1989｛軍1月1911
係数皿………・一1

保険数学I（問題）1

n年満期養老保険（保険金年末払）において、P，、V料およびt年度末純保険料式責任準備金とする士は予定利率i、予定死亡率q

同様に、Pによる年払純保険、、VIは予定利率ポ、子定死亡率qによる年払純保険料およびt年度末純｛果険料式責任準備金とする．

いま、（P

一Pi｛工十i〕一｛｛q．，・。一q，＾〕｛1一、．、V〕一（、V＋P〕｛ピーi〕がすべてのtに対して定数であるという．

このとき、・V

2と・Vの閥にどのような関係が成り立つか．

（20点〕

次の給付を行なう親子連生保険（保険料全期払、保険金即日寺払〕の年払純保険料および純保険料式責任準備金を求めよ。

なお、予定死亡率は子供、父親、周親とも同一とし、契約時年齢は子供X歳、父親y歳、母親Z歳、保険期間n年とする．

（1〕子供が死亡した場合・死亡日までの経過年数t（端数月切り上げ〕によりlt／n〕・S（Sは保険金額〕を支払い保険契約は消滅する．

（2〕子供が満期まで生存した場合、満期保険金Sを支払う，｛3）父親が死亡した場合、死亡保険金Sを支払い、かつ、その後の保険料は免除し、また、保険料払込応当日に子供の生存を条件にO．1Sの年金を保険期閥中支払う．

14〕母親が死亡した場合・死亡保険金O・5Sを支払う．

〔20点〕

3・死亡に対しては｛果険金1、経過tでの解約に対しては返戻金W、を即時に支払うn年満期の保険を考える。
このとき、（1〕死亡率の他に解約率も保険料の計算に折り込んだ場合のX歳加入の一時払保険料を戸とするとき、戸を死力（ μ川〕、解約による瞬間脱退力（ ω，川〕、利力（ δ 〕を用いて表わせ．
｛2〕W・三Aパーnとすると、戸＝A土1司となることを〔1）を用いて計算によって示せ。
ここで・Aは死亡率及び利率のみを計算基礎とする給付現価を表わす。

（20点）

4．次の川〜18〕にあてはまる算式を所定の解答黒紙に記入せよ，
坦要。をX歳の健康者数、2曼。＋である。

以⊥三次に、（20点〕

をX歳の要介護者数とするとき、ρ泓Ilp圭をX歳の要介護者のn年後の生存確率とすれば、X歳の要介護者〃のうち、n年後の生儲数は、［ユエ］である。
また、X歳のムのうち、n年後の生存者数は2。。。である。の生存者数は［工…エコである。
いま、・パ

従ってX歳の健康者坦実Oのうち、n年後をX歳の健康者のn年後の生存礒率とすれば、．、パ・［■エコ
一方、2亘。。＝ρ饅。P。であるから、この式は・パ・［■エコとなる．

ここで次のように年金現価を定義する．

d宴：

X歳の健康者が生存する限り支払われる年始払年金の年金現価d士：

X歳の要介護者が生存する限り支払われる年始払年金の年金現価

δ実O＝

X殻の健康者が健康である期間中支払われる年始払年金の年金現価α負上二

X歳の健康者が要介護者となった年末から生存中支払われる年末払年金の年金現価

一67一

係数皿…・

以上の定義から・1一Σ…パー［画］αい［Oコδ1一一一（・〕また、口宴㌧である．

δ要一鮒

…一・・一一一一一一一一一一一（B〕｛B〕に（A〕を代入すると、

α実上・〔瓦］（7〕の式をN・ヨN実。＋N峯の関係を用いて表わすと

α1㌧［壷エコを得る．

ただし、要介護者は健康者に回復することはないものとする。

5

養老保険において、Vチルメル割合。が、αは純保険料式責任準備金、V〉は全期チルメル式責任準備金とする，

P、・．、r1□一P二三確を満たすとき、、V、、．，丁1と、．、Vを述べよ．

、、刃の大小関係（20点〕

一68一・2

（解…答1夜の保贋彙菱史学I

1．両基礎率によるファグラーの式はそれぞれ次式で表わされる。
（tV＋P）（1＋i）：q、、t＋P買。t・川V一一一一一一…一一一一……一①（tV・十P・）（1＋itV）＝q、、t＋P、。t・川V

一一一一一一…一一一一…一一一②＝tV＋△・Vとおいて②式に代入すると（tV＋△tV＋P②）（1＋i）＝q、、t＋P

買パ・（t．1V＋△t・lV）一一②から①を辺々引いて整理すると（P，一P）（i＋i，）一｛（q，、、t−q、、t）

一（tV＋P）（i一i）｝

左辺をR。、1とおいて、繭辺にパD
パD貝、tRt，1＝D＝P（1−t．1V）、、t・△t．1V一（1＋i）△tV、、。を乗じると、、t，1・△t，1V−D

買、t・△tV一一……一一一一一一③③式において、t＝Oからτ一五までを代入すると
t＝Oのとき妙

t＝1のときt＝2のときt：τ一1のとき

R1＝D、、1・△一V−D、パD

文、lR2＝D、、2・△2V−D以、ド△lV

砂D。、2R3＝D

其、3・△3V−D。、2・△2V

D、、τ．1R。：D。、τ・△τV−D砂

D買・△oV買、。．一・△。．一V

これらを辺々加えると④

い1

ΣD 民、tRt，1：D 。、。・△τV−1⊃㌧・△oV
t＝o
一一1△oV＝Oだから、パΣD 。、tRt，1：D
t！0、、、・△τV

1・・△τV＝D

τ．1・パΣD 。、tRt，1一一一一④買、τ

一69一tミ。

同様に、⑧式において、t：Oからn−1までを代入して辺々加えると、on−iΣD 。、tRt，1＝Dt＝oヌ、。・△。V−D。・△oVn−1
ΣD㌧、tRt，1：Ot；o
題意よリ、Rt，1はすべてのtに対して定数であるから Rt，1≡O△。V＝△oV＝Oだから右辺はOゆえ、従って④式よリ△。V；Oとなる。

すなわち、両基礎率による責任準備金tVと・Vは常に等しい。

（以上）

2．求める隼払純保険料をPとすると、収入の現価は、条件（1）、（3）よリ
子供xと父親yが共存するときに収入されるから、P・色ソ。＝司である。

次に支出の現価を考えると、次の4式の和である。

（1）の給付の現価は、

1

1

S・一・一幅。一頁。、、一nM。、。）

DヌnD。、。
（2）の給付の現価は、S

D．
M。↓一M。、。，。二。

（3）の給付の現価は、S・十〇．五S（a、司一a．買。→Dw
M買圭一M。、。．。ユ。

（4）の給付の現価は、O．5SD文。
S

収支相等の原則により、P：｛a。。、司十膿一M川．リ1・

十0．1・D貝リ

11．一Gミ貝■R、、、D。。。

nM貝、。）十

D．n．．

D其．．

M1圭一M・・…↓・（a、司一a、、→十〇．5・一一70一．

D、、｝

次に、求める第t保険年度末純保険料式責任準備金をVとすると、次の4とおりの場合に分けて考える。

1）保険料払込中（子供x、父親y共存）で、①母親Zが生存の場合

1

tV；S・一・一

1

D川n

D。。t

僚、、t一頁、、、十tM、。t−nM岩。、）十S・D。、tM。、t．。工t−M盲、。．リ↓。

十S・十〇．1S・（a、、t岡一a、、t．y，t→D肘t．リ。t凪、。．。‡。一軌、。，。ユ。

十〇．5S・P・a。。twt岡D。。t．z．t②母親Zが死亡の場合

1

tV＝S・一・一

1

D。。。

nD。・t

（頁、、t一肩、、、十tM買、t−nMヌ、、）十S・

D貝、tM届、t，y↓rM川．ソ↓。

十S・十〇．1S・（a、、t同一a、、t．リ、t−D肘t．wt−p・ax，t．州t：同2）保険料払込免除後（子供x生存、父親y死亡）で、①母親Z力性存の場合
tV＝S・

1

1

D。・。

（頁、、t一頁買。、十tM其・t−nM。・。）十S・
D、、t nM。、t．z二rM。。。．z二。
十〇．1S・乞x，t：岡十〇．5S・D。。t、。。t

一71一D・パ②母親Zが死亡の呂合11D干・・

tV＝S・一・一 （1ミ貝、t一頁ヌ、。十tM、、t−nM。、、）十S・D。。t n
D肘t＋O．1S・色x，t＝岡n3．（1）一δt戸＝∫eT〕

・tP、・（μ。、t＋ω、、tWt）do

ここで（2）

（以上）

d

一一一一①

tt川一∫（μ。、。十ω。、τ）dτ

tP其；eo（1）より
n一δt戸＝∫eT〕

・tn

P貝・μ、、td

δtt＋∫eoT〕

・t

P貝・ω買、tWt

は一∫ω買、。dτtoと書ける。
tいま、t一∫μ、、工dτp、＝eo＝T〕

およびttp、＝eoとすると、はtP。＝tP貝・tP。

一一一…一…一一……一一一一一一一一一一一一一……一…一②と表わされる。
n 一δt （T〕
①式右辺の第1項＝∫e・t p。・μ貝、。dton＝∫e一δt・t

p買・tはp買・μ、、tdt（②を代入）

on＝∫

一δt（etはP、．μ、、。）．。P，dt（項の入替）○はn＝［酉二i・tはnp、］十∫凧η・toon■p、・ω、、tはdt（部分積分）：瓦、司・、P、十∫瓦、確・tP、・ω、、tdt一一一一……一一③o

一72一一δt
一方、題意よリW。＝頁、↓。＝間とすると瓦、司＝瓦、η十e ・。p、・Wt−6tが成り立つから、移項すると、e ・。p。・Wt＝瓦、r瓦＝司一一一一一一④n一δt①式右辺の第2項＝∫e・t｛τ，p、・ω・、tWt

dton

一δt：∫e．tはp其．tp。．ω。、tWtδt（②を代入）

on

一母t＝∫

（e・tはp、・Wt）（tp其・ω其、t）dt（項の入替）

onは＝∫（瓦、r凧、tp其・ωヌ、tdt（④を代入）○＝A二、糀

はn［一tP、］
oはn

一一∫A二、司・tP、on

は・ω、、tdt

は＝瓦、司（1一。P。）一∫瓦、確・tP貝・ω。、tdt一一一一一一⑤

o
③、⑤より

戸：③十⑤＝烈、司となることが示された。
（以上）

4．

X歳の健康者中、n年後も健康である者

一1、日a：X歳の健康者数

x歳の健嬢老中、n年後までに要介議となる者

1，ii：X歳の要介護者数

X歳の要介護者中、n年後に生存している者

確率、P．i｝n隼（計）1。：x歳の生存数（計）1買、、：x＋n歳の生存数

一73一

番号最道解（1）。P．i・1コii（2）1貝、。一。P買i・1．ii

1x，n−nPxi・1xii（3）㍍阯
1。・。P。一。P．i・1．ii
（4）

1．aa
ユ。

（5）

1．88
1五ii
（6）

1買88
1目8
1貫ii

1異（7）

色。」a．a8

色罧一
1其8日

1賞88
N．H−D．ii

a．i（8）

D。阯

（以一74一上）5．AtV、刈i1＝A、、一、t円P、、1i1・a、、1，t円一…一一一一…一一一①t刊V

α、正A州。tm（P買吊十）・a貫、1，tn一一一一一一②飢：司と表わされる。

ただし、O≦t≦n−1とし、、また、A、、d＝1、色、、σ＝Oとする。
①から②を辺々引くとtV。。ln一川V、司＝（P。司十αP。、1→・a、、…、tm一一③色。＝司ここで色。、i，t、［≧OP。司十であるから、（等号ばt＝n−1のみ）

αP。、1n一一一一一一一一一一一一…………一……一一…一一一一④a。＝司の正負について調べる。
④X氏＝司＝α十P買＝紬、、司一P、、1、下1色。＝扁：α十A買、司一P。、1，n色。＝司1＝α十（1−da其→一（一d）色。、一；ila買：需＝α十1一色州＝n1＋ψP買色x，1，n＝α十1一色州！n1：α十（1−oP。）
a。一ミ同一75一aヌ司1＝α十（d＋9oP貫）色。。1：下一n1＝α十d＋④q其一a州；司1＝α一（dlq、）飢。1；不T1＝α一（P、、一、n−P二、η）…一…一一一…一一一…一一一…一一⑤
題意の条件よリα〉P、、一、i・＝n−P二、ηであるから、⑤ば正である。

従って④は正である。
．

．tV。、1，n−t，1V．

、、司〉O．tV。、1、点＞t刊V㌧＝司（以上）

5．B（1）第t保険年度始における隼度末将来法責任準備金の現価は1。、toj．V、と書ける。

1。、t．一また、題意によリ過去勤務債務が償却されており、かっ、死亡給付および脱退給付はOであるから、これば、年始の積立金HV、と年払純保険料。P買の和に等しい。よって生存保険のファグラーの公式が成リ立つことを意味する。

1。、t．・．

o・jj

tVエ＝t．…V。十tj

P．

1其、t．1

一76一（2）t（1）の式を移項すると。

1。。tP、＝o・．

j・tV。一t一一V届

1。、t．1
右辺に題意の条件を代入すると

tP、；

1糾t9…
1貝、t．l一D．

B（x＋t）・k・a，D。。tD。

・B
D。、t−i＝j』（x＋t−1）・k・ay

D・・B j（x＋t）・k・a、一， Dリ ・B1 （x＋t−1）・k・a．、D貫、t．1＝D。。t−1

D． ・｛Bj （x＋t）一Bj （x＋t−1）｝・k・aリ
D州一1（以一77一上）