－2－■ 連載 最新宇宙誌【16】 ■最新宇宙誌【16】エポックⅣ：星と銀河の形成～構造形成の時代（後編 3）～
福江純（大阪教育大学）

7. 3K の音響パターンとバリオン振動
このエポック－構造形成の時代－に関する最後の問題として、3K 宇宙背景放射の微細なパターンに刻まれた初期宇宙の音色について、説明を試みよう。
7.0

COBE、WMAP の復習

いわゆる 3K 宇宙背景放射について、その歴史的発見の経緯と宇宙論における重要性、最近の COBE 衛星や WMAP 衛星の成果まで、【エポック 2】の 6.1 節で詳述した。
すなわち、現在の宇宙のあらゆる空間には、非常に低エネルギーの光子（マイクロ波放射）が飛び回っていて、その光子のスペクトルが絶対温度で 3 度（正確には 2.728 K）の黒体放射スペクトルに非常に近いことから、これを「3K 宇宙背景放射」と呼んでいる。
これらの光子には、場所による偏りがなく

図 53

COBE 衛星の見た 3K 宇宙背景放射のゆらぎ（上）と WMAP 衛星の見た 3K 宇宙背景放射のゆらぎ（下）（一様）、また方向による偏りもない（等方）。
しかし、平均からの「ゆらぎ」は存在する。

がり）の分布を調べることができた。
【エポッ

そのゆらぎの振幅と拡がり分布を精密測定しク２】では、以下のように書いている。

たのが、COBE 衛星と WMAP 衛星であった（図 53）。とはいえ、図 43 に見るように、非常に図 53 にあるように、ほとんど一様で均質微細なムラムラがたくさん見えてきた。こな 3K 宇宙背景放射には、平均からのずれ（ゆれは宇宙の晴れ上がりの時期に、宇宙全体ら ぎ ） が ほ んの わ ず か だ が存 在 す る 。 ま ずを駆けめぐっていた音波のパターン、あるCOBE 衛星が発見したのは、このずれが強度いは、宇宙という太鼓の表面の振動パター比で約 10 万分の１程度であることだった。

ンである。そしてこのパターンの解析から、この程度の振幅のゆらぎがあれば、銀河や銀標準ビッグバンモデルの正しさや宇宙の年河団などその後の宇宙構造のタネになるには齢が 137 億歳であることなど宇宙論の基本十分な強さであった。COBE 衛星は分解能がパラメータが決定できたのだが、それにつよくなかったが、WMAP 衛星は分解能が格いて詳しくは、エポック 4 の構造形成で触段に向上して、ゆらぎの大きさ（拡れられる予定である（いまはまだ不勉強で天文教育 2010 年 11 月号（Vol.22 No.6）

エポックⅣ：星と銀河の形成～構造形成の時代（後編 3）－3－説明できない）。
……と書いて、もう 2 年ぐらい経ったが、いまだにそれほど勉強できてるわけではなくて、上手く説明できるやらどうやら（笑）。大ざっぱに言えば、図 53 下の微細なデータから、大きいサイズのゆらぎや小さいサイズのゆらぎの分布を分析して、「パワースペクトル」というものを作成し、理論的なモデル曲線と比較して、宇宙論モデルのパラメータを決める
わけだが、2 次元だし時間的な変化もあるし、なかなか説明が一筋縄ではいかないようだ。
とりあえず、きわめて単純な例からはじめてみたい。
7.1

音色と波形分析

ごく身近な音波パターンとして、声や楽器

図 55

波形の分解と合成などの音（音波）の分析から考えてみよう。
たとえば、音声の時間的な変化をグラフにしてみると、それぞれの音によって複雑な波形を描く（図 54）。もちろん、同じ“あ”でも、個人差があって（「声紋」と呼ばれている）、少しずつ違うが。

音声に限らず、一般に音の波形は複雑で、その複雑な波形が楽器の妙なる音色（や耐えがたい不協和音）などを形作っている。しかし、どんなに複雑な波形も、単純な波形、具体的にはサイン型（三角関数型）の波形の重ね合わせで表すことができる（図 55）。たとえば、図 55 の上の波形は、下の三つのサイン型の波形に分解できるし、逆に、下の三つのサイン型の波形を合成すれば、上の波形を再現できる。重要なのは、“どんなに”複雑な波形でも数多くの（さらに無数の）三角関数の足し合わせで再現できるという点だ。それならば、最初から、無限個の三角関数（sinと cos）を級数に並べておいて、もとの波形が再現できるように、その係数（振幅）の値を各項ごとに調整してやればいいだろう。これが、いわゆる「フーリエ級数展開」と呼ばれる手法だ。
一応、式を書いておくと、時間 t の周期巻

図 54

音声の波形数（周期 T0）を x(t)とすると、フーリエ級数
展開は、整数の指数 n が 1 から∞までの和と天文教育 2010 年 11 月号（Vol.22 No.6）

－4－■ 連載 最新宇宙誌【16】 ■して、以下の式で表せる（表現には何通りも振動部分の長さを変えて音の高さを変化させある）。ている点は、弦楽器も管楽器も同じである。
音階における「1 オクターブ」の違いは、音の周波数（振動数）や波長では、ちょうど倍（半分）だけ違うことに対応している。たここでω 0 は、周期 T0 の「基本振動」に対

とえば、通常のドは 262Hz で、一つ上のドは応する「（基本）角振動数」で、基本振動の周523Hz になる。ちなみに、この 1 オクターブ

期 T0、基本振動に対応する基本振動数（周波の間を等比級数的に 12 の半音に分割したの数）f0、基本角振動数ω 0 の間には、が、いわゆる「バッハの平均律」だ。バッハ

ω 0＝2π f 0＝2π／ T0の関係が成り立つ。
したがって、指数 n が 1 のときが基本振動に対応する周期の三角関数になり、n ＝2 のときは倍振動となり、一般には T0 の整数倍（ nの平均律では、一つの半音あたり、2＾(1/12)＝約 1.0595 倍だけ振動数が違う。
さてここで、両端が開放端（自由端）である管の中で定在振動する音波の場合を考えてみよう（図 56 上の右列）。このとき、もっと倍）の周期をもつ sin と cos の重ね合せになっている。
また係数の an、 bn は、三角関数の振幅なので、 もとの周期関数 x(t)に含まれる sin やcos の各成分（ n 倍目）の大きさを表している。そして、もとの周期関数 x(t)を使えば、an と bn の値は決定できる。

ここで少し用語として、「倍音（高調波）」を出しておく。たとえば、ギターの弦を開放で弾くのと、弦の真ん中を軽く押さえて弾くのとでは、出てくる音の高さが 2 倍だけ違う（もちろん短い方が音が高くなる）。ピアノの鍵盤では、ドと次のドでは、やはり弦の長さが半分になっている。縦笛では空いている穴を指で塞ぐことによって、音の高さが変わる。

図 56

開放端をもつ管内の音波

天文教育 2010 年 11 月号（Vol.22 No.6）

エポックⅣ：星と銀河の形成～構造形成の時代（後編 3）も低い振動数である「基本振動」の波長は管－5－に示しておく。の両端がもっとも振動する「腹」（中央が振動しない「節（node）」）になるため本来の波の7.2

太鼓と 2 次元の振動パターン1/2 波長分しかない。つぎの振動は管全体でずいぶん前のことだが、ヴァイオリンの表ちょうど 1 波長取れるので、基本振動の波長面に浮かび上がる美しい音響パターンに感動の 1/2 になり、音の高さ（振動数）は倍になしたことがある（図 58、図 59）。これを発見る。そのつぎは 3/2 波長取れて、基本振動のした物理学者エルンスト・クラドニ（Ernst

波長の 1/3 となり、3 倍音になる。

Chladni；1756～1827）にちなんで、クラド

このように端（自由端でも固定端でもいい）ニ図形（クラドニパターン）と呼ばれているをもつ管など、有限の領域に閉じ込められたものだ。周囲が複雑な曲線で囲まれたヴァイ音波（波動）は、一般に、最低の振動数をもオリンやギターだとかなり複雑なパターンにった基本振動と、その高調波（倍音）が、跳なるが、周囲が単純な直線（曲線）で囲まれび跳びの定在波として存在することになる。

た正方形の板や円形の板の場合は、クラドニ余談だが、水素のエネルギー準位も似ていて、図形ははるかにシンプルなものになる（図 60、こちらは量子論的な理由で、跳び跳びの定常

図 61）。

状態となっている。また水素の場合は、基底状態と励起状態と呼んでいる。
なお、おまけだが、倍音・高調波（harmonic）と倍音・上音（overtone）は、いままで似たようなもんだと思っていて、あまり区別して使ったことがなかった。しかし、ネットから拾ってきた図 56（下）をみると、どうも少し定義が異なるようだ。うーん、ギターの弦のハーモニクスとか、降着円盤の振動なんかをやっていた割に、基本振動が抜けていた感じである。
も一つ、おまけに、ネットから拾ってきた、“あ”の音声を倍音に分解したものを図 57

図 58

ヴァイオリンのクラドニ図形

図 59

ギターのクラドニ図形

クラドニ図形は、1 次元の弦や管内で起こる定在音波振動を、2 次元の面に拡張したも
図 57“あ”の音声の分解のである。平面上のどこかを固定したり（そ天文教育 2010 年 11 月号（Vol.22 No.6）

－6－■ 連載 最新宇宙誌【16】 ■こは自動的に振動の節になる）、自由にしたりした境界条件のもとで生じる、その平面の定在波振動（固有振動）を表している。
具体的な例として、中央を固定して周囲を自由にした正方形板の場合、中央はかならず振動の節（振動しない場所）になる。しかし、弦の振動と異なって、節は１点ではなく、中央を通る直線の線上が節になったりする（したがって、節というより「節線」と呼ぼう）。
たとえば、一番単純な振動モード（図 60 の左上のパターン）だと、中央を通る縦の直線と横の直線が節線になる。このように、２次元平面の定在波振動では、一般に節は線上になり、かつその自由度が２方向ある。
一応、数式も少し書いておくと、正方形（長方形））の板の場合、横方向（長さ a）を x、縦方向（長さ b）を y とし、m や n を整数と
図 60

正方形の板のクラドニ図形

して、長方形の場合：正方形の場合：のような式で表すことができる。こんな式はぼくもすぐに導出できるわけではなくて、ネットから解を拾ってきたが、一見複雑そうにみえても、実は sin と cos しか出てこない点に注目して欲しい。弦などのような 1 次元の振動とは異なり、2 次元面の振動なので、空間成分（ x や y が入った項）は sin の積になってはいる（時間は 1 次元なので時間成分はcos だけ）。しかしそれでも、sin と cos だけで表せているという意味では、振動（とくに振幅の小さい微小振動）を表す数式は高校生レベルの数学で十分なので、思いの外に簡単だともいえる。
……つづく……
図 61

中央を固定した円形板と正方形板のクラドニ図形

福江純（大阪教育大学）

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