未来への架け橋≪令和２年度版≫

表をもとに、x、yの関係を見いだし、 xに対応するyの値を求める問題

具体的な事象を、方程式を活用して解決する問題

標本の比率をもとに、母集団の傾向を推定する問題

次のように考えて解きます。
①面積に着目して、方程式をつくる。
ア 花だんの面積を x を使った式で表して方程式をつくる。

次のように考えて解きます。
(6)①表をもとに、x、yの関係を表す式を求める。 必要な知識や技能
ay が x に反比例する関係だから式は、 y ＝ x （ a は比例定数）と表される。

xm2m2m考え方のポイントax ＝１、 y ＝－１２を y ＝ xa－１２＝ １ ☞ a ＝－１２１２
よって式は、 y ＝－xに代入して、a の値がわかれば式が求められるので、表の 内のいずれか１組を式に代入する。

② x＝３のときの y の値を求める。
１２１２x ＝３を、 y ＝－に代入して、 y ＝－x３

イ2m

y ＝－４xm2m2x m

印つき３０個「無作為に抽出した」ということは、「かたよりなく取り出している」ということなので、箱の中と取り出した３０個のキャップの中との印つきキャップの割合は同じと考える。

３０個
印つき２個

② ①で考えた割合をもとに比例式をつくり、箱の中のキャップの個数を求める。
必要な知識や技能
箱の中のキャップの個数を x 個とすると、
x ：３０＝３０：２外側の項の積と内側の項の積は等しい
２ x ＝３０✕３０x ＝４５０（個）※正答は、赤字(x -2)m2m

264m22m

必要な知識や技能道の面積を x を使った２通りの式で表して方程式をつくる。

xm(９)①箱の中と取り出した３０個の中の、印つきキャップの割合をそれぞれ考える。
＜箱＞＜取り出した３０個のキャップ＞
考え方のポイント？個(2x -2)m

４つの花だんそれぞれの面積はわからないから、右図のように４つの花だんを１か所に集めて大きな花だんをつくる。

右図の大きな花だんの縦の長さ( x －２)ｍ、横の長さ(２x －２)ｍと表されるから、面積は( x － 2 )( 2x － 2 )。よって方程式は、( x － 2 )( 2x － 2 )＝２６４2x m☞

考え方のポイント

2x m

考え方のポイント

太枠と点線枠の面積の和は、正道の面積＝土地の面積－花だんの面積
方形の面積を２つ加えているので、＝ x×２x － ２６４１つ分をひく。
道の面積＝太枠の道の面積＋点線枠の道の面積－道が交差する正方形の面積＝x×２＋２×２x－２×２
よって方程式は、 x×２x －２６４＝ x×２＋２×２x －２×２②①の二次方程式を解き、その解が問題にあうか調べて答えを求める。
必要な知識や技能①の式を整理すると、２ x ２ －６ x－２６０＝０両辺を２でわる。
x ２ －３ x－１３０＝０
和が－３、積が－１３０になる２数を見つけて因数分解する。
( x －１３)( x ＋１０)＝０
x ＝１３，－１０
x ＞２だから、x ＝１３は問題にあう。
x ＝－１０は問題にあわない。
（答）土地の縦の長さ １３ｍ※正答は、赤字未来への架け橋≪令和２年度版≫

不確定な事象の起こりやすさを、確率を判断の根拠として説明する問題

２つの数量の関係を一次関数として捉え、グラフや式を用いて考察する問題

次のように考えて解きます。
①

樹形図等をもとに、コマがＡのマスとＣのマスに止まる場合のそれぞれについて、確率を求める。
和が３、７
和が４、８取り出した２枚のカードの数の和だけ、Ａから矢印の向きにコマを動かすから、和が右図のとき、コマはＡ～Ｄのマスに次のように考えて解きます。
和が５和が６①止まる。
箱の中の５枚のカードを１、２、３、③、５とする。
考え方のポイント

必要な知識や技能

止まる
マス
２＝３ → Ｄ和

１２３③②

３＝４ → Ａ③＝４ → Ａ
５＝６ → Ｃ
３＝５ → Ｂ③＝５ → Ｂ
５＝７ → Ｄ③＝６ → Ｃ
５＝８ → Ａ
５＝８ → Ａ

起こりうる全ての場合を整理して数えるため、２枚ある ３ のカードを、３と③のように区別して考えると、左の樹形図から、５枚のカードの組の取り出し方は１０通りである。
コマがＡのマスに止まる場合の２枚のカードの数の和は４、８なので、その組は（１、３）、（１、③）、（３，５）、（③、５）の４通りである。
４２
よって、求める確率は＝５１０
コマがＣのマスに止まる場合の２枚のカードの数の和※正答は、赤字

考え方のポイントである。
よって、求める確率は②ＡプランとＣプランの電話料金が等しくなる時間

ＡプランとＣプランのそれぞれについて、 x と y の関係を表す式を求める。
必要な知識や技能60≦ x ≦90におけるＡプランについてのグラフは、傾き30、点(60、3６00)を通る直線だから、 式は y ＝30 x ＋1800…①
60≦ x ≦90におけるＣプランについてのグラフは、２点(60、3900)、(90、4350)を通る直線だから、式は y ＝15 x ＋3000…②

傾きが30だから式は、 y ＝30 x ＋ bx ＝60 、 y ＝3600を代入して、
b ＝1800
4350－3900
傾きは、 90－60 ＝１５だから
式は、 y ＝15 x ＋ bx ＝60 、 y ＝3900を代入して、
b ＝3000①、②の式を連立方程式として解くと、 x ＝８０、 y ＝４２００２１＝１０５なので、コマが止まりやすいのは、Ａのマスである。

43503900基本使用料3900円、60分まで無料であること、90分のとき4350円であることから、この２点を通る。

は６なので、その組は（１、５）、（３、③）の２通り①で求めた確率を使って、コマが止まりやすいのは、ＡのマスとＣのマスのどちらであるかを説明する。
１２①より、 ５ ＜５Ｃプランについての通話時間と電気料金の関係を図１にかき入れ、グラフが通る点の座標などを明らかにする。
60≦ x ≦90におけるＣプランのグラフは点（60、3900）、（90、4350）を通る直線③

60≦ x ≦90だから、これは問題にあう。
（答）通話時間が８０分をこえたときから※正答は、赤字

考え方のポイント

２直線の交点の座標は、２直線の式を連立方程式とみたときの解と一致するから、これらを解けばよい。

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図形の性質などを使って、２つの三角形が相似であることを証明する問題

空間図形の一部を平面図形として捉え、線分の長さを求める問題

次のように考えて解きます。
次のように考えて解きます。
①①

図２に、問題文の中にある辺の長さや辺の長さの比などをかき入れ、線分ＩＪを一辺とする直角三角形を見いだす。
ＥＨ＝４㎝、ＥＩ＝１㎝より、ＩＨ＝３㎝３㎝△ＩＨＪは、∠ＩＨＪ＝９０°の直角三角形である。
１㎝

仮定と結論を明らかにし、仮定や図形の性質などから等しいといえる角を見いだす。
①【仮定】線分ＢＥは∠ＡＢＣの二等分線、ＡＢ//ＥＧ【結論】△ＡＢＤ∽△ＦＡＥ

考え方のポイント

直角三角形ＩＨＪにおいて、ＩＨ＝３㎝だから、線分ＨＪの長さがわかれば、三平方の定理を使って線分ＩＪの長さを求められる。

△ＡＢＤと△ＦＡＥにおいて、 必要な知識や技能
平行線の錯角は等しいから、ＡＢ//ＥＧより∠ＢＡＤ＝∠ＡＦＥ…①②

必要な知識や技能②

線分ＢＥは∠ＡＢＣの二等分線だから∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ…②
ＣＥに対する円周角は等しいから、 必要な知識や技能∠ＣＢＤ＝∠ＦＡＥ…③②、③より、∠ＡＢＤ＝∠ＦＡＥ…④１２６㎝
ＨＧ△ＨＪＧ∽△ＫＪＤより、対応する辺の比は等しいので、
３ ２㎝ ２
ＨＧ：ＫＤ＝ＧＪ：ＤＪ＝２：１
３㎝ ２ ２㎝ Ｊ
１
必要な知識や技能
ＨＧ＝６㎝より、ＫＤ＝３㎝２㎝△ＨＤＫは直角二等辺三角形なので、ＨＫ：ＫＤ＝ ２：１ Ｄ
ＣＫ３㎝
ＨＫ＝ ２ＨＤ＝３ ２㎝
考え方のポイント
また、ＨＪ：ＨＫ＝２：３
相似な図形の辺の長さの比や、特別な直角三角形
ＨＫ＝３ ２より、ＨＪ＝２ ２㎝の辺の比などを用いて、必要な線分の長さを求める。

④

必要な知識や技能

3㎝：

線分ＨＪを含む平面ＨＤＣＧに着目し、線分ＨＪの長さを求める。
線分ＨＪを延長した直線と線分ＤＣの交点をＫとする。

考え方のポイント△ＡＢＤと△ＦＡＥにおいて、①以外の対応する角が等しいことは、必要な知識や技能１つからでは説明できないので、次の考え方を使って説明する。
◯＝□、□＝▽ ならば、◯＝▽

６㎝

③③②

使う相似条件を決めて、証明を完成する。
必要な知識や技能①、④より、２組の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＤ∽△ＦＡＥ※正答は、赤字Ｉ△ＩＨＪにおいて、三平方の定理を使って線分ＩＪの長さを求める。
ＩＪ２＝ＩＨ２＋ＨＪ２ 必要な知識や技能
３㎝＝３２＋（２ ２）２＝１７ よって、ＩＪ＝ １７㎝※正答は、赤字Ｈ

２ ２㎝

Ｊ