平成16年12月24目

損保数理…1

損保数理（問題）
問題1．次の（1）から（10）について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを一つ選んで、指定の解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ。

（70点）（1）ある保険金杜の自動車保険において、免責額0の場合、1契約につき1年間に発生するクレーム件数はパラメータ2のポアソン分布に従い、クレ∵ム額は平均10の指数分布に従っているとする。今、1契約について、1件目のクレームには免責金額を10，2件目以降のクレームには免責金額20を設定することとしたとき、この保険の1契約あたりの純保険料に最も近いものは次のうちどれか。なお、必要があればe＝2，718として計算すること。
（a）

4，0

（b）

（e）4．44．1（f）4．5

（c）

4．2

（d）

（9）4．64．3（h）4．7（2）ある自動車保険に関する過去4年間の保険料および損害率は、次表のとおりであったとする。

車種A
車種B

車種C

2001年度

2002年度

2003年度

2004年度

保険料

200

240

270

320

損害率

50％

50％

50％

50％

保険料

100

100

100

100

損害率

60％

60％

60％

60％

保険料

200

200

200

200

損害率

40％

48％

58％

70％

2005年度①過去4年間のデータ値を用いた線形回帰分析により、2005年度の車種ごとの保険料および損害率を求めると、車種Aの保険料および車種Cの損害率のそれぞれの値に最も近いものは次のうちどれか。

（a）

（f）
（k）

340

（b）

365

（9）

70％

（1）

345

（c）

370

（h）

55％

（i）60％

（m）

80％

（n）

75％

350

（d）

355
85％

（e）

360

（j）

65％

（o）

90％

②①の結果より求まる2005年度の3車種を合わせた全体の損害率（全体の保険金／全体の保険料）に最も近いものは、次のうちどれか。

（a）

55％

（e）

75％

（b）

60％

（c）

65％

（f）80％（9）85％

一65一（d）

70％（h）90％

損保数理・・2（3）クレーム総額∫は複合ポアソン分布に従っており、そのクレーム件数の平均がλ工5、個々のロスの確率関数は表Aのとおりであるとする。また、表Bはクレーム総額∫の確率関数を表す表の一部分を取り出したものである。
（表A）

（表B）

γ

Pr（X二x）∫

1

0．5

5O．0748

20．3

60．0840

30．1

70．0885

40，180．0887

Pr（∫＝∫）

このとき、Pr（∫＝9）に最も近いものは、次のうちどれか。

（a）0．0482（b）O．0635（e）O．0848（f）

O．0888（c）O．0681（9）0．0954（d）0．0832（h）0．1928（4）ある保険商品の1年間のクレーム総額を∫、営業保険料をρとする。今、∫はポアソンパラメータλの複合ポアソン分布に従い、個々のクレーム類は確率変数xが従う分布に従うものとする。また、営業保険料ρは、∫から求まる純保険料を予定損害率θで割った額とする。このとき、1年間の損害率は∫／ρで表される確率変数となるが、この分散として正しいものは次のうちどれか。

亙（X2）
五（X2）
五（X2）
（a）
（b）
（c）
／亙（X）／θ／2・λ／万（X）／θ／・λ／五（X）ハ／2・θ亙（X2）・λ
亙（X）2
五（X）
（d）
（e）
（f）
／亙（X）／θ／2／五（X2）／θ／・λ／亙（X2）／θ／・入（9）亙（X）2
亙（X）2・λ（h）／亙（X2）ハ／・θ亙（X2）／θ

（5）無作為に抽出した契約者の年間クレーム件数は期待値θのポアソン分布に従い、θは契約者ごとにばらっきがある。今、θが確率密度関数！（γ）＝伽十1（x＞1；α＞2）で表される分布に従うものとして、過去n年間のデータに対して求めた跳h1mam信頼度はO．4であった。

1の条件を変更！でθが確率密度関舳）一Pト〕／1小・三；…）で表1れ1分布に従うものとして、過去〃年間のデータに対してBOh1mam信頼度を求めたとき、このBuh㎞am信頼度に最も近いものは次のうちどれか。なお、問題文中のα，nは定数である。

（a）0．40．4n（。）O．4n＋α（b）0．5
0，5〃

（c）

（f）
0．5〃十α0．6（d）0．70．6〃（9） 0．6η十〇 （h）

一66一

O．7η

0．7〃十α損保数理・・3（6）ある保険金杜では、下表のとおり各契約者ごとに前年度のクレーム件数による優良割引制度を実施している。ただし、前年度まで2年度以上連続してクレーム件数が2件以上であった場合は、20％割増を行うものとする。

前年度のクレーム件数

書1」引率

0件

20％

1件

10％

2件以上なし各契約者の1年間のクレーム件数は、平均1．5のポアソン分布に従うことがわかっている。この保険金杜の保有契約件数は常に一定で、契約の流入および流出はないものとして、定常状態に達したときの平均割増引率に最も近いものは、次のうちのどれか。なお、必要があればe＝2，718として計算すること。
（a）

10％割引

（b）

8％害口引

（c）

6％割引

（d）

4％割引

（e）

2％割引

（f）

2％割増

（g）

4％割増

（h）

6％割増

被保険自動車の用途と（7）ある保険金杜の自動車保険の料率が単純に被保険者の年齢の2つの危険標識のみによって複合的に区分されており、ある年度のエクスホージャおよび実績に基づく相対クレームコスト指数が次のとおりであったとする。

＜エクスポージヤ（馬）＞

30歳以上

30歳未満

計

自家用万11＝4，000

万12＝2，500

亙1．＝6，500

営業用亙。1＝1，500万22＝2，000万2．＝3，500

計

亙．1＝5，500

万．2＝4，500

亙．．＝10，000

30歳以上

30歳未満

計

自家用

η1＝0．58η2＝1，29

巧．＝O．86

営業用

r21・・O．71

722＝亘．68

κ2．＝1．27

計㌃1＝0．62㌃2＝1．47㌃．＝1．OO＜相対クレームコスト指数（㌃）〉

この複合分類リスクが加法型であると仮定し、各相対クレームコスト指数の推定値（ろ）をMinimum法により求めるとき、名1，名2，ちI，ち2のそれぞれの値に最も近いものは次のうちどれか。

（a）

O．50

（b）O．55（f）0．75（9）0．80

（k）

（P）

1，25

1．50（1）1．30（q）1，55

一（c）

O．60

（h）O．85（m）（d）O．65（i）

1．35（・）1．60

1．15（n）

1．40（・）王．65

丁67一（e）

0．70（j）

1，20（o）

1．45（t）1．70

Bias損保数理・・4（8）ある保険金杜のある保険商品の事故について分析を行ったところ、事故発生から事故報告までの期間をx（月）としたときに、xは平均3の指数分布に従うことがわかった。事故は毎月月初に100件発生し、平均損害額は10万円であるとすると、年度末において、当年度発生事故についてIBNR損害を算出した＿⊥
場合、その値に最も近いものは次のうちのどれか。なお、必要があればe3＝0．72として計算すること。
（a）

500万円

（b）

（e）

2，500万円

1，000万円（f）（c）

3，000万円

1，500万円（d）2，000万円

3，500万円（h）4，000万円（g）（9）保険料の払込免除制度を持つ年払契約の積立型基本特約における、第。保険年度の予定利息を表すものとして正しいものは、次のうちどれか。ただし、予定利息とは保険料算出する際に予定されている11嶋のこ！を舳お・満期返戻金を・・保険期間を庶予定利率を1・現価率をｵ十〕・予定消滅率gを考慮した現価率をφ（＝（1−g）v）、予定消滅率gおよび予定払込免除率aを考慮した現価率をψ＝（1−3）（1＿g）γとする。
（・）

（・）

1〃φ

豚ψ

ヅ

（1一ψ）（1−v）

トψ
1 Ψ一 （1一φ ）（1一ツ）

〃ψ（d）

1一ψ
1ヅ （1一ψ ）（1一ソ）〃φ

1一ψ（・）1 ヅ〃ψ（1一ψ）（亘一ツ）1 v一 （1一ψ ）（1一Ψ）

豚ψ

1一ψ（9）ヅ

1一φ

1 ゾ （1一ψ ）（1一ψ） （f）

〃φ

1（b）

1一ψ（1一ψ）（1一・）（h）

〃φ＾

1一ψ

1 月ツー （1一ψ ）（1−v）

1一φ（10）ある再保険金杜は、ある元受保険金杜の契約ポートフォリオに対して、エクセスポイント1億円、責任限度額無制限のELC再保険を提供することとし、その年間再保険料を決めるにあたり、元受保険金杜から次の情報を得た。

・過去のデータでは、対象契約ポートフォリオから発生したクレームのうち、2億円以上のクレームは5件であり、それぞれ2．1億円、2．2億円、2．4億円、2．6億円、3．2億円であった。（過去何年間のデータであるかは定かではない。）

・対象契約ポートフォリオから生じる年間の元受クレーム件数の期待値は90件である。
・元受クレーム1件あたりのクレーム類は指数分布に従うと考えてよい。
このとき、次の各問いに答えよ。

①1件あたりの元受クレーム類の平均を最尤推定により求めたとき、この最尤推定値に最も近いものは次のうちどれか。

（a）

0，1億円

（b）

0．3億円

（c）

（e）

1．5億円

（f）

2，0億円

（g）

0．5億円2．5億円

一68一（d）

1．O億円

（h）

3．0億円

損保数理・・5②この再保険金杜は、①で求めた推定値を用いてこのELC再保険の年間ネット再保険料を算出することにした。この年間ネット再保険料に最も近いものは次のうちどれか。なお、必要があればe＝2，718として計算すること。

（a）

5億円

（b）

5．5億円

（c）

6億円

（d）

6．5億円

（e）

7億円

（f）

7．5億円

（g）

8億円

（h）

8．5億円

問題2．次の各問いに答えよ。
（1）確率変数∫（18点）（ゴ＝1，…，m）が、互いに独立で、それぞれポアソンパラメータ入（＝1，…，m）、クレーム額分布関数珂（x）（f＝1，…，m）の複合ポアソン分布に従うとする。また、クレーム額分布の積率母関数をM（x）（㎜＝1，…，m）とする。このとき、∫＝∫1＋…十∫。は、ポアソンパラメータがλ＝Σλ、クレーム類＝1?i・）で表／れる複合ポアソン分布に従1こ1包1の積率母関数を求めるの分布関数が・（・）一ことにより示せ。

（2）ある保険金杜では3種類の保険種目を販売しており、各保険種目の契約ポートフォリオから生じる年間のクレーム総額をそれぞれ∫1，∫2，∫3とする。∫1，∫2，∫3は互いに独立で、それぞれ次表のようなパラメータをもつ複合ポアソン分布に従っているとする。

平均事故件数

個々のクレーム額分布∫150

平均1の指数分布∫2100

平均2の指数分布．

∫350平均4の指数分布

今、3種目の契約ポートフォリオを1つのポートフォリオ（集合的リスクモデル）とみなし、そめクレーム総額を∫二∫1＋∫2＋∫3、事故件数をM、個々のクレーム類をX（f＝1，2，…，M）とする。このとき、次の問いに答えよ。

①保険金杜全体での平均事故件数万（M）、およびX（f＝1，2，…）の分布関数F（γ）を求めよ。

②正規分布近似を用いて、∫の99パーセンタイル（Pr（∫≦o）＝0．99を満たす値。）を求めよ。ただし、Zを標準正規分布に従う確率変数とするとき、Pr（Z≦2．33）＝0．99であることを用いよ。

③この保険金杜は、どの保険商品に発生したクレームであるかにかかわらず、個々のクレーム類が4を超えた部分全額を回収するELC再保険（エクセスポイント4、責任限度額無制限のELC再保険）を購入することとした。このとき、このELC再保険から回収が発生するクレーム件数の期待値を求めよ。なお、必要があればe＝2，718として計算することとし、答えは小数点以下第2位を四捨五入して小数点以下第1位まで求めよ。

一69一

損保数理…6
問題3．クレーム件数過程｛M、｝が次の条件を満たすとする、、①0≦s＜ご≦〃〈ソ⇒M、一κ、とMリーM聞は独立②戸（M、＝0）＝e0λψ（0≦f）が成り立つ。

③同一時刻に2件以上のクレームが発生することはない。

このとき、次の各問いに答えよ。

（12点）（1）オペレーショナル・タイム丁（f）を求めよ。

（2）強度関数λ（）は、時刻Cでのクレーム瞬間発生確率を意味する。λ（f）を求め、クレーム瞬間発生確率が。の増加とともに増加するか減少するかを答えよ。

（3）n件目のクレームが発生する時刻を表す確率変数をηとするとき、ηの平均を求めよ。なお、パラメータ入のポアソン過程において、〃件目のクレームが発生する時刻がガンマ分布r（〃，λ）に従うことは証明せずに用いてよい。

以上

一70一

損保数理

（解答例）

問題1．

（1）

（h）

（テキスト1−40ぺ一ジ参照）

免責額Oの場合のクレーム件数をM、ゴ件目のクレーム類（免責0）をXλ、X（：1，2，．．）とする。Mの平均はの平均はμとする。また、免責額がaの場合の保険金杜が支払うクレーム類1件あたりの期待値（保険金杜の支払対象とはならない事故も含めた期待値）を、
エ4・（・）一班石一・i榊1一∬（・一・）月一戸と表記することとする。

すると、1件目のクレームに免責額4，2件目以降のクレームに免責額a2を設定した場合の純保険料
Pは、
P：珂（Xl−min（X1，4））十（X。一mh（X。，a。））…十（Xザmin（X〃，a。））］＝み阿（Xrmh（Xl，φ））十（X。一mb（X。，a。））十…十（Xr㎞n（XM，a。））・lM］】

oo＝Σ珂（石一mi・（石，φ））十（X。一mi・（X。，a・））十…十（Xバmi・（X。，a・））1P・（作・）二1＝Σ（蝸）十（・一1）R（a・））P可M＝・）
腕拮1oooo＝Σ（R（a一）一R（a。））P・（M＝・）十Σ・R（a・）P岬一・）π＝1＝1＝（R（4）一火（a2））（1−Pr（ハ「＝O））十R（a2）亙［M］4φφ＝μ（e μ一e μ）（1−e一ム）十μe μ・λ：μ（1−edlム）eμ十μ（λ一1＋eλ）eφμとなる。λ＝2，μ＝10，4−10，a2＝20を代入して、
P＝10（1一・一2）・一1＋lO（2−1＋・I2）・一2＝4．7180．．．

（2）（テキスト1−20ぺ一ジ参照）

①（d）

②（m）

車種A，B，Cごとの2005年度の保険料および損害率を直線回帰式より求める。
まず、車種Aの2005年度の保険料を回帰直線y一ア＝β（トア）より求める。ここで、yは被説明変数、xは説明変数で2001年度を1とする指数とする。
4Σ〃ド4元・タゴー1
2，770−4×2．5×257．5
β＝ 。
＝ 30＿4x2．52＝39Σγ

2−4・ア2＝1となる。よって、2005年度の保険料は、y20．5＝βx（x一τ）十ア＝39x（5−2．5）斗257．5＝355である。

次に、車種Cの2005年度の損害率を同様の手法より求める。

一71一4ΣWr仮・ア

β：弓＝Σ・ 2−4・デ

5．9−4x2．5x0．54＝O．1
30＿4x2．52＝1となる。よって、2005年度の損害率は、y。。o。：βx（トア）十ア＝0．1x（5−2．5）十〇．54＝0．79二79％
である。
②（b）

同様に他の車種の2005年度の保険料、損害率を求める。
車種Aの2005年度の損害率は、50％である。

車種Bの2005年度の保険料および損害率は、それぞれ100，60％となる。

車種Cの2005年度の保険料は、200となる。

よって2005年度の3車種計の損害率は、（3）

355x50％十100×60％十200x79％＝60．4％である。
355＋100＋200（e）（テキスト2−19ぺ一ジ参照）

クレーム類が正の整数であるから、次の式を用いて帰納的にクレーム総額の分布を計算することができる。

oo・P・（∫一∫）一Σ三λP・（X−1）P・（∫一ト1）＝1∫

この式に、この問題における数値を代入すれば、5P・（∫＝・）＝一［0．5P・（∫＝上1）十2・O．3P・（∫＝卜2）
s＋3・0・蝋∫＝上3）十4・O・1P氏∫＝上4）1となる。したがって、

5
P・（∫＝9）二一［0・5・O・0887＋2・0．3・O．0885
9＋3・0・1・0・0840＋4・O・1・0・07481＝0．084761．．．

（4）

（a）

（テキスト2−8ぺ一ジ参照）

純保険料は、∬（x）亙（M）によって表すことができるので、営業保険料ρは、
ρ＝｛亙（x）亙（M）｝／θと表される。したがって、確率変数∫／ρの分散を計算すると、以下のとおりとなる。

γ（∫／θ）イ∫（亙（X）亙（M））／θ

一個■・）1・亙1舳）1｛（亙（X）亙（M））／0｝2＿〔亙（x）刈十列γ（x）刈｛（亙（X）亙（ル））／θ｝2

亙（X）27（M）十7（X）亙（M）｛（亙（X）亙（M））／θ｝2

一72一

λ（亙（X）2＋γ（X））｛（亙（X）λ）／θ｝2

亙（X2）｛亙（X）／θ｝2λ

（5）

（b）

（テキスト3−30ぺ一ジ参照）

年間クレーム件数xの期待値、分散は、xが期待値θのポアソン分布に従うことより、
珂xlθ卜θ，7［xlθ卜θである。したがって、θの分布の確率密度関数を件1言〕1ガ（州；…）とすると、

榊11−1［θlT用ガみ一苦
wlθ11一・［θ1一蜥一（蜥一∬哨1ガゐ一1斗
島1片一（。．茄．1戸となる。よって、このときのB舳㎞am信頼度をZムとおくと、

nZF肋＝。十酬XIθ］】肋十（卜2）（α一1）
7［珂x1θ］］となる。題意より、Zl＝0．4なので、簡単のため（o−2）（卜1）＝cと書くことにすると、

Z1＝n＝0．4〃十。

2n＝一。
3となることがわかる。よって、

Z3＝ヲ

（6）

3−n2

3−n＋o2o
1・十・ 2＝一＝一（d）（テキスト3−41ぺ一ジ参照）

1年間のクレーム件数が0件の確率をρo，1件の確率をハ、2件以上の確率をρ2、定常状態において割引率20％の構成割合をα、10％の構成割合をβ、0％の構成割合を7、割増率20％の構成割合を6とすると、ρ。ハρ。

0（αβ・・）二1二1㍊一（αβ・・）ρ。ρ10ρ。

したがって、

一73一α＝ρ。（α十β十7＋6）＝ρ。

β＝ρI（α十β十7＋6）二ρ1
7＝ρ・（α十β）＝ρ・（ρ。十八）＝ρ。（1一ρ。）

6＝ρ・（柱6）→6＝ρ。2
クレーム件数は平均1．5のポアソン分布に従うから、．1．。1．5。

ρo＝e×＿＿＿＿＝0．22540！
、1．。1．5一一ρ1＝ex＿＝O．3381
1！

ρ2＝1＿pI＿ρ2二0．4365
よって、平均割引率は、一20％xρr10％xρ1＋20％xρ。2＝一4．1％（7）

名1：（b）、序2：（m）、ら1：（g）、ち2：（r）

Minimm（テキスト4−12ぺ一ジ参照）

Bias法によれば、各らは次の連立方程式を満たさなければならない。

亙11（ηr序1）十万1。（η。一肩。）＝O万。1（りrち一）十万。。（ろ。一ち。）＝0

軋（〜一肩1）十万。一（ろ1一ち1）＝0
局。（η。一存。）十五。。（ろ。一ち。）＝0

ここで・各危険標識の料率係数をそれぞれγ、，月とし、C＝珂1（〜一汽1）とおけば、この複合分類リスクが加法型であることにより、上の方程式は次のように整理される。

序1＝π1＋γ1＝〜一C／凪1ち。＝・。十y。＝わrCμ。。
汽。＝・1＋y。＝η。十C／凪。

ち1＝・。十ノ1＝ろ正十Cμ。1

よって、（〜一C／珂I）十（ろ2−Cμ22）＝（η2＋Cμ12）十（わ1＋C／亙21）であり、各島，弓を代入してCについて解くと、C＝143．1が求まる。
これを（1）に代入して、

礼＝0．54，序。＝1．35，ろ1＝O．81，ち。讐I．61（8）。（e）（テキスト5−6ぺ一ジ参照）

平均・の指数分布に従帆分布関数は・（・）一1一…
1πF（x）

0，000

0．2800P一ξ〕で表1帆120．4816

0．9806

事故は月初発生なので、当月中に事故報告される確率はF（1）一F（O）＝F（1）、翌月に事故報告される確率はF（2）一F（1）、…となる。したがって、事故発生月ごとに当年度中に事故報告されない確率は次のとおりとなる。

一74一

事故発生月

5月4月

1−F（11）

事故報告され I−F（12）
ない確率

＝exp@

6月
1イ（1O）

…

3月
1イ（1）

12

11101

一3＝exp一一@3＝exp■一＝exp一一＝0．0270＝0．0374＝0．720：0．0194@3@3

毎月の発生損害は100（件）×10万円＝1，O00万円であるから、IBNR損害は、
1，000x（0．0194＋0．0270＋O．0374＋…十0−720）＝1，OOOx2．52＝2，520（万円）（9）（a）（テキスト6−17ぺ一ジ参照）
第。保険年度末の払戻積立金をγ、平準式積立保険料を尾として、第。保険年度の予定利息凡を求めると次のとおりとなる。
R、＝（11），γ一（1−9）

一1、、17一（1−9γ一1（1−a）

一1地一（1一州グ1イ（1−9町グ・l1■ψ；L（11ゾ1（1−aゾ1豚〆1一劣1一ψ11一ψ1一ψ＝mφ1一ψ1一ψ1一ψト1（1−9）
v （1−9）ψ

一1（1一ψ）（11）ト、．，ツ 一1（1−9） 一1ツ岬、÷［〆（1一ψ）一戸（1一グ）（グーψ）1−w1÷［ポ（1一ψ）一戸（1一ψ）1一附1÷1ポ（1一ψ）（1一ツ）1（1o）

①（c）

②（c）

（テキスト8−12ぺ一ジ参照）①元受クレーム額を表す確率変数をxとし、その平均をμ億円とすると、その確率密度関数は、

1一三！（γ）＝＿eμ（x＞O）である。したがって、2億円以上の元受クレーム類の確率密度関数（2億円以上のμクレームが発生した条件の下でのクレーム類の条件付確率密度関数）は、！（X）

9（x）＝Pr（X≧2）

1一王
μ一e＿μ

一一一I

1■ア（工一2）。＝一・μ（x≧2）

eμである。よって、尤度関数を7（μ）とおくと、

1ππ1一一（兀r2）
・1・gl（μ）一1・gng（石）＝1・gn一・μ＝1目μ一一・1・。μ」之（・、一・）＝一n1Ogμ十μH2m 版となるので、

一75一a〃〃（2一ア）

μμ一1ogZ（μ）＝

aμ。＝Oより、μの最尤推定値はβ＝アー2二2．5−2＝O．5となる。

②このELCネット再保険料Pは、・一・・r（π一1）ル）ゐ一・・∫。。（1一・（γ））赤一・・r・

ア扮一・・r・一秘＝90xO．5e−2＝6．09．．．

問題2．

（テキスト2−12ぺ一ジ参照）（1）各島はポアソン分布に従うので、その積率母関数は、M島（1）一・W）■〕と帆したカ1つて、∫の積率母関数をM∫（C）とすると、Ml（・）一中ト列・（∫＝列・昂
π州／・・…・刊〃㎜＝1

ヨー＝n列・刊＝n必（C）＝n・ψ（＝1）■1）

一咋w）一）〕一寸1酎払（・）一1〕〕㎜となる。（ただし、λ＝Σ人とする。）＝1

したが一で舳ポアがラメータが／一 曹翼戟[ム額分布の積率母関数が書÷舳）1なる複合ポアソン分布に従うことがわかる。これは分布関数が、・（・）一v部）で表される分布の積率母関数であるので題意は示せた。
（2）①（1）より、∫は複合ポアソン分布に従い、万（jV）150＋1OO＋50＝20050100

一三50

一三F（X）ユー（1一七エ）十一（1−e2）十一（1−e4）
20020020011一三1一三424＝1一一e■■一一e2一一e4（x＞O）となる。

②①で求めたポートフォリオ全体の複合ポアソン分布において、個々のクレーム類の1次と2次のモーメン
トは、それぞれ亙（・）一ル卿）一∬ト・÷〆・か芸〕一三一76一

州一∬州生∬1〆・；〆・÷〆言ドとなる。したがってく

9亙（∫）＝亙（jV）亙（X）＝200x＿＝450425γ（∫）＝亙（M）亙（X2）＝200・一＝25002∫＿亙（∫）

正規分布近似により、・・∫＿450＝
柄50が標準正規分布に従うとして、P∫…150・…〕一α・・よ1…（1…σ・）一α・・1な1・したll一て昨センタイルは・…である。

③個々のクレームに対し、再保険回収が発生するクレームであるときには1を、発生しないときには0をとるような確率変数を4（｛＝1，．．．，M）とおくと、Pr（4＝0）＝Pr（X≦4）＝F（4）士1＿＿e1一。1−21−l

一一e4＿＿e2＝0．83570．．．

4Pr（4＝1）＝1＿F（4）＝0．16429。一．
であり、M，X1，X2，．．一の独立性から、M，ム，∫2，＿ち互いに独立である。

回収が発生するクレーム件数をMとすると、M＝ム十…十∫〃と書けるので、
亙［M］＝亙［亙［ム十…十∫M

＝亙工M

l

M1］

Pr（石＝1）］＝亙［M］Pr（4＝1）＝200xO．16429．．．
＝32．85．．．

よって、回収発生クレーム件数の期待値は32．9となる。

問題3．

（テキスト7−16ぺ一ジ参照）（1）τ（C）＝一1・gP・（札＝O）＝λ∫（1≧0）
dP（M＝O）／c影（2）λ（斤）＝となり、λ（c）はaaλ＝一一1ogP（M、＝0）＝一τ（C）＝一（サ≧O）

P（ル＝O）〃2∫について減少関数であることがわかる。λ（c）は時刻。での瞬間クレーム発生確率を意味するので、これは、クレーム発生確率は時刻7の増加とともに減少するということを意味する。

一77一

（3川斗1⑭）はポアソン過程に従1・…（川一・）÷→（・一・・…が成1立つ・したがって・∫＝τ（η）とおくと、∫はrI（n，1）に従うので、卿一班1■一（軌）1一∬ゲ一1
2
山1（1）（え、）！・林一∬÷・（チ．1）、納一n（云芋1）∬・（チ子1）、舳

n（〃十1）

λ2となる。（2行目の式の積分の中身はr（n＋2，1）の密度関数なので、この積分は1）r78一