２００９年１２月１０日 学術俯瞰講義 数学を創る

第10回 惑星の軌道を理解する

学術俯瞰講義「数学を創る」第11回

数理科学研究科坪井 俊‡：このマークが付してある著作物は、第三者が有する著作物ですので、同著作物の再使用、同著作物の二次的著作物の創作等については、著作権者より直接使用許諾を得る必要があります。
著作権者より直接使用許諾を得る必要があります坪井 俊

２００９年１２月１７日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

２００９年１２月１０日 学術俯瞰講義 数学を創る

惑星
写真：NASAウェブページより転載

第１０回 惑星の軌道を理解する

坪井 俊

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ケプラー(1571－1630)
ケプラーは、惑星の運動についての３法則を
ケプラ
は 惑星の運動についての３法則を定式化したが、一方では太陽と６つの惑星の距離と5つの正多面体とを無謀にも関係づけようとしている。
けようとしている

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

プラトンの多面体

Dodecahedron.jvx

Icosahedron.jvx

プラトン（紀元前427ー紀元前347）

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

RhombicDodecahedron jvx
RhombicDodecahedron.jvx

アルキメデスの多面体
キメデ多面体

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

アルキメデス(紀元前287ー紀元前212）

坪井 俊

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オイラー
オイラ（1707－1783）

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

三重大学の蟹江先生のページにあるオイラーの解説です。
重大学 蟹江先ジ あるオイラ
解説 す。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei.htm

スイス、バーゼルに生まれ、ロシア、サンクト・ペテルブルグに死す。
ヨハン・ベルヌーイの弟子。ペテルブルグ(27-41)、ベルリン(41-66)、ペテルブルグ(66-83)のアカデミーに。
66年に全盲となるも、死ぬまで活発な研究を続ける。朴訥な人柄で、子供は13人。赤ん坊を抱え、子供を足元で遊ばせながら数学をしたと言われている。天王星の軌道計算の途中，孫を呼びにやり，お茶をすすりながら話をしているとき、突然「死ぬよ」と周りに告げ，穏やかに「生きることと，計算することを止めた」という。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

数学史上最大の多作家。解析学，代数学，整数論，確率論 複素関数論 変分法 ケーニヒスベルクの橋を一率論，複素関数論，変分法．ケ
ニヒスベルクの橋を筆書きする問題や多面体の面・辺・頂点の数の関係式(オイラ 標数)で、グラフ理論とトポロジ の祖となる。オイイラー標数)で、グラフ理論とトポロジーの祖となる。オイラー類，オイラー定数，オイラー方程式． 天文学（日蝕の計算 月の新理論） 航海学（船のローリングやピッチン計算，月の新理論），航海学（船のロリングやピッチングの理論），流体動力学（気球の飛行計算），屈折光学（レンズの理論）．
（レンズの理論）
フランスの物理学者アラゴー(1786ー1853)は、オイラーを「解析学の化身」と称え 「人が息をするように、鷲がを「解析学の化身」と称え、「人が息をするように 鷲が空を舞うように、オイラーは計算をした」と言っている。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

オイラーの多面体定理
凸多面体の頂点の個数を ｖ ，辺の個数を e ，面の個数を fとすると
v－e＋f＝2

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

頂点の個数
ｖ

4862012辺の個数
e612123030

面の個数
f4681220v–e+f22222

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z 平面の多角形の分割について
多角分割
z 多角形とは、辺がひとつながりに多角 と辺が と ながり なっている平面なる上の図形と定義する。
z このとき、辺の個数と頂点の個数は等しい。
z 平面の多角形が、線分のあつまりによって 多角形に分割されているとき、分割されるとき
v－e＋f＝1を辺 数にを辺の数についての数学的帰納法で示す。
数学的帰納法 示す

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z 分割される前の多角形について、分割される前の多角形に面の数は だか面の数は１だから、上の式は成立している。
z 次の操作を考える。
1. ２つの面をつなぐように辺を消去する。
2 多角形の内側に突き出した辺と頂点を消去する。
2.
多角形の内側に突き出した辺と頂点を消去する
z この操作が必ず出来ることを示せば、 この操作で、v － e ＋ f の値は変わらないことと、の値は変わらないことと辺の数が減ることから、 数学的帰納法によって、上の式は成立している。
は成立している２００９年１２月１７日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z 面の数が２以上ならば、隣合う面があるから、辺の消去が可能である。
z この結果、多角形の内側へ突き出した辺とこの結果 多角形の内側へ突き出した辺と頂点が出来たときは、辺と頂点を先から順に消去していく。に消去していく
z こうして、平面の多角形が、線分のあつまりよ て多角形 分割されて るとき、によって多角形に分割されているとき、
v － e ＋ f ＝ 1 が示された。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z 凸多面体
凸多 体 K は、は ２つの平面の多角形
多角 P１ と P2 に、裏と表が射影できる。
z 裏と表の共通部分
裏と表 共通部分 C は P １ と P2 の境界に射影さ境界 射影されている。
z このときK の辺の数 ＝ P １ の分割の辺の数＋ P2 の分割の辺の数 － C の辺の数
K の頂点の数＝ P １ の分割の頂点の数＋ P2 の分割の頂点の数 － C の頂点の数
K の面の数 ＝ P １ の分割の面の数＋ P2 の分割の面の数

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊v (K)－(K) e(K(K ) ＋ f (K )＝ v ((P １) ＋ v ((P2) － v ((C )－ (e (P １) ＋ e (P2) － e (C ))＋ f (P １) ＋ f (P2)
＝ 1 ＋ 1 ＋ e ((C ) － v ((C))＝1＋1＝2凸多面体の頂点の個数を ｖ ，辺の個数を辺の個数を e ，面面の個数を f とすると v - e + f = 2 となることが証明された。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

オイラーの多面体定理が、惑星の軌道とどういう関係があるのだろうか？

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z ２つの星が万有引力だけによって運動する問題の２つの星が万有引力だけによ て運動する問題の方程式は、中心力の方程式に帰着される。
z 作用反作用の法則から、2つの星の重心が等速直線運動をするので その点を原点とする座標をとる線運動をするので、その点を原点とする座標をとることができる。
z 平面上での運動の状態は、一方の星の座標（ 2次元）と速度（ 2次元）の4次元の空間の点として表わされる。
z ある時刻の座標と速度が決まると、万有引力の法則から運動方程式が書けて 運動が定まる
則から運動方程式が書けて、運動が定まる。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z さらに角運動量が保存されること（重心に対する面積速度一定）と、エネルギーが保存される とから さらにれることから、さらに２つの関係式が得られ関係式が得られる。
z 4次元の空間のなかに２つの関係式をともにみたす部分集合があることになるが、これが、運動量 角運動量 エネルギーが定まった運動量、角運動量、エネルギーが定まった運動を記述する状態の空間となる。
z 楕円軌道の解をもっている時に、この状態の空間は、2次元のトーラスとなる。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

zエネルギーを決める。
z重心からの距離 位置
距離で位置エネルギーが決まると、速さが、速決まる。
積 度
z面積速度が一定になるための方向が２通り（近日点、遠日点では１通り）に決まる。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z これらの楕円は、トーラス上のビラルソーの円周に関係がある。
z 回転面として得られるトーラス上の各点を通る円周が４本ある：
経線，緯線，２つのビラルソーの円周である。
z このビラルソーの円周を正射影すると、焦点を共有する短軸、長このビラルソ の円周を正射影すると 焦点を共有する短軸 長軸の長さが同じ楕円になる。
‡‡‡

図：Dementions‐mathより転載 http://www.dimensions‐math.org/Dim_CH7_JP.htm

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

z この２次元の状態の空間を得た議論には、万有引力（逆２乗の法則）は使っていない。
逆２乗の法則のBASICのプログラム

逆２乗からずれた場合のBASICのプログラム

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z 一般に、トーラスを状態の空間とするフローを考える。
般に ト ラ を状態の空間とするを考える

z 左は、すべての軌道が楕円の場合、右は、逆２乗の法則が近似的にしか成り立たない場合を表わしている。
表

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

z トトーラス上にはこの図のようなフローも存在する
ラス上にはこの図のようなフロ も存在する。
z ハミルトン力学系では、面積（体積）が保存される。
z 従って、上の図のフローは、ハミルトン力学系の解とし従って 上の図のフローは ハミルトン力学系の解としては現れない。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

このような２次元の状態の空間は、一般には、曲面となる。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

有界な（コンパクトな）曲面には、次のようなも有界な（コンパクトな）曲面には次のようなものもある。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

このような曲面の上のフロ の様子は、ト
このような曲面の上のフローの様子はトーラスの上のフローラスの上のフロとは異なっているはずである。
特に、球面上、種数２以上の曲面上では、必ず停留点（ベクトル場の零点）が現れる。
種数とは、補集合が連結であるように埋め込める円周の個数である。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

球面とトーラスの上の典型的なフローを描くと図のようになる。
ようになる

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

曲面の研究は、アルキメデス(紀元前287曲面の研究はアルキメデス(紀元前287ー紀元前212）以前紀元前212）以前からあるが、オイラー（1707－1783）以後、19世紀前半に大きな進歩を遂げた。
ガウス（1777 1855）
ガウス（1777－1855）

曲率が空間内の配置に依らず、曲面に沿う距離で定まることを発見した。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

リーマン面の理論、リーマンの写像定理。
像定リーマン（1826－1866）

計量を持つ空間を持間を定式化した。

クライン（1849－1925） ポアンカレ（1854－1912）

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

２００９年１２月１７日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

曲面は３角形に分割して、多面体の表面とすることができる。
このとき、 オイラー数＝頂点の個数－辺の個数＋面の個数 は分割 取り方に依らず 次 ようになる
分割の取り方に依らず、次のようになる。

向きづけ可能な閉曲面
オイ
オイラー数数

２０－２－４－６

種数

０１２３４

球面上、種数２以上の曲面上では、必ず停留点（ベクトル場の零点）が現れることは オイラー数が０と異なることによる。
点）が現れることは、オイラ数が０と異なることによる。
その理由を見てみよう。

坪井 俊２００９年１２月１７日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

三角形分割した曲面の三角形に次のような模様を描く。
三角形分割した曲面の三角形に次のような模様を描く
そうす
そうすると、つぎのようになる。
、う な 。

坪井 俊

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

２００９年１２月１７日 学術俯瞰講義 数学を創る曲面の上で書くと つぎのようになる曲面の上で書くと、つぎのようになる。

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

２００９年１２月１７日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

オイラ の多面体定理におけるオイラーの多面体定理における頂点 v 、面 f に対して辺 e に対してが対応し、が対応する。

従って、球面上の模様に対して、オイラーの多面体定理
従って球面上の模様に対して オイラーの多面体定理
は 次のように書かれる。
ポアンカレ-ホップの定理の個数 －の個数 ＝ ２

右辺は一般の曲面ではオイラー数となる。

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模様

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊の出所は cos x cos y のグラフの出所は、等高線（赤色）に対し、それに直交する最大傾斜線（青色）がある。
が最大傾斜線の模様で三角形をうめている。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

この模様に沿う流れがあると思うと、は、極大点または極小点、は、鞍点に対応する。

２００９年１２月１７日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

オイラーの多面体定理の証明は
オイラの多面体定理の証明は「辺を消去して、面の数を減らす」、「辺と頂点を縮める」という２つの操作によった。
これは、最大傾斜線の模様に対してはこれは最大傾斜線の模様に対してはコブの消去に対応する。
曲面を変形して、との対を消滅させることが出来る。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

ポアンカレ-ホップの定理
コンパクトな曲面上のフロ がコンパクトな曲面上のフローが、との形の停留点のみを持つとする このとき、停留点のみを持つとする。
このときの個数 －の個数 ＝ 曲面のオイラー数曲面のオイラ 数

特に、あるコンパクトな曲面上に停留点を持たないフローが存在したとすると、その曲面のオイラー数は 0 である。

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

坪井 俊

あるコンパクトな曲面上に停留点を持たないフロ が存在したとすると、その曲面は、フローが存在したとすると、その曲面は、トーラス（またはクラインの壺）と同相である（同じ形である）。
（同じ形である）

向きづけ可能な閉曲面
オイ
オイラー数数

２０－２－４－６

種数０１２３４

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第１１回 多面体の形と曲面上の軌道の形

参考
三重大学の蟹江先生のページにあるオイラーの解説
三重大学の蟹江先生のペジにあるオイラ の解説
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei.htm
DIMENSIONS
http://www.dimensions-math.org/
極小曲面 ーPlateau
Plateau 問題から現代の曲面論へ問題から現代の曲面論へー
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/26.shtml
佐々木武
G. Darboux Theorie Generale des Surfaces
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/sasaki/darf.pdf
河野俊丈
幾何学模型アーカイブからの眺望
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1402/1402kohno.pdfp
jp pp

坪井 俊