結び目理論の科学への応用－プリオン分子モデルとこころのモデルを中心として

河内明夫
２００９年９月２３日

１．結び目, 絡み目, 空間グラフの数学とその科学的意味を考える
２．プリオン蛋白分子モデルの結び目理論

３． こころのモデルの結び目理論
ー こころの有り様を図示する試み１． 結び目, 絡み目, 空間グラフの数学とその科学的意味を考える
結び目＝空間内に置かれた１本のひもの状態

結ばれていない

ひとえ結び

8の字結び

☆両端のあるひもでは、それを含む領域も考える

☆両端のあるひもでは、それを含む領域も考える

＝

位相的には同じ（連続的な１対１の対応がある）

☆両端のあるひもでは、それを含む領域も考える＝

☆ふつうは、結び目は輪として考える

自明な結び目

三葉結び目

8の字結び目

絡み目＝いくつかの閉じたひもの結び目の集まり

ホップの絡み目空間グラフ

樹下のθ曲線

歴史的には結び目理論はトポロジー（位相幾何学）の分野と考えられてきた
その理由:
連続的な1対1の対応という同型の概念の位相の言葉による定義

定義
２つの与えられた結び目（あるいは絡み目, 空間グラフ）が同じ（同型）である＝
それらを（伸び縮みや変形可能なひもとみなして)あやとりの要領で同じ形に変形できる＝
それらを（伸び縮みや変形可能なひもとみなして)有限回のライデマイスター移動により移りあうライデマイスター移動

数学研究としての結び目理論の研究目的(1) どのような結び目・絡み目があるかを研究し, それらを重複なしにリストアップすること(2) ２つの与えられた結び目・絡み目が, 同じ（同型）かどうかを判定すること

・結び目表（同型なもの, 鏡像に同型なもの, 素でないものを除く）

最小交差数が同じ結び目は同じ色で示してある☆自明な結び目かどうかの判定だけでも難しい⇒
数学による考察（位相不変量）が必要＝

この結び目は、自明な結び目を表しているが，もしこの事実を予め知っているのでなければ，どのようにして判定するか．

・例：三つ編み(縄文土器にも見られる)

北海道恵庭市ユカンボシE8遺跡B地点（縄文時代前期）⇒⇒＝「水引き」の結び目（あわび結び）＝⇒＝「水引き」の結び目（あわび結び）＝⇒＝「水引き」の結び目（あわび結び）＝☆科学における結び目とは何か
・数学ではひもは線
・科学においては, ひもとみなせるものがひも（この図の対象は, 絡み目と考えることもあるし,また１本のひもと考えることもある）☆科学における結び目の研究対象
・3次元空間(3次元としてみた宇宙）内の“ひも”
・4次元空間（時空）内の“曲面”

☆科学における結び目の数学の役割
それぞれの科学において課された条件の下で,(1) どのような絡まり方が可能かを研究し, それらを重複なしにリストアップすること(2) ２つのひもの絡まりが与えられているときに,それらは同じか違うかを判定すること

例１ヤン･バクスター方程式

・粒子の変化についての方程式（行列の方程式として表現）
この解から, 結び目を区別するための位相不変量が導ける

例2 ＤＮＡ結び目

Circular DNA
S. A. Wassermann, J. M. Dungan, N. R. Cozzarelli,
Science 229 (1985)

例３ ひも状ウイルス

エボラ出血熱のウイルス

http://www.scumdoctor.com/Japanese/disease-prevention/infectiousdiseases/virus/ebola/Pictures-Of-The-Effects-Of-Ebola.html

例４ 分子の立体構造（分子グラフ）
・原子を点で表し, そのつながりを線で表す

・ カテナン（ホップの絡み目）
連結でなく, かつ分離もできない分子
E.J. Wasserman et al, J. Am. Chem. Soc. 82(1960),
4433-4434

・ 三葉結び目の分子J. -P. Sauvage et al., Angew. Chem. Int. Ed.
Engl. 43(2004), 4482

・ ボロミアン環の分子
J. F. Stoddart et al. Science 304(2004), 1308

・ロタキサン（ポリロタキサン）から分子機械へ
A. Harada; J. Li; M. Kamachi, Nature 356(1992),
325-327

ストッパー
ポリロタキサン☆絡まりの違いを明確に区別することの重要性
血液型, 薬の効き目, 蛋白質のアミノ酸配列,・・・
数学のｶｲﾗリティ問題：与えられた空間グラフはその鏡像と同じか違うか？

例

理由：☆ 位相は距離とは無関係な概念類似性？

ミクロの世界

マクロの世界宇宙の大規模構造

国立天文台４次元デジタル宇宙プロジェクト提供

森羅万象の基本に結び目がある！
そこで,<３次元時空内にひも とみなせるものがあれば, そこでは結び目理論が展開可能だろう>と考える問題 どのような展開が可能か？

２．プリオン蛋白分子モデルの結び目理論

☆蛋白分子はアミノ酸配列からなるひもプリオン蛋白分子のS. B. Prusiner理論：
・Basler K. et al., Cell 1986, 46, 417-428・Z. Huang et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1994, 91,7139-7143
・スローウイルス感染とプリオン, 山内・立石監修,
近代出版,1995
・狂牛病のすべて ファクト・ブック, 日経BP社, 1996

プリオン蛋白分子の性質：(1)先駆的プリオン蛋白分子は, N-末端が失われて, 成熟型（正常型）プリオンPrPC
または異常型プリオンPrPSC に変わる
(2) PrPC +PrPSC → PrPSC + PrPSC(3) PrPC と PrPSC の1次構造は同じで,それらの主な違いは, 立体構造にある(4) PrPC のα -へリックスが, PrPSC ではβ シートに変わっている(5) 1か所S-S 結合部がある

先駆的プリオン蛋白分子

山内一也･立石潤監修, スローウイルス感染とプリオン,近代出版(1995)

プリオンに関する結び目理論の問題
プリオン蛋白分子は絡まりやすいか？

S-Sループ

GPIテイルプリオン・ストリング⇒プリオン・タングル⇒プリオン・グラフ＜プリオン・タングルを空間グラフと考える＞

定義

プリオン・タングル T が分離不能＝

T をプリオン・グラフと考えたとき,T は 2 つのプリオン・グラフの頂点和に同型でない

T ≠

=

このプリオン・タングルは分離可能

定理[K, Osaka J. Math. 26(1989),743-758]
プリオン・タングルTとT’が分離して与えられているとき, TとT’に同型なものをその一部に含むような分離不能合併プリオン・タングルT∪T’が存在する. とくに,I型: GPIテイルどうしの交差交換, またはII型: GPIテイルとS-S ループの交差交換の1回の交差交換によって, それが構成できる.

I型

II型

分離不能プリオン・タングル（II型は吉田佳代による）☆結び目理論における新しい数学の問題

３．こころのモデルの結び目理論
ーこころの状態を図示する試み

参考文献
A. Kawauchi, A knot model in psychology,Proc. Knot theory for Scientific Objects,
OCAMI Studies Vol. 1(2007), 129-141
http://www.sci.osakacu.ac.jp/~kawauchi/index.html

☆こころを結び目で図示する試み（１）日常生活で，性格・人格やこころのあり様をひもにたとえて表現しており，経験上結び目で表現しても矛盾が生じにくい
素直な性格，ひねくれた性格，思いの糸，こころがつながる，こころが固い絆で結ばれる，こころの琴線，人間関係のもつれ，わだかまりが解ける(2) B. Stewart and P. G. Tait (1894)“The soul exists as a knotted vortex ring in theaether．”

☆結び目によるmindのモデルの考え方

mind（こころ) ＝ （これから定義する）結び目
personality （人格）
＝その結び目の型(同型なものの集まり)
特に，・ untwisted mind =自明な結び目
・ twisted mind =自明でない結び目

mind-change（こころの屈折）||結び目の交差交換

=→=→=

三葉結び目＜mind-changeの仕方により, untwisted mindからuntwisted mind もtwisted mindも生じる＞

・参考書
榎本・桑原, 人格心理学, 放送大学教材（2004）
人格の基本因子 (H. J. Eysenck,1967)(1) 内向性‐外向性(2) 神経症的傾向(3) 精神病的傾向

人格の５因子モデル （Five-Factor Model ）(P. T. Costa and R. R. McCrae, 1988)(1) 内向性-外向性(2) 神経症的傾向(3.1) 経験への開放性(3.2) 協調性
(3.3) 誠実性

Mindのモデルを構成する際考慮すべき点：(1)Birth-Time-Mind Problem:
両親から引き継がれた遺伝的性質により，誕生時点で必ずしもmindはuntwistedとは限らないこと(2) 環境の変化からくるこころの屈折を起こす
様々な原因があること(i) 年齢 Age(ii) 歴史History(iii) 標準化しえない要因
Non-standard event factors

☆Kという人のｎ歳のmindの結び目モデルの構成法
アイデア：
Kの誕生時の両親の5因子およびKの1歳からｎ歳までの5因子のデータを数値化する

Kの誕生時の父親のデータ(1)内向性-外向性: IEF= -1, 0(2) 神経症的傾向: NF= -1, 0(3-1)経験への開放性: OF= -1, 0(3-2)協調性 : AF= -1, 0(3-3)誠実性: CF= -1, 0

Kの誕生時の母親のデータ(1)内向性-外向性: IEM= -1, 0(2) 神経症的傾向: NM= -1, 0(3-1)経験への開放性: OM= -1, 0(3-2)協調性 : AM= -1, 0(3-3)誠実性: CM= -1, 0

Kの誕生時の両親のデータ-2≦ IEP = IEF + IEM≦0-2≦ NP = NF+ NM≦ 0-2≦ OP = OF + OM≦ 0-2≦ AP = AF + AM≦ 0-2≦ CP = CF + CM≦0

Kの i 歳時の5因子のデータの数値化(i=1,2,…,n)(1)内向性-外向性: IEi= -1, 0, 1(2) 神経症的傾向: Ni= -1, 0, 1(3.1)経験への開放性: Oi= -1, 0, 1(3.2) 協調性 : Ai= -1, 0, 1(3.3) 誠実性 : Ci= -1, 0, 1

Kの n 歳までの5因子数値の総和
n-2-n ≦ IEP+ ∑i=1 IEi ≦ nn-2-n ≦ NP+ ∑ Ni ≦ ni=1n-2-n ≦ OP+ ∑i=1 Oi ≦ nn-2-n ≦ AP+ ∑i=1 Ai ≦ n-2-n ≦ CP+ ∑i=1 Ci ≦ nn

定義 Kの n 歳時の5因子の次数nIE[n] = min{ 0, IEP+ ∑i=1IEi }nN[n] = min{ 0, NP+ ∑i=1 Ni }nO[n] = min{ 0, OP+ ∑i=1 Oi }n

A[n] = min{ 0, AP+ ∑ Ai }i=1n

C[n] = min{ 0, CP+ ∑i=1 Ci }

定義 n歳でのmind結び目 M(n; a, b)＝ 次のa+2b交差点を持つ図式の結び目,
ただし -2n-4 ≦ a = IE[n] + N[n] ≦ 0-3n-6 ≦ b=O[n]+A[n]+C[n] ≦ 0.

命題(1) mind結び目 M(n;a, b) が untwisted⇔ a=0 または b=0(2) twisted mind結び目M(n; a, b) と M(m; c, d)が同じpersonalityをもつ ⇔ (a, b)=(c, d)M(n;-1,-1)=三葉結び目:
M(n;-2,-1)=８の字結び目:

＞

こころの軌跡= 時空にはめ込まれたシリンダー状の曲面(自己交差点が屈折点)
死亡時→時
間←屈折点
←屈折点

誕生時→

☆他人のmindとの関係
n成分mind絡み目= n個のmind結び目の集まり
定義 K : mind結び目，L: mind絡み目（１）K と L が分離可能＝K と L からなる絡み目の図式がライデマイスター移動により, K と Lが交叉しない位置にまで移動できる（２）KはLから自己救済可能= Kがmind-changeを何回か行うと，K とLは分離可能になる定義 n成分mind絡み目 L と L’ が（自己救済に関して）似た関係にある⇔全単射対応τ ：L → L’ で，つぎをみたすようなものが存在する： Lの任意のmind成分 K とL＼K の任意の部分絡み目 S で(1) K と S の分離可能性と τ(K)とτ(S)の分離可能性が一致(2) K の S からの自己救済可能性と τ(K) の τ(S)からの自己救済可能性が一致

定義 n成分mind絡み目の自己救済関係＝似た関係を法としたそのmind絡み目のクラス
n成分mind絡み目の結び目理論の問題
n成分の分離不能mind絡み目の自己救済関係を分類せよ

注： nを固定したとき,自己救済関係は有限個しか存在しない

命題 2成分mind絡み目の自己救済関係はつぎの３つの場合に分類される

=
(1)

(2)

(3)

(1)両方とも自己救済不可能 K1 ━ K2(2) 両方が自己救済可能 K1K2
(3) K1 は自己救済可能であるが, K2 は自己救済不可能 K1 → K2 （このとき， K1は必ずtwistedmind！）3成分以上のmind絡み目の自己救済関係の分類： 複雑になる！
ボロミアン環:
どの2つも分離しているが, 全体として分離不能

命題
3成分mind絡み目のmind自己救済関係は（１対２関係を無視して）３０通りに分類される☆結び目理論における新しい数学の問題

まとめ(1) ・森羅万象の基本に結び目がある・ひも とみなせるものがあれば, そこでは結び目理論が展開可能(2) プリオン分子モデルの結び目理論(3) 「こころ」のモデルの結び目理論