典コンパクト群と例外コンパクト群および Fq の選び方によって〨はじめのほうをのぞいて〩有限単純群の無限系列が得られる。
ここにおいては、コンパクト群では例外的だった E6,7,8 〬 F4 〬 G2 から有限単純群の無限系列が得られる。
それに加えて、 ディンキン図のグラフ自己同型や Fq のフロベニウス自己同型を組み合わせて、「捻った」リー型の有限単純群というものが得られる。
散在型単純群 すると、単純群というと、• 可換なもの Zp• 偶置換のなす群 An• コンパクト連続群のパラメタをうまく有限体 Fq にしたものとそれを捻ったものという無限系列があるが、それに加えて• よくわからない 〲〶 個の散在するものがあるのである。これもまた数学における分類の典型的な様相をみせる。
散在型単純群ではじめにみつかったのはマチウ 〨きちぴとどづふ〩 群とよばれるもので、M11 〬M12 〬 M22 〬 M23 〬 M24 という五つの群。 これは きちぴとどづふ が〱〹世紀にみつけた。 つぎにみつかったのはヤンコ 〨おちのには〩 群 J1 で 〱〹〶〵 にみつかった。 その後は陸続とみつかり、散在群の中で一番大きいものはモンスター群 M であり、位数は|M| 〽 〲46 · 〳20 · 〵9 · 〷6 · 〱〱2 · 〱〳3 · 〱〷 · 〱〹 · 〲〳 · 〲〹 · 〳〱 · 〴〱 · 〴〷 · 〵〹 · 〷〱 ' 〸 × 〱〰53〨〲〮〷〮〲〳〩

である49。
事実〿 なぜ事実 〲〮〷〮〱〶 のあとにはてなをつけたかについてコメントする。
有限単純群の分類作業 〨っぬちびびど「っちぴどはの はて 「のどぴづ びどねばぬづ でひはふばび〬 ぃうこぇ としばしば略される〩 は〱〹〷〰年代に精力的に行われ、 〱〹〸〳 年には ぇはひづのびぴづどの は分類が完成したとアナウンスした。単純群の分類は有限群論の大目標であったが、これが完成してしまったということになったので、 分野に新規参入する学生が少なくなり、 分野が縮小してしまう。 しかし、 証明の一部はながらく発表されず、 ようやく 〲〰〱〱 年に残った部分が ぁびっとぢちっとづひ と49

これはバカでかい気がするが、 そんなに大きくないらしい。 https://mathoverflow.net/questions/
17617/ 参照。たとえば、トランプ 52 枚の並べ方の群は S52 だが、その位数は 52! ' 8 · 1067。

〴〷

うどでふひづ 〲〮〱〸〺 ぃはのぷちべ〬 ぃふひぴどび〬 ぎはひぴはの〬 ぐちひにづひ〬 しどぬびはの〬 ぜぁぴぬちび はて うどのどぴづ ぇひはふばび〢〬 ぃぬちひづの〭
つはの ぐひづびび 〱〹〸〵〬 〦 〲〰〰〵〮 サイズの比較のため横に新書を一冊おいてみた。豪華世界地図のサイズの本。

こねどぴと により出版された。また、分類の証明自体は合計一万五千ページを超える沢山の原著論文に分散しており、 証明の全貌を把握している数学者はごく限られていると言われる。
そのため、 分類の証明を始めから見通し良く書き直す作業が ぇはひづのびぴづどの〬 がべはのび と
こはぬはねはの によりはじめられた。 第一巻が 〱〹〹〴 に出版され、現時点では 〲〰〰〴 年に出た第六巻が最新であるが、まだ未完である。既に 〱〶〵 〫 〲〱〸 〫 〴〱〹 〫 〳〴〱 〫 〴〶〷 〫 〵〲〹 〽 〲〱〳〹ページある。 それから〱〰年以上、 続きの巻は出版されていない。 ぇはひづのびぴづどの は亡くなり、
がべはのび と こはぬはねはの ももう七十台である。 この作業は完成するのであろうか？最早時間との戦いであると思われる。有限単純群の分類は人間精神の達成した精髄の一つであると思う。このノートを読んだような若い人が発奮して、やり遂げてくれれば良いと思うのだけれど。
兎に角、有限単純群の分類は、数学の問題としても、それを取り巻く数学者の共同体の社会学の問題としても、 とても興味深い対象である。 幸い、 分類問題には日本人も沢山参加したため日本語のサーベイもいくつもあり50、 探すといろいろ出て来て、 読むと面白い。 英語の文章は勿論もっと沢山有る51。 また、このあたりの有限群の情報は ぁぴぬちび
はて うどのどぴづ ぇひはふばび というとても〨厚いのではなく〩大きな本にまとまっている。図 〲〮〱〸 を参照。
とにかく、 僕が自分で証明を追ったことがないが使っている定理は幾らでもあるので、そういう意味ではこの定理にのみ 〿 をつけるのは良く無いのではあるが、数学者のコミュニティ全体でこういう問題のある定理はそれほど多くないようであるので、コメン
トしておいた。
鈴木道夫「有限単純群の分類」数学 34 (1982) 193, 原田耕一郎「有限群論の成果と課題」数学 53 (2001)
46 など。
51
Gorenstein 本人の “Classifying the finite simple groups”, Bulletin of AMS, 14 (1986) 1 など。
50〴〸

〲〮〷〮〴

ざはべちでづひ 探査機とマチウ群折角なので散在型群についてもうすこしのみ書いてから、 この雑多な こづっ〮 〲 を終えたい。
デジタル処理ではデータを 〰, 〱 のビット列にして送るわけだが、現実世界は危険に満ちているので、書いたビットが正しく読みとれない、正しく転送されないことはしばしば起こる。 そのために、 データを冗長に表現して、 エラーに対処する。 安直には単に 〰 と書くかわりに 〰〰〰〰〰 と書いて、単に 〱 と書くかわりに 〱〱〱〱〱 と書く、とすれば、ひとつ
ふたつビットが正しくとどかなくても、読み取り側で元の意図が読みとれるだろう。しかし、あまり冗長にすると無駄が多い。場合場合に応じて、適切な方法を選ばないといけない。 これをエラー訂正符号 〨づひひはひ っはひひづっぴどので っはつづ〩 という。 ここには深い数学と実際の技術の面白い接点がある52。
一般の理論を展開するのはあまりに話が逸れるので、次のような場合を考えよう。 まず、あらわしたいデータを n ビット毎の塊にまず分ける。そして、各 n ビットを m〨> n〩ビットの列に冗長に表現する。 この際、 F2 〽 {〰, 〱} で足し算とかけ算が自在にできることをつかって、→F2 m
F2 n〨〲〮〷〮〲〴〩b 〺〽 〨b1 , b2 , · · · , bn 〩 7→ e 〺〽 〨e1 , · · · , em 〩が F2 上の線形写像e 〽 bX,

X は 〰, 〱 値 m × n 行列〨〲〮〷〮〲〵〩と書ける場合を考える。こういうのを線形符号という。 X の像をコードワードという。
さて、転送中に何ビットか間違ってしまうかもしれない。そこで、勝手な X の像の異なる元 e 〽 bX〬 e0 〽 b0 X がビット列としてなるべく異なっていて欲しい。二つのビット列e〬 e0 が何ビット異なるかを e と e0 のハミング 〨えちねねどので〩 距離という。というわけで、Xの像の異なる二つの元のハミング距離の最小をなるべく大きくしたいわけである。
さて、 ここで き〮 ぇはぬちべ が 〱〹〴〹 に導入した ぇはぬちべ っはつづ をとりあげよう53。 微妙にことなるバージョンがいくつかあるが、ここでは づへぴづのつづつ ぢどのちひべ ぇはぬちべ っはつづ というものをつかう。これは n 〽 〱〲 ビットを m 〽 〲〴 ビットに埋め込むもので、X 〽 〨I12×12 A12×12 〩ただし I は単位行列、A は正二十面体の頂点に 〱 から 〱〲 まで名前をつけて、(〰, 頂点 i と j がつながっている,
Aij 〽
〱, 頂点 i と j がつながっていない〨〲〮〷〮〲〶〩〨〲〮〷〮〲〷〩としたもの54。 X の像は 〲12 元あるが、そのうちわけは〨〰の数, 〱の数〩 〨〲〴, 〰〩 〨〲〰, 〴〩 〨〱〶, 〸〩 〨〱〲, 〱〲〩 〨〸, 〱〶〩 〨〴, 〲〰〩 〨〰, 〲〴〩
個数
〱
〰
〷〵〹
〲〵〷〶
〷〵〹
〰
〱

〨〲〮〷〮〲〸〩となっている。線形符号だから、勝手な二つの異なる元の間の最小ハミング距離は 〸 である。この符号は実際に、人類がはじめて木星土星に送った人工衛星 ざはべちでづひ 一号二号が情
数学的な方面からは Ebeling, “Lattice and Codes”, Vieweg, 2002 などを参照。
Golay, “Notes on Digital Coding”, Proceedings of Institute of Radio Engineers, 37 (1949) 657
54
グラフでつながっているとき 1、つながっていないと 0 とするのが普通かと思うが、ここでは逆にとる。
52
53

〴〹

報を地球に送る際に使われたらしい55。 〱が八つあるコードワードをオクタッド 〨はっぴちつ〩〬〱が十二個あるコードワードをドデカッド 〨つはつづっちつ〩 という。
さて、対称群 S24 は長さ 〲〴 のビット列を置換することで作用する。 いま、X の像は
長さ 〲〴 のビット列が 〲12 個あるわけである。そこで S24 の部分群を
M24 〺〽 {σ ∈ S24 | σ ぉね M 〽 ぉね M }〨〲〮〷〮〲〹〩

で定義する。すなわち、M24 は ぇはぬちべ っはつづ のコードワードをコードワードに写すような〲〴 文字の置換よりなる群である。これはマチウが〱〹世紀に発見した散在型単純群 M24 と同じものである。 M24 には不思議な性質がいろいろある。
定義 〲〮〷〮〱〷 Sn の部分群 H が {〱, . . . , n} に作用するとする。勝手な順序つきの k 個の元 〨a1 , . . . , ak 〩 と 〨b1 , . . . , bk 〩 に対し、 σ ∈ H で全ての i に対し σ〨ai 〩 〽 bi となるようなものが取れる時、 H を k〭重可移 〨k〭ぴひちのびどぴどぶづ〩 という。
例 〲〮〷〮〱〸 Sn は n 重可移である。An は 〨n − 〲〩 重可移である。
次の定理が知られている〺
事実 〲〮〷〮〱〹 Sn の部分群 H が {〱, . . . , n} に作用するとする。
• k ≥ 〶 重可移なら、H は Sn か An である。
• 〵 重可移群は M24 と M12 のみである。
• 〴 重可移群は M23 と M11 のみである。
上の定理にはより小さなマチウ群が出て来たので定義しておくと、• 〱 ∈ {〱, . . . , 〲〴} を固定する M24 の部分群が M23。
• 〲 ∈ {〱, . . . , 〲〴} を固定する M23 の部分群が M22。
さて、ひとつドデカッドをえらぶ。これは 〱 の数が 〱〲 個のコードワードだった。
• 選んだドデカッドを固定する部分群が M12。 これは残りの 〱〲 点に自然に作用する。
• 〱 ∈ {〱, . . . , 〱〲} を固定する M12 の部分群が M11。
上記の可移群に関する定理の有限単純群の分類定理を使わない証明は知られていない。
僕が M24 に関する話をここにかいたのは、以前それに関して論文をかいたことがあるからです56。
55

ネット上では B. Cherowitzo の Combinatorics in Space という講義用スライドには細かい情報がのっているが典拠がない。 Pless, Huffman ed., “Handbook of Coding Theory” vol. 2, North Holland, 1998 のChapter 25 の Wicker “Deep Space Applications” は惑星探査の際のエラー訂正符号の当時のレビューだが、それによると、Voyager では画像データと非画像データでエンコーダが異なり、画像はエラーが多少あってもよいので Golay code は使わず、非画像データのみ使ったと書いてある。 Wicker は情報の出所として謝辞に NASA/JPL のアーカイブを見せてもらった、と書いてある。 Facebook でさらなる情報を聞いて見たら、数学者の友人の Ivan Ip がNASA の webpage に例えば JPL publication 82-61としてあると教えてくれた。
56
Eguchi, Ooguri, Tachikawa “Notes on the K3 Surface and the Mathieu group M24 ”, arXiv:1004.0956。別に書いた解説記事も数理解析研究所講究録 1811 (2012) 23 にある。そこの謝辞に書いたように、僕のその論文に関する寄与は非常にミニマルだった。

〵〰

3

群の表現

3.1

基本的な定義定義 〳〮〱〮〱 群 G から、 複素線形空間 V 上の線形変換のなす群への準同型 ρ を考える。〨V, ρ〩 の組のことを G の複素表現 〨っはねばぬづへ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 という。V の次元をその表現の次元という。
準同型の定義等を参照して、上記の定義を解読すると、次の四つの条件を満たしているということ〺• g ∈ G に対して、ρ〨g〩 〺 V → V という線形写像がある。
• e ∈ G に対して、ρ〨e〩 〺 V → V は単位行列。
• g −1 ∈ G に対して、ρ〨g −1 〩 〽 ρ〨g〩−1。
• g, h ∈ G に対して、ρ〨gh〩 〽 ρ〨g〩ρ〨h〩。
この表現が n 次元であるというのは、ρ〨g〩 が n × n 行列であるということ。
表現 〨V, ρ〩 のことを表現 V 〬 表現 ρ と略記することも多い。
定義 〳〮〱〮〲 群 G の複素表現 〨V, ρ〩 と 〨W, σ〩 が同値であるとは、 可逆な線形変換
f 〺 V → W があって、σ 〽 f ◦ ρ ◦ f −1 となることをいう。
定義を行列の言葉で書き下そう。 可逆な線形変換があるので、V と W は同じ次元 nをもつ。よって f は可逆な n × n 行列で書ける。それを M と書くと、
σ〨g〩 〽 M ρ〨g〩M −1〨〳〮〱〮〱〩となるということ。 M は Cn の基底変換行列と思えるので、ρ と σ が基底の変換でうつりあうということ。
定義 〳〮〱〮〳 群 G の複素表現 〨V, ρ〩 で、V にユニタリ内積が入っており、ρ〨g〩 が全て
ユニタリ変換のばあい、ユニタリ表現という。
量子力学において対称性 G を考えることは、数学的には状態空間 H が G のユニタリ表現であるということと〨ほぼ〩同じことである57。 以下、特に断らなければつねにユニタ
リ表現を考える。
定義 〳〮〱〮〴 群 G のユニタリ表現 〨V, ρ〩 と 〨W, σ〩 が同値である 〨V, ρ〩 ' 〨W, σ〩 とは、可逆なユニタリ変換 U 〺 V → W があって、σ 〽 U ◦ ρ ◦ U −1 であることである。
これも上記と同様で、ユニタリ基底変換 U に対して σ〨g〩 〽 U ρ〨g〩U −1 となるということ。

57

ほぼ、というのは後述。 時間反転は反ユニタリ変換になる。 また、真の表現でなく射影表現を考えないといけないこともある〵〱

定義 〳〮〱〮〵 群 G の表現 〨V, ρ〩 と 〨W, σ〩 に対し、〨V ⊕ W, ρ ⊕ σ〩 も表現である。これを表現の直和という。
覚えていない人、もしくははじめての人のために、ベクトル空間 V 〬 W の直和 V ⊕ Wの定義を書いておくと、これは v ∈ V 〬 w ∈ W に対して、ペア 〨v, w〩 のなすベクトル空間のこと。ペアのことを v ⊕ w とも書く。ρ ⊕ σ の定義は〨ρ ⊕ σ〩〨g〩〨v ⊕ w〩 〽 ρ〨g〩〨v〩 ⊕ σ〨g〩〨w〩〨〳〮〱〮〲〩である。 V が m 次元、 W が n 次元ならば、V ⊕ W は m 〫 n 次元で、 ρ ⊕ σ を行列表示したものは!
ρ〨g〩〰
〨ρ ⊕ σ〩〨g〩 〽
〨〳〮〱〮〳〩〰
σ〨g〩というブロック対角行列のこと。これが群の表現になることは簡単に確認出来る。
定義 〳〮〱〮〶 群 G のユニタリ表現 〨V, ρ〩 がふたつのユニタリ表現 〨W1 , σ1 〩〬 〨W2 , σ2 〩 の直和 〨W1 ⊕ W2 , σ1 ⊕ σ2 〩 と同値であるとき、V を可約 〨ひづつふっどぢぬづ〩 であるという。 可約でないとき V を既約 〨どひひづつふっどぢぬづ〩 という。
可約であるというのは、適切に基底を変換してやると、行列 ρ〨g〩 が上記のようにブロッ
ク対角に分割できるということである。
既約表現 〨どひひづつふっどぢぬづ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 は対称性の高い量子物理をやっているとひたす
ら出てくる概念であるが、言葉が長いので、どひひづば 〨複数形 どひひづばび〩と略されることがしばしばある。
V を量子力学の状態空間として H をハミルトニアンとする。 G が系の対称性であるとすると、ρ〨g〩H 〽 Hρ〨g〩 となる。だから、V を H の固有値 E1 〬 E2 〬 〮 〮 〮 に応じて
V 〽 V1 ⊕ V2 ⊕ · · ·〨〳〮〱〮〴〩と分解すると、各 Vi は G のユニタリ表現になる。
事実 〳〮〱〮〷 群 G の勝手なユニタリ表現 〨V, ρ〩 は、既約表現 〨Wi , σi 〩 の直和〨W1 ⊕ W2 ⊕ · · · , σ1 ⊕ σ2 ⊕ · · · 〩に一意に分解出来る。
分解出来ることは、つぎつぎに直和分解をしていって、できなくなったらそこでやめればよい。問題は一意性であるが、それを示す際に一番重要なことは結局つぎのことである〺
事実 〳〮〱〮〸 群 G の既約ユニタリ表現 〨V, ρ〩 に対し、ユニタリ変換 f 〺 V → V があって ρ 〽 f ρf −1 だとする。このとき、f は単に定数倍である。
これをシューアの補題 〨こっとふひ〧び ぬづねねち〩 という。証明は簡単で、V を f の固有空間に分解して V 〽 V1 ⊕ · · · Vk とすると、Vi それぞれが G の部分表現になるので、固有空間分
解が二つ以上になるとすると V の既約性と矛盾する。
〵〲

兎も角、量子力学への群論の応用においては、まずは考えたい群 G に対してそのユニ
タリ既約表現にどのようなものがあるかを理解するのが先決である。
量子力学の講義で、すでに角運動量演算子
せLx , Ly そ 〽 i~Lz ,せLy , Lz そ 〽 i~Lx ,せLz , Lx そ 〽 i~Ly〨〳〮〱〮〵〩

がスピン 〰〬 〱/〲〬 〱〬 〮 〮 〮 のもので尽くされることを学んだと思うが、これは G 〽 こく〨〳〩 とG 〽 こさ〨〲〩 の場合をそのリー代数を用いて調べたことに対応している、ということをまた
後でやる。

3.2

可換群の表現一般の群の表現をやる前に、まずは可換群の場合を考える。
〳〮〲〮〱

Zn の表現

まず Zn 〽 {〰, 〱, . . . , n − 〱} の表現 〨V, ρ〩 を考えよう。 ρ〨k〩 〽 ρ〨〱〩k であるから、ρ〨〱〩 を定めればよい。 〱 〽 ρ〨〰〩 〽 ρ〨n〩 〽 ρ〨〱〩n であるから、ρ〨〱〩 は対角化すれば単に対角成分は全て 〱 の n 乗根 e2πik/n のどれかである。これから次のことがわかった〺
事実 〳〮〲〮〱 Zn 〽 {〰, 〱, . . . , n − 〱} の既約表現はすべて一次元で、x ∈ Zn に対しkx

χk 〨x〩 〽 e2πi nb n 〺〽 {〰, 〱, . . . , n − 〱} に値をとるラベルであを対応させるものである。ただし、k は Zる。勝手な Zn の表現はこれら χk の直和に分解出来る。
ここで、k も集合としては {〰, 〱, . . . , n − 〱} に値をとるのではあるが、もとの群 Zn では
b n と書いた。
なくて、その表現をラベルするものであることを明示するために、 Z
この記法には実はもうすこし意味がある。
事実 〳〮〲〮〲 勝手な群 G に対して、 その一次元既約表現達は、 かけ算のもとで群をb と書く。 G が可換群のとき、 G
b を G のポントリャーギン双対群なす。 その群を G〨ぐはのぴひべちでどの つふちぬ でひはふば〩 という。
証明は簡単である。 一次元表現とは単に 〱 × 〱 行列だから単に複素数一個である。 一次元表現 χ, χ0 〺 G → C が与えられた時に、 〨χχ0 〩〨g〩 〺〽 χ〨g〩χ0 〨g〩 が表現になることは簡b
単に確認できる。 自明な表現 eb 〺 G → C を eb〨g〩 〽 〱 で定めるとこれは表現であって、 Gの単位元になる。 χ−1 〨g〩 〺〽 χ〨g〩−1 と定めると〨ここで χ−1 は χ の逆写像でないことに注
b の中で χ の逆元になる、等。
意〩 これも表現であり、 G
実際、 上記の Zn の場合では、 χk χk0 〽 χk+k0 で、 添え字は ねはつ n で考えればよい。
b n 〽 Zn がわかった58。
これから、抽象的な群として Zb 6〽 G であることに注意しておく。
一般の可換群 G では G
58

しかし、 自然な (canonical な) 同型はとれないことが知られている、 cf https://mathoverflow.net/
questions/282452/〵〳

〳〮〲〮〲

Zn の表現と離散フーリエ変換

さて、a 〺 Zn → C なる勝手な関数を考える。これは〨a〨〰〩, a〨〱〩, . . . , a〨n − 〱〩〩 ∈ Cn〨〳〮〲〮〱〩という n 次元ベクトルと同じことである。 a, b を二つのそのような関数として、エルミート内積を〱X
ha, bi 〺〽
a〨x〩b〨x〩〨〳〮〲〮〲〩n xと定める。上記既約表現 χk もそのような関数の一例であって、(〱 k 〽 k0hχk , χk0 i 〽 δkk0 〽
〰 k 6〽 k 0〨〳〮〲〮〳〩

を満たすことが計算すればすぐわかる。いいかえれば、χk は a 〺 Zn → C なる関数のなすn 次元ベクトル空間の基底をなす。そのため、勝手な a はXa〽
ba〨k〩χk〨〳〮〲〮〴〩
kと展開出来る。この両辺と χk0 の内積をとれば、〱 X −2πikx/nea〨x〩ba〨k〩 〽 hχk , ai 〽
N xであることがわかる。逆変換は 〨〳〮〲〮〴〩 そのもので、
X
Xa〨x〩 〽
ba〨k〩χk 〨x〩 〽
e2πikx/n ba〨k〩k〨〳〮〲〮〵〩〨〳〮〲〮〶〩kである。 これは離散フーリエ変換 〨つどびっひづぴづ うはふひどづひ ぴひちのびてはひね〩 と呼ばれるもので、 a 〺
b n → C なる関数を結びつけるものである。
Zn → C なる関数と b
a〺Z

〳〮〲〮〳

高速フーリエ変換

さて、離散フーリエ変換は応用上非常に重要である。 〨時系列のデータをフーリエ変換して周波数空間にうつすのは物理屋なら誰しも重要なのはわかるだろうが、実際上のデータ
は連続では無くて離散なので。〩 そこで、この離散フーリエ変換を速く計算することはとても意味がある。 ナイーブには n2 回のかけ算が必要であるが、 高速フーリエ変換 〨てちびぴ
うはふひどづひ ぴひちのびてはひねちぴどはの〩 という標準的なテクニックがあり、 O〨n ぬはで n〩 回まで減らすことができる。
これの概要を説明しよう。 N と M が互いに素なばあい、ZN M ' ZN × ZM であるということを以前やった。これは単に中国剰余定理である。離散フーリエ変換は ZN M 上のb N M 上の関数にうつす操作である。これを一気にやらず、
関数を Z
ZN M ' ZN × ZM

b N × ZM
Z

bN × ZbM ' ZbN M
Z〨〳〮〲〮〷〩とやることにする。 ZN 上の離散フーリエ変換にかかる計算量を f 〨N 〩 とすると、一回目のには M f 〨N 〩 ぐらいの計算量がかかり、二回目のには N f 〨M 〩 ぐらいの計算量√がかかる。 N ∼ M ∼ N M ぐらいにとれたとすると、
f 〨N 2 〩 ∼ N f 〨N 〩〵〴〨〳〮〲〮〸〩なので、f 〨N 〩 ∼ N ぬはで N ぐらいだということがわかった。
具体的に式を書くため、
ZN M 3 x 〽 x1 M 〫 x2 N,

x1 ∈ ZN ,x2 ∈ ZM〨〳〮〲〮〹〩

bN ,k1 ∈ ZbM
k2 ∈ Z〨〳〮〲〮〱〰〩と中国剰余定理で分解し、
b N M 3 k 〽 k1 SM 〫 k2 T N,Zとする。ただし、 S, T ∈ ZN M はSM 〽 〱

ねはつ N,TN 〽 〱

ねはつ M〨〳〮〲〮〱〱〩となるように選んでおく。〨ここで N, M が互いに素という条件が必要。〩 すると、
xk
x1 k 1 x2 k 2
〽
〫
NM
N
M

ねはつ 〱

〨〳〮〲〮〱〲〩となる。そうすると、a 〺 ZN M → C に対して、〱 X −2πi xk
N M a〨x〩eba〨k〩 〽
MN x〱 X −2πi x2 k2
M
〽
e
M x
2

〨〳〮〲〮〱〳〩〱 X −2πi x1 k1
N a〨x〩eN x1!

〨〳〮〲〮〱〴〩b N をし、外側で ZM
b M をする。これが ぇははつ〭ごとはねちび アルとなった。内側で ZN
Z
Z
ゴリズムである。
さらに応用上は、コンピュータだから N 〽 〲n 〬 M 〽 〲m として N 〽 〲n+m の場合を考えることがおおい。 この場合は N と M は互いに素ではないので修正が必要である。 この場合はZN M 3 x 〽 x1 〲m 〫 x2 ,x1 ∈ Z2n , x2 ∈ Z2m〨〳〮〲〮〱〵〩とし、

b N M 3 k 〽 k 1 〫 k 2 〲n ,Zとする。すると

k1 ∈ Z2n ,xkx1 k1 x2 k2
x2 k1
〽
〫
〫
NM
N
M
NM

k2 ∈ Z2m〨〳〮〲〮〱〶〩ねはつ 〱〨〳〮〲〮〱〷〩となる。これよりba〨k〩 〽

〱 X −2πi xk
N M a〨x〩e
MN x〱 X −2πi x2 k2 −2πi x2 k1
M e
NM
e
〽
M x
2

〨〳〮〲〮〱〸〩〱 X −2πi x1 k1
N a〨x〩eN x1!

〨〳〮〲〮〱〹〩

これが ぃははぬづべ〭ごふにづべ アルゴリズムである。
x2 k1
N, M が互いに素な場合と比べて、途中に e−2πi N M という〨ぴぷどつつぬづ てちっぴはひ と業界では呼ばれるらしい〩因子を掛けるところが異なる。 あとで射影表現をやるところで、ぴぷどつつぬづてちっぴはひ のあるなしはZN ,→ ZN M  ZM〨〳〮〲〮〲〰〩が直積か直積でないか、ZM の ZN による拡大が自明か自明でないかを反映していることを学ぶだろう。
〵〵〳〮〲〮〴

Z の表現と さ〨〱〩 の表現

次に Z 〽 {. . . , −〱, 〰, 〱, . . .} のユニタリ表現を考えよう。 ρ〨n〩 〽 ρ〨〱〩n だから、 ρ〨〱〩 を決めれば良いが、 これは対角化すれば一次元表現の直和であることがわかる。 ρ が一次元表現の場合、α 〺〽 ρ〨〱〩 ∈ C はユニタリだから絶対値が 〱 でないといけない。 これで次のことがわかった〺
事実 〳〮〲〮〳 群 Z の既約表現は全て一次元で、 α を絶対値が 〱 の複素数として
χα 〨n〩 〽 αnと掛ける。
いま χα χβ 〽 χαβ であるから、これら一次元表現は絶対値が 〱 の複素数がかけ算のもとでなす群 さ〨〱〩 をなす。これより次のことがわかった〺b 〽 さ〨〱〩 である。
事実 〳〮〲〮〴 Z

次に さ〨〱〩 のユニタリ表現を考えよう。eit ∈ さ〨〱〩 に対して、 ρ〨eit 〩 という n × n ユニ
タリ行列があるわけだが、これは何か n × n エルミート行列 H があってρ〨eit 〩 〽 eitH〨〳〮〲〮〲〱〩と掛けるはずである。すると、H を対角化すれば、ρ〨eiθ 〩 も対角化されて、一次元表現の直和に分解する。一次元表現だとすると、対応する H の固有値を E とかけばρ〨eit 〩 〽 eitE〨〳〮〲〮〲〲〩

であるが、 t 〽 〲π のときは e2πi 〽 〱 は単位元であるため、 e2πiE も 〱 でなければならない。よって n を整数として E 〽 n と掛ける。これによって次のことがわかった〺
事実 〳〮〲〮〵 群 さ〨〱〩 の既約表現は全て一次元で、整数 n に対して
χn 〨α〩 〽 αnと書ける。ただし α ∈ さ〨〱〩 は絶対値〱の複素数。
また、χn χm 〽 χn+m であるから、次のことがわかった〺[ 〽 Z である。
事実 〳〮〲〮〶 さ〨〱〩実は一般に次の事実が成り立つ〺bb
事実 〳〮〲〮〷 可換群 G に対し自然に G〽 G である。

bb
b は G の一次元表現のなす群であるから、 G
これをおおまかに説明しよう。 Gは「Gbbの一次元表現のなす群」の一次元表現のなす群である。よって、 G の元は、「G の一次元bb
表現のなす群」の一次元表現である。 だから、 G〽 G を示すには、 G の元が自然に「Gの一次元表現のなす群」の一次元表現を与えることをみればよい。 そのためには、x ∈ Gbに対して、「G の一次元表現のなす群」の一次元表現 xbをと定めれば良い。

bxb〨χ〩 〺〽 χ〨x〩 ∈ C〵〶〨〳〮〲〮〲〳〩

〳〮〲〮〵

周期関数のフーリエ変換について

群 さ〨〱〩 は複素平面内の単位円 S 1 である。その元を eit ∈ さ〨〱〩 とかけば、t ∼ t 〫 〲π という周期境界条件のついた一次元的なものと思って良い。 すると関数 f 〺 さ〨〱〩 → C を考えるということは周期関数を考えるということである。一次元周期的な量子力学的粒子の波動関数と思っても良い。 物理屋の習慣にしたがって、これを f 〨eit 〩 とも f 〨t〩 とも書くことにする。そのような関数ふたつ f, g に対してエルミート内積をZ 2π〱
hf, gi 〺〽
f 〨t〩g〨t〩dt〨〳〮〲〮〲〴〩〲π 0と定める。一次元表現 χn 〨t〩 〽 eint はそのような関数の例であるが、正規直交基底になる
ことがわかる〺(〱 〨n 〽 m〩,hχn , χm i 〽
.
〨〳〮〲〮〲〵〩〰 〨n 6〽 m〩
よって勝手な関数 f は χn の重ね合わせとしてかける〺XX
f 〨t〩 〽
fb〨n〩χn 〨t〩 〽
fb〨n〩eint .
n〨〳〮〲〮〲〶〩

nfb〨n〩 を決定するには、両辺を χm との内積をとればよいので、
Z 2π〱be−int f 〨t〩dt.
f 〨n〩 〽 hχn , f i 〽
〲π 0〨〳〮〲〮〲〷〩

これはまさに周期関数のフーリエ変換の式であって、関数 f 〺 さ〨〱〩 → C と関数 fb 〺 Z → C[ 〽 Z、 Zb 〽 さ〨〱〩 に注意せよ。
を対応させるものである。また、 さ〨〱〩〳〮〲〮〶R の表現と通常のフーリエ変換

次に R の表現を考えよう。 t ∈ R が n × n ユニタリ行列 eitH にうつされるとする。エルミート行列 H を対角化すると、 これは一次元表現の直和に分解する。 H の固有値を ωと書くと事実 〳〮〲〮〸 群 R の既約表現は全て一次元で、実数 ω に対してχω 〨t〩 〽 eiωtと書ける。
χω χω0 〽 χω+ω0 だから、 χω 達はまた群 R をなすことがわかる。すなわちb 〽 R である。
事実 〳〮〲〮〹 R

関数 f 〺 R → C に対して、内積を
hf, gi 〺〽

Z ∞f 〨t〩g〨t〩dt〨〳〮〲〮〲〸〩−∞と定めると、χω 達は〨δ関数の意味で〩正規直交である〺hχω , χω0 i 〽 〲πδ〨ω − ω 0 〩.
〵〷〨〳〮〲〮〲〹〩

これから、f 〨t〩 〽とZdωfb〨ω〩χω〽
〲πfb〨ω〩 〽 hχω , f i 〽

Z

Z

dω
fb〨ω〩eiωt〲π〨〳〮〲〮〳〰〩

f 〨t〩e−iωt dt〨〳〮〲〮〳〱〩という対応があることがわかった。これは通常のフーリエ変換である。
〳〮〲〮〷

標語

標語にまとめると情報量が落ちるので僕はそれほど好きでは無いが、これまでみてきたことは次のようにまとめられる。
可換群の表現はいつでも一次元既約表現の直和に分解できる。 というのは、g ∈ G に対して ρ〨g〩 達はすべて交換するから、同時固有空間を考えればいいのである。
フーリエ変換とは、可換群 G 上の関数をその一次元表現達で展開することで、展開係
bbb 上の関数である。 G数は一次元表現のなす可換群 G〽 G なので、もういちどフーリエ変換をすると G 上の関数が再構成される。

3.3

有限群の表現

これまで可換群の表現についてすこし調べたので、非可換群の表現について考えよう。
〳〮〳〮〱

例〱〺 D8

いつも例につかっている二面体群 D8 を考える。元はe, a, a2 , a3x, xa, xa2 , xa3〨〳〮〳〮〱〩

で、a4 〽 x2 〽 e〬 xax−1 〽 a−1 という関係式だった。
ユニタリ表現にはどのようなものがあるだろうか〿 まず、一次元表現として
ρ++ 〨a〩 〽 〫〱,ρ+− 〨a〩 〽 〫〱,ρ++ 〨x〩 〽 〫〱,ρ+− 〨x〩 〽 −〱,ρ−+ 〨a〩 〽 −〱,ρ−+ 〨x〩 〽 〫〱,ρ−− 〨a〩 〽 −〱,ρ−− 〨x〩 〽 −〱〨〳〮〳〮〲〩〨〳〮〳〮〳〩

で定まる ρ±± の四つがある。 また、そもそも二面体群は平面内の正多角形に作用するの
だから、
!
!
〰 〱
〰 −〱
ρ2 〨a〩 〽
,ρ2 〨x〩 〽
〨〳〮〳〮〴〩〱 〰
〱 〰
で定まる二次元表現がある。実はこれで既約表現が尽きている。
〳〮〳〮〲

例〲〺 Q8

次に四元数群 〨ぱふちぴづひのどはの でひはふば〩 Q8 と呼ばれる群を考える。 これは、 四元数 H の中で±〱, ±i, ±j, ±k が積のもとでなす群である。 四元数のかけ算ルールは i2 〽 j 2 〽 k 2 〽 −〱〬ij 〽 −ji 〽 k〬 jk 〽 −kj 〽 i〬 ki 〽 −ik 〽 j だった。
Q8 と D8 は異なる群である。 たとえば、 二乗して単位元になる元は Q8 ではふたつ〨±〱 のみ〩だが、D8 では〨a〬 a−1 以外の〩六つある。
〵〸

一次元表現 σ は、σ〨ij〩 〽 σ〨−ji〩 から σ〨−〱〩 〽 σ〨ij〩/σ〨ji〩 〽 〱 となるので、
σ++ 〨i〩 〽 〫〱,σ+− 〨i〩 〽 〫〱,σ++ 〨j〩 〽 〫〱,σ+− 〨j〩 〽 −〱,σ++ 〨k〩 〽 〫〱,σ+− 〨k〩 〽 −〱,σ−+ 〨i〩 〽 −〱,σ−+ 〨j〩 〽 〫〱,σ−+ 〨k〩 〽 −〱,σ−− 〨i〩 〽 −〱,σ−− 〨j〩 〽 −〱,σ−− 〨k〩 〽 〫〱〨〳〮〳〮〵〩〨〳〮〳〮〶〩〨〳〮〳〮〷〩の四通りがある。
また、そもそも四元数の定義のひとつとして、パウリ行列を使うものもあったことを思い出すと、
!
!
!
〰 〱
〰 −i
〱 〰
σ2 〨i〩 〽 i,
σ2 〨j〩 〽 i,
σ2 〨k〩 〽 i〨〳〮〳〮〸〩
〱 〰
i 〰
〰 −〱
という二次元表現もある。
この場合もこれで既約表現は尽きていることが知られている。
〳〮〳〮〳

一般論

一般の有限群 G の既約表現を調べるにはどうしたらよいだろうか〿 そのために、G上の関
数 a 〺 G → C のなす線形空間 RG を考えるのが有効である。 RG の元二つ a, b に対し、内積を〱 X
a〨g〩b〨g〩〨〳〮〳〮〹〩
ha, bi 〽
|G|g∈Gで定める。つぎに、与えられた a に対し、ρ〨h〩a 〺 G → C を〨ρ〨h〩a〩〨g〩 〽 a〨gh〩〨〳〮〳〮〱〰〩

で定める。これは線形写像で、かつ長さを保つ。そこで、
定義 〳〮〳〮〱 G上の関数 a 〺 G → C のなす線形空間 RG は、上記の ρ のもとで G のユ
ニタリ表現になる。これを G の正則表現 〨ひづでふぬちひ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 と呼ぶ。
これから以下の定理を導く〺
事実 〳〮〳〮〲 群 G の異なる既約表現を V1 〬 〮 〮 〮 〬 Vk と全て列挙し、それぞれの次元を nkとする。このとき、正則表現 RG は
RG 〽 V1 ⊕ · · · ⊕ V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk ⊕ · · · ⊕ Vk
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
n1 回

と分解される。特に、|G| 〽

P

n2 回

nk 回

n2i .

これを認めると、|D8 | 〽 |Q8 | 〽 〸 で、〸 〽 〱2 〫 〱2 〫 〱2 〫 〱2 〫 〲2 なので、これ以外に既約表現がないことがわかる。
定理を証明しよう。

〵〹

こぴづば 〱〺 勝手な既約表現 Vi を ni 回 RG に埋め込む。 G の既約ユニタリ表現 〨V, σ〩 を考える。その次元を n とする。 he| ∈ V をノンゼロの元とし、線形写像
fe 〺 V → RG〨〳〮〳〮〱〱〩fe 〨v〩 〽 he| σ〨g〩 |vi〨〳〮〳〮〱〲〩をで定める。
• まず、この線形写像が〨定数倍を除いて〩長さを保つことをしめそう。そのために〱 X
he| σ〨g〩 |vi he0 | σ〨g〩 |v 0 i〨〳〮〳〮〱〳〩
hfe 〨v〩, fe0 〨v 0 〩i 〽
|G|
g∈G


X
〱
〽 hv| σ〨g −1 〩 |ei he0 | σ〨g〩 |v 0 i〨〳〮〳〮〱〴〩|G|g∈Gを考える。括弧内の演算子〱 X
σ〨g −1 〩 |ei he0 | σ〨g〩|G|〨〳〮〳〮〱〵〩〱 Xσ〨h−1 g −1 〩 |ei he0 | σ〨gh〩 〽 Oe,e0|G|〨〳〮〳〮〱〶〩

Oe,e0 〺〽

g∈Gはσ〨h−1 〩Oe,e0 σ〨h〩 〽

g∈Gである。よってこっとふひ の補題によりこれは定数倍 ce,e0 である。これを決めるには
ce,e0 〽

〱 Xσ〨g −1 〩 |ei he0 | σ〨g〩|G|〨〳〮〳〮〱〷〩〱 0
he |ei .
n〨〳〮〳〮〱〸〩g∈Gの両辺のトレースをとればよい〺
ce,e0 〽

• 次に、この線形写像が G の作用を保つことを示そう。これは直接fe 〨σ〨h〩v〩〨g〩 〽 he| σ〨g〩σ〨h〩 |vi 〽 〨ρ〨h〩fe 〩〨v〩〨g〩〨〳〮〳〮〱〹〩

fe σ〨h〩 〽 ρ〨h〩fe〨〳〮〳〮〲〰〩

であるから、と確認出来る。
以上のことから、 e1 〬 〮 〮 〮 〬 en を V の正規直交基底として、 V (i) を fei 〺 V → RG の像とすると、 V (i) はそれぞれ G の既約表現で、また直交していることがわかる。 これから、RG は V と同値な既約表現を ni コピー含んでいることがわかった。
これで、RG は
V1 ⊕ · · · ⊕ V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk ⊕ · · · ⊕ Vk
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
m1 回

m2 回

ただし mi ≥ ni、というところまで証明出来た。
〶〰

mk 回

〨〳〮〳〮〲〱〩

こぴづば 〲〺 これで尽きていることを示す。 ここで、 V (i) の元についてより丁寧にみておくと、 V (i) ⊂ RG だから、 これも G → C なる関数である。 どんな関数かというと、V 〨g〩 〺〽 he | σ〨g〩 |e i が
fei 〨g〩 〽 hei | σ〨g〩 |vi だった。よって、V (i) の基底としては、関数 fi,j
i
j
(1)
(n)
2
V
取れる。すなわち、V ⊕ · · · ⊕ Vは、σ〨g〩 の n 個の行列要素 fi,j hei | σ〨g〩 |ej i が張る
RG の部分空間である。
V
そこで、証明を完成するには、a ∈ RG が勝手な既約表現 〨V, σ〩 に対する行列要素 fi,jと内積がゼロならば、a 〽 〰 であることを示せばよい。
P
そのため、まず既約表現 〨V, σ〩 に対し、 g a〨g〩σ〨g〩 という元を考える。これは n × n行列だが、その 〨i, j〩行列要素はXV
a〨g〩σ〨g〩 |ej i 〽 |G|ha, fi,ji〽〰
〨〳〮〳〮〲〲〩hei |gPとなる。よって、 g a〨g〩σ〨g〩 は行列としてゼロである。
P
しかし、何にせよ 〨〳〮〳〮〲〱〩 は成り立っているので、これから、 g a〨g〩ρregular 〨g〩 が行列としてゼロであるということである。これから、a〨g〩 〽 〰 が従う。これが示したいことだった。
証明の過程で、つぎの事実も示せた〺
事実 〳〮〳〮〳 群 G 上の関数 a 〺 G → C のなすベクトル空間の中の直交基底として、各既約表現 〨Vα , σα 〩 〨a 〽 〱, . . . , 〩 の行列要素α〨g〩 〺〽 hei | σa 〨g〩 |ej ifi,jを取れる、但し nα を Vα の次元として、添え字は i, j 〽 〱, . . . , nα。また基底の長さは
α
α
hfi,j
, fi,ji 〽 〱/nαで与えられる。
これは少し前にみた Zn の表現 χk 〨x〩 〽 e2πikx/n が Zn 上の線形空間の正規直交基底になっていることの一般の群への拡張である。
〳〮〳〮〴

群の指標

a を全部考えるとちょっと情報量が多い。もうすこし荒い量として次のさて、行列要素 fi,jものがある〺

定義 〳〮〳〮〴 群 G の表現 〨V, ρ〩 に対し、その指標 〨っとちひちっぴづひ〩 χρ をχρ 〨g〩 〽 ぴひ ρ〨g〩と定める。
すぐに分かるように、χρ 〨hgh−1 〩 〽 χρ 〨g〩 である。すなわち、g と g 0 が共役なら χρ は同じ値を取る。言い換えれば、χρ は群の共役類のうえの関数である。共役類の集合を CG
とかこう。

〶〱

定義 〳〮〳〮〵 a 〺 G → C で a〨hgh−1 〩 〽 a〨g〩 を満たすものを類関数 〨っぬちびび てふのっぴどはの〩 と言う。類関数のなす線形空間の次元は CG である。
さて、既約表現 〨Vα , σα 〩 に対しその指標を χα とかくと、
χα 〨g〩 〽

nα
X

α
fi,i
〨g〩

〨〳〮〳〮〲〳〩

i=1

P α α
fi,i。 これより、 hχα , χα i 〽 〱。 また異なる既約である。 ベクトルとしては、 χα 〽 ni=1
表現 Vα , Vβ に対しては hχα , χα i 〽 〰。 これから、 異なる既約表現の数 ≤ |CG | が分かった。 実はこれは丁度等しい。 そのためには、 類関数 a 〺 G → C が勝手な指標と直交する場合、 a がゼロであることを言えば良い。 証明の方針はおなじで、 既約表現 Vα に対P
し O 〺〽 |G|−1 g a〨g〩σ〨g〩 を考える。 類関数であるから、 σ〨h〩Oσ〨h−1 〩 〽 O である。 シ
ューアの補題により、 O は定数倍 c である。 トレースをとると、 c 〽 n−1 h〖a, χα i 〽 〰 とPなる。これが勝手な Vα に対して成立するので、 g a〨g〩rregular 〨g〩 もゼロである。よってa〨g〩 〽 〰 がわかった。まとめると〺
事実 〳〮〳〮〶 類関数の正規直交基底として、異なる既約表現の指標 χα がとれる〺(〱 〨α 〽 β〩,〱 X
χα 〨g〩χβ 〨g〩 〽
hχα , χβ i 〽
|G|〰 〨α 6〽 β〩.
g∈G

特に、異なる既約表現の種類の数は、共役類の数 |CG | に等しい。
D8 の共役類は せeそ〬 せa2 そ〬 せaそ〬 せxaそ〬 せxそ で五つ、 Q8 の共役類は せ〫〱そ〬 せ−〱そ〬 せiそ〬 せjそ〬 せkそ の五つで、確かにこうなっている。
ここでみた正規直交性は、(
X xg〱 〨α 〽 β〩,χα 〨g〩χβ 〨g〩 〽
〨〳〮〳〮〲〴〩|G|〰 〨α 6〽 β〩[g]∈CGとも書ける。ただし xg は g と共役な元の数。これは、行列 Xα[g] 〽 χα 〨せgそ〩 を |CG | × |CG |行列だと思ったとき、 D[g][g0 ] 〽 δ[g][g0 ] xg /|G| とすると、 I 〽 XDX † ということだから、
X † X 〽 D−1、すなわち
事実 〳〮〳〮〷 指標は次の直交性も満たす〺X

χα 〨g〩χα 〨g 0 〩 〽

α(|G|/xg〰

〨せgそ 〽 せg 0 そ〩,〨せgそ 6〽 せg 0 そ〩.

ここで せgそ 〽 せhそ とは g と h が共役だということ。
〳〮〳〮〵

群の指標の例〺 D8 と Q8上で見た D8 と Q8 について指標の表をかいてみよう。まず D8 については、こづっ〮 〳〮〳〮〱 の〶〲具体的な記述から
ρ++
ρ+−
ρ−+
ρ−−
ρ2

せeそ せa2 そ せaそ せxそ せxaそ
〱
〱
〱
〱
〱
〱
〱
〱 −〱 −〱
〱
〱 −〱
〱 −〱
〱
〱 −〱 −〱
〱
〲 −〲
〰
〰
〰

〨〳〮〳〮〲〵〩となる。次に Q8 については こづっ〮 〳〮〳〮〲 の具体的な記述から
σ++
σ+−
σ−+
σ−−
σ2

せ〱そ せ−〱そ せiそ せjそ せkそ
〱
〱
〱
〱
〱
〱
〱
〱 −〱 −〱
〱
〱
−〱
〱 −〱
〱
〱
−〱 −〱
〱
〲 −〲
〰
〰
〰

〨〳〮〳〮〲〶〩となる。前節でやった直交性を確認するのはよい練習になる。
D8 と Q8 は異なる群だが、指標表は全く同じになってしまった。これより、指標を知るだけでは群は再構成できないことがわかる。
〳〮〳〮〶

表現のテンソル積と指標

群 G とその表現 〨V, ρ〩〬 〨W, σ〩 に対し、その直和 〨V ⊕ W, ρ ⊕ σ〩 はすでに導入した。 V の
基底を e1 , . . . , en 〬 W の基底を f1 , . . . , em に対して V ⊕ W の基底は e1 , . . . , en 〻 f1 , . . . , fm。
なので、V ⊕ W の次元は V と W の次元の和である。
量子力学では、これは、一つ系の状態空間を対称性 G の作用の仕方で分解することに対応する。
ふたつの表現に対し、そのテンソル積 〨ぴづのびはひ ばひはつふっぴ〩 を考えることもできる。 ベク
トル空間 V と W に対し、そのテンソル積 V ⊗ W は次のように定義されるのだった〺 Vの基底を e1 , . . . , en 〬 W の基底を f1 , . . . , em に対して V ⊗ W の基底は ei ⊗ fj。 なので、V ⊗ W の次元は V と W の次元の積である。
線形写像 A 〺 V → V と B 〺 W → W に対し、A ⊗ B 〺 V ⊗ W → V ⊗ W はv ⊗ w 7→ Av ⊗ Bw〨〳〮〳〮〲〷〩〨AB〩ij;i0 j 0 〽 Aii0 Bjj 0〨〳〮〳〮〲〸〩

で定める。成分でかけば、である。 ただし i, i0 〽 〱, . . . , n で j, j 0 〽 〱, . . . , m〮 量子力学ではこれは部分系 V と W から合成系 V ⊗ W を作ることに対応する。
事実 〳〮〳〮〸 群 G の表現 〨V, ρ〩 と 〨W, σ〩 に対し、 〨V ⊗ W, ρ ⊗ σ〩 はまた表現になる。
これをテンソル積表現という。
線形写像 A〬 B に対し、
ぴひV ⊕W A ⊕ B 〽 ぴひV A 〫 ぴひW B,

ぴひV ⊗W A ⊗ B 〽 ぴひV A × ぴひW B

であることは計算すればわかる。指標の定義を思い出すと、〶〳〨〳〮〳〮〲〹〩

事実 〳〮〳〮〹 表現の直和とテンソル積の指標は、表現の指標の和と積であたえらえる。
すなわちχρ⊕σ 〨g〩 〽 χρ 〨g〩 〫 χσ 〨g〩,χρ⊗σ 〨g〩 〽 χρ 〨g〩χσ 〨g〩.
この関係式は、表現のテンソル積がどのように既約表現に分解されるかを調べるのに使うことができる。 群 G の既約表現を 〨Vα , ρα 〩 〨α 〽 〱, . . . , `〩 とする。 表現 〨W1 , σ1 〩 と〨W2 , σ2 〩 の積を考える。
W1 ⊗ W2 ' V1 ⊕ · · · ⊕ V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ V` ⊕ · · · ⊕ V`
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
a1 回

a2 回

〨〳〮〳〮〳〰〩a` 回〽 a1 V1 ⊕ a2 V2 ⊕ · · · ⊕ a` V`〨〳〮〳〮〳〱〩と必ず書ける。ただし、a1 , . . . , a` は〰以上の整数で、二行目は一行目の略記。
aα を読みとるには、まず両辺の指標をとって
χσ1 〨g〩χσ2 〨g〩 〽 aα χα 〨g〩〨〳〮〳〮〳〲〩である。ただし χα 〨g〩 〽 ぴひVα ρα 〨g〩 は α 番めの既約表現の指標。ここで、χα が G 上の類関数の正規直交基底を与えることを思い出せば、両辺と χα0 との内積をとって、次のことがわかった〺
事実 〳〮〳〮〱〰 表現 〨W1 , σ1 〩 と 〨W2 , σ2 〩 のテンソル積に既約表現 Vα があらわれる回数はhχα , χσ1 χσ2 i 〽

〱 X〱 Xχα 〨g〩χσ1 〨g〩χσ2 〨g〩 〽
xg χα 〨g〩χσ1 〨g〩χσ2 〨g〩
|G|
|G|
g∈G

[g]∈CGで与えられる。ただし xg は以前のとおり g と共役な元の数。
〳〮〳〮〷

例〺 D8 と Q8 の既約表現のテンソル積

さて、上式をつかって既約表現のテンソル積の既約分解の例を考えよう。
D8 の場合は、頑張って計算すると、
ρa,b ⊗ ρc,d 〽 ρac,bd ,ρ2 ⊗ ρa,b 〽 ρ2 ,

ρ2 ⊗ ρ2 〽 ρ++ ⊕ ρ+− ⊕ ρ−+ ⊕ ρ−−〨〳〮〳〮〳〳〩となる。ただし、a, b, c, d ∈ 〫〱, −〱 とした。
Q8 の場合も、頑張って計算すると、
σa,b ⊗ σc,d 〽 σac,bd ,σ2 ⊗ σa,b 〽 σ2 ,σ2 ⊗ σ2 〽 σ++ ⊕ σ+− ⊕ σ−+ ⊕ σ−−〨〳〮〳〮〳〴〩となる。ただし、a, b, c, d ∈ {〫〱, −〱} 〽 Z2 とした。
D8 と Q8 は異なる群であるにもかかわらずテンソル積の既約分解も全く同じだということがわかった。
また、どちらの場合も、二次元既約表現をわすれて一次元表現だけを考えると、かけ算ルールは Z2 × Z2 である。一般に、一次元既約表現に対し、表現とその指標は同じである。そこで同じ文字 χ を使うことにする。二つの一次元既約表現 χ〬 χ0 に対し、そのテン
ソル積 χ ⊗ χ0 は自動的に一次元で、指標は単に積になる。 よって、一次元既約表現全体
b と書くのだった。 これは自動的に可換群である。 いまのばあは群になるので、それを G
b8 〽 Qb 8 〽 Z2 × Z2 だということがわかった。
い、 D〶〴〳〮〳〮〸対称テンソル表現、反対称テンソル表現

群 G の表現 〨V, ρ〩 に対して、自分自身とのテンソル積 V ⊗ V に関しては、もうすこし細かい考察ができる。いま V 2 〺〽 V ⊗ V の元 v ⊗ w に対して、w ⊗ v を与える作用 P を考える〺P 〺 V 2 3 v ⊗ w 7→ w ⊗ v ∈ V 2〨〳〮〳〮〳〵〩

量子力学では、 対称性 G の表現 V にいる粒子がふたつあったばあいに、 粒子を入れ替える操作である。 ボゾンならば対称だから P 〽 〫〱〬 フェルミオンならば反対称だからP 〽 −〱 でないといけない。 V 2 の中の対称な部分空間を こべね2 V 〬 反対称な部分空間を∧2 V と書くのが数学では普通である。
いれかえ P は G の作用と交換するから、こべね2 V と ∧2 V はそれぞれ G の表現になるはずであり、 それぞれ既約分解できるはず。 そのためには、 こべね2 V と ∧2 V の指標がわかればよい。
これは次のトリックで計算できる。 g ∈ G に対して、 ρ〨g〩 を対角化して、 固有値をP
λ1 , . . . , λn 〬 対応する固有ベクトルを e1 , . . . , en とする。 χV 〨g〩 〽 λi である。
さて、V 2 への g の作用は固有値 λi λj で ei ⊗ ej に作用する。一方、こべね2 V の基底はei ⊗ ej 〫 ej ⊗ ei 〨i ≤ j〩〬 一方、∧2 V の基底は ei ⊗ ej − ej ⊗ ei 〨i < j〩 である。よって、X〱 X 2 X 2〱
χSym2 V 〨g〩 〽
λi λj 〽 〨〨〨〳〮〳〮〳〶〩λi 〩 〫λi 〩 〽 せχV 〨g〩2 〫 χV 〨g 2 〩そ,
〲
〲
i
i
i≤j
X
〱 X 2 X 2〱χ∧2 V 〨g〩 〽
λi λj 〽 〨〨〨〳〮〳〮〳〷〩λi 〩 〫λi 〩 〽 せχV 〨g〩2 〫 χV 〨g 2 〩そ
〲
〲
i≤j

i

i

がわかった。まとめると、
事実 〳〮〳〮〱〱 群 G の表現 〨V, ρ〩 に対して、対称テンソル表現 こべね2 V および反対称テ
ンソル表現 ∧2 V の指標は次の式で与えられる〺〱χ∧2 V 〨g〩 〽 せχV 〨g〩2 − χV 〨g 2 〩そ.
〲〱χSym2 V 〨g〩 〽 せχV 〨g〩2 〫 χV 〨g 2 〩そ,〲指標がわかれば、既約表現に分解することも内積をとれば出来る。D8 〬 Q8 の二次元既約表現に関してはつぎの結果を得る〺
こべね2 ρ2 〽 ρ++ ⊕ ρ−− ⊕ ρ−+ ,∧2 ρ2 〽 ρ+− ,こべね2 σ2 〽 σ+− ⊕ σ−+ ⊕ σ−−,∧2 σ2 〽 σ++ ,〨〳〮〳〮〳〸〩〨〳〮〳〮〳〹〩

これより、D8 と Q8 で異なる結果が得られた。
〳〮〳〮〹

複素共役表現群 G の表現 〨V, ρ〩 に対して、 v ∈ V の成分にすべて複素共役をつけたもののなすベクトル空間を V〖 と書き、 ρ〨g〩 〺 V → V の行列表示の成分をすべて複素共役にしたものをρ〖〨g〩 〺 V〖 → V〖 とする。あきらかに ρ〖〨gh〩 〽 ρ〖〨g〩〖ρ〨h〩 なので、これも表現になる。
定義 〳〮〳〮〱〲 群 G の表現 〨V, ρ〩 に対して、〨V〖 , ρ〖〩 を共役表現という。
既約表現の共役表現は既約表現である。また、共役表現の指標は表現の指標の複素共役である。
次の基本的な事実がある〺〶〵事実 〳〮〳〮〱〳 既約表現 〨V, ρ〩 と、その複素共役表現 〨V〖 , ρ〖〩 に対し、V ⊗ V〖 にはかならず一回だけ自明な表現が含まれる。
自明な表現というのは χ1 〨g〩 〽 〱 で定まる一次元表現だった。これを示すには、前々節の公式から〱 Xhχ1 , χρ χρ̄ i 〽
〨〳〮〳〮〴〰〩
χ1 〨g〩χρ 〨g〩χρ 〨g〩 〽 hχρ , χρ i 〽 〱.
|G| g
具体的にこの自明な表現を V ⊗ V〖 の中で特定しよう。 V の基底を ei 〬 V〖 の基底を e〖iとする。 V ⊗ V〖 の基底は ei ⊗ e〖j である。 ρ〨g〩 の行列表示を ρ〨g〩ij とすると、 ei ⊗ e〖k にはg∈GはX
ei ⊗ e〖k 7→
ρ〨g〩ij ρ〖〨g〩kl ej ⊗ e〖l〨〳〮〳〮〴〱〩jlと作用する。そこで V ⊗ V〖 の元
δ 〺〽

X
i

を考えると、
δ 7→

XX
i

jl

ei ⊗ e〖iρ〨g〩ij ρ〖〨g〩il ej ⊗ e〖l 〽 δ〨〳〮〳〮〴〲〩〨〳〮〳〮〴〳〩となった。 i の和は ρ〨g〩 を複素共役して転置して作用していることになって ρ〨g〩ij はユニタリ行列であることを思い出せば取れる。
〳〮〳〮〱〰

実表現

つぎに実表現について考える〺
定義 〳〮〳〮〱〴 V ' V〖 のとき、 V を〨広い意味での〩実表現 〨ひづちぬ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 という。
「広い意味での」とつけた理由はすぐに説明する。
例として、Zn の表現 χk 〨x〩 〺〽 e2πikx/n に対しては、 χ〖k 〽 χ−k である。よって、k 〽 〰
はいつでも実表現、n 〽 〲N なら χN も実表現。それ以外はすべて複素表現である。
また、 D8 と Q8 に関しては、 上でみた指標表がすべて実数だから、 すべて ρ〖 ' ρ〬σ
〖 ' σ となっており、すべて広い意味での実表現である。
D8 の既約表現 ρ2 の行列表示は成分すべてが実である。だから ρ2 〽 ρ〖2 なのはあたりまえである。 Q8 の既約表現 σ2 の行列表示はかならずしも成分すべては実でない。 どのように基底をとりかえても、行列表示を実には出来ないことが知られている。
このことをきちんと調べよう。 まず、一般に、κ 〺 V → V〖 を成分全部に複素共役をつける自然な写像とする。これは反ユニタリである〺κcv 〽 c〖κv.

〨〳〮〳〮〴〴〩

κρ〨g〩 〽 ρ〖〨g〩κ〨〳〮〳〮〴〵〩

また、あたりまえだが、〶〶である。さて、広い意味で 〨V, ρ〩 が実だとする。これは V ' V〖 ということだから、基底の取り換え行列 M 〺 V〖 → V があってM ρ〖〨g〩 〽 ρ〨g〩M〨〳〮〳〮〴〶〩ということである。M はユニタリである。すると、κ と M を組み合わせて、
τ 〽 Mκ 〺 V → V〨〳〮〳〮〴〷〩τ ρ〨g〩 〽 ρ〨g〩τ〨〳〮〳〮〴〸〩という反ユニタリ写像があって、である。
さて、いま V がさらに既約だとする。すると τ 2 〺 V → V はユニタリでかつτ 2 ρ〨g〩 〽 ρ〨g〩τ 2〨〳〮〳〮〴〹〩

をみたす。よってシューアの補題より τ 2 〽 c 、ただし c は絶対値 〱 の実数である。実はc 〽 ±〱 である。なぜならcτ 〽 〨τ 2 〩τ 〽 τ 3 〽 τ 〨τ 2 〩 〽 τ c〨〳〮〳〮〵〰〩

であるが、τ は反ユニタリだからc〖τ 〽 τ c〨〳〮〳〮〵〱〩であるので、c 〽 c〖 となるからである。よって、実既約表現には τ 2 〽 ±〱 の二つの種類がある。
τ 2 〽 〱 のばあいは、勝手なベクトル v ∈ V はv 〽 w 〫 w0 ,w〽

v 〫 τvv − τv, w0 〽
〲〲〨〳〮〳〮〵〲〩と分解できて、τ w 〽 w、τ w0 〽 −w0 なので、複素ベクトル空間 V は実な部分
W 〽 {w ∈ V | w 〽 τ w}〨〳〮〳〮〵〳〩

W 0 〽 {w0 ∈ V | w0 〽 −τ w0 }〨〳〮〳〮〵〴〩と純虚な部分に分解することができる。 W は実ベクトル空間である。 そうすると ρ〨g〩 〺 W → W だから、これは実ベクトル空間から実ベクトル空間への写像なので、行列表示は成分がすべて実である。また逆に、適切な基底をとって行列表示の成分がすべて実にできるような表現
であれば、τ 〺 V → V をその基底において複素共役をとる写像とさだめると、当然 τ 2 〽 〱である。
よって、τ 2 〽 〱 である広い意味での実表現は、実際に基底を適切にとって実行列で書ける表現のことだとわかった。これを狭義の実表現 〨びぴひどっぴぬべ ひづちぬ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 という。
τ 2 〽 −〱 を満たす広い意味での実表現は、 そういうことができない変な表現である。
これを擬実表現 〨ばびづふつはひづちぬ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 という。 Q8 の σ2 は擬実表現である。実際、
!
! !
a
〰 −〱
a
〖
τ
〺〽
〨〳〮〳〮〵〵〩
〖b
b
〱 〰
〶〷

と定めると、
σ2 〨g〩τ 〽 τ σ2 〨g〩〨〳〮〳〮〵〶〩

が計算で確認できるが、この τ は τ 2 〽 −〱 をみたす。
そもそも、擬実表現 〨V, ρ〩 に対して、j 〽 τ と定めると、i2 〽 j 2 〽 −〱〬 ij 〽 −ji を満たす。そこで k 〺〽 ij と定めると、i〬 j〬 k は四元数の関係式をみたし、これらは ρ〨g〩 と交換する。よって、V は四元数ベクトル空間だと思える。この理由から、擬実表現は四元数
表現とも呼ばれる。まとめると〺
事実 〳〮〳〮〱〵 既約表現 〨V, ρ〩 が広い意味で実 V ' V〖 というのは、自然な反ユニタリ
写像 τ 〺 V → V があって ρ と交換するということである。それには二通りある〺• τ 2 〽 〱 であるものを狭義の実表現 〨びぴひどっぴぬべ ひづちぬ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 と呼び、行列表
示の成分がすべて実数であるようにとれる。
• τ 2 〽 −〱 であるものを擬実表現 〨ばびづふつはひづちぬ ひづばひづびづのぴちぴどはの〩 と呼び、実質四元数のうえの表現である。
〳〮〳〮〱〱

時間反転とクラマース縮退

前節での考察は、時間反転対称性を量子力学で考える際に必要になる。 古典力学的には、運動方程式は t → −t という時間反転の作用で対称であることが多い。これは x は固定するが p → −p となる。 量子力学において時間反転が T という演算子であらわされるとす
ると、
TxbT −1 〽 xb,
T pbT −1 〽 −bp〨〳〮〳〮〵〷〩であって欲しいが、せb
x, pbそ 〽 i~ なので、これから

T iT −1 〽 −i〨〳〮〳〮〵〸〩

でなければ困ることになる。もっと一般に複素数 c に対してT c 〽 c〖T〨〳〮〳〮〵〹〩となることになって、時間反転演算子
 T は反ユニタリであることがわかった。
ヒルベルト空間の内積を |ai , |bi と書くことにすると、ユニタリ変換 U は |ai , |bi 〽 U |ai , U |biを満たすが、反ユニタリ変換 T は |ai , |bi 〽 T |bi , T |aiを満たす。これは、c |ai , c0 |bi 〽 c〖c0 |ai , |bi

だったことを思い出せばわかる。 |ai 〽 |はふぴi〬 |bi 〽 |どのi と書くと、〨〳〮〳〮〶〱〩 は 
|はふぴi , |どのi 〽 T |どのi , T |はふぴi〶〸〨〳〮〳〮〶〰〩〨〳〮〳〮〶〱〩〨〳〮〳〮〶〲〩〨〳〮〳〮〶〳〩

となって、どの 状態と はふぴ 状態を入れ替えるので、これも時間反転らしい振舞いだと言える。 ここで、 ぢひち を使わなかったのには理由がある。 〨〳〮〳〮〶〱〩 を ぢひち を使って書いてみて、どう混乱するか考えてみよう。
古典的には、時間反転は二回やるともとにもどる。 量子力学では、状態ベクトルの複素数倍には意味がないので、 何か複素数 c があって、 T 2 〽 c となっているはずである。
前と同じ議論により、T 2 〽 ±〱 であることになる。
考えている系が T 2 〽 −〱 をみたすような時間反転対称性をもつとする。ハミルトニア
ン H は T H 〽 HT を満たす。 さて、ひとつ H の固有状態 H |ai 〽 E |ai をとってくる。
当然 |bi 〺〽 T |ai も H |bi 〽 E |bi を満たして同じエネルギーをもつ。 ここで |bi と |ai は必ず異なる状態である、なぜなら

 
 
 



|ai , T |ai 〽 |ai , |bi 〽 T |bi , T |ai 〽 T 2 |ai , T |ai 〽 − |ai , T |ai〨〳〮〳〮〶〴〩


より |ai , |bi 〽 〰 だからである。

これより、T 2 〽 −〱 であるような時間反転対称性をもつ系の全ての固有状態は二重に縮退することがわかった。これを かひちねづひび 縮退という。
ユニタリな対称性 G と時間反転対称性 T がある場合は、ヒルベルト空間 H にはユニ
タリな ρ〨g〩 と反ユニタリな T が作用し、さらに T ρ〨g〩 〽 ρ〨g〩T を満たすことになる。こういうのを調べることは、結局 G の表現の〨擬、狭義〩実性を調べることになる。
〳〮〳〮〱〲

実表現と対称性

広い意味での実表現が狭義実か擬実かという違いは、 〨反〩対称性とも関係している。 Vを既約表現とする。 V ⊗ V〖 にはかならず一回自明な表現が含まれることを以前みた。 い
ま V ' V〖 を実既約表現とする。 すると V ⊗ V〖 ' V ⊗ V なので、かならず一回自明な表
現がそこに含まれる。 しかし V ⊗ V 〽 こべね2 V ⊕ ∧2 V なので、自明な表現は こべね2 V か∧2 V のどちらかにのみ含まれる。
どちらに含まれるかを考えるため、τ 〺 V → V を群作用と交換する反ユニタリ演算子とする。 τ 2 〽 ±〱 である。V のユニタリ内積を hv, wi と書くことにして、〨v, w〩 〺〽 hτ v, wi〨〳〮〳〮〶〵〩

を考えると、これは v〬 w の両方に線形になる。 また、構成よりこれは G で不変である。
だからこれは実質 V ⊗ V 〨の双対〩 で G 不変なものを定める。前節の計算から
τ 2 〽 ±〱に応じて 〨v, w〩 〽 ±〨w, v〩〨〳〮〳〮〶〶〩と対称か反対称かが決まっている。
これより、狭義実なら こべね2 V に、擬実なら ∧2 V に自明な表現が含まれることがわかった。また、複素表現ならどちらにも自明な表現は含まれない。一方、事実 〳〮〳〮〱〱 より、
こべね2 V 〬 ∧2 V に自明な表現が含まれる回数はそれぞれ
〱 X〱
〱
〱 X
せχV 〨g〩2 ± χV 〨g 2 〩そ 〽 せhχV̄ , χV i ±χV 〨g 2 〩そ|G| g 〲〲
|G| g〨〳〮〳〮〶〷〩である。これが 〨〰, 〰〩〬 〨〱, 〰〩〬 〨〰, 〱〩 であるのを場合わけすれば、次の定理が示された〺〶〹事実 〳〮〳〮〱〶 群 G の既約表現 〨V, ρ〩 に対し、
S〽

〱 X
χV 〨g 2 〩|G| gは 〰〬 〱〬 −〱 のどれかに限る。 また、それぞれ V が複素表現、狭義実表現、擬実表現のときである。
S を うひはぢづのどふび〭こっとふひ どのつどっちぴはひ と呼ぶ。
〳〮〳〮〱〳

時間反転の混ざった群について

以上、群 G のユニタリ表現の狭義実性、擬実性をしらべるのは時間反転対称性 T とのかねあいで出てくることをみたが、実際の系ではもっとややこしい状況がありうる。たとえば、量子力学系のハミルトニアンで、時間反転を含む対称性があるが、〨t, へ〩 への作用がどうしても空間への非自明な作用 A を伴って
g 〺 〨t, へ〩 7→ 〨−t, Aへ〩〨〳〮〳〮〶〸〩と作用することがある。この場合、g 2 は
g 2 〺 〨t, へ〩 7→ 〨t, A2 へ〩となって普通の対称性だが、A2 は自明な操作とは限らない。 59
抽象的には、群 G で、
G 〽 G0 t G1〨〳〮〳〮〶〹〩〨〳〮〳〮〷〰〩と分解されていて、G0 は時間反転を含まない作用からなる部分群であり、 G1 の元は時間反転を含む作用であって、σ ∈ G1 に対しいつでも σ 2 ∈ G0 となっている。 このとき、ヒルベルト空間には G0 の元はユニタリに、G1 の元は反ユニタリに作用することになる。
G 〽 G0 × Z2 のときは G0 の通常の話に帰着する
こういうユニタリと反ユニタリのまじった表現にどのようなものがあるかを調べることは基本的な問題である。これは しどでのづひ がその有名な教科書で既にほぼやってある。 60
彼はこういう表現を っはねばぬづへ っはのなふでちぴづ ひづばひづびづのぴちぴどはの だから っは〭ひづばひづびづのぴちぴどはの と読んだが、 その後の数学の発展で っは〭ひづばひづびづのぴちぴどはの は全然別の意味を持つようになってそちらが主流なので、なかなか っは〭ひづばひづびづのぴちぴどはの を検索してもこちらの話題が出てこない。
結論は G 〽 G0 × Z2 のときとほぼ同じである。 G0 の既約表現 V に対して、複素共役表現を s ∈ G1 から定まる G0 の自己同型で捻ったものを Vま と書く。定義から、反ユニタ
リな κ 〺 V → Vま で
ρま〨sgs−1 〩κ 〽 κρ〨g〩〨〳〮〳〮〷〱〩
を満たす。
• V 6' Vま のばあいがぜ複素表現〢に相当して、対応する G の既約 っは〭表現は V ⊕ Vま である。
点群の拡張としては黒白群 (black-and-white group)、 結晶群の拡張としては磁気空間群 (magnetic
space group) という。 三次元では磁気空間群は 1651 種類あるらしい。 最近の物性理論の論文はたとえば
Watanabe-Po-Vishwanath, arXiv:1707.01903 などをみよ。
60
Wigner, “Group Theory and Its Applications to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra”, Academic
Press.
59〷〰

• V ' Vま の場合、反ユニタリな σ 〺 V → V でρ〨sgs−1 〩σ 〽 σρ〨g〩〨〳〮〳〮〷〲〩

を満たすことになるから、σ 2 〽 ±ρ〨s2 〩 となることになる。
ほ この符号が 〫 のときがぜ狭義実〢に相当し、対応する G の既約 っは〭表現は V そのもの、
ほ この符号が − のときがぜ狭義実〢に相当し、対応する G の既約 っは〭表現は V ⊕ Vとなる。 うひはぢづのどふび〭こっとふひ どのつどっちぴはひ の対応物もあり61、単にS〽

〱 X
χV 〨g 2 〩|G0 |〨〳〮〳〮〷〳〩g∈G1を考えれば良い。S 〽 〰, 〫〱, −〱 のどれかであって、それぞれぜ複素〢〬 ぜ狭義実〢〬 ぜ擬実〢 に対応する。 62

3.4

コンパクト連続群の表現

有限群の表現はいろいろ考えたので、連続群の表現にうつろう。
〳〮〴〮〱

リー代数

以下、考える連続群 G は n × n 行列のなす群の部分群として与えられているとする。 特に単位元 〱 ∈ G は単位行列で与えられている。単位元に近い元 A ∈ G を小さな実数  を用いてA 〽 〱 〫 a 〫 O〨2 〩〨〳〮〴〮〱〩と書くと、 a も n × n 行列である。 逆に、n × n 行列 a で、何か小さな実数  を用いて〨〳〮〴〮〱〩 が G の元になるようにできるもの全体を g と書こう。
t を実数として At ∈ G であろう。さてAt 〽 〱 〫 ta 〫 O〨2 〩〨〳〮〴〮〲〩

だから、a ∈ g なら ta ∈ g である。またB 〽 〱 〫 b 〫 O〨2 〩〨〳〮〴〮〳〩AB 〽 〱 〫 〨a 〫 b〩 〫 O〨2 〩〨〳〮〴〮〴〩であってだから、a, b ∈ g なら a 〫 b ∈ g である。よって g は実ベクトル空間である。
61

Herring, “Effect of Time-Reversal Symmetry on Energy Bands of Crystals”, Phys. Rev. 52 (1937) 361。こ
の事実は何度も後に独立に発見されたようである、例えば Dimmock, “Representation theory for nonunitarygroups”, J. Math. Phys. 4 (1963) 1307。
62
但し、3.3.12 節でやった証明はこの拡張には使えない。 上記 Herring はきちんと証明をかいているようには見えない。Dimmock の証明はわかるが Wigner の教科書に書いてある具体的な co-表現の形をつかってしまうので気に入らない。 3.3.12 節の方法を改良して、一般の場合に適用できるようにできないものだろうか?

〷〱さらに、すこし詳しくA 〽 〱 〫 a 〫 2 a0 〫 · · · ,B 〽 〱 〫 b 〫 2 b0 〫 · · · ,〨〳〮〴〮〵〩

とかいておくとAB 〽 〱〫〨a〫b〩〫2 〨a0 〫b0 〫ab〩〫· · · ,BA 〽 〱〫〨a〫b〩〫2 〨a0 〫b0 〫ba〩〫· · · ,〨〳〮〴〮〶〩

なので、AB〨BA〩−1 〽 〱 〫 2 〨ab − ba〩 〫 · · ·〨〳〮〴〮〷〩となる。 2 自体を小さい実数パラメタと思うことが出来るので、 これより せa, bそ 〺〽
ab − ba ∈ g である。
行列の交換子 せa, bそ 〺〽 ab − ba は次の性質をみたす〺• せa, bそ は a〬 b のそれぞれについて線形である。
• せa, bそ 〽 −せb, aそ。これを反交換性という。
• せa, せb, cそそ 〫 せb, せc, aそそ 〫 せc, せa, bそそ 〽 〰。これをヤコビ律という。
そこで次の定義をする〺
定義 〳〮〴〮〱 実線形空間 g で、上記の三性質をみたす操作 g 3 a, b
られたものをリー代数 〨がどづ ちぬでづぢひち〩 もしくはリー環という。

せa, bそ ∈ f g が与え

英語では がどづ ひどので とは言わないと思うが、日本語ではリー環と良くよばれる気がする63。
n × n 行列のなす空間は せa, bそ 〽 ab − ba とすることによって自然にリー環になる。 しかし、リー環 g には掛け算操作 g 3 a, b
ab ∈ f g そのものが定まっていることは要求しないことを注意しておく。たとえば〺
例 〳〮〴〮〲 三次元空間 R3 のふたつの元 a, b に対し、せa, bそ 〺〽 a × b をベクトル積で定める。これはリー代数になる。
実際、線形性と反交換性はよく知られていて、さらに基底を ex 〬 ey 〬 ez ととると、
せex , ey そ 〽 ez ,せey , ez そ 〽 ex ,せez , ex そ 〽 ey〨〳〮〴〮〸〩であって、がんばれば おちっはぢど 律をみたすことも示せる。
この節のはじめの考察は次のことを意味している〺
事実 〳〮〴〮〳 連続群 G の単位元の近傍を考えることによってリー代数 g が取り出せる。また、逆に指数関数写像がある〺
づへば 〺 g 3 tg 7→ づへば〨tg〩 〽 etg ∈ G
具体的に こさ〨〲〩 と こく〨〳〩 に対応するリー代数 su〨〲〩 と so〨〳〩 を決めよう。
63

僕は日本語の教科書としては佐竹「リー環の話」日本評論社が好きだ。

〷〲

リー代数 su〨〲〩〺 こさ〨〲〩 の元は 〲 × 〲 行列でユニタリ U U † 〽 〱 で つづぴ U 〽 〱 なものだった。 U 〽 〱 〫 X と書くと、ユニタリ性から X 〫 X † 〽 〰 を、 つづぴ U 〽 〱 から ぴひ X 〽 〰 得る。すなわち、X は反エルミートでトレースがゼロである。そのような X はパウリ行列
を用いて
!
!
!
〱
〱
〱
〱 〰 −i〱 〰 −〱〱 −i 〰
, τy 〺〽 − iσy 〽
, τz 〺〽 − iσz 〽
τx 〺〽 − iσx 〽
〲〲 −i 〰
〲
〲 〱 〰
〲
〲 〰 i
〨〳〮〴〮〹〩の線形結合としてかける。リー括弧はせτx , τy そ 〽 τz ,せτy , τz そ 〽 τx ,せτz , τx そ 〽 τy〨〳〮〴〮〱〰〩となって、 R3 のベクトル積と同じになる。 〨τx,y,z の定義の変な係数はこのためにいれた。−〱/〲 倍しておかないと、せτx , τy そ 〽 −〲τz になってしまう。〩
リー代数 so〨〳〩〺 また、こく〨〳〩 の元は 〳×〳 実行列で M M t 〽 〱 なものだった。 M 〽 〱〫Xと書くと、X 〫 X t 〽 〰 を得る。すなわち、X は反対称である。そのような X は






〰 〰 〰
〰 〰 〱
〰 −〱 〰
λx 〺〽 〰 〰 −〱 , λy 〺〽  〰 〰 〰 , λz 〺〽 〱 〰 〰〨〳〮〴〮〱〱〩〰 〱 〰
−〱 〰 〰
〰 〰 〰

の線形結合でかける。これらのリー括弧は
せλx , λy そ 〽 λz ,せλy , λz そ 〽 λx ,せλz , λx そ 〽 λy〨〳〮〴〮〱〲〩

せLz , Lx そ 〽 i~Ly〨〳〮〴〮〱〳〩となる。
また、量子力学において、角運動量演算子はせLx , Ly そ 〽 i~Lz ,せLy , Lz そ 〽 i~Lx ,という交換関係をみたした。よって、 `x,y,z 〺〽 Lx,y,z /〨i~〩 と定めると、これらはせ`x , `y そ 〽 `z ,せ`y , `z そ 〽 `x ,せ`z , `x そ 〽 `y〨〳〮〴〮〱〴〩

を満たす。
まとめると、つぎのことがわかった〺
事実 〳〮〴〮〴 群 こさ〨〲〩 および こく〨〳〩 に対応するリー代数 su〨〲〩〬 so〨〳〩 は自然に同型で、ベクトル空間 R3 にベクトル積 × でリー括弧をいれたリー代数と、 また角運動量演
算子の i 倍のなすリー代数とも同型である。
とくに こく〨〳〩 と so〨〳〩 の場合において、


〰
〰
〰


eθλx 〽 〰 っはび θ − びどの θ〰 びどの θ っはび θ〨〳〮〴〮〱〵〩

であるから、λx は x 軸まわりの回転を生成する。角運動量演算子は、回転の生成子である。
〷〳

〳〮〴〮〲

リー代数の表現群 G のユニタリ表現 〨V, ρ〩 は群の元 g に対し ρ〨g〩 〺 V → V がユニタリ変換で、
ρ〨g〩ρ〨h〩 〽 ρ〨gh〩 なるものであった。
単位元にちかい元を g 〽 〱 〫 a 〫 · · · として書くと、ρ〨g〩 〽 〱 〫 ρ〨a〩 〫 · · · とかきたい。 すると、 対応して ρ〨せa, bそ〩 〽 せρ〨a〩, ρ〨b〩そ が成立する。 ρ〨g〩 がユニタリならば、 ρ〨a〩は反エルミートである〺 ρ〨a〩† 〽 −ρ〨a〩〮 そこで、次のように決める〺
定義 〳〮〴〮〵 リー代数 g の表現 〨V, ρ〩 は、元 a に対して線形変換 ρ〨a〩 〺 V → V が与えられ、
ρ〨せa, bそ〩 〽 せρ〨a〩, ρ〨b〩そをみたすものである。ユニタリ表現とは、ρ〨x〩 が反エルミートであるときである。
また、群の表現 〨V, ρ〩〬 〨W, σ〩 の直和 〨V ⊕ W, ρ ⊕ σ〩は〨ρ ⊕ σ〩〨g〩 〺 v ⊕ w 7→ ρ〨g〩v ⊕ σ〨g〩w〨〳〮〴〮〱〶〩とするものだった。そこで g 〽 〱 〫 a 〫 · · · とすると、〨ρ ⊕ σ〩〨a〩 〺 v ⊕ w 7→ ρ〨a〩v ⊕ σ〨a〩w〨〳〮〴〮〱〷〩となる。一般に定義 〳〮〴〮〶 リー代数 g の表現 〨V, ρ〩 と 〨W, σ〩 にたいして、その直和 〨V ⊕ W, ρ ⊕ σ〩を上式で定める。直和に分解出来ないユニタリ表現を既約ユニタリ表現であるという。
上記の定義は、つぎのことが成り立つようにつくった〺
事実 〳〮〴〮〷 群 G の表現 〨V, ρ〩 から、自然にそのリー代数 g の表現 〨V, ρ〩 が定まる。
逆にリー代数 g の表現 〨V, ρ〩 があった際に、 G 3 g はうまく x ∈ g ととって g 〽 ex とかけるのであるから、 ρ〨g〩 〽 eρ(x) と定めれば良さそうに思える。が、うまくいかないことがしばしばある。これを実例を通してみよう。
〳〮〴〮〳

su〨〲〩 の表現

su〨〲〩 のユニタリ表現をすべて決定しよう。これは、角運動量との関係で量子力学〲の講義でやったはずである。しかし、重要なのでもう一度やろう。
これまで、数学者のコンベンションにしたがって `x,y,z は反エルミートにとっていたが、物理屋のコンベンションにしたがってここでは i 倍ずらして `x,y,z 〺〽 Lx,y,z /~ と定めて、これらがせ`x , `y そ 〽 i`z , せ`y , `z そ 〽 i`x , せ`z , `x そ 〽 i`y〨〳〮〴〮〱〸〩
を満たすようにする。その表現 〨V, ρ〩 に対しても、ブラケット記法を用い、面倒くさいので ρ〨`x 〩 を `x と略記する。

〷〴

~`2 は非負〺

まず、~`2 〺〽 `2 〫 `2 〫 `2xyy〨〳〮〴〮〱〹〩

X〨〳〮〴〮〲〰〩とする。これはエルミートであり、hψ| ~`2 |ψi 〽

a=x,y,z|`a |ψi |2 ≥ 〰

より、 ~`2 の固有値は非負。 この非負固有値を j〨j 〫 〱〩 と書くのが標準的である〺 ~`2 |ψi 〽
j〨j 〫 〱〩 |ψi〮 ただし、j は非負にとる。j を角運動量の大きさと呼ぶ。なぜ ~`2 の固有値を
j 2 もしくは `2 と書かないかはすぐにわかる。
`x,y,z は角運動量の大きさ j を変えない〺

また、上記交換関係より、

せ`x , ~`2 そ 〽 せ`y , ~`2 そ 〽 せ`z , ~`2 そ 〽 〰

〨〳〮〴〮〲〱〩となる。これより、部分空間 Hj を、 ~`2 が固有値 j〨j 〫 〱〩 をとるベクトル全体とすると、`x,y,z は Hj を Hj にうつす。
j を固定すると `z の固有値 m の絶対値には上限がある〺`z |mi 〽 m |mi を取る。

Hj から `z の固有状態j〨j 〫 〱〩 〽 hm| ~`2 |mi ≥ hm| `2z |mi 〽 m2〨〳〮〴〮〲〲〩

より `z の固有値の絶対値 |m| には上限がある。
`± 〺〽 `x ± i`y は `z の固有値を ±〱 する〺 さて、`+ 〽 `x 〫 i`y および `− 〽 `†+ 〽 `x − i`yを定義すると、
せ`+ , `− そ 〽 〲`z , せ`z , `+ そ 〽 `+ , せ`z , `− そ 〽 −`−〨〳〮〴〮〲〳〩となるから、調和振動子のときと同様、`z 〨`+ |mi〩 〽 〨m 〫 〱〩`+ |mi ,`z 〨`− |mi〩 〽 〨m − 〱〩`− |mi〨〳〮〴〮〲〴〩となる。
これより、 〨`+ 〩n |mi はノンゼロであれば `z の固有値 m 〫 n の固有ベクトル、〨`− 〩n |mi はノンゼロであれば `z の固有値 m − n の固有ベクトル。 `z の固有値の絶対値には上限があったから、 〨`+ 〩n |mi 〽
6 〰 だが 〨`+ 〩n+1 |mi 〽 〰 であるような n がある。 同00様に、〨`− 〩n |mi 〽
6 〰 だが 〨`+ 〩n +1 |mi 〽 〰 であるような n0 がある。
`± を可能な限り掛けることにより、 角運動量の大きさ j は半整数であることがわかる〺
そこで、|〫i 〺〽 〨`+ 〩n |mi について考えると、`+ |〫i 〽 〰 である。 |〫i は構成より `z の固有ベクトルなので、固有値を mmax 〺〽 m 〫 n と書く。一般に~`2 〽 `− `+ 〫 `z 〫 `2z〨〳〮〴〮〲〵〩であるので、これを h〫|〬 |〫i で挟んで、j〨j 〫 〱〩 〽 mmax 〨mmax 〫 〱〩〷〵〨〳〮〴〮〲〶〩

0である。 よって、mmax 〽 j もしくは −〱 − j〮 同様に、|−i 〺〽 〨`− 〩n |mi について考えると、`− |−i 〽 〰 であって、 |−i における `z の固有値を mmin 〺〽 m − n0 と書くと、一般に~`2 〽 `+ `− − `z 〫 `2z〨〳〮〴〮〲〷〩であるので、これを h−|〬 |−i で挟んで、j〨j 〫 〱〩 〽 mmin 〨mmin 〫 〱〩〨〳〮〴〮〲〸〩となる。よって、mmin 〽 −j もしくは 〱 〫 j。
構成より、mmin ≤ mmax なので、mmax 〽 j〬 mmin 〽 −j とわかった。また、j 〽 m 〫 n〬−j 〽 m − n0 なので、〲j 〽 n 〫 n0、より j は非負の整数か半整数であることがわかった。
角運動量の大きさ j を固定すると、 `± の作用は決まってしまう〺 そこで、 角運動量の大きさ j を非負の整数もしくは半整数とする。 `z |ji 〽 j |ji なる `z の固有ベクトルがある。 |j − ni ∝ 〨`− 〩n |`i は `z の固有値 j − n の固有ベクトルで、n は 〰 から 〲j まで許され、n 〽 〲j 〫 〱 にするとベクトルがゼロになってしまう。 〨`− 〩n |ji を規格化したものを|j − ni と書く。`± の作用を決定してしまおう。まず、`+ |mi 〽 c |m 〫 〱i〨〳〮〴〮〲〹〩

であるが、
|`+ |mi |2 〽 hm| `− `+ |mi 〽 hm| ~`2 − `z 〨`z 〫 〱〩 |mi 〽 j〨j〫〱〩−m〨m〫〱〩 〽 〨j−m〩〨j〫m〫〱〩〨〳〮〴〮〳〰〩pなので、c 〽 〨j − m〩〨j 〫 m 〫 〱〩 としてよい。`− についても同様に計算できて、
p`± |mi 〽 〨j ∓ m〩〨j ± m 〫 〱〩 |m ± 〱i ,〨〳〮〴〮〳〱〩がわかった。
`± がきまれば `x,y がきまるので、これより、勝手な非負〨半〩整数の角運動量の大きさ
j について、`x,y,z の作用が矛盾なく定義できることもわかった。
以上の考察より、つぎのことがわかった〺
事実 〳〮〴〮〸 リー代数 su〨〲〩 ' so〨〳〩 の既約表現は、 非負〨半〩整数 j 〽 〰, 〱/〲, 〱, 〳/〲, . . .
で指定される 〲j 〫 〱 次元表現 〨Vj , ρj 〩であって、そのとき ρj 〨`z 〩 の固有値はm 〽 −j, −j 〫 〱, · · · , j
であたえらえる。
〳〮〴〮〴

su〨〲〩 の表現、こさ〨〲〩 の表現、こく〨〳〩 の表現と球面調和関数

さて、これらのリー代数の表現 〨Vj , ρj 〩 は群 こさ〨〲〩〬 こく〨〳〩 の表現になるだろうか〿
まず、 j が半奇数であると こく〨〳〩 の表現にはなりえないことをみよう。 上で見たよ
うに、 eiθρ(`z ) は z 軸まわりの θ だけの回転である。 こく〨〳〩 では 〳〶〰◦ 回転はもとに戻る、 すなわち e2πi`z 〽 〱 ∈ こく〨〳〩 であるので、 表現にかんしても e2πiρ(`z ) 〽 〱 でないといけない。 よって、 ρ〨`z 〩 の固有値は整数でないといけない。 さて、 j が整数のばあい〷〶ρ〨`z 〩 の固有値は整数だが、 j が半奇数の場合 ρ〨`z 〩 の固有値は整数でない。具体的には、
e2πiρn+1/2 (`z ) 〽 −〱 6〽 〱 である。よって j が半奇数の場合は、こく〨〳〩 の表現にはならない。
量子力学では、 角運動量の大きさ j が整数なら状態 ψ は〳〶〰◦ 回転でもとに戻るが、角運動量の大きさが半整数なら状態 ψ は 〳〶〰◦ 回転すると符号が −〱 だけつくということである。同種粒子について学ぶ際、ボゾン、フェルミオンという区別を習うが、特殊相対性理論と量子力学を使うと、j が整数だとボゾン、j が半整数だとフェルミオンであることが示せる。これを、スピン統計性の定理という。
これから、j が整数なら こく〨〳〩 の表現になること、また、勝手な j のものが こさ〨〲〩 の表現になることをみよう。これは一般論でも出来るのだが、勉強になるので、具体的に表現をつくることによって示そう。
こく〨〳〩 の表現と球面調和関数〺 球面 S 2 〽 {〨x, y, z〩 ∈ R3 | x2 〫 y 2 〫 z 2 〽 〱} を考える。球面上の関数 f 〺 S 2 → C は無限次元の線形空間になる。 S 2 には回転 こく〨〳〩 が作用するので、球面上の関数全体は こく〨〳〩 の表現になる。これを既約分解するとどうなるだろうか〿
答えは皆さん既にまなんだことがあって、球面調和関数であたえらえる。 三次元のラプラシアンは極座標をとると
4 〽 r−2∂ 2∂
4 2r〫 S2 ,∂r ∂r
r

4S 2 〽

〱 ∂
∂
〱
∂2
びどの θ
〫
びどの θ ∂θ∂θ 〨びどの θ〩2 ∂φ2〨〳〮〴〮〳〲〩であったが、角度方向のラプラシアンの固有値は ` を非負整数として4S 2 〽 −`〨` 〫 〱〩〨〳〮〴〮〳〳〩であり、固有関数は(m)

Y`,m ∝ eimφ Pl(m)

ただし m 〽 −`, −` 〫 〱, . . . , 〫` 、Pl〨っはび θ〩〨〳〮〴〮〳〴〩

はルジャンドル陪関数だった。
`z 〽 i∂φ〨〳〮〴〮〳〵〩

なので、確かに m は `z の固有値である。よって、{S 2 上の関数全体} 〽 V0 ⊕ V1 ⊕ V2 ⊕ V3 · · ·〨〳〮〴〮〳〶〩となって、 〲` 〫 〱 次元表現 V` は構成より こく〨〳〩 の表現である。
一般の次元の球面調和関数〺 ここで脱線して、一般次元の球面 S n−1 〽 {x21 〫 x22 〫 · · · 〫x2n 〽 〱} の上の関数を高次元の球面調和関数で分解するにはどうすればよいかをみておこう。一般の次元のラプラシアンは
4〽

∂2
∂2
〫
·
·
·
〫
∂x1 2
∂xn 2

〨〳〮〴〮〳〷〩である。極座標をつかうと
4 〽 r−(n−1)と分解出来る。 ただし、 r 〽
る。

∂ n−1 ∂〱r
〫 2 4S n−1∂r∂r r〨〳〮〴〮〳〸〩

p|x1 |2 〫 · · · 〫 |xn |2 で、 角度座標 θ1 , . . . , θn−1 は適切にと〷〷

一般に、S n−1 上の関数 f を考えるかわりに、単位球内部の関数 g で4g 〽 〰

g|r=1 〽 f,〨〳〮〴〮〳〹〩

なる調和関数をかんがえても良い。 〨三次元ならば、球の表面で温度を与えたときの熱方程式の解である。〩 さて、かってな g は多項式で近似できるので、それを次数ごとに分解する。gd が x1,...,n の d 次式であるとすると、
gd 〨r, θ1 , . . . , θn−1 〩 〽 rd fd 〨θ1 , . . . , θn−1 〩〨〳〮〴〮〴〰〩だから、
r−(n−1)4gd 〽 〰,

∂ n−1 ∂
rgd 〽 d〨d 〫 n − 〲〩∂r∂r〨〳〮〴〮〴〱〩

より
4S n−1 fd 〽 −d〨d 〫 n − 〲〩fd〨〳〮〴〮〴〲〩と判った。
(m)
この構成はいつもの S 2 の場合にもつかえる。特に、球面調和関数 Y`,m ∝ eimφ Pl 〨っはび θ〩
はルジャンドル多項式とかが入ってややこしいけれど、単に x, y, z の三変数 m 次多項式でラプラシアンがゼロのものを球面上に制限したもので与えられるということがわかった。例えば、` 〽 〱 だとY1,1 ∝ eiφ 〽 x 〫 iy,

Y1,0 ∝ っはび θ 〽 z,

Y1,−1 ∝ e−iφ 〽 x − iy〨〳〮〴〮〴〳〩である。
さて、 一般次元の話に戻って、 線形独立な fd の数は、 n 変数 d 次多項式の数から、

四変数 〨d − 〲〩 次多項式の数をひけば良い。n 変数 d 次多項式の基底の数は d+n−1なのn−1で、ラプラシアンの固有値が −d〨d 〫 n − 〲〩 であるような、すなわち d 次式であたえらえるような超球面調和関数の数は

 

d〫n−〱
d〫n−〳
〣n,d 〽
−〨〳〮〴〮〴〴〩n−〱n−〱である。具体的にはn〽〳n〽〴〱 〫 〲d 〨〱 〫 d〩2

n〽〵
1
3
3
6 〨〶 〫 〱〳d 〫 〹d 〫 〲d 〩

···
···

〨〳〮〴〮〴〵〩となって、ひとつめの欄は Y`,m で ` 〽 d を固定すると m が 〱 〫 〲d 種類あることを再現した。
こさ〨〲〩 の表現〺

群 こさ〨〲〩 の勝手な元は
U〽

!
z −w
〖
,
w z〖

|z|2 〫 |w|2 〽 〱〨〳〮〴〮〴〶〩とかけた。 これの自然な二次元表現は、 単にこの行列を縦ベクトルで掛けることで決め
る〺
!
!
!
!
u
u0
z −w
〖
u
7→
〽
〨〳〮〴〮〴〷〩
v
v0
w z〖
v
〷〸

対応してリー代数の基底は 〨〳〮〴〮〹〩 で与えられた。 ρ〨`z 〩 と一般論で書いていたものは iτzに相当するので、その固有値は ±〱/〲 である。これは二次元既約表現 V1/2 である。
さて、他の表現をつくるために、二変数a, b の多項式全体のなす線形空間をP と書こう。 P の元 P は多項式だが、それを P 〺 〨a, b〩 7→ P 〨a, b〩 と、横ベクトル 〨a, b〩 に複素数を割り当てる関数だと思う。 U ∈ こさ〨〲〩 に対し〨ρ〨U 〩P 〩〨〨a, b〩〩 〽 P 〨〨a, b〩U 〩〨〳〮〴〮〴〸〩と定めると、〨P, ρ〩 は こさ〨〲〩 の表現になる。具体的には、
ρ〨U 〩b 〽 −wa〖 〫 z〖bρ〨U 〩a 〽 za 〫 wb,〨〳〮〴〮〴〹〩となる。 ρ〨U 〩 による作用は多項式の次数を保つので、〨a, b〩 の d 次式のなす線形空間を
Pd と書くとP 〽 P0 ⊕ P1 ⊕ · · ·〨〳〮〴〮〵〰〩と分解されて、それぞれの Pd が こさ〨〲〩 の表現になる。具体的には、基底はad ,ad−1 b, . . .

, bdの 〨d 〫 〱〩 個で、Pd は 〨d 〫 〱〩 次元である。
さて、特にU 〽 eit`z 〽

eit/2
〰
−it/2
〰
e

〨〳〮〴〮〵〱〩!

〨〳〮〴〮〵〲〩はρ〨U 〩b 〽 e−it/2 bρ〨U 〩a 〽 eit/2 a,〨〳〮〴〮〵〳〩と作用するので、
ρ〨U 〩am bn 〽 eit(m−n)/2b〨〳〮〴〮〵〴〩である。よって、Pd の基底での `z の固有値はd dd, − 〱, . . . , −〲 〲〲〨〳〮〴〮〵〵〩の d 〫 〱 個である。これはちょうどスピン j 〽 d/〲 の表現だった、すなわち Pd ' Vj 〮 d は勝手な非負整数なので、j は勝手な非負〨半〩整数である。
これで、リー代数 su〨〲〩 の勝手な既約表現 Vj が群 こさ〨〲〩 の表現になっていることがわかった。
こさ〨〲〩 の表現と S 3 の球面調和関数〺 有限群 G に関しては、勝手な既約表現 〨Vα , ρα 〩 に対して、その行列要素 fijα 〨g〩 〽 hei | ρα 〨g〩 |ej i を G 上の関数とおもうと、 fijα 達が自然にG上の関数の直交基底を与えるのだった。
よく証明を読み返すと、 そこの議論は G がコンパクト連続群の場合でも、 群上の和
R
P
−1
|G|
g∈G を群上の積分 G · · · dg に置き換えればそのまま使えることがわかる。 特に、G 〽 こさ〨〲〩 の場合は、群の空間は |z|2 〫 |w|2 〽 〱 すなわち S 3 であった。 よって、こさ〨〲〩の既約表現 Pd ' Vj に対して、その行列要素を こさ〨〲〩 ' S 3 上の関数だと思うと、それらは こさ〨〲〩 ' S 3 の直交関数系になるはずである。 すなわち、それらは S 3 の球面調和関数を与えるはずである。
〷〹

これを確認しよう。 そのためには行列要素を計算しないといけない。 Pd の基底は〨〳〮〴〮〵〱〩 に与えた。ei 〽 ad−i bi 〬 〨i 〽 〰, . . . , d〩 とすると、
ρ〨U 〩ei 〽 〨za 〫 wb〩d−i 〨−wa
〖 〫 z〖b〩i〨〳〮〴〮〵〶〩であるので、 〨i, j〩〭行列成分は 〨〳〮〴〮〵〶〩 を展開した際の ad−j bj の係数である。
いま式 〨〳〮〴〮〵〶〩 で |z|2 〫 |w|2 〽 〱 という条件を課さないことにしよう。 z 〽 x1 〫 ix2 〬w 〽 x3 〫 ix4 とかいた際、x1,2,3,4 のラプラシアンは4 〽 ∂z ∂z̄ 〫 ∂w ∂w̄〨〳〮〴〮〵〷〩

であるから、そもそも勝手な関数 f 〨a, b〩 に対して
4f 〨za 〫 wb, −wa〖 〫 z〖b〩 〽 〰

〨〳〮〴〮〵〸〩

なので、 〨〳〮〴〮〵〶〩 は 4 をするとゼロである。 であるから、 ad−j bj の係数をとっても、 4をするとゼロである。
よって、Pd への表現の行列成分は、z, w, z〖, w〖 の d 次多項式、すなわち x1,2,3,4 の d 次多項式で、ラプラシアンを掛けるとゼロであるようなものを、 |z|2 〫 |w|2 〽 〱 のところに制限したものであることがわかった。
これはまさに上で S n−1 の球面調和関数の一般論をやったときにみたことである。 S 3のときに、 d 次でラプラシアンで消える式が 〨d 〫 〱〩2 と丁度平方数になっていたのは、〨d 〫 〱〩 次元表現の行列要素の数 〨d 〫 〱〩2 であったからである。
〳〮〴〮〵

u〨N 〩 のおおまかな構造

次に一般論の前の肩慣らしとして、 さ〨N 〩 のリー代数の構造をしらべよう。
さ〨n〩 〽 {C 値 n × n 行列 U で Cn の長さをたもち、つづぴ 〽 〱 であるもの}〨〳〮〴〮〵〹〩

だったから、U 〽 〱 〫 X 〫 · · · とかけば、
u〨n〩 〽 {C 値 n × n 行列 X で X 〫 X † 〽 〰 なもの }〨〳〮〴〮〶〰〩である。 Eab を 〨a, b〩 成分のみ 〱 で他が全部ゼロであるような行列とすると、u〨n〩 の基
底は a < b に対してi〨Eab 〫 Eba 〩, , Eab − Eba ,〨〳〮〴〮〶〱〩
および勝手な a に対する
iEaa〨〳〮〴〮〶〲〩からなっている。 非対角なものが n2 − n 個あり、 対角なものが n 個ある。 特に、 a < bを固定して、〱ii〨Eab − Eba 〩, − 〨Eaa − Ebb 〩〨〳〮〴〮〶〳〩− 〨Eab 〫 Eba 〩,〲〲〲を考えると、行列として書くと
〱
〲

!
〰 −i
,
−i 〰

〱
〲

!
〰 −〱
,
〱 〰

〸〰

〱
〲

−i 〰
〰 i

!

〨〳〮〴〮〶〴〩

となる。ただし、行、列が a, b でないものはどうせ全部ゼロなので書かなかった。これは〨〳〮〴〮〹〩 でやった su〨〲〩 の基底とまったく同じである。
いいかえれば、 〱 ≤ a < b ≤ n を選ぶ毎に、 su〨〲〩a,b ⊂ su〨n〩 という埋め込みがある。
勝手な非対角項は適切な a < b に対してかならず一度だけ含まれる。 対角項には n 個の基底 E11 , . . . , Enn の 〨n2 − n〩/〲 個の線形結合があらわれる。
このように、su〨n〩 は、沢山の su〨〲〩 を、矛盾が無いよう、つじつまがあうように貼り合わせて出来ている。 これからやるリー代数の分類は、〨ある良いクラスの〩リー代数は、
su〨n〩 のように、沢山の su〨〲〩 の貼り合わせで出来ていること、を示して、つぎに、どのような貼り合わせ方が出来るか、ということを調べ尽くす、というものである。
〳〮〴〮〶

コンパクトリー代数とそのルート系

まず、コンパクト群に対するリー代数を特徴づける性質をみる。 u〨n〩 の場合、X 〫X † 〽 〰
は反エルミートである。そこで、
hX, Y i 〺〽 − ぴひ XY〨〳〮〴〮〶〵〩というものを考える。これは X, Y について対称で、実線形で、かつ X 〽 Y のときは Xが反エルミートだから非負である。 これによって、 u〨n〩 は内積付き実ベクトル空間になる。また、これは
hX, せY, Zそi 〽 − ぴひ XせY, Zそ 〽 −〨ぴひ XY Z − ぴひ XZY 〩〽 −〨ぴひ XY Z − ぴひ Y XZ〩 〽 ぴひせX, Y そZ 〽 hせX, Y そ, Zi 〨〳〮〴〮〶〶〩

を満たす。これは、内積が群の作用で不変であるというのの、リー代数版の式である。
定義 〳〮〴〮〹 実リー代数 g に、実正定値内積 hx, yi が定まっていて
hx, せy, zそi 〽 hせx, yそ, zi
をみたすとき、g をコンパクトなリー代数という。
コンパクトな連続群とコンパクトなリー代数は対応することが知られている。以下、コン
パクトなリー代数を分類しよう。
定義 〳〮〴〮〱〰 リー代数 g のカルタン部分代数 〨ぃちひぴちの びふぢちぬでづぢひち〩 とは、 その部分リー代数 h で、かってな h1 , h2 ∈ h に対して せh1 , h2 そ 〽 〰 がなりたつようなもので、もっとも次元の大きなものである。
量子力学では交換する演算子をなるべく沢山とってくるのが第一歩であるが、それをリー代数でやっているだけである。
g 〽 u〨n〩 に関しては、対角成分は互いに交換する。そこで、h としては、h 〽 {対角行列} 〽 {E11 , . . . , Enn で張られる部分空間}〨〳〮〴〮〶〷〩ととる。これが最大であることは知られている。
量子力学では、交換する演算子が与えられればまずはそれを対角化すべきである。 しかし、g は実ベクトル空間だから、行列は必ずしも対角化出来ない。そこでまず g を複素化しないといけない。
〸〱

定義 〳〮〴〮〱〱 コンパクト実リー代数 g にたいして、その複素化 gC 〽 g ⊕ ig を、x ⊕ iy
〨x, y ∈ g〩 という元のなす複素リー代数として定義する。 また、そこでのエルミート
共役を
gC 3 z 〽 x ⊕ iy 7→ z † 〽 〨−x〩 ⊕ iy ∈ gCと定義する。
g 〽 u〨n〩 のばあいは、g は反エルミートの元だったから、上の式での ⊕ を 〫 と書いてやれば、z 〽 x 〫 iy は単に勝手な行列 z を反エルミート部分 x とエルミート部分 iy に分解しただけである。すなわち、gC は単に n × n 行列全体である。 z † の定義で i がついたほ
うにマイナスがつかなくて、i がつかないほうにマイナスがついてあるのは、g 自体がア
ンチエルミートだからである。
事実 〳〮〴〮〱〲 コンパクト実リー代数 g の複素化 gC において、内積は
hせx, yそ, zi 〽 hy, せx† , zそiを満たす。
g 〽 u〨n〩 の場合は、hx, yi 〽 − ぴひ x† y なので、直接確かめられる。
さて、h の元 h に対して、
ちつな〨h〩 〺 gC → gC〨〳〮〴〮〶〸〩をgC 3 x → ちつな〨h〩 〺〽 せh, xそ ∈ gC〨〳〮〴〮〶〹〩で定める。これは定義をおいかければ gC 上の反エルミート写像になる。よって、gC はこの作用の同時固有状態に分解できる。 x をそのような同時固有状態とすると、
せh, xそ 〽 iα〨h〩x〨〳〮〴〮〷〰〩

を満たす。 ただし、 α〨h〩 は実数。 α〨h〩 は h に対して線形だから、 α ∈ h をとって
α〨h〩 〽 hα, hi とかける。
定義 〳〮〴〮〱〳 コンパクトリー代数 g に対して、そのカルタン部分代数 h の同時固有値をあらわす α を g のルートという。同時固有値が hα, hi であるような gC の部分空間を gα と書く。ルートの集合 、 を g のルート系という。
せh, h0 そ 〽 〰 〽 ih〰, hih0 だから、〰 は必ずルートである。
実例に進む前に、もうひとつ一般論をやっておく〺
事実 〳〮〴〮〱〴 勝手なコンパクトリー代数 g に対し、勝手な元と交換するような元全体
を z と書く。その直交補空間を g0 とすると、g0 もコンパクトリー代数になる。
a, b ∈ g0 ならば せa, bそ ∈ g0 を示せば良いが、それを示すには z ∈ z に対し hせa, bそ, zi 〽 〰 を示せばよい。しかしそれは hせa, bそ, zi 〽 hb, せa† , zそi 〽 〰 から従う。
例としては、g 〽 u〨n〩 ならば、z は単位行列の定数倍からなり、g0 〽 su〨n〩 である。 gと g0 のルート系は同じである。

〸〲

定義 〳〮〴〮〱〵 z が 〰 であるようなコンパクトリー代数 g を半単純 〨びづねどびどねばぬづ〩 とい
う。
〳〮〴〮〷

su〨N 〩〬 so〨N 〩〬 sp〨N 〩 のルート系

さて、 以上の準備のもとに、 既に存在を知っているコンパクト連続群 こく〨N 〩〬 こさ〨N 〩〬こば〨N 〩 についてそのルート系を調べよう。まず、定義を繰り返しておこう〺
定義 〳〮〴〮〱〶
こく〨n〩 〺〽 {R 値 n × n 行列 U で Rn の長さをたもち、つづぴ 〽 〱 なるもの},〨〳〮〴〮〷〱〩n〨〳〮〴〮〷〳〩

こさ〨n〩 〺〽 {C 値 n × n 行列 U で Cn の長さをたもち、つづぴ 〽 〱 なるもの},
こば〨n〩 〺〽 {H 値 n × n 行列 U で H の長さをたもつもの}〨〳〮〴〮〷〲〩

これのリー代数は、 を小さい実数として U 〽 〱 〫 X 〫 · · · とかけば、
定義 〳〮〴〮〱〷
so〨n〩 〺〽 {R 値 n × n 行列 X で X 〫 X t 〽 〰 なもの},〨〳〮〴〮〷〴〩†

su〨n〩 〺〽 {C 値 n × n 行列 X で X 〫 X 〽 〰 で ぴひ X 〽 〰 なもの },sp〨n〩 〺〽 {H 値 n × n 行列 X で X 〫 X † 〽 〰 なもの}〨〳〮〴〮〷〵〩〨〳〮〴〮〷〶〩となる。これらについて具体的にルートの構造をしらべよう。
g 〽 su〨n〩 の場合〺 ます g 〽 su〨n〩 の場合を考えよう。 すこしまえに u〨n〩 の場合をかんがえたが、いま ぴひ X 〽 〰 という条件が加わった。 gC は n × n 行列でトレースレスなもの
全体、 h は純虚の対角行列でトレースレスなもの全体である。 h の元はX
h 〽 i〨h1 E11 〫 h2 E22 〫 · · · 〫 hn Enn 〩,ha 〽 〰
〨〳〮〴〮〷〷〩aとかけて、n − 〱 次元である。 成分の和がゼロという条件はややこしいので、 ea 〺〽 iEaaを基底としてすこし大きいベクトル空間を考える。 〨これは su〨n〩 でなくて u〨n〩 のカル
タン部分代数になっている。〩 hea , eb i 〽 δab となって正規直交基底である。
さて、a 6〽 b に対し、
せh, Eab そ 〽 i〨ha − hb 〩Eab 〽 ihea − eb , hiEab〨〳〮〴〮〷〸〩

なので、 ea − eb はルートである。また、そのルートに属する元は Eab の定数倍のみである。これより、次のことがわかった〺
事実 〳〮〴〮〱〸 su〨n〩 のルート系は 、 〽 {〰} t {ea − eb | 〱 ≤ a < b ≤ n} である。このルート系を An−1 型のルート系という。
添え字が n でなくて n − 〱 なのは次の理由による〺 ルート ea − eb はいま n 次元空間内のベクトルとしてつくったが、成分の和がいつもゼロである。よって、α 達は n − 〱 次元部
分空間の中に住んでいる。
〸〳

su〨〲〩
A1

su〨〳〩
A2 L
?

su〨〴〩
A3 L

_

_
4

?

t

f

W

t





4




&


うどでふひづ 〳〮〱〺 ぁ型のルート系。A3 は R4 内に図示すべきだが、難しいので投影した。

g 〽 so〨N 〩 の場合〺 so〨N 〩 は N ×N 実反対称行列の集合である。 so〨N 〩C はだから N ×N
複素反対称行列の集合になる。次元は N 〨N − 〱〩/〲 である。その基底としては、Eab − Ebaを取れる。互いに交換する元としては、
e1 〽 E12 − E21 ,e2 〽 E34 − E43 ,, . . . , ea 〽 E2a−1,2a − E2a,2a−1 , . . . ,〨〳〮〴〮〷〹〩

を取ることが出来る。これより、N の偶奇で場合わけをしないといけない。
g 〽 so〨〲n〩 の場合〺

まず N 〽 〲n が偶のばあい、

h 〽 {e1 〽 E12 − E21 , . . . , en 〽 E2n−1,2n − E2n,2n−1 の線形結合}〨〳〮〴〮〸〰〩をカルタン部分代数ととる。 hea , eb i 〽 〲δab であってこれらは直交基底である。 さて、
a 6〽 b と符号 s, t ∈ {〫, −} に対しs,tXa,b〽 〨E2a−1,2b−1 〫 sE2a−1,2b 〫 tE2a,2b−1 〫 stE2a,2b 〩− 〨E2b−1,2a−1 〫 sE2b,2a−1 〫 tE2b−1,2a 〫 stE2b,2a 〩 〨〳〮〴〮〸〱〩と定める。頑張って計算すると h 〽 h1 e1 〫 · · · 〫 hn en に対し、
s,t
s,t
st
せh, Xa,b
そ 〽 〲〨sha 〫 thb 〩Xa,b〽 hsea 〫 teb , hiXa,b〨〳〮〴〮〸〲〩となって同時固有状態であることがわかる。これより次のことがわかった〺
事実 〳〮〴〮〱〹 so〨〲n〩 のルート系は 、 〽 {〰} t {±ea ± eb | 〱 ≤ a < b ≤ n} である。このルート系を Dn 型のルート系という。

〸〴

so〨〴〩
D2
_

so〨〶〩
D3 L
?

_

?
f

W

t




4




&


うどでふひづ 〳〮〲〺 D 型のルート系。

g 〽 so〨〲n 〫 〱〩 の場合〺 つぎに N 〽 〲n 〫 〱 が奇の場合、カルタン部分代数は上記と同様
h 〽 {e1 〽 E12 − E21 , . . . , en 〽 E2n−1,2n − E2n,2n−1 の線形結合}〨〳〮〴〮〸〳〩s,tはあいかわらず同時固有状態である。 しかし、まだすこし同時固有状と取る。 上記 Xa,b
態が残っていて、Yas 〽 〨E2a−1,2n+1 〫 sE2a,2n+1 〩 − 〨E2n+1,2a−1 − E2n+1,2a 〩〨〳〮〴〮〸〴〩せh, Yas そ 〽 〲sha Yas 〽 hsea , hiYas〨〳〮〴〮〸〵〩がを満たす固有状態である。これより次のことがわかった〺
事実 〳〮〴〮〲〰 so〨〲n 〫 〱〩 のルート系は 、 〽 {〰} t {±ea ± eb | 〱 ≤ a < b ≤ n} t {±ea |〱 ≤ a ≤ n} である。このルート系を Bn 型のルート系という。
g 〽 sp〨n〩 の場合〺になる。結論は〺

書くのが面倒になったので省略するが、がんばってやってみると練習事実 〳〮〴〮〲〱 sp〨n〩 のルート系は 、 〽 {〰} t {±ea ± eb | 〱 ≤ a < b ≤ n} t {±〲ea | 〱 ≤a ≤ n} である。このルート系を Cn 型のルート系という。
以上の図をみると次のことがわかる〺• so〨〴〩 〽 D2 のルート系は su〨〲〩 〽 A1 のルート系をふたつあわせたものである。
• su〨〴〩 〽 A3 のルート系と so〨〶〩 〽 D3 のルート系は同じものである。
• so〨〵〩 〽 B2 のルート系と sp〨〲〩 〽 C2 のルート系は同じものである。
これは以下の事実と対応している〺〸〵so〨〵〩
B2
_

so〨〷〩
B3 L

O

?

_

O
W
f

o

/

C



4

o

/

t


?





&








うどでふひづ 〳〮〳〺 B 型のルート系。

sp〨〲〩
CO 2

sp〨〳〩
CO 3
L

_

?

_
W
f

o

/

4

o

/
t



?
C















うどでふひづ 〳〮〴〺 C 型のルート系。

〸〶&

• こく〨〴〩 〽 〨こさ〨〲〩 × こさ〨〲〩〩/Z2 から so〨〴〩 〽 su〨〲〩 ⊕ so〨〲〩 が従う。
• こさ〨〴〩/Z2 〽 こく〨〶〩 から su〨〴〩 〽 so〨〶〩 が従う。
• こば〨〲〩/Z2 〽 こく〨〵〩 から so〨〵〩 〽 sp〨〲〩 が従う。

一般に、ルート系が同じならリー代数は同じであることが知られているからである。
〳〮〴〮〸

ルート系の性質

さて、実例をいろいろみたので、ルート系の性質についてもうすこし一般的に調べよう。
以下の性質を示す。
事実 〳〮〴〮〲〲• ルート 〰 に属する固有空間 g0 は hC そのものである。

• a ∈ gα 〬 b ∈ gβ なら せa, bそ ∈ gα+β である。
• a ∈ gα なら a† ∈ g−α である。
• a ∈ gα 〬 b ∈ g−α なら せa, bそ ∈ Cα である。
ひとつめの証明。 固有空間 g0 は h を含む。 g0 が h より真に広いとすると、 g0 〽
hC ⊕ V と書いて V は一次元以上のベクトル空間になる。 V の要素 x をとってくると、x ∈ g0 だから せh, xそ 〽 〰 だし、 せx, xそ 〽 〰 なので、 hC ⊕ Cx は互いに交換することになって、最大性に反する。
ふたつめの証明。せh, aそ 〽 ihα, hia〬 せh, bそ 〽 ihβ, hib から
せh, せa, bそそ 〽 せせh, aそ, bそ 〫 せa, せh, bそそ 〽 ihα 〫 β, hiせa, bそ.

〨〳〮〴〮〸〶〩

みっつめの証明。せh, aそ 〽 ihα, hia ならば、全体の † をとって せh† , a† そ 〽 ih−α, h† ia† 〮 h†は勝手な h の元なので、a† ∈ g−α 〮よっつめの証明。ふたつめより せa, bそ ∈ g0 〽 hC である。 せa, bそ が α に比例することを示すには、 せa, bそ は α に直交する勝手な hC の元と直交することをしめせばよい。 すな
わち、hα, hi 〽 〰 なら hせa, bそ, hi 〽 〰 を示せば良い。 そしてこれは hせa, bそ, hi 〽 hb, せa† , hそi 〽
−hα, hihb, a† i 〽 〰 より従う。
次はこれを示そう〺
事実 〳〮〴〮〲〳 a ∈ gα を ha, ai 〽 〲/hα, αi と規格化すると、
a,α,hα, αia†〨〳〮〴〮〸〷〩`− 〽 `x − i`y〨〳〮〴〮〸〸〩は su〨〲〩C の標準的な基底`+ 〽 `x 〫 i`y ,i`z ,と同じ交換関係を満たす。
多少非自明なのは せa, a† そ の計算であるが、これは せa, a† そ 〽 cα がわかっているので、
chα, αi 〽 hせa, a† そ, αi 〽 ha, せα, aそi 〽 ihα, αiha, ai〨〳〮〴〮〸〹〩から従う。
そうすると gC は a, α/hα, αi, a† の作用によって su〨〲〩 の表現になる。これをつかってさらに詳細な構造がわかる。まず、〸〷事実 〳〮〴〮〲〴 α 6〽 〰 に対して gα は一次元である〺 gα 〽 Ca〮
これを示そう。 gα ⊕ Cα ⊕ g−α は a ∈ gα を選ぶと a, i`z 〽 α/hα, αi, a† のなす su〨〲〩C の表現になる。 `z の固有値は gα で 〫〱〬 Cα で 〰〬 g−α で −〱 である。 よって gα 〬 g−α はそれ
ぞれ 〱 次元である。
以下、 a, i`z 〽 α/hα, αi, a† のなす su〨〲〩C を su〨〲〩α と書こう。 これの作用を考えるとさらに次のことがわかる〺
事実 〳〮〴〮〲〵• 比例するノンゼロのルート α〬 β は α 〽 ±β を満たす。

• α〬 β をルートとし、α に直交する平面で β を反転したベクトルrα β 〺〽 β −〲hα, βiα
hα, αiを考えると、この rα β もルートである。
ひとつめを示す。ノンゼロルート α を一つ選んで、
M
Cα ⊕
gβ

〨〳〮〴〮〹〰〩

β=cα, c6=0を考える。 上の部分空間の su〨〲〩α のもとでの表現を考えるが、 `z の固有値は Cα で 〰〬gcα で c である。一般論より c は半整数である。 α と β を取り換えてもよいので、〱/c も半整数である。 よって c 〽 ±〱〬 c 〽 ±〲〬 c 〽 ±〱/〲 しか許されない。 そこで β 〽 〲α として、
g−2α ⊕ g−α ⊕ Cα ⊕ gα ⊕ g2α〨〳〮〴〮〹〱〩
を考えて、これの su〨〲〩α での表現を考える。`z の固有値は−〲, −〱, 〰, 〱, 〲〨〳〮〴〮〹〲〩

であるから、スピン〲の既約表現でないといけないが、gα 〽 Ca で、 `+ 〽 a だから、g2α
は せa, aそ 〽 〰 で生成されていることになって、 〲α がルートであることに矛盾する。
ふたつめを示す。部分空間Mgγ〨〳〮〴〮〹〳〩
γ=β+cαは su〨〲〩α の表現である。gβ+cα における `z の固有値は
hα, βi〫chα, αi〨〳〮〴〮〹〴〩

hα,βi
hα,βi
である。一般に `z の固有値は正負のペアで出る。 hα,αiが固有値であるから − hα,αiも固有値である。
〳〮〴〮〹

ルート系とその分類〺 可能なルート系

以上の議論から、コンパクトリー代数 g から、次の性質を満たすベクトルの集合 、 が取り出せることがわかった〺〸〸

定義 〳〮〴〮〲〶 実ベクトル空間のノンゼロベクトルの部分集合 、 が次の三条件を満たす時、「ルート系」という〺• α, cα ∈ 、 なら c 〽 ±〱• α, β ∈ 、 ならrα β 〺〽 β −〲hα, βiα ∈ 、.
hα, αi

ここで、 この定義の段階ではリー代数との関係はわからないので、 括弧付きの「ルート系」とした。
この講義では示す時間が無いが、次の定理がある〺
事実 〳〮〴〮〲〷 勝手な「ルート系」 、 に対し、 それがルート系になるようなコンパク
ト半単純リー代数 g が存在し唯一である。
だから、「ルート系」とルート系の区別をする必要は無い。以下かぎ括弧は落とす。
また、半単純の定義を思い出しておく。以前 g 〽 z ⊕ g0 〨ただし z は g の勝手な元と交換する元の集合〩 と分解出来ることをしめした。 g0 の部分を半単純リー代数と呼ぶのだった。 g と g0 のルート系は同じだから、ルート系は半単純部分の情報をもっているわけである。
兎に角、 コンパクトリー代数を分類するには、 ルート系を分類すればよい。 n1 次元
空間のなかのルート系 、1 と n2 次元空間のなかのルート系 、2 があったばあい、 n1 〫 n2次元空間の中で 、1 t 、2 を考えるとこれは自動的にルート系になる。 、1 が g1 〬 、2 が g2
からくるならば 、1 t 、2 は g1 ⊕ g2 のルート系である。
そこで、このように直交分解しないルート系を調べればよい。既に An−1 〬 Bn 〬 Cn 〬 Dnというルート系を調べた。実は直交分解しないルート系は、この四つの無限系列を除いてはあと五つ E6,7,8 〬 G2 〬 F4 しかないことが知られている。
添え字が n なら n 次元空間に埋め込まれている。具体的にあたえておこう。
G2 〺

例外型ルート系 G2 はダビデの星型である。図 〳〮〵 をみよ。

F4 〺

これはルート系 so〨〹〩 ' B4 にさらに点を加えてえられる。すなわち、• 〨±〱, ±〱, 〰, 〰〩とその順番を変えたもの、• 〨±〱, 〰, 〰, 〰〩 とその順番を変えたもの、が B4 をなし、さらに• 〨± 12 , ± 12 , ± 21 , ± 12 〩 を追加する。

E6,7,8 〺

E8 は so〨〱〶〩 ' D8 にさらに点を加えてえられる。すなわち、• 〨±〱, ±〱, 〰, . . . , 〰〩とその順番を変えたもの、が so〨〱〶〩 をなし、さらに
{z
}
|
8成分

〱
〱 〱
• 〨± , ± , . . . , ± 〩 で負号は八つのうち偶数個であるもの、を追加する。
〲}| 〲 〲{z
8成分

〸〹

O

f

X

F

o

8

x

/





&



うどでふひづ 〳〮〵〺 G2 型ルート系。

E8−n を、E8 の元ではじめの n 〫 〱 成分がすべて同じもののなす部分集合として定義する。そうすると E8−n はルート系になる。 E7 〬 E6 は新たなルート系になるが、E5 〽 D5 〽 so〨〱〰〩,

E4 〽 A4 〽 su〨〵〩,E3 〽 A2 × A1 〽 su〨〳〩 × su〨〲〩〨〳〮〴〮〹〵〩

は知られたものになる。
〳〮〴〮〱〰

ルート系とその分類〺 証明

ルート系がこれまでかいたもので尽きることを示そう。そのためには、ルート系全体をみていると情報量がおおいので、さらに情報を蒸留した単純ルートとディンキン図というものを導入する64。
ルート系 、 は実ベクトル空間 Rn に埋め込まれているとする。 Rn の元 v に対し、v 〽 〨v1 , . . . , vn 〩 と成分表示した際に v1 〬 v2 〬 〮 〮 〮 〬 とみていってはじめに出て来た非ゼロ成
分が正か負かによって v > 〰〬 v < 〰 と定めることにする。 つぎに、二つの元 v, w に対し
v > w〬 v < w を v − w の正負によって定める。
、 の正の元を正ルートといい、、+ とかく。 、 の単純ルート達を次のように再帰的に定める。
• 、+ の最小元を α1 とし、それを一つ目の単純ルートとする。
• 、+ の中で、α1 の線形結合でない元を考え、その中の最小元 α2 を二つ目の単純ルートとする。
• 、+ の中で、α1,2 の線形結合でない元を考え、その中の最小元 α3 を三つ目の単純ルートとする。
• これを繰り返す。
64
https://en.wikipedia.org/wiki/Eugene_Dynkin によると、ディンキンは学生のとき、指導教員のゲルファントのゼミでルート系の分類を紹介するように言われたが、Weyl と van der Waerden による既存の論文の証明が見通しが悪かったのでこの方法を編み出したらしい。

〹〰

構成から、勝手な正ルートは単純ルートの正係数線形結合で書け、これまでの図では単純ルートを赤で示していた。具体的には〺• An−1 の単純ルートは e1 − e2 〬 e2 − e3 〮〬 〮 〮 〬 en−1 − en
• Bn の単純ルートは e1 − e2 〬 e2 − e3 〮〬 〮 〮 〬 en−1 − en 〬 en
• Cn の単純ルートは e1 − e2 〬 e2 − e3 〮〬 〮 〮 〬 en−1 − en 〬 〲en• Dn の単純ルートは e1 − e2 〬 e2 − e3 〮〬 〮 〮 〬 en−1 − en 〬 en−1 〫 en
• G2 の単純ルートは図 〳〮〵 に図示した通りである。F4 〬 E6,7,8 は練習としてやってみよう。
さて、α, β がルートとすると、su〨〲〩α の `z での gβ の固有値は hα, βiα, α で、これは半整数だから、
hα, βicαβ 〺〽 〲〨〳〮〴〮〹〶〩
hα, αiは整数である。 内積の性質から cαβ cβα ≥ 〴 なので、 cαβ 〽 〰, ±〱, ±〲, ±〳, ±〴 であり、 ±〴のばあいは α 〽 ±β となる。
異なる単純ルート α〬 β に対しては cαβ 〽 〰, −〱, −〲, −〳 のどれかである。 何故なら、
cαβ > 〰 ならば β 0 〽 β − cαβ α もルートであるが、これは勝手なルートが単純ルートの正係数もしくは負係数線形結合で書けることに反する。
以 上 の 準 備 の も と、 各 単 純 ル ー ト を ◦ で あ ら わ し、 二 つ の ル ー ト α, β の 間 をねちへ〨|cαβ |, |cβα |〩 本の線で結び、 cαβ > 〱 ならば β 側に向く矢印の頭を書くことにする。可能性は順序を除いて以下の通り〺〨cαβ , cβα 〩〨〰, 〰〩 〨−〱, −〱〩 〨−〲, −〱〩 〨−〳, −〱〩
◦ ◦
◦−◦
◦⇒◦
◦V◦

〨〳〮〴〮〹〷〩

既知のルート系のディンキン図をこのルールに従って書くと図 〳〮〶 のようになる。
さて、これで繋がっているディンキン図が尽きていることを示そう。 ディンキン図が与えられれば、そこから cαβ 〬 cβα が読みとれるため、 hα, αi〬 hα, βi〬 hα, αi の比が再現できる。すると、ディンキン図が与えられれば、 n × n 行列 M 〺〽 〨hαi , αj i〩 が定数倍を除いて再現できる。これは内積をならべたものだから、正定値である、すなわち勝手な v 6〽 〰
に対し 〨v, M v〩 > 〰〮さて、 図 〳〮〷 にあがっている図を考える。 これらは拡大型ディンキン図と呼ばれるが、 コンパクトリー代数のルート系としてはあらわれないことが知られている。 なぜなら、 上記のルールにしたがって行列 M 〺〽 〨hαi , αj i〩 をよみとり、 ベクトル v 〽 〨vi 〩 を
その図の頂点に添えてある整数とすると、 M v 〽 〰 であることが確認できる。 よって〨v, M v〩 〽 〰 となり、矛盾する。 これは、拡大ディンキン図のどれかを部分グラフとして含むような図についても同様である。 〨ただし、二重矢印を一重線で置き換えたもの、等
も部分グラフとして許すこととする。〩 なぜなら、その部分グラフのところに同じように
拡大ディンキン図からくる整数をならべ、 他の頂点にはゼロをならべたものを v とすると、〨v, M v〩 ≤ 〰 となるからである。
これを使うと、許されるディンキン図は既知のもののみであることがわかる。 これを
示そう。
(1)

• まず、ディンキン図はループを含まない。なぜなら An 図を含めないから。
〹〱

su〨n 〫 〱〩 〽 An
so〨〲n 〫 〱〩 〽 Bn
sp〨〲n〩 〽 Cn
so〨〲n〩 〽 Dn
E6
E7
E8
F4
G2

◦ − ◦ − ··· − ◦ − ◦◦ − ◦ − ··· − ◦ ⇒ ◦◦ − ◦ − ··· − ◦ ⇐ ◦◦|◦ − ◦ − ··· − ◦ − ◦◦|◦−◦− ◦ −◦−◦◦|◦−◦− ◦ −◦−◦−◦◦|◦−◦−◦−◦− ◦ −◦−◦◦−◦⇒◦−◦◦V◦

うどでふひづ 〳〮〶〺 既知のルート系のディンキン図。

(1)

An

(1)

Bn

(1)

Cn

(1)

Dn

(1)

E6

(1)

E7

(1)

E8

(1)

F4

(1)

G2

(2)

A2`

(2)

A2`−1
(2)
D`+1
(2)
E6
(3)
D4

◦−
−− 1 −−−◦ − ◦ − ··· − ◦
1
1
1
◦1
|
◦ − ◦ − ◦ − ··· − ◦ ⇒ ◦
1

2

2

2

2

◦ ⇒ ◦ − ··· − ◦ ⇐ ◦
1
2
2
1
◦1
◦1
|
|
◦ − ◦ − ◦ − ··· − ◦ − ◦
1
2
2
2
1
◦1
|
◦2
|
◦−◦− ◦ −◦−◦
1
2
3
2
1
◦2
|
◦−◦−◦− ◦ −◦−◦−◦
1
2
3
4
3
2
1
◦3
|
◦−◦−◦−◦−◦− ◦ −◦−◦
1

2

3

4

5

6

4

◦−◦−◦⇒◦−◦
1

2

3

4

2

◦−◦V◦
1

2

3

◦ ⇐ ◦ − ··· − ◦ ⇐ ◦
2
2
2
1
1◦
|
◦ − ◦ − ◦ − ··· − ◦ ⇐ ◦
1

2

2

2

1

◦ ⇐ ◦ − ··· − ◦ ⇒ ◦
1

1

1

1

◦−◦−◦⇐◦−◦
1

2

3

2

1

◦−◦W◦
1

2

1

うどでふひづ 〳〮〷〺 拡大ディンキン図〹〲2

• 次に、ディンキン図が V を含むと、G2 のみである。なぜなら、さらに隣に頂点が(1)(3)
繋がっていると、G2 か D4 を含むから。
(2)

(2)

• 次に、ディンキン図は ⇒ を二つ含めない。 なぜなら D`+1 と A2` を含んでしまうから。
• 次に、 ディンキン図が ⇒ を一つ含み、 両側に頂点が追加されているとすると、 F4(1)(2)
しかあり得ない。 なぜなら、それ以上長いと、 F4 および E6 を含んでしまうから。
• ディンキン図が ⇒ を一つ含み、片側にのみ頂点が追加されているものが Bn と Cnである。
• あとは二重線、三重線を含まない場合である。ループがないから、木である。
(1)

ほ 四つ足以上はありえない、なぜなら Dn を含むから。
(1)

ほ 三つ足で、 各足の長さが全て二以上あることはありえない、 なぜなら E6
含むから。
(1)

ほ 三つ足で、長さ〱の足、長さ〳の足、長さ 〳 以上の足はありえない、E7
から。

を

を含む

ほ 三つ足で、 長さ〱の足、 長さ〲の足、 とすると三本目の足は高々長さ 〴 である。
(1)
E8 を含むから。
ほ これより、長さ〱の足、長さ〲の足をもつと、許されるのは E6,7,8 のみである。
ほ あとは、 長さ〱の足をふたつもつ Dn と、 そもそも一直線である An のみである。
これで分類が完了した。

〹〳