平成22年度
数学・…・1

数学（問題）〔問題1から問題3を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いなさい。〕

問題1．次の（1）〜（12）の谷間について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよ
レ、。

（60点）

（1）数直線上の点0，1，2，＿，10のいずれかの位置を時間の経過とともに移動してゆく粒子がある。点κ（た，1，2，…，9）に粒子があるとき、粒子が次の一秒後に点た＿1または点κ十1のいずれかに移動す

る確率はそれぞれO．6，O．4であり、点Oまたは点10に達するとそこで止まる。はじめに点6にあった

111111111111111！111コ111。
（A）0．667

（B）

0．697

（C）0．727

（D）

0．757

（E）

（F）

0．817

（G）0．847

（H）

O．877

0．787

（2）0または1の値をとりうる確率変数Xl，X2の結合確率分布が

伽・一・／一出・伽…／一組
牝・叫斗斜伽生・／一（M舟弐■1）であるとき、x、の平均は［二重Σニコであり、x、の分散は［二重二コである。また、x、とx、の相関係数1である。ただし、M＿1〉〃〉1とする。

［①、②の選択肢］

1
（B）一

（A）O
（F）

（C）

M

M一〃
M

（G）

1

M−1

〃
（D）一

m
（E）一

（1）M2一・2（。）小一・）

M

M一〃（。）・（M；・）

M−1

M

M−1

M2

M（M−1）［③の選択肢］

（A）

1
M−1

（E） 1

M−1

（B）

（F）

1

（C）

M（M−1）

1

（G）

M（ル1）

一1一

・（・一1）（。）・（・一・）M（M−1）

M2（M−1）・（・一1）（H）・（M一・）M（M−1）

M2（M−1）

平成22年度
数学…・・2（3）確率変数4（j＝1，…，〃）は互いに独立で、すべて平均1の指数分布に従うとき、確率変数

工
X＝min（4・・4）の積率母関数

・（θ）はm重（画＞O）であり・Xの分散は［壷］である。

（A）1

（B）2

（C）万

（D）n

（E）〃2

（F）1＿θ

（G）（H）n一θ

（1）n2＿θ

（J）

万＿θ

〃2＿θ2

（4）確率変数X，γ，Zは互いに独立で、すべて標準正規分布W（0，1）に従うとき、確率変数1一 All÷1確率密度1数111）一／，浸：1（A）（1・ル）

（D）

＿皇

3
ラ

（・）

1

2π万（1・・）（・）仔（・叫5＿至（・）

ﾃ（・・参）2

i・・言・）2（・）＿至Q缶（・・着）2

一2一

（C）

である。

1

π万（1・・）5（・）厚（・・言・ゾ平成22年度
数学・…・3（5）池の中にいる魚の数を最尤法により推定したい。そこで、池の中から50匹の魚をとらえてこれ
らに印をつけて池に放ち、のちに20匹の魚をとらえたところ、7匹の魚に印がついていた。
池の中には、これら50匹の魚以外に印のついた魚はいなかったものとするとき、池の中の魚の数をM四とすると、未知母数Mについての尤度関数は［壷］・［重］であり、これよりwの最尤推定値は［二夏ニコ（匹）である。

ill）

iサ）

iサ）
（・）

i桑）

iWこつ

（・）

（・）

（1）141（J）142（・）iWこつ（K）143

一3一

i桑）
（・）

（・）

（・）

（・）

iM；5つ

（L）144

平成22年度
数学・…・4（6）ある電球の寿命を調べるため、サンプルを14個抜き出しそれらの寿命を調べたところ、次のとおりであることがわかった。

（単位：時間）
700

，

752

，

830

1，211

，

1，279

，

1，308

，
，

876

，

1，347

，

920
1，422

，

957
，

，

1，515

1，103
，

，

1，538

電球の平均寿命について区間推定を行ったとき、信頼係数95％とした場合の信頼区間の下限に最も近い数値1（時間）であり、上限に最も近い数値1（時間）である。ただし、電球の寿命は指数分布に従うものとする。

（A）603（B）709（C）762（D）1，207（E）1，331（F）1，862（G）2，059

（H）

（I）

（J）

2，800

4，797

5，599

（7）あるコインについて次のことがわかっている。

1
・そのコインが偽造でなければ、表の出る確率と裏の出る確率はともに一である。
2
3
1
・そのコインが偽造であれば、表の出る確率は＿であり、裏の出る確率は＿である。
4
4

いま、帰無仮説〃O「コインが偽造でない」を、このコインを数回投げることにより検定する。コ

インを7回投げ、表の出た回数が6回以上であれば偽造であると判断することとすると、第1種の誤りのおこる確率に最も近い数値は［二亟ニコであり、第2種の誤りのおこる確率に最も近い数値

は［五コである。
（A）O．0013（B）0．0547（C）0．0625（F）（G）O．5551（卜1）O．7366

0．4449一4一（D）0．2634（E）O．3115

（1）

（J）

O．93750．9987

平成22年度
数学・・…5（8）あるサッカー選手のペナルティーキックの成功率は、通常90％である。この選手が通常ではない
騒音の中で蹴ったときの成功率の変化について、5％の有意水準で百分率に関する検定を行った。
これらの検定について記述した以下の内容について、正しいものの組み合わせは［二二二コである。
ただし、いずれも正しくない場合は、（ト1）をマークすること。

（ア）50回中41回成功した場合、成功率が通常と比べて低かったといえるかの検定の結果は、r成功率が通常と比べて低かったといえる。」となる。

（イ）120回中102回成功した場合、成功率は通常と比べて変化があったといえるかの検定の結果は、「成功率は通常と比べて変化があったといえる。」となる。

（ウ）5回中4回成功した場合、成功率が通常と比べて低かったといえるかの精密法での検定の結果は、r成功率が通常と比べて低かったといえる。」となる。

（A）（ア）と（イ）と（ウ）（B）（ア）と（イ）（C）（ア）と（ウ）（E）（イ）と（ウ）（F）（イ）（G）（ウ）（D）（ア）（9）区間（O，θ）（θ＞0）の一様分布に従う母集団からの標本を基にθを推定したい。「標本30個の標

本平均の2倍」で推定するよりも、「標本〃個の中央値の2倍（mは奇数）」で推定する方がより有効であるために必要な最小の標本数〃は［二二二コ（個）である。

（A）45

（B）47

（C）59

（D）61

（E）

（F）

（G）89

（ト1）91

75

77

一5一

平成22年度
数学・…・6（10）定常ノR（2）モデル
巧一〇．09・b．6K．、一0．05K．、・ε、をM4（。。）表現（X＝μ十ξ。ε、十ξ、ε、．、十ξ。ε、．。十＿）したとき、

μ一［亙コξτ竜コ（［亙コ…一［亙コ｝）（H↓ム・・うである。

（A）0．1（B）O．2（C）O．3（D）0．4（E）O．5（F）O．6（G）0．7（H）O．8

（1）

（J）

O．g

1．0

（11）標準ブラウン運動｛X、加≧Oに対して、X、十X、は平均［二Φニコ、分散［二夏ニコの正規分布に従い、亙（X，lX、十X2＞O），［二亘ニコである。
［①、②の選択肢］

（A）O

（B）1

（C）2

（D）

3

（F）5

（G）6

（H）7

（I）8

（I…1）

4

（J．）9

［③の選択肢］

1
石

（A）一

（・）・

（B）1

（C）」し

（・）・

（G）一

（・）烏

価

価

2

ふ

一6山

（H）

1

佃π

平成22年度
数学…・・7（・・）工・一2柵・・M個の一様乱数σ1，σ。，…，σ。。を用いてモンテカルロシミュレーションをした場合の誤差の分散は［二至ニコであ乱
また、2〃個の一様乱数σ1，σ2，＿，σM，1＿σ1，1＿σ2，…，1＿σMを用いた場合の誤差の分散は［五コである。

1（A）一e■2
2M「1（B）一e−2

一2（・）L（一・一…）（・）⊥（一。一…）

4〃

（・）

̀宇・べ）

（・）÷／3手・ぺ）

一7一

{ーぺ）

（・）上←一・一・｛・）4M4〃（・）÷（一宇・・4−1）

（・）

2〃

（1）

̀；・・ぺ）

平成22年度
数学…・・8問題2．ある転職希望者が新しい就職先を探している。この転職希望者は会社を順次訪問し、あらかじめ自分で決めておいた金額C（＞O）を超える年俸を最初に提示した会社へ就職し、転職活動は終了する。ここで、利得Rを就職する会社の年俸からそれまでの訪間にかかった費用を控除したものと定義し、利得Rの期待値厄（R）を最大にするような。が満足すべき関係式を導きたい。
このとき、次の（1）、（2）について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれ選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。

（20点）
注：以下の各問において、次のとおり記号を定義する。
X、（H，λ3，…）

j番目に訪間した会社が提示した年俸を表す連続的な確率変数xは互いに独立で同一の分布に従うものとする

C：会社の訪問に要する1社あたりの費用（正の定数）

R：就職する会社の年俸からそれまでの訪問にかかった費用を控除したもの（た番目に訪間した会社へ就職する場合はR＝X止＿たC）

ル）

X，の確率密度関数。x≧oについては、連続かつア←）〉O，

x〈Oについては、∫←）＝0
F（・）：x、の確率分布関数。F（x）＜18（・）：Rの確率密度関数

P（ノ）：事象！の発生確率

また、（1）、（2）を解答するうえで、以下を前提とする。
・就職先は無数に存在するものとする。

・訪間した会社からは必ず年俸を提示されかつ提示された年俸のもとで就職を拒否されることはない
ものとする。

・この転職希望者は新しい就職先が見つかるまで転職活動を続けるものとし、訪間した会社から年俸を提示される前に次の会社を訪問することはなく、会社の訪問にかかる費用を賄えるだけの十分な資力を有しているものとする。

（1）まず、万（沢）をCを用いて表す二

1番目に訪間した会社が提示した年俸X、がCを超えるか否かの条件により、8（r）は条件付き確率密度関数を用いて、次のように表すことができる。

9（・）一［互コ・8（・lxl・・）・［亙］・8（・lx、・1）

一8一

平成22年度
数学…・・9この関係式を用いて亙（R）を計算すると、

帥）一工・・（伽一（・一［夏コ）・的x、・1）・［亙コ・的x、・・）・…（i）となる。

いま、亙庫、・・）について考えるJ1・1の場合・・番目に訪間した会社にX、の年俸で就職することになり、利得はその年俸から1社訪間した費用を控除したものとなる。
よって、

亙klX1・・）一［亙コー・・・・・・・・・・……・・…・・（ii）
次に、的X1・・）について考える。X、・1の場合・・番目に訪間した会社に1ま就職せず・転職活
動は始めからやり直しになるが、1社訪間した費用がかかっているため、その分だけ訪問前に平ヒベて利得が減少する。よって、的X、・1）一［夏コー・・…・・…・・・・………（iii）
よって、（i）、（ii）、（i豆i）より

1（1）庄一［一・一・一…（1）となる。また、［虹コーμ［亙コ伽苫

工工・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

（V）

であることから、（V）を（iV）に代入すると、

亙（R）＝

［Iコー・

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

と表すことができる。

一9一一

（㎜）

平成22年度
数学・…・1O（2）次に、亙（R）を最大とするfが満足する関係式を求める。

（対）の両辺をCで微分し、帥）、。となる、を求めると、fは〃一［亙コ・［亙コー・一〇
すなわち、

［五コー…

…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

（前）を満足する。

さらに、帥）および帥）は。について連続であり、計算により、剛は（汕）を満たす、の励〃

前後で、正から負になることが確かめられるため、（袖）を満足するfに対して亙（R）は最大となる。
1
いま、X、がそれぞれ平均＿（λ〉O）の指数分布に従うとすると、［二亙二］のときに限り（㎜）λを満足するごが存在し・c；［二重二］とな乱［①、②の選択肢］（A）P（R・・）（B）P（R・1）（C）P（R−r）（D）P（R・1）（E）P（X、・f）（F）P（X、・・）（G）P（X、一・）（H）P（X、・1）（A）F（・）（B）ア（・）（C）8（・）（・）8（・lX、・・）（E）F（1一・）（F）ア（1一・）（G）8（1一・）（・）・（・lX、・・）（A）亙（R）（B）亙（X1）（・）亙（巾、・・）（・）亙（X，lX、・・）（・）亙（X，lX、・・）（。）亙（・）［③の選択肢］［④、⑤、⑥の選択肢］（。）亙（・1）

P（x、・・）

一10一（・）五（・lXl・1）

P（x、・1）

平成22年度
数学・・…11［⑦の選択肢］

（A）c
（E）

c
（C）一
F（・）

（B）2c

C
F（1−1）

（F）

C

（G）

グ（1イ）

C

c
（D）一
∫（・）
（ト1）

C

1一帥）

1一ア（1）（・）｛X、・1）［⑧の選択肢］

（A）ル）

（B）洲

（・）ルlX、・1）（・）ルlX、・f）（・）・←lx、・f）

（G）

ル）

∫（λ）
（H）

P（x、・1）P（x、・・）〔⑨、⑪、⑬の選択肢］（・）∫（・一・）ア（枇（・）∫朴㎏（・）∫ゲ（柚（・）∫←一・）伽（ε）μイ）ア（柚（・）ムル㎏（・）μ（柚（・）μ一・）∫（柚［⑩、⑫の選択肢］（A）1−C（B）2イ（C）F（・）（D）ア（1）（E）帥一・）（F）均一f）（G）五一F（・）（H）1一∫（・）（A）（1一州・）（8）（1イ）ル）（c）（1イX1一戸（・））（D）（〕X1一ア（1））（E）〃（1）（F）州（G）1（1−F（・））（H）・（1一ル））（A）c＝0（B）c＝λ讐1（C）c＝λ（D）c〉λ（E）c〈λ（F）c＝一λ1（G）c〉一λ（H）cく一λ［⑬の選択脚〔⑮の選択肢］

1

一11一

1

平成22年度
数学・・…12［⑯の選択肢］（A）λ1・g（λ・）（B）一λ1・g（λ・）（・）土1。。（ル）（ド）ユ1。。（λ。）

λ

λ

一12一

（・）／・・

（・）

iテ）

C）

（・）一／・・

（・）一

i云）

ﾎ）

平成22年度
数学…・・I3

間題3．ある会社は、ロット（製品の仕切）の不良率が2％以下のものを採用し、不良率が5％以上のものはなるべく不合格として製造元へ返却したいと考えている。このとき、次の（1）、（2）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。

ただし、1つのロットに含まれる製品の数は十分大きく、ロットからのサンプルの大きさを〃とすれ

ば、このm個の中の不良品数は、ポアソン分布に従っているものと考えてよい。

（20点）（1）まず、ポアソン分布とκ2分布の関係を示したい。
いま・積分・（た・λ）一∫〆・イ励（たは自然数・λは正の実数）について・次の（・）および（・）を考える。
（a）積分F（た，λ）について、1回部分積分すると、

F（κ，λ）一［亙コ・κ・F（ト1，λ）となるから、さらにκ回部分積分を繰り返すことにより、

回
・（1，λ）一ｰ［璽コー［璽コ・・（・・［璽コ）となる。ここに、xは平均［二夏ニコのポアソン分布に従う確率変数とする。
（b）積分F（た，λ）について、C；土と変数変換すると、

2
止 y・（仁／）舌（吉）〜吻

となる。

圧

ツ

llτ関数・。±コ（差）＾1・・1おけ111度［〔の・分布の確率密度関数であるから、

此ツ・（れ／）一〔目・烏・。±コ（舌）〜一［亙］・P（γ・［亙コ）となる。ここに、γは自由度［二重二コのκ2分布に従う確率変数とする。

一13一

平成22年度
数学・…・14

したがって、（a）および（b）の結果から、ポアソン分布とκ2分布の関係

m・P（X・［亙コ）一P（γ・［亙コ）とする。

が示される。ここに、m＝（2）不良率2％のロットがまちがえて不合格とされる確率を5％、不良率5％のロットが合格となってしまう確率を10％とするとき、ロットから何個のサンプルを取り出して、その中の不良品が何個以下のときこれを合格とすればよいかを求めたい。

そこで、n個のサンプルを抽出してこの中に見出された不良品がC個以下のとき、このロットを合格とすることとし、このnとC（〃とCは自然数）を求めることとする。
いま、ロットの不良率をρとし、このロットからのサンプル数をnとした場合、ロットの合格する
確率工（ρ）は、σを平均［二亙二］のポアソン分布に従う確率変数として、

ム（ρ）国P（σ≦［二亜ニコ）と表される。

ここで、（1）で導かれたポアソン分布とκ2分布の関係を用いて、γを自由度ψ＝［二二Φニコのκ2分布に従う確率変数とすれば、、（、）、、（、、［亜コ）円・（γ・［亙］）と表される。すなわち、［⑫コーκ田2価・Z（ρ）／（自由度ψのκ2分布の上側rm・Z（ρ）」点）という関係式が示される。

次に、この関係式を用いて、次の条件（ア）（イ）を満たすnとCを求める。
（ア）不良率2％のロットがまちがえて不合格とされる確率を5％（イ）不良率5％のロットが合格となってしまう確率を10％

一14一平成22年度
数学…・・15これらの条件から、［亜コ・κ伊2｛［亜コ｝一κ、2｛［亜コ｝という関係が成立するため、付表からこの関係式が成立するψを求めることにより、・一［亙コ、・一［亙コとなる。

また、この〃と。に対して、合格する確率が50％となるロットは、不良率カロニ］％のロットである。（％表示で、小数点以下第2位を四捨五入して、小数点以下第1位まで求めなさい。）［①の選択肢］

（A）O
λk＋1

（E）一
κ斗1

（B）1

（C）λた

（D）λk＋1（F）（G）λ此十1e一λ（ト1）

λ此十1e一λλ止e．λκ÷1［②、⑧の選択肢］（A）た一1（8）κ

（C）た十1（D）κ十2（E）2κ一2（F）2た（G）2κ十1（H）2κ斗2

（B）た

（C）た！

（D）一

［③、④の選択肢］

（A）1

51

λ一三

f！
e

eIλ

（G）一・λ．e■λ

た！

j！

た！

（F）一

（E）一
λ

κ！

λ

λ三e一λ
（J）

（1）

j！

た！

一15一

λ

e■λ

（H）
ゴ！・κ！

平成22年度
数学・…・16［⑤、⑥の選択肢］

1

1

（A）万

（B）亙

（C）一

（D）

（E）λ

（F）2λ

1
（G）一

2
（H）一

λ

λ

仮

恢

［⑦の選択肢］

1

（A）一

（・）・

（B）1

i守）

（・）・・

i午）

2
（。）・（κ・・）（F）r（κ・1）

2

た
（G）一
2

（H）κ

・・（1）一〃ヤ〃［⑨、⑪の選択肢］

（A）c

（B）ρ

（C）〃

（D）Ψ

（E）ψ

（F）Ψ（1ソ）（G）〃ρ（1一ρ）

（H）・ψ

（A）c

（B）2c

（C）2c＋1（D）2c÷2

（E）・ρ

（F）2ψ

（G）2nρ十1（H）2ψ十2

（A）ψ

（B）2ψ

（C）2〃ρ十1（D）2nρ十2

1
（E）一
ψ

（F）一

［⑪の選択肢］［⑫の選択肢］

2

2

ψ

2

（G）一十1（H）一令2

ψψ

［⑬の選択肢］（A）1．75（B）2．00（C）2．25（D）2．50（区）2．75（F）3．00（G）3．25（H）3．50

一16一

平成22年度
数学…・・17［⑬、⑮の選択肢］（A）0．005（B）0．010（C）O．025（D）0．050

（E）

O．100

（F）

O．900

（G）O．950

（H）

（I）

0．990

（J）

O．995

O．975

［⑯の選択肢］（A）106（B）207（C）308（D）409（E）510（F）611（G）712（H）813

（A）・4

（B）5

（C）6

（D）7

（E）8

（F）9

（G）10

（ト1）11（A）3．3（B）3．4（C）3．5（D）3．6（E）3．7（F）3．8（G）3．9（H）4．O［⑰の選択肢］［⑱の選択肢］

一17一

平成22年度
数学・…・18（付表）I、標準正規分布表

戸（・・O．25）・O．4013

上側ε点〃（ε）から確率εを求める表
班（ε）→ε

幸＝O

＊＝1

＊＝2

＊＝3

＊＝4

＊＝5

＊＝6

＊＝8

＊＝9

0．4721

0．46810．46410．43250．42860．42470．3974

0．3936

0．38970．38590．36320．35940．35570．35200．34830．32640．32280．31920．31560．31210．28430．28100．27760．0＊

0．50000．49600．49200．48800．48400．48010．4761O．玉串

0．46020．45620．45220．44830．44430．44040．43640．2＊

0．42070．41680．41290．40900．40520．40130．3＊

0．38210．37830．37450．37070．3669O．4＊

0．34460．34090．33720．33360．33000．2946

0．29120．2877＊＝7

0．5＊

0．30850．30500．30150．2981

O．6＊

0．27430．27090．2676

0．26430．26110．25780．25460．25140．24830．2451

O．7＊

0．24200．23890．23580．23270．22960．22660．22360．22060．21770．2148O．8＊

0．21190．20900．20610．20330．20050．19770．19490．19220．18940．1867O．9＊

0．1841

0．玉8140．17880．17620．17360．17110．16850．16600．16350．1611

1．O＊

0．15870．15620．15390．15150．14920．14690．14460．14230．14010．13791，1＊0．13570．13350．13140．12920．12710．12510．12300．12100．11900．11701．2＊

0．1151

0．11310．11120．10930，10750．1056

0．玉0380．10200．l

003

0．09851．3＊

0．09680．0951

0．09340．09180．09010．08850．08690．08530．08380．08231．4＊

0．08080．07930．07780．07640．07490．07350．07210．07080．06940．06811．5＊

0．06680．06550．06430．06300．06180．0606

0．05940．05820．05710．05591．6＊

0．05480．05370．0526

0．05160．05050．04950．04850．04750．04650．04551．7＊

0．0446

0．04360．04270．04180．04090．04010．03920．03840．03750．03671．8＊

0．03590．03510．03440．03360．03290．03220．03140．03070．03010．02941．9＊

0．02870．02810．02740．02680．02620．02560．02500．02440．02390．02332．0＊

0．02280．02220．02170．02王20．02070．02020．01970．01920．O］880．01832．1＊

0．01790．01740．0170

0．O玉660．01620．01580．01540．01500．01460．01432．2＊

0．01390．01360．01320．01290，01250．01220．01190．0116

0．O113

0．O1102．3＊

0．0−070．0104

0．0王020．00990．00960．00940．00910．00890．00870．00842．4＊

0．00820．00800．00780．00750．00730．00710100690．00680．0066

0．O0642．5＊010062

O．00600．00590．00570．00550．00540．00520，005I

O．00490．00482．6＊

0．00470．00450．00440．00430，00410．00400．0039O．00380．00370．00362．7＊

0．00350．00340．00330．00320．00310．00300．00290．00280．00270．00262．8＊

0．00260．00250．00240．00230．00230．00220．00210．00210．00200．00192．9＊

0．OO190．00180．00180．00170．00160．00160．00150．00150．00140．0014一18一

平成22年度
数学・…・19

P（・・1．9600）一0．025

確率εから上側ε点〃ε を求める表
ε→〃（ε）

＊・・O

＊＝1

半＝2

＊＝3

＊＝4

＊亡5

＊＝6

＊＝7

＊亡8

＊＝9

O．OO＊

oo

3．09022．87822．74782．65212．57582．51212．45732．40892．36560．Ol＊

2．32632．29042．25712122622．19732．17012．14442．12012．09692．0749O．02＊

2．05372．03352．01411．9954

1．97741．96001，9431

1．92681．91101．8957O．03＊

1．88081．86631．8522

1．83841．82501．81191．7991

1．78661．7744

1．76240．04＊

1175071．7392

1．72791．71691．69541．7060 ．⊥二＿＿一

1．68491．67471．66461．6546O．05＊

1．64491．6352

一．62581．6164

1．6072

1．5982

1．58931．5805

1．57181．56321．5301

1．52201．51411．5063

1．49851．49091．48331．55481．5464

1．5382

O．07中

1．47581．4684

1．46111．45381．44661．43951．43251．4255

1．41871．41180．08＊

1．4051

1．3984

1．39171．3852

1．37871．37221．36581．35951．3532

1．34690，09＊1．34081．3346

1．32851．32251．31651．31061．30471．29881．29301．28730．10＊

1．28161．27591．2702

1．2646

1．2591

1．2536

1．2481

1．2426

1．23721．2319O．11＊

1．22651．2212

1．21601．21071．20551．2004

1．1952

1．19011．18501．18001．14551．14071．13591．13111．0848

0．06＊

O．12＊

1．17501．17001．16501．1601

1．15521．1503

O．13幸

1．12641．1217

1．11701．1123

1．10771．1031

1．0985

1．09391．0893O．14＊

1．08031．0758王．0714

1．06691．0625

1．0581

1．05371．04941．04501．0407

O．15＊

王．03641．0322王．02791．02371．01941．0152

1．Ol

lO

1．00691．00270．99860．16ヰ

0．99450．99040．98630．98220．9782

0．9741

O．97010．9661

0．9621

0．9581

0．17中

0．95420．95020．94630．94240．93850．93460．93070．92690．92300．9192O．18＊

0．91540．91160．90780．90400．90020．89650．89270．88900．88530．8816O．19＊

0．87790．87420．87050．86690．86330．85960．85600．85240．84880．8452O．20＊

0．84160．83810．83450．83100．82740．82390．82040．81690．81340．80990．7926

0．78920．78580．78240．77900．77560．21＊

0．80640．80300．79950．79610．22＊

0．77220．76880．76550．76210．75880．75540．75210．74880．74540．74210．23＊

0．73880．73560．73230．72900．72570．72250．71920．71600．71280．7095O．24＊

0．70630，703I

0．69990．69670．69350．69030．68710．68400．68080．6776

O．25＊

0．6745

O．67130．66820．6651

0．66200．65880．65570．65260．64950．64640．6280O．26＊

0．64330．64030．6372

0．6341

0，631I

0．62500．62190．61890．61580．27＊

0．61280．60980．60680．6038O．60080．59780．59480．59180．58880．58580．28＊

0．58280．57990．57690．57400．57100．56810．56510．56220．55920．5563O．29＊

0．55340．55050．54760．5446

0．54170．53880．53590．53300．5302

0．5273O．30＊

0．5244

0．52150．51870．51580．51290．51010．50720．50440．50−50．49870．48740．48450．48170．47890．47610．47330．4705O．31＊

0．49590．49300．4902

O．32＊

0．46770．46490．46210．45930．45650．45380．45100．44820．44540．4427O．33＊

0．43990．43720．43440．4316

0．42890．42610．42340．42070．41790．4152

O．34幸

0．41250．40970．40700．40430．4016

0．39890．3961

0．39340．39070．3880O．35＊

0．38530．3826

0．37990．37720．37450．37190．36920，36650．36380．3611

O．36中

0．35850．35580．35310．3505451

0．34250．33980．3372

0．3345O．37＊

0．33190．32920．3266

0．3239186

0．31600．31340．31070．3081O．38＊

0．30550．30290．30020．2976924

0．28980，287王0．28450．2819O．39＊

0．27930．27670．27410．2715663

0．2637

O．26110．25850．2559O．40＊

0．25330．25080．24820．2456404

0．23780．23530．23270．2301

O．41＊

0．22750．22500．22240．21980．21730．21470121210．20960．20700．2045O．42＊

0．20190．19930．19680．19420．19170．18910．18660．18400．18150．1789O．43‡

0．1．7640．17380．17130．16870．16620．16370．16110．1586

0．15600．1535O．44＊

0．15100．14840．14590．14340．14080．13830．13580．13320．13070．1282O．45‡

0．12570．12310．12060．1181

O．1156

0．11300．11050．10800．10550、百0300．0778O．46＊

0．IO04

0．09790．09540．09290．09040．08780．08530．08280．08030．47半

0．07530．07280．07020．06770．06520．06270．06020．05770．0552010527O．48＊

0．05020．04760．0451

0．04260．04010．03760．03510．03260．03010．0276O．49＊

0．0251

0．02260．0201

0．O1750．01500．01250．OlOO

0．00750．00500．0025一19一

平成22年度
数学…・・20

11．自由度ψのX2分布の上側ε点
ψ＼ε

z易（ε）

0．990

0．975

0．950

0．900

0．500

0．00020．00100．00390・015810．02010．05060．10260．21070．11480．21580．35180．58440．2971

0．48440．71071．0636．

3．35670．55430．8312

1．14551．6103＝4．35150．8721

1．2373

1．63542，2041

5．3481

1．23901．68992．16732．83311．64652．17972．73263．4895

0．100

0．050

0．025

0．010

0．45492．70553．84155．02396．63491．38634．60525．99157．37789．21032．36606．25147．81479．348411．34497．77949．4877

11．1433

13．2767

9．236411．0705

12．8325

15．0863

10．6446

12．5916

14．4494

16．8119

6．3458．

12．0170

14．0671

16．012818．4753

7．344113．3616

15．5073

17．5345

20．09022．08792．70043．3251

4．16828．342814．6837

16．9190

19．0228

21．6660102．5582

3．24703．94034．865219．341815．9872

18．3070

20．4832

23．209311

3．05353．81574．57485．577810．3410．

17．2750

19．6751

21．9200

24．725012

3．57064．40385．22606．3038l1．340318．549321．0261

23．3367

26．2170

13

4．10695．00885．89197．041512．3398

19．811922．3620

24．7356

27．6882144．66045．62876．5706

7．7895王3．339321．0641

23．6848

26．1189

29．141215

5．22936．26217．26098．546814．338922．3071

24．9958

27．4884

30．577916

5．8122

6．90777．96169．312215．3385

23．5418

26．2962

28．845431．9999176．40787．56428．671810．0852

16．3382

24．7690

27．587130．191033．408718

7．01498．23079．390510．8649

17．3379

25．989428．869331．5264

34．805319

7．63278．906510．1170

11．650918．337727．2036

30．1435

32．8523

36．190920

8．26049．590810．850812．4426

19．3374≡

28．4120

31．4104

34．169637．566221

8．8972

10．2829

11．5913

13．239620．3372−

29．6151

32．6706

35．4789

38．9322229．542510．9823

12．3380

14．0415

21．3370

30．8133

33．924436．780740．289423

10．1957

11．6886

13．0905

14．8480

22．3369

32，0069

35．1725

38．0756

41．6384

24

10．856412．401213．8484

15．6587≡

23．3367

33．1962

36．4150

39．364142．979825

11．5240

13．1197

14．611416．4734

24．3366

34．381637．652540．646544．314126

12．1981

13．8439

15．3792

17．291925．33651

35．5632

38．8851

41．9232

45．641727

12．8785

14．5734

16．151418．1139

26．3363

36．741240．1133

43．194546．962928

13．5647

15．3079

16．9279

18．9392

27．336237．9159

41．337144．4608

48．278229

14．2565

16．0471

17．7084

19．7677

28．3361

39．0875

42．5570

45．722349．587930

14．9535

16．7908

18．4927

20・5992≡

29．3360

40．2560

43．7730

46．9792

50．892231

15．6555

17．5387

19．2806

21．43361

30．3359．

41．421744．9853

48．2319

52．191432

16．362218．2908

20．071922．2706−

31．3359＝

42．584746．1943

49．480453．485833

17．0735

19．0467

20．8665

23．1102≡32．3358

43．7452

47．399950．725154．775534

17．7891

19．8063

2王．664323．9523！

33．3357＝

44．9032

48．602451．9660

56．060935

18．5089

20．569422．4650

24．79671

34．3356＝

46．05884918018

53．2033

57．342136

19．2327

21．3359

23．2686

25．6433

35．3356：47．212250．998554．4373

58．619237

19．960222．1056

24．0749

26．492136．3355

48．3634

52．192355．6680

59．8925

37．3355

49．5126

53．3835

56．8955

61．162138．33541

50．6598

54．572258．120162．428139．33531

51．805155．758559．3417631690749．33491

63．167167．5048

71．420276．153979108−983．2977

88．379438

20．691422．8785

24．8839

27．3430≡39

2114262

23．6543

25．695428．195840

22．1643

24．4330

26．509350

29．7067

32．3574

34．764360

37．4849

40．481743．1880余46．45891

59・33471

74．39707045．441748．7576

51．739355．32891

69．3345≡85．5270

90．531295．0232

100．425280

53．5401

57．玉532

60．391564．2778」79．3343≡

96．5782

101．8795

106．6286

112．328890

61．754165．6466

69．1260

73．2911§、2二三、3421

107．5650

113．1453

118．1359

124．1163

100

7010649

74．221977．9295

82−358199．3341い18．4980

124．3421

129．5612

135．8067

一20一

平成22年度
数学・・…21皿．

分母の自由度η、

分子の自由度mのF分布の上側ε 点：珂 （ε）

ε芒O．100
η＼m

6

7

8

9．293

9．326

9．349

5．309

5．285

5．266

4．107

4．051

4．O10

3．979

3．619

3．520

3．453

3．405

3．368

3．463

3．289

3．181

3．108

3．055

3．589

3．257

3．074

2．961

2．883

3．458

3．113

2．924

2．806

3．360

3．006

3．285

2．924

ε＝0．050〃＼m
218．5128

3

4

19．OOO0

19．1643

10．1280

9．5521

7．7086

3

4

2

8．526

9．OO0

9．162

9．243

3

5．538

5．462

5．391

5．343

4

4．545

4．325

4．191

4．060

3．780

3．776

10

3

4

10

9．367

9．381

9．392

5．252

5．240

5．230

3．955

3．936

3．920

3．339

3．316

3．297

3．014

2．983

2．958

2．937

2．827

2．785

2．752

2．725

2．703

2．726

2．668

2．624

2．589

2．561

2．538

2．611

2．551

2．505

2．469

2．440

2．416

2．522

2．461

2．414

2．377

2．347

2．323

6

7

8

19．2468

19．2964

19．3295

19．3532

19．371019．3848

19．39599．2766

9．11729．01358．94068．88678．84528．81238．7855

6．94436．59146．38826．2561

6．1631

6．0942

6．04105．99885．96445．19224．77254．7351

一二111一刻

1056．60795．78615．40955．05034．95034．87594．8183

6

5．98745．14334．75714．53374．38744．28394．2067

4．14684．09904．06004．120375．59144．73744．34683．97153．86603．78703．72573．67673．63658

5．31774．45904．0662

3．83793．68753．58063．50053．4381

3．3881

3．3472

9

5．l

174

4．25653．8625

3．6331

3．48173．37383．29273．2296

3．17893．137310

4．9646

4．10283．70833．47803．32583．21723．13553．07173．02042．9782ε＝O．025
η＼m238．5063

3

4

6

7

8

39．0000

39．1655

39．2484

39．2982

39．3315

39．3552

39．3730

39．3869

39．398010317．4434

16．0441

15．4392

15．lO1014．8848

14．7347

14．6244

14．539914．4731

14．41894

12．2179

10．64919．97929．60459．36459．19739．07418．97968．90478．843910．0070

8．4336

7．7636

7．38797．1464

6．9777

6．8531

6．7572

6．6811

6．61928．8131

7．25996．59886．2272−

5．98765．81985．69555．59965．52345．46138．07276．54155．88985．5226111f；：

5．11864．99494．89934．82324．76117．57096．05955．41605．05264．65174．52864．43334．35724．29517．20935．71475．07814．718144844

4．3197

4．19704．102011；ガ書11一

6．93675．45644．82564．4683

4．23614．0721

3．94983．8549

3

4

6

7

8

10

ε＝O．OlO
〃＼m

L
一

10

2

98．5025

99．OOO099．1662

99．249499．299399．3326

99．3564

99．374299．388199．39923

34．116230．8165

29．4567

28．709928．2371

27．910727．671727．4892

27．3452

27．22874

21．197718．0000

16．694415．9770

15．5219

15．2069

14．9758

14．7989

14．6591

14．54595

16．2582

13．2739

12．0600

11．3919

10．9670

10．6723

10．4555

10．289310．157810105106

13．7450

10．92489．77959．14838．74598．46618．26008．IO177．97617．8741

7

12．24649．54668．45137．84667．4604

7．1914

6．99286．84006．71886．6201

8

11．25868．6491

7．59107．0061

6．63186．3707

6．17766．02895．91065．8143

910．56148．0215

6．99196．4221

6．05695180185．61295．46715．35115．2565王0

10．04437．55946．5523

5．99435．63635．38585．2001

5．05674．94244．8491

3

4

6

7

8

ε＝0．005〃＼m

10

2

198．5013

199．OOO0

199．1664

199．2497

199．2996

199．3330

199．3568

199．3746

199．3885

199．3996

3

55．552049．799347．4672

46．工94645．391644．838544．434144．1256

43．8824

43．68584

31．3328

26．2843

24．2591

23．1545

22．4564

21．9746

21．621721．3520

21．1391

20．9667

22．784818．3138

16．5298

15．5561

14．9396

14．5133

14．2004

13．961013．7716

13．6182

18．6350

14．5441

12．9166

12．0275

11．4637

11．0730

10．7859

10．5658

10．3915

10．2500

16．2356

12，404C

10．8824

10．0505

9．5221

9．15538．88548．67818．51388．380314．6882ll．04249．59658．80518．30187．95207．6941

7．49597．33867．2106

13．6136

10．10678．7171

7．95597．47127．13396．88496．69336．5411

6．417212．82659．42708．08077．34286．87246．5446613025

6．11595．96765．846710

一21一

平成22年度
数学・・…22

1V・自由度ψの。分布の上側ε点｝（ε）
ψ＼ε

0．l00

0．050

0．025

3．0777

6．3138

一2．70622

1．88562．92004．30273

1．63772．3534

3．18244

1．53322．13182．77645

1．47592．01502．57066

1．43981．94322．44697

1．41491．89462．36468

1．39681．85952．306091．38301．83312．262210

1．3722

1．81252．2281王

1．3634

1．79592．201012

1．3562

1．78232．1788131．35021．77092．160414

1．34501．．76132．144815

1．34061．75312．131416

1．33681．74592．1199171．3334

正．7396

2．109818

1．3304

1．73412．100919

1．32771．72912．093020

亘．32531．72472．086021

1．32321．72072．079622

1．3212

1．71712．073923

1．31951．71392．068724

1．31781．71092．063925

1．31631．70812．0595

1

1

以上

一22一

数学（解答例）
問題1（1）

粒子が点た（た；O，1，＿，10）にあるとき、点10に達する前に点0に達する確率をx比とする。ただし、
xo＝1，x1パ0とする。
粒子が点κ（た＝1，2，…，9）にあるとき、粒子は確率0．6で点た＿1に、確率0．4で点κ十1に移動し、粒子が点Oに達する確率は各々み．1，x此、1なので、
x此，0．6x止．1＋0．4x正、1，

北畠1，2，…

，9が成立する。式変形すると
κ、、1−x止；亘（x止一x止．、）

2
止

よつヘヤ（言）（巧一㍗）…①①はκ，0のときも成立する。

①の、，、レ．、の両辺を加えると、㍉，卑伐．剛…③
1 一ラ⑳③より、．、．卑㎞．刈・一（言）xo＝1，x1o＝Oなので、、、4里1卑紫茅葺轟塞、一。…
・一（三）よって、解答は

・一（三）

（F）

一23一

（2）

題意より、
P｛X、一0｝一P｛X、一〇，X、一〇｝・P柾、一〇，X、一1｝（M一・XM一・一1）・（M一・）M（M−1） 十W（M−1）一w一・一M
P｛X、一1トP｛X、一1，X、一〇｝・P｛X工一1，X、一1｝・（M一・）・（・一1）＝

十W（ト1）M（M−1）＿土■Mであるから、x1の平均、分散はそれぞれ
亙（Xl）目0二p／X、・0／・1・P／X、一1／＿土一M

γ（X、）一亙（X〜）一／亙（X1）／2

2−02・咋、一〇／・12・P／X1−1／一÷M・（M一・）

一M2である。
同様に、亙（・、）一土，γ（・、）一・（M；・）である。

M

M

また、

亙（X，X、）一0・O・P｛X、一〇，X、一〇｝・O・1・碓、一0，X、一1｝・1・O・P／X、一1，X、一〇／・1・1・P紅、一1，X、一1／・（卜1）一W（W−1）であるから、x、とx、の相関係数R（x、，x、）は、。（。1，。、）．亙（X・X・）一亙（砧（X・）洞河
M（W−1）WM
浮・浮
・（・一1）・・

一X−

1
M−1
である。よって、解答は①（D）②（ト1）③（A）
一24川

（3）

まず、確率変数X；min（4，…，4）の確率密度関数∫（C）を求める。
P（X・1）・1−p（X・・）
一1−P｛mi・（4，ら，…，η）・1｝・1−P（4・・，4・1，…，4・・）＝1−P（4＞c）P（ろ＞f）…P（㍗＞f）＝1一｛P（4＞C）｝

ここで・確率変数巧（j＝ユ，…，n）は互いに独立でともに平均1の指数分布に従うことから・・（4・・）一∫・．z此

十・一寸
，e一
よって、
・（X・1）一・一（・一サ

昌．1＿e一となり、ア（c）は次のとおり求められる。
∫（。）一旦（・一。一・）

〃
＝・e一

（f＞O）

積率母関数Mx（θ）はア（c）を用いて計算できる。

M、（θ）一五（・挑）

一μ（1）

・α

一∫m1

・α

一［着θ・・切1。

n

（θく〃）

〃一θ

また、M

x（θ）＝

・

（卜θ）2

M

x（θ）＝

2n
（卜θ）3

であるカ、ら、

一25一

γ（X）一M・、（0）一紅1、（O）／2

÷（士）2
1

n

2

よって解答は①（D）②（H）③（A）④（E）

一26一

（4）

ノ

Z2，3≡X2＋γ2とおくと、ノ，3は負の値をとらず、σ＝2Z2 ＿一2ノ
X2＋γ2 3

ω昌2旦，咋わとおけば、この変換は助平面のα＞0，わ＞0なる部分（第1象限）を〃平面の〃＞O，γ＞0
わなる部分に移す。対。の変換である。、昌坐，わ、、より∂（α・わ），音旨、旦2∂（・，γ）012

また、■；Z2およびB；X2＋γ2は互いに独立でそれぞれ自由度1，2のκ2＿分布に従うので、確率密度関数はそれぞれ

炸ポllい1）十㍍
であり、ノ，βの結合確率密度関数は

糾トゲ（㍍①となる。ゆえに、σ，2・2，坐，γ、・の結合確率密度関数は

X2＋γ2、0，、、0のとき

B1伽）一1（ψ）篶：竃一2缶（号ゾ・桝）音一、〆抑また、σ，1／は負の値をとらないから〃＞O，ぴ＞Oでないときは、ψ（〃，γ）＝0

よって、σの（周辺）確率密度関数は…のとき1（・）一工1（・・γ）加一か㌣紬）伽吋・・舌）とおけば
3

3

一が（・・参）㌃・芸舳一2お・→（・・董）2（最後の等号で∫舳一・（三）寸（圭）一与を用いた）〃くOのときψ（〃，y），Oより！（〃）＝O

よって、解答は

（ト1）

一27一

（別解）

ノ＝Z2，3＝X2＋γ2とおくとノ，βは互いに独立でそれぞれ自由度1，2のκ2一分布に従うので、

σ一2Z2

齬｢は自由度（・，・）のト分布に従い、その確率密度関数は

X2＋γ2

∫1）一

、・のとき

B

S付…一箏何…一が・1ゾ

一28一

（5）

池の申のW匹の魚のうち50匹に印がついており、M匹の中から20匹とらえたとき、印のついている魚が7匹となる確率は、超幾何分布に従うから、
50

jV＿50

50

720＿7

7

（二）

ハ「＿50

13

／工）

である。

これをMについての関数と考えれば、尤度関数は、

1（w）一

50

M＿50

7

13
（二）

と表される。

7（w）を最大にするwは、wが整数であることから、
50

ハr−50

1（W）

州

7

（二）

50

13

jV−1−50

7

13（M−50）・（M−20）（∴；1）（M−63）・Wを考え、糾・1一粉・・11関11滴1す整数府で1孔したがって、

ハ7−50・M−20＞1かつハr＋1＿50・M＋1＿20

W−63・W

jV＋1＿63・jV

十1〈1であるが、これを変形すると、
50・20

7
ゆえに

＾・

＞M＞

50・20

7

一1

D01201−1剛一1・・

よって、解答は①（B）②（G）③（D）④（J）一29一（①②は順不同）

（6）指数分布に従う母集団からの大きさ〃の標本（x、，x、，…，x）について、母平均μの信頼係数1＿α／2の信頼区間は、

渚、2）・1・＾誇、2）・万青であるから、与えられた数値より、μはμ一⊥（…。…。…。・β・・。・が・）一・，・・・・…

14
となる。

ゆえに、電球の平均寿命μの信頼区間の下限および上限は、次の通りとなる。
2x14x1，125．5714

2×14x1，125．5714＿

κ2・資・・（O．05／2）

44．4608

2×14×1，125．5714

2x14x1，125．5714

κ2対4（1＿0．05／2）

15．3079．

g＝708．8491＝2，058・8062

よって、解答は①（B）②（G）

一30一

（7）

1
3
表の出る確率をρとし、題意から、帰無仮説Ho：ρ＝＿、対立仮説H1：ρ昌＿としたとき、コインを72．
4回投げたときの表の出る回数を確率変数xとすれば、xは二項分布に従う。
よって、第1種の誤りのおこる確率はP（〃Oが正しいときにHOを棄却する）
1＝P（X・6レーラ）

1
1
1
二。C。（一）6（1一一）・。C。（一）72

22＝0．0625

また、第2種の誤りのおこる確率はP（〃1が正しいときにHOを採択する）

3−P（X・51ρ一一）

4
3＝1−P（X・61ρて）

3

3

3

＝1一。C。（一）6（1一一）一。C。（一）7

4

4

4

＝O．5551

よって、解答は①（C）②（G）

一31一

（8）

（ア）帰無仮説∬o：ρ昌O・9・対立仮説H、：ρ〈O．9とす乱

4150

戸昌一；O．82なので、■。I．一α82一α91・柾・棚・、（α・・）、。榔であるので、帰無仮説は棄却される。

而
すなわち、成功率が通常と比べて低かったといえる。
（イ）帰無仮説〃。：ρ＝O．9、対立仮説H、：ρ≠O．9とする。

102
120

戸昌一＝O．85なので、■。1．■α85一α91・価一・．・…。

（α…），・挑であるので、帰無仮説は採択される。

而
すなわち、「成功率は通常と比べて変化があった」とはいえない。
（ウ）帰無仮説Ho：ρ＝O．9、対立仮説H1：ρ＜0．9とする。

〃＝5、た＝4なので、精密法を適用する。
m1㌧2（た十1）＝10，〃2㌧2（n＿乍）＝2であり、

巧．m・Iρ一2〃1

α9−1．・く41・（α・・）一・λ・となるので、帰無仮説は採択される。

（1一ρ）

10・O．1

すなわち、「成功率が通常と比べて低かった」とはいえない。

よって、解答は

（D）

一32一

（9）

区間（O，θ）の一様分布に従う母集団からの30個の標本変量を（X、，X、，…，X、。）、2κ十1（剛）個の標本変量を（巧・ち・…・ろ1・・）と帆（…X・・…・…）の標本変量平均干ア・（巧・ろ・…・ろ1・・）の中央値をアで表すことにすれば、問題より推定量2Xの分散よりも推定量2γの分散が小さくなる最小のたを求めれ
ばよい。

xの分散

巾1エエ、従って佃1エ
30

360

90

γの分散

中央値γの分布を考えると、密度関数グは、
止た
ア（・）一（…篶享！（ル・）ぱ判去此止青）！（云）（θ；y）去であるので、

止十i （θ；y）砂正
胡一かデ（γ）加（葦毒手）！∫（舌）部分積分により、∫（ガ（θ；y）止吋（島）、なので、亙匡1．（2た十手）！・旦・（北！）2一旦である。また、（た1）2（2κ十1）！2

市1イ・2・ア（1）勿一（ξ） 2

止十2

正

2

一（l11手！俳）（θ；y）砂一（ξ）

部分積分により、正十2 （θか一ξ・差モ1・（黒）、．∫（舌）を得るから、

一33一

料（書11）！1・ξ・差毛・（簑1）、一（呈）一宗景一1）｛1、

よつで桐一2芝1、・推定量の分散の比較

＿
＿
θ2 θ2
推定量2Xよりも推定量2γが有効であるためには＿＞、すなわち2々十3〉90。これを満たす
90 2た十3最小のκは44、従って89個以上の標本値の中央値をとればよい。
よって、解答は

（G）

一34一

（10）

巧のM■（oo）表現を

巧＝μ十ξOε、十ξ。ε、．、十ξ2ε丘．2＋．．．

とすると、X＝ψ。十ψ、X．、十φ。巧．。十ε一ψ。・＾（μ・ξ。ε、．、・ξ、ε、．、・ξ、ε，．、・．．．）

・ψ、（μ・ξ。ε、．、・ξ、ε、．、・ξ、ε、．、・．．．）・ε、一（ψ。・（いψ、）μ）・ε、・（鮎。レ、．、・（焔・φ、ξ。レ、．、・（ψ、ξ、・ψ2ξ、レ，．、・．．．

したがって、ψ。
μ一（∵μ一ψ。・（久・ψ、）μ）

1一φ1＋ψ。

ξ。g1
ξ1＝ψ1
ξ

gφ、ξ．、十ψ2ξ．2

（5≧2）

ここで
φo

g

O．09，φ1；O．6，ψ2昌＿0．05

であるから
μg0．2
である。

また、

ξ。・1，ξ1＝0．6，ζg0．6ξ．、一0．05ξ．。（j・2）

ここで、5≧2においてξ＝0．6ξ．1＿0．05ξi．2を変形すると
ξ＿0．5ξ．、，O．1（ξ、．、一05ξ、．、）

①

一35一

多、一〇．1ξ．、＝0．5（ξ、．、一0．専．、）…②を得る。①式、②式より
ξ一〇．5ξ．、一〇．1f一（ξ、一〇．5ξ。）一〇．1

ξ一〇．1ξ．、一0．5（ξ、一〇．1ξ。）一〇．5｛

一であるカ、ら、
O．4ξ．、一〇．5㌧0．1である。

したがって、j≧1において
ξ・上（・．・j・・一・．f・・）

…③

0．4
である。

③式はトOでも成立する。

よって、解答は①（B）

②（D）

③（E）

一36一

④（A）

（11）

X1＋X2＝（XブX1）十2X1で、X2−X1，X1は互いに独立な標準正規分布なので正規分布の再生性よりX1＋X2〜M（O，5）

1
P（X・・X・＞O）；ラy2

ノー五（4・・1・4・・）一亙（ム・（・・一・・）…1・・）札。古・τ古・2血勿廿巾叶が砂一芸2晋一長
亙（・1帖・・）・亙 飼档̀1；）0）一・梧

よって、解答は①（A）②（F）

③（E）

一37一

（12）
8（κ）＝e−2北とし、σを区間（O，1）の一様分布に従う確率変数とすると、

1（・（σ））抑十1・千1チ

州抑十1・十一デ舳）一亙G（朴（亙（・（σ））γ一1ギ11デー外；十1）であるから、σi，σ2，＿，σ2〃の2〃個の一様乱数を用いてモンテカルロシミュレーションをした場合の誤差の分散は、γ（城刈一件））〆（㌣1）
である。

また、

2

・・舳・一1））一1（・（1）・畑））一州榊一1））一｡ギ）より、σ1，σ2，…，σM，1＿σ1，1＿σ2，…，1＿σ〃の2M個の一様乱数を用いた場合の誤差の分散はγ（÷菖・（μ）・・色一仏》）一γ（8（σ崇（1一σ））

γ（9（σ））・C・γ（8（σ工8（1一σ））

2〃

÷ド；十1）・〆十字

・刈芋・が一昔〕である。

よって、解答は①（D）

②（J）

一38一

几

問題2
（1）まず、亙（R）をCを用いて表す。

1番目に訪間した会社が提示した年俸X、がCを超えるか否かの条件により、g（7）は条件付き確率密度関数を用いて、次のように表すことができる。

8（・）一p（x、・・）・8←lx、・・）・P（x、・・）・8（・lx、・1）

この関係式を用いて亙（R）を計算すると、

亙（・）一工・8（枇一工・／・（x、・1）・・（仏・1）・・（x1・1）・・（11x…）渉・・（・、・・）・工㎎（・1…仏・・（・…）・伽←1…伽・P（x、・1）・的x、・・）・P（x、・f）・ψx、・f）

一（・一剛）・亙klX、・・）・剛・亙klX、・・）……・・・…（i）となる。

いま、的X、・・）について考える。X、・1の場合・・番目に訪問した会社にX、の年俸で就職することになり、利得はその年俸から1社訪間した費用を控除したものとなる。
よって、

的x、・・）一ψ、lx1・・）一・……・・……………（ii）
次に、亙klX1・・）について考える。X、・1の験・番目に訪間した会社には就職せず・転職活動
は始めからやり直しになるが、1社訪間した費用がかかっているため、その分だけ訪間前に比べて利得が減少する。よって、

瑚X、・1）一助）一・・・・・・・・・……・・・・・・・・・…（雌）よって、（i）、（ii）、（iii）より

帥）一（・一剛Xψ、lx、・1）一・）・・（1）（帥）一・）

一39一

これを亙（R）について解くと、

帥）一剛4・・）一、．≒（、）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（iV）

となる。また、亙（X・lX…）一工小1Xl・・）批、μ（柚．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（v）

1一剛であることから、（V）を（泣）に代入すると、

亙（、）昌∫・伽一・

1一剛

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… @ （杭）と表すことができる。

よって、解答は①（E）②（F）⑧（C）⑨（B）⑪（G）③（A）④（E）①（B）⑫（G）

5（A）⑥（E）⑦（G）（2）次に亙（R）を最大とするCが満足する関係式を求める。
（対）の両辺を∫で微分すると、

等）一鴻ア←同））巾収→
よって、州、。より、廊）．。となる、は

仁一剛）2

〃

イ仁一・（1））・∫ガ馳一・一・

すなわち∫（・一・）ア（枇一・・・・・・・…

を満足する。

一40一…・…・・・・・…

…（械）また・ψ（・）一一・（・刊）・∫ガ伽一・とおくと洲、．（。．剛）、州．ゲ（、）昌。（。）．。、。

∫（・）より・ψ（f）はfについて連続な単調減少関数であることがわかり・＞Oであることより・（1−F（1））2帥）は（洲）を満たす。の前後で、正から負になることが確かめられる。

〃
さらに、亙（。）および酬は。について連続であることから、（枕）を満足する。に対して榊ま最
〃
大となる。

1
いま、xがそれぞれ平均一の指数分布に従うとすると、

λ∫し一炉加∫ル柵一仏柵十m｛r・∫・柵十・吋

¥刈一一十

一一
となる。

1一ル

一e
λ

，c

i
は。く一のときに限り（洲）を満足する。が存在し、
λ1一一王1。。（λ。）

λとなる。

よって、解答は

L

（G）

⑭

（A）

⑮

（ト1）

一41一

⑯

（F）

問題3．
（1）

まず（a）について、
積分・（た・λ）一∫〆・イ〃を1回部分積分すると・・（仁λ）一∫舳十・・寸・炉・伽λ比｛岬一・λ）
さらにた回部分積分を繰り返すことによりF（仁λ）＝

十出4＋た（た一）λト2｛．

止た！

となり、xを平均λのポアソン分布にしたがう確率変数とした場合、
止λF（れλ）一κ！

ゼλ

求Ar炊P（X・κ）となる。

次に（b）について、

積岬・λ）一∫舳において・1＋して変換すると・
止

｝

λ

e一λ

十κ！・㌔ ｰ万ル4一κ！Σ、！

γ

榊一∫舳一味）・㍉である。

ここで、自由度ψのκ2分布の確率密度関数（y≧O）は、
皇一・ツ小ド
であり、ψ＝2（た十1），2た十2とすると、
止 y2、（1，1）（古ドーとなる。

したがって、F（た，λ）は、た ツ
た y・（仁！）一五去（舌）・㍉・・（川）寸2、（1，1）（舌）・㍉

一42一

皇一・γ

刈・セ）（古いと表される。

すなわち、γを自由度ψのκ2分布にしたがう確率変数とした場合、F（κ，λ）一r（疋・1）・P（γ・2λ）（λ・O）となる。

以上の（a）（b）より、炊P（X≦北）＝r（た十1）xP（γ≧2λ）とな乱
よって、κ」・（X。た）一・（γ。・λ）
r（た・1）となる。またたは自然数であることから、r（κ十1）＝た！であるため、

1・P（X≦κ）；P（γ≧2λ）（mg1である）となる。

よって、解答は①（F）②（B）③（G）④（C）⑥⑧（E）⑥（F）⑦（F）

（ト1）

（2）

題意より、ロットの不良率をρとし、サンプルの大きさをnとすれば、このn個の中の不良品数は、平均ψのポアソン分布に従うと考えてよい。
〃個のサンプルを抽出してこの申に見い出された不良品が。個以下のとき、このロットを合格とすることにする。ロットの合格する確率z（ρ）は、σを平均ψのポアソン分布にしたがう確率変数とした場合、
z（ρ）＝P（σ≦c）と表される。

ここで、（1）で導いたポアソン分布とκ2分布の関係を利用すると、γを自由度ψ目2（c＋1）目2c＋2のκ2分布の確率分布に従うとした場合、工（ρ）一p（σ・・）一戸（γ・2・ρ）と表される。

すなわち、2・ρ一κ、2 Aし）1（自由度ψのκ2分布の上側Z（ρ）点）という関係式が示される。

次に、この関係式を用いて、次の条件（ア）（イ）を満たすmと。を求める。

（ア）不良率2％のロットがまちがえて不合格とされる確率を5％（イ）不良率5％のロットが合格となってしまう確率を10％一43一

（ア）より、不良率ρ目2％のロットの合格する確率Z（O．02）は、1＿O．05＝O．95であり、関係式は、

2ψ目2・・㎝2一κ、2 m（α02トκ、21α95｝…（ア式）となる。

また、（イ）より、不良率ρ；5％のロットが合格する確率工（O．05）は、O．10であり、関係式は、2作2・・㏄5一κ、2 m（α05トκ、2価101…（イ式）となる。

よって、（ア式）と（イ式）より、
ム5・κ、2 P0，95／一κ、2価10／

…

（ウ式）

が成立する。
このとき、κ田2 Pε／表より・（ウ式）を満たすψを求めると・ψ目2（・・1）一22となる。（なおκ、21α10／−3α8133、κ四2価95ト1Z3380で狐）したがって、cg10となる。

このとき（ア式）から、n＝308，450、（イ式）からm；308，133であり、m＝308となる。
また、このnと。に対して、合格する確率が50％となるロットの不良率は、Zし），O．5からrκ2分布の上側ε点」表を用いることで、
κ、2 m（ρトκ、210．5｝一213370であり・

2ψ＝2x308×ρ；21．3370であるため・
ρ＝O．034637…となる。
すなわち、合格率が50％となる不良率は3．5％とな争。

よって、解答は⑨（E）⑩（A）⑪（D）⑫（B）⑬（D）⑭（G）⑮（ε）⑯（C）⑰（G）⑱（C）以上

一44一