ＳＳＨ（スーパーサイエンスハイスクール）「応用数学」での授業
山本彰子（京都教育大学附属高校）
１ はじめに
平成１３年もおしつまった頃から，かつてない繁忙の日々に突入した．高校数学３年間の教材再配置，関係する書籍の購入濫読（今から思うとこの時期が一番幸せだった），新しい教材づくり，京都教育大学との連絡，申請書その他の書類作成等．平成１４年からのＳＳＨ
研究指定校申請の準備である．無事指定を受けたあと今度は，授業の準備，実施，学外講師の依頼，記録まとめ，研究会など繁忙の日々は継続した．第１期３年間を終えて，現在，第２期５年間の１年目である．今回のこの記事で第１期３年間に特に私がエネルギーそそいだ学校設定科目「応用数学」でおこなった授業の紹介をさせていただきたいと思う．
２ 「応用数学」 科目設置の意図
ＳＳＨは一言でいえば科学者を育てるための理数教育である．その数学のカリキュラムを作るにあたって次のようなことを考えた．今の高校から大学への数学教育は極端にいえば受験数学と専門純粋数学である．他の世界とは無縁にその中の論理的思考活動だけで完結してしまっている．数学が他の分野で，自然科学や社会科学の中でどう使われるのかを知りたいと学習者が思うのは，自然なことであるのに，そういうことがわかる教育になっていない．
ＳＳＨが特に数学者でなく科学者を育てる教育なら，数学が使われる場面や活道をうかがい知る科目があってもよいと考えた．ＳＳＨは学校独自の科目が置けるので，数学の他の科目と並行しかつ内容の相互関係も考慮して，「応用数学」という科目を１年生に１単位，２年生に１単位おくことにした．
（末尾カリキュラム表の一部参考）
３ 「応用数学」実施の概要
ＳＳＨ１期生は 1 年目フラクタル，２年目カオスを扱った．自然現象の中に表れる形・変化を，数学でダイレクトにとらえようとしていたことに魅力を感じて取り上げた．葉っぱを実測して数式で再現したり，地図で海岸線の相似次元を測ったりした．特別授業には物理や工学の先生にきていただいて具体的な現象を見せてもらったり，応用の話をしてもらったりした．研究の先端が少しみえる気がした．けれど生徒が自分で考える活動がもっとほしいと思った．
ＳＳＨ２期生はフラクタル・カオスを精選し２年生前半でおえて，２年生の後半は生徒の自主的な活動をふやすことをねらった数学・物理・英語の総合的学習「光の速さ」をおこなった．ＳＳＨの学校設定科目「科学英語」１単位と連続させて週２時間半年の取り組みである．科学の中で現実的な問題を考えるために使う数学，文法や構文でなく科学的内容をつかむ Reading と人に伝えるための英語，生徒達が考えた実験や忍耐が必要な実験に取り組んだ
物理．今までそれぞれの科目で受験を意識してやってきたことと違い，近い将来科学に関わる勉強をするのに役立つ，自分達で考えることの多い実践的な授業として生徒達に歓迎された．
４ 内容紹介を少しＡ．カオスゲーム でフラクタルができる原理を考える
ここでいうカオスゲームとは次のようなシミュレーションである．

三角形ＴＬＲの内部の好きな点Ｐからスタートする．
①さいころをふってでた目により次のルールで点Ｐを移動する．
１または２がでたときはＰＬの中点へT
３または４がでたときはＰＲの中点へ
５または６がでたときはＰＴの中点へ.
② 新しく移動した点をマークする．
③ 新しく移動した点Ｐから①②を繰り返す．
LR

まず，生じる図形の意外さで興味をひく素材である．そして三角形を正多角形にかえたり，中点でなく頂点にひきよせられる比率を変えるとさらにおもしろい．フラクタル図形になったり，ならなかったりする．シミュレーションを繰り返し，いろいろ観察した後，図形のできる原理を考えさせてレポートさせた．

Ｂ．葉っぱを再現する
カオスゲームで 1 つの頂点にひきよせられＴる移動を相似変換と考える．
三角形の頂点Ｔ，Ｌ，Ｒにひきよせられｆ2
ｆ2
る移動を 3 つの相似変換ｆ1，ｆ2，ｆ3 と考える．この相似変換をＬＲ
いくつかの（今回は 3つの）適当なアフィンｆ3変換に変えて同じようｆ3に順次点をとっていく
ことで自己相似または自己アフィンな形の葉っぱを描くことができる．6×（アフィン変換の個数）個だけの少ないデータで葉っぱのような複雑な形を表現できるのは驚くべきことである．

ｆ1

ｆ1

生徒作品より

実物再現

５ 大学・学外との連携①教材作成，授業の構成などについて京都教育大学数学科の先生方の指導を受けた．高校単独で考えていたならこれだけおもいきった取り組みはできなかったと思う．
②ＳＳＨ１期生の１年目に「フラクタル」，ＳＳＨ２期生の２年目に「光の速さ」をテーマにして タイの高校生とテレビ会議システムによる交信授業をおこなった．これは京都教育大学数学教育研究室との共同研究としておこなわれた．
「数学教育における創造性の育成を目的とした遠隔協同学習の研究」
文部科学省科学研究補助金・基盤研究 代表者 守屋誠司
③授業を進める上で効果的な時期に効果的なテーマで学外講師に特別授業をお願いした．
特筆すべきは，フラクタル学習中にその創始者 Manderbrot 氏の講演を実現できたことである．
「自然界のものを表現するのにユークリッド幾何学より，フラクタル幾何学のほうがより複雑な面を表現することができる」という言葉に納得し，実際に数学を創った人の感性と偉大さを実感することのできためったにないチャンスであった． その他，理科や工学の関係の先生に講演をお願いしてできるだけ具体的なものをみせていただいた．特に感じたことは大学の先生方が全く面識もないいきなりのお願いでも遠方でもこころよくひきうけてくださって，しかも慣れておられるということである．
「出前授業」という言葉も始めて知った．
特別授業一覧
2002.10.28 特別講演
Manderbrot イェール大学教授
本間均
兵庫教育大学教授
2003.2.13 金属葉の成長パターン
カオスの意味と船越満明
京都大学情報学研究科複雑系科学
2003.6.17
現実世界におけるカオス専攻
高安美佐子 はこだて未来大学教授
2003.10.23 自然とフラクタル
高安美佐子 はこだて未来大学教授
2003.10.24 フラクタルの応用
合原一幸
東京大学生産技術研究所教授
2003.12.15 カオスの応用
最後に理想ですが・・・ 高大連携で数学の授業をするイメージをかきます．
高校側からこんなテーマでやりたい 大学側からこんなことができますよという一覧表とコミュニケーションのとれる場があって，これでやろうと話がまとまるとまず高校の先生は内容をしっかり勉強する．授業は高校・大学共同で組み立てる．高校生のレベルをわかり，理解できる授業をするのは高校の先生．刺激を与えてモチベーションをあげるのは大学の先生．高校生に適した考える問題や作業がおりこまれているのがよい．それを共同で考える．
・・・・大学の先生方が高校にこころよく出向いてくださるという経験をしたものだから調子に乗ってみました．
カリキュラム表

2003 年度 1 年生

指導要領外の内容には網掛けがしてあります

数学Ⅰ（3 単位）
数と式
１ 学

式の計算

期 前

実数

半循環小数を分数に直す
平方根

数学Ａ（3 単位）集合
集合と要素の個数

フラクタル基礎
フラクタルって何だろう
Koch curve

場合の数
順列と組み合わせSierpinski triangles
Cantor set

Tree

長さ面積等の数値の規則性

１次不等式 ２次方程式
黄金比２次関数

応用数学Ⅰ（1 単位）

黄金比とフラクタル確率

自己相似性関数とグラフ

確率とその基本性質

１ 学

２次関数のグラフ

独立試行

A《Chaosgame》

期 後

２次関数の決定

期待値

プログラミング

半２次関数の最大値最小値

命題と論証

正ｎ角形を描く

いろいろな関数のグラフ

必要条件，十分条件

シミュレーション２次関数のグラフ２次不等式

論証

レポート

２ 学 三角比方程式・式と証明

Chaosgame レポートより

期 前 三角比整式の除法と分数式

生徒発表

半相互関係

2 次・高次方程式

Chaosgame でフラクタルがで正弦定理と余弦定理式と証明

きる原理について まとめ

三角形の面積等式，不等式の証明《特別授業 「自然とフラクタル」》

２ 学 三角関数

平面図形

アフィン変換の性質

期 後三角関数のグラフ

三角形，五心B《葉っぱの再現》

半加法定理

チェバ，メネラウスの定理

原理説明

加法定理の応用円

採寸

三角関数の合成

円と直線アフィン変換の係数計算

３ 学 指数・対数数列

コンピューターで葉っぱの再期

累乗根等差数列

現 修正

指数の拡張 グラフ

等比数列

統計的相似性次元

対数の定義
対数の性質 グラフ

フラクタルの相似性次元

いろいろな数列・極限

対数目盛のグラフ

漸化式

回帰直線と相関係数