平成１４年度卒業論文

２サイクルディーゼル機関の急速負荷上昇

平成１５年２月２８日
高知工科大学 工学部 知能機械システム工学科
舩築 知宏
溝渕 高行
指導教員

教授 磯村 修一

-1-1030149

目次
3

緒言
第１章

エンジン・シミュレータの開発の背景、必要性

3

第２章

エンジン動特性の数式モデル

5

２．１

燃料系

7

２．２

燃焼系

9

２．３

過給機系

9

２．４

給気系

9

２．５

機関回転系

9

第３章

10

エンジン制御系モデル
３．１

エンジンの数式モデル

10

３．２

制御システムの数式モデル

10

３．３

エンジン制御システムのブロック線図

11

第４章

シミュレーションプログラム

13

第５章

シミュレーション結果

16

第６章

負荷急上昇対策案

16

結言

20

謝辞

21

参考文献

21

付録 等エントロピーの流れについて

22

-2-

1030149

緒言
ガスタービン発電に比べ、燃費の優れたディーゼル発電は、急激な負荷上昇要求に対する追従性において劣っているといわれている。本研究はその原因が掃気系のポジティブフィードバックにあり、主に１．過給機の追従性による出力上昇の遅れ。
２．排気ガス圧力急上昇に伴う掃気の遅れ。
に起因されることをシミュレーションにより確認した。さらに、この問題を解決するためのいくつかの提案、検討をおこなった。

第１章

エンジン・シミュレータ開発の背景、必要性

シミュレーションの目的、考え方、手法は具体的な事象により様々であり、シミュレー
ションが必要になるのはシステムが複雑なときである。単純な道具の機能やプロセスについては人間の通常の経験的知識によって十分である。しかし、様々なプロセスが複雑に絡み合う事象になると、通常の人間の訓練による判断では事態を正しく認識する事が難しくなり、判断にしばしば重大な誤りが発生する。ここにシミュレーションの必要性が発生してくる。主なものを挙げてみると、
１．安全性確保、危険回避のため
２．経済性確保、効率化達成のため
３．経済動向の将来予測のため
４．自然現象の予測のため
５．機器、装置の設計のため
６．自然科学、社会科学系の研究、事象の理解、教育のためなどが挙げられる。これらのことより、今後ますますこのようなシミュレーション技術が必要となってくると思われる。
本研究の対象であるレシプロエンジンやガスタービンエンジンは自動車、船舶、航空機などに採用されており、その高性能化の要求、環境基準などは次々にクリアされ２０世紀にはほぼ完成の域に達しており、もはや研究テーマは残されていないのではないかと思われていた。ところが、電力自由化でビルや家庭向けなどの分散型発電機の需要が高まった。
発電用ディーゼルエンジンは 50Hz あるいは 60Hz の発電機との対応から、一般には 3600，
3000，1800，1500，1200，1000rpm などの定まった回転数の仕様が特色で使用目的によって常用発電機と非常用の仕様がある。
常用、非常用ともに信頼性が最も重要であり、次にそのエネルギーの質の点でも所定の-3-1030149周波数の精度を左右するエンジンの回転数の制御性、ことに負荷変動に対する応答性が厳しく要求される。また非常用においては、緊急事態における急速起動、負荷投入が常に要求されており、信頼性の要求が一段と厳しいものである。
加速性能に優れたマイクロガスタービンが発電用として有力といわれる中、低価格燃料、高効率で優位に立つレシプロエンジンの最大のネックはその加速性にある。現在のレシプ
ロエンジンは効率向上のために必ず排気ガスターボチャージャー（過給機）を装備しているが、負荷上昇時に限り過給機の追従遅れのため、出力上昇が追いつかず、発電機の回転数が低下してなかなか回復しないという問題が予測される。そのためビルや家庭の電源周
波数が 60Hz（又は 50Hz）から降下し電力系統におけるさまざまな悪影響が予測されるのである。
そこで、今回は、急速負荷上昇を妨げる要因を明らかにするため、過給機による掃気系のフィードバックを含む、エンジンシステムの動特性シミュレーションを行うとともに、過渡特性を改善する対策について考察した。

-4-1030149

第２章

エンジン動特性の数式モデル

図1

機関図

本研究ではエンジンや過給機のフィードバック効果を考慮して、負荷急上昇要求に対する機関系の過渡特性について述べる。
Full turbo charged Diesel engine において、瞬時に負荷を投入するような場合には調速機が燃料をフルに供給しても、慣性を持った過給機系統の遅れのため、ただちに給気が追従しないので、空気不足のため、燃焼にあずかる燃料は飽和し、機関出力は空気のみに依存することになるので、図２のように過給機の特性を考えた機関動特性について検討する。
fuel( input )Engine torque ( out put )Combustion
chamber

Turbo chargerair
図２ Block diagram for combustion chamber with turbo charger -2-5-1030149

またエンジンの出力には無駄時間がある。その無駄時間は以下のようにして求めることができる。
回転数 N、角速度ωとすると

ϖ=

2πN
60

２−１

周波数ｆ、周期 T とすると

f=

ϖ
N 1
=
=
2π 60 T２−２

T=

2π 2π × 60 60
=
=
ϖ
2πN
N

２−３

ここで、N＝２４０（rpm）とすると、

T=

60= 0.25 （sec）
240となり、最大無駄時間は０．２５（sec）となる。これより、平均無駄時間は０．１２５（sec）となる。ここでの無駄時間をτとする。図３に１シリンダー時の無駄時間を示し、図４に６シリンダー時の無駄時間を示す。

1 cylinder

0.125(sec)
図３１シリンダー時の無駄時間-6-1030149

6 cylinders

#6
#5
#4
#3
#2
#1

0.25(sec)
図４６シリンダー時の無駄時間

また、図２のような機関を制御的な立場から、燃料系、燃焼系、過給機系、給気系、機関回転系に分割して各々の数式モデルを作成する。

２．１ 燃料系
燃料ポンプおよび弁の特性は、弁内の遅れを無視し、燃料 fuel _ flow は機関回転数 rpm と燃料ポンプラッグ変位 XR との関数として

fuel _ flow = f (X R , rpm)と表され静特性を図５のように関数近似して求める。

XR

fuel_flow
rpm1

rpm2

fuel_flow

rpm3
rpm4

rpm

XR

図５ Fuel pump characteristics-7-1030149

２．２ 燃焼系
燃焼系への入力は、燃料 fuel_flow、空気 air_flow で、出力は排気ガス gas_flow である。

fuel_flow

fuel_flow > λ * air_flow
gas_flow

gas_flow = λ * air_flow
air_flow

fuel_flow < λ * air_flow
gas_flow = fuel_flow

図６ Block diagram for Combustion chamber
燃料 fuel_flow は空気過剰率λによって制限され、λ≒1.3 で飽和し始める。したがって、燃焼系の伝達特性は図６のようにλによって fuel_flow に制限を設ける飽和特性で表現する。

２．３ 過給機系
過給機系は、燃焼室（Combustion Chamber）へ掃気を供給する。掃気トランク、air cooler 、
送風機、排気タービン、排気管がシリーズになってガスタービン制御系である。ここでは、簡単のため次のような仮定のもとに数式モデルを作る。
まず、タービンおよび送風機内部の gas flow に関しては遅れを無視し、回転部分の慣性のみを考え、管系については、集中容量系として状態変化、mass、heat balance の式より次式が求められ、伝達関数が求まる。

τB

dair = torque − airdt

ここで、 τ B ：過給機時定数、air：送風量、torque：機関出力トルク
排気タービンおよび送風機の動作点に関しては、各々の単独特性が過渡状態においても成立と仮定し、決定する。

-8-

1030149

２．４ 給気系
シリンダー内は等エントロピー流れとすると、次式が求められ、伝達関数が求まる。

d
air_flow = air − air_flowdt
ここで、 τ C ：シリンダー時定数、 air _ flow ：空気量とする。
τC

２．５ 機関回転系
機関回転系の状態方程式は次式となり、これより伝達関数は求まる。

drpm = torque− load − loss
dt
ここで、 τ a ：機関時定数、 load ：負荷トルク、loss：損失トルク
τa-9-1030149

第３章

エンジン制御系モデル

ディーゼル機関は、その特性上の問題から用途に応じた調速機を常備している。その特性は見かけ上の内部抵抗を持つ定トルク形動力源として評価できる。しかし、この負性の内部抵抗ゆえに機関運転の安定性が損なわれるため、ディーゼル機関が調速機無しにはほとんど実用化されないわけである。このために発電機の出力電圧、周波数をも考慮しなければならない。
本研究では調速機は基準回転数と機関の回転数の差を入力とし、燃料を出力とする簡略化したモデルを作成し、最適制御を行う。

３．１ 制御油圧サーボの数式モデル

τhd
X R = fuel_flow_demand − X R
dt

ここで、 τ h ：油圧サーボ時定数、fuel_flow_demand：制御入力とする。

３．２ 制御システムの数式モデル

制御システムの数式モデルは以下のようにする。
gain は調定率 δ とするとgain =1δ

となる。調定率δは実験より４％となり、gain は２５となる。

rpm0 ：基準回転数、 rpm ：機関回転数とすると、
fuel _ flow _ demand = gain (rpm0 − rpm)

３−９となり、 deviation ：逸脱、 X R ：燃料ポンプラッグ変位とすると、

deviaton = fuel _ flow _ demand − X R

３−１０となる。絞り量を ∆Z とすると、∆Z = deviationとなる。ここで、 ∆Z < Z min ならば、

３−１１

- 10 -

1030149

∆Z = Z minとなり、 ∆Z > Z max ならば、∆Z = Z max

３−１２
３−１３

となる。 τ h ：油圧サーボ時定数、control：制御量とすると

τC

dcontrol = ∆Z
dt

３−１４

となる。また、X R = controlとなり、 control < control min ならば、
X R = control min
control > control max ならば、
X R = control max

３−１５
３−１６
３−１７

となる。

３．３

エンジン制御システムのブロック線図

３．１、３．２の数式より伝達関数を求め、図７のようなエンジン制御システムブロッ
ク線図が得られた。

- 11 -

1030149

fuel_flow_demand
deviation
＋

＋

rpm

control

gas_flow

If

XR

1
τ hS

gain

−

load
fuel_flow

Ω1

Ω2
XR

−

fuel_flow>λ* air_flow
gas_flow

torque

=

λ

*

−

e−τS

−

air_flowloss

Iffuel_flow<λ* air_flowrpm

air_flowIf
torque(t)＞torque(t-1)

1
ΤCS + 1
Else

air

1
τt S

−

1

図７ Block Diagram for Diesel Generation System- 12 -＋

1030149

1
Τa S

rpm

第４章

シミュレーションプログラム

コンピューターはノート型パソコン（TOSHIBA DynaBook Satellite2060）で、OS は( Windows98 Second Edition )、言語プロセッサーは Microsoft Visual C++6.0 である。
３．１、３．２の連立微分方程式で表された数式モデルを解くプログラムを作成した。
プログラムリストを下記に示す。
double delay[3000];
double x[nmax],xm[nmax],f[nmax],u[nmax],ti,t,dti,tend,dt;
int

n,count,delay_count;

void initialize(){n= 4;x[1]=1.0;
x[2]=1.0;
x[3]=1.0;
x[4]=1.0;t = ti;dt=dti;}void derivs(double t,double x[],double f[]){double rpm0=1.04;
double Tt=5.0;
double Ta=2.0;
double gain=25.0;
double Tc=0.1;
double Th=0.1;
double delta_z=0.5;
double upper_limit=1.1;
double loss=0.1;
double lower_limit=0.0;
double excess_air_ratio=3.5;
double control=x[1];double air=x[2];double air_flow=x[4];- 13 -

1030149

double rpm=x[3];double gas_flow;
double load=0.9;
double torque=1.0;
double delay_time=0.04;
delay_count=(int)(delay_time/dti);
if(t>1.0){
load=0.0;}
if(t>10.0) load=0.9;
double fuel_flow_demand=gain*(rpm0-rpm);
double Xr=control;
double deviation=fuel_flow_demand-Xr;
if(deviation<=-delta_z) deviation=-delta_z;if(deviation>= delta_z) deviation= delta_z;f[1]=deviation/Th;
if(control>=upper_limit) Xr=upper_limit;
if(control<=lower_limit) Xr=lower_limit;
double fuel_flow=Xr;if(fuel_flow>=excess_air_ratio*air_flow) gas_flow=excess_air_ratio*air_flow;
if(fuel_flow<=excess_air_ratio*air_flow) gas_flow=fuel_flow;
delay[count]=gas_flow;
torque=gas_flow;
if(count>delay_count) torque=delay[count-delay_count];
f[2]=(torque-air)/(Tt);if(torque>u[4]){f[4]=(air-air_flow)/Tc;}else{
f[4]=f[2];}f[3]=(torque-load-loss)/Ta;
u[1]=load;u[2]=deviation;u[3]=gas_flow;u[4]=torque;- 14 -

1030149u[5]=fuel_flow;}/***********************************************************************//*

Integration by Runge-Kutta Method for Crank*//***********************************************************************/
void rk4(double t,double dt,double x[],double xm[]){inti;double xt[nmax],ft[nmax],fm[nmax];
double h,hh,h6,th;h=dt;
hh=h*0.5;h6=h/6.0;
th=t+hh;derivs(t, x, f);for (i=1;i<=n; i++){xt[i]=x[i]+hh*f[i];}derivs(th, xt, ft);for (i=1;i<=n; i++){xt[i]=x[i]+hh*ft[i];}derivs(th, xt, fm);for (i=1;i<=n; i++){xt[i]=x[i]+h*fm[i];fm[i] +=ft[i];}derivs(t+h, xt, ft);for (i=1;i<=n; i++){xm[i]=x[i]+h6*(f[i]+ft[i]+2.0*fm[i]);}for (i=1;i<=n; i++) x[i]=xm[i];}- 15 -

1030149

第５章

シミュレーション結果

第４章シミュレーションプログラムに示したプログラムよりシミュレーションを作成した。シミュレーション結果を図８に示す。図８より、負荷急増時に空気量はなだらかな曲
線のようにしか増加せず、エンジントルクは上昇に大変時間がかかり、回転数は大幅に落ち込んでいることが分かる。また、低負荷での空気過剰率を大きくした場合のシミュレー
ション結果を図９に示す。図９は図８に比べ負荷急増時の空気量の増加量は増え、エンジ
ントルクの上昇時間は短縮され、回転数の落ち込みも減少している。
これらのことよりディーゼル機関の急激な負荷上昇要求に対する追従性の悪さが分かる。

図８ Block diagram for diesel generation system simulation 1- 16 -

1030149

図９ Block diagram for diesel generation control system simulation 2- 17 -

1030149

第６章

負荷急上昇対策案

急速負荷上昇時に機関の追従を良くするため図１０のように空気溜（ボンベ）のようなものを付け、一時的に空気を送り、空気不足を解消することを検討する。
空気溜のようなものの例として NOS（ナイトロオキサイトシステム）がある。NOS とは
負荷上昇時に亜酸化窒素をエンジン内に供給し、エンジン内で亜酸化窒素が気化し高濃度な酸素を得ることで、通常より多くの燃料を燃やすことのできる装置で、現在カーレースなどで使用されている。

torque(output)

fuel_flow

QB

Combustion chamberbombe

air_flow
Turbo charger

図１０ Block diagram for combustion chamber with turbo charger and air tank
空気溜（ボンベ）の数式モデルを作成する。
空気溜（ボンベ）内は等エントロピー流れとすると状態方程式は

τB

d
PB = −Q Bdt

ここで、 τ B ：ボンベ時定数、 PB ：ボンベ内圧力、 Q B ：ボンベ内流量とする。
これを、２．４給気系の数式モデルに組み込み、上記と同様にシミュレーションを作成した。シミュレーション結果を図１１に示す。図１１より、負荷急増時に空気量は大幅に増加し、エンジントルクの増加にかかる時間はさらに短縮し、回転数の降下も大幅に減少しており機関の追従性の向上が分かる。ただし、エンジンにチャージするエネルギー損失は避けられない。

- 18 -

1030149

図１１ Block diagram for diesel generation control system simulation 3- 19 -

1030149

結言
調速機を含む、２サイクルディーゼル機関閉ループ系の解析を行い、以下のことが分かる。
・ 負荷投入の場合、調速機が燃料を増加しても、機関出力は過渡的には燃料に比例して増加しない。
・ 負荷の変化量が大きいほど、負荷減少時に比べて、負荷上昇時の回転変動量が大きい。
・ 燃料急増時に機関出力が追従できないのは、過給機の慣性による掃気の遅れが原因である。
・ 燃料増加によって排気エネルギーが一時的に増大するが、排気圧の上昇のため給気は一時困難となり、その回復は過給機の時定数によって決まる。
したがって、このような負荷変動に対して、機関の追従を良くし、回転の下降を防止するためには、以下のことが考えられる。
１．空気溜（ボンベ）をつける。
２．低負荷での空気過剰率大きくする。
本研究ではこの２つのことを提案し、検討した。空気溜（ボンベ）を付けることで、急速負荷上昇時に機関の追従は良くなり、回転の降下も抑えることとなる。
しかし、空気溜（ボンベ）は交換が必要なことなどを考慮すれば現実問題としてボンベの改良は必要不可欠だと考える。

- 20 -

1030149

謝辞
磯村研究室で開発された２サイクルディーゼル機関動特性研究を基に、本研究では C 言語を用いて動特性を把握するためのシミュレーションプログラムを開発した。
本研究を進めるにあたり、指導して頂いた磯村修一教授、共同研究者の溝渕高行氏に感謝の意を表したい。

参考文献
１） 卒業論文「４サイクルガソリンエンジンの動特性について」
下司 真也、佐々木 兵太
高知工科大学 工学部 知能機械システム工学科

2000.2.28

２） 「内燃機関工学」
粟野 誠一
山海堂
３） ｢エンジンの辞典｣
古浜 庄一、神本 武征、金 栄吉、大聖 泰弘、古山 幹雄、吉識 晴夫、
渡部 栄吉
朝倉書店

- 21 -

1030149

付録 「等エントロピーの流れ」

流体の流れは、ディフューザー、タービンなどのいくつかの熱力学装置によって、高い精度で一次元の等エントロピーで近似することができる。分散するノズルを集中させることは、蒸気やガスタービンを含む多くの技術に用いられている。開放領域で出口速度 u 、流量 m 、圧力 p の影響を考慮すると、

p1
p

v1

m

T1

u

Fig.1 Converging nozzle.

Fig１の中でノズル入口圧力 P1 、温度 T1 、体積 V1 、出口速度 u 、流れの割合 m 、圧力 P とし、 T1 と P1 は貯蔵所での温度、圧力と等しいので、ノズル入口速度が無視できる。

（１）熱力学第１法則
熱力学第１法則の関係は、

dq = de + dw

１

ここで、 q ：熱エネルギー、 e ：内部エネルギー、 W ：仕事 とする。

- 22 -

1030149

Moving boundarygas

Fig.2 Piston-cylinder device

圧力 P1 、体積 V 、比容積 v 、断面積 A 、ピストンが動く距離 ds とすると

dw − pAds = pdV２

仕事 dw は次の様に表すことができる。

dw = pdv

３

よって，形式的に第１法則を得ることができる。

dq = de + pdv

４（２）エンタルピーの定義コンビネーション特性
エンタルピーの定義よりエンタルピーシンボル h とすると、以下のようになる。

h = e + pv

５（３）なだらかな流体力学の合計
単純で圧縮可能な、なだらかな流動性システムのエネルギーの合計は４部からなり、内部、仕事、運動、位置（ポテンシャル）エネルギーとなる。エネルギーの合計は、

q = e + pv +

u2
+ gz
2

６

で表され、式[６]を式[５]に代入すると

q = h+

u2
+ gz
2

７

となる。また、流動性が速いと、流体の位置エネルギーが無視できる。しかし、運動エネ
ルギーはそうではない。よって、- 23 -

1030149q =κ +u2
2

８となり、エネルギー保存則より、熱伝導は無視できるので、

dq = dh + udu = 0

９

となる。

（４）理想気体の比熱関係
状態方程式とは物質に圧力、温度、および特定の体積を関連づける方程式である。ガス過程の物質用の最も単純でよく知られている方程式は理想気体の状態方程式である。
ここで、 R ：気体定数、 v ：比容積、 T ：温度、 p ：圧力とすると、理想気体の状態方程式は式[１０]となる。

pv = RT

１０（５）比熱
比熱は物質の質量の温度を１度上げるのに必要なエネルギーとして定義されおり、熱力
学では、２種類の比熱が必要で、定積体積 C V 、定圧比熱 C P の比熱は、熱力学第１法則より

dq = de + pdv

４

エンタルピーの定義より

dq = dh − vdp

１１

定圧比熱の定義より

q = q (T )１２エネルギーは温度によって決まり、また、エネルギーは C V dt と等しい。

 ∂q 
dq = 
 = CV dt ∂T V

１３

同様に、

 ∂q 
dq = 
 = C P dt
 ∂T  P
式[４]より、 AT は定積となり
dq = de１４

１５

同様に定圧とし

dq = dh

１６- 24 -

1030149

よって、

 ∂e 
CV =  ∂T V ∂e 
CP =  ∂T  P

１７
１８となり、de は定積での温度による内部エネルギーの変化、dh は定圧での温度によるエンタ
ルピーの変化を示す。
式[１３]〜式[１８]より

de = CV dt

１９dh = C P dt

２０（６）理想気体の比熱関係
理想気体の C P と C V の関係は式[５]、式[１０]の区別により得る。

dh = de + pdv + vdp

２１

pdv + vdp = RdT

２２

式［２１］
、式[２２]より

dh = de + RdT

２３となり、式[１９]、式[２０]を代入して、 dT で両辺を割るとC P dT = C V dT + RdT
２４
C P = CV + R
２５となる。これより、 C P および、気体定数 R から CV を決定することができる。ここで、比熱比率 κ と呼ばれる別の理想気体を導入する。定義として、 κ ：比熱比率とすると、

κ=

CP
CV

２６

となる。式[２４]、式[２５]より

CP =
CP =

κ

R

２７

1
R
κ −1

２８

κ −1

と表すことができる。

- 25 -

1030149

（７）熱力学第２法則
低温から高温まで熱の伝熱以外の影響を与えない装置を構築することは不可能である。
熱力学第２法則はしばしば不平等を含んでいるが、不可逆熱機関は、例えば、同じ２つの熱エネルギーを貯蔵所間に作動する可逆的なものほど効率的ではなく、熱力学に主な結果を持っている別の不平等はクラウジウスの不平等を表現される。

δQ∫ T <0２９δQ∫ T =0３０Process A

2

Process B

1
Fig.3 Reversible process
Fig.3 で式[３０]を考えると

δQ

2

δQ

1

δQ

∫ T =∫ T +∫ T =0
1

３１

2

となり、式[３１]の最後の積分の範囲を逆にして均等を維持するそのサインを変更すると、
2

2 Q
Q
 = ∫1 δ  
 T A T B∫ δ
1３２となる。また、２つの平衡状態を結ぶ準静的可逆過程を考える。その過程の１部をなす小さな区間において、系が吸収または排出した熱量を dQ とする。この時、小さな間が結ぶわ
ずかな異なる２つの平衡状態について、系に伝達された熱 dQ を絶対温度 T で割った量の系のエントロピー変化を ds と定義する。

ds =

dQ
T

３３

ds =

dq
T

３４

dq = Tds

３５

あるいは、

- 26 -

1030149

式[４]および式[１１]に式[３５]を代入すると式[３６]、式[３７]を得る。

Tds = de + pdv = 0

３６

Tds = dh − vdp = 0３７（８）純物質の等エントロピーのプロセス
固定多量のエントロピーが内部に可逆的断熱のプロセスの間変わらない場合これは、一定のエントロピーの変化である。多くのエンジニアリング・システム、ポンプ、タービン
およびノズルのような装置がそれらの作用において本質的断熱である。また、変化に関連した摩擦のような不可逆性が最小限にたくされる場合、それらは最良に実行される。等エントロピーのプロセス手段 s = 定数（同等物 ds = 0 ）は式[３６]、式[３７]に ds = 0 を代入して得る。
式[１９]、式[２０]に式[３６]、式[３７]を代入すると

CV dT + pdv = 0

３８

C P dT − vdp = 0３９

式[３８]、式[３９]より

CP
vdp
=−
CV
pdv

４０

となり、式[４０]を式[２６]に代入すると

κ =−

v dp
p dv

dp
p
= −κ
dv
v

dp
dv
= −κ
p
v

４１

となる。これは変数分離なので積分することができ、式[４１]より断熱変化の式を得る。

ln p = −κ・ln v + c
ln p + κ・ln v = c

ln p + ln v κ = c
ln pv κ = c
pv κ = cons tan t

４２- 27 -

1030149

（９）理想気体の等エントロピーの速度
比熱比率 κ について等エントロピーの速度と理想気体の圧力の関係を求める。流れが等
エントロピーで、ガスが一定の比熱を持っていると考え、エネルギー保存則より

dh + udu = 0

９

等エントロピーのプロセスの第１法則より

Tds = dh − vdp３７

式[９]に式[３７]を代入、 Tds = 0 より、断熱の場合はTds + vdp + udu = 0
udu = −vdp

４３となり、入口境界条件を p = p1 、 v = v1 とすると式[４２]は
κ

pvκ = p1v1

４４

となるから
1

 p κ
v = v1  1 
 p

４５

式[４３]に式[４５]を代入して

udu = − p1

1

v1

κ

dp

４６

1

p

κ

となり、両辺を積分して
1

1
−
1 2
u = − p1 κ v1 ∫ p κ dp
2

=−

1
1−

1

1−

1

p1 κ v1 p κ + c

1

κ
κ −1

1
κ
u
=−
p1 κ v1 p κ + c2
κ −1となる。入口境界条件として p = p1 、 u = 0 より
2

0=−
c=

κ

1

κ −1
κ

κ −1

４７

κ −1

p1 κ v1 p κ + c

p1

1

κ

κ −1

v1 p1 κ４８となり、式[４７]に式[４８]を代入すると- 28 -

1030149

κ −1

1
1
κ −1
κ
κ
u2
=−
p1 κ v1 p κ +p1 κ v1 p1 κ
2
κ −1
κ −1
κ −1


κ −1
κ
1


κ
p

=
p1 κ v1 p1 κ 1 −   
  p1  
κ −1


κ −1


κ


p
κ

p1v1 1 −  1  =
 p  
κ −1



κ −1


κ


p
2κ

u=
p1v1 1 −   
  p1  
κ −1



４９
となる。 r =u=pとすると、流速 u は
p1
κ −1


2κ
p1v1 1 − r κ 
κ −1



５０

となる。ここで、流速と圧力の関係を Fig４で示す。

（１０）等エントロピーの流量p = p1

p

v1

m
T1

u

ρ =1 v
Fig.５ Converging nozzle

・

Fig.５に示されるように m ：流量、 ρ ：ノズル密度、 F ：ノズルの断面積とすると、- 29 -

1030149・m = ρFu

５１となり、式[４５]に ρ =
−

1

−1

ρ = p1 κ v1 p1を用いて密度を表すと
v
1

κ

５２

となる。式[４９]、式[５０]より

・

−

1

−1

1

m = Fp1 κ v1 p κ p= F   p1 
1= Fr κ

1

κ

κ −1


κ


2κ
p

p1v1 1 −   
  p1  
κ −1



κ −1


2κ p1   p  κ 
1−  
κ − 1 v1   p1  



κ −1

2 κ p1 1 − r κ κ − 1 v1 ５３となり、式[５３]より
.

m=

dm
dt

５４

となる。圧力比減少により流量は増加する。比率 r が出口平面で流動性の速度 u を音の速度に増加させると音速での比率 r * になる場合、多量流量

dmは最大値になる。このことを Fig
dt

６で示す。
しかしながら、流量は阻まれるので、同等物を区別する流量を得ることができる。これらのことを Fig７で示す。
式[5３]より、圧力比率 r = 0 として、
・

dm
=0
dr

５５

・


1
1
κ −1
κ −1

dm
2κ p1  1 κ −1
1 κ κ − 1 κ −1
1
κ
=F
1− r
− r
r

 r
κ −1
κ − 1 v1  κκdr2
1− r κ - 30 -

1030149


1
1
κ −1
κ −1
2κ p1  1 − κ
κ − 1 κ −κ=F
1− r κ −r r
 r
κ − 1 v1  κ
2κ


=F

2κ p1
κ − 1 v1

1
1− r




κ −1

1− r κ 1

κ −1
 1 − κ −1  κ − 1r κ 1 − r κ  −
κ −1 κ
2
κ




κ 

５６

・

dm
= 0 より、
その時、
dr
1

κ

r

−

κ −1
κ

κ −1
 κ −11 − r κ  − 2κ = 0




κ −1
 κ −1
1 −κ
=
r
1
−

κ 
2κ


r
r
r

−

−

−

κ −1
κ
κ −1
κ
κ −1
κ

−1 =

κ −1
2

κ −1

= 1+
=

2

κ +1
2
κ

1  κ + 1  κ −1=r  2 κ

 2  κ −1
r* =  κ +1

５７

式[５７]より、一定の流れを得ることができる。
・1

m = Fr κκ −1
2κ p1 1 − r κ κ − 1 v1 



 2 
= F 
 κ + 1 


κ
κ −1






1

κ

κ −1


κ

κ
2κ p1   2  κ −1  
1 − 

κ − 1 v1   κ + 1   
 
 


- 31 -

1030149

1

 2  κ −1 2κ p1 κ − 1= Fκ − 1 v1 κ + 1
 κ + 12

 2  κ −1 2κ p1=F  κ + 1  κ + 1 v1
.

κ +1


2 κ −1 p1 
m* = F κ 
v1 
κ +1



５８

式[５０]に式[５７]を代入すると、等エントロピーの速度を得る。
κ −1


2κ
u=
p1v1 1 − r κ 
κ −1


κ −1


κ
κ



2κ
 2  κ −1  =
p1v1 1 − 
  
κ −1
  κ + 1   
 
 


=

2κ
2 

p1v1 1 −κ −1 κ + 1=2κ κ −1
p1v1

κ −1
 κ +1

u* =

2κ
p1v1
κ +1

５９

これらのことを Fig８で示す。
理想気体の状態方程式、式[１０]から比容積 v1 を除くことで等エントロピーの速度と流量は表現される。
κ −1


2κ
u=
RT1 1 − r κ 
κ −1



・

m=F

p1
RT1

1

rκ

６０

κ −1

2κ 
1 − r κ κ − 1 
６１

- 32 -

1030149

u* =

2κ
RT1
κ +1

・

p1

m* = F

RT1

６２
1

rκ

κ +1

 2  κ −1κ κ + 1

６３

- 33 -

1030149

Fig4

Drawing Isentropic Velocity Calculation

Fig6

Drawing Isentropic Flow Calculation- 34 -

1030149

Fig7

Drawing Isentropic Flow Calculation

Fig8

Drawing Isentropic Velocity Calculation- 35 -

1030149