INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13

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統計的安全評価における代替統計モデルの適用（不確かさ解析への適用性に関する検討）
ApplicationofSurrogateModelsforStatisticalSafetyEvaluation
（InvestigationofApplicabilityforUncertaintyAnalysis）
木下郁男（IkuoKinoshita）＊1

要約
RELAP5 コードによる小破断 LOCA 模擬実験の不確かさ解析を対象に，安全評価パラ
メータの不確かさ解析に対する代替統計モデルの適用性を検討した．本論文では，代替統計モ
デルによる 95% 累積確率値の計算精度を確認する方法として，交差検証法の適用性を検討した．
RELAP5 コードによる不確かさ解析との比較により，代替統計モデルによる 95％累積確率値の予測精度は，学習データを用いた交差検証によって推定可能であることを確認した．したがって，
交差検証を行い 95％累積確率値の予測精度を確認した代替統計モデルを用いることにより，統計的安全評価が可能であると言える．また，順序統計法と比較し，統計的安全評価における代替統計モデルの有効性を検討した．順序統計法では，評価に使用するサンプリングごとに 95% 累積確率値の評価が大きく変動するが，代替統計モデルでは，サンプリングごとのバラツキが小さく，
RELAP5 計算値に近い結果が得られた．また，代替統計モデルでは，交差検証を行うことにより95% 累積確率値の評価誤差を推定することができる．統計的安全評価を実施する場合は，順序統計法に加えて代替統計モデルによる評価も併せて実施することが有益であると言える．
キーワード

統計的安全評価，代替統計モデル，不確かさ解析，交差検証

Abstract
Application of a surrogate model of a safety analysis code for the uncertainty
analysisofthesafetyevaluationparameterwasdiscussedinthepresentpaperontheRELAP5
uncertainty analysis for a PWR small break LOCA experiment. Cross validation techniques
wereappliedtoverifythepredictioncapabilityofthesurrogatemodelforthe95thpercentile
valuesofthesafetyevaluationparameter.ComparisonwiththeRELAP5uncertaintyanalysis
results confirmed that the prediction accuracy of the 95th percentile value by the surrogatemodelcanbeestimatedusingthecrossvalidationonthetrainingdataset.Fromtheresultsit
wasconcludedthatthesurrogatemodelwhosepredictionaccuracyofthe95thpercentilevalueswasconfirmedbythecrossvalidationcouldbeusedforthestatisticalsafetyevaluation.The
effectivenessofthesurrogatemodelapplicationforthestatisticalsafetyevaluationwasverified
comparedwiththeorderstatisticsmethod.Whilethe95thpercentilevaluesevaluatedbytheorder statistics method varied widely depending on the sampling cases, the 95th percentile
valuesevaluatedbythesurrogatemodelshowedsmallfluctuationsamongthesamplingcasesandthevalueswereclosetotheRELAP5uncertaintyanalysisresults.Inaddition,theaccuracy
oftheevaluated95thpercentilevaluesbythesurrogatemodelcouldbeestimatedbythecross
validation.Therefore,therecommendationwasmadethatthesurrogatemodelbeusedforthe
statisticalsafetyevaluationinconjunctionwiththeorderstatisticsmethod.
KeywordsB estEstimatePlusUncertainty（BEPU）,surrogatemodel,uncertaintyanalysis,crossvalidation

1. 諸
 言

性が明らかとなった．しかし，最適評価では解析結果に含まれる不確かさを考慮できない．このため，

スリーマイル島原子力発電所事故以降，安全解析
では事故時の諸現象を忠実に模擬する最適評価コードを使用してプラント挙動の解析を行うことの重要＊ 1 （株）
原子力安全システム研究所

技術システム研究所

安全解析における裕度を適切に評価するために，統計的不確かさ評価手法の利用が必要となる．
統計的安全評価手法（BestEstimatePlusUncer-

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220

tainty, BEPU）（1）は，最適評価コードの V&V（検証と妥当性確認），関連パラメータの不確かさの定

2. 統
 計的安全評価と代替統計モデル

量化，および解析結果に対する不確かさの評価を実

統計的安全評価手法では，着目する事象に対し，施し，合理的な裕度の評価を行う手法である．本手

まず重要度ランク表（PIRT）を作成して安全評価法の適用により，最適評価結果に対する不確かさがパラメータに及ぼす影響の大きい重要現象を抽出定量的に評価され，過度の保守性を排した信頼性のし，次いで，抽出した重要現象に対応する計算モデ

高い評価結果を得ることができる．統計的安全評価

ルや入力データの不確かさを定量化したうえで，こ手法は，米国，韓国，スペインなどの国で規制に採れらの不確かさが安全評価パラメータの解析結果に用されており，日本でも採用が検討されている．日及ぼす影響を評価する．

本では 2008 年に日本原子力学会標準「統計的安全

図１に，統計的安全評価手法における不確かさ評

評価の実施基準」（2） が策定された．現在，本手法

価の概要を示す．はじめに，重要現象に係る入力パの最新知見を反映した改訂作業が行われている．

ラメータの不確かさの確率分布を求める．この確率

統計的安全評価では，安全解析コードを用いた多分布からモンテカルロ・サンプリングを行って最適数回のモンテカルロ計算により統計的安全評価値を

評価コードによる解析を行い，解析結果の確率分布求める．
安全解析コードは計算コストが大きいため，を求める．そして，この分布から統計的安全評価値

これを実施可能な計算時間で行うためには，安全解を得る．統計的安全評価値は 95% 累積確率値で与析コードよりも計算コストの小さな代替統計モデル

えられる．

の適用が有効である．

95% 累積確率値は最適評価コードの直接計算で得代替統計モデルは，解析コードの入力と計算結果られた確率分布から直接評価するのが厳密であるとの間の関係を近似するように学習されたモデルでが，計算コストが大きくなる．計算コストの削減が（1）において米国原子力規統計的安全評価手法を実用的なものにするための課制委員会（NRC）が提唱した多項式関数で計算結題のひとつである．日本原子力学会の統計的安全評

果をフィッティングする方法も代替統計モデルの一価の実施基準（2）では，不確かさ評価の方法として種である．しかし，多項式などの簡易関数で計算結

次のような方法が挙げられている．
（1）サンプリン果を予測することは計算精度に限界があると考えら

グ法として，ランダム・サンプリング法とラテン超れる．一方，近年の機械学習手法の進展により，よ方格サンプリング（LHS）法，（2）計算法として，り高度な機械学習モデルを用いた代替統計モデルの最適評価コードを直接用いる方法と応答曲面（代替ある．NUREG/CR-5249

（3）
（4）

研究も行われている．しかし，機械学習では適切な学習モデルおよびモデルパラメータを選択する①入力パラメータの不確かさの特定と定量化ことにより，学習データに対する過学習を回避し，学習データ以外のデータに対する汎化性能を有するモデルを構築することが必要である．統計的安全評
価において重要な 95% 累積確率値に対する代替統

入力パラメータ
不確かさ

入力パラメータ
不確かさ

入力パラメータ
不確かさ

計モデルの計算精度の検討はいまだ不十分である．

サンプリング本研究では，代替統計モデルによる 95% 累積確②入力パラメータの不確かさの組合せ
最適評価コードによる解析

率値の計算精度を確認する方法として，機械学習において過学習を避ける方法として用いられている交差検証法（5）の適用性を検討する．具体的には，熱水力最適評価コード RELAP5 による冷却水喪失事③解析結果に対する不確かさ評価
最適評価

故（LOCA）模擬実験の解析を参照解析として，代

出力パラメータ
不確かさ

替統計モデルによる燃料被覆管最高温度（PCT）の 95% 累積確率値の計算精度を RELAP5 による解
析結果と比較して評価する．さらに，統計的安全評（6）（7）

価で一般的に用いられている順序統計法

統計的安全評価(合理的な裕度)と比較して，代替統計モデルの有効性を検討する．

図１

統計的安全評価手法における不確かさ評価

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221

統計モデルやメタモデルとも言われる）を用いる方（12）
象に実施した実験解析（9）の概要を以下に示す．

法，（3）95% 累積確率値を評価する方法として，直解析コードには RELAP5/MOD3.2（13）を使用した．

接に確率分布から処理する方法と順序統計法を用い

図２に，LSTF 装置の概観図を示す．LSTF 装置

る方法．LHS のようなサンプリング法の改善や順はウェスチングハウス社製４ループ PWR プラント序統計法の利用および代替統計モデルの利用は，計を同じ高さ，体積を 1/48 で模擬し，１次系冷却材

算コストを削減するための方策である．

配管の小破断による LOCA や異常な過渡変化を，

（6）
（7）

は，統計理論から所定の確信度

実炉と同じ圧力，温度，時間経過で模擬することがを有する評価値を得るために必要なサンプル数（解できるよう設計されている．
原子炉容器，
１次系ルー

析ケース数）を定めて不確かさを評価する方法であプ，ECCS 注水系から構成されており，４つのルー

る．解析ケース数を抑えることにより，計算コスト

プを２つの等体積（2/48 スケール）ループによりを削減することを意図している．しかし，順序統計

模擬している．

順序統計法

法では，その定義から 95% 累積確率値を実際より

表１に解析対象とした SB-CL-32 試験の試験条件も高めに評価する傾向がある．また，解析サンプを示す．破断位置は加圧器非接続ループ低温側配管

ルの選択結果に依存して評価に大きなバラツキがである．破断サイズは低温側配管断面積の 1.0% で

（8）
（9）

．

ある

あり，実機４ループ PWR の３インチ破断に相当す

一方，代替統計モデルは，解析コードの入力と計

る．SB-CL-32 試験は，高圧注入系の機能喪失を仮算結果との間の関係を近似するように学習されたモ

定している．蒸気発生器の逃し弁の開放による１次デルである．代替統計モデルは最適評価コードより

系の減圧は，破断後 600 秒に全ループで減温率 200

も計算コストが小さいため，多数のサンプリングのAループ計算が可能であり，解析結果の確率分布から直接的に 95% 累積確率値を評価することができる．
代替統計モデルを用いた統計的安全評価の手順は
以下のようになる．① 最適評価コードによる学習

Bループ
安全弁

安全弁
蒸気発生器

蓄圧タンク

加圧器

データの生成，② 代替統計モデルの学習と精度評
価，③ 代替統計モデルによる不確かさ解析の実施．
ここで，特に重要なのは，代替統計モデルの精度評価である．統計的安全評価にとって留意すべきは，
この精度とは，「学習データ」に対するモデルの精度ではなく，「解析結果の不確かさ分布が収束する
程度に十分なサンプリング数のデータ」に対するモ

高温側
配管
1次主冷却ポンプ
破断口
ｸﾛｽｵｰﾊﾞｰ配管
下降側
上昇側

デルの精度である．
すなわち，学習データ以外のデー

図２

タに対するモデルの汎化性能の確認が必要となる．
本研究では，代替統計モデルによる 95% 累積確

表１率値の評価の汎化性能を，交差検証法により検討
する．

3.

R ELAP5 コードによる不確かさ解析

3.1 実
 験解析
日本原子力研究開発機構（旧日本原子力研究所）

低温側
配管

圧力
容器

LSTF の概観図（11）

試験条件／解析条件（12）項目

SB-CL-32

破断サイズ

低温側配管断面積の 1.0%

破断場所

加圧器非接続低温側配管

破断向き

横向き

原子炉トリップ

加圧器圧力低

主給水停止

原子炉トリップと同時

主蒸気隔離

原子炉トリップと同時

減温率200K/h（全ループ）
SG2 次側強制減圧 破断後600秒，の ROSA プロジェクトにおいて，大型非定常実験装

補助給水

強制減圧開始と同時（全ループ）

置 LSTF を用いて，PWR プラントの小破断 LOCA

高圧注入

不作動

蓄圧注入

作動（全ループ）

1000
低圧注入

作動前に試験終了

（10）
（11）

LSTF における２次側強制減圧関連試験

を対

Data

900

mperature (K)時の再冠水過程に関する実験が実施されている．

800

700

RELAP5

高温側
配管
1次主冷却ポンプ
破断口
ｸﾛｽｵｰﾊﾞｰ配管
222下降側
上昇側

低温側
配管

圧力
容器

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K/h で行い，同時に全ループで補助給水を行っていにより行い，全 1024 ケースの解析を実施して PCTる．蓄圧注入は全ループで作動する条件である．

の分布を求めた．

図 ３ に， 燃 料 被 覆 管 表 面 温 度 の 実 験 デ ー タ と図４に，解析ケース数に対する PCT の平均値，

RELAP5 による解析結果を示す．SB-CL-32 試験で5% 累積確率値および 95% 累積確率値（以下，単には，２回の炉心露出と被覆管のヒートアップが観測

5% 値あるいは 95% 値とも言う）の収束過程を示す．

されている．１回目の炉心露出は，ループシールの

全 1024 ケースの解析により一定値に収束している．

形成に伴い一時的に発生し，ループシールの解除に

図５および図６に，全 1024 ケースに対する PCT

より炉心水位が回復している．２回目の炉心露出のヒストグラムおよび累積確率分布を示す．PCT

は，ボイルオフによる炉心保有水の減少により発生の平均値，5% 値および 95% 値は，それぞれ 809.0K，

し，この時に被覆管最高温度（PCT）となっている．

728.5 K および 885.2 K である．PCT の分布は正規

２次側強制減圧に伴う蓄圧注入系の作動により炉心分布に近く，実験データの PCT は，５％値と 95%水位が回復している．

値の間に含まれた．

1000

Temperature (K)Temperature(K)
Temperature(K) (K)
Temperature

Data

900

RELAP5

800

700
600
500
400
0

500

1000

1500

2000

2500

900
880
900
900
860
880
880
840
860
860
820
840
840
800
820
820
780
800
800
760
780
780
740
760
760
720
740
740
700
720
720
700 0
700 0
0

95% PCT
Mean
PCT
95%
95%PCT
PCT
Mean
MeanPCT
PCT
5% PCT
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

Numberof Calculation(-) 900 1000 1100
100 200 300
400 500
600 700 800
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
Number of Calculation (-)
Number of Calculation (-)
図４ PCT の収束過程

Time (s)（9）
燃料被覆管表面温度（SB-CL-32 試験）

図３

3.2 燃
 料被覆管最高温度の不確かさ解析
3.1 節の実験解析をベースケースとし，RELAP5
コードの計算モデルの不確かさを変化させた不確かさ解析（9）の概要を以下に示す．安全評価パラメー
タは PCT である．不確かさ解析は，日本原子力学

Numberof Frequency(-) (-)
Numberof Frequency

200

（2）

会標準

に則って実施した．

Mean: 809.0
SD: 48.2
Mean: 809.0
SD: 48.2

200
160

160
120
120
80
80
40
40
0

0

640

680

720

760

800

840

880

920

960 1000

640

680

720

760

PCT (K)
800
840

880

920

960 1000

図５

まず，本実験が対象とする事故時の熱水力挙動
を１次系のコンポーネントごとに詳細に分析し，ンク表）を作成して，不確かさを考慮すべき重要現（15）．抽出した重要現象に対応する象を抽出した（14）RELAP5 コードの計算モデルを特定し，各計算モ
デルに対して，関連する実験データとの比較を行っ
（16）～
（22）

て不確かさを定量化した．表２に，抽出した重要現象と，対応する計算モデルに対して定量化した不確かさ分布を示す．

1.0

Cumulative
probability(-) (-)
Cumulative
probability

PCT を安全評価パラメータとした PIRT（重要度ラ

1.0
0.8

メータのサンプリングはランダム・サンプリング法

5% Data Mean

95%

5% Data Mean

95%

0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

600

650

700

750

PCT
800 (K) 850

900

950

1000

PCT (K)次いで，これらの計算モデルのパラメータの不確
かさを変化させた統計解析を実施した．入力パラPCT (K)PCT のヒストグラム（9）図６

PCT の累積確率分布（9）INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13

表２

223

抽出した重要現象と入力パラメータの不確かさ

重要現象

RELAP5 モデル

不確かさパラメータ

最小

最大

露出炉心熱伝達（16）Dittus-Boelter 相関式

熱伝達係数乗数

0.58

1.88

（18）
炉心内相間摩擦（17）EPRI 相関式

相間摩擦係数乗数

0.13

3.00

ヒストグラム5（19）

伝熱管凝縮熱伝達（層流）

Nusselt 相関式

熱伝達係数乗数（19）
伝熱管凝縮熱伝達（乱流）

Shah 相関式

1.0
熱伝達係数乗数ኚ໬ࡉࡏࡓ⤫ィゎᯒࢆᐇ᪋ࡋࡓࠋධຊࣃ࣓࣮ࣛࢱࡢࢧࣥࣉ
ࣜࣥࢢࡣࣛࣥࢲ࣒࣭ࢧࣥࣉࣜࣥࢢἲ࡟ࡼࡾ⾜࠸ࠊ඲
1024
（20）
伝熱管入口 CCFL

CCFL 相関式

ࢣ࣮ࢫࡢゎᯒࢆᐇ᪋ࡋ࡚ PCT ࡢศᕸࢆồࡵࡓࠋ✚☜⋡್࠾ࡼࡧ 95%⣼✚☜⋡್㸦௨ୗࠊ༢࡟ 5%್࠶ࡿ࠸
低温側配管水平層状化（21）Taitel-Dukler 式

ࡣ 95%್࡜ࡶゝ࠺㸧ࡢ཰᮰㐣⛬ࢆ♧ࡍࠋ඲ 1024 ࢣ࣮ࢫࡢ

0.8
0.7

CCFL 定数0.6

ᅗ 4 ࡟ࠊゎᯒࢣ࣮ࢫᩘ࡟ᑐࡍࡿ PCT ࡢᖹᆒ್ࠊ5%⣼

0.64

1.66

0.70

0.80

95%
(RELAP)

一様分布

0.5

Average(RELAP)0.4
0.3

水平層状化判定乗数
0.2
0.1

ゎᯒ࡟ࡼࡾ୍ᐃ್࡟཰᮰ࡋ࡚࠸ࡿࠋ

1.44

RELAP52次回帰
ガウス過程回帰
SVM回帰

0.9

Cumulative probability (-)ḟ࠸࡛ࠊࡇࢀࡽࡢィ⟬ࣔࢹࣝࡢࣃ࣓࣮ࣛࢱࡢ୙☜࠿ࡉࢆ

0.56

0.20
5%
(RELAP)

4.63

700

800

0.0

ᅗ 5 ࠾ࡼࡧᅗ 6 ࡟ࠊ඲ 1024 ࢣ࣮ࢫ࡟ᑐࡍࡿ PCT ࡢࣄ

600

650

（22）

ダウンカマ相間摩擦
Kataoka-Ishii 相関式
ࢫࢺࢢ࣒ࣛ࠾ࡼࡧ⣼✚☜⋡ศᕸࢆ♧ࡍࠋPCTࡢᖹᆒ್ࠊ 相間摩擦係数乗数5%್࠾ࡼࡧ 95%್ࡣࠊࡑࢀࡒࢀ 809.0 Kࠊ728.5 K ࠾ࡼ

750

0.58

850

900

950

1000

1.60(K)PCT

ᅗ7 PCT ࡢ⣼✚☜⋡ศᕸ㸦Ꮫ⩦ࢹ࣮ࢱ㸧

ࡧ 885.2 K ࡛࠶ࡿࠋPCT ࡢศᕸࡣṇつศᕸ࡟㏆ࡃࠊᐇ㦂代 替統計モデルの適用
4.4.1
௦᭰⤫ィࣔࢹࣝ࡟ࡼࡿ୙☜࠿ࡉゎᯒ
節の RELAP5 による不確かさ解析
4.1本節では，3.2
௦᭰⤫ィࣔࢹࣝࡢ㐺⏝を対象として，代替統計モデルの不確かさ解析へのᮏ⠇࡛ࡣࠊ3.2 ⠇ࡢ RELAP5 ࡟ࡼࡿ୙☜࠿ࡉゎᯒࢆᑐ
適用性を検討した．具体的には，RELAP5 による㇟࡜ࡋ࡚ࠊ௦᭰⤫ィࣔࢹࣝࡢ୙☜࠿ࡉゎᯒ࡬ࡢ㐺⏝ᛶࢆ᳨
不確かさ解析（1024 サンプル）から，無作為に 59ウࡋࡓࠋලయⓗ࡟ࡣࠊRELAP5 ࡟ࡼࡿ୙☜࠿ࡉゎᯒ㸦1024
サンプル抽出し，これを学習データとして入力パラࢧࣥࣉࣝ㸧࠿ࡽࠊ↓సⅭ࡟ 59 ࢧࣥࣉࣝᢳฟࡋࠊࡇࢀࢆᏛ
メータと PCT との関係を近似する代替統計モデル⩦ࢹ࣮ࢱ࡜ࡋ࡚ධຊࣃ࣓࣮ࣛࢱ࡜ PCT ࡜ࡢ㛵ಀࢆ㏆ఝࡍ
を構築した．この代替統計モデルを用いてRELAP5ࡿ௦᭰⤫ィࣔࢹࣝࢆᵓ⠏ࡋࡓࠋࡇࡢ௦᭰⤫ィࣔࢹࣝࢆ⏝࠸
解析と同じ乱数により統計解析を行い，PCTの不࡚ RELAP5 ゎᯒ࡜ྠࡌ஘ᩘ࡟ࡼࡾ⤫ィゎᯒࢆ⾜࠸ࠊPCT
確かさを RELAP5
解析と比較した．
ࡢ୙☜࠿ࡉࢆRELAP5ゎᯒ࡜ẚ㍑ࡋࡓࠋ
代替統計モデルのRELAP5計算に対する誤差を௦᭰⤫ィࣔࢹࣝࡢ RELAP5ィ⟬࡟ᑐࡍࡿㄗᕪࢆホ౯ࡍ
評価するために，次式で定義される二乗平均平方根ࡿࡓࡵ࡟ࠊḟᘧ࡛ᐃ⩏ࡉࢀࡿ஧஌ᖹᆒᖹ᪉᰿ㄗᕪ(root
誤差（rootmeansquarederror,RMSE）を用いた．
meansquared error, RMSE) ࢆ⏝࠸ࡓࠋͳܴ‫ ܧܵܯ‬ൌ ට σ݅ ൫ܲ‫ ݈݁݀݋ܯ݅ܶܥ‬െ ܲ‫ ܲܣܮܧܴ݅ܶܥ‬൯
݊

ʹ

(1)
（1）

ࡇࡇ࡛ࠊn
ࡣࢧࣥࣉࣝᩘ࡛࠶ࡿࠋࡲࡓࠊ⤫ィⓗᏳ඲ホ౯࡬
ここで，nはサンプル数である．また，統計的安全ࡢ㐺⏝ᛶࢆ᳨ウࡍࡿࡓࡵ࡟ࠊ௦᭰⤫ィࣔࢹࣝ࡟ࡼࡿ
95%
評価への適用性を検討するために，代替統計モデル
್࡜ RELAP5 ィ⟬࡟ࡼࡿ 95㸣್࡜ࡢㄗᕪࢆホ౯ࡋࡓࠋ⾲3値と௦᭰⤫ィࣔࢹࣝࡢᏛ⩦ㄗᕪによる 95%
RELAP5 計算による 95％値との誤
ᖹᆒ್
95%್
RMSE
95㸣್
差を評価した．
ࣔࢹࣝ(K)(K) （23） (K)ㄗᕪ (K)，
学習モデルには，２次回帰 （交互作用項あり）
（24）
2
ḟᅇᖐ
808.1
870.0
7.37
-6.25
，SVM（サポー
ガウス過程回帰 （指数カーネル）（25）
࢞࢘ࢫカーネル）を用
トベクターマシン）回帰
808.1
876.2 （RBF
0.01
-0.02
㐣⛬ᅇᖐ
いた．学習データ（59 サンプル）を用いたモデル
SVM ᅇᖐ
807.6
863.4
12.36
-12.83の 学 習 に は MATLAB R2020a（The MathWorks,
RELAP5
808.1
876.2
‐
‐
Natick,USA）を使用した．なお，本研究では学習ィ⟬್
モデルのハイパーパラメータの設定等の詳細な検討は実施していない．本研究では複数のモデルの評価
1.0
RELAP5
結果を比較して，代替統計モデルの不確かさ解析へ
0.9
95%

Cumulative probability (-)ࢹ࣮ࢱࡢ
PCT ࡣࠊ5㸣್࡜ 95%್ࡢ㛫࡟ྵࡲࢀࡓࠋ
4. 代
 替統計モデルによる不確かさ解析

SVM回帰
図７に，学習データ（59サンプル）に対して代0.7
0.6

替統計モデルで計算した
PCT の累積確率分布を示
0.5

Average
0.4
す．表３に，代替統計モデルの
RELAP5 計算に対(RELAP)

0.3
する誤差（学習誤差）を示す．ガウス過程回帰が

5%

0.2

RELAP5 計算と非常に良く一致し，RMSE
も 95%(RELAP)
0.1

値誤差もほぼ0 K である．２次回帰もよく一致して0.0600࣮࣐ࢩࣥ㸧ᅇᖐ(25)㸦RBF ࣮࢝ࢿࣝ㸧ࢆ⏝࠸ࡓࠋᏛ⩦ࢹ࣮ࢱ㸦59 ࢧࣥࣉࣝ㸧ࢆ⏝࠸ࡓࣔࢹࣝࡢᏛ⩦࡟ࡣ MATLAB

650

700

750

800

850

900

950

1000

いると言える．SVM 回帰は平均値をよく再現した
PCT (K)
ものの 95% 値を過小評価した．
ᅗ8 PCT ࡢ⣼✚☜⋡ศᕸ㸦඲ࢹ࣮ࢱ㸧
図８に，全データ（1024 サンプル）に対して代

⾲4 ௦᭰⤫ィࣔࢹࣝࡢỗ໬ㄗᕪᏛ⩦ࣔࢹࣝ࡟ࡣࠊ2 ḟᅇᖐ(23)㸦஺஫స⏝㡯࠶ࡾ㸧ࠊ࢞࢘ࢫ㐣⛬ᅇᖐ(24)㸦ᣦᩘ࣮࢝ࢿࣝ㸧
ࠊSVM㸦ࢧ࣏࣮ࢺ࣋ࢡࢱ

(RELAP)

2次回帰

0.8の適用性を検討することを目的とした．
ガウス過程回帰

ࣔࢹࣝ

ᖹᆒ್
(K)

95%್
(K)

RMSE
(K)

95㸣್
ㄗᕪ (K)

2 ḟᅇᖐ

808.1

880.3

18.37

-4.90

5

INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13

224

1.0

1.0
RELAP52次回帰
ガウス過程回帰
SVM回帰

0.8
0.7

95%
(RELAP)

0.6
0.5

Average(RELAP)

0.4
0.3

5%
(RELAP)

0.2
0.1
650

700

0.8
0.7

750

800

850

900

950

1000

0.5

Average(RELAP)

0.4
0.3

5%
(RELAP)

0.2
0.0
600

650

700

750

PCT (K)

図７

800

850

900

950

1000

PCT (K)PCT の累積確率分布（学習データ）

表３

95%(RELAP)

0.6

0.1

0.0
600

RELAP52次回帰
ガウス過程回帰
SVM回帰

0.9

Cumulative probability (-)

Cumulative probability (-)

0.9

図８

代替統計モデルの学習誤差

PCT の累積確率分布（全データ）

表４

モデル

平均値
（K）

95% 値
（K）

RMSE
（K）

95％値誤差
（K）

２次回帰

808.1

870.0

7.37

代替統計モデルの汎化誤差

モデル

平均値
（K）

95% 値
（K）

RMSE
（K）

95％値誤差（K）

 -6.25

２次回帰

808.1

880.3

18.37

 -4.90

808.6

867.8

18.82

-17.44

ガウス
過程回帰

808.1

876.2

 0.01

 -0.02

ガウス過程回帰

SVM 回帰

807.6

863.4

12.36

-12.83

SVM 回帰

807.7

861.0

22.14

-24.26-

RELAP5
計算値

809.0

885.2

-

-

RELAP5
計算値

808.1

876.2

-

替統計モデルで計算した
PCT の累積確率分布を示
1.0
RELAP5

Cumulative probability (-)

0.9
95% 計算に対す．表４に，代替統計モデルの
RELAP5
2次回帰(RELAP)
0.8

データセットで学習したモデルを検証する．以下，
これを k 回繰り返す．交差検証では各データが検証

ガウス過程回帰する誤差（汎化誤差）を示す．２次回帰がRELAP5

データと学習データとして利用されるため，評価が計算と良い一致を示した．ガウス過程回帰とSVM
0.6

特定のデータに偏らない．このため，交差検証によ

0.5
回帰は，平均値をよく再現したものの95％値を過る評価は学習データ以外のデータに対して汎化性能小評価した．

があると考えられる．

0.7

0.4
0.3

SVM回帰

Average(RELAP)

代替統計モデルを不確かさ解析に適用するにあ0.2
5%k 分割交差検証において，分割数 k が大きいほど(RELAP)
0.1
たっては，代替統計モデルによる全データに対する学習データの量を確保できる利点があるが，検証の95%0.0値の予測精度を，学習データから推定する必要
600
650
700
750
800
850
900
950
1000

ための計算量は多くなる．特に分割数 k が学習デーがある．しかし，以上の計算から分かるように，代PCT (K)

タ数と同じ場合は，一個抜き交差検証という．

替統計モデルによる全データに対する 95% 値の予

3.2 節の RELAP5 による不確かさ解析を対象とし測精度を，その学習データに対する 95% 値の予測精度から推定することはできない．

学習データ

4.2 交
 差検証による予測精度の確認
本節では，代替統計モデルによる全データに対す
る 95% 値の予測精度をその学習データから評価するために，交差検証法の適用性を検討する．

k 分割 （k=5の場合）
検証用

Fold 3ための手法である．本研究では k 分割交差検証法をFold 4場合）を示す．まず，学習データを k 分割し，このうち１つのデータセットを検証用にして，残りの学習

Fold 2

交差検証法は過学習を回避したモデルを作成する用いた．図９に，k 分割交差検証の概念図（k=5 の学習

Fold 1

Fold 5

図９k 分割交差検証

学習

学習

INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13て，代替統計モデルの全データに対する 95％値の

225

した．

予測精度を交差検証によって検討した．
具体的には，

SVM 回帰モデルでは，ガウス過程回帰モデル

RELAP5 による不確かさ解析（1024 サンプル）かと 比 べ て， 学 習 デ ー タ に 対 す る RMSE は 大 き いら無作為に選んだ 59 サンプル，93 サンプル， 124 サが，この場合も学習データを用いた交差検証による

ンプルおよび153 サンプルを学習データとし，それ

RMSE は全データに対する RMSE とほぼ一致した．

ぞれのサンプルに対して，4.1 節のように２次回帰，

図 10 ～図 12 において，青三角は学習データを用

ガウス過程回帰，SVM 回帰により代替統計モデル

いた代替統計モデルの交差検証による 95% 値誤差を構築した．それぞれのモデルに対して学習デー

である．青実線は学習データに対して評価した代替

タを用いて交差検証を行い，二乗平均平方根誤差

統計モデルの 95% 値誤差，青破線は全データ（1024（RMSE）および 95% 値誤差を評価した．これらをサンプル）に対して評価した代替統計モデルの 95%

全データ（1024 サンプル）に対する RMSE および値誤差である．

95% 値誤差と比較し，汎化性能との関係を検討した．

２次回帰モデルでは，学習データに対する 95%

表５および図 10 ～図 12 に，交差検証による二乗

値誤差も全データに対する 95% 値誤差もともに 0 K

平均平方根誤差と 95％値誤差の評価結果を示す．

に近い値となっている．59 サンプルの場合は，一図 10 ～図 12 において，横軸は交差検証の分割数

個抜き交差検証による 95% 値誤差と全データに対である．赤四角は学習データを用いた代替統計モデ

する 95% 値誤差との差異は約 -2.8K である．93 サン

ルの交差検証による RMSE である．赤実線は学習

プルの場合は，差異は約 5.2 K である．汎化性能のデータに対して評価した代替統計モデルの RMSE，評価として問題のない差であると考えられる．124

赤破線は全データ（1024 サンプル）に対して評価

サンプルと 153 サンプルの場合は，学習データを用した代替統計モデルの RMSE である．

いた交差検証による 95% 値誤差は全データに対す

２次回帰モデルでは，59 サンプルの場合は 6.3 K

る 95% 値誤差とほぼ一致した．

程度の差異はあるものの，学習データを用いた交差

ガウス過程回帰モデルでは，学習データに対する検証による RMSE は，全データを用いて評価した

95% 値誤差は約 0 K であり，全データに対する 95%

RMSE とほぼ一致した．

値誤差は約 -8K～-17K 程度となっている．学習デー

ガウス過程回帰モデルでは，前述したように，学習データに対する RMSE はほぼ 0K であるのに対しタを用いた交差検証による 95% 値誤差は全データに対する 95% 値誤差とほぼ一致した．

て，全データを用いて評価した RMSE は 15 K 前後

SVM 回帰モデルでは，学習データに対する 95%である．学習データを用いた交差検証による RMSE

値誤差も全データに対する 95% 値誤差も大きいが，は 全 デ ー タ を 用 い て 評 価 し た RMSE と ほ ぼ 一 致

学習データを用いた交差検証による 95% 値誤差は

表５
モデル

学習サンプル数

２次回帰ガウス過程回帰

SVM 回帰（＊）一個抜き交差検証

交差検証による二乗平均平方根誤差と 95% 値誤差の評価
二乗平均平方根誤差（K）

95％値誤差（K）
学習データ

全データ

交差検証（＊）

24.69

-2.45

-4.83

-7.70

16.72

16.57

1.17

-1.59

3.67

9.85

15.76

14.75

-2.41

-1.31

-2.58

10.84

14.06

14.93

0.55

-2.33

-1.39

0.01

18.82

16.75

-0.02

-17.37-16.43

93

0.01

15.46

15.07

0.00

-9.61

-10.20

124

0.01

13.90

15.07

0.01

-9.38

-7.67

153

0.01

13.23

15.54

0.01

-8.36

-11.69

59

12.33

22.28

20.00

-12.65-24.23-26.36

93

11.05

17.36

18.82

-5.67

-13.28-16.89

124

11.95

16.08

17.17

-7.43

-15.03-16.45

153

12.19

16.33

17.07

-7.84

-15.04-12.63

学習データ

全データ

交差検証

59

7.37

18.37

93

8.57

124
153
59

（＊）

7
INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13

30

30

30

20

20

20

10

10

0
-10

RMSE (Cross validation)
RMSE (Train data)
RMSE (All data)

-20

-30

0

10

20

Δ95 (Cross validation)
Δ95 (Train data)
Δ95 (All data)

30

40

50

Number of folds for cross-validation (-)

RMSE (Cross validation)
RMSE (Train data)
RMSE (All data)

0
-10
-20
-30

60

-10

0

10

20

30

40

50

Number of folds for cross-validation (-)

-30

60

30

30

20

20

20

10

10

10

0
-10

-30

Error (K)30

Error (K)

Error (K)0(a) 59 サンプル

0

-10

-30
0

20

40

60

80

100

20

40

60

80

Number of folds for cross-validation (-)100(b) 93 サンプル(b) 93 サンプル

Error (K)

20

10
0
-10

30

30

20

20

10

10

Error (K)

30

0

-10
-20

-20

-30
0

20

40

60

80

-10

-30

0

Number of folds for cross-validation (-)

-30

0

-20

-20

-20

Error (K)10-20(a) 59 サンプル

100

120

Number of folds for cross-validation (-)

140

0
-10
-20

0

20

40

60

80

100

120

Number of folds for cross-validation (-)

-30

140

(c) 124 サンプル(c) 124 サンプル

30

30

20

20

20

10

10

10
0

0

-10

-10

-20

-20

-30

-30

0

20

40

60

80

100

120

140

Number of folds for cross-validation (-)

160

0
-10
-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Number of folds for cross-validation (-)

160

-30

(d) 153 サンプル(d) 153 サンプル
交差検証による二乗平均平方根誤差と
図 10 図10
交差検証による二乗平均平方根誤差と95% 値誤差の評価（２次回帰）

Error (K)30

Error (K)

Error (K)Δ95 (Cross validation)
Δ95 (Train data)
Δ95 (All data)

Error (K)

Error (K)

Error (K)

226

図 11

図11 交差検証による二乗平均平方根誤差と 差検証による二乗平均平方根誤差と 95% 値誤差
交の評価（ガウス過程回帰）図

INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13

全データに対する 95% 値誤差とほぼ一致した．

30

このように，代替統計モデルによる全データに対20Error (K)tion)

する 95％値の予測精度は，学習データを用いた交

10

RMSE
(Crossvalidation)
Δ95(Crossvalidation)
RMSE(Traindata)
Δ95(Train
data)
RMSE
data)
Δ95
(All(All
data)

RMSE (Cross validation)
RMSE (Train data) 0
RMSE (All data)-10

Δ95 (Cross validation)
Δ95 (Train data)
Δ95 (All data)

差検証によって推定可能であることが確認できた．
したがって，交差検証を行い 95％値の予測精度を確認した代替統計モデルを用いることにより，統計

-20

)

0

-30

60 10

20

的安全評価が可能であると言える．本研究の事例で
030

1040

2050

3060

40

50

Number of (-)
folds for cross-validation (-)
Number of folds for cross-validation(a) 59 サンプル60(a) 59 サンプル

Error (K)100

本節では，95% 累積確率値の代替統計モデルを用10

いた評価法の有効性を，順序統計法と比較すること

0により検討する．

-10

順序統計法は，統計理論から所定の確信度を有す-20

る評価値を得るために必要なサンプル数（解析ケース数）を定めて不確かさを評価する方法である．必
60 20

80 40

100 6080

Number of (-)
folds for cross-validation (-)
Number of folds for cross-validation(b) 93 サンプル100

きい順から並べた場合，95% 信頼水準で 95% 累積確率値が上位１位，２位，３位，４位に位置するために必要なサンプル数は，それぞれ 59 サンプル，93

Error (K)2000

サンプル，124 サンプル，153 サンプルである．

10

本節では，3.2 節の RELAP5 による不確かさ解析

0を対象として，95% 累積確率値の順序統計法による-10評価と代替統計モデルによる評価を比較した．具体-20

的には，RELAP5 による不確かさ解析（1024 サン

-30
60 0

40

プル）から，59 サンプル，93 サンプル，124 サンプ
80 20 100 40 120 60 140 80

100

120

Number of (-)
folds for cross-validation (-)
Number of folds for cross-validation(c) 124 サンプル140て，順序統計法により安全評価パラメータ PCT の
95% 信頼水準／95％累積確率値を求めた．また，各々のケースに対して，これを学習データとして代替統

Error (K)20計モデルを構築し，全データに対する 95％累積確

10率値を求めた．代替統計モデルとしては，4.2 節に

0

おいて交差検証により 95% 累積確率値の評価精度-10を確認した２次回帰を使用した．

-20

40

図 13 および表６に，無作為に抽出した 100 ケー

-30
080
60

20
100

40
120

60
140

80
160

100

120

140

Number of (-)
folds for cross-validation (-)
Number of folds for cross-validation(d) 153 サンプル160(d) 153 サンプルと
 交差検証による二乗平均平方根誤差と図12 交差検証による二乗平均平方根誤差と

図12

図 12

ルおよび 153 サンプルのデータセットを無作為にそれぞれ 100 ケースずつ抽出し，各々のケースに対し(c) 124 サンプル

30

16020

（7）
で与えられる．
要なサンプル数は Wilks の式（6）これによると，安全評価パラメータのサンプルを大(b) 93 サンプル30

0 140 20なモデルと評価できる．

20

-30
40 0

20

は，２次回帰モデルが統計的安全評価にあたり適切

4.3 順
 序統計法との比較

30

0

227

 差検証による二乗平均平方根誤差と 95% 値誤差
交の評価（SVM 回帰）スのデータセットに対して，PCT の 95% 値を順序統計法と代替統計モデルで評価した結果を比較して示す．
図 13 に お い て， 赤 実 線 は RELAP5 不 確 か さ 解析（1024 サンプル）の 95% 累積確率値，青破線はRELAP5 不確かさ解析の平均値を示す．

INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13

228

表６

1000

980

項目

960

Temperature (K)

920
900
880

860
840
820

800

図 13

順序統計法

代替統計モデル59 サンプル（100 ケース）

940

780

順序統計法と代替統計モデルによる95% 値の分布

0

1

2

3

4

順序統計法 59サンプル
順序統計法 93サンプル
順序統計法 124サンプル
順序統計法 153サンプル
RELAP5 (95%値)

5

6

7

8

9

10

11

12

代替統計モデル 59サンプル
代替統計モデル 93サンプル
代替統計モデル 124サンプル
代替統計モデル 153サンプル
RELAP5 (平均値)

順序統計法と代替統計モデルによる 95% 値の分布

図 13 から分かるように，順序統計法による 95%
値の評価はサンプリングケースごとのバラツキが大きい．また，RELAP5 不確かさ解析よりも高めの評価となる傾向がある．特に，59 サンプルや 93 サ
ンプルの場合は，RELAP5 不確かさ解析の平均値との差異以上に 95% 値を高めに評価する場合がある．一方，代替統計モデルによる 95% 値の評価は，
順序統計法よりもサンプリングケースごとのバラツ
キが小さく，サンプリングケースに渉って平均した値は，RELAP5 不確かさ解析の 95% 値（885.2K）とほぼ一致する結果が得られた．
表６に示すように，順序統計法では，95% 値の評
価が RELAP5 計算値以上となる割合は約 95% である．これは，順序統計法が 95% 信頼水準の評価であることから妥当な結果である．一方，代替統計モ
デルでは，95% 値の評価が RELAP5 計算値以上となる割合はおおよそ 50% である．これは，100 ケー
スのサンプルを無作為に抽出したことから妥当な結果であると言える．

最大975.1K

910.8K

最小872.4K

874.7K

平均値

918.0K

888.7K

標準偏差 24.3K  7.4K

96%

65%

RELAP5 計算値
以上の割合

93 サンプル（100 ケース）
最大973.2K

899.0K

最小

877.6K

875.8K

平均値

907.6K

885.7K

標準偏差

 15.3K  4.4K

97%

54%

RELAP5 計算値
以上の割合

124 サンプル（100 ケース）
最大945.8K

893.0K

最小

878.5K

877.8K

平均値

903.9K

885.0K

標準偏差

 12.3K  3.4K

96%

51%

RELAP5 計算値
以上の割合

153 サンプル（100 ケース）
最大935.2K

893.2K

最小

878.5K

877.8K

平均値

901.0K

884.8K

標準偏差

 10.2K  3.0K

95%

44%

RELAP5 計算値
以上の割合

5. 結
 言
統計的安全評価では，安全解析コードを用いた多数回のモンテカルロ計算により統計的安全評価値を順序統計法では，あるサンプリングケースに対す求める．
これを実施可能な計算時間で行うためには，る 95% 値の評価が，RELAP5 計算値よりも低くな

安全解析コードよりも計算コストの小さな代替統計るケース（5% の割合で生じる）であるのか，またモデルの適用が有効である．

は 95% 値を高く評価するケース（RELAP5 計算の本研究では，RELAP5 コードによる小破断 LOCA

95% 値と平均値の差異程度に高く評価する場合があ

模擬実験の不確かさ解析を対象に，安全評価パラり得る）であるのかの判断がつかない．一方，代メータの不確かさ解析に対する代替統計モデルの適替統計モデルでは，交差検証を行うことにより 95%

用性を検討した．

値の評価の誤差を推定することができる．

代替統計モデルによる 95% 累積確率値の計算精以上のことから，統計的安全評価を順序統計法に度を確認する方法として，交差検証法の適用性をより実施する場合は，代替統計モデルによる評価も検討した．RELAP5 不確かさ解析との比較により，併せて実施することが有益であると言える．

代替統計モデルによる 95％累積確率値の予測精度
は，学習データを用いた交差検証によって推定可能

INSS JOURNAL Vol . 27 2020 NT-13

であることを確認した．したがって，交差検証を行229

pp.400-409（1942）．

い 95％累積確率値の予測精度を確認した代替統計（7） A. Guba, M, Makai, P. Lenard, “Statistical

モデルを用いることにより，統計的安全評価が可能

a s p e c t s  o f  b e s t  e s t i m a t e  m e t h o d - I , ”であると言える．

Reliability Engineering and System Safety,

順序統計法と比較し，統計的安全評価における代

80,217-232（2003）．

替統計モデルの有効性を検討した．順序統計法で（8）
 B.D. Chung, J.L. Young, “Multidimensional

は，評価に使用するサンプリングごとに 95% 累積

analysis of LBLOCA and uncertainty

確率値の評価が大きく変動するが，代替統計モデル

quantification by Monte-Carlo method,

では，
サンプリングケースごとのバラツキが小さく，

comparing with Wilks’ formula approach,”

RELAP5 計算値に近い結果が得られた．また，代Proceedingsofthe13thInternationalTopical

替統計モデルでは，交差検証を行うことにより 95%

Meeting on Nuclear Reactor Thermal

累積確率値の評価の誤差を推定することができる．

Hydraulics（NURETH13）, N13P1376,

以上より，統計的安全評価を実施する場合は，順

Kanazawa, Japan, September 27-October 2

序統計法に加えて代替統計モデルによる評価も併せて実施することが有益であると言える．

参
 考文献

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