ローレンツ型IIB行列模型における宇宙膨張の数値的研究
西村 淳 (KEK & 総研大)研究会“離散的手法による場と時空のダイナミクス”
2013年9月27日～30日
KEK, つくば1. 序
素粒子論

宇宙論

Standard Model

現象論的模型の確立

SM-likeなヒッグス粒子の発見（＠ LHC）

実験や観測

ヒッグス粒子フェルミオン(3 世代)
ゲージ群の起源は何か？
階層性問題

基礎的理解の欠如

深刻な「naturalness」の問題

インフレーションとビッグバン理論
CMB (WMAP, PLANCK)
銀河の構造形成
元素合成
インフラトン及びそのポテンシャル
初期条件
暗黒物質、暗黒エネルギーの起源は何か？
宇宙項問題

これらすべての問題が超弦理論によって解けるかもしれない！
ストリング現象論

ストリング宇宙論

超弦理論における最も基礎的な問題
時空の次元(整合性から10次元の時空が要請される。)

従来のアプローチ:

 余剰次元をコンパクト化する
無限個の 摂動論的真空時空の次元
ゲージ対称性
様々な物質場 (世代数) D-ブレーン(ある種の非摂動的効果を表す)

ストリング現象論とストリング宇宙論双方の内容を豊かなものにしたが。。。

交差 Ｄ-ブレーン模型
D-ブレーン・インフレーション
フラックス・コンパクト化。。。

あまりにも多くの模型が現れ、予言能力なし !!!

しかし、こういった見方が主として摂動論的な超弦理論の研究に基づくということを忘れてはいけない。
せいぜいD-ブレーンbranesの存在によって表される程度の非摂動効果しか考慮されていない。

超弦理論を完全に非摂動的な枠組みの中で調べたら、全く新しい見方が現れてくるのではないか。
c.f.) QCDにおける格子ゲージ理論
Cクォークの閉じ込め, ハドロンの質量スペクトル, etc.
(これらのことは、摂動論では決して理解することはできない!!!)タイプ IIB 行列模型 (石橋, 川合, 北澤, 土屋, 1996)
超弦理論の非摂動的定式化（10次元のタイプtype IIB超弦理論に基づく）
 摂動論的定式化とのつながりは、10次元のタイプIIB超弦理論を考えることにより、直接見える。
worldsheet action,light-cone string field Hamiltonian, etc.
 “one-matrix model”（ 非臨界弦の非摂動的定式化として確立）の自然な拡張
行列模型に現れる Feynman diagramを弦の世界面とみなすM

 弦理論の双対性の背後に存在する「唯一の理論」

IIA

Het E8 x E8IIB

Het SO(32)に対する非摂動的定式化と期待される
I(摂動論的に定式化される他のタイプの理論はタイプ IIB 行列模型の摂動的真空として表現されるだろう)

タイプIIB行列模型

SO(9,1) 対称性

エルミート行列ローレンツ計量を用いて添え字を上げ下げする。

Wick 回転ユークリッド型の行列模型 SO(10) 対称性

ローレンツ型 v.s. ユークリッド型
15年もの間、誰もローレンツ型の模型に手をつけなかったのには理由がある。

逆符号！
極めて不安定な系

ひとたびユークリッド化すれば,正定値！
flat direction () は量子効果で持ちあがる。
Aoki-Iso-Kawai-Kitazawa-Tada (’99)

ユークリッド型の模型は カットオフなしでwell defined
Krauth-Nicolai-Staudacher (’98),
Austing-Wheater (’01)

最近の発展 ユークリッド型の模型

 これらの結果の解釈は、実のところよくわからない。
 ふつうの場の理論と異なり、Wick rotationが正当化できない！
 ローレンツ型の模型
 IRのカットオフを入れることによりwell-defined にできる。
それらのカットオフは ラージＮ の極限で外せる。
 実時間に対する発展 が行列の配位から引き出せる。
 9d空間から3dの膨張宇宙が現れる (SSB), インフレーション, ビッグバン,…
 宇宙項問題に対する自然な解決
 Standard Modelの実現 (土屋氏の講演)

ローレンツ型のタイプIIB行列模型は、確かに超弦理論の正しい非摂動的定式化になっており、実際、我々の宇宙を記述している

目次
1. 序
2. ユークリッド型のタイプ IIB行列模型
3. ローレンツ型のタイプIIB 行列模型
4. 微視的な９ｄ空間から膨張する3d 宇宙へ
5. 指数関数的膨張とベキ則的膨張
6. さらに時間が経過した後の時間発展
7. まとめと展望2. ユークリッド型のタイプIIB行列模型
J.N.-Okubo-Sugino, JHEP1110(2011)135, arXiv:1108.1293
Aoyama-J.N.-Okubo, Prog.Theor.Phys. 125 (2011) 537, arXiv:1007.0883
Anagnostopoulos -Azuma-J.N., arXiv:1306.6135

ガウス展開法に基づく最新の結果
J.N.-Okubo-Sugino, JHEP1110(2011)135, arXiv:1108.1293

KNS
extended direction

shrunken direction

d=3 が自由エネルギーの最小値を与える

universal shrunken direction

ＳＳＢ

時空の広がりは、すべての方向に有限。

ＳＯ（10）ＳＯ（3）

これはユークリッド型のタイプIIB行列模型の興味深い力学的性質。しかし、その物理的意味は、よくわからない。

6d SUSY模型に対する結果 (ガウス展開法に基づく)
Aoyama-J.N.-Okubo, Prog.Theor.Phys. 125 (2011) 537, arXiv:1007.0883

extended direction

shrunken direction :KNS

d=3 が自由エネルギーの最小値を与える。

ＳＯ(6)

ＳＳＢ

universal shrunken direction

ＳＯ（3）

この場合については、SSBの機構がモンテカルロ・シミュレーションにより 明らかになった。
“フェルミオン行列式の位相”

位相を無視するとSSBは起こらない
Anagnostopoulos –Azuma-J.N., arXiv:1306.6135

固有値：

Ｎ を大きくしていくと、すべての固有値が同じ値に収束する !

位相の効果 : universal shrunken direction
Anagnostopoulos -Azuma-J.N., arXiv:1306.6135
SO(3) vacuumSO(2) vacuum
フェルミオン行列式の位相の効果

SO(4) vacuum

factorization methodに基づく解析
Anagnostopoulos –J.N.
Phys.Rev. D66 (2002)
106008
hep-th/0108041

ガウス展開法の結果とconsistent！

c.f.)SO(5) vacuum結局のところ、ユークリッド化が問題だったのではないか？
 通常の場の理論では、解析接続として正当化可能。
（だからこそ 格子ゲージ理論を使うことができる。)
 一方、重力を含む理論においては、ユークリッド化は微妙。
(古典レベルではよいかもしれないが。)
 dynamical triangulationに基づく量子重力 (Ambjorn et al. 2005）(ユークリッド型の重力の問題がローレンツ型の重力では克服可能か。)

 Colemanの 宇宙項問題に対するworm hole scenario(もともとユークリッド型で提唱されたが、物理的解釈は、ローレンツ型において初めて明確にできる。)
Okada-Kawai (2011)


ユークリッド型の理論は、膨張宇宙のような実時間のダイナミクスを調べる上では役に立たない。

3. ローレンツ型のタイプIIB行列模型
Kim-J.N.-Tsuchiya PRL 108 (2012) 011601 [arXiv:1108.1540]

ローレンツ型タイプIIB行列模型の定義
Kim-J.N.-Tsuchiya PRL 108 (2012) 011601 [arXiv:1108.1540]

分配関数

世界面上の理論とのつながりから、こうとるのが自然。

(世界面上の座標もWick回転しないといけない。)

正則化とラージ N 極限
ユークリッド型の模型と異なり、ローレンツ型の模型は、そのままではwell-definedでない。



時間方向および空間方向の広がりは、有限にしておかないといけない。
(IRのカットオフを導入)

以下では一般性を失うことなくとする。


これらの２つのカットオフは、ラージＮ の極限において外せることが判明。
(この模型の極めて非自明な力学的性質)

SO(9,1) 対称性および超対称性は、これらのカットオフにより破れる。
この破れの効果はラージＮ の極限をとることにより消えると予想。
(要検証)

符号問題は回避可能！
(2)

(1)

原因となりうる２つの箇所(1) フェルミオンの積分から現れるPfaffian
ラージＮでは、正の Pfaffianを持った配位が支配的になる。

ユークリッド型の模型ではこの複素位相が SO(10) 対称性のSSBを引き起こす。
J.N.-Vernizzi (’00), Anagnostopoulos-J.N.(’02)

符号問題は回避可能！ (続き)(2)

はどうすればよいか？

まず、同様の問題は、ミンコフスキー時空上の場の理論でも起こる。
(場の理論における実時間ダイナミクスを調べることは、悪名高い難問。)

を実行。

について
斉次

4. 微視的な9d空間から膨張する3d宇宙へ
Kim-J.N.-Tsuchiya PRL 108 (2012) 011601 [arXiv:1108.1540]

時間発展をどう引き出すかSU(N)transformation

時間座標 “t” の定義

smallsmall

非自明な力学的性質

バンド対角的構造

ブロックサイズとしてを選択SO(9)の自発的破れ
Kim-J.N.-Tsuchiya, PRL 108 (2012) 011601

SSB“critical time”

5. 指数関数的膨張とベキ則的膨張
Ito-Kim-Koizuka-J.N.-Tsuchiya, in prep.
Ito-Kim-J.N.-Tsuchiya, work in progress指数関数的膨張
Ito-Kim-J.N.-Tsuchiya, work in progress

SO(9)SO(3)で良くフィットできる。
指数関数的膨張

インフレーションフェルミオン作用の効果

early timesにおいて支配的

late timesにおいて支配的第一項のみを残す

early timesにおける簡単化した模型

late timesにおける簡単化した模型

quench fermions

Early timesにおける指数関数的膨張
Ito-Kim-Koizuka-J.N.-Tsuchiya, in prep.

 early timesにおける簡単化した模型

指数関数的膨張第一項が、指数関数的膨張において重要。

late timesにおけるベキ則的膨張
Ito-Kim-J.N.-Tsuchiya, work in progress late timesにおける簡単化した模型

輻射優勢のFRW 宇宙

フルのローレンツ型IIB行列模型に対して予想されるシナリオ
輻射優勢のFRW 宇宙

インフレーション

E-folding の値はダイナミクスによって決まる！

（ビッグバン）

6. さらに時間が経過した後の時間発展

S.-W. Kim, J. N. and A.Tsuchiya, Phys. Rev. D86 (2012) 027901[arXiv:1110.4803]
S.-W. Kim, J. N. and A.Tsuchiya, JHEP 10 (2012) 147 [arXiv:1208.0711]

さらに時間が経過した後の時間発展

宇宙膨張の結果、作用の各項が大きくなる。
古典近似が有効。
 実は 無限個の古典解が存在。 (ランドスケープと類似) (3+1)次元の膨張宇宙を表す解が存在。
その中には、宇宙項問題を自然に解決するものもある。
 それぞれの解に対する「重み」は well-definedであるから、late timesにおいて支配的となる「唯一の解」を決定可能。
 解のまわりの揺らぎを調べることにより、プランクスケール以下の有効場の理論を得ることが可能。
J. N. and A.Tsuchiya, PTEP 2013 (2013) 043B03 [arXiv:1208.4910]

古典運動方程式を解く一般的な処方箋
 変分関数 古典運動方程式

 交換関係運動方程式とJacobi恒等式
Lie 代数ユニタリ表現

しかるべきAnsatzを課すことにより、有限次元にできる。

古典解

3SO(4) 対称な解の例 (RxS 時空)
EOM代数

単位S3上に一様に分布空間方向は可換。

3SO(4) 対称な解の例 (RxS 時空)
primary unitary series

ブロックサイズは n=3 ととれる。
空間の広がり時空の非可換性
可換な時空！

連続極限

カットオフが外せることとconsistent !

3

SO(4) 対称な解の例 (RxS 時空) 続き

この部分は、late-timeの振舞として解釈可能。

宇宙定数現在における加速膨張を説明可能。

宇宙定数は、遠い未来において漸近的にゼロになる。
宇宙項問題に対する自然な解決。

7. まとめと展望

まとめタイプ IIB 行列模型 (1996)

超弦理論の非摂動的定式化（10次元のタイプIIB理論に基づく）ユークリッド型の模型の問題点が明らかになった。
ローレンツ型の模型 : 不安定性のため最近まで手つかず。
モンテカルロ・シミュレーションにより、驚くべき性質が明らかに。

 well-definedな理論が得られる！
（まずカットオフを導入、ついでそれをラージＮ極限で外す。）
 “時間発展” という概念が力学的に出現を対角化したときに ,がバンド対角的な構造を持つ

 “臨界時刻”後, 空間のSO(9)対称性が自発的に破れ,３方向だけが膨張し始める。
 指数関数的膨張 が観測された (インフレーション, 初期条件問題は存在せず)
 ベキ則 () 膨張が、 later timesに対する簡単化した模型で観測された。
 さらに later times では、古典的解析が有効。
宇宙項問題に対する自然な解決が示唆された。

今後の展望 指数関数的膨張 からベキ則的膨張への転移を直接モンテカルロ・シミュレーションで観測できるか？
 それと同時に、可換な時空への転移（古典解からの示唆あり）は起こるのか？
 CMBと比較可能な密度ゆらぎを計算できるか？
 古典解まわりのゆらぎからプランクスケール以下の有効場の理論を読み取れるか？
(土屋氏の講演) 低エネルギーで Standard Model が現れるか？
素粒子論と宇宙論における様々な基礎的な問題 :インフレーションの機構, 初期値問題,宇宙項問題, 階層性問題,
暗黒物質, 暗黒エネルギー, baryogenesis,
ヒッグス場の起源, 世代数の起源 etc.
これらすべての問題を、超弦理論の非摂動的定式化を用いることにより、統一的に理解できる可能性がある！

Backup slides

Previous works in the Euclidean matrix modelA model with SO(10) rotational symmetry
instead of SO(9,1) Lorentz symmetry

Dynamical generation of 4d space-time ?

SSB of SO(10) rotational symmetry

perturbative expansion around diagonal configurations,branched-polymer picture
Aoki-Iso-Kawai-Kitazawa-Tada(1999)

The effect of complex phase of the fermion determinant (Pfaffian)
J.N.-Vernizzi (2000)

Monte Carlo simulation
Ambjorn-Anagnostopoulos-Bietenholz-Hotta-J.N.(2000)
Anagnostopoulos-J.N.(2002)

Gaussian expansion method
J.N.-Sugino (2002)、Kawai-Kawamoto-Kuroki-Matsuo-Shinohara(2002)

fuzzyImai-Kitazawa-Takayama-Tomino(2003)

Emeregence of the notion of “timeevolution”
meanvaluesmall

band-diagonal
structuresmall

represents the stateat the time t

The emergence of “time”
Supersymmetry plays a crucial role!
Calculate the effective action forat one loop.
contributes
contributes
Contribution fromvan der Monde determinant
Altogether,

Zero, in a supersymmetric model !

Attractive force between the eigenvalues in the bosonic model,
cancelled in supersymmetric models.

The time-evolution of the extentof spacesymmetric under

We only show the region

SSB of SO(9) rotational symmetry
SSB“critical time”

What can we expect by studying thetime-evolution at later times
 What is seen by Monte Carlo simulation so far is:the birth of our Universe What has been thought to be the most difficultfrom the bottom-up point of view, can be studied first.
This is a typical situation in a top-down approach !
 We need to study the time-evolution at later times
in order to see the Universe as we know it now!
 Does inflation and the Big Bang occurs ?
(First-principles description based on superstring theory, instead of just aphenomenological description using “inflaton”; comparison with CMB etc..
 How does the commutative space-time appear ?
 What kind of massless fields appear on it ?
 accelerated expansion of the present Universe (dark energy),understanding the cosmological constant problem
 prediction for the end of the Universe (Big Crunch or Big Rip or...)Ansatz
extra dimension is small(compared with Planck scale)commutative spaceSimplification

Lie algebrae.g.)d=1 caseSO(9) rotation
Take a direct sum

distributed on a unit S3(3+1)D space-time

R×S3

A complete classification of d=1 solutions has been done.
Below we only discuss a physically interesting solution.

SL(2,R) solution
 SL(2,R) solution

 realization of the SL(2,R) algebra on

Space-time structure in SL(2,R) solution
 primary unitary series representation

tri-diagonal
Space-time noncommutativity
disappears in the continuum limit.

Cosmological implication of SL(2,R)
solution
 the extent of spacecont. lim.

 Hubble constant and the w parameterradiation dominantmatter dominantcosmological constantCosmological implication of SL(2,R)
solution(cont’d)

t0 is identified with the present time.
present accelerated
expansion
cosmological const.

This part is considered to givethe late-time behavior of thematrix modela solution to the cosmological constant problem
Cosmological constant disappears in the future.

Seiberg’s rapporteur talk (2005)
at the 23rd Solvay Conference in Physics
hep-th/0601234“Emergent Spacetime”
Understanding how time emerges will undoubtedly
shed new light on some of the most important questionsin theoretical physics including the origin of the Universe.

Indeed in the Lorentzian matrix model,
not only space but also time emerges,
and the origin of the Universe seems to be clarified.

The significance of the unique determination of
the space-time dimensionality
It strongly suggests thatsuperstring theory has a unique nonperturbative vacuum.
By studying the time-evolution further, one should be able to see
the emergence of commutative space-time andmassless fields propagating on it.
It is conceivable that the SM can be derived uniquely.
This amounts to “proving” the superstring theory.
It is sufficient to identify the classical configuration which dominates at late times
by studying the time-evolution at sufficiently late times.
Independently of this, it is important to study classical solutions
and to study the fluctuations around them.
Does chiral fermions appear ?
Is SUSY preserved ?

The key lies in the structurein the extra dimensions.