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井上のノートについて
辻 幹雄,

山本 真弓

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§1. 序となる。「アキレスと亀」でも (3) を満たす数列が現れる。我々の問題は「n → ∞井上 猛 [1]、[2] を興味深く読ませて頂 のとき、a が近づいていく様な実数が存nきました。ただ [2] の表題が「現代数学を 在するか？」である。これは難しい問題で糾す」となっている。井上の批判に対して あった。この問題の本質は「実数をどう捉
数学者の立場から回答を書いておくべきで えるか？」という点にあり、井上 [2] に欠けあると思い、このノートを書いている。先 ているのもこの箇所である。実数の構成にず用語の意味を正確に書き下すことから始 成功すると、自然と「実数の連続性」が証める。最初に 0.999 . . . の意味について考え 明され、上記の問題も解決された。従ってる。これは最初に「実数の構成」について考察する。
「実数論」の研究が大きく発展したのは 19∞90.999 . . . . . . =(1) 世紀であった。それは主として G. Cantor
10nn=1(Saint-Pétersbourg 1845 - Halle 1918) とJ. Dedekind (Brunswick 1831 - 1916) にと「無限級数」の和と考えるのが一番自然よる。現在もこの課題についてより明解なであろう。
「無限和をどう理解するか？」こ
理解を求めて研究が続けられているが、これは大問題であった。実際、多くの人がこのこでは Dedekind が用いた「切断」という問題に挑戦した様に思われる。例えば井上手法により実数を構成する。但し有理数に[1] が取り上げた Zenon の「アキレスと亀」
対して「加減乗除及び大小関係」が定義さも同じ範疇に入る問題である。このノート
れていること、また「有理数の稠密性」はでは (1) について考える。ここで既知とする。

an =

n

9
10k
k=1

(2) §2. 実数の連続性

この節では Dedekind の実数論を紹介とおく。現代数学では (1) を数列 {an } の極 する。
限値として定義するが、「極限値とは何か」が問題である。ところでこの数列は上に有 【定義 2.1】(A, B) が有理数 Q の切断で界な単調増加数列となる。即ち任意の自然 あるとは、A, B が有理数 Q の部分集合であって、
数 n に対して
1) A = φ, B = φ, A ∪ B = Q,
a1 < a2 < · · · < an < 1(3)
かつ A ∩ B = φ,஭ୖࡢࣀ࣮ࢺ࡟ࡘ࠸࡚

2) a ∈ A, b ∈ B のとき、a < b(III) を同一視し、有理数には (II) の切断をとなるときである。このとき A を下組、B 対応させることにする。一方 (IV) に対応すを上組とよぶ。ここで φ は空集合を表わす。 る切断の切り口は有理数ではない。従って「切断」とその「切り口」を対応させること「切断」とは直線（正確には有理数全体 により、次の様な定義に到達する。
の集合）を真っ二つに切断する事によって得られるものである。従って切断は直線を 【定義 2.3】(II) に対応する切断を有理数、二つに「切る点」によって決まるので、「切 (IV) に対応する切断を無理数と定義する。
る点」の性質を上組、下組の性質により特 そして有理数と無理数の和集合を「実数」
徴付けることを試みる。その為の準備とし （今後 R と記す）と定義する。
て最大数、最小数を定義する。
実数を切断により定義したので、実数のQ とする。(i) a が集合 相等と順序を定義しておく必要がある。
【定義 2.2】 S ⊂ R
S の最大数であるとは a ∈ S 、かつ任意
2.4】 ２つの実数 α = (A, B), β =の x ∈ S に対して a ≥ x となることであ 【定義
る。 (ii) a が集合 S の最小数であるとは (A , B ) がある。A と A が集合として一致
α=βa ∈ S 、かつ任意の x ∈ S に対して a ≤ x するとき、α と β は等しいといい、と記す。A ⊂ A (A = A ) のとき、α は βとなることである。
より大きいといい、α > β と記す。A ⊃ A(A, B) を有理数 Q の切断とするとき、 (A = A ) のとき、α は β より小さいとい次の 4 つの可能性がある：い、α < β と記す。
(I) A は最大数をもち、 B は最小数をもつ。
(II) A は最大数をもたず、 B は最小数をもつ。
(III) A は最大数をもち、B は最小数をもたない。
(IV) A は最大数をもたず、B も最小数をもたない。

次に上記の様に定義した実数 R に対して「切断」という操作を施すと新しい数が生まれるかどうか考察する。

【定義 2.5】 (A, B) が実数 R の切断であるとは、A, B は R の部分集合であって、
1) A = φ, B = φ, A ∪ B =R,
かつ A ∩ B = φ,2) a ∈ A, b ∈ B のとき、a < b(I) を満たす切断は存在しない。実際、a となるときである。このとき A を下組、B
を A の最大数、b を B の最小数とすると、 を上組とよぶ。
a < b なので a < (a + b)/2 < b となる。
(A, B) を実数 R の切断とする。有理数
従って有理数 (a + b)/2 は A にも B にも属さないので、これは矛盾である。(II) の切 のときと同様に、上記の様な (I) から (IV)断が与えられたとき、a を上組の最小数と の場合が生じる可能性がある。
する。a を下組へ移せば、(III) のタイプの 【定理 2.6】 実数 R の切断に対しては、(II)切断が得られる。逆に (III) の切断が与えら または (III) しか生じない。
れたとき、下組の最大数を上組に移すと、(II) の切断となる。(II) の切断と (III) の切 【証明】 (A, B) を実数の任意の切断とする
断にはこの様な対応関係があるので (II) と と、(A, B) は (II) または (III) のタイプの஭ୖࡢࣀ࣮ࢺ࡟ࡘ࠸࡚

切断であることを示す。A、B に属する有 (x ∈ S) に反する。従って A は最大数をも
 B
 と記すと、実数 α = たない。即ち定理 2.6 により B は最小数を
理数全体を各々A,
 B)
 が定まる。β < α ならば β ∈ A、 もつ。【証明終】(A,
α < β ならば β ∈ B となることを証明することが出来る。また A ∪ B = R なので、【定義 2.10】定理 2.9 における “S の最小
α は A、または B に属する。α が A に入 の上界”を S の上限 (supremum) といい、るとき、この切断はタイプ (III) であり、α sup S と記す。
が B に入るときは (II) となる。
【定理 2.11】S が下に有界であるとき、Sの下界全体の集合は最大数をもつ。
定理 2.6 を「実数の連続性」とよぶ。この性質を使って数列の収束性について考察 【定義 2.12】定理 2.11 における S の最大下する。
界を S の下限 (inﬁmum) といい、inf S と記す。
【定義 2.7】 S ⊂ R とする。(i) 集合 S が上に有界であるとは、任意の x ∈ S に対し §3. 数列の収束て a ≥ x となる実数 a が存在することであ§1 において導入した数列 {an } についてる。(ii) 集合 S が下に有界であるとは、任意の x ∈ S に対して a ≤ x となる実数 a 考える。明らかにこの数列は上に有界であが存在することである。(iii) 集合 S が有界 る。従って S = {a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . }集合であるとは、集合 S が上にも下にも有 とおくと、定理 2.9 より S の上限が存在する。α = sup S と記す。
界であることである。
【定義 2.8】 S ⊂ R とする。(i) a が集合 S 【命題 3.1】α が S の上限である為の必要十の上界であるとは、任意の x ∈ S に対して 分条件は「(i) 任意の x ∈ S に対して α ≥ x,
a ≥ x となることである。(ii) a が集合 S (ii) 任意の ε > 0 に対して α − ε < x との下界であるとは、任意の x ∈ S に対して なる x ∈ S が存在する」ことである。
a ≤ x となることである。
命題 3.1 の証明は省略する。下限についても同様の命題が成り立つ。この性質を考【定理 2.9】S ⊂ R であり、S は上に有界
慮して数列の収束を次の様に定義する。
な集合とする。このとき S の上界全体の集合は最小数をもつ。
【定義 3.2】数列 {xn } が α に収束するとは、任意の ε > 0 に対して、或る番号 N が存【証明】B を S の上界全体の集合とする。 在し、n ≥ N を満たす任意の n に対して、
A = R − B とおくと、(A, B) は R の切断 α + ε > x > α − ε となるときである。
nとなる。A に最大数がないことを背理法に
この定義の意味について記す。どの様なより示す。即ち A が最大数をもつと仮定し、それを α と記す。α は S の上界ではないの 分野においても「学問体系」を構築する際、で、α < x をみたす x ∈ S が存在する。実 新しい概念を導入する必要性に直面する。
数の稠密性より α < y < x となる実数 y このとき新しい概念を「定義」として言葉が存在する。α < y なので y ∈ B となる。 で表現しなければならない。その際、定義従って y は S の上界である。これは y < x に用いる用語は我々がそれまでに確立した஭ୖࡢࣀ࣮ࢺ࡟ࡘ࠸࡚

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言葉である。ここで我々が直面している問 参考文献
題に関して述べれば、新しい概念は「無限」
であり、この時点までの数学の対象は有限 [1] 井上 猛, “三分の一の話” と “アキレスと亀” , 天界 88 (2007), 135-138.
であった。従って定義 3.2 においては「無限の操作を有限の言葉で表現」したのである。
[2] 井上 猛, 1 = 0.999 . . . を主張する現定義 3.2 の様に数列の収束を定義すると、代数学を糾す, 天界 90 (2009), 302命題 3.1 により数列 {an } が α に収束する
305.
ことが判る。では α はどの様な数になるか？
これは井上 [2] の問題である。これに関し [3] 能代 清, 極限論と集合論, 岩波書店て次の定理を得る。
(1944 年初版).
【定理 3.3】

α=1【住所】 辻 幹雄：618-0091 京都府乙訓郡【証明】1 は S の上界なので、 α ≤ 1 であ
大山崎町円明寺小字西法寺 2-40る。α < 1 とすると、実数の稠密性により
0 < ε < 1 − α を満たす ε > 0 が存在する。 山本 真弓：兵庫大学情報経済学部
また Archimedes の原理により εn > 1 を満 675-0195 加古川市平岡町新在家 2301
たす自然数 n が存在する。ここで n < 10Nを満たす自然数 N をとるとα<1−ε<1−1
1< 1 − N = aN −1n10となる。即ち α は S の上限でない。これは矛盾である。以上より α < 1 でない。即ち α = 1 でなければならない。
現代数学では 1 = 0.999 . . . を上記の様な意味で理解している。最後に井上 [2] のp.304 における Kn = 1/(1 + 10−n · Kn −1 )に関する極限定理について述べる。
n → ∞ のとき

1n

Kn 10 ·Kn =n(1 + 10n1·Kn )10 ·Kn→1eとなる。一般的にはnnlim Kn 10 ·Kn = lim ( lim Kn )10 ·Knn→∞n→∞ n→∞なので、井上 [2] が指摘している矛盾は生じない様である。

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界

91

二〇一〇年八月号

巻 通巻一〇二三号

西村製作所第１号機(1926年)
京 都 大 学 理 学 部 納 入

第大 正 15 年、1号 機 の 誕 生より八 十 星霜の 時 空 を超 え て ・・・・

天界八月号

経緯台，究める！

平成二十二年八月十五日発行 毎( 月一回 十五日発行

Nishimuraの天体観測設備)
発行 東亜天文学会（編集人 山田義弘）
兵庫県神戸市灘区友田町三 五
- 八
- 五
- 〇四



印 刷 富士印刷株式会社
香川県高松市多賀町一 一
- 一
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〇八七 八
- 六一 三
- 六七八

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営業品目
■天体観測用望遠鏡および観測装置■太陽観測用望遠鏡■天体観測用ドーム、スライディングルーフ■大型特殊光学機器

定価 500 円

送料 80 円

東亜天文学会研究用から天文台用まで、望遠鏡・天体観測設備のトータルメーカー

この情報誌は、古紙配合率100％再生紙、
また、環境にやさしい
大豆油インクを使用しています。

■京都産業大学神山天文台１.３mＲＣ 「荒木望遠鏡」