平成9年12月19日
年金数理・………・・1

年金数理（問題）
1．次の（1）〜（8）までについて、それぞれ5つの選択肢から正しいものを選んで解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ。（24点）（1）初年度には年金額1、次年度以降は前年度の年金額の1＋ろ倍の額の年金を支払う期始払
終身年金現価は次のうちどれか。ただし・予定利率（〉O）、予定死亡率は各年齢ともgで一定とし、この期始払終身年金現価は収束値をもつとする。
十9一わ十9・わ（A）

l（B）

1＋j＋9一ム十9・ろ（C）

1＋1＋（D）

十9一あ十9・ろ1＋

十9一わ十9・わ1（E）

1一ト9＋わ一9・ろ（2）次の4つの算式のうち、正しくα工1アを示しているものの数はいくつか。
①与式一Σo・、ρ、・（1一、ρ工）②与式一α、一α砂

3＝1③与式一Σo㌧ρ募④与式一Σo・、ρ、一Σo＝一・、ρツ・、ρ工＝］（A）o個（B）1個＝一（C）2個（D）3個（E）4個（3）年齢に関係なく生存率がρで一定であるとき・予定利率を期末払終身年金現価率α工とρにより表わすと次のうちどれか。
ρ一（1一ρ）・α工（A）

ρ（B）一一α、（4）μ。。

α工P。α．C（B）

ρ一α、（D）

α、α工

1一ρ・o工（瓦）（1一ρ）・α、（O≦C≦1）のとき、αをρ工で表わすとつぎのうちどれか。

＝（A）

1出ρ十ρ・α工（C）、㌃（・）1ヂ（・）1〃）み・（1一み）

1リエ（5）定常人口において工＝α一κ（0≦兀≦α）、εo：60のとき、この人口の平均年齢が最も近いものは次のうちどれか。

（A）38歳（B）40歳（C）42歳（D）44歳（E）46歳

一46一年金数理・一…一2

多重脱退残存表（（6）および（7）の資料）
ク

邑㎜二旭伐1†双年齢（x）

0バP｛UI、加入者数（∫、）

20
2122
23

100000．0000
91914．0000
84485．5105
75971．0608
68316．9764
62117．8940
56480．6951
51919．3141
47725．7911
44348．2369
41210．1557
38706．2266
36353．2751
34504．3475
32746．6961
31403．0991

2425
26
27
28
2930
3132
33
3435

ノ貝『I1ノ死亡者数

生存脱退者数r、

86．0000
75．3695
65．8986
56．9783

8，000．OOOO

1，347，685．55

7，353．1200

1，251，728．55

8，448．5511

1，163，528．79

7，597．1061

1，083，300．50

50．554546．5884
42．9254

6，148．5279

1，011，156．49

5．59016105

945，939．05

4，518．4556

886，639．76

39．9779
36．7488
33．704631．3198
30．5779
31．2638
32．4340
33．7292
34．8574

4，153．5451

832，439．75

3，340．8054

782，617．20

3，104．3766

736，580，18

2，472．6093．

693，800．99

2，322．3736

653，842．80

1，817．6638

616，313．05

1，725．2174

580，884．24

1，309．8678

547，258．71

942．0930

515，183．82

1

ル■1（注けτム十、ξ！γ

以下の年齢は略（6）死亡・生存脱退の状況が資料の多重脱退残存表にしたがっている定常状態の年金制度があり、この制度では毎年20歳と30歳の2つの年齢でそれぞれ1OO人ずつ新規加入者がいる。
この制度の総被保険者数に最も近いものは次のうちどれか。
（A）1，500人（B）2，000人（C）2，500人（D）3，OOO人（E）3，500人（7）資料の多重脱退残存表から、25歳における死亡率に最も近いものは次のう芦どれか。
（A）0．00075（B）0．00076（C）0・00077〈D）0・00078（E）O・00079（8）ある定常状態の年金制度において、給付を一律1．2倍にする制度変更を行った（過去勤務期間は全て通算する）。制度変更により発生した後発債務は10年間の定額特別保険料で償却するものとして、変更後の年間保険料額は変更前の年間標準保険料額の何倍になるか、最も近いものは次のうちどれか。ただし、変更直前の計数は以下のとおりであった。
・年金資産：20，oOO

・年間標準保険料額；3，000（A）1，200倍（B）1，323倍・1o年確定年金現価率；8．1109（C）1，333倍（D）1・364倍（E）1・529借一47一年金数理…………3

21次の（1）、（2）について、空欄に当てはまる数値あるいは算式を求め、解答用紙の所定欄に記入せよ。（16点）（1）下の表はある年金制度のある年度の貸借対照表および損益計算書である。この年金制度の保険料は期切払い込み、給付は期末払いであり、この年度の積立金の運用利回りは2．5％であった。

表中の一で表現されている運用脳ま［亙コであり、当年麟生不足金額は［玉コである。
．貸借対照表（年度末）

借方

年金資産不足金

損益計算書
貸方

9，800年度末責
2，700

任準備金

12，500

借方

貸方

給付金

2，500

前年度末責任準備金

12，000

当年度

12，500

保険料収入

2，O00

鱒ﾓ任

運用収益
当年度発生不足金

★★

★

★★★★★

この年度の不足金の発生要因は利差損益、前年度末剰余金（または不足金）にかかる予定利息および責任準備金変動等損益の3要因に分けられる。このうち、責任準備金変動等損益が300の不足要因であることが分かっていると帆この験この年金制度の予定利率は匝コ・であり・利差損益は［重コ・前年度剰余金（または禍金）にかかる予定利息は［頭である。（③は首分率で少数第2位を四捨五入して第1位までとし、他の値は小数を四捨五入して整数とする。また④および⑤において不足要因の場合は数値の前に△を付すこと。）

一48一年金数理…………4（2）次のような年金制度を考える。

・定額給付制度、・加入朝開τ年（1年未満切捨て）の脱退者の年金額；α，、・年金支給期間；退職の翌朝初からn年間の確定年金、・財政方式；加入年齢方式
このとき、x歳の被保険者一人あたりの給付現価∫廿・給与現価G、はlxl■1D、｝＝工ふ一一（Σ十α．・D）・δ司五・■んlo、＝篶と表される。

．

D、一方で∫、、・G工、はド㌦・㌦・〜・㌦ん・叫ハ〜㌦・㌦）・㌔

G1一＝ ｢1＋llい郭十十舳一11い・一篶1＋とも表すことができ∫尤，■Pよ、・G北、＝OX（P五、1標準保険料率）より・年金終価率を用いて表すと以下とな乱

・一1

Σバ州＾㌦（）十〆㍉舳へ・（）＝0y止ん

上式は、各年齢で脱退が起こった場合に発生する給付と、それまでの保険料収入の積み上げとの乖離度合を示しているといえる。この各年齢における脱退による剰余・不足の現価の期待値が0となっていることはPx、が給付と保険料収入が収支相等するような保険料率であることを示している。

一49山

年金数理・一…・…5

3．定常状態に到達しているTrowbridgeモデルの年金制度における次の各財政方式における積立金はどうなるか。積立金の説明にある語群の記号を用いて表わし、解答用紙の所定欄に記入せよ。（5点）

積立方式①加入時積立方式②完全積立方式③退職時年金現価積立方式④単位積立方式⑤平準積立方式

積立金の説明：（A）在職中の被保険着の過去の加入員期間に対応する給付現価（B）在職中の被保険者の過去の保険料の元利合計（C）在職中のx。歳を除く被保険者の給付現価（D）在職中の被保険者の給付現価（E）将来加入が見込まれる被保険者の給付現価（F）x、歳を除く年金受給権者の給付現価（G）年金受給権者の給付現価

4．定年退職者に最終給与比例制による終身年金を支払う年金制度についての加入年齢方式での標準保険料率に関する説明として、正しい場合は○、誤っている場合はXを解答用紙の所定欄に記入せよ。（5点）（1）定年到達までの予定脱退率が各年齢で一律に上昇すると標準保険料率は上昇する。
（2）予定脱退率の変動状況として、若年齢層では低下し、高年齢層では上昇し、結果として標準保険料率算定に用いる加入年齢から定年年齢までの残存率は不変であったとした場合の標準保険料率は変動しない。
（3）給与指数の傾きが各年齢で一律に大きくなると標準保険料率は上昇する。
（4）予定利率を変更して低いものとした場合、給付現価は増加し、給与現価は減少するため標準保険料率は上昇する。
（5）支給率テーブルのうち加入年数の短い部分に対応する支給率の引き上げを行ったが、標準保険料率算定に用いる加入年齢から定年年齢までの加入年数に対応する支給率は変動がなかった場合、標準保険料率は変動しない。

一50一

年金数理…………6

5．以下の各設間に答えよ．。（15点）

年度中の脱退者に対して加入期間に応じた年金額ノ、のn年確定年金を脱退年度末から支払う保険料期切払いの年金制度を考える。

（1）期初時点でx歳、加入朝開。年であるカロ入者が・年度中に脱退した場合の給付現価をノ、・仰、期末時点の加入年齢方式による責任準備金をγ工斗1、、Iとする。この者が期末に加久している（脱退しなかった）ことによる後発債務を式で表わせ。なお、又歳の脱退率を9五とする。

（2）この年金制度において、脱退者の年齢、加入員期間あるいは脱退者の人数にかかわらず脱退による後発債務が発生しないとするとノ、・α藏＝（脱退時まで払い込んだ標準保険料の脱退年度末までの元利合計）と表わされることを示せ。
6．毎年度の保険料払い込みと給付支払いは期初に行う年金制度が、定常状態に到達している場

合に以下の問いに答えよ。ただし、各年度の、保険料総額は戸、給付総額は∫、年度末の年
金資産はFとし、実際の運用利回りは特に断りのない限り、予定利率fに等しいものとする。
（17点）（1）年金資産FをP、∫、を用いて表わせ。

（2）ある年度に実際の運用利回りがト△＞Oに低下したとしたとき、この年度の年金財政上の不足額を戸、∫、jおよび△丘を用いて表わせ。
（3）（2）の不足額を償却するために、Pとは別の特別保険料〃を翌年度始より永久償却にて設定するとした場合〃をP、∫、ゴおよび△を用いて表わせ。ただし、特別保険料算出に用いる予定利率はiとする。
（4）（3）において、翌年度以降は実際の運用利回りが予定利率ゴの水準に戻るとした場合、翌年度末以降の年度末年金資産は変動しないことを証明せよ。
（5）（3）において、翌年度以降は実際の運用利回りがト△〉0に低下したままで継続するとし、不足額を償却するために（3）と同様に特別保険料を毎年見直して設定した場合、毎年度の保険料（毎年見直して設定する特別保険料を含む）と年度末年金資産はある値に収束することを証明し、その収束値を求めよ。

一51一一

年金数理…

・7

7．次のような年金制度について、以下の問いに答えよ。（18点）

・給付内容：満60歳前の脱退者には満60歳時より期切払終身年金を支払う。満60歳後の脱退者に対しては、次の誕生日より期切払終身年金を支払う。
・エ歳の予定税退率（満x歳から満又十1歳分、脱退は期末に発生するものとする）：9二、ただし死亡率は含まない。

・π歳の予定死亡率（満x歳から満x＋1歳分、死亡は期末に発生するものとする）：4
・生命表における最終年齢：ω歳（ω＞60歳）
・予定利率：j（1）既に脱退している丁度満x歳の者の年金額1に対する給付現価I∫二をx≧60の場合とπく60の場合に分けて求めよ。

（解答のみでよい）

なお、解答には、予定死亡率g：および予定利靴に対応する計算基数D二、w二を使用せよ。
（2）まだ脱退していない丁度満x歳の被保険者の給付現価∫二を求めよ。ただし、年金額は加入期間にかかわらず1とする。

（解答のみでよい）w
なお・解答には・総脱退率9エ十孔および予定利軸に対応する計算基数D工・M尤・C二および（1）にて定義した∫二を使用せよ。

（D二、M二は使用しなレ）こと）（3）年金額を制度への加入期間τ年（年未満切上げ）に応じたルτとしたとき、既に加入期間が丁度。年である丁度満x歳の被保険者の総給付現価を求めよ。
w
一
なお、解答には、総脱退率孔十孔および予定利率よび（1）にて定義した∫二を使用せむ（解答のみでよい）に対応する計算基数D工、M工、C二お（D二・M二は使用しないこと）（4）（3）と同じ給付内容の制度維持のため、毎年の誕生日に保険料として、年齢に応じてノ．I∫工（（2）で定義したもの）を徴収するとした場合、既に加入期間が丁度C年である丁度満又歳の被保険者の将来法責任準備金はル。・∫工に等しいことを証明せよ。

以上

一52一年金数理・解答例
1．
（1）
番号
記号 （C）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（D）

（A）

（C）

（B）

（D）

（E）

（D）

解答は上記であるが、解説は以下のとおり。
（・）初項・・等比讐・（1一・）の等11数列の和になるから

11＋1＋ゴ（1＋ろ）・（1−9）1＋1＋（1＋ろ）・（1−9）j＋9一あ十勿
1−1＋したがって（C）が正しい。

（2）α工1、はxの死亡後yの生存を条件に支払われる期末払の復帰年金だからoo〜一oooo

驕oん・（11A）一平＾一書σ・み＾一ぺα、

したがって、①、②および④が正しい算式であり3つの（D）が正しい。
ωω（・）仏一 早V一暮（ρ・）f一、、o。一（1＋秀．、・α元・1（1・1）一ρ1＝ρよ川こついて解くと
ρ・（1＋α、）一α、ρ一α、・（1一ρ）

＝ακ

＝α。

したがって（A）が正しい。

（・）い一／1，1、励一［・・／1・ll一・・／1・，…去拙・・・。一〆ルーピ・・（1句）・11＋α

一53一

1一ρ工より（C）が正しい。

α：（・）1王・Hだからr工・∬一工1王、、加∬一工／・一（用）／加［α1＋二r（ω一・）2一（α一・）一。
．

o2（α一・）2

Z一・卜ωよりω・αだからr正・αeo＝4〃。＝一／α＝一＝6022

よりα＝120

平均年齢は∬工・舳4だから∬（一一ノ）剛・・／・）一［害一÷ll／（・・／・）・1・…

したがって（B）が正しい。

1，347，685．55（6）総人数＝蝋ε。。十Z；㌘ε。。線100×100000

斗100×，3，031．25

したがって、（D）が正しい。

（7）表より姥）＝5，590．6105／62，117．8940羅0．0900

9！ζ〕＝46．5884／62，117．8940・0．00075

1−91；）・0．00075／（1一一・0．09）報0．0007853→0100079
2
したがって（E）が正しい。

一54一693，800．99

41，210．1557

（8）後発PSL：20，000×0．2＝4，000
特別保険料：4，000÷8．1109＝493．2
標準保険料：3，000×1．2＝3，600
合計保険料：3，600＋493．2＝4，093．2

比率：4，093．2÷3，000＝1．3644

したがって（D）が正しい。

2・（1）前年度資産をF。とすると（F。斗2，000）X1，025−2，500＝9，800より戸。＝10，000

運用収益は（F。十2，000）X0，025＝300……①

当年度発生不足金は（2，500＋12，500）一（12，000＋2，000＋300）＝700……②

前年度の不足金は12，000−1O，OOO＝2，000

予定利率をゴとすると、前年度不足金利息は2，000×1
また、利差損は（10，000＋2，000）×（j−0，025）

これと責任準備金関係益300の合計が当年度の不足金となるので2，000×j＋（10，000＋2，000）×（j−O．025）十300＝700よりゴ…0．05

したがって予定利率は5％……③
利差損は（10，000＋2，000）×（0．05−0，025）＝300

不足金利息は2，000×0．05・100

したがって△100……⑤2・（2）テキストP159からP160参照⑥⑦yα

工｛・Cy工。一1ΣDツy＝工⑧oみ一孔・工．元尺・α工．工⑨元．工尺・δ＿『｛｛したがって△300……④工、一工。1

一55一⑩α・δ＿一P．3
y■元・ 冊1 比・ γ一五。・l l⑪α舳。 sへ㌣．、一3．テキストP60からP66より①（C）十（G）②（D）十（E）十（G）③（F）④（A）十（G）⑤（B）十（G）

4．（1）×：脱退率上昇で受給対象者が減るため保険料率は低下する、（2）×：給与現価が増えるため保険料率は低下する。
（3）○：最終給与比例の給付の伸びが大きいので保険料率は上昇する。
（4）×：給与現価は上昇する。

（5）○：標準者の給付に影響しないため保険料率は変動しない。

5・（1）この者に対する期末の予定・工．4．δ1＋（1＋・工）実績㌦1川㌧十1，、十1∴発生PSL・・実績一予定㌧、1，，、1川｛9エ・ノ丘・∂一十（1−9元）・㌧十1ノ、1言・1＝一・ぺ4（2）発生PSL工0

δ1＋・元．㌧州＝孔紳（㌦1川■4．δη）．．．

全ての年齢・期間で①式＝0㌧州一4．δブ0

一56一①ファックラーの公式より

C：一人当たり保険料とすると

z工、1・K，1，、十1＝z兀・（㌧，、十・）・（1＋1）一a工・ノ丘・仁刈
二z工・（〆工，、十・）・（1＋卜a工・㌧、1，、十1

z工・㌧十1，、、1：z吏・（クエ，、十・）・（1＋1）

7工、1，、十1：（K正，、十・）・（1＋1）：（㌧、、，、．1・・）・（1・1）2…（1・1）

ブ、．、，。・（1＋1）f＋…（1斗1）f…一…（1・1）

一・・1（1・1γ・………・（1・1）／∫、＝K五十1，、、1は保険料Cの脱退時までの元利合計となる。

1＋j6．（1）F＝一（∫一P）（2）年度末の実際の年金資産額は｛月一（∫一P）｝・（1＋ゴー△ゴ）

不足額は一｛F一（∫一P）｝・（1＋ト△ゴ）十F

1＋jj

1＋＝一（一一1）・（∫一P）・（1＋1一△1）十一（∫一戸）△＝一（∫一P）

一57一

（3）

△・丁（トP）△

高＝□（∫一P）（4）運用利回りが低下してt年経過後の年金資産額を河とする。
＾＝｛F一（∫一P）｝（1＋1一△1）一1＋テ△一（トP）

4＝｛巧一（∫一P一〃）｝・（I＋ゴ）＝巧・（1＋ゴ）一（∫一P）・（1＋ト△＝＾・（1＋）一巧・）＝珂

同様に4以降も＾に等しい。
（5）運用利回りが低下してt年経過後の年金資産額を珂、別に徴収する保険料を岬とする。
1＋巧・一△

ゴ（∫一P）・岬二0△4・1＝（F巧）丁石

珂、、＝｛何一（∫一P一岬、正）｝・（1＋j一△ゴ）一｛何一∫・糾（F一珂）・十｝・（1＋△1）

1＋＝巧一△1。ゴ

1＋ゴー△ゴ＝珂1。ゴ

1＋プ（1＋ゴー△

一（∫一P）（1＋ト△一）十F

1＋！

1＋）

一（∫一P）・（1＋ゴー△ゴ）十一・（∫一P）・

ゴ・（1＋一△ゴ）

1＋一△ゴ

＝年1。ゴ

したが一で、珂・轣｢1（∫一・）（キ号△一）f

また・岬＝（F一何一1）下高一／＋（∫一P）一（∫一P）・1ヂ（1缶△一）ト1｝古一58一一（∫一・）／1一（1缶△！）H／t→。。のとき珂は0、岬はS−Pに収束する。
したがって、P＋岬はSに収束する。

M∂
パ
7・（1）・く60の場合∫1・首・γ・60の場合∫1・京．埴

工

ω一元一1
（2）叉一士ΣC二、・叱用

北

τ＝O

ω一五一1
（3）士ΣC二、・飾用・ん（C＋τ十1）
工τ三〇

ω一工一1

ω一工一1

（4）÷ΣC二、・叱用・ノ・（C＋τ十1）一士Σ凡、、・へ十、・ノ
τ＝0

工

㌍0

女払｝（1・τ・1）一女享／、土㌣、｝い
ω一カ一1

ω一工一1ω■工■τ．1

一÷ΣC二、・孤用・ル（C＋τ十1）一÷ΣΣC二市・孤舳、・ノエ

τ三〇

τ＝0

ω一工I1

ω工一1

σ＝O

一÷ΣC二、・孤用・ル（1＋τ今1）一士Σq、・境用・ル（τ斗1）
工

τ＝O

τ＝O

ω一工一1
一士ΣC二、・飾用・〃工

τ＝0＝ノ・∫・c

工

一59一