Overview

Machine learning Post-Minkowskian integrals

Physics

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo)
2022/12/22, オンラインセミナー「機械学習と物理学」

MachineLearning
Summary[ RJ, G.Kälin, Z.Liu, H.Rubira, 2209.01091]

概要➤

LIGO/Virgoがブラックホール連星由来の重力波を初観測 (2015年)➤

これが動機付けとなり、連星系の運動をpost-Newtonian理論あるいは
post-Minkowskian理論で解析的に求める手法が近年発達している。

01 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

概要➤

これらの手法において、ファインマン積分というものを評価する必要がある(特に、post-Minkowskian理論に現れるものをpost-Minkowskian積分と呼ぼう)。
例えば
d
d
d
l
d
(q 2)3−d
1 l2
2ϵγE
I=e
∫ π d (l12 − i0)(l22 − i0)((l1 + l2 − q)2 − i0)ベクトルの次元は d = 3 − 2ϵ で、 q は与えられた定ベクトル。 ϵ に関して展開した形がわかれば十分なのだが、この例ではそもそも解析的に計算できて、
3
Γ(1/2
−
ϵ)
Γ(2ϵ) π
7 2
2ϵγE
I=e
= + 6π − π
π − 36 ϵ + ⋯(6)
Γ(3/2 − 3ϵ)ϵと求まる。
02 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

概要➤

先の例は簡単な場合 (3PM = post-Minkowskian orderの3次)だが、5PMだと例えばdddd2 6−2d
d
l
d
l
d
l
d
l
(q
)
1
2
3
4
4ϵγE
I=e
∫
π 2d
(u ⋅ l1 − i0)(u ⋅ l2 − i0)(l12)(l22)(l32)(l42)((l1 + l2 + l3 + l4 − q)2)➤

ここで、u は q と直交する単位ベクトルで、簡単のため一部 −i0 を省略した(本当は (l12) は (l12 − i0) の意)。これも何とか計算できて、
2
3
2
Γ
Γ
Γ
πΓ
Γ
π sec(3πϵ)
1−3ϵ −ϵ4ϵγE 1−4ϵ 1/2−ϵ 4ϵe−+
3F2(1 − 4ϵ,1 − 4ϵ,1 − 3ϵ; 2 − 8ϵ,2 − 3ϵ; 1)2
Γ3/2−3ϵ[ Γ1−5ϵΓ1−4ϵ 1 − 3ϵ Γ2−8ϵ2Γ1/2−3ϵΓ21/2−ϵ
1 1
1
3 3
1
−
F
,1,
−
ϵ,
−
ϵ,
,
−
5ϵ,
+ 3ϵ; 14 3()]
Γ3/2−5ϵΓ1−4ϵ
2 2
2
2 2
2
π2 1
π 2 256ζ(3)−−+⋯となり、 ϵ 展開もできる: (1 − 6ϵ) I = −
3
2 (ϵ
ϵ
3 )
➤
03 / 37

将来的にはこれをより高いPM orderで求めないといけない。解析解は望み薄。
Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"概要➤

フルの解析解が手に入らなくても、ϵ の必要次数まで展開係数が解析的に分かればよい。その際に用いられる手法がPSLQ: [Bailey&Ferguson '91] [Bailey&Broadhurst '01]

[Wolfram mathworld]

要するに、(少なくとも数値的にある程度わかっている) 実数 x1, x2, ⋯ に対し、
a1x1 + a2 x2 + ⋯ = 0 を満たす整数 a1, a2, ⋯ を見つけてくれる
c2 c1
0➤ 例えば I =++cϵ+ ⋯ で、 c0 = 38.5749⋯ と数値的にわかっていて、かつ
02ϵϵc0 = a1π 2 + a2π ln 2 + a3 ln2 2 と知っている場合、(a1, a2, a3) = (3,5, − 4) と当ててくれる

たくさんの桁が必要！

04 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

概要➤

この展開係数の数値評価に、機械学習を用いたアルゴリズムである
normalizing flowを使用し、スタンダードなMonte-Carloアルゴリズムと比較した。
結果：積分の複雑さが上がるほど、機械学習を用いたアルゴリズムの方が良くなる

Monte-Carlo (VEGAS)

relative error

100

B0≤-order =≤-order =≤-order =10°1

0 , dim = 3
1 , dim = 3
2 , dim = 3

10°2

i-flow
10°3(normalizing flowを用いた積分)Precision : 10°4
10°4
104
105

106

107

N

➤

実は、本講演の例 (post-Minkowskian積分) では別の手法が発展する可能性があるため、機械学習が取って代わると断言はできない。しかしながら、少なくとも
normalizing flowが持つ可能性を示す例にはなっている。

05 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"トークの構成
物理パート
1. アインシュタイン方程式とは？
2. post-Newtonian理論とは？post-Minkowskian理論とは？
3. post-Minkowskian積分計算のパイプライン : 部分積分, 微分方程式, 境界条件
機械学習パート
1. normalizing flowとは？
2. normalizing flowを用いた数値積分パッケージ "i-flow"
3. i-flowのpost-Minkowskian積分への適用
要約 + α06 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

Overview

Physics

MachineLearning
Summary

アインシュタイン方程式➤

アインシュタイン方程式：
一般相対性理論において、時空及び物質の時間発展を決める方程式。

8πG
カタチ G
モノ
=
T
μν
μν
4
c
"Space-time tells matter how to move. Matter tells space-time how to curve."
John Wheeler

07 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

諸々の定義井1
アインシュタイン方程式
G = R − g R, R = g R
2
μν

➤

μν

μν

μν

μν

Rμν = ∂ρΓρνμ − ∂νΓρρμ + Γρρσ Γσνμ − Γρνσ Γσρμ,アインシュタイン方程式：∂∂μ = μ∂x1 μσ
μ−11 3 −1 −2
Γ
=
g
(∂
g
+
∂
g
−
∂
g
)
G
≃
6.67
×
10
m kg s
ρ
σν
ν
σρ
σ
νρ
νρ
一般相対性理論において、時空及び物質の時間発展を決める方程式。
2: ニュートン定数

8πG
カタチ G
モノ
=
T
μν
μν
4
c

物質のエネルギー運動量テンソルc ≃ 3 × 108 m /s : 光速

時空 (= 時間と空間を統一的に扱ったもの)
計量 gμν で記述される。計量とは、微小距離 ds を座標 x μ の微小差分 dx μ で表したときの係数: ds 2 = gμνdx μdx ν = g00dx 0dx 0 + g11dx 1dx 1 + ⋯(時間座標 x 0, 空間座標 x i (i = 1,2,3) )物質
こいつ

本トークではこれが「連星系」に相当する。
07 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"アインシュタイン方程式の非線形性➤

以下、アインシュタイン方程式は非常に非線形な方程式であることに注意。
なぜ？ → 左辺が計量 gμν のnon-linearな関数だから

8πG
カタチ G
モノ
=
T
μν
μν
4
c
1
Gμν = Rμν − gμν R
2
R## or R ∼ ∂# Γ ### − ∂# Γ ### + Γ ### Γ ### − Γ ### Γ ###1 ###Γ ## ∼ g (∂# g## + ∂# g## − ∂# g##)2

g## の逆行列
08 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"連星系の時間発展➤

ブラックホール連星系の時間発展と、興味のある領域
inspiralmergerringdown

連星系

重力波

運動

解析方法

09 / 37[Antelis&Moreno '17]

ほぼ円軌道, ゆっくり

激しい

減衰振動

摂動的方法

数値
シミュレーション

摂動的方法(post-Newtonian, post-Minkowskian)

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"(black-hole perturbation)

POST-NEWTONIAN & POST-MINKOWSKIAN
post-Newtonian理論

post-Minkowskian理論

伝統的アプローチ

散乱振幅(scattering amplitude)

EFT (effective field theory)

EFT (effective field theory)

物理量periastron advance (近日点移動)
scattering angle (散乱角)time delay
10 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"トークの構成
物理パート
1. アインシュタイン方程式とは？
2. post-Newtonian理論とは？post-Minkowskian理論とは？
3. post-Minkowskian積分計算のパイプライン : 部分積分, 微分方程式, 境界条件
機械学習パート
1. normalizing flowとは？
2. normalizing flowを用いた数値積分パッケージ "i-flow"
3. i-flowのpost-Minkowskian積分への適用
要約 + α06 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-NEWTONIAN, 伝統的アプローチ
post-Newtonian理論 = 1/c (c = 光速度)に関する展開[Einstein, Infeld, Hoffmann '37]➤

典型的に連星系の速度 v との組み合わせ (v/c) で 現れるため、v/c 展開とも呼ばれる(厳密にはc[m/s]は他の場所にも現れるため、これは正確ではない see e.g. [Blanchet '14] )11 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-NEWTONIAN, 伝統的アプローチ
post-Newtonian理論 = 1/c (c = 光速度)に関する展開[Einstein, Infeld, Hoffmann '37]➤

典型的に連星系の速度 v との組み合わせ (v/c) で 現れるため、v/c 展開とも呼ばれる(厳密にはc[m/s]は他の場所にも現れるため、これは正確ではない see e.g. [Blanchet '14] )➤1/c 展開のleading orderではNewtonian potentialを再現する
チェック gμν = ημν + hμν かつ「時間微分 (1/c)(∂/∂t) ≪ 空間微分 (∂/∂x) 」として展開
バック + ずれ
グラウンド

1
8πG
Rμν − gμν R = 4 Tμν →
2
c

8πG
2
∇ h00 = 4 T00cモノがあると → 重力ポテンシャルができる

ρ = c 4T00 Φ = h00 /2

これは実際重力ポテンシャルの満たすポアソン方程式 ∇2 Φ = 4πGρ で、m
質点 ρ = mδ ( x ⃗ ) を考えると高校物理でやる Φ = − G になるr(3)

11 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-NEWTONIAN, 伝統的アプローチ➤

1/c 展開のnext-leading order [Einstein, Infeld, Hoffmann '37]; see also [Kei Yamada '14 (Ph.D thesis)]- 式を簡単にするため、harmonic gaugeというゲージを取る
h μν =−gg μν − η μν に対し ∂μh αμ = 0- アインシュタイン方程式は、近似なしで次の形になる ( □ = η μν∂μ∂ν ) e.g. [Blanchet '14]
1 αβg gμν∂ρh μσ ∂σ h νρ
2
αμ
βσ
νρ
βμ
ασ
νρ
−g gνσ ∂ρh ∂μh − g gνσ ∂ρh ∂μh + gμν g ρσ ∂ρh αμ∂σ h βνΛαβ = − h μν∂ 2μν h αβ + ∂μh αν∂ν h βμ + ∂μh αν∂ν h βμ +

4
16πG
c
μν
μν
□ h μν =
−gT
+
Λ
c4 (
16πG
)

1
+ (2g αμg βν − g αβ g μν)(2gρσ gτω − gστ gρω)∂μh ρω∂ν h στ8- 適切に 1/c 展開して計算すると、今日ではEinstein-Infeld-Hoffmann Lagrangianと呼ばれるLagrangianが出る
L = L Newton + L EIH =Gm1m2
1
ma v 2 +∑2 a=1,2
r

1
+ 2
c

Gm1m2
(v1 ⋅ r)(v2 ⋅ r)
G 2 m1m2(m1 + m2)
1
4
2
2
mv +
3(v + v1 ) − 7(v1 ⋅ v2) −
−
∑ a a
]
8 a=1,22r [ 1
r2
2r 2
∼ mv

12 / 37

4

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

Gm 2v 2∼r

G 2m 3∼r2

POST-NEWTONIAN & POST-MINKOWSKIAN
post-Newtonian理論

post-Minkowskian理論

伝統的アプローチ

散乱振幅(scattering amplitude)

EFT (effective field theory)

EFT (effective field theory)

物理量periastron advance (近日点移動)
scattering angle (散乱角)time delay
10 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-NEWTONIAN, EFTアプローチ➤

EFT (effective field thoery)を用いた、よりシステマティックなアプローチが[Goldberger&Rothstein '06]➤

[Goldberger&Rothstein '06]

で提唱され、以降こちらが主流になった

簡単のため、重力ではなくmasslessスカラー ϕ が力を媒介する場合を考えよう
e.g. [Porto '16]

x

質点1

ϕ
質点2

x′

1
- 質点にmasslessスカラー場が結合した理論を考える: S[ϕ, J ] = d x (∂ϕ)2 + J(x)ϕ(x)
[2
]
∫
ma 3
⌦
δ (x − xa(t))- 質点はソース J に入っている: J(t, x) = ∑Mϕ
質点1,2の軌道a=1,24

結合の強さをコントロールする定数- ϕ をintegrate outして質点に対する有効作用を求める e iSe [J] =∫ϕ e iS[ϕ,J] のだが、𝒟その際、古典的プロセスに対応するダイアグラムだけ取り入れる。例えば上図。
￼ff

13 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-NEWTONIAN, EFTアプローチ[Goldberger&Rothstein '06]

すると実際、Newtonian potentialが出る➤

Se [J ]⊃i
J(x)ΔF (x − x′)J(x′)
2 ∫x ∫x′∼m1m2
1−ip⋅(x1(t)−x2(t)})
dte∫p p 2 − i0
Mϕ2 ∫

⊃

−

m1m2
1
0
3
0
3
δ
(x
−
x
(x
))
δ
(x′
−
x
(x′
))
e −ip(x−x′)
1
2
2
2
2
2
∫
∫
∫
Mϕ x x′p (p0) /c − p + i0
∼

m1m2
dt
∫
4πMϕ2 | x1(t) − x2(t) |無視 ( 1/c 展開)
m1m2 1

Newtonian potential − 4πM 2 r
ϕx

1/c 展開の次のオーダーでは、無視していた部分を

➤

質点1

⌦ v2

1
1
(p 0)2 /c 2≃− 2 1+(p 0)2 /c 2 − p 2
p (
p2 )

x′

質点2

で取り入れて、 v 2 /c 2 型の補正が出る (ただし r(t) = | x1(t) − x2(t) | , v1(t) = x· 1(t), v2(t) = x· 2(t) )Se [J ]⊃⋯⊃

m1m2 1 (v1(t) ⋅ v2(t)) r(t)2 − (v1(t) ⋅ r(t))(v2(t) ⋅ r(t))− dt∫
8πMϕ2 r(t)3
c2

⌦

￼

￼

￼

￼

ff

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

￼

￼

ff

13 / 37

￼

ff

𝒟

￼

重力にした場合も基本同じで、先のEinstein-Infeld-Hoffmann Lagrangianが出る➤

POST-NEWTONIAN, EFTアプローチ[Goldberger&Rothstein '06]

すると実際、Newtonian potentialが出る➤

Se [J ]⊃i
J(x)ΔF (x − x′)J(x′)
2 ∫x ∫x′∼m1m2
1−ip⋅(x1(t)−x2(t)})
dte∫p p 2 − i0
Mϕ2 ∫

⊃

−

m1m2
1
0
3
0
3
δ
(x
−
x
(x
))
δ
(x′
−
x
(x′
))
e −ip(x−x′)
1
2
2
2
2
2
∫
∫
∫
Mϕ x x′p (p0) /c − p + i0
∼

m1m2
dt
∫
4πMϕ2 | x1(t) − x2(t) |無視 ( 1/c 展開)
m1m2 1

Newtonian potential − 4πM 2 r
ϕx

1/c 展開の次のオーダーでは、無視していた部分を

➤

質点1

⌦ v2

1
1
(p 0)2 /c 2≃− 2 1+(p 0)2 /c 2 − p 2
p (
p2 )

x′

質点2
[Porto '16]

で取り入れて、 v 2 /c 2 型の補正が出る (ただし r(t) = | x1(t) − x2(t) | , v1(t) = x· 1(t), v2(t) = x· 2(t) )L = L Newton + L EIH =

Gm1m2
Gm1m2
(v1 ⋅ r)(v2 ⋅ r)
G 2 m1m2(m1 + m2)
1
1 1
2
4
2
2
mv +
+ 2
ma va +
3(v1 + v1 ) − 7(v1 ⋅ v2) −−∑ a∑
2 a=1,2rc
8 a=1,22r 2
m1m2 1 (v2r1(t) ⋅[v2(t)) r(t)2 − (v1(t) ⋅ r(t))(v2(t)r⋅2 r(t)) ] ⌦Se [J ]⊃⋯
⊃ − dt∫8πMϕ2 r(t)3
c2

￼

￼

￼

￼

ff

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

￼

￼

ff

13 / 37

￼

ff

𝒟

￼

重力にした場合も基本同じで、先のEinstein-Infeld-Hoffmann Lagrangianが出る➤

POST-NEWTONIAN & POST-MINKOWSKIAN
post-Newtonian理論

post-Minkowskian理論

伝統的アプローチ

散乱振幅(scattering amplitude)

EFT (effective field theory)

EFT (effective field theory)

物理量periastron advance (近日点移動)
scattering angle (散乱角)time delay
10 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN, 散乱振幅アプローチ
post-Minkowskian理論 = G (Newtonian constant)に関する展開[Bertotti '56, Bertotti&Plebanski '60] [Iwasaki '71] [Rosenblum '78, Westpfahl&Goller '79, Bel et al. '81, Damour&Deruelle '81]➤

実は先のpost-Newtonian理論はvとGのdouble expansionとも見れる➤

Gのみの展開ができれば、連星系の速度に関して仮定を置かなくてよいのでより好ましいのでは？ → post-Minkowskian理論➤

重力で相互作用するmassiveな粒子の散乱をG展開で考え、散乱振幅から物理量を読み取る [Damour '16]

➤

1
1
m 2
2
S = d x −g
R + (∂ϕ) −ϕ∫
22[ 16πG
]
2

4

→

ϕ

？
ϕ

ϕ

粒子はscattering stateだが、解析接続で適切にbound stateにmapできる e.g. [Kälin&Porto '18]→

15 / 37

ϕ

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN, 散乱振幅アプローチ
Gm1m2
Gm1m2
(v1 ⋅ r)(v2 ⋅ r)
G 2 m1m2(m1 + m2)
1
1 1
2
4
2
2
L = L Newton +post-Minkowskian理論
L EIH =
mv ++ 2 = G m(Newtonianv +3(v + v1 ) − 7(v1 ⋅ v2) −
−
∑ a
∑ a a
]
2 a=1,2rc
8 a=1,22r [ 1 constant)に関する展開
r2
2r 2[Bertotti '56, Bertotti&Plebanski '60] [Iwasaki '71] [Rosenblum '78, Westpfahl&Goller '79, Bel et al. '81, Damour&Deruelle '81]➤

実は先のpost-Newtonian理論はvとGのdouble expansionとも見れる➤

Gのみの展開ができれば、連星系の速度に関して仮定を置かなくてよいのでより好ましいのでは？ → post-Minkowskian理論➤

重力で相互作用するmassiveな粒子の散乱をG展開で考え、散乱振幅から物理量を読み取る [Damour '16]

➤

1
1
m 2
2
S = d x −g
R + (∂ϕ) −ϕ∫
22[ 16πG
]
2

4

→

ϕ

？
ϕ

ϕ

粒子はscattering stateだが、解析接続で適切にbound stateにmapできる e.g. [Kälin&Porto '18]→

15 / 37

ϕ

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN, 散乱振幅アプローチ
post-Minkowskian理論 = G (Newtonian constant)に関する展開[Bertotti '56, Bertotti&Plebanski '60] [Iwasaki '71] [Rosenblum '78, Westpfahl&Goller '79, Bel et al. '81, Damour&Deruelle '81]➤

実は先のpost-Newtonian理論はvとGのdouble expansionとも見れる➤

Gのみの展開ができれば、連星系の速度に関して仮定を置かなくてよいのでより好ましいのでは？ → post-Minkowskian理論➤

重力で相互作用するmassiveな粒子の散乱をG展開で考え、散乱振幅から物理量を読み取る [Damour '16]

➤

1
1
m 2
2
S = d x −g
R + (∂ϕ) −ϕ∫
22[ 16πG
]
2

4

→

ϕ

？
ϕ

ϕ

粒子はscattering stateだが、解析接続で適切にbound stateにmapできる e.g. [Kälin&Porto '18]→

15 / 37

ϕ

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN, 散乱振幅アプローチ➤

さて、このアプローチにおいて、「ループ計算」が必要になる(実は先のpost-NewtonianのEFTアプローチでも同様)[Bjerrum-Bohr, Damgaard, Planté, Vanhove '22]➤

「古典」的な運動を考えているのになぜループ計算なのか？
ループ計算は「量子」的な効果ではないのか？🤔 → No
[Iwasaki '71]
[Bjerrum-Bohr, Damgaard, Planté, Vanhove '21]
[Bjerrum-Bohr, Damgaard, Planté, Vanhove '22]

[Thorne&Kovacs '78]

16 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN, 散乱振幅アプローチ➤

ループが量子的であるという議論は、経路積分に作用が S/ℏ で入ることに基づく
e.g.[Iliopoulos, Itzykson, Martin '75]

=

➤

∫

ϕe

i ℏS →

vertexは ℏ−1, propagatorは ℏ に比例 → ループは ℏ でsuppressされる

しかし今考えるべき ℏ 依存性はもう少し複雑である。e.g. [Bjerrum-Bohr, Damgaard, Planté, Vanhove '22]
散乱する2つの粒子の運動量移行 q は連星間の距離 r に対応している。
古典極限は距離 r を一定、すなわち q ではなく q/ℏ を一定にして ℏ → 0 とすべき。
これにより上のカウンティングが崩れ、ループからも考慮すべき寄与が出る。

𝒟

𝒵

q

| q | ∼ ℏ/r

17 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"rrトークの構成
物理パート
1. アインシュタイン方程式とは？
2. post-Newtonian理論とは？post-Minkowskian理論とは？
3. post-Minkowskian積分計算のパイプライン : 部分積分, 微分方程式, 境界条件
機械学習パート
1. normalizing flowとは？
2. normalizing flowを用いた数値積分パッケージ "i-flow"
3. i-flowのpost-Minkowskian積分への適用
要約 + α06 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN 積分: 部分積分恒等式 (IBP IDENTITIES)➤

ループ計算においては、以下のようなファインマン積分が出る
例
Ia(4dim)(3PM)(q, γ) =a ; α α ; i ⋯i
1 2

1 2 1

5

δ(l1 ⋅ ua1)δ(l2 ⋅ ua2)

∫l ,l A α1 A α2 D i1⋯D i5
1 2

1,ā1 2,ā2

1

i5

d Dl
=
,
∫l ∫ iπ D/2

D = 4 − 2ϵ

（これは実際に3PMで現れるpost-Minkowskian積分 [Kaelin, Liu, Porto '20] ）➤しかし、全てが独立なわけではない。一部は部分積分によって関連付く
簡単な例➤

よって、部分積分で関連付かない、独立な基底 (master integrals) のみ考慮する
例

18 / 37

∂
lμ
1
1
0=
=⋯=−3
−2
∫l ∂l μ [ (l 2)2(l − q)2 ]∫l (l 2)2(l − q)2∫l (l 2)2((l − q)2)2(4dim)(3PM)⃗Ii1⋯i5 = I12;00;i⋯i として、 I = {I11111, I11211, I01101, I11011, I00211, I00112, I00111} が独立基底
15

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN 積分: 部分積分恒等式(IBP IDENTITIES)
諸々の定義
井u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = γ(1, β, 0, 0), 1̄ = 2, 2̄ = 1, A1,ā1 = l1 ⋅ uā1, A2,ā2 = l1 ⋅ uā2➤

D1 = l12, D2 = l22, D3 = (l1 + l2 − q)2, D4 = (l1 − q)2, D5 = (l2 − q)2
ループ計算においては、以下のようなファインマン積分が出る

例
Ia(4dim)(3PM)(q, γ) =a ; α α ; i ⋯i
1 2

1 2 1

5

δ(l1 ⋅ ua1)δ(l2 ⋅ ua2)

∫l ,l A α1 A α2 D i1⋯D i5
1 2

1,ā1 2,ā2

1

i5

d Dl
=
,
∫l ∫ iπ D/2

D = 4 − 2ϵ

（これは実際に3PMで現れるpost-Minkowskian積分 [Kaelin, Liu, Porto '20] ）➤しかし、全てが独立なわけではない。一部は部分積分によって関連付く
簡単な例➤

よって、部分積分で関連付かない、独立な基底 (master integrals) のみ考慮する
例

18 / 37

∂
lμ
1
1
0=
=⋯=−3
−2
∫l ∂l μ [ (l 2)2(l − q)2 ]∫l (l 2)2(l − q)2∫l (l 2)2((l − q)2)2(4dim)(3PM)⃗Ii1⋯i5 = I12;00;i⋯i として、 I = {I11111, I11211, I01101, I11011, I00211, I00112, I00111} が独立基底
15

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN 積分: 部分積分恒等式 (IBP IDENTITIES)➤

ループ計算においては、以下のようなファインマン積分が出る
例
Ia(4dim)(3PM)(q, γ) =a ; α α ; i ⋯i
1 2

1 2 1

5

δ(l1 ⋅ ua1)δ(l2 ⋅ ua2)

∫l ,l A α1 A α2 D i1⋯D i5
1 2

1,ā1 2,ā2

1

i5

d Dl
=
,
∫l ∫ iπ D/2

D = 4 − 2ϵ

（これは実際に3PMで現れるpost-Minkowskian積分 [Kaelin, Liu, Porto '20] ）➤しかし、全てが独立なわけではない。一部は部分積分によって関連付く
簡単な例➤

よって、部分積分で関連付かない、独立な基底 (master integrals) のみ考慮する
例

18 / 37

∂
lμ
1
1
0=
=⋯=−3
−2
∫l ∂l μ [ (l 2)2(l − q)2 ]∫l (l 2)2(l − q)2∫l (l 2)2((l − q)2)2(4dim)(3PM)⃗Ii1⋯i5 = I12;00;i⋯i として、 I = {I11111, I11211, I01101, I11011, I00211, I00112, I00111} が独立基底
15

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN 積分: 微分方程式➤

独立な基底を選んだとしよう。これらは外部パラメータを含む。
例 連星の一方から見た他方の相対論的 γ ファクター γ = u1 ⋅ u2➤

外部パラメータを含んだまま解析的に積分を実行するのは難しい。そこで普通、
外部パラメータに関する偏微分方程式を立てる⃗ ϵ) = M(x, ϵ) I(x,⃗ ϵ)∂x I(x,➤

その際、次元に現れる ϵ がoverallにしか付かないような「良い基底」の取り方があると指摘された [Henn '13]
⃗ (x, ϵ) = ϵMnew(x) I new⃗ (x, ϵ)∂x I new

19 / 37x2 + 1γ=
2x

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN 積分: 境界条件➤

さて、この微分方程式の境界条件は γ = 1 (連星がお互いに止まっている状況)

止まってる

➤

止まってる

止まっているので時間方向 (~ エネルギー方向, l 0 方向) の積分は無視できて、結局3次元の積分が境界条件として残る。これをstatic integralと言う。
2 ν1+ν2+α/2−d/2
(q
)
(2PM)
ϵγE
I±;α ,α ;ν ⋯ν = e
1 2 1
5∫l (± l z)α[l 2]ν1[(l − q)2]ν2
2 ν1+⋯ν5+(α1+α2)/2−d
(q
)
(3PM)
2ϵγE
I±±;α ,α ;ν ⋯ν = e
1 2 1
5∫l ,l (± l1z)α1(± l2z)α2[l12]ν1[l22]ν2[(l12 − q)2]ν3[(l1 − q)2]ν4[(l2 − q)2]ν5
1 2
d
d
l
(4PM) (5PM),I(Iも同様, ∫ = ∫ d/2 ,πl

20 / 37

l12 = l1 + l2 )Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"➤

ファインマン積分は、実は d = 3 − 2ϵ 次元積分を直接扱わなくても良い
簡単な例
d dl (q 2)2−d/2I=∫ π d/2 l 2(l − q)2
∞

∞

d dl
(q 2)2−d/2=
dx1
dx2 δ(x1 + x2 − 1) d/2∫0∫0∫ π [x1l 2 + x2(l − q)2]2
∞

∞

∞

∞

うまく分母を「混ぜて」くれるx1, x2 を導入 (上の式に戻ることも示せる)

d dl(q 2)2−d/2=
dx1
dx2 δ(x1 + x2 − 1) d/2∫0∫0∫ π [(l − x2q)2 + x2(1 − x2)q 2]2
∼

∫0

dx1

∫0

dx2 δ(x1 + x2 − 1)

実数 x1, x2 の積分∞➤
21 / 37

分母を l について平方完成

l˜d−1dl˜∫0 [l˜2 + x2(1 − x2)]2
l˜ を積分するとただの x1, x2 の関数(専門的にはSymanzik polynomial

𝒰

𝒰

POST-MINKOWSKIAN 積分: ファインマン表示(x1, x2)nu, ℱ の関数nf )ℱ(x1, x2)

以下、数値計算に投げるときも、この x1, x2, ⋯ の積分にして投げる
Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"ここまでのまとめ：連星系の解析に多次元積分 (ファインマン積分) が出てくる

22 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"トークの構成
物理パート
1. アインシュタイン方程式とは？
2. post-Newtonian理論とは？post-Minkowskian理論とは？
3. post-Minkowskian積分計算のパイプライン : 部分積分, 微分方程式, 境界条件
機械学習パート
1. normalizing flowとは？
2. normalizing flowを用いた数値積分パッケージ "i-flow"
3. i-flowのpost-Minkowskian積分への適用
要約 + α06 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

NORMALIZING FLOW➤

話は変わり、以下機械学習の話➤

normalizing flowとは？: 解析的に書くことが難しい分布関数を、解析的に書ける分布関数からの(複数回の)変数変換で書く手法⋯

x 0⃗[Dinh, Krueger, Bengio '15] [Rezende, Mohamed '15]
[Dinh, Sohl-Dickstein, Bengio '16]

x K⃗

- 元の分布関数を P0( x 0⃗ ) とし、変数変換 x K⃗ = cK (cK−1(⋯c1( x 0⃗ )))) を考えよう- 変換後の分布関数は⃗ )∂ck( x k−1
PK ( x K⃗ ) = P0( x 0⃗ )∏⃗∂ x k−1
k=1
K−1⃗ ) (k = 1,2,⋯, K )x k⃗ = ck( x k−1

ヤコビアン- ここに現れるヤコビアンの計算量を抑える仕組みが "coupling transform"
23 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

NORMALIZING FLOW➤

25 / 37

coupling transform

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

NORMALIZING FLOW➤

coupling transform- 変数変換 c( x ⃗ ) に着目する。まず、入力 x ⃗ を2つに分けてみよう
x A⃗ = x1, ⋯, xd,

x B⃗ = xd+1, ⋯, xD- このうち x A⃗ には何もせず、 x B⃗ の方に x A⃗ 依存の変換をかませてみようc( x ⃗ ) =x ′A⃗ = x A⃗
x ′B⃗ = C( x B⃗ ; m( x A⃗ ))- さて、ヤコビアンはどうなるだろうか？
∂c( x ⃗ )
∂x⃗

−1

=

1⃗

0

∂C ∂m
∂m ∂ x A⃗∂C∂ x B⃗−1∂C( x B⃗ ; m( x A⃗ ))=∂ x B⃗−1

０のおかげで m の微分が消える- そこで、C には解析的に書ける簡単な関数を取り、m をneural networkで訓練する￼￼

25 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

NORMALIZING FLOW➤

24 / 37

coupling transform

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"トークの構成
物理パート
1. アインシュタイン方程式とは？
2. post-Newtonian理論とは？post-Minkowskian理論とは？
3. post-Minkowskian積分計算のパイプライン : 部分積分, 微分方程式, 境界条件
機械学習パート
1. normalizing flowとは？
2. normalizing flowを用いた数値積分パッケージ "i-flow"
3. i-flowのpost-Minkowskian積分への適用
要約 + α06 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling- 積分 I =∫Ω

f(x) dx を数値的に評価したいとする- ナイーブなMonte-Carloサンプリングだと、エラーは
V N
I≃
f(xi) ≡ V⟨ f ⟩x
∑
N i=1

→

σI ≃ V⟨ f 2⟩x − ⟨ f ⟩2x
N−1- 変数変換により dG(x) = g(x)dx となる G(x) を取って同じことをすると、
f(x)I=
dG(x) ≃ V⟨ f /g⟩G∫Ω g(x)→σI ≃ V⟨( f /g)2⟩G − ⟨ f /g⟩2G
N−1- もし g(x) = f(x) に取れればエラーは0だが、現実には我々は f(x) を知らない。
dG(x)そこで、 g(x) =が f(x) に「よく似る」ように G(x) を構成する。
dx
26 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

G(x)

dG(x)
g(x) =dx似せるx
27 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

uniform samplingG(x)27 / 37dG(x)g(x) =
dx

似せるx

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

uniform samplingG(x)27 / 37dG(x)g(x) =
dx

似せるx

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

G(x)

dG(x)
g(x) =dx似せるx
27 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

uniform samplingG(x)27 / 37dG(x)g(x) =
dx

似せるx

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

uniform samplingG(x)27 / 37dG(x)g(x) =
dx

似せるx

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

G(x)

dG(x)
g(x) =dx似せるx
27 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

IMPORTANCE SAMPLING➤

Monte-Carlo積分におけるimportance sampling∂ G(⃗ x ⃗ )dG(x)- 多変数の場合、 g(x) =はヤコビアン g( x ⃗ ) =となるため、⃗∂xdx

変換 x ⃗ → G(⃗ x ⃗ ) のヤコビアンが簡単に計算できることが重要。
- そこでnormalizing flowが使える。

uniform samplingG(x)27 / 37dG(x)g(x) =
dx

似せるx

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

f(x)

x

I-FLOW[Gao, Isaacson, Krause '20]➤

i-flow: normalizing flowを用いたMonte-Carlo積分パッケージ。言語はpython。

➤

layer数: 被積分関数のcorrelationを捉えるのに必要な最小数が自動で設定される(積分次元 D に対し layer数 = D (D < 4), Floor [log2 D] (D ≥ 5) 、Sec.IIIA参照)➤

neural network: デフォルトで loss function = exponential, optimizer = ADAM➤

Cは piecewise linear, piecewise quadratic, piecewise rational quadratic spline から選べる

28 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

数値計算の必要性➤「概要」で述べたように、post-Minkowskianの高いオーダーになると、フルの解析解が手に入らない可能性が大きい➤

しかし、 ϵ 展開の各係数を数値的に知れれば、PSLQアルゴリズムにより解析的な表式を特定できるかもしれない[Bailey&Ferguson '91] [Bailey&Broadhurst '01]

[Wolfram mathworld]c2 c10➤ 例えば I =++cϵ+ ⋯ で、 c0 = 38.5749⋯ と数値的にわかっていて、かつ
02ϵϵc0 = a1π 2 + a2π ln 2 + a3 ln2 2 と知っている場合、(a1, a2, a3) = (3,5, − 4) と当ててくれる29 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

セクター分解➤

さて、ファインマン積分をi-flowに投げるのだが、実はこの積分は結構凶悪
先程の例➤

どう凶悪なのか？ [Heinrich '08]
例

➤

∞
∞
(x1, x2)nu
d dl (q 2)2−d/2
I=
=⋯∼
dx1
dx2 δ(x1 + x2 − 1)
∫ π d/2 l 2(l − q)2∫0∫0ℱ(x1, x2)nf1

1−1/2 1/2

x y
I = dx dy∫0 ∫0
x + (1 − x)yx にとって: y ∼ 0 のとき、x → 0 が発散する{ y にとって: x ∼ 0 のとき、y → 0 が発散する→ singularityがoverlapしている

そこでセクター分解 (sector decomposition) をする(1) 1 = Θ(x − y) + Θ(y − x) を掛け、 ① x > y セクターと ② x < y セクターに分解(2)それぞれについて、① y = xt ② x = yt と変換すると、singularity overlapを除ける
1

1
1
t 1/2
t −1/2I = dx
dt
+
dy
dt
∫0
∫0
∫0
∫0
1 + (1 − x) t
1 + (1 − y) t
Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"
𝒰

30 / 371

セクター分解➤

さて、ファインマン積分をi-flowに投げるのだが、実はこの積分は結構凶悪
先程の例➤

どう凶悪なのか？ [Heinrich '08]
例

➤

∞
∞
(x1, x2)nu
d dl (q 2)2−d/2
I=
=⋯∼
dx1
dx2 δ(x1 + x2 − 1)
∫ π d/2 l 2(l − q)2∫0∫0ℱ(x1, x2)nf1

1−1/2 1/2①

x y
I = dx dy∫0 ∫0
x + (1 − x)yx にとって: y ∼ 0 のとき、x → 0 が発散する②{ y にとって:x ∼ 0 のとき、y → 0 が発散する→ singularityがoverlapしている

そこでセクター分解 (sector decomposition) をする(1) 1 = Θ(x − y) + Θ(y − x) を掛け、 ① x > y セクターと ② x < y セクターに分解(2)それぞれについて、① y = xt ② x = yt と変換すると、singularity overlapを除ける
1

1
1
t 1/2
t −1/2I = dx
dt
+
dy
dt
∫0
∫0
∫0
∫0
1 + (1 − x) t
1 + (1 − y) t
Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"
𝒰

30 / 371

[Borowka, Heinrich, Jahn, Jones, Kerner, Magerya, Poldaru, Schlenk, Villa, Zirke]
https://secdec.hepforge.org/

数値計算のパイプライン➤(最近ではpython版のpySecDecもある)

セクター分解のためのコードはいくつかあるが、ここでは SecDec を用いる。
分解は ϵ 展開の各係数ごとに行われ、典型的に ∼ 10 − 200 程度のセクターが出る。

➤

まとめると、以下のようなパイプラインを構成するファインマン積分I(x1, x2, ⋯)➤→比較対象として、最後のセクター分解SecDec→Monte-Carlo積分

i-flow

でスタンダードなMonte-Carloアルゴリズムである

VEGASを用いた場合も用意する。どのような違いが予想されるか？
- VEGASも分布関数をアップデートするが、その際、被積分関数のfactorizationを仮定している: f(x1, ⋯, xD) = f(x1)⋯f(xD)- i-flowの方が被積分関数のcorrelationを捉える能力が高いため、差が出るのでは？
31 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"トークの構成
物理パート
1. アインシュタイン方程式とは？
2. post-Newtonian理論とは？post-Minkowskian理論とは？
3. post-Minkowskian積分計算のパイプライン : 部分積分, 微分方程式, 境界条件
機械学習パート
1. normalizing flowとは？
2. normalizing flowを用いた数値積分パッケージ "i-flow"
3. i-flowのpost-Minkowskian積分への適用
要約 + α06 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

I-FLOWのPOST-MINKOWSKIAN積分への適用➤試すファインマン積分は以下の通り:

ddl=,∫l ∫ π d/2

d = 3 − 2ϵ,lij = li + lj,− i0 implicit

3PM (2-loop)(q 2)ν1+⋯ν5+(α1+α2)/2−d
2 ν3
2 ν4
2 ν5
± z α1 ± z α2 2 ν1 2 ν2
l1,l2 [ l1] [ l2] [l1 ] [l2 ] [(l12 − q) ] [(l1 − q) ] [(l2 − q) ]

(3PM)
2ϵγE
I±±
=
e
;α1,α2;ν1⋯ν5∫

4PM (3-loop)

32 / 37(q 2)4−3d/2
(4PM)
3ϵγE
IB0 = e∫l ,l ,l [l12][l22][l32][(l123 − q)2]
1 2 3

(q 2)11−3d/2
(4PM)
3ϵγE
IB3(1)±± = ez ][∓l z ][l 2][l 2][l 2][(l2∫l ,l ,l [l1z][± l12
123 − q) ]3 1 2 3
1 2 3(q 2)9/2−3d/2
(4PM)
3ϵγE
IB1(1) = e∫l ,l ,l [± l3z][l12][l22][l32][(l123 − q)2]
1 2 3

(q 2)11−3d/2
(4PM)
3ϵγE
IB3(2)±± = e∫l ,l ,l [l1z][± l2z][∓l3z][l12][l22][l32][(l123 − q)2]
1 2 3

(q 2)9/2−3d/2
(4PM)
3ϵγE
IB1(2) = ez ][l 2][l 2][l 2][(l2∫l ,l ,l [± l23
123 − q) ]
1 2 3
1 2 3

(4PM)
IC0
= e 3ϵγE∫(q 2)5−3d/2
(4PM)
3ϵγE
IB2(1)± = e∫l ,l ,l [± l1z][± l2z][l12][l22][l32][(l123 − q)2]
1 2 3

(4PM)
ID0
= e 3ϵγE∫(q 2)5−3d/2
(4PM)
3ϵγE
IB2(2)± = ez ][l 2][l 2][l 2][(l2∫l ,l ,l [± l1z][± l12
123 − q) ]
1 2 3
1 2 3

(4PM)
ID1
= e 3ϵγE∫(q 2)5−3d/2
2 2 2
2
2
l1,l2,l3 [l1 ][l2 ][l3 ][(l1 − q) ][(l23 − q) ](q 2)5−3d/2
2 2 2
2
2
l1,l2,l3 [l1 ][l2 ][l3 ][(l13 − q) ][(l23 − q) ]Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"(q 2)11/2−3d/222± z 2 2 2
l1,l2,l3 [ l3 ][l1 ][l2 ][l3 ][(l13 − q) ][(l23 − q) ]

I-FLOWのPOST-MINKOWSKIAN積分への適用➤試すファインマン積分は以下の通り:

ddl=,∫l ∫ π d/2

d = 3 − 2ϵ,lij = li + lj,− i0 implicit

5PM (4-loop)(q 2)5−2d
2 2 2 22
l1,l2,l3,l4 [l1 ][l2 ][l3 ][l4 ][(l1234 − q) ]

(5PM)
4ϵγE
IM2(1)±=e∫(q 2)11/2−2d2±z 2 2 2 2
l1,l2,l3,l4 [ l1 ][l1 ][l2 ][l3 ][l4 ][(l1234 − q) ]

(5PM)
4ϵγE
IM2(2)
±=e
∫

(5PM)
IM0
= e 4ϵγE
∫
(5PM)
IM1
= e 4ϵγE∫(q 2)6−2dz ± z 2 2 2 22
l1,l2,l3,l4 [l1 ][ l2 ][l1 ][l2 ][l3 ][l4 ][(l1234 − q) ](q 2)6−2dz ± z
2 2 2 22
l1,l2,l3,l4 [l1 ][ l12][l1 ][l2 ][l3 ][l4 ][(l1234 − q) ](q 2)7−2d
(5PM)
4ϵγE
IM4±±± = ez ][± l z ][∓l z ][l 2][l 2][l 2][l 2][(l2∫l ,l ,l ,l [l1z][± l121234 − q) ]123
4 1 2 3 4
1 2 3 432 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

結果
目標精度
precision goal 10−3

precision goal 10−4

(3PM)
I++;02;10110
(±)
K

(3PM)
I++;02;10110
(±)
K

10 1

02;1011010 1
1 , dim = 2
0 , dim = 3
1 , dim = 3

relative error

3PM

relative error-order =-order =-order =

10 2

100

(4PM)
IB0

106
B0

100

1

10 2

10 3
104

複雑さ

relative error

relative error

4PM

0 , dim = 3
1 , dim = 3
2 , dim = 3

Precision : 10 3
105

N

106

1 , dim = 2
0 , dim = 3
1 , dim = 3

107

108

-order =-order =-order =0 , dim = 3
1 , dim = 3
2 , dim = 3

10 3

N-order =-order =-order =10

107-order =-order =-order =10 2

Precision : 10 4
10 4
104
105
106

3

10 3 Precision : 10
104
105

02;10110

(4PM)
IB0

109

N
B0

10 1
10 2
10 3
Precision : 10 4
10 4
104
105

106

107

N

Figure 2: This figure shows the evolution of the relative error with the number of iterations for
33 / 37

i-flow (solid lines) and VEGAS (dashed lines). The two top figures correspond to the two-loop(±)
K02;10110
integral "Machineas an illustrationof a G3 -order integral
and on the bottom we show the three-loop
Ryusuke Jinno (RESCEU,
UTokyo)learning post-Minkowskian
integrals"
integral B0 for an example at G4 . The left plots are for a relative precision of 10 3 and the right

結果
precision goal 10−3
10 1

(3PM)
I++;02;10110(±)
K

02;101103PM

relative error-order =-order =-order =ϵ 展開の各オーダーについて、ファインマン積分の変数の次元

1 , dim = 2
0 , dim = 3
1 , dim = 3

Monte-Carlo積分のナイーブなスケーリング ∝ 1/

10 2

3

10 3 Precision : 10
104
105

10

6

10

7

N

実線: i-flow, 点線: VEGAS

Nburn-inプロセス: i-flowについて、 g(x) が f(x) に十分近付く前に蓄えたsampling pointが積分の最終結果にバイアスをもたらす傾向があったので、目標精度の半分に達した時点でsampling pointを一旦捨てた (訓練したneural networkの構成はそのまま)

Figure 2: This figure shows the evolution of the relative error with the number of iterations for
34 / 37

i-flow (solid lines) and VEGAS (dashed lines). The two top figures correspond to the two-loop(±)
K02;10110
integralas an illustrationof a G3 -orderintegraland on the integrals"bottom we show the three-loop
Ryusuke
Jinno(RESCEU,
UTokyo) "Machinelearning
post-Minkowskian
integral B0 for an example at G4 . The left plots are for a relative precision of 10 3 and the right結果

比較的簡単な積分ではVEGASが早く目標精度に到達しがちだが、積分の複雑さ・目標精度が上がると、機械学習を用いたi-flowの方が良い結果を出しがち

目標精度
precision goal 10−3

precision goal 10−4

(3PM)
I++;02;10110
(±)
K

(3PM)
I++;02;10110
(±)
K

10 1

02;1011010 1
1 , dim = 2
0 , dim = 3
1 , dim = 3

relative error

3PM

relative error-order =-order =-order =

10 2

100

(4PM)
IB0

106
B0

100

1

10 2

10 3
104

複雑さ

relative error

relative error

4PM

0 , dim = 3
1 , dim = 3
2 , dim = 3

Precision : 10 3
105

N

106

1 , dim = 2
0 , dim = 3
1 , dim = 3

107

108

-order =-order =-order =0 , dim = 3
1 , dim = 3
2 , dim = 3

10 3

N-order =-order =-order =10

107-order =-order =-order =10 2

Precision : 10 4
10 4
104
105
106

3

10 3 Precision : 10
104
105

02;10110

(4PM)
IB0

109

N
B0

10 1
10 2
10 3
Precision : 10 4
10 4
104
105

106

107

N

Figure 2: This figure shows the evolution of the relative error with the number of iterations for
33 / 37

i-flow (solid lines) and VEGAS (dashed lines). The two top figures correspond to the two-loop(±)
K02;10110
integral "Machineas an illustrationof a G3 -order integral
and on the bottom we show the three-loop
Ryusuke Jinno (RESCEU,
UTokyo)learning post-Minkowskian
integrals"
integral B0 for an example at G4 . The left plots are for a relative precision of 10 3 and the right

結果
3PM

K00;00111

K00;11011(±)

K01;00111(±)

K01;11011(±)

K01;10110(+ )K11;00111(++)

K11;00111(++)

K11;11011(±)

K02;10110

4PM✏-orderDim

VEGAS( = 10 3 )i-flow( = 10 3 )VEGAS( = 10 4 )i-flow( = 10 4 )✏-orderDim

VEGAS( = 10 3 )i-flow( = 10 3 )VEGAS( = 10 4 )i-flow( = 10 4 )

-1
0
1
0
1
2
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-2
-1
0
-2
-1
0
-2
-1
0
-1
0
1

2
2
2
3
3
3
2
3
3
3
4
4
2
3
3
2
4
4
2
4
4
3
5
5
2
3
3

135 000
220 000
270 000
270 000
325 000
760 000
135 000
3 895 000
30 520 000
450 000
13 870 000
9 145 000
70 000220 000
385 000
70 0001 150 000
125 995 000
70 000450 000
38 745 000
135 000
1 150 000
8260000
100 000
850 000
5 400 000

614 400
819 200
811 008778 240
839 680
937 984454 656
3 641 344
26 243 072
757 760
11 059 200
7 147 520
208 896450 560
528 384
245 760
1 306 624
102 195 200
196 608536 576
35 098 624
249 856
1 138 688
7 741 440
385 024
1 085 440
5 062 656

2 475 000
3 510 000
6 370 000
13 135 000
18 700 0000
40 635 000
3 145 000
363 850 000
36 900 000
1 312 245 000
865 825 000
2 475 000
12 420 000
28 350 000
1 885 000
108 675 000
1 375 000
37 510 000
11 385 000
115 020 000
802 300 000
3 145 000
76 995 000
505 120 000

1 830 912
2 314 240
2 969 600
8 036 352
8 282 112
8 740 864
1 146 880
279 408 640
24 240 128
946 786 304
172 482 560
1 019 904
2 867 200
2 887 680
1 130 496
83 521 536
1 011 712
24 129 536
10 633 216
93 896 704
713 129 984
1 048 576
61 423 616
388 235 264

0
1
2
-2
-1
0
-1
0
1
-2
-1
0
-2
-1
0
-2
-1
0
-2
-1
0
-3
-2
-1
-1
0
1
0
1
2
-1
0
1

3
3
3
2
4
4
3
4
4
3
5
5
3
5
5
3
5
5
3
5
5
3
6
6
3
4
4
4
4
4
4
5
5

175 000
220 000
325 000
135 000
270 000
760 000
175 000
270 000
385 000
135 000
1 750 000
4 945 000
175 000
1 620 000
100 000
595 000
4 300 000
135 000
325 000
32 200 000
100 000
1 495 000
59 670 000
220 000
325 000
595 000
270 000
385 000
595 000
520 000
5 170 000
7 975 000

659 456782 336
888 832
610 304
602 112
1 024 000
487 424655 360
667 648442 368
1 777 664
4 096 000
528 384
1 757 184
405 504
1 007 616
4 689 920
438 272569 344
28 790 784
376 832
1 650 688
49 348 608
626 688774 144831 488
684 032
790 528905 216827 392
4 710 400
6 582 272

3 895 000
5 635 000
8 260 000
2 320 000
11 725 000
51 475 000
5 635 000
11 385 000
16 195 000
4 300 000
165 760 000
47 197 000
4 300 000
154 375 000
2 800 000
47 950 000
425 385 000
3 700 000
26 775 000
4 725 000
141 010 000
5 875 000
14 625 000
26 775 000
10 395 000
14 245 000
23 760 000
39 370 000
485 095 000
714 220 000

1 507 328
2 072 576
2 625 536
1 409 024
2 445 312
32 100 352
1 536 000
2 076 672
2 539 520
2 441 216
118 611 968
308 641 792
2 146 304
112 689 152
2 142 208
51 929 088
363 270 144
2 392 064
16 392 192
1 892 352
115 605 504
2 322 432
5 808 128
8 294 400
4 870 144
4 898 816
5 582 848
28 872 704
331 739 136
463 904 768

Table 1: We list the number of integrand evaluations needed to reach 10 3 and 10 4 precision
for the two-loop integrals using VEGAS and i-flow. The first column shows the order in ✏after sector decomposition (see Sec. 2) and the second column the integral dimensionality inparametrized form. Empty entries correspond to integrals we ignored since i-flow runs intomemory problems, as reported in [140].

35 / 37

B0

B1

B2

B3+

B3

B4+

B4

B5++

C0

D0

D1

Table 2: Results for the three-loop integrals. Same notation as in Table 1.
Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

結果
5PM

M0

M1

M2

M2+

M3+

M3

M4+++

✏-orderDim

VEGAS( = 10 3 )i-flow( = 10 3 )VEGAS( = 10 4 )i-flow( = 10 4 )

-1
0
1
-1
0
1
-3
-2
-1
-3
-2
-1
-3
-2
-1
-3
-2
-1
-4
-3
-2

4
4
4
5
5
5
3
6
6
3
6
6
3
6
6
3
6
6
4
8
8

220 000
325 000
385 000
4 725 000
3 700 000
2 170 000
175 000
2 320 000
119 350 000
175 000
2 635 000
27 295 000
175 000
2 970 000
28 350 000
175 000
1 045 000
23 760 000
175 000
1 885 000
18 270 000

839 680
741 376970 752
5 513 216
4 268 032
2 498 560
557 056
2 105 344
96 231 424
581 632
2 314 240
22 687 744
577 536
2 588 672
24 297 472
561 152
1 048 576
20 635 648
471 040
1 835 008
13 864 960

5 875 000
7 695 000
10 075 000
467 635 000
358 150 000
203 770 000
4 095 000
213 885 000
4 095 000
248 845 000
4 095 000
298 420 000
5 170 000
86 950 000
7 420 000
181 570 000-

2 473 984
2 252 800
2 813 952
469 925 888
348 610 560
176 631 808
1 503 232
132 751 360
1 839 104
151 486 464
1 413 120
183 275 520
1 470 464
44 961 792
2 490 368
115 736 576-

Table 3: Results for the four-loop integrals. Same notation as in Table 1.

35 / 37

In order to understand the scaling behaviour of the relative error, we display in Fig. 2
the evolution of the i-flow (solid lines) and VEGAS (dashed lines) error as a function of(±)
the number of evaluations N . We use the exemplary integrals K02;10110 and B0 defined in
Eqs. (2.21) and (2.23) respectively. The discontinuities for the i-flow graphs are due to thepre-training stage. We observe that for both integrals at 10 3 , VEGAS indeed reaches therequired precision faster than i-flow. i-flow underperforms here due to the early stageof learning the phase-space distribution that already requires a high number of evaluations.
Also for 10 4 precision i-flow still has a latent training stage, but once it is fully trained
the error graph is significantly steeper as compared to VEGAS, especially for the harderpthree-loop integral. The dotted lines represent the expected = 1/ N behaviour according(3.5) in alearning
late phase post-Minkowskian
where only extra sampling
is being performed. Hence, the asympRyusuke Jinno (RESCEU, UTokyo)to Eq.
"Machine
integrals"ptoptic behavior of VEGAS typically follows this 1/ N behaviour. Di↵erently, NNs have an
p

(±)

(±)

K 02;10110

10-order =-order =-order =K 02;10110

1

1 , dim = 2
0 , dim = 3
1 , dim = 3

relative error

解釈-order =-order =-order =1 , dim = 2
0 , dim = 3
1 , dim = 3

10 2

10 3

−4
10
precision
goal
Precision : 10

106

10 4
104

107

N
B0

100
0 , dim = 3
1 , dim = 3
2 , dim = 3

relative error-order =-order =-order =

4PM
105

N

106

4

105

106

(4PM)
IB0

107

108

-order =-order =-order =0 , dim = 3
1 , dim = 3
2 , dim = 3

109

N
B0

10 1

おそらく
最終的には
ここが重要

10 2
10 3
Precision : 10 4
10 4
104
105

106

107

N

ows the evolution of the relative error with the number of iterations for
異なるスケーリングについての解釈
EGAS (dashedlines). The two top figures correspond to the two-loop
3stration of a G -order integral and on the bottom we show the three-loop- i-flowの急なカーブは、おそらく積分変数間の非自明なcorrelationを学んでいることに起因する。
at G4 . The leftplots are for a relative p
precision of 10 3 and the rightes indicate the theoretically expected 1/ N scaling once the integrator
ase-space distribution
and only samples more points. The discontinuity∝ 1/ inN に近いスケーリングに近付いていく傾向が見られた。
- しかし、一旦correlationを学び切ると
urn-in (pre-training) stage, see Sec. 3.2.

- それでも、スケーリングに乗った後の精度はVEGASより良い傾向が見られた。これはおそらくcorrelationを

n the late stage. The expectation that NNs work better for more
学んだことによる効果だと思われる。
med by these plots in Fig. 2. Note that the maximal dimensionalityn Fig. 2 is 3. When increasing the dimension of the integrals (typ- 最終的にこの「スケーリングに乗った後の精度の差」が重要で、積分の複雑さ・目標精度をより上げた場合、
er loops) the crossing-point in which i-flow outperforms VEGAS
2). For instance,
for B2 , the required number of evaluations is five
この差がさらに開くのでは？
when estimating it with 10 4 precision. Therefore, when computing
chnologies
i-flow
are(RESCEU,
leading toUTokyo)
significant
improvements.
RyusukeJinno
36 / 37 like
"Machinelearning post-Minkowskian integrals"まとめ➤

LIGO/Virgoによる重力波初観測以来、連星系の運動をpost-Newtonian理論
あるいはpost-Minkowskian理論で解析的に求める手法が発達している。

➤

PSLQによる係数の解析的同定を念頭に置いて、我々はpost-Minkowskian理論に現れるファインマン積分をMonte-Carlo積分によって数値評価した。
その際、機械学習を用いたアルゴリズムであるnormalizing flowを用い、従来のVEGASアルゴリズムと比較した。

➤

大まかな傾向として、積分の複雑さ・目標精度が上がるほど前者のアルゴリズムが良い傾向が見られた。これはおそらくneural networkが被積分関数のcorrelationを学んでいることによる差異だと思われる。

37 / 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

+α➤

以下雑談。ファインマン積分を計算していると、次のような恒等式が見つかる:
恒等式1

恒等式2

/ 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

+α➤

そしてどうやらhypergeometric functionの本にも載っていない...
108

Universitext

Table 6.1 Bailey’s hypergeometric database
Page Theorem Identity" #!
(c − b)−aΓ (c)Γ (c − a − b)a, b ""
1 =2
Chu-V. 2 F1
=
c "
(c)−a
Γ (c − a)Γ (c − b)
3
Gauss
9
9

Wolfram Koepf

Hypergeometric
Summation
An Algorithmic Approach toSummation and Special Function
Identities
Second Edition

11
11
13

" #
"
a, b, −n" 1 = (c − a)n (c − b)nc, 1 + a + b − c − n "(c)n (c − a − b)n"#!
"(1 + a)−bΓ (1 + a − b)Γ (1 + a/2)
a, b
"
−1 =
Kummer 2 F1=
1+a−b "
(1 + a/2)−bΓ (1 + a)Γ (1 + a/2 − b)" #!
"1Γ (1/2)Γ ((a + b + 1)/2)
a, b
"
Gauss
F
=
2 1
(a + b + 1)/2 " 2Γ ((a + 1)/2)Γ ((b + 1)/2)" #!
Γ (c/2)Γ ((c + 1)/2)
a, 1 − a "" 1
Bailey 2 F1
" 2 = Γ ((a + c)/2)Γ ((1 − a + c)/2)
c
" #
!
"
a, b, c
" 1 = (1 + a)−c (1 + a/2 − b)−c
Dixon
3 F2
1 + a − b, 1 + a − c "(1 + a/2)−c (1 + a − b)−c
Pfaff-S.

3 F2

!

=

16

Watson3 F2$Whipple1626

Γ (1 + a/2)Γ (1 + a − b)Γ (1 + a − c)Γ (1 + a/2 − b − c)
Γ (1 + a)Γ (1 + a/2 − b)Γ (1 + a/2 − c)Γ (1 + a − b − c)

1 + 2c1+a+b
1 − a − b + 2c
" %"
Γ ( 21 )Γ (
)Γ (
)Γ (
)
a, b, c
"
2
2
2
"1 =
1+a
1+b
1 − a + 2c
1 − b + 2c
(a + b + 1)/2, 2c "
Γ(
)Γ (
)Γ (
)Γ (
)
2
2
2
2

" #
π 21−2c Γ (e)Γ (1 + 2c − e)a, 1 − a, c ""1 =a+1+2c−e2+2c−a−ee, 1 + 2c − e "Γ ( a+e)Γ ( 1−a+e)2 )Γ (
22 )Γ (" 2#!
"
a, 1+a/2, b, c, d, 1 + 2a − b − c − d + n, −n"
Dougall 7 F61
a/2, 1+a −b, 1+a −c, 1+a −d, b+c+d −a −n, 1+a +n "Whipple 3 F2!

(1 + a)n (1 + a − b − c)n (1 + a − b − d)n (1 + a − c − d)n(1 + a − b)n (1 + a − c)n (1 + a − d)n (1 + a − b − c − d)n" #!
"a, 1+a/2, c, d, e
" 1 = (1+a)−e (1+a −c−d)−eDougall 5 F4
a/2, 1+a −c, 1+a −d, 1+a −e "(1+a −c)−e (1+a −d)−e
=

25
27
28
30
30
30
30

➤

6 The Wilf-Zeilberger MethodΓ (1 + a − c)Γ (1 + a − d)Γ (1 + a − e)Γ (1 + a − c − d − e)
Γ (1 + a)Γ (1 + a − d − e)Γ (1 + a − c − e)Γ (1 + a − c − d)" #!
"a, 1+a/2, d, e
" −1 = (1+a)−e = Γ (1+a −d)Γ (1+a −e)
Whipple 4 F3
a/2, 1+a −d, 1+a −e "(1+a −d)−e Γ (1+a)Γ (1+a −d −e)" #!
(w − a − 1 − n)(w − a)n−1
a, 1 + a/2, −n ""Bailey 3 F2
"1 =a/2, w(w)n" #!
"(a − 2b)n (1 + a/2 − b)n (−b)na, b, −n"Bailey 3 F2
1 =1 + a − b, 1 + 2b − n "(1 + a − b)n (a/2 − b)n (−2b)n" #!
"a, 1 + a/2, b, −n" 1 = (a − 2b)n (−b)nBailey 4 F3
a/2, 1 + a − b, 1 + 2b − n "(1 + a − b)n (−2b)n
" #
!
"
(a
−2b−1)
a, 1+a/2, b, −nn (1/2+a/2−b)n (−b−1)n"1 =Bailey 4 F3
a/2, 1+a −b, 2+2b−n "(1+a −b)n (a/2−b−1/2)n (−2b−1)n=

そもそもこのような関係式が 7F6 で終わっているようなのだが、そんなことはあり得るのだろうか...？実はまだ人類が知らないだけでいっぱい転がってる？

/ 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

"2Γ ((a + c)/2)Γ ((1 − a + c)/2)" #!
"(1 + a)−c (1 + a/2 − b)−ca, b, c"F
1=
3 2
1 + a − b, 1 + a − c "(1 + a/2)−c (1 + a − b)−c
c

+α

13

Dixon

=

Γ (1 + a/2)Γ (1 + a − b)Γ (1 + a − c)Γ (1 + a/2 − b − c)
Γ (1 + a)Γ (1 + a/2 − b)Γ (1 + a/2 − c)Γ (1 + a − b − c)" %1 )Γ ( 1 + 2c )Γ ( 1 + a + b )Γ ( 1 − a − b + 2c )"Γ(
2a, b, c"222
➤ そしてどうやらhypergeometricfunctionの本にも載っていない...
16 Watson 3 F2
"1 =
1+a
1+b
1 − a + 2c
1 − b + 2c
(a + b + 1)/2, 2c "
Γ(
)Γ (
)Γ (
)Γ (
)
2
2
2
2
Whipple
$

16
26

25

" #
π 21−2c Γ (e)Γ (1 + 2c − e)a, 1 − a, c ""Whipple 3 F2
1 =a+1+2c−e1−a+e2+2c−a−ee, 1 + 2c − e "Γ ( a+e
)Γ
(
)Γ
(
)Γ
(
)
2
2
2
2
" #
!
"
a, 1+a/2, b, c, d, 1 + 2a − b − c − d + n, −n"1
Dougall 7 F6
a/2, 1+a −b, 1+a −c, 1+a −d, b+c+d −a −n, 1+a +n "!

(1 + a)n (1 + a − b − c)n (1 + a − b − d)n (1 + a − c − d)n=(1 + a − b)n (1 + a − c)n (1 + a − d)n (1 + a − b − c − d)n" #!
"a, 1+a/2, c, d, e
" 1 = (1+a)−e (1+a −c−d)−eDougall 5 F4
a/2, 1+a −c, 1+a −d, 1+a −e "(1+a −c)−e (1+a −d)−eΓ (1 + a − c)Γ (1 + a − d)Γ (1 + a − e)Γ (1 + a − c − d − e)
Γ (1 + a)Γ (1 + a − d − e)Γ (1 + a − c − e)Γ (1 + a − c − d)" #!
"a, 1+a/2, d, e
" −1 = (1+a)−e = Γ (1+a −d)Γ (1+a −e)
28 Whipple 4 F3
a/2, 1+a −d, 1+a −e "(1+a −d)−e Γ (1+a)Γ (1+a −d −e)" #!
(w − a − 1 − n)(w − a)n−1
a, 1 + a/2, −n ""1=
30 Bailey 3 F2"
a/2, w(w)n" #!
F6 で終わっているようなのだが、そんなことは➤ そもそもこのような関係式が"a, b,7−n" 1 = (a − 2b)n (1 + a/2 − b)n (−b)n30 Bailey 3 F2
1 + a − b, 1 + 2b − n "(1 + a − b)n (a/2 − b)n (−2b)n" #!
あり得るのだろうか...？実はまだ人類が知らないだけでいっぱい転がってる？
"
a, 1 + a/2, b, −n" 1 = (a − 2b)n (−b)n30 Bailey 4 F3"
/ 37 Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine
a/2, 1 learning+ a − post-Minkowskianb, 1 + 2b − n integrals"(1 + a − b)n (−2b)n
27

=

+α
➤

何とかして機械学習でシステマティックに見つけられないか？🤔

➤明らかな問題: 「式変形」は知られた関係式を使って元の式を簡約化すれば良いが、「新しい関係式の発見」は知られた式を使ってはいけない...どうする？

➤

Matthiew Schwartzが最近面白いことを言っているらしい。
[2206.04115]

polylog (hypergeometricと似たようなもの) を機械学習で簡約化する論文なのだが、知られた式を使って簡約化するのではなく、例えば「フランス語 → 英語」のような翻訳のスキームを使って簡約化しているらしい。
/ 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

+α➤

確かに翻訳は、既知の対応を逐一適用するというよりは、翻訳先の言語に「存在しそうな」表現を推測する行為である。実際この論文でも、翻訳機はいくつかの簡約化を提案し、最終的に人間が正しさをチェックしている➤

似たような感じで、最終的にhypergeometric間の関係式を提案してくれる翻訳機を作れないか？とりあえず彼らのと同じNNを組んで、hypergeometricに適用すれば第一段階になるのでは？ ←/ 37

セミナーで直接会って「hypergeometricでもできる？」って聞いたら「できそう」って言ってた

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

Backup/ 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

/ 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

LINEAR PROPAGATOR & DELTA FUNCTION➤

linear propagator

1
1
≃−
2
2
(p − q) − m
2p ⋅ q

本質的にHQEFT (heavy quark EFT) と同じ[Hussain&Thompson '95]

➤

/ 37

delta function[Damour '16]

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

POST-MINKOWSKIAN積分➤

ダイアグラムのトポロジー

(3PM)
I±±
;α1,α2;ν1⋯ν5 (general)

(3PM)
I±±
;α1,α2;ν1⋯ν5 (master)IB(4PM), IC(4PM), ID(4PM)
IM(5PM)/ 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

微分方程式の例/ 37[Henn '13]

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

For three loops the behaviour of VEGAS is similar. i-flow, though, has shown here asimilarly bad behaviour as VEGAS starting from a required precision < 10 4 . However, we
notice a slightly smaller slope indicating that the neural network still keeps learning about
the phase-space. While one could claim that this indicates a saturation of the benefits ofusing neural networks, we stress that the NN architecture is the same for all integrals (itonly changes according to the number of dimensions of the integral [106]). Playing with thearchitecture may improve the training — a more-in-depth analysis of the optimal strategy willbe the focus of a future study. On the other side, we do not see any potential improvementsthat could be done for
the VEGAS setup that could substantially change
its asymptotic
(3PM)
(4PM)
I++;00;00111
ID0
scaling.
109

109

108

108

107

107

Ntot

Ntot

目標精度に応じた評価回数の変化

106
10

106
Vegas 2L
i-flow 2L
p= 1/ N

5104

10= 1/N 2

10

3

10

4

10

5

Vegas 3L
i-flow 3Lp= 1/ N

5104= 1/N 2

10 3

10 4

10 5

Figure 3: We plot the total number of evaluations Ntot as a function of the relative precision : On

/ 37

the left for the leading ✏ term of the two-loop integral K00;00111 ; On the right for the leading term of
the three-loop integral D0 . The black lines show expected theoretical behaviour for comparison, seemain text.

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"

SUMMERTIME➤

フルの結果を解析的に求めるのではなく、ϵ 展開の係数に再帰方程式を適用して解析的に簡約化するアルゴリズム (確認中だが、higher loopまで拡張できるよう)/ 37

Ryusuke Jinno (RESCEU, UTokyo) "Machine learning post-Minkowskian integrals"