ルービックキューブへの群論

1

6年B組

福本

佳泰

指導教諭

河合

士郎

指導教諭

川口

慎二

要約
サイエンス研究会数学班は 3 つのテーマに分かれて研究活動を行っている。6 年生は、

ルービックキューブの操作と群論の関連について研究している。このレポートでは、その研究の一端を紹介したい。
キーワード

2

ルービックキューブ、群、正規部分群、商群、置換、交代群、対称群

研究の背景と目的

ていなればならない。また、便宜上、演

ルービックキューブが好きだったので始算の記号・を省略することがある。

めた。ルービックキューブ群の群構造を解析するための土台となる群論の基礎部分を（２） ∀a, b, c ∈ G に対して、学習し、実際にルービックキューブの操作a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c .

に関する考察を行う。ルービックキューブ
群 G について、その正規部分群や商群を考慮することにより、 G を求めたい。その過程において、コーナーキューブの方向※（１）で定義された演算・について、結結合法則(associativelaw)が成立する。したが合法則って、 a (bc ) = ( ab)c = abc と書くことができる。

の値に基づいて、エッジキューブに対しても同様の値を新たに定義して考察を行った。

（３） ae = ea = a を満たす、単位元
単位元(unit
単位元
element) e ∈ G が存在する。

3

研究内容※実数の掛け算における「1」に相当する。

3－1．群論の基礎■群の定義（４） ∀g ∈ G に対して,群(group)である。
成り立てば、 G は群

gg −1 = g −1 g = e となる g の逆元
逆元−1(inverse element) g ∈ G が存在（１） a, b ∈ G ⇒ a ⋅ b ∈ Gする。

ある集合 G について、次の 4 つの条件が※集合の中で演算「・」が定義される。つまり、演算を行った結果も元の集合に属し■群の基本性質
群 G について、それが有限集合なら有有限群(finitegroup)、無限集合なら無限群
無限群
限群

(infinite group)という。群 G が有限群のとまた、2 個のものの巡回置換、例えばき、 G の元の個数を G の位数
位数(order)とい
位数(1 2) のような置換を互換
互換(transposition)
互換という。

う。以下, G の位数を G と表す。

また、すべての置換は、互換の積（置換を群において、交換法則 ab = ba は、一般には成立するとは限らない。交換法則

続けて施すということを意味する）として表わされる。例えば、(1 3 2ab = ba が常に成立する群のことを、可換
可換

4) = (1 3)(1 2)(1 4)群(commutative group)またはアーベル
アーベル群
アーベル群

となる。また、巡回置換でなくても、(abelian group)という。

1 2 3 4 5 = (1 5 4 )(2 3)5 3 2 1 4= (1 5)(1 4 )(2 3)■置換群の置換群の定義置換(permutation)とは、ある有限集合の置換などと表される。さらに、(1 2)(1 3) = (1 2 3),(1 3)(1 2) = (1 3 2)

中で、それらの要素の並び方を変えるということを意味する。 n 個のものを「 a1 → b1 , a 2 → b2 , L , a n → bn 」のようであるように、置換の積では一般には交換にうつす置換は、法則は成り立たない。
また、「どの要素もそのまま並べ替えな

a2 L an b2 L bn 

 a1

 b1

い」という置換のことを恒等置換
恒等置換(identity
恒等置換
permutation)といい、 id n と表す。そして、
置換 σ によって並べ替えられたものを元にと表す。

戻すような置換は、必ず存在し、これをさらに、例えば４つの文字 1,2,3,4 の置σ −1 と表す。

換のうち、

1 2 3 4
3 4 2 1

■奇置換と奇置換と偶置換
互換の積に関して、次の性質が成り立つ。

は「1→3→2→4→1」と置換されているといえる。このような置換のことを巡回置換
巡回置換

命題 1

(cyclic permutation)といい、 (1 3れる。その表し方は 1 通りには定まらないと表す（ただし、 (32 4)

2 4 1) のように書いても同じ巡回置換を表している）。

すべての置換は、互換の積で表さが、偶数個の互換の積、奇数個の互換の積のどちらで表されるかは、一定である。

1
証明

3
4
2

はじめに、同じ互換を 2 回繰り返すと元の並び方に戻ることに注意せよ（例えば、(1 2)(1 2) = id n ）。即ち、 id n は 2 個の互換の積で表される。置換 σ , ρ がそれぞ

れ偶数個、奇数個の互換の積で表されるとことを意味しているが、続けて置する。

換を施すことは、結局はもとあっこのとき、 σ の後に ρ−1を続けて行う置

た n 個の要素を並べ替えているこσ を考えると、これは偶数回の互換とには変わりないので、明らかにの後に奇数回の互換を施しているので、全σ 1σ 2 ∈ S n である。
（２） σ 1 , σ 2 , σ 3 ∈ S n に対して、結合法
則 (σ 1σ 2 )σ 3 = σ 1 (σ 2σ 3 ) は明らか換ρ−1部で奇数個の互換の積として表される。したがって、 ρ−1

σ は id n にはなり得ない。

に成り立つ。

つまり、互換の個数の偶奇が一致しないな（３） 恒等置換 id n が単位元に相当する。

らば、2 つの置換は一致し得ない。したが（４） σ ∈ S n に対して、置換 σ によってって、1 つの置換に対しては、互換の積は並べ替えられたものを元に戻すよ

何通りか表せても、その互換の個数の偶奇うな置換 σは一致する。■

る。

このように、偶数個の置換の積で表され−1が σ の逆元に相当す

このような群 S n を、 n 次の対称群
対称群

る置換のことを偶置換偶置換(even
permutation)、
偶置換(symmetric group) または置換群
置換群

奇数個の置換の積で表される置換のことを(permutation group)という。例えば、

e, (1 2 ), (1 3), (2 3)
S3 = 
 (1 2 3), (1 3 2 ) 

奇置換(odd
permutation)という。例えば、
奇置換上で見たように、(1 3 24) = (1 3)(1 2)(1 4)であるので、巡回置換 (1 3 2 4 ) は 3個の互換の積であらわせる。したがって、
この巡回置換は奇置換である。一般に n 個である。
対称群(置換群)の性質として、次が挙げられる。

の巡回置換は、 n − 1 個の互換の積であらわされる。よって、偶数個の巡回置換は、奇置換であり、奇数個の巡回置換は、偶置

命題 2

S n = n!である。

換であるといえる。
証明■対称群(
対称群(置換群)
置換群)

n 個の要素からなる集合に施す置換全体の集合 S n に対して、演算を「置換を続けて行う」と定めたときに、この置換全体の集合は、群の定義（１）～（４）をすべて満たし、群となっていることを確認する。

n 個の置換は一般に

1

 a1

2 L n

a 2 L a n と表される。 S n は n 個の置換の個数を意（１） σ 1 , σ 2 ∈ S n とする。 σ 1σ 2 は置換味しており、 {a1 , a 2 , L , a n }は n 個の整数

σ 2 を行った後で、置換 σ 1 を行う

1,2, L , n を並べ替えたものであるから、その並べ方は n! 通りである。したがって、H が G の部分群であるとともに、∀g ∈ G, ∀h ∈ H に対して、 ghg −1 ∈ H

S n = n!となる。■

正規部分群が成立するとき、 H は G の正規部分群(normal subgroup)であるといい、 H < G−1

さらに、偶置換のみからなる S n の部分と表す。また、 b = xax であるとき、 b集合も群となる。これを、 n 次の交代群
交代群

は a と共役
共役(conjugate)であるという。つま共役(alternating group)といい、 An と表す。

り、 H の元と共役な元がすべて H の元となるとき、 H は G の正規部分群であると交代群の性質として、対称群と同様に、いえる。

次が成立する。

■剰余類の剰余類の定義

An =

命題 3

Sn
2

=

n!
である。
2

群 G の部分群のひとつを H として、g ∈ G とする。 gH = {gh h ∈ H }（つまりH の各々の元について左側から g をかけ証明

S n の中から奇置換 σ を任意に選び、固定する。任意の偶置換 ρ ∈ S n について、

ϕ = σρ となる奇置換 ϕ ∈ S n が対応して唯一つ存在する。さらに、 ρ = σ −1ϕ より、
奇置換 ϕ についても、偶置換 ρ が唯一つ対たもの全体の集合）を左剰余類
左剰余類(left
coset)、
左剰余類

Hg = {hg h ∈ H }（つまり、 H の各々の元について右側から g をかけたもの全体の集合）を右剰余類
右剰余類(rightcoset)という。
右剰余類

応する。このことから、 S n の中において、偶置換と奇置換とは 1 対 1 に対応するので、※ gH や Hg は、群ではなく、単なる集合

それらは同数だけ存在する。したがって、である。なぜなら、その中で演算が定義さ

An =

Sn
2

=

n!
となる。■
2

れるとは限らないからである。
■剰余類の剰余類の性質■部分群

G を演算・で定義された群とする。 Hが G の部分集合でありかつ、 G と同じ演

命題 4

H を群 G の部分群とする。
a, b ∈ G に対して、 aH = bH または、

aH ∩ bH = φ である。

算・で定義された群である（即ち、 H の任意の元 h1 , h2 について、それらを演算し※つまり、 aH と bH は集合として全く一た h1 ⋅ h2 もまた、 H の要素である）とき、致しない限り、共通部分は空である。

H は G の部分群
部分群(subgroup)であるといい、
部分群
H ⊂ G とあらわす。

証明

aH ∩ bH ≠ φ と仮定すると、 ah1 = bh2■正規部分群となる h1 , h2 ∈ G が存在する。このとき、

a = bh2 h1−1 , h2 h1−1 ∈ H より、 a ∈ bH である。したがって、 aH ⊂ bH が導かれる。
−1
1 2

−1
1 2

一方、 b = ah h , h hのn =∈ H より、b ∈ aH となる。ゆえに、 bH ⊂ aH が導かれる。よって、このとき、 aH = bH と
なる。■

G
H

を、 H の指数
指数(index)といい、指数(G : H ) と表す。
今まで、左剰余類のみについて言及してきたが、右剰余類についても、全く同様のことが成り立つ。

命題 5

H を群 G の部分群として、g ∈ G とする。このとき、 gH = H が成

さて、左剰余類 gH と右剰余類 Hg について、 gh = hg ( h ∈ H )とは限らないので、

gH = Hg とも限らない。だがここで、すべての g ∈ G について、左剰余類と右剰余立する。

類が一致、つまり gH = Hg である場合を考える。これはつまりどういうことかとい証明

H と gH = {gh h ∈ H }を比較すると、

h1 , h2 ∈ H , h1 ≠ h2 ⇒ gh1 ≠ gh2
であるから、写像 f : H → gH ( h a gh)
は全単射である。したがって、 gH = H
である。■

うと、

gH = Hg ⇔ gHg −1 = H ,即ち、 H は G の正規部分群 ( H < G ) であるということと同値である。
また、 gH = Hg である場合、異なる左剰余類全体の集合を G H とすると、これは G と同じ演算により定義された群となる。そこで、群の定義（１）～（４）を確

命題 4、命題 5 から、集合 G は、互いに異なる左剰余類のいくつかの直和として表されるとともに、 G は H で割り切れる
ことがわかる。実際に、

G = U {gH g ∈ G}と表すことができるのは明らかである。一方、 gH ( g ∈ G ) は、同じものを除くと、
どの 2 つも互いに素であり、更にどれも位数が H に等しいことから、 G = n H と表すことができる。ここで、 n は、左剰余類のうち、互いに素であるもの全部の個数を表す。この n は H によって決まる。こ認する。
（１） g1 , g 2 ∈ G に対して、

g1 Hg 2 H

= g1 ( Hg 2 ) H = g1 ( g 2 H ) H= g 1 g 2 HH = g 1 g 2 Hであり、 g1 g 2 ∈ G ゆえ、 g1 H と g 2 H の積 g1 Hg 2 H は、 g1 Hg 2 H ∈ G H を満たしている。
（２） g1 , g 2 , g 3 ∈ G に対して、( g 1 Hg 2 H ) g 3 H= ( g1 g 2 H ) g 3 H= g 1 g 2 ( Hg 3 ) H= g1 g 2 ( g 3 H ) H= g 1 g 2 g 3 HH
= g1 g 2 g 3 H

g1 H ( g 2 Hg 3 H ) = g 1 H ( g 2 g 3 H )置を変えない操作全体の集合、 J はコーナ

= g1 ( Hg 2 g 3 ) Hーキューブの位置も方向も変えない操作全= g1 ( g 2 g 3 H ) H

体の集合、 K はコーナーキューブの位置= g1 g 2 g 3 HH

も方向も変えず、かつ 12 本の辺に接する= g1 g 2 g 3 H

キューブ（これらをエッジキューブ
エッジキューブと呼エッジキューブ
ぶ）の位置を変えない操作全体の集合とすしたがって、結合法則( g 1 Hg 2 H ) g 3 H = g1 H ( g 2 Hg 3 H )が成立する。

る。集合として、 G ⊃ H ⊃ J ⊃ K という包含関係が成り立っている。

（３）単位元は、 H ( = eH ) である。

ここで、演算・を「ルービックキュー（４）逆元は、 gH ∈ G H に対してブの操作を続けて行う」こととして定義と−1

すると、 G は群になる。実際に、 a, b, c は

g H である。実際に、( gH )( g −1 H ) = gg −1 H = eH−1−1

( g H )( gH ) = g gH = eH .
したがって、 G H は群になっている。

それぞれ、ルービックキューブの操作である(つまり a, b, c ∈ G )とすると、(1)2 個の操作を続けて行ったときもまた、

商群
この群のことを、 G の H による商群「ルービックキューブの操作全体の集(quotient group)または剰余群
剰余群(residue
class
剰余群

合」に含まれている。(つまり、group)という。さらに、 H の指数は G Hに等しい。即ち、 G = G H H が成り立a ⋅ b ∈ G である。以降 a ⋅ b を単に ab と表す。)
(2)操作 a の後に続いて操作 bc を行った場合も、操作 ab の後に続いて操作 cを行った場合も、操作の結果が等しいのつ。

は当然である。従って、結合法則

a (bc) = (ab)c が成立する。

3-2. ルービックキューブと群論
以上の準備のもと、ルービックキューブ
について考察していくことにする。

(3)単位元 e は、「操作を行わない」という操作である。
(4)操作 a の逆操作を行うと、ルービッ■ルービックキューブ群
ルービックキューブ群

クキューブは元の状態に戻る。操作 a の逆

以下、ルービックキューブは、3×3×3−1

操作を a の逆元 a とする。すると、

aa −1 = a −1 a = eのものを考える。また、ルービックキュー± 90 回転さ
ブの基本
基本操作
基本操作とは、ある面を操作oが成り立つ。

せる操作を、ルービックキューブの操作
操作と操作
は、基本操作を何回か繰り返し行ったものをいう。
いま、 G はルービックキューブの操作全体の集合、 H は 8 個の角のキューブ（これらをコーナーキューブ
コーナーキューブと呼ぶ）の位
コーナーキューブ

さて、8 個のコーナーキューブの位置を変えない操作全体の集合 H は G の部分集合であったが、さらには G の部分群になる。実際、

(1) a, b をコーナーキューブの位置を変えない操作(つまり、 a, b ∈ H )とすると、このような操作を 2 回続けて行っても、そ

定理１
定理１

S 8 を 8 次対称群とするとき、

G H = S 8 である。

れは依然としてコーナーキューブの位置を変えない。よって、 ab ∈ H である。

図 1 のような任意の隣接(2)結合法則は、 G の元に対して成立しした 2 個のコーナーキューているから、当然 H の元に対しても成立

ブを入れ替え、残りの 6 個する。

のコーナーキューブは動か(3) G の単位元 e は、明らかにそのまま

H の単位元でもある。

ないという操作がある。

図1

次の手順で操作を行えばよい。

(4)「コーナーキューブの位置を変えない操作」の逆操作も、コーナーキューブの位置を変えない。よって、 a ∈ H であれば、

a −1 ∈ H である。
いま、 g ∈ G とする。すべての h ∈ H に対して、 h はコーナーキューブの位置を変えないので、 g と gh のコーナーキューブの位置の変え方は等しく、同様に、 g とhg のコーナーキューブの位置の変え方も等しい。よって、 gH と Hg はともにコー
ナーキューブの位置の動き方が g と同じである操作を全て集めた集合であるから、

gH = Hg となる。つまり、 H は G の正規部分群である。

H の左剰余類と右剰余類が一致する
ので、その商群を考えることができる。
そこで、H の g ∈ G による商群

G H = {gH | g ∈ G}
H を考える。ここで、 gH はコーナーキ
ューブの位置の動き方が g と同じである操作を全て集めた集合であったことから、

図2
向きを変えたりしてこの操作を連続して行うと、コーナーキューブの位置を任意に入れ替えることができる。つまり、写像

G H は、コーナーキューブの位置の動き

f : G H → S 8 が全射になる。例えば、図方のパターンを集めたものということにな

3 の 2 つの状態の間に上の操作を施すと、る。

図 4 で示したコーナーキューブの位置が入れ替わる(つまり、共役な置換を行うことに相当する)。

図5

図3

図 5 の各場合について、コーナーキュー
コーナーキュー
ブの方向の方向の値を左から順に、0,+1,-1 と定める。つまり、コーナーキューブが時計回りに 120°回転するとコーナーキューブの方向の値は+1 され、反時計回りに 120°回
転するとコーナーキューブの方向の値は-1

図4

されるということである。ただし、120°
回転を 3 回繰り返すと元に戻るので、コー

このように、図 2 の操作を連続して行うと、すべての、 S 8 の要素に対応する G Hの要素がそれぞれ存在するということがわ
かる。
また、明らかにこの写像は単射でもある。

ナーキューブの方向の値は 3 を法として合同である。例えば、時計回りに 240°ずれている状態のものは-1 とも 2 とも考えることができる。
一般にはコーナーキューブの位置が合っていないとその方向を決定することはできしたがって、 G H = S 8 であり、ない点に注意が必要である。しかし、コー
ナーキューブの位置が合っていなくてもコ

S 8 = 8! より定理１から、 G H = 8! を得る。
また、 H の場合と同様の議論から、8 個のコーナーキューブの位置も方向も変えな
い操作全体の集合 J は H の正規部分群であり、商群 H J は、コーナーキューブの位置と方向の動き方のパターンを集めたものということになる。
ここで、コーナーキューブの方向の決め方について、説明しておく。各コーナーキ
ューブの色 A の面は、センターキューブの色を基準にして、次の図 5 のように 3 通りある。

ーナーキューブの方向を考えられるような方法がある。そのために、上面と底面をすべて同じ色（＝色 A ）だと考え、残りの側面はすべて別の色(＝色 B )で塗られていると考える。こうすることで、各コーナーキ
ューブには色 A の面が 1 つ、色 B の面が 2つあることになり、全てのコーナーキュー
ブが同じものとしてみなすことができる。
つまり、もとは位置が違っていても、あた
かも位置が合っているかのように扱うことができ、方向を考えることができるようになるわけである。

定理 2 8 個のコーナーキューブの番号を順は省略）。 G H のときと同様に、向きそれぞれ 1,2, K ,8 として、それぞれの方向を変えながらその操作を連続して行うことの値を、 r1 , r2 , K , r8 とすると、

で、コーナーキューブの方向を自由に変え

r1 + r2 + L + r8 ≡ 0

ることができる。即ち、基本操作のみで(mod 3)（分解することなく）、コーナーキューブが成り立つ。

7の方向の 3 通り全ての状態を作ることが最初の状態では、 r1 = r2 = L = r8 ≡ 0 でできる。つまり、 H J の各要素をコーナあるから、明らかに成立する。まず、上面

ーキューブの方向の値を並べた列

あるいは底面を回転する基本操作では、明(r1 , r2 , K , r8 ) の 1 種類ずつと対応させるこらかに r1 + r2 + L + r8 の値は、3 を法として変わらない。次に、図 6(a)のように
1,2,3,4 と番号を付け、(b)のような基本操作をしたときの方向の値を考える。

とができる。したがって、 H J = 3 を得
7る。
さらに、これまでと同様の議論から、8個のコーナーキューブの位置も方向も変え(a)1

ず、12 個のエッジキューブの位置をも変(b)

えない操作全体の集合 K は J の正規部分2群になり、商群 J K は、エッジキューブ

3の位置の動き方のパターンを集めたものと

4

いえる。

図6

一般に、1 回の基本操作は、コーナーキ
このとき、３を法として、 r1 は+1、 r2 は

ューブの位置について 4 次の巡回置換（＝-1、 r3 は+1、 r4 は –1 が加えられ、 r5 ～ r8奇置換）を引き起こし、エッジキューブのは、変わらない。つまり、どんな面に基本位置についても 4 次の巡回置換（＝奇置

操作を行っても、 r1 + r2 + L + r8 の値は 3換）を引き起こす。さらに、任意の k ∈ Kを法として変わらない。したがって、基本について、 jk がコーナーキューブの位置

操作を何回行っても、 r1 + r2 + L + r8 ≡ 0

を変えないことに注目すると、 jk はコー(mod 3) の関係が崩れることは無い。

ナーキューブの位置について偶置換（並びよって、7 個のコーナーキューブの方向替えないという置換は偶置換）を引き起こまでは自由に変えることができるが、残りすので、基本操作を偶数回行ったものといの 1 個の方向は、 r1 + r2 + L + r8 ≡ 0

うことが分かる。つまり、 jk はエッジキ(mod 3) の関係を成り立たせるような方向

ューブの位置についても、偶置換を引き起に、決定されてしまう。つまり、コーナー

こしているということが分かる。言い換えキューブの方向の変え方は、 3 通りある

ると、 J K は（エッジキューブの位置にことが分かる。

ついて）偶置換のみからなる群であるとい

7

さらに、任意の 2 個のコーナーキューブの方向を自由に変えられる操作がある（手

える。

定理 3

A12 を 12 次交代群とするとき、（２）中段にある 4 つのエッジキューブの右手前と左奥の面に A を、左手前と右奥

J K = A12 である。

の面に B をつける。
（３）下段にある 4 つのエッジキューブ

まず、図 7 のような任意の底面に A を、側面に B をつける。

の 3 個のエッジキューブのこのようにして、元の６色を無視するこ

位置を入れ替える操作があとで、コーナーキューブの方向を考えたとる（手順は省略）。 G Hきと同様に、各エッジキューブを全て同じのときと同様に、向きを変図7ものとしてみなすことができる。つまり、

えながらこの操作を連続して行うと、エッ

もとの位置が違っていても、あたかも位置

ジキューブの位置を任意に入れ替え可能とが合っているかのように扱うことができ、なる。

方向を考えることができるようになる。

よって、写像 f : J K → A12 は全単射になり、 J K = A12 を得る。以上から、 K

ここで、エッジキューブ
エッジキューブのエッジキューブの方向の方向の値について説明しておく。ある位置にあるエッジ
キューブのラベル A, B が、最初と同じととは、エッジキューブの方向のみを動かす

ころにあった場合にはエッジキューブ

操作全体による群であるともいえる。

の方向の値を+1、異なっていた場合には-1

一般には、エッジキューブの位置が合っとする。例えば図 9 でいうと、左のエッジていないと、エッジキューブの方向を考え

キューブの位置の値は+1、右のエッジキュることができない。そこで、コーナーキュ

ーブの位置の値は-1 である。

ーブの方向を考えた場合と同様に、エッジ
キューブの位置が合っていなくても、エッジキューブの方向を考える方法を以下のように考案した。6 面完成した状態で各エッジキューブに次のように（色は全て無視して）ラベル A, B を付ける（図 8 参照）。
図9
このとき、次の関係を得た。
定理 4 12 個のエッジキューブの番号をそれぞれ 1,2, K ,12 として、それぞれの方向
図8（１）上段にある 4 つのエッジキューブの上面には A を、側面には B をつける。

の値を、 t1 , t 2 , K , t12 とすると、

t1 × t 2 × L × t12 = 1が成り立つ。

6 面完成した状態では、

G

t1 = t 2 = L = t12 = 1であるから、明らかに成立する。上面や底面、あるいは右手前や左奥の面を回転する
基本操作を行っても t1 ～ t12 の値はいずれも変わらない。一方、左手前や右奥の面を=G H H =G H H J J=G H H J J K K
12! 11= 8!×3 7 ××2
2= 43,252,003,274,489,856,000という結果が得られた。

回転する基本操作を行った場合については、

このように、ルービックキューブ群の代考察が必要であるが、一回の基本操作では数的構造を解析することにより、群論のごどの面を回しても t1 × t 2 × L × t12 の値は変く簡単な部分を用いて、ルービックキュー

化せず、基本操作を何回行っても、ブの手数(つまりルービックキューブ群のt1 × t 2 × L × t12 = 1 の関係は崩れることは位数)を求めることができた。

ないとわかる。
言い換えると、11 個のエッジキューブ

4の方向までは自由に変えることができるが、今後の課題
群論の基礎部分およびルービックキュー

残りの 1 個の方向は、 t1 × t 2 × L × t12 = 1

ブ群の基本的性質についてレポートにまとの関係を成り立たせるような方向に決まっ

めることはできた。また、ルービックキュてしまい、エッジキューブの方向の変え方

ーブ群の部分群を考察することにより、その位数を効率よく計算することができた。

11は、 2 通りあることが分かる。
さて、図 10 のような隣

また、ルービックキューブ群の部分群と具接した 2 個のエッジキュ

体的な操作を対応付けて考察することがでーブの方向を反転し、きた。
今後は、このようなルービックキューブ

他のエッジキューブの向きや、全てのピースの位図 10群に関する考察をさらに深め、その構造を置は変えない操作がある研究することにより、ルービックキューブ（手順は省略）。 G H のときと同様、向の解法を得ることができないかという観点

きを変えながらその操作を連続して行うと、から研究してみたい。

エッジキューブの方向を自由に変えることができる。即ち、基本操作のみで（分解せずに）エッジキューブの方向の 2

11

通りす

べての状態を作れるので、 K = 2 である。
11以上から、 G を計算すると、

5

参考文献[1]「ルービック・キューブによる群論入門」、数学セミナー1981 年 8 月号、島内
剛一、日本評論社 (1981) p.2-9[2]「群論演習のひとこま」、数学セミ
ナー1981 年 8 月号、国吉秀夫、日本評論社(1981) p.11-16[3]「2*2*2 ルービック・キューブで遊ぼう」、井川治、プレプリント

6

謝辞
本研究およびレポート作成にあたって御指導くださった河合先生と川口先生に深く感謝します。

平成16年度 奈良県立奈良高等学校全日制課程普通科
学科
年次(学級数)
(新課程)
区分 教科
科 目
標準単
4
国 語 国語総合
現代文
4
古典
4
国語表現Ⅱ
2
古典講読
2

各

教

地理歴史 世界史Ａ
日本史Ａ
地理Ａ
世界史Ｂ
日本史Ｂ
地理Ｂ
公 民 現代社会倫理
政治 ･ 経済
探究社会
数 学 数学Ⅰ
数学Ⅱ
数学Ⅲ
数学Ａ
数学Ｂ
数学Ｃ
ｺﾝﾋﾟｭｰﾀ基理 科 理科総合Ａ
理科総合Ｂ
物理Ⅰ
化学Ⅰ
生物Ⅰ
地学Ⅰ
物理Ⅱ
化学Ⅱ
生物Ⅱ
探究物理
探究化学
探究生物

2
2
2
4
4
4
2
2
2
２◇
3
4
3
2
2
2
２◇
2
2
3
3
3
3
3
3
3
２◇
２◇
２◇

７～８
保健体育 体育保健2
2
芸 術 音楽Ⅰ
美術Ⅰ
2
書道Ⅰ
2
音楽Ⅱ
2
美術Ⅱ
2
書道Ⅱ
2
科
音楽Ⅲ
2
美術Ⅲ
2
書道Ⅲ
2
3
外 国 語 英語Ⅰ
英語Ⅱ
4
ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞ
4
ﾗｲﾃｨﾝｸﾞ4
ｵｰﾗﾙ･ｺﾐｭﾆ2
英語ﾆｭｰｽﾞ
２◇
家庭基礎
2
家 庭
生活文化
２◇
情報Ｂ
2
情 報
必修・選択必修科目計
選 択 科
目 計
各教科・科目計
ＳＳＰ(ｽｰﾊﾟｰｻｲｴﾝｽ ﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄ）Ｃ.Ｃ.（総合的な学習の時間）
各 教 科・科 目 等 計
特別活動
ホームルーム活動
合
計

普
共通
2
(9)

普
共通
1
(10)
5

学科
年次(学級数)（旧課程）
科
目 標準単位
国語Ⅰ
4
国語Ⅱ
4
現代文
4
古典Ⅰ
3
古典Ⅱ
3
国語表現
2
古典講読
2
世界史Ａ
2
日本史Ａ
2
地理Ａ
2
世界史Ｂ
4
日本史Ｂ
4
地理Ｂ
4
倫
理
2
政治 ･ 経済
2
現代社会
4
探究社会
２◇
数学Ⅰ
4
数学Ⅱ
3
数学Ⅲ
3
数学Ａ
2
数学Ｂ
2
数学Ｃ
2
ｺﾝﾋﾟｭｰﾀ基
２◇
物理ⅠＡ
2
化学ⅠＡ
2
生物ⅠＡ
2
地学ⅠＡ
2
物理ⅠＢ
4
化学ⅠＢ
4
生物ⅠＢ
4
地学ⅠＢ
4
物理Ⅱ
2
化学Ⅱ
2
生物Ⅱ
2
探究物理
２◇
探究化学
２◇
探究生物
２◇
体育
9
保健
2
音楽Ⅰ
2
美術Ⅰ
2
書道Ⅰ
2
音楽Ⅱ
2
美術Ⅱ
2
書道Ⅱ
2
音楽Ⅲ
2
美術Ⅲ
2
書道Ⅲ
2
英語Ⅰ
4
英語Ⅱ
4
ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞ
4
ﾗｲﾃｨﾝｸﾞ4
ｵｰﾗﾙｺﾐｭﾆ
2
英語ﾆｭｰｽﾞ
２◇
家庭一般
4

※２･３
※２･４

2
♯２
♯２

2
※２
※２
※２
2

※２
※２･３

3
2

※２
※２
2
2
※２･３
※２･３
※２･３
※２･３

3
1

2
1
♯２
♯２
♯２

2
※２
※２
※２

4
※５
2

※２

2

普
共通
3
(9)
※２
※３
※２･４
※２
※２
※２
※２
※２
※２･４
※２･４
※２･４
2
※２
※３
※５
※２
※２･４
※２

※３
※３
※３
※３
※４
※４
※４
※２
※２
※２
3

※２
※２
※２
※２
※２
※３
※３
※２

※２
31
0
31

6
28
34

必修・選択必修科目計
２５～２９
選択科目計
３０～３４
各教科・科目計

3
34
1
35

34
1
35

総合的な学習の時間 （Ｃ.
※２
各教科・科目等計
３０～３４
ホームルーム活動
1
合 計
３１～３５

5