受験番

号

東京大学大学院新領域創成科学研究科
物質系専攻
令和 4（2022）年度大学院入学試験問題
修士課程・博士後期課程共通

専 門 科 目
令和 3（2021）年 8 月 17 日（火）13：40～16：40（180 分）
注意事項
１． 試験開始の合図があるまで、この冊子を開いてはいけません。
２． 本冊子の総ページ数は 20 ページです。落丁、乱丁、印刷不鮮明な箇所などがあった場合には申し出て下さい。
３． この問題冊子の中にある第 1 問から第 10 問までの中から 3 問を選択し、解答して下さい。各 1 問につき解答用紙 5 枚を使って下さい。
４． 解答には必ず黒色鉛筆（または黒色シャープペンシル）を使用して下さい。
５． 解答は日本語または英語で記入して下さい。
６． この問題冊子にも必ず受験番号を記入して下さい。問題冊子は試験終了後に回収します。
７． 試験開始後は、たとえ棄権する場合でも退室することはできません。

空白ページ空白ページ第１問
質量の無視できる糸を用意し、その一端に質量𝑚のおもりを、他端にバネ定数𝑘を持
つ質量の無視できるバネを結び付ける。図に示すように、この糸を半径𝑎で質量𝑀の滑らかに回る一様な円盤状の定滑車にかけ、バネが鉛直になるようにバネの一端を地面に固定する。重力加速度の大きさを𝑔とし、鉛直方向下向きを𝑧軸正の向きとする。また、
滑車と糸の間での滑りはないものとする。とくにことわりがない場合、空気抵抗は考えなくてよい。
（１） バネの弾性力とおもりの重さが釣り合って静止しているときのバネの自然長からの伸びを求めよ。
以下、𝑧軸の原点を釣り合いの位置とし、釣り合いの位置からおもりをわずかに鉛直下
向きに変位させ、離した後のおもりの運動について考える。なお、おもりは地面から十分離れているものとする。
（２） おもりの位置𝑧を時間𝑡の関数として、おもりの運動を表す微分方程式を示せ。解答には、滑車とおもりの間の糸の張力𝑇! を用いよ。
（３） 滑車の回転角𝜃の変化量d𝜃と𝑧の変化量d𝑧の関係を示せ。ここで𝜃は図のように
反時計回りを正とする。
（４） 滑車とおもりの間の糸の張力を𝑇! 、滑車とバネの間の糸の張力を𝑇" 、滑車の回転
軸周りの慣性モーメントを𝐼とする。このとき、滑車の回転角𝜃を時間𝑡の関数として、𝜃の微分方程式を示せ。
（５） 滑車の回転軸周りの慣性モーメント𝐼を滑車の密度𝜎、半径𝑎、厚み𝑏を用いて表せ。さらに、𝐼を𝑀と𝑎で表せ。
（６） 滑車とバネの間の糸の張力𝑇" をおもりの位置𝑧の関数として表せ。
（７） おもりの運動を表す微分方程式を用いて、おもりが振動運動することを示せ。
（８） この振動運動の角振動数および周期をそれぞれ𝑚、𝑀、𝑘を用いて表せ。

#$（９） 次に、おもりが速度に比例する空気抵抗力−𝛾 #% (𝛾 > 0)も受ける場合を考える。
-1-

このとき、おもりが振動運動するための𝛾の条件を示せ。また、この振動運動の周期は、(８)の場合と比べて、どうなるか。理由とともに答えよ。

-2-

第２問
真空中で、図 1 のように、厚さが無視できる円形金属平板（半径 R）が xy 面上に置かれている。その中心は原点 O にある。この円形金属平板に q0（> 0）の電荷を与え一様に帯電させた。真空誘電率を𝜀& 、真空透磁率を𝜇& とする。
（１）点 P0 (x0, 0, z0) (z0 > 0) における電場ベクトル E を求めよ。|x0|, |z0|は R に比べて小さく、円形金属平板の端の効果は無視できるものとする。
図 2 のような、上と同じ円形金属平板二枚を xy 面に平行に置いたコンデンサーを考える。それぞれの中心は、点 A (0, 0, a)と点 B (0, 0, -a) (a > 0)にある。上の金属平板に -q1（q1 > 0）、下の金属平板に q1 の電荷を与え、それぞれを一様に帯電させた。
（２）点 P1 (x1, 0, z1) (z1 < -a)、および、点 P2 (x1, 0, 0)における電場ベクトル E を、ガウスの法則を用いて求めよ。a, |x1|, |z1|は R に比べて小さく、円形金属平板の端の効果は無視できるものとする。
図 3 のように、図 2 のコンデンサーの円形金属平板のそれぞれの中心に太さが無視できる導線をつなぎ、導線が z 軸上にあるようにした。一定の電流 I（＞0）（z 方向）を導線に流して、このコンデンサーを電荷が無い状態から充電する。各円形金属平板における電荷の分布は常に一様であるとする。この条件のもとで、以下の問いに答えよ。
'𝑬（３）点 P2 (x1, 0, 0)における電場ベクトル E の時間微分 を求めよ。a, |x1|は R に比べて'%小さく、円形金属平板の端の効果は無視できるものとする。
（４）図 4 に示すように、原点 O に中心があり xy 面に平行な半径|x1|の円 C1 を考え、そ'𝑬の円で囲まれた平面を S1 とする。𝜀& '% の S1 における面積分
4 𝜀&
)!

𝜕𝑬
∙ d𝑨
𝜕𝑡

を求めよ。d𝑨は面積要素ベクトルであり、その向きを+z 方向とする。
（５）点 P2 (x1, 0, 0)における磁束密度ベクトル B を求めよ。a, |x1|は R に比べて小さく、円形金属平板の端の効果は無視できるものとする。
（６）図 4 に示すように、点 P3 (0, 0, z2) (z2 < -a)に中心があり xy 面に平行な半径|x1|の円
C2 を考え、その円で囲まれた平面を S2 とする。電流密度ベクトルが i であるとき、S2 における面積分
4 :𝒊 + 𝜀&)"𝜕𝑬= ∙ d𝑨𝜕𝑡

を求めよ。d𝑨の向きは、+z 方向とする。a, |z2|は R に比べて小さく、円形金属平板の端の効果は無視できるものとする。
-3-

（７）S1 と S2 を上面と底面に持つ円柱の側面を S0 とする。（４）と（６）の結果を使うことにより、S0 における面積分
4 :𝒊 + 𝜀&)#𝜕𝑬= ∙ d𝑨𝜕𝑡

を求めよ。d𝑨の向きは、円柱の外向きの方向とする。
（８）下の円形金属平板における電荷の面密度𝜎の時間変化

𝜕𝜎
を求めよ。
𝜕𝑡

（９）電荷保存の法則を用いて、下の円形金属平板上の電流の線密度ベクトル 𝒋 の大きさを z 軸からの距離 r の関数として表せ。ただし、原点 O は除く。
（１０）（９）の結果を使って、 4 𝒊 ∙ d𝑨 を計算せよ。
)#

zz
P0 (x0, 0, z0)

y

y
A
x

O

O

P2 (x1, 0, 0)x

BP1 (x1, 0, z1)
図1

図2

z

z

I

I

y
A

y
A

O

P2 (x1, 0, 0)

x

S1

B

O

B
S0

I

I
C2
P3 (0, 0, z2)

S2
図3

図4

-4-

P2 (x1, 0, 0)
C1

x

第３問
量子数 1 の角運動量を考える。𝑧方向の角運動量演算子𝐿$ と𝑥方向の角運動量演算子
𝐿* はそれぞれ次のように書ける。
1 0 0
𝐿$ = ℏ C0 0 0 E
0 0 −10 1 0
C1 0 1E√2 0 1 0
ここで、ℏはプランク定数を2𝜋で割った値である。
𝐿* =ℏ

以下の問いに答えよ。
（１） 𝐿$ の固有値と固有ベクトルの組を全て求めよ。
（２） 𝐿* の固有値と固有ベクトルの組を全て求めよ。
（３） 𝑦方向の角運動量演算子𝐿+ を行列で表せ。ただし、交換関係が[𝐿$ , 𝐿* ] = 𝑖ℏ𝐿+であることに注意せよ。
（４） 𝑳" = 𝐿* " + 𝐿+ " + 𝐿$ " を行列で表せ。
（５） [𝑳" , 𝐿$ ]を計算せよ。そして、得られた結果に対して、その意味することを簡単に説明せよ。
（６） 𝐿* を測定したところℏの値を得た。その直後に再び𝐿* を測定したときに得られる値を求めよ。複数の値をとりうる場合、それぞれを得る確率も合わせて答えよ。
（７） 𝐿* を測定したところℏの値を得た。その直後に𝐿$ を測定したときに得られる値を求めよ。複数の値をとりうる場合、それぞれを得る確率も合わせて答えよ。
（８） 𝐿$ を測定したところℏの値を得た。その直後に𝐿* を測定したところ 0 の値を得た。さらに続けて𝐿$ を測定したときに得られる値を求めよ。複数の値をとりうる場合、それぞれを得る確率も合わせて答えよ。
次に、𝑧方向に磁束密度𝐵の磁場がかかっている状況を考える。このときハミルトニアン
は𝐻 = 𝛾𝐵𝐿$ とかける。ここで、𝛾は正の定数である。
（９） 時刻𝑡 = 0に𝐿$ を測定したところℏの値を得た。時刻𝑡 > 0に𝐿$ を測定したときに得られる値を求めよ。複数の値をとりうる場合、それぞれを得る確率も合わせて答えよ。
（１０） 時刻𝑡 = 0 に𝐿* を測定したところℏの値を得た。時刻𝑡 > 0に𝐿$ を測定したとき-5-

に得られる値を求めよ。複数の値をとりうる場合、それぞれを得る確率も合わせて答えよ。
（１１） 時刻𝑡 = 0 に𝐿* を測定したところℏの値を得た。時刻𝑡 > 0に𝐿* を測定してℏの値を得る確率を求め、𝑡を横軸にとって簡単に図示せよ。
（１２） 時刻𝑡 = 0 に𝐿* を測定したところℏの値を得た。時刻𝑡 > 0に𝐿+ を測定したときの値を求めよ。複数の値をとりうる場合、それぞれを得る確率も合わせて答
えよ。

-6-

第４問
一辺の長さが𝐿の立方体の箱がある。箱の中は真空であり、箱は温度𝑇の熱浴に接している。箱の中に存在する電磁波は、熱浴と熱平衡状態にあるものとする。箱の中の電磁波を互いに独立な調和振動子の集まりと見なすと、角振動数𝜔をもつ電磁波の固有エネ
ルギーは、零点エネルギーを基準として、
𝜖! = 𝑛ℏ𝜔

で与えられる。ここで、ℏはプランク定数を2𝜋で割ったもの、𝑛は 0 以上の整数とする。
ボルツマン定数を𝑘" として、以下の問いに答えよ。
（１） 角振動数𝜔をもつ電磁波（調和振動子）１つの分配関数𝑍# を求めよ。
（２） 角振動数𝜔をもつ電磁波（調和振動子）１つの平均エネルギー𝜀(𝜔, 𝑇)を求めよ。
つぎに、電磁波の振幅が箱の壁でゼロになる境界条件を考える。壁に直交する 3 つの軸をそれぞれ𝑥, 𝑦, 𝑧とすると、箱の中に存在する電磁波の𝑥, 𝑦, 𝑧方向の波数𝑘$ , 𝑘% , 𝑘& は
𝑘' =𝜋𝑚 (𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐿 'を満たす。ここで、𝑚' (𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)は正の整数である。電磁波の角振動数𝜔は光速𝑐と波数𝑘 = (𝑘$ ( + 𝑘% ( + 𝑘& ( ))/( を用いて、𝜔 = 𝑐𝑘 で与えられる。𝐿が十分に大きいとして、以下の問いに答えよ。
+!

（３） 波数𝑘 と𝑘 + d𝑘 の間に存在する電磁波の状態数が," 𝑘 ( d𝑘 で与えられることを示せ。ただし、電磁波は横波であり、1 つの波数𝑘に対して、2つのモードが存在することに注意せよ。
（４） 角振動数𝜔の電磁波による単位角振動数、単位体積あたりの状態密度𝑔(𝜔)を求めよ。
（５） 温度𝑇、角振動数𝜔の電磁波がもつ単位角振動数、単位体積あたりのエネルギー密度𝑢(𝜔, 𝑇)を求め、𝜔に対して概形を図示せよ。
（６） （５）で求めた𝑢(𝜔, 𝑇)を角振動数𝜔について積分することで、単位体積あたりの
. *$

/&

全エネルギー𝑈(𝑇)を温度𝑇の関数として求めよ。ただし、∫& , % -! d𝑥 = !0を用い
てもよい。
-7-

（７） 系全体の自由エネルギー𝐹 は温度𝑇 と体積𝑉 ≡ 𝐿- の関数であり、系全体の分配関数𝑍を用いて、𝐹(𝑇, 𝑉) = −𝑘" 𝑇 ln 𝑍で与えられる。このとき、箱の中の電磁波によ./)り壁の内側に働く圧力𝑝 = − .0は、𝑝 = - 𝑈(𝑇)で与えられることを示せ。

-8-

第５問
以下の各問（１）、（２）に答えよ。数値については有効数字３桁で答えよ。

（１） ピストンが付いたシリンダー内に 1 mol の理想気体が閉じ込められている。気体の圧力を P、体積を V、温度を T とし、定積モル熱容量を Cv = 20.8 J K−1 mol−1 とする。ピストンとシリンダーの間に摩擦はないものとし、ピストンを動かす過程は準静的であるとする。気体定数 R は 8.31 J K−1 mol−1 である。以下の(a)～(d)に答えよ。
(a) 等温過程では気体の圧力と体積が反比例の関係になることを示せ。
(b) 気体の温度を 400 K で一定にして、圧力を 3 atm から 1 atm に変化させたとする。
この過程における気体の内部エネルギ−変化 ΔU、気体がピストンに対してする
仕事 W、気体が吸収した熱量 Q、気体のエンタルピー変化 ΔH を求めよ。
(c) 気体の圧力を 1 atm で一定にして、温度を 400 K から 300 K に変化させたとする。この過程における気体の ΔU、W、Q、ΔH を求めよ。
(d) 図１に示すように、① T = 400 K における等温膨張、② P = 1 atm における定圧
圧縮、③ T = 300 K における等温圧縮、④ P = 3 atm における定圧膨張からなる
サイクル過程を考える。このサイクル過程における熱効率を求めよ。

-9-

（２） 純物質の相図について考える。圧力 P、温度 T を変化させると固相、液相、気相が現れるが、P−T 相図上における相境界線の傾き dP/dT は、以下のクラペイロ
ンの式によって表される：
d𝑃∆𝐻12345=
d𝑇 𝑇∆𝑉12345(1)

ここで、ΔHtrans および ΔVtrans はそれぞれ、相転移に伴うモルエンタルピー変化、
モル体積変化である。以下の(a)～(d)に答えよ。
(a) 加圧による氷の融点の変化について考察する。式（1）から固液共存線を表す以
下の式を導け。

𝑃" = 𝑃! +∆𝐻12345 𝑇"ln∆𝑉12345 𝑇!

(2)

ここで、(P1, T1)、(P2, T2)は固液共存線上の点である。また、P および T に対してΔHtrans および ΔVtrans は一定とみなせるとする。
(b) 式（2）を用いることで、氷に 500 atm の圧力がかかった場合における氷の融点を求めよ。ただし、1 atm における氷の融点は 273 K (0 ℃)であるとし、273 K(0 ℃)における氷の溶融に伴うモル体積変化が−1.70 ml mol−1、モル溶融エンタル
ピーが 6.01 kJ mol−1、1 atm = 1.01 × 105 N m−2 とする。
(c) 登山をしていて山頂でお湯を沸かすとお湯の温度が 373 K まで上がらない理由について考察する。式（1）から気液共存線を表す以下のクラウジウス・クラペ
イロンの式を導け。

𝑃" = 𝑃! exp _−∆𝐻12345 1
1: − =a
𝑅
𝑇" 𝑇!

(3)

ここで、(P1, T1)、(P2, T2)は気液共存線上の点であり、R は気体定数である。また、液体から気体への相転移において液体の体積は無視できるとし、気体は理想気
体とみなせるとする。さらに、P および T に対して ΔHtrans は一定であるとする。
(d) 式（3）を用いて、ある山の山頂での気圧が 0.6 atm である時、その山頂における水の沸点を求めよ。ただし、1 atm において水の沸点は 373 K であり、水のモル
蒸発エンタルピーは 40.6 kJ mol−1 とする。
- 10 -

第６問
多くの無機化合物の結晶構造は、大きな陰イオンの最密充填構造中に存在する隙間を比較的小さな陽イオンが占めるとみなすことにより理解される。以下の結晶構造に関する各問に答えよ。数値については有効数字４桁で答えよ。
（１） 最密充填構造に関する以下の問(a)、(b)に答えよ。
(a) 図１は、１種類の剛体球（球）を二次元に隙間なく敷き詰めた層を２つ重ねて上から眺めたものである。下の層の球の中心を紙面に投影した位置を A、同様に上の層の球の中心位置を B と表す。さらに B 層の上に積層する球の位置は A、または、A、B とは異なる第 3 の位置 C となる。このように層を周期的に積み重ねて得られる最密充填構造には立方最密充填構造(ccp）と六方最密充填構造(hcp)がある。それぞれの積層の繰り返しの最小単位（積層周期）を A、B、C を用いて表せ。
(b) A、B 層の間には異なる形状をもつ 2 種類の空隙が生じる。6 個の球に囲まれる八面体サイト(o)と 4 個の球に囲まれる四面体サイト(t)である。それぞれの中心を紙面に投影した位置を、A、B、C に対応する小文字 a、b、c で示せ。例えば、球 A の真上の空隙の位置は a となる。また、o、 t サイトは球 1 個当り何個存在するか答えよ。
（２） 球を陰イオンとみなし、空隙に陽イオンが位置するとして基本的な結晶構造を考える。以下の問(a)〜(e)に答えよ。
(a) 岩塩型構造は陰イオンの ccp 中のすべての o サイトを陽イオンが占める構造であり、ニッケル砒素型構造では hcp のすべての o サイトを陽イオンが占める。2 つの結晶構造における積層周期を A、B、C、a、b、c を用いて表せ。ただし、陰イオンの A–B 層間の a 位置に陽イオンが位置する場合の積層は AaB のように書くものとする。また、これら２種類の結晶構造をもつ化合物における化学結合の違いを推測し、その根拠とともに述べよ。
(b) 以下の物質群の中から、常温常圧において岩塩型構造をとるものを４つ選べ。
TiS, CrSb, TiO2, KCl, NiAs, CsCl, AlP, K2O, SiO2, CoO, ZnS, RbI, ReO3, GaAs, ZnO, CO2,
SiC, CaTiO3, CaO, Bi2Te3, Fe3O4- 11 -

(c) 岩塩型構造をとる NaCl 結晶の密度 2170 kg m−3 からアボガドロ数を求めよ。ただし、Na+イオンと Cl–イオンの中心間距離を 281.4 pm、Na と Cl の原子量はそれぞれ 22.990、35.453 とする。
(d) t サイトは、紙面に対して上向きの四面体の空隙である t+サイトと、下向きの四面体の空隙である t–サイトの 2 種類に分けられる。閃亜鉛鉱型構造では ccp のすべての t+サイトを陽イオンが占め、ウルツ鉱型構造では hcp のすべての t+サイトを陽イオンが占める。2 つの結晶構造の積層周期を A、B、C、a、b、c を用いて表せ。
(e) (b)の物質群の中から、常温常圧において閃亜鉛鉱型構造およびウルツ鉱型構造をとる化合物をそれぞれ２つずつ選べ。

（３）さまざまな結晶構造に関する以下の問(a)〜(d)に答えよ。
(a) CdI2 型構造は陰イオンの hcp 中で一層置きにすべての o サイトを陽イオンが占有する層状構造である。陽イオンが空の層を□で表して、その積層周期を A、B、C、a、
b、c、□を用いて表せ。また、陽イオンを介さずに陰イオン同士が直接積層する構造を何と呼ぶか答えよ。さらに、CdI2 型構造をもち、陽イオンを含まない層に小さなリチウムイオンが出入りすることからリチウムイオン二次電池の正極材料として用いられる物質は何か答えよ。
(b) BiI3 型構造は CdI2 型構造と同様の積層周期をもつ層状構造であり、金属原子面において周期的に欠損が起こったものとみなすことができる。BiI3 型構造における金属
原子の２次元配列を図示せよ。また、その配列を有する格子の名前を答えよ。
(c) ２種類の陽イオン X, Y と陰イオン Z からなる化合物 XYZ3 はしばしばペロブスカイ
ト型構造をとる。ペロブスカイト型構造の特徴を記せ。また、ペロブスカイト型構造を有する物質に特徴的な物性を一つ挙げ、それを示す化合物名を記せ。
(d) 陰イオンの ccp を基本とするスピネル型構造では、陽イオンが o、 t サイトを部分的に占有する。スピネル酸化物 NiCr2O4 では Ni(II)が t サイトに Cr(III)が o サイトに位置する。一方、NiFe2O4 では Ni(II)が o サイトに、Fe(III)の半分が o サイトに残りの半分が t サイトに位置する。NiCr2O4 と NiFe2O4 のそれぞれについて、d 軌道の結晶場分裂を考慮して組成式当りに含まれる不対電子の数を答えよ。常温常圧において NiFe2O4 は立方晶スピネル構造をとるが、NiCr2O4 は正方晶に歪んだスピネル構造をとる。その理由を簡潔に説明せよ。

- 12 -

第7問
以下の各問（１）〜（５）に答えよ。
（１） 非極性溶媒に溶かした 1–ブロモヘキサン溶液と水に溶かしたシアン化ナトリウ
ム水溶液は互いに混合せず、SN2 反応は進行しない。この反応を進行させるのに適切な触媒（cat.）を示せ。また、その理由を簡潔に述べよ。
CH3CH2CH2CH2CH2CH2Br +

cat.

NaCN
CH3CH2CH2CH2CH2CH2CN +NaBr（２） 次の化合物のうち、加熱すると脱炭酸する化合物を選び、またその理由を簡潔に
述べよ。
COOH

COOH

COOH OOO（３） 以下に示す七員環アルコールを脱水すると、生成する三種類のアルケンを示せ。
なお、鏡像異性体は考えないものとする。
H 3C
H 3C

CH3
OH

H2SO4

Δ

- 13 -

（４） フタレイン色素は酸−塩基指示薬である。以下の問いに答えよ。
(a) フタレイン色素 1 は pH < 8.2 の溶液では無色であり、pH 8.2 ~ 12.0 の溶液では赤紫色である。このときに生成する化合物の構造式を用いて、色の変化を説明せよ。
(b) フタレイン色素 1 は pH > 12.0 の溶液では無色になる。このときに生成する化合物の構造式を用いて、色の変化を説明せよ。
(c) フタレイン色素 2 は pH < 9.4 の溶液では無色であり、pH > 9.4 の溶液では青色になる。フタレイン色素 1 と 2 の色の変化の違いについて説明せよ。
O

O

O

O

O

CH3

H 3C

O

OH

OH

HC CH3
CH
CH3
HO
CH
3
H 3C

O

HO
phthalein dye 1

phthalein dye 2

3D structure of phthalein dye 2（５） ナフタレンは以下の経路で合成できる。空欄 A から D を埋め、反応スキームを完成せよ。

O
CH2CH2CH2

tert-BuO–Cl

1) AlCl3
2) H2O

Br

B

C

A

D

tert-BuO–
Br
naphthalene- 14 -

第８問
以下の問いに答えよ。式の導出過程、計算過程を示すこと。標準圧力を1 atmとし、気体定数は𝑅 = 8.31 J mol-! K -! である。
（１） 以下の式とともに、FeとOからなる反応を考える。
2Fe(s) + O" (g) → 2FeO(s)∆𝐺!∘ = −528860 + 129.46 𝑇 J mol-!

(1)

3
1
Fe(s) + O" (g) → Fe7 O8 (s)22∆𝐺"∘ = −547830 + 151.17 𝑇 J mol-!

(2)(s)は固相を、(g)は気相を示し、∆𝐺!∘ および∆𝐺"∘ は、それぞれの反応における標準
ギブスエネルギー変化である。𝑇 [K]は絶対温度である。
(a)

反応式 𝑥FeO(s) + O" (g) → 𝑦Fe7 O8 (s) における𝑥および𝑦を求め、FeO(s)とO" (g)からFe7 O8 (s)が生成される反応式を記述せよ。

(b)(a)で記述した反応の標準ギブスエネルギー変化を𝑇の関数として示せ。

(c)

FeO(s)とFe7 O8 (s) の共存平衡を与える酸素分圧𝑃9" [atm]を𝑇の関数として
求めよ。

(d)

𝑇 = 1500 K の 時 、 10-!" < 𝑃9" < 10-: atm の 範 囲 で は 、 𝑃9" に 応 じ てFe7 O8 (s)、FeO(s)、Fe(s)のいずれかが安定相となる。有効数字を 2 桁とした𝑃9" の範囲とともに、安定相を求めよ。

（２） 以下の式で表されるFe7 O8 (s)の水素還元を考える。
1
3
Fe7 O8 (s) + H" (g) → Fe(s) + H" O(g)
4
4

(3)

球状Fe7 O8 (s)粒子の還元により、外側にFe(s)層が形成され、Fe7 O8 (s)の半径が減少する(図 1)。球の中心からの距離を𝑟 [m]とし、時刻𝑡 [s]におけるFe7 O8 (s)の半径を𝑟; とする。Fe(s)層まで含めた粒子半径は時刻によらず𝑟& とする。Fe(s)層内のH" (g)のモル密度を𝑛(𝑟) [mol m-7 ]とし、𝑛(𝑟; )を𝑛< とする。𝑛(𝑟& )は時刻によらず𝑛& とする。
Fe(s)層中のH" (g)の拡散は Fickの第一法則にしたがうものとし、その拡散係数は一定で 𝐷 [m" s-! ]とする。Fe7 O8 (s)の表面(𝑟 = 𝑟; )で反応(3)が進行し、それによる単位時間あたりのH" (g)の消費量はFe7 O8 (s)の表面積𝑆 [m" ]と𝑛< のみに依存し、表面反応速度定数𝑘5 [m s-! ]を用いて
𝑘5 𝑆𝑛< とする。逆反応を考慮する必要はない。温度は一定で 800 K とする。

図1
- 15 -

(a)時刻𝑡において、拡散によって粒子表面(𝑟 = 𝑟& )からFe7 O8 (s)表面(𝑟 = 𝑟; )に向かうH" (g)の流束を𝛤(𝑟) [mol m-" s-! ]とするとき、4π𝑟 " 𝛤(𝑟)を𝐷および𝑛<を含む式として表せ。ただし、4π𝑟 " 𝛤(𝑟)は𝑟& ~𝑟; の範囲で一定とする。

(b)4π𝑟;" 𝛤(𝑟; )は反応(3)による単位時間あたりのH" (g)の消費量と一致するものとする。𝑛< を𝐷および𝑟; を含む式として表せ。

(c)

半径𝑟& のFe7 O8 (s)粒子が全て還元されるまでの時間𝜏 [s]を𝐷、𝑟& 、𝑘5 、𝑛& 、𝜌の関数として示せ。𝜌 [mol m-7 ]はFe7 O8 (s)のモル密度とする。

(d)

𝐷 = 3.0 × 10-= m" s-! 、𝜌 = 2.0 × 108 mol m-7 、𝑘5 = 5.4 × 10-8 m s-! とし、
𝑟& = 3.0 × 10-7 mのFe7 O8 (s)の還元が終了するまでに要する時間を有効数
字 2 桁で求めよ。ここで𝑛& は、標準圧力、800 Kの理想気体である水素のモ
ル密度とする。標準圧力、273.15 K における理想気体の体積は22.4 ×
10-7 m7 mol-! である。

（３） 図 2 は、Fe − C二元系状態図の一部を模式的に示している。
(a)

図 2 中の点X は共晶点である。点Y、Z の名称をそれぞれ答えよ。

(b)

徐冷に伴い点Zで生じる反応を (i) → (ii) + (iii) と記述した際、(i)、(ii)、および(iii)にあてはまる相の名称をそれぞれ答えよ。また、その反応によって得られる組織の名称を答えよ。

図2- 16 -

第９問
図 1 に示す面心立方（fcc）構造を有する純金属の塑性変形に関する以下の問いに答えよ。なお、格子定数を a、原子量を M とする。また、有効数字は 3 桁とする。

（１） 原子が半径 r の剛体球であり、最近接原子は互いに接している理想的な fcc 構造であるとき、この構造の充填率を計算せよ。
（２） M = 108、a = 0.409 nm とした時、この金属の密度[g cm-7 ]を計算せよ。なお、アボガドロ定数 NA は6.02 × 10"7 mol-! とする。
（３） ミラー指数{h k l}の逆格子ベクトル Ghkl が{h k l}面に垂直であることを示すとともに、{h k l}面の面間隔 dhkl を表す以下の式を導出せよ。
𝑑>?@ =

𝑎√ℎ" + 𝑘 " + 𝑙 "（４） すべり変形が転位運動により生じる時、ある結晶面上の転位を動かすのに必要なせん断応力の大きさは exp(-dhkl/|b|)に比例すると考える。b はすべり方向のバーガースベクトルである。fcc 構造における最密面および最密方向のミラー指数を示し、最密面ですべりが生じやすい理由を説明せよ。
（５） この金属単結晶を用いて一軸引張試験を実施する。引張軸を[1‹24]とした時に活動する主すべり系（すべり面、すべり方向）のミラー指数とそのシュミット因子を答えよ。なお、図 2 の[001]ステレオ投影図内に示した白抜き四角は上記の引張軸を表す。
（６） （５）の条件において一軸引張試験を実施している過程で引張軸の方位変化が観察された。どのような変化を示したか図 2 の一部を用いて図示するとともに説明せよ。

- 17 -

図１

図２- 18 -

第１０問
熱物性を利用した材料に関する以下の問いに答えよ。図１は、様々な工業用材料の室
温での熱伝導率 𝜅と熱拡散率 𝑎 の関係を示している。単位体積当たりの定圧比熱を 𝐶!
として、𝜅 = 𝐶! 𝑎 という関係がある。

（１）放熱板やヒートシンクの材料を選定したい。
(a) 図１から、材料として相応しいものを、選択した理由と共に 2 つ挙げよ。
(b) (a)で挙げた 2 つの材料の室温での熱伝導の主な機構を答えよ。2 つの材料の主な熱伝導機構が異なっている場合は、どのように異なるかを答えよ。
(c) 自由電子近似において、𝜅 とある物理量 𝑏 の比は、下記のように物質に依らない定数と温度で書ける。

!
"=#! %" '$" # 𝑇&

こ こ で 、 𝑘" は ボ ル ツ マ ン 定 数 （ 1.4 ´ 10－23 J K -1 ）、 𝑒 は 電 気 素 量（ 1.6 ´ 10－19 C）である。𝑏 は何か、また、この法則を何と呼ぶかを答えよ。
(d) (a)で選んだ 2 つの材料の内、1 つについて、図１から読み取った値を使って、室温（ 300 K ）における 𝐶𝑝 と 𝑏 を有効数字 1 桁で求めよ。
（２）次に、室温 𝑇$ から 1000 °C 程度の温度 𝑇 まで上げたり下げたりして、繰り返し使う炉のエネルギー効率を大きくするための炉壁材料を選定したい。
(a) 炉のヒーターのスイッチを入れてから時間 𝜏 の間に、炉内の温度は室温から時間に比例して 𝑇 まで上昇する。炉の外壁の温度は上がらず、炉の内壁の温度は炉内の温度と同じで、炉壁内の温度分布も直線的と仮定する。この間に、
熱伝導率 𝜅 、厚さ 𝑤 の炉壁を通して外部に失われる熱量 𝑄% は、単位面積当たり&'&

𝑄% = 𝜅 - ()A . 𝜏となる。この式を導出せよ。なお、𝜅 の温度依存性は無視している。
(b) 一方、炉壁材料の単位体積当たりの定圧比熱を 𝐶! として、炉壁材料の温度が上がるために吸収される熱量 𝑄( は、単位面積当たり&'&

𝑄( = 𝐶! 𝑤 - ( A .
となる。この式を導出せよ。なお、𝐶! の温度依存性は無視している。
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(c) 時間 𝜏 までの間に単位面積当たり消費される全エネルギー𝑄 = 𝑄% + 𝑄( を最小にする炉壁の厚さ 𝑤 を求めよ。また、そのときの 𝑄 を求めよ。
(d) (c)の結果と図１から、𝑄 をできるだけ小さくする炉壁材料を選択したい。図１にどのような直線を引き、その直線を使って、どのように材料を比較して、最適な材料を選択すれば良いかを答えよ。
(e) (d)の結果から選択される炉壁材料を答えよ。

図１- 20 -

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