コラム

エンジニアの道草ノート- 静 止 衛 星 青木正喜*

Off the track note of an engineer- Geostationary satellite Masayoshi AOKI*
概要
TV でお世話になっている静止衛星の軌道の一次近似が，数個の式と日常的な数値から簡単に計算出来ることを中心にして，いくつかの話題にふれる。
アンテナの林るが，形状的にはVHFの延長上にある。衛星放送用のSHF
アンテナは，パラボラの別名で呼ばれるお皿であり，前甍（いらか）の波ならぬ，TV受信用のアンテナの林は，二者とは形状を異にする。周波数の違いが１桁の内はサ

VHF，UHF，SHF用の３種類から構成されている（注1）。

イズで対応できても，２桁の違いとなると根本的に設計

VHF用のアンテナは，2011年７月24日地上アナログTV放変更を必要とするいい例である。これは電波の性質が光送終了をもって御役御免となる。アナログTVの放送周波に近づくことと，素子の大きさの両方に起因している。

数を100MHzと仮定すると，波長は３mとなり，フィーダパラボラは放物面鏡を意味し，電波を反射して焦点の一ーで作った簡易型のπ型アンテナの横幅は半波長の約点に集中させる。光を例に取ると，円を用いた鏡では平1.5mとなる。アナログ方式のTVには先人の創意・工夫が行光線が一点に焦点を結ばない。これは茶筒やお茶わん（注2）。例えば輝度信号

では光が一点に集まらないことで確認できる。放物面鏡と搬送色信号のインターリーブは，ディジタル技術としの場合には平行光線（電磁波）が焦点の一点に集まる。

綺羅星のごとく埋め込まれているては直接使われる事はないかもしれないが，素晴らしい発想である。映像信号に用いられている，AMの一方式東京タワーとエッフェル塔であるVSBなども忘れ去られる運命にあるのかもしれない（注3）。しかし時代がディジタルになっても，実際の信昭和33年に完成した東京タワーの高さは333m，パリの号伝送はアナログ技術に依存する面があることを忘れて世界博覧会開催に合わせて完成したエッフェル塔（Eifelはならない。UHFは2011年７月にアナログから完全移行

Tower）は320m，トロント（カナダ）のCN Towerは553.33mされる地上ディジタルTVにも用いられる。UHF用アンテと放送塔は高さを競っている。2011年墨田区に竣工予定

ナは，素子の大きさが小さくなり，素子数が増えてはいの地上ディジタル放送用の電波塔（新東京タワー）の高（注1）VHF: Very High Frequency

超短波

さは約610mが予定されている。電波は周波数が高くなる

30MHz〜300MHz

波長

周波数

1m〜10mと光と同様に直進するため，電波を遠くまで伝達させる

UHF: Ultra High Frequency 極超短波
周波数300MHz〜3GHz

波長

SHF: Super High Frequency
周波数3GHz〜30GHz

ためには，電波を送出するアンテナを高い位置に設置す10cm〜1mる必要がある。電波の直進性は，屋根の上のアンテナがセンチメートル波波長放送塔の方へ向けて設置されることからも類推できる。

1cm〜10cm（注2）江藤良純，梅本益雄「映像システムの基礎 - ディジタ

東京を中心とした関東一円（北は水戸，東は銚子，南はル化への要素技術とその応用 -」映像情報メディア学会

沼津，西は甲府）をサービスエリアとするために必要な編高さが，東京タワーの高さ333mの決定要因となっている。

コロナ社（注3）VSB: Vestigial Side Band

残留側波帯

地球が完全な球体で，電波が直進すると仮定すると，高*情報科学科教授(Professor, Dept. of Computer andInformation Science), e-mail address: masa@st.seikei.ac.jp

さがh[m]の塔のてっぺんからの見通し距離は図１のように，てっぺんから円に接線を引いた接点までとして－91－

光（電磁波）の速さである秒速30万kmは日常経験する R d = Rcos  R + h−1（1）速さに比べると非常に速いが，この速さでも問題になる場合が生じる。一つの例は電子計算機の中における信号(1)式で与えられる。ここでRは地球の半径，dは地球の表の伝搬で，信号が３m伝搬するのに10ns（=10-8s）かかる。

面に沿って測った距離すなわち弧の長さである。hとdのそこで高速化のための一つの手段が，配線をいかに短く関係をグラフに示すと図２となる。これは，電波が直進するかである。もう一つの例は，宇宙との通信である。

するとの仮定に基づいた１次近似で，例えば光の場合に例えば月との通信では，片道1.3秒，往復で2.6秒かかる。

（注4）

。サー

音声のやり取りの場合には，間の抜けた会話になるが，ビスエリアを広くするためには，塔を高くすればよいが，そう割り切れば我慢出来ないことはない。しかし，これ自重を支えなければならず，1000m程度までが限界であだけの遅れがあると，月面車を地球から遠隔操作するころう。これより高くするためには，気球の使用も考えらとは不可能であり，自律走行が必須となる。

は，実際にはこのdよりも到達距離が長くなるれるが固定方法，送信のためのエネルギ供給等が問題で地球の子午線の長さは40000kmであり，光は１秒間にある。緊急の場合は，短時間であれば気球に付けた電波地球を７回り半する。地球は完全な球ではなく，赤道をの反射器やヘリコプターの使用も考えられる。

一周する長さは子午線より長い。メートル法は当初，地2004.8.11 科学

球の子午線の長さの４×107 分の１を１メートルと定義（注4）朝日新聞

直言

数量感覚鍛える数

水平線までの距離したので，子午線の長さは，定義上４万kmと非常にきり

2004.9.1

科学のよい値であった。光の速度が30万(km/s)と非常にきり井上圭典

大気による屈折の影響

学教育を

沢田

朝日新聞
再考する

功

直言

水平線までの距離をのよい値であることは偶然の一致である。エラトステネス（B.C.275-B.C.194）が測定した地球の周囲の長さは46250kmである。メートルの長さを定めるために，ドゥランブルとメシェンの二人がフランス科学アカデミーの命を受けて，パリを通る子午線の長さの測量を北側と南側に手分けして行った。この事業はフランス革命のまっただ中に行われ，測量に必要な，見通し距離確保用の高い塔の使用は，何回もスパイと間違えられた。彼らは幽図1閉されたり，パリへ帰ることを阻止されるなど大変な苦労があった。この測量の精度は非常に高く，誤差につい120ての取り扱いに関する知見が得られた。後で述べる静止100

衛星の回転半径は約42000kmである。全く関係は無いが，

80d(km)

タクシーの無事故表彰は年間走行距離４万km以上が条60件と聞いたことがある。偶然の一致ではあるが，４万kmは何かの因縁を持つように思える。

40（注5）万物の尺度を求めて

20大計測

01

10

100--

メートル法を定めた

ケン・オールダー

吉田三知世訳

子午線
早川書

1000

房

h(m)

図2

地球は回っている
地球を7回り半
静止衛星という日本語は，あたかも宇宙空間の一点に留まっているという印象を与えかねない。英語の "a電磁波（光は特定の波長範囲の電磁波である）の速度，geostationary satellite"は地球との相対的な位置関係が一波長，周波数の関係は次式で表される。

c = λfc: 光の速さ
周波数（2）
830万(km/s)=3×10 (m/s)，λ: 波長m，f:定であるという内容に近い。われわれの周辺にある物体は，大気も含めて一緒に動いており，特に意図しない限り相対的な位置関係は変化しない。しかし，地球は北極

Hzと南極を結ぶ軸を中心として１日に１回転しており，赤－92－

道上での周辺速度は1667[km/h]（=40000/24）と音速を越

r3 = Gえている。回転方向は南極方向から見て右回転（時計方

M

(5)

ω2

ここでωは24時間で一回転の条件から式(6)で与えら向），西から東へ回っている。TVの中継で，東京の方が九州より夜明けが早い事，アメリカの例ではニューヨーれる。

クでテニスの試合の中継が真夜中に行われている時ロサω=ンジェルスでは宵の口である事等に気がつく人も多いで2π[rad/s]
60 × 60 × 24

(6)あろう。またアメリカでは西海岸から東海岸に飛行機で衛星の回転半径rを求めるには式（5）において必ずし移動すると，朝出発して夕方到着となり丸一日かかってもGとMの二つの値が必要ではなく，GMの積が求まればしまう。ボジョレヌーボーが解禁になるのが日本が世界よい。そこで地球上での重力に着目する。地球上での重で一番早いのも，日付変更線と地球の回転による。人工力は地球が物体を引く力であり，質点モデルを離れて，衛星の発射場は出来るだけ南に立地されるが，これは地式（4）でrを地球の半径R（=4×107/2π[m]），mを地球上上における回転の初速度を利用している。この回転は１の物体の質量m0[kg]とすることにより，この物体に働く時間で15°であり，日本の明石は東経135°であり，グリ重力は式（7）で与えられる。

ニッジ（経度０°）とは９時間の時間差がある。東経45°

F =G（グリニッジと３時間の時間差）にはバグダッド，イエm0 MR2(7)地球上の質量m0の物体に働く重力はg（=9.8[m/s2]）をメンが，東経90°（グリニッジと６時間の時間差）には地球上における重力加速度とすると式（8）で与えられる。

ダッカが位置している。

F = m0 g

静止衛星の軌道(8)

これは式（7）の地球による引力であるから，式（9）地球の回りを回っている衛星が地球上のどの地点とのとして，GMの積が求まる。

相対位置関係も一定となるためには，地球の北極と南極を結ぶ軸を中心として東廻りに１日に１回転すればよい。

GM = gR 2(9)式(9)のGMの積を式(5)式に代入すると式（10）が得ら

この回転を地球の引力で可能にするためには，この回転れる。の軌道は赤道上でなければならない。この軌道の回転半径と回転速度は一つの値でしか成立しない。以下にこの R 2r 3 = g ω 

軌道を，我々が日常知っているいくつかの値を用いて求めてみる。

(10)

式（10）のgに9.8[m/s2]，Rに4×107/2π[m]，ωに２πまずは円運動の方程式から始める。
質量m[kg]の物体が半径r[m]，角速度ω[rad/s]で回転して/(60×60×24) [rad/s]を代入することにより，静止衛星のいる場合の向心力F[N]は式(3)で与えられる。

回転半径r[m]が式（11）で与えられる。

F = mrω 2

r = 42.196 × 10 6 [m]

(3)

（11）

ここでmは衛星の質量である。地球が空間の一点にあこの回転半径がマラソンの距離42.1952kmの1,000倍でって，地球による万有引力によって衛星がその回りを回あることは，偶然の一致である。静止衛星の地上からの転運動をしているとする（簡単のために質点モデルで考距離（衛星直下の赤道上の点までの距離）は式（12）でえ，衛星の質量が地球の質量に比べて無視できるほど小与えられているように，地上約36,000kmである。

さく，地球は衛星による引力の影響は受けないと仮定すr − R = 35.83 × 10 6る）。衛星が地球から受ける万有引力は地球の質量をこのようにして，重力加速度g（=9.8[m/s2]）と子午線M[kg]とすれば式(4)で与えられる

F =GmMr22（12）の長さ40000[km]から，静止衛星の軌道を求めることが出(4)来る。このように式(3)(4)と日常的な数値から，静止軌道2

ここでG[Nm /kg ]は万有引力定数である。式 (4)のFがの一次近似が簡単に計算できる。実際の静止衛星は，い式(3)の向心力となることから，式(5)が得られる。

ったん軌道に乗ったら，その位置で留まる（軌道を保つ）わけではなく，様々な擾乱の要因があるため，つねに位－93－

であり月の回転半径は静止衛星の置を修正する必要がある。

(3-3)-2/3倍=32倍=9倍

指南皿

(15）

すなわち
自 然 の 中 で あ れ （ orienteering ）， 街 の 中 で あ れ

42,000×9=378,000km（navigation），移動にあたっては方位を知ることが基本である。オリエンテーションは東の方位づけが元の意味と計算される。

であり，北を意味することもある。方位を知る手段とし理科年表によれば月のて磁石が一般的であるが，最近では携帯電話にGPSが組

平均半径は384,403kmみ込まれている。手元に方位を知る道具が無い場合には，半長径は384,400kmとなっており（16）

曇っていなければ昼間は太陽の位置，夜間は星の位置か式（16）の結果は，大変良い一次近似となっている。

ら方位がわかる。都会では，曇っていてこれらが使えな

なお，いときには，TVのアンテナから放送塔との相対的な方位

月の半長径は地球の赤道半径の60.3倍を得ることができる。ここで相対的の意味は，近隣に設

月の自転周期は27.32166日

置されているアンテナは，放送塔への同じ方向を向いて質量は7.352×1022kgいることを意味している。大きく離れた場所に移動する重力は地球の1/6と，アンテナは方位の絶対値としては別の方向（放送塔である。の方向）を向いてしまう。衛星放送に用いられている静地球の質量は5.977×1024kgである。

止衛星は，赤道上空36000kmの高度にあって，地球との万有引力の大きさ相対位置が変化しないので，地表のかなり広い範囲において同一方向に見える。そこで屋根の上のパラボラの向きから方位情報が得られる。衛星が真南にあれば，パラ我々が物を動かし，仕事をするときの力の大きさは，ボラアンテナ（お皿）は，指南車ならぬ指南皿になる。

大ざっぱに言ってニュートン[N]のオーダーである。物体

指南車は歯車によるからくりによって，上部にある仙人の間に働く式（4）の万有引力の力は非常に小さく，二つ像の手が常に南の方向を指す車として，中国において作の物体を近くに置いた時に，物体間に働く万有引力の力製されたと伝えられている。東京の位置は東経140度，北を測定することは困難である。一般に，地球上で二つの緯35度で，衛星が東経140度にあればお皿は真南を向くが，物体が引き寄せられることはまずない。式（4）のGは万

実際に日本が使用している衛星は諸般の事情から，東経有引力定数と呼ばれており，その大きさは
G =6.67259×10-11 [Nm2kg-2]110度である。このため，お皿は真南からは西の方を向い（[m3s-2kg-1]，[N kgms-2]）ており，指南西皿が正しい。このことをわかっていれば，屋根の上の衛星放送受信のアンテナから方位を知ることであり，1kgの物体を距離1m離して置いたときの万有引が出来る。

力は
F=6.670×10-11 [N]

月の回転半径と非常に小さい。地球上で 100gの物体に働く重力が0.98[N]と約1[N]であり，その約1010分の１である。キャ上で導いた式と月の公転周期から，月の回転半径が簡

ベンディッシュは，棒の両端に球状物体を対称的に付け単に求められる。式（5）より式（13）の関係が導かれる。

たアレイを２つ用いてこの力を測定した（これにより万−有引力定数が求められた）。一方のアレイを固定し，もう2r ∝ω 3（13）これはケプラーの法則に対応している。

一方のアレイの中心をワイヤで上から吊し，２つのアレイの間に働く力を，ワイヤのねじれとして測定した。こ静止衛星は１日で地球の周りを１回転し，月は約27日のように小さな万有引力の測定には，他からの影響を受で地球の回りを公転している。そこで月の回転角速度はけないように細心の注意を払う必要がある。ワイヤのね

静止衛星のじれを，ワイヤに付けた鏡に光を当て，その反射の方向

1= 3−327の変化を検出する原理は，微小電流を検出する検流計で(14)も用いられる。

－94－

万有引力の力がいかに小さいかの端的な例として，小惑星の探査機「はやぶさ」と「イトカワ」の関係がある。
手塚治虫がアトムを誕生させた2003年に内之浦から打ち上げられた小惑星探査機「はやぶさ」は，惑星の表面資料採取がミッションの一つであった。対象の惑星は「イトカワ」と命名され，2006年に着陸，表面資料採取が試みられた。
「イトカワ」の大きさは535×294×209 m，質量は3.5×1010kgである。アポロの月着陸船の場合には，月の近くまで行けば，あとは月の重力により引き寄せられた。しかし，「イトカワ」による重力の力は大変小さく，太陽の光の圧力のほうが２桁くらい大きく，重力で落ちていくことは期待できなく，着陸までの制御は非常に難しかった様である。（注6）
これに比べると，電荷の間に働くクーロン力は大きく，少量の電荷でも箔検電器の箔を反発させる。電流と磁界の間に働く力はさらに大きく，電気機械としてモーターを回したり，物体を動かしたりと多くの仕事に便利に用いられている。通常の物体間に働く万有引力は電気の力に比べると非常に小さく仕事をさせるには向かないように思えるかもしれないが，地球上で物体に働く重力は地球と物体の間に働く万有引力でありニュートン[N]のオーダーと仕事をさせるのに十分な大きさを有している。
これは地球の質量が非常に大きい
M=5.977×1024kg
ことに起因しており，水力発電等でわかるように我々は地球の重力による仕事を利用することが出来る。
（注6）宇宙進出と日本の未来
会報2007-I

的川泰宣

pp. 94-119，学士会

No. 862

おわりに
本稿における静止衛星の軌道計算の特徴は，万有引力定数G，地球の質量Mを独立して使用せずに，GMの積とすることにより，地球上での重力加速度gを用いた点にある。地球の衛星に必要な第一宇宙速度，地球の引力圏脱出の第二宇宙速度等についても，簡単に求めることが可能である。本稿では触れなかったが，静止衛星の寿命についての考察をお勧めする。

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