強制力の働く調和振動子が奏でる光の回折的振る舞い
理化学研究所放射光科学研究センター
平岩 聡彦
2020.11.26
加速器セミナー＠京大自己紹介◼ 京都大学原子核ハドロン研究室出身。
◼ 修士課程では、J-PARC E03実験（X原子からのX線測定実験）で用いるエアロゲルチェレンコフカウンターの開発を行った。
◼ 博士課程では、J-PARC E15実験（K中間子原子核探索実験）に参加し、主に円筒型ドリフトチェンバーを担当していた。また、J-PARCの初期の頃から現場で実験準備をしていて、ハドロン実験施設への初ビームにも立ち会うことが出来た。
◼ その後、阪大RCNPのLEPSグループに移り、ヘリウム４原子核からのf中間子光生成に関するデータ解析を行って、学位を取得。
◼ 阪大RCNPでのポスドクを経て、現在に至る。
◼ 担当は、ビームダイナミックスと加速器機器の精密アラインメント。

本セミナーでは、加速器分野に転身しての最初の仕事である次世代リング型光源加速器における安全なビームの廃棄方法を検討する中で“偶然に”発見することができた古典物理（力学と光学）にまつわる話をします。
2020/11/26

加速器セミナー@京大2

最近のやっていること■ アラインメント関係：- ニュースバル新入射器の建設■ ビーム物理関係：- SPring-8-IIに向けたラティスの設計

SPring-8-II
SACLA

Storage
Ring
BeamTransport

ニュースバル加速器トンネル

目標エミッタンス < 100 [pm*rad]cf: 2.4 [nm*rad] @ SP8

2020/11/26

加速器セミナー@京大3

論文の紹介DOI: 10.1103/PhysRevE.102.032211■ 本セミナーの内容は、Phys. Rev. Eに掲載されています。
■ 気軽に読める内容なので、ぜひ読んでみて下さい。
■ 物理学会誌にも近々記事が載る予定なので、こちらも併せて読んでみて下さい。

2020/11/26

加速器セミナー@京大4Outline◼ 円型加速器における電子ビームの運動◼ ベータートロン振動◼ チューン◼ Off-momentum粒子の運動（分散関数、クロマティシティ）◼ 回折限界光源加速器における電子ビームの安全な廃棄方法について◼ 回折限界光源加速器とは？
◼ キッカーシステムを用いた電子ビームの廃棄方法◼ 強制振動と光の回折の類似性◼ 固有振動数が時間的にゆっくり変化する場合の強制振動◼ 光の回折との類似性◼ まとめ2020/11/26

加速器セミナー@京大5

円型加速器における電子ビームの運動

2020/11/26

加速器セミナー@京大6

水平（垂直）方向の運動■ リング中の各粒子は、四極磁石が作るポテンシャルの中を振動しながら周回している。
■ 平衡軌道（単に閉軌道と言う。）からの変位𝑥 𝑠 は、Hillの方程式に従う：

𝑑2 𝑥+ 𝐾 𝑠 𝑥 = 0, 𝐾 𝑠 + 𝐶 = 𝐾 𝑠
2𝑑𝑠（𝐶: リングの周長）■ 振動のバネ定数𝐾 𝑠 は、四極磁石と偏向磁石（水平方向のみ）が置かれているところのみで有限の値を取る：

𝐾 𝑠 =1 𝜕𝐵𝑦
ቤ𝑠𝐵𝜌 𝜕𝑥 𝑥=𝑦=01𝜌2 𝑠

2020/11/26（四極磁石の場合）
強い収束（発散）効果（偏向磁石の場合、水平方向のみ）
弱い収束効果加速器セミナー@京大（ 𝐵𝜌 : リングのMagnetic Rigidity）

7ベータートロン振動

Tohoku 3GeV Ring

■ Hillの方程式の一般解は、エンベロープ関数
𝛽 𝑠 を用いて、次のように書ける：

𝑥 𝑠 = 𝐴 𝛽 𝑠 cos 𝜓 𝑠𝑠𝑑𝑠ǁ
𝜓 𝑠 =න
+ 𝜙0 （𝐴, 𝜙0 : 定数）0 𝛽 𝑠ǁ
ただし、𝛽 𝑠 + 𝐶 = 𝛽 𝑠 である。
■ 上式が示すように、リングを周回する電子は、A 𝛽 𝑠 を包絡線として振動している（ベータートロン振動、右上図：エンベロープ関数の例）。
■ 位相を示す式および右上図より、位相の進みは一定ではないことが分かる。ただし、エンベロープ関数𝛽 𝑠 は周期関数なので、リング一周当りの位相の進みは一定となる。そこで、リング一周当りの位相の進みを2𝜋で割ったもの（つまりリング一周当りの振動回数）のことをベータートロンチューン（しばしば𝜈と表記する。）と呼ぶ：

1𝑑𝑠𝜈≡ර
2𝜋 𝛽 𝑠2020/11/26

加速器セミナー@京大8Off-momentum軌道■■

Off-momentum粒子（𝛿 ≡ 𝛿𝑝Τ𝑝 ≠ 0）が偏向磁石により曲げられる角度は、on-momentum粒子のとは異なる（右図）。

𝐵0 ⟹

𝛿>0

𝛿 ≪ 1の場合、運動方程式は次のようになる：

𝑥 ′′ +

1

11(1)+𝐵𝑠 𝑥=𝛿𝜌2 𝑠𝐵𝜌
𝜌 𝑠𝐵0≈ 1 − 𝛿 𝐵01+𝛿

偏向磁石
𝛿=0

Off-momentum粒子が余分に受ける力

𝛿<0（四極磁場𝐵′ にも1 − 𝛿の因子が掛かるが、2次の微小量となるため無視している。）■

非斉次方程式の解𝑥𝛿≠0 は、斉次方程式の解𝑥𝛿=0 に特解Δ𝑥を加えたものになる:𝑥𝛿≠0 𝑠 = 𝑥𝛿=0 𝑠 + Δ𝑥 𝑠

Tohoku 3GeV Ring𝛿 ≠ 0によって引き起こされる軌道のズレ

Δ𝑥 𝑠 ≡ 𝛿 × 𝜂 𝑠■

上記の𝜂 𝑠 のうち、𝜂 𝑠 + 𝐶 = 𝜂 𝑠 を満たすもの（つまり閉軌道になるもの）を分散関数（Dispersion Function）と呼ぶ（右図）。

■

Off-momentum粒子は、分散関数で表される軌道の周りをベータートロン振動している。
2020/11/26

加速器セミナー@京大偏向部でピークを作る‼

偏向磁石

四極磁石

六極磁石

9

クロマティシティ（色収差）■ 𝛿 ≠ 0だと、四極磁石による収束力𝐾 𝑠 も変化する：
𝐾 𝑠
𝐾 𝑠 ⟹
≈ 1−𝛿 𝐾 𝑠
1+𝛿
■ これに伴い、ベータートロンチューンも変化する：

Tohoku 3GeV Ring

11Δ𝜈 =
ර Δ𝐾 𝑠 𝛽 𝑠 𝑑𝑠 = − ර 𝐾 𝑠 𝛽 𝑠 𝑑𝑠 × 𝛿 ≡ 𝜉 × 𝛿4𝜋4𝜋d=0付近ではリニアにゆっくりと変化する■ 運動量変化𝛿に対するチューンの変化率𝜉のことをクロマティシティ（Chromaticity、色収差）と言う（右図）。

■ 偏向磁石と四極磁石のみで構成されるリングでは、クロマティシティは大きな負の値を取る。
■ 通常は、分散部に六極磁石を置いてクロマティシティを補正（つまりゼロに近づける）する：
水平方向

1𝜉𝑥 =
ර 2𝑏2 𝑠 𝜂 𝑠 − 𝐾 𝑠 𝛽𝑥 𝑠 𝑑𝑠 = 04𝜋
六極磁石
2020/11/26

加速器セミナー@京大

四極磁石

実際のリングでは、“Head-tail不安定性”を抑制するために、クロマティシティをわずかに正の値に設定しておく。

1 𝜕 2 𝐵𝑦𝑏2 𝑠 ≡อ
2! 𝐵𝜌 𝜕𝑥 2𝑥=𝑦=0𝑠10ベータートロン振動⇔単振動■ 規格化座標 𝑋, 𝑃 の導入：

1Τ 𝛽𝑋=𝑃𝛼Τ 𝛽0𝛽𝑥𝑝𝑥

ただし、𝛼 = − 𝛽 ′ Τ2, 𝑝𝑥 = 𝑑𝑥Τ𝑑𝑠■ このとき、ベータートロン振動は次のように書ける：
𝑋 𝑠 = 𝐴 cos 𝜑 𝑠

ベータートロン振動は、規格化座標系で見ると円運動になる。

𝑃 𝑠 = 𝐴 sin 𝜑 𝑠■ 規格化座標で記述したハミルトニアンに正準変換を施し、新しい独立変数として𝜃 = 𝑠Τ 2𝜋𝑅
෩（𝑅: リングの平均半径）を導入すると、新しいハミルトニアン𝐻および正準方程式は次のようになる：෩𝑑𝜓 𝜕𝐻==𝜈෩ 𝜓, 𝐽; 𝜃 = 𝜈𝐽n (一定)𝐻𝑑𝜃𝜕𝐽
Action-Angle変数
෩𝑑𝐽
𝜕𝐻2𝐽=−=0y𝑑𝜃𝜕𝜓■ 元の変数との関係：
𝑋=2𝐽 cos 𝜓𝑃 = − 2𝐽 sin 𝜓2020/11/26

半径 2𝐽、一定角速度𝜈の円運動と見なすことが出来る‼

加速器セミナー@京大11

回折限界光源加速器における電子ビームの安全な廃棄方法について

2020/11/26

加速器セミナー@京大12

回折限界光源リングとは？
𝐹: 単位時間、単位立体角、0.1%バンド幅当りの光束■ 光ビームの輝度 (Brilliance)：𝐹
𝐵= 24𝜋 Σ𝑥 Σ𝑥′ Σ𝑦 Σ𝑦′2
Σ 2 = 𝜎𝑒2 + 𝜎𝑝ℎ: 実空間での光ビームの実効サイズ′2
Σ ′2 = 𝜎𝑒′2 + 𝜎𝑝ℎ: 運動量空間での光ビームの実効サイズ

ΣΣ ′ : 光ビームの実効エミッタンス

下崎さんスライドより■ 光ビームは固有のエミッタンス（位相空間面積）を持っていて、それ以上は小さく絞ることは出来ない。
→ 回折限界：𝜆𝜀𝑝ℎ =4𝜋■ 電子ビームのエミッタンスを回折限界と同程度まで下げると、輝度・フラックス密度は飽和する（右図）。
■  このように、輝度が飽和するまで電子ビームのエミッタンスを小さくしたリング型光源加速器を「回折限界光源リング」と言う。
2020/11/26

加速器セミナー@京大

13電子蓄積リングにおけるビームの廃棄方法■ 二つの方法：「ビームダンプ方式」と「加速パワーオフ廃棄方式」■ → 前者は、ビームダンプや高速キッカー電磁石を用意する必要がある。
■ → 後者は、加速パワーを遮断するだけで電子ビームを素早く廃棄できる。一方で、電子ビームの衝突により真空チェンバーが損傷する恐れ※がある。
※

2020/11/26

加速器セミナー@京大

特に、回折限界光源リングのような高密度ビームを扱う場合は注意が必要。

14

回折限界リングにおける新たなビーム廃棄手法■ 「加速パワーオフ廃棄方式」は、そのままでは回折限界リングに適用できない。
■ → リングの一ヶ所に摂動器（ストリップラインキッカー）を設置し、電子ビームを廃棄する際は、摂動器でビームサイズを広げてから廃棄する。
■ → 更に、電子ビームが衝突する分散ピーク部には、電子ビーム吸収体（アブソーバー）を仕込んでおき、真空チェンバーを保護する。

✓ 加速パワーオフからビームが吸収体に衝突するまでの間に、いかに効率的にビームを広げれるかがこのシステム設計の肝となる。
✓ ただし、放射損失によるビームエネルギー減少で、ベータートロンチューンは時々刻々と変化していく。
✓ → このとき、摂動器の最適な周波数はどうなる？
2020/11/26

加速器セミナー@京大15固有振動数が時間的にゆっくり変化する
場合の強制振動2020/11/26

加速器セミナー@京大16固有振動数がゆっくり変化する場合の強制振動■ 系の固有振動数がゆっくりと変化する場合、外力の振動数に対して、系がどのように応答するのかを考えてみる。
■ 解くべき運動方程式：𝑥ሷ + 𝜔2 𝑡 𝑥 = 𝐹 𝑡‥‥(1)■ 固有振動数𝜔 𝑡 は、加速器の例に倣って、ゆっくりとリニアに変化するものとする：

𝜔 𝑡 = 𝜔0 + 𝜔1 𝑡 = 2𝜋 𝜈0 + 𝜈1 𝑡‥‥(2)

𝜔1 Τ𝜔02 ≪ 1‥‥(3)𝜖≡（𝜔1 > 0を仮定）■ 外力𝐹 𝑡 についても、加速器の例に倣い、ある時間窓Δの間だけ系に与えられるものとする：

0𝐹 𝑡 = ቐ𝐹0 cos 𝜔𝑓 𝑡 + 𝜙00
2020/11/26

加速器セミナー@京大

𝑡<00≤𝑡≤Δ

‥‥(4)

𝑡>Δ
17グリーン関数を用いた解法■ 式(1)のような非斉次微分方程式は、グリーン関数法を用いて解くことができる。

■ グリーン関数法：
𝑑2෠
線形作用素 𝐿 ≡ 2 + 𝜔2 𝑡 を定義して𝑑𝑡‥‥(5)𝐿෠ 𝐺 𝑡, 𝑡 ′ = 𝛿 𝑡 − 𝑡 ′を満たす関数𝐺 𝑡, 𝑡 ′ （グリーン関数と言う）が見つかれば、非斉次方程式の特解は𝑡2𝑥 𝑡 = න 𝐺 𝑡, 𝑡 ′ 𝐹 𝑡 ′ 𝑑𝑡 ′‥‥(6)𝑡1で求められる。なお、一般解は、この特解と対応する斉次方程式（𝐿෠ 𝑥 = 0）の一般解を足し合わせたものになる。
■ 式(1)の運動方程式のグリーン関数は、以下のようになる（詳しい導出は原著論文を参照のこと）：

𝐺 𝑡, 𝑡 ′ =2020/11/26−𝑖2

𝜔 𝑡 𝜔 𝑡′加速器セミナー@京大𝑡exp 𝑖 න 𝜔 𝜏 𝑑𝜏 + c. c.

‥‥(7)

𝑡′18

運動方程式の特解■ 式(7)のグリーン関数を用いれば、運動方程式の特解は次のようになる：

𝑖𝐹0 −𝑖𝜑 𝑡𝑥 𝑡 =𝑒× ℎ 𝑡; 𝜔𝑓 + c. c. ,4𝜔0𝑡

𝜑 𝑡 = න 𝜔 𝜏 𝑑𝜏

‥‥(8)

0

周波数変調しながら進行していく波■ 関数ℎ 𝑡; 𝜔𝑓 は「エンベロープ関数」で、外力の振動数𝜔𝑓 を与えた時の振動振幅の時間発展を記述する：ℎ 𝑡; 𝜔𝑓 = 𝐴 𝑡 × ℎ෨ 𝜔𝑓‥‥(9)■ 関数𝐴 𝑡 は「減衰因子（Damping factor）」で、以下で与えられる：

𝐴 𝑡 =

𝜔0
𝜔0 + 𝜔1 𝑡‥‥(10)注：減衰因子は、自由空間を周波数変調しながら進行する波に固有のものであり、外力の有無に関係なく存在する。（ランダウ＝リフシッツ「力学」§49）
2020/11/26

加速器セミナー@京大19

■ 関数ℎ෨ 𝜔𝑓 は「応答関数（Response function）」であり、外力の振動数𝜔𝑓 に対する系の応答を表す：
Δℎ෨ 𝜔𝑓 = න 𝐴 𝜏 𝑒 𝑖𝜑 𝜏 𝑓 𝜏; 𝜔𝑓 𝑑𝜏

‥‥(11)0

ただし、𝑓 𝑡; 𝜔𝑓 は𝐹 𝑡 = 𝐹0 Τ2 𝑓 𝑡; 𝜔𝑓 で定義される関数である。
■ 応答関数ℎ෨ 𝜔𝑓 は、“ある近似”をすると、更にシンプルな形で書ける。→ 次ページ

2020/11/26

加速器セミナー@京大20

被積分関数中の減衰因子は𝐴 𝜏 ~1と近似できる■ 減衰因子：𝐴 𝑡 =𝜔0=𝜔0 + 𝜔1 𝑡■ 応答関数：
Δ11 + 𝜖 𝜔1 𝑡

新たな変数𝑟 ≡ 𝜔𝑓 Τ𝜔0 を導入ℎ෨ 𝑟 = න 𝐴 𝜏 exp 𝑖 𝜔0 1 − 𝑟 𝜏 +0n0 = 10 s-1n1 = 3.0E-4 s-2
D = 365.15 s

𝜔1 2𝜏 𝑑𝜏2指数関数の肩に𝜏 2 の項がある。
→ 𝜏の小さな所 (𝜏 ≲ 1Τ 𝜔1 ) しか積分に寄与しない‼

■ 右図：減衰因子有り/無しでの応答関数の比較

2020/11/26

加速器セミナー@京大21

Simplified form of response function ℎ෨■ 応答関数ℎ෨ 𝑟 は、被積分関数の中の減衰因子を𝐴 𝜏 ~1とすることで、シンプルな形で書くことができる：
Δℎ෨ 𝑟 ≃ න exp 𝑖 𝜔0 1 − 𝑟 𝜏 +0=1

𝜔1 2
𝜏 𝑑𝜏2

𝜋 𝜈0 1 − 𝑟
exp −𝑖𝜈12𝜈1“フレネル積分”2+× 𝐶 𝑢2 − 𝐶 𝑢1+ 𝑖 𝑆 𝑢2 − 𝑆 𝑢1‥‥(12)

ただし、2𝜈0 1 − 𝑟
𝑢1 =𝜈1‥‥(13)𝑢2 = 𝑢1 + 2𝜈1 Δである。
2020/11/26

加速器セミナー@京大

22

フレネル積分■ 光の回折現象を扱う際に度々登場し、次のように定義される：
𝑢𝜋 2𝐶 𝑢 = න cos 𝜐 𝑑𝜐20𝑢𝜋 2𝑆 𝑢 = න sin 𝜐 𝑑𝜐20‥‥(14)■ 定義より、以下のことが分かる：

𝐶 0 =𝑆 0 =0

1𝐶 ±∞ = 𝑆 ±∞ = ±2‥‥(15)2020/11/26

加速器セミナー@京大23

強制振動と光の回折の類似性

2020/11/26

加速器セミナー@京大24𝑘 = 2𝜋Τ𝜆

単スリット回折■ “ホイヘンスの原理”によれば、スクリーン上での光の波面は次のように表される：
2𝑎𝐸𝑠 𝑥 = 𝐸0 𝑒𝑖𝑘𝑟0න0𝑖𝜋exp
𝜉 − 𝑥 2 𝑑𝜉𝜆𝑟0‥‥(16)
波の位相を表す

波の振幅を表す光路長：𝑟 ≈ 𝑟0 +

𝜉−𝑥 22𝑟0⇒ 強制振動における特解の形 [式(8)] と全く同じ！

■ この場合にも、応答関数に対応した関数ℎ෨ 𝐸 が定義できる：
2𝑎ℎ෨ 𝐸 𝑥 = න02020/11/26𝑖𝜋exp
𝜉 − 𝑥 2 𝑑𝜉𝜆𝑟0

加速器セミナー@京大‥‥(17)

関数ℎ෨ 𝐸 についても、被積分関数
෨の形から、応答関数ℎの場合と同様、“フレネル積分”を用いて表せることが分かる。
25

フレネル数とは？
■ 波の回折において、回折の程度を表す無次元量であり、右のように定義される：

𝑎2𝑁𝐹 ≡𝜆𝑟0‥‥(18)■ 単スリットによる光の回折では、スクリーン上での光の強度パターンを特徴付ける量としてしばしば用いられる（下図）。
■ 𝑁𝐹 ≪ 1の場合の単スリット回折を「フラウンホーファー回折」と言い、𝑁𝐹 ≳ 1の場合は「フレネル回折」と言う。
■ ℎ෨ 𝐸 における被積分関数の位相部分の二次の項と関連した量である。
フレネル
回折

フレネル
回折

フラウンホーファー
回折

フラウンホーファー回折

2020/11/26

加速器セミナー@京大26

強制振動と単スリット回折を結ぶ関係式
෨■ 応答関数ℎとそれに対応する関数ℎ෨ 𝐸 の被積分関数の位相部分を比較することで、２つの現象を結ぶ関係式が得られる：
強制振動𝜏Ƹ 2Φ 𝜏Ƹ = 2𝜋𝜈0 Δ 1 − 𝑟 𝜏Ƹ + 2𝜋𝜈1 Δ− 𝜙0 ,22𝜏𝜏Ƹ ≡ （無次元）
Δ‥‥(19)𝜉（無次元）
2𝑎‥‥(20)

単スリット回折𝑥
𝜉2𝑥 2
Φ𝐸 𝜉መ = −4𝜋𝑁𝐹 𝜉 + 8𝜋𝑁𝐹 + 𝜋𝑁𝐹,𝑎2𝑎𝜉መ ≡■ 関係式：

𝑥𝜈0 Δ 𝑟 − 1 ⇔ 2𝑁𝐹𝑎‥‥(21)𝜈1 Δ2 ⇔ 4𝑁𝐹■ 関係式(21)より、強制振動の場合もフレネル数に(FHO)対応する無次元量𝑁𝐹が定義できる：
2020/11/26

加速器セミナー@京大‥‥(22)2
𝜈Δ
1(𝐹𝐻𝑂)
𝑁𝐹≡
4‥‥(23)27

(FHO)
෨𝑁𝐹に対する応答関数ℎの振る舞い

強制振動

単スリット
回折
2020/11/26

加速器セミナー@京大28

強制振動と単スリット回折の対応関係■

関係式(21)より：

(FHO)

4𝑁𝐹
4𝑁𝐹𝑥⇔
2𝑎𝜔1 Δ‥‥(24)

単スリット回折

強制振動

スリットサイズ 2𝑎

固有振動数の変化量 𝜔1 Δ

スリット開口部の位置座標 𝜉

固有振動数 𝜔 𝑡

スクリーン上での座標 𝑥

強制力の振動数 𝜔𝑓

二次波光路長の二次関数的変化

振動子と強制力の間の位相の滑り

フレネル数 𝑁𝐹 = 𝑎2 Τ 𝜆𝑟0
2020/11/26

𝜔𝑓 − 𝜔0加速器セミナー@京大(𝐹𝐻𝑂)

無次元量 𝑁𝐹= 𝜈1 Δ2 Τ429

類似性を用いて共鳴周波数の範囲を求めてみる■ 単スリットによる光の回折の場合、回折ピークの幅2𝛿𝑥はフラウンホーファー回折（𝑁𝐹 ≪ 1）とフレネル回折（𝑁𝐹 ≳ 1）で異なる：
フレネル回折フラウンホーファー回折

𝜆𝑟02𝛿𝑥 ≈2𝑎

スリット開口部の両端からの二次波が弱め合うという条件から求まる。

2𝛿𝑥 ≈ 2a矩形のパターンは、スリット開口部の形そのものを表している。

‥‥(25)■ 強制振動の場合、共鳴周波数の幅2𝛿𝜔𝑓 は、関係式(21)および(22)を使えば、容易に求めることができる：
フラウンホーファー領域

2𝜋2𝛿𝜔𝑓 ≈Δ

フレネル領域‥‥(26)

2𝛿𝜔𝑓 = 2𝜋𝜈1 Δ

共鳴周波数の中心値は、単スリット回折との類推から明らか。
2020/11/26

加速器セミナー@京大30

共鳴周波数の範囲■ 赤の矢印は、式(24)により計算された共鳴周波数の範囲を表している。
■ → フラウンホーファー領域とフレネル領域のいずれの場合も正しく計算できている。
フラウンホーファー

2020/11/26

加速器セミナー@京大

フレネル

31

類似性の動力学への応用■ 時刻𝑡 = 0で共鳴条件が満たされている強制力を断続的に受けた場合の系の時間発展について考えてみる。
෨■ このとき、運動方程式の解は、式(12)のℎで、𝑟= 1, Δ → 𝑡とすることで得られる：ℎ෨ 𝑡 ==𝑒 −𝑖𝜙02𝜈1𝑒 −𝑖𝜙02𝜈12𝜈1 𝑡

න0𝐶𝜋exp 𝑖 𝜏 2 𝑑𝜏22𝜈1 𝑡 + 𝑖𝑆

2𝜈1 𝑡

 振動振幅の時間発展を表している‥‥(26)■ これを光の回折現象に置き換えてみると、単スリット回折でスリットの片側半分を取り除いた（2𝑎 → ∞）ことに相当する（右図）。
→ “ナイフエッジ回折”

2020/11/26

加速器セミナー@京大32

系のエネルギー（振幅の2乗）の時間発展■

系のエネルギーの時間発展は、ナイフエッジ回折における光の強度パターンのように振る舞う。

■エネルギーの立ち上がり幅𝛿𝑡および漸近値 ℎ෨ ∞ は、光の回折との類似性から、求めることが出来る。（詳しい導出は、原著論文を参照のこと）

強制振動系のエネルギー

光の回折

光の強度

2

2020/11/26

𝟏
෩ =𝒉∞
𝟒𝝂𝟏
𝟐

𝟏
𝜹𝒕 =
𝝂𝟏

加速器セミナー@京大33

廃棄電子ビームのシミュレーション結果

チューン■ ナイフエッジ回折との類似性を、廃棄電子ビームのトラッキングシミュレーション結果に当てはめてみた。

= 1に相当y [mm](𝐹𝐻𝑂)

𝑁𝐹

チューンの時間変化が非線形な領域

ビームサイズはこれ以上成長しない
2020/11/26

加速器セミナー@京大34

ビーム物理への応用の可能性
1. 共鳴横切り現象への応用：- 複雑な式やシミュレーションを用いることなく、共鳴横切りの影響を評価できる。
2. 円型加速器における“共鳴現象”を異なる視点で捉える：「円型加速器でビームが周回毎に特定の場所で外力を受ける場合」⇔ 「多重スリット回折」→ ビーム動力学を全く異なる切り口で議論できるのかもしれない。 （回折格子）

円型加速器

光の回折

誤差磁場や六極磁石による外力対応
周回周期：一定→ ビームは“一定の時間間隔”で外力を受ける

2020/11/26

加速器セミナー@京大

多重スリット→ “等間隔”に並んだスリット35

まとめ■ 今回、我々は、次世代リング型光源加速器である回折限界リングでの安全な電子ビームの廃棄手法を検討する中で、“偶然にも”力学現象と光学現象の間の類似点を発見することができた。
■ → 何事も、やみくもに計算機シミュレーションを走らせるのではなく、「まずはどういうことが起きているのかを自分の頭で考えてみる」ことが大事！
■ 工学寄りなイメージの強い加速器分野の中にも、このような基礎物理の面白い現象が隠されていたことは自分自身大変驚きでもあった。
■ 今回の例が示すように、加速器分野にもまだまだ面白い物理現象が隠されている可能性があります。もし興味があれば、我々と一緒に加速器を作ってみませんか？

2020/11/26

加速器セミナー@京大36

ご清聴ありがとうございました！

2020/11/26

加速器セミナー@京大37