〔問〕

昭和 39年 度

(問題)

午前の部
1. XlIlを平均 m の Poisson分布に従がう確率変数として，関数 f(m，k)，F(m，k)

f( m，k)= P(Xm=k)

をF ( m，k)=P(Xm~k)のように定義するとき，次の(j)が成り立つことを証明し，次にその結果を使って， j(j)tJi成り立つことを証明せよ。
(i)72F(m， 日‑f(皿， k )Gi)P(XB4k〉=P(x;H2 ミ 2m )ことでχ;k+2は，自由度 (21<:十 2)の χ2分布に従がう確率変数とする。ただし，自由度 (2k+2)のχ2分布の確率密度関数ダ(却は.;X﹁ノ+fkr︑︐﹄︑+一 o‑nr‑k/111111111

一一∞Fe‑2 xι

，x>oX 三三日である。

2. 母集団分布が区間( 0， a)の上の一様分布(矩形分布〉であることがわかっている(aは穀日数〉。この母集団から大きさ nの任意標本をとり，最大のものを X とするとき，このXを使った aの不偏推定量を Xの一次式の形で求めよ。

午後の部
3. 平均メ4 分散 σ2 の正規母集団からとった大きさ nの標本られた場合，(i) Pを既知としたとき， (]2 の最尤推定値を求めよ。

(ii)P2=σ2としたとき ，pの最尤推定値を求めよ。

‑14‑

Xl
' X2， .
.
.
.
，

与えXn がL

〔問〕

4. 次の(1)， (2)，(3) 3問のうち，いずれか 1問に答えよ。
(1) 二つの企業 A とBが市場を独占的に分け合っており，2企業の利待の合計は常に 100になるようになっているとする。企業 A は5種類の戦略 1， 2， 3を有し，企業 Bは 4種， 2， 3， 4をもってたがいに競争している。各企業の戦端の組み合わせに対類の戦略 1
不J!
得は，次の衰のように与えられている。
する企業 A の業企企1:
12365B===
234803055255035407580

たとえば，企業 Aが戦略 2を用い， Bが同時に戦略 4を用いたときは Aの矛I
J得は 3'5， Bの利4・43 は 100-35=65 となるわけである臼この利得表は A 側にも B 担~にも知られているものとして， A， Bはそアれぞれどのような戦略をとるのが合理的であるか。
(2) 到着順に 1個所に績にかならず並び，先着順にサービスを受けるシステムがある。窓口の数を S 個とし，客の到着は Poisson 分布(平均式〉に従がい，サービス時間は指数分布(平均去〉に従が肘う待ち合わせの問題で，ちようど詮窓;口i~列を作つて待ち合わせている人のない状態の確率を求求.めよ。ただし，定常状態を考え，

Aー くsp.

1(3) 事象 A!，A2 ' .
.
.
.
，とする。

Am ;Bl' B2 ， .
.
.
.J Br.があり， A1，Az' .
.
.
.
， Amは立，B~・・・・， B も互いに排反で，いに排反， B.
l'‑2 ，

i= 1， 2. ・・・・，mについて

flP(Ai〉= 1Z

2P(Ai〉 〉 O，

nz=1P (Bi〉=1，とする。とのとき，次の二つの式が成り立つととを証明し，また，これらがそれぞれ情報理論上，どういう意味をもっているかを簡単に述べよ。
︑︑︐︐︐
jrtz}
; P(人 B.
;)logP (A.. D ~)i==l j==l" 1
泡

2‑15‑

〔間〕

mnt，=1

j:=.ImI
1m=.2P(At〉 FP(BjlAt〉logP(BjiAt〉 十 三 P(Ai〉hEP(At〉
J︑.︐︐
i''目︑

E P(A;) E P(B，;IA，;)logP (B;.IA.
;)ミt 三F~ 1

J't~. J'， Z'‑16‑11}
J P(B，;)logP(B，;)

j==1

昭 和 39年 度(解答)

午前の部
1. a)

e ‑ m Inkj ( m，k)=k'k孟 1ならkθ e ‑ m I n k

一 一 一 j(m，k)=一+一一一θmk!

k!

1r̲ le叫 が̲me‑m mkk'e ‑ m IRK‑1+(k‑1)!

=‑j(叫 k)+j(m，k‑1) ・・・・・・・・・・ (1)k=Oならθ θ‑ e凪 = ‑ e‑ =‑j( k) ・・・・・・・・・・・・・・・・ (2)一 一‑j(m，k)=一8m

間

lll

瓜8m

j(m，‑1)=0 と定義すれば， (2)によって， (1)は k孟 Oについて成り立つ。
θka11::0am

8k・.一一一 F(m，k)= 一 一 ‑ ;E j(m，ν ) =E 一一一 j(m，ν〉

θmam ll::Ok=E {‑j(m，ν)+j(m，ν一1)}=‑j(m，k)十f(m，‑1)= ‑j(m，k)
II:::=.0b) a)から，任意の ε>0について=‑faf(七，k)d七=‑J‑fme
ーも七 k d七・・・・(1)F(m，k)‑F(ε ，k〉

k!εk

ここで，F(ε ，k)= )J j(ε，ν)1
1::0f(ε，0)=e‑eε， e‑"o11m j (e，0)= 1
ε ー~O+‑17ー

f(ε，ν)=e‑! eνfor ν主 1ν!

:.lim f(ε，ν)=0for J.
I註1

ε→O十・..1im F(ε ，k)=1 for k主主O
ε→0+
したがって， (1)で ε→0+とすると，mF(叫 k)=1一一‑:‑fk! "'0eー
もい d七 = 一k
一‑f e‑ 七 dも!，.
.m
∞ 全t一方，÷dx

2k+2叫→仔)‑‑2‑k +2 ミ 2 m ) = 1 / er(k+1)‑2mkー=でプ∞ e‑ tk d七t.
.
.
.
.
・(注〉m

εを最初から 0とすると，
e ‑ 0 00f(O，'O)=or

一OV となって，無意味となる。

2. nクの標本の最大のものを Xとしたのであるから， Xの密度関数
nJx!
If;
J:.
) は
，n‑1(f ‑};‑dx)(n‑1)! 。
αg(功 ‑ ‑ーである。

したがって，n‑lx

タ(X)= n.ーα‑on(0， α〉である。

求める，不偏推定量 (UnbiasedEs七ima七or)を αx+戸とおけば，af (αx+β )g(~ dェ=α でなければならない。(題意)
これを計算すれば
n+1

α ・一一一α+戸=α であるから， a，=一一一，β=0で，n+1‑‑‑‑‑‑‑'
n‑18ー求める不偏推定量は，

ロ+1
一一一一一‑Xである。

n午後の部
3.
尤 度 = L=(で こ 了 )n exp

一(X; μ)2(‑.
E.
~ ~̲
2

π σ %
=I4/2

Lσ(x.
，ーμ)2log L=‑};‑" 。一+ nlog‑=+consも2συ。
)ヲ=ETとおけば
1‑logヲ+ ccns

均 L=‑zht‑p)21
子+もθ.
¥.一 l叫o句I叫gL=一→‑+山(作何L~ x勺汗iヤロ一下ず
ρ0守

これを 0とおいて
nσ2.Z(xi‑pyすZ=Iお2(ii)メt= σ2人/pi=σz(X ‑p.
)2

gL = ‑ 2 +in L Q g ! 7 rl+consも2p=ーすZ信一 1)2+nlogI
去f+CO.nSもX.

~、‑，.
.弔問色~~

E=去 と お け ばーをZ(xtf‑1〉2+niog151+consもlogL=‑19‑

ゴ‑logL =‑2x (x.
:f‑ 1)+
ヱe
J:e=‑Z4E+zzt+nす~‑‑0 ‑"‑1・"‑‑i‑̲.%‑.
，‑;xす)

nμ +‑
2"xi一(‑2'とれを 0とおくと，npz+(27xt〉p ‑ Zx;=0p=-~'X: 士 /(Z XJ〉2+4nzxi
2九pの符号と l/X iの符号とが同じになるようにきめる。すなわち，

ことで，複号は，‑J;xi+Jdxt)2+4nzx;

ZXi 〉 Oならt=メlJxiく Oなら

zxt‑J(Zxt)2+4nzx;
p=‑

2n2nvlJxi= 0な ら メ.t=士
制

4nEx~

士2nメEx~11‑"

この複号のどちらをとるかをきめるのには，厳密には次のようにすべきである。
L (わ = ー す E ( X c‑1) ， L (わ=おおg i1i22f! とおくと・;x;t‑+‑17勺 + 斗

lf(~) =L~ (~ )+L~ (~ )=‑:‑
47L'(わ =0とおくとZX;士lICl'x・)2+4九 ZxT
Z=florSZ
2f= z '2(51は負号の方， ~2 は217Xi
正号の万とする。)
あきらかに， ~ 1 < 0 く C2L'(と〉のグラフは次の図のよ:うになる。したがって， L(~) は， ~ l'~ 2で極大になるロL(~l) と L(~2) とのどちらが大きいかを調べる。

‑20‑

。

ご

まず， L2 については，

L2 (り ‑L2( ~ 1)

乙て￨nlogI

パZX:+ Zx:)2+4n17x2 >=nlozi & & ; l = = O
Zxt‑J(ZXi〉2十 4nZ xtく〉

for
一方l: x~.<0Ll については，~.α - -Ø-，~ ̲=α2+‑O‑， (‑O‑>O)

とかくと，2〈L1(E2)‑LI(51〉〉 =‑Z{xt(叶 ι)‑1}2+Z{xt(α ‑‑O‑)‑1}2ー1=‑};{(X α)+ι 勺}2
十 1
7{(X α‑1)ーιxt)2ii‑4ιzxt(xtαー 1 ) = ‑ 4‑O‑(αZx;‑zxi〉=*

‑2
1ー

Z:
X:

α= 一一~ーであるととを使うと，とこでxi2}J.
8‑(与‑.
Exi) = 叫*=‑4

したがって， LI(~2) ーLl (~l) の符号は， zxt の符号と同じである。こうして，L(り ‑L(EJ20 for 23Etzo

4.(1) (グームの理論，リニアプログラミングの問題〉
この支払行列にサドル点はない。よって混合戦略 (mi玄 ed s七raもegy)を用いる。
(このとき広義のサドル点は存在する〉

A は単純 1， 2， 3， をそれぞれ確率 P. ，p̲ ，P でとり， Bは戦略 1， 2，‑ 2，.
‑37t4 でとるとし ，A はその其勝値の下3， 4， をそれぞれ確率O'l' O'2' O'3'限を最大にするよう，また Bはその其幣値のJj援を最小にするように各戦略をその確率に従って選ぶととになる u
計算を簡略にするため，との支払行列をみてみると，汁 2行とう十 5行の対応する各54803055407580UJ

1‑55‑斗a ︐︒

2るあでおとの+Am

下zグ'b行JP/hv

刻︑果結のそJIt‑‑tr﹄111411t1

0

ν
︑︐︑= R一V二︑九 ¥ A一1 3

エレメントは常に芳 5行の方が大であるから， ‑Aとしては戦略 2をとる理由は全くな

上の支払行列について芳 5列の各エレメントは芳 4列のそれより常 l:::iJ、である。従って Bとしては戦略 4をとるはずがない(lf4 = O )。

すなわちとの問題は次の支払行列について解くことに帰する。

2380

3065 4075

45

まずAの側から解く。与えられた条件をつぎのように書く。

‑22ー条件;

45 P 1 + 65Pa = M + S)

80 p ， + 40 P3~ = M 十 S2.
L~30 P 1 + 75 PS = M + S3

Pj +PaPt 2 0 ( i= 1 5 〉

Si さo(i= 1，2，3) (p2=0)のもとで M を最大にする白上式から一つの P を消去したし坊もそれには各式の係数の最大値のなかから最小にiなるところ (minimaxの係数〉を探すとキ 1式の 65んになるから， Ps=1‑P1として P3 を消去する。各式を計算しなおすと.
0P = M + 865 ‑ 2I
I40 + 40Pl =M + 82
75 ‑ 45p = M + 813

各式の苦.辺において P1 が Oから 1まで変化するときのグラフをみると下閣のようにノ180， 3式においてなる。即ち芳 27582= 83= 0として P1を求むればよ65いことがわかる。辺々相ヲ lいて

35 ‑ 85P1=OP一一一7 rCM9一一一一)
60'‑1'\~V~-17ー、.p"，=工旦
17407 ~ 10一一)である。
Aの作戦は(一一17' 0v ，17Bの最良な作戦は，点線をうるようにきめられるがこれは簡単な計算により(0， 吟 ， 与 0)となるロ
なお参考として別解の一部主以下に示す。

条件45ff) 十 80~2+ 3013+ u)= M
651 十 401 + 75
13十 u2= M2
111+ 12十 13oz? 0 (i=1， 2，3)
‑23ー

145ut20(i=1， 2)

30

のもとに M を最小にする白各式の係数の最小値のなかの最大のものはう十 2 式の 40~2 のところである o~2= 1 ‑ ~l- ~3 として計算すると80 ‑ 35~1 ー 50~3+ u1=M40 + 25~J+ 35~3+ U 2=M
ここで ~I' ~3 のいずれかを消去するが，その結果の各係数がすべて正となるようなものをとる。

i)ff1 を消去(う十 1弐 ) x5+C汁 2式 ) X 7
480 ー 5~3 + 5u.‑+ 7u2jj) ~312Mを消去〈う十 1式 )X7十 (沖 2式 )X 10960 十5~1+十 1
7u10U2= 17MII)を採ることにする。i. e. Mを 長j吋こするには0とならねばならない。(別の見方

U 1，u2，ffl がそれぞれi)と ii) との考えうる Mの大なる方はii) によって与えられる....Maxmin)
i.e.91=O，・960

M=‑T7
一 CUi= 0，i=1，2)

1 ，~~960o‑3= 訪 C80一τγ)= 1~7~2= 会l' n98v

、Bの 慨 は (0，'(7 '17 'りである。

4.(2) 並んでいる

cus七omer の数により抗態を分類才る ζ とにしてn人の待ち人数(service 中も含めて〉のある状態の確率を Pnとする o窓口 Sクの場合の平衡方程式(定常状態での方程式〉は，

PPーぇ Pn=O
え Pn‑l ‑Cえ+np)Pn+Cn+1)メ
lPn+1。

1三 n 孟 8‑1n主ミS‑24ーで与えられる。
この方程式から ， Ps を求むれば，ちょうど全部の窓口がふさがった状態の確率である。

一μEApとおけば，
s

̲S+I

与 Po'…
・，P = 訂 Po' PS+1 すfSPo'…

P1= PPo，P2=sとなり，結局=(ifo。

。
三三九三三SPn>S主なる。

上式より ，po を求むればよいが， それには1 なる関係を使えばよい。

Z Pn
n::OnpP。
Z Pn+Z P J Zl 主人+ Z sn‑sn:
:On:
:sn:
:
O n!
n:::os ! sS=(21lZpo十、n:: 0 n!‑

U

よって。

FS‑1Z̲i‑ +PS =s‑1

(P0)(よく 1より〉

S‑1)! (S‑p)‑

U "pS

̲nn:
:
O n!
これより求むるpメ， SZである。

(S‑1)! (S‑p)PS はよ psS!
̲np~Sl:‑Lー+rn = O π (S‑1)! (S‑p)であるロ‑25‑SI(ヨ￥ご +pS)
n::o nI (S‑1)! (S‑p) ，3)
4.(a〉 ZZP〈AtBj〉108・P(A・B1・)・)P(Bl・IA・){logP(Ai)+logp$jlAi)}‑=EEp(AZ'•'nmn=~Ji. P(Ai)logP(Ai)~. P(BjIAi)+_.~. PCAi).
.
~. P(BjIAi)P(BjIAi))
'::
1Z=1

'1=1、‑.，.・・~~、圏、ZP(BJAi)

E P(B~ IA~)=jzI

J ‑ p ( A i〉

P(At)
‑ ‑ ( γ B )，.
.
.
.
， Bn~胡F 反で，その確P(A̲.)
ー率の和は 1)b) (aloga)'=loga+1，(alogay'=よ >0fora>0
ぽしたがって ，aloga は( 0，∞〉で凹関数である。
n

一般に凹関数 f(x)については， E AlI=，
1 Aν孟 o(
ν=1，.
.
.
.
，
ν=1z ん !(X)I)

v=1であるから，m

ωであれば

孟 f(1} 式ν av)

Z P(At)=1 を考えてι)，m

EP
乙Z. P(B;，'IA;;)logP(B;，IA.
:)二三 {
E P(A・)P(B.:/A.:)}・• l• ‑ 1 ‑‑zr ‑• i 1r~-u ~~I羽*hgZIP(At〉P(BjlAt〉，、...ヲ・・ヲ句L.
.
.
¥.
:Smm

〈Bj〉
zIP(At〉P(BjlAt〉 =tflP(AtBj〉 = P
Al'・・・・， Am!は排反で，その確率の和は 10 )*=P(Bj〉logP(Bj〉 J
試行Aの結果AI'.
.
， Am のどれかが，試行 Bの結果がおこると考える ua)商胞に‑1をかけた式で場える。
.
.
.
.
.
;
.
2
6ー

BI'・・・・， Ba のどれか

‑loS'P(A.
.
.B.
.
)は事象ム .
BJ
喝の{静a量であるから，!i:辺は試行 A， Bの両方の結・J'，呆を知る際にえられる情報量の晃容寺値，すなわち A Bのエントロピーである。
静日量の期待値である。またう十 1項中
右辺 * 2現は試行 Aの結果放日る際にえられる f(B.
:IA.
.
.
)logP(B.
.
./A.
.
.)は， Aの結果の E P
J ' t‑' J'J'::.I

A を既知としたとき， Bの結ei で表わそう。)，片 1項自体はこt を試行んの結果に依存する確率変数とみたときの et の期待値である。の e

果を知る際にえられる情報量の其時値(これを等式は，試行 A，Bの結果を問時に知る際えられる 情報量は，まずAの結果を知る際a

Bの結柴を知る除に追加してえられる情報量との和に，えられる情報量と，次にその上ド.
その期待値において等しいことを表わす。

b) 両 辺 に ‑ 1をかけた式(したがって不等号は逆〉で考える。
右辺は試行 Bの結果を知る際にえられる情報量の持持値である。
ま辺は， a)の等式の浩辺の斤 1項と同じで， a)で説明したとおりである。
不等式は?左辺は，試行A の結果が既知なので，試行 B の結呆の新聞があるていどできる可能性があるので，全然新らしく試行 B の結果を知る右辺の場合より，あらたにえられる情報量は，期待値において少ないことを表わす司nL7r