学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2020 年度共同研究 最終報告書

jh200030-NAH

カイラルフェルミオンを用いた格子 QCD による中間子質量生成機構の研究
関口宗男（国士舘大学）

概要 強い相互作用の第 1 原理である量子色力学（QCD）を用いて、カイラル相転移付近での中間子の構造及び質量の変化を研究することにより、物質の質量の起源を明らかにすることを目的としている。本研究ではフェルミオン（この場合はクォーク）のカイラル対称性を格子時空間上で実現した大規模シミュレーション用のプログラムコードを作成することが最重要課題である。カイラル対称性を実現するために 5 次元目の自由度を導入したが、代わりに数値計算上の計算コストが高くなった。
この計算コストを下げるためには、プログラムコードの高速化が必要である。5 次
元目にサイズを大きくすればカイラル対称性に関する性質は改善するが、計算コストは上がってしまう。そこで、5 次元目のサイズを最低どれくらいにすれば物理的な結果が得られるかを検討した。また、本年度は SU(N)ゲージ理論用のウィルソン・フェルミオン（WF）作用コードを作成した。これにより QCD のプロトタイプであるSU(2)QCD の数値シミュレーションや QCD の非摂動論的な計算手法である 1/N 展開と対応させることが可能となった。

1. 共同研究に関する情報

2. 研究の目的と意義
強い相互作用の第 1 原理計算である量子色(1) 共同研究を実施した拠点名
大阪大学

力学（QCD）を非摂動論的に計算できる格子
QCD を用いて、カイラル相転移付近での中(2) 共同研究分野

間子の質量生成機構を明らかにすることに超大規模数値計算系応用分野

より、物質の質量の起源を探ることを目的としている。カイラル相転移とは、QCD の持(3) 参加研究者の役割分担

つカイラル対称性が自発的に破れ、QCD 真・関口 宗男 （国士舘大学・理工学部）空が相転移を起こす現象である。この現象は代表 研究統括・理論的分析・データ解析

ビッグバン直後の超高温状態から現在の宇・若山 将征（国士舘大学・理工学部）宙が生成されたときに起きたと考えられて

副代表 コード開発・演算の実行・データ解いる。有限温度では、カイラル対称性の破れ

析が部分的に回復し、臨界温度で相転移が起こ・伊達 進 （大阪大学・サイバーメディアセることが期待されている。QCD 有効理論にンター） アルゴリズム・コード開発よれば臨界温度以上ではカイラル対称性に・中村 純 （大阪大学・核物理研究センター）

おいて対をなす中間子（カイラル・パートナ

アルゴリズム・コード開発ー）の質量は縮退すると予想されている。π・和田 浩明（国士舘大学・理工学部） 演算

中間子とσ中間子、ρ中間子と a1 中間子がその実行・データ解析

れぞれ対になっていて、カイラル・パートナ・村上 祐子（国士舘大学・理工学部） アルーと呼ばれる。第 1 原理に基づく有限温度

ゴリズム・コード開発のシミュレーションにより QCD 真空の相転移付近でのカイラル・パートナーの質量変1学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2020 年度共同研究 最終報告書

化を調べることはカイラル相転移を理解す空でのπ、ρ中間子の質量生成機構の研究る上で重要な課題である。これによりカイラ（JHPCN 研究資源を利用する）

ル対称性の力学的破れが物質の質量のほぼ（２）ウィルソン・フェルミオン（WF）作すべてを生成していることを実証する。質量用コードの高速化（JHPCN 研究資源を利用の起源に関する根本的な理解を深める点がしない）

本研究の最大の特色であり、宇宙の創生の過（３）TOF コードの高速化（JHPCN 研究程を明らかにするために欠くことのできな資源を利用しない）

い研究課題である。現在のスーパーコンピュ

公募申し込み後の研究の遅れから中間報告

ータの能力を超えるテーマであるが、現実的で記載したように今年度の研究課題を変更な計算機リソースで最大限の物理的な成果して実施した。

を得ることを目指す。スーパーコンピュータ

3.

を最大限に活用するプログラムコードの開

当拠点公募型研究として実施した意義

発が研究の成否を分けることになり計算機本研究では、4 次元時空間を離散化して、科学分野と計算科学分野の双方の研究基盤その格子上でクォークを記述する格子 QCDの発展に資すると考える。

によるシミ ュレーションを行うが、さらにこの公募研究では最終的に大規模シミュレカイラル対称性を導入するため 5 次元空間をーション用のコード開発と開発したコード使用する。 我々が JHPCN 拠点公募型研究の検証を行うためのテスト・シミュレーショとして開発しているプログラムコードは、ンの実施を計画している。Lattice ツールキ

我々のグループにより作成され公開されてットは本研究参加メンバーにより開発されいる Lattice ツールキットのウィルソン・フ

た格子 QCD の数値シミュレーション用のソェルミオン（WF）作用のプログラムコードースコードで、オープンソースとして、現在、を基に開発をしている。WF 作用を使った中国内外の複数の研究グループにより利用さ間子の伝搬関数の数値シミュレーションをれている。本研究で作成したコードについて行うと、例えば時空間を 8×8×8×16 の格子も最終的な大規模シミュレーションが終わに離散化し、その格子点にフェルミオン（こった段階でオープンソースとしての公開をの課題のフェルミオンはクォーク）を考える計画している。また、汎用性のある部分的なとコードの公開も予定している。

方行列に対する線形方程式を解く必要があ【目標とするプログラムコード】

る（この行列の大きさは物理的な成果を得る格子上でカイラル対称性を実現している作のに最低限の大きさである）。本研究は、さ用を用いて中間子の伝搬関数の数値シミュらに格子上のクォークにカイラル対称性をレーションを実施するためには最低 300 万近似的に待たせるために 5 次元目の自由度を次の正方行列に対する線形方程式を解法す導入する（TOF 作用コード）と少なくともる必要がある。この計算を高速化し、現実的300 万次の正方行列に対する線形方程式を解な計算機リソースを使って物理的結果が得くことになる。クォークと反クォークから構られるプログラムコードを作成することが成される真空と同じ量子数を持つσ中間子目的である。

は、非連結グラフの計算が必要であり、単純【今年度研究課題】に計算しようとすると他の中間子と比べて（１）トランケイテッド・オーバーラップ・時空間体積倍だけ計算コストがかかる。こたフェルミオン（TOF）作用コードを用いた真め現実的な計算機リソースとはかけ離れた2３×４×８×８×８×16 (=98304) 次の正学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2020 年度共同研究 最終報告書

計算コストになり第 1 原理計算からのアプロ

mfa

0.07

0.05ーチが困難であった。この困難を解決するた

mπa0.6283(7)0.5478(8)め計算機科学分野の研究者との共同研究がmρa0.9249(21)0.8816(27)必要である。特に WF 作用のコードはベクトmπ/mρ

0.679(2)0.621(3)ル化に向いいるため SX-ACE でのコード開Confs.

30003600発により計算の高速化が見込まれる。また、これまでの大阪大学核物理研究センターとシミュレーションはすべて SX-ACE で実施の共同研究として、大阪大学サイバーメディした。2018 年度と 2019 年度のシミュレーシ

アセンター（CMC）の NEC のスーパーコンョンから a1 中間子の基底状態と第 1 励起状態

ピュータ SX シリーズでのコード開発の経験が得られた（表２）。カイラル・パートナーがあり、それを活かすことができることも大としてρ中間子と対を成す a1 中間子は実験きな利点である。さらに拠点である大阪大学

的に a1(1260)(質量 1230±40MeV)と考えて良CMC の伊達進准教授が共同研究に参画し、いことが分かった。また a1(1640) (質量 1655

SX-ACE でのコード開発・最適化についての±16MeV)は第 1 励起状態であると考えられる。

協力が受けられる。以上のように大阪大学を先行研究では a1 中間子の第 1 励起状態に関し拠点とする公募型共同研究は、我々の研究をては確定値を得られたものはなく、今回のシ発展させるのに最適である。

ミュレーションによって初めて基底状態と第１励起状態の実験値を強い相互作用の第 14. 前年度までに得られた研究成果の概要原理である QCD により再現することができたといえる。さらに、実験的にはエキゾチック（１）第１原理計算による a1 中間子励起状態な状態の可能性を指摘されている a1(1420)の質量の確定（JHPCN の計算機リソースを使（質量 1411± MeV）については今回のシミュ用する）

レーションの結果では対応する状態が得ら2018 年度に JHPCN 共同研究で開発した TOFれず、格子 QCD とクォーク模型の両方の立場

作用コード(Ver.1)を大阪大学 CMC との共同からクォーク・反クォークの 2 体と考えるこ研究で計算速度を 10％向上させた改良版とは難しいと考えられる。

(TOF 作用コード Ver.2)のコードを用いて真表２ a1 中間子の質量空中でのπ、ρ、a1 の伝搬関数をクエンチ近似での数値シミュレーションを実施した。
2018 年度に同じ中間子について Ver.1 のコードでシミュレーションをしているが、今回

Our result

実験値[1]

基底状態

1158(42)MeV

1230(40)MeV

第 1 励起状態

1667(22)MeV1655(16)MeVのシミュレーションでは、a1 中間子の第 1 励起状態を確定することを目的として、新たにこの結果は国際会議 Hadron2019 で発表し、2 種類のクォーク質量 mfa=0.05、0.07 についプロシーディングスに掲載された。今回のシてシミュレーションを実施した。クォーク質

ミュレーションの結果からカイラル・パート

量それぞれにつきゲージ配位数は、3000、ナーに属する中間子には TOF 作用は有効であ3600 を使用した(表１)。

ることが検証できたと考えられる。

表１ 各クォーク質量（mfa）におけるゲージ（２）第１原理計算による有限温度における配位数とπ中間子とρ中間子の質量比(mπ中間子の質量変化のシミュレーション/mρ).

（JHPCN の計算機リソースを使用する）
3

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本研究課題は将来的な有限温度の計算量クエンチ近似を用いてゲージ場を生成した。

を見積もるとともに現状の TOF 作用コード

各クォーク質量に対する T/Tc とゲージ配位数（Ver.1）でどこまで物理的な内容に迫れるを表 4 に示す。

かを確認することが目的である。
シミュレーションは 2 段階で行っていて、表４第 1 段階として、TOF 作用を使って真空での有限温度のシミュレーションパラメー
ター

π中間子とρ中間子の伝搬関数を計算する。

βT/Tc

a [fm]

mfa

Confs.

カイラル対称性を近似的に実現するための 52.187

0.860.2079(15)

0.177

2400

次元目の格子サイズを N5=32 とし、5 次元の質

2.214

0.91

0.1977(13)

0.175

2000

量を m5=1.65、空間のサイズを Nｓ、時間のサ

2.247

0.970.1853(09)

0.160

2000

イズを格子サイズ Nｔとして、
Nｓ×Nｔ×N5＝163

2.281

1.040.1727(10)

0.150

2000

×16×32 の格子でのシミュレーションを実施

2.334

1.140.1577(09)0.1452000

した。この格子空間上で 8 つのゲージ結合定

2.416

1.320.1359(07)

0.133

2000

数を指定するパラメーターβに対して複数の2.487

1.590.1206(09)

0.113

2000

クォーク質量 mfa に関してシミュレーション

第 2 段階として、このゲージ配位を用いて有限温を行った。π中間子とρ中間子の伝搬関数を度におけるカイラル・パートナーに属する 4 つの求めて、π中間子とρ中間子の質量比（mπ/m中間子質量を各温度でシミュレーションをして、ρ）を求める。このシミュレーションから mカイラル・パートナーに属する 4 つの中間子（ππ/mρ＝0．8 になるクォーク質量を求めた結中間子、ρ中間子、スカラー中間子（バレンスσ果（0.8 に一番近いクォーク質量）が表 3 で中間子）、a1 中間子）質量と真空のρ中間子質量のある。このシュミュレーションではゲージ場比の T/Tc 依存性を明らかにした(図１)。 これらに関しては岩崎ゲージ作用によるクエンチ近の中間子はすべて u(d)クォーク及びその反クォー似を用いて、ゲージ配位については 12～80 個クの 2 体のオペレーターで構成している。スカラ生成し使用している。

ー中間子（バレンスσ中間子）に関しては、σ中

表３mπ/mρ＝0．8 でのクォーク質量間子を構成するファイマンダイヤグラムの一部をβa [fm]mfa計算したものである（非連結ダイヤグラムを省略

2.1870.2079(15)0.177した）。π中間子、バレンスσ中間子及びρ中間子、

2.214

0.1977(13)0.175

a1 中間子質量は臨界温度付近から同じ質量に縮退

2.247

0.1853(09)0.160

しはじめ徐々に重くなることが分かった。また、

2.281

0.1727(10)0.150

温度の低い領域で a1 中間子はシグナルがかなり不2.334

0.1577(09)0.145

明瞭な結果であったが（低温部分のデータは図１2.4160.1359(07)0.133にプロットしていない）、クォーク模型で励起状態

2.487

0.1206(09)0.113になる中間子（σ中間子、a1 中間子等）は角運動量を持つため格子 QCD のように空間を離散化した

これら 8 つのクォーク質量を使って有限温場合にはシグナルが不明瞭になる傾向にあり、デ度のシミュレーションを実施した。このβ及ータを数倍ためる必要がある。今回はテスト計算

びクォーク質量に対応する温度 T と臨界温度であり、計算機リソースの有効活用の立場からシTc との比は、本来はシミュレーションをしてミュレーションを継続することは不適当であると求めるべきあるが今回は先行研究[2，3]のデ判断した。カイラル・パートナーの中間子の質量ータを使用した。このパラメーターの設定でが臨界温度付近から変化し縮退をはじめることが4

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分かった点と有限温度での計算量を見積もるといへ継続した。

う点で成果があった。これらの結果は国際会議
Lattice2019 で発表し、査読付き国際会議プロシ[1] M. Tanabashi et al. (Particle Data Group),ーディングスとして出版された。

Phys. Rev. D 98, 030001 (2018).
[2] M. Okamoto et al. (CP-PACS Collaboration),
Phys. Rev. D60, 094510, 1999
[3] A.A. Khan et al. (CP-PACS Collaboration),
Nucl. Phys. B ( Proc. Suppl. ), 83, 176, 2000
[4]

M. Hasenbusch and K.Jansen, Nucl.Phys.B659, 299 (2003).

5. 今年度の研究成果の詳細
図１

有限温度におけるπ中間子質量、ρ中間子質量、スカラー中間子（バレンスσ中間子）、a1（１）トランケイテッド・オーバーラップ・中間子質量と真空のρ中間子質量との比の T/Tc

フェルミオン（TOF）作用コードを用いた真依存性

空でのπ、ρ中間子の質量生成機構の研究（JHPCN 研究資源を利用する）
TOF 作用コードは 5 次元格子空間でフェ（３）シミュレーションコードの高速化（JHPCNの計算機リソースを使用しない）ルミオンを定義することにより質量生成メ最終目標を達成するためにも計算資源の有効活

カニズムに関係するカイラル対称性を実現用のためにも正方行列に対す線形方程式を高速でしている。5 次元の格子サイズを大きくとる解法する必要があり、前処理付き共役勾配法によとカイラル対称性は改善するが計算量が大る WF 作 用 コ ー ド の 開 発 を 実 施 し た 。

きくなる。適切な 5 次元の格子サイズを検討

Hasenbusch-Jansen によって提案されている前処することは研究資源の有効活用の立場から理法[4]を採用し、かつ独自の改良を行いながらコ重要なテーマである。5 次元の大きさを検討

ードを作成している。この課題については 2019 年するのにカイラル・パートナーであるπ中間度では終了できなかった。2020 年度への継続とし子とρ中間子の質量比をシミュレーションた。

により求めた。この研究は 2019 年の後半に（４）TOF 作用の高速計算の準備（JHPCN の計算機

数値シミュレーションを開始していたが確リソースを使用する）定的な結論を得るためにさらにシミュレー

TOF 作用コード(Ver.2)では、カイラル対称性のションを実施する必要性があった。また、ために 5 次元方向の自由度が増えている。5 次元

2019 年度から 2020 年度 5 月にかけて大阪大方向を小さくできれば計算量を減らすことができ

学 CMC との共同研究によりアルゴリズムのる。ただし、カイラル対称性は、この 5 次元方向見直しを行い Ver.３の TOF 作用コードを完の自由度と関係しているので、5 次元方向を小さ成させ、Ver.１より計算速度が約２0％向上しくするとカイラル対称性に影響がでる。そのためた。そのためカイラル対称性を導入するため

5 次元方向（N5 の依存性）の依存性を検討するこに増やした 5 次元自由度により増えた計算量とが有益であると判断した。2019 年度では数値シを計算速度でカバーできるところまでプロミュレーションは終了することがでず、2020 年度

グラムの改良ができた。このことは本共同研
5学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2020 年度共同研究 最終報告書

究としては大きな成果であり、次のステップ分かるが、数値シミュレーション上は計算機である TOF 作用コードでのフル QCD（ダイリソースとの関係で N5 を現実的な値に決めナミカル・クォークを含む）へ移行することなければならない。今回の数値シミュレーシへの見通しがついたことになる。本年度のションより N5＝24 前後でのシミュレーション

ミュレーションはこの新しい TOF 作用コーを目標とすれば良いことが分かった。これら

ド（Ver.3）を使用した。カイラル対称性を持の結果は、“Property of 5th dimension forつフェルミオンの 5 次元自由度の依存性につ

the truncated overlap fermions”(仮題)としいての先行研究では他の種類のカイラルフて、論文の投稿を予定している。確定的な結ェルミオン（ドメインウォールフェルミオン

果を得るため３，4 月に追加のシミュレーシ等）では結果があるが、TOF 作用についてョンを実施したため投稿が最終報告には間にSU（３）での数値シミュレーションを行っ合わなかった。

た研究はない。理論的には同じ種類のフェルまた、このシミュレーションによりρ中間ミオン作用であってもアルゴリズムには違子のデータが蓄積できたので、以前のデータいがあるので今後の大規模シミュレーショと合わせて解析したところρ中間子の第 1 励ンを成功させるために自作コードでの検証起状態の質量が求められた。2019 年度に報をする必要がある。その場合 5 次元自由度

告した a1 中間子の励起状態に関するデータ

N5 のサイズがどれくらい計算量に依存性がも含めて、すべてのデータを再解析（解析手あるかを検証しておく必要がある。JHPCN法を改良した）し、“Lattice spectroscopy ofからの計算機リソースは 10 月 13 日で利用をexcited mesons with the truncated overlap終えた。10 月末からは、国士舘大学で導入fermions”と題するρ、a1 中間子の励起状態

した SX-Aurora TSUBASA を使ってシミュの論文を作成中である。 この論文も夏にはレーションを実施した。

投稿予定である。
（２）WF 作用コードの高速化（JHPCN 研究資源を利用しない）
WF 作用コードに前処理付き共変勾配法の前処理法として Mass precondition 法[4]を導入にして、さらに相互作用が SU（N）ゲージ相互作用での計算ができるように改良

図２ π中間子の質量 2 乗の 1/N5 依存性を加えた。このコードはクエンチ近似とフルQCD 両方のシミュレーションに対応してい数値シミュレーションの例としてπ中間子のる。並列化と SX-Aurora TSUBASA に最適

質量 2 乗の 1/N5 依存性を図 2 に示す。クォ化を大阪大学と共同で実施している。2020

ーク質量が軽く N5 が大きいほどπ中間子の年度内に並列化・最適化は終了できなかった

質量は小さくなることが分かる。カイラル対が 2021 年 5 月中には完成する予定である。

称性の自発的破れによる NG ボソンとしてのπ中間子の持つ性質を再現している。また、（３）TOF コード（Ver.3）の高速化（JHPCN

N5 が大きいほどπ中間子の質量 2 乗は小さく研究資源を利用しない）なっている。N5 は大きく取ればカイラル対称

TOF 作用コード(Ver.3)をより大きな格子サ性の自発的破れをよりよく再現できることがイズでの計算を可能とするために並列化と6

学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2020 年度共同研究 最終報告書

SX-Aurora TSUBASA の能力を最大限に活(1) 学術論文 （査読あり）用して計算速度を上げることを目標にプロなし

グラムコードの改良を大阪大学の協力のもとに実施している。
この課題についても 2020

(2) 国際会議プロシーディングス（査読あり）

年度内に完成することができなかったがY. Murakami,

A.Nakamura,2021 年 5 月中には完成する予定である。

Sekiguchi, H. Wada,

M.

M.Wakayama,“Lattice study of meson properties

6. 今年度の進捗状況と今後の展望at2019 年度の後半で研究に遅れが生じた。そのため申請時に設定した研究課題に対して

finetemperaturetruncatedoverlap

Proceedings

ofusingthefermions” ,Science363045,pp.1-7 2020.

は 30％程度を終了したことになる。2019 年(3) 国際会議発表 （査読なし）

度の遅れは WF 作用コードで前処理付き共変なし

勾配法の前処理法として Mass precondition(4) 国内会議発表 （査読なし）

法を単純に導入するだけでなくさらに改良なしを加えようとして試行錯誤を繰り返した。こ(5) 公開したライブラリなどのため研究全体を遅延させた。最終的に Mass

本研究で基にしている Lattice tool kit

precondition 法を単純に導入し、さらなるは以下の Web ページで公開している。

高速計算を実現するために並列化すること

JHPCN で開発したコードも検証後随時公により計算処理を効率化する方向で研究を開して行く方針である。

進めている。研究の遅れを回避してもできる

https://nio-mon.riise.hiroshima-u.a

研究内容を優先する形で研究課題を再設定

c.jp/LTK/した。再設定した研究課題に関しては 70％を(6) その他（特許，プレスリリース，著書等）実現していると考えている。

国際会議プロシーディングス（査読なし）

中間報告で 2 本の論文の作成計画を書いた

M. Wakayama, Y. Murakami, A. Nakamura,

が、両論文とも年度内には完成できなかった。

M. Sekiguchi, H. Wada, Proceedings of

いずれもまとめる段階での補足的なシミュ“Spectroscopy of a1 mesons from

レーションとデータ解析が完成を遅らせて

lattice QCD with the truncated overlap

いる原因である。夏までにはどちらも確実にfermions”, The 18th International

投稿する。

Conference on Hadron Spectroscopy and2021 年度に関しては、WF 作用コードのフStructure, pp.104-108, August 2020,

ル QCD によるシミュレーションと TOF 作用コWorld Scientific.

ードに Mass precondition 法を導入しフルQCD 用に書き換える作業を開始する。これら２つのコードにより物理的な成果が得られることを期待している。

7. 研究業績一覧（発表予定も含む．投稿中・投稿予定は含まない）

7