2023年度

渋谷教育学園渋谷中学校<帰国生受験>算数

くわしい解説すぐる学習会１ (1) 2.75 ＝ 235，0.625 ＝ であることをおぼえておきましょう。
4833－6 ÷ 2.75 ×0.625
5アイ
ウ33333 11 33412
÷2.75 ＝ 6 ÷ 2 ＝ ÷ ＝ × ＝55454511512 15 123
イ ＝ 3－ア ＝ 3 － ＝ － ＝55553353
ウ ＝イ×0.625 ＝ × 0.625 ＝ × ＝5588
ア＝6(2)

11÷5＝ 2 あまり 1 ですから，11◎ 5 ＝ 1 です。
同じようにして，23÷6＝ 3 あまり 5 ですから，23◎ 6 ＝ 5 です。
25◎ (43◎ 9 ) のうち，まず (43◎ 9 ) の部分を計算します。
43÷9＝ 4 あまり 7 ですから，43◎ 9 ＝ 7 です。
よって，25◎ (43◎ 9 ) は，25◎ 7 となります。
25÷7＝ 3 あまり 4 ですから，25◎ 7 ＝ 4 です。

(3)Ｎ角形の内角の和は，180×（Ｎ－2 ）の公式で求めることができます。
六角形の内角の和は，180×(6－2)＝ 720（度）ですから，正六角形の 1 つの角は，720÷6 ＝ 120（度）です。
八角形の内角の和は，180×(8－2)＝ 1080（度）ですから，正八角形の 1 つの角は，1080÷8 ＝ 135（度）です。
う
右の図の太線は，正六角形も正八角形も半分に分ける線です。
よって，い は 135÷2＝ 67.5（度），う は 120÷2＝ 60（度）です。
したがって あ は，67.5－60＝ 7.5（度）です。

-1-あい(4)加えたのは，10％の食塩水 400ｇと 7％の食塩水 500ｇです。
10％の食塩水 400ｇには，400×0.1＝ 40 (ｇ)の食塩がふくまれていて，7％の食塩水 500ｇには，500×0.07＝ 35 (ｇ)の食塩がふくまれています。
合わせて，40＋35＝ 75 (ｇ)の食塩がふくまれていることになります。
加えた食塩水の重さの合計は，400＋500＝ 900 (ｇ)ですから，加えた食塩水の濃25さは，75÷900×100＝ (％)です。
325
よってこの問題は，100ｇの食塩水Ａに， ％の食塩水 900ｇを加えたところ，33 ％濃くなった，という問題になりました。
☆
面積図にすると，右の図のようになります。の部分と325
3のの部分の横の長さの比は 100：900 ＝1：9 で，面積は等しいのですから，たての長さの比は逆比になって 9：1です。

100900

よって3％の部分が⑨にあたり，☆の部分は①にあたります。
1
1①あたり，3÷9＝ (％)ですから，☆も ％です。
33
したがって，の部分は，2525
1－ (☆＋ 3 ) ＝ － ( ＋3 ) ＝ 5 (％)です。
333-2-(5)6 年生と男子が手を上げたとき，手を上げていないのは 5 年生の女子だけです。
100 人のうち，手を上げたのは 73 人ですから，5 年生の女子は 100－73＝ 27 (人)います。
また，5 年生と女子が手を上げたとき，手を上げていないのは 6 年生の男子だけです。
100 人のうち，手を上げたのは 68 人ですから，6 年生の男子は 100－68＝ 32 (人)います。
５年 ６年 合計表にすると，右の図のようになります。
男子
３２女子

２７合計
６年生より５年生の方が少ないので，５年生は 100÷2＝ 50（人）より少ないので，49 人以下です。
右の図のアが 49 人以下なので，イは，490－27＝ 22（人）以下です。

１００５年６年合計

男子

イ３２ウ

女子

２７合計

ア

よってウは，22＋32＝ 54（人）以下です。…(★)
男子は女子より多いのですから，ウは 51 人以上です。…(☆)(★)と(☆)から，ウは 51 人以上 54 人以下であることがわかりました。
よってイは，51－32＝19（人）以上，54－32＝22（人）以下です。
５年生男子は，19 人以上 22 人以下であることがわかりました。

-3-１００(6)右の図の 2 つの太線の三角形は相似なので，図のように③，④，⑤とします。
③⑤④4cm3cm5cm右の図のかげの部分の面積は，4×③＝⑫です。
しゃ線部分の面積は，③×4＝⑫です。
あみ掛けの部分の面積は，★の長さは④ですから，④×3＝⑫です。
4cm
したがって，かげの部分，しゃ線部分，あみ掛けの部分の面積はどれも同じで，合計の面積は 126 cm2ですから，それぞれの面積は，126÷3＝ 42 (cm2)です。

3cm③⑤④5cm★

よって，⑫＝ 42 となります。
4cm
右の図の太線の長さは，③＋④＋⑤＋ 3 cm＋ 4 cm＋ 5 cm＝ ⑫＋ 12 cm です。
⑫＝ 42 cmですから，太線の長さは，42＋12＝ 54 (cm)です。

⑤4cm
3cm

5cm

5cm
④-4-③⑤④２ (1) 2 と 2 と 4 の最大公約数ですから，答えは 2 です。
(2)

最大公約数が 2 となるためには，少なくともＡもＢもＣも 2 の倍数の目が出なければなりません。
Ａのサイコロの出る目が 2 の倍数になるのは， 2 と 4 と 6 の 3 通りあります。
ＢもＣも同じく 3 通りあるので，ＡもＢもＣも 2 の倍数の目が出るのは，3×3×3＝ 27 (通り)あります。
27 通りのうち，最大公約数が 4 になるのは，ＡもＢもＣも 4 の目が出たときの1 通りしかありません。
また，最大公約数が 6 になるのは，ＡもＢもＣも 6 の目が出たときの 1 通りのみです。
最大公約数が 8 以上になることはありません。
よって，最大公約数が 2 になるのは，27－1×2＝ 25 (通り)です。

(3)

Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数が 2 か 4 か 6 という 2 の倍数になるためには，ＡもＢもＣＣも 2 の倍数の目が出なければならないので，(2)の解説の中で求めたように，27通りあります。
Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数が 3 か 6 という 3 の倍数になるためには，ＡもＢもＣも3 の倍数である 3 か 6 の目が出なければならないので，2×2×2＝ 8 (通り)あります。
整理すると，Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数が 2 か 4 か 6 のいずれかになるのは 27 通り
で，最大公約数が 3 か 6 のいずれかになるのは 8 通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数が 6 になるのは，ＡもＢもＣも 6 が出た場合の 1 通りしかありません。
したがって，Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数が 2，3，4，6 のいずれかになるのは，27＋8－1＝ 34 (通り)です。
また，Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数が 5 になるのは，ＡもＢもＣも 5 が出た場合の 1通りしかありません。
よって，Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数が 2，3，4，5，6 のいずれかになるのは，34＋1＝ 35 (通り)です。
Ａ，Ｂ，Ｃのサイコロの目の出方は，全部で 6×6×6＝216(通り)あります。
Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約数は1から6までのどれかになり，2，3，4，5，6 のいずれかになるのは 35 通りありますから，最大公約数が 1 になるのは，216－35＝ 181(通り)です。

-5-(4)

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数が 2 か 4 か 6 という 2 の倍数になるためには，ＡもＢもＣもＤも 2 の倍数の目が出なければならないので，3×3×3×3＝ 81 (通り)あります。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数が 3 か 6 という 3 の倍数になるためには，ＡもＢもＣもＤも 3 の倍数である 3 か 6 の目が出なければならないので，2×2×2×2＝ 16 (通り)あります。
整理すると，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数が 2 か 4 か 6 のいずれかになるのは81 通りで，最大公約数が 3 か 6 のいずれかになるのは 16 通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数が 6 になるのは，ＡもＢもＣもＤも 6 が出た場合の1 通りしかありません。
したがって，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数が 2，3，4，6 のいずれかになるのは，81＋16－1＝ 96 (通り)です。
また，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数が 5 になるのは，ＡもＢもＣもＤも 5 が出た
場合の 1 通りしかありません。
よって，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数が 2，3，4，5，6 のいずれかになるのは，96＋1＝ 97 (通り)です。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのサイコロの目の出方は，全部で 6×6×6×6＝1296(通り)あります。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最大公約数は1から6までのどれかになり，2，3，4，5，6 のいずれかになるのは 97 通りありますから，最大公約数が 1 になるのは，1296－97＝ 1199 (通り)です。

-6-３

真正面から見ると 1 個，2 個，1 個，3 個が積み上がっていて，真横から見ると 1 個，3 個，2 個，2 個が積み上がっているのですから，右の図のように書いておきます。

223

ここで，すべてのマス目を使うとは限らないことに注意しましょう。

(1) 最も体積が大きくなるのは，右の図のようになったときです。

112131212212122121331111112133

1 個の体積は 1 cm です。
全部で，1×10＋2×5＋3×1＝ 23 (個)あります
から，23 cm3になります。

-7-

(2)

右の図のように，3 個積み上がっているマスが1 マス必要です。

2233112 個積み上がっているマスが 2 マス必要です。

21322223311
ひと続きの立体となるためには右の図のようになっている必要があり，

2132222113311

真正面図，真横図にようになるためには右の図のようになる必要があります。
1 個の体積は 1 cm3です。

1全部で，1×4＋2×2＋3×1＝ 11 (個)あります
から，11 cm3になります。

13222211323111-8-213

(3) (1)によって，最も体積が大きい立体は，右の図のようになっていることがわかりました。
この立体の表面積を求めます。
「前」から見ると，真正面の図により，1＋2＋1＋3＝ 7 (面)が見えます。
「後ろ」から見ても，やはり 7 面が見えます。

121221212212133111111213「右」から見ると，真横の図により，1＋3＋2＋2＝ 8 (面)が見えます。
「左」から見ても，やはり 8 面が見えます。
「上」から見ると，16 マスありますから 16 面が見えます。
「下」から見ても，やはり 16 面が見えます。
他に，「前後左右上下」のいずれからも見えない「かくれ面」があります。

たとえば

212

立体的にするとと並んでいると，

121221212212133111111213となっているので，「かくれ面」が 2 面あります。
213と並んでいるときもとなっているので，「かくれ面」が 2 面あります。
結局，「かくれ面」は全部で 2×3＝ 6 (面)あります。
1 面の面積は 1 cm2です。
「前後左右上下」で (7＋8＋16)×2＝ 62 (面)，かくれ面が 6 面ですから，全部で，62＋6＝ 68 (面)あるので，この立体の表面積は 68 cm2です。

-9-

４ (1) 正六角形ＡＢＣＤＥＦを右の図のように分けると，1 辺の長さが 1 cmの正三角形が 6 個に分かれます。
1 辺の長さが 1 cmの正三角形の面積は，( 1 辺の長さ)×( 1 辺の長さ)×0.43＝ 1×1×0.43＝ 0.43 (cm2)です。
よって，正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は，0.43×6＝ 2.58 (cm2)です。

(2)

右の図のように分けると，太線の正三角形の面積は，1 辺の長さが 1 cmの正三角形の面積が 4 個ぶんです。
1 辺の長さが 1 cmの正三角形の面積は，(1)で求めた通り，0.43 cm2です。
よって太線部分の面積は，0.43×4＝ 1.72 (cm2)です。
太線の正三角形の面積から，半径が 1 cmのおうぎ形 3 個ぶんを引けば，斜線部分の面積になります。
おうぎ形の中心角は 60 度なので，3 個合わせて 60×3＝ 180 (度)になり，半円になります。
よって斜線部分の面積は，1.72－1×1×3.14÷2＝ 0.15 (cm2)です。

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(3)

右の図のようにすると，1 辺が 1 cmの正三角形が 25 個あります。
1 辺が 1 cmの正三角形の面積は，(1)で求めた通り，0.43 cm2です。
よって全体の面積は，(0.43×25) cm2です。

求めたいのは，右の図の太線部分の面積です。

右の図のかげをつけた部分の面積は，1 辺が 1 cmの正三角形です。

右の図のかげをつけた部分は 3 個ありますが，どれも 1 辺が 1 cmの正三角形の面積の 4 倍です。

よって太線部分の面積は，全体－かげの部分 3個＝ 0.43×25－(0.43×4)×3＝ 0.43×25－0.43×12＝ 0.43×(25－12)＝ 0.43×13＝ 5.59 (cm2) です。

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