昭手口62年1月13日
係数u…・一…・1

保険数学1（問題）1．1，＝o」エ｛O≦冗≦o〕，eo＝60の定常人口の祉会において，ある時以降，出生者数が半分になってしまった。

この時から号年後の平均年齢は何歳上昇したか計算せよ。

ただし死亡率には変更がないものとする。

2．次の給付を行う保険期間n年の保険を考える。
ω

保険期間中の死亡に対しては，その保険年度末全期チルメル式責任準備金を年度末に支払う（各年度末の全期チルメル式責任準備金は正とする）。

12〕潜期まで生存した時は保険金1を支払う。
この時，この保険の年払営業保険料を求めよ。
ただし，付加保険料は新契約費1α〕のみとし，チルメル歩合は新契約費に等しいものとする。

次の給付を行う保証期間n年の夫婦年金保険を考える。

3．

同

保証期間中……年金額Aを支払う。（夫婦の生死にかかわらず）

同保証期問後^幾㍍；；；1工芸駕幾11

ただし，一時払保険料払込と同時に年金支払を開始するものとし，契約時年齢は夫κ歳妻ツ歳とする。
また年金は年始払とし，付加保険料は考えないものとする。
この時，下記は〕〜13〕の間に答えよ。

この年金保険の一時払保険料を求めよ。

ω第4保険年度末責任準備金を保証期間中（12〕＜n），保証期問後（f≧m）の別にそれぞれ次のケースについて結果のみ記せ。

1イ〕両者生存中（責任準備金を1口1夫のみ生存中（〃〃一〃）

（〃〃〃）

〃）

レ→

H13〕

妻のみ生存中

両者死亡後（〃〃とする）12〕の結果を利用して，次の漸化式が成り立つことをC＜加の場合に証明せよ。
γ1＝λ十岬，。、ρ甘。ザ。1γ十岬，。吻。ピー。1γ，斗叱。〃凹・ピ1・1γ3＋岬，。吻十ピ岬1γ4

一69一

｛呆曇生Il

4．契約暗（契約時年齢κ歳）より経過

年で死亡した場合には，保険金∫いて，鈍保険料は終身連続払で年額Pとし，経過｛年の責任準備金を・・2を即時に支払う終身保険におとする。

このとき，等式
r州ψlT〕μ用料∫r・1篶ψlT〕・ω，、r・㌧ρ三丁〕〃

d！

＝Pが成立することを示し，式の意味を言葉で説明せよ。
ここに、。9〕一。一∫：（■｛・阯・〃μ叶・＝｛莇十；歳における死力）ω皿・Fl工十1歳における解約による瞬間脱退率）とする。

次のA，B，C3間のうち，1間を選んで解答せよ。

5．

A

保険金即時払の一時払養老保険において利カボを利力5w≧6〕に変更するとき，次の式が成り立つことを証明せよ。

｛1㌦バ・二月十・〕い帆仙同・
12〕

念・去（w一・〕μいへ旧・1）
ここに瓦、司は利カδによる一時払保険料を，瓦、司は利カδる。

一70一による一時払保険料を表わすものとすf呆数I一・・…

B

3

次の年金制度を考える。
a．被保険者はκ歳からκ十m−1歳の間で生命表の生残数！，、、人で分布し，この人数は変らないものとする。すなわち，毎年1。人加入し，1三、十，、人ずつ脱退し，この間の脱退は死亡者以外ないものとする。

b．保険料は年ユ回年始払とする。
C．給付は老齢年金のみで，支給開始年齢がκ十一n歳の終身年金（年ユ回期始払）とする。年金額は保険料払込回数に応じて生ずつ増加し，κ歳からκ十π一1歳までのn回の保険料が払い込まれたときに王になる。
この時，は〕単位積立方式（Unitcre砒method）による1人当りの正常費用（Normaユ。ost）Pは冊一1去Σ！。十ピ。一11孟用

P二 ！O
記一一

Σし十1三〇であることを示せ。

②

開放基金方式（Openaggregate

nomalmethod）による1人当りの正常費用Pn−1
去Σ（皿一〕ら十ピ皿一1I札十1＋着し。1面晶P㌧』oπ州五，十1、司十糾読州＝oΣであることを示せ。
13〕

P＝Pを証明せよ。

一71一は

｛呆数II・…

4C．m件の保険契約を保有している会社がある。
この会社の保険契約の保険事故発生確率9および保険事故が発生した時の支払保険金額の分布関数
ρ（π）は次のとおりである。

口三〇．02峠／1一一1沙〕
この会社の支払保険金総額8（確率変数）については，到8〕を5の期待値とすると、
P肋｛O・8則5〕≦5≦1・2列5〕｝＝0・90が成立っているという。

この時，この会社の保有契約件数を求めよ。

なお，確率変数∫の分布は，正規分布で近似できるものとし，必要ならば次の数値を用いよ。

｛α・・・…

去∫二九一α・・

ゼ・一α・・…

去∫二｛一α1一72一保再彙菱交学工I

1．現時点の平均年齢X

X− ＝（角奉答汐u）はa。2．ydy
∫z．dy

＝a／3

oa／2

年後の平均年齢アは去X二a／22y ydy ＋a∫。

∫2ソydya去∫㍍dy＋

∫〜dy

11。／。

o1a／Z

11。

一〔一ay2一一y3〕 十 〔一a y2一一y3〕。
23・／22 2311 。。。
1 。
一〔ay一一y2〕 十1ay一一y2〕2

二よって・X

2a3／85az／16．

＝2a／5

一X二a／15歳高齢化したことになる、ここで、ε。＝60よりaを求めるとaさ。＝∫fソdy／1。
○：・／2

故に、8歳高齢化したことになる。

一73一．・．。＝1202m

2．営業保険料をPP、平準鈍保険料をPとすると
α．
p＋≡自x：司であるから、チルメル式責任準備金を。VP一α＝

リqx・一VP十tV：

リqx＋tとすると、次が成り立つ。

＋・t，1V

opx・1V＋りp克、t・t，1V（1≦t≦n−1）
邸ち、P・一α

一P・十、V＝±り・、V．．＿．．①。．、、、V（1≦t≦n−1）．．．。．．②②の両辺に0tを乗じたものと①を合計するとPn−1・Σ

りt一α＝

un・血V

＝

りnt＝0on＋．

．

Pα＝

葛司
3．

（1〕②

A（葛刃十血一身x）十B（（保証期間中：t＜ntV1≡A・（葛n＾la−y）＋＾一t1葛x・t

B・（n−t1会y．tA・（身n＋n−t1身x・ttV3＝A・＋tV4：A・）十−n−t1身x・t：y・t）

tV2＝

身n一血I葛w））B・n−t1易y・t

自n

一74一

（保証期間後：t≧ntV1＝A・自x，t＋13）

tV2＝

A・自x，ttV3＝B・ay，t．V4＝0）

B・（身ソ、t一身x，t；y．t）

次の①から④の等式が成り立つ。

会同＝＝

1＋じ・葛m1＋o・（Px，tPy，t＋Px＋tqy＋t＋q蘂、tPソ、。十q。、。q。、。）・身m・・①。一・1会。・・一・・P・・パ・一・一1い・…1一。・。、、、・1。、、、・。、、、）・、．、．、；自、、、、、…・②。一・1白州一・・（P舳十q北・・）P・・パ・一・一11葛・…1・…⑧。一・1萬。。w。・一いP…P・・パ加一・一1い舳・1：州1・…④。V一二A×（①十②）において右辺をりq。、ttV1＝A

B×（⑧一④）

いp、、、p、、、，い古、、tPy，t，り＋

十q荒、to・Px，tq、、、

qy．tについてまとめると、

Py，t・（A・自m＋A・n−t一一自更・t・1＋B・叶t−llゑソ・t・1−B・n−t−1自x・t・1：y・t・一一75一）

十o・Px・tqt（A・am＋A・＾一t−l1自■・t・1）

十〇・qx・tPt

十〇・qx，tqy，t（A・葛西十B・n−t一一ay．t・1）（A・葛m）…A＋り・P、tPy，t・t，1V一

十〇・Px．tqy，t・t、一V2＋o・qx，t＋リ・qx，tqy，t・t，1V4

Py，t4．

tA。…三り皿・S皿・血P。・μ。、皿du…・①ota。＝∫パ・。P．du0・…②

とおくとP＝A。。／a。。

…・③

またV。を過去法で表現するとot・。P。・V。＝P・a。一A。

・…④

ωt
tpx＝exp（一∫ωx、山d口）とおくと、

o（T〕

tpx＝tpxoo∫ot・St・tpx・ωとなる。

（T）・μ■、tdt

tPx

Ooo
ω
＝∫ tPx ・（ot・St・tPx・μx，t）dtoω

◎o＝〔tpx・At〕
o◎oω

十∫tpx・ωx，t・At砒
o一76一・t，1V3ω◎o二。op、・A。。十ω∫At・。p、・ω。、tdt…．⑥o◎o∫りt・Vt｛T）・ωx，t dt・tPx

0◎o＝∫（りt・Vt・tP五）・tPx

ω・ωx，tdtOoo＝∫

ω（P・at−At）

・tPx・ω蘂、tdtoooω

◎o＝P・∫at・tpx・ωx，tω

dt一∫At0・tpx・ωx，tdt

0

…・⑥
◎o

∫ot・（T）

tPxd士

0
◎o
二∫

tPx

ω
・ （ot ・ tPx）dto
二ω〔tPx・at〕◎o十∫oo00ω

＝。oP。・a。。

ωtPx

・ωx，t◎o・atdt

ω十∫a。・tP。・ω。、t砒・…⑦0⑤，⑥，⑦より

ωooω（等式の左辺の分子）＝。。p、・A．o＋P一・∫a、・、p、・ω、、、dto二p・ωω◎◎（o◎Px・aoo＋∫atooo（等式の左辺の分母）＝。。p。・a。。十∫ao．

D（等式の左辺）昌P

−77一

ω

・tP克・ωx，td亡）
ωt・。p。・ω。、td亡

この等式の意味するところは左辺が解約による脱退率まで基礎率に反映した場合の保険料を表しており、死亡に対する保険金支払の他に解約に対して責任準備金を支払えば、その保険料は解約を考慮しない通常の保険料に一致することを示している。

5−A．
ωThieIeの微分方程式を瓦。、。：同，私、。：同一亙x，t：n＝

ddt（μx，t＋δ）

亙x，t：岡一μx，tddt（μx，t＋δ）

一亙二十tミ岡＝に適用すると

瓦二、t：n一μx，t2式の両辺を差し引くと
d一（亙x，t：n一亙！、t：岡）dt＝（μx，t一（δ＋δ一δ））（亙x，t：n一頁二、t：n）

亙x，t：n五。、。。n＝tV，酉。、。：同一凪、。：n：△tVにexp（一δexP（一δ・t）

二exp（一δ一（δ．

D・t）・。p。
・tPx・t）

exP（一δ・t）

・tPx−exP（一δ，・t）

d・一△tV
dt・tPx一δ）exP（一δを乗じると（μx，t＋δ・t）・tPx・）△tVtV

d・一△tV
dt・tPx（μx，t＋δ一78一）△tV

とおいて、両辺

＝一（δ．・D一δ）exP（一δd一｛exP（一δ，・t）
dt＝一（δ・t）・tPx一δ）exP（一δ・tPx・tV・△tV｝・t）

・tPx・tV

両辺を◎からnまで積分するとexP（一δ㌧n）・nPx：一（δn∫exP（一δ0一δ）

・△、V一△oV・t）△、V＝0，△oV＝五x：司一互二：司，・tPx・tV砒

tV二頁x．t：nを用いて書き直すと
酉蘂：司一五二：司二（δn一δ）∫exP（一δ・t）

・tPx・Ax．t：同砒0（2）F雪互x：司一五二編

一（δ＾一δ）・凪細・∫eXP（一δ・t）・五舳：n砒0とおき、（1）の結果を用いるとF一（δ㌧δ）．1＾ A、。（二δ・．・）・、。、・酉、、、、ndt
O一（δn一δ）・凪；司・∫exP｛δ・（n−t）1・酉。。・：ndtO≦（δn一δ）・∫eXP（一δo・t）・X。。。。同dt

一79一一血（δ一δ）・酉二：司exp（δ・n）・∫

exP（δ・t）・酉x，t：ndto＝n一δ）・∫eXP（一δ〈δ・t）

・酉x，t：ndto・（1一亙二：司≧exp（五二：司・exp（δ・n））

δ

1一頁二：司・exp（δ・n）

より・n）≦0，n一δ）・∫exp（一δ・t） ・酉x，t：n砒≧O だから F≦00したがって、F（≦O）を 酉。；司・凪：司 （〉O）で割って変形すると
また（δ

11≦；×

酉二：司瓦x：司n一δ）・∫explδ
o〔！＋（δ・（n−t）1頁。、。：ndt〕

5−Bω

単位穫且方式による被保険者全体の正常費用は、毎年全被保険者が単位年金額1／nを買い増すものとして計算されるから、被保険者全体の正常費用は
血．1

1

Σ2x．t
t＝o

1

n．一（一・叶t；自x＋t）＝一・Σ2x・t・n一一身π・tnnt白。

山一一

今・被保険者の数は

ΣZ・、・だから・1人当りの正常費用Pはt＝01p二。．1

一・ΣZx＋t・血一tiゑx＋t
n t＝O＾一1Σ2。、。

t＝o

一80一12）開放基金方式では、現存者に関する将来勤務債務と将来新規加入者に関する債務との合計頷が現存者と将来新規加入者に関する収入現価に等しくなるように1人当りの正常費用を定めるのだから、Pは次のようにして求められる。

（現存者に関する将来勤務債務）

X＋t歳の人が今後積み上げる年金額は（n−t）／nだから
n−1

Σ2亜十t・（t三〇n−t・叶t；ax＋t）＝n1。一1

一・ Σ（n−t）・Z五十t・＾一ti会x＋t
t＝on（将来新規加入者に関する債務）

k年後の新規加入者1人当りの債務は、加入年齢がx歳で年金額が1だカ、ら、

oh・一〇1首x

したがって、女べての将来新規加入者に関する債務は
oooo

Σ1・・（パ・一自・）一（Σ・k）1・・。」筥。
k！0k＝O＝o一・3・・■自。

d（現存者に関する収入現価）
皿一1

誠一1

ΣZx，t・（P自x、n）：P

t…o・Σ2x，t・身x，t：nt＝o（将来新規加入者に関する収入現価）

k年後の新規加入者1人当りの収入現価は、0ko◎（P自。：司）だから

ooΣ2x・リk（P・貞x：司）＝P

止＝O・（Σok）・2x自x：司
t＝0

一81一

o＝P・一・x・自x：司d
以上の結果から1。一1ーΣ（n−t）・1・・…

リ
一・1自舳十一・1パ・la・nt；o＝P・dn−1リ（Σ2x，t ・葛x，t：n＋一・2x・ax：司）t＝od1。一〇一事（nべ）・1出・。一・1ゑ…十一・1…
P

呈nt；od

＾一り

t二〇d

1萬・

ΣZx，t・幕吏、t：n＋一・2x・身x：司13）

Pの分子＝一1＝一1。一1nt＝ood

Σ（n−t）・2。。。・。一。い。。。十一・2。・。i自。

。。一1。．ti1＋i）・Σ（n−t）・ot＝on・2x・一ax＋一一・・一身蜷d1n。

りd1n

山1d。、lod＝1一一（1÷i）・（1・）司十一1一パ。1葛・呈1一（1＋i）・一（6司一n・）十一い1パ。1着。

一82一！1

一一・一・dn。

i1＋i）・・パ1パ。1首。

11。．一t＝

一・一・Σ（1＋i）・2北・n1着x＝

一・一・Σ〜x＋t・n−tlax＋tdntミ011。一一dnt＝on一一Pの分母＝

Σ〜x，t・倉x，t：同十一・2x・自x：司

t：o：d一！。．1

血一む

dt＝ot＝od

皿一1n−1
一｛Σ2x，t−0Σ （Zx，t・自x，t：亙＝ロー

一（Σ㍍、t一ΣZx．t・Ax，t：n）十一・2x・負x：刃！

＝dt＝ot＝o2。、。、1・易。、。、1：正）十リ・2。・自豆：司｝1。一1＝一・ ｰ2x，tdt＝o11。一1

一・一・ ｰ2x＋t・山一ti自x＋t．

DP1＝

dnt＝o＝P

ユ加．1
一・ｰ三。、。

d−t1o

一83一

5−C
F（x）の密度関数は

f小11・仙1111〆
0（100＜x）

だから、F（x）の平均値μ，分散σ2は！一七ヨμコ＝19．86524

0，05

1−2×5xeσz5一（e−5）z＝

二373．02984

0，052

今、Iを給付発生の有無を示すindiCatCrでI、ピ（確率1−q）（（確率1q）とし・Xを1契約の給付金の支払額を表わす確率変数とするとE（XiI）二E（X，I＝1）

Var（XlI）＝Var（Xl・I＝μ・I

I−1）

・I＝σ2・I∴E（X）二E（E（X＝I））二E（μ・I）＝μ・q＝19．86524×O．02＝O．39730

Var（X）二Var（E（XII））十E（Var（XiI））＝μz・q・（1−q）十・σz・q＝19．865242×O．02×（1−O．02）十373．02784×◎．C2・15．19530

E（S）：nE（X）
Va平（S）＝nVar（X）

与式から

0．90＝ProbξO．8E（S）≦S≦1．2E（S）｝
一84一

0．2E（S）
＝Prob

≦Var

1、1S−E（S）

l一exp

一a凧oo
＝1．2．1S

1x2

SVarXz）dx

oo

1

∫

X2exp（一a凧）

2

dx＝O．05

0．2E（S）．。

＝1．645

a＝Var
E（S）

Var

S＝SnE（X）

胴）二πE（X）だからπσζ）^11145パ；ll11美一1・11・・一・1！・・一一85一S／・」等（；）〕）dx

eXp（一a爪即ち、Var（一◎．2E（S）≦