1

令和 3 年 ３ 月改訂

は

じ

め

に

福岡県教育委員会では、児童生徒に国語、算数・数学における基礎基本を含む活用力（基礎的・基本的な知識・技能及び思考力、判断力、表現力等）を育むとともに、地域間の学力向上の取組の差を解消することを目的として、平成25年度から小学校５年生〜中学校３年生向けの国語、算数・数学の教材集を作成・配布しました。各学校では、教材集を授業等で繰り返し活用し、取組の改善が図られてきました。
また、平成28年度からは、学力向上に係る検証改善サイクルを小学校中学年
から一層計画的に推進するために、小学校４年生向けの教材集を新たに作成しました。これは、福岡県学校教育振興プラン（平成27年12月）において、「小学校中学年までの児童に対し、読解力と基礎的な計算能力の育成を中心とした取組等の強化を図る」とされていることに対応しています。
この度、中学校においては令和３年度から学習指導要領（平成29年告示）が全面実施となることを受けて、改訂を行いました。
本教材集は、大問（主に基礎的・基本的な知識・技能を活用する力を育成する教材）と小問（基礎基本の定着を図る教材）で構成しています。
大問については、指導計画に位置付けた次のような活用が考えられます。
○

授業の主教材として活用する。

○

適用問題や発展問題として活用する。

○

習熟度別指導等の問題として活用する。

小問については、朝の活動や家庭学習等での次のような活用が考えられます。
○

朝の10分程度の時間で小テストやプレテストとして繰り返し活用する。

○

授業（教科書の内容）と関連付け、家庭学習課題として活用する。

○

習熟度別指導等の問題として活用する。

各学校では、授業の中だけでなく、朝の学習の時間や家庭学習等における補充・発展問題として活用していただいているところですが、更に、各問題の特質に応じて、先生方の授業づくりや校内研修の際の参考資料としても活用され、基礎基本を含む活用力の向上に役立てていただくことをお願いします。
令和３年３月
福岡県教育委員会

目
１

２

次

教材集
○

正の数・負の数…………………………………

２

○

文字の式

…………………………………………

８

○

方程式

○

変化と対応

○

平面図形

………………………………………… ２３

○

空間図形

………………………………………… ２８○

データの活用…………………………………………… １３……………………………………… １９…………………………………… ３２

解説資料○

正の数・負の数………………………………… ４０

○

文字の式

○

方程式

○

変化と対応

○

平面図形

………………………………………… ４８

○

空間図形

………………………………………… ５０○

データの活用………………………………………… ４２…………………………………………… ４４……………………………………… ４６…………………………………… ５３

1

福岡県学力向上教材集 第１学年 数学 単元「正の数・負の数」（）組（）番・氏名（Ａ問題）

１ 下の図は数直線の一部です。点 A が表す数を答えなさい。

A

２ ある日の天気予報によると，A 市，B 市，C 市の最高
気温と最低気温は右の図のようになっていました。
（ ）のついていない数は最高気温を，（ ）の中の数は最低気温を表しています。例えば，Ａ市の場合，最高気温は18℃で最低気温は 7℃です。
この日の，A 市の最高気温と最低気温の差は，
18－7＝11（℃）となります。
この日の，C 市の最高気温と最低気温の差を求めなさい。また，それを求める式を書きなさい。

C 市の最高気温と最低気温の差式

３ 「4－2」という式は，小学校では減法の式とみていましたが，負の数を用いると加法の式とみることができます。
「4－2」を符号を用いて，加法の式で表しなさい。また，そのときの負の項を答えなさい。

加法の式

負の項

2

福岡県学力向上教材集 第１学年 数学 単元「正の数・負の数」（）組（）番・氏名（
４ 下に示した計算は，波線部が間違っています。波線部を正しく直しなさい。
－32＝(－3)×(－3)＝9

５ 20 から 30 までの整数のうち，素数をすべて答えなさい。

６ 96 を素因数分解しなさい。

3

Ａ問題
）

福岡県学力向上教材集 第１学年 数学 単元「正の数・負の数」（）組（）番・氏名（

Ｂ問題
）

はば と

７ 陸上部のけんたさんは毎日，走り幅跳びの記録の平均を求めています。けんたさんが測定した 5 回分の記録は，次のようになっています。

446cm， 443cm， 448cm， 451cm， 452cm

けんたさんとマネージャーのあみさんは，それぞれ下のようにして平均を求めました。
けんたさんの求め方
5 回の平均を求めるには，すべての記録の合計を 5 でわればいいから，(446＋443＋448＋451＋452)÷5＝448（cm）となります。

あみさんの求め方
5 回の記録を見てみると，どの記録も 450cm 前後になっています。そこで，
450cm を基準にして，5 回の記録と基準との差を表すと，次のようになります。
－4cm，－7cm，－2cm，＋1cm，＋2cm{(－4)＋(－7)＋(－2)＋(＋1)＋(＋2)}÷5＝－10÷5＝－2
これを基準の 450cm に加えると，5 回の記録の平均は 448cm となります。

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

4福岡県学力向上教材集 第１学年 数学 単元「正の数・負の数」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）（１）けんたさんは，あみさんの求め方でどうして求めることができるのか，あみさんに質問しました。すると，あみさんは下のような式を書いて説明してくれました。①，②に当てはまる式を答えなさい。

（450 － 4 ）＋（ 450 － 7 ）＋（ 450 － 2 ）＋（ 450 ＋1 ）＋（ 450 ＋ 2 ）5②－ 4 － 7 － 2 ＋1 ＋ 2
450＝ ①×5 ＋
＝ 450 ＋（－2 ）
5
5

①

②

（２）ゆりさんの 6 回の記録は，下のようになっています。

349cm，357cm，353cm，346cm，356cm，351cm

下の表を完成させて，4 ページのあみさんの求め方を参考にして，ゆりさんの 6 回の記録の平均を求めなさい。
表
記録
記録と基
準との差

349cm

357cm

353cm

－1cm

求め方

5

346cm

356cm

351cm

福岡県学力向上教材集 第１学年 数学 単元「正の数・負の数」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）

８ けんたさんは，「(正の数)×(負の数)が(負の数)になる」ことを，次のように説明しました。

けんたさんの説明
東を正の方向として，東へ毎時 3 km の速さで進んでいる人が，今，O 地点を通過しました。この人の，今から 5 時間後の位置を考えます。
東へ毎時 3 km で進む速さを(＋3)，今から 5 時間後を(＋5)で表すと，今から 5 時
間後のこの人の位置は，(＋3)×(＋5)で表されます。
今から 5 時間後にこの人は，O 地点から東に15 kmの地点，つまり，O 地点から東に(＋15) km の地点にいるので，(＋3)×(＋5)＝(＋15)になります。
この人の，今から 5 時間前の位置を考えます。
東へ毎時 3 km で進む速さを(＋3)，今から 5 時間前を(－5)で表すと，今から 5 時
間前のこの人の位置は，(＋3) ×(－5)で表されます。
今から 5 時間前にこの人は，O 地点から西に 15 km の地点，つまり O 地点から東に(－15) km の地点にいます。
だから，(＋3)×(－5)＝(－15)となります。

6福岡県学力向上教材集 第１学年 数学 単元「正の数・負の数」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）

次の（１）と（２）の各問いに答えなさい。
（１）「(負の数)×(負の数)が(正の数)になる」ことの説明を，けんたさんの説明を参考にして完成させなさい。

説明
東を正の方向として，西へ毎時 3 km で進んでいる人が，今，O 地点を通過しました。
この人の，今から 5 時間前の位置を考えます。
西に時速 3 km で進む速さを(－3)，今から 5 時間前を(－5)と表します。

（２）けんたさんは，別の場面を使って，(正の数)×(負の数)＝(負の数)になる理由を考えました。
場面ある人が，毎月，500 円の貯金をしていて，今月，貯金額が 1 万円になりました。
このとき，2 か月前の貯金は 1 万円を基準にして，いくら少ないかを考えます。

上の場面をもとに，(正の数)×(負の数)＝(負の数)になる理由を説明しなさい。
説明7

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「文字の式」）番・氏名（Ａ問題）

１ n が負の数のとき，最も大きな数になる式を，下のアからエまでの中から 1 つ選びなさい。
ア 4＋n
イ 4×n
ウ 4÷n
エ 4－n
２ 縦の長さが a ㎝，横の長さが 8 ㎝の長方形について，2(a＋8) という式は，何を表していますか。答えなさい。

３ 下の図が表す式を書くと, ax＋bx＝(a＋b) x となります。

これと同じようにして，下の図が表す式をの中に書きなさい。

8福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「文字の式」）番・氏名（

Ｂ問題）

４ 次の図のように，タイルが正方形の 1 辺に 4 枚ずつ並んでいます。このとき，タイルは全部で 12 枚になります。けんたさんとあみさんは，正方形の 1 辺にあるタイルの枚数と，タイルの総数について考えました。
下の（１）から（３）の各問いに答えなさい。

（１）正方形の 1 辺にタイルを 5 枚並べたとき，タイルの総数は何枚になりますか。答えなさい。

（２）あみさんは，正方形の 1 辺にタイルを n 枚並べたときのタイルの総数について，下のよ
うに考えました。
あみさんの考え方
n 枚のまとまりが 4 つで 4 n 枚，すみ

四 隅 のタイルの重複分の 4 をひいて，タイルの総数は，
4 n－4

9福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「文字の式」）番・氏名（Ｂ問題）

けんたさんは，正方形の 1 辺にタイルを n 枚並べたときのタイルの総数について，下のように考えました。
けんたさんの考え方

けんたさんの考え方を，式で表しなさい。
式（３）あみさんは別の考え方をして，タイルの総数を 4(n－1)と表しました。この考え方を，（２）のあみさんの考え方を参考に，下の図にかき入れなさい。
あみさんの別の考え方

10福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「文字の式」）番・氏名（Ｂ問題

５ 次の図のように，同じ長さのマッチ棒を並べて，正方形を n 個つくります。
このときに必要になるマッチ棒の総数を，けんたさんとあみさんが考えています。

下の（１）から（３）の各問いに答えなさい。
（１）正方形を 5 個つくるとき，マッチ棒の総数は何本になるかを答えなさい。

（２）けんたさんは正方形を n 個つくるとき，下の図のように考えました。
けんたさんの考え方

この囲み方で考えると，横のマッチ棒の本数＝2×n＝2n
縦のマッチ棒の本数＝(n＋1)
したがって，マッチ棒の総数は 2n＋(n＋1) となります。

11）福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「文字の式」）番・氏名（Ｂ問題）

あみさんは下の図のように考えて，マッチ棒の総数は 3n＋1 という式で求めることができることを見つけました。マッチ棒の総数を求める式が 3n＋1 になる理由を，下の図を使って説明しなさい。

理由(３) また，けんたさんは別の考え方をして，正方形を n 個つくりました。
けんたさんの別の考え方

けんたさんの別の考え方の (n－1) 本を使って，マッチ棒の総数を n を用いた式で表しなさい。また，その式になる理由を説明しなさい。
（式）
（理由）

12

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「方程式」）番・氏名（Ａ問題）

１ しんじさんは，一次方程式 4 x ＝ x ＋6 の解を求めるために，x に０から５までの整数
あたいをそれぞれ代入して，左辺と右辺の値を調べました。この方程式の解について，次のア からオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。

左辺の値

右辺の値

x＝０ のとき

０６

x＝１ のとき

４７x＝２ のとき８８x＝３ のとき

１２

９x＝４ のとき

１６

１０

x＝５ のとき２０

１１

ア x＝２のとき，左辺と右辺の値はともに８になるので，８がこの方程式の解である。
イ x＝０ のとき，左辺の値は０になるので，３がこの方程式の解である。
ウ ０から５までの整数の中には，方程式の解はない。
エ x＝２ のとき，左辺と右辺の値はともに８になるので，２がこの方程式の解である。
オ x＝２のとき，左辺と右辺の値はともに８になるので，２と８がこの方程式の解である。

13

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「方程式」）番・氏名（Ａ問題）

２ 解が－3 になる一次方程式を，下のアからエまでの中からすべて選びなさい。
2 ＋9＝55＋6＝2 ＋7
3

0.11 ＋0.04 ＝－0.45＋7＝2(2－ )３ a：2＝5：b が成り立つときに，成り立つ式を，次のアからエまでの中からすべて選びなさい。
ア 2a＝5bイ ab＝10
ウ

2
5
＝
a
b

エ

a
5
＝
2
b

14

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「方程式」）番・氏名（Ｂ問題）

４ しんじさんとみきさんは「数学の歴史」というテーマでレポートを書いています。２人は図じんこう き書館に行き資料を探していたところ，『塵 劫 記 』という本についての資料を見つけました。
『塵劫記』は江戸時代に書かれ，多くの人々に親しまれた数学書です。その中で，次のような問題がありました。
とうぞく

盗賊 団の会話が橋の下から聞こえてきます。
どうやら，盗んできた布を仲間うちで分配しようとしているようです。
「１人に７枚ずつ配ると８枚余るし，１人に８枚ずつ配ると７枚足りない。
どうしたものかなあ…。
」
とうぞく

さて，ここで問題です。盗賊 は何人いて，布は何枚あるでしょうか。
この問題について，しんじさんは次のように考えました。
しんじさんの考え
とうぞく

盗賊 が x 人いたとすると，① x 人の盗賊に，１人７枚ずつ配ると，布は８枚余る。
② x 人の盗賊に，１人８枚ずつ配ると，布は７枚足りない。

上の数量のうち，

ウを２通りの式で表すと，方程式をつくることができる。
次の（１）から（４）の各問いに答えなさい。

15

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（(１) しんじさんの考えの中の単元「方程式」）番・氏名（Ｂ問題）のアとイには数や式，ウにはあてはまる言葉をかき

なさい。
ア

イ

ウ

(２) しんじさんの考えを用いて，方程式をつくりなさい。

(３) みきさんは，別の考え方をして，下の方程式をつくりました。
みきさんのつくった方程式

x－8 ＝ x＋778

みきさんは，何を x とおきましたか。また，何を２通りの式で表して，方程式をつくりましたか。下のアとイに当てはまる言葉を書きなさい。

アを x とおいて，

イを２通りの式で表して，方程式を

つくった。

ア

イ

(４) しんじさんとみきさんの方程式から，盗賊の人数と布の枚数も求めなさい。
盗賊の人数

布の枚数

16

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学（）組（

単元「方程式」）番・氏名（Ｂ問題）

はな

５ 妹は家を出発して，1500ｍ離れた駅まで歩いて行きました。忘れ物を届けるため，兄は妹が家を出発してから15 分後に自転車で追いかけました。妹の歩く速さを分速 60m，兄の自転車の速さを分速 210m とします。兄は出発してから何分後に，妹に追いつくことができるでしょうか。
次の（１）から（５）の各問いに答えなさい。
（１）次の図は，兄が出発して x 分後に追いつくとして兄と妹の行動を図に表そうとしたものです。兄の速さ，x 分間進んだ道のりを妹と同じように図に表しなさい。

家
妹

駅
分速60m

15分間進んだ
道のり

0m

兄

分間
進んだ
道のり

1500m

追いつく
地点

（２）上の図に含まれる数量を整理するために，下のような表を作りました。この表を完成させなさい。

速さ（m/分）

妹

兄

60

210
x

時間（分）
道のり（m）

17福岡県学力向上教材集（３）下の説明の第１学年 数学（）組（

単元「方程式」）番・氏名（

Ｂ問題）に当てはまる言葉を答えなさい。

この問題では「兄が妹に追いつくまでに妹が進んだ道のりと，が等しい」といえます。

（４）方程式をつくり，兄が出発してから何分後に妹に追いつくかを求めなさい。

方程式
分後（５）兄は，妹が家を出発してから 20 分後に自転車で追いかけたとします。このとき，兄が出発してから x 分後に，妹に追いつくとして方程式を解いたところ，x＝8 となりました。
x＝8 は，この問題の答えとして，正しいでしょうか。下のアとイから選びなさい。また，
そう判断した理由を数や式，言葉を使って説明しなさい。
ア 正しい

イ 正しくない理由18

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学（）組（

単元「変化と対応」）番・氏名（Ａ問題）

１ 次のアからオまでについて， y が xの関数でないものをすべて選び，記号で答えなさい。
時速60 km で走る自動車が x 時間に進む距離 y km
自然数 x の倍数 y
１辺の長さが x cm である正方形の面積 y cm2
整数 x の絶対値 y
底面積が x cm2 の直方体の体積 y cm3

２ 比例 y＝－3 xのグラフ上にある点の座標を，下の から までの中から 1 つ選びなさい。

ア (0，－3)
イ (－1，－3)
ウ (1，－3)エ (－3，1)オ (－3，0)３ 下の表は，y が x に反比例する関係を表したものです。
x

…

－２

－１

y

…

－４

－８

上の表の

０

に当てはまる数を求めなさい。

19

１

２

８

４

３

…
…

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学（）組（

単元「変化と対応」）番・氏名（Ｂ問題）

４ けんたさんとまきさんは「環境を大切にしよう」というテーマのレポートを書くことになりました。そこで 2 人は，地球の二酸化炭素濃度の変化について調べました。

気象庁のホームページから，地球全体における二酸化炭素濃度（ppm）の経年変化のグラフを見つけました。右の図１は 1984年から 2012 年までの二酸化炭素濃度の変化を表したグラフです。

次の（１）と（２）の各問いに答えなさい。
（１）まきさんは図１のグラフを分かりやすくするため，1985 年を基準にして，1985 年から経った年数を x（年），1985 年からの二酸化炭素濃度の増加量を y（ppm）として，図２のグラフにつくり直しました。まきさんは図２を見て，「y は x に比例する」と考えました。
とくちょう「y は x に比例する」と考えることができるのは，図２のグラフのどのような 特徴 からですか。その特徴を説明しなさい。
特徴（２）1985 年から x 年後の，1985 年からの二酸化炭素濃度の増加量を y ppm として，y は xに比例するとみなします。このとき，2035 年の二酸化炭素濃度が 1985 年からどれだけ増加しているかを求めるためには，どのような方法が考えられますか。その方法を説明しな
さい。
求める方法

20

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学（）組（

単元「変化と対応」）番・氏名（Ｂ問題）

５ 視力検査のときに使われる，右の図のような図形を「ランドかんルト環 」といいます。考案したフランスの眼科医ランドルトの
名前にちなんで，このように呼ばれています。
はば

右の図のように，全体の幅 が 7.5mm，切れ目の幅が 1.5mmのはな

ランドルト環を 5m離 れた所から見て，向きを判別することができれば，1.0 の視力があると決められています。
次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）けんたさんはランドルト環に興味をもち，切れ目の幅が 1.5 mm のランドルト環を使っ
き ょ り

て，
「ランドルト環からの距離 」と「視力」の関係について調べて，下の表１にまとめました。
表１
ランドルト環からの距離(m)
視力

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

…

8.0

…

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

…

1.6

…

表１より，
「ランドルト環からの距離」と「視力」はどんな関係になるといえるかを答
とくちょうえなさい。また，そのように判断できるのは，表の値のどのような特徴からですか。その特徴を説明しなさい。
関係

特徴

21

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学（）組（

単元「変化と対応」）番・氏名（Ｂ問題）（２）次にけんたさんは，ランドルト環からの距離を 5m にしたまま，いろいろなサイズのランドルト環を用意し，「視力」と「向きを判別することができる切れ目の幅」の関係について調べてみました。表２はその結果をまとめたものです。

表２
向きを判別する
ことができる
切れ目の幅（mm）

1.0 1.5

…

2.5

3.0

…

5.0

…

7.5

…

15.0

視力

1.5 1.0

…

0.6

0.5

…

0.3

…

0.2

…

0.1

表２をもとにして，「向きを判別することができる切れ目の幅」と「視力」の関係を表す
グラフを右の解答欄に完成させなさい。
（３）ランドルト環から 5m 離れた距離から，0.75mm の切れ目の幅を判別することができる視力の人がいたとします。この人が 1.5mmの切れ目の幅を判別できるのはランドルト環から何 m 離れた距離からですか。
（１）の「ランドルト環からの距離」と「視力」の関係や（２）の「向きを判別することができる切れ目の幅」と「視力」の関係をもとに求めなさい。また，どのようにして求めたか求め方を説明しなさい。
距離

求め方

22

福岡県学力向上教材集
１

第１学年 数学 単元「平面図形」（）組（）番・氏名（

次の図のように，直線 上にない点 O を通る

Ａ問題
）

すい せん

の垂線は，下の➊から➌までの手順で，作図することができます。
垂線の作図の手順
手順➊

点 O を中心とする円をかき，直線 との交点を A，B とする。
手順➋ 点 A，B を，それぞれ中心として，等しい半径の円をかく。
手順➌ その交点の 1 つを P として，直線 OP をひく。

下の文は，上の手順➊から➌で直線  の垂線が作図できる理由を説明したものです。
に当てはまる言葉を書きなさい。
説明
図の四角形 PAOB は，

２

を

の軸とする

な図形だから。

右の図はすべて合同な正三角形です。次の（１）から（３）までの各問いに答えな

さい。
（１）△ABD を平行移動させて重ねあわせることができる三角形をすべて答えなさい。

（２）△ABD を１回対称移動させて重ねあわせることができる三角形をすべて答えな
さい。

（３）△ABD を１回点対称移動させて重ねあわせることができる三角形をすべて答え
なさい。

23

福岡県学力向上教材集
３

第１学年 数学 単元「平面図形」（）組（）番・氏名（

Ｂ問題）

次の図１で，四角形 ABCD を，頂点 B と頂点 C が重なるように折った折り目の線ア
すいちょくは，辺 BC の垂直二等分線になっています。
次の（１）と（２）の各問いに答えなさい。
（１）右の図２は，図１の四角形 ABCD の頂点Cを頂点 A にぴったり重なるように折った図です。このときできる折り目の線 EF は，ある線分の垂直二等分線です。
その線分を答えなさい。

（２）図２の折り目の線 EF が，（１）で答えた線分の垂直二等分線になる理由を説明
しなさい。

24

福岡県学力向上教材集
４

第１学年 数学 単元「平面図形」（）組（）番・氏名（

Ｂ問題）

下の図１のように，四角形 ABCD の辺 AD 上に点 P を適当にとり，頂点 B と点 Pを線分で結びます。次に，辺 BC と線分 BP が重なるように折ります。図２はそのときの折り目の線を作図によって求めたものです。
次の(１)と(２)の各問いに答えなさい。

(１)

図２の折り目の線 BS はどのようにして作図したのか，その手順を P，Q，R，Sの記号を使って説明しなさい。

(２)

図２で作図した半直線 BS で折り返すと，辺 BC と線分 BP が重なる理由を説明
しなさい。

25

福岡県学力向上教材集
５

第１学年 数学 単元「平面図形」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）

夏休みのある日，サマーキャンプに参加していたりょ

うたさんは，図１のように現在いる A 地点から川まで水をくみに行き，テントのある B 地点まで水を運ぶ必要がありました。りょうたさんは、この道のり
を最短で行く方法を考えました。
直線  を川に見立てて，水をくむ地点を点 P として
みると，右のような図２で表すことができます。
道のりが最短になるために，りょうたさんは次の考え方で点 P の位置を求めました。
りょうたさんの考え
手順①

点 B を通る直線ℓの垂線をひき，直線ℓとの交点を M とする。

手順②

その垂線上に BM＝B′
M とな る よ う に点 B′をとる。

手順③

点 A と点 B′を直線で結ぶ。

手順④

直線 AB′と直線ℓの交点を点 P とする。

次の(１)から(３)までの各問いに答えなさい。
すいちょく(１) 手順①と手順②は，直線ℓが線分 BB′の 垂直 二等分線になるようにするためです。なぜ，直線ℓが線分 BB′の垂直二等分線になるようにしたのか理由を説明し
なさい。

26

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学 単元「平面図形」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）(２)

手順③と手順④のようにするのはなぜですか，理由を答えなさい。

(３)

キャンプのレクリエーションで宝探しがありました。宝を埋めた場所は，C 地点か

ら川とのなす角度が 45°になる直線と，D 地点から川とのなす角度が 30°になる
直線の交わったところだそうです。
川を直線に見立てると，図３のように表せます。
図３

直線 CE のひき方を，りょうたさんは次のように説明しました。
りょうたさんの説明
手順①

点 C を通る直線 CD の垂線を作図して 90°の角をつくる。

手順②

90°の角の二等分線 CE を作図して45°の角をつくる。

上のりょうたさんの説明を参考にして，直線 DF のひき方を説明しなさい。
説明27

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学（）組（

単元「空間図形」）番・氏名（Ａ問題）

１ 次の図のような立体があります。この立体で，辺 AB が面 BCGF に垂直であるかどうかを明らかにするためには何を調べればよいですか。下のアからエまでの中から，正しいものを 1 つ選びなさい。

アイ
ウエ

辺 AB が辺 BF に垂直かどうかを調べればよい。
辺 AB が辺 BF，辺 BC にそれぞれ垂直かどうかを調べればよい。
辺 AB が辺 BF，辺 AE にそれぞれ垂直かどうかを調べればよい。
辺 AB が辺 BF に，辺 BC が辺 BF にそれぞれ垂直かどうかを調べればよい。

２ 次の（１）と（２）の各問いに答えなさい。
せい し かくすい（１）右の展開図をもとに正四角錐をつくるとき，点 F と重なるのはどの点ですか。答えなさい。

（２）右の図のような立方体で，面 ABCD 上の線分 BD と面 CGHD 上の線分 CH の長さを比べます。線分 BD と線分 CH の長さについて，下のアからエまでの中から正しいものを 1
つ選びなさい。
アイウエ

線分 BD の方が長い。
線分 CH の方が長い。
線分 BD と CH の長さは等しい。
どちらが長いかは，問題の条件だけでは決まらない。

28

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学 単元「空間図形」（）組（）番・氏名（

３ 右の図は，容積が 600cm3 の立方体の容器です。健一さんは，この容器を使って，いろいろな体積の水の量をはかろうと考えました。
入れ物には目もりはありません。また，辺の長さを測ったり，印をつけたりしないものとします。

（１）健一さんは容器に水をいっぱい入れ，右の図のように容器を傾けて水をこぼし，四角形ABGHが水面になるようにしました。
このとき，容器の中に残った水の量は何cm3ですか。また，
その理由を説明しなさい。

体積説明（２）健一さんは，（１）の状態から右の図のように容器を傾けて水をこぼし，三角形AFHが水面になるようにしました。このとき，容器の中に残った水の量は何cm3ですか。また，その理由を説明しなさい。
体積

説明

29

Ｂ問題
）

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学 単元「空間図形」（）組（）番・氏名（

Ｂ問題）

４ 次の図１は，底面の半径が４cm，母線の長さが１２cm の円錐で，図２はその展開図です。

まりこさんは，円錐の側面がおうぎ形であると考えて，その面積を求めようと考えました。
おうぎ形の面積は右の式で求めることができます。
おうぎ形の半径を，中心角を a°，
おうぎ形の面積を S とすると，
S＝π 2 × a360

１つの円で，中心角が２倍，３倍になると，おうぎ形の面積も２倍，３倍になる。
この式の根拠は，おうぎ形の面積は中心角に比例することなのね。
だから， a でもとの円に対する割合を求めることができるのね。
360

まりこさんは，図３で，次のようにして中心角 a を求め，おうぎ形の面積 S を求めました。
まりこさんの求め方１a＝ 2π × 4 × 360
2π ×12… ア＝120

S＝π ×122 × 120
360
＝48π

… イ

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
30

福岡県学力向上教材集

第 1 学年 数学 単元「空間図形」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）（１）まりこさんの求め方１の，アの式は，中心角が弧の長さに比例することを根拠にしています。何と何の長さが等しいことから，アの式が立てられるのですか。答えなさい。
の長さとの長さが等しい。

（２）まりこさんは自分の求め方を振り返って，次のように考えました。
まりこさんの考え１2π ×4に 360 をかけて中心角が 120°と分かるけれど，
2π ×12イの式で，また, それを 360°でわるからもとにもどるわ。

まりこさんは，おうぎ形の面積 S の求め方を次のように修正しました。
まりこさんの求め方２S=
π ×122 × 2π × 4 … ウ
2π ×12＝48π
まりこさんの求め方２の，ウの式から，1 つの円で，何は何に比例するといえますか。

（３）まりこさんはさらに考えをすすめて，底面の半径を r ，母線の長さを  としたまま，ウの式を考えてみました。
まりこさんの考え２S = π 2 × 2π r
2π 
＝π r 

とても簡単に，求めることができるわ。

まりこさんの考え２を用いて， 右の円錐の側面積を求めなさい。解答は，求め方が分かるように書きなさい。

答え〔

〕
31

福岡県学力向上教材集
１

第１学年 数学 単元「データの活用」Ａ問題
Ａ問題
（
）組（
）番・氏名（）

A 中学校と B 中学校の 1 年生の生徒に対して，通学時間を調査して度数分布表にまとめました。
この度数分布表をもとに，全体の人数に対する通学時間が 30 分未満の生徒の割合が， A 中学
校と B 中学校でどちらが大きいかを調べること

階 級 (分 )
以上

未満

A 中学校
累積
度数
度数
(人 )
(人 )

B 中学校
累積
度数
度数
（人）
（人）

0 ~ 106

4

10 ~ 2014

3

20 ~ 30

16

11にしました。
（１）通学時間が 30 分未満の生徒の人数は，それぞれの中学校の累積度数のどこに表さ

30 ~ 4031

13

40 ~ 50

22

20

れますか。表の から までの中から，そ50 ~ 6016

15

れぞ れ 1 つ選び，その人数を求めなさい。

60 ~ 70

15

9

合計

120

75

A 中学校

記号

人数

B 中学校

記号

人数

（２）それぞれの中学校での，通学時間が 30 分未満の生徒の割合を計算で求め，どちらの中学校のほうが割合が大きいか答えなさい。

（３）上で求めた割合は，最初の階級からその階級までの相対度数を合計した値になります。このような値を何といいますか。

32

福岡県学力向上教材集
２

第１学年 数学 単元「データの活用」（）組（）番・氏名（

Ａ問題）

数学の授業で確率の学習をしている時，先生が，「日本で，男児が生まれる確率はどれだけでしょう」と質問しました。
雪子さんは，「男児が生まれる場合と女児が生まれる場合の２通りあり，そのうちの１通りだから，確率 は 0. 5 だと思います。」と答えました。
すると，先生が次のような資料を提示しました。

日本の出生児に関する資料
年次

総数（人）

2000 年
2001 年
2002 年
2003 年
2004 年
2005 年
2006 年
2007 年2008 年2009 年

1,190,547
1,170,662
1,153,855
1,123,610
1,110,721
1,062,530
1,092,674
1,089,818
1,091,156
1,070,035

男児

女児

人数（人）

相対度数

人数（人）

相対度数

612,148
600,918
592,840
576,736
569,559545,032
560,439559,847
559,513548,993

0.514
0.513
0.514
0.513
0.513
0.513
0.513
0.514
0.513
0.513

578,399569,744561,015546,874
541,162
517,498532,235
529,971531,643
521,042

0.486
0.487
0.486
0.487
0.487
0.487
0.487
0.486
0.487
0.487

この表をもとに考えるとき，雪子さんの考えが正しいか，正しくないか答えな
さい。また，その理由を答えなさい。

理由33

福岡県学力向上教材集
３

第１学年 数学 単元「データの活用」（）組（）番・氏名（
はば

Ｂ問題
）

と

陸上部のマネージャーをしているかなさんは，走り幅 跳びのＡ 選手，Ｂ 選手の記録をつけていました。かなさんはその記録をもとにして，次のようなヒストグ
ラムをつくりました。
このヒストグラムから，例えば，Ａ 選手，Ｂ 選手は 2 人とも 490cm 以上 500cm
きょ り

未満の距離を 3 回跳んだことが分かります。

34

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学 単元「データの活用」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）

次の（１）と（２）の各問いに答えなさい。
（１）前ページの 2 人のヒストグラムから，Ａ 選手とＢ 選手の跳んだ回数が同じであることが分かります。その回数を求めなさい。

（２）かなさんは，もしＡ 選手とＢ 選手がもう 1 回ずつ跳んだとしたら，どちら
2

跳
2

1
1
ア

イ
2

ア

Ａ 選手

イ

Ｂ 選手

理由

35

福岡県学力向上教材集
４

第１学年 数学 単元「データの活用」（）組（）番・氏名（

Ｂ問題）

はるかさんのクラスでは，Ａ ，Ｂ ，Ｃ の 3 グループごとにカップケ ーキを30個ずつ 作りました。それぞれのグループが作ったカップケーキ の重さを 1 個ずつ
調べて，それをもとにして度数分布多角形（度数折れ線）をつくると，次 ののようになりました。

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
きんいつ（１）作ったカップケーキの重さが均一（重さの差が小さい）なのは，A，B，C のどのグループですか。答えなさい。また，その理由を説明しなさい。
グループ
理由

36

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学 単元「データの活用」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）（２）カップケーキ 1 個分の重さがほかのグループに比べて軽いのは，A，B，Cのどのグループですか。答えなさい。また，その理由を説明しなさい。
グループ

理由

とくちょう

（３） C グループの分布の特徴をとらえたいとき，代表値として平均値を選ぶことは適切か，適切でないか答えなさい。また，その理由を説明しなさい。

理由37

福岡県学力向上教材集

第１学年 数学 単元「データの活用」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）

５ 次の問題を考えています。
問題
赤玉と白玉が入った袋があります。袋の中を見ることはできませんが，赤玉，白玉を合わせて 40 個の玉が入っていることがわかっています。
袋の中に赤玉と白玉はいくつずつ入っているか，中を見ないで知ることはできないでし
ょうか。
以下の

に示す，先生と生徒の会話のやりとりを読み，次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
会話１
生徒Ａ：「これだけでは情報が少なすぎてわかりません。
」」
生徒Ｂ：「先生，袋の中から玉を取り出してもよいですか。
先 生：「なるほど，では，次のような 3 つの条件を加えましょう。
」

条件
条件１：袋の中から玉を取り出して，見てもかまわない。
条件２：何度取り出してもよいが，１回につき１個ずつ玉を取り出す。
条件３：取り出した玉は１回ごとに袋の中にもどす。

会話２
生徒Ａ：
「全部を同時に見ることができたらすぐわかるのに。
」
生徒Ｂ：「いや，全部を見なくても，を調べれば，赤玉と白玉はいくつずつ入っているかを予想できると思うよ。
」（１） 上の会話２で，生徒Ｂは何を調べれば予想できると考えたのでしょう。
あてはまる言葉を答えなさい。

38に福岡県学力向上教材集

第１学年 数学 単元「データの活用」（）組（）番・氏名（Ｂ問題）（２）生徒Ｂの発言をもとに，玉を取り出す実験をくり返しました。赤玉を取り出した回数とその相対度数を次のような表にまとめました。表の ， にあてはまる相対度数を小数第 2位まで求めなさい。
クラス全員での実験の結果
回数(回)

100

200

300

400

500

600

700

800

赤玉(回)

21

56

85

105

118

146

173

203

相対度数

0.21

0.28

0.28

0.26

0.24

0.24

（２）の実験結果をもとに，袋の中に入っている赤玉の数を予想すると，いくつ入って（３）いると考えられるか答えなさい

39

第１学年

数学

単元「正の数・負の数」

１■正答 －1020

２■正答 C 市の最高気温と最低気温の差

15℃

３■正答 加法の式 4＋(－2)

(－2)

４

■正答 －(3×3)＝－9

５■正答 23，29

６

■正答

負の項

式

解説資料

13－(－2)2×2×2×2×2×3 [2⁵×3]

７
１ 出題の趣旨
正の数と負の数を利用した問題解決の場面において，次のことができるかどうかをみる。
・ある量を基準として，その量からの増減を正の数と負の数で表すこと。
・仮平均を用いた平均の求め方を理解し，具体的な場面で活用すること。
２

各設問の趣旨設問 (１) 仮平均を用いた平均の求め方を理解しているかどうかをみる。
設問 (２) 仮平均を用いて平均を求め，その過程を説明することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問 (１) … Ａ 数と式 (１) ア（ア）

４

５

評価の観点
設問 (１) …知識・技能設問

設問 (２) … Ａ

数と式 (１) ア（ウ），イ（イ）(２) … 思考・判断・表現

正答と解説
設問

(１) ■正答

設問(２) ■正答 (表)①450 × 5
5

②

記録

349cm

357cm

353cm

346cm

356cm

351cm

－1cm

＋7cm

＋3cm

－4cm

＋6cm

＋1cm

記録と基
準との差

求め方

－4－7－2＋1＋2(例) 表より，基準は 350 である。その基準と記録との差を求めると，{(－1)＋(＋7)＋(＋3)＋(－4)＋(＋6)＋(＋1)}÷6＝12÷6＝2(cm) となる。
基準の 350cm に 2cm を加えて，350＋2＝352(cm) したがって，ゆりさんの 6 回の記録の平均は，352cm になる。

40

第１学年

数学

単元「正の数・負の数」

解説資料

■解説
(基準)＋(基準との差の平均)＝平均となることを利用して求める。途中計算を正し
く書いて答えを求めているものを正答（◎）とする。答えのみの解答は誤答（×）とする。
８
１ 出題の趣旨
正の数と負の数を利用した問題解決の場面において，次のことがらができるかどうかをみる。
・(正の数)×(負の数)＝(負の数)となることの説明を参考にして，(負の数)×(負の数)＝(正の数)となることを説明できること。
・身の回りの事象を通して，(正の数)×(負の数)＝(負の数)となることを説明する。

２

各設問の趣旨設問 (１) (正の数)×(負の数)＝(負の数)となることの説明を参考にして，(負の数)×(負の数)＝(正の数)となることを説明できるかどうかをみる。
設問 (２) (負の数)×(正の数)＝(負の数)となることを，身の回りの事象をもとにして説明できるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問 (１)，設問 (２) … Ａ 数と式

４

５

評価の観点
設問 (１)，設問(１) ア（ア），ア（ウ），イ（イ）(２) … 思考・判断・表現正答と解説
設問 (１) ■正答(例) 西へ向かって毎時 3km で進む人は，1 時間前には O 地点から東に＋3kmの地点にいる。だから，5 時間前には東に＋15km の地点にいることになり，式は(－3)×(－5)＝＋15 となるので，(負の数)×(負の数)は(正の数)になる。

■解説(－3)×(－5)＝＋15 となることを，正負の数が反対の性質をもつ数量であることを利用して，説明できているものを正答（◎）とする。
5 時間前には東に 15km の地点にいることを記述できていれば正答（○）とする。
正と負の数が反対の性質をもつ数量であることを利用せず，数式のみの記述の場合は説明不十分として誤答（×）とする。
設問

(２)

■正答

(例) 500 円の貯金を(＋500)，2 か月前を(－2)で表すと，2 か月前の貯金が 1万円を基準にいくら少ないかは，(＋500)×(－2)になります。2 か月前の貯金は 9000 円で，1 万円を基準にすると(－1000)円です。だから，(＋500)×(－2)＝(－1000)となり，(正の数)×(負の数)＝(負の数)です。

■解説
式について，2 か月前の貯金額 9000 円は，1 万円を基準にすると－1000 円の量であること，2 か月前を(－2)として表すことを説明して，だから，(正の数)×(負の数)
は(負の数)になると結論付けているものを正答（◎）とする。

41

第１学年
１

■正答

エ

２

■正答

長方形の周の長さ

３■正答 ax－bx＝(a－b)x

数学

単元「文字の式」

解説資料

４
１

出題の趣旨
文字式を利用した問題解決の場面において，次のことがらができるかどうかをみる。
・与えられた図を読み取り，文字を用いて式に表すこと。
・与えられた式から考えを読み取り，図に表すこと。

２

３

各設問の趣旨設問(１) 事象をとらえることができているかどうかをみる。

設問(２) 与えられた図を読み取り，文字を用いて式に表すことができるかどうかをみる。

設問(３) 文字式から考えを読み取り,それを図に表すことができるかどうかをみる。

学習指導要領における内容・領域
設問

４(２) ア（ア），ア（エ）

評価の観点
設問

５

(１)，(２)，(３) … Ａ 数と式(１)，(２)，(３)

知識・技能

正答と解説
設問

(１) ■正答

16 枚

設問

(２)

4(n－2)＋4■正答■解説

4n－4 と答えているものは，図を読み取れていないため誤答（×）とする。
設問

(３)

■正答

(例)

(n－1)枚のまとまりが４つある。
■解説
枠で囲い，(n－1)枚と記述しているものを正答（〇）とする。

42

第１学年

数学

単元「文字の式」

解説資料

５
１

出題の趣旨
文字式を利用した問題解決の場面において，次のことがらができるかどうかをみる。
・与えられた図を読み取り，それを表した文字式がわかること。
・与えられた式を読み取り，図に表すこと。

２

各設問の趣旨設問(１) 事象をとらえることができているかどうかをみる。

設問 (２) 図から規則性を見い出し，式と関連づけて考え方を読み取れるかどうかをみる。
設問 (３) 数量を文字式で表し，その考え方を説明できるかどうかをみる。
３

学習指導要領における内容・領域
設問

４

５

(１)，(２)，(３) … Ａ 数と式(２) ア（ア），ア（エ）

評価の観点
設問

(１) … 知識・技能

設問(２)，(３) …思考・判断・表現正答と解説
設問 (１) ■正答
設問

(２)

16 本

■正答 (例)

左端のマッチ棒 1 本とマッチ棒 3 本のまとまりが n 個あるので，マッチ棒の総数は 3n＋1 で求めることができる。
■解説
図に対応させて，筋道立てて記述しているものを正答（〇）とする。
設問

(３)

■正答

(式)

(例) 2 n＋2＋（n－1）(理由) (例) 横向きに並んだマッチ棒の本数は 2n となる。縦向きに並んだ両端のマッチ棒の本数は 2 であり，破線で囲った部分のマッチ棒の本数は(n－1)となる。したがって，マッチ棒の総数は，2n＋2＋(n－1)となる。
■解説
式が正しく，式に対応した説明がなされていると認められるものは正答（○）とす
る。

43

第１学年
１

■正答 エ

２

■正答 イ，ウ３■正答 イ，エ

数学

単元「方程式」

解説資料

４
１ 出題の趣旨
方程式を利用した問題解決の場面において，次のことがらができるかどうかをみる。
・方程式を立てるために二通りに表される数量を見出すこと。
・等しい数量関係をとらえ，方程式をつくること。

２

各設問の趣旨設問 (１) 数量関係を表した線分図を読み取り，二通りに表せる数量を見い出せるかどうかをみる。
設問 (２) 等しい数量関係を見い出し，方程式を立てることができるかどうかをみる。
設問 (３) 方程式から，二通りに表せる数量を見い出すことができるかどうかをみる。
設問 (４) 一次方程式を解き，解を求めることができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問 (１)，(２)，(３)，(４) … Ａ

数と式(３) ア（ア），ア（イ），イ（イ）

４

評価の観点
設問 (１)，(２) 知識・技能設問 (３)，(４) 思考・判断・表現

５

正答と解説
イ 7
ウ 布の（枚）数
設問 (１) ■正答 ア 8x
■解説
8x，7，布の（枚）数のすべてを記入しているものを正答（◎）とする。
設問 (２)■正答

7x＋8＝8x－7

設問(３)■正答 ア 布の（枚）数
イ 盗賊の（人）数■解説「布」，「盗賊」は誤答（×）とする。

設問

(４)

■正答

盗賊の人数

15 人

布の枚数

44

113 枚

第１学年

数学

単元「方程式」

解説資料

５
１ 出題の趣旨
方程式を利用した問題解決の場面において，次のことがらができるかどうかをみる。
・与えられた図から数量関係を正しく解釈し，問題に含まれる数量を，文字を用いて表すこと。
・等しい数量関係を見い出し，方程式を立てること。
・一次方程式を解いた後，解が適切かどうかを判断すること。

２

各設問の趣旨設問 (１) 事象を理解し，線分図に表すことができるかどうかをみる。
設問 (２) 問題に含まれる数量を正しくとらえることができるかどうかをみる。
設問 (３) 等しい数量関係を見い出すことができるかどうかをみる。
設問 (４) 一次方程式を立式し，解を求めることができるかどうかをみる。
設問 (５) 一次方程式を解いた後，解が適切かどうかを判断することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問 (１)，(２)，(３)，(４)，(５) … Ａ

数と式(３) ア（ア），ア（イ），イ（ア），イ（イ）

４

評価の観点
設問 (１)，(２)，(３)，(４)，(５) … 思考・判断・表現

５

正答と解説
設問 (１) ■正答

家

駅
分速60m

妹

15分間進んだ
道のり

0m

分間
進んだ
道のり

1500m

分速
兄
分間進んだ道のり

追いつく
地点

設問

(２)

■正答

時間(分)… x＋15

設問

(３)

■正答

兄が進んだ道のり

設問(４)■正答 方程式

設問(５)■正答 (記号) イ(理由) (例) 兄が進んだ道のりは，210×8＝1680(m)となる。これは，家から駅までの道のり 1500m を超えているため，問題の答えとして正しくない。

道のり(m)… 60（x＋15）［60 x＋900］，210 x

210x＝60(x＋15)，6 分後

45

第１学年
１

■正答 イ，オ

２

■正答 ウ

３

■正答

数学

単元「変化と対応」

解説資料

8
3

４
１

出題の趣旨
具体的な事象の中には比例を用いてとらえられるものがあることを理解し，次のことができているかどうかをみる。
・事象を理想化したり単純化したりして，その変化の特徴をとらえること。
・問題解決の方法を数学的に説明すること。

２

各設問の趣旨設問 (１) グラフの特徴をもとに，比例の関係であることを説明することができるかどうかをみる。
設問 (２) 比例を利用して，変化する量を求める方法を説明することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域

４

評価の観点

５

正答と解説
設問 (１) ■正答 (例) グラフが原点を通る直線になっている。
■解説
次の（a），（b）両方が記述できていれば正答（◎）とする。
(a) 「原点を通ること」(b) 「直線であること」
どちらか一方のみの記述は誤答（×）とする。
設問

(２)

設問

■正答

(１)，(２)

設問(１)，(２) … Ｃ

関数 (１) イ（ア），イ（イ）

思考・判断・表現(例) x と y の関係を表す比例の式を求め，x＝50 を代入して y を求める。
(例) グラフから 10 年間で増える二酸化炭素濃度を読み取り，50 年後だからそれを 5 倍する。
(例) 50 年後は 10 年後の 5 倍だから，10 年後の値をグラフで読み，それを 5
倍する。

■解説
(a) 「用いるもの」と(b) 「その用い方」を示しているものを正答(◎)とする。
〈式を用いることについて記述している場合〉(a) 比例の式を求めて利用すること。
(b) x＝50 を代入して y の値を求めること。
実際に，y=2x を求めたり，計算したりしてもよい。
〈グラフの値や比例の変化の特徴を用いることについて記述している場合〉(a) グラフの値や比例の変化の特徴を用いること。
(b) 50 年後(x=50)の値を調べること。
具体的にグラフの値を読み取り，50 年後の値を求めてもよい。
(a)または(b)のみの記述は誤答(×)とする。
(例) 「式を求める」，「代入すればよい」，「グラフの値を使って計算する」等。

46

第１学年

数学

単元「変化と対応」

解説資料

５
１

出題の趣旨
具体的な場面において比例と反比例が成り立つことを理解し，次のことができているかをみる。
・事象の変化の様子を表やグラフを用いて調べ，比例，反比例の関係を見い出すこと。
・比例と反比例を用いて変化や対応の様子を予測すること。

２

各設問の趣旨設問 (１) 与えられた表から，比例の関係の特徴を見い出すことができるかどうかをみる。
設問 (２) 与えられた表から，反比例の関係をグラフで表すことができるかどうかをみる。
設問 (３) 比例と反比例を用いて変化や対応の様子を予測することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問(１) … Ｃ 関数 (１) イ（ア），イ（イ）
設問(３) … Ｃ 関数 (１) イ（ア），イ（イ）

設問(２) … Ｃ

関数(１) ア（エ）設問 (１)，(３) … 思考・判断・表現
設問 (２) … 知識・技能

４

評価の観点

５

正答と解説
設問 (１) ■正答(関係) 比例(特徴) (例) ランドルト環からの距離を２倍，３倍，…にすると，それに対応する視力は 2 倍，３倍，……となっているから。

■解説
視力を距離で割った値は 0.2 で一定等，比例の性質について記述していると認められるものは正答（○）とする。
設問

(２)

設問

(３) ■正答■正答■解説
グラフ上の各点を滑らかに結び、反比例のグラフを表すと認められるものは正答（○）とする。

(距離) 10m(求め方) (例) 「向きを判別することができる切れ目の幅」と視力の関係は，
1.5。y＝1.5÷0.75＝2 よ
切れ目の幅を x，視力を y とすると， y =x
り，視力は 2.0。「ランドルト環からの距離」と「視力」の関係は，
1x 。視力が 2.0 なので，これを距離を x，視力を y とすると， y =5
解いて，x =10

■解説
表現が不十分でも，解決の筋道が正しいと認められるものは正答(○)とする。

47

第１学年
１

数学

単元「平面図形」

解説資料■正答 （図の四角形 PAOB は，）直線 OP（を）対称（の軸とする）線対称（な図形だから。）

２■正答（１） △BCE，△DEG（２）△CBE，△GED，△EBD，△FGD（３） △EDB，△HGE，△GFD
３ ４
１ 出題の趣旨
紙を折るという日常的な事象について，線対称な図形の性質をもとに考察することができるかどうかをみる。
３ 垂直二等分線を線対称な図形の性質と関連づけて考えることができる。
４ 垂直二等分線を線対称な図形の性質と関連づけて考えることができる。
２

各設問の趣旨３ 設問 (１)，(２)

４

３

設問

(１)，(２)

点と点を折り重ねることを，２点が線対称ととらえ，線対称な図形の特徴と垂直二等分線の意味を関連づけて考えることができるかどうかをみる。
線分と線分を折り重ねることを，線対称な図形の見方でとらえ，角の二等分線の意味を関連づけて考えることができるかどうかをみる。

学習指導要領における内容・領域
３，４ 設問 (１)，(２) … Ｂ 図形

４

評価の観点

５

正答と解説
３ 設問 (１) ■正答
設問

３，４

(２)

設問

■正答

(１)

ア（ア），イ（ア）(１)，(２) … 思考・判断・表現

線分 AC(例) 点Ａと点Ｃは，折り目の線ＥＦについて対称なので，線分 AC と線分 EF の交点を M とすると AC⊥EF，AM＝CM。だから，線分 EF
は線分 AC の垂直二等分線となる。

■解説
折り目の線ＥＦが 2 点ＡとＣの対称の軸になっていることが述べられていれば，正答(○)とする。
４

設問(１) ■正答(例) 点 B を中心に円をかき，辺 BC と線分 BP との交点を Q，R とする。
Q と R を中心に，等しい半径の円をかき，その交点を S とする。半直線
BS をひく。

■解説∠PBC の二等分線を作図する手順が分かるように述べられていれば正答(○)
とする。
設問

(２)

■正答

(例) 半直線 BS は∠PBC の二等分線だから，∠PBS＝∠CBS。だから，
辺 BC と線分 BP は重なる。

48

第１学年

数学

単元「平面図形」

解説資料■解説
半直線BS が∠PBC の二等分線になっていること，∠PBS＝∠CBS である
ことが述べられていれば正答(◎)とする。
BS が∠PBC の 2 辺PB，BC の対称の軸になっているなど図形の対称性から説明しているものは，正答（○）とする。
５
１ 出題の趣旨
図形の性質を用いて問題を解決する場面で，次のことができるかどうかをみる。
・垂直二等分線の意味を理解している。
・問題解決の方法を，図形の性質をもとに解釈し説明すること。

２

各設問の趣旨設問 (１)，(２)設問

線の長さを最短にする問題で，その方法を垂直二等分線上の点の性質や距離の意
味をもとに解釈できるかどうかをみる。
(３) 30°の角を作図する問題で，正三角形の性質や角の二等分線の性質をもとに作図の方法を見い出せるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域

４

評価の観点

５

正答と解説
設問 (１) ■正答

設問

設問(１)，(２)，(３) … Ｂ 図形

(１) ア
（ア），イ
（ア）
，イ
（ウ）

(１)，(２)，(３) … 思考・判断・表現(例) 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線上の点は 2 点からの距離が等しいので，
PB＝PB′になるから。

■解説
PB＝PB′を記述していれば（○）とする。
設問

(２)

設問

(３) ■正答 (例) 〔手順①〕点 D を頂点とする正三角形を作図して 60°の角をつくる。
〔手順②〕60°の角の二等分線 DF を作図して 30°の角をつくる。
■解説(a) 正三角形を作図する。(b) 正三角形の角の二等分線を作図する。
(a)，(b) の二つが述べられているものを正答（◎）とする。表現が不十分でも，(a)，(b)について述べていると認められるものは正答（○）とする。
(例) 正三角形の角を二等分する。

■正答 (例) 2 点を結ぶ線のうち，もっとも短いものは線分 AB だから。
■解説
線分 AB，あるいは直線 AB と，最短の長さ，あるいは距離を関連づけて述べていると認められるものは（○）

49

第１学年
１

■正答

２

(１) ■正答

数学

単元「空間図形」

解説資料

イ
点H

(２) ■正答

ウ

３
１

出題の趣旨
空間図形について，観察，操作などの活動を通して，次のことができているかどうかをみる。
・角柱の底面積と高さの関係を見いだし，体積を求め，その関係を説明すること。
・角柱とその底面が等しい角錐の体積についての関係を見いだし，体積を求め，その関係を説明すること

２

各設問の趣旨設問(１) 操作をふり返り，立方体と三角柱の体積についての関係から体積を求め，その関係を説明できるかどうかをみる。

設問(２) 操作をふり返り，三角柱と共通の底面をもつ三角錐の体積についての関係から体積を求め，その関係を説明できるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問

４

(２)

ア（イ），イ（ア）

評価の観点
設問

５

(１)，(２) … B 図形

(１)，(２) … 思考・判断・表現

正答と解説
設問

(１)

■正答

体積

300cm3

説明 (例)

残った水の量は，三角形AEHと三角形BFGを底面とする三角柱の体積と等しい。三角形AEHと三角形BFGは，それぞれ正方形AEHDと正方形BFGCの面積の1
また， 高さEFは共通。 よって， 求める水の2量は，立方体の体積 600cm3 の1で 300cm3 となる。
2

■解説
①

次の⒜，⒝，⒞について記述しているものを正答（◎）とする。
残った水の量は，三角形AEHと三角形BFGを底面， EFを高さとする三角柱の⒜

体積と等しい。
⒝

残った水の量と等しい体積の三角柱ともとの立方体で，底面の三角形は正方形
の面積の

⒞

1
，高さは共通。
2

残った水の量と等しい体積の三角柱は，もとの立方体の体積の

50

1
になる。
2

第１学年
②

数学

(２)

解説資料

⒜残った水の量は三角柱の体積と等しい，⒞残った水の量と等しい体積の三角柱の体積は立方体の設問

単元「空間図形」■正答

体積100cm3説明(例)

1について記述しているものを正答（○）とする。
2

残った水の量は，三角形AEHを底面とする三角錐の体積と等しい。

この三角錐は，（１）で求めた残った水の三角柱と，底面は三角形AEH，
高さはEFでともに共通である。 よって， 求める水の量は，（１）で求めた三角柱の水の量 300cm3 の1で 100cm3 となる。
3

■解説
①

次の⒜，⒝，⒞について記述しているものを正答（◎）とする。
⒜

残った水の量は，三角形AEHを底面，EFを高さとする三角錐の体積と等しい。

⒝

残った水の量と等しい体積の三角錐と（１）の三角柱で，底面と高さはともに共通。

⒞②

残った水の量と等しい体積の三角錐は，（１）の三角柱の体積の

1
になる。
3

⒜残った水の量は三角錐の体積と等しい，⒞残った水の量と等しい体積の三角錐の体積は三角柱の体積の1について記述しているものを正答（○）とする。
3

51

第１学年

数学

単元「空間図形」

解説資料

４
１

出題の趣旨
円錐の展開図を観察し，側面積の求め方を考えることを通して，次のことができるかどうかをみる。
・図形の中にある比例関係をとらえ，図形の考察に活かすこと。
・数学的に表現された事柄を解釈し，活用すること。

２

各設問の趣旨設問(１)

円錐の側面のおうぎ形の弧の長さと底面の円の周の長さが等しいことと中心角が弧の長さに比例することから，中心角が求められることを理解しているかどうかをみる。
設問 (２) おうぎ形の弧の長さと底面の円の面積が比例していることを説明できるかどうかをみ
る。
設問
３

(３)

導かれたおうぎ形の求積公式を解釈し，側面積を求めることができるかどうかをみる。

学習指導要領における内容・領域
設問 (１)，(２)，(３) … B 図形

４ア（イ），イ（イ）

評価の観点
設問

５

(２)

(１)，(２)，(３) … 思考・判断・表現

正答と解説

設問

(１)

■正答 おうぎ形の弧（の長さと）底面の円の周（の長さが等しい。）

設問

(２)

■正答

(例)

1 つの円で，おうぎ形の面積は弧の長さに比例する。

設問

(３)

■正答

(例)

底面の半径は 6cm，母線の長さは 12cm より，円錐の側面積であるおうぎ

形の面積は，π×6×12＝72π(cm²)

52

答え

72πcm²

１

２

第１学年

数学

A中学校

記号

単元「データの活用」

36 人，B 中学校

記号

人数

18 人

設問

(１) ■正答

設問(２) ■正答 (例) 全体の人数に対する通学時間が 30 分未満の生徒の割合は，
36
18
A 中学校が＝0.3，B 中学校が ＝0.24 0.3＞0.24 だから，全体の120
75
人数に対する通学時間が 30 分未満の生徒の割合は，A 中学校のほうが大きい。

設問(３) ■正答 累積相対度数

■正答

人数

解説資料

正しくない
理由

(例) 男児と女児の生まれやすさは同様に確からしいとは言えない。表から判断すると，男児が生まれる確率は 0.51 と考えられ，わずかに男児の生まれる確率が高いから。

■解説
男児が生まれる確率についての記述があり，雪子さんの考えを否定するのに筋道の通った説明であると判断できるものは，正答（○）とする。
３
１

出題の趣旨
資料に基づいて不確定な事象を考察する場面で，次のことができるかどうかをみる。
・必要な情報を適切に選択すること。
・事象を数学的に判断し，その理由を数学的な表現を用いて説明すること。

２

各設問の趣旨設問 (１) 与えられたヒストグラムから必要な情報を適切に選択し，処理することができるかどうかをみる。
設問 (２) 資料の傾向を的確にとらえ，判断の理由を数学的な表現を用いて説明することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問 (１)，(２) … D データの活用

４

５

評価の観点 設問
設問 (１) …知識・技能正答と解説
設問 (１) ■正答
設問(２) ■正答(１) イ（ア）(２) … 思考・判断・表現

21 回
(理由)
を選択した場合(例) A 選手の記録の方が B 選手の記録より 530cm 以上の階級の累積度数が大きいので，A 選手の方が次の１回でより遠くへ跳びそうな選手である。だから，A 選手を選ぶ。
を選択した場合(例) B 選手の記録の方が A 選手の記録より範囲が小さく，階級の中央の値の大きいところに記録が集まっているので，B 選手の方が次の 1 回でより遠くへ跳びそうな選手である。だから，B 選手を選ぶ。

53

第１学年

数学

単元「データの活用」

解説資料

■解説
を選択した場合：A 選手の 530cm 以上（または 540cm 以上）の階級の累積度数が大きいことや，A 選手の最大値を含む階級の中央の値が大きいことなど，A 選
手が選ばれる根拠となるヒストグラムの特徴が述べられているものを正答（◎）とする。
を選択した場合：B 選手の 480cm 以上（または 490cm 以上，または 500cm 以上）の階級の累積度数が大きいこと，B 選手の 500cm 未満（または 490cm 未満）の階級の累積度数が小さいこと，B 選手の最小値を含む階級の中央の値が大きいことなど，B 選手が選ばれる根拠となるヒストグラムの特徴が述べられているものを正答（◎）とする。
４
１

出題の趣旨
与えられた資料に基づいて,次のことができているかどうかをみる。
・必要な情報を適切に選択し，処理することができること。
・資料の傾向を的確にとらえ，数学的な表現を用いて説明すること。

２

各設問の趣旨設問 (１) 度数分布多角形の資料の散らばりを捉え，数学的な表現を用いて説明することができるかどうかをみる。
設問 (２) 度数分布多角形から分布の特徴を的確に捉え，数学的な表現を用いて説明することができるかどうかをみる。
設問 (３) 資料の傾向に合わせて，適切な代表値を判断できるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域

４

評価の観点

５

正答と解説
設問 (１) ■正答

設問

設問

設問

(１) … D データの活用(１) イ（ア）(１)，(２)，(３) … 思考・判断・表現

B グループ(理由) (例) それぞれのグループの範囲を比較する。A は 77－57＝20（g），
B は 75－63＝12（g），C は 89－67＝22（g）となっている。範囲が小さ
いほど，カップケーキの重さが均一になっていることを表している。
したがって，B グループが最も均一になっている。

■解説
数値を求めず，グラフの概形からでもそれぞれのグループの範囲を比較して説明できているものを正答（〇）とする。B グループだけの範囲をもとに説明しているもの
は，比較ができていないため誤答（×）とする。
(２) ■正答 A グループ
(理由) (例) A グループの度数分布多角形は，B と C に比べて，全体的に左寄りになっている。左側に寄っているほど，カップケーキ１個分の重さが軽いことを表している。したがって，Aグループのカップケーキ
１個分の重さは，ほかのグループに比べて軽い。
■解説
A グループの度数分布多角形が，B，C グループより左に寄っていることが指摘できていれば正答（○）とする。

54

第１学年
設問

(３) ■正答

数学

単元「データの活用」

解説資料

適切でない
(理由) (例) C グループのカップケーキ 30 個のうち，26 個が 68g 以上 78g未満に分布しているが，4 個だけ 82g 以上 90g 未満に分布している。
このように全体の分布からはずれた極端な数値があるときは，平均値はその値に大きく影響される。よって，適切でない。

■解説
C グループのカップケーキには全体の分布からはずれた極端な数値があることを述べているものを正答（〇）とする。
５
１ 出題の趣旨
袋の中の玉の数について与えられた情報から，次のことができるかどうかをみる。
・不確定な事象をとらえ，確率を基にして説明できる事柄を明らかにすること。
・与えられた実験結果から，相対度数を求めること。
・不確定な事象を確率を用いて考察し，表現すること。
２

各設問の趣旨設問 (１) 不確定な事象に関する問題解決において，玉を取り出すことの起こりやすさに着目し，それを基にすれば袋の中の赤玉や白玉の数が説明できるかどうかをみる。
設問 (２) 設問(１)でもった問題解決の見通しを基に，統計的確率を問題解決の手段に利用できる問
題場面において，与えられた実験結果から，相対度数を求めることができるかどうかをみる。
設問 (３) 確率を基に袋の中に入っている玉の数を明らかにすることができることを捉え，袋の中の赤玉の数を求めることができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域

設問(１)，(２)，(３) … D データの活用 (２) ア（ア），イ（ア）

４

評価の観点
設問 (１)… 思考・判断・表現
設問 (２)，(３) … 知識・技能

５

正答と解説
設問 (１) ■正答 (例)

袋の中から赤玉や白玉を取り出すことの起こりやすさ■解説
生徒 A の質問「玉を取り出してもよいか」や発言「全部を見ることができればわかる」，

生徒 B の発言「全部を見なくても，およその数を予想することができる」から，予想するための根拠として，起こりやすさを基にして考察し，「袋の中から赤玉や白玉を取り出すことの起こりやすさ」について記述しているものを正答（◎）とする。
なお，赤玉を取り出すことの起こりやすさがわかれば，白玉を取り出すことの起こりやすさを求めることができることから，「赤玉を取り出すことの起こりやすさ」など

一方の玉の出やすさに関する記述をしているものも正答（○）とする。
設問

(２)

■正答

設問

(３) ■正答

0.25

0.25

10 個

55