Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Mathematisches Institut
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler

I: Mo, 14-16 Uhr, SR 414
Nicolas Ketterer, Math. Inst.

II: Di, 11-13 Uhr, SR 218
Katja Reiser, Math. Inst.

III: Di, 16-18 Uhr, SR 01-009/13
Julia Riegger, Gebäude 101

IV: Di, 16-18 Uhr, SR 00-014
Jonas Unger, Gebäude 078

V: Mi, 14-16 Uhr, SR 00-010/14
Elisabeth Wursthorn, Geb. 101

Fragestunde: Do, ab 11 Uhr
Simon Feiler, Hörsaal IIÜbungen zur Vorlesung

Mathematik für Studierende des Ingenieurwesens IISommersemester 2008Übungsblatt Nummer 15
29. April 2008
Abgabe am Dienstag, den 06.05.2008 vor der Vorlesung
Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.

Aufgabe 43
Seien A :=121
14− 43
17!



2 4 3
3 −2 16  ∈ R3×3 und C := 2 1 6  ∈ R3×3 .
∈ R2×2 , B := −2 3
2 8 −2−1 1 −5a) Stellen Sie fest, ob A invertierbar ist!

Geben Sie im Falle der Invertierbarkeit die Inverse A−1 an!

b) Stellen Sie fest, ob B invertierbar ist!

Geben Sie im Falle der Invertierbarkeit die Inverse B−1 an!

c) Stellen Sie fest, ob C invertierbar ist!

Geben Sie im Falle der Invertierbarkeit die Inverse C −1 an!

d) Stellen Sie fest, ob C · B invertierbar ist!

Geben Sie im Falle der Invertierbarkeit die Inverse (C · B)−1 an!

Bemerkung: Bei der Berechnung einer Inversen empfiehlt sich stets eine Überprüfung des Ergebnisses. Hierzu multipliziere man die Ursprungsmatrix mit ihrer Inversen.

bitte wendenProjektion und orthogonaler Anteil
2(in den Fällen V = R3 und V = R ist das eine Wiederholung)
V ×V → Kein Skalarprodukt auf
Es seien K ∈ {R; C}, V ein K-Vektorraum, ∗ :(~x; ~y )T 7→ ~x ∗ ~y

V → R
√
die „vom Skalarprodukt ∗ induzierte Norm“ auf V .
V und k·k :~x 7→ k~xk := ~xn∗o~x
Hat man zwei Vektoren ~a ∈ V \ ~0 und ~b ∈ V gegeben, so kann man die „Projektion ~bk~a von~b in Richtung ~a bezüglich ∗“ berechnen. Es gilt~~~bk~a = ~a ∗ b · ~a = ~a ∗ b · ~a.
~a ∗ ~ak~ak2
Den „zu ~a bezüglich ∗ orthogonalen Anteil ~b⊥~a von ~b“ erhält man nun mit der Formel~b⊥~a = ~b − ~bk~a .
Zwei Vektoren ~x ∈ V und ~y ∈ V sind „orthogonal bezüglich ∗“ (d.h. stehen bezüglich ∗ senkrechtaufeinander), wenn ~x ∗ ~y = 0 ist.

Aufgabe44 
1
−2
4

Sei p~ :=  2 ∈R .
1Finden Sie eine Orthogonalbasis des R4 bezüglich des StandardSkalarprodukts, in der p~ einen Basisvektor darstellt!

Bemerkung: Eine Orthogonalbasis ist eine Basis, in der alle Vektoren orthogonal sind.
Suchen Sie zunächst einen zu p~ orthogonalen Vektor ~q !
Suchen Sie nun einen von p~ und ~q linear unabhängigen Vektor ~u und berechnen
Sie ~r := (~u⊥~p )⊥~q!
Zuguterletzt suchen
von p~, ~q und ~r linear unabhängigen Vektor ~v . Be Sie einen!
rechnen Sie ~s := (~v⊥~p )⊥~q⊥~rMit etwas Geschick können ~q, ~u und ~v so gewählt werden, dass sich einigermaßen„schöne“ Zahlen ergeben.
Was würde passieren, wenn ~u linear abhängig von p~ und ~q gewählt würde?

Aufgabe 45
683 10−1 322
5×4
M :=  4 −2 1 −6
∈R
5
71 12 −3 1 −2 6123456
 789101112 


5×6

1415 −1 −2 −3 N :=  13∈R −4 −5 −6 −7 −8 −9 
−10 −11 −12 −13 −14 −15a) Bestimmen Sie den Zeilenrang von M und den Spaltenrang von M!

b) Bestimmen Sie den Zeilenrang von N und den Spaltenrang von N !