理論勉強会

第4回
行動モデル編
MNP・MXLモデル
2014/6/19

社会基盤M1 笠原 和Introduction

2

 MNP(多項プロビットモデル) MXL(ミックストロジットモデル)
選択肢
連続量...同質の財・サービスの量を説明(ex：電話通話時間,自動車の走行距離)
離散量...複数の選択肢から単一の選択肢を選択する(ex：経路選択，交通手段選択)

離散型選択モデル. . .効用最大化理論
 ロジットモデル ...誤差項がガンベル分布に従うと仮定
計算が楽非現実的な結果を表現してしまうという欠点
 プロビットモデル ...誤差項が正規分布に従うと仮定
計算負荷が大きい
ロジットモデルの欠点をカバー

Introduction

3
モデルの発展の経緯

 計算機能力の向上にともなうシミュレーション法によるモデル推定の一般化
 IIA特性を緩和したい→選択肢間の相関をなんとか表現したい
選択確率の比は，その選択肢の効用の確定項のみで決まる．一方で，各選択肢の確率的効用の間に相関がある場合には，非現実的な選択率を与える

一部の選択肢間の誤差項に相関が生じやすい例・交通手段選択(赤バス、青バス)
・経路選択(一部のリンクを共有している経路間には相関が生じやすい)・目的地選択（近い目的地同士には相関が生じやすい）モデルの関係図

4

MNL

クローズドフォーム

MNP
オープンフォーム

C-Logit
各定項による相関の表現

PSL

NL
MXL

CNL

PCL

確率項による相関の表現

GNL

NetworkGEV

OGEV

GEVファミリー

モデルの誤差項の表現

55

それぞれのモデルで誤差項をどのように表現しているかを理解することが重要

𝑈 𝑐𝑎𝑟 = 𝛽𝑋𝑐𝑎𝑟 + 𝜀𝑐𝑎𝑟𝜀の分布系

𝜀～IIDガンベル分布𝜀～一般化極値(GEV)分布
𝜀～多変量正規分布
𝜀～GEVと正規分布などの合成分布

→→→→

MNL
GEV(NL,PCL,CNL,GNL等)
MNP
MXLMNPモデル6 eは互いに分散が異なり，誤差項の相関が表現可能であるモデル
効用関数

𝑈𝑖𝑛 = 𝑉𝑖𝑛 + 𝜀𝑖𝑛 , 𝑖 = 1, … , 𝐽確定的効用項

確率効用項

𝜀𝑖𝑛 = 𝜀1𝑛 , 𝜀2𝑛 , … , 𝜀𝑗𝑛′

 確率効用項が平均値０，分散共分散行列Σの多変量正規分布に従う．
𝑈 𝑟𝑎𝑖𝑙 = 𝛽𝑋𝑟𝑎𝑖𝑙 + 𝜀𝑟𝑎𝑖𝑙
𝑈 𝑏𝑢𝑠 = 𝛽𝑋𝑏𝑢𝑠 + 𝜀𝑏𝑢𝑠
𝑈 𝑐𝑎𝑟 = 𝛽𝑋𝑐𝑎𝑟 + 𝜀𝑐𝑎𝑟
確定項V誤差項eMNPモデル7

𝑈 𝑟𝑎𝑖𝑙 = 𝛽𝑋𝑟𝑎𝑖𝑙+𝜀𝑎𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠 +𝜀𝑟𝑎𝑖𝑙,𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟

𝑈 𝑏𝑢𝑠 = 𝛽𝑋𝑏𝑢𝑠 + 𝜀𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦 +𝜀𝑎𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠 +𝜀𝑏𝑢𝑠,𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟+𝜀𝑐𝑎𝑟,𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟

𝑈 𝑐𝑎𝑟 = 𝛽𝑋𝑐𝑎𝑟 + 𝜀𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦𝑓(𝑥)𝑁(0, 𝜎𝑟𝑎𝑖𝑙 )0𝑓(𝑥)𝑁(0, 𝜎𝑏𝑢𝑠 )

𝜀𝑟𝑎𝑖𝑙

鉄道

∑=Cov (U) =𝜀𝑏𝑢𝑠

0鉄道   rail2バス   rail ,bus車   rail ,carバス𝑓(𝑥)𝑁(0, 𝜎𝑐𝑎𝑟 )

0𝜀𝑐𝑎𝑟

車

 rail ,bus  rail ,car  bus 2  bus ,car  bus ,car  car 2 

相関を自由に設定出来る

MNPモデル8𝑃(𝑉𝑟 + 𝜀𝑟 > 𝑉𝑗 +𝜀𝑗 )𝜙(𝜀)確率密度関数

𝑁(0, 𝜎𝑗 )𝐽
1−2−2𝜙(𝜀) = (2𝜋) ∑ 𝑒𝑥𝑝↑
分散共分散行列−1

1− 𝜀2𝜀𝑇𝜀𝑗𝜀𝑟 + 𝑉𝑟 − 𝑉𝑗

J次元の多変量正規分布に従い，選択肢𝑟を選んだときの効用が最大となる確率
𝜀𝑟 +𝑉𝑟 −𝑉1

𝜀𝑟 +𝑉𝑟 −𝑉𝐽

𝜀1=−∞

𝜀𝐽=−∞

𝑃 𝑉𝑟Pr+ 𝜀𝜀𝑟𝑟 >=𝑉1 +𝜀1 ∩ 𝑃 …
𝑉𝑟 + 𝜀𝑟 > 𝑉2 +𝜀∩ 𝑃(𝑉𝑟 + 𝜀≠𝑟 >𝜙 2𝜀 ∩𝑑𝜀･･･𝑟)𝑉𝑗 +𝜀𝑗 )𝐽 … 𝑑𝜀1 (∀𝑗∞

さらに，J個の選択肢から選択肢rを選ぶ確率は

Pr =𝜀𝑟 +𝑉𝑟 −𝑉1𝜀1=−∞∞…

…
𝜀𝑟 =−∞

𝜀𝑟 +𝑉𝑟 −𝑉𝐽𝜀𝐽=−∞Pr =Pr(𝜀𝑟 )𝑑𝜀𝑟𝜀𝑟 =−∞𝜙 𝜀 𝑑𝜀𝐽 … 𝑑𝜀1→導出された選択確率を用いて最尤推定法でパラメータ推定

MXLモデル (logit kernel)
 MNLの操作性とMNPの誤差構造を兼ね備えたモデル
効用関数

𝑈𝑖𝑛 = 𝑉𝑖𝑛 + 𝜀𝑖𝑛 , 𝑖 = 1, … , 𝐽
確定的効用項

確率効用項

𝜀𝑖𝑛 = h𝑖𝑛 + 𝜈𝑖𝑛

共分散行列Σを持つ多変量正規分布に従う誤差項→選択肢固有の誤差項

IIDガンベル分布に従う誤差項→全選択肢に含まれる誤差項

𝑈 𝑟𝑎𝑖𝑙 = 𝛽𝑋𝑟𝑎𝑖𝑙 + h𝑟𝑎𝑖𝑙 + 𝜈𝑟𝑎𝑖𝑙
𝑈 𝑏𝑢𝑠 = 𝛽𝑋𝑏𝑢𝑠 + h𝑏𝑢𝑠 + 𝜈𝑏𝑢𝑠
𝑈 𝑐𝑎𝑟 = 𝛽𝑋𝑐𝑎𝑟 + h𝑐𝑎𝑟 +𝜈𝑐𝑎𝑟
確定項V

誤差項e9

MXLモデル (logit kernel)
Nestedの表現も可能

10𝜂𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 ~N(0,1)

個人n𝑈 𝑟𝑎𝑖𝑙 = 𝛽𝑋𝑟𝑎𝑖𝑙 + 𝜎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 h𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 + 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑙

公共交通

𝑈 𝑏𝑢𝑠 = 𝛽𝑋𝑏𝑢𝑠 + 𝜎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 h𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 + 𝑣𝑏𝑢𝑠
𝑈 𝑐𝑎𝑟 = 𝛽𝑋𝑐𝑎𝑟+ 𝑣𝑐𝑎𝑟

鉄道

∑ =Cov (U) =バス
車

e=

鉄道

バス

鉄道 バス 車

鉄道

バス

車

2
  transit
 2  transit
 02
 transit
2 transit

0   2 00 
20   0 00   00  2 0h+v

誤差項毎の相関を表現できている→NLより現実的車MXLモデル (logit kernel)

11

Cross-Nestedの表現も可能

個人n𝑈 𝑟𝑎𝑖𝑙 = 𝛽𝑋𝑟𝑎𝑖𝑙 + 𝜎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 h𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡+ 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑙

𝑈 𝑏𝑢𝑠 = 𝛽𝑋𝑏𝑢𝑠 + 𝜎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 h𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 + 𝜎𝑟𝑜𝑎𝑑 h𝑟𝑜𝑎𝑑 + 𝑣𝑏𝑢𝑠
𝑈 𝑐𝑎𝑟 = 𝛽𝑋𝑐𝑎𝑟+ 𝜎𝑟𝑜𝑎𝑑 h𝑟𝑜𝑎𝑑 + 𝑣𝑐𝑎𝑟

道路

公共交通

鉄道

車

バス

𝜂𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡 , 𝜂𝑟𝑜𝑎𝑑 ~N(0,1)

鉄道
2  transit
 2
バス  transit
車
 0鉄道

∑ =Cov (U) =e=バス
2
 transit
22 transit  road2
 roadh車

鉄道

バス

0   2
 2
 road    0  02
 road 2+v00

車0 0 
 2 MXLモデル (logit kernel)12

空間的相関も表現も可能O𝑈 𝐷1 = 𝛽𝑋𝐷1+ 𝜎1,2 h2+ 𝜎3,4 h4 + 𝑣𝐷1𝑈 𝐷2 = 𝛽𝑋𝐷2 + 𝜎1,2 h1+ 𝜎2,3 h3+ 𝑣𝐷2𝑈 𝐷3 = 𝛽𝑋𝐷3+𝜎2,3 h2+ 𝜎3,4 h4 + 𝑣𝐷3
𝑈 𝐷4 = 𝛽𝑋𝐷4 + 𝜎1,4 h1+ 𝜎3,4 h3

相関係数高い1∑ =Cov (U) = 23
4=+ 𝑣𝐷3D2D4D3

𝜂1 , 𝜂2 , 𝜂3 , 𝜂4 ~N(0,1)
1eD12341234  12  1, 20  1, 4    2 0 0 0  22  1, 2  2  2,3 0   0 0 0
 0 2200
02,333, 4  
220
000

3, 44  
 1, 4h+v

対角成分は選択肢間の分散

MXLモデル (logit kernel)
効用関数と確率密度に従う𝜂𝑖𝑛 の値が与えられたとき，個人𝑛が選択肢𝑖を選択する条件付き確率は，exp(𝑉𝑖𝑛 + 𝜂𝑖𝑛 )𝑃𝑖𝑛 𝜂𝑖𝑛∑𝑗 exp(𝑉𝑗𝑛 + 𝜂𝑗𝑛 )𝜂𝑖𝑛 は確率分布であるため，分散共分散行列∑に従う
確率密度関数𝑓(𝜂𝑖𝑛 |∑)を用いて選択確率は𝑃𝑖𝑛 は，𝑃𝑖𝑛 ==𝑃𝑖𝑛 (𝜂𝑖𝑛 )𝑓(𝜂𝑖𝑛 |Ω) d𝜂𝑖𝑛exp(𝑉𝑖𝑛 + 𝜂𝑖𝑛 )𝑓(𝜂𝑖𝑛 |Ω) d𝜂𝑖𝑛∑𝑗 exp(𝑉𝑗𝑛 + 𝜂𝑗𝑛 )13

MXLモデル (logit kernel)

14

 MXLモデルは誤差項に確率密度関数が含まれているため解析的計算が不可能→モンテカルロ法などシミュレーションアプローチによる選択確率の計算が必要
モンテカルロ法で用いる乱数発生方法の例①ランダムドロー法②ハルトン数列法

1ln SL =𝑅𝑅𝑁𝐽

𝛿𝑖𝑛 𝑙𝑛𝑃𝑖𝑛
𝑟=1 𝑛=1 𝑖=1

𝛿𝑖𝑛 = 1 𝑖𝑓 𝑛 𝑐ℎ𝑜𝑠𝑒 𝑖 𝑎𝑛𝑑 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
R：繰り返し計算の回数算出された選択確率の推定値を尤度として最尤推定法によりパラメータを求めるsummary

15

MNPモデル 分散共分散行列Ωの構造に何らかの制約を設けない限り，選択肢間の誤差項の相関や異分散性を自由に表現できる．
 IIA特性を持たずパラメータ推定が困難であり，(3~4個ならok)あまり用いられなかったが，近年のシミュレーション法の発達に伴い，パラメータ推定の困難性が克服されつつある
 全ての共分散が０(互いに独立)ならMNLと等しい
MXLモデル (logit kernel)

 MNLモデルの誤差項を操作することにより，変数の系列相関や分散を表現できるように拡張した.
 ηの与え方よりあらゆるRUM(Random Utility Maximization)
モデルに近似可能

捕捉

16・共分散が0だとロジットになるというのは・・・  12  2,12

2

3,1

 1, 2
 22
 3, 2 2

 1,3 2 
 2,3 2 
 3 2 Probitの分散共分散行列0になると…

 2
 0
 0


0

200 
0 
 2 

ガンベル分布の分散行列

ガンベル分布
正規分布

ガンベル分布と正規分布の密度関数の形状は似ていることから，近似して等しいと言うことが出来る