下水道協会誌論文集

2010.9 月号

H22.1.14 受付

ベイズ推計による下水道機器の故障解析
中根 進
１．はじめに下水道機器の故障を解析することにより，設備の年数の経過にともなう劣化や，劣化によって引き起こされる故障を予測することが可能となる。また故障解析の結果は，機器毎の点検周期，保全区分を設定するな
ど，設備保守管理の基本になるものである。
下水道機器の故障は，故障内容，停止時間などによって定義する必要があるが，一般に故障の頻度が少な
く，個々の機器について故障解析することは難しい。
文献１）では寿命分布の確率密度関数や故障率を推定す
るには，
少なくとも 50 個以上のデータを必要とするとしている。この前提になっているのは，観測データか
ら信頼度値や確率密度分布値を求め，最小二乗法などを使って，それらの値を何らかの関数（ワイブル分布など）で近似する手法を使うためである。
本小文では，少ない故障情報（故障回数）の下水道機器に対して確率モデルを作成し，ベイズ推計により機器の故障回数を推計（シミュレーション）し，その推定故障回数を故障率に変換することによって，故障率の点推定と区間推定を行う手法を提案する。

下水道設備の維持管理記録は，日報ベースで記録され，月報や年報としても残されているが，月報や年報になるに従い情報が集約されてしまう。年数が経過す
ると，これら維持管理記録も年報の形でしか残っていないことが多く，機器の故障内容や故障時期・時刻も不明になっていることもあり，故障解析することを難
しくしている。
そこで，少ない故障情報のうち故障回数のみ着目し，故障確率密度が指数分布する機器を前提に故障率の確率モデルをつくり，故障解析を行って故障率の点推定と区間推定を行う。

２．下水道機器の故障率
下水道機器の多くは，故障部を修理して，使用を続ける機器で，解析上「修理系」の機器である。筆者の調査した下水道機器は，故障実績が少ないことから，他の処理場の同種機器を含めてハザード解析を行った。
この筆者の調査範囲の解析結果２）では，ワイブル分布の形状パラメータはｍ≒1，またはｍ＜1 であり，故障率は経過年数によらずほぼ一定，または減少する形となった。また文献３）, ４）では，ドレニク(Drenick)の定理として，指数分布に基づき機器の故障解析がなされている。図－１に終沈汚泥掻寄機（チェーンフライト式）の故障解析事例２）を示す。
0.005

0.8

0.003

0.4

0.002

0.2

0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0

0.001

故障確率密度f0

故障率λ（×1/100hr）

0.004

信頼度Ｒ

0.6

0

5

故障確率密度f（×1/100hr）

信頼度Ｒ（－）

1

0
10
経過年数

15

20

故障率λ

0

5

10
経過年数

15

図－１ 故障解析事例(終沈汚泥掻寄機)

３．確率モデル3.1 確率モデルの考え方
事象を確率分布ｙで表すことはよく知られている。
その事象を観測や調査することで，事象の一部である標本を得ている。
観測や調査では，調査観測の器材能力，期間，資金などの制約を受けるため，得られる標本は，事象に対し多くの情報が失われている。また，調査観測者の持つ能力，知識などによってもばらつきを持つ標本となる。
事象を確率分布ｙで表すことにより，情報が少なくばらつきのある調査・観測データ（標本）も，事象の確率分布ｙの一部として表すことができる。
調査観測データからその事象の確率分布ｙの形を推定する手法の１つに確率モデルの考え方がある。
確率分布ｙは，パラメータ（例：正規分布であれば，
平均μと標準偏差σ）で記述することができるので，
そのパラメータ値を調査・観測データから見つけることをパラメータ推定という。そして多くの場合，調査・観測データに基づいて最小二乗法などで事象のパラメータを推定している。この手法は，観測データを多く必要とし，観測データが少ないとばらつきを表現することが難しい。
（確率密度関数）
事象の確率分布の形を確率分布関数の組み合わせで表現したものを確率モデルといい，調査・観測データの形をうまく説明できるような確率分
布関数とそのパラメータを使って確率モデルを表す。
４．ベイズの定理とベイズ推計
4.1 ベイズの定理
確率モデルのパラメータθの不確実性を確率分布と
して表す。

20

1

ラーを使ってシミュレーションする計算ソフトに
WinBUGS という Windows 用のフリーソフト（09.7 現在
Ver1.4）がある。
WinBUGS は，ベイズ推計の尤度関数と事前分布の関数を記述すれば，条件付事後分布の計算は，WinBUGS側で実行するソフトであり，今回の解析にはこのソフトを使った。

調査観測データｙが得られれば，このデータｙで条件付けすることにより，未知パラメータθに関する条
件付き確率分布ｐ(θ|ｙ)は，ベイズの定理を使って(１)式で表される。

p(θ|ｙ)

p(ｙ|θ)p(θ)…… （１）

一般に上式，左辺と右辺の各項を次のようにいう。
事後分布ｐ(θ|ｙ)＝尤度Ｌ(ｙ|θ)×事前分布ｐ(θ)
事
尤度関数Ｌ(ｙ|θ)には調査観測データｙを入れ，前分布ｐ(θ)に調査・観測者の知見や先例のパラメー
タθに対する分布とする。

５. 解析モデル
5.1 終沈汚泥掻寄機解析データ
解析モデルに使用する収集データの構成を図－２に示す。
調査期間Ｔ14.2 階層ベイズ
4.1 の（１）式はパラメータθが１つの場合であるが，今回利用する後述の解析モデルでは，故障率（１）式を拡張する。
λをパラメータに利用するため，

設置日
機器1

t1

故障日

t2

機器2

故障毎に修理し使用を継続

t3

調査日まで故障なし

t4

機器3p(λ,θ| ｙ) Ｌ( ｙ |λ,θ) p(λ|θ) p(θ) ……（２）上式の左辺ｐ(λ,θ│y)は，条件付確率により下式となる。
p(λ,θ| ｙ)

調査日

故障日

故障後廃棄

t5
故障日

機器m

t n－1

tn

故障毎に修理し使用を継続
調査日

p(λ|θ, ｙ)・p(θ| ｙ)

調査期間Ｔm

上式右辺第２項は，下式となる。
p(λ,θ| ｙ)p(θ| ｙ )p(λ|θ, ｙ)
上式，右辺の分子に（２）式を代入すると（３）を得る。
p(θ| y) Ｌ( y |λ) p(λ|θ)p(θ)……（３）

図－２ 解析データの構成
図中のｔ1,ｔ2,…は，故障日の間隔(時間)であるが，この間隔は利用せず，今回の解析では故障回数のみを使用する。機器の設置日から調査日までの各機器の運転時間を調査期間Ｔｉとする。

ここで，調査観測データｙは，故障回数ｘと調査期間Ｔとし，パラメータθには，θ＝(α,β)を導入（超パラメータ）する。

調査期間Ｔｉ＝延べ運転時間（×100hr）
終沈汚泥掻寄機は，前掲図－１のように故障率が一定を示しているので，故障確率密度のワイブル分布を指数分布と置き換える。
解析する終沈汚泥掻寄機データを表－１に示す。

4.3 ベイズ推計
ベイズ推計は，故障回数ｘのデータを使って尤度関
数Ｌ(ｘ|λ)を求め，
何らかの事前分布ｐ(θ)
表－１ 終沈汚泥掻寄機解析データを使って（２）式の事後分布ｐ(λ,θ|ｘ)か
第１回調査(1990.4.1) 第２回調査(2000～04.4.1)
そのサンプル（λ, 処理場別 設置年 運転時間 故障 故障率 運転時間 故障 故障率
らサンプル
（λ,θ）
を得る。
機器名
θ）を尤度関数Ｌ(ｘ|λ,θ)に代入してｘの×100hr 回数 ×1/100hr ×100hr 回数 ×1/100hr
1983/4/1614
10.001629 1,527
5 0.0032744
Ｔ1
サンプルを得る。これを繰り返してλの標本
1983/4/1
Ｔ2
614
2
0.003257
1,527
3 0.0019646
を得て頻度（確率）分布をつくり，λの点推
1983/4/1614
10.001629 1,526
3 0.0019659
Ｔ3
定と区間推定を行う。具体的な分布の更新手
1986/7/1
Ｕ1592
10.001689 1,514
20.001321
順については 5.3 に示す。
1986/7/1592
10.001689 1,513
3 0.0019828
Ｕ2
ＨＩ
Ｈ1
Ｈ2
計

4.4 使用ソフト
ベイズ推計する際のサンプリング手法の１つにマルコフ連鎖モンテカルロ法（Markov
chain Monte Carlo methods：MCMC 法）がある。このMCMC 法の代表的なアルゴリズムであるギブス・サンプ

1982/4/1
1986/4/1
1986/4/1

614
614
614
4,868

4
0
0
10

0.006515 1,815
0
1,625
0
1,625
0.002054 12,672

6
2
1
25

0.0033058
0.0012308
0.0006154
0.0019729

表中の第 2 回調査は，筆者らの実際に行った調査を示すが，第１回調査は，解析データ増加と解析精度の2

関係を調べるために調査日を仮想し，その仮想した調
査日までの実績故障日から故障回数を算出した。
機器設置日からある調査日までの調査期間内の故障率λは，指数分布することを前提に（４）式で表す。

故障率λｉ ＝

故障回数 xｉ
調査期間 Tｉ

ここに，α ：故障率の平均
β ：故障率の分散
Γ(α)：ガンマ関数
George ら（1993）７）は，超パラメータα（故障率の平均），β（故障率の分散）に対して次の指数分布とガンマ分布を事
前分布に設定した。
１１p(α)＝ ・ｅ－ａ・αａ
ここに，a：平均…………（４）（４）式で算出した故障率を前掲表－１にあわせて示す。ここで，仮想した第 1 回調査では故障実績が少なく，故障回数が１回の終沈汚泥掻寄機が４基，故障が無い（０回）終沈汚泥掻寄機はＨ1，Ｈ2 の２基あっ
た。

p(β)＝
5.2 終沈汚泥掻寄機解析モデル
故障解析のために確率モデルを次のように設定する。
（４）式を書故障回数ｘｉは，調査によって得るが，き換える。調査期間Ｔｉは，ゼロから調査時までの機器の延べ運転時間である。
故障回数ｘｉ＝故障率λ×調査期間Ｔｉ …（５）
故障回数ｘを文献５）に示されるポアソン分布で表す。

ｃｂ・βｂ－１・ｅ－β・ｃ(ｂ)

ここで，ｂ：平均ｃ：分散以上の式と分布関数をとりまとめて確率モデルを図－４とし，解析モデルとする。
alf
α

beta

β

ｘ

μ exp(－μｉ)
ｐ( x )＝ ｉｘ!

…………(６)

ここに，μｉ：ポアソン分布のλiパラメータで各機器の故障回数
ｘの平均を表す。
ポアソン分布の形状例を図－３に示す。

theta[i]ｉλＴiＴt[i]ｉμlamda[i]
ｉ

μi

x[i]
ｘ
ｉ
for(i IN 1 : N)

パラメータμ＝3
μ＝３ｘi

図－４ 今回の解析モデル
ここに，→ ：ノードを確率分布で接続（確率分布による依存）⇒ ：ノードを関数で接続（関数による依存）□ ：常数を表すノード○ ：ノードｉ ：解析機器
Ｎ ：解析機器数
このモデルに対しギブス・サンプラーを使って乱数を発生させ，必要な事後分布を推定する。
以下に示す解析では，超パラメータαとβの事前分
布の初期値には，次式に示す平均，分散を使った。

故障回数ｘ
図－３ ポアソン分布の一例（５）式の故障回数は調査期間中の平均回数であり，（７）式とする。
（６）式のパラメータμに代入し，
ｘ（λ ・Ｔ ） exp(－λｉ・Ｔ ｉ)……(７)
Ｌ( ｘ ｉ ,・Ｔ ｉ |λ )＝ ｉ ｉｘ!
ここに，i：機器
ｘi：各機器の調査期間内の故障回数（回）λi：各機器の故障率（回／100hr）
Ｔi：調査期間（×100hr）
故障率λi は，ガンマ分布６）とする。ガンマ分布は，二つのパラメータ（平均αと分散αββ）を使って次式で表す。
p(λｉ |α,β)＝βα・λｉα－１・ｅ－λｉ・β(α)

１１1.00.1 0.1－１ －β・1.0・β・ｅp(α)＝ ・ｅ－１・α ， p(β)＝１(0.1)

5.3 MCMC 法のギブス・サンプラーの概説
WinBUGS 中の分布の更新手順を筆者の理解の範囲で概念を示す。

λi
3

事後統計量として確率分布図や点推定値（中央値）と区間推定値が表として出力される。

①パラメータ(α，β)の分布を仮定し，その分布か
らサンプリングした多数の(α，β)値と機器ｉの故障率λｉを使って故障率λの分布を作る。
②故障率λの分布から故障率λ値を多数サンプリングする。
③このサンプリングした故障率λ値とデータの調
査期間ｔｉから故障回数ｘの分布を作成する。
④故障回数ｘの分布の平均値とデータの故障回数
ｘｉを比較する。
⑤この故障回数ｘの分布と１つ前に試行した分布の比を採択確率として，パラメータ(α，β)の分
布を少し変える。
⑥①以降を繰り返し試行し，設定の試行回数で計算を止める。
ここまで計算した後にパラメータ(α，β）と各機器ｉの故障率λｉの分布を得る。

α値

alf

0.4
0.2
0.0
1001

2500

5000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

7500

10000

iteration

β値

beta
15.0
10.0
5.0
0.0

故障率λ 故障率λ 故障率λ 故障率λ 故障率λ 故障率λ 故障率λ 故障率λ1001

６．解析結果表－１に示す各処理場の終沈汚泥掻寄機の故障回数を使った解析結果を以下に示す。

2500

5000
iteration

theta[1]
0.02

Ｔ1

0.015
0.01
0.005
0.0
1001

2500

5000
iteration

theta[2]
0.03

Ｔ2

0.02
0.01
0.0
1001

2500

5000
iteration

theta[3]
0.02

Ｔ3

0.015
0.01
0.005
0.0
1001

2500

5000
iteration

theta[4]
0.015

Ｕ1

0.01
0.005
0.0
1001

2500

5000
iteration

theta[5]
0.02

Ｕ2

0.015
0.01
0.005
0.0
1001

2500

5000
iteration

theta[6]
0.06

ＨＩ

0.04
0.02
0.0
1001

2500

5000
iteration

theta[7]Ｈ1

0.01
0.00750.005
0.0025
0.0
1001

2500

5000
iteration

theta[8]0.01

Ｈ20.00750.005
0.0025
0.0
1001

2500

5000
iteration

試行回数

図－５ 標本発生状況

自己相関係数

6.1 計算過程
表－１に示す終沈汚泥掻寄機解析データに対し，
WinBUGS を使って MCMC 法により，各母数に対して11,000 回の繰り返し計算を行い，そのうち初期値の影（バーニン），
響が残る恐れのある最初の 1,000 回を捨て
今回は試行１回
残りの 10,000 回から標本を取り出す。
で１個の標本をサンプルしたので 10,000 個の標本を発生させた。
各超パラメータと故障率の標本発生状況の試行回数
1,001 回から 11,000 回の一例を図－５に示す。
試行回数やバーニン回数は，ギブス・サンプラー（マルコフ連鎖）の収束具合で設定する。収束の具合は図－５の標本値の変動が一定になることを確認することであり，サンプル前の時点の標本値との自己相関係数をさまざまな間隔で計算した自己相関関数図を作って確認する方法やバーニン期間の標本を捨てた残りの標本の前半部分と後半部分に対し，それぞれの平均Ｅと有意検定する方分散Ｖを計算し Geweke のＺ値を使い，法などがある。
ここでは，WinBUGS で出図される図－６の自己相関係数図で標本値が比較的近いサンプリング間隔において０近辺に収束しているかどうかを見ることによって,マルコフ連鎖の収束判定８）する。
直接，試行回数やバーニン回数を決定するものでは（定
ないが，標本から作成した確率密度分布が不変分布常分布）に至っているかどうか確認するため，WinBUGSには，
パラメータ毎に MC エラー(モンテカルロエラー)が出力される。また，WinBUGS によるシミュレーショ
ン結果は，信頼区間を入力すると，標本から得られる

0.6

theta[1]
Ｔ －λ

alf
α

１

1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0

1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0

20

40

間隔
lag

0

20

40

間隔lag

図－６ 超パラメータαと故障率λの自己相関関数図の一例
図－５の標本から作成した確率密度分布の一例として超パラメータαの事後分布を図－７に，機器Ｔ２の故障率λの事後分布を図－８に示す。

4

ても変化しないと考えられた。
6.3 考察
ベイズ推計で得られた表－２，３の各機器の事後統計量を点推定値と区間推定値として図－９に示す。第
１回調査時の区間推定値を上段に，第２回調査時を下
段に示す。

確率密度

alf sample: 10000
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
0.0

0.2

0.4

α
図－７ 超パラメータαの事後分布

機器名
Ｔ1
Ｔ2

theta[2] sample: 10000

確率密度

上段：第１回調査時
下段：第２回調査時

300.0

Ｔ3

200.0

Ｕ1

100.0

Ｕ2

0.0
-0.01

0.0

0.01

0.02

ＨＩ

λ
図－８ 機器Ｔ2 の故障率λの事後分布

Ｈ1● ：事後平均値＋：事後中央値

Ｈ2

6.2 計算結果（事後統計量）
第１回調査と第２回調査時の標本 10,000 個から基本統計量を算出して，事後統計量として表－２，３に示す。表－２，３に前述（４）式で算出した故障率をあわせて示す。
表－２ 第１回調査 事後統計量

0

0.005
故障率λ

0.01
(×1/100hr)

0.015

図－９ 終沈汚泥掻寄機の調査時期と区間推定

95％信頼区間
故障率 事後平均 標準偏差
MCエラー
下限値2.5%
処理場別 ×1/100hr
λi
sd
中央値 上限値97.5%
0.12710.2711
機器名
α 0.1354 0.05783 7.75E-04 0.04804
β 1.175
1.165 1.51E‑02 0.01431
0.83534.252
Ｔ1
0.001629 0.001858 0.001726 1.73E-05 6.712E-05 0.001343 0.006408
Ｔ2
0.003257 0.003436 0.002346 2.29E-05 0.0004815 0.00291 0.009262
Ｔ3
0.001629 0.001848 0.001739 1.85E-05 6.651E-05 0.001344 0.006422
Ｕ1
0.001689 0.001873 0.001741 1.73E-05 6.687E-05 0.001372 0.006514
Ｕ20.001689 0.001886 0.001774 1.84E-05 0.0000663 0.00138 0.006729
ＨＩ
0.006515 0.006689 0.003285 3.38E-05 0.001929 0.006184 0.01434
Ｈ1
00.000222 0.000608 5.90E-06 8.291E-21 4.75E-06 0.00211
Ｈ2
00.000216 0.00058 5.85E-06 3.041E-20 4.86E-06 0.001963
平均値 0.002051 0.002254
0.0003347 0.001818 0.0067185

表－３ 第２回調査 事後統計量
95％信頼区間
故障率 事後平均 標準偏差
MCエラー
下限値2.5%
処理場 ×1/100hr
λi
sd
中央値 上限値97.5%
0.17430.3357
名 称
α 0.1823 0.06744 6.57E-04 0.07648
β1.53
1.339 1.39E‑02 0.05311
1.163
4.973
Ｔ1
0.003274 0.003383 0.001486 1.59E-05 0.001125 0.003185 0.006872
Ｔ2
0.001965 0.002093 0.00116 1.16E-05 0.0004556 0.00188 0.004966
Ｔ3
0.001966 0.002081 0.001153 1.17E-05 0.0004654 0.001872 0.00482
Ｕ1
0.001321 0.001435 0.000968 9.49E-06 0.0002034 0.001218 0.003894
Ｕ20.001983 0.002095 0.00117 1.20E-05 0.0004537 0.001892 0.004934
ＨＩ
0.003306 0.003412 0.001372 1.54E-05 0.001279 0.003226 0.006566
Ｈ1
0.001231 0.001326 0.000895 9.99E-06 0.0001896 0.001125 0.003554
Ｈ20.000615 0.000726 0.000674 7.11E-06 2.777E-05 0.000524 0.002455
平均値 0.001958 0.002069
0.0005249 0.001865 0.0047576

推定され表中の MC エラー(モンテカルロエラー)は，
た各パラメータ（α，β，λ）の事後平均の標準誤差（標準偏差σ／√(サンプル数Ｎ）)を示し，第１回調査では最大でも 0.003％であり，第２回調査では0.001％となり，分布についてはこれ以上の試行回数し5

第１回目の調査日は仮想した日にちであるものの故
障率の区間推定幅は，第１回より故障データが増える
第２回調査の方が狭くなっている。
機器Ｈ1,Ｈ2 については，第１回調査で故障数がゼロであるため，故障データが得られた第２回調査の方が区間推定の幅が広くなっている。
ベイズ推計では，第１回調査では故障数がゼロであっても，事前分布があれば，
区間推定値が計算できる。
リスク評価などでは区間推定の上限値が重要となることもあり，上限値が示されたことにより，故障数が観測されない機器についても，故障があった機器と同じように評価することができることを示している。
（４）式で算出した故障率は，事後平均値と 95％信頼区間の事後中央値の間となった。
事後中央値λ ≦ (４)式の故障率λ ≦ 事後平均λ(４)式の故障率とベイズ推計で得られた故障率の
事後平均の関係を図－10 に示す。
ベイズ推計の 95％信頼区間の下限値 2.5％，上限値も破線 97.5％で示す。
図－10 には参考に表－１の終沈汚泥掻寄機を同一（図－１参照）
機器としてハザード解析して得た故障率も示す。

ベイズ推計故障率 (×1/100hr)
事後平均値

り，日常の設備管理には利用できない時期がある。
その点，ベイズ推計を用いれば，故障率λ値の逆数を点検周期の目安としたり，故障率λから信頼度Ｒ，また故障確率Ｆ（＝１－Ｒ）を求め，その機器の経過年数までに故障する確率値を把握して，維持管理の優先順位に利用したり，95％信頼区間の上限値から故障確率Ｆを求め，機器のリスク管理に利用できる。

Ｔ
Ｕ
ＨＩ
Ｈ
ハザード解析値
下限値2 5%0.006
上限値97.5%

0.005
0.004

７．まとめと課題
下水処理場の機器は，故障回数が少ないため故障解析を難しくしているが，本確率モデルのベイズ推計により，故障回数が少なくても故障率の点推定や区間推定が可能になり，経過年数に対する信頼度曲線を得る
こともできる。
故障回数がゼロの終沈汚泥掻寄機２基に対してもベイズ推計により区間推定することができた。
故障データが増えれば精度の向上も区間推定の幅が小さくなることで示すことができた。
ベイズ推計により我国あるいは自ら管理する下水道
機器種別毎の事前分布の超パラメータα，β分布を示すことができれば，日常の管理で観察した故障回数を使い，故障実績の少ない時点から将来得られるであろう故障率λに近い値，分布が得られる。この故障率λの中央値，区間推定値を使うことにより，機器の状態（経過年数による信頼度），故障の予測（故障確率）を推定でき，設備管理の手助けができると考えられる。
今後，故障データを入手しだい指数分布した終沈汚
泥掻寄機以外の下水道機器を調査し，本小文で示した確率モデルの適用範囲や他の確率モデルを研究してい
きたい。

0.003
0.002
0.001
下限値2.5%

0
0

0.002

故障率λ

0.004

0.006

(×1/100hr)

図－10 終沈汚泥掻寄機(４)式の故障率λとベイズ推計の故障率の関係

信頼度Ｒ

このベイズ推計結果から，故障確率密度が指数分布する機器では，ベイズ推計を行わなくても単純に（４）式で故障率λを算出し，その故障率で日常の設備保守（故管理の指標とすることや，
経過時間に対する信頼度
障しない確率）に変換して設備の劣化状態を知ることができる。しかし，第１回調査時のように故障が無い
場合には（４）式で故障率λも算定できないし，ハザード解析もできないので，ベイズ推計は有用な故障解析手段となる。
第１回目で故障が０(ゼロ)であったＨ処理場のＨ１
終沈汚泥掻寄機の信頼度を故障率の事後平均値と上限値から変換して図－11 に示す。
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

＜参考文献＞
１）改訂版 信頼性工学入門ｐ.71 真壁 肇 編 日
本規格協会２）下水処理場プラント機器の信頼性解析事例－機器の累積ハザード解析－ 中根 進 下水道協会誌
論文集 2006.4 月号
３）１）ｐ.84
４）
機械安全工学－基礎理論と国際規格－ｐ.23 清水久二，福田隆文 編著 2000 養賢堂
５）１）ｐ.123
６）１）ｐ.122
７）Pumps：conjugate gamma-Poisson hierarchicalmodel WinBUGS14－Help－Example Volume I
８）マルコフ連鎖モンテカルロ法 ｐ40 豊田秀樹編著
朝倉書店

第１回調査時
上限値
97.5％

事後平均値

事後平均値
第２回調査時
指数分布
上限値
97.5％

0

5

10
15
経過年数

20

25

図－11 Ｈ１の経過年数と信頼度
実線は，事後平均値，破線は 95％信頼区間の上限値から変換した信頼度曲線である。
図－11 に示す故障確率密度が指数分布の信頼度曲
線は，故障が発生した以降でないと描けない曲線であ6