昭和55年度（間題）

1．X、γを同一の指数分布（密度関数：㍑Oにおいてαe■血・，工く0において0，ただし，α〉0）に従う独立な確率変数とする。X，γのうち小さい方をσ，大きい方をγ，その差y一σを〃とするとき，11〕σ，Wはそれぞれどのような分布に従うか。
12〕σとWとは独立であることを示せ。

2．信号0または1を送る通信チャンネルにおいて，雑音のために，Oまたは1を送ったとき受信側で正しくO，1と受信される確率はそれぞれO．95，0．90である。また，0が送られる割合は0．4であるという。事象月，βをそれぞれ月一o送信信号が1である｝，卜｛受信信号が1である｝とするとき．次の確率を求めよ。
ll〕戸（β）｛2｝戸（一418）3．駐車料金ははじめの1時間は。円，それ以降は1時間増すごとにわ円追加されるものとする（1時間未満は切上げ）。1台の駐車時間Xは平均値λの指数分布に従い．1日の来車台数〃は平均値μのPOisson
分布に従うとき，同じ日に駐車を開始した車の駐車料金の合計zの平均値を求めよ。ただし，駐車スペースは十分にあるものとする。

41ある部屋に売人の学生がいる。少なくとも2人の生まれた月が同じである確率が方より大きくなるた
めにははいくら以上でなければならないか。

5．自然数1，2，…，から重複を許して任意に榊個の数字を選び，その和をXとしたとき，X一（ト棚，榊十1，・、用m）となる確率を求めよ。

一3工一

昭和55年度（解答例）
1．X，γの分布関数を戸（）とおくと，）Oのとき

川一・1・・小町・咋ル・一曲伽［一・一一11−1一・一也111jσの分布関数をσ（チ）とすると，チ≧oのとき
σ（オ）宝ρ｛榊伽（x，γ）≦才｝
γ

イ戸1州・ル（1川州量戸（≠）十F（）（ユーF（＝F（f）（2一戸（x＝（工一e■由以一舳（川一・1・（川一）））））（ユ十eLd）＝1一グ川^ζ二㌶続1，lX一γ1（X≧O，γ≧0）Wの分布関数をW（云）とすると，左≧Oのとき〃（c）＝P｛lx一γ1く，x≧o，γ≧o｝

一∬川・工川州一r・（一1・工川・工1寸（！一・一・1川）川ハエて1一・一・（州）市1−1一∬一舳1〕αθ一山あ一（1一川））・レ舳〕α州工・一川j一闊齒B〕α・一一・1＋∬一血1α・一州勿＝F（オ）12〕σ，〃の同時密度関数をG（≠，∫）とおくと，

一32一

∫十万s＋κ

一5＋π
一5

一3＋π

X
5チi＋5XX
ハハ1X
G（い）一∫！（∫十工）Flω・∫、 十芦（1）ρ1州一工 予（一・・κ）川州
一∬1一・一舳）川工1・グ（1）（川・・）一川））一∫ll㍉一グ舳〕）川工1一川）一轤P・一州α・一山行・・（！）（・一価一・川）

一（川・・）一川））・∬十1一血1一州α・一一あ一川）一轤P1州αグー・1・川）・グ日1（1一・一一）

一（・一・L・州〕）・∫二一血・αグ州勿＝F（）十戸（f）・（1・一F（））・ダ（3）一グ山（1−e一ω）

呈F（）十ダ（））・グ（∫）一（1−F（3））・F（＝F（）｛1＋（1一一戸（拮F（）・（三一ダ（）））・F（5）一1＋F（s）｝）（2−F（f））・F（s）＝σ（）・問7（3）（別解）X，γの同時密度関数∫（エ，V）は，α2e■州リ〕（エ，サ〉0）で，σ，〃の同時分布関数をG（秘，〃）とすると，o（m，m）＝ε｛σ＜秘，附＜ω｝

一Plm1。（X，γ）＜・，mω（X，γ）一m1・（X，γ）＜〃1−P1刎加（X，γ）〈・，m・π（X，γ）一舳（X，γ）＜m・X＜γ1．Plm1。（X，γ）＜・，舳（X，γ）一mi・（X，γ）＜〃，X〉γ｝＝P｛x＜〃，γ一x＜〃，x＜γ｝十P｛γ＜〃，x一γ＜〃・x〉γ｝

一33一

P｛X＜m，γrX＜m，X＜γ｝
γ

σ＝皿十〃m一∬∫（川）舳一∫∫α・・一舳・1）舳・・○く工く○く工く肥ｻEκ○くツー五く〃○くゾ五く〃

ノ＝

ξ二κ，

η＝〃一κと変数変換すると

π二ξ，ザξ十η，κ十r2ξ十η∂κ∂κ10亙∂η1王∂ツ∂ツ∂ξ∂η・・Pで①一∫∫α・・州1〕州1γ○くξくμ＝κ

○く蓼くv＝尤■m磨＊ﾞ■mρ｛γ＜m，x一γ＜ω，x〉γ正一∫∫・（川）舳一∫∫α2・○くツく○くフく凹○く五リ（ω。（∬一ソ（阯ξ＝砂，κ＝ξ十η，rξ，d｛州鮒・

η＝エー一ツと変数変換すると

κ十ヅ2ξ十η，∫＝

1110

雪一 Pで②一∫∫α・・一州〕榊○くξく阯○く蓼く〃

よって・（・，・）一・∫∫α・・一州・1側1一∫・α・一・〜1・∫α・一物・1○くξく○くξ〜山○くηく阯

一34一oく可く〃（P2．λ㌧｛送信信号がOである1，βc＝｛受信信号がOである1とする。
戸（λ）＝0．6，戸（〃）＝O．4

P（81λ）＝O．90，P（8clλ）＝O．1O
P（βcl〃）二0．95，戸（Bl〃）掘O．05｛1〕

P（B）巴p（β∩一4）十戸（8nλc）＝P（81λ）P（λ）十P（81〃）P（〃）
三〇．90×O．6＋O，05×O．4三〇．54＋O．02＝O．56

P（〃B）P（31メ）P（λ）O．90×O．61・〕川1・）r（。）＝31。（。）

27．

＝。。。＝ガ0964

五台の駐車料金をγ三φ（X）とおくと

γ霊φ（X）三・十州治＜X≦后十1；尾ヨO，1，2，…

）m一亙（1（・））小（1）・÷・一÷・1一点げ1川1）÷・一子〃

一川・一・・ｰ。1∫1＋1÷グ子〃

S［一・一子卜・か・■÷一・一半）

皿＾

1

1＝α斗5Σe■Tヨ。＋ろe■T・（1−e■T）＾3，Il＝o＋leT−1

づ番目に駐車した車の料金をηとすると，Mはγ1，γ2，・…

・と独立で，

Z＝γ1＋γ2＋………十γ〃・・亙（Z）＝ΣP（M＝n）亙（γ1＋……十γ〃lM＝n）
掘＝o＝ΣP（。V＝m）・亙（γ1＋……十γ。）
圭。

皿μ掘

あ5

＝忍e㌃m（o＋、÷、工H（o＋、青．1）
4．学生をボール，誕生月を箱とみなし，ボールをランダムにn個の箱の中へ入れてい一35一くことを考える。すでにボールの入っている箱に新しいボールが初めて入れられるまで，ランダムにポールを入れ続け，この過程は，箱にボールが初めて重複して入ったときに終る。
（プ1，ノ2，…，ノ。）で1番目，2番目．…，ク番目のボールが箱の番号プ1，ヵ，…一．，ノ、に入れられ7回目に終了することを示すものとする。玉は1からnまでの整数で，プ，，・，ル1は全て異なるがプ・はこれらのどれか1つに等しい。2番目のポールが入れられる前または（n＋I）番目のポールが入れられた後は2個のボールが入った箱が1つだけあるということはないから，7は2，3，一・・，n＋1という値しかとらない。
一定数のボールを〃個の箱の中に入れることより，ちょうど7個のボールを含む各標本点（ノ1，…，プ、）に確率〃．

を与えればよい。

固定されたブに対して全ての標本点（ノ1，…，プ、）は7回目にこの過程が終るという事象を示している。ノ1，…，プ、一1という数はn・（〃一1）……・（n−7＋2）通りの異なった方法で選ばれ，ノ。は，7一工個の数プI，…，ノ。一Iの中から選べる。

従って7回目でこの過程の終る確率はn・（n−1）・・…

9・＝（n−7＋2）・（γ一ユ）。

〃で，σ1・≡0である。

1
題意は，m≡王2（＝誕生月）の場合，σ1＋物十…・・十σ、〉一なる7を求めること2を要求している二σ1＝Oユ2・1σ。＝1221＝一ヨ0083
工212・11・2σ。＝12311＝ユ2・6三015312・11・10・3q。＝ i24：

12・11・10・9・4

σ・一ユ2・11・5
土0191
12・6・4

σ1＋σ・コ0−083
σ1＋σ・十σ・巳0．236
σ1＋物十σ。十σ。：0，427

ユエ・511264＝Oユ9リ1＋9・→9・十σ｛・＝0618〉方より，5人以上であればよい。
（注）上記の過程が7回よりも多く続く確率ヵ、は，卜（σ1＋物十一．一．十σ。）で，

一36一

戸1：1
n・（n−i）…・（〃一7＋ユ）か一〆n・（n−1）・… （n−7＋2）
・．・ヵ、一1ニ
ア．1とすると

nか＝カr−1n（n−1）

・（n−7＋2）

ψ呈

ア．1

nn（n−1）・…

（η一7＋2）（7−1）

アn〃（n−1）・…（n一ブ十ユ）〆
題意はn二12のとき，1一力、〉劣，従って力、く岩となる7を求めることを要求している。

12−1111エユ2・11・10115

1か＝1＞杉・カ・r2r万〉万一r12・：τ下〉万12・11・10・9

1王カ4ヨ12ヰ

12・11・王0・9・8

力。己5．Xを

5911

512一一一6
ユ2

11・58

二一一一里

125

ユ＝ ユ2・8 ＞一212812

エ1・5

1

＜一12・122

番目に選ばれた数とすると，

戸｛Xづ：パヨー

1（ ニュ，2，…・・，m；ノ：L2，・…・，n）
nで，兄の母関数か（π）はρ

1
1（κ）＝一（π十ノ十・・…竹蜆）＝一・万・（ユーバ・（1一比）．ln〃

x＝x1＋x2＋・・…十x㎜だから，xの母関数をヵ（π）とすると

刷王カ（元）＝nか（κ）：（一）刷〆（ユー〆）㎜（ユーκ）一㎜11nで，P｛xニイトヵ（κ）のノの係数である。
（1一〆）㎜巳Σ（ζ）（一1）＾〆加＾oo（1一κ）．刷＝、易（了）（一1）｝一ξ。（㍗II）π一37一だから，

［t生］

［…醐］

・1・十（÷）・ふ（一）由（1）（：1練）一（÷）一思（一1）点（1）（一38一1∵f掘）