「 船の安定性理論 」 に関する応用例題
堀勉

An Advanced Example on Ship’s Stability Theorem― Solution for Stable Attitude of an Inclined Ship ―Tsutomu H ORI

4月

日本航海学会誌 N A V I G A T I O N （令和 3 年 10 月 第 218 号） 投 .稿

1/8

NAVIGATION（解説・展望）58

令和 3 年 10 月

解説・展望

「 船の安定性理論 」 に関す る応 用例 題
― 横 傾 斜状 態 で の安定 姿 勢 の求 解 ―堀勉

An Advanced Example on Ship’s Stability Theorem― Solution for Stable Attitude of an Inclined Ship ―Tsutomu HORI
キ ーワ ー ド ： 船，安定性理論，傾斜状態，安定姿勢，応用例題

1． ま え が き船の安定性理論に関する例題として，前報 (1) では，長方形断 面（任意の材質と任意の幅）を有する柱状船が，直立状態（甲板が水平な姿勢）で安定に浮く条件について，浮心・重心・メタセンターの位置関係の観点から，その解法を紹介した．
一方，上記の条件を満たさない場合，船がどのtw ･･････(1)h幅  ( 但し， > 0 ) h深さ( 但し，0    1 )のように，定義したものである． ここに，  w が真水の場合，  は 柱状船の比重を表わす．

ような状態で浮くのか？も，力学的には興味ある

3．直直立したところである．

長方形断面の柱状船の安定条件

この問題について は，防衛大学校 の 五十嵐らが，正方形断面 (2) と長方形断面 (3) の角材の姿勢につい前報 (1)では，直立状態（甲板が水平な姿勢）で 安て，その重心と浮心に関する幾何学的考察から，定に浮く条件は，(1)式の  と  の関係として，詳細に解明されている．

 2  6  (1   )  0(1)･･･････････････(2)

本稿では，前報 の延長線上の応用例題として，長方形断 面の 柱状船の，傾斜状態での安定姿勢をのように，書くことができるから，求解する手法を，解説させて頂く次第である．

● 材質 

2．設
設定変数としての材質  と 幅 
本稿では，設定変数として，前報 (1) と同様に，柱状船の比重量  t（下添字の t は，木材の timber の頭文字）と水の比重量  w（下添字の w は，水の waterを固定した場合の，幅  に対する安定条件は，

 

6  (1   )例えば， の頭文字） の 比を  （以下， 材 質 と呼ぶ） として，であり，断面の幅  h と深さ h の比（アスペクト比） を ●幅（以下， 幅 と呼ぶ） として，

条件は，

1  

2
 (3)
6
≒ 1. 225 
2


を固定した場合の，材質  に対する安定

218号「 船の安定性理論 」に関する応用例題 ― 横傾斜状態での安定姿勢の求解 ―ⅰ）幅が広い   6 

 場合は，
2 

材質  に依らず，浮体は常に安定し，

6 ⅱ）幅が狭い    場合は，2 1  （ 軽い材質）
0 21
     1 （重い材質）
2



2
 (4)
3 (3  2 ) 

6但し，
3，≒例えば10.
289
6のように，軽い材質と重い材質で，安定することを，解説した (1)．

2/859の角材）が，直立状態から，右舷側に  だけ横傾斜した状態で，安定して浮いている場合を想定する．
まず，吃水を定めるために， 傾斜状態での水面下の横断面積 Aw を，求めておこう．
その形状は，高さ  h の台形であるから，直立時の吃水を d とすれば，上底と下底は，左舷と右舷
hの浸水長の増減
tan  を考慮して，
2Aw

1 hhtan  )  ( d tan  )    h
 (d 2 
22  hd･････････････････････････(5)のように求まり，直立時の水面下形状である長方形の面積に等しいことが分かる．
柱状船の重量 W と 浮力 FB は，それぞれ，W   t Vt   t   h  h  L ･･･(6)FB  w V w  w Aw L  w   h d  L 

4．横横傾斜した長方形断面の柱状船の安定姿勢のように求められる． 前者の重量 W は，柱状船

本章では，前章で述べた，直立状態での安定条の比重量  t と全体積 Vt の積として，後者の浮力件 を満たさない 場合，どんな傾斜状態で安定する

FB は， A rchimedes の原理により，水の比重量  wのか？，その姿勢 （傾斜角） を求めよう．と排水体積 V w の積として得られている． V w は，

図 1 に示すように，深さ h ，幅  h の長方形断面を有する長さ L の柱状船（均質な材質で，比重量  t

図1(5)式の横断面積 Aw と船長 L の積で得られる．
浮体は，重量と浮力が平衡した状態横傾斜状態で安定している長方形断面を有する柱状船 （長さ L ）3/8NAVIGATION60W  FB･･････････････････････････(7)で安定するから，(6)式の W と F B を等置すれば，

 t   h  h  L  w   h  d  L･････････(8)となる． これを解くことにより，直立時の吃水 dを，dth hw

令和 3 年 10 月

B 
Bb2tan 3d ･････････････(13)2db2tan  26dのように，得られている (4) ． この結果は，附録に示すように，横傾斜時の水面下の横断面形状であ･･･････････････････(9)る台形の図心を，面積モーメントから幾何学的に求めた，(A-5)式の結果と一致しており，正しく，のように，深さ h の  倍として，決めることができる．

周知の浮心位置と合致するものである．
ここに，(13)式において，d と b を，それぞれ，本論では，問題を簡単化するために，横傾斜しても，図 1 のように，全幅に亙って，甲板 （長方形断面の上辺） は水面上に，船底 （長方形の下辺）は水面下にあり，(5)式で計算したように，水面下の横断面形状が台形である場合について，解説する．

d  h1b h2に置き換えることにより，  B ,  B は，B 

その仮定は，横傾斜による浸水長の増加分が，直立時の乾舷 h  d や吃水 d を 超えない条件としBて，
1h  d  (1   ) h (   の場合 )2htan   
12 d  h( の場合 )2････(10)を課すことになるから，傾斜角  は，

 2 (1   )tan    2
 ( ( 1212の場合 )の場合 )の範囲内に収まる，小傾斜角に限定する． 例えば，

12

 tan   1   4

 2 tan h12  ･･････････(15)22h tan h 
224 のように書くことができる． 重心 G は，均質な材質を仮定しているから，傾斜後も長方形断面のhにな図心（＝中心）に位置し，  B と  G の和が2なることを用いれば，図 1 の  G は，hB21 2 tan 2 hh

224 


G･･････(11) 1, ･･･････････････････････(14) ･･････････(12)の設定範囲を意味する．

 だ け 横 傾 斜 し た と き の 浮 心 位 置 B ( B ,  B )は，静水圧の圧力中心として，堀 (4),(5) によって求められている． 図 1 に示すように，船底中央に原点 o を取り，浮体に固定して傾斜した o    座標系で，直立時の吃水を d ，半幅を b としたとき，



12  (1   )   2 tan 2 h24 ･･･････(16)のように，求められる．
ここに，図 1 の傾斜状態を保持して浮くには，まず，浮心 B と重心 G が，同一鉛直線上に位置する必要があるから，  B と  G の間に，

B
 tan G
 ････････････････(17) G tan  
 B の関係を要求される．  B ,  G に，(15), (16)式を用いることにより，
2
 2 tan 2  6 (1   )   2 ･･･････(18)218号「 船の安定性理論 」に関する応用例題 ― 横傾斜状態での安定姿勢の求解 ―と幅  に対して，傾斜姿勢  の正接は，

tan  B
BG･･･････(19)sin (24)式から(25)式を減ずることにより，傾斜角  の解が存在することになる． 結果は，五GM
十嵐ら (3) の (1- h) 式 や (4 - f ) 式に一致する． これは，
分子の中括弧内が正値を取ること･･･････････････(20)を要求するものであるが，3 章(2)式の直立状態で安定する条件と，不等号が逆の条件式となっており，本章での解析の正当性を，確認できる．

2

h BM cos 2  ･･･(25)12  cos のように求まるから， メタセンター高さ GM は，によって 求められ，右辺の根号内が正になるとき，6 (1   )   2  061式の  B との三角比を用いて，の関係式が得られる． これにより，所定の材質 2  6 (1   )   2 4/8

BM  BG

 2 ( 1  cos 2  )h
12  cos 3  2 sin 2 h12  cos 3 BM sin 2   0･･･････････････(26)のように，定めることができる．
この結果から， GM は，傾斜角  や，材質  ，幅  に依らず，正値を取って，メタセンター M は次に，上述の傾斜姿勢  が，安定であるか？を，常に重心 G より上方に位置することになるから，検討するために，メタセンター M の位置決めをし(19)式で決められる傾斜姿勢  は，安定な状態でておく必要がある．

あることが分かる． 只，計算された  が，仮定しメタセンター半径 BM は，造船学の基本公式 (6)BM I CLVw･････････････････････(21)を使って，算定できる． I CL は，水線面の CenterLine に関する 2 次モーメント，V w は 排水体積を意味する．
分子の I CL は ， 傾斜時の 水線面が，長さ L ，幅hの長方形であるから，cos

････････････････(22)り，  1,  
 ･･･････(27)
2h 
6

1 24

 GM  BG 

 も(12)式の設定範囲内であり， BG と GM も，多くの 教 科書 の例題 (7),(8),(9) に 書 いて あ る 結果 と一致している．
また，図 1 は，を用いることにより，

 h d L   h2 L･･･････(23)のように計算できる．
得られた I CL と V w の結果を，(21)式に用いることにより， BM は，1  h  L12  cos   h2 L  0.4 ,   1.1    31.7

GM 0.113 h
, BG 0.296 h  ･･･(28)Z f  0.629 h
の状態を示したものであり，傾 斜 姿 勢  や， B ,G , M の位置も，正確に描画している．

3
BM

例えば，以下の状態では，(19), (25), (26)式によ一致した状態で浮いている場合に相当し，傾斜角となる． 分母の V w は，(5)式の A w に，(9)式の dVAw Lw

する必要がある．となる． これは，正方形断面の対角線が，水線と31  h I CL  L12  cos  た(11)式の小傾斜角の範囲内であることを，確認

212  cos 3 h(28)式中の Z f は， 右舷側の船底での水深で，

h･･･････(24)tan  ) cos 2 (  cos  sin  ) h2

続いて，傾斜状態での BG は，図 1 により，(15)によって，計算したものである．のように，算定できる．

(d Z
f････････(29)5/8NAVIGATION625． 安 定 姿 勢  の 計 算 結 果
本章では，横傾斜して安定する姿勢  の，幅 や材質  に対する依存性を把握する．
図 2 は，幅  に対する依存性 （  を固定） を，
図 3 は，材質  に対する依存性 （  を固定） を示すために，(19)式の傾斜角  を Excel で計算した結果である．

令和 3 年 10 月

θ (deg)50

α = 0.5
α = 0.4 , 0.6
α = 0.3 , 0.740302010  0 は，甲板が水平な状態で安定する (2)式の不等号の限界点であり，図 2 の場合の  は(3)式により，図 3 の  は(4)式によって求めた．

0β1.001.05

図2

図 2, 図 3 とも，材質の  と 1   の傾斜角  が1.101.151.201.25

幅  に対する安定姿勢 等しく得られているのは，(19)式の根号内の因数からも分かる通りである．
なお，図 2 の   0.5 に対する   1 ,   0.4,0.6 に 対 す る   1.06 ，   0.3, 0.7 に 対 す る  1.04 の場合，置点できていないのは，(11)式のθ (deg)β = 1.1040

β = 1.15
β = 1.203020

小傾斜角の範囲を超えているためである．
同様な事情で，図 3 についても，   1.10, 1.15,1.20 の 3 状 態 に つ い て 置 点 し て い る の は ， 幅  1.06 の場合，材質  の全範囲に亙って，(11)式の小傾斜角の範囲内に収まるからである．

100α0.20.3

図30.40.50.60.70.8

材質  に対する安定姿勢 

本論で計算できていない，大傾斜角（甲板の一部が水面に浸かったり，船底の一部が空中に浮いたり）の場合も含めた全ての傾斜状態について，五十嵐位置も含めて，図示したもので，幅  が広くなる

ら (2),(3)が詳細に解析し， と  に対する依存性を，に連れて，傾斜角  が小さくなる様子が分かる．

マップや表で整理し，実験でも検証して，完璧に

図 5 は，幅を   1.06 に固定して，材質  解明されているので，興味のある方は，是非ご一読をお願いしたい．

示す． 材質   0.5 を中心に，重くなったり，軽図 4 は，材質を   0.5 に固定して，幅   1.0,1.1, 1.2, 1.3 のときの 4 状態の姿勢を， B , G , M の図40.25, 0.3, 0.5, 0.7, 0.75 のときの 5 状態の姿勢をくなったりするに連れて，吃水は増減するが，傾斜角  は，対称に小さくなる様子が分かる．

材質   0.5 で固定し，幅   1.0, 1.1, 1.2, 1.3 のときの姿勢

218号「 船の安定性理論 」に関する応用例題 ― 横傾斜状態での安定姿勢の求解 ―

図5

幅を

図61.06 で固定し ，材質

6/8

630.25, 0.3, 0.5, 0.7, 0.75 のときの姿勢

材質   0.458 , 幅   1.15 の場合の実験 （左）と計算 （右）の比較

6． 実 験 に よ る 検 証
図 6 は，材質   0.458 , 幅   1.15 の場合について，模型実験 （左） と計算結果 （右） を，比較したものである．
模型は，長さ L  35.0 cm ，深さ h  10.0 cm ，幅 h  11.5 cm ，重量 W  1845 grf であり，ケミカ
ルウッド 2 枚を上下に中央で貼り合わせて， (有)宇宙模型で製作して頂いた． それを，小水槽に浮かべて，確認実験を行なった．

 27. 5  ，計算は，傾斜姿勢について，実験は(19), (25), (26), (29)式により，

 26.7
 (  0.458,
 1.15)

ら若干のズレを生じている可能性も考慮すれば，本稿の計算が，実際の状態を正しく計算できていることを，検証できたと考える．

7． あ と が き
本稿では，船の安定性理論を理解するために，前報 (1) の延長線上の応用例題として，長方形断 面の 柱状船の，横傾斜状態での安定姿勢を求解する手法を，小傾斜 角（甲板が水没せず，船底も浮上しない） の範囲に限って，解り易く解説したつもりである．
今後，前報 (1) の基本例題から一歩進んで，このGM 0.068
h , BG 0.269 h  ･････(30)Z f  0.668 h

分野を教える教員や，学ぶ学生諸君にとっての一である． 両者に 1 程度の差はあるものの，実験謝助にでもなれば，著者望外の幸に思う．

辞の傾斜角  は，写真から tan  を計測して求めて本稿を閉じるに臨み，その内容を読んで，とていることと，重心位置 G が模型の製作上，中心かも感銘を受けた，防衛大学校 の 五十嵐 保 名誉教

7/8
授らの，貴重な論文 2 篇 (2),(3) に ，敬意を表させて(6) 堀関する一 考 察 ，日本航海学会誌 NAVIGATION，頂きます．

創刊 第 200 号 記念号「研究･調査」，pp.75～

終わりに，著者が自宅で論文を書いているとき，79，2017 年 4 月．

いつも横で見守ってくれている娘 の 愛美 （ White(7) 杉原 喜義：理論運用学（船舶力学編），第 3 章

Swiss Shepherd Dog ； 3 歳） に，感謝の言葉を伝横復原力，海文堂，pp.58～59，1964 年 7 月（初えたい．

版）．

(8) 明渡 範次： 基本 航海力学，第 3 章 船舶の安参考文献(1) 堀

勉：船のメタセンター半径 BM の導出に定性，海文堂，pp.125～132，1983 年 6 月（初勉：「船の安定性理論」に関する一例題，版）．

日本航海学会誌 N AVIGATION，第 217 号「解説･(9) 大串 雅信：理論船舶工学 （上巻）新訂版 ， 第展望」，pp.39～46，2021 年 7 月．

4.4 節 横メタセンタ および BM ，問題 2 & 3，(2) 五十嵐 保：静水に浮く角材の姿勢，日本流体海文堂， pp.82～83，1971 年 6 月 （初版）．

力学会誌「ながれ」，第 19 巻 4 号，pp.253～262，2000 年 8 月．

附(3) 五十嵐 保，中村 元：静水に浮く矩形断面柱の横傾斜時の水面下の横断面形状である，台形の姿勢解析，日本流体力学会誌「ながれ」，第 26

図心 B  を，面積モーメントから，幾何学的に求め

巻 6 号，pp.393～400，2007 年 12 月．
(4) 堀ておく．

勉：静水圧の圧力積分による船の浮心位

図 A-1 に示すように，船底中央に原点 o を配し，置の決定 ― 浮心＝圧力中心の証明 ― ，日本航浮体に 固定 して傾 斜し た o    座標系 で解 析す

海学会誌 N AVIGATION ，第 203 号 「研究･調査」，ることにしよう． 直立時の吃水を d ，半幅を b ，pp.88～92，2018 年 1 月．
(5) 堀

録

横傾斜角を  とし，水面下の台形領域を，長方形

勉：静水圧の圧力積分による船の浮心位（図心 g 1 ）と三角形（図心 g 2 ）に，一点鎖線で分け置の決定 ― その 6 ： 任意形状の没水体と浮体て，考えよう．

に対する証明 ― ，日本航海学会誌 N AVIGATION，長方形部分と三角形部分の面積を，A 1 , A 2 と置

第 2 1 5 号 「研 究 ･調 査 」，pp.69～77，2021 年
1 月．

bbb tand000
g1d  b tan 22b

g2o

 B BB

2b tan2btan 32b3d  b tan


図 A-1

水面下の台形領域の図心 B 

218号「 船の安定性理論 」に関する応用例題 ― 横傾斜状態での安定姿勢の求解 ―
A 1 2b ( d  b tan  )
1A 2   2b  2b tan   2b 2 tan   ･･････(A-1)
2A1  A 2 
2b dのように求まる．
次に，  軸に関する面積モーメント M  は，d  b tan 
22 b tan   A 2   ( d  b tan  ) 3 A1 Mbd 2 

1 3b tan 2 
365のように計算される．

けば，各々とその和は，



8/8････････････(A-2)のように，  軸に関する面積モーメント M  は，

2b b
M   A 1  0  A 2   b   A2 3 32
 b 3 tan  ････････････････････(A-3)
3台 形 の 図 心 位 置 B  の 座 標 を ( B ,  B ) と す れば，上記の面積モーメント M  , M  は，それぞれ，全面積とレバーの積として，

 ( A 1  A 2 )  B M ････････････････(A-4)
 ( A 1  A 2 )  B Mのように書くことができるから，  B ,  B は，

 B

B

M 
A1  A 2M 
A1  A 2 ････(A-5)
2db2
tan  
2 6d


b2tan 3dのように，決定される．
図 A-1 の g 1 , B , g 2 は，この状態での正しい位置を置点していて， 3 点は同一直線上に在る．

令和 3 年 8 月 1 日 投稿ホリ

堀ツトム

勉

正会員 長崎総合科学大学 工学部 船舶工学コース 教 授（ 〠 851 -0193 長崎市 網場町 536 ）E-mail：HORI_Tsutomu@NiAS.ac.jp，HomePage：http://www.ship.nias.ac.jp/personnel/horiken/
1987 年 大阪大学 大学院 工学研究科 造船学専攻 博士後期課程 修了，工学博士
所属学会：日本航海学会，日本船舶海洋工学会の各会員； 研究テーマ：水面波動力学

日本航海学会誌 NAVIGAT10N
令和 3年 10月

OC丁 2021 No.218

第 218号

巻頭言・¨¨αη・グレー ト・ キャプテ ンの一生/Zttθ Z権 グ Gκ たC″ ′逸 見真 /助Jれ″ EMM卜 ・。 (1)̀′

新たな針路 へ向けてれル″0レ α′Jο′′ッ′
本学会 の改革検討 の取組みについて/∠ グJsass′ οグαεクグЛⅣ

酒出ο
s力 ′
S/κ ″DE・・。(3)
昌寿 /1物 sα ′特集
東京湾湾口におけるバーチ ャル AIS航 路標識設置後 の交通流 の変化 について 〜遭遇時における OZT密 度お よび船舶位置の変化 〜′4θ ルq′∠IS Bν οE4ε ο勉α′′
Jれ g∠ bο %′ S乃οκα″σθZ7Dθ″Sノ クα′
笏れた″駒劾α′Jο れPο SJ′ ′/Cttα 4gθ (2/コ 14α′ッSθ ′″7θ ′″′'εJSπ Oガ ¨。(4)οJ ν ttRび αttRク ′福 田 厳 ・ 田丸 人意 ・庄 司 る り/G"FUKυ DИ ,筋 ′′ν″ α′α4動 ′θ′グ ′力θおθBの伊勢湾口で受信 した AISデ ー タの解析 /И れαケSな グИ∬ Dα ″R θ……………………・ 瀬 田 広明・鈴木 治/〃″ο
αわSZ2,Oα 2 Sυ ZUKI。・。(9)ルイ εRο グ′′
Zα 〃 Mα クB′Sα κ肋わZ硼 ′θ
θS′ κ
備讃瀬戸東航路周辺におけるこませ網漁船の操業ハザー ドマ ップの作製/Dθ νη "′ グ〃αル′FJSttJ紹 たSSθ ′…………。山崎 慎也 ・栗本 裕和 ・ 向井 利夫・賓珠山 輝生/助 Jη α″Z盗別α′∠4・・ (15)〃J″ λαzク κυχMθ 3θ′乃s乃 ′νο″θuSyび″』ονびκ4fα 房 ■″関門海峡 の航行環境 の変遷 について/The Changes in the Marine Tramc Environment of the Kanmon Strait
酒出 昌寿/Masabshi SAKAIDE¨ 。(22)1lρgθ ∠″αθαEs′ J α′ブ
οれグИS C′ αSS B Rα グ′
ο;物 νιAIS Class Bの 受信 可 能海域 の 推定 /Cο ッθ′………………………田中 隆博 ・ 山中 仁昭・ 山本 淳/物 肋力′4θ 爾ⅣИκ4,1為 sα α
たJ″ 幽″Mθ πθ・¨ (35)κ4:α グ Иムsクs力 ′
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海事博物館紹介¨………………………………………
′ttε ′′
οκグ 鴛雰力′α― α″α′Mン Sθ 笏″。
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対馬丸記念館 の紹介/2″ο雅 彦 /M赤 励所ονⅣEIC冒 ¨。(41)

解説・展望Dθ αグRsθ ■解 力′
推測航法 と Dead Reckoning/Jα βακθ¨¨・ 種市… …………・ 石 田

われJ循「船 の 安 定性 理 論」 に関す る応用例 題 一 横 傾斜状 態 で の 安 定姿勢 の 求解 ―4θ グ助 ″一θοκ助 ″むS′ αbJ′ ′徽物 ― 肋 ′ν′′οれ力 ′S′ α械″ ′′′′/И れИttα 4ε グ Eχ αη ′クルθグ αれ動ε"虎J′

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研究・調査
AIS導 入以降の VHF帯 無線チャンネル割当て変遷 と今後 一練習船 における現状 一ιο笏′Rθ α〃οεα′Jο れてσ―Pた s"′ Cο れ冴′Jο κο
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航海功績賞
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2020年 度 日本航海学会航海功績賞/ЛⅣNα ν′∠″α〃 J42θ 2θ ・………

…………。学会事務局 ・¨ (74)

事務局 だより……………………………………………………………………………………………………

………………………………。(77)"′

投稿要領 。

… ……………。(79)日 本 航 海 学 会
Japan lnstitute ofNavigation
c/o Tokyo Universiサ ofMarine Science and Tbchnolog勇 1‑6,Etchttima 2,Koto― ku,Tokyo,135口 8533 JAPAN
定価 2,000円(税 込)