〔間〕

昭和 49年 度

〈問題〉

午前の部
1. ある母集団の 1 00個の独立な標本♂ i(Z. = 1，・・".
.
、=X

2.
5

標本平均一一‑:‑2.
， Xi

標本分散~2(的- X)299‑

100 ‑100)忙ついて2が得られた。適当な近似法を用いて，母集団平均 μの信頼度 95協の区間推定を行なえ o(注)纏率変数 Zが標準正規分布 N (0， 1)に従うとき p(ー 2壬 Z壬 2 )キ 0.95

2. ある母集団の独立な標本値 X
t， .
.
.
.
・ ・.
X
2 陀ついて，母集団平均 μの推定量として線形推H

定量百=};CiXiを考える o すると，不偏な線形推定量の中で分散が最小のものは，標本平均~i‑};九であることを示せ。

3. Yを 3次元数ベクトノレ空間として

r1 1 1IA = 11101
L1 1 ‑1Jとする。 y'= {xA，♂ εY}とするとき(1) Y'の次元を求めよ。

(2) Y'の正規直交基底を作れ。

‑118ー

〔間〕
午後の部
4. Xl ， X2を独立な確率変数で，それぞれ平均 0，分散。?，

平均 0， 分 散 σi の正規分布K従うものとする oYlα11X1+α12X2Y
2=α21X1十 α22X2としたときY1 と Y2 が庄いに独立であるための必要十分条件を示せ。

5. 同一バス停を通る A社と B社のパスがあるものとする。 A社のパスと B社のパスの到着は独立で，その時間間隔は各々平均値 d‑1β 1 の指数分布陀従うものとする。
日(1) 時間 tの間忙到着する A社のパス台数の分布を示せ。

(2) 時間 tの間 K到着する A社のパスと B社のパスの合計台数 Mの分布を示せ。
(注)平均値 Aの 指 数 分 布 の 確 率 密 度 函 数 は ド ー ?

‑119ー

(解答〉

昭 和 49年 度
午前の部

標本が充分大き L、から，母集団分布が特に異常なものでなければ(具体的 Kは 3次の絶1.

対モーメントがあまり大でなければ)標本平均の分布は正規分布で近似できる O 母集団分散は標本分散で代用すること忙して

.
‑.
‑‑‑，.
.‑
100ご
二宮守とおけば♂~t

jlx=で /.
l，JI.
x= E (X)， ai= v(X)

2σxa2
τ
百万 ‑.
‑100ーμ， σ2 は各々母平均，母分散から一一P(Xー 2.
.
.
/
元5孟 一
μ孟X +2.
.
.
/市0.
95

したがって， μの 95%信頼区間は近似的 K[2.
5ー 2X 0.
14， 2.
5十 2X 0.
1 4]
= [2.2 2， 2.78]

で与えられる。

2.

μを母集団平均， σ2を母集団分散とすると ， {}=1'C.
IXi が不偏七あるため忙は，E ((})= l'E (CiXi )= l'Ciμ = μ

ICi = 1 でなければならな L。
、
次Kv({})= 1'V (CiXi) = l'Ci2 a21'Ci = 1 の条件の下で1' c~ 2 を最小比するのはしたがって標本平均ztxzが分散最小の線型不偏推定量である。

‑120ーCiす で あ るoel = (1， 0， 0)

Vのj基底e，1， 0)
2 =( 0…

e3 = (0， 0， 1)

をとる O=(1oor)=(1110
1 1‑1e，'=e，A=(0， 1， 0l(¥11 01‑)e:=e A= (0， 0， 1)11 1 ¥ = (1， 1， ‑1)
3

1 1 1 0 J

とおくとe.
'，e/，e/はす， :を張るが，と h は一次独立

eIFe，/ e/， e/の 3つはe/‑ 2e/十 e/ = (0， 0， 0)だから一次独立:ではな L、。したがって y'は 2次元の Vの部分空間となり組の基底となる。
正規直交基底を作るため Kは，et=αee/とおけば
l'+bet =(α +bα十 b，α)だから α =1， b=‑1 とおけば
e~ = (0，O. 1 )となり

e/.e.1+O.1ト・ 1.0=02' =O
従ってe~ = (0， 0， 1)

丁長T 岸=(庁'J争oeJ=とおけば et， e" はy'の正規直交基底となる O
2‑121‑

e/， e/はそのー

午後の部
4. X1 ， X2 の同時分布の躍率密度函数 f(X 1 ，X 2 ) はf(叫 ， X2 ) = ( 2π 帆 ) ー 1exp;x(σ)グ

ここ忙

お(=x(σ)ぐ2;斗ベj;det A =0な ら も と も は 独 立 で あ り 得 な い こ と は 明 か ，もしdetAキ 0 のとき.
.
.tf(x1，X 2 ) dx1dx2 = (2π 01 σ2)ー l(detA)ー1eXp~1t"y."A‑
1 ((J) A‑1(σ )A‑1
• ydYI d九tA‑1 (σ )A‑1= D とおくとを(YI. h ) (d dl2¥ (YI¥ dYI d hf(X 1，X2)d♂ 1dX2

Kexpll¥d2
Yd
1 d22J¥の 形 と な る (Kは定数)。

.
.
.
!
.
.
LY2) とおくとしたが・っても， y2 の同暗号布の確率密度函数を fI ( Y2f'
(Yl，九〉 =kexpi(YI11 d1¥!
Yヘ2 '''''，
7 yh)μ1".
.
¥ /.
，~4，¥d2
21 ¥y/
1 d2=Kexp÷(只2dJl +九 2d2
2 十 d仏Y2)

d2'(YI，Y2)= fI(YI)f2(Y2) (f1，f2は各々 YI. Y2の周辺確
2= 0 が f1+ dlから率密度函数)の形に分離できるための条件となる。
したがって

lにつ(:;}につhh)2ー

1/α22201‑2+α2120f，‑G22G1201‑2‑hhσ ‑2¥(detA)2/‑2‑
2‑2‑2114σJ
L α12~2σ ，ー α11α21 0 2α12 01 十 αー‑122‑

から，

Gtz
anσI ‑ +α11a21O2 ‑0故vc，YI と も が 独 立 忙 な る た め の 必 要 十 分 条 件 は(1) det A キ0 す な わ ち(2)α12α 2201

白α11α22α 1% α
21キ 0o+α 11 a21 0 25. (1) P (Nt+.
d.t= 0)=.P(Nt=0)よα
ム t十 o(t)-å 乙~tP(Nt+ム t.=n)= p(Ne=九 )e -~.+p(Nt=n-l)(l-e

会伽P=0)=一 則 Nt =0)

ム t) 十 O(ム t)担)JLp.(Nt4)zdP(Nt=九一 l)‑dP(Nt=九).
，.
・ ・.
.
(b)
dt
H{α)の「股解はP(Nt=O) = Cfdt
P (No=O)= 1 からーOc‑e‑=l， 故に C=lゆ)を解くためにP(Nt=九 )=FdtZLn(t)とおき (b)v
c代 入 す れ ば=dUn‑1(t)Un'(t)n > oのとき

Un(O)= P(No=n)=0 だから

μn(t)=dth‑l(s)ds

これから計算して(αt)n

U n(t)= 一五了一(dt)ne‑えt. P(Ne=九)=一一五了(2) 同様忙して B社のパス忙ついては，時間 tの間忙到着する台数を N'とすれば(βt)n e‑).
tp(N'I=n)=~従って. P (M1= n)= P(Ne十 N'l= n )‑123‑

ーも(dt)fe(βt)n‑A ρ ー(d+β)t
50A!(九 ‑Ib)!

コこ=己土 fJ)

(α+β )tρ一九!

‑124ー