J フローおよび余接フローの収束
村上怜(東北大学)

1 導入
J 方程式は，S.K.Donaldson と X.X.Chen により独立に発見された Kähler 多様体上の偏微分方程式である．S.K.Donaldson は，コンパクト Kähler 多様体上の微分同相写像全体と，その上のある群のハミルトン作用を考え，モーメント写像の零点の方程式として J方程式を発見した．一方，X.X.Chen は，定スカラー曲率 Kähler 計量に関係する満渕汎函数の明示的公式を与え，その一部分に対応する方程式として J 方程式を発見した．後者の視点は，近年の定スカラー曲率 Kähler 計量の研究において重要な役割を担っている．

Leung-Yau-Zaslow(以下 LYZ) 方程式は，[LYZ01] により，ミラー対称性の文脈で特殊ラグランジュ部分多様体のミラーとして導入された．[JY17] は，ミラー対称性の設定をなくし，より一般の Kähler 多様体上での LYZ 方程式の研究を始めた．

J 方程式および LYZ 方程式は，可解性がある種の数値的正値性で特徴づけられることが知られている．そこで自然な問題として，この数値的正値性が成り立たない場合，どのような幾何構造が得られるかという問題が考えられる．本講演では，2 次元で数値的半正な場合に，対応するフローの収束先を調べることで，弱い意味での解を与える．

2 J フロー
2.1 J 方程式の（滑らかな）可解性
X を n 次元コンパクト Kähler 多様体として，χ および ω を Kähler 形式とする．
定義 1 (J 方程式). Kähler 形式 χ′ ∈ [χ]（∂ ∂¯ 補題より χ′ = χ +√¯ と書ける）に−1∂ ∂ϕ

対して Λχ′ ω = c を J 方程式と呼ぶ．Λχ′ は χ′ によるトレース作用素を表し，c は定数を表す．Kähler 類 [χ] 内の J 方程式を満たす Kähler 形式を J 計量と呼ぶ．
右辺の定数 c は，χ′ を体積形式として J 方程式を X 上で積分することで，χ と ω のnコホモロジーから c =∫∫ nn−1nω∧χ/χ とあらかじめ定まる．J 計量は，Kähler 類XX[χ] 内の Kähler 計量全体の上で定義される J 汎函数の臨界点として見れる．
定義 2 (J 汎函数). Kähler 形式 χ に対して，Kχ = {φ ∈ C ∞ (X) | χ +する．Kχ 上の J 汎函数を

∫J (0) = 0,()ψ Λχφ ω − c χnφdJ (φ)(ψ) =Xと定める．
そして，J 汎函数の勾配流として J フローが定義される．

√¯ > 0} と−1∂ ∂φ定義 3 (J フロー). 次で定義される分方程式を J フローと呼ぶ：{φ̇t = c − Λχt ω,
φt |t=0 = φ0 ．

ここで φ̇t は φt の t に関する微分を，χt = χ +√¯ t を表す．
−1∂ ∂φJ フローの性質として次が知られている．
(i) J フローは [0, ∞) で解が存在する．
(ii) Kähler 形式 χ′ ∈ [χ] で，(n − 1, n − 1) 形式として cχ′n−1 − (n − 1)ω ∧ χ′n−2 > 0を満たすものが存在したとする．このとき J フローは J 計量に収束する．

∑1/xi は Γn := {x ∈ Rn | 任意の i について xi > 0} 上で単調減少なので，J 計量∑χ′ ∈ [χ] は，maxk=1,...,n ( i̸=k 1/λi ) < c を満たす．ここで {λi } は ω −1 · χ′ の固有値を表す．これは (n − 1, n − 1) 形式として cχ′n−1 − (n − 1)ω ∧ χ′n−2 > 0 を満たすことと同値である．すなわち (ii) は J 計量の存在の必要十分条件を与えている．また，同様の操作により，J 計量 χ′ は，任意の p = 1, . . . , n − 1 に対して (p, p) 形式として cχ′p − pω ∧ χ′p−1 > 0を満たすことがわかる．そして J 計量の存在は，この (p, p) 形式を積分した数値の正値性で特徴づけられることが示されている．すなわち，
定理 1 ([Chen21, Song20]). 以下は同値である：(i) J 計量が存在する，(ii) 任意の p = 1, . . . n − 1 と p 次元部分多様体 V に対して，∫c χp − p ω ∧ χp−1 > 0Vが成り立つ．

2.2 2 次元2 次元の場合，J 方程式は (cχ′ − ω)2 = ω 2 と変形でき，複素 Monge-Ampère（以下MA）方程式に変わる．このとき，上の定理 1 は Yau の定理 (Kähler 類での MA 方程式の可解性) と Demailly-Paun [DP04] の Kähler 類の判定法から示される．
本講演の主題は，定理 1 の (ii) が満たされない場合に標準的な解を求めることである．特に定理 1 の (ii) の数値が正より弱く非負の場合を考える．2 次元の場合，この条
件は，コホモロジー類 [cχ − ω] が nef（すなわち Kähler 類全体の閉包に属し）かつ big（nef の状況では∫X(cχ − ω)2 > 0 という条件と同値）と言い換えられる．この状況では，[BEGZ10] により，nonpluripolar 積という正カレントに対する積の意味で MA 方程式の解の存在が示されている ([BEGZ10] ではより一般に big なコホモロジー類で示している)．

定義 4 (nonpluripolar 積). n 次元 Kähler 多様体 X 上の実閉 (1, 1) 形式 θ と θ-psh 関数√¯ ≥ 0）に対して，φ（すなわちカレントとして θ + −1∂ ∂φ√√¯ n ⟩ := lim 1{φ>−k} ⟨(θ + −1∂ ∂¯ sup{φ, −k})n ⟩⟨(θ + −1∂ ∂φ)
k→∞で定める．ここで右辺の積は sup{φ, −k} が有界であるため帰納的に部分積分を用いてカレントとして定まる (Bedford-Taylor 積と呼ばれる)．
定理 2 ([BEGZ10]). X を n 次元コンパクト Kähler 多様体とし，θ をコホモロジー類[θ] が nef かつ big であるような実閉 (1, 1) 形式とする．このとき滑らかな体積形式 µ∫ n√¯ n ⟩ = µ かつで µ(X) =θ を満たすものに対して，θ-psh 関数 φ で ⟨(θ + −1∂ ∂φ)
X

sup φ = 0 を満たすものがただ一つ存在する．
次が本講演の主定理である．
定理 3 ([Mur24]). X を 2 次元コンパクト Kähler 多様体，χ と ω を Kähelr 形式として，コホモロジー類 [cχ − ω] は nef かつ big とする．このとき J フロー {φt } に対して，

φt − sup φt は φM A に L1 収束する．ここで φM A は ⟨(cχ − ω +√¯ M A )2 ⟩ = ω 2 か−1∂ ∂φ

つ sup φM A = 0 を満たす (cχ − ω)-psh 関数である．

2.3 証明の概略
証明は 3 つのステップからなる．
ステップ 1 勾配の収束

J フロー {φt } に対して， dtd J (φt ) → 0 を示す．まず J 汎函数が J フローに沿って凸dであることが計算から分かり，よってある µ が存在して dtJ (φt ) → µ となる．また J フローは J 汎函数の勾配流のため µ ≤ 0．一方 [SD20] により cχ − ω が nef かつ big という今の状況では，µ は任意の ε > 0 に対して µ ≥ −ε となることがわかる．したがってµ = 0．
ステップ 2 粘性劣解

J フロー {φt } に対して，ψt = φt − sup φt とする．ψt は χ-psh 関数の族で sup ψt = 0を満たすため，部分列をとって sup = 0 な χ-psh 関数の L1 収束極限 ψ∞ が存在する．このとき ψ∞ が次の意味で J 方程式の粘性劣解であることを示す．
定義 5 (粘性劣解). 上半連続な χ-psh 関数 ψ が J 方程式の粘性劣解であるとは，任意の点 p ∈ X と p の周りで定義されている C 2 関数で u ≥ f + ψ （f は p の周りでχ=√¯ となり上半連続となるような関数）かつ点 p で等号成立となる u に対し−1∂ ∂fて，Λ√−1∂ ∂u¯ ω ≤ c となることとする．
dステップ 1 と dt
J (φt ) = −∥c − Λχt ω∥2L2 (χt ) ，および最大値原理で得られる χt の下からの評価より，∥c − Λχt ω∥L2 (ω) → 0 が得られる．これと J 方程式の作用素の凸性を用いると，f + ψ∞ の molliﬁcation が J 方程式の（粘性）劣解になることがわかる．これは実は ψ∞ が粘性劣解になることと同値になる．
注意 1. ステップ 1 とステップ 2 は一般次元で成り立つ．特に，J フローの部分列弱収束極限は J 方程式の粘性劣解である．
ステップ 3 弱収束

2 次元の場合の MA 方程式への変換を用いる．これにより J 方程式の粘性劣解は MA 方程式の粘性劣解になる．そして MA 方程式の粘性劣解 ψ∞ は ⟨(cχ − ω +√¯ ∞ )2 ⟩ ≤ ω 2 を満たすことがわかる．一方両者の X 全体の体積は逆の不等式が成−1∂ ∂ψ

り立つ ([BEGZ10]) ため両者は一致する．また，sup = 0 な MA 方程式の解は一意なため，部分列を取らなくても収束する．

3 余接フロー(X, ω) を n 次元コンパクト Kähler 多様体とし，α を実閉 (1, 1) 形式とする．
( √)√定義 6. (LYZ 方程式）α′ ∈ [α] に対し Im e −1θ0 (α′ + −1ω)n = 0 を LYZ 方程式と呼ぶ．ここで θ0 は定数である．

)∫ (√√LYZ 方程式を積分することで，θ0 は X Rm(α + −1ω)n − cot θ0 Im(α + −1ω)n =0（cot θ := 1/ tan θ）という必要条件が出る．また本講演では 0 < θ0 < π を仮定する(supercritical 条件)．この場合，LYZ 方程式の可解性の特徴づけとして次が知られている．
定理 4 ([CLT24, CJY20]). X は射影的もしくは 2 次元とする．θ0 を 0 < θ0 < π かつ∫(Rm(α +√−1ω)n − cot θ0 Im(α +√)−1ω)n = 0Xを満たす定数とする．このとき以下は同値である：(i) LYZ 方程式の解が存在する，(ii) 任意の p = 1, . . . n − 1 と p 次元部分多様体 V に対して，∫√√)(Rm(α + −1ω)p − cot θ0 Im(α + −1ω)p > 0Vが成り立つ．

LYZ 方程式は，θω (α) =∑i arccot λi = θ0 という方程式に変形できる．ここで，{λi }は α′ · ω −1 の固有値である．Fu-Yau-Zhang [FYZ21] は次のフローを導入した．
定義 7 (余接フロー). 次で定義される方程式を余接フローと呼ぶ：{φ̇t = cot θω (αt ) − cot θ0 ,φt |t=0 = φ0 ．

ここで φ̇t は φt の t に関する微分を，αt = α +√¯ t を表す．
−1∂ ∂φ[FYZ21] では，初期値 α0 が 0 < θω (α0 ) < π を満たすとき，余接フローは [0, ∞) で存在することを示している．また，余接フローは，LYZ 方程式の解を臨界点とするある汎函数の勾配流になっている．2 次元の場合，LYZ 方程式は (α′ − cot θ0 ω)2 = (cot2 θ0 + 1)ω 2と変形でき，MA 方程式になる．2.3 節の証明と同様の手法で余接フローに対しても以下が得られる：
定理 5 ([Mur24]). (X, ω) を 2 次元コンパクト Kähler 多様体，α を実閉 (1, 1) 形式として，0 < θ0 < π かつ [α − cot θ0 ω] は nef かつ big とする．余接フローの初期値 α0 が0 < θω (α0 ) < π を満たすとき，余接フロー {φt } に対して，φt − sup φt は φM A に L1 収束√¯ M A )2 ⟩ = (cot2 θ0 + 1)ω 2 かつ sup φM A = 0する．ここで φM A は ⟨(α − cot θ0 ω + −1∂ ∂φを満たす (α − cot θ0 ω)-psh 関数である．

参考文献[BEGZ10] S. Boucksom, P. Eyssidieux, V. Guedj, and A. Zeriahi, Monge-Ampère equations
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[CLT24] J. Chu, M.-C. Lee, and R. Takahashi, A Nakai-Moishezon type criterion for supercritical deformed Hermitian-Yang-Mills equation, J. Diﬀerential Geom. 126 (2024), no.
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[CJY20] T.C. Collins, A. Jacob, and S.-T. Yau, (1, 1) forms with speciﬁed Lagrangian phase:a priori estimates and algebraic obstructions, Camb. J. Math. 8 (2020), no. 2, 407–452.
[DP04] J.-P. Demailly and M. Paun, Numerical characterization of the Kähler cone of acompact Kähler manifold, Ann. of Math. (2) 159 (2004), no. 3, 1247–1274.
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[JY17] A. Jacob and S.-T. Yau, A special Lagrangian type equation for holomorphic line
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[LYZ01] N. C. Leung, S.-T. Yau, and E. Zaslow, From special Lagrangian to Hermitian-YangMills via Fourier-Mukai transform, Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles
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[Mur24] R. Murakami, Weak limits of the J-ﬂow and deformed Hermitian Yang-Mills ﬂow:
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[Song20] J. Song, Nakai-Moishezon criterions for complex Hessian equations, preprint, available at arXiv:2012.07956:v1.