平成17年12月26目

損保数理…1

損保数理（問題）
問題1．次の（！）から（10）について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを一つ選んで、解答用紙の所定の欄にその記号を記入せよ。

（70点）（1）ある自動車保険（保険期間1年）において、過去3年間に次のような料率改定を行った。

2002年10月

10％引上げ

2004年12月

10％引下げこの保険の過去3年間の契約年度ごとの契約台数、保険料、保険金は、下表のとおりである。

契約年度

契約台数

保険料

保険金

2002年度契約

15，00015，9009，500

2003年度契約

18，00019，80012，5002004年度契約

21，00022，20015，000

なお、各年度において契約内容は同一であり、払込方法は一括払とする。また、インフレーション率は考慮しなくてもよい。

①直近の料率水準のべ一スでの2002〜2004年度契約の損害率に最も近いものは、それぞれ下の選択肢（②と共通）のうちのどれか。

②2004年度の全契約台数に対する、始期目が2004年4月1目〜2004年11月30目の契約台数の割合に最も近いものは下の選択肢のうちのどれか。
（A）

60％

（B）

61％

（E）

64％

（F）

65％

（G）

66％

68％

（J）

69％

（K）

70％

（L）

71％

72％

（N）

73％

（O）

74％

（P）

75％

（I）

（M）

（C）

62％

（D）
（H）

63％
67％

（2）ある保険金杜は、下表の保険料構成となっている保険期問1年の商品を販売している。新たに保険期間2年と3年の長期一時払契約の販売を開始したところ、ある年の契約件数は各保険期間（1年、2年、3年）とも等しかった。このとき、保険料収入全体に占める純保険料の割合に最も近いものは、次のうちどれか。なお、予定利率は年2％とする。

純保険料
新契約費

60

維持費

15

代理店手数料等

24

利潤

615

120

計（営業保険料）
（A）

48．5％

（E）

52．5％

（B）

49．5％

（C）

50．5％（D）

51．5％

（F）

53．5％

（G）

54．5％

（H）

55．5％

一51川

平成王7年12月26目

損保数理…2（3）ある保険金杜において、事業年度ゴの商品Aの保険金均と、商品Bの保険金乃は、それぞれ下表のとおりであった。

事業年度ゴ

12

345

収入保険料（商品A、商品B合算）

300

300

300

300

300

商品Aの支払保険金γ

100

11O

9585110

商品Bの支払保険金γ7080555565

事業年度ごとのポートフォリオおよび保険料に変化はなく、「商品Aの保険金X」と「商品Bの保険金γ」の同時確率密度関数は、近似的に次のとおりと見なしてよいことが判明している。

舳一 q1A2（11、）H一・仔〕1刊刊…〃・・）
15

15

15

今・上記のパラメータμ1・μ・・σ1・σ・を・それぞれρ1＝ ｴ・ρ・一秒・δ言一言言（＾）2・15
δ；＝百看（・rρ・）2により・またρを・1とハの相関係数により推定することと楓
さて、この場合においてγ＝75が与えられたときの、商品A，B合算の損害率の期待値に最も近いもの
は、次のうちどれか。なお、xとγは負の値も取りうるが、負の値を除外して計算する必要はない。
（A）

58％

（B）

59％

（E）

62％

（F）

63％

（C）
（G）

60％
64％

（D）

61％

（H）

65％

（4）ある保険契約のポートフォリオにおいて、クレーム件数Mは表1の分布に従い、個々のクレーム類Xは表2の分布に従っているものとする。

＜表1＞

＜表2＞

κPr（M＝κ）

x

ム（x）

O

0．35

10．70

10．30

20．25

20．20

30．05

30，10

40．05

このとき、クレーム総額∫が4を超える確率に最も近いものは、次のうちどれか。
（A）

0．01

（B）

0．03

（E）

0．09

（F）

O．11（C）（G）

0．050．13

一52一（D）（H）

0．070．15

平成17年王2月26目

損保数理…3（5）ある保険のポートフォリオが、次のとおり与えられているものとする。

①被保険者ごとのクレーム件数は、ポアソン分布に従う。
②被保険者ごとにクレーム件数の平均は、異なる値をとる。

③1，000人の被保険者を無作為に抽出したところ、各被保険者ごとのクレーム件数は下表のとおりであった。

被保険者数ム

512

307

計

一3

1

クレーム件数n123

41

11

1，000

④クレーム類の平均は1，500、分散は6，750，000である。

⑤クレーム類とクレーム件数は、互いに独立である。

⑥95％の確率でクレーム総額が上下5％以内に入る場合に全信頼度を与える。
なお・

ﾃズ…（一ノ／・）舳・・1帆

このとき、クレーム総額の期待値に全信頼度を与えるために必要な被保険者数を、次の選択肢の中から選ぶとして、そのうちで最も小さいものはどれか。
（A）（E）1，000（B）

9，O00

（F）

3，000（C）

5，000（D）

7，000

11，000（G）

13，000（H）

15，000（6）ある保険金杜の自動車保険の料率は、年齢（A歳未満かA歳以上）と地域（B地域かC地域）の二つの危険標識で複合的に区分されている。この保険種目に関するある年度の実績統計が下表のとおりであったとして、この統計に基づきクレームコストの分析を行うこととする。

＜経過台数亙ヴ＞
B地域

C地域

計

A歳未満

凪1＝5万12＝10万1．＝15

A歳以上

亙21＝65亙。。＝20亙2．＝85計

亙．1＝70亙．2＝30亙．．＝100

B地域

C地域

計

A歳未満

C1王＝15

C12：45

C1．＝60

A歳以上

C2王＝585

C。。＝200

C2．＝785

計

C．1＝600

C．。＝245

C．．＝845＜クレーム総額Cウ＞

この複合リスクの構造が乗法型であるものと仮定して、二つの危険標識について料率係数をMinimum
Bias法により求めるとき、年齢区分のうち「A歳未満」に対応する料率係数x1の値に最も近いものは次のうちどれか。なお、地域区分のうち「C地域」に対応する料率係数y2は、それに対応する実績の相対クレーC．2／万．。

ムコスト指数42＝に等しいものと仮定する。

C．．／万．．
（A）

O．4

（B）

（E）

0．8

（F）

0．5
0．9．

（C）
（G）

O．6
1．0

一53一（D）
（H）

0．7
L1

平成17年12月26目

損保数理…4（7）事故発生年度から経過4年度までに支払が完了する保険契約について、事故年度・経過年度別支払保険金表および初年度支払件数が下表のとおり与えられているとする。このとき、分離法を用いて2004事故年度の最終累計支払保険金を推計した場合に、その値に最も近いものは次のうちどれか。
ただし、単位ロスティベロップメントは初年度支払件数で除したものを用いて求め、インフレーション率は各年度の単純平均を用いることとし、また支払保険金はその支払年度の物価水準によるものとする。なお、インフレーション以外の外部要因はないものとする。

＜事故年度・経過年度別支払保険金および初年度支払件数表＞
事故

初年度

N度

x払件数

1年

2年

2001

100

6，000

2002

150

2003

経過年度ごとの支払保険金

3年

4年

1，800

800

300

9，500

3，000

1，350

200

13，000

4，200

2004

300

20，000（A）

30，000（B）（E）

30，800

一30，200（C）

30，40031，O00（G）

31，200（F）（D）

30，600（H）

31，400（8）中途返れい金のある年払契約の積立型基本特約において、払戻積立金が負にならないために満たすべき関係式として正しいものは、次のうちどれか。ただし、満期返れい金をm、中途返れい金を沢、保険期間をn年、保険始期から中途返れい金の支払までの期間をノ年、予定利率をゴ、現価率を七十〕・予定消滅率・を考慮した現価率を1（一（1一州1帆（A）

R≦豚×φ固一∫×

1一φゴ

（B）

R≧〃×φ

1一φノ

一ノ×

φゴーφ蜆
（C）

R≦肌×φ×

1川φjφj一φ蜆（D）

φ∫一φ刑（E）

沢≦η7×φ■ノ× 1一φ

沢≧肌×φ×φLφ（F）R≧〃×φ

φLφ（G）

R≦肌×φ

1一φゴ

一ゴ×

1一φゴ

■j×

1一φφj一φ冊（H）

1一φゴ

R≧〃Xφ蜆一ゴ×

φ一φφ一φ（9）クレーム件数過程｛ル｝、≧oが次の条件を満たすとする。

①O≦s＜C≦m＜ソ⇒凡＿M。とM②P（札＝0）＝e−2＿M、は独立（0≦f≦1），P（川一M1＝0）＝e−5〔！一1〕（C〉1）が成り立つ。

③同一時刻に2件以上のクレームが発生することはない。

このクレーム件数過程において、1件目のクレームが発生する時刻を表す確率変数を石で表すこととする。ηの平均に最も近いものは、次のうちどれか。なお、必要があればe＝2，718として計算すること。
（A）

0．2（B）。

O．25（C）

0．3（D）

0．35（E）

0．4（F）

0．45（G）

O．5（H）

0．55

一54一平成17年12月26目

損保数理…5（10）ある商品の個々のクレーム額が平均100の指数分布に従っており、この商品1契約あたりのクレーム件数は平均O．01のポアソン分布に従っている。この保険を10，000件引き受けている元受保険金杜が、責任額無制限のELC再保険を購入することとした。再保険適用後のクレーム総額を∫とした場合、変動係数（一柄／剛が・・1・・以下になるようにエクセスポイントαを設定したレ。

次の選択肢の申からこの条件を満たすαを選ぶとして、そのうちで最も大きいものはどれか。なお、必要があれば石＝1，649として計算すること。
（A）

200（B）250（C）

300（D）350（E）

400（F）

450（G）

500（H）

550

問題2．ある保険金杜が、自動車保険契約者のポートフォリオの分布として、外部統計を参考にして次表のような仮定を置いた。

カテゴリー

一人当たり年間平均クレーム件数

契約者数の割合A（優良）O．260％

B（普通）

0．5

30％

C（その他）

210％

また、どのカテゴリーの契約者についても、クレーム件数はポアソン分布に従っているとし、クレーム1件あたりのクレーム額は定額で1とする。今、この保険金杜はこのポートフォリオに対し、2等級の無事故割引制度（等級0と等級1）の導入を考えており、年間でクレームが1件以上あれば等級1、クレームがなければ等級0に移行する。
このとき、次の谷間いに答えよ。なお、必要があればe一α2＝O．8187，e−0I5＝0．6065，e−2＝0．1353として計算すること。

（18点）（1）定常状態において等級0の契約者のうち、カテゴリーA（優良）の契約者の割合を求めよ。答えはパーセント単位で、小数点以下第2位を四捨五入して小数点以下第1位まで求めよ。

（2）定常状態において等級0の契約者の平均クレーム件数と、等級1の契約者の平均クレーム件数をそれぞれ求めよ。答えは小数点以下第4位を四捨五入して小数点以下第3位まで求めよ。
（3）それぞれの等級について、（2）で求めた平均事故件数にクレーム額単価1を乗じた金額をそれぞれの等級の純保険料として課すこととした。一方において、定常状態において等級0の契約者に〃件のクレームがあった場合に、Buh1mamモデルにより推定した翌年度に課すべき純保険料を考える。このとき、〃が何件以上のときに、前者の純保険料に比べて後者のBuh1mamモデルによる純保険料の方が大きくなるかを求めよ。

一55一平成17年12月26日

損保数理…6
間題3．時刻7でのサープラスσ、が次の形で表せるLmdbergモデノレを考える。
0「＝〃。＋（1＋θ）λμC一∫、（7≧0）

ここで、mo：期初サープラス（≧O）σ：時刻。時点でのサープラス（1＋θ）λμf：時刻ぽでの収入保険料（θ（＞O）は安全割増率）∫：時刻ぽでの支払保険金であり、8、は複合ポアソン過程に従う。また、㍍のポアソンパラメーターはλであり、個々のロスは平均がμの指数分布に従うものとする。このとき、次の問いに答えよ。

（12点）（1）調整係数Rを求めよ。
（2）期初サープラスが〃。のときの破産確率を求めよ。

以上

一56一

損保数理（解答例）
問題1．

（1）

①

（テキスト1−5ぺ一ジ参照）

2002年度契約（E）

2003年度契約（K）

2004年度契約（M）

2002年度契約の上期の契約台数の割合をプとし、2004年度契約の4月〜11月の契約台数の割合を∫とする。また、現在の料率水準での1台あたりの保険料単価をγとする。このとき、下記の式が成り立つ。

1010
1015，000x＿．＿C＋15，000x＿（1イ）＝15．900
11 9910
2003年度契約．18，000γ一＝19．800
910
2004年度契約：21，000x−s＋21，000x（1一∫）＝22．200
99
2002年度契約

これを解くと、x＝19，800・一／18，000＝0．99となる。よって、各年度の損害率は以下のとおりとなる。

102002年度契約の損害率
2003年度契約の損害率
2004年度契約の損害率
②

9．500

＝0．63915，000×0．99

12500
18，000x0．99＝0701

15．000＝0．721
21，000x0．99（B）

γ＝0．99として①におけるCと∫を求める。

C＝

6，000
15．000＝O．4

22，200＿21，000×0．99∫＝

21，000x0．99×（10／9＿1）

（2）

＝0610

（G）

（テキスト1−38ぺ一ジ参照）

1年契約の営業保険料をPとし、その営業保険料に対する純保険料、新契約費、維持費、代理店手数料等、利潤の割合をそれぞれρ，α，β，θ，6とする。また、γ＝1とすると、

1＋0，02

1年契約の純保険料十2年契約の純保険料十3年契約の純保険料
1年契約の営業保険料十2年契約の営業保険料十3年契約の営業保険料
P・ρ十P・ρ・（1＋ツ）十P×ρ・（1＋叶γ2）。。。×α・（β・ρ）（1・γ）。。×α・（β・ρ）（1…γ2）

1一（θ十δ）

1一（θ十6）

ρ／1・（1・ソ）・（1・叶・2）／

1．狂、）・、宇、）／1・（1州・（1・叶ノ）／

一57一

1嵩十1〕

ρ（3＋2γ十γ2）3αβ十ρ
十（3＋2峠ソ2）

1一（θ十δ）1一（θ十δ）

1

ここで、ρ＝0，5，α＝0，125，β＝0，125，θ＝0．2，δ＝0．05，ソ＝であるから、それぞれを代入する

1＋0．02と、（上式）＝O．5448．．．．．

（3）

（D）

（テキスト2−5ぺ一ジ参照）

題意より、各パラメータは以下のとおり推定される。

15 ：100・ρ・＝抄一65・δ三一秒ドρ1）㌧90・δ；亨（・rρ・）2一…
151515ρ1＝百喜・5
Σ（・r100）（γr50）
β＝7三15。雨9

一方、商品Bの保険金の確率密度関数g（y）は、A。（11、）ト牛・仔〕／l1芦〕・／・升・（1）一∬㎞

一走榊／（y刊㌦ト1。（11、）／／γ利一ρ／≒外一法、榊／（y判となる。したがって、γ＝yが与えられた場合の商品Aの保険金期待値は、

万（xlγ一γ）一∫二州・）加∫二背チ）一㌧片十（11、）／H一ρ／≒廿

一㌧Xア／。（1．≒十／舳・1廿
y＿μ2＝μ1＋ρσ1

7σ2970＝100＋＿（75＿65）＝＿9970

よって、損害率は

一十75
9＝60，925．．．

300

一58一9（4）（テキスト2−16ぺ一ジ参照）（D）

畳み込みを用いて∫の分布を計算する。
Pr（M＝n）

0．10

0．20

0．30

0．35

O．05

O

1234x

ブ（・）

プ1（κ）

プ2（γ）

プ3（・）

プ4（γ）

O1

n：

1

0．70

2

0．25

0．49

3

0．05

0．35

0．343

O．1325

O．367540．2401

ム（x）

凡（x）

O．35

0．35

0．21

O．56

0．173

0．733

0．1193

O．85230．075255

0．927555

これより、Pr（∫＞4）＝1＿凡（4）＝1＿0．927555＝0．072445となる。

（5）

（E）

（テキスト3−23ぺ一ジ参照）

クレーム件数をM、クレーム類をxとして、クレーム総額を∫とすると、0×512一ト1×307＋…

亙（∫）＝万（M）亙（X）＝

十5×6

1000

×1500＝1125γ（∫）＝亙（M）γ（X）2＋γ（M）亙（X）2−1・・・・・・・・…ぴ×512＋ゴ1蒜十．十♂×6…〕・1・・ぴ＝7158375
被保険者〃人のクレーム総額をrとしたときに、P（1r一万（τ）1＜O．05万（r））≧O．95となればよい。
万（τ）＝泌（∫），γ（「）＝nγ（8）であるから、・（1ト州・1・・酬）一・／■鴇）1・0篇∫）〕・素ズ小・）みとなり、よって、0・05泌（∫）≧1・・となる。

面
したがって、全信頼度を与えるために必要な最小限の被保険者数は、次のようになる。
・・（6）^器1（蒜一説r71鷺1；5一…1（B）（テキスト4−12ぺ一ジ参照）

C
リスク区分ごとのクレームコストは伯＝ユおよび相対クレームコスト指数

馬R㌃＝⊥を計算すると、

尺．

＜クレームコスト沢σ＞

B地域

C地域

計

A歳未満

3．000

4．500

4．000

A歳以上

9．000

10．0009．235

計

8．571

8、．167

8．450

一59一

＜相対クレームコスト指数巧〉

B地域

C地域

計

A歳未満

0．355

0．533

O．473

A歳以上

1．065

1．183

1，093

計

1．014

0．966

L000

相対クレームコスト指数の推定値をろとしたときに、MinimumBias法における満たすべき条件は、次の連立方程式のようになる。
万11・（ηド序1）十五1・・（η。一存。）＝0万・1・（り1一ち1）十万・ガ（物．一ち。）＝0万11・（ηr序1）十万。1・（巧rろI）＝0万1・・（巧・一存・）十万。。・（巧ゼろ。）二0

この連立方程式において、万ポ（巧一房）をそれぞれ変数とみなして求めると万1パ（〜一序1）＝亙。。・（ろゼろ。）＝C万1・・（η・一名・）＝万。1・（り1一ろ！）＝一Cとなる。ここでCは定数とする。

さて、この複合分類リスクの構造が乗法型であることから、各相対クレームコスト指数の推定値は料率係数を用いて表すと、次のようになる。
房＝・f・y、（1，ブ＝1，2）

x1×yl＝η1・C

亙王1C
X2×y2＝巧2一一万22C

X1Xy2＝乃2＋一万I2C
X2×ハ＝巧2＋一万22／・一音〕ト・一￡〕一／1・・景〕／11・云〕／・・…一ξ〕／1・1・・十／・・…十｛〕／1・・…品〕

5三2。・2−／

芋3・0祭5〕・・・・…1・1・・一1，165…／1苧・0113〕・・α・…1…

／5三2．1，165〕・㌧／1ぎ3・0115＋1等5・0器3〕・・（・・・…11・・一・・・…1・…）一・C＝479，765±479．7652＋4×11×191，984
2×11

C＝＿0，396，44，011
C＝一0，396の場合は、xl＝0，510，x2＝1，245，ハ＝0，850となる。

一60一

C＝・44．0王1の場合は、γ1＝5，107，x2＝一1，053，y1＝1−1，653となり、x2とハが負数で不適。

したがって、xl＝0．510

（7）

（B）

（テキスト5−30ぺ一ジ参照）

まず事故年度ごとに経過年度ごとの支払保険金を初年度支払件数で除する。

事故

初年度

N度

x払件数

1234

2001

100

60，0

18．O

8．OO

3100

2002

150

63．3

20．O

9．OO

2003

200

65．O

21．0

2004

300

66．7

経過年度ごとの支払保険金分離法を用いるために、脅をノ経過年度の支払比率と定義し、事故年度に拘りなく一定と仮定する。また、入此をインフレーションなど外的要因の影響を受けた損害額の指標で、事故年度および経過年度によらずに支払年度κで定まるものと定義する。さらに、ゴ事故年度のブ経過年度のクレームコストの期待値が、り．λ〜で表されると仮定する。

このとき、以下の関係式を得ることができる。

乃十巧十狛十η＝1入xη十λ2×汽十λ3×汽十λ4xη＝255λ。×り十λ。×狛十八×巧＝59．O
λ3×殆十λ。×均質17．0λ4x々＝3．00
λ工×汽＝60．O

λ2×巧十λ2xη＝81．3
λ3×狛十λ3×巧十λ3xη＝93．0
λ4×η十λ4×巧十λ4×ろ十λ4×η＝99．7
これよりパラメータり，λを求めると、次のようになる。

η竺O．678

巧＝0，205

巧＝O．087

伯＝0，030

入＝88．5λ。＝92．1

λ3＝95．9

入＝99．7

次に、各年度のインフレーション率は次のとおりである。

経過年度1→2：1．04＝92．1／88．5
経過年度2→3：1．04＝・95．9／92．1

経過年度3→4：1．04＝99．7／95．9

将来：1．04
よって、2004年度の経過年度2の支払保険金：99．7×1．04×O．205＝21．3
2004年度の経過年度3の支払保険金：99．7×1．04×1．04×O．087＝9．4
2004年度の経過年度4の支払保険金：99．7X1．04×1．04×1．04×O．030＝3．4
2004年度の累計支払保険金：300×（66．7＋21．3＋9．4＋3．4）＝30，240

一61一

（8）

（A）

（テキスト6−33ぺ一ジ参照）

第。保険年度末の払戻積立金は、・一（・・グ・げ）・1三多

1・1・一（肌・州・グ）・1三多沢・1ハf・1、γは、c＝ノのときに最も最小になるので、そのときに負にならなければよい。よって、

γ一（・・グ・ψ）・1ミ多・・1戸1・・・・／111多〕・附・l1宗・・／午チ〕・肌・叶1；
1一φゴ

R≦〃×φ掘一∫×φj一φ蜆

（9）

（F）

（テキスト7−16ぺ一ジ参照）

τ〉1において、P・（MF0）＝P・（MrM1＝0，MFO）＝P・（川イ1＝0）P・（M1＝0）＝e−5（一1〕、e−2x1＝ゼ5十3となるので、オペレーショナル・タイムをτ（c）とすると、

τ（1）一一1・…（札一・）一／：1，311ξ二≦1）となり・M二一㌦はポアソン過程11従い…（・1一・）今1（・一・…）が成1立つ（テキス／・一1・ぺ一ジ、定理7，2）。したがって、∫1＝τ（η）はガンマ分布r（1，1）、すなわち平均1の指数分布に従うので、

珊一万（1一工（・1））十■（・）ゼ必一∫2〆必ゴ音3州

11
1 3＝一（1−3e−2）十一（3ゼ2＋3ゼ2）＝一一一e−2252

10＝0，459．．．

（10）

（C）

（テキスト8−12ぺ一ジ参照）

クレーム類の分布をx，ポートフォリオ全体でのクレーム件数の分布をMとすると、
亙（M）：グ（M）：0．01×10000＝100であるから、7（X）亙（M）十万（X）2γ（M）

Cγ＝

亙（M）万（x）

一河一万（・）州1柄万（M）万（X）

万（M）亙（X）となる。また、

一62一10亙（X）

万（・）一∬11。…1−11。ト・一ヅ11。…1−11。〕欣^−11。〕11二

P−11。〕llll・∬…／−11。トー一…

一γ…

^−11。〕llll・一1・・…1．1。

］^。1。〕「1工＝α

十α 一…

一γ…
工＝o

一^一、1。〕一1・・…／。1。〕・1…一…1．1。〕一1・・／1一…／−11。〕〕
一一 黶c

州一∬品…／■1。ト・一2ズ11。…／−11。〕汰
一・2

c／−11。〕l1二・∬・・…／。1。ト・一2一…／−11。〕1111

c／一、1。〕1111・一・・・・…／一、1。〕11二
一・2

十∬200ex・〔。1。ト・一2一…1−11。〕1111

一・2…

^−11．1111・一・・・・…1一、1。〕llll^−11。〕llll・一2一…／。1。〕1111
・一・・・・・…

一一一・…

P−11。ト…一…／−11。〕一・・・・・…／■1。〕・・・・…一2…1■1。〕
P−11。〕一・・・・・…1■1。〕

一・・…一…一…となるので、↓＝1，649を用いてこれを計算すると、

α

亙（x）

亙（X2）

C7

150

77，698．．

8，849，148．、

0．！2107，．

200

86，476．．

11，885，372．．

0．！2607．．

250

91，798．．

14，258，905．．

0．13008．．

300

95，026．．

16，021，072．．

0．13320．．

350

96，984．．

17，285，450．．

0．13556．．となり、300万円以下のエクセスポイントが必要であることが分かる。

一63一問題2．

（テキスト3−30ぺ一ジ参照）（1）平均事故件数がλの場合、事故が発生しない確率はe■λ、1件以上事故が発生する確率は1−e一λである。したがって、推移行列nは、事故後等級0

事故前等級01e一λ1＿e一λ1e■λ1＿e■λとなり、定常状態での各等級にいる割合を表すベクトルをp＝（ρ1一ρ）とすれば、p＝pnより、p＝（e一λ1−e■λ）となる。したがって、各カテゴリーの平均事故件数をそれぞれλノ，λ、，λ。、契約者全体に対する割合をそれぞれル，ハ，ρcとおけば、定常状態において等級0にいる人数の契約者全体に対する割合をgとすると、
ザρノ・一λ1・ρ五・一λ・・ρ。・■んであり、うちカテゴリーAの割合はρノe一λ■であるから、求める割合をgノとすると、〃一〜60％x戸2の＝ 〃一λ一十ρ。・■λ月十ρ。・一北60％・ゼ。・2＋30％・・■o・5＋10％・。一2＝0．49122＝＝71．53．％0．6867となる。したがって、答えは71．5％となる。

（2）定常状態において等級0にいる契約者のうち、カテゴリーBおよびCの契約者の割合をそれぞれの，％とすると、（1）と同様に
gB＝〃一λ蜆0．18195＝g
9c＝ρ。・斗0．0135＝g＝26．49％

0．6867＝1．97．％

0，687となる。したがって、定常状態における等級0の平均事故件数をμoとすると、
μo＝λノgノ十λBg月十λcgc＝0．2×71．53％十0．5×26．49％十2x1．97％＝0．3149．．．＝0，315

ポートフォリオ全体の平均事故件数はO．2×60％十0．5×30％十2×10％＝0．47であるから、定常状態における等級1の平均事故件数をμIとすると、
gμo＋（1＿g）μ1＝0．47より、

μ1＝0．47＿0．6867×0．3149

1＿0．6867＝08099＝0．810（3）等級0にいる契約者のうち、平均事故件数がθの契約者の事故件数Xはポアソン分布に従うことから、その平均と分散は、万（xlθ）＝θ，γ（xlθ）＝θである。また、θの分布は、

一64一Pr（θ＝0．2）＝の＝71．53．、。％Pr（θ＝0．5）＝％＝26．49＿％

Pr（θ＝2）＝9c＝1．97…％である。したがって、
亙（γ（X■θ））＝万（θ）＝0．3149＿γ（万（XIθ））＝γ（θ）＝0．0744であるので、馳h1mamモデルによる信頼度は、
1Z＝万（γ（x1＋1＝lθ））1＋γ（万（X■θ））＝019110．31490．0744となる。よって、〃件のクレームがあった場合の翌年に課すべき純保険料は、
1×（Z．m＋（1＿Z）．0．3149）＝0．1911n＋0．8089×0．3149＝0．1911n＋0．2547
よって、平均事故件数による翌年度の純保険料は、（2）より、n＝0のとき0．3149、〃≧1のときO．8099である。

n＝0のときは、0．1911×O＋0．2547＜0．3149より、平均事故件数による純保険料の方が大きい。

m〉1のとき、B舳ma㎜モデルによる純保険料の方が大きくなるならば、
O．1911〃十0，255〉0．8099
m＞2．90．．．

より、nが3件以上のとき、B舳mamモデルによる純保険料の方が大きくなる。

問題3．

（テキスト7−55ぺ一ジ参照）（1）調整係数沢は、λ十（1＋θ）λμr＝λMx（7）ただし、μ＝万（X），Mx（7）＝1トμrの正の解である。

入λ十（1＋θ）λμ7＝1一μrが成り立つことから、これを7で解けばよい。
1（1＋θ）μ7＝

11一μγ
11＋θ＝

μ7＝11一μ7

よって、7＝θ11＋θとなり、これは正であることが分かる。

（1＋θ）μ

したがって求める調整係数は、沢＝θである。

（1＋θ）μ（2）期初サープラスが〃。のときの破産確率をε（〃。）としたとき、破産確率ε（〃。）は次のようになる。
一兎阯。

eε（〃。）二−R＝

eo

万（・一沢σT1τ＜∞）互（・舳）1τ〈∞）一65一よって、r＜∞という条件の下での一σrの分布を求める。
P（一ひ。＜巾＜・・）＝1−P（一σ。＞γ1τ＜・・）であり、右辺の第2項を破産直前のサーフラスーσ。．δおよび、破産時点rで起こったクレーム類Xを用いて表現すれば、P（一σ・〉y1τ＜・・）＝P（σ。＜一ylτ＜・・）

一∬・（σ・一δ一・）P総ボ）肋⊥∬！汰

一ズ・（ぴ一）午励ル、・一万ゐσr一＾十y！
一一X−e μ一八σ・一1一・）μ1．σ…
一×一e㌃

μ一〃（σ・一1一・）・・一7励＿∠＝eμとなるので、＿∠P（一σ・＜ylr＜・・）＝1一・μとなり、確率密度関数は、

1ユP（一σ。一γ1τ＜・・）＝一・μμとなる。よって、期初サープラスmOのときの破産確率ε（〃O）は、次のようになる。
一〃。

eε（〃。）＝一〃。
e＝万（・一Rσ『lr〈・・）万（・月（■σ「〕1τ＜・・）θ

■｛1＋θ〕μ伽。

o一（1＋θ）μeθ∬・（eyoo十θ）十φナ（一1（1・1））・一μ（缶θ）

O
一＿一θ阯。

e（1＋θ）μ＿1

一一・μ（1＋θ）

θ1＋θ1 ｛1＋9）μ一 吻eμ一66一