20010301 陸面過程勉強会

Deterministic nonperiodic flow.
By Edward N. Lorenz.(1963):
In: Qjournal of Atmomspheric Scicneces, 20, 130-141

演者：安形康 agata@iis.u-tokyo.ac.jp．．．．．．．
私はこの文章を読んで，後頭部をガツンと一撃された感じがし，髪の毛が逆立った．彼は知っていた！
．．．．．．．．．．．．．．．．
二四年も前に，彼は知っていたのだ！(中略)たった１２ページで，ローレンツは非線形力学のいくつかの主要なアイデアを予言した．それも，非線形力学がまだ流行になる前に，まだ他の誰もがカオスのような新しい気まぐれの現象が存在することを知らなかった時期に．
（I.スチュアート，須田不二夫・三村和男訳「カオス的世界像：神はサイコロ遊びをするか？」白楊社，
1992 年，162 ページ．Stewart, I., 1989: Does god play dice? : The mathematics ofchaos. Penguin books.）

0 . 要旨1 .Introduction
強制力を受け散逸系のある流体運動を表現するために，決定論的な非線形常微分方程式の有限個の組み合わせを構成することができる．
この方程式系の解は，位相空間におけるトラジェクトリ(軌跡)として同定することができる．
これらの方程式系が有界な解をもつとき，その非周期的解は小さな摂動に対して不安定であり，したがって初期状態がわずかでも異なると全く異なった状態に達しうるということが分かった．

対流の研究は，rotating-basin experiments と呼ばれる実験によって行われている．これはお茶缶のような水槽に流体を満たし，その中心軸の周りに回転させ，外側および中央から熱を加えるというものである1．これらの実験では，設定によって，安定な対流が起こったり対流構造が周期的に変化したり，はたまた全くランダムな流れになったりする．このような乱流構造の研究も盛んに行われつつある．

この有界な解をもつ系は数値的に解いても本論文では，ある種の流体運動を表す方程式有界な解を得ることができる．(そこで)セル対群をさらに単純化したシステムについて検討

流を表す簡単な系を数値的に解いた．あらゆるを行なう．特に，それらが非周期的解をもつと解は不安定であり，そのほとんどは非周期的できの振る舞いに着目し，その解がどのような特あった．

性をもっているか詳しく検討する．

超長期にわたる天気予測の実現可能性を，こここで扱う流体運動は，外力と散逸があるもれらの結果により得られた観点から検討した．の(forced dissipative hydrodynamics)とする．とい1

この加熱および回転は外力 forcing と呼ばれる．また，エネルギーが保存されないとき散逸があるという．

うのは，従来の研究では近似的にエネルギー保よう．この場合は Q があるしきい値 Qc を超え存が成り立つとしたり，外力を無視して(線形ると散逸が大きくなり，(-dQ/dt)がある正の値以の)方程式を立てそれを解くという手法が用い上に下がらなくなるので，Q の値は少なくともられてきたが，それは現実の流体運動に適合すQc まで小さくなり，軌跡も先ほどの保存系でるとは限らないからである．ちなみにそのよう

Q=Qc という時の状態まで「小さい」範囲にトな系では，一定の外力を受ける系は一定のレスラップされるようになる．この状態で，また外ポンス,周期的な外力を受ける系は周期的レス力を受けて dQ/dt が大きくなり，軌跡が Q=Qcポンスを返し，もし解が非周期的になるとすれの「限界円」を飛び出すようになるかもしれなば外力が非周期的であるときのみである．

い．

2 Phase Space2

3 The instability of nonperiodic flow

M 個の変数 Xi (i=1,2,…,M)の時間変化が次の式で表されるとする：
dXi/dt = Fi(X1, X2, …, XM)

力学系は小さな変化に対して安定であるかどうか議論する．この章では特に，非周期的解(1)

ここに Fi は一次導関数をもつ函数である3．

が小さな変動に対して不安定であることを主に論じる．

位相空間Γにおける軌跡にはいろいろなタ
このような系の解の振る舞いを調べるには，．
イプのものがあるが，それらを分類すると，ポアンカレ Poincare の創案による相空間 phasecentral なものと non-central なものに分けられる．
space という考え方が極めて有効である．これ
前者は，ある限界の範囲以外に飛び出してゆかは，各時刻 t における Xi の値が求まったとき，ないもの，後者はそうでないものである．
座標空間Γで(X1, X2, …, XM)という点に「粒子」を置き，その「粒子」が座標空間内でどのよう軌跡 P が t=t0 において「安定である」とは，な軌跡 trajectory を描くかを調べる手法である．

他の軌跡 P’が「t=t0 における P の点」（これをさて，散逸も外力もない「保存」系を考えP(t0)と書く）に十分近い点を通っている場合，よう．この時，たとえば系の総エネルギーの指その P’は t→∞のとき P に十分近い状態を保っ標となる何らかの値が変数 Q(=一定)で表されるとする．このとき，この系を表す方程式系(1)の，位相空間における軌跡は Q=const という制約条件のもとで動くものとなる4．さて，同様のているということであると定義する．また，本論文で対象とするような力学系に関しては，ある軌跡がある点において安定である場合，軌跡全体が安定であるとなる．

系で今度は，外力と散逸が両方ある場合を考え

さて，力学系が周期的解をもつとき，その解の軌跡は同じ点5を何回でも通る．そうでない

2

2,3,4 章は，原文では数学の教科書のように一般的な事柄をずらずら書いているが，必要なもののみ記すにとどめる
3

このような系は力学系 dynamical system と呼ばれるが，必ずしも力学の問題を解くときのみに使われるのではない．

ときは同じ点を決して通らない．
さて，上記の事柄をまとめるとどうなるか？詳細は略するが，central で安定な軌跡は必

4t→∞のとき不動点に落ち着いてしまうか，周期的にグルグルと同じ所を回る場合が多い．後者のとき，Q の値をいろいろ変えると軌跡の群は同心円状になる．

5

準周期的解の時は「限りなく近い点」となるが，議論が複雑になるので省略

ず周期的・準周期的となる．その対偶を取ると，

Rα=gαH3ΔTν-1κ-1

非周期的な軌跡はすべて不安定である．つまりがある限界値どんなに近い「点」を通る軌跡の組も，ｔ→∞Rc=πa-2(1+a2)3の時には全く別々の振る舞いをしてしまう．こを超えないとき，

れが非周期的解のもつ重要な性質である．
ψ=ψ0 sin(παH-1x) sin(πH-1z)
θ=θ0 cos(παH-1x) sin(πH-1z)

4 Numerical integration of
nonconservative systems(ここは単に数値解法のテクニックを述べているに過ぎないので省略．ただし 1960 年代
当時はこういうことをきちんと書くことが非常に意味のあることだったのだろうと推測する．)(19,20 式)という流体運動が起きることを見出した．
Saltzman(1962)は，ψとθを x とｚに関して二重フーリエ展開して，ψとθを t のみの函数としてあらわし，それらの関係を複数の常微分方程式の組として表現することに成功した．また，その数値解法を試みた結果，三つの変数以外の変数は 0 に落ち着いてしまうことを見出した．

5 The convection equations of Saltzman

その三つを X,Y,Z とすると，それらのはSaltzman(1962)は振幅が一定である対流につa(1+a2)-1κ-1ψ= X√2・ sin(παH-1x) sin(πH-1z)

いてその理論式を検討した．その式の背景を簡

πRc-1RαΔT-1θ=Y√2・cos(παH-1x) sin(πH-1z)

略に述べる．
対流が x-z 平面でのみ起こっているとする．

−Zsin(2πH-1z)(23,24 式)

このとき，支配方程式はで表される．23,24 式を 17,18 式に代入し，整理∂θ∂ (ψ , ∇ 2ψ )∂ 2+ ν∇ 4ψ + gα∇ψ=∂x
∂ ( x, z )∂t(17,18)∂ (ψ , θ ) ∆T ∂ψ
∂2
θ =−+ κ∇ θ+⋅∂ ( x, z )∂tH ∂xすると次の常微分方程式系を得る：
dX/dt =−σX＋σY

dY/dt = −XZ＋rX―YdZ/dt = XY − bZ
(25,26,27 式)ここで，となる．ここにΨ：流れ函数，θ：温度の初期値(対流がない状態)からの偏差，g,α,ν,κはσ＝κ-1ν：プラントル数

それぞれ重力加速度，熱膨張係数，流体の動粘r=Rc-1Rα性係数，熱伝導率である6．

b=(1+a2)-1Rayleigh は，現在 Raileigh 数と呼ばれているである．

定数6 Application of Linear Theory（上記の微分方程式系に対して，旧来の線
6

また，∂ ( a , b) ∂a ∂b ∂b ∂aである．
=−∂ ( x, z ) ∂x ∂z ∂x ∂z

形理論を適用し，不動点の存在などを探っているが，ここではあまり関係ないので省略）

7 Numerical integration of the convection
equations25,26,27 式を数値的に解いた．
まずはσ=10，方程式を簡略化した微分方程式系を数値的に解いた．それらの解のうちほとんどは非周期的であり，小さな変動に対して不安定であった．

b=8/3(つまり a2＝1/2)とした．ｒの値は解の安定

さて，この知見を大気科学の視点からみると性に強く影響し（6 章），470/19(≒27.14)を超えどうなるだろうか．常に「非周期的な流れ」をると解が非周期的になる．ここでは r=28 とした． 繰り返している大気の流れが，もしここで述べたような力学系で表されるとすると，その超長結果を TABLE1 と Fig.1,2 に示す．
期にわたる予報は極めて困難といわざるを得
t=0〜1600 付近までは周期的な解が見えるない．つまり，現在の大気の状態（つまり初期が，その後突然解の挙動は一見ランダムに見え値）をいかに現実に近く求めても，それはどうるようになる．

しても本当の現実とは乖離があり，そして，そX,Y,Z 空間における軌跡のあつまりを描いの結果大気の未来の状態は現在の観測初期値たものが Fig.3 である．これらの軌跡は決してと元にした計算とは離れていってしまう運命交わることがなく，図の上半分では確かに二つなのだ．の面に完全に分かれているが，図の下半分ではここで，「超長期」とは一体どれくらいの時間一見一つの平面に押し込められているようになのか考えてみる必要がある．現在のところは見える．しかし細部ではこの面は二つの面に分

まだそれに対する応えは筆者は持っていない．

7

かれている ．

それは「数世紀」かもしれないし「数日」かもそれではこれらの解は全くランダムなのだ
ろうか．そうではない．図４は，Z の値がピー
クをとるごとにその値を Mi とし，点（Mi,Mi+1）をプロットしたものである．これにより，Miの値は非常に明確な規則性を持って変化することが分かる．この Fig.5 の写像で表されるもので近似される8．
（この後すこし詳しく，これらの系の予測可能性を論じているが省略．ようするに初期値のほんの少しのズレがｔ→∞になったときに大きく響いてくることを述べている）

8 Conclusion
強制と散逸のある力学系について，その支配

7

この分割は，図の上半分の一つ一つの面が実は二つの面に分割されて，そうなると今度は下半分が 4 つの面に…という自己相似性を持っていることになる．しかしここではあまり突っ込まない．
8

この写像がカオス研究の第一歩となったのだが，それはもう少し後の時代になってからである．

しれない．