計測自動制御学会東北支部 第 341 回研究集会 (2023.3.23)
資料番号 341-7

分数階微分を用いたダンパーの振動制御
Vibration Control of Dampers Using Fractional Derivative○飯渕広大，魚橋慶子○Koudai Iibuchi，Keiko Uohashi
東北学院大学
Tohoku Gakuin University
キーワード：分数階微分 (Fractional derivative），分数階微積分 (Fractional calculation)，振動（Vibration），最適制御（Optimal control），
連絡先：〒984-8588

宮城県仙台市若林区清水小路 3-1 東北学院大学工学部機械知能工学科

魚橋慶子

E-mail: uohashi@mail.tohoku-gakuin.ac.jp

多くの数学者たちが，これまでに分数階 微積分の１．はじめに定義を提案してきた.2) 3)また，Web of Science に

分数階微積分とは整数階の微分を 1/2 や 1/3 とて Fractional Derivative の発行論文数を調査いった無理数を含めた分数階へと拡張した微分のした結果を Fig.1 に示す.

ことである．従来の整数階微分では，モデルが困難だったものを分数階微積分により,モデル化することで実際の物理的問題の解が与えられることも分かっている．1)
微積分には大きく分けて 2 つの考え方がある．
1 つは物理現象の解析に関連付けた考え方でありもう 1 つは曲線に関連付けた考え方である. 前者
Fig.1 Fractional Derivative の発行論文数の物理現象と関連付けた考え方を用いて,分数階微積分と物理的パラメータの対応関係を考えた場
合，位置の分数階時間微分は位置と速度の中間的

Fig.1 から分数階微分は1990 年代から急速的になパラメータという意味になってしまい,その意研究が盛んになっている. この急増の背景にはコ味が不明瞭である.しかし，後者の考え方を用いる

ン ピュータの発展により，数値解が計算できるよと，2 次関数の分数階微分は 1 次関数の中間的なうになったことや複雑な計算から生じる高コスト曲線を表すということになり,その意味は明瞭とな処理に対応できるようになったことなどが挙げなる．

られる．4)

L‘ Hopital, S.F.Lacroix,J.L.Lagrange など

また,近年では制御工学の分野でも分数階微分-1-の概念を導入した分数階制御の研究が行われていると言われる粘弾性ダンパーモデルを対象して分る．
理由としては,これまで粘弾性体や流体の減衰数階状態方程式を導出する.対象の粘弾性ダンパ特性など，従来の整数階微積分を用いたモデルでーモデルは一般化 Voigt モデルと言われる 1 自由は十分に特性を表現できないモデルも，整数階の度の粘弾性体である．以下に Voigt モデルの図を中間微分である分数階微分を導入することで，よ示す．

り制御対象を厳密にモデル化することが可能なっ

本研究では，1/2，1/3，1/4 階微分の場合についてきている点にあると考えられる．て取り組んだ．ここでは代表として 1/2 階微分のしかし，分数階微分を用いた研究が盛んになって計算式を示す.

いる一方で，分数階微分を知るきっかけとなる基礎的な論文が少なく，一般の研究者にとって馴染みないものになっていると感じたため，本論文では，運動方程式中に分数階項を持ち，分数階微積分の特徴をよく表せると言われている 1 自由度のVoigt モデルの粘弾性ダンパーを対象とし，最適制御を用いて振動の抑制や比較を行う．
また,振動抑制は外部からのエネルギー供給が不必要なパッシブ制御とエネルギー供給を必要とするアクティブ制御に区別できるが, 制御対象にFig.2

よっては多様な要求が課せられるため，パッシブVoigt モデル制御だけでは制御が難しく,アクティブ制御が主運動方程式は次式で表される. 7)

流になっている．そのため,本論文ではアクティブ制御である LQR(Linear Quadratic Regulator)制

3

1[𝐷2 + 2𝜁𝑤𝑛2 𝐷2 + 𝑤𝑛2 𝐷0 + 𝑘] 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡)御 5 6)を採用することにした.

(1)

ここでζと𝑊𝑛 はそれぞれ減衰比と固有振動数であり，𝑢(𝑡)は制御入力である.k=0 とし,分数階２．分数階微分の定義

微分を用いて次のように状態ベクトル𝑥(𝑡)を定義

分数階微分の中でも特に有名な Caputo 微分のする.

定義を示す. 4)

𝑥(𝑡) = [𝑥1 (𝑡) 𝑥2 (𝑡) 𝑥3 (𝑡) 𝑥4 (𝑡)]𝑇𝑓(𝑡) が区間[𝑎, 𝑡]で𝐶𝑛 級関数であるとき，𝑞階123= [𝑥(𝑡) 𝐷 2𝑥(𝑡) 𝐷2 𝑥(𝑡) 𝐷2 𝑥(𝑡)]𝑇微分する Caputo 微分は以下のように定義される。

(2)(1),(2)より分数階状態方程式を導入すると，

𝑡 (𝑡− 𝜏)𝑛−𝑞−1 (𝑛)𝐶 𝑞𝑓 (𝜏)𝑑𝜏.
𝑎𝐷𝑡 𝑓(𝑡) = ∫Γ(𝑛 − 𝑞)
𝑎1𝐷2 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)ただし, 𝑛 = ⌈𝑞⌉であり, 𝑎は開始点を表す.

(3)

また，制御入力は次式で表される。
𝑢(𝑡) = −𝐹𝑥(𝑡)3．最適制御の導出(4)

ここで,𝐹はフィードバックゲイン行列である.

分数階モデルがその特性をよく表現してい次に,分数階状態方程式を整数階に帰着させる-2-

ために(3)式に(5)式を代入して整理すると以上より、繰り返し法で最適フィードバックゲイン𝐹を求める。10)1
𝐷 2𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑙 𝑥(𝑡)(5)

ただし，4．LQR 制御を用いた応答(6)

𝐴𝑐𝑙 = 𝐴 − 𝐵𝐹
1

第 2 章で示した繰り返し法を使用して最適フィと置き，(5)式の両辺に𝐷 2 を作用させると𝐷𝑥(𝑡) = 𝐴2𝑐𝑙 𝑥(𝑡)ードバックゲインを求めた．

(7)次に可制御である行列(𝐴, 𝐵)を持つ(3)式で表以下にζ=0.1,𝑊𝑛 = 3.0とし重み行列を設計しされる制御対象において 2 次の評価関数を考えたときの最適フィードバックゲインの計算結果とる．

その応答を示す．
∞

𝐽 = ∫ [𝑥(𝑡)𝑇 𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢(𝑡)𝑇 𝑅𝑢(𝑡)]𝑑𝑡(8)table.10

最適フィードバックゲイン(8)式を(7)式とリアプノフ方程式を用いて変形すると次の 2 式が得られた．
𝐽＝𝑥(𝑡)𝑇 𝑃𝑥(0)(9)

𝑃𝐴2𝑐𝑙 + (𝐴2𝑐𝑙 )𝑇 𝑃 = −𝑄 − 𝐹 𝑇 𝑅𝐹

(10)

ここでラグランジュ未定乗数法より、(10)を制約条件として式(9)を最小にする𝑃, 𝐹を求める.
未定乗数を行列の形でまとめて表すとラグランジュ関数は次式で表される. 8)
𝐿 = 𝑥(0)𝑇 𝑃𝑥(0) + 𝑡𝑟[𝐾 𝑇 (𝑃𝐴2𝑐𝑙 + (𝐴2𝑐𝑙 )𝑇+𝑄 + 𝐹𝑏𝑇 𝑅𝐹}](11)

また，(11)中の𝐴2𝑐𝑙 を次のように表した．
𝐴2𝑐𝑙 𝑥(𝑡) = (𝐴 − 𝐵𝐹𝑎 )(𝐴 − 𝐵𝐹𝑏 )(12)

𝐹𝑎 には𝐴2𝑐𝑙 の固有値の実部が負となるような値を与え，𝐹𝑏 は変数として扱うこととした．
𝐴𝑐𝑙𝑎 = (𝐴 − 𝐵𝐹𝑎 )と置くと，式(11)は式(12)を用いて式(13)で書き直すことができる
𝐿 = 𝑥(0)𝑇 𝑃𝑥(0) + 𝑡𝑟[𝐾 𝑇 {𝑃𝐴𝑐𝑙𝑎 (𝐴 − 𝐵𝐹𝑏 )+[𝐴𝑐𝑙𝑎 (𝐴 − 𝐵𝐹𝑏 )]𝑇 𝑃 + 𝑄 + 𝐹𝑏𝑇 𝑅𝐹}] (13)Fig.3 1/2 階微分の応答

上式を𝐹𝑏 , 𝑃, 𝐾で微分すると𝑅, 𝑃, 𝐾が対称行列であることから

Fig.3 より LQR 制御によって振動抑制が行われ

𝐹𝑏 = 𝑅 −1 𝐵𝑇 𝐴𝑇𝑐𝑙𝑎 𝑃(13)ていることが分かる．1/3 階微分の場合は第 2 章9)

最後に整理するとリカッチ方程式が導かれる．の 𝐴2𝑐𝑙 , 𝐴𝑐𝑙𝑎 を 𝐴3𝑐𝑙 , (𝐴 − 𝐵𝐹𝑎 )2へ置き換え, 1/4

𝑃𝐴𝑐𝑙𝑎 𝐴 + (𝐴𝑐𝑙𝑎 𝐴)𝑇 𝑃 − 𝑃𝐴𝑐𝑙𝑎 𝐵𝑅 −1 𝐵𝑇 𝐴𝑇𝑐𝑙𝑎 𝑃

階微分の場合は 𝐴4𝑐𝑙 , (𝐴 − 𝐵𝐹𝑎 )3へ置き換える+𝑄 =0と，同様に LQR 制御によって振動抑制が行われ(11)た．
-3-

次に各分数階の比較を行った．結果を Fig.4に示す．

参考文献
1) R.L. Bagley and P. J. Torvik:“A theoretical basis
for the application of fractional calculus toviscoelasticity ”J. of Rheology, Vol. 27, pp. 201210 (1983)
2) K. Nishimoto: “Fractional Calculus:
Integrations and Differentiations of Arbitrary
Order”, Descartes Press, Koriyama,
Japan (1984)

Fig.4 各分数階微分の応答

3) K.B. Oldham and J. Spanier: “The Fractional

各応答の比較では，分数階同士には大きな変化

Calculus”, Academic Press, New York (1974)

が見られなかったが，整数階と比較すると分数階4) 小野寺慧知: “分数階微積分システムのモデリン

微分の方が振動が大きいという結果が得られた．

グとシミュレーション方式”，東京電機大学大学
院博士論文，2018 年度 (2019)

５．結果と今後の課題

5) “最適制御レギュレータ”

本研究では，分数階微分の特徴をよく表せるとhttps://www.flight.t.u-tokyo.ac.jp/いわれている Voigt モデルを対象に，1/2 階と限らない微分階数の分数階状態方程式を導出した．

tsuchiya/Control/28Regulator.pdf (2022/01 閲覧)

また，リアプノフ方程式，ラグランジュ未定数乗

6) 田中幹也，石川昌明，浪花智英: “現代制御の基数法を用いた LQR 制御器を提案した．

礎” 森北出版，pp.71-87(1999)

この制御器を使用し求めた最適フィードバッ

7) 清水信行，飯島正樹: “粘弾性モデルの分数次微クゲインでシミュレーションを行った結果，分数分モデル”，日本機械学会論文集:C 編，62 巻

階微分を利用した LQR 制御でも整数階と同様に604 号，pp.4447-4451 (1996)

最適制御が行えることが分かった．また，各応答

8) 池田富士雄，川田誠一，渡辺敦: “分数次微分シの比較では，一概に分数階を大きくしたからといステムの最適レギュレータ設計”，: 計測自動制って振動が抑制されるわけではないことが分かっ

御学会論文集，vol.37,No.9,pp.856-861 (2001)

たと同時に，整数階微分と分数階微分を比較する

9) 北本卓也: “代数 Riccati 方程式の解法についと，分数階微分同士を比較したときに比べて振動て”，数理解析研究所講究録，vol.1514,pp.29-32の差が大きくなったことから，整数の中間である(2006)

分数という概念は厳密なモデルを作成するのにあ

10) 武下晃大，黒田雅治，川口夏樹: “非整数微分をたって改めて重要なことであるということが分か用いた振動抑制”，日本機械学会 Dynamics

った．

and Design Conference 2020 講演論文集(2020)-4-