〔間〕〈問題〉

昭 和 50年 度
午前の部

1. 分散 σ2 = 4で平均値 μが未知の正規分布をする母集団からの独立な 100個の標本の値の和が 135であった。 μ の値を信頼係数 0.
95で区間推定しなさい。ただし Zが N(O， l)VC従うとき

P CI'Z1;
孟 2)句 0.
950
22. 30才の国民死亡率は一一ーであるという o 年 令 30才の被保険者 2000人がし、て1000

1年間の死亡者数は 2人だった。この被保険団体の死亡率は国民死亡率より小さいと，有意水準 5婦で結論できるか。

3. 有限な平均値および分散をもっ母集団からの九個の独立な標本の値を Xi， i= 1; 2…，九とする。
玄=tπとおくと，玄は母集団平均 μ のzIXi(1) 不偏推定量である o(2) 一致推定量である oことを示しなさい。

午後の部
3問中 2問選択

4. t年後の国民所得を Y(t}消費支出を C(t)，投資を 1(t)とするとき，これらの聞に次の関係式が成り立っとする。

C(t)+I(t)=Y(t).
.
・ ・.
.
.
.
.
・ ・‑…
.
.
.
・ ・‑…
.
.
.
・ ・.
.
.
い)
HH

H

H

C(t)=0.
55Y(t)十 0.
27Y (t‑ 1)…・・・ H ・ H ・(~)
0.
4I(t)
.
.
.
.・・.
.
・ ・.
.
.(c)

Y (t+1)‑Y{t)HH

このとき次のことを示しなさ L。
、hMF&awx

L

9‑﹁11lJA吐 円

A‑nunu

一一品

EE晶 唱 ・ ‑ ‑唱AEAU﹁l ￨﹄i
唱︑BJ+lv+4F︐sギ︑︑X

おけと寸
lllJ

し6b&b

匂Jρ

﹁ lしL
ゐ一一X

4aA‑125ー

〔問〕

ωトC:〔1:]とおけば X(t)=P ;08t:1t]pーはわ) .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
'.
(る)

y(t)
5(3) 1im ‑'‑一一=ーt→∞ C(t)4

ただし 13Y(O)‑4C(O)キ 0とする。

5. 池の中にいる魚の数を推定した L、。このため

m 匹の魚をとらえてこれ K印をつけ池 K放ち，のち K 九匹の魚をとらえたところ， k匹の魚 K印がついていたという。池の中の魚の数を最尤法 K より推定しなさい。

6. 分散が 1の正規分布をするこつの母集団がある。その平均 μ1， ρ2は未知である o 各々から， X2とする。このとき，仮説 tt1=μ 2を有意水準の独立な 100個づっの標本の平均値を Xt

5~ で検定しなさい。ただし z が標準正規分布 N (0， L)に従うとき，~0.95‑126ー

P ( IZ 1;孟 2)

昭 和 50 年 度

(解答)

午前の部
1. 各標本の値を X 1 ，X100 とすると，

μX=‑L正規分布をする。したがって100 Z‑× i‑は平均‑‑.‑‑， 分 散 の1007x‑μz=一一一一 =5CX‑μ)

ぷ奇cとおけば， Zは N C0， 1)に従う。したがって p ー 2ζz::;;:2)=O.95からPC‑2ζ5Cx一μ)~ 2)=O.95
ー ，PCX‑ ~ ~μζX+ 含) =0.
95
2， 2
これから μの信頼区間は Cx一 一 X+~)=C 1. 35 ー 0.4 ，5'51.3 5十 0.
4).75)=C0.
95， 1となる。

2. 被保険団体の死亡率が国民死亡率と等しいと仮定して，1年間の死亡者が 2人以下となる確率を求めてみる。死亡者数 Xの確率分布はパラメータ一一三一一・ 2000=4のポワソン分布

1000で近似できるから
0‑4 4PCx=o)=e 一一

0'
1‑4 4PCx=l)=e

一一一1!

‑4 42PCx=2)=e 一一2t‑4eー0.02‑4e・4句 0.
07‑4e・8=.0.
15>0.
05だから被保険団体の死亡率が国民死仁率と等しいという仮説は棄却

人 PCx豆 2)されない。したがって被保険団体の死亡率が国民死亡率より小さいと結論できない。

3.
4EA︑''t)EC玄)=E( す ~Xi) =す ~_E CXi)す= onP.ここに μは母集団平均。したがってXは μ の不偏推定量である。

‑127ー士};Xi)(2) V(玄)=V(Xiの独立性から

σ2‑すく };Xi)=};(V(ぞ))=};会 V(Xi)=手 σ =ー一n自V

ここ K σzは母集団分散。したがってテェピシェフの不等式から

Jもσから一二ご =ε寸p (1玄 ‑μ￨>52)

必=ど互 ε とおいて、σIn:→ o(π →∞)L =三nεp (1x‑μ1>ε)孟 で手εが任意の εに対して成立つD 故 rcXは μ の一致推定量である。

午後の部1) (a)，{c}式より
4. (y (t十 1) =y(t)+0.4 {y(t}ー C(t)}==lAy(t)‑0.4C{t}…
.
.
.
・ ・.
.
…
・・ 4…(月H(吋，村式よりC (t+ 1)= O.5 5Y ( t+ 1)十 0.27y(t}=1.04y(t}ー 0.22C
(t}.
.
.
・.
.
.が(AせAιI﹄nU噌i﹁lli唱J唱EA。〕p‑1=[:4bX(t)=[幻 〕 と お け ば︐︑十〆s(2)︑X

よって，::;
2〕〔〕;08 。
:〕
〔T‑7〕41301よって〕::;2 x(t‑1)=

〔:;
4X(o}

ー.
.
.
.
.
.
.
.
.

X(O)

‑128‑X(t)ω

‑?
ν刊wxA唱

P4L咽inU﹁lllJAU

4EUVinU

QU

DAnu

唱

﹁l l L

一一px

p=P[;080:]t

れソよ・'b式と︑ノとお¥l1111J

匂J C

nvnv

﹁lIllkyli‑‑J

4
ω5ω一
一

﹁￨￨￨¥

Ti‑Aq‑‑a告3 T 9 4 丈UU

一一qx

PA一一

¥lllJrills¥︐D ︐Dqoy(t)=5bl (1.08)t+ 4b2 (0.1)tC(t)=4bl (1.08)t十 13b2 (0.1)t

ム キ o 即ち

5. N匹の魚のいる池から13y(O)‑4C同キ O ならばlinω一yよってt→∞

n匹の魚をとったときこの中 K印のついている魚が k匹でてくる確率 j(k;N)はj(k;N)=~ ?)(;:?)

(イ)

〈。

で与えられる。
(骨式はとし，未知数kを変数と考えれば確率分布をあらわしている。今 kが与えられたものを母数Kついての関数と考えれば尤度関数.t(N)は，わ(::?
)(N)=((:)

よって，この式を最大ならしめる Nが求める推定値である o(k)(:コ)/(?)(NriI)(N‑m)(N1.t(日 (:) / (ケ) (N‑m‑川 )N乙(N)、一なる式を考える 0.t(会)=maxとすると4~( 会)、 4.t(合一 1) ‑ANは.

4~ (合 +1) ‑かつ乙(合)
t
1‑129ー…(斗なる関係をみたす整数である@(斗式を書き直すと唱E4︑︑︐ノ1
ノ一+J︑‑ 一 〆I噌E A ‑

噌・・骨九 支N噌E‑a‑fK7'k.

.
L+一︐k︑ANt
一+fk一 九
1ノ一‑
m一m‑
一一+一+、==ANAN(合 ‑m)(合一九)(品目 m‑n+k)合三二1

これを変形すると
m 九ミ k会w

明m一¥
︿一AN

¥4ku
町r‑‑‑k一一AN一kてつよ山一即ちm n三五 k(会+1)

但しはガクスの記号。

6. 検定すべき仮説μ μ 2を A，対立仮説として μ1キ μ2 を正とおく。

ムx=x，‑ X2 の分布を考えると，E (ム X)=E (X，‑X2)=μ1一 μ2
またX，と X2は独立で各々分散ーとーの正規分布をするから
100.
/.
".
.
‑， ム Xは分散一三ーの正規100分布をする。したがって仮説 μ-~.LJ- /YU/.I"'c..

....，，~~ ""~''''''/Jf.
IA

一応んが正い、とすれば，ム XはN(0.
^)vc従うから，‑‑.
‑‑‑‑，，‑，
1:00

z=存 ム Xとおけば Zは N(0，1)VC従う。そこで Iz1>2のとき Aを棄却し，そうでないとき棄却しないこと Kすれば，これが有意水準 5 %の検定となる。このときもし μ1キ μ2であれば仮説 Aが棄却される確率は 5 %より大きくなることが明かである。

‑130ー