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Dual Lifting Dyadic Wavelet 変換を用いた計測誤差最小化のための適応信号処理に関する研究
葛目 幸一＊

Signal Adaptive Processing for Measurement Error
Reduction by Dual Lifting Dyadic Wavelet Transform
Koichi Kuzume＊
Abstract
This paper presents methods for minimizing measurement errors, which occur in an acceleration sensor,
including d.c offset and white noise and so on, by dual lifting dyadic wavelet transform. Proposed methods arebased on tuning free parameters contained in lifting scheme, adapting to the measured signal. The frequency
characteristics of the acceleration measurement system can be observed, dividing into several frequency bands
by wavelet transform and modified by calibrating sensing data with reference signal.
Keywords : Dual lifting wavelet transform, signal adaptive, sensor, measurement error,
デュアル・リフティングウェーブレット変換，信号適応処理，センサ，計測誤差

１．はじめに指紋照合やターゲット物体の自動追跡など，生体や画像などの情報を認識し，機器の制御や医用診断，個人認証などに応用する研究が盛んに進められている．これらの技術を実現するためには，測定された多チャンネル，多次元信号からシステムの持つ特徴を検出し，精度よく識別することが求められる．しかし，一般にこのような信号は非定常信号で，周囲の環境により時間的に特徴が変化するため正確に信号を検出し，識別することは難しい．例えば無拘束の手の動きを利用した３次元入力インターフェースを実現するためには，手の動きをセンシングする加速度センサの信号には雑音やユーザの個人特性が含まれているため，信号識別をいかに正確に行うかが問題となる［1−4］．図１は，加速度センサの出力を積分して得られた速度波形と較正装置で計測した速度の実測値を比較したものである．加速度センサによる雑音の影響で時間が経過すると蓄積誤差が大きくなることがわかる．
また，人間の手足の動きを無拘束状態で計測するシステムとして，特徴点にマーカや磁石を装着しカメラや磁気センサによりその特徴点を検出する方法＊情報工学科が既に実用化されているが，センサの特性上，計測できる範囲が限定されるうえ，システムが高価になるなどの欠点がある．
以上に述べたように無拘束でしかも計測範囲に制約のないシステムを構築するためには，外部センサによるセンシングに頼らない自律計測システムの開発が求められる．しかし自律計測ではわずかな雑音により誤差が蓄積する問題がある．
本研究では，上記の背景をふまえ，雑音等の影響により蓄積される誤差を最小にするため信号に適応してセンサの出力を較正する「dual lifting wavelet変換を用いた適応信号処理法」を提案する．これは，計測システムの周波数帯域をwavelet変換により帯域分割し，各帯域で計測信号と標準信号との差，すなわち計測誤差を最小にする高周波復元フィルタを設計する一種の適応フィルタである．これまで著者
らはlifting wavelet schemeに含まれる自由パラメータをターゲット信号について学習し，信号を検出する研究を行ってきたが，本研究はその概念を拡張し［5−7］．
たものである．
本報では研究成果の第一報として，lifting wavelet変換を用いて誤差を最小化する適応信号処理理論の構築を行ったので報告する．第２章でまずdyadic
平成20年９月30日受理

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wavelet変換についてレビューしたのち，Sweldensが提案したdual lifting wavelet変換の理論について概説する［8］．第３章ではDual lifting wavelet変換を用いた適応信号処理理論について，第４章ではまとめと今後の研究について述べる．
m/s㪈㪌㪇㪇
0.5㪈㪇㪇㪇࠮ࡦࠨߦࠃࠆ⸘᷹࠺࡯࠲

01.0㪇㪅㪌㪄㪌㪇㪇-0.25[sec]ၮḰ࠺࡯࠲㪄㪈㪇㪇㪇㪄㪈㪌㪇㪇

２．Dyadic Lifting Wavelet 変換
２．１ Dyadic Wavelet 変換
Lifting wavelet 変換について述べる前に，まずDyadic wavelet 変換について説明する．信号を分解する低域通過フィルタ（LPF）と高域通過フィルタ（HPF）を｛h0［k］, g0［k］｝，元の信号に復元する復元〜フィルタを｛h 0［k］, 〜0g ［k］｝とすればDyadic wavelet
変換の低周波成分ならびに高周波成分は（2）（3），
その逆変換は（4）で計算することができる．ただ〜しフィルタ群｛h0［k］, g0［k］, h 0［k］, 〜0g ［k］｝，の~ˆ ooo~o
フーリエ変換， {hˆ [Z], gˆ [Z], h [Z], gˆ [Z]} は（1）を満たすものとする．
 *~ *h o (Z )h o (Z )  g~ o (Z ) g o (Z ) 2（1）＊は複素共役を表す．

すなわち，原信号C［i］からｐ次の低周波成分Cp［i］，0および高周波成分dp［i］は（2），（3）より再帰的に計算でき，原信号C0［i］は，p回の再帰計算により復元することができることを示している．図２にDyadic
Wavelet変換／逆変換の計算アルゴリズを示す．
低周波成分¦ h >k @C [i  2op 1k] p 1k]

p 1k

高周波成分

¦ g >k @C [i  2op 1k

ウェーブレット逆変換公式
C p 1 >i @~h ko ,gkg ko ,m L （5）

L~g~ ko  ¦ ~s m h ko m .
m L図1 加速度センサから求めた速度波形と基準速度データの比較

d p >i @~hk
newg~ k-0.5

C p >i @Lh ko  ¦ ~s  m g ko  m ,newhk

㪌㪇㪇
0.25
㪇

２．２ Dual Lifting Dyadic Wavelet変換
２．１の分解，合成フィルタをもとに新たに自由〜
パラメータS mを導入し，あらたな分解合成フィルタ〜g knew｝を構築する．（5）のフィルタ群｛hknew, h k, gk, 〜をlifting dyadic waveletフィルタと呼び，これらのフィルタのフーリエ変換もまた（1）を満足すれば，新たに構築したフィルタ群についても（2）〜（4）が成立する．

1 ~o1¦ h >k @C p i  2 p k  2 ¦k g~ o >k @d p [i  2 p k ]2 k>@

３．Lifting Wavelet変換を用いた較正アルゴリズム
図３にDual lifting dyadic wavelet を用いた較正システムを示す．システムの較正方法は次のとおりである．
①センサから得られたデータ並びに基準データを（2），（3）によってp次のDyadic waveletに展開する．
②wavelet逆変換により，もとの信号を復元する
際，各解像度レベルで復元誤差が最小になるよ
うに（5）に含まれる自由パラメータを調節する．
③②で求めた自由パラメータより各解像レベルで復元フィルタを求める．
上述のアルゴリズをもとに，次に信号に適応した復元フィルタを設計する．
センサによる測定信号（原信号）をCp-1［i］，較正用参照信号（較正信号）をCref［i］とおけば，liftingwaveletの逆変換公式（4）を用いて高周波成分を補正することによりセンサから得られた信号を誤差が最小になるようにする．
~C p 1 [i ]~11
¦ h o >k @C p i  2 p k  2 ¦k g~ new >k @d p [i  2 p k ] （6）
2 k>

@

ただし．
g~ new [k ]~g~ old [k ]  ¦ ~s [m]h o [k  m] 㧚m〜（2） （6）に含まれる自由パラメータS mを信号に応じて学〜習させ速度誤差を最小化する．またCp-1［i］は次式で表される．
~~1（3）C p 1[i ] C p 1  ¦ ( ¦ ~s [ m ]h 0 [ k  m ]) d p [i  2 p k ]2 k m~
㧩C s [m]a [i, m]p 1¦m（4）ただしpDual Lifting Dyadic Wavelet 変換を用いた計測誤差最小化のための適応信号処理に関する研究（葛目）

wEw~s1 ~0¦ h [k  m]d p [i  2 p k ]2 k
速度誤差Eは次式で定義できる．
21 N 1 ~EC p 1[i ]  C ref [i ]  Min. ¦
2i 0a p [i, m]

N 1123L¦ (C [i]  C [i]  ¦ ~s [m]a [i, m])a [i, n] 0. （9）p 1

refpi 0pm L〜

この方程式はS［m］に関する連立１次連立式で行列とベクトルを使って次のように書ける．（10）を用〜
いてセンサ信号に対して前もってSmを学習させ，（5）
より信号に適応した，計測誤差を小さくする復元フ
ィルタを設計することができる．

（7）〜

最小二乗法によって（7）を最小にするSを計算する．
2L1 N 1~
（8）E(C[i]
C[i]s[m]a[i,m])¦ p 1¦refp
2 i 0m L〜（8）の両辺をSで偏微分しゼロとおくと，

N 1
N 1·
§ N 1a p [i, L  1]a p [i, L]  ¦ a p [i, L]a p [i, L] ¸¨ ¦ a p [i, L]2¦i 0i 0
¸
¨i 0
N 1
N 1
¸¨ N 12¨ ¦ a p [i, L]a p [i, L  1] ¦ a p [i, L  1]
 ¦ a p [i, L]a p [i, L  1] ¸§ s L ·¸¸¨
¨i 0i 0i 0¸¨ s L 1 ¸¨¸¨  ¸¨¸¸¨¨¨¸¸© sL ¹¨ N 1N 1N 1¸¨ ¦ a p [i, L]a p [i, L]a p [i, L  1]a p [i, L]
a p [i, L]2¦¦¸¨i 0i 0i 0¸¨¹©

C 0 ª«¬« k º»¼»

h0~h0

g0

g~ 0

Wavelet ᄌ឵

図2

DyadicWavelet·§ N 1¨ ¦ C p 1[i]  Cref [i] a p [i, L] ¸¸¨i 0¸¨ N 1¨ ¦ C p 1[i]  Cref [i] a p [i, L  1] ¸¸¨i 0¸¨¸¨N 1¸¨¸¨ ¦ C p 1[i]  Cref [i] a p [i, L]¹©i 0（10）

䋫C 0 ª«¬« k  m º»¼»

Wavelet ㅒᄌ឵変換・逆変換アルゴリズム

ේାภ䋨䉶䊮䉰಴ജ䋩䋩

䌾

䌧

䌧

+䋫

䋫

C 0[k ]    䋭C ref [ k ]
ᦨㆡൻ䌾

䌾

䌧

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+䋫䌧

䋫

䌨

䋭

C 1 ref [ k ]
ᦨㆡൻ䌨

䌾

䌨
䌧

䋺 ಽ⸃ HPF䌨䋺 ಽ⸃ LPF

Wavelet ᄌ឵

C ref [ k ] 䋺 ၮḰㅦᐲ䈱ේାภ
C 1 ref [ k ] a䋱䋺 ၮḰㅦᐲᵄᒻ╙䋱ૐ๟ᵄᚑಽ䌾䌨䋺 วᚑ HPF䌾䋺 วᚑ HPF 䋨ㆡᔕ䊐䉞䊦䉺䋩䌧図3Dyadicliftingwaveletを用いた計測誤差最小化アルゴリズム

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弓削商船高等専門学校 紀要 第31号（平成21年）

４．まとめと今後の研究

謝辞

本研究は、文部科学省科学研究補助金（基盤研究
本論文では，Dual lifting dyadic wavelet 変換を用いた計測システムにおいて発生する誤差を最小化 （c）課題番号18500123）の助成を受けたものである。
する適応信号処理の理論の導出について報告した．
今後は，この理論を実システムへ適用し，理論の妥当性，有用性について検討を進める予定である．
参考文献［1］笹田一郎，森本 博：
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加速度センサを用いたジェスチャ認識と音楽制御への応用 ，電子情報通信学会論文誌
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加速度センサ等を用いた移動状態判別方式の検討 ，情報処理学会第70回全国大会講演論文集3.pp.39-40,（2008）［5］K.Kuzume, S.Takano, K.Niijima：
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Vol.8, No.10, pp. 1931-1940,(2004)［6］S.Takano, K.Niijima, K.Kuzume：
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European Signal Processing Conference (EUSIPCO2004), CD-ROM, (2004)［7］K.Kuzume, S.Takano, K.Niijima：
Design of a Lifting Wavelet Processor for One
Dimensional Signal Detection , Proceedings ofIEEE International Midwest Symposium on Circuits
and Systems, CD-ROM, (2004)［8］W.Sweldens：
The Lifting Scheme: A Custom-Design Constructionof Biorthogonal Wavelets , Appl. Comput. HarmonicAnal.13(2),(1996) pp.186-200.