さいころを n 回投げて出た目を順にとなります．もうイメージは掴めましたか？以下繰

X1,X2,……,Xn とする．さらに⎧⎪ Y = X⎪⎪ 11⎨⎪⎪ Y = X + 1k⎪⎪⎩ kYk- 1

り返すと・・・
1

Yn = X n +X n- 1 +(k = 2,ºº,n)1
1

X n- 2 + º +X2 +によって Y1,Y2,……,Yn を定める．
1= Xn +1+ 3≤ Yn ≤ 1 + 3
2

1
Y1

X n- 1 +となる確率 pn を求めよ．

1
1

X n- 2 + º +X2 +1
X1となります．連分数展開ですね．Yn は上のように，《考え方》
Yn = X n +n 回投げて得られる 6n 通りのさいころの出目で，確1定します．ここで，Xn の値が Yn の整数部分に相当

Yn- 1することに気付きましょう．なので，Xn ≥ 3 とするについて，時系列に沿って X1,X2,……と添字番号とが小さい方から順に当てはめて，Y1,Y2,……を考えていこうとすると，本質が見えません（毎回毎回，逆数をとる羽目になる）．
今回は，まず大きな構造に気付きましょう．
Yn = X n +1+ 31≤ Xn +≤1+ 32
Yn- 1は満たさない（右辺は 3 未満）ため，まずはまたはXn = 1

1

Xn = 2に限られることが分かります．時系列としては

Yn- 1に対して

X1,X2,……,Xn

Yn - 1 = X n - 1 +1と，添字番号が小さい方から順に数字を決めていきYn - 2ますが，構図的に，「Xn がどうなっているか」から切り崩さないと，スタートが切れません．そこで，なので，上の式に代入して Yn-1 を消去するとYn = X n +仮に Xn = 1 としてみましょう．このとき

1
Yn - 11+ 3
1≤1+≤1+ 32Yn- 1

1= Xn +

X n- 1 +1
Yn - 2となり，この時点でとなります．さらにYn - 2 = X n - 2 +1<1+1

より，上から押さえる不等式：

Yn - 3であることから

1+

X n- 1 +1
X n- 2 +1
Yn - 1≤1+ 3ª - Y ≥ 13 º

1

Yn = X n +1<2
Yn- 1n1の成立は確定するので，あとはYn - 31

1+ 31≤1+2
Yn- 12+について考えれば十分です．これを変形すると--1+ 31≤2
Yn - 1- Yn - 1 ≤2-1+ 3- Yn - 1 ≤ 1 + 3となるところです．時系列が逆なので少し分かりづとなり，闘いが続きます．

つまりこの先の展開が見えますか？

Xn-2,Xn-1,……,X2,X1

不等式としては，「は何でも良くなるということです（確率 1）．また，
Xn-1 ≥ 3 がダメなのは同じで，Xn-1 = 2 のときは

-1+ 3以上」「 1 + 3 以下」
2のたった 2 つしか登場せず，その際，整数部分に相当する Xk の値による分類で≤1+ 3

Yn - 2-1+ 31≤
Yn - 22- Yn - 2 ≤ 1 + 3

らいですが，その手前で振ってきたサイコロの目，-1+ 3≤ Yn - 12-

Xn-1 = 1 であれば，その瞬間クリアー

1-1+ 31≤1+Yn - 22

ら押さえる不等式がないのでYn - 21
≤ Yn - 1-1+ 3

アー，Xn-1 = 1 のときはXn-1 をまず考えます．先ほどと違うところは，下か2+-となり，先ほどとは違って，Xn-1 ≥ 2 のときはクリ≤1+ 3と書き直すことができるので，先ほどと同じように

1≤ -1+ 3

1+ 3
1
≤ X n- 1 +2
Yn - 2

これは
Yn - 2

Yn - 1

す．これより等式が再登場します．

11となり，今後は下から押さえる不等式が再登場しまとなり，先ほど成立が確定した，上から押さえる不X n- 1 +1
≤1+ 3
Yn - 1・ダメ≤ -1+ 3・クリアー
・不等式が逆転して，番号が下がった上で1+ 3≤ Yn - 22

まだ続くとなり，再度下から押さえる不等式となります．闘のいずれかに推移します．重要なのは，「まだ続く」

いはまだまだ続くわけです（笑）．のときであり，キリがないので，「漸化式」の利用を考えましょう．

一方で，冒頭の Xn について，Xn = 2 としてみま

細かい設定などは，以下の解答にてご確認くださしょう．このとき

い．では，以下，解答例です．

1+ 3
1
≤2+
≤1+ 32
Yn- 1となり，下から押さえる不等式の成立は確定します．
なので，上から押さえる不等式の方だけ考えると

2

《解答》

Yk + 1 ≤ 1 + 3

定義より，帰納的に-Yk ≥ 1ゆえであり， 0 <

10<
≤1Yk

X k+ 1 +1≤1+ 3
Yk1≤ 1 より Xk+1 ≥ 3 のとき，これは成Ykり立たない．一方，Xk+1 = 1 のときは必ず成り立つ．

が成り立つ．

また Xk+1 = 2 のときはいま，自然数 k に対して2+1+ 3≤ Yk となるような確率を qk2
Yk ≤ 1 + 3 となるような確率を rkとおく．まず，qk,rk の関係式を求めておく．

1
≤1+ 3
Yk-1
≤ -1+ 3
Yk-1+ 3
≤ Yk2となるので，これが成り立つ確率は qk である．
<qk について >以上より，まとめると，k ≥ 1 に対して自然数 k に対して

41
1
∑ 0 + ∑ 1 + ∑ qk
6
6
61
1- rk + 1 = qk + ºº 2
66

rk + 1 =1+ 3≤ Yk + 121+ 31≤ X k+ 1 +Yk2となる．
以下

1≤ 1 より Xk+1 ≥ 2 のときは必ず成りであり， 0 <Yk1+ 3≤ Yn ≤ 1 + 32立つ．また Xk+1 = 1 のときはとなるような確率 pn を求める．{pn} の漸化式を考1+ 31≤1+2Yk-えるために，pn+1 について考える．
1+ 3≤ Yn + 1 ≤ 1 + 321+ 31≤ X n+ 1 +≤1+ 3
Yn
2-1+ 31≤
Yk2- Yk ≤ 1 + 3となるので，これが成り立つ確率は rk である．

ºº 3以上より，まとめると，k ≥ 1 に対してであるから

51
qk + 1 = ∑ 1 + ∑ rk
661
5- qk + 1 = rk + ºº 1
661<1+ 3<22およびとなる．

2 <1+ 3 < 3に注意すると<rk について >Xn+1 = 1

自然数 k に対してに限られる．

3または

Xn+1 = 2

Xn+1 = 1 のとき(i)

よって，4 を変形して

1+ 31≤1+≤1+ 3Y2n3 --1+ 31
≤
≤ 3Yn
2-1
≤ Yn ≤ 1 + 3
3

pn + 1 であるからª1 11=
pn 5 65ªººªºªºªº

1 n- 111= p1 - ∑6551
11 n- 1- pn = ∑5 30 61⎧
1 n ⎪⎫- pn = ⎪⎨1 ⎬5 ⎪⎪⎩6 ⎪⎪⎭pn -となり，Yn ≥ 1 であるから
Yn ≤ 1 + 3となることが条件である．これが成り立つ確率は rnª # p = 61 º1である．これが求める確率である．

である．
《補足 1》(ii)

Xn+1 = 2 のとき時系列としては最後に出る目，つまり Xn+1 の値で3 -1+ 3
1
≤2+
≤1+ 3
Yn
2-- 3+ 31
≤
≤ 3-1
Yn2

場合分けして漸化式を作る形でした．普通の確率漸化式とは様子が随分違いますが最後の 1 手で場合分けという，スタンダードなものになっています．

1≤ 3 - 1 ( # Yn > 0)
Yn

そして
1+ 3
≤ Yk となるような確率を qk
21+ 3
≤ Yn
2-Yk ≤ 1 + 3 となるような確率を rkとなり，これが成り立つ確率は qn である．という確率設定に対し(i),(ii) は排反であるから

Yk+ 1 ≤ 1 + 3 となる確率

1
1
pn + 1 = rn + qn
66を考えていたら
1+ 3≤ Yk となる確率
2となる．さらに，1,2 より，n ≥ 2 に対してªªº ªº

1 1
11 15+qn - 1 +rn - 1 +6 666 661 1
11=qn - 1 + rn - 1 +6 6661
1= pn + ºº 4
66

pn + 1 =ºが登場し，上手く相互的に補い合う形で連立漸化式ができました．それ以外の，例えば
1+ 2≤ Yk となる確率2などが登場したときは，設定した qk,rk が全く機能が成り立つ．いませず新しく別の確率を設定する必要が出るので，お1
p1 =611
1 5 1 27p2 = q1 + r1 = ∑ + ∑ =666 6 6 6 36

手上げだったはずです．
なお，このように上手く同じ数字が出てくる理由
は，連分数展開の形を見たら頷けるはずです．

であるから，4 は n = 1 のときも成り立つ．

4

その説明のために，まず，いま，見た目の煩雑さを避けるため

1+ 3
および 1 + 321+ 3≤ Yn2の連分数展開をしましょう．
3-1=

23+13-1=213+1の方だけ取り上げて考えてみます．
それぞれ書き換えると
11+2+に注意すると

1+1 + 3 = 2 + ( 3 - 1)
1ºº (*)= 2+3+121= 2+3-1
1+2
1
= 2+1
1+3+1

れに対し，Xn = 1 とすると

2+11+2+º11+

Yn - 11
Yn - 112+º1- Yn - 1 ≤ 2 +1+12+ºとなります．右辺が「2,1 の繰り返し」であること
1を踏まえると

11+2+Yn- 1 ≤ 1 + 3

11+ºと書き換えられます．先頭の 1 が消えるので，逆数と，2,1 を繰り返すことが分かります．もう 1 つのを普通にとれるところが大事です．なお Xn = 2 のときの1+ 3については，上の連分数展開の (*) で登場し211+ていますので，以降の結果を流用することにより

12+1+11
12+1+12+º≤2+

1
Yn- 1については，先頭の項が打ち消し合わず逆数をとる

11+1≤

12+11+ 3= 1+22+≤1+1-

12+11+1 + 3 が出てきたので，以下繰り返します．つまり

1+12+º1
Yn- 1となります．左辺は，「1,2 の繰り返し」です．ことなり，ここで最後の分数の分母に，最初の数

1+ 3 = 2+≤ Xn +1のが困難と思うかもしれませんが，この場合，不等12+º式の成立は自明なので，これ以降，考えなくてよいケースでしたね．と分かります．こちらは，1,2 を繰り返します．

5

《補足 3》《補足 2》

連分数展開の形を全面に押し出して解答するとどqk,rk を設定したときにうなるでしょうか？

求める確率 pn は過去 2 回の原稿の中で紹介していなかったですが，「qn の状況」かつ「rn の状況」だ！と考えた人も多いと思います．実際それは正しく，分子を必ず 1 とする正則連分数展開について，重要そこに，確率漸化式での定番の「和が 1」を絡めるなのは，各分数の左下に登場する数だけなので，そことにより上手くいきます．pn,qn,rn の対応状況こに注目しては下図の通りです．

11+ 3 = 2+rn

11+2+qn1+ 32pnYn= [ 2 ; 1,2,1,2,1,ºº ]1+ 3と表したりもします．同様に「qn の状況」または「rn の状況」で全ての状況を1+ 3= [1 ; 2,1,2,1,2,ºº ]2網羅し，pn がその 2 つの重複部分に相当するのでです．今回の Yn であればqn + rn - pn = 1 ºº 1

Yn = ⎡⎣⎢ X n ; X n- 1,X n- 2,X n- 3,ºº,X 1 ⎤⎦⎥が成り立ちます．一方で，解答でも利用した
pn + 1 =11+ºです．これより，与えられた条件

11
qn + rn ºº 2661+ 3≤ Yn ≤ 1 + 32が成り立ちます．
1 - qn + rn = 1 + pn

はより，2 に代入して[1 ; 2,1,2,1,2,ºº ]≤ ⎡⎣⎢ X n ; X n- 1,X n- 2,X n- 3,ºº,X 1 ⎤⎦⎥1pn + 1 = (qn + rn )6
1= (1 + pn )61
1= pn +
66

≤ [ 2 ; 1,2,1,2,1,ºº ]と書き換えることができます．
さ て， で は， こ れ を 満 た す よ う な (Xn,Xn-1,……,X1) の組とはどのようなものでしょうか？となり，解答で導いた漸化式がもっとお手軽に導け

数字の見比べ合いにより，数字の並びが上手いこます，さらに，qn-1 と rn-1 を用いないので，n ≥ 2と決められそうな気もしますが，実はそんなに甘くとする必要もなく，より楽ですね．

ないです．
そのためにまず不等式なので，扱う数と元の数の大小について一般的に確認しておきます．2 つの数
1a = a0 +1a1 +a2 +1a3 + ºº +1an - 1 +61an一般論としては，左から順に見ていき，初めて対および応する数同士が異なる数になる場合について

1b = b0 +1b1 +b2 +・それが奇数番目の数であるときは，その数が大1b3 + ºº +きい方が「大きい」（大小関係同じ）

1bn - 1 +・それが偶数番目の数であるときは，その数が大1bnきい方が「小さい」（大小関係逆）についてとなると言えます．

a0 > b0fi

それを踏まえて，n = 8 のときを考えてみましょa>bが成り立ちます．a0,b0 はそれぞれの整数部分を表う． ( X 8,X 7,X 6,X 5,X 4,X 3,X 2,X 1 ) の組を考えすので当然です．

ることになります．左から数字を決めていくとして，では，a0 = b0 のときはどうでしょうか？次のまずは X8 = 1 とします．このときは上から押さえる

a1,b1 の大小が大事になり
a1 > b1fi

不等式は必要なかったので

a<b[1 ; 2,1,2,1,2,ºº ]≤ [1 ; X 7 ,X 6 ,X 5 ,X 4 ,X 3,X 2,X 1 ]となります．a1,b1 は分母の整数部分なので，これが大きいほど，数としては小さくなります．

を考えればよいわけです．左から見て順に同じ数字さらにが対応しているとして，偶数番目に対応する数 2 を

a0 = b0 かつ a1 = b1

下回る 1 となれば，以下 free です．あるいは，奇のときはどうでしょうか？実は
a2 > b2fi

数番目で対応する数である 1 を上回る 2 ~ 6 が出れ

a>bば，以下 free です．

です．今度は，大小関係がそのままになります．

そのことに注意して，該当する数字の組を書き出

最初 2 つまでが同じである簡単な具体例としては
1+

12+

12

<1+

すと，下のようになります．

12+( X 8 ,X 7 ,X 6 ,X 5 ,X 4 ,X 3,X 2,X 1 )13= (1,1,*,*,*,*,*,*)(1,2,2 ~ 6,*,*,*,*,*)

つまり(1,2,1,1,*,*,*,*)[1 ; 2,2 ] < [1 ; 2,3 ](1,2,1,2,2 ~ 6,*,*,*)などがあります．確かに，右の数の方が大きいです(1,2,1,2,1,1,*,*)

ね．

(1,2,1,2,1,2,2 ~ 6,*)
(1,2,1,2,1,2,1,1 or 2)

これは，一般に（* は free）

分母が大きくなるほど，分数は小さくなる

一番下の場合について，最後の X1（偶数番目）は 1

分子が大きくなるほど，分数は大きくなる
ことが成り立つ中で，a2,b2 については，分母の分のときと 2 のときとを区別する必要がないので，ま数における分母になるので，実質，分子のようなもとめています．
これより，該当する場合の数はの，と捉えると納得がいくのではないでしょうか？

6 6 + 5 ∑6 5 + 6 4 + 5 ∑6 3 + 6 2 + 5 ∑6 1 + 2（通り）となります．

7

次に，X8 = 2 の場合を考えます．下からの不等式です．最後の分数の分母が，分数全体で見ても分母は不要なので，上からの不等式だけでよくに相当することから分かります．
よって，該当する場合の数は全部で[ 2 ; X 7,X 6 ,X 5,X 4,X 3,X 2,X 1 ]≤ [ 2 ; 1,2,1,2,1,ºº ]5 ∑6 6 + 6 5 + 5 ∑6 4 + 6 3 + 5 ∑6 2 + 6 1 + 5（通り）について，偶数番目は 2 ~ 6 で以下 free, 奇数番目となります．

は 1 で以下 free となります．よって次のようにな合計するとります．

6∑ 66 + 6 ∑ 65 + 6 ∑ 6 4 + 6 ∑ 6 3+ 6 ∑ 6 2 + 6 ∑ 61 + 7( X 8 ,X 7 ,X 6 ,X 5 ,X 4 ,X 3,X 2,X 1 )= (2,2 ~ 6,*,*,*,*,*,*)= 67 + 66 + 65 + 64 + 63 + 62 + 6 + 1(2,1,1,*,*,*,*,*)(2,1,2,2 ~ 6,*,*,*,*)(2,1,2,1,1,*,*,*)(2,1,2,1,2,2 ~ 6,*,*)(2,1,2,1,2,1,1,*)=

68 - 1
6-1=

68 - 15

通りとなります．あとは，全事象の場合の数である(2,1,2,1,2,1,2,2 ~ 6)

68 通りで割ることにより，求める確率は一番下の場合について

68 - 185 = 1 ⎪⎧⎨1 - 1 ⎪⎫⎬865 ⎪⎪⎩
6 ⎪⎪⎭ªº(2,1,2,1,2,1,2,1)も適切だと思うかもしれませんが，これは不適です．

です．解答で求めた式において n = 8 としたものと，

1 + 3 = [ 2 ; 1,2,1,2,1,2,1,ºº ]確かに合致していますね．

について，Y8 と違いこちらはエンドレスで続いてい余力がある人は，一般の n で求めてみてください．

くものなので，9 番目の数があり，これの関係で実は左のように列挙する場合，書き出す最後の「場[ 2 ; 1,2,1,2,1,2,1]> [ 2 ; 1,2,1,2,1,2,1,ºº ]合」の解釈が n の偶奇で変わってきます．思考力を要すると思いますが，いい訓練になると思います．
また，「場合」を列挙するところにおいて，並びとなるからです．具体的にはが結局のところ「繰り返しである」ことに気付けた

12+

ら

11+

12+漸化式を利用するのが楽そう

11+という発想に繋ぐこともできます．

12+

11+

1
12+

《おわりに》
今年度の私からの出題は以上です．3 回とも連分

1> 2+

1

1+数展開をテーマにした問題を取り上げてみました．

12+

今回の問題は 2012 年の京都大学理系の問題です．連

11+分数展開が背景になっている問題が著名な大学での

12+

1

1+2+出題にも散見されるので，しっかりマスターしてお1
1+ºきたいですね．
（研伸館8野口）