〔問〕

昭 和 37年 度

(問題)

午前の部

.
1 X ， Y を，それぞれ 2項分布 B(3， p)， B( 2，P' )(o<pくじ o<p'くりに従うたがいに独立在確率変数とするとき，次の確率を計算せよ。

P(X‑yキ 1IX+Yキ 3)
す左わち，X+Yキ 5の条件のもとで， X‑yキ 1と在る確率。

2. さいとろを，それまで K出た自の数の和が 5の倍数に在るまで振 b左辛子す。平均して何回振るととに在るか。

3. 1(ε )を，1(3)=ス5I{2)+/(4)=201(1)+/(5)=23
を 満 足 す る 第 4次定差が，定数である関数とするとき，1(0)+/(6)を求めよ oゾ

1

午後の部.
1 男 5人女 5人をランタ.ム K横にー列に並べて，"5:から 5人をグループ A，右の 5人をグループ Bとする。

a)グループ Aの中に，男が T人いる確率を求めよ。(Os:r孟 5)b) 男の最年長者がグループ A
V
Cはいったととを知って，男。最年少者もグループ AIfC.
はLぺる rffi率を求め・ょ。(最年長者，最年少者は，それぞれ 1人ずつしかい在いとする。)

c) 次の文章はa)の問題を r=5の場合 Kついて j曜いたものであるが，実はまちがいである(結果がちがってくる)。まちがえたわけを述べよ。
「との男女を A ， B両グループにふ b分けた過程をみると，結局男がど会ふ b介けられたかをみれば十分である。左ぜ走ら，女のふ b介け方は，男のふ b分け方がきまると A ，‑‑‑10ー

〔問〕

B両グループの人数がどちらも 5人陀在るようにというととで必然的にきまるから oさて，男 5人をラ:/1':ムf(CA ，B両グループ}てふ b分けて， 5人とも Aグループの方 K

行〈という確率は2.

(‑})
50とれが求める確率である。 J

uo十 UI+ U 2十 U 3 + U4
‑20i

L
1U O +L
1U l +L
1U 2 +L1Us

12L
12 U O +.
d2 U l +L
12uz

‑19

L
13U O +L
13Ul =
L14‑Uo692である。 UO を求めよ。

‑11‑

昭 和 37年 度

(解答)

午前 の

X，Yは独立であるから，P(X=i，Y=j)=P(X=i')P(Y=j)=C;)pig‑
s‑ieC;.)p(jg‑，z‑}(ととに ，fj‑=1‑p，~'2)は，次の表のようP(X=i， Y=j)(i=0，…， 3;j=D，したがって，=1‑p' )VCなる。

P(Y=j)

g‑'Z

ト丈。

g‑3。

3P '/.
‑
2.
p.
'22p'g
‑

2**

*3pg
‑2 〆
2*3Pg
‑
2p，26p串 伊p'g‑'*

*

p3plZ

3p2ff2

*

p3

5p・
3 of2

とれを使って，P(X+Y=3)=P(X=3，Y=O)+P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=pJg‑'
2+6p2 g‑p'g‑'+3Pg‑2 pl%

P(X‑Y=1，X+Yキ 3)=P(X=1，Y=0)+P(X=3，Y=2)+p p'2z ~'2= 3PO‑3P(X‑Y
キ1/X+Yキ 3)=1‑P(X‑Y=1/X+Yキ 3)
ZJ ↑︑'''‑

・キ一︑JY一5+二一YX一'一+1一X
三(Y一P
一一一r︑︐‑X一
1P一

25P‑oB"2+PPf23

1‑p3 ~/2_ 6pZg
‑p'o‑'‑3Pg
‑2p'
2‑12‑

2. n回ふ bな長しでも，それまでに出た自の和が 1回もろの倍数に左らない事象を A n ~n回ふってはじめて 5の倍数に在る事象を Bn とする 01() (2)
Anは次のよう左 2‑::>の排反な事象 An， Anの和事象と在る。

。(

An:n回ふ b在為、しでも，それまでに出た自の和が 1回も 5の倍数 K走らず，その η 回全部の自の合計は，5で割って t余る。

Ciを，さいころをふってf~または i+3 の目が出る事象とすると，P(A1 )=P(C~)=
︐一11υvnrf

A

EJノ︑︑也門U

GE(2)/• (1)P (A :l ) = P (A'n'‑1 。
;〉 + P〈A ‑•.と Cjは独立たから)(2) .
¥'̲ /，.C= P(A'~~1 ) P(C~ ) +P(Aー )P(C~ )(1) .
¥' 2̲~ .
(2)

内=すP(A\O~1 )+τP(Aー )=τP(Aー )nJ
ι ﹃フ﹁ UBA¥ノEAB︐ロυ

︑ CE/LtEB=A)﹁AA(=pn一方，だからP(B0 ) =P(A0 ̲ 1)̲P(A n)= (~ )0 ̲(~) ‑1=0+()~ n‑1(とれは n註 2の場合だが ， n =1の場合は， P (B1 ) → で ， 上 の 式 が や は り 成 り 立つo )したがって，求める平均は，zn‑÷(÷ 〉
a‑1=÷21n(÷ 〉
E‑
一般に，⁝一ーlaI<1走ら1∞

1‑x0. ::0一一一 = E ，xn

両辺を微分して，nZ∞

一一x0‑1町

すZn(÷)…→よ
3 =35 (1ーで子)
2 3
2‑13ー

3. 8
‑(♂)=/(.
乞 +3)+j(‑x十 3)と公〈と ，j (x)が高々 4次式であるから， 9‑(♂〉も高々 4次式である。

fj(O)，9‑(土 1)， 9‑(土 2)が既知と左るから， 8‑(3)=j.(0)+1‑(6)は次のようにして求められる。

‑2 I235555
一一20。

15.
LSg‑(x) s ff(x) ムf9‑(心nf﹄ム9‑(♂〉1nu
一一19‑(X)

♂

内/﹄

20

12‑12‑24

2 I 23
UL__~
24X
2̲
‑t2
寸・ x2(が ー 1)

8‑(x)= 15+(Stirling)=15+6x2_X~
ft(3)=ー 12

制

f(.x)は 5次式でもさしっかえ在い。在ぜなら， 9‑(x )は高々 5次の{局関数(9‑(x )= 9‑(‑ x)vc在るが，偶関数であるから Kは，奇数次の項は消えるので，高々 4次式と在るから o別解)ム6j(X)=O0=(E‑1)
唖 j(0)=(E6_6 E' +15E~-20E3+15E~6E+ 1)j(0){j(0)+j(6)}‑6{I(1)+jC5)}+15{!C2)+j(4)}ー20jC3)=075jCO)+jC6)=6X23 ‑ 15x20 + 20x.

138‑300+150=‑12

午後の部a)

ζ れは，この男女の中から 5人とった組み合わせが ， T 人の男を含む確率である。そのような組み合わせの数は (1;)。 そのうち，男 T人を含むものは J 5人の男から T‑14‑人を， 5人の女から 5‑r人を選ぶ方法の数 Kなるから，したがって求める確率は，b)(~)

2(わ (5~ ァ)=(わ 21+(0)

5人選び出したうち，男の最年長者がはいっている組み合わせの数は(~)。そのう ち 男 の 最 年 少 者 同 制 さ れ て い る 組 み 合 わ せ の 数 は 〈 わ 。 したがって，求める確率は，〈:)÷(;)=三七÷ゐ=÷c) 男 5人をランダム I(C.A， Bグループにふ b分けるというのは，男。各人をつねに確(C.
ふ b分りると解釈しているわけだが， b)の結果をみてわかるよ
率すでグループ AI(C.
ふ b分けられる確率は，すでに男がイ可 λ、かどちらかのグうV
C，ある男がグループ AI
ループにはいっているというととで変ってくるので，それをつねにまとしたのがまちがいである。

2.

U，. = ( 1+ム )'Uo だからU，= ( 1+ム)Uo
U2 = ( 1+ 2ム+ム2)U0U3=( '1+36+3，ム2+ム3)U0u.=(1+4ム +662+463+L~/) U03u，‑ 6 =ム3Uo+6= 2ム3UO+ム・ uo=2ム3Uo+92

ム3UO =‑49
同様I(C.，ー 19=
ム，2UO + 62U，+ム2U2 = 3 62UO 十 5ムsUo+ム 4UO‑49)+ 92= 3 62U0‑ 55= 362U0+ 3x(ム2 Uo =12
また，12=ム UO +…+ム U3= 4ムUO + 6 62Uo+463uo+ム4UO= 4ム UO+6x12+ 4X (‑49)+ 92= 4ム Uo ‑ 32

ム U 0 =11‑15ーまーた207=UO+…+u‑4==5U0+ 10ムuo+10ム2 llo+5ム3 U.
o
十ム4‑Uo= 5U0+ 10X 11+ 10X 12+ 5Xf‑4 9)十 92=5ム Uo+77
Uo =26‑16‑