成蹊大学工学研究報告
J. Fac. Eng., Seikei Univ.
Vol.41 No.1 (2004) pp.21-27

電気光学効果と逆圧電効果を利用した縦型光変調素子
滝沢國治*1 , 小林慎治*2, 菊池 宏*3Longitudinal light modulators based on the electrooptic and inverse-piezoelectric effects
Kuniharu TAKIZAWA*1, Shinji KOBAYASHI*2 , Hiroshi KIKUCHI*3
ABSTRACT：This paper describes novel longitudinal light modulators using LiNbO3 single-crystal. The operation
principle of the device is based on the electrooptic (EO) and inverse-piezoelectric (IP) effects. LiNbO3 crystal is
optically uniaxial and belongs to point group 3m of trigonal crystal. It has large EO coefficients r33, r51 and a large
piezoelectric constant d15. It was found from the analysis of the optical phase change caused by the EO and IPeffects in the LN crystal that -60.15° Z-cut structure is the most suitable for the longitudinal light modulator
because three optical coefficients mentioned above are efficiently contributed to the modulation. Experimental
results using several Z-cut LiNbO3 crystals with different cut-angle supported the analytical results.
KEYWORDS：Electrooptic effect, Piezoelectric effect, LiNbO3, Longitudinal light modulator(Received March 22, 2004)

１．まえがきに小さいので，ここでは省略する。EO効果にも屈折率変化が印加電界の大きさに比例する１次のEO効果（別称：電気光学（EO）効果は印加電界で物質の屈折率が変化ポッケルス効果）と印加電界の２乗に比例する２次のEOする現象であり，直流からマイクロ波領域まで及んでい効果（別称：カー効果）がある。ここでも２次のEO効果るため，光変調器や光スイッチなど様々なデバイスに応は１次のEO効果に比べて格段に小さいため，本論文では，用されている。これらの素子は印加電界による光の位相２次のEO効果を省略して，１次のEO効果（以後は単に変化を干渉で光の強度変化に変える，あるいはこの位相EO効果と呼ぶ）のみを取り扱うことにする。

変化により光の伝播方向を変化させるなどの原理に基づ本論に戻ろう。IP効果により生じた歪は光路長変化のほか，光弾性効果により屈折率にも影響を与える。このいている。
EO効果を利用した多くのデバイスでは，屈折率のみな屈折率変化は歪一定状態（constant strain）のEO効果によらず光路長変化が位相変化に影響を与える。1−5 すなわ

る屈折率変化と合わせて，応力一定状態（constant stress）

ち，EO結晶は圧電性を有するため結晶に電界を加えると，のEO効果に含まれる。２つの屈折率変化に関係する光学電界の大きさに比例して結晶長が変化する。これは圧電定数は，応力一定状態のEO係数rij T（rijはEO係数。上付き効果（固体を押すと電荷が生じる現象）の逆の現象であ文字のTは応力一定状態を示す。本論文ではこれ以降添り，逆圧電（IP）効果と呼ばれる。IP効果と類似の現象

え字Tを省略する）としてよく知られている。6, 7に電歪（固体の形状変化が印加電界の２乗に比例する現

このようにIP効果によって生じた光弾性効果はよく理象）があるが，その大きさはIP効果に比べて一般に非常解され，EO係数rijに組み込まれてきたが，不思議なことにIP効果に基づく光路長変化の効果には殆ど注意が払わ*1 物理情報工専攻教授（takizawa@apm.seikei.ac.jp）
Professor, Department of Applied Physics）

れなかった。この問題はこれまで報告されてきた種々のEO係数測定法を調べるとよく理解できる。
EO係数rijを精密に測定する方法として，Michelson干渉*2 物理情報工学専攻大学院生［現：富士写真フィルム㈱］*3 日本放送協会放送技術研究所

法，8 Mach-Zehnder干渉法，9 Senarmont法，7, 10 反射光干−21−渉法1, 2, 11などが知られている。これらの計測法では試料x3であるEO結晶に電界を加えることによって生じる１つの位相変化を測定してEO係数を求めてきた。しかし，前Ｘ2にも述べたように電界によって生じる位相変化には，EO
Ｘ3効果による屈折率変化とIP効果による結晶長変化が含まθ
LiNbO3 wafer

れているため，１つの測定値から求めたEO係数rij には，光弾性効果による圧電定数のほかに，IP効果による圧電x2x 1 ＝Ｘ 1定数も含まれてしまう。言い換えると，これまでのEO係

l数測定法では，IP効果による結晶サイズ変化をEO効果やE光弾性効果による屈折率変化に取り込んでしまっていたIことになる。
as‑grown
LiNbO3 crystal

EO 効果の物理を考える場合，あるいは EO デバイスを実際に設計する場合においてもこれは見逃せない問題で

図1 LN結晶の方位ある。特に，LiNbO3（LN），LiTaO3，Bi12SiO20，Bi12GeO20，
るいは圧電定数が EO 係数と同程度の大きさを持つ結晶

ただし，i は１あるいは２であり， n と ∆nは i 軸方向にii振動する直線偏光が感じる屈折率および EO 効果によるでは，利用する結晶方位によってはデバイス設計を大幅屈折率変化である。 l と∆l3は X3 軸方向の結晶長およびに見直さなければならない。

IP 効果による結晶長変化である。EO 効果による屈折率

BaTiO3，GaAs，InP など大きな圧電定数を有する結晶あこの問題が最も顕著に現れるのは，LN 結晶を用いた縦型光変調素子である。この素子を用いた代表的なデバイスと変化 ∆niおよび IP 効果による結晶長変化 ∆ l は次の手順で求められる。

して MSLM（Micro-channel spatial light modulator） と呼ばれる空間光変調素子がある。12 MSLM には 55°Z カット LN 結2．2

∆ni の導出晶が用いられているが，実用化されている素子の動作が設

図 1 では X3 軸に沿って印加された電界 E はＸ2 軸およ計と大きく異なることが問題になっている。13 そこで本論

び X3 軸方向にそれぞれ，-Esin θ , Ecos θ の電界成分をも

文では，IP 効果にも十分考慮しながら画像処理に独特の地つから，屈折率楕円体は以下の式で表される。

位を築いてきた縦型 LN 光変調素子の動作解析を見直す。
第２章および第３章では，縦型 LN 光変調素子の EO 効果とIP 効果に基づく位相変化を解析し，縦型変調素子として最適な結晶方位が従来と大きく異なることを明らかにする。
第４章および第５章では，解析結果に基づいて試作した縦11( 2 + r22Esinθ + r13Ecosθ )x12 + ( 2 − r22Esinθ + r13E cosθ )x22
nono1+ ( 2 + r33E cosθ )x32 − 2r51Esinθx2x3 = 1.
ne(2)型変調素子の変調特性を測定し，解析結果が正しいことを

ここで，no は LN 結晶の常光線屈折率，ne は異常光線屈折示す。第６章は結論である。

率，r22，r13，r33，r51 は EO 係数である。図 1 の回転前の座標 x1，x2，x3 と回転後の座標 X1，X2，X3 の間には次の２．LN 結晶を用いた縦型光変調素子の位相変化2．1

関係が成立する。

LN 縦型光変調素子の構造

LN 結晶を用いた縦型光変調素子は，図１に示すように，x1 軸を中心にして，（x2，x3）面を角度 θ だけ反時計回りに回転させた新座標軸の X3 軸に光と電界を伝搬させる構成が一般的である。この縦型光変調素子において，

x1 = X1
x2 = X2 cosθ − X3 sinθ,x3 = X2 sinθ + X3 cosθ.

(3)

式(3)を式(2)に代入すると，i 軸方向に振動しながら X3 軸方向に進む直線偏光の位相変化φi は，EO 効果と IP 効果を考慮すれば次式で表される。
2π(n i + ∆ n i )(l + ∆ l )λ2π2π2π≈nil +∆ nil +ni ∆lλλλ111( 2 + r22E sinθ + r13E cosθ ) X12 + ( 2 cos2 θ + 2 sin2 θnonone− r22E sinθ ⋅ cos2 θ + r13E cos3 θ + r33E sin2 θ ⋅ cosθ(4)

− 2r51E sin2 θ ⋅ cosθ ) X 22 = 1φi =(1)となる。式(4)は交差項のない屈折率楕円体の形式で表されているから，これから簡単に以下の式が導かれる。

−22−

これらの歪成分の中で図 1 の構成で光の位相に影響をn3∆n1 = − o (r22 sinθ + r13 cosθ )2
n3X2 E  − r22 sinθ cos2 θ + r13 cos3 θ∆n2 = −2  + r33 sin2 θ cosθ − 2r51 sin2 θ cosθ nonoe =2cos2 θ +  no  sin2 θ ne (5)(6)

与えるのは，X3 軸方向の歪 S 3'である。S 3' は回転前の歪成
分 S 2 , , S 3 , S 4 から成るから，式(10)〜(12)を式(18)に代入して，
S 3' = E ( − d 22 sin 3 θ + d 31 sin 2 θ ⋅ cos θ(7)(22)

+ d 33 cos 3 θ − d 15 sin 2 θ ⋅ cos θ ).

を得る。この歪成分 S 3は X3 軸方向の結晶長 l を下式のよ'うに変化させる。
2．3∆l の導出

LN 結晶のピエゾ係数を dmi，結晶に印加する電界を Em∆l = S3' lとすると，LN 結晶に誘起される歪 Si は次式で与えられ(23)

式(5)〜(7)および式(22)，(23)を式(2)に代入すると，
X1 軸および X2 軸方向に振動する直線偏光の位相φ1 ，φ2 は，る。
Si = dmiEm(8)(m = 1〜3, i = 1〜6).

以下の式で与えられる。

式(8)に E2 = -Esin θ ，E3 = Ecos θ を代入すると，歪は次φ1 =式で与えられる。

πV[ − no3 ( r22 sin θ + r13 cos θ ) + 2 n oλ(24)S1 = E(d22 sinθ + d31 cosθ ),(9)S2 = E(−d22 sinθ + d31 cosθ ),(10)

S3 = Ed33 cosθ ,(11)S4 = −Ed15 sinθ ,(12)πV
3[ − noe( − r22 sin θ cos 2 θ + r13 cos 3 θλ+ r33 sin 2 θ cos θ − 2 r51 sin 2 θ cos θ )S5 = Ed33 cosθ ,(13)+ 2 noe {− d 22 sin θ + ( d 31 + d15 ) sin θ cos θ + d 33 cos θ }]S6 = 0.

(14){− d 22 sin 3 θ + ( d 31 + d15 ) sin 2 θ cos θ + d 33 cos 3 θ }]φ2 =32(25)3

ここで， V は LN 結晶に加える電圧（= E ／ l ）である。

式(9)〜(14)は旧座標 x1，x2，x3 における歪であるから，式(24)，(25)より，LN 結晶を通過する直線偏光の位相

図 1 の回転後の新座標 X1，X2，X3 での歪 S j は以下の行

変化は，EO 効果と IP 効果に大きく依存することがわか列の各成分で与えられる。

る。ただし n oと n eは近い値を持つため，リタデイション'

Δφ＝φ2−φ1 では IP 効果の影響を無視しても実用上差し
 '
S1

S '
 6
 2
S '
 5
 2

S 6'2


S1

S6
 2

S5
 2

S62

S 5' 

2 
1S 4'   = 02   0
S 3' 


S 2'
S 4'
2S5 2  1
S 4 0
2   0S3

S2S42

支えない。
0cos θsin θ0− sin θ cos θ ３．解析結果
LN 結晶の圧電定数および波長 λ ＝632.8 nm で計測した(15)

0cos θ− sin θ定数同士の符号は表 1 に示されるように既に明らかである

0 sin θ  .
cos θ が，EO 係数と圧電定数の相対的な符号は不明である。そこでここでは，EO 係数（これ以降 rij を r と略す）と圧電定数（これ以降 d jiを d と略す）の符号が一致（rd ＞ 0 と式(15)より，回転後の歪の各成分は次式で与えられる。
S1' = S1 ,(16)S = S 2 cos θ + S 3 sin θ − S 4 sin θ ⋅ cos θ ,'222

S = 2( S 2 − S3 ) sin θ ⋅ cos θ + S 4 (cos θ − sin θ ),(19)S = S 5 cos θ + S 6 sin θ ,(20)S = − S 5 sin θ + S 6 cos θ .

(21)

'5'
62合（ d ＝0）の３つのケースについて，φ1，φ2，Δφ と回転角度 θ との関係を計算してみよう。

(18)2'4表す），不一致（rd ＜ 0），および逆圧電効果を無視する場(17)

2S = S 2 sin θ + S3 cos θ + S 4 sin θ ⋅ cos θ ,'3

ときの EO 係数を表 1 に示す。6 EO 係数同士あるいは圧電2−23−表1LN 結晶の光学定数 744

屈折率

EO 係数 (pm/V)

圧電定数 (pC/N)

r13=+9.6d31=‑0.86

no=2.2868

r22=+6.8

d22=+20.7ne=2.2030

r33=+30.9

d33=+16.2

r51=+32.6

d15=+74.0

φ1Phase change (rad.)(λ＝632.8nm)

φ2Δφ22φx ( θ )φy' ( θ )00

Γ (θ )‑22‑44150‑150100‑10050‑50005050100100150150θθ (°)

図２は，EO係数と圧電定数の符号が一致するケースである。図３は，EO係数と圧電定数の符号が不一致のケー

図２ 位相変化と回転角度の関係

スである。図４は全ての圧電定数をゼロと仮定した従来(２kV 印加時， rd ＞0 と仮定)の縦型光変調素子のφ1，φ2，Δφと回転角度 θ との関係である。図２〜図４の印加電圧 V は，いずれも２kVである。これらの図を比較すると，リタデイションΔφはど44の図も殆ど一致するが，位相φ1，φ2は逆圧電効果の有無依存することが分かる。
これらの結果から，φ1，φ2，Δφの半波長電圧を求める。
半波長電圧はこれらの位相あるいは位相差を 0 からπラジアンまで変化させるのに必要な最小電圧であり，縦型光変調素子では，この値が小さいことが特に望まれていφ1Phase change (rad.)およびEO係数と圧電定数の相対的な符号関係に大きく

φ2Δφ22φx (θ )

φ y' ( θ )00Γ (θ )‑22‑44る。図２〜図４より得られる最小半波長電圧とその回転

150‑150100‑100角度 θ を表２にまとめて示す。

50‑50005050100100150150θ

θ (°)

従来の EO 効果のみを考慮した場合のφ1 の最小半波長

図３電圧は，4.50 kV（ θ ＝‑144.7°）であるのに対し，EO位相変化と回転角度の関係(２kV 印加時， rd ＜0 と仮定)

効果と IP 効果を考慮した場合のφ1 の最小半波長電圧は，２種類の定数の符号が一致する場合および不一致の場合で，それぞれ 2.88 kV（ θ ＝‑69.5°）および 2.49 kV（ θ＝‑141.9°）である。同様に，φ2 の半波長電圧は，EO 効るのに対し，EO 効果と IP 効果を考慮した場合の最小半波長電圧は，２種類の定数の符号が一致する場合および不一致の場合で，それぞれ 2.09 kV（ θ ＝‑60.15°）および 3.27 kV（ θ ＝‑6.3°）である。φ1，φ2 ともに半波長電圧が大幅に減少していることがわかる。以上の結果より，駆動電圧が最小になるのは，EO 係数と圧電定数の符号が一致し，かつ， θ =‑60.15°のときであり，その条件下

Phase change (rad.)

果のみを考慮した場合は，4.31 kV（ θ ＝‑123.85°）であ44φ1φ2Δφ22φx (θ )φ y' ( θ )00Γ (θ )‑22‑44150‑150100‑10050‑50005050100100150150θθ (°)

での半波長電圧は，従来の縦型光変調素子に比べ 50％以下に低減することが示された。

図４

位相変化と回転角度の関係(２kV 印加時， d ＝0 と仮定)

−24−表２半波長電圧Vπと回転角度 θ の関係（計算結果）

対的符号 位相変化，位相差 回転角度 θ (°) 半波長電圧(kV)rd>0

rd<0d=0

φ1‑69.52.88

φ2‑60.152.09Δφ‑126.12.29

φ1‑141.92.49

φ2‑6.33.27Δφ‑126.22.25

φ1‑144.74.5

φ2‑123.94.31Δφ‑126.12.27

図６ Michelson 干渉計を利用したEO 係数測定システム

５．光変調特性４．動作原理と測定系
図７は，V = ２kV，λ= 632.8nm の条件で得られた位前章の解析を検証するため，θ＝ ０°，‑60.6°，‑82.05°，相変化φ1，φ2 および位相差∆φ （= φ2 - φ1）の回転角度 θ 依‑103°，‑125°，‑127.2°の Z カット LN 結晶（結晶厚 l =２存性の計算結果および実験結果である。実線，点線およmm）の両研磨面に透明電極（膜厚 55nm）を蒸着して，６び破線はφ1 ，φ2 ，Δφ の計算結果，×，○，●は，それ種類の縦型光変調素子を試作した。一例を図５に示す。

ぞれφ1，φ2 ，Δφ の実験結果である。EO 係数（r）と圧これらの光変調素子を図６のマイケルソン干渉計内部の電定数（d）の相対的な符号が不明であることから，符号１つの光路に設置し，それらの変調特性を測定した。位が一致（rd ＞0），不一致（rd ＜0），および IP 効果を無相変調特性の測定では，X1 軸または X2 軸方向に振動す

視（d＝0）
すると仮定したときの計算結果と実験結果を，る直線偏光を光変調素子に入力し，２光路を伝播するレ

図 7(a)から(c)に示す。なお，同図の実験結果は，図６ーザ光の干渉光強度を光検出器で測定した。ここで，位の反射型変調素子で得られた半波長電圧 Vrπ（=Vπ /２）よ相変化の相対的な符号関係は印加電圧の増減に対する干り算出された透過型光変調素子の位相変化（φ = πV/２

渉縞の移動方向から判断した。LN 変調素子に三角波電Vrπ）である。

圧（周波数 800Hz）を加え，光検出器の出力をオシロス

図７の強度変調特性は，計算結果(実線)と実験値(●)

コープおよび FFT アナライザに入力して，半端長電圧がすべての仮定でよく一致している。これより強度変調Vπを測定した。一方，強度変調特性の測定では，光路をでは，IP 効果を無視しても差し支えないことがわかる。

１つにするため図６のミラー１を除くとともに，光検出強度変調に必要な最小の Vπは，θ =‑125°（= 55°）で 2.0

器前段に検光子を置いて直交ニコル反射型光学系を構成

kV であり，これは従来報告されている値 13 に非常に近い。

した。この光学系では，偏光子と検光子の光透過軸の交一方，位相変調特性におけるφ1 とφ2 の相対的な符号関差角度は 90 度，偏光子の光透過軸と LN 結晶の X1 軸は係は，図 7(a)，(b)，(c)に示されるように θ = 0°，‑60.6°，45 度の関係にある。ここで注意すべきことは，図６の縦‑82.05°の素子で同符号，他の素子では異符号となる実験

型光変調素子はレーザ光が素子内部を往復する反射型で結果が得られた｡

あり，その位相変化の大きさは透過型素子（レーザ光がこれらのなかで rd > 0 の場合（図 7(a)）が計算結果素子内部を１度通過するタイプ）のそれの２倍となることよく一致した。また，図７(a)，(b)，(c)の θ =55°にとである。

おけるφ1，φ2 の実験値をこれまで報告されている実験値（φ1 では Vπ = 5.6 kV，φ2 では Vπ = 2.6 kV 14）と比べると，
図 7(a)がよく一致した。これらの事実を総合すると，図7(a)，(b)，(c)では(a)が正しいと推論される。
すなわち，
LN 結晶においては，EO 係数と圧電定数の相対的な符号は同一であると思われる。ただし，これは LN 結晶を用いた縦型光変調素子の変調特性から得られた間接的な結果であり，両定数の相対的な符号関係を直接測定すること
図５

LN 縦型光変調素子が望ましい。これは今後の課題である。

−25−

縦型 LN 光変調素子の最小 Vπは両定数が同符号のと６．むすびきの位相変化φ2 で生じ，その値は θ ＝ ‑60.6°で 1.92 kVであった。この値は，これまで最も効率的な変調ができLN 結晶を用いた縦型光変調素子の EO 効果と IP 効果ると考えられてきた d ＝ 0 の場合（図 7(c)）
における θに基づく光変調特性を解析するとともに，結晶方位の異＝55°の計算値 4.32 kV に比べて 1/2 以下であった。

なるいくつかの縦型 LN 変調素子を試作し，それらの光これらの結果は，式(23)および式(24)において，LN変調特性を実験した。その結果，位相変調には IP 効果が結晶のもつ大きな圧電定数 d15 が EO 係数に対して対等あ大きく作用していることが判明した。また，LN 結晶のるいはそれ以上の大きさを有するためと考察される。本

EO 係数と圧電定数の相対的な符号関係は一致しており，

章の実験結果は，本論文で提案する動作解析モデルが正位相変調時の最小半波長電圧は，最適回転角度 θ ＝しいこと，および IP 効果を利用すれば従来 EO 効果のみ

‑60.6°において 1.92 kV であった。この値は従来の位相で設計された光変調素子の駆動電圧を大幅に低減できる変調時の半波長電圧の 50％以下であり，IP 効果を考慮しことを示している。

た素子設計を行えば印加電圧を大幅に軽減できることが明らかになった。
今回の結果は LN 結晶に留まらない。LN 結晶と同じ三方晶系の点群３ｍに所属する LiTaO3 結晶，正方晶系の点群４mm の BaTiO3 結晶，立方晶系の点群 23 の Bi12SiO20や Bi12GeO20 結晶，立方晶系の点群 4 3m の GaAs や InP結晶など大きな圧電定数を有する結晶，あるいは圧電定数が EO 係数と同程度の大きさを持つ結晶を用いて位相変調素子を設計する場合には，IP 効果を十分考慮しなければならない。

参考文献
１ ． K. Takizawa and M. Okada, “Simple method formeasuring electro-optic coefficients by detecting theinterference signal between transmitted and reflectedbeams,” J. Opt. Soc. Am. 72, 809-811 (1982).
２．K. Takizawa and M. Okada, “Determination of relative
signs of electro-optic and piezoelectric coefficients bymeasuring optical phase shifts by an applied electricfield,” J. Opt. Soc. Am. B 2, 289-293 (1985).
３．K. Takizawa, “Analysis of electro-optic crystal-based
Fabry-Perot

etalonsforhigh-speed

spatiallightmodulators,” Appl. Opt. 42, 1052-1067 (2003).
４．小林慎治, 菊池 宏, 滝沢國治, 「ポッケルス効果と逆圧電効果を利用した縦型光変調素子の設計」

信学論 C, J86-C, 83-85 (2003).
５．菊池 宏, 小林慎治, 滝沢國治, 「ポッケルス効果と逆圧電効果に基づく縦型光変調素子の解析と実験的検証」

信学論 C, J87-C, 276-277 (2004).

６．K. -H. Hellwege, Editor in chief, LANDOLT BÖRNSTEIN,Numerical Data and Functional Relationships in Science
図７

LN縦型光変調素子の位相変化と回転角度の関係計算結果（実線、点線、破線）と実験結果（×、○、●）の比較−26−

and Technology, New Series, Group III: Crystal and Solid
State Physics, Vol.11, Elastic, Piezoelectric, Pyroelectric,
Piezooptic, Electrooptic Constants, and Nonlinear DielectricSusceptibilitiesofCrystals(Springer-Verlag

Berlin,Heidelberg, New York 1979) pp.287-670.
７．R. Carpenter, “The electro-optic effect in uniaxial crystalsof the dihydrogen phosphate type. III. Measurement ofcoefficients,” J. Opt. Soc. Am. 40, 225-229 (1950).
８ ． K. Onuki, N. Uchida and T. Saku, “Interferometricmethod for measuring electro-optic coefficients incrystals,” J. Opt. Soc. Am., 62, 1030 (1972).
９．J. Zook, D. Chen and G. Otto, “Temperature dependenceand model of the electro-optic effect on LiNbO3,” Appl.
Phys. Lett., 11, 159 (1967).
10．S. Namba, “Electro-optic effect of zincblende,” J. Opt.
Soc. Am., 51, 76-79 (1961).
11．滝沢國治, 横田雄二, 石山 遥, 花岡秀典, 「多重反射光干渉法による電気光学係数の高精度測定」第 51 回応
用物理学関係連合講演会予稿集, 31pZV4 (2004).
12．T. Hara, Y. Ooi, Y. Suzuki, and M. H. Wu, “Transfercharacteristics

ofthemicrochannelspatiallightmodulator,” Appl. Opt. 28, 4781-4786 (1989).
13 ．T. Hara and Y. Suzuki, “Microchannel spatial lightmodulator,” Optoelectronics -Devices and Technologies
10, 393-420 (1995).
14．原勉, 信学論 (C-I), J.76-C-I, 41-45 (1991).

−27−