下水道協会誌論文集 vol.50 No.607 2013/05 24.11.28 受付

下水道用マンホールふたの幾何ブラウン運動過程によるふた裏腐食速度のモデル化とふた裏腐食量の将来予測
進＊

中根

要 旨：「下水道マンホールふたの調査・診断・更新に関する共同研究」において下水道用マンホールふたのふた裏腐食量を調査測定する機会を得た。
ふた裏腐食量の調査測定値から平均腐食速度を算出して，その平均腐食速度を幾何ブラウン運動過程でモデル化することによって，ふた裏腐食量の経年変化を推定できるようにした。
現地でふた裏腐食量を測定し，本手法でそのマンホールふたの将来のふた裏腐食量を推定することにより，ふたの許容応力や塑性変形に至る腐食量を用いて次回の点検時期や余寿命を推定できることを示した。
調査したふたのふた裏腐食量の出現頻度は，極値分布で表せることを示し，下水道本管に落差・段差が付いているマンホール内に設置されたマンホールふたにふた裏腐食量が多いことを統計的に示した。

キーワード：
キーワード：下水道用マンホールふた，腐食，極値分布，幾何ブラウン運動過程，ボラティリティ
6１．まえがき下水道用マンホールふたの調査測定データ２）には，1,280 基のふた裏腐食量のデータがある。このデータ
より調査時年度からふたの製造年度を引いた年数を調査時経過年数として整理し，調査時経過年数と平均腐食量の関係を図－１に示す。
図－１に示す平均腐食量は，ふた裏のリブ幅を６箇所測定２）し，その平均値を示している。この平均値を平均腐食量と呼ぶ。平均腐食量を調査時経過年数で除して，平均腐食速度を算定し，図－２に示す。

4321001020304050

調査時経過年数

図－１ 調査時経過年数と平均腐食量の関係
0.50.45
平均腐食速度v mm/年

２．下水道用マンホールふたのふた裏腐食量

平均腐食量 mm5

腐食環境下にある下水道マンホールふたは，裏面の腐食によってリブや平板部が減肉し，耐荷重性能の低下を招く恐れがある。
ふた裏面は，ふた数が膨大であり，ふたを開閉しないと観察できないことや交通量の多い設置場所では腐食量の測定も厄介であることから共同研究時１）のふた裏の腐食量データを利用して，将来のふた裏腐食量を予測する手法を考えた。
共同研究では，下水道用マンホールふたを現地調査して，ふた裏面のリブ幅腐食量を測定した。このふた裏面のリブ幅腐食量から腐食速度を算出し，腐食速度を幾何ブラウン運動過程でモデル化することによって，個々のふたの将来腐食量を予測できるようにする。点検調査時にふた腐食量を測定し，将来の予測値を維持管理に利用する試みである。

0.40.350.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
001020304050

調査時経過年数

図－２ 調査時経過年数と平均腐食速度の関係

図－１，２において調査した経過年数の範囲で経過年数と平均腐食量や平均腐食速度との相関が読み取り
1160にくい。各調
140120
査時経過年数
100のふた数をカ80
ウントし，図60－３に示す。
4020 年から 30200年経過したふ
01020304050たの調査数が調査時経過年数最も多い。
図－３ 調査時経過年数と調査ふ調査時経た数の関係
過年数ごとに平均腐食速度を算出し，図－４に示す。
調査ふた数

分散Δｔの正規分布Ｎ(０,Δｔ)にしたがうこととなる。標準偏差σを使って表記すれば，時系列の変化量
ΔＷは，平均０，標準偏差σ＝√(Δｔ)の正規分布Ｎ(０,(√(Δｔ))２)となる。
ΔＷの分布＝Ｎ(０,(√(Δｔ))２)
時系列Ｘ(ｔ)は，(１)式で表せる。
Ｘ(ｔ)＝ａ･ｔ＋ｂ･Ｗ(ｔ)……… (１)
ここに，ａ：定数(ドリフト率)ｂ：定数
時系列Ｘ(ｔ)の変化量ΔＸは，(２)式で表す。
ΔＸ＝ａ･Δｔ＋ｂ･ΔＷ……… (２)ΔＸの分布は，平均ａ･Δｔ，標準偏差ｂ・√(Δｔ)の正規分布にしたがっている。

0.2＝ａ･ｔＸ(ｔ)mm/年

0.25ｔｔｙ＝0.098･exp(-0.054･ｔ)
0.1＋ｂ･Ｗ(ｔ)平均腐食速度

0.150.05ｔ0

図－５ 一般化したウィーナー過程
01020304050

調査時経過年数

図－４ 調査時経過年数ごとの平均腐食速度の関係

調査時経過年数とこの平均腐食速度の関係について調査ふた数の重みを付けた最小二乗法を用いて指数関数( ｙ＝ａ･ｅｂｔ )で回帰する。調査ふた数の重みをつけることにより，経過年数の短いデータや反対に経過年数の長いデータの寄与を少なくするように回帰する。
平均腐食速度は，経過年数の増加とともに減少していく様子を明確に示すことができる。

３．幾何ブラウン運動過程３）
時点ｔ０,ｔ１,ｔ２,…,ｔｎの時，時系列データＸ(ｔｉ)があり、その一成分のデータＷ(ｔｉ)をＷ(ｔ０),Ｗ(ｔ１),Ｗ(ｔ２), … ,Ｗ(ｔｎ)とする。
図－５右下のような右上がりでもなく右下がりでもない時系列Ｗ(ｔ)の動きをランダムウォークと言う。
時系列の変化量ΔＷは，次式である。
ΔＷ＝Ｗ(ｔｋ)－Ｗ(ｔｋ－１)
ここに，ｋ＝０,１,２, … ,ｎ
時系列の変化量ΔＷは，平均０，分散σ(ｔｋ－ｔｋ－１)の正規分布Ｎ(０,(ｔｋ－ｔｋ－１))にしたがう。
ここで，上式ΔＷ＝Ｗ(ｔｋ)－Ｗ(ｔｋ－１)，Δｔ＝ｔｋ－ｔｋ－１とすると，時系列の変化量ΔＷは，平均０，2

図－５上に示す一例として示す右上がりのような時系列データＸ(ｔ)の動きを一般化したウィーナー過程と言う。
時系列Ｘ(ｔ)の変化量ΔＸの定数ａ，ｂをＸとｔの関数ａ(Ｘ,ｔ)，ｂ(Ｘ,ｔ)とすると，
ΔＸ＝ａ(Ｘ,ｔ)・Δｔ＋ｂ(Ｘ,ｔ)•ΔＷ(ｔ)……… (３)となり，ΔＸが変動していたことを示し，この時のＸ(ｔ)の動きを伊藤過程と言う。
伊藤過程において，ａ(Ｘ,ｔ)＝βＸ(ｔ)ｂ(Ｘ,ｔ)＝σＸ(ｔ)とおき，Δｔ→０とすると，(１)式は(４)式となり，これを幾何ブラウン運動過程と言う。

dＸ(ｔ)＝βＸ(ｔ)dt＋σＸ(ｔ)dＷ (ｔ)…… (４)

ここに，β：トレンド
σ：ボラティリティ
両辺をＸ(ｔ)で除すと,dX(ｔ)＝βｄt＋σｄＷ(ｔ)X(ｔ)…… (５)

伊藤積分を用いると幾何ブラウン運動過程の一般解が求められる。
Ｘ(ｔ)＝Ｘ(０)exp[(β－1/2•σ２)ｔ＋σ•Ｗ(ｔ)]…… (６)

４．幾何ブラウン運動過程による腐食速度のモデル化

５．モデル化した腐食速度を用いたふた裏腐食量の推定と将来予測調査時経過年数とふた裏腐食速度の関係を用いて，平均腐食速度を幾何ブラウン運動過程によりモデル化する。
①幾何ブラウン運動のパラメータβは，(５)式の右辺第１項の微分方程式を解くことにより求められる。
Ｘ(ｔ)＝Ｘ(０)exp(βｔ)…………… (７)
したがってトレンドβは，図－４の経過年数と平均腐食速度の関係を(７)式の指数関数で回帰することにより，その指数値(×100)からβ＝－5.35 を得る。
②ボラティリティσは，調査時経過年数における腐食速度の対数値をとり，各年間(前年と)の差の標準偏差値とする。
差＝ln(Ｘ(ｔ))－ln(Ｘ(ｔ－１))
その結果，ボラティリティσ＝0.632 となった。
図－４に示す切片の値が経過年数０年の平均腐食速度 0.098mm/年を表す。これを初期値として乱数を発生させて，幾何ブラウン運動過程により腐食速度をシミュレーション(50 回試行)すると図－６となる。

５.１ ふた裏腐食量の推定モデル化した平均腐食速度からふた裏腐食量を推定する。
微小区間Δｔ後の腐食量ｄＦを(８)の直線式と仮定する。
ｄＦ ＝ ｄＳ ＋ ｖ•Δｔ…………（８）
ここで，Δｔ：経過年数の間隔（年）ｄＳ：調査時に測定した最大腐食量（mm）
ｖ：腐食速度（mm/年）
図－７のシミュレーションを使い調査時の経過年数から順次その平均腐食速度ｖおよび±σの腐食速度ｖを推定する。腐食速度ｖ×Δｔを推定したい経過年数まで累加し，平均腐食量を推定する。ふた設置時(経過年数 0 年)に腐食が無い状態(腐食量 0)から経過年数 50 年までの推定値を図－８に示す。図－８には，信頼区間(μ±２σ)の幅と調査値を重ねて示す。
3.50.183
平均腐食量 mm

平均腐食速度 mm/年

0.160.140.120.1
0.08
0.06
0.04

平均＋２σ
2.52

平均1.5

平均－２σ
10.020.50010203040050

経過年数0

図－６ 幾何ブラウン運動過程による平均腐食速度の推定

10203040

平均腐食速度 mm/年

304050５.２ ふた裏腐食量の将来予測
マンホールふたごとに調査時における経過年数と測定腐食量から将来の平均腐食量を予測する。設置時から調査時までの経過年数に対する腐食量の履歴は，不明であるが，ここでは，線形で表す。
調査時に 10 年経過して，平均腐食量が１mm であったふたの平均腐食量が，将来どのように推移するか予測する例を図－９に示す。
(８)式の腐食量ｄＳを調査時の腐食量にとり，累加して将来の経過年数に対する平均腐食量とする。この例に示すふたは，設置時から 50 年，調査時点から40 年経過するとふた裏腐食量は，2.5mm(信頼区間幅1.8～3.2mm)に達すると予測される。
同様に図－10 には調査時に 23 年経過して，平均腐食量が 2.55mm であったふたの平均腐食量の将来予測を示す。

平均＋２σ
平均
平均－２σ020

調査時経過年数
図－８ 調査測定値と推定平均腐食量

シミュレーションを各経過年数に対して 50 回繰り返し計算して得られた各経過年数の腐食速度の平均値と標準偏差値を算出する。図－２の調査測定値から算定した平均腐食速度に対してモデル化した平均腐食速度の平均値と信頼区間(平均値±２σ)を図－７に示す。
0.180.160.140.120.10.080.060.040.0201050経過年数
図－７ 調査測定値とモデル化平均腐食速度の比較

36道路に設置されたふたとすると，調査時から５年経過すると，塑性変形を生じる可能性があることを示す。

平均腐食量 mm54６．ふた裏腐食の腐食要因
平均＋２σ
平均

3６.１ 設置領域の設定と腐食要因
図－８を再掲し，図－11 で設置領域を設定する。信頼区間(μ±２σ)のふたの設置領域を腐食中領域と設定し，μ－２σより下側を経過年数によってあまり腐食が進行しない領域として，腐食小領域にあるふたとする。また，μ＋２σより上側を腐食が著しく進行している領域として腐食大領域にあるふたとする。

2調査値
平均－２σ
1001020304050経過年数

図－９ 10 年経過時点で平均腐食量が1.0mm であったふたの平均腐食量の将来予測

3.5平均＋２σ
4平均3調査値

平均－２σ21平均腐食量 mm5平均腐食量 mm

腐食大領域

36平均＋２σ2.52平均

腐食中領域

1.5平均－２σ

1

腐食小領域0.5000102030405001020304050経過年数

調査時経過年数
図－11 調査測定値と推定平均腐食量

図－10 23 年経過時点で平均腐食量が2.55mm であったふたの平均腐食量の将来予測

ふた裏腐食量は，マンホールふたの耐荷重性能に影響を与える。マンホールふたの耐荷重性能に対する性能限界として，たわみ，許容応力と塑性変形などが考えられる。
文献２）には，マンホールふたの荷重仕様ごとに載荷荷重別の塑性変形を生じる腐食量の限界値を算出して，表－１を示している。
表－１ 荷重仕様別塑性変形を生じる腐食量の限界値２)
ふた荷重
Ｔ-25Ｔ-20Ｔ-20Ｔ-14

腐食量 mm
許容応力設計 140kN載荷 80kN載荷
有3.6－有3.14.9
無2.14.2
有0.93

表－１に示す載荷荷重の 140kN 載荷とは，道路幅員5.5m 以上の道路に設置されたふたの載荷重である。
80kN 載荷とは，5.5mm 未満の道路に設置されたふたを表す。
図－９のふたが荷重仕様Ｔ-20 で幅員 5.5m 以上の道路に設置されたふたとすると，調査時点でふたに載荷すると許容応力２）を超える状態にあり，設置後 40 年，調査時から 30 年経過すると，塑性変形を生じる可能性があることを示す。
図－10 のふたも荷重仕様Ｔ-20 で幅員 5.5m 以上の腐食要因には，共同研究時の現地調査項目である排除方式(汚水,合流,雨水)，管きょ構造(一般,マンホールポンプ下流,圧送管下流,特殊排水,伏越し)，段差とした。本文では，落差，段差を一括して段差と呼び，「段差」は，段差と副管の付いてない落差を言う。
腐食要因毎に下記を仮定して，①排除方式では，汚水＋合流の管きょが腐食しやすい。
②管きょ構造では，マンホールポンプ下流,圧送管下流,特殊排水,伏越しの項目が腐食しやすい。
③段差では，管路本管部で段差の有るものが腐食しやすい。
設置領域と腐食要因のふた数をカウントし，それぞれの項目に対する腐食しやすいと仮定した要因に設置されているふた数の割合を表－２に示す。
表－２ 設置領域別の腐食影響割合
単位：基
腐食要因
腐食大領域 腐食中領域 腐食小領域①汚水+合流298556372
排除方式
調査数333618394
影響割合0.890.900.94②マンポ～伏越
21030
管きょ構造
調査数
331617401
影響割合0.010.020.07③段差有8016377
段差
調査数295543355
影響割合
0.270.30
0.22

4

ワイブル分布と極値分布で回帰する。腐食大領域において本管に段差が無いマンホールに設置されているマンホールふたの平均腐食量の分布を図－12 に一例として示す。
0.7
段差無0.6
ワイブル分布AIC＝4510.5
確率密度 f

表－２では，設置領域別(腐食大領域，腐食中領域，腐食小領域)において，仮定した腐食要因の影響割合に明確な差がなく，設置領域をこれらの仮定した項目(①～②)から設定することが困難であった。
６.２ 多変量解析による腐食要因の分析
腐食要因の各項目を説明変数(カテゴリ変数)として，着色項目(①～③)を１，無着色の項目を０として，説明変数に経過年数を加えて平均腐食量に対する多変量解析を行い，腐食要因を特定することを試みる。
平均腐食量＝切片＋係数１･経過年数＋係数２･排除方式＋係数３･管きょ構造＋係数４･段差
なお，経過年数は下式による標準化した値を用いた。

0.40.3
極値分布AIC＝2120.2
0.100

経過年数ｘ－経過年数 平均μ標準化経過年数＝標準偏差σ

腐食小領域②③
２回目 ３回目
0.541 0.541
0.292 0.2920.286 0.288
0.168 0.168
0.485 0.475
0.108 0.108-0.010－－－-0.025 -0.025

345678mm

図－12 極値分布とワイブル分布による平均腐食量の適合具合の比較

表－３ 設置領域別の腐食影響割合の多変量解析結果
①１回目
0.541
0.293
0.284
0.169
0.484
0.109-0.009-0.026-0.024

2

平均腐食量

多変量解析では，有意確率ｐ値が最も大となった説
明変数を順次除いて解析をすすめ，説明変数の係数がプラス値となったところで解析を終了した。その結果を表－３に示す。
除いた説明変数は，表－３中に － で示す。

腐食大領域
腐食中領域
①②
①②③
１回目 ２回目 １回目 ２回目 ３回目
重相関係数r 0.608 0.607
0.552 0.405 0.387
0.304 0.164 0.150
寄与率Ｒ２ 0.369 0.369
２0.300 0.156 0.145
自由度調整済寄与率Ｒ 0.362 0.363
残差の標準偏差 0.858 0.857
0.284 0.259 0.261
切片 1.611 1.609
0.672 1.312 1.201
係数１
経過年数 0.667 0.668
1.366 0.139 0.139
係数２排除方式 0.607 0.606 -0.133 -0.119－係数３管きょ構造 -0.292－-0.032－－係数４
段差 0.278 0.280 -0.007 0.032 0.039

1④
４回目
0.538
0.290
0.288
0.168
0.470
0.107
－－－

いずれの設置領域も腐食要因の寄与率Ｒ２は小さく，説明変数を使って平均腐食量を言い表せていないが，共通の説明変数は「経過年数」であり，続いて「段差の有無」であった。
着色部の有意確率ｐ値は表－３中に示していないが，腐食中領域③の段差についてのみ 0.05 以上であり，あとは 0.05 を下回り，統計的には有意であった。
腐食大領域下では，説明変数として「経過年数」とともに，「排除方式(汚水＋合流)」が大きな係数となり，「段差の有無」も影響を及ぼしていると思われる。
腐食中領域下では，説明変数として「経過年数」と「段差の有無」であるが，統計的には「経過年数」だけであった。
腐食小領域下では，説明変数は「経過年数」だけであった。
６.３ 平均腐食量分布からみた腐食要因の分析
６.３.１ 腐食要因(段差)による分析
調査平均腐食量の頻度分布を確率密度に変換して，5ワイブル分布と極値分布では腐食量の大きい側の適合度合いに差が見られる。極値分布は，腐食量の大きい側をワイブル分布に較べてうまく表している。
調査値と回帰した分布の適合具合を赤池情報量規準(AIC)でチェックする。図－12 にそれぞれの分布のAIC を示す。
AIC が小さい方が分布の適合度が高いとされ，ワイブル分布より極値分布の方が調査値にフィットしている。
以降，平均腐食量の分布には，極値分布を用いて腐食要因の分析を行う。マンホールふたの設置領域下における段差の有無による平均腐食量の相違を図－12のように調査値を最小二乗法により極値分布で近似して，極値分布のパラメータを表－４に示す。表に示す
極値分布のパラメータλは，平均腐食量の最頻値であり，μは，平均腐食量の平均値を示す。
表－４ 設置領域別の(段差の有無)による平均腐食量

段差無λμ腐食大領域 1.85 2.25

単位：mm
段差有λμ1.95 2.37

腐食中領域 1.171.361.151.31

腐食小領域 0.440.570.800.96１) 腐食大領域における腐食要因(段差の有無)
腐食大領域では，段差有の場合のほうが段差無より平均腐食量が，最頻値λ，平均値μともにわずかに大となっている。しかし，段差の有無による腐食量の差はほとんどない。
２) 腐食中領域における腐食要因(段差の有無)
腐食中領域では，段差の有無による平均腐食量の最頻値λ，平均値μともに差はない。
３) 腐食小領域における腐食要因(段差の有無)
腐食小領域で段差の有無による分布は，図－13 に示す。腐食小領域では，段差の有無による腐食量の差が明確に現れ，段差有の方が平均腐食量の最頻値λ，平均値μは，大きい結果となった。

７．まとめと課題共同研究時のマンホールふた裏面の平均腐食量の計測データから平均腐食速度(mm/年)を算定し，この平均腐食速度の経過年数に対する変動を幾何ブラウン運動過程でモデル化した。このモデル化した平均腐食速度を利用して，マンホールふた裏面の将来の平均腐食量を予測できるようにした。
ふたの平板厚，ふた裏のリブ幅，リブ高の平均腐食量を予測することにより，マンホールふたが載荷状態のもと塑性変形に至る腐食量(表－１)を使って，次期の点検時期，寿命の予測など維持管理に役立てられるような形を提示できた。
経過年数に対する平均腐食量の推移は，図－10 などに示すような曲線（上に凸な漸近する曲線）と推定したが，ふたの定点での継続調査により明らかにすることができるので今後の調査が望まれる。
既存の調査項目の中からは，経過年数，段差の有無がふた裏腐食に係わる要因であると推定できた。しかし，どのような状態(環境)に設置されているふたが「腐食大領域：腐食量が大きい」，「腐食中領域：既存データの腐食量が最も多い」，「腐食小領域：腐食量が小さい」を特定することはできなかった。

1.8腐食小領域
1.61.4
段差無 λ＝0.44
確率密度

1.2μ＝0.57
1
段差有 λ＝0.80
0.8μ＝0.96
0.6
0.4
0.2
001234

平均腐食量 mm
図－13 腐食小領域における段差の有無による平均腐食量の比較

４) 腐食要因(段差の有無)のまとめ設置領域下における段差の有無について解析の結果をとりまとめて図－14 に示す。
腐食中領域下での腐食量の差は見られなかったが，わずかな差では2.50
段差無あるがマンホー段差有2.00
ル内で本管に段差があるところ
1.50に設置されたふ1.00
たは，腐食量が0.50大きいことが明らかになった。
0.00
段差と同様
腐食大領域 腐食中領域 腐食小領域に調査平均腐食
図－14 各設置領域の段差有無による平均腐食量(最頻値λ)の量の分布を極値比較分布で回帰し，排除方式により平均腐食量の差異が見られるか分析したが，各設置領域とも排除方式による差はなかった。

〈参考文献〉

最頻値λmm

1）下水道マンホールふたの調査・診断・更新に関する共同研究 財団法人 下水道新技術推進機構，日本
グラウンドマンホール工業会，次世代型グラウンドマンホール推進協会，オリジナル設計(株)，(株)三水コンサルタント，中日本建設コンサルタント(株)，(株)日水コン，2011
2）財団法人 下水道新技術推進機構:「下水道用マンホールふたの計画的な維持管理と改築に関する技術マニュアル（案）」，p.144，p.141，p.42，p.148－
2012 年３月－，2012
3）石村 貞夫，石村 園子共著:「増強版 金融・証券のためのブラック・シュールズ微分方程式」，東京図書，pp.117～130，2009＊（なかね すすむ）
昭和 50 年 中日本建設コンサルタント（株）入社
水工技術本部 技師長 平成 19 年より現職
特別会員

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