平成15年12月24目

損保数理…1

損保数理（問題）
問題1．次の（1）から（10）について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを一つ選んで、指定の解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ。

（70点）（1）次の条件が与えられている保険契約（保険期間1年間）がある。

①1事故の支払額Xの支払限度額は1，O00，000で、免責金額の適用はない。
②年間総支払額の平均は2，000，000である。

③損害額Lが500，000を超える事故件数は、ポアソン分布に従う。

④x，Lの分布について、次のことが分かっている。
P（X〉500，000）＝O．0112
亙［min（L，500，OOO）］＝20，600
亙［min（L，1，000，000）］＝22，400

この保険契約について、3年間で損害額が500，000を超える事故が1件も発生しない確率に最も近いものは次のうちどれか。なお、必要があれば、e＝2．7183として計算すること。

（a）

1％（b）

2％

（e）

5％

（f）．7％（c）（9）3％
1O％（d）

4％（h）

15％（2）ある保険金杜の自動車保険（免責金額0）において、1契約につき1年間のクレーム件数は、パラメータ2のポアソン分布に従い、クレーム類は平均10の指数分布に従うことが分かっている。今、免責金額10を設定したとき、ある契約において1年間のクレーム件数が0となる確率に最も近いものは次のうちどれか。
24（a）

eε（・）e29

1（b）

eε（c）

（f）e一蛇IO

eε（d）（9）e■ε（h）e■eεoε（3）ある契約集団のクレーム類の分布を調べたところ、次の結果を得た。クレーム類の分布が、各区間において一様分布であると仮定したとき、次の谷間いに答えよ。

クレーム類の区間

クレーム件数

0以上

25未満

3325以上50未満

3550以上100未満

23100以上200未満

9200以上0①この契約集団のクレーム類の平均として最も近いものは、次のうちのどれか。

（a）36（・）（b）

5240（f）56（c）

44（d）48（9）60（h）64
一40一損保数理・

2②この契約集団のクレーム類の分散として最も近いものは、次のうちのどれか。

（a）1，560（b）

1，720（c）2，010（d）2，300（e）2，880（f）3，150（9）3，860（h）4，020（4）ある保険金杜では、次の割増引制度を実施している。新規契約者は等級2からスタートし、一定期間に無事故なら等級は1っ加算、事故が1件なら等級は据え置き、事故が2件以上なら等級は1っ減算される。
等級4で無事故の場合と、等級0で事故が2件以上の場合、等級は据え置かれる。

等

4

1級
20

割増引率（％）

10

一10−20・契約者数は781，OOO人で、その数は常に一定・一定期間に無事故の確率は0．5、事故が1回起こる確率は0．4
将来的にこの契約ポートフォリオが定常状態に達した際の、平均割増引率に最も近いのは、次のうちどれか。

（。）一15．5％（b）一16．0％（c）一16．5％（d）一17．0％（。）一17．5％（f）一18．O％（9）一18．5％（h）一19．O％（5）団体傷害保険の1契約について調べたところ、今年度の実績が次のとおりであった。このとき、次の各問いに答えよ。

10，000名

被保険者数
総保険料150，000，000円①クレーム類の標準偏差が0である場合に全信頼度を与える最低限のクレーム件数を1，000件としたとき、今年度の実績に対する部分信頼度として最も近いものは、次のうちのどれか。

（。）O．1O（b）0．15（・）0．20（d）0．25（。）0．30（f）（9）O．40（h）O．50

0．35②来年度の契約につき、優良割引を行うこととした。今年度の予定料率構成割合が次のとおりであったと
き、①の結果を使用して求めた来年度の割引率として最も近いものは、次のうちのどれか。

損害率50％

杜費率25％

代理店手数料率（村営業保険料）

20％

利潤

5％

（a）

4％

（。）

20％率（村営業保険料）

（b）

8％

（f）24％（c）12％（d）16％（9）28％（h）32％

一4三一

損保数理…3（6）A，Bという2種類の危険標識の2×2の複合分類リスクにおいて、そのエクスホージャおよび実績に基づく相対クレームコスト指数が次のとおりであったとする。

＜エクスポージヤ（亙む）＞
δ1δ。

計

α1

亙1F100亙1。＝200

亙工．＝300α2亙。1＝200亙。F400

亙。．＝600計亙．1＝300

亙．。＝600

亙＝900●●＜相対クレームコスト指数（ηゴ）＞δ1δ。

計α三η1＝0．72η。＝0．9

η．＝0．84α2ηI＝0．54η。＝1．35η．＝1．08

計η1：0．6η。＝1．2

η．＝1

今、この複合分類リスクが乗法型であると仮定し、各相対クレームコスト指数の推定値（㌔）をMinimum
Bias法により求めるとき、角1，戸2，ち亘，ち2のそれぞれの値に最も近いものは次のうちどれか。

（・）0．12（b）0．24（c）O．36（d）0．48（。）0．60（0（9）0．84（h）0．96（i）1，08（j）1．20．72（7）事故発生年度から翌々年度までに支払いが完了する保険契約について、事故年度・経過年度別支払保険金表およびインフレ率が下記のとおり与えられているとき、2002．2003事故年度の最終累計支払保険金に最も近いものは、それぞれ下の選択肢のうちのどれか。ただし、累計支払保険金のロスティベロップメントの予測値は、対応する事故年度の既知の値を単純平均したものを用いるものとする。

・事故年度・経過年度別支払保険金表
事故年度

経過年度
123

最終累計支払保険金2001年度5，O00

2，0001，5008，500

2002年度

10，0003，000

2003年度

12，500・インフレ率：毎年10％（支払保険金は、その支払年度の貨幣価値によるものとする）（・）15，500（b）15，600（・）20，500（δ20，600（・）エ5，700（d）15，800（9）20，700（h）20，800

一42一損保数理・

4（8）積立保険の一時払契約において、保険期間中全損失効時に支払った返戻金の現価を表すものとして最もふさわしいものは、次のうちのどれか。なお、満期返戻金をW、保険期間をm年、予定利率を乞、現価率をリ^÷〕・予定消滅率・を考慮！た現価率を1（一（1一・）・リ）！抵1た・全損失効時には未経過年度の積立保険料部分を返戻することとする。
1一〃π

（・）

W×φ冗x

1一リ（・）（e）

1一φW×φπ×（1一リ）×（1一φπ）
1一η椛

1一〃（1一リ）x（1一φ冊）（b）（1一〃犯）x（1一φ）

Wxリπ×

（9）

1一φπ

W×φ腕×
1（1一〃η）x（1一φ）（1一リ）×（1一φη）（d）W×φm×1一1（1一リ冗）×（1一φ）

1一φπ

1一φ（1一リ肌）×（1一φ）

W×がx−1（1一リ）×（1一φ腕）（1一η）x（11φ帆）

（f）

W×ガ×
一1（1一リπ）×（1一φ）（h）

W×びx1一（1一リ加）x（1一φ）（1一リ）×（1川φπ）（9）ポアソン過程に従うクレーム件数過程に対して、20回目のクレームが発生する時刻を表す確率変数
4oの分散に最も近いのは、次のうちどれか。ただし、単位時間あたりの事故発生件数の平均を10とする。

（。）0，025（b）0．2（c）O．4（d）0．5（。）2（f）4（9）5（h）40（10）ある保険種目の1件あたりの支払保険金Xは、次の確率密度関数ア（π）を持つパレート分布に従っているとする。

1500
ア（κ）＝二万 （π＞100）π
今、この保険種目を12％比例再保険に出再しているが、これとネット再保険料が等しくなるようなELC再保険特約（超過損害額再保険特約）に変更したい。このとき、このELC再保険特約の責任限度額を無限大（無制限）とすれば、設定すべきエクセスポイントに最も近いものは次のうちのどれか。ここにおいて、ネット再保険料とは再保険金の期待値のことを意味する。

（。）

150

（。）1，500（b）

200（f）2，000（・）

250（9）2，500

一43一（d）

300（h）3，000

損保数理…5間題2．ある保険において、クレーム総額Sの平均は10、分散は4、歪度は1であるとする。このとき、次の問いに答えよ。

（15点）（1）ガンマ分布の分布関数・（κ・一・β）一ﾈ）ガ州1（・・π…）を用／て・・の分布関数をH（π：α，β，π。）＝G（エー㏄。：α，β）で近似するとした場合に、平均、分散、歪度が等しいとしてπOの値を求めよ（2）保険金杜は、クレーム総額の期待値の15％にあたるファンドを期初のサープラスとして保有し、保険料収入はクレーム総額の1期待値に5％の安全割増を付加したものとした。初年度の期末のサープラスが負になる確率を（1）の近似を用いて求めよ（小数点以下第3位を四捨五入して小数点以下第2位まで求めよ）。なお、期中のクレームはすべて期末に支払うものとし、もし必要であればe＝2．7183を用いて計算せよ。

問題3、時刻τでのサープラスσ。が次の形で表されるしmdbergモデルを考える。
σt＝㏄十（1＋θ）λμτ一S、（τ≧O）

ここで、m：期初サープラス（〉0）σ。：時刻τ時点でのサープラス（1＋θ）入μτ：時刻τまでの収入保険料（θ（＞0）は安全割増率）S。：時刻τまでの支払保険金であり、S。は複合ポアソン過程に従う。また、S。のポアソンパラメータは入であり、個々のロスは、平均がμ、確率密度関数がア（T）、積率母関数が〃（γ）の分布に従うものとする。また、m件目のロス発生時点までに破産している確率をψ、（〃）とし、破産確率をψ（m）＝1㎞ψ椛（〃）と定義する。このとき、次の間い帆一ooに答えよ。
（15点）（1）1件目のロスが起こった時刻を表す確率変数を4とする。巧＝τの条件の下で、1件目のロスが発生したときに破産する確率ψ1（〃14＝τ）を求めよ。（ア（エ）を用いた積分の形で表せ。）（2）珂＝τの条件の下で、m＋1件目のロスが発生したときに破産している確率ψ帆十1（〃■珂＝τ）は、1件目のロスが発生した時点で破産する確率と、1件目のロスが発生した時点でサープラスがO以上であり、次のm件のロス発生までに破産する確率の和で表すことができる。1件目のロスをπ（1件目で破産していないため0≦κ≦刎十（1＋θ）λμτ）とすれば、時刻τ以降の過毎は初期サープラス〃十（1＋θ）λμτ一κの新たな同様のモデルと考えることができる。よって、後者の確率は、

ヅ十θ〕㌦（・・（1・1）似一κ）ア（κ）・πと狐これらを用いて・ある正の定数・について
ψ、（・）≦・一物（・≧0）が成り立って／・るならば・ψ冊十1（山一τ）≦・■舳十（1＋θ）＾μ〕舳）が成り立つことを証明せよ。

（3）

ある正の定数児についてψ、（m）≦ピ物（刎≧0）が成り立っているならば、M （児）ψ、斗1（〃）≦
e一物が成り立つことを証明せよ。
1＋（三十θ）Rμ（4）児が1＋（1＋θ）Rμ＝M（R）を満たす正の解であるとき、ψ（〃）≦θ一物（m≧O）が成り立つことを証明せよ。

一44一

損保数理（解答例）
問題1．

（1）

（e）

（テキスト1−33ぺ一ジ参照）

年間総支払額をS、年間支払件数をN，1事故の支払額をXとする。
亙（S）＝亙（W）・亙（X）＝2，000，000
条件の①と④より、亙（X）＝亙［min（L，1，000，000）］＝22，400であるから、2，000，000

亙（W）＝22，400＝892857

P（X＞500，000）＝0．0112より、損害額Lが500，000を超える年間事故件数の平均は、
亙（W）・P（X〉500，000）＝189．2857×O．0112＝1．0000

したがって、損害額Lが500，O00を超える年間事故件数は、平均1．0000のポアソン分布に従う。すなわ
ち、3年間の事故件数は、平均3．0000のポアソン分布に従うこととなる。

よって、求める確率は、exp（（2）

130000）＝＝0．049786である。
2．71833（a）（テキスト1−40ぺ一ジ参照）

免責金額10万円より、免責となる事故の確率qは、・一Oん一レ証一1一…

年間の事故件数の確率変数をN、事故件数N＝ηのうち保険金が支払われる事故件数の確率変数をMとする。このとき、保険金が支払われる事故件数〃の確率P［M＝mlW一：m］は、・［・一・1・一・1−／桑〕（1二・）・・グ・と2項分布で表現できる。

免責金額10万円を設定したときの保険金が支払われる事故件数の確率は、

D0
P（κ）一Σp（M−mlW一・）P（W一・）例＝1一軌〕（1一・）・グ・〆着
よって、保険金が支払われる件数がOである確率は、

÷書・（・一・1・一・）・（・一・）一ぺ／l〕ガ・ぺ
一一少・竿
一一・ぺ（篭手一一＝＝e＝θとなる。

一45一一2・e2q−2＋2q＿一2＋2（1一色■＿ε）

2一；

＝e

（3）

①（d）

②（b）

（テキスト2−25ぺ一ジ参照）

クレーム額の区間を（α，δ）、その区間のクレーム件数をκ、総クレーム件数をm（＝100）とすると、その区間におけるクレーム類Xの確率密度関数は、
κア（π）＝（α≦κ＜δ）
m（トα）で表される。クレーム類200以上のクレーム件数は0であるから、π≧200のとき、ア（π）＝0。

したがって、この契約集団のクレーム類の平均は、

亙（・）一∫200ψ）1κ一∫251。。竃ξ。）倣・・∫：lo1。。（2た1。。）倣133（252＿02）35（502−252）23（1002−502）9（2002−002）
100x2

十25＿0

十50＿25

100＿50

十200＿100＝48
同様に、この契約集団のクレーム類の分散は、

亙（・・）十伽一∫25、。ま芸≡。）・1・・∫：lo1。。（21言≡、。。）倣133（253＿03）35（503−253）23（100㌧503）9（2003−1003）

＝

100x3

十25＿0

十50＿25

100＿50

十200＿100＝4021
V（X）＝亙（X2）イ五（X）12＝4021−482＝1717となる。

（4）（e）（テキスト3−8ぺ一ジ参照）

無事故の確率をρ。、事故が1回起こる確率をρ、とする。題意より推移行列を求めると次のようになる。

移0前後21一ρ。

移動

1動P．の

等級
30401一ρ。一ρ1 ρ1ρ。
001一ρrρ1 ρ1ρ。

等0級
0．50．5000001一ρo一ρ1ρ1jp0001一ρrρ1ρo＋ρ10000．1

0．4

0．5

0000．1O．4

0．5

0000．1O．40．5

0000．10．9上記の推移行列をXとし、V、を第乞年度における等級ゴの契約件数ひ｛ゴを要素に持っベクトルv、＝（v、。μ、、v、、ひ、、ひ、、）とすると、定常状態では、
｛

久＝V．X

①η、o＋Vxl＋μY2＋Vγ3＋μx4＝781，000①より、一46川

ひ、。。＝O．5ひ㏄。十〇・1ひ㏄1Vつ。1＝0．5μ㏄。十0．4V㏄1＋0・1η㏄。

V㏄。＝0．5μ㏄1＋0．4V㏄。十0・1V㏄。
V。。。＝O．5V。。。十0．切㏄。十0・1V㏄。
V㏄。＝0．5V。。。十0・9V。。。

これを解いて、V。。＝（1．000

5．000

25．000125．000

625，000）

平均割増率は、

1000x0．2＋5000×0．1＋25000×0＋125000×（＿0，1）斗625000x（＿0．2）

781000＝＿O．17516、．．

①（e）（5）②（b）（テキスト3−14，24ぺ一ジ参照）

今年度のクレーム件数は、10，000×2．5％＝250（件）であるから、部分信頼度Zは、次のとおりとなる。

・一@250一儒一…
・…十／制／

また、今年度の実績損害率は、250×18万円／15，000万円＝・30％であるから、、部分信頼度Zを勘案した修正損害率は、30％×0．3＋50％×（1−O．3）＝44％となる。

これを用いて料率改定率αを算出すると、α＝（44％十25％）／（1−20％一5％）一1＝一8％となる。

（6）

元、：（d）、元、：（h）、ち、：（e）、ち、：（j）

Min1mum（テキスト4−12ぺ一ジ参照）

Bias法によれば、各㌔は次の連立方程式を満たさなければならない。

珂正（η1一角1）十亙1。（η。一元。）＝O亙。1（η1一ち1）十亙。。（η。イ。）＝0亙11（η1一角1）十亙21（η1一ち1）＝O亙1。（η。一戸。）十亙。。（η。一ち。）＝0

ここで、各危険標識の料率係数をそれぞれκ、，的とし、C＝亙11（ηI一角1）とおけば、この複合分類リスクが乗法型であることにより、上の方程式は次のように整理される。

ち、＝π〃工＝η1−C／亙I、ち、＝π、挑＝η、一C／亙、、戸、＝π、μ，㍉。十C／亙、、・①

ち1＝π〃、＝η、十C／亙、、
よって、（η、一C／亙、、）（η、一C／亙、、）＝（η、十C／亙、、）（η、十C／亙2工）であり、各外，ηゴを代入してCについて解くと、C＝21．6が求まる。
これを（1）に代」久して、

戸1＝O，504，㌔＝1，008，ち1＝0，648，ち。＝1・296

一47一

（7）

（テキスト5−8ぺ一ジ参照）

2002事故年度：（d）、2003事故年度：（e）

保険金の水準を2003年度べ一スにインフレ調整を行う。

経過年度

事故年度

123

2001年度

6，050

2，200

1，500

2002年度

11，0003，000

2003年度

12，500

次にロスティベロップメントファクターを計算する。

経過年度

事故年度

1→2

2→3

2001年度

1．364

1．182

2002年度1．2731．182

2003年度

1．318

1．182

2003年度べ一スの支払保険金を計算する。

経過年度

事故年度
123

2001年度

6，050

2，200

1，500

2002年度

11，000

3，000

2，545

2003年度

12，500

3，977

2，996

最後に将来のインフレ率を反映する。

経過年度

事故年度

（8）

123

最終累計支払保険金200ユ年度

5，000

2，000

1，500

8，500

2002年度

10，000

3，O00

2，800

15，8002003年度

12，5004，375

一3，62520，500（c）（テキスト6−20ぺ一ジ参照）

第1保険年度に牟損失効により契約が消滅する確率はqであり、その際に支払う返戻金は題意より、

Wxφ椛x

1一φ×
1一φ

1一η㎜一1である。同様にして、第m−1保険年度に全損失効により契約が消滅する
1一リ
1一φ

1一り伽（冊一1〕確率はq×（1−q）m■2であり、その際に支払う返戻金は、W×φm××である。
1一φ椛1二りしたがって、求める返戻金の現価は、これらを第1保険年度から第m＿1年度まで加算することにより求められる。

η■l

返戻金の現価一喜（1一φ1一リπ．t。

一心・×W×〆×1．グ×1．リ×リ

一48一一・・叶表・／11÷ぎ〕
（b）

（9）

（テキスト7−54ぺ一ジ参照）

パラメータλのとき、確率変数叫をm回目のクレームが発生する時刻を表すものとすると、
P（叫≦τ）＝P（期間〔0，τコにおけるクレーム発生件数がm件以上）

一〆／（等・ε讐、・肥；1・・つdP（W・τ）一刈（篭1点・〕・斗1；1・λ（簑γ・・〕
二、一い（λτ）帆一」（m−1）！

λ、一λ・（λτ）九一1r（m）

これはガンマ分布の確率密度関数であり、分散は君となる。メー1・，・一・・を代入すると…と槻
λ（10）

（h）

（テキスト1−40ぺ一ジ参照）

12％比例再保険特約の1件あたりネット再保険料は、

一・1・∫二㏄榊一・・1・∫；芸紅一・・
エクセスポイントをmとした場合のELC特約の1件あたりネット再保険料は、

一∬（卜m）ア（π）倣一州畏1砦〕・π一帯
よって、この両者が等しいことより、m＝3086．4…となる。

問題2．

（1）

6（2）

0．15（または15，12％）（テキスト2−23ぺ一ジ参照）（1）ガンマ分布の性質より、

平均＝π。十王＝10①β

分散一÷一4②β

また、歪度一亙（（・一刀（・））3）一亙（（S一亙（S））3）一1よ／、亙（（・一亙（・））・）一・となる。

σ38sのキュムラント母関数を用いると、

亙（（・一亙（・）1）一嘉1・・仏（1）同一会1・・／、1，r目＝2α2α＝一＝8（β一τ）3、、。β3①、②、③を解くと、α・・4，β＝1，κo＝6となる。

一49一一・・③

（2）破産確率εを求めると、次のようになる。

ε＝P（μo＋ρ一S＜0）＝P（10×0．15＋10×1．05−S＜0）＝P（S＞12）

一1一・（1・一・・，1）一1一∫6べ4）1・1・一・砒十去∫6舳

一1一v／t−1・・斗1：・∫6・121一外…一1一夫（一・…一6＋・）＝61e■6〜0．15119

間題3．
（テキスト7−37ぺ一ジ参照）（1）個々のロスが従う確率変数をXとすると、1件目のロス発生時刻が巧＝τの条件の下でのサープラスはσ、＝〃十（｝十θ）λμ一xであるから、
ψ1（山一1）一・（・・（1＋1）λ㏄1・・）一∬、、十。、、、、ア（㏄）倣（〃≧0）が成り立っているならば、（2）題意より、あるR（＞O）についてψ。（〃）≦e−Rπψ陥、、（山一1）一ψ、（・1巧一1）・∫伽十（十θ〕λμψ皿（・・（1・1）λμ一κ）ア（κ）倣一∬、、十、、、、、ア（π）・π・∬十（1＋θ〕㌦（叶（1・1）／μ一π）ル）倣・∫二、、十。、、、、・一舳・舳μ・一π）ア（㏄）・π・∬十（1＋θ）λμ・一舳十（十舳一㏄）ア（π）砒

（最初の積分は、x≧m＋（1＋θ）λμCならば、e一舳十（1＋舳μt■工）≧1であることから従う。）

一ズゼ舳州■皿）ア（㏄）・同一州十θM∫。。・㌣（㏄）倣＝e一舳十（1＋θ）λμt）M（児）（3）巧は確率密度関数后（τ）＝畑一λt（τ≧0）をもつ指数分布に従うので、（2）の結果を用いれば
ψ糾1（・）一∫㏄ψ祀。1（山一1）λ・一λt砒

・∫㏄・■舳舳〕M（児）λ1⊥λt砒一舳）・一物∫x・一λく1＋（1＋舳砒＝λM（児）e一物

1入（1＋（1＋θ）児μ）＝M（児）．肋e1＋（1＋θ）児μ（4）ぴ。＝肌≧0なので、ψ。（m）＝0＜二e一物は明らか。
また、（3）より、ψ

M（児）（肌）≦e一物ならば、ψ肌十、（刎）＜e1肋＝eI肋が成り立つ。よって、帰納■1＋（1＋θ）児μ法より任意のmに対し、ψ冊（刎）≦ピ物が成り立つので、ψ（m）＝1imψ、（〃）≦eI物となる。

η→x一50一