49

平成28年度

川崎市立中学校
学習診断テスト
数学科

誤答分析と学習指導上の考察

川崎市教育委員会
川崎市立中学校長会
数学科調査委員会

50

数 学‫੿؝ڭ‬ਖ峕岬峉峍峐ձ⏕ᚐࡣࠊᇶᮏⓗ࡞஦㡯ࡀ࡝ࡢ⛬ᗘ⌮ゎࡉࢀ࡚࠸ࡿࡢ࠿ࠋ
ղ⏕ᚐࡣࠊ⌮ゎࡀ୙༑ศ࡛࠶ࡿ࡞ࡽࡤࠊ࡝ࡇ࡛ࠊ࡝ࡢࡼ࠺࡞ࡘࡲࡎࡁࡀ࠶ࡿࡢ࠿ ࠋճᩍᖌࡣࠊ㌟࡟ࡘࡅࡉࡏࡓ࠸ຊࢆ᫂☜࡟ࡋ࡚ᤵᴗࢆ⾜ࡗ࡚࠸ࡿࡢ࠿ࠋ
մᩍᖌࡣࠊ༢ඖ඲యࢆ㏻ࡋ࡚Ꮫຊࢆ⫱ᡂ࡛ࡁࡿࡼ࠺࡟ᤵᴗᨵၿࢆヨࡳ࡚࠸ࡿࡢ࠿ࠋ
௨ୖࠊ㸲Ⅼࢆ⏕ᚐ࣭ᩍᖌࡢ཮᪉࠿ࡽᢕᥱ࣭デ᩿࡛ࡁࡿࡼ࠺࡟␃ពࡋࡓࠋ㸦 㸰 㸧 ฟ 㢟 ⠊ ᅖ ࡟ ࡘ ࠸ ࡚ ࡣ ࠊ౛ ᖺ ࡜ ྠ ᵝ ࡟ ๓ Ꮫ ᖺ ࡢ᪤ ⩦஦ 㡯 ࡜ ⌧ Ꮫ ᖺ ࡢ ᒚ ಟ ஦ 㡯 ࡜ ࡋ ࠊࠕᩘ࡜ᘧࠖࠕᅗᙧࠖࠕ㛵ᩘࠖࠕ㈨ᩱࡢά⏝ࠖࡢྛ㡿ᇦ࠿ࡽฟ㢟ࡋࡓࠋ㸦㸯Ꮫᖺ࡟ࡣ
ࠕ㈨ᩱࡢά⏝ࠖ㡿ᇦ࠿ࡽࡢฟ㢟ࡣࡋ࡚࠸࡞࠸ࠋ㸧㸦 㸱 㸧 ၥ 㢟 ࡢ ෆ ᐜ ࡟ ࡘ ࠸ ࡚ ࡣࠊ ྛ Ꮫ ᖺ ࡟ ࠾ ࠸ ࡚ ㌟ ࡟ࡘ ࡅ࡚ ࠾ ࡃ ࡭ ࡁ ᇶ ♏ ⓗ ࣭ ᇶ ᮏ ⓗ ࡞ ▱㆑ ࣭ ᢏ ⬟ ࢆ ၥ ࠺ ၥ 㢟 ࡔ ࡅ ࡛ ࡞ ࡃ ࠊ ▱ ㆑ ࡸ ᢏ ⬟ࢆ ά ⏝ ࡋ ࡚ ㄢ 㢟 ࢆ ゎ Ỵ ࡍ ࡿ ࡓ ࡵ ࡟ᚲ
せ ࡞ ᛮ ⪃ ຊ ࣭ ุ ᩿ ຊ ࣭ ⾲ ⌧ ຊ ➼ ࢆ ၥ ࠺ ά ⏝ ࡟㛵 ࡍ ࡿ ၥ 㢟 ࡶ ฟ 㢟 ࡍ ࡿ ࡇ ࡜ ࡜ ࡋ ࡓࠋࡇࢀࡽࡣࠊࠕ☜࠿࡞Ꮫຊࠖࡢ⫱ᡂ࡟῝ࡃ࠿࠿ࢃࡗ࡚࠸ࡿࠋ
㸦㸲㸧ά⏝࡟㛵ࡍࡿၥ㢟࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊࡑࡢゎ⟅ᙧᘧࢆࠕ㑅ᢥᘧࠖࠕグ㏙ᘧࠖࡢ㸰✀㢮࡜ࡋࡓࠋグ㏙ෆᐜ࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ௒ᖺᗘࡣࠊぢฟࡋࡓ஦᯶ࡸ஦ᐇࢆㄝ᫂ࡍࡿࡇ࡜㸦㸯࣭㸰Ꮫ ᖺ 㸧 ࠊ ࡞ ࡐ ࡑ ࡢ ࡼ ࠺ ࡟ ࡞ ࡿ ࡢ ࠿ ࡜ ࠸ ࠺ ᰿ ᣐࢆ ♧ ࡋ ࡚ ⾲ ⌧ ࡍ ࡿ ࡇ ࡜ 㸦 㸱 Ꮫ ᖺ 㸧ࢆ኱஦࡟ࡋࡓࠋ
㸦㸳㸧ᩥ❶⾲⌧࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ⌧ᅾ౑⏝ࡋ࡚࠸ࡿᩍ⛉᭩࡟‽ࡎࡿࡇ࡜࡟ࡋࡓࠋ
㸦㸴㸧ၥ㢟ࡢ୺᪨ࡣࠊࠗ▱㆑࣭ᢏ⬟࠘࡜ࠗᛮ⪃ุ࣭᩿࣭⾲⌧࠘ࡢ㸰ࡘ࡜ࡋࠊ୺࡜ࡋ࡚ᩍ⛉ࡢほⅬ࡛࠶ࡿࠕᩘᏛⓗ࡞ᢏ⬟ࠖཬࡧࠕᩘ㔞ࡸᅗᙧ࡞࡝࡟ࡘ࠸࡚ࡢ▱㆑࣭⌮ゎࠖࢆࠗ▱㆑࣭ᢏ⬟࠘ࠊࠕᩘᏛⓗ࡞ぢ᪉ࡸ⪃࠼᪉ࠖࢆࠗᛮ⪃ุ࣭᩿࣭⾲⌧࠘࡜ࡋࡓࠋ࡞࠾ࠊ
ࠕᩘᏛ࡬ࡢ㛵ᚰ࣭ពḧ࣭ែᗘࠖ
࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ࣮࣌ࣃ࣮ࢸࢫࢺ࠿ࡽࡢࡳホ౯ࡍࡿࡢࡣᅔ㞴࡜⪃࠼ࠊฟ㢟ࡣࡏࡎࠊほⅬ࡜ࡋ࡚ࡶධࢀ࡚࠸࡞࠸ࠋ
㸦㸵㸧ᩘᏛ⛉㒊఍࠿ࡽ㓄ᕸࡉࢀࡿྛᏛᖺࡢࠕ᚟⩦ࢸࢫࢺࠖ
ࢆ฼⏝ࡋࠊ෌ᗘᐃ╔ࢆᅗࡗ࡚ࡶࡽ࠸ࡓ࠸ࠋ
㸦୺௵఍࡛㓄ᕸ㸧


数学−

2

51

‫؝ڮ‬ল਻峘峗峳岮

ਖ

ਖ

ਖ

ਖ

‫ڭ‬ফ
岧ਫ峘ਯ岝଀峘ਯ峘ੑ઴岨嵣ਫ峘ਯ岝଀峘ਯ峘஛ಋੑ઴峼峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪ਖ岧ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峘ણ৷岨岧਴্உ峘ੑ઴岨岧ਫ峘ਯ岝଀峘ਯ峘ણ৷岨嵣ਫ峘ਯ岝଀峘ਯ峘਀峃ਔ௡峼岝঩ଞেણ峘఻৬৓峔ৃએ 嵣ତਯ峘ਙସ峕峎岮峐ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峼৷岮峐ిજ峕ହ৥峃 嵣਴্உ峼அ峪ૄ峘஛ಋੑ઴岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪峒੥峝峎岻峐৶ੰ峁峐岮峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪嵣ਝ৒峁峉੦૆க岵峳峘ੜ੖峼৹峣岝঩ଞেણ峘఻৬৓峔ৃએ峒੥峝હ岻峐૗৲峮૾ய峼ኇ岲峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪
岧ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峘਀峁্岨嵣ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峼峇峘਀峁্峕జ峍峐਀峃岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧৴য়্ஙૄ峘ੰ岷্岨岧ઃ্ஙૄ峘ੰ岷্岨嵣ਸ੖১峮৻ো১峼৷岮峐岝৴য়੪ઃ্ஙૄ峼ੰ岹岽峒岶 嵣਴্峘஄峕૗஄峁峉峴岝౤ਯীੰ峁峉峴峁峐ઃ্ஙૄ峼ੰ峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岹岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪嵣 ੰ峘ਁૄ峼৷岮峐ઃ্ஙૄ峼ੰ岹岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峘ੑ઴岨嵣ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峘஛ಋੑ઴岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧৴য়্ஙૄ峘ણ৷岨岧ઃ্ஙૄ峘ણ৷岨嵣ધฆ਻岵峳岝ଖ岲峳島峉૖੯峼ਛ峴য়峉峅峵க峼੷峫峵岽峒岶 嵣఻৬৓峔হ଴峘র峘ਯ୤峘ঢ়બ峼ኇ岲岝ઃ্ஙૄ峼峎岹峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪嵣఻৬৓峔হ଴峘র峘ਯ୤峘ঢ়બ峼ኇ岲৴য়੪ઃ্ங 嵣੷峫峉ੰ峮ੰৠ峘্১岶ిજ峑岬峵岵峼ஷ峴ନ峍峐અ岲岝峇ૄ峼峎岹峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪峘৶૓峼ହ৥峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪嵣੷峫峉ੰ峮ੰৠ峘্১岶ిજ峑岬峵岵峓岰岵峼ஷ峴ନ峍峐અ岲岝峇峘৶૓峼ହ৥峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪岧ਯ୤峘਀峁্岨岧র‫ڭ‬峘৔ઍ‫୻ૻص‬嵣ખૻ୻岨嵣হ଴峕岴岻峵ਯ୤峘ঢ়બ峼ৄ岮ল峁岝ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峑਀ 嵣ૻ୻嵣ખૻ୻峘ঢ়બ峼਀嵣ૄ嵣崘嵑崽峑਀峃岽峒岶峑岷峵岞峃岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪岩ੴ௙嵣ૼચ岪嵣ધஊ峼ઞ峍峉ૄ岶峓峘峲岰峔ਯ୤峼਀峁峐岮峵峘岵岝ഭ峩਄峵 嵣ખૻ୻峘ঢ়બ峼ૄ峕਀峃岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪岧৞ఢഓ峒রੱഓ岨嵣৞ఢഓ峒ਕഓ஄峘৔ഓ峘ਮ峼৷岮峐岝ഓ峘প岷岿峼੷峫峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧ૄ峘க岨岧র‫ڭ‬峘৔ઍ‫ص‬૬৑௕஄嵣਴એ௕஄岨岧র‫ڮ‬峘৔ઍ‫ص‬ન૨岨嵣ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峕ਯ峼৻ো峁峐ૄ峘க峼੷峫峵岽峒岶峑岷峵岞 嵣੦ম৓峔য়৬峘৬஋峼੷峫峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪 嵣౴஄௕峼ਹ৷峁峐岝岬峵岽峒岶峳岶କ岽峵ৃ়峘ਯ峼੷峫峵岽岩ੴ௙嵣ૼચ岪嵣৞ᔅ峒ૉ峘৬஋峘ঢ়બ峼ኇ岲峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣 峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪
岧ૻ୻ૄ岨
਀ਠ岪
嵣ৃ়峘ਯ峼ದ๰ଐ岹ତ৶峁岝岬峵岽峒岶峳岶କ岽峵ન૨峼੷嵣఻৬৓峔হ଴峘র峘ਯ୤峘ঢ়બ峼ኇ岲岝ૻ峘ਙସ峼ઞ峍峐 嵣਺୶௕岵峳岝૖੯峕়岰ిજ峔ৄ਄௕峼ਖ਼૵峃峵岽峒岶峑岷 峫峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪ੰ岹岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪岧ઃ্ஙૄ峘ੰ岷্岨嵣੪ઃ্ஙૄ峼ੰ岹岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪

ਖ

ਖ

‫گ‬ফ
岧ன৫岨
嵣঳ઃૄ峘ଭ১峘ੑ઴峮岝ଭ১ਁૄ峼৷岮峐ૄ峼ੑ઴峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧ਯ峘প৵岨
岧ಉૄ峘૗஄嵣ૄ峘க岨岧౤ਯীੰ岨
嵣ਫ峘ਯ岝଀峘ਯ峘প৵ঢ়બ峼岝ਂಉಀ峼৷岮峐਀峃岽峒岶 嵣ਯ୤峘ঢ়બ峼਀峃ૄ峼৯৓峕ૢ峂峐૗஄峃峵岽峒岶峑岷峵岞 嵣౤ਯীੰ峘ਁૄ峼৷岮峐岝ૄ峼౤ਯীੰ峃峵岽峒岶峑岷峵岞峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岩ੴ௙嵣ૼચ岪岩ੴ௙嵣ૼચ岪嵣ਫ峘ਯ峒଀峘ਯ峘૑ਏਙ峒ਔ௡峼৶ੰ峁峐岮峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼ 嵣ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峼৓ન峕૪৶峁岝ૄ峘க峼੷峫峵岽峒岶峑岷૵嵣਀ਠ岪岧প৵ঢ়બ峼਀峃ૄ岨峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪嵣ਂಉಀ岶岝‫ڮ‬峎峘ਯ୤峘প৵ঢ়બ峼਀峃੶ಀ峒峁峐৷岮峳島峵岽峒峼৶ੰ峁峐岮峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪

ਖ

ਖ

‫ڮ‬ফ
岧ધஊ峼ઞ峍峉ૄ峘ੑ઴岨嵣౐ඨૄ峮੗ඨૄ峘஛ಋੑ઴岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧਴ষ଍峒ഓ嵣੗ഓ஄峘ഓ岨岧র峘৔ઍ‫ص‬ઃঢ়ਯ峘ણ৷岨嵣਴ষ଍峮ਕഓ஄峘ഓ岝੗ഓ஄峘ഓ峕ঢ়峃峵ਙସ峼৷岮峐岝 嵣఻৬৓峔হ଴岵峳਄峴ল峁峉‫ڮ‬峎峘ਯ୤峘ঢ়બ峼岝峇峘૗ഓ峘প岷岿峼੷峫峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪৲峮ৌૢ峘્ඉ岵峳ኇ岲峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪嵣਴ষ଍峮ਕഓ஄峘ഓ岝੗ഓ஄峘ഓ峕ঢ়峃峵ਙସ峼৷岮峐岝 嵣ৌૢ峃峵‫ڮ‬峎峘ਯ୤峘ঢ়બ峼崘嵑崽峕਀峃岽峒岶峑岷峵岞岩ੴਕഓ஄峘৔ഓ峘ਮ峕峎岮峐ହ৥峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼ ௙嵣ૼચ岪૵嵣਀ਠ岪嵣ઃঢ়ਯ峘ૄ岝崘嵑崽岵峳岝఻৬৓峔হ଴峼੷峫峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪岧ਕഓ஄峘়৊岨岧র峘৔ઍ‫ص‬਴ষ஛ఈ஄峕ঢ়峃峵૛઒岨岧ઃ্ஙૄ峘ણ৷岨嵣఻৬৓峔হ଴峘র峘ਯ୤峘ঢ়બ峼ኇ岲岝੪ઃ্ஙૄ峼 嵣ਕഓ஄峘়৊૖੯峼৷岮峐岝峎峘ਕഓ஄岶়৊峑岬峵岽峒 嵣ଖ岲峳島峉૖੯峕়峍峉੿௕峼峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼峼઒৥峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪૵嵣਀ਠ岪峎岹峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪嵣਴ষ஛ఈ஄峘ਙସ峮਴ষ஛ఈ஄峕峔峵峉峫峘૖੯峼৷岮嵣੷峫峉ੰ峮ੰৠ峘্১岶ిજ岵峓岰岵峼ஷ峴ନ峍峐અ岲岝峇峘৶૓峼ହ৥峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪峐岝௕஄峘ਙସ峼઒৥峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪嵣 峜峁஄嵣শ্஄嵣ਫ্஄峘ঢ়બ峼৶ੰ峁峐岮峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧৵৾ૅ‫୻ૻص‬岨嵣ૻ୻峘ঢ়બ峕岬峵峎峘ਯ୤峼岝਀岵峳ഭ峩਄峵岽峒岶峑岷ਖ 峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪嵣ૻ୻峘ঢ়બ峕岬峵峎峘ਯ୤峼岝崘嵑崽峕਀峃岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧ৼ๚峔௕஄岨岧ৱમ峘ણ৷岨嵣ৱમ峘ତ৶峘峁岵峉峮৻਀க峘ਔ௡峼৶ੰ峁峐岮峵岞岩ੴ 嵣ਕഓ஄峘ৼ๚૖੯峼৷岮峐岝‫ڮ‬峎峘ਕഓ஄岶ৼ๚峑岬峵岽峒峼઒৥峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪௙嵣ૼચ岪嵣২ਯীഘ਀峮崺崡崰崘嵑嵈峼੦峕峁峐ৱમ峘ൊ਱峼ഭ峩਄峵 嵣଍ী峘ૻ峼৷岮峐岝௕஄峘એ஋峼ૻຎ峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧਴એ௕஄岨
岧ણ৷峕ঢ়峃峵ਖ਻岨岧ણ৷峕ঢ়峃峵ਖ਻岨嵣੦ম৓峔੿௕峘্১峼௕஄峘ৌูਙಉ峘ਙସ峕ା৯峁岝 嵣ଖ岲峳島峉ੲਾ峼ిજ峕ኇ岲岝௦岲峼଑岷ল峃岽峒岶峑岷峵岞 嵣ଖ岲峳島峉ੲਾ峼ిજ峕ኇ岲岝௦岲峼଑岷ল峃岽峒岶峑岷峵岞峨峉岝峇峘৶૓峕峎岮峐ਯ৾৓峔਀ਠ峼৷岮峐ঽী峘અ岲峼 峨峉岝峇峘৶૓峕峎岮峐ਯ৾৓峔਀ਠ峼৷岮峐ঽী峘અ岲峼ਖ ৄৢ峁峼峬峍峐અ岲峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪஽峣峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪஽峣峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪嵣௕஄峼ৌู୎৿峃峵岽峒岶峑岷峵岞岩ੴ௙嵣ૼચ岪岧ણ৷峕ঢ়峃峵ਖ਻岨嵣ଖ岲峳島峉ੲਾ峼ిજ峕ኇ岲岝௦岲峼଑岷ল峃岽峒岶峑岷峵岞ਖ峨峉岝峇峘৶૓峕峎岮峐ਯ৾৓峔਀ਠ峼৷岮峐ঽী峘અ岲峼஽峣峵岽峒岶峑岷峵岞岩ઓઅ嵣ਖ਼૵嵣਀ਠ岪

数学−

3

52

‫؝ڭ‬৵ਖશ峘ਖ਻৔ઍ峒੥ટਫ௦૨ 岧ਯ৾ਸ਼‫৾ڭ‬ফ岨
ၥ㢟␒ྕ

኱ၥ

㻝

㻞

㊃᪨

ᑠၥ

▱
䞉
ᢏ

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

⪃

ᢏ

▱
䞉
⌮

ṇ䛾ᩘ䞉㈇䛾ᩘ䛾ィ⟬ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻤㻣㻜ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻤㻤㻝ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻟㻥

㻝

䜶

䕿

䖂

ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻢㻥

㻜

䜸

䕿

䖂

ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻢㻥

㻤

䜰

䕿

䖂

ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾኱ᑠ㛵ಀ䜢䚸୙➼ྕ䜢⏝䛔䛶⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻤㻟ṇ䛾ᩘ䛸㈇䛾ᩘ䛾ᚲせᛶ䛸ព࿡䜢⌮ゎ䛧䛶䛔䜛䚹

㻤㻝

㻠

㻞㻞

㻝

㻣㻞

㻞

㻣㻟

㻣

㻞㻠

㻝㻟

ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䜢䛭䛾⾲䛧᪉䛻ᚑ䛳䛶⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻢㻟ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䜢䛭䛾⾲䛧᪉䛻ᚑ䛳䛶⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻣㻞㻣ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻤㻝㻞ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻠㻜㻟ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻠㻢

㻣

㻠㻥

㻟

㻣㻠

㻠

㻢㻟

㻝㻜

ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛻ᩘ䜢௦ධ䛧䛶ᘧ䛾್䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻠㻣ලయⓗ䛺஦㇟䛾୰䛾ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢ᤊ䛘䚸ẚ䛾ᛶ㉁䜢౑䛳䛶ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻜㻝㻜㻝ඖ㻝ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻣㻠

㻠

䜲

ᩘ䛾኱ᑠ
䖂 ኱ᑠ㛵ಀ䜢
⾲䛩ᘧ
䖂

䕿
䕿
䕿

䖂

䜲

䕿

ṇ䛾ᩘ䞉㈇䛾ᩘ
䖂
䛾ά⏝

䜴

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

䜴

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䜴

䕿

䜰

䖂

䕿

䜲

䖂

䜰

䕿

䖂

䕿

ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛾ィ⟬ᩘ㔞䛾⾲䛧᪉

ᘧ䛾್
ẚ౛ᘧ

䖂

䜲

䕿

䖂

䜴

䕿

䖂

䜶

䕿

䖂

㻤

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

䕿

䠍ḟ᪉⛬ᘧ䛾ゎ䛝᪉䠍ḟ᪉⛬ᘧ䛾ά⏝㻥䜰ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ
䛾⾲䛧᪉

䖂

㻣

䖂

୙➼ྕ䛜䚸䠎䛴䛾ᩘ㔞䛾኱ᑠ㛵ಀ䜢⾲䛩グྕ䛸䛧䛶⏝䛔䜙䜜䜛䛣䛸䜢⌮ゎ䛧䛶䛔䜛䚹
ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾⾲䛩ព࿡䜢䚸᪥ᖖ⏕ά䛾ලయⓗ䛺ሙ㠃䛸⤖䜃䛴䛡䛶⌮ゎ䛧䛶䛔䜛䚹ṇ䛾ᩘ䚸㈇䛾ᩘ䛾⾲䛩ព࿡䜢䚸᪥ᖖ⏕ά䛾ලయⓗ䛺ሙ㠃䛸⤖䜃䛴䛡䛶⌮ゎ䛧䛶䛔䜛䚹タᐃ䛧䛯ᇶ‽್䛛䜙䛾ቑῶ䜢ㄪ䜉䚸᪥ᖖ⏕ά䛾ලయⓗ䛺ሙ㠃䛸⤖䜃௜䛡䛶ኚ໬䜔≧ἣ䜢ᤊ䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹஦㇟䛻䛚䛡䜛ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢ぢ䛔ฟ䛧䚸ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛷⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹஦㇟䛻䛚䛡䜛ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢ぢ䛔ฟ䛧䚸ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛷⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䛜䛹䛾䜘䛖䛺ᩘ㔞䜢⾲䛧䛶䛔䜛䛾䛛䚸ㄞ䜏ྲྀ䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻝ඖ㻝ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻠㻥㻝㻜㻝ඖ㻝ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻝㻝㻟㻝ඖ㻝ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻟㻥

㻟㻞

㻝㻢

㻞㻝

㻟㻠

㻟㻝

ẚ౛䛾㛵ಀ䛻䛒䜛㻞䛴䛾ᩘ㔞䜢䚸⾲䛛䜙ㄞ䜏ྲྀ䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻠㻢ẚ౛䛾㛵ಀ䛻䛒䜛㻞䛴䛾ᩘ㔞䜢䚸䜾䝷䝣䛻⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻡㻤㻣ᇶᮏⓗ䛺సᅗ䛾᪉ἲ䜢⪃䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻤㻥㻥ලయⓗ䛺஦㇟䛾୰䛾ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢ᤊ䛘䚸㻝ඖ㻝ḟ᪉⛬ᘧ䜢䛴䛟䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹
ồ䜑䛯ゎ䜔ゎỴ䛾᪉ἲ䛜㐺ษ䛛䛹䛖䛛䜢᣺䜚㏉䛳䛶⪃䛘䚸䛭䛾⌮⏤䜢ㄝ᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

ẚ౛

㻝㻜

㻝㻝

↓
⟅
⋡

ṇ⟅⋡㻔㻑㻕䖂㻠㻢ฟ㢟䛾䛽䜙䛔

䕿

䜰

㻡

ၥ㢟䛾ෆᐜ

䜴

䜴

㻟

ᛮ
䞉
ุ
䞉
⾲

ほⅬ

䜲

䕿

䖂

䜰ϸ

䕿

䖂

䜰Ϲ
䜲
䜰

䕿

ᖹ㠃ᅗᙧ

䖂

䕿

䖂
䕿

䖂

㻝㻞
䜲

䕿

䖂

ά⏝䛻㛵䛩䜛ၥ㢟ᇶᮏⓗ䛺సᅗ䛾᪉ἲ䜢⪃䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻤㻟ᅗᙧ䜢ᑐ㇟⛣ື䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻡㻟㻝㻞୚䛘䜙䜜䛯᝟ሗ䜢ⓗ☜䛻ᤊ䛘䚸⟅䛘䜢ᑟ䛝ฟ䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻣㻢㻡୚䛘䜙䜜䛯᝟ሗ䜢ⓗ☜䛻ᤊ䛘䚸⟅䛘䜢ᑟ䛝ฟ䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹䜎䛯䚸䛭䛾⌮⏤䛻䛴䛔䛶ᩘᏛⓗ䛺⾲⌧䜢⏝䛔䛶⮬ศ䛾⪃䛘䜢㏙䜉䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻠㻜䖂䈈୺䛯䜛ほⅬ

数学−

4

53

‫؝ڮ‬਌峔ෙ௦峒ীෲ 岧ਯ৾ਸ਼‫৾ڭ‬ফ岨
኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ㻌 ↓
⟅㻌 ⟅
⋡㻌 ⋡

ṇ⟅㻌

䜰㻌





䜲㻌 䠉





㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕
䠉4



䠇



䠉




䜴㻌 䠉





䠍㻌
䜶㻌

3



䠉3



3



䠉



䠉 4



䠉









䜰㻌 㸫

䜲㻌
䠎㻌

䜴㻌



3
㸼㸫㻌
4



䝅䝗䝙䞊䛿䚸ᮾி䜘䜚䜒 㻝᫬㛫㐍䜣䛷䛔䜛䚹㻌[㸫

䜰㻌 3 Ⅼ

\Ӎ

㻌







㸫4
㸫







3
㸫 㸺㸫
4

୙➼ྕࡢࡳ䞉䛂ᮾி䛜䛃䛜ᢤ䛡䛶䛔䜛䚹䞉䛂䝅䝗䝙䞊䛃䛸䛂ᮾி䛃䛜㏫
䛻䛺䛳䛶䛔䜛䚹䞉䛂 ᫬㛫㐍䜣䛷䛔䜛䛃䛾䜏䚹






䍺



䠘



䠙



䠚



䠉











䠏㻌
䜲㻌 㻠㻜㻜 Ⅼ㻌










䠄䜰䠅䚸䠄䜲䠅䛿ṇ⟅⋡䛿㧗䛔䛜䚸୺䛺ㄗ⟅䛾⌮⏤䛸䛧䛶➢ྕ䛾⌮ゎ୙㊊䛜䛒䜛䛸⪃䛘䜙䜜䜛䚹➢ྕ䛾ᇶᮏⓗ䛺ᴫᛕ䛾ᐃ╔䜢䛿䛛䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌䠄䜴䠅䛿䠄䠅䛾እ䛾 ஌䛸䠄䠅䛾୰䛾⣼஌䛾㐪䛔䜢䛧䛳䛛䜚䛸⌮ゎ䛥䛫䛯䛔䚹䜎䛯䚸䛾⣼஌䛻䛴䛔䛶䜒⌮ゎ䛥䛫䛯䛔䚹㻌䠄䜶䠅䚸䠄䜸䠅䛿ᑠᏛᰯ䛾᪤⩦஦㡯䛷䛒䜛ᅄ๎₇⟬䛾ィ⟬䛾㡰ᗎ䜢᚟⩦䛩䜛䛣䛸䛜኱ษ䛷䛒䜛䚹㻌
඲య䛸䛧䛶䚸ṇ㈇䛾ᩘ䛾ィ⟬䛻䛴䛔䛶䛿䚸➢ྕ䛾㛫㐪䛔䛜ከ䛔䛾䛷䚸ᖖ䛻➢ྕ䜢ព㆑䛧䛺䛜䜙ィ⟬䜢䛩䜛䜘䛖ᣦᑟ䛧䛶䛔䛟ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌



䠉

䜸㻌 㸫

ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌



3



43



4





䠉




数学−

5

䠄䜰䠅䛿䚸㈇䛾ᩘྠኈ䛾኱ᑠ㛵ಀ䛻䛴䛔䛶䚸๓ᖺᗘ䛾ᩚᩘ䛛䜙ศᩘ䛻ኚ䛘䛯䛣䛸䛷䚸ṇ⟅⋡䛜పୗ䛧䛯䛣䛸䛜ศ䛛䜛䚹䛣䛾䛣䛸䛛䜙䚸ᩚᩘ䛸ศᩘ䛾኱ᑠ㛵ಀ䜢ẚ
㍑䛩䜛䛸䛝䛻䛿䚸ศᩘ䜢ᑠᩘ䛻┤䛧䛶䛛䜙ᩘ┤⥺䜢⏝䛔䛶⪃䛘䜛䛣䛸䛺䛹ᇶᮏⓗ䛺⪃䛘᪉䛻䛴䛔䛶᚟⩦䛩䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹䠄䜲䠅䛿䚸ၥ㢟䛾ព࿡䛿⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䜛䛜䚸⟅䛘᪉䛜୙༑ศ䛷䛒䜛ゎ⟅䛜ከ䛛䛳䛯䚹ゝⴥ䜢౑䛳䛶䛾⟅䛘᪉䛿䚸ၥ䛾୰䛾ᩥ❶䜢ᘬ⏝䛩䜛䛣䛸䛜኱ษ䛷䛒䜛䛣䛸䜢䛚䛥䛘䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌䠄䜴䠅䛿䛂ᯛ௨ୖవ䛳䛯䚹䛃䛸䛔䛖⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛂㻌 㻌 㻌 㻌 䍺䛃䛸䛔䛖ㄗ⟅䛜ከ䛟䛒䛳䛯䚹᪥㡭䛛䜙䛾ゝㄒάື䛾୰䛷䚸ゝⴥ䛾ព࿡䜢䛧䛳䛛䜚䛸⪃䛘䛶኱ᑠ㛵ಀ䜢ᤊ䛘䛶䛔䛟䜘䛖ᣦᑟ䛩䜛䜘䛖䛻䛧䛯䛔䚹㻌䠄䜰䠅䛿䚸ලయⓗ䛺ᩘ㔞䜢䚸ᇶ‽䛻ᑐ䛧䛶ṇ㈇䛾ᩘ䛷⾲䛩ព࿡䜢ᣦᑟ䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌䠄䜲䠅䛿䚸ṇ⟅⋡䜒㧗䛟⌮ゎ䛜῝䜎䛳䛶䛔䜛䚹4 䠉 䛸⪃䛘䜛䛸䛣䜝䜢䚸㻔䠇4 㻕䠉䠄䠉 䠅䛸⪃䛘䛯ゎ⟅䛜ከ䛛䛳䛯䛣䛸䛛䜙䚸 ᩘ䛾ᕪ䜢ồ䜑䜛ሙྜ䛾➢ྕ䛻ὀព䛧䛶ᣦᑟ䛧䛶䛔䛟䛣䛸䜢኱ษ䛻䛧䛯䛔䚹㻌

54

኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ㻌 ↓
⟅㻌 ⟅
⋡㻌 ⋡

ṇ⟅㻌

㐩ᡂ䛷䛝䛭䛖䛻䛺䛔㻌䠄⌮⏤䠅㻌㻝㻠㻜㻜㻜㾂㻟㻡䠙㻠㻜㻜 䜘䜚䚸㻝㐌㛫䛒䛯䜚 㻠㻜㻜 Ⅼ㞟䜑䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹䛧䛛䛧䚸➨ 㻡㐌䜎䛷䛾ᇶ‽䛸䛾ᕪ䜢䛩䜉䛶䛯䛩䛸䠉㻝㻞 䛻䛺䜚䚸䠏㻌 ࢘ 㻝 㐌㛫䛒䛯䜚ᇶ‽䛸䛧䛯㻠㻜㻜 Ⅼ䛻㐩䛧䛶䛔䛺䛔䛯䜑䚸㐩ᡂ䛷䛝䛭䛖䛻䛺䛔䚹㻌䜰㻌 㻌㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕䞉4 ᭶䛛䜙䛾 㐌㛫䛷䚸
4 4 Ⅼ㞟䜎䛳䛶䛔䜛䛛䜙䚸䛣䛾䜎䜎䛔䛡䜀㐩ᡂ䛷䛝䜛䚹
䞉4 ᭶䛛䜙䛾 㐌㛫䜢ྜィ䛩䜛䛸䚸
Ⅼ䛰䛳䛯䛾䛷䚸
䠄Ⅼ䠅㽢3 䠄㐌䠅䠙䛺䛾䛷䚸㐩ᡂ䛷䛝䜛䚹
䞉4 ᭶䛛䜙䛾 㐌㛫䛷㞟䜎䛳䛯Ⅼᩘ䛾ᖹᆒ
䛿䚸3Ⅼ䛷 ᖺ䜢3 㐌䛸⪃䛘䚸3㽢
3 䛷ィ⟬䛩䜛䛸䚸┠ᶆ䜢㐩ᡂ䛷䛝䜛䚹


















㸫DE㸫 DE[㸫4 \ 




䠐㻌
䜲㻌

[

㸫4 \ 㻌











㸫4 \
[
㾂[䠉4\

[䠉4\

࢔ 3[㸫[[[㸫[㸫



4[
4[䠉
䠉4[
[䠇
[䠉





䠉 [䠉
[䠉 4







D
D4
D㽢4
D












㸳 ࢖ 㸫 [࢘ 㸫 [㸫 4



䜰㻌 4D





䠒㻌
䜲㻌

䠉 D 㻌

E












D䠉
䠉 㽢D

数学−

6




ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌䠄䜴䠅䛿䚸ᇶ‽䛸䛾ᕪ䛾ᖹᆒ䛜䠉䛷䛒䜛䛣䛸䛿ồ䜑䜙䜜䛶䛔䜛䛜䚸䠄䜰䠅䛜⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䛺䛔䛣䛸䛷䚸ᇶ‽䛜䜟䛛䜙䛺䛔䜎䜎ィ⟬䛧䛶䛧䜎䛖䛣䛸䛻䜘䜛ㄗ⟅䛸䚸ᇶ‽䛻䛧䛯Ⅼᩘ䜢 43 Ⅼ䛸䛧䛶ィ⟬䛧䛶䛧䜎䛖ㄗ⟅䛜┠❧䛳䛯䚹䠄䜰䠅䛾ㄗ⟅䛛䜙䚸 䛿᭩䛛䛺䛔䛸䛔䛖ᩥᏐᘧ䛾⣙᮰䛜ᐃ╔䛧䛶䛔䛺䛔䛣䛸䛜䜟䛛䜛䚹ᘧ䛾⾲䛧᪉䛾⣙᮰䛻䛴䛔䛶ᐃ╔䜢䛿䛛䜛䛯䜑䛻䚸ᤵᴗ䜢୎ᑀ䛻㐍䜑䛶䛔䛟䛣䛸䜢ᚰ䛜䛡䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌䠄䜲䠅䛿䚸䠄[䠉4㽢\䠅㾂 䛸䛾㐪䛔䜢☜ㄆ䛩䜛䛣䛸䛜ᚲせ䛷䛒䜛䚹䛭䛾䛯䜑䛻䛿䚸
ᅄ๎₇⟬䛾ィ⟬䛾㡰ᗎ䛻䛴䛔䛶ᤵᴗ䛾୰䛷෌☜ㄆ䛧䛶䛔䛟䛣䛸䛜኱ษ䛷䛒䜛䚹㻌䠄䜰䠅䛾ㄗ⟅䛛䜙䚸ྠ㢮㡯䛜⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䛺䛔䛣䛸䛜䜟䛛䜛䚹ྠ㢮㡯䛾ຍῶ䛾ィ⟬䛻䛴䛔䛶䛿䚸䛥䜙䛻ᐃ╔䜢䛿䛛䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹䠄䜲䠅䛿ศ㓄ἲ๎䛾ၥ㢟䛷䛒䜛䛜䚸䛛䛳䛣䜢䛿䛪䛩㝿䛾➢ྕ䛾㛫㐪䛔䛻䜘䜛ㄗ⟅䛜ከ䛔䚹䝬䜲䝘䝇䛾➢ྕ䜢䛂䠉 䛃䛰䛡䛻ศ㓄䛧䚸 4[ 䛻ศ㓄䛩䜛䛾䜢ᛀ䜜䛶䛔䜛ㄗ⟅䛜ከ䛔䛣䛸䛛䜙䚸㏵୰ᘧ䜢᭩䛟䛣䛸䜔᭱ึ䛻➢ྕ䜢Ỵ䜑䜛䛣䛸䛺䛹䜢ᐃ╔䛥䛫䛯䛔䚹䠄䜴䠅䛿䠉 [䠇 䛾ィ⟬䛜䚸䠉 [䠇䛻䛺䛳䛶䛧䜎䛳䛶䛔䜛䛣䛸䛛䜙䚸ᐃᩘ㡯䛜䠉 䛻䛺䛳䛶䛧䜎䛳䛶䛔䜛䛣䛸䛜䜟䛛䜛䚹䠄䜲䠅䛸ྠᵝ䚸ศ㓄ἲ๎䛷䛛䛳䛣䜢䛿䛪䛩㝿䛻䛿䚸ඛ㢌䛾㡯䛰䛡䛷䛿䛺䛟䚸䛩䜉䛶䛾㡯䛻䝬䜲䝘䝇䛾ศ㓄䜢ᛀ䜜䛺䛔䜘䛖䛻ᣦᑟ䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹䠄䜰䠅䠄䜲䠅䛾ㄗ⟅䛛䜙䚸䛂㽢䛿᭩䛛䛺䛔䛃䛸䛔䛖ᘧ䛾⾲䛧᪉䛾⣙᮰䛜ᐃ╔䛧䛶䛔䛺䛔䛣䛸䛜䜟䛛䜛䚹ᘧ䛾⾲䛧᪉䛾⣙᮰䜢☜ᐇ䛻ᐃ╔䛥䛫䛯䛔䚹㻌

55

኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌
䠒㻌

ṇ⟅㻌

䜴㻌 ṧ䜚䛾ᯛᩘ

ṇ㻌 ↓
⟅㻌 ⟅
⋡㻌 ⋡

㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕 ᯛᩘ㓄䛳䛯ᯛᩘ඲య䛾ᯛᩘ
䠉
䠉3
䠉



4 ᫬㛫
᫬㛫
4 ᫬㛫





䜰㻌









䠓㻌
䜲㻌

 ᫬㛫䜰㻌 [ 䠉

䜲㻌

[










[



[



[

 






 

[4 

ᘧࢆࡍ࡭࡚㸻࡛ࡘ࡞ࡆ࡚ࡋࡲࡗ࡚࠸ࡿ

[
[  

 

䠔㻌
䜴㻌

[ 䠉4

䜶㻌 [ 䠉

[

\
ࡲࡓࡣ
[

䜢㑅ᢥ

[

3 [

䜢㑅ᢥ

䜰㻌

3 [ [ 䠕㻌䜲㻌㻝㻜㻌 䜰㻌 4

\

[










[

䞉᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛸 [
䜎䛯䛿 [
䛸䛺䜛䛛
䜙㐺䛧䛶䛔䜛䛸ุ᩿䞉᪉⛬ᘧ䛻௦ධ䛩䜛䛸ᡂ䜚❧䛴䛛䜙㐺䛧䛶
䛔䜛䛸ุ᩿







䞉⪃䛘᪉䛿䛒䛳䛶䛔䜛䛜䚸㐺ษ䛺ㄝ᫂ᩥ䛜䛺䛔 






ࡲࡓࡣ

㐺䛧䛶䛔䜛
෇⋢䛾ᯛᩘ䜢 ᯛ䛸
䛩䜛䛸䠈
෇⋢䛾ᯛᩘ
䛿䠈3
䜘䜚䠈 ᯛ
䛻䛺䜛䚹䜎䛯䠈㈓㔠㔠㢠
䛾ྜィ䛿䠈
3
䜘䜚䠈
෇䛻䛺䜛䚹䛧䛯
䛜䛳䛶䠈 䛥䜣䛾⟅䛘䛿ၥ㢟䛻㐺䛧䛶䛔䜛䚹




















数学−

7

ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌䠄䜴䠅䛿䚸ᘧ䛜ఱ䜢⾲䛧䛶䛔䜛䛛ㄞ䜏ྲྀ䜜䛶䛔䛺䛔䚹ᤵᴗ䛾୰䛷䚸ᘧ䜢ㄞ䜏ྲྀ䜛άື䜢ከ䛟ྲྀ䜚ධ䜜䛯䛔䚹㻌䠄䜰䠅䛿 [䠙䠉 䜢௦ධ䛧䛯䛸䛝䛻䚸㻌䠉 㽢 䠉 䛸䛧䛺䛡䜜䜀䛔䛡䛺䛔䛸䛣䜝䜢 䠉 㽢 䛸ィ⟬䛧䛶䛧䜎䛳䛯㛫㐪䛔䛜ከ䛔䛣䛸䛛䜙䚸㈇䛾ᩘ䛾௦ධ䛜ᐃ╔䛧䛶䛔䛺䛔䛸⪃䛘䜙䜜䜛䚹㻌䠄䜲䠅䛿䚸ẚ䛾ᴫᛕ䛿䜋䜌ᐃ╔䛧䛶䛔䜛䛸ᛮ䜟䜜䜛䚹๭ྜ䛾⪃䛘䜢䜒䛸䛻ィ⟬䛩䜛ᡭἲ䛻䛴䛔䛶䜒ィ⟬䛷䛝䜛䜘䛖䛻ᣦᑟ䛧䛯䛔䚹㻌㻔䜰㻕䛷䛿䠈⛣㡯䜢䛩䜛䛸䛝䛾➢ྕ䝭䝇䛜ከ䛟ぢ䜙䜜䛯䚹㻌
㻔䜲㻕䛷䛿䠈ศẕ䛸ศᏊ䜢ධ䜜᭰䛘䛶䛧䜎䛳䛯䜚䠈୧㎶䜢  䛷䜟䜛䛸䛣䜝䜢୧㎶䛛䜙  䜢䜂䛔䛶䛧䜎䛳䛯䜚䛧䛶䛔䛯䚹㻌㻔䜴㻕䛷䛿䠈୧㎶䜢䠉 䛷䜟䜛㝿䛻ゎ䛻䝬䜲䝘䝇䜢䛴䛡ᛀ䜜䜛䝭䝇䛜┠❧䛳䛯䚹⛣㡯䛸䛸䜒䛻䚸ඖ䛸䛺䜛䛂➼ᘧ䛾ᛶ㉁䛃䜢
⧞䜚㏉䛧ᤵᴗ䛷ྲྀ䜚ୖ䛢䠈ᐃ╔䛥䛫䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌㻌 㻔䜶㻕䛷䛿䠈㏵୰ᘧ䜢᭩䛟㝿䛻䠈䛩䜉䛶䛾ᘧ䜢䠙㻔䜲䝁䞊䝹㻕䛷䛴䛺䛢䛶䛧䜎䛖ㄗ⟅䛜ከ䛟䛒䛳䛯䚹㏵୰ᘧ䛾᭩䛝᪉䛻䛴䛔䛶䜒ᤵᴗ䛾୰䛷୎ᑀ䛻ᣦᑟ䛧䛶䛔䛟䛣䛸䛜኱ษ䛷䛒䜛䚹㻌
䠄䜰䠅䛷䛿䚸୍᪉䜢 [ 䛸䛧䛯䛸䛝䛻䚸䜒䛖୍᪉䜢 [ 䜢⏝䛔䛶⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䛺䛔䛣䛸䛻䜘䜚ṇ⟅⋡䛜ప䛟䛺䛳䛯䛸⪃䛘䜙䜜䜛䚹ᩍ⛉᭩䛾ၥ㢟䜔㢮ఝၥ㢟䜢ゎ䛟䛣䛸䛷ᐃ╔䜢ᅗ䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹䠄䜲䠅䛷䛿䚸☜䛛䜑᪉䜢▱䛳䛶䛔䜛䜒䛾䛾䚸ఏ䛘䜛ຊ䛜୙㊊䛧䛶䛔䜛䛯䜑䚸ㄞ䜏ᡭ䛻ఏ䜟䜙䛺䛔䜒䛜ከ䛟ぢ䜙䜜䛯䚹ᤵᴗ䛾୰䛷ே䛻ఏ䛘䜛άື䜢ቑ䜔䛧䚸ㄝ᫂ຊ䛾ྥୖ䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹䜎䛯䚸᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛔䛯䜚䚸௦ධ䛧䛯䜚䛩䜛䛣䛸䛷ุ᩿䛧䛶䛔䜛䜒䛾䛜ከ䛟䜏䜙䜜䛯䚹ၥ㢟䛾⟅䛘䛻㐺䛧䛶䛔䜛䛛䛹䛖䛛ุ᩿䛩䜛䛯䜑䛻䛿䚸䛹䛾䜘䛖䛺ᡭ㡰䜢㋃䜑䜀䜘䛔䛛☜ᐇ䛻ᣦᑟ䛩䜛䛸䛸䜒䛻䚸ᐃ╔䛧䛶䛔䜛䛛䛹䛖䛛☜ㄆ䛩䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌

㻔䜰㻕䛻䛴䛔䛶䛿䚸ᴫ䛽⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䛯䛸ឤ䛨䜛䛜䚸 ศ㛫䝷䞁䝙䞁䜾䛧䛯䛸䛝䛾
ᾘ㈝䜹䝻䝸䞊䜢ồ䜑䛶䛧䜎䛳䛯ㄗ⟅䛜ከ䛛䛳䛯䚹ၥ㢟ᩥ䜢䜘䛟ㄞ䜐䛣䛸䛸䚸༢఩᥮⟬䛻䛴䛔䛶䜒ᣦᑟ䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌

56

኱㻌
ၥ㻌

ᑠ
ၥ㻌

ṇ㻌 ↓
⟅㻌 ⟅
⋡㻌 ⋡

ṇ⟅㻌

㻝㻜㻌

58

䜲㻌

7



㻝㻝㻌

䜰
ϸ㻌

89

9

䜰
3
Ϲ㻌

68

3

䜲㻌

53

12

76

5

㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕
䞉Ⅼ䜢」ᩘ䛸䜚䚸䛸䜚㛫㐪䛘䛯䛯䜑䛻ᢡ䜜⥺䜾䝷䝣䛻䛺䛳䛶䛔䜛9

䞉ཎⅬ䛸 䠈
䜢㏻䜛┤⥺䜢䜂䛔䛶䛔䜛5䞉Წ䜾䝷䝣䜢䛛䛔䛶䛔䜛

4

䞉┤⥺
௨እ䛾┤⥺
䜔⥺ศ䜢䜂䛔䛶䛔䜛

2

20
5

䞉A尋B尋C尋䛜᭩䛛䜜䛶䛔
䛺䛔

24

3

8

䞉᪥᭙᪥䛸ᅇ⟅䛧䛯䛜䚸⌮⏤䛜୙༑ศ䜎䛯䛿᭩䛡䛺䛛䛳䛯

12䞉᭶᭙᪥䛸ᅇ⟅14䞉ᅵ᭙᪥䛸ᅇ⟅11䞉ᮌ᭙᪥䛸ᅇ⟅11䞉ⅆ᭙᪥䛸ᅇ⟅9ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌㻔 䜲 㻕 䛻 䛴 䛔 䛶䛿䚸 ṇ ゎ 䞉୙ ṇゎၥ䜟䛪䚸(10䠈70)䜢ྵ䜐」ᩘ䛾Ⅼ䜢䛸䛳䛶䛔䜛䜒䛾䛜ከ䛟ぢ䜙䜜䛯䚹ẚ౛䛾䜾䝷䝣䛿ཎⅬ䜢㏻䜛┤⥺䛷䛒䜛䛯䜑䚸ཎⅬ䛸ཎⅬ௨እ䛾 1 Ⅼ䜢䛸䜜䜀䜂䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䛣䛸䜢୎ᑀ䛻ᣦᑟ䛧䚸ᐃ╔䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹㻌䠄䜰䠅䛾ϸ䠈Ϲ䛻䛴䛔䛶䛿䚸ᴫ䛽⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䛯䚹సᅗ䛾ᣦᑟ䛾㝿䛻䛿䚸సᅗ᪉ἲ䛸䛸䜒䛻䚸䛂䛺䛬䛭䛾᪉ἲ䛷సᅗ䛷䛝䜛䛾䛛䛃䜢⪃䛘䛥䛫䚸ㄝ᫂䛩䜛ຊ䜢ఙ䜀䛩ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌
䠄䜲䠅䛷䛿䚸A 䛸 B 䜢ྜ䜟䛫䜛䛸䚸77䠂䛻䛺䜛䛣䛸䛛䜙䚸ᅗ䛾䛛䛝᪉䛻䛴䛔䛶䛿ᐃ╔⋡䛜㧗䛔䛣䛸䛜䜟䛛䛳䛯䚹ᖹᡂ 25
ᖺᗘ䛻 2 ᖺ⏕䛷௒ᅇ䛸ྠᵝ䛾ၥ㢟䜢ฟ㢟䛧䛯䛜䚸ṇ⟅⋡䠄㻢㻜䠂䠅䛻኱䛝䛺ᕪ䛿䛺䛛䛳䛯䚹ᑐ⛠⛣ື䛥䛫䛯ᅗᙧ䛻 A尋B尋C尋䛜᭩䛛䜜䛶䛔䛺䛔ㄗ⟅䛜ከ䛛䛳䛯䛜䚸ㄗ⟅䛾ഴྥ䛿ᖹᡂ 25 ᖺᗘ䛸ྠᵝ䛷䛒䛳䛯䛯䜑䚸ᤵᴗ୰䛾ᣦᑟ䜢䜘䜚୍ᒙᚭᗏ䛩䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌


䜰㻌

㻝㻞㻌

ᖺᚋ

᪥᭙᪥
ᖺ๓䛿ⅆ᭙᪥䠈 ᖺ๓䛿᭶᭙᪥䈈䛸䛪䜜䜛䛾䛷䠈 3 ᅇ䛪䜜䜛䛸ᮌ᭙᪥䛻䛺䜛䚹䛧䛛䛧䠈䛥䜣䛜⏕䜎䜜䛶䛛䜙㛨ᖺ䛜 4 ᅇ䛒䛳䛯䛾䛷䠈
3 4䛸䛺䜚䠈 ᅇ
䜲㻌ศ䛪䜙䛫䜀䛔䛔䛸䜟䛛䜛䚹䜘䛳䛶䠈 䛥䜣䛜⏕䜎䜜䛯᪥䛿᪥᭙᪥䛷䛒
䜛䚹

6

40



数学−

8

䠄䜰䠅䛻䛴䛔䛶䛿䚸ṇ⟅⋡䛜㧗䛟䚸ၥ㢟䛾ព࿡䜢☜ᐇ䛻⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䜛ᵝᏊ䛜ఏ䜟䛳䛶䛝䛯䚹㻌
୍᪉䛷䚸䠄䜲䠅䛻䛴䛔䛶䛿䚸ᴟ➃䛻ṇ⟅⋡䛜ୗ䛜䛳䛶䛧䜎䛳䛯䚹䛂᭶᭙᪥䛃䛂ᅵ᭙᪥䛃䛸ᅇ⟅䛧䛯䜒䛾䛻䛴䛔䛶䛿䚸䛖䜛䛖ᖺ
䜢 1 ᅇศᩘ䛘ᛀ䜜䛶䛔䜛䜒䛾䛜ከ䛟䚸䛂ᮌ᭙᪥䛃䛂ⅆ᭙᪥䛃䛸ᅇ⟅䛧䛯䜒䛾䛻䛴䛔䛶䛿䚸䛖䜛䛖ᖺ䜢䜹䜴䞁䝖䛧䛶䛔䛺䛔䜒䛾䛜ከ䛛䛳䛯䚹䜎䛯䚸䛂ṇ⟅䛃䛻䛂᪥᭙᪥䛸ᅇ⟅䛧䛯䛜䚸⌮⏤䛜୙༑ศ䜎䛯䛿᭩䛡䛺䛛䛳䛯䜒䛾䛃䜢ຍ䛘䛶䜒䚸䛂᪥᭙᪥䛃䛸ᅇ⟅䛧䛯⏕ᚐ䛿 㻝㻤䠂䛻䛸䛹䜎䜚䚸䛖䜛䛖ᖺ䜢ྵ䜑䛶᭙᪥䛜䛪䜜䜛ᵝᏊ䜢ṇ☜䛻䛸䜙䛘䛝䜜䛺䛛䛳䛯䜘䛖䛻ឤ䛨䛯䚹᪥㡭䛛䜙䚸ᩘᏛ䜢ά⏝䛩䜛⠊ᅖ䜢᪥ᖖ⏕ά䛻ᗈ䛢䜛䛸䛸䜒䛻䚸䛂䛺䛬䛭䛖䛺䜛䛾䛛䛃䜢ㄝ᫂䛩䜛άື䜢ᤵᴗ䛻ྲྀ䜚ධ䜜䛶䛔䛟ᚲせᛶ䛜䛒䜛䚹㻌

57‫؝ڭ‬৵ਖશ峘ਖ਻৔ઍ峒੥ટਫ௦૨ 岧ਯ৾ਸ਼‫৾ڮ‬ফ岨
ၥ㢟␒ྕ

኱ၥ

㊃᪨
ᛮ
䞉
ุ
䞉
⾲

ほⅬ

ᑠၥ

▱
䞉
ᢏ

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

䜴

䕿

䖂

䜶

䕿

䖂

䜰ϸ

䕿

䖂

⪃

ᢏ

▱
䞉
⌮

ᩥᏐ䜢౑䛳䛯
ᘧ䛾ィ⟬

㻝

㻞

䜰Ϲ
䜲

䕿

➼ᘧ䛾ኚᙧ䞉
ᘧ䛾್

䖂

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

ᩥᏐ䜢౑䛳䛯
ᘧ䛾ά⏝

㻟

䜰
㻠

㻡

䕿
䕿

䖂

䜴

䕿

䖂

䜰

䕿

㻣

㐃❧᪉⛬ᘧ䛾
ゎ䛝᪉

䖂

䕿

䜲Ϲ

㻢

䖂

䜲

䜲ϸ

㐃❧᪉⛬ᘧ䛾ά⏝䖂䕿䖂ฟ㢟䛾䛽䜙䛔

↓⟅⋡ṇ⟅⋡㻔㻑㻕

ከ㡯ᘧ䛾ຍἲ䞉ῶἲ䛾ィ⟬䛜䛷䛝䜛䚹㻤㻜㻞ከ㡯ᘧ䛸ᩘ䛾஌ἲ䞉㝖ἲ䛾ィ⟬䛜䛷䛝䜛䚹㻣㻣㻟༢㡯ᘧ䛾஌ἲ䞉㝖ἲ䛾ィ⟬䛜䛷䛝䜛䚹㻡㻣㻣ከ㡯ᘧ䛸ᩘ䛾஌ἲ䞉㝖ἲ䛾ィ⟬䛜䛷䛝䜛䚹㻡㻝㻝㻜ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢⾲䛩ᘧ䜢┠ⓗ䛻ᛂ䛨䛶ኚᙧ䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻠㻞㻞㻢ᩥᏐ䜢⏝䛔䛯ᘧ䛾ព࿡䜢ㄞ䜏ྲྀ䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻡㻡

㻞㻢

㻟㻣

㻞㻠

㻟㻢

㻟㻜

㻡

㻡㻟

㻤㻠

㻢

㻡㻣

㻝㻟

㻣㻢

㻝㻝

㻡㻢

㻞㻞

㻝㻠

㻞㻣

㻝

㻠㻤

ẚ౛䛾㛵ಀ䜢ᘧ䛻⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻡㻢ẚ౛䛾㛵ಀ䜢䜾䝷䝣䛻⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻡㻜㻝㻟ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢⾲䛩ᘧ䛻䚸ᩘ䜢௦ධ䛧䛶ᘧ䛾್䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᩚᩘ䛾ᛶ㉁䛻䛴䛔䛶ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䜢⏝䛔䛶ㄝ᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᩚᩘ䛾ᛶ㉁䛻䛴䛔䛶ᩥᏐ䜢౑䛳䛯ᘧ䜢⏝䛔䛶ㄝ᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ຍῶἲ䜔௦ධἲ䜢⏝䛔䛶䚸㐃❧䠎ඖ䠍ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ຍῶἲ䜔௦ධἲ䜢⏝䛔䛶䚸㐃❧䠎ඖ䠍ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ຍῶἲ䜔௦ධἲ䜢⏝䛔䛶䚸㐃❧䠎ඖ䠍ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ලయⓗ䛺஦㇟䛛䜙䚸୚䛘䜙䜜䛯᮲௳䜢ᡂ䜚❧䛯䛫䜛್䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ලయⓗ䛺஦㇟䛾୰䛾ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢ᤊ䛘㐃❧㻞ඖ㻝ḟ᪉⛬ᘧ䜢䛴䛟䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹
ồ䜑䛯ゎ䜔ゎỴ䛾᪉ἲ䛜㐺ษ䛷䛒䜛䛛䛹䛖䛛䜢᣺䜚㏉䛳䛶⪃䛘䚸䛭䛾⌮⏤䜢ㄝ᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

䜰䞉ᘧ

䕿

䖂

䜰䞉䜾䝷䝣

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

཯ẚ౛䛾㛵ಀ䜢ᘧ䛻⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻟㻝

㻞㻤

䜰ϸ

䕿

䖂

ᇶᮏⓗ䛺❧య䛾య✚䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻠㻡㻞㻜෇㗹䛸⌫䛾య✚䛾㛵ಀ䜢ᤊ䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻞㻥㻝㻥ᢞᙳᅗ䛛䜙䚸᮲௳䛻ྜ䛖㐺ษ䛺ぢྲྀᅗ䜢ุ᩿䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻞㻥㻡ᖹ⾜⥺䛾ᛶ㉁➼䜢⏝䛔䛶䚸ゅ䛾኱䛝䛥䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻡㻣

㻝㻠

㻞㻝

㻠㻝

㻟㻣

㻞㻜

㻟㻞

㻞㻞

㻠㻟

㻝㻥

㈨ᩱ䛾ᩚ⌮䛾䛧䛛䛯䜔௦⾲್䛾ព࿡䜢⌮ゎ䛧䛶䛔䜛䚹㻡㻝㻝ᗘᩘศᕸ⾲䜔䝠䝇䝖䜾䝷䝮䜢ᇶ䛻䛧䛶㈨ᩱ䛾ഴྥ䜢ㄞ䜏ྲྀ䜛䛣䛸䛜
䛷䛝䜛䚹

㻞㻟

㻝㻜

୚䛘䜙䜜䛯᝟ሗ䜢㐺ษ䛻ᤊ䛘䚸⟅䛘䜢ᑟ䛝ฟ䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹䜎䛯䚸䛭䛾⌮⏤䛻䛴䛔䛶ᩘᏛⓗ䛺⾲⌧䜢⏝䛔䛶⮬ศ䛾⪃䛘䜢㏙䜉䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻞㻝㻡୚䛘䜙䜜䛯᝟ሗ䜢㐺ษ䛻ᤊ䛘䚸⟅䛘䜢ᑟ䛝ฟ䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹䜎䛯䚸䛭䛾⌮⏤䛻䛴䛔䛶ᩘᏛⓗ䛺⾲⌧䜢⏝䛔䛶⮬ศ䛾⪃䛘䜢㏙䜉䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻢

㻠㻥

䜰Ϲ

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

䜰

䕿

ẚ౛䞉཯ẚ౛

✵㛫ᅗᙧ䞉
ᖹ㠃ᅗᙧ

䖂

ᖹ⾜⥺䛸ゅ䞉
ከゅᙧ䛾ゅ

㻤

㻥

ၥ㢟䛾ෆᐜ

䜲

䕿

䖂

ϸ

䕿

䖂

Ϲ

䕿

䖂

Ϻ

䕿

䖂

䜰

䕿

୕ゅᙧ䛾ྜྠ

䖂

㻝㻜

㈨ᩱ䛾ά⏝
䜲

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

㻝㻝

ά⏝䛻㛵䛩䜛
ၥ㢟䛂୕ゅᙧ䛾እゅ䛾࿴䛜䠏䠒䠌㼻䛃䛷䛒䜛䛣䛸䜢ᖹ⾜⥺䛾ᛶ㉁䜢⏝䛔䛶ㄝ᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹
୕ゅᙧ䛾ྜྠ᮲௳䜢⏝䛔䛶䚸㻞䛴䛾୕ゅᙧ䛜ྜྠ䛷䛒䜛䛣䛸䜢ド᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹
୕ゅᙧ䛾ྜྠ᮲௳䜢⏝䛔䛶䚸㻞䛴䛾୕ゅᙧ䛜ྜྠ䛷䛒䜛䛣䛸䜢ド᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹
୕ゅᙧ䛾ྜྠ᮲௳䜢⏝䛔䛶䚸㻞䛴䛾୕ゅᙧ䛜ྜྠ䛷䛒䜛䛣䛸䜢ド᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹䖂䈈୺䛯䜛ほⅬ

数学−

9

58

‫؝ڮ‬਌峔ෙ௦峒ীෲ 岧ਯ৾ਸ਼‫৾ڮ‬ফ岨
኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ㻌
⟅㻌
⋡㻌

ṇ⟅㻌

㻌

䜰㻌

䜲㻌

↓
⟅
⋡

㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕802

 [ [
[ [

1
1

77

3

 [ \
 [  4\

3
3

[

15

4 [\
[ \

2
7

䠍㻌
57

䜴㻌 2

7

[ \
11
12

䜶㻌

51

5

10

 [ [
1

ϸ

1

䜰㻌
Ϲ

20㻌 ੑ

42

26 6004

55

26 䠉216
24

20

2
6
6

4 [\

4
4
2

37 24 600

䠏㻌

20

1

࢔

1 ࡣᩚᩘ࡞ࡢ
1 ࡣ 6 ࡢಸ
ᩘ࡛࠶ࡿ

࢖ ࡛ࠊ

䜰㻌

䠈

5

㸴ࢆ࠿ࡅࡿ࡜ࠊ⤯ᑐ࡟53 㸴 ࡢ ಸ ᩘ ࡟ ࡞ ࡿ ࡜ ࠸
࠼ࡿ࠿ࡽࠋ

6

䠐㻌
䜲㻌

2 䠈

1

5

30

84

4

Q

36

57

13

1 䠈
2 䠈
4 䠈

ಀᩘ䛾ィ⟬䛻䜘䜛ㄗ⟅䛜ぢ䜙䜜䜛䚹≉䛻␗➢ྕ䛾ィ⟬䛾ᐃ╔䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹䜎䛯䚸ᣦᩘ䜔ᩥᏐ䛾᭩䛝ᛀ䜜䛜ከ䛟ぢ䜙䜜䛯䚹㻌㻌 ศ㓄ἲ๎䜢౑䛳䛶䛛䛳䛣䜢䛿䛪䛩䛸䛝䚸ከ㡯ᘧ䛾䠎␒┠䛾㡯䛸䛾✚䛾➢ྕ䛾ㄗ䜚䛜௒ᖺ䜒ぢ䜙䜜䛯䚹␗➢ྕ䛾࿴䛾ィ⟬䜔✚䛾➢ྕ䛾ㄗ䜚䛜ぢ䜙䜜䜛䚹㏵୰ᘧ䜢᭩䛛䛫䜛ᣦᑟ䜢ᚭᗏ䛧䚸ᐃ╔䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹㻌㻌 ஌ἲ䛸㝖ἲ䛾ΰ䛨䛳䛯ᘧ䛾ィ⟬䛷䛿䚸ᚋ䛾஌ἲ䛛䜙ィ⟬䛧䛶䛔䜛䚹㝖ἲ䛷䛿
䛂㏫ᩘ䜢䛛䛡䜛䛃䛣䛸䜢ᣦᑟ䜢䛧䚸ᐃ╔䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹䜎䛯䚸㻌
4 [ \ 4 u [ u [ u \ 䛸⾲䛩䛣䛸䛷䚸ᩥᏐ䛾⣙ศ䛻䛴䛔䛶䜒ὀព䜢ᡶ䜟䛫䛯䛔䚹㻌㻌 ศ㓄ἲ๎䛾䛸䛝䛾➢ྕ䛾ㄗ䜚䜔䚸䠍䛴䛾ศᩘ䛻䜎䛸䜑䛯䛸䛝䛾➢ྕ䛾ㄗ䜚䛜ከ䛟ぢ䜙䜜䜛䚹᪉⛬ᘧ䛾䛂ศẕ䜢ᡶ䛖䛃䛣䛸䛸䛾㐪䛔䜢䚸⌮ゎ䛷䛝䜛䜘䛖䛻䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌1

䠎㻌䜲㻌 䠉24ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌

1
1
1

4
4

2 䠈
2 䠈

数学− 1021

72➼ᘧ䛾ኚᙧ䛻䛴䛔䛶➢ྕ䛾ㄗ䜚䛜ከ䛟䜏䜙䜜䜛䚹୍䛴䜂䛸䛴୎ᑀ䛻ᘧ䜢ኚᙧ䛥䛫䛶䛔䛝䛯䛔䚹䜎䛯➼ᘧ䜢ኚᙧ䛩䜛౽฼䛥䜢⌮ゎ䛥䛫䛯䛔䚹㻌㻌㻌㻔䜲㻕䛷䛿䚸㻌y 㻌 㻌 \㻌 䜢஌ἲ䛻䛩䜛䛸䛝䛻㻌㻌u㻌 㻌 㻌 \㻌 䛸䛩䜛ㄗ䜚䛜ぢ䜙䜜䜛䚹㻌㻌\㝖ᩘ䜢㻌 㻌 㻌\ 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 䛾䜘䛖䛻ศᏊ䛸ศẕ㻌㻌䜢䛿䛳䛝䜚䛸ศ䛡䛯ᘧ䜢᭩䛔䛶䛛䜙㏫ᩘ
䛻䛩䜛䜘䛖䛻ᣦᑟ䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹⣼஌䛾ィ⟬䛿䚸㏵୰䛾ᘧ䜢୎ᑀ䛻᭩䛛䛫䜛ᣦᑟ䜢䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌䠄䜰䠅䛷䛿䚸䛛䛳䛣䛷䛟䛟䛳䛯㝿䛻䚸䠍䛻䛩䜛䜉䛝䛸䛣䜝䜢䠒䛾䜎䜎䛻䛩䜛ゎ⟅䛜ከ䛛䛳䛯䚹䠒䛿ศ㓄ἲ๎䛻䜘䜚䚸䛛䛳䛣䛾୰䛾㡯䛩䜉䛶䛻䛛䛡䜙䜜䜛䛣䛸䜢୎ᑀ䛻ᣦᑟ䛧䛶䛔䛟ᚲせ䛜䛒䜛䚹ᬑẁ䛾ᤵᴗ䛾୰䛷䚸⮬ศ䛾⪃䛘䜢ఏ䛘䜛ሙ㠃䜢タ䛡䚸⾲⌧ຊ䛾ྥୖ䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹㻌䠄䜲䠅䛷䛿䚸ᩚᩘ䛾ಸᩘ䛷䛒䜛䛣䛸䛾⾲䛧᪉䛜䚸䕕㽢䠄ᩚᩘ䠅䛸䛔䛖ᙧ䛷䛺䛡䜜䜀䛺䜙䛺䛔⌮⏤䜒୎ᑀ䛻ᣦᑟ䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌䠄䜰䠅䛾ຍῶἲ䛷䛿䚸∦᪉䛾ᩥᏐ䜢ᾘཤ䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䛶䛔䜛䛜䚸௚䛾㡯䛻䛴䛔䛶䛾ィ⟬䛷䝭䝇䛜ぢ䜙䜜䜛䚹ᾘཤ䛩䜛ᩥᏐ௨እ䛾㡯䛾ᢅ䛔䛻䜒ὀព䛧䛶ᣦᑟ
䛧䛯䛔䚹㻌

59

኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ⟅㻌

ṇ㻌
⟅㻌
⋡㻌

↓
⟅
⋡

76

11

㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕

䠈
䠈

1
3
1

㻔䜰㻕䠈㻔䜴㻕䛾ຍῶἲ䛻ẚ䜉䠈㻔䜲㻕䛾௦ධἲ䛾ᐃ╔䛜୙༑ศ䛺䛾䛷⧞䜚㏉䛧ᣦᑟ䛧䛯䛔䚹㻌㻝 ᫬㛫 㻡㻜 ศ㻌㻞 ᫬㛫 㻜㻜 ศ㻌㻝 ᫬㛫 㻡㻠 ศ㻌323ᩥ❶䛾ព࿡䛾⌮ゎ䜔ᩥ❶䛻⾲䛥䜜䛯᮲௳䛾ᢕᥱ䛻䛚䛔䛶䚸୎ᑀ䛻ᣦᑟ䛧䛯䛔䚹❧ᘧ䛻䛚䛔䛶䚸ᩘ㔞㛵ಀ䜢ᢕᥱ䛧䜔䛩䛔䜘䛖䛻䚸⾲䛺䛹䜢ά⏝䛧䛶䛔䛟䜘䛖䛻䚸ྲྀ䜚⤌䜎䛫䛯䛔䚹㻌䛂᳨⟬䛃䛸䛂ゎ䛾ྫྷ࿡䛃䛸䛾㐪䛔䜢⌮ゎ䛧䚸ゎ䛾ྫྷ࿡䜢⾜䛖䛣䛸䜢⩦័䛵䛡䛶䛔䛝䛯䛔䚹≉䛻䚸୍᪉䛾᪉⛬ᘧ䛿ᡂ䜚❧䛴䛜䚸௚᪉䛿ᡂ䜚❧䛯䛺䛔䛂㛫㐪䛳䛶䛔䜛ゎ䛾ሙྜ䛃䜢ྲྀ䜚ୖ䛢䛶䚸ゎ䛾ྫྷ࿡䛾ᚲせᛶ䜢ᐇឤ䛥䛫䛯䛔䚹㻌

䠈
㸲 䜴㻌

䠈

䜰㻌 1 ᫬㛫 30 ศ

5622

   㸻150 ࡢᘧ࡛㻌
㻌
ϸ㻌

1
4

㻌㻌

㸳
䜲㻌

㻌

㻌㻌

㻌

14

14

27
1

䝥䝸䞁䝍䞊A 䛷 50
ᯛ ༳ ๅ 䛩 䜛 䛾 䛻 50ศ䠈䝥䝸䞁䝍䞊B 䛷
400 ᯛ༳ๅ䛩䜛䛾䛻
Ϲ 100 ศ䛺䛾䛷䠈ྜィ᫬㛫 150 ศ䛿 2 ᫬㛫
30 ศ 䠈 ྜ ィ ᯛ ᩘ 䛿
450 ᯛ䛸䛺䜛䛾䛷ၥ㢟䛻㐺䛧䛶䛔䜛䚹

1

ᘧ 䠎㻌

65

48

6

㻌
㻌

4

㻌

4

㻌

2

䞉㐃❧᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛔䛶ゎ䛜୍⮴䛩䜛䛛䜢☜ㄆ䛧䛶䛔䜛㻌㻌䞉㐃❧᪉⛬ᘧ䛻௦ධ䛧䛶୍⮴䛩䜛䛛☜ㄆ䛧䛶䛔䜛㻌

䠐㻌

4

15

14

㻌

䜰㻌 ࢢ

50

ࣛ
ࣇ

13

7

㸴

䜲㻌

12

㻌

28

7
5
4
3

ϸ㻌 㸷䃟㻌 㼏ੑ㻌4520

Ϲ㻌 䠎ಸ㻌

29

19

䠏ಸ㻌

20

࢖ 䠎㻌 䠈㻌 䠏㻌29

5䠍䠈䠎䠈䠏㻌
䠎㻌
䠎䠈䠐㻌

15
14
11

㸶 䜰㻌 㻤㻜 ᗘ

57

14

㻢㻜 ᗘ㻌
㻠㻜 ᗘ㻌




数学− 11䠄䜰䠅䛷䛿䚸ẚ౛ᐃᩘ䜢ồ䜑䜛㝿䚸๭䜙䜜䜛ᩘ䛸๭䜛ᩘ䜢㏫䛻䛧䛶䛧䜎䛖ㄗ⟅䛜ぢ䜙䜜䜛䚹⾲䛾ぢ᪉䛺䛹䜢୎ᑀ䛻ᣦᑟ䛧䛯䛔䚹㻌䠄䜲䠅䛷䛿䚸཯ẚ౛䛾ᘧ䛷䛿䛺䛟䚸ẚ౛䛾ᘧ䛻䛒䛶䛿䜑䛶ᘧ䜢ồ䜑䛶䛔䜛ㄗ⟅䛜ぢ䜙䜜䜛䚹ẚ౛䛸཯ẚ౛䛾ᘧ䜢ṇ䛧䛟⌮ゎ䛥䛫䜛䛸䛸䜒䛻䚸ၥ㢟䜢䛧䛳䛛䜚䛸ᢕᥱ䛧ᩘ㔞㛵ಀ䜢☜ㄆ䛧䛺䛜䜙❧ᘧ䛩䜛䜘䛖ᚰ䛜䛡䛯䛔䚹㻌

8㻟䃟㻌 㼏ੑ
㻞㻣䃟㻌 㻌㼏ੑ㻝㻟㻚㻡䃟㻌 㻌㼏ੑ㻌

࢔
㸵

4
x
3
3
y= x㻌
4
y=

31

ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌

32䠄䜰䠅䛷䛿䚸෇㗹䛸⌫䛾య✚䜢ồ䜑䜛බᘧ䜢ṇ䛧䛟⌮ゎ䛧䛶䛔䛺䛔䛸ᛮ䜟䜜䜛䚹෇㗹䛿ྠ䛨༙ᚄ䛾෇ᰕ䛾య✚䛾䠍㻛㻟 䛷䛒䜛䛣䛸䜢䚸බᘧ䜢䛯䛰ᬯグ䛩䜛䛾䛷䛿䛺䛟䚸ᶍᆺ➼䜢౑䛳䛶බᘧ䛾ព࿡䜢ᐇឤ䛥䛫䜙䜜䜛䜘䛖䛺ᣦᑟ䜢ᚰ䛜䛡䛯䛔䚹㻌㻌 䠄䜲䠅䛾ၥ㢟䛿䚸෇ᰕ䜢ᶓ䛻ಽ䛧䛯✵㛫ᅗᙧ䛾ᢞᙳᅗ䛜䚸ṇᅄゅᰕ䛸ྠ䛨䛻䛺䜛䛣䛸䛻Ẽ䛵䛛䛺䛔䜎䜎䚸䠎䛾䜏䜢⟅䛘䜛䜒䛾䛜ከ䛛䛳䛯䚹ᅗᙧ䛻ᑐ䛩䜛ᇶ♏ⓗ䛺▱㆑䛸䛸䜒䛻ᛂ⏝ຊ䜒ఙ䜀䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌䠄䜰䠅䛷䛿䚸ᖹ⾜䛺䠎┤⥺䛸㘒ゅ䛾㛵ಀ䚸ྠ఩ゅ䛾㛵ಀ䛻䛴䛔䛶䚸୎ᑀ䛻☜ㄆ䛩䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹≉䛻䚸ᅗᙧ䛜㔜䛺䛳䛶䛔䜛䛸䚸㘒ゅ䜔ྠ఩ゅ䛾㛵ಀ䜢⌮ゎ䛩䜛䛾䛜ᅔ㞴䛻䛺䜛䛣䛸䛜⪃䛘䜙䜜䜛䚹䜎䛯䚸ṇ୕ゅᙧ䛾ᛶ㉁䜒୎ᑀ䛻ᢅ䛔䛯䛔䚹

60

኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ⟅㻌

ṇ㻌
⟅㻌
⋡㻌

↓
⟅
⋡

㻌
㸶 ࢖

21

41

㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕㻌㻟 䛴䛾୕ゅᙧ䛻ศ䛡䜛㻌
㻌
㻌
㻌
㻌
㻌
㻌
㻌

2

4

3
5
4
2

ϸ ҆ADE=҆DBF

37

20

҆EDF=҆DFB
҆D=҆B
DE=BF
DF=EC

㸷 Ϲ ҆DAE䠙҆BDF

32

22

҆A㸻҆D
҆AED=҆EDF
DF=AC

4
3
2
18

19

䠏⤌䛾㎶䛜䛭䜜䛮䜜➼䛧䛔㻌䠍䛴䛾㎶䛸䛭䛾୧➃䛾
ゅ䛜➼䛧䛔

5
5
18
9
5

Ϻ 䠍⤌䛾㎶䛸䛭䛾୧➃䛾ゅ䛜䛭䜜䛮䜜➼䛧䛔㻌43

࢔ ᅗ 㻝㻌 㻌 㻌 㻤㻚㻢㻣㻡㻌 䡉㻌

511

࢖ 䠏㻌 䠈㻌 䠐㻌

23

10

1
2
5

22
10
43

࢔ 䠍䠍ே㻌

62

15

䠎䠍ே

2

49

඲య䠐䠌ே䚸ጤဨ఍䠎䠍ே䚸ᩥ໬㒊䠎䠏ே䚸ᒎ♧ಀ䠍䠔ே䛷䠎䠍䠇䠎䠏䠇䠍䠔䠙䠒䠎ே㻌 䠍䠍䠇䠔䠇䠍䠌䠇䠍䠏䠙䠏䠎ே㻌 䠒䠎ே䠉䠏䠎ே䠙䠏䠌ே䠐䠌ே䠉䠏䠌ே䠙䠍䠌ே䛧䛯䛜䛳䛶䠍䠌ே䛷䛒䜛䚹

7ጤဨ఍䛸ᩥ໬㒊䛾䜏䛻ᡤᒓ䛧䛶䛔䜛ே䛿䠓ே䚸ᩥ໬㒊䛸ᒎ♧ಀ䛾䜏䛻ᡤᒓ䛧䛶䛔䜛ே䛿䠑ே䚸ጤဨ఍䛸ᒎ♧ಀ䛾䜏䛻ᡤᒓ䛧䛶䛔䜛ே䛿䠔ே䛷䛒䜛䚹ᩥ໬㒊䛾䜏䛿䠔ே䚸ጤဨ఍䛾䜏䛿䠏࢖ ே䚸ᒎ♧ಀ䛾䜏䛿䠎ே䛷䛒䜛䚹䠏䛴඲㒊ᡤᒓ䛧䛶䛔䜛ே䛿䠏ே䛺䛾䛷䚸
䛩䜉䛶㊊䛩䛸䚸䠓䠇䠑䠇䠔䠇䠔䠇䠏䠇䠎䠇䠏䠙䠏䠒㻌䠐䠌䠉䠏䠒䠙䠐㻌 㻌 䜘䛳䛶䛹䛣䛻䜒ᡤᒓ䛧䛶䛔䛺䛔ே䛿䠐ே䛷䛒䜛䚹

6



数学− 12䠄䜲䠅䛷䛿䚸୕ゅᙧ䛾ෆゅ䛾࿴䛜 㻝㻤㻜㼻䛻䛺䜛䛣䛸䜔䚸ෆゅ䛾࿴䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛿ᐃ╔䛧䛶䛔䜛䜘䛖䛷䛒䜛䚹䛧䛛䛧䚸እゅ䛾࿴䛿 㻟㻢㻜㼻䛸ኚ໬䛧䛺䛔䛫䛔䛛䚸䛹䛾䜘䛖䛻ᑟ䛔䛯䛣䛸䛺䛾䛛䚸⌮ゎ䛜ᅗ䜜䛶䛔䛺䛔䜘䛖䛷䛒䜛䚹▱㆑䛸䛧䛶䛾⌮ゎ䜢῝䜑䜛䛸䛸䜒䛻䚸ᤵᴗ䛷䜒䛥䜎䛦䜎䛺䜰䝥䝻䞊䝏䛷ෆᐜ䛻㏕䜛䛣䛸䛷䚸⪃䛘᪉䛾ᖜ䜢ᗈ䛢䚸ㄝ᫂䛩䜛ຊ䜢㣴䛳䛶䛔䛝䛯䛔

ゅ䜔ྜྠ᮲௳䛾ṇ☜䛺⾲䛧᪉䛾ᐃ╔䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹䜎䛯䚸ド᫂䛾᰿ᣐ䛸䛺䜛䛣䛸䛜䜙䛜ఱ䛛䠄䛹䛣䛜➼䛧䛔䛣䛸䛜ㄝ᫂䛷䛝䜜䜀䜘䛔䛛䠅䛜⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䛺䛔⏕ᚐ䛜ぢ䜙䜜䜛䚹䛭䛾䛯䜑䚸᰿ᣐ䛸䛺䜛䛣䛸䛜䜙䜔ド᫂䛾඲య䛾ὶ䜜䜢୍䛴୍䛴☜ㄆ䛧䛺䛜䜙ᣦᑟ䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹14

8.65 m8.75 m8.60 m㹼8.65 m
8.65 m㹼8.70 m
13 m



ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌㈨ᩱ䛛䜙䚸ṇ䛧䛟ᩘ㔞䜢䛸䜙䛘୰ኸ್䜢ồ䜑䜙䜜䜛䜘䛖䛻䚸୎ᑀ䛻ᣦᑟ䜢䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌 ⠊ᅖ䚸㝵⣭䛾ᖜ䚸᭱㢖್䚸ᖹᆒ್䚸୰ኸ್䛺䛹䛾ゝⴥ䛜ఱ䜢⾲䛧䛶䛔䜛䛾䛛ලయⓗ䛺஦౛䜢ᩘከ䛟ᢅ䛖䜘䛖䛻䛩䜛䛣䛸䛷ᐃ╔䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹

㔜䛺䛳䛶䛔䜛㒊ศ䛾ேᩘ䜢ᘬ䛔䛶䛔䛺䛔䛺䛹䚸ᅗ䛾௙⤌䜏䛾⌮ゎ䛜䛷䛝䛺䛛䛳䛯ゎ⟅䛜ከ䛟ぢ䜙䜜䛯䚹㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 䜎䛯䚸ㄝ᫂䛜୙༑ศ䛷䛒䜛ゎ⟅䜒ከ䛟ぢ䜙䜜䛯䛾䛷䚸ၥ㢟ᩥ䜔ᅗ䛛䜙䚸䛭䛾ෆᐜ䜢⌮ゎ䛧䚸➽㐨䜢❧䛶䛶ㄝ᫂䛩䜛䛸䛔䛖ຊ䜢ఙ䜀䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹

61‫؝ڭ‬৵ਖશ峘ਖ਻৔ઍ峒੥ટਫ௦૨ 岧ਯ৾ਸ਼‫৾گ‬ফ岨
ၥ㢟␒ྕ

኱ၥ

㻝

㻞

㊃᪨
ᛮ
䞉
ุ
䞉
⾲

ほⅬ

ᑠၥ

▱
䞉
ᢏ

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

䜴

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

⪃

ᢏ

▱
䞉
⌮

ᩘ䛾ィ⟬䞉ᒎ㛤୍ḟᘧ䛾஌ἲ䛾ィ⟬䜔䚸஌ἲබᘧ䜢⏝䛔䛶ᘧ䜢ィ⟬䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹୍ḟᘧ䛾஌ἲ䛾ィ⟬䜔䚸஌ἲබᘧ䜢⏝䛔䛶ᘧ䜢ィ⟬䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹୍ḟᘧ䛾஌ἲ䛾ィ⟬䜔䚸஌ἲබᘧ䜢⏝䛔䛶ᘧ䜢ィ⟬䛩䜛䛣䛸䛜䛷
䛝䜛䚹

↓
⟅
⋡

ṇ⟅⋡㻔㻑㻕

㻥㻟

㻝

㻥㻠

㻝

㻣㻣

㻞

ᅉᩘศゎ䛾බᘧ䜢⏝䛔䛶䚸ᘧ䜢ᅉᩘศゎ䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻤㻞㻠ᅉᩘศゎ䛾බᘧ䜢⏝䛔䛶䚸ᘧ䜢ᅉᩘศゎ䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻥㻠

㻝

䜲

䕿

䖂

䜴

䕿

䖂

ᅉᩘศゎ䛾බᘧ䜢⏝䛔䛶䚸ᘧ䜢ᅉᩘศゎ䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻤㻣

㻝

䜰

䕿

䖂

ᖹ᪉᰿䜢ྵ䜐ᘧ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻥㻝

㻞

䜲

䕿

䖂

ᖹ᪉᰿䜢ྵ䜐ᘧ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻣㻜㻤ᖹ᪉᰿䜢ྵ䜐ᘧ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻤㻞㻞ᖹ᪉᰿䜢ྵ䜐ᘧ䛾ᅄ๎ィ⟬䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻤㻤

㻠

㻣㻥

㻟

㻢㻣

㻢

㻤㻤

㻡

㻣㻝

㻝㻝

㻠㻝

㻝㻝

㻝㻢

㻞㻢

㻣㻥

㻥

㻢㻣

㻡

㻢㻜

㻟

㻤㻤

㻟

ᑐᛂ䛩䜛䠎䛴䛾ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢䚸䜾䝷䝣䛻⾲䜟䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻢㻥

㻢

ᖹ᪉᰿
䜴

䕿

䖂

䜶

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

䜴

䕿

䖂

䜶

䕿

䖂

䠎ḟ᪉⛬ᘧ䛾
ィ⟬

㻠

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

㻢

䕿
䜰

䠎ḟ᪉⛬ᘧ䛾
ά⏝
䖂

䕿

෇࿘ゅ
䖂
☜⋡

㻣
䜲

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

䜲

䕿

䖂

ᖹ᪉䛾ᙧ䛻ኚᙧ䛧䛯䜚䚸ᅉᩘศゎ䛧䛯䜚䛧䛶㻞ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᖹ᪉䛾ᙧ䛻ኚᙧ䛧䛯䜚䚸ᅉᩘศゎ䛧䛯䜚䛧䛶㻞ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᖹ᪉䛾ᙧ䛻ኚᙧ䛧䛯䜚䚸ᅉᩘศゎ䛧䛯䜚䛧䛶㻞ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ゎ䛾බᘧ䜢⏝䛔䛶㻞ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻡䠍ḟ㛵ᩘ䛾ά⏝ලయⓗ䛺஦㇟䛾୰䛾ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢ᤊ䛘䚸㻞ḟ᪉⛬ᘧ䜢䛴䛟䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ồ䜑䛯ゎ䜔ゎỴ䛾᪉ἲ䛜㐺ษ䛷䛒䜛䛛䜢᣺䜚㏉䛳䛶⪃䛘䚸䛭䛾⌮⏤䜢ㄝ᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹
෇࿘ゅ䛸୕ゅᙧ䛾ෆゅ䛾࿴䜢⏝䛔䛶䚸ゅ䛾኱䛝䛥䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᶞᙧᅗ䜢฼⏝䛧䛶䚸䛒䜛䛣䛸䛜䜙䛜㉳䛣䜛ሙྜ䛾ᩘ䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ሙྜ䛾ᩘ䜢㡰ᗎⰋ䛟ᩚ⌮䛧䚸䛒䜛䛣䛸䛜䜙䛜㉳䛣䜛☜⋡䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ලయⓗ䛺஦㇟䛛䜙ྲྀ䜚ฟ䛧䛯䠎䛴䛾ᩘ㔞䛾㛵ಀ䜢䚸䛭䛾ኚ໬䜔ᑐᛂ䛾≉ᚩ䛛䜙ᤊ䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

䜴

䕿

䖂

㻝ḟ㛵ᩘ䛾ᘧ䚸䜾䝷䝣䛛䜙䚸ලయⓗ䛺஦㇟䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻠㻡

㻝㻣

䜰

䕿

䖂

୚䛘䜙䜜䛯᮲௳䛻䛒䛳䛯సᅗ䜢䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻢㻡

㻤

㻢㻟

㻝㻢

㻢㻢

㻢

䜂䛧ᙧ䞉㛗᪉ᙧ䞉ṇ᪉ᙧ䛾ᛶ㉁䜢⌮ゎ䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻞㻟୕ゅᙧ䛾┦ఝ᮲௳䜢⏝䛔䛶䚸㻞䛴䛾୕ゅᙧ䛜┦ఝ䛷䛒䜛䛣䛸䜢ド᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻞㻠㻝㻤⥺ศ䛾ẚ䜢⏝䛔䛶䚸ᅗᙧ䛾㠃✚䜢ẚ㍑䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻞㻠㻞㻡୚䛘䜙䜜䛯᝟ሗ䜢ⓗ☜䛻ᤊ䛘䚸⟅䛘䜢ᑟ䛝ฟ䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹㻢㻜㻝㻜୚䛘䜙䜜䛯᝟ሗ䜢ⓗ☜䛻ᤊ䛘䚸⟅䛘䜢ᑟ䛝ฟ䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹䜎䛯䚸䛭䛾⌮⏤䛻䛴䛔䛶ᩘᏛⓗ䛺⾲⌧䜢⏝䛔䛶⮬ศ䛾⪃䛘䜢㏙䜉䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹

㻞

㻟㻞

䕿
㻥

ฟ㢟䛾䛽䜙䛔

ᘧ䛾ィ⟬䞉
ᅉᩘศゎ

㻟

㻤

ၥ㢟䛾ෆᐜ

䖂

䜲

ᅄゅᙧ
䕿

䜴
䜰

䖂

䕿

䖂
䕿

䖂

㻝㻜

┦ఝ䛺ᅗᙧ
䜲

䕿

䖂

䜰

䕿

䖂

㻝㻝
䜲

䕿

䖂

ά⏝䛻㛵䛩䜛ၥ㢟ᖹ⾜ᅄ㎶ᙧ䛾ᛶ㉁䜔ᖹ⾜ᅄ㎶ᙧ䛻䛺䜛䛯䜑䛾᮲௳䜢⏝䛔䛶ᅗᙧ䛾ᛶ㉁䜢ド᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᖹ⾜ᅄ㎶ᙧ䛾ᛶ㉁䜔ᖹ⾜ᅄ㎶ᙧ䛻䛺䜛䛯䜑䛾᮲௳䜢⏝䛔䛶ᅗᙧ䛾ᛶ㉁䜢ド᫂䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹䖂䈈୺䛯䜛ほⅬ数学− 1362‫؝ڮ‬਌峔ෙ௦峒ীෲ 岧ਯ৾ਸ਼‫৾گ‬ফ岨
኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ⟅㻌

࢔

DE  D  3E 

㸯 ࢖

㸰

[ 

\ 㻌

㻌

ṇ
⟅
⋡

↓
⟅
⋡

㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕

93

1

DE  D  3E 
DE  㻌

941[  4\ 㻌[  \㻌

2[3 㻌
 [ 㻌

5[  3[ 㻌[ [3 㻌[  [ 3[ [   4㻌
[ 4 㻌
[4

3

D [  [

2

࢘

[ 㻌

77

2

࢔

[ [3 㻌

82

4

࢖

[

94

1

࢘

D [4 㻌

87

1

[3 㻌



࢔

࢖

91

㻌

70

㻌



82

3

㻌

3
4
1
3
2

2
1

㻌

4

㻌

2

3 3㻌
 3㻌

8

8

3
3㻌

2

㻌

㸱
࢘

2

1

 㻌

2

㻌

2

2

ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌ᩥᏐᘧ䛾⾲䛧᪉䛾⣙᮰䜢㛫㐪䛘䜛䚸䠎஌䛾ᣦᩘ䜢᭩䛝ᛀ䜜䜛䚸ゎ⟅䜢グධ䛩䜛䛸䛝䛻䝬䜲䝘䝇䜢᭩䛝ᛀ䜜䜛䚸䝬䜲䝘䝇䛾䛛䛳䛣䜢䛿䛪䛩䛸䛝䛻➢ྕ䛾ฎ⌮䜢㛫㐪䛘䜛䚸ᒎ㛤䜢䛧䛶ྠ㢮㡯䜢䜎䛸䜑䛯ᚋ䛻ᅉᩘศゎ䜢䛧䛶䛧䜎䛖䛺䛹䛾ㄗ⟅䛜ぢ䜙䜜䜛䚹㻌㻌 ィ⟬ᢏ⬟䛾⩦⇍䛻䛴䛔䛶䛿䚸⧞䜚㏉䛧ᣦᑟ䛧䛶䛔䛟ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌඲యⓗ䛻䚸බᘧ䛻䜘䜚ᅉᩘศゎ䛷䛝䜛䜘䛖䛺ᇶᮏⓗ䛺ၥ㢟䛿䛝䛱䜣䛸ゎ䛡䛶䛔䜛䜘䛖䛷䛒䜛୍᪉䚸ඹ㏻ᅉᩘ䛷䛟䛟䜛ᅉᩘศゎ䛜ⱞᡭ䛾䜘䛖䛷䛒䜛䚹☜ᐇ䛺ゎ⟅䜢ᑟ䛟䛯䜑䛻䜒ᒎ㛤䛸ᅉᩘศゎ䛾㛵ಀ䛻䛴䛔䛶⌮ゎ䛩䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹䜎䛯ᅉᩘศゎ䜢䛩䜛ၥ㢟䛺䛾䛛䚸䠎ḟ᪉⛬ᘧ䛾ၥ㢟䛺䛾䛛䛜⌮ゎ䛷䛝䛶䛔䛺䛔⏕ᚐ䜒ከ䛔䚹㻌౛ᖺࠊၥ㸱ࡢᖹ᪉᰿ࡢィ⟬ၥ㢟࡛ࡣࠊ௚ࡢᘧࡢᒎ㛤ࠊᅉᩘศゎࠊ㸰ḟ᪉⛬ᘧࡢၥ㢟࡜ẚ࡭࡚↓⟅⋡ࡀ㧗࠸ࠋᖹ᪉᰿ࡑࡢࡶࡢࡢ⌮ゎຊ
ࡀ୙㊊ࡋ࡚࠸ࡿࡢࡀཎᅉ࡜ᛮࢃࢀ
ࡿࠋࡑࡢ⤖ᯝࠊ(࢔)ࡢຍῶ࡛ࡣ➢ྕࢆ㛫㐪࠼ࡓࡾࠊ(࢖)ࡢ஌㝖࡛ࡣ⣙ศࡢ᪉ἲࠊ᭷⌮໬ࡢ᪉ἲ࡜࠸ࡗ
ࡓᇶᮏⓗ࡞ィ⟬ࡢㄗࡾࡀከ࠸ࠋ
ၥ㸯࡜ྠᵝࠊィ⟬ᢏ⬟䛾⩦⇍䛻䛴䛔䛶䛿䚸⧞䜚㏉䛧ᣦᑟ䛧䛶䛔䛟ᚲせ䛜
䛒䜛䚹㻌

2

࢚

88

㻌

࢔ [

r 3㻌

࢖ [

㸪[

࢘ [

㸪[

4

1

79

3

[
[

3㻌
[ 3㻌

4㻌㻌

67

6

[
[

㻌㻌

88

5

[

71

11

[

7
3

4㻌
4 [

㻌

2

[

㻌

3

16

㸲

࢚

[

3r

3r

3

数学− 14㻌

5

㻌 䠎ḟ᪉⛬ᘧ䜢ゎ䛟䛸䛝䛻䚸ᖹ᪉᰿䛻䜘䜛⪃䛘᪉䛷ゎ䛟䛾䛛䚸ᅉᩘศゎ䜢฼⏝䛧䛶ゎ䛟䛾䛛䛾ุ᩿䛜኱ษ䛷䛒䜛䚹䠄䜲䠅䛷䛿䚸✚䛜䠌䛷䛒䜛䛣䛸䜢౑䛳䛶ゎ䜢ᑟ䛝ฟ䛧䛶䛔䜛䛣䛸䜢▱㆑䛸䛧䛶ᐃ╔䛷䛝䛶䛔䛺䛔䛯䜑䛻䚸 [ࡢゎ⟅ࡀᢤࡅ࡚ࡋࡲ࠺⏕ᚐࡀከ࠸䚹㻌䠄䜶䠅䛷䛿䚸ゎ䛾බᘧ䛜ᐃ╔䛧䛶䛔䛺䛔䛯䜑䚸ゎ䜢ᑟ䛝ฟ䛫䛺䛔⏕ᚐ䛜ከ䛔䛣䛸䜒䜟䛛䜛䚹㻌䠎ḟ᪉⛬ᘧ䛾ゎἲ䛸䛸䜒䛻䚸ၥ㢟䛻ᛂ䛨䛯ゎ䛝᪉䛜㑅ᢥ䛷䛝䜛䜘䛖䛺ຊ䜢ᣦᑟ䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹㻌

63

኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ ↓
⟅㻌 ⟅
⋡㻌 ⋡

ṇ⟅㻌

 [

࢔

 [ 㻌

79

67

࢔

60

㻌

88

ศ㛫㻌

9

5

3

3

㻌

㸶

䜲㻌

࢘

4

ศᚋ㸦㸲㸬㸶ศᚋ㸧

183

䞉 [ ࡢኚᇦࡀṇࡋࡃ᭩ࡅ࡚࠸࡞࠸ࠋࡑࡋ࡚
⟅࠼ࡀ [ࡲࡓ
ࡣ 20Fm17

䞉 [ ࡢኚᇦࡣṇࡋࡃ᭩ࡅ࡚࠸ࡿࠋࡋ࠿ࡋࠊ
⟅࠼ࡀ [ࡲࡓ
ࡣ 20Fm

13

3
㻌

ᗘ

3

㻌 ᗘ㻌

2

䞉ᶞᙧᅗ䛜ṇ䛧䛟᭩䛡䛶䛔䛺䛔䚹䛭䛧䛶⟅䛘䛾ሙྜ䛾ᩘ䛜㛫㐪䛳䛶䛔䜛䚹㻌㻌䞉ᶞᙧᅗ䛿ṇ䛧䛟᭩䛡䛶䛔䜛䚹䛧䛛䛧⟅䛘䛾ሙྜ䛾ᩘ䛜㛫㐪䛳䛶䛔䜛䚹

15

10

3
㻌
4

6

㻌

6

ศ㛫㻌

2

4
࢔㻌

[ 㻌
[ 㻌

26

㸵

࢖

[
[

41 11

䃦䠚䠌䜘䜚䚸䃦䠙㻙㻝㻞㻜 䛿ၥ㢟䛻㐺䛥䛺䛔䚹䜎䛯䃦䠙㻞㻜 䛾䛸䛝䚸䝔䞊䝤䝹䜽䝻䝇䛾⦪䛾㛗䛥䛿 㻞㽢㸳㻞㻜㻗㻤㻜㻩㻝㻞㻜㼏㼙㻘ᶓ䛾㛗䛥䛿
16࢖ 㻞㽢㻞㻜㻗㻝㻞㻜㻩㻝㻢㻜㼏㼙 䛸䛺䜚䚸㠃✚䛿 㻝㻞㻜㽢㻝㻢㻜㻩㻝㻥㻞㻜㻜 䟛㼽䛻䛺䜛䚹䛣䜜䛿䝔䞊䝤䝹䛾㠃✚㻥㻢㻜㻜 䟛㼽䛾䠎ಸ䛸䛺䛳䛶䛔䜛䛛䜙ၥ㢟䛻㐺䛧䛶䛔䜛䚹㻌㸴 33㻌 ᗘ㻌 㻌 㻌 ୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㻔䠂㻕[ ㍈䛾䠍䠓ศ䛷䛿䛺䛟䚸䜾䝷䝣⏝⣬䛾➃䛾䚸[ ㍈䠍䠔ศ䜎䛷䜂䛛䜜䛶䛧䜎䛳䛶䛔䜛䜾䝷䝣䛾ᅗ䜢సᡂ䛧ධ䜜䛶䛟䛰䛥䛔䚹㻌

69

6

45

4 ศᚋ
17 㻌
ศᚋ㻌



数学− 159816

ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌ၥ㢟䛾ព࿡䜢ㄞ䜏ྲྀ䜚䚸䛭䜜䜢ᘧ䛻⾲䜟䛩ຊ䜢䛴䛡䛥䛫䛯䛔䚹䛣䛾䛸䛝䛻ᅗ䛻⾲䛩䛣䛸䛷䚸ᘧ䛜䛯䛶䜔䛩䛟䛺䜛䛣䛸䜢ព㆑䛥䛫䛯䛔䚹䜎䛯䚸㻝 䛴䛾᪉ἲ䛰䛡䛷䛺䛟䚸」
ᩘ䛾᪉ἲ䜢ぢ䛔䛰䛩ㄢ㢟䜢タᐃ䛩䜛ᤵᴗ䜢ቑ䜔䛩ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌䠄䜲䠅䛷䛿䚸ゎ䛜ၥ㢟䛻㐺䛧䛶䛔䜛䛛䛹䛖䛛䜢ุ᩿䛩䜛䛸䛝䛻䚸䛂㐺䛧䛶䛔䜛䛃䛣䛸䛸䛂㐺䛧䛶䛔䛺䛔䛃䛣䛸䛾୧᪉䛻䛴䛔䛶䚸ุ᩿䛧䛯᰿ᣐ䜢⾲⌧䛧䜘䛖䛸䛩䜛ព㆑䜢䜒䛴䜘䛖䛻ᣦᑟ䛩䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹≉䛻䚸ኚᇦ䜢ṇ䛧䛟グධ䛩䜛䛣䛸䜢ព㆑䛥䛫䛯䛔䚹䜎䛯䚸ゎ䛸⟅䛘䛜㐪䛖ሙྜ䜒䛒䜛䛾䛷䚸ὀព䛥䛫䛯䛔䚹㻌෇࿘ゅ䛾ᐃ⌮䜢⏝䛔䜛䛯䜑䛻⿵ຓ⥺䜢ᘬ䛔䛶⪃䛘䚸ゎ䛟ၥ㢟䛷䛒䜛䚹䛹䛖ᕤኵ䛩䜜䜀᪤⩦஦㡯䜢ά⏝䛧䛶⟅䛘䜢ᑟ䛟䛣䛸䛜䛷䛝䜛䛾䛛⪃䛘䜛ຊ䜢ᤵᴗෆ䛷⫱ᡂ䛧䛯䛔䚹㻌ᶞᙧᅗ䜢䛛䛟䛣䛸䛻䜘䜚䚸㉳䛣䜚䛖䜛䛩䜉䛶䛾ሙྜ䛸䛭䛾஦᯶䛜㉳䛣䜛ሙྜ䜢ᅗ䛻⾲䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䚹ᤵᴗ䛷⧞䜚㏉䛧ᶞᙧᅗ䜢䛛䛟䛣䛸䛻䜘䜚䚸☜⋡䛾ၥ㢟䜢ṇ☜䛻ฎ⌮䛩䜛ຊ䜢㌟䛻䛴䛡䛥䛫䛯䛔䚹㻌ࢢࣛࣇ࡟⾲⌧ࡉࢀ࡚࠸ࡿෆᐜࢆㄞ
ࡳྲྀࡿࡇ࡜ࠊၥ㢟࡟ἢࡗࡓෆᐜࢆࢢࣛ
ࣇ࡛⾲ࡍࡇ࡜ࡢⰋࡉࢆឤࡌྲྀࢀࡿࡼ
࠺࡞ㄢ㢟ࢆ㐺ᐅᤵᴗ࡛ྲྀࡾୖࡆࡿᚲ
せࡀ࠶ࡿࠋ 㸦࢘㸧࡛ࡣࠊࢢࣛࣇࡢ஺Ⅼࡀࠊࡍࢀ㐪ࡗࡓᆅⅬࢆ⾲ࡋ࡚࠸ࡿࡇ࡜ࢆ⌮ゎࡋࠊ㐃❧᪉⛬ᘧ࡞࡝ࢆ⏝࠸࡚஺Ⅼࡢᗙᶆࢆồࡵࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿࡼ࠺࡞ᣦᑟ
ࡶᚭᗏࡋࡓ࠸ࠋ ᪥ᖖ⏕άࡸ♫఍࡟࠾࠸࡚ᩘᏛࡀ฼
⏝ࡉࢀ࡚࠸ࡿࡇ࡜ࢆᐇឤࡉࡏࡿࡼ࠺
࡞㢟ᮦࢆᩘከࡃ⏝࠸࡚ᐃ╔ࢆᅗࡾࡓ
࠸ࠋ

64

኱㻌 ᑠ
ၥ㻌 ၥ㻌

ṇ⟅㻌

ṇ ↓
⟅㻌 ⟅
⋡㻌 ⋡

㻌

ᤵᴗᨵၿ䜈䛾ᡭ䛰䛶㻌䞉㻭㻱㻦㻱㻰㻩㻞㻦㻟㻘㻌㻮㻲㻦㻲㻯㻩㻟㻦㻞 䛸䛺䜛Ⅼ㻱㻘㻲 䛻䛺䛳䛶䛔䜛㻌㻌䞉Ⅼ䠝䛸Ⅼ䠢䠈Ⅼ䠡䛸Ⅼ䠟䛜⤖䜀䜜䛶䛔䛺䛔䚹








 


AD








䠎㻌







䠍䠈䠎䠈䠑㻌䞉䠞ᇶ‽㻌⌮⏤䛸㻔㻝㻕䛚䜘䜃⌮⏤䛸㻔㻞㻕䡚㻔㻠㻕䛜᭩䛡䛯㻌㻌䞉䠟ᇶ‽㻌⌮⏤䛸㻔㻝㻕䜎䛯䛿⌮⏤䛸㻔㻞㻕䡚㻔㻠㻕䛜᭩䛡䛯㻌









䕧㻭㻮㻯䠖䕧㻮㻰㻯䠙㻠㻥䠖㻝㻢䕧㻭㻮㻯䠖䕧㻮㻰㻯䠙㻥䠖㻝㻢㻌䕧㻭㻮㻯䠖䕧㻮㻰㻯䠙㻣䠖㻠㻌䠄䠏㻌 㻘㻌 䠏䠅㻌䠄䠒㻌 㻘㻌 䠍䠅㻌





࢔

୺䛺ㄗ⟅㻌 㻌 㻔䠂㻕



㸷
ᘧ㻌

䠝䠡䠙䠢䠟㻌

⌮⏤㻌

䠑㻌

䜲㻌

࢘ 䠍䠈䠎㻌


BC 㻌




࢔

 ࢖ 䕧㻭㻮㻯䠖䕧㻮㻰㻯䠙㻌 㻟㻌 䠖㻌 㻠㻌 

䠄䠏㻌 㻘㻌 䠏䠅㻌࢔ 䠄䠒㻌 㻘㻌 䠍䠅㻌䠄䠌㻌 㻘㻌 䠑䠅㻌࢖䛩䛧 㻝 ─㣗䜉⤊䜟䜛䛾䛻䠎䠌⛊䛛䛛䜛䛾䛷䠈᭱ప䛷䜒䠑䠌─┠䛜䠍䠕ศ䠐䠌⛊䛻ᣮᡓ⪅䛾๓䛻䛺䛡䜜䜀䛺䜙䛺䛔䚹䜎䛯䝇䝍䞊䝖᫬䛻ᣮᡓ⪅䛾๓䛻 㻝 ─┠䛜⨨䛔䛶䛒䜛䛾䛷䠈᭱ప䛷䜒─䛸─䛾㛫䛿䠈඲㒊䛷䠐䠕䛛ᡤ䛷䛒䜛䚹䛣䛾䛸䛝䠈ᅇ㌿ྎ䛿ẖศ䠐䠑䠌㼏㼙 䛾㻌㏿䛥䛷㐍䜣䛷䛔䜛䛾䛷䠈㻌䠐䠑䠌㽢䠍䠕㻌 㻌 䠙䠔䠔䠑䠌㼏㼙㻌㐍䜐䚹─䛸─䛾㛫䛜䠐䠕䛛ᡤ 

 

䞉䠞ᇶ‽㻌
䠍䠕ศ䠐䠌⛊䛿䜟䛛䛳䛯䛜䚸─䛾㛫㝸䜢䠑䠌䛸䛧䛶䛧䜎䛳䛯䚹㻌
䠍䠕ศ䠐䠌⛊䚸─䛾㛫㝸䠐䠕䜎䛷ồ䜑䛶䛒䜛䛜䚸ᅇ㌿ྎ䛾㐍䜐㊥㞳䜢㛫㐪䛘䛶䛧䜎䛳䛯䚹㻌
㻌䞉䠎䠌ศ䛷䠕䠌䠌䠌䟛㻌䠕䠌䠌䠌㾂䠑䠌䠙䠍䠔䠌䟛㻌㻌௚䛰䛛䜙䠈䠔䠔䠑䠌㾂䠐䠕䠙㻌䛸䛺䜛䚹䛣䛾䛣䛸䛛䜙䠈㻌 㻌 㻌 㻌㼏㼙 ௨ୗ䛾㛫㝸䛷─䜢⨨䛛䛺䛡䜜䜀䛺䜙䛺䛔䚹㻌⟅䛘㻌 㻌 㻌 㻌 㻌 㼏㼙 ௨ୗ㻌

数学− 16















䠄䜰䠅䛷䛿䠈ၥ㢟ᩥ䛛䜙䠈Ⅼ䛾఩⨨䜢ㄞ䜏ྲྀ䜚䠈ᅗ䛾୰䛻⾲䛩ຊ䜢䛴䛡䛥䛫䛯䛔䚹ᬑẁ䛾ᤵᴗ䛾୰䛷䠈⏕ᚐ⮬㌟䛜䠈
ၥ㢟ᩥ䜢ㄞ䜏ྲྀ䜚䛺䛜䜙䠈ᅗ䛻⾲䛧䛶䛔䛟䛣䛸䜢✚䜏㔜䛽䛶䛔䛟ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌䠄䜲䠅䛾ド᫂ၥ㢟䛷䛿䠈䛔䜟䜖䜛୕ẁㄽἲ䜢⏝䛔䛶ド᫂䛩䜛ၥ㢟䜢ྲྀᢅ䛔䚸ᐃ╔䜢ᅗ䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌䠄䜴䠅䛾䛂ᖹ⾜ᅄ㎶ᙧ䛻䛹䜣䛺᮲௳䛜ຍ䜟䜛䛸䠈䜂䛧ᙧ䠈㛗᪉ᙧ䠈ṇ᪉ᙧ䛻䛺䜛䛛䛃䛾ၥ㢟䛷䛿䠈䠑䜢ྵ䜐ㄗ⟅䛜ከ䛟ྵ䜎䜜䛶䛔䛯䚹䛭䜜䛮䜜䛾ᅗᙧ䛾ᑐゅ⥺䛾ᛶ㉁䜢䛧䛳䛛䜚䛚䛥䛘䛶䛔䛟ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌㻌 䠟ᇶ‽䛻䛒䛶䛿䜎䛳䛯⏕ᚐ䛿 㻟㻜䠂䛔䛯䛜䚸䛭䛾ከ䛟䛿䛂⌮⏤䛸㻔䠍㻕䛜᭩䛡䛯⏕ᚐ䛃䛷䛒䛳䛯䚹䛂⌮⏤䛸㻔䠎㻕䡚㻔䠐㻕䛃䛜᭩䛡䛺䛔䛸ド᫂䜢᏶ᡂ䛥䛫䜛䛣䛸䛿㞴䛧䛔䚹ᤵᴗ୰䛻୕ẁㄽἲ䜢⏝䛔䛶ド᫂䛩䜛ၥ㢟䜢ྲྀ䜚ᢅ䛔䚸ᐃ╔䜢ᅗ䜚䛯䛔䚹㻌㻌 㠃✚䛾ẚ䜢ồ䜑䜛ၥ㢟䛷䛿䚸ᅗᙧෆ䛾┦ఝ䛺୕ゅᙧ䛾┦ఝẚ䜢౑䛳䛶⥺ศ䛾ẚ䜢ồ䜑䛶䛛䜙䚸㠃✚䛾ẚ䜢ồ䜑䜛ၥ㢟䛷䛒䛳䛯䚹ᅗᙧෆ䛛䜙┦ఝ䛺୕ゅᙧ䜢ぢ䛔ฟ䛧䚸┦ఝẚ䜢ồ䜑䜙䜜䜛ຊ䜢ఙ䜀䛩ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌᪥ᖖ䛾஦㇟䜢䚸ᩘᏛⓗ䛻⪃䛘䜛ၥ㢟䛷䛒䜛䚹㻌䠄䜰䠅䛻䛴䛔䛶䛿䚸䠍䠌䠌෇䛸䠍䠑䠌෇䛾୧᪉䛾─䜢㣗䜉䛺䛡䜜䜀䛔䛡䛺䛔䛸⪃䛘䛯䛣䛸䛻䜘䜛ㄗ⟅䛜ከ䛛䛳䛯䚹㻌䠄䜲䠅䛻䛴䛔䛶䛿䚸䛂ᮌ䜢୍ᐃ䛾㛫㝸䛷᳜䛘䜛ၥ㢟䛃䛺䛹䛷䜒ྲྀ䜚ୖ䛢䜙䜜䛶䛔䜛䜘䛖䛻─䛾㛫㝸䛜䠐䠕䛛ᡤ䛻䛺䜛䛸䛔䛖䛣䛸䛻Ẽ䛵䛛䛺䛛䛳䛯⏕ᚐ䛜ከ䛛䛳䛯䚹㻌䜎䛯↓⟅⋡䜒㧗䛟䚸ၥ㢟䛾ពᅗ䜢ⓗ☜䛻䛸䜙䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䛺䛔⌧ᐇ䜒䛒䜛䚹㻌୚䛘䜙䜜䛶䛔䜛᮲௳䜔ᩘ್䜢ㄞ䜏ྲྀ䜚䚸⮬ศ䛾⪃䛘䜢ᘧ䜔ゝⴥ䛷⾲⌧䛷䛝䜛ຊ䜢䛴䛡䛥䛫䛯䛔䚹㻌

65㸯㸬඲యࡢ⪃ᐹձ ඲Ꮫᖺࢆ㏻ࡋ࡚ࠊᩘᘧࡢฎ⌮࡟㛵ࡋ࡚ࡢၥ㢟ࡣ࠾࠾ࡴࡡ⌮ゎࡋ࡚࠸ࡿࡀࠊศᩘࡸ࠿ࡗࡇ࡞࡝ࢆྵࡴࡶࡢࡣ
ㄗ⟅ࡀከ࠸ࠋᑠᏛᰯ࡛ࡢ᪤⩦஦㡯࡛࠶ࡿ㸩㸫¹㸦 㸧ࡢィ⟬ࡢ㡰ᗎࡸศᩘࡢィ⟬࡞࡝ࠊᇶ♏࣭ᇶᮏࡢィ⟬࠿ࡽ୎ᑀ࡟ᣦᑟࡋ࡚࠸ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋࡲࡓࠊ࣐࢖ࢼࢫࡀ㛵ࢃࡿィ⟬࡛ࡢ㛫㐪࠸ࡀከ࠸ࡇ࡜࠿ࡽࡶࠊ➢ྕ࡟ࡘ࠸࡚ࡣᖖ࡟ព㆑ࡋ࡚࠸ࡃࡇ࡜ࢆಁࡍᚲせࡀ࠶ࡿࠋ
ղ ྛᏛᖺ࡛Ꮫ⩦ࡍࡿ᪉⛬ᘧࡢᇶᮏⓗ࡞ゎἲࡣ࠾࠾ࡴࡡ㌟࡟ࡘ࠸࡚࠸ࡿ࡜⪃࠼ࡽࢀࡿࡀࠊ⛣㡯ࡢ㝿ࡢ➢ྕࡢㄗࡾࡀ඲Ꮫᖺ࡟࠾࠸࡚ぢࡽࢀࡓࠋ᪉⛬ᘧࡢゎἲ࡟ࡘ࠸࡚ࠊ➼ᘧࡢᛶ㉁ࡸ⛣㡯ࡢ⪃࠼᪉ࢆᤵᴗ࡛୎ᑀ࡟ᢅ࠺ᚲ
せࡀ࠶ࡿࠋճ ᪉⛬ᘧࢆά⏝ࡍࡿᩥ❶ၥ㢟࡛ࡣࠊ౛ᖺ❧ᘧࡢṇ⟅⋡ࡀప࠸ࠋ㈙࠸≀ࡢሙ㠃࡞࡝ࡢࢃ࠿ࡾࡸࡍ࠸ㄢ㢟࡛ࡣẚ
㍑ⓗṇ⟅⋡ࡀ㧗࠸ࡢ࡛ࠊࡇࡢࡼ࠺࡞ၥ㢟࡛❧ᘧ࡟័ࢀࡉࡏࠊ᪥㡭ࡢᤵᴗࡢ୰࡛ᩥ❶ࡢព࿡ࢆᤊ࠼ࡿࡇ࡜ࢆ኱
ษ࡟ࡋࠊ」㞧࡞ሙ㠃࡟࠾࠸࡚ࡶ❧ᘧࡀ࡛ࡁࡿࡼ࠺࡟ࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋࡲࡓࠊゎࡢྫྷ࿡࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊᩥ❶ࡢෆᐜ࡟ᑐࡋ࡚ࡑࡢゎࡀ㐺ࡋ࡚࠸ࡿ࠿࡝࠺࠿ࢆ☜ㄆࡍࡿࡶࡢ࡛࠶ࡿࡇ࡜ࢆᤵᴗࡢ୰࡛ࡶ኱ษ࡟ࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
մ ྛᏛᖺ࡟ฟ㢟ࡉࢀ࡚࠸ࡿᅗᙧࢆᢅ࠺ၥ㢟࡛ࡣࠊゎἲࡢࡓࡵ࡟ᚲせ࡞බᘧࡸᅗᙧࡢᐃ⩏ࠊᛶ㉁㸦ᐃ⌮㸧ࠊ⏝ㄒࡢព࿡ࡀṇ☜࡟㌟࡟ࡘ࠸࡚࠸࡞࠸ࡇ࡜࡟ࡼࡿ↓⟅ࡸㄗ⟅ࡀぢࡽࢀࡿࠋᇶ♏ⓗ࣭ᇶᮏⓗ࡞ࡇ࡜ࢆ㌟࡟௜ࡅࡓୖ࡛ࠊ᰿ᣐࢆ᫂ࡽ࠿࡟ࡋ࡚➽㐨❧࡚࡚⪃࠼ࡿᛮ⪃ຊࢆ⫱࡚ࡓ࠸ࠋ
յ ྛᏛᖺࡢά⏝࡟㛵ࡍࡿၥ㢟࡛ࡣࠊ୚࠼ࡽࢀࡓ㈨ᩱ࠿ࡽၥ㢟ゎỴ࡟ᚲせ࡞᝟ሗࢆṇࡋࡃぢฟࡍࡇ࡜ࠊ≧ἣࢆṇࡋࡃᤊ࠼ࡿࡇ࡜࡟ㄢ㢟ࡀ࠶ࡿࠋࡲࡓࠊ⮬ศ࡞ࡾࡢゝⴥ࡛ࢃ࠿ࡾࡸࡍࡃㄝ᫂ࡍࡿࡇ࡜ࡶⱞᡭ࡞⏕ᚐࡀከࡃぢཷࡅࡽࢀࡿࠋ௒ᚋࡶゝㄒάືࢆ୍ᒙព㆑ࡋࡓᣦᑟࢆᮇᚅࡋࡓ࠸ࠋ
ն ᪥ᖖ࡟࠶ࡿࡇ࡜ࡀࡽ࡟ࡘ࠸࡚ࠊ
ᩘᏛࢆά⏝ࡋ࡚⪃࠼ࡓࡾุ᩿ࡋࡓࡾࡍࡿែᗘࢆ኱ษ࡟ࡋࡓ࠸ࠋ
ࡑࡢࡓࡵ࡟ࠊ㈨ᩱࢆẚ㍑ࡋ࡞ࡀࡽᚲせ࡞᝟ሗࢆㄞࡳྲྀࡿຊ࡜ㄞࡳྲྀࡗࡓࡇ࡜ࢆ⾲⌧ࡍࡿຊࢆ⫱࡚࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
㸰㸬ほⅬࡈ࡜ࡢ⪃ᐹ㸦㸯㸧ᛮ⪃ุ࣭᩿࣭⾲⌧᪉⛬ᘧࢆ฼⏝ࡋࡓᩥ❶㢟࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ௒ᖺᗘࡶㄢ㢟ࡀṧࡿࠋࡲࡎࠊ❧ᘧ࡟ࡘ࠸࡚ࠊ᫖ᖺࡣ㸰Ꮫᖺ࡛㸣࡛࠶ࡗࡓṇ⟅⋡ࡔࡀࠊ௒ᖺࡣṇ⟅⋡ࡀ㸣࡜࠸࠺⤖ᯝ࡟࡞ࡗࡓࠋ᫖ᖺࡢࡼ࠺࡟≀ࡢಶᩘ࡟㛵ࢃࡿၥ㢟࡟ᑐࡋ࡚ࡣࠊ㌟㏆࡞஦㇟࡜ࡋ࡚ᤊ࠼ࡸࡍ࠸ࡼ࠺ࡔࡀࠊ௒ᖺࡢࡼ࠺࡟㸰᫬㛫㸱㸮ศࢆ㸯㸳㸮ศ࡜ࡍࡿࡇ࡜ࡸࣉࣜࣥࢱ࣮㹀ࡀ㸯ᯛ࠶ࡓࡾ࡟࠿࠿ࡿ༳ๅ᫬㛫ࢆồࡵࡿࡇ࡜࡞࡝ၥ㢟࡟ᑐࡋ࡚῝ࡃᩥ❶ࢆㄞࡳྲྀࡿຊࡀᚲせ࡛࠶ࡿࡇ࡜ࡀࢃ࠿ࡿࠋࡲࡓࠊ඲Ꮫᖺ࡟ࢃࡓࡗ࡚ࠊゎࡢྫྷ࿡࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ↓⟅⋡ࡀ㧗ࡃ㸯ᖺ⏕࡛ࡣ㸣㸰ᖺ⏕࡛ࡣ㸣㸱ᖺ⏕࡛ࡣ㸣࡜࡞ࡗ࡚࠸ࡿࠋ❧ᘧ࡟ᑐࡍࡿ᳨⟬࡜࡜ࡽ࠼࡚࠸ࡿ⏕ᚐࡀከ࠸ࡇ࡜࠿ࡽࠊ❧ᘧ࡛ࡁ࡞࠸ࡇ࡜࠿ࡽྫྷ࿡ࢆ↓⟅࡟ࡍࡿ⏕ᚐࡀከ࠸ࠋၥ㢟ᩥ࡟ᑐࡋ࡚ゎࡀ㐺ࡋ࡚࠸ࡿ࠿ࢆ☜ㄆࡍࡿࡇ࡜࡛࠶ࡿ࡜࠸࠺ࡇ࡜ࢆᤵᴗࡢ୰࡛ఏ࠼࡚࠸ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋᅗᙧࡢド᫂ၥ㢟࡛ࡣࠊ㸰Ꮫᖺࡢ୕ゅᙧࡢྜྠ᮲௳ࢆ⏝࠸ࡓド࡛᫂ࡣࠊ඲యࡢὶࢀࡀࡍ࡛࡟ぢ࠼࡚࠸ࡿ✰ᇙࡵド࡛᫂࠶ࡗࡓ࡟ࡶ࠿࠿ࢃࡽࡎࠊṇ⟅⋡ࡣ࠿࡞ࡾప࠸ࠋ᰿ᣐ࡜࡞ࡿ஦᯶ࡀᖹ⾜⥺࡛࠶ࡿࡇ࡜࠿ࡽ㘒ゅࡋ࠿ᛮ࠸ᾋ࠿ࡤ࡞࠸⏕ᚐࡀከࡃࠊྠ఩ゅࢆᤊ࠼ࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁ࡚࠸࡞࠿ࡗࡓࡼ࠺࡛࠶
ࡿࠋ㸱Ꮫᖺࡢ┦ఝࡢド࡛᫂ࡣࠊ㏵୰ࡲ࡛࠿ࡅ࡚࠸ࡓ⏕ᚐࡣከࡃ࠸ࡓࡀࠊ୕ẁㄽἲࢆ౑ࡗ࡚ゅࡀ➼ࡋ࠸ࡇ࡜ࢆㄝ᫂ࡍࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁ࡚࠸࡞࠸ࠋࡇࢀࡽࡢࡇ࡜࠿ࡽࠊド᫂ၥ㢟࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊࡲࡎ඲యࢆᤊ
࠼ࠊྜྠ᮲௳ࡸ┦ఝ᮲௳࡟࠶࡚ࡣࡲࡿ㎶ࡸゅࢆ᰿ᣐ࡜࡜ࡶ࡟ぢࡘࡅ࡚࠸ࡃࡇ࡜ࡀ኱ษ࡛࠶ࡿࠋ
ά⏝࡟㛵ࡍࡿၥ㢟࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ඲Ꮫᖺ࡜ࡶṇ⟅⋡ࡀపࡃࠊ↓⟅⋡ࡀ㧗࠸ࠋㄢ㢟࡟ᑐࡋ࡚ࠊ῝ࡃ⪃࠼ࡿࡇ࡜ࡸࠊࢃ࠿ࡾࡸࡍࡃ୎ᑀ࡟ㄝ᫂ࢆࡍࡿࡇ࡜࡞࡝ࠊᤵᴗࡢ୰࡛ྲྀࡾධࢀ࡚࠸ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋ


数学− 17

66

㸦㸰㸧▱㆑࣭ᢏ⬟࠿ࡗࡇࡢ୰ࡢ㸰஌࡜࠿ࡗࡇࡢእࡢ㸰஌ࡢィ⟬࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ㸯Ꮫᖺࡢ㸯㸦࢘㸧ࡢṇ⟅⋡ࡀ᫖ᖺࡢ㸣࡟ᑐࡋ࡚௒ᖺࡣ㸣࡟ⴠࡕࡓࡇ࡜࠿ࡽࡶࠊᤵᴗࡢ୰࡛⥅⥆ࡋ࡚୎ᑀ࡟ྲྀࡾᢅࡗ࡚࠸ࡃࡇ࡜ࡀ
኱ษ࡛࠶ࡿࠋ඲Ꮫᖺඹ㏻ࡋ࡚࠸࠼ࡿࡇ࡜ࡣࠊศ㓄ἲ๎࡟࠾ࡅࡿ➢ྕࡢㄗࡾࡸィ⟬ࡢ㡰ᗎ࡞࡝࡛ࡢ
㛫㐪࠸ࡀከ࠸ࡇ࡜࠿ࡽࠊィ⟬ࡢ㏵୰ᘧࢆ୎ᑀ࡟᭩ࡃࡇ࡜ࢆᣦᑟࡋ࡚࠸ࡃࡇ࡜ࡀ኱ษ࡛࠶ࡿࠋࡲࡓࠊ
ᩥᏐᘧࢆ⏝࠸࡚ᩘ㔞ࡸᩘ㔞㛵ಀࢆ⾲ࡍࡇ࡜࡟ࡘ࠸࡚ࡶࠊᩥᏐࢆ౑࠺ࡇ࡜࡛஦㇟ࢆ୍⯡໬ࡍࡿࡇ࡜
ࡸ᪉⛬ᘧࡢ❧ᘧ࡟⧅ࡀࡿࡇ࡜࠿ࡽࡶ୎ᑀ࡞ᣦᑟࡀᚲせ࡛࠶ࡿࠋ኱ᑠ㛵ಀࢆ⾲ࡍၥ㢟࡛ࡣࠊ᫖ᖺࡢ
ᩚᩘྠኈࡢẚ㍑࡛ࡣṇ⟅⋡㸣ࡔࡗࡓࡢ࡟ᑐࡋࠊ௒ᖺࡣᩚᩘ࡜ศᩘࡢẚ㍑ࢆࡍࡿၥ㢟࡟ኚ࠼ࡓ࡜
ࡇࢁࠊṇ⟅⋡ࡣ㸣ࡲ࡛ⴠࡕ࡚ࡋࡲ࠺⤖ᯝ࡜࡞ࡗࡓࠋࡇࡢࡇ࡜࠿ࡽࡶࠊศᩘ࡟ࡘ࠸࡚ࡣ୎ᑀ࡞ᣦᑟ
ࢆࡋ࡚࠸ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋ
㛵ᩘ࡛ࡣࠊ஦㇟ࢆᘧ⾲ࢢࣛࣇ࡛⾲ࡍࡇ࡜ࡸㄞࡳྲྀࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿࡼ࠺࡟ࡍࡿࡇ࡜ࡀᚲせ࡛࠶ࡿࠋࢢࣛࣇ࠿ࡽᘧࢆࡘࡃࡗࡓࡾࠊᘧ࠿ࡽࢢࣛࣇࢆ࠿࠸ࡓࡾࡍࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿࡇ࡜࡛ࠊ㸱Ꮫᖺࡢ㸶㸦࢘㸧ࡢࡼ࠺࡞ᛮ⪃ุ࣭᩿࣭⾲⌧ࡢၥ㢟ࢆゎࡃࡇ࡜࡟⧅ࡀࡗ࡚࠸ࡃࠋ      㸱㸬㡿ᇦࡈ࡜ࡢ⪃ᐹ㸦㸯㸧ᩘ࡜ᘧ㸯Ꮫᖺṇ 䛾ᩘ 䞉㈇ 䛾ᩘ 䛾ィ ⟬ ၥ 㢟 䛻䛴䛔䛶䛿䚸➢ ྕ 䛾㛫 㐪 䛔䛜ከ 䛔䛣䛸䛛䜙䚸ᘧ 䛾୰ 䛾䝬䜲䝘䝇䛻Ẽ䜢௜ 䛡䛶ィ ⟬ 䜢✚ 䜏㔜 䛽䚸ᐃ ╔ 䜢ᅗ 䛳䛶䛔䛟䛣䛸䛜ᚲ せ 䛷䛒䜛䚹ᅄ ๎ ィ ⟬ 䛷䛿䚸ィ ⟬ 㡰 ᗎ 䛻䛴䛔䛶ᑠ Ꮫ ᰯ䛷䛾Ꮫ ⩦ 䛾୰ 䛷㛫 㐪䛳䛶ぬ 䛘䛶䛧䜎䛔䚸䛭䛾䜎䜎䛻䛺䛳䛶䛔䜛䛣䛸䜔䚸ィ ⟬ 䛧䜔䛩䛭䛖䛺䛸䛣䜝䛛䜙ィ ⟬ 䛧ጞ 䜑䛶䛧䜎䛳䛯䛣䛸䛻䜘䜛㛫 㐪 䛔䛜ከ 䛔䚹䛣䛾䛣䛸䛛䜙䚸ᅄ ๎ ィ ⟬ 䛻䛴䛔䛶䚸➢ ྕ 䜒ྵ䜑䛶ᐃ╔䜢ᅗ䛳䛶䛔䛟ᚲせ䛜䛒䜛䚹䜎䛯䚸ᇶ‽䜢䜒䛸䛻➢ྕ䜢౑䛳䛶⾲䛩䛣䛸䛻䛴䛔䛶䜒⌮ゎ䜢῝䜑䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌ᩥ Ꮠ 䛸ᘧ 䛾ィ ⟬ 䛻䛴䛔䛶䛿䚸ᩥ Ꮠ ᘧ 䛾⣙ ᮰ 䛻ᑐ 䛧䛶䚸㽢䜔䠍䜢┬ ␎ 䛩䜛䛣䛸䜔䚸㾂䛾₇ ⟬ グ ྕ䛿⏝ 䛔䛪ศ ᩘ䛷⾲ 䛩䛣䛸䛜䛧䛳䛛䜚䛸⌮ ゎ䛷䛝䛶䛔䛺䛔䛣䛸䛛䜙䚸ά ⏝䛾ၥ 㢟 䜔᪉ ⛬ ᘧ 䛾ィ ⟬䛷䛾䝭䝇䛻䛴䛺䛜䛳䛶䛔䜛䛣䛸䛜䜟䛛䜛䚹≉䛻䚸ศ㓄ἲ ๎䛻㛵䛧䛶䚸䛛䛳䛣䜢䛿䛪䛩㝿䛾➢ྕ 䛾㛫㐪䛔䛜ከ䛔䛣䛸䛛䜙䚸㏵୰ᘧ䜢䛛䛟ᣦᑟ䜢ᚭᗏ䛧䚸䜘䜚୎ᑀ䛺ྲྀ䜚ᢅ䛔䛜ᚲせ䛷䛒䜛䚹㻌ゝⴥ䜢⏝䛔䛶⟅䛘䜛ၥ㢟䛷䛿䚸⮬䜙䛾⪃䛘䜢┦ᡭ䛻ศ䛛䜚䜔䛩䛟ㄝ᫂䛩䜛ຊ䛜୙༑ศ䛷䛒䜛䛣䛸䛛䜙䚸ᘧ䛾ព࿡䜢⪃䛘䛥䛫䚸ᤵᴗ䛾୰䛷⮬䜙䛾⪃䛘䜢ㄝ᫂䛧䛶䛔䛟ᶵ఍䜢ቑ䜔䛧䛶䛔䛟䛣䛸䛜኱ษ䛷䛒䜛䚹䛥䜙䛻䚸ㄝ᫂䛩䜛䛯䜑䛾᰿ᣐ䜢䛹䛾䜘䛖䛻㑅䜣䛷䛔䛡䜀䛔䛔䛾䛛ᣦᑟ䛧䛶䛔䛟ᚲせ䜒䛒䜛䚹㻌㸰Ꮫᖺศᩘࢆྵࡴᘧࡢィ⟬࡛ࡣࠊ౛ᖺ࡜ྠࡌࡼ࠺࡟ࠊศẕࢆࡣࡽࡗ࡚ィ⟬ࢆࡍࡿㄗ⟅ࡀ⣙㸵㸣࠶ࡗࡓࠋࢭࣥࢸࣥࢫᆺ㸦➼ᘧࡢᛶ㉁ࡀ౑࠼ࡿ㸧࡜ࣇ࣮ࣞࢬᆺ㸦➼ᘧࡢᛶ㉁ࡀ౑࠼࡞࠸㸧ࠊ࡝ࡕࡽࡢᘧ࡞ࡢ࠿
୍ࡘࡦ࡜ࡘព㆑ࡉࡏࡿᚲせࡀ࠶ࡿࠋࡲࡓࠊศ㓄ἲ๎ࢆ⏝࠸ࡓィ⟬࡟࠾࠸࡚ࡶࠊ࠿ࡗࡇࡢ๓࡟࣐࢖ࢼ
ࢫࡀ࠶ࡿ࡜➢ྕࡢㄗࡾࡀ┠❧ࡘࠋࡲࡓࠊಀᩘࡀ㸯ࡢ㡯࡟ࡘ࠸࡚ࡢィ⟬ࡢ㛫㐪࠸ࡀከ࠸ࠋࡲࡎࡣィ⟬᪉ἲࢆ⌮ゎࡋ࡚ࠊ㏵୰ࡢィ⟬ࢆ୎ᑀ࡟᭩࠿ࡏࡿᣦᑟࢆ⧞ࡾ㏉ࡋ⾜࠸ࠊᇶᮏⓗ࡞ィ⟬ࡢຊࢆᐃ╔ࡉࡏ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
ᩥᏐࢆ౑ࡗࡓᘧࡢά⏝࡛ࡣࠊᩥᏐࢆ౑ࡗ࡚ࠊ㸴ࡢಸᩘࡢ⾲ࡋ᪉࡟ࡘ࠸࡚ㄝ᫂ࡍࡿၥ㢟ࢆฟ㢟ࡋࡓࠋᩚᩘࡢಸᩘ࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ㸴Q㸩㸴࡛ࡣ࡞ࡃ㸴 Q㸩㸯 ࡛⾲ࡉ࡞ࡅࢀࡤ࡞ࡽ࡞࠸ࡇ࡜࡟ࡘ࠸࡚⌮ゎࡋ࡚࠸࡞࠸⟅࠼ࡀከ࠿ࡗࡓࠋㄝ᫂ࡢὶࢀࢆぬ࠼ࡿࡔࡅ࡛࡞ࡃࠊෆᐜࢆ⌮ゎࡉࡏ࡞ࡀࡽᣦᑟࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋࡲ
ࡓࠊ⮬ศࡢ⪃࠼ࡸᘧ࠿ࡽㄞࡳྲྀࢀࡿࡇ࡜ࢆㄝ᫂ࡍࡿሙ㠃ࢆቑࡸࡋࠊ⾲⌧ຊࢆ㧗ࡵ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
㐃❧᪉⛬ᘧࢆゎࡃ࡜࠸࠺ࡇ࡜࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊຍῶἲࢆ⏝࠸ࡿၥ㢟࡛ࡣṇ⟅⋡ࡀ㸵๭ࢆ㉸࠼࡚ࡣ࠸ࡿࡶࡢࡢࠊ↓⟅⋡ࡀ㸯๭࡟㏆࠸ࠋ㸯ḟ㛵ᩘࡢࢢࣛࣇࡢ஺Ⅼࡸࠊ㸱ᖺḟࡢ㸰ḟ᪉⛬ᘧ࡟ࡘ࡞ࡆࡿࡓࡵ
࡟ࡶࠊ࠾ࡉ࠼࡚࠾ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋ≉࡟ࠊ௦ධἲࡢṇ⟅⋡ࡣຍῶἲ࡟ẚ࡭  ๭㏆ࡃୗࡀࡗ࡚࠸ࡿࡀࠊ
௒ᚋࡢ౑⏝㢖ᗘࡣ௦ධἲࡢ᪉ࡀ㧗࠸࡜ࡶ࠸࠼ࡿࡓࡵᐃ╔ࡉࡏ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
㐃❧᪉⛬ᘧࡢά⏝࡛ࡣࠊ❧ᘧࡢṇ⟅⋡ࡀ౛ᖺ࡟࡞ࡃప࠸ࡀࠊ≉࡟ࠊ     㸻 ࡜࡞ࡿᩘ㔞㛵ಀ࡛ࠊ᫬㛫࡜ࠊᯛᩘࡢ㛵ಀ࡟ΰ஘ࡋ࡚࠸ࡿㄗ⟅ࡀከࡃ࠶ࡗࡓࠋᩘ㔞㛵ಀࢆᢚ࠼ࡿᚲせࡀ࠶ࡿ࡜ឤ
ࡌࡿ࡜ྠ᫬࡟ࠊ༢఩ィ⟬࡞࡝࡟ࡶゐࢀ࡚࠸ࡃᚲせᛶࡶ࠶ࡿࡢ࡛ࡣ࡞࠸࠿࡜ᛮ࠺ࠋゎࡢྫྷ࿡࡟࠾࠸

数学− 1867ࡇ࡜ࢆ⩦័࡙ࡅࡓ࠸ࠋ
  
㸱Ꮫᖺ
᫖ᖺᗘ࡟ẚ࡭ࠊྛၥ㢟࡟࠾࠸࡚ࠊṇ⟅⋡ࡀୖࡀࡗࡓࠋࡋ࠿ࡋᩥᏐᘧࡢ⾲ࡋ᪉ࡢ༢⣧࡞㛫㐪࠸ࡸ࠿ࡗࡇࢆࡣࡎࡍ࡜ࡁࡢ➢ྕࡢฎ⌮ࡢ㛫㐪࠸ࠊᣦᩘࡢ᭩ࡁᛀࢀ࡞࡝ࠊᇶᮏⓗ࡞㒊ศ࡟࠾࠸࡚ゎ⟅ᚋࡢぢ┤ࡋࡀ୙㊊ࡋ࡚࠸ࡿ࡜ឤࡌࡿࠋࡲࡓၥ㢟ࢆㄞࡲࡎ࡟ゎࡁጞࡵࡓࡇ࡜࡟ࡼࡾࠊᅉᩘศゎࡢၥ㢟࡞ࡢ࠿ࠊ㸰ḟ᪉⛬ᘧࢆゎࡃၥ㢟࡞ࡢ࠿࡞࡝ࠊఱࢆࡍ࡭ࡁ࡞ࡢ࠿☜ㄆࡏࡎ࡟ゎ࠸࡚࠸ࡿ⏕ᚐࡶぢࡽࢀࡿࠋィ⟬ᢏ⬟ࡢ⩦⇍࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊ⧞ࡾ㏉ࡋࡢᣦᑟࡶ኱ษ࡛࠶ࡿࡀࠊゎ⟅ࢆᑟࡃ࠺࠼࡛ࠊၥ㢟ࢆࡋࡗ࠿ࡾ࡜ㄞࡴࡇ࡜ࡸぢ┤ࡋࢆࡍࡿࡇ࡜ࡢ኱ษࡉࡢᣦᑟࡶᚭᗏࡋࡓ࠸ࠋ
ࡲࡓࠊ㸰ḟ᪉⛬ᘧࡢά⏝ࡢゎࡢྫྷ࿡࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊࠕゎࡀ㐺ࡋ࡚࠸ࡿࠖࡇ࡜࡜ࠕゎࡀ㐺ࡋ࡚࠸࡞࠸ࠖ
ࡇ࡜ࡢ୧᪉࡟ࡘ࠸࡚ࠊุ᩿ࡋࡓ᰿ᣐࢆ⾲⌧ࡍࡿࡇ࡜ࡢᚲせᛶࢆࠊᣦᑟࡋ࡚࠸ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋ
㸦㸰㸧㛵ᩘ
㸯ᏛᖺᑠᏛᰯ䛷Ꮫ⩦䛧䛯ෆᐜ䛛䜙䛾ฟ㢟䛷䛒䜛䚹ᑠᏛᰯ䛾ᩍ⛉᭩䛷䛿䚸[ 䛜䠍ቑ䛘䜛䛸䛝䛾 \ 䛾ቑ䛘䜛㔞䛻䛴䛔䛶䛿䚸䛂䛝䜎䛳䛯ᩘ䛃䛸䛔䛖⾲⌧䛷⾲䛥䜜䚸௒ᖺᗘ䛾⤖ᯝ䛛䜙䜒඘ศᐃ╔䛧䛶䛔䜛䛾䛷䛿䛺䛔䛛䛸ᛮ䜟䜜䜛䚹䜎䛯䚸䜾䝷䝣䛻䛴䛔䛶䜒௒ᖺᗘ䛿Წ䜾䝷䝣䜢䛛䛟ゎ⟅䜒ᑡ䛺䛟䚸ẚ౛䛾䜾䝷䝣䛜┤⥺䛷䛒䜛䛣䛸䛻䛴䛔䛶䜒䛛䛺䜚ᐃ╔䛧䛶䛝䛶䛔䜛䚹䛧䛛䛧䚸┤⥺䛻䛺䜛䛣䛸䜢⌮ゎ䛧䛶䛔䜛䛻䜒䛛䛛䜟䜙䛪䚸Ⅼ䛜୍┤⥺ୖ䛻୪䜣䛷䛔䛺䛟䛶䜒Ẽ䛻䛧䛺䛔䛷㛫㐪䛳䛯┤⥺䜢䛛䛔䛶䛔䛯⏕ᚐ䜒䛔䛯䛾䛷䚸ᗙᶆ䛾䛸䜚᪉䜔ẚ౛ᐃᩘ䛾ព࿡䛻䛴䛔䛶䛿䚸୰Ꮫᰯ䛷䛾ẚ౛䛾ᣦᑟ䛾㝿䚸☜ᐇ䛻⌮ゎ䛥䛫䜛ᚲせ䛜䛒䜛䚹㻌 㻌  㸰Ꮫᖺ௒ᖺᗘࡣࠊẚ౛ᐃᩘࡀ㈇ࡢᩘ࡟࡞ࡿᘧࡢၥ㢟ࢆฟ㢟ࡋࡓࠋ⾲࡟ᑐᛂࡍࡿẚ౛ᘧࢆ㑅ࡪၥ㢟ࡢṇ⟅⋡ࡣࠊ⣙㸴๭࡛᫖ᖺᗘࡼࡾࡶ㧗࠸್ࡔࡀࠊ⾲࡟ᑐᛂࡍࡿࢢࣛࣇࢆ࠿࠿ࡏࡿၥ㢟ࡣࠊṇ⟅⋡ࡀ㸳๭࡛࠶ࡾࠊ᫖ᖺᗘࡼࡾୗᅇࡗࡓࠋࡲࡓࠊ཯ẚ౛ࡢᘧࢆồࡵࡿၥ㢟ࡢṇ⟅⋡ࡣࠊ㸱๭ࢆ㉸࠼ࡿ࡟࡜࡝ࡲࡾࠊ
ẚ౛ᐃᩘࡢồࡵ᪉ࡀ⌮ゎ࡛ࡁ࡚࠸࡞࠸ࡼ࠺࡟ᛮࢃࢀࡿࠋẚ౛ࠊ཯ẚ౛ࡢ⌮ゎ࡜ᐃ╔ࡢࡓࡵ࡟ࠊ୍ᒙ
ࡢᣦᑟࡢᕤኵࡀᚲせ࡛࠶ࡿࠋ
  
㸱Ꮫᖺ
ಟᏛ᪑⾜࡜࠸࠺㌟㏆࡞㢟ᮦࢆ⏝࠸ࠊሙ㠃ࢆᤊ࠼ࡸࡍ࠸ၥ㢟ࢆฟ㢟ࡋࡓࠋࢢࣛࣇ࠿ࡽぢᏛ᫬㛫ࢆㄞࡳྲྀࡿၥ㢟࡛ࡣࠊṇ⟅⋡ࡣ㸣ࠊᩥ❶ࢆࡶ࡜࡟⌜ࡀ⛣ືࡍࡿᵝᏊࢆࢢࣛࣇ࡟࠿ࡃၥ㢟࡛ࡣࠊṇ⟅⋡ࡣ㸣࡛࠶ࡗࡓࠋ
ࠕࢢࣛࣇ࠿ࡽㄞࡳྲྀࡿࠊࢢࣛࣇࢆ࠿ࡃࠖࡇ࡜ࡣࠊ᪥ᖖ⏕άࡢ୰࡛ᚲせ࡞ຊ࡛࠶ࡾࠊ
ᤵᴗෆ࡛ࡢᣦᑟ᪉ἲࢆᕤኵࡋࠊṇ⟅⋡ࢆࡉࡽ࡟㧗ࡵࡿᣦᑟࡀᚲせ࡛࠶ࡿࠋࡑࡢࡓࡵ࡟ࡣࠊࢢࣛࣇࡢ
஺Ⅼࡢព࿡ࢆၥ࠺ၥ㢟ࢆᤵᴗ୰࡟ྲྀࡾᢅ࠺࡜࡜ࡶ࡟ࠊࢢࣛࣇࢆ࠿ࡁࠊ஺Ⅼᗙᶆࢆㄞࡳྲྀࡿࡇ࡜ࡀ
࡛ࡁࡿࡔࡅ࡛ࡣ࡞ࡃࠊ஺Ⅼࡢᗙᶆࡢồࡵ᪉㸦ࠕ㐃❧᪉⛬ᘧࢆ❧ᘧࡋࠊゎࡃࠖࠕࢢࣛࣇࢆ࠿ࡁࠊ஺Ⅼᗙᶆࢆㄞࡳྲྀࡿࠖ㸧ࢆၥ㢟࡟ᛂࡌ࡚౑࠸ศࡅࡽࢀࡿຊࡢᐃ╔ࡶᚲせ࡛࠶ࡿ࡜ឤࡌࡿࠋ
㸦㸱㸧ᅗᙧ
㸯Ꮫᖺᖹ㠃ᅗᙧࡢసᅗ࡟ࡘ࠸࡚ࡢฟ㢟࡛࠶ࡿࠋసᅗࡢព࿡࡟ࡘ࠸࡚ၥ࠺ၥ㢟࡛ࡣࠊṇࡋ࠸㑅ᢥ⫥ࢆ㑅ࡪࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡓ⏕ᚐࡣ㸵๭⛬ᗘ࡟ཬࢇࡔࠋᖹᡂ  ᖺᗘ࠿ࡽྠᵝࡢഴྥࡢၥ㢟ࢆฟ㢟ࡋጞࡵ࡚㸲ᖺ┠࡟࡞ࡿࡀࠊ௒ᅇึࡵ࡚ࠊṇ⟅⋡ࡀ౛ᖺ࡟ẚ࡭࡚኱ᖜ࡟ྥୖࡋࡓࠋᤵᴗࡢ୰࡛సᅗ᪉ἲࡔࡅ࡛࡞ࡃࠊ
ࠕ࡞ࡐࡑࡢ᪉ἲ࡛సᅗ࡛ࡁࡿࡢ࠿ࠖࢆ⪃࠼ࡉࡏ࡚࠸ࡿࡇ࡜ࡀṇ⟅⋡ྥୖࡢ୺࡞⌮⏤࡛࠶ࡿ࡜⪃࠼ࡽࢀࡿࠋ௒ᚋ
ࡶᤵᴗෆ࡛⌮⏤ࢆ⪃࠼ࡉࡏࠊㄝ᫂ࡍࡿάືࢆ⥅⥆ࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋࡲࡓࠊ௒ᅇࡣᅗᙧࡢ⛣ືࡢၥ㢟࡛ᑐ⛠⛣ືࢆྲྀࡾᢅࡗࡓࠋᖹᡂ  ᖺᗘ࡟ᖹ⾜⛣ືࢆฟ㢟ࡋࡓ㝿ࡢṇ⟅⋡࡜࡯ࡰྠ⛬ᗘ࡛࠶ࡿࡇ࡜࠿ࡽࠊᖹ
⾜⛣ື࡜ᑐ⛠⛣ື࡟ࡘ࠸࡚ࡣ࠶ࡿ⛬ᗘᐃ╔ࡋ࡚࠸ࡿࡇ࡜ࡀࢃ࠿ࡿࡀࠊ⌮ゎࡋ࡚࠸࡞࠸⏕ᚐࡢᏑᅾࡶᛀ
ࢀ࡚ࡣ࡞ࡽ࡞࠸ࠋṇ⟅⋡ྥୖࢆ┠ᣦࡋࠊ௒ᚋࡶᤵᴗᨵၿࢆᅗࡿࡇ࡜ࡀᚲせ࡛࠶ࡿࠋ


数学− 1968㸰Ꮫᖺ❧యࡢయ✚ࢆồࡵࡿၥ㢟ࡣࠊ᫖ᖺᗘࡢṇ⟅⋡ࡣ㸳๭௨ୖ࡛࠶ࡗࡓࡀࠊ௒ᖺࡢṇ⟅⋡ࡣ㸲๭࡛࠶ࡗࡓࠋ෇㗹ࡢయ✚ࡣ㸲๭㏆ࡃࡢṇ⟅⋡ࡔࡀࠊ⌫ࡢయ✚ࢆ⪃࠼ࡿၥ㢟࡟࡞ࡿ࡜ࠊ㸱๭⛬ᗘ࡟ୗࡀࡗ࡚ࡋ
ࡲ࠺ࠋᇶᮏⓗ࡞ෆᐜ࡛࠶ࡿࡓࡵࠊࡉࡽ࡞ࡿᐃ╔ࢆᅗࡾࡓ࠸ࠋእゅࡢ࿴ࢆồࡵࡿၥ㢟࡛ࡣࠊᩍ⛉᭩࡛ࡶ኱ࡁࡃᢅࡗ࡚࠸ࡿࡈࡃ୍⯡ⓗ࡞ෆᐜ࡛ฟ㢟ࡋࡓࡀࠊṇ⟅⋡ࡣ㸰๭࡛࠶ࡿࠋከゅᙧࡢእゅࡢ࿴ࡣᗘ࡛࠶ࡿࠊ࡜࠸࠺⤖ᯝࢆぬ࠼ࡿࡇ࡜ࡶ኱ษ࡛ࡣ࠶ࡿࡀࠊ
ࡑࡢ㐣⛬ࢆࡶࡗ࡜኱ษ࡟ࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
ド᫂ၥ㢟࡟࠾࠸࡚ࡣࠊᖹ⾜࡛࠶ࡿࡇ࡜࡜ࠊ㛗ࡉࡀ➼ࡋ࠸ࡇ࡜ࡢ༊ูࡀࡘ࠸࡚࠸࡞࠸ㄗ⟅ࡀከ࠸ࠋ
ࡲࡓࠊゅࡢ⾲ࡋ᪉ࡢᐃ╔ࡶ୙༑ศ࡞ࡼ࠺ࡔࠋࡑࡢ୰࡛ࠊࠕグྕࡢ᭩ࡁᛀࢀࡸྜྠ᮲௳ࢆṇࡋࡃ᭩ࡅ࡚࠸࡞࠸ࠖࠕ⌮ゎࡋ㞴࠸ෆᐜ࡛ࡣ࡞࠸ࡀṇࡋࡃ⾲グ࡛ࡁ࡚࠸࡞࠸ࠖ➼ࡢ⌧≧ࡀ࠺࠿ࡀ࠼ࡿࠋ⾲グ࡟ࡘ࠸࡚ᤵᴗෆ࡛☜ㄆࢆࡋ࡚࠾ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋ㸱Ꮫᖺ┦ఝࡢド᫂ၥ㢟࡟ࡘ࠸࡚ࡣ᫖ᖺᗘ↓⟅⋡ࡀ㸰㸶㸣࡛࠶ࡗࡓࡢ࡟ᑐࡋࠊ௒ᖺᗘࡣ㸯㸶㸣࡜ࡸࡸᨵၿࡋࡓࠋᤵᴗ࡛ᢅࡗࡓࠕ෇࿘ゅࡢᐃ⌮ࠖࡸࠕ┦ఝ᮲௳ࠖ࡞࡝ࡢ᩿∦ⓗ࡞グ᠈ࢆ㢗ࡾ࡟ࠊ࡞ࢇ࡜࠿グ㏙ࡋࡼ࠺࡜ດຊࡋ࡚࠸ࡿᵝᏊࡶᩘከࡃࡳࡽࢀࡿࠋⱞᡭព㆑ࡀ࠶ࡾ࡞ࡀࡽࡶ㡹ᙇࢁ࠺࡜ࡋ࡚࠸ࡿ㹁ᇶ‽ࡸ㹀ᇶ‽ࡢ⏕ᚐ࡟ᑐࡋࠊṇ⟅࡬࡜ࢫࢸࢵࣉ࢔ࢵࣉࡀ࡛ࡁࡿࡼ࠺࡞ᣦᑟ᪉ἲࡸㄢ㢟ࡢᥦ♧᪉ἲࡢᕤኵࢆࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ

㸦㸲㸧㈨ᩱࡢά⏝  㸰Ꮫᖺ
ᑠၥ㸯ࡣࠊࣄࢫࢺࢢ࣒ࣛ࠿ࡽ୰ኸ್ࡀࡩࡃࡲࢀ࡚࠸ࡿ㝵⣭್ࢆồࡵࡿၥ㢟ࢆฟ㢟ࡋࡓࠋṇ⟅⋡ࡣ㸳㸣࡜㠀ᖖ࡟ప࠿ࡗࡓࡶࡢࡢ㝵⣭ࢆ⟅࠼ࡓㄗ⟅࡞࡝ࢆྵࡵࢀࡤ᫖ᖺྠᵝ㸰๭⛬ᗘ࡜⪃࠼ࡽࢀࡿࠋ
ࡋ࠿ࡋࠊ㝵⣭್࡜࠸࠺ゝⴥࡣᐃ╔ࡋ࡚࠸࡞࠸ࡼ࠺࡛࠶ࡿࠋᑠၥ㸰࡛ࡣࣄࢫࢺࢢ࣒ࣛ࠿ࡽㄞࡳྲྀࢀ
ࡿ⠊ᅖࡸᗘᩘࠊ┦ᑐᗘᩘࠊᖹᆒ್ࡢព࿡ࢆၥ࠺ࡇ࡜ࢆฟ㢟ࡋࡓࡀࠊṇ⟅⋡ࡣ㸰๭⛬ᗘ࡟࡜࡝ࡲࡗ
ࡓࠋㄒྃࡢ⌮ゎࢆ῝ࡵࡿࡓࡵ࡟ࡶࠊ୎ᑀ࡟ᣦᑟࢆ⾜࠸ࡓ࠸ࠋ
㸱Ꮫᖺ
☜⋡ࡢၥ㢟࡛ࡣࠊᶞᙧᅗࡸ⾲࡞࡝ࢆ࠿ࡃࡇ࡜
࡟ࡼࡾࠊ㉳ࡇࡾ࠺ࡿࡍ࡭࡚ࡢሙྜࢆᅗ࡟⾲ࢃࡍຊࡀᚲせ୙ྍḞ࡛࠶ࡿࠋ௒ᖺᗘࡣࠊᶞᙧᅗࡑࡢ
ࡶࡢࢆ᭩ࡃၥ㢟ࢆฟ㢟ࡋࡓࠋ᫖ᖺᗘࡢ✰ᇙࡵࡢᙧࡢฟ㢟࠿ࡽṇ⟅⋡ࡣ㸣ࡉࡀࡗ࡚㸣࡛࠶ࡗࡓࠋࡓࡔࠊṇ⟅⪅ࡢ⣙㸰๭ࡢᶞᙧᅗࡀྑࡢᅗࡢ
ࡼ࠺࡞ࡶࡢ࡛࠶ࡗࡓࠋࡇ࠺࠸ࡗࡓᶞᙧᅗࢆ࠿ࡃ
⏕ᚐ࡟ࡣࠊ࡝ࡕࡽࡀࡼࡾ⡆₩࡟⾲ࡉࢀ࡚࠸ࡿ࠿
ࢆࠊ☜ㄆ࡛ࡁࡿࡼ࠺࡟ᨭ᥼ࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
ࡲࡓࠊᶞᙧᅗ࠿ࡽ㢟ពࢆ‶ࡓࡋࡓሙྜࢆぢࡘࡅࡿࡇ࡜࡛ࠊ☜⋡ࡢၥ㢟ࢆゎỴࡍࡿຊࢆᐃ╔ࡉࡏࡓ࠸ࠋ
㸦㸳㸧ά⏝࡟㛵ࡍࡿၥ㢟㸯Ꮫᖺ௒ᖺᗘࡣࠊㄡࡶࡀ୍ᗘࡣ⪃࠼ࡓࡇ࡜ࡀ࠶ࡿࡔࢁ࠺㌟㏆࡞㢟ᮦࢆྲྀࡾᢅࡗࡓࠋ
㸦࢔㸧ࡢࡼ࠺࡟ࠊᑡ
࡞࠸ᖺᩘ࡟ࡘ࠸࡚⪃࠼࡚᭙᪥ࢆࡎࡽࡍၥ㢟࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊෆᐜࢆⓗ☜࡟࡜ࡽ࠼ࠊゎỴ࡛ࡁࡓᵝᏊࡀఛ࠼ࡓࠋࡋ࠿ࡋࠊ
㸦࢖㸧ࡢࡼ࠺࡟ࠕ࠺ࡿ࠺ᖺࠖ࡜࠸࠺᮲௳ࢆࡘࡅຍ࠼ࠊ⮬ศࡢᖺ㱋ศࠊ᭙᪥ࢆࡎࡽ
ࡍၥ㢟࡟ࡘ࠸࡚ࡣࠊṇ☜࡟࡜ࡽ࠼ࡁࢀ࡞࠿ࡗࡓࡼ࠺࡛࠶ࡿࠋࡲࡓࠊ᭙᪥ࢆ⟅࠼ࡽࢀࡓ࡜ࡋ࡚ࡶࠊ⌮⏤ࢆே࡟ఏࢃࡿࡼ࠺࡟ㄝ࡛᫂ࡁ࡞࠸⏕ᚐࡀከࡃࡳࡽࢀࡓࠋ᪥ᖖ⏕ά࡛ᩘᏛࢆ౑࠺ሙ㠃ࢆᤵᴗෆ࡛
ቑࡸࡍ࡜࡜ࡶ࡟ࠊ⮬ศࡢ⪃࠼ࢆศ࠿ࡾࡸࡍࡃㄝ᫂ࡍࡿάືࢆ✚ᴟⓗ࡟ྲྀࡾධࢀࠊ⏕ᚐࡢຊࢆࡉࡽ
࡟ఙࡤࡋ࡚࠸ࡃᚲせࡀ࠶ࡿࠋ


数学− 2069㸰Ꮫᖺ䛒䜛㞟 ྜ䜢䝧䞁ᅗ䛷⾲ 䛧䚸䛭䛾ᅗ 䛾௙ ⤌䜏䜢ㄞ 䜏ྲྀ䜛ၥ 㢟 䛷䛒䛳䛯䚹ᑠ ၥ䠍䛿䚸ṇ ⟅ ⋡䛜䠓๭䜢㉸ 䛘䜛䛷䛝䛷䛒䛳䛯䚹䛧䛛䛧䚸ㄗ ⟅ 䛾䛖䛱䚸ၥ 㢟 ᩥ 䛸ᅗ 䛷䚸ṇ 䛧䛟ㄞ 䜏ྲྀ 䜜䛶䛔䛺䛔ゎ ⟅ 䛜䠐๭ 䛷䛒䛳䛯䚹ᑠ ၥ 䠎䛿䚸ᑠ ၥ 䠍䛾Ⓨ ᒎ ၥ 㢟 䛷䛒䜚䚸䛭䜜䛮䜜䛾㞟 ྜ 䛛䜙ᒓ 䛥䛺䛔ே ᩘ 䛻䛴䛔䛶䛾ၥ 㢟 䛷䛒䛳䛯䚹㞟 ྜ 䛜䠏✀ 㢮 䛒䜚䚸䛭䜜䛮䜜㔜 䛺䛳䛶䛔䜛㒊 ศ 䛾ே ᩘ 䜢ᘬ 䛟䛣䛸䛜䛷䛝䛶䛔䛺䛔ゎ ⟅ 䛜ከ 䛟䚸ṇ ⟅ ⋡䛿䚸䠍๭ 䛻‶䛯䛺䛛䛳䛯䚹䜎䛯䚸ᅗ䜔ゝ ⴥ 䛷ㄝ ᫂ 䛩䜛ၥ 㢟 䛰䛳䛯䛾䛷䚸↓ ⟅ ⋡ 䛜⣙䠑๭ 䛷䛒䛳䛯䚹ၥ 㢟 ᩥ 䛾ㄝ ᫂ 䛻䜘䜚ᅗ 䜢ㄞ 䜏ྲྀ 䜚䚸⪃ 䛘䛥䛫䜛䛣䛸䛿䚸᫬ 㛫 䜢䛛䛡䛺䛜䜙ຊ 䜢ఙ 䜀䛧䛶䛔䛝䛯䛔䚹䜎䛯♫ ఍ 䛻䛚䛡䜛ᵝ 䚻䛺஦㇟䛺䛹䜒ど㔝䛻ධ䜜䚸᪥ᖖ ⏕ά䛷ᩘᏛ 䜢฼⏝䛩䜛άື䛻ྲྀ䜚⤌䜐ᶵ఍䜢᪥㡭䛛䜙タ䛡䛶䛔䛝䛯䛔䚹凥Ꮫᖺ䢢ᅇ㌿䛩䛧ᗑ䛷䛾㣧㣗䛻䛴䛔䛶䛿䚸᪥ᖖ䛻䛚䛔䛶ㄡ䜒䛜య㦂䛧䛯䛣䛸䛜䛒䜛䜘䛖䛺㌟㏆䛺஦㇟䛷䛒䜛䚹ୡ䛾୰䛷䚸᪥䚻⾜䜟䜜䛶䛔䜛䜲䝧䞁䝖䜔ྛ✀ദ䛧≀䛺䛹䛜ィ⏬䛥䜜䜛ẁ㝵䛻䛚䛔䛶䚸⟬ᩘ䞉ᩘᏛ䛾▱㆑䛜ά⏝䛥䜜䛶䛔䜛䛣䛸䜢ᑡ䛧䛷䜒ᐇឤ䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䜘䛖䛺ฟ㢟䜢䛧䛯䚹ᵝ䚻䛺どⅬ䛛䜙≀஦䜢ᤊ䛘䚸䛭䛾஦㇟䜢୍⯡໬䛧⟬ᩘ䞉ᩘᏛ䛾▱㆑䜢⏝䛔䛶⪃䛘䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛ຊ䜢㌟䛻䛴䛡䛥䛫䛯䛔䚹᪤⩦஦㡯䜢ά⏝䛩䜛ຊ䛸䛸䜒䛻䚸ゝㄒάື䜢඘ᐇ䛥䛫䚸⮬ศ䛾ᛮ䛔䜢ఏ䛘䛥䛫䜛䛺䛹䚸䛥䜙䛻⏕ᚐ୍ே䜂䛸䜚䛾ᩘᏛⓗ䛺⾲⌧ຊ䜢㧗䜑䜙䜜䜛䜘䛖䛺ᕤኵ䛜ᚲせ䛷䛒䜛䚹㻌㸲㸬ᣦᑟ࡟࠶ࡓࡗ࡚
ᖹᡂ㸰㸶ᖺᗘࡢᏛ⩦デ᩿ࢸࢫࢺࡢ⤖ᯝࢆศᯒࡋ࡚ࠊᏛ⩦ᣦᑟࡢㄢ㢟࡜ࡋ࡚ぢ࠼࡚ࡃࡿࡇ࡜࡜ࠊࡑࡢ
ᨵၿࡢࡓࡵࡢᣦᑟࡢ␃ពⅬࢆ࠸ࡃࡘ࠿グࡋࡓ࠸ࠋձ ィ⟬ၥ㢟࡟࠾ࡅࡿㄢ㢟ࢆゎỴࡍࡿࡓࡵ࡟ࠊᶵᲔⓗ࡟ᡭ㡰࡟ᚑࡗ࡚ィ⟬ࡍࡿࡔࡅࡢᢏ⬟࡛ࡣ࡞ࡃࠊ
㏵୰ᘧࢆ୎ᑀ࡟᭩ࡃࡇ࡜ࢆᣦᑟࡋࠊィ⟬㡰ᗎࡸ➢ྕ࡬ࡢព㆑ࢆ㧗ࡵ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋᩥᏐᘧࡢィ⟬࡛ࡣࠊᩥᏐᘧࡢ⾲ࡋ᪉ࡢ⣙᮰࡟ᚑࡗ࡚ṇࡋࡃグ㏙ࡉࡏࠊព࿡ࡢ⌮ゎ࡟ᚰࡀࡅࡓ࠸ࠋࡇࡢࡼ࠺࡞ィ⟬ၥ㢟࡛ࡢάືࡀࠊᩥ❶ၥ㢟ࢆゎࡃ㝿ࡢ❧ᘧࡸᘧࡢㄞࡳྲྀࡾ࡟ࡶᙺ❧ࡘ࡜⪃࠼ࡿࠋղ ᪉⛬ᘧࡢᩥ❶㢟ࡸᅗᙧࡢド᫂࡟࠾ࡅࡿㄢ㢟ࢆゎỴࡍࡿࡓࡵ࡟ࠊ᰿ᣐࢆࡶࡗ࡚ㄝ᫂ࡍࡿࡇ࡜ࡢ኱ษ
ࡉࢆఏ࠼ࠊ⏕ᚐࡀ⮬ࡽࡢゝⴥ࡛ㄝ᫂ࡋ⾲⌧ࡍࡿᤵᴗᒎ㛤ࢆᚰࡀࡅ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
ճ ᩘᏛࡀ♫఍࡟ᙺ❧ࡗ࡚࠸ࡿ஦㇟ࡸά⏝ࡉࢀ࡚࠸ࡿࡇ࡜ࢆ⏕ᚐ࡟⤂௓ࡍࡿ࡞࡝ࠊ㌟ࡢᅇࡾࡢࡶࡢࢆ
ᩍᮦ◊✲ࡢどⅬ࡛ᤊ࠼ࠊᩘᏛࡢࡼࡉࢆᐇឤ࡛ࡁࡿᩍᮦࢆྲྀࡾධࢀ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋࡑࡋ࡚ࠊ⏕ᚐࡀ⮬ศ
࠿ࡽ㌟ࡢᅇࡾ࡟┠ࢆྥࡅࠊᩘᏛࡀά⏝ࡉࢀ࡚࠸ࡿሙ㠃ࢆぢ࠸ฟࡋࡓࡾࠊ⮬ࡽᩘᏛࢆά⏝ࡋ࡚࠸ࡇ࠺
࡜ࡍࡿຊࢆ⫱࡚࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
մ ᤵᴗࡔࡅ࡛࡞ࡃᐃᮇࢸࢫࢺ࡛ࡶࠊㄝ᫂ࡉࡏࡿၥ㢟ࡸࠊㄽ⌮ⓗ࡞ぢ᪉ࢆၥ࠺ၥ㢟ࢆฟ㢟ࡍࡿࡇ࡜࡛
⾲⌧ຊࢆ⫱࡚ࠊ⮬ศࡢ⪃࠼ࢆศ࠿ࡾࡸࡍࡃㄝ᫂ࡍࡿຊࢆ㌟࡟ࡘࡅࡉࡏ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋյ ᪥㡭ࡢᏛ⩦άືࡢ୰࡛ࠊ⏕ᚐࡀ⮬ศࡢ⪃࠼ࢆⓎ⾲ࡍࡿሙ㠃ࡸㄢ㢟࡟ᑐࡋ࡚῝ࡃ⪃࠼ࡿ᫬㛫ࢆࡘࡃࡾࠊ⮬ศࡢ⪃࠼᪉ࢆศ࠿ࡾࡸࡍࡃఏ࠼ࡿࡇ࡜ࡸࠊ௚ࡢពぢࢆ⌮ゎࡋࡼ࠺࡜ࡍࡿຊ࡞࡝⪃࠼ࡿຊࢆ῝ࡵ࡚࠸ࡅࡿࡼ࠺࡞ᤵᴗᒎ㛤ࢆᚰࡀࡅ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ
㸳㸬ᤵᴗᨵၿ࡟ࡴࡅ࡚
ᇶ♏ᇶᮏࡢᐃ╔ࢆ☜ᐇ࡟⾜࠸࡞ࡀࡽࠊᏛࡧ࠶࠸ࡢ࠶ࡿᤵᴗࢆ኱ษ࡟ࡋ࡚࠸ࡁࡓ࠸ࠋ⪃࠼ࡿࡇ࡜ࡢᴦ
ࡋࡉࡸ⮬ศࡢ⪃࠼ࢆⓎ⾲ࡋࠊ௚ࡢ⪃࠼ࢆ⪺ࡁࠊ⏕ᚐྠኈࡔࡅ࡛࡞ࡃࠊᩍᖌ࡜⏕ᚐࡢ㛫࡛ࡶᏛࡧ࠶࠼ࡿ
ࡼ࠺࡞⎔ቃࢆࡘࡃࡗ࡚࠸ࡃࡼ࠺࡟ࡋࡓ࠸ࠋㄢ㢟ࢆᕤኵࡋࠊᤵᴗࡢᒎ㛤ࢆ⪃࠼ࠊࡼࡾᕤኵࡋ࡚࠸ࡃࡇ࡜
࡛ࠊゝㄒάືࡀάⓎ࡟࡞ࡾࠊ⮬ࡽ⪃࠼ࠊே࡟ఏ࠼ࡼ࠺࡜ࡍࡿጼໃࡀ⫱ࡗ࡚࠸ࡅࡤࡼ࠸࡜ᛮ࠺ࠋ

数学− 21

70

数学− 22