Engineering Sciences Reports, Kyushu University
Vol. 28, No. 1, pp. 323-328, DEC. 2006

九 州 大 学 大 学 院 総 合 理 工 学 報 告第28巻 第1号 323-328頁
平成18年12月

トラップドキンクによって形成される砂山の二重縞構造
下川 倫子*1,†・太田 正之輔*2(平成18年4月28日 受理)

Dual stratification of a sand pile formed by trapped kinkMichiko SHIMOKAWA, Shonosuke OHTA
E-mail of corresponding author: simokawa@esst.kyushu-u.ac.jp†We report on the experimental studies about a new dual stratification pattern and a trappedkink of a sand pile. When we pour a mixture of Large Rough grains (LRG) and Small Smooth grains(SSG) into a quasi-two dimensional Hele-Shaw cell, a stratification pattern of alternate LRG andSSG is formed spontaneously. In a formation of the stratification pattern, a congestion wave (kink) isobserved. Ordinary, the kink is generated at the bottom of a sand pile and then the kink goes toward
a top of the sand pile. In our experiment of a large sand pile, we found a new stratification patternwith two wavelengths. A wavelength is short in an upper region of the sand pile, while the other islong in the lower region. When the dual stratification is formed, the kink is generated not only at thebottom (ordinary kink) but also on the way of the sand pile slope (trapped kink). Both two kinks
make the short wavelength of the upper region different from the ordinary stratification pattern.
Therefore in our experiment of the large sand pile, the dual stratification is formed.
Key words: pattern formation, sand pile, stratification, avalanche, congestion wave, repose angle

1. 緒言固体相転移が見られる3)。粉体の偏析現象や相転移現粉体の振る舞いを正確に知ることは、地滑り･雪崩・象をはじめとする粉体の面白い現象について、多くの液状化といった自然災害に対する対策や、薬の合成を研究者が興味を持ち、さまざまな研究がなされてきた扱う薬学、化学製品の輸送や反応といった工学上の応

4)。

用、惑星のリングの形成など非弾性衝突を扱う天文学

2種類の粉体を一様に混ぜ合わせ、この混合粉体をや地学の基礎研究にとっても、重要な課題である。しHele-Shaw cellの狭い隙間(本実験では5.0mm)に一方かしながら、粉体の挙動は奇妙で複雑であるため、基から注ぐ。すると、形成された砂山の表面には相分離礎的･系統的な研究は十分にはなされていない。

パターン、もしくは縞構造が見られる。これらのパタ

奇妙で複雑な現象のひとつの例として、ブラジルナーンの選択は粉体粒子の粒径となだれが止まったときッツ効果で代表される粉体の偏析現象があげられる。の山の角度である安息角の相対的な大小関係で決定さ二種類の粉体を一様に混合し、密閉した容器に入れる。

れる5-7)。本研究では、粒径が大きく安息角も大きい粒この容器を上下に振動させると、自発的にそれぞれの子( Large Rough grains : LR粒子)と粒径が小さく安粉体どうしに分離する1)。このように粉体は外力を加息角も小さい粒子( Small Smooth grains : SS粒子)のえると互いに分離しようとする性質を持つ2)。もう1つ混合粉体で形成される縞構造の砂山に焦点を当て、研の面白い現象の例として、粉体の相転移現象があげら究をおこなった。縞構造の砂山の形成において重要なれる。砂山形成において、砂山表面は粒子の集団があ役割を担うのがなだれと逆方向の山の麓から峰に向かたかも液化しているかのようになだれとして流れる。って進む渋滞波(kink)である8,9)。挿入された粉体は山しかしながら、ある程度流れると粒子どうしが押し付の峰から麓に向かってなだれとして流れ落ちる。麓付

け合い、なだれとして流れることができなくなり、固近では山の勾配がゆるくなっている(run-out plane)た化して砂山の一部となる。このように砂山では液体･め、麓に到達するとなだれは止まり、kink が発生す

*1 大気海洋環境システム学専攻 博士課程
*2 流体環境理工学部門起こる。なだれと kink の1往復運動につき、1組の縞る。麓で発生した kink が峰に到達すると、なだれが構造ができる。そして、この往復運動を繰り返しなが

324

長江流量の重回帰分析

ら縞構造を持った砂山が形成される。Kink は必ず山

3. 結果の麓から発生すると報告されてきた10)。しかし、すべ

3.1 大きな砂山で形成される縞構造ての kink が山の麓から発生するのは砂山のサイズ大きな砂山で実験をしたところ、Fig. 2(a) にみられが小さいためではないかと私は考えた。そこで、従来るような山の上部Uと下部Lで縞間隔の異なる砂山がの約2倍のサイズの砂山で同様の実験をおこなった。

自発的に形成された。スペクトル解析で得られた結果をFig. 2(b) に示す。縞間隔は上部Uでλu=3.8mm、下2. 実験方法

部LでλL=7.4mmであり、山の上部のほうが下部より粉体実験は湿度に大きく影響されるため、実験室を温度27℃、湿度45％に保ち、実験をおこなった。使用も縞間隔が狭くなっており、下部の縞間隔は上部の縞間隔の約2倍であった。

した試料はガラスビーズ(Fig. 1(a))とラカント(Fig.

では、大きな砂山での実験で2つの縞構造が形成さ1(b))である。ガラスビーズがSS粒子、ラカントがLRれるのはなぜだろうか。これはtrapped kinkという山粒子に対応する。この2種類の粉体を体積比1:1で一様の斜面途中で発生する新しいタイプのkinkによるもに 混 合 し た 。 こ れ ら の 物 性 値 は Table 1 に 示 す 。のである。大きな砂山実験ではkinkが山の麓だけでな

Hele-Shaw cellのサイズは横60cm、高さ50cmで、挿く、山の斜面途中でも発生する。従来見られていた山入する隙間の幅は0.5cmである。Hele-Shaw cellは地の麓で発生するkinkをordinary kink、今回新しく見ら面に対して垂直に立てる。また、砂山はある一定の大れたkinkをtrapped kinkと区別して呼ぶ。山の上部のきさ以上になると重みによって崩れてしまうため、砂縞間隔λuはordinary kinkとtrapped kinkによって形山の角度(=33°)に切った木の板(Fig. 2(a) W)を砂山成される。一方、下部の縞間隔λLはordinary kinkのの斜面に平行になるように設置し、実験をおこなう。

みでつくられる。上部のほうが下部に比べてなだれと現実の砂山により近い状態になるように、木の板の表kinkの往復運動の回数が多いため、狭い縞が作られる。

面にはLR粒子を両面テープで貼り付けた。木の板から十分離れた位置ではパターン、動的挙動について、木の板の影響はなく、木の板がない場合と同様の現象が(a)ULU起こることを実験的に確認している。流量 J は0.86g/sで統一的におこなった。ただし、Fig. 2 のみ流30mm

量 J は0.37g/sである。
50mm

1.0mm

1.0mm

LW

Samples. (a) Glass beads. (b) Brown sugar.

Table 1

Characteristic value of two grains.

Samples

Diameter (mm)Repose angle（deg）

Glass beads

0.126Brown sugar

0.2〜0.8

38

Power spectrum

Fig. 1

14(b)

(a)

(b)

λL

12λU

1086420246810

Wavelength (mm)Mixture grains

33Fig. 2 Dual stratification pattern (Flux J=0.37g/s)(a) Photo of a dual stratification, and W is a wood board.
(b) Power spectrum of (a).

12平成18年

3.2

九 州 大 学 大 学 院 総 合 理 工 学 報 告Trapped kink の形成過程

第28巻

325

第3号

子集団が固化し、結果として halfway avalanche が

前節で2つの縞構造を持った砂山の形成にはtrapped kinkの存在が重要であることがわかった。そこで、trapped kinkの発生過程を知るためにSONYデ

斜面途中で自発的に止まる( Fig. 3(a) S点 )。それと同時に halfway avalanche が止まった位置 S を基点と し て 、 Trapped kink が 発 生 す る 。 発 生 し た

ジタルビデオカメラレコーダー(DCR-VX2100)を用いTrapped kink が速度 v で山の峰まで達すると、なだて、なだれ表面の観察をおこなった。

れがおこる。このなだれは trapped kink が発生した

Fig.3 は trapped kink が山の峰に向かって移動しているときのスナップショットである。Fig. 3(a) の S
点は trapped kink の発生位置を示す。また山の斜面途中でとまるなだれを halfway avalanche、麓まで流れるなだれを full avalanche と以下では区別して呼ぶことにする。Fig. 3(a) をつかって trapped kink の際に作られた先頭LR集団のきつい勾配 ( S 近傍) に
よって、斜面途中で止まれず、full avalanche となる。
このとき、kink は山の麓で発生する (ordinary kink)。
ordinary kink が通り過ぎると、砂山の斜面がフラットになり、結果として、次は halfway avalanche がおこり、trapped kink が発生する。このように大きな形成過程を説明する。まず、挿入された粉体は流れて砂山の実験では trapped kink と ordinary kink がいるときに受ける振動によって、上下に分離し、A 近ほとんど交互に発生することが実験的に分かった。ま傍に見られるような2層流を形成する。このときブラた、なだれの厚み D=0.87cm ( Fig. 3(b) ) はなだれのジルナッツ効果によって、2層流の上層は LR粒子(茶)、中でほとんど変化しないことが観察された。

下層が SS粒子(白)となっている。上層の LR粒子は下層の SS粒子よりも速い速度で流れており、なだれが次に halfway avalanche に注目し、trapped kinkが発生するまでの halfway avalanche の先頭を追っ流れるにつれ、なだれの先頭に集まり、LR粒子の集団た。Fig. 4 の横軸 t は時間を示し、t =0 は粉体が砂をつくる(B 近傍)。LR粒子集団の長さδL (Fig. 3(b) )山の頂点から転がり始めた時間、縦軸 L は halfwayがある程度、長くなると、液化していた先頭の LR粒す。斜面距離が 0cm-10cm、5cm-15cm、10cm-20cm、15cm-25cmと4箇所でたくさんの halfway avalancheA(a)avalanche の先頭の位置を示す。測定方法を以下に示

表面を拡大して撮影する。それらの動画をVAIO内蔵vのWindowsムービーメーカーで１コマずつ動かし、そB

れぞれの halfway avalanche の先頭の位置の時間変化を追う。それぞれの得られた先頭位置の時間変化を重ね合わせ、グラフ化した。動画のコマ数は15F/s、S

シャッタースピードは1/60 sである。Fig. 4 に見られるように halfway avalanche が自発的に止まる位置に は ば ら つ き が あ る 。 そ し て 、 は じ め 、 halfway
25D(b)

20

δL

15L (cm)

θ st

θt

10

Fig. 3 Trapped kink. ( Flux J=0.86g/s )(a) Point S is where trapped kink is generated. Region Ais where grains of halfway avalanche segregate up anddown. Point B is where LRG were gathered. Trapped kinkgoes up toward a top of a sand pile at a velocity v. (b)Length of front LRG is δL. Repose angle of a sand pile isθst . Front angle of halfway avalanche is θt , as halfway

avalanche stops. Thickness of a halfway avalanche is D.

5001

23456t (s)Fig. 4 Time dependence for the front position of ahalfway avalanche L. ( Flux J=0.86g/s )326

長江流量の重回帰分析avalancheはほぼ定常で流れ、その後、急激に止まっていることがわかる。
Fig. 5(a) はなだれ先頭にたまるLR粒子集団の全長を調べたものである。横軸は halfway avalanche の先頭の位置 L( Fig. 3(b) )、縦軸がなだれ先頭の LR粒子集団の全長δL である。 L とδL は比例関係にあり、なだれの約6割が先頭LR粒子集団で構成されていることが分かった。

は 固 化 し た halfway avalanche の 先 頭 の 角 度

θt ( Fig. 3(b) ) の確率分布である。 θ st の平均角度(△)

は小さい砂山実験とほぼ同じ角度( =33.3°)であり、

θt の 平 均 角 度 ( ● ) は θ st ( △ ) よ り 明 ら か に 大 きい38.6°であった。これはLR粒子の安息角 θ LR とほぼ同じ角度である。

Fig. 5(c) はhalfway avalancheが自発的に止まった位置の確率分布である。止まる位置の確率分布は対称

Fig. 5(b) は山の斜面角度を調べたものである。△な形をしておらず、後ろに裾を引く形をしている。本は2つの縞構造をもった砂山の角度 θ st ( Fig. 3(b) )、●実験でhalfway avalancheが止まる位置(trapped kinkの発生位置) の分布のピークは16.3cmであった。

14

δL (cm)

4. 考察

(a)

12

大きな砂山の実験で二重縞構造の砂山が形成される10ことを発見した。この原因は砂山の斜面途中で発生す8る trapped kink によるものである。Trapped kink6が発生するとき、斜面途中で自発的に止まる halfway
avalanche がみられる。Fig. 4によると、一定の厚み

δL=0.64L

4

D をもった halfway avalanche ははじめ、ほぼ定常2で流れ、あるとき、急激に止まるという振る舞いが見020151050られる。一般に粉体のながれについて、全体にかかるL (cm)

重力と床や側壁から受ける抵抗がつりあったとき、定1.00.8Distribution

常流になることが知られている11,12)。ここでいう全体(b)の重力とは流れている粉体粒子の量に比例する値である。仮に、先頭LR粒子集団の増加に伴なって抵抗 (LR0.6

粒子の接触面積に比例すると仮定) も増加するとしても、halfway avalanche の速度は指数関数的な減速し0.4

か お こ り え な い だ ろ う 。 し た が っ て 、 halfway
avalanche が急激に停止する現象は線形の抵抗力で0.2は説明できない。Fig. 5(a) からなだれが流れた距離 L

0.0253035404550Angle (deg)30x10いうことがわかる。固化した halfway avalanche の先端角度 θt は、Fig. 5(b) に示すようにLR粒子の安息-3角 θ LR に等しいことが観測されている。

(c)

25Distributionに比例して、なだれ先頭の LR粒子集団が成長すると以上の結果をふまえて、trapped kink の発生、いい20

かえると halfway avalanche が急激に停止する現象

15について、『halfway avalanche の先頭角度がLR粒10子の安息角になったとき、なだれは急激にとまる』という仮説を立てた。

5

時間に依存する halfway avalanche の先頭角度(先0010203040Lt (cm)Fig. 5 ( Flux J=0.86g/s) (a) Relationship between
length of halfway avalanche L and front length of
LRG δL. (b) Distributions for Repose angle ofsand pileθst ( △ ) and front angle of halfway

avalanche θt (●). (c) Distribution for generated
point of trapped kink.

頭LR粒子集団の角度) θ (t ) に注目する。ここでなだれの先頭角度 θ (t ) と二重縞構造の砂山の角度 θst の差をδθ とおく。 δθ は底辺 δL 、高さ D の直角三角形がつくる角度である(Fig. 3(b))。幾何学的条件より、なだれの厚み D を使うと、δθ = tan ( D / δL ) と表せる。
−1

すると、θ (t ) = θ st + tan ( D / δL ) と示せる。θ st は
−1一定値、D はほとんど変動しない値であることから、

θ は δL のみに依存する量であり、 δL の成長ととも平成18年

九 州 大 学 大 学 院 総 合 理 工 学 報 告第28巻第3号

327に小さくなっていくことが分かる。以上のことから、形は砂山表面の粒子状態に大きく依存していると考え

Halfway avalanche が斜面途中で急激に止まるまでられる。実験で選択された分布の形についての理解はの過程を考える。始めは θ > θ LR であるために、なだダイナミクスの理解につながるであろう。疑問を1つれ先頭のLR粒子集団はなだれを起こし、砂山を形成すずつ解決し、halfway avalanche が急激に固化するダることができず、液体状態にある。しかし、なだれがイナミクスの理解が今後の課題である。

流れるにつれ、 δL が成長してくると、先頭LR粒子集5. 結論

団の角度 θ は小さくなってくる。そして、ついに大きな砂山で実験をし、今まで報告されていなかっθ = θ LR

(1)た2つの縞間隔を持つ砂山のパターンを発見した。これは山の麓から発生する従来の kink ではなく、山のになったとき、液化していた先頭LR粒子が急激に固化

斜面途中から発生する新しいタイプの trapped kink

し、なだれ先頭にLR粒子のみの小さな砂山を形成する。

が発生するからである。Trapped kink はなだれの先

そ の 結 果 、 LR 粒 子 の み の 砂 山 に よ っ て 、 halfway

頭にたまったLR粒子がつくる小さな山を基点としてavalanche がせき止められ、trapped kink が発生す発生する。小さな砂山の勾配がLR粒子の安息角になっるのではないかと考えた。

たとき、液化していた先頭LR粒子は急激に固化する。

こ の 仮 定 の 検 証 す る た め に 、 幾 何 学 的 な 式からhalfway avalanche が自発的に止まる位置 Lt を求めその結果、なだれが急激に止まり、trapped kink が発生する。以上のことが実験から説明できた。てみよう。

θ (t ) = θ st + δθ , δθ = tan −1 ( D / δL ) , δL = 0.64Lに加え、halfway avalancheが θ = θ LR でとまるというアイディアを加えてやると、halfway avalanche が自発的に止まる位置 Lt は謝辞
この研究を行うにあたって、アドバイスを下さった
本庄春雄教授、坂口英継助教授、桂木洋光助手(量子プロセス専攻)、中西秀教授、御手洗菜美子助手(理学部物理学科)、磯部雅晴助手(名古屋工業大学)、中原明生

Lt =D
0.64 ⋅ tan(θ LR − θ st )講師(日本大学)、本間真氏(元･日本大学助手)に感謝い(2)たします。と 示 せ る 。 こ の 式 に 測 定 値 D ＝ 0.87cm 、

参 考 文 献θ LR − θ SS ≅ 5° を代入すると止まる距離は 15.4cm1)

囲内で一致する。このことから、なだれが山の斜面途

2)と計算される。これは実験値 16.3cm と実験誤差の範中で止まる主要因は先頭LR粒子の角度 θ (t ) がLR粒子の安息角 θ LR になることであると説明できる。

本実験で trapped kink の発生過程は分かってきた。

しかし、なぜ θ = θ LR という条件下で液化していた

halfway avalanche が急激に固化するのか、というダイナミクスは解決できていない。ガラス転移で議論される Jamming transition と粉体の相転移現象をつなげ13)、この現象を理解することができるかもしれな
い。また、trapped kink が発生する位置の確率分布は裾を引いてた形をしている。この分布の形は流量によらないことが実験から分かってきた。本実験ではなだ

3)
4)
5)
6)

7)

8)
9)
10)

れと接触する砂山表面の粒子はなだれにまきこまれて動くことができる。比較実験として、砂山表面の粒子が動けないように板に粒子を接着する。そこになだれが斜面途中で止まる現象において、本質的にきいているLR粒子を流し、板の真上で halfway avalanche が止まる位置の確率分布を調べた。このとき Gauss分布に従う分布が測定された14)。このことから確率分布の11)
12)
13)
14)

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