ボソン系の量子計算に向けて
2023年10月11日 大阪大学南部陽一郎ホール

手塚真樹（京都大学理学研究科）

構成• はじめに：ボソン系を扱う動機と、計算にあたっての問題• 固体物理：電子-フォノン相互作用系を例として• 行列模型：カットオフの導入• 空間の離散化：テンソルネットワークを用いた例• 1次元調和振動子の量子力学の復習（ここから黒板か iPad）• 離散化：有限自由度での取り扱い• ボソン系の離散化の影響評価 [Hanada-Liu-Rinaldi-MT 2023]• 経路積分とモンテカルロ法、負符号問題について• 簡単な例：1個の調和振動子• もう少し複雑な例：空間2次元の自由スカラー場• まとめIntroduction
量子計算

ボソン自由度• Rapid progress in device
development• さまざまな物理系の量子シミュ
レーション➢有限個の量子ビット(またはqudit)、有限次元空間• フォノン• ボース統計に従う冷却原子気体• 光量子と物質の相互作用: cavity
QEDなど• 非可換ゲージ理論➢無限個の準位: カットオフ必要

カットオフの効果:ある場合には、符号問題のないモンテカルロ(古典計算)で評価可能

問い• ボソン系を扱うために、連続自由度を離散化するが• その影響を古典計算で評価できるか？

ボソン系を扱う動機(1) フォノン
• 固体中のフォノン：典型的に数十 meV （遅い）3
• 例：デバイ模型 𝜔 = 𝑐 𝒌 : 𝜔𝐷
= 6𝜋 2 𝑛𝑐 3 𝒌: 波数 𝑐: 音速 𝑛: 原子密度

• 電子のバンド幅：典型的に数 eV （速い）• 電子に比べてイオンが遅いとみる: Migdal 近似• 成り立たない物質多数• フォノンのエネルギースケールが大きい（硬い分子の変形等）• 電子のエネルギースケールが小さい（強相関物質, フラットバンド）• 電子相関と、電子フォノン相互作用を対等に扱う必要テンソルネットワークによる扱い• DMRG (密度行列繰り込み群) 擬サイト法• E. Jeckelmann and S.R. White, PRB 57, 6376 (1998)

サイトあたりの自由度が大きい → 分割する
フォノン擬サイト

電子擬サイト➔ Hubbard-Holstein模型（フォノンの分散がなく、電子サイトと結合した調和振動子として扱える）に適用した例
M. Tezuka, R. Arita, and H. Aoki, PRL 95, 226401 (2005); PRB 76, 155114 (2007)

DMRGによる電子-フォノン系の計算
電子擬サイトフォノン擬サイト

密度行列を対角化、ボンド次元を制限する

直前の状態から変換行列により近似的な波動関数を得て、改良[see S. R. White, PRL 77, 3633 (1996)]

MT, J. Phys. Soc. Jpn. 76, 053001 (2007)
必要なサイト数に到達したら、有限系のアルゴリズムでボンド次元を増やしながら波動関数を改善する。

E. Rinaldi, X. Han, M. Hassan, Y. Feng, F. Nori, M. McGuigan, and M. Hanada, PRX Quantum 3, 010324 (2022)
M. Hanada, J. Pedersen, E. Rinaldi, and MT, in preparation

ボソン系を扱う動機(2) 行列模型
• ゲージ重力対応: 重力を含まない量子系から、量子重力を調べる• Yang-Mills型行列模型: M理論（5つの超弦理論を統合）等の文脈で注目されてきた [Itzhaki-Maldacena-Sonnenschein 1998; Banks-Fischler-Shenker-Susskind 1997; deWit-Hoppe-Nicolai 1988; Berenstein-Maldacena-Nastase 2002 等]• ボソン型の例• 𝑑個の、トレースが0の𝑁次元エルミート行列 𝑋1 𝑡 , … , 𝑋𝑑 (𝑡) を考える。
• 𝑆 = ∫ 𝑑𝑡 Tr

2221𝑚𝑔22σ𝐼 𝐷𝑡 𝑋𝐼 − σ𝐼 𝑋𝐼 + σ𝐼≠𝐽 𝑋𝐼 , 𝑋𝐽224• 𝐷𝑡 ⋅= 𝜕𝑡 ⋅ −𝑖[𝐴𝑡 ,⋅], 𝐴𝑡 はゲージ場,演算子形式
෡ = Tr•𝐻

1 2𝑚2 2𝑔2𝑃෠𝐼 + 𝑋෠𝐼 −224𝑋෠𝐼 , 𝑋෠𝐽

22 −12 −1𝑁𝑁, 𝑃෠𝐼 = σ𝛼=1 𝑃෠𝐼𝛼 𝜏𝛼 , 𝑋෠𝐼 = σ𝛼=1 𝑋෠𝐼𝛼 𝜏𝛼• 𝜏𝛼 はSU(𝑁)の生成子 Tr 𝜏𝛼 𝜏𝛽 = 𝛿𝛼𝛽• 𝑋෠𝐼𝛼 , 𝑃෠𝐼𝛽 = 𝑖𝛿𝐼𝐽 𝛿𝛼𝛽෡• 𝐻や正準交換関係は、SU(𝑁) に属する変換で不変なゲージ一重項• 一重項の張るヒルベルト空間ℋinv とする• 一重項以外も含むヒルベルト空間ℋext を考えて 𝑃෠𝐼 , 𝑋෠𝐼 を定義• ℋext での経路積分で正しく計算できる[e.g. M. Hanada, PRD 103, 106007 (2021);
M. Hanada, H. Shimada, and N. Wintergerst, JHEP08(2021)039]

カットオフの導入

E. Rinaldi, X. Han, M. Hassan, Y. Feng, F. Nori, M. McGuigan,and M. Hanada, PRX Quantum 3, 010324 (2022)

22 −12 −1
1 2𝑚2 2𝑔2
𝑁𝑁
෡
෠
෠෠෠෠෠
෠
• 𝐻 = Tr 𝑃𝐼 + 𝑋𝐼 −𝑋𝐼 , 𝑋𝐽 , 𝑃𝐼 = σ𝛼=1 𝑃𝐼𝛼 𝜏𝛼 , 𝑋𝐼 = σ𝛼=1 𝑋෠𝐼𝛼 𝜏𝛼2242
1 2𝑚2 2𝑔2෡෠෠෠෠
• 𝐻 = σ𝛼,𝐼 𝑃𝐼𝛼 + 𝑋𝐼𝛼 + σ𝛾,𝐼,𝐽 σ𝛼,𝛽 𝑓𝛼𝛽𝛾 𝑋𝐼𝛼 𝑋𝐽𝛽 の形に書ける。
224𝑚𝑖 𝑃෠ 𝐼𝛼𝑚𝑖 𝑃෠ 𝐼𝛼†෠෠• 生成消滅演算子 𝑎ො𝐼𝛼 =𝑋 −, 𝑎ො =𝑋 +を導入
2 𝐼𝛼2𝑚 𝐼𝛼2 𝐼𝛼2𝑚1෡• 𝐻 = 𝑚 σ𝛼,𝐼 𝑛ො 𝐼𝛼 +2𝑔2
σ+16𝑚2 𝛾,𝐼,𝐽††
σ𝛼,𝛽 𝑓𝛼𝛽𝛾 (𝑎ො𝐼𝛼 + 𝑎ො𝐼𝛼)(𝑎ො𝐽𝛽 + 𝑎ො𝐽𝛽)†෠෡• ゲージ変換の生成子 𝐺𝛼 = 𝑖 σ𝛽,𝛾,𝐼 𝑓𝛼𝛽𝛾 𝑎ො𝐼𝛽 𝑎ො𝐼𝛾 は𝐻と交換• 各 𝐼, 𝛼 について 0 𝐼𝛼 を𝑎ො𝐼𝛼 0 𝐼𝛼 = 0, 𝑛 𝐼𝛼 =† 𝑛𝑎ො 𝐼𝛼𝑛!

20 𝐼𝛼• 0, … , Λ − 1 = 2𝐾 − 1 までの準位に制限した演算子𝑎ො𝐼𝛼,truncated を導入• ゲージ不変ではなくなるが、𝐾個の量子ビットで扱える

ボソン系の離散化の影響評価• ここでは、場の値の離散化の効果を主に扱う• 最大値, 最小値は充分大きくとる• 同じ方法で、カットオフの大きさの効果も評価可能• 例1. 1個の非調和振動子• 例2. 2次元正方格子上の自由スカラー場

𝑝ො2
෡ = + 𝑉(𝑥)例1: 1個の非調和振動子 𝐻2• 配位: 1個の整数 𝑛 ∈ 0,1, … , Λ − 1 を 各虚時間ステップで考える𝑗 ∈ {1,2, … , 𝐾}
2𝑅𝑥 𝑛 = −𝑅 + 𝑛𝑎dig , 𝑎dig ≡Λ−1• 分配関数 逆温度 𝛽 = 𝐾Δ
𝑍 𝛽 = Tr𝑒 −𝛽𝐻෡෍𝑛 1 𝑒 −Δ𝐻෡ 𝑛 2𝑥−𝑅𝜏=𝛽𝑛 2 𝑒 −Δ𝐻෡ 𝑛 3 ⋯ ⟨𝑛 𝐾 |𝑒 −Δ𝐻෡ |𝑛 1 ⟩𝑛 1 ,…,𝑛 𝐾• 運動エネルギー項の近似122𝑝Ƹ = −𝑖∇ = 2 2|𝑛⟩⟨𝑛| − (|𝑛 + 1⟩⟨𝑛| + c. c. )𝑎dig𝑎dig𝑅Λ

虚時間≃Mass = 1

𝜏=0𝑥 0 = −𝑅𝐾𝑥𝑥 Λ−1= +𝑅ℏ = 1 in this talk𝑝ො2
෡ = + 𝑉(𝑥)例1: 1個の非調和振動子 𝐻
2𝑥 𝑛 = −𝑅 + 𝑛𝑎dig ,𝑛 ∈ {0,1, … , Λ − 1}

• 逆温度 𝛽 = Δ × 𝐾 での分配関数
𝑍 𝛽 = Tr𝑒 −𝛽𝐻෡ ≃𝑛 1 𝑒 −Δ𝐻෡ 𝑛 2

෍𝑛 2 𝑒 −Δ𝐻෡ 𝑛 3 ⋯ ⟨𝑛 𝐾 |𝑒 −Δ𝐻෡ |𝑛 1 ⟩𝑛 1 ,…,𝑛 𝐾• 𝑛𝑗• 𝑛𝑗

෡
−Δ𝐻𝑛exp𝑝ො2−Δ2𝑒𝑗+1≃ 𝑛𝑗exp

𝑛 𝑗+1 ≃

𝑝ො2−Δ21−Δ2𝑎dig

𝑛 𝑗+1 exp −Δ𝑉 𝑥 𝑛 𝑗+1

𝛿𝑛 𝑗 ,𝑛 𝑗+1 +( Δ ≪ 1)

Δ2 (𝛿𝑛 𝑗 ,𝑛 𝑗+1 +1 + 𝛿𝑛 𝑗 ,𝑛 𝑗+1 −1 )2𝑎dig

Δは 1 − 2 > 0 のとき 𝑛 𝑗 , 𝑛 𝑗+1 によらず非負。
𝑎dig• 符号問題なしのモンテカルロ計算が可能。

Markov Chain Monte Carlo: 更新法 (1)1サイトごとの（局所）更新• 提案: 𝑛 𝑗1を ±1 ずらして 𝑛′ にする（確率 ）2• 下記を満たさない場合却下:

Λ𝜏=𝛽Imaginary timeΛ𝛽(𝑗)• 当初の配位: すべての 𝑛 = , 𝑗 = 1,2, … , 𝐾(= )
2Δ𝐾

𝜏=0

• 0 ≤ 𝑛′ ≤ Λ − 1• 𝑛′ − 𝑛 𝑗+1 = 0 or 1, 𝑛′ − 𝑛 𝑗−1 = 0 or 1

• Metropolis テスト：採択確率 min(1, 𝑒 −𝛿𝑆 )• 𝛿𝑆 は作用𝑆の増分 (𝑍 = 𝑒 −𝑆 )𝑥 0 = −𝑅𝑥𝑥 Λ−1= +𝑅𝑥 4 𝑚2 2
𝑉 𝑥 =+𝑥42
Λ = 2001, 𝑇 = 0.1, 𝑎dig = 0.5,𝑚2 = 1, Δ = 10−3

➢ 非効率（物理量はほとんど変化しない）
1回の sweep: 各 𝑗 で1回試行→（実現した遷移回数によらず、一定頻度で物理量を測定）

5 × 106

Markov Chain Monte Carlo: 更新法 (2)Λ𝛽= , 𝑗 = 1,2, … , 𝐾(= )2Δ

クラスタ (ブロック) 更新𝐾• ランダムなブロック長 1 ≤ 𝐵 ≤ 𝐵max =2• 提案: 𝑛 𝑗 , 𝑛 𝑗+1 , … , 𝑛 𝑗+𝐵 を ±1 ずらすΛ
𝜏=𝛽虚時間• 当初の配位: すべての 𝑛(𝑗)𝜏=0

• 下記を満たさない場合却下:• 0≤𝑛• 𝑛′′ 𝑗𝑗+𝐵,…,𝑛′(𝑗+𝐵)

𝑥 0 = −𝑅𝑥 4 𝑚2 2𝑉 𝑥 =+𝑥42≤Λ−1− 𝑛 𝑗+𝐵+1 = 0 or 1, 𝑛′

𝐾

𝑗− 𝑛 𝑗−1 = 0 or 1

• Metropolis テスト: 採択確率 min(1, 𝑒 −𝛿𝑆 )• 𝛿𝑆は作用𝑆の増分➢ 自己相関長の短い、効率的な更新

1回の sweep: 各 𝑗 で1回試行→（実現した遷移回数によらず、一定頻度で物理量を測定）

𝑥𝑥 Λ−1= +𝑅

Λ = 2001, 𝑇 = 0.1, 𝑎dig = 0.5,𝑚2 = 1, Δ = 10−3104𝑝ො2
෡ = + 𝑉(𝑥)例1: 1個の 非調和 振動子 𝐻2•𝑉 𝑥𝑥4𝑚2 2= + 𝑥 , 𝑎dig や 𝑚2 への依存性を見たい42• 𝑉 𝑇=0.1 : 104 回の sweep (各𝑗でブロック更新を試行後𝑉を測定)にわたる平均• カットオフはここでは大きくとる: 𝑅 = 1000𝑎dig , Λ = 2𝑅 + 1 = 2001

• 各𝑎dig で、Monte Carlo (MC) の結果 (Δ = 10−3 ) は厳密対角化 (Exact) と整合

 より大きなシステムでは厳密対角化不可能➢ MCMC は符号問題なく適用できる!

Δ2 ≪1𝑎dig例2: 2次元自由スカラー場• 正方 𝑑次元格子, 𝑁bos = 𝐿𝑑 個のボソン
𝑑෡lat = ෍𝐻𝑛1 2 12𝜋ො 𝑛 + ෍ 𝜙෠ 𝑛+ෝ𝜇 − 𝜙෠ 𝑛+𝑉 𝜙22𝜇=1• 𝑁bos 個の整数 𝑛 = 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑁bos , 𝜙𝑖 𝑛𝑖 = −𝑅 + 𝑛𝑖 𝑎dig
• 𝑍 𝛽 = Tr𝑒 −𝛽𝐻෡ ≃ σ𝑛 1 ,…,𝑛 𝐾 𝑛 1 𝑒 −Δ𝐻෡ 𝑛 2• 𝑛𝑗𝑒෡−Δ𝐻𝑛𝑗+1≃ 𝑛𝑗• 𝑛 𝑗 , 𝑛 𝑗+1 が何でも、 1 −exp −Δ σ𝑖ෝ 𝑖2𝜋2𝑛 2 𝑒 −Δ𝐻෡ 𝑛 3 ⋯ ⟨𝑛 𝐾 |𝑒 −Δ𝐻෡ |𝑛 1 ⟩𝑛 𝑗+1 exp −Δ𝑉 𝑛 𝑗+1𝑁bos Δ> 0 であれば非負.
2𝑎dig• 符号問題のないMCMCが可能。

厳密な2点相関
2D (4×4 周期境界条件), 自由なスカラー場
2𝑚lat
𝑉 𝜙 =
෍ 𝜙෠𝑛2 , 𝑚lat = 𝑚𝑎lat , 𝑚2 = 1, 𝑁bos = 42 = 162𝑛𝑑=22
1 2 1𝑚lat
2෡lat = ෍𝐻𝜋ො 𝑛 + ෍ 𝜙෠𝑛+ෝ𝜇 − 𝜙෠𝑛 +𝜙෠𝑛2222𝜇=1𝑛2𝜔lat,𝑞 ෠ ෠1෠෠= ෍ 𝜋෤ 𝑞 𝜋෤ −𝑞 +𝜙෨ 𝑞 𝜙෨ −𝑞
22𝑞

22with 𝜔lat,𝑞= 𝑚lat+ 4 σ𝑑𝜇=1 sin2

Δ → 0, 𝑅 → ∞, 𝑎dig → 0 で期待される値
𝑇 → 0: 零点振動 𝜙෠෨ 𝑞 𝜙෠෨ −𝑞 =1
有限の 𝑇 = : 𝜙෠෨ 𝑞 𝜙෠෨ −𝑞 =𝛽𝑞𝜇2.

12𝜔lat,𝑞1𝛽𝜔lat,𝑞2𝜔lat,𝑞 tanh 2

我々の計算: Λ = 2001 < 211 , 𝛽 = 1, 最大のクラスタサイズ 𝐵 = 𝐾/2(𝑎dig , Δ) はΔ2𝑎dig≤ 0.01𝑁bos Δ≤ 0.162𝑎digとなるように選択した。

例2: 2次元自由スカラー場
2𝑚lat
𝑉 𝜙 =
෍ 𝜙෠𝑛2 , 𝑚lat = 𝑚𝑎lat , 𝑚2 = 1, 𝑁bos = 42 = 162𝑛

Δ → 0, 𝑅 → ∞, 𝑎dig → 0で期待される値
有限の 𝑇: 𝜙෠෨ 𝑞 𝜙෠෨ −𝑞 =シミュレーション結果

1𝛽𝜔lat,𝑞2𝜔lat,𝑞 tanh 21.0819

0.1841

我々の計算: Λ = 2001, 𝛽 = 1,最大のクラスタサイズ𝐵 = 𝐾/2Δ(𝑎dig , Δ) は 2 ≤ 0.01 となるよう選択𝑎dig

厳密な値を知らない場合？
𝜙෠෨ 𝑞 𝜙෠෨ −𝑞 = 𝐴𝑒−𝑎𝐵dig+𝐶として、𝐴, 𝐵, 𝐶に関してfit𝑞Ԧ

(0,0)(𝜋, 𝜋)

厳密値

1.08190.1841

Fit 結果1.0814(10)0.18324(10)Masanori Hanada, Junyu Liu, Enrico Rinaldi, and Masaki Tezuka, arXiv:2212.08546
tezuka@scphys.kyoto-u.ac.jp

まとめ• ボソン系の量子計算を念頭に、場の値の離散化の効果を評価• 古典計算機でMarkov-Chain Monte Carlo 計算• 離散化した場の値 = 𝑎dig の整数倍, カットオフ 𝑅 以内
• 符号問題のない、効率的なサンプリング𝑁qubit2𝑥• デモンストレーション：• 𝑎dig が小さくなるとともに指数関数的なエラー減衰➢ カットオフ 𝑅 が小さい場合の計算も容易➢ 行列模型なども同様に計算可能−𝑅𝑎digΛ𝑅𝜏=𝛽虚時間• 1個の非調和振動子 (→)• 2次元格子上の自由スカラー場

2𝑅
∼𝑎dig

𝜏=0𝑥 0 = −𝑅𝐾𝑥𝑥 Λ−1= +𝑅