A gauge theoretic invariant of embedded surfaces in4-manifolds and exotic P 2-knots
京都大学数理解析研究所
宮澤 仁 (Jin MIYAZAWA) ∗概要

4 次元多様体に埋め込まれた曲面に関する情報は, 4 次元多様体の微分構造の情報を反映しており, 微分トポロジーの観点から興味深い対象である. 曲面 Σ の 4 次元多様体への埋め込み f, g がエキゾチックであるとは, f, g が連続的に ambient isotopic だが滑らかにはそうでないことをいう. エキゾチックな曲面の埋め込みの研究は 4 次元多様体論において現在盛んに研究されている話題であるが, 最も基本的な閉 4 次元多様体である S 4 の中のエキゾチックな曲面に関する研究は多くない.
本講演の主定理は S 4 への RP 2 の埋め込みの無限族であって互いにエキゾチックであるものの存在である. 滑らかに同値でないことの証明が既存の方法では難しいが, 講演者によって構成された新たな不変量を用いて示すことができる. 不変量の構成にはゲージ理論を用いる.

1 導入
以下, 単に多様体と言ったら可微分多様体であり, 微分構造を考えないときは位相多様体ということにする.

1.1 エキゾチック曲面
4 次元多様体に埋め込まれた曲面の種数や isotopy 類の情報は 4 次元多様体の微分構造の情報を反映しており, 4 次元多様体の微分トポロジーを調べるうえで基本的な対象である. 4 次元多様体 X への曲面 Σ の滑らかな埋め込み

f, g : Σ → Xがエキゾチックであるとは連続的には ambient isotopic だが滑らかにはそうでないことをいう.

4 次元多様体論においてエキゾチック曲面の研究は盛んなトピックであり, エキゾチックな曲面埋め込みに関する研究自体は列挙することが困難なほど数多くの研究がある. 特に近年, D 4 内の D 2で, 境界の特定の結び目を張るようなエキゾチック Disk が Khovanov homology を用いて発見されるなど大きな進展を迎えている. 一方, 閉 4 次元多様体の中で最も基本的な S 4 の中の閉曲面に関するエキゾチック曲面の研究は多くない.

∗ E-mail:miyazawa.jin.5a@kyoto-u.ac.jp

S 4 内のエキゾチックな曲面に関する背景を述べる. 最も基本的な閉 4 次元多様体である S 4 内のエキゾチックな曲面埋め込みの例はあまり多くない. 実際, S 4 内の向き付け可能な曲面によるエキゾチックな曲面埋め込みは発見されていない. 向き付け不可能な例については Finashin–Kreck–

Viro [1] や Finashin [2], Matić–Öztürk–Reyes–Stipsicz–Urzúa [7] による例などがあるが多くはな
い. さらに, 向き付け不可能なエキゾチック曲面で今まで知られていた例の種数はいずれも 5 以上であり, 種数が小さい例は知られていなかった.

1.2 SW 方程式の反線形な対称性
4 次元多様体の微分トポロジーを調べる強力な手段にゲージ理論がある. ゲージ理論は素粒子物理学に由来する非線形偏微分方程式の解のモジュライ空間の情報から 3 次元あるいは 4 次元多様体の微分トポロジー的情報を調べる手法である. ゲージ理論の微分トポロジーへの応用で用いられる方程式に Seiberg–Witten(SW) 方程式がある. SW 方程式は, 常にモジュライ空間がコンパクトであり,解析的に扱いが容易なうえに, SW 方程式を用いた証明しか知られていない結果もある. 代表的なものは古田幹雄 [4] による, 10/8-不等式である.

Theorem 1.1 (Furuta [4]). X を可微分閉スピン 4 次元多様体で交差形式が不定値であるとする.
このとき第二ベッチ数 b2 (X) と符号数 σ(X) の間に不等式

b2 (X) ≥5|σ(X)| + 24が成り立つ.
この定理から単連結位相 4 次元多様体で交差形式が不定値かつ even(つまり, 任意の元 α ∈H 2 (X; Z) について ⟨α ∪ α, [X]⟩ ∈ 2Z) なもので微分構造が入らないものが無数に存在することがわかる.
この定理の証明で重要なのは (スピン構造に対する)SW 方程式がもつ「反線形な変換」である. つまり, 4 次元多様体のスピノル束には四元数の作用があるが, SW 方程式はそのうち j に関する作用で同変である. 正確には, スピノルに j 作用, 微分形式に −1 倍作用を与えると同変になる. これがSW 方程式特有の反線形な作用である.

1.3 Real SW 理論
4 次元多様体 X に滑らかな Z/2 の作用 (involution) があるとしよう. さらに, その involutionι がX のあるスピン c 構造 s を裏返す, すなわち,
ι∗ s ∼=sをみたす状況を考える. ここで, s は s に対して, Spinc (4) の U(1) 成分の向きを裏返すことで得られるスピン c 構造で, 特に s のスピノル束は s のスピノル束の複素構造を裏返したものである.

involution がしかるべき位相的な条件を満たしていればこの作用の情報と元から SW 方程式にあった反線形な変換を用いて, SW 方程式の解のモジュライ空間に「反線形な involution」を定めることができる. この反線形な involution の固定部分を見ることで, 4 次元多様体 X と X 上の involutionに関する不変量を得ることができる. この SW 理論の変種を Real SW 理論という. これが本講演の主役である.

involution が自由な場合の Real SW は中村信裕によって Pin− (2)-monopole [8, 9] として, X/ι上の局所系でねじった SW 理論として定式化され, 非単連結な 4 次元多様体へのトポロジーへの応用が与えられている. involution が固定点を持つ状況が自然に出てくるのは, 4 次元多様体 X ′ の中の曲面 S について, S に沿った二重分岐被覆 Σ2 (X ′ , S) =: X を考えるときである. このとき X と被覆変換 ι に関する Real SW 理論を考えると X ′ に埋め込まれた S についての情報が取り出せることが期待できる.
この講演では, 4 次元多様体 X の中の曲面 S に沿った二重分岐被覆 Σ2 (X, S) に対し Real SW 理論を用いた不変量を構成し, X の中のエキゾチックな曲面, すなわちふたつの曲面 S, S ′ ⊂ X で位相的にはアイソトピックだが滑らかにはそうではない例を検出する.

2 主定理
本講演では, 以下の定理について説明する.

Theorem 2.1 ([6]). RP 2 の S 4 への埋め込みの無限族で, 互いに位相的には同値だが滑らかには互いに同値でないものが存在する.
種数が小さい例を作る際, 既存の方法では困難があった. 今まで, S 4 内のエキゾチックな曲面埋め込みが実際に滑らかには同値でないことを検出する既存の方法は, 曲面に沿った二重分岐被覆が互いに微分同相でない 4 次元多様体であることを示すというものであった. この方法では, 例えば種数 1の向き付け可能な曲面すなわち RP 2 のエキゾチックな曲面埋め込みを検出しようとするとエキゾチックな CP 2 を見つけねばならず, このようなものは見つかっていない. 種数が小さい向き付け可能な曲面の埋め込みの二重分岐被覆は二次のコホモロジーの次元が小さく, このような 4 次元多様体でエキゾチックな微分構造を見つけるのは困難であることが知られている.
さらに, [6] が提出されたあと, 以下のような定理が Hughes–Kim–Miller [3] によって示された.

Theorem 2.2. Theorem 2.1 で与えられた P 2 -knot の二重分岐被覆は CP 2 と微分同相である.
つまり, Theorem 2.1 と合わせると, CP 2 にエキゾチックな Z/2Z の作用が無数に存在することがわかった. したがって, 今回与えたエキゾチック P 2 -knot たちは単に二重分岐被覆を見るだけでは区別できず, 被覆変換の情報, すなわち Z/2Z 作用の情報まで込めてみないと区別出来ない.

[6] では, Real SW 理論を用いた, 4 次元多様体に埋め込まれた曲面の不変量を構成し, Theorem 2.1を示した. つまり, 二重分岐被覆に対し, 被覆変換からくる Z/2Z 作用が SW 方程式に反線形に持ち上がっている状況を考え, その作用で固定される解を数え上げるのである.
本講演ではその不変量の構成の概略と, エキゾチック P 2 -knot の構成を説明する.

2.1 エキゾチック P 2 -knot の構成
さて, Theorem 2.1 の P 2 -knot の与え方を説明する. P 2 -knot には S 4 の向きから決まる, 法束の局所系数のオイラー数, すなわち法オイラー数 (normal Euler number) が定義され, ±2 のどちらかであることがわかる. ここでは 2 のものを考える. 注意すべきなのは, 法オイラー数が 2 の標準的なP 2 -knot P0 の二重分岐被覆は向きを込めて考えると −CP 2 である. 法オイラー数が −2 の P 2 -knotについて考えたければ S 4 の向きを裏返す微分同相で移せばいい.

Deﬁnition 2.3. P0 を法オイラー数が 2 の標準的な P 2 -knot とする. また, S 3 内の通常の結び目
K に関して, τk,α (K) で K の k-twist α-roll spun で与えられる 2-knot とする. このとき, P 2 -knotPn を
Pn := P0 #nτ0,1 (P (−2, 3, 7))で定める.
結び目 K に対して k-twist α-roll spun で与えられる 2-knot の構成法は講演中に述べることにする. この結び目の無限族が Theorem 2.1 で述べられたエキゾチック P 2 -knot たちである. これらが互いに位相的には isotopic であることは次の補題を用いる.

Lemma 2.4. 任意の n ≥ 0 に関して π1 (Pn ) ∼= Z/2Z である.
この補題と, Lawson[5] の結果から Pn たちは互いに位相的にアイソトピックである.

2.2 不変量の性質
Real SW 理論を用いて構成される, 2-knot および P 2 -knot の不変量の構成は講演中に述べる. ここでは, 不変量が満たす性質を述べる.

Theorem 2.5. いま, Σ ⊂ S 4 を 2-knot か, 法オイラー数が 2 であるような P 2 -knot とする. さらに, 簡単のため, ここでは Σ の二重分岐被覆は, Σ が 2-knot ならホモロジー S 4 , P 2 -knot ならホモロジー −CP 2 とする. このとき, 以下の性質を満たす, 非負整数に値をとる不変量|deg(Σ)|
が存在する.

• (S 4 , Σ0 ) と (S 4 , Σ1 ) が組として微分同相なら|deg(Σ0 )| = |deg(Σ1 )|.
• Σ0 が 2-knot なら|deg(Σ0 #Σ1 )| = |deg(Σ0 )||deg(Σ1 )|.

• Σ が unknot な 2-knot あるいは標準的な P 2 -knot P0 ならば|deg(Σ)| = 1.

• k, α を整数とし, k は偶数で k2 + α は奇数であるとする. このとき,|deg(τk,α (P (−2, 3, 7)))| = 3.
上の性質を用いると, Pn の不変量は 3n と計算され, 互いに滑らかにはアイソトピックでないことが示される.

参考文献[1] S. M. Finashin, M. Kreck, and O. Ya. Viro. Nondiﬀeomorphic but homeomorphic knottingsof surfaces in the 4-sphere. In Topology and geometry—Rohlin Seminar, Vol. 1346 of Lecture
Notes in Math., pp. 157–198. Springer, Berlin, 1988.
[2] Sergey Finashin. Exotic embeddings of #6RP2 in the 4-sphere. In Proceedings of Gökova
Geometry-Topology Conference 2008, pp. 151–169. Gökova Geometry/Topology Conference(GGT), Gökova, 2009.
[3] Hughes, Mark and Kim, Seungwon and Miller, Maggie Branched covers of twist-roll spunknots, arXiv preprint arXiv:2402.11706,2024.
[4] Mikio Furuta. Monopole equation and the 11
8 -conjecture. Mathematical Research Letters,Vol. 8, No. 3, pp. 279–291, 2001.
[5] , Lawson, Terry Normal bundles for an embedded RP2 in a positive deﬁnite 4-manifold,
Journal of Diﬀerential Geometry, Vol 22, No.2, pp 215–231,1985.
[6] Jin Miyazawa. A gauge theoretic invariant of embedded surfaces in 4-manifolds and exotic
p2 -knots. arXiv preprint arXiv:2312.02041, 2023.
[7] Matić, Gordana and Öztürk, Ferit and Reyes, Javier and Stipsicz, András and Urzúa,Giancarlo. An exotic 5RP 2 in the 4-sphere arXiv preprint arXiv:2312.03617, 2023.
[8] Nobuhiro Nakamura. Pin− (2)-monopole equations and intersection forms with local coeﬃcients of four-manifolds. Math. Ann., Vol. 357, No. 3, pp. 915–939, 2013.
[9] Nobuhiro Nakamura. Pin− (2)-monopole invariants. J. Diﬀerential Geom., Vol. 101, No. 3,pp. 507–549, 2015.