平成20年12月24日
数学…・・1

数学（問題）〔問題1から問題3を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いなさい。〕

問題1．次の（1）〜（ユ2）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよ
レ、。

（60点）

（1）Xは2枚の硬貨を、γは3枚の硬貨を同時に1回投げ、表の出た枚数の多い方を勝ちとする。
また、表が同じ枚数出たときは引き分けとしどちらかが勝つまで1回の硬貨投げを繰り返すものと1する。すべての硬貨は表裏がそれぞれ＿の確率で独立に出現するものとするとき、1回目の硬貨投
2
げでxが勝つ確率は［二Φ二］であり、最終的にxが勝つ確率は［二亘二］である。
（A）＿

1

1

2

3

1

（B）＿

（C）＿

（D）＿

（E）＿

3
（F）一

5
（G）一

（H）一

（1）一

11

16

11

8

11811164
4

3

5

（J）一

11

（2）6個の製品のうち2個の不良品が含まれていることがわかっている。製品を1個ずつ抜き取って戻さずに検査するとき、最後の不良品を見つけるまでの検査個数を表す確率変数をxとする。このとき、xの平均は［二亜二］であり、標準偏差は［二夏ニコである。

石

（A）一

而

（B）

9
（1＝

）3

、厄

（C）

9
（G）

4

（D）一

3
．

14

（H）一

14

（1…）

何一

9

3

（1）5

（J）

6

3

（3）確率変数X，γの結合確率密度関数をアμ（x，ツ）昌e一（工十ツ）（x＞0，y＞O）とする。Z＝X＋γとするとき、Z2の平均は［二Φ二］であり、Zの積率母関数は［二亘＝］（θく1）である。
（A）1

（F）

（B）2

1

1一θ

（G）

（C）4

1

（D）6

2

（・）

（E）8

2

i、1θ）（1）（lll）

1＿θ2

一1一

（J）該当なし

平成20年12月24日
数学…・・2（4）確率変数X1（甘ｰX1

川ま互いに独立で・すべて平均3のポアソン分布に従うとき・γ一の確率分布はP（γ＝γ）＝［二匹ニコ（γ＝O，1，2，．）である。また、中心極限定理より、nが十分

大きければ

（A）

ゼ

3並

ｰ町一・）＝口］である。

バ（。）・｝（3・）ツy！
1（。）・㍉3ツi。）・イ・3｝

y！

y！

1

@（。）・｛（3・）ツ

γ！

1

γ！

2

（F）一

（G）一

（H）一

（1）一

4

3

2

3

（J）1

（5）点Aを基点とした同一の半直線上にある2点B，Cを考える。線分AB，ACの長さを、【0，11の範囲から無作為かつ独立に設定するものとしたとき、線分BCを一辺とする正方形の面積を表す確

111111111，l11111111（・）l11・l11／！lコ11／。
1（A）1−x

（B）

（・）㍍
2

（。）2，

1

（C）一一1（D）x＋1万2↓（・）2．㍍．

（G）2＿2x2（6）ある政策の支持率を予想するために、母集団から男性1，ooO人、女性800人をそれぞれ無作為に抽出して調査を行ったところ男性は400人、女性は280人が支持すると回答した。母集団全体の男丈比は3：2であるとして、母集団全体での支持率を近似法を用いて区間推定するとき、信頼係数を95％とした場合の信頼区間の下限に最も近いものは［二亜二］であり、上限に最も近いものは［二夏二］である。なお、男性の支持率と女性の支持率は独立であるとする。

（A）0．3275（B）O．3375（C）0．3475（D）0．3575（E）

0．3675（F）O．3925（G）0．4025

（H）

（一）

（J）

0．4325

O，4125一2一0．4225

平成20年12月24日
数学…・・3（7）ある会社の従来型のコンデンサーの寿命の平均は、2，500時間であるとされていた。しかし、この会社は、新型のコンデンサーの寿命の平均は従来型より1o％アップして2，750時間であると主張しているため、20個の標本を用いてその主張を検定したい。コンデンサーの寿命は正規分布に従うものとし、従来型、新型共に寿命の標準偏差は300時間であるとするとき、第1種の誤りの起こる確率を5％とした場合における検出力（第2種の誤りが起こらない確率）に最も近いものは［二二コである。

（A）0．0091（B）

0．0188（C）0．0384（D）

O．0505（E）（ド）

O．9616（G）0．9812（H）

O．9909O．9495（8）確率密度関数が叶：1；∵1刈肌峨1）で与えられる分布を持つ母集団からの大きさ3の標本によるr番目の順序統計量X（、）（7＝1，2，3）に対し、nは自然数とすると、珂x（、）

4グ

3グ

（A）

6グ十1

（F）

（・・1）（・・3）

2グ

（1）

（〃十1）（〃十2）（D）（・斗2）（・斗3）（〃十1）（〃十2）

3グ

（G）

（・・2）（・・3）

6グー1

（J）

3グ十1

（C）
（・十！）（・十3）

4グ十I

卜［＝亘二］であ乱

6グ（8）（n＋1）（〃十2）（E）ト［二亟ニコであり、亙［（x（、）一x（、））（m＋2）（n＋3）

一3一

4グ

（1−1）

（・今1）（叶3）（・・2）2

平成20年12月24日
数学・…・4（9）都市Aと都市Bの1日の平均気温をある一週間にわたって測定一 ｵたところ下表のデータを得た。

このデータから、都市Bの平均気温y（℃）について、説明変数を都市Aの平均気温x（℃）とした回帰直線を最小二乗法により求めると、y3［二亜二］糾［二夏ニコであり、γをこの回帰直線によって推定するときの誤差分散の推定値は［二亘ニコである。

1日目

2日目

3日目

4日目

5日目

6日目

7日目

合計

x

19

17

20

24

25

22

20

147

y

16

16

19

2I

23

21

17

133

x
2
y

361

289

400

576

625

484

400

3，135

256

256

361

441

529

441

289

2，573

〃．

304

272

380

504

575

462

340

2，837

2

25
（A）一一
23

5
（B）一一
6

11

1
（C）一一
4

22

17

（F）一
12

（G）一
18

17
（D）一
23

17
（E）一

23

17
（J）一

（H）一

（1）一

23

21

21

15

（10）2次の自己回帰モデル（ノ沢（2）モデル）X＝1＋以．1＋O．2巧．2＋ε、が定常性の条件を満たすとき、oの値のとりうる範囲は［二Φニコ＜o＜［二重二コである。

（A）

一1．0

（B）

一0．8

（F）

O

（G）

O．2

（C）

一〇．6

（H）

0．4

（D）

一0．4

（E）

一0．2

O．6

（J）

0．8

（1）

（11）確率過程｛X。ト≧0を標準ブラウン運動とする。
標準ブラウン運動の定義より亙（x、）昌［二至Σニコであり、γ（x、）＝［二重二］である。
また、c＞∫とすると、亙（x，x、）＝［二重Σニコである。

（A）0

（B）1

（C）∫

（D）C

（E）∫2

（F）f2

（G）C一∫（H）C＋∫

（1）応

（J）后

一4一

平成20年12月24日
数学・・…5
1（12）平均＿（ト1，2，3）の指数分布の確率密度関数＆（x）の重み付き平均として表される確率密度関数
j

1

1

1

6

3

2

∫。（x）≒8、（x）十一8。（x）十一8。（λ）（x＞0）

を持つ確率変数Xを、以下の1〜3の手順でシミュレートする。
L（0，1）区間の一様分布に従う確率変数をσとし、一様乱数によりσの実現値〃1、〃。を生成する。

2．1で得られた実現値〃1により、合成法を用いてXが従う分布を決定する。なお、その際には、＆（x）の重みが小さいものから順に、〃1の範囲を定めるものとする。

3．1で得られた実現値〃2により、逆関数法を用いてXの実現値を決定する。
いま、一様乱数によりσの実現値を生成したところ、〃1＝0．8、〃2；1＿ゼ2を得た。

このとき、xの実現値は［二二］である。

（A）

1

一

（B）

3
（E）

4

一

3

1

一

（C）

2
（F）

2一

（D）

1

（H）

一

3

3

一

（G）

2

2

5
2

一5一

平成20年12月24日
数学…・・6問題2．ある経済シナリオジェネレータを用いて金利シナリオの生成を行う。金利シナリオは全部で〃種あり、1回の試行につき確率ρj（ρ1＋＿十ρ＝1）で1種の金利シナリオj（j＝1，…，〃）が選ばれるものとする。ここで、独立なr回の試行において金利シナリオfが選ばれる回数を表す確率変数をXとする。このとき、次の（1）〜（3）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢
を複数回選択してもよレ）。

（20点）（1）金利シナリオが2種（〃＝2）のケースを考える。

X1は［互コ分布に従う確率変数である。また、。一・、ρ、一王のとき、X1目・となる確率は2［亙］である。

（2）金利シナリオが3種（〃歴3）のケー一スを考える。
X，3た、（κ、＝O，1，・，7）という条件のもと・X、は平均が［二重二コ・分散が［二重二］である［二夏ニコ分布に従う。ただし、③、④については、ρ、を用いないものとする。

（3）金利シナリオがn種（n≧2）のケースを考える。
確率ベクトル（x1，，x、）の積率母関数φ（θ1，，θ

）は［二璽ニコであり、これよりx，とx、の共分散は［二五二コ（1≠J）である。

圧①、⑤の選択脚（A）二項（B）ガンマ（C）正規（D）負の二項

（E）一様

（F）指数

（G）幾何

（H）超幾何

1

1
（B）一

3

16

1
（D）一

8

（C）一

16

4

5

3
（F）一

7

16

8

1
（H）一

16

2

圧②の選択肢1

（A）一

（E）一

（G）一

一6一

平成20年12月24日
数学・・…7

1③、④の選択脚（C）ψ2（1一ρ1一ρ2）

（A）Ψ。

（B）

rρ2（1一ρ2）（E）（・一κ1）（1一ρ。）（F）（r一た1）ρ、（1一ρ2）（D）（・一κ1）ρ。

（トた、）ρ。

（H）（G）（トた1）ρ11一ρ。

1一ρ、（・一κ1）ρ、（1一ρ1一ρ。）（トた1）ρ。（1一ρ、一ρ。）

（J）

（1）

（1一ρ。）2（1一ρ1）2

匹⑥、⑦の選択脚
r

（・）

^書刈

（E）グ（・一1）〃ゴ

1（1）一一mρ三ρj
2

^州

^喜刈

（・）

（G）一ψ、ρ∫（F）・（・一1）ρ、ρ∫（J）イ（・一1）ρ、ρ∫

一7一

^州

〃

『

π

（・）

（・）

（H）一ψ、巧平成20年12月24日
数学・…・8問題3．ある母集団と標本に関する適合度の検定（κ2一検定）について考える。この母集団からの標本
はた種の特性亙1，＿，万化の中のいずれか1つによって特徴づけられるものとし、母集団はこれらの特性をそれぞれ確率ρ1，＿，ρ圧（ρ1＋＿十ρ此＝1）の割合で含むものとする。このとき、次の（1）、（2）の谷間について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。
（20点）（1）κ2一検定の方式について考える。

この母集団から大きさ〃の標本を抽出したとき、特性亙、，…，亙此であったものの個数がそれぞれ
m、，…，n止（n1＋…十〃圧＝n）であったとする。このとき、母数（ρ、，…，ρ此）について

帰無仮説Ho：ハ＝ρjo（j＝1，…，た）を有意水準εとして検定するには、〃ρ三〇≧5（ト1，＿，た）なる条件のもとで、

1［互］
ノ＝

ｰ［〔〉κ！（ε）舳仮説へを［〔すればよへ

ここで・ψ＝［二璽二］であり、κφ2（ε）は、自由度ψのκ2分布の上側確率がεとなる値を表すものとする。また、ρjo（ゴ＝1，＿，た）については、推定値を用いずに決まるものとする。

以上の検定方式は、ノの分布が近似的にκ2分布に従うことを利用しているが、この関係は帰無…仮説HOの検定において、尤度比検定を用いることにより導くことができる。
まず、ρ、の最尤推定値を戸、とおけば、2、＝［二重二］であり、帰無仮説〃。が真のとき尤度比をλとすると、＿21ogλ＝［二亘ニコである。ここで、＿21ogλの対数部分を級数展開すると、〃が十分大きいとき、一21ogλはノに近似できる。

一方、nが十分大きいとき、＿21ogλは近似的にκ2分布に従うことが知られていることから、ノは近似的にκ2分布に従うことが示される。

圧①〜④の選択脚（A）κ＿1（B）κ

（C）2κ＿1（D）〃一1（E）〃（F）2〃＿1（G）mjハ。

（H）伽（1）・ド・ρm（J）・一・＾（M）（・、一ψ三。）2（N）（〃一〃、ρ三。）2（K）（・、ρ、。）2

（O）採択

一8一

（L）（ψミ。）2（P）棄却平成20年12月24日
数学…・・9⑥、⑥の選択脚
〃、一1

〃一1
（・

此

此

（・）・ ｰ・

ｵ1・・、云。

且（・、一ψ、。）2（1）Σ〃1109
1−1

〃
（C）ユ
〃

（B） ηj
〃一1

（A）

此

nj

（D）

〃十1

（E）

〃十1

η十1

此

1・・∴

（・）・

ｰ仏1・・巧許（η、一η三。）2（・）2Σ〃11・g

ψ三〇

j−1

P

O

（2）κ2一検定の適用例について考え乱（ノは（1）で定義されたものとする）

ある保険会社における1日の支払請求件数を100日にわたって集計したところ、表のような結果を得た。

表

1日の支払請求件数
日数

o件

13日

1件

22日

2件

3件

4件

5件

35日

15日

6日

6日

6件

2日

7件

合言十日数

1日

100日

このとき、1日の支払請求件数が従う分布の母平均μの推定値として標本平均灰＝［二Φ二］を用いて、帰無仮説Ho：1日の支払請求件数が平均値厚のポアソン分布に従っているを有意水準5％として検定する。
（1）における条件nρjo≧5を満たすために特性の個数をプールする（特性の種類数を調整する）

必要があることおよび分布の母平均として推定値を用いることに留意すると、仮説HOを検定するために用いるκ2分布の自由度ψは［二亙二］である。
いま、φ＝［二二重二］について、κφ2（005）の値に最も近いものは［二璽＝］であり、上表により算出したノの値に最も近いものは［二⑩二］であるから、仮説H。は［二亜二］される。
なお、⑩における計算の際には、必要であれば、付表V．rポアソン確率の値」に記載された数値を用いなさい。

一g一

平成20年12月24日
数学・…・10
1⑦の選択脚（B）2．0（C）2，1（D）2．2

（B）5

（C）6

（D）7

（A）1．6354（B）5．6342（C）6．7224（D）8．3328（E）

9．4877（F）

11．0705（G）11．5531（H）12．5916（■）

13．2140（J）

14．0671

（K）採択

（L）棄却

（A）1．9［⑧の選択脚（A）4⑲〜⑪の選択脚一10一

平成20年12月24胃
数学……l1（付表）
I．標準正規分布表

作・O．25）・α4013、

上側ε点ω（ε）から確率εを求める表
‡呈5

‡＝6

‡土7

竈＝8

‡＝9

O．4840O．4801014761

O．4721

0．4681．O．4641O．4443O．44040．4364

O．4325

O．4286

O．4247

O．4090O．4052

O．40130．3974

O，3936

O．38970．38590．3707

O．3669O．3632

O．35940135570．35200．3483

O．3372

O．3336

O．3300O．3264

O．32280．3192

O．3156

一〇．3121O．3050O．30150．2981

O．2946

O．29120．28770．2843

O．2810O，27760．2709O．2676

O．2643

O．26110．2578O．2546

O．2514

O．2483

O．2451

0．2420O，2389O，2358O．23270．2296

O．2266

O．22360．2206

O．2177

O，21480．8事

O．2119O．2090O，2061

O．20330．2005

O．1977

O．1949

O．1922

O．1894

O．1867

0．9

O．18410．18140．1788O．1762

O．17360．1711、O．1685

O．1660O．16350．1611〃（ε）→8

事嵩O

‡＝1

‡＝2

‡竺3

O．O‡

O．50000．4960O．4920O．48800．1ヰ

O，4602

O．4562

O．4522

O．44830．2

O．42070．4168

O．4129一〇．3‡

O，3821

O．37830．37450．4

O．34460．34090，5‡O，3085

0．6‡

O．2743

0．7‡

‡＝4

1．Oヰ

O，1587

O．1562

O．1539O．1515

O，1492

O．1469O．1446

O．1423O．1401

O．13791．1

O．13570．一3350．13140．12920．12710．1251

O．1230O．12100．1190O．11701．2‡

0．1151

O．1131

O．1112

O．10930．10750．1056

O．1038O．1020O，lO03

O．0985

1．3‡

O．09680．0951

0．0934

O．0918O．0901

O．0885

O．0869O．0853

O．0838O，08231．4‡010808

O．07930．0778O．0764

O．0749O．07350．0721

O．0708

O．0694

O．0681

O．0618O．0606

0．0594

O．0582

O．0571

O，05590．0655

O．0643

O．0630O，0548

O．05370．0526

O．0516

O．0505

O．0495

O．0485

O．04750．0465

O．04550．0446

O．04360．0427

O，0418O．04090．0401

O，0392

O．0384

O．0375

O．0367

1．5‡

O．0668

1．6‡
1．7‡
1，8‡

O．0359O．0351

O，0344010336

O．0329O．03220．03140．03070．03010．0294

1．9‡

O．0287

O．0281

O．0274

O．0268O．0262

O．0256

O．0250O．0244

O．0239O．0233

2．O‡

O．0228O．02220．0217

O．02120．0207O．0202010197

O．01920．0188O．01832．1‡

0．0179

O．0174

O．01700．01660．0162

O．0158O，0154

O．0150O．0146

O．01432．2ホ

O．0139

O．0136

O．0132

O．01290．0125

O．0122

O．0119

O．01160．0113

O．01102．3‡

O．0107

O．O104O．01020．0099O．0096

O．0094

O．0091

O．0089O，0087

O．00842．4‡

O．0082

O．0080O．0078O．0075

O．0073

O．0071

O．0069O．00680．00660．00642．5‡

0．0062

O．0060O，0059O．0057O．0055

O，0054O．0052O．00510．0049O．00482，6‡0．00470．0045

O．0044

O．0043O．O04I

O．00400．0039O．0038O．0037

O．0036

2．7さO，0035

O．0034

O．0033

O．0032

O．00310．0030O．0029O．0028O．0027

O．0026

O．00200．00−9

0．OO14O，00142．8‡

O．0026

O．0025

O．0024

O．0023

O．0023

O．0022

O．0021

O．0021

2．9‡

O．0019O．OO18O．OO18O．0017O．00160．0016

0．OO15

O．OO15

一11一

平成20年12月24日
数学……12

P（・・1．9600）＝α025

確率εから上側ε点m（ε）を求める表
霊O

ホ：1

‡芝2

‡＝3

‡ヨ4

‡＝5

‡＝・6

‡＝7

‡＝8

‡：9

0．OO‡

oo

3．09022．87822．74782．65212．57582．51212．45732．40892．36560，0I‡

2．32632．29042．25712．22622．19732．17012．14442．12012．09692．07490．02‡

2．05372．0335

2，OI411．9954

三．97741．96001．9431

I．92681．91101．89570．03ま1．88081．86631．8522

1．8384

I．82501．81−91．7991

1．78661．7744

1．76240．04‡

1．75071．7392

1．72791．71691．70601．6954

I，68491．67471．66461．65460．05‡

1．64491．6352

1．62581．6164

1．6072

1．5982

1．58931．5805

1．57181．56320．06ホ

1．55481．5464

1．5382

1，5301

1．52201，51411．5063

1．4985一．49091．48330，07‡

1．47581．4684

1．46111．45381．44661．43951．43251．4255

1．4187

一．41180，08‡

1．4051

1．3984

1．39171．3852

1．37871．3722

一．36581．35951．3532

1．34690．09ヰ

1．3408一．3346

1．32851．32251．31651．31061．3047

I．29881．29301．28730．10‡

1．28161．2759i．2702

1．2646

1．2591

1．2536

1．2481

I．2426

1．23721．23190．11‡

1．22651．2212

1．21601．21071．20551．2004

1．1952

1．19011．18501．18000，12‡1．17501．1700一．16501．1601

1．15521．15031．14551．14071．13591．一3110．13‡

1．12641．1217

1．11701．1123

1．10771．1031

1．0985i．09391．08931．08480，14‡1．08031．07581．0714

1．06691．0625

1．0581

1．05371．04941．04501．04070．15‡

1．0364

一．0322

1．02791．02371．01941．0152

1．O1101．00691．0027

O，9986

0．16‡

O．9945

O．9904

O，9863

O．9822

O，9782

O．9741

O．97010．9661

0．9621

O，9581

0．17‡

O．9542O．95020．9463

O．9424

O．9385

O，9346

O．9307

O．9269O．9230O．91920．18‡

O．9154O19i16

O．90780．9040O．9002

O．8965

O．8927

O．88900．8853

O．88I6O，19‡

0．8779O．8742O．8705

O．8669O．86330．85960．8560O．8524

O．8488O．8452

0．20幸

O．8416

O．83810．8345

O．83100．82740．82390．82040．8169O．81340．80990．2Iヰ

O．8064

O．8030O．79950．7961

O．79260178920．7858

O．7824

O．7790O．77560．22‡

0．7722

O．7688O．76550．76210．7588O．75540．7521

O．74880．7454

O．7421

0．23‡

O．7388O．7356

O．7323

O．7290O．7257

O．72250二7192

O．7160O．7128

O．70950．24‡

O，7063

O，7031

O．6999O，6967

O．69350．6903

O．68710．6840O．6808

O．6776

0．25‡

O．6745

O．6713

O．66820．6651

0．66200．6588O．6557

O．6526

O．6495

O．6464

C．26‡

O．6433O．64030．6372

O．6341

O．6311

O．6280O，6250O．6219O．6189O．61580．27‡

0．6128O．6098016068

O．60380．6008

O，5978O．5948015918

O．5888

O．58580．28‡

O．5828

O．5799O．57690．5740O．5710O．5681

O．5651

O．5622

O．5592

一〇．5563

0．29‡

O．5534

O．5505

O．54760．5446

0．5417

O．53880．5359

O，53300．5302

O．5273

ε→

（ε）

0．30‡

O．5244

O．52150．51870．51580．5129O．5101

O．5072015044

O．5015

O．49870．31‡

O．49590．4930O．4902

0．4874

O．48450．4817

O．4789O，47610．4733O．47050，32‡

0．4677

O．46490．4621

O．4593

O．4565

O．4538O．45IO

O．44820．側54

0．44270．33‡

0．43990．43720．4344

O．4316

O．4289O．4261

O．4234

O．4207

O．41790．4152

0，34‡

O．4125

O，40970．4070O．40430．4016

0．3989O．3961

0．3934

O．3907

O．38800．35‡

0．38530．3826

O．3799O．3772

O．3745

O．3719O．3692

O．3665

O．3638

O．3611

0．36‡

O．35850．3558

O．3531

O，3505

O．3478

O．3451

O．3425

O．33980．3372

O．33450，37‡

O．33−9O，3292

O，3266

O．3239O．3213

O．3186

O．3160O．3−34

O．31070．3081

0．38申

O．3055

O．3029O．3002

O．2976

O．2950O．29240．2898O．2871

O．2845

O．28190．39申

O．2793

O．2767

O．2741

O．27150．2689O．26630．2637

O．26110．2585

O，25590．40‡

0．2533

O．25080．24820．24560．2430O．2404

O．2378O．2353q．2327O．2301

0．41‡

O．22750．22500．2224

O．2198O．2173

O．21470．2121O．2096

O．2070O．20450．42‡012019

O．1993011968

O．1942

O，1917

O．18910．1866

O．18400．1815

O．17890．43‡

0．1764〇二1738011713

O．1687

O．1662

O．16370．1611

O．1586

0．1560O．15350、一3830．1307

O．12820，44案

O．1510O．1484

O．14590．14340．1408O．1358O．13320，45‡

0．12570．1231O．12060．1181

O．1156

0．1130O，1105

O．1080O．10550110300．46ホ

0．lO04

O．0979O．0954

O．09290．0904

O．0878O，0853

O．0828O．0803

O，07780．47‡

O．0753

O．0728〇一0702

O．0677

O，0652

O，06270．0602

O．0577

O．0552

O．05270，48‡

O．05020．0476

O．0451

O．0426

O．0401

O．0376

O．0351

O．0326

O．0301

O．0276

O．0201

O．0175

O．0150O，01250．01000．0075

O．0050O．00250，49まO．0251

0．0226一12一

平成20年12月24日
数学……13n。自由度ψのX2分布の上側ε点：

肩（ε）

￠＼ε

0．995

O．990

O．975

O．950

O．900

O．100

O．050

O．025

OlO1O

1

0．0000

0．OO02O．0010O．0039

O．01582．70553．84155．02396．63497．879420．01000．02010．0506

O．1026

O．21074．60525．99157．37789．2103

IO．5966

3

0．0717

O．1148O．2158

O．3518

O．58446．25147．81479．3484l．344912．838240．20700．2971

O．4844O．71071．0636

7．77949．4877ll．143313．2767

14．8603

5

O．4117

O．5543

O，8312

1．14551．61039．236411．0705

12．8325

15．0863

16．7496

6

O，6757

0，8721

1．2373

1．63542．204110．6446

12．5916

14．4494

16．811918．5476

7

O．9893

1．23901．68992．16732．833112．01701410671

16．012818．4753

20．2777

l

O．005

8

一，3444

三．64652．17972．73263．489513．3616

15．5073

17．5345

20．090221．955091．73492．08792．70043．3251

4．168214．6837

16．9190

19．0228

21．6660

23．589410

2．15592．5582

3．24703．94034．865215．9872

18．3070

20．4832

23．209325．1882112．6032

3．05353．81574．57485．577817．2750

19．6751

21．9200

24．7250

26．7568一2

3．07383．57064．40385．22606．303818．549321．0261

23．3367

26．2170

28．2995

13

3．56504．10695，00885．89197．041519．811922．3620

24．7356

27．6882

29．8195

14

4．07474．66045．62876．5706

7．78952I．0641

23．6848

26．1189

29．141231．3193154．60095．22936．26217．26098．546822．3071

24．9958

27．4884

30．5779

32．801316

5．14225．8122

6．90777．96169．312223．5418

26．2962

28．845431．999934．2672175．6972

6．40787．56428．6718lO．0852

24．7690

27．587130．191033．408735．718518

6．26487．01498．23079．3905lO．8649

25．989428．869331．5264341805337．1565196．84407．63278．9065lO．1170

11．650927．2036

30．1435

32．8523

36．190938．582320

7．43388．26049．590810．850812．4426

28．4120

31．4104

34．169637．5662

39．99682一8，033」ア

8．8972

1O．2829ll．5913

13．2396

29，6151

32．6706

35．4789

38．932241．401122

8．64279．5425

1O．9823

12．3380

14．0415

30．8133

33．924436．7807

4g−289442．795723

9．260410．1957

11．6886

13．0905

14．8480

32．0069

35．1725

38．0756

41．6384

44．181324

9．8862

lO．856412．401213．8484

15．6587

33．1962

36．4150

39．364142．9798

45．5585

25

lO．5197

I1．5240

13．1197

14．611416．473434．381637．652540．646544．314146．927926

11．160212．1981

13．8439

15．3792

17．291935．5632

38．8851

41．9232451641748．289927

11．8076

12．8785

14．5734

16．151418．113936．7412

40．I

I33

43．1945461962949．644928

12．4613

13．5647

15．3079

16．9279

18．9392

37．9159

41．337144．4608

4＆．2782

50．9934

29

13，121i

14．2565

16．0471

17．7084

19．767739．0875

42．5570

45．722349．587952．335630

13．7867

14．9535

16．7908

18．4927

20．5992

40．2560

43．7730

46．9792

50．892253．672031

14．4578

15．6555

17．5387

19．2806

21．4336

41．421744．9853

48．2319

52．191455．002732

15．1340

16．362218．2908

20．071922．270642−584746．1943

49．480453．4858

56．3281

33

I5．8153

I7．0735

Ig10467

20．8665

23．110243．7452

47．399950．725154．7755

57．6484

34

I6．501317．7891

19．8063

21．664323．952344．9032

48．602451．9660

56．060958．9639
60．274835

17．191818．5089

20．569422．4650

24．7967

46．0588

49．8018

53．2033

57二342136

17．8867

一9．2327

21．3359

23．2686

25．6433

47．212250．998554．4373

58．6192

61．581237

18．5858

19．960222．1056

24．0749

26．492148．3634

52．192355．6680

59．892562．883338

I9．2湖

20．691422．8785

24．8839

27．3430

49．5126

53．3835．56．8955

61．162164．181439

工9．9959

2一．4262

23．6543

25．695428．1958

50．6598

54．572258．120162．428165．4756
66．7660
79．490040

20．7065

22．1643

24．4330

26．509329．050551．8051551758559．3417631690750

27．990729．7067

32．3574

34．7643

37．6886

63．167167．5048

71．420276．153960

35．5345

37．4849

40，48−7

43．1880

46．4589

74．3970

79．081983．2977

88．3794

91．951770

43．2752

45．441748．7576

51．739355．328985．5270

90．53−2

95．0232

100．4252

104．2149

106．6286

112．3288

116．32H

80

51．171953．5401

57．1532

60．391564．2778

96．5782

101．8795

90

59．1963

61．754165．6466

69．1260

73．2911107．5650

113．1453

I18．1359

124，1163

128．2989

100

67．3276

70．0649

74．221977．9295

82．3581118．4980

124．3421

129．5612

135．8067

140．1695

一13一

平成20年12月24日
数学・・・…14m．分母の自由度n、分子の自由度mのF分布の上側ε点：珂㎜（ε）

ε＝0．100

n＼m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

8．526

9．000

9．162

9．243

9．293

9．326

9．349

9．367

9．381

9．392

3

5．538

5，462

5．391

5．343

5．309

5．285

5．266

5．252

5．240

5．230

4

4．545

4−325

4．191

4．一07

4．051

4．OlO

3．979

3．955

3．936

3．920

5

4．060

3．780

3．619

3．520

3．453

3．405

3．368

3．339

3．316

3．297

6

3．776

3，463

3．289

3．181

3．l08

3．055

3．014

2，983

21958

2．937

7

3．589

3．257

3．074

2．961

2．883

2．827

2．785

2．752

2．725

2，703

8

3．458

3．113

2．924

2．806

2．726

2，668

2．624

2．589

2．561

2．538

9

3．360

3．006

2．8I3

2．693

2，6H

2．551

2．505

2．469

2．440

2．4I6

IO

3．285

2．924

2．728

2．605

2．522

2．461

2．414

2．377

2，347

2．323

ε＝O．050〃＼m
218．5128

2

3

4

5

6

7

8

9

1O

19．OOOO

19．1643

I9．2468

19．2964

19．3295

19．3532

19．371019．3848

19．39598．7855一3

一〇、1280

9．5521

9．27669111729．01358．94068．88678．84528．8123

4

7．70866．94436．59146．38826．2561

6．1631

6．0942

6．04105．99885．964456．60795．78615．40955．19225105034．95034．87594．81834．77254．7351

65．98745．14334．75714153374．38744．28394．2067

4．14684．09904．06004．34684．12033．97153．86603．78703．72573．67673．6365

3．83793．68753．58063．50053．4381

3．3881

3．34723．48173．37383．29273．2296

3．17893．13733．13553．07173．02042．9782789105．59145．3177
5．11744．9646ε＝O．0251〃＼m
2
38．50634．73744．45904．25654．0662
3．8625

3．63314．10283．70833．47803．32583．2172

2

3

4

5

6

7

8

9

10

39．OO00

39．1655

39．2484

39．2982

39．3315

39．3552

39．3730

39．3869

39．3980317．4434

一6．0441

15．4392

一5．一01014．8848

14．7347

14．6244

14．539914．4731

14．41894

12．2179

lO．64919．97929．60459．36459．19739．07418．97968．90478．84395

lO．0070

8．4336

7．7636

7．38797．1464

6．9777

6，853一6．7572

6．6811

6．6192

68．8131

7．25996．59886．2272

5．98765．81985．69555．59965．52345．461378．07276．54155．88985152265．2852

5，11864．99494．89934．82324．7611■87．57096．05955．41605．05264．81734．65174．52864．43334．35724．295197．20935．71475．07814．71814．48444．3197

4．一9704．10204．02603．9639一

1O

6．93675．45644．82564．4683

4，236一4．0721

3．94983．85493．7790一

3．7168

2

3

4一

5

6

7

8

9

10
99．3992

ε＝0．OlO
1n＼吻2
98．5025

99．OOOO

99．1662

99．249499．299399．3326

99．3564

99．374299．38813

34．H6230．8165

29．4567

28．709928．2371

27．910727．671727．4892

27．3452

27．22874

21．197718．0000

16．694415．9770

15．5219

15．2069

14．9758

I4．7989

14．6591

14．54595

16．2582

13．2739

12．0600

I

l．3919

1O．9670

lO．6723

10．4555

10．289310．1578

10．05106

13．7450

10．92489．77959．14838．74598．46618．26008．1OI77．97617．8741

7

12．24649．5466

8．45−37．84667．4604

7．1914

6．99286．84006．71886．6201

8

11．25868．6491

7．59107．0061

6．63186．3707

6．17766．02895．91065．81439

1O．56148．0215

6．99196．4221

6．05695．80185．61295．46715．3511…

10

1O．04437．55946．5523

5．99435．63635．38585．2001

5．05674．9424

2

3

4

5

6

7

8

9

lO

199．3330

199．3568

I99．3746

199．3885

199．3996

44．838544．434144．1256

43．8824

43．6858
・20．9667

ε＝0．005I〃＼m
2
198．5013
3

55．5520

199．OO00

199．1664

199．2497

199．2996

49．799347．4672

46．194645．39165．25654．84914

3一．3328

26．2843

24．2591

23．1545

22．4564

21．9746

2i．621721．3520

21．13915221784818．3138

16．5298

15．5561

14．9396

14．5133

14．2004

13．961013．7716

13．6182

12．0275

11．4637

1一．0730

10．7859

lO．5658

lO．3915

1O．2500
8．3803

6

18．6350

14．5441

12．9166

7

16．2356

12．4040

lO．8824

10．0505

9．5221

9．15538．88548．67818．5138・

8

I4．6882

ll．0424

9．59658180518．30187．95207．6941

7．49597．33867．2106

9

13．6136

1O．1067

8，7171

7．95597147127．13396．88496．69336．5411

6．4172

1012．82659．42708．08077．34286．87246．5446

6．3025

6．11595．96765．8467

一14一

平成20年12月24目
数学……15

W．自由度ψの7分布の上側ε点：知（ε）
ψ＼ε

O．l00

1

2

O．050

O．025

3．0777

6．313812．7062

1．88562．92004．30273

1二63772．3534

3．1824

4

1．S3322．13182．77645

1．47592，01502．57066

1．4398

I，94322．44697

1．41491．89462．36468

1．39681．85952．306091．38301．83312．262210

1．3722

1．81252．228111

1．3634

1．79592二201012

1．3562

一1．7823

2．1788131．350211770914

1．34501．76132．144815

I．3406

一．7531

2．一31416

一．3368I．74592．11991713334

一、7396

2．109818

1．3304

1，734−12．100919

1．32771．72912．093020

L3253

1．72472．086021

1．32321．72072．079622

1．3212

1．71712．073923

1．3195

I．71392．068724

1．31781．71092．063925

1．31631．70812．05952．1604一15一

平成20年玉2月24日
数学…・・16

V．ポアソン確率の値

．λλ止

e

・一
κ！

ポアソン分布の確率を平均値λと分布の取りうる値kから求める表
0

1

2

3

4

5

6

7

1．O

0．3679O．3679O．1839O．06130．0153

O．0031

0．OO050．00011，10．3329O，3662O．2014

O．0738O．02030．0045

O．OO080．00011．2

0．3012

O．3614

O．2169O．0867

O．0260O．0062

O，OO12

O．OO02

1．3

O．2725

O．3543O．2303

O．0998O．0324

O．0084O．00−8O．00031．4

0．2466

O，3452

O．2417

O．11280．0395O．OI11

d．0026

O．OO05

1．5

O．22310−3347

O．25100．1255

O，0471

O．O14I

O．0035

O．OO08一．60．2019O．32300．2584

O．13780．0551

O．01760．0047O，OOI

1．7

O．1827

O．3106

0．2640O．1496

O，0636

O．02160．0061O．00151．8

0．1653

O．29750．2678O．1607

O，0723

O．0260O，00780．00201．9

O．14960128420．2700O，1710O．0812

O．0309O．00980．00272，O0．1353

O．2707

O．2707

O．1804

O．0902

O．0361

O．01200．00342．1

0．12250125720．2700O．18900．0992

O．0417

O．0146

O．00442．2

O．11080．2438

O．2681

O．1966

O．1082

O．0476

O．0174O．00552．3

0．10030．2306

O．2652

O，20330．11690．0538O．0206

O，00682，4

O．0907

O．21770．2613

O，2090O．1254

O．06020．0241

O．0083

O．0099

λ＼k

l

2．5

0．0821O．2052

O．2565

O．21380．1336

O．0668O．02782．6

O．0743

O．19310．2510O．21760．1414010735

O．0319

O．O1182．7

0．0672

O．18150．24500．22050．1488O．0804

O，03620．01392．8

O．0608011703

O．23840．22250．15570．0872

O．0407

O．01632．9

O．0550O．1596

O．2314

O，2237

O．1622

0．0940O．0455

O．01883．0

O．0498

O．14940．22400．2240O．1680

0．lO08O．0504

O．0216一16川

数学（解答例）
問題1（1）

x，γが硬貨を同時に投げたとき表の出る枚数を表す確率変数をそれぞれHx，〃γとすると、硬貨の1
表裏はそれぞれ一の確率で出現することから、確率変数Hx，Hγの確率分布は以下のとおりとなる。
2
2

2

2

・（・ゴ・）一 i去）÷机一・）一・・（去）一芸・牝一・）一（去）一｝

3

3

3

机一・）什1・机一・）一・（叫一・）一・・（士）÷机一・）一（士H

さて、1回の硬貨投げでXが勝つケースは（Hx，∬、）＝（2，O）、（2，1）、（1，0）のときであり、Hx，H、は互いに独立であることから、この確率ρは、
ρ一P（H、一2）・P（H、一0）・P（H、一2）・P（H、目1）・P（〃、一1）・P（∬、一〇）

1

1

13

48

48

＝一・一十一

1

一→・一

1

一

28

3
16
次に、1回の硬貨投げで表が同数出る（引き分ける）確率gを求め乱この場合は、（Hx，H、）＝（2，2）、（1，1）、（0，O）となる確率を求めればよい。したがって、
ザp（〃、一2）・P（H、一2）・P（H、日1）・P（〃、一1）・P（H。一0）・P（H、一〇）

13
48

13
28

11
48

；一・一十一．一十一・一

5
16
ここで、f回目の硬貨投げでXが勝つ確率を考えると、これはf＿1回目までは引き分け、ゴ回目にXが勝つ確率であることから、求める確率はρ・g三一1となる。

したがって、引き分けも含めて考えると、xが勝つ確率は、以下のとおりとなる。
oo

f．、 ρ
Σρ 9 ＝

11

よって、解答は①

3

11
（D）

②

（F）

一17一

（2）

検査個数がκ個となるのは、た＿1個目までに1個目の不良品を見つけ、た個目で2個目の不良品を見つけるときであるから、その確率P（x＝κ）は次のとおりとなる。

CP（X一κ）一足一た一1 （ト2，3，4，5，6）
1一

。C．

15

したがって、平均μおよび標準偏差σは次のとおり求められる。

μ一五（X）一Σκ

61234514戸（X＋2・■・3・言・4・百…■…ポペ小2）一喜12・・（・斗・・÷…壬・…壬・…告・…壬一子

一一肌（・1一冊斗②
よって、解答は①（ト1）②（C）（3）

確率変数x，γの確率密度関数はそれぞれ以下のとおり求めることができる。

舳一∫アμ（舳一∫・切）砂一・斗・十・一（…）

舳一∫い炸∫・切）加・斗・十・づ（…）
ここで、ア〃（x，y）＝アx（x）・アγ（y）が成立することから、x，γは互いに独立。
また、

亙（・）一∫舳十・・寸・∫舳一［一・十・一亙（γ）

五レ2）一∫・2納十・2・小ザ・・朴・一州
剛1）一剛一∫・州叶1θ・州1。一11θ一仏（1）（1く・）よって、牝）一五（（X・γ）2）一亙レ2・・〃・γ2）一生2）・・亙（昨（γ）・万レ・）一6

叫（1）一科抑）一枇←2）一州州1）一（11θ）（1く・）

よって、解答は①（D）②（H）

一18一

①

（4）

確率変数Xj（ト1，…，〃）は、すべて平均3のポアソン分布に従う。ポアソン分布は平均と分散が等しいことから、亙（X、）＝3、γ（X三）＝3

したがって・γ一 ｰX1は平均3・・分散3・のポアソン分布に航（ポアソン分布の再生性）
よって、・一3蜆（3・）ツP（γ＝γ）；（y国0，1，2，）

ツ！

また、中心極限定理より、ηが十分大きければ、

借十吐㍉
ここで、特にγ＝Oとすれば、

2伝・・）一・（1…）一二台・÷勿一圭（・刈一方、P（γ・3・）一p（γ一0）・P（γ一）・…・P（γ一3・一1）・P（γ一3・）3〃

一Σp（γ一y）γ，oよって、nが十分大きければ@
1
暮p卜γ）≒53π

よって、解答は①（E）②（H）

一19一

（5）

線分ABおよびACの長さを表す確率変数をそれぞれノ、Bとする。
入Bの確率密度関数をそれぞれん（x）、ア万（x）とすると、

用巾）一 ^二㌫続であるから、確率変数C＝■一Bの確率密度関数は∫・（・）一μ（γ）グ1（用）批一工、ア〃週（用）伽＿1≦z〈0のとき∫・（・）一エ・・ア1（…）加r・・ρ伽止舳一阯一…
0≦z≦1のとき

ア・（・）一エ・・ア1（…）伽・ズ…吋！・・加甘十・
それ以外の場合は一律で。となる。

正方形の面積を表す確率変数Xの確率分布関数Fx（x）を求めると、0≦x≦1において帥）一・（…）一・←2・・）一・（一石…石）一・（一石・・く・）・・←・・。石）一〇石∫石（…吋（・一・）ゐ十÷1。・H。十吋（石十石一λ
確率密度関数アx（x）を求めると・Oくxく1において

舳）一芸帥）一（・石↓古一・1脇
よって、解答は（C）

一20一

（6）

男女それぞれの支持率をρ工，ρツとすると、それぞれの標本平均は戸工＝0．4，戸、＝O．35である。

32

全体の支持率をρとすると力マエマ1によって推定さ帆また・この推定量の分散舳｝ま以下のとおりとなる。

94．9以1一戸、）42ツ（1−2ツ）O．35x

O．65×4γ（2）＝云戦）十云γ（戸1）…。。

十。。

よO．4x0．6x
1000

g

＋

800

52

y
32．9755002

よって、ρの信頼区間は近似法によると次のとおり求められる。

（1一・（今）・凧1・・（ξ）・禰）

十舳…・・一・挑・早・・…・・…！…票）一（O．3575，0．4025）

よって、解答は①（D）②（G）

一21一

（7）

帰無仮説Ho、対立仮説H1を｛

Ho：μ＝2，500
Hl：μ＝2，750として仮説検定を行う。
まず・η個の標本変量（X、，X、，…，X腕）は、それぞれ独立で、平均μ、分散σ2の正規分布に従うとすると・標本平均x＝

一X、・X。・…Xσ2
一は平均μ・分散一の正規分布に従うことが分かる。よって、xを〃〃標準化したZ．X一μは標準正規分布に従う。

仔問題より、有意水準（第1種の誤りが起こる確率）が5％であるため、

・を・κ1μ一・，…／一…た一ム500一・価

浮

標準正規分布表より標準正規分布の上側5％点は1．6449であるから、
た＿2，500＝1．6449．

浮．κ≒2，610．3432

よって、検出力は・一・／第・種の誤りが起こる／＋・を・・，…．・…1μ一・，…／＝1−P

2，610．3432＿2，750
Z≦

洋

一1−P｛Z・一2．0819｝

一1一咋・2．0819｝
標準正規分布表よりP｛Z≧2．0819｝≒O．0188であるため、
1−P／Z・2．0819｝≒O．9812

よって、解答は

（G）

一22一

（8）

標本の大きさ3のときのX（、）の確率密度関数は、
ア（・（・））一・￠｛2〕榊）ぱ、，、榊）ア（・（・））6＝〆（・）（Z■X（・））したカミって、
珂・（。）

1一か、。、π7（・、。、）批、。、小（・）㌣1一・（・））伽（。）6グ（〃十2）（m＋3）

次に・標本の大きさ3のときのR2X（、）一X（、）の確率密度関数は・

舳イ㍗〕榊）ア（・（1））ア（・打。））へ、）

6

一百R（J−R）

z

したカざって、耶

1一価。（・）炊廿・用（1一・）柵6グ（n＋2）（n＋3）

よって、解答は①（C）、②（C）

一23一

（9）

。

147

133

7

7

最小二乗法による回帰係数βおよび回帰直線のy切片∂は、元呂＿；21，ア昌一昌19より、、Σ仙一版I㌧。。。．。、。。、。。。、β昌πΣx．一〃κ
2 −2
一

＝

＝一

3，135＿7x21×21

12

。
・
11
1
α＝ア＿βτ＝19＿＿x21＝＿＿124

このときの誤差分散の推定値62は、∂とβに推定値を用いていることから自由度が2減り、7を標本相関係数とすると、

ゲー

A1。‡紅一｝一1。外・2）一

1。十喜）

ここで、

l1昔1一デー平・・…一号
11一芸喜・1一デーZ；73一・・…一手

1一一v婁舳一元・1一之葦37一・・…一手

これらを用いて、・46山、7ト、1。卜一き）一；・。・・、。
T
よって、解答は①（F）

②（C）

③（J）

一24一

（10）
2次？自己回帰モデル（ノ沢（2）モデル）X一＝ψo＋ψκ．1＋ψ。X．。十ε。が定常性の条件を満たすためには、特性方程式φ（x）＝1一φ1x一ψ2λ㌧Oのすべての解の絶対値が1より大きいことが条件となる。
つまり、巧＝1＋叫．、十0．2X．。斗ε、？特性方程式ψ（x）＝1＿肌＿O．2x2＝0のすべての解の絶対値が1より大きくなるようなαの範囲を求めればよい。

特性方程式φ（エ）＝Oの判別式が。2＿4（＿0．2）雪。2＋0．8＞0であることから、この特性方程式の解は常に実数である。ψ（Oト1＞Oかつφ（κ）が上に凸の二次曲線であることから、特性方程式の解の絶対値が1より大きくなるための条件は、ψ（＿1）一十α＿O．2＞0とψ（1）目1＿o＿0．2＞Oの両方を満たす（＊）

ことである。（下のグラフの○の箇所がこの特性方程式の解となるが、このいずれの点の絶対値も1より大きくなることが求めるべき条件となる。）

φ（X）

X

上記の条件（＊）より、＿O．8＜α〈0．8が求めるべき条件である。

よって、解答は①（B）②（J）

一25一

（11）

確率過程｛X、レ≧Oが標準ブラウン運動であることから、標準ブラウン運動の定義より
亙（X。）＝0γ（x。）＝∫である。また、τ＞∫とすると、xとx＿xは独立となることから、
j！

o亙（X、・X、）一亙（X、・（X、一X。・X。））一五（X，2・X。・（X、一X、））

一亙（X，2）・万（X。・（X、一X、））イ（X。）・亙（X。）万（X、一X。）＝s
よって、解答は①（A）②一（C）③（C）

（12）

1

確率密度関数アx（x）は、平均が＿（j＝1，2，3）の指数分布の確率密度関数島（x）の重み付き平均として、

j
1

1

1

6

3

2

ア。（π）＝一8、（x）・一8。（γ）十一8。（x）．（κ・O）と表されているから、X1（f＝1，2，3）をそれぞれ独立に平均＿の指数分布に従う確率変数とし、Xミと独
ゴ

立に、

1
1
1
P（∫＝1）＝一・P（∫；2）＝一・P（ト3）＝一632となる確率変数を∫とすると、x〜x∫である。
よって、題意から、（O，1）区間の一様分布に従う確率変数σの一様乱数による実現値を〃バ〃2とし、・1（κ）一μ（ψ・とすると・

1

0＜〃1≦＿ならばX＝G−1（〃2）＝＿log（1＿〃2）

6
1

1

1

6

2

2

＿く〃1≦＿ならばX＝G；1（〃、）＝＿＿1og（1＿〃、）1
1＿く〃1＜1ならばX；0；1（〃2）＝＿一1og（1＿〃2）23として、xの実現値が定まることになる。
2
いま、〃1がO．8、〃2が1−e−2であるから、求める確率変数Xの実現値は一となる。
3
よって、解答は（C）

一26一

問題2
（1）

Xエはr回の試行において金利シナリオ1が選ばれる回数を表す確率変数であり、また1回の試行で金利
シナリオ1は確率ρ1で選ばれることから・Xlは二項分布B（r，ρ1）に従工

ここで・〃＝2より・八十ρ。＝Lよって・確率分布は以下のとお㌦

瓶一ち）一^二）ρ戸（・一パ（たrO，…，・）

1
従って、7＝5、ρ1＝一のとき、
2

紙一・）一

3
5−3
i：）（1）（・一圭）

一・・（去）5

5

16
となる。

よって、解答は①

（A）

②

（E）

一27一

（2）

X1，X。，X3は多項分布に従うことから、

・（x1イ、，x、一た、，x、一κ、）．「！ρf伽1・
κ1！κ。！κ。！

ここで、た1＋κ2＋κ3＝rかつρ1＋ρ2＋p3＝1より、・（X、一た、，X、一κ、，X、一κ、）．

パ

加1・（・一ρ、リ、）・一11一ら

κ1！た。！（・一た、一κ。）！

また、明らかに、・（X、一κ、，X、一た、）一「！

加1・（・一ρ、一ρ、）中・たμ。！（・一たドκ。）！

したがって、。（。2、た、I。、、κ、），P（い・・X・一た・）P（x、＝た、）

71 ρflρ二・（1ソ、ソ。）『一止1■丘・
た、！た。！（トたrた。）！

7！

〆1（1一八）『Ikl

た1！（r一た1）！

た2
一ら！（讐午1！ら），・／、1言）（

正2r一い）／今）（1脊乃）比1一ち

1れは二項分布 U・。f云）の確率分布倣
よって、X1＝た1（た1；0，1，…，r）という条件のもとX2は平均亙（・、■・、イ、）一（「一κ1）ρ・

1一ρ、

分散γ（・21・、一た、）上た1）ρ・（1半ρ・）（1ソ1）の二項分布に従う。

よって、解答は③（G）④（I）⑤（A）

一28一

ザ）

r一止1一此2（3）確率ベクトル（x1，…，x）は多項分布に従うことから、

・（x、一κ、，x2一κ2，，x皿イ掘）一「！州・ρク
た，た一…
1
2

κ

！
H

（た、，た、，＿，κ、は正または0の整数でた、十た、十…十た

したがって、確率ベクトル（x1，＿，x＝ン））の積率母関数は多項定理を用いて、

1（1・・1…乳）一 蜿¥易斗・榊十舳、、！、、l11．仁、柑・ρ1
上1主O，…，正掘主0

7！
一Σた，た！．．．た！（ρ・・叫）此12（ρ・・θ2）正！…（ρ・・乳）幻H

一し、・島・ρ2・1・・…リ

・吋

妙・斗
を得る。x

の積率母関数は

φ（4）一φ（・，…，岬ル…，・）斗、・1・（・一ρ、）γ

これは二項分布3（r，ρ、）に従う確率変数の積率母関数であるから
亙（xミ）＝ψ、また、ゴ≠ブとして∂2

ｵ・（・一・）し、・㌧、、・牝・・W吋一2・、、。ザ、、。lj

∂卵θ∫

よって、

互k・・、）」2φ（・・）一。（ト・）ハ、、∂卵θj

xとxの共分散はミ∫
C（X、刈一班、刈一亙（X、）・到X∫）＝r（r−1）ハ巧一（ψミ）（Ψj）

＝一肌ρ∫
となる。

よって、解答は⑥（A）⑦（G）

一29一

問題3
（1）κ2一検定の方式について考える。
母数（ρ1，…，ρ止）について

帰無仮説〃。：ハ＝ρo（ト1，…，κ）を有意水準εとして検定するには、仏。≧5（j＝1，…，κ）なる条件のもとで、（㌣㌧2（ε）な！ばへを棄却すればよい胤・llで1−1一・であ1。

！一次に、ノの分布が近似的にκ2分布に従うことを尤度比検定を用いて導く。
母数（ρ、，…，ρ此）の尤度関数はム（ρ卜ρ1へρ2！…ρ正π止である。

止Σρ1−1であるから・独立な母数の数百購個で施したがって・解析的

こ工（ρ）の最大化を行うときにはこのことに留意する必要がある。ここではρ比を残りの母数で表現することにする。尤度関数の対数をとり、ハについて微分すれば10g工（ρ）＝〃11Ogρ1＋…

∂

肌一10g工（ρ）＝二」十∂p
ハ

十〃比10gρ止

n止ξρた

n

一
ρ足ρρミ ρミ

〃此
ρ此

最大値に対してはた＿1個の偏導関数がOになることが必要である。
すなわち、
nj

此

一一一
ハ
ρ止

≠n

ゴ＝1，…

，た一1

ρ

の最尤推定値をAとおけば、

、

久

ρ、9

〃、

一＝1，

，た

止

ここで・戸1一ｰA

正一1
一Aについて、ト1，…，たの和をとると、
此
・一

＾

左

＾

ｰ戸1＋Σ・1＋・n
よって・広＝ユ
n

j；1，…

，た

一30一

また、帰無仮説∬o：ρドρ＝o，ト1，＿，たが真であるとき、それ以外に残る母数はない。よって帰無仮説

HOが真であるときの母数に対する尤度関数を工O（ρ）とおくと・尤度比λは次式で表され乱
λ，Z・（戸）．ρ・・

ρ・・

埋

ρ1・

＾

z（戸）（÷ヅ（㌢ゾ…（ギ廿ゾ／計（㍗ゾ
これより、た

一・1・・／一・ ｰ・

1・・㌫

となる。

よって、解答は①（M）②（H）③（P）④（A）⑤（C）⑥（G）（2）κ2一検定の適用例について考える。

表の数値より標本平均声＝2．1である。よって、帰無仮説Ho：1日の支払請求件数が平均値2．1のポアソン分布に従っているを有意水準5％として検定する。
付表より1日の支払請求件数ごとに平均値2．1のポアソン確率の値ρ、。を求め、合計日数が100日である

のでn＝100について理論的期待値仏。を計算すると、それぞれ以下のとおりとなる。

1日の支払請求日数

理論的期待値

ﾌ値

署
5

ポアソン確率三ハ0ηρm（・、刃、。）2／ψ、。

0件

13日

0．122512．25

0．045918…

1件

22日

0．257225，72

0．538040…

2件

35日

0．270027．00

2．370370…

3件

15日

0．189018．90

0．804761…

4件

6日

0．0992

9．92

1．549032…

5件

6日

O．04174．17

0．803093…

6件

2日

0．0146

1．46

0．199726…

7件

1日

0．00440．44

O．712727…

合計

100

7．023670…

一31一ここで、仏。≧5の条件を満たすため、1日の支払請求件数が5，6，7件の値をプールすると、以下のとおりとなる。

1日の支払請求日数署
j

ポアソン確率理論的期待値

ﾌ値
ミ

ハ0

ψm

（・、一ψ、。）2加、。

○件

13日

0．1225

12．25

O．045918…

1件

22日

0．257225．72

0．538040…

2件

35日

0．270027．00

2．370370…

3件

15日

0．189018．90

0．804761…

4件

6日

O．0992

9．92

1．549032…

5〜7件

9日

0．0607

6．07

1．414316…

合計

100日

6．722439…

これにより、ノ＝6．722439…である。

また、プールの結果、特性の種類数は6個となるが、母平均に推定値を用いていることから、さらに自由度を1減らして検定を行うこととなる。
以上から、λと自由度6＿1＿1＝4のκ2分布の上側5％点κ、2（O．05）との比較により帰無仮説H。の検定を行えばよい。付表より、κ、2（0．05）は9．4877であるから、ノ＜κ、2（O．05）となり、帰無仮説〃。は採択される。つまり、1日の支払請求件数は平均値2．1のポアソン分布に従っているといえる。

よって、解答は⑦（C）⑧（A）⑨（E）⑩（C）⑪（K）一32一