原⼦核物理学１
2019/12/4 資料
原⼦核物理研究室
三輪浩司§9 クォーク模型

新しい粒⼦(ハドロン)の発⾒
V字粒⼦の発⾒1次宇宙線(⾼エネルギーの陽⼦)にさらした霧箱でV字の軌跡が確認された
霧箱では電荷を持つ粒⼦の軌跡を測ることが出来る
電荷を持たないので検出器では⾒えていない

K0p-

電荷を持たない粒⼦が、電荷を持つ2つの粒⼦に分かれる場合

p+K+電荷を持つ粒⼦が、電荷を持つ粒⼦と電荷を持たない粒⼦に分かれる場合

nµµ+

新しい粒⼦(ハドロン)の発⾒
V字粒⼦の発⾒⾼エネルギーに加速されたビーム(p-)を、⽔素の泡箱に照射した時の反応の写真。
泡箱というのも、電荷を持っている粒⼦の軌跡を測定できる。

この中性粒⼦は、⽬で⾒えるくらいの距離(~cm)を⾶んでいる。
速度を光速と仮定すると、⾶⾏している時間は𝑡=

3 𝑐𝑚= 10-)* 𝑠)*
3×10 𝑐𝑚/𝑠

この時間スケールは、粒⼦の⽴場で⾒ると⾮常に⻑い

V字粒⼦は弱い相互作⽤で崩壊している新しい粒⼦(ハドロン)の発⾒p+p

様々な反応粒⼦の組み合わせで不変質量を測定する

粒⼦1 : 4元運動量 p1

M122 = (p1+p2)2

粒⼦2 : 4元運動量 p2
粒⼦3 : 4元運動量 p3M232 = (p2+p3)2

共鳴の幅
このような不変質量の分布を調べると、粒⼦の共鳴状態に対応するピークが次々と発⾒される共鳴の幅~100 MeV程度

寿命は、エネルギーと時間の不確定性関係(DEDt~ℏ)から

Δ𝑡 =ℏ)** 012=

ℏ3)**01243~ 10-67 𝑠

崩壊幅の広い粒⼦は強い相互作⽤で崩壊している新しい粒⼦(ハドロン)の発⾒
様々な粒⼦の発⾒ à 内部構造を持つ複合粒⼦

寿命の短い粒⼦ à 強い相互作⽤で崩壊
寿命の⻑い粒⼦ à 弱い相互作⽤で崩壊
u, dクォーク以外の新しいクォークを含む粒⼦

ここでは、u, dに加えて、次に質量の重たいストレンジ(s)クォークまで含んだハドロン(バリオン、メソン)の説明

クォーク模型によるバリオンの分類
バレンスクォークと海クォーク
バリオンは3つの構成⼦クォークからなると仮定
裸のクォークがグルーオンや海クォークの⾐をまとったもの
構成⼦クォークでは
Mu = Md ~ 300 MeV/c2

構成⼦クォーク

ちなみに、
Mp = 938 MeV/c2, Mn = 939 MeV/c2なので、構成⼦クォークのu, dの質量が同じという仮定は妥当

バリオンの波動関数に対する対称性
軌道⾓運動量L=0の場合クォークの種類(アイソスピンの波動関数)•(スピンの波動関数)•(カラーの波動関数)
２つの積は完全対称でなければならない

⼀番初めに、これを満たすと考えられるのは(アイソスピンの波動関数) à 対称
(スピンの波動関数) à 対称の場合

完全反対称スピン1/2の3つの粒⼦の合成
スピン1/2の粒⼦を3つ組み合わせると、合成スピン3/2と1/2が出来る。
合成スピン3/2となるのはスピン上向を |↑> (|+>)、スピン下向きを|↓> (|->)

3 3| , > = | ↑↑↑>
2 23 1
1| , >=(| ↑↑↓> +| ↑↓↑> +| ↓↑↑>)
2 233 1
1| ,− > =(| ↑↓↓> +| ↓↑↓> +| ↓↓↑>)
2 2
33 3| , − > = | ↓↓↓>
2 2

昇降演算⼦J-を作⽤させる

𝐽± 𝑗, 𝑚 > =𝑗 𝑗 + 1 − 𝑚 𝑚 ± 1 𝑗, 𝑚 ± 1 >これはどの2つの粒⼦を⼊れ替えても対称になっている

アイソスピン(u <-> d)
構成⼦クォークのアップクォークとダウンクォークは同じ質量を持つ。
アップとダウンは、同じ粒⼦の別の状態と⾒ることが出来る。
類似の例として
スピン1/2の粒⼦の|+>(|↑>)と|-> (|↓>)が同じ粒⼦のスピン上向きと下向きという状態がある
アイソスピンの上向きを下向きをアップクォークダウンクォークとみなす

対称性はアイソスピンの合成も、スピン1/2の合成も同様|+> --> |u>|-> --> |d>とすれば良いアイソスピン1/2の3つの粒⼦の合成
u, dの2種類のクォークを使って、合成のアイソスピンが3/2となる組み合わせを考える|↑> --> |u>と対応されればアイソスピンの表現になる|↓> --> |d>
スピンの場合アイソスピンの場合

合成スピン3/2となるのは合成アイソスピン3/2となるのは

3 3| , > = | ↑↑↑>
2 23 11| , >=(| ↑↑↓> +| ↑↓↑> +| ↓↑↑>)
2 233 11| ,− > =(| ↑↓↓> +| ↓↑↓> +| ↓↓↑>)
2 233 3| , − > = | ↓↓↓>
2 23 3| , > = |𝑢𝑢𝑢 >2 23 1
1| , >=(|𝑢𝑢𝑑 > +|𝑢𝑑𝑢 > +|𝑑𝑢𝑢 >)2 233 1
1| ,− > =(|𝑢𝑑𝑑 > +|𝑑𝑢𝑑 > +|𝑑𝑑𝑢 >)2 233 3| , − > = |𝑑𝑑𝑑 >2 2

スピン、アイソスピンともに対称な場合は、この⼆つを組み合わせても対称になる

デルタ(D)粒⼦
軌道⾓運動量L=0(アイソスピンの波動関数)•(スピンの波動関数)•(カラーの波動関数)
完全対称

完全対称

完全反対称

この状態がD粒⼦に対応する
3 3| , > = |𝑢𝑢𝑢 >4 | ↑↑↑>
2 2

3 1
1| , >=(|𝑢𝑢𝑑 > +|𝑢𝑑𝑢 > +|𝑑𝑢𝑢 >) 4 | ↑↑↑>
2 233 1
1| ,− > =(|𝑢𝑑𝑑 > +|𝑑𝑢𝑑 > +|𝑑𝑑𝑢 >) 4 | ↑↑↑>2 233 3| , − > = |𝑑𝑑𝑑 >4 | ↑↑↑>
2 2= D++= D+= D0

アイソスピンのz成分
は粒⼦の電荷の違いを表す= D-

ここは合成アイソスピンとz成分だけを書いている

D粒⼦のスピンは3/2(3つのクォークのスピンの向きはそろっている)になる陽⼦・中性⼦の場合は合成されたアイソスピンの⼤きさが1/2の状態に対応する
この場合(アイソスピンの波動関数)•(スピンの波動関数)•(カラーの波動関数)
完全対称

完全対称

完全反対称

これは出来ない。
実際には(アイソスピンの波動関数)•(スピンの波動関数)•(カラーの波動関数)
部分対称

部分対称

完全反対称

合わせて対称
スピン上向の陽⼦のスピン、アイソスピンの波動関数を書くと| p ↑>=

1[uud(↑↓↑+↓↑↑−2 ↑↑↓) + udu(↑↑↓+↓↑↑−2 ↑↓↑)18+duu(↑↓↑+↑↑↓−2 ↓↑↑)]バリオンの分類
これらの粒⼦を横軸をアイソスピンのz成分として表す
D-D0Tz=-3/2

Tz=-1/2

Tz = 0D+

Tz=1/2

D++ アイソスピンのZ成分
Tz
Tz=3/2nTz = 0

Tz=-1/2p

Tz=1/2Tzバリオンの分類
これらの粒⼦を横軸をアイソスピンのz成分として表す
さらにストレンジクォークの種類も加える
D-D0D+

D++ アイソスピンのZ成分
Tz

npTz

ストレンジクォークの数
ストレンジクォークの数

バリオンの分類
これらの粒⼦を横軸をアイソスピンのz成分として表す
さらにストレンジクォークの種類も加える
D0D-

D+

D++ アイソスピンのZ成分

npS0L

Tz

S-

S*

X*

X0W-

Tz

S+

X-

ストレンジクォークの数
ストレンジクォークの数

バリオン10重項 (スピン3/2)

バリオン8重項 (スピン1/2)

これらの分類は、u, d, sクォークを同⼀粒⼦の異なる状態とみなした対称性の上での分類。
クォークの種類のことをフレーバーと呼ぶので、フレーバーSU(3)対称性と呼ばれる。

D0

バリオンの質量バリオン10重項 (スピン3/2)
D+バリオン8重項 (スピン1/2)

D++
Tz

n

D: 1239 MeV/c2p

Tz

p: 938 MeV/c2

DM = 142 MeV/c2

S*

S*: 1381 MeV/c2

S-

S0S+L

DM = 148 MeV/c2

X*

W-

DM = 167 MeV/c2

X*: 1529 MeV/c2
DM = 153 MeV/c2

質量差DM = 216 MeV/c2
L: 1116 MeV/c2
S0: 1192 MeV/c2X0

W-: 1682 MeV/c2

ストレンジクォークの数

X-

X-: 1321 MeV/c2

ストレンジクォークの数

u, d クォークがsクォークになるたびに、質量が約150 MeV/c2ずつ重たくなっている。
sクォークの質量はu, dクォークに⽐べ約150 MeV/c2重たい。
Mud = 300 MeV/c2

Ms = 450 MeV/c2

W-の発⾒クォーク模型の予⾔として、最後まで未発⾒だったのがW-。
質量まで予⾔通りの値で、発⾒されて、クォーク模型が⼤きな成功を収めた。

クォークの種類が同じでスピンの構成要素が異なる場合の質量差p(陽⼦)D+(デルタ)𝑢 ↑ 𝑢 ↑ 𝑑 ↓ 938 MeV/c2𝑢 ↑ 𝑢 ↑ 𝑑 ↑ 1232 MeV/c2L(ラムダ) 𝑢 ↑ 𝑑 ↓ 𝑠 ↑S0(シグマ) 𝑢 ↑ 𝑑 ↑ 𝑠 ↓1116 MeV/c2
1192 MeV/c2クォークはスピンが揃った⽅が、エネルギー的に⾼くなる(不安定)軽いクォーク間でスピンが揃っていた⽅が、エネルギー的に⾼くなるクォーク間のスピン・スピン相互作⽤によるスピン(パウリ)⾏列
𝜎O 4 𝜎P
4𝜋 ℏ7𝑉HH =𝛼M𝛿(𝑥)9 𝑐𝑚O 4 𝑚P
強い相互作⽤の結合定数𝑖番⽬のクォークの質量𝑗番⽬のクォークの質量クォーク間は、出来る限りスピンを反平⾏にした⽅が安定。
スピン・スピン⼒は軽いクォークほど強い。

中間⼦の分類𝑢, 𝑑, 𝑠までの3つのクォークとT𝑢, 𝑑,̅ 𝑠までの3つの反クォークを組み合わせて
̅クォークと反クォークのペアを作る。
エネルギーの⼀番安定な状態はスピン0の状態
̅K0 (𝑑 𝑠)T)p- (𝑑 𝑢p0̅
K+ (𝑢 𝑠)̅p+ (𝑢 𝑑)h,h’Tz12(𝑢𝑢T − 𝑑𝑑)̅K-(𝑠𝑢T )_̅
K0 (𝑠𝑑)
ストレンジクォークの数