iA 物理Ⅱ
テキスト＜科学法則と微分方程式＞

3年

組

番

氏名

iA 物理Ⅱ
テキスト＜科学法則と微分方程式＞

目次
0.

はじめに

･･････21.

微分方程式の基本形･･････

32.

微分方程式の応用例･･････

7

3.

空気抵抗力を受ける落体の速さの測定実験･･････

16

4.

コンデンサーの放電実験･･････

235.

微分方程式の数値解･･････

29

6.

参考文献

･･････

32-1-

0. はじめに運動方程式を例に挙げてみよう。質量𝑚の16 世紀の終わり頃から 17 世紀の初めにかけて，ガリレイは地上での落体の運動を，物体が力𝐹⃗ を受けたときの運動方程式は，速ケプラーは惑星の運動を，それぞれいくつか

度𝑣⃗，時刻𝑡を用いて，の式にまとめた。これらはともに，科学的な実験や精密な分析による結果である。
しかし，落体の運動の公式とケプラーの三

𝑚

𝑑𝑣⃗
= 𝐹⃗
𝑑𝑡

である。

法則は似ても似つかないものであり，地上での物体の運動と天体の運動とは全く別の現ところで，ベクトルは𝐹⃗ ，𝑣⃗（など）では象であることは誰の目にも明白であった。
ところが 17 世紀後半になって，ニュート

なく，𝑭，𝒗（など）のように太字の斜体で書くのが一般的である。したがって，運ンは，これらをある共通の原理（運動方程式）

動方程式はで統一的に記述することに成功した。

𝑚
なぜ，運動方程式が様々な力学現象を説明

𝑑𝒗
=𝑭
𝑑𝑡

と書ける。

できるのか。

この運動方程式は，
それは運動方程式が微分方程式の一種だからである。
物体の速度の時間変化率（加速度）が質量に反比例し力に比例するという関係は，非常𝑣⃗ = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) , 𝐹⃗ = (𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹𝑧 )として，に狭い範囲について述べたものに過ぎないが，力の働き方と初速度などの条件を考慮し

𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑣𝑧
= 𝐹𝑥 , 𝑚= 𝐹𝑦 , 𝑚
= 𝐹𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
と書くのと同じことである。ベクトルは各成分に分解すれば済むので，本テキストでは一ながら速度の変化を考えていくこと（＝数学

つの成分のみに限って表すものとし，単に，的には微分方程式を解くこと）で，物体がど

𝑑𝑣
=𝐹
𝑑𝑡
と表すことにする。

のように運動するかが分かる。すなわち局所的な情報から大域的な情報を得ることがで𝑚𝑚

きるのである。
また，時刻𝑡で微分するときはその文字の運動方程式に限らず，科学法則，特に物理法則は微分方程式で書かれることが多い。それは，物理法則が，物理量の変化に関するものだからである。これらをいろんな条件下で上に ̇ （ドット）を付けて表すことがある。
したがって，位置を𝑥とすれば，𝑑𝑥

速度は 𝑣 = 𝑑𝑡 = 𝑥̇

解くことによって，様々な現象を，限られたいくつかの基本法則で説明することが可能

𝑑2 𝑥

𝑑𝑣

加速度は 𝑎 = 𝑑𝑡 = 𝑣̇ または 𝑎 = 𝑑𝑡 2 = 𝑥̈になる。

となる。これを用いれば運動方程式は，
学校設定科目「iA 物理Ⅱ」では，微分方程式を解くことで，複雑な現象を説明できるこ

𝑚𝑣̇ = 𝐹 または 𝑚𝑥̈ = 𝐹 となる。
しかし，本テキストでは，どの量で微分したとの醍醐味を味わってほしい。

かをはっきりさせるため，
𝑑𝑣

さて，本テキストでは，話を簡単にするため，次のように取り決めるものとする。

𝑑2 𝑥

𝑚 𝑑𝑡 = 𝐹 または 𝑚 𝑑𝑡 2 = 𝐹と表すことにする。

-2-

1. 微分方程式の基本形

𝑑𝑥= 𝑎𝑡 + 𝑣0
𝑑𝑡∴ 𝑑𝑥 = (𝑎𝑡 + 𝑣0 )𝑑𝑡

運動方程式から等加速度運動の公式を導いてみよう。質量𝑚，力𝐹，速度𝑣，時刻𝑡とす∴ ∫ 𝑑𝑥 = ∫(𝑎𝑡 + 𝑣0 )𝑑𝑡

ると，運動方程式は，
𝑑𝑣=𝐹𝑑𝑡である。これは速度𝑣についての微分方程式
𝑚1∴ 𝑥 = 𝑎𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝐶2 (𝐶2 は定数)2𝑡 = 0のときの位置を𝑥0 とすれば，である。
受ける力が一定（𝐹が定数）の場合，運動方程式は，

1𝑥 = 𝑎𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
2
となる。

𝑁

1 年生時の授業では，等加速度運動の公式𝐹を学んだ後に（物体が加速する原因として）力を学んだが，力のはたらき方によって加速𝑚𝑔の仕方が決まるわけだから，運動方程式から始めるアプローチの方がすっきりしている。

𝑑𝑣 𝐹
=
𝑑𝑡 𝑚
∴ 𝑑𝑣 =∴ ∫ 𝑑𝑣 = ∫∴𝑣=

もう少し複雑な例を見てみよう。

𝐹
𝑑𝑡
𝑚
𝐹
𝑑𝑡
𝑚

【基本形 1】図のように，滑らかな水平面上で質量𝑚の物体に初速度𝑣0 を水平方向に与えたとき，時𝐹
𝑡 + 𝐶1 (𝐶1は定数)𝑚

ここで，刻𝑡における物体の速度𝑣を求めてみよう。ただし物体は，速度に比例し逆向きの空気抵抗

𝐹=𝑎𝑚

力を受けるとし，その比例定数を𝑘とする。

とおくと，
𝑣 = 𝑎𝑡 + 𝐶1
𝑡 = 0のときの速度（初速度）を𝑣0 とすると，−𝑘𝑣𝑣𝑣0 = 𝑎 ∙ 0 + 𝐶1となるので，
運動方程式より，

𝑣 = 𝑎𝑡 + 𝑣0となる。

𝑚
なお，𝑣 = 𝑎𝑡 + 𝐶1のように，任意の定数(C1 )

𝑑𝑣
= −𝑘𝑣
𝑑𝑡

⋯ (1)

を含む解を一般解という。𝐶1の値を特定するための条件「𝑡 = 0のときの速度を𝑣0 とする」

𝑑𝑣
𝑘
=− 𝑣
𝑑𝑡
𝑚
𝑣を含む項と𝑑𝑣が，𝑡を含む項と𝑑𝑡がそれぞれを初期条件という。さらに，初期条件を考慮した𝑣 = 𝑎𝑡 + 𝑣0を特殊解（特解）という。

同じ辺にないと積分できないので，次のように変形する。

また，物体の位置を𝑥とすると，この式も微分方程式である。つまり，∴𝑑𝑣𝑘= − 𝑑𝑡𝑣𝑚
これを変数分離（形）と呼ぶ。

-3-

∫

𝑑𝑣
𝑘
= − ∫ 𝑑𝑡𝑣
𝑚

∴ log 𝑣 = −∴∫𝑘𝑡 + 𝐶1（𝐶1は定数）
𝑚

∴−

𝑘

∴ 𝑣 = 𝑒 −𝑚𝑡+𝐶1𝑚𝑘log (𝑔 − 𝑣) = 𝑡 + 𝐶1 (𝐶1 は定数)𝑘𝑚∴ log (𝑔 −𝑡 = 0のとき𝑣 = 𝑣0 より，𝑘𝑣0 = 𝑒 −𝑚∙0+𝐶1𝑘𝑘𝑘𝑣) = − 𝑡 + 𝐶2 (𝐶2 は定数)𝑚𝑚∴𝑔−

∴ 𝑒 𝐶1 = 𝑣0
∴ 𝑣 = 𝑣0 𝑒 −𝑚𝑡𝑑𝑣= ∫ 𝑑𝑡𝑘𝑔 −𝑚𝑣

𝑘𝑘𝑣 = 𝑒 −𝑚𝑡+𝐶2𝑚𝑘𝑚(𝑔 − 𝑒 −𝑚𝑡+𝐶2 )𝑘
例えば𝑡 = 0のとき𝑣 = 0とすると，

∴𝑣=

⋯ (2)

これより，𝑡 → ∞のとき𝑣 → 0となり，十分に0=

時間が経過すると，物体は静止する。

𝑚(𝑔 − 𝑒 𝐶2 )𝑘

∴ 𝑒 𝐶2 = 𝑔𝑣𝑘𝑚𝑔(1 − 𝑒 −𝑚𝑡 ) ⋯ (4)𝑘
やや複雑だが，きちんと変数分離できれば解

𝑣0

∴𝑣=

けることが分かるだろう。
𝑡 → ∞のとき𝑣 → 𝑣t とすると，
𝑣t =
𝑡

O

𝑚𝑔
𝑚𝑔
(1 − 𝑒 −∞ ) =𝑘𝑘

この𝑣t は終端速度である。グラフ化すると下図のようになり，終端速度𝑣t に近づいていく
ことが分かる。

【基本形 2】次は，空気抵抗を受ける落体の運動を考𝑣

えてみよう。
終端速度
𝑚𝑔
𝑣t =
𝑘

−𝑘𝑣

傾きは
𝑣 = 0のときの加速度（すなわち𝑔）𝑚𝑔
重力加速度の大きさを𝑔，鉛直下向きを正の向きとすると，運動方程式は，𝑚𝑑𝑣= 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣
𝑑𝑡

⋯ (3)

∴

𝑑𝑣
𝑘
=𝑔− 𝑣
𝑑𝑡
𝑚

∴

𝑑𝑣
= 𝑑𝑡
𝑘
𝑔−𝑚𝑣

-4-

O

𝑡

＜演習 1-1＞
上記の例について，物体の位置𝑦を時刻𝑡で＜演習 1-2＞
上記の例について，時刻𝑡を，位置𝑦，速度

表し，𝑦 − 𝑡グラフを描け。𝑡 = 0のとき𝑦 = 0とする。

𝑣，終端速度𝑣t ，重力加速度の大きさ𝑔で表せ。

-5-

変位𝑥，速度𝑣，加速度𝑎は，【基本形 3】質量𝑚の物体が，変位𝑥に比例した大きさ

𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜃)の力を逆向きに受ける場合の運動を考えて
みよう。

𝑣=

𝑑𝑥
= 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜃)𝑑𝑡𝑑𝑣
= −𝐴𝜔2 sin(𝜔𝑡 + 𝜃)𝑑𝑡
変位，速度，加速度が周期的に変化する運動となり，単振動となる。なお，定数𝐴は変位𝑎=𝑥の最大値，すなわち振幅を表し，定数𝜃は初期位相である。

−𝑘𝑥𝑥

例えば，𝑡 = 0のとき𝑥 = 0および𝑣 = 𝐴𝜔ならば，𝜃 = 2𝑛𝜋 (𝑛は整数)となり，比例定数を𝑘とすると，運動方程式は，

𝑥 = 𝐴 sin 𝜔𝑡𝑑𝑣= −𝑘𝑥 ⋯ (5)𝑑𝑡であるが，これはさらに，𝑚𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡𝑑2𝑥= −𝑘𝑥 ⋯ (6)𝑑𝑡 2となり，𝑥と𝑡に関する二階の微分方程式とな𝑚る。これを解析的に解くのはややわずらわし
いので，次のように解を求めてみよう。

𝑎 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡あるいは，𝑡 = 0のとき𝑥 = 𝐴および𝑣 = 0な
らば，
𝜃=

𝜋
+ 2𝑛𝜋
2

となり，
𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡𝑣 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡

まず，解を
𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜃)と仮定する（𝐴，𝜔，𝜃は定数）。これは三角関数の一般的な形である。このようにおけば，
𝑥を 2 回微分したときに−𝑥が現れるため，(6)式と比較できる。
𝑑𝑥= 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜃)𝑑𝑡𝑑2𝑥
= −𝐴𝜔2 sin(𝜔𝑡 + 𝜃)
𝑑𝑡 2
よって(6)式は，
𝑚{−𝐴𝜔2 sin(𝜔𝑡 + 𝜃)} = −𝑘𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜃)
∴ 𝑚𝜔2 = 𝑘
𝑘
∴𝜔=√
𝑚
となる。

-6-

𝑎 = −𝐴𝜔2 cos 𝜔𝑡

2. 微分方程式の応用例

𝑡𝑞 = 𝐶𝐸𝑒 −𝑅𝐶

以上の基本形は，力学現象の他にも応用することができる。

これより，𝑡 → ∞のとき𝑞 → 0となる。よって，
𝑉，𝑖はそれぞれ，【応用例 1】
起電力𝐸の電池で充電した電気容量𝐶のコ
ンデンサーに，抵抗𝑅の抵抗を接続し，時刻𝑡 = 0のときスイッチ S を閉じて放電させたとする。コンデンサー両端の電位差𝑉と，流れる電流𝑖を時刻𝑡の関数として表してみよ
う。

+
𝑞

S

𝑉=

𝑡
𝑞
= 𝐸𝑒 −𝑅𝐶𝐶𝑖=

𝑉 𝐸 −𝑡= 𝑒 𝑅𝐶
𝑅 𝑅

または，
𝑡
𝑡
𝑑𝑞
1
𝐸
= −𝐶𝐸 (− ) 𝑒 −𝑅𝐶 = 𝑒 −𝑅𝐶𝑑𝑡
𝑅𝐶𝑅
𝑞 − 𝑡図，𝑉 − 𝑡図，𝑖 − 𝑡図は各自で確認してお

𝑖=−

こう。

𝑉
𝑅

⋯ (8)

−

𝑖

キルヒホッフの法則より，
𝑉 = 𝑅𝑖
時刻𝑡のときコンデンサーに蓄えられている
電気量を𝑞とすると，

さて，以上の展開はどこかで見たことがあ𝑞 = 𝐶𝑉
また，図の向きに電流𝑖が流れると電気量𝑞はるだろう。そう，【基本形 1】と同じである。

減少するため，

微分方程式なので，(1)式とよく似ている。

(7)式は，一次の項と一階微分の項からなる(1)式を変形すると

𝑑𝑞
𝑑𝑡
よって，キルヒホッフの法則は，
𝑖=−

𝑚

𝑞
𝑑𝑞
= −𝑅
⋯ (7)
𝐶
𝑑𝑡
となり，𝑞についての微分方程式となる。𝑡 =0のとき𝑞 = 𝐶𝐸として解くと，

𝑑𝑣
= −𝑘𝑣
𝑑𝑡

∴ 𝑘𝑣 = −𝑚𝑑𝑣𝑑𝑡1

すなわち，(1)式の𝑣に𝑞を， 𝑘に𝐶 を，𝑚に𝑅をそれぞれ代入したものが(7)式である。したがって，(1)の解(2)𝑘𝑣 = 𝑣0 𝑒 −𝑚𝑡に，これらを代入し，さらに𝑣の初期値𝑣0 に𝑞の初期値𝐶𝐸を代入すると，
1
𝑡
−𝐶 𝑡
𝑅
𝑞 = 𝐶𝐸𝑒= 𝐶𝐸𝑒 −𝑅𝐶となり，(7)の解(8)と一致する。式が同形なら，解き方も結果も同形なのである。

-7-

【応用例 2】
水平面に導体のレールを幅𝑙にして平行に置き，抵抗𝑅の抵抗を接続し，鉛直上向きに磁束密度𝐵の磁場を加えた。レール上に長さ𝑙，質量𝑚の導体棒を置き，図の右向きに初速度𝑣0 を与えた。導体棒の速度𝑣を時刻𝑡の関数として表してみよう。摩擦力や転がりについては考慮しないものとする。
𝐵2 𝑙2

𝑣 = 𝑣0 𝑒 − 𝑚𝑅 𝑡

𝐵

やはり，𝑡 → ∞のとき𝑣 → 0となる。

𝑅

𝑖

𝑙

さて，この例でのエネルギーについて考察してみよう。初めに初速度𝑣0 を与え，終端速1𝑣

度が0なので ， 2 𝑚𝑣0 2 の力学的エネルギーが速度𝑣のとき，導体棒に生じる誘導起電力の大きさ𝑉は，

失われ，ジュール熱に変換されたはずである。

𝑉 = 𝑣𝐵𝑙
流れる電流の大きさ𝑖は，

ジュール熱を実際に計算してみて，このことを確認してみよう。

𝑉 𝑣𝐵𝑙
=
𝑅
𝑅
また，その向きは図に示す向きである（レンツの法則，フレミングの右手の法則，導体棒𝑖=内の電子が受けるローレンツ力など）。導体
棒に電流が流れると，フレミングの左手の法則により，磁場から左向きに力を受け，その抵抗で消費する電力𝑝は，
𝑝 = 𝑅𝑖 2
ここで，電流𝑖は，𝑣𝐵𝑙 𝑣0 𝐵𝑙 −𝐵2𝑙2 𝑡
=
𝑒 𝑚𝑅
𝑅
𝑅
より，電力𝑝を時刻𝑡で表すと，𝑖=2

大きさ𝐹は，
𝐹 = 𝑖𝐵𝑙 =𝑣𝐵2 𝑙 2𝑅

𝑣0 𝐵𝑙 −𝐵2 𝑙2𝑡𝑣0 2 𝐵2 𝑙2 −2𝐵2𝑙2𝑡
𝑝 = 𝑅(𝑒 𝑚𝑅 ) =
𝑒 𝑚𝑅
𝑅
𝑅

𝑣𝐵𝑙
𝑣𝐵2 𝑙 2𝐵𝑙 =𝑅
𝑅
𝑁

導体棒に初速度を与えてから静止するまでに抵抗で発生したジュール熱𝑄は，

𝐵

導体棒

∞

𝑖

𝑄 = ∫ 𝑝𝑑𝑡
𝑣

レール

0

と表わされるので，

𝑚𝑔

∞

𝑄=∫

図の右向きを正とすると，運動方程式は，

0

2 2

𝑑𝑣
𝑣𝐵 𝑙
𝑚
=−
𝑑𝑡
𝑅
【基本形 1】と同じである。𝑡 = 0のとき𝑣 =𝑣0 2 𝐵2 𝑙 2 −2𝐵2 𝑙2𝑡
𝑒 𝑚𝑅 𝑑𝑡
𝑅∞=

2𝐵 2 𝑙2𝑣0 2 𝐵2 𝑙 2
𝑚𝑅[− 2 2 𝑒 − 𝑚𝑅 𝑡 ]
𝑅
2𝐵 𝑙
0

1
= − 𝑚𝑣0 2 (𝑒 −∞ − 𝑒 0 )2𝑣0 として解くと，

1= 𝑚𝑣0 22となることが確認できた。

-8-

＜演習 2-1＞
電気容量𝐶のコンデンサーと抵抗𝑅の抵抗を直列接続した直流回路を考えてみよう。電池の内部抵抗は無視し，起電力を𝐸とする。
初めコンデンサーは充電されていないものとし，時刻𝑡 = 0のときスイッチ S を閉じて充電させたとする。
抵抗に流れる電流𝑖，コンデンサー両端の電位差𝑉，蓄えられている電気量𝑞を，それぞれ時刻𝑡の関数として表せ。
𝑉
+

𝑅

−

𝑞

𝑖
S
𝐸

また，抵抗で消費する電力𝑝を時刻𝑡の関数として表し，ジュール熱𝑄が抵抗𝑅に依存せず，
1
𝑄 = 𝐶𝐸 22となることを確かめよ。

-9-

＜演習 2-2＞図のように，水平面に導体のレールを幅𝑙にして平行に置き，抵抗𝑅の抵抗，起電力𝐸の電池，スイッチ S を接続し，鉛直上向きに磁束密度𝐵の磁場を加えた。レール上に長さ𝑙，
質量𝑚の導体棒を置いて静止させ，時刻𝑡 = 0のときスイッチ S を閉じた。導体棒の速度𝑣，
抵抗に流れる電流𝑖を，それぞれ時刻𝑡の関数として表せ。摩擦力や転がりについては考慮
しないものとする。
𝐵
𝑅
𝑖

𝑉

𝐸
S
𝑣

- 10 -

＜演習 2-3＞
自己インダクタンス𝐿のコイルと抵抗𝑅の＜演習 2-4＞
電気容量𝐶のコンデンサーを充電し，自己抵抗を直列接続した直流回路を考えてみよう。電池の内部抵抗は無視し，起電力を𝐸とインダクタンス𝐿のコイルに接続して放電させる。このとき，図の電流𝑖と電位差𝑣を，時する。

刻𝑡の関数として表せ。ただし，電位差の最大抵抗に流れる電流𝑖を，スイッチを閉じて値を𝑉0 ，角周波数を𝜔，初期位相を𝜃とする。

からの時刻𝑡の関数として表せ。
𝑖

𝐿

𝑅
S

𝐿

𝑣

𝑖
𝐸

𝑞+

−

𝐶

- 11 -

＜演習 2-5＞
化学反応において，反応物Aのモル濃度を＜演習 2-6＞
時刻𝑡のときの原子核数を𝑁とすると，定数[A]とすると，反応速度𝑣は，𝑘(𝑘 > 0)を用いて，

𝑣=−

𝑑𝑁
= −𝑘𝑁
𝑑𝑡

𝑑[A]
𝑑𝑡

である。特に，
𝑣 = 𝑘[A]と書ける。
(1) 時刻𝑡 = 0における原子核数を𝑁0 とし，𝑁を𝑡の関数として表せ。

(𝑘は定数，𝑘 > 0)と書けるときを 1 次反応と呼ぶ。
時刻𝑡 = 0のときのAのモル濃度を[A]0 とし，

1(2) 原子核数が 2倍になる時間を半減期という。半減期𝑇を，𝑘を用いて表せ。

[A]を時刻𝑡の関数として表せ。

- 12 -

＜演習 2-7＞図のように，水平面に 2 本の導体のレールを幅𝑙にして平行に置き，電気容量𝐶のコンデンサーを接続し，鉛直上向きに磁束密度𝐵の磁場を加えた。
レール上に長さ𝑙，質量𝑚の導体棒 PQ を置
き，図の右向きに大きさ𝐹の一定の力を加え続け，レールと垂直な向きを保ちながら動かした。
初めコンデンサーは充電されておらず，導体棒 PQ の初速度は0である。
レールと PQ 間の電気抵抗と摩擦力，地球磁場，コイルに流れる電流による磁場の影響は無視できるとする。また，コンデンサーの耐電圧は十分に大きいものとする。
次の手順に従って，導体棒 PQ の速度𝑣を時刻𝑡で表せ。
P

𝐵

𝐶
𝐹

𝑙

Q

(1) 時刻𝑡のときコンデンサーに蓄えられている電気量を𝑞とする。𝑞を，𝐶，𝑣，𝐵，𝑙を用いて表せ。
(2) 時刻𝑡のとき PQ に流れる電流を𝑖とする。
導体棒 PQ についての運動方程式を，𝑚，𝑑𝑣
𝑑𝑡，𝐹，𝑖，𝐵，𝑙を用いて表せ。

(3) 𝑣を，𝑡，𝐹，𝑚，𝐶，𝐵，𝑙を用いて表せ。

- 13 -

𝑝C
𝑇
𝑝B A【応用例 3】図のように，体積変化が等しいとき，等温変化に比べ断熱変化の方が圧力の減少が大

ここで，断熱膨張では𝛥𝑇 < 0であることから，

きい。
圧力を𝑝，体積を𝑉とすると，

𝑇C < 𝑇Aとなるが，これを満たすには，
𝑝C < 𝑝Bでなければならない。すなわち，体積変化が等しいとき，等温変化に比べ断熱変化の方が𝑝

𝑝A∴ 𝑇C =

A

圧力の減少が大きい。
等温変化

以上の説明では，なぜ𝑝 − 𝑉グラフが図のような曲線になるのか不明のままである。

断熱変化
そこで，断熱変化における𝑝と𝑉の関係式
𝑝B

B

𝑝C

C

O

𝑉A

𝑉B

を導いてみよう。
熱力学第一法則より，
𝑉

𝑄 = 𝛥𝑈 + 𝑊
断熱変化では𝑄 = 0なので，

このことは，熱力学第一法則とボイル・シ
ャルルの法則を用いて説明することができる。

0 = 𝛥𝑈 + 𝑊
体積変化が微小のときは定圧変化とみなせるので，
𝑊 = 𝑝𝛥𝑉
また，定積モル比熱を𝐶𝑉 ，物質量を𝑛とする気体が外部から吸収した熱量を𝑄，内部エと，

ネルギー変化を𝛥𝑈，気体が外部にした仕事を𝑊とすると，熱力学第一法則は，

𝛥𝑈 = 𝑛𝐶𝑉 𝛥𝑇
より，熱力学第一法則は断熱膨張のとき，𝑄 = 0より，

0 = 𝑛𝐶𝑉 𝛥𝑇 + 𝑝𝛥𝑉と書ける。これは，

0 = 𝛥𝑈 + 𝑊
また，膨張するときは，

0 = 𝑛𝐶𝑉 𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑉と書いても同じことである。よって，𝑝𝑑𝑇 = −
𝑑𝑉 ⋯ ①𝑛𝐶𝑉

𝑊>0
より，
𝛥𝑈 < 0
すなわち，温度変化𝛥𝑇は，

ここで，気体定数を𝑅とすると，理想気体の状態方程式より，

𝛥𝑇 < 0となり，断熱膨張の時は温度が下降する。

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇両辺を温度𝑇で微分すると，さて，上図において過程 A→B は等温変化，
過程 A→C は断熱変化である。状態 A および

𝑑𝑝
𝑑𝑉
𝑉+𝑝
= 𝑛𝑅
𝑑𝑇
𝑑𝑇

B の温度を𝑇A ，状態 C の温度を𝑇C とすると，
ボイル・シャルルの法則より，
𝑝A 𝑉A 𝑝B 𝑉B 𝑝C 𝑉B
=
=
𝑇A
𝑇A
𝑇C

∴ 𝑉𝑑𝑝 + 𝑝𝑑𝑉 = 𝑛𝑅𝑑𝑇⋯②

①式を②式に代入すると，
𝑉𝑑𝑝 + 𝑝𝑑𝑉 = 𝑛𝑅 (−- 14 -

𝑝𝑑𝑉)𝑛𝐶𝑉

∴ 𝑉𝑑𝑝 = −𝑝 (1 +

𝑅
) 𝑑𝑉
𝐶𝑉

𝑝

⋯③

となり，断熱変化における熱力学第一法則は
𝑝，𝑉についての微分方程式となる。

等温変化
（反比例）
断熱変化
（二原子分子）

ここで，定圧モル比熱を𝐶𝑝 とすると，
1+

𝑅
𝐶𝑉 + 𝑅 𝐶𝑝
=
=
𝐶𝑉
𝐶𝑉
𝐶𝑉

断熱変化
（単原子分子）

となり，
𝐶𝑝
=𝛾
𝐶𝑉
とおくと，③式は，𝑉𝑑𝑝 = −𝑝𝛾𝑑𝑉
𝑑𝑝
𝑑𝑉
∴
= −𝛾
𝑝
𝑉
∴∫

𝑑𝑝
𝑑𝑉
= −𝛾 ∫
𝑝
𝑉

＜別解＞
状態方程式

∴ log 𝑝 = −𝛾 log 𝑉 + 𝐷 (𝐷は定数)

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇より，𝛾∴ log 𝑝 + log 𝑉 = 𝐷
𝛾∴ log 𝑝𝑉 = 𝐷
𝛾∴ 𝑝𝑉 = 𝑒

𝑉

O

𝑛𝑅𝑇
𝑉
これを①式に直接代入して，
𝑝=𝐷∴ 𝑝𝑉 𝛾 = 一定 (ポアソンの式)

𝑑𝑇 = −
単原子分子理想気体の場合，∴

5
𝐶𝑝 2 𝑅 5𝛾===
𝐶𝑉 3 𝑅 3
2

1 𝑛𝑅𝑇
∙
𝑑𝑉
𝑛𝐶𝑉 𝑉

𝑑𝑇
𝑅 𝑑𝑉
=− ∙
𝑇
𝐶𝑉 𝑉

⋯④

これを𝑇，𝑉の微分方程式として解くと，より，

𝑇𝑉 𝛾−1 = 一定5
𝑝𝑉 3 = 一定となる。

また，二原子分子理想気体の場合，改めて，状態方程式より

7
𝐶𝑝 2 𝑅 7𝛾===
𝐶𝑉 5 𝑅 5
2

𝑇=

より，

∴

7
𝑝𝑉 5 = 一定

𝑝𝑉𝑛𝑅

𝑝𝑉 𝛾−1𝑉= 一定
𝑛𝑅∴ 𝑝𝑉 𝛾 = 一定

これらの式をグラフ化すると次のようになる。

- 15 -

(3) 理論

3. 空気抵抗力を受ける落体の速さの測定実験＜演習 1-2＞より，位置を𝑦〔m〕，速度を𝑣〔m/s〕，終端速度を𝑣t 〔m/s〕，重力加速度の大きさを𝑔〔m/s2 〕とすると，時刻𝑡〔s〕は，
𝑦 𝑣
𝑡= +
𝑣t 𝑔

3-1 目的
アクリルパイプ内を初速度0m/sで落下す
る発泡スチロール球の速さ𝑣〔m/s〕を測定し，
𝑣 − 𝑦図と𝑣 − 𝑡図を作成する。（𝑦：落下距離である。

〔m〕，𝑡：時刻〔s〕）(4) 手順3-2 方法① 質量𝑚〔g〕の測定実験に用いる発泡スチロール球の質(1) 準備量を，電子天秤を用いて0.01gの桁まで

発泡スチロール球

または，

測定する。

発泡スチロール球殻（直径約25mm）（非弾性球）② 𝑣 − 𝑦図の作図

ビースピ V（速度測定器）
アクリルパイプ

位置𝑦のときの速度𝑣を測定する。
まず，ビースピ V を𝑦 = 0.10mの位置

スタンド
電子天秤

にはめ込む。球の中心がアクリルパイプの上端と同じ高さになるように持ち，静

パソコン
雑巾

かに手を放す。球に初速度を与えてしまったり，球がアクリルパイプの内壁に触れたりしたらやり直す。𝑦 = 0.10mでの速さの測定を3回行い記録しておく（処(2) 実験器具の設置
図のように設置する。スタンドでアク理をする際にはこれらの平均値を用いリルパイプを挟み，鉛直になるように慎る）。

重に調整する。

𝑦を0.10mずつ変化させながら同様に測定し，𝑦 = 2.00mまで行う。

発泡スチロール球

以上の結果をグラフ化したもの（𝑣 −ビースピ V𝑦図）から終端速度𝑣t を推定する。
③ 𝑣 − 𝑡図の作図(3)の式から，位置𝑦，速度𝑣のときの時刻𝑡を計算し，その値を横軸にとりグラフ化する。

スタンド④ 非弾性球の落下速度の測定
時間があれば，非弾性球についても同様に測定し，𝑣 − 𝑦図と𝑣 − 𝑡図を作成す
る。

アクリル
パイプ

(5) 処理雑巾

表計算ソフトの Excel を利用してグラフ化と指数関数へのあてはめを行う。

- 16 -

【Excel での処理】③ C3 から E22 まで測定結果を入力する。

① Excel を起動する。
② セル A1 から F1 までそれぞれラベル「t」「y」「v1」「v2」「v3」「v」を，C2 から
E2 まで数値「0」を入力する。いずれも半角英数である。次に，B2 から B22 ま
でにそれぞれ数値「0」から「2」までを0.1m刻みで入力する。次のようにすると速く入力できる。B2 と B3 にそれぞれ「0」「0.1」を入力する。

④ 測定した速さの平均値を計算し，F2 から
F22 ま で 入 力 す る 。 ま ず ， F2 に「=AVERAGE(C2:E2)」と入力する。

B2 と B3 を選択し，カーソルを B3 の右F2 を選択し，カーソルを F2 の右下に移下に移動する。カーソルの形が「+」になる。

動する。カーソルの形が「+」になる。

F22 まで下方にドラッグすれば自動的に計算式が入力され，計算結果が表示されB22 まで下方にドラッグすれば自動的に数値が入力される。

- 17 -る。

⑤ B1 から F22 までを選択し，「挿入」タブ⑦ これで𝑣 − 𝑦図ができた。これより終端速の「散布図」の左上のアイコンを選択する。

度𝑣t を読み取る（図の例では𝑣t = 2.4m/sとする）。

⑥ 余分な情報を表示しないように設定する。
「デザイン」タブの「データの選択」アイ
コンを選択する。

「データソースの選択」で「×削除」ボタンを 3 回押し，データ系列から v1，v2，
v3 を削除し，「OK」ボタンを押す。

- 18 -

⑧ 続いて，𝑣 − 𝑡図を作成する。
B24 から F24 までそれぞれラベル「m[g]」「m[kg]」「g」「k」「vt」を入力する。B25に電子天秤で測定した発泡スチロール球⑩ それぞれの位置のときの時刻 t を計算し，A2 から A22 まで入力する。まず，A2 にの質量（図の例では「0.26」g）を，D25「=B2/$F$25+F2/$D$25」と入力する

2に重力加速度の大きさ「9.8」m/s を，
F25 に𝑣 − 𝑦図から読み取った終端速度（図の例では「2.4」m/s）をそれぞれ入𝑦𝑣（これは(3)の式 𝑡 = 𝑣 + 𝑔 を反映した
t

ものである）。

力する。

⑨ 発泡スチロール球の質量𝑚〔kg〕と空気抵

A2 を選択しカーソルを A2 の右下に移動
すると，カーソルの形が「+」になるので，

抗の係数𝑘〔kg/s〕を計算する。まず，C25

そのまま A22 まで下方にドラッグすればに「=0.001*B25」と入力する。

自動的に計算式が入力され，計算結果が表示される。

次に，E25 に「=C25*D25/F25」と入力する。

- 19 -

⑪ A1 から F22 までを選択し，「挿入」タブ

⑬ これで𝑣 − 𝑡図が完成した。

の「散布図」の左上のアイコンを選択する。

⑫ 余分な情報を表示しないように設定する。
「デザイン」タブの「データの選択」アイ
コンを選択する。

「データソースの選択」で「×削除」ボタンを 4 回押し，データ系列から y，v1，
v2，v3 を削除し，「OK」ボタンを押す。

- 20 -

3-3 結果
発泡スチロール球
𝑡〔s〕

𝑦〔m〕

非弾性球

𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣
〔m/s〕 〔m/s〕 〔m/s〕 〔m/s〕

𝑦〔m〕

0.00

0.00

0.10

0.10

0.20

0.20

0.30

0.30

0.40

0.40

0.50

0.50

0.60

0.60

0.70

0.70

0.80

0.80

0.90

0.90

1.00

1.00

1.10

1.10

1.20

1.20

1.30

1.30

1.40

1.40

1.50

1.50

1.60

1.60

1.70

1.70

1.80

1.80

1.90

1.90

2.00

2.00

𝑚=

g，

𝑚=

kg

𝑔 = 9.80m/s2

𝑘=

𝑡〔s〕

kg/s， 𝑣t =m/s

- 21 -

𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣〔m/s〕 〔m/s〕 〔m/s〕 〔m/s〕

3-4 考察・ うまくいかなかった場合，その理由を考えてみよう。また，それを解決するための実験方法を考えてみよう。
・ 発泡スチロール球と非弾性球のグラフの違いについて整理しよう。
・ 空気抵抗力や，その比例定数𝑘はどんな物理量に依存するか考えてみよう。

- 22 -

② 放電

4. コンデンサーの放電実験

図 2 のように接続する。接続が完成した瞬間にストップウォッチをオンにする。以後，10sごとに電位差を3分間（時4-1 目的
コンデンサーを放電するとき，両端の電位間があれば5分間）測定する。

差𝑉〔V〕が，指数関数
𝐶 = 1.0F ＋ －𝑡
𝑉 = 𝐸𝑒 −𝑅𝐶 〔V〕（𝐸：充電した時の電位差〔V〕，𝐶：電気容量〔F〕，
𝑅：抵抗〔Ω〕，𝑡：時刻〔s〕）

＋

(3V)

V

－

で表わされることを検証する。

4-2 方法𝑅 = 68Ω または 2.0 × 102 Ω(1) 準備

図2

コンデンサー（𝐶 = 1.0F）
抵抗22Ω

③ 再度充電する。①と同様。
④ 抵抗を取り替えて放電させる。②と
同様。

⋯ 青灰黒

68Ω
2

⋯ 赤黒茶

2.0 × 10 Ω

放電時の回路ミノムシクリップ4本
単三乾電池2本(3) 理論【応用例 1】より，コンデンサー両端の電
位差〔V〕は，

電池ボックスストップウォッチ
直流電圧計
パソコン

𝑡

𝑉 = 𝐸𝑒 −𝑅𝐶 〔V〕
この実験では，𝐶 = 1.0F，𝐸 = 3.0Vだから，
𝑅 = 68Ωのときの理論値は，(2) 手順𝑡① 充電
コンデンサーは極性があるので注意する。灰色の帯に「－」と書いてある側が－である。図 1 のように接続し，2分以上待つ。

𝐸 = 3.0V

𝑅 = 22Ω

図1

𝑡

𝑉 = 𝐸𝑒 −𝑅𝐶 = 3.0𝑒 −68×1.0 = 3.0𝑒 −0.015𝑡 〔V〕
同様に，𝑅 = 2.0 × 102Ωのときは，𝑡−𝑡

𝑉 = 𝐸𝑒 −𝑅𝐶 = 3.0𝑒 2.0×102 ×1.0 = 3.0𝑒 −0.0050𝑡 〔V〕(4) 処理表計算ソフトの Excel を利用してグラフ化と指数関数へのあてはめを行う。

𝐶 = 1.0F＋ －充電時の回路- 23 -

【Excel での処理】③ B2 から B19 まで測定結果を入力する。

① Excel を起動する。
② セル A1 と B1 にそれぞれラベル「t」「V」
を，A2 から A19 までにそれぞれ数値「10」から「180」までを10s刻みで入力する。
いずれも半角英数である。
なお，次のようにすると速く入力できる。
A2 と A3 にそれぞれ「10」「20」を入力する。

④ A1 から B19 までを選択し，「挿入」タブ
の「散布図」の左上のアイコンを選択する。

A2 と A3 を選択しカーソルを A3 の右下に移動する。カーソルの形が「+」になる。

A19 まで下方にドラッグすれば自動的に数値が入力される。
⑤ グラフに表示されたいずれかの点上で右クリックし，「近似曲線の追加」を選択する。

- 24 -

⑥ 「指数近似」を選択し，「グラフに数式をこのままでは，指数の桁が少なく表示さ表示する」「グラフにR − 2乗値を表示する」

れているので，次のような操作をする。

にチェックして「閉じる」。

カーソルを数式の上に移動し右クリック
し，「近似曲線ラベルの書式設定」を選択する。

表示形式のカテゴリで「数値」を選択する。

⑦ 表示された数式を見やすい位置に移動する。

小数点以下の桁数に「4」を入力し，負の数の表示形式は「-1,234.0000」を選択する。

- 25 -

⑧ 表示された数式から，電位差の最大値𝐸と𝑡

指数− 𝑅𝐶 を読み取って記録する。グラフで𝑡は電位差𝑉は「y」，指数− 𝑅𝐶 は「− (数値) x」と表示されるので，図の例では
𝐸 = 2.5V−𝑡= −0.0047𝑡
𝑅𝐶∴ 𝑉 = 2.5𝑒 −0.0047𝑡 〔V〕である。なお，R2は関数への当てはめの割合を表す数値で，R2が1に近いほど，結果がよりその関数（この場合は指数関数）に近いことを表す。

⑨ 以上の処理を68Ωの場合と2.0 × 102 Ωの場
合について行う。時間があれば 2 つのグラフを見やすく配置し，体裁を整える。

- 26 -

4-3 結果
𝑅 = 2.0 × 102 Ω

𝑅 = 68Ω
𝑡〔s〕

𝑉〔V〕

𝑡〔s〕

𝑉〔V〕

𝑡〔s〕

𝑉〔V〕

𝑡〔s〕

10

160

10

160

20

170

20

170

30

180

30

180

40

190

40

190

50

200

50

200

60

210

60

210

70

220

70

220

80

230

80

230

90

240

90

240

100

250

100

250

110

260

110

260

120

270

120

270

130

280

130

280

140

290

140

290

150

300

150

300

測定値（𝑡〔s〕の関数で書く）

測定値（𝑡〔s〕の関数で書く）

𝑉=

𝑉=- 27 -

𝑉〔V〕

4-4 考察・ 理論値と測定値を比較してみよう。
・ 68Ωの抵抗で放電させたときと，2.0 ×
102 Ωの抵抗で放電させたときの結果をまとめ，その理由を考えてみよう。

- 28 -

以下は，その数値計算を，表計算ソフト

5. 微分方程式の数値解

Excel を利用してやってみよう。
いくつかの物理現象について微分方程式を用いて考察してきたが，これまでに取り扱

例った微分方程式は，高等学校の数学の知識を応用すれば解くことができるものであった。

動を考えてみよう。ここでは，

ここでは，高校数学では解けない複雑な微分方程式の解を，数値計算によって求める方法（オイラー法）を紹介しよう。
時刻𝑡での速度を𝑣とすると，運動方程式
𝑑𝑣
𝑚
=𝐹
𝑑𝑡
より，
𝐹
𝑑𝑣 = 𝑑𝑡𝑚となる。これは，微小時間間隔𝑑𝑡の間に，速度が𝐹𝑚

等加速度直線運動
まず，微分方程式が簡単な等加速度直線運

𝐹

加速度

𝑚

微小時間間隔
初速度
初期位置
とする。

=1

𝑑𝑡 = 0.1
𝑣0 = 0𝑥0 = 0【Excel での処理】(1) Excel を起動する。
(2) 初期条件とラベルを入力する。全て半角英数で入力する。

𝑑𝑡 だけ変化することを意味している。したがって，時刻𝑡の𝑑𝑡後の速度は，
𝐹𝑣 + 𝑑𝑣 = 𝑣 + 𝑑𝑡𝑚となる。
また，時刻𝑡における位置を𝑥とすると，
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑡
より，
𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡となるので，時刻𝑡の𝑑𝑡後の位置は，
𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑣𝑑𝑡となる。
これらの速度と位置の数値を用いて，さらに𝑑𝑡後の速度と位置を計算して，その数値を(3) 数値計算の表を作成する。

用いてさらにその𝑑𝑡後の速度と位置を計算
し･･･。
すなわち，次の瞬間の速度と位置を，逐次数値計算していくことで物体の軌道を決めることができるのである。

① ラベル下の 1 行目に，時刻・速度・位置の初期値を入力する。
・ 時刻の初期値は0とする。
・ 速度と位置の初期値は，初期条
件のセルを参照する。このようにすれば，後で初期値を変更したときに表に反映される。

ただし，この方法では，本来，限りなく0に近いはずの𝑑𝑡に数値を代入してしまうため，正確な解は得られない（厳密には上記の微小時間間隔は有限の値のため，𝑑𝑡ではなく𝛥𝑡と書くべきである）。数値計算で微分方程式の解を求めるときは，𝑑𝑡をなるべく小さい数値に設定すると，解析的に求めた解（解析解）に近い値が得られる。

- 29 -

数値の 0 をそのまま入力数値の 0 ではな
く，初速度が入力されているセ
ルの番地
「=B3」
を入力

数値の 0 ではな
く，初期位置が入力されている
セルの番地
「=B4」
を入力

② 初期値を入力した行の下の行に数式(4) 𝑣 − 𝑡グラフを作成する。

を入力する。

① 数値の表をラベルから最下行まで選択し，「挿入」タブの「散布図」の左上のアイコンを選択する。

前の時刻に dt を足せばよいので「=A7+$B$2」を入力

前の v に dv を足せばよいので「=C7+B8」を入力

運動方程式より
dv=（F/m）dt なので「=$B$1*$B$2」を入力
このセルに入力する数式
は運動方程式の形に応じて決まる

前の x に dx を足せばよいので「=E7+D8」を入力

dx=vdt より「=C8*$B$2」を入力② 不要なグラフを削除する。
（したがって他の運動を考えるときは，このセルへの入力を変更すればよい）

まず，「デザイン」タブの「データの選択」アイコンを選択する。

③ 数式を入力した行（例では 8 行目）の時刻 t から位置 x までのセルを選択し，50 行くらいコピーする（何行
コピーしてもよい）。

「v」以外を削除する。

次のように操作すると楽である。カー ソ ル を 範 囲 の 右 下 に移 動 す る と「+」の形になるので，その地点から下方にドラッグする。

- 30 -

③ 好みに合わせて軸やデータ系列の書式を変更する。
(5) 𝑥 − 𝑡グラフを作成する。(4)と同様だが，系列タブは「x」以外を削除する。

＜演習 5-1＞
空気抵抗を受けて落下する物体の𝑣 − 𝑡グ
ラフと𝑥 − 𝑡グラフを描け。ただし，𝑡 = 0のとき，𝑣 = 0および𝑥 = 0とする。
ヒント：セル B8 の数式を考えよ。

(6) 初期条件を変更してみて，いろんなパターンのグラフを見てみよう。

＜演習 5-2＞
ばね振り子の𝑣 − 𝑡グラフと 𝑥 − 𝑡グラフを描け。

＜演習 5-3＞
空気抵抗を受けるばね振り子の𝑣 − 𝑡グラ
フと𝑥 − 𝑡グラフを描け。

＜演習 5-4＞単原子分子理想気体の断熱変化の𝑝 − 𝑉グ
ラフを描け。また，数値計算によるグラフと解析解のグラフを比較せよ。

＜演習 5-5＞
化学反応において，反応物Aのモル濃度を[A]とすると，反応速度𝑣が，𝑣 = 𝑘[A]2(𝑘は定数，𝑘 > 0)と書けるときを 2 次反応と呼ぶ。このとき，
𝑑[A]= 𝑘[A]2𝑑𝑡である。2 次反応における[A] − 𝑡図を描け。
−- 31 -

＜演習 5-6＞
地球から万有引力を受けて運動する人工ヒント：・ 𝑥成分，𝑦成分について考える必要がある

衛星の軌道を描け。
ただし，話を簡単にするため，以下のようので，表で必要な数値の項目は，
𝑡，𝑑𝑣𝑥 ，𝑣𝑥 ，𝑑𝑥，𝑥，𝑑𝑣𝑦 ，𝑣𝑦 ，𝑑𝑦，𝑦に考えてよい。

である。グラフ化するときは𝑥の列から・ 地球は人工衛星に比べてはるかに質量が𝑦の列までを選択し，𝑑𝑣𝑦 ，𝑣𝑦 ，𝑑𝑦の系列大きいため，原点 O に固定してよい。
・ 人工衛星の軌道は𝑥𝑦平面内で行われるとを削除する。
・ 行数を多くする。例えば𝑑𝑡 = 0.05の場合

し，軌道は𝑦 − 𝑥グラフとして表現せよ。
・ 軌道の形がわかればよいので，万有引力

は 1000 行くらいが目安。

定数，地球の質量，初速度，初期位置などは，正確な数値でなくてもよい。
𝑦
𝐹𝑥

𝑦

人工衛星
質量𝑚

軌道（𝑦 − 𝑥グラフ）が完成したら，初期条件を変更してみよう。

𝐹𝑦
𝐹

地球
質量𝑀

𝑥

O

𝑥

万有引力の法則より，
𝐹=𝐺

𝑀𝑚
𝑀𝑚
=𝐺 2
𝑟2
𝑥 + 𝑦2

成分に注目すると，万有引力の𝑥成分は，
𝑀𝑚𝑥𝐹𝑥 = −𝐺 2∙2
𝑥 + 𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2
なので，運動方程式は，
𝑑𝑣𝑥
𝑀𝑚
𝑥
𝑚
= −𝐺 2∙2𝑑𝑡
𝑥 + 𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2
よって，
3

𝑑𝑣𝑥 = −𝐺𝑀𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 )−2 𝑑𝑡
同様に，
3

𝑑𝑣𝑦 = −𝐺𝑀𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 )−2 𝑑𝑡となる。

- 32 -

＜演習 5-7＞
最後は，生物分野における微分方程式の応用を考えてみよう。
ここで取り上げるのはロトゥカ・ボルテラ方程式と呼ばれるもので，捕食者と被食者の増減関係を単純化して表した微分方程式である。生態系における生物の個体数をモデル化することができる。
例えば被食者をワカサギ，捕食者をオオク
チバス（一般にはブラックバスと呼ばれる）としてみよう。
𝑥：ワカサギの個体数
𝑦：オオクチバスの個体数とすると，ワカサギの増殖速度は，𝑑𝑥= 𝛼𝑥 − 𝛽𝑥𝑦𝑑𝑡と書ける。𝛼𝑥はワカサギの個体数が自然に増加することを，−𝛽𝑥𝑦はオオクチバスに補食されることによって減少することを表現したものである。
また，オオクチバスの増殖速度は，𝑑𝑦= −𝛾𝑦 + 𝛿𝑥𝑦𝑑𝑡と書ける。−𝛾𝑦はオオクチバスの個体数が自然に減少することを，𝛿𝑥𝑦はワカサギを補食することによって増加することを表現したものである。
横軸に時刻𝑡をとり，ワカサギの個体数𝑥とオオクチバスの個体数𝑦を一つのグラフに表せ。さらに，ワカサギ，オオクチバスともに絶滅しないような定数𝛼，𝛽，𝛾，𝛿，及びそれぞれの個体数の初期値𝑥0 ，𝑦0 を見つけよ。

- 33 -

6. 参考文献
東京理科大学理学部第二部物理学教室．物理学実験入門編．内田老鶴圃．2008．

野崎亮太．道具としての微分方程式．日本実業出版社．2004．
山本義隆．増補改訂版

新・物理入門．駿台文庫．2004．

河合塾物理科．物理教室

改訂版．河合出版．2004．

田原真人．微積で楽しく高校物理がわかる本．秀和システム．2006．
卜部

吉庸．理系大学受験

化学の新研究．三省堂．2013．

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