テ〉

最小サイズ

15mm

テンソルネットワークと量子計算
東大理
•
•

大久保毅

量子多体系の（古典計算機での）計算
量子計算機を使った計算

コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめコンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

テンソル？
•

ベクトル：

1次元的な数字の並び

•

行列

：

2次元的な数字の並び
一般化•(n階の）テンソル：n次元的な数字の並び【基本的な演算＝縮約】
行列積：
縮約：

"足"が多くなると表記が複雑...

ダイアグラムを用いたテンソル表記
•

ベクトル

：

•

行列

：

•

テンソル

：

テンソルの積（縮約）の表現＊n階のテンソル＝n本の足

C

＝

B

A
C

D

＝ B

A

縮約の計算量
3本

行列積： A, B =
C

＝

B

A

の計算量=
テンソル縮約：

A=
B=

4本

C

＝

A

の計算量=
ダイアグラムとの対応••

縮約の計算量はダイアグラムの足の数で分かる（メモリ使用量も分かる）

4本

B

縮約の計算量と計算順
テンソル縮約：

A=
B=
C=

C
D

＝ B

A

Case 1:の計算量=
Case 2:の計算量=
縮約の評価順で計算量が変わる！

C
B

A

AB

C
A

B

AC

＊最適順序の決定はNP困難。実用的なアルゴリズム例
R.N.C. Pfeifer, et al., Phys. Rev. E 90, 033315 (2014).

テンソルネットワーク：テンソルの縮約で構成されたネットワーク
テンソルネットワーク（TN）【（ざっくりした）分類】••

Openな足：あり or なし•

Openな足があり：TN自身が大きなテンソル•

Openな足がなし：TNは数字

ネットワーク構造：規則的 or 不規則••

ネットワーク構造は問題に応じて変わる• 例：スピン模型の分配関数は規則的• 例：分子の多体電子状態は不規則

ネットワークサイズ：有限 or 無限•

基本的に有限だが、場合によっては無限系も取り扱える

テンソルネットワークの例1：統計物理学
古典イジング模型（磁性体のモデル）

温度T での確率分布：ボルツマン分布
状態：
逆温度：
熱力学自由エネルギー

分配関数：(2Nの和)• Openな足は"なし"【分配関数のテンソルネットワーク表示】• 規則的A
A• 有限〜無限
A

A
A

A

A

A
A

A

テンソルネットワークの例2：量子回路
量子回路：

googleの"量子超越" 回路
F. Arute, et al., Nature 574, 505 (2019)

量子ビットに演算するゲート操作の回路図
Articledeveloped fast, high-fidelity gates that can be executed simultaneously
across a two-dimensional qubit array. We calibrated and benchmarked
the processor at both the component and system level using a powerful
new tool: cross-entropy benchmarking11. Finally, we used componentlevel fidelities to accurately predict the performance of the whole system, further showing that quantum information behaves as expected
when scaling to large systems.

2次元のベクトル。

適当な基底の元では、ユニタリ

適当な基底、（ | 0⟩, | 1⟩）で行列（or "テンソル"）aA suitable computational task

表現すると2次元の複素ベクトル

To demonstrate quantum supremacy, we compare our quantum processor against state-of-the-art classical computers in the task of sampling
the output of a pseudo-random quantum circuit11,13,14. Random circuits
are a suitable choice for benchmarking because they do not possess
structure and therefore allow for limited guarantees of computational
hardness10–12. We design the circuits to entangleb a set of quantum bits
Single-qubit
gate: logi(qubits) by repeated application of single-qubit andtwo-qubit
25 ns
cal operations. Sampling the quantum circuit’s output produces a setof bitstrings, for example {0000101, 1011100, …}.
Owing to quantum
Qubit
XYbitstrings
controlinterference, the probability distribution of theresembles
a speckled intensity pattern produced by light interference in laser
Two-qubit gate:
scatter, such that some bitstrings are much more likely
to occur than
12 nsothers. Classically computing this probability distribution
becomes
Qubit 1
Z control
exponentially more difficult as the number of qubits(width) and numberof gate cycles (depth) grow.
Coupler
We verify that the quantum processor is working properly using a
2 compares how
benchmarking11,12,14,Qubit
which
A
B
CmethodDcalled cross-entropy
Z control
often each bitstring is observed experimentally with its corresponding
m
5
6
7
8
ideal probability computed via simulation on a classical computer. For
a givencircuit,into
we fourcollectthe measured
bitstringsi} and compute thecouplers
are divided
subsets(ABCD), eachof which is{xexecuted
11,13,14•
linearcross-entropy
benchmarking
fidelity(see
also
Supplementary
simultaneously across the entire array corresponding to shaded colours.
Here
Information),
which
is
the
mean
of
the
simulatedprobabilitiesof thewe show an intractable sequence (repeat ABCDCDAB); we also use different
bitstrings
wemeasured:
coupler subsets along with a simplifiable sequence (repeat EFGHEFGH, notgoogleの"量子超越"
回路 F. Arute, et al., Nature 574, 505 (2019)
Article
a
0
0

C

A

0

B
D

0
0

Row

Column

W
X
X
W
Y

Time
Cycle 1

A

B
2

D

C
3

4

Fig. 3 | Control operations for the quantum supremacy circuits. a, Example
quantum circuit instance used in our experiment. Every cycle includes a layer
each of single- and two-qubit gates. The single-qubit gates are chosen randomly
from { X , Y , W }, where W = (X + Y )/ 2 and gates do not repeat sequentially.
The sequence of two-qubit gates is chosen according to a tiling pattern,coupling each qubit sequentially to its four nearest-neighbour qubits. The

量子回路=テンソルネットワーク
single-qubit gates chosen randomly fromon all qubits,
followed by two-qubit gates on pairs of qubits. The sequences of gates
which form the ‘supremacy circuits’ are designed to minimize the circuit
depth required to create a highly entangled state, which is needed for

Adjustable couplerb

Openな足は"あり"• "なし"もあるshown) that can be simulated on a classical computer. b, Waveform of control
FXEB = 2n"P(xi)#i − 1signals for single- and two-qubit gates.

量子コンピュータの古典シミュレーション{ X, Y, W}＝テンソルネットワークの縮約

Qubit

• 不規則

(1)

where ntheseis thecircuits
numberqubits,P(xi)processor
is the probability
ofthanbitstringof runningonofthequantumis greater
at xi
computed
for
the
ideal
quantum
circuit,andtheaverageisoverleast 0.1%. We expect that the full• data for Fig. 4b should have similar theobserved
bitstrings.
Intuitively,
is correlated
withtoo
how
often
FXEB
fidelities, but since the simulation times(rednumbers) take
long
to we
samplehigh-probability
bitstrings.
When
there
are
no
errorsin thecheck, we have archived the data (see ‘Data availability’ section). The

有限

10 mm
Fig. 1 | The Sycamore processor. a, Layout of processor, showing a rectangulararray of 54 qubits (grey), each connected to its four nearest neighbours withcouplers (blue). The inoperable qubit is outlined. b, Photograph of the
Sycamore chip.

テンソルネットワークによる量子回路シミュレーション
量子回路のシミュレーション=テンソルネットワークの縮約
古典コンピュータでの計算：
実際の回路の実行順序によらず、最適な順番でテンソルの縮約計算を行うことで、計算コスト、メモリコストが低下

最先端の計算： Y. A. Liu, et al., Gordon bell Prize in SC21 (2021),
Googleが量子超越を主張したランダム量子回路の古典サンプリング

10,000年（最初の見積もり）304秒！ （cf. 量子コンピュータ=200秒）

テンソルネットワークの例3：量子多体状態
量子多体状態：基底
量子スピン・bit：
量子化学：
i = 原子軌道・分子軌道の占有数

係数はテンソル量子多体状態(a)(b)

テンソルネットワーク分解(c)

PEPS (for 2d system)<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>

量子相関の小さいテンソルに分解特徴を利用した近似~eNの独立要素~O(N)の独立要素

量子多体系の低エネルギー状態：•

一般の状態（ランダムベクトル）に比べて、少ない量子相関•

c.f. エンタングルメントエントロピーの面積則

テンソルネットワークによる高精度の近似• Openな足は"あり"• 規則・不規則• 有限・無限テンソルネットワークによる近似シミュレーション
量子回路の近似シミュレーション
古典コンピュータでの計算：
量子回路に従って移り変わる量子状態をテンソルネットワー
クで近似的に表現する•

初期は小さいテンソルで表現可能••

非常に多くのqubitを古典コンピュータで取り扱える回路が深くなると、一般にテンソルが大きくなる••計算を進めるには（テンソルを小さく保つ）近似が必要深くなればなるほど、近似精度が低下

10

TABLE 2
a f2 (x) with error bound setting to 10 3 . For the 10th-order tensor, all 9
k r̄ as well as the number of total parameters Np are compared.

9

4
5
5
7
9

テンソルネットワークの例4：テンソル型データ
1

2

3

4

Np
5

6

7

8

9

1512 1944 2084 2144 2732 2328 3088 10376 3312
任意のテンソル型データ
1512 1944 2064 2144 4804 4224 9424
7728
2080
1360
1828
1384

1360
2064
1324

1360
1788
1384

1360
1544
1348

1360
1556
1348

1360
1864
1384

1360
2832
1384

1360
1600
1272

：量子多体状態と同様にして分解可能
テンソルネットワーク分解

テンソル型データ

ce, sive results that are similar to that in noise free cases. TRpt ALSAR slightly overestimates the TR-ranks. It should be
As noted that TR-BALS can estimate the true rank correctly
m- and obtain the best compression ratio as TR-ALS given
情報の相関構造のIn true rank. In addition, TR-BALS is more computationallyral efficient than TR-ALSAR. In summary, TT-SVD and TR特徴を利用した近似
are SVD have limitations for representing the tensor data withbe symmetric ranks, and this problem becomes more severe
TR when noise is considered. The ALS algorithm can avoid thisral problem due to the flexibility on distribution of ranks. More
(Q. Zhao, et al arXiv:1606.05535)
ata detailed results can be found in Table 3.
s aCOIL-100 dataset = 32 x 32 x 3 x 7200 テンソルher 6.2 COIL-100 dataset

ors
We
are
10.
mal
der
ng
ks.
ed
go3,
en

• Openな足は"あり"

1360
1324
1324

• 規則・不規則• 有限T

例1：画像データセット
ピクセル

色 画像数

M1

M2

r

テンソルリング分解
M4

M3

例２：ニューラルネットワークの重み行列(Z.-F. Gao et al, Phys. Rev. Research 2, 023300 (2020).)xi: input neuron (pixel)
yi: output neuron
matrixx and yWij: weightZE-FENG
GAO etconnecting
al.

since tgrows
out thof thement ethe sys
The apquantu[40,41In tneuralコンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ量子多体問題物質科学における多彩な現象
•

化学反応
超伝導
トポロジカル状態

•

...

•
•

多数の"粒子"が量子力学に従って"運動"量子多体問題

wikipedia"マイスナー効果", "トーラス"より

量子力学の支配方程式＝シュレディンガー方程式：ハミルトニアン（行列）：状態ベクトル
時間に依存
しない場合

エネルギー

= 固有値問題

量子ビットの多体系
1 qubit

１つの量子ビットの状態は２つの基底ベクトルで表現
2次元ベクトル

2 qubits

重ね合わせ？ ＊
確率

で状態

確率

で状態

を観測

２つの量子ビット系の状態は４つの基底ベクトルで表現
4次元ベクトル（簡略化した表現：

状態を表すベクトルの次元 2N
N qubits

指数関数的に大きい！

量子多体問題の困難
シュレディンガー方程式：
N量子ビットの場合：2N次元のベクトル：2N × 2Nの行列•

ベクトル空間の次元は"粒子数"に対して指数関数的に大きい•

量子多体問題〜「巨大な行列」の固有値問題

古典コンピュータでこの運動方程式を厳密に解くには、膨大なメモリと膨大な計算時間が必要
スパコンを用いても、 50 qubits程度しか計算できない
Cf.古典計算機でどれくらい頑張れる？
H. De Raedt, et al., Comput. Phys. Commun. 237, 47 (2019).

量子コンピュータ＝高度に制御された量子系
古典計算機では計算できないことを“計算”できる可能性！

コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

テンソルネットワークの数値計算
テンソルネットワークを用いた応用の基本計算要素•••

テンソルの縮約•

基本的に、2つずつ縮約計算をする•

テンソルを行列に変形し、BLASなどを用いる

テンソルの低ランク近似• 特異値分解による低ランク近似の拡張• 近似的な縮約を行う目的などに用いられる• 多くの場合、テンソルを行列に変形し、行列の特異値分解を用いる
テンソルの線形問題• テンソルから構成される行列の（一般化）固有値問題•

量子多体問題、テンソル分解などの"最適化"で使用テンソルの基本演算は、（現状は）行列に変形して行われる
cf. TBLIS テンソル向けのBLAS（BLIS= BLAS-like Library Instantiation Software)
https://github.com/devinamatthews/tblis

テンソルの行列への変形テンソルの足をまとめて行列とみなす
l

ダイアグラム

j

l
j

k

i

i

i

j

l

k

k

(0,0) → 0(0,1) → 1
i, l = 0, 1のとき (1,0) → 2(1,1) → 3

テンソル
形状
•

テンソル用のライブラリで簡単に行える。（例：numpy.reshape)•

行列への変形は一般に、一意ではない• どの様に行列化するかは、目的に合わせる

テンソルネットワークの縮約テンソルネットワーク縮約の計算量
ループのないツリー型の構造以外では、計算量はテンソル数に関して、指数関数的に増大する
長さNのchain

L×Lのsquare lattice
局所テンソル：

局所テンソル：

端から順に縮約：

端から順に縮約：

大規模なテンソルネットワーク縮約は近似的に評価
2d 規則TNに対する汎用的アプローチ： • テンソル繰り込み• 行列積状態法• 角転送繰り込み群＊不規則でも同種の近似は可能コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

量子状態の圧縮可能性
指数関数的に大きな状態空間を古典計算機で全て扱うことは不可能
実効的な次元を減らしたい

全状態空間

どんな時に情報を圧縮して表現できるだろうか？

（１）ほとんどの係数がゼロ（またはとても小さい）
例：古典的状態
非ゼロの成分に対応する基底の情報（整数）のみを保持（２）係数の間になんらかの相関構造が存在
例：直積状態
相関構造と独立な成分だけを保持部分空間

行列の情報圧縮：低ランク近似
量子系を二つの部分に分けるAB

係数を表す「行列」を近似して情報圧縮したい！
低ランク近似：行列Mの低ランク行列での近似いらない情報をそぎ落として、重要な情報だけを残す
近似の精度を満たす最適な低ランク近似は特異値分解（SVD）から得られる

行列の情報圧縮：特異値分解
特異値分解： 任意のN×M行列は以下の形に一意に分解できる：特異値と並べると便利：一般化ユニタリ行列
rank(A) = 非ゼロの特異値の数
Mの最適なRランク近似： 特異値を大きい方からR個だけ残し、これのテンソルへの拡張？
残りをゼロで置き換えるA:M×N(M ≦ N)=≃:M×M:(M,N)×M

近似:R×R:(M,N)×R

テンソルネットワーク分解
ターゲット:

局所空間の積の構造を持つベクトル空間（テンソル）*局所的な空間の次元は異なっても良い

例：量子状態

係数はテンソルテンソルネットワーク分解

量子多体状態<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>

量子相関の特徴を利用した近似~eNの独立要素~O(N)の独立要素良いテンソルネットワーク？

係数はテンソルテンソルネットワーク分解

量子多体状態<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>

量子相関の特徴を利用した近似~eNの独立要素~O(N)の独立要素

良いネットワーク = 量子的な相関を適切に捉えているもの
量子相関が小さい：（直積状態）

量子相関が大きい：（ベル状態）
量子相関の定量的な特徴づけ？

コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

量子状態のシュミット分解
量子状態：
シュミット分解AB

量子系を二つの部分に分ける
量子状態は一般にそれぞれの空間での適切な直交基底の重ね合わせで表現できる

B<latexit sha1_base64="ZU1UFVOI4sQ5r55FgImhtnwW0DE=">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</latexit>

A
正規直交基底シュミット係数<latexit sha1_base64="P26lwto5EHsA9yx6r1kobN3kdd8=">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</latexit>

B<latexit sha1_base64="JzhxCAIkIqTxgCdAElfwhSUhGpw=">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</latexit>

A特異値分解とシュミット分解
特異値：

特異値分解

特異ベクトル：シュミット分解との関係：

量子状態の特異値分解 = シュミット分解
非ゼロのシュミット係数の数は、行列Mのランクに対応

量子状態のシュミットランク

シュミットランク ＝非ゼロのシュミット係数の数
シュミットランクは二つの “領域” A, Bの間の量子相関を特徴づける•

シュミットランク = 1
AB

量子状態はある二つの状態の単一の積で表される
直積状態•

シュミットランク > 1

BA

量子状態は二つ以上の直積状態の和で表される（非局所相関の期限。Cf. 2022年のノーベル物理学賞）

（補足）縮約密度行列
量子状態：<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>

密度行列：<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>*Note:<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>

縮約密度行列：
密度行列の一部の自由度 (in)だけトレースをとる: Aの空間で半正定値の正方行列<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>*Note: 一般に<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>ABエンタングルメントエントロピー
エンタングルメントエントロピー（EE）：

A

B

部分系の縮約密度行列：
エンタングルメントエントロピー ＝ ρA を確率分布として見た時のエントロピー

シュミット分解：<latexit sha1_base64="aq6lugQpeUFXwY4/Xr2ijOOfacU=">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</latexit>

エンタングルメントエントロピーはシュミット係数の二乗を確率分布とした時のエントロピー（これより、<latexit sha1_base64="Ym4qVf86p50626BGaWoJJ4trDPU=">AAACrHichVG7SgNBFD2ur/hM1EawiQZFC8NEBEVQRBtLNYkKSQi76yRZ3Bezk4CG1II/YGGlYCFiq2Br4w9Y+AliqWBj4d3Ngqiod5iZM2fuuXOGq7mm4UnGHluU1rb2js5IV3dPb19/NDYwuOU5VaHzrO6YjtjRVI+bhs2z0pAm33EFVy3N5Nva3qp/v13jwjMcOyP3XV6w1LJtlAxdlUQVY6Pp+OJ03lJlRVj1jGhM5kXFKa7kTafcRFPFWIIlWRDxnyAVggTCWHdit8hjFw50VGGBw4YkbEKFRyOHFBhc4gqoEycIGcE9RwPdpK1SFqcMldg9Wst0yoWsTWe/pheodXrFpClIGcc4e2AX7IXds0v2xN5/rVUPavhe9mnXmlruFqNHw+m3f1UW7RKVT9WfniVKmA+8GuTdDRj/F3pTXzs4fkkvbI7XJ9gZeyb/p+yR3dEP7Nqrfr7BN0/+8KORl6CKj6hNqe9N+Qm2ZpIpwhuzieWlsGERjGAMk9SVOSxjDevI0iuHuMI1bpSkklFySqGZqrSEmiF8CaX0ASKEngo=</latexit>

で計算しても同じ値になる)エンタングルメントエントロピーの振る舞い
エンタングルメントエントロピー= シュミット係数のスペクトルと関係

Normalization:<latexit sha1_base64="pBJuQ7Nd/lroIC83q9fp5utsWvE=">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</latexit>•<latexit sha1_base64="oKKi2zbIIIasse7Ui9PF/eoIZUg=">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</latexit><latexit sha1_base64="aq6lugQpeUFXwY4/Xr2ijOOfacU=">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</latexit><latexit sha1_base64="DolE82ZTdmKYUvHr70/tNdZJGkA=">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</latexit><latexit sha1_base64="oXqPbYyFxuKp5zA/S40TWl4KoDA=">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</latexit>

平なスペクトル<latexit sha1_base64="yAI3g+nk+vdZoixe9jhn5I3wlos=">AAACkHichVG7SgNBFL1ZXzE+EmMj2ARDxCpMRDCIYMRGrPIwD0hC2N1MdMjsg91JIAZ/wM5KMJWChfgHtjb+gEU+QSwj2Fh4d7MgGox3mJkzZ+65c4armJzZgpC+T5qYnJqe8c8G5uYXFoOhpXDBNlqWSvOqwQ2rpMg25UynecEEpyXTorKmcFpUmgfOfbFNLZsZ+rHomLSqySc6azBVFkgVKxxT63ItFCVx4kZkFCQ8EAUv0kboESpQBwNUaIEGFHQQiDnIYOMoQwIImMhVoYuchYi59xTOIYDaFmZRzJCRbeJ6gqeyx+p4dmrarlrFVzhOC5URiJEXck8G5Jk8kFfy+WetrlvD8dLBXRlqqVkLXqzkPv5VabgLOP1WjfUsoAFJ1ytD76bLOL9Qh/r22dUgt5ONddfJLXlD/zekT57wB3r7Xb3L0GxvjB8FvbhVHIRtSvxuyigobMYTiDNb0dSu1zA/rMIabGBXtiEFh5CGvPvKJVxDTwpLSWlP2h+mSj5Psww/Qjr6AjBpk5U=</latexit>•<latexit sha1_base64="YGrob30OcXkKKWLNC20YpK7LGVo=">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</latexit><latexit sha1_base64="pyUeJScTW1Jy5ZkuJONmf0VIzxQ=">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</latexit>•

指数関数的な減少<latexit sha1_base64="YrromxkOdqxhNev60tO/iAaQsU8=">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</latexit><latexit sha1_base64="wOf2K8MfSa/fAPuSK7OPtcp1dtA=">AAACqnichVG7ThtBFD0s4f0ypIlEwQqLiALQGCGBEIUlmpS2iXnIBmt2PYYR493R7tgSWJQ0+QGKVEFKEbmFhpYmP5CCT0CUREpDwd31SggQ5I5m5syZe+6c0XW0kqFh7KbL6v7Q09vXPzA4NDwyOpYan9gM/UbgiqLrKz/YdngolPRE0UijxLYOBK87Smw5h+vR/VZTBKH0va/mSIvdOt/3ZE263BBVSU2VFSVXeUXaZR342vi22GvNl7nSB9yWJ5VUmi2wOOzXIJOANJLI+akrlFGFDxcN1CHgwRBW4AhplJABgyZuFy3iAkIyvhc4wSBpG5QlKIMTe0jrPp1KCevROaoZxmqXXlE0A1LamGF/2C92z36zNrtlD2/WasU1Ii9HtDsdrdCVsW+fNv79V1Wn3eDgSfWuZ4MaVmKvkrzrmIl+4Xb0zeOz+43VwkzrMztnd+T/B7th1/QDr/nX/ZkXhe/v+HHIS1wlQtSmzMumvAabiwsZwvmldHYtaVg/JjGNWerKMrL4ghyK9Mop2rjApTVnFawdq9RJtboSzUc8C6v6CPR7nZE=</latexit>

減衰が遅いと大きなエントロピー

エンタングルメントエントロピーの面積則
一般の量子状態：B

EE は 部分系の体積（量子ビットの数）に比例する

低エネルギーの量子状態：

L(c.f. random vector)

A

多くの場合、EEは部分系の境界面積に比例する
J. Eisert, M. Cramer, and M. B. Plenio, Rev. Mod. Phys, 277, 82 (2010)

一次元的な相互作用をする量子系の場合 M.B. Hastings, J. Stat. Mech.: Theory Exp. P08024 (2007)
A

自然界に現れる量子状態は広大なヒルベルト空間のうち面積則を満たす小さな空間内にいる！

B

A

B

シュミット係数の振る舞い
16スピン（16 量子ビット）の例

横磁場イジング模型

横磁場イジング模型(Γ = 0.4)
ランダムベクトル

物理系の最低エネルギー状態はシュミット係数が早く減衰エンタングルメントエントロピーのスケーリング

Transverse eld Ising
Randomfi

ランダムベクトル：体積則
最低エネルギー状態：面積則(Γ = 0.4)

コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

テンソルネットワークによる情報圧縮
指数関数的に大きな状態空間を古典計算機で全て扱うことは不可能
全状態空間

実効的な次元を減らしたい
テンソルネットワーク分解：
情報のエンタングルメントに注目することで、適切な部分空間を構成
テンソルネットワーク分解

一般の量子状態<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>

量子エンタングルメ
ントの構造を利用

部分空間

Good reviews:

行列積状態 (MPS)(U. Schollwöck, Annals. of Physics 326, 96 (2011))(R. Orús, Annals. of Physics 349, 117 (2014))

N本足のテンソル（ベクトル）を行列の積で表現

MPS：index i の行列

注：•

MPS は応用数理では"tensor train decomposition" とも呼ばれている(I. V. Oseledets, SIAM J. Sci. Comput. 33, 2295 (2011))•

直積状態は 1×1 "行列" (スカラー) のMPSで表現できる

行列積状態への厳密な変換
任意のテンソル（ベクトル）は特異値分解を繰り返すことで厳密なMPS表現に常に変換できる
SVD

SVD of<latexit sha1_base64="6m/gbzqlDKBTUkwq2Gwhy8OFn50=">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</latexit><latexit sha1_base64="ZJBeaV1Kz1gTxGyxRTby2eZDpYE=">AAACjHichVFNS8NAEH2N31XbqhfBS7EonmQiBYsiiIJ41NaqoKUkcVtD0yQkaaEW/4Dg1R48KXgQ/4FXL/4BD/0J4lHBiwcnaUC0qLPs7tu382bfMqpt6K5H1I5IPb19/QODQ9HhkdFYPDE2vutaNUcTec0yLGdfVVxh6KbIe7pniH3bEUpVNcSeWln37/fqwnF1y9zxGrYoVJWyqZd0TfGYyq0V5WIiRfMURLIbyCFIIYwtK3GPQxzBgoYaqhAw4TE2oMDlcQAZBJu5AprMOYz04F7gFFHW1jhLcIbCbIXXMp8OQtbks1/TDdQav2LwdFiZxAw90S290iPd0TN9/FqrGdTwvTR4VztaYRfjZ5O5939VVd49HH+p/vTsoYRM4FVn73bA+L/QOvr6Ses1t5Sdac7SNb2w/ytq0wP/wKy/aTfbInv5hx+VvQRVfMRtkn82pRvsLszLjLfTqdVM2LBBTGEac9yVRaxiE1vI8ytlnOMCLSkmpaVlaaWTKkVCzQS+hbTxCXKAkX4=</latexit><latexit sha1_base64="4XliTMgEVJ4VD+725UpqSqsuQoA=">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</latexit><latexit sha1_base64="ZXHnAp5TLfp0z6gTAIaz8srQNB4=">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</latexit><latexit sha1_base64="8FBqIWTq8AjjI6BmosvI9tk8990=">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</latexit><latexit sha1_base64="L13w9FcQQQNeHkVU7HgiqCk7TjU=">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</latexit><latexit sha1_base64="Jp2pqQTLywctr+veTWPVGj6lYTI=">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</latexit><latexit sha1_base64="L13w9FcQQQNeHkVU7HgiqCk7TjU=">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</latexit><latexit sha1_base64="4XliTMgEVJ4VD+725UpqSqsuQoA=">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</latexit><latexit sha1_base64="au4HHAkk6o/ZPget5TZ6mMyy7kY=">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</latexit><latexit sha1_base64="kB9Klgr4xbQ/3/GmYcKS38zn5jQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="ZXHnAp5TLfp0z6gTAIaz8srQNB4=">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</latexit><latexit sha1_base64="dZPsaUyLZl7/RF5PKPzrVtwgpNc=">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</latexit><latexit sha1_base64="g7sMIzFUCM+eQGbsuhsu+FE5B5w=">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</latexit><latexit sha1_base64="sUfwMe83hWkdG+Tm2dWYlfxOS9Q=">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</latexit><latexit sha1_base64="sUfwMe83hWkdG+Tm2dWYlfxOS9Q=">AAACi3ichVG7SgNBFD2ur/iIidoINsEQsQoTFQxBQRDBUqN5QAxhd53EIftidxOIwR8QW7WwUrAQ/8DWxh+w8BPEUsHGwrubBdFgvMPMnDlzz50zXMXShOMy9twn9Q8MDg2HRkbHxsMTkejkVN4xG7bKc6qpmXZRkR2uCYPnXOFqvGjZXNYVjReU+oZ3X2hy2xGmsee2LF7W5ZohqkKVXaKya7FKNM6SzI9YN0gFII4gts3oPfZxABMqGtDBYcAlrEGGQ6OEFBgs4spoE2cTEv49xzFGSdugLE4ZMrF1Wmt0KgWsQWevpuOrVXpFo2mTMoYEe2K37I09sjv2wj7/rNX2a3heWrQrHS23KpGTmd2Pf1U67S4Ov1U9PbuoIu17FeTd8hnvF2pH3zy6eNvNZBPteXbNXsn/FXtmD/QDo/mu3uzw7GUPPwp58at4iNqU+t2UbpBfTKYI7yzH19NBw0KYxRwWqCsrWMcWtpGjV6o4xRnOpbC0JGWk1U6q1BdopvEjpM0vUOWQ/w==</latexit>

(row)

…

(column)(row)(column)

この構成では行列の次元は場所に依存
最大のボンド次元 = aN/2
a:各足の次元

行列積状態における低ランク近似=

最大ボンド次元 = aN/2

最大ボンド次元 = χもし、もとのテンソルがボンド次元 χ の行列積状態で精度良く近似できれば、Nの指数関数のデータ量をNの多項式にまで大幅に減らせる！
•もし、エンタングルメントエントロピーがN に依存しない（S ~ O(1)）ならば、ボンド
次元 χ が N に依存しないようにできる。

•

逆に、 EEが N と共に増大する場合、（同じ近似精度を保つには）、χ もN と共に増大させる必要がある。

補足：行列積状態とカノニカル形式:シュミット係数に対応する
対角行列

=

=
=
左カノニカル条件：=

右カノニカル条件：

=

“規格化"

=

=1

補足：行列積状態の量子回路への埋め込み

=

=1

θ

MPSは、カノニカル形式に変換することで量子回路に “容易に”埋め込めるθ*=エンタングルメントエントロピーの上限:MPS with χA
領域Aの縮約密度行列

ρAの構造：B

MPS表現のために必要なボンド次元

MPSでは、EEの上限は長さ（量子ビットの数）に依存しない
MPSの長さ元の量子状態のEE

状態ベクトルの次元

MPS表現に必要なボンド次元

MPSの近似精度
16 量子ビットの場合

Randombond dimension

横磁場イジング模型
Distance

Distance

元の量子状態との距離：(Γ=0.4)bond dimension

階層構造を持つテンソルネットワーク
物理系の量子臨界点など•

相関長が発散し特徴的な長さスケールがなくなる（スケール不変性）•

一次元の場合EEが S = log Nとなり量子ビット数に依存する

スケール不変性を示す単純なテンソルネットワーク
Tree tensor network state (TTN)"scale"(renormalization)

MPS

Tree tensor network state

TTNのエンタングルメントエントロピー
木構造のため、二つの領域はただ一つのボンドでのみでつながる
TTNのエンタングルメントエントロピーはMPSと同様のスケーリング

TTNはスケール不変な振る舞いを表せるが、その量子相関は量子臨界点とは異なる
Isometry:

ここを切る
ここを切る

A A A A A A A A B B B B B B B B

A A A A B B B B B B B B B B B B

MERA(G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 99, 220405 (2007))(G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 101, 110501 (2008))

Multi-scale Entanglement Renormalization Ansatz (MERA)
アイソメトリーの前に、ユニタリ変換を挿入する

TTN

Isometry:

Unitary tensor:

MERA

MERAのエンタングルメントエントロピー
新しく挿入したユニタリ変換の影響で、二つの領域をつなぐボンドの数が対数的に増大
Nc (N )Nc (N ) :N-site 領域での最小の切断ボンド数

log N

rank ⇢A ⇠
SA = Tr ⇢A log ⇢A  (log ) log N

A A A B BB B B B B B B B B B B
最小の切断ボンド数 = 2

A A A A A A A B B B B B B B B B
A A A A A A A A A A A A A A A B

最小の切断ボンド数 = 3最小の切断ボンド数 = 4

二次元以上の場合の面積則
EEの面積則B
LA

d =1 （一次元系）ではMPSが面積則を満たす

Q. MPSを単純にd > 1 に拡張できる？
A. テンソル積状態 Tensor Product State (TPS)!

テンソル積状態（TPS）：面積則を満たすTNS
TPS (Tensor Product State) (AKLT, T. Nishino, K. Okunishi, …)
PEPS (Projected Entangled-Pair State)(F. Verstraete and J. Cirac, arXiv:cond-mat/0407066)

例：2次元正方格子のTPS
4+1 階のテンソルが敷き詰められたネットワーク
局所自由度：s
Virtual自由度：i, j, k, l
各インデックスの次元＝ボンド次元（D）
変分波動関数としての精度に関係するパラメタ （D→∞で厳密に）TPS (PEPS)のエンタングルメントエントロピー
ボンド次元 = DA

B

領域 A と B をつなぐボンドの数（正方格子）
Nc (L) = 4L
Nc (L) = 2dLd 1 （d 次元の超立方格子)

rank ⇢A  D

SA =Nc (L)⇠D

2dLd

Tr ⇢A log ⇢A  2dL

d 1

TPS は面積則を満たすことができる!
TPSを用いることで高次元の量子多体状態を効率的に近似できる

1

log D

MPSとTPSの違い
テンソルネットワークの縮約コスト

MPS

d 次元の超立法格子： N = Ld

MPS:
TPS:

O(N )
O(e

L

d

1

)

d > 1 では仮にTPS表現が得られたとしても、テンソルネットワークを厳密に縮約して期待値などを計算することは不可能

TPSの計算では、通常は近似的な縮約を行う

TPS(PEPS)

種々の近似的なTPSの縮約方法•

テンソル繰り込み群
TRG, HOTRG, SRG, TNR, loop-TNR, ...
境界MPS法••••

角転送行列法••(Y. Hieida et al (1999) , J. Jordan et al, Phys. Rev. Lett. 101, 250602 (2008))

PRL 101, 250602 (2008)

T. Nishino and K. Okunishi, JPSJ 65, 891 (1996), R. Orús etal, Phys. Rev. B 80, 094403 (2009).

PHYSICAL

単層での縮約法•

bMPS: H. J. Liao et al, PRL 118, 137202 (2017), Z. Y. Xie
et al,PRB 96, 045128 (2017).

CTM: Chih-Yuan Lee et al, PRB 98, 224414 (2018) .
平均場環境法•••S. Jharomi and R. Orús, PRB 99, 195105 (2019).

FIG. 2 (color online). The environment E ½r~1 ;~r2 # for a link
type r is first approximated by an infinite strip F ½~r1 ;r~2 # andby a six-tensor network G ½~r1 ;r~2 # . These reductions can beコンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

量子系でのテンソルネットワークの利用
量子多体状態(a)(b)

テンソルネットワーク分解(c)PEPS, TPS (for 2d system)<latexit sha1_base64="XkC8uXv0uT1Qilx+79HHlBouX2k=">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</latexit>

量子相関の小さいテンソルに分解特徴を利用した近似~eNの独立要素~O(N)の独立要素

適切なテンソルネットワーク表現を用いると量子ビット数Nに対して、多項式の計算量で量子多体問題を高精度に計算できる場合がある••

低エネルギー状態の計算• 変分法により固有値問題を解く
量子ダイナミクス••

量子エンタングルメントが大きくない範囲（短時間、浅い量子回路…）

同じ枠組みで、混合状態も取り扱える

量子系以外でのテンソルネットワークの利用
テンソルネットワーク分解のターゲット
局所空間の積の構造を持つベクトル空間（テンソル）*局所的な空間の次元は異なっても良い

このような構造を持つものは量子状態以外にもある
256=28

画像データ：→ 16-本足のテンソル (a = 2)

確率分布：

256=28256 × 256 ピクセル → 216 次元のベクトル

例：イジングモデル→ 2N ベクトル →N-本足のテンソル (a = 2)

画像圧縮への適用例

例：画像データの圧縮
256 × 256 ピクセルの画像

256=28

1. 256 × 256 の行列（画像見たまま）•単純な特異値分解を適用可能
A

256=282種類のデータ構造≃

2. 2 × 2 × ...× 2の16本足のテンソル•

MPSによる近似を適用できる形•

どのように変形するか、足を並べるのかの自由度がある

MPS

特異値分解による画像の圧縮
1. 256 × 256 の行列（画像見たまま）
A

近似精度：
データ量：

≃

256=28256=28MPSによる画像の圧縮：case 1
2. 2 × 2 × ...× 2の16本足のテンソル

近似精度：
データ量：

256=28256=280

1

2… 254 255

256 257 258 …

… 216-1

数字を二進数表記して16本足のテンソル化

画像の圧縮：テンソル化依存性
2. 2 × 2 × ...× 2の16本足のテンソル

256=28256=28

0
1
2

ランダム
3

数字を二進数表記してcase 1

ランダム

16本足のテンソル化

低ランク近似と特異値スペクトル2. 2 × 2 × ...× 2の16本足のテンソル

特異値

特異値

"中央"で分割した時の特異値

特異値

特異値

case 1

ランダムテンソル化の方法で"エンタングルメント"が違うエンタングルメントエントロピーテンソルを"左右"に分解した際の特異値 λ の分布

左右の情報の相関（エンタングルメント ）を特徴付ける<latexit sha1_base64="sUfwMe83hWkdG+Tm2dWYlfxOS9Q=">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</latexit>(row)(column)

エンタングルメントエントロピー＝規格化された特異値のエントロピー

χ：特異値の総数

例：画像の特異値スペクトルcase 1での誤差
エントロピーrandomテンソルネットワークによる生成モデル

教師なしの生成モデル
Z.-Y. Han et al, Phys. Rev. X 8, 031012 (2018).

N ピクセルの白黒画像
バイナリデータ<latexit sha1_base64="5YuymMeSFTMziBdE2RiUWiwu1nM=">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</latexit>

画像の確率分布：<latexit sha1_base64="vOJX0Msp2QRw56wrP2TXE8H3N2E=">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</latexit>= 0 と 1の並び
量子ビットの古典状態と同じ構造！

ボルンマシン表現：
Z.-Y. Han et al, Phys. Rev. X 8, 031012 (2018).

確率分布を量子状態と対応づけて考える<latexit sha1_base64="uw8KgSzv2MgXTgPinGcdthpJmzE=">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</latexit><latexit sha1_base64="vOJX0Msp2QRw56wrP2TXE8H3N2E=">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</latexit>＊量子状態を測定すると確率で状態が観測される。

ボルンマシン<latexit sha1_base64="vOJX0Msp2QRw56wrP2TXE8H3N2E=">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</latexit><latexit sha1_base64="uw8KgSzv2MgXTgPinGcdthpJmzE=">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</latexit>

対応する量子状態にテンソルネッ
トワーク表現を使える*この場合、事前には、どのようなネット
ワーク構造が有効かは分からない

例えば、最適なMPSを負の対数尤度を

between the rows of the images.
The samples directly generated after training are shownin Fig. 5(a). We also show a few original samples from thetraining set in Fig. 5(b) for comparison. Although many of
the generated images cannot be recognized as digits, some
aspects of the result are worth mentioning. Firstly, the MPS
learned to leave margins blank, which is the most obvious
common feature in the MNIST database. Secondly, theactivated pixels compose pen strokes that can be extracted
from the digits. Finally, a few of the samples could already
be recognized as digits. Unlike the discriminative learning
task carried out in Ref. [32], it seems we need to use muchlarger bond dimensions to achieve a good performance inthe unsupervised task. We postulate the reason to be that,in the classification
task,
local featuresof an image areBonddimensionof MPS
sufficient for predicting the label. Thus, MPS is not
FIG.
3. NLLaverage longer-range
of a MPS trainedusing between
jT j ¼ 10
required
to remember
correlation
MNIST
imagesof size modeling,
28 × 28, withvarying
pixels. For
generative
however,
it ismaximum
necessarybo
dimensions
Dmax . The
horizontal
dashed fromline indicatesbecause learning
the joint
distribution
the data t
Imagesgeneration
Shannon entropy of the training set ln jT j, which is also t
minimal value of L. The inset images are generated by the MP
trained with different Dmax (denoted by the arrows).
Cost (Negative Log Likelihood)

教師なしの生成モデル

the bond dimensions in MPS has similar effects
FIG. 4. Bond dimensions of the MPS trained with jT j ¼ 1000
increasing
the number
variablesin other
MNIST samples,
constrainedoftohidden
Dmax ¼ 800.
Final average
NLLge
erativereaches models.
16.8. Each pixel in this figure corresponds to the bond
In Fig. of2(b),we plota function
oftosystemsize Ndimension
the right
leg ofL
theastensor
associatedthe identicalcoordinate
original
trainedoninjTthej ¼
100 image.
random patterns. As shown in t
figure, with Dmax fixed, L increases linearly with syste
size
N, whichindicates
our model
a wor
becausetheselearnthatto mediate
the gives
correlations
Z.-Y.
Hanbonds
et al, Phys.
Rev.
X 8, 031012(2018).

最小化することで求められる

0<latexit sha1_base64="h95a+Ijry/w51CZnXTrle3Tc+EI=">AAACznichVHPS9xAFP6M1m7Xqlt7EXoJLhY9KBMpKAVlQZAe19VVwciSjLPusPlFMhvQELwW/wEPPbXQg/Q/6LWX3noSun9C8WihFw99yQZaldoXMvPN99735hueHTgyUoz1h7ThkUejj0tPymNPxycmK8+mdiK/F3LR5L7jh3u2FQlHeqKppHLEXhAKy7UdsWt317P8bizCSPretjoOxIFrHXmyLbmliGpV1jf0VX3BbIcWT4w0MV1LdWw72U5TM+q5rcSMBU/i1JTeXynddDy9Plfk5luVKltkeej3gVGAKoqo+5XPMHEIHxw9uBDwoAg7sBDRtw8DDAFxB0iICwnJPC+QokzaHlUJqrCI7dJ6RKf9gvXonPWMcjWnWxz6Q1LqmGWX7IJds6/sE/vBbv7ZK8l7ZF6OabcHWhG0Js+mt379V+XSrtD5o3rQs0IbK7lXSd6DnMlewQf6+OT8eut1YzZ5yT6wK/L/nvXZF3qBF//kHzdF490DfmzyknfJEI3JuDuU+2BnadEgvPmqWlsrBlbCC8xgjqayjBreoI4m3XKBb/iOvlbXYi3VTgel2lCheY5bob39DfCnrPo=</latexit><latexit sha1_base64="GKcB8AnBdg76XFhFem03O3Rkghw=">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</latexit>：訓練データの集合(a) Generated(b) Original

the test NLL obtained by the tree-structure factor graph is
In the first experiment we used 100 randomly selected images
175.8, and the result of the MPS is 101.45, with corresponding
to train TTNs with different Dmax . The results are shown in
Dmax = 100. For the TTN in a 1D data representation [asFig. 5, where we can see that as the NLL gradually decreases,
depicted in Fig. 2(b)] with Dmax = 50, the test NLL alreadythe quality of the generated samples becomes better. The
reduces to 96.88. With the same Dmax , the TTN performed on
training NLL will decrease to its theoretical minimum as Dmax
a 2D data representation [as depicted in Figs. 2(a) and 2(c)]increases to |T | while the sampling image will be exactly thecan do even better, giving a NLL around 94.25. However, wesame as the one in the training set.
see from Table I that when compared to the state-of-the-art
In Fig. 6 we plot the two-site correlation function of pixels.
machine learning models, the tensor network models still have
In each row, we randomly select three pixels, then calculate
ボルンマシン：a lot of space to improve: the RBM using 500 hidden neurons
the correlation function of the selected pixels with all otherand 25-step contrastive divergence could reach a NLL ofpixels. The values of the correlations are 量子系の場合と同様にテンソルネットワーク
represented byapproximately 86.3, and PixelCNN with seven layers gives
color. The real correlations extracted from the original data
a NLL around 81.3.
are illustrated in the top row, and correlations constructedの構造に応じて、性能が変化しうる
In Fig. 7 we draw the sampled images from the TTN
from the learned MPS and TTN are shown in the bottom
trained on 50 000 MNIST images, using the samplingrows for comparison. For the TTN and MPS, Dmax is 50(S. Cheng et al, Phys. Rev. B 99, 155131 (2019).より引用)
and 100, respectively, which corresponds
to the models withMPS
the smallest test NLL. As we can see, in the original data
TABLE I. Test NLL of different models for the binary MNIST
set, the correlation between pixels consists of short-range
data set.
correlation and a small number of long-range correlations.
However, the MPS model can faithfully represent the shortModel
Test NLL
range correlation of pixels, while the TTN model performs
Tree factor graph
175.8
well in both short-range and long-range correlations.
MPS
101.5
WANG, XIANG, AND ZHANG
REVIEW B 99, 155131 (2019)
Next, we carried out experimentsPHYSICAL
using
the whole MNIST
TTN
TTN, 1D
96.9
nical forms foreachsettensor:upper 50
canonical,
data
with
000lefttraining images to quantitatively comparel, and right canonical, depending on which index
TTN, 2D
94.3
lly left. The threeforms are shownof
in thethecanonicalperformance
the TTN with existing popular machine
RBM
86.3a [43]g diagrammatic notation:
learning models. The performance is characterized by evaluVAE
84.8a [45]ating the NLL on the 10 000 test images. We also applied the
PixelCNN
81.3 [10].
same data set to the tree-structure factor graph and the MPS
aApproximated NLL.
generative model and compare using the same data set the test

教師なしの生成モデル<latexit sha1_base64="vOJX0Msp2QRw56wrP2TXE8H3N2E=">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</latexit>on the right side represents the identity matrix.
echnically easy to canonicalize a tensor in the TTN.
mple, we can start from one end of the tree and use
decomposition of the tensor to push the noncanonicalhe tensor to the adjacent tensor. By repeating thisally, one will push all noncanonical parts of the TTN
one tensor, called the central tensor, and all otherare in one of the three canonical forms. Analogous
ixed-canonical form of MPSs, we call this form theanonical form of the TTN.
the TTN is in the canonical form, many calculations
simple, for example, the normalization factor Z ficomes the squared norm of a tensor:(a)155131-7【ボルンマシン独自の問題】

無数の異なる量子状態が同じ確率分布に対応＊ボルンマシンは量子状態の位相を無視
(b)

(c)

それぞれ量子エンタングルメントの量が異なり、TNでの近似精度も変わる

微分方程式への応用

This procedure can be straightforwardly generalized by replacing bits withquarternaries (2D) or octals (3D), that is, by replacing 1D line segments withthe thennumberof variables
squares (2D) or cubes (3D). The maximal Schmidt numbers are
given
by parametrizing the solution
than one order of magnitude. The conceptual simi
equation (4) in 2D and equation (5) in 3D.

tensor network algorithm presented here and thotum physics opens the possibility of conducting co
NikitaGourianovet. al.,Nat.
Comput. Sci.
2, 20 (2022).
Matrix product state algorithm. The INSE comprises
a coupled
setofon
partialdynamics
a quantum
computer.

微分方程式への応用

differential
equations for the velocity方程式
field V and pressure p:
非圧縮のNaiver-Stokes
∇·7=

Ⱥ7
+
(
7
·
∇)
7
=
−∇
Q
+
ȋ
∇
7
ȺU

Results

Quantifying interscale correlations. Throughout
low the standard approach in computational flu

discretize the computational domain.
Eachspatialaδ=u/(40A)
cretized by 2N grid points, where N is a 0positive intensor shown
the velocity field

離散化された格子グリッド上で微分方程式を解く
直接法によるシミュレーション：
where ν is the kinematic viscosity and ∇ is the nabla operator. After discretizing

the computational
domain as described at the beginning of this Article, we
乱流のような複雑な問題を扱う場合、無数の長さスケールが混合するため、とても小さいメッシュが必要

7(U SR ) =,!

VJ (U SR )F̂J

J= 

its Cartesiancomponents ui are discrete fun
NATURE COMPUTATIONALSCIENCE | VOL 28| JANUARY
30–37| www.nature.com/natcomputsci
4 × 4 grid× 8 grid 2022 |and× 16
griddimension andpoints rq, where K16
is thespatialunit vectors. We measure the interscale correlati
Schmidt (singular value) decomposition to systemcomputational grid into sub-grids, as illustrated in
We decompose (for details, see the Schmidt decomin the Methods) each component ui on this 2N × 2
tions R and f on a coarse and a fine subgrid, respe

NATURE COMPUTATIONAL SCIENCE | VOL 2 | JANUARY 2022 |y the black dashed line corresponds to DNS. The gray shaded area W is for solutions on a 28!×!28 grid. The blue shaded area M ison (2). c, Same as in b but for the 3D simulations shown in Fig. 3. In b and c, T0 is the characteristic timescale on which the quickest
1
1
3 of numerical
4 experiments
57
low fields can traverse
the2box (Set-up
section6 in the Methods).
d, Scaling of ȕ  = NBY E (O U) with the
he 2D and 3D systems in b and c, respectively.
n th bipartition

微分方程式への応用
nels a and b correspond to a square with edge length L on a 2!×!2Gourianov
grid. a,et.
The
Nikitaal.,subgrid
Nat. Comput. Sci. 2, 20 (2022).
box

10

10

bles
parametrizing
theRedsolution(NVPS)
more
2
E(O) grid. Each blue squareuation(2) for n!=!2.
dots arethe 22by!×!2grid points Xk of the coarse!
agnitude.
The conceptual similarity between the
VJ (U SRd) =ȉǿ (U)3ǿ (U 9L )Gǿ (U YM ) SR = 9L + YM e 28このような場合にテンソルネットワークによる情報圧縮が使える？
!×!28 grid points xk of the fine grid. b, The Schmidt numbers
99(n,!t) on a logarithmic scaleorithm presented here and those used in quanǿ =
9%accurate
representationofDNS
solutions
to
the
INSE
at
four
different
times (Fig. 2). The
he possibility of conducting computational fluid
画像にTN分解を適用したように、原理的にはTNが使える。
to DNS.
The gray shaded
area W is for solutions Positions
on a 28!×!2X8 kgrid.
The blueto
shadedarea Mgrid
is with 2n × 2n points
ntum
computer.
corresponda quadratic
D simulations shown inただし、その効率は、対象の物理（エンタングルメントの性質）に依存
Fig. 3. In b and c, T0 is the characteristic
timescaleon whichtothe
quickest(coarse grid), andxl corresponda finesub-grid with 2N − n × 2N − ngrid points.
The
obeythethe orthonormality-up of numerical experiments section in the Methods).
d, Scalingof functionsȕ  = NBYREα and(O U)fα withcale correlations. Throughout this work we fol- condition
espectively.
pproach in computational fluid この系のエンタングルメント？
dynamics and!
!
utational domain. Each spatial dimension is dis3 ǿ (U 9 L )3 Ȁ (U 9 L ) =Gǿ (U YM )G Ȁ (U YM ) = Ȃ ǿȀpoints, where N
is a positive integer. In this way,
長い空間スケールと短い空間スケールの間のシュミット分解
LM

NVPS) by more
E(O)!
Kronecker
delta.
The
rity between theVJ ( U S R ) =ȉǿwhere(U)3ǿ (δUαβ9isL )Gthe
SR =
9L +
YM parameter n = 1, …, N − 1
ǿ (U YM )labels the possible bipartitions of the square lattice in coarse and,e used in quan!
ǿ =
grids (in Fig. 1a
N = 10 and n = 2). The Schmidt number d(n)7(U SR )COMPUTATIONAL= fluid
VJ (U SR )F̂SCIENCE fine ＊画像と同様にグリッド点を二進数表記してテンソル化
NATUREJARTICLES
mputational
denotes the number of retained terms
J= nnin the summation in equaPositions Xb k correspondtion
to (2),
a quadratic
grid with× 2 pointsaand each product
Rαfα is 2
weightedbyNa−Schmidt
coefficientN−nn(coarsegrid),ofandxl correspondto acoefficientsfine sub-gridwith
2 × 2 order λ1 ≥ λ2... ≥ λd(n),λα ≥ 0. These
omponents ui are discrete
functionsthe grid
appearin descending
99%の近似精度を出すた
gridandpoints.
functionsRα andobey
so varyingd(n)fαwill
onlytheaddorthonormality
or remove the least important ofis the spatial dimension
CartesianF̂J are The
めに必要なシュミット係
we take d(n) as a quantitaeasure
thewe
interscalecondition by using the the orthonormal basis functions. Herehisworkfol- correlations
decomposition
divide the tive measure for the interscale correlationsof turbulent flows at adalue)
dynamics
and to systematically数の数（rank）!1a for K = 2. given bipartition! n of the lattice: d(n) = 1 corresponds to an uncorinto
sub-grids,
asillustratedinFig.
imension is dis3ǿ (section
U 9L )3 Ȁ (related
U 9L ) =G (U Y )G Ȁ (Uwith
YM ) =Ȃ ǿȀdetails, see the Schmidt decomposition
product ǿstate,M andincreasingd(n) the flow becomes→サイズに依存しない
eger. In this way,y/Lbox1

2562
subgrid

45

TDJ, t/T0 = 0.25
TDJ, t/T0 = 0.75

4

4

3/4

TDJ, t/T0 = 1.25

3

4

, 1,0242 grid

42

1/4
0

TDJ, t/T0 = 1.75

d(n)

1/2

, 2562 grid, χ99 = 25

4

x/LboxN
N L
ch component
ui on
this
grid 1into
func0
1/4
1/2
3/4
12 × 212
3
oarse and a fine subgrid, respectively:

4

M
more
strongly
correlated
between the coarse and the fine grid.
5
6
7
8
9
1dexhibits
面積則！
nNote
th bipartition
that although the d(n) = 1 product state
no interscale微分方程式への応用
1次元の面積則が成立することから、MPS

Nikita Gourianov et. al., Nat. Comput. Sci. 2, 20 (2022).

ARTICLES

NATU

t =0.25at =0.75

t =1.25

t =1.75

0.2

0.2

0.2

x/Lboxをこの系のシミュレーションに使えそう

0.2

0.5

0.8

0.5

0.8

0.5

0.8

0.5

0.8

DNS
grid

y/Lbox

0.7
0.5
0.3

1次元での2N 格子点

0.7

χ = 118

0.5
0.3
0.7

χ = 74

0.5
0.3
0.7

χ = 33

0.5
0.3
0.7

2

362 grid(実際の計算では2次元や 3次元系が扱われて

0.3
0.7
2

256 grid

はなく、22 や 23になる）

MPSを使うことで、乱流を正しく捉えたまま、効率的なシミュ
レーションが可能に！

0.5
0.3
0.7

2

128 grid

0.5
0.3

–97

–50

0
∆

いる。その場合、局所的な空間の次元が2で0.5

× V/T050

97

コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ無限系のテンソル積状態：iTPS
状態ベクトルに並進対称性がある場合：
並進の演算子 位相はつかない

同じテンソルを周期的に（無限に）並べることで、無限系の波動関数が有限の自由度で表現可能

2サイトユニットセル

4サイトユニットセル＊対象の周期が不明な場合は、複数のユニットセルで計算したエネルギーを比較し、適切なユニットセルを探す

iTPSを用いた計算アルゴリズム
基底状態の物性を調べるためには、
1. エネルギー期待値などの物理量計算
2. iTPSの最適化の二つの計算が少なくとも必要＊TPSでは「テンソルネットワークの縮約」の厳密計算は困難
このネットワークの縮約には、指数関数的に大きな計算量が必要
近似的な縮約•テンソル繰り込み•

境界MPS法•

角転送行列法
平均場環境•

角転送行列法による近似的な縮約
先ほどのネットワークを簡略化：
ボンド次元：D

ボンド次元：D2角転送行列表現

角転送行列χχ
Corner transfer matrix

エッジテンソル

Corner transfer matrix

Edge tensor

無限に広がった環境を"ボンド次元"χの角転送行列で近似的に表現
角転送行列とエッジテンソルは、のコストで計算可能（詳細はマニュアル・参考文献参照）＊χは物理量が収束するように十分に大きく取る＊通常、χ∝O(D2)でスケールするため縮約コストはO(D10)Edge tenso

角転送行列法による物理量の計算
角転送行列を用いれば局所的な物理量は（比較的）簡単に計算可能
1サイト物理量：,

2サイト物理量：,,＊計算するダイアグラムが（２次元的に）大きくなると、縮約コストは大きく増える,•
TeNeSでも原理的に計算可能だが、対角方向に長距離の相関関数• 大きなクラスタの多体相互作用
長時間の計算が必要角転送行列法と相関長
角転送行列を用いれば相関長も計算できる

角転送行列表現

相関関数

転送行列

相関長
固有値：

＊角転送行列が無限環境を表していることより、中心のテンソルは省略可能。

平均場環境平均場環境： 各ボンドに平均場的な環境を考えて期待値を計算：平均場テンソル
テンソルネットワーク内のループ構造を無視する状況で正確
縮約コスト：

縮約コスト：

計算が非常に軽くなるが、近似も大きい*正方格子では近似になるため、エネルギーの変分的にならないn .
malhown

A.

Basic idea

iTPSの最適化
Variational optimization schemes are commonly usedthe1,3

in MPS based algorithms, and have already been apon ofplied to finite PEPS,2,5,6 but not yet to iPEPS. The main
iTPSの典型的な最適化法
idea is to iteratively optimize one tensor after the otheruntil convergence is reached. Optimizing a single ten1. 変分最適化法
sor A (while keeping all other tensors fixed) boils down
エネルギー期待値を最小にする様にテンソルを変化させる
to minimizing the energy with respect to tensor A,
and＊微分の計算が困難だったが、最近発展
†

~ HA
~
h (A)|Ĥ| (A)iA
min E(A) = min= min
P. Corboz, Phys.(2)Rev. B 94, 035133 (2016).
~ † NA~A
A~ A
h (A)| (A)iA

L. Vanderstraeten et al , Phys. Rev. B 94, 155123 (2016).

et al, Phys. Rev. X 9, 31041 (2019).
where the tensor A and its conjugate have H.-J.
beenLiao
reshaped
into vectors. The matrices N and H correspond to therner
2.
虚時間発展法(reshaped) tensor network representing the norm and thensor
expectation value of Ĥ excluding the tensor A and its
長時間の虚時間発展で基底状態を得る
conjugate A† , respectively, see Fig. 2. Minimizing with†respecttoAyields a generalized eigenvalue problem,
ght-,
!
until
~ † HA~@A
虚時間発展演算子をかけると、iTPSのボンド次元が増大
ence~ = ENA.
~= 0, ! HA(3)~† A~ † NA~@A
同じボンド次元のiTPSに再度近似

iTPSの虚時間発展法
虚時間発展の分解：（仮定）ハミルトニアンは二体相互作用の和鈴木-トロッター分解
小さな時間刻みτでの虚時間発展（＊より高次の近似を考えることもできる）

全体の虚時間発展

Subset 1:

Subset 1:
Subset 2:相互作用を可換な組に分解

Subset 2:

iTPSの虚時間発展法
打ち切りによる近似
虚時間発展後の状態を再び、iTPSで近似する
Bond dimension = D
Bond dimension = D

Bond dimension = D
Bond dimension = D

並進対称性の影響で非線型

この近似は最小化問題：の難しい最適化問題....
局所近似する：
Bond dimension = D

Bond dimension = D

Copy Copy

並進対称性を利用して全体にコピーiTPSの虚時間発展法
最適化問題の解法
Bond dimension = D

Bond dimension = D

コスト関数は角転送行列を用いて計算可能：O(D10)Full update法と呼ばれる(cf. R. Orus et al, Phys. Rev. B 80, 094403 (2009))

より計算の軽い近似最適化？
さらに近似した環境を用いて、完全な局所問題に置き換える
非負の対角行列=近似環境: Non-negative diagonal matrix

Simple update法と呼ばれる(H. G. Jiang et al, Phys. Rev. Lett. 101, 090603 (2008))

iTPSの虚時間発展法
Simple update法(H. G. Jiang et al, Phys. Rev. Lett. 101, 090603 (2008))

非負の対角行列=近似環境: Non-negative diagonal matrix

右辺のダイアグラムを行列だと考え、特異値分解による低ランク近似
計算コスト：（QR分解を使うと）O(D5) とても軽い！

縮約に出てきた平均場と本質的に同一

Truncation to
SVDbond-dimension D

Matrix: Non-negative diagonal matrix

Simple update法のデメリット：••

次のステップでの環境として用いる

初期状態依存性が大きく、不適切な状態に最適化がトラップされる場合がある
ランダムな状態から始めた場合、長距離相関を成長させることが苦手•

量子臨界点近傍などでは、full update法の方が良い

テンソルネットワーク法の適用例
例：（QMCのできない）フラストレート磁性体
H. YAMAGUCHI et al.

RE COMMUNICATIONS | https://doi.org/10.1038/s41467-019-09063-7

フラストレート正方格子模型

5/9

0.4

3/9
Spin

1

0

0

1

site 10.1
3B/J

g. 1 Calculated magnetization process for the spin-1/2 KAFM with theearest-neighborinteractionD.
J. Nakamura,
The tensor network
methodwith theR. Okuma,
T. Okubo
et al,
rojected entangledNat.
pair Commun.
state (PEPS)10,
is used.
vertical and horizontal
1229The(2019).
xes represent magnetization M divided by saturated magnetization Ms and0site 2

1.0
0.5

1.5

(c)

2.0

site 1

0.3 site 2

0.2

2

site 1

H

0.4

0.3

2

Magnon

1/9
0

(b)

<Sz >

M /MS

7/9

(a)

Intensity

M/Msat

1

1.0
J6 J1
0.9
site 1
0.8
J2 J5
0.7
J4 J3 site 2
0.6
0.5
0.4
0.3
H=0
0.2
0.1
0
0
0.5
0.5

(< Sx>2+<Sy>2+<Sz>2 )1/2

カゴメ格子ハイゼンベルグ模型の磁化曲線

0.2site 2
0

0.5

1.0

1.5

0.1

H/|J1|

0

0.5

1.0

1.5

FIG. 4. The ground states under magnetic fields obtained from
H. Yamaguchi,
Y. Sasaki, T.
Okubo,
D = 6 iTPS calculation.
(a) Normalized
magnetization
curve, (b)
Phys.
Rev.
B
98,
094402(2018).
average local magnetization, (c) average local moment at T = 0
calculated using the tensor network method assuming the ratios of

var
P(1
den

Tensor Netwok Solver (TeNeS)

Y. Motoyama, T. Okubo, et al., Comput. Phys. Commun. 279, 108437 (2022).

https://github.com/issp-center-dev/TeNeS
無限系のTPS（iTPS）を用いた変分法による基底状態計算
虚時間発展法によるテンソルの最適化
MPI/OpenMPによる大規模並列計算に対応
mptensor（森田） によるテンソル演算の並列化

カゴメ格子模型の磁化曲線
1

D = 100.8@sekirei 72node~4時間弱

二次元の量子スピン系やボゾン系が簡単に計算可能
0.6

mVMCやHPhiと類似のinput le
標準的な二次元格子にデフォルトで対応
原理的には任意の二次元格子に対応可能
開発チーム
•
•
•
•
•

0.4

0.2

0

大久保毅（東大理）：アルゴリズム部分の実装
森田悟史（物性研）：関連ライブラリ・ツール作成
本山裕一（物性研）：メインプログラム等の設計・実装

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

吉見一慶（物性研）：ユーザーテスト・サンプルの作成、マネージメント
加藤岳生（物性研）：ユーザーテスト・サンプルの作成 【物性研高度化プロジェクト】
川島直輝（物性研）：プロジェクトリーダーfi•

3-site unit cellコンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめtheory of interacting metals: they propose that the ground state has acertain structure and a set of elementary excitations that are consistent
with this structure. In contrast to the Fermi liquid case, however, theelementary excitations consist of spinons and other exotic particles,
which are coupled by gauge fields. A theory of this type — that is, proposing a ‘spinon Fermi surface’ coupled to a U(1) gauge field — has
had some success in explaining data from experiments on κ-(BEDTTTF)2Cu2(CN)3 (refs 65, 66). Related theories have been proposed for
ZnCu3(OH)6Cl2 (ref. 67) and Na4Ir3O8 (ref. 68). However, comparisons

量子スピン模型と量子スピン液体
一般の量子スピン模型a

相互作用に競合（フラストレーション）があると:?

場合によっては、基底状態が（長距離）秩序を持たない+…

Figure 3 | Valence-bond states of frustrated
In a VBS(L. antiferromagnets.
Balents, Nature (2010))
state (a), a specific pattern of entangled pairs of spins — the valence bonds— is formed. Entangled pairs are indicated by ovals that cover two points
on the triangular lattice. By contrast, in a RVB state, the wavefunction is a

基底状態がスピン液体であることが分かっている最も有名な例
204（ハニカム格子）キタエフ模型+

Spin liquid (RVB)

量子スピン液体
稀な例：可解模型

1
c
t
s
l

フラストレーション

b

c

u
c
o

s
b
(
m

© 2010 Macmillan Publishers Lテンソルネットワーク法の表現能力
キタエフ模型

A. Kitaev, Annals of Physics 321, 2 (2006)
x-bond：ボンドの方向z-bondy-bond<latexit sha1_base64="YoDhTzLVC6kCVibdFC/8I23RIjI=">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</latexit>

1

保存量：フラックス演算子

2

6

3

iTPSで得られたエネルギーの誤差(T. okubo et al, unpublished)<latexit sha1_base64="W682k5HZHC55Sa9dltWKkHJWjdg=">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</latexit>

54<latexit sha1_base64="cFFhOyPz1gKc+oU0jPVajnqB3dw=">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</latexit>

固有値は±1
•

0.009
0.008

Full update
Variational update

0.007
0.006

基底状態はVortex free:<latexit sha1_base64="s3koN5z1pYei9Ww0KRpq0huHBkU=">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</latexit>

p: plaquette

量子スピン液体無限系のテンソルネットワークシミュレーション
エネルギー誤差0.1%程度は容易に得られる

0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

キタエフ物質とテンソルネットワークでの計算例
T. Okubo, K. Shinjo, Y. Yamaji et al, Phys. Rev. B 96, 054434 (2017).
強いスピン軌道相互作用

実際の物質でキタエフ相互作用が実現
G.Jackeli, et al., PRL 102, 017205 (2009)

Na2IrO3の第一原理スピンハミルトニアン

この物質の基底状態をiTPS(Y. Yamaji et al. Phys. Rev. Lett. 113, 107201(2014))

Kitaev + Heisenberg + Off-diagonal interactions+
2nd and 3rd nearest neighbor interactions

を使って明らかに-5••

キタエフ相互作用以外の相互作用の影響で、基底状態はスピン液体
ではなく磁気秩序状態-5.2

その場合、iTPSでの計算は、第一-6原理ハミルトニアンの基底状態を正しく実現できる

三方晶歪みを変えた場合の相図

Zigzag-5.4 (X,Y) (Z)16-sites

0.04

120°

IC

-5.6
-5.8

iPEPS

-6.2

zigzag phase isconsistent withthe experiments

-6.4

iPEPS

-6.6
-60

-40

-20

Na2IrO3

0.05

0

20

40

0.03
0.02
0.01

60

0

loops are suppressed.
III. VARIATIONAL ANSATZEInterestingly, the variational energy bec(within machine precision) as approaching t
A. Loop gas states
H.-Y. Lee, R. Kanako,
Commun.
1639 (2020). gap closes a
φet=al,0Nat.
where
the11,excitationin with defining a product stateH.-Y.
|#(θLee,)!R.=
Kanako,Note
T.O. andPRB 101, 035140 (2020)
thatN. ZKawashima,
O(1) (x) in Eq. (4) becomes critic
with a local magnetic state given by[25],
to the critical LG st$ √which leads√
LEE, KANEKO, OKUBO, AND KA
スター格子キタエフ模型
スター格子
K
ΓΓ′
model:
α-RuClの有効模型(
3).
Remarkably,
the LG
2
3
−
3,
2
−
3
sin θ
γ#
|σ̂ |θ , γ ! = δγ γ # cos θ + (1 − δγ γ # ) √ , (2)with (qc , rc ) at φ = 0 which implies that th2
the critical LG state exhibiting macroscopi
TPS表現で
more, its low-energy physics is described b
ng the intertriangle bond at site α. For instance,
カイラルスピン液体を[25]
which is consistent with the expected
Fig. 1(a), we assign state |θ , y!. Applying the“相” の決定とTherefore,
according to this circumstantial er Q̂LGキタエフスピン液体
defined in Ref. [24]on top of |#(θ )!
高精度に近似MMUNICATIONS| https://doi.org/10.1038/s41467-020-15320-x
ARTICLE
conclude that the LG ansatz
at φ = 0 is the e
LG新しい非磁性相（ネマチック相）の発見
state |ψLG(θ )! ≡ Q̂LG |#(θ )!, which is simply
FIG. 1. (a) Schematics of the sta
ion of all possible
loop
configurationsofmagnetic
bonds defined in the model [Eq. (1)]
磁場中基底状態相図

関連模型への応用

abMagnetization

h

0.15

Flux

0.4

NP1

0.3

P

yellow colors, respectively. (b)エネルギー andcorresponding magnetic states of theis defined in Eq. (2), and x, y, z denot

exact
| 0

-0.38

NP1
P

| 1

-0.4

P2
N

Zig-zag

0.05

mpty site denotesKSL
state |θ , γ

α

0.2

(3)
P2
N

e stands for0 σ̂ |θ , γα ! depending on the direction
0
0.1
0.2
0.3
as depicted 0in Fig.0.1
1(b). Dueto theLG operator,
Γ/ K 

0.6
0.3
0.2

0.2

-0.42

0.1

0

-0.44
0.2

￼

γ

Zig-zagΓ/ K 

0
0

–0.2

0

0.1
0.3

(b)

(a)

non-Abelian

0.1

KSL
! whereas the loop-

0.8

0.4

E

0.1

1

0.2

0.3

/

the flux numbers or eigenvalue
0.8 the operat±1, Wp = ±1}. Since
Abelianmatrices, the time-reversal (TR)number, i.e., T V̂p T −1 = −V̂p , andE[%]
is spontaneously 0.6
broken in eige[22] that the ground states do not(that is, the CSLs) and live in{Ŵp = 1, V̂p = 1}.0.4
In addition, th
cal phase transition√ between the n#CSLs at J /J = 3 [22].

0.20.25 0.5

III. VARIATIONA

0A. Loop gas
0 0.1
0.4
0.5
We begin with defining a!

α |θ , γα !α with a local magneti

最近の発展：有限温度計算への適用(a)4.0

テンソルネットワーク計算
RESEARCH LETTER
2.0
有限温度の密度行列をテンソルネットワークで近似するは、現時点でも非常に強力
1.0
3.0

observed. F
in a tilted fi
0.0
inset of Fig.
B
B
Cold
Hot
90°. For θ =-1.0
same criticµ0H∥ ≈ 6 T
ColdHotdemonstra
0.01
0.1
1
contrast to
anisotropy
RESEARCH LETTER Z2 flux
Above H(b)liar spin-liq
4.0c
netic resona
P0H (T)
2.5
the presenc
4
6 2.0
8
10
12
3.0
1
spin excitat
2.0Conventionalparamagnet
1.0
expected in
1/2
/k
≈
80
K
J
K
B
2.0
1 To study00Spin liquid(Kitaev paramagnet)
1.5
H = H ∗, κ
0
20
40
60
Half-integer
obtained byc
1.0
TN1.0 quantized plateau
60° H
8respect
to t
a
1/2
is determin
H||
0.0
0.5
P
H
=
7
T
(T
=
45°)
0 A
compared t
6
Zigzag
H
=
4.6
T
(T
=
60°)
P
0 A
AFM order
thermal Ha
0.01
0.1
1
0.0
0
3
4
5
6 Non- 789κxy/T at θ =4topological
H = H ∗ atT (K)of the temp
T. Okubo, J. Nasu, T. Misawa, Y. Motome, in preparation.
Fig.24 | TemperaturedependenceofthethermalHall
conductance.
erable belo
Y. Kasahara et al., Nature 559, 227 (2018).
The
main
panel
shows
κ
/T
in
fieldstilted
at
θ
=
45°
and
60°
(see inset
xy
setup.
大久保毅, 固体物理 Vol. 57, No.11, 633 (2022).
Fig. 2a) at µ0H⊥ = 7 T and 4.6 T, respectively, where a quantized
Intherma
the AF
0Hall conductanceplateau
is observed10at low temperatures.
The
right
sca
12
4
6
Upon
enter
H||* 822D
units of (π/6)(itiveis the 2D thermal Hall conductancekB /ħin). Theκxy /T in
Topological
phase
sign
P
H
(T)
transition
point
violet dashed line represents
the half-integer thermal Hall conductance
0 ||exhibits a p
2D
2
.
The
inset
shows
the
same
data
wider
κ
/
[
T
(
π/
6)
(
k
/
ħ
)]
=
1
/
2
θin=a60°
andFig. 1 | Chiral xy
Majorana edge Bcurrents and temperature–magnetic field
temperature regime. Error bars represent one standard deviation.
aElectronb

Majorana
fermionNxy/T (×10–3 W K–2 m–1)

有限温度では、極低温でキタエフスピン液体に期待される半整数量子化値よりも大きな熱ホール伝導度

2D/[T(π/6)(k 2 /")]NxyB

TN (K)

キタエフ模型での熱ホール伝導度の計算

コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

量子コンピュータへの期待
(a)

(b)

テンソルネットワークを用いた古典計算は強力(c)

エンタングルメントの大きな

大きなテンソルが必要

量子状態
cf. スピン液体（大きなボンド次元 D）

小さいテンソルに分解「難しい問題」を解くには、莫大な古典計算機の計算リソースが必要

数百量子ビットの量子コンピュータが実現
数百粒子系の量子多体問題を古典コンピュータ
よりも高速・高精度に解ける可能性？

量子計算と古典計算のクロスオーバー
N. Yoshioka, T.O, Y. Suzuki, Y. Koisumi, and W. Mizukami, arXiv:2210.14109
誤り耐性量子コンピュータの場合
量子位相推定で、物性物理の問題を効率的に解ける場合があるで求めるための計算時間

基底状態をエネルギー誤差(a)• 10 × 10 ハイゼンベルグ模型：1時間程度*Eは全エネルギー• 10 × 10 ハバード模型：数時間程度（密度ではない）(b)

2d J1-J2 Heisenberg model

2d Fermi-Hubbard model

Runtime [s]1monthSystem size N

1day

1month

1hour

1day
1hour

System size N（並進対称性がある）物性物理の問題は誤り耐性量子コンピュータの良い応用例！
ただし、その実現には、まだ20 - 30年程度かかる…

近未来の量子コンピュータでできること
誤り訂正のない量子コンピュータ
NISQ: Noisy Intermediate-Scale Quantum computer••

量子ゲートの演算や測定に種々のノイズが含まれる
そのため、量子性を保って演算できる数に制限が存在

NISQをどう量子多体問題に使うか？
一例は量子回路を試行関数とする変分法
VQE: Variational Quantum Eigen solver(A. Peruzzo, et al, Nature Communications, vol.5, 4213 (2014). )NISQ
波動関数＝量子回路

エネルギー

古典コンピュータ

その微分

変分エネルギーを低くするような新しいパラメタθを提案

新しい θ

VQEを難しい量子多体問題に使えるのか？
1. 量子回路は効率の良い波動関数の表現になっているのか？
•

量子ゲート数の制限により、厳密な波動関数の表現は不可能•

どのようにして、波動関数の効率的な量子回路を得たら良いだろうか？

2. VQE型のアルゴリズムで古典コンピュータの計算に勝てるのか？
••

古典コンピュータ：•数百スピン系を扱うこと自体は難しくはない（cf. VMC, DMRG, PEPS/TPS)•

並進対称性のある量子状態では、無限系も直接取り扱える (cf. iPEPS/iTPS, iMPS)NISQ ?

テンソルネットワーク状態が••ターゲットとなる量子状態の良い近似になっている
それを量子回路で表現できる

場合、NISQと組み合わせて、古典コンピュータに勝てる可能性！

量子・古典エンタングルアルゴリズムの提案
量子・古典エンタングルアルゴリズム
NISQでの計算に密接に古典（スーパー）コンピュータを利用
1. 重要な長距離の量子相関は古典的なテンソルネットワークで表現
2. その精度を向上するために、短距離の相関に相当する量子回路を追加し、NISQ は、（小さな系で）追加量子回路だけを最適化
3. 最適化された回路を大きな系（無限系）に拡大し、その物性を古典コンピュータで評価

0

0
0

New
gates

0

変換

QC
rep. of
TNS

QC
TNS

0

<latexit sha1_base64="5gbO9cY4lCCZw1hOcrAmczdTUNY=">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</latexit>

0

0

0

0

古典 TNS0NISQ上での小さなクラスター＊ポイント
最適化では精度が要求されるがスーパーコンピュータを用いて物性評価では誤差が許容される大きな系の物性を評価

量子古典エンタングルアルゴリズムの詳細
1. 長距離の量子相関はテンソルネットワークで表現
最初のステップとして、長距離の量子相関を適切に捉えたテンソルネットワーク状態を準備する•••

量子多体問題の場合、面積則が期待できるため、MERA, PEPSなどで、適切な量子状態が準備可能だと期待される。
一般には、そのようなテンソルネットワーク状態は数値計算で準備可能
事前知識を用いれば、手でそのようなテンソルネットワークが準備できる場合もある（この例を後で紹介）(c)<latexit sha1_base64="5gbO9cY4lCCZw1hOcrAmczdTUNY=">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</latexit>

https://github.com/issp-center-dev/TeNeS

スパコンでの最適化<latexit sha1_base64="fWqO2LGaLc/mVAyJ4LDcQ7ogyi8=">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</latexit>

量子古典エンタングルアルゴリズムの詳細(a)2. 精度を向上するために、短距離の相関に相当す(d)る量子回路を追加(b)

このステップでは、準備したテンソルネットワーク（cf.
1,1無限系）よりも小さなクラスターを考える。 (c)•テンソルネットワークを isometric TNS に変形•

TNform in
それを量子回路で表す
FIG. 1. Schematic representationIsometricof the canonical
M.P. Zaletel
et al,
1D and 2D. (a) Left and right isometries
are representedby• この二段階では近似が必要な場合もある
arrows whose orientation indicates
whether
A A = (2020)
BB = 1
PRL
124, 037201
We view the isometry as an RG-like procedure from the larg
Hilbert space (incoming arrow) to the smaller one (outgoing
さらにパラメタ付きの量子回路を追加
arrow). (b) A 1D MPS can by brought into a mixed canoni
†

0
0

QC
rep. ofTNS

00

cal form with orthogonality center ⇤. Note that each dangling
physical index implicitly has an incoming arrow. (c) Expec
tation values of local operators can be directly obtained from⇤. (d) 2D canonical form with a center column ⇤ and row(highlighted in red). The orthogonality center tensor
imarked by a red dot. In blue we indicate an example of asubregion with only outgoing arrows, whose boundary map i
consequently an isometry.
.
0

0
0

(for a small
system)

0

TNS

0

0

•

†

QC
TNS

tensors A, ⇤, B and write量子古典エンタングルアルゴリズムの詳細
3. NISQを用いて、小さなクラスターの追加回路パラメタを最適化
このステップでは、エネルギー（や任意のコスト関数）を最小化するよ
うに、追加回路のパラメタを最適化する• 元のテンソルネットワーク状態の部分は固定する
•

0

0

0

0

関の構造が壊れる可能性
一方で、追加回路は短距離相関を表すと考えているので、小さい系でも適切に最適化できると期待0•小さい系を考えているので、TNS部分を最適化すると長距離相

QC
TNS

optimized
by NISQ

量子古典エンタングルアルゴリズムの詳細
4. 最適化された状態を大きな系に拡張して、古典コンピュータで解析
最後に、並進対称性を利用して、系を拡張し、新しいテンソルネット
ワーク状態を構成する• 大きな系は、最適化された回路のコピーで構成される•

iTPSのように、無限系を考えることもできる

新しいTNSのボンド次元は初期のTNSよりも大きい•

このTNSを直接古典コンピュータで最適化することはできない•

一方で、物理量などは、近似的な縮約、モンテカルロサンプリングなどで評価可能

optimized
QC

TNS
larger systemevaluatedby supercomputerキタエフスピン液体での検証

例：キタエフスピン液体とテンソルネットワーク
1

フラックス演算子：• 固有値は±12<latexit sha1_base64="W682k5HZHC55Sa9dltWKkHJWjdg=">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</latexit>••

6

ハミルトニアンと可換＝保存量
異なる場所のフラックスも可換

354<latexit sha1_base64="E0T+XqpTjGXqn5suN9e7QeU/0Lw=">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</latexit>

キタエフスピン液体は、全ての六角形でフラックスが1"Vortex free"
Wi = 1への射影演算子？：,<latexit sha1_base64="IOTdH0oceO4YyPxSJKbuAwguCn0=">AAACpnicSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8vHLyAoFFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKxQtIB8RXZ+po1yrYKsSkFSUmV3sqaCuEx2fWVhvVxgsoG+gZgIECJsMQylBmgIKAfIFdDDEMKQz5DMkMpQy5DKkMeQwlQHYOQyJDMRBGMxgyGDAUAMViGaqBYkVAViZYPpWhloELqLcUqCoVqCIRKJoNJNOBvGioaB6QDzKzGKw7GWhLDhAXAXUqMKgaXDVYafDZ4ITBaoOXBn9wmlUNNgPklkognQTRm1oQz98lEfydoK5cIF3CkIHQhdfNJQxpDBZgt2YC3V4AFgH5Ihmiv6xq+udgqyDVajWDRQavge5faHDT4DDQB3llX5KXBqYGzcbjniSgW8CmgFjAaDJEjxRMRpiRnqGBnmGgibKDEzTCOBikGZQYNICxYs7gwODBEMAQCrSlkWE5wwaGjUwaTH5MoUzhEKVMjFA9wgwogCkBACcFmqg=</latexit>

この演算子は D=2 のテンソルネットワークで表現できる<latexit sha1_base64="6jwF2nZk7bcqAv+7xMMvPfHiqeY=">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</latexit><latexit sha1_base64="e7S788hBjf0Z0GqQ70HK3SPLUO4=">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</latexit>

Vortex free への射影演算子

H.-Y. Lee, R. Kanako, T.O. and N. Kawashima, PRL 123, 087203 (2019)

Vortex free 状態への射影演算子：<latexit sha1_base64="cM9tn4zUIEqvw6MAcwa/nUrBiPA=">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</latexit>"loop gas" 演算子で記述できる<latexit sha1_base64="itf8JOCM3DmJhnPtXWU6sNRHkck=">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</latexit><latexit sha1_base64="GeBdsvXIfKYSrDYt1IZk+j1NyxU=">AAACinichVG7SgNBFD1ZXzE+ErURbIJBsZKbIBi1CWhhmYdRQUV211GHbHaX3U0gBn9AW8XCSsFC/ANbG3/AIp8glhFsLLy7WRAV9Q4zc+bMPXfOcDXbkK5H1IooXd09vX3R/tjA4NBwPDEyuu5aNUcXZd0yLGdTU11hSFOUPekZYtN2hFrVDLGhVZb9+426cFxpmWtewxY7VfXAlPtSVz2mCnI3kaJZCiL5E6RDkEIYeStxj23swYKOGqoQMOExNqDC5bGFNAg2cztoMucwksG9wDFirK1xluAMldkKrwd82gpZk89+TTdQ6/yKwdNhZRJT9ES31KZHuqNnev+1VjOo4Xtp8K51tMLejZ+Ml97+VVV593D4qfrTs4d9ZAOvkr3bAeP/Qu/o60cX7dJicao5Tdf0wv6vqEUP/AOz/qrfFETx8g8/GnsJqviI25T+3pSfYD0zm2ZcmEvlsmHDopjAJGa4K/PIYRV5lPkVgVOc4VwZVDLKgrLUSVUioWYMX0JZ+QBE6pEB</latexit><latexit sha1_base64="Q1yyuOHnY94tWSGEq2mzUMnALJw=">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</latexit><latexit sha1_base64="mdN6ENvy0zxxoKY+E8JoeyGrkD0=">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</latexit><latexit sha1_base64="U8Mq87rKaD935RVSNZdZ4gVeHyQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="oczxxW4q5+6lMb6/PWLltwvyux4=">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</latexit><latexit sha1_base64="c2SbhQYU6fXUqUPH+9e5xe3Gov8=">AAACinichVE9SwNBEH05v2M0URvBJhgUqzARwahNQAtLkxgT0BDuzlVPL3fH3SUQg39AW8XCSsFC/Ae2Nv4Bi/wEsVSwsXDuciAajLPs7tu382bfMoqla45L1ApJPb19/QODQ+HhyMhoNDY2vuWYNVsVBdXUTbukyI7QNUMUXM3VRcmyhVxVdFFUjla9+2Jd2I5mGptuwxLlqrxvaHuaKrtMZQ8rsQQlyY94J0gFIIEgNszYA3awCxMqaqhCwIDLWIcMh8c2UiBYzJXRZM5mpPn3AicIs7bGWYIzZGaPeN3n03bAGnz2ajq+WuVXdJ42K+OYoWe6ozd6ont6oc8/azX9Gp6XBu9KWyusSvR0Mv/xr6rKu4uDb1VXzy72kPa9auzd8hnvF2pbXz++fMsv52aas3RDr+z/mlr0yD8w6u/qbVbkrrr4UdiLX8VD3KbU76Z0gq35ZIpxdiGRSQcNG8QUpjHHXVlEBuvYQIFfETjDOS6kiDQvLUkr7VQpFGgm8COktS9HEJEC</latexit>

Non zero elements:<latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">AAACinichVHLSsNAFD3Gd61adSO4EUvFVbktgi+Qgi5ctta2gpaSxKmGpklI0oIWf0C3igtXCi7EP3Drxh9w0U8QlxXcuPAmDYgW6x1m5syZe+6c4SqWrjkuUbNH6u3rHxgcGg6NhEfHxiMTk3nHrNmqyKmmbtq7iuwIXTNEztVcXexatpCrii4KSmXDuy/Uhe1oprHjHluiWJUPDa2sqbLLVIZKkSjFyY/ZTpAIQBRBpM3II/ZxABMqaqhCwIDLWIcMh8ceEiBYzBXRYM5mpPn3AqcIsbbGWYIzZGYrvB7yaS9gDT57NR1frfIrOk+blbOI0QvdU4ue6YFe6fPPWg2/huflmHelrRVWafxsOvvxr6rKu4ujb1VXzy7KWPa9auzd8hnvF2pbXz+5amVXt2ONebqlN/Z/Q0164h8Y9Xf1LiO2r7v4UdiLX8VD3KbE76Z0gnwynmCcWYym1oOGDWEGc1jgriwhhS2kkeNXBM5xgUspLCWlFWmtnSr1BJop/Ahp8wvMM5DO</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="ccuq4D+YLu2fUzdUijOAqqUfvvk=">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</latexit><latexit sha1_base64="/b8KW4L7OThp3CoolX9X+osVKZU=">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</latexit><latexit sha1_base64="npgCp6zgIF4GUS2dn6ABrfHx/bI=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit>(D=2, TPO)

<latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">AAACinichVHLSsNAFD3Gd61adSO4EUvFVbktgi+Qgi5ctta2gpaSxKmGpklI0oIWf0C3igtXCi7EP3Drxh9w0U8QlxXcuPAmDYgW6x1m5syZe+6c4SqWrjkuUbNH6u3rHxgcGg6NhEfHxiMTk3nHrNmqyKmmbtq7iuwIXTNEztVcXexatpCrii4KSmXDuy/Uhe1oprHjHluiWJUPDa2sqbLLVIZKkSjFyY/ZTpAIQBRBpM3II/ZxABMqaqhCwIDLWIcMh8ceEiBYzBXRYM5mpPn3AqcIsbbGWYIzZGYrvB7yaS9gDT57NR1frfIrOk+blbOI0QvdU4ue6YFe6fPPWg2/huflmHelrRVWafxsOvvxr6rKu4ujb1VXzy7KWPa9auzd8hnvF2pbXz+5amVXt2ONebqlN/Z/Q0164h8Y9Xf1LiO2r7v4UdiLX8VD3KbE76Z0gnwynmCcWYym1oOGDWEGc1jgriwhhS2kkeNXBM5xgUspLCWlFWmtnSr1BJop/Ahp8wvMM5DO</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="7+lucWFhJR+HSjclAA0Yb5mP88M=">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</latexit><latexit sha1_base64="ZOg6jh9uh05ttpcfHfldAAMSiSQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit>

演算子のループ構造 H.-Y. Lee, R. Kanako, T.O. and N. Kawashima, PRL 123, 087203 (2019)<latexit sha1_base64="itf8JOCM3DmJhnPtXWU6sNRHkck=">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</latexit><latexit sha1_base64="GeBdsvXIfKYSrDYt1IZk+j1NyxU=">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</latexit><latexit sha1_base64="Q1yyuOHnY94tWSGEq2mzUMnALJw=">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</latexit><latexit sha1_base64="mdN6ENvy0zxxoKY+E8JoeyGrkD0=">AAACinichVG7SgNBFD1ZXzFGE7URbIIhYhUmQTBqE9DCMg/zgBjC7jrRJZvdZXcTiMEf0FaxsFKwEP/A1sYfsMgniGUEGwvvbhZEg/EOM3PmzD13znAlQ1Usm7GeTxgbn5ic8k8HZoKzc6Hw/ELR0lumzAuyrupmWRItrioaL9iKrfKyYXKxKam8JDV2nPtSm5uWomv7dsfg1aZ4pCl1RRZtorKNWjjK4syNyDBIeCAKLzJ6+BEHOIQOGS00waHBJqxChEWjggQYDOKq6BJnElLce45TBEjboixOGSKxDVqP6FTxWI3OTk3LVcv0ikrTJGUEMfbC7lmfPbMH9so+/6zVdWs4Xjq0SwMtN2qhs6X8x7+qJu02jr9VIz3bqCPlelXIu+Eyzi/kgb59ctXPb+Vi3VV2y97I/w3rsSf6gdZ+l++yPHc9wo9EXtwqDqI2JX43ZRgUk/EE4ex6NJ3yGubHMlawRl3ZQBp7yKBAr3Cc4wKXQlBICpvC9iBV8HmaRfwIYfcLSTaRAw==</latexit><latexit sha1_base64="U8Mq87rKaD935RVSNZdZ4gVeHyQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="oczxxW4q5+6lMb6/PWLltwvyux4=">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</latexit>+<latexit sha1_base64="c2SbhQYU6fXUqUPH+9e5xe3Gov8=">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</latexit><latexit sha1_base64="oYDoh2a02TNvVsKvJN5Dvn4BHmc=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">AAACinichVHLSsNAFD3Gd61adSO4EUvFVbktgi+Qgi5ctta2gpaSxKmGpklI0oIWf0C3igtXCi7EP3Drxh9w0U8QlxXcuPAmDYgW6x1m5syZe+6c4SqWrjkuUbNH6u3rHxgcGg6NhEfHxiMTk3nHrNmqyKmmbtq7iuwIXTNEztVcXexatpCrii4KSmXDuy/Uhe1oprHjHluiWJUPDa2sqbLLVIZKkSjFyY/ZTpAIQBRBpM3II/ZxABMqaqhCwIDLWIcMh8ceEiBYzBXRYM5mpPn3AqcIsbbGWYIzZGYrvB7yaS9gDT57NR1frfIrOk+blbOI0QvdU4ue6YFe6fPPWg2/huflmHelrRVWafxsOvvxr6rKu4ujb1VXzy7KWPa9auzd8hnvF2pbXz+5amVXt2ONebqlN/Z/Q0164h8Y9Xf1LiO2r7v4UdiLX8VD3KbE76Z0gnwynmCcWYym1oOGDWEGc1jgriwhhS2kkeNXBM5xgUspLCWlFWmtnSr1BJop/Ahp8wvMM5DO</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="/b8KW4L7OThp3CoolX9X+osVKZU=">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</latexit><latexit sha1_base64="npgCp6zgIF4GUS2dn6ABrfHx/bI=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit>+<latexit sha1_base64="7+lucWFhJR+HSjclAA0Yb5mP88M=">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</latexit><latexit sha1_base64="ZOg6jh9uh05ttpcfHfldAAMSiSQ=">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</latexit>

+

+ ...

全ての閉じたループの和！

<latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit>

注:<latexit sha1_base64="WWTnu8rNRSnaLMIya3g6yc5ApgY=">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</latexit><latexit sha1_base64="19TEmi79boCGRayAtqTXLh65Te0=">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</latexit><latexit sha1_base64="EAIqA1OORC8xnA2FKadDmgVuZ/4=">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</latexit>:# of graphs<latexit sha1_base64="cmp8aJWgpNl0PzpCQzzPBlQsHYw=">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</latexit><latexit sha1_base64="ZmJz+9hwVlIqSoO49dQGJOpBP9k=">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</latexit>...

Loop gas state (LGS) : ほぼキタエフスピン液体

H.-Y. Lee, R. Kanako, T.O. and N. Kawashima, PRL 123, 087203 (2019)

等方的なキタエフ模型に対応する単純なvortex free状態<latexit sha1_base64="5gbO9cY4lCCZw1hOcrAmczdTUNY=">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</latexit><latexit sha1_base64="PLbYnl2wyXjTl9jmYZaUmXEfx4w=">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</latexit>(1,1,1) 方向に揃った強磁性状態

対称性：
Q と |111>の対称性よりLGSは

格子の並進• C6 格子の回転（+ スピン回転）• 反転＋時間反転に関して対称•D=2, iTPS<latexit sha1_base64="fWqO2LGaLc/mVAyJ4LDcQ7ogyi8=">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</latexit><latexit sha1_base64="iGoO2UUsxY3zAvBhwG/e0/0mJCM=">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</latexit>

磁性：
Vortex free 条件により、LGS は必ず非磁性
臨界性：
波動関数の内積＝2d イジングの臨界普遍性を持つ分配関数と一致

LGSはキタエフスピン液体と定性的に同じ状態！
＊重要な長距離の量子相関はLGSだけで記述できている

局所励起による系統的な改善
n次のstring gas state (SGS)(H.-Y. Lee, R. Kanako, T.O. and N. Kawashima, PRL 123, 087203 (2019))：変分パラメタ3<latexit sha1_base64="CGcnN6HNptuSgunE907+35bCVfE=">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</latexit><latexit sha1_base64="B8x7BCltld7WHGgehROinPXWhhI=">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</latexit>•

It indicates that the norm of | 0 i is exactly mapped
into the partition function of the critical classical model
which guarantees the criticality of | 0 i[35]. In addition,
the Ising conformal field theory (CFT) with the central
charge c = 1/2 is known to characterize the critical LG
model[34], which is consistent with theExact
KSL of KHM[36–38]. 4
8
The LG structure encoded in the ⌧ -tensor is useful in
1 the vortex excitation2
describingof the KSL. To see this,
we first note that the⌧ -tensor is invariant
under a gauge-0.19643-0.19681-0.19682ztransformation g = ˆ , i.e. gii0 gjj 0 gkk0 ⌧i0 j 0 k0 = ⌧ijk , and
0.002
0.0007thus| ψn⟩ は D = 2n iTPS.
<latexit sha1_base64="5Qb/LsEo95dpbmpA1zYQW0ILSz0=">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</latexit>D# ofparameters
E/J
ΔE/Eex<latexit sha1_base64="FsSOBLRzWV/lDt7HmBTkGr05vnQ=">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</latexit>

20-0.16349
0.17

R̂DG

of all dimer は"局所"
configurations:
ダイマー励起を導入.
(8)<latexit sha1_base64="win7U/ct4AKxMxdb3ItB7Ici4U8=">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</latexit>0
gii0 gjj 0 gkk0 |Ti00 j 0 k0 i = |Tijk
i.

dimer
Due to :[Ĥlocal↵ , Ŵp ] = 0, it is obvious that R̂G commuteswith Ŵp for any G, and hence R̂DG does; [R̂DG , Ŵp ] = 0.
densitythe
In fact, determines
we can easily prove[R̂DG ,ofQ̂LG
] = dimers
0 and thatthe DG operator respects all symmetries of the KSL [33].
Therefore, its multiplication to | 0 i does not contaminate
the features of the KSL regardless of z. Moreover, it
can be expressed as the polynomial function of the KHM
Hamiltonian, which may be the reason why it improves
the energy of the ansatz quite efficiently. The first key
observation is that we can graphically represent Eq. (1)raised to the n-th power as the linear combination ofelements of D as<latexit sha1_base64="CGcnN6HNptuSgunE907+35bCVfE=">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</latexit>

たった二つの変分パラメタで、非常に精密なエネルギーを得ることができる。
••

With a trivial gauge transformation I2 being a twodimensional identity matrix, they form a Z2 invariant
gauge group (IGG). String-like action of g on links would
twist the gauge fields[15] along the string and hence create two vortices Ŵp = 1 at both ends as demonstrated
below:

重要な長距離のエンタングルメントは（単純な）テンソルネットワークで表現できる。
短距離の相関を考えることでエネルギーは大幅に改善される。

量子・古典エンタングルアプローチが成功する可能性あり
課題

・LGSの量子回路表現は簡単か？
・NISQによる小さい系での最適化が大きな系に拡張できるか？
,
Here, the number of sites in the system is assumed toLG演算子のisometric TN 表現
LGS は演算子 QLG により生成
QLG ＝vortex free セクターへの射影演算子
1=1全ての六角形で<latexit sha1_base64="W682k5HZHC55Sa9dltWKkHJWjdg=">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</latexit>

2

6

3
5

<latexit sha1_base64="PLbYnl2wyXjTl9jmYZaUmXEfx4w=">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</latexit>

=

Q̂ LG

…

4

Wi = 1への射影演算子：

局所テンソル<latexit sha1_base64="itf8JOCM3DmJhnPtXWU6sNRHkck=">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</latexit><latexit sha1_base64="GeBdsvXIfKYSrDYt1IZk+j1NyxU=">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</latexit><latexit sha1_base64="Q1yyuOHnY94tWSGEq2mzUMnALJw=">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</latexit><latexit sha1_base64="mdN6ENvy0zxxoKY+E8JoeyGrkD0=">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</latexit><latexit sha1_base64="U8Mq87rKaD935RVSNZdZ4gVeHyQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="IOTdH0oceO4YyPxSJKbuAwguCn0=">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</latexit><latexit sha1_base64="oczxxW4q5+6lMb6/PWLltwvyux4=">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</latexit><latexit sha1_base64="c2SbhQYU6fXUqUPH+9e5xe3Gov8=">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</latexit>

Non zero elements:

この射影演算子は D=2 のテンソルネットワークで書ける<latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="/b8KW4L7OThp3CoolX9X+osVKZU=">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</latexit><latexit sha1_base64="npgCp6zgIF4GUS2dn6ABrfHx/bI=">AAACknichVG7SgNBFD2u73d8FIJNMChWMhFBCShKGgsLNSZR4oPddYxD9sXuJBiDP2BrYaEWChbiH9ja+AMW+QSxjGBj4d3NgmhQ7zAzZ87cc+cMV3MM4UnGqk1Kc0trW3tHZ1d3T29ff2RgMOPZRVfnad02bHdTUz1uCIunpZAG33RcrpqawbNaIenfZ0vc9YRtbciyw3dMNW+JA6Grkqit+W1P5E1192gvEmNTLIhoI4iHIIYwVu3IA7axDxs6ijDBYUESNqDCo5FDHAwOcTuoEOcSEsE9xwm6SFukLE4ZKrEFWvN0yoWsRWe/pheodXrFoOmSMopx9szuWI09sXv2wj5+rVUJavheyrRrdS139vpPR1Lv/6pM2iUOv1R/epY4wFzgVZB3J2D8X+h1fen4vJZKrI9XJtgNeyX/16zKHukHVulNv13j6xd/+NHIS1DFR9Sm+M+mNILM9FSc8NpMbHEhbFgHRjGGSerKLBaxjFWk6RUTZ7jElTKsJJQlJVlPVZpCzRC+hbLyCSQwlG4=</latexit><latexit sha1_base64="6jwF2nZk7bcqAv+7xMMvPfHiqeY=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="7+lucWFhJR+HSjclAA0Yb5mP88M=">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</latexit><latexit sha1_base64="ZOg6jh9uh05ttpcfHfldAAMSiSQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="e7S788hBjf0Z0GqQ70HK3SPLUO4=">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</latexit>LGSの量子回路表現<latexit sha1_base64="6jwF2nZk7bcqAv+7xMMvPfHiqeY=">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</latexit>: このテンソルは"行列" としてみるとユニタリ<latexit sha1_base64="e7S788hBjf0Z0GqQ70HK3SPLUO4=">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</latexit>

spin と virtual legに作用する行列

かつ、コントロールパウリゲートと同一

射影演算子を量子ゲートで表現可能
controlqubittargetqubit

Control state|0> → 何もしない|1> → σを演算

注：この演算子はループ構造を持つため単純な量子回路では表現できない
しかし、例えば、以下のような測定を導入することで量子コンピュータ上でLGSを構築できる
もし |0>が測定されれば系は(|1>だと系は)

ゲートの追加による局所励起の表現
変分エネルギー向上のため、ユニタリ演算子をかける<latexit sha1_base64="itf8JOCM3DmJhnPtXWU6sNRHkck=">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</latexit><latexit sha1_base64="GeBdsvXIfKYSrDYt1IZk+j1NyxU=">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</latexit><latexit sha1_base64="mdN6ENvy0zxxoKY+E8JoeyGrkD0=">AAACinichVG7SgNBFD1ZXzFGE7URbIIhYhUmQTBqE9DCMg/zgBjC7jrRJZvdZXcTiMEf0FaxsFKwEP/A1sYfsMgniGUEGwvvbhZEg/EOM3PmzD13znAlQ1Usm7GeTxgbn5ic8k8HZoKzc6Hw/ELR0lumzAuyrupmWRItrioaL9iKrfKyYXKxKam8JDV2nPtSm5uWomv7dsfg1aZ4pCl1RRZtorKNWjjK4syNyDBIeCAKLzJ6+BEHOIQOGS00waHBJqxChEWjggQYDOKq6BJnElLce45TBEjboixOGSKxDVqP6FTxWI3OTk3LVcv0ikrTJGUEMfbC7lmfPbMH9so+/6zVdWs4Xjq0SwMtN2qhs6X8x7+qJu02jr9VIz3bqCPlelXIu+Eyzi/kgb59ctXPb+Vi3VV2y97I/w3rsSf6gdZ+l++yPHc9wo9EXtwqDqI2JX43ZRgUk/EE4ex6NJ3yGubHMlawRl3ZQBp7yKBAr3Cc4wKXQlBICpvC9iBV8HmaRfwIYfcLSTaRAw==</latexit><latexit sha1_base64="U8Mq87rKaD935RVSNZdZ4gVeHyQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="oczxxW4q5+6lMb6/PWLltwvyux4=">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</latexit><latexit sha1_base64="c2SbhQYU6fXUqUPH+9e5xe3Gov8=">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</latexit>•

この演算子はフラックス演算子と可換 → フラックスは変えない•

一方で、ハミルトニアンとは非可換 → エネルギーは変わる•

角度が純虚数の場合にはDG 演算子と酷似した構造<latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">AAACinichVHLSsNAFD3Gd61adSO4EUvFVbktgi+Qgi5ctta2gpaSxKmGpklI0oIWf0C3igtXCi7EP3Drxh9w0U8QlxXcuPAmDYgW6x1m5syZe+6c4SqWrjkuUbNH6u3rHxgcGg6NhEfHxiMTk3nHrNmqyKmmbtq7iuwIXTNEztVcXexatpCrii4KSmXDuy/Uhe1oprHjHluiWJUPDa2sqbLLVIZKkSjFyY/ZTpAIQBRBpM3II/ZxABMqaqhCwIDLWIcMh8ceEiBYzBXRYM5mpPn3AqcIsbbGWYIzZGYrvB7yaS9gDT57NR1frfIrOk+blbOI0QvdU4ue6YFe6fPPWg2/huflmHelrRVWafxsOvvxr6rKu4ujb1VXzy7KWPa9auzd8hnvF2pbXz+5amVXt2ONebqlN/Z/Q0164h8Y9Xf1LiO2r7v4UdiLX8VD3KbE76Z0gnwynmCcWYym1oOGDWEGc1jgriwhhS2kkeNXBM5xgUspLCWlFWmtnSr1BJop/Ahp8wvMM5DO</latexit><latexit sha1_base64="76l5WcRaShB9p4cvze9aRiTIpdA=">AAACjHichVG7SgNBFD1ZXzFqErURbIIhYiUTCSiKEBBEO5OYB0SR3XUSh+yL3U1Agz8g2GphpWAh/oGtjT9gkU8Qywg2Ft7dLIgG9Q4zc+bMPXfOcBVLE47LWCckDQwODY+ERyNj4xPRWHxyquSYTVvlRdXUTLuiyA7XhMGLrnA1XrFsLuuKxstKY8O7L7e47QjT2HWPLb6vy3VD1IQqu0QV1hPbB/EkW2R+JPpBOgBJBLFjxh+wh0OYUNGEDg4DLmENMhwaVaTBYBG3jzZxNiHh33OcIkLaJmVxypCJbdBap1M1YA06ezUdX63SKxpNm5QJpNgzu2Nd9sTu2Qv7+LVW26/heTmmXelpuXUQO5spvP+r0ml3cfSl+tOzixpWfK+CvFs+4/1C7elbJ5fdwmo+1Z5nN+yV/F+zDnukHxitN/U2x/NXf/hRyItfxUPUpvTPpvSD0tJimnAuk8xmgoaFMYs5LFBXlpHFFnZQpFfqOMcFLqWolJHWpPVeqhQKNNP4FtLmJxJ7kU4=</latexit><latexit sha1_base64="hXiDU83DIYLpaOGzI2i5PV/zJq8=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="wujF11inCiVgFG9Hi3Yqm4lFvOc=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="v28wKHpGxIqLekH28hdYcVpqnVs=">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</latexit><latexit sha1_base64="qrJcrTO3paSOoWfHcCkot3kviRM=">AAACn3ichVG7SgNBFD2u72fWRyHYREMkNmEigiIIgoVWEh/xQaJhdx3j4L7YnQRM8Af8AQsbFSzUP7C18Qcs/ASxVLCx8O5mQVSMd5iZM2fuuXOGq7um8CVjT01Kc0trW3tHZ1d3T29fTO0f2PCdsmfwnOGYjrelaz43hc1zUkiTb7ke1yzd5Jv64UJwv1nhni8ce10euXzH0kq22BeGJokqqkNzBanZqYJ7ICbiBV+ULG23WlQTLM3CiP8GmQgkEEXWUe9QwB4cGCjDAocNSdiEBp9GHhkwuMTtoEacR0iE9xzH6CJtmbI4ZWjEHtJaolM+Ym06BzX9UG3QKyZNj5RxJNkju2av7IHdsmf28WetWlgj8HJEu17XcrcYOxlee/9XZdEucfClauhZYh8zoVdB3t2QCX5h1PWV6unr2uxqsjbOLtkL+b9gT+yefmBX3oyrFb561sCPTl7CKgGiNmV+NuU32JhMZwivTCXmp6KGdWAEY0hRV6YxjyVkkaNXqjjHNW6UUWVRWVay9VSlKdIM4lso259p+Jiy</latexit><latexit sha1_base64="5pGKh0Kh2GqTRcauZLwn9JCYp/Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="o9yYeoDgANMt6DrpOFay0A5u3AA=">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</latexit>

無限系での最適化
Energy density

簡単のため、単層かつ対称的
0••

残念ながら、ユニタリゲートは全ての角度でエネルギーを改善しない• 二層を考えても、改善はない

-0.04
-0.06

仮に、DG演算子で純虚数に対応す-0.08

るパラメタを取ると、その場合もエネルギーは（ほぼ）改善しない

-0.1

-0.14

エネルギーの改善には-0.16・多層にしてパラメタ増-0.18・対称性を崩す-0.2

注：今のユニタリゲートは時間発展演算子のSzuki-Trotter decomposition になっている

Unitary-0.12

ユニタリ性は局所励起を大幅に制限

が必要？
*

-0.02

Imaginary DG

Dimer Gas
0

0.5

1

1.5

2

i を取り除く

ユニタリ性を外した場合の最適化
最適化の局所性の確認のため
非ユニタリのゲートで最適化

24-site クラスター

無限系
0

0

-0.02

-0.02

-0.04

-0.04

-0.06

-0.06

Non-Unitary
無限系での良い

量子状態を

-0.08
小さい系での最適化から-0.08
Non-Unitary gate

-0.1

-0.1

-0.12

-0.12

-0.14

-0.14

Dimer Gas

-0.16

-0.16

-0.18

-0.18

-0.2

-0.2

0

0.5

1

1.5

構成できそう2

Dimer Gas

0

0.5

1

•

非ユニタリのゲートではエネルギーが改善•

最適なパラメタは無限系と24サイト系でほぼ同じ

1.5

2

コンテンツ
•

•

はじめに
•

テンソルとテンソルネットワーク•

量子状態の表現と古典計算の困難•

テンソルネットワークの基礎

量子状態の情報圧縮•

テンソルネットワーク分解•

量子状態のエンタングルメント•

種々のテンソルネットワークと量子エンタングルメント•

テンソルネットワークの多彩な応用例•

量子物性への応用••

2次元無限系の計算手法•

Kitaev模型への応用例•

量子コンピュータへの期待と応用例

まとめ

まとめ
•

テンソルネットワークを用いると大きな量子状態を古典計算機で表現できる場合がある••

エンタングルメントエントロピーのスケーリング（面積則）が大事

良いテンソルネットワーク表現を得るためには、量子状態のエンタングルメントの性質を捉える必要がある••

ネットワーク構造を決めると、表現できる量子エンタングルメントが決まる

テンソルネットワーク分解は量子状態以外にも様々な場面で使える•

原理的には、任意のテンソル型データに適用可能•量子状態とは異なり、テンソルネットワークに適したエンタングルメント構造を持っているかは非自明•量子物性への応用ではテンソルネットワークはとても強力•

それでもまだ難しい問題があり、量子コンピュータの活用が期待される•テンソルネットワークと量子コンピュータを高度に融合するアルゴリズムの可能性

テンソルネットワークについて思うこと
数理科学 2022年2月号「テンソルネットワークの将来」

今後の展開につながるキーワード
•
•
•
•
•

テンソルネットワーク表現の利点
テンソルネットワーク表現とデータ科学
テンソルネットワークを通した理解
テンソルネットワークの最適化と表現能力
量子コンピュータによるテンソルネットワーク計算