計測自動制御学会東北支部第163回研究架台（1996．10．18，19）
資料番号163−6

一般的な非線形系に対するモデル追従形制御

TheModelFollowingControISystem

鮎rGeneralNonlinear Systems○田中正行，大久保重職
OMasayukiTanaka，Slligel10riOkubo
山形大学

YalTlagataUniversity
キMワード＝ モデル追従形制御系（ModelFollowillgColltl・OISysteL−1），非線形システム（NonlinearSystem）．
内部状態の有罪性（Boullde（llleSSCollditiollSOfILltel・llalStates），遺伝的丁ルゴリズム（GeneticAlgoritllln）

連絡先：〒g92 山形県米沢市城南4−3＿16
山形大学工学部機械システム工学科大久保研究室田中正行
Tel，＝（0238）26−3246．Fax・：（0238）24−6445．E−majl＝tanah中mip34TO・yZ・yamagata−tL，aC，jp

1． はじめに制御システムである．
よ ＝

本稿では、一般的な非線形系に対するモデル追従形制御系の設計法を考察する。大久保11により

J（諾，可甜 ＝ C二だ＋do（り線形系と非線形系が混在する形式の制御対象に対∬は内部状態、山ま制御入力、訂は出九血（りは有して内部状態が有界な制御系の設計法が開発され罪な外乱である。（1），（2）式た対Lて次のような系た。今回は制御入力も非線形として含まれる一般を作る。これは、最初の制御入力≠を状態に含め、的な非線形制御系を扱う。制御入力を新Lい状態新たな制御入力叫が形式的に線形になるような系に含めることで、設計者が自由に決めることか可に変換したものである。

能な自由パラメータが生成され、それを使うことで内部状態が有罪なモデル追従形制御系が設計可

よ ＝能になることを示す。

立 ＝ A21∬＋4甘酢＋飢〔∬，朋）＋月叫 （4）Allご十A12祝十Jl（∬†祝）〟 ＝ Cユ：＋dq〔り2．制御系の設計
各状態、行列の次数は次のようにする。
制御対象は次式で与える。これは、状態と制御∬∈月n，祝∈針用∈点上，入力の両者について非線形であるような一般的な

月∈月Ixi，C∈月山l，All∈月nXnフA12∈月nXJ，
1【（3）（5）A21∈月ixn，A2コ∈月Ⅲを用いると（11）式の伝達関数表示は次のようになる。

この系は状恰を以下のように採れば、（恥（7）式のようになる。これをぶ1の系と呼ぶことにする。

叫p）y ＝ p叶ト2叫町．＋叫（p）勘＋〃／詭兢（勘）＋か（p）do（り（16）ガ1＝ Al二rl＋月l叫＋ム（∬1）

訂 ＝ Cl∬l＋do（りただし、ここで各ベクトル宙よび行列は次のように与える。

諾l＝［訂柚）＝r・イⅣ（州＝〃．・，爪＝C■1Al月1，l叫≠0（17）［ニ浩三トム（∬1）

ナl（∬1）＝J（諾1）−Allユ：−A12≠〔・†（里謡ユー瑚．州（叫（8〕至＋（拍1〕

J〔判）は一般的な非線形関数である。gl（勘」は非＋（駕崇−A12）（A21叫A22可線形関数の内横条件を満たすように選択される。

＋（㌫（Al）∫−All）

Al＝［三：：三：≡ト月1＝［呈］っcl＝【CD】（9）なお、行列Al，βは全休を内部安定にするように〃，，1ノ！

設計する。p＝d／加としてyは次のようになる。

（18）（C空言辞恥十帥1）（19）である。なお、∫1系の伝達関数表示を（11）式から

ヽ（16）式のように変形Lたのは、非線形関数の敵分〃＝Cl（〆−Al）￣1月1叫＋Cl（〆−Al）￣1J2（勘）＋叫り（All∬＋Alコ可1を使わないためである．つまり、（11）式を用いると（10）次数の高い叫〔p）を用いることになり、それが非よって、gl系の伝達関数表示は次のようになる。

線形関数J2匝1）に係ってきて、長（れ）の微分の項かでてきてLまい設計が不可能になるからである。

β（由y ＝＝ 〃（p）叫＋Ⅳ／（pけ2（れ）王たモデルは次のようにする．
＋刀（p）do〔t）

（11）

諾；n ＝

ここで、伝達関数行列と制御対象の各行列句関係はdrn諾m＋旦。r，m〔り（20）f21）

肌n ＝ C打l∬打I叫p）／叫p）＝Cl（〆−Al）￣1月l，∬mは内部状態、rmは参照入力、訂mは出力である。

叫呵＝C■lα噂（〆−Al），刀（p）＝】〆−All（12）また各ベクトルの次元は次のようにする．
である。ここで諾m∈月nT−1 ，丁−m∈かl〃（p）＝ 〃岬

巾ト2＋爪（p），裾．∈耳（13）肌．．は次のようになる。

叫（p）＝ Clp

叫ト1＋叫1（p）

叫．（p）＝ Clr叫卜押（14）裾l＝＝〔㌦（〆−A．n）￣1月爪rm （22）叫ト2＋〃J舟）（15）

よって、モデルの伝達関数表示は次式で与られる。とLて〃（p），〃／〔p）よりそれぞれ次数の1つ低い〃1（p），〃Jl（p）と、ⅣJ．（JJ）より次数の1つ低い〃Jコtp）β。−（p加l＝ 凡，血）r・．‖（り−2−（23）ここで、伝達関数行列とモデルの各行列の関係はである。r（p），βm（p），Q（p）は安定な多項式で奉り、各多項式の次数には次の関係かある。
〃打l（p）ノⅦm（p）＝ Cm（〆−Am）￣1月mβm（p）＝l〆−Aml∂r Ⅳ（p）＝Jl，∂r竃叫（p）＝JJり〔24）∂riⅣm（p）＝Jm‖

几m一打叫≧2（32〕である。また、外乱do（りは、

rr（r（p））＝1，rr（q（p））＝1，βd〔p）do（f）＝0，∂刀d（p）＝几d∂r（p）＝p≧和d＋Tl＋トmm＋1，（25）

臥．q（p）＝β＋叩m−2を満たすとする。上Id（p）は既知のモニッタな多項（33）

制御入力叫は内部状態を使って表せる。

式であり、外乱のモードを与える。

安定多項式r（p）且，l（p）の多項式済井の開陳式

叫＝（C聾町1恥一帥1）］（34）を次式で与える。
γ三 ＝ −∬1モ1一旦甜−∬2∈2T（p）かm〔p）＝ かd（p）β（p）月（p）＋g（J））（26）

一旦南＋甘m∈l＝ 月∈1＋GllJと出力誤差は次式で与える。

∈2 ＝ fも∈2＋G2即e ＝ y￣訂m（27）∈3 ＝ 昂缶＋C3†月l叫＋以勘）） 〔38）（26），（27）式より、次の関係が成立する。
r（p岬，丁一日〕）e ＝ 0

また次の関係がある。

匝一瑚 ＝lq（p）l（f＝1，2，3）〔39）（28）

ここで、状態空間表示で使われている行列と伝達よって関数行列には次の関係がある。
r（p岬m（p）e ＝ 刀d（p）月（p抽叫ト2凡γヱ
町l（抽）￣1岬d（p）月（p）p

叫ト2一日（p）‡爪＋〃J7（再（月1勘＋ム（勘））1＝∬l（〆一月）￣lG■1（40〕＋即p）y−r（p）Ⅳm〔p）∫・汀l（29）

町1（抽）叫15伽となる。よって、（28）式の関係を使って制御入力＝哉＋∬2（〆一重）￣1Gr2（41）叫の構成ベクトルである現は次のように計算さ
町1（抽）￣l上）d（p）軸）叫2（p）

れる．
＝耳l（〆一鞄）¶1G−3
一町l￠（p）￣1岬d（p）月（p）p叫ト2、l・ ∫−Q（p））叫・甲子

誤莞e（りはゼロに収束するので、制御系を構成す−Ⅳ√lq（p）￣l」〕d（p）月（p）叫コ（p）

る内部状態が有罪であれlど、モデル追従形制御系（月1叫十舟わ））か実現できる。

−ⅣJl（抽）￣1g（p）封＋叫，l
ここで、（34）式の制御入力ー上1＝を使うと（2即式より出力（30）3．大域的有界性の証明．

本章では一般的な非線形系に対するモデル追叫Il町1Q（p）￣1r（p）〃．m（p）r l（t）（31）

従形制御系ですべての内部状態が有罪になる条件−3−−（42）

一を導く。

来す十島（ム（勘）一月1町1

利御系全休の状態方程式はヱを（43）式のようム（勘））＋d。（り（開）

A占ヱ十旦舟（れ）＋dj（り（53）に取れlご（44）式で表される。

（ポ＼打，∈㌻，首）r（43）Aざり月諏（叫一珊至芸崇町1−γ㈲

C．ヱ

〔54）

A8の特性多項式は次式で与えられ安定である。

u王一鞘瑞軒打砕．）1＋刷（44）諾l粧叫 ＝ 長（勘）−β1爪Tlム（勘）l〆−A8】＝ 旧（州21柏）r（押βけl加 （叫（45）lノこ（p）はCl（〆−Al）￣

A8，月．，Cすは以下のようにAl，月1，Cl，且，∬i，彗，Glによって確定的に事ける。d．（りは血（り，訂爪から構1月1の不変零点多項式であり、これが安定になるようにAl，βを選ぷ。
ここで制御系全体の伝達関数∬（p）＝亡1（〆−成されており、有罪な信号である。
Aβ）￣1且が正実であると仮定すると以下の式が成Al−β1月2Cl 一月1月■1

立する。

−Gl且2C1 月−Gl月■lA占G2Cl

O島A丘十Aご島＝−qβ−G3β1且2C■1 −Cユ月1月■1
一月1月壱−β1月■3−Gl月■空−Gl月■ユ且月。＝Cざ，島＞0，仇≧0（46）fち（56）（57）

リヤプノフ関数の候補としてヱの2次形式を扱う。

0−Gユ月1月壱．吊−G3月l∬3r

J

古たヱ（5呂）ニ■rJ㌔ミO（47）

O坑

一三ヱ鳩山㌻紳1）＋ヱrf糊〕〔59）

00

ハU

TJ

二C∫

ここで、車（諾l）について以下の式が成立すると仮定する。

（48）∬拉（勘）≦α−β仲川7

月1（・〃m（り一且ヱ宛（f））

Gl（um（り一月2do（り1d8（り（α≧0，β＞0，T＞0）

（49）

（60）

Gコ（JoG3月11拓l（り一且っdo（亡））すると、以下のような不等式が得られる。

ただし、1′ く −

哨崇月＝凡＋町1）（50）

巨‖2＋α−β‖れ＝1＋掴‖l且Ill椀Ilである。ここで、（50）式において一斗′（∬1）＝0ユmf，l（吼）≦ αl−β川れl】7（αl≧0†β1＞0，7＞0）（51）

ん山Tl（q。）は行列Qぷの最小固有値である。よって、となるシステムを考える。すると、制御系全体の頼ま有罪であるl】卯）・4J。有罪な場合、叫詰りは有状態方程式（44）式は以下のようになり非線形部は罪な非線形関数より、全状態ヱは有罪である。

＃1のみの関数となる。

−4【〔61）4．ガ（p）の正美条件

よって、各パラメータは以下のように決まる。

制御系全体の伝達関数∬（p）か正実伝達関数で〃（p）＝5p＋占，凡・＝5，あるための条件は（56）（折）式に示したか、これにⅣ再）＝【2p2＋軸が＋p 5p＋5トム（勘）＝12∬≡l㍑≡1一触ヨコー30ご≡l現車

▲q

瑞砧瑞堀

▲q＋2・5∬≡．−2芳封＋∬占2＋血町▲4（62）．4

叫＝0・2（5γヱ一九ト1）），

月几∵巧鳥

瑞鞄瑞堀

乱掘瑞咤

ついて解析する。f㌔，仇は以下のように表せる．

叫p）＝p3＋2p2−4p＋5 （71）
1ウ一▲d︼

nl一t

23

ハV

泊r34

封r封r加ハV⊥4∩．

3ハYハU■︹Vに決める．

■ヰハV

0：Q二日ニq1321‖r12Tl柑T14
ロ：Qニ臼二日11（p）同様、以下の3つの多項式も安定になるよう（63）r（p）＝（p＋5）ユ（72）になる。

q（p）＝（p＋6）ユ（7ユ）

4（62）（63）式を使い、（57）式を計井すると次のよう

旦1＝ ∫＋（諸島。G■。

（64）

旦2 ＝ −G訂f坑（叫旦3 ＝ −（諾掘〔66）P‖ ＝ −（寄書‖刀。I（p）＝（p＋5）2（74）

よって、（24）式よりAn．は次のようになる。

九＝［芸∴。］（75）（67）

また、以下のように月汀i，C。−を決めると〃．m（p）はこれらを（62）式に代入し（56）式を計算した式に次のようになる。

対Lて、仇≧0となるようなAl，鳥＞0を遺伝的アルゴリズム（GA）を用いて探索することを考え

月m＝，C，Il＝【5 0】ている。

（76）〃m（♪）＝5（77〕また、（39）式より

5．シミュレーション結果

（7呂）

00

80

尺U

ウ︼

入出力（11＝2，l＝1）の制御対象を考える．

0 1 1∫1＝fち＝

1 0 1

︵U nU

本シミュレーショ：ンでは、次のような2次元1l

一塊＋鴫となる．さらに、

凡

1l＝ ル8lユ：＝

0 0］（G8）

O O

一触≡1＋5叫O n立＝J（∬，・比）＝［；≡三ト（G9）lか決定する。

00Cl＝Ⅰ210 0 GG Oである。（40）〜（42）式より、以下のように各行列

nU nU

エリ︼ 11

ロー1

一〇 2

1Al＝ニl勺p）が安定な多項式になるように決める。

3 C

Gl＝G2＝各行列は次のように決める。これは、（55）式のnU ハU l〝＝C五十舶≠C＝【21】耳1＝ト216 −108 5l，（70）

一5−（80）参考文献

ガ2卜8360・6 −3844・8 −479・4】，

1）大久保 重範：外乱を考慮した非線形系のモデル
追従形制御系の設計，計測自動制御学会論文集．

ガ3＝【0 0 D O O O O 231】，

21−8，792／799（19鮎）且2＝41・6 （飢）2）大久保 重範：零点の安定配置を使った非線形モデ

ル追従形制御系．計測自動制御学会論文集．2昌一8．

参照入力rmは次のようにした。

939／946（1992）

γm ＝ 3sin（り＋4・53）大久保 王範：一般的な非線形系のモデル追従形
ウム酌刷．
制御系．第2回制御理論応用シンポジ（82）

37／4叶1994）

4）SlOkllbo：The ModelFollowing ControISys−telnforthe GeneralNonlinear Systems，PreI）rint
OfSICE 94，527／528（1994）

5）北野 宏明：遺伝的丁ルゴリズム，産業国事（1993〕

3020時間t（sec）

Fig．10utputrespollSeOfl1011）i）leal・mOdelhllow−
1ngCOlltrOIsysteln

6． おわりに状態、制御人力の両者について非線形であるような一般的な非線形制御対象に対しても、内部状態が有罪なモデル追従形制御系の設計が可能であることが確認された。この際、設計パラメータは内部安定になるように決める。ここで内部状態か有罪になるための条件をまとめると以下のようになる．

・C壁掛上月＝叫・（50），〔51）・鴇（p）が安定（55）・（56），（57）の正実条件
・（60）式の内積条件

6