JEMEA Bulletin Vol.3 No.1 (2017.6)

解説
なぜ誘電率は複素数で表現されるのか？
Why is permittivity expressed as a complex number?
京都大学 生存圏研究所 三谷 友彦〒611-0011 京都府宇治市五ヶ庄,
e-mail: mitani@rish.kyoto-u.ac.jp
1. はじめに「誘電率を複素数で表現する」ということは、本稿最初の波であれば、「1 秒間に 2 回振動しているからの読者の多くはある程度知っているであろう。では、2Hz だ」と説明すれば誰しもが納得できる。ところが

なぜ誘電率は複素数で表現されるのか？そもそも、材

2 番目の波だと、着眼点によって 2 回振動しているよ

料定数の 1 つである誘電率に“虚数”が出てくるとはうにも 12 回振動しているようにもみえ、統一的な解釈どういうことなのか？本稿では、電磁波（あるいは一が得られない。3 番目の波にいたっては、振動数を数般的な波）の表現を出発点とし、誘電率の複素数表現えることすら困難である。このように、一言で「波」に至る過程について解説する。といっても波には様々な形が存在し、また波の表現方法も人それぞれである。よって、混乱を避けるために

2. 周波数って何？ -前振りとして-は見解の相違がないように波の形を定義する必要があ

周波数とは「電気振動などの現象が 1 秒間当たりにる。電磁波工学を含む物理学の分野では、三角関数を繰り返される回数（Wikipedia より）」である。これは用いて波を表現することを決まりとしている。

ほとんどの読者が理解していると思われるが、話はそれほど単純ではない。例えば、図 1 に示した 3 つの波

3. 三角関数と複素数について、波の始点から終点までを 1 秒間としたとき、3-1. 波と三角関数の関係
三角関数とはsin 𝛼やcos 𝛼などと表記される関数の各々の波の周波数はいくつだろうか？

一種であり、直角三角形の斜辺の長さを 1 としたときのもう二つの辺の長さを表す。角度αを囲むように斜辺と接続する辺の長さがcos 𝛼、もう一方の辺がsin 𝛼である。なぜ三角関数と波が関係するのかというと、直角三角形の斜辺を円の半径に見立ててクルっと円を描くと、角度αに対する円周の軌跡の投影が波のように見えるからである。図 2 に平面座標上の円と三角関数の関係を図示する。
図 2 の左側に示すように、半径 1 の円の中心を原点として右端（白点）の始点から一回転の円を描くと、直角三角形の関係性から図中の角度αに対する(x, y)座

図 1 これらの波の周波数はいくつ？

標が(cos 𝛼 , sin 𝛼) となる。このとき、α = 2π𝑓𝑓（πは7JEMEA Bulletin Vol.3 No.1 (2017.6)

ら、
α = 2π𝑓𝑓とすればej2𝜋𝜋𝜋 もやはり波の表現として扱円周率）として時間𝑡に対してαを変化させると、𝑡に対する y 座標の軌跡は図 2 の右側のように波の形になる。

うことができる。なお、多くの参考書では角周波数
𝜔 = 2π𝑓を用い、波をej𝜔𝜔 で表現する。この方が、いこのときの𝑓が周波数である。このようにして、波は三ちいち2πが出てこないので簡便である。

角関数を用いて定義することができ、周波数を用いれ波を複素数で表現する大きな理由の一つとして、以ば波の振動数が定義できる。

下の式(2)のように微積分が極めて楽になることが挙げられる（積分の積分定数は省略する）。
d(ej𝜔𝜔 )dtej𝜔𝜔

(2)= j𝜔ej𝜔𝜔 , ∫ ej𝜔𝜔 dt =j𝜔三角関数の微積分だと「sin が cos になって．
．
．
」と面倒であるが、指数関数と複素数で表現された関数の微図 2 円と三角関数の関係

積分は直感的にも扱いやすい。
以上より、物理学の分野では波を「指数関数と複素三角関数には周波数の他に、振幅と位相が定義でき数」で表すこととし、波にまつわる様々な物理現象をる。振幅とは波の大きさのことであり、sin や cos の前表現している。これに基づき、電磁波の電界、磁界（あに定数𝐴を掛ければよい。位相とは、時刻𝑡 = 0におい

るいは交流の電圧、電流）も指数関数と複素数で表現できる。
図 2 では始点の角度をα = 0としているが、αは4. なぜ誘電率が複素数で表現されるのか？て三角関数の始点が図 2 の円周上のどの位置に来るかしている。

を表す値であり、図 2 に示す角度αに対応させることが0(0°)から2π(360°)までの値を取り得る（実際は、αは4-1. 誘電率0°より小さい値や 360°より大きい値も取り得るが、ある材料に電界を印加すると、材料には分極が発生円周上の回転数が増えたり、回転方向が変わったりすする。この分極が印加電界と線形関係（比例関係）にるだけで結局は 0°から 360°までのどこかの値と実あるとき、材料の誘電率𝜀は次式で表される。

質同じになる）。振幅𝐴、周波数𝑓、位相𝛼を用いると、

𝑫 = 𝜀𝑬(3)

一般的な三角関数は𝐴 sin(2π𝑓𝑓 + 𝛼)と表すことがで

ここで𝑬は材料に印加される電界（単位：V/m）であり、することができる。

𝑫も𝑬もベクトルであり、大きさと方向をもつ。電束密𝑫は材料内に発生する電束密度（単位：C/m2）である。

き、この三角関数を用いれば様々な波を統一的に表現
3-2. 三角関数と複素数の関係

度𝑫は電荷の存在によって生じるベクトル場を表して

図 2 の円は横軸を x、縦軸を y とした平面座標であおり、𝑫の大きさは材料内に誘導される電荷量と関係るが、横軸を実軸、縦軸を虚軸とした複素平面座標でがある。つまり式(3)によれば、誘電率は外部からの印表したとしても、(cos 𝛼 , sin 𝛼)が(cos 𝛼 , j sin 𝛼)となる

加電界によって材料内に誘導される電荷量の度合いを

j = √−1である。このとき、以下の便利な数学公式（オここで、電界ベクトルがどの方向を向いたとしても、だけで本質は変わらない。 j は虚数単位であり、表すこととなる。

イラーの公式）によって三角関数と複素数を結びつけ材料に発生する電束密度ベクトルの方向が電界ベクトることができる。

ル方向と一致し、電界ベクトルと電束密度ベクトルのj𝛼e= cos 𝛼 + j sin 𝛼(1)大きさの比がベクトルの方向に依らず一定となるとき、eは自然対数の底である。式(1)は「自然対数の純虚数乗

この材料を等方性媒質と呼ぶ。等方性媒質の場合、誘が、この公式のおかげで複素数と三角関数が結びつく。

真空の場合、真空には分極が発生しない。このときさらに、3-1 節で述べたように三角関数で表現できるかの誘電率を真空の誘電率𝜀0 とすると、材料の誘電率𝜀はが三角関数になる」という何とも不思議な公式である

電率𝜀の大きさのみを考えれば良い。

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真空の誘電率との比を用いてではなく、「電磁波という波を指数関数と複素数で表現(4)𝜀 = 𝜀0 𝜀rしたがために『誘電率を複素数で表現せざるを得なくと表すことができる。この𝜀r を比誘電率と呼ぶ。𝜀0 はなった』」のである。

F/m と非常に小さい値のため、材

なお、真空の場合には時間遅れ𝜏が存在しないため、料の誘電率の指標としては𝜀よりも𝜀r を用いる方が理解しやすい。

式(6)に𝜏 = 0を代入すれば𝜀0 = |𝐷|/|𝐸|となり、真空の誘電率は実数（虚部は 0）となる。

4-2. 電磁波照射時の誘電率4-3. 複素誘電率と誘電正接𝜀0 = 8.854 × 10−12等方性媒質の材料に対して、角周波数𝜔をもつ電磁誘電率を複素数で表現せざるを得なくなったので、波を照射することを考える。ここでは誘電率のみに焦誘電率を改めて(7)𝜀 = 𝜀 ′ − j𝜀′′点を当てるため電磁波の電界のみを考慮し、等方性媒と表し、𝜀を改めて複素誘電率と呼ぶことにする。𝜀 ′ が質を想定しているため電界ベクトルの方向の議論は省複素誘電率の実部、𝜀 ′′ が複素誘電率の虚部である。

略する。以上より、電界𝐸の大きさを|𝐸|とすると、電界は𝐸 = |𝐸|ej𝜔𝜔 と表すことができる。|𝐸|は振幅に相当

複素誘電率の実部と虚部の比を考えると、式(6)と式し、電界の位相は 0 としている。

(7)の対応関係より

いま、材料が真空である場合には、真空には分極が𝜀′′𝜀′発生しないため、電界印加と同時に電束密度が発生す

|𝐷|

|𝐷|

= �|𝐸| sin 𝜔𝜔���|𝐸| cos 𝜔𝜔� =sin 𝜔𝜔cos 𝜔𝜔= tan 𝜔𝜔 (8)る。つまり電束密度𝐷は𝐷 = 𝜀0 𝐸 = 𝜀0 |𝐸|ej𝜔𝜔 となる。となる。ここで𝜔𝜔 = 𝛿とおけば、加と同時には電束密度は発生せず、僅かながら時間がとなり、読者の多くも既知であろう誘電正接の式が得遅れて発生する。この時間遅れを𝜏で表すと、元々の印られる。また、式(9)を複素平面上で図示すれば図 3 の𝜀′′ところが、分極が発生する一般的な材料では、電界印

j𝜔𝜔

加電界の波を表すe𝜀′である直角三角形の関係にぴったりと収まる。𝛿は三角遅れるため、𝑡を(𝑡 − 𝜏)で表すこととなる。よって電束密度の大きさを|𝐷|とすると、電界𝐸 = |𝐸|ej𝜔𝜔 が印加された一般的な材料の電束密度は𝐷 = |𝐷|e以上より、誘電率𝜀は式(3)を用いて
𝜀=𝐷𝐸=|𝐷|ej𝜔(𝑡−𝜏)|𝐸|ej𝜔𝜔

=|𝐷|e−j𝜔𝜔 ej𝜔𝜔|𝐸|ej𝜔𝜔

=となる。

|𝐷| −j𝜔𝜔
e|𝐸|(9)

ようになり、𝜀 ′ と𝜀 ′′ と角度𝛿の関係性が三角関数の起源の𝑡が電束密度発生時には𝜏だけ

j𝜔(𝑡−𝜏)= tan 𝛿関数上では位相に対応するため、𝛿は印加電界と発生電束密度の位相差を表していることにもなる。

また、式(6)において複素誘電率が周波数の関数として示されているのは興味深い。もちろん、複素誘電率(5)と周波数の関係は本稿で述べたような単純なものではと表すことができる。さらに、式(1)を式(5)に代入する

ないが、誘電率は一定の値ではなく周波数（あるいはと、誘電率は最終的に温度）の関数であることを知っておくことは、照射効|𝐷||𝐷|

𝜀 = |𝐸| cos 𝜔𝜔 − j |𝐸| sin 𝜔𝜔

率の良いマイクロ波加熱装置を設計する上で重要であ(6)る。と表現される。

虚軸式(6)の右辺をよく見てほしい。複素数である。ここまでの議論において、誘電率そのものには特段の配慮をしていないにも関わらず、「印加電界と発生電束密度実軸の間には時間差がある」という条件を加えただけで誘電率が複素数になるのである。これは紛れもなく、電磁波を指数関数と複素数で表現したことに起因する。
以上より、「誘電率がなぜ複素数で表現されるのか？」が明らかとなった。誘電率そのものが複素数うんぬん

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図 3 複素誘電率と誘電正接の関係

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5. おわりに
本稿では、「誘電率がなぜ複素数で表現されるのか？」を明らかにするために、「そもそも電磁波という波をどう表現するのか？」について紐解き、複素誘電率が現われる理由について述べた。透磁率の場合でも、誘電率と透磁率、印加電界と印加磁界、電束密度と磁束密度の双対性から、同様の議論によって複素透磁率を述べることができる。本稿を通じて、誘電率や透磁率がなぜ複素数で表現されるのか、電磁波がどのように表現されるのかについての理解がなされることにより、マイクロ波加熱の理論に対する理解も進むことを期待する。
なお、本稿の議論を補足となる参考文献を末尾に記す。電磁波工学の観点からみたマイクロ波加熱の捉え方として参考にされたい。
参考文献
柴田長吉郎、工業用マイクロ波応用技術、電気書院、
1986．
三谷友彦、-はじめて学ぶ電磁波工学と実践設計法- マ
イクロ波加熱応用の基礎・設計、科学情報出版、2015．

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