令和 3 年 ３ 月改訂

は

じ

め

に

福岡県教育委員会では、児童生徒に国語、算数・数学における基礎基本を含む活用力（基礎的・基本的な知識・技能及び思考力、判断力、表現力等）を育むとともに、地域間の学力向上の取組の差を解消することを目的として、平成25年度から小学校５年生〜中学校３年生向けの国語、算数・数学の教材集を作成・配布しました。各学校では、教材集を授業等で繰り返し活用し、取組の改善が図られてきました。
また、平成28年度からは、学力向上に係る検証改善サイクルを小学校中学年
から一層計画的に推進するために、小学校４年生向けの教材集を新たに作成しました。これは、福岡県学校教育振興プラン（平成27年12月）において、「小学校中学年までの児童に対し、読解力と基礎的な計算能力の育成を中心とした取組等の強化を図る」とされていることに対応しています。
この度、中学校においては令和３年度から学習指導要領（平成29年告示）が全面実施となることを受けて、改訂を行いました。
本教材集は、大問（主に基礎的・基本的な知識・技能を活用する力を育成する教材）と小問（基礎基本の定着を図る教材）で構成しています。
大問については、指導計画に位置付けた次のような活用が考えられます。
○

授業の主教材として活用する。

○

適用問題や発展問題として活用する。

○

習熟度別指導等の問題として活用する。

小問については、朝の活動や家庭学習等での次のような活用が考えられます。
○

朝の10分程度の時間で小テストやプレテストとして繰り返し活用する。

○

授業（教科書の内容）と関連付け、家庭学習課題として活用する。

○

習熟度別指導等の問題として活用する。

各学校では、授業の中だけでなく、朝の学習の時間や家庭学習等における補充・発展問題として活用していただいているところですが、更に、各問題の特質に応じて、先生方の授業づくりや校内研修の際の参考資料としても活用され、基礎基本を含む活用力の向上に役立てていただくことをお願いします。
令和３年３月
福岡県教育委員会

目

１

２

３

次

教材集
○

式の計算

……………………………………………………… 1

○

連立方程式

○

一次関数

○

図形の調べ方○図形の性質と証明○

箱ひげ図とデータの活用○

場合の数と確率…………………………………………………… 8……………………………………………………… 14………………………………………………… 22…………………………………………… 30…………………………………… 41……………………………………………… 44

解説資料
○

式の計算

……………………………………………………… 47

○

連立方程式

○

一次関数

○

図形の調べ方○図形の性質と証明○

箱ひげ図とデータの活用○

場合の数と確率…………………………………………………… 50

授業への活用例……………………………………………………… 52………………………………………………… 56…………………………………………… 59…………………………………… 63……………………………………………… 66…………………………………………………… 68

福岡県学力向上教材集

1

第２学年 数学 単元「式の計算」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

２けたの自然数の十の位を x，一の位を y とするとき，その２けたの自然数を表す式を，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
ア

xy

イ

x+y

ウ

10xy

エ

10x + y平成 22 年度全国学力・学習状況調査

数学Ａ 2 (3)2n を整数とするとき，奇数を，n を用いた式で表しなさい。

3

青色のテープと白色のテープがあり，青色のテープの長さは，白色のテープの長さのa 倍です。
青色のテープの長さが b ｍであるとき，白色のテープの長さを a，b を用いた式で表しな
さい。

ｍ

―1―

福岡県学力向上教材集

4

第２学年 数学 単元「式の計算」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

下のアからエまでの中に，3a + 4b という式で表されるものがあります。それを１つ選びなさい。
ア

１辺 a cm の正三角形と１辺 b cm の正方形を，それぞれ針金で１個ずつ作ったときの針金の全体の長さ（cm）

イ

３人が a 円ずつ出し合ったお金で，b 円のりんごを４個買ったときの残った金額（円）
ウ

３g の袋に a g の品物を入れ，４g の袋に b g の品物を入れたときの全体の重さ（g）エ

３分間に aℓの割合で水が出る蛇口と，４分間に bℓの割合で水が出る蛇口から，水を同時に１分間出したときの水の量（ℓ）

平成 20 年度全国学力・学習状況調査

5

次のような，縦の長さが a，横の長さが b の長方形があります。
このとき，2(a + b) は，何を表していますか。答えなさい。

―2―

数学Ａ 2 (5)

福岡県学力向上教材集

6

第２学年 数学 単元「式の計算」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

右の図で，底辺の長さ a，高さ h の三角形の面積 S
は，次のように表されます。

S=

1
ah
2

底辺の長さを求めるために，この式を，a について解きなさい。

平成 21 年度全国学力・学習状況調査

7

数学Ａ 2

二元一次方程式 3x + 2y = 8 の解を求めようと思います。
x，y がともに整数である解を効率よく求めるために，次のア，イのどちらの変形をしま
すか，選びなさい。また，そちらを選んだ理由を説明しなさい。
アx について解く

イy について解く

理由―3―

福岡県学力向上教材集

8

第２学年 数学 単元「式の計算」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

直樹さんは，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和が，どんな数になるかを考えています。
21 のとき 21 + 12 = 33
35 のとき 35 + 53 = 88
47 のとき 47 + 74 = 121①

82 のとき33 = 11 × 3
88 = 11 × 8
121 = 11 × 11
いつでも 11 の倍数になるのかな？

上で調べたことから，直樹さんは次の予想をしました。
直樹さんの予想
２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は，１１の倍数になる。

まで(1) 上の①に当てはまる式を書きなさい。

―4―

(2) 直樹さんの予想が正しいことの説明を完成しなさい。
１１の倍数であることを説明するには，
１１と自然数の積になることをいえばいいんだ。
説明
２けたの自然数の十の位を x，一の位を y とすると，２けたの自然数は，10x + y
十の位の数と一の位の数を入れかえた数は，10y + xと表される。
したがって，それらの数の和は，(10x + y) + (10y + x) =(3) 直樹さんは，２けたの自然数とその十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は，どんな数になるかを考えてみたいと思い，いくつかの場合を調べました。
41 のとき41−14 = 27

53 のとき53−35 = 18

82 のとき82−28 = 54

これらのことから，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差について，どのようなことが予想できますか。直樹さんの予想のように，「～は，・・・になる。」という形で答えなさい。
ただし５５のように，十の位の数と一の位の数が等しい場合は考えないことにします。

平成 20 年度全国学力・学習状況調査―5―

数学 B 2

福岡県学力向上教材集

9

第２学年 数学 単元「式の計算」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

翼さんは，右のカレンダーから，いろいろな数のきまりを予想し，そのきまりが成り立つことを文字式を使って説明しました。
例えば次のようなきまりです。
予想したきまり①
１，２，３や６，７，８のように「横に並んだ３つの数の和は，３の倍数である。」

このことを，次のように説明しました。
説明
横の並んだ３つの数のうち，中央の数を n とすると，横に並んだ３つの数は，

①

，n，

と表せる。

②

横に並んだ３つの数の和は，
①

＋ n＋

②

＝3n

n は自然数なので，3n は３の倍数である。

次のから(1) 上の説明のまでの各問いに答えなさい。
①，②に当てはまる最も簡単な式を答えなさい。

①

，②

―6―

(2) 下の式は，横に並んだ３つの数の和とはちがう数のきまりを説明するときに用いた式です。

(n−7) + n + (n+7) = n−7 + n + n + 7= 3n

どのようなきまりを説明したものですか。前ページの予想したきまり①のように，「～は，・・・である。」の形で答えなさい。

(3) 前ページのカレンダーの中の１０，１２，１８，２４，２６のように，×の形に並んだ５つの数の和について，どんなきまりが予想されますか。
きまりを予想し，それが成り立つことを文字式を使って説明しなさい。
予想されるきまり

説明
×の形に並んだ５つの数のうち，―7―

福岡県学力向上教材集

1

第２学年 数学 単元「連立方程式」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

二元一次方程式 x − y = 1 の解である x，y の値の組について，下のアからエまでの中か
ら正しいものを１つ選びなさい。
ア解である x，y の値の組はない。

イ解である x，y の値の組は１つだけある。

ウ

解である x，y の値の組は２つだけある。

エ解である x，y の値の組は無数にある。

平成 20 年度全国学力・学習状況調査

2

数学Ａ 3 (3)3x + y = 13の解を求めるために，２つの二元一次方程式をそれぞれ成り
x+y=7

連立方程式

立たせるような整数 x，y の値の組を調べています。
下の表１，２は，x の値が１から６までの整数のときについて調べたものです。
表１3x + y = 13 を成り立たせる x，y の値
x
１
２
３
４
y
１０
７
４
１

５
－２

６
－５

を成り立たせる x，y の値
１
２
３
４
６
５
４
３

５
２

６
１

表２

x+y=7
x
y

このとき，この連立方程式の解について正しく述べたものを，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
ア

x = 4，y = 3 の値の組は，表２にあるので，この連立方程式の解である。

イx = 3，y = 4 の値の組は，表１，表２の両方にあるので，この連立方程式の解である。

ウ

表１，表２の x，y の値の組は，すべてこの連立方程式の解である。

エ

表１，表２の x，y の値の組の中には，この連立方程式の解はない。

―8―福岡県学力向上教材集

3

誠さんは，連立方程式

第２学年 数学 単元「連立方程式」Ａ問題（）組（）番・氏名（2x + y = 8を次のようにして解きました。
3x - 2y = -2

誠さんの解き方2x + y = 8 ……①
3x−2y = -2 ……②①の式の 2x を右辺に移項して
y = −2x + 8
3x - 2(-2x + 8) = -2
7x = 14x=2
x = 2 を① に代入して， 4 + y = 8
y=4

次の

，

……③

答

x=2

y=4

の各問いに答えなさい。

(1) 誠さんの解き方において，の部分に当てはまる言葉を答えなさい。

(2) 次の文は，連立方程式を解くときの考え方を説明したものです。
下のア，イに当てはまる言葉を答えなさい。
連立方程式を解くときの考え方
連立方程式の解き方には，加減法と代入法があるが，どちらも１つの文字をアイ

して，既に学習した

ア
イ

―9―

にすることで解くことができる。

）

福岡県学力向上教材集

4

第２学年 数学 単元「連立方程式」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

次の方程式について考えます。

5 x＋3 y＝x＋y＝2

この方程式から，x とy の値を求めるために，2 つの二元一次方程式をつくります。
に当てはまる式をあとのアからオまでの中からすべて選び，連立方下の程式を完成しなさい。

5 x＋3y＝2

ア

5 x＋3y＝2

イ

4 x＋2y＝2

ウ

x＋y＝2

エ

－4 x－2 y＝2オ

5 x＋3y＝x＋y

この連立方程式を解きなさい。

x=― 10 ―，y =福岡県学力向上教材集

5

第２学年 数学 単元「連立方程式」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

次の問題と方程式をつくるための考え方を読んで，次の（１），（２）の各問いに答えな
さい。
問題ある博物館に入るとき，中学生３人とおとな５人では２８００円，中学生２人とおとな３人では１７００円かかります。
このときの中学生１人，おとな１人の入館料を求めるための方程式をつくりなさい。
方程式をつくるための考え方①

求めたい数量である，中学生１人の入館料を x 円，おとな１人の入館料を y 円とする。

② 「 中 学 生 ３ 人 と お と な ５ 人 の 入 館 料 」 に 着 目 す る と， 文 字 x，y を 使 っ て，
ア③という方程式をつくることができる。
イ

ま た，「
ウ

」 に 着 目 す る と， 文 字 x，y を 使 っ て，という方程式をつくることができる。

(1) 上のア，イ，ウに当てはまる式や言葉を書きなさい。
アイウ(2) 中学生１人の入館料を求めなさい。
円― 11 ―

福岡県学力向上教材集

6

第２学年 数学 単元「連立方程式」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

夏美さんと健さんは，次の問題について考えています。
問題
Ａ駅とＢ駅は３００㎞ 離れています。
快速電車は，Ａ駅からＢ駅に向かって時速７０㎞で，普通電車は，Ｂ駅からＡ駅に向かって時速５０㎞で走っています。
２つの電車が同時にそれぞれＡ駅，Ｂ駅を発車したとすると，どの地点で，何時間後にすれ違いますか。
(1) 夏美さんは，この問題を解決するために，Ａ駅からすれ違う地点まで快速電車が進んだ道のりを x ㎞，Ｂ駅からすれ違う地点まで普通電車が進んだ道のりを y ㎞とし，表を利用して問題の数量を整理し，連立方程式をつくろうとしました。このとき，表の空欄①から④に当てはまる数や式を答えなさい。
表
速さ (㎞ /ｈ)
時間 (時間)道のり (㎞)

快速電車
７０
②
x

普通電車
①
③
y

①

②

③

④

全体

④

(2) (1) の数量関係をもとに，連立方程式をつくり，問題の答を求めなさい。
Ａ駅からすれ違う地点まで快速電車が進んだ道のりを x ㎞，
Ｂ駅からすれ違う地点まで普通電車が進んだ道のりを y ㎞とすると，

答― 12 ―

(3) 健さんは，この問題を（１）とは異なる解き方で解決するために，Ａ駅からすれ違う地点までに快速電車がかかった時間を x 時間とし，数量の関係を下の線分図のように整理しながら，次の方程式をつくるための考え方で取り組みました。
線分図

方程式をつくるための考え方「」に着目すると，文字 x を使って方程式をつくることができる。

に当てはまる言葉を答え，この考え方にしたがって方程式をつくり，この問題を解きなさい。
当てはまる言葉解き方

答― 13 ―

福岡県学力向上教材集

1

第２学年 数学 単元「一次関数」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

下のアからオの中に，y が x の一次関数であるものがあります。正しいものを１つ選びなさい。
ア

面積が 60 ㎠ の長方形で，縦の長さが x ㎝ のときの横の長さ y ㎝

イ1500 ｍの道のりを x ｍ歩いたときの残りの道のり y ｍウ

身長 x ㎝ の人の体重 y ㎏

エ

6 m のリボンを x 人で同じ長さに分けるときの１人分の長さ y ｍ

オ

ある地点での午後 x 時の気温 y ℃
平成 24 年度全国学力・学習状況調査

2

次の

から

数学Ａ 12までの各問いに答えなさい。

一次関数 y = 3x−2 の変化の割合を求めなさい。

y = 5x−3 について，x の係数が５であることからどのようなことがいえますか。下のアからオまでの中から正しいものをすべて選びなさい。
ア

x の値が１増えるとき，y の値はいつも５増える。

イx の値が５増えるとき，y の値はいつも１増える。

ウx の値が１増えるとき，y の値はいつも５減る。

エx の値が５増えるとき，y の値はいつも２５増える。

オ

x の値が１のとき，y の値は５である。

2
x ＋ ４ で，x の増加量が２のとき，x の増加量が −６ のときの，
3それぞれの y の増加量を求めなさい。
一次関数 y＝−

x の増加量が 2 のとき

x の増加量が −６のとき― 14 ―

福岡県学力向上教材集

3

次の

から

第２学年 数学 単元「一次関数」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

までの各問いに答えなさい。

一次関数 y =−3x + 2 のグラフの傾きを求めなさい。

(2) 右の図の直線ア，イの式を求めなさい。

アイ
下の表は，ある一次関数について，x の値に対応する y の値を示したものです。この一次関数のグラフの傾きと切片を答えなさい。
x

・・・

－２

－１

０

１

２

・・・

y

・・・

－１

２

５

８

１１

・・・

傾き

4

右の図の直線は，一次関数のグラフを表しています。

x の変域が−1≦ x ≦ 2 のとき，y の変域はどのようになりますか。
次のそれぞれのに当てはまる数を記入しなさい。

≦y≦― 15 ―

切片

福岡県学力向上教材集

5

第２学年 数学 単元「一次関数」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

下のアからエまでの中に，二元一次方程式 2x + y = 6 の解を座標とする点の全体を表したものがあります。それを１つ選びなさい。

平成 21 年度全国学力・学習状況調査

6

数学Ａ 12次の図で，直線①は方程式 2x + y = 4 のグラフ，直線②は方程式 x−4y = 4 のグラフで
す。
連立方程式

2x + y = 4の解を表す点につx - 4y = 4

いて，下のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

解を表す点は，点Ａである。

イ

解を表す点は，点Ｂである。

ウ

解を表す点は，点Ｃである。

エ

解を表す点は，点Ｄである。

オ

解を表す点は，点Ａと点Ｅである。
― 16 ―

福岡県学力向上教材集

7

第２学年 数学 単元「一次関数」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

下の図のような長方形ＡＢＣＤがあります。点ＰはＤを出発して，毎秒 0.5 cm の速さで
辺ＤＡ上をＡまで動きます。
点ＰがＤを出発してからの x 秒後の△ＡＢＰの面積を y ㎠ とするとき，次の各問いに答えなさい。

(1) xと y の関係について，下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
アy は x に比例する。

イ y は x に反比例する。
ウ y は x の一次関数である。
エ

比例，反比例，一次関数のいずれでもない。

(2) y を x の式で表しなさい。また，点ＰがＤを出発してから１２秒後の△ＡＢＰの面積を求めなさい。
式（
面積― 17 ―≦x≦）㎠

福岡県学力向上教材集

8

第２学年 数学 単元「一次関数」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

誠さんの家庭では，新車の購入を検討しています。購入の候補になっている車は，ガソ
リン車Ａとハイブリッド車Ｂです。そこで，どちらの方が費用が安くなるのかを調べて，購入する車を決めることになりました。
下の表は，購入のときに必要な費用とそれぞれの車の燃費（自動車などが燃料１Ｌあたりで走れる距離）を調べた結果です。
ガソリン車Ａ

ハイブリッド車Ｂ

購入時に必要な費用

１６０万円

２００万円

燃費

１２km ／Ｌ

２０km/ Ｌ

次の (1) から (3) までの各問いに答えなさい。
(1) 誠さんのお父さんは，１年間に車が走る距離を１２０００km，ガソリンを１Ｌあたり
１４０円として，ハイブリッド車Ｂを購入した場合の１年間に必要なガソリン代を，次のように計算して求めました。
１年間に必要なガソリン代を求める計算
12000
20

×140 = 84000

同じように，１年間に車が走る距離を１２０００km，ガソリンを１Ｌあたり１４０円
として，ガソリン車Ａを購入した場合の１年間に必要なガソリン代を求める式を答えなさい。

― 18 ―

(2) 誠さんは，車の使用する年数を x 年とし，その際に必要な総費用（購入時に必要な費用＋毎年のガソリン代）を y 万円として，ハイブリッド車Ｂについて，下の図のようなグラフをつくりました。

ガソリン車Ａのグラフをかき入れなさい。
また，完成したグラフをもとに，それぞれの車の使用する年数と必要な総費用の関係について，次のように表すとき，
①

は

②

①

，

②

に当てはまる言葉を書きなさい。

の一次関数である。
①②

ソリン車Ａよりも必要な総費用が安くなるか」を考えました。ハイブリッド車Ｂの総費用がガソリン車Ａの総費用より安くなるのは，ハイブリット車Bを何年以上乗ったときか
その年数を求める方法を説明しなさい。

― 19 ―

福岡県学力向上教材集

9

第２学年 数学 単元「一次関数」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

美香さんの家庭にある電気ポットには，２つの加熱ボタンがあります。
１つは「通常」ボタンで，もう１つは「急速」ボタンです。「急速」ボタンは，急いでお湯を沸かすときに使います。
この電気ポットの取扱説明書には，２Ｌのお湯を沸かすときの時間（分）と温度（℃）の関係のグラフが次のように示されていました。

次の，の各問いに答えなさい。

(1)「通常」ボタンで，２Ｌの水を１６℃から８０℃に温めるためにかかる時間を求めなさい。
分― 20 ―

(2) この電気ポットの取扱説明書には，『「急速」ボタンを使用すると，「通常」ボタンの半分の時間で沸騰できます。』と書かれています。
このことが正しい理由を説明しなさい。

― 21 ―

福岡県学力向上教材集

1

第２学年 数学 単元「図形の調べ方」Ａ問題（）組（）番・氏名（

右の図で，直線ℓ，mは平行です。このとき，∠ＡＰＢの大きさを求めなさい。

L

M

2

）

A
140°

P

55°
B

下の図のように，n 角形は１つの頂点からひいた対角線によって，いくつかの三角形に分けられます。

このことから，n 角形の内角の和は 180° × (n − 2) で表すことができます。
この式の (n − 2) は，n 角形において何を表していますか。下のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

頂点の数

イ

辺の数

ウ

内角の数

エ

１つの頂点からひいた対角線の数

オ

１つの頂点からひいた対角線によって分けられた三角形の数

平成 24 年度全国学力・学習状況調査― 22 ―数学Ａ 6

福岡県学力向上教材集

3

第２学年 数学 単元「図形の調べ方」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

次の図の△ＡＢＣで，頂点Ｃにおける外角∠ x の大きさは，∠ a と∠ b を用いてどのよ
うに表されますか。下のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。

4ア∠ a ＋∠ bイ∠ a −∠ bウ

180° −∠ aエ

180° −( ∠ a ＋∠ b)オ

180° −( ∠ a −∠ b)

次の図１，図２は，多角形の各頂点において一方の辺を延長したものです。
この２つの図で，それぞれ印を付けた角の和を比べるとき，どのようなことがいえますか。下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。

ア

図１で印を付けた角の和と図２で印を付けた角の和は等しい。

イ

図１で印を付けた角の和の方が大きい。

ウ

図２で印を付けた角の和の方が大きい。

エ

図１で印を付けた角の和と図２で印を付けた角の和のどちらが大きいかは，問題の条件からだけでは分からない。

平成 21 年度全国学力・学習状況調査― 23 ―数学Ａ 6

福岡県学力向上教材集

5

第２学年 数学 単元「図形の調べ方」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

ある学級で，「三角形の内角の和は１８０°である」ことの証明について，次の①，②を比べて考えています。
①
右の図の△ＡＢＣで，辺ＢＣを延長した直線上の点をＤとし，点Ｃを通り辺ＢＡに平行な直線ＣＥをひく。
平行線の錯角は等しいから，∠ a ＝∠ e
平行線の同位角は等しいから，∠ b ＝∠ d
したがって，∠ a ＋∠ b ＋∠ c ＝∠ e ＋∠ d ＋∠ c
＝ 180°
よって，三角形の内角の和は 180° である。
②
右の図の△ＡＢＣで，３つの角の大きさをそれぞれ測ると，∠Ａ＝ 72°∠Ｂ＝ 64°∠Ｃ＝ 44°
したがって，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝ 72° ＋ 64° ＋ 44°＝ 180°
よって，三角形の内角の和は 180° である。
どんな三角形でも内角の和は１８０°であることの証明について，下のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア①も②も証明できている。

イ①は証明できており，②は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになる。

ウ①は証明できているが，②は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめても証明したことにはならない。

エ①も②も形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになる。

オ①は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになるが，②はそれでも証明したことにはならない。

平成 22 年度全国学力・学習状況調査― 24 ―

数学Ａ 8

福岡県学力向上教材集

6

第２学年 数学 単元「図形の調べ方」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

下の図１は，線分ＡＢの中点Ｍをとおる直線ℓ上に，ＰＭ＝ＱＭとなる点Ｐ，Ｑをとり，
点Ｐと点Ａ，点Ｑと点Ｂをむすんだものです。
「ＡＰ＝ＢＱ」を次のように証明しました。
証明△ＰＭＡと△ＱＭＢで，仮定より，ＡＭ＝ＢＭ ･･････ ①
ＰＭ＝ＱＭ ･･････ ②
また，対頂角は等しいので，∠ＰＭＡ＝∠ＱＭＢ ････････ ③①，②，③より，
から，△ＰＭＡ≡△ＱＭＢ
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，
ＡＰ＝ＢＱ
次の (1)，(2) の各問いに答えなさい。
(1) 上の証明のに当てはまる合同条件を，下のアからオまでの中から１つ選びなさい。
ア

３組の辺（３辺）がそれぞれ等しい。

イ

２組の辺（２辺）とその間の角がそれぞれ等しい。

ウ

１組の辺（１辺）とその両端の角がそれぞれ等しい。

エ

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい。

オ

直角三角形の斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい。

(2) この証明をしたあと，ＰＭ＝ＱＭとなる点Ｐ，Ｑの位置を，図２のように変えました。
このときも図１と同じようにＡＰ＝ＢＱとなるかどうかを考えてみたところ，下のアからエまでのような意見が出ました。正しいものを１つ選びなさい。
ア

図２の場合は，ＡＰ＝ＢＱであることを，改めて証明する必要がある。

イ

図２の場合も，ＡＰ＝ＢＱであることはすでに上の証明で示されている。

ウ

図２の場合は，ＡＰ＝ＢＱであることを，それぞれの長さを測って確認しなければならない。

エ

図２の場合は，ＡＰ＝ＢＱではない。

― 25 ―

福岡県学力向上教材集

7

第２学年 数学 単元「図形の調べ方」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

拓也さんは，次の問題を考えています。
問題
下の図１のように，∠ＸＯＹの辺ＯＸと辺ＯＹ上に，ＯＡ＝ＯＢとなるように点Ａと点Ｂを，ＯＣ＝ＯＤとなるように点Ｃと点Ｄを，それぞれとります。
点Ａと点Ｄ，点Ｂと点Ｃをそれぞれ結ぶとき，ＡＤ＝ＢＣとなることを証明しなさい。

拓也さんは，証明の方針を下のようなメモにまとめました。
拓也さんのメモ① ＡＤ＝ＢＣを証明するためには，△ＡＯＤと△ＢＯＣの合同を示せばよい。
② 図１の△ＡＯＤと△ＢＯＣを見やすくするために，２つの図に分けて，仮定を表すと下のようになる。

③②をもとにすると，△ＡＯＤと△ＢＯＣの合同が示せそうだ。

― 26 ―

次の (1) から (3) までの各問いに答えなさい。
(1) 拓也さんのメモ①にあるように，ＡＤ＝ＢＣを証明するために，△ＡＯＤと△ＢＯＣの合同を示せばよいのは，合同な図形のどのような性質からですか。下のアからエの中から１つ選びなさい。
ア

合同な図形の対応する辺の長さは等しい。

イ

合同な図形の対応する角の大きさは等しい。

ウ

合同な図形の周の長さは等しい。

エ

合同な図形の面積は等しい。

(2) 前ページの問題で，ＡＤ＝ＢＣとなることを証明しなさい。

(3) 拓也さんは，ＡＤ＝ＢＣを，△ＡＯＤ≡△ＢＯＣをもとにして証明しました。△ＡＯＤ≡△ＢＯＣをもとにすると前ページの問題の図形について，ＡＤ＝ＢＣ以外に新しいことが分かります。それを下のアからエの中から１つ選びなさい。
ア

ＯＣ＝ＯＤ

イ

ＯＣ＝ＢＤ

ウ

∠ＯＡＤ＝∠ＯＢＣエ∠ＯＡＤ＝∠ＢＯＣ
平成 20 年度全国学力・学習状況調査― 27 ―

数学Ｂ 4

福岡県学力向上教材集

8

第２学年 数学 単元「図形の調べ方」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

優子さんは，次の問題を考えています。
問題
右の図のように， 平行四辺形ＡＢＣＤ の対角線の交点をA

Ｏとし，線分ＯＢの中点をＰ，線分ＯＤの中点をＱとします。
このとき，ＡＰ＝ＣＱとなることを証明しなさい。

D

Q
O
P

B

C

次の（1），（2）の各問いに答えなさい。
（1）優子さんは，次のような 証明の方針１を考えました。この 証明の方針１にもとづいて，
ＡＰ＝ＣＱとなることを証明することができます。
証明の方針１①

ＡＰ＝ＣＱを証明するためには，

A△ＡＢＰ≡△ＣＤＱを示せばよい。
②

O△ＡＢＰと△ＣＤＱの辺や角について，等しいことがわかるものを探せばよい。

D
Q

P
B

C

まず，平行四辺形ＡＢＣＤの性質から，ＡＢ＝ＣＤがわかるし，ＢＯ＝ＤＯもわ
かっている。また，仮定から，ＢＰ＝ＯＰ，ＤＱ＝ＯＱもわかっている。
③②を使うと， △ＡＢＰ≡△ＣＤＱが示せそうだ。

この証明の方針１にもとづいて，ＡＰ＝ＣＱとなることを証明しなさい。

― 28 ―

A（2）ＡＰ＝ＣＱであることは， 右の図のように， 線分ＡＱ，
O

線分ＣＰをひき， 次のような証明の方針２を考えて証明PBすることもできます。

D

Q

C

証明の方針２① ＡＰ＝ＣＱを証明するためには，四角形ＡＰＣＱがA

平行四辺形であることを示せばよい。
②

四角形ＡＰＣＱについて，平行四辺形ＡＢＣＤの

D
O

Q

P
B

C

性質から，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤがわかる。
③②と仮定のＢＰ＝ＯＰ，ＤＱ＝ＯＱを使うと，四角形ＡＰＣＱが平行四辺形であることは，

証明の方針２のことから示せそうだ。

に当てはまることがらが，下のアからエまでの中にあります。正しいものを１つ選びなさい。
ア

対角線がそれぞれの中点で交わる

イ

対角線が垂直に交わる

ウ

対角線の長さが等しい

エ

対角線が垂直に交わり，その長さが等しい― 29 ―

福岡県学力向上教材集

1

第２学年 数学 単元「図形の性質と証明」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

右の図で，△ＡＢＣはどんな三角形ですか。
図形の名称を答えなさい。また，そのように判断した理由を説明しなさい。
名称

理由

2

紙テープを下の図のように折ったとき，重なった部分の三角形について，次のような予想を立てました。

予想：どんな折り方をしても，△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形になる。
に当てはまる記号や言葉を書き入れ，証このことを次のように証明しました。
明を完成させなさい。

【証明】△ＡＢＣにおいて仮定から，∠ＡＢＣ＝∠ＣＢＤ…………①
ＡＣ ＢＤで，平行線の錯角は等しいから，
∠

＝∠

…………②

① , ②より，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
から△ＡＢＣは二等辺三角形である。
― 30 ―

福岡県学力向上教材集

3

第２学年 数学 単元「図形の性質と証明」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

右の図のように，∠ＸＯＹの内部の点Ｐから，２辺ＯＸ，ＯＹにひいた垂線ＰＡ，ＰＢの長さが等しいとき，ＯＰは∠ＸＯＹを２等分することを，下のように証明しました。
△ＰＡＯと△ＰＢＯにおいて，仮定から，∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝ 90°……①
ＰＡ＝ＰＢ……②共通な辺だから，ＯＰ＝ＯＰ……③① , ② , ③より，から，△ＰＡＯ≡△ＰＢＯ

合同な図形の対応する角は等しいから，∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ
したがって，ＯＰは∠ＸＯＹを二等分する。
上の証明の

4

に当てはまる合同条件を，下のアからオまでの中から１つ選びなさい。

ア

３辺がそれぞれ等しい

イ

２辺とその間の角がそれぞれ等しい

ウ

１辺とその両端の角がそれぞれ等しいエ

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいオ

直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

平行四辺形の性質として，「２組の向かいあう角の大きさはそれぞれ等しい。」があります。下線部を，次の頂点を表す記号と，記号∠，＝を使って表しなさい。

― 31 ―

福岡県学力向上教材集

5

第２学年 数学 単元「図形の性質と証明」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

右の図は，次の手順でかいた四角形ＡＣＤＢです。
手順
けいせん①ノートの罫線ℓ上に，３㎝の線分ＡＢをひく。
②ノートの罫線 m 上に，３㎝の線分ＣＤをひく。
③線分ＡＣ，ＢＤをひく。
このとき四角形ＡＣＤＢは平行四辺形になります。
この理由を説明するときに使う「平行四辺形になる条件」を書きなさい。

6 「２組の向かいあう辺が等しいとき，四角形は平行四辺形になる」ことを証明するために，
次のような方針を立てました。
方針①②

点ＡとＣを結び，△ＡＢＣ≡△ＣＤＡを示す。
①の結果から，∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ，∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤを示し，
ＡＢ ＤＣ，ＡＤ ＢＣを示す。

②でAB

DC，AD

BCを示すときに用い る図形の性質を次のアからオまでの中から1つ選びなさい。
ア

２つの直線に１つの直線が交わるとき，同位角が等しいならば，この２つの直線は平行である。

イ

２つの直線が交わるとき，対頂角は等しい。

ウ

２つの直線に１つの直線が交わるとき，錯角が等しいならば，この２つの直線は平行である。

エ

三角形の３つの内角の和は１８０°である。

オ

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行であるとき，四角形は平行四辺形である。
― 32 ―

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7

下の図は，ＡＤ

第２学年 数学 単元「図形の性質と証明」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

ＢＣ，∠ＢＡＤ＝ 90° である台形ＡＢＣＤに２本の対角線ＡＣ，ＢＤ

を引き，その交点をＥ，Ｅから辺ＢＣにおろした垂線とＢＣとの交点をＦとしたものです。
ＡＢ＝ 16 cm，ＢＦ＝ 9 cm であるとき，△ＣＤＥの面積は，次の計算で求めることができます。
△ＣＤＥの面積を求める計算

16 × 9 ÷ 2上の計算で△ＣＤＥの面積を求めることができる理由を説明しなさい。
理由

8

下の図は，「平行四辺形，長方形，正方形，ひし形」の４つの図形の関係を表したものです。アからウに当てはまる図形の名称を書きなさい。

アイウ― 33 ―

福岡県学力向上教材集

9

第２学年 数学 単元「図形の性質と証明」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

寛さんと健悟さんは，これまでの図形の学習を利用して，直接測ることの出来ない「校舎の高さ」を求める方法を考えました。
考えのポイント
直接測ることのできない箇所の長さは，図形の性質を利用することによって，等しい箇所の長さに置き換えて求めることができる。
たとえば，校舎のＢＣの長さは，ＡＤの長さを測ることによって求めることができる。

以下は，２人が考えた「校舎の高さＡＢ」を測る方法を，直方体の模型を使って説明したものです。
寛さんの考え①

地面に引かれた直線ℓに対して頂点ＢがC45°の方向に見えるように，点Ｐ1 を直線ℓ上にとる。
②

線分Ｐ1Ａの長さを測ると校舎の高さＡＢが求まる。

健悟さんの考え①

地面に引かれた直線ℓ上に点Ｐ2 をとる。

②

点Ｐ2 から頂点Ｂに向かって伸びる直線

Ｐ2 Ｂと直線ℓがつくる角の大きさを測る。
③

直線ℓに対して，②で測った角度と等しい
角度で，点Ｐ2 から地面に直線を引き，直線m と交わる点Ｑをとる。

④

線分ＡＱの長さを測ると，校舎の高さＡＢが求まる。

― 34 ―

D次の (1) から (3) までの各問いに答えなさい。
(1) 考えのポイントの下線部

において，ＡＤの長さを測っているのは，ＢＣの長さをＡＤに置き換えているからです。このようにしてよいのは，四角形ＡＢＣＤが長方形だからです。ここで用いられている長方形の性質について，下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

長方形の４つの角はすべて等しい。

イ

長方形の２組の向かいあう辺はそれぞれ平行である。

ウ

長方形の２組の向かいあう辺の長さはそれぞれ等しい。

エ

長方形の対角線の長さは等しい。

(2) 寛さんの考えは，△Ｐ1 ＡＢが直角二等辺三角形となることを利用し，ＡＢの長さをＰ1 Ａに置き換えたものです。
△Ｐ1 ＡＢが直角二等辺三角形になる理由を書きなさい。

(3) 健悟さんの考えは，△Ｐ2ＡＢと△Ｐ2ＡＱが合同となることを利用し，ＡＢの長さをＡＱに置き換えたものです。
下線部を証明するための根拠となることがらを，三角形の合同条件を用いて書きなさい。

― 35 ―

福岡県学力向上教材集

第２学年 数学 単元「図形の性質と証明」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

次の問題は，下のように証明できます。
問題
右の図のように，ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの底辺
ＢＣ上の点Ｐから，辺ＡＢ，ＡＣにそれぞれ平行な線を引き，
辺ＡＣ，ＡＢとの交点をそれぞれＱ，Ｒとしたものです。このとき，ＡＲ＝ＱＰとなることを証明しなさい。
証明１
四角形ＡＲＰＱにおいて，
仮定より，ＡＲ

ＱＰ，ＡＱ

ＲＰだから，

四角形ＡＲＰＱは平行四辺形である。

よって，ＡＲ＝ＱＰ

上の証明１のの中に当てはまる，根拠として用いた「平行四辺形の性質」を書きなさい。

図において，ＲＢ＝ＲＰになることを証明するために，次のような証明の方針を考え
ました。
証明の方針
①

ＲＢ＝ＲＰを証明するためには，△ＲＢＰが二等辺三角形になることを示せばよい。
②△ＲＢＰが二等辺三角形になることを示すためには，∠ＲＢＰ＝∠ＲＰＢ（２つの角が等しい）を示せばよい。
③

平行線の性質や二等辺三角形の性質が使えそうだ。

― 36 ―

証明の方針に基づいて，ＲＢ＝ＲＰとなることの証明を証明２に完成させなさい。
証明２

二等辺三角形は２辺が等しい三角形であるから，
ＲＢ＝ＲＰ(3) 四角形ＡＲＰＱが平行四辺形であることからＡＲ＝ＱＰ，△ＲＢＰが二等辺三角形であることからＲＢ＝ＲＰであることが証明できます。
このことから，図において，二等辺三角形の辺ＡＢと等しい長さになるものを下のアからオまでの中から１つ選びなさい。
ア

ＲＰ＋ＰＣ

イ

ＲＰ＋ＡＱ

ウ

ＢＰ＋ＱＰ

エ

ＲＰ＋ＱＰ

オ

ＡＲ＋ＱＰ

― 37 ―

福岡県学力向上教材集

11

第２学年 数学 単元「図形の性質と証明」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

右の図１のように，正三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＤ，辺ＢＣの中点をＥとします。悠介さんは，線分ＡＥ

Dと線分ＣＤについて，次のことを予想しました。
B

予想１

正三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＤ，辺ＢＣの中点をＥとすると，
ＡＥ＝ＣＤになる。
次の（1）から（3）までの各問いに答えなさい。
（1）予想１が成り立つことは，次のように証明することができます。
証明△ＡＢＥと△ＣＢＤにおいて，正三角形の３つの辺はすべて等しいから，
ＡＢ＝ＣＢ ……①
点Ｄ，Ｅはそれぞれ辺ＡＢ，ＢＣの中点だから，①より，
ＢＥ＝ＢＤ ……②
共通な角だから，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ ……③①，②，③より，がそれぞれ等しいから，△ＡＢＥ≡△ＣＢＤ
合同な図形の対応する辺は等しいから，
ＡＥ＝ＣＤ
上の証明の

に当てはまる言葉を書きなさい。

― 38 ―

A

図1

E

C

（2）悠介さんは，前ページの予想１の正三角形ＡＢＣを二等辺三角形ＡＢＣに変えることを考え，次のことを予想しました。
予想２
ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＤ，辺ＢＣの中点をＥとすると，ＡＥ＝ＣＤになる。
しかし，右の図２のような場合があること

図2から，上の予想２が成り立たないことに気づ
きました。

A

D
とくちょう

図２には下の特徴があることから，図２をB用いて予想２が成り立たないことを示すこと

CEができます。

図２は，予想２の「ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＤ，辺ＢＣの中点をＥとする」ということを①。

また，図２は，予想２の「ＡＥ＝ＣＤになる」ということを

上の

①

と

②

②

。

に当てはまる言葉の組み合わせとして正しいものを，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。

ア①：みたしている②：みたしているイ①：みたしている②：みたしていないウ①：みたしていない②：みたしているエ①：みたしていない②：みたしていない― 39 ―

（3）悠介さんは，これまでに調べたことを，次のようにまとめました。

まとめ◎「正三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＤ，辺ＢＣの中点をＥとすると，ＡＥ＝ＣＤになる。」ということが成り立つ。
A

D

B

E

C

◎「ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＤ，辺ＢＣの中点をＥとすると，
ＡＥ＝ＣＤになる。」ということが成り立たない 。
A

D
B

C

E

上のまとめから，「三角形ＡＢＣが正三角形ならば，ＡＥ＝ＣＤになる。」ということが成り立つことと，「三角形ＡＢＣがＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ならば，ＡＥ＝ＣＤになる。」ということが成り立たないことがわかります。
しかし，正三角形でない二等辺三角形のうち，ＡＥ＝ＣＤになる二等辺三角形があります。
三角形ＡＢＣがどんな二等辺三角形ならば，ＡＥ＝ＣＤになりますか。（1）の証明を参考にして考え，「三角形ＡＢＣが〜ならば，ＡＥ=ＣＤになる。」という形で書きなさい。

三角形ＡＢＣがならば，ＡＥ＝ＣＤになる。

― 40 ―

福岡県学力向上教材集 第２学年 数学 単元「箱ひげ図とデータの活用」Ａ問題（）組（）番・氏名（）
1

図書委員の弘治さんと里美さんは，２年３組35人を対象に，最近１か月間に読んだ本の冊数を調べて，下のような表にまとめました。
最近１か月間に読んだ本の冊数
読んだ本の
冊数（冊）

０

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

計

人数（人）

2

15

9

4

1

1

1

1

０

０

1

35

累積度数（人）次の（1）から（5）までの各問いに答えなさい。

（1）上の表の累積度数の空らんにあてはまる数を書きなさい。

（2）読んだ本の冊数について，第２四分位数（中央値）を求めなさい。

（3）読んだ本の冊数について，第１四分位数を求めなさい。

（4）読んだ本の冊数について，第3四分位数を求めなさい。

（5）読んだ本の冊数について，箱ひげ図に表しなさい。

０

1

2

3

4

5

6

― 41 ―

7

8

9

10（冊）

福岡県学力向上教材集 第２学年 数学 単元「箱ひげ図とデータの活用」B問題（）組（）番・氏名（）
2

２年１組で10点満点の数学小テストを行いました。Ａ班，Ｂ班，Ｃ班の各班10人の生徒の得点は，次データのようになりました。
A班

1

2

2

3

5

7

8

8

9

9

B班

1

1

3

3

4

5

5

7

7

8

C班

3

4

4

5

6

7

7

9

9

10

次の（1）から（4）までの各問いに答えなさい。

（1）それぞれの班の得点について，四分位数を求めなさい。

単位（点）第１四分位数

第２四分位数
（中央値）

A班
B班
C班

（2）それぞれの班の得点について，四分位範囲を求めなさい。

Ａ班

Ｂ班

Ｃ班

― 42 ―

第３四分位数（3）それぞれの班の得点について，箱ひげ図をかきなさい。

A班
B班
C班

０

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10（点）

（4）上の箱ひげ図から，得点が６点以上だった生徒が半分以上いる班をよみとり，記号ですべて答えなさい。また，どのようによみとったかを説明しなさい。

得点が6点以上だった生徒が半分以上いる班

説明― 43 ―

福岡県学力向上教材集

第２学年 数学 単元「場合の数と確率」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

1
１つのさいころを投げるとき，５の目の出る確率は 6 になります。

1

この確率についての説明のうち，次のアからオまでの中から正しいものをすべて選び，記号で答えなさい。
ア

さいころを６回投げると，そのうち１回は必ず５の目が出る。

イ

さいころを５回投げて，５の目が１回も出ていなければ，６回目には必ず５の目
が出る。

２

ウ

さいころを６回投げると，そのうち１回しか５の目は出ない。

エ

さいころを３０回投げて，５の目が１回も出ないこともある。

オ

さいころを６０００回投げると，５の目は１０００回程度出ると予想できる。

表と裏の出方が同様に確からしい硬貨があります。この硬貨を続けて投げたところ，はじめから３回続けて表がでました。さらにもう１回投げて，四回目の表と裏の出方を調べます。四回目の表と裏のでる確率について，下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

表のでる確率の方が裏のでる確率よりも大きい。

イ

表のでる確率の方が裏のでる確率よりも小さい。

ウ

表のでる確率と裏のでる確率は等しい。

エ

表のでる確率と裏のでる確率の大小は決まらない。

平成 24 年度全国学力・学習状況調査 数学Ａ 14 (1)― 44 ―

福岡県学力向上教材集

３

第２学年 数学 単元「場合の数と確率」Ａ問題（）組（）番・氏名（）

袋の中に，同じ大きさの白玉が３個と赤玉が２個入っています。この袋の中から，同時に２個の玉を取り出します。
次のの各問いに答えなさい。

２個とも白玉である確率を求めなさい。

(2) 少なくとも１個は赤玉である確率を求めなさい。

4

下の図のように，１から３までの数字を１つずつ書いた３枚のカードがあります。

1

そのカードを戻さずにもう1枚ひきます。
次にひいたカードの数字を一の位とする２けたの整数を作ります。２けたの整数が４の倍数になる確率を求めなさい。

ドをよくきって１枚ひきます。最初にひいたカードの数字を十の位，次にひいたカードの数字を一の位とする２けたの整数を作ります。２けたの整数が１１の倍数になる確率を求めなさい。

― 45 ―

福岡県学力向上教材集

5

第２学年 数学 単元「場合の数と確率」Ｂ問題（）組（）番・氏名（）

裕太さんの学校では，体育会で，学級対抗リレーを行うので，１組から３組までのコー
ス決めを行いました。学級の代表者が順に，１，２，３のコース番号が書かれたくじを引いて決めるのですが，みんな，３コースのうち，できれば第１コースを引きたいと考えています。裕太さんは，何番目にくじを引けば第1コースに当たりやすいかを次のように考えました。
考え方
Ａ，Ｂ，Ｃの３人が，Ａ，Ｂ，Ｃの順番でくじをひくとする。樹形図をかいてくじのひき方を調べ，Ａ，Ｂ，Ｃそれぞれの第1コースに当たる確率を求める。
の各問いに答えなさい。
下のの中に，樹形図をかいて，くじのひき方は全部で何通りあるか調べなさい。

(2) 何番目にくじを引けば第1コースに当たりやすいかを，確率をもとに説明しなさい。

― 46 ―

第２学年

数学

単元「式の計算」 解説資料

１ ■正答

エ

２ ■正答

2n + 1

３ ■正答

b
a

４ ■正答

ア

５ ■正答

（例）長方形の周の長さ

６ ■正答

a=

７ ■正答

イ
理由（例）x について解くと，右辺の１次式の数の項は分数となり，y にどのような数を代入すると x が整数になるかわからないが，y について解くと，右辺の１
次式の数の項は整数となり，x に偶数を代入していくと整数である y を，効率よく求めることができるから。

8１

または，2n−1

2s
h

出題の趣旨
２けたの自然数について予想された事柄をよみ，次のことができるかどうかをみる。
・事柄が成り立つ理由を，方針にもとづいて説明すること。
・発展的に考え，予想した事柄を説明すること。

２

各設問の趣旨設問（1） 考察の対象を明確にとらえているかどうかをみる。
設問（2） 予想された事柄が成り立つ理由を，示された方針にもとづいて文字式を用いて説明することができるかどうかをみる。
設問（3） 発展的に考え，予想した事柄を「〜は，・・・になる。
」という形で表現できるかどう
かをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・Ａ

４

５

評価の観点
設問（1）・・・知識・技能正答と解説設問（1） ■正答設問（2） ■正答

数と式（1）ア（ウ），ア（エ）設問（2）・設問（3）・・・思考・判断・表現

82 ＋ 28 ＝ 110（例） 10 x + y + 10 y + x＝11 x +11 y＝11 x + y
x + y は自然数だから，11 x + y は 11 の倍数である。

― 47 ―

第２学年

数学

単元「式の計算」 解説資料

■解説
① 11(x + y) と計算して，次の⒜，⒝の両方を記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ x + y は自然数だから⒝ 11(x + y) は 11 の倍数である。
② 11x + 11y と計算して，次の⒞，⒟の両方を記述しているものを正答（◎）とする。
⒞ 11x ，11y が 11 の倍数で，11 の倍数の和は 11 の倍数だから，⒟ 11x + 11y は 11 の倍数である。
③ 上記①で，⒜や⒝を記述していないもののうち，共通因数の 11 を見いだし，11の倍数であることを示していると判断できるものは，正答（○）とする。
④ 上記②で，⒞，⒟どちらか一方のみを記述しているもののうち，計算結果をもとにして 11 の倍数であることを示していると判断できるものは，正答（○）とする。
設問（3） ■正答（例） ２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は，９の倍数になる。
■解説① 「○○は，◇◇になる。」という形で，次の⒜，⒝または⒜，⒞の条件を満たし，成り立つ事柄を記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ ○○が，「２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差」である。
⒝ ◇◇が，次のいずれかである。
・９または３の倍数・十の位の数と一の位の数の和が９・もとの２けたの自然数の十の位の数と一の位の数の差の９倍⒞ ◇◇が，もとの２けたの自然数の十の位の数と一の位の数の差に着目したものである。
② 上記①で，○○の「２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差」に関する記述が十分でないもののうち，「○○は，◇◇になる。」という形で記述しているものは，正答（○）とする。
③ ⒜の条件のみを満たしているもののうち，成り立つ事柄を記述しているものは，正答（○）とする。
9
１

出題の趣旨
カレンダーの中の数について予想された事柄をよみ，次のことができるかどうかをみる。
・事柄が成り立つ説明を読み取り，事象に即して解釈すること。
・発展的に考え，予想した事柄を説明すること。

２

各設問の趣旨設問（1） 考察の対象を明確にとらえ，文字を用いて表現できるかどうかをみる。
設問（2） 式の意味を読み取り，それを事象に即して解釈できるか，さらに，解釈した事柄を「〜は・・・である。」の形で表現できるかどうかをみる。
設問（3） 発展的に考え，成り立つ事柄を予想し，その事柄が必ず成り立つことを説明することができるかどうかをみる。
― 48 ―

第２学年
３

４

５

数学

単元「式の計算」 解説資料

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・Ａ
評価の観点
設問（1）・・・知識・技能正答と解説設問（1） ■正答設問（2） ■正答

① n−1

数と式（１）ア（ウ），ア（エ），イ（イ）

設問（2）・設問（3）・・・思考・判断・表現② n ＋ 1（順不同）例）たてに並んだ３つの数の和は，３の倍数である。
例）たてに並んだ３つの数の和は，真ん中の数の３倍である。

■解説① 「～は，」に当たる部分が，「たてに並んだ３つの数の和」を意味する表現であれば正答（○）とする。
② 「・・・である。」に当たる部分で，3n の３に着目し，３の倍数を意味する表現（３で割り切れる等）であれば正答（○）とする。
③ 「・・・である。」に当たる部分で，3n の n に着目し，「真ん中の数の倍数」等の表現をしているものは正答（○）とする。
設問（3） 予想されるきまり■正答例）×の形に並んだ５つの数の和は，５の倍数である。
例）×の形に並んだ５つの数の和は，真ん中の数の５倍である。
■解説（2）に準じる。
説明■正答例）×の形に並んだ５つの数のうち，真ん中の数を n とすると，５つの数は，n − 8，n − 6，n，n ＋ 6，n ＋ 8 と表せる。
５つの数の和は，(n − 8) ＋ (n − 6) ＋ n ＋ (n ＋ 6) ＋ (n ＋ 8)
＝ n−8＋n−6＋n＋n＋6＋n＋8＝ 5nn は整数だから，5n は５の倍数である。
（n は真ん中の数だから，5n は真ん中の数の５倍である。）■解説① 以下の４つが記述できていれば正答（◎）とする。
⒜ どの位置にある数を n，あるいは適当な文字に置いたとしても，５つの数を，整合性をもって表現できている。
⒝ ⒜に対応して，５つの数の和を式で表現できている。
⒞ 式変形の結果が，5 ()，あるいは，5 ○＋5 □に変形されている。
⒟ ⒝において，() の中，あるいは，○や□が整数であることをおさえた上で，予想した事柄の結論に対応した記述ができている。
② ⒜，⒟の条件を満たしているもののうち，⒝あるいは⒞の記述が不十分だが，一連の説明として意味が通ると判断できるものは，正答（○）とする。

― 49 ―

第２学年

数学

単元「連立方程式」 解説資料

１ ■正答

エ

2

■正答

イ

3

設問（1） ■正答設問（2） ■正答

③を②に代入して
ア 消去
イ 一元一次方程式（◎），一次方程式（○）

4

設問（1） ■正答設問（2） ■正答ウ，オ
x = −2，y = 4

5

設問（1） ■正答ア 3x + 5y = 2800
イ 中学生２人とおとな３人の入館料
ウ 2x + 3y = 1700
100

設問（2） ■正答
6
１

出題の趣旨
方程式を利用した問題解決の場面において，次のことができるかどうかをみる。
・具体的な事象の中から，方程式で表せる数量を見いだし，その関係を適切に捉えること。
・捉えた数量関係から方程式を立式し，問題を解決すること。

２

各設問の趣旨設問（1） 具体的な事象において，必要な数量を，表を使って整理することができるかどうかをみる。
設問（2） 整理した数量関係をもとに，方程式で表せる数量を見いだし，連立方程式を立式し問題を解決することができるかどうかをみる。
設問（3） 線分図を使って数量関係を捉え，方程式で表せる数量を見いだし，それを適切に表現するとともに，方程式を立式し問題を解決することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・Ａ 数と式（2）ア（イ），ア（ウ），イ（イ）

４

評価の観点
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・思考・判断・表現― 50 ―

５

第２学年

数学

設問（1） ■正答

① 50②

設問（2） ■正答

（例）

x

正答と解説

単元「連立方程式」 解説資料
x
70

③

y
50

④ 300

y

・・・①
70
50
x + y = 300 ・・・②=

これを解いてx = 175，y = 125
これは問題にあう。
よって，快速電車が１７５㎞進むのにかかる時間は，
175 ÷ 70 = 2.5（時間）
答 Ａ駅から 175 ㎞の地点で，２時間３０分後にすれ違う■解説① 連立方程式を立式し，解，解の吟味，かかった時間を求める記述，及び答について正しく記述しているものを正答（◎）とする。
② 連立方程式について同値な式の場合，及びかかった時間を求める記述と答の記述について同じ意味の記述がなされていると認められる場合は正答（◎）とする。
③ 解の吟味，かかった時間を求める記述，及び答についての記述が不十分なものは正答（○）とする。
設問（3） ■正答
考え方（例）快速電車と普通電車が進んだ道のりの合計■解説① 「快速電車と普通電車が進んだ道のりの和は３００㎞」であることに着目し，適切に表現できていれば正答（○）とする。
② 「道のり」や「３００ｋｍ」の記述だけでは，方程式を立式するための数量関係を表していないことから誤答（×）とする。
■正答
解き方（例） Ａ駅からすれ違う地点までに快速電車がかかった時間を x 時間とす
ると，
70x + 50x = 300
x = 2.5
２．５時間で快速電車が進んだ道のりは，
70 × 2.5 = 175となり，これは問題にあう。
答 Ａ駅から 175 ㎞の地点で，２時間３０分後にすれ違う。
■解説① 一元一次方程式を立式するとともに，解，道のりを求める記述，解の吟味，答を正しく記述しているものを正答（◎）とする。
② 道のりを求める記述，解の吟味，答についての記述が不十分な場合は正答（○）とする。

― 51 ―

第２学年
１ ■正答
2

3

単元「一次関数」 解説資料

イ

設問（1） ■正答設問（2） ■正答3
ア

設問（3） ■正答x の増加量が 2 のとき −設問（1） ■正答−3

設問（2） ■正答アy=−設問（3） ■正答

傾き

３

4

■正答

−3 ≦ y ≦ 3

5

■正答

エ

6

■正答

エ

7

設問（1） ■正答設問（2） ■正答

8
１

数学

ウ
式

エ

2
3

3

イ

x+4
切片

4

x の増加量が−6 のとき

4

y = 2x−2５

y = 40−2 x（0 ≦ x ≦ 20）

面積

16 ㎠

出題の趣旨
表やグラフで与えられた情報をよみ，次のことができるかをみる。
・必要な情報をよみとり，事象を数学的に解釈すること。
・問題解決の方法を数学的に説明すること。

２

各設問の趣旨設問（1） 考察に必要な情報を適切に捉えているかどうかをみる。
設問（2） 作成したグラフが一次関数のグラフであることを判断し，「○○は，□□の一次関数である」という形で表現することができるかどうかをみる。
設問（3） グラフからは正確に読み取ることができない場合に，連立方程式を解くことで正確な値を出す方法を選択し，説明することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・Ｃ 関数（1）ア（ウ），イ（ア），イ（イ）

４

評価の観点
設問（1）・・・知識・技能設問（2）・設問（3）・・・思考・判断・表現― 52 ―

第２学年
５

正答と解説
設問（1） ■正答12000

設問（2） ■正答

（グラフ）

12

数学

単元「一次関数」 解説資料

× 140

（言葉） ①総費用②使用する年数■解説（グラフ） ２点（０，１６０）（５，２３０）を通る直線をかこうとしていると判断できるものは正答（○）とする。
（言 葉） ① y ② x も正答（○）とする。
設問（3） ■正答（例） ガソリン車Ａとハイブリッド車Ｂについて，年数と総費用の関係を式で表し，連立方程式を立てて解いて，年数の値を求める。
■解説
費用は一定の割合で増えることを前提として，次のことについて記述しているもの。
① 式を用いることについて記述している場合，次の⒜，⒝の両方について記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ 年数と費用の関係を式で表すこと。
⒝ 連立方程式を立てて解き，年数の値を求めること。
② 表や数値を用いることについて記述している場合，次の⒞，⒟の両方について記述しているものを正答（◎）とする。
⒞ 年数と費用の関係を表や数値で調べること。
⒟ その表や数値を用いて，ガソリン車Ａの費用がハイブリッド車Ｂの費用を上回るときの年数を求めること。
③ 上記①で，変数が表すものや，年数の値を求めることを記述していないものの
うち，式の用い方を示していると判断できるものは，正答（○）とする。
④ 上記②で，用いる数量や，年数の値を求めることを記述していないもののうち，表や数値の用い方を示していると判断できるものは，正答（○）とする。
9
１

出題の趣旨
表やグラフで与えられた情報をよみ，次のことができるかをみる。
・必要な情報をよみとり，事象を数学的に解釈すること。
・問題解決の方法を数学的に説明すること。

― 53 ―

第２学年

数学

単元「一次関数」 解説資料

２

各設問の趣旨設問（1） 考察に必要な情報を適切にグラフから捉えているかをみる。
設問（2） 取扱説明書にある『「急速」ボタンを使用すると，「通常」ボタンの半分の時間で沸騰できます。』の記述が正しいことを，グラフの傾きが１分間に加熱する温度を表している
ことを分析し，切片が同じで傾きが２倍になっていることに着目して，数学的に説明することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・・・Ｃ 関数（1）ア（ウ），イ（ア），イ（イ）

４

評価の観点
設問（1）・・・知識・技能設問（2）・・・思考・判断・表現

５

正答と解説
設問（1） ■正答■解説

８分
｢通常｣ ボタンのグラフについて，グラフが直線であることから一次関数となること，切片が 16，傾きが 8 であることをよみとり，２Ｌのお湯を沸かす
時間 x（分）と温度 y（℃）の関係について y = 8x + 16 と表す。この一次関数の式に y = 80 を代入し x = 8 を得る。

設問（2） ■正答⒜ グラフから，｢通常｣ ボタンと ｢急速｣ ボタンのそれぞれの温度になるまでの時
間を表にする。
温度（℃）

１６

２４

３２

４０

４８

・・ ・

｢通常｣ ボタンでかかる時間（分）

０

１

２

３

４

・・・

｢急速｣ ボタンでかかる時間（分）

０

０. ５

１

１. ５

２

・・

・

この表から，「急速」ボタンでそれぞれの温度になるまでの時間は，どの温度の時も「通常」ボタンの半分の時間になっている。したがって，「急速」ボタンを使用すると，「通常」ボタンの半分の時間で沸騰する。
⒝ ２つのグラフはどちらも直線で一次関数のグラフであり，傾きは２Ｌの水が１分間に温まる温度を表している。「通常」ボタンのグラフの傾きは８，｢急速｣ ボ
タンのグラフの傾き１６であり，「急速」ボタンの１分間で温まる温度は「通常」
ボタンの２倍になる。このことから，同じ温度になるまでの時間は「急速」ボタンを使用すると「通常」ボタンの半分になる。したがって，「急速」ボタンを使用すると，「通常」ボタンの半分の時間で沸騰する。

― 54 ―

第２学年

数学

単元「一次関数」 解説資料

■解説
① 上記の⒜，⒝のいずれかについて記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ グラフから，複数の ｢通常｣ ボタンと ｢急速｣ ボタンのそれぞれの温度になるまでの時間をよみとり，それを整理して帰納的な考え方で説明している。
・グラフからよみとった情報を，例えば表に整理するなどして数学的に説明している。
・帰納的な考え方を用いた記述がある。
・結論が明記されている。
⒝ ２つの直線のグラフの傾きに着目して，その違いから演繹的な考え方で説明している。
・グラフの傾き ( 式の変化の割合 ) の意味を記述し，２つの温度の上がり方の違いを説明している。
・結論が明記されている。
② ⒜，⒝のそれぞれについて，記述が一部十分でないものは正答 ( ○ ) とする。

― 55 ―

第２学年
１ ■正答

95°

2

■正答

オ

3

■正答

ア

4

■正答

ア

5

■正答

ウ

6

設問（1） ■正答設問（2） ■正答

7
１

数学

単元「図形の調べ方」 解説資料

イ
イ

出題の趣旨
証明の方針をよみ，次のことができるかどうかをみる。
・筋道を立てて考えること。
・方針にもとづいて証明すること。
・証明を振り返って考えること。

２

各設問の趣旨設問（1） 証明の方針が提示されたとき，その方針を立てるときの根拠となる事柄を指摘できるかどうかをみる。
設問（2） 提示された方針をもとに，三角形の合同を示すために必要なことを見いだして，証明を書くことができるかどうかをみる。
設問（3） 証明に用いた三角形の合同を根拠として，もとの問題の図形において新たに分かる図形の性質を指摘できるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・Ｂ 図形（2）ア（ア），ア（イ），イ（ア）

４

評価の観点
設問（１）・・・知識・技能

５

正答と解説
設問（1） ■正答設問（2） ■正答設問（２）・設問（３）・・・思考・判断・表現

ア（例） △ＡＯＤと△ＢＯＣにおいて仮定から，ＯＡ＝ＯＢ ……①
ＯＤ＝ＯＣ ……②
共通な角だから，∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ ……③①，②，③より，２組の辺 ( ２辺 ) とその間の角がそれぞれ等しいから，△ＡＯＤ≡△ＢＯＣ
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，
ＡＤ＝ＢＣ― 56 ―

第２学年

数学

単元「図形の調べ方」 解説資料

■解説
① 次の⒜，⒝，⒞，⒟とその根拠を記述し，証明しているものを正答（◎）とする。
⒜ ＯＡ＝ＯＢ，ＯＤ＝ＯＣ（順番は不問）⒝ ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ⒞ △ＡＯＤ≡△ＢＯＣ⒟ ＡＤ＝ＢＣ② 証明において着目すべき三角形が異なっているものも，正しく証明していれば，正答（◎）とする。
③ 上記①と②で，表現が不十分であったり，記号を書き忘れたりしているものの
うち，証明の筋道が正しいと判断できるものは，正答（○）とする。
設問（3） ■正答
8
１

ウ

出題の趣旨
証明の方針について，次のことができるかどうかをみる。
・方針に基づいて証明すること。
・新たな方針を立てること。

２

各設問の趣旨設問（1） 示された方針に基づいて証明することができるかどうかをみる。
設問（2） 与えられた条件を整理したり，着目すべき性質を見いだしたりするなどして，証明の新たな方針を立てることができるかどうかをみる。

3

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・・・Ｂ 図形（2）ア(ア)，ア(イ)，イ(ア)

4

評価の観点
設問（1）・設問（2）・・・思考・判断・表現

5

正答と解説
設問（1） ■正答(例)

△ＡＢＰと△ＣＤＱにおいて仮定から，ＢＰ＝ＯＰ，ＤＱ＝ＯＱとなり，ＢＰ＝

1
2

OB，ＤＱ＝

1
2

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから，ＯＢ＝ＯＤ
よって，ＢＰ＝ＤＱ……①
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，ＡＢ＝ＣＤ……②
平行四辺形の向かい合う辺は平行だから，ＡＢ ＣＤ
平行線の錯角は等しいから，∠ＡＢＰ＝∠ＣＤＱ……③①，②，③より，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ＡＢＰ≡△ＣＤＱ
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，ＡＰ＝ＣＱ― 57 ―

ＯＤ■解説① 次の⒜，⒝，⒞，⒟，⒠とその根拠を記述し，証明しているものを正答（◎）とする。
⒜ ＢＰ＝ＤＱ⒝ ＡＢ＝ＣＤ⒞ ∠ＡＢＰ＝∠ＣＤＱ⒟ △ＡＢＰ≡△ＣＤＱ⒠ ＡＰ＝ＣＱ② 証明において着目すべき三角形が異なっているものも，正しく証明していれば，正答（◎）とする。
③ 上記①と②で，表現が十分でなかったり，記号を書き忘れたりしているもののう
ち，証明の道筋が正⒜しいと判断できるものは，正答（○）とする。
設問（2） ■正答ア

― 58 ―

第２学年
名称
理由

１ ■正答

数学

単元「図形の性質と証明」 解説資料

二等辺三角形（例） ∠ＡＢＣ＝ 80 − 40 ＝ 40° となり，２つの角が等しい三角形であるから。
根拠として「２つの角が等しい」ことが示されていれば正答（○）とする。

■解説
2

■正答

ＣＢＤ，ＡＣＢ
２つの角が等しい三角形である

3

■正答

エ

4

■正答

∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ

5■正答

１組の向かいあう辺が，等しくて平行である。

6

設問（1） ■正答設問（2） ■正答

7

■正答

（例）

３組の辺（３辺）がそれぞれ等しいウ
ＡＤ ＢＣより，△ＡＢＣ＝△ＤＢＣ
また，△ＡＥＢ＝△ＡＢＣ−△ＥＢＣ△ＤＥＣ＝△ＤＢＣ−△ＥＢＣ
よって，△ＡＥＢ＝△ＤＥＣ△ＡＥＢの底辺をＡＢとすると，高さはＢＦなので，△ＡＥＢ＝ 16 × 9 ÷ 2

■解説

＝△ＤＥＣ
根拠として「△ＡＥＢ＝△ＤＥＣ」が示されていれば正答（○）とする。

8

■正答

ア

9
１

出題の趣旨

平行四辺形

イ

ひし形

ウ

正方形

与えられた情報を読み，次のことができるかどうかを見る。
・数学的な結果を事象に即して解釈すること。
・事象を数量や図形に着目して観察し，その特徴を的確に捉えること。
・事象を数学的に解釈し，成り立つ事柄の特徴を数学的に説明すること。
２

各設問の趣旨設問（1） 実際に測ることのできない校舎の長さを求める求め方を事象に即して解釈し，長さを置き換えてよいことの根拠となる長方形の性質を指摘できるかどうかをみる。
設問（2） 長さを置き換えるために使われる図形が直角二等辺三角形になることの根拠を，与えられた情報から読み取り，指摘できるかどうかをみる。
設問（3） 事象を数学的に解釈し，△Ｐ2 ＡＢと地面に描いた△Ｐ2 ＡＱが合同であることの根拠となる事柄を説明できるかどうかをみる。

― 59 ―

第２学年
３

４

５

数学

単元「図形の性質と証明」 解説資料

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・Ｂ
評価の観点
設問（1）・・・知識・技能正答と解説設問（1） ■正答設問（2） ■正答

■解説設問（3） ■正答■解説

図形（２）ア（ア），ア（イ），イ（イ）

設問（2）・設問（3）・・・思考・判断・表現

ウ
90°＋45°45° である。∠ＢＰ1 Ａ＝∠Ｐ1 ＢＡ（例） ∠Ｐ1 ＢＡ＝ 180°
＝ 45°，∠Ｐ1 ＡＢ＝ 90° であり，２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから，△Ｐ1 ＡＢは直角二等辺三角形となる。
二等辺三角形になる条件として「２つの角が等しい三角形は，二等辺三角形である」ことが示されることで正答（○）とする。
（例） １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい三角形は合同である。
① 次の⒜，⒝を記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ 「１辺とその両端の角がそれぞれ等しい三角形は」などの主部（前提あるいは根拠に当たる部分）。
⒝ 「合同である」などの述部（結論に当たる部分）。
② ⒜のみを記述しているものを正答（○）とする。
③ ⒜，⒝が記述された上で，∠ＡＰ2 Ｂ＝∠ＡＰ2 Ｑなど具体的な相等箇所が示されている場合も正答（◎）とする。

10
１ 出題の趣旨
図形の証明について，次のことができるかどうかをみる。
・図形の証明を読み，成り立つ事柄の根拠を説明すること。
・証明の方針に基づいて証明すること。
・証明を振り返り，新たな性質を見いだすこと。
２

各設問の趣旨設問（1） 証明の中で辺の相等関係を示すために用いられている「平行四辺形の性質」を結論から見いだし指摘できるかどうかをみる。
設問（2） 提示された証明の方針を基に，二等辺三角形になる条件を満たすために必要な事柄を見いだして，証明を書くことができるかどうかをみる。
設問（3） 証明を振り返り，問題で示された図形について新たに分かることを指摘することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・Ｂ

４

評価の観点
設問（1）
・・・知識・技能

図形（２）ア（ア），イ（イ），イ（ア）

設問（2）・設問（3）・・・思考・判断・表現― 60 ―

第２学年
５

正答と解説
設問（1） ■正答設問（2） ■正答

■解説設問（3） ■正答■解説

数学

単元「図形の性質と証明」 解説資料

平行四辺形の２組の向かいあう辺は，それぞれ等しい（例） △ＡＢＣは二等辺三角形より２つの底角は等しいので∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ …………①
また，ＡＣ ＲＰより，同位角が等しいので∠ＡＣＢ＝∠ＲＰＢ …………②①②より，∠ＡＢＣ＝∠ＲＰＢ△ＲＢＰにおいて，２つの角が等しいので△ＲＢＰは二等辺三角形である。
次の⒜，⒝，⒞を記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ 「二等辺三角形の２つの底角が等しい」ことを根拠に角の相等を示している。
⒝ 「平行線の同位角が等しい」ことを根拠に角の相等を示している。
⒞ 「２つの角が等しい三角形は二等辺三角形である」（二等辺三角形になる条件）を示している。
エ
線分の相等関係は，ＡＱ＝ＲＰ＝ＲＢ，ＡＲ＝ＱＰ＝ＱＣである。
（下図参照）
ＡＢ＝ＡＲ＋ＲＢ＝ＲＰ＋ＱＰ
よって，エとなる。

11
１ 出題の趣旨
図形の性質を考察する場面において，次のことができるかどうかをみる。
・筋道を立てて考えること。
・数学的な結果を事象に即して解釈すること。
・統合的・発展的に考察し，新たに見いだした事柄を説明すること。

２

各設問の趣旨設問（1） 証明の根拠として用いられている三角形の合同条件を理解しているかどうかをみる。

― 61 ―

設問（2） 反例の意味を理解しているかどうかをみる。
設問（3） 結論が成り立つための前提を考え，新たな事柄を見いだし，説明することができるかど
うかをみる。
３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・・・Ｂ 図形（2）ア(ア)
設問（2）・・・Ｂ 図形（2）ア(イ)
設問（3）・・・Ｂ 図形（2）イ(ア)

４

評価の観点
設問（1）・設問（2）・・・知識・技能

５

設問（3）・・・思考・判断・表現正答と解説設問（1） ■正答

２組の辺とその間の角設問（2） ■正答イ

設問（3） ■正答(例)

ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形■解説① ｢三角形ＡＢＣが〜ならば，ＡＥ＝ＣＤになる。｣という形で，次の⒜または⒝の条件を満たし，成り立つ事柄を記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ ○○が，｢三角形ＡＢＣがＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形｣である。
⒝ ○○が，｢三角形ＡＢＣがＡＢ＝ＢＣ｣ である。
② ⒜，⒝に関する記述に，｢ＡＢ＝ＢＣ｣は必要。｢ＡＢ＝ＢＣ｣のないものは不正答（×）とする。

― 62 ―

第２学年

1

数学

単元「箱ひげ図とデータの活用」 解説資料

設問（1） ■正答最近１か月間に読んだ本の冊数

読んだ本の
冊数（冊）

０

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

計

人数（人）

2

15

9

4

1

1

1

1

０

０

1

35

累積度数（人）

2

17

26

30

31

32

33

34

34

34

35

第 1 四分位数

設問（2） ■正答

第 2 四分位数（中央値）

第 3 四分位数

2冊■解説
第２四分位数は中央値で，データの個数は35個で奇数であるから，中央値は18番目の値である。18番目の値は，（1）の累積度数より，累積度数｢17(人)｣の右隣の｢26(人)｣のところに入るので，２冊である。
設問（3） ■正答１冊

■解説
第１四分位数は，データの最小値をふくむほうの 17個のデータの中央値だから，９番目の値である。９番目の値は，（1）の累積度数より，累積度数｢２(人)｣の右隣の｢17(人)｣のところに入るので，１冊である。
設問（4） ■正答３冊

■解説
第３四分位数は，データの最大値をふくむほうの 17個のデータの中央値だから，27番目の値である。27番目の値は，（1）の累積度数より，累積度数｢26(人)｣の右隣の｢30(人)｣のところに入るので，３冊である。
設問（5） ■正答

０

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10（冊）

■解説
① ひげ（最小値，最大値），箱〔第１四分位数，第２四分位数(中央値)，第３四分
位数〕がすべて正しく表されているものを正答（◎）とする。
② 箱ひげ図の中に，平均「＋」の記入は不要。記入されていた場合は，採点対象とはせず，正誤に関わらず，箱ひげ図が正しければ正答（○）とする。

― 63 ―

2
１

出題の趣旨
複数のデータの分布について，次のことができるかどうかをみる。
・四分位範囲や箱ひげ図の意味を理解し，データを整理して箱ひげ図で表すこと。
・四分位範囲や箱ひげ図を用いて，複数の集団のデータの分布の傾向を比較してよみとり，判断したことを説明できるようにすること。

２

各設問の趣旨設問（1） 四分位数の意味を理解していて，求めることができるかどうかをみる。
設問（2） 四分位範囲の意味を理解していて，求めることができるかどうかをみる。
設問（3） 箱ひげ図の意味を理解していて，四分位数と最小値，最大値を箱ひげ図に表すことができるかどうかをみる。
設問（4） 四分位範囲や箱ひげ図を用いて複数のデータの分布の傾向を比較してよみとり，判断したことを説明できるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・・・Ｄ データの活用（1）ア（ア）
設問（3）・・・Ｄ データの活用（1）ア（イ）
設問（4）・・・Ｄ データの活用（1）イ（ア）

４

評価の観点
設問（1）・設問（2）・設問（3）・・・知識・技能

５

設問（4）・・・思考・判断・表現正答と解説設問（1） ■正答設問（2） ■正答単位（点）第１四分位数

第２四分位数（中央値）

第３四分位数

A班

2

6

8

B班

3

4.5

7

C班

4

6.5

9

Ａ班

６点

Ｂ班

４点

Ｃ班

５点

2

3

4

5

設問（3） ■正答

A班
B班
C班

０

1

― 64 ―

6

7

8

9

10（点）

■解説
① ひげ（最小値，最大値），箱〔第１四分位数，第２四分位数(中央値)，第３四分
位数〕がすべて正しく表されているものを正答（◎）とする。
② 箱ひげ図の中に，平均「＋」の記入は不要。記入されていた場合は，採点対象とはせず，正誤に関わらず，箱ひげ図が正しければ正答（○）とする。
設問（4） ■正答

得点が６点以上だった生徒が半分以上いる班

Ａ，Ｃ

説明 （例） 箱ひげ図で第２四分位数（中央値）を見ると，Ａ班は６点，Ｂ班は4.5点，Ｃ班は6.5点。得点が６点以上だった生徒が半分以上いる班は，第２四分位数（中央値）が６点以上の班である。だから，
Ａ班とＣ班といえる。
■解説｢得点が６点以上だった生徒が半分以上いる班｣とは，｢第２四分位数(中央値)が６点以上である班｣ということをもとにして説明されていて，｢Ａ班とＣ班｣が導き出されていれば正答（◎）。
｢第２四分位数(中央値)が６点以上である班｣だから，｢Ａ班とＣ班｣という説明がされていれば正答（○）。

― 65 ―

第２学年
1

■正答

エ，オ

2

■正答

ウ

3

設問（1） ■正答設問（2） ■正答

4

設問（1） ■正答設問（2） ■正答

5
１

数学

単元「場合の数と確率」 解説資料

3
10
7
10
1
3
1
3

出題の趣旨
不確定な事象を含む問題場面についての情報をよみとり，次のことができるかどうかをみる。
・不確定な事象をとらえ，起こりうる全ての場合を落ちや重なりなく表すこと。
・不確定な事象を確率を用いて考察し，判断すること。

２

各設問の趣旨設問（1） １本の当たりが含まれた３本のくじを引くとき，くじの引き方の全ての場合を，樹形
図を用いて表すことができるかどうかをみる。
設問（2） １本の当たりが含まれた３本のくじを引くとき，くじを引く順番によって当たりやす
さ異なるかどうかを，確率をもとに判断し，判断の理由も含めて説明することができるかどうかをみる。

３

学習指導要領における内容・領域
設問（1）・設問（2）・・・Ｄ データの活用（2）ア（イ），イ（ア），イ（イ）

４

評価の観点
設問（1）・・・数学的な技能設問（2）・・・思考・判断・表現― 66 ―

５

正答と解説設問（1） ■正答

第２学年

数学

Ａ

Ｂ

Ｃ

２

３

３

２

１

３

３

１

１

２

２

１

１
２
３

設問（2） ■正答

単元「場合の数と確率」 解説資料

左の樹形図より，くじのひき方は全部で6通りある。

Ａ，Ｂ，Ｃともに１を引く確率はたりやすさは変わらない。

13で等しいので，何番に引いても当■解説① 次の⒜，⒝，⒞について記述しているものを正答（◎）とする。
1⒜ Ａ，Ｂ，Ｃの１を引く確率は，すべてであること。
3⒝ Ａ，Ｂ，Ｃの１を引く確率が等しいこと。
⒞ １を引く引きやすさは，くじを引く順番には関わらないこと。
② ⒜，⒞について記述しているものは正答（◎）とする。
③ 上記①と②で，表現が十分でないもののうち，①，②の意味するところを記述していると判断できるものは正答（○）とする。

― 67 ―

授業への活用例

第２学年

数学

単元「式の計算」問題９１ 問題事象の分析
Ｑ１：○１＋２＋３＝６ です。
○６＋７＋８＝２１ です。

で囲んだ３つの数の和はいくつになりますか？

○３の倍数です！

Ｑ２：横に並んだ３つの数の和について，どんなことがいえそうですか？

≪ポイント≫☆丁寧に，いくつか具体例を計算させて，帰納的に成り立つ事柄を見いださせましょう。

２ 設問（1）の確認☆
「本当に，いつでも成り立つのですか？」と，ゆさぶりの発問を入れましょう。

Ｑ３：いつでも３の倍数になるのですか？
Ｑ３：いつでも成り立つことは，どのようにすれば説明できますか？

○文字を使ったら説明できるのではないかな。
○連続する３つの自然数の和と同じでは・・・。

３ めあての確認◎カレンダーの中の数の性質を見つけて，
それがいつでも成り立つことを説明しよう○今日のゴールは，「カレンダーの中の数の性質を見つけて，それがいつでも成り立つことを文字式を使って説明できるようになる。
」
ことです。

４ 設問（1）の解決
Ｑ４：一番小さい数をｎとすると残りの２つの数はｎを使ってどのように表されますか？
Ｑ５：中央の数をｎとすると残りの２つの数はｎを使ってどのように表されますか？

○
（ｎ＋１）
と
（ｎ＋２）
です。
○
（ｎ−１）
と
（ｎ＋１）
です。
○連続する３つの整数の和のときと同じです。

■ ｎを使っていつでも３の倍数になる説明を考えてください。

５ 設問
（２）
の解決

（n − ７）＋ n ＋（n ＋７）＝ ７n

Ｑ６：これは先生が見つけた性質を説明したものです。
どのような数の性質を説明したものかわかりますか？
■「〜は・・・である。」のかたちで答えてください。

○ｎに対してそれより７小さい数と７大きい数だから・・・○７×ｎになるわけだから・・○「縦に並んだ３つの数の和は７の倍数であ
る。
」
です。

６ 設問
（３）
の解決
■自分で別の数の性質をみつけて，
それがいつでも成り立つことを文字を使って説明してください。
■となりの友だちに説明の式の部分だけを見せてください。説明を見た人はそれがどんな数の性質を説明したものか答えてください。
Ｑ７：これはどんな数の性質を説明したものですか？

７ 振り返りとまとめ○ななめに並んだ３つの数の和はどうなるかな？
○＋のかたちに並んだ５つの数の和はどうなるかな？
○きっと「＋のかたちに並んだ５つの数の和は５の倍数になる。
」
だわ。
○「× のかたちに並んだ５つの数の和は５の倍数である。
」
だと思います。

■福岡県学力向上教材集 「式の計算」
問題９をやってみましょう。

≪ポイント≫☆帰納的に性質を見いだし演繹的に確かめる一連の数学的な推論の過程を大切にしましょう。
☆ある数をｎとしたとき残りの２つの数をｎを使って表すことが困難な生徒がいるので，丁寧な指導で理解を図りましょう。
例えば，設問２で「ｎが９のとき（ｎ−７）
はどの数ですか。
カレンダーに○を入れなさい。
」といった発問・指示が有効です。

― 68 ―

授業への活用例

第２学年

数学

単元「連立方程式」問題６

１ 問題事象の分析○２台の電車が走ってきてすれ違う問題です。

Ｑ１：どういう問題ですか？

○ Ａ駅とＢ駅は３００ｋｍ離れています。
○快速電車はＡ駅からＢ駅へ向かって走ります。
○快速電車の速さは時速７０ｋｍです。
ｅｔｃ．

Ｑ２：わかっていることはどんなことですか？

≪ポイント≫

２ 設問（1）の確認☆すぐに問題解決に入らず，事象や情報を把握する場面を設定します。

■表を利用して問題の数量を整理してみましょう。

○時間をｘ，
ｙとしてみるとどうかな？
○道のりをｘ，ｙとしてみるとどうかな？

Ｑ３：何をｘ，ｙとしたらよいでしょう？

３ めあての確認≪ポイント≫○同じ問題で，文字におく数量をいろいろ変えて方程式を立て，
それを比べて方程式の特徴を考えよう。

４ 設問（1）（2）,の解決☆授業でこの問題を扱うときは，ｘ，ｙを指定せず，多様な考えを引き出した方が言語活動が活性化して，考えが深まることが期待されます。

○時間をｘ，
ｙとすると，
道のり＝速さ × 時間だから･･･○道のりをｘ，ｙとすると
時間＝道のり ÷ 速さだから･･･■空欄をうめて表を完成させてください。
■表をもとに連立方程式を立てて問題を解決してみましょう。

◎時間についての関係はこれでいいのかな〜？

５ 設問（1）（2）,の考察
Ｑ５：時間の関係についての式と道のりの関係についての式と，どちらがわかりにくかったですか？

○時間の関係がよくわかりません。

■時間の関係についての式は，どんな式になるか話し合ってください。

６ 設問
（３）
の考察

○時間をｘ，
ｙとすると，すれ違うまでにかかった時間は同じだから，
ｘ＝ｙとなるのでは？
○道のりをｘ，ｙとすると，やっぱりすれ違うまでにかかった時間は同じだか
ら，ｘ/70＝y/50 となるのでは？

Ｑ６：すれ違うまでに快速電車が走った時間と普通電車が走った時間はどのような関係になっているのですか？
Ｑ８：ｘ＝ｙの式をみて，他に方程式は立ちませんか？

○２つのかかった時間は等しいです。

○快速電車の走った時間をｘとすると，普通電車の走った時間は同じなので，ｙではなくｘとおけます。

Ｑ９：そうですね。
そうすると，
どんな方程式が立ちますか。
■方程式を解いて，答えを比べてみてください。

７ 振り返りとまとめ○一元一次方程式でも解けるんだ。

■福岡県学力向上教材集 「連立方程式」
問題６をやってみましょう。

≪ポイント≫☆連立方程式で解ける問題は，一元一次方程式で解けることを押さえた上で，複数の方程式を比べて，それぞれのよさを話し合わせましょう。

― 69 ―

授業への活用例

第２学年

数学

単元「一次関数」問題８

１ 問題事象の分析○ 燃費がいい● 値段が高い

Ｑ１：ハイブリッド車の特徴は？

○ Ｂ車の方が 40 万円高い
○ Ｂ車の方が燃費が 8km/Ｌいい◎（ガソリン代）＝（走行距離）
÷（燃費）
×140 かな？

Ｑ２：この表を見て気付くことは？

≪ポイント≫

２ 設問（1）の確認と解決☆すぐに問題解決に入らずに，問題の情報の分析の場を設定します。
その際，説明文，図，表，グラフ
等から分かること，
予想されることを共有します。

■では，この表の空欄を埋めてみよう。
Ｑ３：ＨＶ車Ｂのガソリン代８万 4000 円
は，どのように計算したのかな？

○まず，１年間のガソリンの量が分かればいい。
○ガソリンの量は，（走行距離）
÷（燃費）で出るのでは。
◎84000＝12000÷20×140

３ めあての確認◎「どちらの車がお買い得か？」を，関数を使って考えよう。
○今日のゴールは，「ハイブリッド車Ｂは，○年以上乗れば お得である」
を明らかにすることです。
Ｑ４：２つの車を２年間乗った時，お得なのはどっち？
Ｑ５：「乗った年数」と「必要な費用」の関係は？
グラフで表すと？

４ 設問
（２）
の解決
■では，
Ａ車のグラフをかき入れましょう。

○Ａ車は 160＋14×2＝188 万円○Ｂ車は 200＋8.4×2＝216.8 万円○購入時の費用は買った時だけ，ガソリン代は毎年必要○毎年ガソリン代が加算されていく◎もしかしたら，｢一次関数｣？
○直線のグラフだから｢切片｣と｢傾き｣を確認しよう

Ｑ６：①，②に当てはまる言葉は？

○どちらのグラフも｢直線｣だから一次関数になる○関数の定義は「x にともなって
y がただ 1 つ決まる･･･｣①はどっちかな？

■小集団で互いの考えを説明し，｢正しさ｣について検討しましょう。

５ 設問
（３）
の解決

Ｑ７：結局
「Ｂ車は何年乗ればお得になるの」？

○グラフからは，
7 年ちょうどで同じになるように見えるけど･･

Ｑ８：グラフの交点が正確に読み取れない場合，どうする？

○２つの式を連立方程式にすれば，計算で求めることが･･

Ｑ９：答えを選ぶときに，注意することは？

○あっ

６ 振り返りとまとめ

そうか･･･■福岡県学力向上教材集 「一次関数」
問題８をやってみましょう。

≪ポイント≫☆問題解決の過程を振り返るだけでなく，次のことを整理・確認させます。
①今日の授業で，「新たに気付いたこと，分かったこと」などを整理します。
②このような一次関数を利用して問題を解くときに，「使いたい考え方」
や「注意しなくてはならないこと」
を確認します。

― 70 ―

授業への活用例

第２学年

数学

単元「図形の性質と証明」問題９

１ 問題の事象の分析○定規で測る○メジャーで測る…

Ｑ１：身の回りにある物の大きさ（長さ）を図る方法は？
Ｑ２：実測できない，校舎の高さは
どうやって図りますか？

○困ったなー・・・○実測できないから分からない。

２ 設問（1）の確認と課題解決の見通し■では，校舎の屋上の１辺（ＢＣ）の長さを知りたいとき，実測できる箇所を考えましょう。
Ｑ３：このときに使った図形の性質は何ですか？
実測できない場所の長さは，①図形の性質を利用することで，②実測できる場所に長さを置き換えて，測ることができますね。

３ 「めあて」の確認○ＢＣの長さは実測できないので，
地面のＡＤの長さを図る。
○それは，四角形ＡＢＣＤが長方形だから・・。
◎長方形は，２組の向かいあう辺の長さが等しいから。
（長方形の性質）◎図形の性質を利用して，校舎の高さを測る方法を説明しよう。

４ 設問（２）の提示と解決■ △Ｐ₁ＡＢに着目して，その特徴を調べましょう！
Ｑ４：Ｐ₁Ａの長さが校舎の高さになるのはなぜですか？

○△Ｐ₁ＡＢは，∠ＡＰ₁Ｂ＝∠Ｐ₁ＢＡ＝４５°◎２角が等しいので直角二等辺三角形（二等辺三角形になる条件）→ＡＢ＝Ｐ₁Ａ

直角二等辺三角形を利用して，校舎の高さを求めることができました。

５ 設問（３）の提示と解決Ｑ５：ＡＱの長さが校舎の高さになるのはなぜですか？
■△Ｐ₂ＡＢと△Ｐ₂ＡＱが合同になることを証明しましょう！
※どの合同条件が使えるか，図形を観察しましょう。
○２つは直角三角形○ＡＰ₂は共通○∠ＢＰ₂Ａ＝∠ＱＰ₂Ａ（仮定）◎合同条件は，「１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」が使える→ △Ｐ₂ＡＢ≡△Ｐ₂ＡＱ○対応する辺の長さは等しい→ＡＢ＝ＡＱ
三角形の合同を利用して，校舎の高さを求めることができます。

６ 振り返りとまとめポイント☆証明する２つの三角形を正しく捉える場を設定します。
その際，図形を平面に表し，相等関係を示すことで，使える合同条件の見通しを持たせます。

２つの三角形
を平面に並べて考えよう！

■福岡県学力向上教材集 「図形の性質と証明」
問題９をやってみましょう。

○今日の授業で，「新たに気付いたこと，分かったこと」などを整理しましょう。
◎このような図形の性質を利用して問題を解くときに，「使いたい考え方」や「注意しなくてはならない
こと」
を確認しましょう。

― 71―