国立防災科学技術セソター研究報告第27号

1982年3月

556．535

超音波により連続的に観測された洪水・潮汐等の流量変化の不定流としての挙動
木下

武雄

＊

国立防災科学技術セソター

Hydmu1ic

Behaviours

ofF1ood

Chame1s

F1ows

obsewedandby

Tida1Waves

U1trasonicinRiver

Methods

By

Takeo

Kinosita肋〃o〃1伽醐κ乃Cθ〃θげor〃∫伽〃〃舳〃o〃

Abst正act
Apaエabo1icunivaIentcu〃eofare1ationbetweenwateエstageanddischaエge，so−ca11edanH−Q

curve，isadequate

cause

used

thecasetheH・Q

curve

A1thoughahydrauhc

behaviours

for

Theof

discha工ge

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f1ow，forinstancemsteady

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anisnow，adai1yaflow

c1assic

observations

Japan．They

cuエves．Thea正eauthorbyKitakami

theRive正，which

Stationinpagates

downstエeam

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by

means

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ana1yzes

u1tエasonic

Fukawa

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foms1oops．

to

make

c1ear

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wide1yused

theultrasonicmethodbeenmuchmeasurecontinuous

dischaIges

without

using

stage

the

relation

betweenmethods．Fig．3showscounterclockwise

Tone

Riveエwhichforms

aformscounterc1ockwise

amp1itudes

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obseエvedby

theby

theequation（19）．The

u1t正asonicmethodFig．8，isexp1ained

information

based

asbyshowntheH−Q

loop，whi1eequations（16），（17）and（18）．Theasthewatercurveloops．Fig．5showsofanalysis

thec1ockwise1oops．A

di■ection

infloodhas

H−Q

c1ockwise1oop．The

i11ustrated

wate正management．Butapurposes．

measuエed

theobtaininganmmerica1ana1ysis

operational

imp正oved
H−Q

forin

out1etinaHand

Fig．7．The

andatTomeisQStationinat

theH−Q

cuエve

f1ow

which

which

exp1ained

canfmmH−Q

discharge

Oood

tida1wave

the1oops

discharge

have

beacurve

propagatesbycombining

ca1cu1ated

big1akeinequation（21）andissimi1arto

facts

us

with

bettersuch

thepro−bythiscanalso

beacase，as

upper

paエt

of

Fig．10．
The

newon

these

＊第1研究部
一1

providesmanagementsof国立防災科学技術セソター研究報告
wate正resouエces，especia11y

fo正f1ood

contmland第27号

1982年3月

wateエuti1ization

in1owerbasisns

ofbigriVeIS．

1．まえがき河道内の洪水の流れや潮汐の運動はよく知られているように摩擦とエネルギー勾配とが釣合つた形で流れる式で表わされ，それは，一般には開水路における不定流の運動の式と呼ぱれている．慣性項もつげ加えれぼ

1∂〃1∂。2∂亙n2舳1＝0g∂・2g∂。∂。 〃3

一一十一一十一十（1）として表現される．これはNavier−Stoksの式を簡略化したものである．
ここに〃：平均流速でQ／λ，：水位，Q：流量，λ：流水断面積で水位の関数，R：

径深で水位の関数，n：マニングの粗度係数，X1上流から下流への位置座標，t：時刻である．さらに重要な式は，divデ＝Oから導かれる連続の式である．
＿十∂■ ∂Q∂t ∂X。＿＿＿＝0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

一・・・・・・…

一・・・・・・・…

一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

一・（2）

厳密にはここのλは貯留断面積であるが，単純な河道では（1）式のλと同一とみてよい・この2式を連立して時間的に変動する洪水などを表現するのであるが，非線形偏徴分方程式であるため一般解は求めることが困難で，通常，数値解が求められる．その解法は著者らによつて任意形状の断面の河川における手法が開発されている．安芸敬一他（1955），伊藤剛（1971），木下武雄（1955），（1959），（1969）。（1），（2）両式によつて表現される水位Hと流量Qとには一義的な関係が存在しえないのは明らかであろう．4及び5．に例を示す．
他方，洪水予報などの洪水防御のため，また水資源開発のための流量の観測では，通常，年36回の流量観測及び洪水時の高水流量観測を行い，それによる水位Hと流量ρとの関係を曲線（通常H−Q曲線と呼び，Hを縦軸に，Qを横軸にとる．）

Q＝aH2＋bH＋C・・（dQ■d∬＞Oの部分のみを用いる）・（3〕にあてはめて，任意時刻に観測された水位からその時刻の流量に換算するという手順がとられている．（国土調査法水位及び流量調査作業規程準則・総理府令第75号（1954）及び建設台河川砂防技術基準（案）（1976））．ここではHとQとの間にHが増せぽQを増すという一価関数を想定している．

では（1），（2）式の関数との矛盾はどう考えれぱよいか。これまでにも各方面で連続観測に基づいた調査が行われて来たが，一般にそのような調査は多大の労力がいるため困難が多く，篤志の河川技術老が行って来ただけである．最近，超音波による河川流量の観測が普及して

超音波により連続的に観測された洪水・潮汐等の流量変化の不定流としての挙動一木下来たため連続的にデータが集積されるようになつた．それでこれらデータを並べてHとQの関係を明らかにし，河道内の不定流の特性を解析して洪水予報・洪水計画・水資源開発等に役立てるのが本報告の目的である．

ム

連続観測とその解析の必要性

河川の流量観測所の多くは，河状が整つていてある程度の河床勾配のついている所である．
河床勾配の零の所，合流点の直上流には流量観測所は設けない．なぜなら，（1）式において第1項の慣性項，第2項の速度水頭勾配がともに省略され，さらに水面勾配が河床勾配iに等しいと仮定できるところでは，1：n2〃1〃l n2QlQ1
一R・／・ ■丙■（4）とおけてこの関数は水位Hと流量Qとの一価関数としての関数を示し，（3）式のように近似できるので流量観測所を設けられるという意味である．換言すれぱ，水位・流速の変動を無視できる場合にはHとQとは一義的に関係づけられるということで，大洪水といえども河床勾配があつて水位の上下変動がゆるやかなら（3）又は（4）式で実用上十分ということである．これ

らの仮定や省略を認める条件は最近，徐々に変化して来ている．例えぽ河状の長期的な変化
でこれまで感潮河川ではないと思われていた所が潮位の影響をうけ，流量観測の精度が悪くなつて来たこと，洪水波の伝播が速くなり洪水波の立ち上りが急になつたこと，流量に対する杜会的な要求精度が高くなつたこと及びこれまでは半ぱあきらめていた感潮河川で低水管理のため流量を測らねぽならなくなつたことなどによる．それで流量観測を自動化して，つまり不定流的な流れの要素を連続的に考慮した形で流量観測をして，変化する要求に答えようとするものである．

3．観測手法正・1

各観測所での水位は通常の自記水位計によつて連続的に測られる．

θ

以下に述べる連続流量については超音波によつて測ら■れている．超音波による方法はすでに著者らが発表しているが，その原理を述べると次の通りである．Kinosita（1967），木下武雄（1968），本間仁（1971）．

図1のように川の両岸に斜めに1対の超音波送受波器乃，乃を水中に設置する．送受波器は一人二役で，ある微小時問には超音波パルスはT1から送波されて，水中を一3一

図1

超音波送受波器設置

説明図㎜g．1

BasicofinstaHat

ultrasonictransducers．

ion国立防災科学技術セソター研究報告第27号

1982年3月

下流へ伝わり，T2に受波されその伝播時間t1が測られる．次の徴小時間には，超音波パルスはT2から送波されて，水中を上流へ伝わり，T1に受波されその伝播時問t2が測られる・

t1二L／（C＋Vcosθ）……………………………………………………………

（5）

t2二L／（C−Vcosθ）・一・……………・・……・………………………・・・・・・………

（6）

ここでL：T1Tの距離，C：超音波の伝播速度で約1500m／s，V：超音波波線上の河川の平均流速，θ：流れとLとのなす角である．ここで時問差△tを作ると△・一・。一・1−2LV…θ／（C2−V2…2θ）
二1・2LVcosθ／C2…………………………………・……・・………

（7）となつて，Vを求めることが可能である．この方法には幾つかの改良が加えられ，それら改良型が実地に用いられている．例えぽt1，t2の逆数をとつてその差△（1／t）を作ると，・（1・・）一キ1一≒、一・・…1・・（・）となる．この式はCを含まないため音速Cの補正を加える必要がない点がすぐれている．深
町正雄他（1981），奥島基良他（1977）・

超音波による流速測定については在来からの回転式流速計による流速との比較は数多く行

われよい結果が得られていて，前掲報告に掲載されている．しかL，現在でもすべての洪水で観測可能とは言えない状態で，なお改良が必要である．例えぽ雑音の多い河川ではM系列信号を用いるとか，パルス第1波の立ち上りを鋭くするための送受波器における改良や・デWATERDISCHARGE

TOM正1HYDROMETRIC

r・・・…

STATION！ぺIT鶯、lIll；8舳ヘヘ．へし、＼）〉＼へヘヘ、。寸ぷ二1 ・・、、ヘ
ペ㌣㌻〈㌧〉へ＼一．．．．．．．．…の1・石・・。jc一ト

図2

耐甘220！015
北上川登米における洪水ハイドログラフ

Hydrographs

ofthewaterstage・…

and＿4

thedischarge

at25TomeinKitakamiRiver．

超音波により連続的に観測された洪水・潮汐等の流量変化の不定流としての挙動一木下

m

4．∫

WATER

STAGE
6！

H−q

CURVE

4．0．o

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3．5

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3．0

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arrow

shows

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e．

DISCHARGE

2．5

0

100

200

300

400

500

600
3m／5

図3北上川登米におけるH−Q曲線（1978年8月8日〜25日）
固氏3

Re1at ion between the water stageat Tome in Ki takami River、

andthedischargebytheu1trasonic

一タ処理手法における改良など多くの改良が加えられている．奥島（1981），Kinosi

methodta（I982）．

4

洪水・潮汐の水位・流量の変動のループの解析

洪水のハイドログラフの例を図2に掲げる．北上川登米観測所（河口より32km）1978年

8月7日〜25日のもので，図中H−Qと示されている流量は在来のHQ曲線による方法（図3に｛）H−Qとして示す）で，U1trasonicと示されているのが超音波にょる連続観測である．この洪水は大きくはないが，幾つものピークから成り，この水位と流量とで一Q曲線を作ると図3のようになつて，幾つもの反時計廻りのルーブを描く．超音波によるループの広がりは20㎞3／sにおよぶので，今後も調査をする必要があることを示している．ループの軸もピーク毎に異なっている．このような洪水のH−Qループ形成についての研究はすでに米田正文（1952）が実験的にも，（1）・（2）両式からも明らかにしている．すなわち，洪水波の伝播は△H／〈xのピークが最も早く到達し，V，Q，冴の順でそれぞれピークが到達

一5一国立防災科学技術セソター研究報告第27号

1982年3月ψ
3耐／5600

H400m、．へH

l−2．5l．、．︑＼」・＼．

、200戸・、戸、ノ

一．

／＼＼、一！

11、1＼

一2．O

＼＼．！
＿ユ、51＼

1、、ノ

由te

ユ7

図

1819

1．0

20

4 利根川布』1lにおける潮汐及び洪水ハイドログラフ（1981年5月17〜20日）

HydrographsofthewaterstageHandthedischargeQubythe

固g．4

methodatFukawa

inToneRiver，17−20

M乞yu1trasonic

1981．

H111
2．5

ノ■
2．0→ぐ

1．5

An＼arrowshow5time

1ap5e．

Qu

1．00200

3400600m／s

図5 利根川布川におけるH−Q曲線（198I年5月17日〜20日）固g．5

Re1at ion between the stage H and the discharge
at Fdkawa in Tone Ri∀er，17−20Mえy 1981．

一6・Qubytheu1t

rason

icmethod超音波により連続的に観測された洪水・潮汐等の流量変化の不定流としての挙動一木下

％一2

㌦1

〜％一1

㌔、

喝
埼汁1

鮎十1
図6

固g．6

河道モデル説明図

Schematica1pictureofariverchame1．

すること・従ってH−Q曲線が反時計廻りとなることである．1．で述べたr一義的な関係がない」という例である．

同じ洪水のハイドログラフでも図4は感潮河川であるため若干ちがう．利根川布川観測所（河口より76km）1981年5月17日〜20日の水位と超音波による流量である．ピーク付
近は単純であるが，裾のあたりの凹凸は潮汐の影響である．これの∬一Q曲線を作ると図5のようになつて時計廻りのループを描く．感潮湖の水位・流量等の概算法については木下武雄（1964）が解説したが，この点をもうすこし一般的に時計廻り，反時計廻りを解析する．

差分解を求めるときのように河道を必要な所で区切つて上流から下流へ向け番号をつけm番目の区問の水位を亙m，その区問から（m＋1）番目の区間への流量をQmとおく．図一6参照．
（1）式で慣性項・速度水頭勾配の項を省略するとHm−Hm＋1＿・2QmlQml△。

従って・互m−Hm＋1＝rmQm

ここにrm＝△x・n21Qm■μ・A・⑩…………………………………………・一・…・・・・・……・Φ1）

l／R4／3λ2とおいて，定数と仮定する．

（2）式については∂λ△X一＝一△Q∂tと考えて・。dH・一Q。一、一Q。
d同様にt・・十・午一・。一・。十1

ここでCmはm番目の区問の△x⑫（旭）x水面幅で貯留水面積である．

上流から洪水波が浸入する場合には（11）式のHmを与えて〜十1の変化の動向をみるのであ一7一

国立防災科学技術センター一研究報告第27号

1982年3月

るから（13）式を用いる．定性的に解の性質を明らかにするためにQm＋1＝Oとおく．
（u）血③式を連立して・。十1㌦午1…十・一・・（皿）

下流から潮汐波が侵入する場合には（］ユ）式のHm＋1を与えてHmの変化の動向をみるのであるから⑫）式を用いる．定性的に解の性質を明らかにするためにQm＿1＝0とおく（］ユ），⑰）式を連立してdHm

Cm「md。十Hm＝Hm・1（14），（15）両式において右辺にaG5）sinωtの振動を与える。両式は同じ形式なのでHm＋1，Hmを∬で代表させて書くと，

aH二．

（Crω）2＋1

smωt＋一Crωacosωt（Crω）2＋1（16）

この式を（皿）又は（13）に代入してQを求めると，

Qm＝C2rω2a．

Cωaslnωt＋

cosωt（Crω）2＋1（17）（Crω）2＋1（16）とG7）でH−Q関係を描くと反時計廻りの橋円になる．すなわち，上流からサイン曲線の洪水波が侵入するとH−Q関係は反時計廻りの楕円とたる．勿論洪水波はサイン曲線ではな
いし多くの仮定が介在するので実測値の形は図3のように崩れて，反時計廻りのループと言つた方がいいであろう．
（11）又は（13）に（16）式を代入してQを求めると

一C2rω2a．

一CωaQm＝（。rω）・十。smωt＋（。、ω）・十。cosωt
Discha工3（B）

H

9emm／s800

工．6

図7 常陸利根川日川におけるハイドログラフ（1978年1月23日〜24日）

600

1．27＼Qu

耐g7

HydmgraphsofthewaterstageHandthedischa㎎e
at Ni kkawa in Hitachi−Tone

River，

23−24Jan．

1978．

400

O．8

H200O．4

Qr018210r

一8一

Qu：Discharge by theu1trasonic method．
Qr：Discharge by rotati㎎
CurrentmeterS．

超音波により連続的に観測された洪水・潮汐等の流量変化の不定流としての挙動一木下（16）と（18）とでH−Q関係を描くと時計廻りの楕円になる

すなわち下流からサイソ曲線の潮汐波が侵入するとH−Q関係は時計廻りの橋円となる．振幅だけについて比をとると
Q：〃＝Cω：1

布川における概数をf犬入しよう．

図5の左下部のループからQの

（19）

Hm

1．2

全振幅100mシs，Hの全振幅0．5m，川幅200m布川より上流に1．OAn広がる感潮域5000m，潮汐周期125時間として（19）式に代入すると200㎡／s：1m÷140㎡／s：1arrowshows

ti皿e1apse・＼0．8となつてほ父合致していることが示される．
O．6

図5において布川のH−Q曲線が洪水波の侵入で次第に引きのぽされながらも反時計廻りのO．4

ψ

傾向を崩さないのは洪水波の侵い）ためと思われるが，ピーク（右上端）附近では若干時計廻

2000

入がゆるやかな（洪水のωが小さ

図4006003800m／s

8 常陸利根川日川におけるH−Q曲線（1978年1月23日〜24日）

耐g．8りの傾向も見せている点が微妙

Relation between the water stage and thedischarge by the u1trasonic method at Ni−kkawainHi

tachi一TbneR

iver，23−24J

an．1978である．このように水位及び流量調査作業規程準則によらず，時々刻々の流量を連続的に（こHLの場合は超音波で）測ることにより河川の洪水波などの不定流の特性が正確にわかり，洪水予報などに極めて有効であること

Hがわかつた、なお（正）式を導くに当つて，正式には初期条件を与えて解か△x

ねばならない．t＝0でH＝HiとすればQ6）式の代りに

図9湖と流出河道とのモデルの説明図
醐ふgSchemat ica1 picture of a big 1ake andan outlet．
9一

国立防災科学技術セソター研究報告第27号1982年3月

叶・1諜十1γt桁1（α、1。十1・・一・1（箒十1㎝一・⑳）

Hl

Hとせねばならないが，第1項は時間と共に減衰するので，（16）式ではこれを無視した．また（］2）

又は（13）でQm−1又はQm＋1をOではなく一定流量と仮定した方がより一般的である．その場合定数項を加えるのみで（14）又は（15）と同一形式の式になるので，簡単のために省略した．

5・大きい湖から流れ出す河川

Qの水位流量の解析

図10

固氏

10

図7には霞ヶ浦から流れ出す
常陸利根川・日川観測所におけ（21）式におけるH−Q曲線説明図
ed

Schematica1 stage−discharge re1ation express一by Eq．21．the mits a・e arbit・ary．

る水位・流量関係で，図中には超音波による流量の他に回転式流速計による流量も記載したので参考になるであろう．水位が下ると流量が増すという具合に，通常の全く逆になつていて，これをH−Q曲線にすると図8の通りになる．これは上流に霞ヶ浦があり，下流に常陸川水門があつてその開閉に応じて水位の上下がおこるので，このように変動する．水位が下ると流量が増すというモデルは図9のように考えれば説明がつくので，（1）式の省略形である

長方形断面水路のマニソグの式により

Q一⊥。μ（nパH）／②）△Xとおける・ここにB：川幅，〃：水深，HL：湖の水位（Hと同じ原点による），△x：HとHZとの観測所の間隔である・Hが浅くなりすぎれぼ（21）式は成立Lないが・QをHの関数として描くと図10のようになり，下部は通常のH−Q曲線と似ているが，上部は右下りすな
わち図8のようになる．つまりこの観測所のH一一Q関数を定性的に説明している．図8は僅かながらルー・プを描いていて，これは時計廻りなので第4章で述べた通り下流からの影響が効いていることを示している．ここでも超音波などで連続的に流量を観測すれば適正な水管理ができるという大きな長所を示している．

．10一

超音波により連続的に観測された洪水・潮汐等の流量変化の不定流としての挙動一木下

6、．まとめ以前から河道内の洪水の流れの伝わり方については多く研究されて来たが，洪水防御や洪水予報などに関してより高い精度が，しかもこれまで十分流量観測がなされなかつた河川下流域で要求されるようになり，そのような所の潮汐も含めた不定流の挙動についての解明が迫られていた．他方著老が強い期待を寄せていた超音波による河川流量連続観測も徐々に普及して来たのでそれらのデータを基に上記の興味に従つて稿を起こしたのがこの小文である．

超音波による流量観測でわかったH−Q曲線の反時計廻り又は時計廻りのループの解説もついたし，右下りのH−Q曲線の解説もついた．超音波流量観測でさらに不定流が日夜記録されており，後日，さらに解析をすすめたいと考えている．
謝辞

本報告を作成するに当り，超音波の流量観測のテストをした建設省北上川下流工事事務所，長年実施している霞ヶ浦工事事務所・禾搬川下流工事事務所にその資料提供に関して厚く感謝したい．また観測に協力している沖電気工業㈱及び超音波流量観測の改良に尽力された東京工業大学奥島基良教授・東京大学寺本俊彦教授にお礼を述べる次第である．
参考文

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F1ow

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pp．101〜111．
仇1．6，No．3，pp．96〜99．

F1owmeter，ICID7thCongress，Question

24−307〜24−318．

9）木下武雄（196③：超音波による河川流量の測定，土木技術資料Vo1．10，No．6，pp．17−22．

10）木下武雄（1969：差分解法による不定流計算の時間間隔のとり方，土木学会年次学術講演会講演

概要集第2部pp11）Ki

nosinit59〜60．

a，T．（1982）

Japan，IAHS：Improvementof

UItrasonic

F1owmeterinRivers

Symposim㎝Hydrometry，Exeter（投稿中）12）奥島基良，寺本俊彦，木下武雄，宮沢久（1977）：河川用超音波流速計，電子通信学会，pp．15〜26．

13）奥島基良，大槻茂雄，佐藤高根（1981）：水中超音波M系列相関法による広域平均流速測定の試み，

電子通信学会pp．21〜27，
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一11一

原稿受理）