D-braneとGeneralized GeometryとSeiberg-Witten map

Satoshi Watamura
T. Asakawa, H. Muraki, S.W. in preparation,
and also T. Asakawa, S. Sasa, S.W. arXiv: 1204.6964

2013/09/30

Contents• 1. Introduction• 2. Generalized Geometry• 3. D-brane as Dirac structure• 4. Dirac structures and SW map• 5. Discussion

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1. Introduction
１. Introduction• ストリングの見る時空の幾何学
1. B場：open string の有効理論の非可換性
2. Flux, nongeometric flux ： closed string の非可換性,
非結合性
特徴的 T-dualityは？
これを取り込むにはGeneralized Geometryが適当？
alternative: Double Field Theory, Doubled Geometry
1. Generalized Complex Geometry, Calabi-Yauコンパクト化の解
析に有効
2. D-braneの有効理論の特徴づけにも使えそう．
DBI作用，Seiberg-Witten map, H-fluxの効果
Non-geometricの意味を探るトレーニング
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２. Generalized Geometry• Target space
上の接バンドルと余接バンドルを合わせたもの• Generalized vector• 内積•2013/09/30

浅川さんがやったので簡単にとは• 接空間上のベクトル場は Lie bracket で閉じる
接ベクトルの代数： Lie algebra• Anchor map :Lie algebroid• Generalized tangent vectorには2013/09/30

Courant algebroid の対称性
• Diffeomorphism•

Shift of 1-form• 一般のB H-twisted Courant algebroid

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まとめ
Differential geometry

Generalized Geometry

Lie bracket

Dorfman bracket

Lie algebroid

Courant algebroid

symmetry
generator

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Lie derivative

Generalized Lie derivative2. D-brane as Dirac structure
D-brane の幾何学的な特徴づけは Dirac 構造(Dirac structure) である.

Standard description of D-brane:
D-brane についてまとめておくと
D-brane の Fluctuationsは2013/09/30

Dirac structure
Dirac 構造は次のような性質をもつ subbundle L• Isotropic:• Involutive: Lの切断=generalized vector のDorfman 括弧が閉じる

特殊な subbundle in G.G.
• 例～flat Dp-brane2013/09/30

• Dirac 構造：maximally isotropic, involutiveならば
1. Isotropic
ならばDorfman が Lie bracketになる
２．Maximally とはsubbundleの次元が D
３．Involutive ならば
Dorfman括弧でgeneralized vectorが閉じる.
Courant algebroidがLie algebroidになる．
つまりTMの一般化になっている．
2013/09/30(Lie (anti) + anchor+Jacobi)Geometrical image of D-brane
Static gauge:

independent

Lie algebroid は foliation を定める

Foliation の一つのleafをD-braneと見る
スカラー場はDiffeoによる接平面の変形と思えるが Static gauge ではM全体で定義された変形と思っても良い。

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Fluctuation of D-brane in Ge. Ge.
D-brane = sub-bundle

Dirac structure

Fluctuation を含めてDirac structure
Subbundle
そのsection
Fluctuation
Fluctuation
はDiffeo, 一般にはGeneralized Diffeo.
よって対応したDirac構造は2013/09/30

グラフによる表示

Fluctuationを含む
Dirac 構造Dp-braneに相当す
るDirac 構造
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Symmetry of the Dirac structure

Symmetry:
1. Generalized Diffeo which preserve foliation:
2. Generalized Diffoe which preserve leaf:

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Non-linear realization
F-Diff がD-braneの全対称性でfoliationの構造を保つ
D-brane を Leafに置くことによって, 自発的対称性の破れ
F-Diff
L-Diffがおこり 破れた対称性はNG上でnonlinearに実現される
generalized diffeo． を調べることで変換則(broken part)はベクトル場も含めてNGボソンと解釈できる全対称性のもとでの不変性からDBI作用を正しく導くことができる．
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3. Dirac structures と SW map• このようなセットアップで今回はSeibergWitten mapについて考えてみたい．

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Dirac 構造の異なる表現
Dirac 構造のグラフによる表示を見ると、２通りの表現が可能なことが分かる.
以下では簡単のために基準になるDirac構造としてを考える．(D9-brane)
すると2-formが与えられるとがDirac構造になる．ここではBackground でsymplectic とする．すると同じDirac構造が2-vectorでも表現できる．

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Dirac構造の２つの表現をグラフで見ると2013/09/30

Generalized metric structure
Generalized Geometry では、metricもsubbundleとして特徴づけることができ同時にグラフとして見ることもできる

このsubbundleは、generalized tangent vectorの中で正の長さを持つようなvectorの集合

またこのmetric をから見る

先ほどと同様に

よってここではからみたmetric と考えるべきなのでというSeibergたちの関係式
所謂Open-closed relationを得る．
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• Seiberg-Witten map
要請

D-brane上のゲージ場のeffective theory

幾何学的構成classical SW

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Formality map• classical SW map

ここでは Poisson bi-vector,

ただし（Jacobi恒等式）

Poisson bi-vectorがある場合にはそこに異なるタイプの微分代数を定義することができる。
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“Poisson differential algebra” (Gerstenhaber alg.)
Poly-vector上の微分形式 GDA

p-formはp-vector

Differntial 関数の微分を次のように定義する関数の微分は1-formでHamiltonian vector 場 に対応
一般の1-formは1-vectorに対応
p-formの微分は
特に例2013/09/30

• Moser’s Lemma,
Symmplectic manifoldの時，同様にとなるdiffeo.

においてが存在するを満たすflow:が存在する．
Flowは次のりー微分で与えられる．

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• SW mapの構成[Wess et al.][SW]
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• Generalized geometry and Moser’s Lemma
fluctuation も２通りの方法で表せる

正しいSWの関係式

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微小変換の関係式から、MoserのDiffeo.の満たすべき関係式を求めることができる．

この時PQをつなぐGeneralized diffeoがあるでaを定義するとであることが分かる．
これはMoserの式そのものである．
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まとめ
Generalized Geometryからはが自然なD-braneのFluctuation

しかし,ままである．と書けることが分かるので基本的にU(1)のこれはある意味当然 異なるDirac 構造からbraneのfluctuationを記述しただけなので，U(1)ゲージ対称性が現れた．
一方，このゲージ理論はpoisson algebroid 上のテンソルとして書かれている．つまり, R-fluxと同様のpoisson的2-flux，2vectorとしてゲージ理論を記述している．
一方
2013/09/30の意味は不明

Dirac構造からの変形としてを構成している．
今の理解ではT*Mは、D-instantonに対応している．
そこで，をD-instantonの言葉で見直すことができれば本当のSW-mapとの関係が見えるのではと思われる．
このためにはmulti-D-braneの構成が必要になる．
一方これができれば，multi-D-braneのDBI作用が書けることになる．
H-twist を考えることは可能．
R-twistはどうか？

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