らくらく相対論入門 その１：
擬ニュートンポテンシャルの特徴
福江

純＜〒５８２－８５８２

柏原市旭ヶ丘４－６９８－１

大阪教育大学教育学部＞

e-mail：fukue@cc.osaka-kyoiku.ac.jp

ニュートンの重力ポテンシャルを少し変形した“擬ニュートンポテンシャル”は、ブラックホール周辺の相対論的現象をうまく模倣する強力な道具として重宝されている。これを使えば高校生でも相対論的現象の計算ができるだろう。そこで、擬ニュートンポテンシャルの性質や妥当性、さらにより洗練された使い方をするための補正などを、最近の研究をもとにまとめてみることにした。今回は、擬ニュートンポテンシャルの性質を簡単に紹介し、厳密な相対論で得られる結果との比較を行い、また出自の妥当性について議論しよう。擬ニュートンポテンシャルの弱点やその改善方法については、次回で紹介する。

が、音速に関する補正を提案した論文は日本人レフリーに回ってやや揉めた。揉めたというか、擬

１．はじめに今年（ 2004 年）大学が法人化され、いろいろニュートンポテンシャルは重力ポテンシャルを“な職務が重なって、大好きな（笑）研究があまり適当に変形”したものなので、その改良をしてもできなかったのだが、そんな中で少しできたのが無意味であり、一般相対論的に厳密な取り扱いを擬ニュートンポテンシャルに対する補正の提案だすべきだ、という主理由でリジェクトされたのでった 。『天文月報』にはしばらく記事を書いていある。これはあんまりなので、かなり強く抗議し、なかったし、久しぶりに最近の研究として紹介（次編集部の意見を考慮して論文を修正し、他のレフ回の記事に相当する部分）しようかと夏前頃にはリーのもとで受理されたのだが、このことには少漠然と思っていたのだが、その前に擬ニュートンし考えさせられた。

ポテンシャル自体の紹介（今回の記事に相当するというのは、擬ニュートンポテンシャルは決し部分）をするつもりになったのには２つ理由があて“適当なもの”ではなく、後で述べるように、る。

厳密な相対論の式を展開した形になっていて、 a／ r（a はシュバルツシルト半径）の１次の精度まで正しい。しかしこのことは、オリジナルな論１．１．シニア向け動機
次回で紹介する予定の、擬ニュートンポテンシ

文にも書かれていないし、相対論の専門家はもちャルに対する補正の提案をした論文を PASJ 誌にろん、擬ニュートンポテンシャルを（何となく）投稿したとき、速度に関する補正を提案した論文使っているかもしれない人たちにとっても、十分は外国人レフリーのもとでサクッと通ったのだに理解されていないのではあるまいか。実際、ぼ-1-

く自身、十数年前に擬ニュートンポテンシャルをンポテンシャル”という便利なものがあるじゃな

はじめて使い始めた頃はなかなかに不安だった。

いか。擬ニュートンポテンシャルはニュートンの結局、自分自身でその導出を行い、正統性を確か重力ポテンシャルを少し変形するだけだ。ならば１）めたものだ 。だから、そのような作業をしてい高校生でも物理を習っていれば、擬ニュートンポなければ、擬ニュートンポテンシャルに対する不テンシャルを使うことによって、相対論的計算の安ないしは信頼性の欠如は理解できる。

醍醐味が味わえるんじゃなかろうか。

もう一つは、相対論原理主義の立場からすれば、これは喧伝する価値がありそうだ。でも、だと相対論的に厳密にできる計算は相対論を用いるべ

すると、はよ書かんなあかんなぁ、ああ、なんでし、というのも正論ではあるし、理解できないわ

そんなときに限ってタイミングよく 10 月の３連けではない。が、いくら相対論の部分を厳密にし休なんだ。自分で自分の首を絞めることになったても、天文学的な現象では、それ以外の部分で曖けど、その結果できた本稿が、シニアの人にもジ昧さが残ることも多く、最終的な精度は落ちてしュニアの人にも役に立てば幸いである。

まうので、労力は報われない。だからそれなりに

以下、２節では擬ニュートンポテンシャルにつ精度がある近似法であれば、上手に利用するといいて簡単に紹介し、３節でニュートンの場合や一うのも現実的な立場かと思う。いずれにせよ、ニ般相対論の場合と比較しながら擬ニュートンポテュートン力学よりははるかによい理論であるとはンシャルの性質をまとめる。４節では厳密な一般

いえ、相対論もあくまでも自然界を近似した理論相対論との関係を導いておく。の一つにすぎないのだから。
２．擬ニュートンポテンシャルとは質量 M の天体の擬ニュートンポテンシャルは、１．２．ジュニア向け動機

その天体のシュバルツシルト半径を a（＝ 2GMといったことを暑い時期につらつら思っていた

2／ c ）として、ら、涼しくなったころ、年会ジュニアセッション担当の吉川真さんから、 2005 年春季年会のジュψ PN ＝－ GM ／(r － a)（１）

ニアセッションについて少し相談を受けることがで表される（ G は万有引力定数、 c は光速）。ニあった。2005 年は特殊相対論が誕生してから 100

ュートンの重力ポテンシャルで分母に r が来ると年目にあたり、世界物理年として物理学界ではいころを、（r － a）で置き換えただけである。英語

ろいろな行事が企画されている。ジュニアセッシ

では pseudo-Newtonian potential（ シュード・ニュョンでも相対論がらみの何かができないだろうかートニアン・ポテンシャル）と呼ぶが、pseudo（ シという相談だった。これにもまた考えさせられた。

ュード；偽、擬、似、仮）という接頭語がついてぼく自身、相対論に関する解説書は、小学生向いるのは、ニュートンに似ていて非なるものといけ、中学生向け、高校一般向けにそれぞれ書いたうぐらいの意味である。

経験があり、また奇しくも相対論誕生の 100 年目

この擬ニュートンポテンシャルは、球対称のシに向けた本も執筆中で、相対論の面白さ自体は、ュバルツシルト・ブラックホールの時空（シュバ中高生はもちろん小学生でもわかるだろうと思っルツシルト時空）を模倣する道具として、パチンている。しかし、相対論にかかわる実際の計算は、スキーという天体物理学者がウィータと共に、大学ぐらいできっちり物理をやらんとダメだろう

1980 年はじめて提案したものだ２）。そして、そのなぁ、と漠然と思っていた。

後、４半世紀、天文の業界ではブラックホール降

しかし、よくよく考えてみれば 、“擬ニュート着流などの分野で非常に重宝されてきている。

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なお、今回は取り扱わないが、自転しているカ

３．擬ニュートンポテンシャルの性質

ー・ブラックホールの時空（カー時空）を模倣す

ここでは、擬ニュートンポテンシャルの表す力る擬ニュートンポテンシャルも提案されている学的性質について、順序立てて説明していこう。

（たとえば参考文献３）。

高校でニュートン力学を学んでいれば、内容はお【効能】擬ニュートンポテンシャルは、球対称なおむね理解できるかと思う。

シュバルツシルト時空の力学的性質を、かなりよく模倣できる。

３．１．ポテンシャルと力【弱点】ただし、シュバルツシルト半径に近づく

まず最初に、ニュートン力学、擬ニュートンポと精度が急激に悪化する。

テンシャル、一般相対論での、それぞれのポテン【適用範囲】空間はあくまで平坦なので、曲がっシャルの形を比べてみよう。
ニュートン力学では、質量 M の天体の重力ポた時空における光線の彎曲は、取り扱い対象外である。

テンシャルψ N は、よく知られているように、中【記号】本稿では、ポテンシャルを表す記号とし心からの距離 r の関数として、（２）式のようにては、ギリシャ文字のψ（プサイ；小文字）やΨ表せる。この（２）式の２番目の等号は、グラフ（プサイ；大文字）を使う。添え字の N はニュなどを描く際に便利なように、GM をシュバルツートン、PN は擬ニュートン、そして GR は一般

シルト半径 a や光速 c を使って書き直したもので相対論の量であることを示す。またグラフなどをある。

描く際の単位は、長さの単位としてはシュバルツ

擬ニュートンポテンシャルψ PN の（１）式も、シルト半径 a を、速さの単位としては光速 c を取同様な書き直しをすると、（３）式のようになる。

る。

さらに、シュバルツシルト時空での相対論的重力ポテンシャルψ GR は、基準点の取り方によっていくつかの定義があるのだが、ここでの必要な形としては（４）式のように表せる。なお、この（４）式で、 ln は対数記号の一種で自然対数を意味している。
これらのポテンシャルを描いたのが図１である。図１の横軸はシュバルツシルト半径を単位とした中心からの距離 r、縦軸は光速の２乗を単位としたポテンシャルψの値である。点線がニュートン力学の場合、実線がシュバルツシルト時空の場合で、そして破線が擬ニュートンポテンシャルの場合である（以下同様 ）。式からもわかるが、ニュートン力学では中心（r ＝ 0）でポテンシャルが発散するのに対し、シュバルツシルト時空ではシュバルツシルト半径（r ＝ a）で発散する。
擬ニュートンポテンシャルもシュバルツシルト半径で発散するので、シュバルツシルト時空の場合と定性的には合致するが、定量的には発散の仕方

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は早い。

図１

ポテンシャル。横軸はシュバルツシルト半

図２

単位質量あたりの力。横軸は a を単位とし径 a を単位とした中心からの距離 r、縦軸は光速た中心からの距離 r、縦軸は c ２／ a を単位としの２乗 c ２を単位としたポテンシャルψの値。点た力 f の値。

線がニュートン力学、実線がシュバルツシルト時
空、破線が擬ニュートンポテンシャルの場合（以３．２．円運動
つぎに、質量 M の天体を回る物体の円運動を下同様）。

考えてみよう。
これらの重力ポテンシャルのもとでの、単位質円運動の角速度をΩとすると、ニュートン力学量あたりの力 f（すなわち加速度）は、 f ＝－ d

では、物体の単位質量あたりに r Ω２の遠心力がψ／ dr で計算される。

働く。物体が円運動するためには、物体に働く重ニュートン力学では 、（５）式のような、よく力とこの遠心力が釣り合っていなければならな知られた距離 r の逆２乗に比例する力になる。

い。したがって、ニュートン力学における物体の角速度Ω N は、（８）式のようになる。

擬ニュートンポテンシャルのもとでの力は、（６）式のような形になる。

擬ニュートンポテンシャルの場合も、同じようシュバルツシルト時空の場合 、（４）式を形式にして、物体の角速度Ω PN として、（９）式が導的に微分すれば 、（７）式のようになる。この力ける。

はシュバルツシルト半径で発散するが、それはシュバルツシルト時空では、相対論的な効果の（４）式のようなポテンシャルの定義の仕方をしために、遠心力の項は、（1 － 3a ／ 2r）r Ω２のたためであり、シュバルツシルト半径で本当に物ような形になる。物理的には、物体の回転に伴う理的な力が発散するわけではない。

回転運動自体のエネルギーが質量と等価であるた

これらの単位質量あたりの力 f については、図めに、ブラックホールに近づくと、見かけ上、重２に示す。

力が強くなったように感じる（遠心力は弱くなっ-4-たように感じる）ことを表している。一方、物体が実際に感じる中心天体の力は、比較のために出した見かけ上の力（７）式とは違って、ニュートン力学と同じ（５）式の力を感じる。以上の結果、シュバルツシルト時空において、ブラックホール近傍で測った角速度Ω GR は、（１０）式のような形になる（一般相対論では場所によって時間の進み方が違うので、角速度もブラックホール近傍で測定するか遠方で測定するかで異なる）。
これら角速度Ωの違いを図３に示す。ニュートン力学の場合は中心（r ＝ 0）で、擬ニュートンポテンシャルではシュバルツシルト半径（r ＝ a）で、そしてシュバルツシルト時空では r ＝ 1.5aで、それぞれ角速度は発散する。

図３

円運動の回転速度 V（＝ r Ω）は、それぞれ、円運動の角速度。横軸は a を単位とした中心からの距離 r、縦軸は c ／ a を単位とした角速（１１）式から（１３）式のようになる。回転速度Ωの値。

度の違いは図４に示す。

図４

円運動の回転速度。横軸は a を単位とした中心からの距離 r、縦軸は c を単位とした回転速度 V の値。
さらに円運動する物体がもつ単位質量あたりの角運動量（簡単に「比角運動量」と呼ぶ）は、 l＝ rV ＝ r Ω ２で定義されるが、それぞれ、（１４）式から（１６）式のようになる。角運動量の違いは図５に示す。

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図５からわかるように、円運動する物体の比角時空におけるものを非常によく近似していること運動量は、ニュートン力学では半径が減少するとがわかる。比角運動量が最小値をもつという定性

ともに単調に減少するが、シュバルツシルト時空的な振る舞いも似ているし、定量的にも悪くない。

では、ある半径で最小値をもち、それより内側ですなわち 、（１５）式の微分から、擬ニュートンはふたたび増加する。そして、角運動量が最小にポテンシャルの場合には、なる半径より内側では、相対論的な効果によってr ｍｓ＝ 3a

円軌道は力学的に不安定になるため、物体はブラl ｍｓ＝（27 ／ 8）

（１９）
１／２

ac ～ 1.837ac （ ２０）ックホール周辺の円軌道を維持できずにブラックとなる。最小安定円軌道の半径はシュバルツシルホールへ向けて落下してしまう。そこでこの半径ト時空の場合と完全に一致する。ただし、そこでを「限界安定半径」と呼び、この半径の軌道を「最の角運動量の値は相対論で得られる値より 6%ほ小安定円軌道」と呼んでいる。

ど大き目である。
３．３．有効ポテンシャルと周転円振動
大学の初等力学で習う話だが、惑星運動など一般の楕円軌道では角運動量が保存される。そのとき、重力ポテンシャルと遠心力ポテンシャルの和は、しばしば「有効ポテンシャル」と呼ばれている。
ニュートン力学、擬ニュートンポテンシャル、シュバルツシルト時空での有効ポテンシャルΨを表しておくと、それぞれ、（２１）式から（２３）式までとなる（グラフは省略）。これらの式では、比角運動量の値が一定であることを明示するために、比角運動量に添え字 0 を付けた。

図５

円運動する物体の単位質量あたりの角運動量。横軸は a を単位とした中心からの距離 r、縦軸は ac を単位とした角運動量 l の値。
限界安定半径 r ｍｓは、（１６）式を微分した式が 0 となる条件から求まり、数値的には、
r ｍｓ＝ 3a（１７）となる。また限界安定半径での角運動量は、
l ｍｓ＝ 3 １／２ ac ～ 1.732ac（１８）になる。
そこで擬ニュートンポテンシャルの場合だ。角速度や回転速度のグラフではわかりにくいが、図５の角運動量のグラフでみると、擬ニュートンポテンシャルにおける角運動量がシュバルツシルト-6-さらに、大学上級から大学院レベルの話になるが、周転円（エピサイクリック）運動にも少しだ
け触れておく４）。
重力と遠心力が釣り合っている状態で円運動している物体を、半径方向にちょっと押して、円運動から少しずらしてやってみる。この過程で角運動量が保存されているとすると、有効ポテンシャ
ルを微分して力の式にするとわかるように、半径が少し変化したときに、重力は半径の２乗に反比例して変化するが、遠心力は半径の３乗に反比例して変化する。そこで、もし軌道の外側へ押しやった場合 、（半径の３乗に反比例して減少する）エピサイクリック振動数。横軸は a を単位

遠心力に比べて（半径の２乗に反比例して減少す

図６る）重力の方が強くなるために、全体としては内とした中心からの距離 r、縦軸は c ／ a を単位と向きの力が働き、内側へ戻されるようになる。そしたエピサイクリック振動数κの値。

してもとの円軌道を超えて内側へ通り過ぎると、今度は重力より遠心力の方が強くなるので、ふた一方、シュバルツシルト時空では、ブラックホたび外側へ向けて動いていく。こうして、物体は、ールに近づくにつれて、このエピサイクリック振もとの円軌道を基準として、その内外にある振動動数は回転角速度よりも小さくなり、ある半径（r数で振動をはじめることになる。最初に内側へ押＝ 4a）で最大値となって、さらにそれより内側しやった場合でも同様である。

では減少し、シュバルツシルト半径の３倍、すな円運動における、この遠心力を復元力とする振わち先に述べた最小安定円軌道の半径で 0 にな

動は、ある種の慣性振動だが、業界では「周転円る。この性質は、最小安定円軌道の存在と密接に（エピサイクリック）運動」と呼ばれており、ま関連していて、相対論的な効果によって、半径方たその振動数は「エピサイクリック振動数」と呼向の振動が抑制されることを表している。そしてばれている。なお、エピサイクリック振動数をし最小安定円軌道の半径より内側では、エピサイク

ばしばギリシャ文字のκ（カッパ）で表す。

リック振動自体が存在できない。すなわち、最小ニュートン力学、擬ニュートンポテンシャル、安定円軌道の半径より内側では、物体は半径方向

シュバルツシルト時空でのエピサイクリック振動に振動できずに、すぐにブラックホールに落下し数を表しておくと、それぞれ、（２４）式から（２てしまうのである。振動できないという意味で、６）式までとなる。また図６にグラフを示す。

力学的に不安定なのである。

ニュートン力学におけるエピサイクリック振動

余談だが、このような相対論的なエピサイクリ数は 、（２４）式からわかるように、円運動の角ック振動数は、Kato and Fukue ( 1980)ではじめて速度と等しい。すなわち、ニュートン力学では、調べられ、ぼく自身の修士論文ともなった話であ円運動している物体を半径方向に少し振らせてやる５）。もっとも修士論文を書いた当人は、当時はると、円運動の周期と同じ周期で半径方向に振動

物理的な描像は端からないし、定式化もいくら頑するのである（２πを角速度で割ったものが周張っても指導教官には追いつけずに検算に終わっ期）。ていた。まぁ、何となく物理的なイメージができ-7-

てきたのは 10 年ぐらい経ってからのことである。

式を変形して、シュバルツシルト半径が十分小さトホホな話だが、もう時効ということで勘弁願いいという近似で展開すると（3 行目から 4 行目）、たい。閑話休題。

擬ニュートンポテンシャル（２）式に帰着する。

で、擬ニュートンポテンシャルの場合だ。図６

あるいは 、（３０）式で示しているように、シュを見ると一目瞭然のように、擬ニュートンポテン

バルツシルト時空の有効ポテンシャル（２３）式

シャルのエピサイクリック振動数はシュバルツシを変形し近似すると（3 行目から 4 行目）、やはルト時空の場合をよく近似していることがわかり擬ニュートンポテンシャルでの有効ポテンシャる。最小安定円軌道の存在を反映して、シュバルル（２２）式を導くことができる。さらに動径方ツシルト時空と同じ半径で 0 になっているし、だ向の速度が入った場合（ベルヌーイの式）でも、いたい同じあたりで最大値をもっている。

同様な変形・近似が可能である。

数値的には、エピサイクリック振動数が最大値

すなわち、擬ニュートンポテンシャルは、相対になる半径は、シュバルツシルト時空では、r ＝ 4a論的なポテンシャルで、 a<< r とした場合の近似だが、擬ニュートンポテンシャルでは式になっているのである。近似の程度でいえば、

r ｍａｘ＝（2 ＋√ 3）a ～ 3.732a（２７）

実はニュートン力学も同じ程度の近似である。まで少しだけずれる。また最大値自体は、シュバル

た同じ程度の近似式は無数に作ることができて、ツシルト時空では、0.5 Ω N だが、擬ニュートン（１）式とは異なる形の擬ニュートンポテンシャ

ポテンシャルの場合は、

ルも提案されているが、現在のところは、パチン

κｍａｘ＝√ 0.5 ΩＮ～ 0.707 Ω Ｎ

スキーたちのオリジナルなものがもっともシンプ（２８）となり、厳密な相対論の値より４割り増しである。
先の角運動量分布もそうだが、このエピサイクリック振動数について、擬ニュートンポテンシャ
ルのものとシュバルツシルト時空のものは、定量的には少し違うものの定性的には非常によく一致している点に注意して欲しい。このような力学的性質が、擬ニュートンポテンシャルがブラックホール降着流で重宝されている所以である。
４．擬ニュートンポテンシャルの導出
最後に、擬ニュートンポテンシャルの正統性（妥当性）について少し触れておこう１）。
平坦な時空における擬ニュートンポテンシャルが、曲がった時空であるシュバルツシルト時空の力学的性質をよく模倣している原因の一つは、擬ニュートンポテンシャルがシュバルツシルト時空におけるポテンシャルのある種の近似になっているからだ、と思う。
たとえば 、（２９）式で示しているように、シュバルツシルト時空のポテンシャルである（４）-8-ルでスグレモノだと考えられている。

参考文献
１）福江純、1989 年 、ハード SF 研究所公報 37、25２）Paczynski, B., Wiita, P.J. 1980, A&A 88, 23３）Artemova, I.V. et al. 1996, ApJ 461, 565４）Kato, S., Fukue, J., Mineshige, S. 1998,
Black-Hole Accretion Disks ( Kyoto Univ. Press)
５）Kato, S., Fukue, J. 1980, PASJ 32, 377
Easy Relativity 1：
Introduction to the Pseudo-Newtonian Potential
Jun Fukue
Astronomical Institute, Osaka Kyoiku University,
Asahigaoka 4-698-1, Kashiwara, Osaka 582-8582,
Japan
Abstract： The pseudo-Newtonian potential is now
widely used as a powerful tool to mimic the generalrelativistic effect around a Schwarzschild black hole.
This potential enables high school students tocalculate

therelativistic

phenomena.

Wethusintroduce and summarize the properties of thepseudo-Newtonian potential, discuss its validity, andcompare it with the rigrous relativity.

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