第 71 回 幾何学シンポジウム 予稿集2024 年 9 月 10 日 (火) ∼ 2024 年 9 月 13 日 (金)関西大学千里山キャンパス

第 71 回幾何学シンポジウム
日程：

2024 年 9 月 10 日 (火) – 9 月 13 日 (金)会場：

関西大学千里山キャンパス

組織責任者：

後藤 竜司（日本数学会幾何学分科会 2024 年度評議員, 大阪大学大学院理学研究科）

楯 辰哉（日本数学会幾何学分科会 2024 年度評議員, 東北大学大学院理学研究科）

田中 真紀子 （東京理科大学創域理工学部）
本多 宣博（東京工業大学理学院）

藤岡 敦（関西大学システム理工学部）

庄田 敏宏（関西大学システム理工学部）

酒井 高司（東京都立大学大学院理学研究科）

馬場 蔵人（東京理科大学創域理工学部）–i–

— プログラム —■ 9 月 10 日 (火)13:30–14:30

A 会場

中島啓（東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

S-dual of Hamiltonian G spaces and relative Langlands duality
14:50–15:50

A 会場

高橋良輔（東北大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11J-equation, LYZ equation and a Kobayashi-Hitchin-type correspondence on semistable vector bundles
16:10–16:50

A 会場

中村聡（東京工業大学理学院） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Modiﬁed extremal Kähler metrics and multiplier Hermitian-Einstein
metrics
16:10–16:50

B 会場

笹原優大（東京都立大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

擬 Riemann 空間形内の等径超曲面

17:00–17:40

A 会場

村上怜（東北大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

J フローおよび余接フローの収束
17:00–17:40

B 会場

Luis Pedro Castellanos Moscoso（広島大学大学院先進理工系科学研究38科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Symplectic structures on almost abelian Lie algebras■ 9 月 11 日 (水)9:30–10:30

A 会場

三石史人（福岡大学理学部） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43Gromov の集中位相とピラミッドの収束理論の理解に向けて
10:50–11:50

A 会場

尾國新一（愛媛大学大学院理工学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14:00–14:40

A 会場

梶ヶ谷徹（東京理科大学理学部第一部） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

アルティン群の非シリンダー的双曲性

65

非負曲率等質空間への安定離散写像の非存在

14:00–14:40

B 会場

岸田陸玖（東京工業大学情報理工学院） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

共形平坦な多様体の体積に関する性質と, Marginally Trapped Subman-

ifold への一般化について
14:50–15:30

A 会場

瀬戸樹（明治薬科大学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

n 次元立方体上の自己相似集合における Fredholm 加群について
14:50–15:30

B 会場

山口健太朗（東京都立大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

アフィン部分空間から定まるシンプレクティックトーリック多様体の同変埋め込み

15:50–16:30

A 会場

大島駿（東北大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

測度距離空間のオブザーバブル直径と正の測度を持つ点の存在

15:50–16:30

B 会場

松家拓稔（東京都立大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

粗凸群の相対化について

16:40–17:20

A 会場

米原修平（大阪大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96Mikami-Weinstein type theorem for cosymplectic groupoid actions
16:40–17:20

B 会場

上野龍（北海道大学大学院理学研究院） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
恒等写像の統計 2 重調和性

– ii –101

■ 9 月 12 日 (木)9:30–10:30

A 会場

北川義久（宇都宮大学・名誉教授） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

3 次元球面内の平坦トーラスに関する直径予想と Cliﬀord トーラスの剛性問題

10:50–11:50

A 会場

日下部佑太（九州大学大学院数理学研究院） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

岡領域と双対 Levi 問題

14:00–14:40

A 会場

杉本佳弘（長崎大学教育学部） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

Hamilton 微分同相写像の非回帰性について
14:00–14:40

B 会場

宇田川衷（早稲田大学理工学術院基幹理工学部） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

Globality of the DPW construction for Smyth potentials in the caseof SU1,1
14:50–15:30

A 会場

井森隼人（KAIST） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

Khovanov-インスタントン Floer ホモロジーにおける immersed コボル
ディズム写像14:50–15:30

B 会場

本田淳史（横浜国立大学大学院工学研究院） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

有限退化次数特異点に対する Gauss-Bonnet の定理

15:50–16:30

A 会場

高橋雄也（名古屋大学大学院多元数理科学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモジュライ空間の幾何学的量子化とそのオペラッド構造

15:50–16:30

B 会場

松本洵（東京工業大学理学院） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

全曲率の小さい完備な特異点付き非固有アファイン球面の分類と新しい例

16:40–17:20

A 会場

宮澤仁（京都大学数理解析研究所） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

A gauge theoretic invariant of embedded surfaces in 4-manifolds andexotic P 2 -knots
16:40–17:20

B 会場

原誠弥（神戸大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zero mean curvature surfaces with planar curvature lines in Isotropic
3-space– iii –

160

■ 9 月 13 日 (金)9:30–10:30

A 会場

佐野友二（福岡大学理学部） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

トーリック多様体の終結式・判別式とエネルギー汎関数

10:50–11:30

A 会場

宮武夏雄（東北大学数理科学共創社会センター） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

調和計量の列と劣調和関数とシャノンエントロピー

10:50–11:30

B 会場

藤岡 禎司（大阪大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

Finiteness and continuity under a lower or upper curvature bound
14:00–14:40

A 会場

高田土満（新潟大学教育学部） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

ループ空間の指数理論

14:00–14:40

B 会場

田代賢志郎（沖縄科学技術大学院大学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

サブフィンスラーハイゼンベルグ群の MCP

14:50–15:30

A 会場

國川慶太（徳島大学大学院社会産業理工学研究部） . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

余次元の高い self-shrinker のモース指数評価

14:50–15:30

B 会場

Yuanlin Peng（東北大学大学院理学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

Sharp gradient estimate, rigidity and almost rigidity of Green functions on non-parabolic RCD(0, N ) spaces
15:50–16:30

A 会場

長屋拓暁（広島大学大学院先進理工系科学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

不連続群の研究における粗幾何学の応用

15:50–16:30

B 会場

下山翔（東京大学大学院数理科学研究科） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

距離空間上のベキの異なる勾配流の結びつけ

16:40–17:40

A 会場

本多宣博（東京工業大学理学院） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
不定値 Zoll 空間と代数曲面– iv –

214

S-dual of Hamiltonian G spaces and relative
Langlands duality
Hiraku Nakajima
September 2024

1

Introduction

Let G be a complex reductive group, and M be a smooth aﬃne algebraic
symplectic manifold with a Hamiltonian G action. Physicists associate 3dimensional N = 4 supersymmetric quantum ﬁeld theory1 TG,M , the nonlinear
σ-model, to the pair (G  M). This TG,M appears as a boundary conditionof 4-dimensional N = 4 super Yang-Mills theory with gauge group G. The
4-dimensional N = 4 super Yang-Mills theory has S-duality (electric-magnetic
duality) with G replaced by its Langlands dual group G∨ . Under the S-duality,
the boundary condition TG,M is mapped to a boundary condition for the 4dimensional super Yang-Mills theory with gauge group G∨ . In [GW09, (3.13)],
Gaiotto and Witten observed that the S-dual boundary condition is closely related to 3d-mirror symmetry. In many examples, the S-dual theory is associatedwith another pair (G∨  M∨ ).
Recall that Kapustin-Witten [KW07] explained that the geometric Langlands conjecture is a consequence, in a physics level of rigor, of the S-dualityof 4-dimensional super Yang-Mills theory. In [Gai18], Gaiotto explained consequences of this S-duality of boundary conditions to the geometric Langlands
conjecture in the framework of [KW07]. Let us summarize the main statement.
First claim says that (G  M) gives rise to a pair (L(C, G  M), V(C, G M)) of objects in pairs of the categories for the geometric Langlands conjecture
for a Riemann surface C. Roughly, L(C, G  M) is a holomorphic lagrangiansubvariety in the moduli space of G-Higgs bundles over C, and V(C, G  M)
is a holomorphic vector bundle over the moduli space of ﬂat G-bundles. Geometric Langlands conjecture predicts an equivalence of two categories with G
replaced by G∨ . The main statement is the following relations among objects
under the geometric Langlands equivalence:
L(C, G  M) ←→ V(C, G∨  M∨ ),V(C, G  M) ←→ L(C, G∨  M∨ ).

(1.1)

On the other hand, the author, together with Braverman and Finkelberg,
studied ring objects in the equivariant derived Satake category in [BFN19] togain ﬂexibility for the construction of Coulomb branches of 3d N = 4 gauge
theories. This study turned out to be an appropriate framework to approach[GW09] in a mathematically rigorous way for two reasons: (a) it discusses
Coulomb branches, which are exchanged with Higgs branches of paired theories in 3d mirror symmetry. (b) it discusses the regular sheaf, which is supposed
to correspond to the ‘kernel’ theory T [G] in [GW09, (3.13)]. In particular, theS-dual (G∨  M∨ ) of the pair (G  M) was implicitly introduced in [BFN19,§5] and explicitly in [BF19, (1.3)] (both under the assumption M = T ∗ N). See(3.6). This deﬁnition is mathematically rigorous, but it should be regarded asa temporary one: the assumption M = T ∗ N should be weakened. There areresults [BDF+ 22, Tel22] in this direction, but under the assumption that M
is a symplectic representation of G. Our M∨ is singular in general, and it is
not clear how to deﬁne the S-dual of (G∨  M∨ ) in such a case. Even if it
is nonsingular, it is unclear why we expect this operation is a duality, i.e., theS-dual of (G∨  M∨ ) is the original (G  M).
1 This theory can be coupled with G-connections, the resulted theory (gauged σ-model)
is denoted by TG,M /// G, and should not be confused with TG,M . In quiver gauge theories,
G is the group for a framing vector space, while TG,M /// G is the gauge theory obtained bychanging the framing vector space to the usual one.

1

In [BZSV23], Ben-Zvi, Sakellaridis and Venkatesh proposed the relative
Langlands duality conjecture. Their proposal contains many new and deep
ideas, but from the author’s naive 2 point of view, the following two items areimportant:• There is a class of G  M (hyperspherical varieties), which is preserved
under the S-duality. (See [BZSV23, §3].)• Relations (1.1) should hold at all “tiers” of the Langlands program (global,
local, geometric, arithmetic, etc.). (See [BZSV23, Introduction].)
The importance of the ﬁrst item is clear: our deﬁnition M∨ yields a singular space in general. Regarding the second item, note that an equivalence of
categories for the local case recovers the deﬁnition (3.6). See [BZSV23, §8].
We discuss examples which are not hyperspherical in general in this article.
We hope that our view point gives a step towards a generalization of relative
Langlands duality to more general situations.

Acknowledgement
I thank Alexander Braverman and Michael Finkelberg for discussion on the Sduality when we wrote the paper [BFN19] and also afterwards. I also thankEric Chen and Ivan Losev for discussion on relative Langlands duality andhyperspherical conditions respectively. I also thank the organizers and speakers
of Summer School on Relative Langlands Duality in Minnesota in June 2024.
I explained some parts of this article there, and learned remaining parts fromtalks by other speakers.

2

Lagrangians and vector bundles

The main focus of this article is the deﬁnition and examples of S-duality (G M) ↔ (G∨  M∨ ). Therefore we describe L(C, G  M) and V(C, G  M)
only brieﬂy. See [Gai18, §2.2] for more detail. We also omit mathematicallyrigorous treatments.
Regarding L(C, G  M), we assume that M has a C× action scaling the
symplectic form with weight 2. In particular, the moment map μ : M → Lie G∗
is equivariant if C× acts on Lie G∗ with weight 2. We consider the moduli spaceof triples• PK 1/2 : a C× principal bundle, whose associated line bundle is a squareC

1/2

root KC of the canonical bundle of C. (We consider this as a part ofdata, hidden in the notation C.)• P : a G principal bundle on C.
×• Z : a section of the associated bundle (P ×C PK 1/2 ) ×G×C M.
CWe apply the moment map μ ﬁberwise to Z to get a Higgs bundle (P, μ(Z)).
Then {(P, Z)}/isom → {(P, μ(Z))}/isom gives a lagrangian subvariety L(C, G M). See [Nak15, 1(ii)] for a related construction. See also [GR18] for a mathematically rigorous treatment. (In particular, {(P, Z)}/isom → {(P, μ(Z))}/isomshould be understood in the framework of the derived symplectic geometry.)
Example 2.1. (1) Suppose M = 0. Then {(P, Z)}/isom is the moduli spaceof G-bundles, embedded into the moduli space of G-Higgs bundles by setting
Higgs ﬁelds = 0.
(2) Let M be G × S, where S is the Kostant-Slodowy slice to a principal
nilpotent orbit of G. (See the paragraph after Theorem 3.4 for the deﬁnition.)
Then {(P, Z)}/isom is nothing but Hitchin section introduced in [Hit92,
§5].


0 0
1/2
−1/2
)
(The point e of S is identiﬁed with the SL2 -Higgs ﬁeld (KC ⊕ KC ,1 0
via SL2 → G.)
2 The author does not work on Langlands duality.

2

Let us turn to V(C, G  M). We assume M = N⊕N∗ with a representation
N of G. We consider a family of ﬂat connections of the associated vector bundle
over C for the representation N of G, parametrized by the moduli space of ﬂat
G-bundles. We assume that the twisted deRham cohomology vanishes except
degree 1. Then the degree 1 cohomology groups form a holomorphic vector−1/2 ∗DN .
bundle DN over the moduli space, and deﬁne V(C, G  M) as det DN(See [Gai18, (2.6),(10.1)].)
Remark 2.2. In [Gai18, §2.2], it was emphasized that V(C, G  M) should bedeﬁned as a BBB brane, whose mathematically rigorous treatment seems to be
missing. It was proposed roughly as a generalization of a C ∞ vector bundle
with a connection whose curvature is of type (1,1) for any complex structure in
the moduli space of ﬂat G-bundles, viewed as a hyper-Kähler manifold.
Example 2.3. Suppose M = 0, and hence N = 0. Then DN = 0, andV(C, G  M) is the structure sheaf over the moduli space of ﬂat G-bundles.
The S-dual of this example is supposed to be Example 2.1(2) with G replacedby G∨ . See Example 3.8(2). Therefore the Hitchin section is corresponds tothe structure sheaf under (1.1). This is a well-known expectation in geometricLanglands correspondence.

3

Deﬁnition of S-dual

3.1

Coulomb branches

Let us quickly recall the deﬁnition of Coulomb branches of 3d N = 4 supersymmetric gauge theories associated with a complex reductive group G and a
G-space M. See an exposition [Nak22] for further information. In [BFN18] wedeﬁne the Coulomb branch for (G, M) under the assumption M = N ⊕ N∗ witha representation N of G. However, the actual assumption we need is M = T ∗ N
for a smooth aﬃne algebraic variety N.
Let F = C((z)) and O = C[[z]] be the ﬁeld of formal Laurent power series
and the formal power series ring respectively.
Let GrG be the aﬃne Grassmannian of G, i.e. G(F )/G(O). We deﬁne thevariety of triples RG,N by
RG,N = [g(z), s(z)] ∈ G(F ) ×G(O) N(O)  g(z)s(z) ∈ N(O) .
It is equipped with a projection π : RG,N → GrG . We have an action of G(O)by the multiplication to g(z) from the left. We consider the equivariant BorelG(O)(RG,N ). It is equipped with the convolution
Moore homology group H∗
product, which is commutative. (The deﬁnition of the convolution product uses
the smoothness of N, hence it is not clear how to generalize the deﬁnition to
singular N.) We deﬁne the Coulomb branch by
G(O)

def.

MC (G, M) = Spec H∗(RG,N ).

Remark 3.1. We need a justiﬁcation for the notation MC (G, M), as the abovedeﬁnition uses N, rather than M = T ∗ N. At least when N is a representation ofG, it was proved that the result depends on M = N ⊕ N∗ up to an isomorphism
in [BFN18, §6(viii)].
Example 3.2. (1) Suppose G = C× , M = 0 (hence N = 0). Then RG,N =GrG . It is well-known that GrG ∼= {[z n ] | n ∈ Z}. Thus
G(O)(RG,N ) =H∗G (pt) =C[w]rn ,
H∗
n∈Z

n∈Z

where rn is the fundamental class of the point [z n ], and wee have used H∗G (pt) ∼=G(O)C[w]. One can compute rm rn = rm+n , hence H∗(RG,N ) = C[w, r1 , r−1 ]/(r1 r−1 =1). Thus MC is C × C∗ = T ∗ (C× ).
(2) Suppose G = C× , M = C2 = T ∗ C (hence N = C and N(O) = C[[z]]).
The G-action on N is the standard weight 1 representation. Then{([z n ], s (z)) ∈ GrG × C[[z]] | z −n s (z) ∈ C[[z]]},RG,N =n∈Z

3

where s (z) = g(z)s(z) in the deﬁnition above. If n ≤ 0, the condition z −n s (z) ∈C[[z]] is automatically satisﬁed. Therefore the ﬁber is C[[z]]. On the other hand,the ﬁber is z n C[[z]] if n > 0. Since z n C[[z]] is a codimension n subspace inC[[z]], the fundamental class of the ﬁber is rn = wn rn compared with the example above. (We interpret rn as the fundamental class of C[[z]] by Thom isomorphism.) On the other hand, rn = rn for n ≤ 0. Therefore we have w1 r1 ·r−1 = w
G(O)



in this case, hence H∗(RG,N ) = C[w, r1 , r−1]/(r1 r−1= w) = C[r1 , r−1].
2∗
Thus MC is C = T C.
(2)’ If we replace M by C2 = T ∗ (C ), we get
G(O)Spec H∗(RG,N ) = C[w, r1 , r−1]/(r1 r−1= w ).

Thus MC is type A−1 simple singularity.
(2)” If we replace the G action on N by the weight  representation, we
G(O)(RG,N ) = C[w, r1 , r−1]/(r1 r−1= w ). Thus MC is type A−1
get Spec H∗
simple singularity.
(3) Suppose G = C× , M = T ∗ C× (N = C× ). G acts on N by the multiplication. Then{([z n ], s (z)) ∈ GrG × N(O) | z −n s (z) ∈ N(O)},

RG,N =
n∈Z

Since N(O) = {s(z) ∈ C[[z]] \ {0} | 1/s(z) ∈ C[[z]]} = {s(z) = s0 + s1 z + · · · |s0 = 0}, the component for n = 0 is ∅. The component for n = 0 is N(O).
Therefore
G(O)
G(O)(RG,N ) ∼(N(O)) = H∗ (pt) = C.
H∗
= H∗
Thus MC = pt.
As we see above, RG,N could have many connected components. In fact, wehave π0 (RG,N ) = π0 (GrG ) ∼= π1 (G). In above examples, π1 (C× ) = Z. Since
G(O)(RG,N ) is equipped
RG,N decomposes according to π1 (G), MC = Spec H∗∧
with the action of π1 (G) , the Pontryagin dual of π1 (G).

3.2

Ring objects

Let DG(O) (GrG ) be the derived category of G(O)-equivariant constructible
sheaves on GrG , more precisely its ind-completion. It is equipped with a natural
monoidal convolution structure ∗. If ωRG,N is the dualizing sheaf of RG,N , the
G(O)

def.

pushforward A = π∗ (ωRG,N ) is an object in DG(O) (GrG ), and H∗(RG,N )∗(GrG , A). Moreover, A is a commutative ringis naturally isomorphic to HG(O)object in DG(O) (GrG ), i.e., it is equipped with a homomorphism A ∗ A → A
in DG(O) (GrG ). It is ‘commutative’ in the sense that it is compatible with thefactorization given by Beilinson-Drinfeld Grassmanian.
Lemma 3.3. Suppose ϕ : G1 → G2 is a group homomorphism and Grϕ : GrG1 →GrG2 be the corresponding morphism between aﬃne Grassmannians.
(1) If A2 is a commutative ring object in DG2 (O) (GrG2 ), Grϕ! A2 is a commutative ring object in DG1 (O) (GrG1 ).
(2) If A1 is a commutative ring object in DG1 (O) (GrG1 ), Grϕ∗ A1 is a commutative ring object in DG2 (O) (GrG2 ).
In particular, if ΔG → G × G is the diagonal embedding, commutative
ring objects A1 , A2 give rise another commutative ring object A1 ⊗! A2 =GrΔ! (A1  A2 ).
If ϕ : G → {e} is the homomorphism to the trivial group, Grϕ∗ (A) is acommutative ring object in D(Gr{e} ). But this derived category is the category∗(GrG , A) is a commutative ringof graded vector spaces, hence Grϕ∗ (A) = HG(O)over C equipped with a grading compatible with multiplication. Hence we can∗(GrG , A). This construction generalizes
deﬁne an aﬃne scheme by Spec HG(O)the deﬁnition of Coulomb branches.

4

3.3

Regular sheaf

Let PervG(O) (GrG ) be the category of G(O)-equivariant perverse sheaves on
GrG . It is an abelian category equipped with a tensor structure given by the
convolution ∗. It is the heart of a t-structure on DG(O) (GrG ). Geometric Satake
equivalence says that there is an equivalence of tensor categories(PervG(O) (GrG ), ∗) ∼= (Rep G∨ , ⊗),where the right hand side is the tensor category of ﬁnite dimensional representations of the Langlands dual group G∨ . We take ind-completion in both sides,
and consider C[G∨ ] the regular representations of G∨ in the right hand side.
Let AC[G∨ ] be the corresponding object in the left hand side. We call it theregular sheaf. It is a ring object in the left hand side, and is equipped with aG∨ action, induced from the right multiplication action on C[G∨ ]. Note thatthe left G∨ action is used in the geometric Satake equivalence, but the rightaction remains. More concretely
AC[G∨ ] ∼VG∨ (λ)∗ ⊗ ICλ ,=where VG∨ (λ) is the irreducible represenation of G∨ with highest weight λ,and ICλ is the intersection cohomology complex for the orbit G(O) · z λ with
λ viewed as a coweight of G. The summation runs over the set of dominant
integral coweights of G.
For example, AC[G∨ ] is the constant sheaf if G = C× , and is the direct sumof constant sheaves on {[z n ]} (n ∈ Z).
Theorem 3.4 ([ABG04]). (1) Let ι : {1} = Gr{e} → GrG be the inclusion
induced from {1} → G. Then Spec ι! AC[G∨ ] is isomorphic to the nilpotent coneNG∨ of G∨ .
∗(GrG , AC[G∨ ] ) is isomorphic to G∨ × S ∨ , where S ∨ is the(2) Spec HG(O)Kostant-Slodowy slice to a principal nilpotent orbit of G∨ .
Recall that we take an sl2 -triple e, f , h for a nilpotent element e ∈ NG∨ sothat [h, e] = 2e, [h, f ] = −2f , [e, f ] = h, and deﬁne a slice by the aﬃne spacee + Ker ad(f ) ⊂ Lie G∨ .
The above S ∨ is deﬁned for a principal nilpotent element e. (In fact, it is morenatural to deﬁne the slice in the dual of Lie G∨ , as G∨ × S ∨ is a symplectic
reduction of T ∗ G∨ .) The inclusion S ∨ → Lie G∨ induces an isomorphismS∨ ∼= Lie G∨ / Ad G∨ = Lie T∨ /W, where T∨ is a maximal torus of G∨ and W
is the Weyl group of G∨ . As we remarked above, AC[G∨ ] has a G∨ action which
is identiﬁed with natural G∨ actions on NG∨ and G∨ × S ∨ above respectively.
We have two ways to construct ring objects. It is natural to ask whether
there is a way to realize AC[G∨ ] from G  M. Here is an example. Let
N = Hom(C, C2 ) ⊕ Hom(C2 , C3 ) ⊕ · · · ⊕ Hom(Cn−1 , Cn ),def.

G = PGLn ,G̃ = (GL1 × GL2 × · · · × GLn ) /C× ,where C× is the diagonal central subgroup. We have a ring homomorphism
ϕ : G̃ → G. Let AG̃,M be the pushforward of the dualizing sheaf on RG̃,Nassociated with (G̃, N). It is a ring object in DG̃(O) (GrG̃ ). We then pushforward
it to GrG , namely Grϕ∗ AG̃,M . Note that G∨ = SLn .
Theorem 3.5 ([BFN19, Th. 2.11]). Grϕ∗ AG̃,M and AC[SLn ] are isomorphic asring objects in DPGLn (O) (GrPGLn ).
It is expected that we have similar results for G = SO2n , Sp2n in view of[GW09, §5.2]. However, there is no analogous result for other groups, including
G = SO2n+1 .

3.4

S-dualLet us now give the (provisual) deﬁnition of the S-sual of G  M under theassumption M = T ∗ N. We ﬁrst form the ring object given by the pushforward5

of the dualizing sheaf of RG,N as in §3.2. Let us denote it by AG,M . We deﬁne
a ring object AG,M ⊗! AC[G∨ ] . Then we consider∗M∨ = Spec HG(O)(GrG , AG,M ⊗! AC[G∨ ] ).
def.

(3.6)

It is equipped with G∨ action from AC[G∨ ] . Since the S-dual is deﬁned for thepair (G, M), we say (G∨  M∨ ) is the S-dual of (G  M). The deﬁnition(3.6) is available only when M = T ∗ N, but we expect that it can be weakened
to more general M as we mentioned in §1.
∨= ((TG,M × T [G]) /// G)
Remarks 3.7. (1) The deﬁnition (3.6) is derived from TG,M([GW09, (3.13)]) in a physics level of rigor as follows. If this would be a theory deﬁned by G∨  M∨ , its Higgs branch is M∨ . Since ∗ is the 3d mirror
symmetry, exchanging Higgs and Coulomb branches, the Coulomb branch of∗(GrG , ATG,M ×T [G] ) of the ring
(TG,M × T [G]) /// G should be M∨ . It is HG(O)object associated with TG,M × T [G], which is the ! tensor product of AG,M andAT [G] . Then AT [G] ∼= AC[G∨ ] is a proposal in [BFN19].
(2) As in Remark 3.1, we need a justiﬁcation of the notation AG,M , as we use
the description M = T ∗ N. If N is a representation of G as in [BDF+ 22], AG,M
is deﬁned without using √the description M = N ⊕ N∗ , but it yet depends on the
choice of a square root L of the determinant line bundle L. (See [BDF+ 22,§4.2] for an identiﬁcation with the construction from RG,N .) Therefore it isdenoted by AG,M,√L .

Example 3.8. (1) Suppose G is a torus. Then AC[G∨ ] is the constant sheaf
over GrG = Hom(C× , G), which is also the dualizing sheaf. Therefore AG,M ⊗!
AC[G∨ ] = AG,M . Therefore M∨ is nothing but the Coulomb branch MC (G, M).
The action of G∨ is identiﬁed with the action of π1 (G)∧ .
(2) Theorem 3.4(2) can be understood as the S-dual of (G  pt) is (G∨ ∨
G × S ∨ ). Since the S-dual of the S-dual is expected to be the original space,
we conjecture that the S-dual of (G∨  G∨ × S ∨ ) is (G  pt). If G = C× ,Example 3.2(3) conﬁrms that it is true.
(3) Consider G  M = T ∗ G, where G acts on N = G by the left multiplication. Then RG,N = {[g(z), s(z)] ∈ G(F ) ×G(O) G(O) | g(z)s(z) ∈ G(O)}is nothing but G(O), as we have g(z) ∈ G(O). Furthermore, RG,N is mapped∗
to 1 ∈ GrG . Therefore AG,M ⊗! AC[G∨ ] is HG(O)(G(O), ωG(O) ) ⊗ ι! AC[G∨ ] ,where ι : {1} → GrG is the inclusion. By Theorem 3.4, this is isomorphic to
C[NG∨ ], the coordinate ring of the nilpotent cone of G∨ . Thus the S-dual is(G∨  NG∨ ). Note that NG∨ is singular unless G∨ is torus.
(4) Since we expect the S-dual of the S-dual is the original space, we guessthat the S-dual of (G∨  NG∨ ) is (G  T ∗ G). Since NG∨ is singular (unlessG∨ is torus), we cannot check this statement. Let us speculate why this could
be true.
∗!
∗∼
By [BFN19, 5(x)] we know that HG∨ (O) (GrG∨ , AC[G] ⊗ AC[G] ) = C[T G].
Therefore the statement can be deduced formally, if we ‘show’ that the ringobject A attached to G∨  NG∨ is AC[G] . Since NG∨ is not smooth, not the
cotangent bundle, the current technology does not give a deﬁnition of A forG∨  NG∨ . We will return back this claim in Example 4.1.
Let us explain the relation between (3.6) and the derived Satake equivalence.
∗(GrG , F ⊗! AC[G∨ ] ) makes
The formula (3.6), without taking Spec, i.e., HG(O)sense for an object F of DG(O) (GrG ). (The result is not necessarily a ring, hence
we cannot take Spec.) In [BFN19, Lemma 5.13] we showed that the functor is
the inverse of the derived Satake equivalence in [BF08] up to the twist by theChevalley involution. See [BFN19, §5(vi),§5(vii)] for the framework and theprecise statement.

4

Symplectic reduction

4.1

Deﬁnition

Suppose that a product G1 × G2 (resp. G2 × G3 ) acts on a smooth aﬃne
symplectic variety M12 (resp. M23 ). To simplify the statement below, we twist
the G2 (resp. G3 ) action on M12 (resp. M23 ) through an involution on G2 (resp.
6∗G3 ) interchanging conjugacy clases of g and g −1 (the Chevalley involution).
We symbolically denote the space with action as G1  M12  G2 (resp.
G2  M23  G3 ). We consider the symplectic reduction
M12 ◦ M23 = μ−1
2 (0)//G2 ,def.

where μ2 is the moment map for the G2 -action on the product M12 × M23 ,and //G2 is the categorical quotient. This is an aﬃne algebraic variety, possiblywith singularities. If G2 action is free, the reduction is smooth, and is equippedwith a symplectic form induced from those of M12 and M23 . Therefore we
regard M12 ◦ M23 as a symplectic manifold in a generalized sense without any
justiﬁcation. Moreover, since we took the quotient by G2 , we have the induced
action G1  M12 ◦ M23  G3 . Thus we can deﬁne the ‘composition’ (M12 ◦M23 ) ◦ M34 of the reduction as M12 ◦ M23 ◦ M34 , even if M12 ◦ M23 may not
be smooth.
If M12 = T ∗ N12 , M23 = T ∗ N23 , and the G2 -action on N12 × N23 is free,23
we have M12 ◦ M23 = T ∗ N12G×N
.
2

4.2

Ring object associated with the reduction

Suppose that a product G1 ×G2 (resp. G2 ×G3 ) acts on a smooth aﬃne variety
N12 (resp. N23 ). We denote the space with action by G1  N12  G2 (resp.
G2  N23  G3 ) as before. We consider the ring object A12 = AG1 ×G2 ,M12
(resp. A23 = AG2 ×G3 ,M23 ) on GrG1 ×G2 (resp. GrG2 ×G3 ). We deﬁne a ringobject on GrG1 ×G3 bydef.

A12 ◦ A23 = p13∗ p!12 A12 ⊗! p!23 A23 ,where pab : GrG1 ×G2 ×G3 ∼= GrG1 × GrG2 × GrG3 → GrGa × GrGb is the
projection to the product of the ath and bth factors. If the action of G2
on N12 × N23 is free, A12 ◦ A23 is the ring object associated with the quo23
23
tient space N12G×N. Recall that T ∗ N12G×N
is the symplectic reduction
2
2
M12 ◦ M23 . Thus we regard A12 ◦ A23 as the ring object associated with
G1  (M12 ◦ M23 )  G3 , even when M12 ◦ M23 is singular. In the terminology of the gauge theory, A12 ◦ A23 is the (Coulomb) branch ring object of
the 3d N = 4 theory (TG1 M12 G2 × TG2 M23 G3 ) /// G2 , obtained from theproduct of theories associated with M12 and M23 by the gauging by G2 .
Example 4.1. Consider
M0 ◦ M1 ◦ · · · ◦ Mn−1
where GLi  Mi = T ∗ Hom(Ci , Ci+1 )  GLi+1
By [KP79], M0 ◦ M1 ◦ · · · ◦ Mn−1 ∼= NGLn as GL0 × GLn = GLn -varieties. By
GL-version of Theorem 3.5, the ring object corresponding to M0 ◦M1 ◦· · ·◦Mn−1
in the above sense is AC[GLn ] . This conﬁrms the prediction in Example 3.8(4)for G = GLn .

4.3

S-duality commutes with reduction

Suppose we have G1  M12 = T ∗ N12  G2 and G2  M23 = T ∗ N23  G3
as before. We have ring objects A12 , A23 , and we can deﬁne S-dual by (3.6):∨∗⊗! A12 ⊗! AC[G∨2 ] )  G∨G∨
1  M12 = Spec H(G1 ×G2 )(O) (GrG1 ×G2 , AC[G∨
2 and
1]
∨
∨
∨
similarly G2  M23  G3 .
The following result says that the S-duality commutes with the reduction.
∨
Theorem 4.2 ([BFN19, Remark 5.21]). We have a G∨
1 × G3 -equivariant isomorphism∨(M12 ◦ M23 )∨ ∼= M∨
12 ◦ M23 ,where the left hand side is understood as∗(GrG1 ×G3 , AC[G∨1 ] ⊗! (A12 ◦ A23 ) ⊗! AC[G∨3 ] )Spec H(G1 ×G3 )(O)by §4.2.
7

Recall that we regard A12 ◦A23 as the ring object associated with M12 ◦M23 ,even though M12 ◦ M23 is singular in general.
Remark 4.3. This result is manifest for quantum ﬁeld theories obtained by conﬁgurations of D3,D5/NS5 branes [HW97], which underlie results in the next
section. (D5 is M× , NS5 is M◦ .) The operation ◦ corresponds to the concatenation of two conﬁgurations. The S-duality exchanges D5 and NS5 branes. The
result simply means that concatenation and the exchange D5 ↔ NS5 commute.

5

Bow varieties and Coulomb branches

In [NT17], we proved that Coulomb branches of quiver gauge theories of aﬃne
type A are Cherkis bow varieties. Cherkis bow varieties are products of two
types of algebraic GL(Vi ) × GL(Vj )-Hamiltonian manifolds:
GL(Vi )  M (Vi , Vj ) = T ∗ Hom(Vi , Vj )  GL(Vj )⎧vj⎪⎨GL(Vi ) × S(vi − vj , 1 )GL(Vi )  M× (Vi , Vj ) = (i ←→ j)⎪⎩ ∗T (GL(Vi ) × Vi )if vi > vj
if vi < vj  GL(Vj ).
if vi = vj

Let us explain the notation appearing in the deﬁnition of M× (Vi , Vj ). We set
vi = dim Vi , vj = dim Vj . If vi > vj , S(vi − vj , 1vj ) is the slice to thenilpotent orbit corresponding to the hook partition (vi − vj , 1vj ) of vi , as in§3.3. The action of GL(Vi ) is the right multiplication to the factor GL(Vi ) in
M× (Vi , Vj ). The centralizer of the corresponding sl2 triple is GL(Vj ), acting
on S(vi − vj , 1vj ) naturally. We let it act on the factor GL(Vi ) by the left
multiplication. If vi < vj , we exchange the roles of i, i. (Strictly speaking,we used a variant of S(vi − vj , 1vj ) was used in [NT17]. But they give an
isomorphic hamiltonian space.)
The identiﬁcation of Coulomb branches with bow varieties were proved without reference to the S-dual, but it follows from the following:
Conjecture 5.1. Two hamiltonian spaces GL(Vi )  M (Vi , Vj )  GL(Vj )and GL(Vi )  M× (Vi , Vj )  GL(Vj ) are S-dual to each other.
A quiver gauge theory of ﬁnite type A is given by the product M (Vi , Vi+1 )(i = 1, 2, . . . , −1), together
with M (Vi , Wi ) (i = 1, . . . , ) for a ‘framing vectorspace’ Wi , gauged by i GL(Vi ):

M (Vi , Vi+1 ) ⊕ M (Vi , Wi ) ///

GL(Vi ).

i

Here we confuse hamiltonian spaces and the corresponding quantum ﬁeld theories bu abuse of notation. The factor M (Vi , Wi ) can be replaced by M× (Vi , Vi )×· · · × M× (Vi , Vi ) (wi = dim Wi factors). Therefore it is of the formM (0, V1 ) ◦ M× (V1 , V1 ) ◦ · · · ◦ M× (V1 , V1 ) ◦M (V1 , V2 ) ◦ · · · .




(5.2)

w1 times

Therefore the corresponding Coulomb branch is given by the successive application of Theorem 4.2. By the conjecture above, we get
M× (0, V1 ) ◦ M (V1 , V1 ) ◦ · · · ◦ M× (V1 , V1 ) ◦M× (V1 , V2 ) ◦ · · · .




(5.3)

w1 times

This is, indeed, the main result of [NT17].
The proof in [NT17] does not use Conjecture 5.1: we directly show that
(5.3) is the Coulomb branch of the gauge theory (5.2). In turn, we can show
Conjecture 5.1 in the cases M× (Vi , Vj ) with vi = vj and M◦ (Vi , Vj ) with arbitrary vi , vj from this statement together with the realization of AC[GLn ]by Theorem 3.5. Indeed, we add · · · ◦ M (Cvi −2 , Cvi −1 ) ◦ M (Cvi −1 , Vi )◦ and◦M (Vj , Cvj −1 )◦M (Cvj −1 , Cvj −2 )◦· · · to the left and right of M (Vi , Vj ). The
Coulomb branch of this theory is the S-dual of GL(Vi )  M (Vi , Vj )  GL(Vj ).
The theory is of the form of (5.2), hence the Coulomb branch is given by (5.3).
8

Since the added parts give T ∗ GL(Vi ) and T ∗ GL(Vj ) respectively, the answer(5.3) is nothing but M× (Vi , Vj ) or M (Vi , Vj ) with vi = vj .
In the remaining case M× (Vi , Vj ) with vi = vj , we add · · ·◦M (Cvi −2 , Cvi −1 )◦M (Cvi −1 , Vi )◦ and ◦M (Vj , Cvj −1 ) ◦ M (Cvj −1 , Cvj −2 ) ◦ · · · as above, anduse the Hanany-Witten transition (see [NT17, §7.2]) to a gauge theory of theform (5.2). Then we apply the Hanany-Witten transition to (5.3). Since
Hanany-Witten transition is compatible with the exchange of × and , we get
M◦ (Vi , Vj ). Thus we only need to check that the ring object A is independent
under Hanany-Witten transition.

6

Hyperspherical conditions

In Remark 3.7(1), we said that G∨  M∨ is the Higgs branch of the theory∗∨= ((TG,M × T [G]) /// G) . If this theory comes from a smooth M∨ , theTG,Mcorresponding Coulomb branch must be a single point. Thus the Higgs branchof (TG,M × T [G]) /// G must be a point, i.e.,(M × NG ) ///G
is a point.
One of hyperspherical conditions says
• a generic G orbit in M is a coisotropic subvariety.
See [BZSV23, §3.5]. This is equivalent to the condition• All nonempty ﬁbers of μ//G : M//G → Lie G∗ //G are ﬁnite
by [Los09].3

References[ABG04]

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Raskin, and Roman Travkin, Coulomb branches of noncotangent
type, With appendices by Gurbir Dhillon and Theo Johnson-Freyd.
[BF08]

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vol. 2248, Springer, Cham, [2019] ©2019, pp. 1–52.

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[BFN19]Alexander Braverman, Michael Finkelberg, and Hiraku Nakajima,
Ring objects in the equivariant derived Satake category arising from
Coulomb branches, Adv. Theor. Math. Phys. 23 (2019), no. 2, 253–
344, Appendix by Gus Lonergan.

[BZSV23] David Ben-Zvi, Yiannis Sakellaridis, and Akshay Venkatesh, Relative
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[Gai18]Davide Gaiotto, S-duality and boundary conditions and the geometricLanglands program, String-Math 2016, Proc. Sympos. Pure Math.,
vol. 98, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, pp. 139–179.

3 The author thanks Ivan Losev for his explanation how to derive the equivalence from
[Los09].

9

[GR18]Victor Ginzburg and Nick Rozenblyum, Gaiotto’s Lagrangian subvarieties via derived symplectic geometry, Algebr. Represent. Theory
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[GW09]Davide Gaiotto and Edward Witten, S-duality of boundary conditions in N = 4 super Yang-Mills theory, Adv. Theor. Math. Phys.
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10J-equation, LYZ equation
and a Kobayashi-Hitchin-type correspondence
on semistable vector bundles
高橋良輔(東北大学大学院理学研究科数学専攻)∗

1. 研究の背景
Riemann 幾何学の最重要課題の 1 つに計量の標準化がある．とりわけ，複素多様体上では標準計量の存在条件が何らかの代数幾何学的安定性により記述できることが期待されており，多くの研究者からの注目を集めている．この方向における先駆的な研究の 1 つとして，Donaldson–Uhlenbeck–Yau [Don85, UY86] による小林-Hitchin 対応の解決は有名だろう．
正則ベクトル束上の Hermitian–Einstein 方程式は曲率に関して線型な PDE だが，他の PDE，とりわけ，物理学との接点として現れる方程式は曲率に関して非線型項が含まれていることが珍しくはない [FY07, Str17]．(X, ω) を n 次元コンパクト Kähler 多様体，E → X を正則ベクトル束，Herm(E) を E 上の滑らかな Hermitian 計量全体のなす空間とする．h ∈ Herm(E) はその曲率 Fh が関係式



 √
√
Im e− −1Θ (ω IdE + −1Fh )n = 0 (Θ ∈ R)√

Ze− −1Θ ∈ R>0(1)

を満たすとき 1 ，Leung-Yau-Zaslow (LYZ) 方程式 2 の解であるという．ここで，



n
√
 
n! √
n
( −1)n−k [ω]k · chn−k (E)Z :=Tr (ω IdE + −1Fh ) =
k!
X
k=0



は零でない複素定数であり，定数 Θ は arg(Z) (mod. 2π) として一意的に決まる．
rank(E) = 1 の場合，LYZ 方程式 (1) は Strominger–Yau–Zaslow ミラー対称性の文脈において，特殊 Lagrange 切断の Fourier–向井変換として自然に現れる方程式であり[LYZ00]3 ，シンプレクティック幾何学における Thomas–Yau 予想とも関係する [TY02]．
Thomas–Yau 予想は，Calabi–Yau 多様体 X の特殊 Lagrange 部分多様体 Σ ⊂ X が存在するための必要十分条件が，Σ の（深谷圏 Db Fuk(X) の対象としての）Bridgeland
安定性 [Bri07] により記述できると主張している．したがって，これはホモロジカルミ
本研究は JSPS 科研費 (課題番号:24K06730, 20K14308) の助成を受けたものである．
2020 Mathematics Subject Classiﬁcation: 53C55, 35A01
キーワード：J-equation, Leung-Yau-Zaslow equation, Kobayashi-Hitchin correspondence∗〒 980-8578 仙台市青葉区荒巻字青葉 6 番 3 号
e-mail: ryosuke.takahashi.e1@tohoku.ac.jp
web: https://sites.google.com/view/ryosuke-takahashi
1
方程式 (1) の第 1 式の Im(·) は計量 h に関して取っている．すなわち，End(E) の元を h に関して Hermitian，歪 Hermitian なコンポーネントに分解している．例えば，Fh はこの意味で考えるとEnd(E) に値をとる実 (1, 1) 形式，ということになる．
2
LYZ 方程式は別名 “deformed Hermitian-Yang-Mills (dHYM) 方程式” とも呼ばれる．しかし，実際はHermitian-Yang-Mills 方程式とは独立に理論が展開されており，Leung-Yau-Zaslow [LYZ00] によって最初に発見されたので，LYZ 方程式という名称が徐々に浸透しつつあるようである．
3
物理学側でも独立に研究されていた [MMMS00]．

11ラー対称性を経由して X のミラー対 X̌ 上の連接層のなす導来圏 Db Coh(X̌) の安定性nに対応すると考えられる [CS19]．さて，h ∈ Herm(E) は i=1 arccot(λi ) < π （λi はFh の ω に関する固有値）を満たすとき supercritical であるという．筆者は C. Chu 氏，M.-C. Lee 氏との共同研究において G. Chen [Che21] の結果を改良し，spercritical 条件のもとで LYZ 方程式 (1) の可解性を判定するための次のような Nakai-Moishezon 型判
定法 4 を構成した：Theorem 1 ([CLT24]). (X, ω) をコンパクト Kähler 多様体，E → X を正則直線束，
h0 ∈ Herm(E) かつ X は射影的とする．このとき，supercritical な LYZ 方程式の解h ∈ Herm(E) が存在するための必要十分条件は，任意の subvariety V  X に対して，

 
√
√
nπ
dim V
− Θ Im(Fh0 + −1ω)dim V > 0− cot
Re(Fh0 + −1ω)2Vが成り立つことである．
上判定法が Bridgeland 安定性とどのように結びつくのかを考えることは非常に興味深いが，ここでは特に触れないことにする．興味がある方は [CS19] を参照してもらいたい．
さて，今回問題にしたいのはむしろ rank(E) > 1 の場合である．Collins–Yau [CY18]によって LYZ 方程式 (1) の導入はされたものの，その基本的性質や具体例さえ全く知られていない状況であった．具体例が初めて構成されたのは Dervan–McCarthy–Sektnan[DMS20] が最初だと思われる．彼らのアイデアは，背景にある Kähler 計量を ω → kω(k  0) と置き換えることにより，k → +∞ のとき，LYZ 方程式の形式的極限としてHermitian-Einstein 方程式が現れることに着目したことである：

ω n Fh −[ω]n−1 .c1 (E) nω IdE = O(k −1 ).
[ω]n · rank E

この考察は，k  0 に対して LYZ 方程式の解が Hermitian–Einstein 計量の十分小さな摂動として得られることを示唆している．この構成法を large volume limit 構成と呼ぶことにする．実際，彼らは任意次元の多様体 X 上でベクトル束 E が半安定というさらに弱い仮定の下で k  0 に対して LYZ 方程式の解が存在するための必要十分条
件が，E が（何らかの意味で）“漸近的に Bridgeland 安定” であることを見出した．ここで特筆すべきは Bridgeland 安定性が現れるということである．少なくとも筆者が知る限りでは，このような結果はシンプレクティック側ではまだ得られていない．LYZ
方程式を高階ベクトル束に拡張する方法は 1 通りではないものの，[DMS20] の結果はCollins–Yau [CY18] による方程式の拡張 (1) が上記の意味で数学的に自然な考察対象になっていることを示唆するものであり，方程式 (1) を研究する動機付けを与えている．

2. J-方程式と LYZ 方程式
では逆に，計量を ω → εω (0 < ε1) と置き換えた場合はどうなるだろうか？このような自然な疑問から，筆者は次の J-方程式を導入した：まず，ベクトル束 E の Chern
指標は正値条件 (P)ch ：chn (E) > 0,
4

[ω] · chn−1 (E) > 0

Nakai-Moishezon 判定法とは，コンパクト複素多様体上で，与えられた実 (1, 1) 型コホモロジー類がKähler かどうかを判定する方法である [DP04]．

12を満たすとする．そして h ∈ Herm(E) が J-方程式の解であるとは，関係式

cFhn − ω IdE ∧Fhn−1 = 0,c :=[ω]. chn−1 (E)>0n chn (E)(2)

を満たすことをいう．“J-方程式” という名前の由来は rank(E) = 1 の場合から来ている．実際，E が直線束の場合，方程式 (2) は S. K. Donaldson [Don03] と X. Chen [Che00]
によって独立に導入されおり，“J-汎関数” と呼ばれる Kähler ポテンシャルの空間上の測地的に凸な汎関数の臨界点として特徴付けられる．方程式 (2) は依然として Fh に関して非線型ではあるものの，Fh と ω の複雑な mixed term の和として表される LYZ 方
程式 (1) と比較すれば十分簡略化された形になっている．
一般に PDE を解く際に正値性の仮定は重要である．例えば (P)ch もコホモロジー類
に関するある種の正値条件だが，(2) を解くのにそれだけでは不十分である．実際，一般の h ∈ Herm(E) に対して (2) は楕円型にはならないのが大きな問題であり，少々天下り的ではあるが次の正値性概念を導入しよう．

Deﬁnition 1. h ∈ Herm(E) が J-正値であるとは，任意の a ∈ Ω0,1 (End(E)) およびa = 0 であるような点 p ∈ X において，
 
n−1
n−2

√
− −1 Tr c
Fhk a Fhn−1−k (a )∗ − ω IdE
Fhk a Fhn−2−k (a )∗ > 0
k=0

k=0

を満たすことである．

J-正値の定義は J-方程式 (2) の左辺に現れる微分作用素の主シンボルの計算から導き出される．したがって，次の命題は楕円型微分作用素の定義そのものと言ってもよい．
Proposition 1. h ∈ Herm(E) が J-正値であれば方程式 (2) は楕円型である．
それでは J-方程式と LYZ 方程式の関係について述べよう．冒頭でも述べた通り，方程式 (2) は [DMS20] とは真逆の状況を考察したときに現れる．より正確には，次の意味
で J-方程式の解から small volume limit 構成により LYZ 方程式の解が構成できる：

Theorem 2 ([Tak24]). E は simple かつ J-正値な（計量 ω に対する）J-方程式 (2) の解h0 ∈ Herm(E) を許容すると仮定する．このとき，0 < ε
1 に対して，計量 εω に対する J-方程式の解 hε ∈ Herm(E) が存在する．
実際，J-方程式の左辺に現れる微分作用素を線型化した作用素は自己共役（特に Fredholm 指数が零）であり，E が simple であることから核が自明であることがチェックできる．したがって，上定理は陰関数定理からの帰結である．

3. 漸近的構成，主定理
Theorem 2 によって，simple なベクトル束 E 上における LYZ 方程式の具体例の構成は，J-正値な J-方程式の解の構成に帰着される．安直には，このようなものは直線束に対する J-方程式の解に何らかの操作を加えて構成できると考えるのが自然であろう．いま，(X, ω) をコンパクト Kähler 曲面，L → X を豊富直線束とし，計量 hL ∈ Herm(L)でその曲率形式 χ ∈ c1 (L) が Kähler かつ J-方程式[ω].c1 (L) 2
χ − ωχ = 0
c1 (L)213(3)を満たすものが存在すると仮定する．このとき，

η := 2([ω].c1 (L))χ − c1 (L)2 ω > 0(4)が成り立つことが容易にチェックでき，さらに [SW08] と Nakai-Moishezon 判定法を組み合わせることで，(3) を満たす Kähler 形式 χ ∈ c1 (L) の存在は，任意の curve V ⊂ X
に対して数値的条件
2([ω].c1 (L))c1 (L) − c1 (L)2 [ω] .V > 0

を満たすことと同値であることが分かる 5 ．さて，E → X を simple かつ（Mumford-竹本の意味で）計量 η に関して半安定なベクトル束とする．ここで，連接部分層 S ⊂ E(rank S > 0) に対して S の slope をμη (S) :=[ω].c1 (L)rank Sと定義し，E は 0 < rank S (resp. 0 < rank S < rank E) であるような任意の連接部分
層 S ⊂ E に対してμη (S)  (resp. <) μη (E)を満たすとき，計量 η に関して半安定（resp. 安定）というのであった．ここで，半安定ベクトル束に対するいくつかの基本的性質を思い出しておこう．まず，E の Jordan–Hölder (JH) ﬁltration とは，E の連接部分層による ﬁltration

0 := E0  E1  . . .  E := E
で各商層 Vi := Ei /Ei−1 (i = 1, . . . , ) が η に関して安定かつ μη (Vi ) = μη (E) を満たすよ
うなもののことである．したがって，付随する次数付き対象
Vi

Gr(E) :=
i=1

は同じ slope を持つような安定束の直和になっているという意味で準安定である．また，
JH ﬁltration は一意的ではないが，Gr(E) は（各コンポーネントの入れ替えを除いて）一意的に定まる．一般に任意の半安定ベクトル束は JH ﬁltration を許容することが知られている．特に，Gr(E) が局所自由層のとき E は十分に滑らかであるという．この
場合，E と Gr(E) は C ∞ ベクトル束として同型であるが，正則ベクトル束として同型とは限らないことに注意しておく．以下では E が十分に滑らかであることを仮定する．
準備が整ったので J-方程式に対する安定性を定義しよう．任意の連接部分層 S ⊂ E
に対して漸近的 J-slope ϕk (S) を

ϕk (S) :=5

ch2 (S ⊗ Lk )[ω]. ch1 (S ⊗ Lk )X が高次元の場合でも，J-方程式に対する Nakai-Moishezon 型判定法が [Che21, Son20] で得られている．

14

で定義する．このとき，L は豊富だから k  0 であれば分母 [ω]. ch1 (S ⊗ Lk ) は正であることに注意する．そして，E は任意の連接部分層 S ⊂ E (0 < rank S < rank E) に対して関係式
ϕk (S) < ϕk (E)が k  0 で成り立つとき漸近的 J-安定であるという（ここで，k の大きさは S の取り方に依存してもよい）．すると主定理は次の通りである．

Theorem 3 ([Tak24]). 以上の設定の下で，k  0 に対して，一様に C 2 有界な計量の族 hk ∈ Herm(E) で，各 hk ⊗ hkL ∈ Herm(E ⊗ Lk ) が ω に関する J-正値な J-方程式の解となっているようなものが存在するための必要十分条件は，E がすべての部分束に対して漸近的に J-安定であることである．
L が豊富であるので k  0 に対して E ⊗ Lk は正値条件 (P)ch を自動的に満たすことに注意しよう．また，漸近的 J-安定性は任意の連接部分層に対して定義されるが，上定理ではチェックする対象は部分束（局所自由層）に限られている．これは “E が十分に滑らか” という技術的な仮定をしているからであり，実際には，もっと一般に E がsimple かつ（計量 η に関して）半安定なベクトル束の場合でも，“C 2 有界” という条件を排除し，かつ安定性の考察対象をすべての連接部分層に広げることで同様の結果が得られると考えている．

4. 具体例
ここまでの議論はかなり抽象的であり，その中で様々な条件を仮定してきた．果たしてそのような条件をすべて満たすような具体例が存在するのかは，かなり気がかりな
ところであろう．まず，手頃な具体例としては次がある．

Proposition 2. E が計量 η に関して（Mumford-竹本の意味で）安定であれば漸近的J-安定である．
Proof. S ⊂ E を連接部分層とすると，次の漸近展開が成り立つ：
ϕk (S) =μη (S)
c1 (L)2k++ O(k −1 ).
2[ω].c1 (L)
2([ω].c1 (L))2(5)

ここで重要なのは，leading term が S に依存しないこと，および subleading term が（スケーリングを除いて）slope μη (S) と一致することである．したがって，ϕk (S) と ϕk (E)の大小比較は μη (S) と μη (E) の大小比較に委ねられることになる．
上の計算から漸近的 J-安定であれば η に関して半安定であることも容易に分かるだろう．しかし，さらに強く安定であることまでは一般には導かれない．それは次の Gr(E)が 2 つのコンポーネントを持つ場合の具体例からも分かる．

Example 1 (丸山の Gieseker 安定束の例). X := CP2 ，L := O(1)，ω ∈ c1 (L) を任意のKähler 計量とする．このとき X 上の偏極は O(1) をスケーリングしたものしかないので，自動的に η = χ = ω であることが分かる．さて，S を（ω に関して）安定な階数 2 のベク
トル束で c1 (S) = 0 かつ H 1 (CP2 , S) = 0 を満たすとしよう．特に Bogomolov–Gieseker
不等式より c2 (S)  2 である．このとき，各 τ ∈ H 1 (CP2 , S)\{0} は非自明な extension
0→S→E→O→015

を定め，c1 (E) = 0 かつ c2 (E) = c2 (S) であることが分かる．我々が興味があるのはこのようにして得られる階数 3 のベクトル束 E であり，E は Gieseker 安定（したがって，
特に simple かつ半安定）な例として丸山により初めて考察された．しかし，その部分
束 S ⊂ E は E を不安定化 μω (S) = μω (E) するので，E は決して安定束ではない．
一方で，0  S  E は E の JH ﬁltration を与えており，Gr(E) = S ⊕ O ，

ϕk (E) − ϕk (S) =1c2 (S) > 06kであることが容易に計算で確かめられる．したがって，Theorem 3 の証明より 6 ，k  0に対して E ⊗ Lk は J-正値な（ω に関する）J-方程式の解を許容する．

5. 主定理の証明
それでは主定理の証明について述べよう．大まかな議論の流れや証明のアイデアは[DMS20, Leu97] と同じである．

5.1. 必要性
必要性の証明において伴となるのは部分束に対する Gauss-Codazzi 方程式である．部
分束 S ⊂ E (0 < rank S < rank E) が与えられると，E = S ⊕ Q (Q := E/S は商束) と分解される．いま，Theorem 3 にあるような hk ∈ Herm(E) が与えられると，S と Q にも Chern 接続が定まるが，一般に分解 E = S ⊕ Q は正則ベクトル束としての同型を与えず，hk の曲率 Fk は第 2 基本形式 Ak を用いて次のように補正される：
√

Fk =

√

−1 ∗
−1  ∗− 2π
A k Ak
D A
FS,k √
2π √ k k−1 −1− 2π Dk Ak
FQ,k − 2π
Ak A∗k

.

したがって，hk ⊗ hkL の曲率 Fk は
√

Fk =

√

−1 ∗
−1  ∗
Ak A kDk A√kFS,k + kχ√IdS − 2π
2π
−1 
−1
− 2π Dk Ak
FQ,k + kχ IdQ − 2π
Ak A∗kとなる．仮定より Ak と Fk はそれぞれ一様な C 1 ，C 0 評価を持っている．上関係式を J方程式に代入して整理すると，
√
2
−1
k
k
4ck ch2 (S ⊗ L ) − 2[ω] · ch1 (S ⊗ L ) − 2ck
Tr(Ak A∗k Ak A∗k )
2π
X
√
√




−1
−1
∗
∗
ck
Tr Ak (FS,k + kχ IdS )Ak + (FQ,k + kχ IdQ )Ak Ak −
ω Tr(Ak A∗k )
+
π
π
X
X

= 0,
(6)
ここで，

ck :=
6

1
[ω].c1 (L) −1[ω]. ch1 (E ⊗ Lk )μη (E) −2
−3
=
=
k −
2 k + O(k )k22
2 ch2 (E ⊗ L )
2ϕk (E)
c1 (L)
c1 (L)(7)

実は，漸近的 J-安定性は E のすべての部分束に対してチェックする必要はなく，E の 1 つの JH ﬁltrationの中に現れる部分束だけでよい．これは Theorem 3 そのものではなく，Theorem 3 の証明から従うことである（詳しくは第 5 節を参照）．

16

であり，最右辺の等式を示すのに (5) を用いた．このとき，実は k  0 であれば (6) の左辺の第 3〜5 項の和は正になる．まず，√−1
ω Tr(Ak A∗k ) = |Ak |2 ω 2πであることに注意しておく．また，Ak の一様な C 1 評価を使えば，ある定数 C > 0 が
存在して
√

2
√
−1
∗
∗
−1
2ck
Tr(Ak Ak Ak Ak )  Ck · −1
ω Tr(Ak A∗k )2π
X
Xが成り立つことが分かる．同様に (7) と Fk の一様な C 0 評価を用いればある定数 C  > 0
が存在して
√



−1
ck
Tr Ak (FS,k + kχ IdS )A∗k + (FQ,k + kχ IdQ )Ak A∗k
π
X
√


√
−1
∗
 −1

2([ω].c1 (L)) Tr(Ak Ak ) − −1C kω Tr(Ak A∗k )2πc1 (L) X
X
が成り立つことも分かる．以上の計算をまとめて η の定義式 (4) を用いると，ある定数C  > 0 が存在して
√

−1
k
k
4ck ch2 (S ⊗ L ) − 2[ω] · ch1 (S ⊗ L ) +(η − C  k −1 ω) Tr(Ak A∗k )  0
πc1 (L)2 X
が成り立つ．E は simple だから Ak = 0 となることはないので，左辺の第 3 項は k  0
であれば常に正である．この式に ck の定義式 (7) を代入して整理すると，求めたかった式 ϕk (S) < ϕk (E) が得られる．

5.2. 十分性：安定の場合
十分性の証明は本質的には陰関数定理だが，E が安定である場合とそうでない場合とでは様相が大きく異なる．まず，E が安定，すなわち，Gr(E)  E の場合を議論しよう．
DL を hL ∈ Herm(L) の Chern 接続とし，h0 ∈ Herm(E) およびその Chern 接続を D0 とする（h0 の取り方は後で決める）．h0 -compatible かつ可積分な E 上の接続全体の空間を
Aint (E, h0 ) で表す．Ω0 (End(E, h0 )) を h0 に関して歪 Hermitian な E の endomorphism√
exp(v)
全体のなす空間とし，D = D0
∈ Aint (E, h0 ) (v ∈ −1Ω0 (End(E, h0 ))) の形の接続で組 (h0 ⊗ hkL , D ⊗ DLk ) が ω に対する J-方程式の解となっているようなものを探そう．
ε := 1/k ，ϕε (E) := ϕk (E)，Pε (D) :=1(FD + ε−1 χ IdE )2 − ω IdE ∧(FD + ε−1 χ IdE )2ϕε (E)と定義すれば，求める条件は Pε (D) = 0 と表せることが分かる．Pε (D) を ε について漸近展開してみると
[ω].c1 (L) 2Pε (D) =χ − ωχ IdE ε−1 + P0 (D) + O(ε),(8)
c1 (L)2
ここで
1
μη (E) 2
ηFD −P0 (D) :=χ IdE
2
c1 (L)
c1 (L)217

と置いた．Pε (D) は ε = 0 のとき定義できないように思われるが，実は (8) の leading
term の係数は χ の選び方 (3) から零になっている．いま，(h0 , D0 ) を P0 (D0 ) = 0，すな
わちμη (E) 2
ηFD0 =χc1 (L)2の解として取りたいが，η が χ の定数倍でなければこの方程式は Hermitian-Einstein 方
程式そのものにはならず，weak Hermitian-Einstein 方程式と呼ばれるものになっている．しかしながら，両者は共形変換で互いに写り合うから可解性は同値になる，というのがこの議論のポイントである．よって，小林-Hitchin 対応によりそのような D0は存在する．一方で，P0 の線形化はスケーリングを除いて Laplacian

δ|D,v P0 =1Δη,D v,
4πc1 (L)2v∈√−1Ω0 (End(E, h0 ))と一致するので，その核は R IdE と直交している．したがって，方程式を mean value
zero の部分空間に制限して陰関数定理を用いることにより，求める接続の族 Dk が構成
できる．

5.3. 十分性：一般の場合
簡単のため Gr(E) が 2 つのコンポーネントを持つ場合に絞って考える．すなわち，0 ⊂V1 ⊂ E を JH ﬁltration，Gr(E) = V1 ⊕ V2 ，各 Vi は計量 η に関して安定かつ μη (Vi ) =μη (E) とする．このとき，小林-Hitchin 対応よりある hi ∈ Herm(Vi ) で weak HermitianEinstein 方程式
μη (Vi ) 2
ηFhi =
χ IdVic1 (L)2を満たすものが存在する．h0 = h1 ⊕ h2 とすると，μη (Vi ) = μη (E) なので h0 は E 上のweak Hermitian-Einstein 方程式

ηFh0 =μη (E) 2χ IdE
c1 (L)2を満たすことが分かる．ここで，我々は既に Vi ⊗ Lk (k  0) が J-方程式の解を持つことを知っているので，それらを直和すれば Gr(E) ⊗ Lk 上の J-方程式の解が得られると思うかもしれない．確かに ϕε (V1 ) = ϕε (V2 ) であればこれは正しいが，一般にはそうではない．そこで，漸近的 J-slope の誤差を考慮する必要が出てくる．

Deﬁnition 2. 部分束 S  E に対し，ϕε (E) − ϕε (S) の ε についての漸近展開の最小次数を S の食い違い次数という．
いま，我々は E が漸近的 J-安定と仮定しているので V1 の食い違い次数は正である．
また，S とその商束 Q = E/S の漸近的 J-slope の関係を見ておく必要がある．次の命
題は，Chern 指標が短完全列に関して加法的に振る舞うことからの帰結である．

Proposition 3 (See-Saw property).
0→S→E→Q→0を X 上の正則ベクトル束の短完全列で 0 < rank S < rank E とする．このとき，k  0
に対して
ϕk (S)  (resp. <) ϕk (E) ⇐⇒ ϕk (E)  (resp. <) ϕk (Q).

18

Corollary 1. Aut(Gr(E))  (C∗ )2 ．
Proof. E は漸近的 J-安定なので，See-Saw property より
ϕε (V1 ) < ϕε (E) < ϕε (E/V1 ) = ϕε (V2 ).
特に V1  V2 であるが，Vi は安定なので，安定ベクトル束に関してよく知られた事実から，任意の homomorphism V1 → V2 は自動的に零となる．
いま，DE , D0 ∈ Aint (E, h0 ) をそれぞれ E ，Gr(E) の Chern 接続とする．このとき，
DE には 2 種類の群作用，すなわち，（無限次元）Gauge 群 GL(E) と（有限次元）自己同∗ 2
型群 Aut(Gr(E))  (C ) の作用がある．J-方程式を解くためにまずは近似解を構成したいのだが，DE の Gauge 軌道の中に D0 は含まれていないので，次のようにして複素κ構造の変形と組み合わせる必要がある：κ := (1, τ ) ∈ (C∗ )2 (τ ∈ C∗ ) を取り，Dτ := DEと置こう．すると，Dτ (τ ∈ C) は Dτ  DE (∀ τ ∈ C∗ )，Dτ = D0 (τ = 0) を満たすよ
うな接続の族を与えることが分かる．
q ∈ N を V1 の食い違い次数とする．

Proposition 4 (Approximate solutions). ある定数 λ > 0 で以下の性質を満たすものが存在する：任意の N ∈ N に対してある gN,ε ∈ GL(E) が存在して，τ := λεq と置けば
N +1

Pε (DτgN,ε ) = O(ε 2 ).
上命題を証明するには Pε (Dτ ) を ε に関して漸近展開し，GL(E)-作用で適宜補正しな
がら低次の項から順番に消していく，つまり，線形化した方程式を逐次的に解くことで，題意にあるような gN,ε を求めることができる．その過程において E の漸近的 J-安定性が用いられるわけだが，きちんと説明しようとするとかなり込み入った議論になるのでここでは割愛する．
g
我々は近似解 Dτ N,ε を中心として陰関数定理を用いることで真の解を見つけたい
わけだが，そのためにはいくつか準備が必要になる．r を十分大きい自然数，L2r,0 を
mean value zero を持つ E の L2r 切断全体のなす Sobolev 空間とする．線型化作用素
δ|DτgN,ε Pε : L2r+2,0 → L2r,0 の逆を QN,ε : L2r,0 → L2r+2,0 と置こう．

Lemma 1 (Estimate for the operator norm of QN,ε ). QN,ε op  Cε−2q .
実際，ε = 0 のとき K := Aut(V1 , h1 ) × Aut(V2 , h2 )，k := Lie(K) と置くと δ|DτgN,ε Pε√の核はちょうど −1k になるため，たとえ mean value zero の部分空間に制限したとし√ても可逆にはならない．しかし， −1k に直交する方向では Poincaré 不等式が成り立つため，Lemma 1 はそれを ε 補正したバージョンと思うことができる．さて，“非線型項” を
g◦exp(s)
MN,ε (s) := Pε (Dt N,ε) − δ|DτgN,ε ,s Pεで定めると，平均値の定理から次が分かる．

Lemma 2 (Estimate for the Lipschitz constant of MN,ε ). ある定数 δ, C > 0 で次の性質を満たすものが存在する：もし 0 < ε1，sL2r+2 , s L2r+2  δ であれば，
MN,ε (s) − MN,ε (s )L2r  C(sL2r+2 + s L2r+2 )s − s L2r+2 .

19

Theorem 4 (Quantitative version of Implicit Function Theorem). P : V → W を
Banach 空間の間の可微分写像で，その原点における線形化 δ0 P が逆 Q を持つとする．
1
さらに，P − δ0 P は V の中の原点を中心とする半径 ρ > 0 の ball 上で 2Q
-Lipschitzopρとする．このとき，任意の w ∈ W で w − P (0) < 2Qop となるものに対して，v ∈ V
で P (v) = w を満たすものが存在する．
陰関数定理の主張は w が P (0) の十分小さい摂動であれば，P (v) = w を満たす v ∈ Vの存在を保証するが，上定理は w が具体的にどれくらい P (0) に近ければよいかを測っているという意味でより定量的である（証明は通常の陰関数定理と同様）．既に上で準備した他の道具と組み合わせれば，Proposition 4 で近似解を N = 8q の精度で取ることで，上定理を我々の状況に適用することができる．

6. まとめと今後の展望
以上，少々駆け足ではあるが J-方程式，LYZ 方程式の具体例の構成法について述べてきた．その中で方程式の可解性がどのような代数幾何的安定性と関係するのかもよく分かってきた．ざっくり言うと，これらの方程式は Nakai–Moishezon 型判定法と小林-Hitchin 対応を補間するようなハイブリッド型の安定性を持つということになる．
前者は subvariety V ⊂ X の正則自己交伹数，後者は連接部分層の Chern 指標を含むものである．しかしながら，Theorem 3，[DMS20] の結果はいずれも (weak) HermitianEinstein 方程式を陰関数定理で摂動するというアイデアが中核になっており，その点では局所的な考察にとどまっている．
一方，筆者は [Tak24] において，Kähler 曲面 (X, ω) 上の階数 2 の simple な正則ベク
トル束 E が J-正値な J-方程式の解を許容すれば，任意の階数 1 の部分束 S ⊂ E に対して不等式
ch2 (S) · ([ω]. ch1 (E)) < ([ω]. ch1 (S)) · ch2 (E)(9)
が成り立つことを示した．さらに，特殊な場合として，2 次元直積空間 Σ × CP1 （Σは Riemann 面）上の vortex 束に対しては，(9) が J-方程式の解が存在するための十分条件になることも示している．このように，X の次元や E の階数に制限を付けた研究として，他には Keller–Stoppa [KS24] がある．また，対称性が高い空間の研究として，
Correa [Cor23] は CP2 の接束の射影化 P(TCP
2 ) の上で具体例を構成している．
一方で，一般的な場合は方程式の大域的解析は容易ではなく，汎関数による変分的特徴付けが必要不可欠と考えられる．例えば，Zhang–Zhang [ZZ22] では正則ベクトル束
上の Donaldson 汎関数の族で，その臨界点がちょうど複素 k-Hessian 方程式の解となっているようなものを導入し，適当な条件の下で解の一意性を示した．特に，計量の空間上の測地線の構成とその regularity，汎関数の測地線に沿った凸性を示すことが今後の最重要課題となるであろう．
以上に述べた通り，高階ベクトル束上の J-方程式および LYZ 方程式の研究はまだ始まったばかりであり，今のところは部分的な結果が散見されるという状況にとどまっているが，数学的に興味深い現象を数多く含んでいる．今後の発展が益々楽しみな研究対象である．

参考文献[Bri07]

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21

[ZZ22]

C. Zhang and X. Zhang: Generalized Donaldson’s functionals and related nonlinear partial diﬀerential equations. Calc. Var. Partial Diﬀerential Equations
61 (2022), Article no. 127.

22

Modiﬁed extremal Kähler metrics and multiplier
Hermitian-Einstein metrics
中村 聡 (東京工業大学理学院)

1

序Fano 多様体における Kähler-Einstein 計量の様々な一般化が議論されている．Calabi が導入した Extremal 計量は一般の Kähler 多様体に対する一般化であり，重要な標準計量のひとつである．
Fano 多様体に限れば，小磯による Kähler-Ricci ソリトンや満渕ソリトンが広く知られており，さらにこれらは満渕が定義した Multiplier Hermitie-Einstein 計量（σ-ソリトン）の特別な場合である．
Käler-Einstein 計量の存在性は K-安定性という代数幾何学的条件と同値であることが知られており，この研究領域の中心的結果のひとつである．Multiplier Hermitie-Einstein 計量の存在性もよく理解されている．一方で，extremal 計量の存在性を代数幾何学的条件から導く研究は未解
明な点が多く残っている．
本研究では異なる標準計量の存在性の相関関係に着目する．次の事実がある．
定理 1.1. [5] 満渕ソリトンを許容する Fano 多様体はその第 1Chern 類に extremal 計量も許容する．
本研究では Multiplier Hermitie-Einstein 計量の視点からこの関係性に着目し，自然に定義される extremal 計量の一般化に対して，汎関数を用いた解析的条件でその存在性を特徴づける．

2

σ-extremal 計量

M を n 次元コンパクト連結 Kähler 多様体とし，Ω を Kähler 類とする．X(M ) を正則ベクトル場のなす Lie 代数とし，X0 (M ) := {X ∈ X(M ) | Zero(X) = ∅} とする．ここに Zero(X) は X ∈ X(M )のゼロ点集合である. 正則ベクトル場 X ∈ X(M ) と計量 ω ∈ Ω に対し，複素数値 C ∞ 級関数(ω)θX ∈ C ∞ (M ; C) で

√
(ω)
(ω)
iX ω = Hω (iX ω) + −1 ∂θX
andθX ω n = 0,
M

Email: s.nakamura@math.titech.ac.jp
講演者は JSPS Grant-in-Aid for Science Research Activity Start-up No. 21K20342 と Grant-in-Aid for EarlyCareer Scientists No. 24K16917 の援助を受けている．
本研究は中川泰宏氏（熊本大学）との共同研究 [7] に基づく．

23

なるものが一意的に存在する．ここに iX ω は内部積で Hω (iX ω) は iX ω の ω に関する調和部分である．このとき，Lie 微分に関し，

LX ω = diX ω =√(ω)−1∂∂θX ,(ω)

が成り立つ．関数 θX は X に関する ω の複素ポテンシャルと呼ばれる．もし X ∈ X0 (M ) なら，√(ω)
Hω (iX ω) = 0 であり，したがって iX ω = −1 ∂θX となる．

V ∈ X0 (M ) を固定し，VIm := 2√1−1 (V − V )-不変 Kähler 計量 ω0 ∈ Ω を固定する．Kähler
ポテンシャルの空間を
H := { φ ∈ C ∞ (M ; R) | ωφ := ω0 +√−1∂∂φ > 0 }(ω )と書き，HV = { φ ∈ H | LVIm ωφ = 0 } とする．各 φ ∈ HV に対し，関数 θV φ は実数値をとる．
(ω )

(φ)

(φ)

(φ)

以後，θV φ を θV と書くこともある．ふたつの実数 minM θV と maxM θV は φ ∈ HV に依存しない．開区間を I = (α, β) で定める．ここに
(φ)

(φ)

−∞  α < min θV  max θV < β  +∞.
M

M


(φ)
σ(s) を I 上の実数値 C ∞ 級関数とする．積分 M exp(−σ(θV ))ωφn は φ ∈ HV に依存しないので，σ を次のように正規化してよい．


(φ)
n
exp(−σ(θV ))ωφ =
ωφn .
M

M

定義 2.1. [7] Kähler 計量 ωφ (φ ∈ HV ) が σ-extremal 計量であるとは(φ)

S(φ) − S = 1 − e−σ(θV )
を満たすこと．ここに S(φ) は ωφ のスカラー曲率で，S はその平均 M S(φ)ωφn / M ωφn である．Sは φ ∈ HV に依存しないことに注意せよ．
例 2.2.

(i) V = 0 のとき，σ-extremal 計量はスカラー曲率一定 Kähler 計量である．
(φ)(iii) σ が 1 − e−σ(θV ) = θV を満たすとき，σ-extremal 計量は extremal 計量である．
(φ)

次で定義される σ-満渕汎関数 KVσ : HV → R は適切な意味で凸関数であり，σ-extremal 計量
はその最小点である．


δKVσ (δφ) = −

3

M



(φ)
δφ S(φ) − S − 1 + e−σ(θV ) ωφnfor

δφ ∈ Tφ HV .

Multiplier Hermitian-Einstein 計量（σ-ソリトン）

σ-extremal 計量の定義は満渕 [4] による Multiplier Hermitian-Einstein 計量 (of type σ) から着−1:= ∧n T M が豊富であ想を得たものである．ここでは M を Fano 多様体，すなわち反標準束 KM

24−1
るとし，Ω を第 1Chern 類 2πc1 (X) := 2πc1 (KM) とする．開区間 I 上の関数 σ に次の条件を課す．

(i) σ̇ ≤ 0 ≤ σ̈ または (ii) σ̈ > 0．Kähler ポテンシャル φ ∈ HV に対し，満渕は共形 Kähler 計量
 1

(φ)
ωφ := ωω exp − σ(θV )n
を multiplier Hermite-Einstein 計量 (of type σ) と呼んだ．これは正則接束 T M の Hermite 計量とみなせ，Hermite 接続(φ)∇ := ∇ −∂(σ(θV ))idT M ,nを定める．ここに ∇ は ω に関する自然な接続である. 組み (ωφ , ∇) に関する Ricci 形式 RicσV (ωφ ) は√√(φ)
Ric(ωφ )+ −1∂∂σ(θV ) と等しい．ここに Ric(ωφ ) ∈ 2πc1 (M ) は ωφ の Ricci 形式で − −1∂∂ log ωφnにより定義される.
定義 3.1. [4] 共形 Kähler 計量 ωφ が multiplier Hermitian-Einstein 計量 (of type σ) であるとは，RicσV (ωφ ) = ωφ を満たすこと. このとき ωφ 自身を σ-ソリトンと呼ぶ.
計量 ωφ の Ricci ポテンシャル ρφ ∈ C ∞ (M, R) を次で定義する．
√
Ric(ωφ ) − ωφ = −1∂∂ρφ and(1 − eρφ )ωφn = 0.
X(φ)

このとき ωφ が σ-ソリトンであることは ρφ + σ(θV ) = 0 と同値である．
例 3.2.

(i) V = 0 のとき, σ-soliton ωφ は Kähler-Einstein 計量に他ならない.

(ii) σ(s) = −s + C で C が定数のとき, σ-soliton ωφ は Kähler-Ricci ソリトンである．すなわ
ち，Ric(ωφ ) − ωφ = LV ωφ .
(φ)(iii) σ(s) = − log(s + 1) かつ θV > −1 のとき，σ-soliton ωφ は満渕ソリトンである．すなわち，√(φ)
Ric(ωφ ) − ωφ = −1∂∂ log(θV + 1).
次で定義される σ-Ding 汎関数 DVσ : HV → R は適切な意味で凸関数であり，σ-ソリトンはその最小点である．

δDVσ (δφ) = −

4


δφ e

(φ)

−σ(θV )

−e

ρφ

M



ωφn

for

φ ∈ HV .

主結果(M, Ω) を Kähler 多様体とする．正則自己同型群の単位連結成分を Aut0 (M ) とし，G = Aut0 (M, V )を V の作用と可換な元からなる部分群とする. 滑らかな曲線 [0, 1]  t → c(t) ∈ HV の L1 -長さを1 n0 ( M |ċ(t)|ωc(t) )dt で定める．任意の φ0 , φ1 ∈ HV に対し，d1 -距離 d1 (φ0 , φ1 ) を φ0 と φ1 を結ぶ
滑らかな曲線の L1 -長さの下限として定める. Aubin-満渕汎関数 E : H → R をn1E(φ) =φω0j ∧ ωφn−j
n+1 M
j=0

25

により定め，そのゼロ集合 HV,0 := HV ∩ E −1 (0) を考える．

Kähler ポテンシャル φ ∈ HV,0 と自己同型 g ∈ Aut0 (M ) に対し，新たな Kähler ポテンシャル√
g[φ] ∈ HV,0 を g ∗ ωφ = ω0 + −1∂∂g[φ] により定める．さらに φ, ψ ∈ HV,0 に対し，G-相対な d1 距離を d1,G (φ, ψ) := inf g1 ,g2 ∈G d1 (g1 [φ], g2 [ψ]) と定める．
定義 4.1. HV,0 上の汎関数 F が強圧的（coercive）であるとは，定数 C, D > 0 があり，任意のφ ∈ HV,0 に対し，次の不等式が成り立つことをいう．
F (φ)  Cd1,G (0, φ) − D.
すなわち，凸汎関数が距離関数で下から抑えられている．臨界点の存在が理解できる．
以下，論文 [7] に基づき本研究の主結果を述べる．
定理 4.2. Kähler 多様体 (M, Ω) に対し，HV に σ-extremal 計量が存在するための必要十分条件
は，σ-満渕汎関数 KVσ が強圧的であること．
スカラー曲率一定 Kähler 計量の場合には Chen-Cheng [1] が，extremal 計量の場合には He[3] がこの定理を証明しており，我々の証明法もこれらに依拠している．完備化された距離空間
1 := (HσEV,0V,0 , d1 ) での σ-満渕汎関数 KV の最小点が HV,0 に属するかを，以下の連続法を用いて議論している．
(φ)
t S(φ) − S − 1 + e−σ(θV ) − (1 − t) Λωφ ω0 − n = 0 for t ∈ [0, 1].
この連続法を用いると次のいわゆる測地的安定性との同値性も証明できる．
1 を固定する．H に σ定理 4.3. Kähler 多様体 (M, Ω) に対し，KVh (ψ0 ) < +∞ なる ψ0 ∈ EV,0V

extremal 計量が存在するための必要十分条件は，ψ0 が初期値で速さ 1 の任意の局所有限エネルギー
1 に対し
測地線 ψt : [0, +∞) → EV,0
KVh (ψt ) − KVh (ψ0 )
0
t→+∞
t
lim

が成り立ち，等号成立が，ψt が Lie(G) に属する正則ベクトル場から定まるある測地線 ψ̃t : [0, +∞) →1 と並行になるとき，すなわち sup
EV,0t>0 d1 (ψt , ψ̃t ) < +∞ となるとき．

強圧性は汎関数の定性的性質であるのに対し，測地的安定性では汎関数の測地線に沿った無限遠勾配を計算しており，定量的である．任意の測地線を調べるのではなく，テスト配位という Mの代数的退化から定まる測地線だけ調べれば十分かを問うのが，いわゆる Yau-Tian-Donaldson 予
想の困難のひとつである．
以後，M を Fano 多様体，Ω = 2πc1 (M ) とし，σ-ソリトンの存在性との関係を述べる．
定理 4.4. σ-ソリトンを許容する Fano 多様体 M はその第 1Chern 類 2πc1 (M ) に σ-extremal 計量も許容する．

26すなわち，σ-extremal 計量を導入することで，定理 1.1 を σ-ソリトンの視点から一般化している．証明は，σ-ソリトンの存在性と DVσ の強圧性との同値性および汎関数の不等式 KVσ ≥ DVσ −constからなる．

σ-ソリトンの存在性はよく理解されている．Han-Li [2] は存在性をある代数的安定性で特徴づけ，Yau-Tian-Donaldson 予想はこの場合は正しい．講演者と中川氏（熊本大学）との共同研究 [6]では，KSM 多様体というトーリック束に対し，σ-ソリトンの存在性をトーリック幾何の組み合わせ的条件で記述した．
最後に，例 2.2 の (ii) に書きたい σ-extremal 計量の例を構成して本稿を終える．
例 4.5. M をトーリック Fano 多様体とする．一意的な V0 ∈ X0 (M ) = X(M ) があり，Ric(ω0 )−ω0 =LV0 ω0 なる ω0 ∈ Ω
3.2 (ii) の Kähler-Ricci ソリトンであ = 2πc1 (M ) が存在する．この計量は例
(ω)


θV
n
n
る．定数 C を log M ω / M e 0 ω ，関数 σ(s) を −s − C とし，定理 4.4 を用いると，
S(ω1 ) − S = 1 − 

n
M ω1

Me

(ω )
θV 1
0

θ

(ω1 )

e V0
ω1n

なる σ-extremal 計量 ω1 ∈ Ω = 2πc1 (M ) が存在する．この場合 S = n である．

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[6] Y. Nakagawa and S. Nakamura, Multiplier Hermitian-Einstein metrics on Fano manifolds of KSM-type, Tohoku Math. J. (1) 76 (2024), no. 1. 127–152.
[7] Y. Nakagawa and S. Nakamura, Modiﬁed extremal Kähler metrics and multiplier
Hermitian-Einstein metrics, arXiv:2405.05604.

27

擬 Riemann 空間形内の等径超曲面
笹原 優大 (東京都立大学大学院理学研究科) ∗1 はじめに
1981 年に，野水は [8] で，Lorentz 空間形内の空間的超曲面に対し等径であるという概念を導入した．1984 年に，Hahn は [3] で，野水の定義を拡張し，擬 Riemann 空間形内の非退化超曲面に対して等径であることを定義した：擬 Riemann 空間形内の非退化超曲面が等径であるとは，その主曲率（型作用素の固有値函数）がすべて一定となることである．また，[3] の後半では，擬球面内のOT-FKM 型等径超曲面を構成した．Riemann の場合には，球面内の OT-FKM 型等径超曲面の等質なものと，非等質なものとが完全に決定されている．一方，擬球面内の OT-FKM 型等径超曲面の等質性は決定されていない．

1985 年に，Magid は [7] で，Minkowski 空間 Rn+1
内で，指数 1 の超曲面で，その型作用素の最小1多項式が一定となるものについて調べた．彼はそれらを等径超曲面と呼んだが，これは Hahn の定義
する等径超曲面にもなる．彼は，[9] にある定理から，型作用素と計量との組が 4 個に分類されることを用いて，Magid の定義する等径超曲面を 4 個に分類し，実主曲率のみを持つ 3 個の場合に例を示し，複素主曲率を含む場合には存在しないことを示した．[7] に続いて，1999 年に L. Xiao が [12]で，anti-de Sitter 空間 H1n+1 内で，2012 年に Z.-Q. Li が [6] で，de Sitter 空間 S1n+1 内で，Magidの定義する等径超曲面を調べている．
講演者は，主に 3 つのことを講演する．第一に，擬球面内の OT-FKM 型等径超曲面を構成する上で必要になる Cliﬀord 系の存在を確かめることである．第二に，擬球面内の OT-FKM 型等径超曲面が非等質となるための十分条件を得られたことである．第三に，指数 2 の 4 次元等径超曲面を，

Petrov の分類定理を用いて 13 個に分類し，それぞれの場合に，例が存在することや，あるいは存在しないことを示すことである．本講演では，等径の定義として Hahn の定義するものを採用する．

2 擬 Riemann 空間形とその等径超曲面
A, B を行列とするとき，A の転置を tA と表し，A と B との直和を A ⊕ B で表す．n を自然数とするとき，n 次単位行列を En と表す．i, j を非負整数で，i + j > 0 を満たすものとするとき，

⎧
⎪
⎨ Ej
E(i,j) := −Ei⎪⎩(−Ei ) ⊕ Ej

(i = 0),∈ M (i + j, i + j; R).
(j = 0),(otherwise),と定める．自然数 n を固定する．x, y ∈ Rn と s ∈ {0, 1, . . . , n} とに対し，x, ys := txE(s,n−s) y とn定める．·, ·s は非退化計量となる．Rns := (R , ·, ·s ) を，指数 s の n 次元擬 Euclid 空間という．

 x, xs = 1 ,
Ssn := x ∈ Rn+1s
 x, xs+1 = −1
Hsn := x ∈ Rn+1
s+1
∗ E-mail:sasahara-yuta@ed.tmu.ac.jp, ysasahara0804+res@gmail.com

28

nと定め，それぞれ指数 s の n 次元擬球面，擬双曲空間という．Ssn , Rns , Hs は，それぞれ κ = 1, 0, −1の定曲率を持つ．κ = 1 のとき Nsn (κ) = Ssn ，κ = 0 のとき Nsn (κ) = Rns ，κ = −1 のとき

Nsn (κ) = Hsn と定める．Nsn (κ) を擬 Riemann 空間形という．Nsn (κ) には自然な計量が入り，nLevi-Civita 接続 ∇Ns (κ) がある．なお，Snn 及び H0n は連結成分が 2 個で，その他の擬 Riemann 空
間形は連結である．

s ∈ {0, 1, . . . , n+1} とする．n 次元部分多様体 M ⊂ Nsn+1 (κ) の誘導計量が非退化であるとき，Mを Nsn+1 (κ) の非退化超曲面という．ι : M → Nsn+1 (κ) を包含写像とし，M を連結な非退化超曲面とする．簡単のため，計量はすべて ·, · と表記する．M には単位法ベクトル場 ξ ∈ Γ(ι∗ T Nsn+1 (κ))
が存在すると仮定する．ν := ξ, ξ と定め，δ = κ · ν と定める．δ を M の型という．
ι∗ T Nsn+1 (κ)

X ∈ Γ(T M ) に対し，A(X) := −∇Xξ ∈ Γ(ι∗ T Nsn+1 (κ)) と定める．このとき，A ∈Γ(End(T M )) が成り立つ．A を M の型作用素という．I ∈ Γ(End(T M )) を恒等変換とする．
det (xI − A) = 0 の根を M の主曲率という．M の任意の主曲率が M 上定数函数となるとき，Mは等径 (isoparametric) であるという．等径の定義は，単位法ベクトル場の向きの取り方に依らない．

M ⊂ Nsn+1 (κ) を型が δ の等径超曲面とする．このとき，反等長写像 (anti-isometry) を考える
n+1と，型が δ の等径超曲面 M  ⊂ Nn+1−s(−κ) が得られる．このことから，外側空間として擬球面か

擬 Euclid 空間かを考えればよいことが分かる．

gradN , ΔN を，それぞれ Nsn+1 (κ) の勾配，ラプラシアンとする．函数 f : Nsn+1 (κ) → R が等径であるとは，ある Φ, Ψ : R → R が存在して，gradN (f ), gradN (f ) = Φ ◦ f かつ ΔN (f ) = Ψ ◦ f







となることである．WRN (f ) := c ∈ f (Nsn+1 (κ))  Φ(c) = 0 と定める．このとき，c ∈ WRN (f )における f の等位集合 f −1 (c) ⊂ Nsn+1 (κ) の各連結成分は等径超曲面となる．

3 Cliﬀord 系の存在の確認
l を自然数とし，s ∈ {0, 1, 2, . . . , 2l} とする．
2l
2l
Sym(R2ls ) := {ϕ ∈ End(Rs ) | ∀u, v ∈ Rs , ϕ(u), v = u, ϕ(v)}と定める．一般に，ϕ ∈ Sym(R2ls ) の表現行列は実対称行列ではない．
2l
定義 3.1 ([3]). m を 2 以上の整数とし，r ∈ {0, 1, 2, . . . , m} とする．族 {Pi }mi=1 が Rs 上の符号(m, r) の (拡張された)Cliﬀord 系であるとは，以下の条件を満たすことである：(1) 各 i ∈ {1, . . . , m} に対し，Pi ∈ Sym(R2ls ) となる．
(2) 任意の i, j ∈ {1, . . . , m} に対し，Pi Pj + Pj Pi = 2ηij I となる．但し，(ηij ) := E(r,m−r) ．
r = 0, s = 0 のとき，[2] にある (従来の)Cliﬀord 系に一致する．例えば，
O 3 E3E3 O 3P1 :=, P2 :=−E3 O3O3 −E3(3.1)と定めると，{P1 , P2 } は R63 上の符号 (2, 1) の Cliﬀord 系となる．
従来の Cliﬀord 系は，Cliﬀord 代数の表現との対応があるので，その存在を確かめる必要がない．
拡張された Cliﬀord 系は，そういった対応関係は知られていないので，その存在について確認しなけ
ればならない．

29

命題 3.2 ([10]). 任意の組 (m, r) に対して，ある自然数 l が存在して，R2ll 上の符号 (m, r) の Cliﬀord
系が存在する．
命題 3.2 の証明は，[5] にある線型同型を使うことで，具体的な行列を用いて帰納的に構成するものである．命題 3.2 を得るきっかけは，[1, 3, Appendix A, Theorem A.2] である：
命題 3.3 (Radon, Hurwitz, Eckmann). 各自然数 n に対し，n 番目の Hurwitz-Radon 数を σ(n)σ(n)−1で表す．各自然数 n に対し，n 次直交行列の族 {Ai }i=1が存在して，以下を満たす：任意のi, j ∈ {1, . . . , σ(n) − 1} に対し，Ai Aj + Aj Ai = −2δij En となる．
命題 3.2 では，ニュートラルな空間の上の Cliﬀord 系しか存在を保証していないが，r > 0 ならば

s = l という性質があるので，意味のある命題になっている．

4 OT-FKM 型等径超曲面
2l{Pi }mi=1 を Rs 上の符号 (m, r) の Cliﬀord 系とする．また，Σ := span {Pi | i ∈ {1, . . . , m}} ⊂Sym(R2l , ·, ·s ) と定め，Sym(R2l , ·, ·s ) 上の非退化対称双線型形式を，(Q, Q ) := trace(QQ )/(2l)と定める．このとき，{Pi }m
i=1 は Σ の擬正規直交基底であり，逆に Σ の各擬正規直交基底は Cliﬀord
系となる．函数 H : R2ls → R を，H(x) :=mηjj (Pj x, xs )2j=1と定める．H の定め方は Σ に依り，{Pi } の取り方に依らない．すなわち，Σ の擬正規直交基底の取り2方に依らない．4 次斉次函数 F : R2ls → R を，F (x) = (x, xs ) −2H(x) と定める．f := F |Ss2l−1 と定める．このとき，f は等径となる．c ∈ WRN (f ) = f (Ss2l−1 )\{±1} に対し，Mc := f −1 (c) ⊂ Ss2l−1と定める．Mc の連結成分を，OT-FKM 型等径超曲面という．Mc の型は，c ∈ (−1, 1) ならばδ = 1 · 1 となり，c ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ならば δ = 1 · (−1) となる．
M± := {x ∈ Ss2l−1 | gradN (f ) = 0, f (x) = ±1} ⊂ Ss2l−1と定める．今回は，M+ のみに注目する．

M+ = {x ∈ Ss2l−1 | ∀j ∈ {1, . . . , m}, Pj x, x = 0}が成り立つ．正則値定理より，M+ = ∅ かつ m ≤ 2l − 1 ならば，M+ ⊂ Ss2l−1 は余次元 m の非退化部分多様体となる．M+ を {Mc }c の焦部分多様体という．

M+ と Mc とには関係がある．x ∈ M+ とするとき，Tx⊥ M+ = {P x | P ∈ Σ} が成り立つ．従って，T ⊥ M+ は自明である．そこで，⊥M+ (δ) := {(x, v) | x ∈ M+ , v ∈ Tx⊥ M+ , v, v = δ}と定める．c ∈ (−1, 1) ∪ (1, ∞) ならば，⊥M+ (δ) と Mc とは微分同相となることを示すことができる．c ∈ (−1, 1) の場合 r = m − 1 を，c ∈ (1, ∞) の場合 r = 1 を，仮定することで，⊥M+ (δ) の連
結成分と Mc の連結成分とが，1 対 1 に対応するようになる．

30

さて，連結な部分多様体 L ⊂ Ss2l−1 が等質であるとは，Ss2l−1 の等長変換群 O(s, 2l − s) のある

Lie 部分群 K が存在して，K が L に推移的に作用することである．
2l主定理を述べる．{Pi }mi=1 を Rs 上の符号 (m, r) の Cliﬀord 系で，以下を満たすとする：(A) m ≡ 0 (mod 4).

(B) r ≡ 0 (mod 2).

(C) l > m.

Σ := span{Pi | i ∈ {1, . . . , m}} により生じる {Mc } とその焦部分多様体 M+ を考える．Mc の連結成分が，OT-FKM 型等径超曲面であった．ここでは，c ∈ WRN (f ) ∩ (−1, ∞) を仮定する．

WRN (f ) ∩ (−∞, −1) = ∅ であるかもしれないが，その集合の元 c に対する Mc の連結成分が非等質であるかどうかは調べられていない．M+ の連結成分を議論し，M+ と Mc との関係を使うと，次の補題が得られる．
補題 4.1 ([10]). M+ と Mc との連結成分の個数は一致し，それらは高々 2 個である．

[2] の議論を拡張することにより，次の定理を得ることができた．
定理 4.2 ([10]). M+ の各連結成分は非等質となる．

M+ と Mc との関係を使うことで，次の定理を得，今まで知られていなかった擬球面内の非等質な等径超曲面が得られることを明らかにした．
定理 4.3 ([10]). Mc の各連結成分は非等質となる．
定理 4.3 は，定理 4.2 に加えて，次の命題を証明することで得られる：Mc の連結成分が等質ならば，対応する M+ の連結成分が等質となる．

5 指数 2 の 4 次元等径超曲面
M を 擬 Riemann 空 間 形 内 の 非 退 化 超 曲 面 と す る ．[9] に あ る ([4, 3.10] に も 記 載 さ れ て いる)Petrov の分類定理により，各点毎に型作用素と計量との組は，有限個の場合に分類される．
これを，Petrov 標準形と呼ぶことにする．但し，Petrov の分類定理は線型代数の定理で，各点毎に適用されるものであるから，M を Petrov 標準形に従って分類しようとすると，次の仮定をする必要がある：M は連結で，M の型作用素の Jordan 標準形が M 上一定となる．
指数 1 の非退化超曲面の型作用素の最小多項式が一定であるためには，その型作用素の Jordan 標
準形が一定となることが必要十分である．従って，指数 1 の等径超曲面を，Petrov 標準形に従って分類しようとすると，Magid の定義のように仮定すればよい．一方，指数 2 の等径超曲面で，その型作用素の最小多項式は一定となるが，Jordan 標準形が変化する例を構成することができる．従って，指数 2 の等径超曲面を，Petrov 標準形に従って分類しようとすると，上記の仮定が必要になる．

M を擬 Riemann 空間形内の指数 2 の非退化超曲面とする．Petrov の分類定理により，各点毎にPetrov 標準形は代数的に 19 個得られる．単位法ベクトルを逆向きに取ることで，Petrov 標準形は幾何的に 13 個に削減することができる．M を幾何的に Petrov 標準形に従って分類したものを，Mの指数 2 の Petrov 型と呼ぶことにする．

M を擬 Riemann 空間形内の指数 2 の 4 次元等径超曲面とする．このとき，外側空間として
R52 , R53 , S25 , S35 ，H25 , H35 が考えられるが，反等長写像を考えることにより，外側空間は R52 , S25 , S35 を

31

考えればよい．他方，M の指数 2 の Petrov 型は 11 個考えられる．故に，M の分類として，表 1 のように 3 × 11 = 33 個に場合分けすることができる．

I

II

III

IV

VI

VII-i

VII-ii

IX-i

IX-ii

X

XI

R52 (δ = 0)

×



×

×

(n)

(m)

(l)

(d)

(c)

(b)

(a)

S25 (δ = 1)
S35 (δ = −1)

×


(j)

×

(e)

(k)

(i)
表1

(h)

(g)

(f)

M の分類表 ([11])表 1 にて，文字が書いてある箇所は例が存在することを表し，×,  はそれぞれ非存在，条件付き非存在であることを表す．表 1 にある例は，多くは [3] にある例を使い構成した．特に，(k) は，(3.1)
より構成される等質な OT-FKM 型等径超曲面となる．(l)，(m)，(n) は，[7] にある例を参考にして自ら構成した．表 1 にある非存在の証明は，Gauss-Codazzi の方程式を使い，背理法を用いて示す．

参考文献[1] L. Conlon, Diﬀerentiable manifolds: a ﬁrst course, Birkhäuser Advanced Texts: Basler
Lehrbücher, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1993.
[2] D. Ferus, H. Karcher, and H.-F. Münzner, Cliﬀordalgebren und neue isoparametrische Hyperﬂächen, Math. Z. 177 (1981), 479–502.
[3] J. Hahn, Isoparametric hypersurfaces in the pseudo-Riemannian space forms, Math. Z. 187(1984), 195–208.
[4] 小池 直之, 理論物理に潜む部分多様体幾何 一般相対性理論・ゲージ理論との関わり, 共立出版,
2021.
[5] H. B. Lawson and M.-L. Michelsohn, Spin geometry, Princeton Mathematical Series 38,
Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989.
[6] Z.-Q. Li, Lorentzian isoparametric hypersurfaces in the Lorentzian sphere S1n+1 , Recent
developments in geometry and analysis, Adv. Lect. Math. (ALM) 23, Int. Press, Somerville,
MA, 2012, 267–328.
[7] M. A. Magid, Lorentzian isoparametric hypersurfaces, Paciﬁc J. Math. 118 (1985), 165–197.
[8] K. Nomizu, On isoparametric hypersurfaces in the Lorentzian space forms, Japan. J. Math.
(N.S.) 7 (1981), 217–226.
[9] A. Z. Petrov, Einstein spaces, Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York, 1969, Translated from the Russian by R. F. Kelleher, Translation edited by J. Woodrow.
[10] Y. Sasahara, Inhomogeneity of isoparametric hypersurfaces of OT-FKM type in the pseudosphere, to appear in Tokyo J. Math.
[11] Y. Sasahara, 4-dimensional isoparametric hypersurfaces of index 2 in the pseudoRiemannian space forms, arXiv:2403:11165.
[12] L. Xiao, Lorentzian isoparametric hypersurfaces in H1n+1 , Paciﬁc J. Math. 189 (1999),
377–397.

32

J フローおよび余接フローの収束
村上怜(東北大学)

1 導入
J 方程式は，S.K.Donaldson と X.X.Chen により独立に発見された Kähler 多様体上の偏微分方程式である．S.K.Donaldson は，コンパクト Kähler 多様体上の微分同相写像全体と，その上のある群のハミルトン作用を考え，モーメント写像の零点の方程式として J
方程式を発見した．一方，X.X.Chen は，定スカラー曲率 Kähler 計量に関係する満渕汎函数の明示的公式を与え，その一部分に対応する方程式として J 方程式を発見した．後者の視点は，近年の定スカラー曲率 Kähler 計量の研究において重要な役割を担っている．

Leung-Yau-Zaslow(以下 LYZ) 方程式は，[LYZ01] により，ミラー対称性の文脈で特殊
ラグランジュ部分多様体のミラーとして導入された．[JY17] は，ミラー対称性の設定をなくし，より一般の Kähler 多様体上での LYZ 方程式の研究を始めた．

J 方程式および LYZ 方程式は，可解性がある種の数値的正値性で特徴づけられることが知られている．そこで自然な問題として，この数値的正値性が成り立たない場合，どのような幾何構造が得られるかという問題が考えられる．本講演では，2 次元で数値的半正な場合に，対応するフローの収束先を調べることで，弱い意味での解を与える．

2 J フロー
2.1 J 方程式の（滑らかな）可解性
X を n 次元コンパクト Kähler 多様体として，χ および ω を Kähler 形式とする．
定義 1 (J 方程式). Kähler 形式 χ ∈ [χ]（∂ ∂¯ 補題より χ = χ +√¯ と書ける）に−1∂ ∂φ対して Λχ ω = c を J 方程式と呼ぶ．Λχ は χ によるトレース作用素を表し，c は定数を表す．Kähler 類 [χ] 内の J 方程式を満たす Kähler 形式を J 計量と呼ぶ．
右辺の定数 c は，χ を体積形式として J 方程式を X 上で積分することで，χ と ω のn

コホモロジーから c =



 n
n−1
n
ω
∧
χ
/
χ とあらかじめ定まる．J 計量は，Kähler 類XX[χ] 内の Kähler 計量全体の上で定義される J 汎函数の臨界点として見れる．
定義 2 (J 汎函数). Kähler 形式 χ に対して，Kχ = {ϕ ∈ C ∞ (X) | χ +する．Kχ 上の J 汎函数を


J (0) = 0,

dJ (ϕ)(ψ) =ψ Λχϕ ω − c χnϕ

X

と定める．
そして，J 汎函数の勾配流として J フローが定義される．

33√¯ > 0} と−1∂ ∂ϕ定義 3 (J フロー). 次で定義される分方程式を J フローと呼ぶ：

ϕ̇t = c − Λχt ω,
ϕt |t=0 = ϕ0 ．

ここで ϕ̇t は ϕt の t に関する微分を，χt = χ +√¯ t を表す．
−1∂ ∂ϕJ フローの性質として次が知られている．
(i) J フローは [0, ∞) で解が存在する．
(ii) Kähler 形式 χ ∈ [χ] で，(n − 1, n − 1) 形式として cχn−1 − (n − 1)ω ∧ χn−2 > 0
を満たすものが存在したとする．このとき J フローは J 計量に収束する．



1/xi は Γn := {x ∈ Rn | 任意の i について xi > 0} 上で単調減少なので，J 計量χ ∈ [χ] は，maxk=1,...,n ( i=k 1/λi ) < c を満たす．ここで {λi } は ω −1 · χ の固有値を表す．これは (n − 1, n − 1) 形式として cχn−1 − (n − 1)ω ∧ χn−2 > 0 を満たすことと同値である．すなわち (ii) は J 計量の存在の必要十分条件を与えている．また，同様の操作により，J 計量 χ は，任意の p = 1, . . . , n − 1 に対して (p, p) 形式として cχp − pω ∧ χp−1 > 0を満たすことがわかる．そして J 計量の存在は，この (p, p) 形式を積分した数値の正値性で特徴づけられることが示されている．すなわち，
定理 1 ([Chen21, Song20]). 以下は同値である：(i) J 計量が存在する，(ii) 任意の p = 1, . . . n − 1 と p 次元部分多様体 V に対して，c χp − p ω ∧ χp−1 > 0Vが成り立つ．

2.2 2 次元
2 次元の場合，J 方程式は (cχ − ω)2 = ω 2 と変形でき，複素 Monge-Ampère（以下MA）方程式に変わる．このとき，上の定理 1 は Yau の定理 (Kähler 類での MA 方程式の可解性) と Demailly-Paun [DP04] の Kähler 類の判定法から示される．
本講演の主題は，定理 1 の (ii) が満たされない場合に標準的な解を求めることである．特に定理 1 の (ii) の数値が正より弱く非負の場合を考える．2 次元の場合，この条
件は，コホモロジー類 [cχ − ω] が nef（すなわち Kähler 類全体の閉包に属し）かつ big（nef の状況ではX(cχ − ω)2 > 0 という条件と同値）と言い換えられる．この状況では，[BEGZ10] により，nonpluripolar 積という正カレントに対する積の意味で MA 方程式の解の存在が示されている ([BEGZ10] ではより一般に big なコホモロジー類で示して
いる)．

34

定義 4 (nonpluripolar 積). n 次元 Kähler 多様体 X 上の実閉 (1, 1) 形式 θ と θ-psh 関数√¯ ≥ 0）に対して，
ϕ（すなわちカレントとして θ + −1∂ ∂ϕ√√¯ n  := lim {ϕ>−k} (θ + −1∂ ∂¯ sup{ϕ, −k})n (θ + −1∂ ∂ϕ)k→∞で定める．ここで右辺の積は sup{ϕ, −k} が有界であるため帰納的に部分積分を用いてカレントとして定まる (Bedford-Taylor 積と呼ばれる)．
定理 2 ([BEGZ10]). X を n 次元コンパクト Kähler 多様体とし，θ をコホモロジー類[θ] が nef かつ big であるような実閉 (1, 1) 形式とする．このとき滑らかな体積形式 μ n√¯ n  = μ かつ
で μ(X) =θ を満たすものに対して，θ-psh 関数 ϕ で (θ + −1∂ ∂ϕ)
X

sup ϕ = 0 を満たすものがただ一つ存在する．
次が本講演の主定理である．
定理 3 ([Mur24]). X を 2 次元コンパクト Kähler 多様体，χ と ω を Kähelr 形式として，コホモロジー類 [cχ − ω] は nef かつ big とする．このとき J フロー {ϕt } に対して，

ϕt − sup ϕt は ϕM A に L1 収束する．ここで ϕM A は (cχ − ω +√¯ M A )2  = ω 2 か−1∂ ∂ϕつ sup ϕM A = 0 を満たす (cχ − ω)-psh 関数である．

2.3 証明の概略
証明は 3 つのステップからなる．
ステップ 1 勾配の収束

J フロー {ϕt } に対して， dtd J (ϕt ) → 0 を示す．まず J 汎函数が J フローに沿って凸dであることが計算から分かり，よってある μ が存在して dt
J (ϕt ) → μ となる．また J フ

ローは J 汎函数の勾配流のため μ ≤ 0．一方 [SD20] により cχ − ω が nef かつ big という今の状況では，μ は任意の ε > 0 に対して μ ≥ −ε となることがわかる．したがって

μ = 0．
ステップ 2 粘性劣解

J フロー {ϕt } に対して，ψt = ϕt − sup ϕt とする．ψt は χ-psh 関数の族で sup ψt = 0を満たすため，部分列をとって sup = 0 な χ-psh 関数の L1 収束極限 ψ∞ が存在する．このとき ψ∞ が次の意味で J 方程式の粘性劣解であることを示す．
定義 5 (粘性劣解). 上半連続な χ-psh 関数 ψ が J 方程式の粘性劣解であるとは，任意の点 p ∈ X と p の周りで定義されている C 2 関数で u ≥ f + ψ （f は p の周りでχ=√¯ となり上半連続となるような関数）かつ点 p で等号成立となる u に対し−1∂ ∂fて，Λ√−1∂ ∂u¯ ω ≤ c となることとする．
dステップ 1 と dt
J (ϕt ) = −c − Λχt ω2L2 (χt ) ，および最大値原理で得られる χt の下からの評価より，c − Λχt ωL2 (ω) → 0 が得られる．これと J 方程式の作用素の凸性を用いると，f + ψ∞ の molliﬁcation が J 方程式の（粘性）劣解になることがわかる．これは実35

は ψ∞ が粘性劣解になることと同値になる．
注意 1. ステップ 1 とステップ 2 は一般次元で成り立つ．特に，J フローの部分列弱収束
極限は J 方程式の粘性劣解である．
ステップ 3 弱収束

2 次元の場合の MA 方程式への変換を用いる．これにより J 方程式の粘性劣解は MA 方程式の粘性劣解になる．そして MA 方程式の粘性劣解 ψ∞ は (cχ − ω +√¯ ∞ )2  ≤ ω 2 を満たすことがわかる．一方両者の X 全体の体積は逆の不等式が成−1∂ ∂ψ

り立つ ([BEGZ10]) ため両者は一致する．また，sup = 0 な MA 方程式の解は一意なため，部分列を取らなくても収束する．

3 余接フロー(X, ω) を n 次元コンパクト Kähler 多様体とし，α を実閉 (1, 1) 形式とする．
 √√定義 6. (LYZ 方程式）α ∈ [α] に対し Im e −1θ0 (α + −1ω)n = 0 を LYZ 方程式と呼ぶ．ここで θ0 は定数である．


 
√
√
LYZ 方程式を積分することで，θ0 は X Rm(α + −1ω)n − cot θ0 Im(α + −1ω)n =0（cot θ := 1/ tan θ）という必要条件が出る．また本講演では 0 < θ0 < π を仮定する(supercritical 条件)．この場合，LYZ 方程式の可解性の特徴づけとして次が知られている．
定理 4 ([CLT24, CJY20]). X は射影的もしくは 2 次元とする．θ0 を 0 < θ0 < π かつRm(α +√−1ω)n − cot θ0 Im(α +√−1ω)n = 0Xを満たす定数とする．このとき以下は同値である：(i) LYZ 方程式の解が存在する，(ii) 任意の p = 1, . . . n − 1 と p 次元部分多様体 V に対して，

√
√


Rm(α + −1ω)p − cot θ0 Im(α + −1ω)p > 0Vが成り立つ．

LYZ 方程式は，θω (α) =i arccot λi = θ0 という方程式に変形できる．ここで，{λi }は α · ω −1 の固有値である．Fu-Yau-Zhang [FYZ21] は次のフローを導入した．
定義 7 (余接フロー). 次で定義される方程式を余接フローと呼ぶ：

ϕ̇t = cot θω (αt ) − cot θ0 ,ϕt |t=0 = ϕ0 ．

36

ここで ϕ̇t は ϕt の t に関する微分を，αt = α +√¯ t を表す．
−1∂ ∂ϕ[FYZ21] では，初期値 α0 が 0 < θω (α0 ) < π を満たすとき，余接フローは [0, ∞) で存在することを示している．また，余接フローは，LYZ 方程式の解を臨界点とするある汎函数の勾配流になっている．2 次元の場合，LYZ 方程式は (α − cot θ0 ω)2 = (cot2 θ0 + 1)ω 2と変形でき，MA 方程式になる．2.3 節の証明と同様の手法で余接フローに対しても以下が得られる：
定理 5 ([Mur24]). (X, ω) を 2 次元コンパクト Kähler 多様体，α を実閉 (1, 1) 形式として，0 < θ0 < π かつ [α − cot θ0 ω] は nef かつ big とする．余接フローの初期値 α0 が

0 < θω (α0 ) < π を満たすとき，余接フロー {ϕt } に対して，ϕt − sup ϕt は ϕM A に L1 収束√¯ M A )2  = (cot2 θ0 + 1)ω 2 かつ sup ϕM A = 0
する．ここで ϕM A は (α − cot θ0 ω + −1∂ ∂ϕを満たす (α − cot θ0 ω)-psh 関数である．

参考文献[BEGZ10] S. Boucksom, P. Eyssidieux, V. Guedj, and A. Zeriahi, Monge-Ampère equations
in big cohomology classes, Acta Math. 205 (2010), no. 2, 199–262.
[Chen21] G. Chen, The J-equation and the supercritical deformed Hermitian-Yang-Mills
equation, Invent. Math. 225 (2021), no. 2, 529–602.
[CLT24] J. Chu, M.-C. Lee, and R. Takahashi, A Nakai-Moishezon type criterion for supercritical deformed Hermitian-Yang-Mills equation, J. Diﬀerential Geom. 126 (2024), no.
2, 583–632.
[CJY20] T.C. Collins, A. Jacob, and S.-T. Yau, (1, 1) forms with speciﬁed Lagrangian phase:a priori estimates and algebraic obstructions, Camb. J. Math. 8 (2020), no. 2, 407–452.
[DP04] J.-P. Demailly and M. Paun, Numerical characterization of the Kähler cone of acompact Kähler manifold, Ann. of Math. (2) 159 (2004), no. 3, 1247–1274.
[FYZ21] J. Fu, S.-T. Yau, and D. Zhang, A deformed Hermitian Yang-Mills ﬂow, preprint,
available at arXiv:2105.13576v4.
[JY17] A. Jacob and S.-T. Yau, A special Lagrangian type equation for holomorphic line
bundles, Math. Ann. 369 (2017), no. 1-2, 869–898.
[LYZ01] N. C. Leung, S.-T. Yau, and E. Zaslow, From special Lagrangian to Hermitian-YangMills via Fourier-Mukai transform, Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles
and Lagrangian Submanifolds (Cambridge, MA, 1999), 209–225, AMS/IP Stud. Adv.
Math., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.
[Mur24] R. Murakami, Weak limits of the J-ﬂow and deformed Hermitian Yang-Mills ﬂow:
boundary cases, preprint, available at arXiv:2404.00501v1.
[SD20] Z. Sjöström Dyrefelt, Optimal lower bounds for Donaldson’s J-functional, Adv. Math.
374 (2020), 107271, 37 pp.
[Song20] J. Song, Nakai-Moishezon criterions for complex Hessian equations, preprint, available at arXiv:2012.07956:v1.

37

Symplectic structures on almost abelian Lie algebras
Luis Pedro Castellanos Moscoso
Hiroshima University, 1 Chome-3-2 Kagamiyama, Higashihiroshima, Hiroshima
739-0046.
e-mail : luis90@hiroshima-u.ac.jp

Abstract. We are interested in the classiﬁcation or ﬁnding conditions for the existence of leftinvariant symplectic structures on Lie groups. In this paper, we study this problem for the case ofalmost abelian Lie algebras, which are Lie algebras that contain a codimension 1 abelian subalgebra. We show that, for this case, the problem is reduced to studying a certain matrix congruence
relation. We obtain a classiﬁcation of symplectic structures for all almost abelian Lie algebras andstate necessary and suﬃcient conditions for the existence of such structures.

1

Introduction

In this section, we recall some basic notions on left-invariant symplectic forms
on Lie groups. Then, we present some of the basic facts about almost abelian Liealgebras.
1.1

Left-invariant symplectic 2-forms

Let G be a simply connected Lie group with dimension 2n and g its corresponding Lie algebra. We are interested in the space of left-invariant symplectic forms on
G:


2
T ∗ G | ω n = 0, left-invariant, dω = 0 .
ω(·,·) ∈This is a subset of the set of all nondegenerate left-invariant 2-forms, denoted by


2
∗
n
Ω (G) := ω(·,·) ∈T G | ω = 0, left-invariant .
It is well known that the space Ω (G) can be identiﬁed with the space of nondegenerate 2-forms on g, denoted by2Ω(g) := ω (·,·) ∈g∗ | ω n = 0 .
We are interested in left-invariant symplectic structures, so we consider the subset
of closed 2 forms:
Ω(g) ⊃ Ωc (g) := {ω ∈ Ω(g) | dω = 0}.
There is a natural equivalence relation in these sets.

38

Deﬁnition. Let ω1 , ω2 ∈ Ω(g). Then, (g, ω1 ) and (g, ω2 ) are said to be equivalent
up to automorphism and scale if there exist φ ∈ Aut(g) and a constant c = 0 suchthat c · (φ)∗ ω1 = ω2 .
We have the corresponding equivalence classes
Ω(g)/“up to symplectomorphism and scale”∪
Ω (g)/“up to symplectomorphism and scale”.
c

1.2

The moduli space

In this section, we deﬁne the moduli space of left-invariant nondegenerate 2forms on a Lie group. From the theory of homogeneous spaces we also have theidentiﬁcation
Ω(g) ∼= GL(2n, R)/Spn (R).
2n∼Here we identify g = R , and then the general linear group GL(2n, R) acts transitively on Ω (g) byg.ω(·,·) = ω(g −1 (·),g −1 (·)) ∀g ∈ GL(2n, R).
Here Spn (R) denotes the symplectic group.
Deﬁne the set R× := R \ 0. Then we can consider the set
R× Aut(g) := φ ∈ GL(2n, R) | φ ∈ Aut(g), c ∈ R× ,which is a subgroup of GL(2n, R). Hence, it naturally acts on Ω (g). We can thenconsider the orbit space of this action.
Deﬁnition. The orbit space of the action of R× Aut(g) on Ω (g) will be called themoduli space of left-invariant nondegenerate 2-forms and will be denoted byPΩ(g) := R× Aut(g) \ Ω(g) := R× Aut(g).ω | ω ∈ Ω(g) .
Similarly, we deﬁne the setPΩc (g) := R× Aut(g) \ Ωc (g) := R× Aut(g).ω | ω ∈ Ωc (g) .
One can easily see that, if ω1 , ω2 ∈ Ω(g) are in the same R× Aut(g)-orbit, then they
are equivalent up to automorphism and scale. Therefore, there is a surjection fromthe moduli space PΩ(g) onto the quotient space. We have the following diagram
PΩ(g)



Ω(g)/

∪
PΩc (g)“up to symplecto-

morphism and scale”∪
Ωc (g)/

“up to symplecto-

morphism and scale”

39

1.3

Almost abelian Lie algebras
Here we deﬁne a special type of Lie algebras.

Deﬁnition. A non-abelian Lie algebra g is called almost abelian if it contains a
codimension 1 abelian subalgebra.
The following facts about almost abelian Lie algebras can be found in [3].
Proposition 1.1. An almost abelian Lie algebra g has a codimension 1 abelian
ideal L, and is therefore isomorphic to the semidirect productg = Re1  L.
The Lie algebra structure of an almost abelian Lie algebra g = Re1  L iscompletely determined by ade1 :[e1 , v] = ade1 v, v ∈ L.
Therefore, any pair (V, T ), where V is vector space and T a nonzero linear map
determines an almost abelian Lie algebra g and vice versa, but diﬀerent maps canyield isomorphic Lie algebras.
Deﬁnition. Two pairs (V1 , T1 ) and (V2 , T2 ) are said to be similar if there exists aninvertible map φ such that φT1 φ−1 = T2 . In this case we write (V1 , T1 ) ∼ (V2 , T2 ).
Isomorphism classes of almost abelian Lie algebras correspond to the similarity
classes of linear operators on vector spaces up to scaling.
Theorem 1.2. Two almost abelian Lie algebras g = Re1  L and g = Re1  Lare isomorphic if and only if (L, ade1 ) ∼ (L , λade1 ) for some constant λ = 0.
This theorem allows us to consider, without loss of generality, only almost
abelian Lie algebras g such that the map ade1 is given in Jordan Normal form.
2

A matrix problem
Consider the following matrix problem.

Let JN ∈ M (N × N, R), N odd, be a matrix in real Jordan normal form. Deﬁnethe following two sets:
TJN := {A ∈ GL(N, R) | AJN − JN A = 0} ,
 CJ + J t C = 0,NN
HJN := C ∈ Skew(N × N, R) 
 Rank(C) = N − 1.

40

We want to study the following quotient space:
HJN /“congruence over TJN ”.

(2.1)

The next proposition gives us canonical representatives for this quotient space.
Proposition 2.1 (Canonical representatives). Let C ∈ HJN . There exist S ∈ TJN
and a permutation matrix P such that¯
S t CS = P t JP.
The matrix J¯ being deﬁned by
⎛
⎛
⎝

0

I N +1−I N +1

0

2

2

3

⎜
⎜
⎜
⎠=⎜
⎜
⎜ −1
⎝
⎞

⎞
1
J¯

⎟
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎟
⎠

Main results

The next proposition states the connection between the previous matrix problem
and the study of symplectic structures on almost abelian Lie algebras.
Proposition 3.1. Let g = Re1  L be a 2n-dimensional almost abelian Lie algebrawith ade1 = JN , then
HJN /“congruence over TJN ”  PΩc (g)Therefore, to study symplectic forms on almost abelian Lie algebras we need to
study the quotient space 2.1. For example, if for a given almost abelian Lie algebra
g there is only one equivalence class in the corresponding quotient space, then there
is only one element in the moduli space and therefore only one symplectic form on
g. If the number of equivalence classes is ﬁnite, then we get an upper limit in thenumber of possible symplectic forms.
Proposition 2.1 and Proposition 3.1 combine to gives us our main result: a classiﬁcation of symplectic forms on all almost abelian Lie algebras and conditions forthe existence of such structures. There have been some recent result for some special cases (see [1],[2]) . Before stating the main result lets introduce some notation.
For a matrix A, let NA (m, λ) denote be number of Jordan blocks of size m witheigenvalue λ ∈ C of the corresponding Jordan normal form of A.
Theorem 3.2. Let g = Re1  L be an almost abelian Lie algebra.

41

1. There exists a symplectic form ω if and only if the following conditions hold(a) Nade1 (m, λ) = 0 (mod 2) for all λ ∈ iR, m ∈ N+ .
(b) Nade1 (m, λ) = Nade1 (m, −λ) for all λ ∈ C \ (R ∪ iR), m ∈ N+ .
(c) One of the following:i. Nade1 (m, λ) = Nade1 (m, −λ) for all λ ∈ R \ {0}, m ∈ N+ and there
exists only one l ∈ N+ such that Nade1 (l, 0) is odd.
ii. Nade1 (m, 0) is even for all odd m ∈ N+ . One of the following:
A. There exists a unique α ∈ R \ {0} such that Nade1 (1, α) −Nade1 (1, α) = 1.

Nade1 (m, λ) = Nade1 (m, −λ) for all λ ∈R \ {α, 0}, m ∈ N .
+B. There exist a unique l ∈ N+ and a unique α ∈ R \ {0} such that
Nade1 (l, α) − Nade1 (l, −α) = 1 and Nade1 (l + 1, −α) − Nade1 (l +1, α) = 1. Nade1 (m, λ) = Nade1 (m, −λ) whenever λ ∈ R \ {α, 0}or m ∈ N+ \ {l}.
2. If ade1 is given in Jordan normal form and ω is a symplectic form, then there
exist a permutation P such that ω ∼= P.ω0 . ω0 is the canonical symplectic
form in the chosen basis.

References[1] Giovanni Bazzoni, Marco Freibert, Adela Latorre, and Nicoletta Tardini, Complex symplectic
Lie algebras with large Abelian subalgebras, Linear Algebra Appl. 677 (2023), 254–305, DOI
10.1016/j.laa.2023.08.006. MR4634959[2] Luis Pedro Castellanos Moscoso, Left-invariant symplectic structures on diagonal almost
abelian Lie groups, Hiroshima Math. J. 52 (2022), no. 3, 357–378, DOI 10.32917/h2021055.
MR4515688[3] Zhirayr Avetisyan, The structure of almost Abelian Lie algebras, Internat. J. Math. 33 (2022),
no. 8, Paper No. 2250057, 26, DOI 10.1142/S0129167X22500574. MR4462443

42

Gromov ͷूதҐ૬ͱϐϥϛουͷऩଋཧ࿦ͷཧղʹ޲͚ͯࡾੴ ࢙ਓ (෱Ԭେֶ)1. ংLévy ʹΑΔ (‫ٿ‬໘ͷ࣍‫ؔ͢ʹݩ‬Δྻͷ) ଌ౓ͷूத‫ݱ‬৅ͱ͍͏ൃ‫ݟ‬Λ‫ʹػܖ‬, ͦͷ༷ͳৼΔ෣͍Λۭ࣋ͭؒͷྻ͸ Lévy ଒ͱ໊෇͚ΒΕ, Gromov, Ledoux, Milman, Pestov ΒʹΑͬͯ‫ڀݚ‬ɾԠ༻͞Εͨ. ఔͳͯ͘͠, Gromov ͸൴ͷຊ [8] ʹ͓͍ͯ, Lévy ଒ΛʮҰ఺ۭؒ΁ͷऩଋʯͱ‫ݟ‬၏ͤΔ༷ͳ, ۭؒશମ্ͷऩଋ֓೦Λఏএͨ͠. ͜ͷऩଋΛఆΊΔҐ૬ΛूதҐ૬ͱ‫Ϳݺ‬. ूதҐ૬͸ધ໺ɾԘ୩ [7] ʹΑͬͯϦʔϚϯ‫ز‬Կ΁Ԡ༻͞Εͨ. ͦͷਐల [21] ΋͋Δ.
ूதҐ૬Λಋೖͨ͠ͷͱಉ࣌ʹ Gromov ͸, ۭؒྻͷ͋ΔछͷࣹӨ‫ݶۃ‬తର৅Λఆٛ͠,ͦΕΛϐϥϛου (pyramid) ͱ໊෇͚ͨ. ଌ౓ͷूத‫ݱ‬৅Λ‫֓ͭ࣋ʹܕݪ‬೦Ώ͑ʹ, ϐϥϛου͸ແ‫ݩ࣍ݶ‬ͷର৅Λ‫ࣜܗ‬తʹѻ͏ͷʹ༏Ε͓ͯΓ, ແ‫͋( ۭؒݩ࣍ݶ‬Δ͍͸ద౰ͳҙຯͰͦΕΛۙࣅ͢Δߴ࣍‫ۭؒݩ‬ͷ‫ڍ‬ಈ) ͷ‫ʹڀݚ‬໾ཱͭͱ‫ظ‬଴͞Ε͍ͯΔ. ͨͩ, ϐϥϛου͸ఆٛ͞Εͨ΋ͷͷ, ຊ [8] ͷ಺༰Ҏ্ͷ‫ڀݚ‬͸౰࣌ͳ͞Εͳ͔ͬͨ. ͠͹Βͯ͘͠, Ԙ୩ [23] ͸,‫཭ڑ‬ͷεέʔϦϯάࠐΈͰ‫ٿ‬໘ྻͷ࣍‫ݩ‬Λൃࢄͤͨ͞ͱ͖ͷৼΔ෣͍Λ, ϐϥϛουͷൣᙝͰ‫׬‬શʹ‫ه‬ड़ͨ͠. ͦͷ‫ޙ‬ͷؔ࿈͢Δ‫ڀݚ‬͸ [25], [14] ͕͋Δ.
͔͠͠ͳ͕Β, ·ͩ·ͩूதҐ૬΍ϐϥϛουͷ‫ڀݚ‬͸ൃల్্Ͱ͋Γ, ࠓ‫ޙ‬ͷਐలΛ๬ΜͰ͍Δ. ຊߘͰ͸ઌߦ‫ڀݚ‬Λ౿·͑ͳ͕Β, ࠷ۙͷզʑͷ‫ڀݚ‬੒Ռ΍ࠓ‫ޙ‬ͷల๬Λ঺հ͢
Δ. §3 ʹ‫͞ࡌه‬Εͨఆཧ‫܈‬͸, େ෼େֶͷߐ࡚ࢯͱ‫۝‬भେֶͷ਺઒ࢯͱͷ‫ڞ‬ಉ‫ͮ͘جʹڀݚ‬.
2. ఆٛ΍ઌߦ‫Ͳͳڀݚ‬‫׬‬උՄ෼‫( ۭؒ཭ڑ‬X, d) ͱͦͷ্ͷ Borel ଌ౓ m ͷ૊ (X, d, m) Λଌ౓‫( ۭؒ཭ڑ‬metricmeasure space) ͱ‫͍ݴ‬, mm ۭؒͱུ͢. ຊߘͰओʹѻ͏ͷ͸, m ͕֬཰ଌ౓ͷ৔߹Ͱ, ͜ͷͱ͖ pm ۭؒͱ‫Ϳݺ‬.*1) Ҏ‫ޙ‬, Α͋͘Δུ‫ ه‬X = (X, d, m) = (X, dX , mX ) Λ༻͍Δ.
g
Example 2.1. ‫׬‬උϦʔϚϯଟ༷ମ (M, g) ͷମੵ͕༗‫͋Ͱݶ‬Ε͹, (M, dg , volvol) ͸ pm ۭؒg (M )
Ͱ͋Δ. ͜͜Ͱ
 , dg ͸ϦʔϚϯ‫Ͱ཭ڑ‬, volg ͸ϦʔϚϯମੵଌ౓Ͱ͋Δ. ΋ͬͱҰൠʹ, Մଌؔ਺ f ≥ 0 Ͱ, M f dvolg = 1 ͱͳΔ΋ͷΛ༩͑ͨͱ͖, ॏΈ෇͖ϦʔϚϯଟ༷ମ (M, dg , f volg )͸ pm ۭؒͰ͋Δ. f > 0 ͔ͭ f ͕‫׈‬Β͔ͳͱ͖, ͜ΕΛ smooth pm ۭؒͱ‫Ϳݺ‬.
͕࣍య‫͋Ͱྫܕ‬Δ. σ > 0 ʹର͠, Rn ্ͷ෼ࢄ σ 2 ͷඪ४Ψ΢εଌ౓͸
n



1
x22
n
γσ2 (dx) = √exp − 2 dx
2σ
2πσ 2

Ͱ͋Δ. ͜ͷͱ͖,Γnσ2 := (Rn ,  · 2 , γσn2 )͸ smooth pm ۭؒͰ͋Γ, ͜ΕΛ෼ࢄ σ 2 ͷ n ࣍‫ݩ‬Ψ΢εۭؒͱ‫Ϳݺ‬. ͜͜Ͱ,  · 2 ͸ 2 ϊϧϜͰ͋Δ. ͜Ε͸ద౰ͳҙຯͰ n ॏ௚ੵ Γnσ2 = (Γ1σ2 )⊗2 n ͷߏ଄Λ͍࣋ͬͯΔ (‫ޙ‬ड़).
·ͨ, ༗‫ʹ߹ूݶ‬ద౰ʹ‫ͱ཭ڑ‬ΞτϜΛৼΓ෼͚Ε͹ pm ۭؒʹͳΔ.
ೋͭͷ mm ۭؒ X = (X, dX , mX ) ͱ Y = (Y, dY , mY ) ͕ mm ಉ‫͋Ͱܕ‬Δͱ͸, ౳௕ຒΊࠐΈ f : supp mX → Y ͕ଘࡏͯ͠, f# mX = mY ͕੒Γཱͭͱ͖Λ͍͏. ͜͜Ͱ,supp mX ͸ mX ͷαϙʔτͰ͋Γ, f# mX ͸ mX ͷ f ʹΑΔԡ͠ग़͠ଌ౓Ͱ͋Δ (ͭ·Γ,f# mX (A) = mX (f −1 A) for A ⊂ Y Ͱ͋Δ). ·ͨ͜ͷͱ͖, f Λ mm ಉ‫Ϳݺͱ૾ࣸܕ‬. X ͸͍ͭͰ΋ (supp mX , dX , mX ) ʹ mm ಉ‫͋Ͱܕ‬Δࣄʹ஫ҙ͢Δ.
*1) pm ۭؒͱ͍͏‫ݺ‬শ͸ Gromov [9] ʹґΔ͕, Կͷུশ͔ෆ໌Ͱ͋Δ.

metric space ͩΖ͏͔.

43͓ͦΒ͘ probability measured‫߸ه‬. pm ۭؒͷ mm ಉ‫ྨܕ‬શମͷू߹Λ X ͱॻ͘. ͜Ε͸͔֬ʹू߹ʹͳΔ. Ҏ‫ޙ‬, X ͷ‫ݩ‬Λ୯ʹ pm ۭؒͱ‫͕͋ࣄͿݺ‬Δ. Ұ఺͔ΒͳΔ pm ۭؒ (ͷ mm ಉ‫ )ྨܕ‬Λ ∗ ͱॻ͘.

Gromov ͸ϞδϡϥΠ X ͷ্ʹద౰ͳ‫਺ؔ཭ڑ‬Λఆٛ͠, ͦΕʹΑͬͯऩଋ֓೦Λಋೖͨ͠ (Deﬁnitions 2.3, 2.4 and Theorem 2.15).
‫߸ه‬. ‫ ۭؒ཭ڑ‬Z = (Z, dZ ) ʹର͠, Lip(Z) Λ Z ্ͷ࣮਺஋Ϧϓγοπؔ਺શମͷू߹ͱ͢
Δ. ·ͨ, Lip(Z) ⊃ Lip1 (Z) Λ 1 Ϧϓγοπؔ਺શମͱ͠, Lip(Z) ⊃ Lipb (Z) Λ༗քϦϓγοπؔ਺શମͱ͢Δ. ఆ਺ r > 0 ʹର͠, rZ = (Z, rdZ ) ͱఆΊΔ. mm ۭؒ X = (X, d, m) ʹରͯ͠͸, rX = (X, rd, m) Ͱ͋Γ, ‫཭ڑ‬ͷΈΛεέʔϦϯά͍ͯ͠Δࣄʹ஫ҙ͢Δ.

2.1. Φϒβʔόϒϧ௚‫ܘ‬. Gromov ͕ಋೖͨ͠ pm ۭؒͷෆมྔͷ͏ͪ, Α͘‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔ΋ͷͷҰͭΛ঺հ͢Δ.
Deﬁnition 2.2 ([8]). X Λ pm ۭؒͱ͠, κ ∈ (0, 1) ͱ͢Δ. Մଌؔ਺ (ͭ·Γ֬཰ม਺)f : X → R ʹର͠,diam(f# mX ; 1 − κ) := inf{diam A | A ⊂ R with f# mX (A) ≥ 1 − κ}ͱ͠,ObsDiam(X; −κ) :=supf ∈Lip1 (X)diam(f# mX ; 1 − κ)ͱఆΊΔ.

(1 Ϧϓγοπͳ) ֬཰ม਺ f Λ͠͹͠͹Φϒβʔόϒϧͱ‫Ϳݺ‬. ·ͨ, Ψ΢εۭؒͷ৔߹,࣍‫ʹݩ‬ґΒͣ


1−κ
n
−1
ObsDiam(Γσ2 ; −κ) = 2σI21
ͱͳΔࣄ͕஌ΒΕ͍ͯΔ. ͜͜Ͱ, I(t) = γ12 ([0, t]) Ͱ͋Δ. ͜ͷ౳ࣜͷ੒ཱ͸Ψ΢εۭؒͷ౳प໰୊ͱؔ܎͢Δ. Φϒβʔόϒϧ௚‫ࣔ໌͕ܘ‬తʹܾఆ͞ΕΔྫ͸ඇৗʹ௝͍͠.
2.2. ूதҐ૬. ·ͣ, ͻͱͭͷ४උతͳఆٛΛ༩͑Δ.
Deﬁnition 2.3. Xn , X Λ pm ۭؒͱ͢Δ (n ∈ Z>0 ). ͜ͷͱ͖, {Xn } ͕ X ʹϘοΫεऩଋ͢Δͱ͸, ͋Δ‫׬‬උՄ෼‫ ۭؒ཭ڑ‬Z ͱ౳௕ຒΊࠐΈ ϕn : Xn → Z ͱ ϕ : X → Z ͕ଘࡏ͠,{ϕn# mXn } ͕ ϕ# mX ʹऑऩଋ͢Δͱ͖Λ͍͏.
͜Ε͸਺઒ [10] ʹΑΔఆࣜԽͰ͋Δ. ࣮ࡍʹ͸, Gromov ͸ϘοΫε‫ݺͱ  ཭ڑ‬͹ΕΔ‫ڑ‬཭ؔ਺Λ X ্ʹఆٛ͠, ͦͷҐ૬ (ϘοΫεҐ૬) ʹؔ͢Δऩଋ͕, ্ͷఆٛͱಉ஋ʹͳΔ.
X Λ pm ۭؒͱͨ͠ͱ͖, Մଌࣸ૾ α : [0, 1] → X Ͱ, α# L1 = mX Λຬͨ͢΋ͷ͕͍ͭͰ΋ଘࡏ͢Δࣄ͕஌ΒΕ͍ͯΔ. ͜ͷ༷ͳ α Λ X ͷύϥϝʔλʔͱ͍͏. ͜͜Ͱ, L1 ͸ [0, 1]
্ͷ 1 ࣍‫ݩ‬ϧϕʔάଌ౓Ͱ͋Δ.

Deﬁnition 2.4. X, Y Λ pm ۭؒͱ͠, ε ≥ 0 ͱ͢Δ. α : [0, 1] → X ͱ β : [0, 1] → Y ΛͦΕͧΕύϥϝʔλʔͱ͠, ࣍ͷ৚݅Λศٓతʹఆ͓ٛͯ͘͠:⎧⎨ ∀f ∈ Lip1 (X), ∃g ∈ Lip1 (Y ) s.t.

def
Φα,β
(ε)
⇐⇒
1
X,Y
⎩ L t ∈ [0, 1] ; |f ◦ α(t) − g ◦ β(t)| > ε ≤ ε
def

α,β
β,α
ߋʹ, ͜ΕΛରশԽͨ͠৚݅ Ψα,βX,Y (ε) ⇐⇒ ΦX,Y (ε) and ΦY,X (ε) Λߟ͑,
dconc (X, Y ) := inf ε > 0 ∃α, β parameters of X, Y resp. s.t.Ψα,βX,Y (ε)ͱఆٛ͠, Φϒβʔόϒϧ‫͏͍ͱ཭ڑ‬.
Φϒβʔόϒϧ‫཭ڑ‬ͷҐ૬ΛूதҐ૬ͱ‫͍ݴ‬, ूதҐ૬ʹΑΔۭؒྻͷऩଋΛूதͱ‫͏ݴ‬.

44ఆٛ௨ΓͰ͋Δ͕ dconc (X, Y ) ͕খ͍͞ͱ͸, ύϥϝʔλʔΛ௨ͯ͡, X ͱ Y ͷΦϒβʔόϒϧ͕ଌ౓ͷҙຯͰҰ༷ʹ͍ۙͱ͍͏ঢ়‫گ‬Λද͍ͯ͠Δ.
‫཭ڑ‬ͷൺֱ dconc ≤  ͕ৗʹ੒Γཱͪ, ಛʹϘοΫεऩଋ͸ूதΛಋ͘, ͭ·Γ, ूதҐ૬͸ϘοΫεҐ૬ΑΓऑ͍. ࣮ࡍ͸, ͜ΕΒͷҐ૬͸ҟͳΔࣄ͕஌ΒΕ͍ͯΔ ([5]).

Remark 2.5.  ͱ dconc ͸ [16] ʹΑͬͯ (ύϥϝʔλʔΛ༻͍ͣ) optimal coupling ͷ‫ݴ‬༿Ͱಛ௃෇͚ΒΕ͓ͯΓ, ͜ΕʹΑΓ৭ʑͳٞ࿦͕؆୯ʹͳΔ. ·ͨ, (X , ) ͱ (X , dconc ) ͷ‫ڑ‬཭ۭؒ͋Δ͍͸Ґ૬ۭؒͱͯ͠ͷ‫[ ͕ڀݚ‬12], [13] ʹΑͬͯల։͞Ε͍ͯΔ.
࣍͸ूதҐ૬ͷఆٛͷ‫ ͨͬͳͱܕݪ‬Lévy ͷଌ౓ूதʹؔ͢Δ݁ՌͰ͋Δ͕, ຊߘͷ໨తͷҝʹओுΛগ͠มߋ͍ͯ͠Δ (Lévy ࣗ਎͸΋ͬͱผͷจ຺ͰఆྔతͳධՁΛಘ͍ͯΔ).

Theorem 2.6 ([15]). S n (1) Λ n ࣍‫ݩ‬୯Ґ‫ٿ‬໘ͱ͠, ͦͷ্ͷҰ༷ଌ౓ͱඪ४తͳϦʔϚϯ‫཭ڑ‬Λඋ͑ͨ pm ۭؒͱ‫ݟ‬၏͢. ͜ͷͱ͖, {S n (1)}n ͸Ұ఺͔ΒͳΔ pm ۭؒ ∗ ʹूத͢Δ.
Ұํ, ધ໺ [5] ʹΑͬͯ, {S n (1)} ͸ϘοΫεऩଋ͢Δ෦෼ྻΛ࣋ͨͳ͍ࣄ͕஌ΒΕ͍ͯΔ.

Deﬁnition 2.7. pm ۭؒͷྻ {Xn }n≥1 ͕ Lévy ଒ͱ͸, {Xn } ͕ ∗ ʹूத͢Δͱ͖Λ͍͏.
ूதҐ૬ʹؔ͢Δ‫ج‬ຊ໰୊͸ Lévy ଒ͷ༷ͳಛ௃తͳूத΍, ͦͷεέʔϧ‫ݶۃ‬Λ࿦͡Δ
ࣄͰ͋Δ͕, গ͠·ͩ༻‫ޠ‬Λ४උ͍ͨ͠.

2.3. Ϧϓγοπॱংͱϐϥϛου. ϐϥϛουͷఆٛΛ༩͑ΔલʹҰͭͷؔ܎Λಋೖ͢Δ.
Deﬁnition 2.8. X, Y Λ pm ۭؒͱ͢Δ. X ͕ Y Λࢧ഑͢Δͱ͸, 1 Ϧϓγοπࣸ૾ f :supp mX → Y Ͱ, f# mX = mY Λຬ଍͢Δ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δͱ͖Λ͍͏. ͜ͷͱ͖, X  Y ͋Δ͍͸ Y ≺ X ͱॻ͖, f Λࢧ഑ࣸ૾ (domination) ͱ‫Ϳݺ‬.
൓ࣹ཯ X ≺ X ͱਪҠ཯ X ≺ Y ≺ Z ⇒ X ≺ Z ͸໌Β͔Ͱ͋Δ. ൓ରশ཯͸࣍ͷҙຯͰ੒Γཱͭ: X ≺ Y ≺ X ͳΒ͹ X ͱ Y ͸ mm ಉ‫ܕ‬. ैͬͯ, ≺ ͸ X ্ͷॱংؔ܎Λ༩͑Δ.

Deﬁnition 2.9. P ⊂ X ͕ϐϥϛου (pyramid) ͱ͸, ࣍ͷࡾ৚݅Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏.
(1) P ͕ϘοΫεҐ૬ʹؔͯ͠ด.
(2) X ≺ Y ∈ P ͳΒ͹ X ∈ P . (P ͸ ≺ ʹؔͯ͠Լʹด).
(3) ∅ = P ͔ͭ೚ҙͷ X, Y ∈ P ʹର͠, X ≺ Z ͔ͭ Y ≺ Z Λຬͨ͢ Z ∈ P ͕ଘࡏ͢Δ.
(P ͸ ≺ ʹؔͯ͠༗޲‫)ܥ‬.
ϐϥϛουશମͷू߹Λ Π ͱද͢.

Remark 2.10. Deﬁnition 2.9 ͷ৚݅ (3) ͷԼͰ, P ͕ (1) Λຬͨ͢ࣄͱ, P ͕ूதҐ૬Ͱด
Ͱ͋Δࣄ͸ಉ஋Ͱ͋Δ. ·ͨ, ৚݅ (1) ͸, ΦϦδφϧͷఆٛ [8] ʹ͸‫ݱ‬Εͣ, [22] Ͱ௥Ճ͞Εͨ. ͜ΕΛ՝͢ࣄͰ, ‫ޙ‬ड़͢Δ Π ͷҐ૬͕‫͚෇཭ڑ‬ՄೳʹͳΔ.
Example 2.11. ໌Β͔ʹ X ͸ϐϥϛουͰ͋Δ. ͜Ε͸แ‫࠷ͯؔ͠ʹ܎ؚؔ‬େͰ͋Δ. ·֤ͨ X ∈ X ʹର͠,PX := P{X} := {Y ∈ X | Y ≺ X}
͸ϐϥϛουͰ͋Δࣄ͕෼͔Δ. ໌Β͔ʹ, X ≺ Y ⇐⇒ PX ⊂ PY ͕੒Γཱͭ. ैͬͯ,

ι : X  X → PX ∈ Π͸୯ࣹͰ͋Δ. ͜ͷҙຯͰ pm ۭؒ X ͱ PX Λ͠͹͠͹ಉҰࢹ͢Δ. ·ͨ, P ∈ ι(X ) Ͱ͋Δ
ͱ͖, P ͸ pm ۭؒʹͳΔ (Ͱ͋Δ) ͱ͍͏.
࣍͸ϐϥϛουͷయ‫ܕ‬తͳߏ੒๏Λ༩͑Δ:

45

Proposition 2.12. D ⊂ X Λ༗޲‫͖ͱͨ͠ͱܥ‬,
PD :=

PX



X∈D


͸ D Λ‫ؚ‬Ή࠷খͷϐϥϛουʹͳΔ. ͜͜Ͱ, (·) ͸ϘοΫεҐ૬ʹؔ͢ΔดแͰ͋Δ.

2.4. ϐϥϛουͷऩଋ֓೦. Π ্ͷऩଋ֓೦͸, ࣍ͷ༷ʹఆٛ͞ΕΔ.
Deﬁnition 2.13. Pj , P Λϐϥϛουͱ͢Δ (j ∈ Z>0 ). ͜ͷͱ͖, {Pj } ͕ P ʹऑऩଋ͢Δͱ͸, ҎԼͷೋ৚݅Λຬ଍͢Δͱ͖Λ͍͏.
(1) ೚ҙͷ X ∈ P ʹର͠, Xj ∈ Pj Ͱ, {Xj } ͕ X ʹϘοΫεऩଋ͢Δ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δ.
(2) ೚ҙͷ X ∈ P ʹର͠, Ͳͷ༷ʹ Xj ∈ Pj ΛબΜͰ΋, {Xj } ͷ෦෼ྻͰ X ʹϘοΫε
ऩଋ͢Δ΋ͷ͸ଘࡏ͠ͳ͍.
Remark 2.14. ΋ͬͱҰൠͷঢ়‫Ͱگ‬ఆٛ͞ΕΔ Kuratowski ऩଋͱ͍͏֓೦͕͋Δ͕, Π ্ͷऑऩଋ͸, Kuratowski ऩଋͱҰக͢Δ. Ұൠʹ X ͷ෦෼ू߹ͷྻͷ (ϘοΫεҐ૬ʹؔ͢Δ) Kuratowski ऩଋ‫ݶۃ‬͸ϘοΫεดू߹ʹͳΔ͕, ྻ͕ϐϥϛου͔ΒͳΔ৔߹͸‫ݶۃ‬΋ϐϥϛουʹͳΔ (ͭ·Γ, Π ͸ Kuratowski ऩଋͰด͍ͯ͡Δ). ·ͨ, Kuratowski ऩଋͷҰൠ࿦͔Β, Kutratowski ऩଋ͸఺ྻίϯύΫτͰ͋Δ (ΑΓҰൠʹωοτͷऩଋͷҙຯͰίϯύΫτ).
্ͷ Remark ͔Β, Π ্ͷऑऩଋΛҐ૬෇͚Ͱ͖Ε͹, ࣗಈతʹ Π ͸ίϯύΫτۭؒʹͳ
Δ. ࣮ࡍʹ, ͕࣍‫͑ݴ‬Δ:

Theorem 2.15 ([8], [22]). Π ্ʹ‫ ਺ؔ཭ڑ‬ρ ͕ଘࡏ͠, ࣍Λຬͨ͢.
(1) ρ ʹؔ͢Δऩଋͱ, ऑऩଋ (= Kuratowski ऩଋ) ͸ಉ஋Ͱ͋Δ. ͭ·Γ, ऑऩଋ͸ Π ্Ͱ ρ ʹΑͬͯҐ૬෇͚ΒΕΔ. ಛʹ, (Π, ρ) ͸ίϯύΫτͰ͋Δ.
(2) ι : X  X → PX ∈ Π ͸ dconc ͱ ρ ʹؔͯ͠Ґ૬ຒΊࠐΈͰ͋Γ, ι(X ) ͸ (Π, ρ) Ͱ᜚ີͰ͋Δ.
‫ ཭ڑ‬ρ ͷߏ੒͸ड़΂ͳ͍͕, ؆୯ʹ‫͑ݴ‬͹, ϐϥϛουΛ “༗‫ࣹݩ࣍ݶ‬Ө” ͯ͠, ͦͷ෦෼ͷ‫཭ڑ‬Λ࣍‫ͯؔ͠ʹݩ‬଍͠߹Θͤͨ΋ͷͰ͋Δ. ρ ͷҐ૬Λ (Π ্ͷ) ऑҐ૬ͱ‫Ϳݺ‬.

Remark 2.16. Theorem 2.15 ΑΓ, X ্ͷूதҐ૬ (ूத) ͸, ϘοΫεҐ૬ (ϘοΫεऩଋ)ͷ‫ݴ‬༿Ͱ‫׬‬શʹද‫ʹࣄ͖ͨͰݱ‬஫ҙ͢Δ.
Ҏ‫ޙ‬, {Xj } ͕ऑऩଋ͢Δͱ͸, {PXj } ͕ऑऩଋ͢Δͱ͍͏ҙຯͱ͢Δ.

2.5. ϐϥϛουͷ؆୯ͳߏ੒, ͱ͘ʹΨ΢εۭؒ. Ұൠʹ, pm ۭؒͷ୯ௐྻ:::::::
X1 ≺ X2 ≺ · · · ≺ Xj ≺ Xj+1 ≺ · · ·͕༩͑ΒΕͨͱ͖, ྻ {PXj }j≥1 ͸ P{Xj } ʹऑऩଋ͢Δ:lim PXj = P{Xj }j =

j→∞

PXj .
j

·ͨ, ‫ʹٯ‬, Ұൠͷϐϥϛου͸ͦΕʹऑऩଋ͢Δ pm ۭؒͷ୯ௐྻΛ࣋ͭࣄ͕஌ΒΕ͍ͯΔ.
ඇৗʹૉ๿ͳߏ੒Λड़΂Δ. ·ͣ, Ұൠͷ pm ۭؒ X, Y ʹର͠, ͦΕΒͷ p ੵΛX ×p Y := (X × Y, (dpX + dpY )1/p , mX ⊗ mY )ͱఆΊΔ (ͨͩ͠, 1 ≤ p < ∞). p = ∞ ͷͱ͖‫཭ڑ‬͸ max{dX , dY } ͰఆΊΔ. ͦͯ͠, X ͷ nॏ p ௚ੵΛ, X ⊗p 1 = X, X ⊗p n = X ×p X ⊗p (n−1) ͱఆΊΔ. ͜ΕͰ୯ௐྻX ≺ X ⊗ p 2 ≺ X ⊗p 3 ≺ · · ·46ΛಘΔͷͰ, ͜ͷ‫( ݶۃ‬in Π) ͕͋Δ. ͜ΕΛ X ⊗p ∞ ͱॻ͖, X ͷແ‫ ݶ‬p ௚ੵͱ‫Ϳݺ‬.
2
Example 2.1 Ͱఆٛͨ͠ 1 ࣍‫ݩ‬Ψ΢εۭؒ Γ1σ2 ͷແ‫ ݶ‬2 ௚ੵΛ, Γ∞
σ 2 ͱॻ͖, ෼ࢄ σ ͷԾ૝∞తແ‫ݩ࣍ݶ‬Ψ΢εۭؒͱ‫Ϳݺ‬. ఆ͔ٛΒ, σ < τ ͷͱ͖, Γ∞
σ 2 ⊂ Γτ 2 ͕੒Γཱ͕ͭ, খᖒɾԘ୩
∞∞∞[19] ʹΑͬͯ, Γ∞
σ 2 = Γτ 2 ͕෼͔͍ͬͯΔ. ಛʹ, σ < ∞ ʹର͠, Γσ 2 = X Ͱ͋Δ. ·ͨ, Γσ 2
͸ pm ۭؒʹͳΒͳ͍ࣄ΋෼͔Δ ([22]).
ΑΓҰൠʹ, [22] ΑΓ, ∗ = X ∈ X ʹର͠, X ⊗p ∞ ∈ Π \ ι(X ) ͱͳΔ.

2.6. ‫ٿ‬໘ͱΨ΢εۭؒ. ࣍͸ϐϥϛουͷ࠷ۙͷ‫ڀݚ‬ͷઌ‫͋Ͱࣄ࢓ͨͬͳͱ͚ۦ‬Δ.
Theorem 2.17 ([23], [11]). ਖ਼਺ྻ rn > 0 ʹର͠, ͕࣍੒Γཱͭ.
√(1) rn /√n → 0 ͷͱ͖, {S n (rn )}n≥1 ͸Ұ఺ۭؒʹूத͢Δ (ͭ·Γ, Lévy ଒Ͱ͋Δ).
(2) rn / n → λ ∈ (0, ∞) ͷͱ͖, {S n (rn )} ͸ Γ∞
λ2 ʹऑऩଋ͢Δ.
√n(3) rn / n → ∞ ͷͱ͖, {S (rn )} ͸ X ʹऑऩଋ͢Δ.
͜͜Ͱ, S n (r) = {x ∈ Rn+1 | x2 = r} = rS n (1) Ͱ͋Δ.
√, ‫ٿ‬໘ྻͷద੾ͳεέʔϧ͸ {S n ( n)}n Ͱ͋Γ, ͜ͷͱ
Remark 2.18. Theorem 2.17 ͔Β√n͖ऑ‫ݶۃ‬͸ Γ∞(͸ͣͳ) ͷͰ, ͦ΋ͦ΋‫ݶۃ‬Λ࣋
12 Ͱ͋Δ. ·ͨ, {S√( n)}n ͸୯ௐྻͰͳ͍
√ͭࣄ͕ඇࣗ໌Ͱ͋Δ. ঘ, ͜͜ͷ n ͸౰વ n − 1 Ͱ΋ྑ͍.
Theorem 2.17 ʹొ৔͢Δ‫ٿ‬໘ S n (rn ) ্ͷ‫཭ڑ‬͸ [23] Ͱߟ͑ΒΕ͍ͯͨঢ়‫Ͱگ‬͸ϢʔΫϦου‫཭ڑ‬ͷ੍‫ͨͬͩݶ‬. ͦͷ‫ޙ‬, ‫཭ڑ‬ͷม‫ܗ‬ͷऩଋཧ࿦ [11] ʹΑͬͯඪ४తͳϦʔϚϯ‫Ͱ཭ڑ‬΋੒ཱ͢Δࣄ͕͔֬ΊΒΕͨ√.
nϦʔϚϯଟ༷ମͱͯ͠ S ( n − 1) ͸ Ric ≡ 1 Λຬͨ͢. ·ͨ, Ψ΢εۭؒ Γnσ2 ͸ॏΈ෇͖Ϧον‫ ͕཰ۂ‬1/σ 2 Ͱ͋Δ.
·ͱΊΔͱ, Theorem 2.17 ͸, ϐϥϛουͷҙຯͰ“Ϧον‫ ཰ۂ‬1 ͷແ‫ٿݩ࣍ݶ‬໘” = “Ϧον‫ ཰ۂ‬1 ͷແ‫ݩ࣍ݶ‬Ψ΢εۭؒ”ͱ͍͏ߏਤΛ͍ࣔͯ͠Δ. ͨͩ͠, ϐϥϛουʹϦον‫( ཰ۂ‬ͷό΢ϯυ) ͱ͍͏֓೦͸ఆٛ͞Ε͍ͯͳ͍.
Ұൠʹ pm ۭؒͷྻ {Xn } ͕࠷େϐϥϛου X ʹऑऩଋ͢ΔࣄΛ, ແ‫ݶ‬ফࢄ͢Δͱ͍͏.*2)
Theorem 2.17 ͷ݁࿦͔Β࣍ͷ֓೦͕நग़͞ΕΔ:

Deﬁnition 2.19 ([19]). pm ۭؒͷྻ {Xn }n≥1 ⊂ X ͕૬సҠੑ࣭ (phase transition property)Λຬͨ͢ͱ͸, ͋Δ cn > 0 ͕ଘࡏ͠, ࣍Λຬ଍͢Δͱ͖Λ͍͏:• ΋͠΋ rn > 0 ͕, rn /cn → 0 Λຬ଍͢Δͱ͖, {rn Xn } ͸ Lévy ଒ʹͳΓ,• ΋͠΋ rn > 0 ͕, rn /cn → ∞ Λຬ଍͢Δͱ͖, {rn Xn } ͸ແ‫ݶ‬ফࢄ͢Δ.
͜ͷͱ͖, {cn } Λ {Xn } ͷྟքεέʔϧɾΦʔμʔͱ͍͏.
ͪͳΈʹ, ૬సҠੑ࣭Λຬͨ͞ͳ͍༷ͳྻ͸͍͘ΒͰ΋ਓ޻తʹ࡞Δࣄ͕Ͱ͖Δ.

2.7. pm ۭؒͷूதҐ૬ͱϐϥϛουͷऩଋཧ࿦ͷ‫ج‬ຊ໰୊. ·ͣ, ઌԆ͹͠ʹ͍ͯͨ͠ू
தͷऩଋཧ࿦ͷ‫ج‬ຊ໰୊Λ͜͜Ͱड़΂Δ:
Problem 2.20. ద౰ͳ (༗໊ͳ or ‫ڵ‬ຯਂ͍) pm ۭؒͷྻ {Xn } ʹର͠, ͦΕ͕૬సҠੑ࣭Λຬ͕ͨ͢Ͳ͏͔൑ఆͤΑ. ·ͨ, ૬సҠੑ࣭Λຬͨ͠, ͦͷྟքεέʔϧɾΦʔμʔ͕ {cn }Ͱ͋Δͱ͖, ద੾ͳεέʔϧͰ͋Δ΂͖ {cn Xn } ͷ (ҰൠʹϐϥϛουͷൣᙝͰͷ) ऩଋΛ࿦
͡Α. ߋʹ, ‫ݶۃ‬ΛΑ͘ཧղͤΑ.
ͪͳΈʹ, ্ͷ໰୊͸ʮpm ۭؒͷྻʯΛʮϐϥϛουͷྻʯʹͯ͠΋ҙຯ͕͋Δ.
·ͨ, ࠷‫ʹޙ‬ϐϥϛουͷऩଋཧ࿦ͷ‫ج‬ຊ໰୊ (ͱචऀ͕ࢥ͍ͬͯΔ΋ͷ) Λ‫͛ڍ‬Δ.
*2) ࣮ࡍʹ͸ແ‫ݶ‬ফࢄ͸ (ϐϥϛουΛ༻͍ͳ͍) ผͷఆࣜԽͰఆٛ͞Ε, PX

47

n → X weakly ͱಉ஋ʹͳΔ.

Problem 2.21. ඇࣗ໌ͳϐϥϛουΛߏ੒ͤΑ. ͦͷ໨తͷҝʹ͏·͍༗޲‫( ܥ‬or pm ۭؒྻ) Λ‫͚ͭݟ‬Α. ͜͜Ͱ, (ຊߘͷҙຯͰ) ඇࣗ໌ͱ͸, Π \ (ι(X ) ∪ {X }) ͷ‫͋Ͱݩ‬ΔࣄΛࢦ͢. ߋʹ, ߏ੒͞ΕͨϐϥϛουΛ෼ྨͤΑ. ͦͷ໨తͷҝʹϐϥϛουͷෆมྔΛ։ൃͤΑ (pm ۭؒͷෆมྔΛద੾ʹ֦ுͤΑ).
ͦͷଞ, pm ۭؒͱϐϥϛουͷ໰୊͕Ԙ୩ࢯͷ໰୊ू [24] ʹ·ͱΊΒΕ͍ͯΔ.

3. ओ݁Ռ
ߐ࡚ࢯɾ਺઒ࢯͱ‫ڞ‬ಉͰಘΒΕͨ‫಺ڀݚ‬༰ ([1], [2], [3], [4] ͳͲ) Λड़΂͍ͯ͘.

3.1. ୯ௐෆมྔ. ·ͣ, զʑ͸, ‫ج‬ຊ໰୊ 2.21 Λߟ͑ͨ. ‫ج‬ຊతͳΞΠσΟΞ͸, ϐϥϛου
ʹ͸Ϧον‫཰ۂ‬ͷ੍‫֓͏͍ͱݶ‬೦͸ແ͍͕, Ϧον‫཰ۂ‬ͷ੍‫͔ݶ‬Βಋ͔ΕΔ༷ͳྑ͍ؔ਺ෆ
౳ࣜ͸͏·͘ఆٛ͞ΕΔ, ͱ͍͏΋ͷͰ͋Δ. ͦͯͦ͠Ε͸ϐϥϛουΛ۠ผ͢Δͷʹ༗ޮͰ͋Δ.
ͯ͞, I : X → [0, ∞] ͕୯ௐͰ͋Δ (͋Δ͍͸ॱংΛอͭ) ͱ͸, X ≺ Y ⇒ I(X) ≤ I(Y ) Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏. ·ͨ͜ΕΛ Π ΁࣍ͷ༷ʹ֦ு͢Δ:
I(P ) := sup I(X) for P ∈ Π.
X∈P

Proposition 3.1 ([1]). I : X → [0, ∞] Λ୯ௐͱ͢Δͱ͖࣍ͷ৚݅͸‫ʹ͍ޓ‬ಉ஋Ͱ͋Δ:(1) I ͸ϘοΫεҐ૬ͰԼ൒࿈ଓ.
(2) I ͸ूதҐ૬ͰԼ൒࿈ଓ.
(3) I ͷ Π ΁ͷ֦ு͸ऑҐ૬ͰԼ൒࿈ଓ.
্ͷੑ࣭ (1), (2), (3) ͷ͍ͣΕ͔Λຬͨ͢୯ௐͳ I Λ, Ҏ‫ޙ‬, ୯ʹԼ൒࿈ଓͱ͍͏.

Corollary 3.2 (ϐϥϛουͷෆมྔͷܾఆͷҝͷे෼৚݅). P Λϐϥϛουͱ͠, P Λ୯ௐʹۙࣅ͢Δ pm ۭؒྻ {Xn } Λ༩͑Δ:
X1 ≺ X2 ≺ · · · → P.
͜ͷͱ͖, X ্ͷ୯ௐ͔ͭԼ൒࿈ଓͳෆมྔ I ʹର͠,I(P ) = lim I(Xn )n→∞͕੒Γཱͭ.

3.1.1. ؔ਺ෆ౳ࣜ. ୯ௐ͔ͭԼ൒࿈ଓͳෆมྔΛ۩ମతʹఆ͍ٛͨ͠.
Deﬁnition 3.3 ([17]). pm ۭؒ X ͱՄଌؔ਺ f : X → R ʹର͠,VX (f ) :=12

(f (x) − f (y))2 m⊗2
X (dxdy)
X×XΛ f ͷ෼ࢄͱ͍͏. ·ͨ,

V (X) :=

supf ∈Lip1 (X)VX (f )

Λ X ͷ෼ࢄͱ͍͏.*3)‫ ۭؒ཭ڑ‬Z ͱؔ਺ f : Z → R ʹର͠, ࣍ͷඇෛՄଌؔ਺Λఆٛ͢Δ:|f (x) − f (y)|r→0 x=y∈U (z)dZ (x, y)r

Z  z → lipa (f )(z) := lim Lip(f |Ur (z) ) = lim
r→0

sup

*3) [6], [17] Ͱ͸͜ΕΛΦϒβʔόϒϧ෼ࢄͱ‫ݺ‬ΜͰ͍Δ͕, ຊߘͰ͸୯ʹ෼ࢄͱ‫Ϳݺ‬.

48

Deﬁnition 3.4. X Λ pm ۭؒͱ͠, C ∈ [0, ∞) ͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ࣍ͷ༷ʹؔ਺ෆ౳ࣜΛఆ
ٛ͢Δ.
def

(1) X ͕ఆ਺ C ʹର͠ (2, 2)-Poincaré ෆ౳ࣜΛຬͨ͢ ⇐⇒ ೚ҙͷ f ∈ Lipb (X) ʹର͠,VX (f ) ≤ C 2

lipa (f )2 dmXX͕੒Γཱͭ. ˞ ӈล͸ f ͷ 2 ΤωϧΪʔͷ୅ସ෺Ͱ͋Δ.
def(2) X ͕ఆ਺ C ʹର͠ର਺ Sobolev ෆ౳ࣜΛຬͨ͢ ⇐⇒ ೚ҙͷ f ∈ Lipb (X) ʹର͠,




2
2
2
2
f log f dmX −f dmX log
f dmX ≤ 2C 2
lipa (f )2 dmX
X

X

X

X

͕੒Γཱͭ. ˞ ࠨล͸ f 2 ͷΤϯτϩϐʔͱ‫ݺ‬͹ΕΔྔͰ͋Δ. ͨͩ͠, 0 log 0 = 0 ͱఆΊΔ.
Poiߋʹ, X ͷ (2,2)-Poincaré ఆ਺ C2,2
(X) Λ (1) Λຬͨ͢ C ͷԼ‫͠ͱݶ‬, X ͷର਺ Sobolev
ఆ਺ CLS (X) Λ (2) Λຬͨ͢ C ͷԼ‫͢ͱݶ‬Δ. ͨͩ͠, inf ∅ = ∞ ͱ໿ଋ͢Δ.

࣍ͷؔ܎:
Poi
V (X) ≤ C2,2
(X) ≤ CLS (X)Poi͸؆୯ʹ෼͔Δ. ద౰ʹ “ྑ͍”X ʹରͯ͠͸, C2,2
(X) ͸ϥϓϥγΞϯͷୈҰਖ਼‫ݻ‬༗஋ (ͷฏํࠜͷ‫ͳʹ )਺ٯ‬Δ.
Poi
Theorem 3.5 ([1]). V, C2,2
, CLS ͸ X ্ͷ (ैͬͯ Π ্ͷ) ୯ௐԼ൒࿈ଓෆมྔͰ͋Δ. ·ͨ, ͜ΕΒ͸࣍ͷҙຯͰ੪࣍Ͱ͋Δ:

V (rX) = r

V (X),

Poi
Poi
C2,2
(rX) = rC2,2(X),

CLS (rX) = rCLS (X).

͜͜Ͱ, r > 0 Ͱ͋Δ.
ଞʹ΋ؔ਺ෆ౳ࣜͷʮL2 తͳ෦෼ʯΛʮLp తʯʹஔ͖‫ͨ͑׵‬มछ΋ఆٛͰ͖, ͦΕΒ΋(੪࣍ͳ) ୯ௐԼ൒࿈ଓෆมྔʹͳΔ.
‫ݹ‬యతͳ݁Ռ͔Β, σ = V (Γnσ2 ) = CLS (Γnσ2 ) ͕೚ҙͷ n ∈ Z>0 Ͱ੒Γཱͭࣄ͕෼͔Δ.
ैͬͯ, Corollary 3.2 ͱ Theorem 3.5 ΑΓ

Poi
∞
∞
V (Γ∞
σ 2 ) = C2,2 (Γσ 2 ) = CLS (Γσ 2 ) = σ
ͱͳΔ.

Remark 3.6. զʑͷ࠷ۙͷ࢓ࣄʹΑͬͯ, ΋ͬͱ৭ʑͳؔ਺ෆ౳ࣜͷ࠷ྑఆ਺͕ϐϥϛουͷෆมྔͱͯ͠‫ػ‬ೳ͢Δࣄ͕෼͔͖͍ͬͯͯΔ. ·ͨͦͷԠ༻΋͋Δ.
3.1.2. த৺‫ݶۃ‬ఆཧ. த৺‫ݶۃ‬ఆཧΛզʑͷઃఆͰղऍ͢Δ. ϐϥϛου P, Q ͷ p ௚ੵΛP ⊗p Q := P{X ⊗p Y }X∈P,Y ∈QͱఆΊΔ (Prop. 2.12 Λ༻͍ͨ). ·ͨ, P ⊗p 1 = P , P ⊗p n = P ⊗p P ⊗p (n−1) , P ⊗p ∞ = limn→∞ P ⊗p n
ͱ͢Δ.

Theorem 3.7 (த৺‫ݶۃ‬ఆཧ [1]). P ∈ Π ʹର͠,⊗2 ∞
Γ∞V (P ) ⊂ P∞∞∞
ͱͳΔ. ͨͩ͠, Γ∞
0 := limσ→0 Γσ 2 = P∗, Γ∞ := limσ→∞ Γσ 2 = X ͱ͢Δ.

49

3.1.3. ϐϥϛουͷεέʔϧม‫ܗ‬଒ͷ۠ผ. λ > 0 ͱϐϥϛου P ʹର͠,λP := {λX | X ∈ P }∞ͱ͢Δͱ, ͜Ε΋ϐϥϛουͰ͋Δ. ͜ͷ‫Ͱ߸ه‬, σΓ∞
12 = Γσ 2 Ͱ͋Δ. ·ͨ, P ͕ඇࣗ໌ͳΒλP ΋ඇࣗ໌Ͱ͋Δ.
୯Ґ۠ؒ I = ([0, 1], | · |, L1 ) ͸ pm ۭؒͰ͋Δ. ͜Εͷແ‫ ݶ‬2 ௚ੵ I ⊗2 ∞ Λߟ͑Δ. 1/12 =⊗2 ∞V (I) ≤ V (I ⊗2 ∞ ) ͳͷͰத৺‫ݶۃ‬ఆཧ (Theorem 3.7) ΑΓ, Γ∞Ͱ͋Δ. ·ͨ, I ≺ Γ112
1/12 ⊂ I⊗2 ∞͕෼͔ΔͷͰ, I ⊗2 ∞ ⊂ Γ∞͸ඇࣗ໌ͳϐϥϛουͰ͋Δ. ͜ͷঢ়‫ʹگ‬12 ͕෼͔Δ. ಛʹ, IෆมྔΛ࢖͏ͱ͕࣍෼͔Δ:⊗2 ∞͸ܾ͠
Theorem 3.8 ([1]). ඇࣗ໌ͳϐϥϛου͔ΒͳΔ࿈ଓ‫ۂ‬ઢ σ → Γ∞
σ 2 ͱ λ → λIͯަΘΒͳ͍.

Remark 3.9. [1] Ҏલ͸, ඇࣗ໌ͳϐϥϛουͷߏ੒͸͍͔ͭ͘੒͞Ε͍͕ͯͨ, ͦΕΒ (ͷεέʔϧม‫ܗ‬଒) Λ۠ผ͢Δओு͸զʑ͕ॳͰ͋Δ.
3.1.4. εέʔϧ͕ඈͼ͖ͬͨϐϥϛου. pm ۭؒ X Ͱ͋ͬͯ΋ limλ→∞ λX ͸, X = ∗ ͷ৔߹Λআ͖, pm ۭؒʹͳΒͳ͍. Ұൠʹ P ∈ Π ͕εέʔϧෆมͱ͸, ೚ҙͷ λ > 0 ʹର͠,λP = P ͱͳΔͱ͖Λ͍͏.
୯ௐඇ૿Ճඇෛ਺ྻ α = {αj }j≥1 = {α1 ≥ α2 ≥ · · · } Ͱ α1 = j αj ≤ 1 ͱͳ͍ͬͯΔ
΋ͷΛ༩͑Δ. ͜ͷ༷ͳྻͷશମΛ V ͱ͠, ( · 1 Ͱͳ͘)  · ∞ ͰҐ૬Λ༩͓͑ͯ͘. ߋʹ,Xα := X ∈ X mX −αj δxj ≥ 0 ͱͳΔ {xj } ⊂ X ͕ଘࡏ͢ΔjͱఆΊΔͱ, ͜Ε͸ϐϥϛουʹͳΔ. ͜ͷߏ੒ʹ͕ؔͯ࣍͠‫͑ݴ‬Δ:

Theorem 3.10 ([1], [12]). Xα ͸εέʔϧෆมͰ͋Δ. ·ͨ, εέʔϧෆมͳϐϥϛου͸͜ͷ༷ͳ΋ͷʹ‫ݶ‬Δ. ߋʹ, V  α → Xα ∈ {∗} ∪ (Π \ ι(X )) ͸Ґ૬ຒΊࠐΈͰ͋Δ.
೚ҙͷ 1 ≤ p ≤ ∞ ʹର͠, Xα ⊗p Xβ = Xαβ ͱͳΔ. ͜͜Ͱ αβ ͸ೋॏ਺ྻ {αj βk }j,k≥1 Λ୯ௐඇ૿ՃͳҰॏ਺ྻʹฒ΂௚ͨ͠΋ͷͰ͋Δ.
͜ͷओுͷ 2 จ໨͸ [12] ʹΑΔ, ࠷‫ޙ‬ͷஈམͷ಺༰͸ [1] ʹΑΔ. ͦΕҎ֎ͷ಺༰͸‫ڞ‬௨͕ͩ, ূ໌ํ๏͕ҟͳΔ. ߋʹ, զʑ͸ Gromov ͷ͋ΔෆมྔΛ֦ு͠, ͦΕΛ༻͍ͯ {Xα }α∈Vͷมछ଒ʹ͍ͭͯ΋‫[( ͨ͠ڀݚ‬1]).

3.2. ֬཰࿦Λ༝དྷͱ͢ΔΨ΢εۭؒͷ “஥ؒ”. ֬཰࿦ʹ͓͚Δछʑͷ෼෍ (ͷ଒) ͸, ৽͍͠ϐϥϛου΍ूத‫ݱ‬৅Λఏ‫͢ڙ‬ΔͩΖ͏, ͱ͍͏ͷ͕զʑͷ໨࿦‫͋Ͱݟ‬Δ. ྫ͑͹, ͍·ͷ࣌఺ͰҎԼͷࣄฑΛಘ͍ͯΔ.
3.2.1. ҰൠԽίʔγʔ෼෍. ·ͣ,νβn (dx) =dxΓ ((n + β)/2)
π n/2 Γ(β/2) (1 + x22 )(n+β)/2

ͱ͍͏ Rn ্ͷ֬཰ଌ౓Λߟ͑Δ. ͜ΕΛࢦ਺ β (> 0) ͷ n ࣍‫ݩ‬ҰൠԽίʔγʔ෼෍ͱ‫Ϳݺ‬.
β = 1 ͷ৔߹͕௨ৗͷίʔγʔ෼෍Ͱ͋Δ. ͦͯ͠,Cβn = (Rn ,  · 2 , νβn )ͱ͍͏ smooth pm ۭؒΛ, ࢦ਺ β ͷ n ࣍‫ݩ‬ҰൠԽίʔγʔۭؒͱ‫Ϳݺ‬.

50

Remark 3.11. Cβn ͸ෛ࣍‫ݩ‬ͷ‫ݩ࣍཰ۂ‬৚݅Λ࣋ͭ pm ۭؒͷྫͰ͋Δ.
·ͨ֬཰࿦ͷ‫͔఺؍‬Β͸, ίʔγʔ෼෍ͱΨ΢ε෼෍͸, ‫҆ʹڞ‬ఆ෼෍ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ଒ʹଐ͢ͱ͍͏ҙຯͰ஥ؒͰ͸͋Δ. ߋʹ, ҆ఆ෼෍ͷதͰ΋ີ౓ؔ਺͕໌ࣔ͞ΕΔ΋ͷ͸͜ͷೋͭͱ‫ͯͬݴ‬Α͍. ͦͷҙຯͰࣅ͍ͯΔͷ͕ͩ, ີ౓ؔ਺Λ‫ͯݟ‬෼͔Δ༷ʹແ‫ݶ‬ԕํͷଌ౓ͷ޿͕Γ͕ஶ͘͠ҧ͏. ͦͷҙຯͰͱͯ΋ҟͳΔ.
ঘ, {Cβn }n ͸୯ௐྻ͕ͩ, ͦͷऑ‫ݶۃ‬͸ X ͱͳΔ. ࣍ͷఆཧ͸ద੾ͳεέʔϧΛ‫ݟ‬ग़ͨ͠΋ͷͰ͋Δ:√
Theorem 3.12 ([2]). {Cβn }n ͸૬సҠੑ࣭Λຬͨ͠, ͦͷྟքεέʔϧɾΦʔμʔ͸ {1/ n}
Ͱ͋Δ. ·ͨ, { √1n Cβn }n ͸൒௚ઢ ([0, ∞), | · |, νβ ) ʹूத͢Δ. ͜͜Ͱ,β21− 2 1 − 12
νβ (dt) =e 2t dtΓ(β/2) tβ+1Ͱ͋Δ.

√ΑΓ‫͘ڧ‬, rn n → 0 ͷͱ͖, {rn Cβn }n ͸ϘοΫεҐ૬Ͱ ∗ ʹऩଋ͢Δࣄ΋෼͔Δ͠,{ √1n Cβn }n ͸ϘοΫεऩଋ͢Δ෦෼ྻΛ࣋ͨͳ͍ࣄ΋෼͔Δ.
√ −1
Remark 3.13. ྻ { n Cβn } ͸୯ௐ෦෼ྻΛ࣋ͨͳ͍.
Theorems 2.17 and 3.12 ͷ੒ཱΛ༷ʑͳ‫͔఺؍‬Βߟ࡯͢Δࣄ͸ҙٛਂ͍. ྫ͑͹, Τϧΰʔυཧ࿦తͳ‫ݟ‬஍͔Β, ͜ͷҰൠԽΛߐ࡚ɾҏ๓΍ߐ࡚ɾ਺઒ɾචऀ͕‫ڀݚ‬தͰ͋Δ.
ͪͳΈʹ, Cβn ͸ Cβ1 ͷ௚ੵͰ͸ͳ͍. ‫཭ڑ‬͸ 2 ௚ੵͰ͋Δ͕, ଌ౓ͷํ͕ҧ͏. ͔͠͠, ଌ౓͸໌Β͔ͳճసରশੑ (‫ٿ‬໘ରশੑ) ͕͋Δ. ͋Δ͍͸‫ٿ‬໘ํ޲ͱ radial ํ޲΁ͷ෼ղΛ࣋ͭͱ‫ͯͬݴ‬΋ྑ͍.
্ͷ஫ҙͷ࠷‫ޙ‬ͷஈམʹ͋Δ಺༰Λ౿·͑, ҎԼͷ༷ͳ‫ز‬ԿֶతͳҰൠԽΛߟ͑ͨ.

Deﬁnition 3.14. X Λ pm ۭؒͱ͠, κ ∈ R Λ༩͑Δ. ·ͨ [0, ∞) ্ͷ෼෍ ξ Λ༩͓͑ͯ͘. ͜ͷͱ͖, X ͷ (κ, ξ) ਴ΛҎԼͷ༷ʹఆΊΔ. ຊߘͰ͸ κ = 0 ͷ৔߹ͷΈఆٛ͢Δ. ·ͣ,
X × [0, ∞) ্ʹ͸ඪ४తͳํ๏ͰϢʔΫϦου਴ͷ‫ ཭ڑ‬d0 ΛೖΕΔ. ࣗવͳࣹӨΛπ : X × [0, ∞) → K0 (X) := X × [0, ∞)/X × {0}ͱ͢Δ. ͦͯ͠, K0 (X) ্ͷଌ౓Λ π# (mX ⊗ ξ) ͱఆΊΔ. ͜ͷͱ͖, pm ۭؒ

K0,ξ (X) = (K0 (X), d0 , π# (mX ⊗ ξ))Λ X ͷ (0, ξ) ਴ͱ‫Ϳݺ‬.

Theorem 3.15 ([2]). pm ۭؒͷྻ {Xn } ͱ [0, ∞) ্ͷ֬཰ଌ౓ͷྻ {ξn } Λ༩͑Δ. {ξn } ͸֬཰ଌ౓ ξ ʹऑऩଋ͍ͯ͠ΔͱԾఆ͠, {Xn } ͸ pm ۭؒ X ʹϘοΫεऩଋ (resp. ूத) ͍ͯ͠ΔͱԾఆ͢Δ. ͜ͷͱ͖, {Kκ,ξn (Xn )} ͸ Kκ,ξ (X) ʹϘοΫεऩଋ (resp. ूத) ͢Δ.
Theorem 3.12 ͸, Theorem 3.15 Λద੾ʹద༻͢Ε͹ಘΒΕΔ. ࣮ࡍʹ͸ྟքεέʔϧɾΦʔμʔΛൃ‫͢ݟ‬Δॴ͕ϙΠϯτͰ͋Δ. [2] Ͱ͸ {ξn } ͕ ξ ʹऑऩଋ͢Δূ໌Λೋ௨Γॻ͍͕ͨ, ‫ݸ‬ਓతʹ͸֬཰࿦తͳূ໌͕‫ڵ‬ຯਂ͍.
3.2.2. Ψ΢εۭؒͷ p ੵ. 1 ≤ p ≤ ∞ ͱ͠, ࣍ͷ pm ۭؒΛߟ͑Δ:
Γnσ2 ,p := (Γ1σ2 )⊗p n = (Rn ,  · p , γσn2 ).
p ≥ 2 ͷͱ͖͸ϊϧϜͷେখʹΑΓ, Γnσ2 ,p ≺ Γnσ2 ͱͳΔͷͰ, limn→∞ Γnσ2 ,p ͸ Γ∞
σ 2 Ͱ্͔Β཈͑ΒΕ, ߋʹແ‫ݶ‬௚ੵͷҰൠ࿦͔Βඇࣗ໌ʹͳΔ.
Ұํ, ໰୊͸ p < 2 ͷ৔߹Ͱ, ͜ͷͱ͖, limn→∞ Γnσ2 ,p = X ͱͳͬͯ͠·͏. ҎԼ͸, {Γnσ2 ,p }nͷద੾ͳεέʔϧʹ͍ͭͯͷ݁ՌͰ͋Δ.

51

Theorem 3.16 ([3]). 1 ≤ p < 2 ͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖, {Γnσ2 ,p }n ͷྟքεέʔϧɾΦʔμʔ͸
1

1

1

1

{n 2 − p } Ͱ͋Γ, {n 2 − p Γnσ2 ,p }n ͸
(3.1)

1

1

1

1

∀n, m ≥ 1, n 2 − p Γnσ2 ,p ≺ (nm) 2 − p Γnm
σ 2 ,p11ͱ͍͏ҙຯͰ༗޲ͳྻʹͳΓ, ϐϥϛου P{n 2 − p Γnσ2 ,p } ʹऑऩଋ͢Δ.
11(3.1) ͔Βྻͷऩଋ͕‫͑ݴ‬ΔΘ͚Ͱ͸ͳ͍. ϐϥϛου P{n 2 − p Γnσ2 ,p } ͷඇࣗ໌ੑ (ಛʹ pmۭؒʹͳΒͳ͍ࣄ) ͷূ໌͸ࣗ໌Ͱͳ͍ ([3]).
Theorem 3.17 ([3]). X Λ 2 ఺Ҏ্͔ΒͳΔ pm ۭؒͱ͠,Poi
sup C2,2(X ⊗2 n ) < ∞

(3.2)

n

ͱԾఆ͢Δ.*4) ͜ͷͱ͖, ೚ҙͷ 1 ≤ p ≤ 2 ʹର͠, {X ⊗p n }n ͸૬సҠੑ࣭Λຬͨ͠, ͦͷྟք11εέʔϧɾΦʔμʔ͸ {n 2 − p } Ͱ͋Δ. ͨͩ͠, p = 1 ͷͱ͖͸, (3.2) ͷ୅ΘΓʹ, V (X) < ∞ͱ͍͏ԾఆͰΑ͍.
͜ͷ Theorem ͸ [20] Ͱߟ࡯͞Εͨঢ়‫ͱگ‬ҟͳΔ. ·ͨ, p ≥ 2 Ͱ΋, ࠷ۙͷେౡ [18] ͷ࢓ࣄΛ༻͍Ε͹, X ͷ p ੵͷ૬సҠੑ࣭Λࣔ͢ࣄ͕Ͱ͖Δ.

3.2.3. ‫ݹ‬య Wiener ۭؒ. Wn := {ω ∈ C([0, 1], Rn ) | ω(0) = 0n } ʹҰ༷Ґ૬͔Βܾ·Δ
Borel ू߹଒ B·∞ Λ༩͑, ͜ͷ্ͷ Wiener ଌ౓ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ֬཰ଌ౓ W n Λߟ͑Δ. ͜Ε͸,nW {ω | ω(ti ) ∈ Ai (1 ≤ i ≤ N )} =pti −ti−1 (xi−1 , xi ) dx
A1 ×···×AN 1≤i≤NΛ೚ҙͷ 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tN ≤ 1 ͱ Ai ⊂ Rn (1 ≤ i ≤ N ) Ͱຬͨ͢ͱ͍͏৚݅Ͱಛ
௃෇͚ΒΕΔ. ͜͜Ͱ, ֤ xi ͸ xi ∈ Rn Λද͠, dx = dx1 dx2 . . . dxN Ͱ͋Δ. ͨͩ͠, x0 = 0nͰ͋Δ. ·ͨ,n1
x − y22pt (x, y) = √
exp −
2t
2πt
Ͱ͋Δ. ω ∈ Wn ʹର͠, ͦͷ Cameron-Martin ϊϧϜΛ1ωCM :=

ω̇(t)2 dt
0ͱఆΊΔ. ͨͩ͠, ࣌ؒඍ෼ ω̇ ͕ՄଌʹఆٛͰ͖ͳ͍ͱ͖͸, ωCM = ∞ ͱղऍ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ҎԼΛ n ࣍‫ݹݩ‬య Wiener ۭؒͱ‫Ϳݺ‬:WCM:= (Wn ,  · CM , B·∞ , W n ).
n͜Ε͸ “֬཰ଌ౓෇͖֦ு‫͋Ͱ ”ۭؒ཭ڑ‬Δ. ͜͜Ͱ, ֦ு‫཭ڑ‬͸, ແ‫ݶ‬େͷ‫཭ڑ‬Λ‫ڐ‬༰͢Δ‫͋Ͱ཭ڑ‬Δ.  · CM ͔Βܾ·Δ Borel ू߹଒͸ B·∞ ͱҟͳΔ.
Ұൠʹ, ֬཰ଌ౓෇͖֦ு‫ ۭؒ཭ڑ‬Z ͕༩͑ΒΕͨͱ͖, pm ۭؒ΁ͷ domination Λ
Deﬁnition 2.8 ͱಉ༷͡ʹఆٛͰ͖Δ. ͜ͷͱ͖, PZ := {X ∈ X | X ≺ Z} ΋ϐϥϛουʹ
CM
ͳΔ. ैͬͯ, WCMn ͔Βܾ·Δϐϥϛου PWn ΛಘΔ. ͜Εʹؔ͠ҎԼΛಘͨ:= Γ∞
Theorem 3.18 ([4]). ϐϥϛουͱͯ͠, PWCMn
12 ͕੒Γཱͭ. ಛʹࠨล͸ n ʹґଘ͠ͳ͍.
*4) X ͕ smooth pm ۭؒͳΒ, C Poi (X ⊗2 n ) = C Poi (X) Ͱ͋Δ (࠰ͳԾఆͰ͸ͳ͍.

2,2

2,2

52

2 ςϯιϧੑ࣭) ͷͰ, ͜Ε͸ͦΕ΄Ͳେ‫܌‬‫ݹ‬య Wiener ۭؒͷϐϥϛουͱͯ͠ͷཧղ͸, ֬཰࿦ͷҰ෦ͷք‫Ͱ۾‬๬·Ε͍ͯͨࣄͰ
͋Γ, ͜ͷҙຯͰզʑ͕ղܾͨ͠. ·ͨ࠷ۙͰ͸‫ݹ‬య Wiener ۭؒͷҰൠԽ (ந৅ Wiener ۭؒͷ͏ͪͷಛผͳ଒) ʹ͍ͭͯ, ͦΕΒͷϐϥϛουͱͯ͠ͷཧղΛ༩͑Α͏ͱ͍ͯ͠Δ.

3.2.4. ‫ۃ‬஋෼෍. ֬཰࿦ʹ͓͚Δʮ‫ݶۃ‬ఆཧʯ͸த৺‫ݶۃ‬ఆཧ͚ͩͰ͸ͳ͍ (ฏ‫ۉ‬ͷऔΓํʹ৭ʑ͋Δ͔Β). ͋Δ‫ݶۃ‬ఆཧʹొ৔͢Δ‫ۃ‬஋෼෍ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ΋ͷ͕͋Δ. ͦͷ͏ͪͷҰͭ͸ҎԼͷ Gumbel ෼෍Ͱ͋Δ:μG (dt) := exp −t − e−t dt on R.
Ұํ, (ยଆ) ࢦ਺෼෍μexp (dt) := e−t dt on R≥0Λߟ͑Δ. ͜ΕΒ͔Βܾ·Δ pm ۭؒ͸ mm ಉ‫͕͍ͳͰܕ‬, ҎԼ͕੒Γཱͭ:
Theorem 3.19 (Esaki-Kazukawa-M). ೚ҙͷ 2 ≤ p ≤ ∞ ʹର͠,(R, | · |, μG )⊗p ∞ = (R≥0 , | · |, μexp )⊗p ∞͕੒Γཱͭ.

௚ੵͷҰൠ࿦ͱ Theorem 3.7 ͔Β, ͜ΕΒͷϐϥϛου͸ඇࣗ໌Ͱ͋Δ. Ұํ, p < 2 ͷͱ͖͸, Theorem 3.17 ΑΓ, ରԠ͢Δ pm ۭؒͷ n ॏ p ௚ੵͷ૬సҠੑ࣭͕෼͔Γ, ద੾ͳε11έʔϧɾΦʔμʔ {n 2 − p } Ͱͷ‫ݶۃ‬Λௐ΂Δඞཁ͕͋Δ.

4. ࠓ‫ޙ‬ͷల๬ʹ͍ͭͯ·ͣ, pm ۭؒྻʹؔ͢Δॾੑ࣭͕ͩ, ଟ͘͸ϐϥϛουͷྻʹ֦ுͰ͖Δ ([19], [1]). ͜Ε͸ϐϥϛουͷऩଋཧ࿦ (઴ۙղੳ) ΁޲͚ͨ࿩୊Ͱ͋Δ. ·ͨ, ਺ֶͷଟ͘ͷ৔໘Ͱ༗޲
‫ͦͱܥ‬ͷ‫ݶۃ‬͸ࣗ͘͝વʹ࿦͡ΒΕΔ (ྫ͑͹, ֬཰࿦ͷ Kolmogorov ͷ֦ுఆཧ). ֬཰࿦ͷதʹ͸‫ݸ‬ʑͷແ‫ݩ࣍ݶ‬Ϟσϧʹ४ͣΔ༗޲‫Ͳ΄ࢁ͕ܥ‬ଘࡏ͢Δ. զʑ͸, ͦ͜Λ‫ݯ‬ઘͱ͠,ϐϥϛουΛߏஙɾ‫͍ͯ͠ڀݚ‬Δ. ͜ΕΛଓ͚Α͏. ·ͨ, ͦ͜ͰѻΘΕΔ༗‫ྻࣅۙݩ࣍ݶ‬͸, ॏΈ෇͖ϦʔϚϯଟ༷ମ (ଟ͘ͷϕʔε͸ϢʔΫϦουۭؒ) Ͱ͋Δ. ͜Ε͸ϦʔϚϯ‫ز‬Կ (ൺֱ‫ز‬Կ) ͱ΋ؔ܎͕͋ΔͩΖ͏. ΍͸Γ֬཰࿦ͷ࿩୊Ͱ͋Δ͕, ֬཰࿦Ͱ͸ແ‫ۭݩ࣍ݶ‬ؒͷղੳ (֬཰ղੳ) ͕੝ΜͰ͋Δ. Ұํ, ϐϥϛουͷ্ʹ͸ “ؔ਺” ͕͏·͘ఆٛͰ͖ͳ
͍. ͭ·Γ, ϐϥϛουʹ͸ࣹ͕଍Γͳ͍ͷͩ. චऀ͸, pm ۭؒͷಉ‫͘ͳͰྨܕ‬, pm ۭؒͱࢧ഑ࣸ૾ͷ‫ݍ‬Λߟ͑, ͦͷద౰ͳ‫׬‬උԽ (ίϯύΫτԽ) ͱͯ͠, ϐϥϛουͷ‫ݍ‬Λ‫ݟ‬Δ΂͖ͱߟ͍͑ͯΔ. ͦ͜ʹ͸๛͔ͳࣹ͕͋Δ͸ͣͰ, ֬཰ղੳͱ݁ͼͭ͘ͱࢥ͍ͬͯΔ. ‫ݍ‬Խͷߟ͑Λਪ͠ਐΊΔ. pm ۭؒͷ‫͔ݍ‬Β, ผͷ਺ֶͷର৅ͷ‫΁ݍ‬ͷؔखΛߟ͑Δ. ͜ͷ‫ݶۃ‬Λద੾ʹऔΕ͹, ϐϥϛουͷ (࣮਺஋ͱ‫ݶ‬Βͳ͍) ෆมྔ͕खʹೖΔͩΖ͏. ྫ͑͹, ϐϥϛου͔Β‫ۭؒ཭ڑ‬΍‫( ܈‬ͷ‫ )ݶۃ‬ΛରԠͤ͞Δ࢓૊ΈΛ։ൃ͠, ͦΕΛԠ༻͍ͨ͠.

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54ΞϧςΟϯ‫܈‬ͷඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬ੑ

Acylindrical hyperbolicity of Artin groupsѪඤେֶେֶӃཧ޻ֶ‫ڀݚ‬Պ ඌᅳ ৽Ұ ∗Shin-ichi Oguni
Graduate School of Science and Engineering,
Ehime University

1 ং཭ࢄ‫܈‬͸༷ʑͳ਺ֶʹొ৔͠, ༷ʑͳཱ৔͔Β‫͞ڀݚʹൃ׆‬Ε͍ͯΔ. Ґ૬‫ز‬Կֶ΍ඍ෼Ґ૬‫ز‬Կֶʹ͓͍ͯॏཁͳ໾ׂΛՌͨ͢‫ج‬ຊ‫܈ࢄ཭͕܈‬ͷҰྫͰ͋Δ͜ͱ΋͋ͬͯ, ཭ࢄ‫܈‬͸‫ز‬Կֶͱͷؔ܎͕ਂ͍. ಛʹ, ‫ز‬Կֶత‫܈‬࿦ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ‫ڀݚ‬෼໺ʹ͓͍ͯ͸, ཭ࢄ‫܈‬͸‫ڀݚ‬ͷओର৅ͱͳ͍ͬͯΔ. ·ͨ, ཭ࢄ‫܈‬͸ඇՄ‫ز׵‬Կֶ΍ૈ‫ز‬Կֶ (େई౓‫ز‬Կֶͱ΋‫ݺ‬͹ΕΔ) ʹ͓͍ͯ΋ॏཁͳ‫ڀݚ‬ର৅ͱͳ͍ͬͯΔ. ཭ࢄ‫܈‬ͷ‫͍͓ͯʹڀݚ‬, ඍ෼‫ز‬Կֶ༝དྷͷ૒‫ۂ‬ੑ΍ඇਖ਼‫཰ۂ‬ੑʹྨ͢Δ֓೦͕‫׆‬༂͍ͯ͠Δ͜ͱ΋஫ҙ͓͖͍ͯͨ͠ ([1], [2],[3], [4] ΍͜ΕΒͷࢀߟจ‫ݙ‬Λࢀর).
ຊߨԋͰ͸, ΞϧςΟϯ‫ݺͱ܈‬͹ΕΔ཭ࢄ‫͕܈‬, ͲͷΑ͏ͳ૒‫ۂ‬ੑ΍ඇਖ਼‫཰ۂ‬ੑΛ͔࣋ͭʹؔΘΔະղܾ໰୊Λ঺հ͠, ͞Βʹ, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬ੑͱ‫ݺ‬͹ΕΔ૒‫ۂ‬ੑΛ༗͢
Δ͔Ͳ͏͔ͱ͍͏໰୊ʹ͍ͭͯͷՃ౻ຊࢠࢯʢླྀ‫ٿ‬େֶʣͱͷ‫ڞ‬ಉ‫[ ڀݚ‬12], [13] ʹΑΔ݁Ռʹ͍͓ͭͯ࿩͢͠Δ.
ΞϧςΟϯ‫܈‬͸, ϥϕϧ෇͖άϥϑ͔ΒఆΊΒΕΔੜ੒‫ʹࢠ܎ؔͱܥ‬Αͬͯ༩͑ΒΕΔ‫͋Ͱ܈‬Δ. ֤ੜ੒‫͕ݩ‬ΠϯϘϦϡʔγϣϯͰ͋Δͱ͍͏ؔ܎ࢠΛ௥Ճ͢Δ͜ͱͰΞϧςΟϯ‫͔܈‬ΒίΫηλʔ‫͕܈‬ಘΒΕΔ. ༗‫ݶ‬ੜ੒ࣗ༝‫܈‬΍༗‫ݶ‬ੜ੒ࣗ༝Ξʔϕϧ‫܈‬΍૊Έͻ΋‫܈‬͸ΞϧςΟϯ‫܈‬ͷྫͰ͋Δ. ΞϧςΟϯ‫܈‬͸, ఆٛͷ୯७͞΍ίΫηλʔ‫ͱ܈‬ͷؔ܎ੑThe author is supported by JSPS KAKENHI Grant Number 20K03590.

55͔ΒൺֱతೃછΈ΍͍͢‫Ͱ܈‬͸͋Δ͕, ཧղ͕े෼ʹ͸ਐΜͰ͍ͳ͍ঢ়‫͋ʹگ‬Γ, ༷ʑͳ‫ࡏݱ͕ڀݚ‬΋ඇৗʹ‫ߦʹൃ׆‬ΘΕ͍ͯΔ. ಛʹ, ‫ز‬Կֶత‫܈‬࿦ͷཱ৔͔Β͸, ୅਺తੑ࣭΍Ґ૬‫ز‬Կతੑ࣭Λ໌Β͔ʹ͢ΔͳͲͷԠ༻Λ೦಄ʹஔ͖ͭͭ, ΞϧςΟϯ‫Ͳ͕܈‬ͷΑ͏ͳ૒‫ۂ‬ੑ΍ඇਖ਼‫཰ۂ‬ੑΛ͔࣋ͭͱ͍͏͜ͱʹ‫͍ؔڧ‬৺͕࣋ͨΕ͍ͯΔ.

2 ΞϧςΟϯ‫܈‬ͷఆٛͱྫΞϧςΟϯ‫܈‬ͷఆٛΛ༩͑Δ. ༗‫ݶ‬୯७άϥϑ Γ Λߟ͑Δ. V (Γ) = {s1 , . . . , sn } Λ௖఺ू߹ͱ͠, E(Γ) Λลू߹ͱ͢Δ. ͦΕͧΕͷล (si , sj ) ∈ E(Γ) ͸ϥϕϧ mij ∈ Z≥2 Λ෇͞Ε͍ͯΔͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ͜ͷ Z≥2 ʹ஋ΛͱΔϥϕϧ෇͖άϥϑ Γ ʹ෇ਵͨ͠ΞϧςΟϯ‫܈‬ΛAΓ = s1 , . . . , sn | ∀(si , sj ) ∈ E(Γ), si sj si · · · = sj si sj · · ·     
mij ‫ݸ‬mij ‫ݸ‬ʹΑΓఆٛ͢Δ. ·ͨ, Γ ʹ෇ਵͨ͠ίΫηλʔ‫܈‬ΛWΓ = s1 , . . . , sn | ∀(si , sj ) ∈ E(Γ), si sj si · · · = sj si sj · · ·, ∀si ∈ V (Γ), s2i = 1     
mij ‫ݸ‬mij ‫ݸ‬ʹΑΓఆٛ͢Δ. Γ Λ AΓ ͓Αͼ WΓ ͷఆٛάϥϑͱ‫Ϳݺ‬. WΓ ͸ AΓ ͷ঎Ͱ͋Δ͜ͱ
ʹ஫ҙ͢Δ. WΓ ͕༗‫܈ݶ‬/ແ‫͋Ͱ܈ݶ‬Δͱ͖, AΓ ͸༗‫ܕݶ‬/ແ‫͋Ͱܕݶ‬Δͱ‫ݺ‬͹ΕΔ.
Ұൠʹ, Z≥2 ʹ஋ΛͱΔϥϕϧ෇͖άϥϑ Γ ʹରͯ͠, Γt ͳΔάϥϑΛ, ௖఺ू߹͸V (Γt ) = V (Γ) Ͱ͋Γ, ลू߹͸E(Γt ) = {(vi , vj ) ∈ E(Γ) | mij = 2}  {(vi , vj ) ∈ V (Γ) × V (Γ) \ E(Γ) | vi = vj }Ͱ͋Δάϥϑͱͯ͠ఆٛ͢Δ͜ͱʹ͢Δ. ͜ͷͱ͖, (vi , vj ) ∈ V (Γ) × V (Γ) \ E(Γ)(vi = vj ) ʹϥϕϧ ∞ Λ෇͢͜ͱͰ, Γt ͸ Z≥3  {∞} ʹ஋ΛͱΔϥϕϧ෇͖άϥϑͱͳΔ. ίΫηλʔ‫܈‬΍༗‫ܕݶ‬ͷΞϧςΟϯ‫܈‬Λߟ͑Δࡍ͸, ͪ͜ΒΛίΫηλʔάϥϑͱ‫ݺ‬ΜͰఆٛάϥϑͱͯ͠࠾༻͢Δํ͕ҰൠతͰ͋ΔͷͰ, ΞϧςΟϯ‫ؔʹ܈‬ΘΔจ‫ݙ‬ΛಡΉࡍ͸, ఆٛάϥϑͱͯ͠ͲͪΒͷఆٛΛ࠾༻͍ͯ͠Δ͔ʹ஫ҙ͢Δඞཁ͕͋Δ. ྫ͑͹, Γ͕‫׬‬શάϥϑͰ͋Δ͜ͱͱ Γt ͕ϥϕϧ ∞ ͷลΛ࣋ͨͳ͍͜ͱ͕ಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱΛ൓өͯ͠, ‫׬‬શάϥϑʹ෇ਵ͢ΔΞϧςΟϯ‫܈‬ʢArtin groups associated to cliquesʣͷ͜ͱΛ, free-of-inﬁnity Artin groups ͱ‫ͱ͜Ϳݺ‬΋͋Δ. ·ͨ, Γ ΑΓ΋ Γt Λ༻͍ͨํ͕ఆٛ
Λड़΂΍͍֓͢೦΋͋Γ, ྫ͑͹, WΓ ͓Αͼ AΓ ͸‫ط‬໿Ͱ͋Δͱ͍͏͜ͱΛ Γt ͕࿈݁Ͱ͋Δ͜ͱͱͯ͠ఆٛ͢Δ. ‫ط‬໿ͳ༗‫ݶ‬ίΫηλʔ‫ ܈‬WΓ ͸ίΫηλʔάϥϑ Γt Ͱ෼ྨ͞56

Ε͍ͯΔ. ͳ͓, ‫ط‬໿ͳ༗‫ݶ‬ίΫηλʔ‫ ܈‬WΓ ʹ͓͍ͯ, ఆٛάϥϑ Γ ͸‫׬‬શάϥϑͰ͋Δ. Ұൠʹ, Γ ͷͲͷ‫׬‬શ෦෼άϥϑʹ෇ਵͨ͠ΞϧςΟϯ‫܈‬΋༗‫͋Ͱܕݶ‬Δͱ͖, ΞϧςΟϯ‫ ܈‬AΓ ͸ F C ‫͋Ͱܕ‬Δͱ͍͏.
ྫΛ͍͔ͭ͘‫͛ڍ‬Α͏.
ྫ 2.1. ਤ 1 ͷ Γ ʹ͓͍ͯ,AΓ = s1 , s2 , s3 | s1 s3 = s3 s1  ∼= Z ∗ Z2 ,WΓ = s1 , s2 , s3 | s1 s3 = s3 s1 , s21 = s22 = s23 = 1 ∼= Z/2Z ∗ (Z/2Z)2
Ͱ͋Δ. WΓ ͕ແ‫ͳ܈ݶ‬ͷͰ AΓ ͸ແ‫͋Ͱܕݶ‬Δ. Γt ͸࿈݁ͳͷͰ, WΓ ͓Αͼ AΓ ͸‫ط‬໿Ͱ͋Δ.
ྫ 2.2. ਤ 2 ͷ Γ ʹ͓͍ͯ,AΓ = s1 , s2 , s3 | s1 s2 s1 = s2 s1 s2 , s2 s3 s2 = s3 s2 s3 , s1 s3 = s3 s1 
͸ 4 ࣍૊Έඥ‫͋Ͱ܈‬Γ, WΓ ͸ 4 ࣍ରশ‫͋Ͱ܈‬Δ. WΓ ͕༗‫ͳ܈ݶ‬ͷͰ AΓ ͸༗‫͋Ͱܕݶ‬Δ. Γt ͸࿈݁ͳͷͰ, WΓ ͓Αͼ AΓ ͸‫ط‬໿Ͱ͋Δ.

57

ྫ 2.3. ਤ 3 ͷ Γ ʹ͓͍ͯ,AΓ = s1 , s2 , s3 | s1 s2 = s2 s1 , s1 s3 = s3 s1  ∼= Z × F2 ,WΓ = s1 , s2 , s3 | s1 s2 = s2 s1 , s1 s3 = s3 s1 , s21 = s22 = s23 = 1∼= Z/2Z × (Z/2Z ∗ Z/2Z)
Ͱ͋Δ. WΓ ͕ແ‫ͳ܈ݶ‬ͷͰ AΓ ͸ແ‫͋Ͱܕݶ‬Δ. Γt ͸࿈݁Ͱͳ͍ͷͰ, WΓ ͓Αͼ AΓ ͸‫ط‬໿Ͱͳ͍. ಛʹ௚ੵʹ෼ղ͍ͯ͠Δ.
ྫ 2.4. ਤ 4 ͷ Γ ʹ͓͍ͯ,AΓ =s1 , s 2 , s 3 , t1 , t2 , t3

s1 s3 = s3 s1 , t1 t3 = t3 t1 ,
s1 t1 s1 = t1 s1 t1 , s1 t2 = t2 s1 , s1 t3 = t3 s1 ,s2 t1 = t1 s2 , s2 t2 = t2 s2 , s2 t3 = t3 s2 ,s3 t1 = t1 s3 , s3 t2 = t2 s3 , s3 t3 = t3 s3Ͱ͋Γ, WΓ ͸ແ‫ͳ܈ݶ‬ͷͰ AΓ ͸ແ‫͋Ͱܕݶ‬Δ. Γt ͸࿈݁ͳͷͰ, WΓ ͓Αͼ AΓ ͸‫ط‬໿Ͱ͋Δ.
ྫ 2.5. ਤ 5 ͷͲͷ Γ ʹ͓͍ͯ΋, WΓ ͸ແ‫ͳ܈ݶ‬ͷͰ AΓ ͸ແ‫͋Ͱܕݶ‬Δ. Γt ͸࿈݁ͳͷͰ, WΓ ͓Αͼ AΓ ͸‫ط‬໿Ͱ͋Δ.

58Γ Λ༗‫ݶ‬୯७άϥϑͱ͢Δ. ͜ͷ༗‫ݶ‬୯७άϥϑ Γ ͕δϣΠϯ෼ղՄೳͰ͋Δͱ͸,V (Γ) = V (Γ1 )  V (Γ2 )E(Γ) = E(Γ1 )  E(Γ2 )  (V (Γ1 ) × V (Γ2 ))  (V (Γ2 ) × V (Γ1 ))Λຬͨ͢෦෼άϥϑ Γ1 , Γ2 ⊂ Γ ͕ଘࡏ͢Δͱ͖Λ͍͏. ͞Βʹ, Γ1 ͕Ұ఺͔ΒͳΔ෦෼
άϥϑͱͰ͖Δͱ͖, Γ ͸ਲ਼Ͱ͋Δͱ͍͏. #V (Γ) ≥ 2 Ͱ͋Δ Γ ʹ͍ͭͯ, ‫׬‬શάϥϑͳΒ͹ਲ਼Ͱ͋Γ, ·ͨ, ਲ਼ͳΒ͹δϣΠϯ෼ղՄೳͰ͋Δ. ਤ 1 ͷ Γ ͸δϣΠϯ෼ղՄೳͰ
ͳ͍. ਤ 2 ͷ Γ ͸‫׬‬શάϥϑͰ͋Δ. ਤ 3 ͷ Γ ͸ਲ਼Ͱ͋Δ͕‫׬‬શάϥϑͰͳ͍. ਤ 4 ͷ Γ͸δϣΠϯ෼ղՄೳͰ͋Δ͕ਲ਼Ͱ͸ͳ͍. ਤ 5 ͷ Γ ͸ਲ਼Ͱ͋Δ͕‫׬‬શάϥϑͰͳ͍. ͳ͓,Z≥2 ʹ஋ΛͱΔϥϕϧ෇͖άϥϑ Γ ͕δϣΠϯ෼ղՄೳͰͳ͍͜ͱͱ, WΓ ͓Αͼ AΓ ͕‫ط‬໿Ͱ͋Δ͜ͱ, ͢ͳΘͪ, Γt ͕࿈݁Ͱ͋Δ͜ͱ͸ಉ஋Ͱ͋Δ.

3 ΞϧςΟϯ‫͍ͯͭʹ܈‬ͷະղܾ໰୊͜͜Ͱ͸, ΞϧςΟϯ‫͍ͯͭʹ܈‬, ͍Ζ͍Ζͳະղܾ໰୊͕͋Δ͜ͱͷ঺հͷͨΊ, ະఆٛ‫ޠ‬΋ग़ͯ͘Δ͕, ༧૝Λ͍͔ͭ͘‫[( ͓ͯ͛͘ڍ‬7] ΍ [10] ΍ [11] ΛࢀরͤΑ). ͳ͓, ҎԼͷ༧૝͸͍ͣΕ΋ະղܾͰ͋Δ͕, ద౰ͳΫϥεͷΞϧςΟϯ‫͍ͯͭʹ܈‬ਖ਼͍͜͠ͱ͕ࣔ
͞ΕΔͳͲ, ਺ଟ͘ͷ෦෼తղܾʹؔΘΔ‫͕͋ڀݚ‬Δ.

59

༧૝ 3.1. ΞϧςΟϯ‫܈‬͸༗‫ݶ‬Ґ਺ͷඇࣗ໌‫ݩ‬Λ࣋ͨͳ͍.
༧૝ 3.2. ແ‫ܕݶ‬ͷ‫ط‬໿ͳΞϧςΟϯ‫܈‬ͷத৺͸ࣗ໌Ͱ͋Δ.
࣍͸্ΛऑΊͨόʔδϣϯͰ͋Δ.
༧૝ 3.3. ແ‫ܕݶ‬ͷ‫ط‬໿ͳΞϧςΟϯ‫܈‬ͷத৺͸༗‫͋Ͱݶ‬Δ.
༧૝ 3.4. ‫ط‬໿ͳΞϧςΟϯ‫܈‬͸ඇࣗ໌ͳ௚ੵ෼ղΛ࣋ͨͳ͍.
࣍͸্ΛऑΊͨόʔδϣϯͰ͋Δ.
༧૝ 3.5. ‫ط‬໿ͳΞϧςΟϯ‫܈‬͸ແ‫ʹ܈ݶ‬ΑΔ௚ੵ෼ղΛ࣋ͨͳ͍.
༧૝ 3.6. ΞϧςΟϯ‫܈‬͸ K(π, 1) ༧૝Λຬͨ͢.
༧૝ 3.7. ΞϧςΟϯ‫܈‬͸ CAT(0) ‫͋Ͱ܈‬Δ.
࣍͸্ΛऑΊͨόʔδϣϯͰ͋Δ.
༧૝ 3.8. ΞϧςΟϯ‫܈‬͸ૈತ‫͋Ͱ܈‬Δ.
༧૝ 3.9. ແ‫ܕݶ‬ͷ‫ط‬໿ͳΞϧςΟϯ‫܈‬͸ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ.
༧૝ 3.6 ͸, ༧૝ 3.1 ͓Αͼ༧૝ 3.2 Λಋ͘͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ. ·ͨ, ༧૝ 3.8 ͸ΞϧςΟϯ‫ૈ͕܈‬ό΢Ϝɾίϯψ༧૝ΛΈͨ͢͜ͱΛಋ͘ ([9]). ຊߨԋͰओͱͯ͠औΓѻ͏༧૝͸༧૝ 3.9 Ͱ͋Δ. ༧૝ 3.9 ͸, ༧૝ 3.3 ͓Αͼ༧૝ 3.5 Λಋ͘ͳͲ, ༷ʑͳԠ༻Λ࣋ͭ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ ([14] ΛࢀরͤΑ).

4 ઌߦ‫ͱڀݚ‬ओఆཧඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬ੑͷఆٛΛ༩͓͑ͯ͘.
ఆٛ 4.1. ༗‫਺ࢦݶ‬෦෼‫ ʹ܈‬Z Λ΋ͨͳ͍཭ࢄ‫ ܈‬G ͕ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͱ͸, ͋Δ૒‫ۂ‬త‫ ۭؒ཭ڑ‬Y ΁ͷ G ʹΑΔ͋Δ౳௕࡞༻͕ඇ༗ք‫ي‬ಓΛ࣋ͪ, ͔ͭ, ඇγϦϯμʔతͰ
͋Δ͜ͱΛ‫͏ݴ‬. ͜͜Ͱ, ౳௕࡞༻͕ඇγϦϯμʔతͱ͸, ࣍Λຬͨ͢͜ͱΛ‫͏ݴ‬.

∀D ≥ 0, ∃R, N ≥ 0, ∀y1 , y2 ∈ Y,d(y1 , y2 ) ≥ R ⇒ #{h ∈ G | d(y1 , hy1 ), d(y2 , hy2 ) ≤ D} ≤ N.
༗‫ܕݶ‬ͷΞϧςΟϯ‫܈‬΍‫ط‬໿Ͱͳ͍ΞϧςΟϯ‫܈‬͸ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰͳ͍͜ͱ͕

60஌ΒΕ͍ͯΔ. ༧૝ 3.9 ͷ൓ྫ͸஌ΒΕ͍ͯͳ͍. ༧૝ 3.9 ͷߠఆతͳ෦෼తղܾʹؔ͢Δઌߦ‫ڀݚ‬͸͍ͭ͘΋͋Δ͕, ࠷ۙͷҎԼͷೋ͕ͭ͜Ε·Ͱͷ΄ͱΜͲͷઌߦ‫ڀݚ‬Λแ‫ؚ‬͍ͯ͠Δ (ΑΓৄ͘͠͸, [12], [13] ͓Αͼͦͷࢀߟจ‫ݙ‬Λࢀর).
ఆཧ 4.2 (Charney & Morris-Wright [8]). ແ‫طͰܕݶ‬໿ͳΞϧςΟϯ‫ ܈‬AΓ ͸, Γ ͕δϣΠϯ෼ղՄೳͰͳ͍ͱ͖, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ.
ఆཧ 4.3 (Vaskou [15]). ແ‫طͰܕݶ‬໿ͳΞϧςΟϯ‫ ܈‬AΓ ͸, AΓ ͕ 2 ࣍‫ݩ‬ҎԼͰ͋Δͱ͖, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ. ͜͜Ͱ, AΓ ͕ 2 ࣍‫ݩ‬ҎԼͰ͋Δͱ͸, Γ ͷ೚ҙͷ 3 ล‫ ܗ‬vi vj vk ʹ͓͍ͯ, m1ij + m1jk + m1ki ≤ 1 Λຬͨ͢͜ͱΛ͍͏.
ਤ 1 ͷ Γ ͸δϣΠϯ෼ղՄೳͰͳ͍, ·ͨ, 3 ล‫ܗ‬Λ࣋ͨͳ͍ͷͰ, ఆཧ 4.2, 4.3 ͍ͣΕ͔Β΋ AΓ ͕ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋ΔͱΘ͔Δ. ਤ 2 ͷ Γ ʹ͓͚Δ AΓ ͸༗‫͋Ͱܕݶ‬Γ, ਤ 3 ͷ Γ ʹ͓͚Δ AΓ ͸‫ط‬໿Ͱͳ͍ͷͰ, ༧૝ 3.9 ͷର৅Ͱͳ͍. ਤ 4 ΍ਤ 5 ͷ Γ ͸δϣΠϯ෼ղՄೳͰ, ͞Βʹ, AΓ ͕ 2 ࣍‫ݩ‬ҎԼͰͳ͍ͷͰ, ఆཧ 4.2, 4.3 ͍ͣΕ΋ద༻Ͱ͖ͣ, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ͔Ͳ͏͔͸͜ͷೋͭͷఆཧ͔Β͸໌Β͔ʹͳΒͳ͍.
༧૝ 3.9 ͷߠఆతͳղܾʹ޲͚ͯͷେࡶ೺ͳઓུͱͯ͠, ࣍ͷೋͭʹ෼͚ͯߟ͑Δ.

(1) Γ ͕‫׬‬શάϥϑͷ৔߹.
(2) Γ ͕‫׬‬શάϥϑͰ͸ͳ͍৔߹.
(1) ʹ͍ͭͯ͸, ‫ࡏݱ‬, ఆཧ 4.3 ͕ద༻Ͱ͖ͳ͍৔߹Ͱ΋, WΓ ͕ΞϑΟϯͱͳΔ৔߹ͷ AΓ͸ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ ([6]). Ұൠʹ͸ະղܾͰ͋Δ. (2) ʹ͍ͭͯ͸, Ճ౻ຊࢠࢯͱͷ‫ڞ‬ಉ‫Ͱڀݚ‬ղܾ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͨ͜ͱΛҎԼͰใࠂ͢Δ.
·ͣ, δϣΠϯ෼ղՄೳͰ͋ͬͯ΋Α͍͕ਲ਼Ͱ͸ͳ͍৔߹ʹద༻Ͱ͖Δ‫Ͱܗ‬, ఆཧ 4.2
ͷ‫ڧ‬Խ൛Λಘͨ.
ఆཧ 4.4 (Ճ౻ & ඌᅳ [12]). ແ‫طͰܕݶ‬໿ͳΞϧςΟϯ‫ ܈‬AΓ ͸, Γ ͕ਲ਼Ͱͳ͍ͱ͖, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ.
͜ͷఆཧ 4.4 ʹΑͬͯ, ৽ͨʹඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔ΔΞϧςΟϯ‫܈‬͕ͨ͘͞Μ͋Γ, ྫ͑͹, ਤ 4 ͷ Γ ʹ͓͚Δ AΓ ͕ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ఆཧ 4.4 ͷূ໌͸, ఆཧ 4.2 ͷূ໌ʹ͓͚Δ [8] ͷٞ࿦Λൃలͤ͞Δ͜ͱͰߦ͏. ྲྀΕ͸ҎԼͷͱ͓ΓͰ͋Δ. [8] ͷٞ࿦ʹ͋ΔΫϦʔΫΩϡʔϒෳମ΁ͷΞϧςΟϯ‫܈‬ͷ࡞༻Λৄࡉʹௐ΂Δ. ͦͷ࡞༻ʹ͓͍ͯ, WPD ॖ໿‫ͱݩ‬Α͹ΕΔ‫ݩ‬Λ͏·͘ߏ੒͢Δ. ͜ͷ‫ݩ‬ͷଘࡏ͔Β [5] ͷఆཧʹΑͬͯඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ͜ͱ͕ै͏. ূ໌ͷৄࡉ61ʹ͍ͭͯ͸, [12] Λ‫ݟ‬ΒΕ͍ͨ.
͞Βʹ, [13] ʹ͓͍ͯ, ఆཧ 4.2, 4.4 ͷ‫ڧ‬Խ൛ͱͯ͠, ఆٛάϥϑ͕‫׬‬શάϥϑͰͳ͍৔߹ʹద༻Ͱ͖Δ‫ܗ‬ͷఆཧΛಘͨ.
ఆཧ 4.5 (Ճ౻ & ඌᅳ [13]). ແ‫طͰܕݶ‬໿ͳΞϧςΟϯ‫ ܈‬AΓ ͸, Γ ͕‫׬‬શάϥϑͰͳ͍ͱ͖, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ.
͜ͷఆཧ 4.5 ʹΑͬͯ, ྫ͑͹, ਤ 5 ͷ Γ ʹ͓͚Δ AΓ ͕ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ
͜ͱ͕Θ͔Δ. ·ͨ, ͍͔ͭ͘ͷ‫ڵͰڀݚ‬ຯͷର৅ͱͯ͠Α͘ొ৔͢Δແ‫ Ͱܕݶ‬F C ‫ܕ‬ͷΞϧςΟϯ‫͕܈‬ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋Δ͜ͱ΋Θ͔Δ. ఆཧ 4.5 ͷূ໌͸, ఆཧ 4.4
ͷূ໌ʹ͍͔ͭ͘ͷΞΠσΞͱΑΓણࡉͳٞ࿦ΛՃ͑Δ͜ͱͰୡ੒͞Εͨ. ҰͭͷΞΠσΞͱͯ͠͸, ΫϦʔΫΩϡʔϒෳମͷ؆໿൛ͷಋೖ͕͋Δ. ূ໌ͷৄࡉʹ͍ͭͯ͸, [13] Λ‫ݟ‬ΒΕ͍ͨ.

5 ࠓ‫ޙ‬ͷ՝୊ࠓ‫ޙ‬ͷ՝୊ͱͯ͠͸, ΞϧςΟϯ‫܈‬ͷΑΓਂ͍ཧղΛ໨ࢦ͢தͰ, 3 અͰड़΂ͨछʑͷ༧૝ͷղܾΛਐΊ͍ͯ͘͜ͱ͕͋Δ. छʑͷ༧૝͸ఆٛάϥϑ͕‫׬‬શάϥϑͷ৔߹ʹ‫ؼ‬ண͞ΕΔ͜ͱ͕ଟ͍. ·ͨ, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬ੑʹ͍ͭͯ͸, ఆٛάϥϑ͕‫׬‬શάϥϑͰͳ͍62৔߹͸ఆཧ 4.5 Ͱղܾ͞Εͨ. ΞϧςΟϯ‫͍ͯͭʹ܈‬ΑΓਂ͘ཧղ͢ΔͨΊʹ͸, ఆٛάϥϑ͕‫׬‬શάϥϑͰ͋Δ৔߹Λ·ͱ΋ʹऔΓѻ͏ඞཁ͕͋Δ. ࣮͸, ‫׬‬શάϥϑΛఆٛάϥϑͱ͢ΔΞϧςΟϯ‫͍ͯͭʹ܈‬͸, ఆٛάϥϑͷ௖఺਺͕ 4 ͷͱ͖Ͱ‫ʹط‬औΓѻ͍͕೉
͍͠. ྫ͑͹, ਤ 6 ͷఆٛάϥϑ Γ ʹ෇ਵ͢Δ AΓ ʹ͍ͭͯ, ඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬తͰ͋
Δ͔Ͳ͏͔Θ͔͍ͬͯͳ͍. ͜ͷྫΛ‫ؚ‬ΉΑ͏ͳԿΒ͔ͷҰൠతͳઃఆͰඇγϦϯμʔత૒‫ۂ‬ੑΛࣔ͢͜ͱ͸Ұͭͷ໨ඪʹͳΔͩΖ͏.

ࢀߟจ‫ݙ‬[1] େࣛ ݈Ұ, ཭ࢄ‫܈‬. ‫ؠ‬೾ॻళ; ΦϯσϚϯυ൛, 2018.
[2] ඌᅳ ৽Ұ, ૈ Baum-Connes ༧૝ͱͦͷपล. ਺ֶ 68(2) 177-199, 2016.
[3] ਂ୩༑޺, ૈ‫ز‬Կֶೖ໳: ʮૈ͍ߏ଄ʯͰଊ͑Δඇਖ਼‫ۭؒ཰ۂ‬ͷ‫ز‬Կֶͱ཭ࢄ‫( ܈‬SGC
ϥΠϒϥϦ). αΠΤϯεࣾ, 2019.

[4] ౻‫ߞ ݪ‬ೋ, ཭ࢄ‫܈‬ͷ‫ز‬Կֶ (‫ݱ‬୅‫ ֶ਺ૅج‬5). ே૔ॻళ, 2021.
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[10] Eddy Godelle and Luis Paris. Basic questions on Artin-Tits groups. In Conﬁguration spaces, volume 14 of CRM Series, pages 299–311. Ed. Norm., Pisa, 2012.
[11] Thomas Haettel. XXL type Artin groups are CAT(0) and acylindrically hyperbolic. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 72 (2022), no. 6, 2541–2555.
[12] Motoko Kato and Shin-ichi Oguni. Acylindrical hyperbolicity of Artin groups
associated with graphs that are not cones. Groups, Geometry, and Dynamics, to63

appear. arXiv:2204.13377.
[13] Motoko Kato and Shin-ichi Oguni. Acylindrical hyperbolicity and the centers ofArtin groups that are not free of inﬁnity. preprint, 2024, arXiv:2406.09432.
[14] D. Osin. Acylindrically hyperbolic groups. Trans. Amer. Math. Soc., 368(2):851–
888, 2016.
[15] Nicolas Vaskou. Acylindrical hyperbolicity for Artin groups of dimension 2.
Geom. Dedicata 216, no. 1, Paper No. 7, 28 pp, 2022.

64

非負曲率等質空間への安定離散写像の非存在
東京理科大理・梶ヶ谷徹1(X, mE ) を重み付き有限グラフ, (M, g) を滑らかな閉リーマン多様体とする. 以下, 区
分的に C 2 級の写像 f : X → M を考え, 単に離散写像と呼ぶことにする. 例えば, 曲面
上の三角形分割 (あるいは多角形分割) や高次元空間内の網状の図形 (net) と言ったものを実現する写像である (図 1).

図 1: 離散写像の例 (画像は Wikipedia より転載)
離散写像 f : (X, mE ) → (M, g) に対し, その (重み付き) 長さ L(f ) およびエネルギーE(f ) をL(f ) :=

e∈E

1mE (e)
0f˙e g dt,

1
E(f ) :=mE (e)
2 e∈E1

f˙e 2g dt,0と定義するここで, E は (向きのついた) 辺全体の集合で, fe = f |e , f˙e = dfe /dt である(なお, e を閉区間 [0, 1] と同一視している). これは, 閉曲線に対する長さおよびエネル
ギー汎関数の自然な拡張であって, 従ってまた, 汎関数 L と E の臨界点として現れる写像は, 閉測地線の一般化とみなせる.
エネルギー汎関数 E の臨界点は, 離散調和写像と呼ばれ, Colin de Verdière [2] によって曲面上の測地線による三角形分割を考えるために導入された. 一般次元の平坦トー
ラス T n への離散調和写像は小谷-砂田によって深く研究されていて, 特に「標準実現」と呼ばれる T n への特別な離散調和写像の存在が適切な条件のもとで示され ([9]), また
最近, 一般の種数の双曲閉曲面への標準実現の存在 (と一意性) も筆者と田中亮吉氏によって証明されている ([8]). 概して標準実現は, ある意味でエネルギーを最小化しかつ「対称性」を持つグラフの実現を与え, この意味でグラフの 1 つの “良い”実現を与える.
他にも離散調和写像はいろいろな文脈で現れ, 興味深い研究がいくつもある.
長さ汎関数 L に関する臨界点もよく研究されていて, その臨界点であってかつはめ込
みとなるものは, “stationary geodesic net” とか “minimal geodesic net” などと呼ばれている. 例えば, 一般のコンパクトリーマン多様体内の stationary geodesic net の存在定理は, Liokumovich-Staﬀa [11] や Nabutovsky-Rotman [13] らによって与えられている. 本稿では, L の臨界点であってはめ込みとなる写像のことを離散極小はめ込みと呼ぶことにする. なお, 重み関数 mE を固定している限りは, 一般に L の臨界点が E の臨
1E-mail: kajigaya@rs.tus.ac.jp
本研究は科研費 (JP18K13420, 23K03122) の助成を受けたものです.

65界点になるとは限らないが (逆もまたそうである), 重み関数の付け替えを許せば, この2 つの臨界点たちは実は非常に近い関係にある.
ターゲットの閉リーマン多様体 (M, g) の断面曲率が「非正」である場合, そのようなM の中への任意の離散調和写像は, そのホモトピー類の中でエネルギーを最小化することが知られている (cf. [2, 9]). これは例えば, (M, g) が平坦トーラスや双曲計量を備えた種数 2 以上の閉リーマン面などの場合である.
一方で, (M, g) の断面曲率が非正とは限らない場合, 状況は大きく異なる. 例えば, 古
典的な Synge の定理によれば, (M, g) が正の断面曲率を持つ偶数次元の向き付け可能な
閉リーマン多様体ならば, M の中には長さおよびエネルギーを最小化する非自明な閉測地線は存在しない. この事実の帰結として (一般に π1 (M ) の非自明な元は長さあるいはエネルギーを最小化する閉測地線を含むから) そのような M は単連結であることも従う.
M が単連結の場合, M の中への任意の離散写像は定値写像にホモトピックになるので, ホモトピー類の中では汎関数 F = L あるいは E を最小化する非自明な写像は存在しないが, 「与えられた離散写像が汎関数 F に対して極小値を取り得るか?」と言う
問題は非自明な問題である. F の臨界点 f は, f = f0 の任意の区分的に滑らかな変形{fs }s ∈ (−, ) に対し, d2 F(fs )/ds2 |s=0 ≥ 0 を満たすとき, 安定と呼ぶ. 定義から, F の極小値を取る写像は, 安定写像である.
Synge の定理の証明を見直せば, (M, g) が正の断面曲率を持つ偶数次元の向き付け可能な閉多様体ならば, M の中には安定な閉測地線でさえも存在しないことが分かる. 一方で, このような非存在は奇数次元多様体では成立しないと言うことも知られていて, 実
際, ある Berger 球面 S 2n+1 の中には安定な閉測地線が存在する ([17, 18]). ここで Berger
球面は正の断面曲率を持つ単連結等質リーマン多様体であることに注意しておく.
さらに最近, Cheng [3] は, Rn+1 (n ≥ 2) 内に「正の断面曲率を持ち, かつ S n と同相
な, ある凸超曲面 M であって, 長さ汎関数に関して安定なブーケットグラフを含むものが存在する」と言う興味深い結果を示した. 従って特に, 対象を閉曲線から離散写像に拡張すると, (M, g) が Synge の定理と同じ仮定を満たすリーマン多様体であったとしても, その中への安定な離散写像の非存在は一般には成立しない.
このような (複雑な) 状況の中で, 「与えられた単連結かつ正あるいは非負の曲率を持つコンパクトリーマン多様体 (M, g) に対し, その中への安定な離散写像が存在するか?」と問うことは自然である. この問いに対して, 論文 [7] において, まず次の非存在定理を示した.
定理 1 ([7]). (M, J, g) を単連結なコンパクト等質ケーラー多様体とする. もし,(M, J, g) が正の正則断面曲率を持つならば, 重み付き有限グラフ (X, mE ) から (M, g) への安定な離散極小はめ込みおよび非自明な安定離散調和写像は存在しない.
この定理の仮定を満たす典型的な例は S 2  CP 1 やコンパクトエルミート対称空間である. また. 単連結なコンパクト等質ケーラー多様体は, ケーラー C 空間とも呼ばれ,複素多様体としてはあるコンパクトリー群 G の随伴軌道に標準的な複素構造を定義したものとして得られることが知られているが, 定理 1はその上の任意の正の正則断面曲率を持つ G-不変ケーラー計量に対して成立することに注意する. 実はケーラー C 空間
はいつでも正の正則断面曲率を持つであろうと予想されていて, エルミート対称空間以外にも, 伊藤 [5] や Lohove[12] によって, いくつかのケーラー C 空間でこの予想が確か

66

められている.
これとは別に, 非負曲率を持つもう 1 つの自然な空間のクラスであるコンパクトリー
マン対称空間に対しても, 部分的に非存在定理を示した.
定理 2 ([7]). (M, g) を単連結かつ既約なコンパクトリーマン対称空間とする.

(1) M が強不安定なリーマン対称空間, エルミート対称空間, または rankM ≤ 3 かつM = SO(q + 3)/SO(q) × SO(3) (q ≥ 4) のいずれかのとき, 重み付き有限グラフ(X, mE ) から (M, g) への安定な離散極小はめ込みは存在しない.
(2) M が強不安定なリーマン対称空間, エルミート対称空間または例外型リー群 G2のいずれかのとき, 重み付き有限グラフ (X, mE ) から (M, g) への非自明な安定離散調和写像は存在しない.
ここで, (M, g) が強不安定 (strongly unstable) とは, 「任意の滑らかなコンパクト
リーマン多様体 (N, h) に対して, (M, g) への非自明な安定調和写像 f : (N, h) → (M, g)が存在しない」というより強い性質を持つことを言う. 強不安定な単連結既約コンパ
クトリーマン対称空間については, Howard-Wei[4] および大仁田 [14] による完全な分類がある.
同様の非存在定理は, 任意の単連結かつ既約コンパクトリーマン対称空間に対して成り立つと予想しているが, 今回用いた方法では一般の証明は難しく, 残された問題となっている.
主定理の証明は, [1, 4, 10, 14, 15, 16] の中で, 滑らかな極小部分多様体や滑らかな調和写像の不安定性を証明するために用いられた「平均化の方法」を離散写像に適用することで得られる. 離散写像の場合には, グラフが “1 次元” の対象であることなどを用いて議論をし直すことで, いくつかの点で従来の手法を改善することができる. 講演ではその点を踏まえて証明の概略を述べたい (あるいはもう少し詳しく [6] に証明の詳細を述べたので, 合わせて参照して頂きたい).

参考文献[1] D. Burns, F. Burstall, P. de Bartolomeis and J. Rawnsley, Stability of harmonic maps of Kähler manifolds, J. Diﬀerential Geom. 30 (1989) 579–594.
[2] Y. Colin de Verdière, Comment rendre géodésique une triangulation d une surface?,
Enseign. Math. (2), 37(3-4):201–212, 1991.
[3] H.Y. Cheng, Stable geodesic nets in convex hypersurfaces, J. Geom. Anal. (2024), 34:56.
[4] R. Howard and S.W. Wei, Nonexistence of stable harmonic maps to and from certain
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67

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spheres. Calc. Var. Partial Diﬀerential Equations 61 (2022), no. 3, Paper No. 104, 35
pp.
[18] W. Ziller, Closed geodesics on homogeneous spaces. Math. Z. 152, 67–88 (1976).

68‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͷମੵʹؔ͢Δੑ࣭ͱɼ

Marginally Trapped Submanifold ΁ͷҰൠԽʹ͍ͭͯ‫ۢ཮ ా؛‬ɹ (౦‫ۀ޻ژ‬େֶ ৘ใཧ޻ֶӃ)*֓ཁn(M , g) Λ୯࿈͔݁ͭ‫ܗڞ‬ฏୱͳ n ࣍‫ݩ‬ͷ Riemann ଟ༷ମͱ͢Δͱɼn + 1 ࣍‫ݩ‬ͷޫਲ਼΁ͷ౳௕͸ΊࠐΈ p : M n → Λn+1 ͕ଘࡏ͢Δɽ͜ͷ౳௕͸ΊࠐΈ p ʹΑͬͯɼM n ͸ Rn+2ͷ༨࣍‫ ݩ‬2 ͷ෦෼ଟ༷1ମͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖ɼp ͷ Rn+2಺ʹ͓͚Δମੵʹؔ͢Δม෼໰୊͕ߟ͑ΒΕΔɽମੵͷୈೋม෼ެࣜ
1ͷ‫ࢉܭ‬Λ౿·͑ɼචऀͷ‫[ ڀݚ‬9] Ͱ͸ɼ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମ (M n , g) ͱ౳௕͸ΊࠐΈ p : M n → Λn+1 ʹରͯ͠ɼྵۭؒ Npn+1 Λಋೖͨ͠ɽྵۭؒ Npn+1 ͸ Rn+2
ͷ L-‫׬‬උͳޫత೾໘Ͱ͋ΓɼM n ͸ Npn+11ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽಛʹ (M n , g) ͷεΧϥʔ‫ ཰ۂ‬S ͕߃౳తʹྵͰ͋Δ৔߹ɼM n

͸ Npn+1 ʹ͓͍ͯɼମੵͷ‫ۃ‬େੑΛ༗͍ͯ͠ΔɽຊߨԋͰ͸ɼචऀͷ‫[ ڀݚ‬9] ͱɼmarginally trapped

submanifold ΁ͷҰൠԽʹ͍ͭͯઆ໌͢Δɽ

1 ४උ
Rn+2
Λ n + 2 ࣍‫ݩ‬ͷ Minkowski ۭ࣌ͱ͠ɼͦͷූ߸͸ (− + · · · +) Ͱ͋Δͱ͢ΔɽRn+2
ʹ෇ਵ͢Δඪ
1
1

४తͳ Lorentz ಺ੵΛ ·, · Ͱද͢ɽϕΫτϧ x ∈ Rn+2
͕ x, x > 0 Λຬͨ͢ͱ͖ɼx ͸ۭؒతͰ͋Δͱ
1
͍͍ɼx, x = 0 Λຬͨ͢ͱ͖ɼx ͸ޫతͰ͋Δͱ͍͏ɽRn+2ͷޫతͳϕΫτϧશମͷू߹1

Λn+1 := {x ∈ Rn+2
| x, x = 0}1
Λ n + 1 ࣍‫ݩ‬ͷޫਲ਼ (light-cone) ͱ͍͏ɽM n Λ n ࣍‫ݩ‬ͷଟ༷ମͱ͠ɼp : M n → Λn+1 Λ͸ΊࠐΈͱ͢Δɽp ʹΑͬͯ༠ಋ͞ΕΔ M n ্ͷ‫Ͱ఺֤͕ྔܭ‬ਖ਼ఆ஋Ͱ͋Δͱ͖ɼp ͸ޫਲ਼ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘Ͱ͋Δͱ͍͏ɽ

2 ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͱޫਲ਼ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘ຊઅͰ͸ɼ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͱɼޫਲ਼ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘ͱͷؔ࿈ੑɼ‫ͦͼٴ‬ͷੑ࣭ʹ͍ͭͯड़΂ΔɽDeﬁnition 2.1. M n Λ n ࣍‫ݩ‬ͷ‫׈‬Β͔ͳଟ༷ମͱ͢ΔɽM n ্ͷ 2 ͭͷ Riemann ‫ ྔܭ‬g ͱ g  ʹରͯ͠ɼM n ্ͷ͋Δ࣮਺஋ؔ਺ σ ʹΑΓɼg  = e2σ g ͱද͞ΕΔͱ͖ɼg ͱ g  ͸‫ܗڞ‬ಉ஋Ͱ͋Δͱ͍͏ɽ·ͨɼ

Riemann ‫ ྔܭ‬g ͕‫ॴہ‬తʹฏୱͳ‫ܗڞͱྔܭ‬ಉ஋Ͱ͋Δͱ͖ɼRiemann ଟ༷ମ (M n , g) ͸‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷
ମͰ͋Δͱ͍͏ɽ
‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମ͸ɼޫਲ਼ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘ͱؔ࿈ੑ͕͋Γɼ࣍ͷࣄ࣮͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ* ˟152-8550 ౦‫౎ژ‬໨ࠇ۠େԬࢁ 2 ஸ໨ 12 ʵ 1 ౦‫ۀ޻ژ‬େֶ ৘ใཧ޻ֶӃ ਺ཧɾ‫ࢉܭ‬Պֶίʔεe-mail: kishida.r.aa@m.titech.ac.jp69Fact 2.2 (Brinkmann [5], Asperti-Dajczer [4]). (M n , g) Λ n(≥ 3) ࣍‫ݩ‬ͷ୯࿈݁ͳ Riemann ଟ༷ମͱ͢
Δɽ͜ͷͱ͖ɼҎԼͷओு͸ಉ஋Ͱ͋Δɽ(i) (M n , g) ͸‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͰ͋Δɽ(ii) ౳௕͸ΊࠐΈ p : M n → Λn+1 ͕ଘࡏ͢Δɽ·ͨ͜ͷͱ͖ɼ౳௕͸ΊࠐΈ p : M n → Λn+1 ͸ɼΛn+1 ͷ౳௕ม‫׵‬ͷҧ͍Λআ͍ͯҰҙతʹఆ·Δɽͳ͓ n = 2 ͷ৔߹ɼ೚ҙͷ 2 ࣍‫ ݩ‬Riemann ଟ༷ମ (M 2 , g) ͸‫ܗڞ‬ฏୱͰ͋ΓɼM 2 ͕୯࿈݁Ͱ͋Δ৔߹͸ Λ3 ʹ౳௕͸ΊࠐΈՄೳͰ͋Δ͕ɼҰҙੑʹ͍ͭͯ͸੒ཱ͠ͳ͍ʢcf. [11]ʣɽ

(M n , g) Λ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͱ͠ɼp : M n → Λn+1 Λ౳௕͸ΊࠐΈͰ͋Δͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼࣸ૾
q : M n → Λn+1 Ͱɼp, q = 1,

(X ∈ X(M n ))X, q = 0Λຬͨ͢΋ͷ͕Ұҙతʹଘࡏ͠ɼq Λ p ʹରԠ͢Δ૒ରࣸ૾ͱ͍͏ɽͨͩ͠ɼX(M n ) ͸ M n ্ͷϕΫτϧ
৔શମͷू߹Λද͢ɽͳ͓ɼp ͸ۭؒత͸ΊࠐΈͰ͋Δ͕ɼ૒ରࣸ૾ q ͸Ұൠʹಛҟ఺Λ࣋ͭࣸ૾ͱͳΔɽޫਲ਼ͷࣸ૾ʹର͢Δ૒ରੑʹ͍ͭͯ͸ɼEspinar-Gálvez-Mira [6], ઘ԰ [8], Liu-Jung [10] ͰͦΕͧΕಠཱʹࢦఠ͞Ε͍ͯΔɽp ʹแ‫ ૾ؚࣸ‬Λn+1 → Rn+2Λ߹੒ͨࣸ͠૾Λߟ͑Δ͜ͱʹΑΓɼM n ͸ Rn+2ʹ͸Ίࠐ·Εͨ෦෼11ଟ༷ମͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖ɼͦͷ༨࣍‫ݩ‬͸ 2 Ͱ͋ΔɽM n Λ Rn+2ͷ෦෼ଟ༷ମͱΈͳͨ͠ͱ͖ͷ๏ଋΛ
1

N M n ͱ͠ɼΓ(N M n ) Ͱ๏ϕΫτϧ৔શମͷू߹Λද͢ɽRn+2ͷ઀ۭؒͱ Rn+2ࣗ਎ΛಉҰࢹ͢Δ͜ͱʹ11ΑΓɼp ͸ p ࣗ਎ʹԊ͏ϕΫτϧ৔ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔɽՃ͑ͯɼp ͸֤఺ͰޫతͳϕΫτϧͰ͋ΔͨΊɼp ∈ Γ(N M n ) ͱͳΔɽ૒ରࣸ૾ q ΋ p ʹԊ͏ϕΫτϧ৔ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖ɼp ͱಉ༷ʹ q ∈ Γ(N M n ) ͱͳΔɽ·ͨɼ{p, q} ͸ N M n ͷ࿮ͱͳΔɽࣸ૾ II : X(M n ) × X(M n ) → Γ(N M n ) ΛII(X, Y ) := (∇X Y )⊥(X, Y ∈ X(M n ))ͱఆΊɼp ʹର͢Δୈೋ‫ج‬ຊ‫͏͍ͱࣜܗ‬ɽͨͩ͠ɼ∇ ͸ Rn+2্ͷඪ४తͳ Levi-Civita ઀ଓͱ͠ɼ⊥ ͸
1

N M n ΁ͷࣹӨͱ͢Δɽ͜͜Ͱɼࣸ૾ A : X(M n ) → X(M n ) ΛAX, Y  := II(X, Y ), q

(X, Y ∈ X(M n ))ͱఆٛ͠ɼp ʹର͢Δ‫༻࡞ܗ‬ૉͱ͍͏ɽ·ͨɼ{e1 , . . . , en } Λ઀ଋ T M n ͷਖ਼‫ن‬௚ަ࿮ͱ͠ɼ

H :=

n


II(ei , ei )i=1Ͱఆٛ͞ΕΔ๏ϕΫτϧ৔ H Λ p ͷฏ‫཰ۂۉ‬ϕΫτϧ৔ͱ͍͍ɼ‫༻࡞ܗ‬ૉ A Λ༻͍ͯɼH = tr(A)p − nqͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽͨͩ͠ɼtr(A) ͸ A ͷτϨʔεΛද͢ɽtr(A) ͷ஋͸ɼ(M n , g) ͷεΧϥʔ‫ ཰ۂ‬S ͱؔ࿈ੑ͕͋Γɼ࣍ͷࣄ࣮͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ

Fact 2.3 ([6, 8, 10]). ্‫ه‬ͷఆٛͷԼͰɼS = −2(n − 1) tr(A) ͕੒ཱ͢Δɽ͜ͷࣄ࣮͔Βɼ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͷεΧϥʔ‫ ཰ۂ‬S ͸ฏ‫ͯ͠ͱ཰ۂۉ‬ͷ໾ׂΛ࣋ͪɼಛʹ S ≡ 0 Ͱ͋Δ৔߹ɼฏ‫཰ۂۉ‬ϕΫτϧ৔ H ͸֤఺ͰޫతͳϕΫτϧͱͳΔɽ

70

3 ޫਲ਼ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘ͷମੵʹؔ͢Δม෼ެࣜຊઅͰ͸ɼޫਲ਼ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘ʹରͯ͠ɼମੵͷୈҰม෼ެ͓ࣜΑͼୈೋม෼ެࣜʹ͍ͭͯઆ໌͢Δɽ

(M n , g) ΛίϯύΫτͰ޲͖෇͚ΒΕͨ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͰ‫ڥ‬քΛ‫ؚ‬Ή΋ͷͱ͠ɼp : M n → Λn+1 Λ౳௕͸ΊࠐΈͱ͢ΔɽF : (−ε, ε) × M n → Rn+2
Λ p ͷม෼Ͱ‫ڥ‬քΛอͭͱ͠ɼX Λ F ͷม෼ϕΫτϧ৔ͱ͢Δɽ1·ͨɼp ʹԊ͏ϕΫτϧ৔ ∇t X Λ(∇t X)x :=∂2
F (t, x)∂t2 t=0(x ∈ M n )(3.1)

ͱఆٛ͢Δɽ͜͜Ͱɼp ͷม෼ͷதͰ΋ಛʹৼΔ෣͍ͷྑ͍΋ͷͱͯ͠ɼʮ‫ڐ‬༰తʯͳม෼ͱɼ
ʮಛੑతʯͳม
෼Λಋೖ͢Δɽఆٛ͸ҎԼͷͱ͓ΓͰ͋Δɽ

Deﬁnition 3.1. M n ্ͷ͋Δ࣮਺஋ؔ਺ ϕ Λ༻͍ͯɼX = ϕq ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ৔߹ɼม෼ F ͸‫ڐ‬༰త
(admissible) Ͱ͋Δͱ‫Ϳݺ‬ɽ͞ΒʹɼF ͕‫ڐ‬༰తͰ͋ΓɼM n ্ͷ͋Δ࣮਺஋ؔ਺ ψ Λ༻͍ͯɼ∇t X = ψqͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ৔߹ɼม෼ F ͸ಛੑత (characteristic) Ͱ͋Δͱ‫Ϳݺ‬ɽVol(t) Λɼม෼ F ͔Βఆ·Δମੵؔ਺ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼମੵͷୈҰɾୈೋม෼ެࣜ͸ҎԼͷ໋୊ͷΑ͏ʹද͞ΕΔɽ

Proposition 3.2. ม෼ F ͕‫ڐ‬༰తͰ͋Δͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼମੵͷୈҰม෼͸dVol(t) = −dt t=0Mn

tr(A) X, p dV0

ͱද͞ΕΔɽͨͩ͠ɼdV0 ͸ (M n , g) ͷମੵ‫ࣜܗ‬Λද͢ɽ

Proposition 3.3. (M n , g) ͷεΧϥʔ‫ ཰ۂ‬S ͸߃౳తʹྵͰ͋Δͱ͠ɼม෼ F ͸ಛੑతͰ͋Δͱ͢Δɽ͜
ͷͱ͖ɼମੵͷୈೋม෼͸d2
Vol(t) = −dt2 t=0Mn 2
tr A2 X, p dV0ͱද͞Εɼ͜ͷ஋͸ඇਖ਼Ͱ͋Δɽ

Remark 3.4. Proposition 3.3 Ͱ༩͑ΒΕ͍ͯΔୈೋม෼ެࣜ͸ɼLiu-Jung [10], Andersson-Metzger [3], ຊా-ઘ԰ [7] Ͱ༩͑ΒΕͨୈೋม෼ެࣜʹҰக͢Δɽ͔͠͠ɼ͜ΕΒͷจ‫͍ͯͭʹݙ‬ɼ͍͔ͭ͘ίϝϯτ͓ͯ͠
͘ɽ[7] Ͱ͸ɼ‫ڐ‬༰తͳม෼ʹ͓͍ͯୈҰม෼ެࣜΛ༩͍͑ͯΔ͕ɼୈೋม෼ެࣜʹ͍ͭͯ͸ม෼͕ಛੑతͰ
͋Δ͜ͱΛ໌ࣔͤͣʹ‫͞ࢉܭ‬Ε͍ͯΔɽ·ͨɼୈೋม෼͕ඇෛͰ͋Δ͜ͱ͕ࢦఠ͞Ε͍ͯͳ͍ɽ[10] Ͱ͸ɼୈҰɾୈೋม෼ެࣜΛҰൠͷ࣍‫͓ͯ͠ࢉܭͰݩ‬Γɼୈೋม෼ͷඇෛੑʹ͍ͭͯ΋ࣔ͞Ε͍ͯΔ͕ɼม෼Λ‫੍͢ن‬Δ৚͕݅໌ࣔ͞Ε͍ͯͳ͍ɽҰํ [3] Ͱ͸ɼม෼ͷ੍‫ʹ͠ͳݶ‬ม෼ެࣜΛಋग़͍ͯ͠Δɽ·ͨɼ[3] ͱ [7] Ͱ͸ɼશମۭ͕ؒ 4 ࣍‫ݩ‬ͷ৔߹ʹ‫ݶ‬ఆͯ͠ม෼ެ͕ࣜ‫ه‬ड़͞Ε͍ͯΔɽͨͩ͠ɼ[3] ͱ [7] ʹ͍ͭͯ͸ɼޫਲ਼ʹ‫·ؚ‬ΕΔ‫ۂ‬໘ͰεΧϥʔ‫͋Ͱྵ͕཰ۂ‬Δ΋ͷΑΓ޿͍Ϋϥεʹ͓͍ͯม෼ެ͕ࣜ‫͞ࢉܭ‬Ε͍ͯΔ (cf. §6)ɽ4 L-‫׬‬උͳޫత೾໘
ຊઅͰ͸ɼ੺ྮ-ຊా-ക‫ݪ‬-ࢁా [2] Ͱಋೖ͞Εͨ֓೦Ͱ͋ΔɼʮL-‫׬‬උͳޫత೾໘ʯʹ͍ͭͯઆ໌͢Δɽ

71

·ͣɼޫత೾໘ͷఆٛΛ༩͑Δɽ(Rn+2 )∗ ͸ Rn+2 ͷ૒ରϕΫτϧۭؒΛද͠ɼP ∗ (Rn+2 ) Ͱ (Rn+2 )∗ ͷࣹӨۭؒΛද͢΋ͷͱ͢Δɽ·ͨɼπ : (Rn+2 )∗ → P ∗ (Rn+2 ) Λඪ४తͳࣹӨͱ͢Δɽ

Deﬁnition 4.1 ([2]). Ln+1 Λ n + 1 ࣍‫ݩ‬ͷ‫׈‬Β͔ͳଟ༷ମͱ͠ɼΨ : Ln+1 → Rn+2Λ‫׈‬Β͔ͳࣸ૾ͱ͢
1Δ. ‫׈‬Β͔ͳࣸ૾ α̃ : Ln+1 → (Rn+2 )∗ \ {0} ͕ଘࡏ͠ɼҎԼͷ৚݅Λຬͨ͢ͱ͖ɼΨ Λ ʢ༨޲͖෇͚Մೳ
ͳʣ೾໘ (co-orientable wave front) ͱ͍͏ɽ(i) α̃x dΨx (v) = 0 (x ∈ Ln+1 , v ∈ Tx Ln+1 ).
× P ∗ (Rn+2 ) ͕͸ΊࠐΈͱͳΔɽ(ii) (Ψ, π ◦ α̃) : Ln+1 → Rn+21
͞Βʹ, Ψ ʹԊ͏ϕΫτϧ৔ ξˆ Λξˆx , v = α̃x (v)x ∈ Ln+1 , v ∈ TΨ(x) Rn+21

͕੒ཱ͢ΔΑ͏ʹఆΊɼξˆ ͕֤఺ͰޫతͳϕΫτϧͰ͋Δ৔߹ɼΨ ͸ ʢ༨޲͖෇͚Մೳͳʣޫత೾໘

(co-orientable null wave front) ͱ͍͏. ·ͨɼξˆ Λ Ψ ʹԊ͏๏ϕΫτϧ৔ͱ͍͏ɽͷ๏ϕҎ‫ޙ‬ɼ೾໘͸༨޲͖෇͚ՄೳͰ͋Δ΋ͷͷΈΛߟ͑Δ͜ͱʹ͢Δɽξˆ Λޫత೾໘ Ψ : Ln+1 → Rn+2
1Ϋτϧ৔ͱ͢ΔɼඞཁͳΒ͹ ξˆ Λ −ξˆ ʹஔ͖‫͑׵‬ɼ) ্ͷඪξˆ ͸ະདྷ޲͖Ͱ͋ΔͱԾఆ͢ΔɽRn+2 (= Rn+2
1४తͳਖ਼ఆ஋಺ੵΛ (·, ·)E ͱද͠ɼξˆE :=ˆ ξ)ˆ E ξˆ Ͱఆٛ͞ΕΔϕΫτϧ৔ ξˆE Λ Ψ ͷਖ਼‫ن‬Խ͞Εͨ๏
2/(ξ,ϕΫτϧ৔ (E-normalized normal vector ﬁeld) ͱ͍͏ɽޫత೾໘͸Ұൠͷ೾໘ͱ͸ҟͳΓɼࣸ૾ Ψ ʹԊ͏ϕΫτϧ৔Ͱ͋Δ ξˆE ΛɼLn+1 ্ͷϕΫτϧ৔ͱͯ͠ଊ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɼΑΓਖ਼֬ʹ͸࣍ͷ໋୊͕੒ཱ͢Δɽ

Proposition 4.2 ([2]). Ψ : Ln+1 → Rn+2Λޫత೾໘ͱ͠ɼξˆE Λ Ψ ͷਖ਼‫ن‬Խ͞Εͨ๏ϕΫτϧ৔ͱ͢Δɽ1
n+1
͜ͷͱ͖ɼϕΫτϧ৔ ξE ∈ X(L) ͰɼdΨ(ξE ) = ξˆE Λຬͨ͠ɼξE ͷ֤ੵ෼‫ۂ‬ઢͷ Ψ ʹΑΔ૾͕ Rn+2
1ͷޫతͳ௚ઢͷҰ෦ͱͳΔ΋ͷ͕Ұҙతʹଘࡏ͢Δɽ͜ͷ໋୊͔ΒಘΒΕΔ Ln+1 ্ͷϕΫτϧ৔ ξE ͷ͜ͱΛɼΨ ʹରԠ͢Δਖ਼‫ن‬Խ͞ΕͨྵతϕΫτϧ৔(E-normalized null vector ﬁeld) ͱ͍͏ɽޫత೾໘ͷ L-‫׬‬උੑ͸ɼξE Λ༻͍ͯ࣍ͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɽ
Deﬁnition 4.3 ([2]). Ψ : Ln+1 → Rn+2Λޫత೾໘ͱ͠ɼξE Λ Ψ ͷਖ਼‫ن‬Խ͞ΕͨྵతϕΫτϧ৔ͱ͢Δɽ
1
ξE ͕‫׬‬උͳϕΫτϧ৔Ͱ͋Γɼ֤ੵ෼‫ۂ‬ઢ γ : R → Ln+1 ʹରͯ͠ɼΨ ◦ γ ͷ૾͕ Rn+2ͷޫతͳ௚ઢશମ
1ʹҰக͍ͯ͠Δͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼޫత೾໘ Ψ ͸ L-‫׬‬උ (L-complete) ͱ͍͏ɽྫ͑͹ɼޫਲ਼͸ L-‫׬‬උͳޫత೾໘ͷయ‫͋Ͱྫܕ‬ΔɽҰൠʹ L-‫׬‬උͳޫత೾໘͸ಛҟ఺Λ࣋ͭ௒‫ۂ‬໘Ͱ͋Δɽ
࣮ࡍɼ࣍ͷ໋୊͕੒Γཱͭɽ

Proposition 4.4 ([1]). L-‫׬‬උͳޫత೾໘ Ψ : Ln+1 → Rn+2͕͸ΊࠐΈͰ͋Δͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼΨ ͷ૾
1

͸ Rn+2ͷޫతͳ௒‫ۂ‬໘ʹ‫·ؚ‬ΕΔɽ
15 ओ݁ՌຊઅͰ͸ɼ[9] ͷ‫Ͱڀݚ‬ಘΒΕͨओ݁Ռʹ͍ͭͯઆ໌͢Δɽ(M n , g) Λ n ࣍‫ݩ‬ͷ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͱ͠ɼ

p : M n → Λn+1 Λ౳௕͸ΊࠐΈͱ͢ΔɽNpn+1 := R × M n ͱ͓͖ɼࣸ૾ Φp : Npn+1 → Rn+2Λ1
Φp (t, x) := p(x) + tq(x)72(t ∈ R, x ∈ M n )(5.1)

ͱఆٛ͢ΔɽNpn+1 ʹ͸ Φp ͷҾ͖໭͠ʹΑͬͯ༠ಋ͞ΕΔ‫෇͕ྔܭ‬ਵ͍ͯ͠ΔͱΈͳ͠ɼNpn+1 Λ p ʹରԠ͢Δྵۭؒ (null-space) ͱ‫Ϳݺ‬ɽྵۭؒ͸ L-‫׬‬උͳޫత೾໘ͱͯ͠ଊ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɼ࣍ͷ໋୊͕੒ཱ͢Δɽ

Proposition 5.1. (5.1) Ͱఆٛ͞ΕΔࣸ૾ Φp : Npn+1 → Rn+2
͸ L-‫׬‬උͳޫత೾໘Ͱ͋Δɽ
1͜͜Ͱɼࣸ૾ ιp : M n  x → (0, x) ∈ Npn+1 Λߟ͑Δͱɼιp ͸౳௕ຒΊࠐΈͱͳΔͨΊɼιp ʹΑΓ M n
Λ Npn+1 ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ·ͨɼιp ͷม෼Λߟ͑Δ͜ͱʹΑΓɼNpn+1 Ͱͷ M n ͷม෼Λߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽͳ͓ɼp ͕͸ΊࠐΈͰ͋ΔͱԾఆ͍ͯ͠ΔͨΊɼࣸ૾ Φp ͸ {0} × M n ͷ؅ঢ়ۙ๣্Ͱ͸ΊࠐΈͰ͋ΔɽͦͷͨΊɼ͜ͷԾఆͷԼͰ͸ɼΦp ͷಛҟ఺Λߟྀ͠ͳͯ͘΋Α͍ɽNpn+1 ಺ͷ೚ҙͷม෼͸ɼಛੑతͳม෼ʹΑͬͯஔ͖‫͑׵‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɼΑΓਖ਼֬ʹ͸࣍ͷ໋୊͕੒ཱ͢Δ

Proposition 5.2. (M n , g) ΛίϯύΫτͰ޲͖෇͚ΒΕͨ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͱ͠ɼ‫ڥ‬քΛ‫ؚ‬Ή΋ͷͱ͢Δɽ·ͨɼp : M n → Λn+1 Λ౳௕͸ΊࠐΈͰ͋Δͱ͠ɼNpn+1 Λ p ʹର͢ΔྵۭؒͰ͋Δͱ͢Δɽ

G : (−ε, ε) × M n → Npn+1 Λ ιp ͷ‫ڥ‬քΛอͭม෼Ͱ͋Δͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼδ ∈ (0, ε) ͱɼp ͷಛੑతͳม
෼ F : (−δ, δ) × M n → Rn+2
ͰɼF ͷମੵؔ਺ͱɼG ͷମੵؔ਺͕Ұக͢Δ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɽ
1࣍ͷఆཧ͸ɼ[9] Ͱͷओ݁ՌͰ͋Δɽ

Theorem 5.3. (M n , g) Λ‫ܗڞ‬ฏୱͳଟ༷ମͰ͋Δͱ͠ɼp : M n → Λn+1 Λ౳௕͸ΊࠐΈͱ͢Δɽ·ͨɼ
Npn+1 Λ p ͷྵۭؒͱ͢Δɽ͞Βʹɼ(M n , g) ͷεΧϥʔ‫ ཰ۂ‬S ͸߃౳తʹྵͰ͋Δͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼྵۭؒ಺ͷίϯύΫτͳ୆Λ࣋ͭ೚ҙͷม෼ʹରͯ͠ɼମੵͷୈҰม෼͸ྵͰ͋Γɼୈೋม෼͸ඇਖ਼Ͱ͋Δʢͭ·Γɼp ͸ Npn+1 ͷதͰମੵ͕‫ۃ‬େͱͳΔʣɽ

6 Marginally Trapped Submanifold ΁ͷҰൠԽ[3] ͱ [7] ʹ͓͍ͯɼମੵͷม෼ެ͕ࣜҎԼʹఆٛ͞ΕΔ “marginally trapped surface” ʹରͯ͠‫͞ࢉܭ‬Ε
͍ͯΔ͜ͱʹ৮ൃ͞Εɼචऀ͸લઅͰͷ݁ՌΛ “marginally trapped submanifold” ʹରͯ͠ҰൠԽͨ͠ɽ·ͣɼ marginally trapped submanifold ͷఆٛΛ༩͑Δɽ

Deﬁnition 6.1. Σn Λ n ࣍‫ݩ‬ͷ޲͖෇͚ΒΕͨ‫׈‬Β͔ͳଟ༷ମͱ͠ɼf : Σn → Rn+2Λۭؒత͸ΊࠐΈͱ͢
1
Δɽf ͷฏ‫཰ۂۉ‬ϕΫτϧ৔ H ͕֤఺ͰྵͰͳ͍ޫతϕΫτϧͰ͋Δ৔߹ɼࣸ૾ f ͸ marginally trapped

submanifold ͱ͍͏ʢҎԼɼMT-෦෼ଟ༷ମͱলུ͢Δʣɽn = 2 ͷ৔߹͸ɼmarginally trapped surfaceͱ‫ݺ‬͹ΕΔʢҎԼɼMT-‫ۂ‬໘ͱলུ͢Δʣɽ

Remark 6.2. Fact 2.3 ΑΓɼS ≡ 0 Λຬͨ͢ Λ3 ͷۭؒత௒‫ۂ‬໘͸ MT-‫ۂ‬໘ͷయ‫͋Ͱྫܕ‬Δɽ·ͨɼR3 ͷ‫ۃ‬খ‫ۂ‬໘΍ɼR31 ͷۭؒత‫ۃ‬େ‫ۂ‬໘ʹ͍ͭͯ΋ɼMT-‫ۂ‬໘ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽͦͷଞʹ΋ɼஅ໘‫ ͕཰ۂ‬−1
ͷ 3 ࣍‫ݩ‬૒‫ۭؒۂ‬ʢ·ͨ͸ɼஅ໘‫ ͕཰ۂ‬1 ͷ 3 ࣍‫ ݩ‬de Sitter ۭ࣌ʣʹ‫·ؚ‬ΕΔۭؒత‫ۂ‬໘Ͱɼͦͷฏ‫ۂۉ‬཰ͷઈର஋͕߃౳తʹ 1 Ͱ͋Δ৔߹ɼͦͷ‫ۂ‬໘͸ MT-‫ۂ‬໘Ͱ͋Δʢcf. [7]ʣɽ

Deﬁnition 3.1 Ͱఆٛ͞Εͨಛੑతͳม෼͸ɼMT-෦෼ଟ༷ମͷม෼ʹରͯ͠΋ಉ༷ʹఆٛͰ͖Δɽ·ͨɼ
Proposition 3.2 ͱ 3.3 Ͱ༩͑ΒΕͨୈҰɾୈೋม෼ެࣜʹ͍ͭͯ΋ɼMT-෦෼ଟ༷ମʹ͓͍ͯಉ༷ͷެ͕ࣜಘΒΕΔɽ͞ΒʹɼMT-෦෼ଟ༷ମʹରͯ͠΋ྵۭؒΛಋೖ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɼͦͷྵۭؒ͸ L-‫׬‬උͳޫత೾
໘Ͱ͋Δɽ

73

Deﬁnition 6.3. f : Σn → Rn+2
Λ MT-෦෼ଟ༷ମͱ͢ΔɽNfn+1 := R × Σn ͱ͓͖ɼࣸ૾ Φf : Nfn+1 →
1
Λ
Rn+2
1

Φf (t, x) := f (x) + tH(x)(t ∈ R, x ∈ Σn )(6.1)

ͱఆٛ͢ΔɽNfn+1 ʹ͸ Φf ͷҾ͖໭͠ʹΑͬͯ༠ಋ͞ΕΔ‫෇͕ྔܭ‬ਵ͍ͯ͠ΔͱΈͳ͠ɼNfn+1 Λ f ʹରԠ͢Δྵۭؒ (null-space) ͱ‫Ϳݺ‬ɽProposition 6.4. (6.1) Ͱఆٛ͞ΕΔࣸ૾ Φf : Nfn+1 → Rn+2
͸ L-‫׬‬උͳޫత೾໘Ͱ͋Δɽ
1࣍ͷఆཧ͸ɼTheorem 5.3 Λ MT-෦෼ଟ༷ମ΁ͱҰൠԽ͢Δ͜ͱʹΑͬͯಘΒΕͨ݁ՌͰ͋Δɽ

Theorem 6.5. f : Σn → Rn+2
Λ MT-෦෼ଟ༷ମͱ͠ɼNfn+1 Λ f ͷྵۭؒͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼNfn+1 ಺1ͷίϯύΫτͳ୆Λ࣋ͭ೚ҙͷม෼ʹରͯ͠ɼମੵͷୈҰม෼͸ྵͰ͋Γɼୈೋม෼͸ඇਖ਼Ͱ͋Δʢͭ·Γɼf ͸ Nfn+1 ͷதͰମੵ͕‫ۃ‬େͱͳΔʣɽҎ্ͷ‫݁ڀݚ‬Ռͷൃలͱͯ͠ɼԣ඿ࠃཱେֶͷຊాࢯ͓Αͼࢦಋ‫ڭ‬һͷക‫ͱࢯݪ‬ɼMT-෦෼ଟ༷ମ

f : Σn → Rn+2͕ಛҟ఺Λ࣋ͭ৔߹΁ͷ֦ுʹ͍ͭͯ‫ڀݚ‬தͰ͋ΔɽຊߨԋͰ͸ɼՄೳͳΒ͹͜ͷ‫಺ڀݚ‬༰
1ʹ͍ͭͯ΋આ໌͢Δ༧ఆͰ͋Δɽࢀߟจ‫ݙ‬[1] S. Akamine, A. Honda, M. Umehara, and K. Yamada, Null hypersurfaces in Lorentzian manifolds
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74഍ ‫ہ‬՝൥ుढ߁␆‫ۋ‬ղ࣠‫␣⏩⏢␃׭ܶڹ‬6`2/?QHK ̷Ӽ␃⏼⏜⏾࠽յ ‫ ܙ‬Uೀ‫ۃ‬೴̾ऻΪV »RX ·വ
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75

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76

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アフィン部分空間から定まる
シンプレクティックトーリック多様体の同変埋め込み
山口 健太朗（東京都立大学）∗

1 概要
コンパクトな 2n 次元シンプレクティックトーリック多様体は，n 次元トーラスの Hamilton 作
用による運動量写像の像として定まる Delzant 多面体とよばれる凸多面体によって完全に分類されることがわかっている．また，シンプレクティックトーリック多様体のトーリック因子の補空間
は複素 n 次元トーラスと同一視できる．本講演では，[Yam24] に基づき複素 n 次元トーラスの複素部分トーラスをコンパクト化して得られる部分多様体を構成し，その部分多様体の運動量写像の像に関する研究を紹介する．

2 準備
本節では，シンプレクティック多様体へのトーラスの Hamilton 作用と，シンプレクティック
トーリック多様体の基本的な結果について説明する．
滑らかな多様体 M 上の 2 次微分形式 ω が非退化な閉形式になっているとき，組 (M, ω) をシン
プレクティック多様体とよび，ω をシンプレクティック形式とよぶ．

2.1 トーラスの Hamilton 作用
まず，トーラスの Hamilton 作用について説明する．
定義 2.1. シンプレクティック多様体 (M, ω) へのトーラス T の右からの作用がシンプレクティッ
ク形式 ω を保つとする．以下の条件を満たす写像 μ : M → t∗ が存在するとき，T の作用を

Hamilton 作用という．
• T の作用に関して μ は同変，

∗ Email: yamaguchi-kentaro@ed.tmu.ac.jp

本研究は JST 科学技術イノベーション創出に向けた大学フェローシップ創設事業（JPMJFS2139）の助成を受けたものである．

80• 任意の X ∈ t に対して，ι(X  )ω = −dμ, X．ここで，X  は基本ベクトル場のこと．
また，このときの写像 μ のことをトーラス T の Hamilton 作用による運動量写像とよぶ．
トーラスの Hamilton 作用による運動量写像の像に関して，次の古典的な結果が知られている．
定理 2.2 (凸性定理 [Ati82, GS82]). シンプレクティック多様体へのトーラスの Hamilton 作用による運動量写像の像は，そのトーラス作用の固定点の像の凸包に一致する．特に，運動量写像の像は凸多面体．
一般に，シンプレクティック多様体へのトーラスの Hamilton 作用の固定点は，運動量写像の像として現れる凸多面体の内部や面に対応することもある．
トーラス T がシンプレクティック多様体 (M, ω) へ Hamilton 作用しているとする．T  を T の部分トーラスとし，包含写像 i : T  → T とする．シンプレクティック多様体 (M, ω) への部分トーラス T  の作用について次の事実がわかる．
命題 2.3. シンプレクティック多様体 (M, ω) へのトーラス T の Hamilton 作用による運動量写像を

μ : M → t∗ とする．このとき，(M, ω) への部分トーラス T  の作用を包含写像 i : T  → T を通じて(M, ω) への T 作用を使って定めると，T  の (M, ω) への作用は ω を保ち，写像 (i∗ ◦μ) : M → (t )∗は T  の (M, ω) への作用による運動量写像になる．すなわち，いま定めた T  の (M, ω) への作用
は Hamilton 作用になる．

2.2 シンプレクティックトーリック多様体
n 次元トーラスが効果的に Hamilton 作用している 2n 次元シンプレクティック多様体のことをシンプレクティックトーリック多様体とよぶ．コンパクトなシンプレクティックトーリック多様体
へのトーラスの Hamilton 作用による運動量写像の像は Delzant 多面体とよばれる凸多面体になる．ここで，Delzant 多面体とは次で定義されるもののことである．
定義 2.4. 次の 3 つの条件を満たす Rn ∼= (tn )∗ の凸多面体 Δ を Delzant 多面体という．

• 単純であること．つまり，Δ の各頂点をそれぞれちょうど n 個の facet（余次元 1 の面）が共有していること，• 有 理 的 で あ る こ と ．つ ま り ，各 頂 点 λ を 共 有 す る n 個 の facet の 内 向 き 法 ベ ク ト ル
uλ1 , . . . , uλn が uλ1 , . . . , uλn ∈ Zn を満たすこと，• 滑らかであること．つまり，上の条件にある uλ1 , . . . , uλn が Zn の基底になっていること．
また，Λ を Delzant 多面体 Δ の頂点の集合とする．
たとえば，複素射影空間 CP n に Fubini–Study 計量を入れた場合の n 次元トーラスの Hamilton
作用による運動量写像の像は標準 n 単体になる．

81

また，シンプレクティック商を使うことで Delzant 多面体の情報からシンプレクティックトー
リック多様体を構成することができる．この構成は Delzant 構成とよばれる．さらに，Delzant による次の古典的な結果が知られている．
定理 2.5 ([Del88]). コンパクトなシンプレクティックトーリック多様体は Delzant 多面体によって完全に分類される．

Guillemin [Gui94] によりシンプレクティックトーリック多様体には，対応する Delzant 多面体の情報から定まる Kähler 構造が存在することが知られている．さらに，この Kähler 構造を用いると，2n 次元シンプレクティックトーリック多様体のトーリック因子の補空間は複素 n 次元トーラスと同一視することができる．

3 複素部分多様体 C(V ) の構成
本節では，コンパクトなシンプレクティックトーリック多様体 M のトーリック因子 D の補空間

M \ D と複素 n 次元トーラス (C∗ )n との同一視のもとで，複素部分トーラス C(V ) をコンパクト化したもの C(V ) の構成の詳細を説明する．

n 次元トーラス T n の Lie 環 tn ∼= Rn の k 次元アフィン部分空間 V を V = spanR {p1 , . . . , pk }+a と表示する．ここで，p1 , . . . , pk ∈ Zn は V の線形部分の原始的な基底，a ∈ Rn とする．つまり，V は有理的な傾きをもったアフィン部分空間とする．
アフィン部分空間 V の線形部分の原始的な基底 p1 , . . . , pk ∈ Zn に対して，V の直交補空間の原始的な直交基底 qk+1 , . . . , qn ∈ Zn をとる．シンプレクティックトーリック多様体 M のトーリッ

ク因子 D の補空間 M \ D ∼= (C∗ )n の複素 k 次元トーラス C(V ) ∼= (C∗ )k を次で定める．

⎧⎪⎨

C(V ) =

⎪
⎩

⎫
⎤
⎞
w1
⎪
⎬
⎜⎢ ⎥
⎟
t
[qk+1 · · · qn ] ⎝⎣ ... ⎦ − a⎠ = 0 .
⎪
⎭
wn
⎛⎡

(ew1 , . . . , ewn ) ∈ (C∗ )n

この部分トーラス C(V ) の (Zariski) 閉包をとることでシンプレティックトーリック多様体 M にコンパクト化したものを C(V ) と定める．つまり，C(V ) ∼= (C∗ )k ⊂ (C∗ )n ∼= M \ D という状況のもとで C(V ) ⊂ M \ D と考えて C(V ) を D まで自然に延長したものを C(V ) と定める．
上のように定めた C(V ) は M の非斉次座標近傍 {(Uλ , ϕλ )}λ∈Λ ごとに次のように表すことができる．

C(V ) =λ∈Λλここで，fk+1, . . . , fnλ とは

flλ (z λ ) =

λ
λ λ
ϕ−1
λ ({z ∈ ϕλ (Uλ ) | fl (z ) = 0, l = k + 1, . . . , n}).

λ(zjλ )uj ,ql − ea,ql

j∈{i|uλi ,ql ≥0}λ(zjλ )−uj ,ql

j∈{i|uλi ,ql ≤0}で定義されるもののことである．このようにして定めた C(V ) が M の複素 k 次元部分多様体になるかどうかはアフィン部分空間 V によって決まる．

82

4 CP 2 の中の C(V ) の例
2 次元複素射影空間 CP 2 に対応する Delzant 多面体（標準 2 単体，つまり直角二等辺三角形）の中での C(V ) の運動量写像 μ : CP 2 → (t2 )∗ による像の様子をいくつか図示する．
図 4.1 は V が R2 の中で傾き 1 の部分空間としたときの様子であり，図 4.2 は V が R2 の中で傾き 1 の部分空間の原点を a = (0, log 2) に並行移動させたものとしたときの様子である．

図 4.1

傾き 1 のとき

図 4.2

傾き 1，a = (0, log 2) のとき

図 4.3 は V が R2 の中で傾き 1/2 の部分空間としたときの様子であり，図 4.4 は V が R2 の中で傾き 1/2 の部分空間の原点を a = (− log 2, 0) に並行移動させたものとしたときの様子である．

図 4.3

傾き 1/2 のとき

図 4.4

傾き 1/2，a = (− log 2, 0) のとき

ここで紹介した C(V ) の例はすべて CP 2 の複素部分多様体になっている．

5 複素部分多様体 C(V ) へのトーラス作用による運動量写像の像
ここからは，3 節で構成した複素部分トーラスのコンパクト化 C(V ) がシンプレクティックトー
リック多様体 M の複素 k 次元部分多様体になっていることを仮定する．
シンプレクティックトーリック多様体 M に自然に備わっている n 次元トーラス T n の Hamilton
作用による運動量写像を μ : M → (tn )∗ とする．アフィン部分空間 V の情報から，k 次元トーラ
ス T k と n 次元トーラス T n との間に単射群準同型 iV : T k → T n を/ k0k p ,ep ,eiV (t1 , . . . , tk ) =ti i 1 , . . . ,ti i n
i=1

i=1

83

と定めることができる．この埋め込み iV : T k → T n を用いて M への k 次元トーラス T k の作用を定めるとその T k 作用は Hamilton 作用になり，その Hamilton 作用による運動量写像はi∗V ◦ μ : M → (tk )∗ であることがわかる．
また，複素部分多様体 C(V ) の構成から自然な埋め込み i : C(V ) → M は M への T k 作用に関して同変なので，C(V ) に T k の Hamilton 作用が定まり，その Hamilton 作用による運動量写像

μ : C(V ) → (tk )∗ は μ = i∗V ◦ μ ◦ i である．
以上の構成より以下の図式を得る．

M

μ

i∗
V

i

C(V )

(tn )∗μ(tk )∗ .

M への T k の Hamilton 作用による運動量写像の像 (i∗V ◦ μ)(M ) と C(V ) への T k の Hamilton 作
用による運動量写像の像 μ(C(V )) は，どちらも (tk )∗ ∼= Rk の凸多面体になることが凸性定理よりわかる．2 つの凸多面体 (i∗V ◦ μ)(M ) と μ(C(V )) について次のことがわかった．
定理 5.1 ([Yam24]). tn ∼= Rn のアフィン部分空間 V から定まる C(V ) がシンプレクティック
トーリック多様体 M の複素部分多様体になることを仮定する．このとき，μ(C(V )) = (i∗V ◦ μ)(M )が成り立つ．
証明には凸性定理を使う．つまり，M への T k 作用の固定点と C(V ) への T k 作用の固定点を比べて，凸包をとって両者が同じ凸多面体になることを示せばよい．

参考文献[Ati82]M. F. Atiyah. Convexity and commuting Hamiltonians. Bull. London Math. Soc.,
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84ଌ౓‫ۭؒ཭ڑ‬ͷΦϒβʔόϒϧ௚‫ͱܘ‬ਖ਼ͷଌ౓Λ࣋ͭ఺ͷଘࡏେౡ ॣ (౦๺େֶେֶӃཧֶ‫ڀݚ‬Պ) ∗1 ಋೖଌ౓‫( ۭؒ཭ڑ‬X, dX , μX ) ͱ͸‫( ۭؒ཭ڑ‬X, dX ) ͱ X ্ͷ Borel ଌ౓ μX ͔ΒͳΔࡾͭ૊Ͱ͋Γ,ϦʔϚϯ‫͔ྔܭ‬Βఆ·Δ‫( ཭ڑ‬ϦʔϚϯ‫ͱ )཭ڑ‬ମੵଌ౓Λ࣋ͭϦʔϚϯଟ༷ମͷҰൠԽͱͯ͠ఆٛ
͞Εͨ. ͜ͷ֓೦͸ϦʔϚϯଟ༷ମͷྻͷऩଋΛߟ͑Δࡍʹͦͷ‫͕ݶۃ‬ϦʔϚϯଟ༷ମʹͳΔͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ͱ͍͏͜ͱ͔ΒఆࣜԽ͞Εͨ. ͜ͷଌ౓‫ۭؒ཭ڑ‬͸ϦʔϚϯଟ༷ମͷ࣋ͭੑ࣭Λྑ͘Ҿ͖‫͍ܧ‬Ͱ͓Γ, ྫ͑͹, ଌ౓‫্ۭؒ཭ڑ‬ͷ Sobolev ۭؒͷཧ࿦΍, Ϧον‫͕཰ۂ‬Լʹ༗քͰ͋Δͱ͍͏৚݅
Λଌ౓‫ʹ্ۭؒ཭ڑ‬ఆࣜԽͨ͠‫ݩ࣍཰ۂ‬৚݅ʹؔ͢Δཧ࿦ͳͲ, ϦʔϚϯ‫ز‬ԿֶͷҰͭͷ‫ڀݚ‬ର৅ͱͯۙ͠೥Α͘‫͞ͳ͕ڀݚ‬Ε͍ͯΔ.
‫ࡏݱ‬, ଌ౓‫ۭؒ཭ڑ‬ͷఆٛ͸͍͔ͭ͘ଘࡏ͢Δ͕, ͦͷதͷҰͭʹ Gromov [1] ʹΑͬͯߟ͑ΒΕͨμX ͕֬཰ଌ౓Ͱ͋ΔΑ͏ͳଌ౓‫( ۭؒ཭ڑ‬mm-ۭؒͱ‫ݺ‬͹ΕΔ) ͕͋Δ. mm-ۭؒͷཧ࿦Ͱ͸, 2 ऩଋ΍ूதͱ͍͏ۭؒྻͷऩଋΛओʹѻ͓ͬͯΓ, ಛʹूத͸ʮଌ౓ͷूத‫ݱ‬৅ʯʹ༝དྷ͢ΔऩଋͰ, ‫ݱ‬ࡏ஌ΒΕ͍ͯΔଌ౓‫ۭؒ཭ڑ‬ͷऩଋͷதͰ࠷΋ऑ͍ऩଋͰ͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ. ͜͜Ͱ, ଌ౓ͷूத‫ݱ‬৅ͱ͸ߴ࣍‫ݟ͍͓ͯʹۭؒݩ‬ΒΕΔଌ౓͕େ͖͘ภΔ‫ݱ‬৅ͷ͜ͱͰ͋Γ, Lévy [3] ΍ Milman[4] ʹΑͬͯൃ‫ݟ‬, ఆࣜԽ͞Εͨ. ͜ͷ‫ݱ‬৅͸ؔ਺Λ༻͍ͨද‫Ͱݱ‬ʮ্ۭؒͷ೚ҙͷ 1-Lipschitz ؔ਺͕ଌ౓తʹఆ਺ؔ਺, ͭ·Γ 1 ఺্ۭؒͷ 1-Lipschitz ؔ਺ʹ͍ۙʯͱ͍͏ࣄ΋ग़དྷΔ. ͜ΕΛͦͷߴ࣍‫ ͕ۭؒݩ‬1 ఺ۭؒʹ͍ۙͱղऍ͠௚͢͜ͱͰߟ͑ΒΕͨऩଋ͕ूதͰ͋Δ. Gromov ͷཧ࿦ͷதͰ, ଌ౓ͷूத‫ݱ‬৅͕‫ݟ‬ΒΕΔۭؒ͸ Lévy ଒ͱ‫ݺ‬͹Ε, Φϒβʔόϒϧ௚‫ܘ‬Λ༻͍ͯఆٛ͞ΕΔ.

2 ଌ౓‫ۭؒ཭ڑ‬ͷΦϒβʔόϒϧ௚‫ܘ‬͜ͷઅͰ͸, ଌ౓‫( ۭؒ཭ڑ‬ಛʹ mm-ۭؒ) ΍Φϒβʔόϒϧ௚‫ؔʹܘ‬࿈͢Δ‫ج‬ຊతͳఆٛ΍ੑ࣭Λड़΂Δ. Ҏ߱, P(X) ΛҐ૬ۭؒ X ্ͷ Borel ֬཰ଌ౓શମͱ͢Δ.
ఆٛ 2.1 (mm-ۭؒ). (X, dX , μX ) ͕ mm-ۭؒͰ͋Δͱ͸, (X, dX ) ͕‫׬‬උ͔ͭՄ෼ͳ‫Ͱۭؒ཭ڑ‬,μX ∈ P(X) Λຬͨ͢͜ͱΛ͍͏.
Ҏ߱͸, mm-ۭؒ (X, dX , μX ) Λ୯ʹ X ͱද‫͢ه‬Δ.
∗ E-mail : shun.oshima.s3@dc.tohoku.ac.jp85

ఆٛ 2.2 (Lipschitz ॱং). mm-ۭؒ X ͕ mm-ۭؒ Y Λࢧ഑͢Δ (Y ≺ X ·ͨ͸ X  Y ) ͱ͸,͋Δ 1-Lipschitz ࣸ૾ f : supp μX → supp μY ͕ f∗ μX = μY Λຬͨ͢͜ͱΛ͍͍, ͜ͷೋ߲ؔ܎ ≺Λ Lipschitz ॱংͱ͍͏.
ఆٛ 2.3 (mm-ಉ‫)ܕ‬. 2 ͭͷ mm-ۭؒ X, Y ͕ mm-ಉ‫͋Ͱܕ‬Δͱ͸, ͋Δ౳௕ࣸ૾ f : supp μX →supp μY ͕ଘࡏͯ͠, f∗ μX = μY Λຬͨ͢͜ͱΛ͍͏. ·ͨ, mm-ۭؒͷ mm-ಉ‫ྨܕ‬શମΛ X ͱॻ͘.
ఆٛ 2.4. (෦෼௚‫ܘ‬, Φϒβʔόϒϧ௚‫)ܘ‬X Λ mm-ۭؒͱ͠, α ∈ (0, 1) ͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖,
diam(X; α) = diam(μX ; α) := inf{diam A | A ͸ μX (A) ≥ α Λຬͨ͢ Borel ू߹ }ͱఆΊ, X ͷ α-෦෼௚‫͏͍ͱܘ‬. ͦͯ͠,ObsDiam(X; α) := sup{diam(f∗ μX ; α) | f ∈ Lip 1 (X)}
ObsDiam(X) := inf max{κ, ObsDiam(X; 1 − κ)}
κ>0ͱఆΊ, ͜ΕΛ X ͷ α-Φϒβʔόϒϧ௚‫ܘ‬, Φϒβʔόϒϧ௚‫͏͍ͱܘ‬. ͨͩ͠, Lip 1 (X) ͸ X ্
ͷ 1-Lipschitz ؔ਺શମͷू߹Ͱ͋Δ.
ఆٛ 2.5. (Lévy ଒)mm-ۭؒͷྻ {Xn }n∈N ͕ Lévy ଒Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ α ∈ (0, 1) ʹର͠,lim ObsDiam(Xn ; α) = 0n→∞͕੒ཱ͢Δ͜ͱ, ͋Δ͍͸ಉ஋ͳ͜ͱ͕ͩ

lim ObsDiam(Xn ) = 0n→∞͕੒ཱ͢Δ͜ͱΛ͍͏.
ྫ 2.6. S n (rn ) Λਖ਼‫ن‬Խ͞Εͨମੵଌ౓Λ࣋ͭ൒‫ ܘ‬rn ͷ n ࣍‫ٿݩ‬໘ͱ͢Δͱ͖,rn{S n (rn )}n∈N ͕ Lévy ଒Ͱ͋Δ ⇔ lim √ = 0n→∞n͕੒ཱ͢Δ. ಛʹ, n ࣍‫ݩ‬୯Ґ‫ٿ‬໘ͷྻ͸ Lévy ଒Ͱ͋Δ.
ҎԼ, I := [0, 1) ͱ͠, I ͸ Lebesgue ଌ౓ L1 ʹΑͬͯ֬཰ଌ౓ۭؒͱͳΔ.
ఆٛ 2.7 (ύϥϝʔλ). X Λ mm-ۭؒͱ͢Δ. Borel ࣸ૾ ϕ : I → X ͕ ϕ∗ L1 = μX Λຬͨ͢ͱ͖,ϕ ͸ X ͷύϥϝʔλͰ͋Δͱ͍͏.
໋୊ 2.8 ([6], ิ୊ 4.2). ೚ҙͷ mm-ۭؒ X ʹର͠, X ͷύϥϝʔλ͕ଘࡏ͢Δ.
ఆٛ 2.9 (ϘοΫε‫)཭ڑ‬. mm-ۭؒ X, Y ʹର͠,˜ ≥1−ε(1) L1 (I)86

(2) ೚ҙͷ s, t ∈ I˜ ʹର͠, |dX (ϕ(s), ϕ(t)) − dY (ψ(s), ψ(t))| ≤ εΛຬͨ͢ Borel ू߹ I˜ ⊂ I, X ͷύϥϝʔλ ϕ, Y ͷύϥϝʔλ ψ ͕ଘࡏ͢ΔΑ͏ͳ ε > 0 ͷԼ‫ݶ‬Λ

2(X, Y ) ͱॻ͖, ͜ΕΛ X ͱ Y ͷϘοΫε‫͏͍ͱ཭ڑ‬.
ఆٛ 2.10 (Ky Fan ‫)཭ڑ‬. I ্ͷ Borel Մଌؔ਺ f, g : I → R ʹର͠, dKF Λ

1
2
dKF (f, g) := inf ε > 0 | L1 ({x ∈ I | |f (x) − g(x)| > ε}) ≤ εͱఆΊΔͱ͖, ͜ͷ dKF Λ Ky Fan ‫͏͍ͱ཭ڑ‬.

mm-ۭؒ X ͱ X ͷύϥϝʔλ ϕ ʹରͯ͠, ϕ∗ Lip 1 (X) := {f ◦ ϕ | f ∈ Lip 1 (X)} ͱఆΊΔ.
ఆٛ 2.11 (Φϒβʔόϒϧ‫)཭ڑ‬. mm-ۭؒ X, Y ʹର͠, X ͱ Y ͷΦϒβʔόϒϧ‫ ཭ڑ‬dconc (X, Y )ΛKF
dconc (X, Y ) := inf dH(ϕ∗ Lip 1 (X), ψ ∗ Lip 1 (Y ))ϕ,ψ

KF
ͱఆΊΔ. ͨͩ͠, dH
͸ dKF ʹؔ͢Δ Hausdorﬀ ‫͋Ͱ཭ڑ‬Γ, ϕ, ψ ͸ͦΕͧΕ X, Y ͷύϥϝʔλશମΛಈ͘΋ͷͱ͢Δ.
໋୊ 2.12 ([6], ఆཧ 4.10, ఆཧ 4.14, ఆཧ 5.16). 2, dconc ͸ͲͪΒ΋ X ্ͷ‫͋Ͱ཭ڑ‬Γ, ಛʹ,(X , 2) ͸‫׬‬උ‫͋Ͱۭؒ཭ڑ‬Δ.
ఆٛ 2.13 (2 ऩଋ, ूத). mm-ۭؒͷྻ {Xn }n∈N ͕͋Δ mm-ۭؒ Y ʹ X ্ͷ‫ ཭ڑ‬2 (resp.
2→ Y (resp.
dconc ) ʹ͍ͭͯऩଋ͢Δͱ͖, Xn ͕ Y ʹ 2 ऩଋ͢Δ (resp. ूத͢Δ) ͱ͍͍, Xn −conc

Xn −−−→ Y ) ͱॻ͘.
໋୊ 2.14 ([6], ໋୊ 5.5). ೚ҙͷ mm-ۭؒ X, Y ʹର͠ dconc (X, Y ) ≤ 2(X, Y ) ͕੒ཱ͢Δ. ಛʹ

mm-ۭؒͷྻ {Xn }n∈N ͕ mm-ۭؒ Y ʹ 2 ऩଋ͢Δͱ͖, {Xn }n∈N ͸ Y ʹूத͢Δ.
ఆٛ 2.15 (ε-mm-ಉ‫)૾ࣸܕ‬. X, Y Λ mm-ۭؒͱ͢Δ. ε ≥ 0 ʹର͠, Borel ࣸ૾ f : X → Y ͕

ε-mm-ಉ‫͋Ͱ૾ࣸܕ‬Δͱ͸, ͋Δ Borel ू߹ X0 ⊂ X ͕ଘࡏͯ͠ҎԼΛຬͨ͢͜ͱΛ͍͏.
(1) μX (X0 ) ≥ 1 − ε(2) ೚ҙͷ x, y ∈ X0 ʹର͠, |dX (x, y) − dY (f (x), f (y))| ≤ ε(3) dP (f∗ μX , μY ) ≤ ε͜͜Ͱ, dP ͸ P(Y ) ্ͷ Prokhorov ‫͋Ͱ཭ڑ‬Δ.
໋୊ 2.16. ([6], ໋୊ 5.7, ‫ ܥ‬5.8)

X Λ mm-ۭؒͱ͠, ∗ Λ 1 ఺͔ΒͳΔ mm-ۭؒ, ͭ·Γ ∗ := ({∗}, d∗ , δ∗ ) ͱ͢Δͱ͖
dconc (X, ∗) ≤ ObsDiam(X) ≤ 2 dconc (X, ∗)conc

͕੒ཱ͢Δ. ಛʹ, mm-ۭؒͷྻ {Xn }n∈N ʹ͍ͭͯ, {Xn }n∈N ͕ Lévy ଒Ͱ͋Δ͜ͱͱ Xn −−−→ ∗͕ಉ஋Ͱ͋Δ.

87໋୊ 2.17 ([6], 4.4 અ). X Λ mm-ۭؒͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ೚ҙͷ N ∈ N ʹର͠, ͋Δ μN ∈ P(RN )͕ଘࡏͯ͠,

2→X
X1 ≺ X2 ≺ · · · ≺ XN ≺ · · · ≺ X ɹ͔ͭɹ XN −(N → ∞)

Λຬͨ͢. ͨͩ͠, XN := (RN ,  · ∞ , μN ) Ͱ͋Δ.

3 ଟม਺Φϒβʔόϒϧ௚‫ܘ‬࣍ʹ, ࠓճͷ‫ʹͨ৽Ͱڀݚ‬ఆٛͨ͠ ʠα Λଟม਺Խͨ͠Φϒβʔόϒϧ௚‫ܘ‬ʡ ʹ͍ͭͯఆٛ΍ੑ࣭Λड़΂Δ. ·ͨ, ͜ͷઅͰ͸ n ∈ N ∪ {∞} ͱ͠, n = ∞ ͷ࣌͸, {1, . . . , n} = N Ͱ͋Δͱ໿ଋ͢Δ.
ఆ ٛ 3.1 ([5]). mm-ۭ ؒ X ͱ, α = (α1 , . . . , αn ) ∈ (0, 1)n ʹ ର ͠, X ͷ α-෦ ෼ ௚ ‫ܘ‬diam(X; α), diam(X; α) ͱ α-Φϒβʔόϒϧ௚‫ ܘ‬ObsDiam(X; α) ΛҎԼͷΑ͏ʹఆٛ͢Δ.
3
4{Ai }ni=1 ͸ X ͷ disjoint ͳ Borel ू߹଒nDX (α) := {Ai }i=1
μX (Ai ) ≥ αi(∀i ∈ {1, . . . , n})
4
⎧ 3
n
⎨inf
(DX (α) = ∅)sup diam Ai {Ai }i=1 ∈ DX (α)
diam(X; α) :=
1≤i≤n
⎩
∞
(DX (α) = ∅)diam(X; α) := inf diam(Y ; α)Y

ObsDiam(X; α) :=X

supf ∈Lip 1 (X)diam((R, f∗ μX ); α)໋୊ 3.2 ([5], ໋୊ 3.4). mm-ۭؒ X, Y ͱ α = (α1 , . . . , αn ) ∈ (0, 1)n ʹର͠, ҎԼ͕੒ཱ͢Δ.

(1) X ≺ Y ͳΒ͹ diam(X; α) ≤ diam(Y ; α)(2) ObsDiam(X; α) ≤ diam(X; α)(3) X ≺ Y ͳΒ͹ ObsDiam(X; α) ≤ ObsDiam(Y ; α)஫ҙ 3.3. diam(X; α) ΍ ObsDiam(X; α) ͸ଟม਺Խʹࡍͯ͠ੑ࣭ͷྑ͍ෆมྔͱͳΔ༷ʹఆٛͨ͠΋ͷͰ͋Δ. ࣮ࡍ, ্Ͱఆٛͨ͠ diam(X; α) ͸ n = 1 ͷ৔߹, diam(X; α) = diam(X; α)ͱͳΔ͕, n ≥ 2 ͷ࣌ʹ໋୊ 3.2 ͷΑ͏ͳੑ࣭͕੒ཱ͠ͳ͍৔߹͕͋Δ. ͞Βʹ, n ≥ 2 ͷͱ͖ͷ

ObsDiam(X; α) Λ n = 1 ͷ৔߹ͱಉ͡Α͏ʹ
ObsDiam(X; α) :=supf ∈Lip 1 (X)diam((R, f∗ μX ); α)ͱఆΊΔͱ, f Λఆ਺ؔ਺ͱ͢Δ͜ͱͰ ObsDiam(X; α) = ∞ ͕ৗʹ੒ཱͯ͠͠·͍, ҙຯͷ͋Δྔͱ͸ͳΒͳ͍.
໋୊ 3.4 ([5], ิ୊ 3.11). mm-ۭؒ X ͱ α = (α1 , . . . , αn ) ∈ (0, 1)n ʹର͠, ҎԼ͸ಉ஋.

(1) diam(X; α) = 0(2) ‫ʹ͍ޓ‬ҟͳΔ఺ {xi }ni=1 ⊂ X ͕ଘࡏͯ͠, ೚ҙͷ i ∈ {1, . . . , n} ʹର͠, μX ({xi }) ≥ αi ͱͳΔ.

88

4 ओఆཧ
ߨԋऀ͸ α-෦෼௚‫ܘ‬΍ α-Φϒβʔόϒϧ௚‫ ͕ܘ‬0 Ͱ͋Δ͜ͱͷඞཁे෼৚͕݅ mm-ۭؒʹΞτϜ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱͱಉ஋Ͱ͋Δͱ͍͏࣍ͷఆཧΛ৽ͨʹಘͨ.
ఆཧ 4.1 ([5], ओఆཧ 1.1). mm-ۭؒ X ͱ α ∈ (0, 1) ʹର͠, ҎԼ͸ಉ஋.

(1) ͋Δ఺ x ∈ X ͕ଘࡏͯ͠, μX ({x}) ≥ α ͱͳΔ.
(2) diam(X; α) = 0(3) ObsDiam(X; α) = 0
͜ͷఆཧͷ (1) ͱ (2) ͷಉ஋ੑ͸‫ʹط‬஌ΒΕ͍ͯͨ [2] ͕, (3) ͱͷಉ஋ੑ (ಛʹ (3) ⇒ (2)) ͕৽‫ن‬ͷ݁ՌͰ͋Δ.
͞Βʹ, ͜ͷఆཧΛ࣍ͷΑ͏ʹଟม਺ͷ α-෦෼௚‫ܘ‬΍ α-Φϒβʔόϒϧ௚‫ܘ‬ͷ৔߹ʹ΋֦ுͨ͠.
ఆཧ 4.2 ([5], ओఆཧ 1.2). mm-ۭؒ X ͱ α = (α1 , . . . , αn ) ∈ (0, 1)n ʹର͠, ҎԼ͸ಉ஋.

(1) X Λࢧ഑͢Δ mm-ۭؒ Y ͱ, ‫ʹ͍ޓ‬ҟͳΔ఺ {yi }ni=1 ⊂ Y ͕ଘࡏͯ͠, ೚ҙͷ i ∈ {1, . . . , n}ʹର͠, μY ({yi }) ≥ αi ͱͳΔ.

(2) ͋Δ x1 , . . . , xn ∈ X ͕ଘࡏͯ͠, ೚ҙͷ I ⊂ {1, . . . , n} ʹର͠,
μX ({xi | i ∈ I}) ≥ i∈I αi ͱͳΔ.
(3) diam(X; α) = 0(4) ObsDiam(X; α) = 0

5 ओఆཧͷূ໌ͷུ֓
ఆཧ 4.1 ͸ఆཧ 4.2 ͔Β௚ͪʹै͏ͷͰ, ఆཧ 4.2 ͷূ໌ʹ͍ͭͯ, ಛʹҰ൪೉͍͠ (4) ⇒ (2) ͷূ໌ͷུ֓ͷΈΛड़΂Δ. (4) ⇒ (2) ͸, ·ͣ X = (RN ,  · ∞ , μ) ͷ৔߹ʹূ໌͢Δ. ͦͷͨΊʹ͸,ҎԼͷิ୊͕ॏཁͰ͋Δ.
ิ୊ 5.1 ([5], ‫ ܥ‬4.7). N ∈ N ͱ͠, μ Λ RN ্ͷ Borel ֬཰ଌ౓ͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ͋Δ 1-Lipschitz
ؔ਺ f : (RN ,  · ∞ ) → R ͕ଘࡏͯ͠ҎԼΛຬͨ͢.

• f∗ μ({b}) > 0 Λຬͨ͢೚ҙͷ b ∈ R ʹର͠, ͋ΔҰҙతͳ x ∈ f −1 ({b}) ͕ଘࡏͯ͠,μ({x}) = f∗ μ({b}) ͱͳΔ.
͜ͷิ୊ 5.1 ͔Β, μ ∈ P(RN ) ʹର͠, ͋Δ f : (RN ,  · ∞ ) → R ͕औΕΔ. (4) ΛԾఆ͢Δͱ,diam((R, f∗ μ); α) = 0 ͕Θ͔Δ͔Β, (3) ⇒ (2) ͱ߹Θͤͯ, ͋Δ b1 , . . . , bn ∈ R ͕ଘࡏͯ͠, ೚ҙͷ I ⊂ {1, . . . , n} ʹର͠, f∗ μ({bi | i ∈ I}) ≥ i∈I αi ͱͳΔ. ͦͯ͠, f ͷੑ࣭͔Β, ֤ bi ∈ R ʹ
ର͠, xi ∈ f −1 ({bi }) ͕औΕͯ, ͜ͷ x1 , . . . , xn ∈ RN ͕ (2) ͷ৚݅Λຬͨ͢.
࣍ʹ, Ұൠͷ X ͷ৔߹ʹূ໌͢Δ. ໋୊ 2.17 ΑΓ, ೚ҙͷ N ∈ N ʹର͠, ͋Δ μN ∈ P(RN ) ͕ଘ

89

ࡏͯ͠,

2

→X
X1 ≺ X2 ≺ · · · ≺ XN ≺ · · · ≺ X ɹ͔ͭɹ XN −(N → ∞)

Λຬͨ͢. ͜͜Ͱ, XN = (RN ,  · ∞ , μN ) Ͱ͋Δ͔Β, X = RN ͷ৔߹ͷ (4) ⇒ (2) ͱ

ObsDiam(XN ; α) ≤ ObsDiam(X; α) = 0
2

ΑΓ, ͋Δ x1,N , . . . , xn,N ∈ XN ͕औΕ, ͞Βʹ, XN −→ X ΑΓ, ͋Δ εN # 0 ͱ εN -mm-ಉ‫૾ࣸܕ‬fN : XN → X ͕औΕΔ. ͜ͷͱ͖, ֤ i = 1, . . . , n ʹର͠, {fN (xi,N )}N ∈N ⊂ X ͷ (ऩଋ෦෼ྻͷ)N → ∞ ʹ͓͚Δ‫ ݶۃ‬xi ∈ X Λߟ͑Δͱ (2) Λຬͨ͢͜ͱ͕ࣔͤΔ.

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2016.

90

粗凸群の相対化について
松家拓稔 ∗(Takumi MATSUKA)
東京都立大学大学院

理学研究科

数理科学専攻客員研究員

概要

Gromov は「負曲率をもつ」群として双曲群を定義した. この幾何的な性質をもつ群は活発に研究され, 様々な性質が明らかになっている. 双曲群の一般化の研究として 2 つの方向がある.

1 つは「非正曲率をもつ」群の研究である. 深谷友宏氏および尾國新一氏により「非正曲率をもつ」群として粗凸群が導入された. もう 1 つの一般化は相対的双曲群の研究である. これは群の幾何的な性質を部分群族に関して相対的な視点よりみる研究である. この 2 つの方向を合流させ, 我々は相対的粗凸群を導入した. そして, 相対的測地粗凸群の融合積, および HNN 拡大もまた相対的測地粗凸群となることを示した. 本稿の内容は深谷友宏氏 (東京都立大学) と Eduardo

Martı́nez-Pedroza 氏 (Memorial University of Newfoundland) との共同研究に基づく.

1 導入
幾何学的群論とは群という代数的な対象を, その群が作用する距離空間を通して幾何学的に考察する分野である. その嚆矢は Dehn による語の問題の研究にある. すなわち有限生成群 G に対して, その生成元による語として書かれた 2 つの元が等しいかどうかを決定するアルゴリズムを与えよという問題である. Dehn は曲面の基本群に対し, 語の問題を肯定的に解決した. その際に曲面の基本群が双曲平面に幾何学的に作用することに注目し, 語の問題を双曲平面の幾何学的な性質を調べることに帰着させた. このように群という代数的な対象をそれが作用する距離空間から幾何学的に考察するという視点は大変有用である. Gromov は Riemann 多様体とは限らない距離空間に対して「空間が負に曲がっている」という概念を定式化し, Gromov 双曲空間を導入した. そして Gromov 双曲空間に,等長変換で固有かつ余コンパクトに作用する群として, 双曲群を定義した. それから, 双曲群論は急速に発展し, 様々な結果をもたらした. 我々は双曲群の 2 つの一般化に注目する.
双曲群は「負曲率をもつ」群とみなせる. であるから, その一般化として「非正曲率をもつ」群を考えることは自然である. 深谷友宏氏および尾國新一氏により定義された粗凸空間は「非正曲率をもつ」距離空間の 1 つのクラスである [4]. Gromov 双曲空間はもちろん, 様々な重要な空間のクラスを含む. 特に重要な性質が 2 つあり, 1 つは粗凸空間であることは擬等長同型写像により保たれること, もう 1 つは粗凸空間の直積はまた粗凸空間となることである. さらに, 粗 Baum–Connes 予想とは「良い」固有距離空間の位相幾何的情報と解析的情報が一致するとのべる, 非可換幾何学において重要な予想である. 深谷友宏氏と尾國新一氏は距離が固有である粗凸空間において粗 Baum–Connes∗

e-mail:takumi.matsuka1@gmail.com

91

予想が成り立つことを示した [4, Theorem 1.3]. そして, 粗凸空間に等長変換として固有かつ余コン
パクトに作用する群を粗凸群といい, これは「非正曲率をもつ」群とみなせるものである.
もう 1 つの一般化は相対的双曲群である. これは群 G に対し, その部分群 H の構造を「壊す」と双曲群になるような群であり, Gromov により導入された. 尖点をもつ体積有限な完備双曲多様体の基本群などがその例であり, 自然な対象である. この相対的双曲群の研究に触発され, 双曲性以外の群の幾何学的性質も部分群に関して相対的に考えようとする試みが Eduardo Martı́nez-Pedroza 氏を中心になされている.
この 2 つの方向の双曲群の一般化を合流する形で, 我々は相対的粗凸群を導入した. そして, 特に相対的測地粗凸群の融合積, および HNN 拡大が相対的測地粗凸群であることを示した.
本稿の内容にまつわる文献をあげる. 深谷友宏氏のモノグラフ [7] は粗凸空間のすぐれた解説である. Eduardo Martı́nez-Pedroza 氏らのサーベイ [6] は群の幾何学的性質を相対的に考えようとする
最近の氏らの研究をまとめたものである.

2 粗凸空間と粗凸群
本節の詳細な解説として [7, 第 6 章, 第 8 章] を参考にされたい. 深谷友宏氏と尾國新一氏は粗凸空間とよばれる距離空間のクラスを導入した [4]. これは「非正曲率をもつ」距離空間のクラスの 1 つである. 以下のような重要な例がある.

(1) 測地的 Gromov 双曲空間
(2) Busemann 非正曲率空間.
(3) 有限次元 systolic 複体 [8].
(4) Hierarchically hyperbolic spaces [5].
(5) Proper injective metric spaces [3], 特に, 局所有限な coarsely Helly graph の injective hulls[2].
擬等長同型写像は等長同型写像に有限の誤差を許したものである. Gromov 双曲性は擬等長不変な性質であるため, 距離空間の非正曲率性もまた擬等長不変であることが期待される. 粗凸空間であることは擬等長同型写像により保たれる. さらに粗凸空間の直積は粗凸空間である.
粗凸空間を定義する. (X, dX ) を距離空間とする. まず, λ ≥ 1 および k ≥ 0 に対し, X 上の(λ, k)-quasi-geodesic bicombing とは写像 γ : X × X × [0, 1] → X であって, 任意の x, y ∈ X に対し, γ(x, y)(·) : [0, 1] → X が γ(x, y)(0) = x かつ γ(x, y)(1) = y であり, さらに t, s ∈ [0, 1] に対し,

λ−1 |t − s|dX (x, y) − k ≤ dX (γ(x, y)(t), γ(x, y)(s)) ≤ λ|t − s|dX (x, y) + k
を満たすものである. 特に λ = 1 かつ k = 0 のとき, γ を geodesic bicombing という.

Deﬁnition 1 (Coarsely convex bicombing). λ ≥ 1, k ≥ 0, E ≥ 1 および C ≥ 0 を定数とする. また, θ : R≥0 → R≥0 を非減少関数とする. X 上の (λ, k, E, C, θ)-coarsely convex bicombing とは (λ, k)-quasi-geodesic bicombing γ : X × X × [0, 1] → X であって, 次の 2 つの条件を満たすもの
をいう.

92

(1) x1 , x2 , y1 , y2 ∈ X および a, b ∈ [0, 1] に対して, y1 := γ(x1 , y1 )(a) および y2 := γ(x2 , y2 )(b)とする. このとき, 任意の c ∈ [0, 1] に対して,

dX (γ(x1 , y1 )(ca), γ(x2 , y2 )(cb)) ≤ (1 − c)EdX (x1 , x2 ) + cEdX (y1 , y2 ) + Cが成立する. この不等式を粗凸不等式という.

(2) x1 , x2 , y1 , y2 ∈ X とする. このとき, t, s ∈ [0, 1] に対して,|tdX (x1 , y1 ) − sdX (x2 , y2 )| ≤ θ(dX (x1 , x2 ) + dX (γ(x1 , y1 )(t), γ(x2 , y2 )(s)))
が成立する.
特に, γ が geodesic bicombing であるとき, geodesic coarsely convex bicombing という.

Remark 1. 条件 (1) および (2) について補足する.
• 条件 (1) において, 特に, E = 1 かつ C = 0 であるとき, 粗凸不等式は距離関数の凸性を示す.
• γ が geodesic bicombing であるとき, 条件 (2) は θ = idR≥0 として自明に成立する.
距離空間 X に (λ, k, E, C, θ)-coarsely convex bicombing が存在するとき, X を粗凸空間という.
とくに, geodesic coarsely convex bicombing が存在するとき, X を測地粗凸空間という. そして, 固
有な距離をもつ粗凸空間に等長変換として固有かつ余コンパクトに作用する群を粗凸群という.

3 群の幾何的性質の相対化
相対的双曲群は幾何的有限な Klein 群の抽象化として Gromov により導入された. これは双曲群の一般化である. ここでは Farb により与えられた相対的双曲群の定義を述べる. 定義を述べるために, coned-oﬀ Cayley グラフを導入する. G を有限生成群とする. また H を G の部分群の有限族とする. さらに Γ をある有限生成集合 S に関する G の Cayley グラフとする.

Deﬁnition 2 (Coned-oﬀ Cayley グラフ). 群 G の H に関する coned-oﬀ Cayley グラフとは次のよ
うな頂点集合と辺集合• V (Γ̂) = V (Γ) ∪ {v(gH) : g ∈ G, H ∈ H}
• E(Γ̂) = E(Γ) ∪ {{v(gH), gh} : g ∈ G, h ∈ H, H ∈ H}をもつグラフ Γ̂(G, H, S) = (V (Γ̂), E(Γ̂)) である. ただし, v(gH) は各コセット gH(g ∈ G, H ∈ H)に対応する頂点である.

Deﬁnition 3 (相対的双曲群). 群 G が H に関して相対的双曲群であるとは, coned-oﬀ Cayley グラ
フ Γ̂(G, H, S) が Gromov 双曲的であるときをいう.
相対的双曲群は現在も活発に研究されており, 多くの研究の蓄積がある. この研究の成功に触発され, 群の他の幾何学的な性質を相対的に捉えようという試みがあらわれた. Eduardo Martı́nez-

Pedroza 氏は群の幾何的な性質を相対的に考える枠組みをまとめた. それは群対, 対擬等長同型写像,

93

Cayley–Abels グラフとよばれる概念である. この枠組みを概説する. まず, 有限生成群 G とその部分群の有限族 H の組 (G, H) を群対という. さらに, 群対に対して定まる Cayley–Abels グラフとは coned-oﬀ Cayley グラフの一般化とみなせるものである. 続いて対擬等長同型写像を定義する.

Deﬁnition 4. L ≥ 1, C ≥ 0, そして M ≥ 0 とする. (G, P) および (H, Q) を群対とする.
(L, C, M )-対擬等長同型写像 q : (G, P) → (H, Q) とは (L, C)-擬等長同型写像 q : G → H であり, な
おかつ, 以下の集合q̇ := {(A, B) ∈ G/P × H/Q : dH (q(A), B) < M }から G/P への射影および H/Q への射影が全射となるものである. ただし, dH は Hausdorﬀ 距離,

G/P = {gP : g ∈ G, P ∈ P} である.
Gromov 双曲性は擬等長不変な性質である. 多くの群の幾何学的な性質は擬等長同型写像によって保たれる. そのアナロジーとして, 群の相対的な幾何学的性質は対擬等長同型写像により保たれることが期待される. 次の定理は Cayley–Abels グラフに対して定まる擬等長不変な性質は対擬等長同型
写像により保たれることを主張する.

Theorem 1 ([1], Theorem H). (G, P) および (H, Q) を群対とする. また, Γ を (G, P) の Cayley–
Abels グラフ, Γ を (H, Q) の Cayley–Abels グラフとする. q : (G, P) → (H, Q) を (L, C, M )対擬等長同型写像とする.

関係 q̇ = {(A, B) ∈ G/P × H/Q : dH (q(A), B) < M } が全単射

q̇ : G/P → H/Q を定めるとき, 対擬等長同型写像 q は Γ から Γ への擬等長同型写像を誘導する.
擬等長不変な幾何的性質 P を考える. ある有限生成群 G が部分群の有限族 H に関して相対的に性質 P をもつことを, この枠組みを利用して以下のように定義する. 群対 (G, H) に対して定まる

Cayley–Abels グラフであって, 性質 P を満たすものが存在するとき, 群 G は H に関して相対的に性質 P をもつと定義する. 上述した定理より, 相対的に性質 P をもつことは対擬等長同型写像により保たれる.

4 相対的粗凸群
上述した枠組みを利用して相対的粗凸群を導入する

Deﬁnition 5 (相対的粗凸群). 有限生成群 G が部分群の有限族 H に関して相対的粗凸群であるとは群対 (G, H) の Cayley–Abels グラフであって, 粗凸空間であるものが存在するときをいう.
相対的測地粗凸群を以下のように定義する.

Deﬁnition 6 (相対的測地粗凸群). 有限生成群 G が部分群の有限族 H に関して相対的測地粗凸群であるとは G がある測地粗凸空間に, 等長変換で余コンパクトかつ次の 2 条件を満たして作用するときをいう.

(1) 任意の H ∈ H に対し, その固定点集合 X H は空ではない有界集合である.
(2) 任意の x ∈ X に対し, その固定部分群 Gx は有限であるか, もしくはある H ∈ H と共役で

94

ある.

(G, P) のある Cayley–Abels グラフ (例えば coned-oﬀ Cayley グラフ) が測地粗凸空間であれば,
G は P に関して相対的測地粗凸群である. 自由群 F2 = a, b に対して, A = a とする. 群対(F2 × Z, A) の coned-oﬀ Cayley グラフは測地粗凸空間である. すなわち, F2 × Z は A に関して相対的測地粗凸群である. なお, F2 × Z は A に関して相対的双曲群ではない.
我々は相対的測地粗凸群の融合積, および HNN 拡大が相対的測地粗凸群であることを示した. 以
下が主定理である.

Theorem 2 (融合積). i ∈ {1, 2} に対し, (Gi , Hi ∪ {Ki }) を群対とする. ∂i : C → Ki を単射準同∂1∂2型とし, G1 ∗C G2 を G1 ←− C −→ G2 により定まる融合積とする. また, H = H1 ∪ H2 とする. このとき, Gi が Hi ∪ {Ki } に関して相対的測地粗凸群ならば, 融合積 G1 ∗C G2 は H ∪ {K1 , K2 } に関して相対的測地粗凸群である.

K を群 G の部分群とする. g ∈ G に対し, gKg −1 を K g とあらわす.
Theorem 3 (HNN 拡大). (G, H ∪ {K, L}) を群対とする. ただし K = L とする, C を K の部分群, ϕ : C → L を単射準同型とする. G∗ϕ は HNN 拡大 G, t | 任意の c ∈ C に対し tct−1 = ϕ(c)
をあらわす. このとき, G が H ∪ {K, L} に関して相対的測地粗凸群ならば, HNN 拡大 G∗ϕ は

H ∪ {K t , L} に関して相対的測地粗凸群である.

参考文献[1] Shivam Arora and Eduardo Martı́nez-Pedroza. Topological groups with a compact open
subgroup, relative hyperbolicity and coherence. J. Algebra, Vol. 631, pp. 830–876, 2023.
[2] Jérémie Chalopin, Victor Chepoi, Anthony Genevois, Hirai Hiroshi, and Damian Osajda.
Helly groups. arXiv:2002.06895, 2022.
[3] Dominic Descombes and Urs Lang. Convex geodesic bicombings and hyperbolicity. Geom.
Dedicata, Vol. 177, pp. 367–384, 2015.
[4] Tomohiro Fukaya and Shin-ichi Oguni. A coarse Cartan-Hadamard theorem with application
to the coarse Baum-Connes conjecture. J. Topol. Anal., Vol. 12, No. 3, pp. 857–895, 2020.
[5] Thomas Haettel, Nima Hoda, and Harry Petyt. Coarse injectivity, hierarchical hyperbolicity
and semihyperbolicity. Geom. Topol., Vol. 27, No. 4, pp. 1587–1633, 2023.
[6] Sam Hughes, Eduardo Martı́nez-Pedroza, and Luis Jorge Sánchez Saldaña. A survey on
quasi-isometries of pairs: invariants and rigidity, arXiv:2112.15046, 2021.
[7] 深谷友宏. 粗幾何学入門, Vol. 152 of SGC ライブラリ. サイエンス社, 2019.
[8] Damian Osajda and Piotr Przytycki. Boundaries of systolic groups. Geom. Topol., Vol. 13,
No. 5, pp. 2807–2880, 2009.

95

Mikami-Weinstein type theorem for cosymplectic groupoid
actionsถ‫ݪ‬मฏ ∗ʢେࡕେֶཧֶ‫ڀݚ‬Պʣ1 ಋೖMeyer-Marsden-Weinstein [4, 5] ʹΑΔγϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ্ͷ Hamilton ࡞༻ʹ͍ͭͯͷ؆໿ఆཧ͸ɼ༷ʑͳঢ়‫֦ʹگ‬ு͞Ε͍ͯΔɽAlbert [1] ͸༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ্ͷ Hamilton ࡞༻Λఆٛ͠ɼ؆໿ఆཧΛࣔͨ͠ɽ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମͱ͸ɼγϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମͷ‫ݩ࣍਺ح‬Ξφϩδʔʹ͋ͨΔ֓೦Ͱ͋Δʢ[2] ౳ΛࢀরʣɽҰํͰࡾ্-Weinstein [6] ͸ɼMeyer-Marsden-Weinstein ͷ݁ՌΛγϯϓϨ
ΫςΟοΫѥ‫ʹ܈‬ΑΔγϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ΁ͷ࡞༻ͷ৔߹ʹҰൠԽͨ͠ɽຊߨԋͰ͸ɼ༨γϯϓϨΫ
ςΟοΫѥ‫ʹ܈‬ΑΔ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ΁ͷ࡞༻Λఆٛ͠ɼࡾ্-Weinstein ‫ܕ‬ͷ؆໿ఆཧΛࣔ͢ɽ

2 ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମͱͦͷ্ͷ Hamiton ࡞༻
2n + 1 ࣍‫ݩ‬ଟ༷ମ M ্ʹ η ∧ ω n = 0 Λຬͨ͢ η ∈ Ω1 (M ) ͱ ω ∈ Ω2 (M ) ͕ଘࡏ͢Δͱ͖ɼ૊ (η, ω) Λ M্ͷ֓༨γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ͱ͍͏ɽ֓༨γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ (η, ω) ͷ͏ͪ ω = dη Λຬͨ͢৔߹͕
઀৮ߏ଄Ͱ͋ΔɽҰํɼ༨γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ͱ͸֓༨γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ (η, ω) Ͱ͋ͬͯ dη = 0͔ͭ dω = 0 Λຬͨ͢΋ͷΛࢦ͢ɽM ্ͷ༨γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ (η, ω) ʹରͯ͠ɼη ͕ఆΊΔ༿૚ߏ଄ͷ֤༿ʹ ω Λ੍‫ͨ͠ݶ‬΋ͷ͸γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ͱͳΔʢ(η, ω) ͔Βఆ·Δ Poisson ߏ଄͕༠ಋ͢ΔγϯϓϨΫςΟοΫ༿૚ߏ଄ʣɽ
ྫ 2.1.

• η = dt, ω =ni=1 dxi ∧ dyi ͸ M= (R2n+1 ; x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn , t) ্ͷ༨γϯϓϨΫ

ςΟοΫߏ଄ɽ

• γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ S ͱγϯϓϨΫςΟοΫඍ෼ಉ૬ ϕ : S → S ʹରͯ͠ɼmapping torus
Sϕ = (S × [0, 1])/{(p, 0) ∼ (ϕ(p), 1) | p ∈ S}͸༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମɽఆٛ 2.2. Lie ‫ ܈‬G ͷ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ (M, η, ω) ΁ͷ η, ω Λอͭ‫׈‬Β͔ͳ࡞༻͕ Hamilton ࡞༻Ͱ͋Δͱ͸ɼҎԼΛຬͨ͢‫׈‬Β͔ͳࣸ૾ʢӡಈྔࣸ૾ʣμ : M → g∗ ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛ͍͏ʢg ͸ G ͷ Lie ‫؀‬ʣɽ

• μ ͸ G ͷ M ΁ͷ࡞༻ͱ G ͷ g∗ ΁ͷࣗવͳ࡞༻ʢ༨ਵ൐࡞༻ʣʹؔͯ͠ಉมతɽ• ೚ҙͷ A ∈ g ͕༠ಋ͢ΔϕΫτϧ৔ A∗ ∈ X(M ) ͕ ω(A∗ , −) = dμA , η(A∗ ) = 0 Λຬͨ͢ɽ∗ email: u074738h@ecs.osaka-u.ac.jp

96Meyer-Marsden-Weinstein ʹΑΔ؆໿ఆཧʹྨࣅͨ࣍͠ͷ݁Ռ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔɽ
ఆཧ 2.3 ([1]). G ʹΑΔ (M, η, ω) ΁ͷ free ͔ͭ proper ͳ Hamilton ࡞༻͕ଘࡏͨ͠ͱ͢Δɽξ ∈ g∗ Λӡಈྔࣸ૾ μ ͷਖ਼ଇ஋ͱ͠ɼGξ ⊂ G Λ༨ਵ൐࡞༻ʹΑΔ ξ ͷ‫ݻ‬ఆ෦෼‫͢ͱ܈‬Δɽ·ͨɼπ : μ−1 (ξ) → μ−1 (ξ)/GξΛࣗવͳࣹӨͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼμ−1 (ξ)/Gξ ্ʹ π ∗ ηξ = η|μ−1 (ξ) , π ∗ ωξ = ω|μ−1 (ξ) Λຬͨ͢༨γϯϓϨΫ

ςΟοΫߏ଄ (ηξ , ωξ ) ͕Ұҙʹଘࡏ͢Δɽ

Riemann ‫ྔܭ‬Λ΋ͭ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମʢcoKähler ଟ༷ମɼ3-༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମʣͷ৔߹ͷ؆໿ఆཧ΋ࣔ͞Ε͍ͯΔ [10]ɽ

3 ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬Lie ѥ‫ͱ܈‬͸ɼѥ‫܈‬ʢ೚ҙͷࣹ͕‫ࣹٯ‬Λ࣋ͭΑ͏ͳখ͞ͳ‫ݍ‬ʣ
G1 ∗ G 1

m

s

/ G1
X

t

i

// G

0

u

/ G1

ʢͨͩ͜͜͠ͰɼG1 ∗ G1 = {(g, h) ∈ G1 × G1 | s(g) = t(h)}ʣͰ͋ͬͯɼࣹͷू߹ G1 ͱର৅ͷू߹ G0 ͕ͱ΋ʹଟ༷ମͰ͋Γɼࣹͷ࢝఺ͱऴ఺ΛͱΔࣸ૾ s, t ͕ͱ΋ʹ௜Ί͜ΈͰɼࣹͷ߹੒ɼ୯Ґࣹɼ‫ࣹٯ‬ΛͱΔࣸ૾

m, u, i ͕‫׈‬Β͔ͳ΋ͷΛ͍͏ɽҎԼͰ͸ Lie ѥ‫܈‬Λ G = (G1 ⇒ G0 ) ͱॻ͘ɽ·ͨ m(g, h) Λ gh ͱ΋ॻ͘ɽ
ྫ 3.1.

• Lie ‫ ܈‬G ͸།Ұͷର৅Λ΋ͭ Lie ѥ‫ ܈‬G ⇒ {∗}ɽ• Lie ‫ ܈‬G ͕ଟ༷ମ M ʹ࡞༻͍ͯ͠Δͱ͖ɼLie ѥ‫ ܈‬G × M ⇒ M ͕s(g, x) = x, t(g, x) = gx, u(x) = (e, x),i(g, x) = (g −1 , gx), m((g, x), (h, y)) = (gh, y)


Ͱఆ·Δɽ

Lie ѥ‫ ܈‬G1 ⇒ G0 ͷࣹͷଟ༷ମ G1 ্ͷඍ෼‫ ࣜܗ‬α ͕m∗ α = pr∗1 α + pr∗2 αΛຬͨ͢ͱ͖ɼα ͸ multiplicative Ͱ͋Δͱ͍͏ɽͨͩ͜͜͠ʹ m : G1 ∗ G1 → G1 ͸ࣹͷ߹੒ɼpri :G1 ∗ G1 → G1 ͸ i ੒෼΁ͷࣹӨɽ
ఆٛ 3.2. Lie ѥ‫ ܈‬G1 ⇒ G0 ͱɼG1 ্ͷ multiplicative ͳγϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ ωG1 ʢresp. ༨γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ (ηG1 , ωG1 )ʣͷ૊ΛγϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬ʢresp. ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬ʣͱ͍͏ɽ 
ྫ 3.3.

• G Λ Lie ‫܈‬ɼg Λͦͷ Lie ‫͢ͱ؀‬Δɽ͜ͷͱ͖ɼG ʹΑΔ g∗ ΁ͷࣗવͳ࡞༻ʢ༨ਵ൐࡞༻ʣʹΑΓγϯϓϨΫςΟοΫѥ‫ ܈‬G × g∗ ⇒ g∗ ͕ఆٛ͞ΕΔɽͨͩ͜͜͠ͰɼT ∗ G  G × g∗ ͱΈͯ T ∗ G্ͷࣗવͳγϯϓϨΫςΟοΫߏ଄Λ G × g∗ ʹೖΕ͍ͯΔɽ

• γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫( ܈‬G1 ⇒ G0 , ωG1 ) ʹରͯ͠ɼ(G1 × R ⇒ G0 , pr∗ dt, pr∗ ωG1 ) ͸༨γϯϓϨΫ
ςΟοΫѥ‫܈‬ɽ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫͍ͯͭʹ܈‬͸ [3] ʹৄ͍͠ɽྫ͑͹ɼ࣍ͷΑ͏ͳ݁Ռ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔɽ

97

ఆཧ 3.4 ([3]). ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫( ܈‬G = (G1 ⇒ G0 ), ηG1 , ωG1 ) ͷ೚ҙͷ୯Ґࣹ͸ಉ͡γϯϓϨΫ
ςΟοΫ༿ SG1 ⊂ G1 ʹଐ͢Δɽ͞ΒʹɼG ͷ Lie ෦෼ѥ‫ ܈‬SG = (SG1 ⇒ G0 ) ͸γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫ͱ܈‬ͳΔɽ

4 ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬ͷ࡞༻
ఆٛ 4.1. Lie ѥ‫ ܈‬G1 ⇒ G0 ʹΑΔଟ༷ମ M ΁ͷࠨ࡞༻ͱ͸ɼ‫׈‬Β͔ͳࣸ૾ρ : M → G0ʢӡಈྔࣸ૾ʣɼ

a : G1 ∗ M → Mͷ૊ (ρ, a) Ͱɼ• ρ(gx) = t(g)((g, x) ∈ G1 ∗ M ),((h, g) ∈ G1 ∗ G1 , (g, x) ∈ G1 ∗ M ),• h(gx) = (hg)x• u(ρ(x)) = x(x ∈ M )Λຬͨ͢΋ͷΛ͍͏ɽͨͩ͜͜͠ͰɼG1 ∗ M := {(g, x) ∈ G1 × M | s(g) = ρ(x)}ɽ·ͨɼa(g, x) Λ gx ͱॻ͍͍ͯΔɽ• g ∈ G1 ʹରͯ͋͠Δ x ∈ M ͕ଘࡏͯ͠ (g, x) ∈ G1 ∗ M ͔ͭ gx = x ͳΒ͹ g = u(ρ(x)) ͷͱ͖ɼࠨ࡞༻ (ρ, a) ͸ free Ͱ͋Δͱ͍͏ɽ• ࣸ૾ G1 ∗ M → M × M ; (g, x) → (gx, x) ͕ proper ͷͱ͖ɼ(ρ, a) ͸ proper Ͱ͋Δͱ͍͏ɽ• G1 ⇒ G0 ʹΑΔ M ΁ͷӈ࡞༻΋ s ͱ t ͷ໾ׂΛೖΕସ͑ͯಉ༷ʹఆٛ͞ΕΔɽ࣍ʹɼ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬ͷ࡞༻Λఆٛ͢ΔɽWeinstein [7] ʹΑΔ Symplectic Creed “EverythingʮγϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ (M1 , ω1 ) ͔ΒγϯϓϨΫςΟοΫ
is a Lagrangian submanifold” ͷҰ‫ͯ͠ͱ؀‬ɼଟ༷ମ (M2 , ω2 ) ΁ͷࣹΛ (M1 × M2 , ω1 ⊕ −ω2 ) ͷ Lagrange ෦෼ଟ༷ମͱఆΊΔʯͱ͍͏ख๏͕͋Δɽ͜ΕΛ༻͍ΔͨΊʹ·ͣɼLagrange ෦෼ଟ༷ମͷ༨γϯϓϨΫςΟοΫ൛ʹ͋ͨΔ֓೦Λಋೖ͢Δɽ
ఆٛ 4.2. ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ (M, η, ω) ͷ෦෼ଟ༷ମ N ⊂ M ͕ Lagrange-Legendre ෦෼ଟ༷ମ
Ͱ͋Δͱ͸ɼ೚ҙͷ p ∈ N Ͱ Tp N ⊂ Kerηp , (Tp N )ωp |Kerηp = Tp N ͕੒Γཱͭ͜ͱΛ͍͏ɽͨͩ͜͜͠Ͱɼ

(Tp N )ωp |Kerηp ͸ Tp N ͷ ωp |Kerηp -௚ަิۭؒɽ

ҰൠʹɼLagrange-Legendre ෦෼ଟ༷ମ͸֓༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମʹରͯ͠ఆٛͰ͖Δɽ઀৮ଟ༷
ମͷ৔߹͸ Legendre ෦෼ଟ༷ମͱ౳Ձͳ֓೦Ͱ͋Δɽ
ఆٛ 4.3. (G = (G1 ⇒ G0 ), ηG1 , ωG1 ) Λ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬ɼ(M, η, ω) Λ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ
༷ମͱ͢ΔɽM ΁ͷࠨ G-࡞༻͕༨γϯϓϨΫςΟοΫ࡞༻Ͱ͋Δͱ͸ɼ࡞༻ͷάϥϑ{(g, x, 1, gx, 1) ∈ G1 × M × R × M × R | (g, x) ∈ G1 ∗ M }͕༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ (G1 × M × R × M × R, η5, ω5 ) ͷ Lagrange-Legendre ෦෼ଟ༷ମͰ͋Δ͜ͱ
Λ͍͏ɽͨͩ͜͜͠Ͱɼ

η5 := ηG1 + η1 − η2 ,98

ω
5 := (ωG1 + ω1 + ηG1 ∧ dt1 ) − ω2 − (ηG1 + η1 ) ∧ dt2
ʢti ͸ i ൪໨ͷ R ͷ࠲ඪɼ(ηi , ωi ) ͸ i ൪໨ͷ M ͷ༨γϯϓϨΫςΟοΫߏ଄ʣɽ

5 ࡾ্-Weinstein ‫ܕ‬ఆཧ͕࣍༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬ͷ࡞༻ʹ͍ͭͯͷ؆໿ఆཧͰ͋Δɽ͜ͷ݁Ռ͸ࡾ্-Weinstein [6] ͷ༨γϯϓϨΫςΟοΫ൛ʹ͋ͨΔɽ
ఆཧ 5.1. ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫ ܈‬G = (G1 ⇒ G0 ) ʹΑΔ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ M ΁ͷ free ͔ͭproper ͳ༨γϯϓϨΫςΟοΫ࡞༻͕ଘࡏͨ͠ͱ͢Δɽ͜ͷ࡞༻ͷӡಈྔࣸ૾Λ ρ : M → G0 ͱ͢Δɽ͞Βʹɼξ ∈ ρ(M ) ͕ ρ ͷਖ਼ଇ஋Ͱ͋ΔͱԾఆ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼρ−1 (ξ)/(SG )ξ ͸༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମͱ
ͳΔɽͨͩ͜͜͠Ͱɼ(SG )ξ ͸ SG1 ͷ‫ͱ఺࢝Ͱݩ‬ऴ఺͕ͱ΋ʹ ξ Ͱ͋ΔΑ͏ͳ΋ͷͷશମΛද͢ɽ

ఆཧ 5.1 ͷূ໌ʹ͸࣍Λ༻͍Δɽ
໋୊ 5.2. (ρ, a) Λ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫( ܈‬G = (G1 ⇒ G0 ), ηG1 , ωG1 ) ʹΑΔ༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ (M, η, ω) ΁ͷ༨γϯϓϨΫςΟοΫ࡞༻ͱ͠ɼS Λ (M, η, ω) ͷ೚ҙͷγϯϓϨΫςΟοΫ༿ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼ

ρ|S : S → G0 ,a|SG1 ∗S : SG1 ∗ S → S
͸γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫ ܈‬SG = (SG1 ⇒ G0 ) ʹΑΔ S ΁ͷγϯϓϨΫςΟοΫ࡞༻ͱͳΔɽ

ྫ 5.3. Lie ‫ ܈‬G ͕༨γϯϓϨΫςΟοΫଟ༷ମ (M, η, ω) ʹ free ͔ͭ proper ʹ Hamilton ࡞༻͍ͯ͠Δͱ͠ɼӡಈྔࣸ૾Λ μ : M → g∗ ͱ͢Δɽ࣍ͷ༨γϯϓϨΫςΟοΫѥ‫܈‬Λߟ͑Δɿ

T ∗ G × R  G × g∗ × R ⇒ g∗ .
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2024.

100

恒等写像の統計 2 重調和性
上野龍

(北海道大学)∗

概要統計多様体間の写像に対して統計 2 重調和写像が変分原理によって誘導される.
統計多様体からリーマン多様体への恒等写像のテンション場には, 中心アファイ
ン微分幾何学における型作用素を与えるチェビシェフベクトル場が現れる. 本
稿ではこの恒等写像の統計 2 重調和性について紹介する.

1 序
多様体 M 上にリーマン計量 g と捩れのないアファイン接続 ∇ を与える. テンソル場∇g が M 上で全対称であるとき, 3 つ組 (M, g, ∇) を統計多様体と呼ぶ. 統計多様体はア
ファイン微分幾何学 [8], 情報幾何学 [1] などで登場し, リーマン多様体は最も基本的である統計多様体である. リーマン幾何学には重要な対象である調和写像があるが, 統計多様体の構造全てをテンション場に含めることは難しいこと, そして統計多様体の間の写像に対するエネルギーは見つかっていないため, 統計多様体の間の調和写像を定義することは困難である. 一方で, 統計多様体の間の写像には 2-エネルギーが定まることから, この汎関数のオイラー・ラグランジュ方程式を用いて統計 2 重調和写像を古畑仁（北海道大学）と筆者は導入した [2]. リーマン幾何学においてはリーマン多様体上の恒等写像は明らかに調和写像であり, その第 2 変分による安定性が [5] などで研究されている. 一方で, 統計多様体から統計多様体への恒等写像において定義域と値域がリーマン多様体として等しくても, 恒等写像のテンション場は必ずしも 0 ではない. 特に, 統計多様体 (M, g, ∇) に対して id∇ : (M, g, ∇) → (M, g, ∇g ) のテンション場 τ (id∇ ) は統計多様体のチェビシェ
フベクトル場の −1 倍であることを筆者は発見した. チェビシェフベクトル場が 0 である
とき, 統計多様体は等積条件を満たすという. これは等積アファイン微分幾何学におけるアポーラリティ条件に対応し, 情報幾何学でも応用が研究されている [4].

2 統計多様体
統計多様体 (M, g, ∇) に対して, 次の式によって定まる M 上のアファイン接続 ∇ を共役接続と呼ぶ.

Xg(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z),

X, Y, Z ∈ Γ(T M ).

ここで, 共役接続 ∇ の捩率は 0 であり, (M, g, ∇) はまた統計多様体である. そして, g のレヴィ・チヴィタ接続 ∇g に対して K = ∇ − ∇g により定まる対称 (1, 2) 型テンソル場を∗

e-mail: ueno.ryu.g1@elms.hokudai.ac.jp

本研究は, JST 次世代研究者挑戦的研究プログラム JPMJSP2119 の支援を受けたものです.

101差テンソル場と呼ぶ. 差テンソル場 K はリーマン計量に関しても対称である, すなわちg(K(X, Y ), Z) = g(Y, K(X, Z)),

X, Y, Z ∈ Γ(T M )(2.1)

である. 統計多様体上で ∇g = 0 であること, ∇ = ∇ であること, そして K = 0 である
ことはそれぞれ同値である.
例 2.1 ([8]). 実アファイン空間への超曲面はめ込み f : M → Rm+1 が各 x ∈ M に対して Rf (x) ⊕ f∗ (Tx M ) = Rm+1 を満たすとき, f を中心アファインはめ込みと呼ぶ. ここで, ガウスの方程式

DX f∗ Y = f∗ ∇X Y − g(X, Y )f,

X, Y ∈ Γ(T M )により捩れがないアファイン接続 ∇ と対称 (0, 2) 型テンソル場 g が M 上に誘導される.
さらに, ∇g は全対称であるため, g が正定値であれば (M, g, ∇) は統計多様体である.
統計多様体 (M m , g, ∇) に対して,

T = trg K =mK(ei , ei ) ∈ Γ(T M )i=1

を (M, g, ∇) のチェビシェフベクトル場と呼ぶ. ここで, {e1 , ..., em } は g に関する M の
正規直交フレームである. チェビシェフベクトル場は ∇ の等積性を表す. 多様体 M 上の体積要素 θ に対して, ∇θ = 0 であるとき ∇ は θ に関して等積的であるという. 特に,

T = 0 は ∇ がリーマン計量 g の体積要素 ωg に関して等積的であることと同値である. このとき, 統計多様体は等積条件を満たすという.
注意 2.2. 統計多様体 (M, g, ∇) 上で T = 0 が成り立つことを, (M, g, ∇) が trace-freeであると呼ぶ場合もある.
統計多様体 (M, g, ∇) に対してチェビシェフベクトル場 T は T = −T を満たすため,(M, g, ∇) と (M, g, ∇), それぞれが等積条件を満たすことは同値である.
一方で, アファイン接続 ∇ に対してそのリッチ曲率テンソル場が対称であることは, ∇が等積的である体積要素が M 上で局所的に存在することと同値である.
命題 2.3. 1 次微分形式 τ (X) = g(T, X), X ∈ Γ(T M ) が閉形式であることと, ∇ のリッ
チ曲率テンソル場が対称であることは同値である.
以後, 統計多様体 (M, g, ∇) に対して ∇ のリッチ曲率テンソル場は対称であるとする.

3 統計 2 重調和写像
2 つの統計多様体 (M m , g, ∇M ), (N n , h, ∇N ) に対して, u : M → N を M から N への滑らかな写像とする.

102

定義 3.1. 写像 u のテンション場 τ (u) = τ (g,∇

τ (u) =

M ,∇N )

(u) を

m




M
∇N
∈ Γ(u−1 T N )
u
e
−
u
∇
e
∗
i
∗
i
ei
ei

i=1

によって定める.
例 3.2 (測地線). 統計多様体 (M, g, ∇) 上の曲線 c(t), t ∈ (a, b) に対して, (a, b) にユー
クリッド計量 g0 とその Levi-Civita 接続 ∇g0 を与えることで c : ((a, b), g0 , ∇g0 ) →(M, g, ∇) を得る. このとき,

τ (c) = ∇ċ ċである. 従って, τ (c) = 0 が成り立つことは c が ∇-測地線であることと同値である.
例 3.3 (恒等写像). 統計多様体 (M, g, ∇) に対して, (M, g, ∇g ) を (M, g, ∇) によるリーマン多様体という. このとき, 恒等写像 id∇ : (M, g, ∇) → (M, g, ∇g ) に対して

τ (id∇ ) = −Tである. ここで, id∇ : (M, g, ∇) → (M, g, ∇g ) に対して τ (id∇ ) = −τ (id∇ ) が成り立つ.
従って, τ (id∇ ) = 0 または τ (id∇ ) = 0 は (M, g, ∇) が等積条件を満たすことと同値である.
写像 u のテンション場にはリーマン計量 h の情報が与えられていない. そこで, u の統
計 2 重テンション場を与える. 統計多様体 (M, g, ∇M ), (N n , h, ∇N ) の共役接続をそれぞれ ∇M , ∇N とし, 差テンソル場をそれぞれ K M , K N とする.
(g,∇M ,h,∇N )定義 3.4 ([2]). 写像 u の統計 2 重テンション場 τ2 (u) = τ2

τ2 (u) =

m 

i=1

−

m


(u) を


∇uei ∇uei τ (u) − ∇u
τ (u)
∇M
ei ei

+ divg (trg K M )τ (u)LN (u∗ ei , τ (u))u∗ ei − K N (τ (u), τ (u))

i=1によって定める. ただし, LN は RN を ∇N の曲率テンソル場としたとき

g(LN (Z, W )X, Y ) = g(RN (X, Y )Z, W ),X, Y, Z, W ∈ Γ(T M )によって与えられる (1, 3) 型テンソル場である.
多様体 M がコンパクトであるとき, τ2 (u) = 0 を満たす写像 u : (M, g, ∇M ) →(N, h, ∇N ) は統計 2-エネルギー
E2 (u) =12τ (u)2h dμgMの臨界写像である. 従って, τ2 (u) = 0 を満たす写像 u を統計 2 重調和写像と呼ぶ.

103

4 恒等写像の統計 2 重調和性
以下, 筆者による結果を述べる. 統計多様体 (M, g, ∇) に対して, 例 3.3 においてτ (id∇ ) = τ (id∇ ) = 0 であることは統計多様体が等積条件を満たすことと同値であった.
定理 4.1. 統計多様体 (M, g, ∇) に対して, τ2 (id∇ ) = τ2 (id∇ ) = 0 を満たすための必要十分条件は次の 2 式によって与えられる.

Δg T +

m

Ricg (ei , T )ei = 0,

(4.1)

i=1

divg (T )T + ∇gT T = 0.

(4.2)

ここで, Ricg は g のリッチ曲率テンソル場, Δg は g による疎ラプラシアンである.
一般に, リーマン多様体上で式 (4.1) を満たすベクトル場を測地的ベクトル場と呼ぶ.
コンパクトリーマン多様体上の測地的ベクトル場については [6] などで研究されている.
命題 4.2. 統計多様体 (M, g, ∇) 上で, g が定数 c = 0 のアインシュタイン計量であるとする. チェビシェフベクトル場 T が (4.1) を満たすとき,

ϕ=−1
divg (T )2cとすれば, ∇ は θ = eϕ ωg に関して等積的, すなわち ∇θ = 0 である.
定義 4.3. 統計多様体 (M, g, ∇) におけるチェビシェフベクトル場に対して (4.1), (4.2)
が成り立つとき, 統計多様体は準等積条件を満たすという.
例 4.4. 統計多様体 (M, g, ∇) 上で∇g T = 0

ならば (M, g, ∇) は準等積条件を満たす.
注意 4.5. 中心アファイン微分幾何学において, ∇g T はチェビシェフ作用素と呼ばれる.
チェビシェフ作用素は中心アファインはめ込みの型作用素であり, R3 内の超曲面でチェ
ビシェフ作用素が 0 であるものは [3] で分類されている.
例 4.6. ユークリッド空間 (Em , g0 ) に対して, K を Em 上の (2.1) を満たす左不変対称(1, 2) 型テンソル場とする. このとき, ∇ = ∇g0 + K とすれば (Em , g0 , ∇) は統計多様体
である. そして, ∇g0 K = 0 であることから ∇g0 T = 0 が成り立つ. 従って (Em , g0 , ∇) は準等積条件を満たす統計多様体である.
準等積条件を満たす統計多様体に対しては次が成り立つ.
命題 4.7. 準等積条件を満たす統計多様体 (M, g, ∇) に対して Ricg (T, T ) ≤ 0 であるとき, ∇g T = 0 である.

104

特に, Ricg が負定値である準等積条件を満たす統計多様体 (M, g, ∇) では T = 0 が成り立つこと, すなわち (M, g, ∇) が等積条件を満たすことがわかる.

5 チェビシェフベクトル場の決定
準等積条件を満たす統計多様体 (M m , g, ∇) に対して, 条件 (4.1) より, g が定曲率 c であるとき次の式を得る.

Δg T = c(m − 1)T

ユークリッド球面上のラプラシアンによる固有値問題の結果 ([7] など) と命題 4.7 を用いて, リーマン計量が完備定曲率である場合にチェビシェフベクトル場の決定を行った.
定理 5.1. 統計多様体 (M, g, ∇) が準等積条件を満たすとする.

(1) (M, g) = (S m , g): ユークリッド単位球面であるとき, T = 0.
(2) (M, g) = (Rm , g): ユークリッド空間であるとき, ある定数 a1 , ..., am が存在して
T =

m

i=1

ai

∂
∂xi

が成り立つ.

(3) (M, g) = (Hm , g): 上半平面であるとき, T = 0.
注意 5.2. 定理 5.1 より, 統計多様体 (M, g, ∇) において (M, g) が完備定曲率 c = 0 であるとき, τ2 (id∇ ) = τ2 (id∇ ) = 0 であるならば τ (id∇ ) = τ (id∇ ) = 0 が成り立つ.

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3 ࣍‫ٿݩ‬໘಺ͷฏୱτʔϥεʹؔ͢Δ௚‫ܘ‬༧૝ͱ
Cliﬀord τʔϥεͷ߶ੑ໰୊๺઒ٛ‫ٱ‬ʢӉ౎‫ٶ‬େֶʣ

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͋Δ Cliﬀord τʔϥεͷ߶ੑ໰୊ɼ͓Αͼ͜ͷ༧૝Λূ໌͢ΔͨΊͷ༗๬ͳΞΠσΞʹ͍ͭͯઆ໌͠ɼ࠷ۙͷ‫ڀݚ‬ঢ়‫گ‬ʢӿຊҰ೭ࢯɾക‫ݪ‬խ‫ͱࢯݦ‬ͷ‫ڞ‬ಉ‫ʹڀݚ‬ΑΔʣ
ʹ͍ͭͯใࠂ͢Δɽͳ͓ɼS 3 ಺ͷฏୱτʔϥεͷ‫ؔ͢ʹڀݚ‬Δྺ࢙తഎ‫ܠ‬΍ 2005೥ࠒ·Ͱͷ‫ڀݚ‬ঢ়‫͍ͯͭʹگ‬͸ղઆ [7] Λ͝ཡ͍ͩ͘͞ɽ
2. S 3 ಺ͷฏୱτʔϥεͷఆٛͱྫҎԼɼS 3 Λ 3 ࣍‫ݩ‬୯Ґ‫ٿ‬໘ͱ͢Δɽ͢ͳΘͪ
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2024 ೥ 9 ݄ 12 ೔ɼୈ 71 ճ‫ز‬Կֶγϯϙδ΢Ϝʢؔ੢େֶʣ

106

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3.1. Cliﬀord τʔϥεͷ߶ੑ໰୊.
ະղܾ໰୊ʢCliﬀord τʔϥεͷ߶ੑʣɽMθ ⊂ S 3 Λ Cliﬀord τʔϥεɼiθ : Mθ → S 3Λแ‫͢ͱ૾ؚࣸ‬Δͱ͖ɼ೚ҙͷ౳௕͸ΊࠐΈ f : Mθ → S 3 ʹରͯ͠f ≡iθ͕੒ཱ͢Δ͔ʁ ͢ͳΘͪɼ f = A◦iθ ΛΈͨ͢ S 3 ͷ౳௕ม‫ ׵‬A ͕ଘࡏ͢Δ͔ʁ
ɹ஫ 3.1. Cliﬀord τʔϥεҎ֎ͷฏୱτʔϥε͸͢΂ͯඇࣗ໌ͳ౳௕తม‫ܗ‬Λ‫ڐ‬༰͢Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ ([6])ɽྫ͑͹ɼS 2 ্ͷ୯७ਖ਼ଇด‫ۂ‬ઢ γ ͕ԁͰͳ͍৔߹ɼγͷ௕͞ͱ γ ͕ғΉ໘ੵΛอଘ͢Δඇࣗ໌ͳ γ ͷม‫ܗ‬Λ༻͍ͯɼHopf τʔϥε p−1 (γ)ͷඇࣗ໌ͳ౳௕తม‫ܗ‬Λ࡞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ্‫ه‬ͷ໰୊͸ɼ f ͕ʮຒΊࠐΈʯͳΒ͹ Yes Ͱ͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ͢ͳΘͪ
ɹఆཧ 3.1 ([3]). f : Mθ → S 3 ͕౳௕ຒΊࠐΈͳΒɼ f ≡iθ ͕੒ཱ͢Δɽ
ɹ஫ 3.2. ͜ͷఆཧ͸ɼ࣍ͷೋͭͷఆཧ͔ΒಘΒΕΔɽ࣮ࡍɼఆཧ A ΑΓ f (Mθ ) ͷ௚‫ܘ‬͸ π ʹͳΔͷͰɼఆཧ B ΑΓ f ≡iθ ͕ಘΒΕΔɽ

• ఆཧ A ([5])ɽ f : M → S 3 Λฏୱτʔϥε M ͔Β S 3 ΁ͷ౳௕ຒΊࠐΈͱ͢
Δͱɼ૾ f (M) ͸ S 3 ͷର৺ม‫ ׵‬x → −x ʹΑΓෆมͰ͋Δɽ• ఆཧ Bʢ[3]ʣɽ f : Mθ → S 3 Λ౳௕͸ΊࠐΈͱ͢Δͱ͖ɼ΋͠ ૾ f (Mθ ) ͷ௚‫ ͕ܘ‬π ͳΒ͹ɼ f ≡ iθ Ͱ͋Δ.
஫ 3.2 ͷఆཧ B ʹΑΓɼ࣍ͷ༧૝Λূ໌͢Ε͹ Cliﬀord τʔϥεͷ߶ੑ໰୊͸ߠఆతʹղܾ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δɽɹ༧૝ (௚‫ܘ‬༧૝). f : M → S 3 Λฏୱτʔϥε M ͔Β S 3 ΁ͷ౳௕͸ΊࠐΈͱ͢Δ
ͱ Diam( f ) = π Ͱ͋Δɽͨͩ͠ɼDiam( f ) ͸૾ f (M) ͷ௚‫͋Ͱܘ‬Δɽ

3.2. ௚‫ܘ‬༧૝Λূ໌͢ΔͨΊͷΞΠσΞ.
S 3 ಺ͷ೚ҙͷʢ͸Ίࠐ·Εͨʣฏୱτʔϥε͸ɼ୯Ґ‫ٿ‬໘ S 2 ্ͷ periodic admissible pair (p.a.p.) ͱΑ͹ΕΔ͋Δछͷ‫ۂ‬ઢର (γ1 , γ2 ) ͔Βߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ͕ͨͬͯ͠ɼS 3 ಺ͷฏୱτʔϥεʹؔ͢Δ໰୊͸ɼp.a.p. ʹؔ͢Δ໰୊ʹ‫ؼ‬ணͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ௚‫ܘ‬༧૝͸ p.a.p. ʹର͢Δ࣍ͷ༧૝ͱಉ஋Ͱ͋Δɽ107

• ೚ҙͷ p.a.p. (γ1 , γ2 ) ʹରͯ͠ɼS 2 ͷ౳௕ม‫ ׵‬α ∈ S O(3) ͕ଘࡏ͠ɼαγ1 ͱ
γ2 Λ͋Δಛผͳ઀৮ঢ়ଶʹͰ͖Δ (̎ॏ઀৮༧૝)ɽ
ҎԼɼS 3 ಺ͷฏୱτʔϥεͷߏ੒๏ͱ̎ॏ઀৮༧૝ʹ͍ͭͯઆ໌͠ɼ͞Βʹɼ̎ॏ઀৮༧૝ʹؔ͢Δ࠷ۙͷ‫ڀݚ‬Λ঺հ͢Δɽ

4. S 3 ಺ͷฏୱτʔϥεͷߏ੒๏ɹఆٛ 4.1. γi : R → S 2 Λप‫ظ‬తਖ਼ଇ‫ۂ‬ઢʢi = 1, 2ʣͱ͢Δɽ‫ۂ‬ઢ γi (s) ͷଌ஍త‫ۂ‬཰ κi (s) ͕࣍ͷ৚݅ (a), (b) ΛΈͨ͢ͱ͖ɼ‫ۂ‬ઢର Γ = (γ1 , γ2 ) Λ periodic admissible

pair (p.a.p.) ͱΑͿɽ(a) ೚ҙͷ s1 , s2 ∈ R ʹ͍ͭͯ κ1 (s1 ) > κ2 (s2 ),(b) ೚ҙͷ s ∈ R ʹ͍ͭͯ 1 + κi (s)2 |γi (s)| = 2 ʢi = 1, 2ʣ.
ҎԼɼΓ = (γ1 , γ2 ) Λ p.a.p. ͱ͠ɼΓ ͔Β S 3 ಺ͷฏୱτʔϥεΛߏ੒͢Δํ๏Λઆ໌͠Α͏ɽ̐‫਺ݩ‬શମͷू߹Λ H ͱ͠ɼR4 ͱ H ΛಉҰࢹ͢Δɽ

(x1 , x2 , x3 , x4 ) ←→ x1 + x2 i + x3 j + x4 k.
͜ͷͱ͖ɼ3 ࣍‫ݩ‬୯Ґ‫ٿ‬໘ S 3 = {x ∈ H : |x| = 1} ͸̐‫਺ݩ‬ͷੵʹΑͬͯ‫ͳʹ܈‬Δ͜ͱ
͕෼͔Δɽ·ͨɼIm H Λ H ͷ‫ڏ‬෦ ɼS 2 = {x ∈ Im H : |x| = 1} ͱ͠ɼS 2 ͷ୯Ґ઀ଋ

US 2 Λ S 2 × S 2 ͷ෦෼ू߹ͱಉҰࢹ͢Δɽ͢ͳΘͪ
US 2 = {(x, v) ∈ S 2 × S 2 : x, v = 0}
ͱ͢Δɽ͞Βʹɼ͜ͷಉҰࢹʹΑΓɼࣸ૾ p2 : S 3 → US 2 Λ࣍ͷΑ͏ʹఆΊΔɽ

(4.1)

p2 (g) = (gig−1 , gjg−1 ) = (Ad(g)i, Ad(g)j).

p2 ͸̎ॏඃ෴Ͱ͋Γɼ p2 (−g) = p2 (g) ΛΈͨ͢ɽ͜͜ͰɼUS 2 ಺ͷ‫ۂ‬ઢ γ̂i Λ
(4.2)

γ̂i (s) = (γi (s), γi (s)/|γi (s)|)(i = 1, 2)ͱఆΊɼci Λ̎ॏඃ෴ p2 ʹΑΔ γ̂i ͷ lift ͱ͢Δɽ͞ΒʹɼS 3 ͷ‫ߏ܈‬଄Λ༻͍ͯɼࣸ
૾ FΓ : R2 → S 3 Λ࣍ࣜͰఆΊΔɽ

(4.3)

FΓ (s1 , s2 ) = c1 (s1 )c2 (s2 )−1ͨͩ͠ɼc2 (s2 )−1 ͸ c2 (s2 ) ͷ‫͋Ͱݩٯ‬Δɽ
ɹఆཧ 4.1. FΓ ͸ R2 ͔Β S 3 ΁ͷ͸ΊࠐΈࣸ૾ʢimmersionʣͰ͋Γɼ૾ FΓ (R2 ) ͸

S 3 ಺ͷฏୱτʔϥεͰ͋Δɽ

108ɹ஫ 4.1. ఆٛ 4.1 ͷ৚݅ (a) ͸ FΓ ͕͸ΊࠐΈͰ͋Δ͜ͱʹରԠ͢Δɽ·ͨɼFΓ ͷୈ̍‫ج‬ຊ‫ࣜܗ‬Λ gΓ ͱ͠ୈ̎‫ج‬ຊ‫ࣜܗ‬Λ hΓ ͱ͢ΔͱgΓ = ds21 + 2 cos ω ds1 ds2 + ds22 ,hΓ = 2 sin ω ds1 ds2

Ͱ͋Δɽͨͩ͠ɼω = cot−1 (κ1 (s1 )) + cot−1 (−κ2 (s2 ))ɽ
ɹ஫ 4.2. p.a.p. Γ = (γ1 , γ2 ) ʹ͍ͭͯɼ࣍ͷ͜ͱ͕෼͔Δɽ

• FΓ ͷ૾͕ Cliﬀord τʔϥε ⇐⇒ γ1 ͱ γ2 ͕ͱ΋ʹԁ• FΓ ͷ૾͕ Hopf τʔϥε ⇐⇒ γ1 ͱ γ2 ͷͲͪΒ͔͕ԁ͕ͨͬͯ͠ɼS 3 ಺ʹ͸ Hopf τʔϥεҎ֎ʹ΋ฏୱτʔϥε͕ଘࡏ͢Δɽ
ɹ஫ 4.3. p.a.p. Γ = (γ1 , γ2 ) ʹ͍ͭͯɼγi : R → S 2 ͷ‫ج‬ຊप‫ظ‬Λ i > 0 ͱ͢Δɽ(1) ด‫ۂ‬ઢ γ̂i : [0,i ] → US2

ʢi = 1, 2ʣ͔Βఆ·Δ homology class ΛI(γi ) ∈ H1 (US 2 )  Z2
ͱ͢Δͱ

⎧
⎪
⎪
⎪
⎨ ci (s)ci (s + i ) = ⎪⎪⎪⎩−ci (s)(I(γi ) = 0),(I(γi ) = 1).

I(γi ) ͸ γi ͷ Z2 -rotation index ͱΑ͹ΕΔɽ(2) γi : R → S 2 Λ۠ؒ [0, i ] ʹ੍‫ͯ͠ݶ‬ಘΒΕΔด‫ۂ‬ઢ γi |[0, i ] ͕ generic Ͱ͋Δͱ͖ɼγi |[0, i ] ͷࣗ‫਺఺ަݾ‬Λ γi ͱද͢ɽ͜ͷͱ͖ɼ γi ͕‫ͳ਺ح‬Β͹I(γi ) = 0ɼ γi ͕‫ͳ਺ۮ‬Β I(γi ) = 1 Ͱ͋Δɽ(3) FΓ ͷఆٛͱ (1) ΑΓɼI(γ1 ) = 1 ·ͨ͸ I(γ2 ) = 1 ͳΒ͹૾ FΓ (R2 ) ͸ S 3 ͷର৺ม‫Ͱ׵‬ෆมͰ͋Δɽ
ɹఆཧ 4.2 ([4]). M Λฏୱτʔϥεɼ f : M → S 3 Λ౳௕͸ΊࠐΈͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼ

p.a.p. Γ = (γ1 , γ2 ) ͕ଘࡏ͠ f (M) ≡ FΓ (R2 ) ͕੒ཱ͢Δɽ
ɹ஫ 4.4. ఆཧ 4.2 ΑΓɼS 3 ಺ͷฏୱτʔϥε͸͢΂ͯ p.a.p. ͔Β࡞ΕΔͷͰ௚‫ܘ‬༧૝ ⇐⇒ ೚ҙͷ p.a.p. Γ ʹ͍ͭͯ Diam(FΓ ) = π
ɹ஫ 4.5. ఆཧ 4.2 ͷԠ༻ͱͯ͠ɼ஫ 3.2 ͷఆཧ A ͷূ໌ͷ֓ཁΛड़΂͓ͯ͜͏ɽ΋͠ f : M → S 3 ͕ຒΊࠐΈͳΒ͹ɼఆཧ 4.2 ʹ͓͚Δ Γ = (γ1 , γ2 ) ʹ͍ͭͯɼI(γ1 ) =I(γ2 ) = 1 ͕੒ཱ͢Δʢ݁ͼ໨ཧ࿦Λ༻͍ͯূ໌͢Δʣɽ͜ͷͱ͖ɼ஫ 4.3 (3) ΑΓ૾FΓ (R2 ) ͸ S 3 ͷର৺ม‫Ͱ׵‬ෆมͰ͋Δ͔Βɼ૾ f (M) ΋ S 3 ͷର৺ม‫Ͱ׵‬ෆมͰ͋Δɽ

109

5. ̎ॏ઀৮༧૝
ɹఆٛ 5.1. γi : R → S 2 (i = 1, 2) Λਖ਼ଇ‫ۂ‬ઢͱ͢Δɽ࣮਺ ai , bi (ai < bi ) ͕ଘࡏ͠• γ̂1 (a1 ) = γ̂2 (a2 ), γ̂1 (b1 ) = γ̂2 (b2 ) Ͱ͋Γ,
• US 2 ಺ͷೋͭͷಓ γ̂1 |[a1 , b1 ] ͱ γ̂2 |[a2 , b2 ] ͕ ϗϞτϐʔಉ஋Ͱ͋ΔʢϗϞτϐʔಉ஋Ͱͳ͍ʣ
ͳΒ͹ɼ‫ۂ‬ઢର (γ1 , γ2 ) ͸ୈҰछ (ୈೋछ) ͷ̎ॏ઀৮Λ࣋ͭͱ͍͏ɽͨͩ͠ɼγ̂i ͸(4.2) ͰఆΊͨ US 2 ಺ͷ‫ۂ‬ઢͰ͋Δɽ
ɹ஫ 5.1. ྆୺ͷ઀ϕΫτϧΛ‫ݻ‬ఆͨ͠··ɼγ1 |[a1 , b1 ] Λ γ2 |[a2 , b2 ] ʹਖ਼ଇม‫͖Ͱܗ‬Δ৔߹͸ୈҰछʢਖ਼ଇม‫͍ͳ͖Ͱܗ‬৔߹͸ୈೋछʣͰ͋Δɽ

ୈҰछ

ୈೋछ

ɹఆཧ 5.1 ([8]). ೚ҙͷ p.a.p. Γ = (γ1 , γ2 ) ʹରͯ͠ɼ࣍ͷ (a) ͱ (b) ͸ಉ஋Ͱ͋Δɽ(a) S 2 ͷ౳௕ม‫ ׵‬α ∈ S O(3) ͕ଘࡏ͠ɼ(αγ1 , γ2 ) ͸ୈೋछͷ̎ॏ઀৮Λ࣋ͭɽ(b) Diam(FΓ ) = π.
ূ໌ɽ͜͜Ͱ͸ɼ (a) ⇒ (b) ͚ͩΛࣔͦ͏ɽ(a) ΑΓɼ࣮਺ ai , bi (ai < bi ) ͓Αͼ̎
఺ A, B ∈ US 2 ͕ଘࡏ͠(1) αγ1 (a1 ) = γ̂2 (a2 ) = A, αγ1 (b1 ) = γ̂2 (b2 ) = B,
(2) US 2 ಺ͷಓ αγ1 |[a1 , b1 ] ͱ γ̂2 |[a2 , b2 ] ͸ϗϞτϐʔಉ஋Ͱͳ͍ɽ
·ͨɼα ∈ S O(3) ͔ͩΒɼα = Ad(g) ΛΈͨ͢ g ∈ S 3 ͕ଘࡏ͢Δɽ͜͜Ͱɼci Λ̎ॏඃ෴ p2 : S 3 → US 2 ʹΑΔ γ̂i ͷ lift ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼ p2 (gc1 ) = αγ1 Ͱ͋Γp2 (c2 ) = γ̂2 ͔ͩΒɼαγ1 (a1 ) = γ̂2 (a2 ) = A ΑΓɼgc1 (a1 ) = c2 (a2 ) ͱͯ͠Α͍ɽ

110͢Δͱɼ(2) ΑΓ gc1 (b1 )  c2 (b2 ) ͔ͩΒɼ gc1 (b1 ) = −c2 (b2 ) Ͱ͋ΔɽҎ্ͷ͜ͱ͔
ΒɼFΓ ͷఆٛ (4.3) ΑΓFΓ (a1 , a2 ) = c1 (a1 )c2 (a2 )−1 = g−1 ,FΓ (b1 , b2 ) = c1 (b1 )c2 (b2 )−1 = −g−1Ͱ͋ΔɽΑͬͯɼFΓ (a1 , a2 ) = −FΓ (b1 , b2 ) Ͱ͋Γɼ(b) ͕੒ཱ͢Δɽ

ఆཧ 5.1 ͱ஫ 4.4 ʹΑΓɼ௚‫ܘ‬༧૝͸࣍ͷ༧૝ͱಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɽɹ༧૝ (̎ॏ઀৮༧૝). ೚ҙͷ p.a.p. Γ = (γ1 , γ2 ) ʹରͯ͠ɼS 2 ͷ౳௕ม‫ ׵‬α ∈ S O(3)͕ଘࡏ͠ɼ‫ۂ‬ઢର (αγ1 , γ2 ) ͸ୈೋछͷ̎ॏ઀৮Λ࣋ͭɽ
ɹ஫ 5.2. ̎ॏ઀৮༧૝Λূ໌͢Δʹ͸ɼp.a.p. (γ1 , γ2 ) ͕࣍ͷ৚݅ (1) ͱ (2) ΛΈͨ͢৔߹Λௐ΂Ε͹Α͍͜ͱ͕෼͔͍ͬͯΔɽ(1)i Λ γi (s) ͷ‫ج‬ຊप‫͢ͱظ‬Δͱ͖ɼด‫ۂ‬ઢ γi |[0, i ] ͸ generic Ͱ͋Γ γi |[0, i ]ͷࣗ‫ ਺఺ަݾ‬γi ͸‫਺ح‬ʢi = 1, 2ʣɽ(2) ਖ਼਺ k ͕ଘࡏ͠ɼmin s κ1 (s) > k > max s κ2 (s) Ͱ͋Δɽ
6. ̎ॏ઀৮༧૝ͷ෦෼తղܾ
ҎԼɼ஫ 5.2 ͷ৚݅ΛΈͨ͢ p.a.p. Γ = (γ1 , γ2 ) ͚ͩΛߟ͑Α͏ɽ͍͔ͭ͘ͷ৚݅ͷ΋ͱͰɼ̎ॏ઀৮༧૝ͷਖ਼͍͜͠ͱ͕͔֬ΊΒΕ͍ͯΔɽ
ɹఆཧ 6.1 ([8]). Γ = (γ1 , γ2 ) Λ p.a.p. ͱ͠ɼκi Λ γi ͷଌ஍త‫͢ͱ཰ۂ‬Δɽ΋͠

κ1 (s1 )κ2 (s2 ) < −1 ∀(s1 , s2 ) ∈ R2
ͳΒ͹ɼ(γ1 , γ2 ) ʹର͢Δ̎ॏ઀৮༧૝͸ਖ਼͍͠ɽɹ஫ 6.1. p.a.p. Γ = (γ1 , γ2 ) ʹ͍ͭͯɼ࣍ͷ৚݅ (1)ʙ(3) ͸ಉ஋Ͱ͋Δɽ(1) ఆཧ 6.1 ͷԾఆ.
(2) ਖ਼ఆ਺ k ͕ଘࡏ͠ɼmin s κ1 (s) > k ͔ͭ −1/k > max s κ2 (s)ɽ(3) FΓ : R2 → S 3 ͷฏ‫ ཰ۂۉ‬HΓ ͸ྵ఺Λ΋ͨͳ͍ɽɹఆཧ 6.2 ([1]). Γ = (γ1 , γ2 ) Λ p.a.p. ͱ͢Δɽ΋͠ γ1 ͕ negative shellʢ஫ 6.2 ࢀরʣΛ‫ؚ‬Έɼγ2 ͕ positive shell Λ‫ؚ‬ΉͳΒ͹ɼ(γ1 , γ2 ) ʹର͢Δ̎ॏ઀৮༧૝͸ਖ਼͍͠ɽɹ஫ 6.2. σ : [a, b] → S 2 ͕୯७ਖ਼ଇด‫ۂ‬ઢͰ઀ϕΫτϧ σ (a) ͱ σ (b) ͕̍࣍ಠཱͰ
͋Δͱ͖ σ Λ shell ͱΑͼɼ఺ N = σ(a) = σ(b) Λ σ ͷ node ͱΑͿɽ·ͨɼσ Ͱғ·ΕΔೋͭͷྖҬͷ͏ͪɼ఺ N ʹ͓͚Δ಺͕֯ π ະຬͰ͋ΔྖҬΛ σ ͷ಺෦ͱ͍͏ɽ͞Βʹɼ಺෦ྖҬ͕ σ ͷਐߦํ޲ࠨଆʢӈଆʣʹ͋Δͱ͖ɼσ Λ positive shell(negative shell) ͱ͍͏ɽ111

ೋͭͷ positive shellೋͭͷ negative shellɹ஫ 6.3. ࣗ‫ ͕਺఺ަݾ‬1 Ͱ͋Δ generic ͳด‫ۂ‬ઢ͸ɼpositive shell ͱ negative shellͷ྆ํΛ‫ؚ‬ΉɽΑͬͯɼ γ1 = γ2 = 1 ͷ৔߹ɼఆཧ 6.2 ͷԾఆ͸Έͨ͞ΕΔɽ
ఆཧ 6.2 Λࣔ͢ʹ͸ɼ࣍ͷೋͭͷิ୊Λ༻͍Δɽิ୊̍ (Jackson ͷิ୊)ɽσ Λ shell ͱ͢Δͱɼσ ্ͷ఺ x ͕ଘࡏ͠ɼ x ʹ͓͚Δσ ͷ‫཰ۂ‬ԁ͸ σ ͷ಺෦ͷดแʹ‫·ؚ‬ΕΔɽ
ิ୊̎ɽk Λਖ਼ఆ਺ͱ͠ɼC Λ S 2 ্ͷ k-ԁʢଌ஍త‫ ͕཰ۂ‬k Ͱ͋Δ༗޲ԁʣͱ͢Δɽ΋͠ਖ਼ଇ‫ۂ‬ઢ γ : [a, b] → S 2 ͷଌ஍త‫཰ۂ‬ͷ࠷খ஋͕ k ΑΓେ͖͘• γ : [a, b] → S 2 ͸୯ࣹͰ͋Γ γ(a), γ(b) ∈ C ɼ• γ(a), γ(b) Ҏ֎ͷ఺ γ(s) ͸͢΂ͯ C ͷ಺෦ʹ͋Δ
ͳΒ͹ɼγ(b) ͸ C ʹ͓͍ͯ γ(a) ͷ‫͋ʹํޙ‬Δʢ༗޲ԁ C ʹԊͬͯ γ(a) ͔Β γ(b) ʹࢸΔԁ‫ހ‬ͷ௕͞͸ C ͷ௕͞ͷ൒෼ΑΓେ͖͍ʣɽ
ҎԼɼఆཧ 6.2 ͷূ໌ʢ֓ཁʣΛड़΂Α͏ɽΣ1 Λ γ1 ʹ‫·ؚ‬ΕΔ negative shellɼΣ2
Λ γ2 ʹ‫·ؚ‬ΕΔ positive shell ͱ͢ΔɽS 2 ͷ޲͖Λอͭ౳௕ม‫ Ͱ׵‬γ1 ΛҠಈ͢Δ͜ͱʹΑΓɼΣ1 ͱ Σ2 ͸࠷ॳ͔ΒԼਤࠨͷΑ͏ͳ഑ஔʹͳ͍ͬͯΔͱͯ͠Α͍ʢิ୊ 1
ͱิ୊ 2 ʹΑΔʣɽͨͩ͠ɼC ͸ Σ2 ʹ಺઀͢Δ k-ԁͰ͋ΓɼC ʹ͓͍ͯ Q1 ͸ P ͷ
લํɼQ2 ͸ P ͷ‫͋ʹํޙ‬Δɽ

ͯ͞ɼS 2 ͷ౳௕ม‫ ׵‬α ∈ S O(3) ʹରͯ͠ Σ̃1 = α(Σ1 ) ͱ͓͖ɼΣ̃1 ͕ఆ఺ P Ͱ Σ2 ͱ
઀͢Δঢ়ଶͷ·· α Λಈ্͔͠ਤӈͷ഑ஔΛ࡞Δɽ͜ͷͱ͖ɼ(αγ1 , γ2 ) ͕ୈೋछͷ̎ॏ઀৮Λ࣋ͭ͜ͱΛࣔͦ͏ɽ࣮਺ ai , bi (ai < bi ) ΛP = αγ1 (a1 ) = γ2 (a2 ),Q = αγ1 (b1 ) = γ2 (b2 )112

Ͱ͋ΔΑ͏ʹఆΊɼc1 = αγ1 |[a1 , b1 ], c2 = γ2 |[a2 , b2 ] ͱ͓͘ɽ͞Βʹɼαγ1 |[0, 1 ] ͔Β

c1 Λআ͍ͨ෦෼‫ހ‬Λ τ ͱ͢Δͱ
c1 + τ ͷࣗ‫਺఺ަݾ‬͸‫਺ح‬ɼc2 + τ ͷࣗ‫਺఺ަݾ‬͸ 0(∗)

Ͱ͋ΔʢԼਤʣɽͳ͓ɼ(∗) ͷୈ 1 ͷओு͸஫ 5.2 (1) ʹΑΔɽ΋͠ P, Q ʹ͓͚Δ̎ॏ઀৮͕ୈҰछͳΒɼ‫ۂ‬ઢ c1 ͸྆୺ͷ઀ϕΫτϧΛ‫ݻ‬ఆͨ͠
·· c2 ʹਖ਼ଇม‫͖Ͱܗ‬Δ͔Βɼc1 + τ ͱ c2 + τ ͸ਖ਼ଇϗϞτϐʔಉ஋Ͱ͋Δɽ͜Ε͸ɼ(∗) ʹ൓͢ΔɽΑͬͯɼP, Q ʹ͓͚Δ̎ॏ઀৮͸ୈೋछͰ͋Δɽ

7. ̎ॏ઀৮༧૝ͷࠓ‫ޙ‬
஫ 5.2 Ͱड़΂ͨΑ͏ʹɼ̎ॏ઀৮༧૝Λূ໌͢Δʹ͸ɼp.a.p. (γ1 , γ2 ) ͕࣍ͷ৚݅(1) ͱ (2) ΛΈͨ͢৔߹Λௐ΂Ε͹Α͍ɽ(1)i Λ γi (s) ͷ‫ج‬ຊप‫͢ͱظ‬Δͱ͖ɼด‫ۂ‬ઢ γi |[0, i ] ͸ generic Ͱ͋Γ γi |[0, i ]ͷࣗ‫ ਺఺ަݾ‬γi ͸‫਺ح‬ʢi = 1, 2ʣɽ(2) ਖ਼਺ k ͕ଘࡏ͠ɼmin s κ1 (s) > k > max s κ2 (s) Ͱ͋Δɽ͔͠͠ɼ§6 Ͱड़΂ͨఆཧ 6.2 ͸͜ΕҎ֎ͷ৚݅ΛԾఆ͍ͯ͠Δɽ͜Ε·Ͱͷ‫Ͱڀݚ‬ɼಛʹॏཁͳԾఆ͸ɼ
ʮγ2 ͕ positive shell Λ‫ؚ‬ΉʯͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔͖͕ͬͯͨɼҰൠʹ γ2 ͕͜ͷԾఆΛΈͨ͢͜ͱ͸ෆՄೳͰ͋Δɽզʑͷ‫ڞ‬ಉ‫ڀݚ‬ʢwith ӿຊɾക‫ݪ‬ʣͰ͸ɼ͜ͷࠔ೉Λճආ͢ΔͨΊɼpositive shell ΛҰൠԽͨ֓͠೦ʢpositive immersed

shellʣΛಋೖ͢Δ͜ͱͰɼ̎ॏ઀৮༧૝Λղܾ͢Δ͜ͱΛ໨ࢦ͍ͯ͠Δɽ
ɹఆٛ 7.1. σ : [a, b] → S 2 Λ positive shellɼD Λ σ ͷ಺෦ͱ͢Δͱ͖ɼ޲͖Λอͭ

immersion F : D̄ → S 2 ͔Βఆ·Δ༗޲ด‫ۂ‬ઢ Σ = F◦σ Λ S 2 ্ͷ positive immersed
shell ͱΑͿʢԼਤࢀরʣɽσ ͷ node Λ N ͱ͢Δͱ͖ɼ఺ F(N) Λ Σ ͷ node ͱΑͿɽΣ ͷࠨଆʹ໘ F(D) ͕ுΒΕ͍ͯΔ113

ɹ஫ 7.1. ্ͷఆٛʹ͓͍ͯɼಛʹ F ͕แ‫ͳ૾ؚࣸ‬ΒɼΣ = σ Ͱ͋Δ͔Β positive

immersed shell ͸ positive shell ͷҰൠԽͰ͋Δɽ࣍ͷଘࡏఆཧ͸ɼ̎ॏ઀৮༧૝Λ‫׬‬શղܾ͢ΔͨΊͷ‫ͳͱૅج‬ΔఆཧͰ͋Δɽ
ɹఆཧ 7.1 ([2]). γ Λ S 2 ্ͷ generic ͳด‫ۂ‬ઢͰɼγ ͷࣗ‫ ਺఺ަݾ‬γ ͸‫͢ͱ਺ح‬Δɽ
͜ͷͱ͖ɼγ ͷ෦෼‫ ހ‬Σ = γ|[a, b] ͕ଘࡏ͠ɼΣ ͸ positive immersed shell ͱͳΔɽ
ɹྫ 7.1. Լਤࠨͷ γ ͸ γ ͕‫ Ͱ਺ح‬positive shell Λ࣋ͨͳ͍͕ɼpositive immersed

shell Σ Λ࣋ͭʢԼਤதԝʣɽԼਤӈʹ͸ɼΣ = F(∂D) ΛΈͨ͢ immersion F : D̄ → S 2
ͷ૾ F(D) ͷҰ෦෼͕ࣼઢͰදࣔ͞Ε͍ͯΔɽ

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114

岡領域と双対 Levi 問題
日下部 佑太

1 Levi 問題と Stein 多様体
本講演の主な興味の対象となる岡領域とは何かについて説明する前に, まずは歴史に沿って双対

Levi 問題の起源となる通常の Levi 問題の復習から始める.
端的に言うと, Levi 問題とは正則関数の自然な定義域をその境界の幾何学によって特徴付けるという問題である. ここで正則関数の自然な定義域というのは, その上にそれ以上大きな領域に解析接続できない正則関数が存在するという領域であり, 正則領域 (domain of holomorphy) と呼ばれている.

C 内の任意の領域が正則領域であることは, 与えられた離散閉集合で零点を持つ正則関数の存在を主張する Weierstrass の定理の簡単な帰結であるが, 1906 年に Hartogs [16] が観察した所謂Hartogs 現象から, Cn (n > 1) 内の領域は正則領域であるとは限らない. 彼が観察した現象は,D = {z ∈ C : |z| < 1}, 0 < r < 1 により
Hr =





D \ rD × D ∪ (D × (1 − r)D) ⊂ D2と定義される「凹んだ」領域を考えると, 正則関数の集合の間の制限写像 O(Dn ) → O(Hr ) が全射になるというものである. このことを見るには, 任意の f ∈ O(Hr ) に対してf (ζ, w)dζf˜(z, w) =2π −1 |ζ|=r ζ − z
1
√



r+1
r =
2




と定められる正則関数 f˜ ∈ O(r  D × D) を用いて解析接続すれば良い.
以上のことから, 領域 Ω ⊂ Cn が正則領域であるためには, 正則写像の集合の間の制限写像

O(D2 , Ω) → O(Hr , Ω)が全射になる必要があり, 擬凸性と呼ばれるある種の凸性を持っているということが分かる. このHartogs の観察を受け, Levi [24] は滑らかな境界を持つ正則領域 Ω ⊂ Cn の擬凸性を次のような微分幾何学的条件により表現した.
定義 1.1. 複素多様体 X 内の領域 Ω ⊂ X が C 2 級の境界 ∂Ω を持つ, すなわち ∂Ω の近傍 U ⊂ Xと U 上の C 2 級関数 ρ : U → R で

Ω ∩ U = {x ∈ U : ρ(x) < 0},115dρx = 0(∀x ∈ ∂Ω)となるものを持つとする. 領域 Ω が Levi 擬凸であるとは, ker ∂ρ ∩ T X|∂Ω 上√¯ ≥ 0 が成り
−1∂ ∂ρ

立つことをいう.
境界 ∂Ω の正則接束 ker ∂ρ ∩ T X|∂Ω 上の形式√

¯ は ∂Ω の Levi 形式と呼ばれ, Hesse 形−1∂ ∂ρ

式の複素版と見ることができる. 境界の Levi 形式が負になるような境界点があると, その近くへのHartogs 図形からの正則写像 Hr → Ω で, その D2 への拡張が Ω からはみ出るようなものが作れてしまうため, 正則領域は Levi 擬凸でなければならないというのが Levi の観察である.
オリジナルの Levi 問題はこの逆, すなわち Cn 内の領域が Levi 擬凸ならば正則領域であるかということを問うものであり, 岡 [28, 29] や Bremermann [3], Norguet [26] によって独立に肯定的に解決された. オリジナルの Levi 問題の解決以来, この問題は様々な設定への一般化が考えられているが,Stein 多様体への一般化は最も自然な一般化の一つである. Stein 多様体は多くの同値な定義が知られているが (cf. [6, Chap. 2]), ここでは後に岡多様体の定義がより理解しやすくなるよう拡張定理の成立による定義を採用する.
定義 1.2. 複素多様体 X が Stein 多様体であるとは, 任意の閉複素部分多様体 Z ⊂ X に対して, 制
限写像 O(X) → O(Z) が全射になることをいう.
この定義は, 正則領域の定義とは少し異なる視点から正則関数の自然な定義域であることを要請するものであるが, 実は領域 Ω ⊂ Cn が Stein であることと正則領域であることは同値であると知られており, 視点は異なっても同じものを見ているということになる. また, Behnke–Stein [2] の定理から任意の開 Riemann 面は Stein であるため, Stein 多様体は開 Riemann 面の高次元版と考えることができる. さらに, 任意の非特異アファイン代数多様体も Stein であり, アファイン代数多様体の解析版という見方もできる.
上で見た正則領域の Stein 性から, 一般の複素多様体内の領域の Stein 性を Levi 擬凸性で特徴付けられるかという Levi 問題が自然な一般化として考えられる. 例えば, C2 の原点の爆発

π : Bl0 C2 → C2 により単位開球の逆像 π −1 (B2 ) ⊂ Bl0 C2 を考えると Levi 擬凸な非 Stein 領域になっているため, 任意の複素多様体内でこの問題を肯定的に解くということはできない. しかし, 入れ
物の複素多様体自体が Stein であると仮定しておくと, 次のように Levi 問題は肯定的に解決される.
定理 1.3 (Docquier–Grauert [5]). Stein 多様体 X 内の C 2 級の境界を持つ領域 Ω ⊂ X に対し, Ωが Stein 領域であることと Ω が Levi 擬凸であることは同値である.

2 岡多様体と楕円性
タイトルにある岡領域とは, 岡多様体となる領域のことであり, 岡多様体は次のように定義される.
定義 2.1. 複素多様体 Y が岡多様体であるとは, 任意の Stein 多様体 X とその閉複素部分多様体

Z ⊂ X に対し, 制限写像

O(X, Y ) → O(Z, Y ) ∩ C(X, Y )|Z116

が全射になることをいう. ここで C(X, Y ) は X から Y への連続写像全体のなす集合である.

Stein 多様体の定義 1.2 と同様に, 正則写像の拡張定理の成立により岡多様体を定義している. ここで C(X, Y )|Z との共通部分を考えているのは, 連続写像としてさえ X に拡張できないような位相的な障害を排除するためである. 岡多様体は, 岡の原理 [28] と呼ばれる「位相的な障害がなければ Stein多様体上の解析的な問題は常に解ける」という原理に基づいて導入された概念であり, 上の定義の条
件はまさしく解析的な拡張問題に対する岡の原理の成立を意味している.
岡多様体の例を見つけるために, 拡張定理の成立を手を動かして確認するというのは現実的ではな
い. ここで有用なのが, Gromov によって導入された次の幾何学的十分条件である.
定義 2.2. 複素多様体 Y が楕円的であるとは, Y 上の正則ベクトル束 p : E → Y と正則写像

s : E → Y が存在して, 各 y ∈ Y に対して
s(0y ) = y,ds(T0y Ey ) = Ty Yが成り立つことをいう. ここで 0y は y 上のファイバー Ey = p−1 (y) 内の原点である.
この楕円性は, 複素ベクトル空間からたくさんの支配的正則写像を持つという複素幾何学的 (幾何学的函数論的？) 性質であり, 小林双曲性とは真逆の概念であるということに注意する.
定理 2.3 (Gromov [15]). 任意の楕円的な複素多様体は岡多様体である.
岡多様体も Stein 多様体と同様に多くの同値な定義が知られているが [6, Sect. 5.15], この楕円性の変種によっても特徴付けられること (Gromov 予想の肯定的解決) が知られている [19]. 従って,Gromov の楕円性は決して不自然な十分条件ではなく, 岡多様体の幾何学的本質を捉えたものと考えられる. ただし, 後で見るように楕円的でない岡多様体の例はたくさん存在する (Gromov 問題の否定的解決) [18, 21]. 楕円性を持つ複素多様体の最も典型的な例は次の複素等質多様体である.
例 2.4. 複素多様体 Y が複素等質的, すなわちある複素 Lie 群 G からの推移的な正則作用 G  Yがあるとし, e ∈ G を単位元とする. このとき,

s : Y × Te G → Y,s(y, v) = exp(v) · y

により Y は楕円的である. 特に, 複素 Lie 群 G も自身への作用により楕円的である.
任意の非特異トーリック多様体も楕円的であることが Lárusson–Truong の定理 [23, Theorem 3]から従い, 特に複素等質的でない楕円的コンパクト複素多様体もたくさん存在する. 他にも, Cn 内の余次元が 2 以上の閉代数的部分集合 Z ⊂ Cn に対して Cn \ Z が楕円的になることが簡単に確かめられる (cf. [6, Proposition 5.6.17]).
岡多様体の注目すべき点は, 正則関数の自然な定義域として定められた Stein 多様体とは双対的に,正則写像の自然な値域として定められているというところである. この意味で, 岡多様体は Stein 多様体の双対的な概念と見ることができるが, 実はより厳密な意味でも双対的であることが知られている.

117

その説明にはモデル圏の用語など (cf. [25, Appendix]) が必要になるが, 定義を知らなくても接頭辞“co-” に注目するだけで双対的な概念であることが理解できるためここでは省略する.
定理 2.5 (Lárusson [22]). Stein 多様体の圏を自然に単体的集合の圏 SetΔ 上の豊穣圏と見たものをStn とし, 単体的関手 Stnop → SetΔ 全体のなす圏を C, 複素多様体の圏から定まる C への自然な (米田) 埋め込みを j とする. このとき, C 上に以下の条件を満たすモデル圏の構造が存在する:(1) 複素多様体 X が Stein であることと j(X) が coﬁbrant であることは同値.
(2) 複素多様体 Y が岡であることと j(Y ) が ﬁbrant であることは同値.
(3) 正則写像 f がホモトピー同値であることと j(f ) が weak equivalence であることは同値.
このように岡多様体はホモトピー論とも関係が深い対象であるが, 岡の原理と関連して任意の Stein
多様体 X と任意の岡多様体 Y に対して, 包含写像

O(X, Y ) → C(X, Y )が (コンパクト開位相に関して) 弱ホモトピー同値になることも知られている (cf. [6, Corollary

5.5.6]).

3 双対 Levi 問題
前節で岡多様体が (ある厳密な意味で) Stein 多様体の双対的な概念であることを見た. 従って,Stein 領域に関する Levi 問題の双対版として, 岡領域に関する双対 Levi 問題を考えるべきであろう.
問題 3.1 (双対 Levi 問題). X を複素多様体, Ω ⊂ X を C 2 級の境界を持つ領域とする. Ω が岡領域であるための境界 ∂Ω の幾何学的必要条件・十分条件・必要十分条件はどのようなものがあるか.

Stein 領域の Levi 問題と状況が大きく異なる点は, そもそも滑らかな境界を持つ真部分領域 Ω  X
で岡領域であるものの存在が極めて非自明であるということである. 最初に発見された滑らかな境界を持つ岡領域は, Stensønes [32] が構成した滑らかな境界を持つ Fatou–Bieberbach 領域である. こ
こで Fatou–Bieberbach 領域とは, 真部分領域 Ω  Cn で Cn と双正則同値 (特に岡領域) であるものをいう. Riemann の写像定理と Liouville の定理より, Fatou–Bieberbach 領域の次元は 2 以上でなければならないことに注意する. 驚くべきは, この例が発見されてから 20 年以上もの間, 他の例
が一つも発見されていなかったということである. ただし, 新しい例を与える可能性のある次の問題
は, Stensønes の論文 [32] からたったの 4 年で提起されている.
問題 3.2 (Forstnerič–Prezelj [12, Problem, p. 48]). n > 1 に対し, 単位閉球の補集合

Cn \ Bn = {z ∈ Cn : z > 1}
は岡領域であるか.
この問題は [21] で正則凸集合の補集合に一般化した形で解決された. ここで, 複素多様体 X 内のコ

118

ンパクト集合 K ⊂ X が (X で) 正則凸であるとは,

4

3

K=

x ∈ X : ∀f ∈ O(X) |f (x)| ≤ sup |f |Kが成り立つことをいう. 右辺は正則関数の意味での凸包であり, Cn 内の通常の意味での凸集合は正則凸であることに注意する.
定理 3.3 ([21, Corollary 1.3]). 任意の n > 1 と任意のコンパクト正則凸集合 K ⊂ Cn に対し,

Cn \ K は岡領域である.
この定理は, Gromov 予想の肯定的解決である楕円性の変種による岡多様体を特徴付け [19, 20] とAndersén–Lempert 理論と呼ばれる多変数複素力学系的理論を用いて証明される (cf. [10]). また
Andrist–Shcherbina–Wold [1] より, 定理 3.3 においてさらに n ≥ 3 と K の導集合が無限であることを仮定すると, Cn \ K は楕円的でない岡領域となり, Gromov 問題 [15, Question 3.2.A ] への反例が得られる. 特に Cn \ Bn (n ≥ 3) は楕円的でない岡領域である.
定理 3.3 の相対版 [21, Theorem 4.2] の応用として, 最近次のような結果も得られた (Forstnerič との共同研究).
定理 3.4 ([9]). X を次元が 2 以上の有理等質多様体, L を X 上の豊富直線束, h を L 上の Hermite
計量とする. h の曲率が半正√−1Θh ≥ 0 ならば, 単位円板束 {v ∈ L : |v|h < 1} は岡領域である.

√−1Θh ≥ 0 は, 単位円板束 {v ∈ L : |v|h < 1} が Levi 擬凹になること, すなわち境√¯ ≤ 0 を満たすことと同値である.
界の Levi 形式が −1∂ ∂ρ
曲率の条件

以上の結果から, 領域が岡領域となることが境界の擬凹性と深い関係にあることが予想できる.

Forstnerič–Lárusson [11] は, 定理 3.3 (やその一般化 [21, Theorem 1.2]) の応用として岡多様体よりも弱い岡 1 多様体 (Oka-1 manifold) も擬凹性と関わりがあることを確かめている.
以上の結果は, 「補集合が正則凸」や Levi 擬凹性などの擬凹性が岡性を導くという方向の主張であった. これらから, Levi 擬凹性が岡性をいつでも導くであろうという楽観的な予想ができるが, 次の例のように Cn 内ではさらに強い「強擬凹性」を仮定しても岡性は一般に導かれない.
例 3.5. Rosay–Rudin の定理 [30, Theorem 4.5] から, ある離散閉集合 D ⊂ C2 で任意の非退化正則写像 C2 → C2 の像が D と交わるものが存在する. D の滑らかな境界を持つ近傍 U で強擬凸, す
なわち境界の Levi 形式が正になるようなものを取ると, 補集合 C2 \ U は強擬凹領域だが岡領域ではない.
この例の構成において C2 の非コンパクト性が不可欠であったので, コンパクトな複素射影空間 Pn
で次が成り立つかどうかは自然な問題である.
問題 3.6. C 2 級の境界を持つ任意の Levi 擬凹領域 Ω ⊂ Pn (n > 1) は岡領域であるか.
定理 3.3 を用いると, コンパクト正則凸集合 K ⊂ Cn (n > 1) に対して自然に Cn ⊂ Pn と見たときに Pn \ K が岡になることも簡単に確かめられる (cf. [8, Corollary 5.2]).

119

逆に, 岡領域が与えられたときにその境界がどの程度の擬凹性を持つのかということも考える必要がある. この方向では次の楽観的な予想がある.
予想 3.7. 複素多様体 X 内の C 2 級の境界を持つ岡領域 Ω ⊂ X は Levi 擬凹であろう.
この方向については, Forstnerič–Ritter [13, Example 5] による次の観察を超える擬凹性は現時点では知られていない.
命題 3.8 (cf. Forstnerič–Ritter [13, Example 5]). 複素多様体 X 内の C 2 級の境界を持つ岡領域

Ω ⊂ X は強擬凸境界点を持たない. 言い換えると, ∂Ω の Levi 形式は各点で少なくとも一つ 0 以下の固有値を持つ.
ちなみに, コンパクト集合 K ⊂ Cn の補集合 Cn \ K が岡領域だとしても, K が正則凸であるとは限らない [21, Corollary 1.8]. この例を少し変形することで, 相対コンパクト強擬凸領域 U  C3 で閉包 K = U が正則凸でないが, 補集合 C3 \ K が岡領域であるようなものも構成できる.

4 楕円的な領域の擬凸性
Gromov の定理 (定理 2.3) や Gromov 問題 [15, Question 3.2.A ] への反例 [18, 21] は, 楕円性が岡性よりも真に強いことを主張しており, 楕円性はより強い擬凹性, 例えば現時点では判明していない

Levi 擬凹性 (予想 3.7) や強擬凹性などを導くであろうと短絡的には考えられる. しかしこの考えを裏切って, 楕円性は種々の擬凸性を導くことが最近になって分かってきた. ここで, 複素 Lie 群は楕円性を持つ典型例 (例 2.4) であったが, 風間の定理 [17] から任意の複素 Lie 群は C ∞ 級多重劣調和皆既関数を持つというある種の擬凸性 (弱 1 完備性) を持つことを思い出しておく. ただし前述の通り, Cn
内の余次元が 2 以上の閉代数的部分集合 Z ⊂ Cn に対する Cn \ Z は楕円的であり, さらに Z = ∅ ならば余次元の条件から Cn \ Z は Stein 領域ではないので, 領域の擬凸性を導くためには境界に滑らかさなどの仮定が必要になる.
楕円性の定義 (定義 2.2) における E として自明束が取れる場合, Forstnerič [7] に倣って特殊楕円的 (special elliptic) であるということにする. Forstnerič は, コンパクト複素多様体が特殊楕円的ならば複素等質的であることを示した [7, Proposition 6.2]. 次の擬凸性に関しては, 背理法で楕円性の定
義 (定義 2.2) の正則写像 s に対して Hartogs 型の拡張定理を用いて, Andrist–Shcherbina–Wold [1]と同様に拡張の境界での挙動を調べることで比較的簡単に示すことができる (cf. [18, Lemma 3.3]).
命題 4.1. Stein 多様体 X 内の C 2 級の境界を持つ領域 Ω ⊂ X は, 特殊楕円的ならば Levi 擬凸である. 特にそのような Ω は Stein 領域である.

Andrist–Shcherbina–Wold [1] も用いた Siu の Hartogs 型拡張定理 [31, Theorem 6.10] を用いる
ことで, 楕円性の定義 (定義 2.2) の正則写像 s が一般のベクトル束で定義されている場合も, ある程度の擬凸性を導くことができる.

120

定理 4.2. Stein 多様体 X 内の C 2 級の境界を持つ領域 Ω ⊂ X が楕円的ならば, ∂Ω の Levi 形式は各点で多くとも一つしか負の固有値を持たない.
以上の結果から次が成り立つと予想するのは自然である.
予想 4.3. Stein 多様体 X 内の C 2 級の境界を持つ領域 Ω ⊂ X は, 楕円的ならば Levi 擬凸であろう.

Stein 多様体に対しては, 岡性と楕円性は同値であることが知られている [15, Sect. 3.2.A]. また Pn
上でも Levi 問題が解かれており [14, 33], Stein 性と Levi 擬凸性は同値であることも知られている.
ここで, Pn (n > 1) 内には滑らかな Levi 平坦面が存在しない, すなわち滑らかな境界を持つ Levi 擬
凸かつ Levi 擬凹な領域が存在しないという有名な Cerveau 予想 [4] を思い出すと, 上記の問題 3.6,
予想 3.7, 予想 4.3 と関連して次の予想が自然に導かれる (こちらは n = 1 のとき自明に成立する).
予想 4.4 (楕円幾何学的 Cerveau 予想). Pn 内の滑らかな境界を持つ楕円領域は存在しないであろう.

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123

Hamilton 微分同相写像の非回帰性について杉本佳弘

1Introduction
本講演では symplectic 多様体 (M, ω) 上の Hamilton 微分同相写像 φ に対し、φ, φ2 , φ3 , · · · と iterate したときの φk の挙動について解説する。扱う多様体 M は全て閉多様体と仮定する。[4] において、Polterovich は多様体 M上の微分同相写像 f に対し、growth sequence Γn (f ) という数列を考察した。
Γn (f ) = max max dx f n (x) , max dx f −n (x)
x∈M

x∈M

Polterovich は symplectic 多様体 (M, ω) 上の Hamilton 微分同相写像 φ に対し、n を無限大に増大させたときの Γn (φ) を調べ、次の定理を証明した。
定理 1. π2 (M ) = 0 の場合、Id = φ ∈ Ham(M, ω) に対して、Γn (φ) は ∞ に発散する。
特に、π2 (M ) = 0 という仮定の元ではコンパクトな群による非自明な Hamil-

ton 群作用が存在しないことがわかる。本講演では、negatively monotone という条件のもと、Hamilton 微分同相写像 φ に対し φk の挙動がどうなるのかを説明する。Symplectic 多様体 (M, ω) の第 1 Chern 類を c1 ∈ H 2 (M ) とする。(M, ω) が negatively monotone とは、負の定数 κ < 0 が存在し、u∗ ω = κS2S2u∗ c 1(∀u : S 2 → M )となることである。主結果は以下の通りである。
定理 2 ([5]). (M, ω) を negatively monotone な symplectic 多様体とする。このとき、Id の C 1 -近傍 U ⊂ Ham(M, ω) が存在し、次の性質を満たす。任意の φ = Id ∈ Ham(M, ω) に対し、自然数 Nφ が存在し、k ≥ Nφ =⇒ φk ∈/Uを満たす。特に、集合 {φl }l∈Z ⊂ Ham(M, ω) は C 1 -位相で離散的である。

124

2

Floer homology と mean index
これ以降 (M, ω) を 2n 次元閉 symplectic 多様体とする。1-周期的 Hamilton

関数 H ∈ C ∞ (S 1 × M ) に対し、その Hamilton ベクトル場 XHt は次の関係式で定義される。

ω(XHt , · ) = −dHt
XHt が生成する時刻 1 の ﬂow を H が生成する Hamilton 微分同相写像といい、
φH と表す。このベクトル場 XH の可縮な 1-周期解の集合を P (H) とする。
P (H) = {x : S 1 → M | ẋ(t) = XHt (x(t)), x : 可縮 }P (H) の元は可縮なループなので、次のような被覆を持つ。
P5 (H) = {(u, x) | x ∈ P (H), u : D2 → M, ∂u = x}/ ∼この同値関係 ∼ は、

⎧
⎪
⎪
x=y
⎪
⎨
(u, x) ∼ (v, y) ⇐⇒(uv̄)∗ ω = 0
S2
⎪
⎪

⎪
⎩ (uv̄)∗ c = 01S2で与えられる（v̄ は v を裏返した円盤）。(u, x) の同値類 [u, x] に対し、action

functional AH ([u, x]) を以下で定義する。
AH ([u, x]) = −1u∗ ω +D20

Ht (x(t))dt

この AH を使って、Floer chain complex CF (H) が定義される。ここで、Hamilton 関数 H は非退化であると仮定する。

5
CF (H) =az · z az ∈ Q, ∀C ∈ R, {z ∈ P(H)| az = 0, AH (z) > C} < ∞z∈P(H)

CF (H) 上で、関数 AH に関する Morse homology として定義されるのが Floer
homology HF (H) である。Floer homology には P5(H) の Conley-Zehnderindex μCZ ([u, x]) ∈ Z よる grading が存在する。Floer homology は量子ホモロジー群 QH∗ (M ) と同型（PSS 同型）であることが知られている。
PSS : QH∗ (M ) −→ HF∗−n (H)次に、Hamilton 関数 H ∈ C ∞ (S 1 × M ) と k ∈ N に対し、H の k 回 iteration

H (k) を次で定義する。
H (k) (t, x) = kH(kt, x)

125このとき、φH (k) = (φH )k である。また、P (H) の元 x(t) を、x(kt) と k 周させることで P (H (k) ) の元 x(k) が定まる。この写像は P5 (H) にも自然に持ち上がり、[u, x] に対して、自然な “k 周” [u(k) , x(k) ] ∈ P5 (H (k) ) も定まる。

Conley-Zehnder index の他に、mean index μ([u, x]) ∈ R があり、次の性質を持つ。

1. | μCZ ([u, x]) − μ([u, x])| ≤ n
2. μ([u(k) , x(k) ]) = kμ([u, x])3Spectral invariant の応用
任意の a ∈ R に対して、P5 (H) の元で AH ([u, x]) ≤ a を満たすもので生成される部分加群 CF ≤a (H) を考えることで、Floer chain complex には ﬁltrationが入る。CF ≤a (H) の homology を HF ≤a (H) とする。この ﬁltration と前述のPSS 同型を使い、QH∗ (M ) の元 α と H ∈ C ∞ (S 1 × M ) の spectral invariantc(α, H) が次で定義される。
c(α, H) = inf{a ∈ R | PSS(α) ∈ Im(HF ≤a (H) → HF (H))}
実は、CF (H)≤c(α,H) の cycle で、[d] = PSS(α) となるものが存在することも知られている。
特に応用上重要なのは、α が基本類 [M ] ∈ QH2n (M ) の場合である。[M ]を使って、spectral norm ρ(H) をと定義する。

ρ(H) = c([M ], H) + c([M ], H̄)ρ(H) ≥ 0 であり、かつ φH = Id の場合 ρ(H) > 0 を満たすことも知られている。更に、spectral invariant の双対性を使うと、ある β ∈ QH0 (M ) で、c([M ], H̄) = −c(β, H)となるものを選ぶことができる。
これらを合わせると、P5 (H) の元 z と w で、

−2n ≤ μ(w) ≤ 0 ≤ μ(z) ≤ 2n, AH (w) < AH (z)を満たすものが存在することがわかる。これは非退化ではない Hamilton 関
数 H に対しても成り立つことも示せる。Hamilton 関数 H を k 回 iterate し、同様に z,w も iterate すると次がわかる。

−2kn ≤ μ(w(k) ) ≤ 0 ≤ μ(z (k) ) ≤ 2kn
AH (k) (z (k) ) − AH (k) (w(k) ) = k AH (z) − AH (w)126更に、z (k) と w(k) に π2 (M ) を作用させ、capping を変えることで次のような P5 (H (k) ) の元 zk , wk を取ることが出来る。N > 0 を (M, ω) の最小 Chern
数とする。

0 ≤ μ(zk ) ≤ 2N, 0 ≤ μ(wk ) ≤ 2N
AH (k) (zk ) − AH (k) (wk ) ≥ k AH (z) − AH (w)(1)

Ham(M, ω) のループによる作用

4

2 つの Hamilton 関数 H と K が φH = φK を満たすとき、可縮な周期解の集合 P (H) と P (K) には自然な 1 : 1 対応が存在する。Hamiltonian ﬂow φtHと φtK の差が Ham(M, ω) のループで記述されるからである。しかし、P5 (H)と P5 (K) の 1 : 1 対応で、P (H) と P (K) の対応の持ち上げ（下図を可換にする）になっているものは（一般に）無数に存在する。
f55−−−−→ P(K)
P(H)
⏐
⏐
⏐
⏐
π9
π9
f

P(H) −−−−→ P(K)このような変換 f5 は、action functional の値や mean index の値を変えてしまう。しかし、それは相対的な差を保つことを示すことが出来る。

AK (f5(z)) − AK (f5(w)) = AH (z) − AH (w)μ(f5(z)) − μ(f5(w)) = μ(z) − μ(w)
これにより、action functional と mean index の差は Hamilton 微分同相写像に対して well-deﬁned になる。φH が Id の十分小さい C 1 -近傍に入っている
とき、次のような関係を満たすことがわかる。

|μ(z) − μ(w)| ≤ 2N =⇒ |AH (z) − AK (w)| ≤ 2(N + n)|κ|(2)

この関係式の証明のためには次の補題を用いる。
補題 1. φ ∈ Ham(M, ω) が Id の十分小さい C 1 -近傍に入っているとする。このとき、φ と Id をつなぐ C 1 -small な Ham(M, ω) の path でつなぐことが出来る。
注 1. この補題において、Symp(M, ω) の C 1 -small な path でつなぐことが出来るのは自明であるが、それを Ham(M, ω) でつなぐことが出来るというのは非自明である。その証明には ﬂux 群 Γ(M,ω) ⊂ H 1 (M : R) が離散群であるという C 1 -ﬂux 定理を応用する。
式 (1) と (2) を比較すれば、k を十分大きい自然数とすると (φH )k が Id の1

C -近傍には含まれないことがわかる。

127

5

関連する問題定理 2 の自然な一般化として、C 1 -位相より弱い位相で同じ結果が成立するかという問題がある。Ham(M, ω) には Hofer 距離という両側不変距離が定義され、その位相は C 1 -位相より弱い。
問題 1. Ham(M, ω) の C 0 -位相もしくは Hofer 距離の誘導する位相に関して、定理 2 と同じ結果が成り立つか？

Ham(M, ω) の C 0 -位相に関する問題は一般には難しい（C 0 -ﬂux 予想など）。
近年 C 0 -symplectic topology という研究分野があり、そこでは Ham(M, ω)の C 0 -極限になるような同相写像を Hamiltonian homeomorphism という。
問題 2. Hamiltonian homemorphism に対しても、定理 2 と同じ結果は成り立つか？

Hamiltonian S 1 -action や tosrion などの類似として、pseudo-holomorphic
curve に関する問題を考えることが出来る（[2, 1]）。
問題 3. φ を Id ではない Hamilton 微分同相写像とし、増大列 ik ∈ Z で

φik −→ Id
を満たすとする（位相は適当に取る）。このとき (M, ω) は uniruling（M の各点が非自明な pseudo-holomorphic curve の像に含まれる）か？

参考文献[1] M.S. Atallah, E. Shelukhin. Hamiltonian no-torsion. Geom. Topol.27(2023), no.7, 2833-2897[2] D. McDuﬀ. Hamiltonian S 1 -manifolds are uniruled. Duke Math.
J.146(2009), no.3, 449–507[3] K. Ono. Floer–Novikov cohomology and the ﬂux conjecture. GAFA,
Geom. funct. anal. 16, 981–1020 (2006)[4] L. Polterovich. Growth of maps, distortion in groups and symplectic
geometry. Invent. Math. 150(3), 655–686 (2002)[5] Y. Sugimoto. No C 1 -recurrence of iterations of symplectomorphisms.
arXiv:2305.17917

128

Globality of the DPW construction for Smythpotentials in the case of SU1,1
Tadashi Udagawa
Department of Mathemtics, Waseda University

1

Introduction

The DPW method (the generalized Weierestrass representation) is a way toconstruct harmonic maps into symmetric spaces, that was developed by J.
Dorfmeister, F. Pedit, H. Wu (see [5]). We can apply the DPW method toconstruct a constant mean curvature (CMC) surface in R2,1 for the reason
that the Gauss map of a CMC-surface is a harmonic map. From the surface
theory, the Riemann metric of a CMC-surface satisﬁes the classical GaussCodazzi equation. Thus the DPW method is also useful for studying certain
nonlinear diﬀerential equations.
The studying of CMC-surfaces with symmetry is an interesting topic andin terms of surface theory there are well-known examples such as the Delaunay surface and the Smyth surface. In this talk, we investigate the Smythpotential
1
0 z k0ξ=dz, k0 , k1 ∈ Z≥−1 ,λ z k1 0
on C∗ . The Smyth potential satisﬁes the homogeneity condition ξ(zeia , λeib ) =T −1 ξ(z, λ)T , where a, b ∈ R and T ∈ U1 ⊂ SU2 . For the case k0 = 0, k1 ∈ N,
the Smyth potential gives the (k1 + 2)-legged Smyth surface in R3 , which has
reﬂective symmetry with respect to k1 + 2 geodesic plane and the metric is
independent of θ in z = reiθ . For the case k1 = −1, Smyth potential is related to the quantum cohomology (see [4] for details). We mainly discuss thiscase, following Dorfmeister, M. Guest, W. Rossman in [4], in order to give amore direct argument without relying on results on Painlevé equations.

129

For k0 , k1 ∈ Z≥−1 , we consider the Smyth potential corresponding to a
CMC surface in the Minkowski space R2,1 , then the Riemann metric satisﬁes
the sinh-Gordon equation
utt = e2u − e−2u , u = u(|t|) : U → R,
k0 +k1 +2

where t = k0 +k21 +2 z 2and U ⊂ C∗ is an open subset (see section 2 of [4]).
In the DPW method, we need the Iwasawa factorization of a certain matrixvalued function obtained from the holomorphic potential. In the case of R3
the Iwasawa factorization is always globally-deﬁned on the whole domain.
However, in the case of R2,1 the Iwasawa factorization is not always globallydeﬁned. It was proved in [4] that, after a suitable dressing transformation,
we have a global Iwasawa factorization. Our goal is to give another, more
direct, proof.
In terms of physics, the relation between N = 2 supersymmetric quantum
ﬁeld theories and the tt*-Toda equation was introduced by S. Cecotti and
C. Vafa (see [3]). Since the sinh-Gordon equation is a special case of tt*Toda equation, Smyth potentials have some interpretation from physics. In
particular, for the case k0 ∈ Z≥0 , k1 = −1 the CMC-surface in R2,1 obtained
from the Smyth potential is related to the quantum cohomology of CP 1 . For
the general case, the “magical solution” of tt*-Toda equation predicted by
Cecotti and Vafa is expected to be globally-deﬁned on C∗ .

2

The DPW method

In the DPW method, we use the following splitting theorem for loop groups.
Theorem 2.1 (The Iwasawa factorization for (ΛSU1,1 )σ , [1], [2]) Thereexists an open dense subset U ⊂ (ΛSL2 C)σ such that the multiplication((ΛSU1,1 )σ  ((ΛSU1,1 )σ · w)) × (Λ+,>0 SL2 C)σ → U ,is a real-analytic bijective diﬀeomorphism with respect to the natural smoothmanifold structure, where


0
λ
w=
.
−λ−1 0130

The unique splitting of an element φ ∈ U ,φ = F · B,
with F ∈ (ΛSU1,1 )σ  ((ΛSU1,1 )σ · w) and B ∈ (Λ+,>0 SL2 C)σ , will be called
the Iwasawa factorization.
We construct CMC-surfaces from a holomorphic potential, a matrix-valued
1-form, as follows:(1) Let Σ be a simply-connected Riemann surface. Given a holomorphic
potential ξ on Σ, we solve
dφ = φξ, φ(z0 ) = φ0 ,for some base point z0 and φ0 ∈ (ΛSL2 C)σ .
(2) Then we can split φ ∈ (ΛSL2 C)σ via Iwasawa factorization into a product
φ=F ·Bor F · w · B,

on some open neighbourhood U ⊂ Σ of z = z0 , where F ∈ (ΛSU1,1 )σ ,B ∈ (Λ+,>0 SL2 C)σ .
(3) Finally, we compute the Sym-Bobenko formula

:

;
−i
1
1 0
−1
−1
F
λ(∂λ F )F + F,
f (z, z, λ) =
0 −1
2H
2
where H ∈ R, H = 0. Then we can see that f = f (z, z, λ) : U → R2,1 isa conformal immersion with constant mean curvature H for all λ ∈ S 1(see Theorem 3.8. of [2]).
By using the DPW method, a CMC-surface in R2,1 can be constructed froma holomorphic potetnial. However, the resulting CMC-surface is not always
globally-deﬁned, because the Iwasawa facotrization for SU 1,1 is not always
global.

3

The DPW construction for Smyth potentials

In this talk, we consider the quantum cohomology case k1 = −1. In [4],Dorfmeister, Guest, Rossman gave a local Iwasawa factorization for Smythpotentials.

131

Proposition 3.1 (Theorem 4.3 of [4]) For any a ∈ R>0 ,



 √
√
1
0
y0
−a −λ/√ −aλz(y0 )z,φ=1
λ−1 log z2 10
1/ −ay y0 + λz 14 (y1 )z
4 1
where
y0 (z, λ) = λ−2j z 4jj≥0

16j (j!), y1 (z, λ) = −2λ−12



1 λ−2j z 4j
(1 + · · · + ) j,
j 16 (j!)2j≥1

admits an Iwasawa factorization
0λB, F ∈ (ΛSU1,1 )σ , B ∈ (Λ+,>0 SL2 C)σ ,φ=F−λ−1 0on some domain U = V ∩ C\(−∞, 0], where V is a neighbourhood of z = 0
in C.
v

v

2

As a Corollary, we put B(z, λ = 0) = diag(e 2 , e− 2 ), eu = r2 ev , x = r2 then u
is a local radial solution of the sinh-Gordon equation near z = 0.
Our goal is to obtain the global Iwasawa factorization. Thus, we need toconsider the DPW construction at large z. We know (section 3 of [4]) that thescalar equation corresponding to the Smyth potential with k0 = 3, k1 = −1
is1
yzz + yz − λ−2 z 2 y = 0.
z
and this equation can be transformed to the modiﬁed Bessel equation. By
using the asymptotic expansion of Bessel functions, the Iwasawa factorizationof φ can be formulated as a Riemann-Hilbert problem consists of ﬁnding
Y = {Y± } such that(i) Y± are holomorphic in upper/lower half plane H± ⊂ C∗ and continuous
in H± respectively.
(ii) Y+ = Y− G on Γ = Γ+ ∪ Γ− ,(iii) Y± → Id as λ → ∞,where H± ⊂ C∗ are upper/lower half plane, Γ± are positive/negative real
axis and G is a continuous function on Γ.
We solve our Rimeann-Hilbert problem by using the Vanishing Lamma.

132Lemma 3.1 (The Vanishing Lemma) The Riemann Hilbert problem determined by a pair (Γ, G) has a solution if and only if the corresponding
homogenous Riemann-Hilbert problem (in which the condition Y → Id isreplaced by Y → 0) has only the trivial solution.
As a conclusion, we obtain the global Iwasawa factorization of φ and theglobal radial solution of the sinh-Gordon equation.

References[1] V. Balan and J. Dorfmeister. Birkhoﬀ decomposition and Iwasawa decomposition for loop groups. Tôhoku Math. J., 53(4):593–615, 2001.
[2] D. Brander, W. Rossman, and N. Schmitt. Holomorphic representationof constant mean curvature surfaces in Minkowski space: consequencesof non-compactness in loop group methods. Adv. Math., 223(3):949–986,
2010.
[3] S. Cecotti and C. Vafa. Topological-anti-topological fusion. Nuclear
Phys. B, 367(2):359–461, 1991.
[4] J. Dorfmeister, M. Guest, and W. Rossman. The tt* structure of thequantum cohomology of CP 1 from the viewpoint of diﬀerential geometry. Asian J. Math., 14(3):417–437, 2010.
[5] J. Dorfmeister, F. Pedit, and H. Wu. Weierstrass type representation ofharmonic maps into symmetric spaces. Comm. Anal. Geom., 6:633–668,
1998.
[6] A. Fokas, A. Its, A. Kapaev, and V. Novokshenov. Painlevé Transcendents: The Riemann-Hilbert Approach, Mathematical. Surveys andMonographs 128. Amer. Math Soc., 2006.
[7] M. Guest, A. Its, and C. Lin. Isomonodromy aspects of the tt* equationsof Cecotti and Vafa II. Riemann-Hilbert problem. Comm. Math. Phys.,
336:337–380, 2015.

133

Khovanov-インスタントン Floer ホモロジーにおける immersed コボルディズム写像
井森隼人 (KAIST)∗

概 要

Khovanov ホモロジーおよび特異インスタントン Floer ホモロジーは強力な結び目不変量を実現し,共に結び目間の曲面コボルディズムに対する関手性をもつ. Kronheimer–Mrowka により, 二つの不変量の間にはスペクトル系列を通じた対応が見出された. 後に Kronheimer–Mrowka によるスペクトル系
列は, 埋め込まれた曲面コボルディズムに対する関手性をもつことが, Baldwin–Hedden–Lobb による
Khovanov-Floer 理論により証明された. これは二つの理論に生じるコボルディズム写像もスペクトル
系列を通じて対応すること意味する. 本講演では, スペクトル系列を通じて対応する曲面コボルディズム
写像の構成が immersed コボルディズムのクラスに拡張することを紹介する. 主結果は Khovanov ホモロジー理論における immersed コボルディズム写像の導入と, スペクトル系列を通じたインスタントン
Floer 理論の immersed コボルディズム写像との対応の証明からなる. また, これにより得られるいくつかの位相的応用についても紹介する. 本講演は, 佐藤光樹氏, 佐野岳人氏, 谷口正樹氏との共同研究に基づく.

1

特異インスタントン・ホモロジー及びスペクトル系列.

Khovanov ホモロジーは [8] において, Jones 多項式の categoriﬁcation として組合せ的に構成された結び目不変量である. インスタントン Floer 理論は Chern-Simons 汎関数に対する Morse 理論の類似として, [3] で導入された. インスタントン Floer 理論は, 当初 3 次元多様体の位相不変量として構成された.
Kronheimer–Mrowka は, [9] において, 特異インスタントン・ホモロジーと呼ばれる変種を導入し, 結び目
不変量を与えた. 特異インスタントン・ホモロジーの応用として, 「Khovanov ホモロジーが自明結び目を検出する」ことが証明された [10]. これは本質的に次の定理 1.1(および sutured インスタントン Floer ホ
モロジー KHI の性質) の帰結である.
定理 1.1 (Kronheimer–Mrowka, [10]). スペクトル系列

Khr (K ∗ ; Z) =⇒ I  (K; Z)が存在する.
ここで, Khr は reduced Khovanov ホモロジー, K ∗ は結び目 K の鏡像である. I  (K; Z) は, 特異イン
スタントン・ホモロジーが実現する, 結び目ホモロジー群の一種である.
この変種として, unreduced Khovanov ホモロジー Kh に対応する特異インスタントン・ホモロジー I とスペクトル系列

Khr (K ∗ ; Z) =⇒ I  (K; Z)
も存在する.
ここでは, このスペクトル系列の構成の概要を復習しておく.

Kronheimer–Mrowka によるスペクトル系列の構成 [10] では, 結び目の平面図を精密化し, R3 内の S 1 の埋め込みを diagram D とみなす. 与えられた結び目の diagram D に対し, ある方法で「交点の resolution」∗ E-mail: himori@kaist.ac.kr

134が定義される. 交点の個数が N 個の diagram に対して, resolution の全体は N 次元 cube {0, 1}N の頂点に対応する. 頂点 v ∈ {0, 1}N に対応する resolution を適用して得られる diagram を Dv と表す.

D を結び目 K の diagram とする. 与えられた diagram D に対して, cube complex (CKh (D), d ) を対応させる. これは, 次のような対象である.
1. CKh (D) :=2. d =

<

v C (Dv ),v≥u fvu .

ここで, C  (Dv ) は diagram D のラベル v ∈ Z に対応する交点の resolutuion に対するインスタントン・
チェイン複体である. また, fuv : C  (Du ) → C  (Dv ) は 2 つの resolution diagram Du , Dv を繋ぐ標準的
コボルディズム Suv 上で, 適切なインスタントン方程式の解を数え上げることにより, 定義される.
結び目ホモロジー群 I  (K) は結び目の交点の resolution に対応する, skein exact sequence をもつ. この skein exact sequence は Khovanov ホモロジーの性質に類似する. また skein exact sequence は, 次のcube complex のチェイン・ホモトピー同値を導く.
C  (D)  Cone(C  (Dv0 ) → C  (Dv1 )).
このチェイン・ホモトピー同値を帰納的に適用し, インスタントン・チェイン複体 C  (K) と cube complex

CKh (D) がチェイン・ホモトピー同値により, 同一視される. 議論の最終段階として, pants コボルディズ
ムがチェイン複体 C  に誘導する代数構造 (積・余積など) が Frobenius 代数 A と一致することが確認される. これは cube complex (CKh (D), d ) から得られるスペクトル系列の E2 -項が Khovanov ホモロジーを復元することを意味する. また構成から収束先は I  (K; Z) に一致する. 以上が Kronheimer–Mrowka により [10] で実行された議論であった.
上記の議論は [11] で精密化されており, (CKh (D), d ) には自然な homological grading に加え, quantum
grading が入る. Khovanov ホモロジーは quantum grading が定めるフィルトレーションに関するスペク
トル系列の E1 -項としても復元される.
結び目不変量 I  は曲面コボルディズムに対する関手性を有する. すなわち, S : K1 → K2 を二つの結び目をつなぐ, 向きづけられた曲面コボルディズムとすると, 準同型

I  (S) : I  (K1 ) → I  (K2 )が誘導される. インスタントン Floer 理論において, 曲面コボルディズムは必ずしも埋め込まれた曲面である必要はなく, immeresed コボルディズムの出現を許容する.

S 3 × [0, 1] 内の埋め込まれた曲面コボルディズム S : K → K  に対しては, Khovanov-Floer 理論 [2] により Khovanov ホモロジーに誘導されるコボルディズム写像
φS : Kh(K) → Kh(K  )と instanton ホモロジーに誘導されるコボルディズム写像

I  (S) : I  (K) → I  (K  )にスペクトル系列 (1.1) を介した対応がつく. 一方で, Khovanov ホモロジー理論上における, インスタン
トン Floer ホモロジーの immersed 曲面コボルディズム写像と整合的な誘導写像の構成はこれまで知られていない状況であった.

135

2

主結果および応用.
S : K1 → K2 を normaly immersed な曲面コボルディズムとする. 本研究では, 組合せ的に構成される

チェイン写像

φS : CKhr (K1 ) → CKhr (K2 )(2.1)

を導入し, Kronheimer–Mrowka によるスペクトル系列

Khr (K ∗ ; Z) =⇒ I  (K; Z)
を経由して, インスタントン Floer ホモロジー上の誘導写像

I  (S) : I  (K) → I  (K  )との整合性を証明する. immersed 曲面コボルディズムの例は, 結び目の交点に関する crossing change に現れる. Khovanov ホモロジー理論における crossing change を扱った文献として [1], [7] を挙げておく.
より正確な主結果の主張は以下の通りである.
定理 2.1 (Imori-Sato-Sano-Taniguchi, [6]). 向きづけられた immersed コボルディズム S : K → K  に対し, インスタントン Floer ホモロジー上のコボルディズム写像 I  (S) : I  (K) → I  (K  ) は二重のフィルト
レーションを保つチェイン写像φS : CKh (K) → CKh (K  )で代表される. 特にチェイン写像 φS のフィルトレーションに対する次数はord ≥ (−2s+ , χ(S) − 6s+ )を満たす. 特に, cube complex (CKh (K), d ) の h-フィルトレーションに対する E2 -項, および q-フィル
トレーションに対する E1 -項に誘導される写像は(φS∗ )∗ : Kh(K ∗ ) → Kh(K ∗ )に一致する.

定理 2.1 の証明の本質的な部分を述べる. チェイン写像φS : CKh (D) → CKh (D )の構成はインスタントン・ゲージ理論を用いて, 解析的に与えられる. immersed 曲面コボルディズム

S : K → K  の elementary コボルディズムおよび crossing change コボルディズムの合成への分解を考える. 構成上本質的な部分は, 分解に生じる crossing change コボルディズムに対応する誘導写像である.
S : D → D を crossing change コボルディズムとする. 曲面 S の自己交伹における blow-up¯ 2
S b : D → D ⊂ ([0, 1] × S 3 )#CPがインスタントン Floer 理論に誘導する写像を考察することで, cube complex CKh 上に写像が与えられる. 構成から, crossing change コボルディズムがスペクトル系列の極限であるホモロジー群 I  に誘導する写像は, 本来の immersed コボルディズム写像に一致する.

136最終的な段階として, Khovanov ホモロジーにおける immersed 曲面コボルディズム写像 (2.1) がスペク
トル系列の E1 あるいは E2 -項から復元されることを確認する必要がある. Khovanov ホモロジーとの比較のために, 曲面の自己交伹の近傍を切除し, immersed 曲面コボルディズム S を次の二つの部分に分解する.

S = SH ∪ T.
T は自己交伹を持たない, すなわち埋め込まれた曲面であり, Khovanov ホモロジー上に通常のコボルディ
ズム写像を誘導する.
SH : ∅ → H
は位相的には二つの円板であり, 自己交伹をもつ. 境界は Hopf link H である. TQFT の性質から, 議論
は cube complex 上の誘導写像

CKh (SH ) : CKh (∅) → CKh (H)に帰着する. すなわち, 誘導写像 CKh (SH ) がスペクトル系列の E1 および E2 -項に誘導する写像が,Khovanov ホモロジー上の immersed 曲面コボルディズム写像 (2.1) と一致することを確認すればよく, これは具体的な計算によって保障される. 以上が証明の概要である.
この主結果の応用として, 以下の位相的応用が得られる. まず, 次の概念を導入する. S : K1 → K2 を向きづけられた immersed な曲面コボルディズムであって, 自己交伹は横断正則なものとする. このような S 全体の中で最小の正の自己交点数の個数を K1 と K2 の kink distance と呼び, dK+ (K1 , K2 ) と表す.
特に, k+ (K) := dK+ (U1 , K) を結び目 K の psitive kinkiness と呼ぶ.
定義 2.2. 結び目 K1 が結び目 K2 の kink adjacent であるとは,dk+ (K1 , K2 ) = k+ (K1 ) − k+ (K2 )が成立することをいう. また, これを K1 ≤k+ K2 と表す.
定理 2.3 (Imori-Sato-Sano-Taniguchi, [6]). K ≤k+ T2,q とする. このとき immeresed なコボルディズム

S : U1 → K であって s+ + g(S) = k+ (K) を満たすものに対し, 誘導写像
φS : Khr (U1 ; Q) → Khr (K; Q)の像は non-zero.
アニュラス C = S 1 × [0, 1] の S 3 × [0, 1] への proper かつ滑らかな埋め込みであって, K = C ∩ S 3 × {0},

K = C ∩ S 3 × {1} となるものを結び目 K, K  の結び目コンコーダンスと呼ぶ. 曲面コボルディズムとして, (2, q)-トーラス結び目 T2,q からのびるコンコーダンスに対しては, 以下のより強い性質が成り立つ.
定理 2.4 (Imori-Sato-Sano-Taniguchi, [6]). 任意の結び目コンコーダンス C : T2,q → K に対して, Khr上に誘導される写像

φC : Khr (T2,q ; Q) → Khr (K; Q)
は単射.

Khovanov ホモロジーの曲面コボルディズムに対する関手性は, 近年 exotic disk の検出 [5] などに応用されている. また, 4 次元多様体内の immersed かつ向きづけられた曲面間のホモトピーは, (1)ambient(2)positive twist move (正の自己交伹を１個導入)(3)negative twist move (負の自己交伹
isotopy
を 1 個導入) (4)ﬁnger move (正負の自己交伹をペアで導入) の合成に分解することが知られている [4].
negative twist move に対する immersed コボルディズム写像 (2.1) の不変性から次が従う.

137

定理 2.5 (Imori-Sato-Sano-Taniguchi, [6]). D1 および D2 を K ⊂ S 3 を境界にもつ二つの exiotic disk であって, Khovanov ホモロジー理論により検出されるものとする. すなわちKh(D1 ) = Kh(D2 ) ∈ Kh(K; Z).
このとき negative twist move の列で D1 は D2 に変形されない.

参考文献[1] Akram Alishahi and Nathan Dowlin. The Lee spectral sequence, unknotting number, and theknight move conjecture. Topology Appl., 254:29–38, 2019.
[2] John A Baldwin, Matthew Hedden, and Andrew Lobb. On the functoriality of khovanov–ﬂoer
theories. Advances in Mathematics, 345:1162–1205, 2019.
[3] Andreas Floer. An instanton-invariant for 3-manifolds. Comm. Math. Phys., 118(2):215–240, 1988.
[4] Michael H Freedman and Frank Quinn. Topology of 4-Manifolds (PMS-39). Princeton University
Press, 1990.
[5] Kyle Hayden and Isaac Sundberg. Khovanov homology and exotic surfaces in the 4-ball. Journal
für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2024(809):217–246, 2024.
[6] Hayato Imori, Kouki Sato, Taketo Sano, and Masaki Taniguchi. Instantona, khovanov homology
and immersed cobordisms. In prepairation.
[7] Noboru Ito and Jun Yoshida. A cobordism realizing crossing change on sl2 tangle homology anda categoriﬁed Vassiliev skein relation. Topology Appl., 296:Paper No. 107646, 31, 2021.
[8] Mikhail Khovanov. A categoriﬁcation of the Jones polynomial. Duke Math. J., 101(3):359–426,
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[9] P. B. Kronheimer and T. S. Mrowka. Knot homology groups from instantons. J. Topol., 4(4):835–
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[10] Peter B Kronheimer and Tomasz S Mrowka. Khovanov homology is an unknot-detector. Publications mathématiques de l’IHÉS, 113:97–208, 2011.
[11] Peter B Kronheimer and Tomasz S Mrowka. Filtrations on instanton homology. Quantum Topology,
5(1):61–97, 2014.

138

有限退化次数特異点に対する Gauss–Bonnet の定理(横浜国大理工)∗

本田 淳史

概

要

カスプ辺やツバメの尾をはじめとして，フロンタルの非退化特異点の幾何学的性質はよく調べられており，とくに Gauss–Bonnet 型定理が成り立つことが知られている．本稿では, 非退化特異点を一般化する特異点のクラスとして有限退化次数特異点を導入し, Gauss–Bonnet 型定理が成り立つことを紹介する. 本稿の内容は，服部祐樹氏 (横浜国立大学)，福間友子氏 (元横浜国立大学) との共同研究に基づく．

1. 導入
カスプ辺とツバメの尾のみを特異点とする閉波面に対し，Gauss–Bonnet 型定理

1
2π

(1.1)
(1.2)

1
2π

K dA +
M1πSg

κs ds = χ(M ),K dÂ = χ(M+ ) − χ(M− ) +Mnsgn(Pi ).

i=1が成り立つ．式 (1.2) は Langevin–Levitt–Rosenberg [6] により 1995 年に指摘された．

図 1: カスプ辺とツバメの尾のみを許容する閉波面
その後，Kossowski [4] は 2002 年に (1.1) と (1.2) を示した．そして 2008, 2009 年にSaji–Umehara–Yamada [11, 12] はフロンタルの内在的な性質を抽出した概念である連接接束を導入し，特異点が第一種または許容的な第二種非退化特異点であるような連接接束に対し，(1.1) と (1.2) が成り立つことを証明した．さらに，Hasegawa–Honda–
Naokawa–Saji–Umehara–Yamada [1] は Kossowski 計量をもつ 2 次元閉多様体に対し，(1.1) と (1.2) が成り立つことを示した．一方で，退化特異点の場合には Gauss–Bonnet型定理が成り立つかどうかは知られていない．本稿では，非退化特異点を一般化する
本研究は科研費 (課題番号:24K06709) の助成を受けたものである．
2010 Mathematics Subject Classiﬁcation: Primary 53C42; Secondary 57R45.
キーワード：波面，特異点，連接接束，Kossowski 計量，Gauss-Bonnet の定理∗〒 240-0067 神奈川県横浜市保土ケ谷区常盤台 79-5
e-mail: honda-atsufumi-kp@ynu.ac.jp139

特異点のクラスとして有限退化次数特異点，および有限次 Kossowski 計量を導入し，Gauss–Bonnet 型定理が成り立つことを紹介する. 本稿で現れる多様体や写像はすべて
C ∞ 級とする．

2. 有限退化次数特異点と有限次 Kossowski 計量
2 次元多様体 M に対し，g を M 上の半正定値計量とする．点 p ∈ M が半正定値計量 gの特異点，または退化点であるとは，gp が正定値でないときをいう．特異点集合を Sgで表す．座標近傍 (U ; u, v) において，g = E du2 + 2F du dv + G dv 2 と表す．
定義 2.1 ([1, 5]). 半正定値計量 g がフロンタル計量であるとは，任意の局所座標近傍(U ; u, v) に対して，U 上の滑らかな関数 λ が存在して EG − F 2 = λ2 となるときをいう．

λ を符号付き面積密度関数，dÂ := λ du ∧ dv を符号付き面積要素という．dÂ が M 上
well-deﬁned であるとき，g を余向き付け可能という．特異点は λ の零点として特徴付けられる．dλ(p) = 0 を満たす特異点 p を非退化特異点という．Np := {v ∈ Tp M ; gp (v, v) =0} を点 p ∈ M における退化空間と呼ぶ．dim Np = 1 のとき，特異点 p ∈ M を階数 1という．非退化特異点は階数 1 である [1]．そこで，非退化特異点を含む特異点のクラスとして，有限退化次数特異点を次のように定める．
定義 2.2. M 上のフロンタル計量 g に対し，p ∈ Sg を階数 1 特異点，n を正の整数とする．p の座標近傍 (U ; u, v) に対して，U 上で定義された C ∞ 級関数 λ̃ と零でない C ∞ 級
関数 α が存在して
λ = αλ̃n ,dλ̃(p) = 0
をみたすとき，n を p の退化次数という．退化次数が有限のとき，特異点 p ∈ Sg を有限退化次数特異点という．退化次数 n が偶数のとき p を偶数次特異点，奇数のとき p を奇数次特異点という．
退化次数が 1 である特異点は非退化特異点であるため，有限退化次数特異点は非退化特異点を一般化するクラスである．また，一般性を失わず，n が奇数のときは α = 1，n が偶数のときは α = ±1 としてよい．
すべての特異点が階数 1 であるとき，各特異点の近傍 U で定義された至る所消えないベクトル場 η で，ηq ∈ Nq (q ∈ Sg ∩ U ) をみたすものが存在する．このようなベクト
ル場 η を退化ベクトル場という．
定義 2.3. M 上のフロンタル計量 g に対し，すべての特異点は階数 1 であり，特異点集
合 Sg は M の 1 次元部分多様体であるとする．このとき，g が F -許容的 (F -admissible)であるとは，各特異点 p ∈ Sg に対して，p の座標近傍 (U ; u, v) と U 上の C ∞ 級関数 β が存在して，∂/∂v が退化ベクトル場であり，Ev − 2Fu = βλが U 上で成り立つときをいう．

[1] において許容的なフロンタル計量が導入された 1 ．すべての特異点が非退化なフロンタル計量に対して，許容的であることと F -許容的であることは同値である．しかし，退化特異点を許容するフロンタル計量の場合，許容的であるが F -許容的でないよ
うなものが存在する．
1

フロンタル計量 g が許容的であるとは，各特異点 p ∈ Sg に対して，p の座標近傍 (U ; u, v) が存在して，(∂/∂v)p が退化ベクトルであり，Ev (p) = 2Fu (p) が成り立つときをいう．

140

定義 2.4. 全ての特異点が有限退化次数特異点である F -許容的なフロンタル計量を有限次 Kossowski 計量と呼ぶ．特に，全ての特異点が奇数次特異点 (resp. 偶数次特異点) であるフロンタル計量を奇数次 Kossowski 計量 (resp. 偶数次 Kossowski 計量)という．
一般に，フロンタル計量に対して，余向き付け可能性と M の向き付け可能性は独立であるが，偶数次 Kossowski 計量の場合は同値であることがわかる：
命題 2.5. 2 次元多様体 M 上の偶数次 Kossowski 計量 g に対し，M が向き付け可能であることと，g が余向き付け可能であることは同値である．

3. Gauss–Bonnet 型定理
以後，M は向き付けられていると仮定する．このとき，dA := |λ| du ∧ dv は M の向きに同調した座標近傍 (U ; u, v) の取り方に依存しない．dA を (符号なし) 面積要素という．有限次 Kossowski 計量 g に対し，陰関数定理により，特異点集合 Sg は M の 1 次元部分多様体を定める．Sg のパラメータ表示 γ(t) を特異曲線と呼ぶ．接空間 Tp Sg と退化
空間 Np が異なるとき，p を第一種特異点といい，そうでないとき p を第二種特異点という．第二種特異点が許容的であるとは，それ自身が第二種特異点の集積点になっていないときをいう.
Saji–Umehara–Yamada [12] により，非退化な第一種特異点に対して特異曲率と呼ばれる内在的不変量が導入され，それは Kossowski 計量の非退化な第一種特異点にも定義される [1]．特異曲率は奇数次 Kossowski 計量の第一種特異点に拡張される．
第一種特異点 p ∈ M に対し，p = (0, 0) を中心とする M の向きに同調した座標近傍(U ; u, v) で
g = E du2 + G dv 2 ,E > 0, G(u, 0) = 0となるものが存在する．特異点集合 Sg は p の近傍で u 軸と一致する．余向き付け λ を
λvn (0, 0) > 0 をみたすものとする．このとき

κs (p) := −Evn+1 (0, 0)
2E(0, 0)λvn (0, 0)を特異曲率と呼ぶ．ここで，Evn+1 := ∂ n+1 E/∂v n+1 , λvn := ∂ n λ/∂v n とする．非退化
特異点 (n = 1) の場合は，[1] で与えられた Kossowski 計量の第一種特異点に対する特異曲率と一致する．また，特異曲線 γ(t) に対して，κs ds は Sg 上の滑らかな 1 次微分形式を与える．ただし，ds := γ  (t)g dt とする (γ  (t)g := g(γ  (t), γ  (t)))．とくに，

Sg

κs ds

は有限の値を定める．
以降，g を余向き付け可能であるとする．このとき，K dÂ (ただし，K は正則点集合
M \ Sg 上のガウス曲率) は，M 上で定義された滑らかな 2 次微分形式に拡張される 2 ．
M± := {p ∈ M ; dÂp = ±dAp } と定めるとき，K dA は各 M+ , M− 上で連続な 2 次微分

2g が F -許容的であることから従う．

141

形式を定める ([4, 1] と同様の議論から従う)．許容的な第二種特異点 P ∈ Sg に対して，⎧⎪(P における M+ の内角が 2π のとき)⎪
⎨1sgn(P ) :=0
(P における M+ の内角が π のとき)⎪⎪⎩−1 (P における M の内角が 0 のとき)+
と定める． M KdA := M+ K dA + M− K dA とするとき，次が成り立つ．
定理 3.1. M をコンパクトで境界をもたない向き付けられた 2 次元多様体とする．g を有限次 Kossowski 計量で，特異点は全て第一種または許容的な第二種であるとし，第二種特異点の個数を N とする．このとき，次が成り立つ．

(1) g が奇数次 Kossowski 計量ならば，
1
2π

K dA +
M1πSg

κs ds = χ(M )が成り立つ．さらに，g が余向き付け可能な場合，

12π

K dÂ = χ(M+ ) − χ(M− ) +MNsgn(Pi )i=1が成り立つ．

(2) g が偶数次 Kossowski 計量ならば，g は余向き付け可能であり，
1
2π

K dA = χ(M )Mが成り立つ．
証明について，非退化特異点 (n = 1) の場合 ([1]) と同様に，連接接束を用いる．連接接束において有限退化次数特異点を導入し，非退化特異点の議論 ([11]) を有限退化
次数特異点に拡張した．奇数次，偶数次ともに，第二種特異点での曲率の挙動の考察が伴となる．

4. 例
平面内の楕円の平行曲線族を考える．平行曲線は楕円に十分近いと正則曲線を定めるが，時間が経つと特異点が現れる．楕円の平行曲線に現れる特異点は，ほとんどが (2, 3) カスプ 3 であるが，平行曲線に初めて現れる特異点は (3, 4) カスプ 4 である．図 2 は，(3, 4)
カスプをもつ楕円の平行曲線の回転面を表している．その回転面は (3, 4) カスプ辺と呼ばれる特異点 (R2  (u, v) → (u3 , u4 , v) ∈ R3 ) をもつ．(3, 4) カスプ辺の第一基本形式
は退化特異点を持ち，退化次数は 2 である．
R3 のフロンタルにおいて，[7] で m-type edge と呼ばれる特異点が導入された．(3, 4)
カスプ辺は 3-type edge の例である．このとき，フロンタル f : M → R3 の特異点
3曲線の特異点の近傍において，定義域と地域の座標変換を施すことにより R  t → (t2 , t3 ) ∈ R2 と表されるとき，その特異点を (2, 3) カスプという．
4曲線の特異点の近傍において，定義域と地域の座標変換を施すことにより R  t → (t3 , t4 ) ∈ R2 と表されるとき，その特異点を (3, 4) カスプという．

142

図 2: 左：楕円の平行曲線．中央，右：楕円の平行曲線の回転面．

p ∈ M に対し，p が m-type edge であるための必要十分条件は，p が第一基本形式の特異点として退化次数 (m − 1) の第一種特異点であることにより与えられる．
また，非退化な第一種特異点の場合，特異曲率の符号が曲面の形状に影響することが知られている ([12])．より正確に，カスプ辺が正の特異曲率をもつときお椀状であり，負の特異曲率をもつとき鞍状である (図 3 参照)．このような性質は退化次数が奇数の場合に同様に拡張されることがわかる．

図 3: 左：正の特異曲率をもつカスプ辺．右：負の特異曲率をもつカスプ辺．
一方，退化次数が偶数の場合には特異曲率の符号が自然に定義されないため，上記のような性質は期待されない．退化次数 n が偶数の場合には，第 1 積曲率と呼ばれる不変量
κπ,1 の正負が曲面の凹凸に影響することがわかる．カスプ辺に対する積曲率 κπ は [8] において導入された不変量である．極限法曲率 κν とカスプ的曲率 κc の積 κπ := κν κc で定められた．カスプ的曲率の m-type edge に対する一般化として，[7] において (m, m + i)
カスプ的曲率 ωm,m+i が導入された．積曲率 ([8]) の一般化として，κπ,i := κν ωm,m+i(i = 1, . . . , m − 1) を第 i 積曲率と定める．第 i 積曲率は内在的不変量である．

図 4: (3, 4) カスプ辺．左は正の第 1 積曲率をもち，右は負の第 1 積曲率をもつ．
フロンタルの有限退化次数をもつ第一種特異点は m-type edge で与えられた．フロ
ンタルの有限退化次数をもつ第二種特異点の例も存在する．[10] はツバメの尾の正規

143

型を与えた．[10] の手法を応用することで，フロンタルの有限退化次数をもつ第二種
特異点の正規型を導くことができる．

図 5: フロンタルの退化次数が 2 である第二種特異点
実解析的な場合，与えられた Kossowski 計量を R3 のフロンタルの第一基本形式として等長的に実現できることが知られている ([5, 9, 2, 3])．この一般化として，与えられた実解析的な有限次 Kossowski 計量の等長実現定理も得られる．

参考文献[1] M. Hasegawa, A. Honda, K. Naokawa, K. Saji, M. Umehara, and K. Yamada, Intrinsic
properties of surfaces with singularities, Int. J. Math. 26, 1540008.
[2] A. Honda, K. Naokawa, M. Umehara and K. Yamada, Isometric deformations of wave
fronts at non-degenerate singular points, Hiroshima Math. J. 50 (2020), 269–312.
[3] A. Honda, K. Naokawa, K. Saji, M. Umehara and K. Yamada, Duality on generalized
cuspidal edges preserving singular set images and ﬁrst fundamental forms, J. Singul. 22(2020), 59–91.
[4] M. Kossowski, The Boy-Gauss–Bonnet theorems for C ∞ -singular surfaces with limiting
tangent bundle, Ann. Global Anal. Geom. 21 (2002), 19–29.
[5] M. Kossowski, Realizing a singular ﬁrst fundamental form as a nonimmersed surface in
Euclidean 3-space , J. Geom. 81 (2004) 101–113.
[6] R. Langevin, G. Levitt, and H. Rosenberg, Classes d’homotopie de surfaces avec rebroussements et queues d’aronde dans R3 , Canad. J. Math. 47 (1995), 544–572.
[7] L. F. Martins, K. Saji, S. P. dos Santos, and K. Teramoto, Boundedness of geometricinvariants near a singularity which is a suspension of a singular curve, arXiv:2206.11487,
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[8] L. F. Martins, K. Saji, M. Umehara and K. Yamada, Behavior of Gaussian curvatureand mean curvature near non-degenerate singular points on wave fronts, Geometry andTopology of Manifold, Springer Proc. in Math. & Stat. 154, 2016, Springer, 247–282.
[9] K. Naokawa, M. Umehara and K. Yamada, Isometric deformations of cuspidal edges,
Tohoku Math. J. (2) 68 (2016), 73–90.
[10] K. Saji, Normal form of the swallowtail and its applications, Int. J. Math. 29 (2018),
Article ID 1850046, 17 p.
[11] K. Saji, M. Umehara and K. Yamada, Behavior of corank one singular points on wave
fronts, Kyushu J. Math. 62 (2008), 259–280.
[12] K. Saji, M. Umehara and K. Yamada, The geometry of fronts, Ann. of Math. 169 (2009),
491–529.

144

Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモジュライ空間の幾何学的量子化とそのオペラッド構造 ∗高橋 雄也（名古屋大学大学院 多元数理科学研究科）†

1

導入
幾何学的量子化とはシンプレクティック幾何学の言葉で量子化を定式化する数学的な試みの一つであり，まずはシンプレクティック多様体 (M, ω) に対して，量子ヒルベルト空間と呼ばれる, ある種のベクトル空間 H を構成することが最初のステップになる. これを実行するためにはシンプレ
クティック構造の定めるコホモロジー類 [ω] が整数係数でなければならず，このとき前量子化束と呼ばれる，第一 Chern 類が [ω] と一致する M 上の複素直線束 L をとることができる．大まかに言うと前述の量子ヒルベルト空間は，この前量子化束 L の切断全体の空間を偏極 P という T M ⊗ Cのある可積分な Lagrange 部分束を用いて「半分に割った」空間 HP として構成される．

(M, ω) + P/o /o /o /o /HP ：量子ヒルベルト空間偏極の中でも特に ω と整合的な M の複素構造 J から定まるケーラー偏極 PJ と，完全可積分系 π : (M, ω) → Rn から定まる実偏極 Pπ という二つのタイプが知られている．（ここでdim M = 2n としている．また以降それぞれに対応する量子ヒルベルト空間を HKäh := HPJ と
Hre := HPπ で表す．）物理学の観点からは量子ヒルベルト空間 HP は偏極 P のとり方に依らないことが期待され，とりわけ dim HKäh = dim Hre の成立が示唆されている．そして実際この等式はこれまでに様々な人々によって，非特異 Lagrange ファイバー束やトーリック多様体をはじめ，
Gelfand-Cetlin 系を備えた複素旗多様体, Goldman 系を備えた Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモジュライ空間，bending 系を備えた空間多角形のモジュライ空間といった「トーリックに近い」多様体など色々な例で数学的に証明されてきた. これらの例で等式 dim HKäh = dim Hre は
L の正則切断の空間の次元 = 完全可積分系 π の像に含まれる格子点の個数(1.1)

として書き表すことができる.
等式 dim HKäh = dim Hre について，以前は両辺の値を別々に計算して比較するといった証明が多くなされてきたが，近年になって値の一致の背後にある数学的構造の解明への取り組みが活発になってきている．以前に発表者は空間多角形のモジュライ空間の場合に，ケーラー偏極・実偏極それぞれにあるオペラッドの射を付随させ，等式 (1.1) をこれらの射の対応関係からの帰結と捉えることで先行研究 [6] の一般化を得た [11]．今回の講演では Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモ
ジュライ空間の場合においても，これと同種のオペラッド構造を見出せたことを報告する．ただし
この場合に扱うオペラッドはモジュラーオペラッドと呼ばれる「種数をもったオペラッド」を考える．これ以降はレベルと呼ばれる k ∈ Z>0 を固定する．

2

Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモジュライ空間
まず Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモジュライ空間の定義を述べ, それが前量子化束とケー

ラー偏極・実偏極の両方を備えたシンプレクティック多様体となることを説明する. Σ を種数∗ 本研究は科研費（課題番号：22K20334）の助成および日本数学会奨励研究生制度の支援を受けたものである．
† e-mail: m17024d@math.nagoya-u.ac.jp145g ≥ 0 の閉 Riemann 面，I を有限集合とし，p = {pi }i∈I を Σ 上の相異なる点，α = {αi }i∈I を
その点の重みとする（ここで各重みは αi ∈ [0, k] ∩ Q とする）
．さらに穴空き曲面 Σ0 := Σ − p 上の自明な主 SU (2) 束の接続全体を AΣ0 ∼= Ω1 (Σ0 , su(2)) とし，GΣ0 ∼= C ∞ (Σ0 , SU (2)) をゲージ変換群とする．
定義 Σ0 上の（放物的）SU (2)-平坦接続のモジュライ空間とは, 以下の商空間である:


7 =
6 √
√
M(α) = A ∈ AΣ0 A : ﬂat, holA (CCi ) ∼conj. diag eπ −1αi /k , e−π −1αi /kG Σ0 .
ここで holA (CCi ) は pi のまわりのループ Ci の接続 A に関するホロノミーである．
このモジュライ空間 M(α) について以下が知られている．
事実 各 i ∈ I で αi = 0
0,, k とする．
(1) 既約な接続全体 Ms (α) ⊂ M(α) は 6g − 6 + 2 · #I 次元の実多様体となる．接空間はs
T[[A]
Hc1 (Σ0 , dA ) → H 1 (Σ0 , dA )) と表示され，さらに以下の 2-form ωAB によって
A] M (α) = Im(HMs (α) はシンプレクティック多様体となる [1]：ωAB ([a], [b]) =(2) 各 αi ∈ Z かつ



1
4π

Σ0

Tr(a ∧ b)a, b ∈ Ω1c (Σ0 , su(2)) .

αi ∈ 2 Z のとき，前量子化束 L(α) → Ms (α) が構成できる [7, 10]．

i∈I(3) モジュライ空間 Ms (α) は (Σ, p) 上の階数 2，trivial determinant で安定な (放物的) 正則ベ
クトル束のモジュライ空間 B s (α) と微分同相になる [8, 9]．これにより Ms (α) に ωAB と整合的な複素構造が入る．
（つまり Ms (α) はケーラー多様体となる．
）
0(4) 穴空き曲面 Σ のパンツ分解 C を固定する．各ループ C ∈ C に対して

11μC : M(α) −→ R ; [A] −→ arccos
Tr(holA (C))π
2と定め，これらを並べた写像 μC : M(α) −→ RC を考える．この μC は稠密な U C (α) ⊂ Ms (α)
上で完全可積分系となり，さらに U C (α) 上にトーラスのハミルトン作用を誘導する [3, 4]．（この可積分系 μC は Goldman 系と呼ばれる．）

図 1. 穴空き曲面 Σ0 のパンツ分解 C
上の事実により，Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモジュライ空間について等式 (1.1) の成立を問うことができる．

3

モジュラーオペラッド
モジュラーオペラッドは Getzler-Kapranov[2] によって導入された「種数をもったオペラッド」

である．この節ではモジュラーオペラッドの定義から始め，次節で述べる主結果に登場する具体例
をいくつか紹介する．

146

定義 次の 2 種の操作を備えた集合の族 M = {Mg (I)}g∈Z≥0 I:有限集合 のことを (集合の圏における)モジュラーオペラッドという．
（添字 g, I の動く範囲は 2(g − 1) + #I > 0 を満たすとする．
）

(合成)
(縮約)



(I − {i})  (J − {j}) ,ξ{i,j} : Mg (I) −→ Mg+1 (I − {i, j}), i, j ∈ J
i ◦j : Mg (I) × Mh (J) −→ Mg+hi ∈ I, j ∈ J

ここで合成および縮約は互いに整合的で結合法則を満たしていなければならない．1
例 (Riem) 集合の族 Riem = {Riemg (I)}g, I を次で定める:

Riemg (I) = {(Σ, p, z)} / ∼ここで• Σ：種数 g の Riemann 面，• p = {pi }i∈I ：Σ 上の相異なる点，• z = {zi : 各 pi の周りでの正則局所座標 }i∈I
• (Σ, p, z) ∼ (Δ, q, w) :⇔ ∃ 双正則写像 f : Σ → Δ s.t. ∀i ∈ I f (pi ) = qi , zi = f ∗ wi .
合成 i ◦j や縮約 ξ{i,j} を添字 i, j に対応する点の周りでの Riemann 面同士の接着により定めることで，Riem はモジュラーオペラッドになる．

図 2. 点付き Riemann 面同士の合成例 (Pants) 集合の族 Pants = {Pantsg (I)}g, I を次で定める:

Pantsg (I) = {(Σ, p, z, C)} / ∼ここで• Σ, p, z ：上の例と同じ，• C ：穴空き曲面 Σ0 = Σ − p のパンツ分解，• (Σ, p, z, C) ∼ (Δ, q, w, D):⇔ ∃ 双正則写像 f : Σ → Δ s.t. ∀i ∈ I f (pi ) = qi , zi = f ∗ wi , {f (C) | C ∈ C} = D .
合成 i ◦j や縮約 ξ{i,j} を上の例と同様に定めれば，Pants はモジュラーオペラッドになる．
例 (Vk ) Pk := [0, k] ∩ Z とおいて，集合の列 Vk = {(Vk )g (I)}g, I を次で定める:1
2(Vk )g (I) = ϕ : Pk I → Z .
合成 i ◦j や縮約 ξ{i,j} を(I−{i})(J−{j})ϕ i ◦j ψ : P k−→ Z ;α −→ϕ(αi;λ )ψ(αj;λ )λ∈P
Pk
I−{i,j}

ξ{i,j} (ϕ) : Pk−→ Z ;α −→ϕ(αi,j;λ )λ∈PPkにより定めれば 2 ，Vk はモジュラーオペラッドになる．
1 本稿では対称群の作用は考えないことにする.
2 α(I−{i})(J−{j})を i のとき λ として Pk I の元としたもの．αj;λ や αi,j;λ についても同様．
i;λ は α ∈ Pk

147

定義 M = {Mg (I)}g, I と N = {Ng (I)}g, I をモジュラーオペラッドとする. このとき M から N へのモジュラーオペラッドの射とは, 写像の族 F = {Fg, I : Mg (I) → Ng (I)}g, I であって, 合成 i ◦jや縮約 ξ{i,j} を保つ，つまり以下の条件を満たすものを指す.

(i) 各 i ∈ I, j ∈ J および X ∈ Mg (I), Y ∈ Mh (J) に対して
Fg+h, (I−{i})(J−{j}) (Xi ◦j Y ) = Fg, I (X) i ◦j Fh, J (Y ) .
(ii) 各 i, j ∈ I および X ∈ Mg (I), に対して

Fg+1, I−{i,j} ξ{i,j} (X) = ξ{i,j} (Fg, I (X)) .
例 (forget) 写像の族 forget = {forgetg, I : Pantsg (I) → Riemg (I)}g, I を

forgetg, I [(Σ, p, z, C)] = [(Σ, p, z)]と定めると, forget は Pants から Riem へのモジュラーオペラッドの射となる.

4

主結果
前節での 3 つのモジュラーオペラッド Riem, Pants, Vk を考える．このとき以下の結果を得た.

主定理 Riemann 面上の SU (2)-平坦接続のモジュライ空間について，前節のようなケーラー偏極・実偏極を考える．このときそれぞれの偏極に対して，ある非自明なモジュラーオペラッドの射 fKäh : Riem → Vk と fre : Pants → Vk を付随させることができる. さらに fre は自然な射

forget : Pants → Riem による fKäh の引き戻しと一致する. つまり以下の可換図式が得られる:
Pants
forget


Riem

fre

/ Vk
9
s
s
 sss
ss
sss fKäh

この主定理から以下が得られる.
系（Jeﬀrey-Weitsman
ﬀ[4, 5]）各点での重みが αi ∈ 2 Z であるとき，以下が成り立つ:




k
dim H 0 Ms (α), L(α) = # Im k μC ∩ ΛC (α).

(4.1)

右辺について，ΛC (α) は稠密部分 U C (α) ⊂ M(α) 上のトーラス作用に付随した格子としている．
またここでの k μC の定義域は U C (α) ではなく，モジュライ空間全体の M(α) を考えている．
主定理での射 fKäh : Riem → Vk および fre : Pants → Vk の具体的な構成については本講演で述べることにするが，例えば fKäh の構成には土屋-上野-山田 [5] の共形ブロックの空間を用いる．

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148

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149

全曲率の小さい完備な特異点付き非固有アファイン球面の分類と新しい例
東京工業大学 理学院
松本 洵 (Jun MATSUMOTO) *1 序
非固有アファイン球面 (IA-sphere) は局所的に楕円型 Monge–Ampère 方程式

ϕxx ϕyy − ϕ2xy = 1(1.1)

を満たす関数 ϕ(x, y) のグラフとして表される 3 次元 (ユニモデュラー) アファイン空間 R3 = (R3 , det) 内の特異点を持たない曲面であり，ユークリッド空間内の極小曲面の Weierstrass の表現公式に類似した複素表現
公式 ([FMM96], [FMM99]) をもつ．一方，ある種の完備性を IA-sphere に課すと，自明なものに限られることが知られている (アファイン版 Bernstein の定理 ([Cal58]))．そこで Martı́nez [Mar05] は特異点を許した
IA-sphere である非固有アファイン波面 (IA-front) を IA-sphere の Weierstrass 型表現公式を特異点を許す形に拡張して定義し，さらに，完備な IA-front に対して，ユークリッド空間内の完備極小曲面に類似した性質を示し，いくつかの例を与えた．本講演では，Martı́nez が定義した完備 IA-front の全曲率に関する曲面の分類と，種数 1 の新たな例を紹介する．

2 非固有アファイン波面 (IA-front)
2.1 非固有アファイン波面 (IA-front)“完備” な IA-sphere は自明なもの (楕円放物面 (例 2.10)) に限ることが知られている ([Cal58])．
そこで，Martı́nez [Mar05] は非固有アファイン球面の Weierstrass 型表現公式を特異点を許す形に拡張して，特異点付き IA-sphere である以下の概念を定義した．
定義 2.1. ([Mar05, Deﬁnition 1]) Σ を Riemann 面, (F, G) : Σ → C 2 を正則曲線 (F, G は Σ 上の正則関数
で (dF, dG) = (0, 0)) で次の周期条件を満たすとする: Σ 内の任意の閉曲線 γ に対して(周期条件)
このとき,Re

F dG = 0.
γ



1
2
2
ψ := F + G, (|G| − |F | ) + Re F G − 2
2


F dG

(2.1)
: Σ → C × R = R3

(2.2)

を非固有アファイン写像 (IA-map) とよび，組 (F, G) を Weierstrass データとよぶ．

IA-map は｢波面｣とよばれる特異点を許したクラスの曲面になる． このことを強調して，ここでは IA-mapのことを非固有アファイン波面 (IA-front) と呼ぶ. また, IA-front の特異点は |dF | = |dG| となる点に対応
し, その点でアファイン計量 h = |dG|2 − |dF |2 と平坦基本形式?
>
ds2 := dX ，dX = |dF |2 + |dG|2 + dF dG + dF dG
(2.3)
> ?
(ただし， ， は C = R2 の標準内積で，X := F + G : Σ → C = R2 ) は退化する．
注意 2.2.

X Weierstrass データ (F, G) から構成される IA-front と(αF + βG + λ, β̄F + ᾱG + μ)
* E-mail:matsumoto.j.ad@m.titech.ac.jp

150(|α|2 − |β|2 = 1, λ, μ ∈ C)

から構成される IA-front はアファイン法線ベクトル ξ = (0, 0, 1) を固定する R3 の等積アファイン変換(R3  x → Ax + b ∈ R3 (det A = 1, b ∈ R3 )) で移り合う．特に (F, G) → (F + λ, G + μ) は R3 の平行移動に対応する．
X (F, G) から構成される IA-front と (G, F ) から構成される IA-front は等積アファイン変換で移り合う．

2.2 完備非固有アファイン波面
以下, ψ : Σ → R3 を (2.2) で定まる IA-front とし, (F, G) を Weierstrass データとする. 特異点をもつ曲面である IA-front に Martı́nez は次のように完備性を定義した.
定義 2.3. ([Mar05, Deﬁnition 2]) IA-front ψ が完備であるとは, あるコンパクトな台をもつ Σ 上の対称双線
形形式 T が存在して,5 2 := T + ds2
ds

(2.4)

が完備リーマン計量となることである．ただし，ds2 は平坦基本形式 (2.3) である．
事実 2.4. ([Mar05, Proposition 1]) 完備 IA-front ψ に対して次が成立する:

X Σ はコンパクト Riemann 面 Σ から有限個の点 {p1 , . . . , pn } (n ≥ 1) を除いたものと双正則同値になる.
X (F, G) は Σg 上に有理型に拡張される. また，F と G の少なくとも一方は各 pj で極を持つ.
除かれた n 個の点 pj , またその近傍の ψ による像を IA-front のエンドと呼ぶ.
以下, Σ = Σg \ {p1 , . . . , pn } とする (g はコンパクト Riemann 面 Σg の種数). また,

ρ :=

dF
dG

(2.5)

とおくと, 事実 2.4 から ρ は Σg 上の有理型関数となり, これを Lagrangian Gauss 写像と呼ぶ. ここで,
X := F + G，N := F − G (X , N : Σ → C = R2 ) を用いて, Lψ := X + iN : Σ → C 2 = R2 ⊗ C とおくとき(R2 ⊗ C は R2 の複素化である)Lψ は Σ 上の特殊 Lagrangian はめ込みとなる([Mar05,? > Theorem? 1])．この>Lψ による C 2 = R4 の標準的なユークリッド計量からの誘導計量 dτ 2 := dX ，dX + dN ，dN は

dτ 2 = 2(|dF |2 + |dG|2 )(2.6)と Weierstrass データを用いて表すことができる.
事実 2.5. ([Mar05, Proposition 2, Theorem 4]) ψ : Σ = Σg \ {p1 , . . . , pn } → R3 を完備 IA-front とする．

X 誘導計量 dτ 2 は Σ 上の完備リーマン計量となる. また, この計量に関する Gauss 曲率を Kτ ， 面積要素
を dAτ とすると次が成立する:
ΣKτ dAτ = −2π deg ρ ∈ −2πZ≥0 ．

(2.7)

ただし, deg ρ は ρ の写像度である．(2.7) の左辺の積分を ψ の全曲率とよぶ．
X エンド pj が埋め込みであるための必要十分条件は F と G が pj で高々 1 位の極を持つことである.
X (Osserman 型の不等式) 全曲率 (2.7) は次の不等式を満たす:

−

1
2π

Σ

Kτ dAτ ≥ −χ(Σg ) + 2n.

(2.8)

ただし, χ(Σg ) = 2 − 2g は Σg の Euler 数である. さらに, (2.8) は次のように書き換えられる:deg ρ ≥ 2(g − 1 + n)．
不等式の等号はすべてのエンドが埋め込みであるときに成り立つ.

2.3 埋め込まれたエンドのみをもつ完備 IA-front の例
ここで, Martı́nez が構成した例を紹介する ([Mar05, Section 4])．

151

(2.9)

例 2.6.

Σ = C,

F = z,(|b| = 1).

G = bz(2.10)

このとき, F と G は 1 つの埋め込まれたエンドをもつ完備 IA-front の Weierstrass データとなり, 表現公式
(2.2) によって表される曲面は楕円放物面である．
例 2.7.

Σ = C \ {0},

F =

1
，
z

G = az(a ∈ R \ {0})．

(2.11)

このとき, F と G は 2 つの埋め込まれたエンドをもつ完備 IA-front の Weierstrass データとなり, 表現公式
(2.2) によって表される曲面を rotational IA-front とよぶ．
例 2.8.

Σ = C \ {0},

F =

1
，
z

G = az +bz(a ∈ R \ {0}，b = 0, |b| = 1)．

(2.12)

このとき, F と G は 2 つの埋め込まれたエンドをもつ完備 IA-front の Weierstrass データとなり, 表現公式
(2.2) によって表される曲面を non-rotational IA-front とよぶ．

3 (主定理) 全曲率 −8π 以上の完備非固有アファイン波面の分類
ユークリッド空間 R3 内の有限全曲率完備極小曲面の全曲率は −4mπ (m ∈ Z≥0 ) で，m = 0, 1, 2 の場合にOsserman [Oss], López [Lóp92] が分類した．一方，事実 2.5 によれば，完備 IA-front の全曲率は −2mπ である. ここでは, m が 0 ≤ m ≤ 4 である場合の完備 IA-front の分類を行う.
以下, ψ : Σ = Σg \ {p1 , . . . , pn } → C × R を完備 IA-front とし (n はエンドの個数，g はコンパクト
Riemann 面 Σg の種数), (F, G) を Weierstrass データ, ρ = dF/dG を Lagrangian Gauss 写像 (2.5) とする.
事実 3.1. ([Mar05, Theorems 5, 6, 7])

X Lagrangian Gauss 写像 ρ が定値写像であるような完備 IA-front は楕円放物面 (例 2.6) に限る.
X n = 1 でそのエンドが埋め込みであるための必要十分条件は ψ が楕円放物面となることである.
X n = 2 でそのエンドが埋め込みであるための必要十分条件は ψ が rotational IA-front (例 2.7) または
non-rotational IA-front (例 2.8) となることである.
注意 3.2. n = 0，つまり，コンパクトな IA-front は存在しない．

3.1 全曲率が 0 である場合
定理 3.3. ([Mar05, Theorem 5], [Mat24, Theorem4.2]) 全曲率が 0 である完備 IA-front は楕円放物面である.

3.2 全曲率が −2π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (0, 1) となるので，Σ = C として一般性を失わない. また,@ = C ∪ {∞} 上の ∞ にのみ極をもつ有理型関数は多項式関数である.
C定理 3.4. ([Mat24, Theorem 4.3]) 全曲率 −2π の完備 IA-front は以下の Weierstrass データから構成される:F = az 2 ,G=z(a > 0)(3.1)

3.3 全曲率が −4π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (0, 2), (1, 1), (0, 1) となる．はじめの 2 つは (2.9) の等号条件か
らすべてのエンドは埋め込まれたエンドである．事実 3.1 の 2 つめから, (g, n) = (1, 1) は起こり得ない.
定理 3.5. ([Mat24, Theorem 4.5]) 全曲率が −4π である完備 IA-front は rotational IA-front, non-rotational
IA-front，または Σ = C 上の 2 種類の Weierstrass データから構成される．

152

3.4 全曲率が −6π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (1, 1), (0, 2), (0, 1) で，いずれも (2.9) の等号を満たさない．
(g, n) = (1, 1) のとき，楕円関数の性質を用いて，曲面は存在しないことがわかる. (g, n) = (0, 1) のときは，
Σ = C としてよく，(g, n) = (0, 2) のとき，一般性を失わずに Σ = C \ {0} としてよい.
定理 3.6. ([Mat24, Theorem 4.6]) 全曲率が −6π である完備 IA-front は，Σ = C 上の Weierstrass データから構成される 4 種類, または Σ = C \ {0} 上の Weierstrass データから構成される 5 種類の計 9 種類である．

3.5 全曲率が −8π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (0, 3), (2, 1), (1, 2), (1, 1), (0, 2), (0, 1) である. 最初の 3 つの場
合は等号条件を満たすから，事実 3.1 により (g, n) = (2, 1), (1, 2) は不可能である．
定理 3.7. ([Mat24, Theorem 4.8]) 全曲率が −8π である種数 0 の IA-front ψ : Σ → R3 は Σ = C 上のWeierstrass データから構成される 6 種類と Σ = C \ {0} 上の Weierstrass データから構成される 16 種類とΣ = C \ {0, 1} 上の Weierstrass データから構成される 3 種類の計 25 種類である．
残る (g, n) = (1, 1)，つまり，種数 1 でエンドが 1 個の場合を考える．定義域の適当な変換により Σ =C/(Z ⊕ τ Z) \ {[0]} (1 次元複素トーラス −{1 点 }) としてよい. ただし, τ は Im τ > 0 を満たす複素数である. また, ρ, F, G は Σ 上の有理型関数だから, C 上の楕円関数と同一視できる.
命題 3.8. ([Mat24, Proposition 4.9]) 全曲率 −8π である種数 1 の完備 IA-front ψ : C/(Z ⊕τ Z)\{[0]} → R3は周期条件
3c (2g2 η2 − 3g3 τ ) ∈ iR,
c (2g2 η1 − 3g3 ) ∈ iR.

を満たす Weierstrass データ

F = a℘ + b℘,

G = c℘(a > 0, c = 0),

(3.2)

(3.3)

から構成される．ただし ℘ は Weierstrass の ℘ 関数で，g2 , g3 , η1 , η2 は Weierstrass の不変量とよばれる，格子 Z ⊕ τ Z から決まる複素数である．
複素トーラス C/(Z ⊕ τ Z) が τ = eiπ/2 (正方形トーラス) や τ = e2πi/3 (正三角形トーラス) のときは周期条件 (3.2) が満たされないことに注意する．ここで，τ = eiα (α ∈ (0, π)) という特別な場合を考える．
Weierstrass の不変量は格子 Z ⊕ τ Z から決まる τ の関数であるから，周期条件 (3.2) は次のように表せる:

3

cp1 (α) := c(2g2 (eiα )η1 (eiα ) − 3g3 (eiα )) ∈ iR,
cp2 (α) := c(2g2 (eiα )η2 (eiα ) − 3g3 (eiα )eiα ) ∈ iR.

したがって，もし周期条件が満たされるならば次が成り立つ:

76
P (α) := Im p1 (α)p2 (α) = 0．

(3.4)

定理 3.9. ([Mat24, Theorem 4.11]) ある α0 ∈ (π/3, π/2) が存在して，P (α0 ) = 0 を満たす. 特に，以下のWeierstrass データから構成される，完備 IA-front ψ : C/(Z ⊕ eiα0 Z) \ {[0]} → R3 が存在する:F = a℘ + b℘,

G = ip1 (α0 ) ℘(a > 0, b ∈ C),(3.5)

これは，正の種数を持つ完備 IA-front で全曲率最大の例である．
ここで，次の関数について考える;

7
6P5 (τ ) := Im p51 (τ )p52 (τ ) : H := {τ ∈ C; Im τ > 0} → R．

(3.6)

ここで，p51 (τ ) := 2g2 (τ )η1 (τ ) − 3g3 (τ )，p52 (τ ) := 2g2 (τ )η2 (τ ) − 3g3 (τ )τ は H 上の滑らかな関数である．定

153

図1

種数 1，全曲率 −8π の完備 IA-front (定理 3.9)

理 3.9 から，P5 (eiα0 ) = P (α0 ) = 0 である．一方で，Mathematica による数値計算から次がわかる:

dP5 iα(e )dα≈ −7.74116 × 106 = 0.
α=α0

ゆえに，陰関数定理から 0 を含む開区間 I と滑らかな曲線 φ : I → C が存在し，を満たす．したがって，W :=φ(0) = eiα0 ,P5(φ(t)) = 0(t ∈ I)τ = φ(t) ∈ H; P5(φ(t)) = 0 (t ∈ I) とおき，各 τ ∈ W に対して ip51 (τ ) ま

たは ip52 (τ ) のいずれか 0 でない方を c として選ぶと，周期条件 (3.2) が成立する．したがって，種数 1 で全曲率 −8π である完備 IA-front の実 1 パラメータ族が存在することがわかる ([Mat24, Remark 4.12])．
Martı́nez は [Mar05] で種数 1 の例を 1 つ構成しており，その全曲率は −12π とわかる．これと定理 3.9 から，｢種数 1 で全曲率 −10π の例は存在するか？｣という問題が考えられ，次の例はその答えの 1 つになる．
例 3.10. ([Mat24, Example 4.13]) Σ = C/(Z ⊕ iZ) \ {[0]} = (正方形トーラス \ {1 点 }) とし，

F = ℘ +

5g2
℘,
7π

G = ℘

(g2 = 4℘(1/2)2 ∈ R)

(3.7)

とすると，F, G は種数 1 で全曲率 −10π である完備 IA-front を与える．

図2

種数 1, 全曲率 −10π である新しい例

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154

A gauge theoretic invariant of embedded surfaces in
4-manifolds and exotic P 2-knots
京都大学数理解析研究所
宮澤 仁 (Jin MIYAZAWA) ∗概要

4 次元多様体に埋め込まれた曲面に関する情報は, 4 次元多様体の微分構造の情報を反映しており, 微分トポロジーの観点から興味深い対象である. 曲面 Σ の 4 次元多様体への埋め込み f, g がエキゾチックであるとは, f, g が連続的に ambient isotopic だが滑らかにはそうでないことをいう. エキゾチックな曲面の埋め込みの研究は 4 次元多様体論において現在盛んに研究されている話題であるが, 最も基本的な閉 4 次元多様体である S 4 の中のエキゾチックな曲面に関する研究は多くない.
本講演の主定理は S 4 への RP 2 の埋め込みの無限族であって互いにエキゾチックであるものの存在である. 滑らかに同値でないことの証明が既存の方法では難しいが, 講演者によって構成された新たな不変量を用いて示すことができる. 不変量の構成にはゲージ理論を用いる.

1 導入
以下, 単に多様体と言ったら可微分多様体であり, 微分構造を考えないときは位相多様体ということにする.

1.1 エキゾチック曲面
4 次元多様体に埋め込まれた曲面の種数や isotopy 類の情報は 4 次元多様体の微分構造の情報を反映しており, 4 次元多様体の微分トポロジーを調べるうえで基本的な対象である. 4 次元多様体 X への曲面 Σ の滑らかな埋め込み

f, g : Σ → X

がエキゾチックであるとは連続的には ambient isotopic だが滑らかにはそうでないことをいう.

4 次元多様体論においてエキゾチック曲面の研究は盛んなトピックであり, エキゾチックな曲面埋め込みに関する研究自体は列挙することが困難なほど数多くの研究がある. 特に近年, D 4 内の D 2
で, 境界の特定の結び目を張るようなエキゾチック Disk が Khovanov homology を用いて発見されるなど大きな進展を迎えている. 一方, 閉 4 次元多様体の中で最も基本的な S 4 の中の閉曲面に関す
るエキゾチック曲面の研究は多くない.

∗ E-mail:miyazawa.jin.5a@kyoto-u.ac.jp155

S 4 内のエキゾチックな曲面に関する背景を述べる. 最も基本的な閉 4 次元多様体である S 4 内のエキゾチックな曲面埋め込みの例はあまり多くない. 実際, S 4 内の向き付け可能な曲面によるエ
キゾチックな曲面埋め込みは発見されていない. 向き付け不可能な例については Finashin–Kreck–

Viro [1] や Finashin [2], Matić–Öztürk–Reyes–Stipsicz–Urzúa [7] による例などがあるが多くはな
い. さらに, 向き付け不可能なエキゾチック曲面で今まで知られていた例の種数はいずれも 5 以上であり, 種数が小さい例は知られていなかった.

1.2 SW 方程式の反線形な対称性
4 次元多様体の微分トポロジーを調べる強力な手段にゲージ理論がある. ゲージ理論は素粒子物理学に由来する非線形偏微分方程式の解のモジュライ空間の情報から 3 次元あるいは 4 次元多様体の微分トポロジー的情報を調べる手法である. ゲージ理論の微分トポロジーへの応用で用いられる方程
式に Seiberg–Witten(SW) 方程式がある. SW 方程式は, 常にモジュライ空間がコンパクトであり,解析的に扱いが容易なうえに, SW 方程式を用いた証明しか知られていない結果もある. 代表的なものは古田幹雄 [4] による, 10/8-不等式である.

Theorem 1.1 (Furuta [4]). X を可微分閉スピン 4 次元多様体で交差形式が不定値であるとする.
このとき第二ベッチ数 b2 (X) と符号数 σ(X) の間に不等式

b2 (X) ≥5|σ(X)| + 24が成り立つ.
この定理から単連結位相 4 次元多様体で交差形式が不定値かつ even(つまり, 任意の元 α ∈H 2 (X; Z) について α ∪ α, [X] ∈ 2Z) なもので微分構造が入らないものが無数に存在することがわかる.
この定理の証明で重要なのは (スピン構造に対する)SW 方程式がもつ「反線形な変換」である. つまり, 4 次元多様体のスピノル束には四元数の作用があるが, SW 方程式はそのうち j に関する作用
で同変である. 正確には, スピノルに j 作用, 微分形式に −1 倍作用を与えると同変になる. これがSW 方程式特有の反線形な作用である.

1.3 Real SW 理論
4 次元多様体 X に滑らかな Z/2 の作用 (involution) があるとしよう. さらに, その involutionι がX のあるスピン c 構造 s を裏返す, すなわち,
ι∗ s ∼=sをみたす状況を考える. ここで, s は s に対して, Spinc (4) の U(1) 成分の向きを裏返すことで得られるスピン c 構造で, 特に s のスピノル束は s のスピノル束の複素構造を裏返したものである.

involution がしかるべき位相的な条件を満たしていればこの作用の情報と元から SW 方程式にあった反線形な変換を用いて, SW 方程式の解のモジュライ空間に「反線形な involution」を定めること

156

ができる. この反線形な involution の固定部分を見ることで, 4 次元多様体 X と X 上の involution
に関する不変量を得ることができる. この SW 理論の変種を Real SW 理論という. これが本講演の主役である.

involution が自由な場合の Real SW は中村信裕によって Pin− (2)-monopole [8, 9] として, X/ι
上の局所系でねじった SW 理論として定式化され, 非単連結な 4 次元多様体へのトポロジーへの応用が与えられている. involution が固定点を持つ状況が自然に出てくるのは, 4 次元多様体 X  の中の曲
面 S について, S に沿った二重分岐被覆 Σ2 (X  , S) =: X を考えるときである. このとき X と被覆変換 ι に関する Real SW 理論を考えると X  に埋め込まれた S についての情報が取り出せることが期待できる.
この講演では, 4 次元多様体 X の中の曲面 S に沿った二重分岐被覆 Σ2 (X, S) に対し Real SW 理論を用いた不変量を構成し, X の中のエキゾチックな曲面, すなわちふたつの曲面 S, S  ⊂ X で位相的にはアイソトピックだが滑らかにはそうではない例を検出する.

2 主定理
本講演では, 以下の定理について説明する.

Theorem 2.1 ([6]). RP 2 の S 4 への埋め込みの無限族で, 互いに位相的には同値だが滑らかには互いに同値でないものが存在する.
種数が小さい例を作る際, 既存の方法では困難があった. 今まで, S 4 内のエキゾチックな曲面埋め込みが実際に滑らかには同値でないことを検出する既存の方法は, 曲面に沿った二重分岐被覆が互いに微分同相でない 4 次元多様体であることを示すというものであった. この方法では, 例えば種数 1の向き付け可能な曲面すなわち RP 2 のエキゾチックな曲面埋め込みを検出しようとするとエキゾチックな CP 2 を見つけねばならず, このようなものは見つかっていない. 種数が小さい向き付け可能な曲面の埋め込みの二重分岐被覆は二次のコホモロジーの次元が小さく, このような 4 次元多様体でエキゾチックな微分構造を見つけるのは困難であることが知られている.
さらに, [6] が提出されたあと, 以下のような定理が Hughes–Kim–Miller [3] によって示された.

Theorem 2.2. Theorem 2.1 で与えられた P 2 -knot の二重分岐被覆は CP 2 と微分同相である.
つまり, Theorem 2.1 と合わせると, CP 2 にエキゾチックな Z/2Z の作用が無数に存在することがわかった. したがって, 今回与えたエキゾチック P 2 -knot たちは単に二重分岐被覆を見るだけでは区別できず, 被覆変換の情報, すなわち Z/2Z 作用の情報まで込めてみないと区別出来ない.

[6] では, Real SW 理論を用いた, 4 次元多様体に埋め込まれた曲面の不変量を構成し, Theorem 2.1を示した. つまり, 二重分岐被覆に対し, 被覆変換からくる Z/2Z 作用が SW 方程式に反線形に持ち上がっている状況を考え, その作用で固定される解を数え上げるのである.
本講演ではその不変量の構成の概略と, エキゾチック P 2 -knot の構成を説明する.

157

2.1 エキゾチック P 2 -knot の構成
さて, Theorem 2.1 の P 2 -knot の与え方を説明する. P 2 -knot には S 4 の向きから決まる, 法束の局所系数のオイラー数, すなわち法オイラー数 (normal Euler number) が定義され, ±2 のどちらかであることがわかる. ここでは 2 のものを考える. 注意すべきなのは, 法オイラー数が 2 の標準的な

P 2 -knot P0 の二重分岐被覆は向きを込めて考えると −CP 2 である. 法オイラー数が −2 の P 2 -knotについて考えたければ S 4 の向きを裏返す微分同相で移せばいい.

Deﬁnition 2.3. P0 を法オイラー数が 2 の標準的な P 2 -knot とする. また, S 3 内の通常の結び目
K に関して, τk,α (K) で K の k-twist α-roll spun で与えられる 2-knot とする. このとき, P 2 -knot
Pn を
Pn := P0 #nτ0,1 (P (−2, 3, 7))で定める.
結び目 K に対して k-twist α-roll spun で与えられる 2-knot の構成法は講演中に述べることにする. この結び目の無限族が Theorem 2.1 で述べられたエキゾチック P 2 -knot たちである. これらが互いに位相的には isotopic であることは次の補題を用いる.

Lemma 2.4. 任意の n ≥ 0 に関して π1 (Pn ) ∼= Z/2Z である.
この補題と, Lawson[5] の結果から Pn たちは互いに位相的にアイソトピックである.

2.2 不変量の性質
Real SW 理論を用いて構成される, 2-knot および P 2 -knot の不変量の構成は講演中に述べる. こ
こでは, 不変量が満たす性質を述べる.

Theorem 2.5. いま, Σ ⊂ S 4 を 2-knot か, 法オイラー数が 2 であるような P 2 -knot とする. さらに, 簡単のため, ここでは Σ の二重分岐被覆は, Σ が 2-knot ならホモロジー S 4 , P 2 -knot ならホモロ
ジー −CP 2 とする. このとき, 以下の性質を満たす, 非負整数に値をとる不変量|deg(Σ)|が存在する.

• (S 4 , Σ0 ) と (S 4 , Σ1 ) が組として微分同相なら|deg(Σ0 )| = |deg(Σ1 )|.
• Σ0 が 2-knot なら|deg(Σ0 #Σ1 )| = |deg(Σ0 )||deg(Σ1 )|.

• Σ が unknot な 2-knot あるいは標準的な P 2 -knot P0 ならば|deg(Σ)| = 1.

158• k, α を整数とし, k は偶数で k2 + α は奇数であるとする. このとき,|deg(τk,α (P (−2, 3, 7)))| = 3.
上の性質を用いると, Pn の不変量は 3n と計算され, 互いに滑らかにはアイソトピックでないことが示される.

参考文献[1] S. M. Finashin, M. Kreck, and O. Ya. Viro. Nondiﬀeomorphic but homeomorphic knottingsof surfaces in the 4-sphere. In Topology and geometry—Rohlin Seminar, Vol. 1346 of Lecture
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[2] Sergey Finashin. Exotic embeddings of #6RP2 in the 4-sphere. In Proceedings of Gökova
Geometry-Topology Conference 2008, pp. 151–169. Gökova Geometry/Topology Conference(GGT), Gökova, 2009.
[3] Hughes, Mark and Kim, Seungwon and Miller, Maggie Branched covers of twist-roll spunknots, arXiv preprint arXiv:2402.11706,2024.
[4] Mikio Furuta. Monopole equation and the 11
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[9] Nobuhiro Nakamura. Pin− (2)-monopole invariants. J. Diﬀerential Geom., Vol. 101, No. 3,
pp. 507–549, 2015.

159

Zero mean curvature surfaces with planar
curvature lines in Isotropic 3-space∗
Masaya Hara†

Abstract
We classify all zero mean curvature surfaces with planar curvature lines
in isotropic 3-space. And by using a Weierstrass-type representation, we
recover their canonical Weierstrass data. Finally, we give a continuous
deformation of them.

Background
Zero mean curvature surfaces with planar curvature lines have been studiedin various spaces and have a long history. For example, they have been studied
by O. Bonnet ([3]), L. P. Eisenhart ([8]) and J. C. C. Nitsche ([9]) since the 19th
century and recently further developed by Y. Ogata and J. Cho [2, 5, 6] andother researchers.
On the other hand, there has been a growing interest in isotropic 3-space([12, 13]), which is a 3-dimensional space with a degenerate metric ds2 = dx2 +dy 2 . And it is also known that zero mean curvature surfaces in the space also
admit a Weierstrass-type representation [14]. (See also [10].) In this talk, weinterpret the isotropic 3-space as the subspace of Minkowski 4-space and complete
the classiﬁcation of zero mean curvature surfaces with planar curvature lines.
Further, we recover their canonical Weierstrass data directly from the metric.

1

Surface theory in isotropic 3-space

Let R3,1 be a Minkowski 4-space equipped with the inner product ·, · ofsignature (− + ++), and let L be the light cone, that is,
L = {X ∈ R3,1 | X, X = 0}.
For a lightlike vector p ∈ L, the isotropic 3-space I3 is deﬁned as
I3 = {X ∈ R3,1 | X, p = 0}.
Without loss of generality, we choose p = (1, 0, 0, 1)t , and then the coordinates
becomeI3 = {(l, x, y, l)t ∈ R3,1 }.
∗†This research is based on joint work with Joseph Cho (TU Wien).
Department of Mathematics, Graduate School of Science, Kobe University160

We refer to the coordinate space {(x, y, l)t } as isotropic 3-space, and refer to thel-direction as vertical.
Let X(u, v) : Σ → I3 be a spacelike conformal immersion over a simplyconnected domain Σ with the metric ds2 given by
ds2 = e2ω (du2 + dv 2 )for some ω : Σ → R and let n : Σ → L be its lightlike Gauss map of X.
Then the mean curvature H and Hopf diﬀerential Q are
H = 2e−2ω Xzz̄ , nand

Qdz 2 = Xzz , ndz 2 ,where z = u + iv. Thus, we have the Gauss-Weingarten equations and GaussCodazzi equations⎧⎪
Xzz = 2ωz Xz + Qp⎪⎪⎨ωzz̄ = 0
1 2ω
andXzz̄ = e Hp⎪2
Hz = 2e−2ω Qz̄ ,⎪⎪⎩ n = −HX − 2e−2ω QXzzz̄respectively.
We consider zero mean curvature surfaces (ZMC surfaces), so we suppose
H = 0. Then since Q is holomorphic, we may choose M = 0, L = −N = −1
without loss of generality. Now the compatibility condition for X is
ωuu + ωvv = 0.

2

ZMC surfaces with planar curvature lines

The u-curvature lines of a surface X(u, v) are planar if Xu , Xuu , Xuuu arelinearly dependent. Then we have the following lemma, which is an analogue ofprevious research [5, 6]:
Lemma 2.1. For an umbilic-free ZMC surface in I3 , the following are equivalent:• u-curvature lines are planar.
• v-curvature lines are planar.
• ωuv + ωu ωv = 0.
Therefore, the solutions of the following system of PDEs for ω correspond to
every ZMC surface with planar curvature lines:ωuu + ωvv = 0(1)
ωuv + ωu ωv = 0.
Except for planes, we have four solutions for (1) as follows:• eω =

1 −αu
e
,
α

• eω =β 2(u + v 2 ),
2

161

β
(cosh αu − cos αv) andα2• ω ≡ c,• eω =

where α, β ∈ R>0 and c ∈ R.
It is known that there is the Weierstrass-type representation for ZMC surfaces
in I3 [14, Equation 8.31]:
Fact 2.2 ([4]). Any ZMC surface X : Σ → I3 over a simply-connected domainΣ can be locally represented as
X = Re (1, −i, h)η
for some meromorphic function h and holomorhic 1-form η with holomorphic
h2 η. Then the ZMC surface has induced metricds2 = |η|2
with the Hopf diﬀerential

Qdz 2 = 12 ηdh.

We call (h, η) the Weierstrass data.
Since we supposed ds2 = e2ω (du2 +dv 2 ) and Q = − 12 , we can ﬁnd Weierstrassdata of solutions for (1) by solving|η|2 = e2ω dzdz̄

andηdh = −dz 2 .

We choose initial conditions so that the Weierstrass data is simple, we canrecover the canonical Weierstrass data and complete the classiﬁcation.
Theorem 2.3. Let X : Σ → I3 be a ZMC immersion with planar curvaturelines. Then X must be a piece of one, and only one, of these:• plane (0, dz),• trivial Enneper-type surface (z, −dz),• catenoid (ez , −e−z dz),
1 2
, z dz , or
• Enneper-type surface
z

α
αz
αz 2β
coth
,
dz
sinh2
• one of the Bonnet-type surfaces
β2 α22for α, β ∈ R>0 ,given with the respective Weierstrass data (see Figure 1).
In order to construct a deformation of ZMC surfaces in I3 , we need to solve(1) so that all cases share the same initial conditions.

162

Theorem 2.4. There exists a continuous deformation consisting exactly of the
ZMC surfaces with planar curvature lines in isotropic 3-space, and the Weierstrass data is
2e2iθ cos θh(r,θ) = −r cos θze(cos θ + 1) − sin θandη(r,θ) =e−2iθ (cos θ sinh(r cos θz) − cosh(r cos θz) + sin θ)dz
r cos2 θfor some r ∈ (0, ∞) and θ ∈ 0, π2 .

(a) trivial Enneper-type surface(b) catenoid(c) Enneper-type surface(d) Bonnet-type surface

Figure 1: ZMC surfaces with planar curvature lines in I3 .

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163

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simply isotropic space. J. Geom. 112.3 (2021), Paper No. 35, 21. issn:0047-2468,1420-8997.
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164

トーリック多様体の終結式・判別式とエネルギー汎関数
佐野

友二（福岡大学）∗

1 トーリック多様体上の終結式・判別式
連立代数方程式

f (x) = am xm + · · · + a0 = 0, am = 0
g(x) = bn xn + · · · + b0 = 0, bn = 0

(1)

が共通解をもつとき，係数 ai , bj からなる Sylvester 行列式が 0 となる．方程式 (1) が共通解をもつための条件を与える ai ，bj を変数とする多項式を f, g の終結式（Resulant）と呼び，Res(f, g) と書く．
また，f (x) = 0 が重解をもつための条件を与える ai を変数とする多項式を判別式（discriminant）と呼び，Δ(f ) と書く．終結式と判別式を結びつける以下の等式を Cayley トリックと呼ぶ．

(−1)

m(m−1)21
df= Δ(f ).
Res f,amdx

1.1 A-終結式・A-判別式
終結式・判別式は，超幾何関数の特異点集合の研究などを動機に，Gelfand-Kapranov-Zelevinsky[3] により，多変数多項式へ拡張された．格子 MZ := Zn を生成する点配置 A = {ω0 , · · · , ωN } ⊂ Zn
n
ωをとる．元 ωi ∈ A から誘導される単項式を xωi := i=1 xj ij とする．これらによって生成される
N
Laurent 多項式の集合を CA := { j=0 cj xωj | ωi ∈ A} とする．ただし，ωj := t (ω1j , · · · , ωnj ) とする．このとき，閉包


∇A :=

(f1 , · · · , fn+1 ) ∈

n+1

i=1

 n+1

CA 
(fi = 0) = ∅i=1

は CA の超曲面をなす．この定義多項式 RA を A-終結式と呼ぶ．この多項式 RA は A の凸包

Q := Conv(A) から定まる n 次元トーリック多様体*1




XA =

[tω1 : . . . : tωN +1 ] ∈ PN  t = (t1 , . . . , tn ) ∈ (C× )nの Chow 形式 RXA と等しい．つまり，RA は G(N − n − 1, PN ) の超曲面

ZN −n−1 (X) := {L ∈ G(N − n − 1, PN ) | L ∩ X = ∅}∗ 本研究は JSPS 科研費 22K03325 の助成を受けたものである．
*1 本稿では，すべての多様体は，断りがない限り，滑らかであるとする．

165

の定義多項式に等しい．ここで，G(k, PN ) を PN 内の k 次元部分空間からなる Grassmann 多様体とする．閉包


∇0 :=





f ∈ CA (f = 0) ∩

n
j=1



∂f
=0
∂xj


= ∅

が CA の超曲面になるとき，その定義多項式 ΔA を A-判別式と呼ぶ．部分多様体 ∇0 （判別式多様体）は錐的な構造を持っており，その射影化は，XA の双対多様体

X ∨ := ZN −1 (X) = {H ∈ (PN )∨ = G(N − 1, PN ) | Tp X ⊂ H, p ∈ X reg }に等しい．ただし，Tp X ⊂ PN を PN に埋め込まれた X の接空間とする．特に ZN −1 (X) がG(N − 1, PN ) の超曲面になるとき，その定義多項式を X-判別式 ΔX と呼び， それは ΔA は等し
い．部分多様体 ∇A や ∇0 は X と接する k 次元部分空間がなす Grassmann 多様体の部分多様体

Zk (X) := {L ∈ G(k, PN ) | dim(L ∩ Tp X) ≥ k − (N − n − 1), p ∈ L ∩ X reg }の一種としてみなすことができる．部分多様体 Zk (X) は [3] において高次付随多様体（higher

associated variety）と呼ばれている．
[3] の主要な結果の一つは，トーリック多様体 XA の Chow 形式 RA および ΔA の重み多面体を決定するアルゴリズムを Q の組み合わせ論的なデータを用いて提示したことである．本稿の目的は，(N − n − 1) 次の付随多様体の定義多項式である Chow 形式 RA と (N − n) 次付随多様体の定義多項式である Hurwitz 形式の重み多面体がケーラー幾何の既存の結果を組み合わせて求められることを紹介することである．

1.2 Hurwitz 形式
線形正規かつ既約な n 次元射影的代数多様体を X ⊂ PN とする．さらに X の次数 dX および Xの特異集合の余次元を 2 以上であると仮定する．Sturmfels [10] は G(N − n, PN ) の部分多様体

ZN −n (X) = {L ∈ G(N − n, PN ) | (L ∩ X) < dX }の定義多項式*2 を Hurwitz 形式 HuX と名付けた．部分多様体 ZN −n (X) は高次付随多様体（の多項式）の一つとして，[3] で導入されていたが，近年は代数的ビジョン（algebraic vision）と呼ばれるコンピュータービジョンの理論の中で，その重要性が認識されている（[5]）．本稿では，Paul [7]によって示された満渕汎関数との関係を動機として Chow 形式と Hurwitz 形式を論じる．

1.3 重み多面体
一般に，高次付随多様体の定義多項式は膨大の項を持っていて，全ての項を求めることは労力を要する．しかし，幾何学的不変式論のように，多項式へのトーラス作用の重みが重要な場合，多項式のすべての項が分かっている必要はなく，最高の重みをもつ項のみが分かれば十分である．多項式に対して，そのような情報を持った多面体を以下のように定義する．次元 N + 1 のトーラスを

T := (C× )N +1 とする．トーラス T の Laurent 多項式 f (x) =α cα xαへの作用を考える．トーラスの指標を X : (C× )N +1 → C× とすると，単項式 xα への作用は t · xα = Xα (t)xα で与えられ*2 ZN −n (X) は ZN −n−1 (X) と同様に，常に CA の超曲面をなす．

166

る．ここで，指標 X は X (t) =式 f (x) =



N

i=0

i
tm
により ZN +1 の元 m = (m0 , · · · , mN ) と同一視する．多項iα
α cα x に対して，凸包W(f ) := Conv(Xα ∈ ZN +1 | cα = 0) ⊂ RN +1
を（T 作用に対する）f の重み多面体と呼ぶ*3 ．
トーラス T の CN +1 への自然な作用から誘導される G(k, PN ) の座標環への作用を考える．この作用に対する Chow 形式 RX の重み多面体を Chow 多面体 W(RX ) と呼ぶ．Hurwitz 形式 HuXの重み多面体を Hurwitz 多面体 W(HuX ) と呼ぶ．双対多様体の余次元が 1 のとき，X-判別式

ΔX の重み多面体を判別式多面体 W(ΔX ) と呼ぶ．

1.4 GKZ ベクトルと 2 次多面体
[3] の帰結の一つは，点配置 A から定義されるトーリック多様体 XA に対して，W(RX ) と W(ΔX )が Q = Conv(A) の単体分割の情報から計算できることを示したことである．
点配置 A = {ω0 , · · · , ωN +1 } ⊂ Zn に対して，PN に埋め込まれた n 次元トーリック多様体を XAとする．このとき，凸包 Q := Conv(A) ⊂ Rn は XA のモーメント写像の像（モーメント多面体）
である．凸包 (Q, A) の単体分割*4 T をとる．単体分割 T に含まれる k 次元単体 σ が Q の k 次元
面（face）であるとき，σ を massive であると言う（ただし，n 次元単体はすべて massive であるとする）．点 ωi ∈ A に対して，ωi を含む k 次元 massive 単体の体積の和を

ηT,k (ωi ) :=VolZ (σ)ωi ≺σと書き，T の ωi における重みと呼ぶ．ここで VolZ は各次元において単位単体の体積を 1 とするように正規化されているとする．分割 T の重みを成分にもつベクトルを

ηT,k := (ηT,k (ω0 ), · · · , ηT,k (ωN )) ∈ ZN +1とする．ベクトル ηT,k の k に関する交代和
n

ηT :=

(−1)n−k ηT,k ∈ ZN +1

k=0

を massive GKZ ベクトルと呼び，特に ηT,n を GKZ ベクトルと呼ぶ．また，T に対して区分的
線形*5 かつ，下に凸な関数 gT : Q → R が存在するとき，分割 T を正則単体分割と呼ぶ．正則単体分
割の GKZ ベクトルの凸包として定義される多面体を (Q, A) の 2 次多面体（secondary polytope）と呼ぶ：

Σ(A) := Conv(ηT,n | T : 正則単体分割).

また，massive GKZ ベクトルの凸包をΠ(A) := Conv(ηT | T : 正則単体分割)とする．[3] の主結果の一つを簡潔*6 に述べると，以下のようになる．
*3 トーラス T が N + 1 変数多項式に通常の作用で作用しているとき，重み多面体は Newton 多面体となる．
*4 T に含まれる単体の頂点が A に含まれる．
*5 gTのグラフを Q へ射影が分割 T を与える．

*6 [3] ではより精密なことが主張されている．注釈 1 を参照．

167

定理 1 ([4, 3]). トーリック多様体 XA に対して，以下のことが成り立つ．

(1) Chow 多面体 W(RA ) は 2 次多面体 Σ(A) と等しい．
(2) X ∨ の余次元が 1 ならば，判別式多面体 W(ΔX ) は Π(A) に等しい．

1.5 主結果
定理 1 を踏まえると，以下は自然な問題である．
問題. Hurwitz 多面体 W(HuX ) を (Q, A) の正則単体分割に付随するベクトルの凸包として表すことができるか？
本稿の主結果は上の問題に対する解である．[6] において，Hurwitz 多面体を特徴付ける特性ベク
トルを GKZ ベクトルに倣って導入した：点配置 A ⊂ Zn の凸包 (Q, A) の単体分割 T に対して，

ξT := nηT,n − ηT,n−1
を T に対する Hurwitz ベクトルと呼ぶ．
定理 2 ([9]). 点配置 A ⊂ Zn に対するトーリック多様体 XA に対してW(HuX ) = Conv(ξT | T : 正則単体分割)(2)が成り立つ．
上の問題・定理は，代数・組み合わせ論の範疇で考えることができる（3.2 節参照）が，本稿では標準ケーラー計量の問題で得られていた結果を用いて証明する．

2 標準ケーラー計量の問題
標準ケーラー計量問題においても，Chow 形式・Hurwitz 形式の重要性が Paul [7] により指摘されていた．以下では，[3] に現れる概念と標準ケーラー計量の問題に現れる概念を対応させながら説明する．

2.1 汎関数
ケーラー多様体を (X, Ω) がケーラー類 Ω の中にスカラー曲率一定計量をもつか？という問題に対して，以下の汎関数が重要な役割を果たす．初期計量 ω0 ∈ Ω を固定する．ケーラー類 Ω に対す
る X の体積を V とする．初期計量 ω0 に関するケーラー計量のポテンシャル全体の空間を√¯ > 0}
P(X, ω0 ) := {ϕ ∈ C ∞ (X)R | ωϕ := ω0 + ( −1/2π)∂ ∂ϕで定義する．空間 P(X, ω0 ) 上の汎関数を以下のように定義する：

Fω00 (ϕ) =1V1Mω0 (ϕ) = −
V

1

dt
0

1

X

ϕ̇t ωϕnt ,

dt
X

0

168

ϕ̇t (s(ωt ) − s)ωtn .

前者を Aubin 汎関数，後者を 満渕汎関数（または K-エネルギー）と呼ぶ．ただし，ケーラー形式

ω1 に対して， ϕt を ω0 と ω1 を結ぶ道とする*7 ．計量 ω のスカラー曲率を s(ω) とし，s でスカ
1s(ω)ω n を表すものとする．
ラー曲率の平均 s :=V X

2.2 Chow 形式/Hurwitz 形式と汎関数
ここで X ⊂ PN を次元 n，次数 d をもつ滑らかな射影的代数多様体とする．初期計量 ω0 を

Fubini-Study 計量の X への制限 ωFS |X によって定める．σ ∈ GL(N + 1, C) に対して√
¯ σσ ∗ ω0 = ω0 + ( −1/2π)∂ ∂ϕによって ωσ および ϕσ を定義する．多様体 X の Chow 形式 RX ∈ H 0 (G(N − n − 1, PN ), O(d))とする．ベクトル空間 H 0 (G(N − n − 1, PN ), O(d)) には自然なノルム*8
たす．

(n + 1)V F 0 (ϕσ ) = − log

Rσ·X 2,RX 2·が入り，以下を満σ ∈ GL(N + 1, C).

(3)

この等式は多様体 X の Chow 安定性を汎関数 Fω00 の臨界点（balanced 計量）として特徴づける．

Paul [7] は，同様のノルムを用いて，等式 (3) を満渕汎関数へ拡張した．
(n + 1)V 2 Mω0 (ϕσ ) = (n + 1)deg(RX ) log

Huσ·X 2σ · RX 2−ndeg(Hu
)
log
.
X
HuX 2
RX 2

(4)

ただし，deg(RX )，deg(HuX ) はそれぞれ RX ，HuX の Plücler 座標に関する次数とする．
等式 (4) から，次のことがわかる（[7]）．射影代数的多様体 X の Bergman 計量の空間 B :={σ ∗ ωFS | σ ∈ SL(N + 1, C)} 上で満渕汎関数 M が下から有界であることは，PN の自己同型群の任意の極大トーラス T に対して X の Chow 形式 RX と Hurwitz 形式 HuX が以下*9 を満たすことが同値である：deg(HuX )W(RX ) ⊂ deg(RX )W(HuX ).

(5)

2.3 凸包 (Q, A) の正則分割とトーリック・テスト配位
nN
点配置 A = {ωk }Nとし，L := OPN (1)|X と
k=0 ⊂ Z から定まるトーリック多様体を XA ⊂ P

する．元 λ ∈ NZ := MZ∨ に対して

⎛λ
t 0
⎜
λ(t) = ⎝⎞..

⎟⎠ ∈ T ⊂ GL(N + 1, C).
tλ Nとする．簡単のために max λk = 0 とする．閉包

Xλ := {(λ(t)x, t) | x ∈ ι(X), t ∈ C× } ⊆ PN × C*7 汎関数は道の取り方に依らない．
*8 このノルムの起源は，Tian による超曲面の安定性の研究 [11] に由来する．[12] では Chow ノルムと呼ばれるものと同じである．
*9 この包含関係を確かめるために Chow/Hurwitz 多面体を具体的に計算することが本研究の当初の動機であった．

169

とし， Lλ を OPN (1) の Xλ への引き戻しとすると，(Xλ , Lλ ) は [2] において (X, L) の（トーリック）テスト配位と呼ばれる変形となる．点 ωk に対して Rn+1 = Rn × R 上の格子点をωk := (ωk , λk ) ∈ Rn × Rとおくと，

 := Conv
Q






ω
k 0≤k≤N(ωk , 0) 0≤k≤Nはトーリック・テスト配位 (Xλ , Lλ ) のコンパクト化 (X̄λ , L̄λ ) のモーメント多面体となる．多面体

 は底面 Q 上の区分的線形関数 gλ のグラフを上面とし，Q を底面とする柱体となる．関数 gλ のグ
Q
ラフの Q への射影は (Q, A) の正則分割（単体分割とは限らない）Tλ を与える．逆に，(Q, A) の正則分割に対して，対応する凸関数 g によって，XA ⊂ PN のトーリック・テスト配位*10 が得られる．

2.4 汎関数のスロープ
等式 (3)，(4) より，Chow/Hurwitz 多面体の頂点を求めるためには，λ(t) に沿った汎関数のス
ロープの漸近的極限を調べれば良いことがわかる．汎関数のスロープの漸近的極限は，Tian の解析
的 K 安定性の定義（二木不変量の一般化）に遡り，標準ケーラー計量の研究において重要な問題であった．ここでは，Boucksom-久本-Jonsson（[1]）の結果をトーリック多様体の場合に適用する．

[1] において λ(t) に沿った汎関数のスロープの極限がテスト配位空間のコンパクト化の上の交点数に等しいことが示された：Fω00 (ϕλ(e−s ) )(L̄λ )n+1
=
,
s→+∞
2s
V (n + 1)
 n+1 Mω0 (ϕλ(e−s ) )s1  log=
KX̄ /P1 · L̄nλ +
L̄
.
lim
λ
s→+∞
2s
V
V (n + 1) λ
lim

(6)
(7)

log

ただし KX¯ /P1 := KX¯λ /P1 − π̄ ∗ KP1 とする．
λ元 λ ∈ NZ に対して MR := MZ ⊗ R 上の線形関数 lλ : MR → R を

lλ (x) = x, λ,x ∈ MRで定義する．ただし，·, · は MR × NR の自然なペアリングとする．等式 (3)，(4) の帰結として，以下を得る．

−(n + 1)V Fω00 (ϕλ(t) ) = μCh (λ) log |t|2 + O(1),(8)

2(n + 1)VMω0 (ϕλ(t) ) = FP(λ) log |t|2 + O(1).
nただし，μCh (λ) : = min{ λ (x) | x ∈ W(RX )}.
n+1
deg(RX ) min{ λ (x) | x ∈ W(HuX )}FP(λ) :=n−deg(HuX ) min{ λ (x) | x ∈ W(RX )}とする．
*10 [3] では toric degeneration と呼ばれる．

170

(9)

以上の二つの結果を合わせると，次のことがわかる．元 λ ∈ NZ から得られる分割 Tλ が正則単体分割の場合，等式 (8)，(6) をトーリックの設定で書き下すとmin{ λ (x) | x ∈ W(RX )} = −(L̄)n+1 = (n + 1)!

Q

gλ dx

(10)

= ηTλ , λ

(11)


n+1
VolZ (Q)L(gλ )nVolZ (∂Q)
n+1
gdμ − ngdx
= −n!
nVolZ (Q) Q
∂Q


n+1
= deg(HuX )ηTλ −deg(RX )ξTλ , λn(12)となる．同様に，(9)，(7) を書き下すと

FP(λ) = −n!

(13)となる．L(g) は関数 g が定めるトーリック・テスト配位の Donaldson-二木不変量に相当する汎関数である．
等式 (13) から

min{ λ (x) | x ∈ W(HuX )} = ξTλ , λ

(14)

を得る．
等式 (11)，(12) において

(n + 1)!
Q

gdx = ηT,n , λ,n!
∂Qgdν = ηT,n−1 , λを用いた．

2.5 NR の 2 つの錐等式 (11)，(14) から，定理 2 を得るためには，次のことを示せばよい．

(1) 重み多面体 W の任意の頂点 v ∈ MZ に対して，分割 Tλ が (Q, A) の正則単体分割を与え，さらに，関数λ (x),x ∈ W が v で最大となるような λ が存在する．

(2) 逆に，任意の正則単体分割 T に対して，Tλ = T かつ 関数

λ (x),x ∈ W が W のある頂点v で最大となるような λ が存在する．
上を示すために，[3] では NR 上に 2 つの錐を導入している．単体分割 T と λ ∈ NR に対して，

gλ,T (ωk ) = λk （ただし ωk は T の 0 次元単体とする）を満たすような Q 上の区分的線形関数を
gλ,T とする．
• 重み多面体の任意の頂点 v ∈ MZ における法錐 NC(v)，つまり，v を含む W のファセットの外向きの法線によって生成される錐．このとき v が NC(v) に含まれることとλ が v のみでただひとつの最大値をとることは同値である．法錐 NC(v) 全体は NR 上の完備扇を与える．

• 正則単体分割 T に対して，gλ,T が下に凸で，T の 0 次元単体ではない ωk ∈ A に対して
gλ,T (ωk ) < λk を満たすような λ 全体は錐をなし，それを C(T ) と書く．特に λ ∈ C(T ) ∩ MZ
は T = Tλ となるようなトーリック・テスト配位 (Xλ , Lλ ) を与える．これは，2 次多面体の法錐に等しく，C(T ) 全体は NR の完備扇を与える（[3]）．

171法扇 NC(v) は重み多面体 W に依存しているが，C(T ) は W に依存しないことに注意する．それぞれの扇の完備性から，任意の W の頂点 v に対して，IntNC(v) ∩ IntC(T ) = ∅ となる T が存在す
る．これより (1) が従う．逆に，任意の正則単体分割 T に対しても IntNC(v) ∩ IntC(T ) = ∅ を満たす頂点 v が存在するので (2) が従う．これにより，定理 2 が従う．
注釈 1. 証明より，Chow/Hurwitz 多面体は，それぞれ ηT ，ξT を頂点にもつことがわかる．一方で，[3] では，より精密な主張が示されている：GKZ ベクトル ηT と正則単体分割 T は 1 : 1 対応する．しかし，massive GKZ ベクトルは正則単体分割と 1 : 1 に対応しない（正確には正則単体分割の同値類と 1 : 1 対応する）ように，重み多面体の特性ベクトルが必ずしも正則単体分割を 1 : 1 対応
するとは限らない．Hurwitz ベクトルが正則単体分割と 1 : 1 対応するかどうかは考えるべき問題であるが，今回の定理の証明からは分からない（3.1 節参照）．いずれにせよ，定理 2 より，トーリッ
ク多様体の Bergman 計量空間上の満渕汎関数の漸近挙動を調べる上で，多様体のモーメント多面体(Q, A) の単体分割を与えるようなトーリック・テスト配位のみを考えればよいことがわかる．

3 付録
ここでは，定理 2 に関係する 2 つの問題を提起する．

3.1 Chow/Hurwitz 多面体の比較
Paul は (4) より，射影的代数多様体 X の満渕汎関数の下からの下界性（または固有性）を X のChow 多面体と Hurwitz 多面体の包含関係 (5) を用いて特徴づけた．この包含関係を調べる上で，W(RX ) と W(HuX ) の相違点を知ることは有用である．特に Sturmfels [10] は，いくつかの例で，W(RX ) と W(HuX ) の頂点の数と法扇に関して次のことを確認している．
• W(RX ) と W(HuX ) の頂点の個数が等しい．
• W(RX ) と W(HuX ) の法扇が一致する．つまり，W(HuX ) の法錐は 2 次多面体に等しい．
つまり，W(RX ) と W(HuX ) は多面体の組み合わせ論的に同じ構造を持っていることを主張している．しかし，（トーリックではない）多様体において，上のことが成り立たない例も [10] の中で挙げられている．上のような W(RX ) と W(HuX ) の類似点がどのような多様体のクラスで成り立つかを知ることは K-安定性の理解につながるものと考えられる*11 ．

3.2 組み合わせ論的証明
本稿では，定理 2 をケーラー幾何の結果を援用して示したが，定理 2 は純粋に組み合わせ論の問題として理解することもできる．Cayley トリックにより，Hurwitz 形式は，Segre 埋め込み*12

X × Pn−1 → PN × Pn−1 → Pn(N +1)−1*11 現在，正則単体分割を計算するアプリケーション TOPCOM [8] を用いて，トーリック・ファノ曲面で上のことが成り立つことは確認できている．
*12 (X × Pn−1 )∨ の余次元は常に 1 であることが知られている．

172

の判別式 ΔX×Pn−1 に等しいことが示されている．この判別式は，Paul [7] により 超判別式 と呼ばれている ．トーラス T の PN × Pn−1 への作用を第一因子には通常の作用を，第二因子には自明な作用を与えることで定義する．この作用に対する重み多面体を超判別式多面体 W(ΔX×Pn−1 ) と呼ぶ．この多面体は判別式多面体なので，massive GKZ ベクトルを用いて計算できる（定理 1 (2)）．
多面体 W(ΔX×Pn−1 ) が W(HuX ) と等しいことを示せば，定理 2 を示すことができる．しかし，このアプローチの困難な点は，(Q, A) の正則単体分割に対して，Cartesian 積

 = {
A
ωi,j := (ωi , ej ) ∈ R2n−1 | ωi ∈ A, 1 ≤ i ≤ N + 1, 1 ≤ j ≤ n − 1}
 A)
 の正則単体分割が非常に多いという点にある*13 この問題は Cayley トリックの重みの凸包 (Q,
多面体版と本質的に同じであり，多面体の問題としても独立して意味があるのではないかと思われる*14 ．
判別式

多面体

ベクトル

ΔX×Pn = RX

Chow/2 次多面体

GKZ ベクトル

ηT,nΔX×Pn−1 = HuX

Hurwitz 多面体

Hurwitz ベクトル

ΔX×P0 = ΔX

判別式多面体mGKZ ベクトルξT = nηT,n − ηT,n−1ηT = (−1)n−k ηT,k

参考文献
[1] S. Boucksom, T. Hisamoto and M. Jonsson, “Uniform K-stability, Duistermaat-Heckman
measures and singularities of pairs”, Ann. de l inst Four. 67 (2017) no.2, 743-841.
[2] S. K. Donaldson, “Scalar curvature and stability of toric varieties”, J. Diﬀ. Geom. 62 (2002),
289-349.
[3] I. M. Gelfand, M. M. Kapranov and A. V. Zelevinsky, “Discriminants, Resultants andMultidimensional Determinants”, Birkhäuser, Boston, 1994.
[4] M. M. Kapranov, B. Sturmfels and A. V. Zelevinsky, “Chow polytopes and general resultants”, Duke Math. J. 67 (1992), no.1, 189–218.
[5] J. Kileel and K. Kohn, “Snapshot of Algebraic Vision”, arXiv:2210.11443.
[6] R. Ogusu and Y. Sano, “On the vertices of the Hurwitz polytopes of toric varieties”,
arXiv:2302.09792 (2023).
[7] S. T. Paul, “Hyperdiscriminant polytopes, Chow polytopes, and Mabuchi energy”, Ann.
Math. 175 (2012), no.1, 255–296.
[8] J. Rambau, “TOPCOM: Triangulations of Point Conﬁgurations and Oriented Matroids”,
Mathematical Software (2002), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 330–340.
[9] Y. Sano, “Weight Polytopes and Energy Functionals of Toric Varieties”, Peking Math. J.,
https://doi.org/10.1007/s42543-023-00079-z (2023)*13

例えば，点配置


A=

0
0

0
1

1
1

1
0

0
−1

−1
−1

0
−1



 A)
 の正則単体分割は 928930 個ある．また，正の場合，(Q, A) の正則単体分割は 32 個であるにもかかわらず，(Q,
則単体分割（またはその数）を求めることそのものが問題でもある．
*14 [6] において 2 次元の場合の部分的な結果を得ている．

173

[10] B. Sturmfels, “The Hurwitz form of a projective variety”, J. Symbolic Comput. 79 (2017),
part 1, 186–196.
[11] G. Tian, “The K-energy on hypersurfaces and stability”, Comm. Anal. Geom. 2 (1994),
239-265.
[12] S. Zhang, “Heights and reductions of semi-stable varieties”, Compo. Math. 104 (1996),
77-105.

174

調和計量の列と劣調和関数とシャノンエントロピー
東北大学数理科学共創社会センター

1

宮武夏雄

Riemann 面上の負の定曲率計量, 巡回 Higgs 束, 調和計量
1/2

1/2

1/2

X をコンパクトとは限らない連結 Riemann 面, KX → X を X の標準束とする. 標準束の二乗根 KX → X (KX ⊗ KX r(r−(2j−1))/2(r−1)/2(r−3)/2
= KX
⊕ KX
⊕···⊕
KX ) を一つ固定し, X 上の階数 r ≥ 2 の正則ベクトル束 Kr → X を Kr := j=1 KX−(r−3)/2−(r−1)/20r0⊕ KXと定める. 各正則切断 q ∈ H (KX ) に対し, EndKr に値をとる正則一形式 Φ(q) ∈ H (EndKr ⊗ KX )KXを以下のように定める:
⎛

0

⎜
⎜ 1
Φ(q) := ⎜
⎜
⎝

⎞

q

⎟
⎟
⎟.
⎟
⎠

0
..

.

..

.

1

0

この組 (Kr , Φ(q)) を巡回 Higgs 束と呼ぶ (cf. [1, 4, 5, 6, 10, 11, 12]). また, Kr 上の Hermite 計量 h = (h1 , . . . , hr ) であって, その

Chern 接続を ∇h としたとき, h を用いて定義される接続 D := ∇h +Φ(q)+Φ(q)∗h が平坦, すなわち D の曲率が零となるようなものを, 調和計量と呼ぶ. 調和計量から, X の普遍被覆空間 X̃ から SL(r, C)/SU(r) もしくは SL(r, R)/SO(r) への調和写像が定まる.
−1
また, 調和計量の隣接成分の差を取ることにより, TX := KXの Hermite 計量 H1 , . . . , Hr−1 が Hj := h−1
j ⊗hj+1 (j = 1, . . . , r−1)と定まり, さらに h1 , hr と q をカップリングさせることにより, q の零点において退化した Hermite 計量 Hr が自然に定まる. 特に r = 2 かつ q = 0 のときは, H1 は負の定曲率計量である. 正則ベクトル束 Kr 上の Hermite 計量 h が調和計量となるための必要十分条件は, Fh を h の Chern 接続の曲率としたとき, h が二階の楕円型偏微分方程式 Fh + [Φ(q) ∧ Φ(q)∗h ] = 0 の解となることであることが簡単な計算からわかるが, この楕円型偏微分方程式のことを巡回 Higgs 束の Hitchin 方程式と呼ぶ [9]. 以
上で説明したものは, より一般の Higgs 束, 調和計量, Hitchin 方程式 (cf. [9, 21]) の内の特別なものである. 巡回 Higgs 束とその調和計量は Riemann 面の複素構造の変形理論, 曲面論や曲面の基本群の理論, Higgs 束のモジュライ空間, 数理物理など,
多くの観点から関心を持たれ研究されてきた. またそれらとの関連を考量せずとも, 正則切断 q に対して特別な Hermite 計量
h = (h1 , . . . , hr ) や H1 , . . . , Hr−1 が定まるという関係は, 直線束の切断も, 直線束の Hermite 計量も, どちらも多くの数学と関連する基本的な概念であるので, 非常に興味深いものである.

2（ランダムな）調和計量の列
複素多様体 X とその上の直線束 L → X に対し, 直線束の冪 LN → X に付随する種々の量（正則切断, 正則切断の零点, 測度,

複素多様体の埋め込み, 汎関数,..）の冪の次数 N を無限に増大させる極限における漸近的な振る舞いや収束を調べる研究は, 非
常に古くから今日に至るまで, 様々な設定の下で, 活発になされてきた (cf. [2, 8, 19, 22, 23, 24]).

Question 1. 正則切断に付随する調和計量について, 冪を無限に増やす極限における漸近挙動や収束の理論は確立しうるだろうか. 既存の理論とどのように関連するだろうか.
r/N

N
筆者は, KX→ X の正則切断 qN に付随して, 次の多価 Higgs 場 Φ(qN ) を新たに導入した [13, 14]:

⎛

r/N

0

⎜
⎜ 1
r/N
Φ(qN ) := ⎜
⎜
⎝

qN
0
..

.

..
1

.

175

0

⎞
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎠

r/N

また Kr 上の Hermite 計量 h = (h1 , . . . , hr ) を解にもつ, (Kr , Φ(qN )) の Hitchin 方程式を以下のように導入した [13, 14]:√

−1Fhj + vol(Hj−1 ) − vol(Hj ) = 0 for j = 1, . . . , r − 1.

(1)

ただし, 記号は以下のように定めた. Fhj (j = 1, . . . , r − 1) は Hermite 計量 hj の曲率を表し, Hj (j = 1, . . . , r − 1) は−N
Hj := h−1
j ⊗ hj+1 と定義される TX 上の Hermite 計量である. 正則切断 qN は KX に qN の零点において退化した Hermite 計N)x ). H0 = Hr
量を自然に誘導するが, それを hqN と書くことにする ((hqN )x (u, v) := u, (qN )x v, (qN )x  for x ∈ X, u, v ∈ (KX
r/N
は, h1 , hr と hqN をカップリングさせて得られる, qN の零点において退化した TX → X 上の Hermite 計量である: H0 = Hr :=r/Nh1 ⊗ h−1r ⊗ hqN . また, Hermite 計量 H0 , H1 , . . . , Hr−1 , Hr の体積形式をそれぞれ vol(H0 ), vol(H1 ), . . . , vol(Hr−1 ), vol(Hr ) とr/N表した. N = r のときには, これは巡回 Higgs 束の Hitchin 方程式と一致する. 多価 Higgs 場 Φ(qN ) は X 上の切断として一般
r/Nに大域的に well-deﬁned ではないが, その Hitchin 方程式は, qN のノルムにのみ依存するので, 大域的に well-deﬁned に定まr/Nる, ということが, 上述したものを導入するにあたって筆者が観察したことである. 多価切断 qN を well-deﬁned にする分岐被覆 XN → X をとったとき, XN 上の平坦束 (基本群の表現) と SL(r, C)/SU(r), もしくは SL(r, R)/SO(r) への調和写像が PDE(1) の解から定まる.

Question 2. N と r を分離したことにより, 調和写像の行先の対称空間の階数 r を無限に大きくする r → ∞ の極限を N を固定した状態で取ることができるようになったが, この極限では何が起きるだろうか1 .

3調和計量の列の収束先, ポテンシャル論, その複素高次元化
N
さらに, 正則切断 qN ∈ H 0 (KX) に付随した PDE (1) の解の N → ∞ における収束先に相当するものを導入した. 方程式の定義を述べる前に基本的な用語の定義の復習をする. D ⊆ C を領域とする. D の各点 a に対し, Br (a) で a を中心とする半径 rの開球を表す. D の上で定義された上半連続関数 u : D → [−∞, ∞) は, D の各点 a と Br (a) ⊆ D なる r > 0 に対して以下の平均値の不等式を満たすとき劣調和関数であると言われる:

u(a) ≤

1
2π

2π

√

u(a + re −1θ )dθ.

0

例えば f : D → C を正則関数としたとき, log |f | は劣調和関数である. 以下, 恒等的に −∞ の関数を劣調和関数の定義から排除することにする. u : D → [−∞, ∞) が劣調和関数であることは, u が局所可積分な上半連続関数であって, 以下の不等式をカレントの意味で満たすことと同値である:√¯ ≥ 0.
−1∂ ∂u√−1∂ ∂¯ log |f | は f の零点の全体がサポートになるような測度である. Riemann 面 X 上の局所的に滑らかな関数と劣調和関数の和で表すことができる関数を概劣調和関数と呼ぶ. 標準束 KX → X 上の滑らかな Hermite 計
量 href を一つ固定する. 概劣調和関数 ϕ を用いて e−ϕ href と書くことができる Hermite 計量を特異 Hermite 計量と呼ぶ. 特異
Hermite 計量 e−ϕ href に対し, その曲率 Fϕ を下記のように定める:

例えば, 正則関数 f に対し,

Fϕ :=

√
√
¯ + −1Fh .
−1∂ ∂ϕref

ここに, Fhref は href の通常の意味での曲率であり, 上式の右辺は (1, 1)-カレントとして定まっている. 零でない正則切断
1

2

−1/N

N
qN ∈ H 0 (KX) に対し, e− N log |qN |href href は qN の零点において発散する特異 Hermite 計量であるが, これは hqNに一致す
る. また, その曲率は半正値であり, qN の零点全体をサポートに持つ. さらに, 任意の半正値曲率を持つ特異 Hermite 計量は,
L1loc -位相に関して, 上述した形のもので近似できることが知られている (cf. [7]). すなわち, 下記の集合は, 半正値曲率を持つ特異 Hermite 計量全体の中で, L1loc -位相に関して稠密である:


N
h−1/N
| qN ∈ H 0 (KX), N ∈ Z≥1 , qN = 0 .
qN

上記の事実を背景として, PDE (1) をさらに拡張した, 半正値曲率を持つ標準束 KX → X 上の特異 Hermite 計量 e−ϕ href に付随した以下の PDE を導入した [13, 14]:√

−1Fhj + vol(Hj−1 ) − vol(Hj ) = 0, j = 1, . . . , r − 1,

1 Question 2 は小林亮一先生に講演の際にコメントをしていただいたことから生まれたものです.

176

(2)

−ϕ
ただし, H0 = Hr は H0 = Hr := h1 ⊗ h−1h0 )−r と定義される TX → X 上の ϕ の −∞-集合上で退化した Hermite 計量r ⊗ (eで, その他の定義は上述した PDE (1) と同様である. 上述したように正則切断から定まる半正値曲率の特異 Hermite 計量全体
は, 半正値曲率の特異 Hermite 計量全体の中で L1loc -位相に関して稠密であることから, PDE (2) は PDE (1) の N → ∞ の極限での解の列の収束先が従う方程式であると思える.
−1/N

Question 3. 列 (hqN )N ∈N がある e−ϕ href に収束する過程で PDE (1), (2) の解はどう振舞うか？ より一般に (e−ϕt href )t∈Tが何か適当なパラメータ t に対して動くとき (cf. [18, 19]), PDE (2) の解はどのように動くか？

とする. e−ϕnT ∗ X → X を標準束
href を KX → X 上の半正値曲率の特異 Hermite 計量とする (cf. [7]). 以下の PDE を導入した [15]:さらに, 複素高次元化した以下の方程式を導入した. (X, ωX ) を複素 n 次元の Kähler 多様体, KX :=√−1FHj ∧n−1
ωX
+ 2vol(Hj ) − vol(Hj−1 ) − vol(Hj+1 ) = 0 for j = 1, . . . , r − 1.
(n − 1)!

(3)

−1
−1
ここに, 記号は以下のとおり定めた: H1 , . . . , Hr−1 は KX
→ X の Hermite 計量で, PDE (3) の解である. H0 = Hr は KX
→Xの以下のように定義される退化した Hermite 計量である.
−1⊗ (e−ϕ h0 )−r .
H0 := H1−1 ⊗ · · · ⊗ Hr−1−1
反標準束 KX→ X 上の Hermite 計量 H0 , H1 , . . . , Hr が定める体積形式をそれぞれ vol(H0 ), . . . , vol(Hr−1 ) と表した:√
vol(Hj ) := n!( −1)n (−1)(n−1)! Hj (s, s)s∨ ∧ s̄∨ .
−1
ここに, s は KX
→ X の局所フレームで, s∨ はその双対である. X の複素次元が 1 の場合は, PDE (3) は下記の変数変換の下で PDE (2) に一致する:

Hj := h−1
j ⊗ hj+1 for j = 1, . . . , r − 1.
X を境界の無いコンパクトな Kähler 多様体とする. 次が成り立つ:
Theorem 4 (M.’24 [15]). 任意の α ∈ (0, 1) に対して C 1,α -級の PDE (3) の弱解 H1 , . . . , Hr−1 が唯一つ存在する.
また境界値問題について以下が成り立つ. X を境界 ∂X を持つ強擬凸多様体内の強擬凸領域とする (強擬凸多様体と強擬凸領域の定義は [17] に従うものとする). Kähler 形式 ωX は領域の外側まで滑らかに拡張し, eϕ は X 上 L∞ -級であると仮定する.
このとき次が成り立つ:−1|∂X → ∂X 上の連続な Hermite 計量 ∂H1 , . . . , ∂Hr−1 に対し, 任意のTheorem 5 (M.’24 [14, 15]). 境界 ∂X 上の直線束 KX1,αα ∈ (0, 1) に対して C -級の PDE (3) の弱解 H1 , . . . , Hr−1 で各 j = 1, . . . , r − 1 に対して以下の境界条件を満たすものがただ一つ存在する:

lim Hj (z) = ∂Hj (ζ) for any ζ ∈ ∂X.

z→ζ

通常の巡回 Higgs 束上の Hitchin 方程式には, 開 Riemann 面上の完備解の存在と一意性 (cf. [11]) というものが知られているが, 現在その定理の PDE (3) への拡張に取り組んでおり, 講演ではそれについても言及する予定である.

4

シャノンエントロピー
X が複素一次元の場合を考える. 以下の PDE を導入した:√−1FHj + 2vol(Hj ) − vol(Hj−1 ) − vol(Hj+1 ) = 0 for j = 1, . . . , r − 1.

以下の二点を注意する.

• もし e−ϕ href が平坦ならば, H1 = · · · = Hr−1 = (e−ϕ h0 )−1 は PDE (4) の解である.

177

(4)

−1
• (上では定義から排除したが) ϕ = −∞ の場合を考える. 下記の KX→ X 上の Hermite 計量 H に関する PDE に解が存在するとする:√−1FH + vol(H) = 0,
(5)
r−1
−1
また, 正の定数 λ1 , . . . , λr−1 を以下のように定義する: λj := k=1 (Λ−1
r−1 )jk = j(r − j)/2. ここに, Λr−1 は Ar−1 型のCartan 行列の逆行列である. このとき, Hj = λj H (j = 1, . . . , r − 1) は PDE (4) の解である.

通常の巡回 Higgs 束上の調和計量から定まる Hermite 計量 H0 , H1 , . . . , Hr−1 について, 上記の二つの場合との比較に関して

Dai-Li’16, ’17 と Li-Mochizuki’20 により以下の定理が確立した:Theorem 6 ([4, 5, 11]). H1 , . . . , Hr−1 は全て完備で, 正則切断 q は恒等的に零ではなく, また少なくとも一つ零点は持つとする. このとき, 全ての j = 1, . . . , r − 1 に対して Hj = Hr−j という対称性があり, 以下の評価が成り立つ:

λj−1(j − 1)(r − j + 1)
< Hj−1 ⊗ Hj−1 < 1 for all 2 ≤ j ≤ [r/2],=λjj(r − j)H0 ⊗ H1−1 < 1.
上記の定理を動機として, PDE (4) の解から定まる Hermite 計量 H0 , H1 , . . . , Hr−1 について以下の関数を導入する:

Deﬁnition 7 (M.’24 [16]). 各 j = 0, . . . , r − 1 に対して, pj : X → R≥0 を以下のように定まる非負値関数とする:
vol(Hj ).
pj := r−1
j=0 vol(Hj )以下の関数を導入し, エントロピーと呼ぶ2 :r−1

Scyc (r, ϕ) := −pj log pj .
j=0

r−1
P0 + P1 + · · · + Pr−1 = 1 なる正の実数値 P0 , P1 , . . . , Pr−1 に対し, − j=0 Pj log Pj はシャノンエントロピーと呼ばれており (cf. [20]), P0 = · · · = Pr−1 = 1/r のとき最大値 log r に到達し, ある j について Pj = 1 で他は 0 となるとき最小値 0 に到達することを確かめることができる. 関数 Scyc (r, ϕ) は H0 , H1 , . . . , Hr−1 の各点での相互の揃わなさの度合いを定量化するものである. 上述した Theorem 6 の評価の PDE (4) に対する拡張と簡単な計算から, Scyc (r, ϕ) の評価について次が成り立つ:
Theorem 8 (M.’24 [16]). PDE (4) の解 H1 , . . . , Hr−1 は全て完備で, また e−ϕ h0 は非自明でその曲率は恒等的に零ではないとする. このとき次が成り立つ:
S0 < Scyc (r, ϕ) < log r,
ここに, S0 を以下のように定めた:[r/2]

S0 := −

2qj log qj + qr/2 log qr/2 ,
j=1

qj :=

2

j−1

λj

k=1 λk + ([r/2] − j + 1)λj

1 ≤ j ≤ [r/2],

qr/2 = 0 if r is an odd number,
λj := j(r − j)/2.
Remark 9. r = 2, 3 の場合, S0 は λ1 H, . . . , λr−1 H に対するエントロピー Scyc (r, −∞) と一致するが, r が 3 より真に大きい場合 S0 は Scyc (r, −∞) よりも真に小さくなる.
Question 10. r > 3 に対して上記の下からの評価を改善することは可能か？
N
Question 11. e−ϕ href が正則切断 qN ∈ H 0 (KX) から定まる場合, qN の零点の位置と個数はエントロピーにどのような影響を与えるか？N → ∞ で何が起きるか？

Question 12. r → ∞ の極限で, r に関して適当なスケールを施したうえで, Scyc (r, ϕ) は何か極限の関数 Scyc (∞, ϕ) に収束するか？

.
2 谷地村敏明さんに色々と議論していただきました.

178

参考文献
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[6] M. A. Guest and C.-S. Lin, Nonlinear PDE aspects of the tt∗ equations of Cecotti and Vafa, J. Reine Angew. Math. 689(2014), 1–32.
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Mathematical Society (EMS), Zurich, 2017.
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geometry II), 数理解析研究所講究録 2211 (2022): 153-164.
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[10] N. J. Hitchin, Lie groups and Teichmüller space, Topology 31.3 (1992): 449-473.
[11] Q. Li and T. Mochizuki, Complete solutions of Toda equations and cyclic Higgs bundles over non-compact surfaces,
arXiv:2010.05401 (2020).
[12] Q. Li and T. Mochizuki, Isolated singularities of Toda equations and cyclic Higgs bundles, arXiv:2010.06129 (2020).
[13] N. Miyatake, Generalizations of Hermitian-Einstein equation of cyclic Higgs bundles, their heat equation, and inequality
estimates, preprint, arXiv:2301.01584 (2023).
[14] N. Miyatake, Cyclic Higgs bundles, subharmonic functions, and the Dirichlet problem, preprint, arXiv:2309.08465 (2023).
[15] N. Miyatake, TBD, in preparation.
[16] N. Miyatake, TBD, in preparation.
[17] S. Nakano and T. Ohsawa, Strongly pseudoconvex manifolds and strongly pseudoconvex domains, Publications of the
Research Institute for Mathematical Sciences 20.4 (1984): 705-715.
[18] T. Ohsawa, L2 Approaches in Several Complex Variables: Development of Oka–Cartan Theory by L2 Estimates for thed-bar Operator, Springer (2015).
[19] T. Ransford, Potential theory in the complex plane, No. 28. Cambridge university press, 1995.
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[23] B. Shiﬀman and S. Zelditch, Distribution of zeros of random and quantum chaotic sections of positive line bundles,
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[24] B. Shiﬀman and S. Zelditch, Stochastic Kähler geometry: from random zeros to random metrics, arXiv:2303.11559(2023).

179

Finiteness and continuity
under a lower or upper curvature bound藤岡 禎司(大阪大学)∗

1 概要
本講演は，断面曲率が下または上に有界な Riemann 多様体の収束理論について講演者の近年の結果を中心に概説する（主定理は 4.6, 5.3, 6.5 を参照）．ただし個々の詳細には立ち入らず，一見全く異なる内容の背景にある統一的な思想に焦点を当てる．テーマは大きく分けて二つあり，いずれもタイトルに含まれている．
一つ目は「有限性（有界性）と連続性」である．よく知られているようにコンパクト空間上の連続関数は有界である ― つまり連続性  有界性
これが本講演の中心哲学と言える．同様の現象が Riemann 多様体のプレコンパクト族とその上の種々の位相的・幾何的量に対し見られることを紹介する．
二つ目は「曲率の下界と上界の双対性」である．断面曲率の下界と上界の理論は多くの研究者には全く別物と認識されている（と思う）．実際それはある意味で正しく，例えば正（非負）曲率空間と負（非正）曲率空間の研究手法や応用は全く異なる．一方で美しい
双対的なアナロジーが成り立つこともあり，本講演ではそのような側面を支持する結果を多数紹介する．
なお断面曲率が上下に有界，または Ricci 曲率が (上) 下に有界な多様体の収束理論については，残念ながら紙面と講演者の知識不足のため扱わない．また結果の多くは一般の曲率の有界性をもつ距離空間の文脈に拡張できるが，本講演では簡単のため Riemann多様体とその極限に制限して述べる．

2 プレコンパクト性
上で述べたように本講演で扱う Riemann 多様体の族はある種のコンパクト性をもつ．
具体的には次の三つの族を扱う（多様体は常に完備と仮定する）：

M(n, k, D) := {M | n 次元，断面曲率 ≥ k ，直径 ≤ D} ,M(n, k, D, v) := {M | n 次元，断面曲率 ≥ k ，直径 ≤ D，体積 ≥ v > 0} ,N (n, K, r, V ) := { N | n 次元，断面曲率 ≤ K ，単射半径 ≥ r > 0，体積 ≤ V } .
二つ目は一つ目の部分族であることに注意する．次の命題が本講演の出発点となる．
命題 2.1. 上記の族はいずれも Gromov–Hausdorﬀ 収束に関してプレコンパクトである．
すなわち任意の列が収束部分列をもつ．
ここで Gromov–Hausdorﬀ 収束とは距離空間の列に対し定義される（比較的緩い）
収束の概念である．Riemann 多様体の収束理論の基本的な戦略はプレコンパクトな族の極限空間を解析することで元の多様体の性質を引き出すというものである．したがって極限空間とは何かが伴となる．
∗

e-mail: tfujioka210@gmail.com
web: https://sites.google.com/view/tadashifujioka
本研究は科研費 22KJ2099 の助成を受けたものである
紙面の都合上入りきらなかった参考文献は論文の References 等を参照してください180

命題 2.2. M(n, k, D) の多様体の極限は Alexandrov 空間（Burgao–Gromov–Perelman’92），N (n, K, r, V ) の多様体の極限は GCBA 空間（Lytchak–永野 ’19）である．

Alexandrov 空間／ GCBA 空間はそれぞれ断面曲率の下界／上界の概念をもつ距離空間である．具体的な定義には立ち入らないが，典型的かつ対照的な例は以下の通り．

Alexandrov 空間

GCBA 空間頂角 2π 以下の cone
2 枚以下の半平面の境界貼り合わせ

頂角 2π 以上の cone
2 枚以上の半平面の境界貼り合わせ

本講演のテーマである「曲率の下界と上界の双対性」はこのような極限空間の双対的構造に由来する．一方で上の例からも分かるように一般には Alexandrov 空間の方がGCBA 空間より遥かに制限が大きい．これはまた曲率の下界と上界の性質の違いを如実に反映していると言える．ただし最も大きな違いは以下の「崩壊」の存在である．
注意 2.3. M(n, k, D) は極限において次元が落ちる可能性がある：これを崩壊という．
M(n, k, D, v) は体積の下界 v のため崩壊は起きない．同様に N (n, K, r, V ) も単射半径の下界 r のため崩壊は起きない．なお次元が上がることは決してない．

3 体積
本講演の哲学を端的に表す簡単な例として体積を考える（証明が簡単という意味ではない）．ただし体積とは Riemann 体積またはより一般の Hausdorﬀ 測度を表す．
M(n, k, D) の多様体の体積は一様有界である（Bishop の不等式）．また N (n, K, r, V )の多様体の体積は定義より一様有界である．基本哲学に従えばこれらの 有界性 よりもさらに強い 連続性 定理があると期待できる．
定理 3.1. M(n, k, D) の列 Mj が Alexandrov 空間 X に収束するとき，Mj の体積は Xの体積に収束する（Burgao–Gromov–Perelman ’92；0 に収束するときが崩壊）．同様のことが N (n, K, r, V ) に対しても成り立つ（永野 ’02）．
逆に上記の連続性とプレコンパクト性を用いれば背理法で体積の有界性が従う．以下
ではより複雑な位相的・幾何的量に対し同種の現象を見ていく．

4 位相型・ホモトピー型
この節では M(n, k, D, v) と N (n, K, r, V ) を扱う（つまり崩壊は扱わない）．まず次の有限性 定理を思い出す．
定理 4.1 (Grove–Petersen–Wu ’90). M(n, k, D, v) は高々有限個の同相類を含む．同様のことが N (n, K, r, V ) に対しても成り立つ．
注意 4.2.

(1) M(n, k, D, v) の体積の下界 v は必須である．反例は定曲率レンズ空間．同様に
N (n, K, r, V ) の単射半径の下界 r も必須である．
(2) 実は同相類の有限性のみなら N (n, K, r, V ) の断面曲率の上界 K は不要である．
ただし以下で扱うより強い連続性の観点からここではこの形で述べている．
(3) 実際には上記の定理は n = 3 の仮定の下で示されたがここでは深入りしない（n = 3 でも結果は正しい）．また n = 4 のときは微分同相類の有限性が Kirby–
Siebenmann (’77) の一般論より従う（n = 4 の場合については後述）．

181

さて，上記の

有限性

を導く

連続性

は「(位相) 安定性定理」と呼ばれる．

定理 4.3 (Perelman ’91, cf. Kapovitch ’07). M(n, k, D, v) の列 Mj が Alexandrov 空間
X に収束しているとき，十分大きな j に対し Mj は X に同相．
定理 4.4 (Lytchak–永野 ’22). N (n, K, r, V ) の列 Nj が GCBA 空間 Y に収束している
とき，十分大きな j に対し Nj は Y に同相．
注意 4.5. 上記の二つの安定性定理は一見非常に似ているが，実際の証明の手法は大きく異なる．後者の方が汎用的で前者にも適用できるが逆は上手くいかない．一方，前者は一般の Alexandrov 空間に拡張できるが後者は一般の GCBA 空間では反例がある．

Perelman は安定性定理の「bi-Lipschitz 同相版」が成り立つと主張したがその証明は発表されることはなかった．この問題に対し，三石–山口 (’19) は「同相」を「ホモトピー
同値」に弱めることで「Lipschitz ホモトピー安定性」を示した（歴史的にも定理 4.1 の前に Grove–Petersen (’88) によりホモトピー有限性が示されていた）．講演者は両氏との共同研究でその一様定量版を得た．
定理 4.6 (F.–三石–山口 [4] ’23). M(n, k, D, v) の列 Mj が Alexandrov 空間 X に収束しているとき，十分大きな j に対し Mj は X に (C, εj )-Lipschitz ホモトピー同値（ホモトピーが C-Lipschitz かつ定義区間の長さが εj ）．ただし C は n, k, D, v のみに依存する
定数で，εj は Mj と X の Gromov–Hausdorﬀ 距離．
注意 4.7. 同様のことが N (n, K, r, V ) に対しても成り立つが，こちらは上記に比べ簡単なのであえて定理としては含めない．
プレコンパクト性と合わせて上記の

連続性

は以下の

有限性

を導く．

系 4.8. M(n, k, D, v) は高々有限個の一様 Lipschitz ホモトピー型を含む．
なお，注意 4.2 で微分同相有限性に触れたが「微分同相安定性」も重要な未解決問題である（4 次元の場合は近年解決されたらしい（Pro–Wilhelm ’20））．

5 Betti 数・Euler 標数
この節では M(n, k, D) を扱う（つまり崩壊を扱う）．次の有限性定理が知られている．
定理 5.1 (Gromov ’81, cf. 山口 ’12). M(n, k, D) の多様体の Betti 数は一様有界．
注意 5.2. 注意 4.2 のレンズ空間はこれに対する反例は与えない．
この定理に対応する連続性定理は何だろうか？非崩壊の場合は先の位相／ホモトピー
安定性定理よりもちろん Betti 数も連続的に振舞う．よって問題は崩壊の場合である．
これに対し講演者は Betti 数より弱い Euler 標数について以下の結果を得た．非常に非自明な前提知識として，Alexandrov 空間 X はある幾何的 stratiﬁcation をもつ（Perelman–Petrunin ’93）
．すなわち X の距離構造から一意的に定まる閉集合の列∅ = X−1 ⊂ X0 ⊂ · · · ⊂ Xk = X,k = dim X

で，l 次元 stratum Xl \ Xl−1 （0 ≤ l ≤ k ）が l 次元位相多様体であるものが存在する（連結とは限らない）．例えば正方形の幾何的 stratiﬁcation は各頂点・各辺の内部・正方
形自身の内部からなる（ 位相的 stratiﬁcation だと単に境界と内部のみ）．

182

定理 5.3 (F. [3] ’24). M(n, k, D) の列 Mj が Alexandrov 空間 X に崩壊しているとする．
このとき部分列が存在し，Mj の Euler 標数の極限値は X の幾何的 stratum の連結成分
Sα およびその上の ファイバー Fα の Euler 標数の積の和になる：

χc (Sα ) · χ(Fα ).

lim χ(Mj ) =j→∞α

上記の結果は Alesker [1] (’18) により予想されていた．これは定理 5.1 の Betti 数有限性を導くわけではないが，Euler 標数の部分極限値を極限空間上の値で表示している点で広義の連続性 と言える（Betti 数に関しては対応するスペクトル系列が存在する）．

6 全スカラー曲率
この節では三つの多様体族すべてを扱う（つまり崩壊・非崩壊両方扱う）．まず既知の有界性・連続性定理を述べる．ただし全スカラー曲率とはスカラー曲率の全積分を表す．
2 次元では Euler 標数の定数倍に一致する（Gauss–Bonnet の定理）．
定理 6.1 (Petrunin [6] ’08). M(n, k, D) の多様体の全スカラー曲率は一様有界．
定理 6.2 (Lebedeva–Petrunin [5] ’22). M(n, k, D, v) の列 Mj が Alexandrov 空間 X に収束しているとする．このとき Mj の全スカラー曲率はある一意的な値に収束する．
系 6.3. 極限空間 X が Riemann 多様体であれば上記の極限値は X の全スカラー曲率である（Perelman unpubl., Petrunin ’03）．
注意 6.4. 定理 6.1 は特に曲率テンソルの L1 ノルムの一様有界性を導く．また定理 6.2
では実際にはより強く曲率テンソルの測度収束が示された．
講演者は定理 6.1 のアナロジーとして以下の 有界性 を証明した．証明は極限のAlexandrov 空間と GCBA 空間の双対的構造と収束理論を用いる．
定理 6.5 (F. [2] ’24). N (n, K, r, V ) の多様体の全スカラー曲率は一様有界．
よって定理 6.2 のアナロジーとして以下の連続性を期待するのは自然である．

予想 6.6 (F. work in progress). N (n, K, r, V ) の列 Nj が GCBA 空間 Y に収束しているとする．このとき Nj の全スカラー曲率はある一意的な値に収束する．
さて，では崩壊の場合はどうだろうか？まず次は定理 6.1 から簡単な議論で従う．
系 6.7. M(n, k, D) の列 Mj が (n − 3) 次元以下の Alexandrov 空間 X に崩壊しているとする．このとき Mj の全スカラー曲率は 0 に収束する．
一方，余次元 1, 2 の崩壊の場合は Alesker が先の Euler 標数の定理 5.3 と同じような
広義の連続性 を予想している．
予想 6.8 (Alesker [1] ’18). M(n, k, D) の列 Mj が Alexandrov 空間 X に崩壊しているとする．このとき部分列が存在し次が成り立つ．

(1) X が (n − 2) 次元ならば，limj→∞ Mj Sc = vol X · χ(F )．
(2) X が (n − 1) 次元ならば，limj→∞ Mj Sc = α vol Bα · χ(Fα )．

ただし (1) の F は X の top stratum（連結）の上のファイバー．また (2) の Bα は X の
境界の top stratum の連結成分で，Fα はその上のファイバー．

183

7 課題 ― intrinsic volume
最後に関連する今後の課題に触れて講演を締めくくる．ここまでいくつか Alesker [1](’18) の予想を見てきた．彼の観点は収束理論よりむしろ凸幾何学・積分幾何学から来るものであり，より一般的な intrinsic volume に対する予想を与えている．
intrinsic volume とは Riemann 多様体に対し定まる積分幾何学的量で，体積・Euler
標数・全スカラー曲率を含むいくつかの値である．正確にはコンパクト Riemann 多様体
M に対し，その i 次 intrinsic volume Vi (M )（0 ≤ i ≤ n = dim M ）は，M を Euclid
空間に等長的に埋め込み，十分小さな ε-近傍の体積の Taylor 展開の係数を適当に正規化することで得られる．これらの値は埋め込みによらず M の曲率テンソルのみに依存することが知られている（Weyl ’39）
．特に Vn が体積，V0 が Euler 標数，Vn−2 が全スカラー
曲率（の定数倍）である．
Alesker の予想は次の三つからなる．一つ目は一様有界性，二つ目と三つ目はその先にある広義の連続性と言える．
予想 7.1 (Alesker [1] ’18).

(1) M(n, k, D) の多様体の intrinsic volume は一様有界．
(2) M(n, k, D, v) の非崩壊収束列の intrinsic volume は一意的な極限値に収束する．
(3) M(n, k, D) の崩壊列 Mj に対し部分列が存在し，その intrinsic volume の極限値は極限の Alexandrov 空間 X の幾何的 stratum の連結成分 Sα の intrinsic volume（未定義）とその上のファイバー Fα の Euler 標数の積の和になる：
Vi (Sα ) · χ(Fα ).

lim Vi (Mj ) =j→∞α

既に見たように体積と Euler 標数については完全に解決しており，全スカラー曲率については部分的に解決している．特に定理 5.3 は (3) の Euler 標数版である．一方，一般の intrinsic volume については全く未解決のままである．
さて，基本哲学に従えば次の問題を考えるのは自然である．
問題 7.2. 予想 7.1 の N (n, K, r, V ) 版は成り立つか？つまり (1) intrinsic volume は一様有界か？ (2) またそれは一意的な値に収束するか？（崩壊は起きないので (3) はない）
既に見たように体積と Euler 標数については完全に解決しており，全スカラー曲率については部分的に解決している．特に定理 6.5 は (1) の全スカラー曲率版である．

参考文献[1] S. Alesker, Some conjectures on intrinsic volumes of Riemannian manifolds and Alexandrov spaces, Arnold Math. J. 4 (2018), 1–17.
[2] T. Fujioka, A lower bound for the curvature integral under an upper curvature bound,
Algebra i Analiz 36 (2024), no. 2, 131-160; to appear in St. Petersburg Math. J.
[3] T. Fujioka, Euler characteristics of collapsing Alexandrov spaces, Arnold Math. J.,
DOI:10.1007/s40598-024-00246-9, 2024.
[4] T. Fujioka, A. Mitsuishi, and T. Yamaguchi, Lipschitz homotopy convergence of Alexandrov spaces II, preprint, arXiv:2304.12515v1, 2023.
[5] N. Lebedeva and A. Petrunin, Curvature tensor of smoothable Alexandrov spaces, toappear in Geom. Topol., arXiv:2202.13420v2, 2022.
[6] A. M. Petrunin, An upper bound for the curvature integral, Algebra i Analiz 20 (2008),
no. 2, 134–148; translation in St. Petersburg Math. J. 20 (2009), no. 2, 255–265.

184ϧʔϓۭؒͷࢦ਺ཧ࿦ߴా ౔ຬ ∗

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185

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186

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187

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5

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189

サブフィンスラーハイゼンベルグ群の MCP
田代賢志郎 (沖縄科学技術大学院大学)∗

1 序
Measure contraction property MCP(K, N ) とは, リーマン多様体においてリッチ曲率か下から K ∈ R で,
上から N ≥ 1 で抑えられていることを特徴づける一つの性質であり, 微分ができない特異な空間 (測度距離空間) にも自然に定義される. 本講演では測度距離空間としてサブフィンスラーハイゼンベルグ群 (+ ルベーグ
測度 L) を考えた [BMRT24] の結果を報告する.

2 準備と背景
2.1 MCP(0, N )簡単のため K = 0 だけを考える (後で述べるが, ハイゼンベルグ群を考える際は K = 0 が本質的である).

(X, d, m) を測度距離空間で, 任意の二点は測地線で結ばれることと, ラドン測度を仮定する. ここで測地線
は, 速度一定な最短線のことを言う. p ∈ X, t ∈ [0, 1] と Ω ⊂ X: 有界ボレル可測集合に対し,

Ωt,p := {γ(t) | γ : [0, 1] → X : 測地線, γ(0) = p, γ(1) ∈ Ω}とする. Ωt,p はまたボレル可測集合になる.
定義 1 ([Oht07]). (X, d, m) が MCP(0, N ) を満たすとは, 任意の p ∈ X, Ω ⊂ X, t ∈ [0, 1] に対し, m(Ωt,p ) ≥tN · m(Ω) が成立することを言う.
これは次の意味で, リッチ曲率が下から 0, 次元が上から N で抑えられていることを特徴づけている.



定理 1 ([Oht07]). リーマン多様体 (M, dg , • dvolg ) がリッチ曲率 ≥ 0, 次元 ≤ N を満たすことと, MCP(0, N )を満たすことは同値.
測度距離空間としては, 他にも様々な空間を考えることができる.
例 1 (ノルム空間). まずは Rn 上の狭義凸なノルム · を考える (つまり f (x) := 12 x 2 が狭義凸). この時全ての測地線は線分で, Ωt,p は Ω から p に線形に収縮していき, m(Ωt,p ) = tn m(Ω) を満たす. 次に狭義凸とは限らないノルムを考える. この時, 測地線は線分とは限らないが, 線分は測地線なので, 不等式 m(Ωt,p ) ≥ tn m(Ω)
が成立する. 以上の議論から, ノルム空間 (Rn , · ) はノルムの正則性にかかわらず MCP(0, n) を満たす.

2.2 サブリーマンハイゼンベルグ群
多様体 M , 接束の部分束 E ⊂ T M , E 上の計量 g からなる三つ組 (M, E, g) をサブリーマン多様体という.
本稿ではサブリーマンハイゼンベルグ群を, この三つ組を具体的に与えることにより定義する.
∗ 本研究は Samuël Borza (SISSA), Mattia Magnabosco (University of Oxford), Tommaso Rossi (Sorbonne Université)との共同研究に基づく.

190

定義 2. R3 上のベクトル場 X = ∂x − y2 ∂z , Y = ∂y + x2 ∂z を考える. p ∈ R3 に対して, Ep ⊂ Tp R3 をSpan(Xp , Yp ) で与える. これにより部分束 E :=$Ep ⊂ T R3 が定義される. 一方, ·, · を R2 = Span(e1 , e2 )の標準内積とする. Xp と e1 , Yp と e2 を同一視することにより, Ep 上に ·, · から誘導されるスカラー積 gpが定義される. 三つ組 (R3 , E, g) をサブリーマンハイゼンベルグ群という.
注 1.

• 距離関数 dsR (p, q) := min

 %

1
g(
γ̇
,
γ
˙
dt
|
γ
=
p,
γ
=
q,
γ̇
∈
E
が定義される (つまり二
t
t
0
1
0

点を繋ぐ長さ有限の道が存在し, さらに最短測地線も存在する).

• ハイゼンベルグ (リー) 群とは R3 に微分同相なリー群であり, X, Y はこのリー群構造における左不変
ベクトル場である. したがって距離関数 dsR も左不変となる (i.e. dsR (hp, hq) = dsR (p, q)).

• s > 0 に対して, δs : R3 → R3 を δs (x, y, z) = (sx, sy, s2 z) とすると, δs はリー群同型写像で,dsR (δs (p), δs (q)) = s · d(p, q) が成立する. δs は拡大写像と呼ばれる.
• (R3 , dsR , L) が MCP(K, N ) を満たしているとする. K > 0 だとボンネ–マイヤースの定理から空間
はコンパクトになるので K ≤ 0 である必要がある. さらに K < 0 とすると, δs で空間をスケーリ
ングすることで MCP(s2 K, N ) も満たすことがわかる. s → 0 の極限をとることで, (R3 , dsR , L) はMCP(0, N ) を満たす. この意味でサブリーマンハイゼンベルグ群の MCP は K = 0 が本質的である.
• dimHaus (R3 , dsR ) = 4 と, 位相次元より真に大きい.
■測地線と指数写像

余接束上の関数 H : T ∗ R3 → R を H(p, ξ) := 12 ξ(Xp )2 + ξ(Yp )2 により定義する.

これをサブリーマンハミルトニアンという. ハイゼンベルグ群のような基本的なサブリーマン多様体では, 全ての測地線は H についてのハミルトン方程式の積分曲線から得られる. これは古典的制御理論におけるポン
トリャーギンの最大原理の応用である (例えば [AS04, Section 12] 参照). 特に単位元 e からスタートする測地線は初期コベクトル ξ = (r, ϕ, ω) ∈ T ∗ R3 で記述される ({(r, ϕ, ω)} は T ∗ R3 の (極 × 高さ)-座標):⎧r⎪⎨xt = ω (sin(ωt + ϕ) − sin(ϕ)) ,ryt = ω (− cos(ωt + ϕ) + cos(ϕ)) ,⎪⎩r2
zt := 2ω
2 (ωt − sin(ωt)) .
expt : Te∗ R3  (r, ϕ, ω) → (xt , yt , zt ) ∈ R3 を時間 t の指数写像という. 指数写像 (とそのヤコビアン) は∼
MCP(0, N ) の判定に非常に重要で, 実際 L(Ωt,e ) = A J expt dL が成立する (exp1 : A → Ω).
注 2. ポントリャーギンの最大原理は最短であることの必要条件しか与えないので, 実際に測地線が最短であ2πるかどうかは別個に調べる必要がある. 古典的に測地線 (xt , yt , zt ) は時間 t = |ω|まで最短で, その終点 (切断跡) は z 軸全体であることが知られている (例えば [Ber94] 参照).

2.3 サブリーマンハイゼンベルグ群の MCP
本節は主に Juillet による次の仕事を概説する.
定理 2 ([Jui09]). (R3 , dsR , L) は MCP(0, 5) を満たし, N < 5 では MCP(0, N ) を満たさない.
証明の概要. ステップ 1: expt のヤコビアンを計算する:

J expt (r, ϕ, ω) =r3
(2 − 2 cos(ωt) − ωt sin(ωt)) .
2ω 4

191

ステップ 2: 次の命題を示す:
命題 1. (R3 , dsR , L) が MCP(0, N ) を満たす ⇔∂t J expt |t=1
≤ N.
J exp1ω(sin ω−ω cos ω)ステップ 3: ステップ 2 の左辺 1 + 2−2 cos ω−ω sin ω の最大値が 5 であることを示す.
注 3. 他にもサブリーマン多様体 (カルノー群) の MCP を扱う結果はあり, そのうちのいくつか ([Jui09,

Riz16, BR18, NGZ23]) は上記と同様の方針で得られる. 一方で [Rif13, BR20] は距離関数のサブラプラシアンを計算して MCP の特徴づけを得ている. こちらは一般論に強いが, サブリーマン距離関数は (ハイゼンベル
グ群でも) エレメンタリに書くことはできないので, 具体的計算には向かない.

3 主結果
サブリーマン多様体の計量 g をフィンスラー計量 F に変えたものをサブフィンスラー多様体という. さらに, 定義 2 において, 標準内積 ·, · をノルム· に変えたものをサブフィンスラーハイゼンベルグ群という.

注 4. 注 1 同様に測地距離 dsF が定義され, 注 1 に与えられた性質を全て満たす.

(R2 , · ): ノルム空間に対し, 連続凸関数 f (x) := 12 x 2 を考える.
• f が C 1 でないか, 強凸でないなら, 任意の N で MCP(0, N ) を満たさない.

定理 3 ([BMRT24]).

• f が C 1 かつ強凸の時, MCP(0, N ) を満たすものとそうでないものがある.
• f が C 1,1 かつ強凸の時, MCP(0, N ) を満たす N が存在する.
•

例 2.

•

p

1

, ∞ は C 1 でなく,p

, p ∈ (2, +∞) は強凸でない.

1, p ∈ (1, 2) は C かつ強凸だが, C 1,1 でない. これは MCP(0, N ) を満たす例になっている [BT23].

3.1 一般化三角関数
R2 上のノルム · を固定し, · ∗ をその双対ノルムとする. B, B∗ をそれぞれ (R2 , · ), (R2 , · ∗ ) の単位球とする.
定義 3 ([Lok19]). p ∈ ∂B に対し, p と x 軸で張られる扇形の面積が 2tであるとする. この時, (cosB (t), sinB (t)) := p として関数 cosB , sinB を定義する. これを一般化三角関数という. cosB∗ , sinB∗ も同様.
注 5. πB : B の体積とすると, sinB , cosB は 2πB -周期関数.
一般化三角関数を微分するには, 次の angle correspondence が必要になる.
定義 4 (angle correspondence). ϕ ∈ R/2πB∗ Z に対して,

ϕ◦ := {θ ∈ R/2πB | (cosB∗ ϕ, sinB∗ ϕ), (cosB θ, sinB θ) = 1}とする. 対応 C∗ : ϕ → ϕ◦ を angle correspondence という.
注 6. C∗ は凸関数 x → 12 x 2∗ の劣微分の ∂B∗ への制限である.

192

Angle correspondence の正則性とノルムの正則性は深く関わっている.
∗ (y)• f が C 1 ⇔ C∗ が単調増加であり, さらに f が C 1,1 ⇔ C∗ (x)−C≥ ∃K > 0 (∀x, y).
x−y

補題 1.

• f が狭義凸 ⇔ C∗ が連続写像であり, さらに f が強凸 ⇔ C∗ がリプシッツ連続.
補題 2. f が強凸の時, cosB∗ , sinB∗ はほとんど至る所二階微分可能で,dsinB∗ (ϕ) = cosB (ϕ◦ ),dϕdcosB∗ (ϕ) = − sinB (ϕ◦ ),dϕd2
sinB∗ (ϕ) = −C∗ (ϕ) sinB∗ (ϕ),
dϕ2d2cosB∗ (ϕ) = −C∗ (ϕ) cosB∗ (ϕ).
dϕ23.2 定理 3 の証明の概要
以下 C 1 かつ強凸を仮定し, 定理 2 の各ステップを追うことで定理 3 の証明の概要を説明する.
■Step 1

サブリーマンの場合同様, ポントリャーギンの最大原理を使って expt の表示を得ることができて,指数写像 expt = (xt , yt , zt ) は, (B∗ -極 × 高さ)-座標 {(r, ϕ, ω)} を用いて,⎧
r⎪⎨xt = ω (sinB∗ (ωt + ϕ) − sinB∗ (ϕ)) ,yt = ωr (− cosB∗ (ωt + ϕ) + cosB∗ (ϕ)) ,⎪⎩r2zt = 2ω
2 (ωt + cosB∗ (ϕ + ωt) sinB∗ (ϕ) − sinB∗ (ϕ + ωt) cosB∗ (ϕ)) .
で与えられる. さらに J expt はJ expt (r, ϕ, ω) =■Step 2

*
,
+
r3 t
(ϕ
+
ωt)
sin
(ϕ
)
+
cos
(ϕ
+
ωt)
cos
(ϕ
)
2
−
sin
B∗
B
◦
B∗
B
◦
ω4
,
+




− sinB (ϕ + ωt)◦ sinB∗ (ϕ) + cosB (ϕ + ωt)◦ cosB∗ (ϕ)
,+




− ωt sinB (ϕ + ωt)◦ cosB (ϕ◦ ) − cosB (ϕ + ωt)◦ sinB (ϕ◦ ) .

命題 1 を dsF について証明する. 実際, 次が成立する:

J exptL(Ωt )
J exptN≥t ⇔ ≥ tN ⇔≥ tN ⇔ log(J expt ) − log(J exp1 ) ≥ N (log t − log 1)L(Ω)
J exp1
J exp1⇔1tdlog(J exps ) ds ≤
ds

1
t

d
∂s J exps∂s J exps
N
N log s ds ⇔⇔≤|s=1 ≤ N.
ds
J expss
J exps

この同値はルベーグの微分定理から成立し, それを使うために C 1 と強凸が必要となる.
■Step 3

一般に∂t J expt
J expt |t=1 の最大値を求めることは難しいが, それが有限かどうか, 即ち MCP(0, N ) を満たすような N < +∞ が存在するかを判定することは比較的容易である. 実際次の二つの命題により,MCP(0, N ) が成立するかどうかは C∗ の微分 C∗ の正則性に依ることがわかる.
命題 2.

∂t J exp1 (r, ϕ, ω)∂t J exp1 (r, ϕ, ω)< +∞ ⇔
lim sup< +∞.
J exp1 (r, ϕ, ω)(r,ϕ,ω)→(∗,∗,0) J exp1 (r, ϕ, ω)

命題 3. J expt (r, ϕ, ω) ∼

r3 t
2ω 4

ωt
0

ωt
0

C∗ (ϕ + u)C∗ (ϕ + v)|u − v|2 du dv

193(ω → 0).

• C 1,1 かつ強凸の時, C∗ は本質的に正かつ有界である. 例えばサブリーマンの時, C∗ ≡ ∃c > 0.

例 3.

• 一方で C 1 かつ強凸のみを仮定すると, C∗ は有界だが零点を持ちうる. この零点での振る舞いがMCP(0, N ) の成立に深くかかわっている.
例えばp-ノルムの場合 (p ∈ (1, 2)), C∗ (u) = (q − 1)| sinq (u) cosq (u)|q−2 ( p1 + 1q = 1) である. ここでsinq , cosq は q -ノルムに関する一般化三角化関数である. この時, u = 0 周りで C∗ (u) ∼ |u|q−2 と, 比較的振る舞いの良い零点で, MCP(0, N ) を満たすことが示される.
1• 逆に振る舞いの悪い零点の例を与える. C 1 かつ強凸なノルムで, C∗ (u) が局所的に e− |u| となるものが構成できる. このように高階微分が全て消える零点があると, MCP(0, N ) を満たさないことが示される.

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194余次元の高い self-shrinker のモース指数評価
國川 慶太（徳島大学）

1 はじめに
平均曲率流の self-shrinker はユークリッド空間内の部分多様体であり，ガウシアンにより重みづけられた体積汎関数の臨界点，つまり第一変分が消えるものとして特徴づけられる．さらに第二変分を計算することで self-shrinker の安定性を調べられるが，これはそのself-shrinker が平均曲率流の特異点モデルとして現れやすいかどうかを見ているとも言える．本講演では，余次元の高い self-shrinker の不安定さを測る指標であるモース指数を，第一ベッチ数により下から評価できることを報告する．ただし，我々の指数評価を適用できる self-shrinker は重みつきリッチ曲率に関するある制約を満たすものだけである．実は，self-shrinker が超曲面であればそのような制約は不要で，しかも遥かによい指数評価を得られることが先行研究により知られている [4]．この意味で，我々の結果には大いに改良の余地があるが，その辺の事情も含めて現在進行中の話を紹介したい．なお，本講演の内容は櫻井陽平氏（埼玉大学）との共同研究に基づくものである．

2 極小部分多様体の安定性とモース指数
Self-shrinker の話をする前に，通常の極小超曲面（もしくは極小部分多様体）に対するモース指数評価の先行研究を紹介しておく．M n+1 を完備リーマン多様体とし，Σn ⊂ M n+1 をコンパクトで境界のない二面的な超曲面とする．二面的というのは，法束が自明（T ⊥ Σ ∼= Σn × R），つまり，Σn ⊂ M n+1 の単位法ベクトル場 N が大域的に定義されているという意味である．Σn の法方向への変分を Σt ，その変分ベクトル場をV ∈ Γ(T ⊥ Σ) で表すとき，第一変分公式はd Vol(Σt ) = −
dt t=0ΣH, V  dv

で与えられる．ここで，H は Σn ⊂ M n+1 の平均曲率ベクトル場である．体積汎関数 Volの臨界点であるような Σn ⊂ M n+1 を極小超曲面というが，これは H ≡ 0 であることと同値である．
さて，Σn ⊂ M n+1 は二面的であるから，変分ベクトル場 V ∈ Γ(T ⊥ Σ) は，ある関195

数 φ ∈ C ∞ (Σ) を用いて V = φN と表される．このことに注意しつつ，極小超曲面

Σn ⊂ M n+1 においてさらにもう一度体積汎関数を微分をすることで，第二変分公式
d2 Vol(Σt ) = −
dt2 t=0ΣΔΣ φ + |B|2 φ + RicM (N, N )φ · φ dvが得られる．ただし，B は Σn ⊂ M n+1 の第二基本形式，RicM は M n+1 のリッチテンソ
ルである．ここで，J := ΔΣ + |B|2 + RicM (N, N ) とおけば，第二変分公式は

d2 Vol(Σt ) = −
dt2 t=0ΣJφ · φ dv =: Q(φ, φ)と表される．Q(·, ·) は C ∞ (Σ) 上の対称な二次形式であるが，Q の二次形式としての指数を Σn ⊂ M n+1 のモース指数とよび，Ind(Σ) ∈ Z≥0 と表す．モース指数 Ind(Σ) は，ヤコビ作用素 J の負の固有値の数に他ならない（ただし，ここでの固有値問題は Jφ + λφ = 0であり，固有値の数は重複度込みでカウントする）．
極小超曲面 Σn ⊂ M n+1 について，Ind(Σ) = 0 であるとき，Σn は安定であるという．
これは，Q が半正定値，つまり任意の変分 φ ∈ C ∞ (Σ) に対して Q(φ, φ) ≥ 0 が成り立つということであり，Σn ⊂ M n+1 が体積汎関数 Vol の極小点になっていることを意味する．
この場合，どのような変分 φ ∈ C ∞ (Σ) をとっても Vol(Σt ) を減らすことはできない．一方，Ind(Σ) ≥ 1 の場合には，Σn ⊂ M n+1 は不安定であるという．Ind(Σ) は Vol(Σt ) を減らすような変分方向 φ ∈ C ∞ (Σ) が本質的にどの程度あるかを測る指標であると言ってよい．
注意. 余次元が高い場合の極小部分多様体 Σn ⊂ M m についても第二変分公式や安定性に関することはほとんど同様に議論できる．ただし，仮に法束が自明（T ⊥ Σ ∼= Σn × Rm−n ）であっても，ヤコビ作用素の固有値問題は C ∞ (Σ) ではなく Γ(T ⊥ Σ) 上で考えなければならない．

3 極小部分多様体のモース指数評価に関する先行研究
我々の興味は，極小部分多様体 Σn ⊂ M n+1 のモース指数 Ind(Σ) を具体的に求める，もしくは評価することである．そのためには，Vol を減らすような変分方向 φ ∈ C ∞ (Σ), す
なわち Q(φ, φ) < 0 となるような関数 φ をカウントすればよいのであるが，そのような φを見つける一般的な方法があるわけではない．ただ，これまでの先行研究から，Σn 上の調
和 1-形式から Vol を減らすような変分方向 φ を作り出せることが経験的に知られている．

Ros [7] は，平坦トーラス T 3 内のコンパクトで境界のない二面的な極小超曲面 Σ2 に対し，
Σ2 上の調和 1-形式 ω ∈ H1 (Σ) を用いていくつかのテスト関数 φ1 , . . . , φk ∈ C ∞ (Σ) を作196り，それらを平均すると負，つまりkQ(φi , φi ) < 0
i=1となることを用いて，指数評価

Ind(Σ) ≥2genus(Σ) − 3
b1 (Σ) − 3=
33を導出している．ここで，b1 (Σ) は Σ2 の第一ベッチ数であるが，ド・ラム理論によれば，
これは調和 1-形式全体のなす空間 H1 (Σ) の次元と一致する．Ros の定理は，極小曲面

Σ2 ⊂ T 3 がトポロジカルに複雑になればなるほど，その不安定さが増すということを主張している．この Ros のアイデアを標準球面 Sn+1 (1) ⊂ Rn+2 内のコンパクトで境界のない
二面的な極小超曲面に適用し，その指数評価を導出したのが Savo [8] である：

Ind(Σ) ≥2b1 (Σ).
(n + 2)(n + 1)

Savo の用いたテスト関数も Σn 上の調和 1-形式から作られるが，その構成は Ros のものにさらに一工夫手を加えたものとなっている．Ambrozio–Carlotto–Sharp [2] らは，Savoの結果を一般のリーマン多様体内の極小超曲面へと適用できる形に理論を整備し，指数評価を得るための M n+1 （外側の空間）に関する十分条件を導出した．彼らは，階数 1 のコ
ンパクト対称空間 M n+1 が適当な次元のユークリッド空間 Rd へとキレイにはめ込める事
実を用いて，M n+1 に関する十分条件をチェックし，これらの空間内におけるコンパクトで境界のない二面的な極小超曲面 Σn ⊂ M n+1 に対して，標準球面の場合と同様の指数評価を与えている．
なお，Savo の指数評価の一般化として，余次元を高くしたものが Adauto–Batista [1]らにより得られている．ただし，彼らの結果を適用するためには，Σn ⊂ Sm (1) のリッチテンソル RicΣ がRicΣ > −

n−1
m−n−1

という条件を満たしていなくてはならない（超曲面では自明に満たされる）．この条件の下，コンパクトで境界のない極小部分多様体 Σn ⊂ Sm (1) に対する指数評価

Ind(Σ) ≥2b1 (Σ)m(m + 1)

が従う．

197

4 Self-shrinker の変分問題とモース指数評価
改めて，Σn をコンパクトで境界のない多様体とし，標準的なユークリッド空間へのはめ込み x : Σn → Rm を考える．Σn には x を用いて Rm からの誘導計量を入れておく．この誘導計量を用いて，はめ込み x : Σn → Rm に対する重みつき体積汎関数

Volf (x) :=e−f dv,f (x) =

Σ|x|24を定め，これに関して第一変分を計算してみると形式的には通常の極小部分多様体と同じ
形の公式

d 
Volf (xt ) = −
dt t=0ΣHf , V  e−f dv⊥が得られる．ただし，Hf = H + x2 であり，x : Σn → Rm が Volf の臨界点であることと，Hf ≡ 0（重みつき極小）が同値だとわかる．Hf ≡ 0，すなわち

H=−

x⊥
2

を満たすはめ込み x : Σn → Rm を self-shrinker とよぶ．Self-shrinker はもともと平均曲率流の特異点モデルとして現れた概念であり，どのような self-shrinker が実際に特異点モデルとなり得るか，もしくはなり得ないかを調べることが重要である．実は，Volf の第二変分を考えることが，この問題へのひとつのアプローチとなっている．極小部分多様体の場合と同様に重みつきの設定で第二変分公式を導出すると

d2 
Volf (xt ) = −
dt2 t=0ΣV, LV e−f dv =: Qf (V, V )となる．ここで，Γ(T ⊥ Σ) 上のヤコビ作用素は

1 ⊥1
L := Δ⊥
Σ + B − ∇x  +22なる形をしている．B は Σn ⊂ Rm の第二基本形式 B から決まる Simons 作用素と呼ばれるものである．以上の設定の下，安定性やモース指数 Indf (Σ) を極小部分多様体のときと同様に定義することができる．ラフな表現になってしまうが，Indf (Σ) が大きいほど，その self-shrinker は平均曲率流の特異点モデルとしてもある意味不安定であり，出現しにくいと言える．ページ数の都合上，重みつき安定性と特異点モデルとしての現れやすさの関係について，これ以上言及する余裕がないが，詳しくは Colding–Minicozzi [3]，もしくはLee–Lue [5] や Li–Zhang [6] を参照していただきたい．
最後に主定理を紹介する．

198

定理 4.1. x : Σn → Rm を境界のないコンパクトな self-shrinker で

RicΣ
f >−

1
2(m − n − 1)(∗)

を満たすものとすると，（重みつき）モース指数評価

Indf (Σ) ≥2b1 (Σ)m(m − 1)

が成り立つ．
n定理内の RicΣ
f は self-shrinker Σ の重みつきリッチテンソルである．Self-shrinker が超曲面の場合には，RicΣ
f の条件 (∗) は自明に満たされるので，我々の結果は超曲面の場
合の Impera–Rimoldi–Savo [4] らの結果を高余次元に一般化したものと考えることができる．証明では，基本的には Ros や Savo のアイデアを踏襲するが，Γ(T ⊥ Σ) からテスト “ベクトル場” をうまく作らなければならない．また，重み f を反映して，テストベクトル
場を重みつき調和 1-形式から作ることにも注意しておく．

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[2] L. Ambrozio, A. Carlotto and B. Sharp, Comparing the Morse index andthe ﬁrst Betti number of minimal hypersurfaces, J. Diﬀer. Geom. 108 (2018), no.
3, 379–410.
[3] T.H. Colding and W.P. Minicozzi, Generic mean curvature ﬂow. I: Genericsingularities, Ann. Math. (2), 175 (2012), no. 2, 755–833.
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[5] Y.-I. Lee and Y.-K. Lue, The stability of self-shrinkers of mean curvature ﬂow
in higher co-dimension, Trans. Am. Math. Soc. 367 (2015), no. 4, 2411–2435.
[6] J. Li and Y. Zhang, Lagrangian F-stability of closed Lagrangian self-shrinkers,
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[7] A. Ros, One-sided complete stable minimal surfaces., J. Diﬀer. Geom. 74 (2006),
no. 1, 69–92.
[8] A. Savo, Index bounds for minimal hypersurfaces of the sphere, Indiana Univ.
Math. J. 59 (2010), no. 3, 823–838.

199

Sharp gradient estimate, rigidity and almost rigidity of Greenfunctions on non-parabolic RCD(0, N ) spaces
Yuanlin Peng
June 24, 2024
My talk is based on a recent work [HP24] by Prof. Honda and myself. Our main results
include a sharp gradient estimate, a rigidity theorem and an almost rigidity theorem forGreen’s function on a special class of metric measure spaces, namely RCD spaces.

1

Green’s function in the smooth framework

The Green’s function (at the pole x) is the minimal positive solution to the heat equation
ΔGx = −δx , where δx denotes the Dirac distribution centered at x. As a simplest example,
the Green’s function of N -dimensional Euclidean space (N  2) is:NGRx (y) =⎧
1⎪⎪
⎨ − 2π log |x − y|, N = 2|x − y|2−N⎪⎪⎩,
N (N − 2)ωN

(1.1)

N 3

The notion of Green’s function is also valid for other spaces. Another well-known example
is that on Riemannian manifolds. For an N -dimensional complete Riemannian manifold(M N , g) (N  2) with non-negative Ricci curvature, the existence of the (global) Greenfunction G is equivalent to the following non-parabolic assumption (See [V81] by Varapoulos
for the details): ∞rdr < ∞, ∀x ∈ M N .
(1.2)
Vol
B
1
r (x)
Although for such manifolds it is in general not easy to determine the global Green’s
function explicitly, at least it is known that asymptotically it is close to the Euclidean case:
Gx(M

N ,g)

=

⎧
1
⎪
⎪
⎨ − 2π log dx + o(− log dx ), N = 2
⎪
⎪
⎩

d2−N
x
+ o(d2−N),x
N (N − 2)ωN

(1.3)

N 3

where dx denotes the distance function from x. This indicates that the function
1

bx := Gx2−N(1.4)

can be regarded as a counterpart of the distance function dx up to a dimensional constantwhen N  3. The following result by Colding supports our observation:
Theorem 1.1 (Theorem 3.1 of [C12]). Let (M N , g) be an N -dimensional (N  3), complete
and non-parabolic Riemannian manifold with non-negative Ricci curvature and let x ∈ M N .
Then we have the following.

2001. (Sharp gradient estimate) We have1|∇bx |(z)  (N (N − 2)ωN ) N −2

(1.5)

for any z ∈ M N \ {x}.
2. (Rigidity) (M N , g) is isometric to the N -dimensional Euclidean space RN with1bx = (N (N − 2)ωN ) N −2 dx if the equality of (1.5) holds for some z ∈ M N \ {x}.
Our work extends the above result to metric measure spaces with non-negative Ricci
curvature and a dimension upper bound N > 2 (where N is not necessarily an integer) insome synthetic sense, namely RCD(0, N ) spaces.

2

RCD spaces and Green’s function thereon

Here we only give a rough deﬁnition of RCD spaces. We say a triple (X, d, m) is an
RCD(K, N ) space for K ∈ R and N ∈ [1, ∞] if1) (X, d) is a complete and separable metric space, and m is a locally ﬁnite measure on(X, d) with full support.
2) The volume growth is exponentially bounded2m(Br (x))  C1 eC2 r , ∀x ∈ X.

(2.1)

3) The Sobolev space W 1,2 (X, d, m) is a Hilbert space so that ﬁrst and second order
calculus is well-posed.
4) The Sobolev-to-Lipschitz property is satisﬁed, namely if there is a function f ∈W 1,2 (X) with |∇f |  1, then f admits a 1-Lipschitz representative in m-a.e. sense.
5) The (K, N )-Bochner’s inequality holds for all nice functions f and ϕ such that bothsides make sense
1
2







(Δf )2+ ∇f, ∇Δf  + K|∇f |2
Δϕ|∇f |2 dm 
ϕ
N
X
X



dm.

(2.2)

To seek for the more precise statement or other equivalent deﬁnitions of RCD spaces,
we refer to, for instance, [EKS15] by Erbar-Kuwada-Sturm. It is easily checked that all
Riemannian manifolds with lower Ricci curvature bound K and upper dimension boundN (equipped with volume measure induced by the Riemannian metric) are RCD(K, N )spaces.
Moreover, the RCD framework also covers weighted Riemannian manifolds. That is,consider a Riemannian manifold (M n , g) and f ∈ C ∞ (M N ). For any N > n, if
Ricg,N := Ricg + Hessf −df ⊗ df
 Kg,
N −n

(2.3)

then the metric measure space (M N , dg , e−f Volg ) satisﬁes RCD(K, N ) conditions. Besides,
some other well-studied classes of metric spaces, for instance, Alexandrov spaces with lower
curvature bound and Ricci limit spaces, are also examples of RCD spaces.

201

Similarly as in the Riemannian manifold case, the global Green’s function can also bedeﬁned on an RCD(0, N ) space (X, d, m) if it satisﬁes the non-parabolic assumption
 ∞0r
dr < ∞, ∀x ∈ X.
m(Br (x))(2.4)

See [BS19] by Bruè-Semola for the proof. This makes it possible to consider the generalization of Theorem 1.1 to non-parabolic RCD(0, N ) setting. However, there are still somediﬃculties• Functions on RCD spaces are deﬁned only in the almost-everywhere sense a priori
due to the non-smooth nature of the space. Thus the pointwise estimate like (1.5)
does not make sense.
• For the rigidity part, counterexamples are known where bx is proportional to the
distance function, but the space itself is not Euclidean. For instance, consider theweighted half line
(X, d, m) := ([0, ∞), dEucl , rN −1 dr),
(2.5)
then
G0 (r) =

r2−N
.
N −2

(2.6)

In our work, we successfully overcome these diﬃculties, and establish the sharp gradientestimate and rigidity result for Green’s function on non-parabolic RCD(0, N ) spaces.
Besides, given that the class of RCD(K, N ) spaces enjoys the sequential compactness in
Gromov-Hausdorﬀ topology, we also showed a quantitative version of the rigidity result.

3

Main results and outline of the proof

Consider a non-parabolic RCD(0, N ) space (X, d, m) and a base point x ∈ X. We ﬁrst
show that the pointwise supremum of |∇bx | is well-deﬁned by ﬁnding a good representativeof it,
Theorem 3.1. There exists a representative of |∇bx |, say |∇bx |∗ , with|∇bx |∗ (y) = lim sup |∇bx |∗ (z) < ∞, ∀y ∈ X.
z→y

(3.1)

This can done by the potential theory for metric measure spaces. Indeed, by thecalculus rules and the Bochner’s inequality, we can show that |∇bx |2 Gx is subharmonic,
which allows us to prove that|∇bx |∗ (y) := lim ess sup |∇bx |(z)r↓0 z∈Br (y)(3.2)

is a representative of |∇bx | satisfying the desired property. Again thanks to the subharmonicity of |∇bx |2 Gx , we can prove the sharp gradient estimate:
Theorem 3.2 (Sharp gradient estimate). If x ∈ X satisﬁesm(Br (x))
< ∞,
r↓0
rN

νx := limthen1|∇bx |∗  CN νxN −2 ,where CN := (N (N − 2))

(3.3)

1
N −2

is the sharp constant.

202

(3.4)

Note that here νx is in place of ωN in (1.5). Actually, νx somehow reﬂects the shapeof tangent spaces. For a Riemannian manifold, since every point admits a unique N dimensional Euclidean tangent space, νx ≡ ωN . But the case is more complicated for RCD
spaces. This also gives hint to the second diﬃculty we mentioned above. That is, weshould consider the rigidity in comparison with the tangent spaces at x instead of merely
the Euclidean spaces. In view of this, we have
Theorem 3.3 (Rigidity). If

1|∇bx |∗ (z) = CN νxN −2(3.5)

for some z ∈ X \ {x}, then there exists a compact RCD(N − 2, N − 1) space (Y, dY , mY )such that (X, d, m) is isomorphic to the metric measure cone (C(Y ), dC(Y ) , mC(Y ) ) built
over Y , whereC(Y ) := Y × [0, ∞)/Y × {0},(3.6)
dC(Y ) (y1 , r1 ), (y2 , r2 ) :=r12 + r22 − 2r1 r2 cos dY (y1 , y2 ) ,dmC(Y ) (y, r) := rN −1 dmY (y) ⊗ dL1 (r).

(3.7)
(3.8)

1

In particular, |∇bx |∗ ≡ CN νxN −2 .
This result can be proved as a corollary of Gigli-Violo’s functional rigidity theorem([GV23, Theorem 5.1]) combining with the subharmonicity of |∇bx |2 Gx and the sharp
gradient estimate.
Combining the results above with the compactness of non-parabolic RCD(0, N ) spaces
with respect to the pointed-measured-Gromov-Hausdorﬀ (pmGH) topology, we obtain thefollowing almost rigidity result.
Theorem 3.4 (Almost rigidity). For all N > 2, 0 < ε < 1, v > 0, 0 < r < R < ∞and ϕ ∈ L1 ([0, ∞), L1 ) there exists δ := δ(N, ε, v, r, R, ϕ) > 0 such that, if a pointed
non-parabolic RCD(0, N ) space (X, d, m, x) satisﬁes νx  v,s
 ϕ(s),
m(Bs (x))
andfor L1 -a.e. s ∈ [1, ∞),

(3.9)

1

CN νxN −2 − |∇bx |∗ (z)  δ(3.10)

holds for some z ∈ BR (x) \ Br (x), then (X, d, m, x) is ε-pmGH close to the N -metricmeasure cone over an RCD(N − 2, N − 1) space.
It is worth mentioning that this result is even new restricted to the Riemannian manifold
setting:
Corollary 3.5. For all N  3, 0 < ε < 1, 0 < r < R < ∞ and ϕ ∈ L1 ([0, ∞), L1 ) there
exists δ := δ(N, ε, r, R, ϕ) > 0 such that if a pointed non-parabolic Riemannian manifold(M N , g, x) with non-negative Ricci curvature satisﬁess ϕ(s),
Volg (Bs (x))
andfor L1 -a.e. s ∈ [1, ∞)(3.11)

1

CN ωNN −2 − |∇bx |∗ (z)  δ(3.12)

holds for some z ∈ BR (x) \ Br (x), then (M N , g, x) ε-pGH is close to the N -dimensional
Euclidean space.

203

References[BS19]

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204

不連続群の研究における粗幾何学の応用
長屋 拓暁

Abstract. 非リーマン幾何における不連続群の研究では, 作用する離散群が不連続群になるとは限らないというリーマン幾何の枠組
みにはない特有の問題がある. しかし作用が proper であるという条件を課すと, この離散群は不連続群になる. そのため作用が proper
かどうか判定する方法を与えることは, 不連続群の研究において重要である. 小林俊行氏と Benoist 氏は 1996 年に独立に, 実線形簡約
リー群における proper 性の判定法を示した. 本発表では, proper 性の判定法として粗幾何学が応用できることを紹介する. 本発表は小川健翔氏 (広島大学) と奥田隆幸氏 (広島大学) の共同研究に基づく.

以後 G を局所コンパクトハウスドルフ群とし, H, L を G の閉部分群とする.

1. Introduction
Deﬁnition 1 (不連続群). G の離散部分群 Γ について, Γ の等質空間
G/H への作用が真性不連続であるとは, G/H の任意のコンパクト部
分集合 C に対し, 集合 ΓC→C := {g ∈ Γ | gC ∩ C = ∅} がたかだか有限であることをいう. このとき, Γ を G/H の不連続群と呼ぶ.
不連続群を研究するモチベーションとして次の定理がある.

Theorem 2. G の離散部分群 Γ について, Γ の等質空間 G/H への作
用が真性不連続かつ固有点自由であるならば, 両側剰余類 Γ\G/H がハウスドルフかつ射影 π : G/H → Γ\G/H が主 Γ-束となる.
非リーマン幾何特有の問題として, リーマン幾何においては離散群と不連続群は同値であるのだが, 非リーマン幾何では離散群が不連続群になるとは限らないというものがある. この課題に取り組む時の重要な作用の性質として proper と呼ばれるものがある.

Deﬁnition 3 (proper 作用). G の部分群 L の等質空間 G/H への作
用が proper であるとは, G/H の任意のコンパクト部分集合 C に対し,
集合{g ∈ L | gC ∩ C = ∅}が相対コンパクトになることをいう.
作用が proper であるという条件を課すと, 非リーマン幾何の設定においても離散群と不連続群は同値となる. そのため, 不連続群の研究において proper な作用を見つけることは重要なことである. しかし, 一205

般に作用が proper かどうか判定することは簡単ではないため, 次のような問題がある.

Problem 4. 等質空間 G/H への L-作用が proper であるかどうか判定する方法を見つけよ.
定義から G/H への L-作用が proper であることは以下のような群論的な命題に言い換えられる.

Proposition 5. G/H への L-作用が proper であることと任意の G のコンパクト部分集合 C に対し, L ∩ CHC −1 がコンパクト集合になることは同値である.
1989,1996 年に G が実簡約線形リー群の場合, 小林俊行氏が以下の距
離空間的な命題に言い換えた.
Theorem 6 (T. Kobayashi[1],[2]). G を連結な複素化を持つ実簡約線形リー群, g を G のリー代数, a を g の最大可換分裂部分代数, a+ を
その閉 weyl chamber とする. また, μ : G → a+ をカルタン射影とする.
このとき G/H への L-作用が proper であることと, 全ての r > 0 に対し μ(L) ∩ N (r; μ(H)) が有界であることは同値である.
ただし, N (r; μ(H)) := {v ∈ a+ | ∃h ∈ H s.t. d(μ(h), v) ≤ r} と定める.
この判定法により多くの具体例で proper 判定がなされた.
本研究では, G が局所コンパクトハウスドルフ群の場合に粗幾何学の観点から proper の判定法を構成した.

Main Theorem 1 (N-Ogawa-Okuda). μ : (G, E LR ) → (M, E) が coarse
同値であると仮定する.
このとき, G/H への L-作用が proper であることと (μ(L), μ(H)) が(M, E) 上の asmptotically disjoint であることと同値である.
2. 粗空間
この節では, 粗空間に関する用語を紹介する. 粗空間とは, 2003 年にJohn.Roe が定義したものである ([4]).

Deﬁnition 7 (粗空間). 集合 M と集合族 E ⊂ P(M × M ) の組が, 粗空間であるとは以下の五つの条件を満たすことをいう.
(1) diag(M ) := {(p, p) | p ∈ M } ∈ E(2) 任意の E ∈ E とその部分集合 E ⊂ E に対して, E ∈ E(3) 任意の E ∈ E に対して, 集合 E ∗ := {(y, x) | (x, y) ∈ E} ∈ E(4) 任意の E1 , E2 ∈ E に対して, E1 ◦ E2 ∈ E
ただし, E1 ◦ E2 : := {(x, z) ∈ M × M | ∃y ∈ M s.t. (x, y) ∈E1 , (y, z) ∈ E2 } と定める.
(5) 任意の E1 , E2 ∈ E に対して, E1 ∪ E2 ∈ E
このとき, E のことを粗構造といい, E の各要素 E ∈ E のことを, Mの controlled set という. また, 任意の controlled set E ∈ E と任意の部206分集合 T ⊂ M に対して集合 E[T ] を

E[T ] := {s ∈ M | ∃t ∈ T s.t. (s, t) ∈ E}と定める. これを T の E -近傍という.
粗空間の例として, 距離空間から誘導する粗空間がある.

Example 8 (有界粗構造). (X, d) を距離空間とする.
Er := {(x, y) ∈ X × X | d(x, y) ≤ r}
E := {E ⊂ X × X | ∃r ≥ 0 s.t. E ⊂ Er }と定義する. このとき (X, Ed ) は粗空間である.
また位相群から粗空間を誘導することもできる.

Example 9 (LR コンパクト粗構造). G を位相群, C ⊂ G をコンパク
ト部分集合とする.
EC := {(x, y) ∈ G × G | ∃a, b ∈ C s.t. x = ayb−1 }E LR := {E ⊂ G × G | ∃C ⊂ G; a compact set s.t. E ⊂ EC }と定義する. このとき, (G, E LR ) は粗空間である.
距離空間において有界集合が定められるように, 粗空間にも bounded
set が定められる.

Deﬁnition 10 (bounded set). (M, E) を粗構造とする. B ⊂ M がbounded set であるとは, B × B ∈ E が成り立つことである.
実際に距離空間 (X, d) 上で X の部分集合 B が有界集合であることと, 有界粗構造を備えた粗空間 (X, Ed ) として見たときに B が bounded
set であることは同値である.
今回の設定のように G が局所コンパクトハウスドルフ群であるとき,(G, E LR ) 上では G の部分集合 B が bounded 集合であることと, 相対コ
ンパクトであることが同値である.
次に粗空間の間の射について用語を定義する.

Deﬁnition 11 (色々な写像). (X, EX ) と (Y, EY ) を粗構造とし, 写像
f : X → Y を考える.
• f が proper であるとは, Y の任意の bounded 集合 B ⊂ Y に対して, f −1 (B) ⊂ X も bounded になることをいう.
• f が controlled であるとは, 任意の E ∈ EX に対して, (f ×
f )(E) ∈ EY であることをいう.
• f が coarse であるとは, proper かつ controlled でもあることをいう.
(X, EX ) と (Y, EY ) 間の 2 つの写像 f, g : X → Y が close であるとは,{(f (s), g(s)) | s ∈ S} ∈ E となることをいう. この close という用語を用いて, coarse 同値を定義する.

207

Deﬁnition 12 (coarse 同値). (X, EX ) および (Y, EY ) を粗構造とする.
X と Y が coarse 同値であるとは, coarse 写像 f : X → Y および g : Y →X が存在し, g ◦ f が idX と close かつ, f ◦ g が idY と close であることをいう.
本研究では, Thorem6 のカルタン射影が coarse 同値であることを証明した. この証明には小川健翔氏と奥田隆幸氏の主結果を用いた ([3]).

Theorem 13 (N-Ogawa-Okuda). カルタン射影 μ : (G, E LR ) → (a+ , Eb )は coarse 同値を与える.
3. 主結果
この節では proper と粗幾何学のつながりを説明し, 主結果について紹介する. はじめに proper と粗幾何学を結びつけるために重要な asymptotically disjoint を定義する.

Deﬁnition 14 (asymptotically disjoint). (M, E) を粗空間とし, S, T
を M の部分集合とする. 組 (S, T ) が asymptotically disjoint であるとは, 任意の E ∈ E に対して, S ∩ E[T ] が bounded set となることである.
この概念を用いて以下に proper を粗幾何学的に特徴づける.

Theorem 15. G/H への L-作用が proper であることと組 (L, H) がasymptotically disjoint であることは同値である.
Proposition5 から proper であることを群論的に言い換えられた. また (G, E LR ) 上で bounded set であることと相対コンパクトであることは同値であった. そのことを用いると上記の定理が証明できる.
また asymptotically disjoint について次の命題が成り立つ.
Proposition 16. asymptotically disjoint は coarse 同値によって保たれる.
これより 1 節で紹介した定理がこの命題の系として導くことができる.

Corollary 17. (M, E) を粗空間とし, μ : G → M を粗同値とする.
このとき G/H への L-作用が proper であることと組 (μ(L), μ(H)) が
asymptotically disjoint であることは同値である.
またこの系は小林俊行氏の Theorem6 の一般化になっている.

References[1] Toshiyuki Kobayashi, Proper action on a homogeneous space of reductive type,
Math. Ann. 285 (1989), no. 2, 249–263. MR 1016093[2] Toshiyuki Kobayashi, Criterion for proper actions on homogeneous spaces of
reductive groups, J. Lie Theory 6 (1996), no. 2, 147–163. MR 1424629[3] Kento Ogawa and Takayuki Okuda, A proof of Kobayashi s properness criterion from a viewpoint of metric geometry, arXiv preprint
arXiv:2304.14101(2023)[4] John Roe, Lectures on Coarse Geometry (University Lecture Series), Amer
Mathematical Society(2003)

208距離空間上のベキの異なる勾配流の結びつけ
下山 翔 (東京大学大学院数理科学研究科) ∗1 導入
距離空間とその上の関数（しばしば，エネルギーと呼ばれる）および実数 p ∈ (1, +∞)に対し，距離空間上の p-勾配流とは，区間から距離空間への曲線であって，エネルギーが最も減少する方向を表し，その発展の速さが実数 p でコントロールされるものである．
近年，距離空間上の勾配流の研究は，Wasserstein 空間上の p-勾配流としての PDE の解の解釈 [JKO98, Kel16] や調和写像流への応用 [May98] などに触発され盛んに行われている．
本講演では，勾配流の性質そのものに対する研究について紹介する．距離空間がヒルベルト空間で関数が凸な場合，古典的な結果として 2-勾配流の一意的な存在が知られている．最近，Muratori と Savaré によって，曲率がコントロールされた距離空間に対しても同様の結果が成り立つことが明らかにされた [MS20]．しかしながら，p = 2 の場合における p-勾配流の一意的な存在は上記の設定においてさえ全く明らかにされていなかった．
これは p = 2 の非線形性により，p = 2 の時のテクニックが使えなくなることが要因であった．本講演では，パラメータ変換によってこの非線形性の問題が回避でき，上記の設定において p = 2 の p-勾配流に対しても一意性が成立することを紹介する．

2 距離空間上の勾配流
完備距離空間 (X, d) とその上の下半連続関数 f : X → (−∞, +∞] および実数 p ∈(1, +∞) を固定する．ここで，関数の有効領域 D(f ) := {x ∈ X | f (x) < +∞} は空でな
いとする．

∗ sho@ms.u-tokyo.ac.jp

209

関数の傾斜 |∂ − f | および曲線 u : [0, a) → X の速さ |u | をそれぞれ以下で定義する：|∂ − f |(x) :=(x)−f (y),0)
lim supy→x max(fd(x,y)

x ∈ D(f )+∞otherwise|u |(t) := lims→t,d(ut , us )if exists.
|t − s|上記 2 つの情報を用いて，関数 f に対する p-勾配流を以下で定義する：
定義 2.1 (p-勾配流). a ∈ (0, +∞]，u0 ∈ D(f ) とする．局所絶対連続曲線 u : [0, a) → X
が以下を満たすとき，u を u0 から開始する [0, a) 上定義された p-勾配流と呼ぶ．

(i) f ◦ u は非増加;(ii) 不等式
1
1(f ◦ u) (t) ≤ − |u |p (t) − |∂ − f |q ◦ u(t),pq

L -a.e. in t ∈ [0, a)が成り立つ．ここで，q は p の共役指数．

u0 から開始する [0, a) 上定義された p-勾配流全体の集まりを CMSp ([0, a); u0 ) と書く．
定義 2.1 の利点は関数の微分可能性および空間の微分構造を仮定しない点である．空間が微分構造をもち関数が微分可能なとき，p-勾配流は以下のように微分を用いた形で表せる：
注意 2.2. 距離空間をユークリッド空間，f ∈ C 1 ，u : [0, a) → X は局所絶対連続曲線とする．このとき以下は同値である：(i) u は p-勾配流;(ii) u は不等式
ut = − ∇f (ut ) q−2 ∇f (ut ),L -a.e. in t ∈ [0, a)を満たす．ここで，∇f は関数 f の勾配である．
関数の勾配が関数値が最も上昇する方向を表していたことを思い出すと，条件 (ii) は曲
線 u が関数値を最も減少させる方向に発展していくことを表している．
例 2.3 (熱流). 関数 E : W 1,2 (Rn ) → [0, +∞) を E(u) :=|∇u|2 で定義する．このとき，E に対する 2-勾配流 u ∈ CMS2 ([0, a); u0 ) は次を満たす：

u (t) = Δut ,L -a.e. in t ∈ [0, a),

ここで，Δ はラプラシアンである．

210

3 発展変分不等式と 2-勾配流の一意性
以降，関数 f は実数 λ ∈ R に対して次の凸性を満たすと常に仮定する：
定義 3.1 (λ-凸). λ ∈ R とする．任意の 2 点 x, y ∈ X に対し，x と y を結ぶ曲線

γ : [0, 1] → X であって次を満たすものが存在するとき，f を λ-凸関数と呼ぶ：(i) d(γt , γ0 ) ≤ t d(γ1 , γ0 ),∀t ∈ [0, 1];(ii) f (γt ) ≤ (1 − t)f (γ0 ) + tf (γ1 ) − λt(1 − t) d2 (γ0 , γ1 ),∀t ∈ [0, 1].

λ-凸性は通常の凸性を一般化した概念であり，λ が凸性の強さを表す．例えば，ユーク
リッド空間 R 上の関数 f (x) = x2 は λ > 0 の λ-凸関数である．また，f (x) = −x2 は凹関数であるが，λ < 0 の λ-凸関数でもある．
距離空間がヒルベルト空間であるとき，λ-凸関数に対しては 2-勾配流が一意に存在することが古くから知られている：
定理 3.2 (Brézis–Komura). X をヒルベルト空間，f を λ-凸とする．このとき，任意の初期点 u0 ∈ D(f ) に対し，u0 から開始する [0, +∞) 上定義された 2-勾配流が一意に存在
する，つまり，#CMS2 ([0, +∞); u0 ) = 1.
証明の概略. この設定では，2-勾配流 u に対し不等式

d 2
d (ut , V ) + λ d2 (ut , V ) ≤ f (V ) − f (ut ),dt

L -a.e. in t ∈ [0, +∞)が成り立つ．この不等式は λ-発展変分不等式 (Evolution Variational Inequality: EVI)と呼ばれる．もし，2 つの 2-勾配流 u, v が λ-発展変分不等式を満たせば，不等式

d 2d (ut , vt ) + λ d2 (ut , vt ) ≤ 0,dt

L -a.e. in t ∈ [0, +∞)が成立する．これにより，Gronwall タイプの評価から，u と v に対して λ-縮小性

d2 (ut , vt ) ≤ e−λt d2 (u0 , v0 ),∀t ∈ [0, +∞)が成立する．よって，もし 2 つの勾配流の開始点が一致していれば，それらの勾配流は全体でも一致する．
話を一般の距離空間に戻す．実は上記と同様の結果が曲率がコントロールされた距離空間でも成立することが最近明らかにされた．

211

条件 3.3 (EVIλ ). 任意の点 u0 ∈ D(f ) に対し，u0 から開始する曲線 u : [0, +∞) → X
であって λ-発展変分不等式を満たすものが存在する．
定理 3.4 (Muratori–Savaré [MS20]). 距離空間 (X, d) と λ-凸関数 f が条件 3.3 を満たすとする．このとき，任意の u0 ∈ D(f ) に対して，u0 から開始する [0, +∞) 上定義された 2-勾配流が一意に存在する，つまり，#CMS2 ([0, +∞); u0 ) = 1.
以下の距離空間とその上の λ-凸関数は条件 3.3 を満たすことが知られている：• 完備リーマン多様体；• k ∈ R である完備 CAT(k) 空間，および，可分ヒルベルト空間上の 2-Wasserstein空間；• 曲率が一様に下から抑えられた Alexandrov 空間；• K ∈ R である RCD(K, +∞) 測度距離空間．
定理 3.4 は p = 2 の場合に特有な性質である λ-発展変分不等式に基づいて得られている．そのため，p = 2 の場合においては，同様のテクニックを用いた p-勾配流の一意性の証明は困難である．

4 主結果
関数の凸性の強さに応じて，p-勾配流の一意性に対する次の結果を得た：
定理 4.1 (主定理 1). f を λ ≥ 0 の λ-凸関数とし，u0 ∈ D(f ) とする．このとき，任意の p, p ∈ (1, +∞) に対して，CMSp ([0, +∞); u0 ) から CMSp ([0, +∞); u0 ) への自然な全単射が存在する．特に，あるベキ p ∈ (1, +∞) に対し p-勾配流が一意に存在すれば，任意のベキ p ∈ (1, +∞) に対し p -勾配流が一意に存在する．
定理 4.2 (主定理 2). f を λ < 0 の λ-凸関数とし，u0 ∈ D(f ) とする．加えて， (X, d)と f は次の条件を満たすとする：ある p ∈ (1, 2] が存在して，#CMSp ([0, a); u0 ) = 1,∀a ∈ (0, +∞](1)を満たす．このとき，任意の p ∈ (1, 2] に対して，時刻 A(p , p) ∈ (0, +∞] が存在し

sup{a ∈ (0, +∞] | #CMSp ([0, a); u0 ) ≥ 1} = A(p , p)を満たし，CMSp ([0, +∞); u0 ) から CMSp ([0, A(p , p)); u0 ) への自然な全単射が存在す
る．特に，任意の p ∈ (1, 2] に対して p -勾配流が一意に存在する．

212

注意 4.3. 条件 3.3 が成り立つならば，p = 2 に対し主定理 2 の仮定 (1) が成立する．
注意 4.4. 主定理 2 における仮定「p ∈ (1, 2]」は落とすことができない．ユークリッド
空間 R2 とその上の λ-凸関数 f (x) := − x 2 を考える．f は λ < 0 であり，p = 2 に対し条件 (1) を満たす．初期点として u0 = (0, 0) を考えると，任意の p ∈ (2, +∞) に対し，

u0 から開始する [0, +∞) 上定義された p -勾配流が非可算無限個存在する．
証明の概略. p ∈ (1, +∞)(resp. p ∈ (1, 2]) と u ∈ CMSp ([0, +∞); u0 ) を任意に 1 つ止める．関数の λ-凸性と p-勾配流の定義から，ある時刻 T ∈ (0, +∞] が存在して，|u | をほとんど至る所，(0, T ) 上局所的に上と下から正の実数で抑えられることが示Tせる．これにより，S := 0 |u |1−(p/q)·(q /p ) (t)dt とし，写像 s : [0, T ) → [0, S) をts(t) := 0 |u |1−(p/q)·(q /p ) (r)dr で定義すると，s は単調増大・局所バイ-リプシッツ写像となる．よって逆写像 t : [0, S) → [0, T ) が存在するが，t は次の性質を満たす：• (p -勾配流への変換) ũ := u ◦ t ∈ CMSp ([0, S); u0 );• (単射性) もし u = v ならば，v に対し上記と同様にして構築した tv は t と一致する.

• (全射性) ũ の p-勾配流への変換 t̃ に対し，ũ ◦ t̃ = u.
λ ≥ 0 のとき，このパラメータ変換 t の定義域を [0, +∞) まで，λ < 0 のとき，u と p, pによって定まるある量 A(u, p, p ) ∈ (0, +∞] に対し t の定義域を [0, A(u, p, p )) まで，上記の性質を保ったまま拡張できる．

u と拡張後のパラメータ変換 t の合成により，主定理 1 および 2 における自然な全単射が得られる．

参考文献[JKO98] Richard Jordan, David Kinderlehrer, and Felix Otto. The variational formulationof the fokker–planck equation. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 29:1–17,
1998.
[Kel16] Martin Kell. q-heat ﬂow and the gradient ﬂow of the renyi entropy in the pwasserstein space. Journal of Functional Analysis, 271:2045–2089, 2016.
[May98] Uwe F. Mayer. Gradient ﬂows on nonpositively curved metric spaces and harmonic
maps. Communications in Analysis and Geometry, 6:199–253, 1998.
[MS20] Matteo Muratori and Giuseppe Savaré. Gradient ﬂows and evolution variational inequalities in metric spaces. I: Structural properties. Journal of Functional Analysis,
278, 2020.

213ෆఆ஋ Zoll ۭؒͱ୅਺‫ۂ‬໘ຊଟ એത (౦‫ۀ޻ژ‬େֶཧֶӃ)֓ཁҰछͷϖϯϩʔζରԠΛ༻͍ͯɺηάϨ‫ۂ‬໘ͱΑ͹ΕΔ୯७ͳߏ଄Λ΋ࣹͬͨӨత୅਺‫ۂ‬໘͔Β 3 ࣍‫ݩ‬ෆఆ஋ Einstein-Weyl ଟ༷ମ͕ಘΒΕΔ͜ͱɺͦͯͦ͠ͷ্ͷۭؒతͳଌ஍ઢ͕͢΂ͯด͍ͯ͡Δ͜ͱΛࣔ͢ɻ·ͨ෭࢈෺ͱͯ͠ඇಛҟඇίϯύΫτෳૉ‫ۂ‬໘Ͱ͋ͬͯෳૉ‫ۂ‬໘ͱͯ͠ίϯύΫτԽΛ΋ͨͳ͍΋ͷͷྫ͕ಘΒΕΔ͜ͱΛઆ໌͢Δɻຊߘͷ಺༰͸தాจ‫ͱࢯݑ‬ͷ‫ڞ‬ಉ‫Ͱڀݚ‬ಘΒΕͨ΋ͷͰ͋ΓɺϓϨϓϦϯτ [7] ʹ‫ͮ͘ج‬ɻ

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214

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215

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ఆཧ 1.5(H. -தా [7]) ࣮ߏ଄Λ΋ͭηάϨ‫ۂ‬໘Ͱ͋ͬͯɺͦΕ͔Βఆ·Δ࣮ 3 ࣍‫ݩ‬

Einstein-Weyl ଟ༷ମ͕ෆఆ஋Ͱۭؒత Zoll Ͱ͋Δ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɻ͜Ε͸ଟ༷ମͱ͠
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216

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217

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(2.1)

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(2.2)

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(X0 , X1 , X2 , X3 , X4 ) −→ tX0 , t−1 X1 , X2 , X3 , X4 ,t ∈ C∗(2.3)

͜ͷ C∗ ࡞༻ͷ S ্ͷ‫ݻ‬ఆ఺ू߹͸ 2 ఺ e0 := (1, 0, 0, 0, 0) ͱ e1 := (0, 1, 0, 0, 0) ͔ΒͳΓɺS ͸͜ΕΒ 2 ఺ͰͷΈಛҟ఺ʢ௨ৗೋॏ఺ʣΛ࣋ͭɻ͜ͷ C∗ ࡞༻ͷ͏ͪ σ ͱՄ‫׵‬ͳ΋ͷ͸ͪΐ͏Ͳ U(1) = S1 ͷ෼͚ͩ͋Γɺ͜Ε͕஫ҙ 1.6 Ͱ‫ ͨ͠ٴݴ‬S1 ࡞༻Ͱ͋ΔɻS ΁ͷ C∗ ࡞༻ (2.3) ͷҰൠͷ‫ي‬ಓͷดแ͸ e0 ͱ e1 Λ௨Δඇಛҟ 2 ࣍‫ۂ‬ઢͰ͋Γɺ͜
ΕΒ͸ S ্ͷϖϯγϧΛͳ͢ɻ্ͷಉ࣍࠲ඪΛ༻͍Ε͹ɺP4 ͷฏ໘ X0 = X1 = 0 ͔Β
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218

P2 ΁ͷࣹӨʢͭ·Γ (X0 , X1 , X2 , X3 , X4 ) −→ (X2 , X3 , X4 )ʣͷ S ΁ͷ੍‫ ͕ݶ‬C∗ ࡞༻ʹΑΔ঎ࣸ૾ͱΈͳͤɺ૾͸ 2 ࣍‫ۂ‬ઢ X22 − X32 − X42 = 0 ͱͳΔɻ͜ͷΑ͏ʹɺS ͸

2 ࣍‫ۂ‬ઢ্ͷ 2 ࣍‫ۂ‬ઢଋͷߏ଄Λ΋ͭɻ͞Βʹɺ(2.1) ͷ 1 ͭΊͷ 2 ͔࣍ࣜΒɺ2 ௚ઢ
κX22 − X32 = 0 ͱ্‫ه‬ͷ 2 ࣍‫ۂ‬ઢͷަ఺ʢ૬ҟͳΔ 4 ఺͔ΒͳΔʣ্ͷϑΝΠόʔ͸ 2௚ઢʹୀԽ͓ͯ͠Γɺ͜ΕΒ͕Ҏ֎ͷϑΝΠόʔ͸ඇಛҟͰ͋ΔɻS ্ͷ௚ઢ͸͜ΕΒ 8ຊͰਚ͖͍ͯΔɻʢਤ 1 ࢀরʣਤ1·͙ͣ͢ʹΘ͔Δ͜ͱͱͯ͠ɺP4 ͷҰൠͷ௒ฏ໘ʹΑΔ S ͷ੾அ͸ඇಛҟପԁ‫ۂ‬ઢͰ͋ΓɺS ͕ 4 ࣍‫ۂ‬໘Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βͦͷࣗ‫਺఺ަݾ‬͸ 4 Ͱ͋Δɻ·ͨɺS ͷඇಛҟ఺ʹ͓͚Δ઀ฏ໘Λ‫ؚ‬ΉҰൠͷ௒ฏ໘ʹΑΔ੾அ͸ɺ઀఺ʹ͓͍ͯ௨ৗೋॏ఺Λ΋ͭ༗ཧ‫ۂ‬ઢͰ͋Γࣗ‫਺఺ަݾ‬͸΍͸Γ 4 Ͱ͋ΔɻΑͬͯ‫ऀޙ‬ͷλΠϓͷ௒ฏ໘੾அͰ࣮͋ͬͯߏ
଄ (2.2) Ͱෆมͳ΋ͷ͕ S ্ͷ࣮ϛχπΠελʔ௚ઢΛ༩͑Δɻಛҟ఺͕Ұ͚ͭͩͳͷͰɺ઀఺͸࣮ͳ఺Ͱͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɻ·ͨɺ௨ৗೋॏ఺Λ΋ͭ༗ཧ‫ۂ‬ઢ͕࣮ߏ଄Λ࣋ͭͱ͖ɺͦͷ࣮఺ͷͳ͢ू߹͸௨ৗೋॏ఺ͷΈͰ͋Δ͔ɺͦͷ΄͔ʹ 1 ͭͷԁΛ΋͔ͭɺ͋Δ͍͸ʮ8 ͷࣈʯͷ͍ͣΕ͔Ͱ͋Δɻ࣮ϛχπΠελʔ௚ઢͷͳ͢ 3 ࣍‫ݩ‬ଟ༷ମ্ʹೖ
Δ Einstein-Weyl ߏ଄͸ 1 ͭ໨ͷ৔߹ఆ஋ɺ࢒Γͷ৔߹ෆఆ஋Ͱ͋Δɻ

219

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΋ͷ͕ଘࡏ͢ΔɻҎԼͰ͸͜ΕΒͷ‫ٿ‬໘Λ S1σ , S2σ Ͱද͢ʢਤ 1 ࢀরʣɻ͜ΕΒ͸ S1 ࡞༻ͰෆมͰ͋ΔɻS1σ ্ͷ‫ݻ‬ఆ఺Λ p1 , p2 ͱ͠ɺS2σ ্ͷ‫ݻ‬ఆ఺Λ p3 , p4 ͱ͢Δɻ͜ΕΒ͸͍ͣΕ΋ S ্ͷ
2 ௚ઢͷަ఺ͱͳ͍ͬͯΔɻ‫ٿ‬໘ S1σ , S2σ ͸࣮ϛχπΠελʔ௚ઢͷͳۭؒ͢Λௐ΂Δࡍʹओཁͳ໾ׂΛՌͨ͢ɻ‫ޙ‬൒ͷରশੑ͔Β S1σ ͱ S2σ ͸ର౳ͳؔ܎ʹ͋Δɻͦ͜ͰҎԼͰ͸ɺ࣍ͷੑ࣭Λ΋࣮ͭϛχπΠελʔ௚ઢͨͪΛߟ࡯͢Δɻ
ʮS1σ ্Ͱ௨ৗೋॏ఺Λ࣋ͪɺS2σ ͱͷަΘΓ͕ԁͰ͋Δʯ

(2.4)

ओఆཧ 1.5 ͸ҎԼͷΑ͏ʹͯ͠ূ໌͞ΕΔɻ

Step 1. ੑ࣭ (2.4) Λຬ࣮ͨ͢ϛχπΠελʔ௚ઢશମ͕ 3 ࣍‫͖͋݀ݩ‬௚ੵଟ༷ମ
(S1σ \{p1 , p2 }) × I(I ͸։۠ؒ)(2.5)

ʹΑͬͯύϥϝτϥΠζ͞ΕΔ͜ͱΛࣔ͢ɻ͕ͨͬͯ͠ఆཧ 1.2 ΑΓ͜ͷ 3 ࣍‫ݩ‬ଟ༷ମʹ͸ෆఆ஋ Einstein-Weyl ߏ଄͕ೖΔɻ

Step 2. 3 ࣍‫ݩ‬ଟ༷ମ (2.5) ͸ࣗવʹ௚ੵ S1σ × I ( S2 × I) ͷ։෦෼ू߹Ͱ͋Δɻͦ͜ͰҎԼͰ͸͜ͷ S1σ × I Λ (2.5) ͷ‫׬‬උԽͱ͍͏͜ͱʹ͢Δɻ͜ͷ‫׬‬උԽͷࡍʹ෇͚ՃΘΔू߹͸ 2 ͭͷ։۠ؒ {p1 } × I ͱ {p2 } × I Ͱ͋ΔɻStep 1 ͰಘΒΕͨ

Einstein-Weyl ߏ଄͕͜ͷ‫׬‬උԽ·Ͱ࣮ղੳతʹԆ௕Ͱ͖Δ͜ͱΛࣔ͢ɻ
Step 3. લεςοϓ·ͰͰಘΒΕͨ S2 × I ্ͷ Einstein-Weyl ߏ଄͕υɾδολʔߏ଄ͱಉ‫ͱ͍͜ͳͰܕ‬Λࣔ͢ɻ

Step 4. ϛχπΠελʔ௚ઢͷͳۭؒ͢΁ͷ Einstein-Weyl ߏ଄ͷೖΕํʹؔ͢ΔҰൠ࿦ʹ‫͍ͯͮج‬ɺStep 2 ͰಘΒΕͨ Einstein-Weyl ۭؒ S2 × I ͷ্ͷۭؒతଌ஍ઢ͕
͢΂ͯίϯύΫτͰ͋Δʢ͕ͨͬͯ͠ด͍ͯ͡Δʣ͜ͱΛࣔ͢ɻҎԼͰ͸֤ Step ʹ͍ͭͯগ͠ৄ͘͠આ໌͢ΔɻʢStep 3 ͱ Step 4 ͸Մ‫͋Ͱ׵‬Δɻʣ

2.1 Step 1 ʹ͍ͭͯ
ߟ͍͑ͯΔϛχπΠελʔ௚ઢ͸‫ٿ‬໘ S1σ ͷ఺Ͱ௨ৗೋॏ఺Λ΋ͪ΋͏Ұํͷ‫ٿ‬໘ S2σ
ͱ S1 ͰަΘΔ΋ͷͩͬͨ ((2.4) ࢀর)ɻͦ͜Ͱ S1σ ͷ఺ p Λ೚ҙʹ༩͑ɺͦͷ఺ʹ͓͚

220

Δ઀ฏ໘ Tp S Λ‫ؚ‬Ή࣮௒ฏ໘ʢͭ·Γ࣮ߏ଄ σ Ͱෆมͳ઀ฏ໘ʣΛߟ͑Δɻ͜ͷΑ͏ͳ௒ฏ໘͸࣮ϖϯγϧΛͳ͠ S1 ͰύϥϝτϥΠζ͞ΕΔɻ௒ฏ໘ H Λ͜ͷϖϯγϧ಺Ͱಈ͔͢ͱɺS ্ͷ௒ฏ໘੾அͷϖϯγϧ͕ಘΒΕΔɻ͜͏ͯ͠ಘΒΕΔ௒ฏ໘੾அͷ଒ͷҐ૬తߏ଄ͷมԽΛ௥੻͢Δ*6 ͜ͱʹΑΓɺ઀఺ p ͕ S1 ࡞༻ͷ‫ݻ‬ఆ఺ p1 , p2 ͱҟͳΔ
ͱ͖͸ɺϖϯγϧͷύϥϝʔλۭؒ S1 ͷ఺ͷ͏ͪॴ๬ͷϛχπΠελʔ௚ઢΛ༩͑Δ΋ͷ͕ͪΐ͏Ͳ։۠ؒΛͳ͢͜ͱ͕Θ͔ΔɻҎ্ʹΑΓɺ৚݅ (2.4) Λຬͨ͢ϛχπΠε
λʔ௚ઢͷͳۭؒ͢͸ S1σ \{p1 , p2 } ্ͷ։۠ؒόϯυϧͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ͜Ε͕ࣗ໌ଋʢͱಉ‫ܕ‬ʣͰ͋Δ͜ͱ͸ Step 2 ͕ࡁΜͩͱ͖ʹΘ͔Δɻ
ͳ্͓‫ه‬ͷ։۠ؒ I ͷ‫ڥ‬քͷ 2 ఺͸ɺͲͪΒ΋ 2 ͭͷඇಛҟ 2 ࣍‫ۂ‬ઢ͔ΒͳΔ௒ฏ໘
੾அͰ͋Γɺ఺ p Λ S1σ ಺Ͱಈ͔͢ͱ͖͜ΕΒ͸࠷ऴతʹ͸ Einstein-Weyl ۭؒ S2 × Iͷ‫ڥ‬քʢ2 ͭͷ S2 ʣΛͳ͢ɻ

2.2 Step 2ʢEinstein-Weyl ߏ଄ͷԆ௕ʣʹ͍ͭͯ‫ٿ‬໘ S1σ ্ͷ઀఺ p ͕ S1 ‫ݻ‬ఆ఺ p1 , p2 ͷͱ͖͸ঢ়‫͕گ‬େ͖͘ҟͳΔɻ͜ΕΒ 2 ఺͸ͲͪΒ΋ 2 ࣍‫ۂ‬ઢଋͷՄ໿ϑΝΠόʔͱͳ͍ͬͯΔ 2 ௚ઢͷަ఺Ͱ͋Γʢਤ 1 ࢀরʣɺS ͸͜ΕΒͷ఺ͰඇಛҟͰ͋Δ͔ΒɺS ͷ 2 ఺ p1 , p2 ʹ͓͚Δ઀ฏ໘͸͜ΕΒ 2 ௚ઢͨͪͰ
ுΒΕΔɻ͕ͨͬͯ͜͠ΕΒͷ઀ฏ໘Λ‫ؚ‬Ή௒ฏ໘ʹΑΔ੾அ΋ৗʹ͜ΕΒ 2 ௚ઢΛ‫ؚ‬ΉͷͰɺ௒ฏ໘੾அ͸ৗʹՄ໿Ͱ͋ΔɻS ͸ 4 ࣍‫ۂ‬ઢͩͬͨͷͰ͜ΕΒͷ௒ฏ໘੾அ͔
Β 2 ௚ઢΛআ͍ͨ΋ͷ͸ 2 ࣍‫ۂ‬ઢͰ͋Δɻͭ·Γ઀ฏ໘ Tp1 S, Tp2 S Λ‫ؚ‬Ή௒ฏ໘੾அ͸ (ఆ௚ઢ) + (ఆ௚ઢ) + (2 ࣍‫ۂ‬ઢ) ͱͳ͍ͬͯΔɻ
ʢਤ 2 ࠨࢀরʣಛʹ͜ΕΒͷ௒ฏ໘੾அ͸͜Ε·Ͱड़΂͖ͯͨҙຯͰͷϛχπΠελʔ௚ઢͰ͸ͳ͍ɻ

ਤ2*6 ͜ͷ෦෼΋͚ͬ͜͏໘ന͍ͷͰ͋Δ͕ɺ௕͘ͳΔͷͰຊߘͰ͸লུ͍ͤͯͨͩ͘͞ɻৄࡉ͸ [7] ͷ 3 અ

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221

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223

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第 回幾何学シンポジウム

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2024

関西大学千里山キャンパス