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連載

最新宇宙誌【1】■―11―

最 新 宇 宙 誌 【 1】エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）福江
1. 純白の時代－宇宙の誕生
すべてのはじまりは“白”それもきわめて高度な“純白”だったことだろう。時空のキャンパスにはまだ何も描かれておらず、生命や星はおろか物質さえ存在しなかった時代。
すべてが光り輝く純粋のエネルギーだった時代。宇宙のはじまりとは、そういう時代だったはずだ。宇宙開闢から計った時間は 0（赤方偏移は∞）、宇宙のサイズも 0（現在との比率も 0）である。
さて、宇宙の過去から未来にいたる歴史で、起こった（起こるだろう）出来事を年表方式でまとめてみると、おおむね表 1 のようにな

純（大阪教育大学）――――――――――――――――――――――――【第 3 の相転移：弱い力と電磁力の分離】
10 -11 秒 10 -15 100AU 10 15 K 電子が誕生する【第 4 の相転移：クォークがハドロンに】
10 -6 秒**

10 兆K 陽子・反陽子の対消滅

10 -4 秒

*

*

1 兆K

10 秒

10 -10*30 億K電子・陽電子が対消滅し、光（エネルギー）になる

100 秒

10 -8 103光年 10 億K 元素合成の開始

1 万年

10 -4

（He，D，Li など合成）
103万光年 3 万Kした時間で、2 番目のサイズ比は現在の宇宙に対する比率（この逆数から 1 を引いたものが赤方偏移 z になる）、3 番目は宇宙の大きさ

輻射の時代の終わり
物質の時代の始まり【宇宙の晴れ上がり：再結合時代】
38 万年 10 -3 1 億光年 3000K 陽子と電子が結合、るだろうか（図 1 も参照）。
表 1 の最初の欄は宇宙が誕生してから経過

中間子が対消滅し、クォークがハドロンになる

水素原子ができる【宇宙の再電離】2 億年

0.1 約10億光年 *初代天体の形成と宇宙の再電離

10 億年 0.17 約20億光年 *クェーサー形成30 億年 0.33 約45億光年 *銀河ができる

スケールで、4 番目は宇宙に満ちた放射の温90 億年 0.75 約46 億年前

太陽と地球の誕生度、そして最後の欄が主な出来事である。

100億年頃

約36 億年前

生命が発生する

約100 万年前

人類の誕生

表 1 宇宙の歴史――――――――――――――――――――――――
主な出来事
時間 サイズ比 大きさ 温度――――――――――――――――――――――――
0

0

0

∞

137 億年

1

137 億光年 2.7K 現在
約20 年後核融合が実用化する

約30 年後

月面基地の建設

無からの宇宙(時空)の誕生

約50 年後スペースコロニー

約100 年後

軌道エレベータ

インフレーションの開始

数百年後

ダイソン球の建設

数千年後

ブラックホール発電

約50 億年後

太陽の赤色巨星化【第 0 の相転移】
190 億年頃

プランク時間＝（ Gh/c 5 ） 1/2

1 兆年頃

銀河の老齢化100 兆年頃

星が燃え尽きる

重力が誕生する

1032年頃

陽子の崩壊【第 2 の相転移：強い力と弱い力の分離】

10100年頃

ブラックホールの蒸発

時空の量子的ゆらぎの終わり【第 1 の相転移：重力と強い力の分離】
10 -44 秒 10 -33 10 -3 cm 10 32 K
10 -36 秒 10 -30 1cm

10 28 K 強 い 力 が 誕 生 し バ
リオン数が発生する――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
天文教育 2007 年 5 月号

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エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）

ワインバーグの名著にならえば、今回は“最初の 3 分間”に何が起こったのかという話にであるハッブル定数 H 0 の値としては、いわゆる最新の値として、H 0 ＝72km/s/Mpc

なるだろうか。とくに時空（宇宙）の誕生と時空相の変化について眺めていこう。

を用いた（誤差は省略）。この値は、1Mpc（＝326万光年）の彼方における宇宙の膨張速度が72km/s だということを表している。
ハッ ブル定数の 逆数は時間 の次元をも っていて、ハッブル時間と呼ばれているが、宇宙の年齢の目安となる。上記の値を使うと、ハッブル時間

t 0 は、
t 0 ＝1／ H 0 ＝137 億年となる。これは同時に、最新の観測から得られている現在の宇宙の年齢である（実際に計算した人
は、136 億年ぐらいになったと思うが、まぁ、公
称値に合わせた）。
ハッ ブル時間に 光速をかけ たものは長 さの次元をもっていて、宇宙の大きさの目安となる。名図1

ビッグバン膨張宇宙のイメージ図

垂直方向が時間軸（下が過去で上が未来）で、水
平方向が空間軸になっている。時間が経つにつれ、空間が膨張している。先にも書いたが、宇宙の時

前が付いているかどうかはよく知らないが、ここではハッブルサイズと呼んでおこう。ハッブルサ
イズa 0 は、
a 0 ＝ c／ H 0 ＝137 億光年になる。

空構造 は単純なビ ッグバンモ デルでは記 述でき

つぎに、過去の宇宙に関してであるが、観測にない。超空間の中で無から宇宙は創生し、インフ

加えて、採用する宇宙モデルや素粒子理論などに

レーション的な膨張を経て、緩やかなビッグバン

よっても数値が異なってくる。表 1 では、わかり減速膨張に移行し、さらにふたたび加速膨張に転やすさを優先させて、宇宙開闢以来の年齢を軸にじているらしい。
（出典：http://www.nikon.co.jp/main/eng/
feelnikon/discovery/light/chap01/sec01.htm）［表 1 の数値についての補遺］
表 1 の具体的な数値は、いろいろな資料から引っ張ってきたり、適当な宇宙モデルで計算したり、最新の観測データで補正したものの、ごったまぜ
なので、全体としての整合性は取れていない。これまで 書いたモノ やこれから 書いていく モノなども、表 1 の数値とは微妙に異なるだろう。さらに、宇宙の再電離や銀河の形成など、時間的に幅をもつ出来事もある。したがって、表 1 の数値はあくまでも、だいたいの目安だと考えて欲しい。
ただし、気になる人のために、一応、基準とした数値を書いておく。
まず現在の宇宙に関して。現在の宇宙の膨張率

Vol.19 No.3

したが、この年齢は宇宙モデルでかなり左右される数値なので、通常は、基準スケールとしては、
赤方偏移を採用することが多い。
さて、赤方偏移を基準スケールにすると、第 2欄のサイズ比については、過去の宇宙のサイズをa、現在の宇宙のサイズをa 0 とすると、赤方偏移 z
は、
a／a 0 ＝1／（1＋ z）という関係式で表される。あるいは、上にも書いたように、サイズ比を用いれば、
1＋ z ＝1／サイズ比という関係があるので、表 1 のサイズ比から赤方偏移を出すのは簡単だろう。実際には、赤方偏移からサイズ比を出したりしているものもある（たとえば、宇宙の再電離は赤方偏移が 12 から 6 ぐ
らいで起こっているので、赤方偏移を 10 として、サイズ比を 0.1 と計算した）。
また、第 3 欄の宇宙の大きさについては、基本■

連載

最新宇宙誌【1】■―13―

的には、現在の宇宙のハッブルサイズにサイズ比図版）をもって、小学生にでもわかるようにをかけただけである。

説明する──細かい表現は違うかも知れない

第 4 欄の宇宙の温度については、今回チェックしていないが、初期のものについては素粒子とエネルギーの熱平衡から導かれているはずである。
また、100 秒後ぐらいから後で、物質が安定してからは、物質と輻射が熱平衡にある宇宙が断熱膨──の段階を踏んで、はじめてきちんと理解できたことになる。その意味で、言葉や図版だけで説明しきれず、数式に頼るのは少し情けないが、ご寛恕願いたい。

張して 温度が下が っていった という仮定 で計算されている。後者についてはエポックⅡで説明できる（かな）。
最後に、ふたたび第 1 欄の時間だが、先にも述べたように、ここが一番あやしい。いわゆる平坦な宇宙モデルだと、宇宙が始まってからの時間 t
は、ハッブル定数あるいはハッブル時間と赤方偏移を使って、

t ＝（1／ H 0 ）（2/3）（1＋ z）－ 3/2と表される。計算してみたらわかるように、表 1の時間で近いのもあれば、桁が違うのもある。ぼ
くも電卓を叩くのがイヤになったので、まぁ、適
当に見ておいて欲しい。

2. フリードマン方程式
次の節の終わりまで書き終えて、インフレーション宇宙に入りかけたころ、言葉と図版だけでは、お話だけになってしまうことに気づいた。それなら一般向けの啓蒙書を読めばいい（たとえば、参考文献に挙げた『100 歳になった相対性理論』『パラレルワールド』）。
一方で、一般相対論的宇宙論の教科書は、そう気楽に読み切れるものでもない（たとえば、『宇宙論入門』）。そこで、やや天下りではあ

2.1

アインシュタイン方程式

まずアインシュタイン方程式について、一言触れておこう。

るが、ビッグバン宇宙モデルの根幹をなすフ

ニュートン力学では、物質の密度分布ρとリードマン＝ルメートル方程式と、ビッグバ

物質が作る重力ポテンシャルΦの関係を表す

ン減速膨張解やインフレーション加速膨張解

式として、「ポワソン方程式」と呼ばれるものなど、そのいくつかの解については、随所でが知られている。

説明することにした。

ポワソン方程式は、（1）式のような形をしたしか朝永振一郎が言ったことだったかとていて、左辺が重力ポテンシャルの空間に関思うが、物理的現象の理解というものは、①

する 2 階偏微分方程式の形、右辺が密度分布アイデアや思いつきで、その現象を直観的にになっている（右辺の G は万有引力定数）。

理解する、②数式を立てて定式化し、その式

ニュートン力学では、このような重力ポテン

を解いて定量的に解析する、③そして言葉（やシャルの作る重力場の中で、物質の運動方程天文教育 2007 年 5 月号

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エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）

式を解くことによって、物質の運動が得られタイン方程式がポワソン方程式に一致するよる。その際、運動方程式とポワソン方程式をうに、万有引力定数 G などを含む右辺の係数連立させて解くことによって、物質分布と物は定められている。

質運動が無矛盾に決まることになる。

ちなみに、エネルギー運動量テンソルは、

このニュートン力学のポワソン方程式と運宇宙を構成している物質が理想流体（理想気動方程式の両方の内容を含み、かつ、時空の体）の場合、（3）式のような形をしている。

構造やエネルギーと物質の等価性まで考慮し

ここで 4 元速度というのは、通常の空間速度て一般化したものが、アインシュタイン（A.

を 4 次元に拡張したものである。また ε はEinstein）が導いた「アインシュタイン方程

熱エネルギーなども含めた物質のエネルギー式」だと言っていいだろう。

密度で、密度 ρ を用いて、アインシュタイン方程式は、（2）式のよう

ε＝ρ c 2な形をしているが、（ 運動方程式の内容も含んと表すことも多い。熱エネルギーが小さけれ

ではいるものの）見た目にはポワソン方程式

ば、この密度は通常の物質密度と同じものにに近く、なり、εは物質の静止質量エネルギーになる。

時空構造＝エネルギー物質分布という関係式になっている。
すなわち、左辺は、時空構造に関する 2 階ニュートン力学のポワソン方程式と一般相対論のアインシュタイン方程式の違いを列挙
しておくと、の偏微分方程式で、計量テンソル（メトリッ

1）右辺にエネルギーも入る：先にも書いクテンソル）と呼ばれる 10 個の独立成分をたように、相対論ではエネルギーと質量は等もつ量がニュートン力学のポテンシャルの役価とみなすので、右辺には物質だけでなくエ割を果たしている。また、リッチテンソルやネルギーも入ってくる。

スカラー曲率と呼ばれる量は、計量テンソル2）左辺に時間が入る：ニュートン力学での時間空間微分で得られる量なので、左辺はは、力は無限の速度で伝わるので、左辺は空計量テンソルに関する時間空間についての 2間微分だけだった。しかし、一般相対論では、階の偏微分方程式になっている。

重力作用は有限の光速で伝わるので、左辺にさらに左辺のΛは有名な宇宙項で、宇宙定も時間微分が入ってくる。

数とかラムダ項などとも呼ばれる。空間的な

3）ポテンシャルの意味：最大の違いはポ量として捉えれば斥力として働き、エネルギ

テンシャルの解釈だろう。ニュートン力学でー的な量として解釈すると、正のエネルギーは、ポテンシャルはあくまでも仮想的なもの、

密度と負の圧力をもつというダークエネルギ

重力の器として便利な概念だった。しかし、ーとして作用する。後で詳しく述べる。

一般相対論では、ポテンシャル（計量テンソ

一方、アインシュタイン方程式の右辺は、エネルギー物質分布に関する部分で、エネルル）で表される空間の曲がりは、物理的な実在だと考えている。

ギー運動量テンソルと呼ばれるテンソル量が上記のアインシュタイン方程式は、まった

ニュートン力学の物質密度の代わりに入ってく一般的に書いたものであって、計量テンソいる。独立成分の数も多いし、エネルギーやルなどの内容次第で、あるときはブラックホ

圧力なども入って一般化されているが、基本ールを表すし、あるときは重力波を表すし、的には物質密度的なものである。実際、相対

そしてまたあるときは宇宙構造を表す。

論的効果が非常に小さいときに、アインシュ
Vol.19 No.3

■

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最新宇宙誌【1】■―15―

ここからスタートすれば、高校生でも解け
2.2

フリードマン＝ルメートル方程式

る！

さて、本題のフリードマン方程式／ルメー

すなわち、FL1 と FL2 は変数 a の時間 tトル方程式だ。宇宙項を落とした場合は、に関する微分方程式の形になっている。変数1922 年に宇宙項なしのアインシュタイン方a は「スケールファクター」と呼ばれる量で、

程式を解いたソ連の数学者フリードマン（A.

宇宙の大きさを表す因子である。宇宙の半径

A. Friedmann）にちなんで「フリードマン方と考えてもらってもいいが、無限宇宙の半径程式」と呼ぶべきだろうし、宇宙項を入れたがわかりにくければ、遠くの銀河との間の距

場合は、1927 年に宇宙項ありのアインシュタ離と解釈してもらっても構わない。また変数

イン方程式を解いたベルギーの宇宙論学者ル

a の上についている“・”（ドット）が時間微メートル（G. E. Lemaitre）にちなんで「ル分 d/dt を表していて、ドットが一つなら 1 階

メートル方程式」あるいは「フリードマン＝

微分、二つなら 2 階微分を意味している。しルメートル方程式」と呼ぶべきだろう。ただたがって、FL1 は時間に関する 1 階常微分方

し、以下ではあまり厳密には区別しない。

程式で、FL2 は 2 階常微分方程式になっていて、両者併せて、宇宙の大きさの時間変化を表す方程式になっているわけだ。そして、aの時間に関する 1 階微分は宇宙膨張の速度のようなもので、2 階微分は宇宙膨張の加速度（減速度）のようなものになる。
その他の文字だが、ρは物質密度、 p は圧力で、Λは先にも出た宇宙項で、一応、“定数”とみなしておこう。また k は、宇宙の曲率をさて、計量テンソルやリッチテンソルやエ決めるパラメータで、ネルギー運動量テンソルは、ベクトルを一般

k ＝1：閉じた宇宙化した 2 階のテンソルという量だが、これら

k ＝0：平坦な宇宙のテンソルは時空が 4 次元であるために、

k ＝－1：開いた宇宙

4×4＝16 個の成分をもっている。対称性からとなる。ここで重要なのは k の値ではなく、（たとえば、エネルギー運動量テンソルで u i

符号だけだ。実際、たとえば、k を 25 にしてと u k を入れ替えても変わらない）、独立な成も、a → 5a と置き換えれば、k が 1 の場合と分は最大 10 個になり、アインシュタイン方同等になる。だから、1／0／－1 だけで十分

程式も最大 10 本の成分しか出てこない。さなのだ。実は、この点は、ぼくも長年気にならに、宇宙は一様で等方だという、いわゆるっていたのだが、今回、ちゃんと式を見てい「宇宙原理」を仮定すると、アインシュタイて、1／0／－1 だけでいいことがやっと納得

ン方程式から導かれる独立な式は、たったのできた（笑）。

2 本になってしまう。それが、フリードマン

宇宙のダイナミクスをきちんと解くために＝ルメートル方程式の（4）式（以下ではFL1）

は、後一つ、密度ρや圧力 p に関する状態方と（5）式（以下ではFL2）だ。

程式というものが必要なのだが、差し当たっ

この FL1 と FL2 は、実は非常に簡単な連立常微分方程式である。天下りではあるが、ては不要なので忘れておこう。
次に、FL1 と FL2 を少し変形してみる。
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エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）式の意味するところは明らかで、圧力が無視できれば、宇宙の体積に密度を掛けたものが宇宙全体の質量（＝一定）になることを表しているにすぎない。その意味で、「宇宙の物質保存の式」と呼べる。
さらに、この（8）式を FL1 へ代入して密度ρを消去すると、「 宇宙のエネルギー保存の式」として FL5（9）式が得られる。すなわ
ち、（9）式の左辺第 1 項は宇宙膨張の運動エ
ネルギーに相当するもので、第 2 項は宇宙の重力ポテンシャルに相当するものである。宇宙項を含む第 3 項は、ポテンシャルと考えれば、遠心力のポテンシャルやバネのポテンシ
ャルと同じ形をしていることから、ある種の斥力のポテンシャルであることがわかる。
一方、（9）式の右辺だが、エネルギー保存

まず、FL2 から FL1 を差し引くと、FL3の式というからには、ここは宇宙の全エネル（6）式が得られる。これは時間微分の項とギー（＝一定）である。そして、 k の値が 1

しては、左辺に a の 2 階微分だけがあるので、ならば、宇宙の全エネルギーは負で、宇宙は「加速度方程式」とも呼ばれる。すなわち、重力的に束縛されている。逆に、k の値が－1

この式は、宇宙膨張に関する“運動方程式”

なら、宇宙の全エネルギーは正で、宇宙は自にほかならない。そう考えれば、右辺の項の由膨張している。そして値が 0 なら、ちょう

意味がわかりやすくなる。

どその境界になっているわけだ。ちなみに、

すなわち、右辺の第 1 項はエネルギーや圧k の値が－1 で、かつ宇宙項がない場合は、力が入っているが、相対論ではエネルギーもスケールファクターが∞になったときに、宇圧力（熱エネルギー）も質量として作用する

宙膨張の速度が光速になることもわかる。

ので、マイナスの付いたこの第 1 項は、宇宙

なお、（10）式のように、左辺の宇宙項をに存在する物質／エネルギーによって宇宙膨右辺に移して考えれば、宇宙項に関する再解張を減速させる引力としての働きをもってい釈も、この段階でできる。右辺が宇宙の全エる。一方、宇宙項に関する第 2 項は宇宙膨張

ネルギーを表していると考えれば、宇宙項がを加速させる斥力として働く。宇宙項が宇宙存在すると、宇宙空間の膨張とともに、宇宙斥力とも呼ばれるゆえんである。ただし、ダの全エネルギーが増加することを意味していークエネルギーでは、まったく同じこの項をる。エネルギーは保存しないわけだ。そのエエネルギーとして再解釈する（後述）。その意

ネルギーがどこから来るかについては、また味では、すべては目の前にあったのである。

別問題である（後述）。

またFL1 全体にa 3 を掛けて時間微分を行い、……困った、丁寧に書いていくと、加速膨

そこのFL2 を代入して整理すると、FL4（7）張のようにどんどん長くなってしまう。フリ式が得られる。もし圧力が非常に小さければ、ードマン＝ルメートル方程式のもっとも簡単

この式は積分できて（8）式となる。この（8）な例として、急いで、アインシュタインのモ

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■

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最新宇宙誌【1】■デルを紹介しておこう。

―17―

フリードマンの膨張宇宙モデルをアインシュ
タインがすんなりと受け入れたのも当然だろ

2.3

アインシュタインの静止宇宙う。しかし、宇宙項を生涯最大の過ちだといフリードマン＝ルメートル方程式は、もと

うのは、半世紀ほど早かったかも知れない。

もとが簡単な微分方程式なので、物質がない

参考までに、アインシュタイン静止宇宙の場合のミルン解やド・ジッター解、そして運

半径は（15）式のようになり、およそ宇宙項

動がない場合のアインシュタイン解など、いの平方根に反比例する。すなわち、物質の量

くつもの単純な解をもっている。

が多く、それに見合う宇宙斥力も大きなほど、
アインシュタイン宇宙は小さくなる。またア
インシュタイン宇宙の曲率（曲がり具合）は（16）式のようになり、宇宙項に比例する。
3.

無からの宇宙（時空）の誕生
ここが一番まとめるのがキツイだろう。
宇宙創生については、入門的な本はたくさん読んだし、自分でもいろいろ書いてきたが、実は正式に勉強したことは一度もないし、論文もほとんど読んだことがない。ビッグバン
モデルまでは古典的な一般相対論だけで済む
し、大学時代にも勉強したけれど、インフレーションや宇宙創世の研究が進んだのは、ぼくが大学を出て以降だからなぁ。大学時代にもっと勉強しておくんだったという反省すらできない。でも、専門的にやっていない分、
たとえば、宇宙が膨張していなくて、スケ

ぼくのにわか勉強でわかる範囲ぐらいなら、ールファクターa が一定だと仮定すると、FL1、 他の人にもわかりやすいかもしれない、と楽FL2、FL3 はそれぞれ、（11）式～（13）式観的に考えることにしよう。

となる。これらを解くと、あるいは加速度方

そもそも、どこから手を付けていいかさえ

程式（6）式で左辺を 0 としてもよいが、（14）わからないが、とりあえず、特異性、量子ゆ式が得られる。これは、宇宙全体に存在する

らぎ、トンネル効果、インフレーション、そ物質による重力と、宇宙項による斥力が釣りしてビッグバンの順だろうか。

合っているという式にほかならない。これが「アインシュタインの静止宇宙モデル」である（1917 年）。

3.1

特異性問題

宇宙の構造は、時間・空間と物質・エネル

しかし、こんな微妙な釣り合いなんてあまギーを統合したアインシュタインの一般相対

りにも恣意的だし、釣り合い自体が不安定な論によって、はじめて物理的に議論できるよ

平衡状態なので、アインシュタインとしても、うになった。宇宙は有限の過去からはじまり、

このモデルは非常に不本意だっただろう。だ

ずっと膨張し続けていると考えられている。

から、ハッブルが発見した銀河の後退運動や、

それがビッグバン膨張宇宙だ（図 2）。
天文教育 2007 年 5 月号

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エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）

では、過去に遡っていくとどうなるだろう。

とが多い。

宇宙はどんどん小さくなり、物質・エネルギ

たとえば、音波の伝播では、波動の非線形

ー密度はどんどん高くなっていくだろう。そ性によって波の突っ立ちが起こったとき、非して、いまから約 137 億年前の宇宙開闢時に線形性が無限大に発散する前に、衝撃波となは、宇宙の大きさは 0 となり、物質・エネルって発散が抑えられる。星間雲の球対称重力ギー密度は無限大になってしまうだろう。

収縮では、数学的には有限の自由落下時間で一点に収縮してしまうが、実際にはガスの圧力が働いたりガスが不透明になったりして、ガス雲の収縮は有限の半径でストップする。

図2

単純なビッグバン膨張宇宙モデル

実際、ビッグバンモデルを適用すれば、たしかに、時刻 0 でサイズや密度などの物理量が 0 になったり∞になったりする。物理量の発散が起こるので、この“点”を「特異点」と呼んでいる。そして、一般相対論の枠組み
では、ブラックホールの中心や宇宙の最初で必ず特異点が生じることを数学的に厳密に証明したのが、ペンローズ（R. Penrose）とホー キ ン グ （ S. Hawking ） の 「 特 異 点 定 理（Singularity Theorems）」だ（図 3）。だいたい 1966 年～1970 年あたりである。
時刻 0 における特異性の出現は、たしかに

図3

特異点の存在もちろ ん証明なの でいくつか の仮定は置 かれている。たとえば、スケールファクターの 2 階微分が常に負（上に凸）ならば（図の実線）、有限の過去で宇宙のサイズは 0 になる。実際、先の加速度方程式（6）式からは、物質だけが存在する宇宙だとそうなる。もしスケールファクターの 2 階
微分が過去で正（下に凸）になってもよければ（図の点線）、無限の過去から膨張してもいいので、特異点を無限の過去に追いやることができる。

数学的には正しいが、無限大の出現は自然界

宇宙の最初やブラックホール中心の特異性ではあってはならないことだ。特異性の存在も、何らかの方法で回避したいわけだが、こが本当に禁じられているかどうかは証明されとは相対論的重力と量子力学の双方にまたがていないと思うが、物理的には起こって欲しる問題だけに、それほど簡単ではない、ようくない事態であることは間違いない。実際、だ（笑）。

多くの場合、仮定のどこかが間違っていて、特異点が生じて無限大が出てくる前に、何か別の物理過程が働いて、発散が回避されるこ

Vol.19 No.3

3.2

プランク時間時空の最初の特異性は、“古典的な”一般相■

連載

最新宇宙誌【1】■―19―

対論の枠組みでは避けられない問題だと考え問題には、相対論の基本定数である、光速とられている。時空の運動方程式であるアイン

万有引力定数がからむだろう。また量子論がシュタイン方程式も、その運動方程式を解い関係するわけだから、量子論の基本定数であた解は確定的であり、因果関係に従ってものるプランク定数もからむだろう。

ごとが生起するという意味では、一般相対論

これらの定数のうち、光速c（＝も“古典的理論”になるのだ。しかし、もの2.99792458×10 8 m/s）は、次元としては、ごとが不確定になる量子論を導入すると、話［ c］＝LT － 1

は変わってくる。因果関係を逆に辿って、アである。また、万有引力定数 G （＝6.6726×

インシュタイン方程式の解を時刻 0 まで遡る

10 － 11 N m 2 /kg 2 ）は、N（ニュートン）をkg m/s 2ことができなくなるからだ。というか、そんと 分 解 す れ ば 、 G ＝ 6.6726×10 － 11 m 3 /kg/s 2

なことに意味がなくなるからだ。

となるので、次元としては、

では、具体的には、どこらへんまで遡れる［ G ］＝L 3 M － 1 T － 2のだろうか。時空が量子的にゆらいでしまっである。さらに、プランク定数h（＝6.626×て、古典的なアインシュタイン方程式が成立

10 － 34 J s）は、J（ジュール）をkg m 2 /s 2 と分しなくなるのはいつごろなのか。

解すれば、h＝6.626×10 － 34 kg m 2 /sとなるの

このような問題で力を発揮するのが「次元で、次元としては、［h］＝L 2 MT － 1

解析」である。
物理量の単位と似ているが、単位よりも広である。

い概念として、物理量の“次元”という言い

これらの三つの定数の組み合わせを考えた方をすることがある。物理量の「次元」には、ときに、万有引力定数とプランク定数を掛け

長さ（length）の次元 L（単位は m や cm）、て、光速度の 5 乗で割り、さらにルートをと質量（mass）の次元 M（単位は kg や g）、時って、間（time）の次元 T（単位は s）、電流の次元、√（ Gh/c 5 ）温度の次元などがある。たいていは最初の三とした量のみが、唯一、時間の次元をもつこつだけで済むので、ここでも、次元 LMT だとがわかる。他には時間の次元をもつ量は作

け考えよう。なお、一般に変数はイタリク（斜れないのだから、この時間の次元をもつ量こ

字体）で表記するが、単位や次元はローマン

そが、時空のゆらぎが問題になる時間スケー（立体）で表記する。

ルになるはずなのである。この一番最初の、この次元という考え方をすると、たとえば、時空の量子的なゆらぎが終わり、時空が確定

太陽の質量は、SI 単位系の kg で表すのと、する時間を｢プランク時間（Planck time）｣

cgs 単位系の g で表すのとでは、桁が異なると呼んでいる。

が、次元としてはいずれにせよ、質量の次元M をもつ。物理量の次元を表す記号として

具体的には、プランク時間は、
プランク時間＝（ G h /c 5 ）1/2
＝10 － 44 秒

［ ］を使うと、いまの話を、［太陽質量］＝Mと書く。
さて、時空の最初、時空自体が量子的にゆらいでいる状態が現在の問題だ。相対論によって記述される宇宙（モデル）だから、このとなる。
また基本定数からは同様な方法で、長さの時限をもった量として、
プランク長さ＝（hG /c 3 ）1/2
＝10 － 33 cm
天文教育 2007 年 5 月号

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エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）が導かれる。プランク長さぐらいの非常にミ

ミンコフスキー空間内の 2 次元一葉双曲面でクロなスケールでは、時空の量子的ゆらぎが表されている（図 4 上）。

無視できなくなる。
3.3

虚時間の宇宙

宇宙最初の特異性を回避する方法の一つが、
ハ ー ト ル （ J. Hartle ） と ホ ー キ ン グ （ S.
Hawking）が 1983 年に提唱した「虚時間」の概念を用いた「無境界仮説」である。
この虚時間、ぼくは以前は、図 2 のような
ミンコフスキー時空で表した膨張宇宙の最初の尖った部分に丸くキャップをかぶせたようなイメージをもっていた。当たり前だが、実際には、もうちょっとちゃんとしていて、時間 1 次元＋空間 3 次元の 4 次元ド・ジッター
宇宙と虚時間 1 次元＋空間 3 次元の 4 次元超球を、時刻 t＝0 で接ぎ木したもののようだ。
もっとも、4 次元や 5 次元を視覚的に表現するのは無理なので、よくやられるように、
以下では空間の次元を二つ落として、時間 1次元（たとえば t）と空間 1 次元（たとえば r）の 2 次元宇宙を考える。そして、その 2 次元
膨張宇宙を、もう一つ次元の多い 3 次元超空間（平らなミンコフスキー空間）に埋め込んだ形で表示しよう（図 4）。その 3 次元超空間の座標を、ここでは、（ u、v、w）と置いておく。
まず、ド・ジッター宇宙というのは、オランダのド・ジッター（W. de Sitter）が 1917
年に発見したアインシュタイン方程式の解で、物質や通常のエネルギーは存在しないが、宇宙項（いまふうに言えばダークエネルギー）

図4だけは存在する風変わりな宇宙だ。ド・ジッ

上：2 次元ド・ジッター宇宙、中：2 次元超球、ター宇宙は、無限の大きさで無限の過去から

下：2 次元虚時間宇宙。宇宙膨張をイメージ的に3 次元超空間に埋め込んだ 2 次元膨張宇宙収縮を始め、時刻 t＝0 で最小の大きさになり、 表した図 1 では、曲面の内部に宇宙があるようにふたたび無限に膨張していくという双曲線正描いてあるが、上の図では曲面上が宇宙そのもの

弦関数（sinh）的な振る舞いを示す。そして、であって、曲面の内部や外部は宇宙“外”の超空

5 次元ミンコフスキー空間内の 4 次元超一葉間領域になる。

双曲面で表現されるのだが、ここでは 3 次元
Vol.19 No.3

■

連載

最新宇宙誌【1】■ド・ジッター宇宙を表す回転一葉双曲面は、―21―

で、ホーキングらの考えた虚時間の宇宙と

3 次元超空間の座標を用いると、たとえば、いうのは、ド・ジッター宇宙の上半分と虚時－ w 2 ＋ u 2 ＋ v 2 ＝a 2間超球の下半分とを、時刻 t＝τ＝0 で糊づけという式で表されるだろう。ここで定数 a は、したものなのだ（図 4 下）。

宇宙のサイズが最小になったときの“半径”

無限の過去から続くというド・ジッター宇である。一方、回転一葉双曲面の表面そのも宙の欠点もなくなり、宇宙最初の特異性も丸のが実際の宇宙に対応していて、時間軸 t は

くなり、めでたしめでたしと言うことらしい。

下方から上方へ、空間軸 r は円周方向へ張ら

なんだか、インチキをされたような、狐につれている。そしてド・ジッター宇宙においてままれたような気もするが……。

は、時刻 t＝0 で、宇宙のサイズすなわち円周方向の長さは最小になっている。なお、超空間座標（ u 、 v 、 w ）と時空座標（ t 、 r ）は、
双曲線正弦関数などで関連づけられるが、ここでは省略する。
つぎに、4 次元超球だが、時間と空間が対称にみえないのは、時空計量の符号が異なっ［ド・ジッター・モデルについての補遺］
ド・ジッター・モデルも、フリードマン＝ルメ
ートル方程式の単純な解の一つである。この場合は、物質はないとして（ε＝ρ＝0）、ただし、宇宙項Λはあるとする。そうすると FL1 は（17）式のようになる。

ているためで、実時間 t の代わりに虚時間（虚数時間）τ（＝ it ）を用いれば、時間は空間のように振る舞う。そして、5 次元ミンコフ
スキー空間（時間軸は虚時間にしたので、正確には、5 次元ユークリッド空間と呼ぶべきだろう）内の虚時間と通常の 3 次元空間からなる 4 次元超球は、ここでは、3 次元ミンコ
フスキー空間内の虚時間 1 次元と空間 1 次元からなる球面で表される（図 4 中）。
この球面は、たとえば、

w 2 ＋ u 2 ＋ v 2 ＝a 2という式になる。虚時間軸τは下方から上方へ、空間軸 r は円周方向へ張られていることになる。そしてこの超球においては、虚時間
τ＝0 で、宇宙のサイズは最大になる。もっとも虚時間の考え方では、そもそも空間座標と時間座標は同じ物理量だとみなすべきだろう。だから、超球の上での“（時間的）方向”

この（17）式には解析的な解が存在する。手順というものはない。超球の上ではどこにも“境としては、まず（17）式の左辺の第二項と第三項界”は存在しないのだ（したがって「無境界を右辺に移し、a の時間微分を d a/dt と置けば、仮説」と呼ばれる）。虚時間を用いれば、“時変数分離型の微分方程式になる。それを書き直せ

間がはじまる前”という問いかけ自体が無意

ば、（18）式のようにでき、積分すると双曲線正味になるのである。

弦関数（sinh）や双曲線余弦関数（cosh）を解と天文教育 2007 年 5 月号

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エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）してもつ。すなわち、宇宙項を含むパラメータ部

an extremum of the effective potential

分を（19）式のαのようにまとめると、 k の値に

V (φ). The tunneling is most probable to the

よって、1 のときは（20）式、0 だと（21）式、

highest maximum of V (φ).

－1 だと（22）式の解になる。そして図 4 などで考えているのは、（20）式のような双曲線余弦関

このアブストラクトを読み解くには、波動関数（wave function；記号ではψ、上のアブ数（cosh）で表される解である。
このド・ジッター宇宙は、時刻 t が 0 のときにストラクトではφ）と、ポテンシャル

一番小さくなり、そのときの半径は（20）式から、（potential；記号では V）から説明する必要

a ＝ c/α＝√（3/Λ）

があるだろう。それらがわかれば、
「トンネル

である。
物質 がないのに 正体のわか らない宇宙 項だけあるなんて、ド・ジッター宇宙はあまりにもヘン効果」はむしろやさしい。
量子力学の表現には、シュレジンガーの波

テコすぎて、たんなるアカデミックな練習問題だ

動力学とハイゼンベルグの行列力学があるが、と思われていた（と思う）。が、宇宙項の実在性

数学的にはまったく同値である（ことをシュによって、息を吹き返したわけである。

レジンガー自身が証明している）。前者の波動
力学では素粒子の振る舞いは、“波動関数”と

3.4

無からの宇宙（時空）の創生いうもので記述される。波動関数ψは時間とまいったまいった、間に正月が挟まったとはいえ、この節に入って、1 か月筆が止まってしまった（笑）。仕方ないので、現状の範囲
で無理矢理前へ進めることにしよう。

空間の関数で、複素数の値をもち、その絶対値の 2 乗：｜ψ｜2が素粒子の存在確率に比例するという性質を現在は、まだ完成された量子重力理論はなもっている。そうそう、量子力学では、粒子

いので、宇宙の創生について、きちんと物理の存在は確定的ではなく確率的なのである。

できない段階ではある。しかし、アイデアは

さらに、波動関数がしたがう方程式が、有ある。たとえば、一番有名なのは、ビレンケ

名な「シュレジンガー方程式」だ。シュレジン（A. Vilenkin）が 1984 年に唱えた「無かンガー方程式は、虚数単位を i、プランク定らの宇宙の創生」だろう。

数 h を 2πで割ったものを -h（h バー）、粒子

この論文は「フィジカルレビューD」誌に掲載されたものだが、一度きちんと読んでみようとネットダイビングしたが、一般にはまだアブストラクト（概要）しか公開されていない。京都大学まで行けば読めるが、行ったときには忘れている（^^;。とりあえず、こんなアブストラクトだ。
A cosmological wave function describing thetunneling of the Universe from "nothing"into a de Sitter space is found in a simple
minisuperspacemodel.

The

tunneling

probability is proportional to exp(-3/8G 2 ρ v),
where ρ v is the vacuum energy density at

Vol.19 No.3の質量を m と置けば、

■

連載

最新宇宙誌【1】■―23―と表すことができる。ここで、▽ 2 はポワソン

振動の腹が一つだけの基本振動と腹が複数あ

方程式の（1）式で出てきたΔと同じモノで、る倍振動（ハーモニックス）だけが可能にな空間に関する 2 階の偏微分演算子である。まる。その結果、どんな波長の波も許されるわ

た Vはポテンシャルだ。

けではなく、ポテンシャルの長さを半波長とこの波動関数は、その言葉通り、ある種のする波（基本振動）と、1 波長とする波、1.5

波を表すものだ。実在する波ではないが、イ波長とする波のように、とびとびの状態だけメージとしては、水の波や電磁波など古典的が許されることになる。

な波を思い浮かべてもいいと思う。そして、

さらに、ポテンシャルの壁が図 6 のように

ポテンシャルがなければ、この波は時空を伝なっていて、ポテンシャルの高さが有限で壁わっていくが、それはこの波動関数で表されの厚みも有限だと、いわゆる「トンネル効果

る粒子が時空を伝播することである。

（tunneling）」が起こる。古典的な粒子だと、

一方、ポテンシャルが存在すると、波動関

粒子のエネルギーがポテンシャルの高さより数はポテンシャルの障壁に閉じ込められるこも低い場合、いくら壁の厚みが薄くても壁をともある。たとえば、いわゆる井戸型ポテン

抜けることはできない。しかし、波動関数でシャルの場合、図 5 のようなものになる。

記述される粒子は、有限の確率でもって壁を乗り越えることができる。ポテンシャルの内部では粒子は波動的に存在し、壁の部分ではその存在確率は指数的に減少するが、壁の外部でふたたび波動的に存在できることになる。
これが、おそらくエサキダイオードで一躍人口に膾炙した、トンネル効果と呼ばれるもの
だった。

図5

井戸型ポテンシャルと波動関数の
振る舞い

図 7

宇宙のポテンシャル。横軸が宇宙のス
ケール a、縦軸がポテンシャル V。

図6

原子核のポテンシャルとトンネル効果

ようやく宇宙の波動関数に辿り着いた。ビ
レンキンが唱えたのは、量子的存在であった

このような井戸型ポテンシャルの中で波動

宇宙は、トンネル効果によってポテンシャル

関数の振る舞いを考えると、これもまた古典の壁を乗り越え、無の状態から一挙に有の状的なイメージでよくて、波はポテンシャルの態へ顕在化したというものである、と思う。

壁で固定端（節）となるように振動するので、宇宙の波動関数φが図 7 のようなポテンシ
天文教育 2007 年 5 月号

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エポックⅠ：宇宙の誕生～宇宙開闢の物語（前編）ャル V （φ）に閉じ込められていたとする。
宇宙の最初は、宇宙のポテンシャルエネルギ

参考文献

ーは 0 で宇宙の大きさも 0 だが、図 7 のよう○単行本

なポテンシャルだと、ポテンシャルエネルギ

福江

ーは 0 だが有限の大きさ（プランク長さ＝10 － 33 cm）の状態もある（横軸の 1）。そして、宇宙はある確率でもって、大きさ 0 の状態か純（2005）『100 歳になった相対性理論』、講談社．
『パラレルワールド』（斉
ミチオ・カク（2006）
藤隆央 訳）、NHK 出版．

らプランク長さの状態まで、トンネル効果でバーバラ・ライデン（2003）『宇宙論入門』（牧創生されるのだ。トンネル効果で通り抜ける

野伸義 訳）、ピアソン・エデュケーション．

確率は、ポテンシャルの極大値における真空

Gerhard Borner （ 1993 ）“ The Early

エネルギー密度ρ v というものに依存して、Universe”, Springer-Verlag．

指数的に減少するが決して 0 ではない。そし○論文て 0 でない確率の事象は、いつかはどこかで

Hartle, J. and Hawking, S. W.（1983）Wave

起こりうるので、宇宙も誕生したのだろう。

function of the universe, Phys. Rev. D28,

ここで、素粒子の統一理論である「超ひも2960．

理論」と「高次元時空」そして「ブレーンワ

Vilenkin, A.（1984）Quantum Creation ofールド」に一言触れておいた方がいいだろう。

Universes， Phys. Rev. D30, 509．

「超ひも理論」というのは、素粒子が点でVilenkin, A.（1983）Birth of inflationary

はなく、プランク長さ程度の有限の長さをもuniverses， Phys. Rev. D27，2848．

った“ひも”で、そのひもの振動状態でさま
ざまな素粒子が記述でき、かつ、それぞれの素粒子に“超対称性パートナー粒子”が存在するという理論だ。そして、そのような超ひも理論が成り立つのは 10 次元とか 11 次元の高次元時空であり、われわれの 4 次元時空は、
高次元時空の中の“膜（membrane）”のようなものだというのが「ブレーンワールド」別名「M 理論」である（ランダール L. Randallとサンドラム R. Sundrum、1999 年）。
このような素粒子の統一理論やブレーンワールドを宇宙初期と関係させようという考えは当然ある。ただ、いまのところ、まだ検証する方法もないようだし、もう筆者の限界を超えているので、これぐらいにして、後は参考文献に譲りたい。
・・・つづく・・・

Vol.19 No.3

福江純（大阪教育大学）