A general and operational representation ofGeneralised Extreme Value models
A. Daly and M. Bierlaire
Transportation Research Part B, Vol.40, Issue.4,
pp.285-305, 2006

M.Bierlaire (2002) “The network GEV model”
In: Proceedings of the 2nd
Swiss Transportation Research Conference,Ascona, Switzerland
も参考に

2008/11/26
論文ゼミ後期#8
M2 原 祐輔

本日の流れNetwork-GEVモデル
GEVモデルとnetwork GEVモデル
GEV-inheritance
GEV-network

パラメータ推定してみた
スーパー妄想タイム

１．背景
Mixed族とGEV族の争い■GEVファミリー
○IIA特性の緩和○closed formで書ける○さらなるポテンシャルを秘めるが…
■Probitファミリー○ランダムな選好を表現○IIA特性の緩和○時点間の誤差項の相関を扱える
×シミュレーション積分の必要性

行動モデル発展の経緯 羽藤(2001)より１．導入
近年のmixed logitモデルの勃興つくるのが簡単という利点

GEVのメリット
Closed formだと定式化や推定がシンプル
GEV関数は消費者によって享受される総効用の要約であり、理論的にもしっかりしている配分ともうまく連動できることが証明されている(Prashker and Bekhor (1999))
一方でGEVモデルの仮定の複雑さ(後述)があまり適用されない主たる原因⇒直観的で、定式化がたやすく、新たな証明を必要としないGEVモデルの提案とその理論的土台を証明することがこの論文の目的

２．ＧＥＶモデル(復習)
選択肢集合C内から選択肢iを選択する確率はここでJ：利用可能な選択肢数、、は選択肢iの効用の確定項

Ｇ：μ-GEV関数。 μ-GEV関数の特徴(満たすべき性質・仮定)は

２．ＧＥＶモデル(復習)たとえば、こんな感じ
MNL

NL

CNL
しかし、McFaddenもDagsvikもどんなG関数をつくればいいのか、教えてくれない！

３．GEV-inheritance
あるGEV関数から別のGEV関数を導出できることを示す⇒これは新しいG関数の導出を促進する
定理１でG関数の線形結合が別のG関数になっていることを示す。
定理４でG関数の累乗が別のG関数になっていることを示す。
定理７で上記２つの結果をまとめて一般化する。

３．GEV-inheritance定理１ p個の部分空間におけるμ-GEV関数をGi (i=1,2,…,p)とすると、その線形結合であるGはμ-GEV関数である。

ただし

証明であれば、4つの性質が満たすことは明らか。

３．GEV-inheritance
定理４ Gをμ-GEV関数とすると 、0<β<1ならばGβはμβ-GEV関数である。
証明
１．Gβは明らかに非負
２．G(λy)β=(λμG(y))β=λμβG(y)β３．β>0より極限は無限大になる
４．簡単な証明の方向性は論文本文に、詳細な証明はAppendixにあり。

３．GEV-inheritance定理７ あるμi-GEV関数の累乗の線形結合はμ-GEV関数である。

ただし、
証明 定理１、４より。

４．GEV-network
いよいよ本丸に突入
N:ノードの集合、E:リンクの集合（有限）とすると、(N, E)は有限非空有向グラフ各リンク(i, j)は非負のassociated parameter αijをもつ
上記の有向グラフはネットワークである
このネットワーク上にはどんな回路もない⇒このようなネットワークをGEV-networkと呼ぶ

４．GEV-network
目的はGEV networkベースのGEVモデルをつくること
ほとんどのモデルはシングルルートで定義できる←自分より上を持たないノード：Root(s)←自分より下を持たないノードの集合：Ｃ

４．GEV-network
定理10 各ノードをvi、associated parameter αiとすると、GEVネットワークの任意のノードviとそれに関連するGiはすべてのvi∈Cであれば、μiGEV関数である

証明 定理７を用いて帰納法的にやってく４．GEV-network
この定理が証明されたということは、GEVネットワークの任意のノードにおいて、GEVモデルが適用され、McFaddenのGEV理論や効用最大化理論と一致していることを示せたということ。ということは、有限、非空、回路でないネットワークであれば、GEVモデルをつくることが可能であり、これ以上の証明も必要ない！
モデラーの役割はモデル内の潜在的な誤差項の相関を十分に表現するネットワーク構造をデザインすること！！！

５．具体的な定式化の例
CNLをnetwork-GEVで表現
ルートのassociated parameter←ルートとネストのエッジのパラメータ

ネストのassociated parameter←ネストと選択肢のエッジのパラメータ
選択肢のassociated parameter５．具体的な定式化の例
CNLをnetwork-GEVで表現
G関数

期待最大化効用選択確率６．まとめ(n-GEVのすごいところ)ネットワーク構造をつくれば、それに合うG関数を自分でつくれる！
しかも、つくったG関数はGEVの４つの特徴を満たしていることを(Daly and Bierlaire (2006)による、と書けば)確認しなくていい
下から上へとどんどん上げていくことができるので、マルチクラスのnestを積み上げ可能
Bierlaire (2002)によれば「GEVとnetwork GEVは等価なのかどうかが興味深い疑問である」らしい。
network GEV⊂ GEVなのか、network GEV⇔GEVなのか。

パラメータ推定してみた。
行動モデル冬の学校が密かに開校
買物データのうち、上位6位の施設を抽出
目的地選択モデルを構築
説明変数は距離のみ。＋ASC

パラメータ推定してみた。
ネットワーク構造
平日と休日のノード
アロケーションパラメータはその施設へのトリップにおける平日・休日の割合

休日

0.49
高島屋

平日

0.51

FG松山

ジャスコ

0.30

0.70

三越

サニー
マート

コープ

パラメータ推定してみた。
MNL

network-GEV変数

パラメータ

t値

パラメータ

t値

距離-0.000574-10.13-0.000405-4.70

ASC2-0.151-0.90-0.106-1.03

ASC3-0.594-3.14-0.376-1.98

ASC4-0.882-4.65-0.640-3.57

ASC5-0.372-1.66-0.426-2.44

ASC6-1.11-5.07-0.778

-3.77

3.11

1.47

nest Aのμ-サンプル数311311

初期尤度-557.237-557.237

最終尤度-468.870-467.874

尤度比

0.159

0.160

修正済み尤度比

0.148

0.148

スーパー妄想タイムに突入
みなさま、自分の研究対象をもとに、ネットワーク構造を考えてみてください。
とりあえず自分の妄想を紹介

スーパー妄想タイム
会社

居酒屋

移動

移動

自宅

自宅

1st ドメイン

自宅

1st時間

2nd ドメイン

自宅以外で最も滞在時間 会社、学校などの長い場所

2nd時間

3rdドメイン

自宅以外で２番目に滞在 バイト先、お気に時間の長い場所
入り場所など

3rd時間

…

…

…

…

移動時間

スーパー妄想タイム
root
鉄道

タクシー

車

自転車

徒歩
←各ドメインへのメイン交通手段の割合
をアロケーション

1st

2nd

3rd4th←１日のうち、各ドメインでの滞在時間の割合をアロケーション

平日

休日←トリップ頻度とかで
スーパーA

コンビニ
A

DSAコンビニ
Ｂ

コンビニ
Ｃ

本屋A

SC

ハイパー妄想タイム
もう一人いたりして。。。

ＤＳ

スーパー

会社Ｂ

居酒屋

移動会社Ａ
移動自宅

移動

自宅

自宅

自宅

ハイパー妄想タイム
もう一人いたりして。。。
世帯root

妻一緒に行動

only

鉄道

タクシー

1st

2nd

3rd

平日

休日

DS
A

コンビニ コンビニ
Ｂ
Ｃ

スーパー コンビニ
A
A

車

自転車

徒歩

4th

本屋
A

夫

only

鉄道

車

自転車

徒歩

鉄道

タクシー

1st

2nd

3rd

4th

1st

2nd

3rd

平日

休日

DS
A

コンビニ コンビニ
Ｂ
Ｃ

SC

平日

休日

スーパーSC

スーパー コンビニ
A
A

世帯内相互作用とかモデル化できたらおもしろいです。

車自転車

徒歩

4th

本屋
A

SC