1992年12月17日
像渋数学2・・・…

保険数学2（問題）
1．次の（i〕から｛5〕までについて、それぞれ五つの選択肢の中から亜しい答を一つ選んで、所定の解答用紙1こその記号て｛＾）から｛E〕のうちいずれか一つ。〕を記入せよ。

｛ω点，（リ保険期間η年で、侠）が（カより前に死亡したときはその年度茱に保険金1を支払って消滅し、ooが㈱より前1こ死亡したときはその年度末に既払込営業保険料を返還して消滅する保険の年払営業保険料P．｛保険料は契約が継続している限り払O一、込むものとする。〕に最も近い値を求めよ。但し、P一（純保険料十。）O＋k）とし、o（1＋k〕＝0．00！1．

自。。！i田12．9974．O＋りA＾，！司端O．0218．（1＋k〕｛lA〕。；！i（A〕O．OO1O｛B〕O．0013（C）O．0022

O．062目とする。

｛D〕O．0028｛E）O．0032｛2）終身払込淡身保険（保険金額1、保険金期末払）について、初年度定期式責任準備金・V■｛上≧リに等しいものは次のうちどれか。
a■｛＾〕1一一．一a■．一｛B〕1一目■a＾．1a＾．一｛C〕1一1！■1a＾＝■1｛D〕1r

萬■

一＿1

自■｛E〕五一自■十一

自■十1｛3）30年満期養老保険｛保険金額1、保険金即時払、保険料全期払込・年払〕に30歳で掬入し、3年経過時点で解約返戻金・Wに基づいて延長定期保険に変更する。変更時点からの延長期間をTとするとき、n≦Tくn＋1｛年〕を漬たす整数
ηは次のうちどれか。

但し、

lO−1い≦10）10。W＝、V−0020。Vは統保険料式責任準備金とし、延長足鰯保険の予定事業貴は、保険金iに対し毎年O．OO1とする。また、計算基数は下表で与えられているものとする。
3330蝸47604950

516872．2

6州8．3

6122．93546．6

目67壇7．1

42859．2

48｝

D＾

19649．

16690．

8146．9N，338603．

282722．

123270．5115123．6107423．4100147．6

M．

2051．川2003，346王767．1241744．5641τ20，979工696．0901669．7（A〕工3｛B〕工47700．2｛C〕i57275．暑｛D）i693275．4

I舳．826i3〃．8I2｛E）17｛4）x歳契約の一時払即時開始終身年金が多数あり、すべて同一日に契約されている。第t保険年度始の契約はj…・一1排、年金年額はすべて1とし、その年度の実際死亡率はq一．。．1三〇．0035、予定死亡率はq、、．一＝O．0065、予定剰率は5％とするとき、この年度の剰余金はOであるという。この年度の実際利回りに最も近いものは次のうちどれか。但し・死亡以外の脱退はないものとし、予定事業資および実際婁業貸はOとする。
｛A〕5，302％（B）5，307％（C〕5．3王2％（D〕5．3〃％

一22一｛E〕5，322％

1保険数学2・・｛5）連続払復帰年金の一時払保険料7。一，川に一致する値は①〜④の中に何個あるか。

①1：・一へ・舳・②ll・一へ・一・1…・す一・t③11刑…l1−1μ…市・一川④百…・小一11・・一μ一一τ…・t

｛A〕O個

｛B〕1個

｛C〕2個

｛D〕3個

（E〕4個

2．皿歳カロ入n年定期保険｛保険金額1、保険金期末払、保険料全期払込、11＞1〕1こついて、標準体の死亡率が｛q。．J、特別条件体の死亡率が｛q一｝に従うものとする。｛k＝O，1．…

．η一1〕

この保険について、次の悶に答えよ。

（20点〕｛1〕2つの死亡率｛q・＾｝および｛q一、Jに基づく年払平準純保険料をそれぞれPおよびPIとするとき、

P−P＝1
Σ刊D｝、パqH、一一q．、一）｛1一一、lV〕 となることを示せ0
N！一N一、、（2〕q；＾＝｛三十皿）q・＾の場合、標準体と特別条件倣とで年払平準純保険料の額に差が生じないように、特別条件体に対する保険金額を1からβだけ削減することとした（α〉O．Oくρく1〕．このとき、
αβ士
1＋α1
ΣC＾、パ1一い■V〕
M一一M一、、となることを示一せ。

但し、D一、N一，C二，M二は特別条件体の死亡率に基づく言予算基数とし、・Vは煩準鉢の死亡率に基づく第t保険年度來
純保険料式貸任準備金を表す。

3．夫婦を被保険者とする終身払込連生総身保険を考える。加入集欄は、夫x歳、嚢y歳で、いずれか一方が死亡した後、悩方が死亡したとき、保険金1を即時に支払って保険契約を消滅させる。保険料は連続払とし・保険契約が継続している限り払い込み続けるものとする。この保険について、次の閥に答えよ。

｛20点〕

い〕次の敏公方程弐が成立することを蔽明せよ。

d ＿一a而τ＝｛μ＾一十μt＋δ）7町τ一（μ＾百、1＋μ，、1万、，1）一王｛2〕上の結果を用いて、次の微分方程式が成立することを証明せよ。

d一ユV箒！＝｛μ，、．十μ，．、十δ〕、V書，十y書］一（μ，、ゼ、V；十μ，、、・．V一）

dt
ここに、F書，はこの燥険の連続払平準減保険料、、V一手一．、V一．．V一はこの保険の経過tにおける鈍保険料式責任準備金で、それぞれ夫婦共存中、大売立暖嚢生存中、妻死亡後夫生存中の場合を表すものとする。

一23一2

保険敲学2・・
4．次の給付を行うx歳加入、保険鰯閥n年の就業不能保険を葛える。

①加入者｛就業者〕が満期まで軌業のまま生存した場合、保険金S1を支払う■②加入者が保険期間中に就業のまま死亡した粉合、その保険年度末に保険金Sを支払う。

③カロ入者が保険期間中に眺業不能となった場合、その像険年度末、に一時金SIを支払うとともに、その際険年度末から湾期まで毎年夜兼㈹期時を含む．〕に生存している限り年金Rを支払う。
保険料は年払とし・保険期間中に加入者が就業している限り払い込むものとする。この保険について・次の閥に答えよ。
なお・就業不能考が回復して就業者に復帰することはないものとする。

｛20点，（U年払平準輔保険料Pならびに第t保険年度末の就業着の責任準備金1Vおよび軌棄不能者の責任準備金。V｛算t保険年度の年金支払前〕を求めよ。

｛2）

lI II
Il I
N■一N■＾。1−D。芭。，i高■1。l（リa，1日＝．

および。1P。古llli一坦□。I一也■p。

を用いて、D■Ia；i＝｛ii｝

Ilj。
●●

●iP＾岩＾、1；ii＋刊p＾呂｝十I1石＝■を示『士。

｛1〕および｛2〕（i〕の結累を用いて、次の再帰武が成立することを示せ。但し、O≦t≦n−iとする。
・■

1V＋P！刊q■、一S・斗1』q、lSl＋一〜■●P＾、パいlV＋刊p＾一・いIV

一24一3保険数学2（解答例）
1．

設問番号
解答

（1）

（3）

（2）

（4）

（5）

欄

正解は上表のとおりであるが，以下に各設問の解法を略記する。
（1）…（D）
収支相等の原則により，Pd工、＝珂＝Aニン＝何十（P＋c）（1＋κ）（IA）工↓、司（Pは純保険料）

A」ツ、耐十。（1＋κ）｛IA）工J＝珂

．

A㌧、＝何十。dエツ：而

これよりP＝d工｝＝司一｛1＋κ）（IA）、二＝珂．．

P＋c＝d工、：面一（1＋κ）（IA）ユニ、耐

よってP｛1＋κ）A！ツ、耐十。（1＋κ〕d工y：司＝（P＋c）（1＋κ）＝
d工y、耐一（1＋ん＝）（IA）ユニ＝祠

0．0218＋0．0011x12．8974
12．8974−0．0628＝0．00280…

（2）…

（E）。V二剛は初年度定期式責任準備金を表すから，d工。td工、1tV旦pT］＝t．1V工、1三1一一（3）…

（DしW−M33一 E十D6。一（M廿汁）・N

一・・・…

7
3W㍉V−01020x一＝0．03126
10
娃長期間n年の延長定期保険料をP（n）とすると＿（M33−M33、。）十0．0011N舶一N33、。）

P（n）＝Aム3：祠十0，001d33：珂巴

D33

表より，P（n）≦。W〈P（n＋1）となるnを求める。

一25一

P（13）＝0．02370．P（14）10．02554．P（15）＝0．02742，P（16〕＝0．02934，

P（17）＝0103133．P｛18）＝0．03340

（4）・・

…

よってn＝16（D）

第t保険年度末責任準備金をtV，剰余金をG，実際利回りを｛G＝4工、｛．1（t．1V−1）（｛

一｛）十（d二、t．1−dエ、t．1）tV＝4工、｛．1・リP工、t．1・tV（づ一｛）十（d二、t．I−d工、t．1）tV

題意より
リ
．
一一一＝

（燃予定利率）（．．

t．1V＝1＋〃P工、t．1・tV）

G＝0であるから，

d工、t．1−d二、t．］

工、‡．11包とすると，

1〃P工、t．1，1＋｛＝（q工、t．1−q工、t．1）・P工、t皿11＋｛
三ゴ十（q工、t．1−q；、t．I）・

1−q工、t．1＝0．05＋（0．0065−0．0035）x

1．05

1−0．0065≒0．05317

（5）

…

（E）

定義により乙■篶同一∫；グltt・洲μ工・石＿η・t（②〕

この右辺において山一肌・似また乙・・司一∫1・一11圭一㌧舳・・を代入すれば，
乙■、：ボ∫；∫：グ㌦μ工・t・山…t

一∫；・一1・山∫；舳パ・t・・（積分順序交換）（∵∫；舳・t・・十・工11：1）

一∫；1−1冨。・。（1一汕・一∫；・一1畠山・。・必（①）

あるいは乙一、：パ∫；・一1・山・・一∫；・一1・。・一・・＝o。、耐一〇躬。、面・・⑧

d一式③については，証α州＝n＝（μソ。t＋δ）α州｛1−1一26一および払同一品∫1・一1彗舳・。・・一・一1tt・一μ工・tに注意すれば，部分積分により，
式③一［一X㌧＝i元。t：日1：二；十∫；グδt四〃μエ。ゐ。t＝ndt一式②式④については，第2項を変形すれば，∫；舳・tヨソ＝司・t一∫；∫1州・t・グ1冨畠・。…t一∫；1一㌦∫1舳・t・t・・（積分順序交換）一∫；・一1彗畠・。（畠・工一。・工）・・＝0工｝＝司■nP工αソ＝祠となるので，式④＝（、q工十、p工）α。＝面一0工。：ゴ0。＝ボα工。、耐＝α工■、：祠（∵⑧〕

以上により，①〜④の4個とも。工：。＝而に一致する。

21（1）標準体・特別条件体の各保険契約に対するFack1erの再帰式は，それぞれ次のとおりである。
止V＋P＝リq工、此十〃P工、丘・托、iV片V

十P＝リq㌧、五十リp

辺々差弓1して△丘V＝比Vエ、此・血、コV

一肚V，△P＝P

一P，△q工、丘＝q工、ドq工、庇，△P工、止＝Pとおけば，△此V寺△Pニリ△q工、片十〃（△P工、パ片、1V＋P＝リ△q射止（1一片。1V）十リp㌧、パ△庇、1V

ここで，両辺に〃工十此4
Dn−1工・△oV＋△PΣD工、パ△吐、亘V）（．．．△P工、此＝一△q工、肚）工、庇を掛けてト0，1，…，n−1について加えると，工、止＝Σ〃D

丘＝o工、ビP工、肚

n−1工、此△q工、此（1一比、1V）十D 工、、△、V

丘一〇△oV＝△。V＝0より△P（N工一N㌧、。〕＝ΣリDn−I工、止△q工、此（1一北斗1V）

此＝o
従って，

PLP＝

1＝ΣリD

N㌧一N・一1工、パq工、。

托・o工、止一q工、止〕（1一此、lV）①一27一

（2）題意により，MM

ゴM㌧十。

P＝（1一β） N 工一N 工、。

一方，①の右辺にq

M㌧一M工斗。
工、。

αβ＝一・1＋α3

1MAP

一P＝β工一M工．、。

N㌧一N工、。

α エ。止を代入して，エ。此一q川＝q q工。止エ。ド1、α＝高q

N㌧一N

β・、．

＝1
N

工一N・一1
ΣリD

α 工、パ1一片、」V）
工、パーq工、。同
1＋α・一1
ΣC工、パ1一片、■V）

工一M工、。此・od＿d＿d＿d＿（1）定義により，証。エ。い。t二証。エ。t＋石。川一証αエ。い。tである。
ここで，細、し、ヰ、一品∫；1ミミ・…・・小1（岳・・…）必t・伽t（奈川・・一∫；／1雪。・川・t（μ工、、‡μ、、、〕一・・工、、，ヰ、（μ工、、、、・μ、、、、彗）／・・

邊（μ工斗、十μ、、t）oエヰ1．y・t■A工・い・t＝（μ工、t＋μ、十、十δ）oエ斗い斗t−1（∵Aエ。い。t＋δαエ。t．ヅt＝1）

d一
一
d一
一
同様に，証。川＝（μ州十δ）o川一1。石。州＝（μ州十δ〕o川一1
d一
一一一
亙α工州＝（μ工・t＋δ〕・工・t−1＋（μ州十δ〕・1べ1一（μ1・t＋μ州十δ）o川州十1一（μ工、、・μ、、、・δ）1・川・・州一・川バ）一（μ工、、・州十μ、一、・川）凹1
一（μ工、、・μ、、、・δ）α一τ了丁（μ工斗、α川十μソ、、α川）■1（2）、▽青＝X工、、、。t一戸青石工一ソ。一および瓦。し、・t＋あ一高■＝1により・

t▽号三1一（戸音十δ）；工。tソ。t①
これをtで微分して（1）の結果を代入すれば，
岳t・ト町・1）（μ工、、・μツ、、・1）石工面・（戸÷・1〕（μ工。1三州・μ、。1石…）十月旦十δ工〃一

1−t▽号

ここで，①よりα工。、、。t＝訓皿コ

pT＋δ一28一①

一一一一一一一

1−lV工

また，tV㌧＝A川一肇〕oエ・t，Aエ・t＋δo州＝1によりα川＝言回、δ②
一

1−tV｝

同様に，α川＝ ﾋ篶：・δ
①③．②，③を用いれば，

d
証t吟一一（μ川・μ、川・δ）（1−t吟〕・μ川（1−t〜・μ、。世（11甲よ）・弓・δ一（μ工、、斗μソ、、・δ〕t▽号・晴一（μエヰ、・凡・μソ、、・t▽㌧）

4．（1）

D買、一SE＋D㌘

M㌘一M隻3．
び十D㌘

P＝M￡〕一M韓、S一十〇皇一司R
D㌘d蛉

D呈呈、

M皇｛rM呈三、M二i｛t−M韓。

D皇｛tD呈｛tD呈｛ttV＝一S百十y＋S寺α負t：同R−d呈三t＝扁Pt▽呈d二、t：π11R
（2）

（i）

Nζ一N奏、、、1−D皇d二：颪■1

0二1面＝

D㌘

・①，p呈i＝二㌔i−4主ip二4㌘

・・②を用いれば，右辺一・（㌣ンP二）ll一・1（祭）N㌫1−N≒呈1Dニル耐②①）

一夫／（眺ルバ・舳1・1：1）・（・l11一肌・・ミー・llル：1）1

一夫1一・小1＝司一1）・・工1一・㌫・・11（∵・汁1・机・コ＝1）

一夫（・1一・㌫・バ・凧衙）（∵咋・1・剛＝左辺

D呈呈t、，（i）
D婁｛t＝（、①）

パ十t＋14買t，1

M貿t−M隻｛、C婁呈t

D呈三t

D；ξt

M境一M以．
D呈｛t，D呈｛、D呈三、＝〃p隻｛tを用いれば，一SE＝〃p皇｛tD呈｛tD；三t，lガ十ソ皇呈t

M三里t，rM婁ξ、S㌧一S叫
D呈呈t

C以、M以、■一Mj桑、

S一＝一S
D隻3t 十

D三｛t一29一M；ft，1−M隻f，S㌧リq呈fty＋リp婁ft
D呈呉十1．．

M以、rM以．

SI㍉q蝸1＋リp芸三t
D隻｛t，1SE③
y④

S3⑤

また．（2）の結果により，○箕t、同R＝リp呈㌧td㌔、t、コ：莉R＋リP呈呈tα呈jt，1、祠R剤P：いtヰー▽十リP隻3tα二㍍河R…⑥

さらに，d；三t，np＝P＋〃P二｛ld呈｛川、rlp…⑦

以上より③十④十⑤十⑥一⑦を作ると，左辺はtVとなり，右辺の。p二｛1を係数にもつ式はt，IVとなる。すなわち，tV＝リq二｛ty＋リq讐tSi＋リP二㌧t・t，1▽一P＋リp：｛且・いlV．tV＋P呈リq二三ty＋リq二｛！tSi＋リp三㌔t・t，I▽十〃P隻3t・t，lV

以上

一30一