カイ二乗検定とオッズ比：Odds ratio (OR)
カイ二乗検定基本は t 検定と似ています。ｔ検定では２つの集団が同じであると仮定するところからはじまっています。カイ二乗検定はしばしば Yes/no type の表データを検討する際に便利であり、まず観察された値(O: observed)が期待された値(E: expected)と同じであると仮説をたてます。そして個々の観察された値が期待された値からどれくらい隔たっているかを検討し、大きく隔たっている場合には最初の仮説を棄却して有意差ありという結論に至ります。
[O – E]/variance O: observed, E: expectedchi-squared = Σ(Oi-Ei)2/EI
臨床研究においてはしばしば以下の表が用いられます。
疾患発生あり疾患発生なし
合計

暴露あり
aca+c

暴露なし
bdb+d

合計
a+bc+dna, b c d は実際観察された値です。もし暴露と疾患発生の間に相関関係が存在しなければ各マスの期待値は下記のような表になります。
疾患発生あり疾患発生なし合計

暴露あり(a+b)(a+c)/n(c+d)(a+c)/na+c

暴露なし(a+b)(b+d)/n(c+d)(b+d)/nb+d

合計
a+bc+dn

４つのマスそれぞれが観察値と期待値の間でどれくらい異なるかを上記公式にあてはめ
chi-square (chi2)を算出します。ｔ検定ではＺの値からｐを割り出したように、chi2の値からｐを割り出します。自由度は（行―1） ｘ（列―１）であり、上のような２ｘ２の表においては自由度は１となります。2ｘ2 の表ではchi2＞3.8 の場合有意であると覚えておくと便利です。
「コーヒーを頻繁に飲む人には不整脈を自覚することが多いか？」を調べたいと思います。下の表の結果を得ました。まずH0とHAを定義してください。
不整脈自覚あり
不整脈自覚なし合計

コーヒ−非常飲者
218428646

コーヒ−常飲者
17130
147

合計235558793

H0: コーヒーを頻繁に飲む人も飲まない人も不整脈自覚に差はない。
HA: コーヒーを頻繁に飲む人も飲まない人も不整脈自覚に差がある。

1

それでは、もしも差がなかったとするとコーヒー常飲者、非常飲者に何人ずつ不整脈自覚症状のある人あるいは無い人の数が期待されますか？下の表の空欄を埋めてください。

不整脈自覚あり
不整脈自覚なし
合計

コーヒ−非常飲者

コーヒ−常飲者

646

147

合計
235558793

例えば不整脈自覚症状ありの人は(147 x 235)/793 です。パターンを覚えると公式を覚える必要はまったくありません。

不整脈自覚あり
不整脈自覚なし
合計

コーヒ−非常飲者
191.4
454.6
646

コーヒ−常飲者
43.6
103.4
147

合計
235558793

それぞれのマスで期待される数値と観察された数値の差をとり 2 乗して更に期待された数で割ります。そして全てを合計すると chi-square となります。T-test で行なったように chi-square distribution に相当する表と比較します。2 x 2 table の場合自由度は１であり、有意性は 3.8 より大きくて証明されます。t 検定のように one-sided とかtwo-sided はありません。多くの表が 2 x 2 table なので覚えてしまいましょう。
この例ではchi^square = (17 – 43.6)2/43.6 + (130 – 103.4)2/ 103.4 + (218 – 191.4)2/191.4 +(428 – 454.6)2/454.6 = 16.23 + 6.84 + 3.70 + 1.56 = 28.33 >> 3.8で有意であり、H0 を棄却し「コーヒー常飲者とそうでないものを比較したとき不整脈自覚において差がある」という結論となります。しかし我々の知りたいのはどちらが多く、どれくらい違うのかです。これを知るにはオッズ比を用います。その前にchi-square
検定は 2 x 2 table より大きいものでも使えることを示したいと思います。
. cci 218 17 428 130

Proportion2

|

ExposedUnexposed |Total

Exposed-----------------+------------------------+---------------------Cases |

218

17 |

235

0.9277

Controls |

428

130 |

558

0.7670-----------------+------------------------+---------------------Total |

646

147 |

||

793

0.8146|
Point estimate| [95% Conf. Interval]|------------------------+---------------------Odds ratio |3.894997|

2.30169

6.588306 (Cornfield)

Attr. frac. ex. |.7432604| .5655366.8482159 (Cornfield)

Attr. frac. pop |.6894926|+----------------------------------------------chi2(1) =28.26 Pr>chi2 = 0.0000.

オッズ比は後から説明しますが、上の表からは手で計算したのと同様に有意差ありの結論を導くことができます。

3

臨床診断と病理診断の一致率が A 病院と B 病院で違うかどうか検討しました。その一致度を完全一致、部分一致、不一致と３つのカテゴリーに分けました。病理診断を絶対的 golden standard と考えた場合、その一致率をみるとその病院の臨床診断の実力を知る材料になるかもしれません。A 病院と B 病院を比較してみてください。

A 病院
B 病院
合計

完全一致
157268425

不完全一致
184462

不一致

合計543488229346575

H0: A病院とB病院において臨床診断と病理診断の一致率が同じである。
HA: A病院とB病院において臨床診断と病理診断の一致率が同じでない。
我々はH0が正しいとして、先ほどと同じように期待される数を書きます。
A 病院
B 病院
合計

完全一致
169.3
255.7
425

不完全一致
24.7
37.3
62

不一致

合計
35.0
53.0
88229346575

Chi-squared = (157 – 169.3)2/169.3 + (18 – 24.7)2/24.7 + (54 – 35.0)2/35.0 + (268– 255.7)2/255.7 + (44 – 37.3)2/37.3 + (34 – 53.0)2/53.0 = 0.89 + 1.82 + 10.31 +0.59 + 6.81 + 1.20 = 21.62
自由度は(2 – 1)(3 – 1) = 2
これを表などに照らし合わせるとp < 0.001 となり有意です。つまりH0 を棄却してHAを採用し 2 つの病院は異なると結論します。

4

オッズ比：Odds ratio (OR)
カイ二乗検定は２つの変数の間に相関があるかどうかを検定するものでしたが、相関の程度や方向を知ることができません。これはｔ検定と同じです。この点を解決するためのものがオッズ比です。ある事象が確率ｐで発生するとすると、この事象が発生しない確率は１−ｐです。オッズとは p /(1-p) であらわされるものです。先の表で暴露された集団において病気の発生する確率は a / (a + c) でした。一方暴露された集団において病気の発生しない確率は c / (a + c) です。よって暴露された集団のオッズは[a/(a+c)] / [c/(a+c)] = a/c となります。また暴露されなかった集団についてのオッズは同様に b/c となります。暴露されなかった集団のオッズに対する暴露された集団のオッズの比をとるとオッズ比は ad/bc です。これを計算により因子に暴露されたことによって疾患発生率が何倍に増えたと言うことができ、カイ二乗検定より情報量が多くなります。
オッズ比はケースコントロール研究で使用される場合にはバイアスを生じません。一方、コホート研究他においては相対比が好んで用いられます。相対比は発生率が低い場合においてオッズ比と近似しますが、数が少ない場合には相対比の方が正確だからです。
臨床研究において一定の症例数の結果を用いて全体を推論するわけですが、その予測される値が 95％の確率で収まる範囲を 95％信頼区間(CI)と呼びます。
オッズ比が１であるということは暴露あるいは非暴露における疾患発生が同一であることを意味し有意差なしと解釈できます。すなわち 95％信頼区間が 1.0 を含んでいれば有意差なしといえ、また信頼区間の幅が広いほど有意差の程度が低いことになります。臨床研究においてはｐ値より 95％信頼区間が好んで用いられる所以です。
以下は毎日一定以上の運動をする人とそうでない人で冠動脈疾患の発生頻度を比較してみたものです。
運動量多い
冠動脈疾患あり
冠動脈疾患なし
合計

15845924750

運動量少ない
35161066457

合計50910698
11207

OR とその 95％CI を計算してみてください。結果に対して解釈を加えてください。
. cci 158 351 4529 6106

Proportion|

ExposedUnexposed |Total

Exposed-----------------+------------------------+----------------------5Cases |

158

351 |

509

0.3104Controls |4529

6106 |

10635

0.4259-----------------+------------------------+---------------------Total |4687

6457 |||

11144

0.4206|
Point estimate| [95% Conf. Interval]|------------------------+---------------------Odds ratio |.6068823

Prev. frac. ex. |.3931177

Prev. frac. pop |.1674123| .5011657|.2650985.7349015 (Cornfield).4988343 (Cornfield)|+----------------------------------------------chi2(1) =26.57 Pr>chi2 = 0.0000

よって OR は 0.6、95％CI は 0.5 から 0.7 です。95％CI は 1 を含まないので統計学的には有意です。
「一定以上の運動は冠動脈疾患の発生を 60％にまで予防する」と結論できます。
2 x 2 table は臨床研究をする際の基本です。我々の身の回りには臨床研究をする題材がいくらでも転がっています。しかし以上は基本的な話で、例えばコーヒー飲料といっても性別、年齢、喫煙や体重、職業などとの関係を調べなくてはなりません。しかし、本書を読み終わることにはこの点についても習熟していただけると思います。

6Doll&Hill は男性医師を対象に何らかの疾患が発生しないかどうか 4 年 5 ヶ月経過観察しました。そして喫煙者、非喫煙者で疾患の発生に違いがあるかどうか比べています。
喫煙者

非喫煙者

死亡
健康合計

1582
27116
28698

合計
1665630
5796

1748
32746
34494

喫煙をしていると死亡するリスクはどれくらいあがるのでしょうか？

上のような研究スタイルは cohort study と呼ばれます。Exposure base で検討するものを cohort, outcome base で考えるものを case-control study と呼びます。上では喫煙という exposure を軸にものを考えているので cohort study です。Cohort study の場合リスクの差や比で比べるのが一般的ですが、分母が大きい場合には OR でも問題ありません。
. input Y X count

YXcount

1. 1 1 1582
2. 1 0 166
3. 0 1 27116
4. 0 0 5630
5. end. cc Y X [freq=count], woolf| X||
Exposed

ProportionUnexposed |Total

Exposed-----------------+------------------------+---------------------Cases |

1582

166 |

1748

0.9050Controls |27116

5630 |

32746

0.8281-----------------+------------------------+---------------------Total |28698

5796 |||

34494

0.8320|
Point estimate| [95% Conf. Interval]|------------------------+---------------------Odds ratio |1.978705| 1.681997

2.327754 (Woolf)7Attr. frac. ex. |.4946191| .4054687

Attr. frac. pop |.4476472|.5704013 (Woolf)+----------------------------------------------chi2(1) =70.31 Pr>chi2 = 0.0000

男性医師において、喫煙者の死亡率は非喫煙者の 2 倍近いことになります。

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