ティーチングポートフォリオ

日比野 雄嗣（佐賀大学大学院工学系研究科）

2016 年 3 月 4-6 日

目次
1

責任

3

2

理念と方法

5

2.1

理念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

方針 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3

結果

9

4

今後の目標

9

4.1

授業アンケート. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94.2

成績評価について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4.3

博士院生の指導10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

資料

12

5.1

資料 1（オンラインシラバス） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5.2

資料 2（教育功労者表彰） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.3

資料 3（教科書）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.4

資料 4（質問カードの例） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5

1

5.5

資料 5（基礎数学の試験問題） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5.6

資料 6（小テスト付きの質問カードの例）

172. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 責任
佐賀大学理工学部数理科学科の教育目標は,数学及び数理科学の領域において、広く社会で活躍できる高度な専門的知識・能力を持つ
教育者、技術者、研究者を養成すること。

(A) 数学の基本的な考え及び論理的厳密性を修得させる。
(B) 数学の思考力および表現力を身につけさせる。
(C) 数学の各分野における論理を修得させる。
(D) 直面する諸問題を正確に理解し解析する力とプレゼンテーション能力を身につけさせる。

(E) 社会に広く存在する多様な需要や問題を認識させる。
である（http://www.ms.saga-u.ac.jp/shoukai.html）。
また，大学院工学系研究科数理科学専攻の教育目標は，主として大学の専門課程等で数学を学んだ者に対し，さらに進んだ数学の理論，応用についての教育を行うことにより，論理的思考力，問題解決能力，正確な表現力及びコミュニ
ケーション能力を身につけさせ，即戦力として活動できる高度な専門的知識・能力を持つ教
育者，技術者，研究者の育成を行うことである（http://www.ms.saga-u.ac.jp/graduate/intro.html）。これらの教育目標を達成できるよ
うに，学生および院生に対して教育をしている。
私は，1993 年に佐賀大学教養部に赴任し，1997 年に理工学部に異動して以来，講義としては主に，数理科学科の 1,2 年生向けの専門必修科目の微分積分学，3 年生向けの専門選択科目の演習科
目，理工学部他学科向けの周辺科目，共通専門基礎科目の農学部向けの微分積分学，全学教育の一
般教養科目などを担当してきた。この他に 4 年生のゼミ，大学院修士のゼミも担当している。
最近 3 年間の担当科目は次のとおりである。各科目とも週 1 回 90 分を 15 週の講義 (または演習) である。

3

開講年度

2015 年後期

科目名

理工学基礎科学
応用数学特論 I2015 年前期

微分積分学基礎 I
プログラミング
基礎数学

2014 年後期

微分積分学基礎 II
微分積分学基礎演習 II2014 年前期

解析学演習 I
応用数学特論 II2013 年後期

微分積分学基礎 II
微分積分学基礎演習 II2013 年前期

解析学演習 I
応用数学特論 I

種別

対象

内容

人数

周辺科目 (選択)

理工学部他学科

初等整数論

213

専門科目 (選択)大学院数理科学専攻

確率過程論

11

専門基礎科目 (必修)数理科学科 1 年

1 変数の微積分

32

専門科目 (選択)数理科学科 2 年

数理文書作成31

共通専門基礎科目 (選択)農学部 1 年

1 変数の微積分

41

専門基礎科目 (必修)数理科学科 1 年

2 変数の微積分

41

専門基礎科目 (必修)数理科学科 1 年

2 変数の微積分

32

専門科目 (選択)数理科学科 3 年

ルベーグ積分演習

36

専門科目 (選択)大学院数理科学専攻

確率過程論

11

専門基礎科目 (必修)数理科学科 1 年

2 変数の微積分

37

専門基礎科目 (必修)数理科学科 1 年

2 変数の微積分

35

専門科目 (選択)数理科学科 3 年

ルベーグ積分演習

36

専門科目 (選択)大学院数理科学専攻

確率過程論
詳細な内容については，オンラインシラバスを参照。（資料１）16

このほかに，4 年生のゼミ，大学院修士のゼミがある。ゼミは学生による輪講 (たいてい洋書) であるが，週 1 回，だいたい 3 時間くらい，長いときは 3 コマ分行うこともある。過去 3 年分の在籍者数は次の通り。

4

年度

4 年ゼミ

修士ゼミ (M1 と M2 の計)2015 年度

422014 年度

52

2013 年度
1
卒業研究のテーマは，

22015 年度 「線形ノルム空間の双対空間について」2014 年度 「マッチング問題について」「ビュフォンの針による π の近似」
2013 年度 「対称な汎関数に対する直交多項式」
修士論文の題名は，2014 年度「Haagerup 状態における等質樹木の漸近的スペクトル分布について」「量子分解を用いた growing graph の漸近的スペクトル解析」である。
また，学内での講義・ゼミ以外にも，出前授業などで高校生に数学に対する興味を持たせる講演も行ってきた。具体的には次の通り。内容は，大学数学の紹介と模擬講義 (連分数について) である。

• 筑前高等学校での大学出張講義 (平成 27 年 11 月 12 日 22 名)• 佐賀北高等学校でのジョイントセミナー (平成 24 年 10 月 22 日 30 名)• 佐賀大学オープンキャンパスでの講演 (平成 21 年 8 月 11 日 20 名)• 致遠館高校スーパーサイエンスハイスクールの理系ガイダンス講座 (平成 19 年 6 月 16 日
30 名)
また，推薦入学合格者に対して，入学前に微積分およびベクトルの基礎を復習させるために，

e-Learning を用いた「入学前学習」を指導している。このことに関して，2012 年 8 月に佐賀大学
教育功績等表彰 (2 号表彰) を受けた。
（資料 2）

2 理念と方法
2.1 理念数学の重要性は，その論理性である。数学科を卒業した学生が数学を活かした職業に就くことは難しいが，数学の論理力を活かした仕事はいくらでもある。このような論理力を育てる教育をした
いと思っている。論理力というのは，物事を論理的に筋道立てて考える力である。そのような能力は誰にでも必要だと思うし，数学の勉強だけがそれを伸ばすことができるというわけでもない。しかし，数学自体が面白く，そして美しいものなので，楽しみながら論理力が身に付くのである，ということを伝える教育をしたい。
数学はその抽象性において，つまり，物事の本質を見つけ出しそれを取り出してその性質のみを吟味するという，数学という学問のその特質のために，数学は汎用性を獲得している。例えば，現実の事象をモデル化して微分方程式などを作り，それを解くことを研究することによって，その結5

果はモデル化の元になった物理現象だけではなく，別のモデル化の結果，同じ微分方程式を満たすことになった経済現象をも説明できるようになるということである。このように抽象化された中で議論を進めるために，数学を勉強することによって論理力が自然と鍛えられる。この抽象性，そして論理性が，高校までの，問題を解くことを目指した数学と，大学の数学の大きな違いである。ただ，実際に講義をする対象は，数学を専門とする学生ばかりではないので，それぞれのレベルに応じて，その目標を変えていくことになる。
私の講義は，基本的に，黒板に板書する形式で行っている。毎年同じ内容の講義を行うし，2015
年には微積分の教科書を書いた（「ステップアップ微分積分学」(培風館) ISBN978-4-563-00495-4）（資料 3）ので，電子ファイルとして微積分の内容を打ち込んだ資料はあるのだが，これをプロ
ジェクターを用いて授業に利用することは基本的にはしない。黒板に手書きで書くことによって余分にかかる時間が，数学の内容を理解するのにちょうど良いからである。黒板に書くことも，準備して暗記して書くのではなく，考えながら書くことで，学生の理解が追いつくようにしている。特に，低学年のうちは理解が遅いので，喋りながら書いて，書き終わってからもさらに喋るくらいでちょうどよい。
演習は学生に問題の解答を板書させ，それに対する評価・解説をする形式である。最近は，板書をノートする代わりに写真に撮る学生が多いが，演習の場合は講義と違って，何人もが一度に板書するため，ノートを取るのが難しいのは確かである。演習の板書は前と後ろの黒板をフルに使い，基本的に黒板を消さないようして，撮影の便宜を図っている。

2.2 方針特長的な方針及び具体的方法に関しては，科目によって，対象としている学生及び目標としているレベルが異なるので，いくつか主な科目を取り上げ，それぞれの科目ごとに述べる。
■基礎数学 農学部 1 年向けの科目なので，数学への興味を損なわないように，高校の話の続きとして理解できるようにする。
（選択科目なので，この科目を選んでいる時点で，農学部といえども，数学に興味があることは前提としている）内容は数 III ＋αなので，数 III を習っている学生には連続性が感じられるように内容を絞る。完全に理解できなくても，覚える程度で構わない。
農学部の入試には数 II までしか課していないので，予備知識のないものが多いことが予想されたため，質問を多く受け付けたほうが良いと考えた。しかし，講義時間が足りないので，紙で質問を集め，配布により回答した。これで，一度に全員に解説が行き渡る。（資料 4 参照）
学習している単元自体は，数理科学科向け専門必修科目の「微分積分学基礎 I」と変わらないが，試験問題は公式を書くだけ，のような，覚える問題を中心に出題する。（もしも教科書持ち込み可
なら正解が得られるような問題。資料 5 参照）数学の試験を記憶で切り抜けるのは本質とは異なるが，問題を解くためにまずは知識を定着させることが必要であるという理念に基づくものである。
■微分積分学基礎演習 II

これは数理科学科の専門必修科目であるが，演習科目なので，とにかく問題を解くことを目的とする。各単元の基本例題くらいは全員が解けるようになることが目標であ6る。全員がすべての単元の問題を板書するわけにもいかないので，他人の板書された解答を見るのも勉強のうちと考え，出席を評価の対象とする。
しかし，他人の解答を見る（これは教科書の例題を読んだり授業を聴くのと同じ）のと自分で考えて問題を解くのとでは，理解の仕方が全然違うのも事実である。私は，趣味で詰将棋を解くのだ
が，自分で解くのと，ただ解説を読むのとでは作品に対する印象が全く違う。詰将棋には，例えば100 手以上もあるような長編もあって，そういうものを解くような実力はそもそもないので，そういう作品は答えを見て解説で鑑賞するしかないわけだが，それでも最初の数手だけでも自分で考えてから解説を読むと，作品に対する理解がずっと深まることが実感できる。つまり，学生にとって全然解けない数学の問題であっても，とりあえず答えを見るのと，一応考えて無理だと思ってから答えを見るのとでは，後者の方がずっと理解できるのである。
人数の関係で，一人 3 問程度ずつくらいしか板書する機会が得られないが，全員に一通りはすべての単元の基本例題は解いてもらいたいので，上記の質問カードに小テストを加え，問題を毎週 1問ずつ解答させた (資料 6 参照)。出題は直前の授業時間に開講している「微分積分学基礎 II」のその日にやった基本例題の類題である。（数理科学科では，原則として，講義と演習は連続したコマで同じ教員が担当することになっている）ついさっき習ったばかりの内容だから，そんなに点は取れないかもしれないが，一応考えてから答えを知るのは何もしないよりも理解が深まるという理念のもとには，復習の役に立っていると思う。採点は TA を採用して行い，結果を成績に若干ながら取り入れた。
■微分積分学基礎 I・II

これは数理科学科の専門必修科目なので，数学に対する興味などが十分にあるとして，将来の卒研に向けて，しっかりと数学の基礎を固めるために厳密に数学を行う。しかし，対象が 1 年生なので，計算が主である。微分積分の計算，具体的には，「微分積分学基礎 I」では逆三角関数の微分やテイラー展開，有理関数の不定積分など，「微分積分学基礎 II」では 2 変数関数の極大極小，累次積分を用いた重積分の計算，体積・曲面の表面積の計算などが自由にできるようになることを目的とする。内容の理解が重要なので，成績評価は試験のみによって行い，出席を評価の対象としない。
講義は上述の通り，板書によって行うが，教科書に沿って進めても，基本的に証明の部分は飛ばす。数理科学科の学生としては証明を厳密にする練習は必要だが，それは現在の佐賀大学のカリキュラムでは，2 年生向け科目の「微分積分学 I」として設定している。そのためこの講義では，例
題による計算例を多く取り上げている。しかし，論理を重視する視点には変わりなく，定理と定理の関係や定理をどのように適用してこの計算式に至るのか，ということを重点的に解説するようにしている。試験ももちろん計算問題であり，授業で黒板で解いてみせる例題→演習の小テストでやる類題→試験問題，と同じパターンの繰り返しで出題しているので，傾向はわかりやすいはずである。それにもかかわらず，解けない学生がいるのは，ひとえに計算力（論理力ではなく）の問題なので，この出題方針は理念に適っている。
■理工学基礎科学

これは理工学部他学科向けの周辺科目なので，数学の計算力はあっても理論を必要としない学生対象である。2015 年度は初等整数論を題材に選んだ。初等整数論も数学である

7

から，理論的に証明を行うのが正道であるが，この講義では，具体的な数値で計算することができればよいとする。合同方程式などを数値で計算する方法をマスターするのが目的である。
周辺科目は工系の学生が理系の講義を受講しなければならないルールのため，理系の科目は受講希望者が多い。しかし，試験で成績評価を行うには，試験で途中の過程を正しく理解できていることをキチンと確認しなければならず，そのためには人数を制限せざるを得ない。ところが，2015
年度に題材に選んだ初等整数論では，大きな数字で具体的に計算させるため，答えが偶然に当たることは少なく，よって，答えが合っていれば途中のプロセスも正しいはずだと推定できる。そのため，e-Learning による自動採点を採用した。これで 200 人超の受講生にも対応できた。

e-Learning の問題を作ることは大変な労力が必要だが，試験問題を作るついでに毎回の授業の類題を作り，e-Learning で出題した。数学的に厳密な証明よりも計算結果が合うことを主眼にしているので，ゲーム感覚で復習を楽しんでもらえたと思う。
■4 年ゼミ・修士ゼミ

4 年または修士 (さらには博士も) のゼミは少人数で，基本的には洋書の輪講で進めるが，人数が少ないし，数学の専門性も高くなっているので，正しく論理的に理解してから進むことを重視する。洋書を読ませるのは，日本語の本だとただ朗読していても正しいことを言っているので，学生が理解していないのにそのままスルーしてしまうのを防ぐためである。洋書
なら，日本語に訳した時点で間違っていれば，それは数学が理解できていないことの証左になる
し，訳せないときにも数学の内容から推測することで，より数学の理解が進むという面もある。
数理科学科では，4 年生には卒業研究発表を，修士には修士論文発表を義務付けているので，プ
レゼンテーション技術を身に付けることも重要である。演習の授業で板書するのとは違い，10 分
なり 15 分なりの時間で数学のストーリーを作り，説明するというのは，それなりに練習が必要なことである（もちろん，数学者はそういうことをいつもやっているわけだが）。私のゼミでは，発表は必ず TEX を利用して行うことにしており，TEX の練習も一緒に行う。TEX を扱えるようになることは，数学者なら必須だが，高校教師などでこれを使用する人はほとんどいないようである。
数式を文書にするときには，ぜひ使って欲しい。
■大学院向け授業

大学院向けの授業は，数学の他分野を専門にしている修士院生に確率過程を教えるのが目的だが，修士ゼミともまた異なり，初歩をしっかり教えることよりも，むしろざっと進
めて最先端の数学に触れさせるように心がけている。つまり，高度な数学を対象としていても完璧な理解を要請しないという面がある。
講義では，プロジェクターを使って，数学の学会発表さながらの雰囲気を与えるようにしている。プロジェクターを使った講義での問題点は，講義者は字を書いていないので，受講生がノートを取る時間を確保するのが難しいことが挙げられるが，この講義では資料を印刷したものを配布することによってその問題を解決している。
内容は修士の院生相手なので，式変形のプロセスは後で自力で補完出来ることを期待して（その式変形のプロセスがレポート課題で，それで成績評価する），それよりも，この定理からどういう結果が導かれ，それがどんな状況を意味するのか，という論理の流れを重点的に解説するようにしている。そして，最後には自分の論文の結果の解説にまで行きつく。

8

現実には，佐賀大学では，修士の院生から数学者に進むものはほとんどいないが，院生として，研究のあり方，醍醐味も味わってもらいたいので，自分のその論文の次にどういう結果が得られそうで，ここまで出来てここで行き詰っている，ということまで，研究の苦しみをも含めて話すようにしている。

3 結果■基礎数学

質問カードによって，数 III をやっていない学生に対するケアが一度にできると予想していたが，実際には同じ質問が何度も投稿された。返事を書いても読まれないのでは効果がない
が，印刷物を読んで理解するというのは本を読んで理解するのと大差ないので，数学的基盤のない(農学部の) 学生には難しいことなのかもしれない。
しかし，直接質問に来ることを躊躇してしまう学生にも質問の機会を与えることができたのはよ
かった。また，数学以外の質問や雑談にも，回答をしたため，クラス内の親睦を深めることができた。
■微分積分学基礎演習 II

数理科学科の必修の演習科目でも質問カードを行ったが，同じ用紙に小テストの問題解答も載せたので，その分，質問の余白が (質問を書く時間も) 減って，投稿が少な
くなってしまったのは仕方がない。
■4 年ゼミ・修士ゼミ 前節で洋書を輪講する理念を述べたが，実際には，“正しく和訳して数学は理解できていない”というケースが多くあった。英語を訳してそれで終了，という勉強法になってしまっているようなのである。それに，卒研や修論の際にも，数学的な日本語が書けていないケースが増えてきた。数学の書には数学ならではの言い回しというものがあって，そういうものは 4 年(または 6 年) も数学書に触れていればおのずから身に付くものだと思っていたが，最近はそうでもないようだ。今後は，4 年ゼミ・修士ゼミにおいて，和書を輪講することも考慮しようと思う。

4 今後の目標 (に対する理念)
4.1 授業アンケート (短期目標として)佐賀大学では，授業アンケートが行われているが，これが (web で回答する方式になってから)すこぶる回収率が悪い。私の講義は 1 年生対象のものが多く，回答率が高い方らしいが，それでも半分足らずの回答率での結果を云々するのは不十分である。しかし，教育の結果として学生からの意見を収集するのが重要であることは確かである。このアンケートの回答率を上げる方策が今学内で議論されているところだが，それに先立って，自分の授業では自分で授業アンケートを行ってみたい。ちょうど最後の授業の質問カードは，質問があってもその返事が配布できないので，その欄を利用して，簡単な授業アンケートをするのは，すぐにもできそうである。

9

4.2 成績評価について
受講生の各レベルに応じて，目標とするレベルも変え，方法も工夫しているのだが，どうしても不可を取ってしまう学生が存在する。
しかし，それは受講生のレベルがその講義のレベルの達していないのだと考える。例えば，ε-δ
論法のできない学生（つまり，計算力はあるのに論理ができない理系学生）は，工学部に入っていれば数学で優秀な成績がとれたかもしれないのに，数学科では不可である。同様に，公式は覚えているのに計算ができない学生は，農学部に入っていれば数学で優秀な成績がとれたかもしれないのに，工学部では不可になるということである。このように，どの段階にもそれぞれのレベルに応じて達しない学生がいるだけのことである。このようなとき，計算はできているから，とか，公式は覚えているから，と一つ下のレベルをクリアしていることを理由に『可』を与えることはしないよ
うにしている。
「このようなできない学生は勉強するモチベーションを失っているので，数学に対する興味をそそるような授業をするべき」だという意見があるが，公式は覚えているのに計算ができない人に計算力を上げるモチベーションを与えるのは難しい。計算力がなくて不可になっていることを認識していてなおかつそれをしないのはできないからである。むしろ，そういう『数学に対する興味をそそるような』話は，一つ下のレベルから上に引き上げるためのものである。例えば，出前授業のよ
うに数学に進むかどうかわからない集団の中から，数学に興味を持つ人を選りだす手段としては効果があると考えられる。

4.3 博士院生の指導 (長期目標として)数学の専門ではない学生から数学科の学生，そして，数学専攻の大学院生の授業の理念をそのレベルごとに述べてきたが，さらに大学院博士レベルの指導について述べたい。
数学の研究は高度に抽象的であるが，研究者レベル (＝大学院博士レベル) になると，その抽象的な数式の中にも，独特なイメージというものがあるものである（世の中には 4 次元が見えるという数学者もいるほどである）。そのイメージはもちろん抽象化された世界のものであるから，具体的に説明できるようなものではないし，各人でそれぞれ異なることもよくある。例えば，単なる数式の変形をしていても，それをある人のイメージから見ると当然の結果なのに，他の人のイメージでは意外な結果に見えるということがある。つまり，単なる式変形といえども，何らかのイメージを持って変形しているということが大切なのである（研究者レベルでは，ということである。念の為）。修士ゼミで，よくこのことを指摘するが，何もイメージを持たずに過ごしている者ばかりである。数学の研究とは新しい定理の創出だが，それはたまたまの式変形の結果ではなく，何らかのイメージを持って，これが成り立ちそうだと思って研究した結果，それが証明される，という流れを持つものである。要するにイメージがないと新しい定理が見つけられないのである。大学院講義の項で書いた研究の醍醐味・苦しみはこのようなことを意味している。博士院生はこのレベルに達

10

してもらわなければならないが，できないまでも修士院生にもこのことが伝わればよいと思って
いる。

11

5 資料
5.1 資料 1（オンラインシラバス）

125.2 資料 2（教育功労者表彰）

13

5.3 資料 3（教科書）

書籍名

ステップアップ微分積分学（ステップアップ ビブンセキブンガク）

著者名前田定廣・梶木屋龍治 監修 日比野雄嗣 著（マエダサダヒロ・カジキヤリュウジ ヒビノユウジ）

出版社 培風館
判型

ISBN

A5 頁数 208 発行日 2015-05-28 税込価格 ￥2376

本書は，大学初年級向けの微分積分学の教科書である。週1回の大学の授業を1年分，つまり90分30回の授業で行うことを目途に内容を選定した。数III程度の知識を仮定している部分があるので理系向けではあるが，証明にε論法を使わず，主に計算問題ができるようになることを目標にしている。執筆にあたっては，できるだけオーソドックスな記述を心がけた。そして，演習書としても利用できるよう，[問題 A]は計算問題を中心にやさしいものから難しいものまで多数収録している。また，授業では扱わないが他の教科書ではよく扱われている話題については[問題 B] として取り上げ，本文と同程度の丁寧さの解答書を与える。

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14

は

野比日

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15

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名氏

出席カード

5.4 資料 4（質問カードの例）

5.5 資料 5（基礎数学の試験問題）

Tue. Aug. 4, 8:50-10:20, 2015.

「基礎数学」試験問題
1

次の問いに答えよ. ただし，答えだけでよい. (各 5 点)

(1) y = sin−1 x のグラフを描け.
(2) y = cos−1 x のグラフを描け.
(3) y = tan−1 x のグラフを描け.
(4) sin−1 x の導関数を書け.
(5) tan−1 x の導関数を書け.
(6) sin x のマクローリン級数を x4 の項まで書け.
(7) cos x のマクローリン級数を x4 の項まで書け.
(8) ex のマクローリン級数を x4 の項まで書け.
(9)1の不定積分を書け.
x2 + 91(10) √の不定積分を書け.
9 − x2(2

極限 lim

3

不定積分

4

広義積分

x→0

1
1
− x
sin x e − 1∫)を求めよ. (10 点)

x4 + 1dx を求めよ. (20 点)
x4 − 1∫ 1
x3 log x dx を求めよ. (20 点)
0

16

5.6 資料 6（小テスト付きの質問カードの例）。すまえ教をトンヒばれれか訊，もてくなて出がえ答。すまえ答てえ考，かういとるえ教
かすまれくてえしおらたいきをえ答てしとたでがえ答ていとを題問るいてったあが分自。すまきではとこ
す出をえ答てえ考，でのるけ解も題問のど，がすでのいなてし意用はえ答でのいいでみのえ答 。いし欲が答解の題問
習演礎基学分積分微
野比日

でのな

分積次累 題問の回前

りよ
りよ
答解の回前

。いさだくてみてえ
考。かうょしでいいばれすに状形ういうど。すまれ作もンータパるれか分につ が分積で合集線横つか線縦，がたしまれか分につ が分積はで題問のこ。すでとものい違
間はのるすとうよしかと何でけだるじいを式でいなか描を図。すでうよいな
はで題問いし難，ばけ書とンチキを図，がたしまい思とかいなはでのるいてっなに図な悪地意，もりよ題問の書科教。たしまいてきでくよ変大 説解

よせ換交を序順分積の。いさだくてい書に裏はたま下のこをどな想感・見意・問質るす対に業授るすと

分積重 てい用を換変の数変分積ういと

名氏

ドーカ席出

号番籍学

しだた よめ求17