量子エラー訂正と誤り耐性量子計算
2023/10/13

富士通研究所
赤星友太郎© 2023 Fujitsu Limited自己紹介○名前：赤星友太郎○経歴○学部：京都大学工学部・物理工学科○ 希薄気体の数値シミュレーション○大学院（修士～博士）：京都大学基礎物理学研究所・素粒子論グループ○ 格子QCDを用いたハドロン間相互作用の研究○現在：富士通研究所○ 量子コンピュータの研究開発（量子エラー訂正）

2© 2023 Fujitsu Limited

富士通の量子コンピューティング研究開発戦略○ 量子デバイスから基盤ソフト、アプリまですべての領域に、世界有数の研究機関と取り組む○ ソフトウェア技術に注力する一方、ハードは幅広く可能性を追求○ 量子シミュレータを活用し、エンドユーザーと早期からアプリケーション開拓に取り組む［技術領域］CEO 楊 天任QunaSys

キーサイト・テクノロジー

Emerson教授

理研と共同で64量子ビットデバイスを開発！
量子アプリケーション
材料、創薬、金融など。 エンドユーザーとの共同研究を推進
量子基盤ソフトウェア

基盤アルゴリズム

量子プラットフォーム

エラー緩和技術

エラー訂正技術

ミドルウェア、コンパイラ、クラウド化技術
大阪大学

藤井教授

量子状態制御

制御回路

制御回路

制御回路

量子デバイス、集積超伝導方式

ダイヤモンドスピン方式

その他方式

理化学研究所

デルフト工科大学

広く検討

中村教授
3

© 2023 Fujitsu Limited

本講義の概要○量子コンピュータにおける量子エラー訂正と誤り耐性量子計算に関する講義○エラー訂正の基礎的な話からはじめ、一気に最近の話題まで駆け上がる○それゆえ、歴史的なことも含め一部スキップする部分があるが、それらは参考文献等で補っていただきたい4© 2023 Fujitsu Limited

もくじ

○基礎事項

○量子コンピュータ概要○量子コンピュータによる計算（ゲート方式）○量子エラー訂正○スタビライザー符号○簡単な例：反復符号による量子エラー訂正○近年の主流：表面符号○誤り耐性量子計算(FTQC)○概要○論理ゲートの実行方法○近年の主流：Lattice surgeryによる論理ゲート実行○最近の話題：Early-FTQCに向けた新量子計算アーキテクチャ
5© 2023 Fujitsu Limited

基礎事項
量子コンピュータ概要
量子コンピュータによる計算（ゲート方式）

6© 2023 Fujitsu Limited

量子コンピュータ概要
量子力学の性質を活用し、高速な計算を実現するコンピュータ
量子ビット：量子コンピュータを構成する最小単位（従来型（以下、古典と呼ぶ）のコンピュータにおけるビットに相当）

= |0ۧ

= |1ۧ

古典ビットと異なり、0と1の重ね合わせ状態も取りうる：= 𝛼|0ۧ + 𝛽|1ۧ

➢ 重ね合わせによる並列性と、量子力学の性質である干渉効果により高速化➢ 創薬や金融など、古典コンピュータでは困難な計算を高速に実行できると期待されている
https://www.fujitsu.com/jp/about/research/technology/quantum/より

7© 2023 Fujitsu Limited

量子コンピュータによる計算(ゲート方式)○量子ビットに量子ゲートを作用させていくことで計算が行われる○量子ゲートを作用させる一連の操作は、量子回路(下図)によって記述される

2量子ビットの簡単な量子回路の例：

左から右へ計算が進む

量子ビット

初期化

ゲート操作
8

測定
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量子コンピュータによる計算(ゲート方式)○量子ビット（量子状態）の記述
𝑛量子ビットの量子状態は2𝑛 次元ヒルベルト空間のベクトル
量子ゲートは2𝑛 次元ヒルベルト空間に作用するユニタリ演算子で記述される=ブラケット記法|0ۧ⊗3 = |000ۧ

ベクトル記法

多量子ビット状態○ 代表的な1量子ビットゲート➢ パウリ演算子

𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 = 0 (𝜎1 = 𝑋, 𝜎2 = 𝑌, 𝜎3 = 𝑍)
𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 = 2𝜖𝑖𝑗𝑘 𝜎𝑘 (𝜖: 完全反対称テンソル)

𝑋|𝑖ۧ = |𝑖 ⊕ 1ۧ, 𝑍|𝑖ۧ = −1 𝑖 |𝑖ۧ
XOR (mod2和)9© 2023 Fujitsu Limited

量子コンピュータによる計算(ゲート方式)○代表的な1量子ビットゲート➢ アダマールゲート➢ Sゲート (phaseゲート)
𝑆𝑋𝑆 † = 𝑌𝑆𝑍𝑆 † = 𝑍

𝐻𝑋𝐻 = 𝑍𝐻𝑍𝐻 = 𝑋
➢ Tゲート➢ Z軸回転ゲート
𝑇𝑋𝑇 † =𝑋+𝑌
2

𝑇𝑍𝑇 † = 𝑍

𝜃=
10

𝜋
2

𝜋

のものがSゲート, 𝜃 = のものがTゲート
4© 2023 Fujitsu Limited

量子コンピュータによる計算(ゲート方式)○代表的な2量子ビットゲート➢ CNOTゲート
ctrl

controlが|0ۧならそのまま
controlが|1ۧならtargetにX作用

trgt

𝑈𝐶𝑁 0ۧ𝑐𝑡𝑟𝑙 𝑖ۧ𝑡𝑟𝑔𝑡 = 0ۧ𝑐𝑡𝑟𝑙 𝑖ۧ𝑡𝑟𝑔𝑡
𝑈𝐶𝑁 1ۧ𝑐𝑡𝑟𝑙 𝑖ۧ𝑡𝑟𝑔𝑡 = 1ۧ𝑐𝑡𝑟𝑙 𝑖 ⊕ 1ۧ𝑡𝑟𝑔𝑡

○測定➢ 測定結果に応じたゲート操作(2重線で記述)➢ パウリZ測定

𝑀𝑍←測定値が−1の場合、追加でパウリZを作用

メーター記号 or 𝑀𝑍 で表記
11© 2023 Fujitsu Limited

量子コンピュータによる計算(ゲート方式)○量子ゲートのユニバーサリティ○{𝐶𝑁𝑂𝑇, 𝐻, 𝑆, 𝑇} が実行できるならば、任意のユニタリ演算子を任意の精度でシミュレートできることが知られている（ユニバーサリティ）

𝑈
目的のユニタリ𝑈

𝑈1

𝑈3

𝐻𝑇𝐻𝑆𝑇 …

…

𝑇𝐻𝑇𝐻 …

…

𝑈2

𝑆𝑇𝑆𝐻𝑇 …

𝐶𝑁𝑂𝑇と1量子ビットユニタリ(𝑈1 , 𝑈2 , …)で分解できる

1量子ビットユニタリは{𝐻, 𝑇, 𝑆}
を用いて任意精度で近似できる(Solovay-Kitaev)
詳しい議論は：QIQC Chap.4, Appendix

12© 2023 Fujitsu Limited

量子エラー訂正
スタビライザー符号
簡単な例：反復符号
近年の主流：表面符号13© 2023 Fujitsu Limited

エラー訂正の感覚をつかむ：古典の場合○古典ビットのエラー訂正の（きわめて簡単な）例：
ビット𝑎を複数ビットにコピーし符号化（冗長化）することでエラー耐性を持たせる

0 → 000
1 → 111
符号化したビットのうちどれか1つが反転してしまった場合、各ビットの値を確認したうえで、多数決を取れば元のビットの情報を回復できる

0 → 000

100

0:ふたつ
1:ひとつ

元の情報は0

ビット反転エラー

各ビットに確率𝒑で独立にビット反転エラーが発生するとした場合、符号化によりエラー確率は𝑶(𝒑𝟐 )に削減される
14© 2023 Fujitsu Limited

量子コンピュータにおけるエラー訂正○古典との違い：○任意の状態を複製して冗長化することができない（no-cloning定理）|𝝍ۧ → |𝝍ۧ|𝝍ۧ|𝝍ۧ○発生するエラーが連続的（古典で起こるようなビット反転だけではなく、ユニタリ演算子で記述されるような量子エラーが起こる）○不用意に測定すると量子的な重ね合わせが破壊されてしまう

古典エラー訂正の枠組みをそのまま適用することはできない
そもそも連続的なエラーを訂正できるのか？
=> できる！ by P. Shor (1995)
これにより、量子エラー訂正の基本的な枠組みが確立
15© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー符号○量子エラー訂正符号のほとんどは、スタビライザー符号と呼ばれるカテゴリに分類される○そのためにまずはスタビライザー形式による量子状態の記述方法を導入する（Gottesman 1997）16© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー形式による量子状態の記述○𝑛量子ビットパウリ群：𝑛個のパウリ演算子のテンソル積がなす群
𝐺𝑛 = ±1, ±𝑖 × 𝐼, 𝑋, 𝑌, 𝑍 ⊗𝑛

○スタビライザー群：パウリ群の可換部分群で、−𝑰 を含まないもの
例）−𝐼を含まない理由は後述（スタビライザー状態が自明にならないための条件）

𝑆 = {𝐼1 𝐼2 , 𝑋1 𝑋2 , 𝑍1 𝑍2 , −𝑌1 𝑌2 }(負号は

𝑋𝑍 = −𝑖𝑌 より)(以下、量子ビットを区別する添
え字は基本省略)

𝑆 = {𝐼𝐼𝐼, 𝑍𝑍𝐼, 𝑍𝐼𝑍, 𝐼𝑍𝑍}17

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スタビライザー形式による状態の記述○スタビライザー生成子：スタビライザー群の独立な元の最大集合
例）

𝑆 = {𝐼𝐼, 𝑋𝑋, 𝑍𝑍, −𝑌𝑌} の生成子は < 𝑋𝑋, 𝑍𝑍 >𝑆 = 𝐼𝐼𝐼, 𝑍𝑍𝐼, 𝑍𝐼𝑍, 𝐼𝑍𝑍 の生成子は < 𝑍𝑍𝐼, 𝐼𝑍𝑍 >※生成子の取り方には任意性がある(独立なものを取ってくればOK)𝑆 = 𝐼𝐼𝐼, 𝑍𝑍𝐼, 𝑍𝐼𝑍, 𝐼𝑍𝑍 の生成子は < 𝑍𝑍𝐼, 𝐼𝑍𝑍 >< 𝒁𝒁𝑰, 𝒁𝑰𝒁 >でもOK※生成子は𝑛量子ビット系の場合高々𝑛個
18© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー形式による状態の記述○スタビライザー状態：スタビライザー群𝑆 = 𝑆𝑖 のすべての元𝑆𝑖 に対して 𝑺𝒊 |𝝍ۧ = +|𝝍ۧ を満たす状態 |𝝍ۧ○スタビライザー群は可換群なので、その元は同時対角化できる○スタビライザー生成子の同時固有状態であれば十分(𝑛量子ビット系の場
合、𝑛個の演算子で状態が指定できる)○スタビライザー群に−𝐼 が含まれてしまうと、スタビライザー状態は自明になってしまう（ −𝐼|𝜓ۧ = +|𝜓ۧ より）例）

𝑆 = {𝐼𝐼, 𝑋𝑋, 𝑍𝑍, −𝑌𝑌} , 生成子 < 𝑋𝑋, 𝑍𝑍 >スタビライザー状態は
19

𝟏(|𝟎𝟎ۧ +
𝟐𝟏𝟏ۧ
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スタビライザー形式による状態の記述○ 状態の発展は、スタビライザ生成子の変化で追いかける
𝑈𝑆𝑈 † = 𝑆′
< 𝑋𝑋, 𝑍𝑍 >
𝟏

○ 測定

𝟐

CNOT

< 𝐼𝑋, 𝑍𝐼 >𝟏(|𝟎𝟎ۧ + 𝟏𝟏ۧ

𝟐|𝟎ۧ|+ۧ

†𝑈𝐶𝑁 𝑋𝑋𝑈𝐶𝑁= 𝐼𝑋†
𝑈𝐶𝑁 𝑍𝑍𝑈𝐶𝑁= 𝑍𝐼○ 測定する演算子がスタビライザー生成子と可換：測定値は＋１○ 測定する演算子がスタビライザー生成子と反可換：反可換な演算子と入れ替え、測定値は±1 でランダムに定まる< 𝑋𝑋, 𝑍𝑍 >
𝟏
𝟐

𝐼𝑍測定

< ±𝐼𝑍, 𝑍𝑍 >|𝟎𝟎ۧ or |𝟏𝟏ۧ(|𝟎𝟎ۧ + 𝟏𝟏ۧ
20© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー符号○スタビライザー符号：スタビライザー群によって定義される部分空間に量子ビットの情報を埋め込む量子エラー訂正符号例）生成子 < 𝑋𝑋𝑋, 𝑍𝑍𝐼, 𝐼𝑍𝑍 > で指定されるスタビライザー状態|𝜓 ۧ =

1(|000ۧ +2111ۧ

生成子𝑋𝑋𝑋を一つ取り除いて、縮退を導入してみる：
𝑿𝑿𝑿の固有値は±𝟏 なので、2重縮退=1量子ビット分の自由度が入る
生成子 < 𝑍𝑍𝐼, 𝐼𝑍𝑍 > で指定されるスタビライザー状態は1つの量子ビットとみなすことが出来る：𝝓ۧ = 𝜶 𝟎𝟎𝟎ۧ + 𝜷|𝟏𝟏𝟏ۧ
論理量子ビット
物理量子ビット21© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー符号○論理演算子：論理量子ビットに作用する演算子○スタビライザー生成子と可換かつ独立なものを取ってくる例）生成子 < 𝑍𝑍𝐼, 𝐼𝑍𝑍 > で指定されるスタビライザー状態は1つの量子ビットとみなすことが出来る：|0ۧ𝐿 = |000ۧۧۧۧ
𝝓 𝑳 = 𝜶 𝟎 𝑳 + 𝜷|𝟏 𝑳 |1ۧ = |111ۧ𝐿

この場合の論理演算子は…

𝑿𝑳 = 𝑿𝑿𝑿,𝒁𝑳 = 𝒁𝒁𝒁

𝑋𝐿 |0ۧ𝐿 = |1ۧ𝐿 ,𝑋𝐿 |1ۧ𝐿 = |0ۧ𝐿
22

𝑍𝐿 |0ۧ𝐿 = |0ۧ𝐿 ,𝑍𝐿 |1ۧ𝐿 = −|1ۧ𝐿© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー符号𝑛量子ビット系において、𝑛 − 𝑘個の生成子からなるスタビライザー群
𝑆 ∈ 𝐺𝑛 で定義されるスタビライザー符号は𝒌量子ビット分の自由度（論理量子ビット）を持つ○元々𝑛個の生成子で一意に定まっていたスタビライザー状態から、 𝑘個の生成子を除いて縮退を導入した結果と考えるとわかりやすい（個人的には）○縮退をほどく（論理量子ビットに作用する）演算子を論理演算子と呼ぶ

23© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー符号
別の解釈：○生成子の固有値は±1 なので、𝑛 − 𝑘個の固有値の組み合わせは2𝑛−𝑘 通り○固有値の組み合わせにより 2𝑛 次元ヒルベルト空間が2𝑛−𝑘 分割され、結局スタビ
ライザー状態は2𝑘 次元部分ヒルベルト空間の元となる => 論理自由度
符号空間

𝒁𝒁𝑰 = +𝟏

𝒁𝒁𝑰 = −𝟏

𝑰𝒁𝒁 = +𝟏{|𝟎𝟎𝟎ۧ, |𝟏𝟏𝟏ۧ}{|100ۧ, |011ۧ}

𝑰𝒁𝒁 = −𝟏{|001ۧ, |110ۧ}{|010ۧ, |101ۧ}24© 2023 Fujitsu Limited

（補足）CSS符号○量子エラー訂正符号として機能するためにはスタビライザーをうまくとってくる必要がある○どうやって取るか？=> 古典エラー訂正符号の知見を借りる○CSS符号：2つの古典線形符号から構成された量子エラー訂正符号○2つはそれぞれXエラー、Zエラーの検知・訂正に用いられる

25© 2023 Fujitsu Limited

（補足）CSS符号○ [𝑛, 𝑘] 古典線形符号
𝐺(0) = (0,0,0)𝐺(1) = (1,1,1)

𝐻𝐺 = 0
パリティチェック行列を与えて定義（(𝑛 − 𝑘) ×𝑛行列）

𝐻のカーネルの元が符号語
𝑥 = (0,0,0), (1,1,1)

生成行列𝐺を与えてもよい(𝑛 × 𝑘行列)✓ エラー検知：𝑦 = 𝑥 + 𝑒, 𝐻𝑦 = 𝐻𝑒 ≠ 0✓ ある古典線形符号(𝐻, 𝐺)が与えられたとき、その双対符号はパリティチェック行列𝐺 𝑇 , 生成行列𝐻𝑇 で定義される
26© 2023 Fujitsu Limited

（補足）CSS符号○CSS符号の構成
以下を満たす2つの古典線形符号𝐶1 , 𝐶2 を持ってくる：• それぞれ 𝑛, 𝑘1 , [𝑛, 𝑘2 ]• 𝐶2 ⊂ 𝐶1• 𝐶1 , 𝐶2⊥ はそれぞれ𝑡個のエラーを訂正できる
𝑛量子ビット系を考え、X,Zスタビライザー生成子を𝐶1 , 𝐶2⊥ のパリティチェック行列を用いて定義する（古典線形符号と同様に𝒕個のX,Zエラーを訂正できる）
𝐶2 ⊂ 𝐶1 より、𝐻 𝐶2⊥ 𝐻 𝐶1 𝑇 = 0(X,Zスタビライザーの可換性)

𝑆0 = 𝑍𝑍𝐼𝑆1 = 𝐼𝑍𝑍∵ 𝐻 𝐶2⊥ 𝐻 𝐶1 𝑇 = 𝐻 𝐶1 𝐻 𝐶2⊥ 𝑇 𝑇= 𝐻 𝐶1 𝐺 𝐶2 𝑇 = 0
27© 2023 Fujitsu Limited

（補足）CSS符号○論理自由度○ここで定義したスタビライザー生成子の数は𝑛 − 𝑘1 + 𝑘2個○𝑛量子ビットを用いて符号化○残る自由度は𝟐𝒏−(𝒏−𝒌𝟏+𝒌𝟐) = 𝟐𝒌𝟏−𝒌𝟐 (𝒌𝟏 − 𝒌𝟐 論理自由度を持つ)○論理演算子○パリティチェック行列を標準形に変形して読み取れる（詳細は割愛、QCQI
chap 10.5.7など参照）

28© 2023 Fujitsu Limited

スタビライザー符号のまとめ○スタビライザー群：パウリ群の可換部分群かつ−𝐼を含まないもの○スタビライザー状態：スタビライザー群の固有値+1同時固有状態○スタビライザー符号：スタビライザー状態に論理自由度を埋め込む
量子エラー訂正符号

次ページから、簡単なスタビライザー符号（反復符号）を題材に、エラー訂正がどのように実行されるのかを議論していく29© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号○簡単な例として3量子ビット反復符号を考える○スタビライザー生成子は< 𝑍0 𝑍1 𝐼2 , 𝐼0 𝑍1 𝑍2 > (以下𝐼は省略)
012↓↓↓|0ۧ𝐿 = |000ۧ
|1ۧ𝐿 = |111ۧ

𝑋𝐿 = 𝑋0 𝑋1 𝑋2
𝑍𝐿 = 𝑍0 𝑍1 𝑍2以下、量子エラーとして確率𝑝でパウリX演算子が作用するものを考える：ℇ 𝜌 = 1 − 𝑝 𝜌 + 𝑝 𝑋𝜌𝑋
この下でどのようにエラー訂正が行われるか議論していく（より複雑なエラーに対する耐性を持つ符号は後ほど議論）
30© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号○エラーの検知：スタビライザー演算子の固有値（シンドローム）を測定し、スタビライザー状態からのずれを検知する
𝒔𝟎 = +𝟏𝒔𝟎 = −𝟏𝒔𝟏 = +𝟏{|𝟎𝟎𝟎ۧ, |𝟏𝟏𝟏ۧ}
エラーなし{|100ۧ, |011ۧ}𝑋0 エラー𝒔𝟏 = −𝟏{|001ۧ, |110ۧ}𝑋2 エラー{|010ۧ, |101ۧ}𝑋1 エラー𝑠0 = 𝑍0 𝑍1 の固有値
𝑠1 = 𝑍1 𝑍2 の固有値31

© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号○シンドローム測定はアダマールテスト回路を応用して実行する○ アダマールテスト回路：
測定直前の状態は、
1
1|0ۧ |𝜓ۧ + 𝑈|𝜓ۧ + |1ۧ |𝜓ۧ − 𝑈|𝜓ۧ
22|𝜓ۧ : スタビライザー状態
𝑈 ：スタビライザー生成子の一つとすれば、エラーの無い場合+𝟏が測定されるエラーを検知すると−𝟏が測定される

|𝜓 ۧ

32

© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号
3量子ビット反復符号の場合：

𝑍0 𝑍1 測定|𝜓 ۧ
𝑍1 𝑍2 測定33

© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号
注）シンドロームを得るために測定する演算子は、スタビライザー符号の定義から論理量子ビットの状態を壊さない
スタビライザー演算子：

論理演算子：

𝑆0 = 𝑍0 𝑍1 ,𝑆1 = 𝑍1 𝑍2

𝑋𝐿 = 𝑋0 𝑋1 𝑋2 ,𝑍𝐿 = 𝑍0

互いに可換
かつ独立

✓ 不用意に測定すると状態を壊してしまう量子の場合でも、状態を壊すことなくエラー検知が可能になっている

34© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号○エラーの訂正：得られたシンドロームの情報からエラーの位置を特定し、対応するパウリ演算子で相殺することで訂正
012↓↓↓

𝒔𝟎 = +𝟏𝒔𝟎 = −𝟏|0ۧ𝐿 = |000ۧ

𝒔𝟏 = +𝟏𝑠0 = 𝑍0 𝑍1 の固有値
𝑠1 = 𝑍1 𝑍2 の固有値{|𝟎𝟎𝟎ۧ, |𝟏𝟏𝟏ۧ}
エラーなし{|100ۧ, |011ۧ}𝑋0 エラー𝒔𝟏 = −𝟏{|001ۧ, |110ۧ}𝑋2 エラー{|010ۧ, |101ۧ}𝑋1 エラー例）|0ۧ𝐿 = |000ۧ
𝑠0 = + 𝑠1 = +

エラー発生

|100ۧ

|000ۧ

𝑠0 = −, 𝑠1 = +𝑠0 = +, 𝑠1 = +35

𝑋0 エラーと判定
𝑋0 作用© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号○エラー箇所の最尤推定と符号距離注）実は、シンドロームの値では区別できない別のエラーパターンも存在する：

|100ۧ

|011ۧ

𝑠0 = −, 𝑠1 = +𝑠0 = −, 𝑠1 = +基本的に我々が知りえるのは測定で得られるシンドロームの値だけなので、エラー訂正はこれら区別できないエラーパターンのうち、最も起こりやすいものを採用して行う（エラー箇所の最尤推定）|100ۧ
発生確率の高いこちらと解釈𝑠0 = −, 𝑠1 = +

>

|011ۧ
𝑠0 = −, 𝑠1 = +𝑝2 (1 − 𝑝)

𝑝 1−𝑝 236

尤度関数はエラー発生確率© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号
𝑂(𝑝2 )の確率でエラー訂正に失敗してしまう場合も出てくる（論理エラー）|011ۧ

|0ۧ𝐿 = |000ۧ

𝑠0 = −, 𝑠1 = +

エラー発生

111ۧ = 𝑋𝐿 0ۧ𝐿
𝑋0 エラーと判定
𝑋0 作用

𝑠0 = +, 𝑠1 = +量子エラー訂正符号がどれだけのエラーを許容できるのかを示す値が符号距離 𝒅

𝑑𝑋 = min 𝑤𝑡(𝑋𝐿 ) 𝑤𝑡(𝑋𝐿 ) : 論理X演算子のウェイト（作用する物理量子ビットの数）
𝑑𝑍 = min 𝑤𝑡(𝑍𝐿 ) 𝑤𝑡(𝑍𝐿 ) : 論理Z演算子のウェイト（作用する物理量子ビットの数）

𝒅 = 𝐦𝐢𝐧 {𝒅𝑿 , 𝒅𝒁 }符号距離𝒅 の符号は、

𝒅−𝟏𝟐個のエラーを訂正できる (37: 床関数)© 2023 Fujitsu Limited簡単な例：反復符号
3量子ビット反復符号の場合： 𝑑𝑋 = 3, 𝑑𝑍 = 1○ Xエラーは 3−1= 1つまで訂正可能、Zエラーは訂正不可能
2○ 訂正したいエラーに応じて、適切な𝑑𝑋 , 𝑑𝑍 を持つ符号を選択する○ 許容できるエラーの個数 𝑑−1の直感的な理解：最短距離復号で正しく訂正できる
2
限界

X

…

|0ۧ𝐿 = |0 … 0ۧ
𝑑

X

X

X

|1 … 10 … 0ۧ

|1 … 11 … 0ۧ

𝑑−1
2

𝑑−1
+1
2

訂正成功

…

X

|1ۧ𝐿 = |1 … 1ۧ

訂正失敗（論理エラー）
38© 2023 Fujitsu Limited

その他の例○非自明かつ比較的簡単な量子エラー訂正符号の例：Steane符号○7つの物理量子ビットから構成される符号、符号距離3（任意の1つのパウリエ
ラーを訂正できる）

スタビライザー：

論理演算子：𝑋𝐿 = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑍𝐿 = 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍

いわゆる色符号(color code)と呼ばれる符号の一例
39© 2023 Fujitsu Limited

アナログなエラーに対する耐性
今まで見てきた例では、単純なパウリエラーに対する耐性しか議論してこなかったが、パウリエラーで記述できないアナログなエラーが起こった場合にはどうなるのか？？

実は、パウリエラーが訂正できれば、任意の1量子ビット
エラーも訂正できることが示せる！（エラーの離散化）
歴史的には、量子コンピュータがそれまで考えられてきた（実現不可能な）アナログコンピュータと異なることを示した重要な性質

40© 2023 Fujitsu Limited

アナログなエラーに対する耐性
簡単な例）
微小角（𝛿）の回転|0ۧ𝐿 = |000ۧ

𝑒 −𝑖𝛿𝑋0 |000ۧ
≈ |000ۧ − 𝑖𝛿|100ۧ

シンドローム測定を実行すると、重ね合わさっている異なるシンド
ロームパターン状態のいずれかに射影される=> パウリエラーとして訂正できる！（エラーの離散化）|000ۧ − 𝑖𝛿|100ۧ
41

|000ۧ

𝑠0 = +, 𝑠1 = +−𝑖𝛿|100ۧ

𝑠0 = −, 𝑠1 = +© 2023 Fujitsu Limited

（発展）アナログなエラーに対する耐性○より一般には、密度演算子による定式化によって以下のように記述できる：○1量子ビットエラーは密度演算子に作用するCPTP写像として一般に
以下のように書ける：
σ𝒌 𝑬𝒌 𝑬†𝒌 ≤ 𝟏 を満たす演算子（Kraus演算子）の組{𝑬𝒌 }を用いてℇ 𝝆 = ෍ 𝑬𝒌 𝝆𝑬†𝒌𝒌

○ 各Kraus演算子𝐸𝑘 はパウリ行列と単位行列を用いて分解できる：
𝐸𝑘 = 𝑐𝑘1 𝐼 + 𝑐𝑘2 𝑋 + 𝑐𝑘3 𝑌 + 𝑐𝑘4 𝑍

ここで 𝑐𝑘𝑖 = tr(𝐸𝑘 𝑃𝑖 ), 𝑃𝑖 = {𝐼, 𝑋, 𝑌, 𝑍}
42© 2023 Fujitsu Limited

（発展）アナログなエラーに対する耐性○今、ある𝑛量子ビットで符号化された状態|𝜓ۧ とエラー訂正操作𝑅が以下のように与えられたとする：
𝑅𝑃𝑖 |𝜓ۧ = |𝜓ۧ,
𝑃𝑖 = 𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 , 𝑍𝑖 , (𝑖 = 0, … , 𝑛)

○ エラー訂正操作との合成チャンネルを考えるとℛ ∘ ℇ 𝝍ۧ‫𝝍ۦ‬= ෍ 𝑹𝑬𝒌 𝝍ۧ‫|𝝍ۦۧ𝝍| ∝ †𝑹 𝒌†𝑬 𝝍ۦ‬𝒌(∵ 𝑅 𝑐0 𝐼 + 𝑐1 𝑋 + 𝑐2 𝑌 + 𝑐3 𝑍 |𝜓ۧ ∝ |𝜓ۧ)
任意の1量子ビットエラーを訂正できる！
43© 2023 Fujitsu Limited

近年のトレンド：表面符号○量子コンピュータの実現に向けて、近年有力視されている量子エ
ラー訂正符号の一つが表面符号○いわゆるトポロジカル符号の一派○トポロジカル符号…符号ハミルトニアンの基底状態（ないし低エネルギー部分空間）がトポロジカル秩序を示すもの○性質：✓スタビライザーが重み4(or2)のパウリ演算子で局所的✓2次元最近接格子上に配置された量子ビットで実現できる（量子コンピュータ
実機で実装しやすい）✓量子エラー訂正の性能が高い

44© 2023 Fujitsu Limited

表面符号による符号化（回転）表面符号：𝑑 × 𝑑 格子にデータ量子ビットを配置し(○)符号化する
スタビライザーは格子面に定義される（Z：青、X：黄色）

𝑍𝐿

𝑋𝐿

Z

Z

Z

Z

Z

Z

X

X

X

X

X

X

✓ 1つの𝑑 × 𝑑 格子に1つの論理自由度✓ 論理演算子：境界上に定義
青：論理Z演算子、橙：論理X演算子✓ 符号距離：格子の辺上にある量子ビッ
ト数（𝑑）

45

© 2023 Fujitsu Limited

（補足）Toric codeとの関係○代表的なトポロジカル符号であるtoric codeと主な構造は共通○違い：○トーラスではなく境界のある平面上で定義されている（実機実装が容易）○さらに符号の一部を削り、45度回転させている（必要量子ビット数削減）

赤点線の外を除外
45度回転
平面符号(Horsman (2012)より)

回転表面符号
46© 2023 Fujitsu Limited

表面符号による符号化
シンドローム測定は、格子面に配置された測定量子ビットを用いて行う➢ Xシンドローム測定回路➢ Zシンドローム測定回路

4

3

4

2

2

1

3

1

※○内の数字はCNOTを作用させる順番

47© 2023 Fujitsu Limitedエラー検知測定されたシンドロームの値から、エラー発生を検知することが可能

X errorZ errorシンドロームは、（境界を除いて）エラー箇所を挟むように反転する
48© 2023 Fujitsu Limitedエラー箇所の最尤推定アルゴリズム○一般に、シンドローム値からエラー箇所の推定を行うことは難しい○与えられた符号に対し、いかに効率良く、精度よくエラー推定を行うかを追求
する取り組みは、量子エラー訂正符号研究の一つの大きな柱○表面符号では、エラー推定問題をグラフのマッチング問題に帰着させる最小重み完全マッチング(Minimum Weight Perfect
Matching, MWPM) アルゴリズムが知られている

以下、MWPMを用いたZエラーの最尤推定を考える

49© 2023 Fujitsu Limited

MWPMによるエラー箇所推定①デコードグラフの構成：符号の定義に用いている格子の双対格子を取る
頂点：スタビライザー（シンドローム）
辺： 量子ビット

グラフ抽出

デコードグラフ(Xシンドローム)
50© 2023 Fujitsu Limited

MWPMによるエラー箇所推定②反転したシンドロームに該当するデコードグラフのノードを割り出す

デコードグラフ(Xシンドローム)
51© 2023 Fujitsu Limited

MWPMによるエラー箇所推定③反転したシンドロームに該当するノード同士を、デコードグラフ上で過不足なく、重複しない最短経路でつなぐ辺を特定する（MWPM）

マッチング実行

52© 2023 Fujitsu Limited

MWPMによるエラー箇所推定④決定された最短経路に含まれる辺から、該当する量子ビットを特定し、それを推定されたエラー箇所とする

エラー箇所特定53© 2023 Fujitsu Limited

MWPMによるエラー箇所推定○最短経路＝辺の数が最小の経路、すなわちエラーの数が最小○各エラーが独立に確率𝑝で起こるとすると、最も起こりやすいエ

ラーパターンはエラー数最小のもの○したがって、MWPMによる推定結果は最尤推定結果に他ならない
𝐸: エラー鎖
𝐻: エラー数あるエラーパターン𝐸が発生する確率

MWPMによる推定に対応する（対数）尤度関数※エラー推定アルゴリズムは他にも様々提案されている（イジング模型のエネル
ギー最小化問題にマッピング、機械学習を組み合わせる、etc…）
54© 2023 Fujitsu Limited

量子エラー訂正符号の性能評価○量子エラー訂正符号の研究では、数値計算により符号のエラー訂正
性能を評価する

左図の数値計算例✓ 物理量子ビットに独立にX, Zエラー
が確率𝑝で発生すると仮定✓ ランダムにエラーをサンプリングし、各サンプルでエラー訂正を実際に行い、論理エラー確率を計算✓ 色々な𝑝の値で繰り返し、プロット閾値

ある値（閾値）を境に、符号距離を伸ばすほど論理エラーが抑制されるというふ
るまいが見られる
55© 2023 Fujitsu Limited

量子エラー訂正符号の性能評価○符号距離𝑑 による論理エラー率のスケーリング
閾値(𝑝𝑡ℎ )以下では、
𝑝 𝑑𝑒𝑃𝐿 ≈ 𝐶
𝑝𝑡ℎ
𝑑+1
𝑑𝑒 =
2
エラー訂正と統計力学モデルに対応あり（random-bond Ising modelなど）
閾値は対応する統計力学モデルにおける臨界温度に相当56© 2023 Fujitsu Limited様々なノイズ模型による性能評価○性能評価で用いられるノイズ模型は3種類○エラーはすべて独立、確率的にパウリエラーが起こるとしてモデル化
符号容量ノイズ(code capacity)

現象論的ノイズ(phenomenological)

回路レベルノイズ(circuit level)

データ量子ビットのみ
エラー発生

データ量子ビットおよび測定にエラー発生

初期化、ゲート操作、測定、アイドリングすべて
でエラー発生57© 2023 Fujitsu Limited

（発展）測定エラーのある場合のエラー訂正○これまでの議論は、測定されたシンドローム値が正しいものとしてそこからエラー箇所推定を行った○しかし、実際の量子コンピュータにおける量子ビットの測定はエ
ラーを伴う○測定にもエラーがある場合、シンドローム測定を複数回行い、それらの差分を用いて3次元的にエラー箇所推定を実行する

58© 2023 Fujitsu Limited

（発展）測定エラーのある場合のエラー訂正○差分シンドローム（𝑡 − 1回目と𝑡回目のシンドロームの差分）○この差分シンドロームは以下のエラーに反応し反転する○𝑡 − 1 回目に起こったのシンドローム測定エラー○𝑡 回目に起こったのシンドローム測定エラー○𝑡 − 1 回目と𝑡回目の間に発生した物理量子ビットのエラー

59© 2023 Fujitsu Limited

（発展）測定エラーのある場合のエラー訂正

物理量子ビットエラー

測定round

差分シンドロームを頂点、物理
量子ビットおよび測定エラー箇
所を辺に持つ3次元的なデコー
ドグラフを構成（右図）（空間方向は今までのデコード
グラフと同様、時間方向は同じ頂点同士をつなぐ）
反転した差分シンドロームをMWPMでマッチングすることで、測定エラーと物理量子ビッ
トエラーの箇所を特定する（右図赤）※視認性のため、時間方向の
辺は省略

測定エラー

60

© 2023 Fujitsu Limited様々なノイズ模型による性能評価
回路レベルノイズ模型での性能評価例

𝑝

𝑃𝐿 ≈ 𝐶𝑑𝑒 =𝑑𝑒

符号距離が長いほど性能が良くなる
閾値の値：0.5%~0.75%

𝑝𝑡ℎ
𝑑+1
2

𝑃𝐿

量子エラー訂正符号の閾値は、後ほど議論するFTQCの閾値定理において重要な役割を果たす
𝑝

Fowler, PRA 86 032324 (2012) より
61© 2023 Fujitsu Limited

実機による表面符号の検証○最近の事例：Googleによる超伝導デバイスを用いた検証(2023)
符号距離3, 5の表面符号を実機実装し、論理エラー確率のふるまいを調べた

若干ではあるが、符号距離を伸ばすことで論理エラー確率が抑制されたと報告

Google Quantum AI, Nature 614 (2023)より
62© 2023 Fujitsu Limitedここまでのまとめ○スタビライザー符号の基礎事項○スタビライザー群で指定されるスタビライザー状態を符号語として用いる○簡単な例○3量子ビット反復符号：1つのXエラーを訂正可能な符号○ スタビライザー演算子の固有値測定によるエラー検知○ エラー箇所の最尤推定と符号距離○Steane符号：1量子ビットエラーを訂正可能な符号○ エラーの離散化：パウリエラーが訂正できればアナログエラーも訂正可能○最近の主流：表面符号○諸々の定義○エラー箇所の最尤推定アルゴリズム：MWPM法○最近の実験報告（Google）
63© 2023 Fujitsu Limited誤り耐性量子計算
概要
論理ゲート操作の実装方法
近年の主流：Lattice surgeryによる論理ゲート実装

64© 2023 Fujitsu Limited概要○これまでに、エラー耐性を持つ単一の量子ビット（論理量子ビット）をどう構成するか、エラー訂正をどう行うかを議論してきた○ここからは、論理量子ビットにゲートを作用させ、計算を行うことを考える
エラー訂正符号で保護された
論理量子ビット
論理ゲート操作

量子エラー訂正により論理エラーを抑えながら計算＝誤り耐性量子計算（Fault-Tolerant Quantum Computing, FTQC）
65© 2023 Fujitsu Limited概要○このようなことが実現可能であることを示す定理として、閾値定理が知られている閾値定理(ざっくり版)

量子計算機がある閾値より小さいエラー率で動作するとき、任意の量子回路が任意の精度で効率的に実行できる✓ 量子計算において不可避であるエラーも、ある閾値より低く抑えることさ
えできればもはや問題ではなくなる！
✓ 量子コンピュータ実現のための拠り所

66© 2023 Fujitsu Limited

FTQCの基本的なアイデア○論理量子ビットの符号化を解除することなくそのまま計算を実行○計算の途中でエラー訂正を実施し、エラーの蓄積を抑える

何らかの操作を行った直後にエラー訂正が挿入される

67© 2023 Fujitsu Limited

論理演算の誤り耐性（Fault-tolerance）○この時問題になるのがエラーの伝搬例）CNOTゲート

Z†
𝑈𝐶𝑁 𝑍𝑡 𝑈𝐶𝑁= 𝑍𝑐 𝑍𝑡†
𝑈𝐶𝑁 𝑋𝑐 𝑈𝐶𝑁= 𝑋𝑐 𝑋𝑡

Z

X

X

Z

X

CNOTの直前に起きた1つのエラーが、CNOTを作用させることで2つに増える

論理量子ゲート内でエラーが伝搬し増幅してしまうと、本来訂正できるはずのエラーが訂正できなくなってしまう可能性があるX| 𝜓 ۧ𝐿

X

𝑈

X

QEC

𝑋𝐿 |𝜓ۧ𝐿

X

68© 2023 Fujitsu Limited

論理演算の誤り耐性（Fault-tolerance）○このようなことが起こらない条件：誤り耐性（Fault-tolerance）
𝑛個の論理量子ビットに作用する論理演算を考えたとき、この演算が誤り耐性を持つとは、その演算過程の1か所で起こったエラーが高々各𝒏論理量子ビットに1つずつしか伝搬※実用上は、符号のエラー訂正性能に応じてしないことを言う
定数個程度（例えば2つとか）の伝搬を許す場合もある
X

X

X

FTな例：

FTではない例：

X
X
X
X

X

69

© 2023 Fujitsu Limited

Fault-tolerantな論理演算の具体的な構成○実際にどのようにFault-toleranceが実現されているか、以下Steane符号を具体例にとって議論していく○（復習）Steane符号○7物理量子ビットからなる量子エラー訂正符号、符号距離3（1つのエラーを訂正できる）

スタビライザー：

論理演算子：

70

𝑋𝐿 = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑍𝐿 = 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍© 2023 Fujitsu Limited

Fault-tolerantな論理ゲート例）Steane符号の論理X, Zゲート
論理X, Zゲートは7つの物理量子ビットすべてに物理X、物理Zゲートを作用することで実行できた：X| 𝜓 ۧ𝐿

Z

𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋

X
Z

エラー伝搬しない= Fault-tolerant
直後のエラー訂正で正しく訂正できる

このように、符号を構成する物理量子ビット毎に物理ゲートを作用させることで実現できる論理ゲートは自動的に誤り耐性を持つ（transversality）
71© 2023 Fujitsu Limited

Fault-tolerantな論理ゲート例）Steane符号のH, S, CNOTゲート：transversalに実行できる➢ 論理Hゲート
𝐻
𝐻
𝐻
𝐻
𝐻
𝐻
𝐻

𝑋𝐿 = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑍𝐿 = 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍（確認は練習問題）➢ 論理CNOTゲート➢ 論理Sゲート
𝑍𝑆
𝑍𝑆
𝑍𝑆
𝑍𝑆
𝑍𝑆
𝑍𝑆
𝑍𝑆
72

© 2023 Fujitsu Limited

Fault-tolerantな論理量子ビット測定○論理量子ビットのZ基底による測定も、transversalな方法でfaulttolerantに実行できる| 𝜓 ۧ𝐿

𝑀𝑍
𝑀𝑍
𝑀𝑍
𝑀𝑍
𝑀𝑍
𝑀𝑍
𝑀𝑍

符号を構成する物理量子ビットをZ測定 測定プロセスでエラー伝搬は起こらない Fault-tolerant✓ 各測定値の積を取ることで、Zシンドローム値や論理Zの測定値を得られる（これらは測定基底と可換なため）✓ 測定エラーは測定直前のXエラー＋正しい測定とみなせるため、上記のように得られたZシンドローム値を用いてエラー訂正を行える
73© 2023 Fujitsu Limited

Fault-tolerantな論理量子ビット初期化○論理量子ビットの初期化は、transversalな初期化+スタビライザー
測定による符号空間への射影によって実現可能
| 0ۧ
| 0ۧ
| 0ۧ
| 0ۧ
| 0ۧ
| 0ۧ
| 0ۧ

QEC

| 0ۧ𝐿

✓ スタビライザー測定はエラー訂正プロトコルの一部✓ |0ۧ初期化が済み次第エラー訂正プロトコルを実行し、初期化時のエラーを取り除く
74© 2023 Fujitsu Limited

Eastin-Knillの定理○ある特定の量子ゲートの組（ユニバーサルゲートセット）を組み合わせることで任意の量子計算が可能であることは既に見た○これらがすべてtransversalに実行できれば、誤り耐性を容易に満たすことが出来るが…？

実は、ユニバーサルゲートセットすべてをtransversalに実行できる
量子エラー訂正符号は存在しないことが知られている（Eastin-Knillの定理）例）Steane符号では、ユニバーサルゲートのうち {𝑆, 𝐶𝑁𝑂𝑇, 𝐻}はtransversalに実行できるが、𝑇は実行できない75© 2023 Fujitsu Limited

ゲートテレポーテーション回路による実行○transversalに構成できない論理ゲートは、ゲートテレポーテー
ションを介して間接的に実行するのが定石
入力１：（練習：確かめよ）

入力２：○実行に必要な状態|𝑇ۧは魔法状態と呼ばれる：76© 2023 Fujitsu Limited

ゲートテレポーテーション回路による実行○ゲートテレポーテーション回路で実行されるCNOT, X, S, 測定はす
べてFault-tolerant

Fault-tolerant
魔法状態生成は？

○Tゲート実行に必要な魔法状態の生成がFault-tolerantになれば、全体としてFault-tolerantになる○実はここが厄介：魔法状態注入＋魔法状態蒸留という手続きによってFault-toleranceを達成するのが定石
77© 2023 Fujitsu Limited

魔法状態注入○Steane符号の例：以下の回路で符号化された|𝑇ۧ𝐿 を作る
予め物理量子ビットで|𝑇ۧを
作って入力

|𝑇 ۧ

| 𝑇 ۧ𝐿

=78© 2023 Fujitsu Limited

魔法状態注入
ただし、この魔法状態注入操作はFault-tolerantではない：

X
X
X|𝑇 ۧ X𝑋𝐿 |𝑇ۧ𝐿
1か所のエラーが伝搬し、論理エラーを引き起こす

𝑿𝑳 = 𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿𝑿= 𝑿𝑿𝑿𝑰𝑰𝑰𝑰(up to 𝒈𝟏 )79

© 2023 Fujitsu Limited

魔法状態蒸留○魔法状態注入だけでは、魔法状態は𝑂(𝑝)で論理エラーを含む○ここからエラーを取り除き、よりきれいな魔法状態を作り出すプロ
セスを魔法状態蒸留(magic state distillation)と呼ぶ

80© 2023 Fujitsu Limited

魔法状態蒸留基本的な戦略：transversalな論理Tゲートが実行可能な符号と連接し、エラー検知を行ってエラーを減らす○ 符号の連接(concatenation)…論理量子ビットを複数用意し、それらをさらに符号化すること
Enc.

|0ۧ𝐿0

Enc.

|0ۧ𝐿0

Enc.

|0ۧ𝐿0

Enc.

81

|0ۧ𝐿1

© 2023 Fujitsu Limited

魔法状態蒸留
処理の流れ
|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿

Enc.

|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿

Dec.

…

…

Errorۧ
|+ۧ𝐿1 detection| 𝑇 𝐿1…
…
…

…
| + ۧ𝐿

𝑇
𝑇
𝑇
𝑇|𝑇 ۧ 𝐿𝑇
エラーを検知したらやり直しSteane符号82© 2023 Fujitsu Limited

魔法状態蒸留
連接した符号は符号距離32か所までのエラー(𝑂(𝑝2 ))は検知可能

エラー削減のメカニズム

|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿
|0ۧ𝐿

Enc.

Error
detection

𝑇

…

…
…
…

…
| + ۧ𝐿

𝑇
𝑇
𝑇
𝑇

|𝑻ۧ𝑳𝟏
エラー検知をパスした状態のエラー
確率は𝑶(𝒑𝟑 )それぞれのTゲートは𝑂(𝑝)のエラー確率（先述の魔法状態注入で作った魔法状態を利用）
83© 2023 Fujitsu Limited

魔法状態蒸留○連接には、典型的に[[15,1,3]]Reed-Muller符号が用いられる○15個の量子ビットから構成される符号、符号距離３○論理𝑻ゲートがtransversalに実行できる○transversal論理Tゲート実行のため、15個の魔法状態を消費する○蒸留された魔法状態は1個得られる○前スライドで言及した通り、transversal論理Tゲートの各要素が𝑂(𝑝)のエラーを含むため、エラー検知をパスした状態のエラー率は𝑂(𝑝3 )まで改善

15-to-1 プロトコルと呼ばれる

84© 2023 Fujitsu Limitedここまでのまとめ○Steane符号を例にとり、論理演算の実行方法を議論してきた○{𝐶𝑁𝑂𝑇, 𝐻, 𝑆}はtransversalに、𝑇は魔法状態蒸留を用いることで、すべてFaulttolerantに実行できる○測定や計算基底への初期化もFault-tolerantに実行できる

Steane符号は1量子ビットを訂正できる符号であるため、結果としてすべての論理演算において論理エラー確率を𝑶(𝒑𝟐 )に抑制できる
次に、ここから閾値定理（かっちり版）を導いてみる85© 2023 Fujitsu Limited

連接符号による論理エラー率の低減○先述の連接(concatenation)により、論理エラー率をさらに減らすことが出来る

エラー率
エラー率
𝑝

|0ۧ𝐿0

1
𝑐

エラー率
𝑃𝐿0 =

1
𝑐

𝑐𝑝 2

𝑐𝑃𝐿0

2

=

1
𝑐

𝑐𝑝 4

|0ۧ𝐿1

|0ۧ𝐿0
|0ۧ𝐿0
𝟏

𝒌

𝒌回連接すると、エラー率を𝒑 → 𝒄 𝒄𝒑 𝟐 に抑制できる86© 2023 Fujitsu Limited

連接符号による論理エラー率の低減○符号化された状態への誤り耐性演算に必要な物理ゲートの数の最大数を𝐷とすると、𝒌回連接した場合には𝑫𝒌 個の物理ゲートが必要
|𝜓ۧ𝐿1

|𝜓ۧ𝐿0

|𝜙ۧ𝐿0

|𝜙ۧ𝐿1
𝑘 = 1, 𝐷 = 3

𝑘 = 2, 𝐷2 = 987© 2023 Fujitsu Limited閾値定理
いま、𝑝(𝑛) 個のゲートを含む量子回路の実行を考える（𝑛:問題サイズ、𝑝(𝑛): 𝑛の多項式）
この回路をエラー確率𝜖 で実行するためには、各ゲートのエラー確率が𝜖/𝑝(𝑛) であればよく、𝑘回の連接符号を用いるとすると
𝑘

𝑐𝑝 2
𝜖
≤
𝑐
𝑝(𝑛)
を満たす𝑘を取ってくればよい（ただし𝑝 < 1/𝑐 = 𝑝𝑡ℎ ）88© 2023 Fujitsu Limited閾値定理
このとき、必要な物理ゲート数は𝑑 𝑘 ⋅ 𝑝(𝑛)だが、

𝑑 𝑘 = 2𝑘 log2 𝑑 ≤

𝑝 𝑛
log 2
𝑐𝜖
1
log 2
𝑐𝑝

log2 𝑑

=𝑂
𝑐𝑝 2
𝑐

𝑘

𝑝𝑜𝑙𝑦 log 2

𝑝 𝑛
𝜖
𝑝 𝑛

log2
𝜖
𝑐𝜖
≤
より 2𝑘 ≤
1
𝑝(𝑛)
log2

を用いた

𝑐𝑝

より、回路全体は高々𝑶(𝒑(𝒏)𝒑𝒐𝒍𝒚(𝒍𝒐𝒈(𝒑(𝒏)/𝝐))) 個の物理ゲートで
実行できる
89

© 2023 Fujitsu Limited閾値定理
以上の議論をまとめると次の閾値定理を得る：

閾値定理
量子計算機がある閾値𝑝𝑡ℎ より小さいエラー率で動作するとする
このとき、𝑝(𝑛)個のゲートを含む量子回路は高々𝑂(𝑝(𝑛)𝑝𝑜𝑙𝑦(𝑙𝑜𝑔(𝑝(𝑛)/𝜖)))個の物理ゲートを用いてエラー
確率𝜖で実行することができる
現状最も有力な表面符号では閾値 𝒑𝒕𝒉 ~𝟎. 𝟕𝟓%
90© 2023 Fujitsu Limited閾値定理※もちろん、実際のエンジニアリングでは様々な困難がある○ 物理エラー率を閾値以下に下げること○ 量子ビット数○ エラー訂正の速度
etc…

91

© 2023 Fujitsu Limited

近年の主流：表面符号＋Lattice surgery○既に述べたように、近年では表面符号と呼ばれる量子エラー訂正符号が注目されている○実装のしやすさと閾値の高さ（~0.75%）○それゆえ、表面符号を用いたFTQCが広く研究されてきている○ここからは、表面符号を用いて論理ゲートを効率良く実現するためのテクニックである、Lattice surgeryを紹介する

92© 2023 Fujitsu Limited

表面符号の論理ゲート
準備：表面符号における論理ゲートはどのように構成されるか？

𝑍𝐿✓ transversalに実行できるのは論理
H(向きが90度回転する),CNOTゲート✓ それ以外の論理S,Tゲートは魔法状態
を用いて間接実行する✓ 初期化・測定などはSteane符号の時と同様に実行可能

𝑋𝐿
93© 2023 Fujitsu Limited

実機制約○原理的にtransversalに実行できる論理ゲートも、量子コンピュータ実機で実行するのが難しい場合がある
例）超伝導量子ビット

超伝導量子ビットは1枚のチップ平面上に量子ビットが並べられており（左図：○,●）、最近接した量子ビット同士でのみCNOTゲートを作用できる（左図：実線でつながっているもの同士）94© 2023 Fujitsu Limited

実機制約○超伝導実機で無理やりtransversal CNOT？
量子ビットを3次元的に配置して（平面チップを層状に重ねる）
上下を接続すればtransversal CNOTができるのでは？

実機の構造上非現実的（配線スペースやエラーの増加など）

95© 2023 Fujitsu Limited

実機制約
超伝導実機で無理やりtransversal CNOT？

SWAPなどを大量に入れる必要あり、実行時間遅い＆ノイズが多く厳しい96© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgery誕生の背景○このように実機制約がある場合に、表面符号で効率よくCNOTゲー
トを実行する方法はないか？

○このような背景で生み出されたのがLattice surgery○Lattice surgeryでは、平面上で隣接した符号間の局所的な操作を組み合わせることでCNOT演算を実行できる（余計にSWAP操作などを入れる必要なし）○実機実装が現実的であることから、近年のFTQCアーキテクチャの基礎となっている97© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryの基本操作○基本的な操作は、符号の結合（merge）と分離（split）
結合

分離
結合：2つの符号間のスタビライザー演算子を測定することで1つにする
分離：1つの符号の一部の物理量子ビットを測定することで2つに分ける
結合と分離を連続で行うことで、境界の種類に応じて論理𝒁 ⊗ 𝒁 (𝑿 ⊗ 𝑿)測定を実行できる98© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理 𝑿 ⊗ 𝑿測定○以下、簡単な例として𝑑 = 3 表面符号の結合&分離を考える
1

i

|0 ۧ

a

|𝜓 ۧ 𝐿 2

j

|0ۧ

b

k |0 ۧ

c3|𝜙 ۧ 𝐿

操作実行前の状態は 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 0ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘
結合&分離によって、最終的に (𝟏 + −𝟏 𝑴 𝑿𝑳 ⊗ 𝑿𝑳 ) 𝝍ۧ𝑳 𝝓ۧ𝑳 が得られることを示す
99© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理 𝑿 ⊗ 𝑿測定○merge実行
|0 ۧ
|0 ۧ

|0ۧ

網掛け部分が新たに測定されるスタビライザー演算子✓ Zスタビライザーは元々のZスタビライザーと|𝟎ۧ初期化により測定前から固有値＋１確定✓ Xスタビライザーは測定した段階で固有値±𝟏どちらかになる

merge実行後の状態は 𝑃𝑋𝑖𝑎 𝑃𝑋3𝑘 𝑃𝑋𝑗𝑘𝑏𝑐 𝑃𝑋12𝑖𝑗 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 0ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘
𝑃𝑋𝑖…𝑗 =
100

1
2

1 + −1 𝑚𝑖…𝑗 𝑋𝑖…𝑗 (射影演算子)© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理 𝑿 ⊗ 𝑿測定
merge実行で測定されるXスタビライザーの積は、2つの符号化された状態の論理X演算子の積になっていることに注意

𝑋𝐿

𝑋𝐿

merge時のXスタビライザー測定により、間接的に論理𝑿 ⊗ 𝑿測定が実行されている（測定値は各Xスタビライザー測定値の積）
このままでは1つの符号になってしまっているので、分離して再び2つの符号に戻す
101© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理 𝑿 ⊗ 𝑿測定○split実行

Z測定|0ۧ or |1ۧ

merge実行前に |0ۧに初期化していた量子ビットを再びZ基底で測定する
merge実行後の状態𝑃𝑋𝑖𝑎 𝑃𝑋3𝑘 𝑃𝑋𝑗𝑘𝑏𝑐 𝑃𝑋12𝑖𝑗 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 0ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘を展開して、最終的にどうなっているかを見ていく
102© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理 𝑿 ⊗ 𝑿測定
𝑃𝑋𝑖𝑎 𝑃𝑋3𝑘 𝑃𝑋𝑗𝑘𝑏𝑐 𝑃𝑋12𝑖𝑗 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 0ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘
= ( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 0ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘
+ −1 𝑚𝑖𝑎 𝑋𝑎 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 1ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘
+ −1 𝑚𝑖𝑎 +𝑚12𝑖𝑗 𝑋12 𝑋𝑎 ( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 0ۧ𝑖 1ۧ𝑗 |0ۧ𝑘

+ −1 𝑚3𝑘 𝑋3 ( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 0ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |1ۧ𝑘
+ −1

𝑚12𝑖𝑗

𝑋12 ( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1

𝑀

𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 1ۧ𝑖 1ۧ𝑗 |0ۧ𝑘

splitに伴うZ測定でいずれかが選ばれる+ −1 𝑚𝑖𝑎+𝑚3𝑘 𝑋3 𝑋𝑎 ( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 1ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |1ۧ𝑘
+ −1 𝑚𝑖𝑗𝑏𝑐 𝑋𝑏𝑐 ( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 0ۧ𝑖 1ۧ𝑗 |1ۧ𝑘
+ −1 𝑚𝑖𝑎+𝑚𝑗𝑘𝑏𝑐 𝑋𝑎𝑏𝑐 ( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 1ۧ𝑖 1ۧ𝑗 |1ۧ𝑘103

© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理 𝑿 ⊗ 𝑿測定○測定結果が(+1,+1,+1)だった場合：
測定後の状態は( 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 ) 0ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘
論理 𝑋 ⊗ 𝑋 測定後の状態になっている○測定結果が(-1,+1,+1)だった場合：
測定後の状態は−1 𝑚𝑖𝑎 𝑋𝑎 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 + −1 𝑀 𝑋𝐿 ⊗ 𝑋𝐿 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 1ۧ𝑖 0ۧ𝑗 |0ۧ𝑘

𝑋𝑖𝑎 を作用して打ち消すことで論理 𝑋 ⊗ 𝑋 測定後の状態になる(ほかの測定結果の場合も同様)
測定結果に応じて適切なパウリ演算子を作用することで、いずれの場合にも論理𝑿 ⊗ 𝑿測定が達成される！
104© 2023 Fujitsu Limited

論理𝑍 ⊗ 𝑍測定○論理𝑍 ⊗ 𝑍測定も、論理Z演算子が定義されている境界同士で結合＆分離を行えばまったく同様に実行可能：

結合𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 +ۧ𝑖 +ۧ𝑗 |+ۧ𝑘

𝑍𝐿

𝑍𝐿

分離
(1 + −1 𝑀 𝑍𝐿 ⊗ 𝑍𝐿 ) 𝜓ۧ𝐿 𝜙ۧ𝐿 +ۧ𝑖 +ۧ𝑗 |+ۧ𝑘105

© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理CNOT演算○議論してきた論理𝑋𝑋、𝑍𝑍測定を組み合わせることで、論理CNOT
演算を実行できる！

準備：CNOTは以下の等価回路で実行できる

補助的な量子ビット

106

𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 : 測定値© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理CNOT演算（確認）測定値がすべて+1だった場合を考える|𝑐ۧ +ۧ 𝑡ۧ = 𝛼 0ۧ + 𝛽 1ۧ |+ۧ|𝑡ۧ( 𝑐 ۧ = 𝛼 0ۧ + 𝛽|1ۧ )→ 𝛼 00ۧ + 𝛽 11ۧ |𝑡ۧ(論理𝑍𝑐 𝑍+ 測定)→ 𝛼 00ۧ + 𝛽 11ۧ |𝑡ۧ + 𝛼 01ۧ + 𝛽 10ۧ 𝑋𝑡 |𝑡ۧ(論理𝑋𝑡 𝑋+ 測定)(論理𝑍+ 測定)

→ 𝛼|0ۧ|0ۧ|𝑡ۧ + 𝛽|1ۧ|0ۧ𝑋𝑡 |𝑡ۧ(アンシラ無視)→ 𝜶|𝟎ۧ|𝒕ۧ + 𝜷|𝟏ۧ𝑿𝒕 |𝒕ۧ
107© 2023 Fujitsu Limited

Lattice surgeryによる論理CNOT演算
実機での配置例：
𝑋𝐿
|+ ۧ

𝑍𝐿
𝑍𝐿
|𝑐 ۧ

𝑋𝐿
|𝑡 ۧ

操作手順：
1. |+ۧに初期化されたアンシラを準備
2. アンシラとctrl量子ビットでZZ測定
3. アンシラとtrgt量子ビットでXX測定
4. アンシラをZ測定
5. 各測定結果に応じてパウリ演算子を作用測定されるスタビライザーはすべて局所的なので、実機制約下でも問題なく実行できる（アンシラは必要）
108© 2023 Fujitsu Limited

量子計算アーキテクチャの例
Lattice surgeryでFTQCを実行するための論理量子ビット配置例：

魔法状態蒸留に用いる領域

Horsman(2012)より

CNOT等に用いる
アンシラ用領域
Litinski (2019)より
109© 2023 Fujitsu Limitedここまでのまとめ○閾値定理○量子コンピュータがある閾値以下のエラー率で動作するとき、高々多項式オーバーヘッドで任意精度の量子計算が実行できる○現状知られている閾値は0.75%程度（表面符号）○近年の主流：Lattice surgeryによる論理ゲート実行○モチベーション：実機制約がある場合でも、表面符号で効率良く論理ゲートが実行できないか？
○結合&分離により、論理𝑿𝑿, 𝒁𝒁測定を実行できる○それらを組み合わせることで論理CNOT演算を実現○Lattice surgeryに基づく論理量子ビット配置例110© 2023 Fujitsu Limited

Early-FTQC向け新量子計算アーキテクチャ
Y. Akahoshi et al., arXiv:2303.13181 に基づく

111

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量子コンピュータの現状#. of superconducting qubit

100量子ビットを超えるノイズあり中規模量子コンピュータ(NISQ)は利用可能になりつつあるが、ノイズの影響により複雑な計算は困難

1M

10K

2048ビット素因数分解
2 × 107 qubits (C. Gidney et al. (2019))

FTQC
Early-FTQC：NISQ-FTQC間の過渡期
IBM (433 qubits)

100

1

NISQ
NEC

Google (72 qubits)
Fujitsu & RIKEN(64 qubits)

1990 1996 2002 2009 2015 2022 2028 2035
超伝導量子ビットの進化
112

量子化学計算4 × 106 qubits (J. Lee et al. (2021))
物性計算
𝑂(105 ) qubits (N. Yoshioka et al. (2022))

Early-FTQCにおいて、量子計算の有用性をデモンストレーションしたい…
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Early-FTQCに対する取り組み○このような背景の下、近年Early-FTQCを念頭に置いた研究が増えてきている➢ 統計的位相推定➢ FTQCリソース削減
Y. Suzuki et al. PRX Quantum 3 010345 (2022)より

アンシラ1つで実行可能
測定値の平均：

NISQで用いられる量子エラー緩和を組み合わせることで、FTQCに必要なリソースを削減する

古典処理によりエネルギー推定
113© 2023 Fujitsu Limited

本研究のモチベーション○Early-FTQCを念頭に置いた量子計算アーキテクチャ研究はあるものの、あくまでFTQCをどこまで妥協できるか、といったもの

そもそもEarly-FTQCに特化した量子計算アーキテクチャを設計できないだろうか？
既存アプローチよりも高い性能を発揮することが出来るか？

114© 2023 Fujitsu Limited

本研究のアプローチ✓ 基本ゲートを見直すことで、物理量子ビット数と実行時間を削減• Tゲートではなく、任意角度の回転ゲートを直接実行する• Solovay-Kitaev（~100T）不要、魔法状態蒸留スキップ✓ 副作用として位相回転ゲートの量子エラー訂正が不完全になるが、位相回転ゲートの実行方法を工夫し可能な限り精度を高める
従来FTQCの基本ゲート

Hゲート

CNOTゲートSゲート

我々の手法の基本ゲート

Tゲート

Hゲート

CNOTゲートSゲート

位相回転ゲート

計算コスト大幅削減
位相回転ゲートのエラー訂正が不完全

すべてエラー訂正
Tゲートのエラー訂正コスト大115© 2023 Fujitsu Limitedユニバーサリティ？

𝑈

𝐻𝑇𝐻𝑆𝑇
𝑅𝑍 𝛼1 𝑅…𝑋 𝛽1 𝑅𝑍 (𝛾1 )𝑇𝐻𝑇𝐻
𝑅𝑍 𝛼3 …𝑅𝑋 𝛽3 𝑅𝑍 (𝛾3…
)

FTQC

…

𝑅𝑆𝑇𝑆𝐻𝑇𝑍 𝛼2 𝑅…
𝑋 𝛽2 𝑅𝑍 (𝛾2 )目的のユニタリ𝑈✓ 𝐶𝑁𝑂𝑇と1量子ビットユニタリ(𝑈1 , 𝑈2 , …)で分解できる✓ 𝐶𝑁𝑂𝑇と1量子ビットユニタリ(𝑈1 , 𝑈2 , …)で分解できる✓ 1量子ビットユニタリは任意回転ゲート3つで分解（オイラー角）✓ 1量子ビットユニタリは{𝐻, 𝑇, 𝑆}を用いて近似

116© 2023 Fujitsu Limited

比較早見表Clifford*ゲート

Non-Clifford**
ゲート

リソース要求

NISQ

ノイズあり

ノイズあり

小（符号化無し）

FTQC

ノイズなし

ノイズなし

大（符号化、魔法
状態蒸留）

本研究

ノイズなし

ノイズあり

中（符号化のみ）*Cliffordゲート：パウリ群を不変に保つゲート（CNOT,H,S）**non-Cliffordゲート：Cliffordゲートに含まれないゲート

任意回転ゲート(non-Clifford)をどれだけ高精度に実行できるかが性能のカギ
117© 2023 Fujitsu Limited任意回転ゲートの実行
ゲートテレポーテーション回路で実行：
INPUT：
target qubit

measured value = +1 : successmeasured value = −1 : inverse

OUTPUT：
rotated target qubit

補助状態 |𝒎𝜽 ۧ𝑳✓ 測定結果によって出力される状態が変化（五分五分）✓ 逆回転になった場合、2𝜃 回転角で回転しなおす✓ これを正しい出力が得られるまで繰り返す（Repeat-Until-Success, RUS）
✓ 補助状態生成でエラーが発生する•

魔法状態蒸留は実行できないので、なるべくエラーが生じないような生成プロセスを工夫する必要がある
118© 2023 Fujitsu Limited任意回転ゲートの実行
エラーを減らす工夫： [[4,1,1,2]]エラー検知符号に符号化し、ポス
トセレクションと組み合わせることでエラーを削減
Error syndromes
4 physical qubits|𝑚𝜃 ۧ𝐿|𝑚𝜃 ۧ𝐿 preparation circuit| 𝑚 𝜃 ۧ𝐿|𝑚𝜃 ۧ𝐿

Error detection circuit

Embedding it into QEC code

回路レベルノイズ模型（あらゆる操作でエラーが確率𝒑で発生）の下で、生成される

補助状態の論理エラー確率は 𝒑𝑳 =𝟐𝒑
+ 𝑶(𝒑𝟐 )𝟏𝟓

魔法状態生成に関する先行研究と比較して高い精度 (e.g. 46𝑝/15 in Y. Li New J. Phys. 17, 023037 (2015))
119© 2023 Fujitsu Limited

数値計算に基づくリソース見積もり➢ 量子エラー訂正シミュレーション➢ 補助状態生成シミュレーション

どれくらいの計算ができるか？
104 物理量子ビット（エラー確率 𝑝 = 10−4 ）のデバイスを想定した場合、我々のアーキテクチャを用いると、64論理量子ビットに対してCliffordゲート: 𝟏. 𝟕𝟐 × 𝟏𝟎𝟕 回
Logical error rate of the ancilla state
任意回転ゲート ✓ これにより、: 𝟑. 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎𝟒 回
2𝑝
Clifford演算の論= 𝟕)✓ approaches 実行可能(𝒅toフィット関数

理エラー確率を見積もることが可能

15✓ 𝑂 𝑝2 is negligible at 𝑝~10−4120© 2023 Fujitsu Limited

FTQCとの比較○FTQCアーキテクチャ(D. Litinski, Quantum 3, 128 (2019))との比較○同じデバイス(104 物理量子ビット、 𝑝 = 10−4)を想定

compact/intermediate/fast: 論理量子ビットの配置方法の違い（使用する量子ビット数はcompact < intermediate < fast）

FTQCと比較し、より多くの論理量子ビットを生成でき、ゲート操作も高速
121© 2023 Fujitsu Limited

NISQとの比較○NISQにおける性能指標：量子ボリューム𝒏量子ビット、深さ𝒏のベンチマーク回路（左図）がreasonableに実行できたとき、量子ボ
リュームは𝟐𝒏
ベンチマーク回路（4 qubits、depth 2）✓ 同じデバイス(104 物理量子ビット、 𝑝 = 10−4 )を想定すると、NISQでは QV =𝟐𝟑𝟕 (A. W. Cross et al., Phys. Rev. A 100, 032328 (2019)における評価式を用いて算出)✓ 我々のアプローチでは、QV = 𝟐𝟔𝟒

122© 2023 Fujitsu Limited

可能なアプリ量子多体系シミュレーションとは相性が良い：

トロッター分解

パウリのテンソル積

それぞれ任意回転ゲートで実行

例) 32-site 2D Hubbard modelでおよそ100 トロッターステップくらい踏める（先述のリソース見積もりに基づく試算）123© 2023 Fujitsu Limited

まとめ○来るべきEarly-FTQCに向けて、量子計算の有用性を示すための研究が進められている○本研究では、Early-FTQCに特化した量子計算アーキテクチャを提案した○Cliffordゲートは量子エラー訂正、non-Cliffordゲート（任意回転ゲート）はノ

イズを含む、部分的な誤り耐性量子計算○数値計算に基づくリソース見積もりによれば、1万量子ビット程度のデバイスで既存アプローチよりも高い性能を発揮できる可能性がある○今後○手法のさらなる改善○有用なアルゴリズム探索
124© 2023 Fujitsu Limited全体のまとめ125© 2023 Fujitsu Limited全体まとめ○本講義では、量子エラー訂正および誤り耐性量子計算の基礎と、最近の主流や研究について、具体例を交えながら紹介した○量子エラー訂正○スタビライザー符号から表面符号まで紹介○誤り耐性量子計算○Steane符号を例に、誤り耐性のある論理演算の構成方法を議論○近年の主流であるLattice surgeryも紹介○Early-FTQC向け量子計算アーキテクチャ○比較的近い将来実現する実機で有効な量子計算方法の提案

126© 2023 Fujitsu Limited参考文献(1/2)○ 量子計算の基礎事項○M. Nielsen, I. Chuang “Quantum computation and quantum information”(QCQI)○ 量子エラー訂正・FTQC○P. Shor "Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory".

Physical Review A. 52 (1995)○D. Gottesman “Stabilizer Codes and Quantum Error Correction”, PhD thesis,
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052 (1997)○A. Calderbank, P. Shor “Good Quantum Error-Correcting Codes Exist”
Physical Review A 54 1098 (1996)○A. Fowler et al. “Surface codes: Towards practical large-scale quantum
computation”, Physical Review A 86 032324 (2012)○C. Horsman et al. “Surface code quantum computing by lattice surgery”,
New Journal of Physics, 14 123011 (2012)127© 2023 Fujitsu Limited参考文献(2/2)○量子エラー訂正・FTQC○Google Quantum AI, “Suppressing quantum errors by scaling a surface

code logical qubit”, Nature 614 (2023)○D. Litinski “A game of surface code”, Quantum 3, 128 (2019)○C. Gidney, M. Ekera, “How to factor 2048 bit RSA integers in 8 hours
using 20 million noisy qubits”, Quantum 5, 433 (2021)○J. Lee et al. “Even More Efficient Quantum Computations of Chemistry
Through Tensor Hypercontraction”, PRX Quantum 2, 030305 (2021)○N. Yoshioka et al. “Hunting for quantum-classical crossover incondensed matter problems”, arXiv:2210.14109 (2022)○Y. Akahoshi et al. “Partially Fault-tolerant Quantum Computing
Architecture with Error-corrected Clifford Gates and Space-time Efficient
Analog Rotations”, arXiv:2303.13181 (2023)
128© 2023 Fujitsu Limited

Thank you© 2023 Fujitsu Limited