一研究論文＿

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用＊
秋山豪太†
国友直人‡

2005年9月30目投稿

2006年3月6日受理

概要
生命保険業界では変額年金保険が近年における一つの大きな話題として注目されている。変額年金保険では保険契約者は何らかの最低保証を受けられることが…般的であるが、生命保険
金杜にとってはそのリスク管理が問題となる。本稿では変額年金保険に関する局面転換対数正規（RSLN）モデルと呼ばれている、一種の隠れマルコフ（Hidden Markov）モデルを利用したリスク管理法の理論と実際的問題を議論する。特にこの間に日本が経験した米国・カナダなどとかなり異なる様相のマクロ経済の動1角に依存して、既存のリスク管理法を応用するときに生じうる問題点を指摘し、改善可能性を議論する。

キーワード
変額年金保険、最低保証、局面転換（RS）モデル、隠れマルコフ（Hidden

Markov）モデル、R、

条件付裾期待値（CTE）、責任準備金‡この論文は秋山豪太・国友直人（2005）「変額年金保険の理論と実際」（Discu目sion

Paper

CIRJE

J−141，Graduate

School o牙Ecommics，Univer昌ity ofTokyo）の改訂稿であり、原論文は2005年9月の日本統計学会・統計関連学会連合大会（広島）及び2005年10月のJARIP大会（東京〕において報告された。本誌のレフェリー及び川崎能典氏（統書十数理研究所）からの有益なコメントに感謝する。なお、この論文の内容は三井アセット信託銀行の見解を示すものではない。
†三井アセット俺託銀行‡東京大学大学院経済学研究科

リスクと保険21

1

る保険数理の枠組みとはかなり異なる形で進んはじめにでおり、変額年金保険のリスク僚理論を巡る新近年になり日本の生命保険薬においても変額
年・金保険を巡る議論がかなり大きな話題になっている。日本の生命保険市場では従来から伝統的に存在しているタイプの

1三命保険の契約が低迷している中で、変額年金と呼ばれている年金保険の金融契約が急速に拡大を遂げている。変額年金保険は、その特徴として契約保有者が何らかの最低保証を受けられると同時に、支払った保険料の運用益も享受できる仕組みになっているのが・・・・…般的という意味では従来の生命保険とは異なるといえる。しかし、他方で生命保険
金杜は株式市場など金融市場で資金を運用していく中で、もしも運用結果が支払保証を下回った場合には、将来に損失が発生する可能性があるので、変額牛金保険の販売は保険金杜にとっては大きなリスクの源泉となりうる。特に生命保険のリスクを社会的に制御する仕組みとして機能しているアクチェアリー（保険数理人）にとっては重要な責任準備金の積立額の評価法も重要な課題となる。いずれの評価法を採用するにしても、生命保険金杜は何らかの統計学的方法でリスクを計測し、変額年金保険の販売から将来に生じうるリスクを制御することが必要である。

変額年金保険、より一般的にはエクイディリ
ング型保険と呼ばれる年金保険はこの間にアメリカやカナダなど北米諸国を中心として既にかなりの販売実績がある。日本の生命保険業界においても、近年では様々な形で販売されており、成長が著しい年金保険の新しい動きの原動力となっている。こうした年金保険を巡る実務界の動向を反映して、北米のアクチェアリーなどの関たな問題が注目されている。特にRSI．N（regime
SWitChing1Og−n（，rma1）モデル、すなわち局簡転

換対数正規モデルと呼ばれている・…一種の隠れマ

ルコフ（Hidden

Markov）タイプの統書十的時系

列モデルによる変額年金保険のリスク測定が北米では盛んに行われるようになっている。ここで局面転換モデルと呼ばれている統書十的モデルとは、データがしたがっていると想定される状
態変数（statevariab1e）がある時刻に属する局面（レジューム）や分布が時間とともに転換（渉）る

いは変化）していく時系列モデルであるのがその最大の特長である。こうした隠れマルコフ型．
時系列モデルやボラティリティ（VO1ati1ity）変動の時系列モデルによる統書十的リスク管理法について、日本の生命保険関係者も注目するようになっている。（例えば日ヨ中・松山（2004）を参照］。）

本稿ではこうした変額年金保険を巡る議論で重要と1考えられる、局蘭転換（RS）モデルによる変額年金保険のリスク評価法に焦点をあてる。

特に統計的モデルとしての局面転換（B−S）モデ
ルの統計的1性質を明らかにする。さらに、より重要な問題として、カナダや米11團で議論されている統計的リスク管理法が日本のデータにおいて実証的に支持されうるか、という実務的に重要な論点について考察する。そして局面転換（RS）

モデルを用いでた日本における変額年金保険のリスクについての分析結果を報告する。我々の分析によれば、この間に経験した日本のマクロ
経済変動を踏まえると、カナダや米国のデータ分析にもとづく変額年金のリスク評価をそのま
ま日本に適用すると、リスクを巡る幾つかの基
本的な問題が生じるので、慎重に様々な統計的係者を中心に、変額年金保険の統計的リスクの測定に関しての理論が新たな展開を見せている。

そこでの議論は従来から伝統的に議論されてい22

1同問題に関する日本アクチェアリー会の説明（http：〃www−actuarie昌、jp／info／honnen．htm1）も参考となろう。

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

方法を禾1」周し、当面の問題を解決すべきである

model）モデルは単純で扱いやすく，比較的短いとの結論を得た。

時間の間隔に関してはかなり良い近似を与える
ことがファイナンス分野では知られている。しあらかじめ本稿の構成を説明しておくと、2節

かしながら、長期の問題を考える場合には適切

では隠れマルコフ型の統言十的時系列モデルとしでないことが多いと考えられる。例えばこのモての局面転換（RS）モデルの統書十的モデルとし

デルでは現実の金融市場において時々観察されての性質を調べる。特に定常分布、自己共分散関ている極端な価格変動やボラティリティ母数の数、同時密度関数などを考察する。さらに、変額変動をとらえることが1二1＝＝1来ない2。

年金保険のリスク評価に対して局廊転換（RS）

ボラティリティ変動をとらえる離散時間の統モデルを利用した当本とカナダのデータ解析の

青一卜的時系列モデルについては近年では様々な研結果を示す。次に3節では推定したパラメ」ター究があるが、ここではボラティリティ水準がKを利用したシミュレーションを利用して、責任個（K＞1）の離散的な値の間を変動し・離散的準備金の分析を行う。その際、VaR（バリュー・な値の間を確率的に転換するタイフの統計的時
アット・リスク）やCTE（条件付裾期待値）な

系列モデルを考えよう。こうしたタイプの統計とのリスク評価基準についても議論する。最後モデルは」般的にはILNモデルの単純な面を維に4節では、本稿で得られた結論をまとめる。

持しつつ・ILNモデルよりも現実に観察される
収益率変動をより適切にとらえることが出来る

ことが期待できよう。特にκ亡2としたとき

2

局面転換（RS）モデルの性質に得られる離散時系列モデルの解釈としては、と応用市場が時間の経過とともに安定的でボラテイリ
ティの低い状態と、不安定でボラティリティの株価の収益率を説明する伝統的な確率過程モ

高い状態とを推移するという、直観的ではある

デルでは、ファイナンス分野で著名なブラック・
ショー一ルス・アプローチも含めて、株価が連続

時間の幾何ブラウン運動にしたがうと仮定する
ことが少なくない。こうした確率過程モデルが示唆するところは，いかなる離散的な時間の間隅に対して，対数差分で求めた株価の収益率は正規分布に従い，重なり合わない間隔における収益率は互いに独立である，ということになる。

すなわち，8fを時点亡における株価とすればが市場関係者の間に根強く存在する見方と整合的である。ここで高いボラティリティの状態は、

例えば突発的に生じる大きな市場をとりまく不確実性に対応していると見ることができよう。

異なる経済変動の局面をある種の確率的メカニズムで推移する、というタイプの統計的時系
列モデルはこれまで様々な分野で応用されている。特に局面転換が観察不能な状態変数（Statevariab1e）に基づきマルコフ的に生じるモデル

1。。斗一N（μト、）、、・（t一、）），1。、（・．・）は・統計的時系列解析（・…i・・i・・11im・…i・・

8．

であり・未知母数としては一定値をとるμとボラティリティσを用いる。このように増分が互いに独立に対数正規分布にしたがうという独

analySiS）の分野ではマルコフ転換時系列モテル3と呼ばれている。計量経済学においてこの2関連する数理ファイナンス分野における諸問題については、例えば国友・高橋（2003）が参考となろう、、

3例えばこの種の統計約非線形時系列モデルについては
立（増分）対数正規互LN（indepentent1ognorma1Kit，g，w、（1987）を参照されたい。

りズクと保険23

種の局繭転換モデルを導入したのはHami玉ton

る。

（1989）であり、主としてマクロ経済分析におけここで各局面における収益率は互いに独立にそる景気循環の複雑な時系列蓄十簸経済モデルとしてれぞれ分布関数片（｛＝1，＿，氏＝）にしたがうと利用されている。さらに、この種のマルコフ転換

仮定すれば、収益率の無条件分布は分布片（｛＝時系列モデルの中でも筒面転換対数正規（R，SLN）

1，。．、，ん）の混合分布（mixt11re（iistril）lltion〕とモデルによる変額年金のリスク評価を提唱したなる。これを馬〜Σ二二1π｛（θ），＾（

1θ）＝のがHaI〔iy（2001．2003）であり、特に北米のアハ（工：…μ一）で表そう。このとき、収金率の条件

クチュアリー（保険数理人）の問で話題となっ

付分布は

σ｛

ている。

P（馬≦rolρf＿／＝づ］）

（2．5）

κ

一Σp（Rl≦W…・1ρ1一…1）

ここでは各局面での収益率がしたがう分布と㌃1して、特に対数正規分布に限ることなく、より一

一Σp（Rf≦・lllρ1−1・，ρ・一一・）般の筒面転換（RS）モデルの性質を考察しておこ士rF1う。局面．転換（RS）モデルを株価収益率に・適用

×P（ρ士：＝｛（〕1ρf＿1＝｛1）

する為に、一各期において株価の収益率σ）・過程がκ

一ξ凡（十）均一

κ個の状態の局面（レジューム）の一…つにあると考えよう。ここでρ士で間隔［士，士十1）におけるとなる。したがって、収益率の分布関数は局面（レジューム）を表し（ρF1，2，。。一，K〕、、9P（馬≦ro）

は士におけるポ」トプ才リオの総価値、

8f＋1
1・・Tρf−F（μ州σ二）（2・2）

（2，6）

K

一Σp（Rf≦・・1ρ・一…！）P（ρf−1−ll）㌃1とする。ただしμρ、とσ芸、は各局間での位置

一着へ（㌣〜）〜（11OCatiOn）とスゲ』ル（1SCale）をそれぞれ表すものとする。ここで、局面転換の推移確率行列で与えられる。特に分布関数がルベ』一グ測度にp亡（ρ｛ゴ）を関して絶対連続であって、各局面での密度関数
が篶（・）で与えられるとすると、兄の期待植は

ρ屯ゴ（七十1）一P（ρ・・ドゴ1ρ1−1）（2・3）珂刷

づ・＝1，2，…，K，ゴ＝1，2、…，K

として、収益率馬十1＝log等千の定常分布を考K
一÷ξノニ仏（≒午）伽・〜

えよう。ここでマルコフ型推移確率が時間に依存せず定常的であり、条件付確率物（亡十1）＝伽

（2．7）

K

一Σπ1ユ、／μ。十σ1。恥。1｝
｛o＝1

が方程式
と表現できる。ただし、ユ：1。は基準化した収益

πP＝π（・・〕率1一十であるが』（小・にとれば表現は簡単化される。次に収益率分布の同を満たす定常分布をπとしよう。ただしπ＝時分布の性質を調べてみよう。まずu〉1に対（π。，π。，…，πん），Σ仁。πド1（π。≧O）であ

24

変額年金保険の統計的リスク管理法1局面転換モデルの利用

して条件付確率の表現
P（J㍉≦ヅ。，仙＿tiOn）は≦r

ρ1一加…＝｛口十1）一Σp（凡≦・li人・≦・

1ρ1一阯一1月＝（2−8）

Cov（地，凡＿刊）

κ

．κ

i

＝1

。＝1

κ

κ

，〜、ξ・（㌦μκΣΣ1μ1。］・σ1。・（・1。）1［μ1刑・の…叫一）1ρ＾＿、、＿／＝｛、上十1）×P（ρ1」＿。＝｛コ、1ρf＿、。＿1＝手．κ（2．1O）

u＝1・、十I）

xπ1。ρいuKn・十IΣ［！・・心）］・∵

βト1，〒μn・㌧ヂ〜1・Σ1［！

、・の、．叫刊）l1土、

ρFん，…．ρトー。，ρ1＿H。・・〕
・ρ1，、、11一，1・・、、1、一、、…

、∴

ΣΣ／μ・，，十σ1．、E（ユ11．、）／［μj、、十σ1、、E（1・1、、）1を利用しよう。こオ1しより、1一二時点の収益率の同

×π

li。一

O＝1

、、（ρ｛、、｛。、＿πi。）

時分布関数はで与えられる。したがって、もしp｛，、｛、。＝P（ρ、、＝P（＾≦ro，凡＿一止≦r。）

κ

（2．9）

κ

lo

早，〜≒1↓n〜丁守

ρト、二ω＝η、、となるならば、共公敵はゼ

H）π出口（…（・刊，凡、、）一・（・1・1））であることと表現（、、。・）する二とができる。ここでユ，、、，、．、一が分か㍍また町1二1・］＝Oにとれば収益率の分P（ρ一．、＝｛Olρf＿、、＝｛仙）であることに注意しておく。同時分布関数より同時密度関数は

散は、
κκV・・（則一Σ［μ三、・σえE（1名、）／π1。一（Σμ1、、π1。）2∫（ηf＝ro，ハf＿杣＝r、、）
jo＝1

κ

．κ

＝ξξ＾・（「ユ〕㍗）川｝u；十』1×■一πll。ρ・）｛o＝1となる。全く同様に、n＞1に対する積一率はK
叩卜Σπj。珂（μ1。十σ1。η．、）n1（2…）

、、・｛oσ｛・Hσ｛o｛o＝1で与えられることがわかる。次に収益率分布の自己共分散（a・／ltOCOVaエianCe）構造について調べと・表現される。さらに、γム1，几2≧1に対する1司ておこう。二ごて積率（仙〉0）についての言平価

時積率を求めるとE［凡凡＿u：κK

一ξ看仁川一十）ん（

デ＾）

呵刷

⊥＾㌘l

K

K

一Σ二Σ呵（μ・、，十σ・。・1。ゾ（μ1

十σ・、，則、、）21π。ψ、、1。

三H＝1｛O＝11

1．

×一一πH．P1、、・
σ｛ 」σ｛Oκ

odrodr。．

κ一ΣΣ［μ・。十σ・。E（工1・，、）1［μ1，、十σ・、、E（ω1ヨ，）1｛＝1で与えられる。したがって、特に．二1二乗取．益率の梢の自ヨ己相関鱒数（u〉O）をとりあげるとC・・（硝，政、止）（2．12）｛］＝1π・uエ〕・1・．

｛oを用いる。自己共分散関数（autocovariancef1111c一K

K

一ΣΣEl（μ・。十σ・。嶋。）2（μ・、上十σ1皿賜、、）2〕
・｛刊＝1ミO＝lXπ1、、（ρ1、、1。一π1。）

で与えられることがわかる。

なお、収益率の二乗変動はボラティリティの変動に対応していると考一一えられる。株価に幾何ブラウン運動を想定すると、異なる期間での収益率

リスクと保険25

は独立で正規分布にしたがし＼ボラティリティは・・・・…

過程（weakly

stationaryl）rocess）となる。

闥lをとる。それに対して、局面転換モデルでは自己共分散関数はゼロではなく、収益率のボ

次に各局面において収益率がしたがう分布を

ラティリティも一一定とは限らずに変動するので重仮定して母数を推定する最尤推定法（maXimlm

要な意味を持っている。ここで、さらに収益率が1ike1ihood
したがう各局蘭において分散の存在．を仮定しよ

Inethod）を考察しよう。ただし、二こ

では議論を簡単化するためにK工2のケースをう。すなわち、ある正定数ハ∫1とM2が存在して考えることにする。一一般にはK＞2の場合も同町（μll〕・σ1｛）41≦M・』1（μ1仙・σ1・ユ11・）2／≦様に扱う二とができるが、デ＿タペのフィットや地とす私このとき・もし状態変数の（有限）推定した結果の解釈はそれほど自然なものとはな
マルコフ連鎖で表現された局面転換過程がエルらないことが多いことをここでは注意しておく。
ゴード性（ergOdiC）を持てば・それぞれある正 特に収益率が各筒面でしたがう分布が互いに独定数η（＜1）が存在して・

立な正規分布にしたがうと仮定すると、推定する

一Cov（硝．硝止刊）i（2．13）母数ベクトルはθ＝｛μ1一μ2，σ。，σ2，ρ。2ヨρ2。｝の。・、1辻工・（、一1壬、コ糾、廿一阯）6個と帆ここでπは定榊三の条件・舳
1｛、．一。｛。一1π・ρ・1¶，π伽十π・ρ・・一π・より

一P（ρ…・）P（ρt一ぺ｛・）11
＝

十

π1＝

0（η1上）ρ。。

ρ。。

、π2＝1一π1＝ρ12＋ρ21一ρ12＋ρ2／で与えればよい。

および

ここで観測期間においてη個のデータが観察されだとすると、観察鐙R＝（R／，地，・。・，F，，）
一Cov（抽，馬＿，止）■κ（2．14）の尤度関数は，κ≦〃・ΣΣlp（ρ…舳一・一1・）｛．i。＝］．｛〔Fユ（2．15）ん。（θ）＝

プ（∫〜工1θ）∫（∫書21ハ1，θ）

・・一

轣iR

lR刊＿』，・一・，∫〜1，θ）

一P（ρFl・）P（ρト。、一加州と表現される。ここで∫は収益率Rの密度関

0（η刊）

数、θは末知母数ベクトル、さらにト！時点まを満足することがわかる。以上の考察より得られた局面転換（RS）モデルの一般的性質は次のでの情報を所与とした生番目の観測量がしたがう対数条件付密．度関数はようにまとめることができる。
1Og∫（∫王仁1∫〜t＿1，月t＿2，…

，∫〜1，θ）

定理1：腸面転換（RS）モデルにおいて局面転換の推移確率（transition

probabi1ity）が時間である。尤度関数を構成する要素、例えば時刻に依存せず非既約（irreducible）かつ非循環（a−tにおける条件付分布はそれぞれ士一1までσ）観26

perio（丑ic）のマルコフ連鎖（Markovchain）とす

測値を所与として逐次的に言十算することができる。このとき収益率馬と馬＿壇の同時分布はる。実際に与えられたデータに対して尤度関数（2．9）で与えられる。各局面における収益率の分を最大化する解は明示的には可能ではない。そ散が有限ならば自己共分散関数は（2．10）で与え

二で最適化アルゴリズムとしてよく知られていられる。またこれらの仮定の下で、収益．率と二二るEM（Expectation−Maximization）アルゴリズ

乗収益率は弱従属（weak1y

ムを利用することで実行することができる。こdependent）の弱定常

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

の計算アルゴリズムは、母数ベクトルについて

σ1，O＜σ2，O＜ρ12＜1，O＜ρ21＜1｝とする

まず初期値を・与え、その初期値得られた観察億と、真の母数値が母数空間の境界上にあると、を元に各時点における局面変化の確率を推定す

通常の漸近的結果が必ずしも成立しないことにることを行う。次に推定された確率を利用して注意しておこう。統計家の間ではよく知られて時点f＝1，2，…

，ηのデータに対する尤度関数

いる重要な例としては、各局面の分布が正規分を求め、それを4個の熾数について最適化する

布にしたがうとき、分散σ）母数σ2＿→Oとす

ことにより母数を推定する。さらに、推定されると尤度関数をいくらでも大きくすることがでた母数を二回日の初期値として再び言・1・算を突付き、尤度関数が発散する可能性がある。こうしし、この繰り返し言十算を収束するまで行うといた閥魑を回避するには、母数空間を十分に大きうものである4。

い］正実数凪（｛＝3，4，5）により

ここで、こうして得られた最尤推定鑑の漸近◎士｛1μ11≦λム，1μ21≦A工3，1／ハム≦σ1．

的・性質については、独立標本に関する議論を直接σ。≦M。，！／仏≦P・・，ρ・・≦1−1／ハム｝に適用することはできないことに注意しておく。

定埋1にまとめておいたように、収益率データと制約することが考えられる。ここで新たな結は弱定常過程となるので、統計的時系列モデル

果ではないが、収束計算や推定結果の解釈などのパラメトリック推定問題となっている。擶画転

応用上も重要であるので念のためにここでの議換モデルは非線形時系列モデルであるので教科論を次のようにまとめておこう。

翻勺な線形モデルに関する議論を適用することもまた可能ではない。ところが、幸いなことに隠れマルコフ（Hidden

Markov）モデルについては

これまで統計的時系列解析においては幾つかの研究があり、その理論的結果を適用することで最尤推定鐙の漸近的結果が得られる。特に観測されない離散自勺状態変数の取りうる値が有限個であって観測データが連続変1量、である隠れマ

ルコフ型の統計的時系列モデルにおける最尤推
定量の」致惟についてはLeエ。ux（1982）の綜果、
漸近正規性についてはBickel

定理2：局痴転換（RS）モデルにおいて局面転換の推移確率が時間に依存せず、非既約（irre−
dllcib互e）かつ非循環（a−periodic）のマルコフ連

鎖（Markovchain）とする。収益率凡は各局面において密度関数を持ち、分散が存在し、さらに同時分布が母数について．識月一」可能、冊数空間がコンパクトで真の母数がその内点となる正則条件を満足するものとする。このとき最尤推定鐘は一致性と漸近正規性を持つ。すなわち、

η＿→ooのとき

et．a1．（1998）の結δムθ。，

果が適用できる。各局櫛での収益率の分布が一般の場合において最尤推定量のよい性質を導く（2．16）

かつための正則条件についてはこれら二つの論文に・市（δ一θ。）↓N（O，I（θ。）■）（2．17）

詳しく説明されている。例えば各筒面における分．布が正規分布であれば、その正則条件はかなり単となる。ただしθは最尤推定量、θoは真の母

純化され乱ここで母数空間θ二｛μ／1μ210＜

数ベクトル、I（θ。）は尤度関数より求められる

4例えばHami1土〇n（1990）は計算アルゴりズムを詳しく説明しているが、本稿でのデータ分析はそのEM計算アルゴリズムを利用した。

（正定符号行列である）フィッシャ］庸執行列
1∂1・gム。（θ）

η∂θ∂θ

I（θO）＝11m・→・。一E［一

1

1θ。1

リスクと保険

27

とした。
＾

＾

ﾊ

σ

TSE3001956−1999

O．O08

0．156

次に各局面での収益率の条件f寸分布をI1三規分

TOPIX1956−1999

O．O07

0．175

布と仮定したトで、カナダのデータと日本のデー

TOPIX1956−1979

O，O09

0．160

タを用いた推定結果を示しておく。ニニでカ十TOPIX1980−1989

O．014

0．144

ダのデータとしては主要な年金保険の分離ファ

TOPIX1990−1999

一〇．O040．225

ンド契約において共通の指数になっているトロ

表1：月次収益率の平均と年次のボラティリティ

ント証券取引所300種（TSE300：TorontoSc、（lllrities

Excha11ge300）を用いる。ここで配当込

みのTSE300の月次の対数収益率とその12ヵ月の移動標準偏差（移動ボラティリティ）を図1にボしておくが、データの期間はTSEが導入された1956年1月からから1999年12月までの527個である。貝本に関しては、株式指標として標準的なTOPIXの月次の対数収益率（配当無）を用いた、、月次対数収益率とその12ヵ月の移動標準偏産を図2に示しておくが、データの期間は1956年1月から1999年12月まで、デー

全期脚の対数収益率を用いたデータの平均とボラティリティの推定値をまとめると、表1のようになる。1956年から1999年までのデI一夕で見ると、TSE300の年次のボラティリティの推定値はO．156，TOPIXの年次のボラティリティの推定値はO，175となっている．TSE300の月
次の対数収益率の平均はO，O08，TOPIXの月次の対数収益率の平均はO．007となっている．な

お、TOPIXに関しては期間を三つに分けて、その平均，ボラティリティの推定値を示しておく。

タ数は527個である。

これは4節で局面転換（RS）モデルを利用して責任準備金の問題を考えるが、その際には楽観
、

o．4

、

O．2

1ト

的なシナリオと悲観的なシナリオとして利用し、一収益率｛月次〕

1ト拒・

責任準備金の額がどう変化するのかを調べる為

ポラティー」ティ

鳶寸。婁§

（年次〕

拍

である。

暮一〇．4・・

図1より、TSEのデータでは1980年初頭に、

年TOPIXのデータでは1990年初頭に、特にボラティリティの高い状態が数ヶ月続いている。こ
図1：月次収益率とボラティリティ（TSE300）

うした観察事実を独立（増分）対数正規（ILN）モ

デルの実現値としてとらえることが難しいので、局面転換（RS）モデルでどのようにとらえられ

0．5
，

O，4

｝

o．3

1卜

，

1ト

O．2

い

O．1

一収益率｛月次〕

格
＼
O
鮒
相→・1

…ポラティ1」ティ

（年次〕

暮・O．2
−O，3

年

るのか、推定結果を表2に示しておく。表2より、TSE300とTOPIXはともに、1956年から1999年のデータに関して予想された結果が得られることがわかる。すなわち、両ケースとも高ボラティリティ局面の平均が低ボラティリティ局
面の平均を下回っており，年次のボラティリティ

図2：月次収益率とボラティリティ（TOPIX）

28

は20％前半になっている。しかしながら、相違

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

点も少なくない。TSE300とTOPIXでは、局面間の平均の崖がO，029，O．0ユ2とか征り異なっている。周一衙が転換する確率も、特にρ21に関しては、TSE300がO．19ユ，TOPIXがO．045と異なっている。このことは，TSE300のデ」一夕のほうがTOPIXのデータより高ボラティリティ
＾μ1

δ1

＾ρ12

＾μ2

δ2

＾ρ2ユ

O．0！2

O．039

O．031

（O−002）（O．O0！）（O．O08）

一〇．017

O．068

O．191

（O．014）（O．010）（O，059）

O．014

O．033

0．055

（0．O02）（O．O0！）（0，015）

0．O02

O，061

O．045

（O．O04）（O．003）（O．012）

O．01．3

O．046

O，053

（O．002）（（〕。002）（O．0／3）

一0．047

O．065

0，723

（O．005）（O−O03）（0，169）

O．012

O．029

O．033

（O．O03）（O．O（〕2）（O．0！9）

O．022

0．059

O．070

（O．011）（O．O07）（O，042）

一〇．00！

O，058

O，008

（0，005）（O．004）（O．O08）

一〇、035

O．105

O．1！6

（0，056）（0，040）（O−！31）の状態が続かないということを示唆している、＝コ

ここで局面｛が亡月続く確率はρに1エ）jjである
1から周一面｛が継続するユ1一ζ均期間は一になる。

TSE3001956一ユ999

したがって、TSE300のデー一一一夕の高ボラティリ

ティ局繭の状態にある平均期間は、約5．2ヵ．月であり、TOPIXでは約22ヶ月と推定される。

ここでTOPIXのデータの期間別の推定結果

T−OP五X1956一ユ999に（）いて．見ると、一一予想していた結果とは異なる

ところがある。特に、1980−！989においては、高ボラティリティ局面の方が平均が高く1＝．上ギ⊂いる。

これはバブル期を含む当時のマクロ経済の動1古一1

TO．PIX

l．956−！979を反映・してのものと解釈できよう。1990−1999に

おいては、バブル崩壊をうけて高ボラティリティ
局一面と低ボラティリティ局一節の平均がともに・負になっている。また，それぞれの満面（レジュー

TOPIX1980−1989ム）間の平均の崖が・異なっていること、ユ〕2！に関しては，結．果に大きな違いが見られることが読み取れる。すなわち、日本のデー一夕分析においては局面問の推移確率の推定が不安定となっTOPIX！990−1999

たことが」因であろうと考えられる。
ところで上で求めた推定結果を用いて独立（増分）対数正、規（ILN）モデルとの比較を行おう口

まずII，Nモデル
η一士＝＝μ十σ

表2＝鍛一方椎定法によるIミーSLNモデルの母数推
士、6t〜jV（O，1）（2．！8）

定値（注1カッコ（・）は標準偏藻の推定値を・示している。）のパラメー一ター一の最一方椎定法による推定結果を表3に示しておく。収益率が．1月1いに独立に対数

正規分布に従うと仮定すると、標本準均と標本分一散が最尤推定値になるが、二こでは比較のため、全5種類の局簡転換対数．正規（RSI−N）モデ
ルと独立（増分）対数■三規（ILN）モデルの一方座関

リスクと保険

29

σ

O．008

O，046

P（仏、＿1士O■ρ士＿1＝1）は前の時点ト1では局（O．002）（O．O01）

面1に滞在し、その後は局面1に滞在することが

O．007

0，051

（O．002）（0，002）

O．O09

O．046

（（〕．O03）（（〕．002）

TSE3001956−1999

TOPIX1956−1999

T（）PIX1956−1979う。まず明らかに、m＞η＿士，m＜0に対してμはP（〃F。剛ρ＿1）＝Oである。また、例えばない確率を表している。二ごてf∈［η＿2，η＿1）に対してP（ハ∫＾＿1＝1■ρt＿一亡ゴ）＝ρj1（ゴ＝1，2），P（M，＿1＝Olρf＿ユ＝ゴ）＝ユ〕j2であり、初期条作としてP（ρf＝ゴ）＝πj（ゴ＝1，2）を用いることが考えられよう。したがって、定常性の仮定の一下では関係

T（）PIX1980−1989

O．014

O．042

（O。（〕04）（O−003）

一〇．0040，065（O−006）（O．O04）

P（〃＝丁η」ρト1一ゴ）＝〃I〕（・Vl＋・＝㎜一11ρド1）

TOPIX1990−1999

十ρゴ2P（〃1＋」一mlρ土工2）（ゴ＝1，2）を使えば，逐次的に確1率P（入∫＝Mo）を求める

表3：鍛・尤推定法によるILNモデルの母数推ことができる。

定値

次に〃の分布関数を利用してη時点におけ
カ・ゾ・（．）は標準偏差の推定敏をホしている．、〕る長期の指数収益率の分布を表現することを考えよう。8。，をr1時点での指数水準、初期条件を

RSI，N

II−N

TSE3001956−1999

917．38888．19

T（）PIX1956−1999

852．48825．14

TOPIX1956−1979

477．！4472．！6TOPIX1980−1989

223．07206．66TOPIX！990−！999

161．40145．698o＝1と仮定しよう。確率変数｛〃士m｝及び状態変数｛ρ1亡ゼ／，＿，ρη＝｛丁、｝を条件とすると、指数水準の対数変換値Σ二し1兄はγ九個の1月二いに独立な状態1の確率変数とη一m個の互いに独立な確率変数の和として表現される。状

態変数が取りうる値｛M＝γn｝で条件づけた条

件付確率を事象｛M＝m｝の範囲でとれば！で
表4：2つのモデルの尤度関数値あるので、各局面での分布をIE規分布に特定化
すれば数の値を表4に示しておく。
ここでエクイディリング型保険では長期にわ

8兀IM〜109nO工ma1（μヰ（M）1σ葦（M））1

たる収益率分布の裾をどの様にとらえるかが間

μ＃（M）＝題であることに注意しよう。そこで局面転換モ

σ…（M）＝

デルの局面に滞在回数の分布関数を求め、そこから、局面転換モデルによる長期における収益）σ妻とは対数をとると1皿三規分布W（μ＝σ2）にしたがう

デルによる結果と比較することを考えよう。

分布と定義す乱）すなわち各局面での分布を正規分布に特定化すれば・Mの分布関数ρ（m）

確率変数〃を局面1に滞在した総回数とす，η｝の可能性がある。ま

た確率P（M＝㎜）＝ルn）で表現し、さらにMfを期間f士，η）において局面1に滞在した総回数としよう。そして、P（〃土＝剛ρ丑＿1）（γη＝O，1，＿，η＿亡：廿＝1，＿，η＿1）を1考察しよ30

σ董十（η■とな乱（ここで対数正規分布10gnOrma1（μrσ2）率の分布を求め、通常の独立（増分）対数正規モ

ると、M∈｛O，1，2…

μ1＋（η■M）μ21

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

だ裾の厚さが、エクイディリング型保険においを用いて、て長期の契約におけるリスクをモデリングするへ、、（1む）＝P（8。≦ユ1）（2．19）

際に有用になってくる。

一H一

Σp（8・≦；むlM−m）ρ（m）

m．＝o

n

l・g卜μ坤（㎜）一へll・コ・・一ΣΦ（以、丁、））伽）

一

ni．＝o

，∴
！＼

となる。ここでΦは標準正規分布の累積分布関数を表している。同様にして，8，、の確率密度関
数は，

eニ、1㌣

1」．二1］u、■H

1・9卜μ、（η・）11o．lo舳＝ ﾅ、φ（州）小）／（・）（2．20）
一〇一」と書けるが、φは標準正規分布の確率密度関数で

ニコH］

コO

4

刊〕

ヨ＝刊j

血O0

70u

−OO

りOO

1㌧

一

」刊O

■IOO

一二．］一」

1H山，1Ou

図3：TSE300の確率密度関数ある。これらの累積密度関数，確率密度関数を使って局面転換対数正規（RSLN）モデルと独立（増分）対数正規（ILM）モデルにしたがう収益率の分布関数や確率密度関数などを推定することo．］o／も出来る。長期間の収益率分布については独立
増分対数正規（ILN）モデルに比べて，局衙転換
対数正規（RSLN）モデルの左の裾が厚い二とかo．1ミ

1㌻篶∵lllノ
このコメントはTSE300の全データとTOI〕IXの全データ，並びに，TOPIXの1956−1979の

l

oo

コ｛■u

］OO

川O

ヨO＝l

m＝I

π1u

舳O

．＼

リ川一

1川10

図4：TOPIX1956−1999の確率密度関数

データに関して音えるものである。T（）PIXの1980−1989のデータとTOPIXの1990−1999のデータに関して求めた結果は，少なくとも高ボ

次に滞在総回数の分布関数を用いれば、任意の時点における株価の積率を求めることができることに注意する。条件付対数正規分布の性質

ラティリティ期間でも。ネガティブの平均を持つという結果になっている。

ここでは表2で推定したパラメーターを使い、さらに初期値q〕＝100とした時の収益率の確率密度関数を図3から図7に与えておく。長期
問の収益率分布については独立対数正規（ILN）

モデルに比べて，局面転換対数正規（RSLN）モ
デルの左の裾が厚いことがみてとれる。こうしリスクと保険

31

川

1

ユ川1

jO0

4川，

j川，

凸n

刊1

，

冊1u

り川1

一

I川川，

l

l，l0

図5：TOPIX1956−1979の確率密度関数

■

1000

O

1川1

］皿3

』O刊

ヨーlO

㈹＾

10u

宮O，」

り冊1

1HO．1

110H

図7：TOPIX1990−1999の確率密度関数
おく。また比較の為に収益率データから計算し・一一一

C・｛lI1＝・…一…

1■1

た結果を表6にまとめておく。なおTOPIXは

ll．1ヨ。

全期のデ」タを、TOPIX1，2，3はそれぞれ1956
ll．1ココ・

年〜ユ979年，1980年〜1989年，1990年〜1999．」．1．lH

年の期間のデ…タをそれぞれ意味している。
o．旧ヨ

変額年金保険のリスク測定
O

■□10

コ

O

jOu

」．■n

ヨuu

10H

フ｛1□1

目．lu

，．何1

1・…

l1桶面転換（RS）モデルを用いたリスク評価法を考えよう。特に具体的例として擶面転換（RS）

図6：T（）PIX1980−1989の確率密度関数

モデルを用いたエクイディリング型保険のリスを利用するとク言平価の例として、分離ファンドのリスク評価

則（3、、）＾＝1（2．21）型的な形式として、10年間保険料が投資信託に＝E［exP（た（Mμ・十（トルf）μ・）

バ

2

投資されるという状況考え、運用などの諸費用

十一（Mσ』十（卜M）σ；））1

2

は月々差し引かれるとする。保険の満期には契＝ElexI）（〃（ん（μ1一μ・）

＾＝2

正＝〕

・了（1σ子一σ；）））・…（・η！…了ησ婁）＝について考察する。分離ファンドー契約の最も典

バ 。
exP（んnμ2＋丁ησ2）

約保有者は、受け取りが支払った保険料を下回らないという保証がついた形で投資の成果を受け取る契約を想定しよう。ここでは、仮想的5に刊
た2
・Σ（1・・（m（た（μ／一μ・）・了（σ1一σ；）））・（・）保険納二σ）満期に測る責任準備金（以下では
m＝0
5なお責f壬準備金については実際には、オプション・ブレ

となることがわかる一この（2−21）式を用いて、ミアムである最低保証料収入など中途の収入と支出、死亡局衙転換（RSLN）モデルに関して．上記の5ケー

率の動向、俳一」の変動と解約率や引き出し率の動1旬等、日本アクチェアリー会別冊（2004）が詳しく議論しているようスについて表5に，平均，2次，3次，4次のに、具体的な商品設言十に応じた様々な要因を含む分析が必モー一メント，歪度，尖度を求めた結果を・与えて 要となる・二うした様々な実際的論点について指摘されたレフェリーに感謝する、、

32

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

I二1iH

簡略準備金とよぶ）は、0を満期において保証、欠りしている額、ブを満期におけるファンドとする

1トG一七nと、max［G＿F，0］で与えられると考える。し王立）（1一α）（3．3）

たがって・この契約はヨ』ロッパ型プット・オで与えられる。ここでへ、は当該資産のη時点
プジョン（E…1）・・…t一・）1〕ti（…）の一」種と解釈における分布関数、・㌫

することが出来私こうした金融契約を販売す亡｝で定める。特に独立増分対数正規（ILN）モテる時、その潜在的なリスクを分析するためには、
特に左側の裾が煤いことを許す長期の株式収益〕（t）一11州〜）≧ルの場合には標準正規分布の累積分布関数は逆関数が存在するので、乞、、＝Φ一！（α）と置けば、率モデルが必要となる。すなわち、保険金杖はブット．オプション契約の販売に伴し。株式運ト（享一8・…［一・α市σ・れμ一州1（3・4）用から生じうる将来における不利な経済状況にである。

陥る可能性をも考慮する必要がある。

二ごてVaR（バリェ…・アット・リスク）はパー一

1つのリスクを測定する基準としては、簡略準

セントー点であり、その点よりも左側の分布の形状は考慮しない基準になっていることに沈意し備金の分布のパーセント点を見ることが考えられ㍍これがバリュー

アット

リスク（VaR：vahle一よう。それに対して，近年、北米のアクチュア舳k）アブロ…チで狐ここでは・株価の収リー間でもで有力となっているリスク尺度（。i。・
益率を説明するモデルとして独立増分対数二正規モデルを用いたときと局面転換（RS）モデルを

measure）として、条件付裾期待値（CTE，、。阯．

ditioI1aI

tai1expectation）がある。この統計量用いたときのパ凹セント点を比較してみよう。は、簡略準備金の値が分布の（トα）の裾に落
ここで単純化の為に保険契約の［■］途解約につちることを所与としたときの簡略準備金の期待いては考えないことにす私また別＝1001G＝値に対応する。CTEはパーセント点を越えた

100を最低保証額、運用コストとして、複利で分布の裾をすべて利用しているからバリュー・

月ん。パーセントがファンドから差し弓1かれ、8、、

アット・リスクよりもさらに怒化する状況をもよをη時点における当該褒産の価格とする。こ二り理実的に考慮していることになる。したがっで議論の単純化の為に、んが小さく満期におけて、VaRに比べるとより保守的な基準を意味しるファンドの価値を3，、ゼ帆hで近似して、満期時における一簡略準備金をている。

ここで、連続かつ単」調増力口の簡略準備金の分布に対してO≦αく1の範囲にある任意の母数
X＝m・・（G−8丁、・一州，O）（3．1）

αに対するCTEはと見なそう。ここでζ＝P（8、、e■舳＞G）とす

ると、もしα≦ζであれば、簡略準備金の分布0丁亙（α）＝・E［XlX＞㌦（3．5）の100αパーセント点は凡＝Oである。さらにで与えられる。ここで篶はバリェ』・アット・

α＞ζとなる場合には沁はリスク値である。こ・うしたCTEの．定義によれ

k岨（（G−V二）επh）＝（1＿α）（3．2）

ば、例えばα＜ζに対しては篶＝Oとなる。
このようなケースが実用的に望ましくないとす

リスクと保険33

れば、｛列えばβ＝皿a．Xβ：凡＝τ乍というβにσ三（〃）二Mσ…十（れ一M）σ婁

基づきとなることに注意すると・α≧ζならば（1一〆）叫X・篶1＋（β

一α叱

σ「

（α）

0T∬（α）＝。一・｛

1…α一（；一旦＿、Σρ（η1）
（3．G）

㎜＝o

・（・・p（μ、（㎜）十1・g（18。）十σ三（汀・）／2））と定義することを・例えばHa「d・（2001）は提XΦ（1（〕・（・一叶1・・（・・）一μ川・1パσ…（ll））
案じているが、このCTEの定義は一・…種の実綿σ｝（η正）

的な簡便法と考えられよう。

となる。

ここでα≧（を仮定すると

特にα＜ζの場合には・β＝ζかつ㌦＝Tそ＝○であるから0丁亙（ζ）＝珂XlX＞Olとなるの（丁珂α）（3・7）で（・．・）の定義を棚すれば、＝町IX川］」・一ζ、
0丁五（ζ）

07「五（α）＝一E［G一島，ゼ皿h18丁，＜（ト｝！刊わ1

1…α、1、ズ㌧一パわMベニ㍍㍍二された、種類、、、ま数を周して局蘭！

−1一、［・・｝0一け舳）

転1奥対数醐（・…）モデルによりシミュト∫ぴ｛舳1二1㌻∵∴二1∴ぶP≡ゴ㌦〃l一・一

l1線㍗桑∴続1と表現されことに注意しよう。こ二で初期値3o亡年のような2つの局面の平均が正であるような
1かっ8止、〜1ognorma1（ημ，ησ2）であるならば、場合においては、ドリフト（あるいはトレンド）α≧ζに支寸して部分の寄与が1大きく、当然ながら事後的にはこ0τ万（α）（3−8）

ごて定義したような意味での簡略準備金の額が・xP（η。μ一舳十nσ2／2）

＝

o−

1一α

ほとんど不要であったことが分かる。他方、1990x璽（1・・（G■レL）■ημ十九パησ2）年1…年のような・つの騙での平均が負で市σあるような一場合においては、プット・オブショとなる。なお、この・表現は初期値5o＝1を仮定しているので、より一般の初期値凪、に対し
では、同様の議論によりンの販売から生じる簡略準備金の額が非常に大きくなることもまた分かる。
次に時間的経過に伴い、将．来における簡略準

0TE（α）、 （3−9）備金の評価をどうすべきかについて考えてみよ一。一…（ημ一ηん・1・・（州・肌σ2／2） う。ある州・≦。。…）の簡略準備金の額
1山α．、 は確率密度関数×IOg（（；一14）一10g（80）一ημ十ηん一nσ一

Φ（

市σ

）
∫∫、，。．、（∬1）（3．1O）∵㍍面転換対数正規（。。。。）モデルー書1（bg卜修（劣、凸bg昂）1，1、、州にしたがうときには、3丁、■〃一1。。。。。m．1（μ、（M），σ1（M）），

μ中（〃ト〃μ1＋（η一M）μ2，34にしたがうと考えら狐ただし・3…つは残り120一ゴ月の当該資産を表すが、ゴ期では8j

変額年金保険の統計的リスク管理法1局面転換モデルの利用が確定することになる。こ二では、1牛後から8デルを適用する時に生じる様々な実証的問題点

年後まで1年ごとに簡略準備金はどのように調の幾つかをとりあえず解決してくれる、という整すべきであるかをシミュレーションにより考側廊があるという意味で興味深い方法である。

24、…，旦S三joまでをユ（〕O

局繭転換モデルにおいては必ずしも各局面で回乱数発生させ、簡略準備金の評価をユ00回行の分布を正規分布に限る必要はないが、各局面

いそσ）平均をとってみた。それらのシミュレー

での収益率分布を正規分布とすると、収益率分ションを利用し、表9はTSEの計算結集、表布の周辺分布は混合正規分布となり、ボラティ

10にはTOPIXの計算結果をそれぞれまとめてリティ変動を言おいた。ここでyearは残存年数であり、ye舳がな条件の下で、弱相関構造を有する直観的に分減ると簡略準備金の額も減る傾向にある事が観かりやすい統計的時系列モデルと見なすことが察される。収益率が独立（増分）対数正規（ILN）

できる。

察してみる。系列812，5

1二容し、局面転換に関する・・・・…．般的モデルにしたがう場合には対数正規分布σ）性質

しかしながら、より大きな第三の論点としてを利用して簡単に様々な統計量が計算できるが、変額年金保険に関するリスク評価における局面

局面転換モデルの場合には残存期間がある程度転換モデルの利用を考えると幾つかの問是重点もあると、その効果は複雑となるのでシミュレー

同時に浮上してきた。変額年金保険に関連するションが必要となろう。

リスク・全体に日を向けると、伝統自勺な

1三命保険で問題としている死亡率リスクというよりも、

4

大きな割合で将来の株価水準といったマクロ経

結語

済変数の動向により直接的に依存している。と1k命保険業において近年に注目されころが、例えばこの間の北米のマクロ経済動向ている変額年金保険とそれに関わる新しいリスと日本のマクロ経済動向には共通点はあるもの

ク管理について、新たに分析が必要となる統計の、異なる大きな変動も少なくない。変額年金的側面を中心に検討した。二ごて得られた主要の場合には、場合によっては数十年の単位でのな結論は次のようにまとめることができる』

長期多期問におよぶ保険リスク評価をある程度

本稿では第・…・・Iに変額年金保険のリスク管理法には伝統まで行う必要がある。したがって、当然ではあ

的に保険数理（アクチェアリアル法）が依拠しるが長期の収益率に対し適当に期間を設定しててきた古典約な大数の法則や中心極限定理が十

局面転換（RS）モデルを適用してリスク評価を分な殺害11を果たし得ないという意味で、生命保行うことから問題が発生する可能性があること

険業においてかなり新たな問題を提起しているが確認された。

ここでは局面転換（RS）モデルは統計的時系列

ことは明らかである。
第二に北米の保険関係者を中心にこの間議論

分析（S七atiStiCa1time

されている局面転換（RS）モデルによるリスク

SerieSは隠れマルコフ（Hidden

ana1ySiS）においてMarkov）モデルと呼ば管埋法は、ファイナンス分野で開発されたブラッ

れているタイプの時系列モデルであることを指ク・ショウルズ・モデルに対応する離散時系列モ捕しておく。この種の離散時系列モデルは時間デルである互いに独立な増分が対数正規分布に的従属性を持つ同時確率分布が非正規性や非線したがうという、独立（増分）対数正規（ILN）モ

型性をも表現しうる便利な統計学的手段を提供

リスクと保険35

している。ただし、到111正規性と掌・1：1線型・性を満足ても、今後、さらに検討することが望まれよう。

する離散時系列モデルは既にこれまで数多くの引用文献研究がなされている。例えば北米のアクチェア
リーの議論では確率的ボラティリティ（StOChaStiC

111Bickel，P−J，Ritov，Y，andAsyn1ptoti（＝N（）rmahty（）fVolatiiity）変動の時系列モデルや（窟味はかなり異なるもσ）の）安定分布（stab1e

distribution）モRy（len，T．（1998），

hhoo（1for

Genera．I

theHi（ldenMaxin1um

Markov

Likc−

Mode1s，デル。なども一言及されている。あるいは、経済的

ル肌α150ゾ舳亡15オ｛c5，26−4，！61山1635．

考察から㈱発された非線形時系列モデルとして

E21HamHt（〕n，J．D一（！989），

A

K11n1tomotoN（〕n−stationaryan（lSato（1999）は同時転換自己回帰

theEcon（〕mi（二Ana1ysis

of

New

Approachモデル（SSAR）を提案している。また、よりノTimeン・パラメトリック統計学的方法に基づく冬期間

同Hami1ton，J．D．（1990），

Ana1ys三s

リスク管理法については例えば国皮・一場（2004）

Se工iesRegime，が検討している。どのような統計的時系列モデ○ゾ万。oηoτπεか北5，45，39−70．

ルを用いたリスク管埋が適切なのか、実務面でE4］Hami1ton，J．D．（1994），7切｝ε8er北5ληαの応用をも含めて今後もさらに検言立していく必

5台8，Priceton

要があろう。

最後に本稿では変額年金のリスク管理問．題の中でも特に統書・卜学的にも議論が必要となった幾つかの問題に絞った限定的な分析を行ったことに沫意しておく。当然ではあるが、多くの残された重一要な検討課題がある。例えば変額年金のSeris，〃ωη07胱か｛cα，57，357−84、

subjecttoChanges

University

in

Time

Jourη（〃リーPress．

151Hardy，M．R．（2001），

A

Modc1ofR（王turns，Long−Term

of

Stock

Regime−Swit（lhingNo吋ん

ληTε朽。αη一4cf仙r｛αエJ0伽rηαエ，5−2，42＝53・

161Hardy，M．R．（2003），∫ηηε5fmε〃G伽αmη一加ε5，John

V一アiley＆Sons

171Kitagawa，G．（1987），

Inc．

N（）n−Gaussia．n

State

運用資産間の依存性を無視することができないが、近年では様々な新しい統計学的分析方法7が提案されている。また、現実的方法として採用

Spacc

ModeuingofNon−stationary

rieS，

ノ0価rγ1αi0μ加λ㎜eれC伽1助士45右1Cα1−45一舳。｛αれ。n，82（with

Timc

Se−

Discussions），1032−！063一

されることがあるボラティリティ・母数を・適当に調．整するという、リスク調整によるリスク管埋法（アクチェアリー会別冊（2004）を参照）の妥

当性についてもさらなる検討が必要であろう。
また、変額年金の実際的なリスク管一理では死亡［81鰯女直人・高橋明彦（2003），「数理ファイ

ナンスの基礎＝マリアバン解析と漸近展開の応用」，東洋経済新報杜。

日9］国友直人・一場知之（2004），「冬期間リス

率の動向、金利の変動と解約率や引き1土1し率のク管理法と変額年金保険」，Discuss呈。n一動向など契約・者の選択動向の分析も重要である。

CIRJE−J−！13，Graduate

こうした変額年・金問題を巡る様々な側面についUniversityofSchoo1ofPaper

Economics，Tokyo（http：〃www．e．u−tokyo，ac．jp／ciI巾／よりダウン○安定分布やより・一一般的な無限分解可能分布（in丘nitelydM昌iblediS七riblltiOn自）について詳しいことは、佐簾（1990〕が参考となろう。

7例えば資産運用でよく利用さ身1、ている相関係数は正規分布の仮定をはずすと従属性に関するもっともらし・い指標とは限らない。確率変数間の従属性をより一般に表現する
コピュラ関数についてはNe1son（1999）を参照されたい。

36

ロード可能），日本統計学会（和文）誌（近刊）。
［101Kunitomo，N．andtiona工ying

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

andSato，S．（1999），

Non−stationary

Autoregressive

Mode1sSimu1taneous

with

an

Sta−
Switch−App1ication

toF呈na，ncia」1Time

Serie昌，Jαραη棚ε∬co肌。η正化∫王εt力εtU，50＿2、王61＿190，B1ackwe1L［11j

I．eroux．B．（！9S2），

Estin1ationforHid（玉enMarkov
わ。

Pγり。ε5。与e3αη一dMaxin1unl−hkeIihoo〔iM（〕dds，

3亡。cん舳一〃｝ε｛rλρPわ。αれ。η3，40，127−

143．

エ12］団中周二・松■一一I一」一直樹（2004），「統書十字とア

クチェアリーの現代的課題」，日本統計学会（和文）誌，一Vo1．34−1，41−55．

f131［木アクチェアリー会則・冊（12004），「変額年金等の最低保証リスクに係る責手玉準備金の積立簿について」エ14］Ne三son，R。（1999），■4η伽打℃仇。れ。ηfoOoρ一｛〃α5，Sl〕ringe工。

1151佐藤健一（1990），r力口法過程」，紀伊國屋書店。

リスクと保険37

TSE300

TOPIX

TOP1X1

T（）PIX2

TOPIX3平均

3．王0562．6331

3．2296

7．！7640．90306

2次モーメント］．2．853

8．322814．18169．1831．3333

3次モーメント

68．87530．42084．092955．403．0986

4次モーメント

468．95

128．66

669，5920376．

11．160歪度

1．5727

O．72517！．93622．75872．57547．58595．3237

10．262

20，377

16．770

表5＝RSLNモデルの積率・ 歪．度一突度

TSE300TOPIX

TOPIX1

TOP互X2

TOPIX3平均

2．99932．7612

3．1991

6．49260．80748

2次モー一メント

11．47910．363！3．22851．8581．0826

3次モーメント

56．05952．86970．704509．542．40994次モー一メント349．34366．60488．486159．18．9074

歪度

1．72！22．0134

1．78101．54982．9745尖度

8．6916！0．9799．12297．553822．025

表6：収益率より推定された積率・歪度・尖度

TSE300

TOPIX TOPIX1

TOPIX2

TOPIX3

ζ

O．8724

O．8302

O．9135

O．99968

O．1805

τ毛．90

8．805319．473OO

81．035

乃．95

28．21537．03015，028086，443T｛〕．975

42．21649．25429．252

O

90．0730丁五（0．90）

31．55839．66918．7840．036688．524071〃（（〕．95）

44．83751．54732．174

O．073191．258071万（0，975）

55．00860．11442．5620．146393．322

表71RSLNモデルによるリスク評価

38

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

TSE300

TOPIX

TOPIX！

TOPIX2

TOPIX3

O．90460．8327

O．9390O．99864

O．王364．りUO

16．2130O81．702

兄．OO

15．62131．6224．8049085．85088．740沁．りU

27．992

42，66118．806O

0r∬（O．90）

18．83534．317111256

0．165086．6200丁珂O．95）

30．8111．

45．023

21L754

O．330王89．2900丁珂O．975）

39．86953．02632．178O．660191．397

表8：II」Nモデノレによるリ．ズク評侃

表9：TSEの動学的リスク評価
y舳「」VkR．90

VaR95

VaI〜．97．5

CTE90

CTE95

CTE97．510

8．805328．21542．21631．55844．83755．00898．062122．19736．10129．42239．67349．74288．365818．84131．26028．83537，77545．93777．7355！6．15526．69427．76335．88841．9396

8．187514．93723．70927．95135．89040．66958．084713．94420．84927．05933．81439．7864

7．7826

12，68818．83926．97832．04635．9303

7．6623

12，149！6．87123．64725．46431．8622

6．90109．615512．87320．322

22，78827．921

・表10：TOPIXの動学的リスク評価
yeaI5

VaR，90

VaR95

VaR」97．5

CTE90

CTE95

CTE97，5

10

19，47337．03049．25439．66951．54760．1149

14．48730．63243．20835．40746．04754．988813．28925．51937．81033．35842．50750．434

7

11．37821．60232，52332．58639．26946．073

6

10．712

19，24428．37032．73438．38943．49859，001315．99023．8！129．28632．48439．8694

王0．066

15，3392！．23127．60032．94936．413

3

9．21．78

13，30717．37125．42！

29．88634．5862

8．6963

11，17313．855

19，46625．23226．820

リスクと保険39

Risk

Management

MethodsofEquity・Linked

and

Gota

Akiyamaana

Bank1ng

M1tsu1AssetTrust

Insuran㏄

Pract1ca1ProbIems

Company，Lm1ted

3・23−1，Shiba，MiI1ato・ku，Toky0105・8574

Naoto
Graduate

Kunitomo

Schoo1ofEconomics，UniversityofTokyo7・3−1，Hongo，Bmkyo・ku，Toky0113・0033

Abstract

Recent1y

theactive1y

tradedthevarious

actuaria1risk

managementtime（1989）．We

that士hey

argue

from

the

of

the

equity・1inkea

Japanese丘nancia1markets．We

regime−switchingmacro・economic

40

in

types

seriespe曲rmance

macro・ecommies

methods佑r

of

those

mode1s，whichwasinsurance

investigate

products

becarefu11y

used

Japan

in

the

decadesofCanaaa

ana

the

U．S．．

変額年金保険の統計的リスク管理法：局面転換モデルの利用

in

the

based

origina11yshou1dpast

have

introduced

basic

and

prob1ems

of

on

the

MarkovianproposedbyHami1ton

Japan
have

been

main1ybeen

because

quite

the

di価eren七