平成7年12月20日
保険教学2………1

保険数学2（問題）1

次の（1）から（5）までについて、それぞれ五つの選択肢の中から正しい答を一つ選んで、所定の解答用紙にその言己号〔（A）から（E）のうちいずれか一つ。〕を言己入せよ。

（40点）（1）死亡解約脱退残存表における生存者数が丘、＝100，000−1，000X（O≦X≦ユ00）で表され、かつ各年齢における死亡率q・が解約率q芸の1．5倍であるとすると、40歳の絶対死亡率q島は次のうちどれに最も近いか。
（A）0．00994（B）O，00997（C）0．01000（D）0．01003（E）0．01006（2）x歳加入年払全期払込n隼満期生存保険において、被保険者が満期まで生存すれば保険金1を支払い、死亡すればその保険年度末に既払込営業保険料に年i％の利息を付けて支払う場合の営業保険料は次のうちどれに最も近いか。
但し・jは予定利率とし、A・1＋＝0，312、あ州二12，300、伽二12，600、．p、＝0，910とする。また、予定新契約費は保険金のO．025倍、予定集金費は営業保険料の0．03倍、予定維持費は保険金の0，003倍とする。
（A）0．0333（B）0．0334（C）0．0335（D）0．0336（E）0．0337（3）x歳加入年払全期払込n年満期養老保険（保険金額1、保険金年末払）において、チルメル割合αの全期チルメル式責任準備金V賄がt＝1でちょうどOとなるとき、δ，，ηの値は次のうちどれに最も近いか。
但し、j＝O．04，q、＝0．00173、α＝0，025とする。
（A）15．72（3）15．74（C）15．76（D）15．78（E）15．80（4）40歳加入年払全期払込20年満期養老保険（保険金額100万円、保険金年末払、純保険料42，330円）において、予定死亡率を｛q、｝から｛q｛｝に変更したところ、変更前後の純保険料式責任準備金が毎年等しくなっ

れこのとき変更後の純保険料は次のうちどれに最も近いか。
但し、i＝0．03，q仙＝0．00167，qゐ霊O，00135とする。
（A）42，035円（B）42，032円（C）42，029円（D）42，026円（5）就業不能者の死力が就業者の元カの2倍で、、殴1e一皿㎜t、、P｛F（E）42，023円

e一皿。。6tなる関係があるとき、

111＝口（！11・峨）となる。口に入るべき数値は次の1ちどれか。
（A）12（B）2（C）3（D）4（白）5

x歳加入n年満期養老保険（保険金額1、保険金年末払）において、予定利率の変化に対する一時払鈍保険料
dの変化証A胴は年金現価と累加年金現価を用いて、次式のように表せることを証明せよ。

d−A。新＝一〃｛あ州一d（Idづ）、、司｝（工0点）

一29一保険数学2…一2
3・子供x歳・親y歳加入・保険期間n年・保険料全期払込・死亡保険金年末払で次の（i）から（iv）の給付を行う親子連生保険を考える。

（i）子供が死亡した場合には、死亡保険金として既払込保険料（払込免除の保険料を含む）を支払い、契約は消滅する。

（五）子供が満期まで生存した場合には、満期保険金1を支払う。
（並）親が死亡した場合には、死亡保険金1を支払い、その後の保険料の払込を免除し、（iv）親が死亡した保険年度の翌年始から第n保険年度始まで、子供の生存を条件に準額O．1の年金を支払う。

この保険について次の間に答えふ但し・予定死亡率は親子とも同一の死亡表によるものとし、付加保険料は考慮しないものとする。

（25点）（1）次の空欄に当てはまる適当な算式または数値を所定の解答用紙に記入せよ。

この保険の年払鈍保険料をPとすると収入の現価は①となり支出の現価は（1）の部分が②（皿）の部分が③（笛）の部分が④（1V）の部分が⑤となるので収支相等の原則よりP一
また、第t保険年度末の鈍保険料式責任準備金は、将来法により、親子とも生存の場合

・V1P｛｝十親死亡、子生存の場合

1V＝P｛｝十（2）（1）の結果を用い、次の式の空欄に適当な算式または数値を入れ、再帰式を完成させなさい。また、適当な算式または数値とともに計算過程も所定の解答用紙に明記しなさい。計算過程の記入のない答案は採点されないので注意すること。

t…一［虹コ…［重コ・1．1・…、州・、。．・［亙コ
4、死亡表がゴムパーツの法則に従うとき、すなわちμ。二BC■（B，Cは定数）のとき、次の式の空欄にC■、C一、C■を用いた算式を入れ、等式を完成させなさい。また、適当な算式とともに計算過程も所定の解答用紙に明記しなさい。計算過程の記入のない答案は採点されないので注意すること。

如一［互コ臥・［亙コ臥・［亙コ酪司

（・・点）
以上

一30一

保険数学2（解答例）1．

設問番号解答（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（D）

（E）

（B）

（B）

（D）

欄

正解は上表のとおりであるが、以下に各設問の解答方法を略記する。
（1）・・…・（D）

3
q。冒一qXより22w。＝一d．
3532。、1＝2パdゼw。昌ムー一d．

53−dx＝ムーム十1＝100，000−1，000x一｛100，000−1，000（x＋1）｝；1．000．d。些600，w。＝400．

d， ＝また、q。岩

14ボーW．

600＝

100，000−1，000x−200

3499−5x2．q為≒0．01003
（2）

・・・…

（E）

営業保険料をPとすると、収支相等の原則より
nPδ、河＝PΣ§ηがt．1−q、十A、由十α十βpδ、司十γδ、司t＝1
また、§ηが＝δηより呈§榊tt．、．q、＝δ、司δ引、P，

t＝lA、＝←十α十γ乞、司．

P＝
δ司nPx一βδx、司（3）・・・…

．

＿003369（B）

商一㍍1：司一（い為）久・1＝n一・より
αP、十1、；；■一P、、司＝一δ。＝司一3ユー

11

ここで、P。。1；1＝δ、。1，rη
px＋1「1d，P。η＝一dより＝δ、＝司1−px司＝1一δ。・1＝司δ。＝司＝αδ。：司δ・1司呂（1寺α）δ。・1、司δ、、司一1
また、δ。＝司昌1＋〃p。δ。。1＝高よりδ。。1，rη竺0Px

1＋α1＋αo・万1。、一。。、＝1＝157391・α一（1＋、）（1一・・）
（4）

・・・…

（B）

（tV＋P）（1＋｛）＝q。十t（1−t＋lV）十t，1V（tV十P）（1＋づ）＝q。十t（1−t，1V

およgtV；tVより（P■P）（1＋ゴ）＝（qx！40，t；0とおくと（P）十t、二V・・t−q・・t）（1■t・lV）

一P）（1＋づ）＝（q40−q40）（1一一V）

また、（oV＋P）（1＋ゴ）＝q40（1−lV）十1Vより1V＝

P（1寺5）一q40
1−q40（・一・）（1・1）一（ζ・パ・一）l1p（≒午つP1；；〕・・一・・・・…

・一（㌫一軌）（5）・…・・（D）

就業者の死力をμ一（X）、就業不能の瞬間発生率をμ。（X）、就業不能者の死力をμ。（X）とすると
ddμ1（x＋t）十μ2（x＋t）富一一1ogtp㌘＝一一1oge」odtdtdμ3（x＋t）；一一1og

dto07t＝0，007

dtP隻＝一一109e■o・o06t＝O．006dt

また、μ3（x＋t）＝2μ1（x＋t）よりμi（x＋t）＝0，003、μ2（x＋t）＝O．004
tP実＝∫も、p㌘μ2（x＋t）t．、p隻、、ds＝0，004∫もe−oIo07seI0．o06

一32一t■s〕ds

＝＝O．004e−o−o06t∫もeLo−oolsds＝4e−o−o06t（1−e−o．oolt）＝4（e−o・o06t−e−o・o07t）＝4（tP二一止P婁。）

2．A。：□二1一助・：司＝1一δ（1＋ηp、十〃22P、十・・・…十〃n−1、、lP、）

ここで・嘉・一品（王1、）111ゴ）。一一がdd

亙・2…一2が……・・面が一1一一（・一）・ndddゴdゴ

一δ＝一一（1一〃）＝がよりd面A・司二一秒2（1＋・・…2・・・・……・・n一十d｛〃2p、十2〃32P、十・・・…

・一1・・）十（n−1）秒n。．、P、｝＝一〃2δ。：司十例1＋2〃P、十3η2．P、十……十mn■1。．lP、

一（1＋〃P、十022P、十・・・…

十〃n−1、．lP、）｝＝一02δ・：何十刎（Iδ）。：正ぬ、河1＝一リ｛（〃十d）δ・：司一d（Iδ）。：再ユ＝一〃｛δ・1司一d（Iδ）。＝司｝

3．

（1）

設問番号

解①Pδ、。：司②

P（IA）土：司一③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪

答」欄

A五：肯または、E、A、呈、司0・1（δ。：司一δ。y＝司）または0．1αy一、、丁11A、、古十A、↓：司十0．1（δ、、司一δ、、：司）δ、。＝司一（1A）土＝司tA。㌧t，i1＋（IA）、土t：日一δ、、t，、十t，rηA。。t＝｛十A。。t，、㌧t＝n＋0．1（δ、。t：n一δ、十t、十t、同）tA、土t：n＋（IA）、土t，nA、。t＝｛十0．1δ、。t，i1

一33一

（2）P＋tV…P｛1＋tA、土t、日十（IA）、，。t、同一δ。。い・t＝同｝十A、十t＝占十A、。い土t＝石1＋0．1（δ。。t：n一δ。。い。t：〒η）；P［1＋t〃q、、t＋t〃（P、十tPy，t＋P、、tqy＋t）A、㌧。1、再・T1＋〃q、十t＋〃（P、、tPy，t＋P、十tq、十t）｛（IA）、t．1斥η十A．jt・1円｝

一1一〃P、、tPy，tδ、、t＋1，y＋t＋1：円1〕
十〃（P、十tPy＋t今p、十tq、十t）A、。t．1：T＋■
十ηP、、tqy，t＋〃P、十tPy．tA、。t．1，y．lt．1＝可斗0．1｛1＋〃（P、、tPy＋t＋P、十tqy＋t）δ、十t＋1：高＝η

一1−0P、、tPy，tあ、十t＋1，y＋t＋1、高＝η｝＝P〃q、十t（t＋1）十〃p、、tp、十t［P｛（t＋1）A、。1t．1＝阿十（IA）。。1t．1：πη

一α、十t，1、、t、ヨ□｝十A、、t＋1☆1＋A、。t．1，y土t・1冊
十01（・、、t，i高1α、。t．1．。。t．1高1）〕
十砂p、十tq、、t〔P｛（t＋1）A、、モ、1、可r1＋（IA）。。lt．1＝杯1□｝

十A、十t，1：十十1＋0．1δ、。t．1＝円〕＝〃q、十t（t＋1）P＋〃P、、い十t・t．lV＋〃P、。tqy．t（t・lV＋1）

従って・⑫

q、ヰ、（t＋1）⑬秒P、。t，州⑭（t、］V＋1）

4．

A婁y里、司＝∫冨が、q享、・、P、μ、、、ds・・…………・（1）21

ここで、、q婁、＝、qy圭一、py・畠軌＝∫池y五μ丑。tdt一。py（i一。p。）
μ旺。t＝∫蕎tPy、（μy＋t＋μ、十t）dt−sPy＋。Pyz

μy＋t＋μz＋tBC2＋t＝∫1ρ・・（μ・・t＋μ・・t）BC・・t＋BC・・tdt一…十・P・・
Cz∫さtPy、μy＋t、十tdt一、Pv＋、Py圧Cy＋Cz

Cz

Cz＝C・。C…ガ…十…＝ b・。C・（1一…1）一・P・十・P・
Cz
Cy＋C一Cy・P・十 b・。C・・P・・

一34一従って、（1）式は如一価・（C、子。、・…C、㌔曲）舳・。・・
Cz

C・。・。。枇・・μ…d・一∫冨が・…μ…d・・。・十。互帆・…μ・・…

Cz

μ、、。

・・…A汁伽s・…μ・・1…μ、十、。μ、十、d・Cy

μ、十、

Cz

BCx＋s

十・…π伽S・・…μ…・・・…μ、十、。μ、十、。μ，、、d・。・。C・A圭司一価s・…μ…．…。。…十。。…d・＋BCx＋s
Cy ∫8砂s，P，y、μ、十ds
苫 y＋s 届十s
@BCx＋s＋BCy＋s＋BC昭十s
Cy＋Cz

Cz
Cy＋Cz従って、

①②③−
A圭司

Cx

−

Cx＋CyCxCy−

A舎司十Cx＋Cy＋Cz Cy＋CzA缶司

C2Cサ牛C2（一。島、）C■

Cy

Cx＋Cy＋C里Cy＋C工

以上一35一