Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Tengely Szabolcs
2007. november 9.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 1

Eredmények
❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

●
●
●
●

❖ IntegralRungePoints

●
●
●
●

Számelméleti Szeminárium

(T.Sz.): On the Diophantine equation x 2 + q2m = 2yp , Acta Arith.
127 (2007) 71-86.
F. S. Abu Muriefah, F. Luca, S. Siksek, (T.Sz.): On the
Diophantine Equation x 2 + C = 2yn , preprint.

Hajdu L., (T.Sz.): Arithmetic progressions of squares, cubes andn-th powers, közlésre benyújtva.

S. Laishram, T. N. Shorey, (T.Sz.): Squares in products inarithmetic progression with at most one term omitted and common
diﬀerence a prime power, közlésre benyújtva.
(T.Sz.): Note on a paper “An Extension of a Theorem of Euler” byHirata-Kohno et al., közlésre benyújtva.
Hajdu L., (T.Sz.), R. Tijdeman: Almost perfect cubes in arithmetic
progressions, preprint.
(T.Sz.): Triangles with two integral sides, közlésre elfogadva.
Magma kód: IntegralRungePoints.m

tengely@math.klte.hu – slide 2

Exponenciális egyenletek❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer●❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekrex 2 + q2m = 2yp

végességi állítás.

(1)❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 3

Exponenciális egyenletek❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer●❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

x 2 + q2m = 2yp

végességi állítás.

(1)

Tétel. Csak véges sok (x, y, m, q, p) megoldása létezik(1)-nek, ahol gcd(x, y) = 1, m, x, y ∈ N és 3 < p, q páratlanprímek, úgy, hogy y nem írható fel két egymást követő
négyzetszám összegeként.

tengely@math.klte.hu – slide 3

Exponenciális egyenletek❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer●x 2 + q2m = 2yp

végességi állítás.

❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre(1)

Tétel. Csak véges sok (x, y, m, q, p) megoldása létezik(1)-nek, ahol gcd(x, y) = 1, m, x, y ∈ N és 3 < p, q páratlanprímek, úgy, hogy y nem írható fel két egymást követő
négyzetszám összegeként.

❖ IntegralRungePoints●

Számelméleti Szeminárium

ﬁx y : x 2 + q2m = 2 · 17p , teljes megoldás.

tengely@math.klte.hu – slide 3

Exponenciális egyenletek❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer●x 2 + q2m = 2yp

végességi állítás.

❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre(1)

Tétel. Csak véges sok (x, y, m, q, p) megoldása létezik(1)-nek, ahol gcd(x, y) = 1, m, x, y ∈ N és 3 < p, q páratlanprímek, úgy, hogy y nem írható fel két egymást követő
négyzetszám összegeként.

❖ IntegralRungePoints●●

Számelméleti Szeminárium

ﬁx y : x 2 + q2m = 2 · 17p , teljes megoldás.
ﬁx q : x 2 + 32m = 2yp , teljes megoldás.

tengely@math.klte.hu – slide 3

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer

Példák y két egymást követő négyzetszám összege esetre:❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 4❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer

Példák y két egymást követő négyzetszám összege esetre:❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

y
5
5
5
5
5
13
13
13
25
25
41

p
5
7
13
29
97
7
13
101
11
47
31

q
79
307
42641
1811852719
2299357537036323025594528471766399
11003
13394159
224803637342655330236336909331037067112119583602184017999
69049993
378293055860522027254001604922967
4010333845016060415260441

tengely@math.klte.hu – slide 4

Kapcsolódó eredmények
❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer●

Luca (2002): x 2 + 2a 3b = yn , teljes megoldás.

❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5

Kapcsolódó eredmények
❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer●●❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

Luca (2002): x 2 + 2a 3b = yn , teljes megoldás.

Le (2003): x 2 + p2 = yn , teljes megoldás (p < 100).

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5

Kapcsolódó eredmények
❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer●●●❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

Luca (2002): x 2 + 2a 3b = yn , teljes megoldás.

Le (2003): x 2 + p2 = yn , teljes megoldás (p < 100).
Pink (2004): x 2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2yn , korlát n-re.

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5

Kapcsolódó eredmények
❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

●
●
●
●

Luca (2002): x 2 + 2a 3b = yn , teljes megoldás.

Le (2003): x 2 + p2 = yn , teljes megoldás (p < 100).
Pink (2004): x 2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2yn , korlát n-re.
Cohn (1996): x 2 + 1 = 2yn , teljes megoldás.

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5

Kapcsolódó eredmények
❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

●
●
●
●
●

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

Luca (2002): x 2 + 2a 3b = yn , teljes megoldás.

Le (2003): x 2 + p2 = yn , teljes megoldás (p < 100).
Pink (2004): x 2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2yn , korlát n-re.
Cohn (1996): x 2 + 1 = 2yn , teljes megoldás.

Pink, Tengely (2000): x 2 + a2 = 2yn , korlátok, teljes
megoldás 1 ≤ a ≤ 1000 és 3 ≤ n ≤ 80 esetén.

tengely@math.klte.hu – slide 5

Kapcsolódó eredmények
❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

●
●
●
●
●

●

Számelméleti Szeminárium

Luca (2002): x 2 + 2a 3b = yn , teljes megoldás.

Le (2003): x 2 + p2 = yn , teljes megoldás (p < 100).
Pink (2004): x 2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2yn , korlát n-re.
Cohn (1996): x 2 + 1 = 2yn , teljes megoldás.

Pink, Tengely (2000): x 2 + a2 = 2yn , korlátok, teljes
megoldás 1 ≤ a ≤ 1000 és 3 ≤ n ≤ 80 esetén.
Tengely (2004): x 2 + a2 = 2yn , teljes megoldás
3 ≤ a ≤ 501, algoritmus.

tengely@math.klte.hu – slide 5❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

F. S. Abu Muriefah, F. Luca, S. Siksek, Sz. Tengely

Tétel. Legyen C pozitív egész (C ≡ 1 (mod 4) és C = cd2 ).
Tegyük fel, hogy (x, y) megoldása a következő egyenletnek
x 2 + C = 2yp ,ahol p ≥ 5 prím. Ekkor

(i)

(ii)
(iii)
(iv)

Számelméleti Szeminárium

x, y ∈ Z + ,gcd(x, y) = 1,(2)x = y = C = 1, vagy√
p osztója a Q ( −c) ideálosztály számának, vagy

p = 5 és (C, x, y) = (9, 79, 5), (125, 19, 3), (125, 183, 7),(2125, 21417, 47), vagyp | (q − (−c|q)), ahol q páratlan prím q | d és q - c, ((c|q)
jelöli a Legendre szimbólumot).
tengely@math.klte.hu – slide 6

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Következmény. Legyenek q1 , . . . , qk különböző prímek,amelyekre qi ≡ 1 (mod 4). Tegyük fel, hogy (x, y, p, a1 , . . . , ak )megoldása az alábbi diofantikus egyenletnek
x 2 + qa1 1 . . . qak k = 2yp , ahol
x, y ∈ Z + ,gcd(x, y) = 1,
ai ≥ 0,p ≥ 5 prím.
Ekkor

(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Számelméleti Szeminárium

x = y = 1 és ai = 0, vagy√
p osztója a Q ( −c) ideálosztály számának valamilyen
négyzetmentes c-re, ahol c | q1 q2 . . . qk , vagyQ ai
p = 5 és ( qi , x, y) = (125, 19, 3), (125, 183, 7),(2125, 21417, 47), vagyp | (q2i − 1) valamilyen i-re.

tengely@math.klte.hu – slide 7

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer

Tétel. Az x 2 + C = 2yn egyenlet x, y relatív prím megoldásai
az n ≥ 3 és C ≡ 1 (mod 4), 1 ≤ C < 100 feltételek mellett:❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 8

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer

Tétel. Az x 2 + C = 2yn egyenlet x, y relatív prím megoldásai
az n ≥ 3 és C ≡ 1 (mod 4), 1 ≤ C < 100 feltételek mellett:❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

12 + 1 = 2 · 1n ,792 + 9 = 2 · 55 ,9932 + 29 = 2 · 793 ,

12 + 53 = 2 · 33 ,52 + 29 = 2 · 33 ,112 + 41 = 2 · 34 ,252 + 61 = 2 · 73 ,

1172 + 29 = 2 · 193 ,692 + 41 = 2 · 74 ,512 + 61 = 2 · 113 ,

1712 + 41 = 2 · 114 ,

372 + 89 = 2 · 93 .

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 8

Multi-Frey módszer❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

2yp + t1β1 t2β2 z p = x 2 ,ahol (t1 , t2 ) ∈ {(17, 1), (3, 11)} és βi < p.
Ivorra, Kraus (2006): Frey görbék

Számelméleti Szeminárium

E1 :

E2 :

(3)

Y 2 = X 3 + 2xX 2 + 2yp X ,Y 2 = X 3 + 2xX 2 + t1β1 t2β2 yp X .

tengely@math.klte.hu – slide 9❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

Az x 2 + 3α1 11α2 = 2yp egyenlet esetében
N(E1 )p = N(E2 )p = 27 · 3 · 11. A módszer segítségével azt
kapjuk, hogy p "kicsi", kivéve a következő párokat:❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

(f1 , f10 ), (f2 , f11 ), (f3 , f16 ), (f4 , f19 ), (f5 , f20 ),(f6 , f7 ), (f7 , f6 ), (f8 , f9 ), (f9 , f8 ), (f10 , f1 ),(f11 , f2 ), (f12 , f13 ), (f13 , f12 ), (f14 , f15 ), (f15 , f14 ),(f16 , f3 ), (f17 , f18 ), (f18 , f17 ), (f19 , f4 ), (f20 , f5 ),f1 7→ 4224A1
f5 7→ 4224E1
f9 7→ 4224I1
f13 7→ 4224M1
f17 7→ 4224Q1

f2 7→ 4224B1
f6 7→ 4224F 1
f10 7→ 4224J1
f14 7→ 4224N1
f18 7→ 4224R1

f3 7→ 4224C 1
f7 7→ 4224G1
f11 7→ 4224K 1
f15 7→ 4224O1
f19 7→ 4224S1

f4 7→ 4224D1
f8 7→ 4224H1
f12 7→ 4224L1
f16 7→ 4224P1
f20 7→ 4224T 1

tengely@math.klte.hu – slide 10❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer

Ahol nem kapunk korlátot p-re ott moduló 5,7 és 19 vizsgáljuk 3
kitevőjét.

❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

pár(f2 , f11 )(f3 , f16 )(f4 , f19 )(f5 , f20 )(f6 , f7 )
(f8 , f9 )(f12 , f13 )(f14 , f15 )(f17 , f18 )α1 mod 4{1, 3}{3}{1, 3}{1, 3}{3}{1, 3}{1, 3}{1, 3}{1, 3}

α1 mod 6{0, 2, 4}{0, 2, 4}{0, 2, 4}

α1 mod 18{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}tengely@math.klte.hu – slide 11

Számtani sorozatok❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

L. Hajdu, Sz. Tengely

Tétel. Legyen n prím és x1l1 , . . . , xtlt , li ∈ {2, n} egy primitív nem
konstans számtani sorozat. Ekkor t ≤ 6 és ha t = 6 akkor❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

(l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 ) = (2, n, n, 2, 2, 2), (2, 2, 2, n, n, 2).

tengely@math.klte.hu – slide 12

Számtani sorozatok❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

L. Hajdu, Sz. Tengely

Tétel. Legyen n prím és x1l1 , . . . , xtlt , li ∈ {2, n} egy primitív nem
konstans számtani sorozat. Ekkor t ≤ 6 és ha t = 6 akkor(l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 ) = (2, n, n, 2, 2, 2), (2, 2, 2, n, n, 2).

Tétel. Legyen x1l1 , . . . , xtlt , li ∈ {2, 5} egy primitív nem konstansszámtani sorozat. Ekkor t ≤ 4 és ha t = 4 akkor(l1 , l2 , l3 , l4 ) = (2, 2, 2, 5), (5, 2, 2, 2).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 12

Számtani sorozatok❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

L. Hajdu, Sz. Tengely

Tétel. Legyen n prím és x1l1 , . . . , xtlt , li ∈ {2, n} egy primitív nem
konstans számtani sorozat. Ekkor t ≤ 6 és ha t = 6 akkor(l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 ) = (2, n, n, 2, 2, 2), (2, 2, 2, n, n, 2).

Tétel. Legyen x1l1 , . . . , xtlt , li ∈ {2, 5} egy primitív nem konstansszámtani sorozat. Ekkor t ≤ 4 és ha t = 4 akkor(l1 , l2 , l3 , l4 ) = (2, 2, 2, 5), (5, 2, 2, 2).

Tétel. Legyen n prím és x1l1 , . . . , xtlt , li ∈ {3, n} egy primitív nem
konstans számtani sorozat. Ekkor t ≤ 4 és ha t = 4 akkor(l1 , l2 , l3 , l4 ) = (3, 3, n, n), (n, n, 3, 3), (3, n, n, 3), (n, 3, 3, n).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 12❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer

Korábbi eredmények:●❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

Euler: négy különböző négyzetszám nem alkothat számtani
sorozatot,❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

Korábbi eredmények:●●

Euler: négy különböző négyzetszám nem alkothat számtani
sorozatot,
Darmon, Merel (1997): x n + yn = 2z n ,❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

Korábbi eredmények:●●●❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

Euler: négy különböző négyzetszám nem alkothat számtani
sorozatot,
Darmon, Merel (1997): x n + yn = 2z n ,Bennett, Skinner (2004): x n + yn = 2z 2 ,tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

Korábbi eredmények:
●

●
●
●

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

Euler: négy különböző négyzetszám nem alkothat számtani
sorozatot,
Darmon, Merel (1997): x n + yn = 2z n ,Bennett, Skinner (2004): x n + yn = 2z 2 ,Bennett, Vatsal, Yazdani (2004): x n + yn = 2z 3 ,tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Korábbi eredmények:
●

●
●
●
●

Számelméleti Szeminárium

Euler: négy különböző négyzetszám nem alkothat számtani
sorozatot,
Darmon, Merel (1997): x n + yn = 2z n ,Bennett, Skinner (2004): x n + yn = 2z 2 ,Bennett, Vatsal, Yazdani (2004): x n + yn = 2z 3 ,Hajdu (2004): x1l1 , . . . , xtlt , 2 ≤ li ≤ L, ekkor t < c(L),tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Korábbi eredmények:
●

●
●
●
●
●

Számelméleti Szeminárium

Euler: négy különböző négyzetszám nem alkothat számtani
sorozatot,
Darmon, Merel (1997): x n + yn = 2z n ,Bennett, Skinner (2004): x n + yn = 2z 2 ,Bennett, Vatsal, Yazdani (2004): x n + yn = 2z 3 ,Hajdu (2004): x1l1 , . . . , xtlt , 2 ≤ li ≤ L, ekkor t < c(L),Bruin, Győry, Hajdu, Tengely (2006): L = 3 eset megoldása.

tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekren(n + d) · · · (n + (k − 1)d) = by2

Néhány eredmény a témakörből:●❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

(4)

Euler: b = 1, k = 4,

tengely@math.klte.hu – slide 14❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekren(n + d) · · · (n + (k − 1)d) = by2

Néhány eredmény a témakörből:●●❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

(4)

Euler: b = 1, k = 4,

Obláth (1950): b = 1, k = 5,

tengely@math.klte.hu – slide 14❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePointsn(n + d) · · · (n + (k − 1)d) = by2(4)

Néhány eredmény a témakörből:●●●Számelméleti Szeminárium

Euler: b = 1, k = 4,

Obláth (1950): b = 1, k = 5,Erdős, Selfridge (1975): b = d = 1, tetszőleges hatvány
hossz,

tengely@math.klte.hu – slide 14❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePointsn(n + d) · · · (n + (k − 1)d) = by2(4)

Néhány eredmény a témakörből:

●
●
●

●

Számelméleti Szeminárium

Euler: b = 1, k = 4,

Obláth (1950): b = 1, k = 5,Erdős, Selfridge (1975): b = d = 1, tetszőleges hatvány
hossz,
Mukhopadhyay és Shorey (2003): P(b) ≤ 3, k = 5,

tengely@math.klte.hu – slide 14❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePointsn(n + d) · · · (n + (k − 1)d) = by2(4)

Néhány eredmény a témakörből:

●
●
●

●
●

Számelméleti Szeminárium

Euler: b = 1, k = 4,

Obláth (1950): b = 1, k = 5,Erdős, Selfridge (1975): b = d = 1, tetszőleges hatvány
hossz,
Mukhopadhyay és Shorey (2003): P(b) ≤ 3, k = 5,

Bennett, Bruin, Győry és Hajdu (2006): b = 1 és
6 ≤ k ≤ 11.

tengely@math.klte.hu – slide 14❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

n + id = ai xi2 ahol 0 ≤ i < k.

Tétel (Hirata-Kohno, Laishram, Shorey,Tijdeman). Legyend > 1, P(b) = k és 7 ≤ k ≤ 100 ekkor a fenti diofantikus
egyenletre teljesül, hogy (a0 , a1 , . . . , ak−1 )-ra a következő
lehetőségek vannak:
k =7:(2, 3, 1, 5, 6, 7, 2), (3, 1, 5, 6, 7, 2, 1), (1, 5, 6, 7, 2, 1, 10),k = 13 :(3, 1, 5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15),

k = 23 :(5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1, 17, 2, 19, 5, 21, 22, 23, 6, 1, 26, 3),

k = 19 :(5)(1, 5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1),(1, 5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1, 17, 2, 19, 5, 21, 22),(6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1, 17, 2, 19, 5, 21, 22, 23, 6, 1, 26, 3, 7).

A kimaradó eseteket és a k = 5, P(b) = 5 esetet megoldottam.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 15

Elliptikus Chabauty módszer❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer

Példa: (a0 , a1 , . . . , a6 ) = (2, 3, 1, 5, 6, 7, 2). Ekkor❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

x42 + x02 = 2x12 ,

9x42 + x02 = 10x32 ,
9x42 − x02 = 2x62 .

tengely@math.klte.hu – slide 16

Elliptikus Chabauty módszer❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Példa: (a0 , a1 , . . . , a6 ) = (2, 3, 1, 5, 6, 7, 2). Ekkor
x42 + x02 = 2x12 ,

9x42 + x02 = 10x32 ,
9x42 − x02 = 2x62 .

Probléma: meghatározni azon (X , Y ) pontokat, amelyekre
X ∈ Q és Y ∈ Q (i).
Cδ :2δ(X + i)(3X + i)(9X 2 − 1) = Y 2 ,ahol δ ∈ {−4 ± 2i, −2 ± 4i, 2 ± 4i, 4 ± 2i}.

Számelméleti Szeminárium

(6)tengely@math.klte.hu – slide 16❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekreδ2 − 4i2 + 4i4 − 2i4 + 2igörbe

y2 = x 3 + (−12i − 9)x + (−572i − 104)y2 = x 3 + (12i − 9)x + (−572i + 104)y2 = x 3 + (−12i + 9)x + (−104i − 572)
y2 = x 3 + (12i + 9)x + (−104i + 572)

x4 /x0{−1, ±1/3}{1, ±1/3}{±1/3}{±1/3}

Azaz x4 /x0 ∈ {±1, ±1/3}. Ezekből adódik: n = 2, d = 1.

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 17❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

S. Laishram, T. N. Shorey és Sz. Tengely
P(x) = max{p | x},p

ω(x) = #{p : p | x, p prím.}

Legyen k ≥ 4, t ≥ k − 2 és γ1 < γ2 < . . . < γt , 0 ≤ γi < kegészek és ψ = k − t.
ahol P(b) ≤ k.

(n + γ1 d) · · · (n + γt d) = by2 ,Tétel. Legyen ψ = 1, k ≥ 7 és d - n. Ekkor a fenti egyenletnek
nincs megoldása ω(d) = 1 esetében.

Tétel. Legyen ψ = 0, k ≥ 11 és d - n. Ekkor a fenti egyenletnek
nincs megoldása ω(d) = 1 esetében.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

L. Hajdu, R. Tijdeman és Sz. Tengelyn(n + d) . . . (n + (k − 1)d) = by3

ahol k ≥ 3, d > 0, (n, d) = 1, P(b) ≤ k, y =
6 0.

(7)

Tétel. Tegyük fel, hogy (n, d, k, b, y) megoldása (7)-nek k < 32és P(b) < k ha k = 3 vagy k ≥ 13 feltételekkel. Ekkor (n, d, k)a következő lehet:(n, 1, k) ahol − 30 ≤ n ≤ −4 vagy 1 ≤ n ≤ 5,(n, 2, k) ahol − 29 ≤ n ≤ −3,(−10, 3, 7), (−8, 3, 7), (−8, 3, 5), (−4, 3, 5), (−4, 3, 3), (−2, 3, 3),(−9, 5, 4), (−6, 5, 4), (−16, 7, 5), (−12, 7, 5).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 19

Probléma háromszögekre❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Legyen 0 < α, β < π. Olyan háromszögeket keresünk,
amelyekre x, y ∈ N és zα , zβ ∈ Q (θ).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 20

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Koszinusz tételből:x 2 − 2φ1 xy + y2 = zα2 ,x 2 − 2φ2 xy + y2 = zβ2 ,ahol φ1 = cos(α) és φ2 = cos(β).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 21

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Koszinusz tételből:x 2 − 2φ1 xy + y2 = zα2 ,x 2 − 2φ2 xy + y2 = zβ2 ,ahol φ1 = cos(α) és φ2 = cos(β). Összeszorozva az
egyenleteket:

Számelméleti Szeminárium

Cα,β : X 4 − 2(φ1 + φ2 )X 3 + (4φ1 φ2 + 2)X 2 − 2(φ1 + φ2 )X + 1 = Y 2 .

tengely@math.klte.hu – slide 21

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints

Bertalan Zoltán: megoldások meghatározása(α, β) = (π/3, π/2), (α, β) = (π/2, 2π/3) és (α, β) = (π/3, 2π/3)
esetekben. Első két esetben 1 rangú elliptikus görbe (192A1):x
8
1768
10130640
498993199440

y
15
2415
8109409
136318711969

zπ/3
13
2993
9286489
517278459169

zπ/2
17
3637
12976609
579309170089

Harmadik esetben Mordell egy eredménye alapján nincs
megoldás.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 22

❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre❖ IntegralRungePoints√√
Görbék Q ( 3) és Q ( 5) felett.
(α, β)(π/6, π/2)
(π/6, π/3)
(π/5, π/2)
(π/5, π/3)
(π/5, 2π/5)(π/5, 4π/5)v 2 = u3 − u2 − 2u

Eα,β

√
√
2 − u + (− 3 + 1)
v 2 = u3 + ( 3 − 1)u√√v 2 = u3 − u2 +√1/2( 5 − 7)u + √1/2( 5 − 3)v 2 = u3 + 1/2( 5 − 1)u2 + 1/2( 5 − 5)u − 1v 2 = u3 − 2u − 1√√v 2 = u3 + 1/2(− 5 + 1)u2 − 4u + (2 5 − 2)

Rank
1
1
1
1
1
0

X
{0, ±1}{0}{0}{0, 1}
{0}
{0}

p
5
7
13
13
7
-

Amikor (α, β) = (π/5, π/3) a következő megoldást kapjuk:(x, y, zα ) =ahol t ∈ N .

Számelméleti Szeminárium

−1 +
t, t,
2

√ !
5
t és (x, y, zβ ) = (t, t, t),tengely@math.klte.hu – slide 23

IntegralRungePoints❖ Eredmények
❖ Exponenciális
egyenletek❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Multi-Freymódszer❖ Számtani sorozatok❖ Elliptikus
Chabauty módszer❖ Probléma
háromszögekre

F. Beukers, Sz. Tengely: algoritmus Runge típusú egyenletek
megoldására, amelyben nem kell algebrai együtthatós Puiseux
kifejtéseket használni.

❖ IntegralRungePoints

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 24