第4章 2人交渉ゲーム：非協力ゲームア
プローチによる定式化について
今井晴雄，岡田章：ゲーム理論の応用，勁草書房，2005.

2 協力ゲームと非協力ゲーム
 協力ゲーム– 拘束力のある合意を結べるゲーム– 企業の共同事業
 非協力ゲーム– 提案反応型交渉（4,5節）
 交互提案交渉のモデル
 一方が提案をして相手がそれに反応する– 双方要求型交渉（6,7節）
 消耗戦による定式化
 両者がそれぞれ要求できて，（どちらかが要求を下げ）お互いの要求の和が1以下になった時妥結する．

– ポイント：「交渉力」と「効率性」

3 最後通牒ゲーム
 ルール– 提案者Aと応答者Bが10万円を以下のルールで分ける.
– 先に提案者が相手にいくら渡すかを1万きざみで提案.
– 提示額を見て、応答者は受諾か拒否かを表明.
– 受諾時は提示額が貰え、拒否時は両者とも1円も貰えない.
(提案者，応答者)

 部分ゲーム完全均衡0円– 0万円を提案し受諾 応答者はどんな提案も受諾する

A

X万円– 1万円を提案し受諾
 提案が0だと拒否も最適戦略
 0以外の提案のみ受諾する

10万円

B・・・

(10,0)

拒否(0,0)受諾(10 − 𝑥, 𝑥)

拒否

(0,0)

受諾

(0,10)

拒否(0,0)

B・・・

B

情報集合

受諾

3 割引因子 無限回繰り返しゲーム– 前期の結果を受けて、次期の選択を決める– 当期の利得は回数が増えるにつれ割り引かれていく– A提案→B拒否→B提案→A拒否→A提案・・・– A提案→B拒否→A提案→B拒否→・・・
 𝑡期の利得𝑢𝑡 とすると利得の総和は

∞
𝑡−1 𝑢 、 0 ≦ 𝛿 < 1となる𝛿
𝑡𝑡=1

 𝛿を割引因子といい、小さい(𝑡が増加→𝛿 𝑡 がかなり小）と将来得られる利得を軽視

4 交互提案交渉
 交互に各プレイヤーが提案を出し合い，どちらかの要求が受け入れられる（妥結）まで続く
 特徴– 結果として，交渉がすぐ妥結する– 自分の提案で妥結するほうが有利– 我慢強さ（割引因子が1に近い）が結果に正の影響 サブゲーム完全均衡– 解のパターンは唯一に決まる– 過去の行動は現在の利得に直接の影響は無い（何回目のサブゲームでも同じ状況）であることを用いる

4 サブゲーム完全均衡
 プレイヤーの最大・最小利益– プレイヤーAについて
 Aが𝑥𝐴 を要求→Bは受け入れて1 − 𝑥𝐴 をもらうか次の自分の提案時に最大𝑀𝐵 をもらう(今からみると価値は𝛿𝐵 𝑀𝐵 )か．
 なので，1 − 𝑥𝐴 ≧ 𝛿𝐵 𝑀𝐵 ならばBは要求を受け入れる
 Aは1 − 𝑥𝐴 ＝𝛿𝐵 𝑀𝐵 のときがBに要求を飲ませるのに最低限必要な利益であるので𝑚𝐴 ≧ 1 − 𝛿𝐵 𝑀𝐵
 Bの提案時の最低利益𝑚𝐵 （今からみると価値は𝛿𝐵 𝑚𝐵 ）とす
ると，利益の和は1よりAの最大利益は𝑀𝐴 ≦ 1 − 𝛿𝐵 𝑚𝐵– Bについても同様(1 − 𝛿𝐵 𝑚
𝑀𝐵 , 𝛿𝐵 𝑀𝑚𝐵𝐵)(𝑀𝐴 , 1 − 𝑀(𝑚𝑚𝐴 )
B

4 基本方程式


前頁をまとめると

1−𝛿𝑚𝐴 ≧ 1 − 𝛿𝐵 𝑀𝐵
𝑀𝐴 ≦ 1 − 𝛿𝐵 𝑚𝐵
𝑚𝐵 ≧ 1 − 𝛿𝐴 𝑀𝐴
𝑀𝐵 ≦ 1 − 𝛿𝐴 𝑀𝐴

1−𝛿

これらより𝑚𝐴 ≧ 1−𝛿 𝐵𝛿 , 𝑀𝐴 ≦ 1−𝛿 𝐵𝛿 ,となるので𝑚𝐴 ≦ 𝑀𝐴 から
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
1 − 𝛿𝐵𝑚𝐴 = 𝑀𝐴 == 𝑥𝐴∗
1 − 𝛿𝐴 𝛿𝐵
同様に
1 − 𝛿𝐴𝑚𝐵 = 𝑀𝐵 == 𝑥𝐵∗
1 − 𝛿𝐴 𝛿𝐵
このようにサブゲームで得られる利得は（受け入れられるぎりぎりの）1つに定まる
書き換えると
1 − 𝑥𝐴∗ = 𝛿𝐵 𝑥𝐵∗
1 − 𝑥𝐵∗ = 𝛿𝐴 𝑥𝐴∗
𝑥𝐴∗ , 𝑥𝐵∗ はこの連立方程式の解であり，これを基本方程式という．
この解は唯一のサブゲーム完全均衡となる．

5 交互提案交渉の問題点
 反応のタイミングを選ぶという戦略も本来ある
Aの提案

Aの提案
プレイヤーA𝑥𝐴∗
𝑡𝐴
プレイヤーB

𝑠𝐴

Aの反応
𝑠𝐵𝑡𝐵

Bの反応
Bの提案

t𝑥𝐵∗

𝑡𝐴
右辺：Bが拒否して次にAに要求するだろう利得

AのBに対する要求 1 − 𝑥𝐴∗ = 𝑒 −𝑟𝐵 (𝑠𝐴+𝑡𝐵) 𝑥𝐵∗
BのAに対する要求 1 − 𝑥𝐵∗ = 𝑒 −𝑟𝐴 (𝑠𝐵+𝑡𝐴 ) 𝑥𝐴∗

𝑟：割引率

前はここを定数𝛿としていた

 Aの利得𝑥𝐴∗ は𝑠𝐴 + 𝑡𝐵 が長いと大，𝑠𝐵 + 𝑡𝐴 が長いと小– そこで𝑠𝐴 と𝑠𝐵 ，𝑡𝐴 と𝑡𝐵 がそれぞれ固定された2つの場合を考える

5.1 反応のタイミング
 𝑠𝐴 と𝑠𝐵 が固定された場合– 𝑡を最初に全部決めると𝑡は長くなる．実は反応のたびに𝑡の長さを選べるとすると，均衡時は毎回すぐに両者が反応する（ t = 0 ）．
 なぜか？→相手の要求が与えられている点がポイント– Aは当然𝑡𝐴 を短くしたい– Bにとって𝑡𝐴 とは，要求が提示されてから受諾まで考えてる時間– 受諾時は， 𝑡𝐴 は短い方がいい（利得が割り引かれる）– 拒否時も，𝑡𝐴 が短い方が次の自分の提案の利益が大 𝑇𝐴 と𝑇𝐵 が固定しても同様– 互いに瞬間的に反応？
– 現実的でない– タイミングを決める理論は無い・・・

5.2 マネーバーニングモデル
 要求を拒否されると一定時間交渉に応じない（ひねくれ）– 前節 A要求→B拒否→B考える→B要求→A反応– 今回 A要求→B拒否→AがBの考える時間決定→B要求→A反応– 拒否された側はΔ期後かnΔ期後に応じることを選べるとする
 A,Bが必ず(nΔ, Δ)後に応じる時（図）– 1 − 𝑥𝐴 = 𝛿𝐵𝑛 𝑥𝐵 Bの利得が下𝑥 𝑥：最適反応– 1 − 𝑥𝐵 = 𝛿𝐴 𝑥𝐴の例より低い＝Bへの罰則コード

 逆の時– 1 − 𝑥𝐴 = 𝛿𝐵 𝑥𝐵– 1 − 𝑥𝐵 = 𝛿𝐴𝑛 𝑥𝐴

Aの利得が上の例より低い＝Aへの罰則コード

 サブゲーム完全均衡– 𝑛 → ∞の時の上記4式の収束値より，任意の𝑛，𝑥に対し
1 − 𝛿𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 1ならn回目に𝛿𝐴 𝑥, 1 − 𝑥 で妥結する（複数存在）

5 交互提案交渉の問題のまとめ
 本来は均衡が唯一に定まることが魅力だが・・・– 逐次的に反応時間を決める場合，それが0に– 複数均衡が存在する場合も– 要求を拒否された側が反応タイミングを決める場合
 早く反応したいのに相手が応じてくれない– 交渉力を下げても利得を上げる行動がある場合
 サボタージュ（自分の労力を使い相手の利得を下げる）

 交互提案交渉の理論的頑健性に疑問符– そこで双方要求交渉を考える

6 双方要求型交渉
 交互提案型交渉– 要求側に先手優位がある
 双方要求型交渉– 両者で要求の引き下げ可能
 簡単な例：要求ゲーム– プレイヤーA，Bが同時に要求– 互いの要求の和が1以下なら受け取り，1より大きいと交渉が決裂して終了– 和が1以下になる要求の組は全てナッシュ均衡
 互いに妥結を望むなら和が1以下になる要求をする
 結果は不確定となる（複数均衡）

6.2 消耗戦
 消耗戦とは– 要求の和が1より多い時，要求を変えず，どちらかが相手の要求を受け入れるまで待つ
累積受けいれ確率

プレイヤーA

単位時間あたり受けいれ確率（互いに）早く受け入れちまえよ・・・

提案時

T（連続時間）プレイヤーB– 相手の要求は確率的に受け入れることになる
 受諾と待ちの利得期待値が等しい時，サブゲーム完全均衡

6.2 消耗戦の均衡
 単位時間あたり受け入れる確率を𝑝𝐴 , 𝑝𝐵 とする– Aが今すぐ受け入れる時の利得は1 − 𝑥𝐵
– Δだけ待ってから受け入れる時の利得はΔ

𝑒 −𝑟𝐴𝑗 𝑥𝐴 𝑝𝐵 𝑒 −𝑝𝐵𝑗 𝑑𝑗 + 𝑒 −𝑟𝐴Δ 𝑒 −𝑝𝐵Δ (1 − 𝑥𝐵 )𝑟𝐴 : 割引率

𝑗=0

ΔまでにBが先に受け入れる期待利得 ΔになりAが受け入れる時の利得– 均衡状態では両者が等しい ロピタルの定理を用いて等式を変形すると– 𝑝𝐵 = 𝑟𝐴 (1 − 𝑟𝐵 )/(𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 − 1)
– Aも同様に𝑝𝐴 = 𝑟𝐵 (1 − 𝑟𝐴 )/(𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 − 1)とするとこの(𝑝𝐴 , 𝑝𝐵 )がサブゲーム完全均衡– 最初の要求が何であっても均衡になるが，それ故最初の提案を予測できないのが問題

7 双方要求型交渉と頑固なプレイ
ヤー 消耗戦の最初の要求がどう決まるかを分析– 決して相手の要求を受け入れない頑固なタイプのプレイヤーを仮定する（⇔合理的なタイプ）
 自分が頑固かはわかるが，相手は不明な場合– 不完全情報のゲーム→完全ベイジアン均衡– 相手が頑固か否かの分布確率をベイズ理論で仮定．

– 相手が見かけ上頑固である限りこの確率を更新していく．頑固でない行動をした瞬間100%合理的と信じる．
– 仮定した相手の属性に対して最適な行動を取る
例

1期

2期

3期

4期

相手の見かけの行動

頑固

頑固

頑固

合理的

相手の頑固率の仮定

𝑃0 × 𝑋％

𝑃1 × 𝑋％

𝑃2 × 𝑋％0％

7.1 消耗戦と頑固なタイプの可能性
 頑固なタイプの要求が既に決まっている場合– 最初から「グー」をずっと出すと決まっている人– 相手が頑固とわかっていれば，拒否し続けることが最適 もし相手が頑固でない場合,拒否し続ける可能性𝑒 −𝑝𝐴 𝑡 は時間とともに減少（ 𝑝𝐴 :単位時間あたり受入確率）– 合理的な人がグーを連続で出す可能性

 頑固である確率𝑧𝐴 とすると， 𝑒 −𝑝𝐴 𝑡 < 𝑧𝐴 になったら受け入れを停止（＝ある程度時間が経つと，相手が頑固であることが妥当として行動するようになる）
残存確率＝同じ戦略を続けて妥結しない確率１

こいつは頑固だろう

停止する時間𝑇𝐴 を潜在的消耗時間という𝑍𝐴

𝑇𝐴t

7.1 潜在的消耗時間の差 𝑇が長い方（先に相手を頑固だと認識する）は長引くと損なので，ゲーム当初に受け入れる可能性がある
 𝑇𝐴 < 𝑇𝐵 の場合– 𝑇𝐴 ：Bが，Aは頑固だと判断するまでの時間– 𝑇𝐵 ：Aが，Bは頑固だと判断するまでの時間
Aの期待利得Bの期待利得ありありあり（Bが要求を下げる）減る𝑇𝐴

Bの脳内：Aの頑固は確定!

𝑇𝐵

なし
なし
時間

B：Aは頑固なのでこっちが要求下げないと絶対受け入れないな– 𝑇𝐴 ～ 𝑇𝐵 間ではBが相対的に損することになる– だったら最初に受け入れたほうが時間のロスもない！

7.1 ゲームの進行
1.

はじめに潜在的消耗時間の長いプレイヤーが正の確率
で相手も納得の要求を提示→提示しない場合2へ
2. プレイヤーAはa，Bはbを要求し，短い方の潜在的消耗時間の間，消耗戦をプレイ→受け入れたら終了
3. 時間を過ぎると両者頑固ということで妥結せず痛み分け
 合理的なタイプの人の均衡パターン（証明略）は，– 基本的に「頑固である時と同じ要求を出し，そのふりを続ける」で，– 𝑇 が長い方については「最初に相手の要求を（確率的に）受け入れる」が加わる
 消耗戦との違い– 最初の要求は頑固なタイプが正当と考える値になる– その値a，bがどうやって決まるかはわからない

7.2 頑固なふりをすることの交渉力
 頑固なタイプの要求が最初は決まってない場合– 最初の提案直後，確率𝑧𝐴 ， 𝑧𝐵 で要求の変更不可に– 1回目でじゃんけん勝てなかったので後全部同じ手
 最初の要求が出た後は7.1と一緒– 潜在的消耗時間の長いプレイヤーが最初に受け入れ 違いは交渉のはじめに必ず妥結が起きる点– 最初の要求が非整合的である場合（ 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 > 1）
– Aの𝑇𝐴 が長い時，消耗戦に入り，そこで受け入れると利得は1 − 𝑥𝐵 ，時間経過で決裂するとこれ以下．
– はじめに1 − 𝑥𝐵 でなく𝑥𝐴 の要求は最適反応でない

7.2 頑固なふりをすることの交渉力
 交渉の最初に，相手に受け入れさせる必要– 𝑇が長いと受け入れる羽目に→自分の𝑇を小さく！
– 𝑒 −𝑝𝐴𝑡 = 𝑧𝐴 と𝑝𝐴 = 𝑟𝐵 (1 − 𝑟𝐴 )/(𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 − 1)から– 𝑇𝐴 /𝑇𝐵 は𝑥𝐴 が小さいほど小さい．一方𝑥𝐴 は大きいほど利得が大きい．両者のバランスで𝑥𝐴 が決められる．
 まとめると– 𝑧𝐴 > 0, 𝑧𝐵 > 0で最初の提案後に頑固なタイプになるとすると，完全ベイジアン均衡では最初の提案が整合的（ 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 1）となり，Aの要求𝑥𝐴 は𝑧𝐴 , 𝑧𝐵 , 𝑟𝐴 , 𝑟𝐵 の関数として一定範囲に定まる– 細かい交渉手順に結果がほとんど影響されない利点– ただし，頑固になる確率𝑧はわからない

まとめ 交互提案型交渉– δが大きい方（将来利得も重視する）が利得が高まる– 自分の提案で妥結するほうが有利– 複数均衡がある– 反応時間が0の場合がある
 相互提案型交渉– 消耗戦になり，頑固なプレイヤーの存在がある– 潜在的消耗時間– 交渉のはじめに確率的or確定的に妥結する– 相手がそもそも頑固になる確率は不明