連続吸収マルコフ過程を用いた交通量分布
佐佐木綱，松井寛．
第八回日本道路会議論文文集，pp.1086-1089,1966.
2015/6/19(金)理論談話会
2015#6
B4近松京介目次

１．時間的に連続な吸収マルコフ過程
２．街路網モデル

３．交通量分布解析への応用

1目次

１．時間的に連続な吸収マルコフ過程
２．街路網モデル

３．交通量分布解析への応用

2

時間的に連続な吸収マルコフ過程■本章の目的• 交通流解析のための交通流状態表現として，連続時間吸収マルコフ過程を用いる• 吸収マルコフ過程の理解• 連続時間マルコフ過程の導入

１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

3

吸収マルコフ過程• 状態遷移に｢終わり｣の存在するような問題をモデル化• 終わりの状態＝吸収状態

S4

S4
S5
𝑃 = S1S2S3S5S1S2S3

1 0 00 00 1 00 00.3 0 0.30.4 00.1 0.2 0.3 0 0.4
0 0.1 00.4 0.54

吸収マルコフ過程(既出)5連続時間マルコフ過程■離散時間におけるマルコフ連鎖
時点𝑛で状態𝑖で，時点𝑛 + 1で状態𝑗へと移る確率は時点𝑛での状態𝑖にのみ依存する■連続時間におけるマルコフ連鎖
時刻𝑠で状態𝑖で，時刻𝑠 + 𝑡で状態𝑗へ移る確率は時間差𝑡にのみ依存
１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

6連続時間マルコフ過程■推移確率の導入• 離散時間マルコフ連鎖では推移確率𝑝𝑖𝑗 ，すなわち1ステップで状態𝑖から状態𝑗に移動する確率を用いて記述• 連続時間では1ステップに対応する定まった時間𝑡が存在しない

したがって…
• 𝑡 > 0で以下の推移確率を導入
𝑝𝑡 𝑖, 𝑗 = 𝑃 𝑋𝑡 = 𝑗 𝑋0 = 𝑖 .
(意味：初期状態𝑖で時刻𝑡時に状態𝑗である確率)
１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

7連続時間マルコフ過程■確率の表記の注意
𝑝𝑡 𝑖, 𝑗 ：初期状態𝑖，時刻𝑡時で状態𝑗である確率
𝑝𝑖𝑗 𝑡＋∆𝑡|𝑡 ：時刻𝑡時に状態𝑖で，時刻𝑡＋∆𝑡時に状態𝑗である確率

１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

8連続時間マルコフ過程
𝑝𝑡 𝑖, 𝑗 を求めるために方程式を立てたい！
そのために…
■推移確率速度の導入
𝑝𝑖𝑗 𝑡＋∆𝑡|𝑡 − 𝑝𝑖𝑗 𝑡|𝑡
𝑞𝑖𝑗 = lim
∆𝑡→0∆𝑡𝑞𝑖𝑗 の意味：時刻𝑡に状態𝑖から状態𝑗に遷移しようとする速度■状態𝑖から離れる速度の導入
𝑞𝑖𝑗 (= 𝜆𝑖 とする)
𝑗≠𝑖
１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

9連続時間マルコフ過程■微分方程式を考えてみる

元の式は

𝑝𝑡+∆𝑡 𝑖, 𝑗 − 𝑝𝑡 (𝑖, 𝑗)′
𝑝𝑡 (𝑖, 𝑗) = lim∆𝑡→0∆𝑡𝑝𝑡′ (𝑖, 𝑗)∆𝑡 = 𝑝𝑡+∆𝑡 𝑖, 𝑗 − 𝑝𝑡 (𝑖, 𝑗)
初期状態𝑖で，時刻𝑡時に状態𝑗以外であり，時刻𝑡 + ∆𝑡時には状態𝑗である確率′𝑝𝑖𝑗(𝑡)の意味｢初期状態𝑖で，時刻𝑡時の状態𝑗へ収束する速度｣

１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

10連続時間マルコフ過程例）状態１と２があるとする′𝑝𝑖𝑗(𝑡)の意味
｢初期状態𝑖で，時刻𝑡時の状態𝑗へ収束する速度｣｢初期状態1で，時刻𝑡時の状態1へ収束する速度｣𝑝𝑡′ 1,1 = 𝑞12 𝑝𝑡 2,1 − 𝜆1 𝑝𝑡 1,1｢初期状態1で，時刻𝑡時の状態2へ収束する速度｣𝑝𝑡′ 1,2 = 𝑞12 𝑝𝑡 2,2 − 𝜆2 𝑝𝑡 1,2
初期状態2の時も同様に考えて整理すると…(次のページ)
１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

11連続時間マルコフ過程

𝑝𝑡′ 1,1𝑝𝑡′ 2,1𝑝𝑡′ 1,1 = 𝑞12 𝑝𝑡 2,1 − 𝜆1 𝑝𝑡 1,1𝑝𝑡′ 1,2 = 𝑞12 𝑝𝑡 2,2 − 𝜆2 𝑝𝑡 1,2𝑝𝑡′ 2,1 = 𝑞21 𝑝𝑡 1,1 − 𝜆1 𝑝𝑡 2,1𝑝𝑡′ 2,2 = 𝑞21 𝑝𝑡 1,2 − 𝜆2 𝑝𝑡 2,2↓𝑝𝑡′ 1,2−𝜆1 𝑞12 𝑝𝑡 1,1 𝑝𝑡 1,2=′𝑞21 −𝜆2 𝑝𝑡 2,1 𝑝𝑡 2,2𝑝𝑡 2,2↓
このＱを微分行列という
𝑝′ 𝑡 = 𝑄𝑝(𝑡)このように微分方程式を立てることができ, 𝑝(𝑡)を推移確率速度から導くことができる
１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

12連続時間マルコフ過程■微分行列について−𝜆𝑖 = 𝑞𝑖𝑖 とする
𝜆𝑖 は状態𝑖を離れようとする速度
𝑞𝑖𝑖 はそれと逆向きの速度というイメージ
𝑞11
このとき微分行列𝑄 = ⋮𝑞𝑛1
𝑞𝑖𝑗 = 𝑞𝑖𝑖 +𝑗⋯⋱⋯𝑞1𝑛⋮𝑞𝑛𝑛𝑞𝑖𝑗 = −𝜆𝑖 + 𝜆𝑖 = 0𝑗≠𝑖

１．時間的に連続な吸収マルコフ過程

13

目次１．時間的に連続な吸収マルコフ過程
２．街路網モデル

３．交通量分布解析への応用

14

街路網モデル
右図のような街路を考える

123発生源𝑠𝑖i

吸収源𝑟𝑖

654

時刻𝑡において街路𝑖上の自動車数を𝑓𝑖 (𝑡)で表すと，点線で囲まれたゾーンについて∆𝑡後のの自動車数は
𝑓𝑖 𝑡 + ∆𝑡= 𝑓𝑖 𝑡 +𝑝𝑙𝑖 (𝑡 + ∆𝑡|𝑡)𝑓𝑙 (𝑡) −𝑙=1,…,6+ 𝑝𝑠𝑖𝑖 𝑡 + ∆𝑡 𝑡 𝑓𝑠𝑖 𝑡

𝑝𝑖𝑙 𝑡 + ∆𝑡 𝑡 𝑓𝑖 𝑡

𝑙=1,…,6− 𝑝𝑖𝑟𝑖 (𝑡 + ∆𝑡|𝑡)𝑓𝑖 (𝑡)２．街路網モデル15

街路網モデル
𝑝𝑖𝑙 𝑡|𝑡 = 𝑝𝑙𝑖 𝑡|𝑡 = 0 を利用して式を書き直すと
𝑓𝑖 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑓𝑖 𝑡=𝑝𝑙𝑖 𝑡 + ∆𝑡 𝑡 − 𝑝𝑙𝑖 𝑡|𝑡 𝑓𝑙 𝑡
𝑙=1,…,6−𝑝𝑖𝑙 𝑡 + ∆𝑡 𝑡 − 𝑝𝑖𝑙 𝑡|𝑡 𝑓𝑖 𝑡
𝑙=1,…,6+ 𝑝𝑠𝑖 𝑖 𝑡 + ∆𝑡 𝑡 − 𝑝𝑠𝑖 𝑖 𝑡 𝑡 𝑓𝑠𝑖 𝑡−(𝑝𝑖𝑟𝑖 𝑡 + ∆𝑡 𝑡 − 𝑝𝑖𝑟𝑖 (𝑡|𝑡))𝑓𝑖 (𝑡)２．街路網モデル16

街路網モデルさらに両辺を∆𝑡で割り， ∆𝑡を0に近づけると，𝑑𝑓𝑖 (𝑡)𝑑𝑡=

𝑞𝑙𝑖 𝑓𝑙 𝑡 −𝑙=1,…,6=

𝑞𝑖𝑙 𝑓𝑖 𝑡 + 𝑞𝑠𝑖 𝑓𝑠𝑖 𝑡 − 𝑞𝑖𝑟𝑖 𝑓𝑖 𝑡
𝑙=1,…,6

𝑞𝑙𝑖 𝑓𝑙 𝑡 −𝑙=1,…,6

𝑞𝑖𝑙 𝑓𝑖 𝑡 + 𝑞𝑠𝑖 𝑓𝑠𝑖 𝑡
𝑙=1,…,6,𝑟𝑖

２．街路網モデル17

街路網モデルここで 𝑙=1,…,6,𝑟𝑖 ,𝑖 𝑞𝑖𝑙 = 0 より −したがって

𝑙=1,…,6,𝑟𝑖 𝑞𝑖𝑙 = 𝑞𝑖𝑖

𝑑𝑓𝑖 (𝑡)𝑑𝑡=

𝑞𝑙𝑖 𝑓𝑙 𝑡 + 𝑞𝑖𝑖 𝑓𝑖 𝑡 + 𝑞𝑠𝑖 𝑓𝑠𝑖 𝑡
𝑙=1,…,6=

𝑞𝑙𝑖 𝑓𝑙 𝑡 + 𝑞𝑠𝑖 𝑓𝑠𝑖 𝑡
𝑙=1,…,6,𝑖𝑑𝑓𝑖 (𝑡)微分方程式完成！！( 基本式：=𝑑𝑡
２．街路網モデル𝑞𝛾𝑖 𝑓𝛾 𝑡 )18

街路網モデル(例)
45𝑠5

312𝑟1

𝑞𝑠55 = 1𝑞54 = 1
𝑞41 = 1/3
𝑞42 = 2/3
𝑞23 = 1
𝑞1𝑟1 = 1

微分方程式を５式立てることができる• 𝑑𝑓1 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑞41 𝑓4 𝑡 − 𝑞1𝑟1 𝑓1 (𝑡)• 𝑑𝑓2 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑞42 𝑓4 𝑡 − 𝑞23 𝑓2 𝑡
• 𝑑𝑓3 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑞23 𝑓2 𝑡 − 𝑞34 𝑓3 𝑡
• 𝑑𝑓4 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑞34 𝑓3 𝑡 + 𝑞54 𝑓5 𝑡 − 𝑞41 𝑓4 𝑡
• 𝑑𝑓5 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑞𝑠5 5 𝑓𝑠5 𝑡 − 𝑞54 𝑓5 (𝑡)19街路網モデル(例)上記の方程式に，初期値(ex. 𝑓𝑠5 0 = 𝑁, 𝑓1 0 = 0, …)と発生源に存在する自動車数をex. 𝑓𝑠5 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑁と与える
ことで連立方程式を解くことができるもとめた𝑓を時間で無限大まで積分することで通過交通量を求めることができるが，標準化した微分行列を考えれば，離散マルコフ過程のように捉えることもできる

２．街路網モデル20

街路網モデル■標準化された微分行列𝑄

２．街路網モデル21

街路網モデル■非吸収状態を示す部分を𝑄∗ としたときの(𝐼 − 𝑄∗ )−1

行列の𝑖𝑗成分は，𝑖を出発または通過した車がまわりまわって𝑗を通過する回数の期待値を表している

２．街路網モデル22

目次

１．時間的に連続な吸収マルコフ過程
２．街路網モデル

３．交通量分布解析への応用

23交通量分布解析への応用■街路延長を考慮する場合
例）先程の街路網の例で街路4が他街路の2倍の長さ
44’45𝑠53152𝑟1𝑠5

３．交通量分布解析への応用

312𝑟124交通量分布解析への応用■街路の交通容量を考える場合
𝑓𝑖 (𝑡)の代わりに交通量𝑄𝑖 を用いる
𝑓𝑖
𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 𝑓𝑖
𝑉𝑖 = 𝐶1 − 𝐶2とすると𝐵𝑖𝐶2 2
𝑄𝑖 = 𝐶1 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖となる
𝐵𝑖
あとは基本式を
𝑑𝑄𝑖=𝑞𝛾𝑖 𝑄𝛾𝑑𝑡とすればよい
３．交通量分布解析への応用

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まとめ
• 連続時間マルコフ過程の考え方• 微分行列𝑄• 街路網モデルに当てはめてみる
𝑑𝑓𝑖 (𝑡)• ( 基本式：=𝑑𝑡𝑞𝛾𝑖 𝑓𝛾 𝑡 )• 交通量分布解析への応用• 街路延長を考える• 交通容量(道路の幅)を考える
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