実時間法〜摂動展開〜

実時間法の摂動展開を ϕ4 理論で行っていきます。摂動展開なんか結果だけ分かればいいので、最後のファインマン則をまとめているところまで飛ばしていいです。
実数スカラー場での相互作用なしの生成汎関数は∫∫]
i4Z0 [J] = exp −d x d4 y Ja (x)∆(ab) (x, y)Jb (y)2∫∫∫[ i∫i444d x d y J1 (x)∆(11) (x, y)J1 (y) −d x d4 y J2 (x)∆(22) (x, y)J2 (y)= exp −
22∫∫∫∫]
ii444−d x d y J1 (x)∆(12) (x, y)J2 (y) −d x d4 y J2 (x)∆(21) (x, y)J1 (y)22[ローマ文字の添え字は 1, 2 で、同じ添え字に関しては和を取らせ、J による汎関数微分はδJa (x′ )= δab δ 4 (x′ − x)δJb (x)と定義します。なので、場と源との関係は

ϕ1 (x) ⇔1 δ
1 δ, ϕ2 (x) ⇔i δJ1 (x)i δJ2 (x)となっています。伝播関数 i∆(ab) はi∆(11) (x, y) = θ(x0 − y0 )⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩β + θ(y0 − x0 )⟨ϕ(y)ϕ(x)⟩β(C1 )i∆(22) (x, y) = θ(y0 − x0 )⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩β + θ(x0 − y0 )⟨ϕ(y)ϕ(x)⟩β(C2 )i∆(21) (x, y) = ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩β(x0 > y0 )i∆(12) (x, y) = ⟨ϕ(y)ϕ(x)⟩β(y0 > x0 )としています（時間経路 C1 は −∞ ∼ +∞、C2 は +∞ ∼ −∞ の経路）。
相互作用ありだとして、摂動展開したときの生成汎関数は∫(( ∫)
1 δ1 δ )Z[J] = 1 + i d4 xLint [] − i d4 xLint [] + ···i δJ1i δJ2∫[ i∫]× exp −d4 x d4 y Ja (x)∆(ab) (x, y)Jb (y)2となっているので、ϕ4 理論

L=

1λ
1
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − ϕ4224!

での 1 次までの展開は

1

(iλZ[J] = 1 −4!

(∫4d z1 δi δJ1 (z))4iλ+4!

(∫4d z1 δi δJ2 (z))4 )

[ 1∫]
exp −
d4 xd4 y Ja (x)D(ab) (x, y)Jb (y)2= Z0 [J] + Z1 [J] + · · ·Z0 [J] が相互作用のない部分、Z1 [J] が 1 次まで摂動展開した部分で、D(ab) = i∆(ab) としています。J2 の汎関数微分の項の符号がプラスなのは J2 が C2 上にいるからです。
これの汎関数微分を行っていきますが、その前にこの後ずっと出てくる項の記号を定義しておきます。J1 による exp 部分の汎関数微分を( 1δ
exp[ ] = −δJ1 (z)21−2∫d4 y D(11) (z, y)J1 (y) −∫121d y D(12) (z, y)J2 (y) −2∫d4 y J1 (y)D(11) (y, z)∫4)d4 y J2 (y)D(21) (y, z) exp[]= M1 (z; J) exp[ ]とします。M1 を J1 で汎関数微分したときは

δM1 (z1 ; J)
1
1= − D(11) (z1 , z2 ) − D(11) (z2 , z1 ) = −D(11) (z1 , z2 )
δJ1 (z2 )2
2J2 で汎関数微分したときも同じように

δexp[δJ2 (z)(]=1−2−12∫

1d y D(22) (z, y)J2 (y) −2∫4∫d4 y J1 (y)D(12) (y, z) −12d4 y J2 (y)D(22) (y, z)∫)
d4 y D(21) (z, y)J1 (y) exp[ ]= M2 (z; J) exp[ ]δM2 (z1 ; J)
1
1= − D(22) (z1 , z2 ) − D(22) (z2 , z1 ) = −D(22) (z1 , z2 )
δJ2 (z2 )22
他にも M1 を J2 で汎関数微分したときや M2 を J1 で汎関数微分したときは

11δM1 (z1 ; J)
= − D(12) (z1 , z2 ) − D(21) (z2 , z1 ) = −D(12) (z1 , z2 )
δJ2 (z2 )22
δM2 (z1 ; J)
1
1= − D(12) (z2 , z1 ) − D(21) (z1 , z2 ) = −D(21) (z1 , z2 )
δJ1 (z2 )22
1 次のオーダでの汎関数微分を実行していきます。J1 で 4 回汎関数微分すると

2−)4[ 1∫]1 δexp −d4 xd4 y Ja (x)D(ab) (x, y)J1 (y)i δJ1 (z)
2
∫
iλ 1
δ
= −d4 z()3 M1 (z; J) exp[ ]4! i4δJ1 (z)∫iλ 1
δ= −d4 z()2 (−D(11) (z, z) + M12 (z; J)) exp[ ]4! i4δJ1 (z)∫iλ 1
δ= −d4 z()(−D(11) (z, z)M1 (z; J) − 2D(11) (z, z)M1 (z; J) + M13 (z; J)) exp[ ]44! iδJ1 (z)∫iλ 1δ= −)(−3D(11) (z, z)M1 (z; J) + M13 (z; J)) exp[ ]d4 z(44! iδJ1 (z)
∫()
iλ 1
= −
d4 z 3D(11) (z, z)D(11) (z, z) − 3D(11) (z, z)M12 (z; J) − 3D(11) (z, z)M12 (z; J) + M14 (z; J) exp[44! i
∫
()
iλ 1
= −
d4 z 3D(11) (z, z)D(11) (z, z) − 6D(11) (z, z)M12 (z; J) + M14 (z; J) exp[ ]44! iiλ4!

(∫d4 z]J2 による相互作用項もまったく同じなので、添え字の 1 を 2 に変えて
iλ 14! i4∫d4 z(3D(22) (z, z)D(22) (z, z) − 6D(22) (z, z)M22 (z; J) + M24 (z; J)) exp[]

よって、Z1 [J] は∫Z1 [J] =[ iλ ()
d4 z −
3D(11) (z, z)D(11) (z, z) − 6D(11) (z, z)M12 (z; J) + M14 (z; J)4!
+)]
iλ (3D(22) (z, z)D(22) (z, z) − 6D(22) (z, z)M22 (z; J) + M24 (z; J) exp[4!

]

これの D(11) (z, z)D(11) (z, z) 項と D(22) (z, z)D(22) (z, z) 項は伝播関数の添え字が 1 か 2 の違いだけで、ファインマン図としては同じ形で（図での 1, 2 は伝播関数の添え字を表します)

しかし、−iλ と +iλ のように結合定数の符号が異なっています。これはファインマン則で言えば、D(11) (z, z)D(11) (z, z)
項での頂点は −iλ、D(22) (z, z)D(22) (z, z) 項では +iλ になっていることを意味します。頂点の符号の違いは、相互作用項が −iλϕ41 と +iλϕ42 にきれいに分離していることから来ています。ϕ1 が 4 つあるために頂点へ添え字の 1がついた伝播関数の線が 4 つ向かっていき、ϕ2 では添え字の 2 がついた伝播関数の線が 4 つ向かっていき、それぞれ −iλ と +iλ の頂点となります。この構造のために、例えば 4 つの伝播関数の添え字が (11), (12), (22), (22) となっていて、右側の添え字が頂点と繋がっている側だとすると、頂点には 1, 2, 2, 2 の添え字が集まりますが、そんな図は出てきません。必ず頂点は 1, 1, 1, 1 か 2, 2, 2, 2 になるように出てきます (言葉だけだと分かりづらいので、この後に出てくる図も見てください)。
伝播関数に対する寄与の形にして、ファインマン則もさらに調べます。J で 2 階汎関数微分して伝播関数への 1次からの寄与を求めます。11 成分を見ることにするので、J1 での 2 階汎関数微分を計算します。D(11) への寄与
は (J1 = J2 = 0 で明らかに消える項は無視してます)3

1δ 2 Z1 [J]|J =J =0i2 δJ1 (x)δJ1 (y) 1 2∫[δiλ 1δM1 (z; J)
4= −dz3D(11) (z, z)D(11) (z, z)M1 (y; J) − 12D(11) (z, z)M1 (z)
24! i δJ1 (x)δJ1 (y)(1)

D(11) (x, y) =− (3D(22) (z, z)D(22) (z, z)M1 (y; J) − 12D(22) (z, z)M2 (z; J)iλ δ=4! δJ1 (x)∫δM2 (z; J) ]) exp[
δJ1 (y)]|J1 =J2 =0[d4 z 3D(11) (z, z)D(11) (z, z)M1 (y, J) + 12D(11) (z, z)D(11) (z, y)M1 (z; J)]− (3D(22) (z, z)D(22) (z, z)M1 (y, J) + 12D(22) (z, z)D(12) (y, z)M2 (z; J)) exp[ ]|J1 =J2 =0iλ=4!

∫[d4 z − 3D(11) (z, z)D(11) (z, z)D(11) (y, x) − 12D(11) (z, z)D(11) (z, y)D(11) (z, x)− (−3D(22) (z, z)D(22) (z, z)D(11) (y, x) − 12D(22) (z, z)D(12) (y, z)D(21) (z, x))

iλ=4!

∫]

[d4 z − 3D(11) (z, z)D(11) (z, z)D(11) (y, x) + 3D(22) (z, z)D(22) (z, z)D(11) (y, x)]− 12D(11) (z, z)D(11) (z, y)D(11) (z, x) + 12D(22) (z, z)D(12) (y, z)D(21) (z, x)

第一項と第二項は disconnected なので無視して、残りの項を見やすく並び替えれば(1)

D(11) (x, y) = −iλ2∫d4 zD(11) (y, z)D(11) (z, z)D(11) (z, x) +iλ2∫
d4 zD(12) (y, z)D(22) (z, z)D(21) (z, x)

これの第一項と第二項は添え字の 1, 2 を無視すれば両方ともゼロ温度の場合での自己エネルギーの形そのままです。このように 2 つの項が現れるのは、上でも触れたように相互作用項が C1 上と C2 上の 2 つあるためです。
第一項と第二項−iλD(11) (y, z)D(11) (z, z)D(11) (z, x) , iλD(12) (y, z)D(22) (z, z)D(21) (z, x)を見れば、添え字は 11 から 11 へ、12 は 22、22 は 21 へと繋がっています (式を右から読んだ場合)。つまり、ファインマン図にしたときに添え字は (1a)(a1) のように繋げて、D(11) D(21) のような繋ぎかたはしません。このこと
から、両端を 1 に固定し、それ以外の部分の添え字に対しては可能な接続のパターンを取るという規則が作れます (今は J1 (x), J1 (y) で汎関数微分していることから x, y の位置に対応する括弧内の添え字は 1 になっていなければいけない)。ただし、可能なパターンという点には縛りが存在します。それはD(11) (y, z)D(12) (z, z)D(21) (z, x)
このような項が出てきていないことから分かるように、頂点に入ってくる 4 つの線 (ϕ4 理論なので頂点には 4 つの線がくる) の添え字は 1, 1, 1, 1 か 2, 2, 2, 2 でなければいけないというものです。これは頂点が4となっていなければいけないことを意味しこのような図を禁止しています。というわけで実時間法では、2 つの頂点があり、その頂点の構造に従いながら可能な添え字のパターンを取るという規則がファインマン則に加わります。
伝播関数のフーリエ変換を∫
d4 w1 d4 w2 eip1 w1 eip2 w2 G(w1 , w2 ) = (2π)4 δ 4 (p1 + p2 )G(p1 , p2 )と定義して、運動量表示に変換すると∫
d4 xd4 yK(x, y)eip1 x eip2 y∫
d4 xd4 yd4 zD(11) (x, z)D(11) (z, z)D(11) (z, y)eip1 x eip2 y=
∫

∫
4

=

44d xd yd z

d4 q1 d4 q2 d4 q3(2π)12× D(11) (q1 )D(11) (q2 )D(11) (q3 )eip1 x eip2 y e−iq1 (x−z) e−iq2 (z−z) e−iq3 (z−y)∫∫
d4 xd4 yd4 z=

d4 q1 d4 q2 d4 q3(2π)12i(p −q1 )x i(q1 −q3 )z i(q3 +p2 )y× D(11) (q1 )D(11) (q2 )D(11) (q3 )e1 1ee∫d4 q1 d4 q2 d4 q3 D(11) (q1 )D(11) (q2 )D(11) (q3 )δ 4 (p1 − q1 )δ 4 (q1 − q3 )δ 4 (q3 + p2 )=∫d4 q1 d4 q2 D(11) (q1 )D(11) (q2 )D(11) (−p2 )δ 4 (p1 − q1 )δ 4 (q1 + p2 )=∫d4 q2 D(11) (p1 )D(11) (q2 )D(11) (−p2 )δ 4 (p1 + p2 )

=
∫
=

d4 q2
D(11) (p1 )D(11) (q2 )D(11) (−p2 )(2π)4 δ 4 (p1 + p2 )(2π)45

となるので、運動量保存のデルタ関数を外すこと (p1 = −p2 = p とする) でiλ(1)D(11) (p) = −2

∫

∫d4 q
iλ
D(11) (p)D(11) (q)D(11) (p) +(2π)42d4 q
D(12) (p)D(22) (q)D(21) (p)(2π)4

よって 1 次のオーダまででの 11 成分の伝播関数はiλG(11) (p) = D(11) (p) −2∫d4 qiλD(11) (p)D(11) (q)D(11) (p) +(2π)42∫d4 q
D(12) (p)D(22) (q)D(21) (p)(2π)4となります。これの特徴は後にまわします。
ファインマン則の例をもう 1 つ示すために ϕ3 理論の結果を示しておきます。ϕ3 理論はL=11λ∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − ϕ3223!となっていて、摂動展開したときの寄与は 2 次のオーダからなので

Z2 [J] =1 ( iλ−23!

(∫d4 z1 δi δJ1 (z))3+iλ3!

(∫d4 z1 δi δJ2 (z))3 )

2

[ 1∫]
exp −
d4 xd4 y Ja (x)Dab (x, y)Jb (y)2となります。これを計算すると、ϕ3 理論での 2 次のオーダまでの 11 成分の伝播関数は運動量表示でG(11) (p)= D(11) (p)
∫d4 q
d4 q2
D(p)D(q)D(0)D(p)+(iλ)D(12) (p)D(22) (q)D(22) (0)D(21) (p)
(11)
(11)
(11)
(11)
4(2π)
(2π)4∫∫)
d4 q
d4 q
22D(p)D(q)D(0)D(p)−(iλ)
D(p)D(q)D(0)D(p)− (iλ)
(12)
(11)
(12)
(21)
(12)
(11)
(12)
(21)
(2π)4(2π)4∫∫1(d4 qd4 q2+(iλ)2
D(p)D(q)D(p−q)D(p)+(iλ)D(12) (p)D(22) (q)D(22) (p − q)D(21) (p)
(11)
(11)
(11)
(11)
42(2π)
(2π)4
∫∫ 4)
d4 q
d q1
22− (iλ)D(p)D(q)D(p−q)D(p)−(iλ)D(p)D(q)D(p−q)D(p)(12)(21)(21)(11)(11)(12)(12)(21)(2π)4(2π)4+1((iλ)22∫と求まります。このときも頂点は −iλ と +iλ があり、頂点に入ってくる線が 1, 1, 1 だと −iλ で、2, 2, 2 だと +iλです。2 次のオーダまでの展開なので (−iλ)2 と (+iλ)2 が出てくるので、全部の項の符号がプラスになるように思えますが、(−iλ)(+iλ) の組み合わせも可能になっているために、符号がマイナスになっている項も出てきています。

6スカラー場でのファインマン則をまとめます。伝播関数は 4 つあり

1221p1p (p)i2p (p)i1p(11)(22)

 (p)i2(21) (p)i(12)22

頂点は 2 つで、ϕ3 理論と ϕ4 理論それぞれで1111111i+i22222+ii

頂点の黒丸の近くにいる 1, 2 は頂点に入る伝播関数の添え字に対応します。この頂点の構造を踏まえつつ内線の添え字が潰れるように外線と内線や内線と内線を繋いでいきます。後はゼロ温度のファインマン則と同じです。
摂動展開ができたので、その特徴的な構造について見ておきます。ϕ3 理論、ϕ4 理論の両方でのファイマン図はゼロ温度と同じ構成になっているものがあるのはすぐに分かって、それはその図の伝播関数が全て 11 成分の伝播関数によって書かれている図です。この図はゼロ温度極限を取ればそのままゼロ温度の自己エネルギーの図になります。その上、「補足：実時間の伝播関数」でも触れたように単純な実時間での定式化では 11 成分の伝播関数のみによって自己エネルギーは作られます。そうすると、増大したファインマン図には意味がないように見えます
が、ちゃんと意味があり、無視すると問題を起こします。
何が問題なのかは摂動展開の結果からすぐに分かります。ϕ4 理論での 1 次のオーダまででの伝播関数はG(11) (p) = D(11) (p) −iλ2∫iλd4 qD(11) (p)D(11) (q)D(11) (p) +4(2π)
2∫d4 q
D(12) (p)D(22) (q)D(21) (p)(2π)4となっていました。これの自己エネルギー部分の積分は実行できたとしてiλ−2∫

Σ1 iλd4 q
D(11) (q) =,(2π)4i27∫

Σ2d4 qD(22) (q) =(2π)4i(1)とします (Σ1 , Σ2 は運動量依存していない)。このとき、もし第三項がいないとすると

Σ1D(11) (p)D(11) (p)i)()
Σ1 (ii2222= D(11) (p) ++2πn(|p|)δ(p−m)+2πn(|p|)δ(p−m)
B0B0i p2 − m2 + iϵp2 − m2 + iϵ

G(11) (p) = D(11) (p) +となって、δ 2 (p2 − m2 ) という数学的に定義できないデルタ関数の 2 乗が現れてしまいます。このデルタ関数の 2乗のせいで摂動展開したときに伝播関数が定義できなくなってしまうために、摂動展開が使えなくなります。
では、無視した第三項がいるとどうなるのかを見ます。Σ1 と Σ2 実際に計算してみると

Σ2
Σ1=−iiとなっています (この関係自体は「伝播関数の対角化」で出てきています)。なので Σ1 = −Σ2 = Σ とすれば

G(11) (p) = D(11) (p) +ΣΣ
D(11) (p)D(11) (p) − D(12) (p)D(21) (p)ii= D(11) (p) +)Σ(D(11) (p)D(11) (p) − D(12) (p)D(21) (p)i2D(11)
(p) は

i
4iπ
2D(11)(p) = ( 2)2 + (2π)2 n2B (|p0 |)δ 2 (p2 − m2 ) + 2nB (|p0 |)δ(p2 − m2 )2
p − m + iϵp − m2 + iϵ
i1=( 2)2 + (2π)2 n2B (|p0 |)δ 2 (p2 − m2 ) + 4iπnB (|p0 |)δ(p2 − m2 )P 2+ (2π)2 nB (|p0 |)δ 2 (p2 − m2 )2p − m + iϵp − m2(1p2 − m2 ± iϵ=P1p2 − m2∓ iπδ(p2 − m2 ))

P は主値です。D(12) (p)D(21) (p) は[](2π)2 θ(−p0 ) + nB (|p0 |)][θ(p0 ) + nB (|p0 |) δ 2 (p2 − m2 )[]= (2π)2 θ(−p0 )nB (|p0 |) + θ(p0 )nB (|p0 |) + n2B (|p0 |) δ 2 (p2 − m2 )= (2π)2 [nB (|p0 |) + n2B (|p0 |)]δ 2 (p2 − m2 )なので1i2)2 + 4iπnB (|p0 |)δ(p2 − m2 )P 2D(11)(p) − D(12) (p)D(21) (p) = ( 2p − m2 + iϵp − m2(2)となって、問題のデルタ関数の 2 乗が消えてくれます。このように、実時間での定式化では 11 成分以外の成分を含めることで数学的な問題がなくなり、摂動展開が使えるようになります。
デルタ関数の問題を取り除くもっと便利な方法があるのでそれも示しておきます。11 成分の伝播関数を m2 で微分すると

8i∂(+ 2πnB (|p0 |)δ(p2 − m2 ))∂m2 p2 − m2 + iϵ=i∂+ nB (|p0 |)2πδ(p2 − m2 )(p2 − m2 + iϵ)2∂m2)iii∂ (+n(|p|)−
B0(p2 − m2 + iϵ)2∂m2 p2 − m2 + iϵ p2 − m2 − iϵ()i
1
1= 2+in(|p|)−
B0(p − m2 + iϵ)2(p2 − m2 + iϵ)2(p2 − m2 − iϵ)2()()
i
1
1
1
1
= 2+in(|p|)−+B0(p − m2 + iϵ)2p2 − m2 + iϵ p2 − m2 − iϵ p2 − m2 + iϵ p2 − m2 − iϵ=i=(p2 − m2 + iϵ)2=(p2 − m2 + iϵ)2i+ inB (|p0 |)(−2iπ)δ(p2 − m2 )P+ 4πnB (|p0 |)δ(p2 − m2 )P2
p2 − m21
p2 − m2i をかければ

i∂i
1D(11) (p) = ( 2)2 + 4iπnB (|p0 |)δ(p2 − m2 )P 222∂mp − m + iϵp − m2

これは (2) と同じになっているので

i∂2
D(11) (p) = D(11)(p) − D(12) (p)D(21) (p)∂m2という関係であることが分かります。デルタ関数の微分は数学的に定義できるために、このように微分を使った形で書くことで数学上の問題がおきなくなります。つまり、(1) をG(11) (p) = D(11) (p) + Σ∂D(11) (p)∂m2という形で書けてしまいます。
m2 の微分を使うことは計算上でも役に立ちます。例えばii( 2)3 − ( 2)3p − m2 + iϵp − m2 − iϵのような計算が実際に出てきますがii1 ∂ 2ii
1 ∂ 2( 2)3 − ( 2)3 = − () ( 2+)=− () 2πδ(p2 − m2 )p − m2 + iϵp − m2 − iϵ2 ∂m2
p − m2 + iϵ p2 − m2 − iϵ2 ∂m2とすることで、デルタ関数の n 乗を微分の形に変えることができます。

9