平成7年12月20日
保険数学1………1

保険数学1（問題）
1

次の（王）から（10）までについて・それぞれ五つの選択肢の中から正しい答を一つ選んで、所定の解答用紙にその記号〔（A）から（E）のうちいずれか一つ。〕を記入せよ。

（50点）（1）期末払で初年度年金年額が1、以後毎年一定額2｛だけ増加する永久年金の現価が、期末払で初年度年金年額が1・以後年金年額が毎年一定率rだけ増加し、r，r2，r宙，……となる永久年金の現価と等しいとき、rの値として適当なものを次から選べ。ただいは両永久年金の予定利率を表し、r〈1＋とする。

（・）1・吾（・）1・争（・）・・舌（・）π（・）1・舌（2）定常人口の社会があり・ム1a−x（0≦x〈a）、30歳以上の人の死亡時年齢の平均が75歳のとき、aは次のうちどれに等しいか。
（A）97．5（B）98．0（C）98．5（D）99．0（E）99．5（3）eF0・8（100−x）（0≦x＜100），Zo＝100，000とするとき、Z盟に最も近いのは次のうちのどれか。
（A）。92，860（B）92，910（C）92，960（D）93，010（E）93，060（4）関係式（ア）〜（工）の正誤に関する記述のうち、正しいものは次のうちのどれか。
（ア）M、＝D、一州エ1・一1（イ）一（ΣC、、〃トー1一十D、、而）＝〃n＋1
D。 ト。
（ウ）Σ

、、t

A、、一＝垣、（δ、一1）

t！l

1・一1

（工）一ΣC、、i．一δi同＝δ司一δ工、記D．t・o（A）全て誤り（B）1つ正しい（C）2っ正しい（D）3っ正しい（E）4っ正しい（5）条件付保険に関する記号は（R）を付して表すこととする。x歳加入、保険期間n年、死亡保険金額1（期未払）・死亡指数150の条件付保険を考え、満期まで生存した場合には年払平準純保険料P㈹のうちから、特別保険料部分の既払込分全額を返還することとする。この条件付保険の年払平準純保険料P㈹のうち特別保険料部分は次のうちどれに最も近いか。
㈹㈹
ここで、同じ仮定の下での条件付定期保険の年払平準純保険料をP呈、司とし、P呈、下0．00336、また、条件付養老保険の年払平準純保険料をP賄とし、P鮪＝0．02974とする。
さらにP呈＝司＝O．00211とし、nは共通に、20年とする。
（A）0．00257（B）0．00259（C）0．00261（D）0．00263（E）O．00265（6）ト0，05，Z㎜＝98，884，皿。1＝98，766，δ別ミ田＝7．43590，砧。＝祠＝0．00774のとき、んに最も近いのは次のうちのどれか。
（A）97，600（B）97，700（C）97，800（D）97，900（E）98，000（7）x歳加入、保険期間30年、保険料年払全期払込、保険金額1（期末払）の養老保険において、第t年度にお30ける危険保険料をP・（t）とするとき・Σv−P・（t）の値に最も近いのは次のうちのどれか。但し、トI〆＝0．411987，P，、田！0．06とする。
（A）O．772（B）0，774（C）O．776（D）0，778

一18一（E）0．780＝0．03，

保険数学1…

…・2（8）x歳加入・保険料一時払の生存保険（保険金額1）で、期中の死亡に対しそば責任準備金の1／。を即時に支払ケものとするとき・一時払鈍保険料は次のうちど杣こ跳近いか。但し、保険鯛は。。年とし、〆一0，554，別p。＝0．64とする。

（A）0・441（B）0・443（C）0，445（D）0447（E）0，449（9）P里正0側63けミ1α・…1・t・炉・〃・・のとき、・、、司に最も近いのは次のうちのどれか。

（A）0・0366（B）0・0368（C）O．0370（D）0．0372（E）0．0374（1O）肘伽・別＝26川の関係式が成立し・…一・・1・・であるとき、一・、、．・別・、の値に最も近いのは次のうちのどれか。

（A）0・470（B）0・472（C）0，474（D）0，476（E）0，478

2・次の文中の空欄に適当な算式を記入せよ。

（12点）

時鴛tにおける資産額をf（t）一A・一（・・t・1）とし・利カをδとすると、1年間に収入する鵜1は、I㌃（国コ）と表さ帆ここでf（・）一・川1）一・、とおき・および、を消去し整理すると、

δ1回と帆この式を実利靴とδの関㈱一画コに代入して整理すると、1一（1・四声．、となる。この式を級数展開し、3次以上の項を無視することとすると、

1と1・・≡・・回・去・。1、（、1汎一）・（回）・一1一夫（1亙）1なる。
さbに近似式を用いて整理すると・j≒口目となる。これは、資産額が時刻tの指数関数として表されると仮定した場合のハーディの公式である。

3．次の文中の空欄に適当な算式を記入せよ。

（12点）
養老保険の年払純保険料が逓減定期保険の年払純保険料と定期積金の毎年の掛金に分解できることを証明する。

α・…干匝1よ1・去吊婁・一・ド画一画

ここ舳｛一 m1婁回・蜘＿1・工1よl1・P成ド調［頭・［頭11・

したがって・P・＝正扁認［頭・国コ第項は第t年度の死亡保険金が口頭の逓減定期保険の年払純保険料を表し、第・項は定期積金の毎年の掛金を表す。

一19一

保険数学1………34

数列｛S｝1−1．呂一・・に対し、保険期間がN年（N一，2，・・一）で第t保険年度中（t＝1，2，……，N）の死亡にはsを年度末に支払う死亡保険を考える。
この保険の全期払込年払鈍保険料をP（N）、第t年度末責任準備金をlV州とし、関数f・（t）が次の関係式を満たしているものとする。
fH（t）1V・＝苅＝〃P，州｛fH（t＋1）1、一V、、N｝（ここでt＝0，王，・一・，N−1，oV、、刊＝0とする。）

このとき次の問に答えよ。

（26点）（1）P（t）十P。＝毛・f。（t）一P。＝一f。（0）がtによらない定数であることを示せ。

ここで・P・｛・P・iはそれぞれx歳加入・t隼満期の生存保険と養老保険の全期払込隼払鈍保険料とする。

D州（2）F・（t）＝ ｢・f・（t）一f・（0）とするとき、次の式が成り立つことを証明せよ。

FH．1（t）＝FH（t）一ト｛P（N＋1）一P（N）｝・δ、、司以上

一20一保険数学1（解答例）
問題1

設問番号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

解（B）

（A）

（E）

（C）

（E）

（D）

（C）

（B）

（A）一（D）

答欄

正解は上表のとおりであるが、以下に各設問の解答方法を略記する。
（1）・・・…

（B）

初年度1、毎年一定額・だけ増加する永久年金の現価11〕一÷（1・÷）
初年度1、毎年一定率rだけ増加する永久年金の現価α9〕＝（1＋づ）一r

いま一・一・1・1！〕一1・〕よ1・÷（1・字）一（、斗1）．r．・

2
3

Dr昌1＋一｛（2）……（A）

1α。
4。＝α一Xよりμ。1一一一＝

2．dx

1
α一x（30歳以上の人の死亡時年令の平均）∫竃。∫8■x（x＋t）・4、・tP、・μ、、t∫竃。∫ポxa、・｛Px・μx，t2
旦一α一ト10．

3．．

（3）・・・…

2（E）

dx

1μx昌

2x＝2oe琴P｛一∫看μtdt｝
exp｛一∫喬

1dt｝
400−4t一神・［÷1・・（…一・t）1；

刈40皇晶4x）丁・ム・一1・・・…（音）丁≒・・…

一21一dtdx∫竃。∫竃1x（x＋t）dtdx

dx

ｿ一ト10＝75
D一3Dα二97．5d。
。
一e。＝e。μ。一1＝一0．8より＝4odt

400−4x∫竃。∫葛一xdtdx

（4）

・・・…

（C）

（ア）左辺＝oN。一N。、1＝〃N。一（N。一D。）＝D。一（1一〃）N。

＝D。一dN。＝右辺一…・・○1・一1（イ）左辺＝一｛Σ〃n＋1（〃D、十t−D、、t，1）十D、十、｝

D．t−01一・一1；一｛Σ（〃n−tD、十t一〃n皿t−lD、、t，1）十D、十、｝

D．t−o1昌一｛（〃nD。一D。、。）十D。十。｝

D。

＝〃nキ右辺………×。。 M。、t（ウ）左辺望Σ4。、t−t−lD。、t里Σ（1＋ゴ）x＋t（ηN、十t−N、十t＋1）

t＝1＝Σ｛（1＋ゴ）x＋t■1N、十t一（1＋5）x＋tN、十t，1｝t三1＝（1＋ゴ）xN。、IN。、一

≡4・．π
N。一D。
＝右辺……・・○D．

；4班・n−ln−1t＝ot三〇（工）右辺＝Σが一Σ〃tp，n−1＝Σ〃t（1一ρ、）籟讐Σ〃t（q、十1−q、一ト・・・・・・・・・・・・…

昌＝Σt．1■q、（が十・・・・・・・・・・・・…

＝Σot

十砂n■1）

昌

t．1■q、（1寺・・・・・・・・・・・・…

n−lt＝1
Cx，t．1＝Σt−1（5）・・・…

十t．1−q、）Dx

十砂n1H）

1n−1

o同キーΣC。十t．1α司＝左辺………×
D．t・o

（E）

契約時の収支相等の原則より㈹
P㈹6票η＝A㌧、司十n（P㈹一P圭、司）A黒十一22一

．

㈹
A土＝司一nP圭、刊A黒㌔．P㈹＝硝！司一nA禦←

したがって求める特別保険料は㈹A土：司一P土、司δ禦而P㈹一P圭＝司2

硝！司一nA隻！←㈹
p圭、面一P三頼
1−nP

蔓…缶0．00336−0．00211＝0．002646
1−20・（0．02974−0．00336）（6）・・…・（D）

Aム。、司＝1−dδ20、而二が。

lop20よりい弁（1一如一・1・：司）（…1炉会）
また、δ20、呵＝1＋o・p2。・δ21司なので、上式に代入すると・・。一・^1一・（1…乞・1・1司）一・1市1

一・・川・／1一÷（1・÷・急姉）一・1州1与えられた数字を代入し・計算すると230＝97，902
（7）

・・・…

（C）

P、（t）＝P、：司一（oVt−Vt，1）の両辺にがを乗じて、t；1，2，・…・・…nについてnn加えると、ΣがP、（t）冑P、、司Σ：が＿〃n＋lt呂1V、十ηVo

t＝1n＋1 。。1＝P。司・〃■砂一〃

1一〃＝Px、司（Vo＝O，V。＝1）

1｛・一・（1−on）一〇・〃n

いま・一・・であることから巳正α・巳用い古，・・一α・1i…

一23一30を代入してΣvtP、（t）；0．77604
t＝］（8）・・・・…

（B）

d

1

ThieIeの微分方程式より証Vゼ＝（μ。。t＋δ）V｛岨Lτμ。。t12＝（δ十一μ。十t）V壬団〕

1dV！血〕

1V1冊〕dt2

一＝δ十一μx＋t

1∴［1ogVr］8＝∫8（δ十一μ。、t）dt

2

P（＝V8〕）を一時払純保険料とすると
1−1ogP雪δ・n一一1og，Px

2土

P＝e■δn・（、P、）2

一・・厄

一0，554・恢
＝0．4432（9）……（A）

tV、司＝N。一N。、t・P、司D、、tMビM。、t：D、十t（過去法）

1P圭：■＝扁．P州・、十．

．P、：［二p、、七・y、：万十P圭：η

与えられた数値を代入してP、：司＝O．03659

一24一V｛田〕

（10）・・・…

（D）

δ。。t

δx・2ttV。、t＝1一δ。

δx・t

一二1−tV。より

題意より
2δx，t一δxtV。、t二1δx．t
δ。

＝一1＋一δ。。t1＝一1＋1−tV．

tV．

11V。
泓。2tまた2tV。＝1一一δ亜2δx＋t一δx＝1δ。

一・（1一㌘）

昌2tV．
．

Dy。十t＋2tV。＝tV。
1−tV．

斗2tV．

0，150

1−0，150＋2×0150＝0．47647

一25一問題2② I
V1109−
V1−Vo Vo④VrV。

⑤V1−Vo−I

Vo2V．

⑥2I

Vl＋Vo−I①

1一∫llf（t）・t一∫ll・びt・t一［苧・血t11一苦（日）・・・・・………・（・）VIVo

f（0）＝A＝Vo，f（1）＝Aeα宝V1，よりA・＝Vo，α＝1og−
これを（a）式に代入し．て，δについて解くと、I11・・（÷）δ些＝A（eα■I二V『1og−）・片1）V「篶V。

③

この式を2＝国ミ三：コに代入すると

I・、、④I｝■代一1廿）㍉1し1一（1・王ザー1
これをV1−Voの関数とみなして、級数展開し、3次以上の項を無視すると、
Vo

用・

④④
A圭、・田・去・、生、（、三、一1）（田γ一1⑤

一夫（1｛麸ヨ）一÷（1・一26一⑥非Iジー巳≡1問題3③D。、。

可⑥④（1一窯）㌦］

卸

1一一s歴

①C。、t．1＝oD。十t皿1−D。十tより

1・1・麻肝・勤＝麻呂（ηD肘・ドD肘t）§η
1・・oΣ（1＋§口）D、、t．1一Σ§ηD、、t｝

・＝一D。§司t−l

H

②

③

一点（・一帖叫）一回一田……・…・（・）

1・D。、。

ここでP、＝司δ、：司壁一ΣC、十t．1＋

D．t・1

D。

一士／菖［i・払卜直（b）式を用いて④

吟｛一②ｶ茗（1一幸）い回④⑤（1一妾）馬・田したが一って、P、＝司＝一■Σ

11・δ。、司D．t−1⑥

第1駄死亡保険金巳の逓減定期保険の年払純保険料を航一27一

問題4（1）条件よりfN（t）一tV、、N＝〃・p、十t・fN（t＋1）一秒・p、、t・t，lV、：N……………

（a）

ファグラーの再帰式よりtV、、N＋P（N）＝o・p、十t・t＋1V。＝N＋〃・q、十t・St，I……（b）（a）

十（b）

fN（t）十P（N）＝〃・px，t・fN（t＋1）十〃・qx，t・St＋1

両辺にが・ρ、を乗じると〃t・0、・fN（t）十が・tP、・P（N）＝が十1・t，1P、・fN（t＋1）十vt＋1・t−q、・St＋1

このtをτと置き換え、τ箏0，1，……………t−1について辺々相加えると
t−1
fN（0）十P（N）・久力＝が・p、・fN（t）十Σoτ十i・、■q、・S、十1
τ＝ot−it．ρ、 昌・τ十1．11・・ S1・1f、（0）

これよりP（N）＝・fN（t）十δ。司δ柵一一
δ。■t−lΣ砂τ斗1・、■q、・S、、王t

0．tPx

ところでτ＿o＝P、七，δ。■：

δ。■＝P（t）

1
一＝P、＝η十dだカ、らδ。＝而

P（N）＝P、、も・fN（t）十P（t）一（P、＝η十d）・fN（0）・・・・………・・（c）．．．P（t）十P、：も・fN（t）一P、、η・fN（0）＝P（N）十d・fN（0）……………右辺は一定
（2）

D。、t

一・fN（t）畠P、＝も・δ、＝η・fN（t）

D。
前間（亘）の（c）よりP、、も・δ、＝η・fN（t）昌｛P（N）一P（t）｝・δ、：η十fN（0）D。十tゆえに，一・fN（t）器｛P（N）一P（t）｝・δ、：万十fN（0）

D．

D。、t
D。

したがってFN（t）＝一・fN（t）一fN（0）＝｛P（N）一P（t）｝・δx、刀・・・・・・・・・・・・…

（d）

これはN＋1についても成り立つ。
すなわちFN，1（t）＝｛P（N＋1）一P（t）｝・δ、：w…………・・（e）（d）・（e）よりFN＋1（t）一FN（t）＝｛P（N＋1）一P（N）｝・δ・＝η

一28一以上