年金数理（問題）
1灘雛叩等

次のはト141までについて、それぞれ5つの選択肢の中から正しいものを選んで所定の解答用紙にその記号を記入せよ。（1間5歳、合語十20点）

ω6，246．7

は死亡年度末に残存螂聞分の年金現価相当額を一時払いする。予定利率5．O％のもとで、55歳時の年金現価率は60次のどの範囲にあるか。ただし、5．O％の基数表および

62
63
64

4，690，5 57，468．5
4．41717 52，778．O
4，工56．1 48，360．3
3，905．O 44，204．2
3，664．1 40，299．2

49．443 一，953．523
51．233 i，904．080
53．一90 1．8521847
54．948 1，799，657
56．9I9 1，744．709

5．32948 O．74622
6．07569 O．71068
8 6．78637 O．67684
9 7146321 O，64461
10 8．10782 O．61391（B）6．35以上6140以下

65
66
67
68
69

3，432，7 36，635．1
3．21013 33，202．4
2，996．4 29，992．1
2，790．6 26，995．7
2，592．7 24，205．一58．557 丘，687．790
61．029 1，629．233

一1工，568．204

1365，014 1，505．090
67．038 1，440，076

一4

702，402．2 21．61214

68．910 L373．03861

現価表は右のとおりである。

（A）6．35以下（C）6．40以上6．45以下（D）6．45以上6．50以下（E）6．50以上M。

u皿55
56575859

金現伽相当額を一階払いし、支給期間中の死亡に対して

C．

葛日1D．

支給開始前の死亡…こ対しては、死亡年度末にiO年確定年

N．

nx

60歳支給開始、期切払、、、一〇年有期旬…金がある。年金

85，452．1 42．038 2，，77．17i
79，205．4 43．305 2，135，133
5，582．6 73，298．2 44．662 2．09…．828
5，272．1 67，7−5．6 46．048 2，047．166
4，975．0 62，443．5 47．595 2，OO工．118
5，907．2

63．1M

i

2
345

1．00000 O．95238
1195238 O．90703
2．85941 O，86384
3．72325 O．82270
4．54595 O．78353

67

一215

O．58468
O．55684
O．53032
O，50507
O．4810212〕毎年一定獺の特，1縣険料P・肌を払い込んで過去勤務債務を償去口する年金制度があるものとする。ある年度に、過去勤務債務の償却を早めるために（1＋α）・P、、、を払い込んだところ、年初の償却予定残余年数n年に対し、年末の償却予定残余年数がn−1一βとなった。αは、nおよびβを用いてどのよ引こ表せるか。ただし、特別保険料の払込は期制払いとし当該年度の後発過去勤務債務額は発生せず、予定利率はiである。

（A）（1＋i）・葛。1一首胴（D）首刑1−a嗣一1（B）葛、1−a祠（C）葛、1一三胴一1（E）葛。1一ぢ〒r司13〕2つの年金制度（甲）および（乙）が合併することとなった。（甲）および（乙）には以下の関係がある。
・（乙）は、総人員、総給与とも（甲）のlo％の規模であり、被保険者の期冊1、年齢榊成は尊し、・。

・（乙）の給付内容は、（甲）の給付の一律2倍である。

・（乙）の年金賞滋繊は、（甲）の年金資産額の10％の規模であり、（叩）および（乙）に年金者（受給待蜘者を含む〕は存存してない。

・合併時の（甲）の来値㈱脳去勤務債務額は、（甲）の給付現価の50％に相当する額であった。
・（甲）は、来倣却過去勤務債務額の償却を、総給与の一定割合を有限生1…数拠出することで行っている。

合併後は（甲）の基礎率を用いて財政方式も変更せず賜政評価を行うものとし、制度内容は以下のとおりとすることとした。
・（甲）の給付内容は従前どおりとし、（乙）の給付を一律に引き下げ・（乙）の資産は全額が合併後の制度に充当される。
・含俳後の1固度全体の逝去勤務債務額は（叩）の合併時の償却年限を変更せず・（甲）および（乙）の合計の総給与の一定劉含で個ま口する。

今、（甲）にとって従前の（叩）の被保険者に係る（甲）が負担する合併後の過去勤務債務額倣測のための費用増加を、従前の（甲）の過去勤務債務綴償却のための費用の5％以内に抑えることとした場合、（乙）にかかる給付の水準を、従前の（乙）の給付水準の一徹何パーセント以下とすれぽよ、・か。
（A）

50．25

（B）

57．50

（C）

60．25

（D）

63，75（E）

一38一68．OO

平成6年i2月22日
年金数理一…・・214〕定年退職者のみに対し、定年年齢Xr歳時より、終身年金（年金額をαとし・年1副馴切払、・）を給付する年金綱度において財政力式を、退榊痔年金塊柵積立方式によるものとす如ぱ・定箱状態における臓立金Fを表すものは次のうちどれか。
固■x

航し、ex＝（Σ』舳）／ハとする。
t＝1

又一1（A）α・j鴉、・a武、／d（B）かハ．・（ex，1束、）／d（C）α・Σ（oドa｝。）／d（D）α・』茸，．ex、／d2（E）α・』x，・（ex、一a灯）

次の空欄に当てはまる適当な算式または数値を所定の解答用紙に記入せよ。（含絆20点）
ω

定常状態にある団体に対して年金銅峻を導入する。保険料は期切払、・・一時金は期末払い・当該年度発生の年金受絡海老に対しては測未から給付が始まるものとする。給付および保険料は給与比例制の11胡度である。財政カ式は加入年齢方式であるものとし、記号を下細のとおり定義する。
V。：当初責任準術金S（＝初期過去勤務債務額）、

I：初年度の総代等支払額、

i1予定利率、P

Nl：初年度標準保険料、Pp皿1：初年度過去勤務債務償却額

j：初年度の実際利回り

初年度末に被保険去の給与はα％のぺ一スアッブがあり、受給者についてもα％の給付改善を行った場合、初年度末の責任準備金VI＝である。一方、初年度末の年金資産Fある。したがって、初年度末の未償去11過去勤務債務額UlはUl二Ul
UI〜〕＝（PNI＋Ppミ；い）×（i−j）

U＝＝・〕十Ul

い十Ul＝］

でと表すことができる。ここに・：利差損益による後発債務（または剰余）

当初過去勤務債務額未償却残高12〕ある企業の年金制度は、苑11鮒111の累罰1．総与の一触111合の額を年金額として定毎年㈱から終助給付するものである。いま、財政再計算を行ったところ以下の緒係数が褐られた。

・在職中の被保険者の給付現価（S＾）
・在職中の被保険著の将来勤務期間に対応する総代現価（S㌔、呂．）
・将来の被保険者の総与現伽（G一）［隼1回払い］
・在職［一の被保険者の給与現伽（G＾）［年1回払い］
・年金資産額（F）

5，000百万円、S，OOO百万円、20，OOO百万円、30，OOθ百万円、2，500百万円、・在職巾の被保険者の総与総額（L）

2，80晒万円

財舳洲燃金城として・！1棚爾撒の標鰍榊1［頭・であ1・舷勤務鰍・は［頭百万円である。この過去勤務償務額を今後20年湖で毎年の在職中の被保険者の給与総額の一定銅合で償却する場合・在職中の被保険者の給与総額は一定であると仮定し、20年の確定年金現価率a・。1＝12．27価2を用いて特兄1蝦険料率P閑・を求めると［■・と狐財政面鮒算を機にllj1峻変更としてr今後の給与を1．5倍とする」を行うこととした。脳政方式は変更しないものとして制度変更後の騨探険榊・・は［置・1な1・l1燃後の脚務鰍額・・は［置百万円舳過去勤務償務額の鰍㈱11政榊1と剛とした船、舷鋤繍務額償却のための糊燃舳しは［頭・であ孔（注）②の解答にあたって、保険料榊ま小数銃2位を四捨五入して小数第1位までの百分邸とせよ。

一39一

平成6年12月22日
年金数理・……・・3
3

定年退職者に対して定年崎の給与のα倍の年金を終身にわたりて支給する年金制度がある一1オ蜘囎1・算による基礎率の見直しにより、給与指数を次のように洗い替えた。

再計算前｛bよ｝・＝〈1＋k（x−x。）｝、再司十筑後｛bx｝＝｛1＋k加入年齢方式による標準保険料率を再計1脚後をEP㌧。とするとき算前8P五。、再ヨ（x−x。）｝、x。≦x，kとkkくk⇒

ることを示せ。ただし、財政呵計算の緒栗、給与指数以外の基礎率に変更はなかったものとする。

4は正の定数田Px。く目P罠。

であ（20点）

過去勤務機務額の准脚が終了し、定筋状態に達したある年金制度が、次のような給付改善を行うものとする。

①』醐初の被保険者・年金受給者に対し、給付水準を前期末の一律1＋r倍（r＞0）する。
②上記の給付改善をn｛1珊、毎期初に繰り返し、最終的に給付水準を当初のα倍（α〉工十r）に弓1き一ヒげる。

後発過去勤務微務測賞却のための特別保険料として、給付改善画後の来償却過去勤務激務徽のk％（0くkく…OO）を直ちに償却するものとする。

ここで、j幽…度の特別保険料が、最初の給付改善を行うi直前の賛伍準備金額の。倍（0く。く1）を上回らないようにするとき、nに関して次の不等式が成立することを示せ。ただし、予定利率はi（i〉0、（lOトk）（1＋i）くlOO）である。
（20盧）
lo音｛αn5＜一m・ckc・k・（1＋i）一100・o・i ｝
k・r

一109｛（一〇〇一I｛）・（一十I）｝一2Trowbridgeのモデル（定年退職者に臼三1回コ削切払い舳時支給開始の終身年金を支給する制度）において・被保険者集団の定常状態を仮定するとき次の凹次答えよ。ただし、口＝1／（1＋三）、d＝1−uωS＾＝（リ／d）■（TC一一｛2〕S㌦．呂．；（1／d）

である。

（20点）

C）を語i正明せよ。

（口．τC−UC）を証■胴せよ。

⑧将来および現在の被保険者について、将来期間のみを対象とする開放型総合保険料方式による保険料は、いかなる財政方式の標準保険料に一致するか。ω、12〕を用いて導げ。

必要があれば次の細号を用いることX。：加入｛1…齢Xr：定｛㌍年南岳

L：被保険者数Gf：将来の被爆険者の総身現伽G。：現在の被保険者の給与現伽S f1将来の洲呆険者の総代現伽i
S＾：現在の被保険者の給付現伽S㌔．畠．：現在の被保険者の将来コ醐間対応の給付現価
S㌦、垣 ：現在の被保険者の過去期間対応の給付現価

TC1退職幟即金現伽撤立方式の保険料

hC：加入1時磁立方式の保険料

uC：単位機立方式の保険料
目C：加入牢鮒方式の保険料

一40一

年金数理

1994年12月22日

解答例

1．

問題

ω②⑧14〕

記号

（B）

（D）

（D）

（B）

正解は上記のとおりであるが、以下に解法を1略記する。

ω

求める年金現価率は以下のとおり（1／D55）×（M55−M60＋D60）X葛io1＝（1／1，246．7）×（2，177，171−1，953，523＋4，690．5）×8．10782＝6．378252

したがって、（B）が正しい。

12〕ある年の年初PSLをPSLoとすると
PSLo＝葛皿1〉くPPsLである。

（1＋α）・Pp．Lを償却した年度末のPS

Lは（PSL。一（1＋α）・P。。L）X（1＋i）と表される。

これが、a雨・PpsLとなったから｛6，皿1・PPsL一（1＋α）・PP肌｝×（1＋i）＝ぢ雨○P−sL〈葛皿1一（1＋α）｝×（1＋i）＝＝1ぢ胴

6日1一（1＋α）＝a祠司

1＋α＝a．1−a円

α＝an1−a同一1
したがって、（D）が正しい。
18）（甲）の制度に閲する添字をA、（乙）の制度に関する添字をBとし、（乙）の一律減額は従前の（乙）の給付水準のα倍となるものとする。合併同時の制度変更後の過去勤務債務額償却のための費用をP。肌とすると

一4ユー

P

psL＝PSL／a，1・（B＾十BB）＝PSL

ここに、PSL／a，1・1．1・B＾・・・・・・…ω

は制度変更後の過去勤務債務額、B。、BBは（甲）、（乙）それぞれの総人員給与である。また、（甲）の過去勤務債務額をPの過去勤務債務額をPS

LS

L＾、減額後の（乙）目とし、給付現価M、年金資産F、給与現価Nおよび（甲）の財政評価に用いる掛金率Pでそれぞれを表すと題意より
P

S

PSL

L＾＝M＾一NパP−F＾＝O．5・M＾・・……・12〕目＝M認・α一NB・P・α一FB＝Mパ0．1・2・α一Nパ0．1・P・α一0．1・F＾となる。合併後のP

PSL

S＝PSL＾十PSL

L憾

B＝M＾十MパO．2・α一1．1・（NA・P＋FA）（2）式よりNパP＋FA＝O．5・M。だから
PSL＝M＾十MパO．2・α一1．1・O．5・Ml＾＝M＾・O．45＋MパO．2・α・・一・…・・⑧

したがって、題意および（1）式より

PSL，／a，1・1．10B＾く1．05●PSLA／a，1・B＾となり、12威および（3〕式を代入し、MパO．45＋Mパ0．2・αく1．1・1．05・O．5・M＾

ゆえにαくO．6375

14〕極限方程式よりとなり、（D）が正しい。

C＋d・F＝B………ωω■X。
題意よりC：α・．2。、・葛。、、B＝α・Σ』。、、、
t＝O
ω一X．

l1〕よりF＝（B−C）／d＝α・（Σ3x、。…x、・葛x、）／dt＝0ω■X。

＝α・（Σ3x、。。一x、・ax。）／dt＝1＝d・（4xr■exr−2xr■axr）／d＝α●3xド（exr
したがって（B）が正しい。

一42一axr）／d2．ω

解番号答｛（Vo＋PN1）・（1＋i）一S1ジ（1＋α／100）①②（PN1＋PPsL1）・（1＋j）一S1⑧｛（Vo＋PN1）・（1＋i）一S1｝・α／1OO④（Vo−PPsL1）・（1＋i）

なお、．①、⑧においては設間中の団体が定常状態であることから｛ ｝内をV。と記述レであっても正解である。

12〕

番号

解

⑤

10．0

⑥

1，700

⑦

4．9

⑧

10，0

⑨

1，700

⑩

3．3

答

②について各々の計数を求める算式は以下のとおり⑤（Sf＋S㌔．。．）／（Gf＋ぴ）⑥Sf＋出十SP−0．1・（Gf＋G乱）一FここにO．Iは標準保険料率⑦U／a。。1・L⑧1．5・（Sf＋S趾。．s．）／1．5・（Gf＋G乱）⑨1．5・（Sf＋γF．。．）十（Sユーy。、s．）十SP−O．1・1．5・（Gf＋G。）

一F
ここに、題意より在職中の被保険宥に係る過去分の給付現価（S。一S㌔．。．）は1．

⑩U

5｛害されない。

／a。。1・1．5・L

3．．b未x＝bx・｛1＋k（x、一x日）｝／｛1＋k（x、一x日）｝

b芯x、＝｛1＋k（x、一x。）｝・〔｛1＋k＝I＋k（x、一x。）＝bとおくと（x、一x。）｝／｛1＋k（x、一x。）｝〕

x、

一43一またXくX。においてb｝x−bx：・・lbx・｛1＋k（x、一x。）｝／｛1＋k（xr−xo）｝一b：＝｛1＋k（x−x。）い〔｛1＋kx（x、一x。）｝／｛1＋k（xr−xo）｝

一｛1＋k＝〔1／｛1＋k（x，一x。）｝・（kよってb㌦＞b（x−x。）｝

一k）・（x、一x）＞0x

命題中（Nx、／Dx。）・bx、・α目p・・＝。、一1

Σ（Dx・bx／Dx。）
X＝Xoの分母、分子に・…者

Dx。・l1＋kb素・・．α・碁11．b

ΣDx・b㌦
X＝Xo．

（x−x。）1／｛1＋k（x−x。）を乗ずることにより

x・．αく票1i

ΣDx・b㌦x・．α・E・

ΣDx・b

X＝Xo．Epx。くEpb・。

xX＝Xox。

（注）定年時の給与をb。、．iとした解答例が見られたが、誤りとはしなかった。

4．当初責任準備金をV。、t回目の給付改善を行ったときの償却前期初未償却過去勤務債務をU。とする。

U一＝r・Vo
U、＝｛U、．1一（k／100）・U、．11・（1＋i）十r・（1＋r）t−1・V。

①式の両辺を（1＋r）tU。

＝（1＋r）t

一・・…①で割るとU。一1，100−K．1＋i（1＋r）t■1100＋1＋rr．V。

＿一一②

1＋rr／（1＋r）・Vo①式の両辺から1＿（100−k）．（1＋i）／｛1OO．（1＋r）｝を減じるとUtr／（1＋r）・Vo＿（1＋r）七■1一（1OO−k）・（1・i）／1100・（1・r）1UH．（1O〇一k）・（1＋i）。・．V。．〔11〕100・（1・・） 1・・
1−1（100−k）・（1・i）1ハ100・（1・・）1（1・。）・一1一44一Uトェ＝（1OO−k）・（1＋i）

r・Vo｛（100−k）・（1＋i）1／｛100・（1＋r）｝

100・（1＋r）

1＋r

1−1（100−k）・（1＋i）1ハ1OO・（1＋r）1●（1＋r）H＿（100−k）・（1＋i）
100・（1＋r）

Uトー〔（1＋r）t−I■r・Vo／（1＋r）

〕

1−1（100−k）・（1＋i）1／｛100・（1＋r）｝

したがりて、左辺をa。とすればa。＝ll（1OO−k）・（1斗i）1／1100・（1＋r）1〕・aHと表せ、a。二11（100−k）・（1＋i）1／11OO・（1＋r）1〕t．1・a1であることより、第2項を移行し（1黒1・一1（器；脇i）1・一1・l11、・ド1．吾磯総；｝ハ1。。．（1、、）葺〕

r／（1＋r）・Vo＋・・

1一（100−k）・（1＋i）ハ1OO・（i＋r）1E…（1・・）・・出11（織幕デ）lH・l11一言（、。。．。）夫1，i）｝／｛1。。．（1、、）｝l

1＋1一（m−k）．（1。言）／｛100．（1。、）｝〕・・・…（1・・）…・1（十墲P1≧l11絆1一一・1轟鵜！織）．（1＋i）
100・（1＋r）

100・（1＋r）一（100−k）・（1＋i）〕

r。。．脇．（1。。．。）．（1，i）・l1・・（1・・）・（00詩1111十i）t1

0＜kく1OO，r＞0，100・（1打）＞100、（100−k）・（1＋i）く100よりU。は単調増加関数であるので、題意より（k／100）・U皿≦cOVo粍。・1。。．11お．（1。．。）．（、、i）l1・・（1・・）・（（1＋r）n＝αOOlll；ll十i）皿1・…。

より粍。・、、｛。キ1，i）．1。．M。。・1α一1（綜。・（α一1（00111．（α一1（OO11100111．（1＋i）ダ〕・・十i）1回1…k．（器）一（十i）1・・㌍≒c・1・・k

一45一00．i綜）■00．il

｛（1OO■k）（1＋i）｝・

・・1・・（00 P11．（正十i）・1・・1αk・rn≦

5．ω

0モ。ck絆■00ci｝

1OO

c．k J一1OO・ck

1・・1α｛。十k．（1＋i）一100100・c≧α10000cilillog｛（100−k）・（1＋i）｝一2

Xr−1

Xr−1

S・＝Σ2x・（Dx、／Dx）・葛x、＝4x、・ぢx、・Σリx『一xX＝Xo

X＝Xe・・ o・（1−ox『I焔）＝』X。・aX。・
1一〃・（1・・川・・・…一…il：111；…）＝（o／d）

・（TC−I皿C）

（2）

Xド1

S㌔．s．＝l1／（x、一x。）いΣ（x−x。）・』x・（Dx、／Dx）・6x，X＝X。十1

Xド1＝l1／（X、一X。）1・Σ（X−X。）・』x、・0x『一x・葛x，X＝X。十1Xド1＝ハ、16x，111／（X、一X。）1・Σ（X−X。）1ux『一xX＝X。十1．Xド1

二（1／d）・2x、・葛x、・l1／（x、一x。）ジΣi・（x−x。）・リx・一x＋l
X＝X。十1
X。一1＝（1／d）・＾。・葛x、・ll／（x、一x。）1・1（x、一x。）・0一Σox・■xl
X＝X8
Xド1二（1／d）・〕x、・葛x。・じ一11／（x、一x。）ジ葛x、・Σ』x、・ox・xl

X＝XoXド1＝（1／d）・Ox、・ぢx、・卜11／（x、一x。）ジΣ』x・（Dx、／Dx）・ぢx、〕
X＝X8＝（1／d）・（o■TC−UC）

一46一

S㌔．s．十Sf

13〕

P＝であるからG乱十Gfとなり、〔1）、〔2〕より保険料．をCとすると

C＝P・L

C＝（1／d）・（UC■・lnC）十（リ／d）（1／d）・L

ゆえに単位積立方式の保険料に一致する。

一47一■nC．L。・C