SPC-08-25

IPM モータ制御システムの数学モデル誤差とその補償法
工藤純*

野口季彦（長岡技術科学大学）

川上学

佐野浩一（株式会社コロナ）

Mathematical Model Errors and Their Compensations of IPM Motor Control System
Jun Kudo*, Toshihiko Noguchi (Nagaoka University of Technology),
Manabu Kawakami, and Koichi Sano (CORONA Corporation)
Abstract ― This paper focuses on mathematical model errors in the IPM motor controller, and presents compensation
techniques for the errors.

Even though no motor parameter mismatch is in the controller, the voltage commands and thefeedback currents (an inverse motor model) hardly satisfy the mathematical equation of the motor due to a samplinginterval, a phase lag of the detected currents, an inverter dead time, and an ON-voltage of the power devices.
paper, a compensation method is discussed for each error factor, and is experimentally examined one by one.

In theAs a result,a combination of all four compensations makes it possible to improve the total error effectively, which possibly
contributes toward highly accurate position and/or speed estimation in a mechanical sensorless IPM motor drive.
キーワード：IPM モータ，数学モデル，逆モデル，離散化誤差，検出電流の位相遅れ，デッドタイム, 主素子 ON 電圧(IPM motor, mathematical model, inverse model, sampling error, detected current phase delay, dead time, power device ON-voltage)

ただし，

1．はじめに

vd：d 軸電圧

内部永久磁石（IPM）モータのベクトル制御システムでは，vq：q 軸電圧モータ数学モデルが制御器内部で逆モデルとして再現されid：d 軸電流ている必要がある。すなわち，制御器内部で生成される操

iq：q 軸電流作量の電圧指令値と検出された電流フィードバック値が，Ra：電機子巻線抵抗モータの電圧電流方程式を厳密に満足しなければならな

Ld：電機子 d 軸インダクタンス

い。モータの数学モデルとその逆モデルが一致することは，

Lq：電機子 q 軸インダクタンス

ベクトル制御の軸ずれを解消するためや，センサレス制御

ψa：IPM 磁束鎖交数
ω ：回転角速度（電気角）

システムにおいて逆モデルから演算される磁極位置・速度推定値の高精度化のために必須である。しかし，たとえモータパラメータのミスマッチが制御器内部で完全に除去されていても，実際にはシステム実装上の種々の要因により逆モデルに誤差が発生する。

p：微分演算子である。
次に，モータ数学モデルと逆モデルの間に生じる誤差要因について検討する。本稿では，以下のシステム実装に起

そこで，本論文ではモータ数学モデルと逆モデルの間に生ずる種々の誤差要因と補償法を検討する。それらの効果因する 4 種類の誤差に注目する。
① 離散化誤差を実験的に検証した結果，良好な補償特性を確認すること② モータ電流検出時の位相遅れによる誤差ができたので報告する。

③ 上下アーム短絡防止時間（デッドタイム）による誤差④ 主素子の ON 電圧による誤差

2．モータ逆モデルの誤差要因〈2･2〉離散化誤差
IPM モータのベクトル制御システムが，モータ電流とエ〈2･1〉IPM モータの数学モデルと誤差要因
IPM モータの d，q 座標における理想的な数学モデルは，⎡v d ⎤ ⎡ R a + pL d⎢ ⎥=⎢⎣ v q ⎦ ⎣ ωLd−ωLq ⎤ ⎡i d ⎤ ⎡ 0 ⎤⎥⎢ ⎥ +R a + pLq ⎦ ⎣ i q ⎦ ⎢⎣ωψ a ⎥⎦ンコーダからの磁極位置情報を取得してから PWM パターンを出力するまでには，サンプル値制御であるために所定(1)の時間を要する。具体的には，モータ電流と磁極位置を検出し，電圧指令値を演算するまでに 1 制御周期がかかる。
1／6

NS

(a)
(b)
図 1 離散化誤差を検討するためのモデル(a) サンプリング点(b) PWM パターン出力点
Fig. 1. Motor model for discussion on sampling error.
(a) Sampling point.
(b) PWM pattern output point.
次の制御周期でパルス幅変調器により PWM パターンが出力されるが，PWM パターンは制御周期の中心に対して対称に出力されるため，平均的には更に 0.5 制御周期の時間がかかる。したがって，モータ電流と磁極位置を検出してから，PWM パターンを出力するまでには，1.5 制御周期の時間を要すると考えられる。この間にロータは回転しているため，

図 2 離散化誤差補償法
Fig. 2. Sampling error compensation.
表 1 実験用モータのパラメータ
Table 1. Parameters of test motor.
Number of pole
Rated output power
Rated rotation speed
d-axis inductance Ld
q-axis inductance Lq
Winding resistance Ra
Flux linkage of IPM ψa42 kW
7200 r/min
7.3 mH
14.2 mH
0.52 Ω0.09884 Wb

検出した磁極位置と PWM パターンを出力するときの磁極ータへ印加される。したがって，制御器内部の電圧指令値位置にはずれが生じる。この位置誤差により電圧指令値のと実際にモータへ印加される電圧は一致しない。

座標変換に誤差が生じ，最終的にはモータに印加される d軸および q 軸電圧の誤差となる。
〈2･3〉モータ電流検出時の位相遅れによる誤差

3．離散化誤差の補償〈3･1〉離散化誤差の補償法

モータ各相に流れる電流を電流センサによって検出し，

図 1 にサンプル値制御システムの離散化誤差を検討する

A/D 変換を介して制御器に取り込んでフィードバック電流ためのモータモデルを示す。図 1 (a)はある時刻でモータ電とする。しかし，検出されたモータ電流は，エイリアス除流および磁極位置をサンプリングしたときの磁極位置を示去を目的とするアンチエイリアスフィルタを通って A/D 変している。前述のように，モータ電流および磁極位置をサ換器へ入力されるので，実際のモータ電流と制御器内部でンプリングしてから PWM パターン出力するまでに 1.5 制御取り扱われるフィードバック電流の間に位相差が生じる。

周期を要する。その間にロータは回転してしまうため，図 1

この位相差は電流の座標変換に影響を及ぼし，d 軸および q(b)のように PWM パターン出力時の磁極位置は，モータ電軸電流の誤差となって現れる。

流および磁極位置サンプリング時のものと異なる。ここで，〈2･4〉デッドタイムによる誤差

1.5 制御周期中に回転するロータの角度をΔθ とし，制御周期理想的なインバータであれば，主スイッチング素子の ONを Ts とすると，1.5Ts に角速度ω を乗じたものがΔθ となる。

時間および OFF 時間がないためデッドタイムは必要ない。

Δθ = 1.5ω Ts(2)(2)よりωの増加に伴いΔθ は増大することがわかる。このΔθしかし，IGBT や MOSFET，ダイオードなど実際のスイッチング素子には数百 ns から数μs の ON 時間と OFF 時間があるが生じることにより，制御器で演算された d 軸電圧指令値ため，インバータの上下アームを同時に OFF して直流バスvd*と q 軸電圧指令値 vq*の回転座標変換に誤差が生じる。三の短絡を防止する期間が設けられる。このデッドタイムに相電圧指令値を vu*，vv*，vw*とすれば，この座標変換は本来より出力電圧は減少するので，電圧指令値からデッドタイ下式のように行われる。

ム分低い電圧がモータへ印加され，電圧指令値と実際のモータ印加電圧との間に誤差が生じる。
〈2･5〉主素子の ON 電圧による誤差
インバータの主回路スイッチング素子が理想スイッチである場合は飽和電圧や ON 抵抗がないので，ON 時の電圧降
下は 0 V である。しかし，IGBT や MOSFET などの実際のvu * = v d * cos(ωt + θ ) − v q * sin(ωt + θ )

(3a)

2π ⎞
2π ⎞⎛
⎛
*v v * = v d * cos⎜ ωt + θ −⎟ − v q sin ⎜ ωt + θ −⎟
3 ⎠
3 ⎠⎝
⎝

(3b)

4π ⎞
4π ⎞⎛⎛*vw* = vd * cos⎜ ωt + θ −⎟ − vq sin ⎜ ωt + θ −⎟3 ⎠3 ⎠⎝⎝(3c)

スイッチング素子では，1 V 前後の飽和電圧とともに数十しかし，Δθ によって上式の位相ω t+θ にずれが生じ，三相mΩ の ON 抵抗があるため電圧降下が発生する。主素子でこ電圧指令値に誤差が生じる。この誤差は最終的にはモータのような電圧降下が生じることにより，制御器で演算されに印加される d 軸および q 軸電圧の誤差となる。

た電圧指令値から主素子の ON 電圧分だけ減じた電圧がモ

この離散化誤差を補償するために，(2)に基づいて各回転2／6

図 4 モータ電流検出用アンチエイリアスフィルタ
Fig. 4. Anti-alias filter in detecting motor currents.

(a) d 軸における補償特性(a) Compensation characteristic for d-axis.

図 5 モータ電流位相遅れ補償法
Fig. 5. Detected motor current phase delay compensation.
これらの実験結果から，離散化誤差補償を施すことにより，各回転数において，vd と vd*の誤差および vq と vq*の誤差が低減され，特に高速回転時の誤差が大幅に改善される(b) q 軸における補償特性(b) Compensation characteristic for q-axis.
図 3 離散化誤差補償特性
Fig. 3. Sampling error compensation characteristic.

ことがわかる。特に d 軸に関しては，補償を施さない場合数におけるΔθ を計算し，その値を(3a)～(3c)のω t+θ へ加算差補償を施すことにより，回転数に対する電圧の傾きが全する。

体的に改善される。

vu* = vd * cos(ωt + θ + Δθ ) − vq* sin(ωt + θ + Δθ )の誤差は 5400 r/min で 23 V であるのに対し，離散化誤差補償を施した場合は 5 V に低減する。同様に，q 軸に関しても12 V の誤差が 2.5 V まで低減する。いずれの場合も離散化誤(4a)4．モータ電流検出時の位相遅れ補償

2π ⎞
2π ⎞
⎛
⎛
*vv* = vd * cos⎜ωt + θ + Δθ −⎟ − vq sin⎜ ωt + θ + Δθ −⎟ (4b)
3 ⎠3 ⎠⎝⎝〈4･1〉モータ電流検出時の位相遅れ補償法

4π ⎞

4π ⎞

モータ電流の A/D 変換に使用されるアンチエイリアスフ⎛⎛*vw* = vd * cos⎜ ωt + θ + Δθ −⎟ (4c)⎟ − vq sin⎜ ωt + θ + Δθ −
3 ⎠
3 ⎠
⎝
⎝ィルタを図 4 に示す。同図のようにアンチエイリアスフィ
ルタは単純な一次遅れフィルタから構成されている。このこれにより，PWM パターン出力時の磁極位置で電圧指令値アンチエイリアスフィルタにより，電流センサで検出されの座標変換を行なうことができる。図 2 に以上の離散化誤たモータ電流に対して，制御器に入力される電流は下式の差補償法を示す。

位相遅れΔϕ をもつ。

〈3･2〉離散化誤差補償特性の検証

Δϕ = tan-1 (ω CR)(5)

図 2 に示す離散化誤差補償法について，その補償特性をしたがって，この位相遅れΔϕにより電流フィードバック値検証する。ここでは，検出された電流値 id，iq を入力としてに誤差が生ずる。また，(5)より ω の増加に伴ってΔϕは非線(1)のモータ数学モデルから計算される電圧値 vd，vq と，モ形であるが単調に増大するため，離散化誤差の場合と同様ータ逆モデルである電流ループの PI 制御器から出力されるに回転数上昇と共にモータ電流の位相遅れによる誤差が大**

電圧指令値 vd ，vq を比較する。なお，前者の計算には巻線きくなる。

抵抗やインダクタンスが必要であるが，巻線抵抗についてそこで，モータ電流検出時の位相遅れによる誤差の補償は大きな誤差を生じないようモータ温度をほぼ一定に管理法を検討する。電流センサで検出されたモータ電流 iv，iw は，して表 1 の値を用い，インダクタンスについては磁気飽和本来下式によって id，iq に座標変換される。

特性を考慮してモータ電流の関数として取り扱った。補償特性の検証は id = 0 A，iq = 4 A 一定，制御周期 TS = 100 μsの条件で行い，補償を施さなかった場合と離散化誤差補償のみを施した場合について，各回転数における vd，vq と vd*，

⎡
⎤
2π ⎞
⎛
− sin ⎜ ωt + θ −⎟ sin (ωt + θ )⎥⎡i d ⎤⎡i ⎤2 ⎢⎢3 ⎠⎝⎥⎢ v ⎥⎢ ⎥=i2π⎛⎞i⎥⎢q
3 − cos⎜ ωt + θ −⎣ ⎦⎟ cos(ωt + θ )⎥ ⎣ w ⎦⎢3⎝⎠⎦⎣(6)vq*を比較した。図 3 (a)に d 軸，図 3 (b)に q 軸における離散

しかし，上記のアンチエイリアスフィルタによりΔϕ だけ位化誤差補償特性を示す。

相が遅れた三相電流が制御器に取り込まれるため，(7)のよ3／6

(a) d 軸における補償特性(a) Compensation characteristic for d-axis.

図 7 インバータ出力電圧へのデッドタイムの影響
Fig. 7. Influence of dead time on inverter output voltage.

(b) q 軸における補償特性(b) Compensation characteristic for q-axis.
図 6 モータ電流位相遅れ補償特性
Fig. 6. Detected motor current phase delay
compensation characteristic.

示したものである。デッドタイムがない理想的なインバータにおいて，PWM パルス 1 周期のインバータ出力電圧平均

うにΔϕだけ遅らせた位相で座標変換を行えば正しい id，iqを求めることができる。
⎡⎤2π ⎞⎛− sin ⎜ ωt + θ − Δϕ −⎟ sin (ωt + θ − Δϕ )⎥⎢⎡i d ⎤⎡i ⎤2 ⎢3 ⎠⎝⎥⎢ v ⎥⎢ ⎥=⎢⎣i q ⎥⎦
3 ⎢− cos⎛⎜ ωt + θ − Δϕ − 2π ⎞⎟ cos(ωt + θ − Δϕ )⎥ ⎣i w ⎦⎢⎥3 ⎠⎝⎣⎦(7)以上のモータ電流位相遅れ補償法を図 5 に示す。
〈4･2〉モータ電流位相遅れ補償特性の検証

値 VINV を求めると次式のようになる。

+V INV =ただし，Vdc はインバータ直流バス電圧，fSW はキャリア周波数，α は PWM パルスのデューティであり，モータ電流がインバータからモータへ流れ込んでいる場合を仮定している。一方，デッドタイム td を考慮した場合，同様に VINV は(9)のように求められる。

図 5 に示すモータ電流位相遅れ補償法を用いて，その補償特性を検証する。この検証も前述の離散化誤差補償の場合と同じ条件で行い，その結果得られた d 軸と q 軸の補償+
VINV =特性を図 6 (a)および図 6 (b)に示す。
同図より d 軸に関する補償効果はほとんど見られないが，q 軸についてはモータ電流位相遅れ補償法によって回転数の上昇と共に vq と vq*の誤差が低減することがわかる。これは id = 0 A の運転条件で実験を行ったためである。5400 r/minにおいて補償を施さない場合の vq と vq*の誤差は 12 V であるのに対し，補償を施した場合は 2.5 V まで誤差が低減する。
したがって，離散化誤差補償とほぼ同等の補償特性が得られた。

5．デッドタイム補償

Vdc α⎛ V ⎞ 1−α+ ⎜ − dc ⎟2 f SW ⎝2 ⎠ f SW
1= Vdc (2α − 1) (8)12f SW=⎞⎞ ⎛ V ⎞⎛ 1 − αVdc ⎛ α⎜+ td ⎟⎟− td ⎟⎟ + ⎜ − dc ⎟⎜⎜2 ⎜⎝ f SW
2f⎠⎝ SW⎠ ⎝⎠1f SW

1V dc (2α − 1) − V dc t d f SW2(9)上式の Vdc td fSW がデッドタイムによって減少する電圧であり，図 7におけるインバータ出力電圧波形の着色箇所がこれに相当する。この減少分 Vdc td fSW を各相モータ電流の方向（符号）に応じて電圧指令値に予め加算して補償する。すなわち，図 7のようにモータ電流が正ならば+Vdc td fSW を，負ならば－Vdc tdfSW を電圧指令値に加算してデッドタイムによる電圧減少分を補う。図 8 は以上のデッドタイム補償法を示したものである。ここでは d 軸電流指令値と q 軸電流指令値から三相〈5･1〉デッドタイム補償法
図 7 はインバータ出力電圧へのデッドタイムの影響を例

電流指令値を生成し，チャタリングを防止しつつモータ電流の符号を判別している。また，デッドタイム補償量 Vdc td
4／6

(a)
(b)
図 10 主素子の VON – is 特性(a) 実測特性(b) モデル化した特性
Fig. 10. VON - is characteristic of power device.
(a) Measured characteristic.
(b) Modeled characteristic.

図 8 デッドタイム補償法
Fig. 8. Dead time compensation.

図 11 主素子 ON 電圧補償法
Fig. 11. Power device ON-voltage compensation.

(a) d 軸における補償特性(a) Compensation characteristic for d-axis.

6. 主素子の ON 電圧による誤差補償〈6･1〉主素子の ON 電圧による誤差補償法
前述したように，インバータの主回路スイッチング素子には飽和電圧とともに数十 mΩの ON 抵抗があるために，電圧降下が生じて制御器内部の電圧指令値と実際にモータに印加される電圧に誤差が発生する。図 10 (a)は供試機に使用した主素子 IGBT の VON – is 特性を示したものであるが，VON= 1 V 近傍を閾値としてそれ以上は線形な抵抗特性をもつこ(b) q 軸における補償特性(b) Compensation characteristic for q-axis.
図 9 デッドタイム補償特性
Fig. 9. Dead time compensation characteristic.とがわかる。したがって，主素子の ON 電圧降下 VON は下式のように近似的に定式化することができる。
VON = RON × is + Vth(10)ただし，
RON：主素子の ON 抵抗

fSW は，次のように設定した。

is：主素子に流れる電流

Vdc td fSW = 270 V × 4 μ s × 10 kHz = 10.8 V

Vth：主素子の閾値電圧〈5･2〉デッドタイム補償特性の検証
図 8 に示すデッドタイム補償法を用いて，その補償効果である。図 10 (a)の実測特性を図 10 (b)のようにモデル化しを検証する。この検証も前述の離散化誤差補償の場合と同て(10)のパラメータを定めると RON = 30 mΩ ，Vth = 0.9 V とじ条件で行い，補償を施さない場合とデッドタイム補償の**みを施した場合について vd，vq と vd ，vq を比較した。ただ求められる。そこで，主素子の ON 電圧による誤差補償法として，図 11 に示すように d 軸および q 軸電流指令値 id*，iq*

し，デッドタイム補償量は小さいため，モータ印加電圧がを座標変換して得られる三相電流指令値 iu*，iv*，iw*と RON ，比較的低い低速回転域でのみ検証する。図 9 (a)に d 軸，図 9

そして Vth を用いて各相の VON を演算し，電圧指令値に加え(b)に q 軸におけるデッドタイム補償特性を示す。て主素子 ON 電圧による減少分を補償する。

同図よりデッドタイム補償が q 軸の誤差低減に顕著な効

VON_u = RON × iu* + Vth(11a)

果を有することがわかる。実験で最もモータ回転数が低い

VON_v = RON × iv* + Vth(11b)

850 r/min のとき，デッドタイム補償を施していない場合の

VON_w = RON × iw* + Vth

誤差は 12.5 V であるが，補償を施すことで vq と vq がほぼ一(11c)
これらを各相電流の方向（符号）が正ならば正方向へ，負致するまで改善する。

ならば負方向へ各相電圧指令値に加算し主素子の ON 電圧*5／6

(a) d 軸における補償特性(a) Compensation characteristic for d-axis.

(b) q 軸における補償特性(b) Compensation characteristic for q-axis.
図 12 主素子 ON 電圧補償特性
Fig. 12. Power device ON-voltage compensation characteristic.

(a) d 軸における補償特性(a) Compensation characteristic for d-axis.

(b) q 軸における補償特性(b) Compensation characteristic for q-axis.
図 13 総ての補償特性
Fig. 13. 4 compensations composition characteristic.

降下を補償する。
〈6･2〉主素子 ON 電圧補償法特性の検証
図 11 に示す主素子 ON 電圧補償法を用いて，補償特性を検証した。検証方法はデッドタイム補償の場合と同様で，補償を施さない場合と主素子 ON 電圧補償のみを施した場合について比較する。図 12 (a)に d 軸，図 12 (b)に q 軸における主素子 ON 電圧補償特性を示す。
同図の実験結果から，主素子 ON 電圧補償を施すことで q軸の誤差がどの回転数においても 1 V 低減された。低速回転域で効果があることはデッドタイム補償と同様であるが，RON = 30 mΩ，Vth = 0.9 V といずれも非常に小さな値であるため補償効果も小さい。

7．総ての補償を施した場合の補償特性

8．まとめ
本論文では，IPM モータのベクトル制御システムにおいて，数学モデルと制御器内部で生成される逆モデルに生じる誤差について考究した。両者に生ずる誤差要因として，離散化，モータ電流検出時の位相遅れ，デッドタイム，主素子の ON 電圧に着目し，それぞれの要因に対する補償法を検討した。離散化誤差補償とモータ電流位相遅れ補償は高速回転域で，デッドタイム補償と主素子 ON 電圧補償は低速回転域で誤差低減に有効であることを確認し，総ての補償を適用することにより，広い速度制御範囲にわたって制御器内部で生成される逆モデルが理想的な数学モデルに近づくことを確認した。

これまで検討してきた離散化誤差補償，モータ電流位相遅れ補償，デッドタイム補償，主素子 ON 電圧補償の総てを適用した場合と，全く適用しない場合を比較評価した。評
価条件は従前と同一とし，id = 0 A，iq = 4 A 一定のもとで各回転数における vd，vq と vd*，vq*を比較した。図 13 (a)に d軸，図 13 (b)に q 軸における補償特性を示す。
4 種類の補償を総て施すことにより，d 軸とともに q 軸における誤差の改善が確認された。特に，d 軸については低速域で vd と vd*が良好に一致し，q 軸については僅かなオフセット誤差が残留するものの全回転域で回転数に対する vq とvq*の傾きがほぼ等しくなることがわかる。

文献(１) Shigeo Morimoto, Masayuki Sanada, and Yoji Takeda : “MechanicalSensorless Drives of IPMSM With Online Parameter Identification”, IEEE
Transactions on Industry Applications, vol. 42, no. 5, p.p. 1241-1248(2006)(２) B.-H. Bae, S.-K. Sul, J.-H.Kwon, and J.-S, Byeon : “Implementation od
Sensorless Vector Control for Super-High-Speed PMSM ofTurbo-Compressor”, IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 39,
no. 3, p.p. 811-818 (2006)(３) 工藤 純，野口季彦，川上 学，佐野浩一：「IPM モータ制御システ
ムにおける離散化誤差の影響とその補償法」第 17 回電気学会新潟支所研究発表会，IV-3（平 19）（in Japanese）

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