リニア駆動永久磁石を用いた制振制御

知能機械システム工学科
萩森 太一
竹崎 勇三

目次
１、

要旨

２、はじめに

３、実験装置

４、システムのモデリング（モデル化）
４−１、システム入力が永久磁石の位置による場合
４−２、システム入力がアクチュエータの駆動力による場合

５、数値シミュレーション
５−１、コントローラ
５−２、システム入力が永久磁石の位置
５−３、システム入力がアクチュエータの駆動力

６、

おわりに

７、

参考文献、資料

１、要旨これから記す文章は新しい制振制御方法について述べている。この方法の示差的特徴はリニアアクチュエータ（linear actuator）と永久磁石（permanent magnet）を使っていることである。
リニアアクチュエータは永久磁石を動かして吸引力制御（attractive force control）しながら永久磁石と対象物の間のエアギャップ（air gap）の変化を通して振動を縮小するために使われる。提案した制振制御方法（vibration control method）の性能について考察するために、実際の実験装置（experimental system）を基にモデル化したシステムを考える。そして、数値シミュレーション（numerical simulation）を実行して提案した制御方法の有効性を決定した。

２、はじめに薄板鋼板の圧延、コーティング、そしてメッキ工程では、その鋼板の搬送の際に生じる振動（vibration）がしばしば問題となっている。薄板鋼板はとても変形しやすい。そのための対策として、機械接触で振動を抑制する方法がある。しかし、その方法では機械接触により、鋼板に損傷を加えてしまう可能性があるため、適している方法ではない。それゆえに、非接触で振動を抑制する機械装置が薄板鋼板にとってもっとも適している方法といえる。この非接触での制振制御方法の１つとして、電磁石の磁気力を用いて振動を制御するという試みが行われている。しかし、この制御方法に問題点がある。それは制御範囲が収縮されることである。なぜな
ら磁石の吸引力はエアギャップの２乗に反比例して変化するからである。要するに、鋼板と電磁石の距離が離れると、十分な制御力が得られなくなることを意味する。もし対象物の振動振幅（vibration amplitude）が大きくなると、電磁石を使用しての対象物を制御することは不可能になる。
そこで、別の方法として永久磁石とリニアアクチュエータを用いての制振制御方法を提案する。
提案した方法は力制御機構（force control mechanism）であるところがキーポイントとなっている。リニアアクチュエータは永久磁石を動かし、磁石と対象物の間のエアギャップを変化させる。エアギャップの大きさの変化量は磁石の吸引力で変化する。制御範囲はアクチュエータの可動範囲とほぼ同じであるので、制振制御範囲が広いこということが期待できる。
流れとして、提案した方法の実験装置の概要を表して、システムのモデリング（modeling）をする。
次に、システムを線形制御理論（linear control theory）に合わせて解析して、制御器（controller）をその結果を元に設計する。その後に、数値シミュレーション（numericalsimulation）を行う。シミュレーションは制御方法の特性とその可能性を証明するために行う。

３、実験装置
提案した制振制御方法の性能を考察するために実験装置を考案した。実験装置の画像を図１に示す。また、真上から見た実験装置の概略図を図２に示す。ばね

永久磁石

支点
リニアアクチュエータ

レバー（制御対象）

スライダー

図１：実験装置の画像

リニアアクチ
ュエータ

永久磁石
ばね

支点

レバー（制御対象）

アクチュエ
ータの移動
方向

図２：真上から見た実験装置の概略図

対象とするシステムは、図１、図２に示すような１自由度の振動系である。対象物（レバー）は回転の自由度を持つもので、２つのばねによって支持されている。それらのばねは交換できて任意の剛性を決められる。対象物は強磁性体（磁石に吸着する物質）として、リニアアクチ
ュエータで動いている２つの永久磁石によってその両側から永久磁石の吸引力を加えられるような構造となっている。２つの鉄板が対象物（レバー）に取り付けられており、それらの鉄板は向き合っている２つの永久磁石の吸引力がレバーに作用する位置にある。図２から見て永久磁石はリニアアクチュエータによって上下に駆動するが、実際はリニアアクチュエータのレール部分は水平に取り付けているので、アクチュエータは水平方向に移動する。図から見て上側の永久磁石が薄板鋼板に近い位置にいて、右側の永久磁石が離れた位置にいるとき、上側の磁石の力を発生させる。同じく、下側の磁石の力も発生させることができる。この力制御機構は磁気浮上装置（magnetic levitation system）でも提案されているものである。
薄板鋼板の振動を制御するための計略は以下のとおりである。
センサ（sensor）が薄板鋼板の変位（displacement）を計測する。
センサの情報量を基にして、コントローラが振動を抑制するために必要とさせる力を計算する。
この力は永久磁石を動かしてエアギャップの大きさを調整することによって発生させる。リニアアクチュエータはＮＳＫによって製造されたメガスラストモータと呼ばれるものでリニアDDモータ（Direct Drive motor）式である。アクチュエータのストロークの長さは４００ｍｍ、最高速度は１８００ｍｍ/ｓ、そして０．００１ｍｍの精度を持つ。永久磁石は（株）マグナ製の異方性フェライト磁石（Anisotropic Sr‑Ferrite magnet）で、縦５０ｍｍ、横５０ｍｍ、幅１８ｍｍの正方形型のものを使用し、制御対象の部分にある鋼板、鉄板、そしてばね等の図２に映っている部材は（株）ミスミで注文したものを使用している。

４、システムのモデリング（モデル化）
モデリング（モデル化）とは制御理論を用いて制御系設計するために、制御対象を運動方程式とか状態方程式のような数学モデルで表すことをいう。実験装置のモデル化は安定性（stability）の確認、フィードバックゲイン（feedback gain）の計算、そして数値シミュレーションを可能にする目的で必要とされる。図３にシステムのモデル図を示す。制御対象は回転運動を行うものであるが、簡単のために直線運動をするものとしてモデル化する。明確な運動方向は図３から見て上向き方向を示す。

m1z1k s0z0d0fmd0k s0m0fa
図３：システムのモデル図

解析に用いる記号とその説明は以下のとおりである。
そのモデルに用いる記号の説明

z：対象物（レバー）の変位
0z：永久磁石部の変位
1d：平衡状態のエアギャップ（対象物が磁石の間の中心にあるときのエアギャップ）
0k s 0 , k s：ばね定数1k c 0 , k c：減衰係数1m：対象物の換算質量0m：永久磁石と動作部の質量
1f m：永久磁石の吸引力
f ：アクチュエータの駆動力ak：永久磁石の定数

図３の上方向を正とする。
永久磁石の吸引力は

fm =kk・・・・・・・・・・・・・・・(1)−2( d 0 − z 0 + z1 )(d 0 + z 0 − z1 ) 2

対象物（レバー）の運動方程式は

m0 &z&0 = f m − k s 0 z 0 − k c 0 z& 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)また、永久磁石部の運動方程式は

m1 &z&1 = − f m − k s1 z1 − k c1 z&1 + f a ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)となる。
永久磁石の吸引力 f m は非線形であるから、線形化する必要がある。尚、線形化(linearization)とは非線形方程式を線形方程式で近似することをいう。
式(1)を線形化すると

f m = k m z 0 − k m z1 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)となる。ここで、 k m は永久磁石の定数である。
式(4)を式(2)に代入して変形すると

m0 &z&0 = (k m − k s 0 ) z 0 − k c 0 z& 0 − k m z1 ・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)同様に、式(4)を式(3)に代入して変形すると

m1 &z&1 = − k m z 0 + (k m − k s1 ) z1 − k c1 z&1 + f a ・・・・・・・・・・・・・・(6)となる。さらに、式(5)、(6)を変形すると、それぞれ

 k 
 k 
 k − k s0  z 0 +  − c 0  z& 0 +  − m  z1 ・・・・・・・・・・・・・(7)&z&0 =  m
 m0 
 m0 
 m0 
 k 
 k − k s1  k f z1 +  − c1  z&1 + a ・・・・・・・・・・・(8)&z&1 =  − m  z 0 +  mm1
 m1 
 m1 
 m1 となる。
そのシステムモデルは、４−１、システム入力が永久磁石の位置による場合４−２、システム入力がアクチュエータの駆動力による場合の２つの場合に分けて考察する。
以下ではそれぞれについて線形制御理論から、線形化した状態方程式（state equation）を求め、システムの特性を把握する。

４−１、システム入力が永久磁石の位置による場合
システム入力が永久磁石の位置による場合、そのモデルは式(1)、(2)を使うことによって表される。システム入力は永久磁石の位置、出力は対象物（レバー）の変位である。そのシステムのブロック線図（block Diagram）を図４に示す。

f extcontroller

ref+−K

time delay

Gpre

Fm++fm12
m0 s + kc0 s + ks 0z0

図４：システム入力が永久磁石の位置のときのブロック線図

図４にある f ext は外乱を表していて、振動の根源となるものである。外乱は鋼板の送り量により起こされた強制力でレバー（対象物）に外力として加えられる。
ブロック線図にある G pre はアクチュエータの遅れを表す。たとえ位置入力のシステムで考えたとしても、入力信号から実際の磁石位置の変化の遅れは動作部の慣性力、モーターコイルのインダクタンスなどに打ち勝つので存在する。システムのモデリングの目的の1つは線形制御理論に基づいて制御器の設計をすることである。制御器の設計を行う場合、状態空間モデル（statespace model）が基本となる。
式(7)を線形制御理論で利用できるモデルに変換するため、状態量（state variable）を定める。
状態ベクトルはz x1 =  0  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9) z& 0 
このベクトルを時間で微分すると

 z& x&1 =  0  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10) &z&0 となる。このベクトルの第２要素の加速度に対して、式(7)を代入して、行列を用いて表すと、状態方程式は z&0   k −0 k  = m s 0 &z&0   m01  z   0 k  0  k − c 0  z&  +  − m  z1 ・・・・・・・・・・(11)m0  0   m0 

ゆえにx&1 = A1 x1 + B1u1 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)0k−k s0
ここで、 A1 = m m0
入力 u1 = z11 
 0 
k c 0  , B1 =  k m  ,− −m0 
 m0 である
出力方程式はz y = (1 0 ) 0  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(13) z& 0 
ゆえに

y = C1 x1 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(14)ただし、 C1 = (1 0)である。
状態方程式から可制御性、可観測性の判定をする。判定方法は行列の対角化の方法と可制御行列、可観測行列を利用する方法の２通りある。今回は可制御行列、可観測行列を利用する方法で判定する。
可制御行列は

Vc1 = [B1A1 B1 ] ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(15)

ゆえに

 0
Vc1 =  km
− m0

km 
m0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(16)kc 0 k m 2 
m0 −

だから2k 
det[Vc1 ] = − m  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(17) m0 となる。
次に、可観測行列は

 C 
V01 =  1  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(18)C1 A1 ゆえに

1 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(19)V01 = 0 1だから

det[V01 ] = 1 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(20)となる。
可制御の条件は det[Vc1 ] ≠ 0 、可観測の条件は det[V01 ] ≠ 0 だから式(17)、(20)は条件を満たしている。よって、このシステムは可制御で可観測であるので、フィードバック制御によって安定化可能であることが言える。

４−２、システム入力がアクチュエータの駆動力による場合
システム入力がアクチュエータの駆動力による場合、そのモデルは式(1)、(2)、(3)によって表される。システム入力はアクチュエータの駆動力、出力は対象物（レバー）と磁石の変位である。そのシステムのブロック線図を図５に示す。

leverfext ＋＋Fm
refK

1m0 s 2 + kc0 s + ks0z0fm

1m1s 2 + kc1s + ks1z1magnet

図５：システム入力がアクチュエータの駆動力のときのブロック線図

図５にあるように、外力 f ext は対象物（レバー）に対しての力の加え合わせ点から加わる形となる。アクチュエータのスライダーは能動制御を必要としないシステム用の安定で十分な剛性を持つばねによって支持されていると仮定した。よって、そのばねは図２から省略した。
式(7)、(8)を線形制御理論で利用できるモデルに変換するため、状態量を定める。
状態ベクトルは

 z0  
 z& 
x 2 =  0  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(21)z 1 z& 
 1
このベクトルを時間で微分すると

 z& 0  
 &z& x& 2 =  0  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(22)z& 1
 &z& 
 1となる。このベクトルの第２、第４要素の加速度に対して、式(7)、(8)を代入して、行列を用いて表すと状態方程式は0 z& 0   k m − k s 0  
 &z&0   m0
 z&  = 0
 1 km &z&  1  −m1
1
k− c0
m0000
k− mm00k m − k s1
m10 
 z 0   0 0    0 
 z& 0  +   f ・・・・・(23)1  z1   0  a1k  − c1  z&1   m  1
m1 ゆえにx& 2 = A2 x 2 + B2 u 2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(24)0 k m − k s0
m0
ここで、 A2 = 0
km
 −m1
1
k− c0m0000
k− mm00k m − k s1
m10 
 0 

 0 
 0 
 ,B =  ,201 
 1 
k c1  − m1 m1 

入力 u 2 = f aである。
出力方程式は z0 
 
 1 0 0 0  z& 0   ・・・・・・・・・・・・・・・・・(25)y = 
 0 0 1 0  z1  z& 
 1
ゆえに

y = C 2 x 2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(26)1 0 0 0
 0 0 1 0

ここで、 C 2 = である。

状態方程式から可制御性、可観測性を判定する。４−１のときと同様に、可制御行列、可観測行列を求めて計算する。可制御行列 Vc 2 、可観測行列 V02 の行列式は

det[Vc 2 ] =det[V02 ] =km
22m0 m1

4・・・・・・・・・・・・・・・・・・(27)22k c 0 k m  k m − k s1 k c1  ・・・・・・・・・・(28)+22m0 m1  m1m1 

可制御の条件は det[Vc 2 ] ≠ 0 、可観測の条件は det[V02 ] ≠ 0 だから、式(27)、(28)は条件を満たすので、このシステムは可制御で可観測である。
適切なばね定数 k s1 と減衰係数 k c1 は能動的にフィードバック制御なしでシステムを安定させている。数値シミュレーションはばねとダンパーのシステムを基に実行した。そのシステムはばねとダンパーがない場合でも可制御で可観測であることを証明した。

５、数値シミュレーション
数値シミュレーションは２つの場合についてモデル化したものを基に実行した。制御システム
は直結フィードバックを用いてPD制御を行うものとする。ディジタルコントローラは考察に用いた。定量化した入力値または離散時間での入力値を持つシミュレーションを考察した。

５−１、コントローラ
制振制御システムのコントローラはLQ制御理論（線形２次形式制御理論）（Linear Quadraticcontrol theory）を用いるレギュレータ（regulator）である。フィードバックゲインは状態空間モデルを基にMATLABで計算したものである。状態量は遅れがなく正確に得られると仮定した。
システム入力が永久磁石の位置のフィードバック命令は

z1 = −G pre (k p z 0 + k d z& 0 ) ・・・・・・・・・・・・・・・(29)
ここで、 k pとk d はフィードバックゲイン（ k p :比例ゲイン、 k d ：微分ゲイン）、 G pre は時間遅れ（time delay）の伝達関数（transfer function）で

1・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(30)Ts + 1（ T ：時定数）

G pre =のような１次系が与えられる。
システム入力がアクチュエータの駆動力のフィードバック命令は

f a = −(k p 0 z 0 + k d 0 z& 0 + k p1 z1 + k d 1 z&1 ) ・・・・・・・・・・(31)
ここで、 k p 0 , k d 0 , k p1 , k d 1 はフィードバックゲインである。
シミュレーションで用いたパラメータは以下のとおりである。

m0 = 1, m1 = 3, d 0 = 0.1, k s 0 = 70, k c 0 = 0.1, k s1 = 200, k c1 = 0.7, k = 0.01５−２、システム入力が永久磁石の位置
シミュレーションはレバーが自由に振動するように最初にレバーの変位を 0.01 に合わせて実行した。そして、１秒後に能動的に制振制御を始める。永久磁石の位置は ± 0.04 で最大をとると仮定する。フィードバックゲインは k p = −9.28, k d = −0.68 とする。
遅れのないシステムで伝達関数 G pre = 1 （時定数： T = 0 ）のときの結果を図６に示す。

図６：シミュレーション結果（位置入力、 G pre = 1 ）図６はレバーと永久磁石の動きを記録している。図に示すように、振動は能動的制御後に急速に抑制されている。

図７に伝達関数 G pre1 =11（時定数：T = 0.06 ）と G pre 2 =（時定数：T = 0.07 ）0.06s + 10.07 s + 1の結果を示す。

図７：シミュレーション結果（位置入力、 G pre1 =G pre 2 =1と0.06s + 11）
0.07 s + 1

上側の図は G pre1 で、下側の図は G pre 2 のときを示す。これらの図に示されるように、時間遅れでより不安定なシステムになる。
次にシステムへの定量化した入力の結果を考察する。ディジタルコントローラは定量化した値を出力する。これはシステム安定には適してないので、許容誤差を知っておく必要がある。制
御入力は 0.01 間隔で定量化している。その値は比較的に大きな値である。その結果を図８に示す。

図８：シミュレーション結果（位置入力、 G pre =1、定量化した入力）
0.05s + 1

図に示されるように、もし制御入力が定量化した値を持つなら安定性を維持できる。
ディジタルコントローラは一定時間間隔でサンプリング（アナログ信号のディジタル変換）した離散値を出力する。サンプリング時間が 0.005 、伝達関数は G pre =果を図９に示す。

1とするときの結0.05s + 1

図９：シミュレーション結果（位置入力、 G pre =1、サンプリング時間＝ 0.005 ）0.05s + 1

図から見られるように、このシステムは安定である。サンプリング時間が 0.01 のときの結果では不安定となる。したがってサンプリング時間は安定変数（stability variable）である。ちなみに、サンプリングとはアナログ信号のディジタル変換のことで、A/D変換器で行う。逆に、ディジタル量からアナログ量へ変換するのはD/A変換器で行う。それは制御対象がほとんどすべての場合アナログの連続信号で表される。これに対してディジタルコンピュータは信号を離散的にしか扱えないので、制御対象とコントローラの間で信号を変換する必要がある。

５−３、システム入力がアクチュエータの駆動力
このシミュレーションはシステム入力が永久磁石位置のときのシミュレーションと同様のやり方で実行した。レバーが自由に振動するように最初にレバーの変位を 0.01 に合わせる。しかしながら、このシミュレーションでは磁石がさらにレバーと調和して振動する。３秒後に、能動的に制振制御を始める。その結果を１０秒間記録した。アクチュエータの駆動力は ± 0.4 で最大をとると仮定される。
フィードバックゲインは k p 0 = 21.8, k d 0 = −4.77, k p1 = 29.9, k d 1 = 12.7 としてＬＱ制御理論（線形２次形式制御理論）から計算した。連続的な制御の結果を図１０に示す。

図１０：シミュレーション結果（入力はアクチュエータの駆動力）

上側の図はレバーと磁石の変位、下側の図はアクチュエータの駆動力を示す。レバーの位置の初期誤差はレバーと磁石の両方の振動を引き起こすことが観測される。能動制御後に、振動が始点に集中している。
アクチュエータの駆動力が 0.05 の間隔で定量化した値を持つときの結果を図１１に示す。

図１１：シミュレーション結果（定量化した力の入力）
上側の図は磁石とレバーの変位、下側の図はアクチュエータの駆動力を示す。アクチュエータの駆動力を示す図の方に示されるように、その駆動力は階段関数で変化している。これは 0.05の間隔は比較的大きいので、システムは始点に集中している。しかしながら、少しの振動が観測されている。その理由は定量化した入力が振動を制御できていないということである。フィードバックゲインの調整によって振動の振幅を改善することができる。
アクチュエータの駆動力が離散化と定量化した力の入力のときの結果を図１２に示めす。

図１２：シミュレーション結果（離散化と定量化した力の入力）
上側の図は磁石とレバーの変位、下側の図はアクチュエータの駆動力を示す。サンプリング時間は 0.1 である。このサンプリング時間は位置入力システムのときと比べて大きい。システムを安定させるために永久磁石部を支持しているばねはシステムの安定性に影響すると思われる。

６、おわりにリニアアクチュエータと永久磁石を使う新しい制振制御方法を提案した。制振システムを２種類のシステム入力でモデル化した。両方のモデルが可制御で可観測であることを確認した。
それらの数値シミュレーションから、位置、駆動力の両方のシステムが振動を抑制することができることを証明した。アクチュエータの力制御システムは磁石の位置制御システムよりロバスト性（エラー強さ）があることを示した。システムに対する時間遅れの問題は磁石の位置制御システムモデルにとって、特にシステムを安定させるときの主な要因だった。アクチュエー
タの位置遅れを予測する重要性を証明した。今後は実際に制振制御実験をして、実験結果とシミュレーション結果の比較をしていく。

７、参考文献、資料
１、パソコンで解く振動の制御 著者：背戸一登、松本幸人
２、フィードバック制御入門 著者：杉江俊治、藤田政之
３、SHINKO ELECTRIC CO.LTD. URL: http://www.shinko‑elec.co.jp/NewsRelease/new̲18.htm
４、現代制御工学 著者：土谷武士、江上正共
５、機会力学 著者：原文雄
６、配布資料１ 著者：岡宏一
７、配布資料２ 著者：岡宏一
８、永久磁石の運動制御による磁気浮上機構 著者：岡宏一
９、MATLAB/Simulinkによるわかりやすい制御工学 著者：川田昌克、西岡勝博