（独立行政法人教職員支援機構委嘱事業）

平成29年度教員の資質向上のための研修プログラム開発支援事業

ICTを活用したRLA導入研修プログラム資料集

東京理科大学 教育支援機構
教職教育センター
理数教育研究センター
川 口 市 教 育 委 員 会

目次

資料① 次世代型教育の授業像… ………………………………………………

１

資料② 電子黒板を利用した指導方法とメリット… ………………………… 15
資料③ デジタル教科書の機能・プロジェクターの活用… ………………… 23
資料④ アクティブラーニングとＲＬＡ… …………………………………… 47
資料⑤－１ 教材の体験①（Noise Cancelling）… ………………………… 73
Activity Sheet… …………………………………………………………… 75
指導書………………………………………………………………………… 89
指導案………………………………………………………………………… 108
資料⑤－２ 教材の体験②（絶対値を用いたグラフ）………………………… 113
Activity Sheet… …………………………………………………………… 115
指導書………………………………………………………………………… 124
指導案………………………………………………………………………… 137
資料⑤－３ 教材の体験③（フィボナッチ数）………………………………… 141
Activity Sheet… …………………………………………………………… 143
指導書………………………………………………………………………… 148
指導案………………………………………………………………………… 164
資料⑤－４ 現実と数学の関連（距離センサーを用いたグラフ）…………… 169
Activity Sheet… …………………………………………………………… 171
指導書………………………………………………………………………… 180
指導案………………………………………………………………………… 205

資料① 次世代型教育の授業像

①-1
－1－

資 料 ① 次 世 代 型 教 育 の授 業 像
次 世 代 型 教 育 においては、主 体 的 ・協 働 的 で深 い学 びの実 現 が⽬ 指 され、・ ⼗ 分 な知 識 ・技 能・ それらを基 盤 にして答 えが⼀ つに定 まらない問 題 に⾃ ら解 をみいだして思 考 ⼒ ・判 断
⼒ ・表 現 ⼒ 等 の能 ⼒・ これらの元 になる主 体 性 を持 って多 様 な⼈ 々と協 働 して学 ぶ態 度のいわゆる学 ⼒ の３要 素 を実 現 するためのアクティブラーニング（以 下 AL）の実 施 が期
待 さ れ て い ま す 。 ま た さ ら に 、 次 世 代 型 教 育 で は 、 ICT （ Information
Communication Technology）の活 ⽤ が⼤ いに期 待 されています。具 体 的 には・ 電⼦⿊板・ インターネット
・ デジタル教 科 書・ 各 種 ソフトウエアなどを活 ⽤ することによって、今 までにない豊 かな授 業 の展 開 が期 待 されています。
１－１ 次 世 代 型 教 育 の背 景
次 世 代 型 教 育 が推 進 される背 景 として、今 回 の学 習 指 導 要 領 の改 訂 で登 場 した「資質 、能 ⼒ 」という⾔ 葉 のもとになった 21 世 紀 型 能 ⼒ という提 案 があります。

実践⼒

思考⼒
基礎⼒
図 １ 21 世 紀 型 能 ⼒ (筆 者 が略 図 化 )①-2－3－

（ https://www.nier.go.jp /05_kenkyu_seika /pf_pdf/20130627_4.pdf ）国 ⽴ 教 育 政 策 研 究 所 の資 料 によれば、この２１世 紀 型 能 ⼒ が今 まで強 調 されてきた⽣ きる⼒ を構 成 しているものであるといえます。
21 世 紀 型 能 ⼒ ︓「⽣ きる⼒ 」としての知 ・徳 ・体 を構 成 する資 質 ・能 ⼒ から，教 科 ・
領 域 横 断 的 に学 習 することが求 められる能 ⼒ を資 質 ・能 ⼒ として抽 出 し，これまで
⽇ 本 の学 校 教 育 が培 ってきた資 質 ・能 ⼒ を踏 まえつつ，それらを「基 礎 」「思 考 」「実践 」の観 点 で再 構 成 した⽇ 本 型 資 質 ・能 ⼒ の枠 組 みである。
また、図 １で表 される能 ⼒ 像 は①思 考 ⼒ を中 核 とし，それを⽀ え る②基 礎 ⼒ と，使 い⽅ を⽅ 向 づける ③実 践 ⼒ の三層構造になっていると強 調 されています。
具 体 的 には、下 表 に⽰ した。
実践⼒

・⾃ 律 的 活 動 ⼒・⼈ 間 関 係 形 成 ⼒・社 会 参 画 ⼒・持 続 可 能 な未 来 への責 任

思考⼒

・問 題 解 決 ・発 ⾒ ⼒ ・創 造 ⼒・論 理 的 ・批 判 的 思 考 ⼒・メタ認 知 ・適 応 的 学 習 ⼒

基礎⼒

・⾔ 語 スキル・数 量 スキル・情 報 スキル
表 1 21 世 紀 型 能 ⼒ の具 体 的 な内 容の育 成 が 21 世 紀 型 能 ⼒ の⽀ えることになると思 われます。
１－２ 次 世 代 型 教 育 と ICT
上 記 の提 案 とは加 えて、世 界 的 な動 向 を⾒ ると現 在 、21 世 紀 型 スキルを提 案 するプ
ロジェクト「ACT21s (Assessment & Teaching of 21st Century Skills)」を共同 で進 められています。そこで述 べられている 21 世 紀 型 スキルは⽩ ⽔ 始 ⽒ のまとめにもと

①-3
－4－

づき、美 ⾺ のゆり⽒ のまとめも参 考 にすると、以 下 のようなものです。
(http://www.nier.go.jp /shirouzu /publications /pub_20.pdf )(http://www.nissan-zaidan.or.jp /nissan_zaidan /wpcontent /uploads /2016/04/waku-waseda16-mima.pdf )思 考 の⽅ 法 (Ways of Thinking)1. 創 造 性 とイノベーション(⾰ 新 的 な考 え)
2. 批 判 的 思 考 、問 題 解 決 、意 思 決 定
3. 学 び⽅ の学 習 、メタ認 知 (認 知 過 程 に関 する知 識 )3ʼ. 計 算 論 的 思 考 (美 ⾺ ⽒ のみ)
働 く⽅ 法 (Ways for Working)4. コミュニケーション
5. コラボレーション（チームワーク）
働 くためのツール(Tools for Working)6. 情 報 リテラシー(情 報 を読 み解 く⼒ )7. ICT リテラシー(技 術 を使 いこなす⼒ )世 界 の中 で⽣ きる(Ways of Living in the World)
8. 地 域 とグローバル社 会 でよい市 ⺠ であること（シチズンシップ）
9. ⼈ ⽣ とキャリア発 達
10. 個 ⼈ の責 任 と社 会 的 責 任 （異 ⽂ 化 理 解 と異 ⽂ 化 適 応 能 ⼒ を含 む）
表 2 21 世 紀 型 スキル（ACT21s 版 ）(下 線 筆 者 )国 ⽴ 教 育 政 策 研 究 所 が挙 げる 21 世 紀 型 能 ⼒ の表 １と⽐ 較 すると、働 くためのツー
ル、⾔ い換 えると学 びのためのツールとして情 報 ツールの活 ⽤ が独 ⽴ して強 調 されていること、働 く⽅ 法 、⾔ い換 えると学 びの⽅ 法 として 協 働 学 習 のためのコ ミュニケーション とチームワークが強 調 されていること、思 考 の⽅ 法 として、創 造 性 やイノベーションを強 調 している点が、特 徴 的 であると⾔ えるのではないでしょうか。特 に、ICT の活 ⽤ は、本 プロジェクトでも、広 い意 味 での次 世 代 の教 育 では求 められてくるものであると思 われます。
このようなことをもとに、⽩ ⽔ ⽒ は 21 世 紀 型 スキルを次 のように定 義 されています。
21 世 紀 型 スキル︓他 者 との対 話 の中 で、テクノロジも駆 使 して、問 題 に対 する解 や
新 しい物 事 のやり⽅ 、考 え⽅ 、まとめ⽅ 、さらに深 い問 いなど、 私 たち⼈ 類 にとっての「知 識 」を⽣ み出 すスキル
後 で 述 べ る こ と に な り ま す が 、 本 プ ロ ジ ェ ク ト で 導 ⼊ す る Researcher Like①-4
－5－

Activity(RLA:研 究 者 の活 動 を模 した 活 動 )では、このようなスキルを「 疑 似 体 験 」 できると思 われます。また、この説 明 の中 に含 まれているように、21 世 紀 型 スキルの育 成 にまた
広 くは次 世 代 型 教 育 の実 現 に最 初 に述 べた ICT の活 ⽤ が求 められているということが含まれているということが求 められていることがお分 かりになると思 われます。
１－３ 次 世 代 型 教 育 (主 体 的 ・対 話 的 で深 い学 び)に含 まれる活 動
これまでの説 明 では、⽅ 向 性 は⽰ しているものの、次 世 代 型 教 育 の具 体 的 なイメージ
を少 しでもつかめたかと問 われると、先 ⽣ ⽅ はまだなんとなくしか分 からないとお答 えになると
思 われます。そこで、 教 員 研 修 機 構 が⽰ す主 体 的 ・ 対 話 的 で深 い学 びの視 点 からの学
習 過 程 の質 的 改 善 により実 現 したい⼦ 供 の姿 をもとに説 明 を試 みたいと思 います。
まず、参 考 資 料 １を⾒ てください。これは、次 世 代 型 教 育 推 進 センタ ーが作 成 した主体 的 ・対 話 的 で深 い学 びの視 点 からの学 習 過 程 の質 的 改 善 により実 現 したい⼦ 供 の姿 のイメージ図 です。
(http://www.nits.go.jp /jisedai /achievement /jirei /img /student_im
age_h29_6.pdf )⽴ ⽅ 体 の３⾯ が「アクティブラーニング」の視 点 からの授 業 改 善 のために・主 体 的 な学 び・対 話 的 な学 び・深 い学 びによって構 成 されてより、資 質 ・能 ⼒ の育 成 を⽬ 指 すことが表 されています。また、この学
習 によって・未 知 の状 況 にも対 応 できる思 考 ⼒ ・判 断 ⼒ ・表 現 ⼒ 等 の育 成・⽣ きて働 く知 識 ・技 能 の習 得・学 びを⼈ ⽣ や社 会 に⽣ かそうとする学 びに向 かう⼒ ・⼈ 間 性 の涵 養を頂 点 とした正 三 ⾓ 形 で組 になっていることを表 し、それが深 まっていくようなイメージを表 してします。
ま た 、 ⽴ ⽅ 体 の ３ ⾯ に つ い ては 、 ⼦ ど も の イ メ ー ジ 例 が 「 主 体 的 な 学 び 」 、 「 対 話 的 な学 び」「深 い学 び」のそれぞれについて、そのプロセスが⽰ されています。
「主 体 的 な学 び」については、教 師 が学 びに向 かう⼒ を刺 激 する様 々な⼯ 夫 をすることによって、⽣ 徒 が①-5－6－

「興 味 や関 ⼼ を⾼ め」→「⾒ 通 しを持 ち」→「⾃ 分 と結 び付 け」→「粘 り強 く取 り組 み」→「振 り返 って次 につなげる」というプロセスを経 ることによって学 んだ⼿ ごたえを得 られることを⽬ 指 しています。
また、「対 話 的 な 学 び」 については「 聞 く」「話 す」ことによって「（⾃ ら ）考 える」（括 弧
内 筆 者 ）を実 現 するために、・互 いの考 えを⽐ 較 する・多 様 な情 報 を収 集 する・先 哲 の考 え⽅ を⼿ 掛 かりとする・思 考 を表 現 に置 き換 える
・協 働 して課 題 解 決 する・共 に考 えを創 り上 げる・多 様 な⼿ 段 で説 明 するを⾏ なえるようになることを⽬ 指 しています。
さらに「深 い学 び」については「思 考 して問 い続 ける」ことを中 ⼼ にして・⾃ 分 の思 いや考 えと結 びつける・知 識 ・技 能 を活 ⽤ する・知 識 ・技 能 を習 得 するの三 つの学 習 が相 互 に有 機 的 に関 連 することが⾏ われ、その結 果 として・知 識 や技 能 を概 念 化 する・⾃ 分 の考 えを形 成 する・新 たなものを創 り上 げるの学 習 が成 ⽴ することが⽬ 指 されています。
このイメージ例 で挙 げられている次 世 代 型 教 育 において⽬ 指 されている学 びの様 相 をまとめたのが、次 世 代 教 育 推 進 センターのサイトに整 理 され、すでに参 考 資 料 １でも使 ⽤ されているピクトグラムつきで整 理 されています。それを下 表 に⽰ します。
http://www.nits.go.jp /jisedai /achievement /jirei /pictogram.html

①-6
－7－

主 体 的 な学 び

対話的学び

深 い学 び興 味 や関 ⼼ を⾼ める

互 いの考 えを⽐ 較 する

思 考 して問 い続 ける

⾒ 通 しを持 つ

多 様 な情 報 を収 集 する

知 識 ・技 能 を習 得 する

⾃ 分 と結 び付 ける

思 考 を表 現 に置 き換 える

知 識 ・技 能 を活 ⽤ する

粘 り強 く取 り組 む

多 様 な⼿ 段 で説 明 する

⾃ 分 の思 いや考 えと結び付 ける

先 哲 の考 え⽅ を⼿ 掛 かり

振 り返 って次 へつなげるとする

知 識 や技 能 を概 念 化 する

共 に考 えを創 り上 げる

⾃ 分 の考 えを形 成 する

協 働 して課 題 解 決 する

新 たなものを創 り上 げる

表 ３ 次 世 代 型 教 育 推 進 センターが挙 げるアクティブラーニングのための活 動
本 プロジェクトにおいても RLA のなかで上 記 の活 動 が実 現 できると思 われますし、それを実 現 することを⽬ 指 していきたいと思 いまます。しかし、表 ３のなかには⽩ ⽔ ⽒ の２１世 紀型 スキルの 定 義 のな か に挙 げら れている「 テク ノロジを駆 使 して」 の相 当 する活 動 が挙 げられておらず、本 プロジェクトの⽬ 指 す ICT を活 ⽤ する活 動 が含 まれていません。そこで、
主 体 的 な学 びや深 い学 びに主 に関 連 する興 味 ･関 ⼼ を⾼ めたり、振 り返 りをしたコンピュータを駆 使 するり、思 考 し問 い続 けたり、⾃ 分 の考 えを形成 したり、新 たなものを創 り上 げるときに利⽤ する。
即 時 の情 報 に加 えて、主 に対 話 的 な学

プロジェクタ等 により電 ⼦ ⿊ 板 ・ デびに関 連 する提 ⽰ することで協 働 を促 し、活 動 を促 進 するために利 ⽤ する。

ジタル教 科 書 を提 ⽰ に利 ⽤ する
表 ４ テクノロジー系 のピクトグラム①-7－8－

上 記 の２つのピクトグラムを新 しく加 えることにしました。
１－４ 研 究 者 の活 動 を模 した活 動 (Reseacher Like Activity)と主 体 的 で・
対 話 的 で・深 い学 び（アクティブラーニング）
市 川 (1996)によれば、RLA は｢研 究 者 の縮 図 的 活 動 」という意 味 であり、猪 俣 はさ
らに「研 究 者 的 活 動 を学 習 者 のレベルに合 わせて⾏ う教 育 ⽅ 法 」の総 称 をいうとしています。市 川 (1996)は「RLA では,学 習 を,内 発 的 であれ外 発 的 であれ,｢勉 強 」として⾏ わせるのではなく「探 求 活 動 」として⾏ わせることによって⽬ 的 的 な学 習 を成 ⽴ させようと考 える。｣と述 べています。この活 動 は、主 体 的 な学 習 者 を想 定 しており、研 究 者 的 活 動 ということで深 い学 びに繋 がっていくものであると思 われます。もちろん後 で出 てくる学 会 発 表 的な活 動 を考 えると対 話 的 な学 びの実 現 も繋 がっていくと思 われます。
市 川 ら が ⼤ 学 レベ ル の 実 践 例 を 積 み 重 ねた の に対 して、 猪 俣 (1996)は 中 学 校 レベ
ルの実 践 を⾏ い。⻘ ⽊ ら(2013)は⾼ 校 レベルの実 践 を⾏ って、RLA が中 等 教 育 レベルにおいても実 ⾏ が可 能 であることを⽰ していることから、中 学 ・⾼ 校 レベルでの展 開 も可 能であると思 われます。
特 に猪 俣 (1996)は RLA を適 ⽤ した授 業 を「「問 題 を構 成 する活 動 」「解 を構 成 する
活 動 」「成 果 を論 ⽂ などに表 現 する活 動 」「学 会 などでの相 互 評 価 や批 判 的 検 討 によって問 題 を共 有 していく活 動 」を数 学 者 の活 動 の｢醍 醐 味 」と捉 えた。｣というプロセスとして
捉 え、活 動 を展 開 しようとしている点 に特 ⾊ があります。このプロセスは本 プロジェクトにおいて も ⾮ 常 に 参 考 に な る 提 案 で あ る と 思 わ れ ま す。 し か し 、 「 問 題 を 構 成 す る 活 動 」 は 、 猪俣 ⾃ ⾝ が 参 考 にしている⽵ 内 ・ 澤 ⽥ (1983)も指 摘 す るように、 中 ⾼ ⽣ に とって 難 易 度が⾼ い活 動 であるので、問 題 は教 師 のほうから与 えることでも猪 俣 のいう「醍 醐 味 」を実現 できるのではないでしょうか。
ま た 、 ICT の 導 ⼊ に よ っ て RLA が 活 発 に 展 開 で き る 点 に つ い て は , 市 川 (1996) がRLA を提 唱 していることとは別 に、コンピュータを知 識 形 成 の場 として⽤ いたり、ネットワーク
コミュニティーをコンピュータ上 で構 築 できることから「リサーチ･ライク・アクティビティ（研 究 のような活 動 ）」が実 現 できることを Harvard Educational Review 誌 でシンポジウム
報 告 がな さ れてい るこ とを、 清 ⽔ (1998)が 着 ⽬ して 紹 介 しています。 特 に 清 ⽔ (1998)
が着 ⽬ しているものに数 学 ソフトウエアを「知 的 な鏡 (Intellectual mirror)」として⽤ い
る利 ⽤ 法 が あります。 数 学 ソフ トウエ アを利 ⽤ し た結 果 を 観 察 するこ とに よって、 ⾃ 分 な りの推 測 を持 ち、それが成 り⽴ つかどうか、数 学 ソフトウエアに⼊ ⼒ することによって反 応 を考察 するという利 ⽤ 法 です。このように⾃ 分 の「知 的 な鏡 (Intellectual mirror)」として利⽤ す るこ とに よって 知 識 形 成 の 場 と してコ ン ピュータ を利 ⽤ する ので す。 ⾃ 分 の 考 え やみん
なの考 え を コ ン ピュー タ で 試 してみ て、 鏡 のよう に か え って 来 た 姿 （結 果 ）を観 て 、考 察 を①-8－9－深 めようという利 ⽤ 法 です。現 在 ではこのような利 ⽤ 法 は「数 学 ソフトウエアによる実 験 的な ア プ ロ ー チ 」 と し て 呼 ば れ る よ う に な り 、 数 学 者 の 間 で も Experimental
Mathematics と呼 ばれる活 動 となっています。このような活 動 も RLA と捉 えて良 いと思われます。
もちろん、数 学 ソフトウエアのみならず電 ⼦ ⿊ 板 やデジタル教 科 書 を通 しての ICT の利
⽤ によって容 易 になると指 摘 されている・思 考 の可 視 化
・情 報 の瞬 時 の共 有・試 ⾏ の繰 り返 しが実 現 されることで、次 世 代 型 教 育 における主 体 的 な学 び・対 話 的 な学 び・深 い学 びを
ICT によって⽀ 援 していくことを想 定 しています。
１－５ 本 プロジェクトにおける RLA のプロセス
いままで述 べてきたように、本 プロジェクトでは数 学 ソフトウエアを活 ⽤ して RLA を⾏ うア
プローチを、次 世 代 型 教 育 を実 現 するアクティブラーニングと捉 えることにしています。その指導 のプロセスを開 発 するのに参 考 になるのが、先 に述 べた猪 俣 の RLA を適 ⽤ した授 業 プ
ロセスです。
Researcher Like Activity のプロセス
問 題 を構 成 する活 動
解 を構 成 する活 動
成 果 を論 ⽂ などに表 現 する活 動
学 会 などでの相 互 評 価 や批 判 的 検 討 によって問 題 を
共 有 していく活 動

表 ５ 猪 俣 の RLA のプロセス
上 記 の猪 俣 の RLA のプロセスは、本 当 の研 究 者 の活 動 に視 点 をおいているために、
以 下 の点 に授 業 の中 に組 み込 んでいくことに難 しさがあると思 われます。
・数 学 の問 題 とその解 決 を中 ⼼ としすぎていて時 間 を必 要 とし、難 しい。
・⽣ 徒 ⾃ ⾝ で問 題 を構 成 することは、⾮ 常 に難 しい課 題 である。

①-9
－ 10 －

・成 果 を論 ⽂ に書 くことは、⽣ 徒 には時 間 も掛 かり、難 しい。
・学 会 などでの発 表 を想 定 することはない。
そこで、本 プロジェクトでは猪 俣 の RLA の基 本 的 な考 えを尊 重 しながらも、授 業 のなか
で次 のような活 動 を取 り⼊ れることをグループ活 動 （1 グループ 5 名 程 度 まで）で⾏ う
RLA（研 究 者 の活 動 を模 した活 動 ）のプロセスと捉 えることとしました。
本 プロジェクトにおける Researcher Like Activity
1）問 題 や場 ⾯ をグループで話 し合 ったり、事

理 解 する活 動

例 を⾒ ることによって、与 えられた課 題 を理 解 し、これからの活 動 の⾒ 通 しを ⽴ て

興 味 や関 ⼼ を⾼ める
⾒ 通 しを持 つる
プロジェクタ等 により電 ⼦ ⿊
板 ・デジタル教 科 書 を提 ⽰ に利 ⽤ する

2）様 々な事 例 にあ

数 学 ソフトウエアや様 々なたったりして、答 えの

ICT を 活 ⽤ し た り し て 、 具

予 想 を⽴ てたり、パ

体 例 をもとに、答 えの予 想

ターンを⾒ 出 したりすやパターンを⾒ 出 したりする活 動

る。グループで様 々な答 えや予 想 を出 し合 う。

多 様 な情 報 を収 集 する
⾃ 分 の考 えを形 成 する
共 に考 えを創 り上 げる
コンピュータを駆 使 する

3）答 えを予 想 や⾒探 究 した結 果 、今 まで習 っ出 した こと を 、 今 ま でたことや、インターネットなど

習 ったことなどをもとで調 べたことなどをもとにしにして、数 学 の⾔ 葉て、⾒ 出 したことをなるべくや式 で、表 したり、⽰

数 学 的 に表 現 する。

したりする活 動
4 ）３ ） ま での 活 動

３）までの活 動 や結 果 を、や結 果 を、ポスター

アクティビティ・シートの問 い（A3、1 枚 程 度 ）の順 に、グラフや図 なども⽤にまとめる活 動

いて、簡 潔 に分 かりやすくポ①-10－ 11 －

先 哲 の考 え⽅ を⼿ 掛 かりとする
思 考 を表 現 に置 き換 える
新 たなものを創 り上 げる
多 様 な⼿ 段 で説 明 する
知 識 や技 能 を概 念 化 する

スターに表 現 する。
５）ポスターセッショ

⾃ 分 達 が 作 成 した ポスタ ー

ンを開 催 し、クラスでを掲 ⽰ し、ポスターセッション

成 果 を共 有 したり、を⾏ い質 問 したり、⾃ 分 た

質 問 したりする活 動

ちの結 果 と⽐ 較 したりする。

ポスターセッション以

振 り返 って次 へつなげる
⾃ 分 と結 び付 ける
互 いの考 えを⽐ 較 する

降 も教 室 に貼 っておく

プロセスの各 フェーズに右 に挙 げた学 びの様 相 のピクトグラムは、代 表 的 と思 われるもので、それぞれのフェーズで顕 われるわけでは ないと思 います。また、粘 り強 く取 り組 む、⾃ 分 と結びつける、思 考 して問 い続 けるなどのものは全 体 的 を通 して顕 われるものであると思 われます。さらに、課 題 によっても、顕 著 に現 れるべき学 びに様 相 は代 わってくることは当 然 であると思 います。
１－６ まとめと他 の教 科 における RLA
今 回 は、数 学 科 を中 ⼼ に次 世 代 型 教 育 の実 現 のための RLA について、その基 礎 的 な
部 分 の検 討 を⾏ いました。その具 体 的 な姿 は、開 発 された４つの教 材 に顕 われていることを期 待 します。また、研 究 者 の活 動 を模 した活 動 は、数 学 や理 科 に留 まらず国 語 、社 会などの教 科 においても、その基 礎 学 問 において研 究 が⾏ われているのですから、その⼀ 部 のプロセスを取 り⼊ れることは可 能 であると思 われます。このような次 世 代 型 教 育 の⼀ 端 を
本 プロジェクトで具 現 化 した姿 を⽰ すことができれば幸 いである。
［参 考 ⽂ 献 ］
市 川 伸 ⼀ （1996）「学 びの理 論 と学 校 教 育 実 践 ⼀ Researcher-Like Activity
をとりいれた授 業 づくり．学 習 評 価 研 究 ，No.26,pp.42-51
狩 俣 智 (1996)「Researcher-Like Activity による授 業 の⼯ 夫 ―RLA の中 学 校の数 学 教 育 への適 ⽤ ―」琉 球 ⼤ 学 教 育 学 部 教 育 実 践 研 究 指 導 センター紀要 ,pp.1-9
⻘ ⽊ 慎 恵 他 (2013)「数 学 A の課 題 学 習 の事 例 研 究 〜RLA による課 題 学 習 ︓「正多 ⾯ 体 」〜」,福 井 教 育 実 践 研 究 ,No.38,pp.91-100
⽵ 内 芳 男 ・ 沢 ⽥ 利 夫 編 （1983 ）「 問 題 か ら 問 題 へ－ 問 題 の発 展 的 な 扱 い による算数 ・数 学 科 の授 業 改 善 」,東 洋 館 出 版①-11－ 12 －

清 ⽔ 克 彦 (1998)「コンピュータ教 材 と⼦ どもの学 び」『情 報 とメディア』,岩 波 講 座 現 代 の教 育 ８,pp.196-219①-12－ 13 －

資料② 電子黒板を利用した指導方法とメリット②-1－ 15 －

資料② 電⼦⿊板を利⽤した指導⽅法とメリット
1.電⼦⿊板活⽤の分類
電⼦⿊板を利⽤する上で、⽣徒の学習場⾯ごとに活⽤⽅法を変えることができます。
・⼀⻫学習︓
挿絵や写真を拡⼤・縮⼩、画⾯への書き込み等を活⽤してわかりやすく説明することにより、⽣徒の興味・関⼼を⾼めることができます。電⼦⿊板を数学ソフトウェアと組み合わせることによって、普段プロジ
ェクタに投影している画⾯等に直接書き込みが⾏えます。
・個に応じる学習︓
インターネットを⽤いた情報収集や写真・動画による記録を取ることが容易になります。また、シミュレー
ションなどのデジタル教材を⽤いた思考を深める学習を⾏うことが可能です。情報端末を持ち帰れば、家庭学習の補助にも役⽴ちます。
・協働学習︓
タブレット PC や電⼦⿊板等を活⽤し、⽣徒同⼠による意⾒交換、発表などお互いを⾼め合う学び合
いを通じて、思考⼒、判断⼒、表現⼒などを育成することが可能になります。電⼦⿊板を⽣徒が⽤いて、複数の意⾒を整理し議論することで協働での意⾒整理に役⽴つことが期待できます。

2.電⼦⿊板の機能
電⼦⿊板の重要な機能として、次の機能が挙げられます。
(1).拡⼤機能︓
画⾯を拡⼤することによって、⾒やすく提⽰することができます。また数学ソフトウェアなどと組み合わせる
ことで、わかりやすく説明することができ、⽣徒の興味・関⼼を⾼めることができます。
(2).ペン(マーカ)機能：
専用のタッチペンを使用することで、画面上にリアルタイムで書き込みができます。デ
ジタル教科書や数学ソフトウェアを活用している時にメモやマーカでリアルタイムに書き込みができるので、臨機応変に様々な情報を電子黒板上に加えることができます②-2－ 17 －

(3).ホワイトボード機能：
通常の黒板と同様に画面上にホワイトボードを提示することができる。またホワイトボ
ドと他のソフトウェアも同時に使用することができるので、ホワイトボードを残したまま
違う操作ができます。

(4).画面上での直接操作：
電子黒板の持つタッチ機能を用いて、投影している画面に直接操作することができます。
図形作成ソフトなどのソフトウェアと連携することで、PC を操作することなく生徒の反応を確認しながらの授業が可能になることが期待できます。

(5).画面への直接書き込み：
電子黒板を使用する上で、最も重要な機能の一つである。電子黒板の機能のノート機能を併用することで、黒板と同様に板書ができる。また、ソフトウェアや画面上の強調したい部分にマーカを引くことができるなど、リアルタイムに情報を画面に反映させることができる。履歴機能と併用することで、前回の授業で重要であった部分を簡単に提示することができる。

(6).履歴（保存）機能：
電子黒板のもつ機能の中でも重要な機能の一つである。画面をデータとして保存することができるので、板書の内容を複数枚保存することができる。

これらの機能を使用することで、・生徒自身が図を変形・回転・移動など動かしながら表現することができる。
・ソフトウェアと組み合わせることで、グラフや図形など短時間に表示ができるなどのメリットが挙げられ、ソフトウェアを活用しながら瞬時に書き込みか可能になるた
め、生徒の様々な意見を授業に反映することができる。また、それらの活動の記録を保存できるため、授業内の振り返りや授業間の復習が容易になる。
また、上記の機能は次の項⽬に分類できます。
・⾒やすく利⽤︓電⼦⿊板を使⽤する上で教材の説明を補助する機能
・演算で利⽤︓⽣徒の演習の時間を円滑にする機能
・気がついたことの共有︓⽣徒の発⾒を補助する機能
・わかりやすく説明︓教師の説明や、⽣徒の発表を補助する機能②-3－ 18 －

・今までの振り返り︓記録として保存する機能
この項⽬をもとに書く機能を分類すると次のようにまとめることができます。
⾒やすく利⽤演習で利⽤気がついたことの共有

・拡⼤機能・解答を隠す・書き込み機能・ページ内移動・正誤⽐較機能・メモ・書き込み機能・問題集へのジャンプ

・保存機能

わかりやすく説明・シミュレーション

今までの振り返り・保存機能

その他
・ページジャンプ

・書き込み機能・カメラ

・ソフトウェアとの連携
3.授業に電⼦⿊板を活⽤するメリット
⿊板やプロジェクタの機能と電⼦⿊板の機能を⽐較すると以下のような違いがみられまる。
⿊板との⽐較

プロジェクタとの⽐較・グラフや図を動的な表現で表すことができる

・数学ソフトウェアをタッチ機能を⽤いて操作するこ・板書の保存機能とができる

・複数の数学ソフトウェアと連携ができる
・数学ソフトウェアを操作しながらリアルタイムに書き込みができる⿊板と電⼦⿊板を⽐較したとき、⿊板では表現することのできない映像としての要素を電⼦⿊板は有しています。この要素によって⿊板の授業では表現することが困難な動的な表現を⽤いた授業が可能になります。さらに、⿊板の板書はある程度書いたら消して、新しい⽂字を書くことになりますが、電⼦⿊板
のホワイトボード機能を⽤いると、板書⾃体を保存することができます。板書内容をそのまま保存できるた
め振り返りという点で⾮常に優れているといえます。また、数学ソフトウェアを⽤いる場合に、⿊板ではプロジェクタを⽤いて投影するために⽣徒の視点を⼀点に集めにくいのが現状です。電⼦⿊板では⿊板とプロ
ジェクタの機能を同時に使⽤することができるので，連携が取りやすいです。
次に、プロジェクタと電⼦⿊板を⽐較すると、主にソフトウェアの活⽤について違いがあることがわかります。
まず、使⽤するソフトウェアを PC 上で操作するか画⾯にタッチしながら操作するかの違いです。プロジェクタを使⽤した授業の場合、どうしても教師は PC を操作するため⽣徒の表情などを確認しづらい。しかし、電⼦⿊板では直接⽣徒が⾒ている画⾯を操作できるので、⽣徒の反応を確認しながらの授業ができる。ま②-4－ 19 －

た、画⾯に直接操作ができる点に関して直接画⾯に書き込みができるという⼤きなメリットがあります。あらかじめ資料を作り授業を⾏う場合、補⾜説明などをその画⾯に付与するのは困難であるが、電⼦⿊板
の書き込み機能を使⽤することで、画⾯に対して補⾜説明をリアルタイムに書き込みが可能になります。
これらのことから、電⼦⿊板を活⽤することのメリットは次の 3 点が挙げられます。
・数学ソフトウェアとの連携が可能
デジタル教科書や数学ソフトウェアなどを併⽤して使⽤する場合に、ウィンドウの切り替えで移動できるた
め、⽣徒は活動に集中することができます。また、ホワイトボードとの切り替えも可能などで、電⼦⿊板⼀台で様々なメディアを⼀括管理することができます。
・リアルタイムの書き込みによって広がる授業
数学ソフトウェアを⽤いる場合に、あらかじめ書き込む必要がなくなるため、教師の負担が軽減され、⽣徒はリアルタイムでソフトウェア上に書き込まれるのを視覚的に確認することによって授業に参加しやすい場がつくりやすくなることが期待できます。
・保存機能の活⽤による復習活動の充実
保存機能を⽤いることで、前回の内容の振り返りが完全に同じ板書、活動内容のまま提⽰することができます。要点だけを振り返るのではなく活動全体を振り返ることができるので、⽣徒は次の授業の内容を体系的に捉えることが期待できます。
4.「ガモフの宝探し」問題
電⼦⿊板とソフトウェアを組み合わせることで、視覚的に証明などを理解することができる。その⼀例として、学習指導要領に⽰されている「ガモフの宝探し」の指導事例を挙げてみる。
＜ガモフの宝探し＞
探検家の男が、ある島の廃⼩屋で、以下のような古⽂書を発⾒した。この島には、井⼾と松の⽊、梅の⽊がある。井⼾から松の⽊に向かってまっすぐ進み、そこから右に 90°曲がり同じ距離だけ進み、そこに杭を⽴てた。次に、井⼾から梅の⽊に向かってまっすぐに進み、そこから左に 90°曲がり同じ距離だけ進み、そこに杭を⽴てた。その 2 本の杭の真ん中に宝がある。ところが、その島には松と梅の⽊はあったが、井⼾は⾒当たらなかった。
どのようにすれば、宝を探すことができるか。

②-5－ 20 －

電⼦⿊板を⽤いなくとも、いくつかの井⼾の位置を仮に決め、条件に合うように作図すると、井⼾の位置によらず宝の位置が変化しないことが予想できる。しかし、作図によって予想できる⽣徒もいれば、少ない作図であると井⼾の位置によって宝の位置が変化しないことに気づくことは難しい。
これを電⼦⿊板を⽤いて図形作成ソフトを利⽤すると、井⼾の位置を⾃由に変化させることができ、井⼾がどの位置にあっても宝の位置が変わらないことが視覚的に捉えやすい。
⽣徒に予想させ実際に動かして確認することで、予想するだけではなく、理由を考える活動を取り⼊れる
時間が⽣まれます。

②-6－ 21 －

資料③ デジタル教科書の機能・
プロジェクターの活用





③-1
－ 23 －

資料③ デジタル教科書の機能・プロジェクターの活用
デジタル教科書の機能
デジタル教科書の機能は以下のようにまとめることができます。
(1).拡大機能：画面を大きく拡大してみることができます。

ここをクリックして拡大したい
範囲を指定します③-2－ 25 －

赤枠の範囲を拡大してみると、拡大されました③-3－ 26 －

(2).書き込み機能（ノート機能）：画面上に線や文字を書くことや付箋に考えを書くことができます。

①ツールバーのペン又はマーカの部分をクリックします。
②書き直したい場合は、消しゴムをクリックして削除します。

ペンと蛍光ペンを用いて直接の
書き込みが可能です

教科書に直接マーカを引くことも
できます

③-4
－ 27 －

＜留意点＞
電子黒板を使用している状態でデジタル教科書の機能を使用する際、書き込み機能など重複している
場合があリます。デジタル教科書などのソフトウェア上に書き込みをするときは、デジタル教科書の機能を用いることでよりきれいに表示することができます。特にマーカなどを使用する際はデジタル教科書の書き込
み機能を使用した方が望ましいです。

間違えた場合はここで削除します











色指定はここでします






右側が電子黒板の書き込み機能で書いた線、左がデジタル教科書で書いた線になっています。デジタル
教科書の機能で書いた直線の方がきれいに表示されます。

③-5－ 28 －

(3).アニメーション機能：図を動かすことや、数値を変えてグラフの様子を調べることができます。

この記号がついているところをクリックすることで、グラフの描画機能を使用することができます グラフのアニメーションでは、平行移動したい数値を入力することで、グラフを自由に移動することができます。実際に移動の様子を確認できるので、生徒にわかりやすく提示することができます。この機能を用いることで、平行移動の性質を視覚的に理解することができます。また、値を自由に変えることができるので、様々なパターンのグラフを短時間に複数提示することができます。また、これらのアニメーション機能と書き込み機能を組み合わせることで、よりわかりやすく授業を進めることができます。

③-6－ 29 －

(4).ページジャンプ機能：ページ数を入力することで、瞬時に教科書のページを表示することができます。また、単元からも選択することができるため振り返り
等で別の単元にも移動することができます。

目次から単元を選択することも可能です

見たいページ数をここに入力します(5).文具機能：画面上で分度器やコンパスなどを使うことができます。

ここから使いたい教具を選択します③-7－ 30 －

(6).解答表示機能：問題の解答を画面に表示して、自分の解答と比較することができます。

解答をクリックして
模範解答を表示することが可能

「解答」をクリックすることで次のような画面が表示されます。

③-8－ 31 －

Easy Interactive Tools とはプロジェクターから投写している画⾯上で描画ができるアプリケーションソフト。
プロジェクターに同梱の電⼦ペン（Easy Interactive Pen）を使って、描画機能を使⽤できる。
＜⽴ち上げ＞
1. ケーブルをつなげる。

①

②

③

① コンピュータの USB 端⼦とプロジェクターの USB-B 端⼦を接続。
② コンピュータの HDMI 端⼦とプロジェクターの HDMI ⼊⼒端⼦を接続。
③ プロジェクターとコンセントを電源コードで接続。

図 1 USB ケーブル

図 2 HDMI ケーブル③-8
－ 32 －

図 3 電源コード

2. プロジェクターの電源を⼊れ、コンピューターの映像を投写。

投写した映像のピントの調整はここで⾏います。

台形ゆがみを補正するならここで⾏います。
電源ボタン

3. コンピューターで Easy Interactive Tools を起動。

③-9
－ 33 －

＜操作＞
1. 電⼦ペンの電源をオンにする。

電源ボタン※ペン使⽤時の注意点
・中央部を持って使⽤してください。
・傷や汚れをつけないでください。
2. プロジェクターの[A/V ミュート]ボタンを 3 秒⻑押しする。

A/V ミュート

これがプロジェクターに投影されますので、PC 画⾯に変化するまで、しばらくお待ちください。
③-10－ 34 －

＜描画＞
1.描画ツールバー(投写画⾯の左右に表⽰)描画するペンの太さや⾊、図形やテキストなどを選択して描画エリアに描画する。

2.コマンドバー(投写画⾯の上部または下部に表⽰)
モードの切り替えやファイルの保存、接続機器の制御や各種設定を⾏う。

1.描画ツールバー

2.コマンドバー

基本操作
1.書き込み① 描画ツールバーで【ペンマーク】を選択。

ペンマーク

③-11
－ 35 －

② 投写⾯に書き込み。
[ペンの⾊や太さを変えたいとき]① 【ペンマーク】の横の【逆三⾓】を選択して、ペンパレットを表⽰。
②

ペンの⾊と太さを選択。

③ 【横三⾓】を選択してペンパレットを閉じる。
[書き込みを取り消したいとき]① 【消しゴム】または 【PC 付消しゴム】を選択。
・【消しゴム】を選択した場合︓電⼦ペンが消しゴムとして使える。
・【PC 付消しゴム】を選択した場合︓表⽰中の描画内容をすべて消せる。

2.マウス操作① 描画ツールバーで【マウスマーク】を選択。

マウスマーク② 電⼦ペンをマウスと同じように使って、クリック、右クリック、ドラッグ&ドロップなどの操作をする。
• クリック︓投写⾯にペン先を押し付けてすぐ離す。
• 右クリック︓電⼦ペンの右ボタンを押す、または投写⾯にペン先を⻑く押し付けて離す。
• ドラッグ&ドロップ︓移動したいアイコン等の上でペン先を押し付けて、投写⾯から離さずに移動し、移動先でペン先を離す。

③-12－ 36 －

〇ホワイトボードモード
無地の画⾯を表⽰して描画する。 描画エリアをページとして扱うことができ、複数のページを作成して描画できる。
[⼿順]① コマンドバーで【ホワイトボード】 を選択するか、ホーム画⾯で【新規作成】を選択。

新規作成

ホームボタン

ホワイトボード※過去に保存したファイルを開くときは、ホーム画⾯で[開く]を選択するか、ホワイトボードに移⾏した後、コマンドバーで[ファイル]を選択。

ホーム画⾯を開き
過去に保存したファイルを開くな
らここをクリック︕③-13－ 37 －

ホワイトボードモードから過去に保存したファイルを開くなら
ここをクリック︕︕② 描画ツールバーで【ペンマーク】を選択。
③ ページに書き込む。
④ ページの追加/削除、複製や移動をしたいときは、コマンドバーから⾏う。

[機能⼀覧]① ② ③ ④ ⑤ ⑥①ページ⼀覧画⾯にページのサムネイル画像を⼀覧表⽰する。

③-14－ 38 －

• サムネイル画像を選択︓表⽰するページを切り替え 。
• サムネイル画像をドラッグ&ドロップ︓ページの順序を⼊れ替え。
②新規ページを追加する。

③表⽰中のページを複製。

③-15－ 39 －

④表⽰中のページを削除。

⑤描画内容を保存したいときは、コマンドバーで【ディスク】を選択。

保存ボタン

保存形式

JPG/BMP/PMG
PDF/EIT

保存単位

1 ページを 1 ファイルとして、全ページを保存する。

全ページを 1 ファイルにまとめて保存する。

③-16－ 40 －

○アノテーションモード
コンピューターで表⽰している資料に描画できる。また、書画カメラからの映像に描画することもできる。
[⼿順]① ホーム画⾯で［デスクトップに描画］を選択するか、コマンドバー【PC】を選択。

ホワイトボード以外にも書き込むことができる︕
こっちでも OK︕

※書画カメラで撮影している映像に描画するときは、ホーム画⾯で［カメラ］を選択するか、コマンドバー
で【書画カメラ】を選択。
② 描画ツールバーで【ペンマーク】を選択。
③ 投写⾯に書き込み。

③-17－ 41 －

④ 描画内容を保存したいときは、コマンドバーで【ディスク】を選択。
表⽰中の画⾯を、JPG、BMP、PNG、PDF、EIT のいずれかのファイル形式で保存。

＜GeoGebra での活⽤法＞〇例⽰
数学Ⅱ「図形と⽅程式」 ―円と直線―
問:円ｘ2+y2-2x+6y=0 に点(3,1)から引いた直線が接するときの直線の⽅程式を求めよ。

GeoGebra を利⽤して、円や直線を図⽰した上で、その上から「Easy Interactive Tools」を利⽤して書き込んでいく。

③-18－ 42 －

〇注意点・プロジェクターに搭載されている「Easy Interactive Function」の機能がオンになっていると、「Easy Interactive Tools」と同時に使うことが困難となります。

③-19－ 43 －

そのため、以下の⼿順を踏んで、「Easy Interactive Function」の機能をオフにしてください。
1.リモコンでメニューボタンを押す。

2.拡張設定の表⽰設定を選択。

表⽰設定

拡張設定

3.ペンモードアイコン・プロジェクター制御を選択し、オフにする。

ペンモードアイコン

プロジェクター制御③-20－ 44 －

＜終了＞
1.コマンドバーの【×】をクリックして、Easy Interactive Tools を終了する。

終了ボタン

2.プロジェクターの電源ボタンを押す。

3.もう⼀度電源ボタンを押す。
4.これで終了となります。

③-21－ 45 －

資料④ アクティブラーニングとＲＬＡ④-1－ 47 －

資料④ アクティブラーニングとＲＬＡ

AL= アクティ
ブ・ラーニング

RLA=
ResearcherLike Activity

探究的学び（理数探究）
へ④-2－ 49 －

１．

「アクティブ・ラーニング」の経緯と「探究学習」

1-1.

「アクティブ・ラーニング」は次期学習指導要領の策定過程から⽣まれてきた「課題の発⾒と解決に向けて主体的･協働的に学ぶ学
習（いわゆる「アクティブ・ラーニング」）や、そ2014年11⽉「初等中等のための指導の⽅法等を充実させていく必要があ

教育における教育課程

る」の基準等の在り⽅について（諮問）

2015年8⽉「教育課程企画
特別部会

論点整理」

○アクティブラーニングの視点からの学習・指導⽅法の改善が⽋かせない○ICT も含めた必要なインフラ環境の整備も重要○基礎、基本的な知識・技能、数学的な思考⼒・表現⼒、学ぶ意欲2016年8⽉「次期学習指導要領
改定に向けたこれまでの審議のまとめ」○アクティブラーニングの視点からの授業の改善○「主体的・対話的で深い学び」の過程で、ICT を活⽤することも効果的○事象を数理的に捉え、数学の問題を⾒いだし、問題を⾃⽴的、協働的に解決する④-3－ 50 －

1-2.

「アクティブ・ラーニング」を取り巻く教育政策・提⾔
実践⼒• ⾃律的活動⼒• ⼈間関係形成⼒• 社会参画⼒• 持続可能な未来づくりへの責任

思考⼒• 問題解決・発⾒⼒・創造⼒○H33 年度中学校スタート• 論理的・批判的思考⼒• メタ認知・適応的学習⼒○H34 年度⾼等学校学校スタート、
H36 年度完成

基礎⼒• ⾔語スキル• 数量スキル• 情報スキル

次期学習指導要領

21 世紀型能⼒・「思考⼒」が中核国⽴教育政策
研究所「21
世紀型能⼒」

アクティブ・

新教職課程

ラーニング

「⾼⼤接続
システム改
⾰会議」

○これからの学校教育を担う教○⾼等学校教育改⾰員の資質能⼒の向上について○⼤学教育改⾰〜学び合い、⾼め合う教員育○⼤学⼊学者選抜改⾰

成コミュニティの構築に向けて〜（中教審答申(平成 27 年
12 ⽉ 21 ⽇)）④-4－ 51 －

1-3.

「⾼⼤接続システム改⾰会議」（2016 年 3 ⽉）最終報告と「アクティブ・ラー
ニング」○ 協働的に学ぶ学習（いわゆる「アクティブ・ラーニング」）の視点からの学
習・指導⽅法の抜本的充実を図るなど、学習・指導⽅法の改善を進める○ 教員の資質向上に向け、教員の養成・採⽤・研修の各段階を通じた抜本的な改⾰○ アクティブ・ラーニングの視点からの学習・指導⽅法の改善とは、「学⼒の３要素」に対応する資質・能⼒等を育むため※「学⼒の３要素」とは、「基礎的な知識及び技能」、「これらを活⽤して課題を解決するために必要な思考⼒、判断⼒、表現⼒その他の能⼒」
及び「主体的に学習に取り組む態度」

その資質・能⼒とは、「21 世紀型能⼒」にほかならない④-5－ 52 －

基礎的な知識及ングの視点からの学
習・指導⽅法の改善﹁学⼒の３要素﹂に対応する資質・能⼒を育む

アクティブ・ラーニ

び技能

これらを活⽤して課題を解決するために必要な思考⼒、判断⼒、表現⼒その他の能⼒

主体的に学習に

21 世紀型能⼒

取り組む態度○ ⾼等学校教育改⾰の「三つの観点」︓


育成すべき資質・能⼒を踏まえた教科・科⽬等の⾒直しなどの「教育課程の⾒直し」を図る

アクティブ・ラーニングの視点からの「学習・指導⽅法の改善」と教員の養成・採⽤・研修の改善を通じた「教員の指導⼒の向上」



学習効果のあり⽅の⾒直しや指導要録の改善などの「多⾯的な評価の推進」に取り組むこと④-6－ 53 －

H
2016

H
2017

H
2018

H
2019

H
H
2020 2021

H
2022

H
2023

H
H
2024 2025

様々の教育改⾰のロードマップ

1-4.

「21 世紀型能⼒」は、「探究学習」を通して⼤きく育つ○「探究型学習」の原型は、「総合的な学習の時間」にあり（中学校学習指導要領解説

総合的な学習の時間編（2008 年 7 ⽉）p.13 から）④-7－ 54 －

H2026

○「探究型学習」とは
「知識獲得の過程に児童・⽣徒が主体的に参加することによって、探求能
⼒、科学概念、望ましい態度の形成を⽬指す活動」（細⾕俊夫ほか「新教育学⼤事典」1990 第⼀法規出版）○「探究型学習」モデルの⼀案

2. 新科⽬「理数探究基礎」「理数探究」（平成 34 年度新学習指導要領）「6 プロセス 9 アクション」（桑⽥てるみ著「思考を深める探求学習」（全国学校図書館協議会）より「探求学習」のためのサイクル）④-8－ 55 －

○平成 28 年 8 ⽉ 26 ⽇「⾼等学校の数学・理科にわたる探究的科⽬の在り⽅に関する特別チームにおける審議の取りまとめについて（報告）」より
2-1. 数学・理科にわたる「理数探究」のあり⽅検討

平成 27 年 11 ⽉
教育課程部会「⾼等学校の数学・理科にわたる探究的科⽬のあり⽅に関する特別チーム」「理数探究基礎」・「理数探究」
数理探究（仮称）
平成 28 年 8 ⽉ 26 ⽇
同チームにおける審議の取りまとめについて（報告）2-2. 新科⽬の基本原理
様々な事象に対して知的好奇⼼を持つとともに、教科・科⽬の枠にとらわれない多⾓的・複合的視点で事象を捉え、「数学的な⾒⽅・考え⽅」や「理科の⾒⽅・考え⽅」を豊かな発想で活⽤したり、組み合わせたりしながら、探究的な学習を⾏うことを通じて、

新たな価値の想像に向けて粘り強く挑戦する⼒の基礎を培う。

④-9－ 56 －

2-3. 「理数探究」のイメージ（概略）

基礎の習得段階︓

⼤学・企業等からの○意義の理解、主体的な態度、⽀援○基礎的研究倫理
探究を深める段階︓○課題設定○成否よりも、試⾏錯誤し主体的にやり遂げる

ICT 環境の整備

過程重視
SSH の成果を活⽤育成を⽬指す理数探究

資質・能⼒（2〜5単位）

理数探究基礎（1単位）○知識・技能●活⽤、新しい知⾒を得る意義

探究的科⽬の学習過程イメージ●研究倫理の基本的理解○思考⼒・判断⼒・表現⼒等
数学・理科に関する課題として●数学や理科に関する課題として設定

設定（課題化）●数学的⾒⽅考え⽅を活⽤●多様な他者との議論

表現・伝達（報告書、発表）

課題解決の過程︓
仮説->⽴案->観察実験->結果の処理●課題解決⼒○学びに向かう⼒・⼈間性等●知的好奇⼼●考え抜く●主体的⾃律的探究への態度

分析・考察・推論④-10－ 57 －

2-4. 「⼤学⼊学希望者学⼒評価テスト（仮称）」において、適切に評価も○⼤学における組織的な協⼒体制とともに、⾃⼤学への志願者に求める資質・能⼒の⾒直しにも○個別⼤学における⼊学者選抜においても⼗分に評価されることを期待
2-5. 評価の観点のイメージ○育成すべき資質・能⼒がどの程度⾝についたかを評価する• 探究の過程全• 多⾓的・多⾯• 知的好奇⼼、体を⾃ら遂⾏的、複合的な

新たな価値のするための知視点、数学的

識及び技能
知
識
・
技

• 探究の意義・
研究倫理を理解能思
考・な⾒⽅・考え
⽅

主
体
的
に

判

• 議論を通じて、

断

多⾓的・多⾯り・的に思考、探組

表
現究の全過程を
⾃ら遂⾏

取

む
態

創造に挑戦
• 課題や事象に徹底的に向き合う• ⾒通し、振り返り、新たな
疑問を抱く

度○探究の過程における観察・実験の内容や疑問、⾃⾝の思考過程を「探究ノート」に記録、評価
にも⽤いる

④-11
－ 58 －

3. アクティブ・ラーニングによる学習改善と実践事例
3-1. 「アクティブ・ラーニング」とは国によるアクティブ・ラーニングの定義は以下の通りである。

課題の発⾒・解決に向けた主体的・協働的な学び(中央教育審議会 教育課程企画特別部会『論点整理』p.17)

この定義が指す実践的な意図を以下にまとめる。
アクティブ・ラーニングが、以下に⽰されるような視点に⽴って学習全体を改善し、⽣徒の学習への積極的関与と深い理解を促し、⾃信を育み、必要な資質・能⼒を⾝に付けていくことが期待される。
（i）習得・活⽤・探究という学習プロセスの中で、問題発⾒・解決を念頭に置いた深い学びの過程が実現できているかどうか。 新しい知識や技能を習得したり、それを実際に活⽤して、問題解決に向けた探究活動を⾏ったりする中で、資質・能⼒の三つの柱に⽰す⼒が総合的に活⽤・発揮される場⾯が設定されることが重要である。教員はこのプロセスの中で、教える場⾯と、⼦供たちに思考・判断・表現させる場⾯を効果的に設計し関連させながら指導していくことが求められる。

④-12－ 59 －

（ii）他者との協働や外界との相互作⽤を通じて、⾃らの考えを広げ深める、対話的な学びの過程が実現できているかどうか。⾝に付けた知識や技能を定着させるとともに、物事の多⾯的で深い理解に⾄るためには、多様な表現を通じて、教師と⼦供や、⼦供同⼠が対話し、それによって思考を広げ深めていくことが求められる。こうした観点から、前回改訂における各教科等を貫く
改善の視点である⾔語活動の充実も、引き続き重要である。

（iii）⼦供たちが⾒通しを持って粘り強く取り組み、⾃らの学習活動を振り返って次につなげる、
主体的な学びの過程が実現できているかどうか。⼦供⾃⾝が興味を持って積極的に取り組むとともに、学習活動を⾃ら振り返り意味付けたり、獲得された知識・技能や育成された資質・能⼒を⾃覚したり、共有したりすることが重要である。⼦供の学びに向かう⼒を刺激するためには、実社会や実⽣活に関わる主題に関する学習を積極的に取り⼊れていくことや、前回改訂で重視された体験活動の充実を図り、その成果を振り返って次の学びにつなげていくことなども引き続き重要である。
(中央教育審議会 教育課程企画特別部会『論点整理』p.18)④-13－ 60 －

3-2. アクティブ・ラーニングを⽤いた実践事例（その⼀）ここでは、「⾼等学校におけるアクティブ・ラーニング 理論編」 6 章 三浦隆志から、実際にアクティ
ブラーニングを意識して実践した岡⼭県⽴⽟島商業⾼等学校の例を紹介する。
2015 年 2 ⽉ 23 ⽇におこなわれたマーケティングの研究授業である。この研究授業では 1 年間学んできたことをふまえ、「ケース教材を活⽤したマーケティングのまとめ」という単元の最終の授業である。この時間のめあては、⽟島商業⾼等学校の近くにある「街並み保存地区の関係者になったつもりで、⼥性向けの商品を考え、提案する」という問であった。授業での教科書以外の準備物として、○ミニケースを記載した補助プリント○タブレット端末○他グループの提案を評価するシートが⽤意された。研究授業では、初めに
教師:本時の内容とめあてを⽰す

⽣徒:○ワークシートを⽤いて、個⼈ワークとグループワークをそれぞれおこない○事前に読み込んできたケースの内容をふまえ○不明な点はタブレットを使⽤して④-14－ 61 －

基本的な設問に解答した。めあての問いに対して、以下の写真のように○グループで対話を繰り返し○タブレットを使い不明な事柄を調べ提案する内容をまとめ、各グループが成果をプレゼンテーションしていく（出典︓「⾼等学校におけるアクティブ・ラーニング 理論編」 6 章 三浦隆志 P116）
すべてのプレゼンテーションが終わった後、この時間の振り返りとして、⾃分たちが得られたさまざまな知⾒をもとに、新しい提案をまとめる個⼈ワークをおこなって、すべての時間が終了する。
この研究授業では④-15－ 62 －

Step1 これまでに学んできた内容と家庭学習としてのケースの予習をふまえての個⼈の活動
Step2 グループでの対話による課題の解決とプレゼンテーション
Step3 個⼈による振り返りとまとめという構成でデザインされていた。
そして、⽣徒双⽅向のアクティブラーニングによって、問題の解決や新たな課題等を設定するような達成感につなげられていた。そして、授業者がデザインした⽣徒と⽣徒、⽣徒と教師とによる双⽅向の授業が成⽴していたと考えられる。
グループワークの対話○アイデアとプレゼンテーションによる共有化○教師が単元全体を俯瞰

授業をデザインしていく上で、⽣徒たちに与える真正な「問い」が、このアクティブラーニングによる研究授業の成功に⼤きな役割を果たしたと考えられる。⽣徒が「楽しかった」や「頑張れた」といった⾃⼰満⾜感を得る活動のみで、知識が活⽤されることなく、本質的な課題の発⾒や課題の解決を導くことがない授業は不⼗分である。⽣徒たちが獲得した知識を、教師が発する「問い」によって、思考を重ね、新たな知を獲得することが⼤切なのである。

④-16－ 63 －

（「⾼等学校におけるアクティブラーニング 理論編」 6 章 三浦隆志）
3-3. アクティブラーニングを実施する上で気をつけるべき 3 つのポイント○⽣徒の学びに最後に実施責任を持つのは、教育を創意⼯夫して成績評価の決定権を握る教員⾃⾝だということ。
○科⽬の学習⽬標やアクティブラーニング実施の狙いに順ずるような「学び」そのものがしっかりと得られることである。
○⽣徒の主体的・能動的な態度・姿勢を尊重することである。

逆に、アクティブラーニングの失敗として 3 つが考えられる。
○⽣徒たちが「アクティブ」でないような学びをし続けてしまうこと。
○学習活動がアクティブであっても、「ラーニング」がないこと。
○⽣徒たちが積極的に学んでくれないことを「教員⾃⾝の問題」として考えないこと。
これらは、アクティブラーニング失敗の基本 3 事例である。
（溝上慎⼀監修「失敗事例から学ぶ⼤学でのアクティブラーニング」 1 章 ⻲倉正彦）④-17－ 64 －

3-4. 授業にアクティブラーニングを継続的に取り⼊れた事例（その⼆）特別な道具や⼿間をかけるアクティブラーニング

⼤変でやり⾟いアクティブラーニングとして特別な準備をするのではなく、普段の授業の構造を変えることで取り⼊れた実践の例として溝上慎⼀監修（2016）『⾼等学校におけるアクティブラーニング 事例編』から
久留⽶市⽴南筑⾼等学校で⽯⼭信幸先⽣の⾏った授業を紹介する（同書から引⽤）。
(1) はじめに⽴てられた⽬標
・とりあえず話し合う機会を設け数学に関する弱⾳を共有させ、数学に対する苦⼿
意識を共有させる（対話的な学び）・仲間となら理解できるということを体験させる（対話的な学び）
・教えて貰えることのありがたさを感じさせる（主体的な学び）
・「⾃分も教えたい」と欲を出させる(2) 徹底的に教科書を使った授業―学校のニーズに合わせた学び―
久留⽶市⽴南筑⾼等学校の「教科書を早く終わらせてからの⼊試対策」という⽬標を達成するためには、教科書を使った授業をいかに安定して⾏うかが重要ということで、次のようなユニット制の進め⽅を考案し、実践されました。

④-18－ 65 －


①事前にその日に教科書のどこ

までを進みたいのか考えておく

②教室に行き生徒の体調や雰囲

気を観察する⑤教師の合図でペア・４人のグループなどさまざまな技法を駆使して課題を解決する
③教科書を開き「区切り」を決める
④「区切り」を生徒に伝え、生徒は自

分で読み、練習問題などを解き始める④-19－ 66 －

(3) 時期で異なる⽣徒と教師の変化
アクティブラーニングを取り⼊れたことで時期ごとに⽣徒にも教師にも変化が現れました。

表１ 各時期に起こる変化（よい変化）
時期
初期

⽣徒

教師

・新しい形態に期待を膨らませ、積極的に活動しよう

・⽣徒の良いところが多く⾒えるようになるとする
中期

・居眠りしている⽣徒を⽣徒が起こす・様々な⼿法を学び学習内容に適した⼿法で授業を展

・個⼈思考の時間を⼤切にするようになる

開できるようになる・出来ない仲間に対して安易に教えるのではなく、励・教科指導に専念できるようになる

まし、⾃⼒でやらせようとする

・はやいが充実した授業をできるようになる
・⽣徒の成⻑を感じるようになる

後期

・授業の内容のほとんどを⾃分達で解決しようとする。

・授業の⼤半を⽣徒に任せることが出来る

・学習に充実感を得るようになる

・最⼩限の⽀援で⼤きな学びや達成感を産むことが出来る

表２ 各時期に起こる変化（よくない変化）
時期
初期

⽣徒

教師

・珍しさに⽐較的指⽰通り動くが、指⽰を繰り返し⾔

・とにかくグループを作ることだけで終わる

わなければ動くことが出来ない

・どう指⽰してよいか分からず時間だけが過ぎ適当な指⽰

・個⼈でやりたいと強く主張する⽣徒もいたをしてしまう・授業が遅れる・⼀⻫授業のスタイルにもどして安⼼する

中期

・活動に飽きが来て私語が多くなる

・私語を注意することに追われる・活動に参加しない⽣徒を気にしない・教科より協同学習が主になる

・平気で他のグループの⽣徒と話し出す

・無駄にグループを作りたがる

・待っていればグループの時間になり、教えて貰えると・⼀⻫授業のスタイルにもどして安⼼する

考えるようになる
後期

・ペアやグループに依存し、⾃分で考えなくなる・⼀⻫授業のスタイルにもどして安⼼する（溝上慎⼀監修（2016）『⾼等学校におけるアクティブラーニング事例編』東信堂 p.14 より）④-20－ 67 －

4. 本プロジェクトの⽬的とＲＬＡについて
以下は、清⽔克彦(2017)「次世代型教員研修プログラム開発における数学ソフトウェアの活⽤」（Teachers Teaching with Technology pp.76-79）を参考に編纂したものです。
4-1. 本プロジェクトの⽬的
本プロジェクトは川⼝市教育委員会との協同のもと、教員研究プログラムとして 21 世紀型スキルの考え⽅を背景に、電⼦⿊板、デジタル教科書を活⽤して主体的で対話的な深い学びを実現しようとするものです。そのなかで、市川(1996)によって提起されたと⾔われる Researcher-LikeActivity(RLA:研究者を模した探究活動)を取り⼊れ、そこで数学ソフトウェアを活⽤することによって次世代に向けた特⾊あるアクティブラーニングを実現することを⽬指しています。
4-2. RLA と数学ソフトウェアの活⽤
市川(1996)によれば、RLA は「研究者の縮図的活動」という意味であり、猪俣はさらに「研究者的活動を学習者のレベルに合わせて⾏う教育⽅法」の総称をいうとしています。より端的に⾔うと探究的な活動を「科学者になったつもりで」「探究したいものを発⾒し」「⾃分で探究して発表する」ことまでを含んだ学習法です。市川(1996)は RLA を⼤学レベルの実践例を積み重ねたのに対し、猪俣(1996)は中学校レベル、⻘⽊ら(2013)は⾼校レベルの実践を⾏って RLA が中等教育レベルにおいても実⾏が可能であることを⽰しました。以下の表は最近のＲＬＡに関する実践例です。

④-21－ 68 －

年度・出典対象・内容

2013 ⻘⽊慎恵

⾼校⽣対象

福井⼤学教育実践研究

正多⾯体を題材にした５校時の取組

第 38 号 pp.91-100

教員による発問を導⼊とし、⽣徒の疑問を促す構造での実践

2013 濱中裕明

教職課程を履修した⼤学⽣対象

京都⼤学「探究的活動」を指導できる教員として備えるべき資質の考察

数理解析研究所講究録

その資質を得るための教科専⾨科⽬としての RLA の実践報告

1867-pp.117-129
2015 堀裕樹

⾼校２年⽣対象

福井⼤学教育実践研究

和算を題材にした３３校時のロングスパン（掲載時に１学期分）

第 40 号 pp.59-70

数学の研究家と和算家を対⽐したオリエンテーションの実施
過去の和算を調べ問題を捉え直す活動からスタート

2016 井⼝浩

中学⽣対象

新潟⼤学教育学部

式と計算の活⽤を題材にした８校時の取組

研究紀要第９巻１号「⽣徒が主体的⾏動をとるために必要と考えられる要素の特定」「ＲＬＡを取り⼊れる授業に求められる質」を⽰唆するための取組

2016 井⼝浩

中学⽣対象

新潟⼤学教育学部

決的学習を作っているか」を念頭に過去の取組と現在の取組の違いを考察

研究紀要第９巻２号

し授業改善に取り組む

和算を題材にした 10 校時の取組「RLA は⽣徒の問題解④-22－ 69 －

これまで多 くの先 ⽣ ⽅ が実 践 を積 み重 ねてきた RLA において、重 要 となる点 は「いかに⽣ 徒 が⾃ 主 的 に課 題 を発 ⾒ するか」です。題 材 に関 連 した歴 史 について学 ぶ・図 書 館 で調 べ学 習 を⾏ うなどの取 組 例 もあります．本 プロジェクトでは「数 式 ソフトウェア」を活 ⽤ して⽣ 徒 たちが実 際 に操 作 し、蓄 積 されたデータを観 察 することで、⽣ 徒 が⾃ 分 なりの推 測を持 ち、それが成 り⽴ つかどうか数 学 ソフトウェアに⼊ ⼒ することで反 応 を考 察 することを⽬指 しています。従 いまして、授 業 プロセスは以 下 のような形 を取 ります。
１）問 題 を理 解 したり、事 例 にあたったりする活 動２）数 学 ソフトウェアを⽤ いて、事 例 を探 究 したり、予 想 を確 かめる活 動３）発 ⾒ したパターンや解 を数 学 の⾔ 葉 で表 す活 動４）⾒ 出 したことをポスターにまとめる活 動５）ポスターセッション通 して相 互 評 価 や批 判 的 検 討 によって成 果 を共 有 していく活 動
扱 う問 題 は教 科 書 の単 元 導 ⼊ や研 究 のページのあとの発 展 として 扱 えるものを中 ⼼ として、デジタル教 科 書 の利 ⽤ との連 携 ができるようにし、また RLA 活 動 中 の⽣ 徒 のやり取りは電 ⼦ ⿊ 板 の機 能 と数 学 ソフトウェアを利 ⽤ するような⼯ 夫 を⾏ うことを検 討 しています。
数 学 ソフトウェアを活 ⽤ した RLA は数 学 科 の中 で次 世 代 型 教 育 、アクティブで探 究 的な教 育 の⽅ 法 として多 くの可 能 性 を持 つと考 え られ、本 プロジェクトでは 教 材 を４つ ⽤ 意
しています。

④-23－ 70 －

参考⽂献[1] 桑 ⽥ て る み （ 2016） 「 思 考 を 深 め る 探 求 学 習 」 （ 全 国 学 校 図 書 館 協 議会）[2] 溝 上 慎 ⼀ 監 修（ 2016）「⾼等学校におけるアクティブラーニング

事例

編」東信堂
[3] 溝 上 慎 ⼀ 監 修（ 2016）「⾼等学校におけるアクティブラーニング

理論

編」東信堂
[4] 溝 上 慎 ⼀ 監 修 （2016）「失 敗 事 例 から学 ぶ⼤ 学 でのアクティ ブラーニング」 東 信
堂[5] 清 ⽔ 克 彦 (2017)「次 世 代 型 教 員 研 修 プログラム開 発 における数 学 ソフトウェアの活 ⽤ 」（Teachers Teaching with Technology pp76-79）④-24－ 71 －

資料⑤－１ 教材の体験①（Noise Cancelling）－ 73 －

－ 75 －

年

組

‫ݕ‬ൌ

三⾓関数を設定して，グラフをかいてみよう．
‫ݕ‬ൌ

問 1.1 「三⾓関数」は⾝の回りのどのような場⾯で活⽤されているかな︖知っていることを⾃由にかいてみよう．

Activity Sheet‫ݕ‬ൌ

興味や関⼼を持つ

番 ⽒名

コンピュータを駆使する

－ 76 －

⾯⽩い形のグラフができたら，下のスペースにかきこんでおいて，説明してみよう．

気になることがあったら，下の余⽩にメモしておこう．

GeoGebra の操作図解に従って，⾃由に操作してみよう．

－ 77 －

⾒通しを持つこれまでの探求で周期が同じときは，どのパラメータが重要か，考えながら探求してみよう．

周期が同じ場合や異なる場合の和と差について，パラメータなど変化させ探求しよう．

問 2.2

パラメータ A，B，n の●をスライド（タッチしたまま左右に動かす）させどのような変化があるか観察してみよう．

問 2.1

問 2.1 「三⾓関数とグラフ」のファイルを開いて，⼿引書を⾒ながら次の課題に取り組んでみよう．
共に考えを創り上げる

－ 78 －

共に考えを創り上げる

思考を表現に置き換える�(6) sin2X は 3sin �X � � {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

�(5) cos2X は 3sinX {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

(4) cos2X は sin2X {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

(3) sinX は 3sinX {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

�(2) sinX は sin �X � � {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

�(1) sinX は sin2X {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

問 3.1 次の関数について, ⾳を出して適切なものを選ぼう︕ ただし, X � �����とする.

問３. グラフと⾳の変化の関連性

気づいたことを書こう︕

問 3.2 関数の係数や周期を変化させると⾳はどのように変化するか.

－ 79 －

新たなものを創り上げる

��X� �

��X� �

① ��X�をsinBXのような形で設定しよう.

��X�

問 4.1 ��X�を指定された条件の関数で設定し, また, ��X�と打ち消しあう��X�を記録し, ��X�と��X�のグラフを書いてみよう︕ ただし, X � �����とする.

問４．ノイズキャンセリング（Noise Cancelling）

X

－ 80 －

X

��X� �

��X� �

��X�

��X� �

��X�

➂ ��X�を和の形で設定しよう.

��X� �

➁ ��X�をAsin�X � n�� のような形で設定しよう.

X－ 81 －

あなたの考え︓

具体例︓

実⽣活の中で Noise Cancelling の技術を使っているもの︓

問 4.3 実⽣活の中で Noise Cancelling の技術を使っているものを挙げてみよう︕ また, この技術がどのようなものに応⽤できると思うか, 具体例を挙げ, あなたの考えを述べてみよう︕

問 4.2 波が打ち消しあうときのグラフはどのようになっているか. ①〜➂から読み取れることを書こう︕

－ 82 －‫ ݔͲͲͲʹݏ‬൅ ͳͺͺͲ‫ݔ‬

⾳の「うねり」と「はもり」‫ ݔͲͲͲʹݏ‬と ͳͺͺͲ‫ ݔ‬の⾳を同時に出し, グラフの概形を書いてみよう︕(1) うねり補⾜‫ ݔͲͲͲʹݏ‬൅ ͳͲͲͲ‫ݔ‬

周波数の⽐でどのように⾳が変わるか考えてみよう︕(2) はもり－ 83 －

年

組

班 班員

三⾓関数とノイズキャンセリング（Noise Cancelling）ポスター案

－ 84 －

共に考えを創り上げる�(6) sin2X は 3sin �X � � {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

�(5) cos2X は 3sinX {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

(4) cos2X は sin2X {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

(3) sinX は 3sinX {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

�(2) sinX は sin �X � � {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

�(1) sinX は sin2X {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

と）⾳の⼤⼩が変化する.

・係数を変化させると（ �軸をもとにして �軸⽅向に拡⼤縮⼩する

・平⾏移動しても⾳の⾼さや⼤きさは変化しない.

と ）⾳の⾼低が変化する.

・周期を変化させると（ �軸をもとにして �軸⽅向に拡⼤縮⼩する

解答例

気づいたことを書こう︕

問 3.2 関数の係数や周期を変化させると⾳はどのように変化するか.

思考を表現に置き換える

問 3.1 次の関数について, ⾳を出して適切なものを選ぼう︕ ただし, X � �����とする.

問３．グラフと⾳の変化の関連性

Activity Sheet （問 3，問 4 の解答）

－ 85 －

新たなものを創り上げる①

解答例

��X� � �����
�

��X� � ������ または ��X� � ��� ��� � �

�

問 4.1 ��X�を指定された条件の関数で設定し, また, ��X�と打ち消しあう��X�を記録し, ��X�と��X�のグラフを書いてみよう︕ ただし, X � �����とする.

問４．ノイズキャンセリング（Noise Cancelling）

－ 86 －

�

�

��X� � ����� � �����

��

��X� � ������� � �または, ��X� � ��� ��� � � � �����

③

②

�

�

�

�

��

�

�

�

�

または, ��X� � ��� ��� � � � ���� �� � �または, ��X� � ������� �または, ��X� � ������ � ���� �� � ���X� � ������ � �����

��

��X� � �������� � �

－ 87 －

た, 図書館の近くや病院の近く, 夜間などにでも作業ができるようになり, 作業効率のアップを図ることにもつながるのではないかと考えた.

あなたの考え︓道路⼯事や解体業者が使う重機が出す騒⾳にスピーカーから逆位相の波を出すことによって⾳を消すことで騒⾳問題の解決にもなり, ま

具体例︓⼯事現場と考えた.

も防げ, さらに, 外からの⾳も防げるのではないかと考えた. 落ち着いた雰囲気のレストラン, ライブハウス, 学校の⾳楽室などに応⽤できるのではないか

あなたの考え︓⾳楽室などの防⾳室では, 反射材や吸収材を使⽤し, ⾳が外に漏れないようにしていますが, この技術を壁に⽤いれば外に⾳が漏れること

具体例︓壁

実⽣活の中で Noise Cancelling の技術を使っているもの︓⾞のエンジン⾳（発進⾳）, イヤホン, ヘッドホン, ⽿栓など.

解答例

問 4.3 実⽣活の中で Noise Cancelling の技術を使っているものを挙げてみよう︕ また, この技術がどのようなものに応⽤できると思うか, 具体例を挙げ, あなたの考えを述べてみよう︕など

・何ૈだけずれている.

・反転している. （逆位相になっている.）

解答例

問 4.2 波が打ち消しあうときのグラフはどのようになっているか. ①〜➂から読み取れることを書こう︕

－ 88 －‫ ݔͲͲͲʹݏ‬൅ ͳͺͺͲ‫ݔ‬

⾳の「うねり」と「はもり」‫ ݔͲͲͲʹݏ‬と ͳͺͺͲ‫ ݔ‬の⾳を同時に出し, グラフの概形を書いてみよう︕(1) うねり補⾜‫ ݔͲͲͲʹݏ‬൅ ͳͲͲͲ‫ݔ‬

周波数⽐が 4:5 の 2 ⾳の⾳程は、⻑ 3 度

周波数⽐が 3:4 の 2 ⾳の⾳程は、完全 4 度

周波数⽐が 2:3 の 2 ⾳の⾳程は、完全 5 度

周波数⽐が 1:2 の 2 ⾳の⾳程は、完全 8 度（=オクターブ）

周波数の⽐は整数倍になる

解答例

周波数の⽐でどのように⾳が変わるか考えてみよう︕(2) はもり「GeoGebra」を⽤いたノイズキャンセリングの指導書
ノイズキャンセリングとは，騒⾳の波形に対して逆位相の⾳の波形を合成し，騒⾳を軽減することである．例として，時刻‫ݐ‬における関数を asin(ωt)で表される騒⾳を打ちけることを考えると-asin(ωt)の⾳を⾜し合わせることにより 0 となる．この機能は，ヘッドホンやイヤホンの機能として備え付けられていることが多い．
この授業案では，「GeoGebra」を⽤いて三⾓関数の応⽤について学ぶ. 基本的な三⾓関数のグラフの表⽰・そのグラフの表す⾳の⼊出⼒から，三⾓関数のグラフと⾳の関係，そしてノイズキャンセリング（Noise Cancelling）技術の理論とその応⽤について探究し理解することを⽬的とする．
三⾓関数の波形は，「⾳」と密接な関わりを持つ．実際に⾳を出しタブレット画⾯の視覚的な学習だ
けでなく，聴覚にも働きかけ学習をすすめる．なお、この授業案は，４〜６⼈を１グループとし, グルー
プワークをメインに想定した授業案となっている．本授業案では, ⾼等学校第２学年で学習する内容である三⾓関数のグラフを⽤いる．数学Ⅱ「三⾓関数」の活⽤として，三⾓関数と⾳の関係，ノイズキャ
ンセリング技術の応⽤の探求をすることで，三⾓関数の必要性や有⽤性に気づかせることができる．また，この原理を理解するためには振幅や定数倍という基礎的な理解も重要となるため，はじめの時間ではコンピュータを⽤いて模索する時間を設けた．

⑤-１-15－ 89 －

１．

導⼊⽬的︓「GeoGebra」を使い，ノイズキャンセリングと三⾓関数との繋がりを理解し，⾃主的な探求を促
準備︓ブレット，電⼦⿊板，必要があればイヤホン●ワークシートの配布．
問 1.1 「三⾓関数」は⾝の回りのどのような場⾯で活⽤されているかな︖知っていることを⾃由にかいてみよう．
◯⽣徒は，⾃分の考えを⾃由にワークシートに記述する．
【予想される回答】

物理で使われるもの



建物や⽊の⾼さを測るもの



⾳の変化

etc..
興味や関⼼を持つ●図形ソフト「GeoGebra」の紹介．

コンピュータを駆使する

GeoGebra とは，幾何，代数，解析を 1 つに結びつけた動的数学ソフトウェア．
●⽣徒にその機能を⽤いて，デモンストレーションを⾏う(以下参照)．
●等速円運動が正弦曲線と関係していることをアニメーションする(ファイル「正弦曲線のアニメーショ
ン.ggb」を⽤いて⽣徒へ⾒せる作業となる)．
「GeoGebra ファイルの開き⽅」
1.

デスクトップ上に開きたいファイルがあることを確認する．

図１︓デスクトップにアイコンがある
2.

「GeoGebra」を起動．

3.

起動した「GeoGebra」にデスクトップ上の「正弦曲線のアニメーション.ggb」をドラッグ&ドロップ．

図２︓ファイルをドラッグ&ドロップ
すると，以下の図 3 となる．

⑤-１-16－ 90 －

図３︓正弦曲線の導出

２．展開 １●実際に⽣徒に数式を打たせ，操作⽅法を確認するように指⽰する．
◯⽣徒は，教師の指⽰のもと図形ソフト「GeoGebra」を操作する．
「GeoGebra」を起動させる．

図４︓起動したときの画⾯


数式を⼊⼒する．
画⾯下の「⼊⼒」に数式を打ち込み，エンターキーを押す．

図５︓数式⼊⼒

図６︓数式⼊⼒後エンターキー⑤-１-17－ 91 －

◯⽣徒は，「GeoGebra」を操作して幾つかグラフを書く(３つぐらい⾃由に)．
(⾯⽩い関数を⾒つけることができれば，Activity Sheet の 2 ページ⽬に記⼊する．)●教員は，今⽣徒が開いている「GeoGebra」上に新たなファイル(三⾓関数とグラフ.ggb)をドロップ&
ドロップすることを指⽰(ファイルの開き⽅は，先の説明を参照)．三⾓関数とグラフ.ggb を開くと以下のような画⾯となる．

図７︓三⾓関数とグラフ
問 2.1 パラメータ「A，B，n」，「C，D，m」の●をスライド（タッチしたまま左右に動かす）させどのような変化があるか観察してみよう．
次に y=Asin(Bx-nπ)，y=Ccos(Dx-mπ)について考える．A，B，C，D，n，m は定数．
◯⽣徒は y=Asin(Bx-nπ)，y=Ccos(Dx-mπ)の□をタップしてグラフを表⽰させ,問題を考える．

図８︓指定したグラフの表⽰１
問 2.2 周期が同じ場合や異なる場合の和差について，パラメータなど変化させ探求しよう．
例１
周期が同じときには，


y=Asin(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ)

y=Asin(Bx-nπ)+Csin(Dx-mπ)

y=Acos(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ) のB, Dの値を同じ場合のグラフを考える．

例２

周期が異なるときには，


y=Asin(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ)⑤-１-18－ 92 －



y=Asin(Bx-nπ)+Csin(Dx-mπ)

y=Acos(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ)のB, Dの値が異なる場合のグラフを考える．

ここでは，周期が異なると sin，cos それぞれのみを⽤いて表すことができなくなる（合成の公式が使えなくなる）ことが分かってほしい．

図 9︓三⾓関数の和

図 10︓三⾓関数の和の探求◯班で気が付いた点を話し合うとより効果的．
●⾳の波形を⾝近に感じるように以下の実例を紹介する．

⾒通しを持つ

共に考えを創り上げる●電⼦⿊板上に画像ファイル「波形」jpg を開く(教員は，画像をクリックすればよい)．

図１1︓ピアノ

図１2︓トランペット

図１3︓オルガン

図１4︓クラリネット

注︓(a)から(d)までの波形の図は，以下のサイトより引⽤した．
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/KOUKAI/text-h18/Sound.pdf
次に，実際に「GeoGebra」を⽤いて⾳を出し三⾓関数の波形との変化について考える．

⑤-１-19－ 93 －

３． 展開２
１．GeoGebra ファイル「２時限⽬︓三⾓関数と⾳.ggb」を開く
ファイルの開き⽅については，展開１の⽅法と同様
２．三⾓関数のグラフを表⽰する．
⾳を出すファイルは，いくつもの項⽬が存在しているので，それについて以下に記述する．
(1）表⽰したい三⾓関数の横の欄をクリックし，チェックマークを⼊れる．例えば sin1 のグラフを表⽰するには，図右上にある「sin1 の表⽰」の横のチェックボックスをクリックする（⾳を出す（sin1）というボタンも出てくるが，これについては後で説明する）．

図１5︓チェックボックスをクリック

図１6︓グラフの表⽰（2）グラフを⾮表⽰にする場合，⾮表⽰にしたい三⾓関数の横の欄をクリックし，チェックを外す．
３．パラメータを動かし，グラフの概形を変化させる
以下，sin1 のグラフを表⽰した例で説明する．
（1）「スライダー表⽰」の横の欄をクリックしチェックを⼊れると，三⾓関数のパラメータを変化させるスライ
ダーが表⽰される．

⑤-１-20－ 94 －

図１7︓スライダーの表⽰（2）A，C は振幅，B，D は周期，m，n は位相のずれのパラメータである．これらのスライダーを左右に動かすと，それに応じてグラフの概形も変化させることができる．

図１8︓スライダーを動かして値を変える（3）また，「⼊⼒表⽰」の横の欄をクリックしチェックを⼊れると，⼊⼒ボックスが表⽰される．

図 19︓⼊⼒ボックスの表⽰（4）それぞれの⽂字の横にある⼊⼒欄に，キーボードから数値を直接⼊⼒してパラメータを変えることもできる．

図 20︓⼊⼒ボックスに数値を⼊⼒して値を変える⑤-１-21－ 95 －

４．実際に⾳を出す（1）三⾓関数のグラフを表⽰すると，同時に「⾳を出す」というボタンが，三⾓関数の式の下に表⽰されるので．これをクリックすることで，グラフの⾳を出すことができる．

図 21︓「⾳を出す」ボタンの表⽰（2）画⾯右にある「⾳を消す」ボタンをクリックすると⾳を⽌めることができ，15 秒後に⾃動で消える．

図 22︓⾳を消す
以上が，GeoGebra ファイル「２時限⽬︓三⾓関数と⾳.ggb」の操作⽅法．
○教師が GeoGebra で出した関数の⾳を聴き⽐べて，ワークシートの「問３．グラフと⾳の変化の関連性」の問 3.1 に班員と話し合いながら取り組み，⾳の⼤きさや⾼さはどう変化するか考える．
問 3.1
次の関数について, ⾳を出して適切なものを選ぼう. ただし, X � �����とする.

(1) sinX は sin2X {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.
�(2) sinX は sin �X � � {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.
�(3) sinX は 3sinX {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

(4) cos2X は sin2X {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.

(5) cos2X は 3sinX {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.
�(6) sin2X は 3sin �X � � {よりも⾼い・よりも低い・よりも⼤きい・よりも⼩さい・と同じ} ⾳となる.
�●以後グループワークを⾏うため，４〜６⼈で班を作るように教師は指⽰をする．

●教師は GeoGebra ファイル「２時限⽬︓三⾓関数と⾳.ggb」を開き，問 3.1（１）〜（６）の⑤-１-22－ 96 －

関数で，変数の値を変化させながら⾳を出していく．
●問 3.1 の各問の関数の⾳を GeoGebra で出すときの、三⾓関数のパラメータのスライダーの位置と表⽰するグラフの種類は，以下の図 23〜図 28 を参考に設定する．

図 23︓問 3.1（１）

図 24︓問 3.1（２）

図 25︓問 3.1（３）

図 26︓問 3.1（４）⑤-１-23－ 97 －

図 27︓問 3.1（５）

図 28︓問 3.1（６）
指導上の注意教室後⽅の⽣徒まで⾳が聞こえているか確認し，⽣徒全員に⾳が聞こえるように配慮する．必要に応じて，⾳を出す場所を移動する．
○問 3.2 に取り組み，三⾓関数の係数や周期の関係について，班ごとに意⾒をまとめる．
思考を表現に置き換える

共に考えを創り上げる

問 3.2関数の係数や周期を変化させると⾳はどのように変化するか．
○いくつかの班が発表し，全体で三⾓関数の係数や周期，位相のずれと⾳の関係を確認する．
●教師は発表する班を指名し，その班の代表⽣徒に発表させる．発表した班と異なる意⾒が出た班はあるか確認する．
◎三⾓関数の係数や周期，位相のずれと⾳の関連に気づくことができる．

４． 展開３
ワークシートの「問 4 ノイズキャンセリング（Noise Cancelling）」に取り組み，打ち消しあう⾳の関数を調べる．
ここで，新たなファイル「三⾓関数の和の⾳.ggb」を⽤いて以下の問題へと取り組む(⾳がでるファイルは重いため，複数に分けている)．
●教師は，展開 1 で⾏った⽅法と同様にしてファイルを開くことを指⽰する．そのファイルを開くと以下の図 29 のようになる．
⑤-１-24－ 98 －

図 29︓三⾓関数の和の⾳ファイルの表⽰○ワークシートの問 4.1 に取り組み， ��X� に対して ��X� がどのようなときに波形を打ち消しあうのか，
班ごとに考える．

問 4.1

��X�を指定された条件の関数で設定し, また, ��X�と打ち消しあう��X�を記録し,��X�と��X�のグラフを書いてみよう！ ただし, X � �����とする.
① ��X�を sinBX のような形で設定しよう.
��X� �

��X�＝②��X�を Asin�X � n�� のような形で設定しよう.
��X� �

��X�＝⑤-１-25－ 99 －

新たなものを創り上げる③ ��X� を和の形で設定しよう.
��X� �

��X�＝○班ごとに作った関数の⾳を同時に鳴らし，⾳の変化を確かめる．
●教師は問 4.1 の関数を，⽣徒が各⾃で値を変えて GeoGebra で設定できているか，机間指導を⾏い確認し，必要に応じて全体で確認する．

○問 4.2 取り組み，波が打ち消しあうときの⾳のグラフはどのようになっているか考察する．
問 4.2
波が打ち消しあうときのグラフはどのようになっているか，①〜③から読み取れることを書こう︕●教師はいくつか班を指名し，その班の考察を代表⽣徒に発表させる。
●⾳が少し打ち消しあうときを教師が演⽰し⽣徒に聞かせ、全体で確かめる．
○問 4.3 に取り組み，各⾃ノイズキャンセリング技術の応⽤について，⾃分の考えをまとめる．
問 4.3
実⽣活の中で Noise Cancelling の技術を使っているものを挙げてみよう︕ また, この技術がどのようなものに応⽤できると思うか, 具体例を挙げ, あなたの考えを述べてみよう︕
実⽣活の中で Noise Cancelling の技術を使っているもの︓
具体例︓
あなたの考え︓●考えられる応⽤例を教師がまず⼀つ挙げ，それを参考に⽣徒に考えさせる．
●班内で話し合う時間を確保する．
◎班での話し合いに積極的に意⾒を述べている．
指導上の注意机間指導を⾏い，話し合いが活発でない班があれば必要に応じて活動の補助をする．

５． 展開 4
各班でノイズキャンセリングの応⽤例や，これまでの活動を通して疑問に思ったこと，新たに発⾒したこと⑤-１-26－ 100 －

などについてのポスターを作成する．

6． まとめ
次回の授業では，ポスターを⽤いて発表を⾏うことを伝える．

7．補⾜
指導上の注意時間に余裕があれば，⾳の「うねり」と「はもり」について考察する．
補⾜ ⾳の「うねり」と「はもり」（１）うねり sin2000x+sin1880x
sin2000x と sin1880x の⾳を同時に出し，グラフの概形を書いてみよう︕（２）はもり sin2000x+sin1000x周波数の⽐でどのように⾳が分かるか考えてみよう︕

以下の「GeoGebra 基本操作図解」は⽣徒への配布も考慮しているため，図番号を 1 から始める．

GeoGebra 基本操作図解
図に従って基本的な操作に慣れていきましょう．

⑤-１-27－ 101 －

図１-初期画⾯

図 2-式の⼊⼒

図３-グラフを表⽰/⾮表⽰⑤-１-28－ 102 －

図４-数式バーが消えてしまった時は

図 5-式と式の演算

図 6-式と式の演算 2⑤-１-29－ 103 －

図 7- 変数の扱いについて（重要）図 8ースライダーの作成

図 9-変数スライダーの操作⑤-１-30－ 104 －

図 10-パラメータを⾃分で設定してみよう

図 11-なぜこの形になるのだろう

図 12-探究⽤ファイルの操作説明 1⑤-１-31－ 105 －

図 13-探究⽤ファイルの操作説明 2

図 14-探究⽤ファイルの操作説明 3

図 15-探究⽤ファイルの操作説明 4⑤-１-32－ 106 －

図 16-探究⽤ファイルの操作説明 5⑤-１-33－ 107 －

指導案
1.

本時のねらい2.

準備

3.

・「GeoGebra」を⽤いて，ノイズキャンセリング(⾳)と三⾓関数との繋がりを理解し，⾃主的な探求を促す．

・

タブレット，電⼦⿊板，必要があればイヤホン．

展開

時間
導⼊
(10 分)

学習内容

指導上の留意点・と評価の観点◎

問 1.1【予想される回答】「三⾓関数」は⾝の回りのどのような場⾯で活⽤され三⾓⽐を使った関数ているかな︖知っていることを⾃由にかいてみよう．

物理で使うもの
建物の⾼さを測れる など

図形ソフト「GeoGebra」の紹介．
正弦曲線について教員が表すので，その軌道を視覚的に確認する．

興味や関⼼を持つ

コンピュータを駆使する・教員は，GeoGebra でファイル「正弦曲線のGeoGebra の操作⽅法の説明をして，⽣徒に⾃由にアニメーション.ggb 」を開く．

3 つくらいグラフを書かせる．
・タブレットを正しく操作できているか確認する．
展開 1(20 分)

問 2.1
パラメー「A，B，n」，「C，D，m」の●をスライド（タッチしたまま左右に動かす）させどのような変化があるか観察してみよう．

・未だ操作に⼾惑うようであれば，⾃分で操作可能になるまで教える．
・特に気になる点があればワークシートに書き留
めておくよう指⽰する．

適宜ワークシートに記⼊する．
問 2.2
周期が同じ場合や異なる場合の和差について，パ
ラメータなど変化させ探求しよう．

・周期が異なると sin,cos それぞれのみを⽤いて表すことができなくなる（合成の公式が使えなくなる）ことが分かってほしい．

２つの三⾓関数の和（差）について考える．
⽣徒が考えるであろう式

・残った時間は⽣徒に⾃由に操作させ，気が例１ 周期が同じとき付いた点や疑問に思った点を素直に考えさせる．

y=Asin(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ)

y=Asin(Bx-nπ)+Csin(Dx-mπ)

y=Acos(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ) のB, D の値を同じ場合のグラフを考える．

⑤-１-34－ 108 －

例２ 周期が異なるとき


y=Asin(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ)・班で気が付いた点を話し合う時間があればよ

y=Asin(Bx-nπ)+Csin(Dx-mπ)

り効果的となる．

y=Acos(Bx-nπ)+Ccos(Dx-mπ)
異なる場合のグラフを考える．

の B, D の 値 が⾒通しを持つ

共に考えを創り上げる「波形」jpg を電⼦⿊板乗に表⽰を⾒て⾃分たちの書・電⼦⿊板上に画像ファイル「波形」jpg を開く

いたグラフとの違いを考える．

波形は(a)ピアノ(b)トランペット(c)オルガン(d)クラリネット．現実世界との繋がりを実感．

実際に⾳を出してみることを伝える．
展開２三⾓関数と⾳の関係について学ぶ．

・以後，４〜６⼈で班を作り，話し合わせな(20 分)「2 時限⽬︓三⾓関数と⾳.ggb」を起動．

がら授業を進めていく．

・教師が GeoGebra で出した関数の⾳を聞き⽐べて，班員と話し合いながら，ワークシートの「問 3.グラフ

・教師が GeoGebra で，三⾓関数のパラメーと⾳の変化の関連性」の問 3.1 に取り組む．

タのスライダーを設定し問 3.1（１）〜（６）問 3.1の関数の⾳を出していく．

次の関数について, ⾳を出して適切なものを選ぼう.
ただし, X � �����とする.

・教室後⽅の⽣徒まで⾳が聞こえているか確認て，変数の値を変化させながら⾳を出し, ⾳の⼤きさや・机間指導を⾏い，話し合いが活発でない班

⾼さはどうなるか考えさせる．

があれば必要に応じて活動の補助をする．

・問 3.2 に取り組み，班ごとに意⾒をまとめる．

・発表する班を指名し, その班の代表⽣徒にし, 必要に応じて場所を移動する．

・「2 時限⽬︓三⾓関数と⾳.ggb」というファイルを⽤い発表させる．

問 3.2関数の係数や周期を変化させると⾳はどのように変思考を表現に置き換える

化するか．

共に考えを創り上げる・発表した班と異なる意⾒がでた班はあるか確・いくつかの班が発表し，全体で三⾓関数の係数や周認する．

期，位相のずれと⾳の関係について確認する．
◎三⾓関数の係数や周期，位相のずれと⾳の関連に気付くことができる．
展開 3

打ち消しあう⾳の関数を調べる．

・問 4.1 の関数を，⽣徒が各⾃でスライダーを(25 分)

・ワークシートの「問４.ノイズキャンセリン（Noise

動かし GeoGebra で設定できているか，机間Cancelling）」の問題に取り組む．

指導を⾏い確認する．必要に応じて全体で確しあうのか，班ごとに考える．

・視覚的に，正弦と余弦の波を⾜したら合成・問 4.1 に取り組む．

認する．

・��X� に対して、 ��X� がどのようなときに波形を打ち消・係数や周期，位相に注意させる.

⑤-１-35－ 109 －

関数の波になっていることを伝える．
問 4.1
f(X) を 指 定 さ れ た 条 件 の 関 数 で 設 定 し , ま た ,新たなものを創り上げる

f(X)と打ち消しあう g(X)を記録し, g(X)と f(X)のグラフを書いてみよう︕ ただし, X=1000x とする.
・問 4.2 に取り組む．
・問 4.2 はいくつかの班を指名し，代表者に発問 4.2
波が打ち消しあうときのグラフはどのようになっている
か，①〜③から読み取れることを書こう︕

表させる.
・⾳が打ち消しあうときを教師が演⽰し⽣徒に・班ごとに作った関数の⾳を同時に鳴らし，⾳の変化を

聴かせる．

確かめる．

・⾳を打ち消しあうために気をつけることはなにか・問 4.3 に取り組む．

を問う．

問 4.3
実⽣活の中で Noise Cancelling の技術を使って・考えられる応⽤例を，教師がまず⼀つ挙げいるものを挙げてみよう︕ また, この技術がどのようる．

なものに応⽤できると思うか, 具体例を挙げ, あな

・班内で話し合う時間を設ける．

たの考えを述べてみよう︕

・机間指導を⾏い，話し合いが活発でない班があれば必要に応じて活動の補助をする.

展開 4(20 分)

ポスターを完成させる．

・各班で，ノイズキャンセリングの応⽤例や，これまでの活動を通して疑問に思ったこと，新た振り返って次へつなげるに発⾒したことなどについてのポスターを作成する．

多様な⼿段で説明する
互いの考えを⽐較する
知識や技能を概念化する

評価「GeoGebra」での実験を通して，グラフの分析や⾳との関連から⾒つけたことやわかった
ことをまとめることができる.(Activity Sheet への取り組み)【⾒・考】
基準
A︓グループで「GeoGebra」での実験を通して，グラフの分析や⾳との関連から⾒つけたことやわかったことをまとめることができる.
B︓三⾓関数やノイズキャンセリングの理解が難しかったが，グラフの分析や⾳との関連⾒つけたことやわかったことをまとめることができる.
C︓三⾓関数やノイズキャンセリングの理解が難しくグラフの分析や⾳との関連⾒つけたことやわかったことをまとめることができない.
⑤-１-36－ 110 －

まとめ
(5 分)

補⾜

次回の授業で，ポスター発表を⾏う．

時間が余れば，⾳の「うねり」と「はもり」につい（１）うねりsin2000x + sin1880x（２）はもりsin2000x + sin1000xて考察する．
例えば，（１）sin2000x と sin1880x の⾳を同時に出し，グラフの概形を調べる．
次に（２）sin2000x と sin1000x で調べる．
周波数の⽐でどう⾳が変わるか考察する．

⑤-１-37－ 111 －

資料⑤－２ 教材の体験②（絶対値を用いたグラフ）－ 113 －

資料⑤－２教材の体験②（絶対値を⽤いたグラフ）
絶対値記号のついた関数のグラフを書こう（）組（）番 名前（）

みなさんは「絶対値のついた関数」を書けるでしょうか。
例えば
y=|�|のグラフを書いてくださいと⾔われたらどのように考えますか︖
覚えている⼈は「場合分け」を使えばいいと考えるでしょう。では逆に、グラフが与えられている場合にそのグラフを表す絶対値つきの関数を求められるでしょうか。
このシートの⽬標は、様々なグラフを表す関数を求めよう︕という事です。
皆さんには、いろいろな ACTIVITY(アクティビティ)に挑戦してもらいますが、基本的に前のACTIVITY が次の ACTIVITY のヒントになっているので考えに困ったら前の作業を振り返ってみるといいでしょう。

ACTIVITY 1
まず、絶対値のグラフの特徴を勉強しよう。下の 3 問の問題で、（a）と（b）のグラフを同じ座標上に書きましょう。そして、それが終わったら２つのグラフを⾒⽐べて（a）と（b）のグラフで変わった事、（b）のグラフの特徴を考えてみましょう。
(1) (a) � � � � �(b) � � |� � �|(2) (a) � � |�| � �(b) � � |�|⑤-2-1－ 115 －

(3) (a) � � �|� |(b) � � |� |

2 つのグラフを⾒⽐べて気づいたこと
（１）

（3）

（2）

ACTIVITY 2

左のような図形「W」を描くためには
どうしたら良いでしょうか。

SHEET1 で絶対値記号を使った折れ線を描いたのを思い出そう( 左は� � |�|と� � �のグラフ)。

絶対値記号を使って GeoGebra に⽬標の図形「W」を作図しよう。また、GeoGebra に打ち込んだ⽅程式を答えよう。(【ヒント】丸で囲まれている部分に注⽬)

⑤-2-2

��

－ 116 －ACTIVITY 3 〜・〜余⼒がある⼈へ〜・〜
GeoGebra を⽤いて①や②のグラフと定数関数(‫ ݕ‬ൌ ݇)との共有点の個数がどのように変わるか、定数関数を GeoGebra で動かしてみることで考察してみよう。

ACTIVITY 2 で求めた⽅程式

‫ݕ‬ൌ

（Q2）

（Q1）
共有点の個数が変わる境⽬は…

共有点の個数について、わかったことを書こう︕

݇ൌ

のときと

݇ൌ

のとき

※）‫ ݕ‬ൌ ݇ を動かす⽅法は、後のページ７、８をみてください。

ACTIVITY 4 〜・〜研究課題〜・〜
ACTIVITY 1〜２では、「グラフの形から⽅程式を予想し、GeoGebra に打ち込んで作図を⾏う」といった⼿順で作業をしました。⽅程式からグラフを描くという普段の取り組みとは逆に、このように、グラフの形からそのグラフを表す⽅程式が数式を⽤いてどのように表現できるかということを考えるのも⼤切なことです。
そこで、以下の①〜③のグラフを表す⽅程式の中から⼀つを選択して、今までと同様の⼿順で⾒つけてみましょう。そしてどのような過程でそのようなグラフができたかを考察してまとめましょう(ただし、絶対値記号は必ず⽤いること)。
⑤-2-3－ 117 －

①
【ヒント】
・定数関数の部分(グラフが傾きを持たないところ)に着⽬しよう︕
・絶対値記号は 2 回つかうよ︕②【ヒント】
・‫ ݔ‬についての 2 次式になるよ︕
・2 次関数のグラフを絶対値記号を使って折り返してみよう︕③【ヒント】
・‫ݔ‬Ȁȁ‫ݔ‬ȁのを GeoGebra に打ち込んでみよう︕
・グラフに傾きを持たせるにはどうしたら良いかな?

⑤-2-4－ 118 －

___ 班 班員 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿【Ⅰ】今回の活動（ACTIVITY１〜２）を振り返って、絶対値のグラフを書いてみて、気づいた事や絶対値のグラフの性質をまとめよう。

【Ⅱ】班で書けたグラフの形（上⼿くいかなかった班も成功した班も）を書いてください（⼿書きで）。
・選んだグラフの番号︓・書けたグラフ︓☆上のグラフの⽅程式は【Ⅲ】作図をする上でキーとなった考え、ACTIVITY は何かありますか。

【Ⅳ】成功した班は、「なぜその試⾏を試そうと思いましたか︖」
上⼿くいかなかった班は「どこが克服できれば、完成できると思いますか︖」⑤-2-5－ 119 －

〜GeoGebra の操作説明〜
このページでは、ACTIVITY をこなしていく上で必要な操作⽅法を説明していきます。
わからなくなった場合はこちらのページを参照しましょう。
〈１〉 数式を⼊⼒する

この欄に、書きたいグラフの数式を⼊れよう〈2〉 関係ない数式を消す〇２つのグラフが表⽰されている状態〇表⽰されるグラフが１つになった︕

消したい数
式の⻘丸
をクリック

〈３〉 グラフの⾊を変える
（ⅰ）

（ⅱ）

グラフを右
クリック

プロパティをクリック⑤-2-6－ 120 －

（ⅲ）（ⅳ）⾃分がつけたい⾊をクリックする「色」のタブをクリック（ⅴ）

「×」のタブをクリック（ⅵ）完成︕〈４〉 数式を⼊⼒する
⼿順は、上の〈３〉の（ⅱ）までは同じ。それ以降の操作⽅法を説明する。
（ⅰ）

「スタイル」のタブをクリック

（ⅱ）

⑤-2-7
－ 121 －

「直線の太さ」の目盛を動かす

（ⅲ）

「×」のタブをクリック（ⅳ）完成︕〈５〉 ࢟ ൌ ࢞૛ と直線（࢟=࢑）の交点を求める⽅法（ⅰ）関数‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ を作図する。

（ⅱ）‫ ݕ‬ൌ ݇を⼊⼒欄に打ち込む‫ ݕ‬ൌ ݇を打ち込むと、左下の図のような画⾯が表⽰されるので「スライダーを作成」をクリック。

⑤-2-8－ 122 －

（ⅲ）交点を作図する「点」のタブをクリック

交点をクリックする（ⅳ）݇のスライダーを動かすと、⾊々な交点が発⾒できます。
݇ ൌ Ͷに動かした状態(ⅲ)までの状態݇ ൌ െͳに動かした状態

注）スライダーというのは上の図で⾚い四⾓で囲った、横線の事です。
（※実際の画⾯では⾚い四⾓は現れません）
操作説明は以上です。ここで紹介するものがすべてではありませんが、今回の操作をする上では今説明したものを使って活動をしましょう。

⑤-2-9－ 123 －

指導書
数学の体験２ 絶対値を⽤いたグラフ［導⼊］
みなさんは「絶対値のついた関数」を書けるでしょうか。
例えば� � |�|のグラフを書いてくださいと⾔われたらどのように考えますか︖

覚えている⼈は「場合分け」を使えばいいと考えるでしょう。では逆に、グラフが与えられている場合にそのグラフを表す絶対値つきの関数を求められるでしょうか。
このシートの⽬標は、様々なグラフを表す関数を求めよう︕という事です。
皆さんには、いろいろな ACTIVITY(アクティビティ)に挑戦してもらいますが、基本的に前のACTIVITY が次の ACTIVITY のヒントになっているので考えに困ったら前の作業を振り返ってみるといいでしょう。

解説

既に⼀時関数の絶対値付きのグラフの書き⽅について学習している。例えば� � |�|のグラフなどである。
しかし、これまでの学習の流れとしては『 「式」から「グラフ」 』を書くことに主眼を置いたものであった。その為作図する際には場合分けという作業が必要であり、こういった作業に苦⼿意識を持つ⽣徒も多い。

そこで、今回の活動では今までの流れとは逆に『 「グラフ」から「式」 』を書くことを通して絶対値付きの関数に親しんでもらおうというものである。
今回は GeoGebra を使う事で、最終的には⽣徒⾃⾝に「W」の形を作図すること、そして発展問題
では⾊々な関数を作図することを⽬標としている。
このシートの構成として
ACTIVITY1︓絶対値つきの関数の特徴の考察
ACTIVITY2︓最初の⽬標である「W」の作図
ACTIVITY3︓本筋とは逸れてしまうが、関数と直線の交点の問題に関する考察
ACTIVITY4︓活動の集⼤成として、やや難しい図形を作図する作業
以上の４段階で構成されている。

⑤-2-10－ 124 －

［復習、準備］ACTIVITY 1
まず、絶対値のグラフの特徴を勉強しましょう。下の 3 問の問題で、（a）と（b）のグラフを同じ座標上に書きましょう。そして、それが終わったら２つのグラフを⾒⽐べて（a）と（b）のグラフで変わった事、（b）のグラフの特徴を考えてみましょう。
(1) (a) � � � � �(b) � � |� � �|(2) (a) � � |�| � �(b) � � |�|(3) (a) � � �|� |(b) � � |� |注）上の解答では⾚⾊のグラフが(a)のグラフを、緑⾊のグラフが(b)のグラフを表す。

解説
絶対値付きの関数について理解している⽣徒の中には、GeoGebra を使わずにも作図できる⽣徒がいるかもしれない。しかし、ここでの⽬標としてはまず GeoGebra に慣れる事が第⼀なので、⽣徒⾃⾝にパソコンを操作させる事に重点を置きたい。
また、作図が終わった⽣徒に対してはそれぞれのグラフの特徴を考えさせる時間をとる。

⑤-2-11－ 125 －

2 つのグラフを⾒⽐べて気づいたこと
（１）

（2）

（3）

・絶対値を付けると・関数に⾜し算をす・関数にマイナスを付ると、上に動く。

けるとグラフが反転す

負の部分が正の部
分に折り返される。
・� � 2 の範囲では、
2 つのグラフが重なるる。
（・引き算をすれば、下に動くのでは︖）

・� 軸について対称なグラフである。

解説
ACTIVITY の解説をする前にこのシート全体を通して⽣徒に気を付けてほしい点を述べる。
こちらで⾏う作業は、⼀発で解答に⾄るという事は期待していない。それは、実際の研究でも様々な紆余曲折があるからである。なので、⽣徒に対しては失敗してもいいので挑戦するように指導していただきたい。
そして失敗を通して、では次に何を試せばいいだろうか。という具合に段々と思考接近していくような形にしたい。
上にあげた模範解答以外にも、２つのグラフを⾒⽐べた考察ができていればよい。
また、例えば（２）の解答にあげたように、「今回は� � |�| � 2の場合を考えているが、� � |�|ー2の場合はどうなのだろうか」というように、⾃発的に他のパターンの場合の予想ができるとより良い。

場合によっては、こちらは教師が発問として⽣徒に提⽰することも考えられる。

また、（２）は⼆次関数の平⾏移動で学習した知識であるので、適宜該当ページに戻って復習させてもよい。
こちらの３問のうち ACTIVITY2 の中で使う知識は（1）と（2）なので、特にこちらの２問で使われている知識、すなわち（１）︓折り返すためには絶対値をつければいい（２）︓縦への移動をしたければ、関数に「＋、－」を加えればいい。
この２点に関しては、⽣徒にしっかりと定着させた上で次の ACTIVITY に進みたい。

⑤-2-12－ 126 －ACTIVITY 2
左のような図形「W」を描くためには
どうしたら良いでしょうか。

SHEET1 で絶対値記号を使った折れ線を描いたのを思い出そう( 左は� � |�|と� � �のグラフ)。

絶対値記号を使って GeoGebra に⽬標の図形「W」を作図しよう。また、GeoGebra に打ち込んだ⽅程式を答えよう。(【ヒント】丸で囲まれている部分に注⽬)

�答; 例�

� � ||�� � �| � �|

解説
ACTIVITY 1 の(1) ( � � |� � �| )を通して「⼀次関数( � � � � � )の絶対値による折り返し」
ACTIVITY 1 の(2) ( � � |�| � � )を通して「グラフ ( � � |�| )の�軸⽅向への平⾏移動」
を⾒てきている。以下の①〜④のような⼿順で作図できるとよい。

① � � �� � �(直線の⽅程式)② � � |�� � �|

(絶対値で折り返し)③ � � |�� � �| � �(ｙ軸の負の⽅向に平⾏移動)④ � � ||�� � �| � �|

(再び絶対値で折り返し)【ポイント】
・①〜③の⼿順で、「V」字のグラフを負の⽅向に平⾏移動できるか
・平⾏移動で出てきた負の部分をもう⼀度絶対値を使って折り返せるか⑤-2-13－ 127 －ACTIVITY 3 〜・〜余⼒がある⼈へ〜・〜
GeoGebra を⽤いて①や②のグラフと定数関数(� � �)との共有点の個数がどのように変わるか、定数関数を GeoGebra で動かしてみることで考察してみよう。

ACTIVITY 2 で求めた⽅程式� � �|�� � �| � ��

（Q1）

（Q2）

共有点の個数が変わる境⽬は…

共有点の個数について、わかったことを書こう︕

�� ０
のときと

�� ２
のとき

・�<０の時は、共有点が０個・� � ０の時は、共有点が２個・0<�<2 の時は、共有点が４個・� � 2 の時は、共有点が 3 個・�>2 の時は共有点が 2 個・上のようなグラフでは変化が⼆回起こる⑤-2-14－ 128 －

解説
こちらの問題に関しては、本活動の本題からは外れるので、家庭学習や早く終わってしまった⽣徒⽤という事で⽤意している。そのため、授業では扱わない事もできる。
こちらの問題の意図としては、共有点の問題を解く際の場合分けという作業を最後まで極⼒意識させない事にある。
そのため、上の Q２の模範解答では場合分けをしているがこちらの場合分けまで答えが⾄らなくてもよく、「ある所を境に様⼦が変わっている」というような漠然とした解答を導き出し、そこから「場合分け」という操作が必要である。という認識にできればいいと考える。
その操作をする上で必要な操作を、以下に説明する。詳しくは ACTIVITY SHEET の 8ｐを参照していただきたい。以下の説明では、� � �|�� � �| � ��を例に取って説明する。

勿論、この関数ではなく ACTIVITY2 で求めた関数で考えてよい。
【STEP1】� � �|�� � �| � ��を打ち込む。

【STEP2】� � �を打ち込み、スライダーを作成する【STEP3】スライダーを動かし、交点の個数や交点の座標を調べる。
また、その際どの範囲で交点が何個になるか。という考察をさせ、まとめてみるという活動も考えられる。

この状態では共有点は 4 個だが…

スライダーを少し動かすと共有点は 3 個に︕⑤-2-15－ 129 －ACTIVITY 4 〜・〜研究課題〜・〜
ACTIVITY 1〜２では、「グラフの形から⽅程式を予想し、GeoGebra に打ち込んで作図を⾏う」といった⼿順で作業をしました。⽅程式からグラフを描くという普段の取り組みとは逆に、このように、グラフの形からそのグラフを表す⽅程式が数式を⽤いてどのように表現できるかということを考えるのも⼤切なことです。
そこで、以下の①〜③のグラフを表す⽅程式の中から⼀つを選択して、今までと同様の⼿順で⾒つけてみましょう。そしてどのような過程でそのようなグラフができたかを考察してまとめましょう(ただし、絶対値記号は必ず⽤いること)。

解説

ここからはいよいよ、⽣徒たちに課題に取り組んでもらう。最終⽬標は、下の①〜③のグラフの形を⾒て⽅程式を予想し、⾃分たちが考えたことを発表(ポスター発表)することである。
⽣徒たちには⼤きく、以下の活動をしてもらう。
◎ポスター作成時
・ACTIVITY 3 までを通して、絶対値記号についてわかったことをまとめる。
・6 ⼈くらいの班で与えられた研究課題について取り組む。
・上の２つの項⽬についてポスターにまとめる。研究課題について、最後まで出来なかった班については、「どこまでできたか」や、「どの箇所がどのようにうまくいかなかったか」をまとめてもらう。
◎ポスター発表時
・絶対値記号についての考察を発表する。
・⾃分たちの課題について発表する。
正解にたどり着いた班…GeoGebra 上での⼿順。うまくいった箇所。グラフの形と式の関連などを発表。
たどり着かなかった班…どこまでできたか。どこがうまくいかず困ったか。

⑤-2-16－ 130 －

｛ 研究課題①〜③について ｝

①

【ヒント】
・定数関数の部分(グラフが傾きを持たないところ)に着⽬しよう︕
・絶対値記号は 2 回つかうよ︕

解説(課題の背景)|� � �| と |� � �| の和で作られる関数 � � |� � �| � |� � �| が答の 1 つである。
(グラフについての考察)【 � � � のとき 】|� � �| � �� � � , |� � �| � �� � � となるので、� � |� � �| � |� � �| � ��� � � である。関数の変域が � � � のときは傾きが負の直線になる。
【 � � � � � のとき 】|� � �| � � � � , |� � �| � �� � � となるので、� � |� � �| � |� � �| � � である。関数の変域が � �� � � のときは � � � と �� � � における �� が相殺しあって、定数関数の傾きのない直線になる。

【 � � � のとき 】|� � �| � � � � , |� � �| � � � � となるので、� � |� � �| � |� � �| � �� � � である。
関数の変域が � � � のときは傾きが正の直線になる。
|� � �||� � �|⑤-2-17－ 131 －

②【ヒント】
・� についての 2 次式になるよ︕
・2 次関数のグラフを絶対値記号を使って折り返してみよう︕

解説(課題の背景)|� � �| と �|� � �| の積で作られる関数 � � �|� � �||� � �|＝ � |� � � �| が答の 1 つである。

�|� � �||� � �|(グラフについての考察)②のグラフの形を⼀⽬⾒て、「②の⽅程式が 『2 つの��の１次式の絶対値どうしの積』でできている。」と予想できる、素晴らしく勘の良い⽣徒でない限り、この課題は以下のような 2 次関数の平⾏移動と絶対値による折り返し、および��軸についての対称移動によって得るのが⾃然なアプローチであると考える。
① � � ��(2 次⽅程式)④ � � �|� � � �|(���軸についての対称移動)② � � �� � �(ｙ軸の負の⽅向に平⾏移動)③ � � |� � � �|

(絶対値による折り返し)【ポイント】
・①②で、2 次関数のグラフを負の⽅向に平⾏移動できるか・絶対値を使って負の部分を折り返した後、� 軸についての対称移動をして、「M」字を作る。

⑤-2-18－ 132 －

③【ヒント】
・��|�|のを GeoGebra に打ち込んでみよう︕
・グラフに傾きを持たせるにはどうしたら良いかな?

解説(課題の背景)
� と

�

|�|

( � の |�| による商と) 和で作られる関数 � � � ��|�|が答の 1 つである。

(グラフについての考察)
このグラフは不連続な部分があり、その部分をどのように表現するかがポイントである。
そこで【ヒント】の 1 つ⽬の「��|�|のを GeoGebra に打ち込んでみよう︕」を実⾏すると以下のグラフを得る。
【 � � � のとき 】|�| � � となるので、� �【 �� � � のとき 】�|�||�| � �� となるので、� �【 � � � のとき 】�� � � の直線になる。
�

�

|�|

�

�

��

� �� の直線になる。

この場合、原点で不連続となる。

このヒントを頼りにすれば③に辿り着けるかもしれない。あとは直線に傾きを持たせるために � を加える。
【 � � � のとき 】
�

����

|�|

����

|�|

【 �� � � のとき 】�⑤-2-19－ 133 －�� � � � � � � の直線になる。
���

�

�

��

� � � � の直線になる。

【操作説明】
シートと重複する部分が多いが、こちらでは Geogebra の操作⽅法を説明する。
〈１〉 数式を⼊⼒する

この欄に、書きたいグラフの数式を⼊れよう

コメント︓⼊⼒した後に「Enter キー」を押すことを忘れずに。
〈2〉 グラフの⾊を変える
（ⅰ）

（ⅱ）

グラフを右
クリック

プロパティをクリック（ⅲ）

「⾊」のタブをクリック（ⅳ）⾃分がつけたい⾊をクリックする⑤-2-20－ 134 －

（ⅴ）（ⅵ）完成︕「×」のタブをクリック

コメント︓（ⅰ）の操作のみ、右クリック（他のクリックはすべて左）であることに注意。
〈3〉グラフの線の太さを変える
⼿順は、上の〈３〉の（ⅱ）までは同じです。それ以降の操作⽅法を説明しましょう。
（ⅰ）

（ⅲ）

「スタイル」のタブをクリック「×」のタブをクリック（ⅱ）

「直線の太さ」の⽬盛を動かす（ⅳ）完成︕

コメント︓上であげた２つ以外にもプロパティの機能の中には、思考に役⽴つ機能があるので、こちらで紹介したもの以外に関しても⽣徒に活⽤させてもよい。
⑤-2-21－ 135 －

〈4〉 ࢟ ൌ ࢞૛ と直線（࢟=࢑）の交点を求める⽅法（ⅰ）関数‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ を作図する。

コメント︓GeoGebra に、考える関数を打ち込む。
（ⅱ）‫ ݕ‬ൌ ݇を⼊⼒欄に打ち込む‫ ݕ‬ൌ ݇を打ち込むと、左下の図のような画⾯が表⽰されるので「スライダーを作成」をクリック。

コメント︓今までと違う作業になるので注意。スライダーの作成という画⾯が出るので、「スライダーの作成」
をクリックする。ここで、スライダー上の点を左右に動かすことで直線の式も変化する。
（ⅲ）交点を作図する「点」のタブをクリック

交点をクリックする

コメント︓左上の「点」のタブをクリックしないと作業ができない事に注意。
（ⅳ）݇のスライダーを動かすと、⾊々な交点が発⾒できます。
݇ ൌ Ͷに動かした状態(ⅲ)までの状態݇ ൌ െͳに動かした状態

注）スライダーというのは上の図で⾚い四⾓で囲った、横線の事です。（※実際の画⾯では⾚い四⾓は現れません）⑤-2-22－ 136 －

指導案
1.

本時のねらい2.

準備・絶対値付きの関数のグラフを視覚的に理解する．

・授業開始前にパソコン，プロジェクタを使えるように準備しておく.
・ポスター案は、拡⼤印刷で⽤いる。倍率は、141%

3.

展開

時間
導⼊

学習活動

指導上の留意点

RLA1 既習事項（先⾏研究）を理解する活動(15 分)〇ACTIVITY1 に取り組む。

⽣徒にこの授業のねらいを説明する．
その際、この活動は今までの数学の知識を活⽤するというよりもグラフを⾃分たちで試⾏錯誤しながら完成させるものだというように説明する。

与えられた関数のグラフを書く(5 分)

まずは、数式を打つとグラフが作図されるという事を確認する.
●シートにある操作説明を参考にして、「太字にする」、「⾊をつける」などの操作を使い(a)と(b)が⽐較しやすいようにする。
● こちらが意図しているものとしては指導書に〇2 つのグラフを⾒⽐べて、気づいた事をActivity Sheet にまとめる。（5 分）

記述しているが、それ以外の解答に関してもどんな些細な発⾒でも構わないので⽣徒に考えさせる。

追加質問（シートに記載している質問に加えて）✔(2)の(a)は、� � |�|ー2としたらどうなるだろうか。

✔(3)において、(a)と(b)は何軸対称の関係だろうか。

注）こちらの追加質問は、⽣徒の状況次第では省略してもよい。

⑤-2-23－ 137 －

知識・技能を習得する
知識や技能を概念化する展開 1

RLA2 既習事項を元に、新しい問題に(20挑戦する活動分)〇ACTIVTY2 に取り組む。(15 分)●こちらの作図は、すぐにはできない作業なのでなるべく⽣徒に考えさせる時間を取りたい。

〇ACTIVITY1 で学習した知識をどのようにして使うかを●どうすればこの形になるのか︖ACTIVITY1まとめる。（5 分）との関連を気づかせたい。
●指導書には模範解答を掲載しているが、解答は⼀意ではなく形があっていれば正解としてよい。

知識・技能を活⽤する〇ACTIVTY3 に取り組む。

●この活動は、解けない班が何班かいる状況

注）こちらの作業は、授業の中では全体に対して⾏うもで⾏う事を想定している。

のではなく、家庭学習や時間が余った⽣徒⽤のものなの

展開 2

で、授業の中には組み込まないでもよい。

●場合分けというよりも、ある点を境に変化が（余裕があれば、教師がコメントできるとよい）

起こっているという事に気づかせたい。

♦RLA3 RLA2 までの内容と、新しい内容の問題●与えるグラフは 3 つあるので班が 6 班ある場

(15 分をポスター（A3、1 枚程度）にまとめる活動

合には 2 班ごとに考えるグラフを与える。

+47
分)〇ACTIVITY4（ポスターまとめ⽤の問題）に取り組●どのグラフも⼀筋縄ではいかないので、苦労む。 (15 分)する班が出るものと思われる。そこで、各グラフを描く際にキーとなるポイントを考えさせる。

〇これまでの知識を活⽤して様々なグラフを描く。
●今までの ACTIVITY をどう使ったのか、どうしてそうすればいいと思ったかなどを考えさせる。
〇求めたいグラフを描く為には、どのような作業が必要かを考えさせる。

●同じ活動をしている班は 2 班以上あるので、⼀⽅が終わった場合にはもう⼀⽅の班の⽣徒〇グラフが書けた班に、どのようにして書いたか発想を考に対する教えあいの活動を取り⼊れる事も考

えさせる。

えられる。

⑤-2-24－ 138 －

●今回の活動のまとめと、ACTIVITY4 にあげ〇ポスターを完成させる。(12 分)

た３つの関数のうち、班ごとに⾊々なグラフを選振り返って次へつなげるび、そのグラフの作図に関するまとめを⾏う。
・絶対値つきの関数の性質をまとめる。

互いの考えを⽐較する・完成したグラフの形を書く
・結果のグラフに⾄った理由をまとめる。

思考を表現に置き換える・失敗した理由、成功した理由の振り返りを⾏う。

多様な⼿段で説明する

上記の４項⽬をまとめたポスターを作成する。

知識や技能を概念化する評価グループでの GeoGebra の操作を通して、⽬標がしっかりと把握できており、⾃分たちの導いた結果に対してしっかりとした分析ができている。(Activity Sheet への取り組み)【⾒・考】
基準
A︓絶対値つきの関数の特徴をしっかりと把握しており、グラフの作図にその知識を⽤い、課題解決に導くことができる。
B︓絶対値つきの関数の特徴を把握することが難しいが、グラフの作図にその知識を⽤い、課題解決に導くことができる。
C︓絶対値つきの関数の特徴をしっかりと把握しているが、グラフの作図にその知識を⽤い、課題解決に導くことが難しかった。
RLA4 ポスターセッションを開催し、クラスで成果をポスター発表は、教室の⼋か所にそれ共有したり、質問したりする活動。ポスター

ぞれに掲⽰する。班での発表は 1 回あセッション以降も教室に貼っておくたり 3 分を⽬安として、６回⾏う。⽣徒には、気になる発表へ⾒に⾏くよう

まとめ〇ポスター発表を⾏う。（20 分）に促す本時のまとめ●⽣徒に今回の活動、特に ACTIVITY4 を(3 分)

振り返らせる。そこでは、挑戦→失敗→挑戦というサイクルを重ねる事で思考は深まっていくという事を伝えたい。

⑤-2-25－ 139 －

資料⑤－３ 教材の体験③（フィボナッチ数）－ 141 －

資料⑤－３ 教材の体験③（フィボナッチ数）
Ａｃｔｉｖｉｔｙ Ｓhｅeｔ

問題１
四畳、五畳の部屋のたたみのしき⽅は何通りありますか︖たたみを並べて何通りあるか考えてみましょう。

四畳

通り

五畳

通り

問題２
� 畳の部屋のたたみのしき⽅を����通りとします。このとき、表１を埋め、����の数の並び⽅の規則性を⾒つけてみましょう。ただし、０畳のしき⽅を��0� � 1として定義して始めることにしましょう。

��0�
1

��1�

��2�

��3�

��4�

� �5�

－ 143 －

� �6�

� �7�

問題３
��3� は，のように前の 2 つの部屋のたたみの敷き⽅の場合の数を⾜すことによって表せました．��4�� ��5�についても同様のことが⾔えましたが，なぜそのようになるのか理由を考えてみましょう．また，���� についても考えて⾒ましょう．（ヒント︓1
枚⽬のたたみの敷き⽅に着⽬しましょう︕）－ 144 －

フィボナッチ数の性質の探究

確認
フィボナッチ数は、下の式で⽣成される整数のことです。
��1� � 1������2� � 1�������������� � 2� � ��� � 1� � ����������は⾃然数�

例えば、��3�、��4�は、上の式より、

��3� � ��2� � ��1� � 1 � 1 � 2

��4� � ��3� � ��2� � 2 � 1 � 3となります。これを繰り返すと、フィボナッチ数の 8 番⽬までの数の並びは下のようになります。
1、1、2、3、5、8、13、21、・・・・・・・

課題 1
24 番⽬までの各フィボナッチ数の素因数分解の結果を、Geogebra の CAS 機能を⽤いて求めてみましょう。また、24 番⽬までのフィボナッチ数の素因数分解の結果を踏まえて、「フィボナッチ数の倍数分布表」を作ってみましょう。

⾒通しを持つ思考して問い続けるコンピューターを駆使する(課題 1 での Geogebra の操作⼿順)⑶素因数分解ツールボタンをクリックすると、⼊⼒バーの下に、素因数分解の⑴CAS の⼊⼒バーに、素因数分解したい数を⼊⼒します。

結果が表⽰されます。34＝2・17 と表⽰されます。よって、2 の倍数、17 の倍数であることが分かります。

⑵素因数分解ツールボタンにカーソルを合わせ、このツールボタンをクリックします。

⑷相当する倍数のセル(��9� �34 の場合、2 の倍数)をクリックします。

－ 145 －

⑸表計算シートの「背景⾊の設定」をクリックし，好きな⾊を選択します。

下のように⾊を塗ることができます。

課題 2

思考を表現に置き換える

共に考えを創り上げる

1.
「フィボナッチ数の倍数分布表」より、2 の倍数となるようなフィボナッチ数は、どのようなパターンで表れるでしょうか。あなたの考えを書いてみましょう。その推測が成り⽴っているか、それより後のフィボナッチ数で確認してみよう。

2.
「フィボナッチ数の倍数分布表」より、4 の倍数となるようなフィボナッチ数は、どのようなパターンで表れるでしょうか。あなたの考えを書いてみましょう。その推測が成り⽴っているか、それより後のフィボナッチ数で確認してみよう。

－ 146 －

課題 3

思考を表現に置き換える

共に考えを創り上げる��12�＝144 について、144 は、どのようなフィボナッチ数で割り切ることができますか。その数を挙げてみてください。また，挙げた数を����の形で挙げてください。

��14�＝377 でどうでしょうか。

課題 4

先哲の考え⽅を⼿掛かりとする

新たなものを創り上げる

思考を表現に置き換える知識や技能を概念化する

コンピューターを駆使する
フィボナッチ数には，他にどのような性質があるでしょうか。「フィボナッチ数の倍数分布表」を拡張して、できるだけ多く挙げてみましょう。また、挙げたことをポスターにまとめてみましょう。
(ポスター作製の注意)・説明する相⼿に⾒えるように、⼤きな字で書きましょう。
・⾒つけた性質について、なぜ成り⽴つのか、理由も書きましょう。

－ 147 －

Geogebra を⽤ いた整 数 の性 質 の導 ⼊ の授 業 案-フィボナッチ数 の性 質 を題 材 として-0．授 業 案 について
この授 業 案 は、Geogebra を⽤ い、各 フィボナッチ数 の素 因 数 分 解 の結 果 から、フィボ
ナッチ数 の整 除 性 について探 究 し理 解 することが⽬ 的 です、なお、この授 業 案 は、４⼈ 1
グループのグループワークを想 定 した授 業 案 となっています。
本 授 業 案 では中 学 校 第 ３学 年 で学 習 する内 容 であり、⾼ 等 学 校 では、整 数 の性
質 の⼩ 単 元 として扱 われる素 因 数 分 解 を⽤ います。数 学 A「整 数 の性 質 」の導 ⼊ として
フィボナッチ数 の整 除 性 の探 究 をすることで、素 因 数 分 解 の必 要 性 、有 ⽤ 性 を気 付 かせることができます。
こ の 授 業 案 で は 、 フ ィ ボ ナ ッチ 数 の 導 ⼊ と し て 、 畳 の 敷 き ⽅ を 例 に 、 フ ィ ボ ナ ッ チ 数 を ⽣成 する関 数��1� � 1������2� � 1�������������� � 2� � ��� � 1� � ����������は⾃然数�

の成 り⽴ ちも扱 います。

１．導 ⼊
導 ⼊ １-1
四 畳 、五 畳 の部 屋 のたたみのしき⽅ は何 通 りありますか︖たたみを並 べて何 通 りあるか考 えてみましょう。
○たたみ（サイズ２×１、縦 ×横 ）を四 畳 の部 屋 （サイズ２×４）、五 畳 の部 屋 （サイズ ）に 敷 き 詰 め る と き、 そ の 敷 き ⽅ が 何 通 り で あ る か を、 ⽣ 徒 は 実 際 に 図 １ の よ う に 敷 き
詰 め考 えます。また、たたみのサイズや部 屋 のサイズ、敷 き詰 め⽅ のルール説 明 として⼀ 畳 、
⼆ 畳 、三 畳 はその場 で教 員 が提 ⽰ します。

図 １ 教 具 のたたみ

－ 148 －

解説
四 畳 の部 屋 のたたみの敷 き⽅ は図 ２のように５通 りとなります。

図 ２ 四 畳 の敷 き⽅
また、五 畳 のたたみの敷 き⽅ は図 ２のように８通 りとなります。

図 ２ 五 畳 の敷 き⽅
導 ⼊ 1-2
� 畳 の部 屋 のたたみのしき⽅ を����通 りとします。このとき、表 １を埋 め、����の数 の並び⽅ の規 則 性 を⾒ つけてみましょう。ただし、０畳 のしき⽅ を��0� � 1として定 義 して始めることにしましょう。

� �0� ��1� � �2� � �3� ��4� � �5� � �6� � �7�
1

表 １ ����の数 の並 び⽅ （問 題 ）－ 149 －

解説
表 ２のように作 成 することができます。

��0� ��1� ��2� � �3� ��4� � �5� ��6� � �7�
11

ここでは、ことばの式 で、

2

3

5

8

13

21

表 ２ ����の数 の並 び⽅ （解 答 ）1 つめの式 の値 ＝2 つめの式 の値 ＝3 つめの式 の値のような書 き⽅ をしてもよいが、��� � 2� � ��� � 1� � ���� のような表 現 に直 すようにしました。すると、

��3� � 1 � 2 � ��1� � ��2�

��4� � 2 � 3 � ��2� � ��3�

��5� � 3 � 5 � ��3� � ��4�と、今 まで確 認 してきた部 屋 に関 して、たたみの敷 き⽅ のパターンに規 則 性 が⾒ えてきます。そこで、
��6� � ��4� � ��5� � 5 � 8 � 13

��7� � ��5� � ��6� � 8 � 13 � 21

��8� � ��6� � ��7� � 13 � 21 � 34のように規 則 性 を利 ⽤ し、��6�、��7�、��8�、 ⋯ と推 測 できます。しかし、これは、あくまで、
��6�以 上 の値 は推 測 でしかありません。ここで、次 の問 題 （導 ⼊ ３）を与 えます。
導 ⼊ 1-３��3�は、��3� � ��1� � ��2� のように前 の２つの部 屋 のたたみのしき⽅ の数 を⾜ すことによって表 すことができました。 ��4�、��5� についても同 じことがいえましたが、そのようになる理 由 を考 えてみましょう。また、����についても考 えてみましょう。
（ヒント︓１枚 ⽬ のしき⽅ に注 ⽬ してみましょう︕）
指 導 上 の注 意

ここで、問 題 ⽂ の「 ��3� � ��1� � ��2� 」は導 ⼊ ２の答 えとなってしまうので、空 欄 にします。
解説

もし、⽣ 徒 がそうなる理 由 が知 りたいときは、次 の図 4 で説 明 してください。この理 解 を指導 することは、本 RLA の⽬ 的 ではありませんが、念 のため付 け加 えました。⽣ 徒 はまず－ 150 －

���4�、��5� ⋯ について考 え、その後 ⼀ 般 化 することを⽬ 的 とします。図 ４のように、１枚
⽬ のたたみのしき⽅ を場 合 わけして考 えます。

図 ４ ��4�について

まず四 畳 の部 屋 において、１枚 ⽬ のたたみを縦 に置 くとき、敷 かなければならない残 りのたたみの枚 数 は３枚 になります。その並 び⽅ の場 合 の数 は ��3� � 3 と⼀ 致 します。そして、１枚 ⽬ のたたみを横 に敷 くときは、２枚 ⽬ は必 ずその下 に敷 くこととなります。したがって、残 りの枚 数 は２枚 となり、その並 び⽅ の場 合 の数 は ��2� � 2 となります。これは同様 に、��5�、��6�、 ⋯ についても⾔ うことができるため、以 下 の図 ５のように⼀ 般 化 することができます。

このことから、

図 ５ ����について���� � ��� � 2� � ��� � ��という関 係 式 を導 くことができ、これが⼀ 般 的 に � 畳 の部 屋 のたたみの敷 き⽅ を表 す式です。そして、この式 がフィボナッチ数 列 の漸 化 式 となります。

2．展 開 -その 1
次 では、左 から数 えて 1 番 ⽬ のフィボナッチ数 を 1、2 番 ⽬ のフィボナッチ数 を 1、3 番－ 151 －

⽬ のフィボナッチ数 を 2、となるように、フィボナッチ数 を捉 え直 し、その並 びを��1� � 1��

��2� � 1� ��3� � 2 ���としても、⽣ 成 されるフィボナッチ数 と式 の関 係 は変 わらないことを確認 します。

展 開 1-1(確 認 )フィボナッチ数 は、下 の式 で⽣ 成 される整 数 のことです。
��1� � 1������2� � 1��

例 えば、��3�、��4�は、上 の式 より、��� � 2� � ��� � 1� � ���� ��は⾃然数���3� � ��2� � ��1� � 1 � 1 � 2

��4� � ��3� � ��2� � 2 � 1 � 3となります。これを繰 り返 すと、フィボナッチ数 の 8 番 ⽬ までの数 の並 びは下 のようになります。
1,1,2,3,5,8,13,21・・・・・・

解説
1、1、2、3、5・・・・の並 びは 6〜8 世 紀 ごろまでに、インドでは知 られていたとされる。フィボナッチ数 の「フィボナッチ」は、「計 算 の書 (Liber abbaci)」(1202)を記 した，イタリアのトスカーナ地 ⽅ 、当 時 の都 市 国 家 ピサで活 躍 した数 学 者 レオナルド・ピサノ(⼜ は、ピサ
ノレオナルド︔Leonardo da Pisa)の名 前 から来 ています。
○導 ⼊ したフィボナッチ数 について、学 習 者 にさらに探 究 させたい。そのために以 下 の課 題を提 ⽰ します。
展 開 1-2(課 題 1)
24 番 ⽬ までの各 フィボナッチ数 の素 因 数 分 解 の結 果 を、Geogebra の CAS 機 能 を
⽤ いて求 めてみましょう。また、24 番 ⽬ までのフィボナッチ数 の素 因 数 分 解 の結 果 を踏
まえて、「フィボナッチ数 の倍 数 分 布 表 」を作 ってみましょう。
指 導 上 の注 意
課 題 を提 ⽰ 後 、教 員 は課 題 で使 ⽤ する Geogebra の操 作 ⽅ 法 を説 明 します。その後 に、⾊ 塗 りは、⽣ 徒 ⾃ ⾝ で⾏ わせます。
解説
素 因 数 分 解 は，中 学 校 第 ３学 年 の「因 数 分 解 」で、⾼ 等 学 校 数 学 A「整 数 の性質 」の導 ⼊ である「約 数 と倍 数 」で扱 われる。ここでは、学 習 者 に取 り組 ませる前 に、この課 題 で素 因 数 分 解 が登 場 する理 由 を説 明 できることが望 ましいと思 います。
次 に、本 展 開 で使 ⽤ する Geogebra ファイル「フィボナッチ数 の倍 数 分 布 表 .ggb」の操 作 ⽅ 法 を説 明 します．まず，最 初 の画 ⾯ が図 6 になります。
－ 152 －

図 6 フィボナッチ数 の倍 数 分 布 表 (初 期 状 態 )
図 6 にあるように、左 の CAS 画 ⾯ では、��1� � 1から��8� � �1の素 因 数 分 解 の結 果が表 ⽰ され、右 の表 計 算 画 ⾯ では、��1� � 1から��8� � �1までの各 フィボナッチ数 について、相 当 する倍 数 (2 の倍 数 から 9 の倍 数 まで)は⾊ 付 けがされています。これは、この課
題 に取 り組 む際 、学 習 者 に、どのように⾊ づけをするのか、活 動 のヒントを与 えることを⽬的 としています。しかし、この画 ⾯ だけでは、表 について学 習 者 が理 解 できるとも限 らないため、適 宜 説 明 を加 えるのがよいと思 います。
次 に、Geogebra の CAS 機 能 の 1 つである素 因 数 分 解 ツールの使 い⽅ を説 明 しま
しう。具 体 的 には、⑴CAS の⼊ ⼒ バーに、素 因 数 分 解 したい数 を⼊ ⼒ します(図 7)。

図 7－ 153 －

⑵素 因 数 分 解 ツールボタンにカーソルを合 わせ、このツールボタンをクリックします(図 8)。

図 8⑶素 因 数 分 解 ツールボタンをクリックすると、⼊ ⼒ バーの下 に、素 因 数 分 解 の結 果 が
表 ⽰ されます(図 9)。34＝2・17 と表 ⽰ されます。よって、2 の倍 数 、17 の倍 数
であることが分 かります。

図 9
注意
CAS 機 能 で表 ⽰ された素 因 数 分 解 の結 果 をそのままの形 で、表 計 算 シートのページにコ
ピペすることはできません。

－ 154 －

24 番 ⽬ までのフィボナッチ数 の素 因 数 分 解 を終 えたら，その結 果 を表 にまとめる作 業 に⼊ ります。その際 、Geogebra 表 計 算 の⾊ 付 け機 能 を⽤ います。セルのぬり⽅ の説 明 をします。
⑷相 当 する倍 数 のセル(ࢌሺૢሻ ൌ34 の場 合 、2 の倍 数 )をクリックします(図 10)。

図 10⑸表 計 算 シートの「背 景 ⾊ の設 定 」をクリックし(図 11)，好 きな⾊ を選 択 します。
(図 12)

図 11－ 155 －

図 12
すると以 下 のように⾊ が塗 られます(図 13)。

図 13
以 上 のように、24 番 ⽬ までのフィボナッチ数 の倍 数 分 布 について、⾊ 付 けを⾏ うと、以 下のものを作 ることができます(図 14)。

図 14︓完 成－ 156 －

以 上 が、本 授 業 案 での Geogebra の操 作 となります。完 成 した図 14 の表 を縦 に⾒ ることで、⽣ 徒 は、フィボナッチ数 の倍 数 分 布 が等 間 隔 に現 れることに気 付 くでしょう。しかし、これは、気 付 いただけであり、⼗ 分 な推 測 の段 階 には⾄ っていません。そこで、次 の課
題 を提 ⽰ します。
展 開 1-3(課 題 2)
1.
「フィボナッチ数 の倍 数 分 布 表 」より、2 の倍 数 となるようなフィボナッチ数 は、どのようなパターンで表 れるでしょうか。あなたの考 えを書 いてみましょう。その推 測 が成 り⽴ っているか、それより後 のフィボナッチ数 で確 認 してみよう。
2.
「フィボナッチ数 の倍 数 分 布 表 」より、4 の倍 数 となるようなフィボナッチ数 は、どのようなパターンで表 れるでしょうか。あなたの考 えを書 いてみましょう。その推 測 が成 り⽴ っているか、それより後 のフィボナッチ数 で確 認 してみよう。
解説
この課 題 は、完 成 した表 (図 14)の等 間 隔 性 の気 づきから、問 題 を推 測 させる(構 成 させる)問 です。表 から、����が 2 の倍数になるのは、�が 3 の倍数になる場合のみ

����が 4 の倍数になるのは、�が 6 の倍数になる場合のみとなることが分 かります。さらに、この表 を縦 に⾒ ることで、次 のような推 測 もできます。
����が 3 の倍数になるのは、�が 4 の倍数になる場合のみ

����が 5 の倍数になるのは、�が 5 の倍数になる場合のみ

����が 6 の倍数になるのは、�が 12 の倍数になる場合のみ
����が 7 の倍数になるのは、�が 8 の倍数になる場合のみ

����が 8 の倍数になるのは、�が 6 の倍数になる場合のみ

指 導 上 の注 意����が 9 の倍数になるのは、�が 12 の倍数になる場合のみ

展 開 1-2(課 題 1)で、フィボナッチ数 の倍 数 分 布 の規 則 に気 付 かせ、展 開 1-3(課題 2)では、それを推 測 させます。よって、これらの課 題 については、⼀ 度 に取 り組 ませることが望 ましいと思 います。しかし、表 の⾊ 付 けの段 階 で、塗 り間 違 いをし、誤 った推 測 をするグループが現 れることが予 想 されますので、すべてのグループが展 開 1-3 まで取 り組 み終 え
た後 で、全 体 で課 題 1、課 題 2 について確 認 させるといった活 動 を取 り⼊ れる必 要 もあるだろうと思 います。

－ 157 －

3．展 開 -その 2
展 開 -その 1 で作 成 した表 を横 の列 で捉 えることを⽬ 的 として、次 の課 題 を提 ⽰ する。
展 開 2-1(課 題 3)��12�＝144 について、144 は、どのようなフィボナッチ数 で割 り切 ることができますか。その数 を挙 げてみてください。また，挙 げた数 を����の形 で挙 げてください。��14�＝377 でどうでしょうか。

解説
この課 題 の解 答 は，以 下 になります。
��12�＝144 の場 合��1�＝1、��2�＝1、��3�＝2、��4�＝3、��6�＝8、��12�＝144

��14�＝377 の場 合��1�＝1、��2�＝1、��7�＝13、��14�＝377

これを表 で考 えます。例 として、��12�と��6�を⾒ ると、図 15 のように、��6�が 8 の倍 数
(２の倍 数 、4 の倍 数 でも)であり、��12�が 8 の倍 数 であるから、��12�は、��6�で割 り切れると、解 釈 することができます。

図 15
しかし、この表 では、��12�、��6�のような関 係 が正 しいとは⾔ い切 れません。その例 が、
��24�と��18�です。実 際 、表 では、図 16 のように、��12�、��6�と同 様 に⾊ 付 けされてい－ 158 －

ますが、各 数 の素 因 数 分 解 の結 果 は、��24� � 2� ∙ 3� ∙ 7 ∙ 23、 ��18� � 2� ∙ 17 ∙ 19となるため、��24�は、��18�で割 り切 れないことが分 かります。

図 16
このように、フィボナッチ数 同 ⼠ の因 数 と作 成 した表 について、以 上 のような関 係 があるため、課 題 3 の解 説 時 には，丁 寧 に説 明 する必 要 があります。

4．展 開 -その 3
課 題 2、課 題 3 での活 動 を踏 まえ、次 の課 題 を提 ⽰ します。
展 開 3-1(課 題 4)
フィボナッチ数 には，他 にどのような性 質 があるでしょうか。「フィボナッチ数 の倍 数 分 布
表 」を拡 張 して、できるだけ多 く挙 げてみましょう。また、挙 げたことをポスターにまとめてみましょう。
さらに、本 教 材 は、フィボナッチ数 の整 除 性 について、探 究 し理 解 することが⽬ 的 であるため、各 グループで、課 題 4 で得 られた結 果 を共 有 することも⼤ 切 になります。そこで、次 のことを⾏ います。
展 開 3-2
各 グループの課 題 4 で得 られた結 果 を共 有 する。
解説
課 題 4 では、以 下 のことが挙 がることが予 想 されます。
①課 題 2 と似 た性 質 を挙 げる場 合－ 159 －

����が 10 の倍数になるのは、�が 15 の倍数になる場合のみ

����が 11 の倍数になるのは、�が 10 の倍数になる場合のみ

����が 12 の倍数になるのは、�が 12 の倍数になる場合のみ
����が 13 の倍数になるのは、�が 7 の倍数になる場合のみ

����が 14 の倍数になるのは、�が 24 の倍数になる場合のみ

����が 15 の倍数になるのは、�が 20 の倍数になる場合のみ

����が 16 の倍数になるのは、�が 12 の倍数になる場合のみ
����が 17 の倍数になるのは、�が 9 の倍数になる場合のみ

����が 18 の倍数になるのは、�が 9 の倍数になる場合のみ

����が 19 の倍数になるのは、�が 18 の倍数になる場合のみ

また、次 のように考 えるグループも現 れるでしょう。
例「����が 3 の倍数になるのは、�が 4 の倍数になる場合のみ」であり，「����

が 5 の倍数になるのは、�が 5 の倍数になる場合のみ」なので、「����が 15 の倍数になるのは、�が 20 の倍数になる場合のみ」となる。
注意・各 グループがすべて⾒ つけることは⽬ 的 としていません。
・他 にフィボナッチ数 の倍 数 分 布 については以 下 のものがあります。
����が 37 の倍数になるのは、�が 19 の倍数になる場合のみ②課 題 3 の事 実 を⼀ 般 化 する場 合
�が偶 数 の場 合 、例 えば、

��6�は、��1�、��2�、��3�、��6�で割り切れる。

��8�は、��1�、��2�、��4�、��8�で割り切れる。

��10�は、��1�、��2�、��5�、��10�で割り切れる。

となります。⼀ ⽅ 、�が奇 数 の場 合 、例 えば、

��9�は、��1�、��2�、��3�、��9�で割り切れる。

��15�は、��1�、��2�、��3�、��5�、��15�で割り切れる。

��21�は、��1�、��2�、��3�、��7�、��21�で割り切れる。

となります。つまり、�が奇 数 の場 合 、����は、�の約 数 ではない 2 を添 え字 とする、��2�を
因 数 として持 つことが分 かります。

③課 題 2 を証 明 しようと試 みている場 合 (本 RLA の⽬ 的 ではありませんが)例 「����が 2 の倍数になるのは、�が 3 の倍数になる場合のみ」が成 り⽴ つ理 由・(奇 数 )+(奇 数 )＝(偶 数 )への着 ⽬－ 160 －

・各 フィボナッチ数 を 2 で割 ったときに表 れる、余 りの周 期 性 への着 ⽬・フィボナッチ数 列 の漸 化 式 を⽤ いた、2 で割 ったときの余 りの周 期 性 に関 する具 体 的
説明��3�� � 1�� � 2��3� � 1� � ��3�������������3� � 2
� ��3�� � 1� � 1� � 2��3�� � ��3� � 1������������2� � 1 �
��3�� � 1� � 2� � 2��3� � 1� � ��3� � 2������������1� � 1
また、展 開 3-2 では、各 グループは、得 られた結 果 をポスター(図 18)にまとめ、ディスカッション(ポスターセッション)の活 動 を⼊ れるか、ジグゾー法 による各 グループのポスター内 容 の⽐ 較 を⾏ うなどの活 動 を⼊ れるなどして、各 グループで、考 えを共 有 します。
指 導 上 の注 意
ディスカッションを⾏ う場 合 、全 グループ⼀ ⻫ に⾏ います。教 室 設 備 にもよるが、各 グループは、作 成 したポスターを、壁 に貼 って発 表 を⾏ います。ディスカッション時 、各 グループのメン
バーは、図 17 のように動 きます。ジグゾー法 で⾏ う場 合 は、作 成 したポスターを⿊ 板 に貼り、指 導 者 が中 ⼼ のもと、各 グループの考 えを学 習 者 に共 有 させます。

図 17︓各 グループのディスカッション時 の動 き

－ 161 －

図 18︓ポスター－ 162 －

5．まとめ本 時 のまとめとして、次 の定 理 を提 ⽰ します。
定理� � 2であるとき解説

����は����で割り切れる。

⟺

�は�で割り切れる。

課 題 2、課 題 3、課 題 4 で挙 げられた推 測 は、すべて、この定 理 が背 景 になっています。
定理� � 2のとき、� � ��������� ������ ⟺ ������ �� � ��������� �

��� : フィボナッチ数列

�1 � 1� �2 � 1����2 � ���1 � �� �

この定 理 は、エドゥアール・リュカ(Edouard Lucas)が 1876 年 に発 ⾒ しました。まとめでは、この定 理 から、課 題 2、3、4 で推 測 したことが成 り⽴ つことを確 認 したりするのがよいでしょう。また、素 因 数 分 解 から、このような探 究 ができることを伝 え、素 因 数 分 解 の必 要 性
や有 ⽤ 性 を⽣ 徒 に認 識 させます。

参考⽂献
フィボナッチ数 については、以 下 の⽂ 献 を参 考 にしてください。
[1]中 村 滋 (2008)．「改 訂 版 フィボナッチ数 の⼩ 宇 宙 (ミクロコスモス) フィボナッチ数 ・リ
ュカ数 ・⻩ ⾦ 分 割 」．⽇ 本 評 論 社 ．
[2]ヴォロビェフ，マルクシェビィッチ．筒 井 考 胤 訳 (1964)．「フィボナッチ数 ・再 帰 数
列 」．東 京 図 書 ．(絶 版 )[3]T．Koshy(2001)．Fibonacci and Lucas Number with Application.
Wiley-Interscience．
本 授 業 案 は、以 下 の⽂ 献 を参 考 に再 構 成 しました。
[4]C.B.Miller，T.B.Veenstra(2002)．Fibonacci:Beautiful
Patterns,Beautiful Mathematics．Mathematics Teaching in the Middle
School.Vol.7,No．5,Jan,pp298-305．
[5]R．L．Seaberg et.al．(2011)．Fibonacci numbers andBricklaying: Counting Geometrically．The Mathematics Teacher, Vol.
104, No. 6,feb, pp．452-458－ 163 －

指導案
1.

本時のねらい・フィボナッチ数の成り⽴ちについて理解する。
・フィボナッチ数の倍数分布表から，フィボナッチ数の整除性を⾒出す。

2.

準備・授業開始前に，パソコン，プロジェクタを使えるように準備しておく。
・Geogebra 操作⽅法の説明では，プロジェクタで映し出し，⽣徒全員がグラフを確認できるようにする．(プロジェクタ等により電⼦⿊板・デジタル教科書を提⽰に利⽤する. )ポスター案は、拡⼤印刷で⽤いる。倍率は、141%

3.

展開

時間
導⼊
(20 分)

学習活動

指導上の留意点

RLA への準備(フィボナッチ数の操作による発⾒と式の仕組みの理解)問題 1(５分)

・問題１を提⽰する．その際に並べ⽅のルー

四畳、五畳の部屋のたたみのしき⽅は何通りあります

ルとして，⼀畳，⼆畳，三畳の敷き⽅を提か︖たたみを並べて何通りあるか考えてみましょう。

⽰する．

○教具（畳を模したカード）を⽤いて実際に並べ，何通りあるのかグループ（4 ⼈程度）で考え，ワークシートに記⼊する．

・今後の問題の考え⽅に関わってくるので，ルールに従って畳を並べることができているか各班確認し，指導する．

・問題２を提⽰する．

問題 2(５分)
� 畳の部屋のたたみのしき⽅を����通りとします。

このとき、表１を埋め、����の数の並び⽅の規則性を⾒つけてみましょう。ただし、０畳のしき⽅を��0� � �として定義して始めることにしましょう。

○ワークシートの表を埋めて，数字の並びに規則性を⾒つける．

・ こ こ で は 今 ま で の 問 題 よ り ， ��0� か ら��5� まで確かめられている．��6� について

も規則性から 推測で きるこ とが予想さ れるが，あくまで推測であることを伝える．

⑤-3-25－ 164 －

・問題３を提⽰する．

問題 3(10 分)
��3�は、��3� � ��1� � ��2� のように前の２つの部

屋のたたみのしき⽅の数を⾜すことによって表すことができました。 ��4�、��5� についても同じことがいえましたが、そのようになる理由を考えてみましょう。また、����
についても考えてみましょう。
（ヒント︓１枚⽬のしき⽅に注⽬してみましょう︕）○��3� だけでなく，��4�� ��5�� � についても考え，図などを⽤いて説明する．

○⼀般化するために，���� についても考える．

・1 枚⽬の畳の敷き⽅に着⽬させる．
・こ こ で は ��4�，��5� の よう な 具 体例から，� 畳のときの畳の敷き⽅ ���� について考えさせ，⼀般化することを⽬的とする．
○ここで，���� � ��� � 2� � ��� � 1� という関係式が導かれるが，この式は「フィボナッチ数」の列を表す式で・解説として，問題２の表を提⽰し，規則あるということを知る．

性について話す．現れた ����� の式はフィボ

ナッチ数の列を表す関係式であることを伝える．
展開 1(30 分)○導⼊したフィボナッチ数について確認する．(2 分)

・左から数えて 1 番⽬のフィボナッチ数を 1，

確認

2 番⽬のフィボナッチ数を 1，3 番⽬のフィボ

フィボナッチ数は、下の式で⽣成される整数のことでナッチ数を 2，となるように，フィボナッチ数のす。

並びを捉え直し，その並びを f(1) = 1，
f(2) = 1，f(3) = 2・・・としても，⽣成され��1� � 1������2� � 1���������

����� � 2� � ��� � 1� � ����������は⾃然数�

例えば、��3�、��4�は、上の式より、

��3� � ��2� � ��1� � 1 � 1 � 2

��4� � ��3� � ��2� � 2 � 1 � 3となります。これを繰り返すと、フィボナッチ数の 8 番⽬までの数の並びは下のようになります。
1,1,2,3,5,8,13,21・・・・・・⑤-3-26－ 165 －るフィボナッチ数と式の関係は変わらないことを伝える．

⾒通しを持つRLA1 問題や場⾯を理解する活動

展開 1



(30 分)○Geogebra を⽤いて，24 番⽬までのフィボナッチ数の思考して問い続ける

倍数分布表を作成する．(18 分)

コンピューターを駆使する

課題 1

・中学校 で も学 習した素 因数 分解を⽤ い

24 番⽬までの各フィボナッチ数の素因数分解の結果て，フィボナッチ数について探究することを伝えを、Geogebra の CAS 機能を⽤いて求めてみましょる．

う。また、24 番⽬までのフィボナッチ数の素因数分解の・Geogebra の操作⽅法を説明する．

結果を踏まえて、「フィボナッチ数の倍数分布表」を作っ・グループで，課題 1，課題 2 に取り組むよてみましょう。

う指⽰する．
・机間指導を⾏う．
思考を表現に置き換える

RLA2 様々な事例にあたったりして、答えの予想を共に考えを創り上げる

⽴てたり、パターンを⾒出したりする活動○課題 1 完成した表をもと課題 2 に取り組む．(5 分)

・課題 1 について，正解となる表を配付す

課題 2

る．

1.

・課題 2 について，グループ全体で解答を確「フィボナッチ数の倍数分布表」より、2 の倍数となるよ

認する．

うなフィボナッチ数は、どのようなパターンで表れるでしょ・作成した表と，問との関係を説明する(縦のうか。あなたの考えを書いてみましょう。その推測が成り

等間隔性について)⽴っているか、それより後のフィボナッチ数で確認してみよう。
2.
「フィボナッチ数の倍数分布表」より、4 の倍数となるよ
うなフィボナッチ数は、どのようなパターンで表れるでしょうか。あなたの考えを書いてみましょう。その推測が成り⽴っているか、それより後のフィボナッチ数で確認してみよう。
(課題 1，課題 2 の解説
展開 2

5 分)

RLA2 様々な事例にあたったりして、答えの予想を⽴てたり、パターンを⾒出したりする活動(12 分)

思考を表現に置き換える
共に考えを創り上げる

課題 3
��12�＝144 について、144 は、どのようなフィボナッチ

数で割り切ることができますか。その数を挙げてみてくだ
さい。また，挙げた数を����の形で挙げてください。

・解説時に，課題 1 で作成した表との関係

��14�＝377 でどうでしょうか。

性を説明する．

⑤-3-27－ 166 －

○課題 3 に取り組む．(10 分)
(解説

2 分)

展開 3

RLA3 答えを予想や⾒出したことを、今まで習ったこと(33 分)などをもとにして、数学の⾔葉や式で、表したり、⽰新たなものを創り上げる

したりする活動

思考を表現に置き換える

先哲の考えを⼿掛かりとする○課題 4 に取り組む．(20 分)

コンピューターを駆使する

課題 4・グループにポスター⽤紙，作成時のためのペフィボナッチ数には，他にどのような性質があるでしょう

ンを配付する．

か。「フィボナッチ数の倍数分布表」を拡張して、できる・ポスターに貼れるように，「フィボナッチ数の倍だけ多く挙げてみましょう。また、挙げたことをポスターに数分布表」を配付する．

まとめてみましょう。
知識や技能を概念化する

RLA4 RLA3 までの活動や結果を、ポスター（A3、1 枚程度）にまとめる活動○ポスターをつくる．
RLA5 ポスターセッションを開催し、クラスで成果を共互いの考えを⽐較する

有したり、質問したりする活動ポスターセッション以

多様な⼿段で説明する

降も教室に貼っておく．

知識や技能を概念化する○ポスターセッションを⾏う．(13 分)

振り返って次へつなげる
・完成したポスターを教室に貼るよう，指⽰する．
・ディスカッション時の動きを説明する．
○各フィボナッチ数の素因数分解の結果か
ら，フィボナッチ数の整除性について探究している．【⾒⽅・考え⽅】(ワークシートの取り組み)+α (ここまで発⾒することは⽬的とはしませんが)

まとめ



(5 分)

○まとめ(5 分)

・まとめとして，【定理】を紹介する．

定理・定理を基に，課題 2，課題 3 で推測したこ

�＞2 であるときとが成⽴することを確認する．

f�n�は f�m�で割り切れる ⟺ n は m で割り切れる⑤-3-28－ 167 －

(ポスター案)⑤-3-29－ 168 －

資料⑤－４ 現実と数学の関連（距離センサーを用いたグラフ）－ 169 －

1

⾒通しを持つ思考して問い続ける思考を表現に置き換える





２回⽬

１回⽬

－ 171 －
1 に関しての計測は、上⼿くいった ・ やや上⼿くいった ・ 全く違った<グラフのように歩くにはどのような歩き⽅の⼯夫や注意が必要なのか、考えたことを書こう>＿ 年 ＿ 組 ＿＿＿＿＿＿＿<失敗したときの理由と⼯夫すべき点を書こう>

次のグラフになるように歩くことにチャレンジして、計測したグラフを写しましょう。グラフ通りに歩くための⼯夫をメモ欄に書き出してみよう。

問１

Activity Sheet

３回⽬

2





２回⽬

１回⽬

－ 172 －
2 に関しての計測は、上⼿くいった ・ やや上⼿くいった ・ 全く違った<グラフのように歩くにはどのような歩き⽅の⼯夫や注意が必要なのか、考えたことを書こう><失敗したときの理由と⼯夫すべき点を書こう>

３回⽬

3





２回⽬

１回⽬

－ 173 －
3 に関しての計測は、上⼿くいった ・ やや上⼿くいった ・ 全く違った<グラフのように歩くにはどのような歩き⽅の⼯夫や注意が必要なのか、考えたことを書こう><失敗したときの理由と⼯夫すべき点を書こう>

３回⽬

4





２回⽬

１回⽬

－ 174 －
4 に関しての計測は、上⼿くいった ・ やや上⼿くいった ・ 全く違った<グラフのように歩くにはどのような歩き⽅の⼯夫や注意が必要なのか、考えたことを書こう><失敗したときの理由と⼯夫すべき点を書こう>

３回⽬

－ 175 －興味や関⼼を⾼める

互いの考えを⽐較する

共に考えを創り上げる<歩いたグラフ><歩きたいグラフ>

自分のグループ

自分のグループ

また、他のグループが歩きたいグラフについても写してみよう。

他のグループ他のグループグループで歩きたいグラフを描いてチャレンジしてみよう。、その通りに歩くにはどうしたら良いかを考えて歩いてみよう。考えたことを書き出してみよう。

問2

他のグループ他のグループ－ 176 －<他のグループが歩きたいグラフ><その通りに歩くにはどうしたら良いかを考えてみよう>－ 177 －振り返って次へつなげる

共に考えを創り上げる

思考して問い続ける⾃分たちでほかにも書いてみよう。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿という歩き⽅をすると、グラフは、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿になる。

<問 1 と問 2 を通して、⾒つけたこと、わかったこと>

問 1 と問 2 を通して、歩き⽅と描かれたグラフについて、⾒つけたこと、わかったことをグループで話し合い、書き出してみよう。

問3

－ 178 －粘り強く取り組む

協働して課題解決する

⾃分の考えを形成する

計測されるグラフを考える。

グラフを計測する。

結果について、どうしてそのようなグラフになるかを気が付いたことを書く。

②

③

④

<どうしてこのようなグラフになったか考えよう>

デモンストレーションを⾒る。

①

<流れ>

書き出してみよう。

<予想>

<結果>

ボールのバウンドの動きを計測してみよう。計測する前に、どのようなグラフになるかを予測してみよう。また、計測した際のグラフと予想を⽐べて、どうしてそのようになるのかを考えて問4

－ 179 －粘り強く取り組む

協働して課題解決する

⾃分の考えを形成する<どうしてこのようなグラフになったか考えよう>④ 結果について、どうしてそのようなグラフになるかを気が付いたことを書く。

③ グラフを計測する。

② 計測されるグラフを考える。

① デモンストレーションを⾒る。

<流れ>してみよう。

<予想><結果>

振り⼦の動きを計測してみよう。計測する前に、どのようなグラフになるかを予測してみよう。また、計測した際のグラフと予想を⽐べて、どうしてそのようになるのかを考えて書き出

問5

操作⼿順
・必要なものLABQUEST2、距離センサー、ケーブル、ボール、振り⼦

図 1 LABQUEST2

図 2 距離センサー

図 3 ケーブル

・歩⾏実験前の準備
歩⾏の実験を⾏う前に、LABQUEST2 と距離センサーの準備をしましょう。
１．センサーの底のふたを開け、電池を⼊れてふたを閉めます。

図 4 底のふたを開け、電池を⼊れる

図 5 ふたを閉じる

２．LABQUEST2 の側⾯のカバーを開き、距離センサーとコードでつなぎます。

図 6 コードの差込⼝の位置

図 7 カバーを開く⑤-4-10－ 180 －

図 8 距離センサー側の差込⼝

図 9 ケーブルでつないだ様⼦

３．LABQUEST2 の側⾯の電源ボタンを押し，ホーム画⾯を表⽰します．

図 10 側⾯にある電源ボタンを押す

図 11 ホーム画⾯が表⽰される

これで、LABQUEST2 の基本の準備は終わりです。次に、実際に実験して計測するときの操作⽅法を⾏いましょう。

・計測時における操作(問１を例として)
１．最初は、図１のようなホーム画⾯が表⽰されています。今後、このホーム画⾯に戻りたい
場合には、LABQUEST2 の外枠にあるホームボタンを押します。

図 1 このホーム画⾯に戻るには、外枠にあるホームボタンを押す
２．ホーム画⾯から「LabQuest アプリ」をタッチします。

⑤-4-11－ 181 －

図 2 ホーム画⾯の「LabQuest アプリ」をタッチ

図 3 アプリ起動直後の画⾯

３．画⾯右上のグラフのマークをタッチすると、2 つのグラフ画⾯が表⽰されます。

図 4 画⾯右上のグラフのマークをタッチする

図 5 2 つのグラフ⽑画⾯が表⽰される

４．画⾯上部の「グラフ」をタッチし，「グラフ表⽰」→「グラフ１」と選択すると，1 つのグラフ画⾯で表⽰されます。

図 6 「グラフ１」をタッチする

図 7 グラフが 1 つになる

５．計測を開始するには、LABQUEST2 のグラフ画⾯の左下にある▶マークを押します。

図 8 LABQUEST2 上での計測開始⑤-4-12－ 182 －

６．問 1 の最初のグラフについて、１回⽬の計測を⾏いましょう。▶マークを押すと、距離センサーによる計測が開始されます。距離センサーの計測部分を歩⾏の⽅向と合わせてから、計測を開始
しましょう。データの収集時間(５秒)が過ぎると⾃動で計測が終了し、計測した結果がグラフとして
LABQUEST2 の画⾯に表⽰されます。

図 9 センサーの計測部分

図１０ 1 回⽬の計測結果の例

７．計測をもう⼀度やり直したい場合には、▶マークを押すことで、新しい計測結果がグラフとして表⽰されます。この場合、すでに記録していたグラフは消去されます。
８．1 回⽬の計測が終わったら、画⾯右上の引き出しのマークをタッチします。タッチすると、新しいRUN が作成され、２回⽬の歩⾏を記録できるようになります。

図１１ 右上の引き出しのマークをタッチ

図１２ 新しい RUN 画⾯「RUN2」が作成される

９．新しく作成した RUN 画⾯で、⼿順７と同様にして、2 回⽬の記録を録りましょう。

図１３ 1 回⽬の計測結果の例

図１４ 2 回⽬の計測結果の例

１０．2 つ⽬のグラフについて計測を⾏う前に、計測していたいくつかの記録結果を保存します。
画⾯上部の「ファイル」をタッチし、「保存」を選択します。

⑤-4-13－ 183 －

図１５ 「ファイル」から「保存」を選ぶ
１１．表⽰された画⾯の上部に、「data タイトルなし」と表⽰されている部分があるので、そこをタッチします。タッチすると、ファイル名を⼊⼒する画⾯が表⽰されます。

図１６ 画⾯上部の「タイトルなし」の部分をタッチする

図１７ ファイル名の⼊⼒画⾯が表⽰される

１２．ファイル名を「toi1-1」とし、完了をタッチします。その後、「保存」をタッチすると、保存が完了します。

図１８ 名前を⼊⼒し、右下の「完了」をタッチする

図１９ 右下の「保存」をタッチする

１３．保存が終了したら、画⾯上部の「ファイル」→「新規作成」を選びます。

図２０ 保存終了後の画⾯

図２１ 「新規作成」を選ぶ⑤-4-14－ 184 －

１４．新規作成を選ぶと、図２３のような画⾯が表⽰されます。⼿順３から９と同じようにして、
2 つ⽬のグラフについて歩⾏実験の計測を⾏いましょう。

図２２ 図５と同じ画⾯になる

図２３ 複数回分の記録を録る

１５．記録を録ったら、⼿順１０から１２と同じようにして、ファイル名は「toi1-2」として保存します。

図２４ 「toi1-2」として保存する
１６．同様にして、3 つ⽬のグラフと 4 つ⽬のグラフについても、測定し保存しましょう。

図２５ 4 つ⽬のグラフを複数回記録し、保存した後の画⾯
１７．この段階で、問１の各グラフに対して、1 つ⽬のグラフの歩⾏実験の計測結果は「toi1-1」に、2 つ⽬のグラフの歩⾏実験の計測結果は「toi1-2」に、というように保存されています。
１８．問 1 の各グラフについて、同じグラフで歩き⽅の違いや計測結果のグラフの形、傾きの違いなどを⽐較したい場合、以下のように操作を⾏います。例えば問 1 の 1 番⽬のグラフについて計測結果を⽐較する場合、画⾯上部の「ファイル」→「開く」を選び、その後表⽰される画⾯で「toi1-1.qmbl」をタッチし、「開く」をタッチします。

⑤-4-15－ 185 －

図２６ 「ファイル」→「開く」を選ぶ

図２７ 「toi1-1.qmbl」→「開く」を選ぶ

１９．ファイルを開くと図３１のような画⾯が表⽰されます。画⾯右上のグラフマークをタッチすることで、記録していた計測結果のグラフが画⾯に表⽰されています。

図２８ 基本の画⾯が表⽰されている

図２９ 計測していたグラフが表⽰される

２０．画⾯右上の「RUN〇」の部分をタッチし、「すべての RUN」を選ぶと、1 つのグラフ画⾯にすべての計測結果のグラフを表⽰することができ、2 つのグラフを⾒ながら⽐較させることができます。

図３０ 「すべての RUN」を選ぶ

図３１ 各グラフに対して⾏っていた計測の結果が全て表⽰される

問２に関しても、同様に計測を⾏います。問４、５に関しては、収集時間についてデフォルトの設定の5 秒から 10 秒に変更してから、計測を⾏います。収集時間の設定の変更をしてみましょう。

・収集時間の変更(問４、５)
１．ホーム画⾯から「LabQuest アプリ」をタッチすると、図２のような画⾯が表⽰されます。

⑤-4-16－ 186 －

図１ 「LabQuest アプリ」を選ぶ

図２ 基本の画⾯が表⽰される

２．画⾯右側の「収集時間︓5.0 秒」の部分をタッチすると、測定に関する基本設定の画⾯が表⽰されます。今回は、収集時間だけを 10 秒に変更し、取るデータ数、間隔については変更しません。

図３ 「収集時間︓5.0 秒」の部分をタッチする

図４ 今回は収集時間のみ、変更する

３．画⾯の「収集時間︓5 秒」の部分をタッチすると、収集時間の設定画⾯が表⽰されます。設定画
⾯で「10」と⼊⼒し、「完了」をタッチします。

図５ 「5 秒」の部分をタッチする

図６ 「10」に設定して、「完了」をタッチする

４．収集時間が 10 秒になっていることを確認したら、画⾯右下の「OK」をタッチします。その後、基本の画⾯に戻るので、問１と同様に、問４、５の計測を⾏いましょう。。

図７ 右下の「OK」をタッチする

図８ 収集時間が 10.0 秒に変更されている⑤-4-17－ 187 －

これで、収集時間の設定の変更についての説明は終わりです。最後に、記録したグラフ(RUN)の消去⽅法について、説明します。

・記録したグラフ(RUN)の削除
１．計測結果のグラフを表⽰する画⾯において、画⾯右上の表のマークをタッチすると、計測データがテーブルで表⽰されます。

図１ 右上の表のマークをタッチする

図２ データがテーブルで表⽰される

２．例えば「RUN5」を削除したい場合、画⾯上部の「テーブル」→「削除 RUN」→「RUN5」を選び、タッチします。削除に関する確認画⾯が出るので、「OK」をタッチしましょう。

図３ 「削除 RUN」から削除したい RUN を選ぶ

図４ 確認画⾯で「OK」をタッチする

これで、RUN5 の削除が完了します。

⑤-4-18－ 188 －

「距離センサーを⽤いた動きのグラフ」教材の概略 (速さの概念や微分の導⼊として)この授業案では、グラフ電卓(LABQUEST2)と距離センサーを⽤い、⽣徒が平均の速度と瞬間の速度を体感し理解できることを⽬的としています。距離センサーによって，歩いた時の位置を計測しグラフで⾒ることができ、瞬間の速度の導⼊や速度の概念の確認をすることが容易にできます。速度は距離÷時間の計算によって数字のみで求めるのではなく、歩き⽅の違いとして体感することが可能です。また，
直線のグラフ通りに歩くことから、速さが⼀定＝直線の傾きが⼀定ととらえさせ、２点間を結ぶ直線の傾きに着⽬させ、平均変化率そして瞬間の速度へと内容を関連付けることが可能となっております。
さらに、２次関数のグラフ通りに歩く実験を⾏うことで、速度が変化している、変化させる必要があることを実際に体感できます。その後、平均変化率の変化を考え、位置と時間の関係のグラフが折れ線ではなく滑らかであることから「瞬間の速度」の必要性、有⽤性に気づかせることができます。
距離センサーを⽤いた先⾏研究・授業例はいくつかあります。例えば，内藤⼀郎ら(2000)は、グラフ
電卓と距離センサーを⽤い、⽣徒に歩かせる際にセンサーとの距離をスクリーンにリアルタイムで表⽰し、歩く⽣徒にもスクリーンを⾒ながら歩⾏するようにしました、その後、直線だけでなく様々な形のグラフについて
歩き、グラフと実際の現象との関係を理解させました。結果として、学⽣から数学⼒に関係なく興味を引き出すことが可能であること、⾃らの⾝体を使って実験に参加しその結果を討論することで、より積極的・主体的に授業へ取り組む姿勢の形成が期待できることなどを挙げています。
⽵⽥美代⼦(2009)は、数種類のボールを⽤意し、それらが跳ねるときの位置を距離センサーで測った
ときのグラフについて授業を展開しています。得られたグラフに対して、グラフ電卓上で⼆次関数を重ね合わせ、係数を変化させて⼀致するときの‫ ݔ‬ଶ の係数を求めると、どのボールでもほぼ同じ値になることを求め、その後クラス全体で共有しています。授業を⾏ったことで、予想から始まり規則性を発⾒するという流れを体験させることができたこと、⾃分たちの実験から得られたデータをもとに考えることで、⾃分たちで解決しようという積極性が⾒られたことなどを挙げています。
他にも、算数科における速さの導⼊や、数学科における２次関数のグラフ、瞬間の速度の概念の導⼊、⾝の回りの事象と関連した数学的活動を取り⼊れた授業などとして、距離センサーを⽤いた実験を⾏う授業の実践例があります。
本授業案は数学Ⅱの微分の導⼊や速さの概念の理解として⾏います。速度について、平均速度と瞬間速度を理解すること、そしてこれらの考え⽅を⽤いて振り⼦などの物体の位置・時間のグラフと速度の関係について考察すること、そして各班でまとめて発表し、全体で共有することを⽬標とします。

⑤-4-19－ 189 －

操作⼿順
・必要なものLABQUEST2、距離センサー、ケーブル、パソコン、プロジェクター、ボール、振り⼦※LABQUEST2 は、ホーム画⾯の「接続」からパソコンと同じ Wi-Fi につないでおきます。

図 1 LABQUEST2

図 2 距離センサー

図 3 ケーブル

本授業案では、先⽣ 1 ⼈が機械の操作を⾏うことを想定しています。

・授業時間開始前の準備
１．センサーの底のふたを開け、電池を⼊れてふたを閉めます。

図 4 底のふたを開け、電池を⼊れる

図 5 ふたを閉じる

２．LABQUEST2 の側⾯のカバーを開き、距離センサーとコードでつなぎます。

図 6 コードの差込⼝の位置

図 7 カバーを開く⑤-4-20－ 190 －

図 8 距離センサー側の差込⼝

図 9 ケーブルでつないだ様⼦

３．LABQUEST2 の側⾯の電源ボタンを押し，ホーム画⾯を表⽰します．

図 10 側⾯にある電源ボタンを押す

図 11 ホーム画⾯が表⽰される

４．ホーム画⾯の「接続」をタッチし、出てきた画⾯の左下にある「http://○〇○〇」を確認します。

図 12 ホーム画⾯の「接続」をタッチする

図 13 出てきた画⾯の左下を確認する

５．パソコンで GoogleChrome を起動し、「http://○〇○〇」を打ち込みます。

図 14 GoogleChrome を起動する

図 15 確認しておいた⽂字列を打ち込む⑤-4-21－ 191 －

６．パソコンの画⾯上に、グラフ画⾯が表⽰されます。この画⾯は、プロジェクターでスクリーンに映しておきます。

図 16 設定終了時のパソコンの画⾯
これで、LABQUEST2 の基本設定は終わりです。次に、授業の展開にそって、授業時間内での操作⽅法(測定⽅法など)を紹介します。

・授業時間内における操作(問１を例として)
１．LABQUEST2 で、外枠にあるホームボタンを押し、ホーム画⾯に戻ります。

図 1 外枠にあるホームボタンを押す

図 2 ホーム画⾯が表⽰される

２．ホーム画⾯から「LabQuest アプリ」をタッチします。

図 3 ホーム画⾯の「LabQuest アプリ」をタッチ⑤-4-22－ 192 －

図 4 アプリ起動直後の画⾯

３．画⾯右上のグラフのマークをタッチすると、2 つのグラフ画⾯が表⽰されます。

図 5 画⾯右上のグラフのマークをタッチする

図 6 2 つのグラフ⽑画⾯が表⽰される

４．画⾯上部の「グラフ」をタッチし，「グラフ表⽰」→「グラフ１」と選択すると，1 つのグラフ画⾯で表⽰されます．

図 7 「グラフ１」をタッチする

図 8 グラフが 1 つになる

５．パソコンの画⾯も、グラフの表⽰を 1 つにします。パソコンの画⾯右上にあるグラフのマークをクリックし、「1Graph」を選択すると、LABQUEST2 の画⾯と同じく 1 つのグラフ画⾯が表⽰されます。

図９ 右上のグラフのマークをタッチする

図１０ 「1Graph」を選択する

図１１ 1 つのグラフ画⾯となる⑤-4-23－ 193 －

６．計測を開始するには、LABQUEST2 のグラフ画⾯上にある▶マーク、あるいはパソコンのグラフ画⾯上にある▶マークを押します。

図１２ LABQUEST2 上での計測開始

図１３ パソコン上での計測開始

７．問 1 の最初のグラフについて、1 班⽬の計測を⾏います。▶マークを押すと、距離センサーによる計測が開始されます。データの収集時間(５秒)が過ぎると⾃動で計測が終了し、計測した結果がグラフとして LABQUEST2 とパソコンの画⾯に表⽰されます。

図１４ 1 班⽬の計測結果の例
８．計測をもう⼀度やり直したい場合には、▶マークを押すことで、新しい計測結果がグラフとして表⽰されます。この場合、すでに記録していたグラフは消去されます。
９．1 つ⽬の班の計測が終わったら画⾯右上の引き出しのマークをタッチします。タッチすると、新しいRUN が作成され、別の班の歩⾏を記録できるようになります。

図１５ 右上の引き出しのマークをタッチ

図１６ 新しい RUN 画⾯「RUN2」が作成される

１０．新しく作成した RUN 画⾯で、⼿順７と同様にして、2 つ⽬の班の記録を録ります。
⑤-4-24－ 194 －

図１７ 1 班⽬の計測結果の例

図１８ 2 班⽬の計測結果の例

１１．次のグラフについて記録を録る前に、あらかじめこれら 2 つの記録結果を保存します。
画⾯上部の「ファイル」をタッチし、「保存」を選択します。

図１９ 「ファイル」から「保存」を選ぶ
１２．表⽰された画⾯の上部に、「data タイトルなし」と表⽰されている部分があるので、そこをタッチします。タッチすると、ファイル名を⼊⼒する画⾯が表⽰されます。

図２０ 画⾯上部の「タイトルなし」の部分をタッチする

図２１ ファイル名の⼊⼒画⾯が表⽰される

１３．ファイル名を「toi1-1」とし、完了をタッチします。その後、「保存」をタッチすると、保存が完了します。

図２１ 名前を⼊⼒し、右下の「完了」をタッチする⑤-4-25－ 195 －

図２２ 右下の「保存」をタッチする１４．保存が終了したら、画⾯上部の「ファイル」→「新規作成」を選びます。

図２３ 保存終了後の画⾯

図２４ 「新規作成」を選ぶ

１５．新規作成を選ぶと、図２５のような画⾯が表⽰されます。⼿順３から⼿順１０と同じようにして、
2 つ⽬のグラフについて、2 班分の記録を録ります。

図２５ 図５と同じ画⾯になる

図２６ 2 班分の記録を録る

１６．記録を録ったら、⼿順１１から１３と同じようにして、ファイル名は「toi1-2」として保存します。

図２７ 「toi1-2」として保存する
１７．同様にして、3 つ⽬のグラフと 4 つ⽬のグラフについても、測定し保存します。

図２８ 4 つ⽬のグラフを 2 班分記録し、保存した後の画⾯⑤-4-26－ 196 －

１８．この段階で、問１の各グラフに対して、1 つ⽬のグラフの歩⾏実験の計測結果は「toi1-1」に、2 つ⽬のグラフの歩⾏実験の計測結果は「toi1-2」に、というように保存されています。
１９．問 1 の各グラフについて、同じグラフで歩き⽅の違いや計測結果のグラフの形、傾きの違いを⽐較したい場合の操作⽅法について、説明します。問 1 の 1 番⽬のグラフについて、2 つの班の記録を⽐較する場合、画⾯上部の「ファイル」→「開く」を選び、その後表⽰される画⾯で「toi1-1.qmbl」をタッチし、「開く」をタッチします。

図２９ 「ファイル」→「開く」を選ぶ

図３０ 「toi1-1.qmbl」→「開く」を選ぶ

２０．ファイルを開くと図３１のような画⾯が表⽰されます。画⾯右上のグラフマークをタッチすることで、記録していた計測結果のグラフが画⾯に表⽰されています。

図３１ 基本の画⾯が表⽰されている

図３２ 計測していたグラフが表⽰される

２１．画⾯右上の「RUN2」をタッチし、「すべての RUN」を選ぶと、1 つのグラフ画⾯にすべての計測結果のグラフを表⽰することができ、2 つのグラフを⾒ながら⽐較させることができます。

図３３ 「すべての RUN」を選ぶ

図３４ 1 班⽬及び 2 班⽬の計測結果が表⽰される⑤-4-27－ 197 －

問２に関しても、同様に計測を⾏います。問４に関しては、収集時間についてデフォルトの設定の5 秒から 10 秒に変更してから、計測を⾏います。収集時間の設定の変更について、説明します。

・収集時間の変更(問４)１．ホーム画⾯から「LabQuest アプリ」をタッチすると、図２のような画⾯が表⽰されます。

図１ 「LabQuest アプリ」を選ぶ

図２ 基本の画⾯が表⽰される

２．画⾯右側の「収集時間︓5.0 秒」の部分をタッチすると、測定に関する基本設定の画⾯が表⽰されます。今回は、収集時間だけを 10 秒に変更し、取るデータ数、間隔については変更しません。

図３ 「収集時間︓5.0 秒」の部分をタッチする

図４ 今回は収集時間のみ、変更する

３．画⾯の「収集時間︓5 秒」の部分をタッチすると、収集時間の設定画⾯が表⽰されます。設定画
⾯で「10」と⼊⼒し、「完了」をタッチします。

図５ 「5 秒」の部分をタッチする

図６ 「10」に設定して、「完了」をタッチする

４．収集時間が 10 秒になっていることを確認したら、画⾯右下の「OK」をタッチします。その後、基本の画⾯に戻るので、問１と同様に計測を⾏います。
⑤-4-28－ 198 －

図７ 右下の「OK」をタッチする

図８ 収集時間が 10.0 秒に変更されている

これで、収集時間の設定の変更についての説明は終わりです。最後に、記録したグラフ(RUN)の消去⽅法について、説明します。

・記録したグラフ(RUN)の削除
１．計測結果のグラフを表⽰する画⾯において、画⾯右上の表のマークをタッチすると、計測データがテーブルで表⽰されます。

図１ 右上の表のマークをタッチする

図２ データがテーブルで表⽰される

２．例えば「RUN5」を削除したい場合、画⾯上部の「テーブル」→「削除 RUN」→「RUN5」を選び、タッチします。削除に関する確認画⾯が出るので、「OK」をタッチします。

図３ 「削除 RUN」から削除したい RUN を選ぶ

図４ 確認画⾯で「OK」をタッチする

これで、RUN5 の削除が完了します。

⑤-4-29－ 199 －

データ計測に関する注意点
・問１，２□距離センサーの向きと、⽣徒が歩く⽅向(床に張ったテープ)が⼀致するようにします。
□計測する際には、体を⼤きく傾けたり、曲げたりしないように⽣徒に注意します。
□速い運動を記録する際には、⾛らずに早歩きで⾏わせるようにします。
□必要であれば箱などを積むなどして、距離センサーの計測部分が⽣徒の背中から腰のあたりに来るように⾼さを調節します。
□⽣徒に歩⾏させる際には、他の班も必ず作業を中断して観察を⾏うように指導します。

・問４、５□ボールはどうしても前後左右にはねてしまうので、距離センサーを⾼さ⼀定で⽔平に保ちつつ、計測部
分をボールにあうように動かしてもらうように指⽰します。
□ボールは⼩さすぎると計測部分から外れやすくなるので、⼤きめのものを⽤意します。
□振り⼦は、机の端に垂らして揺らした後、計測できるよう距離センサーを置ける場所があることを確認します。
□振り⼦と距離センサーの間は 30 センチほどあけておきます。
□振り⼦を揺らし振れる⽅向と距離センサーの向きが⼀致していることを確認してから計測を開始します。

⑤-4-30－ 200 －

授業を⾏う先⽣へ

本授業の展開と⽬的

本授業では、歩く実験を通して、平均の速度および瞬間の速度を理解させることを⽬標とします。
事前の準備として、グラフ電卓(LABQUEST2)、距離センサー、パソコン、プロジェクターを使えるようにしておき、教室の真中を歩けるように、⽣徒に席を移動させるよう指⽰しておきます。真中には、計測がしや
すいようにテープを床に⼀直線に張ります。グラフ電卓の画⾯は、パソコンを通してプロジェクターで投影し、⽣徒全員がグラフを確認できるようにします。
授業⼈数は 40 ⼈で、5 ⼈ずつの 8 班に分かれて活動を⾏うとし、⽣徒はまだ微分を学んでいない状況であり、本授業は微分の導⼊として 2 時間かけて教室で⾏うと想定します。

問１
問１では，速度と得られたグラフの傾きとの関係に気づかせることを⽬的としています。グラフは直線、
折れ線、２次関数のグラフと合わせて 4 つありますが、1 つのグラフにつき 2 班ずつを割り当てます。その後、各班でどう歩けばよいかを予想させてから、各班で代表者を選んでもらい、実際に歩かせます。
計測する際、距離センサーは真中のテープと合うように向きを調整し、机の上に置いておきます。1 班の計測が終わったら、新しい RUN を作成し(操作⼿順９)、次の班の計測を開始します。

図 1 教室の様⼦(⼀例)

図 2 距離センサーの向き

⽣徒に歩⾏させる際には、他の班も全員作業を中⽌させて観察を⾏わせるようにします。歩⾏の様⼦とグラフについて気づいたことに関しては、各班でまとめさせておきます。
同じグラフについて、2 つの班の違いを⽐較したい場合には、操作⼿順の１９から２１を参考に、1 つのグラフ画⾯に 2 つの計測結果を表⽰します。
観察や考察を⾏った後、得られたグラフを⽐較しつつ、直線の傾きを急にするにはどうすればよいか、折れ線の折れる回数を増やすにはどうすればよいか、放物線の開き具合を広くするにはどうすればよいかを発問します。この時点では明確な答えは教えずに、次の問 2 に取り組ませます。

⑤-4-31－ 201 －

問２
問２では、問１で各班考えたことから、⾃分たちが歩きたいグラフをどう歩けば実現できるかを予想し、その考えが適⽤できるかを確認させることを⽬的としています。
問１最後の発問を踏まえ、各班で歩きたいグラフを３つ考えさせます。計測の際には、各班で 1 つグラフを選ばせ、そのグラフを電⼦⿊板のカメラ機能を使って⿊板の画⾯に表⽰します。計測は問１と同様に
⾏い、歩⾏の最中は他の班も観察に集中させるようにします。問１と⽐べると、歩⾏がうまくいかずもう少しやり直したいという場合も出てくると考えられますので、問２では計測時間を多めにとっています。
8 つのグラフについて、できれば折れ線と２次関数のどちらかに偏ることがないように注意します。

問３
問３では、グラフの直線の傾きと速度の関係について理解させた後、２次関数において速度からグラフの傾きを考えることができるようにすること、そして速度を変えるタイミングを限りなく多くすることで「瞬間の速度」の必要性に気づかせることを⽬的とします。
問１、２において、歩⾏の様⼦とグラフの形から⾒つけたこと、分かったことについて各班でまとめさせます。
この際、⽣徒が速度に注⽬しているかどうかを確認します。
各班でまとめさせた後、教師から説明を⾏います。ここでは、直線のグラフにおいては横軸の時間と縦軸の位置に対して「グラフの傾き」が速度になっていることと、複数のグラフを⽐較させることで傾きが急なら速い、緩やかなら遅いことを理解させます。
その後、２次関数のグラフの歩⾏では実際にどう歩いていたか、速度はどう変化していたかを確認します。そして、グラフ上の 5 点を選び、点と点を結んで折れ線を作って速度を考えることで、「平均の速度」について考えさせます。点を 10 個、さらにもっと多くと増やしていくと、次第に２次関数のグラフに近づいているが、まだ折れ線のグラフであることを確認します。そして、２次関数の滑らかなグラフにするためには、常に速度を変化させる必要があることに気づかせます。最終的に、点の数を限りなく増やすことを考え、「瞬間の速度」の考え⽅について気づかせます。

問４、５
問４、５では、跳ねるボールや振り⼦など⾝の回りの運動に関して、瞬間の速度の考え⽅を⽤いて、実際の運動の様⼦や得られたグラフの形とも結びつけつつ考察させることを⽬的とします。
問４、５では、バウンドするボールの運動と、振り⼦の運動について、計測を⾏う前にまず、各班でグラフを予想させます。予想させる際には理由も考えさせるようにします。その後で計測を⾏い、実際のグラフと予想したグラフとを⽐較し、計測したグラフが何故そうなるかを考察させます。最後に、それらをポスターに⑤-4-32－ 202 －

まとめさせて、授業をまとめます。
バウンドするボールの運動の計測に関しては、⽣徒 2 名に協⼒してもらいます。

図 3 ボールのバウンドの計測の様⼦
図３のように、1 ⼈はボールを持ち、もう 1 ⼈は距離センサーを持って、計測部分を下にしてボールに合うように持ってもらいます。教員はグラフ電卓を操作し、教員の合図とともにボールを放させて、バウンドする
ボールの運動のグラフを記録します。
振り⼦の運動に関しては、教壇または机の端に振り⼦を垂らし、テープで机に固定します。そして、横に椅⼦を置き、横から距離センサーで計測を⾏います。

図 4 振り⼦の運動の計測の様⼦

図 5 斜め上から⾒た様⼦

距離センサーは振り⼦の⾼さと同じになるように調整します。そして振り⼦を距離センサーの計測部分と⼀致するように振り、計測を⾏います。この時、振り⼦の振れる様⼦とプロジェクターで写したグラフ画⾯の両⽅を⽣徒全員が⾒えるようにします。

⑤-4-33－ 203 －

図６ 振り⼦の運動の計測結果の例
計測が終わった後、結果と予想を⽐較し、結果のグラフがなぜそうなったかを考察させます。予想と結果、結果のグラフがそのような形になった理由について、最終的にポスターにまとめさせます。考察する際には、実際の運動の様⼦とグラフの対応を考え、瞬間の速度の考え⽅を⽤いていることが望ましいです。
ポスター作成の後、ポスター発表を⾏い、各班の意⾒を全体で共有させます。ポスター発表は、教室の 8 か所を⽤いて掲⽰し、発表 1 回あたり 3 分を⽬安として 6 回⾏います。各班で発表者を決め、他の班員は他の班で気になる発表を⾒に⾏くことと、発表者は毎回交代することを指⽰します。作成したポスターについては、授業終了後も別の場所に掲⽰し、⾒ることができるようにします。
最後に、問１から５で計測したグラフの特徴、平均速度や瞬間速度について簡単な発問をした後、本時のまとめを⾏います。

⑤-4-34－ 204 －

指導案
1.

本時のねらい2.

準備

・実験を通して、平均の速度、瞬間の速度を理解させる。

・授業開始前に、グラフ電卓、距離センサー、パソコン、プロジェクタを使えるように準備しておき、教室の真中をまっすぐ歩けるように席を動かしておく。
グラフ電卓の画⾯は、プロジェクタで映し出し、⽣徒全員がグラフを確認できるようにする。(プロジェクタ等により電⼦⿊板・デジタル教科書を提⽰に利⽤する。 )ポスター案は、拡⼤印刷で⽤いる。倍率は、141%

3.

展開

時間

学習活動

指導上の留意点

導⼊RLA1 問題や場面を理解する活動

本授業の全体の流れについて説明する。
グラフ電卓と距離センサーについて説明も(29 分)

⾏う。(4 分)問１の活動について説明する。
問１に取り組む。(6 分)

割り当てられたグラフについて、どのように歩⾏すれば、グラフ通りになるか予想する。

1 つのグラフにつき 2 班ずつ割り当て、各班で予想をさせる。その後、各班のRLA2 様々な事例にあたったりして、答えの予想を立てたり、パターンを見出したりする活動

代表１⼈に、実際にグラフの通りに歩かせる。

予想や考察は各班で⾏わせる。実際に歩いてグラフを出すときは作業を中断させ、全員に観察をさせる。

各班で代表⼀⼈を選び、実際に歩く。

多様な⼿段で説明する

他の班の歩⾏やグラフについても観察し、気づいたことはノートにまとめる。

歩⾏の様⼦とグラフを⾒て気づいたことはまとめさせておく。

⑤-4-35－ 205 －

発問(9 分)

問１を⾏った後に、左のような発問を直線の傾きを急にするにはどう歩けば良いか。

⾏い⽣徒の反応を⾒て、⽣徒から意⾒を折れ線の折れる回数を増やすにはどう歩けば良いか。

拾い上げて問 2 に繋げられるきっかけ

放物線の開き具合をもっと広くするにはどう歩けばづくりをする.(発問に関しては、明確に答えを教えないとする。)

良いか。
<予想される反応>
等速で早く歩く、⾛る、⾏ったり来たりする回数を増やす、
進んで⼀時停⽌して戻って⼀時停⽌して進む回数を増やす。

RLA1 問題や場面を理解する活動
問２の活動について説明する。

問２に取り組む。(10 分)

各班で「歩きたいグラフ」を 3 つ考えさせる。
「歩きたいグラフ」を 3 つ考える。そのうち１つを選び、その後、各班内で考えたグラフから１つを実際にどのように歩けばいいかを考える。

選ばせる。

全部の班に「どのようなグラフを歩こうとしているのか」が⾒えるように、電⼦⿊板に写す。

RLA2 様々な事例にあたったりして、答えの予想を立てたり、パターンを見出したりする
活動
問２も先程と同様、歩くときには全員が観察するようにする。
代表者が実際に歩く。

多様な⼿段で説明する

他の班のグラフや歩⾏も観察し、気づいたことやグラフと歩⾏の特徴などをまとめさせる。

歩⾏の様⼦とグラフを⾒て気づいたことはまとめさせておく。

⑤-4-36－ 206 －

展開 1
(21
分)

RLA3 答えを予想や見出したことを、今まで習ったことなどをもとにして、数学の言葉や式で、表したり、示したりする
活動
問３の活動について説明する。
問３に取り組む。(11 分)

問 1 と問 2 から⾒つけたこと、わかったことをまとめさせる。その際、机間指導を⾏い、

問１や問２から⾒つけたこと、わかったことをまとめる。

⽣徒が速さに注⽬しているかを把握する。

平均の速さと瞬間の速さについて、問 1と問 2 を⽤いて説明する。(10 分)

展開 2
(47
分)

RLA4

RLA3 までの活動や結果を、ポスター（A3、1 枚程度）にまとめる活動問４と問 5 の活動について説明する。

ボールのバウンスや振り⼦のデモンス
トレーションを⾏い、⽣徒にグラフを問４と問 5 を取り組む。(15 分)

予想させる。

ボールのバウンドと振り⼦の動きから描かれるグラフを予想する。その後、実験を観察する。

⽣徒に予想させる。その際は、理由をメモ欄に書くように指⽰をする。その後、実験を⾏い、⽣徒に観察させる。

知識や技能を概念化する

予想と結果を⽐較し、結果のグラフがどうして

⽣徒に予想と結果を⽐較し、結果のグラフがそのようになったのかを考える。

どうしてそのようになったのかを考えさせる。
その際は、机間指導を⾏い、平均の速さ、瞬間の速さに注⽬しているかを把握する。

⑤-4-37－ 207 －

ポスターを作成させる。

ポスターを完成させる。(12 分)

振り返って次へつなげる
多様な⼿段で説明する
互いの考えを⽐較する
知識や技能を概念化する評価グループで平均の速さと瞬間の速さの観点から実験を通して、グラフの分析を⾏い、⾒つけたことやわかったことをまとめることができる。(Activity Sheet への取り組み)【⾒・考】
基準
A︓グループで平均の速さと瞬間の速さの観点から実験を通して、グラフの分析を⾏い、
⾒つけたことやわかったことをまとめることができる。
B︓平均の速さと瞬間の速さの理解が難しかったが、グラフの概形でグラフの分析は⾏い、
⾒つけたことやわかったことをまとめることができる。
C︓平均の速さと瞬間の速さの理解が難しく、グラフの概形でグラフの分析は⾏えたが、⾒つけたことやわかったことをまとめることができない。

RLA5 ポスターセッションを開催
し、クラスで成果を共有した
り、質問したりする活動
ポスターセッション以降も教室に貼っておく。

ポスター発表は、教室の⼋か所にそれぞれに掲⽰する。班での発表は 1 回あたり３分を⽬安として、６回⾏う。⽣徒には、気になる発表へ⾒に⾏くように促す。

ポスター発表を⾏う。(20 分)

まとめ本時のまとめ

問を⽤いて、平均の速さや瞬間の速さに(3 分)関しての簡単な質問を全体に投げかけて、
本時のまとめを⾏う。

⑤-4-38－ 208 －

（ポスター案 1/2）___ 班 班員 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

問 1 と問 2 の結果を書こう。

問 3 について(問 1 と問 2 で考えたことわかったこと)を書こう。

問４と問 5 で考えたグラフの予想とその理由を書こう。

⑤-4-39－ 209 －

（ポスター案 2/2）

結果を⾒て、班の予想と⽐較して結果のグラフがどうしてそうなったのかを書こう。

全体を通して、動きとそのグラフについてわかったことをまとめて書こう。

⑤-4-40－ 210 －

平成29年度教員の資質向上のための研修プログラム開発支援事業

ICTを活用したRLA（Researcher Like Activity：研究者を模した探究活動）導入
研修プログラム（数学教育を事例として）資料集
平成30年2月28日
編集・発行：東京理科大学 教育支援機構 教職教育センター /理数教育研究センター
川口市教育委員会※本プログラムは、独立行政法人教職員支援機構の委嘱事業です。