昭和 42年 度

(解答)

午前の部
.
1

k 番目のとき K 最後の不良品が発見されるというととは ，k-1 番目まで ~o. -1 個の不良品が抽出され，さら I(Ck番目 K不良品が抽出されるととを意味する。
最初の k‑1番目までは，仮定 Kよ れ0.
+$個から k‑1個を選んでできる組合せはすべて等しい確率を有するとと Kまる白その中で， ιイ固の不良品から ι‑1個，必個の良ι( こ1 )・(k~ a. )と吋あるから，最初の k‑1品から k‑o.個をとる組合せは番目まで Kι ー 1個の不良品が抽出される確率は，(二 1)(k~ 0.
)
‑I‑.
.
t
(k~ 1 )と在る ok‑1番目まで Kι‑1イ固の不良品が抽出されるという条件のもとでは， k番目の抽出のとき Kは0.
+必‑k+1個中不良品は 1個だけであるから，その不良品が抽出される

条件っき確率は0.
+乙k+1 とまる。故 K求める確率は，
nfh 一ふ一一1リ
ハ一+一a‑1j‑GLa.
+‑O‑‑k+1aふ(k‑1) 1(ι+ふ ) 1(k‑ a. )1〔別解〕

h番目の抽出でちょうど全部の不良品が発見されるととは，最初の h回の抽出で全部の不良品が発見されるが，最初の k‑1回の抽出では全部の不良品が発見されていまいととを意味する o よって求める確率は，():乙(ι) (乙)(k-~-1 )
(αγ)

(;工~)

k‑1)Ia 必 I((.
0+ふ )1(k‑o.)1‑'‑50‑2.

まず X の確率法則を考える。

2.・・・・・・， n，・・・・・・Xのとり得る値比 0，P(X=o)=p，P(X=1 )ロ (1‑p).p，・・・・・・，p(X=n)=(1‑p)九 . p，・ ・・ である。
平均値pは

メ
4=1× ( 1‑p〕p+2(1‑p〕2p+・・・・・ +n(1‑p) p+・・・・・・
協と在る o ととで 1-p=~ と:j:，..(とメt=gL‑p+28b2p+5Fsp+・・・・・・・・ +npnP+・・・・・・=o‑p (1+2~+ 3~ 2+・・.・. +ngJ‑1+・・・・・・・・〉とをる。いま，2Q(o‑)=伊+o‑+・・ー・・+o‑
71.+・・・・(Qヤ〉E4z)を考えると，.
.
.
..
Q'(伊.
)= 1+2o‑+・・・・・・ +npB‑1 +.

(Az)'J‑内︐.

一9︐︑‑

1‑a‑rak

一一・・司JPpa‑

一一F︐︑︐︐︑︑XQPF

メ一‑から，分散 σ2は定義 Kよbσ2=En・(npo‑71.
)ー
メt2=1:{o‑2・n(，刊〕 PFF2+F・η‑FTH1}一μ2と左.!?，次の計算Kよ b求めるととができるoムハ 2lT(〆
日o 8~〆)̲p2)+FP53t(‑51ー.θ2 ∞n ∞ .
g‑‑ιp・一一τ‑ lJ ~，. +g‑‑p・2ι‑L g‑‑
九‑p.
"a7f~ n 0dO'n 0"，"，イ p. ( 古)\ ~p .(古)'一 ( 1 Y 2空

g‑‑p X

21〈1‑p)2.
.
.
3 +g‑‑p X " .
，2 一 空(1‑g‑‑)"(1‑ g‑‑γp~，，~2F2.8LP92=ーー'一ーーー‑‑‑‑ーーー・・ー‑ーーーーーー・ーーー
p4‑内1‑P‑勾︐ h

1‑P3.

pp

(22P2+FP‑F2〕

2Cg.
‑ +o'p )S~(~ +p)

1‑ppp

題意 Kよ!
>，一様分布をfC♂)(‑0.
5く ♂ <0.5)。

(その他で〉とすると，f. ♂ f(x) dx=.
/ x f(x)dx+f xf(♂)dx

E (X)

明曲

E︐dz︐︐︑︐︑

♂

rJ

JM

∞

十‑52ー

=f(うと)ー::= 0x dx

同様 K
E〈X2〉= fJfbr)43=/Jb

〔子〕
‑::

故K

∞=

=
去E(X2) ̲{E(X)}2v

X1，X2，・・・・・・， X75 はたがいに独立であるからE (X1+X2+・・・・・・・・+X75 ) = 0V (X1 + X2十・・・・・・・・7525

124+ X75 )昌 一 =一一

中心極限定理を適用してP{ーα<X1+X2+・……+X75 <α})'=P{‑÷α 〈X1+X2+・ ・・+ X75YI
亨:r」ごe‑V2πでーす/V̲L96÷a}dxx2

ハ1.96ととでくe，~-2dx = O.95 であるから

÷α=

1.96

故K α 4 . 9‑53ー12よって，丸めの誤差の総和が 4.9 をこえまい確率はほ~ 0.95である。

午後の部
4.

昆虫が生む卵の数を表わす確率変数を Nとし，ふ化した卵の個数を表わす確率変数を Xと す る 。 と の と き 慨 に よ 同 Poisson 分布 P(N勺1}=e‑ 妥 で あ .
!
?，また N =n (n= 1， 2，・・・・・・〉という条件のもとでは， Xの条件っき分布は二項分布 Bi(n，p )と左る oP(X=k) =。
。

。
。

=kπ=kJJ P(X=k，N=n}= 2) P(X=k!N=n)X P(N:==n)叫∞n=ke 4 . J L J nI ‑ P h〈1‑p)← hn!
kl(n‑k)le‑.tee‑Ip

hE {え(1‑p)}ぃ h〈え p)，n=kk().p)k(n‑k)Ieλ(l‑p)

kt〈え p)kkI‑(k=O. 1， ・・・・・・ 〉o(え p)(rCしたがう確率変数とまる。
従って， Xは Poisson分布 P5.
方程式
4U2+ &4U+ 〈a +45+h〉= 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・が実根をもっための必要十分条件は
a.2 ‑4 (ι+必 +k)孟 0

す左わち，‑.
:.54ー(1)

ふ::;:

さてi‑ (a2 ̲ 4a‑4k)(2)

Ya，ふは Dと4の間の任意の実数値をと h得るから直交座標 O X，0) ，点 B (0，OY 上~，点、 A(4 ，4)をと b正方形 OACBを作れば，
a ，ふのとCB

b得るイ直は，との正方形内の点 K対応する。
次 附2)を、満足する a.$‑の値は，正方形 OACB内 Vてあって，放物線I(品)=士(4 2̲ 4a‑ 4k)

xよb下方の部分 Kある点 K対応する。
a ， .$‑はそれぞれ独立K区間 (0， 4)で均等分布するから，方程均1)が実根をもっ確率p は，右図~~...いて面積 OACB~ 対する斜線の部分として表わされるo すなわち，pzTt(Jalfω a+イ;
4f a) •. ............ω
や)，
d，dととるで， 1(4)は a=2で最小と左!J，そのときの最小値ほー (k+1)であ!J， kのif
宣によって上下K変動するo したがって，確率pもいろいろま値をと bうるが， kの変動Kよって次のよう Kまる。

七J
4士ム
<
12 ‑'pfh-4~k<-1一Phミ ‑1 のときのとき

孟去J
4
士 (a2‑4&+16 d@(a2̲ 44 +4)，da<p〉

ζ5~一。

‑5::;
:k<‑4のとき〈÷‑55‑

p孟 1

h三三一 5 のとき

p

したがって，方程式(1)が実根をもっ確率 pがすとまるのは ‑4<kく ー 1 のときてよって得られる。
であり，次式を解くとと V

す=去イ士 (

p=a.2 ーEJ︑

rz

‑56‑

答︑一ο
'"只M

k4a.‑ 4k)da.