ヨ召手口63年ユ∫ヨ12日

数学I

数

1．

学

I

（問題）

X1，X2，＿，X〃を2項母集団b（刊，ρ〕からの標本変量とするとき，

11〕

Pを∫1｝数として，τ＝X1＋X2＋…十X〃は充足推定量であることを示せ。

12〕：j＝数Pの最北椎定量を求めよ。

2．次の11ト13〕が成り立つとして，時刻toにおいて作動している工作機械が時刻士。＋圭まで停止しない（作動し続ける）確率を求めよ。
1！〕この確率は時刻圭。に依存せず，時間（士。，土〇十｛〕の長さ士だけに依存する。

12〕工作機械が微小時間〃の闇に停止する確率は〃に比例する（比例定数λ）。
13〕重なり向わない時間間隔に対しては1それらの時間内に機械が停止するという事象は互に独立である。

3．日南度皿のx，（カイ2乗）一分布の分布関数をF、｛エ〕とするとき．次式を証明せよ。
n・一1

庄ｰ青一・一乃・・州
止＝o

4．分散σ2が既知の正規母1集団W（μ，σ2〕からの大きさ冊の標本の平均値を星としI帰無仮説H：μ：μoを棄却域i三一μolσ／ψ〉α（α＝n三の定数）によって検定するとき，検出力関数は1μ一μolの増加関数であることを示せ。

5．確率密度関数が∫（エ〕なる分布をもつ母集団からの大きさnの標本値1エ1，吻，．。。，工。〕を小さいものから順に並べて工（1）1工（2〕・…1工1・〕としたとき，冗ωを実現値とする標本変量X｛つを・番目の1順序統計量という。大きさ肌の標本による尾個の順序統計量X｛。、〕，X（。，〕，。。リX｛。凸〕1・1くりく＿く・た）の同時分布の確率密度関数は冗！

ルω，舳一工ω〕＝ o、、一、〕1（、，一。、一I〕1｛。止吋止．、一、）1｛冊一。止〕1・（∬〕舳ジ（∫l11舳）∵（∫二舳）㌦州…ルω〕
で㌧えられることを証明せよ。

一61一斐史学皿1、川X（解匡答仮叱）Iの確率分布はbln，p〕であるから、Tの確率分布は二項分布の再生性によりb（n調，P〕である。

r（x。、x。，…，xパP卜PlXドX。，Xパx。，…，Xパx。）
・PlX。・X、川X。・X。〕…PlXパX。）
X。・X。・…・X

・（1、）（1、）…（し）1

洲一1X、・X。・…・X。〕

ll一・〕であるから、t・X、・X。・…・X。として。（t；・Hnl）・t㈹舳一tl（・、・・，・…・㌦上11、川，）…（し）／1、、糺、．．、、。）とすれば、舳；p）はTの確率分布、h（X・lX・・，X㎜）は。にほ関係しない関数で、r（X。，X。，…，XパP上0（t；P川1X、、X。，…，X一と表わせる。よってTは充足推定量である。
12〕尤度関数1（plはX。・X。・…・X．

ll・卜（1、）（1，）…（し）1nHX、・X。十・…X−l1刑である。

ここで、κlP〕・1OO1（P〕

・lx。・X。・…・x−109P・｛nHX。・X。・…・X。川09（1−p〕

・1・・1（実、）（実，）…（県）1

とおいてPで微分すれば
d市1x、・x。・…・x。

dp■

舳一（x。・x。・・…x。〕

Pl−P州P）
dP・Oを満たす．．Pを色とするとP・（X，・X。・・…X。）／ln〕

ところで、

d2P）

dP・＝一（x。十xぺ。
・。〕／P．1・。
一（・、十・，十…

〕1バ1−P〕くOであるからpは帥〕の極大俺で同時に最大値を与え、したがってI（p〕の最大値を与える。
ゆえに、X・（X。・X。・…・X。〕バ州がpの最尤推定量である。

一62一11〕より求める確率をP（t）とする。

機械が微小時間＾tの間に停止する確率はωより1−P（川・＾い。1州である。

時刻t。に作動している機械が時刻tぺt・ムぼて作動し続ける（停止しない）という事象の確率を求める。この事象が生起するためには、長さtと＾tとの2つの重なり合わない時間固隔において機械は停止してはならない、
したがって、｛3）と確率の乗法定理により

Plt舳卜P（t川州・叩）｛1一λムト。（ω｝

これから、P（t・ムt）一Pωムt
ここで、ムt一一〇（州＝一〃｛tトー＾tOとすると

一I．p（t＋＾t〕一印）一山
ムい・@＾＝dt芒一舳〕

この微分方程式の解は

川上Ce1川1Cは定数）
P（0上0よりC＝1
よって川ヒ）＝eIH

一63一

3．

1加。。。。，。。一、1一・。。。。（・・）斗。伽舳。｛（。、、。〕。。〕∫。t一t／2

edt

12■
一1一。1…nl∫。t・■一／㌔t

1一。
斗。1皿川、丁∫：1・tゾ・・1t
1
刈・1二Tl∫。t・1い…・…・……・・（1）
ここで・い・〕・∫lt皿・一㌔tとおくと・皿！・）・［一t・■tl：・・∫：ゼー：一xe

州L

・㌔t

（X〕

ll−1

・一・5㍉・1一・H川一11・。．，1・リ

ぺ1・口…0■州）・㎜一2・…・・1・1・・！・。（・）・。1・卜∫：・一㌔H一・一、あるからし凹（・〕・一・1

P・皿…卜1・剛・一バ・…・・！・州リ・・！

¶ XL
・一・1・1ΣkI・・1…・…・・（・〕k＝0（1〕、（2〕より

1皿Xヒ

1一・，皿、，（・・）斗訂1一・1・■一Σk！
』10・・凹ｰXkk1

一土0

一64一・・

4．

検出力関数＝1−P（第2種の誤りがおこる）＝1一一P（帰無仮説Hを棄却しない1μ≠μ。）＝P（帰無仮説Hを棄却する1μ≠μ。）

lX一μ。1一・（、／π〉α1μ・μ。）
一方

X一μo
μ一μ0
t＝σ／π は平均値6／π （＝aとおく）
分散1の正規分布にしたがうので、検出力関数＝P（1い〉αIμ≠μ。）．． 皿 1 −lt−a〕2／2

一（∫．、・∫。）一示e．

1・t

一（t刊2／2−1一∫．∴研e・t＝ψ（a〕とおくdψ（a〕d．

1−lt−a〕2／2。、一石（・一∫、。示e．

1−1卜a〕2／2一∫．。（ト・）1房e1。、、

1t一t2／2

一面一∫．・e1
一示［・1t）

lt2t／21−lll，

1一示1・イα22a〕／2一・一〔州／21α〉0だから、a．＞，＝，〈0にしたがってdψ｛a）

daよって〉・＝・＜0となる。
ψω一Iはl

したがってaiの増加関数

1μ一μ。1の増加関数である七一65一

5．

xl・1〕くXl・、〕≦xl・、パdxl・、い・（。，〕くX（。、〕1・｛。，パd・｛。、，，……、X（・、パXl・、〕≦xけ．パd・｛。、）の同時麟は
舳川・X（1〕・．．I≦XlrI川㍉Xl。、一1〕≦xl。，〕≦X（。、〕≦X｛。，パd㍉。、），……lX

1rパll≦x≦X≦x＋dx…＿＿一一、lr。・1 （r。） lr。〕 lr。〕一 ・≦X｛。、、、〕≦X〔。、．、パdx｛。、。、〕≦X｛。、．，州・……

，X｛。、一パx（。、，≦X｛。、〕≦・｛。、パd・（。、）〕となる・

これはn個の中のlr、一1〕個がx（r、〕以下の儘をとり1欄がX（r、〕とX｛r、〕・ldX（r、〕の間の値をとり．｛「・一「・■1川が・1・1パdxl・、〕とx（・，〕の繭の舵とり（n一㌦〕胴がX｛r、パdX〔r、〕以上の箇をとる確率である．

X
一方1つの財が・｛、、）以下となる礫は∫．。＝『一舳でありXl・、〕とXl・、パdXl・、1の間となる麟舳｛。、〕〕1・（。、〕であるから以下同様にして、求める確率は多項分布にしたがいn！

lrド1川rゼrド1〕！……lrドr卜、一1川n−r、）！
・l／二（㌦1・パH）l／：：1：1．x）d、パい・一1）X．．．．、．．．、。
ln−r、〕
El／・（、、〕r1州1
・・一

Xへ……

市1・．〕〕d・｛。、ジ・…・…1・｛。．｝となる・

一66一