Bidding behavior in a repeated procurement
auction: A summary
Jofre-Bonet. M. and Pesendorfer. M, European
Economic Review, 44, pp.1006-1020, 2000.

論文の章立て1. Introduction
2. The bidding model
3. Econometric model
4. The data and industry
5. Estimation results
6. Conclusion

１．はじめに（１）• ２節における内容(bidding model)• dynamic bidding game• bidderは各期新しく自身のコストを学習• コストはbidderの状態に依存する分布からdraw• 状態は過去に落札した契約のbacklogから決定されると仮定• backlogは過去に落札したプロジェクトの未完の量

１．はじめに（２）• ３節の内容（計量モデル）• Paarsch (1992), Laffont et al. (1995)の既往研究に基づいて，オークション環境における私的情報を推定する• 特定化はElyakime et al. (1994), Guerre et al.
(1998)と同様の二段階アプローチ• １段階目：他のbidderの入札に対するbidderの信念はノンパラメトリックに推定．bidderの非対称性，契約特性，状態変数が推定の説明変数• 2段階目：私的なコストを推計．本論文ではbidderの信念をベースとした将来の期待利得を用いて計算する．

１．はじめに（３）• ４節の内容• データの説明• ５節の内容：推定結果• 一般にbid分布は各bidderのキャパシティに依存することが示された• backlogの値が増加するbidする確率が単調に減少することが示された• コストと入札額の間の単調な関係が示された

２．The bidding model（１）t ∈ {0,1,..., ∞} : 無限の期間{1,..., nr } : regular bidder ゲームに永遠に参加{nr + 1,.., n} : fringe bidder 入ってきた期に退出する
Cit : t期におけるbidder i の私的に知られているコスト
sit : t期におけるbidder i の状態変数(これまでの落札量など）
s0t : t期における契約特性（契約内容）
cit は分布関数F(c|s ti ,s0t )によって表され，密度関数はf(c|s ti ,s0t ) [0, C ]同様に fringe bidderはF(c | s 0t ),f (c | sot )[0, C F ]

２．The bidding model（２）• bidderはサービスを提供したい額で入札する可能性がある• 最も低いbidderが落札• すべてのエージェントはリスクニュートラルと仮定• buyerはfixedな最低落札額Rを課している• R以上のbidはrejectされる• 我々はR=CFと仮定する

２．The bidding model（３）• 状態変数は過去に落札したbacklogやbidder
固有属性を含んでいる• 共通割引率β∈(0,1)を導入し，将来価値を測定する• bidder i の入札額bの戦略は次の関数で示す．
tib(c , si , s−i , s0 )

２．The bidding model（４）• regular bidder iの期待将来利得はVi ( si , s−i , s0 ) = ∫ max{[b − c ]Pr ob(i wins | b, s )b
今期の期待利得n+ β ∑ Pr ob( j wins | b, s ) Es 'Vi ( s ' | s, j wins)} f (c | si , s0 )dc
j =1

Es ' ：契約特性の不確実性を説明する期待値オペレータ 将来割引期待利得の合計• fringe bidder iの利得はpayoff = ∫ max{[b − c ]Pr ob(i wins | b, s )} f (c |, s0 )dcb

２．The bidding model（５）• bidder iの均衡bidの分布関数は G (b | si , s−i , s0 )•密度関数は g (b | si , s−i , s0 )[• bid bが落札する確率は ∏ 1 − G (b | s j , s− j , s0 )j ≠i]

３．Econometric model• (1)状態変数の選択について• (2)bidderの信念を表すbid分布関数Gの推定について• (3)どのようにGを用いてコストやコスト分布関数を推測するかを説明する

3.1. state variables（１）• (1)契約特性ベクター上にbidの対数を投影し，その結果としての剰余bの分布と密度を推定• (2)次の5つの変数を用いて，bid分布関数を推定する(ai , a−i , r , xi , Wi )ai ：bidder iのbacklog．残ってるプロジェクトを金銭換算したもの
r ：bidder iの容量
xi ：地理的特性
Wi ：bidder iの事前に落札している契約数• (3)すべてのobservationにおいて正規分布を用いて標準化する．正規分布のパラメータはbidder固有の平均とbidder固有の分散である• その結果，backlog変数は0と1の間になり，bidder間で比較可能

3.1. state variables（２）• 理論モデルはbidde iのbid分布とvalue fuctionについて対称的な影響を持つbidderの存在を仮定している．
• つまり，bidder iの分布関数は，もしbidder jとlの状態が入れ替わっても変化しない• この可換性はベクトルの要素の正確な順番が重要でないことを示しており，特定の順序に入れ替えることができる

3.2. Bidder’s belief• Kernel estimatorを用いてbid密度と分布関数を推定する• bidder iのbidはもしb≦Rならば観測される• 打ち切り(truncation)を説明するために• 条件付きbid密度関数 g (b | b ≤ R; ai , a−i , r , xi , Wi )Γ(b ≤ R | ai , a−i , r , xi , Wi )• 打ち切り確率• を推定する．つまりbid密度関数はg (b | ai , a−i , r , xi , Wi )= g (b | b ≤ R; ai , a−i , r , xi , Wi ) ⋅ Γ(b ≤ R | ai , a−i , r , xi , Wi )

3.3. Inference of cost（１）• 最適bidは私的コスト，他のbidderのbidに対する信念，将来利得これらすべてをベースに選択される• 均衡bid，他者の信念，value functionの関数としてコストを表現することで，方程式を変形できる• このアプローチは静的オークションにおけるElyakime et al. (1994)で提案されたアプローチである．

3.3. Inference of cost（２）φ (⋅) : bidder iによるbidと関連する非観測コスト
g (b | s )τ (b | s ) =(1 − G (b | s )：bidのハザード関数• これを用いて私的コストφはφ (b, si , s−i , s0 )1 − β ∑τ (b | s j , s− j , s0 ) Es ' [Vi ( s ' | s, i wins) − V j ( s ' | s, j wins)]=b−j ≠i∑τ (b | s , s , s )j ≠i

j−j0• コストを推測するためにはbidのハザードと分布とvalue functionが必要

４．The data and industry• Dec 1994～Oct 1998 のCalifornia Department ofTransportationのhighway construction data
• bid dataとして• bid opening data, construct number, location,number of working day, engineer’s estimate,
name, address, amount of bid, rank of bid foreach bidders• 1850 contract, total value $3834.35 million• total 9679 bids, average 5.23 bidder per contracts

５．Estimation results（１）５．Estimation results（２）確率bid distributionの推定値．backlog=0.1,0.5,0.9に固定し，その他状態変数をサンプル平均で固定している

平均的なregular bidderは全ての契約の2%～5%の間の確率で入札することがわかる
backlogが増加すると，入札確率が減少することを示している

５．Estimation results（３）backlogの関数として入札確率を示した図
入札確率backlog
完全に単調ではないが，backlogが大きくなると確率が5％から2％くらいまで減少５．Estimation results（４）bidder 1のbacklogの関数として価値関数を示した図＋は信頼区間割引率は0.95で固定

value functionはbacklogに対してほぼフラットであり，現在の落札にあまり影響ない５．Estimation results（５）入札額

bidder 1の入札額と推定されたコストの関係

コスト

ほぼ45度線上で，両者の単調関係を示し，推計が正当であることを示している

５．Estimation results（５）確率bidder 1のコスト分布とbacklog=0.1, 0.9のときの関係

平均コストがbacklogが高いときに高い傾向にあり，backlogが低いときに低い傾向にある