14 エルミート共役
内積空間における線型作用素については、内積に由来するさまざまな数値的情報を利用することで、より強力な取り扱いが可能となる。その内容は、代数というよりは解析的であり、一方で量子論的でもあり、合わせて量子解析的とでもいうべく、いわゆる線型代数の枠に収まりきらないのが何とも悩ましい。世間の教科書も、この内積空間における作用素の扱いが引き気味で、もどかしい限り。量子論の数学的形式を避けての正しい扱いは難しいと思いつつも、まずは無難なところから始めよう。
内積空間の間の線型写像 ϕ : V → W に対して、線型写像 φ : W → V で、(w|ϕv) = (φw|v) (v ∈ V, w ∈ W )となるものを、ϕ のエルミート共役*93 (hermitian conjugate) とよび、φ = ϕ∗ と表記する。エルミート共役は存在すれば一つしかない。実際、ψ も ϕ のエルミート共役であったとすると、(ψw|v) = (w|ϕv) = (φw|v)がすべての v ∈ V で成り立つので、0 = (ψw − φw|v) で v = ψw − φw とおけば、ψw = φw (w ∈ W )。
例 14.1. 列ベクトル空間における標準的な内積に関して、行列を左から掛けることで得られる線型写像のエルミート共役は、行列のエルミート共役に他ならない。実際、A ∈ Mm,n (C) と v ∈ Cn , w ∈ Cm に対して、(w|Av) = w∗ Av = (A∗ w)∗ v = (A∗ w|v).
エルミート共役をとる操作は共役線型であり、行列のエルミート共役と共通する代数関係をみたす。たとえば、(φψ)∗ = ψ ∗ φ∗ ,(ϕ∗ )∗ = ϕであり、ϕ がエルミート共役をもつ同型写像であれば、ϕ∗ も同型写像で (ϕ−1 )∗ = (ϕ∗ )−1 が成り立つ。
命題 14.2. 有限次元内積空間 V から内積空間 W への線型写像 ϕ はエルミート共役をもつ。

Proof. V の正規直交基底 {e1 , · · · , en } をとってきて、線型作用素 φ : W → V を φ(w) =定めると、(φ(w)|v) =∑(ϕ(ek )|w)ek で)(∑∑(w|ϕ(ek ))(ek |v) = (w|ϕek (ek |v) ) = (w|ϕ(v)).

例 14.3. v ∈ V を線型写像 C ∋ λ 7→ λv ∈ V と同一視すれば、そのエルミート共役 v ∗ : V → C は、v ∗ : v ′ 7→ (v|v ′ ) ∈ C となる。とくに、v ∗ w = (v|w) であり、wv ∗ : V → V は、線型作用素 V ∋ v ′ 7→w(v|v ′ ) = (v|v ′ )w ∈ V を表す。物理ではこれを |w)(v| のように書くのであった*94 。
また、標準内積空間 Cn から内積空間 V への線型写像を V n の元 a = (a1 , · · · , an ) と同一視すれば、a のエルミート共役 a∗ : V → Cn は、

 ∗


a1(a1 |v) a∗ =  ...  : v 7→  ... a∗n(an |v)のように表される。
問 14.1 (*). 内積空間から１次元内積空間 C への線型写像でエルミート共役をもたないものを作れ。
*93 ほかに随伴 (adjoint) という数学業界特有のよび方もある。フランス語（もとはラテン語）に由来し、joined to の意味。
*94 Dirac notation というのだが、元は Gibbs の dyad であり、さらには Grassmann まで遡ることはあまり知られていない。

61定義 14.4. 内積空間から内積空間への同型写像 ϕ : V → W で、(ϕ(v)|ϕ(v ′ )) = (v|v ′ ) (v, v ′ ∈ V ) となるものをユニタリー写像 (unitary*95 map) という。ユニタリー写像にかかわる２つの内積空間は、内積空間として同じ構造をもつことになり、等距離同型である (isometrically isomorphic) とよばれる。
命題 14.5. 内積空間から内積空間への線型写像 ϕ : V → W がユニタリー写像となるための必要十分条件は、

ϕ∗ = ϕ−1 であること。
命題 14.6. 有限次元内積空間から内積空間への線型写像 ϕ : V → W について、次は同値。

(i) ϕ はユニタリーである。
(ii) V の正規直交基底 e1 , · · · , en で ϕ(e1 ), · · · , ϕ(en ) が W の正規直交基底となるものが存在する。
(iii) V の勝手な正規直交基底 e1 , · · · , en に対して、ϕ(e1 ), · · · , ϕ(en ) が W の正規直交基底となる。
系 14.7. ２つの有限次元内積空間が等距離同型であるための必要十分条件は、次元が一致すること。
問 14.2. (♯) 以上の命題と系を示せ。こういうことは言われなくても自分で確かめるようになりたい。
例 14.8. 内積空間 V の正規直交基底 (e1 , · · · , en ) とユニタリー写像 Φ : Cn → V とは、関係 Φ(δj ) = ej(1 ≤ j ≤ n) により一対一に対応する。ここで、δj は Cn の基本ベクトルを表している。以前の例で導入した記号を使えば、

 ∗e1 .. 
Φ= . e∗nであり、線型作用素 ϕ : V → V の行列表示 A を ∗ ∗ ∗e1e1e1 e1
 ..  ..  ..
 .  (ϕe1 , . . . , ϕen ) =  .  (e1 , . . . , en )A =  .
e∗ne∗ne∗n e1...
..
.
...

e∗1 en..  = I A = An. e∗n enのように表すこともできる*96 。
補題 14.9 (分極等式 polarization identity). 実内積空間においては、等式

4(w|v) = (v + w|v + w) − (v − w|v − w)が、複素内積空間においては、等式

4(w|v) =3∑

ik (v + ik w|v + ik w)

k=0が成り立つ。

Proof. 内積空間における等式 2(v|w) + 2(w|v) = (v + w|v + w) − (v − w|v − w) を使うと、
3∑ik (v + ik w|v + ik w) = 2(v|w) + 2(w|v) + 2i((v|iw) + (iw|v)) = 4(w|v).

k=0*95 unit からの派生語で、単位ベクトルを単位ベクトルに移すことに由来する。しかし無限次元ではそれだけから同型はでない。
*96 双対空間を導入して、こういった計算を形式的かつ徹底的に行うことも可能。付録参照。

62

系 14.10. 内積空間 V から内積空間 W への線型写像 ϕ について、すべての v ∈ V で ∥ϕ(v)∥ = ∥v∥ ならば、(ϕ(v)|ϕ(v ′ )) = (v|v ′ ) (v, v ′ ∈ V ) が成り立つ。

Remark 9. 複素ベクトル空間 V の２つのベクトル v, w ∈ V に複素数 [v, w] を対応させる関数で、v について共役線型、w について線型なものを両線型形式 (sesquilinear form*97 ) という。両線型形式で [v, w] = [w, v] となるものをエルミート形式 (hermitian form) という。分極等式は両線型形式について成り立ち、それを使えば、両線型形式がエルミート形式になる条件を [v, v] ∈ R (v ∈ V ) と言い換えることができる。

命題 14.11. 有限次元内積空間 V における線型変換 ϕ について、次は同値。

(i) すべての v ∈ V で ∥ϕ(v)∥ = ∥v∥.
(ii) すべての v, w ∈ V で (ϕ(v)|ϕ(w)) = (v|w).
(iii) ϕ∗ = ϕ−1 .
(iv) ϕ は正規直交基底を正規直交基底に移す。
Proof. (i) ⇐⇒ (ii) および (ii) ⇐= (iii) ⇐⇒ (iv) は既にわかっている。(ii) を仮定すると、ϕ は V の正規直交基底を V の正規直交系に移し、V が有限次元であるから、後者も正規直交基底となって (iv) が従う。
上の同値な条件を満たす線型変換を、実内積空間の場合は直交変換 (orthogonal*98 transformation)、複素内積空間の場合はユニタリー変換 (unitary transformation) と呼ぶ。行列の場合は、直交行列、ユニタリ―行列という言い方をする。また、その条件 t T T = I, U ∗ U = I をそれぞれ書いてみると、Rn または Cn の正規直交基底を並べたものに他ならず、両者は表裏一体の関係にあることがわかる。
命題の内容を行列表示で形式的に書いてみることも可能で、内積空間 V の２つのの正規直交基底 e =(e1 , · · · , en ), f = (f1 , · · · , fn ) に対して、 ∗e1 f e∗ = (f1 , · · · , fn )  ...  = f1 e∗1 + · · · fn e∗ne∗n

は V のユニタリー変換 ϕ を定め、一方、ϕ の行列表示は、

 ∗f 1 e1 ..
∗f e= .
fn∗ e1

...
..
.
...

 f1∗ en(f1 |e1 )..  =  ..
.   .

...
..
.
(fn |e1 ) . . .

fn∗ en(f1 |en ).. . (fn |en )で与えられる。これがユニタリー行列であることは、(f ∗ e)∗ (f ∗ e) = e∗ f f ∗ e = e∗ e = I のように形式的に確かめることもできる。
問 14.3. ユニタリー行列の複素共役および転置は、再びユニタリー行列である。
問 14.4. ユニタリー行列の行列式の絶対値は 1 である。とくに、直交行列の行列式の値は ±1 である。
問 14.5. 奇数次の直交行列 T は、行列式の値 τ = det(T ) を固有値にもつ。
ヒント： 等式 t T (τ In − T ) = −τ t (τ In − T )。

*97 sesqui = 1+ 1/2 ということなので勘定が合わぬ。両の字の妥当性は関数解析の注に書いたので、ここでは繰り返さない。
*98 正しくは orthonormal とよぶべきではあるが、まあいい加減なものである。

63

例 14.12.

(i) 実数 α, β, γ, θ に対して、(−e−iγ sin θ−i(α+β+γ)
ecos θeiα cos θe−iβ sin θ)はユニタリー行列。とくに、α = β = γ = 0 のときは、回転の行列 (§16 参照) である。

(ii) n 次の並換 σ = (σ(j))1≤j≤n に対して、行列T = (eσ(1) , · · · , eσ(n) ) = (δj,σ(k) )1≤j,k≤nは直交行列である。とくに巡回置換*99 (cyclic permutation) σ = (2, 3, . . . , n, 1) の場合、

0


1

T =
0

..
.

...
..
.
..
.

0..
.

0

1..

.

1

0

.. .
0である。これを巡回行列とよぶ。
問 14.6. 上の例以外に、２次のユニタリー行列はあるか。
問 14.7. 巡回行列 T の冪 T k (k = 2, 3, . . . , n) を具体的に表示せよ。

T ∗ = T となる作用素 (行列) を実の場合は対称作用素／行列 (symmetric operator/matrix)、複素の場合はエルミート作用素／行列 (hermitian operator/matrix) と称える。また、T ∗ T = T T ∗ となるものを正規作用素／行列 (normal operator/matrix)*100 とよぶ。直交行列、ユニタリ―行列、エルミート行列、これらはすべて正規行列の仲間である。

Remark 10.
(i) エルミート行列の和も差もエルミート行列であるが、エルミート行列の積がエルミート行列になるための条件は、積が交換すること。

(ii) ユニタリー行列の積はユニタリー行列となるが、ユニタリー行列の和がユニタリー行列になることは稀である。

例 14.13.

(i) ３次のエルミート行列の形は

a1
 b1cb1a2b2

cb2  .
a3

ここで、aj は実数、他は複素数を表す。

(ii) ２次のエルミート行列の作る実ベクトル空間の基底として、Pauli のスピン行列()()()
0 10 −i1 0σ1 =, σ2 =, σ3 =1 0
i 00 −1に単位行列 I2 を加えたものを取ることができる。パウリ行列はユニタリー行列でもある。
*99 巡換と書いて「めぐりかえ」と読みたいところではあるが、さすがにちょっと。
*100 またもや正規である。良い性質の行列ぐらいの意味であるが、他に呼び方はないものか。

64

問 14.8. (♯) エルミート行列全体は、実ベクトル空間をなす。その次元を求めよ。

→−
問 14.9. ベクトル −a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 に対して、σ · →a = a1 σ1 + a2 σ2 + a3 σ3 とおくと、−→−→−→−→→(σ · →a )(σ · b ) = (−a | b )I2 + iσ · (−a × b ).
命題 14.14. 内積空間 V の部分空間への正射影 E は、エルミートな射影（すなわち E 2 = E = E ∗ ) である。逆に、エルミートな射影 E に対して、E は部分空間 W = EV への正射影である。

Proof. V における射影 E と V の直和分解 V = EV ⊕ (I − E)V が対応するので、E ∗ = E ⇐⇒ EV ⊥(I − E)V がわかればよい。(Ev|(I − E)w) = (v|(E ∗ − E ∗ E)w) より、直交性は E ∗ = E ∗ E と言い換えられるので、前提 E 2 = E の下、これが E ∗ = E と同値であることは見易い。
例 14.15. 内積空間 C2 は、量子力学を組み立てる上での基本素材とでも言うべきもので、その部分空間の記( )( −1 )

1= C w1
述を調べておくことは基本的な意味をもつ。自明でない部分空間は１次元であるので、C wのように、拡大複素数 w ∈ C = C ∪ {∞} で識別される。これに応じて、１次元射影もE=

11 + |w|2(1ww|w|2)のように、w ∈ C を使って記述される。この対応で、直交補空間をとる操作 E 7→ I2 − E は、複素数の反転z 7→ −1/w に相当することに注意。
一方で、エルミート行列 E の表示を

1E=2(1+zx + iy)
x − iy,1−zx, y, z ∈ Rのように変更し、これが正射影を表すための条件 E 2 = E を書いてみると x2 + y 2 + z 2 = 1 となるので、Cは座標球面と同定されることになる。この意味で、C は複素球面と呼ばれる。球面の極 (0, 0, ±1) がそれぞれw = 0, ∞ に対応している。
問 14.10. E とパウリ行列の関係を考察せよ。
問 14.11. 直和分解 V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr が直交分解であるための必要十分条件は、対応するすべての射影 Eiが正射影となることである。
命題 14.16.

(i) エルミート行列 (とくに実対称行列) の固有値は実数。
(ii) ユニタリー行列 (とくに直交行列) の固有値は、絶対値 1 の複素数。
Proof. この証明は簡単で楽しい。Av = λv とすると、A∗ = A であれば、λ(v|v) = (v|Av) = (A∗ v|v) =(Av|v) = λ(v|v) から、λ = λ.
A∗ = A−1 であれば、A−1 v = λ1 v に注意して、λ(v|v) = (Av|v) = (v|A−1 v) = λ1 (v|v) より、|λ| = 1.
問 14.12. (♯) 行列(cos θsin θ)
sin θ,− cos θの固有値を求めよ。

65(cos θsin θ− sin θcos θ)問 14.13. ユニタリー行列 U と単位行列 I の和がユニタリー行列であれば、U の固有値は e±2πi/3 の形である。
補題 14.17 (Schur). 任意の行列は、ユニタリ行列により三角行列*101 (triangular matrix) に相似変形できる。

Proof. 行列のサイズ n の大きさに関する帰納法。サイズが n − 1 の行列に対しては正しいと仮定する。い→→−→ま、サイズが n の行列 A に対して、A の固有値 α とその固有ベクトル −u を１組選び、−u =→u /∥−u ∥ を含1−→
む正規直交基底 (→u 1, . . . , −u n ) を用意すると、(α−→−→−→−→A( u 1 , . . . , u n ) = ( u 1 , . . . , u n )0∗B)という表示が得られる。ただし B はサイズが n − 1 の行列である。こうして得られた行列 B に帰納法の仮定を適用すると、サイズが n − 1 のユニタリー行列 T で、T ∗ BT が（サイズ n − 1 の）三角行列となるものが存在する。そこで、サイズが n のユニタリー行列を(1−→U = (→u 1, . . . , −u n)00T)で定めると、U ∗ AU は三角行列となってめでたい。
定理 14.18 (Schur-Toeplitz). 正規行列はユニタリー行列で対角化できる。逆にそのような行列は正規行列である。

Proof. 逆の方はすぐにわかるので、順の方を示す。まず、正規行列 A とユニタリー行列 U に対して、行列U ∗ AU は再び正規行列になることに注意する。
そこで、三角行列 B に対して、BB ∗ = B ∗ B ⇐⇒ B は対角行列を示せば証明が完了する。これは左方を具体的に計算してみるとわかる。

Remark 11. ここではできるだけ手っ取り早い証明を与えたが、もっと自然な方法は、行列が線型作用素の表示形式であることと、下の固有ベクトルの性質、および直交分解を組み合せたものである。付録 C を参照。

問 14.14. ２つのユニタリー行列 U , V の和 U + V が再びユニタリー行列になる場合について調べよ。
問 14.15. 次の形のブロック行列が正規であれば、B = 0 である。ただし、A, C は正方行列とする。

()A B
0 C .

次の固有ベクトルに関する正規行列の性質も重要である。
命題 14.19. 正規行列 A に対して、→→→−(i) A−x = λ−x ならば、A∗ −x = λ→x である。
−→−→→−→−→→(ii) A x = λ x , A y = µ y (λ ̸= µ) であるならば、−x と−y は直交する。
*101 ここで扱われるのは上三角行列と呼ばれるもので、対角線よりも下の成分がすべて 0 の行列をいう。

66

Proof. (i) は、→→−−0 = ((A − λI)−x |(A − λI)−x ) = ((A∗ − λI)→x |(A∗ − λI)→x)からわかる。
（２つ目の等号で、AA∗ = A∗ A を使う。）(ii) は (i) に注意して、−−→→→→→→µ(→x |→y ) = (−x |A−y ) = (A∗ −x |−y ) = λ(−x |−y)による。
問 14.16. 実正規行列 A の固有値 λ の固有ベクトル v に対して、ベクトル空間 Cv + Cv は、A 及び A∗ で不変であり、したがってその直交補空間も不変であることを示せ。
正規行列の対角化の手続き
ステップ１ 固有値と固有空間を求める。
ステップ２ 各固有空間ごとに正規直交基底を定める。
ステップ３ 固有空間ごとの正規直交基底を並べてできるユニタリー行列が正規行列の対角化を実現する。
ステップ１で、固有方程式から固有値を求め、しかる後に固有空間を計算するのは効率が悪いため、直接、固有ベクトル方程式を解くことで、固有値と固有空間を同時に求めるのがよい場合もある。
例 14.20.

(i) 回転の行列 (§ 16 参照) の対角化。
(cos θsin θ− sin θ
cos θ)()
( )
11
∓iθ
=e.
±i±i(ii) 巡回行列の固有値と固有ベクトル。これは直接固有ベクトル方程式を解くのがよい。
   xnx1x1x1
 x1  x2    T  ...  = λ  ...  ⇐⇒  .  = λ  .  ⇐⇒ xk = λ−k xn , λn = 1.
 ..  .. xn
xnxn−1xn(iii) A 型グラフの隣接行列の固有値と固有ベクトル。


x2x1
 x1 + x3 
 x2  . ..
 = λ  ..  ⇐⇒ xj−1 + xj+1 = λxj (2 ≤ j ≤ n − 1), x2 = λx1 , xn−1 = λxn.

xn−2 + xn 
xn−1 xn−1xn
これは、３項間漸化式 xk−1 + xk+1 = λxk (k ≥ 1) を初期条件 x0 = 0 の下で解いて、終期条件xn+1 = 0 を課せばよい。特性二次方程式 t2 − λt + 1 = 0 の解を q ±1 とすれば、λ = q + q −1 であり、xk = q k − q −k (1 ≤ k ≤ n) に終期条件を課すことで、q 2n+2 = 1 となる。これから、q = πil/(n + 1)πklπlを固有値とする固有ベクトル xk /2i = sin n+1(1 ≤ k ≤ n) を(1 ≤ l ≤ n) に応じて λ = 2 cos n+1得る。
問 14.17. (♯) パウリ行列をユニタリー行列で対角化せよ。

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次の命題は、今までに用意した定理・方法を組み合せることで、困難なく示される。
命題 14.21. 実対称行列は直交行列によって対角化される。
問 14.18. 何をどう組み合せるとよいのか考えて、証明にまとめる。
問 14.19. 実対称行列()
cos(2θ)sin(2θ)sin(2θ) − cos(2θ)

を対角化する直交行列を求めよ。
正規作用素 A の互いに異なる固有値を {αj } とし、固有空間 Vαj への正射影を Ej とすると、IV =は直交分解を与え、A =∑j αj Ej∑j Ejとなる。この表示を A のスペクトル分解*102 (spectral decomposition) と称する。これは、固有ベクトルの選び方の任意性を排除した表示であり、無限次元内積空間に移行しやすい形になっている。
最後に、次の二次形式とも関係してくるエルミート行列の正値性について触れておこう。エルミート性の特徴づけは、分極等式のところでも注意した。他の性質は、エルミート行列の固有値が実数であることと、ユニタリー行列による対角化を使えば、難なくわかる。もはや練習問題に過ぎない。
命題 14.22. 内積空間 V における線型作用素 H がエルミートでるための必要十分条件は、すべての v ∈ Vに対して (v|Hv) が実数であること。そしてこのとき、H の最大固有値・最小固有値はそれぞれ、max{(v|Hv); v ∈ V, |v| = 1},min{(v|Hv); v ∈ V, |v| = 1}に一致する。
定理 14.23. 有限次元内積空間 V における作用素 H について、(i)–(iii) は同値。さらに、(iv)–(vi) も同値。

(i) すべての v ∈ V に対して (v|Hv) ≥ 0 である。
(ii) H = A∗ A となるような V における線型作用素 A が存在する。
(iii) H はエルミートで、そのすべての固有値は正または零。
(iv) すべての 0 ̸= v ∈ V に対して (v|Hv) > 0 である。
(v) H = A∗ A となるような V における線型作用素 A で逆をもつものが存在する。
(vi) H はエルミートで、そのすべての固有値は正。
前半の同値な条件を満たすエルミート作用素を正値*103 (positive semidefinite) あるいは簡単に正である(positive) という。後半のより強い条件を満たすエルミート作用素を正定値 (positive definite) という。
系 14.24. 列ベクトル空間 Cn 上の内積と n 次正定値行列は一対一に対応する。また、列ベクトル空間 Rn上の内積と n 次正定値実行列も一対一に対応する。

*102 ラテン語の spectrum に由来。狭義には分光学における周波数成分を意味するが、背景にある何かから見える形で現れ出たもの全般をさす。量子論の発展に伴い周波数成分の情報がエルミート作用素の固有値と認識され、それが数学用語として転用される。
*103 半正定値とも呼ばれる。この正負にかかわる用語は、洋の東西問わず、どうにも不自由である。非負 (non-negative) のような言い方は見苦しいだけでなく、論理的にも問題がある。いっそのこと、零も含めて正とよび、零を含めない正は別の言い方、例えば真正とか、にした方が幸せかも知れない。実際、作用素解析方面では、そのような使い方になっている。

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