平成14年12月24日

損保数理…1

損保数理（問題）
問題1．次の（1）から（10）について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを一つ選んで、指定の解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ。

（70点）（1）ある保険の発売にあたり、次のとおり保険料収入と保険金支払について計画を作成した。

発売開始日：

平成14年4月1日

保険期間：1年間のみ

保険料：（保険始期は毎月1日のみとする。）

払込方法は一時払のみで、保険始期と同目に収入するものとする。

各月の収入保険料は、平成14年度は毎月2，000万円、平成15年度は前年同月比10％増とする。
支払保険金：

予定損害率60％とし、事故は保険期間中均一に発生すると仮定する。

事故発生から保険金支払までの期間は1か月とする。
このとき、次の各問に最も近い解答を選択肢の中から選べ。

①平成14年度のアーンドベーシス損害率②平成14年度のリトンベーシス損害率③平成15年度のリトンベーシス損害率（・）10．O％（b）12．5％（・）1510％（f）25．0％（9）27．5％（h）32．5％（i）40．0％

（m）

（n）

（k）

55．0％

（玉）

（P）65．O％

57．0％（q）66．7％（d）20．0％

58，5％

60．0％

（。）22．5％（j）52．5％
（o）

62．0％

（r）71．O％
1一三（2）ある保険種類のクレーム額Xは、指数分布！（x）＝＿eθ（x＞0）に従うことがわかっており、支払限θ
度額を1，000として引き受けた保険契約の支払データとして、次のデータを得た。

クレーム類

クレーム件数

クレーム総額

6024．800

1，000未満1．000

合計4040，OOO

10064，800①最尤法によりθを求めた場合、それに最も近いものは、次のうちどれか。
（・）

（e）

1，000（b）

1，100

1，020

（・）

（f）1，120

1，040

（d）

1，080

（9）1，140（h）

1，160②支払限度額をすべて300とした場合のクレーム類の平均として最も近いものは、次のうちどれか。なお、

γ2e工の値が必要な場合には、e工＝1＋x＋＿で近似せよ。

（a）160（e）240（b）

180（f）260

2（c） 200（9）280（d）

220（h）300

一47一

損保数理…2（3）次のような支払保険金のロスティベロップメントがある。

21

事故年度

経過年数

4310121124018420234502556040665

ここで、記号を次のように定義する。

C，J：f年度発生事故の経過年数ノ年における当該年度の支払保険金

x ：ゴ年度発生事故の最終発生保険金
乃 ：経過年数ノ年において支払われる保険金の最終発生保険金に対する割合で、事故発生年度ゴによらず一定とする
今、Σ（X ρrC））2の値が最小となるように、Xおよびρjを推定することにし、刀の推定値として次，ノの値を得た。

ハρ2ρ3ρ40．48

0．30

0．160．06

ρゴの推定値をこの数値に固定したとき、X4，X5，X6の推定値に最も近いものは、次のうちどれか。
（a）100（b）

102．5（c）

105（d）

107．5（e）

110（f）

112．5（9）115（h）

117．5（i）

120（j）

122．5（k）

125（1）

127．5（m）

130（n）

132．5（o）

135（P）

137．5（q）

140（4）損害額Xの分布関数が咋／1∴：：3で表されるとき、平均支払額について、エクセス方式の場合を∫万（免責金額10）、フランチャイズ方式の場合を∫戸（免責金額20）とすると、∫戸／∫圧に最も近いものは、次のうちどれか。

X2

なお、e工の値が必要な場合には、e工＝1＋x＋一で近似せよ。
2（a）

O．824（b）

0，833（c）

0，909（d）O．920（e）

1，087

（f）

1，100（9）1，200（h）

1．214

一48一損保数理・3（5）ある保険金杜では、割引率0％（等級0）、20％（等級1）の無事故割引制度を実施している。1年間に少なくとも1件の保険金請求をした場合は等級Oになり、また等級Oから等級1に上がるためには2年間連続で保険金請求がないことが条件であるとする。この割引制度の定常状態での平均割引率に最も近いものは、次のうちどれか。ただし、1年間に少なくとも1件の保険金請求をする確率はすべての契約者にっいてO．5であるものとする。

（a）

0％

（b）

2．5％

（c）

5％

（d）

7．5％

（・）10％

（f）

12．5％

（9）

15％

（h）

17．5％

（i）

20％

（6）A保険金杜では傷害による入院が10目以上となったときに10万円を支払う内容の保険契約を引き受けており、以下の情報が与えられている。

・保険契約はすべて1目を保険始期とする1年契約であり、毎月10，OOO件引き受ける。
・入院発生率は2．03％で、このうち20％の入院が10日以上となる。

・保険金請求は、平均して入院目の翌日から起算して30目目に行われる。

なお、入院は保険期間中均一に発生するものとして、この保険契約についての事業年度末のIBNR備金として最も適当なものは、次のうちどれか。

（a）

350万円

（b）

360万円

（c）

370万円

（d）

380万円

（e）

390万円

（f）

400万円

（g）

410万円

（h）

420万円

ダ（7）支払保険金総額∫がガンマ分布F（α，β）＝一ゾーe■β工（0≦x〈oo）に従う場合、その分布関数
F（α）
を尺ψ（x）とする。このとき、エクセスポイントをaとするストップロス再保険のネット再保険料は、
α亙（∫。）＝一（1一①）一a（1一②）となる。
β
この（①，②）の組み合わせとして正しいものは、次のうちどれか。

（・）（尺、1〃），〜（∂））（b）（〜（a），尺。1〃））（・）（凡〃（a），〜（a））（d）（〜（a），〜十1（♂））（・）（凡、w（a），〜（a））（f）（〜（a），尺。1舟1（a））（・）（〜（a），〜（3））（8）クレーム件数Mおよび各クレーム類X（h）（瓦州（a），九州（a））（＝1，2，・・うが、次の分布に従うものとする。

・の確率関数：ル）十1■
X、の確率密度関数〕・（1−1い一肌…・・一1・｝1g（x）＝2e−2工（x＞0）

このとき、クレーム総額の分散に最も近いものは、次のうちどれか。ただし、xxjは互いに独立とする。
（a）1．20（b）

1．22（c）

1．24（d）

1．26（e）

1．28（f）

1．30（9）1．32（h）

1．34

一49一は同一分布に従い、Mと

損保数理・・4（9）ある保険群団において、クレーム件数Mが以下の分布に従うものとする。
たPr（M二た）

00．4

10．3

20．2

30．1

また、個々のクレーム類xは、次の分布に従うものとする。

このとき、クレーム総額∫が3万（∫）を超える確率に最も近いものは、次のうちどれか。

（a）

0．02

（・）O．10（b）0．04（c）（f）0．12

0．06（9）O．14（d）

O．08（h）0，16（10）ある保険金杜の年間支払保険金が平均1億円の指数分布に従うとする。この保険金杜には2億円のリザーブがあり、年間収入保険料とリザーブの和を年間支払保険金が超えると破産するものとする（経費や利息のような他の要素は考慮しない）。

今、この保険金杜の引き受けているすべての契約に同じ出再率の比例再保険を行うことにより、破産確率を現在の半分にするためには、出再割合を何％にすればよいか。その最も近い数値は次のうちどれか。
必要ならば1og2＝0，693を用いよ。

（・）

10％

（・）30％（b）15％（f）35％（c）20％（d）25％（9）40％（h）45％

一50一（i）50％

損保数理・・5
問題2．それぞれ独立したリスクの集団がある。リスクはAとBの二つのクラスに分類され、かつクラスAとクラスBのリスクの数は同一である。

ここで、次の条件が与えられたとする。

①それぞれのリスクは、1年間に1回だけ事故が発生する確率が20％で、1回も事故が発生しない確率が80％である。

②クラスAのクレーム額は、すべて2である。
③クラスBのクレーム類は、すべて。（定数）である。
無作為に一つのリスクを抽出して1年間のクレームを観察し、翌年のクレームコストの期待値を算出したい。

このとき、次の問いに答えよ。

（14点）（1）Buh㎞amモデルの信頼度Zを、cを用いて表せ。
（2）c＞1Oであることがわかっているとするとき、Zの取りうる値の範囲を求めよ。

問題3．時刻C（≧0）での事故発生件数の確率過程｛川｝は、ポアソン過程に従うものとする。ただし、単位時間あたりの事故発生件数の平均をλとする。また、ηを〃件目の事故が発生する時刻を表す確率変数とする。このとき次の問いに答えよ。

（16点）（1）ηの確率密度関数ス（C1）を求めよ。
（2）η、1＝C

一1，…，τ＝C1の条件の下でのηの条件付確率密度関数！（ClC掘．一，…，Cl）を求めよ。

（3）（η，…，η）の結合確率密度関数！（C1，・，C）を求めよ。

（4）（3）の結果からηの周辺確率密度関数ム（C）を求めることにより、ηがガンマ分布に従うことを示せ。

一51一

損保数理（解答例）
問題1．

（1）

（テキスト1−5ぺ一ジ参照）①（n）「事故は保険期間中均一に発生する」という条件から、アーンドベーシス損害率は予定損害率と等しい。
②（9）平成14年度の収入保険料

2，000（万円）×12＝24，000（万円）

平成14年度の支払保険金

11一ト10一←…

2，000（万円）X60％×

一←1＋0

12

一6，600（万円）

よって、6，600／24，000＝27．5％③（1）平成15年度の収入保険料

2，000（万円）X1．1X12＝26，400（万円）

平成15年度の支払保険金
1一ト2一←…

2，000（万円）×60％X

一ト11＋12

11一←10一ト…

＋2，000（万円）×11×60％×12

一ト1＋012＝15，060（万円）
よって、15，060／26，400＝57，0％（2）（テキスト2−8，O−20ぺ一ジ参照）

①（d）

＿王
Xの分布関数は、F（γ）＝1−eθ （x〉0）であるから、＿哩戸（x≧1000）＝1−F（1000）＝eθ尤度関数をz（θ）で表すと、1（1）か・1）一／ポ／／ザ／24800＝θ■60e40000

θ。e64800

θ＝θ■60eθ∂

したがって、一1og工（θ）；0となるθが求める値となる。
∂θ品・・1（1）一品／一・…164100〕一チ・6紫0一・
これをθについて解いて、

θ；

64800
＝1080
60

②（f）

支払限度額を300とした場合のクレーム類をγとすると、

亙（γ）一ズ1・舳・・・…（γ一…）一ズ1ザφ・・…／1一・（…）／

一52一

300

5＝θ・（1−eθ）＝1080・（1−e18）

長一11斗＝1080。

＝258．33（テキスト5−22ぺ一ジ参照）（3）X。：（・）、X。：（1）、X。：（・）Σ（X山一C∴∫）2のXによる偏微分がゼロになることから、，∫Σq〃。
ノ

兄＝Σ〆ノ
よって、

50x0．48＋25×0．3＋20×0．16

X。＝＝100，289・・

0，482＋0．32＋0．162

60×0．48＋40×O．3

X。＝0，482＋0．32
×6＝65×0．48
0，482＝12734＝13541（テキスト1−42ぺ∵ジ参照）（4）（e）

確率密度関数！（γ）は、

ル）

黹￨（㍍）

で表されるから、平均支払額∫王および∫ダをそれぞれ求めると、㌦小一1・）÷卿／一歩ト1・・榊1一÷〕
み一∬・÷…／一番〕赤一1・・…／一番〕となる。よって、求める値は次のようになる。

昨1・パー1・・／1，1・21。〕一1悩［別解コ「平均支払額」には、「支払額ゼロの場合を含めた平均支払額」のほかに「支払われた場合の条件付平均支払額」という捉え方もある。この場合の平均支払額∫Eおよび∫Fをそれぞれ求めると、、、∬い・）加・／一念〕汰＝、。。

∫沽卿1−11。〕ゐみ、∫ン11・榊1一念〕愉、、2。

∫小・／。1。〕扮となる。よって、∫戸／∫E＝1．2となり、この場合には（g）が正解となる。

一53一

（5）（c）（テキスト3−8ぺ一ジ参照）

カテゴリーを、A：等級0かつ前年事故あり、B：等級Oかつ前年事故無し、C：等級1の三つに分けると、

推榊一

^11

一定常状一一…れぞれ

γ，y，zとすると、（x，y，z）・ρ＝（x，γ，z）であることより、x：γ：z：2：1：1であることが分かる。

よって、平均割引率は2×O％十1×0％十1x20％
4＝5％となる。

（6）（f）（テキスト5−6ぺ一ジ参照）

年間契約件数は、1，000×12二12，000件。問題の条件から入院は毎日同数発生すると考えてよい。

また、保険金請求が入院目の翌日から30目目に行われるため、事業年度の末目から30目以内に発生じた入院がIBNR損害となる。したがって、
120，000×2．03％×20％X30／365×10万円＝400万円（7）（a）（テキスト8−14ぺ一ジ参照）

ム，β（x）を∫の確率密度関数とすると、ネット再保険料万（∫4）は、次のように求めることができる。

恥）一∬（・一・）ム／（・）ゐ一∬沽〃吋舳）愉
一∬、着1）1商一・（1一見／（・））一言μ・／（・）赤一・（1一礼／（・））α＝一（1一尺。1，β（a））一a（1一尺，β（a））
β（8）（c）（テキスト2−11ぺ一ジ参照）

Mは負の二項分布に従うことから、
7（1一ρ）
亙（ハ7）＝0．05x0．9＝＝045ρ
κ（I＿ρ）

γ（M）＝
ρ0．1
0．05x0．9。＝
0．12＝45

また、xjは指数分布に従うことから、
亙（X）＝0．5，一／（X）＝0．25となる。したがって、
ザ（∫）＝グ（X）・万（M）十万（X）2・γ（M）；0．25×0．45＋O．25×4．5；1．2375（9）（f）（テキスト2−16ぺ一ジ参照）

Mの平均は万（M）・＝1．Oであり、クレーム額Xの平均は亙（X）＝1．8となることから、クレーム総額∫の平均は、万（∫）：1．0×1．8＝1，8となる。したがって、ゴ＝3万（∫）＝5．4であるから、Pr（∫＞a）；Pr（∫＞5）となる。

一54一ここで、畳み込みを用いて∫の分布を言十算する。5以下の数値xについて、次表のとおり畳み込みの値を求めることができる。
Pr（M＝n）：

0．4

〃：

O

0，30．2

0．1

23

∫り（・）

プ3（・）

ム（γ）

凡（x）

00014000

0．40000．24000．6400

1x∫㌣）

011O

0．8

00200

0．64

00．12800．7680

3O0O

O．512

0．0512

O，81924000000．8192

5O

O．200O．0600

0．8792プ（・）0これより、Pr（∫＞∂）＝1一九（5）＝0．1208となる。
（10）（d）（テキスト8−6ぺ一ジ参照）
年間収入保険料をρ、リザーブをm、年間支払保険金をx（平均μ）とすると、出再割合をαとした
ときの破産確率φ（α）は、1（一）一印・（1一一）1一（1一一）…）十、1、・1〕一・1である。一 闊ﾓより、φ（α）＝一φ（0）であるから、これを解いて、

2α＝1

1＝02573

1＋土1・g2
〃
問題2．

（1）

（テキスト3−30ぺ一ジ参照）
クラスAおよびクラスBのリスクについて1年間のクレーム総額を、それぞれん，X3で表すと、
万（Xノ）＝0．2×2＋0．8x0＝0，4万（XB）＝0．2×c＋0．8×0＝0．2cγ（ん）＝（O．2×22＋0．8×02）一0．42＝0．64
γ（X。）＝（0，2×・2＋0．8×02）一（0．2・）2二0．16・2

クラスAとクラスBのリスクの数は同一であるから、無作為に一つのリスクを抽出したときクラスAから抽出する確率は0．5と考えてよい。したがって、
μ＝万［万（X，1θ）］＝0．5・｛亙（Xノ）十万（XB）｝＝0，5×（O．4＋O，2c）＝0．2＋0．1c
γ［亙（X一θ）］工0．5．｛万（Xノ）＿μ2｝十0，5、｛亙（Xぢ）＿μ2｝＝0．5・（0．4−0．2−0．1・）2＋0，5・（0．2・一〇．2−0．1・）2；0．01（卜2）2
亙［γ（X，1θ）］＝0．5・｛γ（Xノ）十グ（XB）｝＝0．5・（0．64＋O．16・2）＝0108（・2＋4）

一55一よって、観察期間は1年であることを考慮すると、
Z＝・1＝＝（上2）2

耶（X，1θ）1 0．08（・2＋4）9・2−4・十36
n＋1＋ 0．O1（c−2）2η亙（X，1θ）】（2）！（o）＝／（c）＝一402＋4I（c＞lO）とおくと、Z＝（卜2）2と表すことができる。

1＋8！（・）

o＋2＜0 （c＞1O）であるから、！（c）は。＞10のとき単調減少関数となる。
（卜2）3

したがって、Zは。＞10のとき単調増加であるから、Z。一10〈Z〈Z。→。。（o＞10）となる。
また、

1Z＝一㌍lO 1411Z。→。。＝＝一1＋8・hm！（c） 9
c一→ooであるから、以上より次のとおりとなる。

11
一くZ〈一 （c〉10）149問題3．

（1）（テキスト7−10ぺ一ジ参照）
Cl≧0において、P（巧≦C1）＝P（0≦C≦C1の間に事故が1回以上発生）＝P（M，1≧1）＝1−P（M、＝0）＝1＿ゼλ1であることから、求めるズ（cl）は次のとおりとなる。

舳†（巧≦∵続（2）0≦C1＜＿＜f用一1＜C月において、
P（η≦C

凪一1＝C、1，…，η＝7I）＝P（プ．1＜プ≦τの間に事故が1回以上発生）＝P（M、掘一M、蜆、、≧1）

ここで、ポアソン過程の定常性を用いると、一ヒ式は次のようになる。
＝P（M、艸＿、蜆．、≧1）＝1−P（M、、一、掘．1＝0）＝1＿e■λ（
したがって、求める！（f、一f1■・一1）

一1，＿，cl）は次のとおりとなる。

一56川

〃l1

一1，…，11）廿≦｛＝㌦1・・，η＝Cl）＝λ・一λ〔パ丘・一1）（0≦C1＜・・＜τ

一1＜c）

（その他）
（3）

∫（11，…，1。）イ（1．1㌦一1，…，11）〃

一111

十一λ（〜λe一λ（㌧1一㌦2〕一。，・，11）…〃。l11）〃1）λe■λ（わ■1）λe■λ

I＝ごHe■柵（0≦C一＜…＜f用）
（その他）

（4）

舳一∫二・ ・∫二∫（11・…・舳・・一1
一∬・・ ・∬パ・一λ ・・11…仇一1

一∫㌧ ∫3〜■λf・……励月一1十（1ξ；），・ 一札励 一1
H−1

一パ
パ

C・。一札（f≧0）（n−1）！

一1∫用・一λ1（C、≧0）

F（〃）

一57一