精選全国高校入試問題集思考力･表現力問題 編

数学改訂版

は じ め に本書は，公立高校入試で出題される「思考力」「表現力」問題をピックアップし，単元ごとに編集した教材です。
答を導き出せる「思考近年の高校入試においては，複数の資料や情報をもとに正答を導き出せる「思考力」と，問わelpれている内容を適切に記述・論述できる「表現力」を問う問題が増えてきています。これらの問問う問題が増えてきています。
てき題は一見難しそうですが，一つひとつ解きほぐせば高度な思考力や表現力がなくても解けるものせば高度な思考力や表現力がなくても解力や表現力が現力がは確実ておく必要がありますく必要がありますもありますので，入試で高得点を狙うには確実におさえておく必要があります。
本書は，練習問題と実践問題の２種類で構成されています。練習問題ではアドバイスを手掛かの２種類で構成されています。練習問題ではアドバイスを手されています。練習問題ではアドます。練習問題ではアmaりに問題を解き，考え方や解き方を身につけましょう。また，実践問題では練習問題で身につけや解き方を身につけましょう。また，実践問題では練習問題で身につけましょう。また，実践問題では練しょう。また，実践問を活用し，アドバイスなしで問題にチャレンジしてみましょう。
バイスなしで問題にチャレンジしてみなしで問題にチャレンジた考え方や解き方を活用し，アドバイスなしで問題にチャレンジしてみましょう。本書を通じて数多くの問題を解くことで，「表現力」問題を得点源にしてください。
通じて数多くの問題を解くことで，問題を解くことで，くことで，「思考力」「表現力」「表現力」問題を得点源「表現力

S目次1 数 と 式 ･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 22 関数 ････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 103 図形 ････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 224 データの活用 ･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 30

elpⴭసᶒ⪅࡬ࡢ㓄៖࠿ࡽࠊᥖ㍕ࢆᕪࡋ᥍࠼࡚࠾ࡾࡲࡍࠋ࡚࠾ࡾࡲᐇ㝿ࡢᩍᮦ࡟ࡣᥖ㍕ࡉࢀ࡚࠾ࡾࡲࡍࡢ࡛ࡈᏳᚰࡃࡔࡉ࠸ࠋ
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S

ma⑴図 2 で， Ａは書類点検の時間， Ｂサイズあわせの時間，は内履き選びの時間， Ｃは運動着は待ち時間を表している。例えば，図 2 から， 3 番の人の運動着サイズあわせが終わるまでにかかる時間は200秒，そのうち待ち時間の合●各設問について計は100秒であることがわかる。 1 班から始めるとき，次の①〜④に答えなさい。

⑴0

10

番A番

20

30

40

50

60

70

B（秒）90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200B図といえます。これがなくC⁝Aと待ち時間を簡潔に整理し，まとめてあり，大変親切な

CA

番80図 2 は，手続きの時間BCて，自作してから解くとなると超難問といえます。図を縦に見ると，A，B，C図7 番の人の書類点検が始まるまでの待ち時間は何秒か，求めよ。

①の長方形はすき間なくつながっています。このことを上上手に利用しましょう。
①7 番の人について，図2 の左の左端にあるe
lpma10番の人の待ち時間の合計は何秒か，求めよ。

②の長さめまを求めます。前の6 人が書を受類点検を受けている時間がです
待ち時間です。

② 10番の人が運動着サイ人がズあを始めズあわせを始めるまでの時③ 午前 9 時に， 1 番の人の書類点検を始めるとき，37番の人の書類点検が始まるの書類点るとき，3737番の人の書類点検が始まる番の人の書類点検が始秒か 求時刻は何時何分何秒か，求めよ。S1 班のn番の人の運動着サイズあわせが終わるまでにかかる時間は何秒か，n番の人の運動着サイズあわせが終わるまでにか動着サイズあわせが終ズあ④を用いて表せ。

から，書間から，書類点検，内履き選び選びの時間をひくと待ち時間の合計になります。
③ ①の類題です。秒で求めて何分何秒になおします。
④ 図 2 の 2 番， 3 番の人の終わるまでにかかる時間から，規則性を見つけることもできます。
⑵⑵ 午前 9 時に， 1 班から書類点検を始め，45番の人の運動着サイズあわせが終わった時点で，2 班の書類点検を始めるとき，次の①，②に答えなさい。
45番の人の運動着サイズあわせが終わる時刻は何時何分何秒か，求めよ。

①2 班の手続きが始まります。
① ⑴④の結果を利用します。nに45を代入して求めます。この時刻に51番の人の書類点検が始まります。
② 51番の人の運動着サイ51番の人の書類点検が始まってから運動着サイズあわせが終わるまでの待ち時②間の合計は何秒か，求めよ。

ズあわせが始まるのは，50番の運動着サイズあわせが終った直後です。50番は 1班なので，ここでも⑴④が使えます。あとは，⑴②と同じ考え方をしましょう。

３静岡市に住むあおいさんは，春休みに車で旅行する計画を，次の資料(略地図，3 高速道路料金表)を使って立てました。あとのメモは，計画を立てるときに考えたことです。

●問題を解く前にこれらの資料とメモにもとづいて，あとの⑴，⑵の問いに答えなさい。

この問題では，略地図，なお，高速道路に入ったり，出たりできる場所をインターチェンジといい，IC と表高速道路料金表，メモの 3すこととします。 〈岩手〉つの情報が与えられています。
メモにどんな状況でどんな略地図図中の条件があるかを理解するこ印はICを表します。

とから始めてください。メ

目的地
川崎横浜青葉横浜町田

厚木裾野秦野中井大井松田

御殿場富士沼津モの一文ごとに略地図や高速道路料金表と照らし合わせせて，メモの数字が図や表のどのどこに書かれているか確して認していきます。

elp高速道路料金表がこの問題道路を解く際のキーポイントに際の清水静岡出発地なります。表の見方も書か表れているので，精読し，理れで，m
aS金表
高速道路料金表IC名静岡岡

ぬま づ沼津清水 IC で入り，沼津 IC で出る場合料金は1,420円，距離は44 km４てください。
ださい●各設問について⑴ 問題文にある「高速道路の料金は3,000円以内で，できるだけ早く目的地に到0 11,810,810 2,110 2,410
23,19090 3
3,43043,880 4,330 4,510490 1,27039
576777111126141147
6103
13し みず880 1,420 1,720 2,020,020 2,80023,040 3,490 3,940 4,120
清水清
26
44
54
649098113128134
46
ふ じ640940 1,240 2,020 2,260 2,710 3,160 3,340
富士
182838647287
102
108
ぬま づ400700 1,480 1,720 2,170 2,620 2,800沼津沼10204654
698490すそ の400 1,180 1,420 1,870 2,320 2,500
裾野103644597480ご てん ば880 1,120 1,570 2,020 2,200御殿場【表の見方】2634
496470おお い まつ だ340790 1,240 1,420大井松田
8233844はだ の なか いしずおか550 1,000 1,180490 1,270 1,810
秦野中井静岡153036
1339
57あつ ぎ
し みず
550730880 1,420厚木清水15212644
よこはままち だふ じ
280
640
横浜町田
富士6
18
しずおか
おかIC名解して問題に取り組んでみ解題に取

上段：料金（円）下段：区間距離（km）4,6901534,3001403,5201142,980
96
2,680
86
2,380
76
1,600501,360429102746012
よこはまあお ば
280横浜青葉6かわさき川崎着したい」は，「高速道路を利用する距離をできるだけ 長 く し た い が， 料 金 は3,000円以内にしたい」と言いかえられます。高速道路 料 金 表 か ら，3,000円 以内 で，3,000円 に も っ と も近い料金を探します。
…

2,410773,190103

3,430…
111…

…

2,800903,040…
98メモ 計画を立てるときに考えたこと。
○出発地は静岡市にある自宅，目的地は川崎市にある祖母の家で，道のりは 165 km○出発地から静岡 IC までと，川崎 IC から目的地までの道のりは，ともに 6 km○車の速さは，高速道路では時速 70 km，一般道路では時速 30 km として計算⑵① 方程式をつくるためにまず条件を整理します。
走行時間○一般道路は無料，高速道路は有料12時− 8 時30分○高速道路に入る回数，出る回数はそれぞれ 1 回＝ 3 時間30分○高速道路を利用する距離が長くなれば，その分料金は高くなる

走行距離速さ○行程のイメージ・実線(165 km)は一般道路を，二重線(高速道路：時速 70 km)は高速道路を表す一般道路：時速 30 km・同じ区間の一般道路と高速道路の道のりは同じものとして計算
目川式式や連立方程式がいくつか
的地崎横 浜 青 葉木

横 浜 町 田厚場

野津士

水岡地秦 野 中 井殿発

大 井 松 田御裾沼

富清静出この 3 つを使って一次方程考え考えられます。(例 1 )料金表には距離が示elpmaSていされているので，高速道路道路と一般道路の走行距離を文距字で表し，距離÷速さ＝時あおいさんが「高速道路の料金は3,000円以内で，できるだけ早く目的地に到着0円以内るだけ早く目的地に到着早く目的地に到着⑴間ては間の式に当てはめて方程式らどの IC まで高速道路を利用すればよいか。高速道路を利用すればよいか。高利用すればよいか。高したい」と考えたとき，どの IC からどのを作しょうを作りましょう。

名を書速道路に入る IC 名と出る IC 名を書け。

(例 2 )高速)高速道路と一般道路のそのそれぞれの走行時間を文I からICIC までま⑵ あおいさんが「午前8 時30分に自宅を出発して，正午までに目的地に到着したいさん時303 分に自宅を出発して分に自宅を出発して，正午ま的地にが，できるだけ高速道路の料金を安くしたい」と考え，次のようにだけの料金を安くしたい」と考の料金を安くしたいのよう 2 つの方針を立てた。

字で表すと，速さ×時間＝距離の式を使って全体の走行距離を表すことができます。
どの IC からどの IC ま方針 1正午ちょうどに目的地に到着するように方程式をつくる。午ちょうどに目的地に到着するよう
目的地に

②

方針 2

結果IC か計算結果をもとに，どのからどの IC まで高速道路を利用すればよで高速道路を利用すればよ決め
いかを決める。

いかを問われているので，②の問いこのとき，次の①，②の問いに答えよ。

高速道路を利用する距離を①上の方針 1 をもとに方程式をつくれ。

考えましょう。

ただし，用いる文字が何を表すかを示すこと。

①の方程式を解いて得た高速道路の利用距離よりも大きくもっとも近い数値を，表の下段の数値の中から探します。①から求めた距離よりも短いと，高速道路を②上の方針 2 の結果から，どの IC からどの IC まで高速道路を利用すればよいか。 速く走れる時間が短くなり，高速道路に入る IC 名と出る IC 名を書け。

目的地に着くのが遅れてしまいます。
IC から

IC まで

５実

践問題絵理さんと桃子さんは，連続する 3 つの自然数の性質について考えた。次の会話を読んで，⑴〜⑷に答えな

1 さい。

〈岡山〉絵理：連続する 3 つの自然数の和は，どのような数になるのかな。
桃子：連続する 3 つの自然数が 1，2，3 のとき，その和は 6 になるね。2，3，4 のとき，その和は 9 になるね。
連続する 3 つの自然数の和は，いつでも 3 の倍数になりそうよ。
先生：連続する 3 の自然数について，積も含めて考えると，ほかにも様々な性質がありそうですね。
⑴ 下線部について，絵理さんは次のように確かめた。 ① ， ②に適当な式を書け。

連続する 3 つの自然数のうち，最も小さい自然数をnとすると，中央の自然数は n＋1，最も大きい自然数は①n＋n＋1＋ ① ＝3(となり， ②と表される。このとき，連続する 3 つの自然数の和は，②)は自然数だから，3() は 3 の倍数である。

②倍数になしたがって，連続する 3 つの自然数の和は，いつでも 3 の倍数になる。
①

elp②⑵ 連続する 3 つの自然数の性質について，正しく述べられている文は，ア〜エのうちではどれですか。当てはまるく述べ文は，アア〜エエのうちですかものをすべて答えよ。
いつなる。
ア 連続する 3 つの自然数の和は，いつでも奇数になる。

maSの和は偶数になる。
る。
イ 連続する 3 つの自然数の和は，いつでも偶数になる。自然数つでも中央の自然数の中央の自然数の 3 倍になる。
倍になるウ 連続する 3 つの自然数の和は，いつでも中央の自然数のい自然数
きい自然数の和は然数の和は，，いつでも中央の自然
つでも中央の自然エ 最も小さい自然数と最も大きい自然数の和は，いつでも中央の自然数の2 倍にな倍になる。
⑶

先生の話を聞いた話を聞2 人は，次のメモのように考え，連続するは，次のメモのように考え次のメモのように考え，，連続する続3 つの自然数の性質を予想した。
然数のする連続する自然
3 つの自然数2 数の積2 数の積に1 をたした数最も小さいも小さい自然数中央の自自然数最も大きい
最自自然数123234343815↓↓↓49

165【予想】 連続する 3 つの自然数について，最も小さい自然数と最も大きい自然数の積に 1 をたした数は，いつでも中央の自然数の 2 乗になる。メモの【予想】は次のように証明できる。

にnを使った式を用いて【予想】が正しいことを示し，〈証明〉を完成せよ。
〈証明〉連続する 3 つの自然数のうち，最も小さい自然数をnとすると，最も小さい自然数と最も大きい自然数の積に 1 をたした数は，したがって，【予想】が正しいことが示された。

６連続する 3 つの自然数について，最も小さい自然数と最も大きい自然数の積に 1 をたした数が 324 となるとき，⑷連続する 3 つの自然数を求めよ。

2 行う。ただし，a，b は整数で，用紙は 1 目もり 1 cm の方眼用紙とする。

縦の長さがacm，横の長さがbcm の長方形の用紙から，正方形を切り取る作業を次の【手順】にしたがって【手順】 用紙の短い方の辺を 1 辺とする正方形を切り取る。残った用紙が正方形でないときは，残った用紙の短い方の辺を 1 辺とする正方形を切り取る。残った用紙が正方形になるまで，繰り返し正方形を切り取っていく。
例えば，a＝4，b＝7 のときの作業は次のようになる。
まず，図 1 のような縦の長さが 4 cm，横の長さが 7 cm の長方形の用紙から，この用紙の短い方の辺を 1 辺とするcm，横正方形を切り取る。その切り取り方は図 2 のようになる。次に，残った縦の長さが 4 cm，横の長さが3 cm の長方形紙が正方形になるの用紙から，短い方の辺を 1 辺とする正方形を切り取る。同様に，残った用紙が正方形になるまで切り取る。
り，全形がすると，a＝4，b＝7 のときの正方形の切り取り方は図 3 のようになり，全部で5 枚の正方形ができる。
図図

elp
m
図………このとき，次の問いに答えなさい。
なさい。 〈愛媛〉aSa＝4，b＝13 のとき，上の図，上の 3 にならって正方形の切り取り方をらって正方形の切り取り方を正方形の切り取り方を⑴

右の図にかけ。⑵のとで何枚のができa＝8，b＝13 のとき，全部で何枚の正方形ができるか求めよ。

⑶a＝3 のとき，①全部で 2 枚の正方形ができるようなbの値を求めよ。②全部で15枚の正方形ができるようなbの値を全て求めよ。

７中学校 3 年生の和歌子さんたちは，修学旅行の夕食の時間にホテルの食事会場を訪れた。食事会場には，図3 1 のように，テーブル 1 卓につき 6 席の座席がある複数のテーブルが設けられている。テーブルは正面に近い方から，第 1 列，第 2 列，第 3 列，…，第20列まで設けられている。第 1 列には，横に 3 卓のテーブル，第 2 列には，横に 4 卓のテーブル，第 3 列には，横に 3 卓のテーブルが設けられている。このように，列の番号が奇数の列には，横に 3 卓のテーブル，列の番号が偶数の列には，横に 4 卓のテーブルが設けられている。
各テーブルには，正面に向かって左側から順にテーブル番号がつけられており，第 1 列のテーブルには， 1 ， 2 ，3 ，第 2 列のテーブルには，第 1 列のテーブルの番号の続きから 4 ， 5 ， 6 ， 7 の番号がつけられている。このように，第20列までテーブル番号がつけられている。
また，各座席には，テーブルの正面側の座席から，反時計回りに座席番号がつけられている。テーブル 1 の座席には， 1 ， 2 ， 3 ，…， 6 の座席番号，テーブル 2 の座席には，テーブル 1 の座席番号の続きから， 7 ， 8 ， 9 ，…，12 の座席番号がつけられている。このように第20列までのすべてのテーブルの座席に座席番号がつけられている。

このとき，下の⑴〜⑷に答えなさい。 〈和歌山〉図1食事会場座席図(左)el
p
maS
1

第1列

231

768

594

20214

24

26

233

277

454558229333347＊33539＊＊4241

＊

＊

＊

＊

＊＊＊＊････････
･･
･･＊7

40

＊＊＊6373388＊＊117

36＊＊1834＊＊3116

32

48＊＊1530

46＊114113143

第2第20列

1228

44＊2

25

22第3列1331019

第2列右)(右)(正面)

＊＊

＊＊

＊

＊＊＊＊
＊＊

＊

＊

＊

＊＊＊＊は，あてはまる数を省略したことを表している。

⑴ 次の①，②に答えよ。
① 座席は全部で何席あるか，求めよ。

②８第 7 列の最も左側にあるテーブル番号は何番か，求めよ。⑵和歌子さんの座席番号が176番であるとき，和歌子さんのテーブル番号は何番か，求図2めよ。また，和歌子さんは，テーブルのどの座席に座ることになるか，図 2 のア〜カの(正面)中から 1 つ選び，その記号をかけ。

アイカ

ウ

オ
エ番号⑶記号図 3 は，テーブル a のテーブルとその座席を表したものである。

図3(正面)次の表は，テーブル番号と，そのテーブルの最も大きい座席番号，そのテーブルの＊正面から最も遠い座席の座席番号についてまとめたものである。＊このとき，aとbの関係を等式で表せ。

＊

テーブル番号1

23

…

a

…

200最も大きい座席番号612

18

…

＊…

＊正面から最も遠い座席の座席番号410

16

…

b…

＊a＊＊b

elp＊は，あてはまる数を省略したことを表している。
したこい
いる。

maS⑷ 和歌子さんは，各テーブルのルの 6 席席の座席番号に何かきまりがないか，調べることにした。
号に何かきまりがないかきまりがない ，調べることに調べる1ーブル 1 からテーブル和歌子さんは，テーブルーブル 3 についてについて，それぞれについて，，それぞれれぞれ 6 席の座席席席の座席番号の和を求めてみた。テーブル和を求は21，テーブルル2はは57，テーブルブル 3 はは93であり，それぞれ93であり93であり，，それぞれれぞれ 6 席の座席席の座席番号の和は和は 3 の倍数であることに気づいた。
とかさんは，すべてのテーブルのさんはべてのテーブルの 6 席の座席席和は 3 の倍数になると考え，次のように説このことから，和歌子さんは，すべてのテーブルの席の座席番号の和はそのきを解答欄のを解答欄の明した。その説明の続きを解答欄のにかきにかき，完成させよ。
かき，完成させある 1 つのテーブルについて，のついて，， 6 席の座席番号のうち，最も小さい番号をnとすると，残り席の座席番うち 最5 つの番号は，したがって，すべてのテーブルの 6 席の座席番号の和は 3 の倍数になる。

９