第2章
2リンク・ロボット・マニピュレータの位置制御系設計

物理現象のモデリング三田 宇洋
組み込みシステム開発におけるモデリングの対象の一つとして，機構系や電気系を含む物理現象の動特性がある．物理現象のどの部分に着目し，どの程度詳細にモデル化するかを決定するのは人間である．この部分は，ツールが支援してくれるわけではない．ここではマニピュレータ（ロボットの腕）を例に，モデリングの具体的な手順を紹介する．

（編集部）

モデリングとは，ある現象の特徴をとらえ，表現するこす．図 2（b）はグレーボックス・モデルです．グレーボッとを意味します．対象としては，市場経済のようなマクロ

クス・モデルは，モデルの内部構造に一部不明な点があるなものから半導体素子内部の電荷の動きのようなミクロなものです．この例ではダンパ要素が不明です．図 2（c）はものまで，さまざまなものが考えられます．ここでは，制ブラックボックス・モデルです．ブラックボックス・モデ

御系設計におけるモデリングについて見ていきます．

ルはモデルの内部構造が未知のものです．入力信号とそのさて，制御する機器本来の能力を引き出すためには，精ときの出力信号の実験データから系の数式モデルを計算に度の高い制御を行う必要があり，そのためには対象機器のより求める手法に，システム同定があります．ブラックボッ

詳しい知識が必要です．これを数式で表すものが数式モデ

クス・モデルの計算にはシステム同定がよく使われます．

ル（物理モデル）であり，モデル作成の作業をモデリングと● 何に着目し，何を無視するか（1）呼びます ．

一般に，良いモデルを求めるのは困難な作業ですが，次● 制御には 2 種類のモデルがあるの 2 点が重要です．

制御におけるモデルには，制御対象（プラント）とコント¡物理現象の原因となる因子について，因子が物理現象ローラ（制御器）の 2 種類が考えられます．サーボ系の制御に与える影響（感度）を評価し，影響（感度）の大きい構造を図 1 に示します．制御の対象となるのは，コント因子からモデリングするローラによって制御したい物理現象です．以降で示すマニピュレータなどが一例です．コントローラは通常，計算機や電気回路に搭載されるアルゴリズムです．以降で示す¡モデリングする条件において，感度の低い因子を必要に応じて無視する
次の 2 例を考えましょう．

PID 制御などがその一例です．

1）十分小さく重い鉄球の自由落下のモデリング● 法則や数式を抽出し，系の挙動を記述する（落下距離が十分小さい場合）

物理モデリングとは，注目する物理現象を支配する法則や数式を抽出し，（数式のような）普遍的な表現で系の挙動を記述することです．法則にはエネルギ保存則，電圧平衡の式，物質収支式，および熱収支式などがあります．物理

設定値＋r

−

コントローラ
（制御器）

入力u

出力
制御対象
（プラント）yモデリングには，大別して次の分類があります．図 2 に示したバネ，マス，およびダンパで構成される 1 自由度振動
図 1 サーボ系の制御構造系のモデルで見ていきましょう．
図 2（a）はホワイトボックス・モデルとなります．ホワイトボックス・モデルは，系を支配する数式が明白なものでOct. 2007

一般的な設定値追従制御の制御構造を抽象化すると，このようになる．設定値と制御対象の出力の偏差からコントローラ（制御器）が計算した入力を制御対象に与えることで，制御対象の出力が変化する．出力を設定値に追従させることが本制御系の目的である．

KEYWORD ―― ロボット，マニピュレータ，アルゴリズム，プラント，モデリング，エンド・エフェクト，MATLAB/Simulink，
モデル・ベース開発，Maple，PID 制御，DC モータ，ラグランジュ法，軌道関数，VRML71

¡運動方程式は
mx ＝−（cx ）−（kx ）＋u
整理すると mx ＋cx ＋kx ＝ u¡初期値は x（0）＝ 0, x（0）＝0, x（0）＝ 0とする．

START1）マニピュレータの位置の目標軌道関数計算

xkx

kxcxkxkum2）マニピュレータのモデリング？

mu3）制御系設計

sys1c4）制御系性能評価（a）ホワイトボックス・モデル（b）グレーボックス・モデル
出力信号

END

0.2

10.8
0.6
0.4
0.20u02468
時間［s］？

y位置［m］

外力入力信号0.10.05010

図 3 シミュレーション解析/評
価の工程

0.1502

468時間［s］

10（c）ブラックボックス・モデル

モデリングから制御系設計までの工程のフローチャートを示す．1）はマニピュ
レータの運転計画の設計，2）は運転計
画をシミュレーションするためのマニピュレータの動特性（静特性）のモデリングである．3）では制御則を設計し，2）のモデルを用いて，4）で評価する．

図 2 モデリングの分類
モデルは，ホワイトボックス，グレーボックス，ブラックボックスの 3 種類に分類できる．

このとき，鉄球に働く力には，重力と空気抵抗がありま所で，所定の姿勢をとらせたり，空間曲線に沿って動かしす．支配的な因子は重力と考え，空気抵抗は無視して考えたりする役割を持っています．マニピュレータは，ロボッることが可能です．

トを性格付ける重要な構成要素の一つです（2）．

2）雨滴の自由落下のモデリング（落下距離が十分大きい場合）

近年，自動車や航空機，宇宙機などの制御システム開発

このとき，雨滴に働く力には重力と空気抵抗がありまにおいて，モデル・ベース開発（Model Based Develop-す．空気抵抗は系の特性に大きく影響するので，無視するment）と呼ばれる手法が注目されています．モデル・ベー

ことはできません．

ス開発は，開発工程の上流から下流まで，一貫してモデルを利用する開発手法です（3）．本稿では，The MathWorks

1．マニピュレータをモデリングしよう

社の数値計算ツール「MATLAB/Simulink」のモデルに基づいて開発を進めていきます．MATLAB は数学計算を得

産業界では，さまざまな形態のロボットが生産現場で使意とするスクリプト言語です．Simulink は，時間の概念をわれています．産業用ロボットにはマニピュレータ（いわ持つブロック線図環境のシミュレータです．

ゆる ロボットの腕 ）と呼ばれる機構を持つものが多くあ● ロボット・マニピュレータの位置制御系を設計ります．マニピュレータは，対象物に直接働きかける操作

設計事例として，ここでは 2 リンクのロボット・マニ

端や作業工具などのエンド・エフェクタ（いわゆる ロボッピュレータ（以下，マニピュレータ）の位置制御系設計に焦トの手 ）を，空間内の所定の位置に移動させます．その場点を当てます．また，図 3 の流れに沿って，下記の 1）〜4）の各工程について説明します．MATLAB には 80 を超

注：本稿で説明する事例について，より詳細な解説を「http://www.
cybernet.co.jp/matlab/library/」からダウンロードできる．ドキュメントのタイトルは，「2 リンクロボットマニピュレータの DC モー
タによる位置制御へのモデルベース開発の適用 ― 機構系と電気系のマ
ルチドメインモデリングと PID 制御パラメータの最適チューニング」（詳細解説とサンプル・モデル），「2 リンクロボットマニピュレータの DCモータによる位置制御へのモデルベース開発の適用 ― デモ概説書」．

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える用途・業種に特化したオプションがありますが，ここではそれらのうち，図 3 の工程を円滑に進めるために有効なものだけを用います注．
1）マニピュレータの位置の目標軌道関数の設計
まず，マニピュレータの位置の目標軌道関数を設計しまNews Flash ――角川グループホールディングス，YouTube の動画識別技術実証実験に参加
角川グループ事業会社の角川デジックスは，動画共有サイト YouTube が開発中の動画識別技術の実証実験に参加する．本実験には，既に Walt Disney 社や Time Warner 社などが参加を表明している．

Oct. 2007