数学・物理通信
10 巻 2 号

編集

2020 年 3 月

新関章三・世戸憲治・矢野

2020 年 3 月 28 日

忠

1

目次 (Contents)
1. 鍵盤打楽器の固有振動 (6)
世戸 憲治

2

世戸憲治

13

矢野

忠

19

世戸 憲治

31

Kenji SETO

2

Kenji SETO

13

Tadashi YANO

19

Kenji SETO

31

2. ウイルス感染における SIR モデル

3. 微分方程式と三角関数

4. 編集後記

1. Characteristic Oscillations of Keyboard Percussion (6)2. SIR Model for the Virus Infection

3. Diﬀerential Equations and Trigonometric Functions

4. Editorial Comments

鍵盤打楽器の固有振動 (6)世戸 憲治 ∗

Characteristic Oscillations of Keyboard Percussion (6)Kenji Seto∗

1 はじめに
前回の「鍵盤打楽器の固有振動 (5)」(「数学・物理通信」10 巻 1 号) では図 1 (a) に示すような鍵盤の両端に錘を付けた場合の固有振動を求めた．この振動系では，錘の質量を鍵盤の質量に対しいろいろと変化させること
で，高調波の振動数を基本振動数のほぼ整数倍にすることができた．実際の鍵盤の形は，図 1 (b) に示すように
鍵盤中央部の厚さが周辺部より薄くなるように作られている．ここでは，第 3 の方法として，鍵盤自体を異なる材質のものを繋ぎ合わせて作ることにし，図 1 (c) に示すように，その厚さを変える代わりに密度を変化させることで，厚さを変えるのと同じ効果が出せるかを考察することにする．この方法は中央部を薄く作ったものと，等価とはいかないまでも本質的に同じ効果をもたらすものと考えられる．

図 1 両端に錘を付けたもの (a),中央部を薄くしたもの (b),密度を変えたもの (c)2 方程式の導入とその解法
2.1 方程式の導入
鍵盤打楽器の鍵盤を一本の弾性棒と考え，その長さを 2ℓ, 幅を a, 厚さを h とする．この棒の密度は，図 1 (c)に示すように，中心部と端のほうでは違っていて，中心から前後に長さ ℓ0 (< ℓ) の範囲では．ρ0 とし，それ以外の端の部分では ρ1 とする．すなわち，棒の中心を原点として長さ方向に x 軸をとったとき，x の関数としての密度 ρ(x) は，階段関数 θ(x) を用いて，()()
ρ(x) = ρ0 θ ℓ0 − |x| + ρ1 θ |x| − ℓ0

∗ 北海学園大学名誉教授

E-mail: seto@pony.ocn.ne.jp

2

(2.1)

と定義する．この棒の振動方程式は Bernoulli-Euler 梁のものを採用し，時刻 t, 座標 x での棒の長さに対し垂直方向の変位を V (x, t) としたとき，[]
ρ(x) ahVtt = −∂x2 EI Vxx ,

I=

ah3
12

(2.2)

とする．ここで，変位 V に付けた添え字はその変数での微分を表す．また，E は棒の Young 率，I は断面 2
次モーメントでこの第 2 式で定義するが，これら E, I は棒全体にわたって一定とする*1 ．この方程式を境界条
件，すなち，棒の両端 x = ±ℓ は自由端とするので，そこでは，曲げモーメント M = EIVxx をゼロ，および，
剪断力 Q = ∂x [EIVxx ] をゼロとして，

M = EIVxx= 0,

Q = ∂x [EIVxx ]

x=±ℓ

=0

(2.3)

x=±ℓ

とした条件の下に解くことになる．また，ここでは，密度が途中で変わるために，x = ±ℓ0 のところで折れ曲
がってはいないことを示す接続条件

lim

x→±ℓ0 −0

V (x, t) =lim

V (x, t),x→±ℓ0 +0

lim

x→±ℓ0 −0Vx (x, t) =lim

x→±ℓ0 +0

Vx (x, t)(2.4)の他に，曲げモーメント M と剪断力 Q が，この点で連続という条件

lim

x→±ℓ0 −0

Vxx (x, t) =lim

x→±ℓ0 +0

Vxx (x, t),lim

x→±ℓ0 −0

Vxxx (x, t) =lim

x→±ℓ0 +0

Vxxx (x, t)(2.5)

を課すことになる．
方程式を解く前に，数式の簡素化のため，変数の無次元化をしておく．速度の次元を持つ c，および時間の次元を持つ τ を

√
c=

E
,
12ρ1

τ=

ℓ
c

(2.6)

と導入しておく．これを用いて，ℓ を長さの単位，また，τ を時間の単位として，x, h, ℓ0 , V, t を，改めて

x/ℓ → x,h/ℓ → h,ℓ0 /ℓ → ℓ0 ,V /ℓ → V,t/τ → t(2.7)

とおき直す．この変換で方程式 (2.2) は，

ρ(x)Vtt (x, t) = −h2 Vxxxx (x, t)(2.8)となる．ここで，(2.1) 式に替わって新しく定義された無次元の密度関数 ρ(x) は()()ρ(x) = γ 4 θ ℓ0 − |x| + θ |x| − ℓ0 ,γ=( ρ )1/4
0

ρ1

(2.9)

となる．ここに，γ は ρ0 の ρ1 に対する比の 4 乗根で，この第 2 式で定義する．

*1 断面 2 次モーメントは鍵盤のサイズだけできまるので，棒全体にわたって一定とみなせる．しかし，|x| < ℓ0 と |x| > ℓ0 で鍵盤を作る材質が違ってくるので，Young 率 E の方は |x| = ℓ0 の左右で違ってくるはずである．そこで，|x| < ℓ0 での Young 率を
E0 , |x| > ℓ0 でのそれを E1 としたとき，|x| > ℓ0 のところでは，(E0 /E1 )ρ1 を改めて ρ1 と定義しなおすと，形式的に Young
律 E を鍵盤全体で一定とみなすことができる．つまり，Young 率の違いを形式的に密度に繰り込んでしまうことができる．

3

2.2 固有値と固有関数
ここで，変位 V (x, t) を，座標 x と時間 t について，変数分離形にし，時間部分を三角関数として，

V (x, t) = X(x) sin(ω t + α)(2.10)

とおいてみる．ω は無次元化された角振動数，α は位相定数である．このとき，X(x) が満たす方程式は，

ρ(x)ω 2 X(x) = h2 Xxxxx (x)(2.11)となり，これを (2.3) 式からでる境界条件

Xxx (±1) = 0,

Xxxx (±1) = 0(2.12)

および，(2.4) (2.5) 式からでる接続条件

lim

X(x) =lim

Xxx (x) =x→±ℓ0 −0x→±ℓ0 −0lim

x→±ℓ0 +0

X(x),

lim

x→±ℓ0 +0

lim

x→±ℓ0 −0

Xxx (x),lim

x→±ℓ0 −0

Xx (x) =Xxxx (x) =lim

Xx (x)

lim

Xxxx (x)x→±ℓ0 +0(2.13)
x→±ℓ0 +0の下に解くことになる．
方程式 (2.11) は，(2.9) 式の ρ(x) を用いて，三角関数，双曲線関数を使って簡単に解け，その独立解は，

X(x) =

cos(γkx),

cosh(γkx),

sin(γkx),sinh(γkx),

for |x| < ℓ0

cos(kx),cosh(kx),sin(kx),sinh(kx),

for |x| > ℓ0となる．ここに，波数 k を

√
k=

ω
h

(2.14)(2.15)と定義する*2 ．
方程式 (2.11), 境界条件 (2.12), 接続条件 (2.13) は x の符号反転に対し不変なので，これらを満たす解は，偶関数の場合と奇関数の場合があり得る．ここでは，偶関数の解を F (x), 奇関数の解を G(x) とすると，その形
は，A, B, C, D, E, F を任意係数として，[][]
F (x) = A cos(γkx)+B cosh(γkx) θ(ℓ0 −|x|)+ C cos(kx)+D cosh(kx)+E sin(k|x|)+F sinh(k|x|) θ(|x|−ℓ0 )(2.16)
および，同じ係数名を用いて，[]G(x) = A sin(γkx) + B sinh(γkx) θ(ℓ0 − |x|)[]
+ sgn(x) C cos(kx) + D cosh(kx) + E sin(k|x|) + F sinh(k|x|) θ(|x| − ℓ0 )(2.17)と書ける． ここでは，F (x), G(x) で同じ係数名を用いたが，これらは，もちろん，異なるものである．これは，変数名が無用に増えてしまうのを避けるためと，同じ式になる部分があるため，式の重複を避けるためである．
また，この G(x) の式にある sgn は符号関数である．これら関数に (2.12) (2.13) の条件を課すときは，偶奇性が決まっているので，x の正の方だけの条件を課すだけでよい．
*2 ここでは，三角関数の他に双曲線関数も含まれるので，k を「波数」と呼ぶのは，ちょっといきすぎかもしれない．しかし，便宜上，こう呼ぶことにする．

4

2.2.1 偶関数 F (x) の場合
初めに偶関数の F (x) の方から，(2.12) 式の境界条件を課すと，−C cos(k) + D cosh(k) − E sin(k) + F sinh(k) = 0,
C sin(k) + D sinh(k) − E cos(k) + F cosh(k) = 0(2.18)となり，(2.13) 式の接続条件を課すと，[]
A cos(γkℓ0 ) + B cosh(γkℓ0 ) − C cos(kℓ0 ) + D cosh(kℓ0 ) + E sin(kℓ0 ) + F sinh(kℓ0 ) = 0,[]−Aγ sin(γkℓ0 ) + Bγ sinh(γkℓ0 ) − − C sin(kℓ0 ) + D sinh(kℓ0 ) + E cos(kℓ0 ) + F cosh(kℓ0 ) = 0,(2.19)[]−Aγ 2 cos(γkℓ0 ) + Bγ 2 cosh(γkℓ0 ) − − C cos(kℓ0 ) + D cosh(kℓ0 ) − E sin(kℓ0 ) + F sinh(kℓ0 ) = 0,[]
Aγ 3 sin(γkℓ0 ) + Bγ 3 sinh(γkℓ0 ) − C sin(kℓ0 ) + D sinh(kℓ0 ) − E cos(kℓ0 ) + F cosh(kℓ0 ) = 0と，6 個の係数 A, B, C, D, E, F に対する合計 6 本の式を得る．
これら係数の個数を減らすため (2.18) 式から C, E を求め，D, F を用いて表わすと，

C = DR1 (k) + F R2 (k),E = DR3 (k) + F R4 (k)(2.20)となる．ここに，R1 (k)〜R4 (k) は後でこの式を引用するとき，式を簡素化するためのもので，

R1 (k) = cosh(k) cos(k) − sinh(k) sin(k),R2 (k) = sinh(k) cos(k) − cosh(k) sin(k),R3 (k) = cosh(k) sin(k) + sinh(k) cos(k),R4 (k) = sinh(k) sin(k) + cosh(k) cos(k)(2.21)と定義する．
一方，(2.19) 式の第 1 式と第 3 式の和，および，第 2 式と第 4 式の和をとると，C, E が消え，A(1 − γ 2 ) cos(γkℓ0 ) + B(1 + γ 2 ) cosh(γkℓ0 ) − 2D cosh(kℓ0 ) − 2F sinh(kℓ0 ) = 0,
−Aγ(1 − γ 2 ) sin(γkℓ0 ) + Bγ(1 + γ 2 ) sinh(γkℓ0 ) − 2D sinh(kℓ0 ) − 2F cosh(kℓ0 ) = 0(2.22)となる．さらに，(2.20) 式の C, E を (2.19) 式の第 1，第 2 式に代入すると，それぞれ，

A cos(γkℓ0 ) + B cosh(γkℓ0 ) − DS1 (k, ℓ0 ) − F S2 (k, ℓ0 ) = 0,−Aγ sin(γkℓ0 ) + Bγ sinh(γkℓ0 ) − DS3 (k, ℓ0 ) − F S4 (k, ℓ0 ) = 0(2.23)となる．ここに，S1 (k, ℓ0 )〜S4 (k, ℓ0 ) は，さらに，式を簡素化するためのもので，

S1 (k, ℓ0 ) = cosh(kℓ0 ) + R1 (k) cos(kℓ0 ) + R3 (k) sin(kℓ0 ),S2 (k, ℓ0 ) = sinh(kℓ0 ) + R2 (k) cos(kℓ0 ) + R4 (k) sin(kℓ0 ),S3 (k, ℓ0 ) = sinh(kℓ0 ) − R1 (k) sin(kℓ0 ) + R3 (k) cos(kℓ0 ),(2.24)

S4 (k, ℓ0 ) = cosh(kℓ0 ) − R2 (k) sin(kℓ0 ) + R4 (k) cos(kℓ0 )と定義する．これで，4 個の係数 A, B, D, F を求めるための 4 本の方程式 (2.22) (2.23) を得たが，これらはすべてイコールゼロの形をしているので，これら係数がすべてゼロとならないためには，その係数行列式の値が5

ゼロでなければならない．すなわち，(1 − γ 2 ) cos(γkℓ0 )ΛF (k) ≡(1 + γ 2 ) cosh(γkℓ0 )−2 cosh(kℓ0 )−2 sinh(kℓ0 )−γ(1 − γ 2 ) sin(γkℓ0 ) γ(1 + γ 2 ) sinh(γkℓ0 )−2 sinh(kℓ0 )−2 cosh(kℓ0 )cos(γkℓ0 )cosh(γkℓ0 )−S1 (k, ℓ0 )−S2 (k, ℓ0 )−γ sin(γkℓ0 )γ sinh(γkℓ0 )−S3 (k, ℓ0 )−S4 (k, ℓ0 )(2.25)と定義したとき，ΛF (k) = 0(2.26)

が k を決めるための固有値方程式となる．これはもちろん，パラメータ γ, ℓ0 に依存した形で決まる．この式を実際に展開して固有値 k を求めることは解析的には不可能である．ここで，一旦，保留にして奇関数 G(x) の方に進む．

2.2.2 奇関数 G(x) の場合(2.17) 式で定義した奇関数 G(x) に対し，境界条件 (2.12) 式を適用すると，(2.18) 式と同じものがでる．また，これから，C, E を求めると，(2.20) 式と同じものになり，ここに表れる R1 (k) 〜 R4 (k) は (2.21) 式で与えられるものである．つぎに，この G(x) に (2.13) 式の接続条件を課すと，[]
A sin(γkℓ0 ) + B sinh(γkℓ0 ) − C cos(kℓ0 ) + D cosh(kℓ0 ) + E sin(kℓ0 ) + F sinh(kℓ0 ) = 0,[]Aγ cos(γkℓ0 ) + Bγ cosh(γkℓ0 ) − − C sin(kℓ0 ) + D sinh(kℓ0 ) + E cos(kℓ0 ) + F cosh(kℓ0 ) = 0,(2.27)[]−Aγ 2 sin(γkℓ0 ) + Bγ 2 sinh(γkℓ0 ) − − C cos(kℓ0 ) + D cosh(kℓ0 ) − E sin(kℓ0 ) + F sinh(kℓ0 ) = 0,[]
−Aγ 3 cos(γkℓ0 ) + Bγ 3 cosh(γkℓ0 ) − C sin(kℓ0 ) + D sinh(kℓ0 ) − E cos(kℓ0 ) + F cosh(kℓ0 ) = 0となる．この第 1 式と第 3 式の和，および，第 2 式と第 4 式の和をとると，係数 C, E が消え，A(1 − γ 2 ) sin(γkℓ0 ) + B(1 + γ 2 ) sinh(γkℓ0 ) − 2D cosh(kℓ0 ) − 2F sinh(kℓ0 ) = 0,
Aγ(1 − γ 2 ) cos(γkℓ0 ) + Bγ(1 + γ 2 ) cosh(γkℓ0 ) − 2D sinh(kℓ0 ) − 2F cosh(kℓ0 ) = 0,(2.28)

を得る．つぎに，この (2.27) 式の第 1 式，第 2 式に，(2.20) 式の C, E を代入して整理すると，

A sin(γkℓ0 ) + B sinh(γkℓ0 ) − DS1 (k, ℓ0 ) − F S2 (k, ℓ0 ) = 0,Aγ cos(γkℓ0 ) + Bγ cosh(γkℓ0 ) − DS3 (k, ℓ0 ) − F S4 (k, ℓ0 ) = 0(2.29)となる．ここに表れる S1 (k, ℓ0 ) 〜 S4 (k, ℓ0 ) は (2.24) 式で定義するものである．これで，係数 A, B, D, Fに関する 4 本の方程式 (2.28) (2.29) が得られたが，これらはすべてイコールゼロの式である．したがって，これら係数がすべてゼロにならないためには，係数行列式の値がゼロでなければならない．すなわち，(1 − γ 2 ) sin(γkℓ0 )(1 + γ 2 ) sinh(γkℓ0 )−2 cosh(kℓ0 )−2 sinh(kℓ0 )γ(1 − γ ) cos(γkℓ0 ) γ(1 + γ ) cosh(γkℓ0 )−2 sinh(kℓ0 )−2 cosh(kℓ0 )2ΛG (k) ≡2

sin(γkℓ0 )sinh(γkℓ0 )−S1 (k, ℓ0 )−S2 (k, ℓ0 )γ cos(γkℓ0 )γ cosh(γkℓ0 )−S3 (k, ℓ0 )−S4 (k, ℓ0 )6(2.30)

と定義したとき，ΛG (k) = 0(2.31)

がこのときの固有値方程式となる．

2.3 Maxima を使った解析
固有値方程式 (2.26) (2.31) を手計算で解析するのはあまりにも大変である．実際，(2.25) (2.30) 式で定義される行列式を展開し，その中に含まれる Si (k, ℓ0 ), i = 1, 2, 3, 4，さらに，その中に含まれる Ri (k), i = 1, 2, 3, 4に (2.21) (2.24) 式の定義を代入すると，その項数は実に 184 項にもなる．以下では，数式処理ソフト Maxima
を用いた解析を試みるが，その前に ℓ0 = 0, または，ℓ0 = 1 という特別な場合は，手計算で処理できるので述べておこう．この場合はどちらも密度変化のない単純な弾性棒になる．
まず，ℓ0 = 0 の場合，(2.24) 式で定義される S1 (k, ℓ0 ) 〜S4 (k, ℓ0 ) は，S1 (k, 0) = 1 + R1 (k),S2 (k, 0) = R2 (k),S3 (k, 0) = R3 (k),S4 (k, 0) = 1 + R4 (k)(2.32)となる．これを用いて，(2.25) (2.30) 式で定義される行列式 ΛF (k), ΛG (k) は，ℓ0 = 0 のとき，

ΛF (k) = −4γ 2 R3 (k),ΛG (k) = 4γ 4 R2 (k)(2.33)となるので，これらがゼロとなるためには，(2.21) の定義式から，tanh(k) = − tan(k),および，tanh(k) = tan(k)(2.34)

であればよい．これは前に「鍵盤打楽器の固有振動 (1)」で述べた一様な棒の場合の固有値方程式である．
つぎに，ℓ0 = 1 の場合 S1 (k, ℓ0 ) 〜S4 (k, ℓ0 ) は，S1 (k, 1) = 2 cosh(k),S2 (k, 1) = 2 sinh(k),S3 (k, 1) = 2 sinh(k),S4 (k, 1) = 2 cosh(k)(2.35)となり，これを用いて，行列式 ΛF (k), ΛG (k) を求めると，[]
ΛF (k) = −4γ 5 cos(γk) sinh(γk) + sin(γk) cosh(γk) ,[]ΛG (k) = 4γ 5 cos(γk) sinh(γk) − sin(γk) cosh(γk)(2.36)となるので，これらがゼロとなるには，

tanh(γk) = − tan(γk),

および，tanh(γk) = tan(γk)(2.37)

であればよい．これは (2.34) 式の k が γk に変わっただけなので，(2.34) 式の解 k を γ で割ったものがこの式の解 k になる．
これ以上の計算は手計算では無理なので，Maxima を用いて行列式 (2.25) (2.30) を展開し，数値的に固有値方程式 ΛF (k) = 0, ΛG (k) = 0 を解いてみる．その際，2 個あるパラメータのうち，ここでは，密度 ρ0 を ρ1の 1/2 として，(2.9) 式から γ の値を

γ=( 1 )1/4
2= 0.840896 · · ·7(2.38)

に固定し，もう一つのパラメータ ℓ0 の方は，ℓ0 = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1 の 5 通りについて解いてみる．
以下では，ΛF (k) = 0 から求めた解を小さい方から k0 , k2 , k4 , · · · と偶数番号を付け，また，ΛG (k) = 0 から求めた解を小さい方から k1 , k3 , k5 , · · · と奇数番号を付ける．こうして求めた固有値の大小関係は，必ず，k0 < k1 < k2 < k3 < k4 < · · · となる．各 ℓ0 に対し，数値的に求めた固有値 kn の値を n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6個について小数 4 桁の精度で挙げると，に対しkn = 2.3650,

3.9266,5.4978,7.0685,8.6393,10.2101ℓ0 = 1/4 に対し

kn = 2.4854,

3.9890,5.8034,7.3429,8.9550,10.7138ℓ0 = 1/2 に対し

kn = 2.5602,

4.2537,5.8782,7.6845,9.4824,11.0687ℓ0 = 0ℓ0 = 3/4 に対し

kn = 2.5704,

4.4257,6.2620,8.0295,9.7527,

11.4953に対し

kn = 2.8124,

4.6695,6.5380,8.4060,10.2740,

12.1420ℓ0 = 1(2.39)という値になる．どの固有値 kn も ℓ0 の値が大きくなるにつれ少しづつ大きくなる．ℓ0 が大きくなるということは，それだけ密度が小さい部分が増えるということで，振動しやすくなり波数 k が大きくなるということである．
これらの固有値 kn に対し，(2.15) 式から角振動数 ωn を

ωn = hkn2(2.40)

として求め，最も低い基本振動数 ω0 に対する ωn の比を，各 ℓ0 に対し，n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 の場合に求めると，に対し

ωn /ω0 = 1,

2.7565,5.4039,8.9329,13.3442,

18.6378ℓ0 = 1/4 に対しωn /ω0 = 1,

2.5759,5.4521,8.7286,12.9819,18.5818ℓ0 = 1/2 に対しωn /ω0 = 1,

2.7605,5.2716,9.0090,13.7177,

18.6915ℓ0 = 3/4 に対しωn /ω0 = 1,

2.9644,5.9347,9.7578,14.3954,

19.9993に対し

ωn /ω0 = 1,

2.7565,5.4039,8.9329,13.3442,

18.6378ℓ0 = 0ℓ0 = 1(2.41)という値が得られる．ここで，注目すべきは，ℓ0 = 3/4 のとき，第 1 高調波と第 2 高調波の振動数が基本振動数の，ほぼ，3 倍，6 倍と整数倍に近い値になっていることである．西洋音楽にとっては，このように高調波の振動数が基本振動数の整数倍になることは非常に大事なことで，もし，そうなっていないときは不協和音がでてしまう．ここで，基本波の音を「ド，レ，ミ，ファ，ソ，ラ，シ，ド」の音階の低い方の「ド」の音とすると，3倍の高調波の音は 1 オクターブ上の「ソ」となり，6 倍は 2 オクターブ上の同じ「ソ」の音となる．
もう一つは，ℓ0 = 0 の場合と ℓ0 = 1 の場合とでは，基本振動に対する高調波の振動数の比の値が同じになることである*3 ．これは (2.34) 式と (2.37) 式のところで説明したとおり，どちらも密度変化のない一様な弾性棒の場合に相当するので，当然の結果である．

n が偶数の固有値 kn に属する偶関数 F (x)，また，n が奇数のときの固有値 kn に属する奇関数 G(x) を，固有値の依存性を明示するため，それぞれ，F (x, kn ), G(x, kn ) と書き，これらを固有関数と呼ぶ．

*3 実は，kn を小数以下 4 桁で計算すると，これら比の値は小数 2 桁までしか一致しない．ここでは，kn の値を小数 6 桁まで求めて比の値を計算した結果，4 桁までの範囲で一致した．

8

2.4 固有関数の正規化
初めに，2 個の固有値 kn , kn′ があって，n, n′ の偶奇性が異なるときを考える．例えば，n が偶数，n′ が奇数のとき，これら固有関数の積に，密度の ρ(x) を重みとして付けた積分が，∫ 1−1

ρ(x)F (x, kn )G(x, kn′ )dx = 0(2.42)と直交することは，密度関数 ρ(x) が偶関数であること，および，関数 F, G の偶奇性から明らかである．したがって，固有関数の積の積分を考えるときは，偶関数同士，または，奇関数同士の積分を考えるとよい．どちらにしても方法は同じなので，ここでは，偶関数同士の場合を考える．
まず，固有値とは限らない 2 個の k, k ′ があって，これに属する関数 F (x) を，それぞれ，F (x, k), F (x, k ′ )と書くことにする．これら関数は，方程式 (2.11) を満たしているので，

ρ(x)ω ′ 2 F (x, k ′ ) = h2 Fxxxx (x, k ′ )ρ(x)ω 2 F (x, k) = h2 Fxxxx (x, k),(2.43)

が成立する．ここで，k と ω, および，k ′ と ω ′ は (2.15) 式の関係で結ばれている．この第 1 式に F (x, k ′ ) を掛け，第 2 式に F (x, k) を掛けてから，辺々を引き算すると，(ω 2 − ω ′ 2 )ρ(x)F (x, k)F (x, k ′ )]d [Fxxx (x, k)F (x, k ′ ) − F (x, k)Fxxx (x, k ′ ) − Fxx (x, k)Fx (x, k ′ ) + Fx (x, k)Fxx (x, k ′ )= h2
dx(2.44)となる．この式の両辺を x で −1 から 1 まで積分するが，そのとき，関数 F は (2.16) 式で見るように区分的に異なる定義になるので，積分の方も

∫ 1
−1

→

∫ −ℓ0

∫ ℓ0
+

−1

∫ 1
+

−ℓ0

(2.45)ℓ0と各区分に分ける必要がでてくる．このとき，接続条件である (2.13) 式が成立しているものとすると，x = ±ℓ0のところで F, Fx , Fxx , Fxxx が各々連続になるので，そこでの境界値は相殺され，形式的には −1 から 1 までの積分としてよい．結果は，(ω 2 − ω ′ 2 )∫ 1

ρ(x)F (x, k)F (x, k ′ )dx

−1

[
]1
= h Fxxx (x, k)F (x, k ′ ) − F (x, k)Fxxx (x, k ′ ) − Fxx (x, k)Fx (x, k ′ ) + Fx (x, k)Fxx (x, k ′ )2−1(2.46)となる．ここでさらに，境界条件である (2.12) の第 1 式 Fxx (±1) = 0 が成立しているものとすると，この式は，∫ 1

ρ(x)F (x, k)F (x, k ′ )dx =

−1

[
]1
h2
′
′
F
(x,
k)F
(x,
k
)
−
F
(x,
k)F
(x,
k
)
xxx
xxx
ω2 − ω′ 2−1(2.47)と簡単化されるが，さらに，F が偶関数，Fxxx が奇関数ということを使うと，∫ 1−1ρ(x)F (x, k)F (x, k ′ )dx =2h2
ω2 − ω′ 2[

Fxxx (1, k)F (1, k ′ ) − F (1, k)Fxxx (1, k ′ )9](2.48)

となる．ここで，最後の境界条件である (2.12) の第 2 式である Fxxx (1) = 0 が満たされて，k, k ′ が異なる固有値 kn , kn′ となるときは，この式の右辺がゼロとなるので，異なる固有値に属する固有関数同士の直交性∫ 1−1

ρ(x)F (x, kn )F (x, kn′ )dx = 0,n ̸= n′(2.49)

が得られる．同じ固有値になるときは， (2.48) 式の右辺は，0/0 となるので，先に k ′ = kn とおいてから，

l’Hopital の定理を用いて，k → kn の極限をとる．結果として，固有関数同士の直交性の式
∫ 1
−1

2
ρ(x)F (x, kn )F (x, kn′ )dx = NF,n
δn,n′ ,

2
NF,n
=

]
1 [
∂
F
(1,
k)
F (1, kn ),
k
xxx
2kn3
k=kn

n = 0, 2, 4, · · ·(2.50)

を得る．同様に，奇関数 G(x, kn ) 同士の直交性の式

∫ 1
−1

2
ρ(x)G(x, kn )G(x, kn′ )dx = NG,nδn,n′ ,

2
NG,n
=

]
1 [
∂
G
(1,
k)
G(1, kn ),
k xxx
2kn3
k=kn

n = 1, 3, 5, · · ·(2.51)も得られる．ここに，NF,n , NG,n は正規化定数で，F (x, kn )/NF,n , G(x, kn )/NG,n が正規化された固有関数となる．

2.5 再び Maxima を用いた解析
ここで採用した正規化の方法は，これまでの「鍵盤打楽器の固有振動」を踏襲したものである．ここで，正規化された固有関数の求め方に関し，具体的な処方箋を述べておく．まず，(2.16) (2.17) 式で定義した関数

F (x), G(x) には 6 個の未定係数 A, B, C, D, E, F が含まれる．このうち，A を A = 1 とおき，残り 5 個の B, C, D, E, F を，境界条件である (2.12) の第 1 式，および，接続条件である (2.13) の 4 本の式，合計 5本の式から求めておく．これら方程式を具体的に表した式が，(2.18) の第 1 式，および，(2.19) 式，あるいは，(2.27) 式である．このとき，パラメータの γ と ℓ0 は与えておくが，波数の k は固有値の kn としておく．ただし，正規化定数 (2.50) (2.51) 式の NF,n , NG,n に含まれる ∂k Fxxx (1, k)

k=kn, ∂k Gxxx (1, k)

を求める
k=kn

ときは，ε を微小量として，k を k = kn + ε として Fxxx (1, k), Gxxx (1, k) を求め，その結果を ε で割ることになる．
この 5 元連立方程式を解くことは，手計算では事実上無理なので，Maxima を用いて解くことになる．
この係数と正規化定数が求められると正規化された固有関数が求められる．ここでは，パラメータ γ を(2.38) 式の値 γ = (1/2)1/4 ， ℓ0 を (2.41) 式のうち，第 1 高調波と第 2 高調波の振動数が基本振動数のほぼ，3 倍，6 倍と なる ℓ0 = 3/4 に選ぶこ とに し，Maxima を用いて求めた正規化された固有 関数

F (x, kn )/NF,n , n = 0, 2, 4,G(x, kn )/NG,n , n = 1, 3, 5 の 6 個の場合を，次ページの図 2 に示す．このグラフは，一見したところ，前回から求めている「鍵盤打楽器の固有振動 (1)〜(5)」で得たものとほとんど違わない．
どのグラフも n + 2 個のゼロ点を持つ．

10

図 2 固有関数のグラフ
ここで，正規化定数 NF,n , NG,n を定義する (2.50) (2.51) について，数値計算をする段階で気付いたことを述べておく．この定数に含まれる因子を数値的求めると，[]
1∂k Fxxx (1, k) k=k F (1, kn ) = 1.025558,
3nkn

1.035995,

1.084820,n = 0, 2, 4[]
1
∂k Gxxx (1, k) k=kn G(1, kn ) = 1.002861,
3kn

1.075828,

1.054842,

n = 1, 3, 5

(2.52)となって，ほとんど 1 に近い値をとる．したがって，正規化定数は，n に無関係に，ほぼ，

1
NG,n ≃ √2

1
NF,n ≃ √ ,2(2.53)という値になる．これは何か理由のあることであろうか？

3 おわりに
今回の解析で得た一番大きな成果は，鍵盤の密度を変えることで，高調波の振動数を基本波のほぼ整数倍にできたことである．前回は鍵盤の両端に錘を付け，鍵盤半分の質量に対する錘の質量比を µ として，同じような解析をした結果，µ = 1/4 のとき，

ωn
= 1,
ω0

2.935,

6.001,

10.221,

15.612,(n = 0, 1, 2, 3, 4)(3.1)という結果を得ていた．これは (2.41) 式の ℓ0 = 3/4 の場合と比べると分かるように，第 1，第 2 高調波の振動数が基本波のほぼ，3 倍，6 倍という同じ結果が得られたことになる．実際に存在する鍵盤打楽器の鍵盤は図 1(b) に示すような盤の中央部の厚さを薄くしたものであるが，これらの結果から考えると，鍵盤の両端に錘を付けたものや，鍵盤の端の方の材質を変えて密度を変化させたもの，すなわち，木琴と鉄琴を合わせたようなものが作られてもよさそうなものである．
もう一つ述べておきたいことは，今回のものは方程式を解析的に解くと言っておきながら，途中で，数式処理ソフト Maxima を使わざるを得なくなったことである．実は，この Maxima を使うのは 4 年ぶりで，すっかりその使い方を忘れてしまい，解説書を頭から読むはめになってしまった．2.3 節「Maxima を使った解析」のところで述べたように (2.25) (2.30) 式で定義される 4 × 4 行列 ΛF , ΛG を展開すると，実に 184 項にもなるが，それらをゼロとおいたときの固有値方程式は，Maxima を用いると，固有値 1 個づつではあるが，ほんの 1 秒
もかからないで解かれてしまう．たしかに Maxima は優れものである．しかし，今回，Maxima を使ってみて思ったことは，使えばそれなりの結果はでるが，そこに至るまでの過程はコンピュータまかせになってしまい，

11使う側としては，自分で解析する楽しさを奪われた気分になってしまう．やはり，このようなものは，必要最小限に使うべきものということを思い知らされた．
これまで，鍵盤打楽器の鍵盤の形をどのようにすると，高調波の振動数が基本波の振動数の整数倍になるかということで，種々のモデルを設定し，解析してきた．これまでシリーズで書いてきたことをまとめると，(1)

鍵盤の厚さを一様とした場合(2)鍵盤の厚さを不連続に変化させた場合(3)鍵盤の厚さを直線的に変化させた場合(4)鍵盤の厚さを 2 次曲線で変化させた場合(5)鍵盤の両端に錘を付けた場合，および，鍵盤の両端を埋込固定，自在固定とした場合(6)鍵盤の密度を不連続に変化させた場合の 6 通りの場合を，解析的に考察してきた．結果的にはそれ相応の結論をだすことができたと思われるが，あまりこんなことを続けていると，数学遊びになってしまいそうである．という訳で，この「鍵盤打楽器の固有振動」のシリーズは今回で終わりとしたい．

12

ウイルス感染における SIR モデル
世戸 憲治 ∗SIR Model for the Virus Infection
Kenji Seto∗

1 はじめに
今年 (2020 年) 1 月から，中国武漢市で新型コロナウイルス (coronavirus) による肺炎が流行りだした．この病気は，伝染力が強く，2 月には早くも日本にもまん延し，3 月にはまたたくまにヨーロッパ，アメリカまでにも伝播し，世界中で，きわめて危険な事態にいたっている．
この種の伝染病がどのようにまん延していくかということに関し，SIR モデルというものがある．このモデルは，1927 年に，W.O.Kermack と A.G. McKendrick によって提唱されたウイルス感染に関するモデルで，患者数が時間的にどのように変化していくかをモデル化したものである．SIR の S は susceptible (感受性保持者), I は infected (感染者), R は recovered (回復者) を意味する*1 ．この S は感受性保持者と素人には分かり難い奇妙な名前になっているが，以下では，まだ感染していない健常者を意味するものとする．
このモデル方程式は，時刻 t における各変数の値 (人数) を，それぞれ，S(t), I(t), R(t) としたとき，dS(t)= −βS(t)I(t)dtdI(t)= βS(t)I(t) − γI(t)
dt

(1.1)

dR(t)
= γI(t)dtと表される．この第 1 式は，健常者数 S(t) は，健常者数と感染者数の積に比例して減少することを意味し，その比例係数を β とする．また，第 2 式は，感染者数 I(t) は，健常者が感染者に変化した分だけ増加し，感染者が回復した分だけ減少する．このときの感染者が回復するときの係数を γ とする．最後の第 3 式は，回復者数 R(t) は感染者が回復するにしたがい増加することを表す．以下では，後の計算がしやすいように，変数

S(t), I(t), R(t) を無次元化する．すなわち，S(t) の初期値 S(0) を用いて，S(t), I(t), R(t), β をS(t)/S(0) → S(t),I(t)/S(0) → I(t),R(t)/S(0) → R(t),βS(0) → β

(1.2)

と，改めておき直す．これで，S(t) の初期値 S(0) は 1 に，また，β と γ は同じ次元で，時間の逆数となる．
このときの β を感染率，γ を回復率という．このような操作をしても式としての形は元のままであることに注∗ 北海学園大学名誉教授

E-mail: seto@pony.ocn.ne.jp*1 この R は ウイルスを移さなくなった人という意味で，厳密な言い方をすると，回復者のほかに死亡した人も含む．

13

意する．
この SIR モデル方程式からすぐにわかることは，これら方程式の辺々を加えるとd(
S + I + R) = 0,dt

すなわち， S + I + R = 一定

(1.3)

となることである．したがって，3 個ある変数のうちいずれか 2 個が分かればよい．

2 方程式の解法
解析的解法
この方程式は 3 変数，S(t), I(t), R(t) に関するものであるが，実際は，最初の 2 式で S(t), I(t) を求め，

I(t) が求まると，3 番目の式から R(t) が求まる．ここでは，これら方程式を，でき得るかぎり，解析的に解くことを目標とする．
初めの 2 式を，それぞれ，変数分離形にすると，dS= −βIdt,
S

dI= (βS − γ)dt
I

(2.1)

となるので，これらを積分し，∫log S = −β∫Idt,

log I =

(βS − γ)dt

(2.2)

となる．この第 2 式から I を求め，第 1 式に代入すると，∫log S = −β∫e (βS−γ)dt dt(2.3)となって，S だけの方程式となる．この式の両辺を t で微分すると，∫Ṡ
= −βe (βS−γ)dt
S

(2.4)

となる．ただし，これ以降，dS/dt を Newton 流の Ṡ と記す．これを変形して，

log( Ṡ ) ∫= (βS − γ)dt
−βS

(2.5)

S S̈ − Ṡ 2
= βS − γ
S Ṡ

(2.6)

P = Ṡ

(2.7)となり，さらに t で微分すると，となる．ここで，とおくことにし，

S̈ =

dP
dS dP
dP
dṠ
=
=
=P
dt
dt
dt dS
dS

(2.8)

1
dP
− P = βS − γ
dS
S

(2.9)

となるので，(2.6) 式は14

となる．これは P に関する非同次線形の 1 階微分方程式である．これを解くために，まず，同次部分のdP
1− P =0dS
S(2.10)

P = CS(2.11)

を解くと，C を積分定数として，となる．あとは定数変化法にしたがい，C を改めて S の変数とし，(2.9) 式に代入すると，

γ
dC
=β−
dS
S

(2.12)となり，これを積分すると，D を積分定数として，となるので，(2.11), (2.7) 式から

C = βS − γ log S + D(2.13)()
Ṡ = βS − γ log S + D S(2.14)と求められる．ここで定数 D を決めるため，初期条件

t=0

のとき

S(0) = 1,Ṡ(0) = 0(2.15)[]
F (S) ≡ β(S − 1) − γ log S S(2.16)

を用いると D = −β となるので，(2.14) 式はṠ = F (S),ただし，となる．これをさらに変数分離し，定積分の形にすると，

∫ S
t=
1

dS ′
F (S ′ )(2.17)となるが，この積分を解析的に実行することは，ほぼ不可能であろう．ここで注意すべきことは，時間が経つにしたがい感染者数 I が増え，健常者数 S が，初めの 1 からしだいに減っていくので，F (S) の値が負になるところが実際に適用される範囲となることである．それはこの積分形からも分かるとおり，S < 1 で t > 0 である
ためには，F (S) < 0 でなければならない．この関数 F (S) は S = 1 のところで，

F ′ (1) = β − γ

F (1) = 0,(2.18)となるので，S < 1 の側，S = 1 の近傍で F (S) < 0 となるためには，条件β>γ(2.19)

が必要になる．すなわち，感染率 β が回復率 γ より大でなければならない．この条件のもとに関数 F (S) のグ
ラフを図示すると，以下の図 1 のようになる．

15

図1

F (S) のグラフ， β = 0.2/day, γ = 0.1/day の場合

この図 1 からわかるように，S = 1 で F (S) = 0 となるが，そのほかに，0 < S < 1 の範囲に，もう 1 個のゼロ点が存在する．これを Sc とすると，S のとり得る範囲は，Sc < S < 1 となり，この範囲で F (s) は負の値をとる．逆の言い方をすると，S の値は，この Sc よりも小さくはならないということである．なお，この Sc を求めるための方程式 F (S) = 0 は超越方程式になるので，厳密解は求められない．
この図 1 では，回復にかかる日数を 10 日として，1/γ = 10 day, すなわち，γ = 0.1 /day とし，β の値を，γの値の 2 倍，すなわち，β = 0.2/day ととることにした．

数値的試み
先に述べたように，(2.17) 式の積分を解析的に実行することは不可能と考えられるので，以下では，数値的に計算してみよう．初めに，健常者数の S(t) を数値的に求めるには，(2.16) 式における Ṡ を ∆S/∆t として，

∆t =

∆S
F (S)

(2.20)としておく．ここで，∆S を 1 の 1000 分の 1; ∆S = 0.001 とし，∆t を求める．このとき，S の初期値を1 としてしまうと，この式右辺は発散してしまうので，S の初期値を 1 − ∆S として，(∆t)1 を求める．これで，(S, t) = (1 − ∆S, (∆t)1 ) の点が決まる．つぎに，S の値を，1 − 2∆S として，(∆t)2 を求め，これで，(S, t) = (1 − 2∆S, (∆t)1 + (∆t)2 ) の点が決まる．以下同様にして，点 (S, t) = (1 − n∆S,∑n

k=1 (∆t)k ) を求

めて線で結んでいくと，図 2 に示す解曲線が求められる．この図から，S(t) の値は，t → ∞ で，Sc の値に収束していくのが分かる．

図2

S(t), I(t) のグラフ， β = 0.2/day, γ = 0.1/day の場合

つぎに，感染者数 I(t) を求める．そのためには，(2.16) 式の Ṡ を，(1.1) の第 1 式に代入して，I(t) を求め

16

ると，

(
)
F S(t)
γI(t) = −= 1 − S(t) + log S(t)βS(t)β(2.21)と S(t) を用いて表わされる．S(t) は，すでに数値的に求まっているので，I(t) も求まったことになる．S(t) の初期値は 1 なので，これから I(t) の初期値はゼロであり，また，S(t) は t → ∞ で Sc となるが，この式は Scを求める式 F (S) = 0 と等価になるので，I(t) は t → ∞ でゼロに収束する．図 2 に，これら S(t), I(t) のグラフを示す．パラメータ β, γ は前と同じく，β = 0.2/day, γ = 0.1/day とした．

曲線 I(t) について
曲線 I(t) は図 2 で見るように山形の曲線になる．この曲線の最大になるところは，(1.1) の第 2 式で dI/dt = 0
として，S(t) =

γβ(2.22)となるところで，その最大値は，(2.21) 式から，

Imax = 1 −

(γ )
γ
γ
+ log
β
β
β

(2.23)と γ/β のみの関数となる．これから，β が γ に比べ大きいほど，Imax は 1 に近くなり，逆に，β が γ に近づくほど，Imax はゼロに近づく．
このように，Imax の値は，γ/β の値に依存して決まるが，この最大値が大きいほど幅は狭くなるので，その積分値はそれほど変わらないのではと期待される．実際，I(t) の t に関する 0 から ∞ までの積分値は，(2.2)の第 1 式から，∫ ∞0I(t)dt = −1
1
log Sc = (1 − Sc )βγ(2.24)となる．Sc は (2.16) で定義した F (S) のゼロ点で，この最後の式は F (Sc ) = 0 を用いて変形したものである．
これから，この積分値は最終的なトータルの感染者数 1 − Sc を γ で割ったものになる．また，この Sc は γ/βで決まる量であるので，積分値は γ, β の両方に依存して決まる量となり，簡単には一定値とは言えない．

3 おわりに
これまで，SIR モデルについては，数値的に解を求めたものは，たくさん発表されているので，ここでは，でき得るかぎり，解析的に解くことを主眼とした．その結果，S(t) の t → ∞ での収束値 Sc の存在，また，I(t)の最大値の式などを得たことが，ここでの大きな成果である．もちろん，ここでの解析がそのまま現実の世界に当てはまるとは考えていないが，おおまかな傾向としては当てはまることがあるだろう．
インターネットで調べてみると，この SIR モデルをさらに拡張したものがいくつか存在するようである．例
えば，感染してもすぐには他人に移さない潜伏期というのがあるので，これを考慮したモデルなどが存在する．
いずれ，これらのモデルについても考慮してみる価値があるだろう．
それにつけても，今回の新型コロナ・ウイルスの感染者数は，3 月下旬になって，ヨーロッパ，アメリカで莫大的に増加してきた．このままいくと人類は滅びてしまうのではと思えるほどの勢いである．しかし，ここでの解析のとおりとすると，どんなに感染が広がっても，Sc だけの人は感染することなく，生き延びることができ17るので，人類が滅びるなどという大げさなことまでは考えなくともよいはずである．こんな騒ぎは，早く終息してくれるよう願わずにはいられない．

[ 謝辞 1 ]私が，この SIR モデルを解析してみようと思い立ったのは，小方厚氏によるブログの記事，「新型コロナウイ
ルス対策の目的」(3 月 13 日)，「Mathematica によるウイルス感染シミュレーション」(3 月 14 日)を読んだせいである．私は，この SIR モデルのことをまったく知らなかったので，これを知らせてくれたという点で，小方厚氏に感謝します．興味ある方は，下記の url でご覧ください．

https://blog.goo.ne.jp/ablerail1007/e/7e8f99494b597eaa1d714c131a9e2f28
https://blog.goo.ne.jp/ablerail1007/e/b3e13319f56c7e36eec51de0f82e3584[ 謝辞 2 ]例によって，いつもコメントをいただいている京都大学名誉教授の中西襄先生にも見ていただきました．今回の (2.17) 式から (2.19) 式にかけての部分は，先生のご意見にしたがい書き換えたものです．また，先生からい
ただいたコメントには，(1.1) の第 3 式，つまり R(t) に関する式は蛇足のようなもので，R は回復者のみならず非回復者，すなわち死亡者をも含んでいるのであまり意味がない，というもので，そのとおりだと思います．
もう一つ，先生からいただいたご意見で，β < γ の場合はどうなっているのかというのがあります．これは現実にはあり得る話であって，SIR モデルをそのまま適用すると S(t) ≡ 1 という解が安定解として存在する．これでよしとするのか，あるいは，SIR モデルがその場合を想定していないのか，そこのところはよく分かりません．また，問題が残ってしまいました．
いつも適切なご意見をいただく先生に感謝します．

（編集者の追記）

世戸さんから今回いただいた，この「ウイルス感染における SIR モデル」の論文は時宜を得たものであるが，微分方程式でいろいろな自然と社会の数理を解明した本として日本語で書かれた参考文献として，つぎのものをあげておきたい．

1. 佐藤總夫，『自然の数理と社会の数理』 I （日本評論社，1984）
2. 佐藤總夫，『自然の数理と社会の数理』 II （日本評論社，1987）
これは 3 巻の本として予定されていたものらしいが，著者が死亡されたされたために第 3 巻は実現しなかったらしい．佐藤總夫さんは数学者であるが，編集者（世戸，矢野）よりも 7〜8 歳年上の方である．
第 2 巻の 7-9 章に伝染病とかインフルエンザ等についての取り扱いがある．ちょっと取り扱いが異なっているかもしれないが．
この論文の著者の世戸さんの多くの論文も，佐藤さんの著書でとりあげられた微分方程式で自然や社会の数理を解きほぐすという点で共通点がある．佐藤さんは従来の大学の数学教育についても批判的であったともとれる
書きぶりも見られるので，そういう点では編集者（矢野）の立場とも重なるところがある．

18

微分方程式と三角関数
矢野 忠*1

Diﬀerential Equations and Trigonometric Functions
Tadashi YANO*2

1 はじめに『ピタゴラスからオイラーまで』 [1] を読んでいたら，

eix = f (x) + ig(x)(1.1)

ieix = f ′ (x) + ig ′ (x)(1.2)

eix = g ′ (x) − if ′ (x)(1.3)

g ′ (x) − if ′ (x) = f (x) + ig(x)(1.4)

f ′ (x) = −g(x),(1.5)

とおいて，この式の両辺を x で微分するとが得られ，この式の両辺に −i をかければが得られる．(1.1) と (1.3) からが成り立つ．すなわち′

g (x) = f (x)(1.6)

が成り立つ．これは f (x), g(x) に関する連立微分方程式である．

(1.1) 式で x = 0 を代入すると e0 = f (0) + ig(0) であり，e0 = 1 であることから
f (0) = 1,

(1.7)g(0) = 0(1.8)という微分方程式 (1.5), (1.6) の初期条件も得られる．
よく知られているように，関数 f (x), g(x) はそれぞれ f (x) = cos x, g(x) = sin x であるが，そのことを知らないことにして三角関数のいくつかの性質を導くことができる．
そのうちで，

1. [f (x)]2 + [g(x)]2 = 1 の導出
2. 微分方程式 (1.5), (1.6) の解の一意性
3. 三角関数の加法定理の導出
4. f (−x) = f (x), g(x) = −g(x) の導出
5. f (x) と g(x) の周期性
*1 元愛媛大学工学部*2 yanotad@earth.ocn.ne.jp19

の 5 つの性質を微分方程式とその初期条件から導いてみたい．
『ピタゴラスからオイラーまで』には他の三角関数の性質の微分方程式からの導出も述べられているのだが，そこにはあまり問題がないと思われるのでここではとりあげない．f (x) と g(x) の周期性の記述には問題がないのだが，重要な三角関数の性質であるので補足のためにとりあげた．
前に挙げた 1-5 の性質の中の 2-4 を導くための連立方程式の導出がちょっと問題だと私には思われたので，そこを考えてみたい．

2 節では [f (x)]2 + [g(x)]2 = 1 の導出について述べる．3 節では微分方程式 (1.5), (1.6) の解の一意性を述べ，4節では三角関数の加法定理の導出を述べ，5 節では f (−x) = f (x), g(x) = −g(x) の導出を述べる．さらに，6 節
では f (x) と g(x) の周期性について述べる．7 節はまとめである．
付録 1 では (3.15) と (3.19) の証明をする．付録 2 では (3.24) と (3.25) の解法を示し，付録 3 では (4.3) と(4.4) の証明をする．付録 4 では (4.8) と (4.9) の解法を示し，付録 5 では (5.19) と (5.20) の解法を示す．
このエッセイでは三角関数 cos x, sin x のしたがう微分方程式 (1.5),(1.6) の解の一意性を示したので，参考までに関心をもった ex の一意性を [2] にしたがって付録 6 に示しておく．

2 [f (x)]2 + [g(x)]2 = 1 の証明
この 2 節では [f (x)]2 + [g(x)]2 = 1 の証明をしよう．これはまったく難しくない．関数 f (x) と g(x) を変数 xを省いて書こう．以下ではプライム ′ は変数 x での微分を示している．

(f 2 + g 2 )′ = 2f f ′ + 2gg ′= 2f (−g) + 2gf
=0

(2.1)

f 2 + g 2 = c, c = 一定

(2.2)

したがって

である．この定数 c を初期条件から決めればよい．

c = [f (0)]2 + [g(0)]2
=1+0
=1

(2.3)

すなわち c = 1 であることがわかったから，

f 2 + g2 = 1(2.4)

が証明された．

3 (1.5), (1.6) の解の一意性の証明
f (x) と g(x) とを求める微分方程式は 1 節で (1.5), (1.6) であることを述べた．また，その初期条件は (1.7),(1.8) で与えられている．このときの解がただ一つに限られることを証明しよう．
この f と g と同じ微分方程式と初期条件をみたす解 X(x), Y (x) が f (x), g(x) 以外にあるとしよう．すなわちX ′ (x) = −Y (x)′Y (x) = X(x)

20

(3.1)
(3.2)

が成り立ち，また初期条件

X(0) = 1(3.3)

Y (0) = 0

(3.4)

をみたすとする．この X, Y についての連立方程式を求めたい．
関数は f (x), g(x) と X(x), Y (x) の４つである．もちろん，f (x), g(x) は既知の関数であり，X(x), Y (x) は未知の関数である．
このとき，これらの 4 つの関数からできる積の関数は

f X, gY, f Y, gX(3.5)の 4 つが考えられる．これらの積の関数を用いてつくることのできる 1 次結合は 4 つの定数 a, b, c, d を用いれば，つぎのような 3 つの可能性が考えられる．

a(f X) + b(gY )(3.6)

c(gX) + d(f Y )(3.7)

a(f X) + b(gX)(3.8)

c(f Y ) + d(gY )(3.9)

a(f X) + b(f Y )(3.10)

c(gX) + d(gY )(3.11)

ところで微分方程式は関数 f (x), g(x) の連立微分方程式であるが，2 番目と 3 番目の可能性は f, g または X, Y が結合されていないので，多分採用できないであろう．1 番目の可能性はその条件をみたしている．
それで [a(f X) + b(gY )] と [c(gX) + d(f Y )] の x での微分が 0 であるという条件を課すことにしょう．これによって定数 a, b および c, d の間に関係を導き出せるのではないかと期待される．これは a(f X) + b(gY ) とc(gX) + d(f Y ) が定数になることを要請することになる．
まず a(f X) + b(gY ) から

[a(f X) + b(gY )]′ = a(f ′ X + f X ′ ) + b(g ′ Y + gY ′ )= a(−gX − f Y ) + b(f Y + gX)= (b − a)(gX + f Y )=0(3.12)

が得られる．これからb=a(3.13)

a(f X) + b(gY ) = a(f X + gY )(3.14)となり，したがってが得られて，ここで a = 0 であるとすると，式が無意味となるから，a ̸= 0 とすると

(f X + gY )′ = 0となることを示すことができる *3 ．
*3 付録 1 でこのことを示す．

21(3.15)

つぎに c(gX) + d(f Y ) から

[c(gX) + d(f Y )]′ = c(g ′ X + gX ′ ) + d(f ′ Y + f Y ′ )= c(f X − gY ) + d(−gY + f X)
= (c + d)(f X − gY )=0(3.16)となる．これからd = −c(3.17)

c(gX) + d(f Y ) = c(gX − f Y )(3.18)

が得られる．したがってとなり，ここで c = 0 とすると，式が無意味となるので，c ̸= 0 とすると

(gX − f Y )′ = 0(3.19)となることを示すことができる *4 ．

(f X + gY )′ = 0, (gX − f Y )′ = 0 は f X + gY, gX − f Y がそれぞれ定数であることを示している．
すなわち

f X + gY = k, k = 一定

(3.20)

gX − f Y = K, K = 一定

(3.21)

が得られる．
初期条件を用いてこの定数 k, K を求めれば，

k = f (0)X(0) + g(0)Y (0)=1·1+0·0=1(3.22)

K = g(0)X(0) − f (0)Y (0)=0·1−1·0=0(3.23)

定数の k, K とが求まったから，連立方程式

f X + gY = 1(3.24)

gX − f Y = 0(3.25)

が得られる．

X, Y は未知の関数であったから，この X, Y について解けば，これは Cramer の公式を用いて
X=f(3.26)

Y =g(3.27)が求められる．もちろん，ここで f 2 + g 2 = 1 であることが使われている．
これから連立微分方程式 (1.5), (1.6) の解は一意的であり，解はただ一つであることがわかった．

*4 付録 1 でこのことを示す．

22

4 加法定理の導出
この 4 節では，加法定理を導出をしよう [1]．まず X(x) = f (x + y), Y (x) = g(x + y) とおこう．

f (x) は cos x に対応しており，g(x) は sin x に対応しているから
f (x + y) = f (x)f (y) − g(x)g(y),(4.1)

g(x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y)(4.2)

X ′ = −Y,(4.3)

が成り立つはずである．
まずはじめに

′

Y =X

(4.4)

が成り立つことを示すことができる *5 ．ここで X ′ , Y ′ の ′ は x についての微分を表す．y は定数と考える．

f (x), g(x) および X, Y は 2 節で示したと同じ微分方程式をみたすから，a(f X) + b(gY ) と c(gX) + d(f Y ) についての議論は 3 節とまったく同じである．だからこの詳細はくりかえさない．

X, Y についての連立方程式
f X + gY = k, k = 一定

(4.5)

gX − f Y = K, K = 一定

(4.6)

が得られるところまでは同じである．
だが，定数 k, K を求めるところはちがってくる．

k = f (0)X(0) + g(0)Y (0)= 1 · f (y) + 0 · g(y)= f (y)(4.7)

K = g(0)X(0) − f (0)Y (0)= 0 · f (y) − 1 · g(y)= −g(y)

(4.8)

となる．
定数の k, K とが求まったから，連立方程式

f X + gY = f (y)(4.9)

gX − f Y = −g(y)(4.10)

X = f (x)f (y) − g(x)g(y)(4.11)

Y = f (x)g(y) + g(x)f (y)(4.12)

が得られる *6 ．
この連立方程式を X, Y について解けばが求められる．これは f (x) = cos x, g(x) = sin x とおけば，これらが加法定理であることがわかる．
*5 付録 2 に示す．
*6 付録 3 にこの解法を示す．

23

5 f (−x) = f (x), g(x) = −g(x) の導出
この 5 節では f (−x) = f (x), g(x) = −g(x) の導出をしよう．
未知関数を X(x) = f (−x), Y (x) = g(−x) とおく．この未知関数 X(x), Y (x) に対する連立方程式を求める．
その前に X(x) と Y (x) との関係をまず求めたい．そのために X(x) と Y (x) を x で微分してみよう．ここで

u = −x とおくと u′ = −1 であるから
X ′ (x) = f ′ (u)u′= −f ′ (u)= −(−g(u))= g(u)= Y (x)
′

′

(5.1)
′

Y (x) = g (u)u= −g ′ (u)= −f (u)= −X(x)(5.2)

この X, Y についての微分方程式と f (x), g(x) についての微分方程式とを用いて

a(f X) + b(gY )(5.3)

c(gX) + d(f Y )(5.4)の a, b と c, d との関係を求めよう．
これらは a(f X) + b(gY ) と c(gX) + d(f Y ) の微分が 0 となるという条件から求める．
まず a(f X) + b(gY ) を x で微分すれば，[a(f X) + b(gY )]′ = a(f ′ X + f X ′ ) + b(g ′ Y + gY ′ )= a(−gX + f Y ) + b(f Y − gX)= (a + b)(f Y − gX)
=0

(5.5)

これから

a+b=0

(5.6)

b = −a(5.7)

a(f X) + b(gY ) = a(f X − gY ), a ̸= 0

(5.8)

が得られ，

となる．
したがって

が得られる．
つぎに c(gX) + d(f Y ) を x で微分すれば，[c(gX) + d(f Y )]′ = c(g ′ X + gX ′ ) + d(f ′ Y + f Y ′ )= c(f X + gY ) + d(−gY − f X)
= (c − d)(f X + gY )
=0

(5.9)
24

これから

c−d=0

(5.10)

d=c(5.11)

c(gX) + d(f Y ) = c(gX + f Y ), c ̸= 0

(5.12)

が得られ，

となる．
したがって

が得られる．

(f X − gY ), (gX + f Y ) を微分すれば，まず(f X − gY )′ = f ′ X + f X ′ − g ′ Y − gY ′= −gX + f Y − f Y + gX
=0(5.13)であるから

f X − gY = k, k = 一定

(5.14)

つぎに(gX + f Y )′ = g ′ X + gX ′ + f ′ Y + f Y ′= f X + gY − gY − f X=0(5.15)

であるから

gX + f Y = K, K = 一定

(5.16)

初期条件から定数 k, K を求めよう．

k = f (0)X(0) − g(0)Y (0)=1·1−0·0=1(5.17)

K = g(0)X(0) + f (0)Y (0)=0·1+1·0=0(5.18)

これらの定数から，連立方程式

f X − gY = 1(5.19)

gX + f Y = 0(5.20)

X=f(5.21)

Y = −g(5.22)

が得られる *7 ．
この連立方程式を X, Y について解けば，*7 付録 4 にこの解法を示す．

25

が求まる．
ここで X(x) = f (−x), Y (x) = g(−x) であったから

f (−x) = f (x)(5.23)

g(−x) = −g(x)(5.24)であることがわかった．
すなわち，f (x) は偶関数であること，また g(x) は奇関数であることが示された．これは f (x) = cos x, g(x) =sin x であることを示している．
以上は私が『ピタゴラスからオイラーまで』を読んで気になったところである．ついでに坂江先生にしたがって，三角関数の重要な性質である，f (x), g(x) の周期性について次の 6 節で述べる．

6 f (x), g(x) の周期性
この 6 節では三角関数の重要な性質である，f (x), g(x) の周期性について述べよう．これについては私自身の工夫はないが，やはり周期性についての言及が必要であると思ったのでつけ加えた．

f (x), g(x) の x = 0 での初期値は f (0) = 1, g(0) = 0 であった．いま区間 I (x ≥ 0) で f (x) = 0, g(x) = 1 となる最小の x の値を π2 としよう．π はもちろん円周率である．すなわち

f

(π)
2

= 0, g

(π)
2

=1

(6.1)

とする．

0 ≤ x < π2 においては f (x) = 0, g(x) = 1 となる x は存在しない．加法定理を用いると
(
(π)
(π)
π)
f x+
= f (x)f− g(x)g= −g(x)
2)
2)
2)
(
(
(
π
π
π
g x+
= f (x)g+ g(x)f= f (x)
2
2
2

(6.2)
(6.3)

また

(
π π)
f (x + π) = f x + +( 2 π )2
= −g x +2= −f (x)(π π)g(x + π) = g x + +
2
2
(
π)
=g x+
2
= −g(x)

(6.4)

(6.5)

であるから，まず (6.4), (6.5) で x = 0 とおけばつぎに (6.4), (6.5) で x = π2 とおけば

f (π) = −f (0) = −1

(6.6)g(π) = −g(0) = 0

(6.7)

(

)
(π)
3
=0
π = −f
2
2
( )
(π)
3
g
= −1
π = −g
2
2

f

26

(6.8)
(6.9)

さらに

f (x + 2π) = f (x + π + π)
= −f (x + π)
= −[−f (x)]= f (x)(6.10)

g(x + 2π) = g(x + π + π)
= −g(x + π)
= −[−g(x)]= g(x)(6.11)f (2π) = f (0) = 1(6.12)

g(2π) = g(0) = 0(6.13)

これで，(6.10), (6.11) で x = 0 とおけば，これらの結果から f (x), g(x) がともに周期 2π の周期関数であり，f (x) が偶関数，g(x) が奇関数であることを考えると下表に示すような関数の増減表が得られる．

x
′

− π2

0

π
2

3
2π

π

2π

f = −g

+

1

+

0

−

−1

−

0

+

1

+

0

−

f

↗

0

↗

1

↘

0

↘

−1

↗

0

↗

1

↘

g =f

−

0

+

1

+

0

−

−1

−

0

+

1

+

g

↘

−1

↗

0

↗

1

↘

0

↘

−1

↗

0

↗

′

7 おわりに『ピタゴラスからオイラーまで』を読んで気になったところを中心にして，それを敷衍するように述べてみた．
また [1] には

1. f (x) = 0, g(x) = 1 となる x の存在の証明
2. limh→0 g(h)h =1についても述べられている．
また，1 次連立方程式を中学生のように加減法で解いているが，このエッセイでは Cramer の公式を用いた．この公式を知らない人のために付録 2 のはじめのところに公式を示した．
微分方程式の解の存在とか一意性についてはいままでほとんど関心がなかったが，その定理の説明をはじめて読んでみるという経験をもった．もっともそれがよくわかったというところまでにはまだいたっていない．

8 付録 1(3.15) と (3.19) の導出(f X + gY )′ = f ′ X + f X ′ + g ′ Y + gY ′= −gX − f Y + f Y + gX
=0(3.15)

27

(gX − f Y )′ = g ′ X + gX ′ − f ′ Y − f Y ′= f X − gY + gY − f X=0

9 付録 2(3.19)(3.26) と (3.27) の導出

まず 2 元 1 次連立方程式の Cramer の公式を与えておく．

a, b, c, d, p, q を定数とし，x, y を未知数とするとき，
ax + by = p(9.1)

cx + dy = q(9.2)の 2 元連立 1 次方程式があるとき，x, y の解はつぎのように与えられる．

1 p b
D q d
1 a p
y=
D c q

x=

(9.3)
(9.4)

a b
c d

(9.5)

a b
= ad − bc
c d

(9.6)

D=
である．ここで，2 次の行列式はである．
この Cramer の公式を用いれば，(3.24) と (3.25) の解は

1 1 g
−f
=
=f
D 0 −f−(f 2 + g 2 )
1 f 1
−g
Y =
=
=g
D g 0
−(f 2 + g 2 )

X=

D=

f
g

g
= −(f 2 + g 2 ) = −1−f(3.26)(3.27)(9.7)となる．

10 付録 3(4.3) と (4.4) の導出

X(x) = f (x + y), Y (x) = g(x + y) とするとき，いま u = x + y とおけば，u′ = 1 となる．ここでプライム（′）
は x についての微分を表す．したがって

X ′ = f ′ (u)u′= −g(u)
= −Y
′

′

(4.3)
′

Y = g (u)u
= f (u)=Xとなる．これから (4.3) と (4.4) とが成り立つことが示された．

28

(4.4)

11 付録 4(4.11) と (4.12) の導出−(f f (y) − gg(y))
1 f (y)g== f (x)f (y) − g(x)g(y)
−g(y)
−f
D
−(f 2 + g 2 )1 f f (y)−(f g(y) + gg(y))
Y === g(x)f (y) + f (x)g(y)
g
−g(y)
D
−(f 2 + g 2 )

X=

D=

f
g

g
= −(f 2 + g 2 ) = 1−f(4.11)(4.12)(11.1)

これで (4.11), (4.12) が導出された.

12 付録 5(5.21) と (5.22) の導出
1 1 −g
f
= 2
=f
D 0 f
f + g2
−g
1 f 1
= 2
Y =
= −g
D g 0
f + g2X=

D=

13 付録 6fg

−g
= f 2 + g2 = 1
f(5.21)(5.22)(12.1)

指数関数 ex の一意性

この証明は [2] に述べられているものである．
関数 f (x) がf ′ (x) = f (x)(13.1)

f (x) = Cex(13.2)f (x)ex(13.3)をみたすとき，適当な定数 C をとるとと表される．
（証明）

G(x) =という関数を考える．この G(x) を x で微分すると

f ′ (x)ex − f (x)(ex )′(ex )2xf (x)e − f (x)ex
=
e2x
=0

G′ (x) =(13.4)

したがって G(x) = C となる．これから (13.3）により

f (x) = Cex
29(13.5)

が得られる．
微分方程式の解は定数 C だけの不定性があるが，これは初期条件を用いて C の値を決めてやれば，解は一意的になる．たとえば，x = 0 のとき，f (x) = 1 と初期条件を与えると

C = f (0) = 1(13.6)

f (x) = ex(13.7)となり，となる．

(2020.3.25)

参考文献[1] 坂江 正，『ピタゴラスからオイラーまで』（海鳴社，2019）414-422[2] 志賀浩二，『中高一貫数学コース』数学 3（岩波書店，2003）118-119（追加） このエッセイを書いた後で編集委員の世戸憲治氏からつぎのようなコメントをいただいた．コメント有難
うございました．
（コメント） 初めに読んだときに，(3.5) 〜 (3.14) までが何のために何をやっているのか，さっぱり理解できませんでした．何度か読み返してようやく，理解できたのですが，この部分は何とかなりませんか．(3.15)，(3.19)式を出したいためのようですが，この式は，(3.5) 〜 (3.14) がなくても (1.5)，(1.6) および (3.1)，(3.2) から，付録１にあるように，直接出せるものなので，(3.5) 〜 (3.14) はなくてもかまわないはずです．これは，何故，このようなものを考えるかを説明するための部分かと思うのですが，もしそうなら，もっと分かりやすく書く方法はな
いのかなと思います．(3.16) 〜 (3.18) も同じことが言えます．
（答） 元の文献の『ピタゴラスからオイラーまで』では実は世戸さんのご指摘のように (3.15)，(3.19) から出発
しています．しかし，私はその出発点となる方程式をどうやって導いたかがわからないといけないのではないかと思って，その部分を書き加えてみたつもりです．もっともきちんと合理的な根拠を与えることができたかどうかは自分でも疑問に思っています．
仰せのようにもっとわかりやすい書き方があるかとは思いますが，すぐには思いつかないので，せっかくアドバ
イスをいただいたのですが，このままとさせていただきます．

30

編集後記
初めて，編集後記を書く世戸憲治です．と改まってしまうと何を書いてよいのか分からなくなってしまいます．ここは，気どらずに思うままに書いてみます．これまで，私は「数学・物理
通信」にほとんど毎号ごとに何かを書いてきました．これまでに書いたものは今回のものを含
め，81 編になります．編集長の矢野忠氏についで多くなりました．自分でも驚くくらいです．

100 編までは是が非でも頑張るつもりです．ところで，この「数学・物理通信」も最近は書く人が限られてきて，少し，マンネリ化してきた感がぬぐえません．ぜひ，新しい人の投稿をお待ちしています．
ところで，と言ったついでですが，右を向いても左を見ても，昨今のコロナ騒ぎはすさまじいものがあります．私の子供時代にも伝染病はたくさんありました．不治の病と言われた結核をはじめ，赤痢や疫痢，日本脳炎といったものが流行っていました．私の父や歳の多い従兄が結核にかかり苦しんでいたことを思い出します．小学生のときは，私と同じクラスの人が日本脳炎で亡くなったりしました．また，私自身，若いときに結核にかかりましたが，このときはすでに，抗生物質ができていましたので治すことができました．でも，今回のコロナ・ウイルスほどひどいものはありません．「パンデミック (pandemic)」や「オーバーシュート (overshoot)」といった言葉を初めて知りました．これほどに感染者が増えてくると，もう，他人事とは言えなくなってしまいます．このコロナ騒ぎに便乗して，私も，ちょっとした小論を書いてみました．これがそのまま，現実のものに当てはまるとは思っていませんが，何らかの真実は掴んでいると思いたい
ところです．早くワクチンができて，この騒ぎが終息することを願っています．
世戸憲治

31