証券経済研究第96号（2016.12）

日経平均株価のトレンドとオプション評価―Markov Switching EGARCH モデルによる分析―
里
三
要

吉
井

清
秀

隆
俊

旨

本論文では，Markov Switching モデルとそれを拡張した Markov Switching
EGARCH モデルを用いて日経平均株価について分析を行い，さらに，これらのモデルが日経225オプション価格の評価に関してどの程度有効であるかを検証している。一般に Markov Switching モデルによる資産価格の分析では，収益率の平均とボラティリティは同時にスイッチングを起こすと仮定することが多いが，本論文ではそれぞれ独立に変化するモデルや，片方のみが変化するモデルを提案
して，モデルの比較を行った。実証分析の結果，日経平均株価の価格トレンド
は，平均のみがスイッチングを起こす Markov Switching EGARCH モデルによって識別できることが明らかになった。また，コール・オプション価格に関する分
析では，Markov Switching モデルよりも Markov Switching EGARCH モデルのパフォーマンスが全体として高く，スイッチングはボラティリティに関しては重要であるが，平均のスイッチングは特に重要ではないことが示された。

目

次

Ⅰ．はじめにⅣ．実証結果

Ⅱ．分析モデル

1 ．データ

1 ．Markov Switching モデル

2 ．Markov Switching モデルの推定結果

2 ．Markov Switching EGARCH モデル

3 ．Markov Switching EGARCH モ デ ル の 推 定Ⅲ．オプション価格の導出方法
1 ．リスク中立性の下でのオプション価格
2 ．モンテカルロ・シミュレーションの手順

結果
4 ．オプション価格の推定値の比較
Ⅴ．結論と今後の課題

は，しばしば長期的あるいは短期的に一定方向

Ⅰ．はじめにの価格の推移が観察され，上昇トレンドの局面
はブル市場（bull market），下降トレンドの局

株式市場や外国為替市場などの金融市場で面 は ベ ア 市 場（bear market） と 呼 ば れ て い

59

日経平均株価のトレンドとオプション評価る。投資家にとってはトレンドの識別，また転変動をどのように定式化すれば良いのかを明ら

換点の見極めは非常に重要であり，これまで

かにすることである。分析の対象としている日

様々なトレンド分析手法が生み出されてきた。

経平均株価などの株価指数については，価格が一般に投資家の間では，トレンドを把握するた

上昇した翌日のボラティリティよりも下落した

めに移動平均やトレンドラインといった，いわ翌日のボラティリティの方が高くなる傾向があ

ゆるテクニカル分析が頻繁に利用されている。

ることが知られており，ボラティリティの非対

その一方で，計量経済学においては時系列モデ称性，またはレバレッジ効果と呼ばれている。

ルの一つである Markov Switching モデルによこの現象を考慮して，ボラティリティの変動をる ト レ ン ド 識 別 法 が 考 案 さ れ，Schaller and捉 え る モ デ ル と し て は exponential GARCH

Norden［1997］，Maheu and McCurdy［2000］（EGARCH）モデルを採用し，Markov Switch-が代表的な研究として知られている。また，大ing モデルと組み合わせた Markov Switching

鋸・大屋［2009］，Shibata［2012］，三井［2014a］

EGARCH モデルを用いることにする。また，は日本の株式市場について，Isogai et al.［2008］

一般的に Markov Switching モデルによる資産は日本を含めた世界の株式市場についてトレン

価格の分析では，収益率の平均とボラティリ

ドの分析を行っている。

ティは同時にスイッチングを起こすと仮定する

ところで，資産価格のボラティリティは市場ことが多い。しかし，本論文ではそれぞれ独立の状況に応じて大きく変動しており，収益率のに変化するモデルや，片方のみが変化するモデ

分布は正規分布に比べて裾が厚いことが知られルを提案して，モデルの比較を行うことにすている。このような時系列データは，通常，る。

GARCH（generalized autoregressive condi-

第 2 の目的は，これらのモデルが日経225オ

tional heteroskedasticity） モ デ ル や 確 率 的 ボ

プション価格の評価においてどの程度有効であ

ラティリティ変動（stochastic volatility）モデるかを検証することである。ボラティリティのルなどで定式化されることが多い。また，収益

変 動 を 考 慮 し た ARCH 型 モ デ ル に よ る オ プ

率の分布は歪んでいて，左右非対称であるともション価格に関する実証的な研究で，代表的な言われている。この現象を捉えるには，例えも の と し て は，Engle and Mustafa［1992］，

ば，平均が異なる分布から構成される混合分布

Noh et al.［1994］，Saez［1997］，Sabbatini

による定式化が考えられ，里吉・三井［2013］

and Linton［1998］，Bauwens and Lubrano

では混合正規分布と混合 t 分布を用いて，日経［1998］，Duan and Zhang［2001］，Bauwens

平均株価の分析を行っている。このような分布

and Lubrano［2002］，Christoffersen andの歪みについては，Markov Switching モデル

Jacobs［2004］, Christoffersen et al.［2006］,

1）

によっても表現することができる 。

Badescu et al.［2008］, Alexander and Lazar

本論文の目的は大きく分けて 2 つあり，第 1［2009］がある。日経225オプションについての目的は，Markov Switching モデルによっては， 森 保［1999］， 三 井［2000］， 三 井・ 渡 部

資産価格のトレンドを捉えることは可能なのか［2003］，渡部［2003］，竹内［2006］，竹内（野どうか，また，そのためにはボラティリティの木 森 ）・ 渡 部［2008］，Satoyoshi and Mitsui60

証券経済研究第96号（2016.12）［2011］があり，Watanabe and Ubukata［2014］モデルで十分であり，ボラティリティのスイッ

においては，日次データだけでなく，高頻度

チングをモデルに含める必要は無いことが明らデータから得られた Realized Volatility を利用かになった。一方，コール・オプション価格に2）して分析を行っている 。また，里吉・三井関する分析では，Markov Switching モデルに［2013］では，収益率の分布の歪みを表現でき

比べて Markov Switching EGARCH モデルのるモデルとして混合正規分布と EGARCH モデ

パフォーマンスが全体として高く，スイッチン

ルを組み合わせた混合正規 EGARCH モデルを

グはボラティリティに関しては重要であるが，提案し，コール・オプションの評価において有ブル・ベア局面を識別するための平均のスイッ効であるとの結果を示している。

チングは特に必要ではないことが示された。

Markov Switching EGARCH モ デ ル を 用 い

本論文の以下の構成は次の通りである。Ⅱ．

たオプション価格の実証分析については，里では，Markov Switching モデルと投資家のリ吉・三井［2011］においても行われているが，

スク中立性について解説し，ボラティリティのいくつかの問題点がある。第 1 に，パラメータ

変 動 を EGARCH モ デ ル に 拡 張 し た Markovのスイッチングは平均とボラティリティの双方

Switching EGARCH モデルを提案する。Ⅲ．

に導入されてはいるが，平均のみをスイッチン

では，モンテカルロ・シミュレーションによるグさせた場合については分析を行っていないた

ヨーロピアン・オプションの評価法を説明す

め，スイッチングを導入したときの効果が十分る。実証分析の結果はⅣ．にまとめた。Ⅴ．はには明らかになっていない。第 2 に，オプショ

結論と今後の課題である。

ン価格の評価において投資家はリスク中立的と仮定しているのにもかかわらず，実際の無リス

Ⅱ．分析モデル

ク金利のデータを使用していないばかりでなく，ベア市場において無リスク金利がマイナスとなってしまい，非現実的である。第 3 に，

1．Markov Switching モデル

データ期間が2010年 1 月限月までであり，最近

原 資 産 の 収 益 率 を Rt と す る。 平 均 と ボ ラのオプション市場について検証し直す必要があ

ティリティが独立に変化する Markov Switch-る。里吉・三井［2011］では，コール・オプ

ing モデルは次のように表される。

シ ョ ン に つ い て は GARCH モ デ ル よ り も
EGARCH モデルのほうがパフォーマンスが優Rt＝μΔ1，t＋ σΔ2 2，t zt ，
zt ～i.i.d.，E［zt］＝0，V［zt］＝1，

⑴

れているという結果を示している。よって，本＋μ1Δ1，t ， μ0＜ μ1， ⑵μΔ1，t＝μ（1－Δ01，t）

論文では GARCH モデルについては割愛し，

2＋σ21Δ2，t ， σ20＜σ21. ⑶σΔ2 2，t＝σ（1－Δ
02，t）

EGARCH モデルをベースとしたモデルで分析

Δ1，t とΔ2，t は互いに独立なマルコフ連鎖に従を行うことにした。

う状態変数であり，それぞれ 0 ，または 1 の値

実証分析の結果，日経平均株価の価格トレンをとる。また，その推移確率はドを捉えるモデルとしては，平均のみがスイッ

Pr［Δ1，t＝j｜Δ1，t－ 1 ＝i］＝pij， i，j＝0，1，

⑷

チングを起こす Markov Switching EGARCHPr［Δ2，t＝l｜Δ2，t－1＝k］＝qkl， k，l＝0，1，

⑸61

日経平均株価のトレンドとオプション評価
1
j＝0

pij ＝

1

qkl ＝1⑹

l＝0ると仮定する。⑴式の誤差項 zt の分布について は， 日 経 平 均 株 価 の 収 益 率 の 裾 の 厚 さとする。ただし，⑷式の Pr［Δ1，t＝j｜Δ1，t－1＝i］（ファット・テイル）を多くの先行研究で指摘＝pij は，変数Δ1，t が状態 i から状態 j に推移すされていることを踏まえ，ここでは t 分布に従る 確 率， ⑸ 式 の Pr［Δ2，t＝l｜Δ2，t－1＝k］＝qkl

うことにする。

は，変数Δ2，t が状態 k から状態 l に推移する

zt ～i.i.d.t（0，1，ν）.

⑺

確率である。平均はΔ1，t の推移に従って変動

ただし，νは自由度であり，zt の分散は 1 にし，Δ1，t＝ 0 のときにμ0，Δ1，t＝1のときに μ1基準化されている4）。

になる。μ0＜μ1と制約を置いていることから，

リスク中立的な世界では投資家はリスク・プ

このモデルではΔ1，t＝ 0 のときにロー・リター

レミアムを要求しないため，無リスク資産の利

ン，Δ1，t＝1のときにハイ・リターンとなる。

子率と原資産の期待収益率は等しくなる。原資

同様に，ボラティリティはΔ2，t に依存して変産の期待収益率は⑴，⑵式より

20

動 し， Δ2，t＝0の と き に σ ， Δ2，t＝1の と き に
σ21となる。σ20＜σ21の制約から，Δ2，t＝0のときにロー・ボラティリティ，Δ2，t＝1のときに
ハイ・ボラティリティとなる。状態変数が １ つの場合は，平均とボラティリティは同時にス
イッチングすることになるが，状態変数を 2 つE［Rt］＝μ0π0＋μ1π1となる。ただし，π0，π1は定常確率であり，
1－p11，
2－p00－p11

⑻

1－p00

2－p00－p11⑼π0＝Pr［Δ1，t＝0］＝π1＝Pr［Δ1，t＝1］＝にすることによって，平均とボラティリティがである。したがって，t 時点の無リスク資産の別の時期にスイッチングを起こすことを可能に利子率を rt とすると，リスク中立性のもとでしている。また，平均がそれぞれμ0＜0，μ1＞

は0であるならば，ロー・リターンの状態をベア
局面，ハイ・リターンの状態をブル局面と呼ぶ
ことができる。
推移確率に関しては，各状態はある程度の期間にわたって持続すると仮定し，次の制約を置3）

くことにする 。
p00，p11，q00，q11＞0.9.
この制約を満たすように最尤推定を行うには，
例えば p00については
0.9＋exp（x）
p00＝
1＋exp（x）

rt＝μ0π0＋μ1π1⑽が成立する。この式を変形すると
r －μ0π0μ1，t＝ t
π1⑾となる。ただし，モデルの推定期間の rt の変動を反映して，μ1はμ1，t に置き換えている。
よって投資家のリスク中立性を満たすためには，平均を表す⑵式は
r −μ0π0μΔ1，t＝μ（1－Δ
＋ t
Δ1，t
0
1，
t）
π1

⑿

となる。また，μ0＜μ1，t の制約が常に満たされと置いて，x を推定すればよい。他の推移確率

る よ う に， 今 後 はμ0に つ い てμ0＜0と い う 制についても同様にして行う。

約を置くことにする5）。状態変数が 2 つ含まれまた，本論文では投資家はリスク中立的であ62

る Markov Switching モデルという意味で，こ証券経済研究のモデルを MS（2）モデルと呼ぶことにする。
以上のように本論文では，投資家はリスク中第96号（2016.12）となり，推移確率は
Pr［Δt＝j｜Δt−1＝i］＝pij， i，j＝0，1，

立的であると仮定し，原資産の無条件の期待収1

益率 E［Rt］は無リスク資産の利子率 rt に等し

j＝0⒀

pij＝1

⒁

いと置いて分析を進めることにする。ところ

で与えられる。このモデルでは，平均とボラで，里吉・三井（2007）のリスク中立性の仮定

ティリティが同時にスイッチングを起こすことにおいては，t－1時点までの情報 It－1が与えらになる6）。

れたもとでの期待収益率 E［Rt｜It－1］を用いて，

ボラティリティは一定の値をとり，平均のみ

E［Rt｜It－1］＝ rt としている。このケースでは，がスイッチングを起こすモデル（以下，MS（m）

⑽式は

モデル）は

rt＝μ0Pr［Δ1，t＝0｜It－1］＋μ1Pr［Δ1，t＝1｜It－1］，⑾式は
r －μ0Pr［Δ1，t＝0｜It－1］
μ1，t＝ tPr［Δ1，t＝1｜It－1］となる。つまり，μ1，t の値は⑾式のように定常

Rt＝μΔt＋σ2zt， zt ～i.i.d.t（0，1，ν），
r －μ0π0μΔt＝μ（1－Δ＋ t
Δt， μ0＜00t）π1となる。状態変数Δt の推移確率は⒀，⒁式と同じである。

確率ではなく，Pr［Δ1，t＝0｜It－1］と Pr［Δ1，t＝1｜

平均は無リスク資産の利子率と等しく，ボラ

It－1］に依存して決まることになる。これらの確ティリティのみがスイッチングするモデル（以率は状態変数のスイッチングに従って 0 から 1

下，MS（v）モデル）はの値をとることになるが，そのため⑾式のとき

Rt＝rt＋σΔ2 t zt ， zt ～i.i.d.t（0，1，ν），と比べるとμ1，t のとりうる値の範囲は非常に2＋σ12Δt， σ02＜σ12
σΔ2 t＝σ（1－Δ0t）

大きくなってしまう。しかし，投資家がμ1，tであり，状態変数Δt の推移確率は⒀，⒁式でについて各時点で大きく異なる値を想定してい与えられる。以上の 4 つのモデル，MS（2），るとは通常考えにくい。したがって，本論文にMS（1），MS（m），MS（v）モデルを総称して，おける投資家のリスク中立性の仮定では，無条

今後は MS モデルと呼ぶことにする。

件の期待収益率を用いて E［Rt］＝rt と置くことにする。

2．Markov Switching EGARCH モデル

本論文では MS
（2）モデルの有効性を検討す

ボラティリティの変動に EGARCH モデルをるため，状態変数が 1 つだけのモデルについて仮定し，収益率の平均と EGARCH モデルのパも推定を行い，オプションの評価を行うことにラメータが独立にスイッチングを起こすモデル

す る。 状 態 変 数 が 1 つ だ け の Markov（以下，MSEG（2）モデル）は次のように表されSwitching モデル（以下，MS（1）モデル）はる。

2Δt

Rt＝μΔt＋σ zt ， zt ～ i.i.d.t（0，1，ν），［Rt｜Δ2，t＝l］zt，
Rt＝μΔ1，t＋ Vt−1

r －μ0π0μΔt＝μ（1－Δ＋ t
Δt， μ0＜0，
0
t）
π1

⒂
zt ～i.i.d.t（0，1，ν），
rt－μ0π0＋Δ1，t， μ0＜0，⒃μΔ1，t＝μ（1−Δ
0
1，
t）
π1
［Rt｜Δ2，t＝l］
lnVt−12
σΔ2 t ＝σ（1－Δ＋σ12Δt0t）63

日経平均株価のトレンドとオプション評価＝ωl＋βllnVt−2［Rt−1｜Δ2，t−1＝l］＋θzt−1＋γ［｜zt−1｜−E（｜zt−1｜）］，
zt−1＝

Rt−1−rt−1［Rt−1｜Δ2，t−1＝l］
Vt−2

.

⒄
⒅

ただし，l＝0，1である。⒂式の Vt－1
［Rt｜Δ2，t＝zt−1＝

ω0＜ω1と制約を置き，βl の大小関係はωl に，

l＝1のとき［Rt｜Δ2，t＝1］
lnVt−1［Rt−1｜Δ2，t−1＝1］＝ω1＋β1lnVt−2l］は，t－1期までの情報とΔ2，t＝l を条件とした Rt の条件付き分散である。⒄式のωl には

Rt−rt
Vt−2
［Rt−1｜Δ2，t−1＝0］（｜zt−1｜）］，＋θzt−1＋γ［｜zt−1｜−E
zt−1＝

Rt−rt
Vt−2
［Rt−1｜Δ2，t−1＝1］

7）

従 っ て 決 ま る と す る 。 状 態 変 数Δ1，t とΔ2，tとなる。このように，このモデルのボラティリの推移確率は，⑷－⑹式と同じである。また，

ティの式では，t 時点と t－1時点の状態変数の前節で述べたように投資家はリスク中立的であとる値は同じになっている。つまり，t 時点でると仮定しているので，平均は MS（2）モデル

スイッチングが起きたとすると，実際には t－のケースと同様に⒃式になる。zt は標準化され1時点の状態と t 時点の状態は異なるのだが，tた予測誤差であり，⒅式の右辺の分子は本来 Rt−1

時点と同じ状態の t－1時点のボラティリティ－Et－2［Rt−1］であるが，リスク中立性よりRt−1－

を考え，それに依存して t 時点のボラティリ（｜zt−1｜）は，2 ν−2Γ
rt－1としている。⒄式の Eティが決定されるとしている。その結果，無数（（ν＋1）/2）/［（ν−1）Γ（ν／2）π］となる。

の状態変数の組み合わせを考える必要がなくな

ところで，GARCH モデルや EGARCH モデ
ルにマルコフ連鎖に従う状態変数を直接導入す
ると，最尤法でモデルのパラメータを推定することができないことが知られている。なぜなり，最尤法による推定が可能になる。詳しい推定法は，補論で解説する。
状態変数が 1 つのモデル（以下，MSEG
（1）
モデル）は

ら，t 時点のボラティリティは t 時点までの全［Rt｜Δt＝j］zt，
Rt＝μΔt＋ Vt−1ての状態変数に依存することになり，状態変数の組み合わせを考えなければならず，そのた

zt ～i.i.d.t（0，1，ν），
r －μ0π0Δt）＋ tΔt， μ0＜0，μΔt＝μ（1−0π1［Rt｜Δt＝j］
lnVt−1

め，コンピューターで計算する際のプログラミ［Rt−1｜Δt−1＝j］＝ωj＋βjlnVt−2tが 2 つの値をとるケースでは2 通りの状態変数（｜zt−1｜）］，
＋θzt−1＋γ［｜zt−1｜−E

ングが非常に複雑になってしまうからである。
そこで本論文では，モデルの最尤推定を可能にす る た め に，Haas et al.（2004） の Markov

zt−1＝

Rt － 1 −rt － 1
Vt−2［Rt−1｜Δt−1＝j］



⒆
⒇




Switching GARCH モデルのアイデアを採用すとなる。ただし，j＝0，1である。このモデルでることにした。⒄，⒅式は，l＝0のときは，平均と EGARCH モデルのパラメータが同［Rt｜Δ2，t＝0］
lnVt−1［Rt−1｜Δ2，t−1＝0］＝ω0＋β0lnVt−2＋θzt−1＋γ［｜zt−1｜−E（｜zt−1｜）］，時にスイッチングを起こすことになる 8 ）。
平均のみがスイッチングを起こすモデル（以下，MSEG（m）モデル）は［Rt］zt，zt ～i.i.d.t（0，1，ν），
Rt＝μΔt＋ Vt−1

64

証券経済研究r －μ0π0μΔt＝μ（1−Δ＋ t
Δt， μ0＜0，0t）π1

第96号（2016.12）

Ⅲ．オプション価格の導出方法

lnVt−1［Rt］＝ω＋βlnVt−2［Rt−1］＋θzt−1＋γ［｜zt−1｜−E（｜zt−1｜）］，zt−1＝Rt－1−rt－1
Vt−2［Rt−1］

1．リスク中立性の下でのオプション価格
投資家がリスク中立的な場合，ヨーロピアとなる。このモデルでは，ボラティリティの部

ン・オプションの価格は，満期におけるオプ

分は通常の EGARCH モデルになる。

ション価格の期待値を無リスク資産の利子率 r

平 均 は 無 リ ス ク 資 産 の 利 子 率 と 等 し く，

で割り引いた割引現在価値となる。T を評価

EGARCH モデルのパラメータのみがスイッチ

日，T＋τを満期日，CT を権利行使価格 K のングするモデル（以下，MSEG（v）モデル）はコール・オプションの T 時点の価格とすると，［Rt｜Δt＝j］zt，
Rt＝rt＋ Vt−1
zt ～ i.i.d.t（0，1，ν），［Rt｜Δt＝j］
lnVt−1［Rt−1｜Δt−1＝j］＝ωj＋βjlnVt−2＋θzt−1＋γ［｜zt−1｜−E（｜zt−1｜）］，
zt−1＝

CT は
－τ
E［max（ST＋τ－K，0）］
CT＝（1＋r）

と表される9）。ここで，ST＋τはオプションの満期の原資産価格である。MS モデル，MSEG モ
デルの場合，右辺の期待値を解析的に求めるこ

Rt － 1 −rt － 1とができないので，モンテカルロ・シミュレー

Vt−2［Rt−1｜Δt−1＝j］

ションによって評価する。シミュレーションをとなる。ただし，j＝0，1である。以上の MSEG

n 回行い，n 個の満期の原資産価格 ST＋τが得ら（１），MSEG（m），MSEG（v）モデルの状態変数（1）（2）
れ たとし て ，これらを（ S T＋τ，S T＋τ，…，S T＋τ）

Δt の 推 移 確 率 は， ⒀， ⒁ 式 で 与 え ら れ る。

とする。ただし， S（i）
T＋τは i 回目のパスの発生

MSEG（2）モデルも含めて，今後はこれらのモによって得られた満期の原資産価格である。nデルを総称して MSEG モデルと呼ぶことにすが十分に大きいとき，大数の法則より式は以る。

下の式によって評価することができる。

最 後 に， ス イ ッ チ ン グ を 含 ま な い 通 常 の
EGARCH モデルは
［Rt］zt ，
Rt＝rt＋ Vt−1
zt ～ i.i.d.t（0，1，ν），［Rt］＝ω＋βlnVt−2［Rt−1］＋θzt−1
lnVt−1＋γ［｜zt−1｜−E（｜zt−1｜）］，
zt−1＝

（n）

－τ
CT≈（1＋r）

n1（i）max（ S T＋τ−K，0）.
n i＝ 1

2．モンテカルロ・シミュレーションの手順
モンテカルロ・シミュレーションによるオプ

Rt－1−rt－1

ション価格の計算手順は以下の通りである。こVt−2［Rt−1］

こでは MSEG（2）モデルについて説明する。

である。

（2）
［ 1 ］標本｛R1，R2，…，RT｝を使って，MSEG
モデルの未知パラメータを最尤推定する。
［ 2 ］互いに独立な標準正規分布から正規乱数

65

日経平均株価のトレンドとオプション評価

る CT の分散を小さくするため，Satoyoshi and

n

z（i）
z（i）
…，z（i）
T＋τ i＝1
T＋2，
T＋1 ，を生成する。

Mitsui（2011），里吉・三井（2013）と同様に，［ 3 ］互いに独立な標準一様分布から， 2 系列

代表的な分散減少法である負相関法と制御変量の一様乱数法を併せて用いた10）。
n

u（i）
u（i）
…，u（i）
1，T＋1 ，
1，T＋2 ，
1，
T＋τ i＝1 ，n

Ⅳ．実証結果u（i）…，u（i）u（i）
2，T＋1 ，
2，T＋2 ，
2，
T＋τ i＝1を生成する。
［ 4 ］手順［ 1 ］で推定された推移確率と手順［ 3 ］ の 一 様 乱 数 を 使 っ て，T＋1か ら T＋τ

本論文では，ヨーロピアン・オプションであまでの状態変数n（i）
1，
T＋τ i＝1n（i）
2，T＋τ i＝1

（i）
1，T＋1

（i）
1，T＋2

，…，Δ

（i）
2，T＋1

（i）
2，T＋2

，…，Δ

Δ

，Δ
，Δ

Δ

1．データ

る日経225オプションのコールについて実証分，析を行った。期間は2010年 1 月限から2014年10を求める。Δ1，t は，投資家のリスク中立性の仮月限までの58限月であり，満期から20日前（τ

定より，⑻，⑼式の定常確率π0，π1を使って＝20）の終値を分析対象としている。コールの生成する。一方Δ2，t は，推移確率 q00，q11から

標本サイズは1120となった11）。原資産は日経平求める。ただし，T 時点のΔ2，T は未知である

均株価であり，また，無リスク資産としては無ことから，T＋1時点のΔ2，T＋1は下記の確率か

担保コール翌日物を用いることにした12）。

ら求めることにする。

MS モデルなどのパラメータの推定には，満Pr［Δ2，T＋1＝l｜IT］

期の20日前から更に3,500日前までの日経平均

1

＝

k＝0

Pr［Δ2，T＋1＝l｜Δ2，T＝k］Pr［Δ2，T＝k｜IT］.

株価の終値を使用した13）。例えば，最初の限月である2010年 1 月限の場合，オプションの評価［ 5 ］ 手 順［ 2 ］，［ 4 ］ の 値 を MSEG（2）モ デ

日 は 満 期 か ら20日 前 の2009年12月 8 日， そ のルに代入して，T＋1時点から T＋τ時点まで

3,500日前は1995年 9 月12日になる。日次収益の収益率率を計算すると，標本期間は1995年 9 月13日かnら2009年12月 8 日までとなり（標本の大きさは

R（i）
R（i）
…，R（i）
T＋τ i＝1
T＋2 ，T＋1，を計算する。

T＝3,500），この期間の日次収益率を用いてモ［ 6 ］次の式を使ってオプションの満期 T＋τ時点（1）
T＋τ

における原資産価格（ S

（2）
T＋τ

，S

，…，S

）を

（n）
T＋τ

求める。

デルのパラメータの推定を行うことになる。その推定されたパラメータを所与として，Ⅲ．で説明したモンテカルロ・シミュレーションの手τ∏（1＋R ）， i＝1，2，…，n. 

順に従いオプション価格を求める。次の限月以［ 7 ］式より，コール・オプションの価格 CT

メータ推定，オプション価格の計算を行う。最を計算する。

後の限月は2014年10月限，その20日前は2014年

S（i）
T＋τ＝ST

s＝1

（i）
T＋s

降も同様に，推定期間の設定，モデルのパラ

本論文ではモンテカルロ・シミュレーション

9 月10日となるので，本論文で用いた日経平均の回数を n＝200,000とした。また，計算され株価の日次収益率の全標本期間は，1995年 9 月

66

証券経済研究13日から2014年 9 月10日までとなった。

第96号（2016.12）

3 に示した。2008年のリーマン・ショックでは

図表 1 には全標本期間における日経平均株価

株価は大暴落し，ボラティリティが非常に高くの日次収益率（％）の基本統計量を示した。平なっていることがわかる。また，2012年の年末

均は0.008とプラスの値を示しているが有意でからの急激な上昇トレンドは，いわゆるアベノ

はない。歪度の値は－0.152と統計的に有意なミクス効果によるものと推察される。

負の値を示しており，日次収益率は左に歪んだ

2．Markov Switching モデルの推定結果

分布に従っていると考えられる。また，尖度の値は8.505で正規分布の 3 を大幅に上回ってい図表 4 には MS モデルの推定結果を示した。

ることから，正規分布よりも裾の厚い分布に

まず，収益率の平均とボラティリティが独立し従っていることが分かる。日経平均株価の終値てスイッチングを起こす MS（2）モデルを見てと日次収益率の推移は，それぞれ図表 2 ，図表

み る と， 平 均 の 推 移 確 率 p00，p11は そ れ ぞ れ

図表 1

0.998，0.999と非常に高い値になっている。一

日経平均株価の日次収益率（％）の
基本統計量

標本サイズ
4669

方，ボラティリティの推移確率 q00，q11はそれ

平均
標準偏差
歪度
尖度
0.008
1.533
−0.1528.505（0.022）（0.036）（0.072）（注） データは1995年９月13日から2014年９月10日まで。括弧内の数値は標準誤差を表す。標本サイズを N，標準偏差をσ̂とすると，平均，歪度，尖度の標準誤差はそれぞれ，σ̂/ N，6/N，24/N である。

図表 2

ぞれ0.991，0.975であり，こちらも 1 に近い値を示しているが，平均の推移確率よりも若干低い。μ0＜0という制約から，Δ1，t＝0はベア局面になる。μ0の値は－0.143であり，有意ではな
いが負の値となっている。このモデルには期待

日経平均株価の終値

20000
15000
10000

2000

2005
図表 3

2010

日経平均株価の日次収益率（％）

10

0

−10
2000

2005

2010

67

日経平均株価のトレンドとオプション評価

収益率と無リスク資産の利子率が等しいという率は MS（2）モデルの p00，p11とほぼ同じ値であ制約があり，通常，利子率は負の値にはならな

るが，μ0は MS（2）モデルよりも若干 0 に近い。

い。したがって，もう一方の平均μ1，t は正の

このμ0の違いは，図表 7 のブル局面の確率の値をとり，Δ1，t＝1はブル局面となる。また，推移にも表れている。MS（2）モデルではほとん

2
0

2
1

ボラティリティを表すσ とσ は，それぞれどの期間においてブル局面であったが，このモの状態で値が大きく異なっている。図表 5 には

デルでは2003年から2006年にかけてと2013年あMS（ 2 ）モデルの平滑化確率を示した。ブル局

たりだけがブル局面となっている。

面（Δ1，t＝1）の確率を表す太線を見てみると，

ボラティリティのみがスイッチングする MS（v）

ほとんどの期間においてブルの確率が高くなっモデルでは，推移確率の値は MS（2）モデルのている。実際の日経平均株価はこのデータ期間

q00，q11と 同 じ に な っ て い る（ 図 表 4 の 5 列において上昇トレンドと下降トレンドを何度も目）。ボラティリティの値もほぼ同じで，ハ繰り返しているが，ベア局面は2000年と2001年

イ・ボラティリティの確率も同じように推移しあたりのみが捉えられている。細線はハイ・ボている（図表 8 ）。

ラティリティ（Δ2，t＝1）の確率であり，平均

こ れ ら の MS モ デ ル の 対 数 尤 度，AIC，と比べると頻繁にスイッチングを起こしていSBIC は図表 4 の下 3 行に示した。対数尤度がて，スイッチングの時期は異なっていることが最も高いのは平均とボラティリティが同時にス分かる。

イ ッ チ ン グ を 起 こ す MS（1）モ デ ル で あ り，

平均とボラティリティが同時にスイッチング

AIC の基準においてもこのモデルが最も当てを起こす MS（1）モデルの推定結果は，図表 4

はまりが良いという結果となった。SBIC の基の 3 列目に示した。推移確率 p00，p11の推定値

準ではボラティリティのみがスイッチングするはそれぞれ0.975，0.991であり，これは MS（2）MS（v）モデルが選択された。いずれにせよ，

モデルにおけるボラティリティの推移確率

平均のスイッチングはモデルの当てはまり具合

20

q11，q00と全く同じ値になっている。また，σ21とσ についても，MS（2）モデルと大小関係が入れ替わっているだけでほとんど同じ値である。そして，図表 6 に示したロー・ボラティリを高めることにはならないと考えられる。

3．Markov Switching EGARCH モデルの推定結果

ティ（Δt＝1）の平滑化確率は， 1 から MS（2）MSEG モデルと EGARCH モデルの推定結果

モデルのハイ・ボラティリティの確率を引いたは図表 9 に示した。平均と EGARCH モデルのものになっている。したがって，MS（1）モデル

パラメータが独立してスイッチングを起こすのスイッチングはボラティリティの変動のみに

MSEG（2）モデルの結果は 2 列目である。平均よって引き起こされていて，平均とボラティリの推移確率 p00，p11の値はそれぞれ0.996，0.999

ティが同時にスイッチングを起こしているわけであり，MS（2）モデルの値とほとんど同じとではないことが分かる。

なっている。また，平均μ0の値もさほど変わ図表 4 の 4 列目は，平均のみがスイッチング

らない。ところが，図表10の平滑化確率を見てを起こす MS（m）モデルの結果である。推移確

みると，リーマン・ショックの前後など，いく68

証券経済研究
図表 4
p00
p11
q00
q11
μ0
σ20
σ21
ν
log-lik.
AIC
SBIC

MS（2）
0.998
（0.002）0.999（0.001）
0.991（0.002）0.975（0.006）－0.143（0.091）
1.332（0.059）5.037（0.426）9.901（1.475）－8159.94
16335.88
16387.47

第96号（2016.12）

MS モデルの推定結果
MS（1）
0.975
（0.006）0.991（0.002）－－－－－0.115（0.047）4.949（0.457）1.321（0.063）9.972（1.521）－8158.16
16328.31
16367.01

MS（m）
0.999
（0.000）0.998（0.001）－－－－－0.047（0.012）2.344（0.092）－－4.533（0.304）－8337.44
16684.89
16717.13

MS（v）
0.992
（0.002）0.975（0.006）
－
－
－
－
−
－
1.339
（0.058）5.064（0.415）10.155（1.533）－8161.59
16333.19
16365.43（注） 括弧内の数値は標準誤差を表す。

図表 5MS（2）モデルの平滑化確率

1.0

0.5

2000

2005

2010

（注） 太線はブル局面（Δ1，t＝1）の確率，細線はハイ・ボラティリティ（Δ2，t＝1）の確率を示す。

図表 6

1.0

MS（1）モデルの平滑化確率（Δt＝1）

0.5

2000

2005

2010

69

日経平均株価のトレンドとオプション評価
図表 7

MS（m）モデルの平滑化確率（Δt＝1）

1.0

0.5

2000

2005
図表 8

1.0

2010

MS（v）モデルの平滑化確率（Δt＝1）

0.5

2000

2005

2010

つかの下降トレンドの時期においてブル局面のメータθの値は－0.124で有意であり，多くの確率は低くなっており，MS（2）モデルよりもブ

先行研究と同じ結果になっている。

ル・ベア局面の識別が大幅に向上していること

図表 9 の 3 列目は，平均と EGARCH モデルが分かる。このことは，Markov Switching モのパラメータが同時にスイッチングを起こす

デルによって資産価格のブル・ベア局面を捉えMSEG（1）モデルの結果である。μ0は－0.043でるには，ボラティリティをどのように定式化すあり，MSEG（2）モデルのときよりも 0 に近いるかが重要であることを示唆している。一方，値になっている。EGARCH 部分のパラメータ

EGARCH 部 分 の 推 移 確 率 q00，q11は そ れ ぞ れについては，ハイ・ボラティリティを表すω1

0.991，0.984であり，MS（2）モデルと同様に平の値が MSEG（2）モデルよりも低くなっている

均の推移確率よりも若干低くなっている（平滑以外は，ほぼ同じ値である。図表11を確認する

化確率は図表10の細線）。ボラティリティに対と，MSEG（2）モデルでのハイ・ボラティリティするショックの持続性は，それぞれの状態におの確率と比べると多少滑らかではあるが，ほといてβ̂0＝0.987，β̂1＝0.828であり，ω̂0＜ω̂1であんど同じ変動を示している。したがって，平均ることから，ロー・ボラティリティの時期よりとボラティリティは同時ではなくそれぞれ別々もハイ・ボラティリティの時期のほうがボラのタイミングでスイッチングしていると考えらティリティに対するショックの持続性が低いこ

れ，このことは MS モデルにおける結果と同様とが分かる。また，レバレッジ効果を示すパラ

である。

70

証券経済研究

平均のみがスイッチングする MSEG（m）モデ
ルの推移確率の推定値は，MSEG（2）モデルの第96号（2016.12）

4．オプション価格の推定値の比較

結果とほとんど同じであり，平均のμ0の推定

MS モ デ ル，MSEG モ デ ル，EGARCH モ デ

値も非常に近い（図表 9 の 4 列目）。また，図ルと BS モデル15）によるオプション価格の評価

表12の平滑化確率の変動は，MSEG（2）モデル

値と，実際の市場価格を用いて，以下のようにでのブル局面を示すグラフと同じに見える。

平均誤差率（mean error rate; MER）と平均

よって，ブル・ベア局面を捉えることのみを目

2 乗誤差率の平方根（root mean square error

的とした場合には，EGARCH 部分のパラメー

rate; RMSER）を計算し，各モデルの比較を行

タの変化は考える必要はなく，マルコフ過程にう。

従うスイッチングは平均だけで十分であると考えられる。
平均は定数（無リスク資産の利子率）で，ボ
ラティリティのみ がスイッチングする MSEG（v）

MER＝N⎛Ĉi推定値－Ci市場価格 ⎞1⎜，⎜――――――――――――
N i＝1 ⎝
Ci市場価格⎠RMSER＝

N⎛Ĉi推定値－Ci市場価格 ⎞21⎜.
⎜――――――――――――
N i＝1 ⎝
Ci市場価格⎠モデルの結果を見ると，MSEG（2）モデルの推ここで，Ĉi推定値はモンテカルロ・シミュレーショ

定結果とかなり近いことが分かる。ハイ・ボランによるコール・オプションの推定値，あるいテ ィ リ テ ィ の 確 率 の 推 移 は 図 表13で あ り，は，BS モ デ ル の 理 論 価 格 を 表 し，Ci市 場 価 格 はMSEG（2）モデルにおけるハイ・ボラティリティ

コール・オプションの市場価格を表す。N は標の確率と全く同じになっている。

本サイズである。MER の値を計算することに

EGARCH モデルの推定結果は最後の列に示

より，モデルの推定値が市場価格と比べてどのした。ボラティリティに対するショックの持続程度バイアスを持っているかが明らかになる。

（2）モ
性 を 表 すβ0の 値 は0.974で あ り，MSEG

もう 1 つの RMSER は，推定値と市場価格のデルと比較すると，β1よりβ0の値に近い。こ

乖離度を示す基準である。

のことから，スイッチングを含まない通常の

また，これらの MER と RMSER の計算は，

EGARCH モデルは，ハイ・ボラティリティの各オプションを 7 種類のマネネス（moneyness）

時期におけるショックの持続性を捉えるには適に分類し，マネネスごとでも行うことにする

切ではないと考えられる。

（図表14を参照）。マネネスはそれぞれ，S/K

対数尤度の値を比較すると，最も高いのは＜0.85な ら ば very-deep-out-of-the-money

MSEG（1）モデルであり，次は MSEG（2）モデ（VDOTM）のオプション，0.85

ルとなっている。AIC の基準では MSEG
（1）モら ば deep-out-of-the-money（DOTM）の オ プ

デル，SBIC の基準では EGARCH モデルが選シ ョ ン，0.91

択された。したがって，MS モデルのケースとmoney（OTM）の オ プ シ ョ ン，0.97

同じようにボラティリティの変動を EGARCH

1.03ならば at-the-money（ATM）のオプション，としたこれらのモデルにおいても，平均のス

1.03＜S/K

イッチングはモデルの当てはまり具合を高める

オ プ シ ョ ン，1.09＜S/K

ことにはならないと考えられる

14）。

S/K＜0.91な

S/K＜0.97な ら ば out-of-theS/K

1.09ならば in-the-money（ITM）の1.15な ら ば deep-in-the-money（DITM）の オ プ シ ョ ン，S/K＞

71

日経平均株価のトレンドとオプション評価
図表 9
p00
p11
q00
q11
μ0
ω0
ω1
β0
β1
θ
γ
ν
log-lik.
AIC
SBIC

MSEG（2）0.996（0.003）0.999（0.001）
0.991（0.004）0.984（0.012）－0.131（0.066）0.002（0.003）0.124（0.070）0.987（0.004）0.828（0.085）－0.124（0.014）0.109（0.018）13.998（2.746）－7992.02
16008.05
16085.43

MSEG モデル，EGARCH モデルの推定結果
MSEG（1）
0.996（0.002）0.993（0.005）－－－－－0.043（0.018）0.002（0.003）0.077（0.024）0.987（0.004）0.882（0.035）－0.121（0.012）0.118（0.017）13.071（2.200）－7990.96
16001.91
16066.40

MSEG（m）
0.996（0.003）0.998（0.002）－－－－－0.129（0.071）
0.016（0.003）－－0.974（0.004）－－－0.089（0.010）0.161（0.015）
11.696（1.746）－8007.04
16030.08
16081.67

MSEG（v）
0.991（0.004）0.985（0.011）
－
－
－
－
－
－
0.002
（0.003）0.119（0.065）0.987（0.004）0.833（0.081）－0.124（0.014）0.108（0.018）14.341（2.841）－7993.86
16005.71
16063.75（注） 括弧内の数値は標準誤差を表す。

図表10MSEG（2）モデルの平滑化確率

1.0

0.5

2000

2005

2010

（注） 太線はブル局面（Δ1，t＝1）の確率，細線はハイ・ボラティリティ（Δ2，t＝1）の確率を示す。

72

EGARCH
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
0.017
（0.003）－－0.974（0.004）－－－0.088（0.010）0.161（0.015）11.985（1.816）－8009.58
16029.15
16061.40

証券経済研究
図表11

第96号（2016.12）

MSEG（1）モデルの平滑化確率（Δt＝1）

1.0

0.5

2000

2005
図表12

1.0

2010

MSEG（m）モデルの平滑化確率（Δt＝1）

0.5

2000

2005
図表13

1.0

2010

MSEG（v）モデルの平滑化確率（Δt＝1）

0.5

2000

2005

2010

1.15な ら ば very-deep-in-the-money（VDITM）

あり，全てのモデルの中でオプション価格の推のオプションである。

定値の上方または下方バイアスが最も小さいこ

MER，RMSER の 計 算 結 果 は， 図 表15に まと が 分 か る。Total で 次 に 小 さ い の はとめた。 2 列目から 8 列目まではマネネス別，

EGARCH モデルであるが，MSEG（m）モデル

一番右の列は全体の結果である。図表の 2 行目の結果とほとんど変わらない。MSEG（2）モデには各マネネスと Total での標本サイズを示し

ル，MSEG（1）モデルと MSEG（v）モデルの値た。まず，上段の MER の値から見てみると，

は－0.25前後でほとんど同じである。また，

Total で は MSEG（m）モ デ ル の 値 が －0.111でBS モデルの値は0.445と上方バイアスがかなり

73

日経平均株価のトレンドとオプション評価
図表14

マネネスによるコール・オプションの分類

S/K＜0.85

very-deep-out-of-the-money（VDOTM）

0.85

S/K＜0.91

deep-out-of-the-money（DOTM）

0.91

S/K＜0.97

out-of-the-money（OTM）

0.97

S/K

1.03

at-the-money（ATM）

1.03＜S/K

1.09

in-the-money（ITM）

1.09＜S/K

1.15

deep-in-the-money（DITM）

1.15＜S/K

very-deep-in-the-money（VDITM）（注） S は原資産価格 , K は権利行使価格を表す。

大きく， 4 つの MS モデルについては明らかなベア局面を捉えるモデルとして適していること

過大評価が生じている。このことから，少なくが明らかになった。しかしながら，オプション

ともボラティリティの変動の定式化はの評価においては，MSEG（2）モデルと MSEG

EGARCH モデルにしたほうが良いことが分か（m）モデルのパフォーマンスが特に良いというる。ここで， 4 つの MSEG モデルと EGARCH

結果にはなっていない。よって，ブル・ベア局

モデルについてマネネスの結果も含めて比較す

面を識別できるモデルを用いることでオプショ

る と，MSEG（2）モ デ ル と MSEG（v）モ デ ル のン価格の評価が向上する可能性は低いと推察さ

値は，Total だけでなく全てのマネネスにおいれる。ただし，MSEG（v）モデルの RMSER のて非常に近い値になっていることが分かる。

値は Total と DOTM，そして OTM で最小でMSEG（m）モデルについては，EGARCH モデ

あ り，DOTM と OTM で は EGARCH モ デ ル

ルの結果にかなり似ている。また，MSEG（1）を大きく上回るパフォーマンスを示している。

モデルは MSEG（m）モデルや EGARCH モデル

したがって，ボラティリティのみがスイッチン

よ り も，MSEG（2）モ デ ル と MSEG（v）モ デ ル

グを起こす Markov Switching EGARCH モデの結果に近い。

ルを用いたオプション評価法は，コール・オプ

図表の下段は RMSER の計算結果である。

ションに対して有効である可能性がある。以上

Total で 最 も 小 さ い の は MSEG（v）モ デ ル のの MERとRMSER の結果から，Markov Switch-

0.492であり，次は MSEG（2）モデルと EGARCH

ing モデルや BS モデルよりも Markov Switch-

モデルの0.495であるが，他の MSEG モデルも

ing EGARCH モ デ ル の 方 が 全 体 と し て パ

含めてその差は小さい。また，この基準でもフォーマンスが高く，ボラティリティのスイッ

MS モデルと BS モデルの誤差は非常に大きくチングは重要であるが，平均のスイッチングはなっている。マネネスの結果も含めて 4 つの特に必要ではないことが示された。

MSEG モデルと EGARCH モデルを比べると，

図表16は，オプションの市場価格が 1 円でこの基準においても MSEG
（2）モデルと MSEG

あったものを取り除いて計算した結果である。

（v）モ デ ル，MSEG（m）モ デ ル と EGARCH モ

同一限月内で権利行使価格が異なるオプション

デル，そして MSEG（1）モデルの 3 パターンにであっても，日経225オプションの最低価格が分類できる。前節の MSEG モデルの分析では，1 円であることから，複数の OTM のオプショ

MSEG（2）モデルと MSEG（m）モデルはブル・ンで実際の市場価格が 1 円になることがある。

74

証券経済研究第96号（2016.12）

本論文のようにオプション価格を理論モデルに

MSEG（1）モデル，Total の MSEG
（2）モデルのよって評価する場合，コールでは権利行使価格

値が EGARCH モデルよりも小さくなっていが高くなるほど評価値は低くなる。したがっる。また，Total における MSEG（2）モデルのて，このように複数のオプションにおいて 1 円

0.412，MSEG（v）モデルの0.408という値は，に値付けされるような OTM のオプションでEGARCH モ デ ル の0.437よ り も 明 ら か に パ

は，市場価格と推定値の乖離度は必然的に高くフォーマンスが高く，その点も図表15の結果となってしまう。 1 円のオプションを除外した結異なっている。しかしながら，MER と RMSER

果，その影響は VDOTM と DOTM のオプショの両基準の結果から総合的に判断すると，これンのみに表れ，標本サイズはそれぞれ47,207とらのモデルが MSEG（2）モデルと MSEG（v）モ

大幅に減少した。MSEG モデルと EGARCH モ

デル，MSEG（m）モデルと EGARCH モデル，

デ ル の 結 果 を 比 べ る と，MER の 基 準 で はそして MSEG（1）モデルの 3 パターンに分類さMSEG（m）モデルが VDOTM と DOTM，そしれる点は， 1 円のオプションを含めたケースとて Total において EGARCH モデルより優れて同じである。

いるが，これは図表15の結果と同じである。一

最後に，モデルによるパフォーマンスの違い

方，RMSER の基準では， 1 円のオプションをがなぜ生じたのかを調べるために，MSEG モ

含 め た ケ ー ス と 比 べ る と 新 た に DOTM の

デルと EGARCH モデルについて各限月ごとに

図表15
標本サイズ（N）
MER
MS（2）
MS（1）
MS（m）
MS（v）
MSEG（2）
MSEG（1）
MSEG（m）
MSEG（v）
EGARCH
BS
RMSER
MS（2）
MS（1）
MS（m）
MS（v）
MSEG（2）
MSEG（1）
MSEG（m）
MSEG（v）
EGARCHBS

コール・オプションの推定値の比較

VDOTM
141

DOTM
248

OTM
229

ATM
202

ITM
141

DITM
81

VDITM
78

Total
1120

1.342
－0.2170.270
1.352－0.882－0.909－0.610－0.882－0.616
2.451

2.048
2.622
3.228
1.991
－0.491－0.603－0.209－0.498－0.212
0.585

0.895
1.596
1.704
0.883
－0.110－0.1470.023－0.116
0.016
0.066

0.136
0.266
0.276
0.134
－0.020－0.0080.024－0.0210.021－0.029

0.021
0.044
0.047
0.021
0.005
0.007
0.015
0.005
0.014
－0.012

0.005
0.004
0.006
0.005
0.004
0.004
0.007
0.004
0.007
－0.000

0.005
0.004
0.004
0.005
0.005
0.005
0.005
0.005
0.005
0.003

0.833
0.933
1.154
0.819
－0.245－0.278－0.111－0.248－0.115
0.445

2.727
0.775
1.064
2.715
0.898
0.922
0.777
0.899
0.774
15.152

2.836
4.378
5.116
2.764
0.650
0.724
0.717
0.649
0.714
6.389

1.517
2.835
2.993
1.504
0.458
0.449
0.496
0.446
0.496
1.343

0.285
0.483
0.494
0.284
0.178
0.170
0.168
0.177
0.168
0.346

0.096
0.127
0.129
0.096
0.082
0.084
0.080
0.082
0.080
0.091

0.052
0.053
0.054
0.052
0.052
0.051
0.051
0.052
0.051
0.055

0.035
0.036
0.036
0.035
0.035
0.035
0.035
0.035
0.035
0.036

1.790
2.451
2.796
1.760
0.495
0.520
0.497
0.492
0.495
6.191

75

日経平均株価のトレンドとオプション評価
図表16
標本サイズ（N）
MER
MS（2）
MS（1）
MS（m）
MS（v）
MSEG（2）
MSEG（1）
MSEG（m）
MSEG（v）
EGARCH
BS
RMSER
MS（2）
MS（1）
MS（m）
MS（v）
MSEG（2）
MSEG（1）
MSEG（m）
MSEG（v）
EGARCHBS

コール・オプションの推定値の比較（ 1 円を除く）

VDOTM
47

DOTM
207

OTM
229

ATM
202

ITM
141

DITM
81

VDITM
78

Total
985

1.326
－0.449－0.1581.386－0.757－0.821－0.389－0.762－0.398
1.036

1.739
1.960
2.368
1.695
－0.467－0.564－0.158－0.473－0.164
0.816

0.895
1.596
1.704
0.883
－0.110－0.1470.023－0.116
0.016
0.066

0.136
0.266
0.276
0.134
－0.020－0.0080.024－0.0210.021－0.029

0.021
0.044
0.047
0.021
0.005
0.007
0.015
0.005
0.014
－0.012

0.005
0.004
0.006
0.005
0.004
0.004
0.007
0.004
0.007
－0.000

0.005
0.004
0.004
0.005
0.005
0.005
0.005
0.005
0.005
0.003

0.668
0.823
0.951
0.659
－0.163－0.192－0.038－0.165－0.042
0.229

2.507
0.639
0.642
2.575
0.788
0.847
0.685
0.793
0.680
2.340

2.456
3.496
3.949
2.404
0.629
0.699
0.707
0.628
0.705
6.980

1.517
2.835
2.993
1.504
0.458
0.449
0.496
0.446
0.496
1.343

0.285
0.483
0.494
0.284
0.178
0.170
0.168
0.177
0.168
0.346

0.096
0.127
0.129
0.096
0.082
0.084
0.080
0.082
0.080
0.091

0.052
0.053
0.054
0.052
0.052
0.051
0.051
0.052
0.051
0.055

0.035
0.036
0.036
0.035
0.035
0.035
0.035
0.035
0.035
0.036

1.456
2.123
2.331
1.440
0.412
0.437
0.438
0.408
0.437
3.308

MER，RMSER の平均値を算出し，時系列グ

北 地 方 太 平 洋 沖 地 震 前 後 の2011年 3 月10日

ラフを作成した。図表17と図表18はそれぞれオ（2011年 4 月 限 ） と2011年 4 月11日（2011年 5

プション評価期間の日経平均株価とその日次収月限）において，EGARCH モデルの MER の益率であり，図表19は MER の推移，図表20は値は非常に大きい。また，2014年の年明けの下

RSMER の推移である。ここではオプションの落相場においても，EGARCH モデルの MER

市場価格が 1 円であったものは除外している。

の値は MSEG（2）モデルや MSEG（1）モデルと4 つ の MSEG モ デ ル の う ち MSEG（2）モ デ ル

比 べ て 大 き く な っ て い る。 こ の よ う なと MSEG（1）モデルのみをプロットしているの

EGRACH モデルと MSEG
（2）モデル，そしては，MSEG（m）モデルと MSEG（v）モデルは，

MSEG（1）モデルとの乖離は，図表20に示した

そ れ ぞ れ EGARCH モ デ ル，MSEG（2）モ デ ル

RMSER の推移にも表れている。どちらの時期とほとんど同じ推移になっているためである。

も日経平均株価が大きく下落している局面であ

このことは，図表16の結果と整合的である。図

るが，Markov Switching がモデルに含まれる

表19の MER の推移から見ていくと，MSEG（2）ことによって，オプション価格が過大評価されモデルと MSEG（1）モデルは似たような動きをにくくなっていると考えられる。

しているが，EGARCH モデルは何度か大きな値を示している。例えば，2011年 3 月11日の東76

証券経済研究第96号（2016.12）の程度有効であるか検証を行った。実証分析のⅤ．結論と今後の課題

結果，日経平均株価の価格トレンドは平均のみ
が ス イ ッ チ ン グ を 起 こ す Markov Switching

本論文では，日経平均株価の価格トレンドの

EGARCH モデルによって識別できることが明識別可能性について，Markov Switching モデらかになった。また，コール・オプションの評

ルならびに Markov Switching EGARCH モデ

価では Markov Switching EGARCH モデルのルを用いて分析を行い，さらに，これらのモデ

パフォーマンスが比較的高く，スイッチングは

ルが日経225オプション価格の評価においてど

ボラティリティについてのみ必要であることが図表17

日経平均株価の終値（2009/12/ 8 －2014/ 9 /10）

15000
12500
10000
2010

2011

図表18

2012

2013

2014

日経平均株価の日次収益率（％）（2009/12/ 8 －2014/ 9 /10）

5

−5

2010

2011

2012

図表19
MSEG(2)
EGARCH

0.5

2013

2014

MER の推移（2009/12/ 8 －2014/ 9 /10）

MSEG(1)

0.0

−0.5
2010

2011

2012

2013

2014

77

日経平均株価のトレンドとオプション評価
図表20 RMSER の推移（2009/12/ 8 －2014/ 9 /10）
MSEG(1)

MSEG(2)
EGARCH

0.75
0.50
0.25
2010

2011

2012

示された。

2013

度関数は

今回の研究ではボラティリティのモデルとしては EGARCH モデルのみを採用したが，今後

lnL＝

T

｛
ln

t＝1

2014

1

1

j＝0 l＝0（
f Rt｜Δ１，t＝j，Δ２，t＝l，It－1）｝の課題として，ボラティリティの定式化をそれPr［Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1］

以外のモデルにした場合に，ブル・ベア局面を

T＝

どの程度捉えることができるのか，詳細な分析

t＝1

ln i′

（η ⦿ξ ）｝｛t

いては，里吉・三井［2013］で提案した混合正

１

規 EGARCH モデルも含めて，パフォーマンス
の比較を行うことも重要である。また，今回のi＝ 



Pr［Δ１，t＝０，Δ２，t＝０｜It－1］



T

f R｜I ）∏（

L＝f（R1,R2,…,RT）＝
T

1

t＝1

j＝0 l＝0T1

t＝1

j＝0 l＝0∏，

ξt｜t−1＝

Pr［Δ１，t＝０，Δ２，t＝１｜It－1］
Pr［Δ１，t＝１，Δ２，t＝０｜It－1］
Pr［Δ１，t＝１，Δ２，t＝１｜It－1］

尤度関数は

＝

（
f Rt｜Δ1，t＝1，Δ2，t＝0，It−1）（
f Rt｜Δ1，t＝1，Δ2，t＝1，It−1）＾∏（
f Rt｜Δ1，t＝0，Δ2，t＝１，It−1）

ηt＝

補論：MSEG（2）モデルの最尤推定

＝

，

１

（
f Rt｜Δ1，t＝0，Δ2，t＝0，It−1）

が，プット・オプションではどのような時系列

尤度関数を L とすると，MSEG（2）モデルの１
１

分析の対象はコール・オプションのみであったモデルが最も適しているか調べていきたい。



t｜t−1



となる。ただし，

を行う必要がある。オプション価格の評価につ

＾

1

1

t＝1

t

t－１

（
f Rt，Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1）（R
f t｜Δ１，t＝j，Δ２，t＝l，It－1）

であり，⦿はベクトルの要素ごとを掛け合わす
ことを示す。本研究では収益率の誤差項 zt は t分布に従うと仮定しているので，f（Rt⎜Δ1，t＝j，Δ2，t＝l，It－1）は（
f Rt｜Δ１，t＝j，Δ２，t＝l，It－1）
ν＋1－――となる。ただし，It－1は t－1時点までの情報集（Rt－μj）2 ⎞ 2＝ 1
1＋ ――――――――2σ（ν－2）π2 Γ（ν/ 2 ） ⎝lt⎠

合であり，It－1＝{Rt－1，Rt－2，…} である。対数尤

（σ2lt）2（ν－2）2

Pr［Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1］

78

Γ（（ν＋1）/2）⎛
1
－―

1
－―

証券経済研究2
lt［Rt｜Δ2，t＝l］の与 え ら れ る。 ま た，σ は Vt－1＾

式のξt｜t−1は，Hamilton（1989）のフィル
タリング手法（ハミルトン・フィルタ）によっ＾て求める16）。ξt｜t−1を書き換えると＝



Pr［Δ１，t＝０，Δ２，t＝１｜It－1］
Pr［Δ１，t＝１，Δ２，t＝０｜It－1］⎛ Pr［Δ１，t＝０｜It－1］⎞＝ Pr［Δ ＝1｜I ］
⎝
１，
t
t－1 ⎠

1

⊗⎜
⎝

］⎠

t－1

Pr［Δ１，t＝０，Δ1，t－１＝i｜It－1］⎞⎜

Pr［Δ２，t＝１，Δ２，t－１＝k｜It－1］
⎠
k＝0

1
i＝0

つまり，

q10 ⎞⎛ Pr［Δ２，t－１＝０｜It－1］⎞

01

q11 ⎠⎝ Pr［Δ＝1｜It－1］⎠

00

p10 ⎞

q10 ⎞

01

11

２，t－１

⎛q
p ⎠ ⎝q

00

⊗

01

q11 ⎠

Pr［Δ１，t＝０｜Δ1，t－１＝i］

Pr［Δ1，t－１＝i｜It－1］
Pr［Δ１，t＝１｜Δ1，t－１＝i］

Pr［Δ1，t－１＝i｜It－1］，

Pr［Δ１，t－1＝１，Δ２，t－1＝１｜It－1］

＾

＾

（P⊗Q）
ξt−1｜t−1
ξt｜t−1＝となる。ただし，Pr［Δ１，t－1＝０，Δ２，t－1＝０｜It－1］⎜

1



＝＝1｜It－1］⎠

1，t－１

Pr［Δ１，t－1＝１，Δ２，t－1＝０｜It－1］⎞
Pr［Δ２，t＝０，Δ２，t－１＝k｜It－1］
k＝0

i＝0

p11 ⎠⎝ Pr［Δ

Pr［Δ１，t－1＝０，Δ２，t－1＝１｜It－1］

Pr［Δ１，t＝１，Δ1，t－１＝i｜It－1］⎠i＝01

p10 ⎞⎛ Pr［Δ1，t－１＝０｜It－1］⎞＾

ξt−1｜t−1＝
P＝ ⎛

⎛i＝01

Pr［Δ２，t－１＝k｜It－1］

1

00

Pr［Δ２，t＝１｜Δ２，t－１＝k］



⎛＝⎜⎝01

Pr［Δ２，t－１＝k｜It－1］

２，
t00

Pr［Δ２，t＝０｜Δ２，t－１＝k］

Pr［Δ１，t－1＝０，Δ２，t－1＝０｜It－1］⎛ Pr［Δ２，t＝０｜It－1］⎞⎝ Pr［Δ ＝1｜I

k＝0

⎛p
⎝p

⊗

Pr［Δ１，t＝１，Δ２，t＝１｜It－1］

⊗

1

⎛q
⎝q
⎛p
＝
⎝p

Pr［Δ１，t＝０，Δ２，t＝０｜It－1］

＾

k＝0

⊗

ことである。

ξt｜t−1＝1



となる。ただし，j，l＝1，2であり，μ1は⑾式で第96号（2016.12）

Pr［Δ１，t－1＝０，Δ２，t－1＝１｜It－1］
Pr［Δ１，t－1＝１，Δ２，t－1＝０｜It－1］
Pr［Δ１，t－1＝１，Δ２，t－1＝１｜It－1］

p00

⎝ p01

p10 ⎞
p11 ⎠

， Q＝ ⎛

q00

⎝ q01

q10 ⎞
q11 ⎠

である。
t 時点までの情報 It が与えられたもとで，Δ1，t＝j かつΔ2，t＝l（j，l＝0，1）となる確率は，（
f Δ１，t＝j，Δ２，t＝l，Rt｜It－1）
Pr［Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It］＝Pr［Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1，Rt］＝ —————————————————————（
f Rt｜It－1）＝＝（
f Rt｜Δ１，t＝j，Δ２，t＝l，It－1）Pr［Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1］
1

1

j＝0

l＝0

（
f Rt，
Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1）（
f Rt｜Δ１，t＝j，Δ２，t＝l，It－1）Pr［Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1］
1

1

j＝0

l＝0

（
f Rt｜Δ１，t＝j，Δ２，t＝l，It－1）Pr［Δ１，t＝j，Δ２，t＝l｜It－1］

79日経平均株価のトレンドとオプション評価

ベクトルで表すと，が困難になってしまうことが知られている（詳しくは渡部（2003）を参照のこと）。したがって，⑴式の収益率 R t は，＾（ηt ⦿ξt｜t−1）＾ξt｜t＝ ――――――――――＾i′（ηt ⦿ξt｜t−1）となる。以上の式と式を交互に繰り返すこ＾

St－St－1
Rt＝ ―――――――
St−1
と して定義する。ただし，St は t 時点の原資産の価格である。

と に よ っ て，t＝1，2，…，T に つ い てξt｜t−1を 計5） 利子率は正の値であることから，μ0＜0とすれば⑾式

算し，式に代入する。t＝1時点の Pr［Δ1，1，Δ2，16） μ0＜0という制約から，Δt＝0のとき市場はベア局面ということになるが，ブル局面，ベア局面においてボラ｜I0］の計算に必要なティリティがそれぞれどのような値をとるかは，モデル



Pr［Δ１，０＝０，Δ２，０＝０｜I０］を推定するまでは分からない。したがって，σ20とσ21の大小関係については制約を置くことはしない。

Pr［Δ１，０＝０，Δ２，０＝１｜I０］7） ⒄式のθとγについては，パラメータの最尤推定をPr［Δ１，０＝１，Δ２，０＝０｜I０］

容易にするために定数とした。
8） MS（1）モデルのケースと同様に，式の ω0，ω1，β0，Pr［Δ１，０＝１，Δ２，０＝１｜I０］＝⎛

Pr［Δ１，０＝０｜I０］⎞⊗⎛β1の大小関係については制約は置かない。

Pr［Δ２，０＝０｜I０］⎞⎝ Pr［Δ ＝１｜I ］⎠ ⎝ Pr［Δ ＝１｜I ］⎠
１，０

よりμ0＜μ1，t が満たされる。

０

２，
０

０

には，定常確率1－p11
Pr［Δ１，０＝０｜I０］＝ ――――――――― ，
2－p00－p11
1－p00
Pr［Δ１，０＝１｜I０］＝ ――――――――― ，
2－p00－p111－q11Pr［Δ２，０＝０｜I０］＝ ――――――――― ，
2－q00－q11
1－q00
Pr［Δ２，０＝１｜I０］＝ ―――――――――
2－q00－q119） オプション価格を評価する T 時点においては，T 時点
から T＋1時点にかけての無リスク資産利子率 rT＋1は既知であるが，その先の利子率は分からない。したがって，T 時点から満期である T＋τ時点までの利子率は一定であると仮定し，r＝rT＋1，rT＋2，…，rT＋τ とおいて現在価値を計算することになる。
10） 詳しくは，Satoyoshi and Mitsui（2011）の Appendix
B を参照のこと。
11） 日経225オプションの終値と日経平均株価の終値とが異時点で値付けされている可能性があるが，本論文では考慮しなかった。また，基本的な仮定として，取引費用，
税金，配当は存在せず，
オプションの証拠金は不要とした。
12） 日経225オプション，日経平均株価，無担保コール翌日
物のデータは，
日経 NEEDS-FinancialQUEST を利用した。
13） パラメータの推定とモンテカルロ・シミュレーションを用いる。

に は， プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 の OxMetrics 5.00（http://
www.oxmetrics.net/）を利用している。

注1） Markov Switching モデルは状態変数がマルコフ過程
に従って推移するモデルであるが，本質的には混合分布のモデルの一種である。
2） ARCH 型モデルによる日経225オプション価格に関する実証研究のサーベイとして，三井［2014b］を参照のこと。
3） Markov Switching モデルを用いた先行研究では，推定された推移確率は 1 に近い値をとることが多い。しかしながら，本論文では複数のモデルを取扱い，また，様々な限月に対応する標本期間について推定を行うことから，推定された推移確率のうち幾つかについては高くならない可能性がある。本論文では価格トレンドやボラ
ティリティのスイッチングが存在するものとしてオプションの評価を行うことを目的としているため，推移確率は高い値になるように制約を置くことにした。
4） 金融工学理論では収益率を連続複利方式で定義することが一般的であるが，本論文のように収益率が t 分布に従うケースでは，投資家のリスク中立性を仮定すること

8014） MSEG モデルが通常の EGARCH モデルよりも優れているかどうかを厳密に判断するには，スイッチングが起きているかどうかを調べる検定を行う必要がある。しかし，一般に知られているように，Markov Switching が無いという帰無仮説のもとではモデルのいくつかのパラ
メータは識別することができず，検定統計量は通常の漸近分布に従わないため，尤度比検定は困難になってしまう。 こ の 問 題 点 を 考 慮 し た 検 定 手 法 と し て は Hansen（1992，1996），Garcia（1998）があるが，本論文の目的
はオプション価格の評価であるので，このような検定は行わないことにした。
15） 時点 T での権利行使価格 K，残存期間 τ のヨーロピBS

アン・コール・オプション価格 CT は，以下の式を用いて評価を行った。
CTBS ＝STN（d1）－Ke－rτN（d2），ln（ST /K）＋（r＋σ2/2）τ
，d2＝d1－στ，στ
1
dix2 ⎞dx，i＝1，2．
N（di）＝
exp ⎛
－
⎝ 2 ⎠
−∞ 2π
 こで，N（·）は標準正規分布の分布関数，r は連続複利
こ
d1＝

∫

証券経済研究
方式の無リスク資産の利子率である。また，σに関しては過去20日分の原資産価格収益率の標準偏差（Historical
Volatility; HV）を使い，HV を次のように計算した。
20

1―
σHV＝ ――――― （Rt－R）2
20－1 t ＝ 1

第96号（2016.12）

or.jp/f/general cms pages/16040/wysiwyg/
rerk1405.pdf）
三井秀俊［2014b］「ARCH 型モデルによる日経225
オプションの実証研究に関するサーベイ」日本―ただし，R は20日間の Rt の平均値である。
16） 詳細は Kim and Nelson（1999）を参照のこと。

証券経済研究所『証券経済研究』第87号，
41-60頁。
三井秀俊・渡部敏明［2003］「ベイズ推定法による
GARCH オプション価格付けモデルの分析」『日

参

考

文

献

大鋸崇・大屋幸輔［2009］「株式市場におけるブル相
場，ベア相場の日次データを用いた分析 ? ベイ
ジアンアプローチ」『ジャフィー・ジャーナル（金融工学と市場計量分析）』，112-150頁。
里吉清隆・三井秀俊［2007］「期待収益率スイッチン
グ・モデルによる日経225オプションの実証研究」『産業経営研究』第29号，日本大学経済学部産業経営研究所，115-136頁。
里吉清隆・三井秀俊［2011］「原資産価格のブル・ベアを考慮したオプション価格付けの実証研究」『産業経営研究』第33号，日本大学経済学部産業経営研究所，63-87頁。
里吉清隆・三井秀俊［2013］「原資産の収益率に歪みがある場合のオプション評価―混合正規
EGARCH モデルによる分析―」『日本統計学会
誌』第43巻，第 1 号， 1 -23頁。
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