jh200013-NAH

GPU コードならびに多倍長精度アルゴリズムを用いた高密度 QCD 物質の研究
若山 将征（国士舘大学）

概要
有限温度・有限密度系における量子色力学 (QCD) の相図は基本的な問題であるが、未だに信頼度の高い結果を得るには至っていない。格子 QCD は QCD を第一原理的に計算できるため、QCD相図を調査する強力な道具となる。しかし有限密度の格子 QCD は「符号問題」という難題を持ち、格子 QCD による調査は工夫が必要である。近年、カノニカル法は多倍長精度計算と組み合わせることで発展を遂げている。本研究ではカノニカル法を用いて、有限温度・有限密度における QCD物質の性質の解明を目指す。
今年度は、現実世界に近いセットアップの下で、カノニカル法を用いた格子 QCD による計算を行った。また本手法による結果が実際に信頼可能であるかどうか調査する必要がある。この調査は実密度での相構造が既に明らかになっている有効模型や 2 カラー格子 QCD による計算が有用であり、NJL 模型や PNJL 模型による解析に続き、2 カラー格子 QCD による調査の準備を行った。

ター）

1 共同研究に関する情報
1.1

プログラム開発・アルゴリズム

共同研究を実施した拠点名

5. Nam, Seung-il（韓国・釜慶大学・物理学

大阪大学

1.2科）

共同研究分野

理論的考察・プログラム開発■超大規模数値計算系応用分野

2 研究の目的と意義
1.3

参加研究者の役割分担

本研究の目的は量子色力学 (QCD) を第一原

1. 若山将征（国士舘大学・理工学部）

理から直接非摂動的に計算できる格子 QCD を総括・プログラム開発・演算の実行・理論用いて、有限温度・有限密度における QCD 物的考察質の性質を理解することである。

2. 保坂淳（大阪大学・核物理研究センター）

QCD はクォークとグルーオンを構成要素とデータの理論考察する強い相互作用の基礎理論である。QCD の3. 中村純（大阪大学・核物理研究センター）

摂動計算による解析は結合定数が小さい高エプログラム開発・アルゴリズム

ネルギー領域での物理現象の記述に成功してい4. 伊達進（大阪大学・サイバーメディアセンる。しかしながら、結合定数が大きい領域では1

はモンテカルロ法を行う際に確率解釈をしている因子が複素数となるため、モンテカルロ法が破綻してしまう。これが「符号問題」である。
有限密度格子 QCD の計算は 1984 年に中村によって最初の挑戦が行われた。その後、再重み付け法やテイラー展開法、カノニカル法等の様々な方法が提唱された。しかし再重み付け法やテイラー展開法は高温・低密度の µ/T が小図 1 QCD 相図 (予想)

さい領域 (µ/T < 1) にのみに適用が限られ、閉じ込め相や相転移構造が広がっている低温・高密度領域には到達できていない (図 1 参照)。こ摂動論は適用できず、解決すべき基本的な問題

こで、T は温度、µ は化学ポテンシャルである。

が残っている。そのひとつに、有限密度系での一方、カノニカル法は純虚数化学ポテンシャ

QCD 相図における問題がある。

ル領域 (µ = iµIq )(µqI は実数) では「符号問クォークとグルーオンは、我々の世界では題」が存在しないことを利用する。純虚数領域個々には観測されず、ハドロンという粒子の内で計算したグランドカノニカル分配関数をフー部に「閉じ込め」られる。この「閉じ込め」は、リエ変換することで、化学ポテンシャルに依ら宇宙初期の超高温や、中性子星の中心部などのないカノニカル分配関数 Zn が求められる。カ

超高密度の極限状態では、通常の「閉じ込め」ノニカル法では、一旦 Zn が求まれば、任意の状態から「非閉じ込め」状態への相転移が実現

化学ポテンシャルでのグランドカノニカル分配していると考えられている (図 1 参照)。

関数 ZGC を得ることが可能である。しかしカ実験では、太陽質量の 2 倍に近い中性子星のノニカル分配関数は粒子数 n が大きくなると、発見や連星中性子星の合体からの重力波が観測フーリエ変換の振動が激しくなることが知られされるなど、有限密度核物質の信頼度の高い研ている。そのため、粒子数 n が大きいところで究の重要性が高まっている。また J-PARC(日有意な値を得るためには、膨大な統計量が必要本) や FAIR(ドイツ)、NICA(ロシア) では、核となるため、長年、カノニカル法は実用的では密度からその数倍の密度までの探索 (図 1 参照)ないと考えられていた。ところが、近年、十進の計画・建設が進められており、有限密度系で法で数百桁の精度を保証する多倍長計算を行うの QCD 相図における問題は理論と実験双方かことで、実用に耐えうる統計量にまで抑えられらの探求が今後期待される領域である。

ることが発見された。

一方、有限密度格子 QCD による第一原理計

今日の有限密度系における格子 QCD の大規算は摂動論によらないため、有限密度における模シミュレーションは、高統計量に加えて、高QCD 物質の性質を究明するための強力な道具精度計算、及び、格子化された 4 次元時空の分となり得る。しかし有限密度系においては、格割による大規模並列計算を必要とする段階に来子 QCD には「符号問題」と呼ばれる困難が存ており、最新の HPC の性能を十分に発揮させ在しする。格子 QCD では、経路積分はモンテることで実現可能となりつつある。

カルロ法を用いて実行されるが、有限密度系で23 当拠点公募型研究として実施した意義
本研究の格子 QCD 計算では、格子サイズは最大で 243 × 24 であるため、モンテカルロ法を用いて 1.2 × 107 重積分の計算を統計量だけ実行する必要がある。有限温度・有限密度での計算では格子サイズは 243 × 24 よりも小さくなるが、さらに、温度・密度を変化させる数だけ計算量は増加する。このような大規模数値計算を実施するには、HPC を利用した本制度が

図 2 カノニカル法を用いた格子 QCD およ必要不可欠である。

び有効模型での研究手順。最も高い精度を要

特に、本研究では GPU-CUDA プログラムするのは Zn を求めるためのフーリエ変換のを使用するため、大阪大学の GPU を搭載した箇所であり、格子 QCD の研究、有効模型のOCTOPUS での計算が有用である。本プログ研究ともに多倍長精度計算を行う必要がある。

ラムは既に完成しており、OCTOPUS 上での利用実績もある。また、本プログラムは GPU上で 4 次元時空全ての点での並列化、つまり、243 × 24(= 331776) 並列が可能であり、大規模並列計算を得意とする GPU 計算機を利用することが望ましいと判断した。

4 前年度までに得られた研究成果の概要
2019 年度までに、我々は格子サイズが 163 ×4の下、クォークが比較的重い質量領域 (π 中間子と ρ 中間子の質量比 mπ /mρ = 0.80) での

図3格子 QCD で相転移点の見積もりを行った（査n 依存性。赤丸印は倍精度、青バツ印は 5000

読あり学術論文: M. Wakayama et al., Phys.

桁の多倍長精度による計算結果。

カノニカル分配関数 Zn のクォーク数

Lett. B793, 227 (2019)）。
カノニカル法を用いて有限密度中での相転移点を見積もる手順の概略は図 2 に示した。まを導出するが、n が大きくなるとフーリエ変換ず、格子 QCD 計算から純虚数化学ポテンシャの振動が激しくなり、図 3 に示すように、通常ルでのクォーク数密度 nq (iµqI ) を求め、純虚数の倍精度計算では数値の桁落ちが発生してしま化学ポテンシャルでのグランドカノニカル分配う。そこで本研究では、FMLIB パッケージを関数 ZGC (iµqI ) を得る。次にフーリエ変換を用いて約 5000 桁の多倍長精度でフーリエ変換行って ZGC (iµqI ) からカノニカル分配関数 Znを行なった。Zn が求められれば任意の化学ポ3テンシャルでの ZGC を構築することができる。
その後、ZGC の零点 (リー・ヤンの零点) を調査することで、実密度での相転移点の情報が得られる。ここで、リー・ヤンの零点は高次方程式の解を求める必要があり、100–300 桁の多倍長精度で計算を行った。最終的に、格子 QCD計算の結果から、T /Tc = 0.93 の温度 (Tc はゼロ密度での擬相転移温度) における相転移の場所は µB /T ∼ 5–6 付近にあることがわかった。
図 4 NJL 模型の計算から得られたリー・ヤ

しかし今回、相転移点の見積もりはリー・ヤンの零点の右端点の Nmax 依存性。黒丸印

ンの零点の右端点を外挿する関数に強く依存(CP) は NJL 模型における実際の相転移点をし、より正確に見積もりを行うためには適切な表す。

外挿方法を調査する必要があることが分かった。格子 QCD 計算では「符号問題」があるた
め、カノニカル法から得られた相転移点と実際の相転移点を比較検討することは困難である。

図 4 は NJL 模型の計算から得られたリー・これを行うためには、実際に相転移点の場所がヤンの零点の右端点の Nmax 依存性を示した。

既に明らかになっている有効模型を用いて本十分に大きい体積の下、リー・ヤンの零点の右手法の妥当性に関する計算を行うことが有用で端点 (バツ印) を外挿し (実線)、適切な差し引ある。

きを行うことで (破線)、NJL 模型における実際の相転移点 (黒丸印) が正しく得られること

そこで次に、QCD に基づく有効模型であるがわかった。

南部-ヨナ・ラシニオ (NJL) 模型を用いてカノニカル法の妥当性に関する計算を行った（査読5 今年度の研究成果の詳細

あり学術論文: M. Wakayama and A. Hosaka,

今年度はまず、前年度に引き続き、より QCD

Phys. Lett. B795, 548 (2019)）。
カノニカル法を用いて有限密度中での相転移の性質に近いポリャコフ型 NJL(PNJL) 模型点を見積もる手順の概略は図 2 に示した。格での計算を行い、カノニカル法の妥当性につ子 QCD 計算と有効模型での計算の場合との違いての調査を論文にまとめた (査読あり学術論

いは初めの純虚数化学ポテンシャルでのクォー

文: M. Wakayama et al., Phys. Rev. D102,

ク数密度 nq (iµqI ) を求める方法である。格子034035 (2020))。

QCD では、モンテカルロ法を用いて nq (iµqI )図 2 における初めの nq (iµqI ) を計算するにを計算するが、NJL 模型では、平均場近似を行は、NJL 模型では 1 つのギャップ方程式を解い、ギャップ方程式を数値的に解くことによっくだけで良かったが、PNJL 模型では 3 元連立て求める。有効模型の計算におけるその後の手ギャップ方程式を解く必要があり、計算量が大順は格子 QCD の場合と同様であり、約 5000幅に増大してしまう。本研究では PNJL 模型

桁の多倍長精度でフーリエ変換を行い、約 300の純虚数化学ポテンシャルでのコード開発から桁の多倍長精度でリー・ヤンの零点を求めた。

始め、ガウス求積法の適用や予めギャップ方程4

図 5 PNJL 模型での µB –T 平面におけるカ図 6 NJL 模型での µB –T 平面におけるカノニカル法の適用限界の Nsin 依存性。黒色ノニカル法の適用限界の Nsin 依存性。黒色

実線と破線はそれぞれ PNJL 模型における実線と破線はそれぞれ NJL 模型における実実際の 1 次相転移線とクロスオーバーの線を際の 1 次相転移線とクロスオーバーの線を表表す。バツ印、ひし形、三角形でそれぞれ繋す。その他、図 5 と同様。

げた線より左側がカノニカル法から得られたとのズレが 10% 未と実際の nexact
ncanonical
BB満となる領域であり、カノニカル法の適用可は、カノニカル法を用いて得られたバリオン数能領域である。と実際のバリオン数密度 nexact
密度 ncanonical
BBのズレが 10% 未満となる領域をカノニカル法が適用可能な領域と定義した。図 5 のバツ印、式の解を見積もる等のチューニングを行うこと

ひし形、三角形でそれぞれ繋げた線より左側で計算量を減らした。nq (iµqI ) を計算した後とのズレが 10% 未満とと nexact
が ncanonicalB
Bは NJL 模型と同様、約 5000 桁の多倍長精度なる領域であり、カノニカル法の適用可能領域でフーリエ変換を行い、Zn から ZGC を構築しである。これにより、低温領域では、Nsin = 1た。その後、約 300 桁の多倍長精度でバリオンでも相転移が起こるすぐ近くの高密度領域まで数密度 nB を求めた。

カノニカル法が適用できることがわかった。ま図 5 は PNJL 模型の計算でパラメータ Nsin

た、Nsin = 4 まであれば、閉じ込め相のほとんに対してカノニカル法の適用限界を調査した結ど全ての領域でカノニカル法が適用可能である

果をに示した結果である。Nsin は、カノニカルことがわかった。

法で n が大きい領域でも Zn が精度良く求めら

Nsin 依存性に対する模型依存性を調査するれるよう、nq (iµqI ) を有限項 (Nsin 項) の sin 関ために、PNJL 模型と同様の調査を NJL 模型数で近似したときに現れる量であり、理想的ににおいても実施した。その結果を図 6 に示す。

は Nsin は無限大に取るべき量である。しかし

図 6 より、NJL 模型においても PNJL 模型と格子 QCD 計算では Nsin を無限大に取ること同様、Nsin = 1 でも有限密度の広い範囲でカは不可能であるため、有効模型を用いて、有限ノニカル法が適用でき、Nsin = 4 まであれば、の Nsin においてカノニカル法がどこまで適用閉じ込め相のほとんど全ての領域でカノニカル可能であるか調査を行なう必要がある。図 5 で法が適用可能であることがわかる。従って、少5なくとも NJL 模型と PNJL 模型とでは、Nsin依存性の模型依存性は小さいことがわかった。

2020 年度は次に、2 カラー (Nc = 2) の格子 QCD を用いてカノニカル法の妥当性の調査を進めた。これまでの有効模型によるカノニカル法の妥当性の調査では、有効模型は平均場近似を行っているために、QCD の非摂動効果を正しく取り入れられていない可能性がある。
一方、2 カラー格子 QCD は通常の 3 カラー(Nc = 3) の格子 QCD と同様、2 カラー QCDを非摂動的に直接数値計算できる手法である。
また、2 カラー格子 QCD では、理論が持つ対称性の特殊性により、有限温度・有限密度にお図 7 格子 QCD 計算によるゼロ温度におけいても「符号問題」が存在しない。そのため、る mπ /mρ の格子パラメータ (β,κ) 依存性。

カノニカル法から得られた結果と実際の有限密度での結果を比較検討することが可能である。
この調査を行うためには、Nc = 2 の格子QCD コードを作る必要があり、まずはそのコー

通常の 3 カラーの格子 QCD の研究についてドの作成に取り掛かった。ここで、Nc = 2, 3

は、前年度に引き続き、より現実世界に近いセッだけでなく、Nc を一般化したコードは他の研トアップでの計算を行った。具体的には、空間究にも応用が可能である。そのため、我々は格子サイズを前回の Ns3 = 16 から Ns3 = 24

複素ヤコビ法やグラム・シュミットの直交化に大きくし、π 中間子と ρ 中間子の質量比を法による QR 分解などを用いて、Nc を一般mπ /mρ = 0.80 から mπ /mρ = 0.46 まで小さ化した格子 QCD のコードを完成させた。まくし、実際の質量比 (mπ /mρ = 0.17) に近づけだ、Nc = 4 以上の場合には正しい計算結果た。空間格子サイズの大きさが Ns3 = 24 で物が得られているかどうかを先行研究と比較し理的に十分であることは、有効模型 (NJL 模型て確かめる必要があるが、本研究を終えた後と PNJL 模型) による調査の成果である。に、格子 QCD コードを Nc に対して一般化

有限温度の格子 QCD 計算では、温度 T はする手法を計算機科学等の分野で報告したい。

時間方向の格子サイズ Nt と格子間隔 a を用いまた、それと同時に、作成したコードは中村て T = 1/(Nt a) から求まる。Nt は非連続的に氏が運営している Web ページ (https://nio-しか変化させられないので、今回は a を変化

mon.riise.hiroshima-u.ac.jp/LTK/) にて公開させて温度依存性の調査を行う。a の変化はゼすることも検討している。Nc = 2 の場合につロ温度での mπ /mρ を一定に保ちつつ格子パラいては、我々のコードによる結果が先行研究のメータ (β,κ) を変化させることで得られるが、結果と一致することを確かめたので、次年度以mπ /mρ = 0.46 となる (β,κ) のパラメータ線は降、2 カラー格子 QCD コードを用いたカノニ知られていない。そこで本研究ではまず、格子カル法の妥当性の本格的な調査が可能である。

サイズが Ns3 × Nt = 243 × 24 のゼロ温度にお6いて、mπ /mρ = 0.46 となる (β,κ) のパラメー

より現実世界に近いセットアップでの格子タ線の調査を行なった。ゼロ温度でのゲージ配QCD 計算の進捗状況については以下の通りで位の生成は実時間、計算機時間ともに最も時間ある。有効模型の計算結果により、Ns3 = 243がかかる工程であるが、前年度の計算と合わせでも十分に有限格子サイズ依存性を取り除けて、図 7 に示すように、9 点でのパラメータのることが分かり、計算時間を抑えることができチューニングを終えることができた。

た。また PNJL 模型の計算から、Nsin = 1–4次に、得られたパラメータ線上で Nt = 6, 12程度でもカノニカル法を用いて閉じ込め相のの有限温度の計算を進めた。しかし、当初予定ほとんどの領域を議論できることが分かった

していた Nt = 12 での有限温度では、計算でので、統計量は想定よりも少なくて済むことが得られるクォーク数密度の絶対値が統計誤差と判明した。一方で、格子 QCD 計算を進めてい比べて小さいため、有意な結果を得るためにはくうちに、時間方向の格子サイズが Nt = 6 の統計量を多くとる必要があることがわかった。

他に当初予定していた Nt = 12 での有限温度限られた計算機資源ではその統計量を溜めるこの計算は多くの計算リソースを費やすことがわとは難しいと判断し、実現可能な計算規模であかったため、Nt = 6, 8 での有限温度の計算へる Nt = 6, 8 の有限温度の計算へと計画を変更と変更することになった。Nt = 6 の計算の擬した。

相転移温度 Tc 以上と Tc 付近の温度、Nt = 8有限温度のゲージ配位については、Nt = 6の計算の Tc 以下の温度ともに、ゲージ配位のの計算の擬相転移温度 Tc 以上と Tc 付近の温生成、クォーク数密度の計算を終え、Nt の変度、Nt = 8 の計算の Tc 以下の温度ともに計算

更以外は概ね計画通りであった。また、最も実を終えた。また、それら全てのゲージ配位に対時間のかかるゼロ温度でクォーク質量が一定とするクォーク数密度の格子 QCD 計算も利用可なる格子パラメータの組を決定する計算が完了

能計算機資源の 3% を残して完了した。現在、したことは大きい。

結果を解析中であり、その後、論文にまとめる。

今後の展望については、まず、通常の 3 カラーの格子 QCD 計算の結果を解析し、論文に6 今年度の進捗状況と今後の展望まとめる。また、2 カラー格子 QCD 計算によPNJL 模型の計算によるカノニカル法の妥当るカノニカル法の妥当性の調査を、今年度開発性の調査については、NJL 模型の追計算によしたコードを用いて本格的に始める。その研究

る模型依存性による調査を加えることで、計を終えた後に、格子 QCD コードをカラーに対画通りに論文にまとめることができた。特に有して一般化する手法を計算機科学等の分野で報効模型の計算からは、より現実世界に近い格子告し、コードを Web 上に公開する予定である。

QCD 計算や今後の研究を進める上での重要なまた、今年度、有効模型を用いた高温・高密知見を得ることができた。

度でのカノニカル法の妥当性の調査、および、

2 カラー格子 QCD によるカノニカル法の数密度だけでなく真空期待値やエントロピー等妥当性の調査については、今年度中にカラーの物理量に対する密度依存性の調査は今後の課

Nc を一般化した格子 QCD のコードの開発が、題として残した。さらに、格子 QCD 計算からNc = 4 以上の計算結果の先行研究との比較を有限温度・有限密度系における状態方程式のイ除いて、完了させることができた。

ンプットを与える研究については、今年度の格

7

子 QCD 計算の解析を終えた後に進めていく。
第一原理計算である格子 QCD から状態方程式のインプットを与えることができれば、中性子星の内部構造の調査に繋げることができ、宇宙・天体物理学の発展が期待される。

7 研究業績一覧（発表予定も含む）学術論文 （査読あり）

1. 若山将征, Seung-il Nam(+), 保坂淳, “Useof the canonical approach in eﬀectivemodels of QCD,” Phys. Rev. D102, pp.
034035-1 - 034035-9 (2020).
国際会議プロシーディングス（査読あり）なし
国際会議発表 （査読なし）

1. Seung-il Nam、“QCD phase diagram via
the canonical method in the PNJL modelwith complex quark chemical potential”、
Korea Physical Society (KPS) spring
meeting、オンライン、2020 年 7 月 (口頭発表).

2. (招 待 講 演) Seung-il Nam、“QCD inmedium”、Nuclear Physics School 2020、オンライン、2020 年 6 月 (口頭発表).
国内会議発表（査読なし）

1. 若山将征、「カノニカル法を用いた格子QCD による有限温度・有限密度 QCD の研究」
、2020 年度 RCNP スパコン共同利用
成果報告会、大阪大学&オンライン、2021
年 3 月 (口頭発表).
公開したライブラリ等
なし
その他（特許，プレス発表，著書等）
なし

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