2019 年度前期 機械工学概論と機械工学概論 I 期末テスト問題（2019 年 8 月 5 日 1 限 204 号教室）
以下の設問に解答してください．解答の順番は自由です．解答用紙は 3 枚提出してください．
1．

下記の目盛り上に記入した値を読み取ると，2×0.766 がいくつになるか説明してください．

02．

1.0

2.0

平地に静止した状態から体重 70 ㎏の人が 3.0 秒間で時速 20.0 ㎞に加速する仕事率を求めてください．

3． 回転軸が，一秒間に n 回転し，仕事率 P W の出力を発揮するとき，トルクを求めてください．
（トルクは，力のモーメントと同じ意味で，回転方向にかかる力の大きさとその作用点と回転中心の距離の積です．
）
幅と長さが均一な平板状の硬質塩化ビニル板において，厚さが 1.0mm から 0.5ｍｍになると曲げ剛性 IE が4.

何倍になるか求めてください．縦弾性係数 E は物質の厚さで変化しません．断面 2 次モーメント I は，中立面からの厚さ方向の変位を y とし，式(1)で与えられます．ここでは板厚の中心が y=0 となります．

𝐼 = ∫ y 2 𝑑𝐴(1)𝐴

5.

厚さと密度が均一な円盤を，円の中心を回転中心とするフライホイルとして用いる．円盤の半径を 2 倍にしたときに，慣性モーメントが何倍になるか計算してください．慣性モーメントは，質量 dm の回転中心からの距離を r として，r2dm を全体に積分することで求められます．
式(2)(3)の関係を利用するオイラー法を参考に，表１において x=2.5 の dy/dx を算出してください．

6．

表1

オイラー法を参考に dy/dx を計算する問題のための数値
X
123Y
12644362(2)x1 = x0 + hy1 = y0 + hdydx(3)7．

鉛直な y 軸上を滑らずに回転しながら上昇する円形の物体について，回転する角度をθ，半径を r とし，円周上の点 P(xP, yP)の原点 O に対する位置が式(4)で表される．角θを時間 t の関数，αおよび半径 r を定数として，原点 O に対する点 P の運動の加速度を計算してください．
𝑥P𝑟cos𝜃(𝑦 ) = ( ) + (𝑟𝜃Psin𝜃

−sin𝜃 𝑟sin𝛼)()cos𝜃 𝑟cos𝛼(4)8． 式(5)の微分方程式と表 2 を基に角加速度 α0，角速度 ω1 と時間 t1 を計算する式を作成してください．表 2 の背景が白い欄は数値が既知もしくは初期値として与えられると仮定し，時間や角速度を求めるモデルは適宜自分で考えてください．

𝑑2 𝜑𝑑𝜑 2𝑑𝜑(5)𝐷(𝜑) 𝑑𝑡 2 = 𝐴(𝜑) ( 𝑑𝑡 ) + 𝐵(𝜑) 𝑑𝑡 + 𝐶(𝜑)表2微分方程式で表された運動方程式に関係する係数や計算条件角度 φ係数 D(φ)

係数 A(φ)係数 B(φ)係数 C(φ)

角速度

φ0D0A0

B0C0

φ1D1A1B1

φ2D2A2B2𝑑𝜑𝑑2𝜑角加速度 𝑑𝑡 2

時間 [秒]

ω0α0(未知)

t0

C1

ω1(未知)

α1(未知)t1(未知)

C2

ω2(未知)

Α2(未知)t2(未知)

𝑑𝑡

Moodle 上での答案返却を予定しており，異議申し立てを 8 月 8 日 10 時から 17 時まで受け付ける予定です．

以上より，P/(2πn) N・ｍを得る（10 点）

配点と解答例
問12×0.766=1.532 だが，目盛りは 0.1 が最小なので，問40.032 を切り捨てて，2×0.766=1.5 とする．

式(1)を参考に，板厚 0.5mm の断面二次モーメント I0.5⚫

（12 点）と板厚 1.0mm の断面二次モーメント I1.0 は，それぞ⚫

注：2×0.766≒1.5 と記述してはならない．

れ以下で表される．
0.25×10−5

𝐼0.5 = ∫問2y 2 𝑑𝐴(4-1)

y 2 𝑑𝐴(4-2)−0.25×10−5

加速度 a，速度 v, 静止した位置からの距離 x，発進してからの時間 t，仕事率 P，力 F，車重 m に式（1）

0.5×10−5-(4)の関係がある．式(1)-(4)を整理すると式(5)が得ら

𝐼1.0 = ∫−0.5×10−5れる．

式(5-1)(5-2)より I0.5／I1.0 は 12.5%となる．よって，厚a=v/t(1)

x=at2/2(2)

P=Fx/t(3)

F=ma(4)

P=（mv2/2）/t(5)

さが半分倍になると曲げ剛性は 8 分の 1 倍になる．

⚫

それぞれ積分範囲を-0.25×10-3 から 0.25×10-3および-0.50×10-3 から 0.50×10-3 とする．
（15 点）⚫

曲げ剛性が 8 分の 1 倍になる旨を記述する．（5点）

式(5)と与えられた条件から，仕事率は 360W が得ら問5れる．

厚さ t と密度ρの円盤において，中心から半径 r の⚫

以上を適切に説明する（6 点）

位置で幅 dr の円環の質量 dm を式(1)で表せるもの⚫

計算式への数値の代入を最後にする（2 点）とする．式(1)と慣性モーメントと定義から，半径 R⚫

適切な単位に変換して数値を代入し，求めた数値の円盤の慣性モーメントは式(2)で表され，半径 2Rに適切な単位をつける（2 点）の円盤の慣性モーメントは式(3)で表される．その⚫

適切な（今回は 3 ケタ以下）の値で求める（2 点）比は式(4)で求められる．

⚫

計算を誤らない（1 点）

問3𝑑𝑚 = 𝜌𝑡(2𝜋𝑟)𝑑𝑟(1)𝑅
𝐼𝑅 = ∫0 𝑟 2 𝑑𝑚2𝑅
𝐼2𝑅 = ∫0 𝑟 2 𝑑𝑚

(2)
(3)

力を F，移動距離を L，時間を t として，

P=FLt

𝐼2𝑅 (2𝑅)4=(𝑅)4𝐼𝑅(1)

ここで回転中心からの力の作用点までの距離を r= 16(4)以上より，円盤の半径を 2 倍にすると慣性モーメンとしたとき，

トは 16 倍になると言える．

Tr(2)L = 2rnt(3)⚫

式(1)の作成(6 点)式(1) (2)(3)を T について整理し，式(4)を得る．

⚫

式(2)で適切に積分範囲を定める．(6 点)⚫

16 倍になる旨の結論を導くを得る．(2 点)

F=𝑇=𝑃
2𝜋𝑛(4)

問６

式(2)(3)を整理すると式(6-1)が得られる．

はみなさない．

dy y0 − y1=dx x0 − x1

(6-1)

ここで 2 と 3 の間に 2.5 があり，式(6-1)より x が⚫

加速度の計算結果を得る(1 点)．

問82 から 3 の間の変化の割合を x=2．
5 における dy/dx

式(5)から式(8-1)が得られる．とする．よって表 1 と式(6-1)から

𝑑2𝜑1
𝑑𝜑 2𝑑𝜑={𝐴(𝜑)() + 𝐵(𝜑)+ 𝐶(𝜑)} (82𝑑𝑡
𝐷(𝜑)𝑑𝑡𝑑𝑡

𝑑𝑦 4 − 6== −2𝑑𝑥 3 − 2(6-2)

以上より，x=2.5 において dy/dx=-2 である．

− 1)
表の値を用いて角加速度α0 は式(8-2)で表される．
角度 φ0 から φ1 までの角速度が ω0 一定だと仮定す⚫

𝑑𝑦⚫

傾きの数値解を得る．(1 点)𝑑𝑥𝑦 −𝑦0= 1𝑥1 −𝑥0ると式(8-3)が得られ，角度φ1 における角速度ω1を得る．(10 点)は式(8-4)で与えられる．
1𝛼0 = 𝐷 (𝐴0 𝜔0 2 + 𝐵0 𝜔0 + 𝐶0 )

(8-2)

0

問7

位置を時間 t で 2 階微分したものが加速度になる．

𝑑𝑑𝑡

cos 𝜃sin 𝜃𝑑𝑑𝑡(− sin 𝜃)𝑟 sin 𝛼)()𝑑𝑟cos 𝛼cos 𝜃

角速度の考え方を述べて式(8-3)を得る．角速度を一定とみなさないモデルを考える場合は，例えば「式(8-4)を時間で積分する」などの式の導出も説− sin 𝜃 𝑑𝑡 (𝑟 sin 𝛼))(𝑑)cos 𝜃(𝑟 cos 𝛼)𝑑𝜃 2 cos 𝜃) (sin 𝜃𝑑𝑡以上の計算で示される− sin 𝜃 𝑟 sin 𝛼)()𝑟 cos 𝛼cos 𝜃d 2  xP   が点 P の加速度であdt 2  yP る．
⚫

位置ベクトルを時間で 2 階微分すると加速度が得られる旨の説明をする(3 点)⚫

速度の計算結果を得る（1 点）．なお微分の計算が終わっていない解答の場合は，計算結果を得たと

(8-4)

⚫

𝑑𝑡

0𝑑𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑟 sin 𝛼= ( 𝑑𝜃 ) −()()
𝑟𝑑𝑡 −cos 𝜃 sin 𝜃 𝑟 cos 𝛼𝑑𝑡
この式を更に時間 t で微分する．
0𝑑 2 𝑥p𝑑( ) = ( 2 𝜃)𝑟 2𝑑𝑡 2 𝑦p𝑑𝑡2𝑑 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑟 sin 𝛼− 2()()
𝑑𝑡 −cos 𝜃 sin 𝜃 𝑟 cos 𝛼(8-3)

式(8-2)を得る．
（12 点）

明が必要で，解答例とは解答の順番も異なる．(1𝑑𝑡−(𝜔0⚫

𝑑cos 𝜃+(sin 𝜃

𝜑1 −𝜑0𝜔1 = 𝜔0 + 𝛼0 (𝑡1 − 𝑡0 )𝑑 𝑥p𝑑 𝑟(𝑦 ) = ( )
𝑑𝑡 p
𝑑𝑡 𝑟𝜃
+(𝑑𝑡𝑑𝑡1 = 𝑡0 +点)⚫

式(8-4)の導出．(2 点)