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結晶粒の弾性異方性の応力拡大係数に及ぼす影響
Effect of Elastic Anisotropy of Crystal Grain on Stress Intensity Factor
釜谷 昌幸（Masayuki Kamaya）＊

要約 応力拡大係数（K値）は機器構造物に発生したき裂の健全性評価に用いられる重要なパラメータで，通常は構造物が等方弾性であるという仮定のもと数値解析などにより算出される．多結晶体は巨視的には等方弾性体とみなすことができるが，微視的にはそれぞれの結晶粒は弾性異方性を有している．そのため，き裂サイズが結晶粒と同じオーダーの微小き裂においては，結晶粒の弾性異方性がき裂周囲の応力場に及ぼす影響は大きくなる．したがって，結晶粒の弾性異方性を考慮して算出された微小き裂の応力拡大係数（局所的なK値）は，同じ形状の等方弾性体条件下で評価されたK値（マクロなK値）と異なる可能性がある．
本研究では，結晶粒の弾性異方性を考慮した局所的なK値のマクロなK値との差異を有限要素法により解析した．まず，単結晶中に存在する半円き裂のK値の結晶方位による変化を調べ，局所的なK値が結晶方位の影響を受けて変化することを明らかにした．次に，多結晶モデルを用いて同じ結晶方位でも，隣接する結晶粒の拘束による影響を受けることを考察した．また，多結晶体中において結晶方位がランダムに変化した場合の統計的なK値の変化の傾向，およびそのき裂サイズとの関係を調べた．その結果，局所的なK値が結晶異方性の影響でばらつくこと，そしてそのばらつきが正規分布にしたがい，ばらつきの標準偏差がき裂サイズと共に小さくなることを明らかにした．そして最後に，K値の変化が微小き裂進展挙動に与える影響を考察した．

Abstract
The stress intensity factor (SIF) is used widely for evaluating integrity of crackedcomponents. Usually, the SIF obtained under isotropic elastic conditions is used for the evaluations.
Although, macroscopic elastic behaviors of polycrystal materials can be considered isotropic, each crystal
has anisotropic elastic properties. This implies that if the crack size is small and the influence of anisotropic
elastic properties on the stress around cracks is significant, the SIF evaluated under anisotropic elastic
conditions may differ from the SIF obtained under isotropic elastic conditions.
In the present study, the effect of anisotropic elasticity on the SIF was evaluated by using the finite
element analysis (FEA). First, the SIF of semi-circular cracks located in a single crystal was evaluated. It
was found that the SIF is affected crystal orientation. Secondly, FEA using a polycrystal model wasperformed. It was found that the change in the SIF was caused by crack tip crystal orientation as well as thedeformation constraint from neighboring crystals. Finally, the statistical tendency of change in the SIF
caused by the anisotropic elastic properties and the relationship with crack size were examined. The
influence of the local SIF on crack growth behavior is also discussed.
Keywords

Stress Intensity factor, Short Crack, Anisotropic elastic, Finite Element Method

1．緒言

これらのK値の多くは，材料が等方弾性体であるという仮定のもと数値解析などにより算出される．多疲労やSCCなどではき裂進展速度と応力拡大係数

結晶体は，巨視的には耐力以下で等方弾性体とみな（K値）との間に一対一の相関関係があることが経験

すことができるが，微視的にはそれぞれの結晶粒は的に示されているa．したがって，試験によりこの相弾性異方性を有している．そのため，き裂サイズが関係数を求めておけば，き裂サイズや応力状態など結晶粒径と同じオーダーの微小き裂においては，結からＫ値を求めることで，き裂進展挙動を予測する晶粒の弾性異方性がき裂周囲の応力場に及ぼす影響ことが可能である．また，K値の算出には，多くのきは大きくなる．したがって，結晶粒の弾性異方性を裂形状や境界条件に対するK値を編集したハンドブッ

考慮して算出された微小き裂の応力拡大係数（以後，クsなどを用いることがきる．したがって，K値を用

このK値を局所的なK値と呼ぶ）は，同じ形状の等方いたき裂進展予測は工業的に広く行われてきたdf．

弾性体条件下で評価されたK値（以後，マクロなK値＊（株）原子力安全システム研究所＋ 現関西電力（株）†（株）テクノバ

技術システム研究所

137と呼ぶ）とは異なる可能性がある．
これまで微小き裂は，微視組織などの影響によりす．この図で示しているパラメータF1はK値を次式で正規化した値である．

進展速度が不安定であるなど，マクロなき裂とは進
FI= K
σo πa

展挙動が異なることが指摘されてきたgh．マクロき裂について経験的に示された，き裂進展速度とK値のa相関が，微小き裂においても成立するとすれば，結ここで，σoは負荷応力，aはき裂深さである．また，晶粒の弾性異方性による局所的なK値の変化が，微小図２には結晶が等方弾性体であると仮定した場合のき裂の進展速度を不安定にする要因の一つとなってマクロなK値の場合の結果も示した．いずれの結果もいると考えることができる．

φ=90°で対称となった．しかし，方位の組み合わせ

本研究では，き裂の駆動力となるK値が，結晶粒の弾性異方性よりどのように変化するか有限要素法をによっては，必ずしも対象とはならないことが報告されている¡0．

用いて解析する．まず，単結晶中に存在する半円きK値は結晶方位に依存して変化している．また，そ裂のK値の結晶方位による変化を調べ，次に多結晶中の変化はき裂前縁で一定でなく，K値の絶対値，変化において隣接する結晶粒の拘束による影響を考察すの大きさともに，ピークを示す位置は，方位によっる．また，統計的なK値の変化傾向およびき裂サイズて変化している．また，ばらつきは等方弾性体の値との関係を把握するために，多結晶体中において結をはさんで上下している．このように，弾性異方性晶方位がランダムに変化する場合の解析を行った．

を有する単結晶中に存在する表面き裂の局所的なK値

そして最後に，K値の変化が微小き裂進展挙動に与えは結晶異方性の影響で変化することが示された．

る影響を考察した．
［001］

z2． 単結晶中の表面き裂のK値
θ22.1

解析方法

単結晶中の半円き裂についての解析を行う．解析［010］は有限要素法により図１に示すモデルについて実施
xした．き裂は深さaの半円形状で，境界の長さはW=θ1

θ3［100］３a，B=８a，t=３aである．弾性定数として，ニッケ
ル単結晶の結晶基準軸に対する弾性定数（C11=2.46.5GPa, C12=147.3GPa, C44=124.7GPa）を用い

y（a）結晶方位座標系（x, y, z）に対するオイラー角の定義た．結晶方位は図１で定義するオイラー角で与える．

σo×2W×t

有限要素解析はABAQUS Ver.6.2jを用いた．このコードにおいては，K値は仮想き裂進展法によって得られる相互エネルギー開放率から求められるk．また，

2a

有限要素メッシュは高精度（最大誤差0.2%）が確認

a2B＝16aされたメッシュパターンlを用いる．き裂の先端部分には特異要素を用いており，20節点アイソパラメトt＝3aリック要素で構成されている．き裂前縁の各節点に2W＝6a（b）境界条件

解析結果および考察
図１

結晶方位を（θ1,θ2,θ3）=（０,０,０），（０,45,０）
および（45,０,０）（単位はいずれもdegree．以下同様とする）とした場合についての解析結果を図２に示

yxおいて全部で37個のK値を算出した．

2.2z

モデルパラメータの定義SRT試験片の形状

138

σo×2W ×t0.9
2B0.8

F1t0.72W（0, 0, 0）（45, 0, 0）（0, 45, 0）
Isotropic Material0.6

p2p0.503060

90φ，deg.

φ

図２単結晶モデルによって得られた正規化K値（θ1,θ2,θ3）=（0,0,0）

図３3． 多結晶中の表面き裂のK値
3.1（45,0,0）（0,45,0）多結晶モデルにおける有限要素メッシュパターンと結晶方位解析方法
3.2

解析結果および考察

実際の結晶は単独で存在するのではなく，弾性異方性を持つ多数の結晶粒が互いの変形を拘束しあい解析結果を図４に示す．φ=60°ではき裂前縁が結ながら存在する¡1．このような状況においては，先の晶粒界面と一致するために，K値が算出できない．

単結晶の場合とは違い，隣接結晶粒の拘束の影響を図でSingle-Crystal Modelとあるのは，それぞれのき裂考慮しなければならない．この拘束を考慮した場合

前縁部分のある結晶方位と同じ方位を持つ図２に示の弾性異方性によるK値の変化を考察するために，図した単結晶モデルでの結果を示している．したがっ３に示すような，結晶粒を六角柱で模擬したモデルて，周辺の結晶粒の拘束がなければ，これらのカーを用いた解析を行う．この図はモデルをき裂面で切ブは一致する．き裂先端の結晶粒方位が（θ1,θ2,θ3）

断した様子を示している．き裂の前縁は３結晶粒に=（45,０,０）であるφ≧65°のき裂先端においてはまたがって存在しており，さらにその周囲には方位２つのＫ値はほぼ一致しているが，方位が（θ1,θ2,の異なる結晶粒が配置されている．

θ3）=（０,45,０）であるφ≦55°の先端においては，モデルでは，図３に色分けした区分毎を結晶粒と２つのK値は大きく異なっている．このことから，仮定し，それぞれの結晶粒に図で示した（θ1,θ2,θ3）

弾性異方性によるK値の変化は結晶方位のみならず，=（０,０,０），（０,45,０）および（45,０,０）の３種

周辺結晶粒の拘束の影響，つまり境界条件の影響をの結晶方位を規則的に与えた．境界の長さは図１と受けることが分かる．

同じ設定にした．また，メッシュの精度は図２に示

また，これらの解析ではモード1のみならず，マした高精度のメッシュと等方弾性体に対するK値の解クロなK値では出現しないモード2，モード3のK値

析結果を比較することで確認した．誤差は，表面点も算出された．ただし，これらの値は最大でモードでの値を除くと最大でも0.2%であった．

1の0.1%であった．

139

チが有利である．そこで，乱数を用いて結晶方位を1.0与え，弾性異方性がK値に与える影響の統計的な傾向の評価を試みた．この影響はき裂と結晶粒との相0.9対サイズにも依存すると考えられることから，図５に示す４通りのき裂サイズモデルについて評価を行F10.8った．モデルでは図３と同様に半円形のき裂と六角0.7柱形状の結晶粒が仮定されている．き裂サイズを図で示した結晶粒のサイズを示す単位pを用いると，そ0.6

れぞれ0.5p，２p，４pおよび６pとなる．また，これPolycrystal Model
Single Crystal Modelらのモデルに対応するき裂面断面のメッシュパター
0.50

図４306090ンを図６に示す．２pモデルのメッシュパターンは図φ，deg.

３に相当する．境界長さは図３と同様に設定した．

多結晶モデルで得られた正規化K値と対応する単結晶モデルの値

また，これらのメッシュパターンの精度は図３と同様に確認した．そして，それぞれの結晶粒の方位は乱数を用いて決定した．

4． K値のばらつきとき裂サイズとの関係
Crack Front

4.12p

解析方法

0.5p2p2p4p

これまでの検討で，結晶粒の弾性異方性によるK

6p

値の変化は，き裂先端結晶粒における弾性異方性の影響と，隣接結晶粒との変形の拘束という２つの影響によってもたらされることが示された．これらの影響を定量的に評価するには，き裂周囲の隣接した結晶粒の方位の組み合わせを考慮する必要があるが，組み合わせが膨大であることから統計的なアプロー

図５多結晶モデルでの結晶粒サイズ（p）とき裂サイズの関係（a）0.5 pモデル（b）2 pモデル（c）4 pモデル（d）6 pモデル

図６多結晶モデルにおけるき裂断面での有限要素メッシュパターン

140

性効果の影響を受けてばらつくことになる．そして，解析結果

4.2

き裂の結晶粒に対するサイズが大きくなるほどばらそれぞれのモデルについて，結晶方位の組み合わつきの幅が小さくなる．

せを変化させた400パターンの解析を実施した．図８

F 1aveの平均値および標準偏差とき裂サイズの関係に代表３パターンについての解析結果と400パターンを図９に示す．また，図には最深点の正規化K値に全ての結果におけるK値の変化幅およびマクロなK値ついての平均値および標準偏差も示す．いずれの場を示した．２p，４pおよび６pのモデルでは，き裂面合も平均値はき裂サイズにほとんど依存しないが，断面において結晶粒界と節点が重なった点が存在す

標準偏差はき裂サイズが大きくなるにしたがって小るが，図４と同じくこれらの点においてK値は算出さくなっている．したがって，十分大きなき裂ではできない．K値の変化は，これらの重点を単位とし結晶粒の弾性異方性の影響は無視でき，局所的なKて大きくステップ状に変化している．つまり，K値値はマクロなK値と一致する．K値のばらつきは，最がき裂前縁部の結晶方位の影響が支配的であること

深点のK値の変化に見られるように，隣接結晶粒のを示唆する．そして，同じ結晶粒内における比較的拘束の影響でき裂サイズとともに小さくなる．また，小さな変化は周辺結晶粒の拘束の影響による．400パ

き裂サイズが大きくなるにしたがって，き裂前縁にターンにおけるK値の変化幅は，重点付近で大きく接する結晶粒の数が増えることから，前縁の平均をなる傾向にある．これは，重点近傍においては，隣用いたF1aveのばらつきの収束は，最深点のK値より大り合う結晶粒同士の変形拘束によってK値の変化がきくなっている．したがって，き裂サイズの増大に大きくなるためである．このK値の変化幅は，き裂伴うF 1aveの標準偏差の減少は，隣接結晶粒の変形拘の結晶粒に対する相対長さが大きくなるにしたがっ束の影響によるばらつきの減少と，前縁に沿った結て小さくなる傾向にある．そして，その変化の中心晶粒数の増加による平均化の２つの要因によってもはマクロなK値となっている．

たらされていると考えることができる．

それぞれのパターン毎に，表面と接する節点を除いた正規化K値の平均値F1aveを計算し，その分布を図長さ単位 pと標準偏差（Vave）の関係を近似すると次式を得ることができた．

９に示す．き裂の進展駆動力がF 1aveで代表できるとVave =0.0248p-0.499

仮定すると，図９の分布は結晶異方性効果を考慮しs

たき裂駆動力のばらつき示すことになる．つまり，微小き裂におけるK値は，たとえ同じき裂サイズで1.21.2

1.0

1.00.80.8F1F1あっても巨視き裂のように一定ではなく，結晶異方0.60.40.4
Example case
Range of variation
Isotropic material

0.20.00.60306090Example case
Range of variation
Isotropic material

0.21201501800.00306090120φ，deg.

φ，deg.

（a）0.5 p モデル（b）2 pモデル

図７

多結晶モデルで得られた正規化K値とその変化幅（N=400）

150

180

1.2

1.2

1.0

1.00.80.8

F10.6

0.40.4
Example case
Range of variation
Isotropic material

0.23006090120

1500.01806090120φ，deg.

（c）4 pモデル（d）6 pモデル

150180多結晶モデルで得られた正規化K値とその変化幅（N=400）

160
140

0.85

0.880.88

160
1400.76

0.88

0.85

0.82

0.79

0.76

00.73

00.70

200.67200.64400.61400.58

60

0.55

60

0.73

800.7080

1000.67

Counts1000.52

CountsNormal plot

1200.64

CountsNormal plot

1200.611400.58

1600.85（b）2pモデル

0.82（a）0.5pモデル

0.82

F1ave

0.79

0.76

F1ave

0.79

0.73

0.52

0.88

0.85

0.82

0.79

0.76

00.73

00.70

200.67200.64400.61400.58

60

0.55

60

0.70

80

0.67

80

1000.64

Counts1000.52

CountsNormal plot

1200.61CountsNormal plot

1200.55

1400.58

160

Counts300φ，deg.

図７Counts

Example case
Range of variation
Isotropic material

0.2

0.55

0.0

0.6

0.52

F1141

F1ave

F1ave（c）4pモデル（d）6pモデル

図８

正規化K値の平均値（F1ave）の分布

142

5． き裂進展挙動への影響を予測するには，マクロき裂に関して得られたd式を微小き裂領域にまで外挿したカーブ（図10の実線）

これまでの検討で，結晶粒の弾性異方性により局ではなく，図10の局所的なK値を考慮した速度のば所的にK値がばらつくことが示され，そのばらつきらつきの上限を包絡するカーブを用いて予測する必の大きさがき裂サイズの関数として得られた．この要がある．その意味で，本研究で求めた結晶異方性関係を用いて，異方性によるK値のばらつきのき裂によるK値の定量的な変化量は重要である．

進展速度に与える影響について考察する．

0.8

き裂進展速度とK値の関係が次式であららされる0.7と仮定する．
da =D K mppdtd

ここでは600合金の加圧水型原子炉一次系環境下でMean values

0.6の応力腐食割れを想定し，D p=5.24×10 -14，m p=3.460.50.40.30.2であると仮定する ¡2．単位について速度はm/sec，K

Average of normalized SIF
Normalized SIF at deepest point0.1

値はMPa√mで与えられる．また，K値は次式で表す．

0.00K=Fani Foσo πa246Crack size, pf（a）平均0.07

Fo=0.707とする．そして，Faniは結晶粒の弾性異方性0.06によるＫ値のばらつきを反映するパラメータである．
df式を用いて，マクロなK値とき裂進展速度の関係を求めると，マクロなK値ではFani=１となるので，図10の実線のようになる．ここで，σo =1000（MPa）としている．これに対して，微小き裂においては，Standard deviations

F o は 形 状 パ ラ メ ー タ に 相 当 し ， 図 ９（ a ）か ら

0.050.040.030.02

結晶粒の弾性異方性によってF ani =１とはならない．

0.01

そこで，F aniをs式のV aveを用いて次式のように仮定

0.00

Average of normalized SIF
Normalized SIF at deepest point0する．

246

Crack size, p（b）標準偏差

Fani =１±Vave×３g

図９

き裂サイズと正規化K値の分布パラメータの関係（N=400）

ここで，＋−はそれぞればらつきの上下限を示す．
そして，p =25（μm）とした時の進展速度のばらつ10-2が大きくなると小さくなって，やがてマクロなK値に対応するカーブに一致する．速度のばらつきの大きさは，マクロき裂に対して50μmでおおよそ90%，100μmで63%そして，１mmでは20%であった．
実構造物におけるき裂挙動を考えると，腐食環境下では多くのき裂が発生しやすい．そして，その中Crack growth rate, μm/sec

き範囲を図10に示す．速度のばらつきの幅は，き裂
10-310-410-510-6から限られたき裂がマクロなき裂に成長することになる．この中で最大サイズになるき裂は，微小き裂10-710領域においても相対的に速い進展をすることが考えられる．したがって，最大サイズになるき裂の進展

図10

Macro crack behavior
Variation due to anisotropic elasticity

100
Crack depth, μm

き裂サイズとき裂進展速度の関係

1000

143

In:Proc. The ４th international workshop on the6． 結言

integrity of nuclear components, ASINCO, pp.121-130.
本研究では，結晶粒の弾性異方性を考慮した場合¡0 橋本清司，坂根政男，大南正瑛（1994）半円表面のK値の変化について有限要素法による解析結果からき裂を有するシリコン単結晶の応力拡大係数，日考察を行った．その結果以下の結論を得ることがで

本機械学会論文集A編，60，pp.317-323.
¡1 北村隆行，澄川貴志，大石和義（2001）銅多結晶

きた．
a 表面き裂では，弾性異方性の影響により結晶方位に依存してK値が変化する．
s 多結晶中においては，隣接結晶粒による変形拘束の影響によってもK値が変化する.の高サイクル疲労下における粒界近傍すべり挙動と局所応力，日本機械学会論文集A編，67，pp.1819-1824.
¡2 M. Kamaya and N. Totsuka（2002）Influence ofd 結晶方位がランダムに分布する多結晶中におけるinteraction between multiple cracks on stress corrosion

弾性異方性の影響は，き裂サイズが大きくなるに

crack propagation. Corrosion Science, 44, pp.2333-

したがって小さくなる.

2352.

f 分布定数とき裂サイズの関係を定量的に示すことができた.
g 微小き裂の進展予測には，s式で示したマクロき裂に関するき裂進展速度カーブを用いるのではな
く，局所的なK値のばらつきを考慮したき裂進展速度カーブを用いる必要がある.

文献
a P.C. Paris and F.Erdogan（1963）, Trans ASME, Ser.
D, 85, 528．
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維持規格，JSME S NA１-2000（2000）.
g K. Tanaka（1989）Mechanics and micromechanics offatigue crack propagation. In: Fracture Mechanics:
Perspectives and Directions, ASTM STP 1020（Editedby R.P.Wei and R.P.Gangloff）, ASTM, Philadelphia,
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scale yielding. J. of Applied Mech. 55, pp.299-316.
l M. Kamaya and T. Kitamura（2002）Crack growthevaluation of interacting parallel surface cracks.