博士（理学）佐藤功視

学位論文題名BF Grav
ity on theLattice（格子上のBF重力理論）
学 位 論 文 内 容 の要 旨
Kawamotoと Nielsenは 、 Reggeの 格 子 重 力 理 論 に 格子 ゲ ー ジ 理論 の 考 え を取 り 入 れ た格子 ゲ ー ジ 重力模 型を提 案した 。本論 では、 これを 元に定 式化した 三次元 の格子 Chern−Simons
重 力 模 型 と 、 そ の 四 次 元 へ の 拡 張 で あ る 格 子 BF重 力 模 型 に つ い て 述 べ る 。
三 次 元.Einstein重 カが ト ポ ロ ジカ ル な 場 の理 論 で あ るChern− Simons理 論 に よ って記 述
出 来 る こ と は Wittenに よ っ て 示 さ れ た 。 こ の Wittenの Chern‑Simons重 カ で は 、 ゲ ー ジ
群 が三次 元Poincare群 IS〇（2っ 1）の時 には宇 宙項無 しの、 三次元 deSitter群S〇（3，1）及び anti deSitter群 S〇（2， 2）の時 には、 それぞ れ正及 び負の 宇宙項 がある 場合のEinstein
重 カを記 述して いる。
Horowitzは Chern− Simons重 カ を ト ポロ ジ カ ル な性 質 を 保った まま四次 元に拡 張した 。
こ れ は BF理 論 と 呼 ば れ る 。 四 次 元 の Einstein重カ は 三 次 元と 異 な ル トポ ロ ジ カ ルで は な
い た め 、 四 次 元 BF理 論 tよ Einstein重カ そ の も のを 記 述 し ては い な い が、 Einstein重 カ がS0(3， 1） BF理 論 に 適 当 な 拘 束 条 件 を 加 え た 形 に 書 き 換え ら れ る こと は 既 に Plebanskiによ っ て 示 され て い た 。従 っ て S〇 （3， 1） BF理 論は四 次元Einstein重 カを考 える際 のーつ の良 い 出 発 点を 与 え る 。BF理 論 の作 用 を 構 成す る 際 任 意の ゲ ー ジ 群を 選 ぶ こ とが 出 来る が、こ の よ う な 理 由 か ら 、 こ こ で は 特 に S〇 （ 3， 1） BF理 論 を 四 次 元 BF重 カ と 呼 ぶ 。
さ て Reggeの 格 子 重 力理 論 に よれ ば、単 体分割 された d次元多 様体に おいて （d−2） ・単体 上、す なわち 、二次 元では サイト（0‐単体）、三次元ではりンク（1―単体）、四次元では三角 形 上 （ 2−単体 ）に曲 率が集 中して いる。 一方格 子ゲー ジ理論 によれば 、正方 格子で 分割され た 平 坦 な時 空 の り ンク 上 に 接 続場 の指数 関数で あるり ンク変 数を対応 させて 、最小 の正方形 に 沿 っ てり ン ク 変 数の 積 を 取 れば 格子間 隔の最 低次で 曲率の 指数関数 が得ら れる。 このニ
つ の 考 え を踏 ま え て 、d次元 の 単 体 的複 体 に お いて （ d― 2)‑単体に 双対な りンク 上にス ピン
接 続のり ンク変 数を乗 せて、 ある（d−2)‑単体 の周り に沿っ て積を取 れば、 その（d一2）・単体 に 集 中 した 曲 率 の 指数 関 数 が 得ら れるで あろう 、と言 うのが 格子ゲー ジ重カ の基本 的な考え である 。
三 次 元 Chern‑Simons重 カ の 基 本 変 数 は ス ピ ン接 続 と ド ライ バ イ ン であ る 。 そ こで 格
子 Chern‑Simons重 カ で は ド ラ イ バ イ ン を 四 面 体 の 辺 の上 に 乗 せ て、 そ れ に 双対 な り ン ク
上 に ス ピ ン接続 を乗せ ること で、四 面体の 辺（1‐ 単体） 上に集 中した曲 率を構 成する 。一方
Chern‑Simons重 カ の 作 用 は 三 次 元 BF理 論 と も 見 な す こ と が 出 来 る た め 、 素 朴 に 四 次 元
BF理 論 に 拡 張 で き る 。 そ の 際 スピ ン 接 続 はそ の ま ま 引き 継 が れ るが 、 ド ラ イバ イ ン は 2．
フ オ ー ム Bに 拡 張 さ れ る 。 そ こ で 四 次 元 格 子 BF重 カ で は 2・ フ オ ー ム Bを 三 角形 の 上 に 、そ れ に 双 対なり ンク上 にスピ ン接続 を乗せ て、三 角形（ 2‐単体 ）の上に 集中し た曲率 を構成
す る 。 こ れら の 模 型 では 、 通 常 の格 子ゲー ジ理論 と異な ルリン ク変数の 積の対 数を曲 率と定‑ 107―

義する。この量は高次の項まで含んでいるため通常の格子ゲージ理論で定義される曲率とは異なるが、対数を取ったこととホロノミーが無いとぃう拘束条件を加えることにより三次元ではドライバインの、四次元では2−フオームの長さが自然と離散化すると言うのが、これらの模型の大きな特徴である。このホロノミー無しの条件はゲージ固定条件と解釈することが出来る。
また分配間数を構成して、三次元ではドライバインとスピン接続、四次元では2．フオームとスピン接続に関する積分を実行することが出来る。その結果は、三次元ではPonzano−Regge
模型に、四次元ではOoguri―Crane‑Yetter
模型に一致する。
6‑j記号と四面体（3・単体）との対応関係に基づぃたP
onzano‑Regge
模型は、三次元の格子重力模型 として古くから知られている。この模型の特徴は多様体の分割の仕方に依らないことであ り、更にOoguri，SasakuraによりIS〇(3) ChernーSimons理論と一致することが示されている。しかし、その対応関係の詳細、例えばドライバインやスピン接続などのChern‑Simons重カの変数がP
onzano‑Regge模型において何に対応しているのかと言ったことは明らかではなかったのであるが、格子C
hern・Simons
重カとの一致により、それが明白になった。スピン接続に関しては積分されてしまいP
onz
ano‑Regge
模型の表式には陽に現れていないが、 格子C
hern‑Simons重カの離散化されたドライバインの長さがP
onz
ano―Regge
模型の角運動量に一致している。また、両者の一致により直ちに格子Chern・Simons重カも多様体の分割の仕方に依らない模型であることが分かり、その重要な帰結として連続極限が分 割 を 任 意に 細く出 来る と言 う意 味で自 明に 取れ るこ とが保 証さ れる 。
一方Ooguri−CraneーYetter
模型はPonzano−Regge
模型を四次元に拡張した模型である。
この模型はPonzano‑Regge
模型と同様に多様体の分割に対して不変な模型である。また4一単体の構造を 反映して15‑ゴ記号が現れる 。この模型はBF理論との関係が示唆されていたが、格子BF模型との一致により、その対応関係が明白になった。
格子 Ch
ern‑Simons重カ と 格子 B
F模 型は 格子 ゲー ジ理論の一種なの で、連続理論に存在するゲージ対称性に対応した格子上の対称性を持っていることが期待される。連続理論にはニつの独立 なゲージ対称性が存在してそのーっは局所Lo
rentz変換であるが、これらの格子模型の作用は、この変換に対応する格子上の変換の下での対称性を通常の格子ゲージ理論と同様な形で明白に保っように構成されている。一方連続理論の作用には、Bianchi恒等式に基づく別のゲージ対称性が存在する。これに対応する対称性が格子の作用に存在するかどうかは自明でないが、まず格子上のBianchi恒等式を示し、更にこれを用いて実際にこの対称性を持っていることを示すことが出来た。

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学 位 論 文 審 査の 要旨
主査教
授河本
昇
授石川三
副査教
授
教
本健行
副査救教授藤山正一
授中木隆男
副査助
副査助
鈴久

学位論文題名BF Gravityon theLattice（格子上のBF
重力理論）
重カの量子化の問題は、素粒子論における未だ未解決の最も本質的な問題のーっである。この問題の解決に現在超弦理論が最も有カと考えられているが、この方向と違う方向の可能性として格子上での重カの定式化が有る。申請者はこの方向からの重カの量子論の問題に取り組んできた。その結果申 請者は 本論文で 3次元の 重力理 論、及 び4次元 のアイ ンシュ タイン 重カに 通じる BF理論を局所的な場を用いて格子上で定式化する事に成功した。3次元の連続のアインシュタイン重力理論は、Chern‑Simons作用を用いてゲージ理論として定式化されており、6‑jsymbolによる定式化のPonzano‑R,egge模型との関連が指摘されていた。ここでは具体的な格子上の模型を構成する事により、両者の理論が同一視されることを具体的に示した。また連続理論で定義された局所的な場が、格子上の何処に乗っているかを明確にした。この定式化を4次元に拡張し、アインシュタイン重カに 通ずる と考えら れてい るBF理論 の格子 状の定 式化を 15‑j symbolを用いて具体的に示した。こ の様に 3，4次元でりンク上及び三角形上に乗せる場が、自然に不連続化されそれぞれ6‑jsymbol
及び15‑j symbolと関連付けられ、連続極限が解析的に取れ、格子理論と連続理論の関係が明確になった。これらの3，4次元の重カの格子上での定式化は、局所的なゲージ場を用いてのI定式化として始めての例になっている。これらの定式化は、トポロジカルなゲージ理論がその本質に有る定式化で、現実の4次元のアインシュタイン重カは、重力子がカ学的な自由度を持っために更に工夫 が必要 と考えられるが、現実の4次元重カの場の理論的記述に道を開く可能性の有る定匕と期待される。3次元の定式化は「LatticeCher
n‑Si
monsGr
avit,
yviaP
onza
no‑R.
eg
gemo
dell、としてNucl．Phys．B555(1999)
629‑649に既に発表されており、4次元の定式化も「4‑dimensionalぢFGravity on the Lattice」 と し て 、 Nucl． Phys. B574(2000)809‑848に 出 版 さ れ た 。
これ等の仕事は3，4次元の重力理論を具体的に局所的なゲージ場で格子上に定式化し連続極限が解析的に取れることを示した始めての理論で大変価値の高いオリジナルな内容であり、これ以後この仕事の色々な応用が期待され高く評価される。
よって審査員一同、申請者が博士（理学）の学位を受けるに十分な資格があるものと認めた。
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