Caの二重ベータ崩壊の大規模殻模型計算による記述
48

課題２:大規模量子多体計算による核物性解明とその応用
東京大学 原子核科学研究センター
岩田 順敬
清水則孝 宇都野穣 本間道雄 阿部喬 大塚孝治

テーマ： 素粒子物理と原子核物理の間で...

背景



動機

既存の殻模型計算と実験結果との比較



大規模殻模型計算

物理学的視点、計算科学的視点

計算結果



まとめと今後の展望

背景
ベータ崩壊

β- 崩壊
(Z, A) → (Z+1, A) + e- + νZBeta-e-up

Beta+

N

W

nd

多数の核種で観測νeFermi遷移(∆T =1 、∆S=0 、∆L=0、パリティ変化なし)
Gammow-Teller 遷移(∆T =1 、∆S=1 、∆L=0、パリティ変化なし)
T: アイソスピン(陽子 = -1/2, 中性子 = 1/2)
S: スピン
L：軌道角運動量

背景
二重ベータ崩壊

Z48

Ti

Beta+二つの崩壊モード
0ν process:48

Sc

Beta+ニュートリノがマヨラナ粒子であるかどうかがわかる。

(Z, A) → (Z+2, A) + 2e-2ν process:Beta-cf.) 電弱相互作用の標準理論

Beta-

48

Ca
N

レプトン数の保存を破る
ヘリシティの不一致

ニュートリノと反ニュートリノが区別できるならこちらしかあり得ない。

(Z, A) → (Z+2, A) + 2e- + 2ν背景
二重ベータ崩壊Z
48

実験について...

Ti

Beta+二つの崩壊モード
0ν process:

Beta-

48

Sc

Beta+

Beta-

48

Ca

ニュートリノがマヨラナ粒子であるかどうかがわかる。

(Z, A) → (Z+2, A) + 2e-2ν process:N（実験）まだ見つかっていない。

ニュートリノと反ニュートリノが区別できるならこちらしかあり得ない。

(Z, A) → (Z+2, A) + 2e- + 2ν（実験）二重ベータ崩壊が可能な核種 (60種程度)...実際に観測されているのは10種:
半減期 ~ 1019 y (これまでで観測されたうちで最短のもの)
Ca, 76Ge, 82Se, 100Mo, 116Cd, 128Te, 130Te, 136Xe, 150Nd, 238U

48

背景
二重ベータ崩壊の成因

48

Ti

Beta-48

Sc

Beta-48

Ca...

殻模型計算
SDPF-MU型相互作用

Z

Virtual な中間状態

N
エネルギー的に（一重）ベータ崩壊は禁止される。二重ベータ崩壊まで考えるとその禁制が解ける。

SDPF-MU 型相互作用: Utsuno-Otsuka-Brown-Honma-Mizusaki-Shimizu PRC (2012)

背景
二重ベータ崩壊の半減期何を計算するか？

2ν processについては、Gamow-Teller遷移（GT遷移）の寄与でほとんど尽くされる。
遷移）

Caの 2ν-二重ベータ崩壊

48

核行列要素

半減期 (実験値): T1/2 = (4.39 ± 0.58) * 1019 y (eval. 2013, BNL database)
Phase space factor: G2ν = 0.1044 [10-18 y-1 MeV2]

Suhonen-Civitarese Phys.Rep. (1998)（逆算してみると）→ Matrix element: M2ν(GT) = 0.0467 within (0.0438, 0.0502) [MeV -1]

0ν process および 2ν process について核行列要素があり、半減期と関係付けられる。
原子核構造計算に求められるのは、”精密に計算された核行列要素”。

背景
二重ベータ崩壊の核行列要素
Ti

何を計算するか？

Virtual な中間状態
CaSc
GT operator

実験と比較するために

τ : アイソスピンを交換 (ex. n → p)σ : スピンを交換 (ex. 0+ → 1+)

GT遷移強度を別々に計算して、それらの（ルートの）積をとれば実験と比べられる。

分母
EiEcEf

動機

Caの二重ベータ崩壊について
これまでの一主殻での計算では高エネルギー部の寄与が取り込めていない可能性がある
48

実験値と理論値（GXPF1A）を比較

殻模型計算(a) 大凡あっているが、高エネルギー部(18MeV付近)に違いがある。
(b) 低エネルギー部を過大評価。
高エネルギー部からの寄与を過小評価。
(c) Ex = 5 MeVまで,実験値 (0.083±0.016 MeV-1)とあっている。
ここでの理論値は0.086 MeV-1。
高エネルギー部に違いがある。

→高励起状態をより正確に記述する必要性

殻模型計算

Yako et al. PRL (2009)

大規模殻模型計算

状態二主殻の計算を行う。

陽子数Ca 0+ (g.s.)202848

Sc 1+ (many)

212748

Ti 0+ (g.s)

222648

Caの基底状態

48π1p1/2これまでの殻模型計算
pfsd

物理学的視点中性子数

これまでの一主殻・殻模型計算では、pf殻内のすべての相関が考慮される

ν

1p1/2 (2)

1p3/2

1p3/2 (4)0f5/2

0f5/2 (6)0f7/2

0f7/2 (8)1s1/2

1s1/2 (2)0d3/2

0d3/2 (4)0d5/2

0d5/2 (6)Tiの基底状態

48

π

1p1/2

ν

1p1/2 (2)

1p3/2

1p3/2 (4)0f5/2

0f5/2 (6)0f7/2

0f7/2 (8)1s1/2

1s1/2 (2)0d3/2

0d3/2 (4)0d5/2

0d5/2 (6)

大規模殻模型計算

状態

二主殻の計算を行う。

陽子数

物理学的視点
中性子数

Ca 0+ (g.s.)

2028

48

Sc 1+ (many)

2127

48

Ti 0+ (g.s)

2226

48

陽子励起

1p1/2 (2)π

1p3/2 (4)

これまでの殻模型計算
pf
sd

0f5/2(6)0f7/2(8)

例えば48

Ca

1s1/2 (2)0d3/2 (4)0d5/2 (6)

大規模殻模型計算48

計算科学的視点

Caの二重ベータ崩壊について●

モンテカルロ法を用いないLanczos法による厳密対角化●

一主殻計算 total m-scheme dimension: 139,046 = 105.14 次元
ちょっとした計算サーバで丸一日程度かければ計算できる。

●

二主殻計算 total m-scheme dimension:> 1010 次元

次元数が大きすぎることによる計算の困難を緩和するために”Lanczos strength function method”を用いる。
“制限付き二主殻計算”: 2p-2h励起までに制限。
これにより主殻をまたいだ対励起などを取り込むことができる。
Feasible ...これら二つの対策を行ったことで、total m-scheme dimension: 703,624,415 = 10 8.85 次元
total memory for Lanczos vectors: ~ 4.9 TB
Open-MP/MPI 240コア並列 〜 1000コア並列 で計算。

計算結果

まずは一主殻で行われた過去の計算を再現してみる。
“Horoi-Stoica-Brown PRC (2007)”(2007) の再現を試みる。

Matrix element

Horoi-Stoica-Brown PRC (2007)

一主殻

Quenching factor (Qf)for GT operator= 0.77

計算結果“Horoi-Stoica-Brown PRC (2007)”(2007) を再現:
Matrix element
300 levels

一主殻

Quenching factor (Qf)for GT operator= 0.77GXPF1Aを使った我々の計算(48Scの1+として、999 levels）
Horoi-Stoica-Brown PRC (2007)

最終目的である行列要素が我々の大規模殻模型計算コード(Kshellコード; N. Shimizu
arXiv:1310.5431)によって完全に再現された（計算時間：30時間→10分へ短縮）。
二重ベータ崩壊研究への契機にと行った計算であったが、最終結果に至る過程で、一つの有益な知見が得られた...

計算結果

実験と比較のため

Qf = 0.77

Gauss幅：0.18MeV, 0.50MeV
GXPF1A相互作用

Ca → Sc
Experiments (+DWBA)

Yako et al. PRL (2009)[MeV-1]

Experiments (+DWBA)

再現

一主殻

計算結果
Qf = 0.77

Gauss幅：0.18MeV, 0.50MeV
GXPF1A相互作用

Ca → Sc[MeV-1]

Ti → Sc
再現

再現[MeV-1]Sc (T=3 & T=4)

GT遷移ではあるが二重ベータ崩壊の核行列要素には寄与しない
Excitation energy [MeV]

この計算から解ったこと
Ca → Sc の Ex =17MeV 付近に（実験結果のみに）見られていたピークは Scの“T=4状態”を考慮することで一主殻計算でも再現できる。ただ、GT遷移とは関係がない。
Sc → Tiについては高エネルギー成分が再現できない。二主殻計算の必要性

計算結果
二主殻の計算を行う。
[実験] 48Caの２番目の0+状態は陽子励起を含んでいると指摘されている。
Videbaek et al. NPA (1986)
一主殻
二主殻
陽子励起混合:sd殻からpf殻へ励起した陽子の数
4848

Ca
Ca
陽子励起混合: 0.00

陽子励起混合: 0.24

既に提案されているSDPF-MU相互作用：✔

２番目の0+の励起エネルギーが高すぎる。

✔

陽子励起もそれほど混ざっていない。

P励起混合: 1.16GXPF1A

P励起混合: 1.79

SDPF-MU

二主殻相互作用＝SDPF-MU
Utsuno-Otsuka-Brown-Honma-Mizusaki-Shimizu PRC (2012)

計算結果
二主殻の計算を行う。
[実験] 48Caの２番目の0+状態は陽子励起を含んでいると指摘されている。
→ この状態の励起エネルギーを再現する相互作用をつくる（二つの決め方）。
12

SDPF-MU iw17p

SDPF-MU iw17

陽子48

中性子Caの基底状態

1p1/2

π

1p3/2
0f5/2

1p1/2pf

ν1p3/2
0f5/2pf

0f7/2

0f7/2

1s1/2

1s1/2

0d3/2 sd

0d3/2 sd

0d5/2

0d5/2

計算結果
二主殻の計算を行う。
[実験] 48Caの２番目の0+状態は陽子励起を含んでいると指摘されている。
→ この状態の励起エネルギーを再現する相互作用をつくる。
一主殻

二主殻陽子(中性子)励起混合:sd殻からpf殻へ励起した陽子(中性子)の数

4848

CaCa
陽子励起混合: 0.00

GXPF1A

陽子励起混合: 0.24

Sdpf-MU

陽子励起混合: 1.16

陽子励起混合: 1.79

Sdpf-MU iw-17

Sdpf-MU iw-17p

陽子励起混合 : 0.00 陽子励起混合 : 0.18 陽子励起混合 : 0.27 陽子励起混合 : 0.26
１番目の0+状態 中性子励起混合: 0.00 中性子励起混合: 0.12 中性子励起混合: 0.16 中性子励起混合: 0.13

結果として、1番目の0+状態にもsd殻からpf殻への励起成分が混ざる。

計算結果

Gamow-Teller遷移強度

Gauss幅：0.18MeV
Qf = 0.77

Ca → ScdB(GT)/dE [MeV-1]
32.5
2
Gxpf1a-totaliw-17
iw-17p

1.51New !

0.50051015202530

E [MeV]

二主殻

計算結果

Gamow-Teller遷移強度

Gauss幅：0.18MeV
Qf = 0.77

Ca → ScdB(GT)/dE [MeV-1]
32.5
2Experiment

1.5

Gxpf1a-total
iw-17
iw-17p10.50051015202530

E [MeV]

二主殻

計算結果

Gamow-Teller遷移強度

Gauss幅：0.50MeV
Qf = 0.77

Ti → ScdB(GT)/dE [MeV-1]
32.5

まず、先ほどのCa→Sc遷移と同じスケールで結果を見てみる

2Gxpf1a-total
iw-17
iw-17p1.5
10.5
0[MeV-1]305

Gxpf1a-totaliw-17
iw-17p1015202530

E [MeV]Ca → Sc20105 10 15 20 25 30二主殻計算結果

Gamow-Teller遷移強度

Gauss幅：0.18MeV
Qf = 0.77

Ti → ScdB(GT)/dE [MeV-1]
0.4
30.35
2.50.320.25

微量だが、iw-17高エネルギー域での寄与が得られた。 iw-17p

Gxpf1a-total

1.5
0.2
0.15
10.1
0.5
0.050000[MeV-1]355

Gxpf1a-total
iw-17
iw-17p1015152020252530

E [MeV]Ca → Sc2010105 10 15 20 25 30二主殻計算結果

Gamow-Teller遷移強度

Gauss幅：0.18MeVQf = 0.77

Ti → ScdB(GT)/dE [MeV-1]
0.4
30.35
2.50.3
20.25

Experiment
Gxpf1a-total
iw-17
iw-17p

1.5
0.2
0.15
10.1
0.5
0.050000[MeV-1]355

Gxpf1a-total
iw-17
iw-17p1015152020252530

E [MeV]Ca → Sc2010105 10 15 20 25 30

二主殻

計算結果

Gauss幅：0.18MeV
Qf = 0.77

Matrix element

Yako et al. PRL (2009)

殻模型計算

実験との比較のため我々の計算結果

M2n [MeV-1]

ちょうど0.30[MeV-1]あたりに到達

0.35
0.3

5MeVまでの励起状態を考慮した実験との一致は悪くない。0.25Exp: Grewe et al. PRC (2007)

陽子励起(2p2h)などの効果
SDPF-iw17
SDPF-iw17p
GXPF1A

0.20.150.1
0.050051015202530

E [MeV]まとめと今後の展望

Caの二重ベータ崩壊について、☆二主殻（とくに2p2hまで）を模型空間とする☆48Caの第二0+状態を再現するように相互作用をつくるという観点から大規模殻模型計算を行った。
48

Ca → Sc
ほぼ満足の行くGT遷移強度が得られた。
→ ほとんどはpf殻内で励起した状態間の遷移として説明できる。
Sc → Ti
高エネルギー部分で微量の改善はあったが、それほど顕著ではない。
→ Tiの基底状態（0+）とScの励起状態(1+)に取り込み損じがあるのか！？
（励起エネルギー〜15MeV ⇔ Scの200番目〜500番目の励起状態）
実験結果にIVSM(isovector spin monopole)が混ざっている可能性あり。
“今後の戦略”➢Tiの励起状態に関する実験情報を使って現行の相互作用を改良。
➢（重要そうな）4p4hの一部を取り込んだ殻模型計算をアレンジし、そういった計算によってTiやScの状態に違いが生じるかどうかを検証する。

➢

モンテカルロ殻模型により、制限の無い二主殻計算を行う。

●

2ν processで ”fine tuning” された殻模型計算で 0ν process に挑む。