― 16 ―フライホイール型倒立振子の安定化制御
工藤駿＊・木澤悟

Stabilization of Inverted Pendulum with Inertia Rotor
Shun KUDOU ＊ and Satoru KIZAWA（平成23年11月25日受理）
This paper describes the control of an under actuated system called the Inverted Pendulum
composed of a pendulum and a flywheel type inertia rotor. The system is controlled by occurring
reaction torque to the Inertia Rotor which is rotated with the DC motor. We tried to stabilize its system,
namely, to balance the pendulum about the vertical by means of optimal regulator. Moreover, we tested
two kinds of ﬂywheels which are diﬀerent of the diameter to compare and to investigate the performanceof stabilization by the diﬀerence of inertial force, in other words the diﬀerence of reaction torque in each.
Keywords : Inverted Pendulum, Inertia Rotor, Optimal Regulator, Stabilization

1.

緒言

現代のロボット開発において，技術は日々進化しており，人間型や動物型などのロボットの実用化に向けた研究が盛んに行われている。宇宙や深海など，極限の状況下で作業するロボットは，できるだ
け軽量で，少ないエネルギーで動かしたいという要求がある。そのため，アクチュエータを減らすことにより省エネルギーが達成されることが可能であると考えられるが，近年，関節の数よりアクチュエータの数を減らした劣駆動システムが注目されている。例えば，人間が鉄棒運動をしたり，手のひらで棒を立たせたりする動きなどに該当し，軽量化や省エネルギー化関して有効であるため，マニピュレータロボット1）, 2）などの研究に応用されている。しかし，1 つのモータで 2 つの関節を動かさなければならず，劣駆動システムでは動作空間において非線形性が存在し，制御が難しいという欠点がある。
ところで，人間の平衡感覚とバランシングは，アクチュエータに相当する無数の筋肉による，巧みな協調動作により実現されている。この平衡感覚の実現のために，筋肉を模倣した多くのアクチュエータを装着し制御することは難しいと思われる。しかし，体内に左右のバランスのとれるフライホイール＊による慣性ロータが内蔵されていると考えれば，ある程度人間と同様のバランス感覚が得られると考えられる。そこで本研究では，制御工学理論の実証実験に用いられる倒立振子の 1 つである，左右のバランス制御を行うフライホイール型慣性ロータ3）を用いて，振子が鉛直方向に倒立して安定化させる実験を試みた。このシステムは，フライホイールと振子の 2 つのリンクを持ち，構造的には，フライホイールという円盤をモータで回転させ，そのとき，反動トルクが発生することを利用して，受動関節である振子を制御する仕組みである。
本研究の目的は，振子の倒立状態を維持し，安定した制御を達成することである。安定化制御の手順としては，はじめに，フライホイール型倒立振子システムをモデル化するため，各部の物理パラメータを測定し，運動方程式を導出後，状態方程式を導出した。そして，振子を真上状態に倒立させる制御手
法には，最適レギュレータ4），5）を用いて安定化制御を試みた。さらに本研究では，フライホイールの慣性力の違い，即ち反動トルクの違いによる安定化の性能を比較検討するために，直径の異なる D=60［mm］と D=100［mm］の 2 種類のフライホイールを用意し，それぞれの場合について安定化制御実験を行った。

秋田高専専攻科学生
平成24年２月

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フライホイール型倒立振子の安定化制御

2.

システムの概要

与えられるトルクとモータ端子電圧との関係を含めた非線形な運動方程式は次式となる。

Fig. 1 に本研究で使用したフライホイール型倒立振子システムを示す。また，Fig. 2 に模式的なシステムの構成図を示す。フライホイール，振子の角度情報は，各エンコーダによってパルス信号に変換され，Multi Q-PCI（カウンタ）でカウントされる。
その情報が PC へと送られ，Matlab/Simulink および Wincon 上で制御入力が計算される。この制御入力は Multi Q-PCI（D/A コンバータ）にて電圧に変換され，その電圧はパワーオペアンプを介して増幅され，DC モータが制御される。

Fig. 1

フライホイール型倒立振子システム

Fig. 23.

システム構成図

フライホイール型倒立振子のモデル化

3.1 非線形運動方程式の導出
この節では，モデル化した Fig. 3 のフライホイー
ル型倒立振子を基に，ラグランジュの運動方程式を用いて，状態方程式を導出する。そこで，アームに
秋田高専研究紀要第47号

I1 + I2 + m1l g2 + m2 l 2I2+θ̈1θ̈2－（m1lg + m2 l ）g sin θ100c1+I2
I2 + Imn20c2 +Fig. 3

KT KE n2Ra0·
θ1· ＝ KT n V
θ2Ra（1）

フライホイール型倒立振子モデル

ここでθ1：振子角度
θ2：フライホイール角度m1：振子質量m2：フライホイール質量l：振子長さlg：振子重心位置
I1：アームの重心まわりの慣性モーメントI2：フライホイールの重心まわりの慣性モーメントc1：アームの粘性摩擦係数
c2：フライホイールの粘性摩擦係数
Im：モータの慣性モーメント
Ra：直流抵抗（アマチュア抵抗）
KE ：誘起電圧定数
KT ：トルク定数
τ：モータトルクn：ギヤ比
V：モータ端子電圧g：重力加速度である。
また，実測，実験によって測定したアームと振子の物理パラメータおよび DC モータのパラメータをTable. 1～3 に示す。

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Table. 1x = Ax + Bu
y = Cx4パラメータの名称

数値

m1

振子（モータ含む）の質量0.206［kg］

l

長さ0.15［m］lg

重心までの長さ

0.132［m］－4

重心周りの慣性モーメント1.82×10 ［kg · m ］

粘性摩擦係数

9.82×10－4［kg · m2］

フライホイールのパラメータ
D＝60［mm］

D＝100［mm］m1

質量0.122［kg］

0.227［kg］

I1

重心周りの慣性モーメント1.098×10 ［kg · m ］ 5.675×10－4［kg · m2］c2

粘性摩擦係数

1.00×10－6［kg · m2］

1.00×10－5［kg · m2］

パラメータの名称

数値

Ra

直流抵抗

13.3［Ω］

KT

トルク定数25.4×10－3［Nm /A］－2

誘起電圧定数n

ギヤ比

Jm

モータの慣性モーメント/2.60×10 ［V（rad·s）］
36
3.00×10－7［kg · m2］3.2 線形な運動方程式の導出
次に，前節で求めた非線形な運動方程式 Eq.
（1）を線形化する。倒立振子の鉛直真上近傍での安定化を目指すため，角度 θ の値は非常に小さいと仮定す
ると，以下のような運動方程式が導出される。
·Mθ¨ + Dθ + Gθ = N ·V（2）
ここで，I1 + I2 + m1l g2 + m2 l 2
M=I2
G=

D=00

B=02×1
M －1N· · T
C = I4×4 , x =［ θ1 θ2 θ1 θ2］, u=V4.

最適レギュレータ（LQ）制御法の設計方法

本研究の制御対象である Eq.
（3）の状態方程式に基づいて制御系を設計する。ここで，状態 x は次元n ベクトル，入力 u は m 次元ベクトルであり n = 4，m = 1 である。このシステムに対して，以下の評価関数
J =∫（xTQx + uTRu）dt∞0u =－Kx（5）で与えられる。ここで，状態フィードバックゲイン
K は，（6）となる。また，フィードバックゲイン K は，次式のリカッチ方程式を解くことで得られる。
ATP + PA－BPR－1BTP + Q = 00

N ＝ KT nV
KT KE n2c2 +Ra
Ra ,,（4）を最小化する制御則を最適レギュレータという。ただし，Q（n×n）：半正定行列，R（m×m）：正定行列とする。Eq.
（5）の右辺第 1 項は，状態量の 2 乗の積分，第 2 項は入力エネルギーに相当する。このため Eq.（4）を最小にすることは，少ないエネルギーで状態をゼロに近づけること，つまり安定化を達成することを意味する。この評価関数を最小にする制御則はK =R－1BTPI2
I2 + Imn2 ,－（m1lg + m2 l ）g 000 ,c1

I2×2－M －1D ,2DC モータのパラメータ

KE02×2－M －1Gである。

記号 パラメータの名称

記号

A=2I1－4（3）ここで，c1

Table. 3

悟振子のパラメータ

記号Table. 2駿・木澤θ =θ1θ2である。
3.3 状態方程式の導出
前節で導出した Eq.（2）を変形すると，以下の状態方程式が得られる。

（7）

ここで，P はリカッチ方程式の正定解である。
5.

安定化制御および実験結果

5.1 実験方法とコントローラの設計
ここでは実機実験により，フライホイールの慣性ロータを用いた最適レギュレータ制御法による安定化制御の有効性を検証する。また，本研究はフライホイールの慣性力により，振子を倒立制御させるの
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で，慣性力の差異を見るために，フライホイールの直径や質量の違いについても検証する。そのため，
次の 2 種類のフライホイールを用意した。
Case. Ⅰ：直径 D=60［mm］の場合
Case. Ⅱ：直径 D=100［mm］の場合
はじめに，3 章で示した各物理パラメータを代入し，それぞれの状態方程式を求め，次にコントローラを設計する。前節でも述べたように，最適レギュレータにおいて，重み行列 Q は状態量 x に，重み行列 Rは操作入力に対して影響を及ぼすことがわかっている。本研究で決定する重み行列は Q = diag［q1 q2q3 q4］で表され，q1～q4 はそれぞれ振子角度，フライホイール角度，振子角速度，フライホイール角速度に対応する重み値である。ただし，重み行列 Q お
よび R の決定は，未だ効果的な設定方法が確立されていないのが現状であり，試行錯誤的に実験を行って決定した。また，実験方法として，コントロー
ラを設計するために MATLAB/Simulink およびコンパイラ Wincon6） を使用した。Fig. 4 に Simulinkを用いて設計した最適レギュレータのブロック線
図を示 す。ブロッ ク線図 におけ る Filter1 お よび
Filter2 は，ロータリーエンコーダの高周波ノイズを除去するためのローパスフィルタであり，Filter3
および Filter4 は，角速度を読み取るためのローパスフィルタを付加した微分器である。図中にある
LQ Controller は，計算されたフィードバックゲインが格納されている。
次に，フライホイールの違いによる，制御対象の状態方程式およびコントローラを以下に示す。 このとき，設定した最適レギュレータの重み関数 Q，R，および，それに対するフィードバックゲイン K

Fig. 4
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を Table. 4，Table. 5 に示す。
Case. Ⅰx = Ax + Bu
y = Cx400
A=
66.79－15.90
B =［ 000000010
1－3－1.509×101.031
3.593×10－4 －126.8－1.647

202.5 ］
TC = I4×4
Table. 4Case. Ⅰの重み関数とフィードバックゲイン
Q＝diag［10Case.Ⅰ①

K＝［1474
K＝［1087100.2236

Q＝diag［1×104Case.Ⅰ②55］, R＝100180.61.348］

51×1045］, R＝1000.2236

133.40.9514］

Case. Ⅱx = Ax + Bu
y = Cx400
A=65.35－27.60
B =［ 000000

100
1－3－1.091×102.967－4
4.603×10－97.08－3.164

C = I4×4

最適レギュレータのブロック線図

103.6 ］
T

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Table. 5
Case.Ⅱ①
Case.Ⅱ②

駿・木澤悟

Case. Ⅱの重み関数とフィードバックゲイン
Q＝diag［105K＝［563.50.2236

70.1351×1055］, R＝1000.167.671.906］

Q＝diag［1×103

K＝［543.8105］, R＝1001.959］

5.2

Case. Ⅰ フライホイール直径 D=60［mm］の重み関数による応答性の比較実験
D=60［mm］のフライホイールでは，振子を 1［deg］
傾 け た 状 態 か ら の 安 定 化 制 御 を 行 っ た。 な お，
D=60［mm］の場合，初期状態の傾斜角度 1［deg］が限界となる。Fig. 5 は，最適レギュレータの操作量に関する重み R＝100として，制御量に関する重みを Q＝diag［10 5 10 5］に設定した場合と，Q＝diag［1×104 5 1×104 5］と設定した場合における各状態量の応答を示す。Fig. 5（a）～（c）はそれぞれ，振子角度，フライホイール角度，モータ入力電圧の応答である。振子角度の応答 Fig. 5（a）より，どちらも小刻みに振動しているが振動の触れ幅は小さく，安定化は達成されており，Case. Ⅰ②の方が始動時の角度変化が小さいことがわかる。Fig. 5（b）を見ると，フライホイール角度の応答については，Case. Ⅰ②では，始動時の反動に180［deg］を要し，その後－400［deg］付近に漸近している，一方，Case. Ⅰ①では，始動時の反動に600［deg］を要し，約－200［deg］に漸近していることがわかる。Fig. 5（c）を見ると，入力電圧については，Case. Ⅰ②の方が，Case. Ⅰ①よりも始動時の電圧が1/2以下に抑えられている。
以上より，D=60［mm］における重みの値については，［10 5 10 5］とした時より，Q＝diag［1×104 5 1×104 5］として，振子角度と振子角速度にかかる重みの値を大きくした方が，始動時の傾きが小さく，良い応答が得られることがわかった。
5.3

Case. Ⅱ フライホイール直径 D=100［mm］の重み関数による応答性の比較実験
D=100［mm］の フ ラ イ ホ イ ー ル で は， 振 子 を 3［deg］傾けた状態からの安定化制御を行った。なお，
D=100［mm］の場合，初期状態の傾斜角度 3［deg］が限界である。Fig. 6 は操作量に関する重み R = 100として，制御量に関する重み Q＝diag［10 5 10 5］に 設 定 し た 場 合 と，Q＝diag［1×103 5 1×1055］と設定した場合における各状態量の応答を示す。
Fig. 6（a）～（c）はそれぞれ，振子角度，フライホイール角度，振子角速度，フライホイール角速度，モータ入力電圧の応答である。Fig. 6（a）～（c）より，どFig. 5

D=60［mm］におけるフライホイールの過度応答

ちらも振子の倒立状態が達成できていることがわかる。しかし，どの図においても Case. Ⅱ①とした時の応答は，振れ幅が大きく，振動が大きい。一方で Case. Ⅱ②とした場合の応答は，振子角度の応答
Fig. 6（a）を見ると，倒立した直後の振子の振れ幅が若干左側に傾いてはいるが，概ね0.5［deg］以下であり，非常に安定していることがわかる。Fig. 6
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フライホイール型倒立振子の安定化制御

Case. Ⅱ②のときの応答は，立ち上がりは大きいものの収束が早く，収束後の電圧も 5［V］以下の低い値で安定していることがわかる。
以上より，D=100［mm］における重みの値について も，Q＝diag［1×103 5 1×105 5］と し て， 振子角度と振子角速度にかかる重みを大きくした方が，良い応答が得られることがわかった。
5.4

Case.Ⅰ（D=60［mm］）とCase.Ⅱ（D=100［mm］）の応答性の比較実験
ここでは，フライホイールの直径の違いにより，どのような応答性の違いが見られるかを比較，検討するため，振子の傾き角度をどちらも 1［deg］に合わせて安定化制御を行った。
D=60［mm］と D=100［mm］に お い て そ れ ぞ れ，最適な重みに設定した場合の応答の比較を Fig. 7 に示す。重み関数に関しては，前節から操作量に関する重み R＝100はどちらも一定であり，制御量に関する重み Q は，Case. Ⅰ（D=60［mm］）の場合に4Q＝diag
ついては［1×10 5 1×104 5］で あ り，Case. Ⅱ（D=100［mm］）の場合については，Q＝diag［1×103 5 1×105 5］である。Fig. 7（a）～（c）はそれぞれ，振子角度，フライホイール角度，モータ入力電圧の応答である。Fig. 7（a）～（c）より，振子の倒立状態における安定化は達成されており，振子角度，入力電圧も低い値で安定している。振子角度の応答 Fig. 7（a）を見ると，D=60［mm］の応答は始動時の傾きが小さく，D=100［mm］に比べて角度の振れ幅も約0.2［deg］と小さい。D=100［mm］では開始後すぐに振子が大きく傾いているが，急速に持ち直しており，漸近後の振子の振れ幅も約0.5［deg］であり，小さい値で安定している。フライホイール
角度の応答 Fig. 7（b）を見ると，違いが顕著に表れており，D=100［mm］は回転角度が D=60［mm］に比べ非常に低い値に漸近できている。D=60［mm］
では徐々に角度が大きくなっており，グラフには描かれていないが，15秒後には1700［deg］付近に収Fig. 6 D=100［mm］におけるフライホイールの過度応束している。入力電圧の応答 Fig. 7（c）を見ると，
答制御開始時の電圧は D=100［mm］は D=60［mm］より大きく，その後漸近時では，D=60［mm］の方が（b）のフライホイール角度の応答を見ても，角度D=100［mm］より電圧が大きくなっている。
は200［deg］付近に収束しており，非常に安定した以上の結果から，振子の振れ幅については，どち動きを示している。一方，Case. Ⅱ①では，振子はらも大差はないことがわかった。制御電圧について
左右に揺れながら倒立しているが，フライホイールは，D=60［mm］の場合は直径も質量も小さいので，（ロータ）は左右の回転を伴って回り続けている。
反動トルクが小さい分，傾いた状態を持ち直す時のFig. 7（c）より，制御電圧についても，Case. Ⅱ①の電圧も低いが，フライホイールが回転し続けている応答は，漸近後も電圧の振れ幅が大きい。しかし， 分，安定時の電圧は D=100［mm］の場合に比べ大秋田高専研究紀要第47号

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工藤

駿・木澤

7.

悟

結言

本研究では，フライホイール型の慣性ロータを用いた倒立振子の安定化制御において，フライホイール付き振子が，鉛直に倒立状態に保持させることを目指した。制御系の設計には，現代制御理論の 1 つである最適レギュレータを用いた。その結果，コントローラとしての最適レギュレータは，フライホイール型倒立振子の安定化制御に有効であった。また，振子の倒立状態を比較，検討するために，フライホイールの直径が D=60［mm］，D=100［mm］の 2 種類についての実験を行った。さらに最適レ
ギュレータ制御における，操作量に関する重み Qおよび制御量に関する重み R を，試行錯誤的に調整して，制御性能にどのように影響するか比較，検討を行った。その結果，どちらのフライホイールについても，R＝100として，重み関数 Q の中の振子角度，振子角速度にかかる重みの値を大きくすることによって，良い応答が得られることがわかった。そして，その中で最も良い応答を示した重みの値はそれ
ぞ れ，D=60［mm］で は，Q＝diag［1×104 5 1×104 5］とした場合であり，一方，D=100［mm］では，Q＝diag［1×103 5 1×105 5］とした場合であった。また，D=60［mm］よりも，質量および直径の大きい D=100［mm］のフライホイールを使用した方が，反動トルクが大きいため，D=60［mm］の場合よりも大きく傾けた状態から倒立状態を達成できた。鉛直真上状態に安定した状態では，少ないモータ入力エネルギーで，安定性した振子の制御ができることが確かめられた。
参考文献

Fig. 7 D=60［mm］と D=100［mm］におけるフライホイールの過度応答きいことがわかった。一方，D=100［mm］では，直径が大きくフライホイールが重い分，反動トルクが大きく，傾いた状態から戻るときの電圧は大きいが，その後，倒立した状態での電圧は D=60［mm］の場合よりも小さく制御できた。結論として，D=100［mm］のフライホイールは，少ないエネルギーで振子の倒立状態を維持できることがわかった。

1）小林，井村，吉川，1 つの非駆動関節を持つ平面劣駆動マニピュレータの可制御性，日本ロボット学会誌 Vol. 17 No. 8, pp.1167～1172, 1999
2）藪野，後藤，青島，分岐現象を利用した劣駆動 マ ニ ピ ュ レ ー タ の 制 御， 日 本 機 械 学 会 誌
Dynamics and Design Conference 2002 CDROM 論文集，2002
3）藤木，神崎，松田，慣性ロータを用いた振子の振り上げ動作と倒立制御，日本機械学会論文集（C 編）68巻667号，pp.98-104, 2002
4）木田，フィードバック制御の基礎，培風館，2003
5）天野，MATLAB/Simulink によるやさしいシス
テム工学，森北出版，2008
6）Quanser inc. http://www.quanser.com/
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