テンソル模型の量子化と厳密な波動関数
笹倉 直樹
京都大学

基礎物理学研究所

離散的手法による場と時空のダイナミクス
2013年9月27-30日, 高エネルギー物理学研究所

量子重力とは目標
より素な自由度から時空間と重力が創発されるような量子重力理論を作ること。単に一般相対論の量子化とは異なる。
背景のアイディア：時空間は基本的な存在ではなく、ダイナミクスの結果として生じる。
S. Carlip, “Challenges for Emergent Gravity,”arXiv:1207.2504 [gr-qc]

現実との様々な無矛盾性を要求
滑らかな古典的時空間、３次元性、局所性、因果性、対称性、重力、物質

トークの内容
ハミルトン形式によるテンソル模型（階数３）をWheeler-DeWittの手法により量子化し、N=２の場合に厳密な波動関数を求め、その性質を議論する。	 N.Sasakura,“Quantum	 canonical	 tensor	 model	 and	 an	 exact	 wave	 function,”
Int.J.Mod.Phys.A28,1350111	 (2013)[arXiv:1305.6389	 [hep-th]].

ダイナミカルな自由度
３階完全対称実テンソルの正準共役変数
Mabc , Pabc

a, b, c = 1, 2, . . . , N

量子化は（一般化された）エルミート条件を満たす場⇤合も同様
Mabc = Mbca = Mbac
力学的対称性： O(N )000

Mabc ! Ja a Jb b Jc c Ma0 b0 c0a0b0c0

Pabc ! Ja Jb Jc Pa0 b0 c0

J 2 O(N )目次

テンソル模型
ファジー空間のダイナミクスとしてのテンソル模型
無矛盾な局所時間発展
一般相対論との類似性（局所性の重要性）
Wheeler-DeWitt流の量子化
宇宙の波動関数局所性の創発テンソル模型
行列模型
行列模型
Mab

双対

ファイマン図分配関数(Free energy)
ファイマン図の足し上げ

２次元動的単体分割模型
2-dim Simplicial Quantum Gravity

単体分割された２次元面

２次元量子重力の分配関数
ランダム２次元面の足し上げ３次元以上への一般化
テンソル模型

Ambjorn et al., NS, Gross, 1990

３次元以上の動的単体分割模型
双対

例：３次元の場合

vertexpropagator
四面体の貼り付け

S = Mabc Mbac

gMabc Made Mbef Mcf d⇤⇤⇤
Hermiticity(generalized): Mabc = Mbca = Mcab = Mbac
= Macb= McbaHermiteなテンソル模型の現状解析的計算方法が知られていない。
１/N展開が知られていない。Leadingの寄与のトポロジー的特徴付けも不明。
ファイマンダイアグラムには、単体分割とうまく対応しないものがある。例えば、向き付け不可能なものも含む。
別の解釈（後述）では有効。
ただし、形式としての発展はある。
Group Field Theory
indexをリー群にする a ! g
Boulatov model（３次元）, Ooguri model（４次元）
BF-theory、Ponzano-Regge模型
ループ量子重力の定義−グラフ間のウェイト

Colored Tensor Model

Gurau, 2009

表面の単体に“color”を付与し、同一のcolor同士のみ貼付け可能。貼付け方も固定。エルミート条件を課さない。
例：３次元の場合
S=4Xii⇤
Mabc
Mabc

1234gMabc
MadeMbef
Mcf
d + c.c.

i=1

12 3
14324iiii

同一カラーの面のみが貼れるColored Tensor Modelの現状	 	 R.Gurau	 and	 J.P.Ryan,	 SIGMA	 8,	 020	 (2012)[arXiv:1109.4812	 [hep-th]].

ファイマン図に対応する単体分割多様体を一対一に構成できる。
１/N展開が存在する。Leadingは球面から来る。
F = f0 N D + f1 N D 1 + · · ·幾つかの解析的計算が行われている。(leading, sub-leading)
しかし、Leadingのグラフはmelonic。singular。広がった球面ではない。
実際、臨界指数はBranched polymer。

R.Gurau	 and	 J.P.Ryan,“Melons	 are	 branched	 polymers,”	 
arXiv:1302.4386	 [math-ph].

時間の必要性テンソル模型から広がった空間を得るにはどうしたら良いか？
数値計算からのヒント
Euclidean Dynamical Triangulation (DT) はうまく行かないが、Causal Dynamical Triangulation (CDT)は広がった空間を生成。
１＋３次元のド•ジッター時空を生成。 Ambjorn et al.
time
量子重力の定式化においては、時間方向が本質的に重要では。

ハミルトン形式によるテンソル模型
CANONICAL TENSOR MODEL

NS 2012

ファジー空間の時間発展のダイナミクスを記述

ファジー空間：空間を座標系ではなく、それ上の関数の代数で記述。いわゆる非可換空間の一般化。（結合則も可換性も仮定しない。）

fa ? fb = Mabc fc

関数 {fa |a = 1, 2, . . . , N }テンソル模型の自由度：時間変化するダイナミ
カルな量
ファジー空間は原理的には任意次元の任意の時空間を記述できる。
３階テンソル模型は任意次元の量子重力を表す。

Hermiticity条件

fa⇤ = fa
(fa ? fb )⇤ = fb ? fa
hfa |fb i =abhfa |fb ? fc i = hfa ? fb |fc i = hfc ? fa |fb i

トレース的な内積

Frobenius algebra（結合則があるとき）
Axiomatic TFTファジー空間の簡単な例（可換。例２と３は非結合的）例１：通常の空間
D

関数： fz =D

fz1 ? f z2 =(xz) | z 2 RD

(z1z2 )fz1

例２：momentum cutoff

hi=Zz)2(zdD xipx|p| < ⇤関数： eeipx

?eiqx

=

⇢ei(p+q)x0

if |p + q| < ⇤otherwise

例３：Gaussianfx ? fy = A( )ZdD z exp[(xy)2(yx)2 ] fz

! 1：局所的極限。通常の空間。
⇣eipx iqx

e222

= exp[ ↵(p + q + (p + q) )]ei(p+q)x⌘ファジー空間の局所性について （後の議論で使用）
局所性：Mabc が a ⇠ b ⇠ c ⇠ a でのみ大きな値をとる。

⇠ : なんらかの近傍の概念

O(N)変換（ fa0 = Ja b fb , J 2 O(N ) ）不変な概念でない。
一般的に与えるのは困難だが、ケースバイケースで与える事は可能だろう。

しかし、局所性を量るようなO(N)不変量は存在する。
l = Macd Mbde Mbef Maf c Macd Mbde Maef Mbf c⌘
1 ⇣ (a)=Tr [M , M (b) ][M (a) , M (b) ]2(a)Mbc ⌘ Mabc

（完全対称テンソル）proposition
Mabc が実かつ対称テンソルのとき
l=0a0b0c0

Mabc = Ja Jb Jc MaD0 b0 c0D
Mabc= ma ab ac

99ma

完全対角形

0J 2 O(N )証明[M (a) , M (b) ] = 0 。M (a)は、実対l は半正定値。また、l = 0(a)(b)称行列なので、[M , M ] = 0 は、9 J 2 O(N ) により同時対角化可能と同値。Mabc は対称テンソルなので、J により、上記の完全対角の形に変換される。
l = 0 のとき、ファジー空間の点は互いに独立。最大の局所性。
fa ? fb = ma ab fa

CANONICAL TENSOR MODELの局所的ハミルトニアンの決定
fa : 直感的には“点”

各点ごとに局所的ハミルトニアン： Ha
無数のパスがある

大局的ハミルトニアンは直ちに相対論と矛盾するだろう。

時間発展
初期値

局所的時間発展の相互無矛盾性[Ha , Hb ] = 0 upto kinematic symmetry
fa0 = Ja b fb , J 2 so(N )Canonical Tensor Modelを完全拘束系として定義

H = Na Ha + N[ab] J[ab] + N D
Ha , J[ab] , D : 第一種拘束条件
Na , N[ab] , N : multipliers

一般相対論（ADM形式）に類似

1Ha = Pabc Pbde Mcde
局所ハミルトニアン
21so(N)生成子
J[ab] = (Pacd Mbcd Pbcd Macd )
4dx
21ダイナミクスの発散を抑制 dt = x
D = Mabc Pabc
6スケール変換の生成子。 fa ! cfaを同一視（議論の余地あり{Mabc , Pdef } =ad be cf + (perm. of def )Raffaelli, Sato, NS）

Ha , J[ab] , D は第一種拘束系（On-shellで閉じる）{H(T 1 ), H(T 2 )} = J([T̃ 1 , T̃ 2 ]),{J(V ), H(T )} = H(V T ),{J(V 1 ), J(V 2 )} = J([V 1 , V 2 ]),{D, H(T )} = H(T ),H(T ) = Ta Ha ,J(V ) = V[ab] J[ab] ,T̃ab ⌘ Pabc Tc{D, J(V )} = 0,局所ハミルトニアンは唯一。
条件：代数が閉じる、 最大３次、 時間反転不変性、連結性。
D が無く、かつ、完全対称テンソルの場合には、“宇宙項” Mabbを加える事ができる。エルミートな場合には、加えられない。
構造関数を持つ。（構造定数ではない。一般相対論と類似）
M $ P を行っても、拘束代数は不変。
拘束の時間反転は変更される。Ha ! Ha

一般相対論との類似性
一般相対論（ADM形式）の拘束代数（ディラック代数）が、テンソル模型の拘束代数の局所極限 ! 1 で導かれる。
Pxyz =c14(g(x)g(y)g(z)) exp

x, y, z ：D次元座標g(x) = det [gµ⌫ (x)]d(x, y) ： x y 間の測地線距離⇥2d(x, y) + d(y, z) + d(z, x)

構造関数{H(T1 ), H(T2 )} = J(g ij (T1 @j T2{J(V i ), H(T )} = H(V i @i T ){J(V1i ), J(V2i )} = J(V1j @j V2iZ
H(T ) = dx T (x)H(x)Hamiltonian constraints

2T2 @j T1 ))V2j @j V1i )J(V i ) =Zdx V i (x)Hi (x)Momentum constraints

2⇤テンソル模型の局所性とGEOMETRODYNAMICS
一般相対論は拘束代数から導かれる。Hojman-Kuchar-Teitelboim, 1976
Canonical Tensor Model
局所極限（他にもD次元空間などの仮定もある）
Constraint (Dirac) algebra of general relativity
ハミルトニアンが決まる。（時間反転不変性を仮定）
一般相対論
しかし、先の極限操作は形式的。Canonical Tensor Modelのダイナ
ミクスから局所性が導かれるべき。
以降では、量子化を行い、ダイナミクスを見る。

量子化
共役変数の量子化[M̂abc , P̂def ] = i ad be cf + perm.of def

拘束条件の量子化
共変性より Ĥa = P̂abc P̂bde M̂cde + i H P̂abb⇣⌘1
P̂acd M̂bcd P̂bcd M̂acd
Jˆ[ab] =41
D̂ = P̂abc M̂abc + i D
6

拘束条件のエルミート性の要求より(N + 2)(N + 3)
H =2

N (N + 1)(N + 2)
D =2

拘束系代数は量子化されても変化しない。
[Ĥ(T 1 ), Ĥ(T 2 )] = iJˆ([T̂ 1 , T̂ 2 ])[Jˆ(V ), Ĥ(T )] = iĤ(V T )[Jˆ(V 1 ), Jˆ(V 2 )] = iJˆ([V 1 , V 2 ])[D̂, Ĥ(T )] = iĤ(T )[D̂, Jˆ(V )] = 0(∵ [P̂abc P̂bde M̂cde , P̂a b b ]0 0 0T̂bc = Ta P̂abc

Jˆ(V̂ ) = V̂[ab] Jˆ[ab](a $ a0 ) = 4iP̂abc P̂a0 bc + 2iP̂aa0 b P̂bcc(a $ a0 ) = 0 )量子化されても第一種拘束系であり、量子化された拘束条件は互いに無矛盾。

WHEELER-DEWITT 方程式
Wheeler-DeWitt 方程式
Ĥa= Jˆ[ab]= D̂=0: “宇宙”の波動関数

P表示において、互いに無矛盾な連立一階偏微分方程式系を与える。
=(Pabc ),P̂abc = Pabc ,M̂abc = i (abc)@,@Pabc

8>< 6 for a = b = c,(abc) = 2 for a = b 6= c, b = c 6= a, c = a 6= b,>:
1 for a 6= b, b 6= c, c 6= a.

少なくとも局所的には解が存在する。（特異な点を除いて）(Frobenius theorem)

N=2の場合の厳密解
N=２のとき、＃自由度＝＃拘束条件＝４。解は唯一に決まる。
拘束条件の数
Ha

２つ

D

１つ

J[ab] so(2)生成子１つ

解法
２次元部分空間上でまず解き、J[ab] と D の方向に解を拡張する。
J[ab] D

いわゆるゲージ固定と同じ。

２次元部分空間
P111 = 1
P112 = 0
P122 = x1
P222 = x2

連立一階偏微分方程式
@@@+ x1+ x2+2=0@P111@x1@x2
@@@(1 2x1 )x2+ 3x1=0@P112@x1@x2
@@@
3+ x1 (1 + 2x1 )+ 3x1 x2+ 5(1 + x1 )=0
@P111
@x1@x2@@@x1 (1 + 2x1 )+ 3x1 x2+ 3(x1 2 + x2 2 )+ 5x2=0@P112@x1@x2

@@,@P111 @P112を消去。（ゲージ固定するとその共役変数も固定される。）

1)

2x1 (x14x1 x2 (x1@@+ 3x2 (x1 1)+ 5x1 1
=0@x1@x2@@1)+ 3(4x1 3 + 2x1 x2 2 x2 2 )+ 5x2 (2x1@x1@x21)=0

非微分項を消去

x1 x2 (x11)@+ 2(5x1 4@x1

dx2
2(5x1 4 x1 3 + 2x1 x2 2
=dx1
x1 x2 (x1 1)
d4(2x1x2 2 =dx1
x1 (x1)=f✓

x1 3 + 2x1 x2 2x2 2 )24x1 + x2
x1 4 (x1 1)4@@x2=0に沿って、 は一定。

1) 2 4x1 2 (5x1 1)x2 +1)
x1 1

3x2 2 )◆

4x1 3 + x2 2
a0 = 4x1 (x1 1)4

元に代入すれば、f (x) /px。

最終形

p

4x1 3 + x2 2
= b0 2x1 (x1 1)2J[ab] D 不変な形p✏ac ✏bd ✏eg ✏f h ✏e0 g0 ✏f 0 h0 Paef Pbgh Pce0 f 0 Pdg0 h0= c0
Pacd Pbde Pbef Paf c Pacd Pbde Paef Pbf c

物理的解釈
分母＝ファジー空間の局所性の計量 l そのものl = 0 で波動関数が発散する。
局所性を持つファジー空間がfavorされる。
分子＝０は特異で、配位空間の境界を作る。
縮退した配位：分子＝０
宇宙の始まり（？）

9f ?f =0まとめCanonical Tensor ModelはWheeler-DeWitt流に無矛盾に量子化できる。
N=２の場合には、厳密に“宇宙”の波動関数が求まる。局所性を満たすファジー空間がfavorされる。また、配位空間に特異性をもつ境界（宇宙の始まり？）がある。

やりたいこと
N＞２の場合の波動関数を調べ、局所性や配位空間の境界の存在がどうなるか見る。
Regular around l = 0⇠l？

N>２の場合には、配位空間内に対称性の残る点がある。対称性がfavorされるかどうか調べる。Group Field Theory との関係。

a0b0c0Pabc = Ja Jb Jc Pa0 b0 c0 , J 2 O(N )一般相対論との関係

ド•ジッター時空

Raffaelli, Sato, NSファジー空間の積による局所ハミルトニアンの自然な表現
Raffaelli, Sato, NS
振動や運動がどのようにして生じるのか？観測量の問題。
cf. Rovelli: complete observable

ヒント（？）
拘束条件 @= const. —つまらない。

=0テンソル模型には変数が沢山ある。拘束条件が一階微分で表される事を使うと、もっと面白い解が沢山ある。

=1 (x1 )

例えば、

2 (x2 )

1 (x1 ) = e
2 (x2 ) = e@

1 (x1 )2 (x2 ) +1 (x1 )@

2 (x2 ) = 0

ipx1ipx2 が解。

または=

x2 = t を時間と思えば、= eip(x1 t)

12@@

1 = ip1

2 = ip2物質場はどうやって生じるか。局所ハミルトニアンの唯一性。
新たな自由度？
創発現象？
ラグランジュ形式
第一種拘束条件→ゲージ対称性
一般相対論：時空の一般座標変換不変性
テンソル模型：？