集中理論談話会 #9
Bhat, C.R., Sidharthan, R.: A simulation evaluation of themaximum approximate composite marginal likelihood (MACML)
estimator for mixed multinomial probit models,Transportation Research Part B: Methodological, Vol.45, No.7,
pp.940-953, 2011.

2014/06/28
柳沼秀樹

1. MNP概要(MNLとの比較を通じて)

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多項ロジットモデル

多項プロビットモデル•Closed-form•選択肢間の相関を無視(IIA)•Open-form•選択肢間の相関を表現

表現力は劣るが、通常の最適化アルゴリズムでパラメータ推定が可能であり、ソースコードの開発が容易

表現力は高いが、選択肢数−1の多重積分が必要であり、パラメータ推定は非常に煩雑⇒爆発的に各分野に普及⇒計算が困難であるため近年まで伸び悩む…

2

2. MNPの推定方法開発当初から多重積分の計算がネックとなり、各種の数値計算アルゴリズムが提案
選択肢数手法1970
3〜4• 級数近似法• Clarkの近似法etc…

解析的近似• シミュレーション法• ベイズ推定乱数近似

1990
3〜1010以上

2010• MACML

1. 論文の概要

3(1) Maximum Approximate Composite Marginal Likelihood(MACML) estimationの提案
Open-fromな離散選択モデル(c.f. MNP,MXL )のパラメータを 簡単かつ高速で推定する手法を構築
MACML推定は2つのテクニックにより構成①多変量累積標準正規分布（MVNCD※1）の解析的近似手法②合成周辺尤度(CML※2)を用いたパラメータ推定(2) 各種（Mixed）Probitモデルへの適用方法の提示
Cross-section, Panel, Spatial Correlation etc…

(3) 数値実験による有効性の確認
通常の推定手法(MSL)と比較して，計算時間は約38倍速く(66.09→1.96)，推定値のバイアスは7.3ポイント低い（9.8%→2.5%）.
※1 MVNCD: Multi-Variate standard Normal Cumulative Distribution※2CML: Composite Marginal Likelihood

1. MACML推定に関する論文①②

Bhat, C.R.: The maximum approximate composite marginal likelihood (MACML)
estimation of multinomial probit-based unordered response choice models,Transportation Research Part B: Methodological, Vol.45, No.7, pp.923-939, 2011.

⇒MACMLの提案とProbitへの適用方法
Bhat, C.R., Sidharthan, R.: A simulation evaluation of the maximum approximate
composite marginal likelihood (MACML) estimator for mixed multinomial probitmodels, Transportation Research Part B: Methodological, Vol.45, No.7, pp.940953, 2011.

⇒数値実験によるMACMLの性能評価①②Bhat, C.R., Sidharthan, R.: A new approach to specify and estimate 本日の内容
nonnormally mixed multinomial probit models, Transportation Research Part B:
Methodological, Vol.46, No.7, pp.817-833, 2012.

⇒Skew-Normal
Bhat,
C.R., Dubey, S.:(歪度≠0）なMNPへの適用
A new estimation approach to integrate latent
psychological constructs in choice modeling, Transportation Research Part B:
Methodological, Vol.67, pp.68-85, 2014.
⇒潜在クラスモデルへの適用

452. MACMLアプローチ(1)2.1 MVNCD（多変量累積標準正規分布）の解析的近似⇒多変量正規分布を単変量分布の積で近似【設定1: 分布の分解】
W: 多変量標準正規分布

同時確率を下記のように分布の積に分解

二変量周辺分布

単変量条件つき分布（I>3）

【設定2：インディケータIでの分散共分散表現 】
ɶI =  1 Wi < wii 0 otherwise

上記を統合

Iの期待値を単変量累積標準正規分布Φ で評価

2. MACMLアプローチ(2)【線形回帰モデルでの展開】
誤差項※
最小二乗係数【単変量正規分布での近似】

多変量正規分布を選択肢数-1の単変量正規分布で表現⇒計算量は大幅に削減される！

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2. MACMLアプローチ(2)2.2 CML（合成周辺尤度）を用いたパラメータ推定⇒尤度関数を選択結果別の部分尤度（周辺尤度）の積で表現【合成周辺尤度 ※パネルを想定】
全情報尤度関数（通常）

合成周辺尤度関数

Ct: t期における個人の選択
mt: t期における個人の選択結果【性質】

CML推定量は一致性と漸近正規性を持つ

全情報尤度を周辺尤度に分割する事は、統計的な望ましさを保持しつつ計算量が大幅に削減される

3. 数値実験による性能評価

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対象モデル
Cross-section random coefficients model (Mixed MNP)

q: 個人
i : 選択肢ε: 誤差項 IIDガンベル

真値の設定

5000人分の仮想データを乱数を用いて20セットの実験データを作成

4. 性能比較結果 MSL vs MACML(1)Cross-sectional random coefficients model【Diagonal case】
・ 分散共分散行列の対角成分のみを推定
・ 計算時間：平均で約34倍速く、かつ速度にバラツキがない（安定的）・ バイアス： 平均で7.3ポイント低く、分散成分についても良好

9104.性能比較結果 MSL vs MACML(1)Cross-sectional random coefficients model【Non Diagonal case】
・ 分散共分散行列の下三角を推定
・ Diagonal caseと同様に約33倍早い（バイアスは2.1ポイント）

 l
 11
 l 21ɶΩ =  l31

 l41
 l
 51

l22
l32

l33

l42

l43 l44

l52

l53

l54




l55 

5. まとめ• 正規分布を持つOpen-formなモデル（Mixed-Probit）を対象とした新たな推定手法（MACML推定）を提案• パネルや空間相関を考慮した改良モデルに対してもMACML推定が適用可能であることを提示• 数値実験より高速かつ低バイアスなパラメータ推定値が得られる事を確認【著者談】
In closing, the MACML inference approach has the potential to dramatically
influence the use of the mixed multinomial probit model in practice, and should
facilitate the practical application of rich model structures for unorderedresponse discrete choice modeling.

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