サーストンの３次元多様体論
小島 定吉
東京工業大学情報理工学院

2018/03/17

市民講演会

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Pre Thurston• ポアンカレの「位置解析」（1895-1904）– 本編と５編の補遺でトポロジーを創始– 最後の補遺で疑問を提起（1904）

基本群が自明な３次元閉多様体は３次元球面に位相同型か？

2018/03/17

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Pre Thurston• ポアンカレ予想が導いたトポロジーにおける基本的な問題設定– 基本群の一般化であるホモトピー論が発展– ３次元の場合，基本群が自明なら３次元球面にホモトピー同値ホモトピー同値な閉多様体は位相同型か？

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Pre Thurston• 連結和分解– 任意の球面が球体を囲む３次元多様体は既約– クネーザー（1929）とミルナー（1962）により向きつけ可能3次元閉多様体は，有限個の12既約多様体または S × S の連結和に一意的に分解

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Pre Thurston• ハーケン多様体の階層構造– 本質的埋込曲面を含む既約多様体をハーケン– ハーケン多様体は本質的埋込曲面に沿って切り開き球体の和に至る階層構造がある– ワルトハウゼン（1968）によりハーケン多様体の間のホモトピー同値写像は位相同型にホモトピック
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Pre Thurston• トーラス分解– ザイフェルト束空間– ジェイコー・シャーレンとヨハンセン（1977）により本質的埋込トーラスを含む既約多様体では，ザイフェルト束構造をもつ部分空間の位置はイソトピーを除いて一意的
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Pre Thurston• JSJ理論の系– ザイフェルト束部分空間の補空間では，本質的埋込トーラスは境界にホモトピック（本質的トーラスを含まない場合を含め，この性質を非トーラス的という）– 基本群が Z × Z を含めば境界の基本群の部分群に共役であるときホモトピー非トーラス的という– ホモトピー非トーラス的ならば非トーラス的– 逆が成立しないザイフェルト束空間がありスモールと呼ばれている
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Pre Thurston
非ハーケン

球面的ハーケン

ホモトピー非トーラス

非トーラス
スモールザイフェルト

JSJ分解トーラス

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ハーケンザイフェルト

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Pre Thurston• JSJ 後の基本的な課題– スモールザイフェルト束空間以外の基本群無限非ハーケン多様体はあるか？
– スモールザイフェルト束空間以外の非トーラス的多様体はどのような構造をもつか？ とくにホモトピー非トーラス的多様体はどうか？

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Thurston Era• ８の字結び目のデーン手術– ８の字結び目の補空間は双曲理想正4面体二つを貼り合わせてできる– エンドの完備性を仮定せず4面体の構造を連続変形，デーン手術のスロープを連続的に拡張し，完備化の特異集合を幾何的に解釈，とくに有理スロープの場合は，結び目に沿って錐状の特異集合が生じる

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Thurston Era• ８の字結び目のデーン手術の結果– 10個の例外を除き，ザイフェルトではない非ハーケン双曲多様体が得られる• 双曲多様体は至る所−１の定断面曲率をもつリーマン多様体• 双曲多様体はホモトピー非トーラス的

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Thurston Era• デーン手術定理（1976?）
双曲結び目のデーン手術の結果には，有限個の場合を除くと双曲構造が入る

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Thurston Era• ハーケン多様体に対する双曲化定理（1976?）
任意のホモトピー非トーラス的ハーケン多様体には双曲構造が入る

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Thurston Era
非ハーケン

ハーケン

球面的
球面的非トーラス

双曲的双曲的

スモールザイフェルト

JSJ分解

トーラス

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Thurston Era• Smith 予想の解決（1978?）– いくつものアイデアが結集• シャーレンによる，サーストンのハーケン多様体に対する双曲化定理とバスの表現の整性に関する結果を使った議論• ゴードン・リザラントによる，ミークス・ヤウの極小曲面援用古典論同変版を使った議論

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Thurston Era• 幾何化予想（1980）
任意の３次元閉多様体の連結和分解，さらにトーラス分解の後の各ピースには，８種類のうちのいずれかの幾何構造が入る

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Thurston Era
非ハーケン

ハーケン

球面的
球面的

非トーラス

スモールザイフェルト
スモールザイフェルト

双曲的双曲的

JSJ分解

トーラス

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Thurston Era• 仮想ファイバー予想（1980）– 「任意の基本群が無限の３次元多様体は有限ハーケン被覆を持つ」というワルトハウゼンの予想に関連して任意の３次元閉双曲多様体は円周上の曲面束となる有限被覆をもつ

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Post Thurston• 幾何化予想はペレルマンが肯定的に解決（2003）• 仮想ファイバー予想はエイゴルが肯定的に解決（2012）

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Post Thurston• ハミルトンのリッチ流– 多様体のリーマン計量全体の空間上のフローで，以下のテンソルに関する方程式で定義される

dg= - 2Ric gdt
ここで Ric はリッチテンソル

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Post Thurston• ハミルトンの最初の仕事（1982）– Ric > 0 の場合に，リッチ流は時間大域解を持ち，スケーリングすると正定曲率に収束する• この結果に対する注目度– サーストンは軌道体定理の証明の最後の部分にハミルトンの結果を使う– ヤウはハミルトンにリッチ流は幾何化予想の解に収束するのではと示唆する

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Post Thurston• ハミルトンの幾何化予想解決プログラム– 崩壊および手術を経て求める計量に至る– 一般の計量からスタートする議論は未開発• ペレルマンの仕事– 一般の計量からスタートしたときの崩壊現象が制御可能であることを示す– ハミルトンのプログラムを多少修正し，手術を適切に定式化し幾何化予想解決を宣言（2002/3）
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Post Thurston• カーン・マルコビッチのブレークスルー（2012）
任意の３次元閉双曲多様体はいくらでも測地的に近い擬フックス閉曲面を含む

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Post Thurston• ベルゲロン・ワイズの観察（2012）– NPCキューブ複体への作用を壁系から関手的に構成する手法がサギーフにより整備（1997）

カーン・マルコビッチの結果から，余コンパクトクライン群の３次元双曲空間への作用に対する（サギーフによる）壁系が得られる

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Post Thurston• エイゴルの結果（2012）– ベルゲロン・ワイズにより構成された壁系の作用がスペシャルであること見出す

とくに，仮想ファイバー予想は正しい．

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Post Thurston• 実はより一般にNPCキューブ複体に余コンパクトに作用する双曲群は仮想スペシャルである• 純粋に幾何学的群論の命題で，次元の束縛はないが，証明にはサーストンのDehn 手術のアイデアが生きている
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まとめ• サーストンは１９７０年半ばから３次元多様体論の研究を加速した• １９８２年に発表した３次元多様体のトポロ
ジーに関する二つの基本的問題はその後の研究活動を牽引した• 二つの基本問題は予期せぬ方法で解決され，しかも各々独自の発展に結びついている

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ご静聴ありがとうございました

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