複雑ネットワークと感染症モデル
智1守田1

静岡大学 工学部 システム工学科
概要

従来の感染症の数理モデルでは，集団内の感染源保有者と未感染者が一様に接触することを仮定した常微分方程式によって記述されることが多かった．また空間的な感染の拡大を見る場合にも２次元格子での近接サイトのみに感染が生じるモデルが用いられてきた．しかし，社会関係のネットワークは一様ではないし，２次元的な実空間にのみ既定されるわけでもない．社会ネット
ワークのよく知られた性質として任意に選んだ２人が友人関係をたどっていくことによってわずかな人数で結びつくというスモールワールド性がある．特に性的関係については，接触した人数が冪分布に従うスケールフリーネットワークになっていることも指摘されている．また旅客機の航空網やインターネットでも同様の性質がみつかっている．このような性質を持つネットワークは複雑ネットワークと総称され，近年盛んに研究されてきた分野である．複雑ネットワークの理論について手短に概観した後，そのネットワーク上の感染流行モデルについての解析結果を紹介する．

Complex Networks and Epidemic Models
Satoru Morita1
1

Department of Systems Engineering, Shizuoka University
Abstract

Epidemic dynamics has been often described by ordinary diﬀerential equations, assuming thatthe probability for an infected individual to encounter a susceptible host is uniform. Taking
spatial eﬀect into account, lattice models have been used, where infection occurs only forthe neighbors in a two-dimensional lattice. However, social networks are neither uniformly
mixed nor two-dimensional. Social networks have small world structure: most individuals canbe reached from every other by a small number of steps. Especially, the network of sexual
relationship has scale free structure: the number of connections follows a power distribution.
The same character has also found in the airline network and the internet. Such networks arecalled complex networks and have been studied actively in recent years. In this paper, I explain
shortly general features of complex networks and show the analytical results of epidemic models
on complex networks.

1

複雑ネットワークの特性

1.1

スモールワールド性egans) の神経回路を調べ，共通の特徴を 2 つ見出すとともに，それらの特徴を再現するモデルを提案した．一つ目の特徴は平均ノード間距離がノードの総Watts と Strogatz は 1998 年の論文 [1] で映画俳優の共演関係，電力送電ネットワーク，線虫 (C. El-数 N に比較して短いということである．ここでネットワークの平均ノード間距離 L はすべてのペアにわ1

たる最短パス長の平均値で定義される．2 次元格子

ノードを選択する．各ノードの次数分布のマスターの場合であれば平均ノード間距離とノード数の関係方程式を解くことでトータルの次数分布がは L ∝ N 1/2 となり冪的になるが Watts と Strogatz

P (k) =のモデルでは L ∝ log N 程度でしか増えない．もう2m(m + 1)
k(k + 1)(k + 2)

(1)

ひとつの特徴はクラスタリング係数 C が比較的大きい値を持つことである．クラスタリング係数とは，であることが導かれる．k が大きいところで冪則あるノードに着目してそのノードとつながるノード

P (k) ∼ k −3を 2 つ選択したときにその 2 つのノード間にもリンが再現できる．

クが存在する割合である．ランダムグラフのようにリンクがでたらめに生じている場合，クラスタリング係数は小さくなる．現実のネットワークの多くは2感染症モデル

クラスタリング係数 C が大きいが平均ノード間距離2.1

ネットワークを考えない SIS モデル

L が小さい．このような性質はスモールワールド性感染症モデルとして集団を症状に依存したいくつと呼ばれている．
かのグループに分けて，そのダイナミクスを追う方
スモールワールドという言葉は，社会心理学者の法が使われる [17]．ここではその中で最も単純なモ
Milgram が 60 年代に行った実験によって知られてデルといえる SIS モデルを考えよう．まず人口が一いる [2]．この実験で Milgram はアメリカ国内の数定の集団を考え (出生も死亡もない)，総数を N と百人の人に手紙を書き，目標とする一人の人物に手する．SIS モデルにおいて個体は感染者 I と非感染紙を届けてほしいと依頼した．手紙には，この目標者（感受性個体）S とに分類される．確率 λ/(λ + 1)となる人物を知らない場合には直接届けるのではな
で以下の過程 1 を確率 1/(λ + 1) で過程 2 を行う．
く，友人同士の関係を通じて手紙を目標の人物に届けるようにと記されていた．この実験により平均で1. ランダムに個体を選び非感染者 S であった場合
わずか約 6 ステップで目標の人物に手紙が届くといは，さらにもう１個体をランダムに選んでこれう現象が見つかったのである．

が感染者 I のとき非感染者 S は感染して I と1.2なる．

スケールフリー性

2. ランダムに個体を選び非感染者 I であった場合
1999 年，Albert, Jeong, Barabási はウェブページ
は，回復して S になる．のハイパーリンクによるネットワークがページが持つリンク数が冪分布に従っていること示した [3]．各 SIS モデルでは感染から復帰した個体は再び感染すウェブページをノードとみなしたとき，その結合次 る可能性がある．復帰した個体が再び感染しないモデルはと SIR モデルと呼ばれる．SIR モデルが一時数の分布がP (k) ∼ k −ν

的に大流行するの伝染病のモデルとしてよく使われる一方，SIS モデルは免疫獲得のない伝染症が定常という関係をみたす．この性質はスケールフリーと的に蔓延している状況を表すモデルとして使われる．

呼ばれ，インターネット [4]，学術論文における引用

また格子上の SIS モデルはコンタクトプロセスと等関係 [5]，共著関係 [6]，代謝ネットワーク [7]，蛋白価になる．

質ネットワーク [8]，電子メールのやりとり [9]，性ここでのモデルは，各個体の関係は平等で個体間交渉関係 [10] などでも見られる．冪分布の裾野にはの距離や人間関係を無視したモデルとなっている．

物理的な制限などにより場合によってはカットオフ

N が大きい極限で平均場近似を用いてダイナミクスを記述すると以下のようになる．

があるが，殆どの場合に指数 γ が 2 < ν < 3 の範囲にあることがわかっている [11, 12, 13, 14, 15, 16]．

dρ(t)= −ρ(t) + λρ(t)[1 − ρ(t)]dtBarabási と Albert はスケールフリーネットワー
クを再現する簡単なモデルを提案している [11]．こ(2)のモデルでは，ノードが 1 個ずつ付け加えられる． ここで ρ(t) は時間 t での感染者の割合である．治癒
この追加されたノードは既存のノードの中から m 個 率が 1 となるように時間をスケーリングした．このようにネットワークを考慮しない SIS モデルは 1 変と結合するが，このとき結合次数に比例した確率で2数の常微分方程式で書きあらわせる．式 (2) の定常解は容易に計算できて
 1− 1∗ρ =λ 0をみたす．(4) に代入すれば

Θ∗ =(λ ≥ 1)k ′ λΘ∗1 ∑ ′k P (k ′ )⟨k⟩ ′⟨k⟩ + k ′ λΘ∗
kBarabási と Albert によるスケールフリーネット(λ ≤ 1)

ワークモデルの場合 (1) について計算してみよう [11,すなわち，転移点 λc = 1 を超えた場合に感染が拡14]．

大する．

Θ∗ =同様の結論は，疫学で頻繁に使われる基本再生産

1 ∑ ′k ′ λΘ∗(m + 1)k ′ ′2m ′k (k + 1)(k ′ + 2) 2m + k ′ λΘ∗
k =m数 R0 という概念からも導かれる [17, 18]．基本再生
産数 R0 とは，1 人の感染者が回復までに感染させ

1=∑k′ =mた人数の平均値である．R0 が 1 より大きい場合に2m(m + 1)k′ λ(k ′ + 1)(k ′ + 2) 2m + k ′ λΘ∗

感染が拡大する．SIS モデルでは治癒率が 1 で感染

この方程式からは Θ ∗ を数値的に計算して (5) に代率が λ であるので入してやれば定常解が求まる．転移点を求めるにはとなり，したがって上記の結果が再び得られる．

Θ∗ → 0 の極限を考えるとよい．
k′m+1 ∑
1 = λc2m ′(k ′ + 1)(k ′ + 2)

R0 = λ2.2

k =m

ところが右辺の和の部分は発散してしまうのでネットワーク上の SIS モデル

ノードの数が N で平均次数が ⟨k⟩ のネットワー

λc = 0クを考える．各点は前節のモデルと同様に個体で感となる．つまり，この場合には感染力がどんなに弱染者 S か非感染者（感受性個体）I のいずれかでくても感染症は生き延びる．

あるとする．確率 λ/(λ + 1) で以下の過程 1 を確率同様の結論ことは，基本再生産数の概念を使って1/(λ + 1) で過程 2 を行う．

も得られる．Anderson と May[18] によれば

R0 = λ(1 + CV2 )1. ランダムにノードを選び非感染者 S であった
場合，近接ノードに感染者 I が 1 人でもいると1/⟨k⟩ の確率で I になる．
2. ランダムにノードを選び感染者 I であった場合，となる．ここでCV2 =S に戻す．

⟨k 2 ⟩−1⟨k⟩2である．スケールフリーネットワークの場合，ベキ
このモデルも平均場近似を拡張して解くことができ

指数が 3 以下であれば CV2 は発散，転移点 λc が 0 にる．次数が k の人の中で感染者の割合を ρk (t) とおなることがわかる．

くとdρk (t)k= −ρk (t) + λ[1 − ρk (t)]Θ(t)dt⟨k⟩

2.3(3)

前節のモデルでは非感染者のまわりに 1 人でも感染者がいれば感染するとしている．ここでは感染の式 (3) の中の Θ(t) は隣の人が感染者である割合

1 ∑ ′Θ(t) =k P (k ′ )ρk′ (t)⟨k⟩ ′ネットワーク上の変形 SIS モデル

方向性を考慮して前節のモデルを以下のように変更(4) したものを考えてみる．

kを表している．これは Pastor-Satorras と Vespignani

モデル１によるネットワーク上の SIS モデルと等価なもので過程 1 を以下のものに置き換える．

ある [19]．(3) の右辺が 0 になるようにすれば定常

1. ランダムにノードを選び非感染者 S であった場
合，隣接ノードをランダムにひとつ選んでそこに感染者 I がいると前者のノードが感染して I解が求まる．従ってρ∗k =kλΘ∗⟨k⟩ + kλΘ∗(5)になる．

3• ランダムにノードを選び非感染者 S であった場
合隣接ノードをランダムにひとつ選んでそこにこのとき (3) はdρk (t)= −ρk (t) + λ[1 − ρk (t)]Θ(t)(6)dtと変形される．友達が多い人でも，同時に多人数と接触するわけではないことを想定している．前節と感染者 I がいると前者のノードが感染して I になるが，感染者 I であった場合も隣接ノードをランダムにひとつ選んでそこに感染者 S がいる

同じように定常解を求めることができる．この場合，λΘ∗ρ∗k =1 + λΘ∗と後者のノードが感染して I になる．
このとき (3) はケールフリーネットワーク (1) の場合について臨界()kdρk (t)= −ρk (t) + λ[1 − ρk (t)] Θ(t) +ρ(t)dt⟨k⟩

値を計算するとと変形される．前の２つの変形モデルを足しあわせとなり，ρ∗k は (5) と違い結合次数 k に依らない．ス

λc = 1た式となり多少複雑になったが，この場合も定常解が求まり冪指数が 3 以下の場合には転移点となる．つまり，ネットワークを考慮しないケースの臨界値に戻ってしまった．

λc = 0モデル２となることが計算できる．このようにモデル１とモ

さらにモデル１の感染の方向を逆にしたものを考え

デル２の感染過程を混合することでスケールフリーる．過程 1 を以下のものに置き換える．

ネットワークの特異性が復活している．

• ランダムにノードを選び感染者 I であった場合，3 結論
隣接ノードをランダムにひとつ選んでそこに感
ネットワーク上の感染症モデルはその感染過程の染者 S がいると後者のノードが感染して I に詳細を変更することで転移点が定性的に変わってしなる．
まうことがわかった．これは数値計算でも確かめら
このとき (3) はれる．Barabási と Albert によるスケールフリーネッdρk (t)k= −ρk (t) + λ[1 − ρk (t)]ρ(t) (7) トワークモデルではノードの数が大きいときクラスdt⟨k⟩
タリング係数は比較的小さくなる．そこでクラスタと変形される．ここで Θ(t) の代わりに選ばれたノー リング係数が高くなるモデル [20] も用いて数値計算
ドが感染者である割合∑
ρ(t) =P (k ′ )ρk′ (t)を行った．その結果，クラスタリング係数に依らずに前節で得られた結果が正しいことが支持される．
ネットワーク上 SIS モデルを変形したモデル１やk′を用いている，この時，定常解はモデル２は感染経路となる接触が持つべき対称性をkλρ∗⟨k⟩ + kλρ∗

破っているように見える．例えばモデル１では非感ρ∗k =染者としてノードが選ばれる確率は一様で感染者とをみたす．このように ρ∗k は結合次数 k に依存する． してノードが選ばれる確率が結合次数に比例する形
しかし，スケールフリーネットワーク (1) の場合にになっている．またモデル２では非感染者と感染者ついて臨界点を計算するとを入れ替えたものとなる．元のモデルではどちらも次数に比例した確率で選ばれており，これにより感λc = 1

染率の臨界値が 0 になっていると考えられるので本となっており，モデル１と同様スケールフリーネッ 論文の結果は直感的にも理解できる．上記のようなトワークの特異性は現れない．

感染経路の非対称性は普通の一般的な感染症モデルとしては現実的とはいえないが，もっと複雑な伝播モデル３過程のモデルの基準として使えるだろう．たとえばさらにモデル１とモデル２を混合して感染を両方向感染症の症状によって接触頻度や社会ネットワークにしたものを考える．つまり過程 1 を以下のものに自体が変化していくようなケースを理解するときに置き換える．

役に立つと期待している．

4

参考文献

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