Kähler商空間G/Hに対する超対称非線形表現
Lagrangian
九後 太一
京都産業大学 理学部/益川塾
15th Oka Symposium, Dec. 3-4, 2016@奈良女子大学理学部数学教室
1

世界はComplex
標準模型の明らかにしたこと：
１．自然界の全ての相互作用（強・弱・電磁・重力）はゲージ相互作用 (local gauge invariance)
SU(3)×SU(2)×U(1) ×Poincare群
２．基本粒子（物質場）は複素表現
Complex repr. （= カイラル in 物理）2― 17 ―

基本粒子=場
実は、クォーク・レプトンは、Right-handed 成分とＬeft-handed 成分
が別表現
under
KEKハイライトページより https://www.kek.jp/ja/NewsRoom/Highlights/20120727150000/

3

Dirac場はLorentz群の可約表現
カイラリティ

C変換

Charge Conjugation:

すべてＬ-基底に直せる― 18 ―45一世代分の物質場
Quark:

Lepton:のComplex表現
6― 19 ―

大統一理論ではSU(5)+7SO(10), E6 , …
SO(10) ⊃SU(5)spinor 16 = 10+5*+1E6 ⊃ SO(10) ⊃SU(5)27= 16 + 10 +1 = (10+5*+1)+(5+5*)+1
Note: E7, E8 は、実表現のみ（複素表現を持たない）
8― 20 ―

大統一群と例外群: EnE7 133
↓
E6 78
↓
E5 = SO(10) 45↓
E4 = SU(5) 24↓
E3 = SU(3)×SU(2)9世代の起源へGlobalな対称性Ｇが部分群Ｈへ自発的に破れる：G→ H と、 破れた生成子G/Hに対応する massless
南部-Goldstoneボソン(spin0)が現れる。
もしSUSY（超対称性）があれば、NGボソンは、Quasi-NG fermion と呼ばれるmassless (spin 1/2)フェルミオン相棒を伴う。 ー NG chiral超多重項(Buchmüller-Peccei-Yanagida’87，Ong’83 )Kugo-Yanagida 1984
3世代 from E7/SU(5)×SU(3)×U(1)
10― 21 ―E7→SU(5)×SU(3)×U(1)の自発的破れで現れる NG chiral multiplets
E7 → SU(5)×SU(3)×U(1)← unbroken generators
133 = (24 + 8 + 1)
+ (10, 3*)1+(5*,3)2+(5,1)3c.c.
+ (10*, 3)-1+(5, 3*)-2+(5,1)-3

Three generations 3×(10+5*) + 5 + singlet !
実NGボソンは破れた生成子の個数 50×2個（c.c.の両方）だけ現れるが、NG chiral superfieldsは片一方のみ!
Chiral superfield ～複素数11

これからのstorySUSY理論の複素構造：Kähler 多様体
G→H に伴うNGボソンのLagrangian: 非線形表現 based on coset G/H ←CWZ理論
SUSY理論での非線形表現：G/Hが等質Kähler多様体の場合 ←BKMU理論
BKMU Kähler potential の完全性

12― 22 ―131

SUSY 理論の複素構造：Supersymmetry, Superspace

Superalgebra:{Qα, Q̄β̇ } = 2i(σµ)αβ̇ P µwhere σ0 =(1Superspace:1), σ1 =(11(xµ, θα, θ̄α̇)), σ2 =(i)−iµ = 0, 1, 2, 3,, σ3 =(1−1)α, α̇ = 1, 2

θα, θ̄α̇: Grassmann SL(2,C) L and R spinors
xµ → xµ + ξ µξ µ Pµ : αααθ → θ +εεαQα + ε̄α̇Q̄α̇ :θ̄α̇ → θ̄α̇ + ε̄α̇ xµ → xµ + iθσ µε̄ − iεσ µθ̄

14
∂


Pµ =≡ ∂µ


∂xµ

∂
並進、SUSY 変換 :Qα =− i(σ µ)αβ̇ θ̄β̇ ∂µα∂θ∂ Q̄α̇ = − α̇ + iθβ (σ µ)β α̇∂µ∂ θ̄ Dα = ∂ + i(σ µ) θ̄β̇ ∂µαβ̇∂θα=⇒ 共変微分 :∂β D̄α̇ = −− iθ (σ µ)β α̇∂µ∂ θ̄α̇which are anticommutative with Q and Q̄: {D, Q} = {D̄, Q} = {D, Q̄} ={D̄, Q̄} = 0. すなわち、Φ(x, θ, θ̄) が superﬁeld なら DαΦ や D̄α̇Φ も superﬁelds：
δQ(ε)Φ = (εQ + ε̄Q̄)Φ

→δQ(ε)D̄α̇Φ = (εQ + ε̄Q̄)D̄α̇Φ― 23 ―

15

Chiral superﬁeld ϕ(x, θ, θ̄)↔

Complex variable

Chiral superfield ϕ(x, θ, θ̄): deﬁned by D̄α̇ϕ(x, θ, θ̄) = 0→ 本質的には θ̄-independent で complex: NotingD̄α̇y µ = D̄α̇θ = 0,for y µ ≡ xµ + iθσ µθ̄( φ(x): complex scalar ﬁeld )we seeϕ(x, θ, θ̄) = φ(y) +√2θψ(y) + θ2F (y)1= φ(x) + i(θσ µθ̄)∂µφ(x) + θ2θ̄2 φ(x)4√i 2+ 2θψ(y) − √ θ ∂µψ(x)σ µθ̄ + θ2F (y)2. その複素共役は anti-chiral superfield ϕ̄(x, θ, θ̄): Dαϕ̄ = 0√ϕ̄(x, θ, θ̄) = φ∗(y ∗) + 2θ̄ψ̄(y ∗) + θ̄2F ∗(y ∗) with y ∗µ ≡ xµ − iθσ µθ̄16SUSY invariant action: for arbitrary functions K(z, z ∗) and W (z),∫∫∫(∫)
42 24d2θ W (ϕ) + c.c.
d x d θd θ̄ K(ϕ, ϕ̄),dx(... SUSY 変換 Q, Q̄ は、θ の次数を上げる部分は、∂µ に比例）The simplest kinetic term:∫d2θd2θ̄ ϕϕ̄ = −∂ µφ · ∂µφ∗ − iψσ µ∂µψ̄ + F F ∗ + (t.d.)Generally,∫)(∗d2θd2θ̄ K(ϕ, ϕ̄) = gij ∗ (φ, φ∗) −∂ µφi · ∂µφj∗ − iψ iσ µ∂µψ̄ j + · · ·wheregij ∗ (φ, φ∗) =∂ 2K(φ, φ∗)∂φi ∂φ∗j(1)

SUSY theory lives in Kähler manifold with complex coordinates φi !

― 24 ―

17gij (φ, φ∗) = gi∗j ∗ (φ, φ∗) = 0 (hermitian manifold)1
fundamental 2-form Ω ≡ gij ∗ dφi ∧ dφj∗ is closed :2∂gij ∗ ∂gkj ∗∂gij ∗ ∂gik∗dΩ = 0 ⇔=and=.
ki∂φ∂φ∂φ∗k ∂φ∗j1)
2)

2

Coleman-Wess-Zumino Nonlinear Realization
Coleman, Wess and Zumino, Phys.Rev. 177(1969)2239
Callan, Coleman, Wess and Zumino, Phys.Rev. 177(1969)2247
Global な対称性 G が部分群 H に自発的に破れた場合:
G = { SA ∈ H,
↑unbroken

XI ∈ G −H }↑broken generators

generators は皆、基本表現における anti-hermitian 行列としておく
tr (SASB ) = δAB ,tr (XI XJ ) = δIJ ,tr (SAXI ) = 0(2)massless NG（南部-Goldstone）ボソンは、対称性の破れた生成子 XI と同じ数だけ現れる。ので、NG ボソンは実数スカラー場 π I (x) でラベル18出来る。その Lagrangian 密度は一般に Nonlinear sigma model と呼ばれ1L = gIJ (π)∂ µπ I ∂µπ J2と書かれる。G-不変性の要求からこの Lagrangian を決めたい。対称性
H は線形に表現されているが、それ以外の G の対称性は非線形に実現されているので、Nonlinear Realization と呼ばれる。
CWZ の basic variables: ∈ right coset G/H:
U (π) = eπ·X ,G-変換則：

π · X ≡ π I (x)XIg ∈ G に対し gU (π) = U (π ′)h(π, g),h(π, g) ∈ H,

This deﬁnes the non-linear G-transformation: π → π ′U (π)→U (π ′) = gU (π)h−1(π, g)

Now try to ﬁnd Invariant metric and Lagrangian under this transformation.

― 25 ―

19

Maurer-Cartan 1-form:
ω(π) = U −1(π)dU (π) = ω I (π)XI + ω A(π)SA ∈ G
which transforms()
ω(π ′) = U −1(π ′)dU (π ′) = h(π, g)U −1(π)g −1 d gU (π)h−1(π, g)= h(π, g)ω(π)h−1(π, g) + h(π, g) dh−1(π, g)

Since hdh−1 ∈ H, the broken generator part transforms homogeneously:ω I (π ′)XI = h(π, g)ω I (π)XI h−1(π, g)

Generally, {ω I (π)} splits into some H-irreducible subsets: Then, since∑∑ω I (π)XI )2 =
ω I (π)ω I (π)(3)
tr (I∈<I0 >I∈<I0 >(< I0 > は 代表ラベル I0 の XI0 の属する H-既約な subset) is clearly Ginvariant, general G-invariant metric is given by11∑
ds2 = gIJ (π)dπ I dπ J =x<I>ω I (π)ω I (π)(4)
22I

where coeﬃcients x<I> are constant on each H-irreducible pieces.

20

3

G/H: Kähler manifold case
実場
半分の複素場
I{π }
−→
{φi}
1
2
{XI } = {Xi , Xi }{Xi}complex generators
anti-hermitian generators()
0 0,1 0)0 1
X̄i =Xi =0 0( )0 i
Xi1 = i(Xi + X̄i∗ ) =∼ iσ1i 0()
0−1
Xi2 = Xi − X̄i∗ =∼ −iσ21 0― 26 ―(214

Bando-Kuramoto-Maskawa-Uehara Nonlinear Realization
BKMU, Prog.Theor.Phys. 72(1984)313, ibid 72(1984)582{Xi Complex broken generators ∈ Gc
XI ∈ G/H →X̄i∗ nilpotent matrix ∈ Gc{
Sa ∈ semi-simple part HS.S.
SA ∈ H →iYα ∈ center of H
Complex unbroken subgroup Ĥ = {X̄i∗ , Sa, iYα}NG complex coordinate φi(x) ↔ ϕ(x, θ, θ̄)
BKMU’s Basic variablei

ξ(φ) = eφ Xi ∈ Gc/Ĥ

G-変換則：g ∈ G に対し gξ(φ) = ξ(φ′)ĥ(φ, g),ĥ(φ, g) ∈ ĤThis deﬁnes the non-linear G-transformation: φ → φ′ξ(φ)→ξ(φ′) = g ξ(φ) ĥ−1(φ, g)

22

Now try to ﬁnd Invariant metric and Lagrangian under this transformation.
BKMU 処方:1)
2)

ﬁnd Ĥ or a set {Xi}ﬁnd projection matrices ηi s.t.
(ηi2 = ηi, ηi† = ηi)
Ĥηi = ηiĤηi,Then, possible Kähler potential is given by∑K(ϕ, ϕ̄) =ci ln detηi (ξ †(ϕ̄)ξ(ϕ))
iProof of Invariance:ln detη (ξ(ϕ̄′)†ξ(ϕ′))()= ln detη η ĥ−1†(ϕ̄, g)ξ †(ϕ̄)g † gξ(ϕ) ĥ−1(ϕ, g)η
( −1†)= ln detη η ĥ (ϕ̄, g)η · ηξ †(ϕ̄)ξ(ϕ)η · η ĥ−1(ϕ, g)η
= ln detη (ĥ−1†(ϕ̄, g)) + ln detη (ξ †(ϕ̄)ξ(ϕ)) + ln detη (ĥ−1(ϕ, g))∫
第 1,3 項は、(anti-)holomorphic なので d2θd2θ̄ F (ϕ) = 0、よって∫ 2 2d θd θ̄ K(ϕ, ϕ̄) は不変。

― 27 ―235

BKMU’s potential の完全性
K.Itoh, T.Kugo and H.Kunitomo, Nucl.Phys. B263 (1986),295.
1)
2)
3)

how to ﬁnd the set {Xi} → invariant complex structure
how to ﬁnd ηi → # of free parameters in K(ϕ, ϕ̄)Complete?

定理 [Borel]:

Let G be compact and semisimple. Then,
G/H : Kählerian ⇔ H is a centralizer of a torus
A. Borel, Proc. Natl.Acad.Sci. 40 (1954) 1147;
A. Borel and F. Hirzebruch, American J. Math. 80 (1958) 458.
→ ∃Y = (Y1, Y2, · · · , Yk ) .
Torus = U (1)k
H: centralizer → H が Torus と可換な maximal subgroup in G
物理屋の言い方では、Y -charge が０の generators は SA ∈ H が全てで、他の broken generators XI ∈ G/H は、必ず non-zero charge を持つ

24上の１）の問題「{Xi} の選び方」に対しての答え:
XI → (Xi, X̄i∗ ) への分解の仕方は、{ Xi ,↑negativeX̄i∗ }↑positive Y -charge

positive, negative は、roots の場合と同様、(Y1, Y2, · · · , Yk ) charges の順
序の取り方による異なる complex strucure の入れ方の数 = ordering の取り方の数→上の 2）の問題「ηi の見つけ方」に対しての答え:
表現空間の base vector を H-既約部分空間に分解：ψ= y 1 ψ1
..  ..  各 H-既約空間のベクトルは同じ Y -charge の値 y i を持y r ψr

― 28 ―

25

ち、y 1 > y 2 > · · · > y r の順に並べれば、

1 1.. ...

i
10
...
∀ηi =0





(5)の形の projection ηi は、Ĥηi = ηiĤηi を満たす。Ĥ の generators

Ĥ = {X̄i∗ , Sa, iYα}のうち、X̄i∗ は Y -charge の値を増やし、Sa, Yα は変化させないから。

26

最後に完全性について
Key observation:
Kähler G/H は，BKMU variable でも CWZ variable でも記述可。
iξ(φ) = eφ Xi↕
ii∗
aαCWZ variable : U (φ, φ∗) = eφ Xi ea X̄i∗ eb Sa eic Yα= ξ(φ) · ea·X̄ eb·S eic·Y

BKMU variable :(6)U †U = 1（および b, c：純虚数）を要求すると、a(φ, φ∗), b(φ, φ∗), c(φ, φ∗)は、(φ, φ∗) の関数として unique に決まる。
また、BKMU と CWZ の G-変換則を比較すると、)1(cα(φ′, φ′∗) = cα(φ, φ∗) + γα(φ, g) − γα∗ (φ∗, g)2
ただし、γα (φ, g) は、BKM 変換則の ĥ(φ, g) = eα·X̄ eβ·S eiγ·Y の最後の因子。
この式は、cα (φ, φ∗) が Kähler potential の候補関数であることを示している。しかも、実は、BKMU の公式
ln detηi (ξ †(ϕ̄)ξ(ϕ))― 29 ―

27で計算されるものが、この cα (φ, φ∗) の線形結合であることが (6) の式からすぐわかる。また、一つの表現で可能な ηi を全てとれば、k 個全てのcα(φ, φ∗) を取り出すことが出来ることがわかる。
Maurer-Cartan 1-form を (6) 式の parametrization の U を使って計算す
れば、
∗となり、
命題１：

ω = U −1dU = ω iXi + ω i X̄i∗ + ω aSa + iω αYα∗ω i ∝ dφ,ω i ∝ dφ∗(7)最も一般的な G-不変な metric の fundamental 2-form は∑Ω = gij ∗ (φ, φ∗)dφi ∧ dφ∗j =x<i>ω i ∧ ω ∗iiで与えられる。ただし、係数 x<i> は、H-既約成分上では定数.

28

命題２：

Ω が closed dΩ = 0 のためには,x<i> はx<i> + x<j> = x<k>for ∀i, j, k with fij k ̸= 0を満たすことが必要十分.
この性質は x<i> が、roots αi の linear mapping を与えることを示しており、従って、双対ベクトル ∀v が存在して、x<i> = v · α である。Cartan generators H の線形結合の charge Y ≡ v · H を定義すれば、x<i>は、broken generator Xi の Y -charge である：[Y, Xi] = x<i>Xi. しかし、
x<i> は H-既約セクター上で定数だから、Y は H の center にはいっており、Yα (α = 1, · · · , k) の線形結合で書けている。したがって
命題３：

G-不変 closed fundamental 2-form Ω を与える係数 x<i> は,generator Xi の持つ，ある H の central charge ∃Y =∑α vα Yα = v · Y の値の (マイナス) である：[Y, Xi ] = −x<i> Xi― 30 ―

29

（マイナス符号を入れたのは、Xi が負の Y -チャージを持つという規約とあわせるため。）
定理：

central charge Y = v · Y に対応する G-不変 計量 gij ∗ (φ, φ∗)を与える Kähler potential は∑K(φ, φ∗) = 2ivαcα(φ, φ∗) ≡ 2ic(φ, φ∗)αProof)[Y, Xi] = −x<i>Xi, [Y, X̄i] = x<i>X̄i ゆえ()()∗∗[Y, ω] = −x<i> ω iXi − ω i X̄i∗→ tr [Y, ω] ∧ ω = −2x<i>ω i ∧ ω i)()
( )1 (... Ω = − tr [Y, ω] ∧ ω = −tr Y ω ∧ ω = d tr Y ω (... dω = −ω ∧ ω)2
ω = U −1dU = U −1dφU + U −1dφ∗ U
第２項の dφ∗ の方から評価。U = ξ(φ) ea·X̄ eb·S eic·Y を代入して、ξ(φ) は30

φ∗ に依らないので())()(tr Y U −1dφ∗ U = tr Y e−ic·Y e−b·S e−a·X̄ dφ∗ ea·X̄ eb·S eic·Y(use tr (Y Yα) = vα)+tr (Y Yα)idφ∗ cα( −b·S −a·X̄
( a·X̄ b·S ))= tr Y eed φ∗ e e+ idφ∗ (vαcα)

第１項は、dφ∗ 微分が X̄ や S 比例項を出すので、Y と直交して tr は０。
dφ 項に対しては、U −1dφU = U †dφU †−1 を用いれば、また ξ(φ) 部分が効かない計算が出来て()
tr Y U −1dφU = −idφ(vαcα)
したがって、Ω = −id(dφ − dφ∗ )(vαcα)= 2idφdφ∗ c(φ, φ∗)∂ 2(2ic(φ, φ∗)) i ∗j=dφ dφ∂φi∂φ∗j
Implyinggij ∗ (φ, φ∗) =∂ 2(2ic(φ, φ∗))∂φi∂φ∗j― 31 ―q.e.d.

31

講演では触れられなかったが、命題 1∼3 および定理の意味するところから、結局、Y -チャージ Y = v · Y を指定する k 成分ベクトル v =(v1, · · · , vk ) の取り方が、複素構造（複素座標の選び方）自体から Kähler
ポテンシャルまで、全てを一意的に決定していることがわかる。
実際、ベクトル v = (v1, · · · , vk ) を与えれば、先ず Y -チャージ Y = v·Yが指定され、次に broken generators { XI } の中から、その Y -固有値が負の生成子を complex broken generators { Xi } に選べば良い。そうすると、[Y, Xi] = −x<i>Xi で決まる値 x<i> は全て正（で、H-既約成分上で定∑数）であり、命題 1 の fundamental 2-form Ω = i x<i>ω i ∧ ω ∗i の与える
計量 gij ∗ は正定値である。また、この計量を与える Kähler ポテンシャル∑が、K = α vα cα (φ, φ∗) となる。
標語的に言えば、ベクトル v の向きが複素座標のセットを決め、v の大きさが計量の係数の大きさを決める。
Xi の Y = (Y1, · · · , Yk ) チャージの値を y i とすれば、上の係数 x<i> は、Y i チャージベクトル y i の v 方向への射影 x<i> = y i · v で与えられる。vの方向を連続的に変えていって、x<i> = y i · v がだんだん小さくなって、遂に 0 を切って負になったとすると、計量が正定値でなくなることを意32味する。が、この場合、broken generator Xi の Y チャージ −y i · v が正になることを意味するので、最早 Xi は（Y チャージ負の条件で選ばれる）
complex broken generator ではなく、今まで X̄i∗ と呼んでいた generator と入れ替えねばならないことを意味する。この complex 座標の入れ替えを行えば、計量は再び正定値となる。したがって、異なる複素構造の境界は、ある Xi の Y チャージ y i が v と直交するという条件で指定される。

― 32 ―

33

Example: K.Itoh, T.Kugo and H.Kunitomo, Prog.Theor.Phys. 75 (1986),386.
Grassmann mfd G/H = SU (l + m + n)/S[U (l) × U (m) × U (n)]Two central charges (k = 2):n  l ml n1lY1 = m0,n−l1nmn  ll m1l
Y2 = m−(l + n)1m.
nm1n

The (real) unbroken and broken generators aremn  ll SU (l)m
SU (m)
 ∈ H,nSU (n) ll 0m An BmĀ
0Cn B̄C̄  ∈ G −H.
034

vector in representation space:

ψ =
l ψl
— Y1 = n↑ largerm ψm  — Y1 = 0— Y1 = −ℓn ψn

Y = Y1 charge と選んだときの projection operators 二つ：
 l m nl 1lη1 = m0,n0

BKMU basic variable: l m nl 1lη2 = m
1m,n0m n ll 10 0ABCξ(ϕ) = eϕ A+ϕ B+ϕ C = m ϕA 1 0 n ϕ′B ϕC 1ϕ′B ≡ ϕB + ϕC ϕA.

― 33 ―

35

Then two independent Kähler potentials are ) 1( 
K1 = ln detη1 (ξ †ξ) = ln det  1 ϕ̄A ϕ̄′B  ϕA l×lϕ′B()= ln det 1 + ϕ̄AϕA + ϕ̄′B ϕ′Bl×l() 1 0
 1 ϕ̄A ϕ̄′B  A
K2 = ln detη2 (ξ †ξ) = lndet
 ϕ 1 (l+m)×(l+m)
0 1 ϕ̄Cϕ′B ϕC)(1 + ϕ̄AϕA + ϕ̄′B ϕ′B ϕ̄A + ϕ̄′B ϕC= lndet(l+m)×(l+m)
ϕA + ϕ̄C ϕ′B
1 + ϕ̄C ϕC= K1 + ln det (1 + ϕ̄C ϕC )m×m(+ ln det 1 − (1 + ϕ̄C ϕC )−1(ϕA + ϕ̄C ϕ′B ) ×)m×m
×(1 + ϕ̄AϕA + ϕ̄′B ϕ′B )−1(ϕ̄A + ϕ̄′B ϕC )36

k = 2 であるこの Grassmann manifoldの例では、Y チャージは 2 次元ベクトルであり簡単に図示できる。broken generators{ A, B, C, Ā, B̄, C̄ } の Y = (Y1, Y2) チャージをプロットすれば右図のようになる。v ベク
トルを図のようにとれば、それに直交する面の v の反対側にある broken generators が、今の場合、{ B̄, Ā, C } が negative Y = v · Y
チャージを持つ complex broken generators である。v の方向をまわして行くと、omplex broken
A }、{ B, A, C̄ },generators のセットは、次に { Ā, C, B }、次いで { C, B ，{ A, C̄, B̄ }, { C̄, B̄, Ā }、となる。これらが不変複素構造の全てであり、この図より { C, A, B̄ } のセットは不可能であることが明白であることに注意したい。
最後に、筆者に岡シンポジウムで話す機会を与えて下さった松澤淳一氏と見目正克氏に感謝の意を表したいと思います。

― 34 ―