計測自動制御学会東北支部第264回研究集会（2nll．3．11）
資料番号264−5多重楕円体の切断面による計算機ホログラム
ComputerGeneratedHologramusingCross−SeCtionalofCoaxialEllipsoids
O小池健丸大坊真洋

OKentaKoike，MasahiroDaibo
岩手大学工学部

FacultyofEnglneerlng，IwateUniversity
キーワード：ホログラフィ（holography），計算機ホログラム（ComputerGeneratedHologram），
楕円（ellipsoid）

連絡先：〒020−8551岩手県盛岡市上田4−3−5岩手大学工学部電気電子工学科大坊研究室

大坊真洋，Tel：（019）621−6983，E−mail：daibo＠ivate−u・aC・jp

2．ホログラフィの原理

1．序論
現在，立体像を表示する技術が考案，実用化

ホログラフィは，光の波面を記録し，同じ波面されているが，その中でもホログラフィ技術はを再現する技術である．光の波面を記録をする

光の波面そのものを記録し再生する技術である

ためには，ホログラフィ用の写真乾板を平面上ため，観測者の視機能に不自然な感覚を与えずに置き，物体表面で散乱されたレーザー光（こ疲労が少ない1）．そのため，ホログラフィは理れを物体光という）と，それと同じレーザー光

想的な立体表示方法であるが，その一方で回折源が発した照明光（これを参照光という）を照を原理としているため微細で多画素の空間光変射する，レーザー光は可干渉性という性質を持調が必要であり，計算量が膨大となることなど

ち，2つ以上の波面が同時に存在すると空間的の問題がある．に強めあったり弱めあったりして干渉縞を作りそこで．これらの問題を解決する方法として．

出す．従って，物体光と参照光の間の干渉によっ点光源と再生像の2点からなる位相面を計算し，て，干渉縞が乾板の上に形成される．得られた

これによりホログラムに描かれる干渉パターン

干渉縞のパターンをホログラムという．
三次元像を再生するにはホログラムを元の位を数式化する手法を提案する．この手法は，記録する物体の光の強度や位相を1ピクセルごと置に置き，元の参照光と同じ光を照射する．こに計算する従来の手法と異なるものである．のとき，ホログラム上の干渉縞は，再生用照明

本研究は，楕円体軌道を経由した2焦点間の光に対して回折格子として働き，光の経路を変距離が一定であるという楕円の性質を利用し、える働きをする．回折によって形成された光の等位相面を計算することを特徴とし、全空間の波面は，元の物体光の波面と完全に同じものでホログラムを得ることができる。

ある．従って，観測者は，物体の三次元再生像

・・1−−

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Fig．1−aがレーザー光源，楕円体がホログラ
ム，aが物体を構成する点群の一つ

Fig．2 シミュレーションの座標系

4．多重楕円体によるホログラムを見ることができる2）．

4．1 点光源1点を再生するホログラム
例として再生像の1点を発生するホログラム

3．点光源と再生像の関係を計算しシミュレーションにより再生する（Fig．
本研究で提案する計算機ホログラムは，点光2）．光の等位相面は点光源と再生像の2点を焦源2点を焦点とする多重楕円とご封ヱ空間にある点とする楕円体となり，ごZ平面においてホログ任意の平面との交線である．ここでFig．1の片ラムを記録するとその交線が描かれ，それがホ方を点光源，もう片方を再生像と見なす．一αのログラムとなる．ここで楕円体の2つの焦点は位置にある点光源から発生した光は，楕円上でy軸上にないので，楕円体は標準形で表すこと散乱しαの位置に光が届く．−αからαの位置ができない．そのため楕円体の式をa氏ne変換に達した光は，楕円の性質から経路によらず同により回転，平行移動の処理を行う．ご軸に対じ距離となるため，位相が等しくなる．そのたする回転角を∂。，Z軸に対する回転角をβz，平め一αの位置にある点光源がαの位置に再生さ行移動する座標を（㌔，㌔，㌔），変換後の変数れる．

をズ，㌣Zとおくと1（2）（1）となる．ここで4×4の行列としたのは平行移動も行列で扱えるようにしたためである．これを得られた楕円体の式のように楕円の方程式と同じ形となる．点光源の位置と波長の値は定数で，点光源からは絶えヱ2y2z2ずコヒーレント光が発生しているので，この空十『（3）間には2つ点光源を焦点とする同じ位相を表す多重楕円が描かれる．に代入すればごyヱ空間上の任意の2点に焦点を持つ楕円体の式が得られる．a氏ne変換した式
は複雑になるのでJ（ご，封，ヱ）＝0とおき，ごZ平l・1 −・＼﹂000l

平行移動 z軸に対して回転 ご軸に対して回転ズyZl／／し＼﹂

00O S
C一0SC

1〇．m∽O／／し0

凸＞∧〃

0

ご1エ0−一﹁0〇甜inO010＼︺

二SC一n OSOOiS CO甜．mOO

0左Tリrl′／し＼︺10000Zn︶0﹁⊥00二封J整数，人：波長）とおくと

1

ご／／しる．焦点から楕円までの距離の和をg＝ノn人（n：／し＼﹂Fig．1から，光の強め合う点の条件式が求まコ01・1壇＋L。

■l（b）

（a）

（a）

（b）

Fig．3 記録する点光源（a）と仮想物体 A

Fig．5 再生像が複数のホログラム（a）と再生（b）

像（t〕）

（a）
（a）

Fig．6 従来の方法による計算機ホログラム（a）

f ig．4 再生像が1点のホログラム（〜t）と再生と再生像（b）像（b）

さの異なる楕円の集まりとなった．ここで，シ面との交線はミュレーションの際に使用した各パラメータは／（ご，封，Z）＝0（〜tfh−1e変換した楕円休の式）〃＝0

Tablelの通りである．

（ごrZ平面）（4）4．2 複数の点光源を再生するホログラムの連立方程式を解けば求められ，その解は次に現実の物体に近づけるため，多数の点を什〃，0，Z）＝0点光源とするものを考える．Fig．3（b）のように（5）

アルファベットの A を5×5ピクセルの画素となる．この式が∬之平面に揃かれる図形となに分解し，白い点を点光源とする．仮想物体でる．ホログラムはFig．坤1）のようになり，大きある A の1点1点と点光源を焦点とする楕円休をそれぞれ計節すると，コ：Z平面上で複数の楕「上−ablel シミュレーションで用いたパラメータ
パラメータ名鮎ヒ波長
昆界腫塵
物休光の画素間隔記董 削Ii郡三ホログラムの画素「抑屑
観テ lり面の画素間隔

円が重ね合わせられる．ホログラムはFig．5（a）

数値となり，その再生像はFig．5（l））となる．Fig・
Gこi2．811111
1・OV／11l叫））の再生像を見ると，記録した物体が再生さ0．n5Illl11れていることが分かる．

0．1〔）111

また，記録する距離やレーザー光の波長など

2・5り／Ⅲ1の条件を同じにして従来の方法による計算機ホ0．0う111111

ログラムを作製すると，その両生像はFig．G（l））

3

のようになる．f、ig．5（b）とFig．6（l））を比較すて計算機ホログラムを作製する手法を提案し，ると，2つば全く同じ像ではない．これは多重プログラミングにより確認した．この手法は，楕円を計算した際，楕円と次の次数の楕円との従来の物体光と参照光を干渉させてホログラム補間の影響が現れたためだと考えられる．補間を得る方法と違い，物体から発する多数の点光は，式（3）を次数Tlについて解いて源と再生光との等位柑面をそれぞれ計算し，ホログラムを記録するものである．各点光源と再＞乍
れ ＝ −−−一生光の等イ立柑面が作る図形はその2点を焦点と入する楕11休となり，ホログラムには任意の平面のご，肌Zにa仔ine変換した値を代人し卜弟Zにとの交差線が記録される．従って，ホログラムホログラムの座標を代入して求めた．その画素に記録される干渉パターンは数式により表すこにおけるれの値が整数の時光を透過し，整数でとができる．この点が従来の手法と異なる．

はない時光を通さないように

今後の課題は，補間の計算方法の改善や記録場所を分散化したホログラムによる再生像の評∧r∑cos2（仰）J＝／．，・

価などが挙げられる．

i＝1（7）
JAすで得られる値をグレースケールの膿度とした．こ

参考文献

こで，〃は点光源の数，Jは補間後の濃度，ナの］）IIarillaran P・：Or）ticalrIoIc）graPhy Pl、il−rは最大階調値，んィはホログラム画素の最大値である．記録面には各点光源の楕円が重なり合cil）les，teClmi（1ueS，arl（iapI）1ications，CAh′トうので，それぞれのrと′よの値からcos2（れ′i升）を求BR，lDGl］UNIVERSITYPRESS，2n（1e（1i−め，その総和を求めた．これを全てのホログラ

ti（〕11（1996）

ム画素において計算した．従来の方法による計2）Nils At）ramSO−1 Lightin Flight or tlle

算機ホログラムは，1画素ごとにグレースケー

floIo（liagram：TheColunlbiEggofOptics，

ルの計算を行うので正確な伯を得ることができ

SocietyofPllOtOOpt7ica1（1996）

るが，本研究では補間によりホログラム画像を得たのでその影響が現れたものであると考えられる．
以上の2つのシミュレーションの結果より，本研究が提案する方法で記録物体を再生することができたといえる．提案した方法は，干渉縞が数式で与えられるので，ベクター型で描画できる電子ビーム露光装置で描I七郎こ好適である．さらに，画像をブロック分割して合成する場合において，ホログラムの記録場所を変更しても，直ちに計算できる．

5．結論
本研究では，楕円休軌道を経止lした2焦点間の距離が一定であるという楕l7」の性質を利川し−4−