ー〔問〕

昭 和 37年 度

(問題)

午前の部

.
1 確率論(tt:~..ける中心極限定理( cen七:ra1 .limit theorem)を説明し，とれがどのよう K統計の理論争よび実際 K応用されるか説明せよ o2. 次の文中の C

コの中の仏ト (J)について適当な式を入れよ。

任意の時刻で瞬間的に起る同種類例昂然変化を受ける確率過程c:例えば電話の申込み呼数〉
を考え，変化が起れば過程の値は変化の起った時刻でー「単位だけ順次飛躍してゆくとする o即ち時刻 tVC沿いて X も =nである走らば，時間区間( t，七+A‑)で 1変化即ち次の値n+1への推移が起る確率は ， A h+0fA.
)vc:
等しく (A> D)，さらに( t，七+A.)間に2変化(即ち n+2への推移)またはそれ以上の変化の起る確率は O怖に等しいとする o 今
時刻七医長いて Xt=nである確率を P n (七)で表わすととの仮定より

PO (七 +.
fL)=Po (ゆ( 1‑J‑A.)+O('4p ~ (七十‑A.)= Pn(t)(ω)+Pn̲.1化)((問)+ ((0))， n= 1，2，3，・・・・ ・が出る。~→ 0 走らしめて(1) P6 (七)=ー lPO (七)(2)

P'n(七)=((D})n=1，2，3，・・・7を得る。初期条件として

Xo = 0とすると

fJ(η:;:::0)
コ

pn (0) ={toてn.:キ 0)である o (1)を解いて PO ゆ(=Ce れ を 得 る が P0 (0)=1であるから C=(侶:))でなければ七戸 eJ 事 U n (坊と砕き (2)VC代入すればた ら な い 。 次 VC(2)を解〈ためrL:Pn(u'n七(J=((P))
が出る o n>OV
C対して Un (O)=pn (0)=0であるからUn (坊=えJ;，も U n ‑ I 告)dsとなる。しかしUo(t)=eμPO七(;)=eρ((G))=(恒))であるから帰納的に

〔問〕

U n (廿=(紅))と在る。従ってPn (七ド((.巧〉と在るが，とれは平均値が A t在るポワソン分布である円

午後の部¥1ノfn(廿=2flk

rn一一+.
1 自由度 n 0 t一分布の確率密度関数は‑v;
;
;
rrcτ)

n+l

C1+一〉

2〈ー∞<七く∞〉で与えられる onが 2よb大きいとき，次のことを示せ。
(1) E(七;)=0(2i V化戸ーヱでn‑L(3)t一分布を使う実例を一つあげ，簡単に説明せよ。

2. (1) 標本平均の分散は，比例層化抽出法によるものの方が，単純任意抽脱去によるものより小である ζ とを示せ。また，とり場合，層別の効果を大きくするため Kは，どうすればよいかを述べよ。
標準偏差(2) 母集団の大きさを N，母集団の変動係数(平均値〉を cとするとき，単純任意抽出法 K恥いて，推定値の変動係数 c' を与えると，標本の央きさ nは，次の式で決定できるととを示せ。

c2N一一一
ぴ2n=‑2一

昭 和 37年 度(解答)午前の部.
1 中心極限定理は，二項分布の極限定理として知られる Laplace の定理の自然左拡張.
であるロある条件を満足する独立確率袈数列の極限の分布が，正規分布であるという主張ーがとの定理の要点である。と の 条 件 K は，いろいろの形があるが， Lindeberg の条J件が最も有名である。 Lindeberg の条件とは， { Xi}を与えられた分布函数{Fiをもっ独立確率変数列とするとき，次の条件を満足するものをいう。

i'<:∞10 VX iは有i
混在分散をもっ oV(Xi )=σ20 V X iは有限左平均値をもっ。

E(Xi )=μiく∞

30

一致性を失う ζ とましに， E(Xi)=Oとするとき，Vε>0(1(対して一X・‑け V

1一nzha，+ザ号
車 V(Xk)η中。)
x.2 dFkω → 1 (.
lJノ ‑edzV(XK〉が成立する。
中心極限定理はIf'Lindebergの条件を満足する独立確率装激列 Kついて.
lJ Xkk::l岳山〉の分布函数が， N{O， 1)に法則収束する Jというととができる oとのように，中心極限定理は，正規分布との関係を明らか K しているため V
C，統計の理論的展開の際 K問題を正規介布 K還元して議論できる基礎を与えているとみてよい。二項分布はsson分布在どを正規化してその性質を論ずるととができる。
もとよ!J， POi
統計の応用の面からいえば， Lindeber'g の条件をもっと強めたもので十分である。つがすべて，分散が有限な問ーの分布に従う独立確率変数 Jと辛子きかえられま!
;J， I
f' {Xi}:るo 乙の条件が， Lindebers の条件を満足していることはいうまでも左い。との条件を標本という立場から考えてみれば，母集団の分布が分散が，平均 μをもって L
ぺるととがわ‑3ー};Xk

σ2

x=一一一一ー は， N (μ ，一一一1vc法則収束するととが，中心極かれば，標本平均nn

限定理K よって保障されているのだから，検定，推定等に正規b布 K関する結果を十分に利用するととができる。

1ーえ h2.ω

但:) 1司 Ah、む) O{・~lUn‑':I( 廿 紛的仰 え Pn ‑ J 功
( .
.
.
:.
.
1P n (t)(I)(lも)n/η!

(坊e‑M

(.
.
lt)neー 』 色(J)

n!

午後の部

.
1(1) f(七)が偶函数なるとと，またそのー∞から+∞までの積分が収束するととから明らAか。 (fn化;}=fn(一七)， f，，

ω豆 一 一 一 一 ， A>O， 8>0)
1+B七

ω vt七)=fごt fn(七，) d 七2ギ)r
φ2 r(伊v=七n+t"a+子〉(1n+1‑ 7 4℃と置換すれば，

n‑2y，rr(〉
ラ‑‑‑(1‑v)一2一・・ dυ2.v‑4一r・Fぐ
27E)
r r(子) 寸φぐ与〉 φ
一‑
一φ‑つ2rφr(す)F(士) r(竺~)2 rnF

1n一 n‑22.(1) 標本抽.出法のうちのこ方法，単純任意抽出法と比例層化抽出法の標本平均の分散の大小を比較するのであるが，単純任意抽出法の分散の公式は，既知とする。母集団の大きさを N，抽出数を n，母 集 団 の 分 散 を が と す れ ば ， 単 純 任 意 抽 出 法 で の 標 本 平 均 の 分散V(rand) は，‑n=寸 n σ2J¥jV (rand)で与えられる。

次(IC，母集団を， kクに層化し，その各層の大きさを N， ，…・・・， N k とすれば，子 nを抽出する+Nk=N)比例層化抽出法では，各層から ， ni=( NJ +・山 ・とと K 在る。との場合の標本平均の分散 V(prop)は，各層の分散を σizとすれば，

N一 作

kN;
一σ;

V(prop)=一一‑ } J
Nn i':!
!
Jで与えられる。

N︑

NZP

4xa

1﹄ /①σN︑.︐ノ﹂

〆tkx

町
一 N

剖z

KZ・+σ町
一 N

KZ=

令‑一一︒

‑5ー1↑dみ﹂ばれす‑Z均平均の平層団 ‑a集第母:xx

でととであるから，①式は，町一 N

KZ=σfrt︑︑n一 tNN‑一一一一N.
:N‑nN‑n k
V (rand)‑V(prop)=一一一 σ2一一一‑}J 一一ー二‑0}Nn
Nn i':!
!
J

V(rand)‑V(pr:Op)=

N‑'‑nkNi

一一・ 2}‑一 CXi.‑X)1主 O
Nni::l N

よって， V(rand)主 V(prop)である。
上式より，層別の効果は，

N‑nkN;

1'
1n~::11'
1でァ‑ E一 千 代 i‑ X)
Zで与えられるから乙の値を大 Kすればよい。

ζ の乙とは，各層どとの平均が在るべ〈異る値をとるよう Kすればよい。というととは，同質のものを層化するのが効果的たといえる。
(2) 推定値の変動係数を c' とすればcと げ の 間 の 関 係 はN‑n=
一
一一一V (rand)NnN‑nσ2よtc' Z=
一一一一 c である。
2NnZC，N c.
z
乙れより ， nをとけばn=と在る。

ZCー一一ー + N

c12‑ 6ー