成蹊大学理工学研究報告
J. Fac. Sci. Tech., Seikei Univ.
Vol.44 No.1 (2007) pp.77-81

Y カット LiNbO3 位相変調器による複屈折と方位角の同時測定
米倉和也＊1，金蓮花＊2，滝沢國治＊3

Simultaneous Measurement of Both Birefringence andAzimuth Angle Using a y-Cut LiNbO3 Phase Modulator
Kazuya YONEKURA＊1, Lianhua JIN＊2, Kuniharu TAKIZAWA＊3
ABSTRACT：For simultaneous measurement of both birefringence and azimuth angle of samples, atechnique using transverse phase modulator is proposed. The phase modulator includes y-cutz-propagations LiNbO3 crystal. Several experiments using rotating quarter-wave plates and LiNbO3
crystal in presence of direct current voltage have been performed, and measurement results agree wellwith predicted theoretical data.
KEYWORDS ： Birefringence, azimuth angle, polarization, LiNbO3 crystal, electro-optic effect,
phase-modulator(Received March 26, 2007)

PEM（または EOM）を用いる方法は環境温度の影響を１．まえがき

強く受ける。４つの光検出器を用いる方法は構成要素が偏光測定は非接触，非破壊で測定対象の物性を測定で多くシステムとして高価であるため応用分野が限られる。

きるため，工業，医療，生物学，天文学などの幅広い領

KDP 結晶の EO 効果を利用する方法は実時間で位相差域で利用されている。本論文では，偏光情報を利用してを測定できるが，方位角を同時に測定できない。

複屈折サンプルの位相差と方位角を実時間で同時に測定

従来の測定法が持つこれらの欠点を改善するため，2する方法について提案する。これまで，実時間で複屈折

つの EO 結晶を用いた温度補償型位相変調素子による複を測定する方法がいくつか報告されている。複屈折測定

屈折測定法が提案された , )。この方法はコンパクト，高法は，①左右円偏光二周波レーザ（ゼーマンレーザ）か感度かつ温度に対するロバスト性を持つため，幅広い領ら照射される異なる周波数をもつ右円偏光と左円偏光の域への適用が期待されている。しかし，完全に温度補償1)するためには，結晶軸と各結晶端面の法線が完全に一致

56

レ ー ザ 光 で 測 定 す る 方 法 ， ② 光 弾 性 変 調 器 (PEM:2)

Photoelastic-Effect Modulator) または電気光学変調器

し，形状が完全に同一の２つの EO 結晶が必要である。

(EOM: Electro-Optic Modulator)で偏光状態を変調して結晶の加工誤差は複屈折測定に影響を与える。

3)4)

測定する方法 ，③４つの光検出器を用いる方法 の三種

本論文では１つの LN 位相変調器で複屈折サンプルの類に大きく分類できる。しかし，ゼーマンレーザを用い位相差と方位角を同時，精密かつ環境温度の影響を受ける方法はレーザ波長に制限があり分散測定に適さない。

ずに測定する方法を 5 節にわたり提案する。第 2 節では，提案する測定方法について述べる。第 3 節では，この方∗

1：成蹊大学工学研究科物理情報工学専攻科学生

法で用いる実験装置について述べ，環境温度が測定結果(Doctor Candidate, Dept. of Applied Physics,に影響を与えないことを示すために，位相変調器として

e-mail:dd053501@cc.seikei.ac.jp)

用いる Y カット Z 軸伝搬 5% MgO ドープ LiNbO3(LN)*2：成蹊大学理工学部物質生命理工学科助手(Research Associate, Dept. of Materials and Life Science)

結晶（点群 3m）の EO 係数の温度分散を測定した結果*3：成蹊大学理工学部物質生命理工学科教授(Professor, Dept.
of Materials and Life Science)を述べる。第 4 節では，この方法を検証するために光学－77－Polarizer

LN Phase modulator

Light source

Quarter-wave
Analyzer
plateSample

APDy(0°)yptx(45°)z (45°)Amp

FG(90°)

LIA1

LIA2

LPF

45°
zx

MMPC

MM

図 1 Birefringence measurement system. Amp: amplifier, FG: function generator, MM: multi-meter, APD: avalanche
photo diode, LPF: low pass filter, LIA: lock in amplifier, PC: personal computer

特性が既知のλ/4 板と Y カット Z 軸伝搬 LN 結晶を測定 1
1  cos 2θ
P (θ ) =2  sin 2θ
 0

した結果を述べる。任意の方位角を与えたλ/4 板を測定した結果から方位角の測定精度について述べる。Y カット Z 軸伝搬 LN 結晶は自然複屈折を持たないため Y 軸方向に電界を印加すれば，Z 軸伝搬する光は EO 係数 r22cos 2θ
cos 2 2θsin 2θ
cos 2θ sin 2θ

cos 2θ0sin 2 2θ
00
00

0 (2)と印加電圧に比例する位相差を得る。この位相差と測定位相子(Rpm，RQWT，S)のミューラ行列 R は式(3)で与値を比較して複屈折の測定精度を述べる。第 5 節では，えられる。ここで∆は位相差，θ は各素子の方位角である。
10R ( ∆,θ ) = 00本研究の成果をまとめる。

２．理 論

0
1− (1− cos ∆) sin2 2θ00sin ∆ sinθ−sin ∆ cosθ

cos ∆(1− cos ∆) sin2θ cos2θ −sin ∆ cosθ  (3)(1− cos ∆) sin2θ cos2θ 1− (1− cos ∆) cos2 2θ sin ∆ cosθ 

図１に高精度複屈折測定システムの構成図を示す。光無偏光レーザを光源とすると，測定系を透過した後に学系は，光源，直線偏光子，ＬＮ結晶を用いた位相変調

光検出器に入射する光のストークスベクトルは式(4)で器，サンプル，λ/4 板，検光子，光検出器で構成される。

与えられる。

直線偏光子は入射光に初期偏光を与える。直線偏光子の I in I   Q0M system ⋅   =   .
0 U  V  0   

透過軸を 0 度としたときの位相変調器の X 軸，λ/4 板の速軸，検光子の透過軸の方位角はそれぞれ 45 度，45 度，90 度とする。サンプルの位相差と方位角を∆とφ とし，位相変調器の位相差と方位角を∆pm，φ pm とすれば，サンプルを含む測定系のミューラ行列 Msystem は以下で与え(4)

ストークスベクトルの定義からストークスパラメータ

I は光検出器からの出力信号となり，式(5)で与えられる。

られる。

M system =P ( 0 ) R pm ( ∆ pm , φ pm ) S ( ∆ , φ )×R QWP (π 2 , π 4 ) P (π 2 )

I=(1)

{I in
1 + sin ∆ sin 2φ 1 − (1 − cos ∆ pm ) sin 2 2φ pm 4− sin ∆ cos 2φ (1 − cos ∆ pm ) sin 2φ pm cos 2φ pm.

(5)+ cos ∆ sin ∆ pm sin 2φ pm }ここで，P は直線偏光子及び検光子のミューラ行列，Rpm，RQWT は位相変調器とλ/4 板のミューラ行列，S はサンプ

ここで Iin は光源から出射直後の光強度である。ここでは測定系を構成する各光学素子での光吸収は無いとしていルのミューラ行列を表す。
直線偏光子のミューラ行列 P は透過角をθ とした場合，る。φ pm=π / 4 とすると式(5)は以下のように表される。

I=以下の式で与えられる。

－78－I in(1 + sin ∆ sin 2φ cos ∆ pm + cos ∆ sin ∆ pm )4(6)次に LN 位相変調器に電界を印加した場合を検討する。
一軸性結晶である LN 結晶の Z 軸は C 軸であるから，ZI1 =I in
J 1 ( Θ ) cos ∆ sin ω t ,2(14)I2 =I inJ 2 ( Θ ) sin ∆ sin 2φ cos 2ω t .
2(15)軸に沿って光が伝搬するとき自然複屈折は生じない。この状態で結晶の Y 軸方向に電圧を印加すると，電気光学効果により X 軸及び Y 軸に振動面を持つ光に，大きさは等しく極性の異なる位相が誘起される。位相変調器に

ここで IDC は I をカットオフ角周波数ω のローパスフィ

角周波数をω の交流電圧 Vsin(ω t)を印加すると，レーザルタで濾過した信号強度であり，I1 と I2 は I を中心角周光に誘起される位相差∆pm は以下で与えられる。

波数ω，2ω に設定した２台のロックインアンプに入力し∆ pm = Θ sin ω t ,て得られる信号の振幅である。実験で IDC，I1，I2 を測定(７)し，式(12)～式(15)を変形した以下の式に代入して変数 A，7

式(７)中の振幅Θ は以下となる )。

Θ=

2π no 3 r22 LV.
λDB を得る。
sin ∆ sin 2φ =(8)ここで no は LN 結晶の常屈折率，r22 は LN 結晶の EO 係数，L は結晶長，D は結晶厚である。

cos ∆ =

式(７)を式(6)へ代入し，式(9)を得る。

I ( ∆, φ ) =I in 1 + sin ∆ sin 2φ cos ( Θ sin ω t ) 
.
4  + cos ∆ sin ( Θ sin ω t )式(の(9)12I
J 2 ( Θ ) DC− J0 (Θ)
I2= A,I1 J 2 ( Θ )A = B.
I 2 J1 ( Θ )

(16)

(17)

2 はロックインアンプ出力が実効値であるために必要となる。式(16)，(17)からサンプルの位相差∆と方位角φ は以下の式で与えられる。

cos(Θ sinω t)と sin(Θ sinω t)は，次のベッセルフーリ
エ級数で表される。

∆ = cos −1 B ,

(18)

∞

cos ( Θ sin ω t ) = J 0 ( Θ ) + 2∑ J 2 n ( Θ ) cos 2 nω t ,(10)12n =1∞sin ( Θ sin ω t ) = 2∑ J 2 n +1 ( Θ ) sin ( 2 n + 1) ω t.

(11)


 1− B A2(19)以上の解析から，ローパスフィルタとロックインアンプ

n=0で光検出器信号 I の直流成分 IDC，基本波成分 I1 及び第式(，(11)を式(9)に代入し，以下の式を得る。

二高調波成分 I2 を測定すれば，サンプルの位相差∆と方∞I 
I = in 1 + sin ∆ sin 2φ  J 0 ( Θ ) + 2 ∑ J 2 n ( Θ ) cos 2 nω t 4 n =1∞
+2 cos ∆  ∑ J 2 n +1 ( Θ ) sin ( 2 n + 1) ω t   n=0
I in1 + J 0 ( Θ ) sin ∆ sin 2φ + 2 J1 ( Θ ) cos ∆ sin ω t=4 + 2 J 2 ( Θ ) sin ∆ sin 2φ cos 2ω t

φ = sin −1 

位角φ を同時に測定できることが分かった。

３．実 験(12)
3. 1

実験装置

前節で示した理論を検証するため，図１の複屈折測定+2 J 3 ( Θ ) cos ∆ cos 3ω t + L システムを構築した。光源は波長 632.8nm の直線偏光
He-Ne レーザを用いた。レーザ出力は 5mW であった。

式(12)の第 1 項と第 2 項は光検出器信号 I の直流成分

Grand-Thompson 偏光子を用いてレーザ光を pt 方向にIDC である。第 3 項は I の基本波成分 I1 である。第 4 項

偏光させてから LN 位相変調器を通した。ファンクショは I の第二高調波成分 I2 であり，第(n-2)項は n 次の高調ンジェネレータとアンプで位相変調器に角周波数 1kHz，波成分である。よって以下の 3 式を得る。

振幅 141.1V の交流電圧を印加した。位相変調器を透過

I DC =I in
1 + J 0 ( Θ ) sin ∆ sin 2φ  ,4 

した変調光はλ/4 板，Grand-Thompson 偏光子を経て光(13)検出器に入射した。光検出器信号はカットオフ角周波数をω =10Hz に設定したローパスフィルタと中心角周波数を 1kHz 及び 2kHz に設定した２台のロックインアン－79－プへそれぞれ導かれた。ロックインアンプの時定数をLN 結 晶 の no は プ リ ズ ム 式 分 光 器 (MOLLER-30ms に設定した。以上のシステムで光検出器信号 I の直WEDEL) で測定した 9 ) 。 測 定波長 632.8nm ，測 定角流成分 IDC と基本波成分 I1 と第二高調波成分 I2 を得た。

25.10°で no=2.281 であった。

3. 2４．実験結果

LN 位相変調器

位相変調器として Y カット Z 軸伝搬 5%MgO ドープ

LN 結晶（Eksma 社，リトアニア）を用いた。結晶サイ測定前に光学系の調整を行った。図 1 からサンプルをズをニコン製画像計測システム NEXIV VM-150M で測取り除き，位相変調器に電圧を印加し位相変調器の位相定した。この装置の測定精度は 0.1µm であり，測定結果差と方位角を測定した。各結晶軸と光の偏光方向及び伝は L=20.0372mm，D=2.0653mm であった。LN 位相変搬方向並びに電圧印加方向が厳密に図 1 の関係になると，調器の r22 は文献8の方法で測定した。

位相変調器に電圧を印加しない場合，測定される位相差と方位角は 0rad となる。また，位相変調器に直流電圧を印加せずに交流電圧のみを徐々に印加すると，I1 は J1(Θ)

Ventilated ribInsulatorに比例して増大し，I2 は変化しない。この２つの状態をPeltier device同時に得られるように光学系を調整した。

Electrode
LN crystal
ElectrodeLaser Beam

方位角の測定精度を測るために，λ/4 板を 0～45ºまで1º刻みで回転させ，その方位角を測定した。測定した方位角と回転させた角度を比較した結果を図 4 に示す。
複屈折の測定精度を測るための複屈折サンプルとして，

Peltier device

位相変調器とは別の Y カット Z 軸伝搬 5%MgO ドープ

Ventilated rib

Insulator

LN 変調器を用いた。この変調器は位相変調器のＬＮ結図２晶と同一メーカで製造された。変調器のサイズはLN phase modulator in a temperature
Control Electrode Unit

L=19.9298mm，D =1.9909mm であった。複屈折測定に先立ち，LN 変調器の EO 係数 r22 を文献 8 の方法を用いＬＮ結晶の EO 係数 r22 の温度分散を測定するために，て 精 密 に 測 定 し た 。 そ の 結 果 ， λ =632.8nm の と き

ペルチェ素子で温度制御される恒温槽を製作した。この

r22=6.31pm/V であった。この値を式(8)に代入し，位相恒温槽は図 2 に示すとおりペルチェ素子，吸熱・放熱板，絶縁体及び電極で構成され，恒温槽内の温度は電極に埋
40

Measured azimuth angle (deg)

め込まれた熱電対からの温度信号をフィードバックして制御された。恒温槽内の温度精度は約 0.1ºC であった。
測定は 20ºC から 90ºC で行った。恒温槽の温度設定後，十分にエージングした後に r22 を測定した。その結果を図3 に示す。常温(25ºC)では r22=6.31pm/V であった。20ºCから 90ºC で位相変調器に用いた LN 結晶の r22 は温度分散を殆ど持たないことを確認した。

302010EO coefficient r 22 (pm/V)

6.60

6.50
6.4
6.3

5101520

2530

Rotated angle (deg)354045

図 ４ Azimuth angle measurement while rotating aquarter-wave plate from 0 to 45º. The dots aremeasured angle and the solid line is predicted data

6.2
6.1
6.0
1020304050607080

90100

Temperature(ºC)

図３ Temperature dispersion of EO coefficient r22
from 20ºC to 90ºC－80－参考文献

80１. S. Ohkubo, and N. Umeda, “Near-field Scanning

Induced retardance (deg)100

Optical Microscope Based on Fast Birefringence

60Measurement”, Mater. Sens. 13, 433(2001)
２. T. C. Oakberg, “Measurement of low-level strain.

40birefringence

inopticalelements

usingaphotoelastic. modulator,” Proc. SPIE 2873, 1720(1996).
0050

100
150
Applied DC voltage (V)200

３. F. Micheron, and G. Bismuth, "Real Time
Measurement of Induced Variation of Birefringencein Transparent Media," Rev. Sci. Instrum. 43, 292

図５ The induced retardance of a LN crystal with incrementof DC driving voltage from 0 to 200 V. The dots aremeasured retardance, and the solid line is predicted
data, which is calculated using following equation (8)(1972)
４. R.M.A. Azzam, "Arrangement of four photodetectors
for measuring the state of polarization of light," Opt.
Lett. 10, 309 (1985)
５. J.M. LEY, "Low Voltage Light-Amplitude Modulation",

差と印加電圧の関係を計算した(図 5 の直線)。このサン
プル変調器に 0-200V の直流電圧を印加して，その位相Electro. Lett. 2,138 (1966)

６. J.R. Mackey, K.K. Das, S.L. Anna, and G.H.

差を測定した(図５の点)。
図４と図５に示すように，理論値と測定値はよく一致

McKinley, "A compact dual-crystal modulated

した。位相差の測定精度は 5mrad 以下，方位角の測定精

birefringence-measurement system for microgravity

度は 1mrad 以下であった。

applications," Meas. Sci. Technol., 10, 946, (1999)
７. A.

Yariv:

OpticalElectronics

inModernCommunications, (Oxford University Press, New York,５．結 論1997), 5 ed., Chap 9
８. K. Yonekura, L. Jin, K. Takizawa, IEICE, J89-C,

一回の測定でサンプルの位相差と方位角を同時に測定できる複屈折測定システムを提案した。Y カット Z 軸伝1124, (2006) [In Japanese]

搬 LN 結晶の r22 が温度分散を殆ど持たないことを示し

９. K. Takizawa, and Y. Yokota, "High Accuracy andた。位相変調器として温度分散を持たない Y カット Z

High Sensitivity Measurements of the Electrooptic

軸伝搬 LN 結晶を用いるため，本システムは環境温度のEffect in Undoped and MgO-Doped LiNbO3影響を受けずに複屈折を精密に測定できることを示した。

Crystals," Opt. Rev., 13, 161(2006)

本システムの位相差の測定精度は 5mrad 以下であった。
方位角の測定精度は 1mrad 以下であった。
本システムは非常にシンプルであり，複屈折の波長分散測定への応用も容易である。そのためには位相変調器として用いる LN 結晶の r22 の波長分散特性が必要であり，著者らはその測定を行った。今後，本システムを応用した波長分散測定可能な複屈折測定システムの検討を行う。

－81－