第  章 アンサンブル・カルマンフィルタ 〜データ同化との融合〜

データ同化（解析）

6.1 はじめに現実の大気状態を完全に知ることは不可能である。これは、離散化による表現の限界、観測の不完全性（観測誤差およびカバレッジの限界）に起因する。現実の大気は連続流体と仮定されるが、実際にこれを表現する際、格子点（より正確には有限個の基底関数 ）に離散化される。この際、各格子点で表現される大気の状
態は、その近傍領域の代表として取り扱われるため、連続な大気の状態を完全に表現することは不可能である。仮に現実の大気状態が離散化された格子点値によって完全に表現されると仮定しても、測定誤差をはじめとする観測誤差により、観測した場所に限っても完全な大気状態の情報は得られない。その上、観測点の数
は、全地球上の各高度をカバーする格子点の数に比べて非常に限られており、観測のない点での大気の状態
は、観測から直接知ることはできない。このため、現実の大気状態の完全な情報は得られず、この不完全な情報から推定して得られる解析値には、常に誤差（解析誤差）が含まれる。
一方、数値予報モデルを含むカオス力学系は、初期値に含まれる小さな誤差に敏感であり、初期誤差は指数関数的に成長する。このため、例え小さな誤差でも、解析誤差は予報時間が進むにつれて大きく成長し、予報に大きな影響を与える。アンサンブル予報は、解析値のまわりにばらつかせた複数の初期値（初期アンサンブル）から始めた複数の予報を行うことで、解析誤差の時間発展を追跡し、予報誤差の情報を得ようとするものである。アンサンブル予報が、決定論的 5
予報に対して確率論的 <" 5 予報といわれる所以である。
理想的には、解析誤差を正確に反映した初期アンサ
ンブルを用いることで、予報誤差はより正確に見積もられる。解析誤差は、予報の精度の影響を受けるばかりでなく、一般に精度のよい観測のある場所では小さいなど、観測点の分布や観測誤差の大きさといった観測の情報にも大きく依存する。しかし、:+ 法や
特異ベクトル *+  95"6 *9 法といった従来のアンサンブル摂動生成法では、通常モデルの動力学的束縛のみが考慮され、観測の情報は考慮されないため、解析誤差を反映したアンサンブル摂動は得られない。
+  :%"<   は、主に海陸の観測分布密度の違いを反映した時間平均的な解析誤差の重み ?
をかけることで解析誤差を考慮した ? +の手法により、アンサンブル予報が改善することを示した。このことは、アンサンブル摂動生成における解

解析誤差

アンサンブル予報

予報誤差

図    データ同化とアンサンブル予報の相補的関係を示した模式図。

析誤差の重要性を示唆するものである。しかし、時間変動する解析誤差の正確な情報は、現在の解析システ
ムでは得ることができないため、解析誤差を正確に反映したアンサンブル摂動を得ることは現在のシステムでは不可能である。
一方、解析（データ同化）の観点から見ると、より精度の高い解析値を得るために、予報誤差の情報が重要な役割を果たす。データ同化とは、:"   " 
 が彼らの優れたテキストの中で述べているように、時間発展モデルを利用し、時間方向に情報を伝えることで、過去の観測の情報を積み重ねていき、時間が経つにつれてより高精度の解析値を作り出していく
プロセスである 。データ同化の実際のプロセスは、一般に予報値と観測値の重み付き平均であり、その重みは予報誤差と観測誤差から最適に決められる。最適な重みを用いることで、時間方向の情報の伝達を最適にし、過去の観測の情報の積み重ねが適切に行われる。
観測誤差は、一般には観測固有のものと見なせ、データ同化システムには通常に与えられる。予報
誤差については、アンサンブル予報を利用し、日々変動する大気の流れに応じたよりよい情報を得ることで、データ同化でより適切な重みを使うことができ、解析値の精度向上につなげることができる。以上のように、アンサンブル予報の摂動生成には解析の情報が有益であり、解析にはアンサンブル予報の情報が有益だという相補的な関係がある（図   を参照）。
3  により初めて提案されたアンサン
ブル・カルマンフィルタ   &   6
& は、アンサンブル予報とデータ同化を融合した手法であり、解析誤差を反映したアンサンブル摂動を生成するとともに、それから得られるよりよい予報
誤差を用いたデータ同化を行う。互いの相補的関係を活用したこのサイクルプロセスが、双方に与える好影
響を時間方向に積み重ねていく。& は、アンサンブ
ル予報システムと解析システムという現在は独立した
二つのシステムを融合することで、理想的な確率論的 

三好建正
格子点による離散化は、格子点上だけで  となり他は全て
 をとる基底関数による展開と同値である。


カオス力学系は初期値に含まれる誤差が発展し、過去を忘れていくため、時間方向に伝わる情報にも限界がある。

  個の成分を持つ行列となる。29
しても、では、多くの仮定を置きこの膨大な情報量を劇的に減らすが、これにより予報誤差の再現性を大きく損なう。
& の場合、予報誤差が流れに依存して様々な形状を持つため、このような極端な単純化の手法は適用できない。だからといって、この大きな行列をまともに扱うことは不可能である 。このため、アンサンブルメン
バーを統計サンプルと見立て、共分散を推定する。この際、もともとの誤差共分散が低次元なものであれば、少ないアンサンブルメンバーでも推定しやすい。実際、  個の成分
離れた地点間の誤差相関はないなど、のうち、実質的に意味のあるものは、通常数桁は落ちていると考えてよい。& では、少ないメンバー数
によるサンプリングエラーを防ぐため、離れた点の間の誤差相関を強制的に にする「局所化 "5 )"」
が重要な役割を果たす。それでもまだ、高々程度のアンサンブルメンバー数で誤差共分散が十分表現されうるものとは考えにくい。
ここで、系の位相空間を考えよう。状態は位相空間上では点であり、状態の時間発展は線となる。任意の初期状態から長期積分した後に落ち着く安定な解の集合をアトラクタと呼ぶ 。通常、散逸系のアトラクタは、位相空間内の低次元の超平面上に収まる。さらに、カオス力学系は、フラクタルなアトラクタ を持つことが知られている。つまり、アトラクタは疎であり、アトラ
クタを含むいかなる有限連続空間内でも体積を持たない 。実際、!     は、 ! のアンサン
ブルを解析し、局所的に見てアンサンブルメンバーが非常に似た構造を持つ場所があることを発見した。これは、局所的な位相空間内でみて、アトラクタの分布
がその点のまわりに超低次元な方向にのみ広がっていることを意味する。これを彼らは「局所低次元性 "5"; " '」と呼び、大気力学系の持つ特質のひとつとしている。すべてのアンサンブルメンバー
はアトラクタ上に分布しているから 、アンサンブルメ
ンバーを使って、この超低次元な方向を捉えることができる。これを利用することで、数少ない高々にも満たないアンサンブルメンバー数で、アトラクタ上

予報解析システムを構成するものである。本章では、未来のアンサンブル解析予報システムとして注目されている & について解説する。まず、第  節で &の概念的な解説を行い、全体像を俯瞰した上で、第 
節で数式を用いてより厳密な解説を行う。その後、第 節で詳細な実装技術について述べ、現業利用の際
'"%
は特に重要となるパラメータの動的推定法
 & '   や  次元化 2&A ,      といった最新の周辺技術も紹介する。第  節では、実際に & を (") の  変数モデル (") や低解像度の全球プリミティブ方程式モデルに適用した場合の結果を示す。最後に、第  節で、利点と問題点についてまとめ、今後の展望を述べる。



6.2 概念的解説
本節では、数式を用いずに概念的な解説を行う。詳細な解説は次節以降で行うが、本節で全体像を概説することが、後の理解の助けになると考える。
& とは、アンサンブル予報の予報誤差の情報を用いたデータ同化と、データ同化による解析誤差の情報を的確に反映したアンサンブル摂動生成の  つの部
分からなることは前節でも述べたとおりである。しかし実際は、アンサンブル予報の与える予報誤差の情報をデータ同化に活用しようというのがもともとの発想である。3  や ," ?  5%
 で採用された初期の & は、各アンサンブルメンバーに独立したデータ同化サイクルを適用し、このデータ同化の際にアンサンブル予報の誤差の情報を活用するというものだった。,  *' による  次元変分法 29 と & のハイブリッド
法は、29 の背景誤差の情報にアンサンブル予報の誤差の情報を適度に混ぜ与えるというもので、すでにあるアンサンブル予報を活用しようという発想である。
ここには、データ同化の結果を次のアンサンブル摂動
生成にフィードバックするという発想はない。データ
同化の結果を直接生かしたアンサンブル摂動生成を包含するようになったのは、7" 
 や :%"<   
、%?  ,   などによって平方根フィルタ *F  .""  6 *. という手法が採用されて以降のことである。本稿では、現在主流となっている *. に焦点を当てた解説を行う。
アンサンブル予報を活用したデータ同化を行う際の大きな問題は、予報誤差の情報が、計算不可能なほど大きな情報量を持つということである。ガウス分布は、平均値（一次の統計モーメント）と共分散（二次の統計
モーメント）によって完全に表現される統計分布であるが、誤差がガウス分布であると仮定しても、変数の二乗の次元を持つ共分散行列の情報量が必要である。数値予報モデルの変数の次元が、小さく見積もって と   となる。なお、最近の現業アンサンブル予報シス
テムで使われる全球モデルは、少なくとも    の格子点（スペクトル空間を含む）に  変数はあり、少なく見積もっても 4 7 はある。

この大きな行列をまともに扱うと、カルマンフィルタ
4A-   - A: A-  67 そのものになる。

力学系には不安定な解も存在することがあるが、これはアトラクタには含まれない。不安定な解も含んだ全ての解の集合は、不変多様体 4 *    $ -7 と呼ばれる。

ストレンジアトラクタと呼ばれる。

次元の位相空間で、アトラクタは 次元未満のフラクタ
ル次元を持つという意味。

十分長期間の積分（サイクル計算）を行い計算が落ち着いた後を仮定している。







例えば、     の格子点に  変数あるとすると、


に広がる誤差の構造を効率よく捉える 。
このように、局所化と、低次元のアトラクタをもつという大気力学系の性質により、& は、数少ない  といった自由度を
アンサンブルメンバーで、持つ予報誤差の情報を効率的に表現する。図  は、
アトラクタを考慮しない 29 など従来のデータ同化における解析（図  ）と、& による解析（図  ）の違いを模式的に示したものである。図  では予報誤差が大きく広がっており、解析値
は予報値から観測値に近づく方向に位置している。これに対し図   では、予報誤差は超低次元に広がるアトラクタ上に広がっているため、解析値はこのアトラクタ上に乗る 。この図において、誤差の広がっている方向に距離が短いようなメトリックを考えると、直感的に理解しやすい。解析値は、予報値と観測値からの距離の和を最小にするようなイメージである。
アトラクタの構造を考慮してデータ同化を行う &には、解析場のバランスという観点で大きな利点がある。最適内挿法 -<  D<" "6 -D の頃から、バランスのよい解析場を作り出すことが重視され、地衡風バランスといった力学的バランスが考慮されてきた。それでもなお、モデルにとって数値ノイズの原因となる高周波の波などを解析場から取り除くために、初期値化が必要であった。しかし、& では、アトラク
タの広がる方向に解析インクリメントが作られるため、解析場もアトラクタ上に分布する。アトラクタは、モデ
ルの長期積分でとりうる解の集合であるから、自ずとバランスが取れた解析場が得られることになる。これまでの & の研究で、初期値化の議論がみられないのは、このような背景によるものと想像される。つまり、
解析場は自動的に超バランス化されており & 'A 私
信、モデルで自然に表現されるものは的確に表現されたものとなる。当然モデルで表現されうる重力波は表現され、無理にダンプしたりする必要はなく、初期値化も通常行われない。この意味でも、理想的な解析を行うものと言えよう。

(a)
R

B



yo

xa

xf

(b)
xa

超低次元に広がるアトラクタ

R“Errors of the day”

y

o

xf

アトラクタを考慮しない
場合の解析値

図    誤差の広がりと予報値  、観測値  および解析
値  を位相空間上に示した模式図（A- E  を少し変えて抜粋）。47 は予報誤差 が流れに依存した情報を持たず広く広がっている場合を示し、4+7 は予報誤差が流れに強く依存し超低次元のアトラクタ上に広がっている場合を示す。 は観測誤差の広がりを表す。







  を近似的だが効率的に多次元の大気力学系に適用するものである。& は線形モデルで誤差がガウス分布と仮定した場合に最適となるデータ同化手法である。はじめに、第  項で & を導出する。その後
第  項でアンサンブルを用いて & を近似する仕組みについて述べる。& の導出を行った後で、第 項では変分法との関係について簡単に解説する。
第  項では、& のアンサンブル摂動生成に注
目し、:+ 法との関係について述べる。本稿で用いる記号は、D     に準じる。

6.3 数学的解説
本節では、数式を用いてより厳密な解説を行う。三好  にも & の解説があるが、本稿はこれをさらに強化した。& は、& &   A & 

6.3.1 カルマンフィルタ
本節の & の導出は、     を参考にしている。解析を予報と観測の重み付き平均で定義し、解析誤差の最小分散を課すことで、最適な重みを求めるという、直感的でわかりやすい導出である。誤差がガウス分布する場合、最小分散推定は最尤推定（最大確率密度推定）と同値となる。このような解説も含め、より数学的に厳密な解説は、C);?   を参照していただきたい。
解析  は、予報  と観測  の重み付き平均（重初期状態では小さな誤差が、カオス力学系では時間とともに引き伸ばされ成長するが、十分長い時間がたつと、非線形プロセスにより有界な位相空間内で折りたたまれ、誤差の構造が複雑になる。ここでは、非線形性が卓越しない程度の密度で観測が得られ、誤差が単純な構造を維持する場合を考えている。この議論は、十分な観測がない現象はうまく解析できないことを示唆する。
非線形性が卓越し、アトラクタが図   4+7 中で曲率の大きな曲線となった場合、解析値はアトラクタ上に必ずしも乗らない。線形性が十分に保たれる範囲でしか  A がうまく働かないことを示唆する。

み ）で与えられる。
 0  1   7  

この  は、カルマンゲイン行列 &  + I
と呼ばれる。これを  式に代入して計算すると、

 

0    

ここで、上付き添字   は解析、予報をそれぞれ表し、
下付き添字は時刻（ 番目の解析ステップ）を表す。また、7 は観測演算子で、予報値から観測値に相当する量に変換するプロセスである。解析、予報および観測の、真の状態  からの誤差を、

 0   
 0   ÆÆ0   7  となり、解析誤差共分散
は、予報誤差共分散  を  倍だけ小さくしたものであることがわかる。
ここまで、& の解析のプロセスについて述べた。&
の残り半分のプロセスは、時間方向に情報を伝達する
予報のプロセスである。予報モデル  は、時刻  の解析値を時刻  1 の予報値に時間発展させる。



Æ

 0   



 1  Æ   Æ    Æ  1 Æ  0    Æ0

と変形できる。ここで、 は、一般には非線形の観測
演算子 7 を、 のまわりで線形化した接線形演算子である。7 がもともと線形の場合は、  式は厳密に成り立つ。解析誤差共分散
は、統計期待値を記
号
で表すと、


0 Æ  Æ   Æ  1 Æ   Æ  1 Æ 0   Æ  Æ    

1 Æ  Æ   
0      1 !





9



99





.8



.8

 0 

     1  

ここでは数値予報モデルを念頭に、モデルが非線形であることを前提としたが、 がもともと線形である場合は、
4 7 式は厳密に成り立つ。

厳密には、4 7 式で非線形モデル
を前提としている
ので、拡張 A4  A A7 と呼ばれる。単に Aという場合、狭義的にが線形の場合のみを指すこともあるが、本稿では、A を A を含んで広義的に使う。

となる。ここで、  と ! が対称行列であることを用いた。   式を  について解くと、最適な重み が得られる。

 0      1 !  

ここで、 は  を   のまわりで線形化したものであり、接線形モデル $+ ( " 6 $( と呼ばれ、状態の摂動ベクトル Æ  の時間発展を与える 。また、予報誤差とモデルのランダム誤差には相
関がないと仮定した（ Æ  9  0 など）。   式
は、誤差共分散行列の時間発展（予報）を与える式である。
以上に得られた  つの式  、  、  、 、   が、& を構成する基本方程式である 。

を使って、  式に  式を代入して計算すると、

      1 ! 0

 0 

0 

が成り立つ。多変数関数の微分から得られる公式（     の式   および   を参照）
 0   1  
.8  


0





 0

 

以上を用いて、予報誤差共分散行列は、以下のように変形される。

 0 Æ  Æ  





0
     0       1 9        1 9Æ   1 9  Æ   1 9 0Æ    Æ    1 99 のようになる。ここで、  及び ! は、それぞれ予報誤差共分散行列、観測誤差共分散行列である。また、予報誤差と観測誤差には相関がないことを仮定した（ Æ  Æ   などのクロスタームは ）。解析誤差が小さくなる、すなわち、解析誤差分散の総和（.8）が最小をとるとき、が   に対してランダム誤差 9 を含むと仮定する。

ここで、ランダム誤差 9 はバイアスがなく、共分散 を持つとする。

 

 0     9 

真の時間発展を   と書く。

と定義すると、   式は、Æ 

 


6.3.2 アンサンブルを使った定式化
前節で導入した & は、数値予報モデルのような多になる。このことを考慮し、 に非常に近い固有値を無視すると、""
0 

次元系では実現困難である。簡単にこれを理解するには、誤差共分散行列 の次元を考えるとよい。数値予  程度であり、単報モデルの自由度 5 は、5 を下るこ純な解像度の粗いモデルでも、5とはまずあり得ない。誤差共分散行列は、5 の自由  の自由度を持つこ
度を持つため、少なくともとになる。 バイト実数として保持するとしても、をメモリ上に保持するだけで  : の領域が必要となる。この大きさの行列をいくつも保持し、その逆行列を含む計算を行うことは、現実的に不可能であることは容易に想像できる。これだけを述べると、計算機性能が向上すれば解決できる問題に思われるかもしれな
いが、そうではない。計算機性能が向上すると、予報モデルの解像度もそれに伴って上がるのが通常である。
は 5 の自由度を持つから、モデルの格子点数が 倍になれば、 は  倍の大きさを持つことになる。このように、計算機性能が向上しても、この問題が解決されることはない。
そこで、アンサンブルで を表現することを考える。
誤差共分散行列 は、その定義から、

0 Æ  Æ 



0





のように展開できる。ここで、 は対角行列
で、各成分は の固有値である。 は無視されない固有値の数を表す。" は 5
行列で、各列は対応する
固有ベクトルである。 は 5行列であり、以下のように書ける。




0
Æ
Æ











Æ



  Æ   








 





と同値である。  式の右辺の  に  式を代入して変形すると、
  0Æ  Æ  
U   1 Æ     
U 
 


U   1 Æ     
U 
 


U 
 
  



U
 



 




  


   
0    
0     0 0  

T は 5 5 行列である。このと分解できる。ここで、
T も式  
際、
0  を満たす について、
Tを満たすため、 の選び方は一意ではない。式  が意味するところは、高々5 個のサンプルで完全なTをの推定を行いうるということである。




T 0
Æ
Æ
 

5





となり、これは、T と同様、 だけの自由度を持ち、一意にこの  も、は決まらない。  式の右辺の各列をアンサンブ
ル摂動とみなすと、 を メンバーのアンサンブル摂動からなる行列とみなすことができる。
の平方根 （ メンバーのアンサンブル摂動）を使うことで、& の方程式がどう簡略化されるかを見る。まず、 の予報方程式   は、モデルのラン
ダム誤差を無視すると、と書ける。ここで、 は統計サンプル数、 はサンプル番号を表す。これはサンプルから推定する統計量であるから、 を完全に推定するには、無限の統計サンプ
ルが必要である 。一方、 が実対称行列であることを考慮すると、実対称行列は実行列の平方根を持つことから、TT0











  


 



となる。ここで、  は  番目のアンサンブルメンバー、
U はアンサンブル平均を表す。

  0 U 1 Æ  

T の各列をアンサンブと書くことで、 の平方根行列 
ル摂動と見なし、それらをサンプルとした共分散がを成すように見ることができる。
大気力学系では、誤差共分散行列 は通常縮退しており、実質的な自由度は小さい（2 #  ? "  ".))"  #      などを参照）。これは、たとえば東京の風とブエノスアイレスの気温に誤差相関がないということに相当する。つまり、 を固有値分解すると、多くの固有値がほとんど

U 0
U  0







 
  





 式は、 メンバーのアンサンブル予報と同等である。すなわち、 の予報方程式   は、アン
サンブル予報を使って近似される。



次に、解析における最適な重みを与えるカルマンゲ
イン行列について考える。   式の に 
式を代入すると、

 00     1 !    V   1 !W 

主に用いられていた。各アンサンブルメンバーを独立にデータ同化すると、

 0   
が成り立つ。これは、 

0       となる。こうすることで、5 5 行列 を直接メモリ上に持つ必要はなく、代わりに 5
行列  と、行列  のみをメモリ上に蓄えればよい。なお、は観測データ数（観測空間の次元）であり、 は、
各アンサンブルメンバーを観測データに相当するものに変換したものである。   式の最右辺には が現れないため、線形化した  の計算を、非線形の 7で近似できる。
 0Æ  Æ  













U  1     U        U  1     U  
7

0





7

7

Æ





Æ

7

7

    7 U      7 U  

と同値である。これは、   式と比べて  
が一つ多くかかっており、実際の解析誤差に比べて小さく見積もられてしまっていることを意味する。この原因は、  式と比べて ! の項がないことによる。このため、観測データに摂動を与えて、!
の項に相当するものを擬似的に生成しなければならな
い : +    。この摂動によるサンプリン
グエラーのため、%?  ,   は、!法は観測データに摂動を与えない方法に比べて劣る可能性に言及した。
*. は、観測に摂動を与えずに、   式を直接解くことでアンサンブル・アップデートを行う方法である。最近の研究では、主に *. の手法がとられている。*. では、アンサンブル・アップデートを線形変換で与える。



7

 

 0  この取り扱いは、非線形のモデル  を用いて接線形
モデル  を近似した式  と非常に似ている。
  式では、行列の逆行列の計算が必要である。もし : なら、   式をさらに変形して、行列の逆行列の計算ですむようにできる。



このアンサンブル・アップデートが式   を満たすことから、

0    
0      0  V 1   !   W    ! 

が成り立つ。これを  について解けば、アンサンブル・
アップデートの公式が得られる。この  についても、だけの自由度があって、一意には決まらない。*.
の具体的な実装法はいくつか知られており、第  項で紹介する。$<<      や 3  にも、いくつかの *. の方法が紹介されている。
本節のまとめとして、*. による & の手順についてまとめる。
 アンサンブル予報により、予報アンサンブル摂動 および予報アンサンブル平均 U  が得られる。
  を使ってカルマンゲイン行列  を求める。
 アンサンブル平均についてデータ同化を行い、解U を得る。
析アンサンブル平均  *. によりアンサンブル・アップデートを行い、解析アンサンブル摂動  を得る。
 以上で得られた解析アンサンブル平均に摂動を足し、次の予報のための解析アンサンブル   を計算する。
 次のアンサンブル予報を行う。 に戻り、以上の手順を繰り返す。


ここで、異なる観測は独立しており、観測誤差には相関がないという仮定することが多いため、! はほぼ対角行列であり、!  の計算は自明であることを考慮している。! は行列であり、この逆行列の計算が自明でなければ、  式は   式から簡略化したことにならない。
最後に、 の解析の式   を考える。いま、はアンサンブルで表現されているから、このプロセス
は解析アンサンブルを作り出すプロセス（アンサンブ
ル・アップデート）に相当する。アンサンブル・アッ
プデートの手法として、大きく  通りの方法が知られている。
 摂動観測法 !  -3" %"6 !法 平方根フィルタ *F  .""  6 *.
!- 法は、各アンサンブルメンバーに独立したデータ
同化サイクルを適用する方法であり、3 や ," ?  5%
 など初期の研究で

を定義すると、評価関数   はインクリメント形
5 4"

6.3.3 変分法との関係
変分法について、ここでは簡略的に導入し、以上に述べた & との関係について簡単に言及するにとどめる。変分法の詳細は、露木  を参照していただきたい。
予報値  とその誤差共分散 が与えられたとき、状態変数  の確率密度関数 !" ' 2'  5"6 !2 0 ;  は、平均値  、共分散 のガ
ウス分布   I<



0 ;

       I<   



< Æ

Æ

    !  7       0 0 ;   0 ;  I<           7   
7    !



のようになる。最尤推定を行い、0 ;  が最大値をとることは、評価関数
<

 0


1

   7       !  7      

が最小値をとることと同値である。<  の最小値を与える  において、   0< 

が成り立つ。29 は、準ニュートン法などの最小値
探索アルゴリズムを用いて評価関数 <  が最小となる解  を探すアルゴリズムである。準ニュートン法
は、局所的な極小を探すアルゴリズムなので、29は必ずしも大域的最適解を見つけるわけではない。しかし、予報値と観測値は十分に近いという現実的な仮定の下、局所的最適解が大域的にも最適だと考える。
ここで、

 0   

# 0   7 

Æ







Æ



Æ   # !  Æ   #

Æ

 1  !  Æ   # 0 0



1  !     !  # ! 1     #を得る。これが 29 が求めるべき解であり、最適な重み   を用いた & の解と同じであることがわかる。つまり、変分法も & も、解を得る方法が違うだけで、求めようとするものは同じなのである。重
大な違いは、29 では時間平均的な予報誤差 を用いるのに対し、& では完全に流れに依存した  を用いる点である。-D では、29 と同様、時間一定の予報誤差 を用いて、空間局所的に陽に  式を解く。29 の利点は、このような局所的な扱いを行わない点と、非線形の観測演算子を取り扱える点にある。
最近主流となっている  次元変分法 29 との関係について述べよう。29 は、29 を時間方向に発展したものであり、異なる時刻の観測をその時刻のものとして扱えるようにしたものである。上で述べたように、29 は & と同じ解を求めようとするものの、流れに依存する予報誤差を使わないという重大な違いがあったが、露木  や :"  
"   が示しているように、29 で十分
長くタイムウィンドウを取れば、理論的には & と同等の解が得られるようになる。これは、29 が予報
誤差の時間発展を暗に行っていることを意味する。しかし、現実には 29 のタイムウィンドウは  時間以内であり、 日程度の時間スケールを持つ現象をターゲットとした解析を行う場合、いかにカオス力学系が過去を忘れるといっても、統計的な背景誤差共分散の影響は残ってしまう。& では、誤差共分散を陽に時間発展し、常に流れに応じたものを使うので、この点で 29 は不利だといえる。しかし、モデルが不完全である場合、不完全な予報誤差の情報を延々と引き継いでいく & は、モデルに起因する誤差をどんどん蓄えていってしまう危険性がある。その点 29 では、背景誤差共分散は時間依存しないため、モデルに起となる。予報値と観測値の両方が与えられたときの合成確率 G" <" ' は、




 0

0

0 ;

Æとなり、これを解くと、



7



で書ける。ここでの近似は、一般には非線形の観測演
算子 7 を線形化していることによるものである。観測演算子がもともと線形の場合は、  式は厳密に成り立つ。  式を Æ  で微分すると、で書ける。誤差がガウス分布するというのは、前節までで用いていた仮定と同じである。同様に、観測値 のまわりにも共分散 ! のガウス分布をするので、
0 ;



1





 1 Æ <*. では、一般に変換行列  は対角行列ではないので、単に摂動ベクトルの長さを変えるだけでなく、回転や反転を伴う。しかし、アンサンブル予報により得られた予報アンサンブル摂動を引き継ぎ、これらの線形結合として次の初期アンサンブル（解析アンサンブル）の摂動を得るという観点で、:+ 法と似て
 が発見した局所低次元性はいる。!    :+ 法のアンサンブル摂動から得られたものであり、:+ 法のアンサンブルはアトラクタをよく捕らえる。*. が :+ 法と同じ根を持つことは決して偶然ではなく、:+ 法を応用したものと解釈することもできる。*. は、:+ 法を発展させ、観測の情報も取り込んだ、より性質のよいアンサンブ
ル摂動を得る手法と言える。
また、:+ 法では、一つのアンサンブル摂動を生成すると、その反対方向の摂動を加えることで、アンサンブル平均が解析値となるようなアンサンブル予報を実現する。つまり、一つの摂動に対し、そのプラ
ス・マイナスペアを用いてアンサンブル予報を行う。こ
れは、:+ 法に限らず、*9 法も含め、従来のアンサンブル摂動生成法でとられていた手法である。この方法では、 メンバーのアンサンブル摂動が  程度の次元しか張ることができない。しかし *. では、アンサンブル摂動はプラス・マイナスペアではなく、メンバーあると  次元空間を張る 。これは *.
がもつ大きな利点である。実際 +      は、
メンバー数が限られているほど、プラス・マイナスペアの従来の方法によるアンサンブル予報より、& によるアンサンブル予報が優れていることを示した。モ
デル自由度を考えると、実用可能なアンサンブルメン
バー数は常に限られていると考えられ、実用上、従来のプラス・マイナスペアは、それだけで不利であると言えよう。
:+ 法で生成される : 95" :9 は、線形モデルにおける ('< "3 95" (9A 例えば & '  や $3  !5"  を参照 の非線形拡張であり、長い期間のサイクルプロセスで、 + 成
分に収束する可能性がある。実際、 '"%  & '  では、(") の  変数モデル (") #(")     を使った長期間の :
+ サイクルを行い、始めはランダム摂動から始めた:+ サイクルが、単一の :9 に収束した結果を示している。これを防ぐため、高次の (9 の生成と同様に、
サイクルプロセスで直交化を行い、高次の + 成分
を求められる。実際の数値予報モデルでは、:9 が単一のものに収束することはない が、時と場所によって似因する誤差をタイムウィンドウを越えて引き継いでいく危険性はない。現業利用する際には、29 と &のパフォーマンスの差が、このあたりの兼ね合いによることも考慮する必要があるが、モデルの不完全性が小さくなればなるほど、理論的には & の優位性が現れてくることになる 。このデメリットを解消するため、29 で使われる背景誤差共分散 に & で見積もったものを使うという可能性もあるが、変分法の定式化でなされる の表現の単純化が大きな問題となることが想像され、& と同等のものにすることは難しいだろう。29 の重要な効果である異なる時刻の観測の扱いについては、 次元 & 2&A ,      という技術が提案されており、& でも同様なことができることがわかっている。2&については、第  項で解説する。

6.3.4 Breeding 法との関係
ここまで、データ同化法という観点から & について解説した。本節では、アンサンブル摂動生成という観点から、& のアンサンブル・アップデートと:+ 法のアンサンブル摂動生成の関係について述べる。
:+ 法では、アンサンブル摂動のリスケーリン
グのサイクルを行う（:+ サイクルという）。このリスケーリングでは、アンサンブル摂動の大きさが一定になるようにする。つまり、 番目のアンサンブルメンバーについて、Æ  0 (  Æ  

のようなリスケーリングを行う。ここで、:+ 法による初期アンサンブル摂動の大きさを ( とすると、
(

 0

(



   Æとなる。( は一定値であるが、(  は一定値とはならない。このリスケーリングのプロセスを、これまで用いた記号を使って書くと、








0 



(



(



(のような対角行列によるアンサンブル・アップデートになる。& の *. におけるアンサンブル・アップ
デート  と見比べると、変換行列  が対角行列という特殊な場合に相当することがわかる。このように、:+ 法は、*. のアンサンブル・アップデー
トの一種と見なせる。




個の摂動の総和が  ベクトルとなるため、
 個の総和が残り一つの摂動の反対向きのベクトルとなる。この条
件により、自由度  だけ落ちて、
 次元空間となる。

2    A- E 46637 や 2    ' 4 7 は&1 の現業アンサンブル予報システムで、1 >>  -

準地衡流チャネルモデルを用いた (/ と  A の比較実験で、モデルが完全である場合に、 A が (/ に勝るという結果が得られている 4D )  - 7。

たようなものになることがあり、気象庁では直交化した :9 を用いている 第  節# &'"   &  "? 。直交化することにより、(9 に第一 + 成
分 K ((9、第二 + 成分 5" ((9 と順番が付くように、:9 に順番が付く。第一 + 成分が最も誤差成長率が大きいと期待され、すべてのアンサ
ンブルメンバーを同等の重みで扱うことができなくなる。これに対し、*. によるアンサンブル摂動はすべてが対等で、また、サイクルプロセスでベクトルの向きを変えることから + 成分に収束しにくいため、
アンサンブル予報の際に扱いやすく、より自然である。
このように、アンサンブル摂動生成法としての &にも期待される。

解は、



(

   1 !    1 ! 1 !

 

01!

   1 !

となる（%?  ,   の  式を参照）
 。これにより、
T を陽に構築することなく、すでに
データ同化で計算した  に  式の係数をかける
T が得られる。
だけで 逐次的に観測を扱う場合、一つの観測を同化するたびに第一推定値を置き換えることが必要である。たとえば現在のデータを同化し、 秒後のデータを同化す
る場合、現在の解析値から 秒予報を行い、それを第一推定値とした解析を行う。 秒後のデータを同化する場合も同様に考え、一つの観測を同化してできた解析値を 秒予報し（つまり何もしない）、これを第一推定値とした解析を行う。これが、同時刻の多数の観測を一つ一つ逐次的に扱うことの考え方である。実装す
る際は、一つの観測を同化したら、それによって作られた解析値を、次の観測を同化する際の第一推定値とすることに注意する。
逐次的実装法は、観測を一つ同化した結果を用いて次の観測を同化するため、並列化には向かない。次節で述べる局所化により、遠く離れた観測はお互いに影響を及ぼすことがなく同時に同化できるため、並列計算を完全に阻むものではない。しかし、並列化が **. のアルゴリズムから自然と生ずるものではないため、その実装は煩雑になるだろう。また、多くの観測がある領域に密集している場合などは並列化できな
いなど、どんな場合でも効率よく並列化できるものとはならないだろう。このことは、後に述べる (& と比べ、実用上の大きな欠点といえる。

前節では、& を導出し、& の核となるアンサ
ンブルによる & の近似法について述べた。前節まで
で、& の基本的考え方はほぼ網羅しており、&に関する論文を読み、大雑把な議論をするには十分と言えるかもしれない。しかし、*. のアンサンブル・
アップデートの詳細を含め、実際に実装するには、より詳細に踏み込んだ具体的な解説が必要である。本節では、前節までで解説した基本的知識を背景に、実際に実装する際の方法や技術について解説する。*. の実
装法は、これまでのところ数種類が提唱されているが、本稿ではそのすべてについて解説は行わない。$<<     に  種類が網羅されており、そのうちの一つ、%?  ,   の逐次的アンサン
ブル *. *   *.6 * *. について、第  項で解説する。このほか、メリーランド
大学で開発された、局所 & ("5 &6 (&A-     #   及び局所アンサンブル変換 &("5   $4" &   6 ($&A,    について、第  項および第  項で解'"%  & '
説する。共分散膨張の動的推定法
  や 2& といった現業利用において特に重要となる最新の技術についても、第  項および第 項で紹介する。

6.4.1 平方根フィルタの逐次的実装法* *. では、 

6.4.2 局所化という形のアンサンブル・アップデートを仮定する。これが   式を満たすには、T     T  0      

である（%?  ,   の
 式を参照）。
この式では、! の非対角成分も考慮できる。観測が独立で、! が対角行列の場合、観測は一つずつ逐次的に取り扱うことができる。こうすると、観測空間の次元
は となり、   や ! はスカラー、 や  は 5次元ベクトルとなる。この場合、  式は単純化さ
T 0 ( という形となり、( は、れ、

6.4 アンサンブル・カルマンフィルタの実装技術

T  
 0   

 

T 0


離れた点の間には、誤差相関がないと考えるのは自然である。東京の風とブエノスアイレスの気温の例は、第  項で既に述べた。気候の話などではテレコネク
ションに注目するので、常にどんな現象でも離れた地点間に誤差相関がないとは言えないかもしれない。しかし、数時間毎の観測を同化し、総観規模の場を再現



が必要である（%?  ,   の  式を参照）。これは 7;  によって解かれ、その4 7 は準地衡流チャネルモデルで、=/ が単一のものに収束しないことを示している。

  467 により初めて導かれたと言われている。



局所化の中心  からの距離 を計算する。局所化の関数  をベクトルの各要素にかけたものが、  である。この局所化の操作（記号 で表したもの）を     と呼ぶ。次に、共分散行列  の局所化を定義する。ベクトルの場合と同様に、局所化したものを と書く。 の各列（または行）は、格子点値に対応する。各列（または行）の局所化の中心となるのは、行列の対角成分に相当する格子点である。中心の点が決まれば、先に定義したベクトルの局所化を各列（または行）に行うことで、行列  を局所化できる。
局所化関数  は、どんな関数でもよいが、図 #  の橙点線で示したようなガウス関数を用いることが多い。アンサンブルの数が少ない !$% では、
サンプル値のばらつきが大きく、特に遠い点で、解析に与える悪影響が強い。ガウス関数は、どれほど遠くても厳密に  にはならない関数である。このため、!$%では、ガウス関数を近似した ) 次関数 9    @ -    を用いることが多い。



(a)



Æ

Æ

Æ



(b)



   <   <     







        ;   ) <#  < <  図  ガウス関数を用いた背景誤差共分散のサンプリン
グエラーのダンプ（. /  より抜粋）。  は局所化をしない場合について、黒実線を完全解とした場合の各サンプル値（青点）を示す。 は、黒実線を完全解とする
サンプル値に対し、橙点線で示されたガウス関数で局所化したサンプル値（水色点）及び完全解（水色線）を示す。








 








 # )

この関数のプロットは省略するが、ガウス関数と非常に似た形状をしている。この関数は、すそ（）が完全に  になるのが、サンプリングエラーをダンプするという観点で好ましい。
 !2% の場合は、一度に同化される観測がつ（観測空間の次元が ）であり、 は格子点値に対応
する 次元ベクトルである。予報誤差共分散行列 の局所化を行うと、

するような気象シミュレーションを考える限り、東京の風とブエノスアイレスの気温に現れる相関は単にサンプリングエラーだと考えるのは、むしろ当然のことである。局所化は水平方向のみならず、鉛直方向にも同様に行う。例えば、地表面の誤差が成層圏の誤差と相関を持たないと考えることに相当する。水平方向と鉛直方向は一般に異なる相関距離スケールを持つ。
!$% では、非常に限られた数のアンサンブルを用いて予報誤差共分散を表現することは既に述べた。大きなシグナルは捕らえても、特に離れた点ではサンプ
リングエラーが大きくなる。このため、このサンプリ
ングエラーを小さくするように、局所化を行う。具体的には、離れた点の相関をダンプする。よく行われるのは、ガウス関数のような、距離が大きいほど  に近づくような関数をかける方法である。図  # は、ガウス関数を用いた局所化によりサンプリングエラーが除かれる様子を示したものである（.   より抜粋）。図  #  のように、局所化を行うと、完全解の相関距離が多少小さくなるものの、サンプル値のばらつきが特に遠い点で抑えられ、離れた点のサンプリン
グエラーが小さくなっていることが見て取れる。
局所化の操作を具体的に定義しよう。格子点値の大きさを持つベクトル を  のまわりに局所化したものを  
と書く。ベクトル の各要素について、









 ;  Æ   Æ   <  #   Æ     <  

 # 8となり、ベクトル  に観測点を中心とした    +  を行うことが、予報誤差共分散行列  の局所化と同等になる。ここで、観測空間の次元が で、 がスカラーであることを考慮した。近似記号は、観測点が格子点上にない場合の近似を表す。

6.4.3 局所アンサンブル・カルマンフィルタ (LEKF).!$% は、離れた点の相関が  であることを前提とした上で、3    により示された局所的低次元性    5   ( という大気力学系の持つ特徴を利用する。局所的低次元性とは、全体としては複雑に見える大気力学系でも、ある小さな領域に注目すると、誤差の広がる方向が非常に低次元になっていることである。これは、第   節で概念的に説明しÆ&行う -      を参照。
 MM  1 
M ! 
M0
 
M ! 
M M
0 M  1 たアトラクタの低次元性が実現されたものとみなせる。
(& では、各格子点のまわりの小さな領域 "5<5% をそれぞれ独立に扱う。("5 <5% は、各格子点を中心とした  次元直方体（または球）で定義する。(& は、 "5 <5% 内の格子点値のアンサンブ
ルを使って、 "5 <5% 内にある観測のみを & で同化し、 "5 <5% の中心の格子点値のみを解析値として保存する。こうすることで、 "5 <5% の大きさを超えた誤差相関は完全に であると仮定される。各
格子点にそれぞれ "5 <5% が存在しているので、それぞれの "5 <5% を独立に解析する。最後に、各"5 <5% の解析値を合成し、領域全体の解析値を得る。("5 <5% には多分に重なりがあるため、この合成法は一意ではないが、 "5 <5% の中心の値だけを使う方法がよくとられる。(& の重要な特徴は、各"5 <5% 毎に計算される & は完全に独立しており、自ずから並列化のプロセスを内包する点である。
(& では、 "5 <5% 内で予報誤差共分散行列を主成分解析し、主成分を用いて効率的に解析を行う。
& は、アンサンブル摂動ベクトルの張る空間内で解析を行うが、予報誤差共分散行列はアンサンブル摂動ベクトルから計算される共分散行列であるから、主成分を用いても張る空間は同じである。
各 "5 <5% での解析を考える。各 "5 <5% は完全に独立に、同じ方法で解析される。以下では、一つの "5 <5% での解析アルゴリズムを述べるが、す
べての "5 <5% で独立に同じ方程式が適用される。
予報誤差共分散行列  を主成分解析（固有値分解）す
ると、

 0 $ M  $

M 0
M

M 0
M   
M  



M   M    M
 0 1 

M 0 $ $ 

(& では、& のすべての計算はこの低次元ので行われ、最後に物理空間へ戻す変換

 0 $M

 M   M    M   となる。この導出は、-    きたい。

 を参照いただ

6.4.4 局 所 ア ン サ ン ブ ル 変 換 カ ル マ ン フィル タ(LETKF),    は、前節で述べた (& をさらに効率化した局所アンサンブル変換カルマンフィルタ ("5  $4" &   6 ($& を考案した。($& の根本原理は (& と同等であるが、主成分解析を行わず、計算の効率性を高めたものとなっており、現業利用により適している。,   , 
  や *) '"+%    私信 は、(& と ($&をいくつかのモデルに適用して比較実験を行い、両者のデータ同化性能が同等であることを確かめている。
($& では、主成分解析をせず、を構成しない。代わりに、アンサンブル摂動  を直接用い、個のアンサンブルメンバーが張る 次元空間内で解析を行う。まず、 次元空間内の
解析誤差共
T
分散行列
を以下のように求める。
 
T 0  1   !   

  



 

であり、前にも述べたように  は一意には決まらない
が、予報アンサンブル摂動と解析アンサンブル摂動の差を最小にするように決めると、



M 0 $  

の形の線形変換とする。定義から、

 

アンサンブル・アップデートは、となる。ここで、$ は固有ベクトルからなる 5  行列、
M  は でない  個の固有値を対角成分にもつ   行列である。 は でない固有値の数である（）。

5 行列 $
は、5 次元の物理空間から  次元のへの写像を与える。任意の状態ベクトル 、共分散行列  は、$ を使って、 次元のに写すことができる。

 

M ! #M 0 M  1 M   



これを用いて、物理空間での解析誤差共分散行列は、

0  T  

となり、解析アンサンブル摂動  は、 

 0  T 

により、物理空間での結果を得る。第  項で示したプロセスでは、誤差共分散行列 を陽には計算せずに解析を行ったが、(& では
内で M を陽にM持つ。先にを計算し、これを使って解析の計算を 

 0  となる の存在により、行列の平となる。
方根は一意ではないが、 T  が対称行列になるよ
うな平方根を選ぶ。

 

($& の効率性は、   式の逆行列計算と  式の行列平方根の計算を、 回の固有値分解で共有して行うところにある。すなわち、

 1   !   0 逆数を使って局所化する。例えば、予報誤差を遠い点で小さくする代わりに観測誤差を大きくする、という局所化である。直感的には、予報誤差を小さくし観測の影響を小さくすることは、観測誤差を大きくすることによっても実現されることから理解できる。つまり、   +  1 !  0 +     1 +  ! 

 

Æのように固有値分解すると、

T

0  


T  0   



のように求められ（  式も参照）、これを用いて解析アンサンブル平均が計算できる。
($& では、計算の効率化のため  を直接計算せず、T  !  # のように置き換える。ここで、 は観測点と "5 <5%の中心点の距離、 は相関距離パラメータを表す。
後で示すように、この局所化により、(& の性能が向上し、* *. と同等の性能を示すようになる。(& 実装の際は、この局所化の技術を適用するのがよい。この局所化を、"3" " 5"35"5 )"（または単に "3" "5 )"）と呼ぶ。





という 次元ベクトルを
行列 T  の各列に足して得られる % を先に計算する。最後に、

 %

Æ

のように、予報誤差に重みをかけることは、観測誤差にその逆数をかけることと同等である。逆数の存在が必要なので、 の局所化で重みが となるような、第 項で導入した  次方程式  のような関数は使えない。ガウス関数を使った場合、観測誤差共分散
の値を、



I<



となり、一つの固有値分解が双方に適用される。これ
らを計算すれば、カルマンゲイン行列  は

 0  T   ! Æ

により、解析アンサンブルを得る。こうすることで、
5
行列  を乗じる回数を 回ですむようにしており、さらに 5 次元のアンサンブル平均に摂動を足すプロセスを不要にしている。5 は "5 <5% 内の状態変数の次元であり、通常 に比べて大きいため、
 の乗算や 5 次元ベクトルの加算にかかる計算量は大きい。これら計算量の大きな計算を省略することで、(& に比べ計算が効率化される。($& は (&と比べ数倍程度の速度向上が報告されており & ' , A 私信# '"%  LA 私信、前処理や後処理を含めた解析システム全体の計算時間としても  倍程度の速度向上が期待される。($& は、(& の並列計算効率性に加えさらなる計算効率を求めたものであり、現業利用に適したアルゴリズムだと言える。



6.4.6 共分散膨張& を非線形系に適用すると、そのままではうまくいかない。& によって見積もられる誤差共分散が小さくなりすぎ "、観測の情報があまり入らなくなり、これをサイクルプロセスで繰り返すことで、だんだんと現実から離れ、誤差が発散してしまう K  3+5。この原因ははっきりとは調べられていないが、線形理論である & を非線形系に適用することによる誤差や、& の場合は少ないサンプルによる共分散の見積もり誤差など、理論における仮定が満たされない部分に起因するものである。原因は
さておき、実際問題として & がうまく働かないことは、& を試してみれば誰もが経験する。
  3+5 は共分散が小さく見積もられてしまうことで引き起こされるため、これを解決するには共分散を大きくすればよい。具体的には、誤差共分散の予報方程式  

6.4.5 観測誤差共分散の局所化(& 及び ($&（以下、単に (& と呼ぶ）では、 "5 <5% をとり、 "5 <5% 外との誤差相関を 0  1 とする局所化を内在している。しかし、この局所化
は、 "5 <5% 内はおしなべて であるのに、外に出たとたん となるような、不自然な階段関数を使ったものと同等である。そこで '"%      は、(& でも第  項で述べたような任意の関数を用いた *5%  <" 5 で局所化を行う方法を導入した。
(& を局所化する際は、予報誤差共分散  を局所化する代わりに、観測誤差共分散 ! を  の重みの 

におけるモデルのランダム誤差に起因する項  に相当するものを考慮し、共分散を大きくする。理論的には、& の導出過程で現れる  は、モデルのランダム誤差に起因する共分散である。第  項の解説では、モデルにランダム誤差はないと仮定し、この存在は無視してきた。ここで考慮する  は、必ずしもモデルの  !"ランダム誤差に起因するものではない。実用上 & が動作するための必要に迫られ、その原因は何であれ、対症療法的に考慮するというものである。このため、
 として具体的にどのようなものを与えればよいかというのは自明ではない。よく用いられるのは、 より
ほんの少し大きい値をかけて大きくする、共分散膨張5"35 E" と呼ばれる方法である。具体的には、Æ を小さな正の値として、

 0

1 Æ    が & の性能向方程式モデルで、上に寄与することを確かめた。
本項の最後に、(& で適用できる-      を紹介する。この方法
では、主成分方向に展開された上で、解析誤M
差共分散のトレースに比例する値を M の対角成分のみに足しこむ。

 )

M

 



として  の項を導入することと同等である。この方法は積をとることから、 < 53 5"35 E"と呼ばれる。この方法は、安定してあらゆる場合に適用可能である。
異なる方法として、各アンサンブルメンバーに小さなランダム誤差ベクトルを足す方法もある。ランダム
誤差ベクトルの共分散は、乱数の分布関数により決まる。乱数が独立なガウス分布の場合、非対角成分は 、対角成分はガウス分布の分散に一致する。ただし、これは無限にサンプルがある場合のことで、限られた数のアンサンブルメンバーで実現される場合は、当然サンプリングエラーを伴う。この方法は、:+ 法の誤差摂動ベクトル生成過程で、:+ サイクルのリ
スケーリングのプロセスで非常に小さなランダム誤差ベクトルを足しこむことが、性質のよい : 95"
:9 を得るのに有益であるという事実に基づく。実際、
'"%  & '   は、(") の  変数モ
デル (") # (")     を使って、ランダム誤差ベクトルを足しこんで作った :9 が、何もしない :9 では失われた高次の摂動シグナルを捕らえることを示している。これは、何もしない :9 がサイクルを重ねるにつれてP古くPなっていくのを、ランダム誤差ベクトルを足しこむことでP若くP保つ効果があることを示している。このように、ランダム誤差
ベクトルは、:+（育てる）過程で失われてしまうシグナルを生み出すことから、これから育つP種Pに見立て、（ランダムな種の植え付け）と呼んでいる。第  項で述べた *. と :+ の類似性を思い起こすと、*. もサイクルを長く繰り返すことでP古くPなっていくことが想像され、が有益であると期待される。実際、"))     は、準地衡流チャネルモデルを使った  次
元変分法のハイブリッド法（:9 の情報を  次元変分法の誤差共分散行列に部分的に取り込む手法）によるデータ同化実験で、が  次元変分法を安定化させ、性能向上に寄与することを確かめている。 '"%   も、低解像度の全球プリミティブM 1 
Æ

.8


M 





6.4.7 共分散膨張の動的推定法
前項で述べた共分散膨張の導入により、膨張の大きさのパラメータ Æ を決める必要がある。これはコント
ロールパラメータの一つであり、チューニングにより決定する必要がある。 '"%  & '   は、
このパラメータを動的に推定する手法を考案した。これにより、このチューニングは不要となり、開発コストの大幅な削減に貢献する。
& がどれほど予報誤差を小さく見積もっているかは、以下の統計でわかる。
## 0 1 Æ    1 !

ここで、#（0 
7  ）は、観測値と予報値の差（2値）からなるベクトルである。Æ を決めるのに、サンプ
リングエラーの大きい非対角成分を使うのは賢明でない。このため、Æ を見積もるのに、  式のトレース和を使う。すなわち、観測点での 2 値の  乗が、アンサンブルの分散と観測誤差の和に等しいという関係になる。このことは、2 値が、観測誤差と予報誤差の双方を含むことを考慮すれば、理解できる。

  !" !" 

ここで、Æ は小さな正の値、 は M のランクである。
膨張の大きさを解析誤差共分散 M に比例させること
で、誤差が大きいときは大きな、小さいときは小さな膨張を与えることになる 。誤差が大きいときには観測の情報をより多く与える必要があるため、このような取り扱いはフィルタの安定化に寄与する。この方法
は、先の積をとる  < 53 方法に対して、足しこむことから、3 5"35 E" と呼ばれることもある。この手法は (") の  変数モデルではうまくいくことが確かめられたが -     、
実際の大気モデルに適用してうまくいった例はこれまでのところ報告されておらず、実際の場合への適用可能性については疑問もある。

とする。これにより、見積もられる予報誤差共分散を少し大きくすることになる。この方法は、

 0 Æ ! 

# 0   7 
0   7    7   7   Æ  Æ
- - # * K
では、自ずと誤差の大きさに比例した膨張を与えている。
  では対角成分 4*  #7 のみ膨張させているが、物理空間では主成分方向全体に膨張させているため、# * ( # Kと呼ぶのが適当である。

  !"

6.4.8 4 次元アンサンブル・カルマンフィルタ
第  項で述べたように、29 は非定時の観測

トレース和は、時間及び空間的に局所化できる。空間的に局所化することで、場所に依存した共分散膨張を得ることが可能である。実際に統計を計算する際は、アプリ
ケーションにおける -*" - <  *5
のように、長期間の統計を使って、オフラインで Æ を計算することもできる。こうすることで、その統計期間（及び空間的な場所）における尤もらしい一定値を得ることができる。
一方、一時刻での統計を使って、その時刻の Æ の推定値を得られる。一時刻での統計には、サンプル数（観測点数）が少ないと、サンプリングエラーが大きくなり、非現実的な値を得ることがある。このため、実用上、Æ の上限及び下限値を定め、統計による推定がこれを超えた場合は、上下限値を指定するなどの取り扱いが必要である。一時刻の統計で見積もり、これに上下限を課して得られた Æ をその時刻での観測とみなす
ことにより、アプリケーションにおける & のように、& を使って動的に推定することもできる。これにより、時間変動する Æ を使うことになる。すなわち、Æ の予報解析サイクルを以下のように構築する。

 0

Æ



  1 Æ  1 

Æ 



 0










0 Æ




0

Æ 
 



  1

をその時刻のものとして扱うことができる。衛星デー
タやレーダーなど非定時の観測が増加の一途をたどる
昨今、このように多くの観測データを適切に扱うことは不可欠である。& は、本来時刻を固定したデータ同化手法で、逐次的に観測データを扱う場合などは、観測があった時刻毎に同化する必要がある。しかし、観測が入るたびに同化するというのは、システム構築上
簡単ではない上、計算コストも必要とされる。そこで、,       は、& で同化時刻とは異なる
時刻の観測データを適切に同化する 2& を提唱した。
& は、アンサンブル摂動の張る空間内で解析イ
ンクリメントを作る。解析値は予報アンサンブルの線形結合で表されるが、この結合係数が、同じ解析においては、異なる時刻でも一定となる。このことは、以下のように理解できる。各アンサンブルメンバーは、モデルにより時間発展し、各時刻で異なる状態を持つ。
アンサンブルの線形結合で実現される解析値は、結合係数を一定とすることで、モデルの時間発展を陽に計算することなく、その異なる時刻での状態を得ることができる。
この考え方に基づき、2& では、時刻  におけるデータ同化の際、異なる時刻 " の観測に対する観測
演算子を、











 

1 N

7 



に置き換えて扱う。ここでの記号  はこれまでとは違い、摂動成分ではなく、アンサンブルメンバーそのものを各列に持つ行列である。このようにして、アンサ
ンブル予報以外にモデルの時間発展を行わずに、その時刻でのアンサンブルがあれば、いかなる時刻の観測も扱えるようになる。これにより、29 特有の利点と考えられていた非定時観測の扱いについても、&
は不利とはならない。,       は、(")の  変数モデルを使って、2& が期待通りの働きをすることを確かめている。
この定式化では、観測時刻 " が解析時刻  の先か後かは仮定していない。未来の観測があればこれを同化することももちろん可能で、擬似的にスムーザ  を実現できる。通常未来の観測は得られないが、オフラインで行う再解析などの場合は未来の観測を使うことができる。スムーザがフィルタよりもよい結果を与えることは当然である。再解析においては、この技術がスムーザとしての役割を果たし、よりよい再解析値を得るのに重要な役割を果たし得る。ただし、カオス力学
系の常として、観測時刻 " と解析時刻  の差は、非線

ここで、 は Æ の推定誤差の分散を表す。予測方程式では、Æ については単位行列のモデル <5、誤差分散  には N による誤差の膨張を考慮している。この& のプロセスで、新たなコントロールパラメータ 
及び N が生じている。このチューニングが必要となれ
ば、このような動的推定を適用する意味はない。しかし、 '"%  & '   が示したように、この推定プロセスはこれら新たなコントロールパラメー
タの値にはほとんど依存せず、チューニングは不要である。例えば、 0  、N 0
 といった値を指定すればよい 。 '"%   は、この手法を適用することでフィルタが安定化することを示し、アンサン
ブル・スプレッドの大きさが真の誤差の大きさに近づくことを確認した。アンサンブル・スプレッドは、アンサンブルにより見積もられた誤差の大きさを表すと解釈できるから、適当な大きさの共分散膨張を行うことで、アンサンブルが適当な大きさの誤差を持つように調整されたと言える。


 
 
   

 E %   A- E 47 の @  >(6 モデルを用いた調査によると、数桁にわたるレンジで  や L の値を変えても結果に影響がない。しかし、無用な心配を避けるためにも、     や L    といった無難な値の採用が望ましいだろう。



スムーザ 4%
7 は、過去から現在に加え、未来の観測を使う場合をいう。フィルタ 4M-7 は、過去から現在までの観測を使う場合をいう。



形の影響が無視できるだけ小さい必要がある。データ
同化が時間方向にデータを積み重ねていくことを述べた際、カオス力学系は過去を忘れるため無限に積み重ねることはできないことは既に述べた。

Lorenz96 Analysis RMSE NOBS=20 Serial EnKF (NBV=8)
0.1
0.4
5

5

25

0.4

0.37

0.37

5

0.4

0.475
0.45

0.3

5

0.3
5

covariance inflation factor

0.05

0.04

FILTER DIVERGENCE

0.42
5

1

2

3

4

5
6
Schur product length scale

7

8

9

10

9

10

Lorenz96 Analysis RMSE NOBS=20 LEKF (NBV=8) w/LOCALIZATION
0.4

25

0.375

0.4

0.4

0.09

5

0.5
0.475

0.1

0.4

0.01

0.45
0.475

0.02

0.08

37
0.

75
0.3

5
0.3
0.4



0.04

0.375

添字  0 
 5 は格子点を表し、右辺第一項は移流項、 は 4"5+ に相当する。周期境界条件   0
    0    0    を適用して、 を経度方向の格子点と見立てることができる。このモデルの振る舞いは 5%"5 であり、5 0    0  とした場合、誤差成長速度の観点から、時間 （次元なし）が日に相当することが知られている。(")  と同様、 次の . +&  法で時間積分し、差分時間
N 0
とした。
構築したデータ同化システムは、第  項で述べた* *. と (& である。比較のため、29
も構築した。この低次元のモデルの場合、
 行
列をそのまま持ち逆行列を計算することは容易にできるから、29 といっても -D と同じ方程式 
を直接解くものである。観測は格子点上に分布すると仮定したため、観測演算子は線形で、29 と -D は同じものとなる。29 の背景誤差共分散は、長期間のサンプルを用いた
 法 !%  2
 により見積もった。データ同化サイクル実験は、-** -3+ *' * " I< に基づき行った。真の状態を同じモデルで作り、これにガウス分布するランダム誤差を加えて、観測値を生成、同化する。観測誤差の標準偏差はとした。
観測点を格子点の半数の  点とした場合、29
は、解析値の誤差平方根平均  乗誤差 .""*F  "6 . *  を示した。データ同化を行わない  つの自然ランの差は、  程度であるから、
29 が良く働いていることがわかる。& の結果を示したのが図  である。29 と比べると 程度と格段に良く、 つの & の手法の間には、それほど差はない。しかし、等値線を見比べると、下の

0.05

35

0.

0.06

0.5
0.475
0.45

 

0.07

0.425

   1 

covariance inflation factor

5は、以下のようなものである。



0.06

0.03

6.5.1 Lorenz の 40 変数モデルへの適用
これまでも何度か出てきた (") の  変数モデル
0     

0.07

0.4

前節で、& を実際に実装する際の技術について、詳細に述べた。本節では、(") の  変数モデル(") # (")     と *!2Lモデル"    に適用した場合の & のパ
フォーマンスを簡単に紹介する。本節で述べる内容の詳細は、 '"%   にあるので、適宜参照していただきたい。



0.4

0.08

6.5 適用例



0.5
0.475

0.09

4
0.

5

42

0.

FILTER DIVERGENCE

0.03

0.425
5
0.4

0.02

0.3

5

4
0.

0.01

1

2

3

4

5
6
Schur product length scale

78

図     格子点のうち  点を観測し、アンサンブルメ
ンバー数を  としたときの @  > モデルでの  A の解析 。縦軸は共分散膨張パラメータ、横軸は局所化
パラメータを示す。上が  -  （最小値は  ）、
下が @A（最小値は  ）を表す。N0@2 0/(.&1Nと書かれている領域は、誤差が発散しフィルタがうまく働かない領域を表す。

(& の方が大きな面積を囲っている分、優れていると言える。

6.5.2 全球プリミティブ方程式モデル (SPEEDY) への適用*!2L モデルは、 "    により開発された、非常に速い全球プリミティブ方程式モデルである 。非常に速いのは、物理過程を単純化しているためであるが、単純化しているといっても基本的なプロセスは網羅しており、現実的な全球予報ができる。解像度は $ ( と非常に粗いが、 "    に示されているように、大気大循環をそれなりに再現する。
精度は現業モデルのようなより現実的なモデルに劣る
が、 "    は、誤差の性質が現業モデルと似ている点にも言及している。
 時間予報に、1-
算時間を要する。

  .8> の 1 で、 秒程度の計

SPEEDY-3DVAR/EnSRF 5-DAY FORECAST
40
RMSE(3DVAR)SPREAD(EnSRF)
RMSE(EnSRF)

35

ENERGY [m2/s2]

30

25

20

15

10

5

0
0

24

48

72

96

120

TIME [HOUR]図 
(/（細実線）及び  -  （太実線）の D モデルでの  日予報における解析及び予報
（エネルギーノルム O  % P）。横軸は予報時間（〜 時間）、縦軸は  の大きさをメートルでそれぞれ表す。 -   については、アンサンブル・スプ
レッドも示した（太点線）。

図    (/（点線）、 -  （実線）、@A（破線）の D モデルでの解析 （ 高度場）の時間変動。横軸は、同化サイクルを始めた  月 
日から  月  日までの時刻、縦軸は  の大きさをメートルでそれぞれ表す。アンサンブルメンバー数は とした。

*. の  日予報誤差が、29 の解析誤差とほぼ等しくなっており、& が 29 と比べていかに優れているかが一目瞭然である。& のアンサンブル・
スプレッドと . * を見比べると、両者は平行しており、ほぼ同じ誤差成長率を持っている。これは、真の誤差と、& のアンサンブル摂動が、同じような成長率を持つことを意味する。つまり、& によって捕らえられているアンサンブル摂動は、真の誤差と似た性質を持っており、摂動生成法としても優れていると言える。なお、この図でアンサンブル・スプレッド
が . * より少し大きいのは、大きめの共分散膨張パラメータを使っているために、共分散が本来より大きく見積もられているためである。共分散膨張パラメー
タの動的推定を適用すると、スプレッドの大きさが調整され、この二つの線が重なる。

表    D モデルでの  A の成績（ 高度
場の解析 O P）

メンバー数* *.

(&















実験の詳細は '"%   に譲るとして、早速主な結果を示そう。観測点は格子点空間で一様にとり、
 点ごとに 点（全格子点の約 =）、時間方向には
 時間間隔という割合で与えた。観測誤差の標準偏差
は、風は東西・南北成分とも @、気温は &、地上
気圧は %!、比湿は  +@?+ とした。ヶ月分の予報
解析サイクルを計算し後半 ヶ月の平均を取って、解析 . * を計算した。解析 . * は、数値予報精度の指標として標準的に用いられる  %! 高度場で示す。図  に解析 . * の時間変動を示す。**.、(& とも、29 を大きく上回る。この図は、(& に観測誤差共分散の局所化を適用していない場合で、後半一ヶ月は多少 * *. に劣るように見えるが、局所化を適用すると同等の結果が得られる。後半一ヶ月の平均値で示すと、29 は  であるのに対し、& は、表  に示すようになる。ここで、共分散膨張パラメータは動的推定し、局所化パラメータはチューニングして最良の結果を求めた。* *. と (& の間には有意な差は見られず、29 を大きく上回っている。
最後に、 日予報の結果を図  に示す。* 

6.6 まとめ& は、アンサンブル予報システムとデータ同化システムの相補的関係に着目し、この二つのシステムを融合するものである。本章では、& の理論的背景、概念から、実際に実装する際の技術まで網羅的に解説した。さらに、簡単なモデルを用いた適用例を示
し、理想的な条件下では & が非常に良く働くことも示した。本節では、これまで培った知見に基づいて、
& の利点と問題点について考察し、今後の可能性について探りたい。

6.6.1 利点と問題点
前節まででも、折に触れて & の利点に言及したが、実用上特に重要なものは、以下の通りである。
完全に流れに依存した誤差共分散が、データ同化
及びアンサンブル摂動生成に反映され、理想的なアンサンブル予報解析サイクルを構成する。
接線形モデルやアジョイントモデルが不要のため、維持開発コストが大幅に削減され、頻繁に改良・更新されるモデルが即座に解析に反映できる。
非線形の観測演算子について、接線形コードやアジョイントコードが不要であり、新たな観測導入な
どの際の開発コストの削減、迅速化が可能となる。
& のアンサンブル摂動は、プラス・マイナスのペアではなく、 メンバーあれば次元の空間を張ることができるものであり、従来のプラ
ス・マイナスペアの手法より約  倍程度自由度の大きな空間を張る。
これらの利点は非常に大きく、アジョイントモデルが不要である点だけをとっても、同程度の成績を出すのであれば、29 の代替法となりうるほどのものである。さらに、今後モデルの性能が向上するにつれ、モ
デル誤差が小さくなり、誤差共分散を陽に予報する &が有利になると想像される  。
問題点についても、前節までで折に触れて言及したが、例えば非定時観測の利用は 2& により解決された。未だ解決し得ない問題点を挙げると、以下の通りである。
モデルに誤差があると、これを使って見積もられる誤差共分散の情報に誤差が積み重ねられる。
*9 はノルムをある特定の領域や変数などでターゲットできるが、& はこれができない。台風アンサンブルなど、領域や変数をターゲットしたアンサンブル予報をしたい場合に不利にならないか。
降水量の観測や 分間平均風速など、時間積分量の観測の同化法が自明でない。
モデル誤差の問題については、まずはバイアスの問題がある。バイアスを完全に除いたとしても、誤差共分
散に影響を与えるモデル誤差の二次モーメントの問題が残る。モデルバイアスについては、2   * 3 による推定法、またその低次元のもの 24"%     により、ある程度は推定されうると調べられている
'"%  。しかし、実際の解像度で実際の観測を用いた場合の適用可能性などについて、更なる研究が必要である。その上、二次モーメントについては、推定する以前の問題として、その大きさ及び影響すら未知である。
領域や変数をターゲットしたアンサンブル予報については、:9 が根本的に孕む問題である。しかし、大きく誤差が成長するアンサンブルが必ずしもよいわけではなく、現実的に可能なばらつき方をしたアンサン
ブルが意味を持つと考えることで、& には別の利点があるとも考えられる。すべてのアンサンブルメン
バーが同じ重みを持ち、データ同化の影響も考慮した
現実的なばらつきを持つアンサンブルのほうが、より現実的な台風アンサンブルを実現する可能性もある。
例えば精度のよい観測が多数ある場所に大きな振幅を持つような成長モードがあるとしても、データ同化により抑えられている誤差を不用意に大きく見積もったモードをアンサンブルに含める必要はないと考えるのである。これにより、大きな予報円を自信を持って小さくできるなど、利点が生じるものとも想像される。しかしこれらの議論は想像の域を出るものではなく、より明確な議論をするには、実際に & を用いた台風
アンサンブルなどの研究、調査が必要である。
時間積分量の観測の同化については、29 は時間方向に積分した観測演算子を使うことが可能である。
2& は、異なる時刻の瞬間値の同化には有効だ
が、時間方向に積分する仕組みは持っていない。観測量に相当するものを予報から作り出すことで、見かけの状態変数の次元を増やす方法（ +"）が知られている。この方法により、異なる時刻の観測ばかりでなく、時間積分量の観測も状態変数に追加することができるが、時刻が異なると主に移流の効果により
局所化の扱い方が自明でなくなる。力学スキームにおけるセミラグランジュ法のように、上流点を求め、このまわりに局所化するなどの工夫が必要になるかもしれない。このように、時間積分量の同化は今後の課題の一つで、時間積分量の観測でインパクトが大きいものがあれば、避けては通れない課題となる。



6.6.2 今後の課題と展望
今後考えられる課題は、以下の通りである。一部前節で述べた問題点とも関連する。
高解像度全球モデルへの適用
実際の観測データの使用
モデル誤差推定法の適用可能性調査
メソ領域モデルへの適用
アンサンブル予報プロダクトの性質という観点からの性能調査ターゲット観測 + "3" への有用性
まず、現業モデル並の高解像度の全球モデルに適用することがあげられる。これまでの研究では、理想的な(") モデルのようなモデルや、$ 程度の低解像度の全球モデルに適用したものが多い。$  を超える現業モデル並の解像度で適用した場合に、どの程度のアンサンブルメンバーが必要かなどは、自明でない。現象に特有の自由度があれば、モデルの解像度によらず、
アンサンブルメンバーの数が決まるかもしれない。一方で、モデルの解像度が高まれば、その分 & に必(/ はタイムウィンドウの始めの背景誤差共分散を多くの仮定の下、非常に単純な形状に縮退させる。一方  Aは局所化以外の仮定はおかないため、 A の方が流れに依存した誤差共分散の形状を表現する。実際、D )  47 は完全モデルを仮定して準地衡流チャネルモデルを使った (/ と  A の比較実験を行い、 A の優位性を確かめている。(/ のタイムウィンドウが十分長く、
タイムウィンドウ始めの背景誤差共分散の影響がなくなった
場合は、この点での  A の優位性は明らかではなくなる。



参考文献
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この点について調査する必要がある。
次に、実際の観測データを使用することがあげられる。これまでの研究では、モデルの完全性を仮定した研究が多い。実際の観測データを適用した数少ない研
究では、カナダのグループが、29 と同程度の性能しか得られないという結果を得ている ," ?    。ただ、彼らの手法では、モデル誤差に起因する項として、統計的なアンサンブル摂動をサイクル毎に足しこむことをしており、彼らのアンサンブル摂動
は成長しないことが分かっている。このような点からも、彼らの手法が最善の & とは考えにくい。ごく
最近、%?  ,   によって、 !
の全球モデルを用いて、実際の観測データを適用し、
29 を上回る結果が得られている。このほか、実際の観測データを用いるとモデルの誤差も問題となり、モデル誤差に敏感な & がうまく働く保証はない。
実際の観測を使用してモデル誤差を含む場合には、モ
デル誤差の推定法が適用可能かどうか、研究が必要である。
実用に向けて、メソ領域モデルへの適用や、アンサンブル予報プロダクトの性質など、ほかにも重要な研究課題がある。このほか、ターゲット観測については、*9 法を応用した予報の感度試験について第  節の*9 法の解説でも述べられている。& を使うと、解析への感度試験を行うことが可能で、最も解析誤差を小さくするようなターゲット観測を支援することができる。ターゲット観測により効率的に解析誤差を小さくし、この情報を引き継いだサイクルプロセスを重ねていけることが、& におけるターゲット観測の利点である。& をターゲット観測に応用する試みは、
例えば (      により単純なモデルを用いた研究がなされているなど黎明期であり、今後の研究に期待される。
& は、これまでは理論的に一意ではない *. の様々な解き方が個別に提案され、いわば群雄割拠の相を成していたが、最近はそれも収束しつつある。基本的な技術への理解は固まりつつあり、," ?     や %?  ,   が結果を発表しているように、実際の観測データを適用する段階まで来ている。今後、現業化を視野に入れた開発も近いものと想像される。ただ、  に代表されるよ
うに、世界の多くの数値予報センターでは、29 を運用し、すばらしい成果が得られている。今後しばらくの間は、どちらがよいか結論付けることは難しい。このため、29 を維持し、改良を重ねつつも、&
の研究の最先端を見失わず、双方の開発を同時並行して行い、常に最良の技術を適用できるような準備を進めておくことが肝要である。

 



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三好建正A  6 アンサンブル・カルマンフィルタ Q
データ同化とアンサンブル予報の接点Q 天気A A 
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露木義A 6 変分法によるデータ同化 数値予報課報
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