Mikami-Weinstein type theorem for cosymplectic groupoidactions
米原修平 ∗（大阪大学理学研究科）

1 導入
Meyer-Marsden-Weinstein [4, 5] によるシンプレクティック多様体上の Hamilton 作用についての簡約定
理は，様々な状況に拡張されている．Albert [1] は余シンプレクティック多様体上の Hamilton 作用を定義し，簡約定理を示した．余シンプレクティック多様体とは，シンプレクティック多様体の奇数次元アナロジーにあたる概念である（[2] 等を参照）．一方で三上-Weinstein [6] は，Meyer-Marsden-Weinstein の結果をシンプレクティック亜群によるシンプレクティック多様体への作用の場合に一般化した．本講演では，余シンプレクティック亜群による余シンプレクティック多様体への作用を定義し，三上-Weinstein 型の簡約定理を示す．

2 余シンプレクティック多様体とその上の Hamiton 作用
2n + 1 次元多様体 M 上に η ∧ ω n ̸= 0 を満たす η ∈ Ω1 (M ) と ω ∈ Ω2 (M ) が存在するとき，組 (η, ω) を M上の概余シンプレクティック構造という．概余シンプレクティック構造 (η, ω) のうち ω = dη を満たす場合が接触構造である．一方，余シンプレクティック構造とは概余シンプレクティック構造 (η, ω) であって dη = 0かつ dω = 0 を満たすものを指す．M 上の余シンプレクティック構造 (η, ω) に対して，η が定める葉層構造の各葉に ω を制限したものはシンプレクティック構造となる（(η, ω) から定まる Poisson 構造が誘導するシンプレクティック葉層構造）．
例 2.1.

• η = dt, ω =∑ni=1 dxi ∧ dyi は M= (R2n+1 ; x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn , t) 上の余シンプレクティック構造．

• シンプレクティック多様体 S とシンプレクティック微分同相 φ : S → S に対して，mapping torus
Sφ = (S × [0, 1])/{(p, 0) ∼ (φ(p), 1) | p ∈ S}
は余シンプレクティック多様体．

■

定義 2.2. Lie 群 G の余シンプレクティック多様体 (M, η, ω) への η, ω を保つ滑らかな作用が Hamilton 作用であるとは，以下を満たす滑らかな写像（運動量写像）µ : M → g∗ が存在することをいう（g は G の Lie 環）．

• µ は G の M への作用と G の g∗ への自然な作用（余随伴作用）に関して同変的．
• 任意の A ∈ g が誘導するベクトル場 A∗ ∈ X(M ) が ω(A∗ , −) = dµA , η(A∗ ) = 0 を満たす．
∗ email: u074738h@ecs.osaka-u.ac.jp■

Meyer-Marsden-Weinstein による簡約定理に類似した次の結果が示されている．
定理 2.3 ([1]). G による (M, η, ω) への free かつ proper な Hamilton 作用が存在したとする．ξ ∈ g∗ を運動量写像 µ の正則値とし，Gξ ⊂ G を余随伴作用による ξ の固定部分群とする．また，π : µ−1 (ξ) → µ−1 (ξ)/Gξを自然な射影とする．このとき，µ−1 (ξ)/Gξ 上に π ∗ ηξ = η|µ−1 (ξ) , π ∗ ωξ = ω|µ−1 (ξ) を満たす余シンプレク■

ティック構造 (ηξ , ωξ ) が一意に存在する．

Riemann 計量をもつ余シンプレクティック多様体（coKähler 多様体，3-余シンプレクティック多様体）の場合の簡約定理も示されている [10]．

3 余シンプレクティック亜群
Lie 亜群とは，亜群（任意の射が逆射を持つような小さな圏）
G1 ∗ G1m/ G1Xst// G0u/ G1i（ただしここで，G1 ∗ G1 = {(g, h) ∈ G1 × G1 | s(g) = t(h)}）であって，射の集合 G1 と対象の集合 G0 がともに多様体であり，射の始点と終点をとる写像 s, t がともに沈めこみで，射の合成，単位射，逆射をとる写像

m, u, i が滑らかなものをいう．以下では Lie 亜群を G = (G1 ⇒ G0 ) と書く．また m(g, h) を gh とも書く．
例 3.1.

• Lie 群 G は唯一の対象をもつ Lie 亜群 G ⇒ {∗}．

• Lie 群 G が多様体 M に作用しているとき，Lie 亜群 G × M ⇒ M がs(g, x) = x, t(g, x) = gx, u(x) = (e, x),i(g, x) = (g −1 , gx), m((g, x), (h, y)) = (gh, y)■で定まる．

Lie 亜群 G1 ⇒ G0 の射の多様体 G1 上の微分形式 α がm∗ α = pr∗1 α + pr∗2 αを満たすとき，α は multiplicative であるという．ただしここに m : G1 ∗ G1 → G1 は射の合成，pri :G1 ∗ G1 → G1 は i 成分への射影．
定義 3.2. Lie 亜群 G1 ⇒ G0 と，G1 上の multiplicative なシンプレクティック構造 ωG1 （resp. 余シンプレ
クティック構造 (ηG1 , ωG1 )）の組をシンプレクティック亜群（resp. 余シンプレクティック亜群）という． ■例 3.3.

• G を Lie 群，g をその Lie 環とする．このとき，G による g∗ への自然な作用（余随伴作用）によりシンプレクティック亜群 G × g∗ ⇒ g∗ が定義される．ただしここで，T ∗ G ≃ G × g∗ とみて T ∗ G上の自然なシンプレクティック構造を G × g∗ に入れている．

• シンプレクティック亜群 (G1 ⇒ G0 , ωG1 ) に対して，(G1 × R ⇒ G0 , pr∗ dt, pr∗ ωG1 ) は余シンプレクティック亜群．
余シンプレクティック亜群については [3] に詳しい．例えば，次のような結果が示されている．

■

定理 3.4 ([3]). 余シンプレクティック亜群 (G = (G1 ⇒ G0 ), ηG1 , ωG1 ) の任意の単位射は同じシンプレク
ティック葉 SG1 ⊂ G1 に属する．さらに，G の Lie 部分亜群 SG = (SG1 ⇒ G0 ) はシンプレクティック亜群と■なる．

4 余シンプレクティック亜群の作用
定義 4.1. Lie 亜群 G1 ⇒ G0 による多様体 M への左作用とは，滑らかな写像

ρ : M → G0（運動量写像），a : G1 ∗ M → Mの組 (ρ, a) で，• ρ(gx) = t(g)((g, x) ∈ G1 ∗ M ),• h(gx) = (hg)x• u(ρ(x)) = x((h, g) ∈ G1 ∗ G1 , (g, x) ∈ G1 ∗ M ),(x ∈ M )を満たすものをいう．ただしここで，G1 ∗ M := {(g, x) ∈ G1 × M | s(g) = ρ(x)}．また，a(g, x) を gx と書いている．

• g ∈ G1 に対してある x ∈ M が存在して (g, x) ∈ G1 ∗ M かつ gx = x ならば g = u(ρ(x)) のとき，左作用 (ρ, a) は free であるという．

• 写像 G1 ∗ M → M × M ; (g, x) 7→ (gx, x) が proper のとき，(ρ, a) は proper であるという．
• G1 ⇒ G0 による M への右作用も s と t の役割を入れ替えて同様に定義される．

■

次に，余シンプレクティック亜群の作用を定義する．Weinstein [7] による Symplectic Creed “Everything

is a Lagrangian submanifold” の一環として，「シンプレクティック多様体 (M1 , ω1 ) からシンプレクティック多様体 (M2 , ω2 ) への射を (M1 × M2 , ω1 ⊕ −ω2 ) の Lagrange 部分多様体と定める」という手法がある．これを用いるためにまず，Lagrange 部分多様体の余シンプレクティック版にあたる概念を導入する．
定義 4.2. 余シンプレクティック多様体 (M, η, ω) の部分多様体 N ⊂ M が Lagrange-Legendre 部分多様体
であるとは，任意の p ∈ N で Tp N ⊂ Kerηp , (Tp N )ωp |Kerηp = Tp N が成り立つことをいう．ただしここで，(Tp N )ωp |Kerηp は Tp N の ωp |Kerηp -直交補空間．

■

一般に，Lagrange-Legendre 部分多様体は概余シンプレクティック多様体に対して定義できる．接触多様体の場合は Legendre 部分多様体と等価な概念である．
定義 4.3. (G = (G1 ⇒ G0 ), ηG1 , ωG1 ) を余シンプレクティック亜群，(M, η, ω) を余シンプレクティック多様体とする．M への左 G-作用が余シンプレクティック作用であるとは，作用のグラフ{(g, x, 1, gx, 1) ∈ G1 × M × R × M × R | (g, x) ∈ G1 ∗ M }が余シンプレクティック多様体 (G1 × M × R × M × R, ηe, ωe ) の Lagrange-Legendre 部分多様体であることをいう．ただしここで，ηe := ηG1 + η1 − η2 ,ωe := (ωG1 + ω1 + ηG1 ∧ dt1 ) − ω2 − (ηG1 + η1 ) ∧ dt2（ti は i 番目の R の座標，(ηi , ωi ) は i 番目の M の余シンプレクティック構造）．

■5 三上-Weinstein 型定理
次が余シンプレクティック亜群の作用についての簡約定理である．この結果は三上-Weinstein [6] の余シンプレクティック版にあたる．
定理 5.1. 余シンプレクティック亜群 G = (G1 ⇒ G0 ) による余シンプレクティック多様体 M への free かつproper な余シンプレクティック作用が存在したとする．この作用の運動量写像を ρ : M → G0 とする．さらに，ξ ∈ ρ(M ) が ρ の正則値であると仮定する．このとき，ρ−1 (ξ)/(SG )ξ は余シンプレクティック多様体となる．ただしここで，(SG )ξ は SG1 の元で始点と終点がともに ξ であるようなものの全体を表す．

■

定理 5.1 の証明には次を用いる．
命題 5.2. (ρ, a) を余シンプレクティック亜群 (G = (G1 ⇒ G0 ), ηG1 , ωG1 ) による余シンプレクティック多様体 (M, η, ω) への余シンプレクティック作用とし，S を (M, η, ω) の任意のシンプレクティック葉とする．このとき，ρ|S : S → G0 ,a|SG1 ∗S : SG1 ∗ S → S
はシンプレクティック亜群 SG = (SG1 ⇒ G0 ) による S へのシンプレクティック作用となる．

■

例 5.3. Lie 群 G が余シンプレクティック多様体 (M, η, ω) に free かつ proper に Hamilton 作用しているとし，運動量写像を µ : M → g∗ とする．次の余シンプレクティック亜群を考える：

T ∗ G × R ≃ G × g∗ × R ⇒ g∗ .
ε > 0 に対して，Mε を Reeb ベクトル場の flow φt (x) が t ∈ [−ε, ε] で定義されるような M の点の全体とし，
Gε = T ∗ G × (−ε, ε) ⊂ T ∗ G × R と定める．このとき，（局所）余シンプレクティック亜群 Gε（SGε = T ∗ G）による Mε への余シンプレクティック作用が (g, ξ, t) ∈ G × g∗ × (−ε, ε), x ∈ Mε に対して (g, ξ, t) · x = φt (gx)で定まる．この場合に定理 5.1 を適用すると，G の (Mε , η|Mε , ω|Mε ) への Hamilton 作用に関する Albert による簡約定理（定理 2.3）を得る．

■6 結語
Xu [8] は Poisson 多様体の量子化を動機として，環論における森田理論と類似の理論を Poisson 幾何学において展開した．具体的には，シンプレクティック亜群に対して森田同値性を定義し，環論における森田同値性の定義と類似した結果（定理 6.2）を示した．
定義 6.1. Lie 亜群 G = (G1 ⇒ G0 ) と H = (H1 ⇒ H0 ) が森田同値であるとは，多様体 M と M への左 G作用，右 H-作用で以下を満たすものが存在することをいう．

• 運動量写像 ρ : M → G0 と σ : M → H0 はいずれも全射沈めこみ，• G と H の M への作用はいずれも free かつ proper，• G の作用と H の作用は可換，• ρ（resp. σ ）は H-作用（resp. G-作用）の軌道上で定数で，誘導される写像 M/H → G0（resp. M/G → H0 ）■は微分同相．

G1

MBH1}} BBB}BB}}}ρ
σ BB
  ~}}
 
G0H0

シンプレクティック（resp. 余シンプレクティック）亜群 G と H の間の森田同値性は，上と同様の条件を満たすシンプレクティック（resp. 余シンプレクティック）多様体 M へのシンプレクティック（resp. 余シンプレクティック）作用で定義する．シンプレクティック亜群 G がシンプレクティック作用しているシンプレクティック多様体を G-加群と呼ぶ．
定理 6.2 ([8]). シンプレクティック亜群 G と H に対して，

G

≃

森田同値

H =⇒()()
G -加群の「圏」 ≃ H -加群の「圏」 .
圏同値が成り立つ．

■

今後の課題として，以下が挙げられる．

• 定理 6.2 の余シンプレクティック版は成り立つか．
• 余シンプレクティック亜群 G と H の森田同値性は SG と SH の森田同値性と等価か．

参考文献[1] C. Albert. Le théoreme de réduction de Marsden-Weinstein en géométrie cosymplectique et decontact. Journal of Geometry and Physics, 6(4):627–649, 1989.
[2] B. Cappelletti-Montano, A. De Nicola, and I. Yudin. A survey on cosymplectic geometry. Reviewsin Mathematical Physics, 25(10):1343002, 2013.
[3] R.L. Fernandes and D.I. Ponte. Cosymplectic groupoids. Journal of Geometry and Physics,
192:104928, 2023.
[4] J. Marsden and A. Weinstein. Reduction of symplectic manifolds with symmetry. Reports onmathematical physics, 5(1):121–130, 1974.
[5] K. R. Meyer. Symmetries and integrals in mechanics. In Dynamical systems, pages 259–272. Elsevier,1973.
[6] K. Mikami and A. Weinstein. Moments and reduction for symplectic groupoids. Publications of theResearch Institute for Mathematical Sciences, 24(1):121–140, 1988.
[7] A. Weinstein. Symplectic geometry. Bulletin of the American mathematical society, 5(1):1–13, 1981.
[8] P. Xu. Morita equivalent symplectic groupoids. In Symplectic geometry, groupoids, and integrablesystems, pages 291–311. Springer, 1991.
[9] S. Yonehara. Mikami-Weinstein type theorem for cosymplectic groupoid actions. in preparation.
[10] S. Yonehara. Reduction of coKähler and 3-cosymplectic manifolds. arXiv preprint arXiv:2404.13253,2024.