修正版 (平成 29 年 5 月 16 日)

久保公式とグリーン関数法の実践的基礎（その１）伏屋雄紀 1 ，福山秀敏 211

電気通信大学大学院情報理工学研究科，2 東京理科大学

はじめにたどり着く前に息切れして断念してしまっている場合が多いようである．

凝縮系物理学における実験の基本概念は，対象

こうした現状を鑑み，本連載では基礎的方法論に何らかの外場を加え，その応答を観測することの記述は最小限にとどめ，久保公式とグリーン関である．電場に対して電流，磁場に対して磁化率，数法を用いた具体例を多く取り上げることにより，温度差に対して熱流，等々．物質の性質とは，ま実践的に学ぶことを目的とした．その具体例としさにこれら外場に対する応答の特徴を指す．

て本連載では，電気伝導度，ホール効果，異常ホー

この外場によって系は熱平衡状態から外れて非ル効果，アンダーソン局在といったトピックスを平衡状態となる．理論において非平衡状態を取り取り上げる予定である．

扱うのは非常に難しい問題となるが，外場とその読者としては，学部４年生から修士課程の大学応答が比例関係にある線形応答の範囲内では，外院生を想定しており，標準的な量子力学と統計力

場による熱平衡からのずれは熱平衡状態における学を理解していれば読み進めることができる．本

ゆらぎと等価になる．この事実を用いて微視的な連載を読了後，直ちに具体的な研究へと応用でき

ハミルトニアンから厳密に物理量を計算する統計ることを意識した．また，グリーン関数の基礎的力学の一般公式がいわゆる久保公式である 1) ．久

方法論の部分では，少し珍しい運動方程式に基づ

保公式において，その中心的役割を担うのは応答

く論理展開に従っているので，一通り学んだ人に関数であり，実験に直接対応する理論を構築する

とっても別視点から全体を眺めなおすことができことはすなわち，その応答関数を計算することにるであろう．

集約される．そして応答関数を計算する簡明なが全体の見通しを良くするため，できる限りコンら非常に強力な理論が，グリーン関数を用いた方

パクトになるよう努めた．煩雑な数学的証明に触法である．

れない一方で，現れる数式は全て手で追えるよう

グリーン関数およびファインマン図形の方法に配慮した．各項目の詳しい解説に入る前にその必ついては，「AGD」の略称で知られるアブリコソフ・

然性，道筋を示すことで，モチベーションを保ち

ゴリコフ・ジャロシンスキーの「統計物理学におやすいように心がけた．また，計算を進める上でける場の量子論の方法」をはじめ，これまでに様々のコツを付記し，初学者がつまづきやすい点に対な教科書が出版されている 2)–7) ．凝縮系理論に携して注意を促すことも行った．

わる研究者は，これらの教科書を必ず一度は手に取り，基本的素養として修練したことであろう．た（その１）の内容

だし，グリーン関数に基づく計算が「簡明」であるとしたが，それはあくまでその技法を一通り習

本稿では，グリーン関数の導入から始め，グリー

得した状況ではその適用が簡明なのであって，入ン関数を求める具体的な計算法を解説し，それが門者にとっては必ずしも簡明とは言い切れない側

如何なる情報を含んでいるかをみる．グリーン関

面もある．少なくとも最近の風潮では，古くから数にはいくつかの形式があり状況に応じて使い分

読み継がれている定番教科書の重厚さにその習得けるが，ここでは凝縮系物理学において最も重要でを諦める傾向が年々強くなってきているように見ある温度グリーン関数（松原形式）を取り上げる．

受けられる．グリーン関数の基本的取扱いを習得

この形式を一通り学んでおけば，他の形式の習得

するのに時間を費やしてしまい，実際の応用例には容易である．標準的な教科書での流れ—はじめ

1

に摂動展開の一般論（S 行列，ウィックの定理，ダイソン方程式）を解説する—を採用せず，グリーン関数に対する運動方程式から出発し，逐次的に高次項を取り入れる．ダイソン方程式と運動方程式は本質的に同じであるので，どちらも同じ結果を得るが，後者の方が論理の構造が簡明で，初学者には学び易いと考えるからである．
本稿最後に（その１）の内容をまとめたので，先にそこに目を通していただいてから読み進めると，
図 1: グリーン関数のイメージ．平衡状態に粒子をより全体像を把握しやすいであろう．

ひとつ加え，その後粒子を一つ取り除いて平衡状態に戻すまでの「擾乱の伝播」を表す．

2

グリーン関数の素描

2.1

グリーン関数と生成・消滅演算子

は次のように与えられる．

ψ(r, t)ψ † (r ′ , t) ∓ ψ † (r ′ , t)ψ(r, t) = δ(r − r ′ )本格的な議論に進む前に，まずグリーン関数のお(2)

よそのイメージをつかめばその後の議論がより理′′ψ(r, t)ψ(r , t) ∓ ψ(r , t)ψ(r, t) = 0

解しやすくなるであろう．グリーン関数は生成・消
†

†

†

′

†

′

†

ψ (r, t)ψ (r , t) ∓ ψ (r , t)ψ (r, t) = 0

滅演算子を用いて定義される．生成演算子 ψ (r, t)

(3)
(4)

とは，その右側の状態に粒子を一つ付け加え，消符号は上側がボーズ統計，下側がフェルミ統計に

滅演算子 ψ(r, t) はその右側の状態から粒子を一つ対応している．

取り除く 1 ．引数 (r, t) はその演算が行われる位置

グ リ ー ン 関 数 は「 生 成・消 滅 演 算 子 の 積と時刻を表し，その時間依存性はハミルトニアン

ψ(1)ψ † (1′ ) の平衡状態における平均」により定義される．例えば時間順序グリーン関数と呼ばれる
形式では

Ĥ を用いて ψ(r, t) = eiĤt/ℏ ψ(r, 0)e−iĤt/ℏ で与えられている．このように演算子に時間依存を含む
表示をハイゼンベルグ表示という．この生成・消滅演算子を用いれば，粒子の密度演算子は

G(1, 1′ ) = −i⟨T {ψ(1)ψ † (1′ )}⟩.

n̂(r, t) = ψ † (r, t)ψ(r, t)(1)がその定義である．⟨· · · ⟩ は熱平衡状態での期待値を表し，(r1 , t1 ; r1′ , t1′ ) を (1, 1′ ) と表記してある．

で表すことができる．ボーズ統計およびフェルミ

T {· · · } は時間順序積であるが，とりあえず今は無視していただいて構わない．

統計の要請により，生成・消滅演算子の交換関係

2.2†

ψ (r) =∑

質は（5）式から読み取れる．すなわち，グリーン

φi (r)a†i ,関数とは，熱平衡状態に粒子を一つ加えた（あるiψ(r) =∑

グリーン関数のイメージ

後にグリーン関数の様々な性質を論じるが，本1 より正確には，ψ † と ψ は場の理論における粒子場の演算

子を表し，

(5)

いは取り除いた）ときの「擾乱の伝播」を表現し
φi (r)aiている（図 1）．例えば t1 > t1′ の場合，「熱平衡i状態で (r1′ , t1′ ) において粒子を一つ加え，その後†で表される．ここで φi (r) は状態 i の波動関数で，ai ，ai が通常の意味での生成・消滅演算子である．

(r1 , t1 ) において粒子を一つ取り除く」という過程
2

についての熱平衡状態での期待値である．たった

久保公式

ファインマン図形

これだけのことであるが，そこに驚くほど多くの情報が含まれている．

久保公式

ファインマン図形

例えば穏やかな湖面に石を投げ入れたときを想像して欲しい．我々が知りたいのは水中の情報で

物理量

物理量

AGD (1959)
Fradkin (1959)

あるが，鏡のような湖面を眺めているだけではそファインマン図形

れは計り難い．そこで石を投げ入れ，湖に「擾乱」

物理量
Matsubara(1955)

を加える．その擾乱の様子をうかがえば湖水があるいはドロドロであったかもしれないことが分かる．まさに外場とその応答の関係である．グリー

図 2: 場の量子論の発展経緯．GR,A は遅延・先進ン関数もこれに似て，平衡状態に擾乱を加えるこグリーン関数，G は温度グリーン関数を表す．有とで，その平衡状態の多彩な情報を引き出すこと

限温度の場合は様々な制約があって一筋縄では行ができる．

かないが，最終的にはファインマン図形→温度グ
リーン関数→遅延・先進グリーン関数→（久保公2.3

場の量子論の発展経緯

式を通して）→物理量と辿ることで具体的な計算が可能となった．
（後述する光電子分光で測定され場の量子論の方法は，グリーン関数に基づいた

るスペクトル関数 A(ε) については，遅延グリーン

計算法により大いに発展した．多体問題においては関数から直接求められる．
）

摂動展開の無限次数までを考慮する必要があるが，この問題に対してファインマン図形の方法は驚くがある．そこで現れるのは通常の時間順序（因果ほど有効であり，T = 0 における場の量子論の発展とも）グリーン関数，あるいはより解析性の優れに大きく寄与した．当然これらの成功を T ̸= 0 にている遅延・先進グリーン関数である．そこで温展開することが考えられたが，次節で述べる通り，

度グリーン関数と遅延先進グリーン関数を対応付

T = 0 のグリーン関数をそのまま T ̸= 0 に拡張しただけでは，ファインマン図形の方法を用いるこけたのがアブリコソフ・ゴリコフ・ジャロシンスキー 9) とフラトキン 10) である．これにより，ファとができないという大きな困難にぶつかった 2 ．

インマン図形→温度グリーン関数→遅延・先進グ

この困難を克服したのが松原によって導入されリーン関数→（久保公式を通して）→物理量の全た温度グリーン関数である 8) ．この成功はランダ道筋が開通した（図 2）．

ウの絶賛を博したという．温度グリーン関数の登場により，T ̸= 0 における熱力学的物理量も T = 0とほとんど同じファインマン図形の方法に基づい

3て非常に明快に計算することが可能となった．

温度グリーン関数の導入

松原理論の主たる計算対象は熱力学ポテンシャ

前節で見たように，グリーン関数は基本的に生ルであり，温度グリーン関数は熱力学的特性を決成と消滅演算子の積の期待値で与えられる．ただ定するには十分であったが，輸送係数などその他

し厳密には，目的に合わせてその定義をわずかで一般の物理量を直接計算することはできなかった．

あるが変更する．このため，ひとことでグリーン

そうした時間に依存する力学的現象についてはさ関数といっても実際には幾つかの種別がある 3 ．グらに久保公式に基づいて応答関数を計算する必要
2 T = 0 では，グリーン関数を “相互作用表示”し，そこで

3 よく用いられるものとして，次のようなものがある．

現れる S 行列を摂動展開することでファインマン図形の方法が適用可能となる．しかし T ̸= 0 の場合，そのままでは相互作
用表示での記述ができないことから，ファインマン図形を用いた計算も不可能になる．

time ordered
retardedadvancedgreaterlessercontour ordered

3

G(1, 1′ ) = −i⟨T {ψ(1)ψ † (1′ )}⟩GR (1, 1′ ) = −iθ(t − t′ )⟨{ψ(1), ψ † (1′ )}⟩GA (1, 1′ ) = iθ(t′ − t)⟨{ψ(1), ψ † (1′ )}⟩G> (1, 1′ ) = −i⟨ψ(1)ψ † (1′ )⟩G< (1, 1′ ) = i⟨ψ(1′ )† ψ(1)⟩G(1, 1′ ) = −i⟨TC {ψ(1)ψ † (1′ )}⟩リーン関数を解説する一般的な教科書では，まず松原はこれを一つにまとめて行う「虚時間」を用

絶対零度のグリーン関数を導入してから有限温度

いた画期的な技法を発案した 8) ．例えば時間変数での定式化へと進むのが標準的である 2)–4) ．しかを複素数にまで拡張すれば，ハイゼンベルグ演算

し凝縮系物理において実際に必要なのは有限温度

子の時間因子は exp(±β Ĥ) となり，統計平均をとの場合がほとんどであり，たとえ絶対零度の計算

る因子と共通となる．虚時間という少し慣れないを行うにしても有限温度の計算の T → 0 の極限概念が登場するが，この技法により有限温度の場をとればよい．本セミナーの目的は，現実的な計合においても，それまでに開発されてきた絶対温算に必要な最小限の道具を揃えることであるので，度における場の量子論の方法と同じように議論すここでは初めから有限温度のグリーン関数を導入ることが可能となった．このため，有限温度のグする．

リーン関数は松原グリーン関数ともよばれる．

熱平衡状態における任意の演算子 X̂ の期待値は，[]
Tr e−β(Ĥ−µN̂ ) X̂[]⟨X̂⟩ =(6)Tr e−β(Ĥ−µN̂ )3.1

温度グリーン関数の定義

温度グリーン関数は次のように定義される．

4で与えられる ．µ は化学ポテンシャル，β = 1/kB T

Gαβ (r1 , τ1 ; r2 , τ2 ) = −⟨Tτ {ψα (r1 , τ1 )ψ̄β (r2 , τ2 )}⟩は温度の逆数で，系の熱力学的な状態は巨視的変(8)

数 µ および β によって決められる．Tr は対角和を表し，完全系をなす状態についての和を意味する∑
Tr[· · · ] = n ⟨n| · · · |n⟩．グリーン関数は生成・消

ここで Tτ {· · · } は虚時間についての時間順序積（T滅演算子の期待値で表されるので，例えば次のよ

れば，（虚時間での）時刻の最も早い演算子が右側

うな期待値を考えることになる（上式の X̂ としてψψ † を代入）：[]
Tr e−β(Ĥ−µN̂ ) ψ(t)ψ † (t′ )
[
]
.
(7)
Tr e−β(Ĥ−µN̂ )に，そこから左へと時刻が進むように演算子が並積などともよばれる）で，これが演算子に作用すび変わる．このときフェルミ粒子同士を交換する
際には，P 回の交換で (−1)P が付くことを約束としておく．例えば次のようになる．
{
ψ(1)ψ(1′ )for τ1 > τ1′′Tτ {ψ(1)ψ(1 )} =′±ψ(1 )ψ(1) for τ1 < τ1′

ここで X̂(t) = eiĤt/ℏ X̂(0)e−iĤt/ℏ は時間依存性を含んだハイゼンベルグ表示での演算子である 5 ．

(9)

多くの場合，ハミルトニアンは厳密に解ける部
符号の上がボーズ粒子，下がフェルミ粒子に対応

分とそうでない部分に分けられ，後者を摂動とししている．

て扱う．摂動項を級数展開する際に，有限温度のここで注意が必要なのは，虚時間におけるハイ

場合 exp(±iĤt/ℏ) と exp(−β Ĥ) の二カ所で級数

ゼンベルグ表示では展開が求められるため計算は非常に複雑になる 6 ．

ψ(r, τ ) = eτ Ĥ ψ(r)e−τ Ĥ

Time ordered (もしくは Causal) グリーン関数に現れる
T は通常の時間順序積．Contour ordered (もしくは非平衡，Keldysh) グリーン関数に現れる TC は時間順序ではなく，径路順に演算子を並べる．Retarded, Advanced グリーン関数では {A, B} = AB + BA を用いて表記してある．
4 熱 力 学 ポ テ ン シャル Ω を 用 い れ ば ，⟨· · · ⟩=Tr[· · · e−β(Ĥ−Ω) ] が 熱 平 衡 状 態 で の 期 待 値 と な る ．分 配関数は Z = Tre−β Ĥ = e−βΩ である．ただし Ĥ = Ĥ − µN̂
とした．
()
5 演算子 eiĤt/ℏ は 1+iĤt/ℏ+· · ·+(1/n!)niĤt/ℏ

ψ̄(r, τ ) = e

τ Ĥ

†

ψ (r)e

−τ Ĥ

(10)
(11)

となるため，ψ と ψ̄ は互いにエルミート共役ではない点である．このことを注意喚起するため，ψ †ではなく ψ̄ という表記を用いている．エルミート+· · ·

共役や複素共役をとる際に，このことをうっかり忘を記号的に表したものである．
6 絶対零度の場合は eiĤt の部分を級数展開するだけでよい．
これは散乱行列（S 行列）を用いて行われる．

れていると，深刻な計算間違いをすることになる．

4

3.2

温度グリーン関数のフーリエ展開

うにフーリエ展開することができる：∑∫
1
Gαβ (r, τ ) =dp eip·r−iεn τ Gαβ (p, iεn )(2π)3 β n

ところで T = 0 での場の量子論の方法における成功の大きな要因は，フーリエ展開を用いること∫

で計算が大幅に自動化されたことにあった．松原

Gαβ (p, iεn ) =形式では上のように通常の時間 t の代わりに虚時∫ βdrdτ e−ip·r+iεn τ Gαβ (r, τ )

(15)

0

間 τ を導入する必要があり，これが単純なフーリ(16)

エ展開を阻み，計算の自動化が達成されない．こここでは空間的に一様で外場のない無限系を想定しの問題に対しては，虚時間軸上の周期構造をうまているので，グリーン関数は座標の差 r = r1 − r2

く使うことでフーリエ展開できることが江沢・友のみに依存することを用いている．
（15）や（16）沢・梅沢 11) およびアブリコソフ・ゴリコフ・ジャ
によって独立に示された ．これは一見よくあるフーリエ展開の形だが，虚時間軸によりいよいよ温度グリーン関数を用いて “自動上のやや特殊な周期構造（14）を反映し，振動数的”に摂動計算が行えるようになった．

εn はボーズ粒子の場合とフェルミ粒子の場合で異なり，それぞれ 2π/β の偶数倍と奇数倍で定義されロシンスキー

9)7

対角和の巡回不変性（Tr{ABC} = Tr{BCA}）ている 10 ：{を用いれば，τ1 > τ2 の場合，

Gαβ (r1 , τ1 ; r2 , τ2 )[]= −Tr e−β(Ĥ−Ω) e(τ1 −τ2 )Ĥ ψα (r1 )e−(τ1 −τ2 )Ĥ ψβ† (r2 )
(12)

εn =

2nπkB T
（ボーズ粒子）(17)(2n + 1)πkB T （フェルミ粒子）できる．
（今は τ < 0 を考えていることに注意．
）

Gαβ (r1 , τ ; r2 , 0) = ∓⟨ψ̄β (r2 , 0)ψα (r1 , τ )⟩[]= ∓Tr e−β(Ĥ−Ω) ψ̄β (r2 )eτ Ĥ ψα (r1 )e−τ Ĥ[]= ∓Tr eβΩ eτ Ĥ ψα (r1 )e−(τ +β)Ĥ ψ̄β (r2 )[]= ∓Tr e−β(Ĥ−Ω) e(τ +β)Ĥ ψα (r1 )e−(τ +β)Ĥ ψ̄β (r2 )を得る 8 ．これより，右辺は虚時間の差 τ1 − τ2 のみに依存することが分かる．
（τ1 < τ2 の場合も同様．
）となれば，片方の虚時間を原点に取り直して= ±Gαβ (r1 , τ + β; r2 , 0)Gαβ (r1 , τ ; r2 , 0) = −⟨Tτ {ψα (r1 , τ )ψ̄β (r2 , 0)}⟩(13)

10 −β ≤ τ ≤ β で定義された関数 f (τ ) をフーリエ展開するととしても一般性は失われない．−β < τ < 0 の場

e−inπτ /β f (iεn )n=−∞の（やや特殊な）周期境界条件が示される 9f (iεn ) =Gαβ (τ ) = ±Gαβ (τ + β).

∞∑f (τ ) = β −1合について再び巡回不変性を用いれば虚時間軸上

(14)

1
2

∫ β

dτ f (τ )einπτ /β−βとなる．−β < τ < 0 において f (τ ) = ±f (τ + β) の関係を満たしていれば，積分範囲を分割して
[∫ 0
]
∫ β
1
f (iεn ) =dτ f (τ )einπτ /β +dτ f (τ )einπτ /β
2 −β
0
∫ β
1
dτ f (τ )einπτ /β= (1 ± e−inπ )20

この関係を利用して，温度グリーン関数を次のよ
7 温度グリーン関数をフーリエ展開する試みは初め江沢らによって達成された．アブリコソフらは当初江沢らの仕事を認識せずに虚時間のフーリエ展開にたどり着いたようであるが，ハラトニコフによって江沢らの仕事を教えられたとのことである
9) ．ただし (14) の簡明な形で境界条件を与えたのはアブリコ
ソフらが初めてである．
8 次の交換を得る．ボーズ粒子（フェルミ粒子）の場合 n が奇数（偶数）で，(1 ± e−inπ ) の因子が０になるので，最終的にフーリエ展
開は∫ β
f (iεn ) =dτ eiεn τ f (τ )e−τ2 Ĥ e−β(Ĥ−Ω) = e−β(Ĥ−Ω) e−τ2 Ĥ

0{は同じ演算子 Ĥ 同士の交換であるので許される．
（Ω は演算子
ではない．
）
9 虚時間に対する周期境界条件は次のようにして示すことがεn =2nπkB T
（ボーズ粒子）(2n + 1)πkB T （フェルミ粒子）と表すことができる．

5

このように温度グリーン関数をフーリエ展開するである．ここでフーリエ展開を施すと∫ β
G0 (p, iεn ) = −(1 ± np )dτ e(iεn −ξp )τ

ことにより T = 0 において培われてきたグリー
ン計算の技法がほぼそのまま有限温度においても0用いられることとなり，計算が飛躍的に簡単化さ

eβ(iεn −ξp ) − 1= −(1 ± np )iεn − ξpれた．

= (1 ± np )3.3

自由粒子系の温度グリーン関数
れば非常に簡単な形のか，まずは相互作用しない多粒子系（自由粒子系）について考えてみる．自由粒子系では運動量G0 (p, iεn ) =表示において∑†ε0 (p)ψpσ
ψpσ

(18)

∑

†
ψpσ
ψpσ

(19)

1
iεn − ξp(26)となることが分かる．

pσ

N̂ =

(25)

以上より，グリーン関数を運動量・振動数表示す温度グリーン関数が具体的にどういう形をとるĤ0 =1 ∓ e−βξp.
iεn − ξp

これがグリーン関数の基本形で，数学的には iεnに対する複素平面で留数 1 の 1 位の極が ξp にあpσることになる．相互作用を含む一般の場合でもグリーン関数の極の位置が固有の励起エネルギーをと表せる．Baker-Hausdorﬀ の補助定理

与え，留数の値はその励起強度に対応する．

eA Ce−A= C + [A, C] +1
1
[A, [A, C]] + [A, [A, [A, C]]] + · · ·
2!
3!
(20)

どういう意味を持っているのかを確かめる．そのうに簡単になる：

ψpσ (τ ) = e

遅延・先進グリーン関数
前節で導入された温度グリーン関数が物理的にを用いれば演算子のハイゼンベルグ表示は次のよτ (Ĥ0 −µN̂ )4

ためには，遅延および先進グリーン関数 (retardedψpσ e−τ (Ĥ0 −µN̂ )

=e

−τ ξp

and advanced Green’s function) とよばれるグリーン関数を考える必要がある．伝導度や感受率など，

ψpσ
(21)

すべての観測できる物理量は遅延・先進グリーン関††ψ̄pσ (τ ) = eτ (Ĥ0 −µN̂ ) ψpσe−τ (Ĥ0 −µN̂ ) = eτ ξp ψpσ(22)数から（久保公式を通して）求めることができる．
多くの場合，虚時間を用いた松原振動数と温度グ

ここで ξp = ε0 (p) − µ とした．これらと階段関数

リーン関数から計算をはじめ，そこから解析接続

θ(τ ) を用いて自由粒子系の温度グリーン関数はの手順に従って遅延・先進グリーン関数（そしてその相関関数）を得ることで物理量の計算が完了す††
G0 (p, τ ) = −θ(τ )e−ξp τ ⟨ψpσ ψpσ⟩ + θ(−τ )e−ξp τ ⟨ψpσ
ψpσ ⟩る．結論を先に言えば，温度グリーン関数の松原= −e−ξp τ [θ(τ ) (1 ± np ) − θ(−τ )np ]

振動数を次のように解析性に注意して iεn → ε ± iδ(23)と置き換えるだけで対応する遅延・先進グリーン関数が得られる：†と書ける．ここで np = ⟨ψpσ
ψpσ ⟩ は粒子密度演算子の期待値で，自由粒子系の場合，

1


ボーズ粒子
βξp − 1
e
np =
1


フェルミ粒子eβξp + 1iε →ε+iδ

G (p, iεn ) −−n−−−−→ GR (p, ε) for εn > 0 (27)iε →ε−iδG (p, iεn ) −−n−−−−→ GA (p, ε) for εn < 0 (28)(24)
ここで δ は正の無限小量である．

6

遅延・先進グリーン関数の定義

4.1

表示における演算子の定義を思い出せば，次の関係が成り立つこともすぐに理解できるであろう：

本稿ではフェルミ粒子に限って議論を進めるこ⟨n|ψ(t)|m⟩ = ⟨n|eiĤt ψ(0)e−iĤt |m⟩ととする．フェルミ粒子の遅延グリーン関数は次で定義される：= ⟨n|ψ(0)|m⟩ei(En −Em )tGR (p, t − t′ )(32)

したがって遅延グリーン関数は次のように書き表††= −iθ(t − t′ )⟨ψpσ (t)ψpσ(t′ ) + ψpσ(t′ )ψpσ (t)⟩(29)

すことができる 13 ：GR (t − t′ ) = −iθ(t − t′ )eβΩ

遅延グリーン関数は実時間 t で与えられている点

∑

e−βEn

m,n

{
′
× ei(En −Em )(t−t ) |⟨n|ψ|m⟩|2

で温度グリーン関数と大きく異なるが，生成・消}′+ e−i(En −Em )(t−t ) |⟨m|ψ|n⟩|2∑()= −iθ(t − t′ )eβΩ
e−βEn + e−βEm

滅演算子の対の熱平衡状態の平均値という点では同等である．
（虚数 i が係数についている点も温度
グリーン関数と異なっている．
）階段関数 θ(t − t′ )は因果律と対応している．すなわち，時刻 t′ に擾

m,n

×e

乱を加え，その変化があとの時刻 t で観測される．

i(En −Em )(t−t′ )|⟨n|ψ|m⟩|2 .

(33)

観測量はこの因果律を満たしているはずで，それゆえ観測量が遅延および先進グリーン関数と結び4.2つけられる．⟨· · · ⟩ の中をみれば明らかなように，
遅延グリーン関数は異なる時刻の反交換関係と対応している 11 ．同様に，先進グリーン関数は次式

遅延・先進グリーン関数も次のようにフーリエで与えられる：展開すればより理解しやすくなる：∫1
GR (r, t) =dpdε eip·r−iεt GR (p, ε) (34)
(2π)4
∫
R
G (p, ε) = drdt e−ip·r+iεt GR (r, t)(35)′

G (p, t − t )A††= iθ(t′ − t)⟨ψpσ (t)ψpσ(t′ ) + ψpσ(t′ )ψpσ (t)⟩.
(30)

考えているハミルトニアンの固有値と固有状態(33) のフーリエ展開を導くために，階段関数の積
分表示∫ ∞ ′ iε′ tdε eθ(t) = lim(36)
δ→0 −∞2πi ε′ − iδを Ĥ|m⟩ = Em |m⟩ で表すことにすると，GR (t − t′ )= −iθ(t − t′ )eβΩ∑{}⟨n|e−β Ĥ ψ(t)ψ † (t′ ) + ψ † (t′ )ψ(t) |n⟩×n= −iθ(t − t′ )eβΩ∑

遅延・先進グリーン関数のフーリエ展開とスペクトル関数

e−βEn

m,n

{
}
× ⟨n|ψ(t)|m⟩⟨m|ψ † (t′ )|n⟩ + ⟨n|ψ † (t′ )|m⟩⟨m|ψ(t)|n⟩(31)と 表 す こ と が で き る 12 ．こ こ で は 完 備 関 係 式∑
m |m⟩⟨m| = 1 を用いている．ハイゼンベルグ
11 ボーズ粒子の場合は交換関係を反映し，⟨· · · ⟩ 内の符号が負で定義される．
12 運動量やスピン依存性を明記していないが，もちろんすべての生成・消滅演算子は両者に依存しており，ψp,σ である．

13 最後の式へと変形する際，{· · · } 内の第２項の m と n を入れ替えている．

7

を用いる．
（δ > 0）これを (33) に代入し，(35) のと表すこともできる．これは実数の x に対して一時間に関する部分から 14 ，∫ ∞ ∫ ∞ ′ i(ε+ε′ +En −Em )tdε e
GR (ε) = −idt
2πiε′ − iδ
−∞
−∞
∑(
)
× eβΩ
e−βEn + e−βEm |⟨n|ψ|m⟩|2

般に1
1= P ∓ iπδ(x)x ± iδ
xのように表されることから導ける．記号 P はコー
シーの主値を表している．

m,n

∫ ∞

′

δ (ε + ε + En − Em )dε′ε′ − iδ
−∞
∑(
)
× eβΩ
e−βEn + e−βEm |⟨n|ψ|m⟩|2=−

その形から明らかなように，A(p, ε) はすべてのp, ε に対して常に正である．また，スペクトル関
数についての総和則
∫ ∞

m,n

∑

e−βEn + e−βEm= eβΩ|⟨n|ψ|m⟩|2
ε + En − Em + iδ
m,n

(42)

dε
A(p, ε) = 1
2π
−∞

(37)

(43)

が成り立っている 15 ．
スペクトル関数は，具体的には光電子分光法になお，GA についても同様の計算で求まり，GR とより測定される．光電子分光では，光（フォトン）

複素共役の関係[]∗GA (ε) = GR (ε)

を物質に照射し，飛び出してきた光電子の運動エ(38)

ネルギーを測定する．このエネルギー分布が光電にあることが示せるので，余力のある読者は確か

子スペクトルであり，スペクトル関数 A(ε) そのもめてみてほしい．

のである．特定の方向に飛び出してきた光電子を遅延グリーン関数の物理的意味はスペクトル関

観測すれば角度分解光電子分光となり，スペクト数 A(p, ε) を用いることでより明確になる：∫ ∞ ′dε A(p, ε′ )GR (p, ε) =(39)′−∞ 2π ε − ε + iδ∑()
A(p, ε) = 2πeβΩ|⟨n|ψp |m⟩|2 e−βEn + e−βEm

ル関数の運動量依存性 A(p, ε) も明らかにできる．
光電子分光は銅酸化物高温超伝導の出現を契機に大きく発展した実験技術であり，物性物理学における主要な実験の一つに数えられるようになった．
固体のバンド構造およびフェルミ面を直接的に観m,n× δ(ε + En − Em ).

測し，貴重な情報をもたらす光電子分光は，グリー(40)ン関数と直に結びついている．

このようにスペクトル関数を用いた (39) 式の表示

遅延グリーン関数は他に粒子数密度の情報も含はレーマン表示とよばれる．スペクトル関数 A(p, ε)んでいる．粒子数密度はの形をみると，ある状態から運動量 p の粒子を一†
np = ⟨ψpσ
ψpσ ⟩つ取り除いた時のエネルギー変化が ε に相当する(44)

過程の遷移確率に比例していることが分かる．別で与えられる．相互作用がない場合にこれはフェの言い方をすれば，粒子が運動量 p とエネルギー

ルミ分布関数に一致することはすでに述べた．一ε をとる確率を表している．
スペクトル関数と遅延グリーン関数の関係は (39)

15 全振動数領域での積分を考え，(31) 式での変形の逆をたど
れば，
∫ ∞
dε
A(p, ε)
2π
−∞
(
)
∑
= eβΩ
|⟨n|ψp |m⟩|2 e−βEn + e−βEm

式により，A(p, ε) = −2 ImGR (p, ε)

(41)

m,n

14 階段関数に現れる ε′ とフーリエ展開で現れる ε を混同しないように注意が必要である．さらに次のデルタ関数の関係式∫ ∞dt eiεt = 2πδ(ε)

=e

βΩ

=e

βΩ

(
)
∑
†
†
⟨n| ψp ψp+ ψp
ψp |n⟩e−βEnn∑

e−βEn .

n−∞∑
本来 Z = e−βΩ = Tre−β Ĥ = n e−βEn であったので，この分配関数部分はちょうど打ち消され，総和則が導かれる．

も用いている．これはフーリエ展開のいたるところで現れる重要な積分である．2π を忘れることがあるので注意．

8

方，相互作用がある場合はフェルミ分布関数から相互作用がなければ運動量 p を持つ

ずれる．粒子数密度を次のように表すと，スペク粒子のエネルギーは変化しないため，その存在確率はデルタ関数にスペクトル関数

トル関数と似た形が得られる：∑†
np = eβΩ⟨m|e−β Ĥ ψpσ|n⟩⟨n|ψpσ |m⟩
m,n

=e

βΩ

∑

e−βEm |⟨n|ψpσ |m⟩|2

(45)

m,n

相互作用があると運動量 pが同じでもそのエネル
ギーは様々な値をとるよ
うになり，エネルギーの

この粒子数密度をスペクトル関数 (40) を用いて書
き直すと，( −βEn)e+ e−βEm δ(ε + En − Em )()= e−βEm eβε + 1 δ(ε + En − Em )分布が幅を持つピーク位置も移動する(46)

であることから，スペクトル関数を eβε + 1 で除したものが粒子数密度に相当することが分かる：∫ ∞dε A(p, ε)
np =
(47)
2π
eβε + 1−∞

図 3: 相互作用がない場合 A0 (ε) とある場合 A(ε)

し た がって ，粒 子 数 密 度 は フェル ミ 分 布 関 数

ペクトルの幅を強調して描いているが， 実際にはnF (ε) = (eβε + 1)−1 （エネルギーは化学ポテン
シャルを基準としている）とスペクトル関数によって表される．
∫ ∞
dε
np =
(48)
nF (ε)A(p, ε)−∞2π

総和則 (43) が成り立ち，A0 (ε) と A(ε) の積分値はのスペクトル関数．相互作用のある場合のスペク
トル関数については，8.2 節参照．
（注：上図ではス等しい．
）と な る ．こ こ で 温 度 グ リ ー ン 関 数 の 時 と 同 様に Baker-Hausdorﬀ の補助定理より ψpσ (t) =e−itξp ψpσ を用いた．このフーリエ展開は，(37) と同様にしてつまり，運動量 p を持つ粒子の密度は，フェルミ分布関数にその重みとしてスペクトル関数を乗じたGR
0 (p, ε) =上，全エネルギーで積分したもので与えられる 16 ．
スペクトル関数は遅延グリーン関数と (41) に直結

1
ε − ξp + iδ(50)

していることから，遅延グリーン関数が求まればとなる．自由粒子系の温度グリーン関数 (26) と比直ちに粒子数密度を求めることができる．

べれば，遅延グリーン関数は確かに iεn → ε + iδの置き換えを行ったものになっていることが分か

4.3

る．このとき，スペクトル関数は (41) を用いて自由粒子系の遅延グリーン関数とス
ペクトル関数A0 (p, ε) = 2πδ(ε − ξp )相互作用しない系の遅延グリーン関数とスペク(51)である．すでに述べたようにスペクトル関数は，存

トル関数は簡単に求めることができる．(29) の定在確率に対応している．自由粒子系の場合，運動義より，

量 p の粒子のとりうるエネルギーは ξp のみであ′GR
0 (p, t − t )り，そのため確率密度はデルタ関数となる．系に′††= −iθ(t − t′ )e−i(t−t )ξp ⟨ψpσ ψpσ
+ ψpσ
ψpσ ⟩
′

= −iθ(t − t′ )e−i(t−t )ξp

相互作用がある場合，運動量 p を持つ粒子のとりうるエネルギーは ξp にとどまらないことから，ス(49)

ペクトル関数の幅が広がる（図 3）．

16 すぐ後でみるように，自由粒子系ではスペクトル関数はデルタ関数となる．これに応じて np は自由粒子系では nF に一致することが (48) から直ちに分かる．

9

ここで ∇i は ri にのみ演算する．上の第二項はフェグリーン関数と運動方程式5

ルミ粒子の交換関係を用いて前節でグリーン関数が様々な情報を含んでいる∇22
ψ(r2 , τ )ψ(r1 , τ )2m∇2= −ψ̄(r2 , τ )ψ(r1 , τ ) 2 ψ(r2 , τ )
2m
{
} ∇22
= − δ(r1 − r2 ) − ψ(r1 )ψ̄(r2 )ψ(r2 , τ )2m(56)

ことをみた．ひとたびグリーン関数が得られれば，

ψ̄(r2 , τ )こうした情報を引き出すことができる．ではそのグリーン関数を具体的に求めるにはどうすれば良いか．ここでは運動方程式からグリーン関数を求める方法を紹介する．

5.1となるので，後ろの部分は (55) の第一項と打ち消消滅演算子の運動方程式

し合うことになる．結局残るのはデルタ関数のつ次のように運動エネルギーと二体ポテンシャル

いている項で，r2 積分を行って，V (r − r ′ ) からなるハミルトニアンを考える：∫(−∇2 )
Ĥ = dr ψ̄(r)
ψ(r)
2m
∫
1
drdr ′ ψ̄(r)ψ̄(r ′ )V (r − r ′ )ψ(r ′ )ψ(r).
+
2
(52)

]
[
∇2
ψ(τ ), Ĥ0 = −ψ(r, τ )2m(57)となる．このように演算子の交換子の計算がでてきた場合，ψ1 ψ̄2 ψ2 − ψ̄2 ψ2 ψ1 のような形が現れる
が，第二項の右端にある ψ1 をフェルミ粒子の交換関係を用いて左端まで持ってくることで，第一項

V (r − r ′ ) は瞬間的に２粒子間に作用するものとし，時間には依存しない．粒子のスピンをあらわを打ち消す，というのが計算の基本方針である．途
中で [ψ1 , ψ̄2 ]+ = δ(1 − 2) を用いた分だけデルタ関には書いていないが，必要があれば ψ(r) は ψσ (r)数が現れ，これが最後まで残る．この基本方針さとみなし，r についての積分に加えて σ について

え心に留めておけば，計算が複雑になっても機械の和をとることにしておく．なお，ℏ = 1 とした．

的に計算を行えば良い．それを次の [ψ(τ ), Ĥ′ ] でハイゼンベルグの運動方程式は任意の演算子

みてみよう．
[] 1∫[′
ψ(τ ), Ĥ =dr2 dr3 ψ1 ψ̄2 ψ̄3 V (2 − 3)ψ3 ψ2
2]− ψ̄2 ψ̄3 V (2 − 3)ψ3 ψ2 ψ1(58)

X(t)（ハイゼンベルグ表示）に対して，
i]∂X(t) [= X(t), Ĥ(t)
∂t

(53)

で与えられる．我々は演算子として ψ(τ ) を考え，
τ = it の虚時間で表記し，次の運動方程式を考

右辺第二項はえる：]∂ψ(τ ) [= ψ(τ ), Ĥ(τ )−∂τ− ψ̄2 ψ̄3 V (2 − 3)ψ3 ψ2 ψ1 = −ψ̄2 ψ̄3 V (2 − 3)ψ1 ψ3 ψ2{}= −ψ̄2 δ(3 − 1) − ψ1 ψ̄3 V (2 − 3)ψ3 ψ2{}= −ψ̄2 V (2 − 1)ψ1 ψ2 + δ(2 − 1) − ψ1 ψ̄2 ψ̄3 V (2 − 3)ψ3 ψ2(54)

右辺のような交換子の計算は頻繁にでてくるので，= ψ̄2 V (2 − 1)ψ2 ψ1 + ψ̄3 V (1 − 3)ψ3 ψ1

ここで一度計算の詳細をみておく．ハミルトニア− ψ1 ψ̄2 ψ̄3 V (2 − 3)ψ3 ψ2ン (52) の第一項を Ĥ0 ，第二項を Ĥ′ として，それぞれの交換子を計算する．
∫[]∇2
ψ(τ ), Ĥ0 = −ψ(r1 , τ ) dr2 ψ̄(r2 , τ ) 2 ψ(r2 , τ )2m∫2∇+ dr2 ψ̄(r2 , τ ) 2 ψ(r2 , τ )ψ(r1 , τ )
2m
(55)

(59)

となる．この第三項は (58) の第一項と打ち消すので，残るのは] ∫[ψ(τ ), Ĥ′ = dr ′ ψ̄(r ′ )V (r − r ′ )ψ(r ′ )ψ(r)

(60)

10

である．したがって考えていた運動方程式は次のこのように１粒子グリーン関数の運動方程式はようになる：−

２粒子グリーン関数によって与えられる．同様に２粒子グリーン関数は３粒子，３粒子は４粒子グ∂∇2
ψ(r, τ ) = −ψ(r, τ )∂τ
∫ 2m+

リーン関数によって記述され，無限に階層的な構

dr ′ ψ̄(r ′ , τ )V (r − r ′ )ψ(r ′ , τ )ψ(r, τ ).

造を持つ．したがって高次のグリーン関数を得な
い限りその低次のグリーン関数は求まらないこと(61)となる．一般に厳密な多粒子グリーン関数を求めるのは困難であるため，実際には (65) において G2

5.2に適当な近似を施すことによって G の近似解を求グリーン関数の運動方程式

めることになる．

上の運動方程式を元にして温度グリーン関数についての運動方程式を立てることができる．温度
グリーン関数の定義 (8) を階段関数を用いて表記

5.3

すると，

G2 に対する近似を考える前に，得られた運動方G (1, 1′ ) = −θ(τ1 − τ1′ )⟨ψ(1)ψ̄(1′ )⟩+ θ(τ1′ − τ1 )⟨ψ̄(1′ )ψ(1)⟩自由粒子系の運動方程式

程式から自由粒子系の温度グリーン関数を計算しておく．自由粒子系での運動方程式は単純に
[
]
∂
∇21
−
G0 (1, 1′ ) = −δ(1 − 1′ )
(66)
∂τ1
2m

(62)

である．この温度グリーン関数の τ1 について虚時間微分をとる：である．この方程式はフーリエ展開すれば簡単に∂τ1 G (1, 1′ )[]{}= −δ(τ1 − τ1′ )⟨ ψ(1), ψ̄(1′ ) ⟩ − ⟨Tτ ∂τ1 ψ(1)ψ̄(1′ ) ⟩{}∇2= −δ(1 − 1 ) − 1 ⟨Tτ ψ(1)ψ̄(1′ ) ⟩2m∫{}+ dr2 V (r1 − r2 )⟨Tτ ψ̄(2)ψ(2)ψ(1)ψ̄(1′ ) ⟩ |τ1 =τ2′(63)
階段関数の微分はデルタ関数になることを用いて解くことができる．両辺に exp[−ip · (r1 − r1′ ) +iεn (τ1 − τ1′ )] をかけて r1 , τ1 について積分すると 17∫ β′∂dτ1 eiεn (τ1 −τ1 )G0 (1, 1′ ) = −iεn G0 (r1 − r1′ , iεn )
∂τ1
0
(67)
∫
′
dr1 e−ip·(r1 −r1 ) ∇21 G0 (1, 1′ ) = −p2 G0 (p, τ1 − τ1′ )(68)

いる．また上の右辺第一項ではフェルミ粒子の交換関係を考慮して δ(1 − 1′ ) = δ(τ1 − τ1′ )δ(r1 − r1′ )となることから，としてある．ここで次の関数を導入する．
{}
G2 (12; 1′ 2′ ) = ⟨Tτ ψ(1)ψ(2)ψ̄(2′ )ψ̄(1′ ) ⟩ (64)G0 (p, iεn ) =1iεn − p2 /2m(69)

G2 は２粒子の生成・消滅に関係したグリーン関数となり，(26) に相当する結果が得られる．上の結なので，２粒子グリーン関数と呼ぶ．これを用い果から，てグリーン関数の運動方程式は次のようになる：][∇2∂− 1 G (1, 1′ ) = −δ(1 − 1′ )∂τ12m∫
− dr2 V (r1 − r2 )G2 (12; 1′ 2+ ) |τ1 =τ2 . (65)∂→ −iεn∂τ∇2 → −p2

(70)
(71)

の対応があることを覚えておくと良い．

ここで 2+ は τ2 より無限小だけ大きな時刻を表し，

17 (67) と (68) では部分積分を用いる．τ 積分では境界条件
1(14) を，r1 積分では G0 (1, 1′ )||r1 −r′ |→±∞ = 0 を用いる．

G2 の中の時間順序積と (61) の順序とが一致するようにとっている．

1

残った積分はフーリエ展開 (16) の形をとる．

11

この対応関係を用いれば，自由粒子系に限らず

1’

1

2’

2

一般に (63) はG (1, 1′ ) =⟨11iεn − Ĥ

1′

⟩
(72)

ここで付け加えられた２粒子は直接的に，あるいと表すこともできる．ここで Ĥ は一般には行列で与は他の粒子を通して間接的に相互作用しあっていえられ，1/(iεn − Ĥ) は正確には逆行列 (iεn − Ĥ)−1

る．しかし最も単純な近似として，ここでの相互と解釈する必要がある．Ĥ0 を対角化する表示とし作用を無視してみる．その場合は２粒子は互いにて運動量空間を考え，それに対応する固有エネル

独立で，ファインマン図形で表現すれば

ギーが p2 /2m であると見なせば，(69) と一致する
ことが分かるであろう．次回以降で紹介する具体

1’

1

1’

1

2’

2

2’

2

的な計算の場合は，(72) の定義から出発した方が簡単なことが多い．
またこの形から，ハミルトニアンの持つエネル
ギースケールより十分に大きい iεn に対しては，

G →

δ1,1′
iεn

の様になることから，

G2 (12, 1′ 2′ ) ≃ G (1, 1′ )G (2, 2′ )

(73)

(74)

となることは一目瞭然である．

になることが分かる．このことはハミルトニアンに含まれる相互作用の詳細にかかわらず，高いエ

このようにして得た近似的な２粒子グリーン関

ネルギーのグリーン関数は一般に自由粒子系と等数をグリーン関数の運動方程式 (65) に代入すると，
[
]
∫
∂
∇2
− 1 + dr2 V (r1 − r2 )G (2, 2+ )∂τ12m
τ2 =τ1

しくなることを意味する．換言すれば，エネルギーが高い粒子は，それに比べて低いエネルギーの相互作用など気にせず自由に振舞っていると理解す×G (1, 1′ ) = −δ(1 − 1′ )ることができる．

(75)となる．G (2, 2+ ) は粒子数密度 n(r2 ) に対応して

6

ハートリー・フォック近似

おり，(75) はある粒子が他の粒子からの相互作用を平均化したポテンシャルを感じながら 1′ → 1 へ

前節最後で触れた G2 に対する近似の最も基本と至る経緯を表している．これはいわゆるハート的な例としてハートリー近似およびハートリー・リー近似に相当している．

フォック近似を紹介する．近似の構造や特徴はファ

並進不変性がある場合，G (2, 2+ ) は位置に依存

インマン図形を用いて考察すると直感的に理解しせず一様なので，これを n とおける．これにより∫
nV0 = dr2 V (r1 − r2 )G (2, 2+ ) とすることができやすくなる．まず１粒子グリーン関数は方向を持った１本の直線で下のように表す．
1’

る．したがって，(75) のフーリエ展開は (69) と同様の方法で得られ，

1

G (p, iεn ) =これは (r1′ , τ1′ ) で粒子を付け加え，(r1 , τ1 ) に粒子を取り除くことを表している．同様に２粒子グ

1iεn − p2 /2m − nV0(76)となる． 解析接続 iεn → ε + iδ を施せば，リーン関数は次のように表される．

1ε − p2 /2m − nV0 + iδ

(77)A(p, ε) = 2πδ(ε − p2 /2m − nV0 )(78)

GR (p, ε) =12

となる．これは１粒子が他の粒子の影響を平均化

p2
+ nV0
2m
∑∫
1
−
dp′ V (p − p′ )G (p′ , iε′n )(2π)3 β ′したポテンシャル中にある場合と考えることがで(83)が得られる．以上より，ハートリー近似のもとでE(p) =

は粒子間の相互作用は単に全体のエネルギーをシフトさせる（化学ポテンシャルのくりこみ）だけnA(p, ε) = 2πδ(ε − E(p))

きる．

(84)

量子力学的には，２粒子 (1’, 2’）が (1, 2) へと
ハートリー・フォック近似によるエネルギー E(p)移る際に，(1’ → 1; 2’ → 2) と (1’ → 2; 2’ → 1)を決める (83) の中にはグリーン関数 G (p, iεn ) がとを区別できない．このことを考慮すれば，２粒含まれ，そのグリーン関数を決める (82) には E(p)子グリーン関数はが含まれている．したがって E(p) を求めるために
1’

1

1’

1

1’

1

2’

2

2’

2

2’

2

は (82) と (83) とを自己無撞着に解く必要がある．
ただし得られるスペクトル関数はハートリー近似

G2 (12, 1′ 2′ ) ≃ G (1, 1′ )G (2, 2′ ) − G (1, 2′ )G (2, 1′ )(79)と同じく，デルタ関数となる．

7

ファインマン図形の方法(80) をフーリエ展開せずにそのまま解くことものように表される．負符号は 1 と 2 の交換に伴っできる．その解はて現れた 18 ．このように近似した２粒子グリーン関数を用いれば運動方程式は
[
]
∫
∂
∇21
′
−
G (1, 1 ) + dr2 U (r1 , r2 )G (2, 1′ )∂τ12m
τ2 =τ1= −δ(1 − 1′ )(80)∫
d1̄d2̄ G0 (1, 1̄)Ṽ (1̄ − 2̄)[]× G (2̄, 2̄+ )G (1̄, 1′ ) − G (1̄, 2̄+ )G (2̄, 1′ )(85)で与えられる 19 ．ここで Ṽ (1̄ − 2̄) = δ(τ̄1 −τ̄2 )V (r̄1 − r̄2 ) とした．これをファインマン図形
を用いて表すと，図 4 の様になる．グリーン関数∫
U (r1 , r2 ) = δ(r1 − r2 )G (1, 1′ ) = G0 (1, 1′ ) +dr3 V (r1 − r3 )G (3, 3+ )− V (r1 − r2 )G (1, 2+ )(81)

である．ここで導入したポテンシャル U (r1 , r2 ) はハートリー近似の場合と同様に，他の粒子からのポテンシャルと理解することができるが，定数でHartree

はなく，位置の関数となる．この結果はいわゆる

Fock

ハートリー・フォック近似に相当する．
並進不変性がある場合はやはりフーリエ展開で

図 4: ハートリー・フォック近似によるグリーン関

きて次の形をとる：

G (p, iεn ) =数のファインマン図形

1iεn − E(p)((82)
19 これが (80) の解であることは，両辺に

∇2
∂
− 2m1
∂τ1

)
を

かけてみれば確かめられる．実際にこの微分を行うのではなく，[]∇2∂− 1 G0 (1, 1′ ) = −δ(1 − 1′ )∂τ12m

18 ２粒子グリーン関数の定義 (64) から，G (12; 1′ 2′ ) =2±G2 (21; 1′ 2′ ) となることは自明で，第２項の符号もこれと対応している．したがってボーズ粒子の場合は正符号となるの関係を用いる．

13

HartreeFock

図 7: ハミルトニアン２つを切り離せない様に結べ
図 5: 元のハミルトニアンの外線を結べばグリーン

ば２次の図形が得られる．この場合は図 6 左の上関数の補正が得られる

から３番目の図形になる．

図 8: ハートリー・フォック近似に含まれない２次の図形
せない”様に外線を結んでいけば得られる（図 7）．
そうした方法で図形を作っていけば，さらに図6 に含まれない図 8 の図形も得られることに気付くであろう 20 ．これらの図形はハートリー・フォッ
ク近似を超えたボルン近似により考慮することができる．この様にファインマン図形を援用すれば，

図 6: ハートリー・フォック近似による２次の図形

現在行っている近似の構造とその特徴が一目でわを表す線（G 線）のうち，G に対応する線は太線，

かるだけでなく，そこに含まれていない構造まで

G0 は細線で表してある．この様にファインマン図

直感的につきとめることができるのである．

形を用いて表すとハートリー項とフォック項の近運動方程式から出発すれば常に正確な表式が得似の構造が違うことが一目で明確にわかる．

られる．しかし実際に高次項を考える際は，ファ前図の G 線を全て G0 で置き換えたものは，グインマン図形で書き出したものを数式で表した方リーン関数を相互作用 V で摂動展開した時の１次が容易である．次に挙げるいくつかの規則さえ踏の補正に相当する．これは元のハミルトニアンのまえれば，ファインマン図形に対応する表式を得

外線２本を結んだものと考えることもできる（図ることができる 21 ．

実空間表示の場合

5）．ここで外線とは，G 線のうち，一端が他の図形につながり，他端はつながっていない線を指す．

m 次の相互作用に対して：これに対し，内線は両端が他の図形につながって

1. m 本の相互作用線（波線）とそれらを粒いる G 線のことである．
では２次の補正はというと，図 4 の G 線のどれか

20 ２次の図形をただ思いつくまま書き上げていくのでは，数え落とす可能性がある．図 7 で紹介した様に，ハミルトニアンを考えたい次数分用意し，出ていく線と入ってくる線の可能な組み合わせを系統的に数え上げ，その後トポロジー的に同等な図形を重複しない様に削っていけば，数え落とす心配はなく，より確実である．
21 実空間表示の 2．の規則に関して，i を始点，j を終点にとる流儀もある 2) が，定義が一貫していればどちらでも良い．

１本を１次のグリーン関数（ハートリー項かフォッ
ク項）で置き換えれば良い．そうして得られた図形が図 6 である．これらの図形もやはり元のハミ
ルトニアンの図形を２つ用意し，それらが “切り離14

子線（方向を持った実線）でつなぐ，異5. 全体の係数としてさらになる図形をすべて描く．

(−1)m+F

2. 粒子線には G0 (i, j) を対応させる．ここで i は粒子線の終点，j は始点にとる．



ボルン近似

8

4. 粒子線と相互作用線の結節点（バーテッ

(89)

をかける．



3. i と j を結ぶ相互作用線にはハミルトニ
アンで考えている摂動項 V (i, j) を対応させる．

(2s + 1)F
(2π)3mハートリー・フォック近似では，２粒子グリー

クスともよぶ）全てにおける位置座標および虚時間について積分する：

ン関数における粒子間の相互作用を無視した結果，∫ある運動量 p についてはそのエネルギー E(p) が

∫ β
dri
dτi

(86)

一意的に定まった．しかもこのエネルギー固有値0はそのまま保たれる．しかし現実の多粒子系では5. 全体の係数として粒子間の相互作用により，運動量 p の粒子の固有(−1)m+F (2s + 1)F

状態が乱される．これは粒子としての寿命が無限(87)から有限になることを意味する．この様子を具体をかける．ここで F は図形に含まれる的に見るため，ここではボルン近似に基づいた計（フェルミ粒子の）閉じたループの数で算を行う．
２粒子グリーン関数に対する近似の次の段階とあり，s はスピンで電子の場合 s = 1/2
である．



運動量表示の場合
m 次の相互作用に対して：して，(1’, 2’) で付け加えた２粒子が時刻 τ1′′ に位 置 r1′′ と r2′′ でお互い散乱を受け，その後 (1, 2) に
 至る過程を考えてみる．これはファインマン図形
で表せば図 9 のようになる．これら表式はそれぞ

1. m 本の相互作用線（波線）とそれらを粒子線（方向を持った実線）でつなぐ，異なる図形をすべて描く．

1’

1

2’

2

1’

1

1’

1

2’

2

2’

2

1’

1

1’

1

2’

2

2’

2

2. 粒子線には G0 (pi , iεni ) を対応させる．このとき，各結節点では運動量と振動数を保存する様に内線の運動量と振動数を設
定する．

図 9:

3. 相互作用線には考えている摂動項の運動量表示 V (p) を対応させる．

ボルン近似に基づく２粒子グリーン関数

れの実線にグリーン関数を割り振ることで次のよ
うになる．

4. 全ての独立な運動量を積分し，松原振動数の和をとる：
∫
1 ∑
dpi
(88)
βm n

G2 (12, 1′ 2′ ) ≃ G (1, 1′ )G (2, 2′ ) − G (1, 2′ )G (2, 1′ )∫ β∫−dτ1′′ dr1′′ dr2′′ V (r1′′ − r2′′ )0i× [G (1, 1′′ )G (1′′ , 1′ )G (2, 2′′ )G (2′′ , 2′ )− G (1, 2′′ )G (2′′ , 2′ )G (2, 1′′ )G (1′′ , 1′ )]τ2′′ =τ1′′
(90)

15

ここで１次項の全体に負号が付いているのは，ファ(91) 左辺第二項のフーリエ展開を考える．簡単

インマン図形の規則に従って付け加えたものであのため，まず運動量空間に着目する．ここで現れる．この過程は第１ボルン近似と呼ばれている．

る Σ(r1 , r1′′ ) のフーリエ展開は∫dp
Σ(r) =
Σ(p)eip·r(2π)3２粒子グリーン関数に対する近似式が得られた
ので，あとはこれまでと同様に，運動方程式 (65)(95)

に代入してこれを解くだけである：
である（G についても同様）ので，これを (91) に
(
)
∫ β
∫
∂
∇21
′
′′
′′
′′
′′ ′ 代入する：−
G (1, 1 ) +dτ1 dr1 Σ(1, 1 )G (1 , 1 )
∂τ1
2m
∫
0
′
dr1′′ Σ(r1 , r1′′ )G (r1′′ , r1′ )= −δ(1 − 1 ).
(91)∫∫
dp dp′
dr1′′ ip·(r1 −r1′′ ) ip′ ·(r1′′ −r1′ )=ee
ここで導入した Σ は自己エネルギーとよばれ，今(2π)3 (2π)3 (2π)3の場合ハートリー・フォック近似によるものとボル× Σ(p)G (p′ )(96)ン近似によるものに分けて考えることができる．

Σ(1, 1′′ ) = ΣHF (1, 1′′ ) + ΣB (1, 1′′ )ここで r1 −r1′′ と r1′′ −r1′ に対する波数を p と p′ のよ(92)

うに独立にとっておく必要があることに注意するこΣHF (1, 1′′ ) = δ(τ1 − τ1′′ )[∫× δ(r1 − r1′′ ) dr2 V (r1 − r2 )G (2, 2+ )]− V (r1 − r1′′ )G (1, 1′′+ )(93)∫ΣB (1, 1′′ ) = − dr2 dr2′′ V (r1 − r2 )V (r1′′ − r2′′ )と．r1′′ に対する積分を実行すると，(2π)3 δ(p′ − p)が現れる（*14 の式参照）．さらに p′ についての積分を行えば，このデルタ関数のため結局 p = p′
となり，

∫

[
× G (1, 1′′ )G (2, 2′′ )G (2′′ , 2)
]τ2 =τ1− G (1, 2′′ )G (2, 1′′ )G (2′′ , 2) τ ′′ =τ ′′
2

(97)

∫
′
となる． dp(2π)−3 eip·(r1 −r1 ) の部分は (91) の両辺に共通である．時間についてのフーリエ展開も

1

同様にして 22 ，運動方程式は
(
)
p2
iεn −
− Σ(p, iεn ) G (p, iεn ) = 1
2m

(94)

8.1

dp ip·(r1 −r1′ )eΣ(p)G (p)(2π)3複雑なフーリエ展開(98)

第１ボルン近似に基づく運動方程式が得られたとなる．このように，(95) に相当するフーリエ展

ので，並進不変性がある場合を考え，フーリエ展

開の公式を代入し，積分を次々に実行しさえすれ開を行う．

ば目的のフーリエ展開の式に確実にたどり着くこ

フーリエ展開であり，ここまでくると計算は少々とができる．ただし最終的にどの形に持っていき∫′たいのか（今の場合 dpeip·(r1 −r1 ) の因子を残し厄介である．(66) をフーリエ展開する際は因子た形）を見据えて，積分する変数を取り違えない

フーリエ展開と一言でいっても，多変数が絡むよう注意が必要である．

′

e−ip·(r1 −r1 ) を両辺にかけるという手順をとった．
簡単なフーリエ展開の場合，この手順を取ればた

代入法のさらに複雑な適用例として，ΣB のフー

だちにフーリエ展開が実行できるので便利である．

リエ展開を行う．まず (94) の右辺第１項（の空間

しかし多変数のフーリエ展開の場合，この因子と22 虚時間については∫ βdτ eiωn τ = βδωn

して何をかけるべきかをすぐに見い出すのは難しい．そこでここでは，多少計算量が増えるが，着0の関係が成り立つことを示すことができる．
（例えば AGD (14.5)式など）ここで ωn は，εn − ε′n といった振動数の組み合わせ
で，必ず (偶数) × πT である．

実にフーリエ展開できる別の方法（ここでは “代入法

とよんでおく）を紹介する．

16依存性）を取り上げる．
∫
∫
1st
′
′
ΣB (r1 , r1 ) = − dr2 r22{V (p − p1 ) − V (p − p2 )} /2 は第１ボルン近似の衝突断面積に比例している．このようにフーリエdq dq ′
V (q)V (q ′ )(2π)3 (2π)3

展開を正しく行えば，自動的に運動量保存則が満iq·(r1 −r2 ) iq ′ ·(r1′ −r2′ )×ee∫
dp1 dp2 dp′
×
G (p1 )G (p2 )G (p′ )(2π)3 (2π)3 (2π)3
′

′

′

′

× eip1 ·(r1 −r1 ) eip2 ·(r2 −r2 ) eip ·(r2 −r2 )たされる形が得られる．

8.2

(99)

相互作用による減衰

ボルン近似によるグリーン関数を (98) のように

r2 , r2′ についての積分を実行すれば，それぞれ求めることができた．２粒子グリーン関数に対す(2π)3 δ(−q + p2 − p′ ), (2π)3 δ(−q ′ − p2 + p′ ) が現る近似の詳細によらず，一般的なグリーン関数もれるので，続いて q, q ′ についての積分も行うと同じ形で表せる：
∫
′
′
′
dp
dp
dp
1
2
1st
1
ΣB
(r1 , r1′ ) = −ei(p1 +p2 −p )·(r1 −r1 )G (p, iεn ) =.
(105)(2π)3 (2π)3 (2π)3iεn − ξp − Σ(p, iεn )× V (p2 − p′ )V (p′ − p2 )G (p1 )G (p2 )G (p′ )遅延グリーン関数を得たときと同様に，遅延自己(100)
エネルギーを iεn → ε + iδ の手続きによって定義となる．ここでする：∫′dp
ΣB (r1 , r1′ ) =eip·(r1 −r1 ) ΣB (p) (101)Σ(p, iεn ) ⇒ Σ R (p, ε)
(106)
(2π)3
であるので，この形にあわせるためには∫
dp1 dp2 dp′
1stΣB(p) = −
(2π)3 (2π)3 (2π)3

このとき遅延グリーン関数はGR (p, ε) =× {V (p − p1 )} G (p1 )G (p2 )G (p′ )2× (2π)3 δ(p + p′ − p1 − p2 )1
ε − ξp − Σ R (p, ε) + iδ

(107)となるので，スペクトル関数の定義 (41) より，(102)
A(p, ε) =と す れ ば 良 い ．上 式 で p1 と p2 は 対 称 な
2形→[ で 入って い る の で ，{V (p] − p1 )}2
2{V (p − p1 )} + {V (p − p2 )} /2 と す る こΓ (p, ε)[ε − ξp2
2− ReΣ R (p, ε)] + [Γ (p, ε)/2](108)とができる．全く同様に計算すれば，第二項は∫dp1 dp2 dp′
2nd
ΣB
(p) =
(2π)3 (2π)3 (2π)3が得られる．ここで遅延自己エネルギーの虚部を× V (p − p1 )V (p − p2 )G (p1 )G (p2 )G (p′ )トル関数はローレンツ型共鳴曲線となる（図 3）．

× (2π)3 δ(p + p′ − p1 − p2 )Γ (p, ε) = −2ImΣ R (p, ε) とした．
このように粒子間の相互作用があれば，スペク
遅延自己エネルギーの虚部 Γ がゼロに近づけば自(103)

由粒子（あるいはハートリー・フォック近似）の場
合と同じデルタ関数に近づく．スペクトル関数のとなる．以上をまとめて，∫
dp1 dp2 dp′
ΣB (p) = −(2π)3 (2π)3 (2π)31
2× {V (p − p1 ) − V (p − p2 )} G (p1 )G (p2 )G (p′ )2× (2π)3 δ(p + p′ − p1 − p2 )ε 依存性を逆フーリエ展開すれば∫′
dε′
A(p, ε)e−iε(t−t )A(p, t − t ) =
2π

(109)

であり，これは運動量 p を持つ粒子を時刻 t′ に付(104)

け加え，t に取り除いた時に元の状態に戻る遷移確が 得 ら れ る ．こ こ で 現 れ た デ ル タ 関 数 は 運 動率に対応している．この積分は Γ の ε 依存性を無視

量保存則を表しており，対称化された相互作用

すれば e−Γ (p)(t−t ) の形を持つことから，Γ が１粒′

17

子励起状態の減衰（あるいはその寿命 τ = 1/2Γ ）によってスペクトル関数と結びついている．スペクを決めていることがわかる．

トル関数は準粒子の電子状態を直接反映し，角度分

もう少し別の見方もできる．デルタ関数のフー解光電子分光などで測定される物理量である．自由リエ展開は一定値であるということを思い出して粒子系でスペクトル関数は A0 (p, ε) = 2πδ(ε − ξp )欲しい．スペクトル関数のエネルギーの依存性がのようにデルタ関数となる．

デルタ関数ということは，時間に対しては一定で運動方程式あるということ．つまり，１粒子励起状態が時間

ハイゼンベルグの運動方程式を生成・消滅演算子に適用することで，グリーン関数に依存せず，恒久的に続くことを意味している．スの運動方程式を得る．１粒子グリーン関数の運動

ペクトル関数がデルタ関数から少し鈍れば，その方程式は２粒子グリーン関数によって与えられる．

分時間依存性が生じ，これが１粒子励起状態を減

一般に，粒子間に相互作用がある場合は２粒子グ衰させる．この様に（エネルギー ⇔ 時間）あるい

リーン関数を厳密に求めることができない．そこは（波数空間 ⇔ 実空間）の対応を意識しておくとで２粒子グリーン関数に対して何らかの近似を施

直感的に理解しやすい．

すことによって１粒子グリーン関数の近似的表式を得る．その近似の例としてハートリー・フォック（その１）のまとめ

近似とボルン近似を取り上げた．
ハートリー・フォック近似

温度グリーン関数

２粒子グリーン関数

グリーン関数およびファインを近似的に求めるにあたって，最も簡単なのは，２マン図形の方法は「虚時間 τ 」を導入することで有粒子グリーン関数を相互作用しない二つの１粒子

限温度でも用いることができる．温度グリーン関

グリーン関数で近似することである．これはいわ数は消滅演算子と生成演算子の積の期待値としてゆるハートリー・フォック近似に相当する．ハート

定義される．フーリエ展開すればグリーン関数は非リー・フォック近似による補正を加えた準粒子のエ常に簡単な形—ただの分数—で与えられる．たとネルギーを E(p) とすれば，１粒子グリーン関数は

えばエネルギー ξp をもつ自由粒子系の温度グリーG (p, iεn ) =ン関数はG0 (p, iεn ) =1iεn − ξp1iεn − E(p)

(113)

(110)

と，やはり “ただの分数”で表せる．ただし E(p)となる．iεn は虚時間 τ に対する松原振動数であ決める必要がある．この時のスペクトル関数もデる．より一般に考えているハミルトニアンを Ĥ とルタ関数になる：A(p, ε) = 2πδ(ε − E(p))．

すれば，G (1, 1′ ) =⟨11iεn − Ĥ

1′の中に G を含んでいるので，これは自己無撞着に

⟩

ボルン近似

(111)

似として，粒子間相互作用による散乱を１次だけ考える．これは第１ボルン近似と呼ばれる．フーとも表せる．
遅延・先進グリーン関数

２粒子グリーン関数に対する次の近リエ展開すれば簡単に表せて具体的な物理量のG (p, iεn ) =計算を行うには，温度グリーン関数を解析接続する(114)となる．ここで現れた Σ(p, iεn ) は自己エネルギー

ことによって遅延あるいは先進グリーン関数 GR ,とよばれ，解析接続した遅延自己エネルギーの虚AG に変換しておく必要がある．解析接続は単に
iεn → ε ± iδ の操作を行えば良い．遅延グリーン
関数はA(p, ε) = −2ImGR (p, ε)1iεn − ξp − Σ(p, iεn )部を準粒子の寿命と考えることができる．またこの虚部によりスペクトル関数はデルタ関数からローレンツ型共鳴曲線のように一定の幅を持つように

(112)

なる．

18

以上でグリーン関数とファインマン図形の方法を一通り見たこととなる．ここで学んだ知識をもとにあとはひたすら具体的な物理量を計算していけば良い．その手始めとして次回は久保公式に基づ
いて電気伝導度を計算する具体的方法を紹介する．

参考文献[1] R. Kubo: J. Phys. Soc. Jpn. 12 (1957) 570.
[2] A. Abrikosov, L. Gorkov, and I. Dzyaloshinskii: Methods of Quantum Field Theory in
Statistical Physics (Dover Books on Physics
Series. Dover Publications, 1975), DoverBooks on Physics Series.
[3] A. Fetter and J. Walecka: Quantum Theory of Many-Particle Systems (Dover Books
on Physics. Dover Publications, 2012), DoverBooks on Physics.
[4] G. Mahan: Many-Particle Physics (Physics
of Solids and Liquids. Springer, 2000),
Physics of Solids and Liquids.
[5] カダノフ・ベイム: 量子統計力学 (丸善プラネット, 2011).
[6] 阿部龍蔵: 統計力学 (東京大学出版会, 1992).
[7] 高田康民: 多体問題 (朝倉書店, 1999).
[8] T. Matsubara: Prog. Theor. Phys. 14 (1955)
351.
[9] A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, and I. E.
Dzyaloshinskii: Sov. Phys. JETP 9 (1959)
636.
[10] E. S. Fradkin: Sov. Phys. JETP 9 (1959)
912.
[11] H. Ezawa, Y. Tomozawa, and H. Umezawa:
Nuovo Cim. 5 (1957) 810.

19