2023 年度
年金数理･･････1

年金数理（問題）
この年金数理の問題において特に説明がない限り、次のとおりとする。
・ 「被保険者」とは、制度に加入中の者をいう
・ 「年金受給権者」とは、年金受給中の者および受給待期中の者をいう
・ 「加入年齢方式」とは、「特定年齢方式」のことをいう
・ 「責任準備金」とは、給付現価から標準保険料収入現価を控除した額をいう
・ 「未積立債務」とは、責任準備金から積立金を控除した額をいう
・ 「Trowbridge モデルの年金制度」とは、定年退職者のみに対し、定年退職時より単位年金額の終身年金を年１回期初に支払う年金制度をいい、保険料の払い込みは年１回期初払いとする
なお、「Trowbridge モデルの年金制度」は必ずしも定常人口を仮定するものではない問題１．次の（１）～（８）の各問について、各問の指示に従い解答しなさい。
各５点（計４０点）（１）最終給与比例制による給付を行う年金制度について、定常状態にあった。ここで、𝑋年度の期初に4.0％のベースアップがあったが、保険料率は見直さないこととした。この場合、年数が経過する
につれ積立金が減少する。
「𝑋 + 𝑡年度の期初積立金 < 𝑋年度の期初積立金×0.95」となる整数 𝑡 で最小のものを選択肢の中から１つ選びなさい。ただし、計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。【解答欄番号 1 に対応】
＜計算の前提＞
・保険料および給付は年１回期初払いとする
・期初積立金は、期初の保険料の払い込みおよび給付の支払いを行う前の値とする
・予定利率は6.0％とする
・𝑋年度以降、ベースアップを行ったことによる差損益以外の差損益は発生しないものとする
・𝑋年度の期初の保険料の払い込みおよび給付の支払いはベースアップ後の給与に基づき行う（年金受給権者についてもベースアップ相当増加した給付を支払う）ものとし、𝑋 + 1年度以降
は追加的なベースアップは発生しないものとする＜諸数値＞
1.06 = 1.33823、1.06= 1.79085、1.06= 2.39656、1.06= 3.20714(Ａ) 10(Ｂ) 11(Ｃ) 12(Ｄ) 13(Ｅ) 14(Ｆ) 15(Ｇ) 16(Ｈ) 17(Ｉ) 18(Ｊ) 192023 年度
年金数理･･････2（２）定常人口に達している年金制度𝐴、𝐵の中途退職（加入中の死亡を含む、以下同じ）による脱退率
は年金制度𝐴、𝐵ともに全年齢で0.02である。このとき、年金制度𝐴、𝐵の被保険者の平均年齢の差に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。ただし、計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。【解答欄番号 2 に対応】

＜計算の前提＞
・年金制度𝐴は毎年度初に20歳と30歳で、同数の新規加入がある・年金制度𝐵は毎年度初に20歳で、新規加入がある・年金制度𝐴、𝐵ともに年金制度からの脱退は中途退職による脱退と定年退職による脱退の２種類があり、いずれも年１回期末に発生する・年金制度𝐴、𝐵ともに定年年齢は60歳であり、期初に59歳の被保険者はその年度中に中途退職もしくは定年退職により全員脱退する
・平均年齢の算定は期初の新規加入の直後に行うものとする
＜諸数値＞
0.98

= 0.54548、0.98= 0.44570(Ａ) 1.0歳(Ｂ) 1.3歳(Ｃ) 1.6歳(Ｄ) 1.9歳(Ｅ) 2.2歳(Ｆ) 2.5歳(Ｇ) 2.8歳(Ｈ) 3.1歳(Ｉ) 3.4歳(Ｊ) 3.7歳

2023 年度
年金数理･･････3（３）脱退・保険料の払い込み・給付の支払いが連続的に起こる年金制度を考える。この年金制度における単位時間あたりの１人あたりの標準保険料として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
【解答欄番号 3 に対応】
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・加入年齢から定年年齢までの期間は40年とする・脱退者に対しては、加入年数×1万円を年金額とする20年確定年金を、脱退時から支払うものとする・給付額の算定に用いる加入年数は連続値をとるものとする
・利力 𝛿 は 𝛿 = 0.02とする
・年齢 𝑥 歳における脱退力 𝜇 は𝜇（年齢によらず一定）とする
・加入年齢で加入した被保険者の脱退時平均加入年数は、利力 𝛿の連続払の60年確定年金の年金現価率𝑎| を用いて、 𝛿𝑎| ⁄𝜇と表すことができるものとする＜諸数値＞
𝑒 = 2.718、𝑒 . = 1.221(Ａ) 9.8万円(Ｂ) 10.1万円(Ｃ) 10.4万円(Ｄ) 10.7万円(Ｅ) 11.0万円(Ｆ) 11.3万円(Ｇ) 11.6万円(Ｈ) 11.9万円(Ｉ) 12.2万円(Ｊ) 12.5万円

2023 年度
年金数理･･････4（４）財政方式として加入年齢方式を採用している年金制度（保険料の払い込みは年１回期初払い、給付の支払いは年１回期末払い）の2022年度末の貸借対照表、2023年度の損益計算書は次のとおりである。このとき当年度剰余金の額𝛼に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、2023
年度は、死差損益が利差損益の 2 倍であったものとし、利差、死差および前年度末未積立債務にかかる予定利息以外の差損益は発生しなかったものとする。
【解答欄番号 4 に対応】
2022年度末の貸借対照表
積立金40,000

未積立債務

10,000

合計

50,000

責任準備金

50,000

合計

50,0002023年度の損益計算書
給付金

8,000

標準保険料収入10,0002023 年度末責任準備金

54,784 特別保険料収入

4,000

当年度剰余金𝛼

運用収益

𝛽

2022 年度末責任準備金
合計𝑋50,000

合計

𝑋

2023年度の利源分析表
利差損益

𝛾

死差損益

2𝛾

特別保険料収入

4,000

特別保険料収入にかかる予定利息128

前年度末未積立債務にかかる予定利息

𝛿

合計

𝛼

(Ａ) 1,000(Ｂ) 1,500(Ｃ) 2,000(Ｄ) 2,500(Ｅ) 3,000(Ｆ) 3,500(Ｇ) 4,000(Ｈ) 4,500(Ｉ) 5,000(Ｊ) 5,500

2023 年度
年金数理･･････5（５）キャッシュバランス制度の年金制度𝐴における制度内容のうち、支給要件のみ変更した年金制度
𝐵について考える。年金制度𝐴における標準保険料率 𝑃 と年金制度𝐵における標準保険料率 𝑃 の
比 𝑃

𝑃 として最も適切なものを選択肢の中から 1 つ選びなさい。
【解答欄番号 5 に対応】

＜制度内容＞
年金制度𝐴
加入時期

年金制度𝐵
年 1 回期初加入＜中途退職による脱退の場合＞加入時から脱退時までの毎期初の給与に、脱退時までの期間および脱退時から 𝑥 歳までの期間いずれも年利率 𝑖 の複利で付利した額の合計額を、 𝑥 歳到達時に一時金として支給する
給付内容＜定年退職による脱退の場合＞加入時から脱退時までの毎期初の給与に、脱退時までの期間、年利率𝑖 の複利で付利した額の合計額を、年利率 𝑖 の年 1 回期初払い 𝑛 年確
定年金現価率で除した額を、年金として 𝑥 歳から年 1 回期初払いで生死に関わらず 𝑛 年間支給する

支給要件
脱退時期
財政方式
保険料

加入者期間 1 ヵ月以上

加入者期間 2 年 1 ヵ月以上中途退職による脱退は年 1 回期末に発生し、定年退職による脱退は 𝑥
歳に到達した期初に発生する。
加入年齢方式（新規加入年齢 𝑥 歳）
年 1 回期初に「期初時点の加入者の給与総額×標準保険料率」を払い込む＜記号＞
𝑥 ：加入年齢
𝑥 ：定年年齢（一時金および年金の支給開始年齢）、ただし、𝑥 − 𝑥 ＞2 とする
𝑏 ：給与指数、𝑑 ： 𝑥 歳の脱退者数、𝑖：予定利率＜計算の前提＞
・年金制度𝐴と年金制度𝐵では同一の基礎率を用いるものとする
・計算基数（𝐷 、𝐶 ）は𝑥 未満において期末の生存脱退のみを考慮したものである
・𝑥 未満の死亡は一切考慮しないものとする
・期初の保険料の払い込み等が発生する順は「定年退職による脱退→昇給→新規加入者の加入→保険料の払い込みおよび給与の付与」とし、期末の給付の支払い等の発生する順は「年利率 𝑖 による付利→中途退職による脱退→中途退職者への 𝑥 歳到達時における一時金の支払い」とする

2023 年度
年金数理･･････6

(Ａ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝐶

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｂ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝑑

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｃ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝐶

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｄ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝑑

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｅ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝐶

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｆ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝑑

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｇ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝐶

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｈ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝑑

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｉ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝐶

𝑏 (1 + 𝑖)

(Ｊ)

𝑏𝐷

𝑏𝐷 −

𝑑

𝑏 (1 + 𝑖)

2023 年度
年金数理･･････7（６）被保険者が脱退した時から、次の式で表される年金額𝛼 を10年確定年金（年1回期初払い）として支払う年金制度があり、定年退職による脱退時のみ支払う。
加入期間𝑡に応じた年金額：𝛼 =𝑡× 𝐵 × (1 + 𝑟)𝑥 −𝑥

この年金制度に採用する財政方式について、加入年齢方式と単位積立方式を候補として検討しており、単位積立方式を採用する場合は、加入期間が1年延びることにより増加する年金額を各年度に割り当てる「単位」とする。
加入年齢方式を採用した場合の単位給与あたりの標準保険料率を 𝑃 とし、単位積立方式を採用した場合の年齢𝑥歳の１人あたりの標準保険料を 𝑃 とする。 𝑃 は加入期間が𝑥 − 𝑥 年から𝑥 − 𝑥 +1年に延びることに対応する。
𝑥を40とするとき、 𝑃 × 𝐵 ÷ 𝑃 の結果として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
【解答欄番号 6 に対応】
＜計算の前提＞
・予定利率は3.0%とする
・加入期間𝑡は年単位とする（1年未満の端数期間は切捨て）
・新規加入年齢を𝑥 歳、定年年齢を𝑥 歳とし、全ての被保険者は𝑥 歳で加入するものとする。ここで、𝑥 は30、𝑥 は60とする
・𝐵 は𝑥 歳の給与とし、毎年の昇給率を𝑟とする。ここで、𝑟は年齢によらず2.0%とし、実際の昇給は予定と相違しないものとする。また、昇給は59歳まで行われるものとする。
・昇給、新規加入および標準保険料の払い込みは年１回期初に発生し、「昇給→新規加入→標準保険料の払い込み」の順に発生する・定年退職による脱退は60歳に到達した期初に発生する・標準保険料を払い込む被保険者の最終年齢は59歳とする＜諸数値＞
𝐷 ：4,120 𝐷 ：1,069 𝐵 ：100,000
1.02= 1.486

𝐷 𝑏 ：36,689 (𝑏 は𝑦歳の給与指数とし、𝑏= 1 とする)(Ａ) 1.044(Ｂ) 1.051(Ｃ) 1.058(Ｄ) 1.065(Ｅ) 1.072(Ｆ) 1.079(Ｇ) 1.086(Ｈ) 1.093(Ｉ) 1.100(Ｊ) 1.107

2023 年度
年金数理･･････8（７）𝑋年度初に定常状態に達している年金制度において、𝑋 + 1年度から𝑋 + 5年度にかけて、毎年「𝑋年度の給付× 𝑘」ずつ段階的に給付が増加（※）した。𝑋 + 5年度において𝑋年度の保険料の 2 倍の保険料の払い込みを行ったところ、𝑋 + 6年度初以降再び定常状態となった。このとき、𝑘の値として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提を次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。【解答欄番号 7 に対応】（※）𝑋年度の給付を𝐵とすると、𝑋 + 1年度の給付：(1 + 𝑘) × 𝐵、𝑋 + 2年度の給付：(1 + 2𝑘) × 𝐵、…、𝑋 + 5年度以降の給付：(1 + 5𝑘) × 𝐵となる。
＜計算の前提＞
・保険料および給付は年１回期末払いとする・保険料は𝑋 + 5年度を除き𝑋年度と同額とする
・𝑋年度の給付は𝑋年度の保険料の 2 倍とする
・𝑋 + 6年度以降の給付は𝑋 + 5年度と同額とする・予定利率は2.5%とし、運用利回りは予定利率どおり推移するものとする＜諸数値＞
𝑣 = 0.884𝑣=

1、𝑎 | = 4.646、𝐼𝑎 | = 13.708
1.025（Ａ） 0.0011（Ｂ） 0.0013（Ｃ） 0.0015（Ｄ） 0.0017（Ｅ） 0.0019（Ｆ） 0.0021（Ｇ） 0.0023（Ｈ） 0.0025（Ｉ） 0.0027（Ｊ） 0.0029

2023 年度
年金数理･･････9（８）Trowbridge モデルの年金制度で定常状態のとき、各財政方式の積立金に関する次の①～④の記載のうち、正しいものを全て選択した組み合わせとして最も適切なものを選択肢の中から１つ選びなさい。【解答欄番号 8 に対応】
＜記号＞
𝑥 ：加入年齢、𝑥 ：定年年齢、𝜔：最終年齢、𝑙( )：脱退残存表における𝑥歳の被保険者数、𝑙 ：生命表における𝑥歳の被保険者数①加入時積立方式と退職時年金現価積立方式の積立金の差額

𝑙

( )𝑁

𝐷

+𝑙

𝑁
𝐷

②退職時年金現価積立方式の積立金
𝑙
𝑙

−

𝐷
𝐷

×

𝑙
1−𝑣

③単位積立方式と退職時年金現価積立方式の積立金の差額
𝑁
1
1
𝑙
−
1−𝑣
𝐷
𝑥 −𝑥

𝑙

( )𝑁

𝐷

④単位積立方式の積立金

𝑙 +

𝑙

𝑁
+
𝐷

𝑙

( )

𝑥−𝑥
𝑥 −𝑥

𝑁
𝐷

（Ａ）①

（Ｂ）②

（Ｃ）③

（Ｄ）④

（Ｅ）①と②（Ｆ）①と③（Ｇ）①と④（Ｈ）②と③（Ⅰ）②と④（Ｊ）③と④（Ｋ）①と②と③（Ｌ）①と②と④（Ｍ）①と③と④（Ｎ）②と③と④（Ｏ）①と②と③と④（Ｐ）いずれにも該当しない

2023 年度
年金数理･･････10

問題２．次の（１）～（５）の各問について、各問の指示に従い解答しなさい。
各６点（計３０点）（１）ある企業がキャッシュバランス制度の年金制度を発足させることにした。このとき、次の（ア）、（イ）の①～⑨について、最も適切なものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、解答にあたり同じ選択肢を複数回選択してもよいものとする。また、記号および前提は次のとおりとする。
【解答欄番号 1～9 に対応】
＜記号＞
𝑖 ：予定利率、𝑣 =𝑥 ：新規加入年齢
𝑥 ：定年年齢および年金の支給開始年齢
𝑙 ：脱退残存表に基づく 𝑥 歳の被保険者数、𝐷 = 𝑣 𝑙𝑑 ：脱退残存表に基づく 𝑥 歳の脱退者数、𝐶 = 𝑣

𝑑

𝐿 ：𝑥 歳の実際の被保険者数
𝐵 ：𝑥 歳の給与（１人あたり）
𝑏 ：𝑥 歳の給与指数
𝛼 ：持分付与率 (𝛼 > 0)
𝑗 ：利息付与率 (𝑗 > 0)𝑗 ：年金額を計算するための利率
𝑎̈ | (𝑖) ：利率 𝑖 の年１回期初払い 𝑛 年確定年金現価率
𝑎 | (𝑖) ：利率 𝑖 の年１回期末払い 𝑛 年確定年金現価率＜前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用する・被保険者の人員および給与の分布は年度によらず一定とする（実際の脱退および昇給が計算基
礎率通りに推移していることを意味しているものではない）
・年金制度への加入時期：年１回期初とする・保険料の算定方法および払い込み時期：「各被保険者の給与×保険料率」で計算される保険料を
年１回期初に払い込むものとする
・中途退職による脱退は年１回期末に、定年退職による脱退は年１回期初、保険料の払い込みの前に発生するものとする
すなわち、期初に 𝑥 − 1 歳の被保険者が中途退職する場合は当該年度の期末に脱退し、中途退職しない場合は翌年度の期初に定年退職により脱退する
また、定年退職により脱退する年度には、後述の持分付与額の付与は行われないものとする
・加入中の死亡による脱退は発生しないものとする
・脱退後、支給開始年齢に到達する前の死亡は発生しないものとする
・持分付与額は「給与×𝛼」とする

2023 年度
年金数理･･････11
また、持分付与額の付与は年１回期初に行われるものとする
・利息付与額は「前年期末時点の仮想個人別勘定残高× 𝑗 」とする
また、利息付与額の付与は年１回期初に行われるものとする
・仮想個人別勘定残高：持分付与額と利息付与額の合計とする・給付の内容：退職時の仮想個人別勘定残高を「支給開始年齢－退職年度の期初時点の年齢」分
だけ年利率 𝑗 で付利した額を原資として、利率 𝑗 の年１回期初払い 𝑛 年確定年金現価率で除した額を年金として支払うものとする
・年金の支払いは、支給開始年齢より年１回期初払いで生死に関わらず 𝑛 年間行うものとする（一時金での支給はないものとする）（ア）この年金制度の標準保険料率 𝑃 を求める。財政方式として加入年齢方式を採用していることから、 𝑥 歳における給付現価 𝑆 と給与現価 𝐺 を用いて次のように表すことができる。
𝑃

=

𝑆
𝐺
𝐶 ・𝑣①

=

②

③

・𝑏 +𝐷

②

③

・𝑏

×𝛼×

⑤

𝐷 ・𝑏

④

＜①～⑤の選択肢＞(Ａ) 𝑥 − 𝑥(Ｂ) 𝑥 − 𝑥 − 1(Ｃ) 𝑥 − 𝑦(Ｄ) 𝑥 − 𝑦 − 1(Ｅ) (1 + 𝑖)(Ｆ) (1 + 𝑗)(Ｇ) (1 + 𝑗′)(Ｈ) (1 + 𝑖 + 𝑗)(Ｉ) (1 + 𝑖 + 𝑗′)(Ｊ) 𝑎̈ | (𝑖)(Ｋ) 𝑎̈ | (𝑗)(Ｌ) 𝑎̈ | (𝑗′)(Ｍ) 𝑎 | (𝑖)(Ｎ) 𝑎 | (𝑗)(Ｏ) 𝑎 | (𝑗′)（イ）𝑗 および 𝑗 を 𝑖 と同率とし、また、制度発足時の被保険者については入社時から制度があったものとして給付を行うものとする。この場合、責任準備金 𝑉 は過去の加入期間に対応する給付現価と一致するため、期初の新規加入、定年退職による脱退、持分付与額および利息付与額の付与を行った後の金額は次のとおり表すことができる。

𝑉 =

⑥∙

⑧
⑦

× (1 + 𝑖) ⑨ × 𝛼＜⑥～⑨の選択肢＞
(Ａ) 𝑙

(Ｂ) 𝑙

(Ｃ) 𝑙

(Ｄ) 𝑙

(Ｅ) 𝐿

(Ｆ) 𝐿

(Ｇ) 𝐿

(Ｈ) 𝐿

(Ｉ) 𝑏

(Ｊ) 𝑏

(Ｋ) 𝑏

(Ｌ) 𝑏

(Ｍ) 𝑙 𝑏(Ｎ) 𝑙

𝑏(Ｏ) 𝑙 𝑏(Ｐ) 𝑙𝑏(Ｑ) 𝐿 𝐵

(Ｒ) 𝐿

𝐵

(Ｓ) 𝐿 𝐵

(Ｔ) 𝐿

𝐵(Ｕ) 𝑥 − 𝑦(Ｖ) 𝑥 − 𝑦 − 1(Ｗ) 𝑥 − 𝑦(Ｘ) 𝑥 − 𝑦 − 1

2023 年度
年金数理･･････12（２）Trowbridge モデルの年金制度において、被保険者集団は定常人口を仮定し、期初の被保険者の総数を𝐿、脱退残存表による𝑥歳の被保険者数を𝑙𝑥 、定年年齢を𝑥𝑟 歳とする。
𝑥𝑟 −1

また、𝑒𝑥 ＝𝑙𝑦 /𝑙𝑥 とする。
𝑦=𝑥

毎年期初に𝑥1 歳と𝑥2 歳と𝑥3 歳で3: 2: 1の割合で新規加入があるものとし、𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 とする。
このとき、次の（ア）、（イ）の各問について答えなさい。
（ア）𝑥1 歳の毎年の新規加入者数𝐿𝑥1 として最も適切なものを選択肢の中から 1 つ選びなさい。
【解答欄番号 10 に対応】
(Ａ) 1 ∕ (𝑒+ 2𝑒

+ 3𝑒 )(Ｂ) 𝐿 ∕ (𝑒+ 2𝑒

+ 3𝑒 )(Ｃ) 2𝐿 ∕ (𝑒+ 2𝑒

+ 3𝑒 )(Ｆ) 2𝐿 ∕ (3𝑒

+ 2𝑒

+𝑒 )

(Ｄ) 3𝐿 ∕ (𝑒+ 2𝑒

+ 3𝑒 )(Ｅ) 𝐿 ∕ (3𝑒

+ 2𝑒

+𝑒 )

(Ｇ) 3𝐿 ∕ (3𝑒

+ 2𝑒

+𝑒 )

(Ｈ) 3𝐿 ∕ (𝑒

+𝑒

+𝑒 )

（イ）財政方式として特定年齢𝑥1 歳の加入年齢方式を採用した場合、毎年の新規加入時に全新規加入者から発生する不足金の額として最も適切なものを選択肢の中から 1 つ選びなさい。
【解答欄番号 11 に対応】

(Ａ) 𝐿𝑥 ・1

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑟

1(Ｄ) 𝐿𝑥 ・1

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑟

𝐿𝑥 ・𝑟

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑟

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥
𝑟

𝑟

・
・

1

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥
1

・

𝑟
𝑟

2

1

𝐷𝑥

+

3(𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥 )

+

3

1

𝐷𝑥

2

2(𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥 )1

𝐷𝑥

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

1

2𝐷𝑥

+

3𝐷𝑥

1

2

+

1

𝐷𝑥

2(𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥 )
2

1

𝐷𝑥

3

3

3(𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥 )

2

1

+

3

1

𝐷𝑥

2

2(𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥 )
𝐷𝑥

+

3

3

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥2

1

𝐷𝑥

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

2𝐷𝑥+

2

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥
1

2𝐷𝑥

2

2

2

+

3

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

2

1

3

3

1

2

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥2𝐷𝑥

23

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥2𝑟𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥
𝑟

𝐷𝑥

𝑟

𝑟

1

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥・𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

𝐿𝑥 ・
1

・

𝑟

1

𝐿𝑥 ・
1

𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

𝐿𝑥 ・
1

・

2

1

𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥1

1・𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

2(𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥 )

𝑟

𝑟

1

1

(Ｈ)

𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥(Ｃ) 𝐿𝑥 ・(Ｇ)

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥

・

𝑟

1

1

(Ｆ)

𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥(Ｂ) 𝐿𝑥 ・(Ｅ)

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥

3

1

3𝐷𝑥

3

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥
1

𝐷𝑥

3

3

3

3

2023 年度
年金数理･･････13（３）開放基金方式による財政運営を行っている年金制度があり、この年金制度では𝑋年度末に財政再計算が行われた。次の＜前提＞が与えられているとき、（ア）～（ウ）の各問について答えなさい。
＜前提＞
・退職（死亡による退職を含む）による脱退者に対して「加入年数× 40万円」で算定される金額を一時金として支払う（一定の要件を満たす者については、当該金額を原資とする年金を支払う）
・給付の支払いおよび保険料の払い込みは年１回期初に、保険料の払い込み→給付の支払いの順序で発生する・財政再計算後に剰余金が発生した場合、当該剰余金は留保するものとする
・𝑋年度末における財政再計算前後の諸数値は次のとおりである
なお、給付現価および積立金の金額単位は「百万円」、人数現価の単位は「人」としている
項目
𝑆
𝑆
𝑆

年金受給権者の給付現価
在職中の被保険者の過去の加入期間に対応する給付現価
在職中の被保険者の将来の加入期間に対応する給付現価𝑋年度末

𝑋年度末（財政再計算前）（財政再計算後）

200,000

210,000

180,000

190,000

120,000

140,000𝑆

将来加入が見込まれる被保険者の給付現価

130,000

150,000

𝐺

在職中の被保険者の人数現価

510,000

520,000

𝐺

将来加入が見込まれる被保険者の人数現価

540,000

550,000

𝐹

積立金450,000

𝑖

予定利率

3.0%

（ア）財政再計算後の計算基礎率通りに𝑋 + 1年度の給付の支払い、保険料の払い込み、運用利回り
および人員が推移した場合、𝑋 + 1年度末の剰余金の額に最も近いものを選択肢の中から１つ選
びなさい。なお、選択肢となっている各数値の金額単位は「百万円」である。
【解答欄番号 12 に対応】
(Ａ) 50,000(Ｂ) 50,500(Ｃ) 51,000(Ｄ) 51,500(Ｅ) 52,000(Ｆ) 52,500(Ｇ) 53,000(Ｈ) 53,500(Ｉ) 54,000(Ｊ) 54,500

2023 年度
年金数理･･････14（イ）（ア）の状況とは異なり、実際には𝑋 + 1年度において次の事象が発生した。𝑋 + 1年度末の剰余金の額に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、𝑋 + 1年度の給付の支払いは
15,200百万円、保険料収入は9,250百万円であった。また、選択肢となっている各数値の金額単
位は「百万円」である。
【解答欄番号 13 に対応】
＜事象＞・積立金の運用利回りは7.0%であった
・47歳（加入年数25年）の被保険者30名全員が保険料の払い込み後、中途退職により年度初に脱退し、同時に一時金として給付（47歳の脱退者全員分）が支払われた。その他の被保険者の脱退は予定通りであった。なお、47歳の被保険者の予定脱退率（中途退職および死亡による脱退率の合計値）はゼロ、一人当たり責任準備金は9百万円である・利差、脱退差および前年度末剰余金にかかる予定利息以外の損益は発生していない。なお、利差は積立金の運用利回りが予定利率と異なる場合に発生し、脱退差は被保険者の脱退状況
が予定と相違した場合に発生するものとする(Ａ) 67,300(Ｂ) 67,800(Ｃ) 68,300(Ｄ) 68,800(Ｅ) 69,300(Ｆ) 69,800(Ｇ) 70,300(Ｈ) 70,800(Ｉ) 71,300(Ｊ) 71,800（ウ）𝑋 + 1年度に計算基礎率通りではない人員の推移が発生し、結果として𝑋 + 1年度末の剰余金の額は（イ）と同額になった。このとき、𝑋 + 1年度末において、𝑋 + 1年度末時点の剰余金を活用して被保険者の将来の加入期間に対応する給付を一定割合増額する（給付改善する）ことを考える。𝑋 + 1年度の標準保険料率を変更せず、かつ新たな特別保険料率を設定せずに、剰余金のみで給付改善をした場合、増額可能な割合の最大値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、𝑋 + 1年度末における給付現価および人数現価は𝑋年度末（財政再計算後）における金額と同額であったとする。【解答欄番号 14 に対応】
(Ａ) 24%(Ｂ) 26%(Ｃ) 28%(Ｄ) 30%(Ｅ) 32%(Ｆ) 34%(Ｇ) 36%(Ｈ) 38%(Ｉ) 40%(Ｊ) 42%

2023 年度
年金数理･･････15（４）年度初に保険料𝐶が払い込まれ、年度初に給付𝐵が支払われ、年度末の積立金𝐹である定常状態の企業の年金制度について考察する。次の（ア）、（イ）の各問について答えなさい。
（ア）この制度において、第 1 年度以降の保険料を𝛼𝐶（ただし、0 < 𝛼 < 1）とした。第𝑡年度末の積立金𝐹 について、成り立つ式として最も適切なものを次の選択肢から１つ選びなさい。ただし、予定利率は 𝑖 （ただし、𝑖 >0）、𝑣 =(Ａ) 𝛼𝐶𝑎̈ | = 𝑣(𝑣𝐹 − 𝐹 )とする。
【解答欄番号 15 に対応】

(Ｂ) 𝛼𝐶𝑎̈ | = 𝑣(𝐹 − 𝐹 )(Ｃ) 𝛼𝐶𝑎̈ | = 𝑣 (𝑣𝐹 − 𝐹 )(Ｄ) 𝛼𝐶𝑎̈ | = 𝑣 (𝐹 − 𝐹 )(Ｅ) (1 − 𝛼)𝐶𝑎̈ | = 𝑣(Ｆ) (1 − 𝛼)𝐶𝑎̈ | = 𝑣(𝑣𝐹 − 𝐹 )(Ｇ) (1 − 𝛼)𝐶𝑎̈ | = 𝑣 (𝑣𝐹 − 𝐹 )(𝐹 − 𝐹 )(Ｈ) (1 − 𝛼)𝐶𝑎̈ | = 𝑣 (𝐹 − 𝐹 )（イ）（ア）の事象により、𝐹 が第15年度末に𝐹の(𝛼 + 1)/2倍を初めて下回った時に、𝐶/𝐵の値として最も近いものを次の選択肢の中から１つ選びなさい。ただし、予定利率は2.0％とする。また、必要であれば、次の諸数値を使用しなさい。
【解答欄番号 16 に対応】
＜諸数値＞
1.02 = 1.104(Ａ) 0.50(Ｂ) 0.55(Ｃ) 0.60(Ｄ) 0.65(Ｅ) 0.70(Ｆ) 0.75(Ｇ) 0.80(Ｈ) 0.85(Ｉ) 0.90(Ｊ) 0.95

2023 年度
年金数理･･････16（５）𝑋年度初に定常状態に達している Trowbridge モデルの年金制度において、責任準備金と積立金の推移について考える。＜計算の前提＞、＜諸数値＞を次のとおりとするとき、次の（ア）～（ウ）の各問に答えなさい。
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式
・加入年齢𝑥 は20歳、定年年齢𝑥 は60歳
・最終年齢𝜔（脱退残存表の残存者数が初めて0になる年齢）は101歳
・予定利率は2.0%・= 0.98(𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝜔 − 2)、0.98= 0.45480

・脱退および死亡は年１回期末（ただし、定年退職による脱退は定年年齢到達時の期初）に発生す
る
・期初において、「定年退職による脱退→新規加入→保険料の払い込み→給付の支払い」の順に発生する・給付の支払いは定年退職により脱退した年度の期初から開始する
・𝑋年度の期初において、積立金と責任準備金は同額である＜諸数値＞
𝑆

年金受給権者の給付現価

18,205,471

𝑆

在職中の被保険者の給付現価

25,061,307

𝑆𝜔 − 1歳の者𝑙

人の給付現価19,864𝑆

𝑥 歳の者𝑙 人の給付現価

𝐺

在職中の被保険者の人数現価

39,583,124

𝐺

𝑥 歳の者𝑙 人の人数現価

2,035,286𝑙𝑥 歳の人数

414,909

100,000

諸数値は𝑋年度の期初（新規加入者が加入した直後、かつ、保険料の払い込みと給付の支払いが発生する直前）時点の数値とする（ア）𝑋年度において、𝑥歳(𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝜔 − 2)の中途退職による脱退および死亡が発生しなかった。このとき、𝑋年度末の責任準備金の予定と実績の差損に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。ただし、𝜔 − 1歳の死亡は予定通り発生し、脱退および死亡の実績以外はすべて予定通り推移したものとする。
【解答欄番号 17 に対応】
(Ａ) 702,000(Ｂ) 704,000(Ｃ) 706,000(Ｄ) 708,000(Ｅ) 710,000(Ｆ) 712,000(Ｇ) 714,000(Ｈ) 716,000(Ｉ) 718,000(Ｊ) 720,000

2023 年度
年金数理･･････17（イ）𝑋年度は（ア）のとおり推移したものとする。このとき、𝑋年度末の積立金に最も近いものを
選択肢の中から１つ選びなさい。【解答欄番号 18 に対応】
(Ａ) 35,177,000(Ｂ) 35,182,000(Ｃ) 35,187,000(Ｄ) 35,192,000(Ｅ) 35,197,000(Ｆ) 35,202,000(Ｇ) 35,207,000(Ｈ) 35,212,000(Ｉ) 35,217,000(Ｊ) 35,222,000（ウ）𝑋年度は（ア）のとおり推移し、𝑋 + 1年度においてはすべて予定通り推移したものとする。
このとき、𝑋 + 1年度末の積立金に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。ただし、𝑋 + 1年度において、保険料率は𝑋年度と同じものを使用したものとする。
【解答欄番号 19 に対応】
(Ａ) 35,177,000(Ｂ) 35,182,000(Ｃ) 35,187,000(Ｄ) 35,192,000(Ｅ) 35,197,000(Ｆ) 35,202,000(Ｇ) 35,207,000(Ｈ) 35,212,000(Ｉ) 35,217,000(Ｊ) 35,222,000

2023 年度
年金数理･･････18

問題３．次の（１）～（３）の各問について、各問の指示に従い解答しなさい。
各１０点（計３０点）（１）Trowbridge モデルの年金制度に対して２つの制度変更を考える。計算の前提を次のとおりとす
るとき、次の①から㉒に当てはまる最も適切なものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、解答にあたり同じ選択肢を複数回選択してもよい。
【解答欄番号 1～22 に対応】
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式
・新規加入年齢は𝑥 歳、定年年齢は𝑥 歳とする。
・被保険者は全員𝑥 歳で加入し、過去勤務期間は無く、当該制度は定常人口に達している
・中途退職による脱退は年１回期末に発生する・期初に𝑥 − 1歳の被保険者は、期末に中途退職により脱退、もしくは定年年齢に到達した期初に定年退職により脱退する
・標準保険料を払い込む被保険者の最終年齢は𝑥 − 1歳とする・加入中の死亡は発生しない。また、中途退職による脱退後から定年年齢までにおいても死亡は発生しない
・２つの制度変更後の制度において、据置利率はいずれも年利ゼロとする。なお、据置利率とは、中途退職による脱退時から定年年齢までの間の利息に相当する利率である（ア）制度変更前の被保険者 1 人あたりの標準保険料を変化させないように、制度変更を行う。中途退職による年金額を𝛼に、定年退職による年金額を2𝛼に変更し、𝑥 歳の期初から支払う𝑛年確定年
金（年1回期初払い）とした。
制度変更前の𝑥 歳の給付現価を 𝑆 とすると、
𝑆

=

① × ②
𝐷

と表すことができる。制度変更後の𝑥 歳の給付現価を 𝑆 とすると、𝑆=③ × ④ ×𝛼× ⑤⑥ × 2𝛼 × ⑤
+
𝐷
𝐷

=

𝛼× ⑤
× ⑦ ×
𝐷

=

𝛼× ⑤
× ⑦ × ⑩𝐷

⑧ +2× ⑨となる。
標準保険料が変化しないことから、 𝑆= 𝑆 が成り立つため、

2023 年度
年金数理･･････19

𝛼=

⑪
⑫

×

⑬
1+ ⑬

と表すことができる。
【（ア）および（イ）共通の選択肢】[①、③、⑥の選択肢]
(Ａ) 𝐷

(Ｂ) 𝐷

(Ｃ) 𝐷

(Ｄ) 𝐶

(Ｅ) 𝐶

(Ｆ) 𝐶

(Ｄ) 𝑎̈ |(Ｅ) 𝑎̈

|(Ｆ) 𝑎̈|(Ｊ) 𝑠̈ |(Ｋ) 𝑠̈|(Ｌ) 𝑠̈

|

(Ｄ) 𝑣

(Ｅ) 𝑣

(Ｆ) 𝑣

(Ｄ) 𝑑

(Ｅ) 𝑑

(Ｆ) 𝑑
(Ｌ) 𝑝

[②、⑤、⑪、⑫、⑲、㉑、㉒の選択肢](Ａ) 𝑎̈

(Ｂ) 𝑎̈

(Ｃ) 𝑎̈

(Ｇ) 𝑎̈

|(Ｈ) 𝑎̈|(Ｉ) 𝑎̈|(Ｍ) 𝑠̈|(Ｎ) 𝑠̈|(Ｏ) 𝑠̈

|[④、⑦、⑭、⑯の選択肢]
(Ａ) 𝑣

(Ｂ) 𝑣

(Ｃ) 𝑣

(Ｇ) 𝑣

(Ｈ) 𝑣

(Ｉ) 𝑣

[⑧、⑨、⑩、⑬、⑮、⑰、⑱、⑳の選択肢]
(Ａ) 𝑙

(Ｂ) 𝑙

(Ｃ) 𝑙

(Ｇ) 𝑙

+𝑙

(Ｈ) 𝑙

+𝑙

(Ｉ) 𝑙

+𝑙

(Ｊ) 𝑝

(Ｋ) 𝑝

(Ｍ)

𝑝

(Ｎ)

𝑝

(Ｏ)

𝑝

(Ｐ) 𝑞

(Ｑ)

(Ｓ)

|𝑞

(Ｔ)

|𝑞

|𝑞

(Ｒ)

|𝑞

（イ）さらに制度変更を行う。中途退職による脱退時の年金額𝛼 を加入期間𝑡（1 年未満の端数期間は切捨て）に応じた額、定年退職による脱退時の年金額𝛽を加入期間によらない定額とし、いずれも
𝑥 歳の期初から支払う𝑛年確定年金（年1回期初払い）とした。なお、𝑥歳(𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 − 1)で中途退職により脱退する場合、加入期間𝑡は𝑥 − 𝑥 + 1とする。この制度の被保険者 1 人あたりの標準保険料を 𝑃としたとき、𝑥 歳から(𝑥 − 1)歳の各年齢で脱退による剰余や不足が生じない𝛼 を考える。
𝑥 歳の給付現価を 𝑆 とすると、𝑆=③ × ④ ×𝛼
𝐷

= ⑤ ×
となる。

⑭ × ⑮

× ⑤

+

× ④ ×𝛼⑥ ×𝛽× ⑤𝐷

+ ⑯ × ⑰ × 𝛽 ⋯ (a)2023 年度
年金数理･･････20
また、𝑥 歳の人数現価を 𝐺 とすると、
𝐺⑱ × ⑲ + ⑳ × ㉑ ⋯ (b)=となる。
(a)および(b)を用いると、𝑥 歳の責任準備金は、
𝑆 − 𝑃 𝐺

⑭ × ⑮ × ④ ×𝛼=

× ⑤ − 𝑃× ⑱ × ⑲+ ⑯ × ⑰ × 𝛽 ∙ 𝑎̈ | − 𝑃 × ⑳ × ㉑となる。
上式の責任準備金の⑭ × ⑮ × ④ ×𝛼を0とする𝛼× ⑤ − 𝑃× ⑱ × ⑲(𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 − 1)が、𝑥 歳から(𝑥 − 1)歳の各年齢で脱退による剰余や不足が生じないものであるので、
𝛼

=

㉒
④ × ⑤

× 𝑃

となる。
【
（ア）および（イ）共通の選択肢】（再掲）[①、③、⑥の選択肢]
(Ａ) 𝐷

(Ｂ) 𝐷

(Ｃ) 𝐷

(Ｄ) 𝐶

(Ｅ) 𝐶

(Ｆ) 𝐶

(Ｄ) 𝑎̈ |(Ｅ) 𝑎̈

|(Ｆ) 𝑎̈|(Ｊ) 𝑠̈ |(Ｋ) 𝑠̈|(Ｌ) 𝑠̈

|

(Ｄ) 𝑣

(Ｅ) 𝑣

(Ｆ) 𝑣

(Ｄ) 𝑑

(Ｅ) 𝑑

(Ｆ) 𝑑
(Ｌ) 𝑝

[②、⑤、⑪、⑫、⑲、㉑、㉒の選択肢](Ａ) 𝑎̈

(Ｂ) 𝑎̈

(Ｃ) 𝑎̈

(Ｇ) 𝑎̈

|(Ｈ) 𝑎̈|(Ｉ) 𝑎̈|(Ｍ) 𝑠̈|(Ｎ) 𝑠̈|(Ｏ) 𝑠̈

|[④、⑦、⑭、⑯の選択肢]
(Ａ) 𝑣

(Ｂ) 𝑣

(Ｃ) 𝑣

(Ｇ) 𝑣

(Ｈ) 𝑣

(Ｉ) 𝑣

[⑧、⑨、⑩、⑬、⑮、⑰、⑱、⑳の選択肢]
(Ａ) 𝑙

(Ｂ) 𝑙

(Ｃ) 𝑙

(Ｇ) 𝑙

+𝑙

(Ｈ) 𝑙

+𝑙

(Ｉ) 𝑙

+𝑙

(Ｊ) 𝑝

(Ｋ) 𝑝

(Ｍ)

𝑝

(Ｎ)

𝑝

(Ｏ)

𝑝

(Ｐ) 𝑞

(Ｑ)

(Ｓ)

|𝑞

(Ｔ)

|𝑞

|𝑞

(Ｒ)

|𝑞

2023 年度
年金数理･･････21（２）𝐴社と𝐵社が共同で実施している年金制度（以下、分割前制度）について、年金制度を分割し、𝐴社と𝐵社が別々の年金制度を実施することになった。このとき、次の（ア）～（ウ）の各問について答えなさい。また、計算過程で標準保険料率・特別保険料率を使用する場合は、小数点以下第４位を四捨五入し、小数点以下第３位まで求めた数値を使用しなさい。
＜計算の前提＞
・各制度の財政方式について、分割前制度は開放基金方式を採用しており、分割後の𝐴社の年金制
度は開放基金方式を、分割後の𝐵社の年金制度は到達年齢方式を採用する
・給付は、最終給与比例とする
・保険料は年１回期初払いとする
・分割前制度の標準保険料率および特別保険料率は制度全体で算定し、𝐴社と𝐵社で共通とする・標準保険料率について、被保険者の給与に対する一定割合として設定する・特別保険料率について、未積立債務を5年間の元利均等で償却するものとし、被保険者の給与に対する一定割合として設定する（特別保険料率の算定において、償却期間中の「在職中の被保険者の給与合計」は変動しないものとする）
・分割後の𝐵社の年金制度は、新規加入が発生しないものとし、分割前制度の年金受給権者は、全員𝐵社の年金制度へ移るものとする
・分割後の𝐴社の年金制度について、制度発足時の年間保険料の額が、｢分割前制度における𝐴社の年間保険料の額｣と変わらないように、給与を一律𝛼倍する
・分割後の𝐵社の年金制度について、制度発足時の年間保険料の額が、｢分割前制度における𝐵社の年間保険料の額｣と変わらないように、給与を一律𝛽倍する（年金受給権者の給付は変更しない）
・分割前後で、計算基礎率は同一のもの（𝐵社の新規加入の見込みを除く）を使用し、給付内容は給与を除き変更しない
・分割にあたり、積立金は、分割前制度における𝐴社と𝐵社の責任準備金の比で按分するものとする
・分割後の𝐵社の制度発足時の標準保険料率について、積立金および未積立債務を考慮せずに算定するものとする2023 年度
年金数理･･････22＜分割前の諸数値＞
分割前

項目

𝐴社

𝐵社

0

400

在職中の被保険者の過去の加入期間に対応する給付現価

1,000

1,000

𝑆

在職中の被保険者の将来の加入期間に対応する給付現価

1,500

600

𝑆

将来加入が見込まれる被保険者の給付現価

1,600

800

𝐺

在職中の被保険者の給与現価10,0002,000

𝐺

将来加入が見込まれる被保険者の給与現価

12,000

6,000

𝐹

積立金

1,800

𝑖

予定利率

3.0%

𝑎̈ |

予定利率3.0%による期初払い5年確定年金現価率

4.717

𝐿𝐵

在職中の被保険者の給与合計

𝑆

年金受給権者の給付現価𝑆800（ア）分割前制度の年間保険料の額に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
【解答欄番号 23 に対応】
（Ａ） 302（Ｂ） 307（Ｃ） 312（Ｄ） 317（Ｅ） 322（Ｆ） 327（Ｇ） 332（Ｈ） 337（Ｉ） 342（Ｊ） 347（イ）𝛼の値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
【解答欄番号 24 に対応】

（Ａ） 0.72（Ｂ） 0.77（Ｃ） 0.82（Ｄ） 0.87（Ｅ） 0.92（Ｆ） 0.97（Ｇ） 1.02（Ｈ） 1.07（Ｉ） 1.12（Ｊ） 1.17（ウ）𝛽の値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
【解答欄番号 25 に対応】

（Ａ） 0.72（Ｂ） 0.77（Ｃ） 0.82（Ｄ） 0.87（Ｅ） 0.92（Ｆ） 0.97（Ｇ） 1.02（Ｈ） 1.07（Ｉ） 1.12（Ｊ） 1.17400

2023 年度
年金数理･･････23（３）定常人口にある集団が、次の制度を採用している。このとき、（ア）～（エ）の各問に答えな
さい。
制度内容
加入時期

年１回期初加入「脱退時給与×𝛼(𝑡)」を一時金として脱退時に支払う

給付内容

ただし、𝛼(𝑡) = 1.03 × 1.15

昇給時期

t は加入年数

年１回期初昇給
中途退職による脱退は年 1 回期末、定年退職による脱退は年 1 回、定脱退時期

年年齢（60歳）に到達した期初に発生する

財政方式

加入年齢方式（新規加入年齢40歳）
年 1 回期初に「期初時点の加入者の給与総額×標準保険料率」を払い

保険料

込む

予定利率

2.0％

期初の保険料の払い込み等が発生する順は「定年退職による脱退→昇給→新規加入者の加入→保険料の払い込み」とする
𝑥歳における1 人あたりの予定給与（𝐵 ）と実際の給与は一致しており、いずれも次のとおり
𝐵 = 400,000 × 1.03()（円）（40 ≤ 𝑥 ≤ 59）

当該制度の脱退残存表は、以下のとおり。なお、当該制度における実際の被保険者数および年齢
構成は、脱退残存表と一致している＜脱退残存表＞
残存者数（※）

脱退者数

（𝑙 ）

（𝑑 ）

40～48歳

100

0

49歳

100

40

50～58歳

60

0

59歳

60

60

60歳

0

0

年齢

（※）期末の脱退前の残存者数としている
＜諸数値＞
𝑛

1.02

1.03

1.15

10

1.21899

1.34392

4.0455620

1.48595

1.8061116.36654

2023 年度
年金数理･･････24（ア）計算基礎率どおりに推移するとした場合、この制度における 1 年間の給付費に最も近いものを
選択肢の中から 1 つ選びなさい。【解答欄番号 26 に対応】
（Ａ） 676 百万円（Ｂ） 696 百万円（Ｃ） 716 百万円（Ｄ） 736 百万円（Ｅ） 756 百万円（Ｆ） 776 百万円（Ｇ） 796 百万円（Ｈ） 816 百万円（Ⅰ） 836 百万円（Ｊ） 856 百万円（イ）この制度における標準保険料率に最も近いものを選択肢の中から 1 つ選びなさい。
【解答欄番号 27 に対応】
（Ａ） 0.73（Ｂ） 0.75（Ｃ） 0.77（Ｄ） 0.79（Ｅ） 0.81（Ｆ） 0.83（Ｇ） 0.85（Ｈ） 0.87（Ｉ） 0.89（Ｊ） 0.91（ウ）この制度全体の責任準備金に最も近いものを選択肢の中から 1 つ選びなさい。
なお、計算にあたって標準保険料率は（イ）で選択した値を用いること。また、本問題の解答にあたっては当該制度が定常人口であることに留意すること。
【解答欄番号 28 に対応】
（Ａ） 5,250 百万円（Ｂ） 5,650 百万円（Ｃ） 6,050 百万円（Ｄ） 6,450 百万円（Ｅ） 6,850 百万円（Ｆ） 7,250 百万円（Ｇ） 7,650 百万円（Ｈ） 8,050 百万円（Ⅰ） 8,450 百万円（Ｊ） 8,850 百万円（エ）この制度における𝑋年度末の積立金の額は10,000百万円であり、積立剰余の状態にある。そこ
で、積立剰余を活用して𝑋 + 1年度初より毎期初に2.0％のベースアップを行うこととした。
「期末の積立金≧期末のベースアップ反映後の責任準備金」が成立している間は毎期初のベースアップを繰り返すこととする場合、ベースアップを行うことができる最大回数として適切なものを選択
肢の中から 1 つ選びなさい。【解答欄番号 29 に対応】
＜前提＞
・各年度の新規加入により各年度の定常人口が毎年保たれ、かつ各年度の昇給は計算基礎率どおりとする
・毎期における運用利回りは予定利率と一致するものとする
・ベースアップ前の責任準備金は（ウ）で選択した値を用いること・標準保険料率を用いる場合は（イ）で選択した値を用いること・期初の保険料の払い込み等が発生する順は「定年退職による脱退→昇給→新規加入者の加入→
ベースアップ→保険料の払い込み」とする
（Ａ）

20 回

（Ｂ）

21 回

（Ｃ）

22 回

（Ｄ）

23 回

（Ｅ） 24 回

（Ｆ）

25 回

（Ｇ）

26 回

（Ｈ）

27 回

（Ｉ）

28 回

（Ｊ） 29 回
以上2023 年度
年金数理･･････1

年金数理（解答例）
問題１．
（１）
ベースアップ前の期初積立金を𝐹、𝑡年後の期初積立金を𝐹𝑡 とし、給付額を𝐵、保険料を𝐶、
ベースアップ率を𝛼、予定利率を𝑖とする。
ベースアップ前には極限方程式

𝐹 = 𝐹(1 + 𝑖) + (𝐶 − 𝐵)(1 + 𝑖)より、𝐵 − 𝐶 =𝐹𝑡 = 𝐹𝑡−1 (1 + 𝑖) + (𝐶 − 𝐵) × (1 + 𝛼) × (1 + 𝑖) = 𝐹𝑡−1 (1 + 𝑖) −

𝑖𝐹
1+𝑖

𝑖𝐹
1+𝑖

が成立している。

× (1 + 𝛼) × (1 + 𝑖)

= 𝐹𝑡−1 (1 + 𝑖) − 𝑖𝐹 × (1 + 𝛼) = 𝐹𝑡−2 (1 + 𝑖)2 − 𝑖𝐹 × (1 + 𝛼) × (1 + 𝑖) − 𝑖𝐹 × (1 + 𝛼)…
= 𝐹 × (1 + 𝑖)𝑡 − 𝑖𝐹 × (1 + 𝛼){1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 + ⋯ + (1 + 𝑖)𝑡−1 }= 𝐹 × {(1 + 𝑖)𝑡 − (1 + 𝛼){(1 + 𝑖)𝑡 − 1}}= 𝐹 × {−𝛼(1 + 𝑖)𝑡 + (1 + 𝛼)}＜0.95𝐹(1 + 𝑖)𝑡＞(0.05+𝛼)𝛼

𝛼＝4.0%、𝑖＝6.0%を代入して最小の𝑡を求めると𝑡＝14
よって、解答は(Ｅ)（２）
年金制度𝐴、𝐵の被保険者数をそれぞれ𝐿𝐴 、𝐿𝐵 、20歳での新規加入者数をそれぞれ𝑎、𝑏とすると、
59

59

𝐿𝐴 = ∑ 0.98

𝑥−20

𝑎 + ∑ 0.98𝑥−30 𝑎

𝑥=20

𝑥=30

1 − 0.9840
1 − 0.9830=𝑎+𝑎
1 − 0.98
1 − 0.98= 27.715𝑎 + 22.726𝑎= 50.441𝑎
59

𝐿𝐵 = ∑ 0.98𝑥−20 𝑏
𝑥=20= 27.715𝑏
̅̅̅̅̅̅̅
年金制度𝐴、𝐵の被保険者の平均年齢をそれぞれ、𝑋
𝐴 、𝑋𝐵 とすると、
59

̅̅̅
𝑋𝐴 − ̅̅̅̅
𝑋𝐵 = ( ∑ 𝑥0.98
𝑥=20

59
𝑥−20

+ ∑ 𝑥0.98
𝑥=30

59

𝑥−30

𝑎
𝑏
) − ( ∑ 𝑥0.98𝑥−20 )
𝐿𝐴
𝐿𝐵
𝑥=20

2023 年度
年金数理･･････2
1
0.98 − 0.9840
0.98 − 0.9830
1{(20 − 59 ∙ 0.9840 +) + (30 − 59 ∙ 0.9830 +)}1 − 0.98
1 − 0.98
1 − 0.98
50.441=

1
0.98 − 0.9840
1(20 − 59 ∙ 0.9840 +)1 − 0.98
1 − 0.98
27.715−= 2.775…
よって、解答は(Ｇ)（３）
𝑥𝑒 ：加入年齢𝑣 𝜏 ：利力𝛿にもとづく𝜏年間の割引率
𝑙𝑥𝑒+𝜏 ：𝑥𝑒 歳で加入した被保険者の𝜏年経過した時点における残存者数とすると、
𝑣 𝜏 = exp(−𝛿𝜏)𝑥𝑒 +𝜏

𝑙𝑥𝑒 +𝜏 = 𝑙𝑥𝑒 exp(− ∫𝑥𝑒𝜇𝑦 𝑑𝑦) = 𝑙𝑥𝑒 exp(−𝜇𝜏)となる。また、連続払の20年確定年金の年金現価率𝑎̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
20| 、連続払の60年確定年金の年金現価率𝑎60| は、𝑎̅̅̅̅̅̅
20| =1 − exp(−20𝛿),𝛿𝑎̅̅̅̅̅̅
60| =1 − exp(−60𝛿)𝛿となる。脱退時平均加入年数は、
40

∫
0

40
𝑙𝑥𝑒 +𝜏
1 − exp(−40𝜇) 𝛿𝑑𝜏 = ∫ exp(−𝜇𝜏) 𝑑𝜏 == 𝑎̅60|
̅̅̅̅̅
𝑙𝑥𝑒
𝜇
𝜇
0

1 − exp(−40𝜇) = 1 − exp(−60𝛿)が成り立つため、𝜇 = 0.03となる。
標準保険料率 𝐸𝑃は、
40

𝐸

40

𝑙𝑥 +𝜏
𝑙𝑥 +𝜏
𝑙𝑥 +40𝑃・ ∫ 𝑣 𝜏 ∙ 𝑒 𝑑𝜏 = (∫ 𝜏 ∙ 𝜇𝑥𝑒 +𝜏 ∙ 𝑣 𝜏 ∙ 𝑒 𝑑𝜏 + 40 ∙ 𝑣 40 ∙ 𝑒 ) ∙ 𝑎̅20|
̅̅̅̅̅
𝑙𝑥𝑒
𝑙𝑥𝑒
𝑙𝑥𝑒
0

0

40

(左辺) = 𝐸𝑃・ ∫ exp(−𝛿𝜏) ∙ exp(−𝜇𝜏) 𝑑𝜏 = 𝐸𝑃・0

1 − exp(−40(𝜇 + 𝛿))𝜇+𝛿40(右辺) = (∫ 𝜏 ∙ 𝜇 ∙ exp(−𝛿𝜏) ∙ exp(−𝜇𝜏) 𝑑𝜏 + 40 ∙ exp(−40𝛿) ∙ exp(−40𝜇)) ∙ 𝑎̅̅̅̅̅̅
20|
0

={
=

−40 ∙ 𝜇 ∙ exp(−40(𝜇 + 𝛿))
1 − exp(−40(𝜇 + 𝛿))
1 − exp(−20𝛿)+𝜇∙+ 40 ∙ exp(−40(𝜇 + 𝛿))} ∙2𝜇+𝛿
(𝜇 + 𝛿)𝛿𝜇 + {40 ∙ (𝜇 + 𝛿)2 − 40 ∙ 𝜇 ∙ (𝜇 + 𝛿) − 𝜇} ∙ exp(−40(𝜇 + 𝛿)) 1 − exp(−20𝛿)∙(𝜇 + 𝛿)2𝛿となることから、以下のとおりとなる。

2023 年度
年金数理･･････3𝐸𝑃=

𝜇 + {40 ∙ (𝜇 + 𝛿)2 − 40 ∙ 𝜇 ∙ (𝜇 + 𝛿) − 𝜇} ∙ exp(−40(𝜇 + 𝛿)) 1 − exp(−20𝛿)∙(𝜇 + 𝛿) ∙ {1 − exp(−40(𝜇 + 𝛿))}
𝛿

0.03 + 0.01 ∙ 𝑒 −2 1 − 𝑒 −0.4∙
= 11.939 ⋯0.05 ∙ (1 − 𝑒 −2 )0.02=

よって、解答は(Ｈ)（４）
予定利率を𝑖とし、2023年度の積立金の運用利回りを𝑗とする。

特別保険料収入に係る予定利息=特別保険料収入× 𝑖
128 = 4,000 × 𝑖
よって、𝑖 = 0.032
2023年度は利差、死差および前年度末未積立債務にかかる予定利息以外の差損益は発生しなかったことから、2023年度末責任準備金= (2022年度末責任準備金＋標準保険料収入) × (1 + 𝑖) −給付金−死差損益
54,784 = (50,000 + 10,000) × (1 + 𝑖) − 8,000 − 2𝛾

よって、死差損益は2𝛾 = −864
死差損益が利差損益の 2 倍であったことから、利差損益は𝛾 = −432
利差損益= (2022年度末積立金＋標準保険料収入＋特別保険料収入) × (𝑗 − 𝑖)−432 = (40,000 + 10,000 + 4,000) × (𝑗 − 0.032)

よって、𝑗 = 0.024
運用収益= (2022年度末積立金＋標準保険料収入＋特別保険料収入) × 𝑗
𝛽 = (40,000 + 10,000 + 4,000) × 𝑗

よって、𝛽 = 1,296
損益計算書内を穴埋めすると𝑋 = 65,296、𝛼 = 2,512となる。
以上より、解答は(Ⅾ)（５）
年金制度𝐴における𝑥𝑒 歳における給付現価を𝑆𝐴,𝑥𝑒 、給与現価を𝐺𝐴,𝑥𝑒 、
年金制度𝐵における𝑥𝑒 歳における給付現価を𝑆𝐵,𝑥𝑒 、給与現価を𝐺𝐵,𝑥𝑒 、
𝑥𝑒 歳における1人あたりの給与を𝐵𝑥𝑒 とすると、
𝑥𝑟 −1

𝑦

𝑦=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝐵𝑥
𝐶𝑦
𝑆𝐴,𝑥𝑒 = ∑ {× ∑ 𝑒 𝑏𝑡 (1 + 𝑖)𝑦−𝑡+1 × (1 + 𝑖) 𝑥𝑟−𝑦−1 × 𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 }
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

𝐷𝑥
𝐵𝑥
1
+ 𝑟 × ∑ 𝑒 𝑏𝑡 (1 + 𝑖)𝑥𝑟−𝑡 ×× 𝑎̈ 𝑛̅|𝐷𝑥𝑒𝑏𝑥𝑒𝑎̈ 𝑛̅|
𝑡=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −1

𝑦

𝑥𝑟 −1

𝑦=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝐵𝑥
𝐵𝑥
1
=
× { ∑ {(𝑙𝑦 − 𝑙𝑦+1 ) × ∑ 𝑒 𝑏𝑡 𝑣 𝑡 } +𝑙𝑥𝑟 × ∑ 𝑒 𝑏𝑡 𝑣 𝑡 }
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒

2023 年度
年金数理･･････4
𝑥𝑟 −1

𝐵𝑥
1
=
× ∑ 𝑒 𝑏𝑡 𝐷𝑡
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝑡=𝑥𝑒

また、年金制度𝐴と年金制度𝐵で給与現価は同一であり、
𝑥𝑟 −1

𝐵𝑥
1
𝐺𝐴,𝑥𝑒 = 𝐺𝐵,𝑥𝑒 =× ∑ 𝑒 𝑏𝑡 𝐷𝑡
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝑡=𝑥𝑒

年金制度𝐵の給付現価は、年金制度𝐴の給付現価から加入者期間2年以下の脱退による給付現価を除くことで算出できるので
𝑥𝑒 +1

𝑦

𝑦=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝐵𝑥
𝐶𝑦
𝑆𝐵,𝑥𝑒 = 𝑆𝐴,𝑥𝑒 − ∑ {× ∑ 𝑒 𝑏𝑡 (1 + 𝑖)𝑦−𝑡+1 × (1 + 𝑖)𝑥𝑟−𝑦−1 × 𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 }
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝑥𝑒 +1

𝑦

𝑦=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝐵𝑥
𝐶𝑦
= 𝑆𝐴,𝑥𝑒 − ∑∑ 𝑒 𝑏𝑡 (1 + 𝑖)𝑦−𝑡+1
𝐷𝑥𝑒𝑏𝑥𝑒
以上より、標準保険料率の比 𝐸𝑃𝐴 ⁄ 𝐸𝑃𝐵 は、
𝐸𝐸

𝑃𝐴 𝑆𝐴,𝑥𝑒 𝐺𝐵,𝑥𝑒=
×
𝑃𝐵 𝐺𝐴,𝑥𝑒 𝑆𝐵,𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

𝑥𝑟 −1

𝑥𝑒 +1

𝑦

𝑡=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝑦=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝐵𝑥
𝐵𝑥
𝐵𝑥
𝐶𝑦
1
1
=
× ∑ 𝑒 𝑏𝑡 𝐷𝑡 ⁄(× ∑ 𝑒 𝑏𝑡 𝐷𝑡 − ∑∑ 𝑒 𝑏𝑡 (1 + 𝑖)𝑦−𝑡+1 )
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝐷𝑥𝑒
𝑏𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

𝑥𝑟 −1

𝑥𝑒 +1

𝑦

= ∑ 𝑏𝑡 𝐷𝑡 ⁄(∑ 𝑏𝑡 𝐷𝑡 − ∑ 𝐶𝑦 ∑ 𝑏𝑡 (1 + 𝑖)𝑦−𝑡+1 )
𝑡=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

𝑦=𝑥𝑒

𝑡=𝑥𝑒

よって、解答は(Ａ)（６）
𝑈

𝑃𝑥 と 𝐸𝑃𝑥𝑒 はそれぞれ、

𝑈

𝑃𝑥 = (𝛼𝑥+1−𝑥𝑒 − 𝛼𝑥−𝑥𝑒 ) ×=(𝑥 + 1 − 𝑥𝑒 ) × 𝐵𝑥 − (𝑥 − 𝑥𝑒 ) × 𝐵𝑥−1 𝐷𝑥𝑟 𝑎̈ 10
̅̅̅̅|×𝑥𝑟 − 𝑥𝑒
𝐷𝑥=𝐸

𝐷𝑥𝑟 𝑎̈ 10
̅̅̅̅|
𝐷𝑥

𝑃𝑥𝑒 =

𝐷𝑥 𝑎̈ 10
1 + 𝑟 × (𝑥 + 1 − 𝑥𝑒 )̅̅̅̅|× 𝐵𝑥−1 × 𝑟
𝑥𝑟 − 𝑥𝑒
𝐷𝑥
𝐷𝑥𝑟 𝑏𝑥𝑟 𝑎̈ 10
𝐷𝑥𝑟 𝑏𝑥𝑟−1 𝑎̈ 10
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
= 59
59
∑𝑦=30 𝐷𝑦 𝑏𝑦∑𝑦=30 𝐷𝑦 𝑏𝑦となる。

2023 年度
年金数理･･････5
よって、
𝐵30 𝐸𝑃30
𝐷40
60 − 30= 59
×× (1 + 2.0%)20
𝑈∑𝑦=30 𝐷𝑦 𝑏𝑦 1 + 0.02 × (40 + 1 − 30)
𝑃40= 1.0646 ⋯となり、解答は(Ｄ)（７）
・𝑋 + 𝑡年度初の積立金を𝐹𝑡 、𝑋年度の給付を𝐵、𝑋年度の保険料を𝐶とする。
・𝑋年度の給付は𝑋年度の保険料の 2 倍であるため、𝐵 = 2𝐶…①
・𝑋年度初で定常状態であるため、
𝐹1 = 𝐹0 = 𝐹0 × (1 + 𝑖) + 𝐶 − 𝐵
𝑖𝐹0 = 𝐵 − 𝐶…②
・𝑋 + 1年度の給付：(1 + 𝑘) × 𝐵、𝑋 + 2年度の給付：(1 + 2𝑘) × 𝐵、…、𝑋 + 5年度の給付：(1 + 5𝑘) × 𝐵と表せるから、1 ≤ 𝑡 ≤ 4において、𝐹𝑡+1 = 𝐹𝑡 × (1 + 𝑖) + 𝐶 − (1 + 𝑡𝑘) × 𝐵
両辺に𝑣 𝑡 をかけると、𝑣 𝑡 𝐹𝑡+1 = 𝑣 𝑡−1 𝐹𝑡 + 𝑣 𝑡 𝐶 − (1 + 𝑡𝑘)𝑣 𝑡 𝐵…③
同様に𝑡 = 5において、
𝐹6 = 𝐹5 × (1 + 𝑖) + 2𝐶 − (1 + 5𝑘) × 𝐵
両辺に𝑣 5 をかけると、𝑣 5 𝐹6 = 𝑣 4 𝐹𝑡 + 2𝑣 5 𝐶 − (1 + 5𝑘)𝑣 5 𝐵…④
𝑡 = 1, ⋯ ,5について③式と④式の辺々を加えると、
55𝑡∑ 𝑣 𝐹𝑡+1 = ∑ 𝑣
𝑡=1

5
𝑡−1

5
𝑡

5

𝐹𝑡 + 𝐶 (∑ 𝑣 + 𝑣 ) − 𝐵 (∑ 𝑣 + 𝑘 ∑ 𝑡𝑣 𝑡 )

𝑡=1

5

𝑡

𝑡=1

𝑡=1

𝑣 5 𝐹6 = 𝐹1 + (𝑎̅5| + 𝑣 5 )𝐶 − (𝑎̅5| + 𝐼𝑎̅5| 𝑘)𝐵…⑤
・𝑋 + 6年度初に再び定常状態になるため、
𝐹6 = 𝐹6 × (1 + 𝑖) + 𝐶 − (1 + 5𝑘) × 𝐵
𝑖𝐹6 = (1 + 5𝑘) × 𝐵 − 𝐶…⑥①～⑥と問題文の諸数値をもとに𝑘について解くと、
𝑘=

1 − (1 − 𝑖)𝑣 5 − 𝑎̅5| 𝑖= 0.00230 ⋯10𝑣 5 + 2𝐼𝑎5̅| 𝑖

よって、解答は（Ｇ）（８）①教科書 p73より、 𝐼𝑛𝐹 − 𝑇𝐹 = 𝑆 𝑎 + 𝑇𝐶 − 𝐼𝑛𝐶
𝑥𝑟 −1

（右辺）＝

(𝑇) 𝑁𝑥𝑟∑ 𝑙𝑥
𝑥=𝑥𝑒 +1

𝐷𝑥

+ 𝑙𝑥𝑟

𝑁𝑥𝑟
𝐷𝑥𝑟

𝑡=1

2023 年度
年金数理･･････6
よって算式は正しい。
②教科書 p76 第 3 章練習問題 5 より
𝜔−𝑥𝑟
𝑇

＝

𝐹

{∑ (
𝑡=1

𝑙𝑥𝑟+𝑡 𝐷𝑥𝑟+𝑡
𝑙𝑥𝑟
−
)} ×
𝑙𝑥𝑟
𝐷𝑥𝑟
1−𝑣

よって算式は正しい。
1

1③教科書 p73より、 𝑈𝐹 − 𝑇𝐹 = 1−𝑣 (𝑣 𝑇𝐶 − 𝑈𝐶 ) + 𝑇𝐶 = 1−𝑣 ( 𝑇𝐶 − 𝑈𝐶 )
𝑥𝑟 −1

ここで、

𝑇

𝑁𝑥
1
(𝑇) 𝑁𝑥𝑟
𝐶 = 𝑙𝑥𝑟 𝑟 、 𝑈𝐶 =∑ 𝑙𝑥
𝐷𝑥𝑟
𝑥𝑟 − 𝑥𝑒
𝐷𝑥

なので、

𝑥=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −1

（右辺）＝

𝑁𝑥
1
1
(𝑇) 𝑁𝑥𝑟∑ 𝑙𝑥(𝑙𝑥𝑟 𝑟 −)1−𝑣
𝐷𝑥𝑟 𝑥𝑟 − 𝑥𝑒𝐷𝑥𝑥=𝑥𝑒

よって算式は正しい。
𝑝𝑎④教科書 p73より、 𝑈𝐹 = 𝑆 + 𝑆𝑃𝑆
𝜔

教科書 p75 第 3 章練習問題 3 ② より、𝑆𝑝= 𝐵 + 𝑣 ∑ 𝑙𝑥
𝜔𝑥=𝑥𝑟 +1𝑁𝑥𝐷𝑥𝜔= ∑ 𝑙𝑥 + 𝑣 ∑ 𝑙 𝑥
𝑥=𝑥𝑟
𝑥𝑟 −1
(𝑇) 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑁𝑥𝑟𝑎
𝑆𝑃𝑆 ＝ ∑ 𝑙𝑥 ()
𝑥𝑟 − 𝑥𝑒 𝐷𝑥
𝑥=𝑥𝑒

また、
𝑈

𝑥=𝑥𝑟 +1

𝑁𝑥
𝐷𝑥

𝑝

𝑎
𝐹 = 𝑆 + 𝑆𝑃𝑆
へ上記の式を代入して、

𝑈

𝜔

𝜔

𝑥𝑟 −1

𝑥=𝑥𝑟

𝑥=𝑥𝑟 +1

𝑥=𝑥𝑒

𝑁𝑥(𝑇) 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑁𝑥𝑟
𝐹 = ∑ 𝑙𝑥 + 𝑣 ∑ 𝑙𝑥
+ ∑ 𝑙𝑥 ()
𝐷𝑥
𝑥𝑟 − 𝑥𝑒 𝐷𝑥

よって算式は誤り。
以上より、解答は(Ｋ)

問題２．
（１）
（ア）この年金制度の標準保険料率 𝑃𝑥𝑒 を求める。財政方式として加入年齢方式を採用していることから、𝑥𝑒 歳における給付現価 𝑆𝑥𝑒 と給与現価 𝐺𝑥𝑒 を用いて以下のように表すことができる。
𝑃𝑥𝑒 =

𝑆𝑥𝑒
𝐺𝑥𝑒

2023 年度
年金数理･･････7
𝑥𝑟 −1

𝑥𝑟 −1

𝑥

= {( ∑ 𝐶𝑥 ・ 𝑣

𝑥𝑟 −𝑥−1𝑥=𝑥𝑒∑ (1 + 𝑗)

𝑥𝑟 −𝑦・𝑏𝑦 + 𝐷𝑥𝑟 ∑ (1 + 𝑗)

𝑦=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −𝑦

・𝑏𝑦 ) × 𝛼 ×𝑦=𝑥𝑒𝑎̈ ̅̅̅
𝑛| (𝑖)
𝑎̈ 𝑛|
̅̅̅ (𝑗′)𝑥𝑟 −1}⁄( ∑ 𝐷𝑥 ・𝑏𝑥 )𝑥=𝑥𝑒

上記より選択肢は以下のとおりとなる。
① (Ｂ) 𝑥𝑟 − 𝑥 − 1② (Ｆ) (1 + 𝑗)
③ (Ｃ) 𝑥𝑟 − 𝑦④ (Ｌ) 𝑎̈ ̅̅̅
𝑛| (𝑗′)⑤ (Ｊ) 𝑎̈ ̅̅̅𝑛| (𝑖)（イ）𝑗 および 𝑗 ′を 𝑖 と同率とし、また制度発足時の被保険者については入社時から制度があったものとして給付を行うものとする。このときの標準保険料率 𝑃′𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1を求めると、

𝑥𝑟 −1

𝑥𝑃′𝑥𝑒 = {( ∑ (𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 ) ∙ 𝑣 𝑥+1 ∙ 𝑣 𝑥𝑟−𝑥−1 ∑ (1 + 𝑖) 𝑥𝑟−𝑦 ・𝑏𝑦 + 𝐷𝑥𝑟 ∑ (1 + 𝑖)𝑥𝑟−𝑦 ・𝑏𝑦 ) × 𝛼 ×
𝑥=𝑥𝑒

𝑦=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −1

𝑦=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −1

𝑥

= {( ∑ (𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 ) ∙ 𝑣

𝑥𝑟

𝑥=𝑥𝑒

∑ (1 + 𝑖)

𝑥𝑟 −𝑦

𝑥𝑟 −1

𝑥𝑟 −𝑦

𝑥𝑟 −1
𝑦

𝑥=𝑥𝑒

・𝑏𝑦 ) × 𝛼}⁄( ∑ 𝐷𝑥 ・𝑏𝑥 )

𝑦=𝑥𝑒

𝑥

𝑎̈ 𝑛|
̅̅̅ (𝑖)𝑥𝑟 −1}⁄( ∑ 𝐷𝑥 ・𝑏𝑥 )𝑥𝑟 −1

・𝑏𝑦 + 𝐷𝑥𝑟 ∑ (1 + 𝑖)

𝑦=𝑥𝑒

𝑎̈ 𝑛|
̅̅̅ (𝑖)

𝑥=𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

𝑦

= {( ∑ (𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 ) ∙ ∑ 𝑣 ・𝑏𝑦 + 𝑙𝑥𝑟 ∑ 𝑣 ・𝑏𝑦 ) × 𝛼}⁄( ∑ 𝐷𝑥 ・𝑏𝑥 )
𝑥=𝑥𝑒

𝑦=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −1

𝑦=𝑥𝑒

𝑥=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −1
𝑥

= {( ∑ 𝑙𝑥 ∙ 𝑣 ・𝑏𝑥 ) × 𝛼}⁄( ∑ 𝐷𝑥 ・𝑏𝑥 ) = 𝛼
𝑥=𝑥𝑒

𝑥=𝑥𝑒

このことから標準保険料率は α の水準によってのみ決定される。
このとき給付現価を過去分と将来分にわけた場合、現在の年齢・年数によらず“将来の期間に対応す
る給付現価＝保険料収入現価”が成り立つ。よって、“責任準備金＝過去の期間に対応する給付現価”となり、責任準備金 𝑉 は、次のとおり表すことができる。
𝑥𝑟 −1

𝑥

𝑉 = { ∑ 𝐿𝑥 𝐵𝑥 ∙ ∑
𝑥=𝑥𝑒

𝑦=𝑥𝑒

𝑏𝑦
× (1 + 𝑖)𝑥−𝑦 } × 𝛼𝑏𝑥

上記より選択肢は以下のとおりとなる。
⑥ (Ｑ) 𝐿𝑥 𝐵𝑥⑦ (Ｉ) 𝑏𝑥
⑧ (Ｋ) 𝑏𝑦
⑨ (Ｕ) 𝑥 − 𝑦2023 年度
年金数理･･････8（２）（ア）
𝐿𝑥1 ，𝐿𝑥2 ，𝐿𝑥3 をそれぞれ𝑥1 歳，𝑥2 歳，𝑥3 歳での新規加入者数とすると、
𝐿𝑥1 ：𝐿𝑥2 ：𝐿𝑥3 ＝3: 2: 1と𝐿𝑥1 𝑒𝑥1 + 𝐿𝑥2 𝑒𝑥2 + 𝐿𝑥3 𝑒𝑥3 ＝𝐿を解いて、𝐿𝑥1 ＝3𝐿 ∕ (3𝑒𝑥1 + 2𝑒𝑥2 + 𝑒𝑥3 )よって、解答は(Ｇ)
（イ）

2

1

（ア）より、𝐿𝑥2 ＝ 𝐿𝑥 、𝐿𝑥3 ＝ 𝐿𝑥

3

𝐸

𝑃=

3

1

1

𝐷𝑥𝑟 𝑎̈ 𝑥𝑟
𝑁𝑥1 − 𝑁𝑥𝑟

𝑥2 歳での新規加入者の責任準備金は、

2

𝐿𝑥 2 ・（𝑆𝑥𝑎2 − 𝐸𝑃・𝐺𝑥𝑎2 ）＝ 𝐿𝑥 ・(3

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥
𝑟

1

𝐷𝑥

−

𝑟

2

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥𝑟

𝑁𝑥 − 𝑁 𝑥
1

2

𝐷𝑥

𝑟

𝑟

2
3

2

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑁𝑥 − 𝑁𝑥

𝐷𝑥

2

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑁𝑥 − 𝑁𝑥

𝐷𝑥

𝑁𝑥 − 𝑁𝑥)＝ 𝐿𝑥 ・ 𝑟 𝑟 ・ 1
1

2

1

𝑟

𝑥3 歳での新規加入者の責任準備金は、

1

𝐿𝑥 3 ・（𝑆𝑥𝑎3 − 𝐸𝑃・𝐺𝑥𝑎3 ）＝ 𝐿𝑥 ・(3

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥

1

𝑟

𝐷𝑥

−

𝑟

3

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑟

𝑁𝑥 − 𝑁 𝑥
1

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

𝑟

3

𝑟

𝐷𝑥

3

𝑟

1

)＝ 𝐿𝑥 ・ 𝑟 𝑟 ・ 1
3

1

3

1

3
𝑟

上記を合計し、式を整理すると、

1
3

𝐿𝑥 ・
1

𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥𝑟

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥1・(𝑟2(𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥 )

𝑟

2

1

𝐷𝑥

+

𝑁𝑥 ー 𝑁𝑥

2

1

𝐷𝑥

3

)

3

よって、解答は(Ｆ)（３）（ア）財政再計算後の剰余金を全額留保した場合の財政再計算後の１人あたり標準保険料は、
140,000 + 150,000= 0.271 ⋯ 百万円
520,000 + 550,000となる。
したがって、財政再計算直後の𝑋年度末責任準備金は、責任準備金 = (210,000 + 190,000 + 140,000 + 150,000) − 0.271 ⋯ × (520,000 + 550,000)= 690,000 − 0.271 ⋯ × 1,070,000 = 400,000 百万円
𝑋年度末の積立金は450,000であるから財政再計算直後の剰余金の額は、50,000 百万円となる。
𝑋 + 1年度の給付の支払い、保険料収入をそれぞれ 𝐵、 𝐶 とおくと、𝑋 + 1年度末における諸数値
は以下のとおりとなる。
責任準備金 = (400,000 − 𝐵 + 𝐶) × 1.03

2023 年度
年金数理･･････9積立金＝(450,000 − 𝐵 + 𝐶) × 1.03
したがって𝑋 + 1年度末の剰余金は、
剰余金 = (450,000 − 𝐵 + 𝐶) × 1.03 − (400,000 − 𝐵 + 𝐶) × 1.03 = 51,500百万円となり、解答は（Ｄ）※𝑋年度末の剰余金 50,000 百万円に 1.03 を乗じることでも算出可能（イ）𝑋 + 1年度の状況は以下の通りである。
利息収入
積立金450,000 百万円に対して7.0%の運用利回りであり、給付の支払いが15,200 百万円、保険料の払い込みが9,250 百万円であるから、利息収入は、(450,000 − 15,200 + 9,250) × 7.0% = 31,083.5 百万円
積立金450,000 − 15,200 + 9,250 + 31,083.5 = 475,133.5 百万円
47歳脱退者に係る給付額
47歳（加入年数25年）の脱退者の一人当たり給付額は25 × 40万円= 10百万円
30名の脱退者であるため、給付総額は300百万円
脱退差
脱退者の一人当たり責任準備金が9 百万円であるため、当該30名の脱退により責任準備金が270 百万円減少する。また前述のとおり実際の給付額が300 百万円であることから、脱退により期
初時点で30 百万円の差損が発生していることになる。
したがって期末時点での差損は、30 × 1.03 = 30.9 百万円である。
責任準備金
脱退差損が30.9 百万円であることから、𝑋 + 1年度末の責任準備金は、(400,000 − 15,200 + 9,250) × 1.03 + 30.9 = 405,902.4 百万円
剰余金
剰余金は積立金と責任準備金の差額であるから、475,133.5 − 405,902.4 = 69,231.1 百万円
よって、解答は（Ｅ）（ウ）将来期間分の給付を一律𝛼%改善させた場合、標準保険料は標準保険料 = (1 +

𝑎
𝛼
𝑆𝐹𝑆
+ 𝑆𝑓
)
)( 𝑎
100 𝐺 + 𝐺 𝑓である。その一方で、剰余金𝑀をもとに引き下げることができる標準保険料は、

2023 年度
年金数理･･････10

引き下げ分 =

𝑀
𝐺 𝑎 + 𝐺𝑓として算出される。剰余金の額は（イ）と同額であることから、
𝑀=

𝛼
𝛼
𝑎
(140,000 + 150,000) → 𝛼 = 23.8 ⋯ %(𝑆𝐹𝑆+ 𝑆𝑓 ) → 69,231.1 =100
100

よって、解答は（Ａ）（４）（ア）
題意より、年度初での収支相等を考えると、
𝐶 + 𝐹 = 𝐵 + 𝑣𝐹、すなわち、𝐶 + 𝑑𝐹 = 𝐵（ただし、𝑑 = 1 − 𝑣）が成立する。
𝛼𝐶 + 𝐹𝑡−1 = 𝐵 + 𝑣𝐹𝑡 …①
また、𝐹 = 𝐹0 であるから、𝐶 + 𝐹0 = 𝐵 + 𝑣𝐹0 …②①式より、𝛼𝐶 + 𝐹0 = 𝐵 + 𝑣𝐹1
𝑣𝛼𝐶 + 𝑣𝐹1 = 𝑣𝐵 + 𝑣 2𝐹2

・・・
𝑣

𝑡−1

𝛼𝐶 + 𝑣 𝑡−1 𝐹𝑡−1 = 𝑣 𝑡−1 𝐵 + 𝑣 𝑡 𝐹𝑡

辺々を加え整理すると、𝑎̈ 𝑡|̅ 𝛼𝐶 + 𝐹0 = 𝑎̈ 𝑡|̅ 𝐵 + 𝑣 𝑡 𝐹𝑡
②式より、同様にして、𝑎̈ 𝑡|̅ 𝐶 + 𝐹0 = 𝑎̈ 𝑡|̅ 𝐵 + 𝑣 𝑡 𝐹0
よって、(1 − 𝛼)𝐶𝑎̈ 𝑡|̅ = 𝑣 𝑡 (𝐹 − 𝐹𝑡 ) …③
以上より、解答は(Ｈ)（イ）③式より、𝐹𝑡 <𝛼+12𝐹であるとき、𝑣 𝑡 𝐹𝑡 = 𝑣 𝑡 𝐹 − (1 − 𝛼)𝐶𝑎̈ 𝑡|̅ < 𝑣 𝑡𝑎̈ 𝑡|̅ =

1−𝑣 𝑡
𝑑

𝛼+1
𝐹
2

であるから、𝑣 𝑡 𝑑𝐹 − (1 − 𝑣 𝑡 )(1 − 𝛼)𝐶 < 𝑣 𝑡

𝛼+1
𝑑𝐹
2

両辺に(1 + 𝑖)𝑡 を掛けると、
1−𝛼
𝑑𝐹 + (1 − 𝛼)𝐶 < (1 − 𝛼)𝐶(1 + 𝑖)𝑡2
1 − 𝛼 > 0より、両辺を1 − 𝛼で割ると、
1
𝑑𝐹 + 𝐶 < 𝐶(1 + 𝑖)𝑡2
𝐶 + 𝑑𝐹 = 𝐵より、
1
(𝐵 − 𝐶) + 𝐶 < 𝐶(1 + 𝑖)𝑡2

2023 年度
年金数理･･････11
𝐵 > 0より、両辺を𝐵で割り、式を整理すると、
𝐶1>
𝐵 2(1 + 𝑖)𝑡 − 1
初めて𝐹𝑡 <

𝛼+12

𝐹が成立するとき、次の式が成立する。

1
𝐶
1
< ≤
2(1 + 𝑖)𝑡 − 1 𝐵 2(1 + 𝑖)𝑡−1 − 1
𝐶

𝑖 = 0.02、𝑡 = 15であるから、0.59 < 𝐵 ≤ 0.61となる。
以上より、解答は(Ｃ)（５）（ア）
𝑋年度末の実際の責任準備金を𝑉 ′、𝑥歳の被保険者数を𝑙𝑥′ 、予定の責任準備金を𝑉とすると教科書 P120
より
𝜔−1
′

𝑉 − 𝑉 = ∑ (𝑆𝑥 −
𝑥=𝑥𝑒

𝑆𝑥𝑒
𝑙𝑥′
× 𝐺𝑥 ) × ( − 1)
𝐺𝑥𝑒
𝑙𝑥
𝑙

𝑙𝑥′ 𝑒 = 𝑙𝑥𝑒 、𝑙𝑥′ = 𝑙𝑥−1 (𝑥𝑒 < 𝑥 ≤ 𝜔 − 1)、 𝑥+1= 0.98(𝑥𝑒 ≤ 𝑥 ≤ 𝜔 − 2)より
𝑙
𝑥

𝜔−1
′

𝑉 − 𝑉 = ∑ (𝑆𝑥 −𝑥=𝑥𝑒 +1

=(

𝑆𝑥𝑒
𝑙𝑥−1
× 𝐺𝑥 ) × (
− 1)
𝐺𝑥𝑒
𝑙𝑥

𝑆𝑥
1
1
− 1) × (𝑆 𝑎 − 𝑆𝑥𝑒 + 𝑆 𝑝 ) − (− 1) × 𝑒 × (𝐺 𝑎 − 𝐺𝑥𝑒 )
0.98
0.98
𝐺𝑥𝑒

= 718,315…
よって、解答は(Ｉ)（イ）
𝑋年度初の責任準備金を𝑉0 、積立金を𝐹0 、𝑋年度末の積立金を𝐹1 、𝑋 + 1年度末の積立金を𝐹2 とすると、𝑋
年度初において、定常状態に達しており、保険料の払い込み、給付の支払いが期初で、𝑋年度における予定と異なる脱退および死亡による給付の支払いは X＋1 年度初に行われることから、𝐹1 = 𝐹0 = 𝑉0
𝑉0 = 𝑆 𝑎 + 𝑆 𝑝 −

𝑆𝑥𝑒
× 𝐺𝑎
𝐺𝑥𝑒

= 35,197,448…
よって、解答は(Ｅ)（ウ）
𝑋 + 1年度の保険料額を𝐶 ′、給付額を𝐵′ とすると

2023 年度
年金数理･･････12
𝑥𝑟 −2

𝑆𝑥
𝐶 = 𝑒 ( ∑ 𝑙𝑥 + 𝑙𝑥𝑒 )
𝐺𝑥𝑒
′

𝑥=𝑥𝑒

𝑥𝑟 −2

𝑆𝑥
= 𝑒 × 𝑙𝑥𝑒 × ( ∑ 0.98𝑥−𝑥𝑒 + 1)
𝐺𝑥𝑒
𝑥=𝑥𝑒

=

𝑆𝑥𝑒
1 − 0.9839
× 𝑙𝑥𝑒 × (+ 1)
𝐺𝑥𝑒
1 − 0.98= 576,102.245…

𝜔−2′

𝐵 = ∑ 𝑙𝑥𝑥=𝑥𝑟 −1= 𝑙𝑥𝑒 × 0.9839 ×

1 − 0.9841
1 − 0.98= 𝑙𝑥𝑒 × 0.9839 ×

1 − 0.9839 × 0.982
1 − 0.98= 1,280,739.722…
𝐹2 = (𝐹1 + 𝐶 ′ − 𝐵′ ) × (1 + 𝑖)
= 35,182,667…
よって、解答は (Ｂ)

問題３．
（１）
（ア）
1

𝑆𝑥𝑒 =

𝐷𝑥𝑟 𝑎̈ 𝑥𝑟
𝐷𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

2

𝑆𝑥𝑒 = ∑
𝑦=𝑥𝑒

𝐶𝑦 𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅| 𝐷𝑥𝑟 ∙ 2𝛼 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅|
+
𝐷𝑥𝑒
𝐷𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

𝛼 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅| 𝑥=𝑣 𝑟 ( ∑ 𝑑𝑦 + 2𝑙𝑥𝑟 )
𝐷𝑥𝑒
𝑦=𝑥𝑒

=
1

𝛼 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅| 𝑥𝑣 𝑟 (𝑙𝑥𝑒 + 𝑙𝑥𝑟 )𝐷𝑥𝑒

𝑆𝑥𝑒 = 2𝑆𝑥𝑒 が成り立つことから、

2023 年度
年金数理･･････13

𝛼=

𝑎̈ 𝑥𝑟
𝐷𝑥𝑟
× 𝑥
𝑎̈ 𝑛̅| 𝑣 𝑟 (𝑙𝑥𝑒 + 𝑙𝑥𝑟 )

=

𝑎̈ 𝑥𝑟
𝑥𝑟 −𝑥𝑒 𝑝𝑥𝑒×𝑎̈ 𝑛̅| 1 + 𝑥𝑟−𝑥𝑒𝑝𝑥𝑒

（イ）
𝑥𝑟 −1
3

𝑆𝑥𝑒 = ∑
𝑦=𝑥𝑒

𝐶𝑦 𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 ∙ 𝛼𝑦−𝑥𝑒+1 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅| 𝐷𝑥𝑟 ∙ β ∙ 𝑎̈ 𝑛̅|
+
𝐷𝑥𝑒
𝐷𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

= 𝑎̈ 𝑛̅| × ( ∑ 𝑣 𝑦−𝑥𝑒+1 𝑦−𝑥𝑒 |𝑞𝑥𝑒 𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 × 𝛼𝑦−𝑥𝑒 +1 + 𝑣 𝑥𝑟−𝑥𝑒 𝑥𝑟−𝑥𝑒 𝑝𝑥𝑒 ∙ β)
𝑦=𝑥𝑒

また、 3𝐺𝑥𝑒 も同様に 𝑦−𝑥𝑒|𝑞𝑥𝑒 、 𝑥𝑟−𝑥𝑒𝑝𝑥𝑒 を用いて表すと
𝑥𝑟 −1
3

𝐺𝑥𝑒 = ∑ 𝑦−𝑥𝑒 |𝑞𝑥𝑒 𝑎̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦−𝑥𝑒 +1| + 𝑥𝑟 −𝑥𝑒 𝑝𝑥𝑒 𝑎̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅|𝑥𝑟 −𝑥𝑒
𝑦=𝑥𝑒
𝑥𝑟 −1

3

3

3

𝑆𝑥𝑒 − 𝑃 𝐺𝑥𝑒 = ∑ (𝑣 𝑦−𝑥𝑒 +1 𝑦−𝑥𝑒 |𝑞𝑥𝑒 𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 ∙ 𝛼𝑦−𝑥𝑒 +1 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅| − 3𝑃 𝑦−𝑥𝑒 |𝑞𝑥𝑒 𝑎̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦−𝑥𝑒 +1| )𝑦=𝑥𝑒+ 𝑣 𝑥𝑟−𝑥𝑒 ∙ 𝑥𝑟−𝑥𝑒𝑝𝑥𝑒 ∙ 𝛽 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅| − 3𝑃 ∙ 𝑥𝑟−𝑥𝑒𝑝𝑥𝑒 ∙ 𝑎̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅|𝑥𝑟 −𝑥𝑒𝑣 𝑦−𝑥𝑒 +1 𝑦−𝑥𝑒 |𝑞𝑥𝑒 𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 ∙ 𝛼𝑦−𝑥𝑒 +1 ∙ 𝑎̈ 𝑛̅| − 3𝑃 𝑦−𝑥𝑒 |𝑞𝑥𝑒 𝑎̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦−𝑥𝑒 +1| = 0 (𝑥𝑒 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥𝑟 − 1)を満たす𝛼𝑦−𝑥𝑒 +1
が、𝑥𝑒 歳から(𝑥𝑟 − 1)歳の各年齢で脱退による剰余や不足が生じないものであるので、
𝛼𝑦−𝑥𝑒 +1 ==𝑎̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦−𝑥𝑒 +1|𝑦−𝑥+1𝑒𝑣𝑣 𝑥𝑟−𝑦−1 𝑎̈

× 3𝑃
𝑛̅|

𝑠̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦−𝑥𝑒 +1|
× 3𝑃𝑥𝑟𝑣 −𝑦−1 𝑎̈ 𝑛̅|

よって解答は、①(Ｃ) ②(Ｃ) ③(Ｅ) ④(Ｆ) ⑤(Ｄ) ⑥(Ｃ) ⑦(Ｈ) ⑧(Ｅ) ⑨(Ｃ) ⑩(Ｉ) ⑪(Ｃ)⑫(Ｄ) ⑬(Ｍ) ⑭(Ｅ) ⑮(Ｒ) ⑯(Ｉ) ⑰(Ｍ) ⑱(Ｒ) ⑲(Ｆ) ⑳(Ｍ) ㉑(Ｉ) ㉒(Ｌ)（２）（ア）
分割前制度の標準保険料率𝑃は、
𝑃=(1,500 + 600) + (1,600 + 800)
= 0.150(10,000 + 2,000) + (12,000 + 6,000)

分割前制度の𝐴社の責任準備金𝑉𝐴 は、
𝑉𝐴 = 0 + 1,000 + 1,500 + 1,600 − 0.150 × (10,000 + 12,000) = 800

2023 年度
年金数理･･････14
分割前制度の𝐵社の責任準備金𝑉𝐵 は、
𝑉𝐵 = 400 + 1,000 + 600 + 800 − 0.150 × (2,000 + 6,000) = 1,600
分割前制度の特別保険料率𝑃𝑃𝑆𝐿 は、
𝑃𝑃𝑆𝐿 =

800 + 1,600 − 1,800= 0.106(800 + 400)𝑎̈ 5|

分割前制度の𝐴社の年間保険料の額𝐶𝐴は、
𝐶𝐴 = (0.150 + 0.106) × 800 = 205
分割前制度の𝐵社の年間保険料の額𝐶𝐵 は、
𝐶𝐵 = (0.150 + 0.106) × 400 = 102
よって、分割前制度の年間保険料の額𝐶は、
𝐶 = 205 + 102 = 307
以上より、解答は(Ｂ)（イ）
分割後の𝐴社の標準保険料率𝑃′𝐴 は、
𝑃′𝐴 =

1,500𝛼 + 1,600𝛼
3,100== 0.141
10,000𝛼 + 12,000𝛼 22,000

分割後の𝐴社の責任準備金𝑉′𝐴 は、𝑉′𝐴 = 1,000𝛼 + 1,500𝛼 + 1,600𝛼 − 0.141𝛼 × (10,000 + 12,000) = 998𝛼
分割後の𝐴社の積立金𝐹′𝐴は、
𝐹′𝐴 = 1,800 ×

800
= 600
1,600 + 800

分割後の特別保険料率𝑃′𝑃𝑆𝐿,𝐴 は、
𝑃′ 𝑃𝑆𝐿,𝐴 =998𝛼 − 600
800𝑎̈ 5| 𝛼

よって、分割後の𝐴社の年間保険料の額𝐶′𝐴は、
𝐶′𝐴 = (0.141 +998𝛼 − 600) × 800𝛼 = 205
800𝑎̈ 5| 𝛼

𝛼 = 1.024 ⋯以上より、解答は(Ｇ)（ウ）
分割後の𝐵社の標準保険料率𝑃′𝐵 は、
𝑃′𝐵 =

600𝛽
= 0.300
2,000𝛽

分割後の𝐵社の責任準備金𝑉′𝐵 は、
𝑉 ′ 𝐵 = 400 + 1,000𝛽 + 600𝛽 − 0.300 × 2,000𝛽 = 400 + 1,000𝛽
分割後の𝐵社の積立金𝐹′𝐵 は、

2023 年度
年金数理･･････15𝐹′𝐵 = 1,800 ×

1,600= 1,200
1,600 + 800

分割後の特別保険料率𝑃′𝑃𝑆𝐿,𝐵 は、
𝑃′ 𝑃𝑆𝐿,𝐵 =400 + 1,000𝛽 − 1,200 1,000𝛽 − 800=
400𝑎̈ 5| 𝛽400𝑎̈ 5| 𝛽

よって、分割後の𝐵社の年間保険料の額𝐶′𝐵 は、
𝐶′𝐵 = (0.300 +

1,000𝛽 − 800) × 400𝛽 = 102400𝑎̈ 5| 𝛽

𝛽 = 0.818 ⋯以上より、解答は(Ｃ)（３）（ア）
この制度における一年間の給付費𝐵は、
𝐵 = 𝑑49 𝐵49 𝛼(10) + 𝑑59 𝐵59 𝛼(20)= 40 × 400,000 × 1.03(49−40) × 1.03 × 1.15(50−40) + 60 × 400,000 × 1.03(59−40) × 1.03 × 1.15(60−40)≒ 796,425,150(円) → 796(百万円)
よって、解答は(Ｇ)（イ）
1 人あたりの標準保険料率（ 𝐸𝑃40）は題意より、
𝐸

𝑃40 =

𝑆40
𝐺40

40
60
× 𝑣 10 𝐵49 × 𝛼(10) + 100 × 𝑣 20𝐵59 × 𝛼(20)
100
=
19

∑
𝑡=0

𝑣𝑡 𝑝40 𝐵40+𝑡𝑡40
1.03 × 1.15 10 60
1.03 × 1.15 20
×
+
×
(
)
(
)
1.02
100
1.02
= 100
≒ 0.78997 ⋯ → 0.79
10
20
1.03
1.03
((1.02) − 1)((1.02) − 1)
40
60
×
+
×
100
100
1.03
1.03
((1.02) − 1)((1.02) − 1)
よって、解答は(Ｄ)（ウ）
この年金制度は、掛金が期初払い、給付が期末払いかつ定常人口であることから、
𝑉 = (𝑣𝐵 − 𝐶)⁄𝑑
給付費𝐵は、（ア）の結果より𝐵 ≒ 796,425,150(円)2023 年度
年金数理･･････16

標準保険料𝐶は、
19
𝐸

𝐶 = 𝑃40 × ∑ 𝑙40+𝑡 𝐵40+𝑡
𝑡=0= 0.79 × 100 × 400,000 {

1.0310 − 1 60 1.0320 − 1.0310+
×}1.03 − 1100
1.03 − 1≒ 654,365,735（円）に給付費𝐵および標準保険料𝐶を代入して、

𝑉 = (𝑣𝐵 − 𝐶)⁄𝑑𝑉 ≒ 6,448(百万円) → 6,450(百万円)
よって、解答は(Ｄ)（エ）
制度内容が最終給与比例制であり、ベースアップ後の給付現価および給与現価は変更前の1.02 倍となることから、ベースアップを何度行っても標準保険料率は変わらない。
ベースアップを𝑡回行った場合、給付現価および給与現価はそれぞれ1.02𝑡 倍となるので、𝑋 + 𝑡年度
末における責任準備金 𝑉𝑥+𝑡 は次のとおり表せる。
𝑉𝑥+𝑡 = 1.02𝑡 × 𝑉𝑥
𝑋 + 𝑠年度における保険料と給付費をそれぞれ𝐶𝑥+𝑠 、𝐵𝑥+𝑠 とする。
毎期ベースアップを𝑡回行った場合の標準保険料および給付費もそれぞれ1.02𝑡 倍となることから、ベースアップを𝑡回行った場合の𝑋 + 𝑡年度末における積立金 𝐹𝑥+𝑡 は、
𝑡−1

𝑡−1

𝑡

𝐹𝑥+𝑡 = 𝐹𝑥 (1 + 𝑖) + ∑ 𝐶𝑥+𝑠+1 (1 + 𝑖)𝑡−𝑠− ∑ 𝐵𝑥+𝑠+1 (1 + 𝑖)𝑡−1−𝑠

𝑠=0
𝑡−1

𝑠=0

𝑡

= 𝐹𝑥 × 1.02 + ∑ 𝐶𝑥 × 1.02

𝑠+1

𝑡−𝑠

× 1.02𝑡−1− ∑ 𝐵𝑥 × 1.02𝑠+1 × 1.02𝑡−1−𝑠

𝑠=0

𝑠=0

= 1.02𝑡 {𝐹𝑥 + 𝑡(1.02𝐶𝑥 − 𝐵𝑥 )}よって、 𝑉𝑥+𝑡 < 𝐹𝑥+𝑡を満たすとき、次の式が成立する。
1.02𝑡 × 𝑉𝑥 < 1.02𝑡 {𝐹𝑥 + 𝑡(1.02𝐶𝑥 − 𝐵𝑥 )}題意より、 𝑉𝑥+𝑡 < 𝐹𝑥+𝑡を満たすとき期初のベースアップを行うことができる。𝑋 + 𝑡年度末を基準として翌期初のベースアップを行うことができるか否かの判定を行うため、ベースアップを行うことができる最大の回数は𝑡 + 1回となる。
（ア）および（ウ）の途中式および解答より
𝐶𝑥 = 654.365735(百万円)、𝐵𝑥 = 796.425150(百万円)、𝑉𝑥 = 6,450(百万円)
また、題意より𝐹𝑥 = 10,000(百万円)なので、式を整理した上でそれぞれ代入すると、

2023 年度
年金数理･･････17

𝑡+1<

𝐹𝑥 − 𝑉𝑥+ 1 ≒ 28.53
𝐵𝑥 − 1.02𝐶𝑥

上記の式を満たす最大の 𝑡 + 1 は28である。
［別解］
本問の解答は、ベースアップを行う条件判定を解釈①とすることを前提としている。一方で、解釈②に基づいて解答することも考えられる。

解釈①：
解釈②：

「前期末の積立金≧前期末のベースアップ反映後の責任準備金」が成立している間は当期初のベースアップを繰り返す「当期末の積立金≧当期末のベースアップ反映後の責任準備金」が成立している間は当期初のベースアップを繰り返す

解釈②に基づいた場合、ベースアップできる最大の回数は、解釈①における解答よりも1回少ない27回となる。本問では、解釈②に基づいた解答も正解とし得点を与える。
よって、解答は(Ｉ)または(Ｈ)以上2023 年度
年金数理･･････18

問題番号

正答

問題１．

（１）

(Ｅ)

５点

（４０点）

（２）

(Ｇ)

５点

（３）

(Ｈ)

５点

（４）

(Ｄ)

５点

（５）

(Ａ)

５点

（６）

(Ｄ)

５点

（７）

(Ｇ)

５点

（８）

(Ｋ)

５点

①

(Ｂ)

完答で４点

②

(Ｆ)

③

(Ｃ)

④

(Ｌ)

⑤

(Ｊ)

⑥

(Ｑ)

⑦

(Ｉ)

⑧

(Ｋ)

⑨

(Ｕ)

（ア）

(Ｇ)

３点

（イ）

(Ｆ)

３点

（ア）

(Ｄ)

３点

（イ）

(Ｅ)

２点

（ウ）

(Ａ)

１点

（ア）

(Ｈ)

４点

（イ）

(Ｃ)

２点

（ア）

(Ｉ)

２点

（イ）

(Ｅ)

２点

（ウ）

(Ｂ)

２点

問題２．

（１）

（３０点）

（２）

（３）

（４）
（５）

配点

完答で２点

2023 年度
年金数理･･････19
問題３．

（１）

（３０点）

（２）

（３）

①

(Ｃ)

完答で２点

②

(Ｃ)

③

(Ｅ)

④

(Ｆ)

⑤

(Ｄ)

⑥

(Ｃ)

⑦

(Ｈ)

⑧

(Ｅ)

⑨

(Ｃ)

⑩

(Ｉ)

⑪

(Ｃ)

⑫

(Ｄ)

⑬

(Ｍ)

⑭

(Ｅ)

⑮

(Ｒ)

⑯

(Ｉ)

⑰

(Ｍ)

⑱

(Ｒ)

⑲

(Ｆ)

⑳

(Ｍ)

㉑

(Ｉ)

㉒

(Ｌ)

１点

（ア）

(Ｂ)

６点

（イ）

(Ｇ)

２点

（ウ）

(Ｃ)

２点

（ア）

(Ｇ)

３点

（イ）

(Ｄ)

３点

（ウ）

(Ｄ)

３点

（エ）

(Ｉ)または(Ｈ)

１点

完答で２点

完答で２点

完答で２点

完答で１点