昭和59年度（問1．

題）

n年満期養老保険（保険金年末払，n〉I）の全期チルメル式責任準備金の．チルメル歩合。：を，第1保険年度末チルメル式責任準備金が0となるように定め乱このとき次式が成り立つことを証明せ幻

α＝P川1n■吻
2．次の給付を行う保険金年末払．保険料年払，保険期問n年，被保険者κ歳加入の保険を考える。

ω満期まで生存したとき，S（S〉1）を支払う。

12〕保険期間中に死亡したとき，その保険年度末の責任準備金がユを超えない場合は1，超える場合は保険年度末責任準備金を支払う。
今．第r保険年度が保険年度末責任準備金が1を超えない最後の保険年度とすると．

（S−1）6工、？≦き高が成立つことを示せ。

3．・下記の内容の夫婦年金保険につき，その年払純保険料と純保険料式責任準備金を求めよ。ただし，予定死亡率は男女同一とし，契約時年齢は夫κ歳妻ツ歳とする。

ω

保険料払込期問はn年とし，夫の生存中毎年払とする。

12〕

n年経過時に夫が生存している場合．その後，夫の生存を条件に，毎保険年度始にユずつ年金を支払う。．

13〕保険料払込期間中またはその後に夫が死亡した場合．夫が死亡した翌保険年度始から．妻の生存を条件に毎年1ずつ年金を支払う。

4．11〕次式の成り立つことを証明せよ。
d一（ん＿、α、）生一一、ん12〕定常人口の社会において、現在∬歳以上の人が全員同一の掛金を拠出して基金を設立し、カロ入者が死亡した場合基金より即時に1支払うものとする。この基金の加入者が払い込むべき掛金を求めよ。ただし、掛金の拠出は設立時1回限りとする。

一165一

5．次のA．B2間のうち，ユ間を選んで解答せよ。
A

次の11ト皿O〕にあてはまる算式を所定の解答用紙に記入せよ。

ある保険会社の収支を、保険契約勘定のみに限定し（契約者配当に関する勘定を除く）、責任準備金は理論上のものを積立てるものとし．かつ．未収・未払もなく，前年度までに失効した契約の復活もない場合で考える。
この会社のある年度の損益言1一算書が次のとおりであったとする。

支収

出保険金

S

約返戻金

幕ﾆ費

久

年始責任準備金V。

WE

ﾛ険料

P?@

息工合

言十

N末責任準備金VI

合計bα

この会社の剰余金G（巴σ一b）を利源に分析するため、次のとおり利源の定義を与え孔〔死差益〕実際利回りが予定利率に，事業費が予定事業費に．保険料は資任準備金計算用のものに一一致し，解約者には解約時の責任準備金を支出するものと仮定した場合に生ずる剰余金を．年度末まで予定利率で利殖した額。

〔費差益〕事業年度内に収入した予定事業費から．年度内に支出した事業費を減じたものを、年度末まで予定利率で利殖した額。
〔解約益〕事業年度内に解約または失効した契約の解約・失効時における責任準備金から解約返戻金を減じたものを，年度末まで予定利率で利殖した額。
〔利差益〕死差益，費差益，解約益言十算の各収支項日について，実際利回りを用いて計算した金額が、予定利率で計算した金額を超える額。
上言己の定義に従って，剰余金Gを各利源に分析するにあたり，保険料の収入、ならびに保険金・解約返戻金および事業費の支払は，年度の中央で生ずるものとし，保険料は年払とする。
まず、実際利回り〆を求める。ハーディーの公式によると
づ・三2王

A＋B−Iで．AおよびBは一それぞれ年始・年末の資産であるが、この場合

A三［］正コ．B呂［皿コであり．これをIについて解くとI（V．十Vl＋G）

I＝〔匝コ4・X一2となり．この王をG3o−bに代入してGを求めると

G一［皿コとなる。

一ユ66一次に，Pを純保険料Pと付加保険料φとに分けて，

P＝P＋φとおき，解約・失効に対する消滅時の責任準備金をV。，予定利率を4とすると，死差益Glは定義により，

Gl一［⑤］，また，費差益G2，解約益G3は次のとおりである。

G。一［⑥コ，G・一［⑦コ。
また，Glにおける予定利息Ilは，11一［⑧コ，G2，G3の中の予定利息部分は，それぞれ4242I2＝（φ一E）一，I3＝（Vw−W）一であり，利差益G4は次のとおりとな孔・・一口目・（φ一・）デ・（・バ・）㌣一［⑩コ×（〆一4）B

死因による死力μ，ωが，死因づ以外の死因による死力μ、（．

るとき，被保険者（π）が死因〕のC倍であるとすによって死亡したときはユ十々，それ以外の死因によって死亡したときは1なる保険金を即時に支払うm年定期保険の年払純保険料を求めよ。

一167一

昭和59年度（解答例）
ユ．

第一保険年度末の全期チルメル式責任準備金がOとなることから，次式が成り立つ。

6付11−1＝0
6π＝標1γ，標一α

6．1司α＝1γパ属・6片1：司一（1o麦P）。ξ：≒ん＝・着一6川：一r

6川：7r
ここで，6プ司一6州．司，（1＋ψ・ピ州1一月1）．6片11・1司11＋口（1−9。）ん。1：司一6州：71，1一（1一〃）6、。1＝T1一ψ。あ・l1T■＝1−36州：司一秒伽6、。l1τ1二λ，。1＝司一仏ん・11司と変形できる。

λ、。1：・i1
σσ〃州：司α＝
一6州：司ど州：転1＝戸、十1：司一m，一168一／郡解〕

全期チルメル式の初年度純保険料ρ（1〕は，次の式で表わされる。

P、、、＝戸，ザα十αω

6、＝属また，予定利率を4とし，全期チルメル式の第一保険年度末責任準備金を1γ二＝属で表わすと，次式が成り立つ。
ρ（1〕（1＋去）＝9，十カ，・篶：属・・一12〕

題意によると，，γ二：須＝Oとなるαを求めるのであるから，これを12〕式に代入すると，戸ω㍉σ、……13〕を得る。次に，13〕を11〕に代入すると，・1・一戸ゴポα（1、±司）となる。

α三（P，：月一リ仏）・

あ＝属

6工＝一一！

ん：属一卿，ん：【6ゴ標一1（〃ρ、十ψ，λ、。1：η）一ψ、ん：・属

ん：月一1

ψ工λ，。1＝石111伽（ん1司一1）
6ゴ月一！

ψ■λ肘1：司リ払ん。1＝司一ψ■＝P，十1＝司一ψ，一一

P69一

2．

この保険の年払保険料をP，第オ保険年度末責任準備金を〃で表わす。まず，、γを過去法で求めると，〃＝戸ルーM〃
Dw

MrM仲。
D州

従って月一（岩・・γ）。き㍍＝P三：・司十、γ・p，：・六が得られる。

一方，f≧7のとき次の再帰方程式が成り立つ。
γ十戸＝砂伽・パHγ十ψ竹パ用γ＝o叶1γ
よって，砂。十1γ＝rγ斗p02、。2γ＝リ、。1γ十〃が、、3γ＝〃2、。2γ十〃2p〃掘一『掘γ＝〃制十1掘一1γ十〆一H戸の辺々を加え，・γ＝8に注意すると，〆イ∫＝。γ十戸．6司が得られる。この式にω式の戸を代入すると，グ∫㍉γ十（月二：r＋〃ポ六）6同一170一・仙、γ（！＋P，：÷6司）＝グf8−p三：r加司

ここで，〃≦1であることから，次の不等式が成り立つ。
1＋ρ三＝76司≧グ『∫イ，：÷6司

0≦1＋戸ジ76日1■『∫（∵ん：アー、三列・）一1・（、三、小所川王1−6o司十＝6同ん：アb同 〃 ■「（∫一1）
ん＝1・0≦（1＋）制㍗同一（∫

量さ同（∫一1）6・1r〃H8（∵1一1ル1？

（∫一1）6ジr≦き同3．

求める年払純保険料をPで表わすと，収入の現価は，p6，：司で表わされ，支出の現価は，問題中の12〕に対する現価が，16，また，13〕に対する現価が，（6ゾ且）一（んゾ1）

＝勾一乞〃

一17ユー

同㍉蜆■『）

で表わされる。よって，収支相等の原則より戸は次のとおりとなる。
戸＝ら一6η十π1久
あ＝司次に，この保険の第オ保険年度末責任準備金を1γで表わすと，・γは次の式で表わされることが容易にわかる。

同彦＜nの場合（i〕夫・妻共に生存のとき

D用．．

1γ二（oバ。州州）十D〃，の■Po州司1ii〕夫生存，妻死亡のとき〃二

D州．
〇工。。一戸。州司
D州㈹夫死亡，妻生存のとき〃＝6州1イ〕才≧mの場合（i）夫・妻共に生存のとき〃＝（ら・1一あ・ダ州）十あ・llii〕夫生存，妻死亡のとき〃＝乞州㈹夫死亡，妻生存のとき

〃＝b州
4．

1・〕広一 轤Pん㍑炸∫1が〜・を用いることにより，次のように証明できる。

壬（んみ）一∫；去（〜）炸∫！i三・
一∫ン努批

一ユ72一

一一ｬ十（÷a1声）励

霊一んん｛2〕まず1歳（1≧エ）の人の死亡給付現価を求めると・．

r〜あ舳炸∫；以午（一★）6タ〃一∫こ1・（宇）〃一［が（一1州）1：・∫ll。・…レ〃寸1∫；〜批＝Zフ（1一δち）＝〜ソんである。従って，エ歳以上の人の総死亡給付現価をλとすると，

λ一∫1〜・であり，111で示した関係を用いると，

λ一∫1〃1

一∫二音（一4ち）勿一ユ73一

一［一ψツ］山，＝ん孔となる。一方，π歳以上の人口（＝基金の加入者数）は，
∫血。

ノ州〃

であるから，求める掛金額は以下のとおりとなる。

ゐん広∫出O∫冊z州〃，。f〃／2，oo■e■5．A．

11〕γo12〕γ1＋G13〕1＋一21・川1・・）・・（1・壬）一（∫・舳）（・・壬）一γ11・川用）・戸（1・舌）一（∫・γ・）（1・舌）一γ1

1・〕（1一亙）（1・÷）一ユ74一

1・ジ（γザ・）（1・÷）

1・川十（舳）｝岳

1・小・去｛・一（∫・γ・）｝1（・一1）舳・÷｛〆一（・・冊｝
なお，本題に関しては，守田常直著r保険数学」（改訂版）下巻の，第7章第2節r剰余金の分析」の§1および§2を参照のこと。
5．B＿o
題意の保険の給付現価を刈：刃とすると，

λ1：司一∫；・㌧加｛舳1・1）・刈雄一∫；舳｛μ…・1刈雄（∵一・1：＾∫；〜舳である。ところで，μ籔＝Cμ続）であることから，ω＿μ■十C

一μ叶丘
五十Cとなる。

ス1：；1一（1・缶）ス1：司一コ75一μ，、ドμ泌十μ㌫1））

従がって，求める年払純保険料は上記給付現伍を6元1属（1・苦）戸1：1となる。

一176一で割って，