FEATURE

Kavli IPMU 主任研究員

野村 泰紀のむら・やすのり

専門分野：理論物理学

量子重力と量子情報

空間や時間の性質を理解することは物理学に多くの革命をもたらしてきた。古くは、デカルトに帰されるじる。地球はその歪んだ空間を進むために、太陽の周りを回る運動をすることになるのである。

事の多い座標系の導入、それはガリレオ等の貢献を経

この時空に関する画期的な理論は一つの重要な予言てニュートン力学の完成につながった。そして20世をする。それは、時空が動的であるためにその歪みが紀初頭には、アルベルト・アインシュタインが空間と物質の存在と独立に伝搬し得るということである。例

時間をある意味で統一する特殊相対性理論を提唱しえば、ブラックホールなどの重い天体が激しく動いたた。この理論によれば空間と時間は密接に関係してお時には、時空は大きく撹乱される。そしてその効果は、り、例えば光速に近い速さで動く物体の長さが縮んだ時空の歪みの波となって元々の天体から遠く離れた所り、時間が遅れたりという現象を引き起こす。現在でへと伝搬して行くことができるのである。この時空のはこれらの効果は実験で精密に測られており、疑う余歪みの波は重力波と呼ばれ、一般相対性理論の成立地はない。この時間と空間を統一的に扱う「時空」とからほぼ100年後の2016年に初めて直接検出された。

いう概念は、現代物理学において今日に至るまで基本

これは実験的に極めて重要な発見であり、その業績に的な役割を果たしている。

対して2017年のノーベル物理学賞が与えられた。

時空の極めて重要な性質の一つは、特殊相対性理論の成立から約10年後、アインシュタイン自身によって明らかにされた。この一般相対性理論と呼ばれる理

量子重力理論論によれば、時空とは通常座標系と言ったときに想起ここまで見てきたように、我々の空間や時間に対すされるような固定的なものではなく、曲がったり歪んる認識はここ数百年の間に大きく変わってきた。しかだりできる動的なものだとされる。そしてこの時空のし、実はこれで終わりでないことははっきりしている

曲がりや歪みこそが、我々が重力と呼ぶものの正体でのである。それは、我々の住む世界が量子力学に従っあることが示される。
例えば太陽と地球の間の重力は、ていることによる。

太陽の存在がその周りの時空を歪めることによって生

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量子力学とは、20世紀初頭に原子などのミクロなKavli IPMU News No. 43 September 2018

世界を調べる過程で発見され、後に我々の世界を支配に一般相対性理論と量子力学を一緒に考えればよいわする基本的な原理であることが明らかになった法則でけではないことを意味している。この問題を解決するある。量子力学は数々の奇妙な予言をする。例えば、ための現在最も有望な理論は超弦理論と呼ばれ、その電子などの物質は一般に一つの場所に存在することは構造や帰結は多くの研究者によって精力的に調べられできず、その存在場所は確率的に広がっている（このている。

広がりは通常とても小さいので、日常の生活で我々が時空や重力の量子力学的理論（一般に量子重力理論それを直接知覚することはできない）。また、二つのと呼ばれる）を研究するもう一つの理由は、それが時世界を確率的に重ね合わせたりすることも可能であ空に関して革命的な知見をもたらすからである。以下る。これらは我々の感覚からするととてつもなく変な本稿でも紹介するように、量子重力の効果はプランク現象であるが、この理論の正しさは実験で繰り返し確長のみで重要になるわけではない。それどころか、ブかめられてきた。それらの実験の精度は近年飛躍的にラックホールの物理やマルチバース宇宙論といった長向上し、現在では量子力学の予言はその詳細にいたる距離での物理にも決定的になることが分かってきたのまで極めて精密に確認されている。さらには、量子力である。しかもこの比較的最近の進展は、個別に発展学の原理を積極的に利用した従来とは全く違う能力をしてきた量子重力理論と量子情報理論という二つの分持つコンピューター（量子コンピューター）の開発も野を統一した新たな研究領域を作り出そうとしてい進められている。

る。以下では、それを大まかに概観してみようと思う。

話を時空に戻そう。一般相対性理論はニュートンの重力理論からの微細なずれ、重力波の存在、果ては宇宙膨張の予言に至るまで、現在までの観測を全て矛盾時空の量子力学とホログラフィー原理なく説明する。この理論の我々が現在観測し得るス始まりはブラックホールの物理であった。一般に重ケールでの正しさは、ほぼ疑いようがない。しかし、力理論では、物質の密度がある限界を超えて大きくな

一般相対性理論には我々の住む世界の基本原理であるるとそれによって引き起こされる強い引力のため、そはずの量子力学の効果が入っていないのである。これのまわりの領域から何ものも逃れられなくなるというは実験的に喫緊の問題というわけではない。時空の量現象が起きる。
この領域の境界を事象の地平面と呼び、子効果が直接重要になってくるスケールは理論的に評価その内側がブラックホールである。

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ブラックホールに関しては、以下のような不思議なである。これは現在最先端の加速器で探索された最小性質が知られていた。一般相対性理論では、ブラックの長さよりも約16桁も小さい。では、時空の量子効ホールの事象の地平面の総面積は減少しないという事果を考えるのは意味のない事なのであろうか?

実である。例えば、ブラックホールが物体を飲み込んでき、それはプランク長と呼ばれる長さ、約10理論的にはそうでないと言える数々の理由が存在すだときには、その表面積は増大する（以後、ブラックる。その一つは無限大の問題である。量子力学と一般ホールの表面積といった場合には事象の地平面の表面相対性理論は折り合いがあまりよくない。我々のス積を意味する事とする）。また、二つのブラックホーケールでの重力理論が一般相対性理論であるとするルが合体して一つになったような場合には（この現象と、時空や重力に対する量子効果が重要になってくる、最は2016年の重力波の検出で実際に観測された!）プランク長以下では、理論に無数の無限大が現れ予言終状態のブラックホールの表面積は必ず始状態の二つ可能性が失われてしまう。これは、時空や重力の量子のブラックホールの表面積の和と同じかそれより大き効果を含む完全な理論を手に入れるためには、ただ単。
い（図1参照）

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A2
A3
A1
A3 ≥ A1 + A2
図1 2つのブラックホールが合体してできた終状態のブラックホールの表面積（A3）は、元々のブラックホールの表面積（A1とA2）の和と同じかそれより大きい。

このことの決定的な重要性は、1973年のヤコブ・ピーは、元々のブラックホールと物体のエントロピーベッケンシュタインの革命的な論文で明らかにされの和と同じかそれより大きいことを示すことができる。

た。ベッケンシュタインは、ブラックホールに物を投この、ブラックホールがエントロピーを持つというげ込んだ時に物理量にどんな事が起こるかを考えた。

アイデアは、当初、懐疑的に受け取られた。もしブエネルギーに関しては明らかである。投げ込んだ物質

ラックホールがエントロピーを持つなら、熱力学の第が持っていたエネルギーはブラックホールの質量にな一法則から温度も持たなければならない。しかし、温り、エネルギー保存則は保たれる。しかし、エントロ度を持っているならば輻射を放っているはずである。

ピーに関してはどうだろうか? 熱力学の第二法則によブラックホールからは何も出られないのではなかった

れば、エントロピーは減少しないはずである。しかのか? しかしこの一見した矛盾は、1974年にスティー

し、投げ込んだ物が持っていたエントロピーは、物がヴン・ホーキングが一般相対性理論に量子力学の効果ブラックホールに吸収されることによって、一見なくを入れた計算をすることにより解決された。ホーキンなってしまったように見える。これは、熱力学の第二グが使ったのは完全な量子重力の理論ではなかった法則が破れたことを意味するのだろうか?

が、それでもブラックホールが量子効果によって実際ベッケンシュタインが1973年の論文で唱えたのは、物の持っていたエントロピーはブラックホールのエンに輻射を放出することを示すことができた。これによってブラックホールの熱力学は確立した。

トロピーに変換されたのだということである。では、ここで奇妙なのは、ブラックホールのエントロピーブラックホールのエントロピーとは何であろうか? 彼がその表面積で決まっているという事である。ブラッは、事象の地平面の面積がそれであると提唱した。事クホールというのはあらゆる物質の最終状態であるか象の地平面の面積の総和は減少しないという性質を思ら、ブラックホールのエントロピーは「その領域が取い出してほしい。これはまさにエントロピーが満たすり得る最大のエントロピー」を示しているはずであべき性質である。実際にブラックホールのエントロる。現代の我々は、エントロピーというものはシステ

ピーをこのように定義すると、物をブラックホールにムが取り得る可能な量子状態の対数で与えられること投げ込んだ時の終状態のブラックホールのエントロを知っている。もし空間というものが通常の物体のよ

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うに単純なつぶつぶで構成されているならば（例えばな空間に近づく時空上の物理を記述する量子重力理論

空間を一辺がプランク長の格子で近似できたりするな

は、一つ次元の低い、重力を含まない時空の上で定義

らば）、ある領域の最大のエントロピーはその体積にされた共形場の理論（CFT）と等価であると提唱した。

比例するはずである。しかしベッケンシュタインとこの関係は、AdS/CFT 対応と呼ばれる。

AdS/CFT 対応は、それが特殊な時空にのみ当てはホーキングの発見は、それが領域の表面積に比例すると言っているのである。

まるのにもかかわらず、極めて強力な機構である。ま

これは重力を含む量子理論においては、基本的な自ず、共形場の理論は我々のよく知っている量子的場の由度の数は一見した空間の次元よりも一つ少ない次元理論の一種であり、数学的に厳密に定義されている。の分しか存在しないということを意味する。例えば、

このことは、我々の実際に住む時空とそう遠くない時我々の住む空間は三次元だが（ここでは小さな余剰次空（漸近的 AdS 空間）の量子重力理論が初めて摂動元は無視する）、これを記述する「真の理論」は空間論によらずに定義されたことを意味する。また自然界

二次元プラス時間一次元の世界で定式化されるというを記述する際に使われる数々の理論（核力を記述することである。こんなことが可能なのは、もし空間の各QCD や固体物理で使われる理論）は、強い結合を持点（例えばプランク長の格子の交点）に物質を詰めてつ共形場の理論でよく近似される。こういった強い結いこうとすると、それが埋まるはるか以前にブラック合を持つ理論は一般に解くのが極めて難しいのだが、ホールができてしまい、さらに物質を足すことはブAdS/CFT 対応を使えばそれを一つ高い次元の重力理ラックホールを大きくすることにしかならないからで論として、一般相対性理論を使って近似的に解くことある。つまり我々の空間に三次元分の自由度があるとができる。そして何にもまして、この対応は重力を含いうのはフィクションに過ぎないのである。

む時空が次元の低い非重力理論からどのようにして生

この、量子重力理論は一見した時空よりも低次元で定式化されるという概念は、ホログラフィー原理と呼成されるのかについて、ホログラフィー原理の具体例を与えてくれる。

ばれる。そして、そうやって定式化された理論では、この動的時空の生成メカニズムは多くの研究者たち

見かけの自由度と真の自由度の数の乖離はないため重によって調べられたが、その過程で極めて重要な発見力は存在しない。つまり、その理論は通常の量子系と（りゅう・しんせい）と高柳 匡（たかやが日本の笠 真生して扱うことができるため、量子重力理論の厳密な定なぎ・ただし）によってなされた。彼らが見つけたのは、義を与えることができる。これはかなり突拍子もない

AdS 空間の幾何学と CFT の量子状態の間の次のよう結論である。こんな事はとても信じられないというの。共形場の理論で、ある時な関係である（図2参照）

が普通の感覚ではないだろうか。

間における空間上の量子状態を考えたとしよう。いま- に分けたとす
その空間を領域 Aとそれ以外の領域 A

AdS/CFT対応
ところが、実際に量子重力理論はこのホログラ
フィー原理を満たすことが、ある特別な場合に関して- の間のエンタングルメントエントロピー＊は、ると、AとA領域の境界に固定された AdS 空間中の面のうち最も面積が小さいもの（より一般には面積が極値を取るも- の間のエンの）の面積で与えられる。ここで、AとAではあるが、示されてしまったのである! この発見は- の領タングルメントエントロピーとは、A の領域とA超弦理論の性質を調べることによりなされた。1997

域の自由度の間の量子エンタングルメント（量子もつ

年、フアン・マルダセナは数々の証拠に基づき、無限れ）の度合いを表す量である。

遠で漸近的に反ド・ジッター（AdS）空間という特別＊

Kavli IPMU News No. 31の裏表紙参照。

29Featureホログラフィック
次元

時間空間

A
図2 共形場の理論に現れる量子状態の、空間領域 Aとそれ–以外の領域 A の間のエンタングルメントエントロピーは、領域の境界に固定されたAdS空間中の面のうち面積が極値を取るものの面積で与えられる。

この笠-高柳公式と呼ばれる関係の重要性は、ただうに生成されるかについて基本的な描像を与えてくれ

単に二つの量を結びつけたというだけではない。まず、る。一つの比喩としては、以下のように言うことがで

AdS 空間内の面という幾何学的な量が CFT におけるきるだろう。いま、動的時空を液体の水に見立てたと純粋に量子情報的な量と結びついたことは、動的時空する。我々の知りたいのはそのミクロな成り立ち、つの生成メカニズムが極めて量子力学的であることを意

まり水分子やその間にどのような力が働くかである。

味する。また、量子重力の理論はホログラフィー原理

そのためには、水を連続体とみなしたときにその上のにより低次元でのみ定義されるという見方をとれば、摂動として起こる現象、例えば水の波を調べてもあ

これは我々が時空や重力と認識しているものは、根本まり役には立たない。これらは流体力学のナビエ‐ス的には基本理論の量子状態の量子情報的な性質にすぎトークス方程式で記述され、ここでそれに対応するのないということを意味する。実際に、笠-高柳公式をは時空を連続体とみなすアインシュタイン方程式であ使うことにより、低次元の理論の量子状態の量子情報る。これに対して AdS/CFT は水分子やその間に働く的性質から高次元の AdS 空間まわりのアインシュタ力の正体（CFT）を示してくれる。ただし、水の例とイン方程式が自動的に生成されることも示すことがで時空の場合の大きな違いは、時空の場合にはその構成きる。

物がなぜか一つ低い次元に住んでいるということであ

このように、AdS/CFT 対応は我々の時空がどのよ30る。

Kavli IPMU News No. 43 September 2018

AdS/CFTを超えてか?
私たちのアイデアは、一般相対性理論を「実験」とここまで見てきたように AdS/CFT は非常に強力でして使うというものである。具体的には、私たちは一あるが、我々の実際に住んでいる時空は漸近的 AdS般の時空においても低次元理論の量子情報と生成され空間ではない。一方でホログラフィー原理の方はブる時空の幾何学とが対応するという仮定の下で、量子ラックホールの考察からも分かるように、より一般の情報理論的に正しいとして要求される性質が幾何学的時空において成り立つと考えられる。では、一般の時にどのような性質に対応するのかを調べてみた。結果

空でのホログラフィー原理はどのようにして実現されは今までに知られていなかった、時空の満たすべきているのだろうか? この問いはいくつかの研究グルー数々の奇妙な不等式や単調性であった。もし元々の仮プにより調べられているが、以下では私たちのグルー定が正しければ、これらの性質は一般の時空で満たさプの行った仕事について簡単に紹介したいと思う。

れなければならない。そして実際に、私たちは一般相出発点は、AdS/CFT に内在する性質のうちのどれがAdS 空間に特有のものであり、どれがより一般に対性理論を使ってこれらの性質を証明することができたのである。

当てはまるものかを識別することである。
例えば、様々重要なのは、もし一般相対性理論が私たちの見つけな考察から低次元の理論が CFT のような局所的な場た奇妙な性質を満たさなかったならば、元々の仮定はの理論であるというのは、漸近的 AdS 空間の特別な棄却され得たということである。つまり、一般の時空性質によるものだと考えられる。では、AdS/CFT のにおいても低次元理論の量子情報が動的時空の起源で性質のうちのどれがより一般のホログラフィー原理のあるという仮説は、一つの非自明なテストを通過した現れなのだろうか?

ことになる。これは、我々のホログラフィー原理およ

私たちは数々の示唆に基づいて、笠-高柳公式に代表される低次元理論の量子情報と高次元量子重力の幾び量子情報と量子重力の間の関係に対する信頼をより確かにするものである。

何学の関係が一般的だとの仮説を置いてみた。一般の時空に対する低次元理論はまだ知られていないので、これにはベッケンシュタインとホーキングの結果を拡まとめ張したエントロピー境界などを使って理論の本質的要以上本稿で述べてきた AdS/CFT を含む量子情報と素を抜き出したりする必要があるのだが、その詳細は動的時空との間のホログラフィー原理に基づく関係字数の都合で割愛する。いずれにしても、アイデアはは、私たちのグループに限らず多くの研究者たちにこの仮定のもとでどのような帰結が得られるかを調べよって調べられており、日々重要な発見がなされていることで、仮定の妥当性を検証しようということである。
そしてこれらは時空とは何かという問いについて、る。

根本的に新しい回答を提示しつつある。願わくば、こある意味でこの方法論は、例えばマックス・プランの量子重力理論と量子情報理論の交差するところに生クが量子力学の創設時にエネルギー量子仮説を置いてじた新たな研究領域が、我々の時空に対する一般的でその帰結を調べてみたことに対応する。しかし、プラより深い描像を明らかにすることを期待したい。

ンクの時には黒体輻射のスペクトルという、理論的帰結と比べるべき実験が存在した。一方、量子重力の場合は相当する直接の実験結果は存在しない。では、どのようにして仮説の妥当性を検証すればよいのだろう

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