行動モデル夏の学校 2008

(1) 所要時間信頼性の経済評価と行動モデル(2) デンマーク・スイス方面の研究レビュー (2007-8)
福田 大輔
東京工業大学 大学院理工学研究科 土木工学専攻

2008 年 9 月 21 日

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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(1) 所要時間信頼性の経済評価と行動モデル

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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道路の交通混雑と所要時間の不確実性
所要時間の “絶対的な”長さを増加させるだけでなく，その変動性(Variability) を高め，予測をより困難なものとする．
旅行者にとって，この不確実性は追加的コストとして認識される．
50
Max
Min

45
40
35
30
25
20
15
10
5
6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Figure: 流入時刻 (横軸：時) 別に見た最大・最小所要時間 (縦軸：分)Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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背景：所要時間の不確実性の (経済) 評価
プロジェクト評価の実状：
日本・アメリカ等：BTI(Buﬀer Time Index) 値に代表されるような “Performance Measure”の利用が中心→ Economic appraisal における直接適用は難しい
英国・オランダ・スウェーデン等：SACTRA(Standing
Advisory Committee for Trunk Road Assessment，英) 等，
Congestion Charge の CBA において積極的導入の動き

VTTV(Value of Travel Time Variability)：
所要時間分布の広がり (e.g. 標準偏差，タイル値) の変化に対する，利用者の限界的な支払い意思額
行動モデルにおける VTTV の取り扱い：
1

2

平均−分散アプローチ
e.g. Jackson & Jucker (1981), Lam & Small (2001),
Small et al. (2005)
スケジューリングアプローチ
e.g. Small (1982), Noland & Small (1995), Bates et al. (2001)

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Modelling Behavior (1) 平均−分散アプローチ
ドライバーの (間接) 効用は，費用 C，期待旅行時間 ET ，
旅行時間の標準偏差 σT に規定される：

U = δC + αET + ρσTδ, α, ρ: 各限界不効用
その簡便さ故，1980 年初頭より多くの適用例,
e.g., Jackson & Jucker (1981).
所要時間の中央値を ET の代わりに，90・50 パーセンタイル
値の差を σT の代わりに用いる例も, e.g., Small et al. (2005)

Value of travel time (VTT) = α/δ，VTTV = ρ/δ
アウトカムそのものが効用関数の引数でない→ミクロ経済学
的基礎は，必ずしも確固たるものとはなっていない．

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Modelling Behavior (2) スケジューリングアプローチ
ドライバーの (間接) 効用は，費用 C，時間 T に加えて，希望到着
時刻 (Preferred arrival time: PAT) からどれほど乖離して早着/遅
着したかによって決まる (Small (1982))．
また，これらの属性は，出発時刻 th に依存する．

U(th ) = δC + αT + βSDE + γSDL + θDL : Small’s Function
SDE: Schedule delay early, SDL: Schedule delay late,
DL : 遅着ダミー, δ, α, β, θ: 各限界不効用.
スケ
ジ
ュー
ル遅
れ
不
効
用

傾き γ

傾き β

高さ θ
PAT

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

到着時刻
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(続き)
PAT からの遅れは，同程度の早着よりも大きな不効用として評価される．
アウトカムがそのまま引数になっている (平均−分散アプ
ローチに対しての利点).
所要時間の不確実性を考慮したとき，極めて限定的な条件下
で平均−分散アプローチに等価 (Noland & Small (1995)).
期待効用関数：EU(th ) = δC + αET + βE(SDE) + γE(SDL) + θPL
PL : 遅着確率
所要時間分布が出発時刻に独立で，一様分布/指数分布に従う場合，EU˜ = δC + αET + θP˜L + H(α, β, γ, θ, b, ∆)bb: 指数分布のパラメータ (=平均及び標準偏差)「所要時間と出発時刻の独立の仮定性」の妥当性「指数分布を所要時間分布として採用すること」の妥当性
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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問題意識の整理

所要時間信頼性向上の経済便益は，プロジェクト総便益の中でもそれなりのシェアを占める可能性

e.g. London Congestion Charge における時間信頼性向上の便益は，全体の 2 割強という試算も (SACTRA)
時間信頼性を経済評価の枠組みに乗せるためには，
1

理論的に整合・統一されており，

2

旅行者の選好情報に基づいて推定可能で，

3(時間変動を表すための) 交通流モデルを用いた応用が可能な，

VTTV の定義・理論構築・推計方法の確立が必要．
.

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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本研究の目的

道路交通における時間信頼性価値 (VTTV: Value of Travel
Time Variability) の推計方法の開発
特に本研究では，統合アプローチ
Fosgerau & Karlström (2007), Fosgerau & Fukuda (2008) の実適用可能性について検討
統合アプローチの概要
通勤者のコスト関数はスケジューリングアプローチに準拠．
しかし，モデル実適用に当たって PAT の情報を必要としない．
最適解は平均−分散アプローチに帰着
Noland & Small (1995) と異なり，任意の所要時間分布に対して成り立つ

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 20089/66

スケジューリングモデル
単一リンクにおける日々の所要時間変動を考慮した
ドライバーの出発時刻選択問題

Travel time = Free ﬂow time + Systematic delay+ Unexplained delay
Travel time variability の定義：Variation in unexplained delay
経路選択は考えない．
所要時間 T (確率変数) を Location-Scale 型で表記：

T = µ + σX
X : 基準化所要時間 (密度関数ϕ, 分布関数ϕ) →平均 0µ : 位置関数 (=期待値),
σ : 尺度関数 (=標準偏差，四分位範囲等)
ひとまず当面は，µ 及び σ が出発時刻によらず一定と考える．
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200810/66

スケジューリングモデル

ドライバーの PAT = 0 と設定（表記簡略化のため）ドライバーのコスト関数は，(1) 実所要時間 T ，(2)“ヘッド・スタート (出発時刻と PAT との差)” D
によって規定されると仮定
すなわち，出発時刻は −D
スケジューリングアプローチに基づくコスト関数の特定化：

C(D, T ) = ηD + λ(T − D)+ + ωT
where (T − D)+ : (T − D) が正の時その値，負の時 0
第一項：早 “発”不効用，第二項：遅着不効用，第三項：移動
時間の不効用Noland & Small (1995) を (遅着ダミーを除いて) 再定式化したものであり，それに等価．

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200811/66

スケジューリングモデル
期待コスト最小化問題：

[
˜

]

∫1

EC = min ηD + λ
D

D-—
ﬀ

(
一階の条件：

Φ(µ + σx − D)ϕ(x)dx + ωµ

D˜ -—
ﬀ

)

= 1 − ”–”
: 最適遅着確率 (optimal prob. of being late, Bates et al. (2001))–

上式を書き改めると，

(
˜

-1

D = µ + σΦ

1−

η

)

λ

X の分布のみが，その 1 − ”– th タイル値を介して，最適ヘッドス
タートに寄与する．
従って，Small Function のように折れ曲がったコスト関数でも，最適ヘッドスタートは µ と σ に関して線形となる．
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200812/66

スケジューリングモデル：概要
最小化期待コスト：

(
˜

η

)

EC = (η + ω)µ + λH Φ,
σ,
λ
[
]
(
) ∫1
-1 (ν)dν.
但し H Φ, ”
=
” Φ
1–
–

(η + ω)：平均所要時間の限界費用 (or VTT)()λH Φ, ”– ：所要時間変動の限界費用（or VTTV）
VTTV は，ドライバーのスケジュールパラメータ (λ, η) のみ
ならず，基準化所要時間分布の形状 (Φ) にも依存する．
→ 標準偏差 (or 四分位範囲等) を，所要時間分布の Variability を表す引数として用い，関連するパラメータは，ドライバーのスケジューリングモデル，並びに，(基準化) 所要時間分布の特性より推計すれば良い．
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200813/66

スケジューリングモデル：性質(留意点) 平均所要時間 µ，及び，尺度パラメータ σ が出発時刻 D に依存しないことを 暗黙に仮定µ と σ が一定の場合の最適ヘッドスタート D0 を Pivot とする線形関数として，µ と σ が表される場合：µ = µ0 + µ 0 (D − D0 )σ = σ0 + σ 0 (D − D0 )
(
)
η
-1
1−
D 0 ≡ µ0 + σ 0 Φ
λX ⊥ D ならば，µ と σ を一定と仮定した先の結果を用いてVTTV を精度良く近似的できる[Fosgerau & Karlström (2007), Appendix 2]
すなわち，上記設定における時間信頼性価値をVTTV(µ ′ , σ ′ ) とすると，VTTV(µ ′ , σ ′ ) ≈ VTTV(0, 0)→ 本研究で直交性 (独立性) を検証
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200814/66

スケジューリングモデル：性質
経路レベルでの VTTV 計測への拡張可能性：
基準化所要時間 X の分布 Φ は，セクション単位だと比較的容易に推計可能
集計化

リンクレベルの VTTV −→ 経路レベルの VTTV But how?
分布の形状：非対称・裾厚 [Fosgerau & Fukuda (2008)]
Estimated

Lower C. I.

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Figure: ϕ(X) のノンパラメトリック密度推定結果 [カーネル法]→本研究で安定分布 (Stable Distribution) の適合可能性を検証
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200815/66

検証用データ
コペンハーゲンにある放射状道路 “Frederikssundsvej”
全長 11.263 km の区間をさらに四区間に細分割
約 4ヶ月間の (流入時刻，所要時間) のデータベース

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200816/66

平均所要時間・所要時間変動の出発時刻依存性

20
18
16
14
12
6

8

10

12

14

16

18

20

22

6

8

10

12

14

16

18

20

22

7.5
5.0
2.5

ノンパラメトリック回帰分析の結果［A → E の 11.263km 区間］(上) 条件付平均所要時間 [µ(t) = E[T |t]](下) 条件付四分位範囲 [σ(t) = q0:75 (t) − q0:25 (t)]Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200817/66

平均所要時間と所要時間変動の相関関係

87t=8:156

5
t=6:004
t=16:05

3

2
11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

^ (t)) の散布図 (分)(^µ(t), σDaisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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基準化所要時間の出発時刻独立性の検証

基準化所要時間の条件付分布関数等高線が横軸（時刻）に対してほぼ並行! 基準化所要時間は出発時刻に対して概ね独立
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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Cond. Distribution
0.25
0.50
0.75

1.00

基準化所要時間の出発時刻独立性の検証

1064Standardiz

2
ed Travel

Time

0

20

15 of Daye
Tim

基準化所要時間の条件付分布関数 (3 次元表記)
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200820/66

安定分布 (Lévy Stable Distribution) とはHeavy-tailed data のモデリングに多用 (ファイナンス，情報通信，自然科学等)
X ∼ St (α, β, γ, δ)α ∈ (0, 2] : 安定性，β ∈ [−1, 1] : 歪度,
γ > 0 : スケール，δ ∈ R : 位置
If 0 < α < 2 → 分布の二次以上のモーメントが無限大に発散
If 0 < α < 1 → 平均値も不定
正規分布 (α = 2)，コーシー分布 (α = 1, β = 0)，レヴィ分布 (α = 0.5, β = 1) 等を特殊ケースとして包含特性関数 ﬃ(ﬁ)=E(exp(iﬁX)) による定式化のみ：
{
˙
¸
”“
”i
h
“
exp -‚α jﬁjα 1 + i˛ (signﬁ) tan πα(‚ jﬁj)1−α - 1
+ i‹ﬁ
2
¸
˙
i
h
ϕ(τ) =
exp -‚ jﬁj 1 + i˛ (signﬁ) tan 2 (ln jﬁj + ln ‚) + i‹ﬁπDaisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008(¸ 6= 1)(¸ = 1)21/66

安定分布 (Lévy Stable Distribution) とは安定性パラメータ α の影響(en.wikipedia.org/wiki/Levy skew alpha-stable distribution)
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200822/66

安定分布 (Lévy Stable Distribution) とは
歪度パラメータ β の影響(en.wikipedia.org/wiki/Levy skew alpha-stable distribution)
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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X の分布として安定分布を仮定することのメリット
加法性 (Stability property)
安定パラメータ α が共通の場合，安定分布に従う独立な確率変数の和も安定分布に従う．
異なるリンク間で基準化所要時間分布の独立性を想定できれば，安定分布を想定することにより，連続リンク区間 (より一
般には経路区間) における基準化所要時間分布を「畳み込み(Convolution)」により求めることができる．

一般化中心極限定理 (Generalized central limit theorem)
中心極限定理 (任意の母集団分布から抽出した標本の算術平均は漸近的に正規分布に従う) の一般形：分散が無限である任意の独立な確率変数の規格和は安定分布となる．
所要時間分布の非対称性・裾厚性を想定したとき(non-normality)，細密な道路ネットワークにおいて，各リンクの基準化所要時間分布の和を長期間に渡って観測・獲得したら，その極限分布は安定分布になる．
ネットワーク全体での VTTV の推計の可能性？
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

24/66

0.6
0.4
0.0

0.2

Density0.8

1.0

基準化所要時間への安定分布のフィッティング

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Standardized travel time

安定分布 X ∼ St (α, β, γ, δ) のパラメータ推定値：^ = 1.0, γ^ = 1.3, β^ = 0.3049, ^α
δ = −0.3785
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200825/66

安定分布の加法性
互いに独立な J 個の安定分布に従う確率変数
Xj ∼ St (α, βj∑, γj , δj ), j = 1, ..., J に対し，
平均 X̄ = 1/J Jj=1 Xj も安定分布 X̄ ∼ St (α, β̄, γ̄, δ̄) に従う．
ここで，

∑J

¯

¯

j ¯ j ¯¸
j=1 β γ /Jβ̄ = ∑m j ¸ ,j=J |γ /J|

1=¸
J ¯
¯¸
∑
¯ j ¯ ¯γ /J¯

γ̄ =

,

j=1

 ∑
]
(
)[
∑J
J
j /J + tan ı¸j γj /J

δ
β̄γ̄
−
β
(α ̸= 1)
j=1
j=1
]
[ 2
δ̄ =
¯
¯
∑
∑
J
J
2
j
j j

¯ j ¯ (α = 1)
j=1 δ /J + ı β̄γ̄ log γ̄ −j=1 β γ /J log γ /J
基準化所要時間分布：リンクレベル → 経路レベル で集計
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200826/66

安定分布の加法性：畳み込み結果の検証
四つのサブ区間における各 α の推定値は概ね同一の値

1.0

その平均値 (= 1.132) を用いて畳み込みを実施

0.6
0.0

0.2

0.4

Density

0.8

Stable fitted
Convoluted

−2

0

2

4

6

Standardized travel times

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

27/66

2
−1 0

1

Data

3

4

5

Quantile–Quantile プロット

0

10

20

30

40

50

60

Stable fit

分布の右裾部分において，データとモデルの乖離が大きい→VTTV(or H) の推計にも影響
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

28/66

X の分布として安定分布を仮定することのデメリット
分散が “無限大”となることの好ましくない影響：
H の推計値に大きな乖離→ VTTV の推計にも影響
旅行時間の (これ以上はあり得ないであろうという)“最大値”pXmax を与えることで，乖離を是正することが可能：() ∫pXmaxH ′ Φ, η, pXmax = pX
Φ−1 (ν)dν.
−η
λ
max

0.60

NormalStable0.9999

Empirical
Stable0.999

λStableStable0.99

0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.5

1/3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

異なる ”=–(横軸) に対する H の計算値 (縦軸)
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200829/66

所要時間変動に起因するドライバーのコストの試算
0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00
6

8

10

12

14

16

18

20

22

Figure: 所要時間の不確実性に起因するコストシェアの時間推移
Small (1982) の推定結果［(”; –; !) = (1; 1; 5)］，及び，ノンパラメト
リック密度関数より数値計算される H の値 ı 0:29 を用いて算出
昼間のほとんどの時刻帯において，不確実性のコストは全体コストのの
20 パーセント以上を占めている
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200830/66

結論（所要時間分布特性の統計解析）
モデルの要約：(˜EC = (η + ω)µ + λH Φ,

η
λ

)
σ,

ドライバーのスケジュール選好パラメータ (λ, η) と，基準化所要時間分布の形状 (Φ) を与えることで，VTTV の推計が可能に．
本研究：上記モデルの実用化に向けた諸検討.

1

基準化所要時間の時刻独立性の仮定→ 概ね妥当2

安定分布へのフィッティング→ 分布の中心付近にいては良好，しかし，分布の右裾の部分における当てはまりは必ずしも良くない

3

安定パラメータの等価性の仮定 → 概ね妥当
→ 異なる道路セクション間での基準化所要時間分布の畳込
経路レベルでの基準化所要時間分布の導出可能性

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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今後の展開の展開の可能性

.

.

1

他データを用いた検証 (安定分布は Stylized Fact となるか?)

2

セクション間の基準化所要時間の独立性の確認(e.g. Conditional dependence test)3

経路選択行動の考慮 (Stochastic time-dependent networks)

4

スケジューリング・パラメータの推定 (SP 調査)

5

時間的均衡概念 (e.g. Arnott–de Palma–Lindsey モデル) の導入

6

サービス間隔の離散性の考慮 (鉄道，バス，航空等の公共
サービス評価).

.

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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(2) デンマーク・スイス方面の研究レビュー (2007-8).

1

経路選択：Network-free データと重複経路の相関

2

サンプリング：GEV モデルに対する内生的標本抽出

3

モデルの特定化：確定項の特定化，MXL 分布の特定化

4

意思決定のアノマリー：参照点依存型モデル

5

誤差項スケーリング：乗数型ランダム効用モデル.
.
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2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200833/66

[1] 経路選択：
Network-free データと重複経路の相関
Bierlaire, M., Frejinger, E., 2008. Route choice modeling with
network-free data. Transportation Research Part C: Emerging
Technologies 16 (2), 187–198.
Frejinger, E., Bierlaire, M., 2007. Capturing correlation withsubnetworks in route choice models. Transportation ResearchPart B: Methodological 41 (3), 363–378.

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Network-free data

経路選択モデルにおいては，選択された経路の“Link-by-link” なデータが必要となるが，通常，直接それが利用できることはほとんど無い．
ネットワークに適合した経路を得るためのデータ処理
GPS で得られたデータの Map matching
アンケート調査で報告された経路の再構成
検証は難しく，バイアスや誤差をもたらす可能性大．

i を個人のトリップに伴って得られるデータ列とする．例：GPS 観測点の系列，経路の所々で報告されたランドマークポ
イント
各データ点に対して “Domain of Data Relevance (DDR)” を定義．例：GPS の観測範囲，ランドマークポイント

DDRs が network-free data と network model の橋渡しをする

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Network-free data

GPS データによる DDR
5
4
2

7
6

8

9

1
3

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2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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Network-free data

アンケート調査データによる DDR
5Intersection
Main St and Cross St

4City center

7

8
Mall

2

6

9

1
Home

3

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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Network-free data

最終的には，経路選択モデル P(p|Cn (s), β) の未知パラメー
タ β を推定したい (Cn (s): OD ペア s を利用する個人 n の経
路選択肢集合)個人 n の観測データ i に関連する OD ペアは複数あり得る(集合 Si )Si が与えられたとき，個人 n の観測データ i が再現される確率は，∑∑
Pn (i|Si ) =P(s|Si )Pn (i|p)Pn (p|Cn (s), β)s2Si

p2Cn (s)Pn (i|p)：観測方程式．アンケート調査の場合，i がパス p に合致するなら Pn (i|p) = 1，それ以外は 0．GPS データの場
合，確率は i と p の (最短) 距離の関数となる．

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Network-free data
GPS データによる DDR
5
4

7

2

6

8

9

1
3

Pn (i|Si ) =∑s2Si

P(s|Si )∑Pn (i|p)Pn (p|Cn (s), β)p2Cn (s)P(i|s) = P(i|p1 )P(p1 |C(s), β) + P(i|p2 )P(p2 |C(s), β)Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Dealing with correlation: Subnetworks

モデルの複雑さを増すことなく，いかにして，ネットワーク
における重要な相関構造を考慮することができるか．
経路選択行動において，行動論的に (認知的に？) 重要な意思決定は何か？
ネットワークにおける「特定部分」に着目(e.g. 主要幹線道路, 市中心部)“Subnetwork”という概念：ラベリングが容易に可能なネット
ワークを構成する部分リンク
Subnetwork をシェアしている経路同士は，例え，互いに物理的に重複していなくとも，相関していると仮定

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Subnetworks

Subnetwork の例

D
Sa
Path 3
Path 2Path 1O
Sb

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Subnetworks

D
Sa
Path 3
Path 2Path 1O
Sb

Error Component Logit (MXL):√√
U1 = βT X1 + l1a σa ζa + l1b σb ζb +ϵ1√
U2 = βT X2 + l2a σa ζa+ϵ2√U3 = βT X3 + l3a σa ζa+ϵ3In general,

J: 経路数 (= 3)
Q: Subnetwork 数(= 2)

Un = βT Xn + Fn Tζn + ϵnVariance-covariance matrix of ζ:(
2
2
FTTT FT =l1a+ l1b ﬀb
p ﬀa p2l1appl2a ﬀal3b l1b ﬀ2
bDaisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technologypp
l1a l2a ﬀ2
al2a ﬀ2a0p)pl3b ﬀ2b0
l3b ﬀ2bl1b2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 200842/66

[2] サンプリング：
GEV モデルに対する内生的標本抽出
Bierlaire, M., Bolduc, D., McFadden, D., 2008. The
estimation of generalized extreme value models fromchoice-based samples. Transportation Research Part B:
Methodological 42 (4), 381–394.

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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BBM (Bierlaire, Bolduc, McFadden) 推定量
Choice-based sampling で得られたデータに対し，統計的一致性を持つような GEV モデルパラメータ推定量を提案：
Notation:R(i, x, B, θ) = rg(i;x) (θ)π(B|i, x)
R(i, x, B, θ): 属性 (i, x) を持つ母集団構成員が標本抽出され，かつ，部分選択肢集合 B ⊆ C が割り当てられる確率rg(i;x) (θ): 属性 (i, x) を持つ母集団構成員が標本抽出される
確率
θ: 行動モデルのパラメータπ(B|i, x): 属性 (i, x) を持つ個人に対して，部分選択肢集合
B が割り当てられる確率
R が次のように異なる形の積で表されると仮定：
R(i, x, B, θ) = Q(i, x, B)S(i, x, B, θ)Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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BBM 推定量
CML (Constrained Maximum Likelihood) Estimator:
LC =

N
∑

ln ∑

n=1

S(in , xn , Bn , θ) Pr(in |xn ; θ)j2Bn S(j, xn , Bn , θ) Pr(j|xn ; θ).

WESML (Weighted Exogenous Sample Maximum
Likelihood)Estimatior:
LW =

N
∑

Q(in , xn , Bn )-1 ln Pr(in |xn ; θ).

n=1

WCML (Weighted CML) Estimatior or
BBM (Bierlaire, Bolduc, McFadden) Estimator:∑-1 ln P S(in ;xn ;Bn ;„) Pr(in jxn ;„) .
LBBM = N
n=1 Q(in , xn , Bn )S(j;xn ;Bn ;„) Pr(jjxn ;„)j2Bn(Q = 1 → CML and S = 1 → WESML.)
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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BBM 推定量
GEV model:-V1 ;:::;e-VJ ;‚)F› = F›1 ;:::;›J (V1 , . . . , VJ ) = e-G(eGi (x, β, γ) ≡ @eV@G(eV1 , . . . , e-VJ ; γ) とすると，i (x;˛)∑=∑S(in , xn , Bn , θ) Pr(in |xn ; θ)j2Bn S(j, xn , Bn , θ) Pr(j|xn ; θ)eVi (x;˛)+ln Gi (x;˛;‚)+ln S(i;xn ;Bn ;„)j2Bn eVj (x;˛)+ln Gj (x;˛;‚)+ln S(j;xn ;Bn ;„)MNL 以外の GEV-Model に対しては，層別定数項補正は適用できない．すなわち，(W)ESML を non-MNL GEV model に適用することはできない．
C = C1 ∪ · · · ∪ CM という互いに排反な部分選択肢集合が定義でき，GEV 関数が Brock-Additive 型の場合には，ESML が一致推定量となることが分かっている．Nested Logit は×．
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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BBM 推定量

S(j, x, B, θ) = S(j, B, θ) とすると，選択肢別標本抽出(CBS) に対する GEV model の一致推定量は下記で与えら
れる:
max

˛;‚;!

N
∑

Q(in , xn , Bn )-1 ln ∑n=1

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eVi (xn ;˛)+ln Gi (xn ;˛;‚)+!ij2Bn eVj (xn ;˛)+ln Gj (xn ;˛;‚)+!j2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

.

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[3] モデルの特定化：
確定項の特定化，MXL 分布の特定化
Fosgerau, M., 2008. Speciﬁcation testing of discrete choicemodels: a note on the use of a nonparametric test. Journal of
Choice Modelling 1 (1), 26–39.
Fosgerau, M., Bierlaire, M., 2007b. A practical test for the
choice of mixing distribution in discrete choice models.
Transportation Research Part B: Methodological 41 (7),784–794.

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Zheng–Fosgerau speciﬁcation test

ノンパラメトリック法に基づいた離散選択モデルの特定化の検定
条件付き期待値 E(y|x), y ∈ R, x ∈ Rm

y はバイナリー変数でもよい．また，多選択肢でもよい．
E(y|x) は x の関数 ⇒ 真の関数を g(x) とする．
分析者が特定化するのはパラメトリックなモデル：
f(x : θ), θ ∈ Θ
我々は，f(x : θ0 ) = g(x) となるような θ0 ∈ Θ が存在するかどうかを検証したい．
帰無仮説 H0 : ∃θ0 ∈ Θ Pr[f(x : θ0 ) = g(x)] = 1.
対立仮説 H1 : ∀θ ∈ Θ Pr[f(x : θ) = g(x)] < 1.
モデルの (疑似) 誤差 ϵ = y − f(x : θ0 ) に着目．

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Zheng–Fosgerau speciﬁcation test

^ を用いると，残差は，パラメータの一致推定量 θ^
ei = yi − f(xi : θ)Zheng 統計量:∑
Tn = [

i»n

∑

(

∑

j»n; j6=i K∑
i»nj»n; j6=i

2K2(

xi -xjhxi -xj
h

)
ei ej
)

e2i e2j]1

2()
K: カーネル関数 (e.g. K(v) = p1 exp − 21 v2 )2ı1

h: バンド幅 (e.g. プラグインルール：= cn 2m , c: 定数)
If h → 0 and nhm → ∞, then under the null hypothesis,
Tn →d N(0, 1)

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Zheng–Fosgerau speciﬁcation test
Income が説明変数として含まれるべきかどうかの Omitted
Variable Test:
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4

2.75

3.00

3.25

3.50

3.75

4.00

4.25

4.50

4.75

5.00

5.25

5.50

5.75

6.00

6.25

6.50

Figure 2: Residuals of air alternative on real income

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Zheng–Fosgerau speciﬁcation test

現在の効用関数特定化が，総じて妥当かどうかのSpeciﬁcation Test:
0.5
0.4
0.3
0.2

Table 1: Zheng statistics for tests on systematic utilities V

0.1
0.0

V(Air)
V(Bus)
V(Car)
V(Train)

-0.1
-0.2

Air
0.2
3.2
5.5
5.0

Bus
0.8
3.7
9.7
3.4

Car
-0.2
1.9
2.7
1.12

Train
0.0
6.0
2.4
2.4

-0.3
-0.4

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Figure 4: Residuals of train alternative on systematic utility for bus

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Choice of a speciﬁc distribution in mixture models

MXL などにおいて，不適切な分布形を与えれば，時間価値な
どの支払い意思額指標の推計結果にゆがんだ結果をもたらす．
Fosgerau–Bierlaire test: Semi-nonparametric (確率密度関数などを近似するのに，級数近似を用いるノンパラメトリック統
計解析技法の総称) を応用．
離散選択モデルにおけるランダムパラメータ ω が分布関数
F，密度 f を持つ分布に本当に従っているのかをテストする．
真の分布関数を G，密度を g とすると，G(ω) = Q(F(ω))
Q: [0, 1] から [0, 1] への単調変換写像 (関数）．単位区間で定義された確率変数に対する分布関数と考えることができる．
偏微分して，g(ω) = q(F(ω))f(ω) を得る．
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Choice of a speciﬁc distribution in mixture models
1 2
今，関数 q は次のように近似される：q(x) ≈ K
qN (x)∑NqN (x) = 1 + k=1 δk Lk (x): N 次の Legendre 多項式近似∫+1
K = -1 q2N (F(ω))f(ω)dω: 正規化定数∑2直交性の性質より，K = 1 + N
k=1 δk
すると，MXL などのような Mixing タイプの離散選択モデル
は，変数変換 z = F(β) により以下のようになる：∫ +1
Pn (i|Cn ) =Pn (i|β, Cn )g(β)dβ
-1

≈

1

∫ +1

Pn (i|β, Cn )q2N (F(β))f(β)dβ

K -1
∫
1 1
=
Pn (i|F-1 (z), Cn )q2N (z)dz
K 0

F-1 (z) は元の分布に従う確率変数であり，モンテカルロシ
ミュレーションで積分計算が可能．
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Choice of a speciﬁc distribution in mixture models
帰無仮説 f = g の元では q = 1，すなわち，δk = 0, ∀k．
このとき，モデル∫ +1
Pn (i|Cn ) =Pn (i|β, Cn )g(β)dβ-1は，下記のモデルに等価，∫ +1
Pn (i|Cn ) =Pn (i|β, Cn )f(β)dβ-1

後者のモデルは前者の特別な場合であり (nested relation)，
尤度比検定等を用いて検定が可能．
(補足) Legendre 多項式の定義
Ln (x)=pp(n-1) 2n+1
4n2 -1p(2x-1)Ln-1 (x)(2x-1)Ln-2 (x); L0 (x)=1:nn 2n-3

R1

0 Lm (x)Ln (x)dx=0(if m6=n), 1(if m=n)

経験的に，三次位までとることで，全体の十分な近似が可能．
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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[4] 意思決定のアノマリー：
参照点依存型モデル
de Borger, B., Fosgerau, M., 2008. The trade-oﬀ between
money and travel time: A test of the theory ofreference-dependent preferences. Journal of Urban Economics
64 (1), 101–115.
Fosgerau, M., de Borger, B., 2008. Hedonic preferences,
symmetric loss aversion and the willingness to pay-willingness
to accept gap. Tech. rep., Technical University of Denmark.
Fosgerau, M., Hjort, K., Lyk-Jensen, S., 2008. An integrated
approach to the estimation of the value of travel time. Tech.
rep., Technical University of Denmark.

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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参照点依存型 (Reference-Dependent) 選択のモデル化

人は，現在おかれた状況を基に選択を行う(Reference-Dependent)
人は，同程度の利得よりも損失の方をより深刻に受け止める(Loss-Aversion)

SP 等により時間価値を推計する場合など，
WTP(支払いたいと思う額) − WTA(受け取りたいと思う額)の間に大きなギャップ
以上を不確実性下の状況でモデル化した代表例が「プロスペクト理論 (Kahneman & Tversky, 1979)」
リスクレス・多属性の状況に拡張したのが“Reference-Dependent Utility (Tversky & Kahneman, 1991)”

de Borger & Fosgerau (2008) では，上記を基に，Reference-Free な VTT(Value of travel time) を推計

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参照点依存型効用 (価値関数) と Choice Experiment

EG: Equivalent Gain，EL: Equivalent Loss
価値関数のもとでは，
WTP(t)<min[EG(t);EL(t)]»max[EG(t);EL(t)]<WTA(t)Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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価値関数 (Value Function)

Power Function が経験的に最も適合度が高い：
v (x) = S (x) e-”S(x) |x|1-˛-‚S(x)Where S(x) = x/|x|，γ: 損失性回避を表すパラメータ
η = γ = β = 0 のとき，時間と費用の限界代替率の比(i.e. 先程の 4 つ) は，Reference-Free VTT (w) に一致する．
重要な関係式：

ln [WTP(t)WTA(t)] = ln [EL (t) EG(t)] = 2

1 − βt1 − βcln [|wt|]

時間の価値関数と費用の価値関数が “対称 (i.e. βt = βc )” な
らば，w は WTP(t) と WTA(t) の幾何平均に等しい．

Hedonic Preference (Reference-Free 時間価値) とChoice Preference（WTP 等）との関連性を見出す為の一試案
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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Reference-dependent Discrete-choice Model
Econometric Speciﬁcation:
二項選択状況においてある一方の選択肢が選ばれる条件：-S(c1 )eS(c1 )”c jc1 j1-˛c +‚c S(c1 ) -S(t1 )eS(t1 )”t jwt1 j1-˛t +‚t S(t1 )<-S(c2 )eS(c2 )”c jc2 j1-˛c +‚c S(c2 ) -S(t2 )eS(t2 )”t jwt2 j1-˛t +‚t S(t2 )個人毎の時間価値を仮定：ln w = δ0 + δz + σu
対数を取った後，ランダム項を加えると：[1 − βt + γt S(ti )] [δ0 + δz + σu] <S(ci )ηc − S(ti )ηt + [1 − βc + γc S(ci )] ln |ci | −[1 − βt + γt S(ti )] ln |ti | + µεi(Binary MXL)DATIV (Danish Time-Value Survey) への適用：
WTP/WTA ギャップは約 4 倍
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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[5] 誤差項スケーリング：
乗数型ランダム効用モデル
Fosgerau, M., Bierlaire, M., 2007a. Circumventing the
problem of the scale: discrete choice models withmultiplicative error terms. Tech. Rep. TRANSP-OR 070703,
Transport and Mobility Laboratory, Ecole PolytechniqueFédérale de Lausanne.

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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乗算型ランダム項 (Multiplicative error terms)

先程の式で，誤差項を与える前の形 (価値関数表現) は：-S(c1 )eS(c1 )”c jc1 j1-˛c +‚c S(c1 ) -S(t1 )eS(t1 )”t jwt1 j1-˛t +‚t S(t1 )<-S(c2 )eS(c2 )”c jc2 j1-˛c +‚c S(c2 ) -S(t2 )eS(t2 )”t jwt2 j1-˛t +‚t S(t2 )価値関数の対数を取ってからランダム項を加えている．つまり簡
単に書くと，もとの確定効用 Vi とランダム項 ϵi との関係は，

U(Vj , εj ) = µVj εj (Multiplicative error terms)
例えば，通常の加算型ランダム効用モデルの場合，10 分の時間差
は移動距離の長短にかかわらず一定の効果を与える (ゆえに，セグメンテーション等が必要)．しかし，上記の定式化だとそれを明示的に考慮することができる．

Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

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乗算型ランダム項 (Multiplicative error terms)

Vj < 0, εj > 0 であるとすると，対数変換は単調変換であるので，選択確率は：
P(i|C) = Pr(µVi εi ≥ µVj εj ,∀j)

= Pr(−Vi εi ≤ −Vj εj ,∀j)

= Pr(ln(−Vi ) + ln(εi ) ≤ ln(−Vj ) + ln(εj ),∀j)= Pr(− ln(−Vi ) − ln(εi ) ≥ − ln(−Vj ) − ln(εj ),∀j)− ln(εj ) = ξj /λ, V̄i = −λ ln(−Vi ) のように定義すると (λ > 0)，P(i|C) = Pr(V̄i + ξi ≥ V̄j + ξj ,j ∈ C)= Pr(−λ ln(−Vi ) + ξi ≥ −λ ln(−Vj ) + ξj ,j ∈ C)

スケール λ は母集団全体で一定であることが確約されている（加算型モデルとの違い）
ξj の分布をガンベル等で仮定して，選択確率を導出
Daisuke FUKUDA, Tokyo Institute of Technology

2008 年 9 月 21 日 行動モデル夏の学校 2008

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VTTV References
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