平成12年12月18貝

損保数理…1

損保数理（問題）
問題1．次の（1）から（4）について、記述内容を正しいものとするためにそれぞれ下線を引いた部分を修正する必要がある場合には、指定の解答用紙の所定欄に「×」の記号を記入したうえで、修正後の内容を併記せよ。また、記述内容が正しく、修正する必要がない場合には「○」の記号を記入せよ。

（16点）（1）会計年度統計によれば、当年度のアーンドプレミアムは、「当主度幽土当主度室未経過

毘陰魁二麹」で表される。
（2）超過損笠鍾萱提陰は、保険料の出再割合と再保険金の回収割合が元受支払保険金の大きさにより異なるため、非割合再保険に分類される。
（3）クレーム類の分散が0である場合に全信頼度を与える最低限のクレーム件数を〃。とすると、クレーム頼の平均が・・分散が・の場合に全信頼度を与える1レーム件数伽一・1・・景〕で表1帆（4）ある保険種目において、昨年度末3ヶ月間の発生保険金および事故報告1件あたりの平均単価は、それぞれ10，000，50であり、昨年度のIBNR損害の額は3，000であった。また、当年度末3ヶ月間の発生保険金および事故報告1件あたりの平均単価がそれぞれ11，250，45であったとするとき、当年度のIBNR備金の額を算式見積法により求めると曲となる。

問題2．次の（1）から（4）について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを一つ選んで、指定の解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ。
（1）クレーム額X
亙（X

（18点）

（j＝1，2，・∴）と年間クレーム総額∫に関する次の情報がある。

）＝50，一7（Xi）＝500，17（∫）：30

クレーム額xミは同一分布に従い、クレーム件数〃とxは互いに独立であり、また、クレーム件数Mはポアソン分布に従うものとする。このとき、来年少なくとも1件以上のクレームが起きる確率に最も近いもの

π2は次のうちどれか。なお、〆の値が必要な場合には、e■≒1＋エ十一で近似した計算値を用いよ。

2（a）99．5％
（e）

9．5弓る

（b）95％（DO，995弓る（c）90．5％（d）50％（g）

（h）

0．95％

0．9％

（2）ある保険金杜では、割引率0％（等級0）、20％（等級1）、40％（等級2）、60％（等級3）の無事故割引制度を実施している。この制度での契約者の等級分布の推移行列は、次のとおりである。

翌年の等級0…≡見の00．2592／0．7408203
0

在ノ0259200．74080
会学2 00．259200．7408
級3 0 00．25920．7408
一38一

損保数理…2
また、契約者数は10，000人であり、その数は常に一定であると仮定する。

①将来的にこの契約ポートフォリオが定常状態に達した際の、等級1の契約者数は次のどれに近いか。

（・）800（b）808（・）816（d）824（・）832（D840（9）848（h）856②定常状態での平均無事故割引率は、次のどれに近いか。

（・）35％（b）38％（・）41％（d）44％（・）47％（f）50％（9）53％（h）56％（3）ある保険金杜の傷害保険の料率は、年齢別2区分（50歳未満と50歳以上）と性別2区分（女性と男性）の二つの危険標識で複合的に区分されている。
今、この保険種目の実績統計を分析したところ、各リスク区分ごとのエクスホージャが同数であり、相対クレームコスト指数（全体のクレームコストを1としたときの各リスク区分のクレームコストの割合）が下表のとおりであることがわかった。

＜相対クレームコスト指数（〜）＞

女性

男性

計

50歳未満

ηド0，648〜＝0，918

η．＝0．783

50歳以上

r21＝0，998

r22：1．436

72．＝1，217

計〜＝O・823r．2＝1・177に．＝1．O00
この複合分類リスクの構造が加法型であるものとして、二つの危険標識それぞれについての料率係数をMinimumBias法により求めた。ただし、年齢区分のうち「50歳未満」に対応する料率係数x1は、η．に等しいものと仮定する。

＜相対クレームコスト指数の推定値（弓）および料率係数＞

女性

男性

料率係数

50歳未満

元＝石2＝x1＝0．783

50歳以」二ろド

石2＝工2＝料率係数

ハ＝γド一y2の値として、正しいものはどれか。
（a）一1，217（b）一0，960（c）一0，783（d）一0，177（・）0，177（f）0，783（9）0，960（h）1，217（4）以下の単位ロスティベロップメントが与えられているとき、分離法によって近似される経過年度2年の支払比率に最も近いものは次のうちどれか。

事故年度

1

経過年度
23

11020521123

313（・）0．50（b）0．52（・）0．54（d）0．56（・）0．58（f）0．60（9）0．62（h）0．64

一39一損保数理…3間題3．次の（1）から（4）について、各問いの空欄に当てはまる最も適当な数値または算式を、指定の解答用紙の所定欄に記入せよ。

（48点）（1）チルメル式積立保険において、チルメル割合α、満期返れい金W、保険期問〃、予定契約消滅率gを考慮した現価率φとし、期始払年金現価率をδ｛。〕属とする。このとき、年払契約の初年度保険料は、で表される。また、半年払契約において、契約が契約月の月央になされたものと仮定す

れば、事業年度末の払戻積立金は、第2年度以降についてΦ）できる。ただし、この契約の第ける経過年度が（6≦m≦11）で表すことが保険年度末における保険年度未払戻積立金を、γ、第f事業年度末におm＋1 年以上、上一年末滴（0≦m≦11）とする。
m12

王2（2）ある保険種目に関する次のデータがある。①から③の各問いに答えよ。

収入保険料

100，000千円

支払保険金55，000千円

当年度末未経過保険料

50，000千円

前年度末未経過保険料

40，000千円当年度末支払備金15，000千円

前年度末支払備金

10，000千円

予定損害率60％

契約件数

20，000イ牛

事故頻度

2％

保険金の平均

120千円

保険金の標準偏差90千円①インカード・ツー・アーンド・ベイシス損害率を計算すると、1。）％となる。（パーセント表示で小数点以下第2位四捨五入）②一方、分散がゼロの場合に全信頼崖を与える事故件数を1，000件とすると、部分信頼度（クレディヒリティー係数）は（d）となる。（小数点以下第4位四捨五入）③したがって、①および②の結果を用いると、改定損害率はとなる。（パーセント表示で小数点以下第2位四捨五入）（3）次の前提IからlVのもとで、①から③の谷間いに答えよ。

前提Iある保険種目の1契約あたりのクレーム件数は、平均0．01のポアソン分布に従い、クレーム類は平均90千円の指数分布に従う。

前提II上記保険種目のみの引き受けを行い、当該保険種目の保険金支払いを事業年度期初に保有するサープラス1，500千円と純保険料に安全割増5％を加えた保険料収入で賄う。

前提皿引受契約件数は10，000件。

一40一

損保数理…4
前提1V契約はすべて期初に締結され（同時に保険料を領収する）、保険金はすべて当該事業年度中に支払われる。また、運用益は考えない。

①支払総額∫の期待値を計算すると、亙（∫）＝⑩

千円となる。（千円表示で小数点以下第1位四捨五入）②クレーム額の確率密度関数ア（x）はア（x）＝のモ」メントを計算すると、（日）であるので、クレーム類の原点周りの2次千門となる。（千円表示で小数点以下第1位四捨五入）

したがって・支払総額∫の標準偏差を計算すると・柄一［二二画と帆（千円表示で小数点以下第1位四捨五入）となる。

③・一∫■亙（∫）は標準正規分布に近似的；こ従うとし、当該事業年度での破産確率を計算すると、柄％となる。（パーセント表示で小数第2位四捨五入）

なお、必要な場合には次の数表の数値を用いよ。
標準正規分布の上側ε点：μ（ε）

ε0．1590．1000．0500．0250，023
作）

1．000

1．282

1．645

1．960

2．000

（4）傷害保険のみの引き受けを行っているB保険金杜は、危年度末のリザーブが2，500万円である。B保険

金杜が、た十1年度の期初に死亡保険金額1，000万円の保険契約を2，000件引き受け、た十1年度においては保険責任を有する契約はほかにないものとする。平均事故発生率が0．5％（すなわち、純保険料は1件にっき5万円）であることがあらかじめわかっているとして、破産確率を計算するために事故発生件数とその確率を調べると下表のとおりとなった。

保険金〃件以下の支払件数η
発生確率

保険金
〃件以下の支払件数〃
発生確率

100．5830

160．9733

110．6971

170．9859

120．7920

180．9930

130．8650

190．9966

140．9171200．9985

0．9517210．9993

15

社費、手数料、利息および安全割増は考慮しないものとして、①および②の各問いに答えよ。

①再保険を行わない場合のB保険金杜の破産確率は、㈹％である。（パーセント表示で小数点以下第2位四捨五入）②すべての契約について50％の比例再保険を行う場合のB保険金杜の破産確率は、⑭ある。（パーセント表示で小数点以下第3位四捨五入）

一41一％で

損保数理…5
間題4．ある保険種目の年間のクレーム件数Mは平均λのポアソン分布に従レ．・、また各クレーム類X（ト1，2，…，M）は・次の確率関数ρ（た）（二P（Xi＝κ））を持つ分布に従うとする。

C止

ρ（た）＝＿α＿（κ＝1，2，．・・，0く。〈1）κ

クレーム件数wと各クレーム額xは互いに独立であるとし、クレーム総額分布を∫＝x、十…十x〃で表すこととする。このとき、次の谷間いに答えよ。

（18点）（1）定数αを。を用いた式で表せ。
（2）∫の積率母関数を求めよ。ただし、αを用いずに表すこと。
（3）∫が負の二項分布㎜5（〃，ρ）になることを示し、このパラメータ〃，ρを。および人を用いた数式で示せ。
なお、M，（π，ρ）に従う確率分布γの確率関数g（κ）（＝Pσ＝κ））は、・（1）千十ガ〕〆（1一が（1一・州で与えられる。

一42一

損保数理（解答例）
問題1．

（1）×

当年度リトンプレミアムー当年度末未経過保険料十前年度末未経過保険料（テキスト1−12ぺ一ジ参照）（2）○（テキスト8−4ぺ一ジ参照）

ｬ1州

（・）・

（4）×

（テ／柵・・一一ジ参照）

3，375〔当年度末3ヶ月間の発生保険金〕

算期積法による当年劇BNR備金は・〔輝度末。ケ月間の発生保険金〕・1前年度1…損害〕11250
によって求められるので、10000×3000二3375となる。

（テキスト5−7ぺ一ジ参照）

問題2．

（1）（f）（テキスト2−8ぺ一ジ参照）∫＝X一十X2＋…十X〃より、7（∫）・＝亙〃（γ（∫lM））十㌦（亙（81M））＝万〃（Mγ（x））十η（M・亙（x））＝7（X）亙（M）十五（X）2γ（M）…（i）

また、Mがポアソン分布に従うことから、そのパラメータをλとすれば、
亙（M）＝グ（M）＝λである。したがって、万（M）を（i）式から求めると、次のとおりとなる。

γ（∫）
亙（M）＝
γ（X）十五（X）2＝30＝O O1500＋502

したがって、Mの確率関数は、次式で表される。
＿o」〕10．O1

P（M圭n）＝e一〃！

よって、求める確率は、

1−P（M＝0）＝1−e珊＝1＿0．99005＝0．00995となる。

（2）①（b）808②（f）50％（テキスト3−8ぺ一ジ参照）①。定常状態では契約者の推移は均衡するので、最終的な各等級の契約者をX。，X1，X2，X，とした場合に、次の方程式が成り立つ。

一43一

xo＋x1＋x2＋x3二10，000
xo＝O．2592xo＋0．2592xl
xl＝0．7408エ。＋0．2592x2

x2＝0．7408均十〇．2592x3
x3＝0．7408x2＋0．7408π3
これを解き、小数点以下を四捨五入すると、

xo＝283，刈＝808，x2＝2，309，x3質6，600となる。

（283×0％十808x20％十2，309×40％十6，600x60％）
10，000（3）（e）0，177＝O．50452（テキスト4−12ぺ一ジ参照）

各リスク区分のエクスポ∵シャを馬とすると、Minimum

Bias法における満たすべき基準は、次の連立方程式のように表すことができる。
月1（巧ド7・）・万1・（ηr戸1・）一・β・1（わr戸・1）・万・・（巧・一戸・・）一・

剛ηr711）十万・1（わr戸・1）一・万1・（巧r71・）・万・・（巧・一戸・・）一・

また、題意より凪F亙12＝万21二五22（＝・方とおく。）であるから、竹一ηをそれぞれ変数と見なして求めると、｛

乃rr11＝わ2−722＝Cノ亙
一η2−712＝巧rr21＝一C／万となる。

さらに、この複合分類リスクの構造が加法型であることから、各相対クレームコスト指数の推定値は、
rσ＝元1＋乃（j＝1，2；ノ＝1，2）と表せるので、これを上の連立方程式に代入して整理すると、

エー十八＝ηドCノ亙（a）

工2＋y2二わ2−CI／五（b）

xl＋γ2＝伽十C／万（c）x。十yl＝わ1＋C／亙（d）となる。ここで、（a）十（b）一（c）一（d）を両辺について計算すると、

0＝η1一η2一ろI＋ろ2−4C／万となるから、C／万＝ηr月2一わ1＋わ24二0042である。したがって、これを（C）に代入すると、

κ1＋γ1＝0，960
また、題意より、xFη．＝0，783であることがわかっているので、一44一γ2＝O．960＿0，783＝0，177となる。

（4）（d）0．56（テキスト5−30ぺ一ジ参照）

λ止（κ＝0，1，2）を損害額の指標、7∫（ノ・二〇，1，2；巧十巧十2箏1）を経過年数ノ年の支払比率とす

ると、与えられた条件から次の方程式が得られる。

λ272＋λ2汽十人2巧＝λ2＝5＋23＋13＝41λ1巧十λI〜＝20＋llコ31λ舳＝10）㎞巧十λ1冷十λ2冷＝lO＋11＋13竈34

入η十λ2乃＝20＋23＝43
λ272＝5
これらから解を求めると、｛
λo＝31，8、入＝35，3、

巧＝0．3−5、

η＝0，564、■
λ2＝41り＝0，122となる。よって、経過年度2年の支払比率は0，564となる。

問題3、（1）（、）（1−o（1〕扇）α十附（・）^l1書守宇〕1土。（o洞（テキスト6−17ぺ一ジ参照）（a）初年度の積立保険料を月、次年度以降の積立保険料を足とすると、｛

α十月＝尼
α十月十届Xllδ（田〕司二α十豚φとなる。ここで、1■∂（o〕高＝δ（o洞一1だから、（1一価）α十豚φ

ハ＝δ（蓼〕頑，届＝榊．

十α∂（。況となる。

（b）第サ事業年度末から第f保険年度末までの期間は、／／1千吉〕十合〕ト・一2号チ1であり、この期間に収入する積立保険料を一属と考える。

2
第C事業年度末の払戻積立金は、この1回分の積立保険料は収入していない。したがって、第C保険年度末から半年前に戻した時点での払戻積立金は、さらに2m＋11242の期問分を戻せばよいか

ら、求める第。事業年度宋の払戻積立金は、／l1斗、外1午〕1去一／1／㍗デ1守〕1土となる。

一45一

（2）（・）66．7（d）0，506（e）63．4（テキスト3−16ぺ一ジ〜参照）

インカードロス（C）インカード・ツー・アーンド・ベイシス損害率＿
アーンドプレミアム＿55，000−10，000＋15．000＿

60，000：＝100，000＋40，000−50，00090，000＝667％（d）全信頼度に必要なクレーム件数伽は、^1・1甜ト…

伸一・・…

よって、部分信頼度Zは、

Z＝20，000x0．02

＝0506

伽となる。

（e）改定損害率は、60％×（正一Z）斗66，7％×Z＝63．4％となる。
＿土
一e gO

（3）（つ9，000（9）一（h）16，200（i）1，273（j）6，6
90（テキスト7−36ぺ一ジ参照）（う亙（X）＝90，万（M）＝10，000×0．01＝100より、万（∫）＝万（X）五（M）＝9，000となる。
（9）万（X）＝90より、＿五e gO！（x）＝一90（h）原点周りの2次のモーメントは、

五（X2）＝γ（X）十万（X）2＝902・2＝16，200（i）禰一W）亙（M）十五（X）2γ（M）＝五（M）亙（X）2＝100×16，200＝1，273（j）破産確率を求めると、

・（1・岬）・1…）一帯）・005×猪500〕＝P（Z＞1，532）
この値を直線補間により求めると、

ア（・・1…）一（16451532）×O1＋（1532−1282）・005一。。。。。
1，645＿1．282

よって、破産確率は6．6％となる。

一46一

（4）（k）20．8（1）4．83（テキスト8−8ぺ一ジ参照）（k）此十1年度の期初における資金は、κ年度末のリザーブ2，500万円と后十1年度の期初の収入保険科5万円X2，000件＝1億円の合計12，500万円となる。したがって、傷害保険の死亡保険金額が1，000万円であるから、12，500万円／1，000万円＝12．5（件）となり、12件までの保険金支払が可能である。
よって破産確率は、（1−0．7920）×100・・20．8％となる。

（1）此十王年度の期初における資金はκ年度末のリザーブ2，500万円とだ十1年度の期初の正味収入保
険料5万円×2，000件X｛100％一50％（出再比率）｝＝5，000万円の合計7，500万円となる。したがって、傷害保険の死亡保険金額が1，000万円で出再比率50％であるから、7，500万円／11，000万円×（1OO％一50％）ト15（件）までの保険金支払が可能である。
よって破産確率は、（1−0．9517）×100二4．83％となる。

問題4．

（1）1（1）は確率関数であるか！・書1（1）一1で帆1一φ（1）一暮1一一テト・（1一のより、α竈1が求められる。

10g（1−0）一（2）∫＝X1＋X2＋…十X〃は複合ポアソン分布に従うので、∫，Xの積率母関数をそれぞれM∫（C），Mx（）とすると、M∫（プ）…exp｛λ（Mx（C）一1｝が成り立つ。したがって、舳）一早^÷〕一、、（1．の畔一1結）であることから、w）ｩ／皆ξ）1〕／となる。

（3）負の二項分布に従う確率変数γの積率母関数Mr（C）は、
P、．（、三、）ノ丁w）一…

（ii）で表される。ところで、州）一外小島一1、弓「〕であることから、これは（n）式において、ρ＝工一。，n＝λとしたものに等しいことが分かる。

10g（1−C）

よって∫は、λが整数のときに負の二項分布に従い、各パラメータはn＝1・g（1一・）．

ρ・・1−cによって与えられる。

λ1・g（1一・）、（テキスト2−8ぺ一ジ〜参照）

一47一