Rudvalis 群の周辺
北詰 正顕 (Masaaki Kitazume)
千葉大学大学院理学研究科

0

はじめに

本稿では，千吉良直紀氏（熊本大学大学院自然科学研究科）との共同研究に基づき，
Rudvalis の単純群 Ru に関する研究結果（あるいは，途中経過）について述べたいと思う。
話のきっかけは，ちょうど６年前の第 53 回代数学シンポジウム [15] において「散在型単純群の周辺」というタイトルで話したとき，その準備の過程で，定理 1. Ru の 4060 次の置換表現によって不変な，長さ 4060 の自己双対符号が存在する。
という事実に気づき，シンポジウムの講演でアナウンスしたことにある。
このような計算は，最終的には計算機（ソフトウェア Magma [2]）を用いている。Magma
は，群や組合せ構造を扱うことのできるシステムであり，具体的な群の置換表現をデー
タベースとして持っているため，それを呼び出して，さまざまな計算が行えるのである。
我々は，この結果を知って，これを数学的に理解・説明するために，あらためて，Ru の4060 次の置換表現について勉強を始めたのである。その一端は，いくつかの講演記録に残っている ([16], [14])。
上記の結果で，一番の懸案だったのは，符号を構成するために理論的に説明出来る部分に，あるひとつの生成元を付け加えるのであるが，その生成元の記述・特徴付けがうまくできないということであった。今回のテーマは，Rudvalis 群の勉強において，これまで難解だった Conway の論文 [7] を読み解く内に，その副産物としてこの生成元の特徴付けをすることができた，という話である。

1

Rudvalis 群の周辺の単純群

まず，入門講義として，有限単純群の分類定理を振り返りながら，これからの話に登場する Ru に関連する群の紹介から始めたい。
「有限単純群の分類定理」によれば，有限単純群は，次のいずれかに分類される。

1

(0) 素数位数の巡回群(1) 5 次以上の交代群 An (n ≥ 5)(2) Lie 型の単純群
An (q), Bn (q), Cn (q), Dn (q), E6 (q), E7 (q), E8 (q), F4 (q), G2 (q)2An (q), 2 Bn (q), 2 Dn (q), 3 D4 (q), 2 E6 (q), 2 F4 (q), 2 G2 (q)(3) 26 個の散在型単純群
M11 , M12 , M22 , M23 , M24 , J1 , J2 , J3 , J4 , HS, Suz, M cL, He,′
Ru, Ly, ON, Co1 , Co2 , Co3 , F22 , F23 , F24, H, T h, BM, M.
散在型単純群については，それが位数最大の散在型単純群である Monster M に含まれるか (正確に言えば，部分群の剰余群として含まれるか) 否かによって，2 つのグループに大別される。結論だけ述べると，26 個のうち 20 個は Monster に含まれ，

J1 , J3 , J4 , Ru, Ly, ONの 6 個が含まれていない。Griess [10] では，前者を ”Happy family” と呼び，後者については”Pariahs” と名付けている。この言葉の意味については，辞書ででも調べてもらうことにして，あまりよろしいと思えない命名である。しかし，すぐに廃れてしまったわけ
でもなく，Web page [1] でも相変わらず使われているようである。何が Happy かというと，確かに Mathieu 群や Conway 群などは，Golay 符号や Leech 格子といった数学的な背景も豊富にあり，沢山の研究がなされている。Monster と moonshine VOA の研究は，
近年ますます盛んである。そこでは，Monster と Conway 群，Mathieu 群の関連（それは VOA と Leech 格子，Golay 符号の関連に起因する）が重要な要素として存在する。比
べて Pariahs の群達は，他の群との関連に乏しく，数学的な背景がしっかりと捉えられないものが多く，研究も進んでいないのが実情である。それ故の命名と思われるが，しかしHappy family の中でも，うまく捉えられず研究の進んでいない群はいくつかある。
＊＊＊

さて，本稿の主役は，その Pariahs のひとつの Rudvalis 群である。この群は Pariahsの中では，関連する群も比較的多い。ではあるのだが，ここに現れる群は，なかなか「くせもの」揃いなのである。
このことを明確にするために，冒頭の分類定理の結果について，もう一度振り返ることにする。まず，(0) の素数位数の単純群は，アーベル群であり以降の (1)–(3) とは明確に区別される。また，(3) の散在型単純群は (1), (2) に含まれないものというのが定義であるから，これも明確に区別される。しかし，(1) と (2) については排他的な分類にはなっ2

ていない。実際，次のような同型対応が存在する。

A5 ∼= L2 (4) ∼= L2 (5),A6 ∼= L2 (9) ∼= S4 (2)′ ,L2 (7) ∼= L3 (2),L2 (8) ∼= 2 G2 (3)′ ,A8 ∼= L4 (2),
U4 (2) ∼= S4 (3).

U3 (3) ∼= G2 (2)′ ,このうち，交換子群を表す記号 ”′ ” の付いたものは，Lie 型の群の一般論で構成された段階では単純群にならず，交換子群にして（上記の場合，どれも指数が 2 下がる）初めて単純群になるという例外的な Lie 型の群と言える。ただし，右辺の見方をすれば，立派な（標準的な）Lie 型の群である。このような群は，もうひとつ存在する。それは，例外的なLie 型の群で他の群との同型対応もない群で，Tits 群 [11] と呼ばれるものである。

T = 2 F4 (2)′
先にも触れた Web page [1] では，Tits 群 T が Sporadic groups の中に掲載されていたりする。実際，Tits 群は標準的な Lie 型の群ではないから，一般的な構成法から Lie 型の群の性質を述べようとするならば，別個に取り扱わなくてはいけない。
本稿で扱う，Ru と関連する群とは，以上の中の次の３つである。

A6 ∼= L2 (9) ∼= S4 (2)′ ,U3 (3) ∼= G2 (2)′ ,T = 2 F4 (2)′

筆者にとっては，Tits 群 T が最も難しい存在であるが，最初の２つもなかなかのくせ者なのである。特に，A6 は交代群の中で唯一「自己同型群が対称群より大きくなる」という性質を持っていて，例外的な現象を記述する場合に，いろいろな形で登場する群でもある。

228 次元の複素格子

冒頭にも書いた，Rudvalis 群 Ru の勉強は，この群（正確には，位数 4 の中心を持つ√
4.Ru という形の群）が作用する，Z[i](i = −1) 上 28 次元の複素格子の勉強から始まる。
ここでは，ATLAS [6] の記述，および，R. A. Wilson による [12], [13] が参考文献となるが，この勉強をまとめたものが RIMS 講究録 [16] に残っているので，詳しいことはこれを参照いただくことにして，ここでは要点のみをまとめておく。また [14] も参照されたい。

2.1

28 次元の基底

まず，複素格子が存在する 28 次元の空間の基底を，U3 (3) ∼= G2 (2)′ の 28 次の置換表現を用いて記述することから始める。

3

ユニタリ群 U3 (3) が作用する，9 元体（素体に１の原始 4 乗根 i を付け加えた体）F9 = F3 [i] = { x + yi | x, y ∈ F3 = {0, 1, −1} }.
上の 3 次元のユニタリ空間 V を考える。ユニタリ計量を指定する必要はないが，例えば，
V = F39 (数ベクトル空間) として，計量を((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3と定める。ユニタリ群 U3 (3)(= SU3 (3)) は，3 次のユニタリ行列で行列式が 1 のもの全体と定義する。このとき U3 (3) は単純群であり，9 元体の自己同型から定まる位数 2 の外部自己同型を付け加えた群 ΓU3 (3) = U3 (3) : 2 が G2 (2) と（例外的な）同型になる。
V の isotropic(長さ 0)，non-isotropic(長さが非 0) vector の全体をそれぞれ Ω, Γ と表し，（定数倍を無視して）生成する１次元部分空間（これを [v] = F9 v と表す）の全体をΩ∗ , Γ∗ と表すことにする。

Ω = { v ∈ V \ {0} | (v, v) = 0 }, Ω∗ = { [v] | v ∈ Ω }Γ = { v ∈ V | (v, v) ̸= 0 },
Γ∗ = { [v] | v ∈ Γ }よく知られた性質であるが，U3 (3) は 28 点集合 Ω∗ に 2 重可移に作用する。
U3 (3) が作用する Ω のベクトルを用いて，28 次元空間 C28 の正規直交基底を ev (v ∈ Ω)と定める。ただし，V における定数倍について，

ecv = c2 evと定めることとする。ここで，定数 c は，左辺においては F9 \ {0} の元を表し，右辺においては複素数（±1, ±i）を表していると約束する。従って Ω∗ と Cev たちが１対１に対応して，28 個のベクトルが与えられたことになる。

2.2

short vectors

次に，この 28 次元空間のノルム（長さの平方）が 4 であるベクトルを天下りで提示す
ることにする。定数倍をのぞいて合計 4060 個になるベクトルは，３つのタイプに分かれており，28 次元格子の最小ノルムのベクトルの集合を与えるものである。

(1) Ω∗ の異なる２元 [a], [b] に対し，2 次元部分空間 ⟨a, b⟩ は（２重可移性から，これらの取り方によらず）Ω∗ の元（１次元部分空間）をちょうど４つ含んでいる。定数倍を調整して (a, b) = i（または −i）としておけば，[a], [b], [a + b], [a − b] の４つである。この Ω∗ の 4 点部分集合を hyperbolic line と呼ぶことにする。hyperbolic line は全部で63(= (28 × 27)/(4 × 3)) 個である。なお，⟨a, b⟩ の直交補空間は，non-isotropic vector （xとおく）で生成され，⟨a, b⟩ = ⟨x⟩⊥ となることを注意しておく。
4さて，ここで与える第一のタイプのノルム４のベクトルは，(a, b, a + b, a − b ∈ Ω)

ea + eb + ea+b + ea−bと表されるものと，その偶数個の符号変化をとったものである。その総数は，全体の定数倍（±1, ±i 倍）を除いて 63 × 4 となる。

(2) 次に，V の直交基底（ただし，定数倍は無視）
E = {[x1 ], [x2 ], [x3 ]},((xi , xj ) = 0 (i ̸= j), V = ⟨x1 , x2 , x3 ⟩)をとる。計量の性質から，[xi ] ∈ Γ∗ (non-isotropic) である。
このとき，各 xi に対応する（前述の）hyperbolic line を考えると，そこに共通部分はなく，和集合として 12 点集合ができる。その Ω∗ における補集合として得られる 16 点集
合を δ(E) と表すことにする。ここには 12 本の hyperbolic line が含まれているが，これによって δ(E) にはグラフの構造が入る。すなわち，16 点集合 δ(E) の 2 点が，δ(E) の部
分集合であるような hyperbolic line に含まれるとき，この２点が隣接しているとしてグラフの構造を入れるのである。これが（有名な）Shrikhande graph と呼ばれるグラフと同型になる。このグラフの（ひとつの）定義は，Z/4Z × Z/4Z を点集合として，(i, j) の隣接点を (i, k), (k, j), (i + k, j + k) (k ∈ Z/4Z) とするものである。

(0,3) v★

★

v(0,2) th★

th☆

th· · · ∆ (a)3v · · · ∆ (a)6(0,1) v

v

☆

☆

dh

v

th

v

★ · · · ∆+ (a)☆ · · · ∆− (a)[a]=(0,0) (1,0) (2,0) (3,0)
さて，[a] を δ(E) の 1 点として，[a] が (0, 0) に対応させるとき，∆3 (a) = {(2, 0), (0, 2), (2, 2)},∆6 (a) = {(1, 0), (3, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 1), (3, 3)},∆+ (a) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)},∆− (a) = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}
とおく。∆3 (a), ∆6 (a) は，[a] の隣接点の集合で，その固定部分群による軌道になっている。また，∆+ (a), ∆− (a) は，[a] の非隣接点の集合で，その固定部分群の（非原始的な）作用における非原始域になっている。

5

以上の準備の下で，2 つめのタイプのノルム４のベクトルを


∑
∑
∑
∑
ea +
eb + (−i)
eb ± 
eb −eb b∈∆3 (a)b∈∆+ (a)b∈∆6 (a)b∈∆− (a)と定義する。ベクトルの総数は，直交基底の個数 (63) に，δ(E) の 1 点の決め方 (16) と符号 (±) の２通りをかけて，63 × 16 × 2 となる。

(3) 最後の３つめのタイプのベクトルは，[a] ∈ Ω∗ をひとつ取ると，ひとつ決まるもので
ある。




∑
1
fa =
(1 − 2i)ea +eb
2 + 2i ∗[b]∈Ω ,(a,b)=1

さらに，(2) で述べた δ(E) という部分集合以外のみを −1 倍することを許す（すなわち[c] ̸∈ δ(E) のとき，ec を −ec に変える）ことにして，それを faE と書くことにする。この符号変化は 63 通りであるから，最初のものと合わせれば，ここで与えたベクトルの総数は，28 × 64 ということになる。
以上で，定数倍 (±1, ±i 倍) を除いて，4060 = 63 × 4 + 63 × 16 × 2 + 28 × 64
個のベクトル（ノルムはすべて４）が与えられた。
命題 2. ここで与えた short vector が生成する Z[i] 上の格子 L は，ランク 56 の実格子として even unimodular であり，その theta series は

ΘL (q) = 1 + 0 · q + (4060 × 4)q 2 + · · ·となる。すなわち，ここで与えたベクトルと，それを ±1, ±i 倍した 4060 × 4 個が，最小ノルム (=4) のベクトルの全体を与えている。
なおΘL (q) = E47 − 1680E44 ∆ + 364000E4 ∆2(∆ =E43 − E62)
1728

である [14]。

3

U3(3) と G2(2)

前節のベクトルの定義においては，ユニタリ群 U3 (3) の働くユニタリ空間における，
isotropic vector, non-isotropic vector, 直交基底，などが関わっていた。（すでに注意した6

ように，non-isotropic vector を考えることと，hyperbolic line を考えることは同等のことである。）
このうち，isotropic vector は「ランク 1 の Lie 型の群」としての U3 (3) にとって本質的に重要である。すなわち，isotropic vector の固定部分群は，U3 (3) の唯一の極大 parabolic
部分群を与える。一方， non-isotropic vector と直交基底は，U3 (3) : 2 を G2 (2) と見たときの「ランク 2 の Lie 型の群」として重要なものなのである。すなわち，直交基底{[x1 ], [x2 ], [x3 ]} 全体を P とするとき，(P, Γ∗ ) は generalized hexagon である。
正確な言葉の定義は省略するが，P ∪ Γ∗ から２つの元を任意に取るとき，それらが（Pの元を頂点，Γ∗ の元を辺とみて）必ず六角形に含まれているというのである。
さて，特に，P の２点を結ぶ辺の最小個数で距離を定義すると，２点間の距離は高々3であるが，距離が 3 のときに成り立つ次の性質が，後に重要となる。
補題 3. D, E ∈ P が距離 3 であるとする。このとき，次が成り立つ。
(1) δ(D) ∩ δ(E) は，1 点を共有する 3 本の hyperbolic line の和集合である。
(2) δ(D) ∩ δ(E) を含むもうひとつの F ∈ P が存在する。（F と D, E との距離も 3 になる。）

4

ランク 3 グラフ

4.1

ランク 3 グラフと short vector

歴史的に見ると，Rudvalis 群はグラフの自己同型群として構成された [8]。そのグラフ
は，ランク 3 の置換表現（1 点の固定部分群の orbit の個数が 3 であるような置換表現）を用いて作られるもので，パラメータ (4060, 1755, 730, 780) の strongly regular graph になる。すなわち，1 点の隣接点の個数が 1755 個で，2 点に共通する隣接点の個数が，2 点が隣接するとき 730 個，隣接しないとき 780 個である。この置換表現の１点の固定部分群
が 2 F4 (2) であり，交換子を取らないと単純群（Tits 群）にならないという，例外型な Lie型の群である。
この置換表現は，2 節で与えた short vector への置換表現として与えられる。すなわち，
記号 Λ で定数倍を同一視したときの 4060 個の short vector 全体の集合を表すことにす
れば，次が成り立つのである。
命題 4. Λ を点集合として，その内積が 0 であるときに辺で結ばれるとしてグラフを定義
すれば，パラメータ (4060, 1755, 730, 780) の strongly regular graph になり，その自己同型群は Rudvalis 群である。

7

4.2

Hoﬀman-Singleton graph

このグラフを，複素格子 L とは独立に構成した Coolsaet の結果 [9] がある。それは，グラフを Hoﬀman-Singleton グラフと呼ばれる，パラメータ (50, 7, 0, 1) の strongly regulargraph を用いて記述したものである。Hoﬀman-Singleton グラフは，ユニタリ群 U3 (5) : 2を自己同型群に持つグラフであるが，Lie 型の群として記述できるものでなく，きわめて例外的なグラフである。1 辺の固定部分群が，Aut(A6 ) ∼= A6 .22 という群で，冒頭に述べた，例外的な同型を持つ，例外的な Lie 型の群のひとつになっている。以下，HoS と略記することにしよう。
Coolsaet の結果を簡単に述べておく。Rudvalis 群のグラフの 4060 個の頂点が，下記の様に，HoS の言葉を用いて記述できるというものである。
まず，HoS には 175 個の辺 (edge) が存在する。次に，HoS において一つの頂点から辺を伝って一週する最短経路を考えると，5 角形 (pentagon) ができる。これが，1260 個存在する。最後に，このような pentagon をふたつ組み合わせると Petersen graph と呼ばれる，パラメータ (10, 3, 0, 1) の strongly regular graph ができるのだが，その中に，互いに接しない 3 つの辺を取ることができる。これを hexad と呼んでいて，全部で 2625 個存在する。以上の edge, pentagon, hexad を合わせた 175 + 1260 + 2625 = 4060 個の対象
が，Rudvalis 群のグラフの頂点に対応している。さらに，ここに 2 点間の関係（辺）を定義するのであるが，ここでは省略する。また，ここで構成したグラフが Rudvalis 群のグラフであることの証明は，これがランク３グラフであることを示した上で，有限単純群の分類定理（正確には，そこから得られるランク 3 の置換群の分類定理）を使う。
さて，Coolsaet の結果の元となる HoS との関係は，Conway [7] による次のような観察が発端である。
命題 5. ([7]) 互いの内積が 1 であるような 7 つの short vector の集合（これを heptad と呼ぶ）を 50 組取ることができて，2 つの集合の共通部分が 0 か 1 となる。共通部分が 1 個であるときに，辺で結ばれるというグラフを作ると，HoS と同型なグラフができて，その自己同型群 U3 (5) : 2 は Rudvalis 群の部分群となる。
この記述を最初に読んだとき（ずっと昔の話であるが）には，このようなことを，どのように確認すれば良いのか，さっぱり見当もつかなかった。格子 L（特に short vector）
に関する理解が進み，様々な計算（実際の計算は計算機 (Magma) に任せるとしても）を行うことができるようになって，ようやく，いろいろなことが確認できるようになったのである。次に述べる，U3 (3) の言葉を用いて heptad を具体的に与えるという結果は，我々の勉強のささやかな成果の一つである。
前節の最後に述べた，3 つの直交基底 D, E, F （距離 3） をとる。δ(D) ∩ δ(E) は，1 点を共有する 3 本の hyperbolic line の和集合であるので，これを{e1 , e2 , e3 , e4 }, {e1 , e5 , e6 , e7 }, {e1 , e8 , e9 , e10 }8とおくことにする。このとき，次が成り立つ。
命題 6. 7 つの short vector−e1 + e2 + e3 + e4 , −e1 + e5 + e6 + e7 , −e1 + e8 + e9 + e10 , f1 , f1D , f1E , f1F
は heptad である。

4.3

generalized octagon

上述の Coolsaet の結果においては，最終段階を分類定理に頼っているため，グラフの構造に深く立ち入ることはしていないと思われる。実際には，グラフの１点の隣接点全体には 2 F4 (2) が作用し，そこには（ランク２の Lie 型の群として）generalized octagon の構造が入る。具体的な定義としては short vector v をひとつ固定したとき，v と直交する
short vector u1 , u2 , u3 でv ≡ u1 + u2 + u3

(mod (1 + i)L)が成り立つときに {u1 , u2 , u3 } を line と定義するのである。例えば，v = ea +eb +ea+b +ea−bであるとき，u1 , u2 , u3 として，v の符号を変化させたもの（３通り）を取れば良い。しかし，このような定義をしても，これが generalized octagon であることや，2 F4 (2) が作用するものであるということを示すことは難しいように思われる。
次のような観察が，この部分の進展に寄与できるのではないかと思っている。それは，上記のように heptad を作ることができるようになったことの副産物のひとつであり，再び例外的な群 A6 を登場させるものでもある。
命題 7. HoS において，ひとつの辺 (edge) を含む heptad は 45 個存在する。この 45 個のshort vector は，最初に取った edge に対応する点の隣接点における sub-octagon をなす。
この sub-octagon とは Aut(A6 ) ∼= A6 .22 が作用するもので，点集合として 45 個の 22型の置換 ((i j)(k l)) をとり，互いに可換な 3 つの置換の集合を直線として定義するのである。このとき，直線には 2 つのタイプ{(1 2)(3 4), (3 4)(5 6), (1 2)(5 6)},{(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}があって，この２つのタイプは S6 では互いに移ることはなく，その外部自己同型で移るという性質のものである。
このような sub-octagon の存在から 2 F4 (2) が作用する generalized octagon を特徴付けるというプレプリント [3] が発表されており，Rudvalis 群の特徴付けに一役買える観察になるだろうと思う。

9

5

Ru が作用する自己直交符号

最後に，冒頭に述べた自己直交符号について述べる。まず，Chigira-Harada-Kitazume[5] による結果の紹介から始める。
(G, Ω) を次数 n(= |Ω|) の置換群とする。Ω の部分集合全体 P(Ω) は，対称差を考える
ことで，２元体上の n 次元ベクトル空間と見なされ，G は自然にここに作用する。このとき，G の位数２の元 σ の固定点 F ix(σ) の生成する符号（部分ベクトル空間）を F (G, Ω)，
その直交補空間を C(G, Ω) と表す。

F (G, Ω) := ⟨F ix(σ) | σ ∈ I(G)⟩,C(G, Ω) := F (G, Ω)⊥

置換表現が特定されている場合には，次数 n だけを書いて，F (G, n), C(G, n) と表すことにする。
定理 8 ([5]). C を G の Ω への作用で不変な，長さ n の自己直交符号 (C ⊂ C ⊥ ) とする
とき，
C ⊂ C(G, Ω)が成り立つ。
さらに，C が自己双対 (C = C ⊥ ) ならば，F (G, Ω) は自己直交でF (G, Ω) ⊂ C ⊂ C(G, Ω)が成立する。
この定理の後半の条件をみたす原始置換群は，実は，限られた場合にすぎない。次の定理は，散在型単純群に限って述べたものであるが，一般の単純群で調べても，めぼしい例が増えることはない。
定理 9. 散在型単純群 G に対し，次数 10080 以下 の原始置換表現について，F (G, n) が0 でなく，かつ自己直交となるのは，以下のいずれかに限る。

G = M12 , n = 144, 220,
G = M22 , n = 22, 330, 672,
G = M24 , n = 24, 2024,
G= J2 ,

n = 100, 10080,

G

= Ru,

n = 4060.

このうち，(M12 , 144), (M22 , 672) については実際には自己双対符号は存在しないことが示される。また，(M24 , 2024), C(J2 , 10080) については，そのチェックをしていない。残りの場合については，G-不変な自己双対符号の分類が可能であり，(M22 , 22), (M22 , 330),

10

(M24 , 24) については一意的で，残る (J2 , 100)([4]), (M12 , 220), (Ru, 4060) の場合は３つ存在する。
そこで，Rudvalis 群の場合に，それがどのような符号かを調べようと思い，まずその生成系をとらえようと思ったわけである。Magma による計算で F (Ru, 4060) が 2029 次
元であることはわかっていた。従って，あと一つの生成元を求めればよい。問題は，それを数学的にどう記述するかということである。
前節と同様に，Rudvalis 群のグラフを HoS を用いて記述したものを用いる。グラフの点集合は，定数倍を除いた short vector の集合であり，そこへの 4060 次の置換表現について，その作用で不変な自己双対符号を考える。
命題 10. HoS において，ひとつの点を含む pentagon は 126 個存在する。この 126 個のshort vector の集合と，F (Ru, 4060) とで生成される符号は，Ru-不変な自己双対符号を与える。
あと 2 つの自己双対符号があるのだが，その生成系については，未だうまい記述が見つかっていない。

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11

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[14] 千吉良直紀，Rudvalis 群と格子，第 57 回代数学シンポジウム報告集，2012.
[15] 北詰正顕，散在型単純群の周辺，第 53 回代数学シンポジウム報告集，2008.
[16] 北詰正顕，Rudvalis 群に対する複素格子について，RIMS 講究録 1811「有限群とその表現，頂点作用素代数，組合せ論の研究」2012 年 3 月.

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