博 士 （ 理 学 ） 塚 田 孝 治
学位論文題名Reticular Lagranglan，LegendrianSingularitieSandtheirappliCationS（網状ラグランジアン，ルジャンドリアン特異点論とその応用）

学位論文内容の要旨
滑らかな多様体上の超曲面芽を光源として発生する光の作る焦面(caustic)を考える．例
えばりーマン多様体nf上に超曲面芽があるときjこの超曲面芽の長さ1の余法線ベクトル達を初期値とする測地線を超曲面芽から発生した光子とみなし，この測地線達がT゛Mのある1点のまわりでっく るラグランジアン部分多様体芽をMへ射影したときの臨界値がニの超曲面芽の作る焦面と定義する．このときK．J
anichっG.
Wasserm
annによって与えられた次の問題がある：「光源となる超曲面芽の摂動に関して安定した焦面の形を分類せよ」，ニれは¥'.
I．Arnoldのラグランジアン特異点論の動機付けとなるものでありっラグランジァン特異点論ではこの問題を一般化しっ「ラグランジアン部分多様体芽の摂動に関して安定した焦面の形を分類せよ」という問題を関数芽の特異点論であるMather
理論の右同値に関する結果を用いて分類している．他方っ上記のラグランジ アン部分多様体芽のかわりにT゛MxRのf超曲面から発生した光子：光子の発生した点と到達した点までの距離）からなる元全体によっ て定 義される部分多様体のある1点での芽（これはT゛MxRのある 接触構造のもとでのル ジャ ンドリアン部分多様体芽となる ）のMxRーの射影による像を 超曲面芽を初期波面として発生した波面(wavefront)とみなしたとき，「超曲面芽の摂動にに関して安定した波面の形を分類せよ」という問題が考えられるが，V.I.
Arnoldのルジャンドリアン特異点論ではこの問題を一般化し。「ルジャンドリアン部分多様体芽の摂動に関して安定した波面の形を分類せよ」という問題を関数芽の特異点論のK同値に関する結果を用いて分類している．
以上の歴史的背景をふまえっ私は超曲面芽に境界や角，その他高次元の角がある場合に同様の問題を考え，ニの問題の一般化となる「網状ラグランジアン特異点論」（第1部）及び「網状ルジャンドリアン特異点論」（第3部）を構築した．又，その際に道具として必要となる関数芽の特異点論を網状右同値，網状K同値という2つの同値関係について展開し，網状右同値に関してmodalit
yく1の関数芽を分類した．網状K同値については余次元7以下での分類を行なった．その応用としてっK.
Janich，G.
Wasserm
annの問題の拡張「r次元の角を持つ超曲面芽を光源としてできる焦面が超曲面芽の摂動に関して安定しているような焦面の形を分類せよ」という問題の答を与える研究を行なった（第2部），
第1部1網状ラグランジアン特異点論ではV．I．Arnoldのラグランジアン特異点論の拡張理論 を研 究し た， 実際 には Nguyen Huu Duc，Nguyen Tien Dai及び F.Phamによる複素上のregularr‑cubicconfigurationに関する理論をCoo上で実現することがスタートとなった． 主定 理1は複素上での彼等による理論のCoo版であるが，彼等の証明はCoo上では成立しておらず、別の証明を与えることとなった．主定理2はCoo多様体上のregular'r‑cubic― 91‑configura.tionの 安定性 と対応 する関 数芽の 安定性 の同値性を主張するものだが，この安定性は Coo特有 の も の であ り ． 複 素上 に 同様の 安定性 は存在 しない ．この 理論では V.I.Arnoldのラ グ ラン ジア ン写像 の拡張 となる 網状ラ グラン ジアン 写像、そ の生成 族及び 安定性 の概念 を我々 の目的 に適用で きるよ うに定 義し、 以下の 結果を 得た．
主 定 理 1（ 1） 任 意 の 網 状 ラ グ ラ ン ジ ア ン 写 像 に 対 し て そ の 生 成 族 が 存 在 す る ，（2） 任意の 非退化 な関数芽 に対してそれを生成族とする網状ラグランジアン写像が存在する．
（ 3） 2つ の網 状ラグラ ンジァ ン写像 がラグ ランジ アン同 値であ る為の 必要十分 条件は それらの生 成族が 安定網状 右同値 となる ことで ある．
こ の 定 理に より，網 状ラグ ランジ アン写 像を分 類する ことと 網状右 同値によ り非退 化な関数芽 を分類 すること は同値 である ことが 分かる ．
主定 理2生成 族F（エ ，リ） q）を持つ網状ラグランジアン写像が安定である為の必要十分条件はFがノ ： Flq二ニ 0の網状 右安定 開折で あるこ とであ る．
主 定 理 1と 主 定 理2によ っ て 安 定し た 網 状 ラグ ラ ン ジ アン 写像 の焦面 を分類 する為 には網状 右 同値 のも とで安 定した 開折を 分類す ればよ いこと が分かり っ関数 芽の特 異点論 の結果 から ． 安定 し た 網 状ラ グ ラ ン ジア ン 写像 によっ て定義さ れる6次 元以下 の多様 体上の 焦面が 分類さ れてい ることに なる．
第 2部1応用 理 論 で は「 r次元 の 角 を 持っ 超 曲 面 芽を 光 源 と して で き る 焦面 で 超 曲 面芽の摂 動 にに 関し て安定 してい るよう なもの の形を 分類せ よ」とい う問題 のーつ の答を 与えた 。
こ れ は K． Jぬ ich、 G． u江 ssermannの 研 究 を 拡 張 し た も の と な っ て い る ．
Iく ．Janichによっ て与え られた 光の伝 播法則 に従い 、滑ら かな多 様体nケ 上の光源 となる
r次 元 の 角 っ き 超 曲 面芽 1′oの各 辺 か ら 発生 し た 光 はっ T＾Mのあ る 一 点 のま わ り で 1つ のregularr‐ CubiCco血gurationを 定義す る．又 っレ0の 摂動に 関して 対応す るregu
larr‐CubiCcon丘 gurationが安定 してい るとき， レ0は光 学的に 安定し た焦面 を作る という ．この とき、G．Wassermannによる 結果の 拡張と なる次 の定理を 証明し た，
定 理 r次 元の 角 っ き 超曲 面 芽 が 光学 的に 安定し た焦面 を作るた めの必 要十分 条件は 対応す る
regularr− cubiccon6gurationが 網状ラ グラン ジアン 写像と して安 定して いること である ，こ の 定 理に より、光 学的に 安定し た焦面 はすで に分類 されて いる安 定した網 状ラグ ランジ
アン 写像の 焦面のど れかに なるこ とがわ かる．
で は 逆 に． 安定した 網状ラ グラン ジアン 写像の 焦面が 与えら れた光 の伝播法 則上、 光学的に 安 定し た焦 面とし て実現 できる のはい っだろ うか， この問題 のーつ の答え となる 結果を 与えた ．これ はK．Janichの 拡張と なって いる．
第3部 ）網状 ルジャ ンドリ アン特 異点論で はV．I．Arnoldのル ジャン ―ドリ アン特異点論の拡張 理論を 研究した ．複素 上に同 様の理 論は存 在しな い，
この 理論で はV．I． Arnoldのルジ ャンド リアン 写像の 拡張となる網状ルジャンドリアン写像．
そ の 生成 族及 び安定 性の概 念を我 々の目 的に適 用でき るように 定義し 、以下 の結果 を得た ．
主 定 理 1 （ 1） 任 意 の 網 状 ル ジ ャ ン ド リ ア ン 写 像 に 対 し て そ の 生 成 族 が 存 在 す る ，（2） 任意の 非退化 な関数芽 に対し てそれ を生成 族とす る網状 ルジャ ンドリ アン写像が存在する．
（ 3） 2つ の網 状ルジャ ンドリ アン写 像がル ジャン ドリア ン同値 である 為の必要 十分条 件はそれら の生成 族が安定 網状K同 値とな ること である ．
こ の 定 理 によ り 、 網 状ル ジ ャ ン ドリア ン写像 を分類 するこ とと網状 K同値に より非 退化な関数 芽を分 類するこ とは同 値であ ること が分か る．
主定 理2 生成族F（エ：り：g，z）を持っ網状ルジャンドリアン写像が安定である為の必要十分
条件 はFが´ 〓FIq ： ＝oの網 状K安定 開折で あるこ とであ る，― 92 ‑

主定理1 と主定理2 によって安定した網状ルジャンドリアン写像の波面を分類する為には 網 状 K同 値 の も と で 安 定 し た 開 折 を 分 類 す れ ば よ い こ と が 分 か る ．
以上，

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学 位 論 文 審 査 の 要旨
主 査

教 授

泉 屋 周 一副 査

教 授

諏 訪 立 雄副 査

教 授

山 口 佳 三副 査

教 授

小 野副 査助 教 授

石 川 剛 郎薫

学位論文題名Reticular Lagrangian，LegendrianSingularitiesandtheirappli
cations（ 網状 ラグラ ンジ アン ，ルジャンドリアン特異点論とその応用）

滑らかな多様体上の超曲面芽を光源として発生する光の作る焦面(caustic)の特異点の研究はV.I.A
rnoldのラグランジアン特異点論の動機付けとなるものであり，それは関数芽の特異点論で あるMather理論の右同値に関する結果が用いられている．他方，上記のラグランジアン部
分 多様体芽のかわりにT．MxRの （超曲面から発生した光子 ，光子の発生した点と到達した点 ま での 距離 ）か らな る 元全体によって定義 される部分多様体のある1点 での芽のMxRへの射影による像は超曲面芽を初期波面として発生した波面(wavefront）とみなすことができる
が，V．I．Arnoldはルジャンドリアン特異点論としてとらえ、その特異点を関数芽の特異点論のK同値に関する結果を用いて分類している．以上の歴史的背景をふまえ，本論文ではは超曲面芽に境界や角，その他高次元の角がある場合に同様の問題を「網状ラグランジアン特異点論」、「網状ルジャンドリアン特異点論」として構築した．又，その際に道具として必要となる関数芽の 特異点論を「網状右同値」、「網状K同値」とぃう2つの同値関係について展開し，網状右同 値に関してmodalityく1の関数芽を分類し、 網状K同値については余次元 7以下での分類を行なっている．その応用として，r次元の角を持つ超曲面芽を光源としてできる焦面が超曲面芽 の摂動に関して安定しているような焦面の特異点の分類を実行していみ．実際にはNguyen
HuuDuc， NguyenTienDai及 びF．Phamによる複 素数体上のregularrーcubicconfigurationに 関する理論をGoo上で実現す ることがスタートとなったが 、彼等の証明はCoo上では成立しておらず，別の証明を与えることとなった．そして、その特異点の分類の為の関数芽の開折に 関する新理論である関数芽の 網状右同値理論及び網状K同値理論を構成し、その分類を応用 している．これらの理論は、 実数体上のCoo範疇独特のもので、その展開の為には出発点となった、従来の研究からはまったくかけ離れた独創的なアイデアを必要とする．さらにその構成された理論において、実際に分類を実行するためには、並外れた集中カと忍耐カが必要である．本論文の内容は、大変良く整備され完成された理論体系を成していて、その応用には無限の可能性があると思われる．
これを要するに、著者はラグランジュ（ルジャンドル）特異点論の一般化としての網状ラグランジュ（ルジャンドル）特異点論に関して新知見を得たものであり、シンプレクテイック幾何学 、 接 触 幾 何 学 、 幾 何 光 学 及 び 特 異 点 論に 貢 献す るこ と大 なる もの があ る．
よ っ て著 者は 、北 海道 大 学博 士（ 理学 ） の学 位を 授与 され る 資格 ある もの と認める．

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