平成30年度
×１ (1) 14
15

1－3

吉祥女子中学校<第3回>算数

×0.75＋0.5 ＝0.6

ウイア
ア ＝ 0.6÷
イ＝ウ＝(2)143
14
9＝ ÷ ＝15515 14991
1－0.5 ＝ － ＝
14
14
2
7
1
134
÷0.75 ＝ ÷ ＝
7
74
21
1
4
1＝ － ＝
3
21 7

6 2－1 ÷ 8 ＋
3 6
15

÷2.5 ×4＝15ア

エ
ウ
イ

ア＝62
1
1－ ＝6362

イ ＝ 15÷4 ＝

15
4115 26
÷ ＝24
1526
8
6
エ＝ － ＝15 15566
5＝ ×2.5 ＝ × ＝ 355
2
ウ ＝ ア÷イ ＝ 6-1-くわしい解説すぐる学習会

(3)

何年たっても，年齢の差は 34－4＝30（歳）のままです。
右の図が，母が子どもの 3 倍になったときの図です。
母3－1＝ 2（山）ぶんが 30 歳にあたります。
30
1 山ぶんは，30÷2＝ 15（歳）です。
子
よって，子どもが 15 歳になったときに，母は子どもの3 倍になります。
現在，子どもは 4 歳ですから，15 歳になるのは，15－4＝ 11（年後）です。

(4)「電車の長さの和÷電車の速さの和＝すれちがいにかかる時間」です。
電車の長さの和は，250＋230＝480（ｍ）です。
すれちがいにかかる時間は，16秒です。
よって，電車の秒速の和は，480÷16＝ 30（ｍ）です。
上り列車の秒速は 17ｍですから，下り列車の秒速は，30－17＝ 13（ｍ）です。

(5)

ジュースがびんいっぱいに入っています。

ジュース全体を 6 山にします。
ジュースを 6 山のうちの 1 山飲んだら，ジュースは 5 山残ります。
よって，びんとジュース 5 山ぶんの合計が，1730ｇです。
さらに，ジュースが 5 山残っているうちの 2 山飲んだら，ジュースは 3 山ぶん残ります。
よって，びんとジュース 3 山ぶんの合計が，1250ｇです。

びんジュース1730ｇ

びんジュース1730ｇ
1250ｇ
びん

ジュース

ジュース 2 山が，1730－1250＝480（ｇ）にあたりますから，ジュース 1 山は，480÷2＝ 240（ｇ）です。
はじめにびんに入っていたジュースは 6 山ぶんですから，240×6＝ 1440（ｇ）になります。

-2-(6)なし 2 個＝みかん 5 個＋ 5 円
なし 7 個＝みかん 17 個＋ 45 円

…（ア）
…（イ）

（ア）の式と（イ）の式のなしの個数を，( 2 と 7 の最小公倍数である ) 14 個にそろえます。
(ア)の式は 7 倍，(イ)の式は 2 倍することになります。
(ア)の式の 7 倍(イ)の式の 2 倍→→

なし 14 個＝みかん 35 個＋ 35 円
なし 14 個＝みかん 34 個＋ 90 円

… (ウ)
… (エ)

(ウ)の式と(エ)の式をくらべると，みかん 35－34＝ 1 (個)が，90－35＝ 55 (円)になります。
みかん 1 個は 55 円であることがわかりましたから，(ア)の式において，みかん 5個は 55×5＝ 275 (円)です。
よって，「みかん 5 個＋ 5 円」は，275＋5＝ 280 (円)です。
なし 2 個が 280 円ですから，なし 1 個は，280÷2＝ 140 (円)になります。
(7)

毎分 30Ｌの割合で，34 分でくみ出した水の量は，30×34＝ 1020 (Ｌ)です。

はじめの水の量と，34 分で入ってきた水の量の合計が，1020Ｌになります。

はじめ

34分で増えた水の量
1020 Ｌ

毎分 40Ｌの割合で，24 分でくみ出した水の量は，40×24＝ 960 (Ｌ)です。
はじめの水の量と，24 分で入ってきた水の量の合計が，960Ｌになります。

24分で増えた
はじめ水の量960 Ｌ

2 つの図をくらべると，水は 34－24＝ 10 (分間)で，1020－960＝ 60 (Ｌ)増えたことになります。
1 分あたり 60÷10＝ 6 (Ｌ)ずつ，水を入れたことになります。

-3-２ (1)(2)

59÷8＝ 7.375 ですから，小数第 1 位を四捨五入して，答えは 7 です。
小数第 1 位を四捨五入して 4 になる数の範囲は，3.5 以上 4.5 未満です ( 4.4 以下にしてはいけません。)
整数Ａを 8 で割ると 3.5 以上 4.5 未満になるのですから，整数Ａは，3.5×8＝ 28以上，4.5×8＝ 36 未満の整数です。
28 以上 36 未満の整数のうち，もっとも小さな整数は 28 で，もっとも大きな整数は ( 36 ではなくて) 35です。
よって， ア には 28 が入り， イ には 35 が入ります。

(3)(2)で求めた通り，Ｂが 4 になる整数Ａのうち，もっとも小さな整数は 28 で，もっとも大きな整数は 35 であることがわかりました。
つまり，整数Ａとして考えられるのは，「 28・29・30・31・32・33・34・35 」です。 …(ア)同じようにして，Ｃが 4 になる整数Ａの範囲を求めます。
小数第 1 位を四捨五入して 4 になる数の範囲は，3.5 以上 4.5 未満です ( 4.4 以下にしてはいけません。)
整数Ａを 7 で割ると 3.5 以上 4.5 未満になるのですから，整数Ａは，3.5×7＝ 24.5以上，4.5×7＝ 31.5 未満の整数です。
24.5 以上 31.5 未満の整数Ａとして考えられるのは，「 25・26・27・28・29・30・31 」です。 …(イ)
ＢもＣも 4 になるような整数Ａは，(ア)と(イ)の両方にふくまれる，「 28・29・30・31 」になり，そのうちもっとも大きな整数を答えるのですから，答えは 31 になります。

(4)

ＢとＣがどちらも 4 になる整数Ａは，(3)で求めた通り「 28・29・30・31 」です。
次に，ＢとＣがどちらも 5 になる整数Ａを考えてみます。
四捨五入して 5 になる数の範囲は，4.5 以上 5.5 未満ですから，
Ｂ … 4.5×8＝ 36 以上 5.5×8＝ 44 未満→36・37・38・39・40・41・42・43
Ｃ … 4.5×7＝ 31.5 以上 5.5×7＝ 38.5 未満→32・33・34・35・36・37・38
よって，「 36・37・38 」になります。
次に，ＢとＣがどちらも 6 になる整数Ａを考えてみます。
四捨五入して 6 になる数の範囲は，5.5 以上 6.5 未満ですから，
Ｂ … 5.5×8＝ 44 以上 6.5×8＝ 52 未満→44・45・46・47・48・49・50・51
Ｃ … 5.5×7＝ 38.5 以上 6.5×7＝ 45.5未満→39・40・41・42・43・44・45
よって，「 44・45 」になります。

-4-

次に，ＢとＣがどちらも 7 になる整数Ａを考えてみます。
四捨五入して 7 になる数の範囲は，6.5 以上 7.5 未満ですから，
Ｂ … 6.5×8＝ 52 以上 7.5×8＝ 60 未満→52・53・54・55・56・57・58・59
Ｃ … 6.5×7＝ 45.5 以上 7.5×7＝ 52.5未満→46・47・48・49・50・51・52
よって，「 52 」だけになります。
次に，ＢとＣがどちらも 8 になる整数Ａを考えてみます。
四捨五入して 8 になる数の範囲は，7.5 以上 8.5 未満ですから，Ｂ … 7.5×8＝ 60 以上 8.5×8＝ 68 未満→60・61・62・63・64・65・66・67
Ｃ … 7.5×7＝ 52.5 以上 8.5×7＝ 59.5未満→53・54・55・56・57・58・59
ＢとＣの両方にふくまれる整数はありません。
ＢとＣがどちらも 9 になる，10 になる，…という整数Ａを考えてみても，もうＢとＣの両方にふくまれる整数はありません。
以上のことから，もっとも大きな整数Ａは 52 になります。

３ (1)

Ｐ

右の図の と とは，辺ＡＤと辺ＢＣが平行なので錯角となり，同じ大きさです。

ＳＡ

Ｒ

Ｄ

Ｑ

ＢＣＰＳ

Ａ

Ｄ

Ｒ

右の図の と とは，対頂角なので同じ大きさです。

ＱＢＣＰ
Ａ

右の図の と とは，辺ＡＢと辺ＰＣが平行なので錯角となり，同じ大きさです。

Ｑ 2cm

Ｂ-5-Ｓ
Ｒ9cm

ＣＤＰよって，右の図の はすべて同じ大きさになります。

ＡＳ

ＤＲ
Ｑ

ＢＣＰ

ア
ＢＣ＝ 9 cm，ＳＤ＝ 2 cmです。
ＳＡ
Ｒ
ＡＤ＝ＢＣですから，右の図のアの長さ
イは 9－2＝ 7 (cm)です。
Ｑ 2cm
また，三角形ＡＢＳは二等辺三角形ですから，イ＝ 7 cmです。
Ｂ
Ｃ
三角形ＰＳＤも二等辺三角形なので，9cm
ウ＝ 2 cmです。
三角形ＢＣＰも二等辺三角形なので，エ＝ 9 cmです。

ＤウエＰ7cmＡ
右の図のようになりますから，ＡＢ＝ 7 cm，ＣＰ＝ 9 cmになります。

ＤＱ 2cm

7cm
Ｂ(2)

ＳＲ2cm

9cm

Ｃ9cm

このような連比を求める問題では，まずＢＱ：ＱＰを求め，次にＢＳ：ＳＰを求めて，そのあとそろえる解き方をする問題が多いです。
この問題も，そのような解き方で解いていきましょう。
まずＢＱ：ＱＰを求めます。
右の図のようにぬき出した三角形ＢＣＰが二等辺三角形なので，★と☆の三角形は合同になり，ＢＱ＝ＱＰです。
よって，ＢＱ：ＱＰ＝ 1：1 になります。

Ｑ ☆

Ｐ9cm

★
Ｂ

Ｃ9cm

Ｐ
次にＢＳ：ＳＰを求めます。
右の図の斜線をつけた 2 つの三角形はクロス形なので相似です。
よって，ＢＳ：ＳＰ＝ＡＢ：ＤＰ＝7：2 になります。

-6-

Ａ

7cm

Ｑ 2cm

7cm

Ｂ

Ｓ

Ｒ9cm

Ｃ

Ｄ
9cm

2cm

Ｐ
Ａ
ＢＱ：ＱＰ＝ 1：1 のときは，ＢＰ＝1＋1＝ 2，ＢＳ：ＳＰ＝ 7：2 のときは，ＢＰ＝7＋2＝ 9です。
2 と 9 をそろえるために，(最小公倍数の)Ｂ18 にします。

1Ｒ

Ｓ

2Ｄ

Ｑ

17Ｃ

ＢＱ：ＱＰ＝ 1：1 の方は，ＢＰ＝1＋1＝ 2 なので 18÷2＝ 9 (倍)して，ＢＱ＝1×9＝ 9，ＱＰ＝1×9＝ 9 です。
ＢＳ：ＳＰ＝ 7：2 の方は，ＢＰ＝7＋2＝ 9 なので 18÷9＝ 2 (倍)して，ＢＳ＝7×2＝ 14，ＱＰ＝2×2＝ 4 です。
ＰＡ

右の図のようになりますから，ＢＱ：ＱＳ：ＳＰ＝ 9：(14－9)：4＝ 9：5：4 になります。

9ＲＳＱ

914
Ｂ-7-Ｃ4Ｄ

４ (1)「 1 番目の黒石」から「 2 番目の黒石」の間に，白石は 3 個あります。
「 2 番目の黒石」から「 3 番目の黒石」の間に，白石は 5 個あります。
「 3 番目の黒石」から「 4 番目の黒石」の間に，白石は 7 個あります。
このように，黒石と黒石の間の白石の個数は，2 個ずつ増えていきます。
「 4 番目の黒石」から「 5 番目の黒石」の間に，白石は 9 個あります。
「 5 番目の黒石」から「 6 番目の黒石」の間に，白石は 11 個あります。

(2)①(1)と同じように書いていけば，求めることができます。
「 6 番目の黒石」から「 7 番目の黒石」の間に，白石は 13 個あります。
「 7 番目の黒石」から「 8 番目の黒石」の間に，白石は 15 個あります。
よって あ は，7 番目の黒石になります。

②

1 番目の黒石より左側には，白石は 1 個だけあります。
2 番目の黒石より左側には，白石は 1＋3＝ 4 (個) あります。
3 番目の黒石より左側には，白石は 1＋3＋5＝ 9 (個) あります。
4 番目の黒石より左側には，白石は 1＋3＋5＋7＝ 16 (個) あります。
1 番目から 4 番目までの白石の個数を見ると，すべて平方数になっています。
たとえば 4 番目の場合なら，4×4＝ 16 (個) になっています。
このように，Ｎ番目の黒石より左側には，白石は Ｎ×Ｎ 個あるわけです。
②では 7 番目の黒石より左側にある白石の個数を求める問題ですから，7×7＝49 (個) になります。

③②でわかった通り，Ｎ番目の黒石より左側には，白石は Ｎ×Ｎ 個あります。
①で， あ は 7 番目の黒石であることがわかっていますから， い は 8 番目の黒石です。
よって 8 番目の黒石より左側の白石の個数を求める問題になりますから，8×8＝ 64 (個) になります。

(3)①

う と え の間に黒石が 1 個あるのですから，たとえば う が 1 番目だとしたら，え は 3 番目です。

1 番目の黒石と 3 番目の黒石の間に，白石は 3＋5＝ 8 (個) あります。
2 番目の黒石と 4 番目の黒石の間に，白石は 5＋7＝ 12 (個) あります。
3 番目の黒石と 5 番目の黒石の間に，白石は 7＋9＝ 16 (個) あります。
白石の個数は 8，12，16，……と，4 個ずつ増えていく等差数列になっています。
等差数列のＮ番目は，「はじめ＋増える数×(Ｎ－1)」の公式で求めることができます。
はじめは 8，増える数は 4 ですから，8＋4×(Ｎ－1)＝44 となり，逆算をして44－8＝3636÷4＝99＋1＝10 ですから， う は 10 番目の黒石になります。

-8-②(2)の②で，Ｎ番目の黒石より左側には，白石は Ｎ×Ｎ 個あることがわかっています。
この問題では，①でわかった 10 番目の黒石よりも左側にある白石の個数を求める問題ですから，答えは 10×10＝ 100 (個) になります。

③ う は 10 番目の黒石であることがわかっていますから，え は 12 番目の黒石です。
よって，お は 10 番目の黒石と 12 番目の黒石にはさまれた，11 番目の黒石です。
②と同じようにすると，11 番目の黒石よりも左側にある白石の個数は，11×11＝ 121 (個) になります。
(4)

すでにわかっている通り，Ｎ番目の黒石より左側には，白石は Ｎ×Ｎ 個あります。
200 に近い平方数は，14×14＝ 196です。
よって，14 番目の黒石より左側には，白石は 196 個あることになります。
ところで，黒石や白石の上に書いてある番号は，その石をふくめて，はじめから何個の石があったかを表しています。たとえば 3 番目の黒石の場合は，黒石は 3 個，白石は 3×3＝ 9 (個) ありますから，黒白合わせて 3＋9＝ 12 (個) あることになり，「12」の番号が書かれています。
同じようにして，14 番目の黒石までには，黒石は14個，白石は196個ありますから，14 番目の黒石には 14＋196＝ 210 の番号が書かれています。ということは，次の石である 197 個目の白石には 211 の番号が，198 個目の白石には 212 の番号が，199 個目の白石には 213 の番号が，200 個目の白石には 214 の番号が書かれていることになります。
201 個目の白石には 215 の番号が書かれていることになります。
この問題は，か に書かれている番号が何なのかを求める問題でした。
か を除いて数えた場合に，白石は 200 個あるのですから， か は 201 個目の白石です。
よって か には，215 の番号が書かれていることになります。

-9-

５ 三角形ＡＢＣは，3 辺の比が 18：24：30＝ 3：4：5 ですから，右の図の斜線をつけた三角形ＡＲＰ，ＳＢＱも，3：4：5 の三角形です。
点Ｐは秒速 1.8 cmですから，点Ｒは，秒速 1.8÷3×5＝3（cm）です。
点Ｑは秒速 1.6 cmですから，点Ｓは，秒速 1.6÷4×5＝2（cm）です。

Ａ30 cm

Ｐ18 cmＲＳ
Ｂ

Ｃ

Ｑ 24 cm

点ＲはＡを出発して秒速 3 cmの速さでＡＢ間を往復し，点ＳはＢを出発して秒速 2 cmの速さでＢＡ間を往復するものとして，問題を解いていきます。
(1)

点Ｒは秒速 3 cmですから，2 秒後のＡＲの長さは，3×2＝ 6（cm）です。

(2)

点Ｒと点ＳはそれぞれＡとＢを同時に出発して，向かい合って進みます。
出発するときは，ＡとＢにいますから，30 cmはなれています。
点Ｒは秒速 3 cmで，点Ｓは秒速 2 cmで，向かい合って進みますから，30÷(3＋2)＝
6（秒後）に重なります。

(3)

ＡＢの長さは 30 cmです。往復すると，30×2＝ 60（cm）です。
点Ｒは秒速 3 cmですから，60÷3＝20（秒）ごとにＡにもどってきます。
点Ｓは秒速 2 cmですから，60÷2＝30（秒）ごとにＢにもどってきます。
点Ｒも点Ｓも同時に出発地点にもどってくるのは，20と30の最小公倍数である，60 秒後になります。

(4)

点Ｒは秒速 3 cmですから，4 秒後のＡＲの長さは，3×4＝ 12（cm）です。
点Ｓは秒速 2 cmですから，4 秒後のＢＳの長さは，2×4＝ 8（cm）です。
Ａ

よって 4 秒後には右の図のような状態になり，ＲＳの長さは，30－(12＋8)＝ 10（cm）になります。

30 cm Ｒ？
Ｓ
8 cm
Ｂ

また，4 秒後には三角形ＣＲＳは右の図の☆のようになります。
右の図の◎と☆と★の面積の比は，12：10：85＝ 6：5：4 なので，☆は全体の面積の，6＋5＋41＝になります。
3- 10 -

12 cm
18 cm

Ｃ24 cm
ＡＲＢ

12 cm
10 cm
◎ 18 cm
Ｓ☆
8 cm ★
Ｃ24 cm(5)三角形ＣＲＳの面積が三角形ＡＢＣの面積の3倍になるためには，ＲＳの長さが，ＡＢの長53さの 倍にならなければなりません。
53
よってＲＳの長さが，何秒後に 30× ＝ 185(cm) になるのかを求める問題です。

Ａ30 cmＲ？ cm
Ｓ ③⑤
Ｂ18 cm

Ｃ24 cm

出発するときは，点Ｒは点Ａ，点Ｓは点ＢにいるのでＲＳは 30 cmです。
はじめてＲＳが 18 cmになるのは，30－18＝ 12（cm）ちぢんだときです。
1 秒間に 3＋2＝ 5（cm）ずつちぢんでいきますから，答えは 12÷5＝ 2.4（秒後）になります。
(6) 点Ｒ，点Ｓが出発してから 400 秒間で，ＲＳの長さが 18 cmになるのが何回あるかを求める問題です。
点Ｒは秒速 3 cmですから，Ａを出発して 30÷3＝ 10（秒）でＢに着き，また 10 秒でＡにもどり，…をくり返します。
点Ｓは秒速 2 cmですから，Ｂを出発して30÷2＝ 15（秒）でＡに着き，また 15 秒でＢにもどり，…をくり返します。
この，点Ｒと点Ｓの動いた時間と，点Ａからの距離の関係をグラフに表したのが，右の図です。
60 秒後には点Ｒも点Ｓも出発地点にもどってきています。

30
点Ｓ

20
10

点Ｒ
0
右の図の斜線部分のとき，点Ｒと点Ｓははじめ 30 cmはなれていましたが，最後は重なったので，途中で 1 回だけ 18cmになった瞬間があります。
18cmになったことを記録として残すため，「！」マークを書いておきます。

1020

30

40

50

6070 (秒)40

50

6070 (秒)

30
20

点Ｓ！

10
点Ｒ
0- 11 -

1020

30

右の図の斜線部分のとき，点Ｒと点Ｓははじめ重なっていましたが，最後は 20 cmはなったので，途中で 1 回だけ 18cmになった瞬間があります。

30
20

点Ｒ
0

1020

30

40

50

6070 (秒)40

50

6070 (秒)40

50

6070 (秒)40

50

6070 (秒)

30
点Ｓ

20！

！
！

10

点Ｒ「！」マークを書いておきます。
右の図の 2 か所の斜線部分のとき，点Ｒと点Ｓは 15 cmはなれている状態から始まって，そのうち重なり，最後は 10 cmはなれている状態になります。
その間に 18 cmもはなれる状態にはならないので，「！」マークは書きません。

！

10「！」マークを書いておきます。
右の図の斜線部分のとき，点Ｒと点Ｓははじめ 20 cmはなれていましたが，最後は 15 cmしかはなれていないので，途中で 1 回だけ 18 cmになった瞬間があります。

点Ｓ！

0

1020

30

30
点Ｓ

20！

！
！

10

点Ｒ
01020

30

斜線部分
右の図の斜線部分のとき，点Ｒと点Ｓははじめ 10 cmはなれていましたが，最後は重なったので，その間に 18 cmもはなれた状態にはならないので，「！」マークは書きません。

30
20

点Ｓ！

10！
！
点Ｒ

0- 12 -

10

20

30

ところでこのグラフは，30 秒のところを対称の軸にして，左右対称になっています。

30
20

点Ｓ！

！
！

10

点Ｒ
01020

30

40

50

60

70 (秒)

左右対称
よって，0 秒から 30 秒までの中に「！」マークが 3 回あった
ら，右のグラフのように 30 秒から 60 秒までの中でも，3 回あることになります。
結局 0 秒から 60 秒までの中では，3×2＝ 6（回）あることになります。

30
20！

10！

点Ｓ！

！

！

！
点Ｒ

010203040

50

6070 (秒)左右対称(6)の問題は，出発してから 400 秒までの中に「！」マークが何回あるかを求める問題です。
400÷60＝ 6 あまり 40 ですから，60 秒のセットが 6 セットぶんと，あと 40 秒あります。
1 セットの中に「！」マーク 6 回あるのですから，6 セットの中には 6×6＝ 36（回）あり，あまりの 40 秒の中には（グラフの 0 秒から 40 秒のところを見るとわかる通り）3 回あります。
合計，36＋3＝ 39（回）になります。

- 13 -