Annexe : Détails d’application du test de Wilcoxon
L’objectif de cette annexe est de rappeler brièvement les détails d’application du test deWilcoxon (dit de la somme des rangs), utilisé pour comparer les caractéristiques de deux
distributions (échantillons). Ce test représente une alternative non paramétrique au test t deStudent, reposant uniquement sur l’ordre des observations relatives aux deux échantillons.
Le test de Wilcoxon peut apporter des réponses pertinentes à des questions d’intérêt comme"La forme de deux distributions est-elle identique? ", "Y a-t-il une diﬀérence significative
entre les tendances centrales de deux distributions? " etc.
Soit deux échantillons, A et B, comprenant nA et nB observations, respectivement.
L’objectif est de tester l’hypothèse nulle selon laquelle la distribution de probabilité Ψd’une variable X est identique dans les deux échantillons, i.e.:
H0 : ΨA = ΨB
Si cette hypothèse est rejetée, une des hypothèses alternatives suivantes sera acceptée:
H1 : ΨA > ΨB , si la distribution de A est déplacée vers la droite par rapport à celle deB (c’est le cas représenté à titre illustratif dans la figure 3);
H2 : ΨA < ΨB , dans le cas contraire;
H3 : ΨA 6= ΨB , l’alternative bilatérale, dans la situation où l’on ne dispose d’aucun apriori concernant la direction du déplacement.
Figure 3: Illustration de H0 : ΨA = ΨB vs. H1 : ΨA > ΨB
distribution de A = distribution de Ba) H0: ΨA = ΨB

distribution de B

distribution de Ab) H1: ΨA > ΨB

Le test de Wilcoxon consiste dans un premier temps à classer dans l’ordre croissantl’ensemble de nA + nB = n observations relatives aux deux échantillons réunis. Ensuite, àchaque observation on attribue un ‘rang’ ri correspondant à son numéro d’ordre, compris
entre 1 et n. Ainsi, le rang 1 est assigné à la plus petite observation, le rang 2 à la suivanteetc. Dans le cas particulier où certaines observations sont ex æquo (i.e. leur rang est
identique), on attribue à chacune d’entre elles un "rang moyen". Celui-ci est défini commela moyenne des rangs que ces observations auraient si elles étaient diﬀérentes. Enfin, lastatistique z de Wilcoxon est calculée comme la somme des rangs assignés aux observations

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provenant de l’un des deux échantillons (soit A par exemple):zA =nAP

ri

i=1

Notons zA la somme des rangs observés et ZA la variable aléatoire correspondante. Afinde déterminer le seuil critique p correspondant à la statistique calculée zA , on doit d’abord
inférer la distribution de probabilité de la somme des rangs, sous l’hypothèse H0 et H1 ,respectivement.
1. Supposons d’abord que l’hypothèse H0 : ΨA = ΨB soit vraie. Alors, l’ensemble den = nA + nB observations proviennent d’une même loi de probabilité. Par conséquent,les rangs attribués à ces n observations sont les nombres naturels 1, 2, . . . , n et tout sepasse comme si on avait tiré de manière aléatoire nA observations de l’échantillon Aet le reste de l’échantillon B. Dans ce premier cas la distribution de probabilité de lasomme des rangs ZA est connue et des tables spéciales en existent.
2. Si l’hypothèse H1 : ΨA > ΨB est vraie, l’échantillon A contient certainement lesobservations dont les rangs assignés sont les plus élevés. Par conséquent, la somme
des rangs observée zA est significativement plus importante que celle calculée sousl’hypothèse H0 Ainsi, le seuil p sera donnée par:p = Prob [ZA ≥ zA ]où la probabilité est calculée en utilisant la distribution de ZA sous l’hypothèse H0 .
3. Si H1 : ΨA < ΨB est vraie, en appliquant un raisonnement a pari, on peut en déduireque
p = Prob [ZA ≤ zA ]Bien évidemment, si on teste les alternatives unilatérales, la direction de l’inégalité utilisée dans le calcul du seuil critique p est la même que celle définissant l’hypothèse alternative,
i.e. ZA > zA ⇔ A > B et vice versa. En revanche, pour le test bilatéral, i.e. H0 : ΨA = ΨB
vs. H1 : ΨA 6= ΨB , une somme des rangs supérieure ou inférieure à la valeur tabulée signifie
le rejet de H0 . Dans ce cas, on calcule d’abord la probabilité que ZA se trouve à proximitéde la valeur observée zA (soit à gauche, soit à droite) et ensuite on double cette probabilité.
Par exemple, si zA se situe à l’extrémité gauche de la queue de distribution, alorsp = 2 · Prob [ZA ≥ zA ]Dans le cas des échantillons de petite taille (nA , nB < 12 observations), certaines probabilités relatives à la distribution de ZA , i.e. de la somme des rangs assignés dans l’échantillon
A sous l’hypothèse H0 : ΨA = ΨB , sont tabulées pour divers choix de nA et nB . Lorsqueles observations relatives aux deux échantillons ne sont pas appariées (i.e. nA 6= nB ), lestables de la loi de Wilcoxon sont conçues pour la somme des rangs calculée par rapport àl’échantillon le plus petit (noté A dans cette annexe).

3Lorsque la taille des échantillons est suﬃsamment importante, la distribution de probabilité de ZA (sous l’hypothèse H0 ) peut être approchée, avec une précision raisonnable, parune distribution normale N (µA , σ 2A ), de moyenneµA = nA (nA + nB + 1)/2et varianceσ 2A = nA nB (nA + nB + 1)/12
En d’autres termes,∗Prob[ZA ≤ zA ] ' Prob[ZA≤ z] = Φ(z),∗ = (Z − µ )/σ , z = (z − µ )/σ et Φ(¦) représente la fonction de répartition deoù ZAAAAAA
Ala loi normale centrée réduite.

Notes:
1. À la diﬀérence du test t de Student, le test de Wilcoxon peut être appliqué quelle quesoit la distribution de probabilité caractérisant les données (i.e. normale ou non). De
plus, il s’avère moins sensible aux valeurs aberrantes que le test classique de Student.
2. La distribution de ZA est symétrique, i.e.
Prob[ZA ≤ zA ] = Prob[ZA ≥ nA (nA + nB + 1) − zA ]