Kavli IPMU
カブリ アイピーエムユー

こんにちはカブリアイピーエムユー

Kavli IPMUです。

私の名前は、東京大学国際高等研究所 カブリ数物
連 携 宇 宙 研 究 機 構（Kavli IPMU）。2007 年 10 月 1 日に千葉県柏市に設立されました。ここには世界中からたくさんの研究者が集まっていて、宇宙に関する5 つの疑問に取り組んでいます。
宇宙はどのように始まったのか ?
宇宙は何でできているのか ?
宇宙はどんな運命を迎えるのか ?
宇宙を支配する法則は何なのか ?
私たちはなぜこの宇宙に存在するのか ?
だれもが小さいときに一度は思うような素朴な疑問ですが、答えはまだわかっていません。
たとえば、宇宙のエネルギーのなかで、私たちが知っている物質（水素とか炭素とかです）はじつは 5% にも満たないことがはっきりしています。残りの 27% は得
まかふしぎ

体の知れない「ダークマター」、さらに摩訶不思議な宇宙の 68% を占めるのが「ダークエネルギー」。どち14 号

第らも名前はついているものの、その正体はまったくわかっていません。いったい、宇宙は何でできている

September 2022のでしょう。
これらの疑問にせまるために、Kavli IPMU には数空間概念

新しい学、物理、天文などの第一線の研究者が集まり、分野を超えて共同研究を行っています。新型コロナウ
イルスが流行を始めるまでは、毎日、午後 3 時になると全員参加のティータイムがありました。異なる分野の研究者たちが顔を合わせて、おいしいお茶とパンを口にしながらおしゃべりに興じました。仲間と情新聞報交換し、他分野の研究に触れ、思いがけない方向の議論が新しい研究のアイデアにつながりました。
そして 5 つの疑問を解くためには、新しい物の見方を生み出していくことが大事です。頭が柔らかく、ひとつの分野にとらわれない若い力が必要です。このKavli IPMU ものしり新聞を読んでくれたあなたが 宇宙の超 難問に挑 戦し、そのころには新型コロ
ナウイルスの流行も抑えられ、私たちとにぎやかなティータイムを過ごす未来が来ることが私の夢です。
東京大学国際高等研究所
カブリ数物連携宇宙研究機構（Kavli IPMU）〒 277-8583 千葉県柏市柏の葉 5-1-5

HP https://www.ipmu.jp/ja
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数学者になるには、今の研究のどうすればいい ?

役に立っている数学に対するモチベーションを失わずに教科は何 ?

数学・英語・物理勉強や研究を続けること。

おすすめの教科書は ?

Robin Hartshorne

数学者に「Algebraic Geometry」

なるには、

Daniel Huybrechts「Fourier-Mukai
transforms in
Algebraic Geometry」
上原北斗・戸田幸伸

どうすればいい ?

数学者もしくは数学科に在籍している人と知り合いになることいますか ?

友好的な関係が築けるなら宇宙人数学者と議論したい。

宇宙人って宇宙人ですか。

いますか ?

はい、思う教科は何 ?

おすすめの代数幾何志望なら役に立っている

教科書は ?

Fulton

教科は何 ?

数学と英語です

Lazarsfeld「Positivity inAlgebraic Geometry」が特におすすめです。

この二冊を読んで代数幾何が好きになりました。

好きな数式はもっと勉強して何ですか ?

おけば良かったなと思う教科は何 ?

あまり好きな数式は何ですか ?

2008 年に自分が発見したそのようなことは考えず、正多角形の勉強したいと思った時に勉強する対角線の長さに関する式ようにしています。

PT=exp (N) L
3 次元カラビヤウ多様体上の好きな食べ物と曲線の数え上げを嫌いな食べ物は何 ?

導来圏の対象の数え上げでなど。嫌いな食べ物は特にありません。
他分野の研究を自分が研究者に知っていますか ?

向いていると思うのは、天文はほとんど知りません。

知らない人の肖像画しかなくて悲しくなりました。
好きな食べ物と自分が研究者に他分野の研究をどのくらい友人の研究の話を知っていますか ?

好き：カレー、向いていると思うのは、ホワイトチョコ

どんなところ ?

嫌い：梅干し聞く程度です。
数学以外のことはどのくらい勉強しています。

肖像画美術館に行った際に、嫌いな食べ物は何 ?

ラーメン、コーヒー

必要になったときに海外の研究者と複素数が好きになりました。

好きな食べ物（飲み物）は記述します。

物理は自分と関連する部分が歴史です。

sin (π /N)×sin (2 π /N)×…×sin ((N-1) π /N) =N/(2^{ N-1})
この等式の証明を見てという式。

数学はある程度。と「Toric varieties」

いますね。

もっと勉強しておけば良かったなと今の研究のをお勧めします。

「連接層の導来圏と代数幾何学」

宇宙人って分かりませんが、TEL 04-7136-4940
FAX 04-7136-4941
MAIL inquiry@ipmu.jp

調べものを飽きずに続けられるところ、負けず嫌いなところ。

全く分かりません。

どんなところ ?

数学が好きで、研究に没頭できるところ。

研究者に向いていないと思うのは、どんなところ ?

研究者に向いていないと思うのは、Youtube

どんなところ ?

研究者へ 10 の質問 !

戸田幸伸

コミュニ
ケーション力が不足 しているところ。とだ・ゆきのぶ ● Kavli IPMU 教授。専門は代数幾何学。代数多様体上の連接層の導来圏と、３次元カラビヤウ多様体上の Donaldson-Thomas不変量の研究に取り組んでいる。古典的な代数幾何学の理論と抽象化された近代数学が絡み合う境界に興味を持っている。

を見始めると研究者へ 10 の質問 !

何時間でも見てしまうところ、他人と自分を比べてしまうところ。

金 城翼

きんじょう・たすき ● 東京大学大学院数理科学研究科博士課程。専門は代数幾何学。コホモロジー的 Donaldson-Thomas 理論を研究。
「モジュライ空間」と呼ばれる図形に関する興味深い現象を発見・証明することがテーマ。

Kavli IPMU ものしり新聞

2022 年（令和 4 年）9 月発行 ISSN 2436-925X

新しい空間概念を操る

とえば﹁x2=y﹂を2x=y

一方一方の直線を回転
直線回転

グ ラ フ で 描 く と 直 線 に︑交わる﹂なら放物線になる︒

1点でた﹁1点で交交わる

このように多項式による方程式が定義する2点で交交わる空間︵図形︶を考えるのが代数幾何学だ︒

y=x 2

放物線と直線が交わる場合を考えよう︒交y=2x点を求めるために二次方程式を解くと︑解が直線 と 放物線（ 第 14 号 ）©Kavli IPMU 2022

無限個 点無限個の点交わる?
で交カブリアイピーエムユー

第14 号

S e p t e m b e r 2 022

2022 年 9月 30 日発行
発行所 東京大学国際高等研究所
カブリ数物連携宇宙研究機構（Kavli IPMU）〒 277-8583
千葉県柏市柏の葉 5-1-5
電話 04-7136-4940
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https://www.ipmu.jp/ja

たとえば集合 A、集合 B……のようにいくつかの集合があったとき、それぞれを個別に考えるのではなく、集合同士の関係けん性も合わせて考えるのが「圏」だ。
圏とはいわば、数学的対象物たちのコミュニティのようなものである。圏というときには、たとえば A と B の間の 2 者の関係性だけを考えるが、「無限圏」では 3 者、4 者、5 者、……、といったようにより多くの数学的対象の間の関係性を考える。無限圏は、圏と企画：Kavli IPMU 広報 デザイン：河原デザイン事務所 文：岡本典明
写真：大野真人

制作：株式会社学研プラス

イラスト：coca

カブリアイピーエムユー

何では、圏を用い、2 人で話し合うことで空間をつくればよい。しかし、たとえば 1 つの頂点の空間にある直線同士の重なり合いである場合、2 人で話し合うだけではうまく空間をつくることができない。導来代数幾何学では、無限圏を用い、まずは辺の両端の話者が話し合い、さらに面を構成する頂点を含めた３人で話し合い、最後に 4 人全員で話し合って空間をつくることになる。ただし今のところ、無限圏を通じてできた空間は謎に満ちており、その構造の解明は数学者にとっと無限圏換環である。

圏圏

体の集合や多項式全体の集合は可空間の関係性を示す設計図を表している。通常の代数幾なって合を可換環と呼ぶ。たとえば整数全1 本の直おいて、足し算や掛け算ができる集

む 4 つの図形は方程式で定義した空間 4 つを表し、三角錐は、それらのても難解な問題である。

線に見える解法などを研究する学問。代数学に場 合 が あ る︒

数の代わりに文字を用いて方程式の左上の図は導来代数幾何学による新しい空間を示したもの。話者を囲2 個 出 る︑つ ま代数学

り2 点 で 交 わ る こ と が 分 か る︒て、導来代数幾何学を用いている。

で は 放 物 線 と 直 線 が1 点 で 接 し空間や無限圏にするための道具としている 場 合 は ど う だろ う︒この 場 合︑ているということはわからない︒導来代数幾る。整数値である不変量をベクトル

ここでは実は交

このような問題をきっかけとして代数幾何学は︑この無限個の交点を仮想的に一つのけでは見えなかった構造が見えてく

方程式を解けば同じ解を2 個持つ︵＝重根︶

何学の中で1960 年代に﹁スキーム論﹂と交点として扱うことができる︑新しい空間概に拡張することで、整数を見ていただ

点が無限個になっているのだ

い う 考 え 方 が 登 場 し た︒こ れ を 用 い る と︑重念なのだ︒最先端の数学である﹁無限圏﹂を使整数を「ベクトル空間」や「無限圏」る︒﹁三次元カラビヤウ多様体上のドナルド的に数え上げる整数が定まる。このソン・トーマス不変量について研究していまを指定すると、その様な曲線を仮想とわかるが︑空間を見る限りは交点は1 点で︑根を持つ空間が定まる︒スキーム論では可換うと︑このような空間を貼り合わせて更に新え上げるもので、曲線の形と大きさ解が2 個あることを読み取ることはできない︒ が︑空間を見ただけでは︑2 本の直線が重なっ環︵代数学における足し算・掛け算ができる集合︶と空Kavli IPMU の数学者︑戸田幸伸さしい空間を作ることができる︒︵コラム参照︶と交点が1 点に見えるものでも︑可換環を見んと金城翼さんは︑この導来代数幾何学を操間とが根底では同じものであり︑空間を見る

れ ば2 つ の 解 を 持 つ と い う 情 報 を 読 み 取 る

世 紀 に 入 る と﹁ 導 来 代 数 幾 何 学 ﹂ことができるようになるのだ︒

す﹂と戸田さん︒導来代数幾何学は︑もともとさらにという新しい考え方が登場した︒2 本の直線整数値である不変量を︑より深い情報を持っ次元カラビヤウ多様体上の曲線を数の交点は1 点だ︒ここで一方の直線を回転さドナルドソン・トーマス不変量は、三たものにする道具だという︒

戸田さんと金城さんが研究しているせてみよう︒すると2 本の直線がぴたりと重ドナルドソン・トーマス
不変量

21比べて情報量が圧倒的に増える。

Kavli IPMU は数学、物理学、天文学で宇宙の謎を研究している東京大学にある研究所です。