証券経済研究第122号（2023.6）

ペイオフの平均回帰の構造が資産価格に及ぼす影響
田要

代

一聡

旨

本論ではペイオフの平均回帰の構造の可能性がある時に，資産価格等にどのような影響をもたらすかについて検討する。
その結果，いくつかの含意が得られた。ペイオフが平均回帰の構造をしていると信じている投資家は，そうでない投資家よりも情報に対する反応が鈍いという点である。この結果は，平均回帰の構造を投資家が無視してしまうことが，過大反応を引き起こす源泉となりうることにつながってくる。
キーワード：資産価格理論，リターンの平均回帰性目

次

1 ．はじめに

3.2

ケース 2 ：平均回帰のケース

2 ．モデル

3.3

ケース 3 ：混在するケース

2.1

基本構造

4 ．議論

2.2

投資家

4.1

平均回帰と情報への過大反応・過小反応

4.2

平均回帰の信念と時間不整合性

3 ．分析
3.1

ケース 1 ：ベンチマークケース

5 ．おわりに慮するというのは，さほど不思議ではない。例

1 ．はじめにえば，臼杵（2019）では，長期運用において，平均回帰性を考慮した資産配分について考えて伝統的な資産価格理論において，ほとんどのいる。その一方で，短期投資において，平均回場合，長期の投資と短期の投資の間に本質的な帰性を考慮されているようには思われない。こ差はない。すなわち短期が繰り返されて長期となのような想定の基では，短期の繰り返しで長期り，長期と短期の投資の間に齟齬は存在しない。の投資を表現するのは難しいように思われる。

しかし，長期投資において，平均回帰性を考

本論では，長期に資産のペイオフが平均回帰

41ペイオフの平均回帰の構造が資産価格に及ぼす影響するという構造が，資産価格等にどのような含2 ．モデル意をもたらすかを検討する。
平均回帰の構造自体は，非常に古くから取り入れられてきた。金利のモデルでは，Vasicek（1977）がおそらく最初であろう。以降，金融

2.1 基本構造工学の分野では平均回帰過程が使われている。

0 時点から 3 時点までの 4 つの時点を考え

しかし，情報の非対称性の問題を取り扱うことる。 1 種類の危険資産と 1 種類の安全資産が存を目的とした資産価格理論モデルにおいて，平在する，安全資産の純リターンは 0 に基準化

均回帰を取り入れたものは筆者の知る限りなし，弾力的に供給される。危険資産の供給量はい。

1 に基準化する。危険資産は， 3 時点にペイオ

本論では，ペイオフの構造に平均回帰性を導入し，資産価格等への含意を見ていく。

フ d1＋d2を発生させる。d1の情報は 1 時点に得られ，d2の情報は 2 時点に得られる， 3 時点に前段で述べたように，平均回帰性は長期におペイオフ d1＋d2が実現し清算される。ペイオフいて見られる現象であろう。長期の資産価格で関の事前分布は，2 つの可能性がある。ひとつは，連する文献として，まず挙がるのが，Bansal and独立なペイオフの可能性であり，ペイオフの事Yaron（2004）である。彼らのモデルは，長期（d,σ2d），ただし，d＞0,σd＞0で，前分布は di～N的な消費・配当成長の見通しと，短期的な消費d1と d2は独立に生じる。もうひとつの可能性のリスクを合わせて，均衡モデルを構築していは，平均回帰のペイオフの可能性である。そのる。

（d,σ2d）であるが，d2は d2～N（d場合は，d1～N

ま た，van Binsbergen, Brandt and Koijen（2012） で は， 短 期の リ ス ク プ レ ミ ア ム の 方,σ2d），ただし，0＜β 1という分布＋β（d－d1）から発生する。

が，長期のリスクプレミアムよりも高いという0 時点， 1 時点， 2 時点で各投資家が取引を発見をした。短期のリスクプレミアムの方が長行い，その取引価格を pt で表す。また，各時点期のリスクプレミアムよりも低いというのならでの取引のコストは 0 を仮定する。

ば，自然であるが，その逆になっているという発見は驚きである。この発見は，投資家は長期には平均回帰が起きると期待しているという考えとも，整合的であろう。

2.2 投資家
投資家には 2 種類のタイプが存在する。ひとつのタイプは，ペイオフの構造が独立であると認本論の以下の構成は以下の通りである。

識している投資家である（タイプ I）。もうひとつ2 章では，分析するモデルを提示する。 3 章のタイプは，ペイオフが平均回帰の構造を持ってでは分析行い， 4 章では平均回帰性のもたらすいると認識している投資家である（タイプ M）。

事柄について議論を行う。

投資家の存在量は 1 に基準化し，ペイオフが1 それぞれ，のタイプの投資家は別のタイプの投資家が存在することを認識しており，両者がそれぞれ，自分が正しい認識をしていると考えており，別のタイプの投資家は間違った認識をしていると考えている。
 また，ここでの関心は， 2 時点までの需要量や価格であり，誤った認識をしていることで 3 時点に損失を被るかには関心がない。

42証券経済研究
図表 1時点0

取引が行われるモデルのタイムライン

時点13時点のペイオフの一部（第122号（2023.6）

に関する情報を得る）

時点2

時点3

3時点のペイオフの一部

危険資産がペイ（に関する情報を得る）

オフ+生させる。
取引が行われる取引が行われるを発（出所） 著者作成

独立であると認識している投資家の割合をα，ての投資家がペイオフは独立であると認識していペイオフが平均回帰の構造を持っていると認識るケース（α＝1）を考える。

している投資家の割合を1－αで表す。また，各投資家 i の t 時点の効用最大化問題は，個々の投資家は非常に小さいため，価格に影響－γ（W－ptθi＋θ（d）i ＋d ）max E［－e］t12θiなので，を与えることはできない。
そして，ペイオフが独立であると認識していmax E［W－p（d］－γθ2iVar（dttθi＋θit1＋d2）
1＋d2）

る投資家の需要を D tI，ペイオフが平均回帰のの最大化問題と等しい。最大化の一階の条件か構造を持っていると認識している投資家の需要ら，この投資家の需要量は

θiMtを D で表す。

θi＝投資家の初期の富を W で，効用は 2 時点の富の量（W2）に対する CARA 効用関数で表さi－γW 2i＝－eれる，すなわち，U（W2）iである。ただ投資家の存在量が 1 であるので，
D tI＝各時点で期待効用を最大にするように投資を選
d1の情報は，s1＝d1＋ϵ1,ϵ1～N（0，σ2s）が 1 時点の取引前に得られ，d2の情報 s2＝d2＋ϵ2,ϵ22sγVar（dt1＋d2）となる。各投資家の需要量の合計は，α＝1とし，i は各投資家を表す（i∈［0,1］）。投資家は，択する。危険資産の購入量をθで表す。

E［－pt］t（d1＋d2）

E［－pt］
t（d1＋d2）γVar（dt1＋d2）

危険資産の供給量は 1 であるので，市場均衡価
格は］－γVar（dpt＝E［t（d1＋d2）
t1＋d2）～N（0，σ ）が 2 時点の取引前に得られる。情報となる。そのため，各時点の価格を求めると，は全投資家に共通の情報である。

0 時点はモデルのタイムラインは図表 1 の通りである

3 ．分析

1
po＝2d－2γλd
1 時点は，シグナル s1を入手するので，（3.1 ケース1：ベンチマークケース）

λdd
λd＋λs
1
λs
1s －γ －γ＋
λdλd＋λs 1
λd＋λsp1＝ 1＋

このモデルのベンチマークケースとして，すべ43ペイオフの平均回帰の構造が資産価格に及ぼす影響

2 時点は，さらにシグナル s2を入手するので，ズに理解できるであろう。β＝1の場合は，d1λdd
λd＋λsλs1
λss＋s －2γ＋λd＋λs 1 λd＋λs 2
λd＋λs11となる。ただし，λd＝ ，λs＝ を表す。
σdσs
1 時点と 2 時点でシグナルを得たことで，シの実現値が何であろうと，d1の平均からの乖離（p2＝2）グナルの方向へ平均値が動き，分散が小さくなっていくという形で表されている。

3.2 ケース2：平均回帰のケースをキャンセルアウトするように d2が生じる。
そのため , シグナル s1から得られる d1の実現値に関する情報は，平均回帰の構造のために，意味がなくなってしまう。結果として，d1のシグナルは完全に無視されてしまうのである。
そして，ベンチマークケースと比較して，d＜s1ならば，平均回帰性のために d2の低い値を予測するため価格が安くなる。逆に，d＞s1

次に極端なケースとして，平均回帰の信念をならば高い d2を予測するため価格が高くなる。

持つ投資家だけが存在するケース（α＝0）をそして，ベンチマークケースと比較して，考える。この場合も各投資家の最適化の条件はd＜s1ならば，平均回帰性のために d2の低い値前節の結果と同じであり，を予測するため価格が安くなる。逆に，d＞s1

D Mt＝E［－pt］t（d1＋d2）
γVar（dt1＋d2）］－γVar（dpt＝E［t（d1＋d2）
t1＋d2）となる。

ならば高い d2を予測するため価格が高くなる。
2 時点の価格は（）λs
λs
λdd＋s＋sλd＋λs
λd＋λs 1 λd＋λs 2λdλs1－2γ＋β（d－s1）
λd＋λs （λd＋λs）2p2＝210 時点の価格は po＝2d－2γ でベンチマー
λdクケースと同じになり， 1 時点で d1の情報をである。

入手した後に違いが生じる。

ベンチマークケースとの差は，最後の項（）

λs
λd1d＋s －γλdλd＋λsλd＋λs 11
λs－γ＋β（d－s1）
λd＋λsλd＋λsλdλs
β（d－s1）である。
（λd＋λs）2

ベンチマークケースと平均回帰のケースのシ（d－s1）であり，両者の関係は

p1＝d＋1 時点のベンチマークとの価格差はβλs
λd＋λs

グナルの価格に与える影響を見ると，それぞλλSs と（1－β） S s1である。このれ，λd＋λs 1λd＋λs関係式から，平均回帰性の強さを表すパラメーとなるので，価格差は 2 時点のほうが縮まってタ（β）が強くなるのに応じて，シグナルの方いることになる。

λdλsλsβ（d－s1）＜β（d－s1）
λd＋λs（λd＋λs）2向への平均値の動きが鈍くなっていく。そしこのモデルの形で平均回帰性を定式化した場て，βは平均回帰のパラメータであるので，d1合に，平均回帰の信念を持つ投資家にとって，に対するシグナル影響が弱くなるのは，d2が平途中で得られる情報の影響が低くなってい均回帰の構造を持つと思っていることによってる2。これは，完全に平均回帰なリターン構造生じている。

を持っているならば，最終的に平均的なリター

β＝1という極端な場合を考えると，スムー44ンがもたらされると見込まれるので，途中の良証券経済研究第122号（2023.6）

い情報もしくは悪い情報の価値がなくなるといケースと同じである。 1 時点と 2 時点の価格う直感と整合的であるように思われる。

は，それぞれ（）λs
λd1d＋s －γλdλd＋λsλd＋λs 11λs－γ＋（1－α）
β（d－s1），λd＋λsλd＋λsp1＝d＋3.3 ケース3：混在するケース前節までは， 1 つのタイプの情報を持つ投資（）λs
λs
λdd＋s＋sλd＋λsλd＋λs 1 λd＋λs 2λdλs
1－2γ＋（1－α）
β（d－s，1）2λd＋λs（λd＋λs）

家しか想定しなかったが，この説では両タイプp2＝2が混在するケース（0＜α＜1）を考える。モデルをできる限り簡単にするために，ここでは，両となる。前節の両極端の状況の中間となる。

方のタイプが得る情報は同一のものであると仮定する3。

ベンチマークケースと平均回帰のケースの中各投資家の最適な投資は前節までと同じであ間の状況では，価格が中間の水準となるというり，市場均衡条件はのは非常に直感的である。しかし，各投資家のαD It＋（1－α）D Mt ＝αIt

E［（d1＋d2）－pt］

需要量を見ることで，やや興味深い傾向が見え

γVar（dt1＋d2）
E M［－pt］
t （d1＋d2）＝1＋（1－α）
γVar（dt1＋d2）

るs1＞d の場合に，p1,p2の最後の項はマイナス

jtとなる。E はタイプ j の投資家の期待値を表になる。この時の需要曲線の変化と均衡の変化

4す。

を描いたのが図表 2 である。

10 時点の価格は po＝2d－2γ でベンチマークλd
図表 2(1 − )(高s1のシグナルを受けて，需要曲線は上昇し，需要曲線と均衡（si＞d のケース）−( から生じる需要の差供給曲線

均衡
均衡
価格均衡に

タイプ 需要曲線

よる

0時点の需要曲線

需

1時点の需要曲線

要安変均衡
少化

需要タイプ

需要曲線

多（出所） 著者作成

2 ベンチマークケースと比較して，シグナルの影響が小さい。
3 このような仮定を置くことで，均衡における価格を通じた情報伝達の問題を考慮しないで済む。
4 分散も投資家のタイプ別に表示すべきであるが，ここのモデルは両者が同じであるので省略している。

45

ペイオフの平均回帰の構造が資産価格に及ぼす影響

均 衡 E か ら， 均 衡 E' へ と 移 動 す る こ と に な

4 ．議論る。この均衡の移動を言葉で表現すると次のようになるであろう。
投資家は，高い d1を予想させるシグナルの発生を観察し，市場の価格は上昇する。この価格の上昇は，タイプ I にとっては過小な上昇であり，タイプ M にとっては過大な上昇である

4.1 平均回帰と情報への過大反応・過小反応
上の分析モデルでは，それぞれの投資家が，ペイオフの分布が独立あるいは平均回帰であると考えている。
そのため， 0 時点では，同じ量の証券を保有かのどちらかを信じると仮定していた。

していた両タイプであるが，タイプ I は保有量

この仮定を変更し，全ての投資家が，確率αを増やし，タイプ M は保有量を減らそうとすで独立の分布，確率1－αで平均回帰と認識しる。ていると考えてみる（混合分布のケース）。こ

まず，タイプ I が保有量を増やすとしよう，
すると，価格上昇圧力が生じるため，均衡 EIのように変更をしても，混在するケースと 1 時点の需給均衡の価格（p1）は変わらない5。の水準まで保有を増やすことはできない。次

図表 2 は，混在のケースだけでなく，混合分に，タイプ M が保有量を減らすが，やはり価布のケースの均衡も表している。シグナル s1＞d

M

格下落圧力のため，均衡 E の水準まで減らすが生じたことで， 0 時点から需要曲線は上に移ことはできない。しかし，タイプ M によって動し，均衡 E から均衡 E' へ移動する。

生じた価格下落圧力のために，タイプ I は保有混合分布のケースでは，最初から 1 時点の需量をさらに増やすことができ，そして，タイプ I要曲線へ移動する。それに対して，混在のケーによって生じた価格上昇圧力のために，タイプ M

スでは，独立の投資家（タイプ I）と平均回帰が保有量をさらに減らすことができる。このよの投資家（タイプ M）で需要曲線の動きが異うなサイクルが繰り返されることによって，タなる。タイプ I の方がタイプ M，そして全体I

イプ I は均衡 E の水準まで保有を増やし，タMの需要曲線よりも，シグナル s1によって需要がイプ M は均衡 E の水準まで保有量を減らす

大きく動くが，全体としては，混合分布のケーことができるのである。

スと同じ需要曲線となる。

このような両タイプが相互に関係し，行動を混合分布のケースが「合理的な情報の取り込より極端な方向へ動かすことが，前説までの分み」であると考えた場合，タイプ I は情報に対析では見ることのできなかった点である。

して過大な反応を，タイプ M は過小な反応をしていることを意味することになる。
平均回帰という想定しうる構造を，誤って認識することが6，過大反応の原因になりうると

5 p2は s2の情報から，分布の確率の改定が行われるため，一般には二つのケースで異なる。

6 ペイオフ構造を誤って認識しているという考えは新しい物ではなく，例えば Hong，Stein, and Yu（2007）が同様に，構造の誤認を用いて，資産価格の大きな変動を説明するモデルを提示している。

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証券経済研究第122号（2023.6）

いうのは興味深い現象であるように思われる。

均回帰性を期待しているため安定したリターン

このモデルでは，情報への過大反応，つまり価が期待されるのに対し，短期では平均回帰性を格が合理的な水準よりも高くなるとは言えな考慮しない。そのために，時間不整合の存在のい。しかし，例えば，空売り制約を導入するこ有無によって，リスクとリターンの関係が変化とで，価格が高くなる可能性を示すのは容易でする可能性が期待される。

ある。

5 ．おわりに4.2 平均回帰の信念と時間不整合性
資産価格理論において，時間不整合をもたら本論では，平均回帰のペイオフ構造の可能性す効用の元での分析がされている。代表的な論が，資産価格にもたらす含意について分析を文として Harris and Laibson（2001）や Luttmer行った。取り扱いやすさのために，非常にシンand Mariotti（2003）がある。これらの分析は，プルなモデルでの議論を行った。そのため，本双 曲 割 引 関 数（hyperbolic discount function）

論での平均回帰性の想定は，万人に納得されるや双曲割引関数をより一般化した形で，現在バものになっているとは思えない。しかし，それイアス（present bias）を導入し，時間不整合でも，いくつかの興味深い含意が得られたよう性の分析を行っている。に思われる。

長期の平均回帰の信念は，現在バイアスとは一つは，平均回帰の信念を持つ投資家は，途別の形で時間不整合性をもたらす可能性がある中の情報を相対的にあまり考慮しないという点と考えられる。長期的には平均回帰性が存在すである。平均回帰性を信じているために，途中ると考える投資家であったとしても，短期的にのリターンが良いもしくは悪かったとしても，平均回帰性が成立すると考えているようには思その後にそれを埋め合わせるように，その後のわれないためである7。

リターンが生じるため，途中のリターンに関す

そのため，平均回帰性が存在するという前提で，老後の資金のような長期的な投資を目的とる情報はあまり重要でなくなる。そのために途中の情報を相対的にあまり考慮されない。

して行う場合に最適な投資行動と，短期的な投もう一つは，平均回帰の信念とそうではない

資判断を積み重ねて長期の投資を行う場合に取投資家が混在している状況では，購入量を増やられる投資行動では異なる行動となるであろ

す・減らす行動を互いに逆方向に取り，それにう。

よってさらに極端な行動にさせるという点である。

さらに，Luttmer and Mariotti（2003）では，例えば，同様のモデルで，例えば Grossman

現在バイアスは安全利子率には影響するが，リand Stiglitz（1980）では，情報をもつ投資家

スクとリターンの関係には影響を与えないことと情報を持たない投資家が存在する。このモデが議論されている。一方で，平均回帰性に伴うルでは，情報を持たない投資家は，価格から情長期と短期の時間不整合性の場合は，長期に平報を持つ投資家の情報を推測して行動する。そ7 例えば，Asness 達［2013］が示したように，短期的にはモーメンタムが広くみられる47

ペイオフの平均回帰の構造が資産価格に及ぼす影響のため，情報を持たない投資家は情報を持つ投Asness, C. S., Moskowitz T. J. and Pedersen L. H.

資家の行動と同じような行動をとろうとするた（2013）, “Value and Momentum Everywhere”

め，情報を持つ投資家の行動をよりマイルドに

Journal of Finance, Vol.68, pp.929-985

することになる。
最後に，平均回帰の構造を無視する投資家が存在するときに，情報に対する過大反応を起こす源泉となりうる点も興味深い。高頻度取引業者（HFT）をはじめとした，短いタイムホラ

Bansal, R. and Yaron A.（2004）, “Risks for the LongRun,” Journal of Finance, Vol.59, pp.1481-1509.
van Binsbergen, J., Brandt M. and Koijen R.（2012）,“On the Timing and Pricing of Dividends,”
American Economic Review, Vol.102, pp.15961618.

イゾンで取引を手仕舞う投資家にとって，長期Grossman, S. J. and Stiglitz J. E.（1980）, “On the Im-での平均回帰構造が実際に存在したとしても，possibility of Informationally Efficient Markets,”

自身は平均回帰の影響を受けないと考えている

American Economic Review, Vol.70, pp.393-408.

であろう。もしそうであれば，そういった短いタイムホライゾンの投資家が，過大反応の源泉となるかもしれない。
しかし，課題も多く残されている。特に，平均回帰に対する考えから，時間不整合性を起こしうるように思われるが，分析できておらず，今後の課題となる。

Harris, C. and Laibson D.（2001）, “Dynamic Choicesof Hyperbolic Consumers,” Econometrica,Vol.69, pp.935-957.
Hong, H., Stein J. and Yu J.（2007）, “Simple forecasts and paradigm shifts,” Journal of Finance,
Vol.62, pp.1207-1242.
Vasicek, O.（1977）, “An Equilibrium Characterisation of the Term Structure,” Journal of Financial Economics, Vol.5, pp.177-188.

引用

文

献

Luttmer, E. and Mariotti T.（2003）, “Subjective discounting in an exchange economy,” Journal ofPolitical Economy, Vol.111, pp.959-989.

臼杵 政治（2019）「株式リターンの平均回帰と年金運用」『年金ストラテジー』，Vol.274, pp.2-3。

48（当研究所研究員）