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§10.

ガロア拡大

定義 10.1 分離拡大かつ正規拡大である体の拡大をガロア拡大という． L/K がガロア拡大のとき，Aut(L/K) をとくに Gal(L/K) と表し，L/K のガロア群，または L の K 上のガロア群という．
定理 10.2

有限次拡大 L/K に対して，次は同値である．

(i) L/K はガロアである．
(ii) L は K 上のある分離多項式の K 上の最小分解体である．
(iii) |Aut(L/K)| = [L : K] が成り立つ．
証明 (i)⇒(ii): 仮定 (i) より，とくに L/K は有限次分離拡大，よって定理 8.7 より，ある α ∈ L を用いて L = K(α) とかける． α は K 上分離的だからその最小多項式
f (X) ∈ K[X] は分離多項式である． f (X) の K 上の最小分解体は K(Conj(α, K)) だが，L/K は正規だから Conj(α, K) ⊂ L，よって，

L = K(α) ⊂ K(Conj(α, K)) ⊂ Lから (ii) が得られる．
(ii)⇒(i): L が K 上の分離多項式 f (X) の K 上の最小分解体であるとする． このとき，定理 9.5 より L/K は正規拡大である． 一方，f (X) の根すべてを αi (i = 1, . . . , r) とすれば，L = K(α1 , . . . , αr ) と表されるが，各 αi は K 上分離的なので，命題 8.12 および定理 8.11 を繰り返し適用すれば，L/K が分離的であることが導かれる．
(i)⇔(iii): （一般的に証明するのは少し面倒なので，L/K が単純拡大，すなわち L = K(α)の場合にのみ示す．
） 定理 6.14 より，一般に|Aut(K(α)/K)| ≤ |Conj(α, K)| ≤ [K(α) : K]が成り立っている． ここで，定理 9.7 より，はじめの不等式が等式になるためには K(α)/Kが正規であることが必要十分条件である． さらに，定理 8.4 および命題 8.10 から，あとの不等式が等式になるための必要十分条件は K(α)/K が分離拡大であることがわかる． これらから，(i)，(iii) の同値性が導かれる．

定義 10.3□

L を体とする． L からある体への単射準同型写像の集合 A に対して，
LA = { x ∈ L | 任意の σ ∈ A に対して σ(x) = x }を A の不変体という．

A の元が単射準同型写像であることを用いれば，不変体 LA は L の部分体であることが確かめられる． 次の補題は，不変体の定義からすぐに示すことができる．

38
補題 10.4

L/K を体の拡大とする．

(1) L/K の任意の中間体 M に対して，M ⊂ LAut(L/M ) が成り立つ．
(2) Aut(L/K) の任意の部分群 H に対して，H ⊂ Aut(L/LH ) が成り立つ．
定理 10.5 代数拡大 L/K がガロアであるためには，K = LAut(L/K) であることが必要十分である．
証明 必要性: M = LAut(L/K) とおくと，前補題 (1) から K ⊂ M である． そこで，

L/K がガロア，すなわち分離的かつ正規であることを仮定して，M ⊂ K を導く． そのために α ∈ M を任意にとる． M の定義から，任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して σ(α) = αであるが，L/K は正規なので，定理 9.1 の性質 (iii) を用いれば，Conj(α, K) = {α} が得られる． さらに，α は K 上分離的だから，定理 8.4 より[K(α) : K] = |Conj(α, K)| = 1,

∴ K(α) = K

よって α ∈ K となるから，M ⊂ K が導かれた．
十分性: K = LAut(L/K) を仮定し，任意の α ∈ L に対して，(♠)

Conj(α, K) ⊂ L|Conj(α, K)| = [K(α) : K],を確かめればよい． なぜなら，前者の等式と定理 8.4 および命題 8.10 から L/K の分離性が，後者の包含関係と定理 9.1 の性質 (iv) から L/K の正規性が導かれるからである．
いま，
Bα = { σ(α) | σ ∈ Aut(L/K) }とおけば，Bα ⊂ L であり，系 6.13 より(♥)
Bα ⊂ σ(α) | σ ∈ Aut(K/K)= Conj(α, K),

よって，

(♦)

|Bα | ≤ |Conj(α, K)| ≤ [K(α) : K]が成り立つ． とくに，Bα は有限集合であり，L 上の多項式
Y(X − β)fα (X) =β∈Bαを定義することができる． ここで，任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して
YY(X − γ)fασ (X) =(X − σ(β)) =β∈Bαγ∈σ(Bα )であるが，σ(Bα ) = Bα に注意すれば，fασ (X) = fα (X) であることがわかる． すなわち
fα (X) の係数は LAut(L/K) = K に属する; fα (X) ∈ K[X]． さらに fα (α) = 0 である
から，補題 3.5 より[K(α) : K] ≤ deg fα (X) = |Bα | .
よって，(♥) の包含関係と (♦) の不等号はすべて等号に置き換えられ，Conj(α, K) = Bα ⊂ L,すなわち (♠) が確かめられた．

|Conj(α, K)| = [K(α) : K],□39
系 10.6 L/K をガロア拡大としそのガロア群を G とする． M を L/K の中間体とすると，L/M はガロア拡大でそのガロア群 Gal(L/M ) は G の部分群であり，さらに LGal(L/M ) = M が成り立つ．
証明 L/K の分離性から L/M が分離的であること（定理 8.11），また，L/K の正規性から L/M が正規拡大であること（定理 9.12）がわかるから，L/M はガロア拡大である．
後半は前定理から導かれる．

□定理 10.7
L/K を有限次ガロア拡大としそのガロア群を G とする． H をGal(L/K) の部分群とすると，LH は L/K の中間体，したがって L/LH はガロア拡大であり，さらに Gal(L/LH ) = H が成り立つ．
証明 M = LH とおく． L/M がガロア拡大であることは，系 10.6 で示されている． 補
題 10.4 (2) より H ⊂ Gal(L/M ) であり，このことと定理 10.2 を用いて|H| ≤ |Gal(L/M )| = |Aut(L/M )| = [L : M ].
一方，定理 8.7 より，L = M(α) をみたす α ∈ L がとれる． そこで，L 上の多項式
Y
gα (X) =(X − σ(α))σ∈Hを考えると，任意の σ ∈ H に対して gασ (X) = gα (X) であるから，gα (X) の係数はLH = M に属する，すなわち gα (X) ∈ M [X]． さらに gα (α) = 0 なので[L : M ] ≤ deg gα (X) = |H| .
したがって，上の不等式と合わせて |H| = |Gal(L/M )| であり，結局 H = Gal(L/M ) を得る．

□

有限次ガロア拡大 L/K に対して，その定理 10.8 (ガロア理論の基本定理)
ガロア群を G とする． ML/K を L/K の中間体全体の集合，HG を G の部分群全体の集合とする;

ML/K = { M | M は L/K の中間体 } ,HG = { H | H は G の部分群 } .

このとき，二つの写像

ML/K −→ HG ,M 7→ Gal(L/M )HG −→ ML/K ,H 7→ LH

は互いに逆の全単射である．

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証明 写像に名前を付けて，Φ : ML/K → HG および Ψ : HG −→ ML/K とする． このとき，任意の M ∈ ML/K )，H ∈ HG に対して

Ψ(Φ(M )) = M,Φ(Ψ(H)) = H

を示せばよいが，これらはそれぞれLGal(L/M ) = M,

Gal(L/LH ) = Hのことであり，系 10.6，定理 10.7 ですでに示されている．

定義 10.9□

有限次ガロア拡大 L/K に対してそのガロア群を G とする;

G = Gal(L/K).
L/K の中間体 M と G の部分群 H の間に，
H = Gal(L/M )あるいは，これと同値な

M = LHの関係があるとき，M と H は互いに対応するという． この対応をガロア対応という． とくに K は G に対応し，L は idL (= L 上の恒等写像) だけを元にもつ群（単位群）に対応する． 今後，単位群を簡単に {1} と略記することにする．

L s
M s
K s
定義 10.10s {1}←→sHsG

L/K をガロア拡大，そのガロア群を G とする．

(1) G が巡回群のとき，L/K を巡回拡大という．
(2) G がアーベル群のとき，L/K をアーベル拡大という．
(3) G が可解群のとき，L/K を可解拡大という．
(4) G が中野群のとき，L/K を中野拡大という（ジョークです！ごめん）．
例 10.11(1) 素数次ガロア拡大は巡回拡大である． なぜなら，素数位数の有限群は巡回群だから．
(2) 次数 5 以下のガロア拡大はアーベル拡大である． なぜなら，位数が 5 以下の有限群はすべてアーベル群だから．
(3) 次数 60 未満のガロア拡大は可解拡大である． なぜなら，位数が 60 未満の有限群はすべて可解群だから．