Yang-Mills gradient flow による格子上のエネルギー運動量テンソル.
.
鈴木 博
理研 ⇒ 九州大学

2013/09/27 「離散的手法による場と時空のダイナミクス」研究会 @ KEK

H.S., Prog. Theor. Exp. Phys. (2013) 083B03 [arXiv:1304.0533 [hep-lat]].
H.S., work in progress鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

1 / 34

格子場の理論とエネルギー運動量テンソル (EMT)
格子場の理論

x

^
aµ

a
µ

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

2 / 34

格子場の理論とエネルギー運動量テンソル (EMT)
格子場の理論

x

^
aµ

a
µ

最も成功している場の理論の非摂動論的定式化。特に内部ゲージ対称性を厳密に保つ

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

2 / 34

格子場の理論とエネルギー運動量テンソル (EMT)
格子場の理論

x

^
aµ

a
µ

最も成功している場の理論の非摂動論的定式化。特に内部ゲージ対称性を厳密に保つ
しかし、時空対称性（並進、回転、SUSY、コンフォーマル、. . . ）とは大変相性が悪い

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

2 / 34

格子場の理論とエネルギー運動量テンソル (EMT)
格子場の理論

x

^
aµ

a
µ

最も成功している場の理論の非摂動論的定式化。特に内部ゲージ対称性を厳密に保つ
しかし、時空対称性（並進、回転、SUSY、コンフォーマル、. . . ）とは大変相性が悪い
並進対称性に付随した Ward–Takahashi (WT) 関係式 (Tµν (x): エネルギー運動量テンソル(EMT))h∂µ Tµν (x)O(y)O(z) · · · i = −δ(x − y) h∂ν O(y )O(z) · · · i + · · ·鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

2 / 34

格子場の理論とエネルギー運動量テンソル (EMT)
格子場の理論

x

^
aµ

a
µ

最も成功している場の理論の非摂動論的定式化。特に内部ゲージ対称性を厳密に保つ
しかし、時空対称性（並進、回転、SUSY、コンフォーマル、. . . ）とは大変相性が悪い
並進対称性に付随した Ward–Takahashi (WT) 関係式 (Tµν (x): エネルギー運動量テンソル(EMT))h∂µ Tµν (x)O(y)O(z) · · · i = −δ(x − y) h∂ν O(y )O(z) · · · i + · · ·保存則はこの特別な場合

h∂µ Tµν (x)O(y )O(z) · · · i = 0,

鈴木博 (九州大学)

for x 6= y , x 6= z,. . .

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

2 / 34

格子場の理論とエネルギー運動量テンソル (EMT)
格子場の理論

x

^
aµ

a
µ

最も成功している場の理論の非摂動論的定式化。特に内部ゲージ対称性を厳密に保つ
しかし、時空対称性（並進、回転、SUSY、コンフォーマル、. . . ）とは大変相性が悪い
並進対称性に付随した Ward–Takahashi (WT) 関係式 (Tµν (x): エネルギー運動量テンソル(EMT))h∂µ Tµν (x)O(y)O(z) · · · i = −δ(x − y) h∂ν O(y )O(z) · · · i + · · ·保存則はこの特別な場合

h∂µ Tµν (x)O(y )O(z) · · · i = 0,

for x 6= y , x 6= z,. . .

連続極限 a → 0 でこれらの関係式を満たすような格子上の EMT が作れるだろうか？

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

2 / 34

格子場の理論とエネルギー運動量テンソル (EMT)
格子場の理論

x

^
aµ

a
µ

最も成功している場の理論の非摂動論的定式化。特に内部ゲージ対称性を厳密に保つ
しかし、時空対称性（並進、回転、SUSY、コンフォーマル、. . . ）とは大変相性が悪い
並進対称性に付随した Ward–Takahashi (WT) 関係式 (Tµν (x): エネルギー運動量テンソル(EMT))h∂µ Tµν (x)O(y)O(z) · · · i = −δ(x − y) h∂ν O(y )O(z) · · · i + · · ·保存則はこの特別な場合

h∂µ Tµν (x)O(y )O(z) · · · i = 0,

for x 6= y , x 6= z,. . .

連続極限 a → 0 でこれらの関係式を満たすような格子上の EMT が作れるだろうか？
もし可能であれば、その応用は広範であろう（熱力学量、粘性係数、共型場の理論、ディラトンの物理、真空のエネルギー、. . . ）鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

2 / 34

素朴な構成ではうまくいかない. . .

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

3 / 34

素朴な構成ではうまくいかない. . .
pure Yang–Mills 理論の EMT に対する素朴な表式
»
–
1
1
a
a
a
a
Tµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
(x) − δµν Fρσ(x)Fρσ
(x)
4
g0

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

3 / 34

素朴な構成ではうまくいかない. . .
pure Yang–Mills 理論の EMT に対する素朴な表式
»
–
1
1
a
a
a
a
Tµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
(x) − δµν Fρσ(x)Fρσ(x)4g0
˙¸
期待される WT 関係式の例： ∂µ Tµ1 (x)T01 (0) = C∂0 δ(x)鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

3 / 34

素朴な構成ではうまくいかない. . .
pure Yang–Mills 理論の EMT に対する素朴な表式
»
–
1
1
a
a
a
a
Tµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
(x) − δµν Fρσ(x)Fρσ(x)4g0
˙¸
期待される WT 関係式の例： ∂µ Tµ1 (x)T01 (0) = C∂0 δ(x)左辺を実際に数値計算してみると (x = (x0 , 0, 0, 0))0.1"correlators16x16beta2.64t0.00" u ($1*0.8971):($4*2.657*0.4356):($5*2.657*0.4356)"correlators24x24beta2.80t0.00" u ($1*0.5660):($4*167.7*0.49):($5*167.7*0.49)"correlators32x32beta2.91t0.00" u ($1*0.4125):($4*2892*0.52925625):($5*2892*0.52925625)

0.05

0

-0.05

-0.1

鈴木

博 (九州大学)

0

2

4

6

8

10

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

1214

2013/09/27 @ KEK

3 / 34

素朴な構成ではうまくいかない. . .
pure Yang–Mills 理論の EMT に対する素朴な表式
»
–
1
1
a
a
a
a
Tµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
(x) − δµν Fρσ(x)Fρσ(x)4g0
˙¸
期待される WT 関係式の例： ∂µ Tµ1 (x)T01 (0) = C∂0 δ(x)左辺を実際に数値計算してみると (x = (x0 , 0, 0, 0))0.1"correlators16x16beta2.64t0.00" u ($1*0.8971):($4*2.657*0.4356):($5*2.657*0.4356)"correlators24x24beta2.80t0.00" u ($1*0.5660):($4*167.7*0.49):($5*167.7*0.49)"correlators32x32beta2.91t0.00" u ($1*0.4125):($4*2892*0.52925625):($5*2892*0.52925625)

0.05

0

-0.05

-0.1

0

2

4

6

8

10

12

14

非常に noisy

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

3 / 34

素朴な構成ではうまくいかない. . .
pure Yang–Mills 理論の EMT に対する素朴な表式
»
–
1
1
a
a
a
a
Tµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
(x) − δµν Fρσ(x)Fρσ(x)4g0
˙¸
期待される WT 関係式の例： ∂µ Tµ1 (x)T01 (0) = C∂0 δ(x)左辺を実際に数値計算してみると (x = (x0 , 0, 0, 0))0.1"correlators16x16beta2.64t0.00" u ($1*0.8971):($4*2.657*0.4356):($5*2.657*0.4356)"correlators24x24beta2.80t0.00" u ($1*0.5660):($4*167.7*0.49):($5*167.7*0.49)"correlators32x32beta2.91t0.00" u ($1*0.4125):($4*2892*0.52925625):($5*2892*0.52925625)

0.05

0

-0.05

-0.1

0

2

4

6

8

10

12

14

非常に noisy（0 と consistent ではあるが）a → 0 で発散して行くように見える鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

3 / 34

素朴な構成ではうまくいかない. . .
pure Yang–Mills 理論の EMT に対する素朴な表式
»
–
1
1
a
a
a
a
Tµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
(x) − δµν Fρσ(x)Fρσ(x)4g0
˙¸
期待される WT 関係式の例： ∂µ Tµ1 (x)T01 (0) = C∂0 δ(x)左辺を実際に数値計算してみると (x = (x0 , 0, 0, 0))0.1"correlators16x16beta2.64t0.00" u ($1*0.8971):($4*2.657*0.4356):($5*2.657*0.4356)"correlators24x24beta2.80t0.00" u ($1*0.5660):($4*167.7*0.49):($5*167.7*0.49)"correlators32x32beta2.91t0.00" u ($1*0.4125):($4*2892*0.52925625):($5*2892*0.52925625)

0.05

0

-0.05

-0.1

0

2

4

6

8

10

12

14

非常に noisy（0 と consistent ではあるが）a → 0 で発散して行くように見える
そもそも、格子作用が並進対称性を壊しているため、素朴な表式が保存する保証は全くない鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

3 / 34

考え得るアプローチ鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

4 / 34

考え得るアプローチ

なんとか工夫して、格子定式化が欲しい対称性（今の場合、並進）の元で不変になるようにする（Ginsparg–Wilson 関係式に基づいた格子カイラル対称性のように）鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

4 / 34

考え得るアプローチ

なんとか工夫して、格子定式化が欲しい対称性（今の場合、並進）の元で不変になるようにする（Ginsparg–Wilson 関係式に基づいた格子カイラル対称性のように）
これは理想的だが、時空対称性に関しては難しそうだ. . . (結局のところ SLAC derivative?)鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

4 / 34

考え得るアプローチ

なんとか工夫して、格子定式化が欲しい対称性（今の場合、並進）の元で不変になるようにする（Ginsparg–Wilson 関係式に基づいた格子カイラル対称性のように）
これは理想的だが、時空対称性に関しては難しそうだ. . . (結局のところ SLAC derivative?)
一般論の言うところは、lattice symmetry と consistent な次元 4 の演算子の線形結合
0
1
X
X
X
X
1
a
a
a
a
a
a
a
a
Tµν (x) = C1 @Fµρ Fνρ − δµν+ C3 δµν
Fµρ
Fνρ
Fρσ
Fρσ Fρσ A + C2 δµν
Fρσ
4
ρ
ρσ
ρσ
ρ
が連続極限で保存する。そこでこれらの係数の比を保存則から決めてやればよい（だろう）(Caracciolo et al. (1989))鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

4 / 34

考え得るアプローチ

なんとか工夫して、格子定式化が欲しい対称性（今の場合、並進）の元で不変になるようにする（Ginsparg–Wilson 関係式に基づいた格子カイラル対称性のように）
これは理想的だが、時空対称性に関しては難しそうだ. . . (結局のところ SLAC derivative?)
一般論の言うところは、lattice symmetry と consistent な次元 4 の演算子の線形結合
0
1
X
X
X
X
1
a
a
a
a
a
a
a
a
Tµν (x) = C1 @Fµρ Fνρ − δµν+ C3 δµν
Fµρ
Fνρ
Fρσ
Fρσ Fρσ A + C2 δµν
Fρσ
4
ρ
ρσ
ρσ
ρ
が連続極限で保存する。そこでこれらの係数の比を保存則から決めてやればよい（だろう）(Caracciolo et al. (1989))
全体の規格化は別個に決める（一粒子状態での期待値?、カレント代数?）

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

4 / 34

考え得るアプローチ

なんとか工夫して、格子定式化が欲しい対称性（今の場合、並進）の元で不変になるようにする（Ginsparg–Wilson 関係式に基づいた格子カイラル対称性のように）
これは理想的だが、時空対称性に関しては難しそうだ. . . (結局のところ SLAC derivative?)
一般論の言うところは、lattice symmetry と consistent な次元 4 の演算子の線形結合
0
1
X
X
X
X
1
a
a
a
a
a
a
a
a
Tµν (x) = C1 @Fµρ Fνρ − δµν+ C3 δµν
Fµρ
Fνρ
Fρσ
Fρσ Fρσ A + C2 δµν
Fρσ
4
ρ
ρσ
ρσ
ρ
が連続極限で保存する。そこでこれらの係数の比を保存則から決めてやればよい（だろう）(Caracciolo et al. (1989))
全体の規格化は別個に決める（一粒子状態での期待値?、カレント代数?）
また、複合演算子に対して正しい並進を生成するかどうかは別途議論する必要がある (まだ誰も議論していない!)鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

4 / 34

考え得るアプローチ

なんとか工夫して、格子定式化が欲しい対称性（今の場合、並進）の元で不変になるようにする（Ginsparg–Wilson 関係式に基づいた格子カイラル対称性のように）
これは理想的だが、時空対称性に関しては難しそうだ. . . (結局のところ SLAC derivative?)
一般論の言うところは、lattice symmetry と consistent な次元 4 の演算子の線形結合
0
1
X
X
X
X
1
a
a
a
a
a
a
a
a
Tµν (x) = C1 @Fµρ Fνρ − δµν+ C3 δµν
Fµρ
Fνρ
Fρσ
Fρσ Fρσ A + C2 δµν
Fρσ
4
ρ
ρσ
ρσ
ρ
が連続極限で保存する。そこでこれらの係数の比を保存則から決めてやればよい（だろう）(Caracciolo et al. (1989))
全体の規格化は別個に決める（一粒子状態での期待値?、カレント代数?）
また、複合演算子に対して正しい並進を生成するかどうかは別途議論する必要がある (まだ誰も議論していない!)
関連して、SUSY 代数、Ferrara–Zumino 超多重項に基づくアプローチ (H.S. (2012))鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

4 / 34

ここでのアプローチ

並進不変な正則化における EMT と関係付けられる、ある UV 有限な量を用いる

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

5 / 34

ここでのアプローチ

並進不変な正則化における EMT と関係付けられる、ある UV 有限な量を用いる
そうした UV 有限な量は、どんな正則化（例えば格子正則化）で計算しても答えは同じ

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

5 / 34

ここでのアプローチ

並進不変な正則化における EMT と関係付けられる、ある UV 有限な量を用いる
そうした UV 有限な量は、どんな正則化（例えば格子正則化）で計算しても答えは同じ
この UV 有限な量を定義するのに、ここではいわゆる Yang–Mills gradient flow というものに注目する鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

5 / 34

ここでのアプローチ

並進不変な正則化における EMT と関係付けられる、ある UV 有限な量を用いる
そうした UV 有限な量は、どんな正則化（例えば格子正則化）で計算しても答えは同じ
この UV 有限な量を定義するのに、ここではいわゆる Yang–Mills gradient flow というものに注
目するYang–Mills gradient flow（仮想時間 t ∈ R に関する一種の拡散方程式）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x),

ここで Gµν は flowed field の field strengthGµν (t, x) = ∂µ Bν (t, x) − ∂ν Bµ (t, x) + [Bµ (t, x), Bν (t, x)],鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

Dµ = ∂µ + [Bµ , ·]2013/09/27 @ KEK

5 / 34

ここでのアプローチ

並進不変な正則化における EMT と関係付けられる、ある UV 有限な量を用いる
そうした UV 有限な量は、どんな正則化（例えば格子正則化）で計算しても答えは同じ
この UV 有限な量を定義するのに、ここではいわゆる Yang–Mills gradient flow というものに注
目するYang–Mills gradient flow（仮想時間 t ∈ R に関する一種の拡散方程式）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x),

ここで Gµν は flowed field の field strengthGµν (t, x) = ∂µ Bν (t, x) − ∂ν Bµ (t, x) + [Bµ (t, x), Bν (t, x)],Dµ = ∂µ + [Bµ , ·]仮想時間 t の次元が −2 であることに注意鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

5 / 34

Yang–Mills gradient flow （もしくは格子ゲージ理論の context では
Wilson flow）

Yang–Mills gradient flow（連続理論）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)2013/09/27 @ KEK

6 / 34

Yang–Mills gradient flow （もしくは格子ゲージ理論の context では
Wilson flow）

Yang–Mills gradient flow（連続理論）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)Wilson flow（格子理論）∂t V (t, x, µ)V (t, x, µ)−1 = −g02 ∂SWilson ,鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

V (t = 0, x, µ) = U(x, µ)2013/09/27 @ KEK

6 / 34

Yang–Mills gradient flow （もしくは格子ゲージ理論の context では
Wilson flow）

Yang–Mills gradient flow（連続理論）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)Wilson flow（格子理論）∂t V (t, x, µ)V (t, x, µ)−1 = −g02 ∂SWilson ,V (t = 0, x, µ) = U(x, µ)

動機 (Lüscher)鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

6 / 34

Yang–Mills gradient flow （もしくは格子ゲージ理論の context では
Wilson flow）

Yang–Mills gradient flow（連続理論）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)Wilson flow（格子理論）∂t V (t, x, µ)V (t, x, µ)−1 = −g02 ∂SWilson ,V (t = 0, x, µ) = U(x, µ)

動機 (Lüscher)
格子 QCD シミュレーションにおける critical slowing down の回避（t < 0 で荒くする。うまく行か
ない?）

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

6 / 34

Yang–Mills gradient flow （もしくは格子ゲージ理論の context では
Wilson flow）

Yang–Mills gradient flow（連続理論）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)Wilson flow（格子理論）∂t V (t, x, µ)V (t, x, µ)−1 = −g02 ∂SWilson ,V (t = 0, x, µ) = U(x, µ)

動機 (Lüscher)
格子 QCD シミュレーションにおける critical slowing down の回避（t < 0 で荒くする。うまく行かない?）
トポロジカル電荷の定義（t > 0 で滑らかにする）

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

6 / 34

Yang–Mills gradient flow （もしくは格子ゲージ理論の context では
Wilson flow）

Yang–Mills gradient flow（連続理論）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)Wilson flow（格子理論）∂t V (t, x, µ)V (t, x, µ)−1 = −g02 ∂SWilson ,V (t = 0, x, µ) = U(x, µ)

動機 (Lüscher)
格子 QCD シミュレーションにおける critical slowing down の回避（t < 0 で荒くする。うまく行かない?）
トポロジカル電荷の定義（t > 0 で滑らかにする）
スケールセッティング（Sommer スケール r0 のような使い方）
˛p˛2t hE(t, x)i˛
= 0.3,
で（例えば） 8t0 = 0.5 fm
t=t0

ここで

E(t, x) ≡鈴木博 (九州大学)

1 aa
G (t, x)Gµν (t, x)4 µν

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

6 / 34

Yang–Mills gradient flow （もしくは格子ゲージ理論の context では
Wilson flow）

Yang–Mills gradient flow（連続理論）∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) = ∆Bµ (t, x) + · · · ,Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)Wilson flow（格子理論）∂t V (t, x, µ)V (t, x, µ)−1 = −g02 ∂SWilson ,V (t = 0, x, µ) = U(x, µ)

動機 (Lüscher)
格子 QCD シミュレーションにおける critical slowing down の回避（t < 0 で荒くする。うまく行かない?）
トポロジカル電荷の定義（t > 0 で滑らかにする）
スケールセッティング（Sommer スケール r0 のような使い方）
˛p˛2t hE(t, x)i˛
= 0.3,
で（例えば） 8t0 = 0.5 fm
t=t0

ここで

1 a
a
G (t, x)Gµν (t, x)
4 µν
UV 有限な量の定義（t > 0 で滑らかにする）← ここでの使い方
E(t, x) ≡鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

6 / 34

gradient flow の摂動展開
Yang–Mills gradient flow∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) + α0 Dµ ∂ν Bν (t, x),Bµ (t = 0, x) = Aµ (x)ここで右辺第二項はゲージモードを抑圧するために付け加えた。ゲージ不変な量は α0 によらないことが言える。この方程式の形式解は
»
–
Z
Z t
Bµ (t, x) =d D y Kt (x − y )µν Aν (y ) +ds Kt−s (x − y)µν Rν (s, y ) ,0で与えられる。ここで K は熱核、R は非線形項の効果

Kt (z)µν =Zieipz h−α0 tp2
2
−tp2
+
p
p
e
(δ
p
−
p
p
)e
µ
ν
µν
µ
ν
2
p p

Rµ = 2[Bν , ∂ν Bµ ] − [Bν , ∂µ Bν ] + (α0 − 1)[Bµ , ∂ν Bν ] + [Bν , [Bν , Bµ ]]図的には (cross: Aµ ; open circle: flow vertex R),+鈴木

博 (九州大学)+

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

++2013/09/27 @ KEK

7 / 34

gradient flow の摂動展開
flowed gauge field の量子論的相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,は、初期値 Aµ (x) の期待値をとることで得られる。例えば、二つの Aµ の積の縮役は"!

=flowed field のプロパゲーター
»
–
2
2
1
1
δ ab g02 2 2 (δµν p2 − pµ pν )e−(t+s)p +pµ pν e−α0 (t+s)p ,(p )λ0を生み出す（ここで t と s は端点の flow time; λ0 は通常のゲージパラメター）。同様に、例えばに対しては、通常の Yang–Mills の vertex（黒丸）との縮役を考えて

などとなる
鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

8 / 34

gradient flow のゲージ不変性
無限小のゲージ変換

Bµ (t, x) → Bµ (t, x) + Dµ ω(t, x),の元で flow equation∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) + α0 Dµ ∂ν Bν (t, x)は∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) + α0 Dµ ∂ν Bν (t, x) − Dµ (∂t − α0 Dν ∂ν )ω(t, x)
と変化する

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

9 / 34

gradient flow のゲージ不変性
無限小のゲージ変換

Bµ (t, x) → Bµ (t, x) + Dµ ω(t, x),の元で flow equation∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) + α0 Dµ ∂ν Bν (t, x)は∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) + α0 Dµ ∂ν Bν (t, x) − Dµ (∂t − α0 Dν ∂ν )ω(t, x)と変化する
従って、ω(t, x) を(∂t − α0 Dν ∂ν )ω(t, x) = −δα0 ∂ν Bν (t, x),の解に選ぶことで、α0 を

ω(t = 0, x) = 0,

α0 → α0 + δα0と変化させることができる。つまり、異なった α0 に対応した Bµ (t, x) は互いにゲージ変換で結びついている鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

9 / 34

gradient flow のゲージ不変性
無限小のゲージ変換

Bµ (t, x) → Bµ (t, x) + Dµ ω(t, x),の元で flow equation∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) + α0 Dµ ∂ν Bν (t, x)は∂t Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x) + α0 Dµ ∂ν Bν (t, x) − Dµ (∂t − α0 Dν ∂ν )ω(t, x)と変化する
従って、ω(t, x) を(∂t − α0 Dν ∂ν )ω(t, x) = −δα0 ∂ν Bν (t, x),の解に選ぶことで、α0 を

ω(t = 0, x) = 0,

α0 → α0 + δα0と変化させることができる。つまり、異なった α0 に対応した Bµ (t, x) は互いにゲージ変換で結びついているまた、ω(t, x) を(∂t − α0 Dν ∂ν )ω(t, x) = 0,

ω(t = 0, x) = ω(x),の解に選ぶことで D 次元空間のゲージ変換 ω(x) を D + 1 次元のゲージ変換で flow equation を変えないもの ω(t, x) に拡張することができる
鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

9 / 34

gradient flow の UV 有限性 1
flowed gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、繰り込まれたパラメターで表した時、波動関数繰り込みなしで有限になる鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

10 / 34

gradient flow の UV 有限性 1
flowed gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、繰り込まれたパラメターで表した時、波動関数繰り込みなしで有限になる
最低次の二点関数

DEa
B̃µ(t, p)B̃νb (s, q) ∼ δ ab g02

–
»
1
1
2
−(t+s)p2−α0 (t+s)p2
(δ
p
−
p
p
)e
+
p
p
e
µν
µ
ν
µ
ν
(p2 )2λ0

鈴木

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

博 (九州大学)

2013/09/27 @ KEK

10 / 34

gradient flow の UV 有限性 1
flowed gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、繰り込まれたパラメターで表した時、波動関数繰り込みなしで有限になる
最低次の二点関数

DEa
B̃µ(t, p)B̃νb (s, q) ∼ δ ab g02

–
»
1
1
2
−(t+s)p2−α0 (t+s)p2
(δ
p
−
p
p
)e
+
p
p
e
µν
µ
ν
µ
ν
(p2 )2
λ0

1 ループレベルでの二点関数（ただし、Yang–Mills vertex だけを含むもの）

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

10 / 34

gradient flow の UV 有限性 1
flowed gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、繰り込まれたパラメターで表した時、波動関数繰り込みなしで有限になる
最低次の二点関数

DEa
B̃µ(t, p)B̃νb (s, q) ∼ δ ab g02

–
»
1
1
2
−(t+s)p2−α0 (t+s)p2
(δ
p
−
p
p
)e
+
p
p
e
µν
µ
ν
µ
ν
(p2 )2
λ0

1 ループレベルでの二点関数（ただし、Yang–Mills vertex だけを含むもの）

最後の counter term の項は、繰り込まれたパラメターへの書き換え

g02 = µ2 g 2 Z ,λ0 = λZ3−1

から来る。

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

10 / 34

gradient flow の UV 有限性 1
flowed gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、繰り込まれたパラメターで表した時、波動関数繰り込みなしで有限になる
最低次の二点関数

DEa
B̃µ(t, p)B̃νb (s, q) ∼ δ ab g02

–
»
1
1
2
−(t+s)p2−α0 (t+s)p2
(δ
p
−
p
p
)e
+
p
p
e
µν
µ
ν
µ
ν
(p2 )2
λ0

1 ループレベルでの二点関数（ただし、Yang–Mills vertex だけを含むもの）

最後の counter term の項は、繰り込まれたパラメターへの書き換え

g02 = µ2 g 2 Z ,λ0 = λZ3−1から来る。
通常はこれに波動関数繰り込みも合わせてはじめて有限になるのだが. . .

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

10 / 34

gradient flow の UV 有限性 1. . . ここでは、flow vertex を含んだダイアグラムがあり

これらが、波動関数繰り込みとちょうど同じ効果を与えることがわかる

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

11 / 34

gradient flow の UV 有限性 1. . . ここでは、flow vertex を含んだダイアグラムがあり

これらが、波動関数繰り込みとちょうど同じ効果を与えることがわかる
全次数での証明 (Lüscher–Weisz (2011))鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

11 / 34

gradient flow の UV 有限性 1. . . ここでは、flow vertex を含んだダイアグラムがあり

これらが、波動関数繰り込みとちょうど同じ効果を与えることがわかる
全次数での証明 (Lüscher–Weisz (2011))

vertex が全てバルク部分 (t > 0) にある時、ループ規分は常に flow-time の発展演算子∼ e−t`

2を含み、この因子がループ積分を有限にする：bulk counterterm は必要ない鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

11 / 34

gradient flow の UV 有限性 1. . . ここでは、flow vertex を含んだダイアグラムがあり

これらが、波動関数繰り込みとちょうど同じ効果を与えることがわかる
全次数での証明 (Lüscher–Weisz (2011))

vertex が全てバルク部分 (t > 0) にある時、ループ規分は常に flow-time の発展演算子∼ e−t`

2を含み、この因子がループ積分を有限にする：bulk counterterm は必要ない

BRS 対称性を使うことにより、boundary (t = 0) counterterm は通常の Yang–Mills のものにとどまることが言える鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

11 / 34

gradient flow の UV 有限性 2flow gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 )Bµ2 (t2 , x2 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、同一点の積に対しても有限にとどまる

t1 → t2 ,鈴木博 (九州大学)

x1 → x2 ,格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

12 / 34

gradient flow の UV 有限性 2flow gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 )Bµ2 (t2 , x2 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、同一点の積に対しても有限にとどまる

t1 → t2 ,x1 → x2 ,2

新しいループは必ず flow-time の発展演算子 ∼ e−t` を含み、これが積分を UV 有限にする：新
しい発散はあらわれない鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

12 / 34

gradient flow の UV 有限性 2flow gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 )Bµ2 (t2 , x2 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、同一点の積に対しても有限にとどまる

t1 → t2 ,x1 → x2 ,2

新しいループは必ず flow-time の発展演算子 ∼ e−t` を含み、これが積分を UV 有限にする：新
しい発散はあらわれない
これは極めて強力な性質!

Bµ (t, x)Bν (t, x)|Dimensional Reg. = Bµ (t, x)Bν (t, x)|Lattice鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

12 / 34

gradient flow の UV 有限性 2flow gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 )Bµ2 (t2 , x2 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、同一点の積に対しても有限にとどまる

t1 → t2 ,x1 → x2 ,2

新しいループは必ず flow-time の発展演算子 ∼ e−t` を含み、これが積分を UV 有限にする：新
しい発散はあらわれない
これは極めて強力な性質!

Bµ (t, x)Bν (t, x)|Dimensional Reg. = Bµ (t, x)Bν (t, x)|Lattice
一方、ここでの問題の難しさは(AR )µ (x)(AR )ν (x)|Dimensional Regularization 6= (AR )µ (x)(AR )ν (x)|lattice
から来る

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

12 / 34

gradient flow の UV 有限性 2flow gauge field の相関関数
˙¸
Bµ1 (t1 , x1 )Bµ2 (t2 , x2 ) · · · Bµn (tn , xn ) ,t1 > 0, . . . , tn > 0,

は、同一点の積に対しても有限にとどまる

t1 → t2 ,x1 → x2 ,2

新しいループは必ず flow-time の発展演算子 ∼ e−t` を含み、これが積分を UV 有限にする：新
しい発散はあらわれない
これは極めて強力な性質!

Bµ (t, x)Bν (t, x)|Dimensional Reg. = Bµ (t, x)Bν (t, x)|Lattice
一方、ここでの問題の難しさは(AR )µ (x)(AR )ν (x)|Dimensional Regularization 6= (AR )µ (x)(AR )ν (x)|latticeから来る
gradient flow のこの性質に注目し、我々は次元正則化での EMT と gradient flow で定義されるある量とを関係づける鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

12 / 34

次元正則化における EMT

D = 4 − 2 次元における SU(N) Yang–Mills 理論
Z
1
a
a
S=
d D x Fµν(x)Fµν
(x)
2
4g0

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

13 / 34

次元正則化における EMT

D = 4 − 2 次元における SU(N) Yang–Mills 理論
Z
1
a
a
S=
d D x Fµν(x)Fµν
(x)2
4g0次元正則化を仮定すれば、それは並進対称性を保つので、素朴な表式
–
»
1
1
a
a
a
a
(x)
(x) − δµν Fρσ(x)FρσTµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
4g0が正しい WT 関係式

h∂µ Tµν (x)O(y)O(z) · · · i = −δ(x − y) h∂ν O(y )O(z) · · · i + · · ·を満たす。この Tµν (x) が乗法繰り込みを受けないこともこの式から従う

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

13 / 34

次元正則化における EMT

D = 4 − 2 次元における SU(N) Yang–Mills 理論
Z
1
a
a
S=
d D x Fµν(x)Fµν
(x)2
4g0次元正則化を仮定すれば、それは並進対称性を保つので、素朴な表式
–
»
1
1
a
a
a
a
(x)
(x) − δµν Fρσ(x)FρσTµν (x) = 2 Fµρ(x)Fνρ
4g0が正しい WT 関係式

h∂µ Tµν (x)O(y)O(z) · · · i = −δ(x − y) h∂ν O(y )O(z) · · · i + · · ·を満たす。この Tµν (x) が乗法繰り込みを受けないこともこの式から従う
そこで、VEV は引いておくことにして、我々は繰り込まれた EMT を（次元正則化のもとで）{Tµν }R (x) = Tµν (x) − hTµν (x)i
で定義する

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

13 / 34

次元正則化における EMT

正しい EMT の重要な特徴の一つは trace anomaly であるδµν {Tµν }R (x) = −β ˘ a a ¯Fρσ Fρσ R (x)2g 3

ここで、右辺の複合演算子は MS スキームで定義されているとする。β 関数は

g02 ≡ µ2 g 2 Z ,
から

β≡

„
«
„
«
∂
1
∂
µ
g=− g µln Z ,∂µ 02∂µ 0で与えられる（ここで添字 0 は微分が裸の量をとめて取られることを意味する）。具体的には、
»
–
„ «
1
1
1
11N
17N 2
b0 g 2 + b1 g 4 + O(g 6 ) + O
,
b0 =
,
b1 =
,
Z =1−
2
2

2

48π
384π 4より

β = −b0 g 3 − b1 g 5 + O(g 7 )となる

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

14 / 34

有限の flow time での局所積と EMT

さて、我々は上の正しい EMT {Tµν }R (x) と gradient flow で定義される量とを関係づけたい鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

15 / 34

有限の flow time での局所積と EMT

さて、我々は上の正しい EMT {Tµν }R (x) と gradient flow で定義される量とを関係づけたい
そこで、以下の次元 4 のゲージ不変な局所積を考えてみる
aaUµν (t, x) ≡ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) −E(t, x) ≡鈴木博 (九州大学)

1aaδµν Gρσ(t, x)Gρσ(t, x)
4

1 aa
G (t, x)Gµν
(t, x)4 µν

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

15 / 34

有限の flow time での局所積と EMT

さて、我々は上の正しい EMT {Tµν }R (x) と gradient flow で定義される量とを関係づけたい
そこで、以下の次元 4 のゲージ不変な局所積を考えてみる
aaUµν (t, x) ≡ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) −E(t, x) ≡1aaδµν Gρσ(t, x)Gρσ(t, x)
4

1 aa
G (t, x)Gµν
(t, x)4 µν√
flow equation は拡散方程式であり、x 空間での拡散長さは ∼ 8t である。従って、t → 0 の極限では、Uµν (t, x) や E(t, x) は D 次元 x 空間での局所量と見なすことができる

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

15 / 34

有限の flow time での局所積と EMT

さて、我々は上の正しい EMT {Tµν }R (x) と gradient flow で定義される量とを関係づけたい
そこで、以下の次元 4 のゲージ不変な局所積を考えてみる
aaUµν (t, x) ≡ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) −E(t, x) ≡1aaδµν Gρσ(t, x)Gρσ(t, x)
4

1 aa
G (t, x)Gµν
(t, x)4 µν√
flow equation は拡散方程式であり、x 空間での拡散長さは ∼ 8t である。従って、t → 0 の極限では、Uµν (t, x) や E(t, x) は D 次元 x 空間での局所量と見なすことができる
さらに、gradient flow の UV 有限性から、これらは UV 有限な量である鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

15 / 34

有限の flow time での局所積と EMT

さて、我々は上の正しい EMT {Tµν }R (x) と gradient flow で定義される量とを関係づけたい
そこで、以下の次元 4 のゲージ不変な局所積を考えてみる
aaUµν (t, x) ≡ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) −E(t, x) ≡1aaδµν Gρσ(t, x)Gρσ(t, x)
4

1 aa
G (t, x)Gµν
(t, x)4 µν√
flow equation は拡散方程式であり、x 空間での拡散長さは ∼ 8t である。従って、t → 0 の極限では、Uµν (t, x) や E(t, x) は D 次元 x 空間での局所量と見なすことができる
さらに、gradient flow の UV 有限性から、これらは UV 有限な量である
これらのことから、上の局所積は t → 0 では D 次元の繰り込まれた演算子の漸近級数（その係数も有限）として書ける（はずである）：»–
1
Uµν (t, x) = αU (t) {Tµν }R (x) − δµν {Tρρ }R (x) + O(t),4

E(t, x) = hE(t, x)i + αE (t) {Tρρ }R (x) + O(t),ここで Uµν (x) が D = 4 で traceless であることを用いた。O(t) は次元 6 以上の演算子の寄与

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

15 / 34

有限の flow time での局所積と EMT

上の展開

»
–
1
Uµν (t, x) = αU (t) {Tµν }R (x) − δµν {Tρρ }R (x) + O(t),4
E(t, x) = hE(t, x)i + αE (t) {Tρρ }R (x) + O(t),からトレース部分 {Tρρ }R (x) を消去すると、{Tµν }R (x) =1
1Uµν (t, x) +δµν [E(t, x) − hE(t, x)i] + O(t)αU (t)
4αE (t)

従って、もし係数関数 αU (t) と αE (t) のわせの t → 0 極限として得られるだろう鈴木

博 (九州大学)

t → 0 の振る舞いがわかれば、EMT は右辺の組み合

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

16 / 34

係数関数と繰り込み群
αU (t) と αE (t) の t → 0 での振る舞いを調べるために、展開式の両辺に
„
«
∂
µ
∂µ 0
を作用させる鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

17 / 34

係数関数と繰り込み群
αU (t) と αE (t) の t → 0 での振る舞いを調べるために、展開式の両辺に
„
«
∂
µ
∂µ 0
を作用させる
裸の量で書いた時に左辺は µ を含まないので、右辺に対しても
«
»
„
–
∂
1
αU (t) {Tµν }R (x) − δµν {Tρρ }R (x) = 0,
µ
∂µ 0
4
„
«
∂
αE (t) {Tρρ }R (x) = 0
µ
∂µ 0

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

17 / 34

係数関数と繰り込み群
αU (t) と αE (t) の t → 0 での振る舞いを調べるために、展開式の両辺に
„
«
∂
µ
∂µ 0
を作用させる
裸の量で書いた時に左辺は µ を含まないので、右辺に対しても
«
»
„
–
∂
1
αU (t) {Tµν }R (x) − δµν {Tρρ }R (x) = 0,
µ
∂µ 0
4
„
«
∂
αE (t) {Tρρ }R (x) = 0µ∂µ 0
正しい EMT は繰り込みを受けないので、結局
„
«
„
«
∂
∂
∂
µ
αU (t) = µ+βαU (t) = 0,
∂µ 0
∂µ
∂g
„
«
„
«
∂
∂
∂
µ
αE (t) = µ+βαE (t) = 0
∂µ 0
∂µ
∂g
を得る

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

17 / 34

係数関数と繰り込み群
上の繰り込み群方程式はqd ḡ(q)= β (ḡ(q)) ,dq

ḡ(q = µ) = gで定義される running couplingḡ(q) を使うと、係数関数が繰り込みスケールによらないと言っている：
αU (t)(ḡ(q); q) = αU (t)(ḡ(q 0 ); q 0 ).

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

18 / 34

係数関数と繰り込み群
上の繰り込み群方程式はqd ḡ(q)= β (ḡ(q)) ,dq

ḡ(q = µ) = gで定義される running couplingḡ(q) を使うと、係数関数が繰り込みスケールによらないと言っている：
αU (t)(ḡ(q); q) = αU (t)(ḡ(q 0 ); q 0 ).
そこで、繰り込みスケールとして、

q = µ,

1
q0 = √
8tと取ることもでき、これから√√
αU (t)(g; µ) = αU (t)(ḡ(1/ 8t); 1/ 8t)を得る

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

18 / 34

係数関数と繰り込み群
上の繰り込み群方程式はqd ḡ(q)= β (ḡ(q)) ,dq

ḡ(q = µ) = gで定義される running couplingḡ(q) を使うと、係数関数が繰り込みスケールによらないと言っている：
αU (t)(ḡ(q); q) = αU (t)(ḡ(q 0 ); q 0 ).
そこで、繰り込みスケールとして、

q = µ,

1
q0 = √
8tと取ることもでき、これから√√
αU (t)(g; µ) = αU (t)(ḡ(1/ 8t); 1/ 8t)
を得る
q → ∞ に対して running coupling は1
b1 ln[ln(q 2 /Λ2 )]ḡ(q) =
− 3 2
+O
2
2
b0 ln(q /Λ )b0 ln (q 2 /Λ2 )2ln2 [ln(q 2 /Λ2 )]
ln3 (q 2 /Λ2 )!

,√と振る舞う（漸近的自由性）ので、t → 0 で ḡ(1/ 8t) → 0 となり、係数関数は摂動論で評価できる
鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

18 / 34

摂動論による評価
1 ループまでで、次のようなダイアグラムを評価する必要がある

MS スキームでの繰り込まれた gauge coupling の言葉では
n
h √
i
o
αU (t)(g; µ) = g 2 1 + 2b0 ln( 8tµ) + s1 g 2 + O(g 4 ) ,o
1 nαE (t)(g; µ) =1 + 2b0 s2 g 2 + O(g 4 ) ,2b0
ここで

s1 = ln√π+7' 1.00986,
16

s2 =

109
b1
−
' 0.197831
176
2b02

係数関数は確かに UV 有限である鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

19 / 34

摂動論による評価
1 ループまでで、次のようなダイアグラムを評価する必要がある

MS スキームでの繰り込まれた gauge coupling の言葉では
n
h √
i
o
αU (t)(g; µ) = g 2 1 + 2b0 ln( 8tµ) + s1 g 2 + O(g 4 ) ,o
1 nαE (t)(g; µ) =1 + 2b0 s2 g 2 + O(g 4 ) ,2b0
ここで

s1 = ln√π+7' 1.00986,
16

s2 =

109
b1
−
' 0.197831
176
2b02

係数関数は確かに UV 有限である
上の繰り込み群の議論と組み合わせるとno√√αU (t) = ḡ(1/ 8t)2 1 + 2b0 s1 ḡ(1/ 8t)2 + O(ḡ 4 ) ,αE (t) =鈴木

博 (九州大学)o√
1 n
1 + 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 + O(ḡ 4 )2b0
格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

19 / 34

Master formula
従って、

1
1
√
=
− 2b0 s1 + O(ḡ 2 ),αU (t)ḡ(1/ 8t)2および

1
4αE (t)鈴木博 (九州大学)

=

i
√
b0 h
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 + O(ḡ 4 )2

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

20 / 34

Master formula
従って、

1
1
√
=
− 2b0 s1 + O(ḡ 2 ),αU (t)ḡ(1/ 8t)2および

1
4αE (t)

=

i
√
b0 h
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 + O(ḡ 4 )2以上の議論を合わせるとt→0+{Tµν }R (x) ∼

("

#
1
√
− 2b0 s1 Uµν (t, x)ḡ(1/ 8t)2

+

)
i
√
b0 h
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 δµν [E(t, x) − hE(t, x)i]
2

gradient flow で定義される局所積の t → 0 の振る舞いから正しく規格化された保存する EMT を抜き出す公式を得た

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

20 / 34

Master formula
従って、

1
1
√
=
− 2b0 s1 + O(ḡ 2 ),αU (t)ḡ(1/ 8t)2および

1
4αE (t)

=

i
√
b0 h
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 + O(ḡ 4 )2以上の議論を合わせるとt→0+{Tµν }R (x) ∼

("

#
1
√
− 2b0 s1 Uµν (t, x)ḡ(1/ 8t)2

+

)
i
√
b0 h
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 δµν [E(t, x) − hE(t, x)i]
2

gradient flow で定義される局所積の t → 0 の振る舞いから正しく規格化された保存する EMT を抜き出す公式を得た
右辺の量の相関関数は（原理的には）格子正則化で非摂動論的に計算できるはず鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

20 / 34

Master formula
従って、

1
1
√
=
− 2b0 s1 + O(ḡ 2 ),αU (t)ḡ(1/ 8t)2および

1
4αE (t)

=

i
√
b0 h
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 + O(ḡ 4 )2以上の議論を合わせるとt→0+{Tµν }R (x) ∼

("

#
1
√
− 2b0 s1 Uµν (t, x)ḡ(1/ 8t)2

+

)
i
√
b0 h
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)2 δµν [E(t, x) − hE(t, x)i]
2

gradient flow で定義される局所積の t → 0 の振る舞いから正しく規格化された保存する EMT を抜き出す公式を得た
右辺の量の相関関数は（原理的には）格子正則化で非摂動論的に計算できるはず
実際には

a

√

8t 

1
Λ

で t → 0 とする必要があり、実用性は自明ではない鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

20 / 34

数値計算による feasibility の研究 (ゲージ群 SU(2))

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

21 / 34

数値計算による feasibility の研究 (ゲージ群 SU(2))

配位生成：Wilson plaquette 作用、擬熱浴法（+ 過緩和法）

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

21 / 34

数値計算による feasibility の研究 (ゲージ群 SU(2))

配位生成：Wilson plaquette 作用、擬熱浴法（+ 過緩和法）

Wilson flow：3 次の Runge–Kutta 法 (Lüscher)、 = ∆t/a2 = 0.01、t/a2 ∈ [0, 6]

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

21 / 34

数値計算による feasibility の研究 (ゲージ群 SU(2))

配位生成：Wilson plaquette 作用、擬熱浴法（+ 過緩和法）

Wilson flow：3 次の Runge–Kutta 法 (Lüscher)、 = ∆t/a2 = 0.01、t/a2 ∈ [0, 6]
a (x) はクローバーで定義、微分は対称差分
field strength Gµν

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

21 / 34

数値計算による feasibility の研究 (ゲージ群 SU(2))

配位生成：Wilson plaquette 作用、擬熱浴法（+ 過緩和法）

Wilson flow：3 次の Runge–Kutta 法 (Lüscher)、 = ∆t/a2 = 0.01、t/a2 ∈ [0, 6]
a (x) はクローバーで定義、微分は対称差分
field strength Gµν

シミュレーションパラメター鈴木

latticeβNconfig

√
a/ t0

164
244
324

2.64
2.80
2.91

100
100
100

0.8971(63)0.5660(48)0.4125(40)

博 (九州大学)

a ' 0.036 fm for

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

√σ = 440 MeV

2013/09/27 @ KEK

21 / 34

数値計算による feasibility の研究 (ゲージ群 SU(2))

配位生成：Wilson plaquette 作用、擬熱浴法（+ 過緩和法）

Wilson flow：3 次の Runge–Kutta 法 (Lüscher)、 = ∆t/a2 = 0.01、t/a2 ∈ [0, 6]
a (x) はクローバーで定義、微分は対称差分
field strength Gµν

シミュレーションパラメター

latticeβNconfig

√
a/ t0

164
244
324

2.64
2.80
2.91

100
100
100

0.8971(63)0.5660(48)0.4125(40)a ' 0.036 fm for√
σ = 440 MeV

ここで、reference スケール t0 を、“エネルギー密度”E(t, x) =の期待値を用い1 aa
G (t, x)Gµν
(t, x)4 µν˛˛t 2 hE(t, x)i˛

t=t0

= 0.045

で定義した

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

21 / 34

数値計算による feasibility の研究
t/a2 の関数としての t 2 hE(t, x)i
0.12"coefficients16x16beta2.64" u 1:2:3"coefficients24x24beta2.80" u 1:2:3"coefficients32x32beta2.91" u 1:2:3

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

鈴木

博 (九州大学)

0

1

2

3

4

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

5

6

2013/09/27 @ KEK

22 / 34

数値計算による feasibility の研究
t/a2 の関数としての t 2 hE(t, x)i
0.12"coefficients16x16beta2.64" u 1:2:3"coefficients24x24beta2.80" u 1:2:3"coefficients32x32beta2.91" u 1:2:3

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0
0

1

2

3

4

5

6

この測定値と摂動論的評価 (Lüscher (2010))
t→0+ 3(Nt 2 hE(t, x)i ∼2 − 1)

128π 2hi√√ḡ(1/ 8t)2 1 + 2b0 c ḡ(1/ 8t)2 ,ここで MS スキームでは√
26
9c ≡ ln(2 π) +−ln 3 ' 1.60396,
33
22
√ 2
を合わせて、摂動論的な running coupling ḡ(1/ 8t) を評価してみると. . .
鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

22 / 34

数値計算による feasibility の研究√
摂動論的 running coupling ḡ(1/ 8t)2
8"coefficients16x16beta2.64" u 1:4:5"coefficients24x24beta2.80" u 1:4:5"coefficients32x32beta2.91" u 1:4:5

7

6

5

4

3

2

1

0

鈴木

博 (九州大学)

0

1

2

3

4

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

5

6

2013/09/27 @ KEK

23 / 34

数値計算による feasibility の研究√
摂動論的 running coupling ḡ(1/ 8t)2
8"coefficients16x16beta2.64" u 1:4:5"coefficients24x24beta2.80" u 1:4:5"coefficients32x32beta2.91" u 1:4:5

7

6

5

4

3

2

1

0
0

1

2

3

4

5

6

摂動論的表式に基づいたこの評価は、次の “effective Λ parameter” が（ほぼ）定数と見なせる領域で信頼できる

i−b1 /(2b2 )
√ 2
√
1 h
0
b0 ḡ(1/ 8t)2
e−1/[2b0 ḡ(1/ 8t) ]Λ(t) ≡ √
8t
#
"
√ 2
√ 4
b13 − 2b0 b1 b2 + b02 b3−b12 + b0 b2
ḡ(1/ 8t) −ḡ(1/ 8t)
× exp −
4b04
2b03
鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

23 / 34

数値計算による feasibility の研究

t/a2 の関数としての aΛ(t)0.06"coefficients16x16beta2.64" u 1:6:7"coefficients16x16beta2.64" u 1:8:9"coefficients24x24beta2.80" u 1:6:7"coefficients24x24beta2.80" u 1:8:9"coefficients32x32beta2.91" u 1:6:7"coefficients32x32beta2.91" u 1:8:9

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0
0

1

2

3

4

5

6

（理想的には）これがほぼ平らになっている領域の t/a2 を使うべきである鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

24 / 34

数値計算による feasibility の研究
極限の順序が重要鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

25 / 34

数値計算による feasibility の研究
極限の順序が重要
まず、flow time t を物理的単位で固定したまま、連続極限 a → 0 をとる（これで連続
Yang–Mills 理論での flow させた値が得られる）

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

25 / 34

数値計算による feasibility の研究
極限の順序が重要
まず、flow time t を物理的単位で固定したまま、連続極限 a → 0 をとる（これで連続
Yang–Mills 理論での flow させた値が得られる）
次に EMT を抜き出すために small flow time limit t → 0 をとる

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

25 / 34

数値計算による feasibility の研究
極限の順序が重要
まず、flow time t を物理的単位で固定したまま、連続極限 a → 0 をとる（これで連続
Yang–Mills 理論での flow させた値が得られる）
次に EMT を抜き出すために small flow time limit t → 0 をとる

t を物理的単位で固定という条件は
t 2 hE(t, x)i = 一定として指定できると考えられる

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

25 / 34

数値計算による feasibility の研究
極限の順序が重要
まず、flow time t を物理的単位で固定したまま、連続極限 a → 0 をとる（これで連続
Yang–Mills 理論での flow させた値が得られる）
次に EMT を抜き出すために small flow time limit t → 0 をとる

t を物理的単位で固定という条件は
t 2 hE(t, x)i = 一定として指定できると考えられる

t 2 hE(t, x)i = 0.045, 0.040, 0.035 の三通り（格子間隔もそれぞれ三通り）と 324 格子でt 2 hE(t, x)i = 0.030, 0.025 の場合を考えた
0.12"coefficients16x16beta2.64" u 1:2:3"coefficients24x24beta2.80" u 1:2:3"coefficients32x32beta2.91" u 1:2:3
0.045
0.040
0.035
0.030
0.025
"points.txt"

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

鈴木

博 (九州大学)

0

1

2

3

4

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

5

6

2013/09/27 @ KEK

25 / 34

数値計算による feasibility の研究
相関関数の例

hU01 (t, x)U01 (t0 , 0)i鈴木

博 (九州大学)

x = (x0 , 0, 0, 0)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

26 / 34

数値計算による feasibility の研究
相関関数の例

hU01 (t, x)U01 (t0 , 0)ix = (x0 , 0, 0, 0)

t が t 2 hE(t, x)i = 0.045（一番上の水平線）と t 2 hE(t, x)i = 0.040（上から二番目の水平線）の場合

0.000160.0003"correlators_sep16x16beta2.64t1.24" u ($1*0.8971):($2*2.384):($3*2.384)"correlators_sep24x24beta2.80t3.12" u ($1*0.5660):($2*94.94):($3*94.94)"correlators_sep32x32beta2.91t5.88" u ($1*0.4125):($2*1193):($3*1193)

0.00014"correlators_sep16x16beta2.64t0.92" u ($1*0.8971):($2*2.384):($3*2.384)"correlators_sep24x24beta2.80t2.20" u ($1*0.5660):($2*94.94):($3*94.94)"correlators_sep32x32beta2.91t4.04" u ($1*0.4125):($2*1193):($3*1193)

0.000250.000120.00020.00010.00015

8e-05

6e-05

0.0001

4e-05
5e-05
2e-05
0
0

-2e-05

0

2

4

6

8

10

12

-5e-05

14

0

2

4

6

8

10

12

14

t が t 2 hE(t, x)i = 0.035（三番目の水平線）の場合
0.00045"correlators_sep16x16beta2.64t0.65" u ($1*0.8971):($2*2.384):($3*2.384)"correlators_sep24x24beta2.80t1.43" u ($1*0.5660):($2*94.94):($3*94.94)"correlators_sep32x32beta2.91t2.55" u ($1*0.4125):($2*1193):($3*1193)

0.00040.000350.00030.000250.00020.000150.0001
5e-05
0-5e-05鈴木博 (九州大学)

0

2

4

6

8

10

12

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

14

2013/09/27 @ KEK

26 / 34

数値計算による feasibility の研究
相関関数の例

hU01 (t, x)U01 (t0 , 0)ix = (x0 , 0, 0, 0)

t が t 2 hE(t, x)i = 0.045（一番上の水平線）と t 2 hE(t, x)i = 0.040（上から二番目の水平線）の場合

0.000160.0003"correlators_sep16x16beta2.64t1.24" u ($1*0.8971):($2*2.384):($3*2.384)"correlators_sep24x24beta2.80t3.12" u ($1*0.5660):($2*94.94):($3*94.94)"correlators_sep32x32beta2.91t5.88" u ($1*0.4125):($2*1193):($3*1193)

0.00014"correlators_sep16x16beta2.64t0.92" u ($1*0.8971):($2*2.384):($3*2.384)"correlators_sep24x24beta2.80t2.20" u ($1*0.5660):($2*94.94):($3*94.94)"correlators_sep32x32beta2.91t4.04" u ($1*0.4125):($2*1193):($3*1193)

0.000250.000120.00020.00010.00015

8e-05

6e-05

0.0001

4e-05
5e-05
2e-05
0
0

-2e-05

0

2

4

6

8

10

12

-5e-05

14

0

2

4

6

8

10

12

14

t が t 2 hE(t, x)i = 0.035（三番目の水平線）の場合
0.00045"correlators_sep16x16beta2.64t0.65" u ($1*0.8971):($2*2.384):($3*2.384)"correlators_sep24x24beta2.80t1.43" u ($1*0.5660):($2*94.94):($3*94.94)"correlators_sep32x32beta2.91t2.55" u ($1*0.4125):($2*1193):($3*1193)

0.00040.000350.00030.000250.00020.000150.0001
5e-05
0-5e-05

0

2

4

6

8

10

12

14

いずれも格子間隔の関数としてきれいにスケールしており（今の場合、a → 0 極限は有限のはず）、特に 324 格子は連続極限に十分近いように思われる
鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

26 / 34

数値計算による feasibility の研究
そこで、324 格子の場合の相関関数|hU01 (t, x)U01 (t0 , 0)i|の x = (x0 = 5a, 0, 0, 0) と x = (x0 = 10a, 0, 0, 0) での値および t → 0 で期待される漸近的振
る舞い
n
o
√
√
Uµν (t, x) ∝ ḡ(1/ 8t)2 1 + 2b0 s1 ḡ(1/ 8t)2√を t の関数として対数プロットすると（ここで、ḡ(1/ 8t) は 2 ループの表式、
aΛ = 0.015–0.020 とした）
0.001

"UU_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*1193):($3*1193)"UU_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*1193):($3*1193)
0.0001*alpha_U_l(x)0.0001*alpha_U_u(x)0.0001*alpha_U_l_0(x)0.0001*alpha_U_u_0(x)0.0001

1e-05

1e-06

1e-07

鈴木

博 (九州大学)

0

1

2

3

4

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

5

6

2013/09/27 @ KEK

27 / 34

数値計算による feasibility の研究
そこで、324 格子の場合の相関関数|hU01 (t, x)U01 (t0 , 0)i|の x = (x0 = 5a, 0, 0, 0) と x = (x0 = 10a, 0, 0, 0) での値および t → 0 で期待される漸近的振
る舞い
n
o
√
√
Uµν (t, x) ∝ ḡ(1/ 8t)2 1 + 2b0 s1 ḡ(1/ 8t)2√を t の関数として対数プロットすると（ここで、ḡ(1/ 8t) は 2 ループの表式、
aΛ = 0.015–0.020 とした）
0.001

"UU_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*1193):($3*1193)"UU_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*1193):($3*1193)
0.0001*alpha_U_l(x)0.0001*alpha_U_u(x)0.0001*alpha_U_l_0(x)0.0001*alpha_U_u_0(x)0.0001

1e-05

1e-06

1e-07
0

1

2

3

4

5

6

t/t0 & 0.2 では高次の演算子の寄与（我々の議論で無視した O(t) の項）が支配的である

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

27 / 34

数値計算による feasibility の研究
同様の状況は、別の相関関数

˛˙¸˛˛ ∂µ Uµ0 (t, x)E(t0 , 0) ˛
0.0004"correlators_sep16x16beta2.64t0.65" u ($1*0.8971):($12*2.657):($13*2.657)"correlators_sep24x24beta2.80t1.43" u ($1*0.5660):($12*167.7):($13*167.7)"correlators_sep32x32beta2.91t2.55" u ($1*0.4125):($12*2892):($13*2892)

0.00030.00020.00010-0.0001-0.0002-0.0003-0.0004
0

2

4

6

8

10

12

14

についても見られる
0.001"dUE_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)"dUE_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)
0.0001*alpha_U_l(x)0.0001*alpha_U_u(x)0.0001*alpha_U_l_0(x)0.0001*alpha_U_u_0(x)0.0001

1e-05

1e-06

1e-07

鈴木

博 (九州大学)

0

1

2

3

4

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

5

6

2013/09/27 @ KEK

28 / 34

数値計算による feasibility の研究
同様の状況は、別の相関関数

˛˙¸˛˛ ∂µ Uµ0 (t, x)E(t0 , 0) ˛
0.0004"correlators_sep16x16beta2.64t0.65" u ($1*0.8971):($12*2.657):($13*2.657)"correlators_sep24x24beta2.80t1.43" u ($1*0.5660):($12*167.7):($13*167.7)"correlators_sep32x32beta2.91t2.55" u ($1*0.4125):($12*2892):($13*2892)

0.00030.00020.00010-0.0001-0.0002-0.0003-0.0004
0

2

4

6

8

10

12

14

についても見られる
0.001"dUE_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)"dUE_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)
0.0001*alpha_U_l(x)0.0001*alpha_U_u(x)0.0001*alpha_U_l_0(x)0.0001*alpha_U_u_0(x)0.0001

1e-05

1e-06

1e-07
0

1

2

3

4

5

6

残念ながら、現在のパラメターでの t は O(t) の項を無視できるほど小さくない鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

28 / 34

数値計算による feasibility の研究
E(t, x) に関しても|h∂1 E(t, x)U01 (t0 , 0)i||h∂0 E(t, x)E(t0 , 0)i|

および t → 0 での漸近的な振る舞い

E(t, x) − hE(t, x)i ∝o√
1 n
1 + 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)22b0の対数プロットは
0.01

0.01

"dEU_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)"dEU_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)
0.0001*alpha_E_l(x)0.0001*alpha_E_u(x)0.0001*alpha_E_l_0(x)0.0001*alpha_E_u_0(x)0.001"dEE_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)"dEE_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)
0.0001*alpha_E_l(x)0.0001*alpha_E_u(x)0.0001*alpha_E_l_0(x)0.0001*alpha_E_u_0(x)0.001
0.00011e-05
0.0001

1e-06

1e-07
0

1

2

3

4

5

6

1e-05
0

1

2

3

4

5

6

となる

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

29 / 34

数値計算による feasibility の研究
E(t, x) に関しても|h∂1 E(t, x)U01 (t0 , 0)i||h∂0 E(t, x)E(t0 , 0)i|

および t → 0 での漸近的な振る舞い

E(t, x) − hE(t, x)i ∝o√
1 n
1 + 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)22b0の対数プロットは
0.01

0.01

"dEU_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)"dEU_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)
0.0001*alpha_E_l(x)0.0001*alpha_E_u(x)0.0001*alpha_E_l_0(x)0.0001*alpha_E_u_0(x)0.001"dEE_wrt_t" index 0 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)"dEE_wrt_t" index 1 u ($1):(abs($2)*2892):($3*2892)
0.0001*alpha_E_l(x)0.0001*alpha_E_u(x)0.0001*alpha_E_l_0(x)0.0001*alpha_E_u_0(x)0.001
0.00011e-05
0.0001

1e-06

1e-07
0

1

2

3

4

5

6

1e-05
0

1

2

3

4

5

6

となる
現在の t の領域では高次の演算子の効果はかなり大きい鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

29 / 34

数値計算による feasibility の研究
それでも念のため EMT の保存則を調べてみることにして 324 格子で t/a2 = 0.71 の場合に、比˙¸∂µ Uµ0 (t, x)E(t0 , 0)h∂0 E(t, x)E(t0 , 0)iともし保存則が成立すれば期待される比
hi√b0
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)22
1√
− 2b0 s1ḡ(1/ 8t)2とを x = (x0 , 0, 0, 0, 0) の関数としてプロットすると3"ratios_sep32x32beta2.91t0.71" u ($1*0.4125):4:5-ratio_l(0.71)-ratio_u(0.71)

2

1

0

-1

-2

-3

鈴木

博 (九州大学)

0

2

4

6

8

10

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

1214

2013/09/27 @ KEK

30 / 34

数値計算による feasibility の研究
それでも念のため EMT の保存則を調べてみることにして 324 格子で t/a2 = 0.71 の場合に、比˙¸∂µ Uµ0 (t, x)E(t0 , 0)h∂0 E(t, x)E(t0 , 0)iともし保存則が成立すれば期待される比
hi√b0
1 − 2b0 s2 ḡ(1/ 8t)22
1√
− 2b0 s1ḡ(1/ 8t)2とを x = (x0 , 0, 0, 0, 0) の関数としてプロットすると3"ratios_sep32x32beta2.91t0.71" u ($1*0.4125):4:5-ratio_l(0.71)-ratio_u(0.71)

2

1

0

-1

-2

-3
0

2

4

6

8

10

12

14

何となくよい傾向も見えるが（特に符号に関して）うまくいっていない鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

30 / 34

数値計算による feasibility の研究

別の相関関数の比˙¸∂µ Uµ1 (t = 0.71a2 , x)U01 (t0 , 0)˙¸
∂1 E(t = 0.71a2 , x)U01 (t0 , 0)

については
3

"ratios_sep32x32beta2.91t0.71" u ($1*0.4125):2:3-ratio_l(0.71)-ratio_u(0.71)

2

1

0

-1

-2

-3

鈴木

博 (九州大学)

0

2

4

6

8

10

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

1214

2013/09/27 @ KEK

31 / 34

数値計算による feasibility の研究

別の相関関数の比˙¸∂µ Uµ1 (t = 0.71a2 , x)U01 (t0 , 0)˙¸
∂1 E(t = 0.71a2 , x)U01 (t0 , 0)

については
3

"ratios_sep32x32beta2.91t0.71" u ($1*0.4125):2:3-ratio_l(0.71)-ratio_u(0.71)

2

1

0

-1

-2

-3
0

2

4

6

8

10

12

14

やはりうまくいっていない. . .

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

31 / 34

まとめと今後の方向性

理論的には正しいはずだ鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

32 / 34

まとめと今後の方向性

理論的には正しいはずだが、現在のシミュレーションパラメターでは t が十分小さくなく、理論で無視した O(t) の効果
が大きく効いているようだ鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

32 / 34

まとめと今後の方向性

理論的には正しいはずだが、現在のシミュレーションパラメターでは t が十分小さくなく、理論で無視した O(t) の効果
が大きく効いているようだ
まずは、”tree level O(t) improvement” を試してみたい：上の表式で
aa(t, x)(t, x)Gνρ
Gµρ

˜
ˆ
a
a
a
a
a
a
(t, x)(t, x)Dρ Dρ Gνρ(t, x) − t Dσ Dσ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) + Gµρ
(t, x)Gνρ→ Gµρとすれば O(t) の項は tree level の範囲でキャンセルする。

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

32 / 34

まとめと今後の方向性

理論的には正しいはずだが、現在のシミュレーションパラメターでは t が十分小さくなく、理論で無視した O(t) の効果
が大きく効いているようだ
まずは、”tree level O(t) improvement” を試してみたい：上の表式で
aa(t, x)(t, x)Gνρ
Gµρ

˜
ˆ
a
a
a
a
a
a
(t, x)(t, x)Dρ Dρ Gνρ(t, x) − t Dσ Dσ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) + Gµρ
(t, x)Gνρ→ Gµρとすれば O(t) の項は tree level の範囲でキャンセルする。

one-loop improvement も不可能ではない（と思う）

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

32 / 34

まとめと今後の方向性

理論的には正しいはずだが、現在のシミュレーションパラメターでは t が十分小さくなく、理論で無視した O(t) の効果
が大きく効いているようだ
まずは、”tree level O(t) improvement” を試してみたい：上の表式で
aa(t, x)(t, x)Gνρ
Gµρ

˜
ˆ
a
a
a
a
a
a
(t, x)(t, x)Dρ Dρ Gνρ(t, x) − t Dσ Dσ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) + Gµρ
(t, x)Gνρ→ Gµρとすれば O(t) の項は tree level の範囲でキャンセルする。

one-loop improvement も不可能ではない（と思う）
さらに、brute force で格子をさらに細かく

324 → 484 → 644

t/t0 ∼ 0.12 → 0.054 → 0.030

することでより小さい t の領域を調査鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

32 / 34

まとめと今後の方向性

理論的には正しいはずだが、現在のシミュレーションパラメターでは t が十分小さくなく、理論で無視した O(t) の効果
が大きく効いているようだ
まずは、”tree level O(t) improvement” を試してみたい：上の表式で
aa(t, x)(t, x)Gνρ
Gµρ

˜
ˆ
a
a
a
a
a
a
(t, x)(t, x)Dρ Dρ Gνρ(t, x) − t Dσ Dσ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) + Gµρ
(t, x)Gνρ→ Gµρとすれば O(t) の項は tree level の範囲でキャンセルする。

one-loop improvement も不可能ではない（と思う）
さらに、brute force で格子をさらに細かく

324 → 484 → 644

t/t0 ∼ 0.12 → 0.054 → 0.030

することでより小さい t の領域を調査
もしくは、step size scaling のような巧妙な方法が可能か?

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

32 / 34

まとめと今後の方向性

理論的には正しいはずだが、現在のシミュレーションパラメターでは t が十分小さくなく、理論で無視した O(t) の効果
が大きく効いているようだ
まずは、”tree level O(t) improvement” を試してみたい：上の表式で
aa(t, x)(t, x)Gνρ
Gµρ

˜
ˆ
a
a
a
a
a
a
(t, x)(t, x)Dρ Dρ Gνρ(t, x) − t Dσ Dσ Gµρ
(t, x)Gνρ
(t, x) + Gµρ
(t, x)Gνρ→ Gµρとすれば O(t) の項は tree level の範囲でキャンセルする。

one-loop improvement も不可能ではない（と思う）
さらに、brute force で格子をさらに細かく

324 → 484 → 644

t/t0 ∼ 0.12 → 0.054 → 0.030

することでより小さい t の領域を調査
もしくは、step size scaling のような巧妙な方法が可能か?
なんとか EMT の保存則を確認したい鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

32 / 34

まとめと今後の方向性

理論的研究：より一般の理論への拡張：flow させた物質場は波動関数繰り込みを必要とする(Lüscher (2013))−1/2

χ(t, x) = ZχχR (t, x),−1/2χ̄(t, x) = Zχχ̄R (t, x)

Zχ |Lattice の決定を避けるには、演算子を例えば
χ̄(t, x)Dχ(t,
/
x)
3/2

t0

hχ̄(t0 , x)χ(t0 , x)iのように規格化して定義すればよい（t0 は任意の flow time で固定）
。この組み合わせは次元が 4の UV 有限量である

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

33 / 34

まとめと今後の方向性

理論的研究：より一般の理論への拡張：flow させた物質場は波動関数繰り込みを必要とする(Lüscher (2013))−1/2

χ(t, x) = ZχχR (t, x),−1/2χ̄(t, x) = Zχχ̄R (t, x)

Zχ |Lattice の決定を避けるには、演算子を例えば
χ̄(t, x)Dχ(t,
/
x)
3/2

t0

hχ̄(t0 , x)χ(t0 , x)iのように規格化して定義すればよい（t0 は任意の flow time で固定）
。この組み合わせは次元が 4の UV 有限量である
係数関数の摂動論による評価

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

33 / 34

まとめと今後の方向性

物理への応用? （熱力学量、粘性係数、共型場の理論、ディラトンの物理、真空のエネルギー、
...）

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

34 / 34

まとめと今後の方向性

物理への応用? （熱力学量、粘性係数、共型場の理論、ディラトンの物理、真空のエネルギー、...）
バルクな熱力学量、例えばいわゆる “trace anomaly”˙¸
ε − 3p = − {Tµµ }R (x) − − {Tµµ }R (x)やエントロピー密度ε + p = − {T00 }R (x) +1{Tii }R (x),3に関しては、我々の定義の連続極限は伝統的な方法 (Engels et al. (1982)) と一致するように思われる（要証明）

鈴木

博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

34 / 34

まとめと今後の方向性

物理への応用? （熱力学量、粘性係数、共型場の理論、ディラトンの物理、真空のエネルギー、...）
バルクな熱力学量、例えばいわゆる “trace anomaly”˙¸
ε − 3p = − {Tµµ }R (x) − − {Tµµ }R (x)やエントロピー密度ε + p = − {T00 }R (x) +1{Tii }R (x),3に関しては、我々の定義の連続極限は伝統的な方法 (Engels et al. (1982)) と一致するように思われる（要証明）
同様な方法で、gradient flow からカイラルカレントや SUSY カレントなどが作れないか?

鈴木博 (九州大学)

格子上のエネルギー運動量テンソル. . .

2013/09/27 @ KEK

34 / 34