Rentabilités d’actifs et fluctuations économiques
Une perspective d’équilibre général dynamique et stochastique∗
Kevin E. Beaubrun-Diant

Julien Matheron†

S.D.Fi - EconomiXService de Recherche en économie et finance

Université Paris Dauphine

DGEI—DIR, Banque de France

9 novembre 2006

Résumé
Cette revue de la littérature présente les principaux outils et résultats de la recherche situant à l’intersection de la finance et de la macroéconomie. L’ambition de cette littérature est
de fournir une analyse conjointe du cycle économique et des fluctuations des prix d’actifs financiers. Cet article adopte cette perspective et propose une analyse critique des mécanismesde modélisation à prendre en considération dans un modèle DSGE afin que celui-ci soit compatible avec les faits stylisés des rentabilités des actifs financiers sans pour autant sacrifier
aux faits du cycle économique.

Mots-clés : Fluctuations économiques, Prime de risque des actions, Formation d’habitudes, coût d’ajustement.

Classification : JEL : E10, E20, G12.

∗

Nous remercions J.P Laﬀargue ainsi qu’un rapporteur pour leurs remarques et suggestions. Les vues expriméesdans cet article sont celles des auteurs et ne reflètent nécessairement celles de la Banque de France.
†
Correspondance : Banque de France, DGEI-DIR, Service de recherche en économie et finance (41-1391), 31
Rue Croix des Petits-Champs, 75049 Paris Cedex 01, France. Tel : 33-1-42-92-29-97, Fax : 33-1-42-92-62-92.
Courriel : julien.matheron@banque-france.fr.

1

1

Introduction
Cette revue de la littérature présente les principaux outils et résultats de la recherche situantà l’intersection de la finance et de la macroéconomie. Cette dernière s’appuie sur les modèlesd’équilibre général intertemporels et stochastiques (DSGE). L’ambition de cette littérature est defournir une analyse conjointe du cycle économique et des fluctuations des prix d’actifs financiers.
Ce programme de recherche est relativement récent ; jusqu’alors, finance et macroéconomie secotoyaient sans vraiment se croiser.
En finance, la théorie de l’évaluation des actifs tente d’expliquer le prix d’un droit à unpaiement incertain. A la suite de Lucas (1978), le cadre d’équilibre général en économie dedotations s’est imposé comme un environnement naturel pour modéliser ces prix comme desprix d’équilibre1 . Dans cette approche, le modélisateur ignore sciemment les déterminants de la
production et de la consommation. Ces dernières sont prises comme données, et l’on cherche à
en déduire des implications relatives aux prix des actifs financiers. Parallèlement à ces travaux,
se développe en macroéconomie, un programme de recherche initié par Kydland et Prescott(1982)2 . Il a pour objectif de fournir une explication théorique aux fluctuations économiquesréelles. Ces analyses reposent sur la construction et la simulation de modèles dynamiques etstochastiques d’équilibre général (DSGE). Dans ce programme de recherche, l’accent est mis surles fluctuations de l’emploi, de la production, de la consommation et de l’investissement. En
revanche, les implications en termes de prix d’actifs sont reléguées au second plan.
Cette vision dichotomique est très certainement regrettable. En eﬀet, les enseignements dela théorie de l’évaluation des actifs financiers permettent une meilleure compréhension de la
macroéconomie moderne. En premier lieu, l’existence d’une prime de risque importante sur lesactions —ou d’une diﬀérence de volatilité entre la rentabilité des actions et celle d’une obligationà trois mois— signifie que les tentatives de relier l’investissement et le taux d’intérêt sont vaines,
puisque l’essentiel des variations du coût du capital résulte de la prime de risque. En second
lieu, les modèles macroéconomiques standards prédisent, d’après Lucas (1987), que les agents ne
se soucient guère des fluctuations conjoncturelles. Le comportement des prix d’actifs suggère lecontraire, puisque les mécanismes économiques responsables de l’existence d’une prime de risque1

Il convient de ne pas confondre les modèles en économie de dotations et les modèles en équilibre partiel. Dansles modèles en économie de dotations, tous les prix de marché sont des variables endogènes, ce qui leur confèreun statut de modèles d’équilibre général.
2
Citons également les contributions majeures de Long et Plosser (1983), Hansen (1985), Prescott (1986) et
King, Plosser, Rebelo (1988 a-b).

2

importante sur les actifs risqués sont susceptibles d’être identiques aux mécanismes responsables
du coût en bien-être des fluctuations.
Ces considérations ont été ignorées par les théoriciens des fluctuations conjoncturelles jusqu’aumilieu des années 90, où s’est développée une littérature, proposant d’intégrer les prix d’actifs
à l’analyse du cycle économique3 . Les progrès considérables réalisés sur les explications descomportements cycliques des principales variables macroéconomiques justifient l’élargissement
aux faits stylisés des prix d’actifs. L’évaluation d’actifs en équilibre général avec production
dynamique constitue une véritable avancée : l’endogénéisation de la consommation et de la formation des dividendes autorise une modélisation plus réaliste de l’environnement économiqueque le cadre d’économie de dotations. Ceci vaut, en particulier, pour la modélisation du secteur
productif et du processus d’accumulation de capital physique.
Cet article adopte cette perspective et propose une analyse critique des mécanismes demodélisation à prendre en considération dans un modèle DSGE afin que celui-ci soit compatible avec les faits stylisés des rentabilités des actifs financiers sans pour autant sacrifier aux
faits du cycle économique. Les premières tentatives d’intégration ont fait émerger une forme
d’arbitrage entre l’explication des faits du cycle et l’explication des faits des prix d’actifs4 . L’objectif de cet article est de formuler, dans un cadre théorique unifié, ces diﬀérentes propositions
de modélisation afin d’en évaluer les performances relatives à l’aune des faits du cycle et desrentabilités d’actifs.
Dans notre revue de la littérature, nous portons une attention particulière à deux faits
stylisés relatifs aux actifs financiers : l’existence d’un fort écart moyen, observé sur donnéesaméricaines, entre les rentabilités des actifs risqués et des actifs non risqués ; le faible niveau
du taux sans risque. Mehra et Prescott (1985) mettent en évidence l’incapacité du modèle deLucas (1978) à reproduire le premier fait, pour des valeurs vraisemblables de l’aversion pourle risque. Weil (1989), montre l’incapacité du même modèle à reproduire le deuxième fait. Cesdeux écueils rencontrés par le modèle de base d’évaluation des actifs financiers ont constitué lepoint de départ d’une volumineuse littérature. L’objectif de cette dernière a été de proposer desmodifications du cadre d’analyse permettant d’échapper à ces deux diﬃcultés. Pour l’essentiel,cette littérature s’est développée dans un cadre d’économie d’échange et a proposé d’amenderla structure des préférences retenue dans le modèle de base.
3
4

On peut citer Boldrin, Christiano et Fisher (1995, 1997, 2001), Rouwenhorst (1995), Jermann (1998).
Le lecteur peut se référer aux contributions de Boldrin, Christiano et Fisher (1995, 2001), Rouwenhorst (1995),

Jermann (1998), Lettau et Uhlig (2000, 2002), Lettau (2003), Gomes,Yaron et Zhang (2003).

3

Cette idée est initiée par Shiller (1982), Hansen et Jagannathan (1991), et Cochrane etHansen (1992), qui ont relié l’énigme de la prime de risque à la volatilité du taux marginal desubstitution intertemporelle (ou facteur d’escompte stochastique) de l’investisseur représentatif.
En eﬀet, tout mécanisme permettant d’accroı̂tre la volatilité conditionnelle du facteur d’escompte
stochastique est une solution potentielle de l’énigme de la prime de risque dans le cadre d’équilibrede dotations à la Lucas (1978). L’objectif consiste donc à engendrer de la volatilité du facteurd’escompte stochastique en abandonnant l’hypothèse de séparabilité des préférences.
Une première approche envisage la non-séparabilité entre les états de nature (Epstein et Zin[1989, 1991], Weil [1989, 1991]). La particularité de cette structure de préférences est d’adopter
une formulation récursive de l’utilité généralisant le cadre standard. Cette dernière est spécifiéecomme une fonction iso-élastique de la consommation courante et de l’utilité future. L’attrait majeur des préférences non-séparables entre les états de la nature est de rompre la réciprocité entre
le coeﬃcient d’aversion pour le risque et l’élasticité de substitution intertemporelle. Une alternative à l’approche précédente consiste à envisager la non-séparabilité temporelle des préférences.
La formation des habitudes de consommation en est l’exemple le plus célèbre (Abel [1990, 1999],
Constantinides [1990], Ryder et Heal [1973], Sundaresan [1989] et Heaton [1995], Boldrin Christiano et Fisher [1995, 1997], Campbell et Cochrane [1999]). La formation des habitudes impliqueque l’utilité marginale de la consommation de demain intègre l’eﬀet positif de la consommationcourante. En reliant les consommations passées, courantes et futures, ce mécanisme rend l’agent
beaucoup plus adverse à l’égard du risque dans les mauvais états de la nature que dans les bonsétats. Comme la résolution de l’énigme de la prime de risque requiert une aversion relative pourle risque élevée, il n’est pas surprenant que les préférences intégrant la formation d’habitudes
de consommation constituent un véritable progrès dans l’explication de la prime de risque desactions.
Les résultats obtenus grâce à la généralisation des préférences constituent une première étapenécessaire. En revanche, force est de constater que le cadre d’analyse d’équilibre de dotations,qui laisse ouverte la question de la détermination de la consommation et des dividendes, repose
sur des spécifications exogènes et non pas sur des comportements optimisateurs micro-fondés.
De plus, la détermination de l’investissement et les eﬀets dynamiques de l’accumulation ducapital physique sur les prix d’actifs sont par construction absents de ce type de modèles5 . Plus
5

Lettau (2003) montre que l’eﬀet d’un choc exogène sur la rentabilité d’un actifs peut être décomposé en un eﬀetdirect — dû au choc lui-même — et en un eﬀet indirect — dû à la propagation des eﬀets de ce choc par l’accumulation
du capital physique. Selon l’auteur, le second eﬀet est crucial dans la compréhension des mécanismes théoriques4fondamentalement, Boldrin Christiano et Fisher (1995, 1997) (BCF dans la suite) analysent
pourquoi, dans un cadre d’équilibre de dotations, la formation des habitudes permet de reproduire
la prime de risque et le taux sans risque pour de faibles valeurs de l’aversion pour le risque.
Ils identifient deux canaux aﬀectant l’aptitude du modèle à engendrer une prime de risquesignificative. Le premier, baptisé le ”canal de la concavité”, est dû à la présence des habitudes
de consommation. Le second, appelé le ”canal du gain en capital”, est un sous-produit du cadred’économie d’échange pure. Dans cet environnement, le stock de capital est fixe. Dès lors, lesvariations de la demande de capital induisent de fortes variations du prix du capital (ou q de
Tobin) entre les diﬀérents états de la nature. De telles variations entraı̂nent d’importants gains
en capital dans les états où la consommation est élevée (et respectivement faibles en périodes
de basse consommation). L’analyse de Boldrin Christiano et Fisher (1995, 1997) révèle que lesgains en capital expliquent 90% de la prime de risque moyenne théorique. De ce point de vue,le succès relatif des modèles d’équilibre de dotations est en quelque sorte fortuit : les gains en
capital émergent uniquement à cause de la fixité de l’oﬀre de capital — imposée par construction.
Paradoxalement, alors que le canal de la concavité a été l’objet d’une attention quasi exclusive
du programme de recherche basé sur la généralisation des préférences, ce canal n’explique que
10% de la prime de risque théorique.
En adoptant la perspective d’équilibre général de production, nous montrons comment lalittérature a tenté de dépasser les principales limites théoriques précédentes. Le modèle DSGE
intègre un véritable secteur productif et le mécanisme des gains en capital peut être modélisé
de manière explicite. Néanmoins, l’élaboration d’un modèle capable d’expliquer conjointement
les fluctuations économiques et des rentabilités d’actifs n’est pas une tâche aussi aisée qu’il n’yparaı̂t. L’analyse conjointe des faits du cycle économique et des prix d’actifs constitue un défi
supplémentaire pour la modélisation en équilibre général intertemporel et stochastique. Cette
dernière, en endogénéisant les choix de consommation et la formation des dividendes, risquede rencontrer plus d’écueils que la modélisation en équilibre de dotations. Comme le soulignent Danthine, Donaldson et Mehra (1992) et Rouwenhorst (1995), dans le cas des préférences
standards, l’accroissement de l’aversion pour le risque provoque une dynamique de plus en plus
lissée de la consommation, laissant inchangée la volatilité conditionnelle du facteur d’actualisation stochastique. Ce lissage intertemporel est d’autant plus prononcé qu’il se réalise sans aucun
coût. Ce constat nous conduit, dans le cas de l’économie de production, à définir un premierà l’oeuvre pour reproduire la prime de risque.

5élément indispensable permettant d’accroı̂tre la volatilité conditionnelle du taux marginal desubstitution : (i) la formation des habitudes consommation. Une seconde diﬃculté inhérente àla structure DSGE doit être soulignée. L’oﬀre de capital n’étant plus fixe, il est crucial d’introduire (ii) un mécanisme permettant d’engendrer de la volatilité du gain en capital. En eﬀet, cedernier constitue la composante essentielle de la volatilité de la rentabilité de l’actif risqué. La
volatilité des gains en capital — et par extension la volatilité de la rentabilité de l’actif risqué—peut être engendrée par tout mécanisme réduisant l’élasticité de l’oﬀre de capital.
Ces considérations motivent la démarche graduelle adoptée dans cet article. Nous prenonscomme point de départ le modèle néo-classique de base — dépourvu de (i) et (ii) — puis nous
y introduisons (i) et modélisons (ii) sous la forme de coûts d’ajustement sur le capital. Nous
pouvons ainsi réévaluer l’apport de Jermann (1998) qui parvient à reproduire la prime de risquedes actions observées tout en évaluant la capacité de son modèle à expliquer les principaux faits
des fluctuations économiques. Conformément à la critique de BCF (1999), nous introduisonsensuite le comportement d’oﬀre de travail des ménages, supposée fixe jusque-là. L’objectif est
de compléter la description de l’ensemble des fluctuations en élargissant les faits au marché dutravail. Ce faisant, nous montrons que le modèle perd toutes ses propriétés explicatives. Après
avoir détaillé les raisons d’un tel échec, nous explorons deux extensions, proposées par BCF(1999, 2001), permettant de dépasser ces limites.
La suite de l’article s’organise comme suit. La Section 2 présente les principaux faits stylisés et
les énigmes empiriques qui en découlent. La Section 3 introduit l’évaluation des actifs financiersen équilibre général, dans le cas particulier d’une économie de dotations. Ces outils sont mobilisésdans la suite de l’article, notamment à la Section 4 qui étend l’évaluation des actifs financiers àl’équilibre général de production. Nous y analysons les performances respectives du modèle néoclassique et du modèle de Jermann. La section 5 propose deux extensions permettant de dépasser
les limites du modèle de Jermann lorsque l’oﬀre de travail est variable : la prédétermination desheures et le modèle bi-sectoriel de BCF (2001). La dernière section conclut en présentant quelques
pistes de recherche à explorer.

2

Faits stylisés
L’objectif de cette section est de proposer une caractérisation empirique du comportement cy-

clique des variables économiques et financières. Afin de faciliter la compraison avec la littérature,6

nous utilisons des données américaines, sur la période 1948(I)—1996(III)6 . Ce faisant, nousélaborons un ensemble de faits stylisés robustes et homogènes. Nous mettons en évidence, troisénigmes empiriques particulièrement importantes en macroéconomie.
Comme dans la littérature, les séries macroéconomiques sont préalablement passées au filtre“Hodrick-Prescott“ (HP) afin de ne préserver que la composante cyclique de la série brute7 . Les
données financières, quant à elles, ne sont pas filtrées. Les résultats sont reportés dans le tableau
1. Nous calculons la volatilité des composantes cycliques des logarithmes du produit (ŷt ), de laconsommation (ĉt ), de l’investissement (x̂t ) et des heures travaillées (n̂t ). Nous caractérisons les
propriétés de corrélation de l’emploi, de la consommation et de l’investissement avec la produit,ainsi que les propriétés d’autocorrélation de ces variables. Nous calculons aussi l’autocorrélation
des taux de croissance du produit (∆yt ) et de la consommation (∆ct ). Enfin, nous caractérisonsles niveaux moyens du taux sans risque et du taux risqué, ainsi que leurs volatilités. Tous lesmoments reportés ci-dessous sont calculés par la méthode généralisée des moments, en utilisantune fenêtre de Bartlett avec 4 retards. Les données relatives aux rentabilités de l’actif risqué etde l’actif sans risque sont reportées dans le graphique 1.
L’analyse du tableau 1 révèle les caractéristiques suivantes :1. La consommation est particulièrement lisse et moins volatile que le produit.
2. L’investissement fluctue beaucoup plus que le produit.
3. Les heures totales travaillées sont presqu’aussi volatiles que le produit.
6

Les données sont décrites en annexe. Pour des comparaisons internationales voir Campbell (1999). La plupart

des pays de l’OCDE y apparaissent caractérisés par une importante prime de risque empirique. Pour une application sur données françaises, voir Epaulard et Pommeret (2001). Des calculs alternatifs de la prime de risqueproposés par Jagannathan et alii (2001) suggèrent que cette dernière pourrait être beaucoup plus faible que ne lelaisse entendre Campbell (1999). Nous nous en tenons à la définition proposée par ce dernier.
7
L’étude des fluctuations économiques pose fondamentalement le problème de la distinction des caractéristiques
se rapportant aux fluctuations économiques, de celles qui se rapportent aux mouvements de long terme dans lesdonnées. Quelle que soit la méthodologie d’extraction employée, cette distinction revient toujours à une définition
arbitraire de la composante tendancielle des données. Dans cet article, pour faciliter les comparaisons avec lesrésultats de la littérature, nous adoptons le filtre HP. Ce dernier définit la composante tendancielle ytT de yt
comme la solution du problème de minimisation
N
[
T
T
min
{(yt − ytT )2 + λ[(yt+1− ytT ) − (ytT − yt−1)]2 }.
T Ny{ t }t=0 t=1

Pour les données trimestrielles, il est commun, comme nous le faisons, de fixer λ = 1600.

7

Tableau 1. Faits Stylisés
I. variables économiquesσ (ŷt )2.35(0.21)σ (ĉt ) /σ (ŷt )0.36(0.02)σ (x̂t ) /σ (ŷt )3.04(0.16)σ (n̂t ) /σ (ŷt )0.83(0.04)

corr (ŷt , ĉt )0.81(0.17)

corr (ŷt , x̂t )0.88(0.20)

corr (ŷt , n̂t )0.87(0.19)

corr (ŷt , ŷt−1 )0.84(0.20)

corr (ĉt , ĉt−1 )0.83(0.18)

corr (x̂t , x̂t−1 )0.81(0.23)

corr (n̂t , n̂t−1 )0.89(0.22)

corr (∆yt , ∆yt−1 )corr (∆ct , ∆ct−1 )0.34(0.07)

0.21(0.09)

II. variables financières
¡ ¢
E Rf

1.45

(0.41)E (Re )¢¡E Re − Rf
¡ ¢
σ Rf

8.02
6.57

(2.37)

1.44(0.70)σ (Re )e

15.62
(7.12)f

E(R −R )σ(Re )

0.42

Notes : les symboles σ(x) et corr(x, y) désignent l’écarttype de x et le corrélation entre x et y, respectivement.

8

20

10

0

−10

−20

−30
Rentabilité d’un portefeuille pondéré du NYSE/AMEX (Campbell [1999])
Rentabilité des bons du Trésor à 3 mois

−40

1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

Fig. 1 — Evolution trimestrielle des rentabilités réelles des actifs risqué et sans risque américains,1948(1)-1996(3).

4. Les principales composantes du produit sont procycliques : l’investissement et la consommation exhibent des corrélations contemporaines élevées avec le produit.
8. Les heures totales travaillées apparaissent fortement corrélées avec le produit agrégé.
9. L’ensemble des variables macroéconomiques passées au filtre HP présentent une autocorrélation d’ordre 1 relativement élevée. C’est également le cas pour le taux de croissancetrimestriel du produit et de la consommation, dont les autocorrélations d’ordre 1 sont del’ordre de 0.3 et de 0.2, respectivement.
Ces caractéristiques constituent l’ensemble minimal de faits stylisés qu’un modèles DSGE
devrait être capable de reproduire. En ce qui concerne les prix d’actifs, l’analyse du tableau 1
montre que :1. La rentabilité réelle moyenne et annualisée des actions américaines est élevée (environ 8%).
2. Le taux d’intérêt sans risque réel est relativement bas (1.45% par an).
3. La rentabilité réelle des actions est très volatile ; son écart-type annualisé est d’environ
915%.
4. Le taux d’intérêt réel sans risque est beaucoup moins volatil. L’écart-type annualisé de larentabilité réelle ex-post des bons du trésor à 3 mois est d’environ 1.4%.
Comme l’indique Campbell (1999), les faits stylisés des prix d’actifs soulèvent plusieurs
interrogations importantes :1. Pourquoi la rentabilité réelle des actions est-elle si élevée par rapport au taux d’intérêt
réel moyen de court terme ?
2. Pourquoi le taux d’intérêt réel moyen de court terme est-il si faible ?
3. Pourquoi la volatilité de la rentabilité des actions est-elle si élevée ?
L’”énigme de la prime de risque des actions”, identifiée par Mehra et Prescott (1985), illustrent l’incapacité du modèle standard de choix intertemporels à reproduire l’écart significatif derentabilité entre un actif risqué et un actif sans risque. Dans un modèle standard d’évaluationd’actifs financiers basée sur la consommation (Lucas [1978], Grossman et Shiller [1981], Hansen
et Singleton [1983]), la quantité de risque sur un marché d’actions est mesurée par la covariance entre l’excès de rentabilité des actions et le taux de croissance de la consommation. Le
prix du risque est représenté par le coeﬃcient d’aversion relative pour le risque de l’investisseur
représentatif. Le niveau élevé de la rentabilité des actions associé au faible niveau du taux sansrisque, impliquent une prime de risque moyenne des actions élevée. En revanche, l’évolution lisséede la consommation rend faible la covariance entre la rentabilité des actions et la croissance dela consommation. Par conséquent, la prime de risque des actions ne peut être obtenue que grâceà des niveaux irréalistes du coeﬃcient d’aversion pour le risque.
Les investisseurs adverses au risque, sont également fortement incités à transférer de la richesse
des périodes caractérisées par un rythme élevé de croissance de la consommation vers des périodes
de croissance plus faible afin d’homogénéiser la croissance de la consommation dans le temps(aversion pour la substitution intertemporelle). Etant donnée la croissance régulière et soutenuede la consommation dans le temps, une aversion élevée pour le risque chez les investisseurs entraı̂ne que ceux-ci voudront emprunter pour réduire la diﬀérence entre la consommation présente
et la consommation future (aversion à l’égard du risque), créant ainsi une forte demande de capital. Afin de rendre compatible ce comportement avec les faibles taux d’intérêt observés, il fautalors supposer que les investisseurs sont extrêmement patients. Ceci revient à supposer une structure de préférences telle que la consommation future est autant valorisée que la consommation10

présente, ou encore supposer qu’ils possèdent un taux de préférence pour le présent quasimentnul voire négatif. C’est l’énigme du taux sans risque identifiée par Weil (1989).
L’”énigme de la volatilité de la rentabilité des actions” est à relier à l’inaptitude des modèlesstandards de fluctuations conjoncturelles à reproduire cet aspect des données. A titre d’exemple, le modèle de Prescott (1986) implique une très faible volatilité des rentabilités d’actifs. En
eﬀet, dans ce type de modèle, le taux de rendement de l’actifs risqué, est égal à la productivité
marginale du capital. Les sources principales de volatilité de ce dernier, sont les chocs technologiques et les changements dans la quantité de capital. Ces deux quantités sont faiblement
variables lorsque le modèle est étalonné sur données américaines. En outre, le capital est transformable en bien de consommation sans aucun coût (du fait d’une loi d’accumulation linéaire
du capital physique). Par conséquent, le prix unitaire du capital est toujours fixé à l’unité,
contribuant à la stabilité excessive de la rentabilité d’actifs risqués.
Les énigmes empiriques retenues sont la preuve que certaines caractéristiques fondamentales
du fonctionnement de l’économie échappent au modèle standard. L’énigme du taux sans risquereprésente l’étendue de notre ignorance sur les déterminants du comportement d’épargne desagents économiques : elle traduit l’incapacité des économistes à expliquer pourquoi les agentsépargnent, même à un taux aussi bas. De même, l’énigme de la prime de risque, apparaı̂t commela preuve de l’incapacité des économistes à expliquer pourquoi les agents sont si adverses à l’égard
du risque incorporé dans les rentabilités d’actions. Comme le soulignent Atkeson et Phelan(1994), sans la connaissance de ces mécanismes nous ne pouvons espérer répondre à la questionposée par Lucas (1987) sur l’importance du coût en bien-être des fluctuations conjoncturelles
de la consommation. Enfin, les énigmes de prix d’actifs sont particulièrement robustes. Dans lecadre du paradigme de l’agent représentatif, elles reposent sur trois hypothèses : (i) les agentsont des fonctions d’utilité iso-élastiques ; (ii) les marchés sont supposés complets ; (iii) il n’y apas de coûts de transaction sur ces marchés.
Les propositions théoriques de résolution des énigmes de prix d’actifs vont explorer lesrésultats obtenus en abandonnant l’une ou l’autre de ces hypothèses. Dans la suite, nous nousintéressons aux développements conservant l’hypothèse de marchés complets mais relâchant cellede préférences iso-élastiques. Nous choisissons de préserver les hypothèses de marchés complets
et d’absence d’imperfections sur le marché des actifs afin d’évaluer jusqu’à quel point une explication satisfaisante des énigmes de prix d’actifs peut être fournie sans abandonner cette structured’analyse particulièrement attractive.

11

Avant de présenter les diﬃcultés spécifiques liées à la reproduction des faits stylisées desprix d’actifs dans une économie de production, nous exposons les principaux concepts théoriques
permettant de se représenter ces prix comme le résultat d’un équilibre concurrentiel. Ces outils
seront mobilisés dans toute la suite de l’article.

3

Introduction à l’évaluation d’actifs en équilibre général : uneéconomie d’échange
Cette section introductive présente les principaux outils de la modélisation des prix d’actifs

en équilibre général. Pour ce faire, nous nous plaçons dans un premier temps dans un cadred’économie d’échange pure, similaire à celui proposé par Lucas (1978). Dans ce type d’environnement, les agents reçoivent des dotations et peuvent éventuellement s’échanger des titres
financiers. L’objectif de ce type de modèles est de fournir un cadre d’étude des prix d’actifs
perçus comme des prix d’équilibre reliés aux fondamentaux de l’économie, i.e. les préférences,les contraintes technologiques, et les lois d’évolution des chocs. Afin d’illustrer les principaux
concepts rencontrés dans la littérature (prix d’actifs, taux sans risque, actifs contingents, etc),
nous présentons une version simplifiée du modèle de Lucas (1978). L’exposé s’appuie largement
sur Ljunquist et Sargent (2004), auquel le lecteur est invité à se référer pour de plus amples
détails.

3.1

L’environnement économique

Nous considérons une économie peuplée par un grand nombre d’agents aux mêmes dotations
initiales : ils possèdent tous un arbre identique, lequel produit en période t un même total
par agent de Dt unités de fruit, que les agents ne peuvent pas stocker. On suppose que lesdividendes obéissent à la relation Dt = D (xt ), où D (·) est une fonction connue des agents et
xt décrit l’état du système à la date t. Nous supposons que les xt admettent Ω = [x̄m , x̄M ] poursupport, et suivent un processus markovien caractérisé par la fonction de transition F (x0 , x),
supposée temporellement invariante. Nous avons doncª¡¢©
Pr xt+1 ≤ x0 |xt = x = F x0 , x =Z x0f (u, x) du.

x̄mNous supposons qu’il existe un marché concurrentiel où s’échangent les arbres. La possessiond’un arbre en période t donne droit au flux de dividendes Dt et, à l’issue de la période, le12

propriétaire de l’arbre peut le vendre au prix Pt . Soit st le nombre d’arbres possédés par l’agent
représentatif. Sa contrainte budgétaire en t s’écrit donc
Ct + st+1 Pt ≤ st (Pt + Dt ) .
La fonction d’utilité instantanée du consommateur représentatif est notée U (·). Nous supposons qu’elle vérifie les conditions d’Inada. Nous supposons également que l’agent est impatient ;par conséquent, il actualise ses flux futurs d’utilité instantanée avec le coeﬃcient β ∈ (0, 1). Le
programme du consommateur consiste alors à maximiser)(∞X
β t U (Ct )E0
t=0sous sa contrainte de budget, en prenant Pt , F (·), et s0 comme donnés. L’opérateur Et est
l’espérance conditionnée sur l’information disponible à la date t.
Pour spécifier totalement le problème, nous supposons que l’agent connaı̂t la loi de mouvement du prix des arbres. Si l’état courant du système est xt , i.e. si les dividendes versés en t
sont égaux à D (xt ), alors le prix en t d’un arbre est Pt = P (xt ). L’objectif de l’exercice est decaractériser la fonction P (·).
Il est souvent pratique de reformuler ce type de programme d’optimisation sous forme
récursive8 . Pour ce faire, notons At = st [P (xt ) + D (xt )]. Soit alors V (·) la fonction de valeur
associée au programme de l’agent représentatif
¾
½
Z
0
0
0
V (A) = max
U[A − P (x) s ] + β V (A )dF (x , x) .
0sDans l’équation fonctionnelle ci-dessus, nous ignorons les indices de temps pour alléger les notations. Le signe “0“ désigne la valeur en t + 1 de la variable considérée. Une condition nécessaired’optimalité est alors¡¢
P (x) U s [P (x) + D (x)] − P (x) s0 = β0Z£ ¡ 0¢¡¤ ©£ ¡ ¢¤ ª¢
P x + D(x0 ) V 0 P x0 + D(x0 ) s0 dF x0 , x .

Le théorème de Benveniste Scheinkman (1979) implique

V 0 ([P (x) + D(x)] s) = U 0 (C) .
Posons alors
C (x) = [P (x) + D(x)] s − P (x) s0 .
8Voir Lucas et Stokey (1989) pour une introduction à ces techniques.

13

La condition du premier ordre du programme de l’agent s’écrit doncZ£¤ £ ¡ ¢¤¢¡
0
P (x) U (C (x)) = β
P (x) + D(x0 ) U 0 C x0 dF x0 , x .

(1)

A l’équilibre, aucun arbre n’est échangé, de sorte que s = s0 = 1. Nous pouvons alors réécrirel’équation (1) sous la formeª©
P (xt ) U 0 (D(xt )) = βEt (P (xt+1 ) + D(xt+1 )) U 0 (D(xt+1 )) .

Cette équation caractérise la fonction P (·) qui donne le prix des arbres (donc d’un certain
type d’actif financier) en fonction des fondamentaux du système. Il n’est en général pas possiblede résoudre de façon analytique l’équation fonctionnelle ci-dessus. En revanche, Lucas (1978)
montre sous quelles conditions une solution existe. Sous ces conditions, nous sommes donc en
mesure de donner un prix aux actifs productifs que nous avons appelés “arbres“. Il existe parailleurs une importante littérature proposant diﬀérentes solutions numériques à cette équations.
Une bonne introduction à cette littérature est l’article de Burnside (1996).
A présent, nous souhaiterions être en mesure de donner un prix à n’importe quel actif financier. Pour parvenir à nos fins, nous allons introduire le concept fondamental d’actifs contingents.

3.2

Titres contingents

Nous souhaitons construire une procédure d’évaluation valable pour tous les actifs financiers.
Pour ce faire, nous nous proposons d’évaluer d’abord tous les titres dont la date d’échéance sesitue exactement une période en avant.
3.2.1

Evaluation des titres dont la maturité est d’une période

Considérons un actif financier donnant droit à une unité de consommation en t + 1 conditionnellement à la réalisation de l’état {xt+1 ∈ A}, pour un ensemble mesurable A quelconque.
Supposons qu’il existe une fonction Q (·) telle que si l’économie est dans l’état xt en t, alors leprix associé à cet actif est donné parZ

Q (xt+1 , xt ) dxt+1 .

xt+1 ∈A

Dans le cas trivial où A est l’ensemble des possibles Ω, on veut évaluer un actif donnant droit à
une unité de bien de consommation quel que soit l’état du système en t + 1. L’actif en question
14

est l’actif sans risque, et l’on aZ

Q (xt+1 , xt ) dxt+1 =

xt+1 ∈Ω

1
1 + Rtfoù Rtf désigne le taux d’intérêt sans risque.
Supposons maintenant qu’il existe un marché concurrentiel pour chacun de ces actifs. Le
programme de l’agent représentatif consiste à présent à maximiser)(∞X
β t U (Ct )E0
t=0sous la contrainte
Ct + Pt st+1 +Z

Q (xt+1 , xt ) B (xt+1 ) dxt+1 ≤ (Pt + Dt ) st + B (xt )où B (xt+1 ) représente la quantité de bien de consommation livrable en t + 1, contingent à laréalisation de l’état xt+1 en t + 1, acheté par l’agent en t.
D’après le modèle de la section précédente, on sait que l’on peut exprimer le prix Pt d’unarbre comme une fonction de l’état du système xt , soit Pt = P (xt ). De le même façon, on peutécrire Dt = D (xt ). L’équation de Bellman associée au problème ci-dessus s’écrit alors
½
¾
Z
¡¡ 0
¡ 0¢ 0¢ ¡ 0 ¢ 0¢ 0
0
U (C) + β V P + D s + B x , x f x , x dx
V ((P + D) s + B (x) , x) = max
C,s0 ,B(x0 )sous la contrainte

0(P + D) s + B (x) − C − P s −

Z

¡
¢ ¡ ¢
Q x0 , x B x0 dx0 ≥ 0

Il est clair que dans ces expressions, il faut lire P = P (x), P 0 = P (x0 ), D = D (x), et D0 = D (x0 ).
Les variables d’état sont (P + D) s + B (x) et x, et les variables de contrôle sont C, s0 et les
fonctions B (x0 ).
Pour résoudre le problème contraint de maximisation à la droite de l’équation fonctionnelle,on pose le lagrangien J défini parZ¡ ¢ ¤ ¡¢¢£¡
J = U (C) + β V P 0 + D0 s0 + B x0 , x0 f x0 , x dx0½¾Z¡ 0 ¢ ¡ 0¢ 0
0+Λ (P + D) s + B (x) − C − P s − Q x , x B x dx ,15où Λ est le multiplicateur associé à la contrainte. On pose alors
Z
h ¡ ¢
¡
¢ ¡
¢i
¡ ¢
G B x0 , Ḃ x0 , x0 , s0 , Q x0 , x , f x0 , x dx0
= β

Z

£¡
¡ ¢ ¤ ¡¢¢
V P 0 + D0 s0 + B x0 , x0 f x0 , x dx0 − Λoù Ḃ (x0 ) = dB (x0 ) /dx0 .

Les équations d’Euler9 associées à un extremum deet par rapport au scalaire s0 sont respectivement
GB −
Z

R

Z

¡
¢ ¡ ¢
Q x0 , x B x0 dx0

Gdx0 par rapport à la fonction B (x0 )dG =0
dx0 Ḃ

Gs0 dx0 = 0

La condition du premier ordre par rapport à C s’écrit
U 0 (C) = ΛLes équations ci-dessus peuvent s’écrire
Z
¡ 0
¢ £¡
¢
¡ ¢ ¤ ¡¢
P + D0 V1 P 0 + D0 s0 + B x0 , x0 f x0 , x dx0 = P ΛββV1¡ ¢ ¤ ¡
¢
¡
¢
£¡ 0
¢
P + D0 s0 + B x0 , x0 f x0 , x = ΛQ x0 , x

La formule de Benveniste Scheinkman nous assure à nouveau que
V1 [(P + D) s + B (x) , x] = U 0 (C)En éliminant Λ de la troisième équation et en substituant U 0 (C), on obtient la relation¢¡
U 0 [C (x0 )] ¡ 0 ¢f x ,x .
Q x0 , x = β 0
U [C (x)]Nous avons donc mis en évidence l’existence d’une fonction Q (·), appelée noyau d’évaluation
des actifs contingents, permettant de donner un prix à tout titre dont la maturité est d’une seulepériode. A partir de la forme analytique ci-dessus, on peut virtuellement évaluer n’importe quel9

Une condition nécessaire pour maximiser

UI

L (xt , ẋt ) dt est classiquement :Lx − (d/dx) Lẋ = 0

On applique alors facilement cette condition sur G.

16

actif de ce type. Considérons par exemple l’actif dont la rémunération à échéance est égale àW (x0 ) unités du bien de consommation, si l’état du système est x0 , quelle que soit la fonction
mesurable W (·). Le prix en t de cet actif est alorsZ
Z¢¡ ¢ U 0 (x0 ) ¡ 0 ¢ 0¡ ¢ ¡f x , x dx .
P (x) = W x0 Q x0 , x dx0 = W x0 β 0U (x)Nous allons maintenant utiliser ce noyau pour évaluer n’importe quel titre. Pour ce faire, il

faut recourir à l’hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage. Dans la sous-section suivante,
nous montrons comment cette hypothèse permet eﬀectivement évaluer n’importe quel actif dansl’économie de Lucas (1978).
3.2.2

Evaluation des titres : cas général¢¡Considérons Q(j) xj , x le prix en t quand l’état du système est x d’un actif donnant droità une unité de bien de consommation en t + j si l’état du système à cette date est xj . On peutdire que Q(j) est le noyau permettant d’évaluer les actifs dont la maturité est de j périodes.
¢¡
De la même façon, considérons B (j) xj , x la quantité de tels titres achetés en t par l’agent

représentatif, quand l’état du système est x. Soit alors θ la richesse initiale de l’agent. Conformément aux notations des sections précédentes, sa contrainte budgétaire en t s’écrit
∞ Z
X
¢
¢
¡
¡
0
Q(j) xj , x B (j) xj , x dxj ≤ θ (x)C + P (x) s +j=1

Puisque l’agent peut revendre ses arbres et les titres achetés en première période, sa richesse ent + 1 s’écrit∞¤¡ 0¢£ ¡ 0¢¡ 0 ¢ X00(1)
θ x = s P x + D(x ) + B
x ,x +
j=2

Z

¢
¡
¢
¡
Q(j−1) xj , x0 B (j) xj , x dxj

En eﬀet, la richesse financière totale de l’agent correspond aux dividendes totaux versés par les
s0 arbres qu’il possède, à la valeur de son capital, i.e. les s0 arbres au prix P (x0 ), et les titres
B (j) , pour j ≥ 2, que l’agent peut vendre en t + 1 quand l’état de la nature est x0 .

On multiplie cette équation par Q(1) (x0 , x) et on intègre par rapport à x0 . Il vient alors
Z
¡
¢
¡ ¢
θ x0 Q(1) x0 , x dx0
=

Z

+

¤
¢
£ ¡ ¢
¡
s P x0 + D(x0 ) Q(1) x0 , x dx0 +
0

Z X
∞ Z
j=2

Z

¢
¢
¡
¡
B (1) x0 , x Q(1) x0 , x dx0

¢
¢
¡
¢
¡
¡
Q(j−1) xj , x0 Q(1) x0 , x B (j) xj , x dxj dx0 .
17Nous formons alors la diﬀérence θ (x) −θ (x) −ZR

θ (x0 ) Q(1) (x0 , x) dx0 , et il vient∙¸Z¡ 0 ¢ (1) ¡ 0 ¢ 0£ ¡ 0¢¤ (1) ¡ 0 ¢ 0
0
0
θ x Q
P x + D(x ) Q
x , x dx ≥ C + s P (x) −x , x dx

¸
Z
∞ Z ∙
X
¢
¡ j ¢
¡ j 0 ¢ (1) ¡ 0 ¢ 0
¡
(j)
(j−1)
Q
x ,x − Q
x ,x Qx , x dx B (j) xj , x dxj .
+j=2

Notons alors
A = P (x) −Z¤¢£ ¡ 0¢¡
P x + D(x0 ) Q(1) x0 , x dx0 ,¡¢B = Q(j) xj , x −

Z

¡
¢
¡
¢
Q(j−1) xj , x0 Q(1) x0 , x dx0 .

¢¡A moins que les termes A et B ne soient nuls, si s0 et B (j) xj , x peuvent prendre n’importequelle valeur, l’agent représentatif peut obtenir n’importe quel montant non borné de richesse
et de consommation, tout en satisfaisant sa contrainte budgétaire. Cette situation ne peut êtreréalisable à l’équilibre : elle correspondrait à une opportunité d’arbitrage ; l’on doit donc vérifier
Z
¡ ¢
¢
¡
θ (x) ≥ C + θ x0 Q(1) x0 , x dx0
Z

P (x) =

Z¢¡
Q(j) xj , x =¤¢£ ¡ 0¢¡
P x + D(x0 ) Q(1) x0 , x dx0¢¡¢¡
Q(j−1) xj , x0 Q(1) x0 , x dx0 , j ≥ 2

La première relation stipule simplement que la diﬀérence entre la richesse présente et la valeurprésente de la richesse future doit être supérieure ou égale aux dépenses de consommation (égaleà l’équilibre). La seconde relation est une reformulation de l’équation (1). La troisième relation
fournit un algorithme récursif d’évaluation du prix des actifs contigents de maturité supérieureou égale à deux périodes. Dans la sous-section précédente, nous avons donner l’expression deQ(1) . Avec l’algorithme récursif ci-dessus, nous pouvons calculer le noyau des actifs de toutematurité. En particulier, pour un actif dont la maturité est de deux périodes, livrant une unité
de bien de consommation si l’état du système à cet horizon est x0 , nous obtenons
Z 0
¡ 0 ¢
U [C (x0 )] U 0 [C (a)] ¡ 0 ¢(2)
2
f x , a f (a, x) da
x ,x = βQ
U 0 [C (a)] U 0 [C (x)]
= β

2

Z

U 0 [C (x0 )] ¡ 0 ¢f x , a f (a, x) da
U 0 [C (x)]18

De la même façon, une action peut-être perçue comme un droit sur une suite de dividendes{Dt }∞
t=0 où chacun des dividendes peut s’exprimer comme une fonction de l’état du système,soit Dt = D (xt ). Le prix en t de cet actif est donc
P (xt ) =∞ Z
X

Q(j) (xt+j , xt ) D (xt+j ) dxt+j .

j=1

Avec ces équations, nous pouvons donc évaluer n’importe quel actif, quelle que soit sa maturité ou sa nature contingente. Evidemment la procédure étudiée dans cette sous-section repose
grandement sur le noyau mis en évidence dans la sous-section précédente. Pour obtenir ce dernier,
Lucas (1978) a dû considérer un ensemble très restrictif d’hypothèses (économie d’échange pure).
Cependant, la procédure, quoique plus complexe, demeure inchangée dans les cas plus générauxque nous considérons ci-après.

3.3

Facteur d’escompte stochastique, taux sans risque et excès de rentabilité

Comme on l’a vu plus haut (équation 1), le prix en t, Pt , d’un actif financier qui verse undividende Dt+1 et se revend au prix Pt+1 en t + 1 doit vérifier l’équation¶µ½µ¶¾
Pt+1 + Dt+1
U 0 (Ct+1 )1 = Etβ 0.
U (Ct )Pt
Il est d’usage dans la littérature de désigner le termeβ

U 0 (Ct+1 )U 0 (Ct )sous l’appellation de facteur d’escompte stochastique. On le note traditionnellement Mt,t+1 . Il
est bien clair que cet objet est lié au noyau d’évaluation des actifs contingents Q. En eﬀet,
Q (xt+1 , xt ) = β

U 0 [C (xt+1 )]f (xt+1 , xt ) = Mt,t+1 f (xt+1 , xt ) .
U 0 [C (xt )]Comme l’explique en détail Cochrane (2001), la forme particulière que peut prendre Mt,t+1dépend de la forme des préférences retenues —ou que l’on cherche à tester. Plus fondamentalement, s’il existe un ensemble complet de marchés contingents et s’il n’y a pas d’opportunité
d’arbitrage, un actif financier dont le rendement futur est Rt+1 vérifie forcément une relation dutype
1 = Et {Mt,t+1 (1 + Rt+1 )} ,19

où Mt,t+1 peut éventuellement être donné par une expression plus compliquée que ci-dessus. La
version inconditionnelle de cette équation peut aussi s’écrire
E {(1 + Rt+1 )} =cov (Mt,t+1 , Rt+1 )1−.
E {Mt,t+1 }E {Mt,t+1 }En vertu des calculs qui précèdent, nous savons par ailleurs que
E {Mt,t+1 } =1,
1 + Rtf

ce qui nous permet d’écrire
E{Rt+1 − Rtf } = −cov (Mt,t+1 , Rt+1 ).
E {Mt,t+1 }Cette équation stipule que la covariance entre le facteur d’escompte et le rendement de l’actif
risqué Rt explique la prime de risque associée à cet actif — ici la prime de risque est définie commel’écart entre le taux de rendement de l’actif risqué et le taux sans risque. Autrement dit, la primede risque sera d’autant plus élevée que ces deux quantités covarient négativement. Dans le cas
des préférences temporellement séparables que nous avons retenues dans cette section, une tellecovariation négative s’obtient lorsque l’utilité marginale de la consommation est élevée (faible)
en même temps que le taux risqué est faible (élevé). Un actif risqué sera donc caractérisé parune forte prime de risque lorsqu’il covariera positivement avec la consommation. On peut eneﬀet dire qu’un tel actif est risqué dans la mesure où il oﬀre un rendement faible précisément
dans les états de la nature où les agents souhaiteraient bénéficier d’un rendement élevé pourmaintenir leur consommation.

4

Introduction à l’évaluation d’actifs en équilibre général : uneéconomie de production
La littérature sur la prime de risque s’est principalement concentrée sur des économiesd’échange, similaires à celle que nous venons d’étudier. Dans ce type d’environnement, toutmécanisme permettant d’accroı̂tre la volatilité conditionnelle du facteur d’escompte stochastique est une solution potentielle de l’énigme de la prime de risque — bien que certaines de ces
astuces ne soient pas nécessairement satisfaisantes d’un point de vue empirique ; c’est le cas par
exemple de la stratégie consistant à accroı̂tre l’aversion pour le risque jusqu’à des niveaux trèsélevés (Kandel et Stambaugh [1996]). En économie de production, la diﬃculté est plus grande20

et émerge du caractère endogène de la consommation. Dans un tel environnement, les agentspeuvent — en faisant varier leur oﬀre de travail ou leurs décisions d’investissement— lisser cettedernière. Il en découle que l’accroissement de l’aversion pour le risque se traduira surtout parune volonté accrue de lisser la consommation, ce qui ne permettra certainement pas d’accroı̂tre
la volatilité conditionnelle du facteur d’escompte stochastique. Une autre problème inhérent à cecadre d’analyse, vient de la très faible volatilité des gains en capital (Lettau [2003], Rouwenhorst[1995]). Or, c’est précisément ce canal qui, empiriquement, explique la volatilité du rendement
des actifs risqués — et par voie de conséquence, la forte prime de risque qui leur est associée.
Dans cette section, nous illustrons numériquement ces diﬃcultés et les éléments de modélisationà inclure dans le modèle pour y échapper.

4.1

Le modèle de base

4.1.1

L’environnement économique

Nous considérons une économie en temps discret, indicé par t, peuplée par un grand nombred’agents identiques. Les préférences du consommateur représentatif sont de la forme)(∞X
β t U (Ct ) ,
E0

(2)

t=0

où Et {·} est l’opérateur espérance conditionné sur l’information disponible à la date t, U (·)
est une fonction d’utilité vérifiant les conditions d’Inada, Ct est la consommation à la datet, β ∈ (0, 1) est le coeﬃcient subjectif d’actualisation. Nous supposerons dans la suite que lafonction U (·) est de la forme
C 1−σ̄ − 1.
σ̄→σ
1 − σ̄

U (C) = lim

Ci-dessus, σ, s’interprète comme le coeﬃcient d’aversion relative pour le risque. Le modèle quenous présentons fait abstraction de l’oﬀre de travail émanant des ménages. Nous supposons
simplement que ces derniers oﬀrent la totalité de leur dotation temporelle, que nous normalisonsà 1.
Les possibilités de production sont décrites par la fonction de production de type CobbDouglas
Yt = Ktα (ezt )1−α ,(3)où Yt est la production de la date t. Cette dernière peut être indiﬀéremment utilisée pourconsommer ou pour investir. Kt est le stock de capital précédemment accumulé, Nt est l’intrant21

en travail, et α ∈ (0, 1) est l’élasticité de la production par rapport au capital physique. Sous
les hypothèses retenues dans ce modèle, ce paramètre peut aussi s’interpréter comme la partdes revenus du capital dans la valeur ajoutée. Enfin, zt est un choc de productivité dont nous
supposons qu’il évolue selon la loi de mouvement
zt = log (γ) + zt−1 + t ,t ∼ iid¡¢0, σ 2 .

(4)

Le paramètre γ est le taux (brut) moyen de croissance du progrès technique, supposé exogène. Le
progrès technique exogène comporte donc une tendance stochastique. Comme l’explique Jermann(1998), cette hypothèse permet d’accroı̂tre la capacité du modèle à reproduire la prime de risquemoyenne. En eﬀet, en présence de chocs permanents, une unité de capital physique devient unactif plus risqué qu’en l’absence d’une tendance stochastique10 .
Le capital physique, quant à lui, obéit à la loi de mouvement
Kt+1 = (1 − δ) Kt + Xt ,(5)où δ ∈ (0, 1) représente le taux de dépréciation du capital physique, c’est-à-dire la fraction ducapital physique qui s’érode à chaque période. Xt est le flux d’investissement.
Enfin, la contrainte de ressources de cette économie s’écrit simplement
Yt = Ct + Xt .
Cette équation stipule que les flux de consommation et d’investissement ne peuvent pas excéderla quantité totale de bien produite à la date t. Elle représente l’équilibre emplois-ressources del’économie considérée.
4.1.2

Résolution du modèleEtant donnée que l’économie considérée n’est aﬀectée par aucune imperfection, il est équivalentde se focaliser sur l’économie planifiée ou sur l’économie décentralisée. Pour simplifier l’exposition, nous nous concentrons sur l’économie planifiée et illustrons comment faire émerger desprix d’actifs à partir de l’équilibre des quantités. Le programme du planificateur consiste donc
10

Par ailleurs, les tests de stationnarité standards appliqués au résidu de Solow naı̈f ne permettent pas de rejeterl’hypothèse d’une tendance stochastique.

22à maximiser (2) sous les contraintes
Ct + Xt = Ktα (ezt )1−α ,(6)

Kt+1 = (1 − δ) Kt + Xt ,(7)

en prenant les conditions initiales, K0 et z0 , et la loi de mouvement de zt comme données. La
condition du premier ordre associée est
¶∙
¸¾
½µ
Yt+1
U 0 (Ct+1 )1 = Etα+1−δ ,β 0
U (Ct )
Kt+1

(8)

où
Yt = Ktα (ezt )1−α .

(9)Le système final gouvernant la dynamique du modèle est composé des équations (6)-(9), auxquelles
nous adjoignons la dynamique du choc de productivité.
4.1.3

Prix d’actifs

Dans ce paragraphe, nous mobilisons les outils théoriques de la section 3 afin de mettre enévidence des prix d’actifs financiers ainsi que les conditions d’équilibre qui les caractérisent. Pource faire, comme précédemment, nous pouvons définir le facteur d’escompte stochastiqueMt,t+1 = β

U 0 (Ct+1 ).
U 0 (Ct )Un actif risqué peut être représenté comme un droit sur le stock de capital physique. Sa
rentabilité est alors définie par
e
=α
Rt+1

L’équation (8) s’écrit donc

Yt+1
− δ.
Kt+1

©
¡
¢ª
e
1 = Et Mt,t+1 1 + Rt+1.

(10)

Il est pratique, à des fins d’interprétation, de définir les variables
Pk,t = 1, et Pk0 ,t = Pk,t (1 − δ) .
Pk,t est le prix d’une nouvelle unité de capital (cette unité de capital sera disponible pour laproduction au début de la période suivante t + 1) et Pk0 ,t est le prix d’une unité de capitalphysique installée. Le rendement que nous avons défini est donc simplement
e
=
Rt+1

Yt+1
+ Pk0 ,t+1
αK
t+1

Pk,t
23

− 1.

(11)

Comme le montrent BCF (1995, 1999, 2001), la variable Pk,t , peut-être interprétée comme leprix d’une action et Pk0 ,t+1 /Pk,t , comme une mesure du gain en capital. Dans le modèle standard
il n’existe pas de variations du gain en capital, puisque le ratio Pk0 ,t+1 /Pk,t est constant 11 .
Nous achevons cette partie en définissant l’équivalent théorique des variables financièressuivantes : la rentabilité d’une obligation à 3 mois, d’une obligation à 10 ans, la prime de risquemoyenne, et le ratio de Sharpe.
• Le taux sans risque :Rtf =U 0 (Ct )−1
βEt {U 0 (Ct+1 )}(12)• La rentabilité d’une obligation d’une maturité de j-périodes :
b
Rj,t
=

U 0 (Ct )− 1,
β j Et {U 0 (Ct+j )}(13)

et pour j = 40, nous définissons l’équivalent de la rentabilité d’une obligation à 10 ans.
e − Rf ), se définit comme l’écart moyen entre la rentabilité• La prime de risque moyenne, E(Rt+1te et celle de l’actif sans risque, Rf .
de l’actif risqué, Rt+1
t

• Le dernier indicateur pris en compte dans l’évaluation de notre modèle est le ratio de Sharpe
du marché des actions :SRe =e
E(Rt+1− Rtf )σ(Rte )

(14)où σ(Rte ) représente l’écart-type du taux de rendement des actions.
11

Une autre façon de procéder (théoriquement équivalente en l’absence de coûts d’ajustement sur le capital,

et équivalente en termes numériques), consiste à imaginer des firmes qui accumulent du capital physique pourproduire. En supposant un marché du travail concurrentiel, le dividende qu’elles verseraient à leurs propriétairess’écrirait
Dt = Yt − Wt Nt − Xt = αYt − Xt .
Nous pouvons alors définir Pt le prix d’un actif financier donnant droit à la suite de dividendes {Dt }∞t=0 . Des
manipulations similaires à celles que nous avons illustrées précédemment permettent d’écrirea
1 = Et {Mt,t+1 (1 + Rt+1
)} ,

avec
Dt+1 + Pt+1.
Pt
Dans la suite, nous nous concentrons essentiellement sur le taux risqué Rte .
a
Rt+1
=

24

4.1.4Résultats quantitatifs

Avant de simuler le modèle, nous devons le résoudre. Cette étape est conduite en deux
temps. Dans un premier temps, nous purgeons le système dynamique de sa tendance stochastiqueafin de manipuler un système d’équations borné (en supposant que le support des innovations
technologiques est lui aussi borné)12 . Dans un second temps, le système est loglinéarisé13 . Nous
utilisons cette solution pour simuler les quantités (Ct , Yt , Xt , Kt ), et utilisons ces dernières poursimuler Rte à partir de sa définition non-linéaire en fonction des quantités14 .
Les simulations sont réalisées pour l’étalonnage trimestriel résumé dans le tableau 2. La
valeur de α est sélectionnée de façon à reproduire la part des salaires dans la valeur ajoutée. β
est fixé de manière à maximiser l’aptitude du modèle à reproduire le taux sans risque. Le tauxde dépréciation du capital physique δ, est fixé 0.021 comme chez BCF (2001). Le paramètre γ
est fixé de manière à reproduire le taux de croissance moyen du produit. L’écart-type du choc
technologique est sélectionné de façon à reproduire la volatilité de la composante cyclique duproduit. Il est à noter que σ est trois fois plus élevé que les étalonnages habituels sur donnéesaméricaines. Ceci est une conséquence de la fixité de l’oﬀre de travail qui prive le modèle d’unimportant canal d’amplification des chocs.
La figure 2 représente graphiquement l’évolution temporelle des rentabilités et des quantités à
la suite d’un choc de σ % sur le progrès technique. Ce choc permament à pour eﬀet d’augmenter
12

En pratique, nous définissons de nouvelles variables stationnaires au moyen des formules
ct = Ct e−zt , xt = Xt e−zt , yt = Yt e−zt .

Deux variables nécessitent un traitement spécial, Kt et Λt ; nous appliquons ici les définitions
kt+1 = Kt+1 e−zt , λt = Λt eσzt .
Il convient de souligner que ce type de transformations intervient toujours dans la procédure de résolution d’unmodèle caractérisé par de la croissance.
13
Cette méthode n’est certainement pas la plus précise. Toutefois, dans un travail numérique, il est nécessaired’arbitrer entre vitesse de résolution et précision de l’approximation numérique. Cet arbitrage devrait se faire en
faveur de la précision dans les modèles contenant peu de variables d’état (2 par exemple). Cependant, dès quela dimension du problème grandit, les approximations numériques globales (telles que celles proposées par Judd[1998]) deviennent impratiquables. C’est typiquement le cas des modèles que nous explorons dans les sections
suivantes.
14
Les résultas commentés dans la suite, sont issus de 500 simulations de 394 points. Les 200 premiers points
sont éliminés afin de modérer l’influence des conditions initiales. Formellement, 200 points suﬃsent à être prochede la distribution ergodique.

25

Tableau 2. Etalonnage
α
0.360

β

δ

γ

σ

σ

0.996

0.021

1.055

1.000

2.880

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)

2.4
2.2
2
1.8

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Investissement

3.4
3.3

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Taux sans risque

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc

20

2

1.5

1

20

3.5

3.2

Ecart relatif (en %)Consommation

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)Production
2.6

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Rentabilité de l’actif risqué

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc

20

0.05
0.04
0.03
0.02

0.045
0.04
0.035
0.03
0.025

Fig. 2 — Fonctions de réponse à un choc de productivité (modèle A)

la consommation à toutes les dates futures à travers un eﬀet de richesse. La volonté de lissage de laconsommation des agents les amène à épargner plus dans les périodes qui suivent immédiatement
le choc. Il profitent de la rentabilité accrue du capital, puis désépargnent à des dates plus
lointaines, consommant ainsi une partie du stock de capital. Enfin, notons la grande similarité
des dynamiques transitionnelles des rentabilités des actifs risqué et non risqué, qui signale ladiﬃculté du modèle à reproduire la prime de risque empirique.
Le tableau 3 reporte les principaux moments concernant les faits du cycle économique pourl’économie américaine. On note les points suivants. Le modèle est compatible avec le fait quela consommation est moins volatile que le produit tandis que l’investissement l’est plus. Toutefois, le modèle n’est pas capable de reproduire ces grandeurs relatives et souﬀre, par ailleurs,d’un manque d’amplification, puisque l’écart type du choc technologique passé au filtre HP est

26

Tableau 3. Simulations des modèles théoriques
I. variables économiques
donnéesσ (ŷt )σ (ĉt ) /σ (ŷt )σ (x̂t ) /σ (ŷt )σ (n̂t ) /σ (ŷt )σ (∆ct ) /σ (∆yt )corr (ŷt , ĉt )corr (ŷt , x̂t )corr (ŷt , n̂t )corr (ŷt , ŷt−1 )corr (ĉt , ĉt−1 )corr (x̂t , x̂t−1 )corr (n̂t , n̂t−1 )corr (∆yt , ∆yt−1 )corr (∆ct , ∆ct−1 )2.351(0.211)0.357(0.019)3.040

modèle A
2.351

modèle B
1.995(0.230)

0.614
1.902
N/A

N/A

0.806

0.920

(0.0141)

1.514

0.832

(0.176)1.135(0.029)(0.081)

0.383(0.141)

0.987(0.003)(0.005)(0.027)1.036(0.197)(0.159)(0.042)modèle C

0.614

0.926

(0.055)1.925(0.160)0.692(0.006)0.996(0.029)0.996(0.031)0.918(0.001)

0.977(0.009)0.996(0.004)

0.803

0.807

modèle D
1.519(0.119)0.862(0.053)1.887(0.096)0.844(0.031)0.447(0.028))0.794(0.023)0.847

modèle E
2.353(.0253)0.677(0.016)1.676(0.013)0.514(0.008)0.914(0.028)0.951(0.006)0.975(0.219)(0.001)(0.013)(0.009)(0.020)(0.005)

0.875

N/A

N/A

−0.465−0.387(0.025)(0.196)0.844(0.201)0.827(0.183)0.841(0.026)

0.709

0.714

(0.049)(0.048)

0.718

0.878

(0.048)(0.021)

0.705

0.420

(0.242)(0.049)(0.065)

0.894

N/A

N/A

(0.227)0.338(0.072)0.207(0.092)

0.012

0.012

(0.074)(0.074)

0.047

0.513

(0.079)(0.061)0.894(0.021)0.934(0.012)0.689(0.050)0.615(0.079)0.389(0.090)0.872(0.026)0.030(0.076)

0.619

0.864
0.816

(0.031)0.648(0.053)0.848(0.026)0.689(0.055)(0.055)(0.050)0.502−0.376(0.062)(0.058)0.393−0.041(0.079)0.780(0.043)(0.084)0.371(0.073)II. variables financières
¡ ¢
E Rf

E (Re )¢¡E Re − R f¡ ¢σ Rf
σ (Re )

E(Re −Rf )σ(Re )

1.446(0.410)

8.023
6.572

(2.375)0.728(0.350)15.587

3.804

1.368

(0.457)(2.747)

3.830

7.943

3.710

(0.113)

4.110

1.425

(2.987)

8.832

1.394

(3.142)7.912(0.469)(1.109)(0.912)(1.278)(0.844)

0.03

6.57

0.400

7.407

6.51

0.327

11.1720.321

21.248(0.084)(0.769)(0.033)(1.155)24.17(1.328)(1.478)(0.086)0.336

29.134(1.682)(0.351)

6.776

36.052(2.365)(2.299)

34.61

0.42

0.09

0.23

0.05

0.19

0.19

Notes : les codes des modèles sont les suivants. A : modèle néoclassique sans travail ; B : modèle de Jermann(1998) ; C : modèle de Jermann avec oﬀre de travail variable ; D : modèle de Jermann avec oﬀre de travail variable
et heures prédéterminées ; E : modèle de Boldrin, Christiano et Fisher (2001). Les symboles σ(x) et corr(x, y)désignent l’écart-type de x et le corrélation entre x et y, respectivement.

27

presqu’aussi élevé que celui du produit. En ce qui concerne les comouvements avec le produit, lesrésultats sont également relativement peu satisfaisants. Le modèle surestime systématiquement
les corrélations entre le produit agrégé et ses principales composantes. Le manque de propagation interne critiqué par Cogley et Nason (1995) est particulièrement flagrant compte tenu del’autocorrélation d’ordre 1 calculée sur le taux de croissance du produit.
Les propriétés explicatives du modèle sur les prix d’actifs sont particulièrement médiocres
comme le montre le tableau 3. En particulier, le modèle engendre une prime de risque très faible
voire nulle (0.03%). Ceci est une conséquence de la faible covariance théorique entre Mt,t+1 et
e . En eﬀet, l’équation
Rt+1
e
¢
¡
− Rtf )
E(Rt+1e≈ −σ (Mt,t+1 ) σ(Rte )ρ (Mt,t+1 , Rte ) ,
=
−Cov
M
,
R
t,t+1
t+1
f
1 + Rt(15)

montre que la prime de risque des actions peut s’écrire comme le produit de l’écart-type de larentabilité des actions, du taux marginal de substitution intertemporelle, et de la corrélationeet Mt,t+1 . Cette équation permet de comprendre pourquoi le modèle néoclassiqueentre Rt+1

simple ne parvient pas à reproduire la prime de risque.
— En premier lieu, dans ce modèle, la fonction d’utilité est de type iso-élastique. Il s’ensuit
que l’écart-type de Mt,t+1 est à peu près égal à σ fois l’écart-type du taux de croissance dela consommation. Dans notre environnement, les ménages adverses au risque altèrent leurplan de production afin de réduire les fluctuations de la consommation suite à un choc.
Ce mécanisme est d’autant plus marqué que ces ajustements, consécutifs à un choc, seréalisent sans aucun coût. Comme le modèle sous-évalue la volatilité du taux de croissancede la consommation (et que cette dernière est faible dans les données), nous obtenons un
σ (Mt,t+1 ) faible.
— En second lieu, le modèle n’intègre pas de mécanisme de gain en capital, ce qui implique untaux de rendement de l’actif risqué correspondant exactement à la productivité marginale
du capital -connue pour être faiblement variable dans ces modèles. Par conséquent, lesrentabilités d’actifs sont peu volatiles dans le modèle. Les insuﬃsances du modèle debase sont liées directement à la propriété d’ajustement instantané du stock de capital,
qu’implique la loi d’accumulation linéaire du capital physique.
Les enseignements principaux que nous pouvons tirer de cette analyse quantitative sont lessuivants— Comme nous l’a appris la littérature en économie d’échange, il faut modifier les préférences

28

des agents afin de garantir un écart-type de Mt,t+1 élevé même en présence d’une consommation très lisse (Constantinides [1990]).
— Pour que les modèles DSGE parviennent à engendrer des rendements d’actifs volatils, ils
doivent intégrer des coûts d’ajustement dans l’investissement afin que les changements
dans la demande de capital entraı̂nent des changements dans la valeur du capital installé,
plutôt que des changements dans la quantité de capital (Baxter et Crucini [1993], Jermann[1998]).
La sous-section suivante considère un modèle construit dans l’esprit de ces deux enseignements.

4.2

Le modèle de Jermann

Le sens de la contribution de Jermann (1998) est d’introduire dans l’accumulation du capitaldes coûts d’ajustement sur le capital. Ces derniers sont un moyen d’intégrer des variations du“q de Tobin” c’est à dire des changements dans la valeur du stock de capital installé, plutôt
que des changements dans la quantité de capital. En les combinant aux formations d’habitudes
sur la consommation, Jermann (1998) parvient à reproduire la prime de risque des actions
observées sur données américaines. Il évalue également les performances de son modèle dansl’explication des principaux faits stylisés des fluctuations économiques américaines. Bien quel’objectif premier ne soit pas une explication conjointe de ces deux familles de faits stylisés, lacontribution de Jermann constitue avec celle de Rouwenhorst, les premières tentatives d’analyseintégrée des prix d’actifs et des fluctuations économiques conjoncturelles. Nous proposons àprésent de décrire son cadre d’analyse. Nous reprenons les notations précédentes, et illustrons
simplement les modifications apportées au modèle néo-classique.
4.2.1

Modifications de l’environnement économiqueDans un premier temps, nous modifions la fonction d’utilité instantanée. Nous la supposonsà présent de la forme(Ct − bCt−1 )1−σ̄ − 1σ̄→σ
1 − σ̄U (Ct , Ct−1 ) = limoù b ∈ (−1, 1). Si b = 0, les préférences sont temporellement séparables — l’utilité marginalede la consommation ne dépend que de la consommation à la date courante. Si b > 0, lespréférences sont caractérisées par un processus de formation des habitudes, en ce sens qu’il

29

y a complémentarité entre les consommations à deux dates adjacentes. Enfin, si b < 0, les consommations à deux dates adjacentes sont substituables. Nous reviendrons sur ces caractéristiquesdes préférences plus loin. Il est important de noter que nous supposons que les agents sont conscients de l’eﬀet de leur consommation présente sur l’utilité marginale de leur consommation
future.
Dans un second temps, nous modifions l’équation d’accumulation du capital, afin d’être en
mesure d’obtenir un prix du capital variable. Le capital physique obéit à présent à la loi demouvement
Kt+1 = (1 − δ) Kt + S

µ

Xt
Kt

¶

Kt ,

(16)

où S (·) est une fonction de coûts d’ajustement. Cette dernière traduit le fait qu’en raison de coûts
d’installation, la technologie de transformation de l’investissement en capital n’est pas linéaire.
Cette fonction pénalise les variations du rapport investissement-capital. Nous supposons que¡ X¯ ¢ X¯
¯
µ ¯ ¶
µ ¯ ¶
¯
¯
S 00 K
X ¯¯
X ¯¯
X ¯¯
0
ss¯ K
¡X
¢ ss = −ξ −1 , ξ > 0,
=
= 1,
, S
S
¯
¯
¯
¯
K ss
K ss
K ss
S0
K ss

¯
X¯
est la valeur de régime permanent du rapport Xt /Kt . Ces hypothèses signifient qu’auoù Kssvoisinage du régime permanent, les coûts d’ajustement s’annulent. Compte tenu de la méthodede résolution que nous adoptons dans ce travail, seule compte la courbure de S (·) au voisinage durégime permanent pour la dynamique du système. Le paramètre ξ s’interprète comme l’élasticité
du q de Tobin par rapport au rapport investissement-capital au voisinage du régime permanent.
Dans le cas limite où ξ tend vers 0, les coûts d’ajustement deviennent infinis, au point que lesménages n’accumulent plus de capital. Dans le cas limite où ξ tend vers l’infini, il n’y a plus decoûts d’ajustement.
4.2.2

Résolution du modèleLes conditions du premier ordre du programme du planificateur sont

où

ª
©
Λt = U 0 (Ct − bCt−1 ) − βbEt U 0 (Ct+1 − bCt ) ,∙ µ ¶¸−1
Xt,
Pk,t = S 0
Kt
½µ
¶∙
µ
µ
¶
µ
¶
¶¸¾
Xt+1
Xt+1 Xt+1
Λt+1
Yt+1
Pk,t = Et+ Pk,t+1 1 − δ + S
β
α
− S0
,
Λt
Kt+1
Kt+1
Kt+1 Kt+1
Yt = Ktα (ezt )1−α ,
30

(17)
(18)
(19)

(20)

et où Λt est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte de ressources et Pk,t est le
rapport du multiplicateur de Lagrange associé à l’accumulation du capital à Λt . Remarquons
que lorsque b = 0, nous retombons sur l’égalité Λt = U 0 (Ct ). Le système final gouvernant ladynamique du modèle est composé des équations (6), (16)-(20), auxquelles nous adjoignons la
dynamique du choc de productivité.
4.2.3

Prix d’actifs

Comme précédemment, on peut aisément faire ressortir des prix d’actif. Par exemple, l’équation(18) définit le q de Tobin (marginal), i.e. le prix d’une nouvelle unité de capital. De la mêmefaçon, en posant
Λt+1
,
Λt
µ
µ ¶
µ ¶
¶
Xt
Xt
0 Xt
Pk0 ,t = Pk,t 1 − δ + S
−S
,
Kt
Kt Kt
Mt,t+1 = β

et
e
Rt+1
=

∙
¸
1
Yt+1
+ Pk0 ,t+1 − 1,
α
Pk,t
Kt+1

l’équation (19) s’écrit comme (10). A nouveau, cette réécriture a une interprétation économique.
On peut interpréter Pk0 ,t comme le prix d’une unité de capital physique installé. Le rendement
que nous avons défini s’écrit donc exactement sous la forme de l’équation (11). A nouveau, leterme relatif à la productivité marginale du capital s’apparente à un flux de dividendes et lerapport Pk0 ,t+1 /Pk,t , à un gain en capital15 .
4.2.4

Résultats quantitatifs

Nous simulons le modèle en appliquant la même technique que précédemment. Nous reprenons
l’étalonnage précédent. Il nous faut en outre donner des valeurs aux paramètres b et ξ. Nous suivons Jermann (1998) et fixons b = 0.82 et ξ = 0.23. Jermann (1998) obtient ces valeurs par une
procédure formelle d’estimation de son modèle sur un jeu de données comparables aux nôtres.
Pour faciliter la comparaison avec ses résultats, nous adoptons les mêmes valeurs. Par ailleurs,
nous sélectionnons à présent σ de façon à reproduire la prime de risque moyenne. L’étalonnage
est résumé dans le tableau 4.
15

Nous pouvons aussi définir un titre risqué comme un droit sur une suite de dividendes. Ces derniers sontdéfinis exactement de la même façon que précédemment.

31

Consommation
Ecart relatif (en %)

1.7
1.65
1.6

Ecart relatif (en %)

1.55

5
10
15
Trimestres après le choc
Investissement

3
2
1
0

5
10
15
Trimestres après le choc
Taux sans risque

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc

20

2
1.5
1
0.5

20

4

0

Ecart relatif (en %)0

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)Production
1.75

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Rentabilité de l’actif risqué

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc

20

15
10
5
0
−5

2
0
−2
−4
−6

Fig. 3 — Fonctions de réponse à un choc de productivité (modèle B).

32

Tableau 4. Etalonnage
α
0.360

β

δ

γ

σ

b

ξ

σ

0.996

0.021

1.055

1.000

0.820

0.230

2.245

Le comportement dynamique du modèle de Jermann, résumé par la figure 3, se distingue
clairement du modèle néoclassique. En présence de formation d’habitudes et de coûts d’ajustement sur le capital, la consommation exhibe une plus forte volatilité (la convergence s’eﬀectue
au bout de 15 trimestres) associée à une autocorrélation beaucoup plus marquée. Même si lesagents souhaitent lisser leur consommation après le choc, la présence de coûts d’ajustement sur lecapital les en empêche partiellement. La réponse instantanée de l’investissement et son profil d’ajustement dénotent une volatilité globale plus faible. Il s’agit d’une conséquence immédiate descoûts d’ajustement. Le corrollaire de ce résultat est la forte volatilité instantanée de la rentabilité
de l’actif risqué. Ceci suggère la présence de variations du gain en capital. Les résultats relatifs
aux simulations du modèle, reportés dans le tableau 3, confirment les intuitions émanant del’analyse des fonctions de réponse à un choc.
Comparativement au modèle précédent, le modèle de Jermann constitue un progrès significatif, en particulier en ce qui concerne les prix d’actifs. L’association des habitudes de consommation et des coûts d’ajustement sur le capital interagissent de manière à engendrer une
prime de risque et un taux sans risque qui sont très proches de leurs contreparties empiriques
respectives.
Les prédictions sur le ratio de Sharpe sont moins satisfaisantes en raison de la trop forte
volatilité du taux risqué impliqué par le modèle. Par ailleurs, les variations du ”q de Tobin”
qu’autorise ce modèle ont un eﬀet décisif sur la volatilité de la rentabilité des actions. Cesrésultats proviennent de la combinaison des habitudes et des coûts d’ajustement sur l’investissement. La formation des habitudes entraı̂ne, chez les ménages, une forte incitation à acquérir desactifs lorsque l’utilité marginale de la consommation est faible, et à en vendre lorsque l’utilité
marginale de la consommation est élevée. Par ailleurs, les coûts d’ajustement constituent un facteur limitant la possibilité des agents de lisser la consommation. Enfin, ces derniers, engendrent
un gain en capital plus réaliste.
Cependant, des insuﬃsances demeurent. La première est un résultat bien connu qui résultede l’association de la formation d’habitudes et des coûts d’ajustements : la volatilité du tauxsans risque est largement surévaluée. En présence de formation d’habitudes, les agents exhibent

33une forte aversion à la substitution intertemporelle. Si on y ajoute l’eﬀet des coûts d’ajustement
qui constituent un obstacle supplémentaire à cette substitution, on obtient un taux d’intérêt
excessivement variable.
En ce qui concerne les faits stylisés du cycle économique, le modèle reproduit de manièrepeu satisfaisante les volatilités relatives de l’investissement et de la consommation. L’analyse desrésultats sur les comouvements avec le produit agrégé montre que le modèle prédit bien les signes
des corrélations, mais en surestime énormément l’intensité, notamment pour la consommation.
Sur ce point, le modèle n’améliore pas l’explication fournie par le modèle canonique. Enfin, lesstatistiques de persistance confirment les résultats précédents : cette classe de modèle souﬀre d’unmanque de persistance endogène. Par ailleurs, le modèle engendre une autocorrélation excessive
du taux de croissance de la consommation comparativement aux données. La persistance dutaux de croissance de la consommation est à relier directement au mécanisme de formationd’habitudes de consommation.
Pour conclure, les principaux enseignements que nous pouvons tirer de cette simulation sontles suivants :— Comme attendu, la combinaison des habitudes et des coûts d’ajustement a permis d’aboutirà un modèle capable de reproduire le niveau élevé de la prime de risque moyenne.
— Mais on est loin d’avoir produit un modèle qui soit satisfaisant du point de vue du double
objectif que nous nous sommes assignés.
En fait, comme nous allons le voir, les problèmes rencontrés par ce modèle sont encore plus
graves que notre simulation ne le laisse entendre.

4.3

La critique de BCF (1999)

Les résultats du modèle de Jermann constituent un progrès indéniable dans la recherched’une solution aux énigmes de prix d’actifs. Cependant, force est de constater que ce résultat
est obtenu au prix d’hypothèses particulièrement restrictives sur le comportement des agents(les ménages sont supposés oﬀrir du travail de manière inélastique). Sur ce dernier point, ilfaut en eﬀet admettre que Jermann laisse de côté la modélisation du marché du travail et, parconséquent, se prive de la description d’un pan important des fluctuations économiques.
C’est en se fondant pour partie sur cet argumentaire que BCF (1999, 2001) ont construit
leur critique du modèle de Jermann en particulier et des modèles à un secteur en général. Ces
auteurs aﬃrment, qu’il n’est pas possible au sein d’un modèle mono-sectoriel de croissance néo-34

classique de reproduire conjointement les faits stylisés des rentabilités d’actifs et les faits stylisés
des fluctuations économiques (élargies cette fois au marché du travail).
L’objectif de cette section est d’illustrer ce résultat fondamental, qui sera à la fois une
justification à l’exercice de BCF (1999, 2001) mais aussi le point de départ de nombreuses
extensions.
4.3.1

La prise en compte de l’oﬀre de travail des ménages

Nous relâchons l’hypothèse selon laquelle la dotation en temps des agents est entièrement
allouée au travail productif. La dotation globale de temps est à présent répartie entre travail
productif, Nt et loisirt . En normalisant cette dotation à l’unité à chaque période, la contrainte

de temps s’écrit
Nt + t = 1.
Le ménage représentatif valorise désormais le loisir. A la suite de BCF (1999, 2001), nous adoptons l’hypothèse d’indivisibilité du travail à la Hansen (1985). Cette hypothèse nous conduit àla fonction d’utilité16

U (Ct , Ct−1 , Nt ) = log (Ct − bCt−1 ) − ψNt .

(21)

C’est la seule modification que nous apportons au modèle précédent. Nous débouchons donc surune condition du premier ordre en plus.
4.3.2

Résolution du modèleLes conditions du premier ordre du programme du planificateur sont identiques à celles dusystème (17)-(20), à deux modifications près. En premier lieu, l’équation (20) devient
Yt = Ktα (ezt Nt )1−α .

(22)En second lieu, le système est complété par l’équation d’oﬀre de travail
Λt (1 − α)

Yt
= ψ.
Nt

(23)

Cette équation stipule que le rapport de la désutilité du travail à l’utilité marginale de la consommation doit, à l’équilibre, égaliser la productivité marginale du travail. Cette dernière, égale
au taux de salaire, est la variable d’arbitrage entre consommation et loisir.
16

Voir Lettau et Uhlig (2000) pour une analyse extensive des propriétés des fonctions d’utilité avec formationd’habitudes sur la consommation et sur le loisir.

35

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Consommation

2
1.5
1
0.5
0

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Rentabilité de l’actif risqué

2
0
−2

0

5
10
15
Trimestres après le choc

−0.5
−1
−1.5
5
10
15
Trimestres après le choc
Investissement

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Taux sans risque

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc

20

0.95
0.9
0.85

0.1
0.05
0
−0.05
−0.1

20

0

1

0.8

20

4

0

−2

20

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)1

0.5

Ecart relatif (en %)Heures travaillées

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)Production
1.5

Fig. 4 — Fonctions de réponse à un choc de productivité (modèle C)

4.3.3

Résultats quantitatifs

La méthode de résolution utilisée pour ce modèle est identique à la précédente. Afin de bien
illustrer les conséquences de l’introduction d’un comportement d’oﬀre de travail non trivial, lesparamètres du modèle prennent les même valeurs qu’à la section précédente (cf. tableau 4). Il
nous reste toutefois à fixer ψ, qui n’apparaissait pas dans le précédent cadre. Nous choisissons
ce paramètre de manière à garantir N = 0.30, au régime permanent.
Le comportement dynamique du modèle, résumé par la figure 4, appelle deux remarques
majeures. La première concerne la réponse à l’impact de la production. Cette dernière répondde manière moins que proportionnelle à l’impulsion initiale de σ % sur le progrès techniqueexogène. Cela traduit un manque flagrant de mécanisme interne d’amplification de l’eﬀet du chocde productivité. La seconde remarque (liée à la première dans une certaine mesure) concerne
la réponse contrefactuelle des heures totales travaillées. Celles-ci répondent négativement à unchoc positif de productivité. Nous détaillerons, dans la suite de cette section, les raisons de telsrésultats.

36

Les résultats de la simulation du modèle sont reportés dans le tableau 3, colonne C. Par
rapport au modèle avec oﬀre de travail fixe, le modèle intégrant une oﬀre de travail endogènea des implications contrefactuelles pour les prix d’actifs. Bien que le taux sans risque moyenthéorique soit relativement proche de sa contrepartie empirique, l’importante prime de risqueempirique n’est plus reproduite. L’explication des autres variables financières n’est pas plus
satisfaisante. Par exemple, la volatilité de la rentabilité des actions est trois fois trop faible. Cesrésultats quantitatifs peuvent être expliqués comme suit.
Dans l’économie considérée, un choc de productivité positif induit un rendement supérieur
du capital physique (et donc de l’actif risqué). La productivité marginale du travail se trouveégalement accrue suite à ce choc. Les agents, qui perçoivent ce surcroı̂t de revenu (de l’actif risquéet du travail) ont deux possibilités. Ils peuvent, premièrement, maintenir l’oﬀre de travail d’avant
la réalisation du choc et voir augmenter leurs revenus anticipés de demain. Deuxièmement, ils
peuvent décider de maintenir des revenus similaires tout en réduisant l’oﬀre de travail. En
présence de formation d’habitudes sur la consommation, l’aversion à l’égard de la substitution
intertemporelle est plus forte : ils préférerons un niveau de consommation courant proche decelui d’hier ce qui réduit l’incitation à oﬀrir la même quantité de travail. En fin de compte, lesménages préféreront réduire leurs heures travaillées et ainsi tirer profit du bon état de la naturequ’implique le choc. Il en découle que le niveau d’emploi d’équilibre chute à l’impact engendrant
ainsi une corrélation négative des heures avec la production. Le corollaire de la réponse négative
des heures à un choc de productivité positif est le manque global d’amplification. Cela est
particulièrement vrai en ce qui concerne la rentabilité de l’actif risqué Rte qui est deux fois moins
variable que sa contrepartie empirique. C’est la raison principale pour laquelle le modèle n’est
plus capable de reproduire la forte prime de risque empirique.
Il convient d’ajouter que ce problème apparaı̂t même pour des niveaux très importants devariance. C’est la raison pour laquelle nous avons choisi d’imposer une variance identique àcelle du modèle avec travail fixe. On peut ainsi se rendre compte de l’eﬀet de l’introduction del’arbitrage travail-loisir sur la perte globale d’amplification, comme l’illustre le tableau 3.
L’enseignement principal que l’on peut tirer de cet exercice est négatif. La simulation desprécédents modèles montre que les mécanismes considérés par Jermann (1998) permettent dereproduire la prime de risque empirique pour de mauvaises raisons. C’est parce que ce dernier
fixe l’oﬀre de travail —privant ainsi les agents d’un moyen additionnel de lisser leur consommation
et créant du même coup une tension sur la demande de capital— que son modèle parvient à se

37

comporter de façon satisfaisante. Mais ce mécanisme est fragile.

5

Quelques pistes de résolution
La section précédente a montré qu’un modèle DSGE enrichi du comportement d’oﬀre de tra-vail échoue tant dans l’explication des faits du cycle économique que dans celle des rentabilitésdes actifs financiers. Trois résultats fondamentaux se dégagent en particulier, (i) la prime derisque des actions n’est plus reproduite, (ii) le modèle souﬀre d’un déficit d’amplification conduisant à une sous-évaluation globale de la volatilité du produit, (iii) la dynamique de l’emploi
est contra-cyclique.
Nous évaluons dans les sous-sections suivantes des solutions à ces trois défaillances. Chacune de ces solutions a été proposée par BCF (1999, 2001). Dans la section 5.1, nous modifions le modèle de Jermann avec oﬀre de travail en supposant que les heures travaillées sontprédéterminées. Dans 5.2, nous présentons un modèle à deux secteurs avec mobilité limitée dutravail et du capital entre les deux secteurs. Il s’agit du modèle de référence de BCF.

5.1

La prédermination des heures

En présence de choix travail-loisir, les agents disposent d’un moyen supplémentaire pourlisser les eﬀets d’un choc. Pour limiter ce comportement des agents, nous allons introduire
une friction sur le choix des heures travaillées. Nous modifions la structure informationnelle dumodèle précédent, en supposant que les heures doivent être choisies avant que ne soit connu lechoc17 .
Nous supposons que le planificateur choisit Nt avant d’observer zt . Les autres variables desaut sont sélectionnées après l’observation des chocs. A partir det nous définissons l’ensembled’information Ωt = { t , t−1 , . . .}. Par conséquent, Nt est choisi conditionnellement à Ωt−1 tandis
que Kt+1 et Ct sont choisis conditionnellement à Ωt . Pour faciliter les écritures, nous introduisonsla notation suivante EΩt {At } ≡ E{At |Ωt }.
17

C’est l’hypothèse de rétention de main d’oeuvre explorée par Burnside, Eichenbaum et Rebelo (1993).

38

5.1.1Résolution du modèleLes conditions de premier ordre sont identiques à celles obtenus dans le modèle de la section
précédente, exceptée l’équation (23) qui s’écrit à présent¾½
Yt− ψ = 0.
EΩt−1 Λt (1 − α)
Nt

(24)

L’arbitrage travail-loisir en fonction du taux de salaire réel reste inchangé. Simplement, il seréalise conditionnellement à un ensemble d’information diﬀérent de celui du choix des autres
variables. Au moment du choix, le choc contemporain n’est pas encore observé. Il faut donc
attendre la période suivante pour ajuster l’oﬀre de travail. Ceci constitue une limite considérableà la modification intertemporelle des plans de consommation. En particulier, à l’impact duchoc, les agents ne peuvent pas utiliser les variations de leur oﬀre de travail pour lisser leurconsommation. De ce point de vue, le modèle se rapproche du modèle de Jermann (1998) avec
oﬀre de travail fixe.
5.1.2

Résultats quantitatifs

Afin d’illustrer les principales conséquences de l’hypothèse de fixité des heures à court terme,nous adoptons le même étalonnage que précédemment. Toutefois, nous modifions la valeur de β
de façon à obtenir un taux sans risque proche de son équivalent empirique. Nous imposons alors
β = 0.999.
La particularité du modèle avec prédétermination des heures travaillées apparaı̂t très nettement dans la figure 5. La fixité des heures à l’impact se traduit par une réponse nulle decette variable. Le comportement du modèle dans les trimestres qui suivent la réalisation du choc
ressemble à la dynamique du modèle C : les heures répondent négativement et provoquent une
baisse brutale de la production et de la rentabilité de l’actif risqué.
Les résultats du tableau 3 (colonne D) suggèrent que l’association du mécanisme de coûtd’ajustement et du choix antidaté du travail permet de réconcilier le modèle avec le taux sansrisque et la prime de risque empiriques. Si les implications pour les prix d’actifs sont assez prochesde celles du modèle de Jermann, les performances en termes de fluctuations économiques diﬀèrent
quelque peu.
En eﬀet, le déficit d’amplification du modèle bien que moins marqué, demeure. Il s’agit d’une
conséquence de la contracyclicité des heures travaillées. Le comportement théorique des agents
est ici identique à celui observé dans la section précédente. Les coûts d’ajustement agissent
39

1.2
1
0

5
10
15
Trimestres après le choc
Consommation

1.5
1

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Rentabilité de l’actif risqué

−1

10
0
−10
0

5
10
15
Trimestres après le choc

5
10
15
Trimestres après le choc
Investissement

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Taux sans risque

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc

20

3
2
1

5
0
−5
−10
−15

20

0

4

0

20

20

−20

−0.5

−1.5

20

2

0.5

0

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)

1.4

0.8

Ecart relatif (en %)Heures travaillées

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)Production
1.6

Fig. 5 — Fonctions de réponse à un choc de productivité (modèle D).

comme une taxe sur les revenus du travail. Suite à un choc positif, les agents préfèrent réduireleur oﬀre et demande travail, du fait de la domination de l’eﬀet de richesse sur l’eﬀet de substitution. Dans ce contexte, les heures travaillées chutent suite au choc de productivité positif et
ce phénomène est d’autant plus marqué que les coûts d’ajustement sont élevés.
En ce qui concerne le comportement de persistance du modèle, le produit théorique est
fortement et négativement autocorrélé. Il s’agit d’une autre conséquence de la contracyclicité desheures travaillées. Ces-dernières ne pouvant pas répondre instantanément, induisent une réponse
positive du produit. Cette augmentation ne peut se poursuivre car à la période suivante les heurestravaillées s’ajustent à la baisse entraı̂nant de fait une chute du produit. Cette dynamique”heurtée” du produit est l’origine l’autocorrélation négative de ∆yt . Par ailleurs, le taux decroissance de la consommation apparaı̂t fortement et positivement corrélée par rapport aux
données.

40

5.1.3

Une reflexion sur le comportement contra-cyclique des heures

Nous avons vu que dans le modèle de Jermann (1998) avec heures travaillées, que ces dernièressoient ou non prédéterminées, le travail covarie négativement avec la production. Prise pourargent comptant, cette prédiction devrait suﬃre pour rejeter les modèles étudiés. Toutefois, derécents résultats empiriques nous amènent à modérer ce jugement.
En eﬀet, une importante littérature, initiée par Galı́ (1999), suggère que les heures travaillées répondent négativement à un choc technologique permanent18 . Ce résultat suggère que
les modèles précédents sont plus conformes aux données que nos simulations ne le laissaientenvisager, comme le montrent Francis et Ramey (2005).
Corrolairement, comme les heures travaillées sont globalement procycliques, le résultat précédent
suggère que les chocs technologiques permanents ne sont peut être pas la source dominante defluctuations aux Etats-Unis. Si tel est le cas, la question est ouverte de savoir quels autres chocs
expliquent les fluctuations économiques et si, une fois incorporés dans un modèle similaire àceux que nous venons d’étudier, ils peuvent être la source de gains en capital élevés et volatils.
Force est de constater que cette question n’a guère été abordées dans la littérature.

5.2

La modélisation bi-sectorielle

Les résultats mis en évidence dans la section précédente sont initialement dus à BCF (1999).
C’est à partir de ceux-ci que les auteurs décident d’abandonner le cadre d’analyse mono-sectoriel.
BCF (2001) en concluent que dans le cadre du paradigme de l’agent représentatif et des marchéscomplets, le modèle bi-sectoriel avec mobilité inter-sectorielle limitée des facteurs de production
constitue la réponse la plus adaptée à l’explication conjointe des faits du cycle économique etdes énigmes de prix d’actifs.
5.2.1

L’environnement économique

Les préférences du ménage représentatif sont les mêmes que dans le modèle précédent. C’est
maintenant le “bloc production” qui est modifié. Ce dernier est caractérisé par une structure bisectorielle. Nous supposons qu’un secteur de consommation produit le bien de consommation del’économie. Tandis qu’un autre secteur, appelé secteur d’investissement, produit le bien capital.
18

Voir aussi Basu, Fernald et M. Kimball (2004), Fernald (2005), Francis et Ramey (2005). Il convient ausside souligner ici que le résultat de Galı́ (1999) est contesté dans la littérature. Voir par exemple Chari, Kehoe, et
McGrattan (2005) et Christiano, Eichenbaum, et Vigfusson (2004).

41

Le bloc production peut donc être décrit par les équations suivantes.
Ct = (Kc,t )α (ezt Nc,t )1−α(25)

Ki,t+1 + Kc,t+1 = (1 − δ) (Ki,t + Kc,t ) + (Ki,t )α (ezt Ni,t )1−α(26)Dans les équations (25) et (26), α représente la part du revenu du capital dans le produit. Kc,tet Ki,t représentent respectivement les stocks de capital dans les secteurs du bien final et del’investissement. De manière similaire, Nc,t et Ni,t désignent respectivement les niveaux d’intrant en travail dans les secteurs du bien de consomation et du bien d’investissement. Enfin zt
correspond au même choc de productivité que précédemment. Il est à noter que nous supposons
ici que les deux secteurs partagent le même niveau de progrès technique.
Nous supposons que Nt , Nc,t , et Ni,t sont choisis avant la réalisation du choc de productivité.
Il s’agit selon Boldrin, Christiano et Fisher, d’un moyen d’introduire de manière simple la lenteur
d’ajustement de l’allocation de l’emploi d’un secteur à l’autre. De même, on suppose qu’une fois
le capital installé dans un secteur donné, il ne peut être ré-alloué à un autre secteur. Autrement
dit, Kc,t+1 et Ki,t+1 sont choisis conditionnellement à l’ensemble d’information disponible en t
et ne ne peuvent par conséquent pas être ajustés suite à la réalisation de
5.2.2

t+1 .

Résolution du modèleLe planificateur maximise l’utilité des ménages sous les contraintes (25)-(26) et sous les
hypothèses précédentes relatives à la structure d’information. Les conditions de premier ordre
associées à ce problème sont½¾
1
1
− βbEt= Λc,tCt − bCt−1
Ct+1 − bCt½µ¶α ¾Kc,t+1(1 − α) Et Λc,t+1 ezt+1=ψ
ezt+1 Nc,t+1½µ¶α ¾Ki,t+1zt+1=ψ(1 − α) Et Λi,t+1 e
ezt+1 Ni,t+1
#)
(
" µ
¶α−1
Λi,t+1
Kc,t+1βEt Λc,t+1 α zt+1+
(1 − δ)− Λi,t = 0e
Nc,t+1
Λc,t+1
#)
(
" µ
¶α−1
Ki,t+1βEt Λi,t+1 α zt+1
+ (1 − δ)− Λi,t = 0eNi,t+1

42

(27)

(28)
(29)
(30)

(31)

Tableau 5. Etalonnage
α
0.360

β

δ

γ

σ

N

b

0.99999

0.021

1.055

2.135

0.300

0.71

auxquelle s’ajoutent les conditions d’équilibre suivantes
Ct = (Kc,t )α (ezt Nc,t )1−α(32)

Ki,t+1 + Kc,t+1 = (1 − δ) (Ki,t + Kc,t ) + (Ki,t )α (ezt Ni,t )1−α(33)

Les rentabilités d’actifs sont dérivées des conditions d’optimalité des agents. En posant Pk,t ≡Λi,t /Λc,t ,Pk0 ,t ≡ (1 − δ) Pk,t , nous obtenons
" µ
#
¶α−1
K
1
c,t+1
e
=
+ Pk0 ,t+1 − 1
Rc,t+1
α zt+1Pk,te
Nc,t+1

"
#
¶α−1
µ
K
1
i,t+1
e
=
+ Pk0 ,t+1 − 1
Ri,t+1
Pk0 ,t+1 α zt+1
Pk,te
Ni,t+1

La rentabilité de l’actif risqué agrégré peut donc s’écrire
e
=
Rt+1

Kc,t+1 e
Ki,t+1 e
Rc,t+1 +R.
Kt+1
Kt+1 i,t+1

La définition du taux sans risque reste inchangée.
5.2.3

Résultats quantitatifs

Les valeurs attribuées aux paramètres sont résumées par le tableau 5. La valeur de β est
choisie de façon à reproduire le mieux possible le taux sans risque. La variance du choc deproductivité est choisie de manière à reproduire la variance de la composante stationnaire duproduit. Enfin b est choisie de manière à reproduire au mieux la prime de risque empiriquemoyenne. Les autres paramètres sont identiques aux cas précédents.
Le comportement dynamique du modèle semble correspondre aux exigences formulées précédemment.
La réponse de la production traduit une certaine aptitude à l’amplification du choc et la dynamique d’ajustement suggère la présence de mécanismes de propagation conséquents. Le profil
dynamique de la production est essentiellement dû au profil des heures travaillées, qui sont fixesà l’impact, puis répondent positivement au choc de productivité.
Le modèle bi-sectoriel possède des implications intéressantes pour les rentabilités d’actifs.
Comme le montre le tableau 3 ce modèle constitue une véritable avancée dans l’explication
43

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)

2
1.5
1

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Consommation

0

2

1.6
1.4
5
10
15
Trimestres après le choc
Rentabilité de l’actif risqué

Ecart relatif (en %)

10
0
−10
0

5
10
15
Trimestres après le choc

5
10
15
Trimestres après le choc
Investissement

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc
Taux sans risque

20

0

5
10
15
Trimestres après le choc

20

3
2

5
0
−5
−10
−15

20

0

4

1

20

20

−20

0.5

20

1.8

0

Ecart relatif (en %)Heures travaillées
1

Ecart relatif (en %)Ecart relatif (en %)Production
2.5

Fig. 6 — Fonction de réponse à un choc de productivité (modèle E).

des énigmes de prix d’actifs en économie de production. Avec une valeur de b = 0.71, le modèleparvient à reproduire simultanément le niveau moyen du taux sans risque et de la prime de risquedes actions19 . Les limites sont également celles que l’on connaı̂t puisque la volatilité du taux sansrisque est également très élevée. Pour bien comprendre les raisons qui fondent ces résultats ilfaut relier la volatilité de l’actif risqué, σ (Re ), aux rigidités introduites dans le modèle. Ces
rigidités (décisions d’oﬀre de travail et d’accumulation de capital sur la base de l’information
disponible en t − 1 ; impossibilité de ré-allocation des facteurs) ont pour conséquence de réduirel’élasticité de l’oﬀre de capital. En imposant le choix du capital avant que ne soit connu le chocet en empêchant sa ré-allocation contemporaine entre secteurs, le modélisateur rend l’oﬀre decapital complètement inélastique pour une période. Ceci engendre de la volatilité des gains en
capital et augmente σ (Re ). Dans ce contexte d’inélasticité de l’oﬀre de capital, la variabilité
de la demande de capital (accrue par b) aura un impact suﬃsant sur l’oﬀre de capital pourengendrer une prime de risque élevée.
19

Notons que notre valeur de b est très proche de celle reportée par les auteurs, soit b = 0.73.

44Les propriétés du modèle bi-sectoriel, en ce qui concerne les faits stylisés des fluctuationséconomiques, sont supérieures à celles du modèle de base. Si l’on se réfère uniquement aux
mesures de volatilité relative et de comouvement, le modèle fait au moins aussi bien qu’unmodèle RBC standard. Si l’on prend uniquement en compte le comportement de persistance dela consommation, on constate que le taux de croissance de la consommation y est proche d’une
marche aléatoire alors qu’elle apparaı̂t positivement autocorrélée dans les données. En revanche,le modèle constitue un progrès indéniable en ce qui concerne la reproduction de la persistancedu taux de croissance du produit. Ce dernier, quasiment nul dans le modèle standard, vaut 0.34
dans les données et 0.36 dans le modèle. Le comportement de persistance du produit est à relier
directement à la réponse retardée de l’emploi. Le dernier résultat important à souligner est laréponse des heures à un choc de productivité. Ces dernières suggèrent une procyclicité des heures
conformément aux données.

6Conclusion
L’objectif de cette revue de la littérature était de mieux comprendre l’évaluation des prixd’actifs dans un modèle d’équilibre général dynamique et stochastique. Nous avons proposé une
analyse intégrée des rentabilités d’actifs et des fluctuations économiques en tentant d’identifier
les mécanismes à prendre en considération dans un modèle DSGE afin que celui soit en mesured’expliquer les dynamiques des prix d’actifs tout en préservant ses performances sur les faits
stylisés des fluctuations économiques.
L’analyse fait ressortir le rôle central de l’interaction entre les formations d’habitudes et unmécanisme particulier de gains en capital. Pour ce dernier, plusieurs options de modélisation sontpossibles. En adoptant, l’optique de Jermann (1998) — où les gains sont engendrés par des coûts
d’ajustement sur la capital physique — nous montrons qu’il est possible de reproduire une primede risque des actions significative. Cependant, en étendant l’ensemble des faits étudiés au marché
du travail, le pouvoir explicatif du modèle se détériore significativement. De tels résultats posent
fondamentalement la question de l’adéquation de la structure mono-sectorielle du modèle deJermann. Il semble, en eﬀet, impossible d’obtenir conjointement des prédictions correctes sur lesvolatilités relatives des principales variables macroéconomiques, les comouvements de l’emploi
avec le produit et un taux sans risque et une prime de risque compatibles avec les donnéesobservées.
Partant de là nous explorons deux pistes permettant d’éviter les précédentes limites. Il s’agit
45

d’introduire un mécanisme réduisant la facilité des ménages à lisser intertemporellement le profilde leur consommation. La première piste suppose que les heures travaillées sont choisies avant
que ne soit connu le choc de productivité. La seconde, adopte une structure bi-sectorielle, avec
une mobilité limitée des facteurs de production capital et travail entre secteurs. Ces modifications
entraı̂nent une nette amélioration par rapport au modèle de référence. La qualité explicative dumodèle concerne aussi bien les rentabilités d’actifs que les fluctuations économiques.
Un certain nombre de limites persistantes doivent, cependant, être signalées. Le taux sansrisque moyen théorique est beaucoup trop variable au regard des données. Ce résultat contrefactuel demeure une véritable diﬃculté pour les modèles utilisés ici. Campbell et Cochrane (1999)
proposent une solution à ce problème en incorporant certains raﬃnements sur le processus deformation des habitudes.
De manière plus générale, un certain nombre d’hypothèses intéressantes n’ont pas été analyséesdans cet article. Les analyses précédentes supposent l’existence de marchés complets. Sous cettehypothèse, les marchés d’actifs financiers permettent aux agents de ces économies artificielles dese prémunir contre tous les risques idiosyncratiques futurs pesant sur les flux de consommation,ce qui justifie un raisonnement en termes d’agent représentatif. Toutefois, l’hypothèse de marché
complet a été levée dans la littérature, permettant d’explorer les implications quantitatives desmodèles à agents hétérogènes (Constandinides et Duﬃe [1996], Heaton et Lucas [1996]).
Dans ce type de cadre d’analyse, la consommation par tête se dinstingue de la consommationindividuelle : cette dernière est en eﬀet plus volatile que la première.Ainsi, on comprend l’espoir
que constitue l’hypothèse d’incomplétude : elle permet une faible covariance entre la croissancepar tête de la consommation et la rentabilité de l’actif risqué, tout en autorisant une covariancesuﬃsamment élevée entre la consommation individuelle et la rentabilité des actions, pour engendrer une prime de risque significative. Malheureusement, les prédictions des modèles analysésdans les contributions précitées montrent que leurs performances explicatives sont peu aﬀectées
par la propriété d’incomplétude des marchés (Kocherlakota [1996]. Dès lors qu’ils sont étalonnésde façon à reproduire les caractéristiques de la distribution en coupe des revenus du travail, cesmodèles d’économie de dotations, ne parviennent à reproduire la prime de risque, qu’à conditiond’incorporer des coûts de transaction importants et/ou des niveaux élevés d’aversion pour lerisque. De ce point de vue, on ne peut donc pas s’attendre à des résultats encourageants enétendant ce type de modèle à l’économie de production.

46

Annexe : Description des données
Nous utilisons les séries statistiques américaines suivantes pour définir les variables macroéconomiques.
L’échantillon s’étend de 1948(I) à 1996(III).
[1]:

produit national domestique réel (hors agriculture)(site du BEA)

[2]:

consommation réelle en biens durables(site du FREDII)[3]:

consommation réelle en biens non-durables(site du FREDII)[4]:

consommation réelle de services(site du FREDII)[5]:

investissement réel brut privé

(site du FREDII)[6]:

heures totales travaillées (hors agriculture)(site du BLS)

[7]:

population civile totale de plus de 16 ans(site du FREDII)[8]:

rentabilité d’un portefeuille pondéré du NYSE/AMEX(Campbell, 1999)[9]:taux d’intérêt sur un bon du trésor américain à 3 mois

(Campbell, 1999)

Notons que [6] et [7] sont des séries initialement mensuelles. Elles sont converties en fréquence
trimestrielle par simple moyenne. [8] et [9] sont des taux trimestriels, directement tirés de la basede données de Campbell (1999). Nous définissons ainsi les séries agrégées :C:([3] + [4])/[7];X:([2] + [5])/[7];Y:[1]/[7];

N:[6]/[7];

Re

:

[8];

Rf

:

[9].

47

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