全曲率の小さい完備な特異点付き非固有アファイン球面の分類と新しい例
東京工業大学 理学院
松本 洵 (Jun MATSUMOTO) *1 序
非固有アファイン球面 (IA-sphere) は局所的に楕円型 Monge–Ampère 方程式

φxx φyy − φ2xy = 1(1.1)

を満たす関数 φ(x, y) のグラフとして表される 3 次元 (ユニモデュラー) アファイン空間 R3 = (R3 , det) 内の特異点を持たない曲面であり，ユークリッド空間内の極小曲面の Weierstrass の表現公式に類似した複素表現
公式 ([FMM96], [FMM99]) をもつ．一方，ある種の完備性を IA-sphere に課すと，自明なものに限られることが知られている (アファイン版 Bernstein の定理 ([Cal58]))．そこで Martı́nez [Mar05] は特異点を許した
IA-sphere である非固有アファイン波面 (IA-front) を IA-sphere の Weierstrass 型表現公式を特異点を許す形に拡張して定義し，さらに，完備な IA-front に対して，ユークリッド空間内の完備極小曲面に類似した性質を示し，いくつかの例を与えた．本講演では，Martı́nez が定義した完備 IA-front の全曲率に関する曲面の分類と，種数 1 の新たな例を紹介する．

2 非固有アファイン波面 (IA-front)
2.1 非固有アファイン波面 (IA-front)“完備” な IA-sphere は自明なもの (楕円放物面 (例 2.10)) に限ることが知られている ([Cal58])．
そこで，Martı́nez [Mar05] は非固有アファイン球面の Weierstrass 型表現公式を特異点を許す形に拡張して，特異点付き IA-sphere である以下の概念を定義した．
定義 2.1. ([Mar05, Deﬁnition 1]) Σ を Riemann 面, (F, G) : Σ → C 2 を正則曲線 (F, G は Σ 上の正則関数
で (dF, dG) 6= (0, 0)) で次の周期条件を満たすとする: Σ 内の任意の閉曲線
γ に対してZ(周期条件)ReF dG = 0.

(2.1)

γ

このとき,

ψ :=


Z
122
F + G, (|G| − |F | ) + Re F G − 2 F dG
: Σ → C × R = R32(2.2)

を非固有アファイン写像 (IA-map) とよび，組 (F, G) を Weierstrass データとよぶ．

IA-map は｢波面｣とよばれる特異点を許したクラスの曲面になる． このことを強調して，ここでは IA-mapのことを非固有アファイン波面 (IA-front) と呼ぶ. また, IA-front の特異点は |dF | = |dG| となる点に対応
し, その点でアファイン計量 h = |dG|2 − |dF |2 と平坦基本形式
ds2 := dX ，dX = |dF |2 + |dG|2 + dF dG + dF dG(ただし， ， は C = R2 の標準内積で，X := F + G : Σ → C = R2 ) は退化する．
注意 2.2.

 Weierstrass データ (F, G) から構成される IA-front と(αF + βG + λ, β̄F + ᾱG + µ)
* E-mail:matsumoto.j.ad@m.titech.ac.jp(|α|2 − |β|2 = 1, λ, µ ∈ C)

(2.3)

から構成される IA-front はアファイン法線ベクトル ξ = (0, 0, 1) を固定する R3 の等積アファイン変換(R3 3 x 7→ Ax + b ∈ R3 (det A = 1, b ∈ R3 )) で移り合う．特に (F, G) 7→ (F + λ, G + µ) は R3 の平行移動に対応する．
 (F, G) から構成される IA-front と (G, F ) から構成される IA-front は等積アファイン変換で移り合う．

2.2 完備非固有アファイン波面
以下, ψ : Σ → R3 を (2.2) で定まる IA-front とし, (F, G) を Weierstrass データとする. 特異点をもつ曲面である IA-front に Martı́nez は次のように完備性を定義した.
定義 2.3. ([Mar05, Deﬁnition 2]) IA-front ψ が完備であるとは, あるコンパクトな台をもつ Σ 上の対称双線形形式 T が存在して,

e 2 := T + ds2ds(2.4)が完備リーマン計量となることである．ただし，ds2 は平坦基本形式 (2.3) である．
事実 2.4. ([Mar05, Proposition 1]) 完備 IA-front ψ に対して次が成立する:

 Σ はコンパクト Riemann 面 Σ から有限個の点 {p1 , . . . , pn } (n ≥ 1) を除いたものと双正則同値になる.
 (F, G) は Σg 上に有理型に拡張される. また，F と G の少なくとも一方は各 pj で極を持つ.
除かれた n 個の点 pj , またその近傍の ψ による像を IA-front のエンドと呼ぶ.
以下, Σ = Σg \ {p1 , . . . , pn } とする (g はコンパクト Riemann 面 Σg の種数). また,ρ :=dFdG(2.5)

とおくと, 事実 2.4 から ρ は Σg 上の有理型関数となり, これを Lagrangian Gauss 写像と呼ぶ. ここで,
X := F + G，N := F − G (X , N : Σ → C = R2 ) を用いて, Lψ := X + iN : Σ → C 2 = R2 ⊗ C とおくとき(R2 ⊗ C は R2 の複素化である)Lψ は Σ 上の特殊 Lagrangian はめ込みとなる ([Mar05, Theorem 1])．このLψ による C 2 = R4 の標準的なユークリッド計量からの誘導計量 dτ 2 := dX ，dX + dN ，dN はdτ 2 = 2(|dF |2 + |dG|2 )(2.6)と Weierstrass データを用いて表すことができる.
事実 2.5. ([Mar05, Proposition 2, Theorem 4]) ψ : Σ = Σg \ {p1 , . . . , pn } → R3 を完備 IA-front とする．

 誘導計量 dτ 2 は Σ 上の完備リーマン計量となる. また, この計量に関する Gauss 曲率を Kτ ， 面積要素を dAτ とすると次が成立する:
Z
Kτ dAτ = −2π deg ρ ∈ −2πZ≥0 ．
(2.7)
Σ

ただし, deg ρ は ρ の写像度である．(2.7) の左辺の積分を ψ の全曲率とよぶ．
 エンド pj が埋め込みであるための必要十分条件は F と G が pj で高々 1 位の極を持つことである.
 (Osserman 型の不等式) 全曲率 (2.7) は次の不等式を満たす:
Z
1−(2.8)Kτ dAτ ≥ −χ(Σg ) + 2n.
2π Σ
ただし, χ(Σg ) = 2 − 2g は Σg の Euler 数である. さらに, (2.8) は次のように書き換えられる:deg ρ ≥ 2(g − 1 + n)．
不等式の等号はすべてのエンドが埋め込みであるときに成り立つ.

2.3 埋め込まれたエンドのみをもつ完備 IA-front の例
ここで, Martı́nez が構成した例を紹介する ([Mar05, Section 4])．

(2.9)

例 2.6.

Σ = C,

F = z,(|b| 6= 1).

G = bz(2.10)

このとき, F と G は 1 つの埋め込まれたエンドをもつ完備 IA-front の Weierstrass データとなり, 表現公式
(2.2) によって表される曲面は楕円放物面である．
例 2.7.

Σ = C \ {0},F =1，zG = az(a ∈ R \ {0})．

(2.11)

このとき, F と G は 2 つの埋め込まれたエンドをもつ完備 IA-front の Weierstrass データとなり, 表現公式
(2.2) によって表される曲面を rotational IA-front とよぶ．
例 2.8.

Σ = C \ {0},F =1，zG = az +bz(a ∈ R \ {0}，b 6= 0, |b| 6= 1)．

(2.12)

このとき, F と G は 2 つの埋め込まれたエンドをもつ完備 IA-front の Weierstrass データとなり, 表現公式
(2.2) によって表される曲面を non-rotational IA-front とよぶ．

3 (主定理) 全曲率 −8π 以上の完備非固有アファイン波面の分類
ユークリッド空間 R3 内の有限全曲率完備極小曲面の全曲率は −4mπ (m ∈ Z≥0 ) で，m = 0, 1, 2 の場合にOsserman [Oss], López [Lóp92] が分類した．一方，事実 2.5 によれば，完備 IA-front の全曲率は −2mπ である. ここでは, m が 0 ≤ m ≤ 4 である場合の完備 IA-front の分類を行う.
以下, ψ : Σ = Σg \ {p1 , . . . , pn } → C × R を完備 IA-front とし (n はエンドの個数，g はコンパクト
Riemann 面 Σg の種数), (F, G) を Weierstrass データ, ρ = dF/dG を Lagrangian Gauss 写像 (2.5) とする.
事実 3.1. ([Mar05, Theorems 5, 6, 7])

 Lagrangian Gauss 写像 ρ が定値写像であるような完備 IA-front は楕円放物面 (例 2.6) に限る.
 n = 1 でそのエンドが埋め込みであるための必要十分条件は ψ が楕円放物面となることである.
 n = 2 でそのエンドが埋め込みであるための必要十分条件は ψ が rotational IA-front (例 2.7) またはnon-rotational IA-front (例 2.8) となることである.
注意 3.2. n = 0，つまり，コンパクトな IA-front は存在しない．

3.1 全曲率が 0 である場合
定理 3.3. ([Mar05, Theorem 5], [Mat24, Theorem4.2]) 全曲率が 0 である完備 IA-front は楕円放物面である.

3.2 全曲率が −2π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (0, 1) となるので，Σ = C として一般性を失わない. また,
b = C ∪ {∞} 上の ∞ にのみ極をもつ有理型関数は多項式関数である.
C定理 3.4. ([Mat24, Theorem 4.3]) 全曲率 −2π の完備 IA-front は以下の Weierstrass データから構成される:F = az 2 ,G=z(a > 0)(3.1)

3.3 全曲率が −4π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (0, 2), (1, 1), (0, 1) となる．はじめの 2 つは (2.9) の等号条件からすべてのエンドは埋め込まれたエンドである．事実 3.1 の 2 つめから, (g, n) = (1, 1) は起こり得ない.
定理 3.5. ([Mat24, Theorem 4.5]) 全曲率が −4π である完備 IA-front は rotational IA-front, non-rotationalIA-front，または Σ = C 上の 2 種類の Weierstrass データから構成される．

3.4 全曲率が −6π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (1, 1), (0, 2), (0, 1) で，いずれも (2.9) の等号を満たさない．
(g, n) = (1, 1) のとき，楕円関数の性質を用いて，曲面は存在しないことがわかる. (g, n) = (0, 1) のときは，
Σ = C としてよく，(g, n) = (0, 2) のとき，一般性を失わずに Σ = C \ {0} としてよい.
定理 3.6. ([Mat24, Theorem 4.6]) 全曲率が −6π である完備 IA-front は，Σ = C 上の Weierstrass データから構成される 4 種類, または Σ = C \ {0} 上の Weierstrass データから構成される 5 種類の計 9 種類である．

3.5 全曲率が −8π である場合
Osserman 型の不等式 (2.9) から，(g, n) = (0, 3), (2, 1), (1, 2), (1, 1), (0, 2), (0, 1) である. 最初の 3 つの場
合は等号条件を満たすから，事実 3.1 により (g, n) = (2, 1), (1, 2) は不可能である．
定理 3.7. ([Mat24, Theorem 4.8]) 全曲率が −8π である種数 0 の IA-front ψ : Σ → R3 は Σ = C 上のWeierstrass データから構成される 6 種類と Σ = C \ {0} 上の Weierstrass データから構成される 16 種類とΣ = C \ {0, 1} 上の Weierstrass データから構成される 3 種類の計 25 種類である．
残る (g, n) = (1, 1)，つまり，種数 1 でエンドが 1 個の場合を考える．定義域の適当な変換により Σ =C/(Z ⊕ τ Z) \ {[0]} (1 次元複素トーラス −{1 点 }) としてよい. ただし, τ は Im τ > 0 を満たす複素数である. また, ρ, F, G は Σ 上の有理型関数だから, C 上の楕円関数と同一視できる.
命題 3.8. ([Mat24, Proposition 4.9]) 全曲率 −8π である種数 1 の完備 IA-front ψ : C/(Z ⊕τ Z)\{[0]} → R3は周期条件
c (2g2 η2 − 3g3 τ ) ∈ iR,c (2g2 η1 − 3g3 ) ∈ iR.

を満たす Weierstrass データ

F = a℘′ + b℘,

G = c℘(a > 0, c 6= 0),(3.2)(3.3)

から構成される．ただし ℘ は Weierstrass の ℘ 関数で，g2 , g3 , η1 , η2 は Weierstrass の不変量とよばれる，格子 Z ⊕ τ Z から決まる複素数である．
複素トーラス C/(Z ⊕ τ Z) が τ = eiπ/2 (正方形トーラス) や τ = e2πi/3 (正三角形トーラス) のときは周期条件 (3.2) が満たされないことに注意する．ここで，τ = eiα (α ∈ (0, π)) という特別な場合を考える．
Weierstrass の不変量は格子 Z ⊕ τ Z から決まる τ の関数であるから，周期条件 (3.2) は次のように表せる:

cp1 (α) := c(2g2 (eiα )η1 (eiα ) − 3g3 (eiα )) ∈ iR,cp2 (α) := c(2g2 (eiα )η2 (eiα ) − 3g3 (eiα )eiα ) ∈ iR.

したがって，もし周期条件が満たされるならば次が成り立つ:

P (α) := Im p1 (α)p2 (α) = 0．

(3.4)

定理 3.9. ([Mat24, Theorem 4.11]) ある α0 ∈ (π/3, π/2) が存在して，P (α0 ) = 0 を満たす. 特に，以下のWeierstrass データから構成される，完備 IA-front ψ : C/(Z ⊕ eiα0 Z) \ {[0]} → R3 が存在する:F = a℘′ + b℘,

G = ip1 (α0 ) ℘(a > 0, b ∈ C),(3.5)

これは，正の種数を持つ完備 IA-front で全曲率最大の例である．
ここで，次の関数について考える;
Pe(τ ) := Im pe1 (τ )pe2 (τ ) : H := {τ ∈ C; Im τ > 0} → R．

(3.6)

ここで，pe1 (τ ) := 2g2 (τ )η1 (τ ) − 3g3 (τ )，pe2 (τ ) := 2g2 (τ )η2 (τ ) − 3g3 (τ )τ は H 上の滑らかな関数である．定図1

種数 1，全曲率 −8π の完備 IA-front (定理 3.9)

理 3.9 から，Pe (eiα0 ) = P (α0 ) = 0 である．一方で，Mathematica による数値計算から次がわかる:

dPe iα(e )dα≈ −7.74116 × 106 6= 0.
α=α0

ゆえに，陰関数定理から 0 を含む開区間 I と滑らかな曲線 ϕ : I → C が存在し，を満たす．したがって，W :=nϕ(0) = eiα0 ,Pe(ϕ(t)) = 0(t ∈ I)oτ = ϕ(t) ∈ H; Pe(ϕ(t)) = 0 (t ∈ I) とおき，各 τ ∈ W に対して ipe1 (τ ) ま

たは ipe2 (τ ) のいずれか 0 でない方を c として選ぶと，周期条件 (3.2) が成立する．したがって，種数 1 で全曲率 −8π である完備 IA-front の実 1 パラメータ族が存在することがわかる ([Mat24, Remark 4.12])．
Martı́nez は [Mar05] で種数 1 の例を 1 つ構成しており，その全曲率は −12π とわかる．これと定理 3.9 から，｢種数 1 で全曲率 −10π の例は存在するか？｣という問題が考えられ，次の例はその答えの 1 つになる．
例 3.10. ([Mat24, Example 4.13]) Σ = C/(Z ⊕ iZ) \ {[0]} = (正方形トーラス \ {1 点 }) とし，

F = ℘′′ +5g2℘,7πG = ℘′(g2 = 4℘(1/2)2 ∈ R)

(3.7)とすると，F, G は種数 1 で全曲率 −10π である完備 IA-front を与える．

図2

種数 1, 全曲率 −10π である新しい例

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