ラザフォード散乱

電荷を使うので力学より電磁気や原子とかでの話ですが、力学の本に散乱の例としてよく載っているので、力学のくくりの中で見ていきます。ちなみに、衝突はぶつかること、散乱はぶつかってどこかに飛んでいく過程までを含めた言葉です。
散乱と言っていますが、運動方程式を解くだけです。
面倒だったのであまり図を使ってませんが、本やネットを探せばきれいな図はたくさんあります。
相対論的量子力学でのラザフォード散乱は QED の「ラザフォード散乱」で計算しています。

力学でありそうな物体同士をぶつける話でなく、ポテンシャルに突っ込ませる場合を考えます。状況としては、質量 m の物体を物体に対して斥力 (もしくは引力) が働いている領域にぶつけるというものです。この状況は固定された電荷 −Q の粒子に電荷 −Q の粒子をぶつけることに対応し (電荷なのでクーロン力が働いている)、ラザフォード散乱 (Rutherford scattering) と呼ばれます。3 次元で考える必要もないので、2 次元空間とし、固定された標的の電荷の地点を原点とします。また、エネルギーと角運動量は保存している状況で考えます (運動量は標的を固定しているために保存しない)。
粒子に力が働いている運動なので、運動方程式を解けば軌道が分かります。というわけで、クーロン力が働いているときの運動方程式を作って、粒子の軌道を求めます。クーロン力は電磁気の基本法則で、動径ベクトル r によってF (r) =Q2r2(r = |r|)と与えられます。1/r2 なので、無限遠ではこの力は消えます。ちなみに、入射粒子と標的がそれぞれ Z, Z ′ 個の素電荷 e(電子の電荷の絶対値) を持っているなら Q2 は ZZ ′ e2 となります。ここでは、少し一般化するために

kF (r) = ϵ 2r(ϵ = ±1)とします。ϵ = +1 のときは斥力、ϵ = −1 のときは引力になります。k を合わせれば、ϵ = −1 で重力とすることもできます。

2 次元座標 (x, y) において力は動径方向のみに作用するすれば、動径方向の単位ベクトル er によって力のベク
トルはF (r) = F (r)er(er =r)r

これは中心力になっているので、ポテンシャルは∫ r
U (r) = −r0dr ′ · F (r′ ) = −ϵ

∫ rkdr ′ · er′ ′2 = −ϵr∞∫ rkdr ′ · r ′ ′3 = −ϵr∞∫ rkkdr′ ′3 r′ = ϵrr∞で与えられます。無限遠を基準とし、r0 = ∞ としています。
運動方程式を作る前に、粒子の力学的エネルギー E と角運動量 L を与えておきます。E と L は定義によってE=

1mv 2 + U (r) , L = mr2 θ̇2ドットは t 微分を表します。ぶつける粒子の位置は動径ベクトル r で与え、質量を m、速度を v = |v| としています。θ は x 軸と r との角度です (標的の粒子は固定されたポテンシャルの発生源でしかないので、エネルギーと角運動量に運動する粒子として影響を与えない)。後のために v を ṙ に置き換えます。
極座標 (r, θ) に書き換えます。速度ベクトル v は動径ベクトル r の時間微分なので、r の単位ベクトルを er として

v=d(rer ) = ṙer + rėrdt

極座標の基底 er , eθ を求めます。r は、x, y の単位ベクトル ex , ey を使って書くと

r = xex + yey(x = |x| , y = |y|)

これを r = |r| で割れば r の単位ベクトル er になるので

er =xyex + ey = cos θ(1, 0) + sin θ(0, 1) = (cos θ, sin θ)
rrθ 方向の単位ベクトル eθ は er に直交し、|eθ | = 1 なのでeθ = (− sin θ, cos θ)ėr はただの時間微分なので、θ も時間に依存していることに注意して

ėr = (−ex sin θ + ey cos θ)θ̇ = θ̇eθとなります。
そうすると、速度ベクトルはv = ṙer + rėr = ṙer + rθ̇eθ , v 2 = |v|2 = ṙ2 + r2 θ̇2(er · eθ = 0)

これを E に入れるとE=

11L2+ U (r)m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + U (r) = mṙ2 +222mr2

ここで r は θ の関数になっているとして、u(θ) = 1/r とすればdrdr du1 du==− 2dθdu dθu dθṙ =これらによってdr dθ
1 du
1 Lu2 duL dudr==− 2θ̇ = − 2=−dtdθ dtu dθu m dθm dθ

E=

1 2L2
1 L2 du 2
L2 2
1 L2 du 2
mṙ ++U(r)=()+u+U(1/u)=(( ) + u2 ) + U (1/u)
22mr22 m dθ2m2 m dθ

これでエネルギーの書き換えは終わりにして、次は r 方向の運動方程式を作って解を求めます。
動いている粒子の位置は動径ベクトル r で、動径方向にしか力は作用しないので運動方程式は

md2 r= F (r)erdt2

左辺はr̈ =d(ṙer + rθ̇eθ ) = r̈er + ṙėr + ṙθ̇eθ + rθ̈eθ + rθ̇ėθdt= r̈er + ṙθ̇eθ + ṙθ̇eθ + rθ̈eθ − rθ̇2 er= (r̈ − rθ̇2 )er + (rθ̈ + 2ṙθ̇)eθとなっているので、r 方向の運動方程式はm(r̈ − rθ̇2 ) = F (r)左辺を角運動量を使った形にすれば

m(r̈ − rθ̇2 ) = m(r̈ − rL2L2)==m(r̈−)
m2 r4
m2 r3

そして、u はr̈ = −L d duL dθ d duL d2 uL2 u2 d2 u=−= − θ̇ 2 = − 2m dt dθm dt dθ dθm dθm dθ2となっているのでm(−L2 u2 d2 u L2 u3−) = F (1/u)
m2 dθ2m2d2 um+ u = − 2 2 F (1/u)
dθ2L ud2 umk+u= −ϵ 2dθ2L

これの解は簡単に求められます。右辺を 0 にした同次では単振動と同じなので、その一般解は

uh = C1 cos θ + C2 sin θ = C cos(θ − ω)C, C1 , C2 は任意定数で、ω は任意の角度です。特解は u を θ に依存していないとした(1)

up = −ϵmk
L2があるので、足すことで一般解はu = uh + up = −ϵmkmk
L2+Ccos(θ−ω)=(−ϵ+C cos(θ − ω)
L2L2mkとなります。

θ は極座標の角度なので、座標を適当に回転させることで ω が出てこないように θ を与えられます。このことから、ω = 0 として、C を与えてみます。この解をエネルギーの式 (1) に入れると))
1 L2 ( du 2
1 L2 ( 2 2mk( ) + u2 =C sin θ + (−ϵ 2 + C cos θ)22 m dθ2mL=

m2 k 2
1 L2 2 2mk(C sin θ ++ C 2 cos2 θ − 2ϵ 2 C cos θ)
42m
L
L

=

1 L2 2 m2 k 2mk(C +− 2ϵ 2 C cos θ)
2mL4L

これとE − U = E − ϵku = E − ϵk(−ϵmkmk+ C cos θ) = E + k( 2 − ϵC cos θ)
L2
Lによってmkmk
1 L2 2 m2 k 2(C +− 2ϵ 2 C cos θ) = E + k( 2 − ϵC cos θ)
2mL4LL1 L2 2mk 2
C =E+2m2L2√2mE
m2 k 2
C=+2L
L4というわけで、u は

mku = 2 (−ϵ +L√
1+2EL2cos θ)
mk 2

これが F (r) がいるときの粒子の軌道になります。

ϵ = +1 での散乱は図 1 のようになります。灰色の丸が入射粒子、黒丸が標的の電荷の位置で原点、θ が散乱角です。rmin は標的に最も近付いた時の長さで、θmin はそのときの角度です。b は衝突パラメータ (impact parameter)や衝突径数と呼ばれ、無限遠から侵入してくる粒子が何の影響も受けずに進む軌道に標的から引いた垂線の長さです (ベクトル b の方向は標的から粒子の軌道の方向)。θ を反時計周りに取っているので、このように書くと θ の増加方向と逆になるために速度ベクトルの方向がマイナスになります。
粒子が最も標的に近づく地点を求めてみます。エネルギーの式

1 2L2+ U (r) = Emṙ +22mr2図1において、第一項は常に正なのでE≥L2+ U (r)2mr2(2)という制限がかかります。そして、r の上限は無限大にまで取っていますが、下限は標的に最も近付く rmin です。
そうすると、L2 /2mr + U (r) は r が減少すると増大していくので

E=L2+ U (r)2mr2によって、(2) を満たす最小の r を与えます。よって最近接距離 rmin はE=
r2 −L2k+2mr2rL2kr−=0E2mE

これの解は

1 kr= ( ±2 E√k22L2k+)=±E2mE2E√k2L2+4E 22mE

最近接距離は rmin > 0 でなければいけないのでkrmin =+2E√k2L2+24E2mEとなりますが、もっと見やすい形にできます。無限遠でのエネルギーと角運動量は無限遠での速度を v0 = |v0 | とすればE=

1mv 22 0|L| = m|v0 |b(b = |b|)(3)

角運動量は無限遠では粒子の速度ベクトルと衝突パラメータのベクトル b とが直交したものなので、こうなります。角運動量に絶対値をつけているのは、速度 v の向きで符号が変わるからです (v の向きから絶対値を外せば右辺にマイナスがつく)。この 2 つは、エネルギーと角運動量が保存しているために、rmin でも成立しているので

b=|L||L|=√m|v0 |2mE(4)を使うことでkrmin =+2E√k2+ b24E 2

これから衝突パラメータが 0 のとき (標的と同じ線上での衝突、ようは正面衝突) が最も標的に近づけることが分かります。導出から分かるように最近接距離は運動方程式を解かなくても求められます。
次に散乱角を求めます。運動方程式の解は

mk
1= − 2 + A cos(θ + ω)rL(5)とします (ω = 0 としない)。初期条件として、θ = π で r が無限大になるとすれば

A cos(π + ω) =mk
L2A cos ω = −mk
L2(6)Lsin(θ + ω)m(7)(5) を t 微分するとṙ = −Ar2 θ̇ sin(θ + ω) = −A
無限遠での速度は −v0 なので、θ = π で−v0 = − Av0 = A

Lsin(π + ω)
m|L|sin ωm(3) を使うと

Ab sin ω = −1(6) と合わせることでtan ω =L2mbkとして、ω が決まります。また、r が最小になるときには、動径方向の速度 ṙ は 0 になるはずなので、(7) から、最近接距離での角度 θmin はθmin = π − ωとなります。
粒子が角度 θ = ϕ で散乱したとします。そして、最近接距離での角度 ω は rmin を軸に対称になっているので(図はテキトーに書いたのでそう見えませんが、弾性散乱とするので対称)、ϕ は ω を使うと

ϕ = π − 2ω
なので

tan

π−ϕL2=2mbkcot

ϕL2=2mbk(tan(ϕ +π= − cot ϕ , cot(−ϕ) = − cot ϕ)2(4) を使ってエネルギーによる形にすればcotϕ2bE=2k(8)というわけで、散乱角 ϕ は逆三角関数によって

ϕ = 2 cot−12bEk

これから、散乱する角度は衝突パラメータとエネルギーによって決定されるのが分かります。
次に断面積を定義します。単に断面積と言っていきますが、散乱断面積とか衝突断面積と呼ぶこともあります。
断面積の言葉での定義は、散乱した粒子が入ってくる２次元面です。なので、断面積と呼ばれます。そして、ここでの定義がどんな本でも共通になっていないことに注意してください。
まず、標的に当てる粒子数の密度は λ として、λ は単位面積当たりに毎秒 λ 個の粒子 (単位は、長さを L、時間を T とすれば、L−2 T −1 ) と定義します。そして、散乱されて来る面が必要なので、その面を与えます。面を動径とは無関係にしたいので、立体角を使います (下の補足参照)。立体角は 2 次元の面と対応し、その面に粒子が入ってくるとします。微小な立体角を dΩ として、それによって作られる面を通っていく粒子の数は毎秒 dn 個とします。そうすると、dn は λdΩ に比例しているとして (dΩ は無次元量)

dn = q(θ, ϕ)λdΩ(9)ここでの q は極座標 (r, θ, ϕ) での θ, ϕ に依存しています (動径は無関係だから)。これの右辺を全領域にわたって積分すれば、散乱された全粒子数になるべきなので (全空間を覆えば必ず全ての粒子を含む)、通過する全粒子数を n として∫ 4πn=q(θ, ϕ)λdΩ0

積分範囲を 0 ∼ 4π にしているのは球面全体の立体角が 4π だからです。極座標では立体角がdΩ = sin θdθdϕ
なので

∫ πn=

∫ 2πdθ0dϕ q(θ, ϕ)λ sin θ0

そして、標的に当てる粒子密度 λ にかけたら全粒子数になるような 2 次元面積 σ を定義します。そうすると∫ 4πσλ =q(θ, ϕ)λdΩ0

λ は角度依存性を持つ量ではないので∫ 4πσ=q(θ, ϕ)dΩ0

この σ を断面積 (cross section)、そして Ω で微分して取り出せるq(θ, ϕ) =dσ|θ,ϕdΩを微分断面積 (diﬀerential cross section) と言います。微分断面積は θ, ϕ によって方向が指定された立体角毎の断面積です (θ は散乱角、ϕ は方位角と言えます)。
もう一つ微分断面積の定義として衝突パラメータを使った場合を見ておきます。z 軸方向に粒子が入射しているとして、衝突パラメータ b と db の間に入る粒子数は (半径 b の円と半径 b + db の円による幅 db の円環の面積に λをかける)

dN = λ2πbdbこの b と b + bd の間に入射してきた粒子が θ と θ + dθ の間に散乱するとすれば、立体角dΩ(θ) = 2π sin θdθに入る粒子数と同じになっているはずです (r sin θ の半径の円の円周に微小な rdθ をかけた 2πr2 sin θdθ の面積に対応する立体角)。そうすると (9) から

λ2πbdb = q(θ)λdΩ(θ)
2πbdb = q(θ)dΩ(θ)θ のみに依存しているとしているのは、衝突パラメータ b は (8) から分かるように、エネルギーが与えられている時、散乱角のみに依存するからです。左辺は b に関して、右辺は θ に関して積分を取れば全粒子数にできるので、断面積は∫ ∞σ = 2π∫ πbdb = 2π0q(θ) sin θdθ0b の考えられる全範囲は 0 ∼ ∞ なので、上限を ∞ にしています。最右辺が θ のみに依存していることから立体角でなく θ で微分した

dσ= 2πq(θ) sin θdθ
この形を微分断面積と呼ぶこともあります。また、b が θ に依存していることから

dN = 2πb|db|dθdθとも書けるので

dσdb= 2πb| |dθdθ
dσ dΩ(θ)
db= 2πb| |dΩ(θ) dθdθdσb db=| |dΩ(θ)
sin θ dθ
絶対値をつけているのは粒子数が負の値を持つわけがないからです。
すでに必要なものは揃っているのでラザフォード散乱での微分断面積を求めるのは簡単です。衝突パラメータ bの θ 微分は

dbk1=−2dθ4E sin (θ/2)
散乱角は ϕ でなく θ にしています。これから微分断面積は

dσ1 k k cot(θ/2)=dΩ(θ)sin θ 2E 4E sin2 (θ/2)=cot(θ/2)
k22(2E)2 sin θ sin2 (θ/2)

sin θ は sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) なので

dσk2
1cos(θ/2)=32dΩ(θ)4(2E) cos(θ/2) sin (θ/2) sin(θ/2)
k2
14(2E)2 sin4 (θ/2)=

この微分断面積をラザフォードの散乱公式と言います。

・補足
立体角の定義を示します。立体角は 2 次元の角度を 3 次元に拡張したものです。2 次元の角度から見ておきます。
半径 r の円があり、その円周上の円弧 a の角度 θ は

θa=2π2πrから、θ = a/r と与えられます。これを３次元球に適用します。球なので、半径 r の球の表面上の面 A の面積を sとしてsr2とすることで、円弧の角度と対応させます。そうすると、A を底面とし、そこから球の原点を頂点として繋いだとき、その頂点での 3 次元的な角度を Ω としてΩ=sr2sΩ=4π4πr2
右辺の分母は球の表面積なので、円弧の場合と対応した式になります。この Ω を立体角と呼び、4π が球全体の立体角となります。
球面上の微小な面は極座標 (r, θ, ϕ) では

r2 sin θdθdϕ
これを角度で積分すれば球面上の適当な面 A になるので立体角は∫Ω=dθdϕA

r2 sin θ=r2∫dθdϕ sin θAとなります。積分範囲は面 A になる範囲です。また、微小な立体角は sin θdθdϕ です。
球だけでなく任意の閉曲面 (球のように閉じた曲面) でも定義されます。適当な閉曲面を S とし、S 上の領域の面積を s、単位法線ベクトルを n とします。原点とその領域を結ぶ単位ベクトルを e、長さを r とすれば、その領域の立体角は

Ω=e·sr2(s = sn)と定義されます。e と n の間の角度を θ とすれば e · s = s cos θ なので、e · s は e を法線方向にする面積です。
任意の閉曲面の全体の立体角は 4π です。原点を半径 r0 の球で囲み、さらに外側を適当な閉曲面 S によって囲みます。S 上の原点から r の位置にある微小面積を ∆s とし、その単位法線ベクトルを n とします。原点とそのS 上の領域を結ぶ単位ベクトルを e とすれば、立体角はdΩ =e · n∆sr2

この立体角に対応する球面上の微小面積を ∆s0 とすれば、球面上の法線方向は e なので∆s0e · e∆s0= 2 = dΩ2r0r0
よって、球の表面で積分することで∫∫dΩ =となります。

ds04πr2= 2 0 = 4π2r0r0