平成23年度
数学…・・1

数学（問題）〔問題1から問題3を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いなさい。〕

問題1、次の（1）〜（12）の谷間について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよ
し、。

（60点）

（1）外見からは全く区別のつかない2つの箱がある。1つの箱（Rと呼ぶ）には70個の赤球と30個の白球が入っており、もう1つの箱（豚と呼ぶ）には30個の赤球と70個の白球が入っている。2っの箱から1つを無作為に選び、その箱から復元抽出によって1球ずつ12回収り出したところ、赤球が8回、白球が4回出現した。このとき、選ばれた箱が沢である確率に最も近い数値は［二二二コである。

（A）O．8428（8）0．8889（C）0．9037（D）0．9270

（E）

（F）

0．9499（G）0．9674（H）

O．9412

O．9806（2）確率変数X，γ，Zは互いに独立で、すべて平均2の指数分布に従うとする。ある円を考え、豚＝m㎞（X工Z）をこの円の半径を表す確率変数とする。この円について、円周の長さを表す確率
変数を工、面積を表す確率変数を∫とするとき、zの期待値は［二亟ニコであり、∫の期待値は［亙コである。

π
（A）一

π
（B）一

π
（C）一

4
（F）一π

2
（G）一π

（H）一π

18

9

9

3

6

8
9

一1一

2

π

（D）一π

（E）一

（一）

（J）

9

π

3

4一π
3

平成23年度
数学・…・2（3）互いに独立な離散的確率変数X，γの確率分布をそれぞれ、伽）一^去γ（・一州・・（1−1）一・・／士γ（片・λ・・／とする。

このとき、確率変数3X＋2γ十1の積率母関数M一 if）は［互］
M「（f）＝l（ただし、Cく＿1og2）

ト／・1［一／3である。

（A）e2∫

（B）e3

（C）e5

（D）3e5（E）3e6f（F）2−e（G）2−e2f（ト1）4−e

（一）

（J）

4＿e2

4＿e3

（4）確率変数Xj（i＝1，2，…，n）は互いに独立で、区間（一〇．5，0．5）上の一様分布に従うとする。

このとき、確率変数X…十X2の絶対値が正数αを超えない確率が0・99となるようなαに最も近い
数値は［二Φ二］である。また、中心極限定理を適用すると、確率変数x、十x、十…十x、、の絶対値が正数βを超えない確率がO．95となるようなβに最も近い数値は［二夏ニコである。

（A）0．86（8）0．90（C）O．95（F）1．4王（G）4．11

（ト1）

4．90

一2一

（D）0．98

（一）

10．28

（E）O．99

（J）

12．25

平成23年度
数学…・・3（5）分散の片側検定において、真の分散が帰無仮説において仮定された分散の4倍であったとき、帰無仮説が確率99％で棄却されるために必要な最小の標本数は［二二二］個である。ただし、平均は未知とし、有意水準は1％とする。

（A）工7

（B）18

（C）19

（D）20

（E）21

（F）22

（G）

（H）

24

25

（6）6面それぞれの目が1，玉，2，3，4，5となっている（2つの面に1の1ヨがあり、6の日がない）変則サイコロがある。この変則サイコロについて、次の帰無仮説∬Oを検定する。

2
6

1
6

1
6

1
6

1
6

Ho：ρ1：一，ρ2＝一，ρ3＝一，ρ4＝一，ρ5＝一（ρは（5＝1，2，…，5）の目の出る確率）

いま、変則サイコロを60回振った結果が、次のとおりであった。

目の数

1

2

出現回数

30

8

8

4

5

7

7

このとき、

有意水準1％の場合、帰無仮説H。は［＝亜ニコされる。
有意水準5％の場合、帰無仮説H。は［二重二コされる。
有意水準10％の場合、帰無仮説H。は［二藪ニコされる。

（A）採択

（8）棄却

一3一

平成23年度
数学・…・4（7）ある電気製品の寿命は指数分布に従うことがわかっている。この電気製品の平均寿命μoを調べるために、m個（nは26以上の整数）の製品を抽出して寿命を測定した。その結果、寿命が600
時間未満であった製品の個数は25個であり、それらの平均寿命は475時間であった。また、残りの（卜25）個の製品の寿命は600時間以上であった（600時間で測定を打ち切った）。
この電気製品の平均寿命μoを有意水準5％で両側検定して、帰無仮説Ho：μo＝500（時間）が採択されたとする。このとき、抽出した製品の個数mの取りうる最小値に最も近い数値は［二亟ニコであり、取りうる最大値に最も近い数値は［二重二コである。

（A）26

（B）27

（C）28

（F）

（G）

（1−1）

33

34

36

（D）31

（E）32

（1）

（J）38

37

（8）ある屋外イベントにおいて、入場希望者が多いため、工番からM番まで通し番号をつけて整理券を配布した。いま、配布した整理券の枚数を知らない第三者が、その枚数を調べるために、整理券を受け取った入場希望者から無作為に30人を抽出してそれらの30枚の整理券の番号の和を求めた
ところ132，000であった。この配布した整理券の枚数について、その枚数が十分に大きいものとして信頼係数95％で区間推定を行ったとき、信頼区間の下限に最も近い数値は［二重二コであり、上限に最も近い数値は［二亟ニコである。

（A）

（F）

6，229

10，372

（B）

6，410

（G）

10，616

（C）

（ト1）

6，906

10，692

一4一

（D）

（一）

6，982

l1，188

（E）

（J）

7，226

11，369平成23年度
数学…・・5（9）ある農作物について、同時期に収穫されたX農園の農作物6個とγ農園の農作物5個の重さを測定したところ、次のとおりであった。
（単位：グラム）

X農園：
γ農園：

125

，

l18

，

工40

，

133

，

112

，

130

123

，

135

，

117

，

132

．

152

x農園とγ農園の農作物の重さの分散比（＝（γ農園の農作物の重さの分散）÷（x農園の農作物の重さの分散））について信頼係数95％で区間推定を行ったとき、信頼区間の下限に最も近い

数値は［二匹ニコであり、上限に最も近い数値は［二重二コである。ただし、x農園およびγ農園の農作物の重さはそれぞれ正規分布に従うものとする。

（A）0．0387（B）0．0471（C）0．0491（D）0．0581（E）0．0605（F）（G）2．5273（H）2．6759

（1）

（J）

2．4262

一5一3．2561

3．3918

平成23年度
数学…・・6（10）2種類のデータx，γの〃個の観測値（x、，ノ、）（＝1，2，…，η）について、x、，x、，…，x、の平均値をア、ハ，y2，…，γ加の平均値をアとす乱γをxで回帰した回帰直線はγ・・肌十3、γをyで回帰した回帰直線は・千1であ1・（茅・ア）一（…）であ叱このときα・［Φコ・1一［重コ・xとyの相関係数㌦に最も近い数値は［二重二コである。

［①の選択肢］

7

（A）一一

8

1

（1…）一

8

5
8

3
8

（B）一一

1
8

（C）一一

3
8

（D）一一

7
8

5

（F）一

（G）一

（H）一

（D）一2

8

［②の選択肢］

（A）一8

（B）＿6

（C）＿4

（1…）2

（F）4

（G）6

（A）一0．791（8）一0．612（C）＿0．456（D）一〇．354

（．E）

（F）

（G）

（I一■）

（ト1）8

［③の選択肢］

O．354

0．456

0．612

0．791

（11）〃（2）モデル巧＝2．0＋0．4耳．、十0．2耳．、十8、（亙（ε、）＝O）について、偏自己相関φ1、，φ22，

φ、、はそれぞれ、φ、、・［亙コ、φ22一［亙コ、φ、、・［亙コである。

（A）0．00（B）O．10（C）0．20（F）0．40（G）0．48

（ト1）

0．50

一6一

（D）0．26（一）O．60（E）0．30（J）1．00

平成23年度
数学・・…7（12）ある会は正会員、準会員、研究会員の3種の会員で構成されており、以下のことがわかっている。

・XO年12月末、正会員、準会員、研究会員はそれぞれ1，000人ずついる。

・12月末に研究会員だった者は、翌年6月末に30％の確率で準会員になり、70％の確率で研究会員のままである。

・12月末に準会員だった者は、翌年6月末に20％の確率で正会員になり、80％の確率で準会員のままである。

・正会員は、翌年も正会員である。

・研究会員は毎年6月末に400人増える。
・上記以外に会員の異動はない。

例えば、X1年12月末の研究会員の人数は、1，000人×70％十400人＝1，100人ということになる。
このとき、X2年12月末の正会員の人数は［二至ニコ人、準会員の人数は［二重二コ人、研究会員の人数は［二重二コ人である。

また、X5年12月末の正会員の人数は［二重二コ人である。

ただし、毎年の会員数の計算において、途中の端数処理は行わないものとする。

［①〜③の選択肢］（A）1，100（8）1，170（C）1，210（D）1，260（1…）1，280（F）1，360（G）1，370（H）1，420（一）1，460（J）1，530［④の選択肢］（A）1，926（B）2，025（C）2，175（O）2，186（E）2，210（F）2，287（G）2，315（H）2，352

一7一

平成23年度
数学…・・8

間題2．ある運転手が東西に伸びる大通りに面した目的地へ向かって東側から自動車を走らせてい．る。

この大通りには、目的地から東西へ向かって、目的地も含め等間隔にコインパーキングが存在している。この運転手が目的地に到着するためには、駐車可能なコインパーキングに駐車し、そこから目的地まで歩いて行くことになるが、運転手は歩く距離を少しでも短くしたいと考えている。そのため、ある仮定のもとで歩く距離の期待値について調べることとした。
このとき、次の（1）、（2）について、．空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれ選択肢の申から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。
（20点）
本問において、次のことを仮定する。

・下図のように大通りを数直線に見立て、目的地を原点、東側を正、西側を負とし、各コインパーキ
ングの間隔を1とする。すなわち、位置ノ（数直線土のノの位置、ノ＝0，±1，±2…

）にコインパーキングが存在することになる。なお、大通りは東西に無限に続いているものとする。

…

一2−10

酉

1

2…

目的地

←一

東

・各コインパーキングは営業している場合と営業していない場合があり、営業している場合は、一定の確率ρ（Oく戸く三）で駐車することができる。

・各コインパーキングに駐車できるかどうかは、互いに独立である。
・運転手は各コインパーキングが営業しているか営業していないかを知っている。
・自動車は東側から西側に向かってのみ進行する。
・各た←1，2，…）に対し、次のルール∫止に従って自動車を駐車する。

8王：位置たまで自動車を走らせ、位置κ一1以降の駐車可能な最初のコインパーキングに駐車する。

（1）すべてのコインパーキングが営業している場合
まず、∫此のもとで運転手が歩く距離の期待値亙止を求める。

8此gもとで駐車するコインパーキングの位置を表す確率変数をノとすると、ノの確率分布
P（∫＝ブ）は

回

1（1・1）・（工）・（o）／11−1）
で与えられる。なぜなら、ノ＝ノは位置ト1，κ一2，…，ノ斗1は営業しているが駐車不可能で、位置ノが駐車可能であることを意味するからである。

一8一

平成23年度
数学…・・9

また、位置ノ＝ノに駐車したとき、運転手の歩く距離gし）は

9（ノ）＝［亙コ。≦先一1）である。したがって、亙、＝亙（9（ノ））＝Σg（ブ）・P（ノ＝ノ）く正五一1一Σg（ノ）・P（∫一ノ）十Σg（ノ）・ア（J一ノ）
ゴ≦一1

ゴ＝O

［二重二コ・（［二隻ニコ）

回
十［二重二コー［二重二コ

ρ

となる。

次に、運転手が歩く距離の期待値亙正が最も小さくなるκを求めるために、亙止、1と亙此の差を調べると、

亙正、、一万化＝［二夏ニコー［二重二コ・（［二Φニコ）

回となり、五庇、1一万止の値が正となるのは、

1・g。［亙コん＞

1・g。（1一ρ）のときに限られる。亙止、1」亙此は単調増加であるから、上式を満足する最小のたをポと定義すると、

κ＝ポで亙此は最小となる。したがって、運転手が歩く距離の期待値が最も小さくなるのは、位置ポまで自動車を走らせ、それ以降の駐車一可能な最初のコインパーキングに駐車するときである。

一9一

平成23年度
数学・…・10（2）位置ノが正の奇数（ノ＝1，3，5，・・うのコインパーキングは節電のため営業しておらず、その他のコイ

ンパーキングは営業している場合
たが正の偶数とすると、ブ＝κ一1の位置のコインパーキングでは駐車することはできない。一すなわ
ち、この場合∫此のもとで駐車しても∫此．1のもとで駐車しても、いずれも歩く距離の期待値は同じであり、亙た＝亙止、1となる。したがって、以下では、たが正の偶数の場合を考えることとする。
まず、次の（i）〜（i丘）の場合に分けてノの確率分布P（ノ＝ノ）を求める。

（i）ノ≧0かっノが奇数のとき
ノ：ノは、営業しておらず、駐車できないため、．
P（ノ：ノ）一［二亜ニコ（ト1，3，5，…）となる。

（ii）ノ≧0かつブが偶数のとき∫＝ノは、位置た一1，及一3，…，ノ十1が営業しておらず、位置た一2，た一4，…，ノ十2は営業しているが駐車不可能で、位置ノで初めて駐車可能であることを意味するため、P（ノ・ノ）＝（［亙コ）回・（［亙コ）（ノ：0，2，4，・）となる。

（iii）ノく0のとき
ノ＝ノは、位置κ一1，κ一3，…，1が営業しておらず、位置κ一2，κ一4，…，0は営業しているが駐車不可能、位置一1，一2，…，ノ十1も営業しているが駐車不可能で、位置ブで初めて駐車可能であることを意味するため、回
P（ノ・ノ）一（［亜コ）・（［亙コ）（ノー一1，一2，一3，…）

となる。

よって、

。＝亙（、（ノ》、［目・［目）画・□〔仁目
ρ

となる。

一10一

平成23年度
数学・・…11（1）と同様に、亙正十2と亙此の差を調べると、亙此、2一五左の値が正となるのは、［亜コ・⑫。g。［亙コー1．g、［亜コ）た＞

1・g、（1一ρ）のときに限られる。亙正十2一万圧は単調増加であり、また、正の偶数たに対し亙正＝亙止．1であるため、上式を満足する最小の偶数だをボと定義すると、κ＝ボおよび尼＝ボー1で亙たは最小となる。したがって、運転手が歩く距離の期待値が最も小さくなり、かつ、κが最小となるのは、位置ポ㌧1まで自動車を走らせ、それ以降の駐車可能な最初のコインパーキングに駐車するときである。

一11一

平成23年度
数学・・…12［①、③、⑦の選択肢］（A）ρ

（8）1一ρ（C）伽（D）1一切（E）（先・1）P（F）1一（た斗1）ρ

（G）（H）ρ

（ト1）1一（ト1）P（1）〆（J）1一〆（K）〆■（L）1一〆一一［②、⑥、⑫、⑬、⑮の選択肢］
κ

κ十1

（A）后

（B）κ斗1

（C）一
2

（D）

（E）κ十ノ（F）（G）トノ（1−1）た一1一ノ（1）ト2＋ノ（。）κ■2＋2ノ（。）ト2iノ（。）ト2−2ノ

κ一I＋ブ

2

2

［④の選択肢］

（A）ノ

（B）レ1

（C）2ノ

（O）2レ1（E）材（F）1材1（G）ガ（H）1ガ1［⑤、⑧、⑨、⑩、⑪、⑭、⑯、⑰、⑱、⑲の選択肢］

（A）O

（8）1

（C）2

（D）3

（E）た

（F）（κ・1）（G）（κ一1）（H）ρ

（一）（I一ρ）（J）ノ（K）し・1）（L）O−1）

一12一

平成23年度
数学…・・13

間題3．ある投資信託の平均収益率を測定するために、この投資信託の月次収益率をmヶ月間観測し、記録した。この観測標本・1，π、，…，・

は正規母集団ルσ2）からの独立の標本とし、その母平均を推定することにより平均収益率を推測したい。このとき、次の（1）、（2）について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれ選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。

（20点）（1）まず、母平均の推定量として、標本の線形結合である線形推定量rをとりあげ、その申から不偏性、有効性、充足性、一致性を満たす推定量を見つけだすこととする。
標本変量をX、（ゴ＝I，2，…，n）としたとき、rは月
r一Σω、x三
ミ＝一となる。このrが母平均μの不偏推定量となるためには、H

Σ叫一［瓦コ栖1〃を満たす必要がある。さらに、rの分散はΣ［二重二コ・σ2であるので、この不偏推定量の分散岩1を最小にするためには、

ω，・［亙コ
月を満たせばよい。よって、これらの条件を満たす線形推定量∫は、Σ［二重二コ・4であることた1がわかった。

次に、線形推定量∫が有効推定量であるかを調べるために、クラーメル・ラオの不等式

［亙コ≧

1

中㌣外〕

の下限を満たすかを計算することにした。なお、！（x；μ）は母集団分布の確率密度関数である。クラーメル・ラオの不等式の右辺は、

11泌／／∂b・証舛〕小一里F）ザ〕
・［亙コであり［二亘ニコと等しくなるため、線形推定量∫はクラーメル・ラオの不等式の下限を満たし、有効推定量であることがわかった。

一13一

平成23年度
数学・…・14

次に、∫が充足推定量であるかを調べることにした。正規分布の再生性より、∫は平均［二重二コ、〃分散［二隻ニコの正規分布に従うことから、∫の確率密度関数をg⑫，μ）、τ＝Σ［二重二コ・4とトI
おくと、Xl，X2，…，X冊の同時確率密度関数は、

官伽）一／古γ叫手／
である。ここで、ある3について、［亙コ…［亙コ寺2・［亙コ・（［亙コー・3）・［亙コとなるので、3に∫を代入すると、X1，X2，…，X用の同時確率密度関数は、

官舳一紬±・／2÷〔叶甲／となり、∫が充足推定量であることがわかった。

最後に、∫が一致推定量であるかを調べるために、チェビシェフの不等式

1［二重二コ≦一（κは1より大きい任意の定数）
κから次の不等式を導いた。

昨一剛くε）・［亙コ
この不等式の〃を十分大きくすれば、

1im昨一剛・・）・［亜コ一÷ooが成立することから、一致推定量であることがわかった。

（2）（1）で得られた結果を踏まえ、観測された月次収益率から∫を計算する2つのプログラムノと3を作成したが、どちらのプログラムも最新の標本γを使用せずに次のように推定量を誤って求めていることがわかった。

〃
プログラムノ：Xlから篶．、の〃一1ヶ月分のデータを使用、すなわち、Σ［〕重二コ・4におい

仁Iてnの部分をト1として推定量を求めた〃一1プログラム3X、の代わりに・、を使用、すなわち、Σ［二重二コ・X、十［二重二コ・X、として

ト1
推定量を求めた
この2つのプログラムで求めた推定量について、不偏性、有効性、充足性、一致性を満たしているかを調べることとした。まず、不偏性について調べたところ、どちらの推定量も不偏性を満たしていることがわかった。このとき、プログラムノで求めた推定量は

ラム3で求めた推定量は定量である。
一14一定量であり、プログ平成23年度
数学・…・15［①、②、③、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨の選択肢］

（A）O

（B）1

（C）η

（D）

1
m2

（G）μ

（ト1）mμ

（I）

（F）一
μ

（K）一
2n

μ

μ
m−1

（J）一

μ

〃

σ2
（O）

〃一1

σ2

σ2

σ2

（P）一

（Q）一

（R）一
n2

2η

〃

n一

（E）一
n

（N）nσ2

（M）σ2

（L）一
〃2

1

1

（S）ω

（T）ω

［④の選択肢］（A）郎）（B）泌（∫）（・）亙（∫2）（・）・雄2）

（E）禰

（・）用

（G）γ（∫）（H）〃（∫）（8）（1一μ）2（C）（1一ψ）2（D）Σ1三［⑩、⑰の選択肢コ

（A）〆

〃

た1

〃

腕

（E）Σ〆

〃
（G）Σ（C、一ψ）2（F）Σ（・、一μ）2

仁1

j＝1

冊
（1）Σ（C、一nC）2

H（H）Σ（・、一C）2＝1

仁1（C）（ポ・μ）（D）（3一μ）2

／／一打

（・）

j＝1

［①、⑫、⑮、⑭の選択肢］（A）32（E）（ポψ）2（B）（3一μ）
同（・）Σ1、

〃

（G）Σ〆
ト1

＝1

π
（1）Σ（C、一nμ）2
仁1〃（H）Σ（C三一μ）2＝1〃（J）Σ（τ、一3）2（K）・Σ（・、一〃3）2

卜1

紅1

一！5一

（・）

ﾌピ訂

平成23年度
数学…・・16〔⑮、⑮の選択肢］

n−1
（A）一一
2
（・）

n
（B）一
2

（C）n−1（・）・

閨@（・）何（・）万

（一）

@（・）厚
1

何

1

（J）一

万

［⑱の選択肢］（・）郎一榊・邸））（B）山一亙（∫）・棚（∫））（・）小一剛・邸））（・）小一剛・た洞）（・）小一剛・た用）（・）小一剛・κ禰）（・）山一剛・榊））（・）小一州く〃（∫））（1）列∫一郎）≦剛∫））［⑲、⑳の選択肢］

（A）O
4

（・）手、
nε

（・）1一苦

σ2

μ
（C）一

（8）1

ε2

2

（・）1÷

ε

ε

［⑳、⑳の選択肢］（A）有効性、充足性、一致性を満たす（8）有効性、充足性を満たし、一致性を満たさない（C）有効性、一致性を満たし、充足性を満たさない（D）充足性、一致性を満たし、有効性を満たさない（E）有効性を満たし、充足性、一致性を満たさない（F）充足佳を満たし、有効性、一致性を満たさない（G）一致性を満たし、有効性、充足性を満たさない（H）有効性、充足性、一致性を満たさない

一！6一

σ2

（D）一
ε2

（E）一
mε2

σ2
（1）1一二丁

（J）1

〃ε

σ4
n2ε2

平成23年度
数学・…・17（付表）
I．標準正規分布表

戸（・・0，25）・O．4013

上側ε点m（ε）から確率εを求める表
吻（ε）→ε

申宝0

＊一1

ホ艘2

幸＝3

非主4

＊宕5

＊二6

‡＝7

‡＝8

‡＝9

O．Oま

O．5000O．49600．4920O，48800．4840O．4801

O．4761

O．4721

0．46810．46410．1中0．4602

O．45620．4522

O．44830．4443O．44040．43640．4325

O．42860．42470．2＊

O．4207

O．4129

O．40900．40520．4013O，3974

O，3936

0．38970．3859O，41680．3ま

0．3821

O．3783

O．3745

O．37070．36690．36320135940．3557

O，3520O．34830．4まO．3446

O，3409O．3372

O．3336

O，33000．3264

O．32280．3192

O．3156

O．312玉0，5中O．3085

O．3050O．30150．2981

O．2946

0．2912

O．2877

O．2843

O．28100．27760．6‡

0．2743

O．2709O．2676

O．2643

O．2611

O，25780．2546

O．2514

O．24830．2451

0．7‡

O．24200．2389O．23580．2327

O．22960．2266

O．22360．22060．21770．21480．8｝

0．2119O．2090O．2061

O．20330．2005

O，19770．1949

O．1922

O．18940．1867

0．9＊

O．18410．1814

O．1788O．17620．1736

O．1711

O．1685

O．16600．1635

O．16−1

1．O＊

O．15870．15620．1539O．15−5

O．14920．1469O．1446

O．14230．1401

O．13791．1＊

O．1357

O．1335

O，13M

O．12920．1271O．1251

O．1230O．12呈00．1190O．11701．2＊

O．1151

0．11310．l

l12O．1093

O．1075O．1056

O．1038O．10200．1003

O．0985

1．3申

0．09680，095一

O．0934

O．0918O．0901

O．0885

O．0869O．08530．0838O．08231．4＊

0．0808

O．0793

O．0778O．0764

O．0749O．07350．0721

O．07080．0694

O．0681

一．5＊

O．0668

O．0655

O．0643

O．0630O．0618

O，0606

O．0594

O．0582

O．0571

O．0559一、6＊O．05480．0537

O．0526

O．0516

O．05050．04950．04850．0475

O．0465

O．04551．7‡

0．0446

O．04360．0427

O．04180．04090．04010．0392

O．03840．03750．0367

1

一

■

o

三．8‡

0．03590．0351010344

O．03360．03290．03220．03140．03070．0301

O．02941．9＊

0．0287

O．0281

O．0274

O．0268O，02620．02560．0250O．0244

O．02390．02332．0＊

0．0228O．0222

O．0217

O．0212

O．02070．0202

O．0197

O．0192

O．0188O．0183

2．至‡O．01790．01740．01700．0166

O．01620．0158O．01540．0150O．O亘46

O，01432．2‡

0．0139O．O−36

O．0132

O．0129O，01250．0122

O．O119

O．0116

0．O113O，O1IO

2．3中

0．O107

O．O104O．0102

O，0099O，00960．0094

O．00910．00890．00870．00842．4‡

0．00820．0080O．0078O．0075

O．00730．0071

O．0069O．00680．00660100642．5＊

0．00620100600．00590．00570．00550．0054O．00520，005王O．00490100482．6‡

O．00470．0045

O．0044

O．0043

O．0041

O．0040O．00390．0038O．0037

O．0036

2．7‡

O．00350．0034

O，0033

O．0032

O．0031

O．00300．00290．0028O．0027

O．00262，8＊O．0026

O．0025

O，0024

O．00230．0023

O．0022

O．0021

O．0021

O．0020O，OO192．9‡O．OO19O．00180．OOI80．0017

O．OO16O．0016

0．OOI50．0015

0．OO14

O．OO14一17一…

平成23年度
数学・…・18
P（・・1．9600）：α025

確率εから上側ε点mε を求める表
中島3

幸＝4

＃当5

＊呈6

＃＝7

‡＝8

＊＝9

2．87822．74782．65212．57582．51212．45732．40892．36562．25712．22622．1973

2．一7012．14442．12012．09692．07492．03352．0141

I．9954

1．97741196001．9431

1．92681．91101．89571．86631．8522

1．83841．82501．81191．7991

1．78661．7744i．7624

1．7392

亘．72791．7169I．70601．69541．68491．67471．66461．6546

＊昌O

‡11

‡E2

0．OO＃

oo

3．09020．Ol＊

2．32632．29040．02串

2．05370．03‡

1．88080．04＊

亘．7507ε→〃（ε）

川

…

■

」

■

L

0

…

『

O．05中

1．64491．6352

1．62581．6164

1．6072

1．5982

1．58931．5805

1．57181．56320．06‡

1．55481．5464

1．53821．5301

1．52201．51411．5063

1．49851．49091．48330．07‡

亘．47581．4684｝．46111．4538一．4466114395L4325

1．4255

1．4187

1．4−180．08中1．4051

1．3984

1．3917113852

1．37871．37221．36581135951．3532

1．34691．3285113225

1．3−651．28730．09‡

1．33461．3408…

I．31061．30471．2988I．29300．lO非1．28161．27591．2702

1．2646

1．2591…
1．2536

1．2481

1．2426

1．23721．23190．11＊

1．22651．2212

1．21601．2−071．2055一．2004

1．一952

I．19011．18501．18000．12中

1．17501．17001．16501．1601

1．15521．15031．14551．14071．13591．13110．三3＊

1．12641．1217

11

1．l

I23

1，1077！．1031

1．0985

亘．09391．08931．08481．07581．0714

I．06691．0625

1．0581

1．05371．04941．04501．04070．14＊

I．08031170

1．0152

1．Ol

lO

1，00691．0027

O．9986

0．97410，9701

O，9661

0．9621

0．9581

O．93460．9307

O．9269O．9230O．9192

O．8965

O．8927

O．8890O．88530．8816

0．8633

O，85960．8560O，85240．8488O．84520．82740．82390．8204

O，81690．81340．80990．7961

O．7926

O．78920．7858

O．7824

O．7790O．7756

O．76550．7621

O．7588O．75540．7521

O．74880．7454

O．7421

O．73230．7290O．7257

O．7225

O．71920．7160O．71280．70950．6808

O．67760．15‡

1．03641．0322

1．02791．02371．0194

0．16＊

O．9945

O．99040．9863

O．98220．9782

0．17＊

O，9542O．95020．9463

O，9424

O．93850．18＊

0．9154

O．9116

O．9078O．9040O．90020，19串

0．87790．87420．8705

O．86690．20＊

O．8416

O．83810．8345

O．83100．21＊

0．8064

O．8030O．79950．22串

O．77220．76880．23ホ

O．73880．73560．24‡

0．7063

O．7031

O．6999O．6967

O．6935

O．6903

O．6871

O．68400．25＊

O．67450．6713

O．6682016651

O．66200．65880．6557

O．6526

O．6495

O．64640．26‡

O，64330．64030．6372

0．6341

0．63110．62800．62500．62190．61890．61580．27＊0161280．6098016068

O．6038O．6008

O，59780．59480．59180．5888

O．58580．28＊

O，5828

O．57990．5769O，5740O．5710015681

O．56510．5622

O．5592

O．55630．29＊

O，55340．5505

O．54760．5446

0．5417

O．5388

O．5359O．5330O．5302

O．52730．30まO．5244

O．5215

O．5187

O．51580．5129O．51010．5072

O．5044

O．50−50．49870．31ホ

O．49590．4930O，4902

0．4874

O．48450．4817

O，4789O．4761

O．4733O．47050．32ヰ

O．4677

O．46490．4621

O．45930．45650．45380．4510O．4482

O．4454

O．44270，33‡

O，4399O．4372

O，4344

O．4316

0．42890．4261

O．4234

O．4207

O．4179O．41520．34＊

0．4125

O．4097

O．35＊

O．38530．36串

O．4070O．4043

O．4016

0．39890．3961

O．3934

O．3907

O．3880O．3826

O．3799O．3772

O．37450．37190．3692

O．3665

O．3638

O．3611

O．3585

O，3558

O．3531

O，35050．34780．3451

O．3425

O．3398

O．3372

O．33450．37串

O．33−9O．32920．3266

O．32390．3213

O，3186

0．3160O．31340．31070．30810，38串

0．3055

O．3029O．3002

O．2976

O．2950O．29240．2898O．2871

O．2845

O．2819■1■

0．27930．27670．2741

O．2715

O．2689O，2663

O．2637

O．26110．25850．2559O．40まO．2533

O．2508012482

O．2456

O．2430O．2404

O，2378O．23530．2327O．23010．41

0．22750．2250O．2224

O．2198O．2173

O．21470．21210．2096

O．20700120450，42ホ

O，20190．19930．19680．1942

O．19170．18910．18660．1840O．1815

O．I789O．43＊

0．1764

O．17380．17130．1687

O．16620．1637

O．16110．1586

O．1560O．15350．44‡

O．1510O．14840．1459

O．1434

O．1408O．1383O．13580．1332

O．13070．12820．45‡

O．1257

O．12310．12060．1181

O．1156

O．1130O．l

I05

0，10800．1055

O．一0300．46‡

O．lO04

O．0979O．09540．0929O．09040．0878O．0853

O．0828O．08030．07780，47‡

0．0753

O．0728O．0702

O．0677

O．0652

O．0627

O．0602

O．0577

O．0552

O．05270．48まO．05020．04760．0451

O．04260．04010．03760．0351

O．03260．0301

O．02760．49＊

O．0251

0．0226

O．02010．0175O．OI500．0125

0．O1OO

O．0075

O．0050O．0025

0．39ヰ
…

皿

一18一

平成23年度
数学・…・19
皿．自由度ψのX2分布の上側ε点
ψ＼ε

杉（ε）
O．900

O．500

O．100

O．050

O．025

O．OlO

O．0039

O．0158O．45492．70553．84155．02396．6349O．1026

O．21071．38634．60525．99157．3778O．2158

O．3518

O．58442．36606．25147．81479．3484

O．2971

0．4844O．71071．06363．35677．77949．4877ll．143313．276750．5543

O．8312

1．14551．61034．35159．236411．0705

12．8325

15．086360．8721

1．2373

1．63542．2041

5．3481

1O．6446

12．5916

14．4494

16．8119

O．990

O．975

O．950

1

O．0002

O．OOlO2

0．0201

O．0506

3

0．114849．2103ll．34497

1．23901．68992．1673

2，8331

6．345812．0170

14．0671

16．012818．47538

1．64652．17972．73263．48957．344113．3616

15．5073

17−5345

20．090292．08792．70043．3251

4．16828．342814．6837

亘6．9190

19＝0228

2亘．6660102．5582

3．24703．94034．86529．341815．9872

18．3070

20．4832

23．2093王1

3．05353．81574．57485．5778lO．341017．2750

19．67512119200

24．725012

3．57064．40385．22606．3038l

I．340318．549321．0261

23．3367

26．2170

13

4．10695−00885．89197．041512．3398

19．811922．3620

24．7356

27．6882144．66045．62876．5706

7．789513．339321．0641

23．6848

26．1189

29．141215

5．22936．26217．26098．546814．338922．3071

24．9958

27．4884

30．577916

5．8王226190777．96169．312215．3385

23．5418

26．2962

28．845431．9999一76．40787．56428．6718

IO．0852

16．3382

24．7690

27．587130．191033．408718

7．01498．23079．3905

1O．8649

17．3379

25．989428．869331．5264

34．805319

7．63278．906510．1170ll．650918．337727．2036

30．1435

32．8523

36．190920

8．26049．590810．850812．4426

19．3374

28．4120

31．4104…
34．玉69637．566221

8．8972

10．2829

11．5913

13．239620．3372

29．6151

32．6706

35．4789

38．9322229．5425lO，9823

12．3380

14．0415

21．3370

30．8133

33．924436．780740．289423

10．1957ll，688613．0905

14．84802213369

32，0069

35．1725

38．0756

41．6384

24

lO．856412．401213．8484

15．6587

23．3367

33．1962

36．4王50

39．364142．979825

11．5240

13．l

I97

14．611416．4734

24．3366

34．381637．652540．646544．314126

I2．1981

13．8439

15．3792

17．291925．3365

35．5632

38，8851

41．9232

45．641727

26．3363

36．741240．工133

43．194546．9629

…

一

■

川

…

12．8785

玉4．5734

16．151418．113928

I3．56471513079

16．9279

18．9392

27．336237．9159

41．337144．4608

48．278229

14．2565

16．0471

17．7084

19．7677

28．3361

39．0875

42．5570

45．722349．587930

14．9535

16．7908

18．4927

20．5992

29．3360

40．2560

43．7730

46．9792

50．892231

15．6555

17．5387

19．2806

21．4336

30．3359

4王．421744．9853

48．2319

52．191432

16．362218．2908

20．071922．2706

3一．3359

42．584746．1943

49．480453．485833

17．0735

19．0467

20．866523．l

l02

32．3358

43．7452

47．399950．725154．775534

17．7891

19．8063

21．664323．952333．3357

44．9032

48．602451．9660

56．060935

18．5089

20．569422．4650

24．7967

34．3356

46．0588

49．8018

53．2033

57．342136

19．2327

21．3359

23．2686

25．6433

35．335647．212250．998554．4373

58．619237

19．960222．1056

24．0749

26．492136．3355

48．3634

52．192355．6680

59．892538

20．691422．8785

24．8839

27．3430

37．3355

49．5126

53．3835

56．8955

61，162王39

21．4262

23．6543

25．695428．1958

38．335450．6598

54．572258．120162．428140

22．1643

24．4330

26．509329．0505

39．3353

5L805155．758559．341763．690741

22．9056

25．2145

27．3256

29．9071

40．335352．9485

56．9424

60．5606

64．950142

23．6501

25．9987

28．1440

30．7654

41．335254．090258．1240

61．7768

66．206243

24．3976

26．785428．9647

31．6255

42．3352

55．230259．3035

62．990467．459344

25．1480

27．5746

29．7875

32．487143．3352

56．3685

60．480964．201568．709545

25−901328．3662

30．612333．350444．3351

57．5053

6I．656265．410269．956846

26．6572

29．160131．4390

34．2152

45．3351

58．640562．8296

66．6165

71．201447

27−4158

29．9562

32．267635．081446．3350

59．7743

64，OO1167．8206

72．443348

28．1770

30．7545

33．0981

35，949亘

47．3350

60．9066

65．1708

69．022673．682674．9195

76．153949

28．9406

31．5549

33．930336．8182

48．335062．0375

66．338670．222450

29．7067

32．3574

34．7643

37．688649．3349

63，167王

67．5048

71．4202一19一

平成23年度
数学・…・20

皿．分母の自由度n、分子の自由度mのF分布の上側ε点：珂〃（ε）

ε＝O．l00

〃＼m

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1O

81526

9．OOO

9．162

9．243

9，293

9．326

9．349

9．367

9．381

9．392

3

5．538

5．462

51391

5．343

5，309

5．285

5．266

5．252

5．240

5．230

4

4．545

4，325

4、一91

4．107

4．051

4，010

3．979

3．955

3．936

3．920

5

4，060

31780

3．6I9

3．520

3．453

3．405

3．368

3．339

3．316

3．297

6

3．776

3．463

3．289

3．181

3．l08

3．055

3．014

2．983

2．958

2，937

7

3．589

3．257

3．074

2．961

2．883

2．827

2．785

2，752

2．725

2．703

8

3．458

3．l13

2．924

2．806

2．726

21668

2．624

2．589

2．56I

21538

9

3．360

3．006

2．813

2．693

2．611

2．551

2．505

2，469

2．440

2．416

10

3．285

21924

2．728

2．605

2．522

2．461

21414

2．377

2，347

2．323

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ε＝0．050
1〃＼m
2
18．5128

19．0000

I9．1643

19．2468

19．2964

19．3295

19．3532

19．37−O

19．3848

19．3959

3

lO．1280

9．5521

9．2766

9．11729．01358．94068．88678．84528．81238．78554

7．70866．94436．59146．38826．2561

6．1631

6．0942

6．04105．99885．964456．60795．78615．40955．19225105034．95034．87594．8王834．7725417351

65．98745．14334．75714．53374．38744．28394．2067

4．14684．09904．060075．59144．73744．34684．12033．97153．86603．78703．72573．67673．63658

5．31774．45904．0662

3．83793．68753．58063．50053．4381

3．3881

3．3472

95．11744．25653．8625

3．6331

3．48173．37383．29273．2296

3．17893．137310

4．9646

4．10283．70833．47803．32583．21723．13553．07173．02042．9782ε＝O．0251〃＼m
2
38．5063

2

3

4

5

6

7

8

9

1O

39．OO00

39．1655

39．2484

39．2982

39．3315

39．3552

39．3730

39．3869

39．3980317．4434

16．0441

I5．4392

15．1OI0

14．8848

14．7347

14．6244

14．5399

14，4731

I4．41894

12．2179

1O，64919．97929．60459．36459．19739．07418．97968．90478．84395

1O．0070

8．4336

7．7636

7．38797．1464

6．9777

6．8531

6．7572

6．6811

6．6192

68．81317125996．59886．2272

5．98765．81985．69555159965．52345，46−378．07276．54155．88985．52265．2852

5．H86

4．99494．89934．82324．761187．57096．05955．41605．05264．81734．65174．52864．43334．35724．295197．20935．71475．07814．71814．48444．31974119704．10204．02603．9639106．93675．45644．82564．4683

4．23614．0721

3．94983．85493．77903．7168ε＝O．O10
1
腕＼m
298．5025

2

3

6

7

8

9

10

99．一662499124945

99．0000

99．299399．3326

99．3564

99．374299．388199．39923

34．116230．8165

29．4567

28．709928．2371

27．910727．671727．4892

27．3452

27．22874

21．1977

18．OOOO

16．694415．9770

15．5219

15．2069

14．9758

14．7989

14．6591

14．54595

16．2582

13．2739

12．0600

一1．3919

10．9670

10．6723

10．4555

10．2893

1O．1578lO，05106

13．7450

I0．92489．77959．14838．74598．46618．26008．1017

7，97617．8741

7

12．24649．54668．45137．84667．4604

7．1914

6．99286．84006．71886．62018

一1．25868．6491

7．59107．0061

6．63186．3707

6．17766．02895．91065．81439

1O．56148．0215

6．99196．4221

6．05695．80185．61295．46715．35115．256510

lO．04437．55946．5523

5．99435．63635．38585，2001

5．05674．94244．8491

2

3

4

5

6

7

8

9

lO

199．OOOO

199．1664

199．2497

I99．2996

199．3330

199．3568

199．3746

199．3885

199．3996

ε＝O．0051〃＼m
2
198．5013
3

55．552049．799347．4672

46．194645．391644．838544．434144．1256

43．8824

43．68584

31．3328

26．2843

24．2591

23．1545

22．4564

21．9746

21．621721．3520

21．1391

20．96675

22．784818．3138

16．5298

15．5561

14．9396

14．5133

14．2004

13．961013．7716

13．61826

18．6350

14．5441

12．9166

12．0275ll．463711．0730

1017859

10．5658

10．3915

10．2500

7

16．2356

12．4040

10．8824

10．0505

9，5221

9．15538．8854

8，67818．51388．38038

14．6882ll．04249．59658．80518．30187．95207．6941

7．49597．33867．2106

9

13．6136

10．10678．7171

7．95597．4712

7．一3396．88496．69336．5411

6．4172

1012．82659．42708．08077．34286．87246．5446

6．3025

6．11595．96765．8467一20一

平成23年度
数学・…・21

IV．自由度ψのC分布の上側ε点伽（8）
ψ＼ε

0．100

O．050

0．025

1

3．0777

6．3王3812．70622

1．88562．92004．30273

1．63772．3534

3．18244

1．53322．13182．77645

1．47592．01502．57066

1．43981．94322．44697I．4149I．89462．36468

1．39681．85952．306091．38301．83312．262210

1．3722

1．81252．228111

1．3634

1．79592．201012

1．3562

1．78232．1788131．35021．77092．160414

1．34501．76132．144815

1．34061．75312．131416

1．33681．74592．1王99171．3334

1．7396

2．109818

1．3304

1．73412．100919

1．32771．72912．093020

工．32531．72472．086021

1．32321．72072．079622

1．3212

1．71712．073923

1．31951．71392．068724

1．31781．71092．063925

1．31631．70812．0595以上

一21一

数学（解答例）（1）

箱Rが選ばれる事象をR、箱肌が選ばれる事象を肌とする。また、復元抽出の結果をFとする。求める確率P（次1F）はベイズの公式により次式で計算される。

P（R−F）、

P（列沢）・卯）P（Fば）・P（R）十戸（Fi肌）・p（肌）2つの箱から1つの箱を無作為に選ぶということより、
I
P（火）＝P（豚）＝一2と見なすことができる。

戸（Fば）は箱沢から復元抽出で12回球を取り出すとき、赤球が8回、白球が4回出現する確率である。この確率は毎回の抜き取りで赤球が出現することを成功と呼べば、成功確率7＿のベルヌ］イ試行を12回繰り返すとき、ちょうど8回成功する確率に他ならない。
10

したがって、

昨咋1…／北／43P（F1肌）は成功確率一のベルヌーイ試行を12回繰り返すとき、ちょうど8回成功する確率10に等しいから、同様にして・（・咋…／訂／÷／4

よって、求める確率は以下のとおり。

／ぺ凧川／士／P（R1F）：卜／爪川・／士／・卜／品γ／川・／去／78−34

78．34＋38．74
＝

74
74＋34

蟹0．9674

よって、盤餐螂L＿

山22山

（2）

確率変数〃の分布関数F（w）を計算する。

F（w）＝柳≦w）＝P（mi・（X，γ，Z）≦w）一1−p（mi・（X，γ，Z）・w）

一1−P（（X・w）∩（γ・w）（（Z・w））

一1−P（X・w）・戸（γ・w）・P（Z・w）

…（＊）

ここで、

戸（X・w）・P（γ・w）一P（Z・w）

二い十11一パとなるので、（・）一1{＋1一・÷

となることから、

2

豚は平均一の指数分布に従うことがわかる。よって、
3

左（豚）÷剛一榊（・）・・／ξ／2・／ξ／2・1となる。これより、

確率変数zの期待値は、
亙（・）・亙（・利一三π

3であり、確率変数∫の期待値は、
亙（∫）一万（〃・）・至π9である。

よって、盤豊山＿

一23一

（3）

確率変数Xの積率母関数M、（∫）（eく2）は、M、（1）一亙（・π）

幸／1γ

乎γ
ef
2

1

e丘

e

2−e「

1一す

同様に、確率変数γの積率母関数〃、（C）（e＜4）は、M、（1）・万（・丘γ）

幸…／士γ
一書・・／訂

3e！
4

1

3e

e
4−e
1一丁

確率変数X、γは互いに独立であることから、確率変数3X＋2γ十1の積率母関数M（サ）は次のとおり計算できる。
M（1）・亙（・伽用））
一亙（・3ぱ・・＝・・M。（31）・M、（2f）

、・3
＝e

・・1）

・

3・2

2＿e3f

4＿e2

3e6
2＿e3

4＿e2

3工＞0かっ4−e 2 ＞0よりfく一1og2
1

ただし、2−e3

よって、盤笠虹②＿」工L＿

一24一

（4）

①
確率変数X

（ゴ＝I，…，n）は区間（一0．5，0．5）上の一様分布に従うことから、その確率密度関数∫（x）は次のとおりとなる。

ル）一^1㍑くα5）

Xl，X2は互いに独立でともに同じ確率密度関数！（X）を持っていることから、X1斗X2の確率密度関数g（x）は一1くxく1のとき、
9（・）＝j二∫（・一y）ル切となる。ここで、一0．5〈x一γく0．5よりx−0．5＜yくx＋O．5、これと一〇．5くγく0．5より！（x一γ）！（y）＝1となるのは、γがmax（x−0．5，一0．5）＜y＜min（x＋0，5，0，5）のときで、その他のyに対しては！（x−y）！（γ）＝0である。
よって、・（・）・Lか・）伽一就：二1，1φ・・i・（糾・・工…）一…（卜帆一…）
x＜一1またはκ＞1のときはg（x）＝0である。max，minの記号を用いなければ

d1篶二し）㈹一となる。

Xl＋X2が絶対値において正数α（α＜1）を超えない確率が0．99となるためには、
巾、・X21・α）一0．99を満たす必要がある。したがって、

小1・・。1・α）寸・（枇一r、（1・枇・r（1一枇一・α一α2一α・・より、α二0．90と求まる。

②

Xl＋X2一←…十X75が絶対値において正数βを超えない確率が0．95となるためには、
小、・X2・…・X、、1・β）・0．95を満たす必要がある。

一25一

まず、確率変数x、の平均亙（x、）と分散γ（x、）を求める。

軌小一・・側伽手111・古次に、Xl＋X2＋…十X75の平均と分散を求める。
互（X、・X2・…・X、、）一・、γ（X，・X、・…半X、、）』一至124

ここで、中心極限定理を適用すると、
中正・x、・…・x、、1・β）一P（一β・x、・x、・…・x、、・β）

2X］十X。十…十X。。

5

仔：P 一一 ﾀ≦

＝0．95

であり、これより、P

Xl＋X。十…十X。。2
≧一β

仔

5

＝0．025となることから、

2＿β＝1．9600、すなわちβ＝4．90

5

よって、盤山上

一26一

2

≦一β

5

（5）

真の分散を4σ3、帰無仮説として与えられた分散をσ3とする。
また、標本変量分散を∫2とおけば、

・∫2P（丁子＞z．

、1（α））＝α

4σ。
である。
一方、

・∫2

＝デ＞z

。

．1（8）

σO
のときに棄却されるため、α＝O．99、ε＝O．01とおいて、
Z2．1（O．01）く4Z二．1（0．99）となる最小の標本数を求めればよい。

Z二。（0．Ol）42．9798

n＝25のとき、＝

Z；。（0．99）10．8564：395893

Z；。（0．01）41．6384

n＝24のとき、＝＝4．08391

Z；。（0，99）10．1957

よって、解答は

（H）

一27一

（6）

1の出る回数の期待値は20で、それ以外の数の期待値はそれぞれ1Oである。

2 三
1
26
κ・一（20−30）2・一1（8−10）2・（8−10）2・（7−10）2・（7−10）21＝5・一・7．6
20

10

10

であり、このとき、
7．6・κ矛（0．O1H3．2767

であるため・有意水準1％の場合・帰無仮説〃。は麹丞される。
同様に、
7．6＜κ2（0．05）・9．4877であるため、有意水準5％の場合、帰無仮説冴。は援扱される。
7．6・κ2（0．10）・7．7794

であるため、有意水準10％の場合、帰無仮説〃。は援抵される。

よって、盤餐↓L

一28川

（7）

寿命の測定値が時間fで打ち切られている場合に帰無仮説∬o：μ＝μOが採択されるためには、測定値がf未満であった標本7個の値をγ1，X2，…，X、、時間fで打ち切られた標本の数をn−7個であるとし、母平均μを、π1・・。・…・・、十（・イ）・1μ＝7によって推定したとき、・l／1一ξ〕くヂくイξ／を満たすようなnを求めればよい。
題意より、ρ、。。。、（卜25）・600、。。

．1。。

25
であるから、・・．・…く旦（・・。一1・・）く・1伽・500ならばHOが採択されることになる。
したがって18．6905…

＜〃く34．9667…

nは26以上の整数であるから、

26≦n≦34
である。

よって、盤答皿上

一29一

（8）

M＋1である。
2

配布された整理券の番号の平均は抽出した整理券の番号を各々、X一，X2，…，X30とすると、

一Ｉ3誌00・孔…

1一であることから、M＝8，799と推定できる。
Mは十分大きいため、有限修正係数を無視して平均値を区間推定すると、

σ

元一〃（8／2）x一＜μ＝

M＋1

万

σ

く元十〃（8／2）x一

2

万であり、元＝4，400，m＝30，〃（ε／2）＝1．9600（信頼係数α＝1一ε＝O．95）、および、母集。M2−1

団の分散はσ＝

12

孔、。。．、挑x竿

※であることを用いると、＝弐、91伽く、、・・1く牛、。。、、挑x平ニエ、。、9、

楓

2

佃

したがって、

6，981．1＜jVく10616．9
である。

よって、盤答」L
※母集団の分散σ2の求め方は以下の通り。

♂一÷払ヰ÷‡ペデー÷（㍑・・州一／Mチ」M（M＋1）（2M・1）（M＋1）2M2−
M
6
4
12

一30一

丁

（9）

〜＝6、η3＝5とおき、ノ農園の農作物の標本平均〃、標本分散∫3，3農園の農作物の標本平均x3、標本分散∫三を求めると、

一125＋140＋133＋112＋130＋152

〃＝

6

＝132

外、一三。）2

∫二＝H

〜

一

＝153

118＋123＋135＋玉17＋132

x3：

5

＝125

外、一；。ア

∫三・

＝

・53．2

3
である。

ここで、題意の分散比の信頼区間の下限zおよび上限σは、それぞれ
がB2

吋毒

刈1一ξ／

n−1
∠

2
n88B

吋…

刈ξ／

nズ1
であるか！・帥ﾌ／舟α…）一々（ま。2、）ll・

Z＝0．04902…

を切り上げて、O．0491

σ＝3．39182…

を切り捨てて、3．3918

である。

よって、盤谷山上

一31一

（10）
回帰直線が（矛，ア）＝（8，6）を通ることより、｛

6＝8o＋36
38＝一十ろが成り立つ。これを解くと、

3
α＝一、ろ＝68となる。また、回帰直線の傾きについて、
㌦∫。

3

8工

8

㌦∫工

1

sγ

3

が成り立っ（定義より∫工、∫、は正値なので、㌦も正となる。）。辺々を乗じると、

2

1

D7

＝＿＝0．3535…

7ゲ重
．

万
4

よって、盤豊山上＿

一32一

（11）
ノ沢（2）モデル巧＝2．0＋0．4巧．1＋0．2巧．2＋ε、に対し、自己相関ρ1、ρ2、ρ3は、エール＝ウォーカー方程式を用いて次のとおり求めることができる。
ρ1＝φ1／（1＿φ2）＝0．4ノ（1＿0．2）＝O，50

ρ2：φ12／（1一φ2）十φ2＝0．42／（1＿0．2）十〇．2＝0．40

ρ3＝φ1ρ2斗φ2ρ1＝0．40．0．40＋0．20．0．50＝0，26

求める偏自己相関は次の方程式の解である。
ρ1＝φ一1｛｛ρ1＝φ。1＋φ。2ρ1

ρ2＝φ21ρ1＋φ22

ρ1＝φ31＋φ32ρ1＋φ33ρ2

ρ2＝φ31ρ1＋φ32＋φ33ρ，

ρ3＝φ31ρ2＋φ32ρ1＋φ33⇔0．50＝φll｛

0・50＝φ。1＋0．50φ。。

｛

O．40＝O．50φ。1斗φ。。

0・50＝φ。1＋0．50φ。。斗0．40φ。。

0．40：O．50ψ31＋φ32＋050φ33
0・26：040φ。1＋050φ。。十φ。。

これを解けば、、φ11＝0．50、φ22饅0，20、φ33：0．00となる。

よって、盤豊山

一33一

（12）

^1￥まトー
毎一会一す推移一一一一・花り一一れぞれ^川三〕一

肌ぺ三〕一／1ギ測

一十ギ㌻十…
したがって、毎年6月末に研究会員が増加することに注意すると、

X2年12月末の正会員の人数は1，000＋（1−O．82）・1，000＋（1−3・0．82＋2・0．72）・1，000＝1，420人であり、X2年12月末の準会員の人数は0．82．1，000＋（3・O．82−3．0．72）．1，000＋（3，0．8＿3．0．7）、400＝1，210人であり、X2年12月末の研究会員の人数は0．72・1，000＋0．7・400＋400＝1，170人である。

同様にX5年12月末の正会員の人数は
4

1・000＋（1−0・85）・1・O00＋（1−3・0・85＋2・0・75）・1，000＋Σ（1−3・0．8正十2・0．7土）・400

二吉＝1・000＋（1−0・85）・1・000＋（1−3・O・85＋2・0・75）・600＋Σ（卜・3・0．8㌧2・0．7王）・400

紅1

一34一

＝1，000＋（1−0．85）・1，000＋（1−3・0．85＋2・0．75）・600

十・0・8（よ1・85）・・0・7（i175）／・…

＝2・000−1・Og0 ・0，85＋600−1，800・0．85
5600＋1．2000．75＋2，000−4，800＋4，800・085＋

5・600．O．7・

3・／λ・・・・・…λ…一牛・…ユ100／斗（一1，O・0−1，8・・。・，…）．0．8・。（1，…5・600）．・．・・

3＝2，209．98

よって、盤谷山④＿」旦L

一35一

問題2
（1）すべてのコインパーキングが営業している場合∫走のもとで運転手が歩く距離の期待値亙正を求める。

∫是のもとで駐車するコインパーキングの位置を表す確率変数をノとすると、ノの確率分布
P（ノ＝ノ）は

ペノ＝ブ）＝（1一ρ）止■一Iノρ

（ノ≦先一1）で与えられる。なぜなら、ノ＝ノは位置κ一1，κ一2，…，ノ十玉は営業しているが駐車不可能で、

位置ノが駐車可能であることを意味するからである。

また、位置ノ＝ノに駐車したとき、運転手の歩く距離gG）は9（ノ）＝1ブ1

し≦ト1）である。したがって、
亙此＝亙（9（ノ））：Σg（ノ）P（ノ＝ノ）∫く昆ト1

一Σ9（ノ）・P（ノーノ）十Σg（ノ）二p（ノーノ）
ノ≦一1

戸O

＝Σ←ノX1一ρ）此■止一1

一ゾρ十Σノ（1一ρ）此一

ノ≦一1
oo

一jρ

ノ＝0

一Σノ（1ソ）た一

トー

十ノρ十Σノ（1一ρ）トトノρ

j＝1

戸O

一般的に、

。o
101〈1のとき、Σわ

1−1

I1−

1

（1一α）2・・1のとき、之。・上←・
1・1

｝α州

（1−o）

が成り立っため、これらを用いると、
酌（※）の第・項一ρ（1一ρ）此Σノ（1一ρ）ノ■1
戸11＝ρ（1一ρ）止（1一（1一ρ））2

一36一・・・・・・・…

（※）

＝ρ（1一ρ）止÷ρ一（1一ρ）止■ρ（・）の第・項・付書／／、1、ヅ、、。．、ゾ1一（ト畑て11ρザ・（1；1て11ρ／舳／1−／ll，／／＝、⑫．、γ∴＿（1一ρ）此一κ（1一ρ）十（κ一1）ρ
＿（1一ρ）止十初一1

ρ
よって、（。）、・（1一ρ）止・伽一1

ρ
となる。

次に、運転手が歩く距離の期待値方此が最も小さくなるκを求めるために、亙五十1と亙止の差を調べると、

万上、1．亙止、2⑫一ρ）止十・（用）ρ一2（一ρ）止・如一1ρρ

＝1−2（1一ρ）比となり、亙正、1一亙たの値が正となるのは、

1og，2々＞ 1・g。（レρ）

一37一

のときに限られる。亙此、r五左は単調増加であるから、上式を満足する最小のκをポと定義
すると、ん＝ズで万左は最小となる。したがって、運転手が歩く距離の期待値が最も小さくなるのは、位置ポまで自動車を走らせ、それ以降の駐車可能な最初のコインパーキングに駐車するときである。

よって、解答は

①

7

（B）

（C）

8

（B）

2

9

（H）
（B）

③

1O

（A）

④

（B）

5

（C）

6

（A）

（C）

（2）位置ノが正の奇数（ノ＝1，3，5，・・うのコインパーキングでは節電のため営業しておらず、その他のコインパーキングは営業している場合

んが正の偶数とすると、トト1の位置のコインパーキングでは駐車することはできない。
すなわち、この場合∫左のもとで駐車しても∫κ．1のもとで駐車しても、いずれも歩く距離の期待値は同じであり、亙此＝亙止．Iとなる。したがって、以下では、たが正の偶数の場合を考えることとする。

まず、次の（i）〜（iii）の場合に分けてノの確率分布P（ノ＝ノ）を求める。

（i）ノ≧0かっノが奇数のとき

ノ・・ノは、営業を停止しており、駐車できないため、P（ノ・ノ）・0（ノ・1，3，5，…）となる。

（ii）ノ≧0かつブが偶数のとき
ノ＝ノは・位置ト1，ト3，…，ノ十1が営業を停止しており、位置及一2，た一4，…，ノ斗2

は営業しているが駐車不可能で、位置ノで初めて駐車可能であることを意味するため、

止一2一∫

P（ノ＝ノ）・（1一ρ）・ρ

（ノ＝0，2，4，・・りとなる。

（拙）ノ＜0のとき

一38一

ノ＝ノは、位置κ一1，た一3，…，1が営業を停止しており、位置正一2，た一4，…，0は営業しているが駐車不可能、位置一1，一2，…，ノ斗1も営業しているが駐車不可能で、位置ノで初めて駐車可能であることを意味するため、

左一2−2／

P（ノ＝ノ）・（1一ρ）・ρ

（ノ＝一1，一2，一3，…）

となる。

よって、

亙此：五（9（J））＝Σg（ノ）P（ノ＝ノ）
ノく正

此一2

一Σg（ノ）P（ノーノ）十Σg（ノ）戸（ノーノ）
∫≦一1

J＝o

∫：偶数
此一2−2ノ々一2

止一2一ノiΣ←ノX1一ρ）・ρ十Σノ（1一ρ）1■ρ
ゴ≦一1

。。

トO

∫：偶数

ト2＋2／

昌
2

ト2−2j

一Σノ（1一ρ）・ρ十Σ2ノ（1ソ）・ρ
∫＝1

ノ＝o

（1）と同様に、

此oo（※※）の第・項＝ρ（1一ρ）三Σノ（1一ρ）ノー

∫＝1

此
1
＝ρ（1一ρ）ラ（1一（1一ρ））2

比1＝ρ（1一ρ）ヲ＝ア
ρ
止一（1一ρ）ヲ

i

ρ

一39一

・・・・・・…

（※※）

止一2

（・・）の第・項一・11−1）・事／／11、ザ

ト2
ト2，2、、．、）。1−／κ；2・1／／11ρ〕了・㌻2／1≒／デ／1イ1三、／〕

ト2、2、、1．、）ξ1−l／11ρ〕Tρ
止一2（1一ρ）ラーκ（1一ρ）・（κ一2）ρ
正一2（1一ρ）ヲ・ゲ2

ρ
よって、

止
（。。）、・（1一ρ）・・如一・
ρとなる。（1）と同様に、亙た、2と亙丑の差を調べる。

此た
亙止、、リ止、3Φ一ρ）ラ十1・（先・2）ρ一・・（1一ρ）・サ・ρρ

此：2−3（1ソ）ラ
より、一 V十2一五正の値が正となるのは、

比2−3（1一ρ）ラ・0

北
2・3（1一ρ）ヲ
κ＞・（1・…一1・…）1・g、（1一ρ）

一40一

止Gκ12／11ρ丁のときに限られる。万上、2一五此は単調増加であり、また、正の偶数たに対し亙正＝亙止．一であるため、上式を満足する最小の偶数先をゲと定義すると、た：ボおよびκ＝ポ㌧1で亙此は最小となる。したがって、運転手が歩く距離の期待値が最も小さくなり、かつ、たが最小となるのは、位置ボーまで自動車を走らせ、それ以降の駐車可能な最初のコインパーキ
ングに駐車するときである。

よって、

答は

11

（A）

2

17

18

（C）

19

（D）

（C）

（K）

13

（L）

一41一

1

（D）

1

（C）

6

（C）

問題3．
（1）

まず、

〃
r・Σω、x、
仁1が母平均μの不偏推定量となるためには、

昨）一亙／‡刈〃一Σω、亙（x、）

目蜆
一μΣω、

卜1

＝μ
〃

より、Σω、＝1を満たす必要がある。さらに、rの分散は、＝1

作）一1／剛π
一Σωアγ（x、）

三＝1＝σ2Σω戸仁1となる。ところで、乏ω、・1のとき加が最小になるのはω、・…一へ一王のとき
＝］

三＝1

〃

1
であるから、この不偏推定量の分散を最小にするためにはω、＝一を満たせばよい。
n
よって、これらの条件を満たす線形推定量8（最小分散不偏線形推定量）は標本平均

〃

一Σxj
x＝目

であることがわかった。

n
次に、線形推定量∫が有効推定量となるためには、クラーメル・ラオの不等式
7（∫）≧

1

中炉1）1〕
より、右辺は一42一

1中㍗）ザザ7町〕
1

中μT／
σ4

泌トμ）2
σ2
■〃
であり、左辺は7（∫）＝γ（ア）

σ2

i

n

であるので、線形推定量∫は不等式の下限を満たし、有効推定量（最小分散不偏推定量）
であることがわかった。

次に、∫が充足推定量であるかを調べることにした。正規分布の再生性より、∫は平

冊

σ・

Σ4

均μ・分散丁の正規分布に従う．ことから・∫の確率密度関数を・⑫；μ）・1・㌃と
おくと、X1，X2，一，Xの同時確率密度関数は、

茸舳・宮古十判〃

イ古／・榊￥…

（i）である。ここで、ある3について、〃〃

Σ（・、一μ）2一Σ（ポμ十C、一3）2

j＝1

＝一

・雄一〃・・（・一価一小‡包一・1となるので、3に。を代入すると、

一43一

…

（i）

〃

Σ（C

〃

一μ）2＝・（オーμ）2＋Σ（∫、イ）2＝］＝1

であり、これを（i）に代入すると、〃

茸伽）一／古γ・刈剖・榊Σ（C、一C）2
仁1

2σ2＝六・㍗・÷／古ザ・…
固Σ（C、一f）2

炉

一・1；吋・／2÷／了・……2σ。

となり、∫が充足推定量であることがわかった。

最後に、∫が一致推定量であるかを調べるために、チェビシェフの不等式

小一万（∫）≧た禰）≦去κにおいて∫の代わりにアを代入し、・一κ祠とすると、

1一?鼾п^ε）・ψ
ε

2となり、7（ア）一〔より、n

生一剛くε）・1一く〃εとなる。この不等式のnを十分大きくすれば、

鵜ペアー班）・ε）＝1が成立することから、一致推定量であることがわかった。

よって、

答は

6

7

（M）

1

（B）

2

（T）

3

（P）

8

（G）

9

（P）

一44一

（E）
10

4

（G）

（F）

1

5

（D）

（G）
（8）

3

（F）

1

（J）

亘

（H）

16

（A）

7

（ト1）

18

（D）

9

（一）

リ

（2）

プログラムノで求めた推定量を∫バフログラム3で求めた推定量を∫8とすると、題
意より
〃一1

月一…

Σx1

∫ノ＝目

xl＋Σx1

、∫B＝

＝一

n−

n

となる。

H−1

Σ軌）

万（∫、）＝H
〃一1

＝μ

〃一1
万（xl）十Σ五（x1）万（∫、）：＝1＝μ〃であるため、∫λと∫Bは共に不偏性を満たしていることがわかった。

まず、∫ノについて、有効性は、
卜］

Σ側一。。

γ（∫ノ）＝H＝s二＞2二（・一1）2・一1・であるため、有効性は満たさない。次に、充足性について、8ノの確率密度関数を
伽一

Σ4gノ（7ノ，μ）、Cメ＝＝1とおき、（1）の（n）の3にC一を代入すると、

m−1‡㍑・・い1・・いて‡ゲ・小‡｝一（・一）・（サスμ）2＋（CズμX2・Hイズμ）十Σ（C、一Cノ）2＝1となるので、これ．を（1）の（i）に代入すると、

一45一

口舳＝ ̲・㍗・古・／÷ザ（cズμX2・〃
一。ノーμ）十Σ（c、一。ノ）2

xexp−

2σ2

仁1

〃
（cズμX2・腕一。ズμ）十Σ（c，イノ）2・・読1〃）・÷・／2土。／了・…

2σ2…

であるため、充足性は満たさない。最後に、一致性について、

列∫ズ万（∫ノ）くε）・1σ2
（上1＞2
であり、

1聖心バ万（剛くε）一1であるため、一致性を満たす。よって、∫ノは一致性を満たし、有効性、充足性を満たさない推定量である。

次に、∫Bについて、有効性は、〃一1・γ（Xl）・Σγ（Xj）、
グ（∫、）一 1出・ ・ 圭2σ・・〔nmmであるため、有効性は満たさない。次に、充足性について、∫、の確率密度関数を
月一1

11・Σ4
9月（1、，μい、一＝とおき、（・）の（・）の3に1、を代入すると、

m‡・一1ト・㍍一肌一価一・小‡仏一げ
一

n2
2〃
・
、2⑫パμ）2＋、、2（・・一μ）2＋2⑫バμX・。一Cl）十Σ（・となるので、これを（1）の（i）に代入すると、

一46一

＝1

一C。）2

王

〃

π！（1、；μ）・＝I

2πη十22σxexp

妾卦浮・／÷ザn2

m2㌘2⑫・一μ）2・・いい1広一1。）2
2σ2

＝1

〃一］

・舳・浮・／2土。／了子2い）2・・⑫バμい一応一1万）2
xexp

2σ2

＝1

であるため、充足性は満たさない。最後に、一致性について、小、一亙（∫）くε）・1

崇σ・
nε

であり、

1聖心バ五（∫。1くε）一1であるため、一致性を満たす。よって、∫Bも一致性を満たし、有効性、充足性を満たさない推定量である。

よって、盤虹上

一47一