෺ཧֶ I-1 ʢ75 ఺ʣਤ̍ʹࣔ͢Α͏ʹɼ3ℓ ཭Εͨ̎ͭͷนͷؒʹ࣭ྔ m ͷ̎ͭͷ࣭఺̍ɼ͕̎όωఆ਺ k1 , k2
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(1) ࣭఺̍ɼ͕̎ຬͨ͢ӡಈํఔࣜΛॻ͚ɽ(2) Q1 = q1 − q2 , Q2 = q1 + q2 ͸ɼ͜ͷ‫ܥ‬ͷ‫ج‬४࠲ඪͰ͋ΔɽQ1 , Q2 ͕ຬͨ͢ӡಈํఔࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ(3) (2) Ͱ‫ٻ‬Ίͨӡಈํఔ͔ࣜΒɼQ1 , Q2 ʹର͢ΔͦΕͧΕͷ‫ج‬४֯ৼಈ਺ ω1 , ω2 Λ‫ٻ‬ΊΑ.
(4) ͜ͷ‫ܥ‬ͷશΤωϧΪʔΛ Q1 , Q2 , Q̇1 , Q̇2 Λ༻͍ͯॻ͚ɽ
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43ਤ̎

(5) ̎ͭͷৼΓࢠ͔ΒͳΔ͜ͷ‫ܥ‬ͷӡಈΤωϧΪʔ T Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(6) όωͷ৳ॖʹΑΔ஄ੑΤωϧΪʔ K Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(7) ఱҪͷҐஔΛ‫ج‬४ͱͯ͠ɼ͜ͷ‫ܥ‬ͷશϙςϯγϟϧΤωϧΪʔ U Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(8) ͜ͷ‫ܥ‬ͷϥάϥϯδϡؔ਺ L Λॻ͚ɽ(9) ͜ͷ‫ܥ‬ͷϥάϥϯδϡؔ਺ L ͱΦΠϥʔɾϥάϥϯδϡͷํఔ͔ࣜΒɼৼΓࢠ̏ɼ̐ʹؔ͢ΔӡಈํఔࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ(10) ৼΓࢠͷৼΕ֯ θ3 , θ4 ͕े෼খ͍͞ͱ͖ɼ(9) Ͱ‫ٻ‬Ίͨӡಈํఔࣜ͸ɼͲͷΑ͏ʹۙࣅ͞ΕΔ͔ࣔͤɽे෼খ͍͞ θ ʹରͯ͠͸ɼcos θ ∼= 1ɼsin θ ∼= θ ͷۙࣅ͕੒Γཱͭ͜ͱΛ༻͍ͯΑ͍ɽ(11) (10) Ͱ‫ٻ‬Ίͨӡಈํఔࣜʹରͯ͠‫ج‬४֯ৼಈ਺Λ‫ٻ‬ΊΔͨΊʹɼθ3 = C cos(ωt + α),θ4 = D cos(ωt + α)ͱ͓͘ɽৼ෯ C ɼD Λ‫ٻ‬ΊΔ࿈ཱํఔࣜΛॻ͚ɽ͜͜Ͱɼω ͱ α ͸ఆ਺ͱ͢Δɽ(12) (11) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ࿈ཱํఔ͕ࣜɼC = D = 0 Ҏ֎ͷղΛ࣋ͭͨΊͷ৚݅ࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ(13) (12) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ৚݅ࣜΛղ͘͜ͱͰɼ̎ͭͷ‫ج‬४֯ৼಈ਺ ω3 ɼω4 Λ‫ٻ‬ΊΑɽ·ͨɼ‫ٻ‬Ίͨ‫ج‬४֯ৼಈ਺ ω3 , ω4 ʹର͢Δৼಈͷ༷ࢠʹ͍ͭͯड़΂Αɽ

物理学 I-2 （75 点）
真空中の電磁場に関する以下の問いに答えよ．ただし，誘電率および透磁率には ε0 と µ0 をそれぞれ用いること．

(1) 真空中の電磁場を記述するマクスウェル方程式を 4 つ書け．
(2) (1) の式を用いて，電場 E に関する波動方程式を導け．

定常電流が真空中につくる磁場について，以下の問いに答えよ．

(3) 図 1 に示すように，x 軸上を無限に長い直線電流 I が流れている場合を考える．原点 O から x 軸に垂直に距離 R だけ離れた点を P とし，x 軸上の点 Q から点 P までの距離を r とする．このとき，点 Q における電流素片 Idx が点 P につくる磁束密度の大きさ dB の式を，ビオ・サバ―ルの法則から書き表せ．

(4) (3) で得た結果について，dx から dθ に変数変換し，θ1 から θ2 まで積分することで，x 軸上の AB の部分の電流が点 P につくる磁束密度の大きさが以下の式で表されることを示せ。

B=µ0 I(cos θ1 − cos θ2 )4πR⃝
1(5) 一辺の長さが a の正三角形の導線回路を定常電流 I が流れる場合に，正三角形の中心につくられる磁束密度の大きさを求めよ．

(6) 図 2 (a) のような，半径 b の円形回路を定常電流 I が流れている．このとき，円形回路の中心 O から中心軸に沿って距離 d だけ離れた点 P につくられる磁束密度の大きさを求め，その方向を述べよ．

(7) 図 2 (b) のような，単位長さあたりの巻き数 n，半径 b，長さ L の単層ソレノイドに定常電流 I が流れている．θ3 および θ4 を図のように定義するとき（0 < θ3 < θ4 < π ），ソレノイドの中心軸上の点 P における磁束密度の大きさが以下の式で表されることを示せ．

B=µ0 nI(cos θ3 − cos θ4 )2⃝2(8) 図 3 のような，内半径 R1 ，外半径 R2 ，全長 L，全巻き数 N 回の多層ソレノイドコイルに定常電流 I が流れている．半径 r，厚み dr のコイルの微小部分がソレノイドの中心 O につくる磁束密度の大きさ dB が以下の式で表されることを示せ．ただし，コイルには導線が均一に巻かれており，導線の太さは十分に細いとする．

dB =µ0 N I!
" L #2 dr22(R2 − R1 ) r + 2⃝3

また，これを R1 から R2 まで積分することで，ソレノイド全体が中心 O につくる磁束密度の大きさを求めよ．

PrR
θ13IA

θθ2dxOxB

図1(a)(b)Lbθ4bdθ3xOxPPI

図2drR2rR1OL
図3෺ཧֶ II-1 ʢ75 ఺ʣ1 ࣍‫͚͓ʹݩ‬Δແ‫͍ਂʹݶ‬Ҫ‫ܕށ‬ϙςϯγϟϧ!
0 (0 ≤ x ≤ L)
V (x) =+∞ (x < 0ɼx > L)⃝1தΛӡಈ͢Δ࣭ྔ m ͷཻࢠΛߟ͑Δɽ͜͜ͰɼL ͸ਖ਼ͷఆ਺Ͱ͋ΔɽҎԼͷ໰͍ʹ౴͑Αɽ
(0)(0)(1) ΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗஋ En ͱ‫֨ن‬Խ͞Εͨ‫ݻ‬༗ؔ਺ ψn (x) (n = 1, 2, 3, · · · ) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ͜ͷ‫ઁʹܥ‬ಈͱͯ࣍͠ͷ δ ؔ਺‫ܕ‬ϙςϯγϟϧΛՃ͑Δɽ
"#h̄2 εL∆V (x) =
δ x−.
2mL2

⃝2͜͜Ͱɼε ͸ਖ਼ͷඍখఆ਺Ͱ͋Δɽ
(1)(2) ઁಈʹΑΔΤωϧΪʔͷͣΕ En (n = 1, 2, 3, · · · ) Λ ε ͷ 1 ࣍·ͰͷۙࣅͰ‫ٻ‬ΊΑɽ(3) (2) ͷ݁Ռʹ͍ͭͯɼn ͷ‫ʹحۮ‬஫ҙͯ͠ɼͦͷಛ௃Λड़΂ΑɽҎԼͰ͸ɼV (x) + ∆V (x) Λϙςϯγϟϧͱ͢ΔγϡϨʔσΟϯΨʔํఔࣜΛղ͘͜ͱΛߟ͑Δɽ(4) x =Ldʹ͓͚Δ೾ಈؔ਺ ψ(x) ͱͦͷ 1 ֊ඍ෼ψ(x) ͕ຬͨ͢΂͖৚݅ࣜΛࣔͤɽ
2dx(5) ΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗ؔ਺ ψn (x) ʹ͍ͭͯɼx =ͯΑ͍ɽͦͷཧ༝Λड़΂ΑɽLΛத৺ͱͯ͠ରশɼ·ͨ͸൓ରশͱԾఆ͠
2L
Λத৺ͱͯ͠ରশ (ψnS (x))ɼ·ͨ͸൓ର2L
শ (ψnA (x)) ͱԾఆͯ͠Α͍ͷͰɼ൒෼ͷྖҬ 0 ≤ x ≤ Ͱߟ͑Ε͹े෼Ͱ͋Δɽ͜ͷͱ
2
͖ɼ(4) ͷ৚͕݅ࣜҎԼͷΑ͏ʹͳΔ͜ͱΛઆ໌ͤΑɽ$" #" #d S $ε S LLA$lim
ψn (x)$= − ψn, ψn= 0.
⃝
3a→0 dx
2L22x= L −a(6) (5) ΑΓɼΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗ؔ਺ ψn (x) ͸ɼx =2͜͜Ͱɼa ͸ਖ਼ͷఆ਺Ͱ͋Δɽ(7) 0 ≤ x ≤Lʹ͓͍ͯɼΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗ؔ਺ ψn (x) (n = 1, 2, 3, · · · ) Λ2
ψn (x) = Nn sin(kn x)⃝4ͱԾఆͰ͖Δɽ͜͜ͰɼNn ͸‫֨ن‬Խఆ਺Ͱ͋Δɽ৚݅ࣜ ⃝3 ʹ͜ͷ೾ಈؔ਺Λ୅ೖͯ͠ɼ
೾਺ kn ʹର͢Δ৚݅ࣜΛಋ͚ɽnπ(1 + δn ) ͱ͓͘ɽ(7) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ৚݅ࣜΛ δn ͷL
1 ࣍·ͰͷۙࣅͰղ͘͜ͱʹΑΓɼΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗஋͕ (1)ɼ(2) ͷ݁ՌͱҰக͢Δ͜ͱΛ(8) δn Λਖ਼ͷඍখఆ਺ͱͯ͠ɼ೾਺Λ kn =ࣔͤɽ物理学 II-2 （75 点)

絶対温度 T の熱浴と接して熱平衡にある粒子数 N の系について考える．この系において，１つの粒子が取りうる微視的状態は K 個あり，それぞれが En （n = 1, 2, ..., K ）で表されるエネルギーを持つとする． ただし，粒子の増減と粒子間の相互作用は無視できるとする．また，
1
この系の体積は変化しないものとする．ボルツマン定数を k ，また，β =として以下の問
いに答えよ．

kT(1) １つの粒子が m 番目の状態をとる確率 pm を，分配関数 Z(β) =(2) この系におけるエネルギーの熱力学的平均値 E を求めよ．

K!
n=1

e−βEn を用いて表せ．

(3) 古典的な熱力学において，内部エネルギー U とヘルムホルツの自由エネルギー F の間には，
U = ∂ {βF (β)} なる関係式（ギブス＝ヘルムホルツの関係式）が成り立つことが知られ∂βている．この関係式と，エネルギーの原点は任意であることを用いて F = −N kT log Z(T )を導け．
スピン1の粒子が磁場 H の中に置かれると，ゼーマン効果としてそのエネルギー準位は磁2場の大きさに比例したエネルギー幅をもって分裂する．それぞれの準位に属する粒子のスピンは磁場の向きを正として ∓µ の磁気モーメントを持つとする．粒子は N 個あり，各磁気モーメント間の相互作用は無視できるとする．また，系のエネルギーの基準は，H = 0 における値とする．この系が絶対温度 T の熱浴に接して熱平衡状態にあり，カノニカル分布によって取り扱えるとして以下の問いに答えよ．
(4) この系の分配関数 ZN を求めよ．

(5) この系のヘルムホルツの自由エネルギー F を求めよ．

#µH≪ 1 においてエントロピーがどのkTx2ような値をとるか，議論せよ．ただし，log(cosh x) =+O(x4 ) である．
2(6) この系のエントロピー S を求めよ．また，高温"(7) この系の断熱を保ったまま H を a に変化させたとき，温度 T はどのように変化するかH

述べよ．ただし，a は正の定数である．

(8) この系の磁場 H における比熱 C を求めよ．

(9) この系の磁場 H における磁化 M を求めよ．また，高温どのような値をとるか，議論せよ．

"#µH≪ 1 において磁化 M がkT໰୊ɹʢ50 ఺ʣ(1) ࣍ͷӳจதͷۭཝʹೖΔ΋ͬͱ΋దͨ͠‫ޠ‬ΛͦΕͧΕͷબ୒ࢶ͔Βબ΂ɽi) The ɹɹ about an axis is defined as the sum of the product of the particle massand the square of the perpendicular distance from the axis.
બ୒ࢶɿangular moment, centrifugal force, kinetic energy, moment of inertia,momentumii) The eigenfunctions corresponding to two diﬀerent eigenvalues E and E ′ are ɹɹ ,meaning that the integral of the product of one of them and the complex conjugateof the other is zero.
બ୒ࢶɿcomplete, degenerate, normalized, orthogonal, regulariii) The ɹɹ concerns itself with the problem of one or more point charges in thepresence of boundary surfaces.
બ୒ࢶɿfinite element method, Gauss’s law, Green function, Maxwell equation,

method of imagesiv) A thermodynamic process of a system is said to be ɹɹ if the system is thermallyinsulated so that no heat can be exchanged between it and its environment during
the process.
બ୒ࢶɿadiabatic, conservative, homogeneous, isothermal, qualitativev) When the Schrödinger equation needs to be solved using an approximation method,ɹɹ is applied to cases in which the real system can be described as a small change

from an easily solvable, idealized system.
બ୒ࢶɿFermi’s Golden rule, the perturbation method, the rotating wave approx-imation, the variational method, the WKB method(2) ҎԼͷจষΛಡΈɼۭཝʹೖΔ΋ͬͱ΋దͨ͠‫ޠ‬Λબ୒ࢶ͔ΒҰͭͣͭબ΂ɽͨͩ͠ಉ͡
‫ޠ‬Λೋ౓Ҏ্༻͍ͯ͸ͳΒͳ͍ɽɹ Classical dynamics has been the prototype of the scientific approach. In French theterm “rational” mechanics is often used, implying that the laws of classical mechanics
are the very laws of reason. Among the characteristics attributed to classical dynamics
was that of strict ɹ i ɹ . In dynamics a fundamental distinction is made between initialconditions, which may be given arbitrarily, and the equations of motion, from which
the system’s later dynamic state can be calculated. Modern dynamics was born withJohannes Kepler’s laws of planetary motion and with Newton’s solution of the “two body”
problem. However, dynamics becomes enormously more ɹ ii ɹ as soon as we take into

account a third body. If the system is suﬃciently complex, knowledge of the system’s
initial state generally does not allow us to predict the behavior of this system over long
periods of time. This ɹ iii ɹ persists even when precision in the determination of theinitial state becomes arbitrarily high. It becomes impossible, even in principle, to knowwhether, for instance, the solar system that we inhabit is stable for all future times. Suchconsiderations considerably limit the usefulness of the concept of trajectories. We must,
then, consider ensembles of trajectories compatible with our measurements. But once weleave the consideration of single trajectories, we leave the model of strict determinism.
We can make only ɹ iv ɹ predictions, forecasting average results.
બ୒ࢶɿcomplicated, determinism, ensemble, statistical, straightforward, uncertainty(3) ҎԼͷจষΛಡΈɼۭཝʹೖΔ΋ͬͱ΋దͨ͠‫ޠ‬Λબ୒ࢶ͔ΒҰͭͣͭબ΂ɽͨͩ͠ಉ͡
‫ޠ‬Λೋ౓Ҏ্༻͍ͯ͸ͳΒͳ͍ɽɹ About 100,000 years ago, humans learned how to speak, and about 5,000 years ago

they learned to write. The complexity and diversity of human language sets Homo sapiensapart from all other species. Of course there are other attributes that are uniquely human:no other species wears clothes, creates art, or spends two hours a day on social media
in the way that humans do. But when Alan Turing proposed his test for intelligence, hebased it on language, not art or haberdashery, perhaps because of its universal scope andbecause language captures so much of intelligent behavior: a speaker (or writer) ɹ i ɹ
the goal of communicating some knowledge, then ɹ ii ɹ some language that ɹ iii ɹthe knowledge, and ɹ iv ɹ to achieve the goal. The listener (or reader) ɹ v ɹ thelanguage, and ɹ vi ɹ the intended meaning. This type of communication via language
has allowed civilization to grow; it is our main means of passing along cultural, legal,scientific, and technological knowledge.
• haberdashery: খؒ෺ྨɼਈ࢜༻ࡶ՟ྨબ୒ࢶɿacts, has, infers, perceives, plans, represents(4) ࣍ͷӳจΛ࿨༁ͤΑɽi) At the very beginning of the development of quantum mechanics, one was faced withthe problem of finding a diﬀerential equation describing discrete states of an atom.
It was not possible to deduce exactly such an equation from old and well-known
physical principles; Instead, one had to search for parallels in classical mechanics
and try to deduce the desired equation on the basis of plausible argument. Such anequation, not derived but guessed intuitively, would then be a postulate of the newtheory, and its validity would have to be checked by experiment.
• parallel: ྨࣅ఺ii) It may seem perverse to use a computer, that most precise and deterministic of all
machines conceived by the human mind, to produce “random” numbers. More thanperverse, it may seem to be a conceptual impossibility. Any program, after all, willproduce output that is entirely predictable, hence not truly “random.”• perverse: ͻͶ͘Εͨɼअಓͳiii) The laws of nature and the results of all experiments performed in a given frameof reference are independent of the translational motion of the system as a whole.
More precisely, there exists an infinite set of equivalent Euclidean reference frames
moving with constant velocities in rectilinear paths relative to one another in which
all physical phenomena occur in an identical manner.
• Euclidean reference frame: ϢʔΫϦου࠲ඪ‫ܥ‬• rectilinear: ௚ઢͷ(5) ࣍ͷ೔ຊ‫ޠ‬Λӳ༁ͤΑɽඞཁͳΒ͹Լͷ [ ] ͷதʹ͋Δӳ‫ޠ‬Λ༻͍ͯΑ͍ɽi) ෳࡶͳ‫ܗ‬Λͨ͠ϙςϯγϟϧͰ͋ͬͯ΋ɼଟ͘ͷ΋ͷ͸ฏߧ఺ͷۙ๣Ͱ͸ௐ࿨ৼಈࢠͰۙࣅͰ͖Δɽii) ‫̎ٯ‬৐ଇ͸ɼ௕͞ͷई౓Ͱ͸গͳ͘ͱ΋ܻ̎̑ͷൣғͰͳΓͨͭ͜ͱ͕Θ͔͍ͬͯΔɽiii) Maxwell ํఔࣜ͸ɼి৔ͱ࣓৔ͷ֤੒෼ͷؒͷؔ܎Λ༩͑Δ࿈ཱ̍֊ภඍ෼ํఔࣜͰ͋Δɽ

[coupled partial diﬀerential equations, equilibrium, inverse square law]ग़యɿI. Prigogine, “From being to becoming” (Freeman and Company 1980), S. J. Russel,

et al., “Artificial intelligence: a modern approach” (Pearson 2021), W. Greiner, “Quantummechanics: an introduction” (Springer-Verlag 1989), W. H. Press, et al., “Numerical recipes inC” (Cambridge 1988), J. D. Jackson, “Classical Electrodynamics” (Wiley 1999).