21§6.

代数的閉体と共役元

定義 6.1

体 L の代数拡大体が L のみであるとき，L を代数的閉体という．

つまり，L が代数的閉体であるとは，L のどんな拡大体 M をとっても，『α ∈ Mが L 上代数的ならば α ∈ L』 となることである．

(1) C は代数的閉体である（代数学の基本定理）．
例 6.2(2) R は代数的閉体ではない．

定理 6.3

体 L に対して次は同値である．

(i) L は代数的閉体である．
(ii) L 上の既約多項式はすべて 1 次式である．
(iii) L 上の定数でない任意の多項式は L 上の 1 次式の積として表される．
(iv) L 上の定数でない任意の多項式は L で根を持つ．

証明 (i)⇒(ii): f (X) を L 上の既約多項式とする． クロネッカーの定理（定理 5.6）より，L の拡大体 M と α ∈ M で f (α) = 0 をみたすものがとれるが，仮定より α ∈ L であるから，deg f = [L(α) : L] = 1 を得る．

(ii)⇒(iii): L 上の定数でない任意の多項式は，L 上の既約多項式の積として表されるから，仮定より (iii) が導かれる．

(iii)⇒(iv): あきらか．
(iv)⇒(i): M/L を代数拡大とするとき，任意の α ∈ M に対して，α ∈ L であることを確かめればよい． いま，α の L 上の最小多項式を f (X) とすると，仮定より，f (X) は根 β ∈ L を持つ． 一方，定理 5.9 より L(α) と L(β) は L 上同型であり，とくに L 上の次数は等しいから [L(α) : L] = [L(β) : L] = 1，ゆえに L(α) = L，すなわち α ∈ L でなければならない．

□定義 6.4 体 K の代数拡大体であって代数的閉体であるものを K の代数的閉包という．

定理 6.5 Ω が代数的閉体ならば，Ω に含まれる任意の部分体に対して，その代数的閉包が Ω の中に一意的に存在する．

22
証明 （存在すること） K を Ω の任意の部分体とする． K 上代数的な Ω の元全体
L = { α ∈ Ω | α は K 上代数的 }は K の代数拡大体である． なぜなら，定理 4.7 より K(L)/K は代数的であり，したがって L の定義から K(L) ⊂ L となり，結局 L = K(L) が得られるからである． 以下，L が代数的閉体であることを示す． f (X) を L 上の定数でない任意の多項式とする． f (X) はΩ 上の多項式でもあるが，Ω が代数的閉体であるという仮定から，定理 6.3 より，f (α) = 0である α ∈ Ω がとれる． また，f (α) = 0 より α は L 上代数的であるが，L/K が代数拡大であることに注意すれば，α は K 上代数的でもある（定理 4.4 参照）． よって，Lの定義から α ∈ L であり，再び定理 6.3 より，L が代数的閉体であることが導かれる．
（一意性） Ω の部分体 L1 , L2 がどちらも K 上の代数的閉包であるとする． 任意のα ∈ L1 に対して，α は K 上代数的だから，もちろん L2 上も代数的だが，L2 は代数的閉体なので α ∈ L2 ． したがって L1 ⊂ L2 ． 役割を入れ替えれば L2 ⊂ L1 も導かれ，L1 = L2 が得られた．

□例 6.6 (1) C は R の代数的閉包である．
(2) Q の代数的閉包は C の中で一意的に定まるが，それは C ではない．
(3) L が K の代数的閉包ならば，L/K の任意の中間体 M は K 上の代数拡大体であり，さらに L は M の代数的閉包でもある．

定理 6.7（シュタイニッツ） 任意の体 K に対してその代数的閉包が存在する．
さらに，L1 , L2 がどちらも体 K の代数的閉包ならば，K 上の同型写像 L1 → L2が存在する．
証明は選出公理（またはそれと同値なツォルンの補題，整列可能定理など）を用いてなされるが，ちょいと面倒なので証略，いや省略する．

以下で扱う体は，とくにことわらない限り，すべてある一つの代数的閉体に含まれているとする． したがって，定理 6.5 より，体 K に対してその中で代数的閉包が一意的に定まる． それを K で表す． このとき，K 上の代数拡大体はすべてK/K の中間体と考えてよい． 実際，M/K が代数拡大ならば，M の任意の元はK 上代数的だから，定理 4.7 より，K(M ) は K 上代数的である． よって代数的閉体の定義から K(M ) = K ，ゆえに M ⊂ K となる． また，このとき K は Mの代数的閉包，すなわち M = K が成り立つ（例 6.6 (3) を参照）．

23
定義 6.8体の拡大 L/K に対して，L から L への K 上の同型写像を，L の K上の自己同型写像，または L/K の自己同型写像という． また，それら全体の集合を Aut(L/K) で表し，L の K 上の自己同型群，または L/K の自己同型群という;
Aut(L/K) = { σ | σ : L → L, K 上の同型写像 } .
定理 6.9L が K/K の中間体，すなわち L が体 K 上の代数拡大体で，
τ : L −→ Kが K 上の準同型写像であるとする． このとき，τ の延長 σ ∈ Aut(K/K) が存在する． すなわち，K 上の同型写像

σ : K −→ Kで，任意の a ∈ L に対して σ(a) = τ (a) であるものがとれる．
この証明も，ふつうツォルンの補題を使って行われる． やはり少し面倒なので省略する．

定義 6.10 K を体とする． α, β ∈ K それぞれの K 上の最小多項式が一致する
とき，α, β は K 上共役であるという． また，β を α の K 上の共役元ともいう．
α の K 上の共役元全体の集合を Conj(α, K) で表す． 言い換えると，α の K 上の最小多項式の根全体の集合が Conj(α, K) である．
例 6.11 z ∈ C の複素共役 z̄ は，z の R 上の共役元であり，Conj(z, R) = {z, z̄}が成り立つ．
定理 6.12

体 K と α, β ∈ K に対して次は同値である．

(i) α, β は K 上共役である．
(ii) σ(α) = β をみたす σ ∈ Aut(K/K) が存在する．
証明 (i)⇒(ii): (i) を仮定すると，定理 5.9 より，K 上の同型写像
τ : K(α) −→ K(β) ⊂ K
で τ (α) = β であるものが存在する． そこで，定理 6.9 を適用すれば (ii) が得られる．
(ii)⇒(i): f (X) を α の K 上の最小多項式とすれば，(ii) のような σ ∈ Aut(K/K) に対して，f (β) = f (σ(α)) = σ(f (α)) = 0.
これは，f (X) が β の K 上の最小多項式でもあることを示しているから，(i) を得る．□

24系 6.13

体 K と α ∈ K に対して，
Conj(α, K) = σ(α) σ ∈ Aut(K/K)

が成り立つ．
定理 6.14

体 K と α ∈ K に対して，|Aut(K(α)/K)| ≤ |Conj(α, K)| ≤ [K(α) : K]が成り立つ．
証明 σ ∈ Aut(K(α)/K) に対して σ(α) ∈ Conj(α, K) を対応させることにより，単射
Aut(K(α)/K) −→ Conj(α, K)が定まり，前半の不等式が導かれる． 次に，f (X) を α の K 上の最小多項式とすると，|Conj(α, K)| = “f (X) の根の個数” ≤ deg f = [K(α) : K]
を得る．

□注意
“f (X) の根の個数” ≤ deg f としたのは，f (X) が重根を持つ可能性があるからである． 重根を持たない場合，根の個数は次数と一致する．

√2 の Q 上の最小多項式は X 2 − 2，したがって√√√
Conj( 2, Q) = { 2, − 2 }.
√ √√また，σ ∈ Aut(Q 2 /Q) とすると，σ( 2) = ± 2． 符号のとり方により，√√
σ = id（恒等写像）または σ( 2) = − 2 となるから，後者をあらためて σ と定めれば，√Aut(Q( 2)/Q) = { id, σ }例 6.15となる．よって，定理 6.14 の不等式はすべて等号になっている．
例 6.16√
X 3 − 2 の実根 α = 3 2 と他の根 αω, αω 2 について，
Conj(α, Q) = α, αω, αω 2 .

一方，同型写像 Q(α) → Q(α) によって α は α にしか写らないから

Aut(Q(α)/Q) = { id } .
よって，この場合は定理 6.14 の左の不等号は 1 < 3 となっていて，等号ではない．