TÖRTénet EGÉSZ pontokról
Tengely Szabolcs
2008. március 21.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 1

Algebrai görbék
❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékLegyen f ∈ Q [X , Y ], C(R) = {(x, y) ∈ R 2 : f(x, y) = 0}.
●●

génusz legalább 1: Siegel (1929) igazolta, hogy C(Z ) véges.
génusz legalább 2: Faltings (1983) bebizonyította, hogy
C(Q ) véges.

1 génuszú görbék:
2 génuszú görbék:

Y 2 = X 3 + a1 X + a2 .

Y 2 = b6 X 6 + b5 X 5 + b4 X 4 + b3 X 3 + b2 X 2 + b1 X + b0 .

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 2

Elliptikus görbék
❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékVéges sok megoldás létezik: Mordell (1922).
Korlát a megoldásokra: Baker (1968)

6

max(|x|, |y|) < exp((106 H)10 ).

Algoritmusok az egész pontok meghatározására:
Stroeker, Tzanakis (1994),
Gebel, Pethő, Zimmer (1998).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 3❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékNehezen meghatározható generátorok:

Számelméleti Szeminárium

Y 2 = X (X − 157)(X + 157).

tengely@math.klte.hu – slide 4❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékNehezen meghatározható generátorok:

Y 2 = X (X − 157)(X + 157).

Végtelen rendű pont P = (x, y), ahol:−166136231668185267540804,
x=2825630694251145858025−167661624456834335404812111469782006
y=.
150201095200135518108761470235125

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 4❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékLokálisan minden p esetén létezik megoldás, de nincs globális
megoldás.
3X 3 + 4Y 3 + 5Z 3 = 0.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékLokálisan minden p esetén létezik megoldás, de nincs globális
megoldás.
3X 3 + 4Y 3 + 5Z 3 = 0.

Rang, konduktor és egész pontok.

Y 2 + Y = X 3 + X 2 − 2X ,a görbe rangja 2 és 20 egész pont van rajta.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékLokálisan minden p esetén létezik megoldás, de nincs globális
megoldás.
3X 3 + 4Y 3 + 5Z 3 = 0.

Rang, konduktor és egész pontok.

Y 2 + Y = X 3 + X 2 − 2X ,a görbe rangja 2 és 20 egész pont van rajta.
Y 2 + Y = X 3 − 7X + 6,

a görbe rangja 3 és 36 egész pont van rajta.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékEgész pontok elliptikus görbe családokon. Legyen
Em :Y 2 = X 3 + mX 2 − (m + 3)X + 1.

Duquesne (2001): ha Em rangja 1, akkor Em egész pontjai akövetkezők
(0, 1) ha m páros,(0, 1) és 2(0, 1) ha m páratlan.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 6

❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékEgész pontok elliptikus görbe családokon. Legyen
Em :Y 2 = X 3 + mX 2 − (m + 3)X + 1.

Duquesne (2001): ha Em rangja 1, akkor Em egész pontjai akövetkezők
(0, 1) ha m páros,Legyen(0, 1) és 2(0, 1) ha m páratlan.
Qm :Y 2 = X 4 − mX 3 − 6X 2 + mX + 1,

ahol m2 + 16 nem osztható páratlan négyzetszámmal. Duquesne(2007): ha Qm rangja 1, akkor Qm egész pontjai (0, ±1).
Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 6

❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékSpeciális elliptikus görbék esetében az általános korlátélesítése:
Draziotis (2006):
LegyenE:

Y 2 = (X − k)f(X )elliptikus görbe Q felett, ahol k ∈ Z és f(k) = ±1.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 7

❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékSpeciális elliptikus görbék esetében az általános korlátélesítése:
Draziotis (2006):
LegyenE:

Y 2 = (X − k)f(X )elliptikus görbe Q felett, ahol k ∈ Z és f(k) = ±1. Ekkor
bármely (x, y) ∈ E(Z ) pontra|x| < 11H 2 + 5,

ahol H az (X − k)f(X ) polinom magassága.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 7

g-gonális számok❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékDeﬁníció:m{(g − 2)m − (g − 4)}Gm,g =.
2
Rekurzív sorozatokban található g-gonális számok vizsgálata
g ∈ {3, 4, 5, 7} esetében: J.H.E Cohn, Katayama, Ljunggren,
Luo, Prasad, Rao.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 8

g-gonális számok❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékDeﬁníció:m{(g − 2)m − (g − 4)}Gm,g =.
2
Rekurzív sorozatokban található g-gonális számok vizsgálata
g ∈ {3, 4, 5, 7} esetében: J.H.E Cohn, Katayama, Ljunggren,
Luo, Prasad, Rao.
Tengely (2008): g ∈ {6, 8, 9, 10, . . . , 20} esetében
Fn = Gm,g ,Pn = Gm,g ,Ln = Gm,g ,Qn = Gm,gegyenletek megoldásainak meghatározása.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 8

❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékA következő görbék vizsgálatára vezet:
CFeven
:
n

CFodd
:
n

CLeven
:
n

CLodd
:
n

CPeven
:
n

CPodd
:
n

CQeven
:
n

CQodd
:
n

Számelméleti Szeminárium

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 16,

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 16,

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 80,

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 80,
Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 4,

Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 4,

Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 8,

Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 8.

tengely@math.klte.hu – slide 9

❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékTovábbi tervek.

Görbe családok vizsgálata:
even (Q ).
Q
),
(1,
2)
∈
C
például (0, 4) ∈ CFeven(Fnn

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 10❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékTovábbi tervek.

Görbe családok vizsgálata:
even (Q ).
Q
),
(1,
2)
∈
C
például (0, 4) ∈ CFeven(Fnn"Pontatlan" görbék esete:CLeven:n

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 80,

ha g ∈ {8, 9, 11, 13, 14, 16, 19}, akkor nincs megoldás Q 5 -ben.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 10❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékTovábbi tervek.

Görbe családok vizsgálata:
even (Q ).
Q
),
(1,
2)
∈
C
például (0, 4) ∈ CFeven(Fnn"Pontatlan" görbék esete:CLeven:n

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 80,

ha g ∈ {8, 9, 11, 13, 14, 16, 19}, akkor nincs megoldás Q 5 -ben.
A g = 12 eset:
Y 2 = 500X 4 − 800X 3 + 320X 2 − 80.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 10

Egy kimaradó eset elliptikus görbéi
❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékBennett (2008):
Az (x k − 1)(yk − 1) = (z k − 1), |z| ≥ 2, k ≥ 3 egyenlet
megoldásai a következők: (x, y, z, k) = (−1, 4, −5, 3) és(4, −1, −5, 3).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 11Egy kimaradó eset elliptikus görbéi
❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékBennett (2008):
Az (x k − 1)(yk − 1) = (z k − 1), |z| ≥ 2, k ≥ 3 egyenlet
megoldásai a következők: (x, y, z, k) = (−1, 4, −5, 3) és(4, −1, −5, 3).

Az (x k − 1)(yk − 1) = (z k − 1)2 egyenletnek nincs megoldása, ha|z| ≥ 2, k ≥ 4 és x 6= ±y.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 11Egy kimaradó eset elliptikus görbéi
❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékBennett (2008):
Az (x k − 1)(yk − 1) = (z k − 1), |z| ≥ 2, k ≥ 3 egyenlet
megoldásai a következők: (x, y, z, k) = (−1, 4, −5, 3) és(4, −1, −5, 3).

Az (x k − 1)(yk − 1) = (z k − 1)2 egyenletnek nincs megoldása, ha|z| ≥ 2, k ≥ 4 és x 6= ±y.

Az (x 3 − 1)(y3 − 1) = u2 egyenlet esetében Elkies a következő
megoldásokat határozta meg:(x, y, u) = (−20, −362, 616077), (−6, −26, 1953),(−1, −23, 156), (0, −2, 3), (2, 4, 21),(2, 22, 273), (3, 313, 28236), (4, 22, 819).

Véges sok megoldása létezik csak az egyenletnek?
Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 11❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékx 3 − 1 = dy21 ,y3 − 1 = dy22 .

Elegendő az

Ed :Y 2 = X 3 − d3

görbéket vizsgálni ("quadratic twists"). Amennyiben a görbén
található 3 "megfelelő" egész pont, akkor az eredeti probléma
egy megoldásához jutunk. Az egyik egész pont mindig adott:T = (d, 0).

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 12❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékx 3 − 1 = dy21 ,y3 − 1 = dy22 .

Elegendő az

Ed :Y 2 = X 3 − d3

görbéket vizsgálni ("quadratic twists"). Amennyiben a görbén
található 3 "megfelelő" egész pont, akkor az eredeti probléma
egy megoldásához jutunk. Az egyik egész pont mindig adott:T = (d, 0). Ismert megoldásoknáld ∈ {−889, −217, −2, −1, 7, 26}.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 12❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékLegyen P = (dx, d2 y). Ekkor P + T esetében3x(P + T ) = d 1 +.
x−1

Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, hax ∈ {−2, 0, 2, 4}.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékLegyen P = (dx, d2 y). Ekkor P + T esetében3x(P + T ) = d 1 +.
x−1

Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, hax ∈ {−2, 0, 2, 4}.
A 2P pont esetében

x 4 + 8x.
x(2P) = d 34(x − 1)

Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, hax ∈ {−2, 0}.
Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 13❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékLegyen P = (dx, d2 y). Ekkor P + T esetében3x(P + T ) = d 1 +.
x−1

Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, hax ∈ {−2, 0, 2, 4}.
A 2P pont esetében

x 4 + 8x.
x(2P) = d 34(x − 1)

Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, hax ∈ {−2, 0}.

Stratégia: megmutatni, hogy (dx, d2 y) = mR + nT csak kis mértékekre lehetséges. Az ismert megoldások esetében m ≤ 2.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 13

Hiperelliptikus görbék
❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékY p − Y = Xq − X,

2 ≤ p < q.

Fielder, Alford (1998): pozitív megoldások

Számelméleti Szeminárium

(3, 2, 2, 3), (6, 2, 2, 5), (15, 2, 6, 3), (16, 2, 3, 5),(13, 3, 3, 7), (91, 2, 2, 13), (280, 2, 5, 7), (4930, 2, 30, 5).

tengely@math.klte.hu – slide 14

Hiperelliptikus görbék
❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékY p − Y = Xq − X,

2 ≤ p < q.

Fielder, Alford (1998): pozitív megoldások(3, 2, 2, 3), (6, 2, 2, 5), (15, 2, 6, 3), (16, 2, 3, 5),(13, 3, 3, 7), (91, 2, 2, 13), (280, 2, 5, 7), (4930, 2, 30, 5).

További eredmények:
Mordell (1963): p = 2, q = 3 eset,
Mignotte és Pethő (1999): végességi eredmények, teljes
megoldás p = 2, q > 2 esetben, feltéve, hogy y teljes hatványa
valamilyen prímnek.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 14❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbék   
n
m
=
,
k
l

k, l, m, n ∈ N és 2 ≤ k ≤ n2 , 2 ≤ l ≤ m2 .
Ismert megoldások:         
36
120
22
56
10
16
,
=
,
=
,
=
3
2
3
2
3
2
             
14
15
78
19
153
10
21
,
=
=
,
=
,
=
6
5
2
5
2
4
2

    
F2i+2 F2i+317
F2i+2 F2i+3 − 1
221,ahol i = 1, 2, . . . ,==8F2i F2i+3
F2i F2i+3 + 1
2Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 15❖ Algebrai görbék   
n
m
=
,
k
l

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékk, l, m, n ∈ N és 2 ≤ k ≤ n2 , 2 ≤ l ≤ m2 .
Ismert megoldások:         
36
120
22
56
10
16
,
=
,
=
,
=
3
2
3
2
3
2
             
14
15
78
19
153
10
21
,
=
=
,
=
,
=
6
5
2
5
2
4
2

    
F2i+2 F2i+317
F2i+2 F2i+3 − 1
221,ahol i = 1, 2, . . . ,==8F2i F2i+3
F2i F2i+3 + 1
2

Lind (1968), Singmaster (1975): Fibonaccisorozattal megadott
megoldás családok. De Weger (1997): nk ≤ 1030 vagyn ≤ 1000 esetében nincs több nem triviális megoldás.
Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 15❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékMordell (1963), Avanesov (1966/1967), Pintér (1995), De Weger(1996), Stroeker és De Weger (1999): teljes megoldások(k, l) ∈ {(2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6)}

esetében. Ezek a problémák Thue egyenletekre vagy elliptikus
görbékre vezetnek.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 16❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékMordell (1963), Avanesov (1966/1967), Pintér (1995), De Weger(1996), Stroeker és De Weger (1999): teljes megoldások(k, l) ∈ {(2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6)}

esetében. Ezek a problémák Thue egyenletekre vagy elliptikus
görbékre vezetnek.
Általános végességi eredmények:
Kiss (1988): k = 2 és l adott páratlan prím.
Brindza (1991): k = 2 és l ≥ 3.
Egy kis kihívás:   
y
x
=
.
2
5

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 16❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékBugeaud, Mignotte, Siksek, Stoll, Tengely (2008):
C:összes egész megoldása:

Y 2 − Y = X5 − X(X , Y ) = (−1, 0), (−1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, −5),
(2, 6), (3, −15), (3, 16), (30, −4929), (30, 4930).

J(Q ) Mordell-Weil csoportjának a rangja 3.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 17❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

●❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékSzámelméleti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbék●●Számelméleti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q )Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbék●●●Számelméleti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q )Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbék●●●●Számelméleti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q )Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.
S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: afellépő számtestek foka nagy.

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbék

●

●

●

●

●

Számelméleti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q )Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.
S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: afellépő számtestek foka nagy.
S-egység egyenletek + Skolem módszere: a fellépő
számtestek foka nagy.

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbék

●

●

●

●

●

●

Számelméleti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q )Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.
S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: afellépő számtestek foka nagy.
S-egység egyenletek + Skolem módszere: a fellépő
számtestek foka nagy.
Demjanenko-Manin módszer: független leképezések
kellenek elliptikus görbére.

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékTranszformált alak:

Számelméleti Szeminárium

C:

2y2 = x 5 − 16x + 8,

tengely@math.klte.hu – slide 19❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékTranszformált alak:C:

2y2 = x 5 − 16x + 8,

Mordell-Weil bázis J(Q )-ban:
D1 = (0, 2) − ∞,D2 = (2, 2) − ∞,D3 = (−2, 2) − ∞.

Ekkor x − α = κξ 2 , ahol κ ∈{1, −2α, 4 − 2α, −4 − 2α, −2α + α 2 , 2α + α 2 , −4 + α 2 , 8α − 2α 3 }.

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 19❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékBruin, Stoll: Mordell-Weil szita

(C(Q )) ⊆ W + BJ(Q ),ahol W az ismert racionális pontok képe és
8

4

3

3

2

2

2

2

B = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 ·Legyen L0 = BZ 3 és

φ : Z → J(Q ),3

Számelméleti Szeminárium

φ(a1 , . . . , ar ) =

X

Y

p

37≤p≤149
p6=107

ai Di ,

tengely@math.klte.hu – slide 20❖ Algebrai görbék

❖ Elliptikus görbék

❖ g-gonális számok❖ Egy kimaradó eset
elliptikus görbéi
❖ Hiperelliptikus
görbékEkkor

(C(Q )) ⊂ W + φ(BZ 3 ).

Rácsok csökkenő lánca:B Z 3 = L0 ) L1 ) L2 ) · · · ) Lk ,úgy, hogy

(C(Q )) ⊂ W + φ(Lj ).

Az így meghatározott rács indexe: 3.32 × 103240 ,az ebben a rácsban található legrövidebb vektor hossza:
1.156 × 101080 .
Amennyiben létezne P ∈ C(Q ) ismeretlen pont, akkor
log x(P) ≥ 0.95 × 102159 ,ellentmondás, mert a felső korlát 5.1 × 10565 .

Számelméleti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 21