２００９年１２月１０日 学術俯瞰講義 数学を創る

第10回 惑星の軌道を理解する

学術俯瞰講義「数学を創る」第12回

数数理科学研究科究坪井 俊‡：このマークが付してある著作物は、第三者が有する著作物ですので、同著作物の再使用 同著作物の二次的著作物の創作等については同著作物の再使用、同著作物の二次的著作物の創作等については、著作権者より直接使用許諾を得る必要があります。

坪井 俊

２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

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惑星
写真：NASAウェブページより転載

第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

●感想
z普段目にする単純な立体でも、オイラーの多面体定理という美しい式で表されることに感動した。
表！！感動して欲しい！！
z多面体定理が惑星の軌道と関係しているとは驚いた。
多面体定理が惑星の軌道と関係しているとは驚いた。
z多面体の定理が曲面にも応用できることは新鮮だった。
！！それが数学の面白さです！！
zトーラスという概念がわからなかった。
！！うむむ！！
zトーラスはゲームの中にも使われている（ロールプレイング
ゲームの地図
ゲムの地図、ドラクエなど）ドラクエなど）！！ゲームを作るには数学の知識が役立ちますから、知っている人も多いのです！！

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

●質問
質
zトーラスなどはユークリッド空間では本当の形を表していないと聞いたことがあるが、本当の形はどのようなものなのか。
！！回転体のドーナツの表面も、自然な形の一つです。
回転体 ド ナ
表面も 自然な形
すもう１つの自然な形は、どちらに向かっても平らで、どちらに向かって行っても近くに戻ってくるというものです！！
zアルキメデスの多面体では空間を埋め尽くせず、ひし形多面体ではア キ デ
多面体
空間を尽く ず、形多面体できるというのは、どうやって証明できるのか。
！！埋め尽くせないほうは、辺における２つ面の角度をみます。
埋め尽くすのは実際に模型を作ればできます！！
z実際の惑星の軌道が変わらないのは、保存力がもうz実際の惑星の軌道が変わらないのは保存力がもう一つあるからとつあるからと聞いたことがあるが、それは本当か。
！！嘘です。逆２乗の法則のためです！！

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

●質問
z凹多面体は、惑星や自然に関わりがないのか。
！！種数が２以上の曲面の最も自然な形はいたるところ凹であるというものです（３次元の空間のなかでは実現されません（ヒルベルトの定理）。このような曲面も状態の空間になります！！
z曲面の研究は、どのようなことに応用されるのか。
！！数学の中で曲面に関係しないものはほとんどありません。さらに…！！
z多面体はどのような分野で応用され得るのか
z多面体はどのような分野で応用され得るのか。
！！我々が認識しているすべての図形は、曲面または多面体の表面です。自動車、列車、飛行機の形の設計、身近にあるプラスチック製品は、金型をつかって作られていますが、その形を決めるためには、極小曲面の性質や曲面状の樹脂の強度などの多くの知見が必要です。
界面での化学反応の研究、高分子の反応の研究などにも応用されています！！

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

●質問
zプラトンの多面体のところで、正４，６，８，１２，２０面体が上げられていたが これ以外は数学的に存在し得ないのかいたが、これ以外は数学的に存在し得ないのか。
！！それは、オイラーの多面体定理を用いて証明されます！！
zメビウスの輪は、オイラー数ゼロで、トーラスと似たような性質なのだ
ろうか。
！！その通り。メビウスの帯（輪）の表面に、境界（縁）に、つねに直交する模様、あるいは境界を軌道とする模様で、内部に停留点がないものが描けます！！

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

ポアンカレ（1854－1912）はどのような問題を考えたのだろうか。

坪井 俊２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

z ポアンカレの時代には、２次元多様体である（あるいはポアンカレの時代には ２次元多様体である（あるいは１次元複素多様体である）曲面についての理解が非常に深まった。に深まったz すなわち、リーマンの写像定理が、現在の形で認識されすなわち リーマンの写像定理が 現在の形で認識されるに至った。
z 「リーマンの写像定理」
単連結な複素１次元多様体は リーマン球面
単連結な複素１次元多様体は、リマン球面、複素数複素数平面、開単位円板のどれかに複素解析的に同型である。
z 次元の高い多様体の研究は始まったばかりであった。
z 多様体の定義が落ち着くのは２０世紀半ばである。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

ポアンカレはこのような時代に数学の研究をしている。

z ３体問題は難問だ。
z 平面上の３体問題であっても３つの質点の座標 速度の空間は３つの質点の座標、速度の空間は（２＋２）×3 ＝１２次元である。
z その３つの点に対して、２体問題と同様に、重心を原点とする座標が取れ、状態の空間の次元は８となる。
z 角運動量の保存則とエネルギーの保存則から、角運動量の保存則と ネルギ の保存則から状態の空間の次元は６になるが、それを理解するためには次元が大きすぎる。
ためには次元が大きすぎる

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

z 当面は、円平面制限３体問題を研究しよう。
当面は 円平面制限３体問題を研究しよう
z 太陽と木星が重心の周りに円軌道を描いて運動しているとして、第３の惑星の運動を記述しよう。
国立天文台 提供‡

円平面制限３体問題のBASICのプログラム

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

z 当面は、円平面制限３体問題を研究しよう。
当面は 円平面制限３体問題を研究しよう
z 太陽と木星が重心の周りに円軌道を描いて運動しているとして、第３の惑星の運動を記述しよう。

写真：NASAウェブページより転載‡

円平面制限３体問題のBASICのプログラム

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

z 円平面制限３体問題では
円平面制限３体問題では、円軌道を描く円軌道を描く太陽と木星が固定される（回転している）座標系をとることができる。
z この座標系では、重力のほかに遠心力、コレオリの力をうける運動となるコレオリの力をうける運動となる。

回転して る座標系での回転している座標系での円平面制限３体問題のBASICのプログラム

z 第３の惑星の位置と速度をあらわす状態の空間は２＋２＝４次元である。
z この運動には、エネルギーに対応するヤコービの積分という不変量があり、状態の空間の次元は ３である空間の次元は、３である。
z ３次元の多様体上のフローを研究すれば３次元の多様体上のフロ を研究すれば、円平面制限３体問題が理解できるはずだ。

ポアンカレ（1854－1912）

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

３次元多様体に対して：
次 多様体 対z ポアンカレ・ホップの定理は成立する。
３次元では、考えるべき停留点の種類が次考
き停 点 種類が増えるが、それらに ± の符号（一般には整数値）を対応させ 和をとると多様体は整数値）を対応させ、和をとると多様体のオイラー数となる。
z コンパクトな３次元多様体のオイラー数は、常に 0 である。

ベッチ（1823 1892）
ベッチ（1823－1892）z ３次元多様体に対する不変量は、ほかにあるだろうか？
z ベッチ（1823－1892）が定義した数は、不変量に違いない。
ポアンカレ（1854－1912）

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

z ポアンカレは、ポアンカレは、ベッチの理論を進めて、ホモロッチの理論を進めて、ホジー理論を構築した。
z 「「ホモロジー群が３次元球面と同型な３次元ジ 群が 次 球な 次多様体は、３次元球面と同相である」という主張を出版した（１９００）。
張を出版した（１９００）z この主張の誤りに気がついたポアンカレは、の主張の誤り 気がたポアンカ は、この主張の反例を作った（１９０４）。
z ポ
ポアンカレは反例であること（球面と異なるこカ は 例 ある と（球 と異なると）を「基本群」を定義して示した。
z そして、「単連結な（基本群が自明な）コンパク 次元多様体 、 次元球面 同相 ある
クト３次元多様体は、３次元球面と同相であるか」という問題（ポアンカレ予想）を提出した。

ポアンカレ（1854－1912）

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

ポアンカレの反例は、ポアンカレ・ホモロジー球面と呼ばれる。
ポアンカレの反例はポアンカレ ホモロジ 球面と呼ばれる４次元空間の正多面体の１つである正１２０胞体の各胞体は、ポアンカレ ホモロジ 球面の基本領域である。
ポアンカレ・ホモロジー球面の基本領域である
ポアンカレ・ホモロジー球面は、現在では、３次元多様体の分類理論のなかで非常に重要であることが認識されている。
‡DIMENSIONS
http://www.dimensions-math.org/

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

ポアンカレの時代には、多くの数学者が空間ポ時多く 数学者が空の形について研究をしている。
カントール(1845－1908)は、集合の比較、位相とは何かを研究した。
位相とは何かを研究した

坪井 俊

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

カントールは、「無限」にもいろいろな種類があるといン、 無限」 も ろ ろな種類 あるうことを発見した。
「有理数全体は、実数全体の中で、まばらである」「有理数全体は実数全体の中で まばらである」ということを「証明」した。
「数とは何か」ということも問題になった。
ペアノの自然数の定義、デデキンドの切断による実数の定義が与えられた。
ペアノ（1858－1932）

デデキンド（1831－1916）

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

高木貞治は、1900年前後にベルリン、ゲッチンゲンに留学している。
日本の数学の教育研究は、高いレベルにあった和算
日本の数学の教育研究は高いレベルにあった和算の伝統の上に成立してきた。
高木貞治は、東京大学の3人目の数学教授として教育研究を行った。
高木貞治の類体論の研究は高く評価されるもので フ ル評価されるもので、フェルマーのの大定理の証明につながっている。
‡ 高木貞治（1875－1960）
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/summary/gallery.html©copyright 2010- Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

高木貞治の「解析概論」には
高木貞治の「解析概論」には、当時、世界で認められ始めた実数論が書かれている。
実数論が書かれている

今年は、高木貞治５０年祭の年年で、２月２０日には数理科
月は数理科
学研究科大講義室で市民講演会が行われる。
演会が行われる‡
http://mathsoc.jp/meeting/takagi50/index.html
提供： 社団法人 日本数学会

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

‡

ホイットニー（1907－1989）

ドラーム（1903 －1990）

http://www.math.ias.edu/people/past-faculty‡‡

ホップ（1894 － 1971）

さて、多様体の理論はさて多様体の理論は多くの数学者によって整備された。
トム（1923 － 2002）

Copyright(c)MFO
http://owpdb.mfo.de/detail?photo_id=4170

ミルナ―（1931－ ）Copyright(c)MFO
http://owpdb.mfo.de/detail?photoID=9831

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

z ポアンカレ予想については、
ポカ 予想にはz まず５次元以上の同様の問題がスメールにより肯定的に解決された（１９６０）。
z その後、フリ
その後 フリードマンによりドマンにより、４次元のポア４次元のポアンカレ予想が解決された（１９８２）。
‡Copyright(c) George M. Bergman, Berkeley
http://owpdb.mfo.de/detail?photo_id=5121

坪井 俊

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

次元の高い多様体が扱いやすかった理由の１つは、２次元円板からの写像の像の自分自身との交わりが解消できるからであった。
多様体の研究の基本は、その上のモース関数と呼ばれ多様体
究 基本は そ 上関数と呼ばれる関数を考え、そのグラディエント・フロー、すなわち、モース関数を高さ関数と考えたときの、最大傾斜線の関数を高さ関数と考えたとき最大傾斜線模様を、出来るだけ簡単にすることから始まった。
すなわち、多様体の影を見る（関数を考える）こと、多様体上の模様（フロ ）を考えること（常微分方程式を解く
体上の模様（フロー）を考えること（常微分方程式を解くこと）により行われた。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

３次元多様体に対しては３次元多様体に対しては、基本群が等しい有限巡回群で同相ではない３次元多様体が数多くあることがわかったので ポアンカレ予想の体が数多くあることがわかったので、ポアンカレ予想の反例を探すことも行われた。
このような多様体は多くはないが、分類のためにはさらに詳しい不変量を必要とした。そのような詳しい不変量
詳不変量を必要。そうな詳
不変量
が、ポアンカレ予想の反例を見分けるかもしれないと期待された。
一方、
コンパクト３次元多様体は 有限個のピ スを球面ある
コンパクト３次元多様体は、有限個のピースを球面ある
いは２次元トーラスに沿って貼り合わせた形をしている
ことが証明された。
ことが証明された

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

サーストンはそのピース
ピのそれぞれに８つの幾何構造の１つが入るという幾何化予想を提出した（１９８0年代初め）。
これが正しいならば ポア
これが正しいならば、ポアンカレ予想は正しい。

‡Copyright(c) George M. Bergman, Berkeley
http://owpdb.mfo.de/detail?photo_id=6119

サーストン

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

サーストンは、そのピースに定負曲率の計量（双曲計量）が入るための条件を定式化した。
双曲計量の存在定理は、証明が長大で、「怪物定理」と呼ばれた。
物定理」と呼ばれた
ミルトンは、多様体上の ‡ハミルトンは、多様体上のリーマン計量を変形していく偏微分方程式の解であるリッチ・フローを用いて、曲率が正の多様体の計量を一定の正曲率に変形することを考えた。

byy courtesyy of international mathmaticians union２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

ペレルマンは、リッチ・フローをを解析して、それが、多様体のピースへの分解を導き、さらにそれぞれのピ スの計量が８それぞれのピースの計量が８つの幾何学のどれかに収束することを示した。
ることを示した
それにより3次元のポアンカレ予想は肯定的に解かれた。
その後、このような計量の変形
後
うな計変は、新しい方法の一つとして定着してきている。

坪井 俊‡

ペレルマン
byy courtesyy of Matthias Webe２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

このように、３次元のポアンカレ予想は多様体上で「音を聞く、のように、３次元のポアンカレ予想は多様体上で 音を聞く、波を見る、熱の伝わり方を計る」という（偏微分方程式を解く）方法で証明された。
多様体は、解析をおこなうための空間として用意されたものであるから、その上で偏微分方程式を解くことは初期から研究され きたれてきた。
アティヤー・シンガーの理論や、ヤウの理論、ドナルドソンの理論などが作られ、多様体の理論を深化させてきていた。
ペレルマンの証明もこのような基礎の上に得られたものである。
‡‡

Copyright: MFO

by courtesy ofDr. Simon Donaldson

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

ここまでのまとめz 力学（微分方程式）の研究の中で、曲面を一般化した多様体が定式化された。
z 多様体の形を理解するために、ホモロジー群、基本群などが定義された。
z ポアンカレは「単連結な（基本群が自明な）コンパクト３次元多様体は、３次元球面と同相であるか」という問題（ポアンカレ予想）を提出した。
z 多様体の発展により、多様体上の微分方程式を考えることで、ポアンカレ予想は解かれた。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

各次元のポアンカレ予想の成立が証明されたことで、多様体自身の研究から、多様体上の構造の研究へ展開している。
多様体自身の研究も、多様体上の構造を用いて行われてきたのであるが さらに様々な構造が研究対象とれてきたのであるが、さらに様々な構造が研究対象となっている。
曲面に対しても、その複素構造の研究が進展している。
一方で、曲面上の面積形式をめぐる研究も盛んである。
積
３次元多様体に対しては、その上の接触構造の研究が進展している。
が進展している４次元多様体に対しては、その上の複素構造とシンプレクティク構造の研究が進展している。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

曲面上の面積形式をめぐる研究は、円平面制限３体問題に関係がある。
円平面制限３体問題の解は３次元の状態空間上のフローで、体積を保つことがわかっている。
このフローに対して、曲面が交わっていると曲面から出た軌道は、曲面に戻ってくる。
これを再帰写像と呼ぶ。
れを再帰写像と呼ぶ。
再帰写像は面積を保 。
再帰写像は面積を保つ。
ポアンカレはその様子を観察した。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

‡

その様子は右の図のようである。

ArnoldSmall denominators andproblems of stability ofmotion in classical andcelestial mechanics

Figure 6 , Page 93"Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics"
Vladimir I Arnol'd, 1963, Russian Mathematical Surveys,18, pp85-191
By courtesy of London Mathematical Sosiety

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

ポアンカレは円平面制限３体問題において、画期的
ポカ は制限 体問題 お期的なアイデアを持っていた。
ポアンカレのアイデアは、円平面制限３体問題にあるパラメータ木星の質量／太陽の質量を ０ から変化させて、フフローの再帰写像の変化を見ようというものである。の再帰写像の変化を見ようというものである。
詳しく説明できないが、その一部分の様子をみると、詳く説明 きな が そ部分 様 を ると次のものとほとんど同じである。
BASICプ グラムBASICプログラム

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

この再帰写像の様子を見ると、同心円状の多くの不変な円周があること、色の混ざっているところにカオスの存在が予想される。

実際、コルモゴロフ・アーノルド・モーザー理論、オーブリー・マザー理論により、それらが明快に述べられる。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

現在、創られている数学の中には、多様体上の現在創られている数学の中には 多様体上の構造を研究するものが多い。
図示しやすい構造としては、私も研究している葉層構造というものがある 例えば 以下のページに葉層構造のというものがある。例えば、以下のペ ジに葉層構造のアニメーションがある。
http://faculty ms u tokyo ac jp/users/showroom/
http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/showroom/

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

z さて、今日の話の最初のところに戻ってみよう。
さて 今日の話の最初のところに戻ってみよう
z ポアンカレ予想を題材に話をしたのだが、最初の出ポアンカレ予想を題材に話をしたのだが 最初の出発点は、状態の空間がどうなっているか調べようということだった それが分かれば フローの様子が制いうことだった。それが分かれば、フローの様子が制限され、情報を得ることができる。
z 曲面の形が同じかどうかは、よく観察すればわかるように思える。
ように思えるz ところで、空間や構造が同じであること、空間や構造
ところで 空間や構造が同じであること 空間や構造が異なることは、どうやって調べるのだろうか？

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

同じであること
z 多様体が同じであるかどうかを決定するのはやさしくない。
しくないz そもそも、同じであることも定義が必要である。
そもそも、同じである とも定義が必要である。
z ２つの多様体が同相（同じ形）であるとは、一方から他方への連続写像で連続な逆写像を持つものがあることである。
z 同じであることは、このような写像を実際に構成するか 構成できることを証明して示されるるか、構成できることを証明して示される。
z 違うことを示すことは違うことを示すことは、このような連続写像が作れこのような連続写像が作れないことを証明することである。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

違うということ 形を見分ける方法
違うということ：形を見分ける方法z そのために、背理法を用いる。
z ２つの多様体が同相ならば同じになる数値を見つ多様体 同相なら 同なる数値を見ける。
z ２つの多様体に対して、この数値が異なれば違うということがわかる。
z これまで出てきたものでは、オイラー数、基本群がそれにあたる。
それにあたるz こういう数値を不変量という。
こういう数値を不変量という２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

空間の不変量の定義空間上に、ある構造をとり、それに対して定義される量を計算すると、同じ空間に対しては、その構造の取り方に依らず同じ量となるとき、この量を空間の不変量と呼ぶ。
空間上の構造の不変量の定義
構造の与えられた空間上に、（さらにある構造構造の与えられた空間上に（さらにある構造をとり、）それに対して定義される量を計算すると 同じ構造を持つ空間に対しては （細かい構と、同じ構造を持つ空間に対しては、（細かい構造の取り方に依らず）同じ量となるとき、この量を構造の与えられた空間の不変量と呼ぶ。
を構造の与えられた空間の不変量と呼ぶ

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

美しい定理１．
異なる方法で定義された不変量は同じ値になる。
「本質的な定理」

美しい定理２．
同じ不変量を持つ２つの空間（構造）は同じ。
「分類理論」坪井 俊

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

例：線形代数ｎ×ｎ 行列 Ａ，Ｂ
Ａ Ｂがが「同じ」であることを、ある同じ」であることを、ある ｎ 次正則行列 Ｐ，ＱＰ Ｑがあって Ｐ Ａ Ｑ＝Ｂ となることとする。
行列の ｋ 次の小行列式（（ｎＣｋ）２個）の中に０でないものがあり、 ｋ＋１ 次の小行列式（（ｎＣｋ＋1）２個）がすべて０となるとき、行列のランクは ｋ と定義する。と定義する「分類定理」
ＡとＢが「同じ」であることとＡのランクとＢのランクが等しいことは同値である。
等しいことは同値である

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

曲面に対し、三角形で分割したとき、曲面に対し三角形で分割したとき頂点の個数－辺の個数＋面の個数
は、分割の方法に依らない。 の値をオイラ 数と呼ぶ。
は、分割の方法に依らない。この値をオイラー数と呼ぶ。
「モースの定理」
曲面上の関数に曲面上の関数について、臨界点は、極小点、鞍点、極大点か臨界点は 極小点 鞍点 極大点からなるものについて、極小点の個数 鞍点の個数＋極大点の個数
極小点の個数－鞍点の個数＋極大点の個数は、オイラー数に一致する（特に、関数の取り方に依らない）。
「ポアンカレ・ホップの定理」
曲面上のフロー（流れ）で、停留点が、ソース、サドル、シンクからなるものについて、ソースの個数－サドルの個数＋シンクの個数
は オイラ 数に 致する（特に フロ の取り方に依らない）は、オイラー数に一致する（特に、フローの取り方に依らない）。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

曲面についての定理「ガウ ボ ネ 定
「ガウス・ボンネの定理」
３次元ユークリッド空間内の閉曲面の曲率の積分は、２πのオイラ 数倍となる。
積分は、２πのオイラー数倍となる。
「分類定理」
３次元ユークリッド空間内の２つの閉曲面は、次ク ド空間内閉曲 はオイラー数が等しいならば、同相である。

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第１２回 形の見分け方と数学の視点

３次元多様体の定理「ポアンカレ・ホップの定理」
３次元コンパクト多様体のフローが有限個の停留点をもつとき 停留点の指数の和は ０である点をもつとき、停留点の指数の和は、０である。
「ポアンカレ予想」「ポアンカレ予想
３次元コンパクト多様体の基本群が自明な群なら３次元ンパクト多様体の基本群が自明な群ならば、それは３次元球面と同相である。

坪井 俊２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

形の見分け方 不変量を定義して計算する
形の見分け方：不変量を定義して計算する。
これは、必ずしも難しくない。
役にたつかどうかという数値を定義して計算すればよいのである。
難しい点は その数値が「同じものに対して同難しい点は、その数値が「同じものに対して同じ値を与えるか」ということである。
十分な区別の方法が確立したときに分類の問題が実際に解かれる段階になるのである。

坪井 俊

２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

坪井 俊

数学研究上でしばしば出会うこと。
数学研究上でしばしば出会うこと最も多いのは、苦労して定義した不変量は実は０という値しかとらない。
これも無駄ではない。ある対象に対して、１つの性質が常に成り立 という定理でもある。の性質が常に成り立つという定理でもある。
２番目は、定義した不変量は実は知られている不変量である。
これは１つの定理である。
これは１つの定理である
滅多に起こらないが新しい自明ではない不変量の定義ができあがることがある。

２０１０年１月１４日 学術俯瞰講義 数学を創る

第１２回 形の見分け方と数学の視点

参考
制限3体問題斎藤利弥 「解析力学入門」 至文堂 1964 (絶版ですが図書館にはあります）
高木貞治
http://mathsoc.jp/meeting/takagi50/index.html
ミルナ―：ポアンカレ予想
ミルナ
ポアンカレ予想
http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/kokaikoz/milnor-j.pdf
DIMENSIONS
http://www.dimensions-math.org/
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications
applications, 2002
http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159
Ricci flow with surgery on three-manifolds,
three manifolds, 2003
http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain threemanifolds, 2003
http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245

坪井 俊