Funktionentheorie II im WS 2004/05
D. Wolke

Literatur
J.B. Conway, Functions of one complex variable, Springer, 1978
W. Fischer, I. Lieb, Funktionentheorie, Vieweg, 1980
E. Freitag, R. Busam, Funktionentheorie, Springer, 1991
K. Jänich, Funktionentheorie, Springer, 1991
R. Remmert, Funktionentheorie I, II, Springer, 1989/90
Bezeichnungena, b, c, d, t, x, y, ε, δ, r, ϕ, ∈ R,s, w, z ∈ C,k, `, m, n, ∈ N; ν, µ ∈ Z.
6. Kapitel. Produkt–Entwicklungen6.1. Unendliche Produkte.
6.1.1. Def. z1 , z2 , · · · ∈ C (bzw. allgemeiner zk , zk+1 , . . . für ein k ∈ N0 ).
(1) Die Zahlen pn :=produkte.

nQzν bzw. für 1 ≤ m ≤ n pm,n :=zν heißen Partial-

ν=m

ν=1

(2) Das unendliche ProduktnQ∞Qzν heißt konvergent, wenn es ein m ∈ N gibt, so

ν=1dass die Folge (pm,n )n≥m einen Limes ungleich Null besitzt. Andernfalls heißt
das Produkt divergent. Im Fall der Konvergenz wird
p := z1 . . . zm−1 lim pm,nn→∞als Limes oder Wert des unendlichen Produkts bezeichnet.
Folgerungen.
(1)∞Qzν ist genau dann konvergent, wenn

ν=1a) nur endlich viele zν den Wert Null haben undnQzν gegen einen Wert 6= 0 konvergiert.
b) die Folge p̃n :=ν=1zν 6=0

∞Q(2) Ein konvergentes Produkt
ein zν gleich Null ist.
(3) Falls

∞Q
ν=1zν

hat den Wert Null genau dann, wenn mindestens

ν=1∞
Qkonvergiert, dann konvergiert

ν=mKonvergenz gilt
∞Ylim zν = lim

ν→∞(4) Es sei∞
Pm→∞zν

für jedes m ≥ 1. Beizν = 1.

ν=m|zν − 1| konvergent. Dann konvergiert das Produkt

ν=1∞Qzν .

ν=1

6.1.2. Def. G Gebiet in C. fn (n ∈ N) : G → C, holomorph. Das Produkt

∞Q
ν=1fν

heißt auf G kompakt konvergent, wenn es zu jedem Kompaktum K ⊂ G einnQ
m = m(K) gibt, so dass die Folge gm,n :=fν auf K gleichmäßig gegen eine
ν=mGrenzfunktion gm mit gm 6= 0 auf K konvergiert.
Folg.
(1) Die Grenzfunktion g eines auf G kompakt konvergenten Produktes∞Q
ν=1fν ist

auf G holomorph. g(z) = 0 genau dann, wenn es ein ν gibt mit fν (z) = 0.
(2) fν ∈ H(G). (fν ) konvergiere auf G kompakt gegen 1. Dann gibt es zu jedem
Kompaktum K ⊂ G ein m, so dass für alle ν ≥ m = m(k) P
log fν imSinn des Hauptwertes des Log definiert ist. Falls für jedes Klog fν
∞Qkompakt konvergiert, istν=1ν≥m(K)fν auf G kompakt konvergent. Für z ∈ K hat die

Grenzfunktion die Gestaltm(k)−1g(z) =Yfν (z) · exp

∞
³Y

ν=1

6.1.3. Satz. fν (ν ∈ N) ∈ H(G).

´log fν (z) .

ν=m∞
P|fν − 1| konvergiere auf G kompakt.

ν=1(1)∞
Qfν konvergiert auf G kompakt gegen g ∈ H(G).

ν=1(2) G0 := G\{z ∈ G, g(z) = 0}. Die Reihe∞P
ν=1gegen g 0 /g.

2fν0fkonvergiert auf G0 kompakt6.2. Produktentwicklung der trigonometrischen Funktionen.
6.2.1. Eulersche Formel (1734).
sin πz = πz ·∞ ³Y
ν=1cos πz =∞ ³Y
ν=11−1−z2 ´,
ν2z∈C4z 2 ´.
(2ν − 1)2

6.2.2. Partialbruchentwicklung des cot.
∞
1 X³ 11 ´,
π cot(πz) = ++z n=1 z + n z − nz ∈ C\Z.

6.2.3. Eulersche Formel für ζ(2n).
¡¢ζ(s) = Riemannsche Zeta–Funktion, s. Kap. 9 .
(1)ζ(2n) :=(2)π cot(πz) =(3)∞X

1,k 2nk=1n ∈ N.

∞
1 X−2ζ(2n) z 2n−1 ,z n=1∞
XzBν ν=z ,ze − 1 ν=0 ν!

0 < |z| < 1.

|z| < 2πBν :Bernoullische Zahlen (Daniel B., 1700–1782).
1
1
B0 = 1, B1 = − , B2 = , B2n+1 = 0 für n ∈ N.
26(4) Für n ∈ N gilt
ζ(2n) = (−1)n−1(2π)2nB2n ,2(2n)!

insbesondere∞X
π2
1=,2k6k=1∞Xπ4
1=,4k90k=1∞Xπ6
1=k6945k=1(Euler, 1734).

6.3. Der Weierstraßsche Produktsatz.
6.3.1. Def. und Satz.
(1)³z2zn ¢En (z) := (1 − z) exp z ++ ··· +(n ∈ N)
2n(Weierstraß–Faktoren)

E0 (z) := 1 − z,3(2) Folg.
a) En ganz, En (z) hat z = 1 als einzige Nullstelle (von erster Ordnung).
b) Für n ∈ N0 und |z| ≤ 1 gilt |1 − En (z)| ≤ |z|n+1 .
6.3.2. Weierstraßscher Produktsatz in der Ebene.
(1) (an ) Folge in C\{0} mit an → ∞.

(pn ) Folge in N mit

konvergent für alle r > 0 (z.B. pn = n−1). Dann ist das Produkt∞ ¡¢pn +1
Prn=1∞
Q
n=1|an |Epn (z/an )kompakt konvergent auf C und definiert eine ganze Funktion, die nur an denStellen an verschwindet (Vielfachheit der Nullstelle z0 gleich der Häufigkeit,
mit der z0 in der Folge (an ) auftritt).
(2) f ganze Funktion, nicht identisch = 0. f verschwinde bei 0 von der Ordnung
m0 ∈ N0 . (an ) sei der Folge der Nullstellen von f in C\{0} (eventuell abbrechend). Jede Nullstelle trete in (an ) so oft auf wie ihre Vielfachheit beträgt.
Dann existiert eine ganze Funktion h und eine Folge (pn ) aus N0 , so dassauf C
f (z) = z

m0∞¢Y
exp h(z)Epn (z/an )¡n=1gilt. (Im Fall nur endlich vieler Nullstellen kann das endliche Produkt

n0 ¡¢Q
1− aznn=1genommen werden).
6.3.3. Weierstraßscher Produktsatz für beliebige Gebiete.

G Gebiet. (an ) Folge in G ohne Häufungspunkt in G. (mn ) Folge in N. Dannexistiert ein f ∈ H(G), das in jedem an von der Ordnung mn verschwindet, undkeine weiteren Nullstellen in G besitzt.
6.3.4. Satz. f meromorph auf G . Dann existieren g und h ∈ H(G), so dass f = g/h.
Kurz: Der Körper der auf G meromorphen Funktionen ist der Quotientenkörper vonH(G).
7. Kapitel. Partialbruchentwicklungen7.1. Satz von Mittag–Leffler (Magnus Gustav M.–L., 1846–1927; 1884).
G Gebiet, A = {a1 , a2 , . . . } abzählbare Teilmenge von G ohne Häufungspunkt in
G. (Pn ) Folge von Polynomen mit verschwindendem konstanten Term.
Beh.
(1) Es existiert eine auf G meromorphe Funktion f mit den Eigenschaftena) f hat in G nur Pole an den Stellen an ,b) der¡ Hauptteil ¢der Laurent–Entwicklung von f um an hat die Gestalt
Pn (z − an )−1 .
4

(2) Sei g eine auf G meromorphe Funktion mit Polen an den an und holomorph auf
G\A. Dann gibt es meromorphe Funktionen hn mita) hn holomorph auf G\{an },Pb) g =hn mit kompakter Konvergenz auf G\A.
7.2. Interpolationssatz.
A = {a1 , a2 , . . . } abzählbare Teilmenge von G ohne Häufungspunkt in G. (Pn ) Folge
von Polynomen.
Beh. Es gibt ein f ∈ H(G), so dass für alle n die Taylorreihe von f um an mit
Pn (z − an ) beginnt.
8. Kapitel.

Der Riemannsche Abbildungssatz

8.1. Def. Eine Familie (= Teilmenge) F von H(G) heißt normal, wenn jede Folge
aus F eine kompakt konvergente Teilfolge enthält.
8.2. Satz von Montel (Paul M., 1876–1975; 1907).
Für eine Familie F ⊂ H(G) sind äquivalenta) F ist lokalbeschränkt, d.h.
¯¯∀ z0 ∈ G ∃ r > 0 ∃ c : Ur (z0 ) ⊆ G ∧ ∀ f ∈ F ∀ z ∈ Ur (z0 ) : ¯f (z)¯ ≤ c.
b) F ist normale Familie.
8.3. Satz von Hurwitz.
(fn ) Folge aus H(G). (fn ) konvergiere auf G kompakt gegen ein nicht konstantesf ∈ H(G). A ⊂ C. Dann gilt:(1) Aus ∀ n : fn (G) ⊆ A folgt f (G) ⊆ A.
(2) Falls alle fn injektiv sind, ist es auch f .
8.4. Hilfssatz. Sei |a| < 1,Ma (z) :=z−a
1 − az¡¢z 6= (a)−1 .

Beh.
(1) Ma bildet E := U1 (0) bijektiv auf sich ab, Ma (a) = 0.
(2) Jedes f ∈ H(E) mit f (a) = 0, das E bijektiv auf sich abbildet, hat die Gestalt
f = α Ma mit einem α ∈ C, |α| = 1.
8.5. Riemannscher Abbildungssatz (1851).
Sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet 6= C, z0 ∈ G. Dann gibt es genau einf ∈ H(G) mit
5a)f : G → E = U1 (0), bijektiv,b)f −1 ∈ H(E),c)f (z0 ) = 0,

9. Kapitel.

f 0 (z0 ) > 0.

Riemannsche Zeta–Funktion und Primzahlsatz

9.1. Def. an ∈ C (n ∈ N),s ∈ C. Eine Reihe der Gestalt∞P
n=1

Dirichlet–Reihe.
P

9.2. Satz. Eine Dirichlet–Reihe

an n−s heißt

an n−s konvergiert entwedera) auf ganz C oderb) nirgends oderc) es gibt ein σ0 ∈ R, so dass die Reihe in der offenen Halbebene{s = σ + iτ, σ > σ0 } kompakt konvergiert (und dort eine holomorphe Funktion
A(s) definiert), und für alle s mit σ = Res < σ0 divergiert.
Die Zahl σ0 (σ0 := −∞ im Fall a), σ0 := +∞ im Fall b)) heißt Konvergenzabszisse
der Reihe.
PFolg. Sei σ0 ∈ R oder = −∞ die Konvergensabszisse die Dirichlet–Reihe
an n−s .
Dann konvergiert die Reihe absolut und gleichmäßig in jeder Halbebene {s, σ ≥σ0 + 1 + ε} (ε > 0, beliebig).
P −s9.3. Def. Die Dirichlet–Reihenhat σ0 = 1 als Konvergenzabszisse. Die durchnsie dargestellte Funktion wird als Riemannsche Zeta–Funktion ζ(s) bezeichnet(Riemann, 1859).
9.4. Hilfssatz. Partielle oder abelsche Summation (Niels Henrik A., 1802–1829).
Sei f : N → C (f wird als zahlentheoretische Funktion bezeichnet).
XF (x) :=f (n)(x ∈ R, ≥ 1),n≤xg : [1, ∞) → C,stetig differenzierbar.

Dann gilt für x ≥ 1XZx
F (t) g 0 (t) dt.

f (n) g(n) = F (x) g(x) −n≤x11ist holomorph in die Halbebene {s, σ = Re s > 0}9.5. Satz. Die Funktion ζ(s)− s−1
fortsetzbar. Oder: ζ(s) ist meromorph in {s, σ > 0} fortsetzbar. Die einzige isolierte
Singularität ist ein Pol erster Ordnung bei s = 1 mit dem Residuum 1.

Hinweis: Dievon ζ(s) in {s, 0 < σ ≤ 1} können nicht mit Hilfe
P Funktionswerte
der Reihen−s berechnet werden, da diese dort divergiert.
n69.6. Satz. Riemannsche Funktionalgleichung der Zeta–Funktion.
1ζ(s) − s−1
ist holomorph in die ganze Ebene fortsetzbar. ζ(s) genügt der Funktionalgleichung³ πs ´ζ(1 − s) = 2(2π)−s Γ(s) cosζ(s)2( Γ = Eulersche Gamma–Funktion).
9.7. Def. und Satz.
(1) f, g : N → C zahlentheoretische Funktionen. h(n) :=Pd|n¡ ¢f (d) g nd (Die Summe

ist über alle natürlichen Teiler d von n erstreckt).
Kurz: h = f ∗ g (Faltprodukt der zahlentheoretischen Funktionen f und g.
PP(2) Die Dirichlet–Reihen F (s) =f (n) n−s und G(s) =g(n) n−s seien absolutnkonvergent für σ = Re s > α. Dann gilt für σ > αXF (s) · G(s) =h(n) n−s .

nnDie rechte Summe konvergiert absolut (Produktsatz für Dirichlet–Reihen).
9.8. Def. und Folgerungen. Nach dem Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung
hat jedes n ∈ N, n > 1 genau eine Darstellung(*)

n = p1a1 · · · pakk

mit k ∈ N,

p 1 < · · · < pk

Primzahlen,

a1 , . . . , ak ∈ N.

(1) Die Möbius–Funktion µ ist definiert durchn=1
 1,k(−1) ,falls in(∗) a1 = · · · = ak = 1,µ(n) =
0sonst.
Folgerung:Xd|n½µ(d) =1,0n = 1,sonst.

(August Ferdinand Möbius, 1790–1863).
(2) Die von–Mangoldt–Funktion Λ ist definiert durch½
ln p,falls n = pk (p prim, k ∈ N)
Λ(n) =0
sonst.
Folgerung:XΛ(d) = ln nd|n(Hans Karl Friedrich von Mangoldt, 1854–1925).
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9.10. Satz. Für σ = Re s > 1 gilt
X µ(n)
1=,s
ζ(s)nnζ 0 (s) X Λ(n)−,=s
ζ(s)nnY³
1 ´−1
ζ(s) =1− spp

(1)
(2)
(3)

(Euler–Produkt der Zeta–Funktion. Das Produkt ist über alle Primzahlen erstreckt).
(4)

ζ(s) 6= 0.

9.11. Satz von Jaques Hadamard (1866-1963) und Charles de la Vallée–Poussin (1866–1962).
ζ(1 + it) 6= 0 für alle t ∈ R\{0}9.12. Riemannsche Vermutung (1859, bis heute offen).
Alle Nullstellen der Zeta–Funktion im Streifen {s, 0 < σ = Re s < 1} liegen auf derGeraden {s, σ = 12 }.
9.13. Newmanscher Taubersatz (Alfred Tauber, 1866-1942, Donald Newman, 1980).
Sei f : [0, ∞) → C beschränkt und auf jedem Intervall [0, a] Riemann–integrierbar.
Dann stelltZ∞
F (z) = f (t) e−zt (Laplace–Transformierte von f )0eine für Re z > 0 holomorphe Funktion dar.
Es sei F analytisch fortsetzbar in ein Gebiet, das die imaginäre Achse umfasst. Danngilt
Z∞f (t) dt konvergiert (und hat den Wert F (0)).
09.14. Primzahlsatz (erstmals bewiesen 1896 durch Hadamard und de la Vallée–Poussin).
Seiπ(x) = # {p, p ≤ x},X
ψ(x) =
Λ(n) (x ≥ 1).
n≤xDann gilt
π(x)/(x/ ln x) → 1,
ψ(x)/x → 1 für x → ∞.
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10. Kapitel. Die Picardschen Sätze (Emile P., 1856–1941).
10.1. Satz von Bloch (André B., 1893–1948).
Es existiert eine positive KonstanteBª (z.B. B = 0, 43) mit:©
Sei G ein Gebiet, das E = z, |z| ≤ 1 enthält. f ∈ H(G), f (0) = 0, f 0 (0) = 1. Dannenthält f (G) einen Kreis vom Radius B.
Folg. Sei f ∈ H(E), f (E) enthalte keinen Kreis vom Radius ≥ A (> 0). Dann giltfür |z| < 1¯¯ ¯¯¯¯¯f (z)¯ ≤ ¯f (0)¯ + 2A ¯ ln(1 − |z|)¯.
B
10.2. Satz von Schottky (Friedrich Hermann S., 1851–1935).
Zu je zwei Zahlen α, β mit 0 < α, 0 ≤ β < 1 existiert ein C(α, β) > 0 mit: Falls(1) G einfach zusammenhängend, E ⊂ G,(2) f ∈ H(G), f 6= 0 und 6= 1 auf G,¯¯¯¯(3) ¯f (0)¯ ≤ α, ¯f 0 (0)¯ = 1.
¯¯Dann gilt ¯f (z)¯ ≤ C(α, β) für alle z mit |z| ≤ β.
10.3. GroßerSatz
von Picard (1879/80).
¡¢f ∈ H G\{z0 } habe bei z0 eine wesentliche isolierte Singularität. Dann wird, beihöchstens einem Ausnahme–Wert, jedes c ∈ C in jeder Umgebung von z0 als Wert vonf angenommen.
10.4. Kleiner Satz von Picard.
Für jede nicht konstante ganze Funktion f gilt:f (C) = C oder es gibt genau ein c ∈ C, so daß f (C) = C\{c}.

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