A nested recursive logit model
for route choice analysis
Tien Mai, Mogens Fosgerau, Emma Frejinger
Transportation Research Part B, Vol. 75, pp.100-112, 2015

2 0 1 5/06/19( 金 )理 論 談 話 会 2015# 6
B4 三木真理子

目次
1.

NRLモデルの強み

2.

NRLモデルの定式化

3.

期待価値関数の計算方法と最尤推定法

4.

ケーススタディ5.

アクティビティネットワークでの経路選択問題への適用

2

経路選択問題の目標と課題
ネットワーク上の経路選択問題の分析には、一般に離散選択モデルが用いられる。

６２
経路選択モデルを作るうえでの目標①すべてのパラメータを矛盾なく一貫して推定する②将来予測にも有効なものを作る

３

７

１
４５

経路選択モデルの難点①経路の選択肢集合が分析者にはわからない上に、あるODペアについてすべての可能な経路を列挙するのは不可能②経路の効用は互いに独立ではなく、相関していると思われる
目標を2つともクリアし、難点を２つとも克服したモデルはNRLモデルのみ！

1、NRLモデルの強み

3

既往研究(選択肢集合抽出型)
現存する多くの経路選択モデル：経路の選択肢集合に基づいた経路選択モデル(例. Guevara and Ben-Akiva(2013a,b) GEVモデルとmixedロジットモデル)↓・難点①経路列挙の不可能性のため、推定や適用の前に選択肢集合を抽出する必要がある

・抽出された選択肢集合に応じて、選択肢の効用を調整する必要がある・パラメータを矛盾なく推定することはできるが、予測にどう用いたら良いかはまだわからない

1、NRLモデルの強み

4

既往研究(選択肢集合抽出型)
難点②経路がリンクの重なりによる相関をもつことと向き合った経路選択モデル：link-nested logitモデル（Vovsha and Bekhor, 1998）
誤差項の相関を考慮したmixed logitモデル(Frejinger amd Bierlaire, 2007)↓・現状、抽出された選択肢集合に基づいて、効用を修正することなしに推定している⇒選択肢集合からいくつか経路を抜いたり足したりするだけで推定値が変わる⇒実際の選択肢集合がわからない現実世界で用いるには不向き？
・ただし先ほど示したように、効用を調整することはできる

1、NRLモデルの強み

5

RL(recursive logit)モデル
経路の選択肢集合を抽出することなく、経路の選択確率を求める⇒逐次的離散選択モデル：選択者は、次に進むリンクをマルコフ性をもつ確率的な過程で選んでいき、結果的に経路の選択が行われる（link-based approach）（①にいる）↓
２②に向かうリンク、③に向かうリンク、④に向かうリンクの中からどれかを選択↓
１（④にいる）
４↓⑤に向かうリンクか⑦に向かうリンクかを選択・・・これを繰り返す

６

３

７５

これは、すべての可能な経路に対して、MNLで経路選択を行うことと同等！
1、NRLモデルの強み

6

RLからNRLへということでRLモデルは、2つの目標はクリアし、難点①を克服したが、難点②はまだ不十分※リンクサイズLSという指標で、リンクの共有による経路の相関は考慮することはできるが、リンクサイズ以外の要素(リンク旅行時間など)が変化した場合、IIA特性は残っている↓
スケールパラメータを各リンクに固有なものとして与えることで、IIA特性を緩和⇒NRL(nested recursive logit)モデル※ネスティットロジットモデルと同様のアイディアなので、nested RLモデル

1、NRLモデルの強み

7

(復習) Nested Logit model(NL)ー2種のスケールパラメータを使った選択確率

𝑈𝑑𝑚 = 𝑉𝑑 + 𝑉𝑚 + 𝑉𝑑𝑚 + 𝜀𝑑 + 𝜀𝑑𝑚

𝜀1

𝑈𝑑𝑚 :選択肢(d,m)の真の効用

𝜀𝑙

𝐵1

𝐵𝑙

𝐵𝐾𝜀𝐾

𝑉𝑑 :目的地選択肢dに特有な効用の確定項
𝑉𝑚 :手段選択肢mに特有な効用の確定項
𝑉𝑑𝑚 :選択肢(d,m)に特有な効用の確定項

1𝑗𝑖𝜀𝑑 :目的地選択dに特有な効用の確率項

𝑁𝜀𝑑𝑚 :選択肢(d,m)に特有な効用の確率項
スケールパラメータμのIIAガンベル分布に従う1𝑉𝑑′ = 𝜇 ln𝑚′ exp 𝜇 𝑉𝑚 + 𝑉𝑑𝑚, 𝜀𝑑′ = max 𝑉𝑚 + 𝑉𝑑𝑚 + 𝜀𝑑𝑚 − 𝑉𝑑′ として、
𝑚′exp 𝜇 𝑉𝑚 + 𝑉𝑑𝑚
𝑃 𝑑, 𝑚 =∙′′exp{𝜇𝑉+𝑉}
𝑚𝑑𝑚𝑚′
1、NRLモデルの強み

exp 𝜇𝑑 𝑉𝑑 + 𝑉𝑑 ′′𝑑′ exp{𝜇𝑑 𝑉𝑑′ + 𝑉𝑑′ }8スケールパラメータをリンク固有にする意義
例として、いくつかのネットワークで経路選択確率を出してみる※簡単のためにリンク長のみを説明変数としているため、経路の重なり具合は説明変数としては考慮されない

リンクbのスケールパラメータを変化させ、それ以外を1に固定した結果が以下

RLモデル(すべてのリンクのスケールパラメータが1)では、どの経路も1/3の選択確率
NRLモデルではスケールパラメータの違いによって選択確率に変化が起こっている
1、NRLモデルの強み

9スケールパラメータをリンク固有にする意義

ネットワーク例

経路選択肢のネスト

上のネットワークで、リンクaのスケールパラメータを0.5、リンクbのスケールパラメータを0.8、それ以外のリンクのスケールパラメータを1とする。
ここから、リンクa1,a2,b1,b2をそれぞれ取り除いた場合、他のリンクの選択確率がどのように変化するかを見る

1、NRLモデルの強み

10スケールパラメータをリンク固有にする意義

ネットワーク例

Paths
12
3
45
6

Original
0.54
0.15
0.04
0.02
0.06
0.17

a1
0.38(+151%)
0.05(+93%)
0.05(+93%)
0.12(+93%)
0.33(+93%)

経路選択肢のネスト
Probabilities with link removeda2
b1
0.65(+20%)
0.55(+1%)
0.16(+1%)
0.05(+20%)
0.05(+1%)0.03(+15%)
0.07(+15%)
0.17(+6%)0.20(+15%)
0.18(+6%)

1、NRLモデルの強み

b20.56(+4%)0.16(+4%)0.05(+4%)0.03(+19%)
0.21(+19%)

11スケールパラメータをリンク固有にする意義

ネットワーク例
Paths
1:[o,a,a1,d]2:[o,a,a2,d]3:[o,a,a3,e,d]4:[o,b,b1,e,d]5:[o,b,b2,d]6:[o,b,b3,d]Original
0.54
0.15
0.05
0.03
0.06
0.17

経路選択肢のネスト
Probabilities with link removed
a1b3
f0.60(+12%)0.54(+0.7%)
0.38(+150%)
0.17(+12%)0.15(+0.7%)
0.11(+148%)
0.05(+11%)0.04(-1.3%)
0.05(+86%)
0.05(+90%)
0.02(-6.7%)
0.12(+93%)
0.12(+91%)
0.06(+1.4%)
0.33(+93%)
0.17(+1.4%)

結論:IIA特性は緩和され、代替のされ方はネットワーク構造に依存する
1、NRLモデルの強み

12経路選択モデルの比較
経路選択モデルを比較する4つの視点①すべてのパラメータを矛盾なく推定できるか②将来予測にも有効かどうか③選択肢集合を限定する必要がないかどうか④経路の重なりなどによる効用の相関を記述できているかどうか
選択肢集合抽出型（従来の大多数）⇒①のみクリア。④は努力しだい。
RLモデル⇒①、②、③はクリア。④はLSによる部分的な解決にとどまる。
NRLモデル⇒①、②、③、④のすべてをクリア！ということで、NRLを定式化していく

1、NRLモデルの強み

13

ネットワークの定義
𝐺 = (𝐴, 𝜈) :方向を持つリンクで結ばれたネットワーク
𝐴 : リンクの集合𝜈 ：ノードの集合※サイクルのあるネットワークでもOKそれぞれのリンク𝑘 ∈ 𝐴について、𝑘の終点から伸びるリンクの集合を𝐴(𝑘)とする
それぞれの目的地Dについて、Dからダミーリンクdを伸ばすことで吸収状態を表現
この結果、全リンクの集合𝐴は以下のようになる
𝐴 = 𝐴 ∪ {𝑑}2、NRLモデルの定式化

14リンクの効用関数の定義あるリンク𝑘の終点ノードにおいて、次のリンクを選ぶときの原理⇒効用最大化𝑘 からa に移るとき、およびリンクa の通過に関する効用(IU)＋リンクa を選んだ場合の、リンクa通過後から目的地まで経路の期待効用(EU)あるリンク𝑘の終点ノードで、a ∈ 𝐴(𝑘)を選択するとき、
IU: 𝑢𝑛 𝑎 𝑘; 𝛽 = 𝑣 𝑛 𝑎 𝑘; 𝛽 + 𝜇𝑘 𝜖 𝑎
EU: 𝑉 𝑑 𝑘; 𝛽 = 𝔼 max 𝑣 𝑛 𝑎 𝑘; 𝛽 + 𝑉 𝑑 𝑎; 𝛽 + 𝜇𝑘 𝜖 𝑎a∈𝐴 𝑘(1)(2)

𝑣 𝑛 𝑎 𝑘; 𝛽 : IUの確定項（ダミーリンクd以外では負の値）
𝜖 𝑎 : IUの確率項（iidガンベル分布に従う）
𝛽: 未知パラメータ𝜇𝑘 : リンク𝑘に固有の確率項のスケールパラメータ（正の値）

2、NRLモデルの定式化

15𝑑𝑃 (𝑎|𝑘)を求める
𝑃𝑑 𝑎 𝑘 = 𝛿(𝑎|𝑘)1exp(𝜇 𝑣 𝑎 𝑘 +𝑉 𝑑 𝑎 )𝑘exp(𝑎′ ∈𝐴(𝑘)1𝑣 𝑎 ′ 𝑘 +𝑉 𝑑 𝑎′ )𝜇𝑘

ここで、𝑉 𝑑 𝑘; 𝛽 = 𝔼 max 𝑣 𝑛 𝑎 𝑘; 𝛽 + 𝑉 𝑑 𝑎; 𝛽 + 𝜇𝑘 𝜖 𝑎a∈𝐴 𝑘

より、
1 𝑑𝑉 𝑘 = 𝔼 maxa∈𝐴 𝑘𝜇𝑘= ln(よって、𝑎∈𝐴 𝑘𝑎∈𝐴 𝑘

1(𝑣 𝑎 𝑘 + 𝑉 𝑑 𝑎 ) + 𝜖 𝑎𝜇𝑘exp

1𝑣 𝑎 𝑘 + 𝑉𝑑 𝑎𝜇𝑘

1exp𝑣 𝑎 𝑘 + 𝑉𝑑 𝑎𝜇𝑘

1 𝑑𝑉 𝑘𝜇=𝑒 𝑘

左の結果から、𝑑𝑃 𝑎𝑘𝛿 𝑎𝑘 =)(3)

1𝑣 𝑎 𝑘 +𝑉 𝑑 𝑎 −𝑉 𝑑 𝑘𝜇=𝛿 𝑎𝑘 𝑒 𝑘

1 𝑖𝑓 𝑎 ∈ 𝐴(𝑘)0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

この式は、 ∀𝑘, 𝑎 ∈ 𝐴 において成り立つ.

2、NRLモデルの定式化

16(4)経路の選択確率[𝑘0 , 𝑘1 , … , 𝑘𝑙 ] というリンクで成り立つ経路𝜎が選択される確率は、
𝑑𝑃 𝑎𝑘 =𝛿 𝑎𝑘 𝑒

1𝑣𝜇𝑘𝑎 𝑘 +𝑉 𝑑 𝑎 −𝑉 𝑑 𝑘𝑙−1

𝑃 𝜎 =𝑒より、

1𝑣 𝑘𝑖+1 𝑘𝑖 +𝑉 𝑑 𝑘𝑖+1 −𝑉 𝑑 𝑘𝑖𝜇𝑘𝑖

5𝑖=0

ちなみに、2つの経路𝜎1 = [𝑘0 , 𝑘1 , … , 𝑘𝑙1 ]と𝜎2 = [ℎ0 , ℎ1 , … , ℎ𝑙2 ]の選択確率の比は
𝑃 𝜎1=
𝑃(𝜎2 )

1𝑑𝑑𝑙1 −1 𝜇𝑘 𝑣 𝑘𝑖+1 𝑘𝑖 +𝑉 𝑘𝑖+1 −𝑉 𝑘𝑖𝑖𝑖=0 𝑒1𝑑𝑑𝑙2 −1 𝜇ℎ 𝑣 ℎ𝑖+1 ℎ𝑖 +𝑉 ℎ𝑖+1 −𝑉 ℎ𝑖𝑖𝑖=0 𝑒

複数の𝑉 𝑑 𝑘 がある→確率の比にネットワーク全体が影響する⇒IIA特性はもはや保たれていない！

2、NRLモデルの定式化

17

NRLモデルの難しさ
NRLモデルを実装するうえで、困難なことが２つある①期待価値関数𝑉 𝑑 𝑘 の計算
非線形の行列計算。再帰的に求める必要があるため計算負荷が高い。
→効率的な求解方法の提案②最尤推定法尤度関数の定義と、そのヘッセ行列を効率的に求められることを示す。
今回は触れません

3、期待価値関数の計算方法と最尤推定法

18

①期待価値関数𝑉 𝑘 の計算
𝑑3𝑎∈𝐴 𝑘 exp

1𝜇𝑘𝑣 𝑎 𝑘 + 𝑉𝑑 𝑎=𝑒1 𝑑𝑉 𝑘𝜇𝑘について、仮定より、

𝑉𝑑 𝑑 = 0
よって、(3)は以下のようにかける
1 𝑑𝑉 𝑘𝑒 𝜇𝑘=𝑎∈𝐴

1exp𝑣 𝑎 𝑘 + 𝑉𝑑 𝑎𝜇𝑘1

∀𝑘 ∈ 𝐴(6)𝑘=𝑑

ここで 𝐴 × 𝐴 行列𝑀𝑑 と、 𝐴 ×1ベクトル𝑧 𝑑 を以下のように定義する
𝑣(𝑎|𝑘)
𝑑𝑀𝑘𝑎 = 𝛿 𝑎 𝑘 𝑒 𝜇𝑘 ,𝑉(𝑘)𝑑𝑧𝑘 = 𝑒 𝜇𝑘 ,𝑘, 𝑎 ∈ 𝐴

7

この𝑧 𝑑 を求めることで、𝑉 𝑑 𝑘 を計算することを目指す

3、期待価値関数の計算方法と最尤推定法

19

𝑑①期待価値関数𝑉 𝑘―𝑧 𝑑 の計算

1 𝑑𝑉 𝑘𝜇𝑒 𝑘=𝑎∈𝐴1exp𝑣 𝑎 𝑘 + 𝑉𝑑 𝑎𝜇𝑘1の計算∀𝑘 ∈ 𝐴(6)

𝑘=𝑑より、
𝑧𝑘𝑑 =𝑑𝑀𝑘𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎∈𝐴1

𝜇𝑎 /𝜇𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴
𝑘=𝑑(7)

𝑣(𝑎|𝑘)
𝑑𝑀𝑘𝑎 = 𝛿 𝑎 𝑘 𝑒 𝜇𝑘𝑉(𝑎)𝑑𝑧𝑎 = 𝑒 𝜇𝑎

この𝑧 𝑑 を、繰り返し計算によって求める

3、期待価値関数の計算方法と最尤推定法

20

𝑑①期待価値関数𝑉 𝑘―𝑧 𝑑 の計算

𝐴 × 𝐴 行列𝑋(𝑧)を以下のように定義する
𝜇 /𝜇𝑋 𝑧 𝑘𝑎 = 𝑧𝑎 𝑎 𝑘∀𝑘, 𝑎 ∈ 𝐴
このとき、 7𝑧𝑘𝑑 =𝑑𝑑𝑎∈𝐴 𝑀𝑘𝑎 𝑧𝑎
1𝜇𝑎 /𝜇𝑘の計算
8∀𝑘 ∈ 𝐴 は、
𝑘=𝑑𝑧 = 𝑀○𝑋 𝑧 𝑒+𝑏9𝑏: 𝐴 ×1ベクトル. リンクdは１、それ以外は0𝑒: 𝐴 ×1ベクトル. 全要素が1○: 要素同士を掛け合わせる操作のようにかける

3、期待価値関数の計算方法と最尤推定法

21

𝑑①期待価値関数𝑉 𝑘―𝑧 𝑑 の計算の計算

厳密解𝑧 𝑑 は 9 𝑧 = 𝑀 ○ 𝑋 𝑧 𝑒 + 𝑏 を満たす。これを繰り返し計算で求める。
初期値を𝑧 0 として、𝑧 𝑖+1 ← 𝑀 ○ 𝑋 𝑧 𝑖 𝑒 + 𝑏10以上の操作で次の𝑧 𝑖 を求める。ある閾値𝛾を決めて、2𝑧 𝑖+1 − 𝑧 𝑖 < 𝛾を満たすまで計算を繰り返す。

(9)式が解を持つ場合、有限解の操作で必ず収束し、収束の速さは𝑧 0 に依存する↑RLモデルでの解(𝜇𝑘 = 𝜇 ∀𝑘 ∈ 𝐴 と仮定した場合の解)を入れると速い
𝑉 𝑑 𝑘 が線形の関数で計算できるため、計算負荷が低く求められる3、期待価値関数の計算方法と最尤推定法

22

𝑑①期待価値関数𝑉 𝑘―𝑧 𝑑 の計算の計算

実際の𝑉 𝑑 𝑘 は、パラメータ𝛽の値に依存する⇒最尤推定法で𝛽を計算するたびに、𝑉 𝑑 𝑘 も繰り返し解く必要がある↓
閾値𝛾を、最初は大きめの値で設定し、計算を繰り返すたびにより小さい値に更新していくことで、計算負荷を減らす

3、期待価値関数の計算方法と最尤推定法23②最尤推定法
Rust(1987)のNested fixed point algorithm(NFXP)を使って、逐次的離散選択モデルを推定する

仕組み：尤度関数の最大化を行うことでパラメータを推定する。
尤度関数の最大化をするアルゴリズムの中で、先ほどのやり方で𝑉 𝑑 𝑘 を求める

推定するパラメータ：𝛽とスケールパラメータ𝜇𝑘→すべてのスケールパラメータをそれぞれ推定することはできないので、𝜇𝑘 を𝛽の関数𝜇𝑘 (𝛽)と仮定する
観測された経路集合(n=1,2,…,N)について、尤度関数LLを定義すると、𝑁

𝐿𝐿 𝛽 =ln𝑃(𝜎𝑛 , 𝛽)
𝑛=1
𝑁 𝑙𝑛

=
𝑛=1 𝑡=0

1(𝑣 𝑛 ( 𝑘𝑡+1 𝑘𝑡 + 𝑉 𝑛 𝑘𝑡+1 − 𝑉 𝑛 (𝑘𝑡 ))𝜇 𝑘𝑡

3、期待価値関数の計算方法と最尤推定法

24

実ネットワークと使用サンプル
スウェーデンのボルレンゲという街の実ネットワークで経路選択をしてみる（リンク数7459、ノード数3077、交通量の増加による旅行時間の変化はないものと仮定）＜推定に用いるサンプル＞
1832トリップ（観測された経路のうち、もっともリンク数の少ないもので5リンク）到着地ノード：466個
ODペア：1420種類
37,000回以上のリンク選択が行われている
これらを、RLモデルとNRLモデル双方で推定。
双方について、リンクサイズ(LS)を考慮したものと考慮しないものの2種類のモデルがある⇒計4種類のモデルで比較

4、ケーススタディ

25

リンク効用関数の定義
𝑣 𝑅𝐿 𝑎 𝑘; 𝛽 = 𝑣 𝑁𝑅𝐿 𝑎 𝑘; 𝛽= 𝛽𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑎 + 𝛽𝐿𝑇 𝐿𝑇 𝑎 𝑘 + 𝛽𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝑎 + 𝛽𝑈𝑇 𝑈𝑇 𝑎 𝑘𝑣 𝑅𝐿−𝐿𝑆 𝑎 𝑘; 𝛽 = 𝑣 𝑁𝑅𝐿−𝐿𝑆 𝑎 𝑘; 𝛽= 𝛽𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑎 + 𝛽𝐿𝑇 𝐿𝑇 𝑎 𝑘 + 𝛽𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝑎 + 𝛽𝑈𝑇 𝑈𝑇 𝑎 𝑘 + 𝛽𝐿𝑆 𝐿𝑆 𝑎
𝑇𝑇 𝑎 :リンクaの旅行時間
𝐿𝑇 𝑎|𝑘 :左折ダミー(リンクaとkのなす角が40°以上177°以下)
𝐿𝐶 𝑎 :リンク固有定数
𝑈𝑇 𝑎|𝑘 :Uターンダミー(リンクaとkのなす角が177°以上)𝐿𝑆 𝑎 :リンクサイズ(対象経路のODに絞った場合のリンクの期待フロー)

𝛽は未知パラメータ。初期値のみこちらが与える。

4、ケーススタディ

26

IUの定義＜スケールパラメータ𝜇𝑘 について＞すべてを未知パラメータとして推定するのは不可能⇒𝜇𝑘 をリンクの説明変数の関数として考える
𝜇𝑘 > 0 より、𝜇𝑘 = 𝑒 λ𝑘 とおけて、
λ𝑘 = 𝜔 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑘 + 𝜔𝐿𝑆 𝐿𝑆 𝑘 + 𝜔𝑂𝐿 𝑂𝐿 𝑘
𝑇𝑇 𝑘 :リンクkの旅行時間
𝐿𝑆 𝑘 :リンクサイズ(対象経路のODに絞った場合のリンクの期待フロー)𝑂𝐿 𝑘 : 𝐴(𝑘) リンクkの終点ノードから伸びるリンク数

よって、IUは以下のように定義される
𝑢𝑅𝐿 𝑎 𝑘; 𝛽 = 𝑣 𝑅𝐿 𝑎 𝑘; 𝛽 + 𝜇𝜖 𝑎𝑢𝑅𝐿−𝐿𝑆 𝑎 𝑘; 𝛽 = 𝑣 𝑅𝐿−𝐿𝑆 𝑎 𝑘; 𝛽 + 𝜇𝜖 𝑎𝑢𝑁𝑅𝐿 𝑎 𝑘; 𝛽, 𝜔 = 𝑣 𝑅𝐿 𝑎 𝑘; 𝛽 + 𝑒 λ𝑘 𝜖 𝑎𝑢𝑁𝑅𝐿−𝐿𝑆 𝑎 𝑘; 𝛽, 𝜔 = 𝑣 𝑅𝐿−𝐿𝑆 𝑎 𝑘; 𝛽 + 𝑒 λ𝑘 𝜖(𝑎)4、ケーススタディ

27推定結果
Parameters
βTT
Rob. Std. Err.
Rob. t-test(0)RL−2.4940.098−25.45NRL−1.8540.132−14.05RL-LS−3.0600.103− 27.709

NRL-LS−2.1390.145−14.75βLT
Rob. Std. Err.
Rob. t-test(0)−0.9330.03−31.10−0.6790.043−15.79−1.0570.029−36.448−0.7480.047−15.91βLC
Rob. Std. Err.
Rob. t-test(0)−0.411
0.013−31.62−0.2580.016−16.13−0.3530.011−32.091−0.2240.015−14.93βUTRob. Std. Err.
Rob. t-test(0)−4.4590.114−39.11−3.3400.2−16.7−4.5310.126− 35.960−3.3010.207−15.95βLSRob. Std. Err.
Rob. t-test(0)––––––−0.2270.013−17.462−0.1550.013−11.92

ωTT
Rob. Std. Err.
Rob. t-test(0)

–––

0.515
0.255
2.02

–––

0.341
0.288
1.18

ωLS
Rob. Std. Err.
Rob. t-test(0)–––−0.674
0.093
−7.25

–––

−0.581
0.09
−6.46

ωOL
Rob. Std. Err.
Rob. t-test(0)–––−0.086
0.015−5.73–––−0.092
0.016
−5.75

−6303.9−6187.9−6045.6−5952.0

LL(β)

・LSを確定項に入れたほうが、尤度が高い※リンクの共有具合によって、経路の効用を修正するために導入された変数だが、たとえ誤差項の相関を認めていたとしても、確定項にLSを加えたほうが説明力が上がる

・𝜔𝐿𝑆 と𝜔𝑂𝐿 には説明力があり、負の値⇒フローが大きく、続くリンクが多いほど誤差項の分散が小さい

4、ケーススタディ

28

推定結果

𝜇𝑘 は𝑂𝐿 𝑘 のため離散的なピークを取る
1を超えるものもわずかながらあるΦ𝑘𝑎 = 𝜇𝑎 /𝜇𝑘 は0に関して対称な分布

4、ケーススタディ

29

将来予測の有効性
検証の仕方①サンプルを2つに分ける
80%は推定に用いる推定されたモデルによる予測確率を、残り20%で評価する②残しておいた20%を、同じ大きさの40個のサンプル集合に分ける③それぞれのサンプル集合に対し、当該サンプル集合以外のサンプルを使ってパラメータ𝛽𝑖 を推定し、以下の𝑒𝑟𝑟𝑖 を計算することで予測の誤差を測る
1𝑒𝑟𝑟𝑖 = −ln𝑃(𝜎𝑗 , 𝛽𝑖 ) 尤度関数→負の値⇒尤度が高いと絶対値が小さくなる
𝑃𝑆𝑖
𝜎𝑗 ∈𝑃𝑆𝑖⇒𝑒𝑟𝑟𝑖 は小さくなる

𝑒𝑟𝑟𝑖 はサンプル集合iに依存する確率変数なので、平均を用いる
𝑝1
𝑒𝑟𝑟𝑝 =𝑒𝑟𝑟𝑖∀1 ≤ 𝑝 ≤ 40
𝑝𝑖=1

4、ケーススタディ

30

将来予測の有効性

LSなしよりもLSありのほうが、RLモデルよりもNRLモデルのほうが、予測制度が高い

4、ケーススタディ

31

まとめ・NRLモデルの利点を確認（経路列挙を行うことなく、経路の相関を考慮したうえで経路選択モデルを定式化している)・期待関数を求めるアルゴリズムを確認

・実ネットワークへの適用を行い、説明力の向上と将来予測の有効性を確認

32