磁気光学トラップのための補正磁場発生機構の作製と評価
丹治研究室 足立遼太郎
令和 4 年 3 月 4 日

1. 序論
1.1 量子暗号通信に向けた単一光子の発生
近年、通信の安全性・信頼性に関心が高まる中で、量子力学の原理に基づく無条件安全性を提供する量子暗号通信の研究が活発化している。現在の暗号通信はワンタイムパッドや公開鍵暗号が用いられていて、かなり安全性が高いといわれている。しかし、これらの暗号方式の安全性は、計算能力の限界により暗号解読に時間がかかることに依存しており、完全に安全とは言えない。そこ
で、量子の性質により無条件な安全性が保障されるとして注目されているものが、光子を用いて秘密鍵を配送する量子鍵配送(Quantum KeyDistribution, QKD)[1]である。この方法では、誰かが盗聴を行うと光子の量子状態が変化し、盗聴したことが検出できることにより、安全性が保障される。量子鍵配送の実用化に向けては、オンデマンドな光子の発生が重要となる。光子を発生させるための系には単一量子ドット[2]、単一イオン[3]、原子集団[4]、人工原子[5]など様々なものがある。その中で我々の研究室では、中性原子でありながら原子間に大きな相互作用を生じさせられるリュードベリ励起状態を用いて光子の単一性を確保するとともに、非対称光共振器を用いて単一空間モードに光子を放出させることで、オンデマンドな単一光子の発生を目指している。リュードベリ原子は巨大な双極子モーメントを持つため、近傍の原子に摂動を加えることで、他の原子のリュードベリ状態への励起を阻害する(リュードベリブロッケイド)。この現象を利用して、リュードベ
リ状態に励起される原子の個数を一個に制限することができる。このようにして励起された単一の原子を脱励起させることで、単一の光子を発生させることができる。励起される原子が一個に制限される領域の半径はブロッケイド半径とよばれ、単一光子を発生させるためには、その半径内に原子集団をトラップする必要がある。リュードベリ原子を用いることによって励起される原子数を制限できるため、高いレートでの単一光子発生が期待できる[6, 7]。
1.2 研究の目的
我々の研究室では、上述の通り、共振器中の原子集団を利用した単一光子の発生を目指している。このとき、光共振器モード中に原子を捕捉することが必要となる。そこで、磁気光学トラップ(magneto-optical trap, MOT)を用いて原子を冷却するとともに、光共振器モードと重なるように捕捉する。 MOT では、原子をトラップするために、反ヘルムホルツコイルによる不均一磁場中で三次元的にドップラー冷却を行う。この時、磁場はコイルの中心で 0 であり、中心から離れるに従て大きくなる。この磁場によるゼーマンシフトで原子の共鳴周波数が中心から離れるに従って大きくなることを利用して原子をトラップすることができる。原理的には、四重極磁場が 0 になるコイ
ルの中心に原子がトラップされるはずだが、実際には、地磁気や周りの装置が発生させる磁場の影響を受けたり、重力によってトラップ位置が少し下がったりして、コイルの中心からずれた位置に原子がトラップされてしまう。単一光子を発生させるためには、原子が光共振器中にトラップされることが必要であるため、MOT の位置を制御するために補正磁場をかける必要がある。本研究ではそのためのコイルと制御回路を設計した上で作製し、実際に MOT の位置制御を目指す。

2. 原子冷却トラップ技術
2.1 ドップラー冷却
本節では磁気光学トラップにおいて原子の冷却を担うドップラー冷却について説明する。
説明の便宜上、原子の運動とレーザー光の伝搬を一次元上で考える。図 2.1 のように𝑥軸をとり、原子に対してレーザー光を𝑥軸の正方向と負方向からそれぞれ入射する場合を考える。これら二本のレーザー光を入射することで、不規則に運動している原子であっても、必ずどちらかのレーザー光に対向して運動している状態をつくることができる。

図 2.1 レーザー光と原子の位置関係

このとき、レーザー光の角周波数は原子の共鳴角周波数𝜔𝐴 よりわずかに低い角周波数𝜔𝐿 とする。これは、ドップラー効果を利用して、選択的に対向する光を原子に吸収させるためである。原子が𝑥軸正方向に速度𝑣で動いているとすると、負方向に伝搬するレーザー光によって原子が感じる角周波数は、ドップラー効果により、実際のレーザー光の角周波数より高い角周波数𝜔 = (1 + 𝑣 ⁄𝑐)𝜔𝐿 となる。レーザー光の角周波数は𝜔𝐴 より低いため、原子が感じる角周波数𝜔は原子の共鳴角周波数𝜔𝐴 に近づき、吸収レートが向上する。一方、正方向に伝搬するレーザー光に よって原子が感じる 角周波数は𝜔 =(1 − 𝑣⁄𝑐)𝜔𝐿 となるため、𝜔𝐴 からの離調は大きくなり吸収レートは低下する。つまり、近似的には、原子に対向するレーザー光のみを吸収する状況をつくることができる。

図 2.2 ドップラー冷却において原子が感じる吸収周波数

原子がレーザー光から光子を吸収すると、原子は励起された後、同じ周波数の光子をランダムな方向に自然放出する。この吸収と放出を繰り返すたびに、𝑥軸方向に正味の運動量変化∆𝑝𝑥 が生じる。
ℎ∆𝑝𝑥 = −𝜆(2.1)

これは、光子の運動量がℎ⁄𝜆であり、吸収過程と放出過程において運動量保存則が成り立つためである。吸収過程においては、上述したように、原子に対向するレーザー光のみが吸収されるので、−𝑥の方向に運動量が変化する。これに対して、放出過程
では、光子はランダムな方向に放出されるので、自然放出後の反跳は平均してゼロになる。
式(2.1)は吸収・放出サイクルを繰り返すことにより−𝑥方向に正味の力が生じることを意味する。
ここで、離調𝛿 = 𝜔𝐴 − 𝜔𝐿 とし、強度𝐼のレーザー光と原子との相互作用を考える。摩擦力𝐹𝑥 は吸収・放出サイクルあたりの運動量変化とサイクルの正味レートとの積に等しい。光子の波数ベクトル𝑘 =2𝜋⁄𝜆、正味の吸収レートを𝑅(𝐼, Δ)とすると
𝐹𝑥 = −ℏ𝑘 × 𝑅(𝐼, Δ)(2.2)と表わされる。ここで𝑅(𝐼, Δ)は2.3 磁気光学トラップ(Magmeto-Optical Trap, MOT)
本節では原子集団を三次元的にトラップするために用いる磁気光学トラップ(MOT)の手法について説明する。MOT では、レーザー光によるドップ
ラー冷却(2.1 節)と四重極磁場による Zeeman 効果(2.2 節)で生じる復元力を用いて原子の冷却と捕捉を実現する。
MOT では、レーザー冷却を三次元的に行うために、三対の対向するレーザー光を互いに直交させて原子に照射することによって原子を減速させる。
ただし、これだけでは摩擦力のみしか働かないため、原子集団を捕捉することはできない。そこで四重極磁場による Zeeman 効果を利用する。レーザー光の交点付近が中心となるように反ヘルムホルツコイルを設置し、図 2.4 のような四重極磁場を発生させる。反ヘルムホルツコイルとは、図 2.3 のように直径𝑅の一対のコイルを間隔𝑅で置き、逆向きに電流を流したものである[9]。図 2.5 に MOT の概略図を示す。

𝛾𝐼 ⁄𝐼𝑠(2.3)
2 1 + 𝐼 ⁄𝐼𝑠 + [2(∆ + 𝑘𝑣𝑥 )⁄𝛾 ]2で与えられる。放射寿命を𝜏とすると、𝛾 ≡ 1⁄𝜏は角𝑅(𝐼, Δ) =周波数単位での自然幅であり、𝐼𝑠 は遷移の飽和強度である。|𝑘𝑣𝑥 | ≪ ∆と|𝑘𝑣𝑥 | ≪ 𝛾が成り立つ低温極限では次式のように力が与えられる。
𝐹𝑥 (𝐼, Δ) =8ℏ𝑘 2 ∆𝐼 ⁄𝐼𝑠𝑣
𝛾 [1 + 𝐼 ⁄𝐼𝑠 + (2∆⁄𝛾 )2 ]2 𝑥(2.4)
図 2.3 反ヘルムホルツコイルの概略図

図 2.4 反ヘルムホルツコイルのつくる四重極磁場(2.4)式を
𝐹𝑥 = −𝛼𝑣𝑥(2.5)

8ℏ𝑘 2 ∆𝐼 ⁄𝐼𝑠
𝛼=−𝛾 [1 + 𝐼 ⁄𝐼𝑠 + (2∆⁄𝛾)2 ]2(2.6)と表わすと、原子の速度𝑣𝑥 と逆方向に減衰定数𝛼の摩擦力が働くことがわかる[8]。
2.2 Zeeman 効果
本節では、MOT において、原子に復元力を与える上で欠かせない、原子の磁場による Zeeman 効
果について説明する。全角運動量𝐽 = 𝐿 + 𝑆(𝐿は軌
道角運動量、𝑆はスピン角運動量)をもつ原子の2𝐽 +1個の磁気副準位は、磁場がかかっていない状態では縮退しているが、磁場をかけることでその縮退が解ける。
𝑧軸方向にかけた磁場𝑩 = 𝐵𝑧 𝑧̂ 中の原子のエネル
ギーシフトは∆𝐸 = −𝝁 ∙ 𝑩 = −𝜇𝑧 𝐵𝑧

図 2.5 MOT の概略図

四重極磁場は、反ヘルムホルツコイルの中心で 0であり、2 つのコイルの中心付近では、中心からの距離に比例して強くなる。四重極磁場によって原子において Zeeman 効果が引き起こされ、磁気副準位の縮退が解かれる。簡単のため、基底状態が全角運動量𝐽 = 0、磁気量子数𝑀𝐽 = 0で、励起状態は𝐽 = 1、𝑀𝐽 = −1,0,1であるとする。

(2.8)

で表される。ここで𝝁は原子の磁気双極子モーメントであり、𝜇𝑧 はその𝑧成分である。𝜇𝑧 は
𝜇𝑧 = −𝑔𝐽 𝜇𝐵 𝑀𝐽(2.9)

で与えられる。𝜇𝐵 はボーア磁子、𝑔𝐽 はLandé の𝑔因子
𝑔𝐽 = 1 +𝐽(𝐽 + 1) + 𝑆(𝑆 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1)
2𝐽(𝐽 + 1)(2.10)である。したがって(2.8)式は∆𝐸 = 𝑔𝐽 𝜇𝐵 𝐵𝑧 𝑀𝐽(2.11)と表わされる。これより、縮退が解けた磁気副準位間の間隔は磁場に比例して増加することがわかる[1]。

図 2.6 Zeeman 効果円偏光による遷移

ここで図 2.6 のように逆向きの円偏光(𝜎 + と𝜎 − )のレーザー光を対向させて入射させると、選択則により、基底状態の原子が𝜎 + 円偏光を吸収した場
合には磁気副準位𝑀𝐽 = 1の励起状態に、𝜎 − 円偏光を吸収した場合には磁気副準位𝑀𝐽 = −1の励起状態にそれぞれ遷移する[10]。

ここで、図 2.6 に示すように原子に共鳴周波数より少し低い周波数の𝜎 + と𝜎 − 円偏光のレーザー光を左右からそれぞれ照射させたときに原子が受ける輻射圧について考える。𝑧 > 0の領域に存在する原子については、レーザー光の周波数は𝑀𝐽 = −1への遷移の共鳴周波数に近いため、原子は右から入射させた𝜎 − 円偏光をより強く吸収し、左向きの大きな輻射圧を受ける。左から入射させた𝜎 + 円偏光のレーザー光を吸収した場合には𝑀𝐽 = 1への遷移が起きるが、この遷移に対するレーザー光の離調が大きいため、右向きの輻射圧は小さい。この時に原子が受ける正味の力は𝛿+

図 3.2 コイルの配置と各辺の長さA 面のコイルが中心につくる磁場𝐻𝐴0 を、(3.2)式を用いて計算すると
𝐻𝐴0 =

𝛿−

𝐹𝑀𝑂𝑇 = 𝐹𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡 (𝜔𝐿 − 𝑘𝑣 − (𝜔𝐴 + 𝛽𝑧)) − 𝐹𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡 (𝜔𝐿 + 𝑘𝑣 − (𝜔𝐴 − 𝛽𝑧))
≅2𝛼𝛽𝑧 (2.12)𝑘で表される。ここで、パラメータ𝛽は𝛽=

𝑔𝜇𝐵 𝑑𝐵ℏ 𝑑𝑧(2.13)で与えられる。(2.12)式より MOT において摩擦力(第一項)と𝑧 = 0への復元力(第二項)が生じていることがわかる[8]。

2𝑎1 𝑎2 𝐼
11{ 2}+ 22𝑎2 + (𝑎3 − 2𝑥)2𝜋√𝑎1 2 + 𝑎2 2 + (𝑎3 − 2𝑥)2 𝑎1 + (𝑎3 − 2𝑥)
2𝑎1 𝑎2 𝐼
1
1{} (3.4)++𝜋√𝑎1 2 + 𝑎2 2 + (𝑎3 + 2𝑥)2 𝑎1 2 + (𝑎3 + 2𝑥)2 𝑎2 2 + (𝑎3 + 2𝑥)2𝐻𝐴 =同様に B 面の中心軸を𝑦軸、C 面の中心軸を𝑧軸とすると磁場𝐻𝐵 、𝐻𝐶 は以下の式で表される。
2𝑏1 𝑏2 𝐼

𝐻𝐵 =MOT では四重極磁場が 0 となる位置に原子がトラップされるが、地磁気や周辺機器の影響によりトラップしたい位置であるコイルの中心と磁場0 の位置がずれてしまう。1, 2 でも述べたとおり
本研究ではこのずれを補正する磁場を発生させるために補正磁場コイルを作製する。
3.1 ビオサバールの法則による磁場の計算
MOT のトラップ中心の位置のずれの補正は、三対の四角いコイルで行う。
対になったコイルが中心につくる磁場は、八本の直線電流のつくる磁場の総和とみなして計算できる。まず、有限の直線電流のつくる磁場をビオサバールの法則を用いて導出した。
1 𝐼𝒅𝒓′ × (𝒓 − 𝒓′ )∫|𝑟 − 𝑟 ′ |34𝜋(3.1)

図 3.1 のように𝑙と𝜃を取ると、(3.1)式より 1 本の有限直線電流のつくる磁場は
𝐻=𝐼 cos 𝜃2𝜋𝑙{𝜋√𝑏1 2 + 𝑏2 2 + (𝑏3 − 2𝑦)2

3. MOT 補正磁場コイル

𝐻=(3.3)となる。
また、A 面の中心軸を𝑥軸とすると、コイルの中心軸上の磁場𝐻𝐴 は以下の式で示される。

𝜕𝐹
𝜕𝐹𝑘𝑣 + 2𝛽𝑧𝜕𝜔𝐿𝜕𝜔𝐴= −𝛼𝑣 −

4𝑎1𝑎2 𝐼11{ 2}2+𝑎 2+𝑎 223𝜋√𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 𝑎1 + 𝑎32𝑏1 𝑏2 𝐼+と求まる。

図 3.1 トラップする原子とコイルの距離関係

三対のコイルのそれぞれに対応する面を図 3.2のように A 面、B 面、C 面と呼ぶことにし、それぞれの面の辺の長さを𝑎1 、𝑎2 、𝑏1 、𝑏2 、𝑐1 、𝑐2 、とした。また、対になったコイル同士の距離をそれぞれ𝑎3 、𝑏3 、𝑐3 とした。

1𝑏1 2 + (𝑏3 + 2𝑦)2++1𝑏2 2 + (𝑏3 − 2𝑦)2

1
𝑏2 2 + (𝑏3 + 2𝑦)2}}(3.5)

2𝑐1 𝑐2 𝐼
11{ 2}+ 22
𝑐2 + (𝑐3 − 2𝑧)2𝜋√𝑐1 2 + 𝑐2 2 + (𝑐3 − 2𝑧)2 𝑐1 + (𝑐3 − 2𝑧)
2𝑐1 𝑐2 𝐼
1
1{} (3.6)++𝜋√𝑐1 2 + 𝑐2 2 + (𝑐3 + 2𝑧)2 𝑐1 2 + (𝑐3 + 2𝑧)2 𝑐2 2 + (𝑐3 + 2𝑧)2𝐻𝐶 =3.2 コイルの設計・作製
日本における地磁気約 0.5 G と周辺機器の磁場の影響を考慮すると、最大 1 G 程度の補正磁場を発生させる必要がある。
(3.3)式で表される磁場は、コイルの巻き数が 1回の時のものである。
A 面におけるコイルの巻き数を𝑛𝐴 とし、磁場 1 G を代入して𝑛𝐴 の式について解くと
𝑛𝐴 = 250 ×(3.2){𝜋√𝑏1 2 + 𝑏2 2 + (𝑏3 + 2𝑦)21
𝑏1 2 + (𝑏3 − 2𝑦)2

√𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2×
4𝑎1 𝑎2 𝐼{111(3.7)}+
𝑎1 2 + 𝑎3 2 𝑎2 2 + 𝑎3 2となる。この式に、既存の原子冷却系の大きさに基づいて決定した各辺の長さと流せる最大電流の大きさ 500 mA を代入し、コイルの巻き数を決定した。B 面におけるコイルの巻き数を𝑛𝐵 、C 面におけるコイルの巻き数を𝑛𝐶 として A 面と同様に計算した結果、コイルの巻き数は表 3.1 のようになった。
コイルの作製には 10 芯及び 20 芯のフラットケーブルを用いたため、実際のコイルの巻き数は表 3.2のようになった。求めた巻き数のフラットケーブ
ルをフレームに巻き付け、図 3.3 のような補正磁場用コイルを作製した。
表 3.1 計算値によるコイルの巻き数
𝑛𝐴 (回)𝑛𝐵 (回)𝑛𝐶 (回)

9830646

表 3.2 設置したコイルの巻き数
𝑛𝐴 (回)𝑛𝐵 (回)𝑛𝐶 (回)

10030040

いて、𝑧 < 0の範囲で磁場の測定値が理論値を上回り、𝑧 > 0の範囲で磁場の測定値が理論値を下回るのは定盤の磁場の影響を受けているからだと考えられる。
4.

図 3.3 MOT 補正磁場用コイル

3.3 磁場の測定
磁場はガウスメーター(LakeShore 421)を用いて、各コイルの中心軸に沿って測定した。図 3.4 のように軸を設定し、それぞれの中心軸上で磁場を測定した。

制御回路

ここまでで、必要な磁場を発生させられるコイルが完成したので、次にコイルに流す電流を制御するための回路を設計した。ここで扱う回路はプッシュプル回路と呼ばれる回路で、トランジスタを二段で接続して構成した回路であり、電流を流れ出させる(プッシュ)機能と電流を引き込む(プル)機能を併せ持つ。図 4.1 に本実験で設計した
MOSFET を用いた回路図を示す。また、図 4.2 は実際に作製した回路である。

図 3.4 測定の際の軸測 定 す る 際 に は 直 流 安 定 化 電 源 (KIKUSUI
PMM25-1TR)を用いて、500 mA の電流を流した。
測定結果は図 3.5~3.7 のようになった。図の青線は(3.4)~(3.6)式で示した理論曲線で、赤点は測定値である。また、図中の橙色の長方形は設置したコイルのおおよその位置と幅を表す。

図 3.5 A 面のコイルの測定磁場

図 3.6 B 面のコイルの測定磁場

図 4.1 作製したプッシュプル回路5.

図 4.2 作製した制御回路

まとめと今後の展望

本研究では単一光子源の開発に向けて MOT の中心磁場を制御するための補正磁場発生機構の作製と評価を行った。補正磁場発生用のコイルを設計・作製した結果、理論値と概ね一致する磁場を発生させることができ、MOT の磁場を補正するという目的に近づくことができた。一方、制御回路は設計・作製段階までは行ったものの、電流電圧特性を評価するまでには至らなかった。
今後の展望としては、作製した制御回路の特性評価を行った後、オペアンプを用いた安定化回路を組み込むことで、安定した定電流を流すことができるプッシュプル回路を作製する。さらに、完成した制御回路をコイルにつなぎ、磁場の制御が行えることを確認した後、既存の原子冷却系の周囲に補正磁場発生機構を設置し、補正磁場をかけてMOT の制御を試みる。その後、トラップした原子集団を用いて、単一光子源の実現を目指す。

図 3.7 C 面のコイルの測定磁場

図 3.5~3.7 に示したとおり、結果は、概ね理論値と一致した。図 3.5 においてコイル付近での磁場の測定値が理論値を上回っている部分では、コイルの自重によるたるみによってコイルが中心軸に近づき、中心の磁場が強くなっているのではないかと考えられる。図 3.6 においてコイル付近で磁場の測定値が理論値を下回っている部分では、コイルの巻き数が多いことによってコイルがふくらみ、中心軸上の磁場が弱くなっていると考えられる。
ここで、B 面も A 面と同じようにたるみも影響していると思われるが、B 面は A 面よりもコイルと中心軸の距離が近いため、たるみの影響よりもふくらみの影響の方が大きいと思われる。図 3.7 にお参考文献[1] M. Fox, 量子光学(木村達也訳), 丸善出版(2012), 第 11 章 第 12 章.
[2] 加古敏, and 荒川泰彦. "200K にて動作する量子ドット単一光子源." 光学 37.8 (2008):
469-471.
[3] 早坂和弘. "3-6 冷却イオン-光子による量子ネットワーク." 情報通信研究機構研究報

告 52.3 (2006): 87-96.
[4] 蔡兆申. “超伝導人工原子を組み込んだ新量子光学デバイスを開発”. 理化学研究所.
2010. https://www.riken.jp/press/2010/20100510_2/index.html , (参照 2021-01-30)[5] 山嵜直樹, et al. "少数光子非線形効果の観測に向けた光共振器安定化用光源の開発." 日本物理学会講演概要集 74.1. 一般社団法人 日本物理学会, 2019.
[6] 櫻井明彦, 単一光子発生に向けた⁸⁷Rb 原子の Rydberg 励起, 2018 年度修士論文.
[7] 高山泰征, 少数光子非線形光学効果観測に向けた冷却原子集団の作製, 2020 年度修士論文.
[8] C. J. Foot, Atomic Physics, PAPERBACKSHOP UK IMPORT, Chapter.9 (2005).
[9] 久我隆弘, レーザー冷却とボーズ凝縮, 岩波書店(2002), 第 2 章 第 3 章.
[10] 岡田瑛理, Rb 原子気体の高速 BEC 生成に向けたレーザー冷却実験, 2020 年度卒業論
文.