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 ⁠㈡┴ࠉ†༡ᕷ
水星近日点の前進問題を 確かな根拠に隣接する天体の平均運動の比を計算する。

基づいて 論じて居る事を示す目的で 次の設計に際して ホイヘンスが導入したのが水星
 2554 2734  (2; 1 1 4 9 2)
金星
金星
 1625 4989  (1; 1 1 1 2 30)
太陽
太陽
 1880 7512  (1; 1 7 2 1 1)
火星
火星 6304 2778  (6; 3 3 2 26 1)
木星
木星 2481 6306  (2; 2 13 9 8 5)土星

最初の様である 2) 。

これを参考に近似分数を探し出す。

形の正則連分数を扱った 1) ：

43
=4+
9

1

 (4 ; 1  3  2 )

1

1+

3+

1
2

この連分数なるもの プラネタリウムの（甲）プラネタリウムの設計
丸天井に投影された惑星に 真の動きをさせる為には それぞれの歯車の歯の数を平均運動の逆数に比例する様にする必要
ところ

ままが あ る 。 処 が そ の儘で は 歯 の 数が 工 作
不可能な程の数になって仕舞うのである。
これをホイヘンスは連分数の導入に依って見事に解決したのであった。
なが彼の方法を 概略 眺めてみる事にしよう。
天文年鑑 2011 年版 190 頁の 平均黄経  に於ける の係数が 平均運動を与えて居るとする。平均運動を  と表記すると 太陽
及び 惑星に対する値は 以下の様である ：水星 = 4°0923 7706
6021 6873
金星 = 1°9856 4736
太陽 = 0°
5240 7109
火星 = 0°

水星23
 (2; 1 1 4) =
金星
9
13
金星
 (1; 1 1 1 2) =
太陽
8
太陽
47
 (1; 1 7 2 1) =
火星
25
火星
63
 (6; 3 3) =
木星
10
木星
67
 (2; 2 13) =土星
27
これらの分母分子の数を その儘 歯の数と考えるならば 67 が 最も大きい数となる。
上記以外に

火星
47
 (15; 1 1 1 4 2) 
土星
3
しか

等も考えられはする。然し 最大数の 67 を
より小さな数にするのが困難なので 上に述べた 歯の数で行くのが良さそうである。
歯車の設計に関しては 別の機会に 解説出来たらと思って居る。
（乙）食周期の計算3)0831 2944
木星 = 0°

引用文献の 当該項目の冒頭部分を書く。

0334 9791
土星 = 0°

日食や月食は, ある周期ごとにくりかえ歯車の数の近似値を求める為に先ずはして起るものであることは, 昔から知られኳᩥᏛ࡜㐃ศᩘていて, 暦の原理にも用いられていた. 食場合の 近 似 分 数 は  を  =  と 置いて周期として有名なものにサロス周期と呼ば() =れる 18 年 11 日の周期がある。
日食は新月の時に起り, 月食は満月のときに起るから, 食周期は朔望月の整数倍でなくてはならない. さらに, 日月食は月の軌道と太陽の軌道の交点で起るのであるから, 食周期は交点月の整数倍である. 交点
月とは, 月がその軌道と黄道の交点を出発
して再び交点にもどってくるまでの時間である. また太陽もこの交点に再びもどって来ていなくてはならないので, この周期を特に食年という. もちろん食周期は食年の (;+1)
で与えられる事になる。
 (;)ここで   を与えられた自然数であるとし   を未知数とする一次不定方程式：



この解説に続いて 食年が 3466 2003 日
連分数が計算されて居る。
食年
 1273 7660  (12; 1 2 1 4 3)交点月
近似分数として (12; 1 2 1 4) =

242
を
19

選ぶ。そうすれば 食年の 19 倍が 交点月のおおよそ

大凡 242 倍 に 等 し い と 云 う の が 知 れ る 。
いず

これらは 何れもが 18 年と 11 日を 与える= ( (0) ;  (1)  (2)     () )を得たとする。
そうすれば

 =  ( 1; 1)    =  ( 1;) と置けば
等式 

  = ( 1) 1 が得られる。

そこで 各項に ( 1)+1 を掛けると：  ( 1)+1 = ( 1)2 ( 1)+1与えられるのが知れる：

 = ( 1)+1   ( 1; 1) + 
 = ( 1)+1   ( 1;) + 
ここに  は 任意の 整数である とする。
有史以来の出来事を 一本の時間軸上に記述出来る様にするには 西暦紀元よりもさかのぼ

充分に 遡 った点に 起点を持つものを用意
げんきすれば良い。元期（起点）の選択は 完全に
紀元前 4713 年１月１日を元期に選んだ 4) 。

つうじつ

げんき

（丙）ユリウス通日の元期決定には この日が 月曜日で お月様は 新月

かず

項の数  の正則連分数表示の有理数を;=  (;+1)  =  (;) 及び任意なのであるが 1583 年に スカリゲルは事になって居る。

() = (=を 正則連分数に展開して 表式 ：交点月が 2721 2222日であるとして 正則(1)を解く事を考える。有理数が得られる。従って 求める解   が次で整数倍でなければならない.

(0)

 =



(2)

 

()

更にローマの税の査定の初年であることと) と表記。

云う三つの条件を課した。曜日と月日とがこの有理数の近似分数を求めるのに有効な一致するのに要する 28 年の太陽周期 月の数列を  を ( = 1 2     ) であるとして

 (;+1) =  ( )  (;) +  (; 1)；


(;1)

=

()



(;0)

=1
の如く導入する。そうすれば () が (;+1) (; 1)(0)
() ==
+と
 (;) (;)表わされるのが知れる。第  項まで採ったつき
そう

相と月日とが一致するのに要する 19 年の太陰周期 それと 15 年のローマの税 査定の周期の三つを考慮すれば それが可能に !!
がんねん

西暦紀元の元年に近い時期に１月１日が月曜日になったのは 紀元前９年のことであった。１月１日に 月が新月であったのはኳᩥᏛ࡜㐃ศᩘ

紀元前１年であり ローマの税の査定の初年となったのは 紀元前３年のことであった。
紀元前１年は 西暦紀元の 0 年である。
紀元前９年は 西暦紀元の8 年 であるし紀元前３年は 西暦紀元の2 年 である。

三つの条件を満たす西暦紀元を  年とすれば 次の等式が得られる：

 = 28

8 = 19 + 0 = 152

ここに    は 未知の整数である。先ず不定方程式：28

19 = 8 を解く必要に28= (1; 2 9) が得られるので
19
項の数  が 2 であるのが知れ  (1;1) = 2
迫られる。

及び  (1;2) = 1  2 + 1 = 3 が得られる。

 = ( 1)2+1  8  2 =  = ( 1)2+1  8  3 =

16
24

か

斯く し て 上 記 不 定 方 程 式 を 満 た す 解 が を 任意の整数であるとして以下の様に整数  に置き換えて 次を得る ： = 15 = 28

816以上から 元期を与える表式 =28 = 19

16 ,  = 15

8に8 を代入すれば

 = 7980  4712 が得られる。同じ様に
=19 に =28

24,=15

して  = 7980 

4712 を得る。最後に8 を代入

=15 2 に  =19 10 ,  =28 16 を代入して  =7980 

4712 が得られる。

ここで  = 0 とすれば  =得 ら れ る 。西 暦 紀 元4712 が4712 年 は 紀 元 前4713 年を表わす。 斯くして スカリゲルがユリウス通日の元期 を 先に述べた年月日に定めた理由が明らかとなった。
尚  = 7980 

4712 に於ける 7980 はユリウス周期と呼ばれて居るものである。
かんすう

求められた ：（丁）ベッセル函数の計算

 = 19 = 28

16
24

Kepler 方 程 式 ： 

同様にして 次の結果が得られる ：19 15 = 2
19= (1; 3 1 3) ;  = 315
 (2;2) = 4 ,  (2;3) = 5
 = 15 8
 = 19 10
24 = 15sin  =  をFourier 級数に展開して解く事を考える 5)： =  + sin  〜  +2
 sin =1

係数の  は 次式で計算する事が出来る ：

1
 =


 

cos(

0 sin ) 

これに基づいて ベッセル函数  () なる

ここに  も 任意の整数である。
関係  = 28

8 から 新たな15 = 16 を得る。
28
= (1; 1 6 2) ;  = 315
 (2;2) = 7 ,  (2;3) = 13

ものを 導入 ： () 

不定方程式 ： 28

 = +112 + 15
 = +208 + 28
ここで整数  を  =  8 に依って新たな

1


 
0

cos(

 sin ) 

この函数は 次の 線型二階の微分方程式を満たす ：1 () +  () +2 () = 0
21
ここで  は  に依る微分を表わす。

この微分方程式は 次の無限級数の形のኳᩥᏛ࡜㐃ศᩘ

解を有する ：

 () =1!( + )! 2

( 1)

=0

居なければならないこと 当然の事である。

+2

これを求めるのに 好都合な関係式が 存在：

量  の 値が 具体的に与えられたなら この2｛0 ()｝+2｛ ()｝2 = 1

=1級数を計算すれば ベッセル函数  () のここから 次の表式を導く：

値を 求める事が出来る。

｛1+2(21 +22 21 +    + 2 2 1   22 21 )｝

実は このベッセル函数の値は 連分数を用いても 計算する事が 出来るのである

6)。

それは ベッセル函数に 次の 漸化式が 存在して居るからである：

｛0 ()｝2

1

これらから 次が得られる：

10214 21703 02｛0 ()｝21

2
+1 () +  1 () =  () ()
ここで  なる量を導入する。
 1 ()こ れ に 1  010335 61354 を 掛 け て

これを用いて 上の漸化式を次の形に 書き1 ()  010226 65774 3 を 得 る 。こ の1

1 () に 2  0051495 26977 を掛けると

+1

2 ()  00052662 44993 が得られる。

換える：

 =

2


連分数の長所を活かして この表式で  の

0 ()

098945 82165 56

これを 0 ()  098945 82165 56 とする。

これらが先の漸化式を満たして居るのは容易に確かめられる処である。

値を 計算する。
ここで  = 02056 179 及び  = 5 とし

6  0 を仮定して 計算する。

左辺 = 2 () + 0 ()  099472 44615

2 010226 65774 3 =02056 179
 099472 44615

右辺 =



2


+1

5

48.633 89812

0

高次のベッセル函数  () は 総てが 0 に

438.907 11850

0.020561 79000

なるが これを 例えば  = 11 から始めたと3

29.180 33889

0.025715 82790

すれば 1 () から 11 () 迄の総ての値を

2

19.453 55925

0.034299 87753

求めることが出来る事になる。

1

9.7267 79624

0.051495 26977

ここで 無限級数の形の解表式を用いて0*0.10335 61354

 () の 値を計算して置こう。 の値は只今は =5 から始めたので =6 よりも勿論 02056 179 とする。
斯 く し て  の 値 が 得 ら れ た 。そ こ で

1 () = 1 0 ()  2 () = 2 1 () == 2 1 0 ()        の様にして 次々と高次の ベッセル函数  () の値を求める事が出来る。この時に 0 () の値が知れて

6
8
2 4
+
+
=
4
64 2304 147456
 098945 82165 56
5
7
 3
1 () +=2
16 384 18432
 010226 65774 3
0 ()  1

ኳᩥᏛ࡜㐃ศᩘ

4
6
2
+
8
96 3072 00052662 44993

2 () 8=184320

参考文献
１）井上 猛 , 天体力学入門講座 (６)天界 2004 年 11 月号 pp.651-652
２）Lagrange,J.L., Œuvres de Lagrange

Tome septième
Gauthier-Villars, 1877, pp.9-44
Olds,C. D., Continued Fractions
Random House, 1963, p.30
中村義作 , 常識を越えた数の世界
海鳴社 , 1979 , p.39

恒星社厚生閣, 昭和31年(1956),p.147

Moyer,G.
The Origin of the Julian Day System
Sky and Telescope, 1981, pp.311-313
５）Brouwer, D. and Clemence ,G.M.

Methods of Celestial Mechanics ,Academic Press , 1961 , pp.65-71
６）Tisserand,F.

Traité de Mécanique Céleste
Tome I, Nouveau Tirage
Gauthier-Villars , 1960 , pp.209-213
Brouwer, D. and Clemence ,G.M.
Methods of Celestial Mechanics ,Academic Press , 1961 , pp.81-83

３）長谷川一郎 , 天文計算入門
恒星社厚生閣 , 昭和 53 年 (1978) ,pp.142-147
㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࣭㸫࠮࿂۷௶ͬই̱̠͛͘͡Ȫˑȫ!ಿ౓໐!ࢣ౳!!U/Ibtfcf
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