証券経済研究第87号（2014 . 9）

ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ
三

要

井

秀

俊

旨

本論文は，ボラティリティ変動モデルである ARCH 型モデルによる日経225オ
プション評価の実証研究に関してサーベイを行なったものである。ARCH 型モ
デルは金融時系列データの非線形性をうまく捉え，金融市場の特性に合わせてモデルを拡張することが可能なことからオプションの実証研究に対しても有効であると考えられる。日経225オプションの実証研究で用いられてる ARCH 型モデル
は，GARCH モデル，EGARCH モデル，GJR モデル，FIEGARCH モデルとこ
れらのモデルを応用した MS-GARCH モデル，混合正規 EGARCH モデル，混合
t EGARCH モデルなどである。日経225オプションのようなヨーロピアン・オプ
ションは，オプション評価を行なう際に，原資産となる日経225株価収益率のデータにより ARCH 型モデルのパラメータの推定を行ない，推定されたパラメータを用いてモンテカルロ・シミュレーションによりコール・オプション価格とプット・オプション価格を求めることができる場合が多い。実際に ARCH 型
モデルによるオプション評価は，Black-Scholes モデルよりもオプション価格を正確に捉えることができるかどうか，また，どの ARCH 型モデルを利用することがオプション評価に適しているかどうかに焦点を当てサーベイを行なった。
目次

Ⅰ．はじめに１．リスク中立性によるオプション評価

Ⅱ．オプション分析における ARCH 型モデルとオ

２．局所リスク中立性によるオプション評価

プション評価
１．ARCH 型モデル
２．モンテカルロ・シミュレーションによるオプ
ション価格の導出
Ⅲ．GARCH モデル，GJR モデル，EGARCH モデ

３．原資産収益率の裾が厚い分布を考慮したオプ
ション評価
Ⅳ．ベイズ推定法によるオプション評価
１．ARCH 型モデルのベイズ推定法
２．ベイズ推定によるオプション価格の導出

ルによるオプション価格付け

41

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ
Ⅴ．長期記憶モデルによるオプションによるオプ
ション価格付け

評価
２．原資産収益率の分布の歪みを考慮したオプ

Ⅵ．ARCH 型モデルの応用によるオプション価格
付け

ション評価
Ⅶ．まとめと今後の展望

１．Markov-Switching モデルによるオプションあった。実際に，金融市場では無リスク資産利

Ⅰ．はじめに子率は変動し，ボラティリティも多くの実証研究において時間を通じて変動していることが明オ プ シ ョ ン 評 価 理 論 で は，Black andらかにされている。また，オプション市場でScholes [1973] が 株 式 の ヨ ー ロ ピ ア ン・オ プ

は，ボラティリティが取引されてると言っても

1)

ション に対して Black-Scholes モデル（以下，

過言ではない。したがって，ボラティリティがB-S モデル）として理論的な解を与えた。そ変動するモデルを定式化してオプション評価をの 後，Merton [1973] が Black and Scholes

行なうことは非常に重要であると考えられる。

[1973]とは異なるアプローチで B-S モデルが本論文における日経225オプション3) の実証研

数学的に正しいことを証明し，Black-Scholes

究のサーベイでは「ボラティリティ変動」に焦の公式と命名して以来，オプション価格付けに点を当てることにする。

関する理論・実証研究は飛躍的に増加した。まボラティリティ変動に関してオプション評価

た，Merton [1973]は B-S モデルを配当があるを分析する場合には大きく２つに分けて研究が場 合 の 株 式 オ プ シ ョ ン に 関 し て 拡 張 し，

行なわれている4)。１つは，確率的分散変動

Garman and Kohlhagen [1983] は 通 貨 オ プ（Stochastic Volatility; SV）モデルを用いる方

ションにも適用できるように B-S モデルを改法である。連続時間の SV モデルは，オプショ

良した。そのため，B-S モデルとその拡張モ

ン評価に有効な方法である。しかし，SV モデ

デルは株式，株価指数，通貨を原資産とする

ルはボラティリティを観測されない変数としてヨーロピアン・オプションに一般的に実務の世扱っているため尤度を求めることが難しいこと

界でも利用されるようになった。オプション評

や金融市場の特質に合わせてモデルを拡張する

価 の 実 証 研 究 に 際 し て は，B-S モ デ ル と パことが難しいなどの難点がある。したがって，

フォーマンスを比較して新しいオプション価格

SV モデルによるオプション評価に関する実証付けモデルの評価を行なうようになり，B-S

研究は非常に少なく，日経225オプションに関モデルは実務家や研究者の間においてベンチ

す る 実 証 研 究 と し て は，三 井［1998］，竹 内

マークとなった。

［2006］など僅かしかない。

しかしながら，B-S モデルはある強い仮定の下でしか成立しない。特に,「無リスク資産
2)

もう１つの方法は，Engle [1982]の ARCH
(Autoregressive

Conditional

Heteroskedas-

利子率は一定」と「ボラティリティ は一定」

ticity) モ デ ル と そ れ を 一 般 化 し た Bollerslevの２つの仮定は，当初より非現実的な仮定で[1986]の GARCH (Generalized-ARCH)モデル

42

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証券経済研究を 用 い る 方 法 で あ る。こ れ ら ARCH 型 モ デ
5)第87号（2014 . 9）

GJR モデル，EGARCH モデルに対して原資産

ル はファイナンス時系列の非線形性をうまく収益率の分布に t 分布を仮定してオプション評

捉え，オプションの実証研究に対しても有効で価を行なっている。また，竹内［2006］では，ある。これは，ARCH 型モデルが t 期のボラ

ARCH 型モデルと SV モデルによるオプショ

ティリティを t,1期に既知の変数のみの確定的ン 評 価 の 比 較 を 行 な っ て い る。竹 内（野 木

な関数として定式化し，モデルを拡張しても容森)・渡部［2008］はボラティリティの長期記

易に推定することができるためである。株式市

憶性に着目し，FIEGARCH モデルを利用して場でよくみられる現象として，現在のボラティいる。Satoyoshi

リテイと前日の収益率との間には負の相関（非Markov-Switching モ デ ル（以 下，MS モ デ対称性）があることが知られている。しかし，

ル)を応用した MS-GARCH モデルによるオプ

GARCH モデルでは，このようなボラティリ

ション評価を提案している。また，里吉・三井

ティ変動の非対称性は捉えることができない。

［2013］は，収益率の分布の裾の厚さと左右非そこで，ボラティリティ変動の非対称性を捉え対称性を捉えるために混合正規分布，混合 t 分

るために，Nelson [1991]は EGARCH (Expo-

布と EGARCH モデルを組み合わせた混合正規

nential-GARCH) を 提 案 し，Glosten et al.

EGARCH モデル，混合 t EGARCH モデルによ[1993]は GJR モデルを提案した。また，ボラ

り分析を行なっている。本論文では，これらのティリティには長期記憶性があることが知られARCH 型モデルによる日経225オプションの実ており，長期記憶性を捉えるため Baillie et al.

証研究に関してサーベイを行なう6)。

andMitsui[2011] は，[1996] は FIGARCH (Fractionally Integrated

本論文の以下の構成は次の通りである。Ⅱ節

GARCH) モ デ ル を 提 案 し，Bollerslev andでは，オプション分析における ARCH 型モデ

Mikkelsen [1996]は FIEGARCH モデルを提案

ルとオプション評価について概観する。ARCHした。

型モデルの簡単な説明とモンテカルロ・シミュ

ARCH 型モデルを利用した日経225オプショ

レーションを利用したオプション評価について

ン 評 価 に 関 す る 実 証 研 究 と し て は，森 保解説する。Ⅲ節では，GARCH モデル，GJR モ［1999］，三井［2000］，三井・渡部［2003］，渡デル，EGARCH モデルによるオプション価格

部［2003］，竹 内［2006］，竹 内（野 木 森）・渡付けについて述べ，リスク中立性と局所リスク部［2008］，Satoyoshi and Mitsui [2011]，里

中立性によるオプション評価に関してサーベイ

吉・三 井［2013］が あ る。森 保［1999］は，を行なう。また，原資産収益率の裾の厚さを考GARCH モデルと GJR モデルを用いて投資家慮したオプション評価についてもサーベイを行のリスク中立性を仮定して実証研究を行なってなう。Ⅳ節では，ベイズ推定法によるオプショ

いる。三井［2000］は，GARCH モデルを用い

ン 評 価 に つ い て 纏 め る。Ⅴ 節 で は，てオプション価格の導出の際に Duan [1995]の

FIEGARCH モデルを利用した長期記憶モデル

局 所 中 立 性（Locally Risk-Neutral Valuation

によるオプション評価の実証研究について説明

Relationship; LRNVR）を利用している。渡部する。Ⅵ節では，ARCH 型モデルの応用によ［2003］，竹 内［2006］は，GARCH モ デ ル，

るオプション評価についてサーベイを行なう。

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ

MS-GARCH モデルと原資産収益率の分布の歪ラティリティs 2t の過程を以下のようなみを考慮したオプション評価に関して解説す

ように定式化する。

る。最後のⅦ節では，まとめと今後の展望つい−のGARCH(1,1)：ボラティリティs 2t は過去の予測誤差の２乗と過去のボラティリティの線形て述べる。

の関数として定式化されている。

Ⅱ．オ プ シ ョ ン 分 析 に お け る
ARCH 型モデルとオプション評
価s 2t =w+bs 2t-1+aX 2t-1.

⑷

ここで，ボラティリティの非負性を保証するた
め w, a, b>0であると仮定する。また，ボラ
ティリティの過程に対して定常性を保証するた
め a+b<1であると仮定する。

1．ARCH 型モデル

EGARCH(1,1)：ボラティリティの対数値

日経225オプションの実証研究で用いられる
ARCH 型モデルは，ほとんどが GARCH モデ
ル， EGARCH モ デ ル， GJR モ デ ル，
FIEGARCH モデルである。これらの時系列モを被説明変数としてパラメータの非負制約を取り除き定式化されている。
ln(s 2t )=w+bln(s 2t-1)+gz t-1r

+a z t-1, 2/p .

デルを用いる場合には，AIC (Akaikeʼs Infor-⑸

mation Criterion) や SIC (Schwartʼs Informa-

g<0ならば，株価が上昇した日の翌日よりも，

tion Criterion) などの情報量基準を用いてモデ

株価が下落した日の翌日の方がボラティリティ

ルの次数選択を行なわなければならないが，多は上昇する。このモデルでは，ボラティリティ

くの実証研究においてボラティリティ変動過程の対数値を被説明変数としているため w, b, g,の次数を多くしてもあまりパフォーマンスは改a に非負制約は必要としない。定常性の条件の善されないことが示されている。したがって，

ため0<b<1だけ仮定すればよいが，過去の多実証分析では GARCH(1,1)モデル，GJR(1,1)

くの実証研究の結果を考慮してw, a>0, g<0

モ デ ル，EGARCH (1,1) モ デ ル，FIEGARCH

であると仮定する。

(1, d,0)モデルを利用する場合が多い。以下で

 GJR(1,1)：X t-1 が負のときには１，それ以は，これらのモデルに関して概観する。

外のときには０であるダミー変数D t-1を用いる

時点 t での日経225株価収益率R t の過程を以下のようにおく。

るように定式化されている。

R t=m+X t,⑴

X t=s tz t, s t>0,⑵

z t~i.i.d.E Rz tS=0, Var Rz tS=0.

ことにより，ボラティリティの非対称性を捉え⑶

2
s 2t =w+bs 2t-1+aX 2t-1+gD t-1 X t-1,



Dt-1=

⑹

1 X t-1<00 otherwise.

ここで，定数項 m は期待収益率，z tは誤差項でg>0ならば，株価が上昇した日の翌日よりも，あり，収益率に自己相関は無いと仮定する。

株価が下落した日の翌日の方がボラティリティ

i.i.d.は，過去と独立で同一な分布（independ-は上昇する。ここでも，ボラティリティの非負

ently and identically distributed）を 表 す．ボ

性を保証するため w, a, b, g>0, a+b<1であ44syoken03.mcd

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証券経済研究ると仮定する。
FIEGARCH(1,d,0)：ボラティリティの長期性を捉えるため，以下のように定式化されてい第87号（2014 . 9）

2．モンテカルロ・シミュレーションによるオプション価格の導出
投資家がリスク中立的な場合，日経225オプ

る。
ln(s 2t )=w+R1,b(L)S -1(1,L) -dg(z t-1)，⑺ションのようなヨーロピアン・オプションの価g(z t-1)=qz t-1+r z t-1,E z t-1 .

格 は，リ ス ク・プ レ ミ ア ム（risk premium）

q<0ならば，株価が上昇した日の翌日よりが存在しないため満期におけるオプション価格

も，株価が下落した日の翌日の方がボラティリの期待値を無リスク資産の利子率 r で割り引いティは上昇する。このモデルでは，EGARCH

た割引現在価値となる9)。t 時点を評価日，T

モデルと同様にボラティリティの対数値を被説

時 点 を 満 期 日，C t を 権 利 行 使 価 格 K の コ ー

明変数としているため w, b, a, q, g に非負制約

ル・オプションの t 時点の価格，P t をプット・dは必要としない。(1,L) における d が長期記

オ プ シ ョ ン の 価 格 と す る と き，C t と P t は，

憶性7) を捉えるパラメータを示す。0<d<1と各々，以下の式で表される。

なるとき，ボラティリティs 2t は長期記憶過程に従っている。また，0<d<0.5のとき定常長期

C t=e -(T-t)rE RMax (S T,K, 0)S,
P t=e-(T-t)r

⑼

E RMax (K,S T, 0)S.

⑽

記憶過程と呼び，0.5Cd<1のとき非定常長期

ここで，S T はオプションの満期の原資産価格

記 憶 過 程 と 呼 ぶ。d=0 の と き，ボ ラ テ ィ リである。ARCH 型モデルの場合，右辺の期待

テ ィ s 2t は 単 位 根 を 持 ち 非 定 常 過 程 と な る。

値を解析的に求めることができないので，一般d=0のとき短期記憶過程となりd=0のとき，的にモンテカルロ・シミュレーションによってNelson [1991]の EGARCH(1,0)モデルとなる。

評価する。シミュレーションをN 回行ない，d(1,L) は，以下のように表現される。

N 個の満期の原資産価格S Tが得られたとして，(2)(N)
これらを(S (1)T , S T ,..., S T ）とする。

G (d+1)Lk
k=1 G (k+1) G (d,k+1)
(1,L) d= 6



=1+ 6

k=1

d (d,1)(d,k+1)(,L k).
k

(i)
は i 回目のパスの発生によって得
ただし，S T⑻

られた満期の原資産価格である。N が十分に大きいとき，大数の法則（law of large num-

こ こ で，G(}) は ガ ン マ 関 数（gamma func-ber）よ り ⑼ 式 と ⑽ 式 は，各々，以 下 の 式 に

8)
を表す。
tion）

よって評価することができる。

ここで，⑶式の分布を特定化しパラメータの推定を最尤法などを用いて行なえば良い。オプ
ション評価を行なうためには，推定されたパラメータを用いてモンテカルロ・シミュレーショ

C tqe -(T-t)r

1 N(i),K, 0),
6 Max (S T
N i=1

⑾

P tqe -(T-t)r

1 N
(i)
, 0).
6 Max (K,S T
N i=1

⑿

ン（Monte Carlo simulation）によりオプショ

また，モンテカルロ・シミュレーションの精度

ン価格を導出するのが一般的である。

を高めるために，様々な分散減少法（variancereduction method）が考案されている10)。
図表１には，モデルの推定とモンテカルロ・

45

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ
図表１

モデルの推定とモンテカルロ・シミュレーションの期間；里吉・三井［2013］

シミュレーションの期間が描かれている。R 1

ピードを表す。例えば,「 t ＝月曜日」で前営からR tまでの日経225株価収益率のデータによ業日が金曜日ならば，n t=3であり，ボラティ

り ARCH 型モデルのパラメータを推定を行な

リティはn dt 倍増加する。また，GJR(1,1)モデう。次に，推定されたパラメータを基にしてモルは，収益率過程⒀式，z t の分布の仮定⒁式

ンテカルロ・シミュレーションにより満期日T

と，

(i)
T

での日経225株価 S を求め，最後に割引現在価値の期待値としてオプション価格C t，P t を導出することができる。

s 2t-1R 2t-1
R 2t
s 2t+a d +gD ,t-1 d
d =w+b d
nt
n t-1
n t-1
n t-1



Dt-1=

Ⅲ．GARCH モデル，GJR モデル，
EGARCH モデルによるオプショ
ン価格付け

⒃

1 z t-1<0,0 otherwise.

で定式化している。
日経225の標本期間は1998年９月１日から
1995年12月７日までであり，標本数は799である。GARCH(1,1)モデルと GJR(1,1)モデルの

1．リスク中立性によるオプション評価

パ ラ メ ー タ の 推 定 に は，最 尤 法（Maximum
Likelihood method; ML）を利用している。オ

森保［1999］は，原資産となる日経225の価

プション評価の際には，投資家のリスク中立性

格変動が以下のような GARCH(1,1)モデルとを仮定し，⑾，⑿式によるモンテカルロ・シ

GJR(1,1)モデルに従っていると仮定している。

ミュレーションを用いてオプション価格を導出

月曜日の収益率の分散が他の曜日に比べて大きしている。ここでは，分散減少法は用いていな

いことから曜日効果を取り入れたモデルとなっい。日経225オプションの標本期間は1993年１ている11)。ここでの GARCH(1,1)モデルは，

月限月から1995年12月限月までであり，標本数

R t=s tz t, s t>0,⒀はコール・オプションが16241，プット・オプ

z t~i.i.d.N (0, 1),⒁

ションが16729である。無リスク資産利子率 rs 2t-1R 2t-1s 2t+a d
d =w+b d
nt
n t-1
n t-1

⒂

12)

については，１ヶ月物 CD（Certificate of Deposit）を用いている。モデルのパフォーマンと定式化している 。ここで，n t は (t,1) 営

スの評価に関しては，以下のような平均絶対乖

業日と t 営業日との間の「休業日数＋1」（ t 営

離 率（Mean Absolute Percentage Deviation;

業 日 の 何 日 前 が (t,1) 営 業 日 と な る か を 示

MAPD）を用いて比較を行なっている。

す），d は t 営 業 日 で の ボ ラ テ ィ リ テ ィ の ス

46syoken03.mcd

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証券経済研究f

MAPD=,X 市場価格
1 N  X 推定値
ii6, X=C, P.
市場価格
N i=1
Xi

f 推定値
i

ここで，X

⒄

第87号（2014 . 9）

ここで，l は一定の単位リスク・プレミアムを表す。GARCH オプション価格付けモデルでのはモンテカルロ・シミュレー

リスク中立評価は，資産収益過程の分散不均一

ションによるオプションの推定値，あるいは，性を調整するために一般化しなければならなはオプ
B-S モデルの理論価格を表し，X 市場価格i

い。そこで，Duan [1995]は局所リスク中立性

ションの市場価格，C はコール・オプション（LRNVR）13)を利用した。真の確率測度 P に対の価格，P はプット・オプションの価格を表して Q をリスク中立測度とすると，LRNVR

す。N は標本サイズである。マネネス別の分は確率測度 Q の下で⑷，⒁，⒅式は，

析はここでは行なっていない。
実証分析では，価格水準が高いオプションを

1
R t=r, s 2t +x t，2

過大評価し，価格水準が低いオプションを過小

x t  ` t-1~i.i.d.N (0, s 2t ),評価する傾向があるという結果を得ている。まs 2t =w+b js 2t-1+a i (x t-i,ls t-1) 2⒆⒇

た，GARCH(1,1)モデル，GJR(1,1)モデルのとなる。ここで，` t-1は時点 t,1 を含む t,1

オプション価格とも B-S モデルのオプション

時点までの利用可能な情報集合である。リスク価格よりも市場価格との乖離率が小さいことを

は確率測度 Q の下で局所的に中立化されてい示 し て お り，特 に，プ ッ ト・オ プ シ ョ ン とるが，単位リスク・プレミアム l はボラティ

OTM オプションで顕著であるという結果を得

リティの過程に影響を及ぼしている。したがって い る。ま た，GARCH (1,1) モ デ ル と GJRて，満 期 T ，権 利 行 使 価 格 K の ヨ ー ロ ピ ア(1,1)モデルとのオプション価格を比較すると，ン・コール・オプション価格は，

GJR (1,1)モデルの方が市場価格との乖離率がC t=e -(T-t)rE Q Max (S T,K, 0) ` t

と表現される。プット・オプションについて若干小さくなることを示している。

2．局所リスク中立性によるオプション
評価は，ここではプット・コール・パリティ式により導出している。
日経225の標本期間は，1991年１月７日からⅢ.１.での森保［1999］の用いたような伝統

1997年12月30日までであり，標本数は1725であ的なリスク中立性を仮定したモデルに対して，る。GARCH(1,1)モデルと GJR(1,1)モデルのDuan [1995]はリスク中立測度に GARCH を変

パ ラ メ ー タ の 推 定 に は，疑 似 最 尤 法（Qua-

換させることにより GARCH モデルによるオ

si-Maximum Likelihood method; QML）を 利

プション価格付けの方法を発展させた。三井

用している。オプション評価には，式に対し

［2000］は，この Duan [1995]の方法を⑷，⒁てモンテカルロ・シミュレーションを用いてオ式と収益率R t の過程が以下にしたがうようなプション価格を導出している。モンテカルロ・

GARCH(1,1)モデルに適用することにより分

シミュレーションの分散減少法には制御変数法

析を行なっている。

を利用している。日経225オプションの標本期1
R t=r+ls t, s 2t +X t.
2⒅

間は1995年１月限月から1997年12月限月までで
あ り，標 本 数 は コ ー ル・オ プ シ ョ ン が 262，

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ
図表２

マネネスによるオプションの分類；三井［2000］

マネネス

コール

プット

S/K<0.91

deep-out-of-the-money (DOTM)

DITM

0.91≤ S/K<0.97

out-of-the-money (OTM)

ITM

0.97≤ S/K ≤1.03

at-the-money (ATM)ATM

1.03<S/K ≤1.09

in-the-money (ITM)

OTM

1.09<S/K

deep-in-the-money (DITM)

DOTM（注） S は原資産価格，K は権利行使価格を表す。

プット・オプションが269である。無リスク資な る と い う 結 果 と な っ て い る。こ れ は，

産利子率 r には，コール・レートを使用していGARCH オプションは B-S モデルよりも価格る。モデルのパフォーマンスの評価に関して付けのパフォーマンスが優れていることを意味

は，以 下 の よ う に 平 均 誤 差 率（Mean Errorする。プット・オプションでは，MER に関し

Rate; MER）と平均２乗誤差率の平方根（Rootては，コール・オプションと同様の結果が得ら

Mean Square Error Rate; RMSER）を計算し，れ，RMSER に 関 し て は DOTM に お い て

各モデルの比較を行なっている。

GARCH オプションは B-S モデルよりも価格

MER=

f

,X 市場価格
1 N X 推定値
i
i
,
6
市場価格
N i=1
Xi

r



RMSER=f!

X=C，P．

いことがわかる。しかし，他のマネネスでは理論値と市場価格の乖離率は GARCH オプショ

2

,X 市場価格
1 N X 推定値
i
i
,
6
市場価格
N i=1
Xi

r

付けのパフォーマンスが優れているわけではな

ンの方が小さくなるという結果となった。全体"

MER の値を計算することにより，モデルの推定値が市場価格と比べてどの程度バイアスを持 っ て い る か が 明 ら か に な る。も う １ つ の的にみれば，GARCH オプションのパフォーマ
ンスは優れているという結果を得ている。

3．原資産収益率の裾が厚い分布を考慮したオプション評価

RMSER は，推定値と市場価格の乖離度を示す

資産収益率の分布は，古くから Mandelbrot

基準である。マネネスは，Bakshi et al. [1997][1963]，Fama [1965]で指摘されているようにを参考にして図表２のように５種類のカテゴ

正規分布よりも裾が厚い分布であることが知らリーに分類している。

れている14)。渡部［2003］では，この点を考慮

コ ー ル・オ プ シ ョ ン で は，MER か ら

し て GARCH (1,1) モ デ ル，EGARCH (1,1) モ

DOTM，OTM と ITM，DITM の B-S モデル

デル，GJR(1,1)モデルの誤差項の分布に対しの underpricing を修正できることがわかる。

て， t 分布を仮定して日経225オプションの実

特に，OTM で顕著である。また，RMSER か

証研究を行なっている。ここでは，原資産となら理論値と市場価格の乖離率はすべてのマネネ

る日経225株価収益率R t の過程とボラティリ

スにおいて GARCH オプションの方が小さく

ティs 2t の過程を⑴−⑹式で定式化している。⑶48syoken03.mcd

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証券経済研究第87号（2014 . 9）

ンの標本期間は1997年５月限月から2002年４月

式のz tの分布の仮定を以下のようにおく。
&

限月までであり，標本数はコール・オプション

こ こ で，n は 自 由 度（degree of freedom）をが609，プット・オプションが662である。満期表す。R t の過程として，⑴式とは異なる過程

日まで30日のオプションの終値を対象としていでも定式化を行なっている。一つは，リスクとる。無リスク資産利子率としては，１ヶ月物のリターンのトレード・オフを考慮に入れ，

コ ー ル・レ ー ト を 用 い て い る。モ デ ル の パ

z t~i.i.d.t (0, 1, n)

2t'

フォーマンス評価に関しては，三井［2000］とと定式化している。もう一つは，日経225のよ同様に!式と"式の MER と RMSER と図表２

うな株価指数は，収益率に正の自己相関が生じの５つのカテゴリーのマネネスの分類で行なっやすいためリスク中立性を仮定しない場合のている。

R t=m+ls +X t

R tの過程を以下のように定式化している。
2t

R t=m+a+bR t-1+ls +X t.

日経225オプションの実証分析では，以下の(結果が得られている。Duan [1995]の局所リス

ここで，a=b=l=0であれば，⑴式と同じに

ク中立性を用いても，投資家のリスク中立性でなる。

オプションを評価した場合よりパフォーマンス

オプション価格の導出には，投資家のリスクが良くなるわけではない。また，原資産となる中立性を仮定した場合と三井［2000］と同様に

日経225株価収益率の分布に対して，裾の厚いDuan [1995]の局所リスク中立性を仮定した場

t 分布を仮定して GARCH，EGARCH，GJR モ合に関して分析を行なっている。Duan [1995]

デルを推定しても，ボラティリティの変動につのリスク中立測度に従い，GARCH(1,1)モデ

いてはより上手く捉えることができるが，オプルを変換すると⒇式となり，EGARCH(1,1)モ

ション評価に対しては有効性が検証されない。

デルと GJR(1,1)モデルを変換すると，各々，株式市場での非対称性に関して，GARCH モデ

以下のようになる。

ルと EGARCH，GJR モデルによるオプション
評価のパフォーマンスはマネネスによって異な

s 2t =w+bs 2t-1+(a+gDt-1

2)(X t-1,ls t-1) ,)DOTM，OTM において，プット・オプションln(s 2t )=w+bln(s 2t-1)+g(z t-1,l)r

+a z t-1,l, 2/p .

る。す な わ ち，コ ー ル・オ プ シ ョ ン で は*で は ITM，DITM に お い て EGARCH，GJR
モデルのパフォーマンスが GARCH モデルよ

これらのモデルに従い，⑾，⑿式でオプション

り も 良 い。ま た，コ ー ル・オ プ シ ョ ン で は価格を導出している。ここでは，分散減少法とITM，DITM において，プット・オプション

して制御変数法と負相関法を併せて用いてモン

では DOTM，OTM において GARCH モデル

テカルロ・シミュレーションによりオプションのパフォーマンスが EGARCH，GJR モデルよ

評価を行なっている。日経225の標本期間はりも良くなっている。EGACH モデルと GJR

1991年２月26日から2009年12月９日までであモデルを比較した場合には，一部のマネネスをる。ARCH 型モデルのパラメータの推定には，除いて，全体的に GJR モデルがオプション評

疑似最尤法を利用している。日経225オプショ

価には優れていることを明らかにしている。

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ

ま た， 竹 内 ［2006］ で も， GARCH，前分布を設定しなければならない。そこで，そEGARCH，GJR，QGARCH モデルに対して，

れぞれのモデルに対して以下のような事前分布

収益率の分布に標準正規分布と裾の厚い t 分布を設定する。⒅式のリスク・プレミアム l の事を仮定して日経225オプションの実証研究を行

前分布は，なっている。渡部［2003］の実証結果とと同様

f (l){I Rl>0S+に，t 分布を仮定してもオプション評価に対しとおく。ここで，I R}Sは括弧内の区間では１，ては有効性がないことを明らかにしている。

そ れ 以 外 で は ０ と な る 関 数（indicator function） で あ る。 GARCH (1,1)， EGARCH

Ⅳ．ベイズ推定法によるオプショ
ン評価(1,1)，GJR(1,1)モデルのパラメータの事前分
布は以下のようになる15)。
GARCH(1,1)：未知のパラメータ w，a，b

1．ARCH 型モデルのベイズ推定法
三 井［2000］の 研 究 で 用 い ら れ て い る
GARCH モデルでは，ボラティリティ変動の非対称性を捉えることができない。また，疑似最尤法によりパラメータの推定を行ない，推定されたパラメータが真の値であると仮定してリス
ク中立測度の下で原資産価格を計算してるため，パラメータ推定に伴う誤差を考慮していないことが問題となる。三井・渡 部［2003］でに対して，
f (ln(w)){const,
f (a, b) {I Ra>0S I Rb>0S I Ra+b<0S. ,EGARCH(1,1)：未知のパラメータ w，a，b，g に対して，
f (w){const,
f (b){I R0<b<1S, f (a){I Ra>0S,-

f (g){I Rg<0S.

は，これらの問題点に対処するためボラティリ

 GJR(1,1)：未知のパラメータ w，a，b，g

テ ィ 変 動 の 非 対 称 性 を 考 慮 し た EGARCH

に対して，(1,1)モデルと GJR(1,1)モデルについても分析 を 行 な い，MCMC (Markov-chain Monte
Carlo)を用いたベイズ推定法で実証研究を行なっている。

f (ln (w)){const,
f (a, b){I Ra>0S I Rb>0S I Ra+b<1S,
f (g){I Rg>0S.

.

収益率の過程と誤差項は，三井［2000］と同

ここで，const は正の定数を表す。未知のパラ様に⒁，⒅式で定式化している。また，実証研

メータ集合をaとする。このとき，事後分布

究 で は リ ス ク・プ レ ミ ア ム l を 考 慮 し な い（posterior distribution）は 以 下 の よ う に 与 え

ケ ー ス に 関 し て も 分 析 を 行 な っ て い る。

られる。

GARCH (1,1)，EGARCH (1,1)，GJR (1,1) のf (a  data){f (data  a)f(a).

/ボラティリティの変動過程は，各々，⑷，⑸，

ここで，f (a  data)は尤度，f(a)は事前分布を⑹式を利用している。未知のパラメータを推定表す。事後分布からパラメータ集合をサンプリするためにベイズ推定法を用いる場合には，事ングするために，Tierney [1994]の提案した

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証券経済研究

A-R/M-H（Acceptance-Rejection/Metropolis
16)-Hastings）アルゴリズムを用いている 。

P MCMC=e -(T-1)rt
aN
1
6 Max K,S t exp
N j=a 1r

2．ベイズ推定によるオプション価格の導出

第87号（2014 . 9）

r 6 R , 0 . 4
T

s=t-1

j
s

MCMC を用いたベイズ推定法では，これまでの先行研究のように ARCH 型モデルのパラ

三 井・渡 部［2003］で は，三 井［2000］，渡

メータの推定とモンテカルロ・シミュレーショ

部［2003］と同様に Duan [1995] の局所リスンによるオプション評価と分けることなくオプ

ク中立性を仮定してオプション評価を行なってション価格を導出することができる。

いる。Duan [1995] のリスク中立測度に従い，

日経225の標本期間・標本数，日経225オプ

GARCH (1,1)，EGARCH (1,1)，GJR (1,1) モションの標本期間・標本数，パフォーマンスのデルを変換すると，各々，⒇，)，*式 と な評価法，マネネスは，三井［2000］と同じである。これらの式に従い，{R t+1,, R T}を計算る。無リスク資産利子率 r には，有担保１ヶ月する。計算された{R t+1,, R T}を以下のよう物のコール・レートを使用している。実証分析に満期日での原資産価格に変換する。

の 結 果 と し て，B-S モ デ ル と 比 較 す る と

S T=S t exp

r 6 R .
T

i=1+1

0

i

GARCH，EGARCH，GJR モ デ ル は コ ー ル・オ プ シ ョ ン で は，ATM，ITM で 優 れ，プ ッ

し た が っ て，こ れ ら 定 式 化 の 下 で は，ト・オプションでは，DOTM，DITM で優れ{a 1,...,a N}で表記される N 個のパラメータ集て い る と い う 結 果 と な っ て い る。ま た，合のサンプルを用いて，ヨーロピアン・コー

GARCH，EGARCH，GJR モ デ ル の 中 で は，

ル・オプション価格とヨーロピアン・プット・

取 引 量 の 多 い マ ネ ネ ス（コ ー ル は OTM とオプション価格は，割引現在価値を平均するこ

ATM，プットは ATM と ITM）では，GJR モとにより以下のように評価することができる。

デルが比較的，他のモデルよりも優れている。

=e -(T-t)r
C MCMCt
1 N- 6 RMax (S T(a j),K, 0)S,
N j=1
P MCMC=e -(T-t)rt
1 N- 6 RMax (K,S T (a j), 0)S.
N j=1

リスク・プレミアムの値は非常に小さく，オプ
1ション価格に特に影響するわけではない。そのため，Duan [1995]のモデルで評価したオプ
ション価格は，渡部［2003］と同様に伝統的な

2

リスク中立性を仮定したモデルで評価された価格と大きな差異がないことが示されてる。

したがって，{a 1,...,a N}で表記される N 個のサンプルを用いて，1，2式を以下のように計算することにより求められる。
=e -(T-t)r
C MCMCtaN
1
6 Max S t exp
N j=a 1r

r 6 R ,K, 0 , 3
T

s=t+1

j
s

Ⅴ．長 期 記 憶 モ デ ル に よ る オ プ
ション価格付け竹内（野木森）・渡部［2008］は，ボラティ
リティ変動の長期記憶性を考慮することにより日経225オプションの実証研究を行なっている。

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ

また，ボラティリティ変動の長期記憶性だけで日経225の225銘柄の取引は15:00で終了となる。

なく，収益率とボラティリティの非対称性も捉

しかし，日経225オプションは15:10に取引終了えることができるように FIEGARCH モデルにとなる。そのためオプションの市場価格にはより分析を行なっている。ここでは，投資家の15:00に一番近い売り気配と買い気配の平均値

リスク中立性を仮定して，t 時点の日経225のを用いている。日経225オプションの標本期間

株価をS t とするとき，収益率R t の過程を以下は2001年４月限月から2007年９月限月までであのように定式化している。

り，標本数はコール・オプションが715，プッ

R t=ln (S t),ln (S t-1)+div,
1=r t, s 2t +X t
2

ト・オプションが730である。無リスク資産利5

子率r tには，１ヶ月物の CD レートを使用している。また，配当率は，年率0.5％で一定とし

ここで，divは連続複利で計算された日次配当ている18)。モデルのパフォーマンスの評価に関を表し，r tは連続複利で計算された無リスク資しては，!と"式の MER と RMSER 以外にも

産の利子率の日次の値を表す。また，収益率の理論価格のバイアスを測るため以下のような平過程が⒅式の場合も分析を行なっている。

均 誤 差（Mean Error; ME）と 平 均 ２ 乗 誤 差

2t

ボラティリティs の変動過程には，ボラティ
リティの長期性を捉えるため⑺式のFIEGARCH(1,d,0)モデルを用い，比較モデル
として短期記憶モデルである⑷式の GARCH（Root Mean Square Error; RMSE）も 用 い て
各モデルの比較を行なっている。
ME=

1 N f 推定値,
6 X i ,X 市場価格i
N i=1(1,1)モデルと⑸式の EGARCH(1,1)モデルも用いている。Duan[1995]のリスク中立測度に従い，⑺式を変換すると以下のようになる。

 N1 6 rX

RMSE=

N

i=1

X=C，P．

ln (s 2t )=w+R1,b(L)S -1(1,L) -d g (u t-1),

f 推定値
i

7

2

,

,X 市場価格i

8ME と RMSE により市場価格と推定値のバイ

g (u t-1)=q (u t-1,l)+g   u t-1,l ,E  z t-1  ,u t=z t+l.

r

6

FIEGARCH(1,d,0)モデル，EGARCH(1,1)

アスを検証することができる。また，マネネスの分類は，図表２の５つのカテゴリーで行なっている。

モデル，GARCH(1,1)モデルのパラメータのコール・オプションでは，FIEGARCH モデ

推定には，疑似最尤法を利用している。モンテルによるオプション評価が最もパフォーマンス

カルロ・シミュレーションにより⑾，⑿式でオが 良 く，プ ッ ト ・ オ プ シ ョ ン で は，プ シ ョ ン 価 格 を 導 出 し て い る。こ こ で は，

FIEGARCH モデルが最もパフォーマンスが良Duan and Shimonato [1998]の経験的マルチン

いわけではないが RMSE の基準ではパフォー

ゲ ー ル・シ ミ ュ レ ー シ ョ ン（Empirical Mar-

マンスが最も高くなるという実証結果となって

tingale Simulation; EMS）により補正を行なっいる。また，すべてのモデルでボラティリティ

17)ている 。分散減少法には制御変数法を利用しを過大評価しており，オプション価格を過大評ている。東京証券取引所一部で取引されている

価していることを指摘している。さらに，シュ52syoken03.mcd

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証券経済研究第87号（2014 . 9）

ミレーションにより求められた満期日 T 時点

w s t=w 0 (1,s t)+w 1s t,:

での原資産の日経225株価S Tの分布に関しても

a s t=a 0 (1,s t)+a 1s t,;

分 析 を 行 な っ て い る。S T の 歪 度 の 値 が ボ ラ

b s t=b 0 (1,s t)+b 1s t.

<

2t

ティリティ一定の B-S モデルと非対称性のな

ボラティリティs は，t,1時点までの情報集合

い GARCH モデルでは正の値になり，非対称` t-1={R t-1, R t-2,}と t 時点の状態変数s t を性を考慮した EGARCH モデルと FIEGARCH条件としたX t の条件付分散つまり，s 2t =Var

モデルでは負の値になるということである。こX t  I t-1, s t で あ る。9 式 の ` t-2 は t,2 時 点 まのことがオプション評価に影響していることをでの 情 報 集 合 ` t-2={R t-2, R t-3,} で あ る。

示している。局所リスク中立性による分析で:，;，<式のs tはマルコフ過程に従う状態変は，FIEGARH モデルを用いた場合でも渡部数であり，その推移確率（transition probabil-［2003］，三 井・渡 部［2003］，竹 内［2006］とity）は，

同様にパフォーマンスは改善されないことを明Pr s t=1  s t-1=1 =p,

らかにしている。

Pr s t=0  s t-1=0 =q=であるとする。ただし，Pr s t=j  s t-1=i は，Ⅵ．ARCH 型モデルの応用によるオプション価格付け

状態 i から状態 j に推移する確率である。s t=0のときのボラティリティをs 20t，s t=1のときの
ボ ラ テ ィ リ テ ィ を s 21t と す る と，ボ ラ テ ィ リ

1．Markov-Switching モデルによるオプション評価ティs 2t は各々，s t=0のとき, a 20t=w 0+a 0X 2t-1+ b 0 E s t-1  ` t-2 ,2

s t=1のとき, a 21t=w 1+a 1X 2t-1+ b 1 E s 2t-1  ` t-2

Hamilton and Susmel [1994] と Cai [1994]となる。z tの分布には，⒁式の標準正規分布とは，構造変化を捉えるために ARCH モデルの&式の t 分布を仮定している。この他に，MS定式化にマルコフ過程に従う状態変数を含めたモデルと GARCH モデルによるオプション評

Markov-Switching ARCH (MS-ARCH) モ デ

価の比較もここでは行っている。

ルを提案した。さらに，Gray [1996]は資産価

日経225の標本期間は1990年２月22日から

格の変動を捉えるために，ARCH モデルでは2005年３月10日までである。MS-GARCH モデ

なく時系列モデルのパラメータがマルコフ過程

ルのパラメータの推定には，最尤法を利用してに 従 う 構 造 変 化 を 含 め た Markov-Switchingいる。オプション評価の際には，投資家のリス

GARCH (MS-GARCH) モ デ ル を 提 案 し た。

ク中立性を仮定し，⑾，⑿式のモンテカルロ・

Satoyoshi and Mitsui [2011] で は，Gray

シミュレーションを用いてオプション価格を導[1996]の MS-GARCH により日経225オプショ

出している。モンテカルロ・シミュレーションンの実証研究を行なっている。収益率R t の過の分散減少法には制御変数法と負相関法を併せ2t

程は⑴式とし，ボラティリティs の過程は以下て用いている。日経225オプションの標本期間のように定式化している。

は2000年５月限月から2005年４月限月までであs 2t =w s t+a s t X 2t-1+b s t E s 2t-1  ` t-1 ,9り，標本数はコール・オプションが608，プッ

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ

ト・オプションが671である。満期日まで20日のオプションの終値を対象としている。無リス
ク資産としては，無担保コール翌日物を用いて

2．原資産収益率の分布の歪みを考慮したオプション評価いる。モデルのパフォーマンス評価に関して

これまでの ARCH 型モデルを用いた日経225

は，三井［2000］，三井・渡部［2003］と同 様

オプションの先行研究では，原資産収益率の分に!式と"式の MER と RMSER により行なっ

布の歪みを考慮したモデルによる研究はなかっている。また，マネネスの分類は，図表２の５た。Haas et al. [2004]と Alexander and Lazar

つのカテゴリーで行なっている。

[2006]は，収益率の分布の裾の厚さと左右非対

コール・オプションについては，MER の基称性を捉えるため混合正規分布と GARCH モ

準では GARCH モデルによるオプション価格

デルを組み合わせた混合正規 GARCH モデル

付 け の パ フ ォ ー マ ン ス が 最 も 優 れ て お り，を 提 案 し た。そ こ で，里 吉・三 井［2013］でRMSER の 基 準 で は t 分 布 を 仮 定 し たは，Haas et al. [2004]と Alexander and Lazar

MS-GARCH モデルによるオプション価格付け[2006]の混合正規 GARCH モデルを応用し，のパフォーマンスが最も優れていうという結果

ボラティリティの変動が EGARCH モデルに従と な っ て い る。ま た，MS-GARCH モ デ ル はう混合正規 EGARCH モデルを提案し，実証研

DOTM，OTM，ATM，ITM における B-S モ

究を行なっている。

デルの underpricing を修正できることが明らか に し て い る。特 に，こ の こ と は DOTM と混合正規 EGARCH モデルは，以下のように表現される。

OTM において顕著である。プット・オプショ

R t  I t-1~NM ( p 1,+, p k; m 1,+, m k; s 21t,+, s 2kt)， >ンについては，MER の基準では t 分布を仮定

lns 2it=w i+b i lns 2i, t-1

した MS モデルによるオプション価格付けのパフォーマンスが最も優れており，RMSER の基準では t 分布を仮定した GARCH モデルによ+q z i, t-1+r p z i, t-1 ,E p z i, t-1  ,?

z i, t-1=R t-1 ,E pR t-1  I t-2 #s i, t-1,i=1, 2,, K．

@
19)

るオプション価格付けのパフォーマンスが最もここで，NM は，Normal Mixture を表す 。

優れているという結果を得ている。全体的にみ?式のE p z t-1  は  2#p となる。ここでは，混ると，MS-GARCH モデルによるオプション評

合正規分布を構成する正規分布の数は４つと価は，B-S モデルよりも適正な価格付けを行し，K=4としている。また，株価収益率の分なうことができる。また，原資産価格収益率に

布は裾が厚いことが知られているため t 分布を対する t 分布の仮定とボラティリティが MS 過成分とした混合 t 分布についても分析を行なっ

程に従うという仮定は，オプション価格の評価ている。 n を自由度とするときK=4の混合 tにおいて非常に重要であるということを明らか

分布は以下のように表される。

にしている。

R t  I t-1~tM p p 1,+, p 4; m 1,+, m 4; s 21t,+, s 24t; n， C
ここで，tM は，t Mixture を表す。このとき，? 式 の E p z t-1  は，2 n,2 G((n+1)#2 # (n,1) G (n#2) p  となる。このモデルを混合 t54

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証券経済研究
図表３

第87号（2014 . 9）

マネネスによるオプションの分類 ; 里吉・三井［2013］

マネネス

コール

プット

S/K<0.85

very-deep-out-of-the-money (VDOTM)

VDITM

0.85≤ S/K<0.91

deep-out-of-the-money (DOTM)

DITM

0.91≤ S/K<0.97

out-of-the-money (OTM)

ITM

0.97≤ S/K ≤1.03

at-the-money (ATM)ATM

1.03<S/K ≤1.09

in-the-money (ITM)

OTM

1.09<S/K ≤1.15

deep-in-the-money (DITM)

DOTM

1.15<S/K

very-deep-in-the-money (VDITM)

VDOTM（注） S は原資産価格，K は権利行使価格を表す。

なっている。里吉・三井［2013］はこれまでのEGARCH モデルとする。
日経225の標本期間は1991年２月26日から

先行研究とは異なり，オプションのサンプルの2009 年 12 月 ９ 日 ま で で あ る。混 合 正 規

偏りを調整するために，原資産価格と権利行使

EGARCH モデルと混合 t EGARCH モデルの価格との乖離率が非常に高いオプションに関しパラメータの推定には，最尤法を利用していて は，Duan et al. [2006]，Benhamou et al.

る。オプション評価の際には，森保［1999］，[2010] を 参 考 に し て 新 た に very-deep-out-

三 井・渡 部［2003］，Satoyoshi and Mitsuiof-the-money (VDOTM)，very-deep-in-the-20)[2011]と同様に投資家のリスク中立性を仮定

money (VDITM)を追加し，マネネスは図表３

し，モンテカルロ・シミュレーションを用いてのように７種類のカテゴリーに分類していオプション価格を導出している。モンテカル

る21)。

ロ・シミュレーションの分散減少法には制御変実証研究の結果，コール・オプションでは混数法と負相関法を併せて用いている。日経225

合正規 EGARCH モデルによる価格付けが最もオプションの標本期間は2005年６月限月から

パ フ ォ ー マ ン ス が 良 く，特 に，VDOTM と2010年１月限月までの56限月であり，標本数はDOTM のコール・オプションで顕著であるこコール・オプションが741，プット・オプショとを明らかにしている。しかしながら，プッ

ンが816である。満期日まで30日のオプション

ト・オプションでは，混合正規 EGARCH モデの終値を対象としている。無リスク資産として

ルと混合 t EGARCH モデルの有効性は示されは，CD を用い，オプションが満期の１ヵ月前ていない。ここでは，B-S モデルが最も優れであることから，CD も同じ１ヶ月物にして，ているという結果となっている。コール・オプ

売り気配と買い気配の中間値を無リスク資産のションとプット・オプションとの間で相反する利子率としている。

結果となったため，更に１年ごとの期間に区モデルのパフォーマンス評価に関しては，三切って分析を行なっている。サンプル期間を区

井［2000］と Satoyoshi and Mitsui [2011] と切った分析では，時期によりコール・オプショ

同様に!式と"式の MER と RMSER により行

ン と プ ッ ト・オ プ シ ョ ン の 双 方 に お い て パ

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ARCH 型モデルによる日経225オプションの実証研究に関するサーベイ

フォーマンスに違いが出ることを示している。

リスク・プレミアムを考慮して収益率の変動過特に，原資産の日経225が上昇トレンドの時期

程を定式化し，Duan [1995]の局所リスク中立と下降トレンド時期では，モデルにより結果が性を導入しても，伝統的な投資家のリスク中立

異なることを示唆している。また，プット・オ性を仮定した場合よりもオプション評価のパプションはヘッジの機能が強いため，ボラティ

フォーマンスは上がらないことは今後の課題とリティの変動とは違う要因で価格付けされていなるであろう。

る面が強いことを指摘している。

無リスク資産金利に関して，Kim [2002]は，
日経225オプションのデータを用いて金利変動

Ⅶ．まとめと今後の展望

モデルの実証研究を行なっている。そこでは，オプション価格付けに関して金利は重要な要因

本論文は，代表的なボラティリティの変動モではないという結果を得ている。そのため，デルである ARCH 型モデルによる日経225オプ

コール・レートや CD 以外の無リスク資産利子

ションの実証研究に関してサーベイを行なった

率を用いても研究結果に影響はないと考えられものである。実際に ARCH 型モデルによるオる。しかし，今後，金利が上昇した場合には，プション評価は，B-S モデルよりもオプショ

無リスク資産利子率についてどの金利を使用す

ン価格を正確に捉えることができるかどうか，るかも重要になってくると思われる。

また，どの ARCH 型モデルを利用することが理論的な解は B-S モデル以外にも Heston

オプション評価に適しているかどうかに焦点をand Nandi [2000]は GARCH オプションにつ当てサーベイを行なった。

いて解析解を与えている。株式市場の非対称性

ARCH 型モデルを利用した場合，ボラティ

を 捉 え る 他 の モ デ ル と し て Engle and Ng

リティが満期まで一定であると仮定している[1993] の NGARCH (Nonlinear asymmetric

B-S モデルよりもオプション評価のパフォー

GARCH)モデルなど他の ARCH 型モデルや株

マ ン ス は 良 く な る こ と が 明 ら か と な っ た。

式市場の構造変化を考慮した MS-EGARCH モ

GARCH，EGARCH，GJR モ デ ル を 比 較 す る

デルなど,日経225オプションの分析に使用されと，全体的に GJR モデルによるオプション評ていない ARCH 型モデルは存在する。そのた価が比較的に良好な結果となっている。また，

め，今後の展望としてはこれらのモデルにより

FIEGARCH モデル，MS-GARCH モデル，混

日経225オプションの実証分析を行ない比較す合正規 EGARCH モデルを用いると，より精度ることが考えられる。また，高頻度データによを上げてオプション価格の変動を捉えることがる Realized Volatility モ デ ル や Realized

できることがわかった。しかし，株式市場の特

GARCH モデルなどとも，比較・検討を行なう

性に合わせて，日経225オプションの原資産とことが挙げられる。投資家のリスク中立性を仮なる日経225株価収益率に対して，GARCH，

定しないモデルとして Duan [1995]の他に Siu

EGARCH，GJR モデルでは裾の厚い t 分布を

et al. [2004]の定式化が参考になると思われ仮定しても，オプション評価にはほとんど影響る。さらに，中・長期のオプションなど満期まを与えないことや，ARCH 型モデルに関してでの期間を変えたときの ARCH 型モデルの有56

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証券経済研究

効性についても検証する必要があろう。また，
ボラティリティ変動モデルでのインプライド・ボ ラ テ ィ リ テ ィ（implied volatility），ボ ラ
ティリティ・スマイル（volatility smile）などの特性についても実証研究が行われることが期待される。
注
1） 満期日(権利消滅日)にのみ権利行使可能なオプション
をヨーロピアン・オプションと呼び，満期日以前にいつでも権利行使可能なオプションをアメリカン・オプション（American option）と呼ぶ。
2） ボラティリティは資産収益率の分散，あるいは標準偏差により定義され，株式など将来の収益が不確定なリス
ク資産のリスクの指標として用いられている。
3） 日経225オプションの制度概要など，詳しくは大阪取引所 website<http://www.ose.or.jp/derivative/225op
tions> を参照。
4） 詳しくは，三井［2004］を参照。
5） ARCH 型モデルの理論と金融市場への応用・実証例
として，詳しくは Xekalaki [2010]を参照。
6） Satoyoshi and Mitsui [2012] は，MS-EGARCH モ デルにより日経225オプションの実証分析を行なっている。
Watanabe and Ubukata [2009]は，高頻度データによる Realized Volatility を 使 用 し て EGARCH モ デ ル と
FIEGARCH モデルにより実証分析を行っている。また，Takeuchi-Nogimori [2012] は，同様に高頻度デー
タを使用し，Hansen et al. [2012]の Realized GARCH
モデルにより日経225プット・オプションに関して分析第87号（2014 . 9）22
s 2t =n dt Rw+n -d
t-1 (bs t-1+aR t-1)S.

13） LRNVR とは，確率測度 Q が確率測度 P に関して相互に絶対連続であるとき，以下の３つの条件を満足することをいう。
１．S t #S t-1  ` t-1 が確率測度 Q の下で対数正規分布に従っている。
St` t-1 =e r.
S t-1
３．確率測度 P に関して，
St
St
Var Q ln
` t-1 =Var P ln
` t-1 a.s.
S t-1
S t-1
ここで，E QR}Sは確率測度 Q の下での期待値を表し，
２．E Q

r





r r





r r

の分散を表す。
14） 株 価 収 益 率 の 分 布 は，正 規 分 布 よ り も 両 裾 が 厚 く（fat-tails），左右非対称であることが検証されている。
15） GARCH(1,1)，GJR(1,1)モデルで w ではなくln (w)を用いているのは，w の値が非常に小さい値であることが過去の研究から推測され，また，正の値をとるので，対数をとった ln (w)の形で事前分布を設定している。
16） 未知のパラメータ集合を a とする。このとき，事後分布（posterior distribution）は以下のように与えられる。
f (a  data){(data  a)f (a).
ここで，f (data  a)は尤度，f (a)は事前分布を表す。
17） 詳しくは，竹内（野木森）・渡部［2008］の補論 B を参照。
18） 実証研究を行なう際，B-S モデルに対しても配当があるモデルでオプション評価を行なっている。
19） 確率変数 X が K 個の正規分布から構成される混合正規分布に従うとき，その確率密度関数は，
K

f (x)=6 pif (x; m i, s 2i )i=1となる。ここで，加重値 p iはp iPaper なので，本論文のサーベイの対象とはしない。

6 Ki=1 p i=1であり，各成分f (x; m i, s 2i )は，(x,m i) 2
1
exp ,f (x; m i, s 2i )=22s 2i
 2ps iとなり，以下のように表す。

*

r (k)とするとき， 6  r (k)<*ならば短期記憶過程に
k=1*

従い， 6  r (k)<*ならば長期記憶過程に従う。長期記
k=1

憶性に関して詳しくは，矢島［2003］，松葉［2007］を参照。
8） ガンマ関数は以下のように定義される。

@x

G (n)=c0n-1

e -xdx，for n>0.

9） オプション価格を評価する t 時点においては， t 時点
から t+1 時点にかけての無リスク資産の利子率r t+1 は既知であるが，その先の利子率は未知である。したがって， t 時点から満期である T 時点までの利子率は一定で



Var QR}S，Var PR}Sは，それぞれ確率測度 Q，P の下でを 行 な っ て い る。し か し，こ れ ら の 研 究 は Working7） k の 自 己 相 関 係 数（autocorrelation coefficient）を(0, 1)，i=1, 2,, K，

X~NM (p 1,, p K; m 1,, m K; s 21,,s 2K).
20） 混合正規分布の左右非対称性と裾の厚さを保証するために，混合正規分布を４つにしてパラメータに制約を置
くなどの若干の工夫が必要となる。
21） Bakshi et al. [1997]のような従来の５種類のカテゴ
リーでは，DOIM と DOTM のオプションのサンプルが他のマネネスのオプションに比べて極端に多くなってしまうためである。

あると仮定し，r=r t+1 , r t+2,, r T とおいて現在価値を計算することになる。
10） モンテカルロ・シミュレーションによるオプション評

参

考

文

献

価 に 関 し て，詳 し く は Broadie and Glasserman[1996]，Boyle et al. [1997]を参照。
11） 詳しくは，French and Roll [1986]，Nelson [1991]，
Noh et al. [1994]を参照。
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