素粒子論研究 ･ 電子版 Vol. 39 (2023) No. 3

Soryushiron Kenkyu

2022 年度修士学位論文

フラクトン系における場の理論と双対性(Quantum ﬁeld theories and dualities in fracton systems)

島村

洲太朗

東京大学大学院理学系研究科物理学専攻

Soryushiron Kenkyu

概要
フラクトン系は移動が制限された励起を持つような理論であり，部分系対称性と呼ばれる新たなタイプの大域的対称性を持つ．本論文では，フラクトン系の格子模型・場の量子論についてレビューする．後半部分では，2 + 1 次元及び 3 + 1 次元において，フラクトン系の場の理論の 2 つの記述である foliated BF 理論と exotic BF 理論の双対性について論じる．これら 2
つの BF 理論は等価であると信じられていたものであるが，実際にゲージ不変演算子を同一視することによって，ゲージ場とゲージパラメーターの顕わな対応が得られることを示す．

Soryushiron Kenkyu

目次

第1章

序論

4

第2章

フラクトン系

72.1

フラクトン系と部分系対称性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Z2 X-cube 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.1

Hamiltonian と励起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.2

部分系対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3

基底状態の縮退度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4

リモートな検出

第3章. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2+1 次元における ϕ 理論

13

3.1

場の理論における部分系対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2

XY-plaquette 模型と ϕ 理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

第4章

4.1

3.2.1

2+1 次元の XY-plaquette 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.2

連続極限と場の配位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.3

2+1 次元の ϕ 理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.4

自己双対性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.5

Momentum mode と winding mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.6

普遍性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.7

Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2+1 次元のフラクトン系の BF 理論

23

格子模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

Soryushiron Kenkyu

4.2

4.3

4.4

4.5
第5章

5.1

5.2

5.3

4.1.1

ZN plaquette Ising 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.2

ZN テンソルゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Foliated QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1

Foliation と foliated ゲージ場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2

2+1 次元の foliated BF Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.3

ゲージ不変演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.4

電磁双対による記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Exotic QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1

テンソルゲージ場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.2

2+1 次元の exotic BF Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.3

ゲージ不変演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.4

電磁双対による記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2+1 次元における対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.1

BF 理論における対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.2

電磁双対の理論での対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

基底状態の縮退度とロバストネス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3+1 次元のフラクトン系の BF 理論

48

格子模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.1

ZN A 格子テンソルゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.2

ZN Â 格子テンソルゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.3

ZN X-cube 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Foliated QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.1

Foliated ゲージ場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.2

3+1 次元の foliated BF Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.3

ゲージ不変演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Exotic QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3.1

テンソルゲージ場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.2

3+1 次元の exotic BF Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2

Soryushiron Kenkyu

5.3.3

ゲージ不変演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4

3+1 次元における対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5

基底状態の縮退度とロバストネス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

第6章

結論と展望

74

付録 A

1+1 次元の BF 理論

76

A.1

ゲージ場とゲージ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A.2

BF 理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.3

ゲージ不変演算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

参考文献

83

3

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第1章

序論

本論文では，ここ数年で物性物理学・素粒子物理学の分野で理論的に注目を集めているフラクトン系の格子模型・場の量子論（QFT）について，具体的なモデルを例にとってその性質をレビューする．また，foliated QFT と exotic QFT という 2 つのフラクトン系の QFT の対応である foliated-exotic 双対性を，筆者らの論文 [1] に基づいて解説する．
フラクトン相とは，移動方向が部分多様体に制限された励起を持つような模型で記述される
新たな物質の相である（レビューとして [2–4] がある）
．そのような特徴的な励起は，移動が可能な空間の次元で区別して，フラクトン，ライネオン，プラノンと呼ばれている．*1 *2 フラクトン模型は，初めは物性物理の分野において格子模型として発見された [5–9]．これらのフラクトン模型は，新たなタイプの大域的対称性である部分系対称性を持ち，基底状態の縮退度が系の大きさの指数関数となるなどの様々な画期的な性質を持つことが示されている．また，フラクトン模型はそれ自身理論的に興味深いだけでなく，量子情報 [5, 10, 11] や重力模型 [12] などの他の分野への応用も期待されている．
フラクトン模型は，初めは格子模型で発見されたものである．一方で，そのような格子模型の低エネルギー極限を考えることで連続的な理論が得られることが期待され，ここ 2〜3 年で弦理論などの分野の場の理論の解析手法を用いて，フラクトン系の連続的な QFT を調べる研究が多くなされている（例えば，[13–30]）．そのような QFT は，格子フラクトン模型の特徴的な性質が QFT の形式で実現されており，一般に Lorentz 不変性や連続的な回転対称性を持たず，格子模型の回転対称性を反映した離散的な回転対称性を持つ．また，通常の QFT では
現れない発散や不連続性を持つ場の配位が許され，そのような配位が重要な役割を持つ．低エネルギーの理論ではエネルギーギャップのある励起は time-like なゲージ不変演算子（defect）
として現れるため，フラクトン系の QFT では励起の移動可能性を反映して演算子の定義される空間の形状が直線や平面に制限されることになる．加えて，基底状態の縮退度を調べると，*1 単体では空間を移動できない励起はフラクトン，直線上にしか移動できない励起はライネオン，平面上にしか移動できない励起はプラノンと呼ばれる．
*2 部分系対称性と呼ばれる大域的対称性を持ち，フラクトン，ライネオン，プラノンなどの励起を持つ系をフラク

トン系，または具体的に模型を指してフラクトン模型と呼ぶ．

4

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空間を格子で正規化することで系の大きさの指数関数となる．さらに，格子模型の部分系対称性と同じ形の大域的対称性を持ち，部分系対称性が QFT の形式で実現されている．部分系対称性とは，ある方向の平面などの部分多様体上の対称性であり，対称性演算子はその部分多様体ごとに異なる値を取る [15]．部分系多様性は一般化対称性の 1 つであり，対称性演算子の余次元が 1 より大きい点で高次対称性 [31] と類似しているが，作用する空間は一般に特定の方向には変形することができず，完全にはトポロジカルでない．このようにフラクトン系の QFT
は様々な新奇な特徴を持つため，それらを調べることは QFT を一般化する新たな理論的構造の発見に繋がると考えられる．
いくつかのフラクトン格子模型は foliated フラクトン模型として記述されている [8, 32, 33]．

Foliation とは，多様体を無限個の部分多様体に分割し，その部分多様体のまとまりとみなすことである．*3 例えば，3 + 1 次元におけるギャップのあるフラクトン格子模型である X-cube 模型 [7] は，2 + 1 次元の toric code [34] の foliation によって記述することができる [8]．QFTの場合も Slagle らによってフラクトン系の QFT の foliation による記述が発見され，foliated

QFT と呼ばれる [23–25]．一方，フラクトン系の QFT は，基本的には空間の離散的な回転対称性を反映したテンソルゲージ理論として記述される [13, 16–19, 35]．ここでは [22] に従ってこれを exotic QFT と呼ぶことにする．X-cube 模型の連続的 QFT の場合には，平坦な

foliation*4 による foliated BF 理論及びテンソルゲージ場を用いた exotic BF 理論 [14, 18] の双方の記述が知られている．*5 これら 2 つの記述方法は同じ理論を表すと信じられているが，その間の対応は不明瞭であった．そこで筆者らは，2 + 1 次元及び 3 + 1 次元において，フラクトン系の QFT である foliated BF 理論と exotic BF 理論の間のゲージ場とゲージパラ
メーターの対応を調べた [1]．本論文の後半ではその対応について述べる．このような場の対
応は [25] で考察されているが，その対応はバルクのゲージ場*6 がない場合に限られており，定式化も厳密なものではなかった．本論文で解説する場とパラメーターの対応は，foliated 側にバルクのゲージ場を含み，場に許される発散や不連続性も完全に一致したものとなっている．
このような場の対応のもとでは，Lagrangian のレベルで理論が一致することが示され，これを foliated-exotic 双対性と呼ぶ．Foliated-exotic 双対性は，片方の記述では顕わではない性
質をもう片方の記述で見ることによって，foliated QFT 及び exotic QFT 双方のフラクトン
系の QFT への理解を深めると同時に，Lorentz 不変ではない QFT の新たな双対性の研究の第一歩となっている．

*3 例えば，3 + 1 次元の理論では 3 次元の空間を，ある特定の方向を法線ベクトルの方向とするような無限個の 2次元平面に分割するものなどが考えられる．
*4 Foliation は foliation 場 e によって特徴づけられる．Foliation が平坦であるとは，e が平坦，つまり de = 0を満たすことである．詳しくは 4.2.1 節で見る．
*5 BF 理論 [36–39] とは，作用の形が N B ∧ F となるような理論である．フラクトン系の BF 理論である
2π

foliated BF 理論と exotic BF 理論は，通常の BF 理論と類似性を持つ．
*6 ここで考える foliated QFT では，foliation によって分割された 1 つ低い次元の多様体上のゲージ場である

foliated ゲージ場と，もとの多様体上のバルクのゲージ場の両方を含む．

5

Soryushiron Kenkyu

本論文の構成本論文の構成を以下に述べる．
前半部分は先行研究のレビューで構成されている．第 2 章では，フラクトン相の一般的な性質について説明し，代表的な格子模型である Z2 X-cube 模型 [7] を例にとってその性質を具体的に見る．第 3 章では，フラクトン的な性質を持つ 2 + 1 次元のギャップのない模型である

XY-plaquette 模型とその連続場の exotic な QFT である ϕ 理論 [16] をレビューする．この模型はフラクトンを持つわけではないが，部分系対称性を持つ最も簡単な場の理論の 1 つである．この章では，自己双対性や場の配位，普遍性などについても詳しく述べる．
後半部分は筆者らの研究である [1] に基づく．第 4 章では，2 + 1 次元のフラクトン系の BF理論を考える．まず格子模型である ZN plaquette Ising 模型（例えばレビューとして [40]）及び ZN 格子テンソルゲージ理論 [16] を見る．次にそれらの連続場の QFT である foliated BF
理論と exotic BF 理論 [16] を場の発散や不連続性に注意しながら解説する．その後，それらの間のゲージ不変演算子を同一視することによって，ゲージ場とゲージパラメーターを対応させる．その際，帯演算子をリモートに検出（remotely detactable [41, 42]）できないような演
算子で修正する必要があることを考察する．最後の節では，基底状態の縮退度や robustnessについて [16] を簡単にレビューする．第 5 章では，前の章と同様の議論を 3 + 1 次元で行う．
最初に格子模型である ZN A 格子テンソルゲージ理論，ZN Â 格子テンソルゲージ理論，ZN

X-cube 模型をレビューする [18]．次に，foliated BF 理論 [23–25]，exotic BF 理論 [14, 18]
をレビューし，それらの間のゲージ場とゲージパラメーターの対応を調べる．ここでも最後の節では基底状態の縮退度や robustness について [18] を簡単にレビューする．
付録では，通常の 1 + 1 次元の相対論的な BF 理論についてレビューする．フラクトン系のBF 理論は，通常の BF 理論の場合のアナロジーとして理解できる場合が多い．
本論文では，格子模型については簡単なレビューに留め，フラクトン相についての詳細な解説は行わない．また，フラクトン系に現れる部分系対称性には混合アノマリーが存在する [21]が，アノマリーについては一切言及しない．細かい部分としては，格子模型の foliation による構成 [8] は扱わない．また，2 + 1 次元のフラクトン系の BF 理論では電磁双対による記述も調べ，スカラー場の対応も明らかにするが，3 + 1 次元では割愛する．

6

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第2章

フラクトン系
この章では，Z2 X-cube 模型 [7] を具体例として紹介し，フラクトンの格子模型の性質を見る．フラクトン相についての記述は，レビュー [2, 3] を参考にした．

2.1 フラクトン系と部分系対称性
フラクトン相は，以下のような性質を持つフラクトン模型によって記述される物質の相である．フラクトン模型の最も特徴的な性質は，部分系対称性を持つことである．通常の d + 1 次元の理論の大域的対称性は，対称性演算子が d 次元空間全体の上で定義されている演算子である．一方で部分系対称性は，特定の方向の平面や直線などの低次元の部分多様体上で定義される大域的対称性である．余次元が 1 より大きい低次元の多様体上の大域的対称性に高次対称性 [31] があるが，通常の大域的対称性やこれらの高次対称性は，定義されている多様体を（他に演算子の挿入がなければ）自由に変形できるトポロジカルな対称性である．一方で，フラクトン模型における部分系対称性は，その模型の格子の形に依存し，自由に多様体の形を変形させた場合にはゲージ不変性が破れる非トポロジカルな演算子である．
そのような特徴的な対称性に対応して，フラクトン模型は部分系上のみを移動することができる特徴的な励起を持つことがある．そのような励起のうち，単体では移動できない励起をフラクトン（fracton），1 次元上のみ移動できる励起をライネオン（lineon），2 次元平面上のみを移動できる励起をプラノン（planon）と呼ぶ．また，それらの励起は部分系対称性に対して電荷を持ち，その双極子などは移動可能な方向が変化する．例えば，以下の X-cube 模型 [7]では，フラクトンの双極子はライネオン，またはプラノンのように振る舞い，ライネオンの双極子はプラノンのように振る舞う．
部分系対称性は部分多様体ごとに存在し，大きな基底状態の縮退度を生む．空間が周期境界条件を満たすトーラスの場合を考えると，非可縮な部分系対称性は基底状態に非自明に作用
し，自発的に破れている．この場合，基底状態の縮退度は系の大きさ（ある方向の格子の数）の指数関数のスケールとなり，非常に大きな縮退度となる．

7

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また，単体の励起をリモートに検出するような空間の演算子も存在する．そのような演算子
は，励起と交点を持たないような多様体で励起を囲むと位相を出すような演算子である．このような演算子は後の QFT の記述で time-like 対称性 [43] と呼ばれるものになる．
フラクトン格子模型としては，フラクトンとライネオンの励起を持つ X-cube 模型が最も有名であり，以下では具体的にその性質を調べる．フラクトン模型としては，他にも Ising

cage-net 模型 [9] などの模型が存在する．また，部分系対称性がフラクタル構造を持つような模型 [5, 44, 45] も存在する．*1

2.2 Z2 X-cube 模型
X-cube 模型 [7] は，最も有名なフラクトンの励起を有する可解なスピン模型である．空間の座標を (x1 , x2 , x3 ) とする 3 次元空間に格子定数 a の立方格子があるとする．xk 方向には

Lk 個のリンクがあり，周期的境界条件をとる．リンクの総数は 3L1 L2 L3 個であり，そのそれぞれに Hilbert 空間を割り当てることにする．ここで考える X-cube 模型は Z2 X-cube 模型であり，各リンク e の Hilbert 空間は 2 次元の He = {|0⟩e , |1⟩e } で Pauli 行列 Xe = σe1 ，Ze = σe3 が Xe |0⟩e = |1⟩e ，Xe |1⟩e = |0⟩e ，Ze |0⟩e = |0⟩，Ze |1⟩e = − |1⟩ と作用している．
Pauli 行列は (Xe )2 = 1，(Ze )2 = 1，Xe Ze = −Ze Xe を満たし，交換によって出る位相が
e2πi/2 = −1 となっていている．このとき対称性の群は Z2 となる．*2 全体の状態空間は各リン
N
3L1 L2 L3
ク上の Hilbert 空間のテンソル積 H =次元である．
e He であり，22.2.1 Hamiltonian と励起Z2 X-cube 模型は以下の Hamiltonian で記述される：XX
H = −κ2
A1v + A2v + A3v − γ 2Bcv:sites(2.2.1)

c:cubesである．ここで，v はサイトを表し，Akv はサイト v から伸びる xk 方向以外の 4 つのリンク
上の Ze のテンソル積である．また，c は 12 個のリンクで囲まれた（最小の）立方体であるキューブを表し，Bc はその 12 個のリンク上の Xe のテンソル積である（図 2.1）
．同一のリンクの Xe と Ze が交換するときには負号が出るが，それが偶数個の場合は交換するため，すべての Akv と Bc は交換する．したがって，Akv と Bc の同時固有状態を取ることができ，各固有値が ±1 であることからすべての Akv と Bc の固有値が 1 の状態が基底状態である．基底状態の縮退度は後で議論する．状態空間は基底状態に対して Pauli 行列をかけることで生成できる．

*1 フラクタル構造の対称性を持つ模型は，フラクタルな演算子の端にフラクトンが現れる．このような模型はType-II と呼ばれ，それに対して X-cube 模型などの模型は Type-I と呼ばれる．
*2 これは容易に ZN に拡張することができ，後の章で実際に ZN の模型を見る．

8

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𝑍𝑒

𝑥

3

𝑣

𝑣

𝑣

𝑐

𝐴1𝑣

𝐴2𝑣

𝐴3𝑣

𝐵𝑐

𝑋𝑒

𝑥2
𝑥1
図 2.1

Z2 X-cube 模型の各項基底状態を一つ取り，その状態に対して Ze をかけると，そのリンクを囲むような 4 つのキューブ c に対し Bc が −1 となり，エネルギーが 4 × 2γ 2 だけ増加する．この Bc の固有値が −1 となるキューブ c は，どんな Pauli 行列をかけても単体で移動させることができない．
このような Bc の固有値が −1 となっている c には，単体では動くことができないエネルギーギャップのある励起が局在しており，これがフラクトンである（図 2.2）．Ze はその周りに 4つのフラクトンを励起する演算子である．また，xk 軸に沿ったフラクトンのペア（双極子*3 ）は，いくつかの Ze をかけることによって xk 以外の方向に動くことができる．このような xk
軸に沿ったフラクトンの双極子は，それ以外の方向の平面上のみを動くことができ，プラノン
として振る舞う．また，軸に沿わない平面上のペアの場合は，それ以外の方向に動くことができ，ライネオンとして振る舞う．単体のフラクトンはそのままでは動くことができないが，2つのフラクトンのペアを生成しながら隣に動くことはできる．
一方で，基底状態に対して xk 軸に沿ったリンク上の Xe をかけると，そのリンクの両端のサイト v 上の Akv のうち，i ̸= k となる Aiv の固有値が −1 となり，エネルギーが 2 × 4κ2 だけ増える．Xe を伸ばすように同じ方向の Xe′ をかけると，固有値が −1 となるサイトはその方向に移動する．この直線上に繋がった Xe の両端にある励起は，単体ではその直線の方向にし．これはライネオンであり，特に動くことができる方向を明示
か動くことができない（図 2.3）
して xk -ライネオンと呼ぶ．ライネオンは Akv の固有値によって特徴づけられる．例えば，折れ曲がって繋がった Xe と Xe′ の間にそれ以外の方向のライネオンが現れる．これは，ライネオンが直角に曲がる場合はもう 1 つライネオンを生成しなければならないことを意味する．
特に x1 -ライネオンと x2 -ライネオンと x3 -ライネオンが重なると消滅する．また，xk 方向に沿った xi -ライネオン（i ̸= k ）の双極子は，xk 以外の方向に直角に曲がることができ，平面上のみを動け，プラノンとして振る舞う．

*3 ZN X-cube 模型のフラクトンなどの励起は ZN の電荷を持つが，Z2 の場合は区別されない．

9

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𝐵𝑐 = −1𝐴2𝑣 = 𝐴3𝑣 = −1

𝑥3

𝐴3𝑣 = 𝐴1𝑣 = −1

𝑥3

𝑥2

𝑥2
𝑥1

𝑥1

𝑍𝑒

図 2.2

フラクトンの励起

𝑋𝑒

図 2.3

𝐴1𝑣 = 𝐴2𝑣 = −1

ライネオンの励起

2.2.2 部分系対称性
X-cube 模型には，Hamiltonian と交換する非局所的な演算子が存在する．この演算子は非可縮な多様体上で定義されている場合はロジカル演算子と呼ばれ，この演算子をかけることによって基底状態は別の基底状態に移る．また，この演算子は，部分系上の対称性電荷とも考えられ，部分系対称性の例となっている．

1 つ目の保存電荷は，(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) に対しY
Wk (C1ij ) =Ze(2.2.2)e∈C1ijij

ijである．ここで，C1 は (xi , xj ) 平面の双対格子のリンク上の閉折れ線であり，積は C1 と交わるリンク e について取る（図 2.4）
．この対称性は Z2 dipole 対称性と呼ばれる．この演算子ijは，C1 の変形によって別の演算子に移り，トポロジカルな演算子ではない．

2 つ目の保存電荷は，k = 1, 2, 3 に対し
Lk (C1k ) =YXe(2.2.3)e∈C1kである．ここで，C1k は xk 方向に伸びたリンク上の閉直線であり，積はその上のリンク e について取る．この対称性は Z2 tensor 対称性と呼ばれる．この演算子は，C1k を変形できず，トポロジカルな演算子ではない．
これらの 2 つの保存電荷は，交換によってその交叉数だけ −1 が出る．

10

Soryushiron Kenkyu

𝐶112

𝑥2
𝑍𝑒

𝑥1
図 2.4

Z2 dipole 対称性の保存電荷

2.2.3 基底状態の縮退度
X-cube 模型は，基底状態の縮退度の対数が系の大きさ L のスケールであり，系の大きさに依存する巨大な縮退度を持つ．Z2 X-cube 模型の場合は，基底状態の縮退度は 22L +2L +2L −3 と
1

2

3

1

2

なる．基底状態の縮退度は以下のように数えることができる．まず，系の状態空間は 23L L L

3であるが，これらのうちですべての c，v ，k に対して

Bc |GS⟩ = |GS⟩ ,(2.2.4a)

Akv |GS⟩ = |GS⟩

(2.2.4b)を満たすものが基底状態である．このような条件 1 つにつき状態数は 1/2 となるため，独立な条件を数えることにする．まず，Akv |GS⟩ = |GS⟩ の条件の個数は 3L1 L2 L3 個であるが，A1v A2v A3v = 1 から L1 L2 L3 個が従属である．また，(x2 , x3 ) 平面上のすべての A1v の積が 1 であることから L1 個，(x3 , x1 ) 平面上のすべての A2v の積が 1 であることから L2 個が従属である．(x1 , x2 ) 平面上のすべての A3v の積が 1 であるという条件は，A1v A2v A3v = 1 と前の 2 つの平面の条件を合わせると L3 − 1 個が従属である．したがって，Akv に関する独立な条件は

3L1 L2 L3 − (L1 L2 L3 + L1 + L2 + L3 − 1) = 2L1 L2 L3 − L1 − L2 − L3 + 1 個である．次に，Bc の条件を考える．Bc |GS⟩ = |GS⟩ の条件の個数は L1 L2 L3 個であるが，空間上のすべての Bc をかけると 1 になるということから 1 個が従属である．また，ある平面上のすべてのBc の積が 1 となるが，上の空間上のすべての Bc の積が 1 であるという条件を除くと，従属な条件は (L1 − 1) + (L2 − 1) + (L3 − 1) 個である．したがって，Bc に関しての独立な条件の個数は L1 L2 L3 − (1 + L1 − 1 + L2 − 1 + L3 − 1) = L1 L2 L3 − L1 − L2 − L3 + 2 個である．以上を踏まえると，独立な条件の数は (2L1 L2 L3 − L1 − L2 − L3 + 1) + (L1 L2 L3 − L1 −L2 − L3 + 2) = 3L1 L2 L3 − 2L1 − 2L2 − 2L3 + 3 個である．よって，基底状態の縮退度は23L L L −(3L L L −2L −2L −2L +3) = 22L +2L +2L −3 であることがわかる．
1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

11

3

Soryushiron Kenkyu

2.2.4 リモートな検出
この節では，後の QFT で time-like 対称性 [43] と呼ばれる演算子について議論する．この演算子は，励起がリモートに空間的な演算子で検出されうるべきという考えに基づく [41, 42]．
フラクトンを検出するような演算子は，Xe を直方体の辺上で積をとった籠演算子 T である．
その直方体の内部に単体のフラクトンが存在する状態を考える．この場合，フラクトンはその直方体の外部に連なるような Ze の積によって生成されているため，そのうちの 1 つが直方体の辺の 1 つと交わり，籠演算子 T をかけると負号が出てフラクトンを検出できる（図 2.5）
．一方で，ライネオンを検出するような演算子は，双対格子上の直方体の面のうち，xk 方向と直交するような面以外の 4 つの面上に存在する，その面と直交するようなリンク上の Ze すべての積であるベルト演算子 Uk である．直方体の内部に単体の xk -ライネオンが存在する状態を考える．この場合，直方体の外部に伸びるような xk 方向の Xe の積によってライネオンが生成されているか，もしくは残り 2 つの方向に伸びるような直線が交わる部分が直方体の内部にあるような折れ線の Xe の積によってライネオンが生成されている．この状態に，i ̸= k に対するベルト演算子 Ui をかけると，負号が出て xk -ライネオンを検出できる（図 2.6）
．

=

𝑇
𝑥3

𝑥2

−1

𝑥1
𝑋𝑒

𝑍𝑒
図 2.5

フラクトンを検出する籠演算子

𝑈2

𝑈3

−1

𝑥3

−1

𝑥2
𝑥1

𝑋𝑒

図 2.6

ライネオンを検出するベルト演算子

𝑍𝑒

12

Soryushiron Kenkyu

第3章

2+1 次元における ϕ 理論
この章では，部分系対称性を持つスカラー場の理論である 2 + 1 次元の ϕ 理論 [16] をレビューする．この理論は，共形場理論である 1 + 1 次元のコンパクトスカラー場の理論のアナロジーとして理解することができる．*1 ϕ 理論は，ギャップレスな exotic 理論であり，部分系
対称性は存在するが，フラクトンの励起などは存在しない．一方で，不連続性を持つ場の配位や普遍性などにフラクトン系の特徴を持つ．

3.1 場の理論における部分系対称性
まず，場の理論における部分系対称性について説明する．部分系対称性は，通常の大域的対称性の概念を拡張した一般化大域的対称性である．以下では連続的対称性について考える．後の章での BF 理論では ZN 対称性を考えるが，その場合はカレントはなく，ZN 演算子で対称性が記述されることになる．

d + 1 次元での通常の大域的対称性では，Noether カレント (J0 , J i ) は保存則
X
∂ 0 J0 +∂i J i = 0(3.1.1)i=1,2,...,dを満たし，保存電荷は

Z
Q=

J0

(3.1.2)

space

である．
上の通常の大域的対称性の概念を拡張し，カレントが (J0I , J K ) である場合を考える．ここで，I ，K は回転群の表現 Rtime 及び Rspace の添字である．保存則は以下の形を満たすと*1 1 + 1 次元のスカラー場の理論を空間の x1 及び x2 方向に foliation することで構成できる可能性はあるが，具体的な構成は与えられていない．

13

Soryushiron Kenkyu

する：∂0 J0I =X

ij...,I∂ i ∂ j · · · J K fK.

(3.1.3)

i,j,...;K
ij...,I

ここで，fKは不変テンソルである．右辺の偏微分が一階の場合は I ，K のテンソル性からテンソル対称性，偏微分が二階の場合は dipole 対称性と呼ぶ [17]．このとき保存電荷は

Z
I

J0I

Q [ΣI ] =(3.1.4)

ΣIとなる．ここで，ΣI は，d より低い次元の部分空間である．QI [ΣI ] は部分空間上の電荷であるため，一般化大域的対称性である高次対称性 [31] と似ているが，ΣI の空間上での位置に依存し，トポロジカルでない点が異なっている．

3.2 XY-plaquette 模型と ϕ 理論
以下では，時空は x0 を Euclid 時間とし，x1 ，x2 を空間 2 次元の座標とする．また，各方向の長さは l0 ，l1 ，l2 であるとし，時空は周期的である，つまり 3 次元トーラスであるとする．
格子模型は正方格子で考え，格子定数を a とし，x1 方向に L1 = l1 /a 個，x2 方向に L2 = l2 /a
個あり，x̂k = xk /a とする．部分系対称性を持つ理論の特徴として，低エネルギー極限である連続場の QFT でも格子模型の空間の 90 度の回転対称性 Z4 がそのまま残り，連続的に回転対称な理論とはならない．また，時空は連続的であるのに対し，場は不連続な配位が重要な役割を持つ．

3.2.1 2+1 次元の XY-plaquette 模型
ϕ 理論の格子模型である XY-plaquette 模型 [46] について説明する．正方格子の各サイト sに位相 eiϕs があるとする．ϕs は ϕs ∼ ϕs + 2π の周期性を満たす．ϕs の共役運動量を πs と書くと，これらは [ϕs , πs′ ] = iδs,s′ を満たす．Hamiltionian は

H=

X
uX
(πs )2 − Kcos(∆12 ϕs ) .
2 ss(3.2.1)

ここで，∆12 ϕx̂1 ,x̂2 = ϕx̂1 +1,x̂2 +1 − ϕx̂1 +1,x̂2 − ϕx̂1 ,x̂2 +1 + ϕx̂1 ,x̂2 である．この格子模型は，
以下のような momentum dipole 大域的対称性と呼ばれる直線上の部分系対称性を持つ．各x̂1 = x̂10 にある x2 軸方向に沿った直線上の U (1) 大域的変換
ϕx̂10 ,x̂2 → ϕx̂10 ,x̂2 + φx̂10 ,14

for all x̂2(3.2.2)

Soryushiron Kenkyu

を考えると，この変換のもとで Hamiltonian は不変である．保存電荷は
LY
2

U1 (x̂10 ) =πx̂10 ,x̂2

(3.2.3)x̂2 =1

である．同様に，x1 軸方向に沿った直線上の U (1) 大域的変換

ϕx̂1 ,x̂20 → ϕx̂1 ,x̂20 + φx̂20 ,for all x̂1(3.2.4)のもとでも Hamiltonian は不変であり，保存電荷は
LY
1

U2 (x̂20 ) =πx̂1 ,x̂20(3.2.5)x̂1 =1

である．これらの部分系対称性のうち，すべての x̂1 にある x2 軸方向に沿った直線上で同じ φだけ変換することと，すべての x̂2 にある x1 軸方向に沿った直線上で同じ φ だけ変換することは等価である．したがって，独立な対称性の数は L1 + L2 − 1 個である．

3.2.2 連続極限と場の配位次に，連続極限をどう考えればよいかを議論する．XY-plaquette 模型では，相互作用はプラケット（格子の最小の正方形）の形であり，exp[i∆12 ϕs ] となる．典型的な格子の配位は，∆12 ϕs ∼ 1 となるものである．連続極限では，
a2
≪1
l2

∆12 ϕs ∼(3.2.6)となる配位を考える．ここで，l は系の大きさである．このとき，二階微分を∂1 ∂2 ϕs =1
∆12 ϕsa2(3.2.7)とする．∆12 ϕs は 4 点での差なので，∆12 ϕs は十分小さくても隣合う ϕs の差が小さいとは限らない．例えば，x1 方向に不連続に依存し x2 には依存しない配位は ∆12 ϕs = 0 であり，考えている配位に含まれている．したがって，∂i ϕ は well-deﬁned ではない．上の配位の他に，∆12 ϕs ∼a≪1l(3.2.8)となる配位も考えられる．この配位では，∂1 ∂2 ϕs ∼ 1/(al) となり，デルタ関数（∼ 1/a）を含むことになる．また，典型的な格子の配位 ∆12 ϕs ∼ 1 は，∂1 ∂2 ϕs ∼ 1/a2 となり，連続極限では取り除かれる．
場の理論の観点からは，局所的なパッチの中で R 値のスカラー場 ϕ であって，ゲージ変換

ϕ → ϕ + 2π t̃1 + 2π t̃2(3.2.9)で同一視されるものを考えることになる．ここで，t̃k は xk のみに依存する整数値関数であり，15

Soryushiron Kenkyu

xk 方向にステップ関数の不連続性を持つことができる．これは，後述する momentum dipole
対称性を U (1) とするために R を Z でゲージ化するということである．このようなゲージ変換のもとでは，∂0 ϕ，∂1 ∂2 ϕ，eiϕ は well-deﬁned になるが，ϕ，∂i ϕ は演算子として well-deﬁned
でない．パッチの重なる部分では，ゲージ変換と同じ形の以下の変換関数を持つ：

ϕ(2) = ϕ(1) + g(12) ,g(12) = 2π t̃1(12) + 2π t̃2(12) .

(3.2.10)

パッチが 3 つ重なる部分では，変換関数 g(ij) は，

g(12) + g(23) + g(31) = 0(3.2.11)というコサイクル条件を満たす．また，g(ij) は，一価でなくてもよく，2π の整数倍に値を持
つそれ自身の変換関数を持つ．

3.2.3 2+1 次元の ϕ 理論
この節では，XY-plaquette 模型の連続的 QFT である ϕ 理論を考える．この理論は，Lorentz
対称性を持たず，回転対称性も 90 度回転 Z4 の対称性しか持たない．この理論は，離散的な回転対称性 Z4 の表現であるコンパクトスカラー場を持つ．Z4 の既約表現は 1 次元のものが 4
つあるが，それを 1n (n = 0, ±1, 2) と書く．n はスピンと呼ぶが，スピン n の表現は 90 度回転によって e2πin/4 だけ位相がかかるものである．コンパクトスカラー ϕ（ϕ ∼ ϕ + 2π ）は前節のゲージ変換を持つ表現 10 の場である．Lagrangian は

L=

µ0
1
(∂0 ϕ)2 +(∂1 ∂2 ϕ)222µ(3.2.12)である．µ0 ，µ は質量次元 1 とし，ϕ は質量次元 0 である．運動方程式はµ0 ∂02 ϕ −1 2 2∂ ∂ ϕ=0µ 1 2(3.2.13)である．この運動方程式から，表現 (10 , 12 ) のカレント

J0 = µ0 ∂ 0 ϕ ,1J 12 = ∂1 ∂2 ϕµ

(3.2.14a)(3.2.14b)は，保存則∂0 J0 = ∂1 ∂2 J 12

16

(3.2.15)

Soryushiron Kenkyu

を満たすことがわかる．この対称性は U (1) momentum dipole 対称性と呼ばれ，保存電荷は

I
1

Q [C12 (x1 )] =I
Q [C11 (x2 )] =dx2 J0 ,(3.2.16a)

dx1 J0(3.2.16b)

C12 (x1 )

2

C11 (x2 )である．ここで，C1k (xr ) は xr にある xk 方向に沿った (x1 , x2 ) 平面上の直線である．これらの値は定義されている直線ごとに異なるため，部分系対称性である．また，これらの電荷は

I

I
C11

dx1 Q1 [C12 (x1 )] =C12

dx2 Q2 [C11 (x2 )](3.2.17)を満たす．したがって，空間を格子で正規化した場合，momentum dipole 対称性の数は

L1 + L2 − 1 個となる．場の変換としては，
ϕ(x0 , x1 , x2 ) → ϕ(x0 , x1 , x2 ) + c1 (x1 ) + c2 (x2 )(3.2.18)



である．この変換は，正準交換関係 ϕ(x0 , x1 , x2 ), µ0 ∂0 ϕ(x0 , y 1 , y 2 ) = iδ 2 (x1 − y 1 , x2 − y 2 )
を用いて，

" I

#

I
1 1

exp i
C11 (x2 )

1

2 2

1

dx c (x )Q [C12 (x1 )] + i

C12 (x2 )22dx c (x )Q [C11 (x2 )](3.2.19)を ϕ に作用させることで得られる．また，この理論は U (1) winding 対称性も持つ．カレント1∂1 ∂2 ϕ ,
2π
1
J=
∂0 ϕ
2π

J012 =(3.2.20a)(3.2.20b)は表現 (12 , 10 ) に属し，保存則∂0 J012 = ∂1 ∂2 J

(3.2.21)を満たす．保存電荷は

I
2 1
Q12
1 [C1 (x )] =

I
1 2
Q12
2 [C1 (x )] =C12 (x1 )C11 (x2 )dx2 J012 ,(3.2.22a)dx1 J012(3.2.22b)である．これらは momentum dipole 対称性と同様に

I

I
C11

2 1
dx1 Q12
1 [C1 (x )] =

C12

1 2
dx2 Q122 [C1 (x )](3.2.23)を満たし，空間を格子で正規化した場合，winding 対称性の数は L1 + L2 − 1 個となる．

17

Soryushiron Kenkyu

3.2.4 自己双対性
2 + 1 次元の ϕ 理論は自己双対性を持つ．この双対性は，1 + 1 次元のコンパクトスカラー場の理論の T 双対性のアナロジーになっている．また，後の章では，これを電磁双対と呼ぶ．

ϕ 理論の Lagrangian を以下のように書く：
L=

µ0
i
1
i 12
(B)2 +
E12 E 12 +B̂ (∂1 ∂2 ϕ − E12 ) +Ê (∂0 ϕ − B) .
2
2µ
2π
2π

(3.2.24)

ここで，B ，Ê はスピン 0 の補助場，E12 ，B̂ 12 はスピン 2 の補助場である．B̂ 12 及び Ê を経
路積分すれば，(3.2.12) になる．一方で，B 及び E12 を経路積分すれば，

i
Ê ,
2π
i 12
1 12
E =
B̂
µ
2π
µ0 B =(3.2.25a)(3.2.25b)が得られ，代入して

L=

µ
i 12
i
1
Ê 2 + 2 B̂12 B̂ 12 +B̂ ∂1 ∂2 ϕ +Ê ∂0 ϕ
2
8π µ0
8µ
2π
2π

(3.2.26)となる．ここで，さらに ϕ を経路積分すると，∂0 Ê = ∂1 ∂2 B̂ 12(3.2.27)Ê = ∂1 ∂2 ϕ12 ,(3.2.28a)が得られる．これを局所的に解くと，B̂ 12 = ∂0 ϕ12(3.2.28b)と書ける．ここで，ϕ12 はスピン 2 のスカラー場である．これを Lagrangian に代入すれば，L=

1µ(∂1 ∂2 ϕ12 )2 + 2 (∂0 ϕ12 )2
8π 2 µ08π(3.2.29)となる．これは，µ̂0 = µ/4π 2 ，µ̂ = 4π 2 µ0 と置けば，(3.2.12) と同じ形になっている．ϕ12 は

ϕ と同様に，ゲージ変換
ϕ12 → ϕ12 + 2π m̃1 − 2π m̃2(3.2.30)を持つとする．ここで，m̃k は xk のみに依存する整数値関数であり，ステップ関数の不連続性を持つ．ϕ と ϕ12 は Z4 の表現としてスピンが異なるが，回転に対し，荷電共役 C : ϕ → −ϕをかけるという自己同型によってスピンを移すことができるため，µ = 4π 2 µ0 において，もと18

Soryushiron Kenkyu

ˆの理論と完全に一致する．大域的対称性は，表現 (12 , 10 ) のカレント (Jˆ012 , J)Jˆ012 = µ̂0 ∂0 ϕ12 ,1Jˆ = ∂1 ∂2 ϕ12 ,µ̂
12∂0 Jˆ0 = ∂1 ∂2 Jˆ

(3.2.31a)(3.2.31b)(3.2.31c)

によって記述される U (1) momentum dipole 対称性，及び表現 (10 , 12 ) のカレント (Jˆ0 , Jˆ12 )1
Jˆ0 =∂1 ∂2 ϕ12 ,2π
1∂0 ϕ12 ,Jˆ12 =
2π∂0 Jˆ0 = ∂1 ∂2 Jˆ12

(3.2.32a)(3.2.32b)(3.2.32c)

によって記述される U (1) winding dipole 対称性を持つ．上の補助場の関係式から得られる ϕと ϕ12 の間の関係式i∂1 ∂2 ϕ12 ,2πi
1∂1 ∂2 ϕ =∂0 ϕ12µ2πµ0 ∂ 0 ϕ =(3.2.33a)(3.2.33b)を用いることによって，（係数を適切に規格化すると）双対を取ることで momentum dipole 対称性と winding dipole 対称性が入れ替わっていることがわかる．

3.2.5 Momentum mode と winding modeϕ 理論では，通常の連続的な場の配位に加え，Hamiltonian が発散するような配位も重要な役割を持つ．この節では，簡単のため計量の空間成分に負号がつく Minkowski 空間で考える．
このとき，Lagrangian（密度）は

LM =

1
µ0
(∂0 ϕ)2 −(∂1 ∂2 ϕ)222µ(3.2.34)である．
まず，momentum dipole 対称性に対して電荷を持つ以下の momentum mode を考える：

ϕ(x0 , x1 , x2 ) = ϕ1 (x0 , x1 ) + ϕ2 (x0 , x2 ) .

(3.2.35)

この配位は，平面波解の場合を考えると，運動方程式 (3.2.13) を満たす場合はエネルギーが0 の配位となっている．これらは，momentum dipole 対称性の作用で別の配位に移るため，
古典的にはこの対称性が自発的に破れているように見える．しかしながら，量子論を考えると，momentum mode は Hamiltonian が発散するような配位であり，基底状態とならない．

19

Soryushiron Kenkyu

Lagrangian を考えると，

 I
I
I
I
µ0 2
1 ˙1
2 ˙2
1 ˙1 21
2 ˙2 2dx ϕ
ldx (ϕ ) + ldx (ϕ ) + 2 dx ϕLM =2

(3.2.36)であるので，共役運動量は，

π 1 (x0 , x1 ) =δLM= µ0 l2 ϕ˙1 +
˙
1
δϕ

δLM
π (x , x ) == µ0 l1 ϕ˙2 +
˙
2
δϕ
2

0

I
dx2 ϕ˙2 ,(3.2.37a)

dx1 ϕ˙1(3.2.37b)I2である．Momentum dipole 対称性の電荷 (3.2.16a)，(3.2.16b) と比較すると，Q1 = π 1 ，Q2 = π 2 となることがわかるが，Qk は U (1) の電荷であり，任意の xk の区間で積分すると整数となる．したがって，

π 1 (x1 ) = Q1 =X

Nα1 δ(x1 − x1α ) ,(3.2.38a)Nβ2 δ(x2 − x2β )(3.2.38b)α

π 2 (x2 ) = Q2 =X
βと書ける．ここで，N = Nα1 ，Nβ2 は整数であり，(3.2.17) からP

1
α Nα =P

2
β Nβ を満たす．

Hamiltonian はII
1 1 ˙1
H = dx π ϕ + dx2 π 2 ϕ˙2 − LM
 I

I
I
I
1
1
1 1 2
2
2 2 2
1 1
2 2
l
dx (π ) + ldx (π ) − dx π
dx π=
2µ0 l1 l2(3.2.39)と書ける．ここに π k を代入することで，


H=

X

1
l 1
(Nα1 )2 δ(0) + l2
2µ0 l1 l2
αX

(Nβ2 )2 δ(0) − N 2 (3.2.40)βが得られる．δ(0) ∼ 1/a より，momentum mode のエネルギースケールは 1/(µ0 la) であり，a → 0 で発散することになる．このような配位は通常理論に寄与することはないが，

momentum dipole 対称性の電荷を持っているため，単純に捨て去ることはできない．
次に．winding dipole 対称性の電荷を持つ以下の winding mode を考える：



1 X

x
ϕ(x0 , x1 , x2 ) = 2π  1lWβ2 θ(x2 − x2β ) +β

ここで，Wα1 ，Wβ2 は整数であり，W =

P

αW

2 X

x
l2

1

=


Wα1 θ(x1 − x1α ) − W

α

P

1 2

x x 
. (3.2.41)
l1 l2

2
1
β Wβ である．この配位は，例えば x 方

向に一周した場合，

ϕ(x0 , x1 + l1 , x2 ) − ϕ(x0 , x1 , x2 ) = 2π

X
β

20

Wβ2 θ(x2 − x2β )(3.2.42)

Soryushiron Kenkyuとなり，変換関数 2π

P

2
2
2
β Wβ θ(x − xβ ) を除いて周期的になっている．この配位は winding

dipole 対称性の電荷
1Q121 (x ) =2Q122 (x ) =

1
2π
1
2π

I
dx2 ∂1 ∂2 ϕ =X

Wα1 δ(x1 − x1α ) ,(3.2.43a)Wβ2 δ(x2 − x2β )(3.2.43b)αIdx1 ∂1 ∂2 ϕ =を持つ．全体の winding charge c(ϕ) =X
βH

dx1 Q121 =H

dx2 Q12
2 は，W である．この winding

mode に対し，Hamiltonian は，
I
I
1
1
H=
dx
dx2 (∂1 ∂2 ϕ)2
2µ


2
X
X
2π
(Wβ2 )2 δ(0) − W 2 (Wα1 )2 δ(0) + l2
= 1 2 l 1µl l
α(3.2.44)βとなるので，エネルギースケールは 1/(µla) であり，a → 0 で発散することになる．

3.2.6 普遍性
通常の低エネルギー（IR）の有効理論である場の理論には普遍性がある．普遍性とは，系の高エネルギー（UV）での理論のパラメーターが低エネルギーの観測量に影響しないということである．UV の理論では，多くの irrelevant な項が含まれているが，これらは a のべきで抑えられるため，低エネルギー領域では無視できる．そのため，低エネルギーの場の理論では，

Lagrangian の中で微分が低次の relevant な項だけを考えればよい．一方，フラクトン的な性質を持つ ϕ 理論では場の配位として不連続なものが含まれ，高次の微分の項も低次の微分の項と同じオーダーの寄与を持つ．これは，UV の理論と IR の理論が完全には分離されていないことを意味し，UV/IR 混合の具体例となっている．
例えば，g(∂0 ∂1 ϕ)2 という項を考える．g は，主要項の µ20 (∂0 ϕ)2 と比較すると空間微分が 2つ多いため，a2 のオーダーとなる．この項は，連続的な場の配位では主要項より寄与が小さ
いが，π ∼ ∂0 ϕ がデルタ関数の和になる momentum mode では，Hamiltonian への寄与を計算すると ∂12 δ(0) ∼ 1/a3 の項が出るため，主要項と同様に g/a3 ∼ 1/a のオーダーの寄与を持
1
つ．もう一方の例として，g(∂12 ∂2 ϕ)2 を考える．g は，主要項の 2µ(∂1 ∂2 ϕ)2 と比較すると空間微分が 2 つ多いため，a2 のオーダーとなる．ϕ がステップ関数の和となる winding modeを考えると，上の例と同様に Hamiltonian に g/a3 ∼ 1/a のオーダーの寄与を持つ．
このように，高次の項は，momentum mode と winding mode の存在によって Hamiltonianに寄与するため，定量的には普遍性が成り立たない．一方で，高次の項はすべて 1/a のオーダーで寄与するため，定性的な振る舞いは高次の項によって変化しない．

21

Soryushiron Kenkyu

3.2.7 Robustness
UV の理論の大域的対称性を GUV ，IR の理論の大域的対称性を GIR とする．UV の理論
を微小変形したときに，IR の理論の対称性が壊れるかどうかは，IR で GIR を壊すような

relevant な演算子があるかどうかによる．もしそのような演算子がなければ，GIR は robust
であるという．一方でそのような relevant な演算子が存在するならば，UV の理論の微小変形によって IR の対称性 GIR は壊れることになり，robust ではない．この場合は，IR での対称性は ﬁne tuning によって実現している．以下では，RG ﬂow*2 を GUV を保ちながら行うことにし，GIR は GUV に対応する対称性に加えて新たな対称性が enhance しているとする．この場合，enhance が robust であるかどうかは，GUV では不変だが GIR では不変でないような

relevant な演算子があるかどうかによる．
ϕ 理論の場合，UV の理論を XY-plaquette 模型とすると，GUV は momentum dipole 対称性を持ち，winding dipole 対称性は持たない．一方で，GIR は momentum dipole 対称性と winding dipole 対称性の両方を持つ．このとき，GUV では不変だが GIR では不変でない演算子として，winding dipole 対称性の電荷を持つ eiϕ12が存在する．この演算子によって生成される状態は，winding mode のエネルギーを持つため，エネルギースケールは 1/a とな
り，低エネルギー極限で自明な演算子となって irrelevant である．したがって，この演算子はrobustness に影響しない．つまり，XY-plaquette 模型の対称性を保つ微小変形によって，IRの ϕ 理論は irrelevant な変形しか起こらず，GIR は robust である．

*2 くりこみ流．フラクトン系の場合は，くりこみがどのようなものかははっきりとわかっていない．

22

Soryushiron Kenkyu

第4章

2+1 次元のフラクトン系の BF 理論
この章では 2 + 1 次元におけるフラクトン系の BF 理論である folited BF 理論と exotic

BF 理論を考える．これらはどちらも ZN plaquette Ising 模型（例えば [40]）及び ZN 格子
テンソルゲージ理論 [16] の低エネルギー極限の QFT だと考えられており，それらは部分系対称性やフラクトンの励起を持つ．これらの BF 理論は同じ理論を表していると考えられており，実際に後で明示的に場の対応を示す．
第 3 章と同様に，時空は x0 を Euclid 時間とし，x1 ，x2 を空間 2 次元の座標とする．また，時空は周期的である，つまり 3 次元トーラスであるとする．各方向の長さは l0 ，l1 ，l2 であるとする．格子模型は正方格子で考えるが，低エネルギー極限である連続場の QFT でも格子模型の空間の 90 度の回転対称性 Z4 がそのまま残り，連続的に回転対称な理論とはならない．これは部分系対称性を持つ理論に特有の性質である．また，時空は連続的であるのに対し，ゲー
ジ場やゲージパラメーターは離散的な配位が重要な役割を持つ．

4.1 格子模型
この節では，低エネルギー極限で後の節で議論する 2 + 1 次元のフラクトン系の BF 理論になると考えられている格子模型である ZN plaquette Ising 模型と ZN 格子テンソルゲージ理論 [16] をレビューする．これらが厳密に連続場理論の BF 理論に RG ﬂow することは示されていないが，対称性や基底状態の縮退度がその強い証拠となっている．ここでの議論はすべて [16] による．以下では，正方格子は格子定数を a とし，x1 方向に L1 = l1 /a 個，x2 方向に

L2 = l2 /a 個あり，x̂k = xk /a とする．

23

Soryushiron Kenkyu

4.1.1 ZN plaquette Ising 模型
ZN plaquette Ising 模型では，正方格子の各サイト s = (x̂1 , x̂2 ) に ZN 値の位相 Us 及びその正準運動量 Vs があるとする．これらは，

Us Vs = e2πi/N Vs Us(4.1.1)を満たす（同一サイト以外では交換する）．したがって，各サイト s に対して N 次元の Hilbert

空間 Hs = |0⟩s , Vs |0⟩s , · · · , VsN −1 |0⟩s があり，状態空間は N L L 次元の H =1

2

Ns Hs である．Hamiltonian は，

H = −K

X−1
Ux̂1 ,x̂2 Ux̂−1
1 +1,x̂2 Ux̂1 ,x̂2 +1 Ux̂1 +1,x̂2 +1 − hX

Vs + h.c. .

(4.1.2)ss=(x̂1 ,x̂2 )ここで，K ，h は正の実数に値を持ち，h は十分小さいとする．
この理論は，以下の保存電荷で生成される ZN dipole 対称性を持つ：
L
Y
2

1

W(1) (x̂ ) =Vx̂1 ,x̂2 ,(4.1.3)Vx̂1 ,x̂2 .

(4.1.4)x̂2 =1
LY
1

2

W(2) (x̂ ) =x̂1 =1

つまり，この演算子は Hamiltonian と交換する．これらは，後の BF 理論に現れる ZN dipole
対称性に対応する．また，ZN electric 対称性に対応する演算子は Us であると考えられるが，この対称性はP

s Vs によって破れている．

h = 0 の場合は，ZN electric 対称性が存在することになる．この場合，−1
P (x̂1 , x̂2 , x̂1 + 1, x̂2 + 1) = Ux̂1 ,x̂2 Ux̂−1
1 +1,x̂2 Ux̂1 ,x̂2 +1 Ux̂1 +1,x̂2 +1(4.1.5)と置くと，基底状態はすべてのプラケット（格子の最小の正方形）に対し固有値 1 を持つものである．この基底状態の縮退度は以下のように数えられる．まず，状態空間は各サイトに
1

2

N 個の状態があるので N L L 次元である．すべての P が独立の場合は，P |GS⟩ = |GS⟩ は
L1 L2 個の条件だが，これらには，x1 方向の直線上の P の積が 1 という条件が L2 個，x2 方向の直線上の P の積が 1 という条件が L1 個，及びそれらの中で平面上のすべての P の積が1 という条件があるので，独立な条件の数は L1 L2 − (L1 + L2 − 1) 個である．したがって基底状態の縮退度は，N L L −(L L −L −L +1) = N L +L −1 である．
1

2

1

2

1

2

1

2

基底状態の 1 つに Vs をかけると，s を含むような 4 つの P に対して固有値が変化し，エネ
ルギーが増加する．これは s を含むような 4 つのプラケットにフラクトンが生成されていることを意味する．Z2 X-cube 模型の場合と同様に，これらのフラクトンを単体で移動させることはできない．

24

Soryushiron Kenkyu

4.1.2 ZN テンソルゲージ理論
ZN テンソルゲージ理論では，正方格子の各プラケット p に ZN 値の位相 Up 及びその正準
運動量 Vp があるとする．これらは，

Up Vp = e2πi/N Vp Up(4.1.6)を満たす（同一プラケット以外では交換する）．したがって，各プラケット p に対して N 次
元の Hilbert 空間 Hp =

H=

N

n

|0⟩p , Vp |0⟩p , · · · , VpN −1 |0⟩p

o

1

2

があり，状態空間は N L L 次元の1
2
p Hp である．また，Up は各サイト s = (x̂ , x̂ ) 上のゲージパラメーター ηs によって，ゲージ変換−1
Up → Up ηx̂1 ,x̂2 ηx̂−1
1 +1,x̂2 ηx̂1 ,x̂2 +1 ηx̂1 +1,x̂2 +1(4.1.7)を持つとする．ここで，p は (x̂1 , x̂2 ), (x̂1 + 1, x̂2 ), (x̂1 , x̂2 + 1), (x̂1 + 1, x̂2 + 1) で囲まれたプラケットである．また，Gauss 則

Gs =

Y

(Vp )ϵp = 1(4.1.8)p∋sを課す．ここで，ϵp = ±1 であり，隣り合うプラケットが異符号となるように値を定める．

Hamiltonian は，
H = −h̃X(4.1.9)Vp + h.c. .

p

ここで，h̃ は正の実数に値を持つ．
この理論は，以下の保存電荷で生成される ZN electric 対称性を持つ：

V (p) = Vp .

(4.1.10)

つまり，この演算子は Hamiltonian と交換する．この対称性は，後の BF 理論に現れる ZN

electric 対称性に対応する．Gauss 則 (4.1.8) によって，V (p = (x1 , x2 )) は x1 の関数と x2 の関数の演算子の積に分けられる．また，ZN dipole 対称性に対応する演算子は Up の直線上の積であると考えられるが，この対称性は破れている．この模型の基底状態は Vp の固有値がすべて 1 となるものなので，縮退度は 1 である．

Gauss 則を手で課す代わりに，Hamiltonian に Gs を加えると，Hamiltonian はX
X
H = −K
Gs − h̃Vp + h.c.
s(4.1.11)pとなる．このとき，Gauss 則を満たさない状態のエネルギーは増加する．h̃ = 0 の場合は，基底状態の縮退度の数えることができ，plaquette Ising 模型と同様に N L +L −1 である．また，
12基底状態に対して Up をかけると，p を囲む 4 つのサイトにフラクトンが生成される．

25

Soryushiron Kenkyu

4.2 Foliated QFT
この節では 2 + 1 次元における foliated BF 理論について議論する．この理論は，3 + 1 次
元の foliated BF 理論 [23–25] の 2 + 1 次元版になっており，先行研究を少し変更するだけで得ることができる．

4.2.1 Foliation と foliated ゲージ場
Foliated QFT を定義するために foliation という概念を導入する．Foliation とは，d 次元の空間多様体を leaf と呼ばれる無限個の d − i 次元多様体に分割することである．この論文では，i = 1 の場合である余次元 1 の foliation のみを扱う．このような foliation 構造のついた空間上で定義される QFT を foliated QFT (FQFT) と呼ぶ [24]．
余次元 1 の foliation は，いたるところ 0 でない 1 形式の foliation 場 e によって特徴づけられる．foliation 場 e は各 leaf の法線ベクトルになっており，foliation が well-deﬁned である
ための必要十分条件として，以下の条件を満たす（例えば [47, 48]）:e ∧ de = 0 .

(4.2.1)

Foliation 場は γ をスカラー関数として e → γe のゲージ自由度を持っており，これにより局
所的には e = df という形に書ける．ここで f はスカラー関数であるが，これを leaf を指定する座標と考えることができる．例えば 2 + 1 次元において，空間の (x1 , x2 ) 平面を無限個のx1 方向の直線で分割する平坦な foliation を考える．このとき，foliation 場は e = dx2 と書くことができ，x2 は foliation の leaf の位置を表す座標である．ここまでは foliation は 1 つであるとしたが，同時に複数の foliation を考えることもできる．その場合 k = 1, 2, ..., nf を各

foliation を指定する添字だとして，foliation 場を ek と書く．以下では，平坦な foliation，つまり dek = 0 である foliation を考え，ek = dxk と書く．
このような foliation 構造と結合した QFT である FQFT は，foliated ゲージ場と呼ばれる

leaf 上のゲージ場を持つ [25]．Foliated ゲージ場は leaf が重なる方向に対してデルタ関数の発散またはステップ関数の不連続性を持つことができる．後に考える 2 + 1 次元の Foliated BF
理論では，2 つのタイプの U (1) foliated ゲージ場が現れる．これらを 1 + 1 形式の foliated A
ゲージ場と 0 形式の foliated B ゲージ場と呼ぶことにする．*1 1 + 1 形式の foliated A ゲージ
場 Ãk は，Ãk ∧ ek = 0 を満たす 2 形式のゲージ場である．Ãk は δ(xk − xk0 ) dxk といった形の xk 方向の 1 形式デルタ関数を持つことができる．ゲージ変換は，Ãk → Ãk + dζ̃ k .

(4.2.2)*1 Foliated A ゲージ場と foliated B ゲージ場は， [24] では Ak と B k と書かれているものである．また [25]では A と B が逆であり，それぞれ B k と Ak と書かれている．

26

Soryushiron Kenkyu

ここで ζ̃ k は ζ̃ k ∧ ek = 0 を満たす 0 + 1 形式ゲージパラメーターである．ゲージパラメーターζ̃ k はそれ自身もゲージ変換 ζ̃ k → ζ̃ k + 2πdξ k を持つ．ここで ξ k は xk のみに依存する整数値の関数である．ζ̃ k はゲージ場と同様に xk 方向の 1 形式デルタ関数を持つことができる．また，ξ k は θ(xk − xk0 ) といった形の xk 方向の 0 形式ステップ関数の不連続性を持つことができる．平坦な foliation ek = dxk に対しては，条件から局所的に Ãk = Ak ∧ dxk ，ζ̃ k = ζ k dxkのように書くことができ，以下ではそのように記述する．表 4.1 に foliated A ゲージ場とそのパラメーターをまとめた．もう一方の foliated ゲージ場である foliated B ゲージ場 B k は 0 形式であり，以下のゲージ変換をもつ：

B k → B k + 2πmk − µ .

(4.2.3)

ここで，mk は xk のみに依存する整数値関数である．また，µ は後に導入するバルクの 1 形式
ゲージ場 b の 0 形式ゲージパラメーターである．B k は xk 方向の 0 形式ステップ関数の不連*2 また，mk も xk 方向に 0 形式ステップ関数の不連続性を持
続性を持つことができるとする．

つことができる．表 4.2 に foliated B ゲージ場とそのゲージパラメーターをまとめた．

ゲージ場とパラメーター条件

ゲージ変換

発散と不連続性1 + 1 形式 ÃkÃk ∧ ek = 0

Ãk → Ãk + dζ̃ k

1 形式デルタ関数
δ(xk − xk0 ) dxk

0 + 1 形式 ζ̃ k

ζ̃ k ∧ ek = 0ζ̃ k → ζ̃ k + 2πdξ k

1 形式デルタ関数
δ(xk − xk0 ) dxk

xk のみに依存する
整数値関数 ξ k ∈ Z

表 4.1

0 形式ステップ関数
θ(xk − xk0 )1 + 1 形式 foliated A ゲージ場とそのゲージパラメーター．

*2 このようにすると後に説明する BF Lagrangian において同方向のデルタ関数が 1 乗以下となり，作用が有限となる．ここではそのような配位が許されるということである．または，一番 最下層 のゲージパラメーター
が xk のみに依存する整数値のステップ関数になるということから発散と不連続性が決まると考えてもよい．

27

Soryushiron Kenkyu

ゲージ場とパラメーター

ゲージ変換

発散と不連続性

0 形式 B k

B k → B k + 2πmk − µ

0 形式ステップ関数
θ(xk − xk0 )xk のみに依存する
整数値関数 mk ∈ Z

表 4.2

0 形式ステップ関数
θ(xk − xk0 )0 形式 foliated B ゲージ場とそのゲージパラメーター．

4.2.2 2+1 次元の foliated BF Lagrangian
Foliated BF 理論は foliated ゲージ場とバルクのゲージ場を含む FQFT である．FoliatedLagrangian は一般には以下のように書ける：
Lf =

nf
X
iMk
k=1

2π

(dB k + nk b) ∧ Ãk +iNb ∧ da .
2π(4.2.4)

ここで，Ãk は 1 + 1 形式 foliated A ゲージ場であり，Ãk ∧ ek = 0 を満たす．B k は 0 形式

foliated B ゲージ場である．a および b はバルクの 1 形式ゲージ場である．N ，Mk ，nk は整数である．これらの場は U (1) のゲージ場であるが，ゲージ対称性は Higgsing によって ZN ま
たは ZMk となっている．第 1 項

P nf

iMk
k
k
k=1 2π dB ∧ Ã は，各 foliation k ごとに各 leaf 上に無限個の 1 + 1 次元の BF 理論があることを表している．第 3 項 iN
2π b ∧ da はバルクの 2 + 1 次
Pnf iMkk
元の BF 理論である．また，第 2 項 k=1 2π nk b ∧ Ã は各 leaf 上の理論とバルクの理論の相互作用を表している．
以下では nf = 2 で foliation が平坦，つまり ek = dxk（k = 1, 2）であり，Mk = N ，nk = 1の場合を考える．この場合が 4.1 節の格子模型の連続極限になっていると考えられ，後で説明する 4.3 節の理論と対応する．以上の条件で，foliated A ゲージ場は 1 形式ゲージ場 Ak を用
い Ãk = Ak ∧ dxk と書け，foliated Lagrangian は

Lf =

2
X
iN
k=1

2π

(dB k + b) ∧ Ak ∧ dxk +iNb ∧ da2π(4.2.5)と書ける．このとき，foliation は平坦で x1 方向と x2 方向に実行されているので，図 4.1 のように空間が分割されており，各直線上に 1 + 1 次元の BF 理論があると考えられる．

28

Soryushiron Kenkyu

𝑑𝑥 2
𝑥2
𝑑𝑥 1
𝑥1
図 4.1

2 + 1 次元の foliated BF 理論の foliation．2 つの foliation は同時に行われている．また，分割の直線では無限個である．

運動方程式はN(dB k + b) ∧ dxk = 0 ,2πNdb = 0 ,2π
NdAk ∧ dxk = 0 ,
2π
2
X
N
k=1

2π

Ak ∧ dxk +Nda = 02π(4.2.6a)(4.2.6b)(4.2.6c)(4.2.6d)である．
ゲージ変換は以下のようになる*3 ：Ak ∧ dxk → Ak ∧ dxk + dζ k ∧ dxk ,(4.2.7a)

B → B + 2πm − µ ,(4.2.7b)kkka → a + dλ −2X

ζ k dxk ,(4.2.7c)

k=1

b → b + dµ .

(4.2.7d)

ここで，ζ k ，mk は 4.2.1 節で説明した foliated ゲージ場のゲージパラメーターであり，λ と µはそれぞれバルクのゲージ場の 0 形式のゲージパラメーターである．λ はそれ自身のゲージ変
換 λ → λ + 2πξ 1 + 2πξ 2 を持つ．ここで，ξ k は 4.2.1 節で説明した ζ k dxk のゲージ変換のパラメーターであり，xk のみに依存する整数値関数である．ξ k はさらに定数モードの自由度があり，それにより λ は U (1) 値の関数とみなすことができる．これらのゲージパラメーターのゲージ変換のもとでは，1 つ上のゲージ変換は不変になっている．例えば，a のゲージ変換では*3 Ak には xk 成分についてのゲージ変換 Ak → Ak + χk dxk が存在し，この変換によって Ak はゲージ自由度kである．つまり，Ak 自身は実質的に 2 成分であり，1 + 1 次元での 1 形式と成分の数が一致する．

29

Soryushiron Kenkyu

dλ −

P2

k=1 ζ

k

dxk という項が出るが，これは ξ k によるゲージ変換 ζ k dxk → ζ k dxk + 2πdξ k及び λ → λ + 2πξ 1 + 2πξ 2 のもとでは不変である．*4運動方程式とゲージ変換によってバルクのゲージ場 a，b 及びそのゲージパラメーターも発散と不連続性を持つことができることが示唆される．a の発散と不連続性の形を表 4.3 にまとめた．*5 ここで，fik ，g k は連続関数である．

ゲージ場とパラメーター

ゲージ変換

発散と不連続を持つ項

a0a0 → a0 + ∂ 0 λ

f01 (x0 , x2 )θ(x1 − x10 ) + f02 (x0 , x1 )θ(x2 − x20 )a1

a1 → a1 + ∂ 1 λ − ζ 1

f11 (x0 , x2 )δ(x1 − x10 ) + f12 (x0 , x1 )θ(x2 − x20 )a2

a2 → a2 + ∂ 2 λ − ζ 2

f21 (x0 , x2 )θ(x1 − x10 ) + f22 (x0 , x1 )δ(x2 − x20 )λ

λ → λ + 2πξ 1 + 2πξ 2

g 1 (x0 , x2 )θ(x1 − x10 ) + g 2 (x0 , x1 )θ(x2 − x20 )表 4.3

ゲージ場 a とそのゲージパラメーターの発散と不連続性．

特定の場の配位を考え，それを積分することによって以下の量が量子化されることを示すことができる：

I
a∈

2π
Z,
N

(4.2.8a)

Ak ∧ dxk ∈

2π
Z,
N

(4.2.8b)

C10

I
S2k

I

2π
Z,
N
C1
2π
Z.
B1 − B2 ∈N
b∈(4.2.8c)(4.2.8d)

ここで，C10 は時間 x0 方向に伸びた 1 次元の閉曲線（直線）であり，C1 は任意の 1 次元の閉曲線である．また，S2k は xk 方向に決まった幅を持ったそれ以外の方向に伸びる 2 次元の帯である（例えば S21 は閉区間 [x11 , x12 ] と (x0 , x2 ) 平面上の閉曲線 C102 の直積で書ける）．例えば，*4 ゲージパラメーター µ はゲージ変換 µ → µ + 2πm（m は整数値局所定数関数）を持つが，そのような変換は

mk の定数モードの自由度に吸収される．これは mk のゲージ変換と考えられるが，話を簡単にするため省略している．また，ξ k や mk 同士でのゲージ変換 ξ 1 → ξ 1 + ξ0 ，ξ 2 → ξ 2 − ξ0（ξ0 は整数値局所定数関数）なども存在する．
*5 b も不連続性を持つことができるが，その形は (4.2.6a) から予想される．

30

Soryushiron Kenkyu(4.2.8b) については以下のように示せる．B 1 として配位x2
B 1 = 2πj 2 (θ(x1 − x11 ) − θ(x1 − x12 )) ,l

(4.2.9)を考える．ここで，j は整数．この配位は周期的になっており，特に x2 方向にはトーラス上を一周するとゲージ変換 2πjm1 = 2πj(θ(x1 − x11 ) − θ(x1 − x12 )) の変換関数を除いて周期的である．この配位に対して，

I
C10 ×C11 ×C12

dB 1 ∧ A1 ∧ dx1

I=
C10 ×C11 ×C12

2πj
= 2
l

2πj θ(x1 − x11 ) − θ(x1 − x12 )

I

dx

I
2
C10 ×[x11 ,x12 ]

C12

 1 2
dx ∧ A1 ∧ dx1
l2(4.2.10)A1 ∧ dx1となる．ここで，C12 は x2 方向に伸びた 1 次元の閉曲線である．運動方程式 (4.2.6c) を用いるとH

C10 ×[x11 ,x12 ]A1 ∧ dx1 が x2 によらないことが示せ*6 ，B 1 についての経路積分を実行して j

について和を取ることで

X
j∈Z

"

iN j
exp
l2

I

#

I
dx2
C12

C10 ×[x11 ,x12 ]A1 ∧ dx1 =

X

"

#

I

exp iN j
C10 ×[x11 ,x12 ]j∈Z

A1 ∧ dx1(4.2.11)が得られる．このとき，NH
C10 ×[x11 ,x12 ]A1 ∧ dx1 は 2πZ の元でなければならず，そうでないような A1 の配位は経路積分に寄与しない．再び運動方程式 (4.2.6c) を用いることで C10 は(x0 , x2 ) 平面の閉曲線である C102 に変形することができ，目的の量の量子化が得られる．

4.2.3 ゲージ不変演算子
ゲージ不変演算子を考える．time-like な多様体上で定義されたゲージ不変演算子は，ギャップのある励起を表し，その多様体は時空上を動く励起の軌跡を表す．

1 つ目は
" I
F q [C10 ] = exp iq#a(4.2.12)C10である．ここで q は整数．(4.2.8a) から F N [C10 ] = 1 であるので，F q [C10 ] は ZN 演算子である：q ∼ q + N ．もし C10 を空間方向に変形した場合は，ζ k によるゲージ変換によってゲージ*6 詳しく考えると，ここの計算では変換関数の補正が必要である．付録 A では通常の BF 理論についてこの点を詳しく説明するが，ここでは同様の論法がフラクトン系の BF 理論についても成り立つとし，変換関数による補正が常になされていると考える．

31

Soryushiron Kenkyu

不変な演算子ではなくなる．例えば積分曲線が (x0 , x2 ) 平面上の曲線 C102 であったとすると，ゲージ変換によってこの演算子は以下のように変換される：" I
F q [C102 ] → exp iq


C102

#
dx0 ∂0 λ + dx2 (∂2 λ − ζ 2 )F q [C102 ] .

(4.2.13)

これはゲージ不変ではない．このように，ゲージ不変性によって，演算子が定義されている多様体は変形することができない．C10 は時間方向に伸びた直線であるので，この演算子は空間を動くことができない励起を表していると考えられる．したがって，この演算子がフラクトン
を表す．

2 つ目は


V q [x] = exp iq(B 1 − B 2 )(4.2.14)である．再び q は整数であり，(4.2.8d) から V N [x] = 1，つまり V q [x] は ZN 演算子である．
この点演算子 V q [x] は，ZN electric 対称性を生成する対称性演算子である．これは 1 次元の部分系上で定義されており，部分系対称性である．運動方程式 (4.2.6a)，(4.2.6b) を用いると，
N
N
1
2
1
2
q
1
2
2π ∂1 ∂2 (B − B ) = 0， 2π ∂0 (B − B ) = 0 が得られ，V [x] が x の関数と x の関数の演算子の積に分解できることがわかる．

3 つ目は
Wkq [S2k ] = exp

" I
iq

#
S2k

Ak ∧ dxk ,k = 1, 2(4.2.15)qである．再び q は整数であり，(4.2.8b) から WkN [S2k ] = 1 であるので Wk [S2k ] は ZN 演算子
である．これらの帯演算子は xk 方向に離れたフラクトンの双極子を表す．実際，時空の中に他に演算子がない場合は，運動方程式 (4.2.6c) を用いて S2k を C10 × [xk1 , xk2 ] のように変形でき，運動方程式 (4.2.6d) を用いることで以下のようにかける：" I
Wkq [S2k ] = exp iq"#k
C10 ×[xk1 ,x2 ]

= exp −iq#I

= exp −iq"

Ak ∧ dxk
dx dx (∂0 ak − ∂k a0 )0Ik
C10 ×[xk1 ,x2 ]

(4.2.16)#dx dx ∂0 ak F q [C10 (xk2 )]F −q [C10 (xk1 )] .
0k
C10 ×[xk1 ,x2 ]kkh

これは，xk 方向に離れたフラクトンの双極子を表している．exp −iqHk
C10 ×[xk1 ,x2 ]

dx0 dxk ∂0 akiについては後述する修正された帯演算子を考えれば消える．xk 方向に離れたフラクトンの双極子は，空間のもう一方の方向にライネオンのように動くことができ，S k が xk 方向以外ではq変形できることと対応している．S2k が (x1 , x2 ) 平面上にある場合，Wk [S2k ] は ZN dipole 対称性を生成する対称性演算子となる．これらは 2 次元の部分系上で定義されており，部分系対32

Soryushiron Kenkyu

称性である．
これらの 2 つのタイプの対称性演算子は互いにもう一方の演算子の charged object になっqている．つまり，V p [x] と Wk [S2k ] は同時刻において以下の交換関係を満たす：

V p [x] Wkq [S2k ] = e2πipq/N Wkq [S2k ] V p [x] ,xk1 < xk < xk2 ,

if(4.2.17)

ここで，S2k は xr 方向に伸びた閉曲線 C1r を用いて [x11 , x12 ] × C12 (k = 1) または C11 × [x21 , x22 ](k = 2) である．この関係式は，以下の正準交換関係から得ることができる：

2πi 2 1B 1 (x0 , x1 , x2 ), A12 (x0 , y 1 , y 2 ) = −δ (x − y 1 , x2 − y 2 ) ,N
 2 0 1 2

2πi 2 1δ (x − y 1 , x2 − y 2 ) .
B (x , x , x ), A21 (x0 , y 1 , y 2 ) = +N(4.2.18a)(4.2.18b)

他の交換関係は 0 である．
これらに加えて，バルクのゲージ場 b のゲージ不変演算子

 I
T [C1 ] = exp iqqb(4.2.19)C1も存在する．(4.2.8c) から，この b 演算子も ZN 演算子である．この演算子は，フラクトンの演算子 (4.2.12) に対して以下のように作用する：

T p [C1 ] · F q [C10 ] = e−2πipq/N F q [C10 ] .

(4.2.20)

ただし，C1 は C10 を囲んでいるとする [36–39]．もし C1 の内部に演算子 F q がなければ，b 演算子 T q [C1 ] は自明となる．このような time-like な演算子を検出するような演算子をtime-like 対称性と呼ぶ [43]．*7 また，C1 が非可縮なループである場合も T q [C1 ] は自明になる．例えば，C1 = C11 の場合，運動方程式 (4.2.6a) を用いることで" I
T q [C11 ] = exp iq#(−∂1 B 2 dx1 ) = 1(4.2.21)C11となる．後の節のために，C1 が空間内の 4 点 (x11 , x21 )，(x11 , x22 )，(x12 , x21 )，(x12 , x22 ) を結ぶ長12,rect(x11 , x12 , x21 , x22 ) である場合を考えると，再び運動方程式 (4.2.6a) を用いて
" I
#
h
i
T q C112,rect (x11 , x12 , x21 , x22 ) = exp iq(−∂1 B 2 dx1 − ∂2 B 1 dx2 )12,rect(4.2.22)
C1
= exp −iq∆12 (B 1 − B 2 )(x11 , x12 , x21 , x22 )方形 C1と書ける．ここで，∆12 f (x11 , x12 , x21 , x22 ) = f (x12 , x22 ) − f (x12 , x21 ) − f (x11 , x22 ) + f (x11 , x21 ) である．この演算子は，長方形の各頂点に局在している V q または V −q の積になっており，四重極演算子と呼ぶ．また，T q [C1 ] が time-like な演算子である場合も，そのような演算子をリ*7 time-like 対称性は time-like な演算子（defect 演算子）が存在するような Hilbert 空間に非自明に作用する．

もしそのような defect 演算子がなければ，time-like 対称性の演算子は自明になる．

33

Soryushiron Kenkyu

モートに（つまり，時空上で C1 と交わらないような演算子で）detect するような演算子が存

h H

在しないことに注意してほしい．通常の BF 理論の場合は exp iqiaが空間内にある場合
C1

もゲージ不変演算子となり，b 演算子を検出することができるが，今の場合はこのような演算子は時間方向の直線でしかゲージ不変にならない．このような事実から，T q に対応するような励起は存在しない．これは通常のトポロジカル QFT とは異なる事象であり，フラクトン系の QFT に特有の性質である [1]．

4.2.4 電磁双対による記述
通常の 1 + 1 次元の BF 理論は，電荷 N のスカラー場に U (1) ゲージ場を結合させることによって実現される ZN ゲージ理論と双対である [36–39]．これは片方のゲージ場の電磁双対をとったものである．同様に，4.2 節での foliated BF 理論と後の 4.3 節での exotic BF 理論
も，電磁双対をとった記述が存在する．

Foliated BF 理論は，無限個の leaf 上の 1 + 1 次元の BF 理論を持つが，これらをスカラー場による記述で書くことができる．Lagrangian は，

L′f =

2 
X
k=1


iN
i k
iN
k
k
k
k
k
b ∧ A ∧ dx +b ∧ da− U ∧ (dΦ − N A ) ∧ dx +
2π
2π
2π

(4.2.23)である．ここで，Φk はコンパクトスカラー場であり，U k は 1 形式の Lagrange 未定乗数である．Φk は xk 方向にデルタ関数の発散を持つことができる．ゲージ変換は，

Φk → Φk + N ζ k + 2π∂k tk(4.2.24a)である．ここで，tk は xk のみに依存する整数値関数であり，xk 方向に 0 形式のステップ関数の不連続性を持つことができる．ζ k は，4.2.1 節及び 4.2.2 節で定義されたゲージパラメー
ターである．U k を積分して得られる運動方程式は，(dΦk − N Ak ) ∧ dxk = 0(4.2.25)であるので，帯演算子 (4.2.15) は"q
Wkq [S2k ] = exp i
N

#

I
S2k

dΦk ∧ dxk ,(k = 1, 2)(4.2.26)とも書ける．
実際にこの理論が，foliated BF 理論と双対であることを見るために，Φk を経路積分する．
得られる運動方程式は，

N
dU k ∧ dxk = 0 .
2π(4.2.27)

この方程式は，局所的に U k ∧ dxk = dB k ∧ dxk と解くことができる．ここで，B k は 4.2.1 節

34

Soryushiron Kenkyu

で定義された foliated B ゲージ場となる．このとき，Lagarangian は

L′f →


iN
iN
k
k
dB ∧ A ∧ dx +b ∧ A ∧ dx +b ∧ da
2π
2π
2π

2 
X
iN
k=1

k

k

k

(4.2.28)となり，(4.2.5) と一致する．

4.3 Exotic QFT
この節では，2 + 1 次元における ZN テンソルゲージ理論である exotic BF 理論 [16] をレビューする．後の 4.4 節ではこの exotic 理論が前節の foliated BF 理論と等価であることを示す．

4.3.1 テンソルゲージ場
第 3 章と同様に，以下で導入する exotic 理論は連続的 QFT であるが，Lorentz 対称性を持たず，回転対称性も 90 度回転 Z4 の対称性しか持たない．この理論では，離散的な回転対称性 Z4 の表現であるテンソルゲージ場を持つ．Z4 の既約表現は 1 次元のものが 4 つあるが，それを 1n (n = 0, ±1, 2) と書く．n はスピンと呼ぶが，スピン n の表現は 90 度回転によって

e2πin/4 だけ位相がかかるものである．Exotic BF 理論は表現 12 のコンパクトスカラー場 ϕ12
及び表現 (10 , 12 ) の U (1) テンソルゲージ場 (A0 , A12 ) によって記述される．これらのゲージ
変換は

A0 → A0 + ∂0 α ,(4.3.1a)

A12 → A12 + ∂1 ∂2 α ,
ϕ

12

→ϕ

12

(4.3.1b)+ 2π m̃ − 2π m̃
1

2(4.3.1c)である．ここで，α は 10 のゲージパラメーターである．また，m̃k は xk のみに依存する整数値関数である．ゲージパラメーター α はそれ自身ゲージ変換を持つ：α → α + 2πñ1 + 2πñ2 ．
ここで，ñk は xk のみに依存する整数値関数である．m̃k 及び ñk は xk 方向にステップ関数の不連続性を持つことができる．このとき，ϕ12 も不連続性を持つ配位が存在する．このような配位が存在することは，格子模型がプラケットの相互作用を持つことに原因がある．このような状況では，連続極限を考える際に，∂1 ϕ12 のような演算子ではなく ∂1 ∂2 ϕ12 が十分小さくなる配位のみが残ることになり，∂1 ∂2 ϕ12 が single-valued な演算子となる．具体的な ϕ12 の配位としては，x1 及び x2 方向に一回転したときにゲージ自由度を除いて周期的になる配位

ϕ12 = 2π

 2

x1
x
x1 x2
1
1
2
2
+
θ(x
−
x
)
θ(x
−
x
)
−
0
0
l2
l1
l1 l2

35

(4.3.2)

Soryushiron Kenkyu

がある．A0 も同様である．また，α も ϕ12 と同じ配位が許され，それに対応して A12 にはデルタ関数の発散を持つ配位が存在する．具体的な配位としては，



1
x0 1
1
1
1
2
2
A12 = 2π 0 2 δ(x − x0 ) + 1 δ(x − x0 ) − 1 2
l
l
l
l l

(4.3.3)kがある．これらのテンソルゲージ場の発散と不連続性は表 4.4 にまとめた．ここで，f˜0k ，f˜12，g̃ k ，h̃k は適切な周期性を持つ連続関数である．

テンソルゲージ場とゲージパラメーター

ゲージ変換

発散と不連続性を持つ項

A0

A0 → A0 + ∂0 α

f˜01 (x0 , x2 )θ(x1 − x10 ) + f˜02 (x0 , x1 )θ(x2 − x20 )A12A12 → A12 + ∂1 ∂2 α

2
1(x0 , x1 )δ(x2 − x20 )f˜12(x0 , x2 )δ(x1 − x10 ) + f˜12α

α → α + 2πñ1 + 2πñ2g̃ 1 (x0 , x2 )θ(x1 − x10 ) + g̃ 2 (x0 , x1 )θ(x2 − x20 )ϕ12

ϕ12 → ϕ12 + 2π m̃1 − 2π m̃2h̃1 (x0 , x2 )θ(x1 − x10 ) + h̃2 (x0 , x1 )θ(x2 − x20 )表 4.4

テンソルゲージ場とそのゲージパラメーターの発散と不連続性．

4.3.2 2+1 次元の exotic BF Lagrangian
Exotic BF 理論の Lagrangian は
Le =

iN 12
ϕ (∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 )2π

(4.3.4)である．
運動方程式はN∂1 ∂2 ϕ12 = 0 ,2π
N∂0 ϕ12 = 0 ,2πN(∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 ) = 0
2π
である．

36

(4.3.5a)(4.3.5b)(4.3.5c)

Soryushiron Kenkyu

特定の場の配位を考え，積分することによって以下の量が量子化されることが示せる：

I
C10

I
I

S21

S22

dx0 A0 ∈2π
Z,N(4.3.6a)(dx0 dx1 ∂1 A0 + dx2 dx1 A12 ) ∈

2π
Z,
N

(4.3.6b)(dx0 dx2 ∂2 A0 + dx1 dx2 A12 ) ∈

2π
Z,
N

(4.3.6c)

ϕ12 ∈

2π
Z.
N

(4.3.6d)

ここで，前節と同様に C10 は時間 x0 方向に伸びた 1 次元の閉曲線（直線）であり，S2k は xk
方向に決まった幅を持ち，他の方向に伸びた 2 次元の帯である．例えば，(4.3.6b) を示すには
以下の配位


x2 
ϕ12 = 2πj 2 θ(x1 − x11 ) − θ(x1 − x12 )l(4.3.7)を考えればよい．ここで J は整数．この配位について，

I

I

I

dx1
C11

dx2 ∂2 ϕ12 ∂1 A0 = 2πjC121
dx1 (θ(x1 − x11 ) − θ(x1 − x12 )) 2
1
l
C1

I
dx2 ∂1 A0
C12(4.3.8)となるので，j について和を取り，(4.3.5c) を用いることで，分配関数は

X
j∈Z

"

iN j
exp
l2

I

#

I
dx

2

C12

0

C10 ×[x11 ,x12 ]1

dx dx ∂1 A0 =

X

"

#

I
0

exp iN j
C10 ×[x11 ,x12 ]j∈Z

1dx dx ∂1 A0(4.3.9)Hdx0 dx1 ∂1 A0 は整数でなければ寄与しない．再び運動方
C10 ×[x11 ,x12 ]
H
程式 (4.3.5c) を使って C10 は C102 へと変形でき， C 02 ×[x1 ,x1 ] (dx0 dx1 ∂1 A0 + dx2 dx1 A12 ) と1
1 2となる．したがって，Nなる．

4.3.3 ゲージ不変演算子
ゲージ不変演算子について考える．ゲージ不変演算子は foliated BF 理論と同じ形をとる．
フラクトンの演算子はF̃

q[C10 ] = exp

" I
iq

#
0

dx A0

(4.3.10)C10である．Foliated BF 理論と同様に，C10 を空間方向に変形するとゲージ不変性が破れることがわかる．ZN electric 対称性を生成する点演算子は

Ṽ q [x] = exp iqϕ1237(4.3.11)

Soryushiron Kenkyu

である．点演算子は運動方程式 (4.3.5a)，(4.3.5b) により，x1 の関数と x2 の関数の演算子の積に分解できる．フラクトンの双極子を表す帯演算子は

 W̃1q S21 = exp

" I
#
iq
(dx0 dx1 ∂1 A0 + dx2 dx1 A12 ) ,(4.3.12a)

S21

" I
#


W̃2q S22 = exp iq(dx0 dx2 ∂2 A0 + dx1 dx2 A12 )(4.3.12b)S22qである．S2k が (x1 , x2 ) 平面上にある場合は，W̃k は ZN dipole 対称性を生成する対称性演算子となる．これらのゲージ不変演算子はすべて ZN 演算子である．

2 つのタイプの対称性演算子は以下の交換関係を満たす：
Ṽ p [x] W̃kq [S2k ] = e2πipq/N W̃kq [S2k ] Ṽ p [x] ,xk1 < xk < xk2 .

(4.3.13)

 12 0 1 2

2πi 2 1δ (x − y 1 , x2 − y 2 ) .
ϕ (x , x , x ), A12 (x0 , y 1 , y 2 ) = −N(4.3.14)if

この関係式は同時刻の正準交換関係

から導かれる（他の交換関係は 0）．これらの exotic BF 理論の対称性は部分系対称性であり，

4.2 節で議論した foliated BF 理論と全く同じ形になっている．
これらに加えて，フラクトンの演算子を検出する演算子

hiT̃ q C112,rect (x11 , x12 , x21 , x22 ) = exp −iq∆12 ϕ12 (x11 , x12 , x21 , x22 )12,rectも存在する．この四重極演算子は空間上の長方形 C1(4.3.15)(x11 , x12 , x21 , x22 の頂点に局在した Ṽ q

及び Ṽ −q の積になっている．これは time-like 対称性である [43]．Time-like 対称性 T̃ p は F̃ q
に対して以下の作用を持つ：

hiT̃ p C112,rect (x11 , x12 , x21 , x22 ) · F̃ q [C10 ] = e−2πipq/N F̃ q [C10 ] .
12,rect

ただし，C1(4.3.16)(x11 , x12 , x21 , x22 ) は C10 を囲む長方形である.

4.3.4 電磁双対による記述
Foliated BF 理論と同様に，exotic BF 理論もスカラー場に U (1) テンソルゲージ場を結合させた ZN テンソルゲージ理論の記述を持つ [16]．後の節で，この ZN テンソルゲージ理論
が，直接的に foliated の理論 (4.2.23) と対応することを見る．

Lagrangian は，
L′e =

i
i 12
Ê (∂1 ∂2 ϕ − N A12 ) +B̂(∂0 ϕ − N A0 )2π
2π

(4.3.17)である．ここで，ϕ は表現 10 のコンパクトスカラー場である．また，(Ê 12 , B̂) は表現 (12 , 10 )38

Soryushiron Kenkyuに属する Lagrange 未定乗数である．スカラー場 ϕ は，ϕ12 と同様に，x1 方向と x2 方向のス
テップ関数を持つ項の和の配位を持つ．ゲージ変換は，

ϕ → ϕ + N α + 2π t̃ 1 + 2π t̃ 2

(4.3.18)である．ここで，t̃ k は xk のみに依存する整数値関数であり，xk 方向にステップ関数の不連続性を持つことができる．α は 4.3.1 節で定義されたゲージパラメーターである．

Lagrange 未定定数を積分して得られる運動方程式は，∂1 ∂2 ϕ − N A12 = 0 ,(4.3.19a)∂0 ϕ − N A 0 = 0(4.3.19b)である．ここから，帯演算子 (4.3.12a)，(4.3.12b)) は， W̃1q S21 = exp

"

q
i
N

#

I

(dx0 dx1 ∂1 ∂0 ϕ + dx2 dx1 ∂1 ∂2 ϕ) ,(4.3.20a)

#
"
I


q
(dx0 dx2 ∂2 ∂0 ϕ + dx1 dx2 ∂1 ∂2 ϕ)W̃2q S22 = exp i
N S22(4.3.20b)

S21とも書くことができる．
実際に，この理論が exotic BF 理論と等価であることを見るために，ϕ を積分する．得られる運動方程式は，∂1 ∂2 Ê 12 − ∂0 B̂ = 0 .

(4.3.21)

この方程式は局所的に Ê 12 = ∂0 ϕ12 ，B̂ = ∂1 ∂2 ϕ12 と解くことができる．このとき，La-garangian は
L′e →

iN 12
iN 12
ϕ ∂0 A12 −ϕ ∂1 ∂2 A0
2π
2π(4.3.22)となり，(4.3.4) と一致している．

4.4 2+1 次元における対応
2 + 1 次元において，4.2 節で説明した foliated BF 理論と 4.3 節で説明した exotic BF 理論
は，foliated 側で ek = dxk ，Mk = N ，nk = 1 (k = 1, 2) という状況で等価であると考えられる．実際，ゲージ不変演算子は同じ形になっており，それを比較して得られるゲージ場とゲー
ジパラメーターの対応は，発散と不連続性を含めて完全に一致する．これを foliated-exotic 双対性と呼ぶ [1]．この節では，その対応を顕わに書き下す．

39

Soryushiron Kenkyu[25] において言及されているが，あるバルクの理論を含まない foliated 理論は平坦条件
!
2
X
N k
A ∧ dxk = 0(4.4.1)d2πk=1のもとでテンソルゲージ理論と対応すると考えられていた．節 4.2 の foliated BF 理論においては，b を経路積分することによって運動方程式 (4.2.6d) が得られ，これが上の平坦条件となる．しかしながら，以下で考える対応ではバルクの理論まで含めた FQFT を考え，バルクのゲージ場 a が非自明に場の対応に入ることによって，発散と不連続性も含めて正確な対応となっていることがわかる．

4.4.1 BF 理論における対応
まず，フラクトンの演算子の対応を考える．(4.2.12) で定義された F q [C10 ] と (4.3.10) で定義された F̃ q [C10 ] を同一視する*8 ：" I
exp iq#C10" I
a ≃ exp iq#0

dx A0 .

(4.4.2)C10

この同一視によって，ゲージ場の対応

a0 ≃ A0(4.4.3)a0 → a0 + ∂ 0 λ ,(4.4.4a)A0 → A0 + ∂0 α

(4.4.4b)が得られる．a0 と A0 のゲージ変換はであるので，ここからゲージパラメーターの対応

λ≃α(4.4.5)も得られる．さらに，ゲージパラメーター λ と α のゲージ変換

λ → λ + 2πξ 1 + 2πξ 2 ,(4.4.6a)α → α + 2πñ1 + 2πñ2(4.4.6b)ξ k ≃ ñk

(4.4.7)によって，*8 この同一視は仮定であるが，双方の理論においてこの演算子が格子模型におけるフラクトンの励起を連続 QFTで表していると考えられることが根拠になっている．また，この同一視によって得られるゲージ場とゲージパラメーターが対応を持つことから，実際にこの仮定が妥当であることがわかる．

40

Soryushiron Kenkyu

を得る．これらの対応のもとで，発散と不連続性も合致していることは容易に確かめることができる．
ここで，運動方程式 (4.2.6d) を成分で書くと

N 1(A + ∂0 a1 − ∂1 a0 ) = 0 ,2π 0
N 2(A + ∂0 a2 − ∂2 a0 ) = 0 ,2π 0(4.4.8a)(4.4.8b)

N 1(A − A21 + ∂2 a1 − ∂1 a2 ) = 0
2π 2(4.4.8c)であるが，これらを対応 (4.4.3) と合わせることによって

A10 + ∂0 a1 ≃ ∂1 A0 ,(4.4.9a)

A20 + ∂0 a2 ≃ ∂2 A0(4.4.9b)が示唆される．左辺では，ζ k によるゲージ変換が打ち消され，ゲージパラメーターの対応(4.4.5) と整合していることがわかる．
q

次に，帯演算子の対応を考える．(4.2.15) で定義された Wk [S2k ] と (4.3.12a)，(4.3.12b) でq定義された W̃k [S2k ] を同一視したいが，これらの指数部分の被積分関数のゲージ変換は一致せず，場の対応を考えても (4.4.9a)，(4.4.9a) と矛盾する．したがって，foiated 側では以下の修正されたゲージ不変帯演算子
q
Wk,mod[S2k ] = exp" Iiq

A ∧ dx + d(ak dx )
k

S2k

k

k



#
,

k = 1, 2(4.4.10)を考える．指数は以下でみるように量子化されている：

I
S2k

 2π
Z.
Ak ∧ dxk + d(ak dxk ) ∈N(4.4.11)q

したがって，Wk,mod [S2k ] は ZN 演算子である．例えば，k = 1 で量子化を示すためには，b の配位として

1
b = 2πj 2 (θ(x1 − x11 ) − θ(x1 − x12 ))dx2
l(4.4.12)を考えればよい．ここで j は整数．運動方程式 (4.2.6c) を用いて，

I
C10 ×C11 ×C12

2πj
= 2
l

b∧

I

I

2
X

!
A ∧ dx + da
k

k=1

dx2
C10 ×[x11 ,x12 ]

I

k

= 2πj
C10 ×[x11 ,x12 ](A10 + ∂0 a1 − ∂1 a0 ) dx0 ∧ dx1(4.4.13)(A10 + ∂0 a1 − ∂1 a0 ) dx0 ∧ dx1

Hを得る．(4.2.8a) から， C 0 a0 dx0 は 2πZ/N に値を持つので，経路積分を実行することで分
1

41

Soryushiron Kenkyu

配関数は

X

"
exp iN j

j∈Z

=

#

I

X

"

C10 ×[x11 ,x12 ]#I
C10 ×[x11 ,x12 ]H
C10 ×[x11 ,x12 ](4.4.14)(A ∧ dx + d(a1 dx ))1

exp iN jj∈Zとなる．したがって，N(A10 + ∂0 a1 ) dx0 ∧ dx1
1

1(A1 ∧ dx1 + d(a1 dx1 )) は 2πZ に値を持たなければ寄与しない．再び運動方程式 (4.2.6c) を用いることで，C10 は C 02 に変形することができ，(4.4.11)′qqが示される．この修正された帯演算子 Wk [S2k ] を W̃k [S2k ] と同一視する：" I
exp iqA ∧ dx + d(a1 dx )
1

S21

" I
exp iq

1

1



#

" I
#
0
1
2
1
(dx dx ∂1 A0 + dx dx A12 ) ,≃ exp iq
S21

(4.4.15a)
#
" I

0
2
1
2
2
2
2
(dx dx ∂2 A0 + dx dx A12 ) .
A ∧ dx + d(a2 dx ) ≃ exp iq
#

S22

S22

(4.4.15b)
ここから，ゲージ場の対応

A12 + ∂2 a1 ≃ A12 ,(4.4.16a)

A21 + ∂1 a2 ≃ A12 ,(4.4.16b)及び (4.4.9a)，(4.4.9b) が得られる．項 ∂2 a1 ，∂1 a2 によって，ゲージパラメーターの対応(4.4.5) のもとで A12 のゲージ変換と整合していることがわかる．Foliated 側の帯演算子
qq
Wk,modと Wk の比q
Wk,mod[S2k ]Wk−q [S2k ] = exp

" I
iq

#
d(ak dxk ) ,(4.4.17)S2k

は，S2k 上で ak が一価なら自明になる．このような演算子は，他の演算子によって検出することができず，対応する物理的励起が存在しないと考えられる．通常の TQFT ではすべてのゲージ不変演算子が励起に対応しているため [41, 42]，このような曖昧さは，フラクトン相に特有の性質だと考えられる．
最後に，ZN electric 対称性の点演算子を考える．(4.2.14) で定義された V q [x] と (4.3.11)で定義された Ṽ q [x] を同一視する：
exp iq(B 1 − B 2 ) ≃ exp iqϕ12 .

(4.4.18)

B 1 − B 2 ≃ ϕ12(4.4.19)

ここからゲージ場の対応

42

Soryushiron Kenkyu

を得る．左辺では µ によるゲージ変換は打ち消されている．ゲージ変換 (4.2.7b)，(4.3.1c) より，ゲージパラメーターの対応

m1 − m2 ≃ m̃1 − m̃2(4.4.20)m1 ≃ m̃1 ,(4.4.21)が得られる．不連続性を考えれば，

m2 ≃ m̃2

12,rectがわかる．対応 (4.4.19) のもとで，(4.2.22) における time-like 対称性演算子 T q [C1]は(4.3.15) で定義された T̃ [C112,rect ] と対応することがわかる．フラクトンの defect 演算子が存在する Hilbert 空間上では，任意の閉曲線 C1 上の b 演算子 T q [C1 ] は，defect 演算子がない領
12,rect]域では自明になるので，C1 で囲まれた defect 演算子を囲む長方形上での演算子 T q [C1qの積に分解される．

Foliated 側で b を積分した場合，上のゲージ場の対応のもとでは，Lagrangian (4.2.5) と(4.3.4) は一致する．b による運動方程式 (4.4.8a)，(4.4.8b)，(4.4.8c) を用いると，(4.2.5) は
単純にバルクの項が消えて

Lf =

2
X
iN
k=1

2π

dB k ∧ Ak ∧ dxk(4.4.22)となるが，部分積分して*9 場の対応 (4.4.9a)，(4.4.9b)，(4.4.16a)，(4.4.16b) 及び (4.4.19) を用いることで，iN  1
B (−∂2 A10 + ∂0 A12 ) + B 2 (−∂0 A21 + ∂1 A20 ) dx0 dx1 dx2
2πiN  1 B −∂2 (A10 + ∂0 a1 ) + ∂0 (A12 + ∂2 a1 )=2π +B 2 −∂0 (A21 + ∂1 a2 ) + ∂1 (A20 + ∂0 a2 ) dx0 dx1 dx2
iN  1≃
B (−∂2 ∂1 A0 + ∂0 A12 ) + B 2 (−∂0 A12 + ∂1 ∂2 A0 ) dx0 dx1 dx2
2πiN  1=(B − B 2 )(∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 ) dx0 dx1 dx2
2πiN  12ϕ (∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 ) dx0 dx1 dx2
≃
2π

Lf =

(4.4.23)12が得られ，(4.3.4) の Le = iN
2π ϕ (∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 ) と一致する．

4.4.2 電磁双対の理論での対応
4.2.4 節での foliated ゲージ理論と 4.3.4 節での exotic テンソルゲージ理論は，直接対応する．具体的には，帯演算子の対応から，スカラー場 Φk と ϕ の対応を得ることができる．

*9 付録 A の通常の BF 理論の場合と同様に，変換関数の補正を適切に変更して部分積分することができると考え

られる．

43

Soryushiron Kenkyuq

帯演算子 (4.2.26) と (4.3.20a)，(4.3.20b) を比較するが，(4.4.10) における Wk [S2k ] の修正も考慮に入れ，以下のように同一視する：

"

q
exp i
N
"
exp i

q
N

I
S21

I
S22

#
"
#
I

q
dΦ1 ∧ dx1 + N d(a1 dx1 ) ≃ exp i(dx0 dx1 ∂1 ∂0 ϕ + dx2 dx1 ∂1 ∂2 ϕ) ,N S21
(4.4.24a)
#
"
#
I

q
2
2
2
0
2
1
2
dΦ ∧ dx + N d(a2 dx ) ≃ exp i(dx dx ∂2 ∂0 ϕ + dx dx ∂1 ∂2 ϕ) .
N S22
(4.4.24b)

ここから，スカラー場の対応Φ1 + N a 1 ≃ ∂ 1 ϕ ,(4.4.25a)Φ2 + N a 2 ≃ ∂ 2 ϕ(4.4.25b)が得られる．Φk と ϕ のゲージ変換は，

Φk → Φk + N ζ k + 2π∂k tk ,(4.4.26a)ak → ak + ∂ k λ − ζ k ,ϕ → ϕ + N α + 2π t̃ + 2π t̃
1(4.4.26b)2(4.4.26c)であるので，左辺では ζ k によるゲージ変換が打ち消されている．ここから，ゲージパラメー
ターの対応

λ ≃ α,(4.4.27a)t ≃ t̃

(4.4.27b)kkが得られる．これらの対応のもとでは，不連続性は両辺で一致している．

2 + 1 次元におけるゲージ場とゲージパラメーターの対応は表 4.5 にまとめた．

44

Soryushiron Kenkyu

Foliated BF 理論

Exotic BF 理論

ゲージ場とパラメーター

ゲージ変換

ゲージ場と
パラメーター

ゲージ変換

a0

∂0 λ

A0

∂0 α

Ak0 + ∂0 ak(k = 1, 2)∂0 ∂k λ(k = 1, 2)∂k A0(k = 1, 2)∂k ∂0 α(k = 1, 2)

Aki + ∂i ak(k, i) = (1, 2), (2, 1)∂i ∂k λ(k, i) = (1, 2), (2, 1)A12∂1 ∂2 αλ2πξ 1 + 2πξ 2α2πñ1 + 2πñ2ξk(k = 1, 2)
B1 − B2ñk(k = 1, 2)
2πm1 − 2πm2mk
(k = 1, 2)

Φk + N a k(k = 1, 2)

2π m̃1 − 2π m̃2m̃k(k = 1, 2)

N ∂k λ + 2π∂k tk(k = 1, 2)

tk(k = 1, 2)

表 4.5

ϕ12

∂k ϕ
(k = 1, 2)

N ∂k α + 2π∂k t̃ k(k = 1, 2)t̃ k(k = 1, 2)

2 + 1 次元における foliated BF 理論と exotic BF 理論の間のゲージ場とゲージ

パラメーターの対応．

45

Soryushiron Kenkyu

4.5 基底状態の縮退度とロバストネス
この節では，基底状態の縮退度とロバストネス [16] を論じる．
基底状態の縮退度は，対称性演算子の表現を調べることでわかる．空間は格子に正則化されており，格子定数は a，格子の数は xk 方向に Lk 個，x̂k = xk /a とする．以下では exotic BF
理論の場合で考える．対称性演算子は，

Ṽ q [x] = exp iqϕ12(4.5.1)及び

 W̃1q S21 = exp

" I
iq

 
W̃2q S22 = exp

" I
iq

#
2

1

dx dx A12 ,S21(4.5.2a)#dx1 dx2 A12(4.5.2b)S22である．ここで，S2k は S21 = [x11 , x12 ] × C12 ，S22 = C11 × [x21 , x22 ] であり，C1k は xk 方向の閉曲線（直線）である．これら 2 つのタイプの対称性演算子は以下の交換関係

Ṽ p [x] W̃kq [S2k ] = e2πipq/N W̃kq [S2k ] Ṽ p [x] ,if

xk1 < xk < xk2(4.5.3)を満たす．格子による正則化によって，独立な演算子は以下のようになる：
A(x̂1 ) = exp iϕ12 (ax̂1 , a) , x̂1 = 1, · · · , L1 ,L2
X
B(x̂1 ) = exp ia2
A12 (ax̂1 , ax̂2 ) , x̂1 = 1, · · · , L1 ,(4.5.4a)(4.5.4b)x̂2 =1A(x̂2 ) = exp iϕ12 (a, ax̂2 ) − iϕ12 (a, a) , x̂2 = 2, · · · , L2 ,L1
X
B(x̂2 ) = exp ia2
A12 (ax̂1 , ax̂2 ) , x̂2 = 2, · · · , L2 .

(4.5.4c)(4.5.4d)x̂1 =1

これらは A(x̂k )N = 1，B(x̂k )N = 1，A(x̂k )B(x̂k ) = e2πi/N B(x̂k )A(x̂k ) を満たし，独立なAB = e2πi/N BA という代数を満たす L1 + L2 − 1 個の演算子の組である．それぞれの代数に対して最小の表現は N 次元表現であり，よって縮退度は N L +L −1 となる．
1

2

次にロバストネスについて考える．IR の foliated / exotic BF 理論での対称性 GIR は ZN

electric 対称性及び ZN dipole 対称性である．UV の格子模型が ZN plaquette Ising 模型（h ̸= 0 は十分小さい）の場合は，対称性 GUV は ZN dipole 対称性のみである．h = 0 では，基底状態の縮退度は IR と一致する．この場合，GUV を保ちながら低エネルギーに RG ﬂow
すると，foliated / exotic BF 理論に ﬂow すると考えられる．このとき，ZN electric 対称性が現れるが，この対称性を壊すような局所演算子は存在しないので，GIR は robust である．

46

Soryushiron Kenkyu

また，この GUV で不変となるような局所演算子は存在しないため，理論は普遍性を持つ．一方で，UV の理論が ZN テンソルゲージ理論（K ̸= 0 かつ h̃ ̸= 0 は十分小さい）である場合
は，対称性 GUV は ZN electric 対称性のみである．K = 0 では，基底状態は唯一であり，自明な理論に ﬂow すると考えられる．h̃ = 0 では基底状態の縮退度は foliated / exotic BF 理
論と一致するため，IR ではこの理論に ﬂow すると考えられる．しかしながら IR の理論では，

GUV 不変であり，ZN dipole 対称性の電荷を持つ演算子である eiqϕ12を持つ．したがって，

UV の理論を摂動させた場合，IR の ZN dipole 対称性は壊れ，基底状態の縮退も解ける．よって，このような ﬂow は ﬁne-tuning によるものであり，GIR は robust ではない．

47

Soryushiron Kenkyu

第5章

3+1 次元のフラクトン系の BF 理論
この章では，2 + 1 次元の場合と同様に，3 + 1 次元におけるフラクトン系の BF 理論である folited BF 理論と exotic BF 理論を考える．これらはどちらも ZN 格子テンソルゲージ理論 [18] 及び ZN X-cube 模型 [7] の低エネルギー極限の QFT であると考えられており，それらは部分系対称性やフラクトン，ライネオンの励起を持つ．これらの BF 理論は同じ理論を表していると考えられており，実際に後で明示的に場の対応を示す．ほとんどの議論は第 4 章と同様である．
時空は x0 を Euclid 時間とし，x1 ，x2 ，x3 を空間 3 次元の座標とする．また，時空は周期的である，つまり 4 次元トーラスであるとする．各方向の長さは l0 ，l1 ，l2 ，l3 であるとする．
格子模型は正方格子で考えるが，低エネルギー極限である連続場の QFT でも格子模型の空間の 90 度の回転対称性 S4 がそのまま残り，連続的に回転対称な理論とはならない．これは部
分系対称性を持つ理論に特有の性質である．また，時空は連続的であるのに対し，ゲージ場やゲージパラメーターは離散的な配位が重要な役割を持つ．

5.1 格子模型
この節では，低エネルギー極限で後の節で議論する 3 + 1 次元のフラクトン系の BF 理論となると考えられている格子模型である，ZN A 格子テンソルゲージ理論と ZN Â 格子テンソル
ゲージ理論 [18] をレビューする．また，これらの係数の適切な極限をとった ZN X-cube 模型
も見る．ここでの議論はすべて [18] による．以下では，立方格子は格子定数を a とし，x1 方
向に L1 = l1 /a 個，x2 方向に L2 = l2 /a 個，x3 方向に L3 = l3 /a 個あり，x̂k = xk /a とする．

5.1.1 ZN A 格子テンソルゲージ理論
ZN A 格子テンソルゲージ理論では，(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) に対して (xi , xj )平面上の 4 点 (x̂i , x̂j , x̂k )，(x̂i + 1, x̂j , x̂k )，(x̂i , x̂j + 1, x̂k )，(x̂i + 1, x̂j + 1, x̂k ) で囲まれたプ

48

Soryushiron Kenkyu

ラケットに ZN 位相のゲージ場 Uij (x̂i , x̂j , x̂k ) があるとする．*1 Uij の正準運動量を Vij とし，同プラケット上で Uij Vij = e2πi/N Vij Uij を満たすとする（他は交換する）．また，各サイト上にゲージパラメーター η(x̂1 , x̂2 , x̂3 ) があり，Uij はゲージ変換

Uij (x̂i , x̂j , x̂k )→ Uij (x̂i , x̂j , x̂k )η(x̂i , x̂j , x̂k )η(x̂i + 1, x̂j , x̂k )−1 η(x̂i + 1, x̂j + 1, x̂k )η(x̂i , x̂j + 1, x̂k )−1(5.1.1)を持つとする．A 格子テンソルゲージ理論の Hamiltonian は

1
H=− 2
ge

X

1 X
(L[12]3 + L[23]1 + L[31]2 ) + h.c. .
2
gm

V −

plaquettes(5.1.2)

cubes

ここで，

L[12]3 = U23 (x̂1 , x̂2 , x̂3 )−1 U23 (x̂1 + 1, x̂2 , x̂3 )U31 (x̂1 , x̂2 , x̂3 )U31 (x̂1 , x̂2 + 1, x̂3 )−1 ,(5.1.3a)
1

2

3 −1

1

2

3 −1

L[23]1 = U31 (x̂ , x̂ , x̂ )

1

2

1

2

3

1

2

3

1

1

2

3

1

2

3

−1

2

3 −1

U31 (x̂ , x̂ + 1, x̂ )U12 (x̂ , x̂ , x̂ )U12 (x̂ , x̂ , x̂ + 1),
(5.1.3b)

L[31]2 = U12 (x̂ , x̂ , x̂ )3

U12 (x̂ , x̂ , x̂ + 1)U23 (x̂ , x̂ , x̂ )U23 (x̂ + 1, x̂ , x̂ )(5.1.3c)である（図 5.1）．また，Gauss 則YG(x̂1 , x̂2 , x̂3 ) =V ϵp = 1(5.1.4)p∋(x̂1 ,x̂2 ,x̂3 )を満たすとする．ここで，ϵp は，適切な符号 ±1 である．これらの量の指数の ±1 は図 5.2 のようにする．このとき，以下の保存電荷が存在する：
LY
1

L1 (x̂2 , x̂3 ) =V23 (x̂1 , x̂2 , x̂3 ) ,(5.1.5a)V31 (x̂1 , x̂2 , x̂3 ) ,(5.1.5b)

V12 (x̂1 , x̂2 , x̂3 ) .

(5.1.5c)x̂1 =1LY
2

3

1L2 (x̂ , x̂ ) =x̂2 =1LY
3

1

2

L3 (x̂ , x̂ ) =x̂3 =1

この対称性は部分系対称性であり，ZN tensor 対称性と呼ぶ．これらは Gauss 則 (5.1.4) から，(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) に対して，Li (x̂j , x̂k ) は x̂j の関数と x̂k の関数の積に分解
ij

されることがわかる．また，(xi , xj ) 平面のリンク上の閉折れ線 C1 上の xk 方向のプラケット

Uki ，Ujk を適切な符号で積を取ったゲージ不変な演算子 Wk (C1ij ) も存在する．*2 この演算子
は ZN dipole 対称性を生成するが，A 格子テンソルゲージ理論にはこの対称性は存在しない．

*1 時間方向のリンク上にゲージ場 U0 もあるが，簡単のためこれを 1 とするゲージをとることにする．
*2 適切な符号とは，G と交換するような符号（指数の ±1）である．

49

Soryushiron Kenkyu

Gauss 則 (5.1.4) を課す代わりに，以下のように Hamiltonian に項を追加して，基底状態はGauss 則を満たすようにすることができる：
1
H=− 2
ge

X

V −

1 X
1 X
(L[12]3 + L[23]1 + L[31]2 ) + h.c. .
G
−
2
g2
gm
sites

plaquettes(5.1.6)cubes

この場合，Li (x̂j , x̂k ) は x̂j の関数と x̂k の関数の積に分解されない．また，ge → ∞ で，ZN

dipole 対称性が現れ，後述する ZN X-cube 模型となる．
+

−
𝑥3

−

−

+ +

−

𝐿[12]3

+
+

−

−

+

+

−

𝐿 23 1

𝐿[31]2

+

+

−
−

+ +

𝑥3
𝑥1

𝑥1

L[ij]k の項．各プラケットは Uij を表

図 5.2

し，符号は指数を表す．

+

−

𝑥2

𝑥2

図 5.1

− −

𝐺

G の項．各プラケットは Vij を表し，

符号は指数を表す．

5.1.2 ZN Â 格子テンソルゲージ理論
ZN Â 格子テンソルゲージ理論では，(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) に対して 2 点(x̂i , x̂j , x̂k )，(x̂i , x̂j , x̂k + 1) を結ぶ xk 方向のリンク上に ZN 位相のゲージ場 Û ij (x̂i , x̂j , x̂k )があるとする．*3 Û ij の正準運動量を V̂ ij とし，同プラケット上で Û ij V̂ ij = e2πi/N V̂ ij Û ij を満たすとする（他は交換する）．また，各サイト上に，η̂ 1(23) η̂ 2(31) η̂ 3(12) = 1 を満たすゲージパラメーター η̂ i(jk) (x̂1 , x̂2 , x̂3 ) があり，Û ij はゲージ変換

Û ij (x̂i , x̂j , x̂k ) → Û ij (x̂i , x̂j , x̂k )η̂ k(ij) (x̂i , x̂j , x̂k )η̂ k(ij) (x̂i , x̂j , x̂k + 1)−1(5.1.7)を持つとする．Â 格子テンソルゲージ理論の Hamiltonian は

1 X
1 X
V̂ − 2L̂ + h.c. .
H=− 2
ĝe
ĝm
links

(5.1.8)

cubes

ここで，

L̂(x̂1 , x̂2 , x̂3 ) = Û 23 (x̂1 , x̂2 , x̂3 )Û 23 (x̂1 , x̂2 + 1, x̂3 )−1 Û 31 (x̂1 , x̂2 , x̂3 )Û 31 (x̂1 + 1, x̂2 , x̂3 )−1Û 23 (x̂1 , x̂2 , x̂3 + 1)−1 Û 23 (x̂1 , x̂2 + 1, x̂3 + 1)Û 31 (x̂1 , x̂2 , x̂3 + 1)−1 Û 31 (x̂1 + 1, x̂2 , x̂3 + 1)
Û 12 (x̂1 , x̂2 , x̂3 )Û 12 (x̂1 + 1, x̂2 , x̂3 )−1 Û 12 (x̂1 , x̂2 + 1, x̂3 )−1 Û 12 (x̂1 + 1, x̂2 + 1, x̂3 )(5.1.9)*3 時間方向のリンク上にゲージ場 Û i(jk) もあるが，簡単のためこれを 1 とするゲージをとることにする．
050

Soryushiron Kenkyu

であり，図 5.3 のような立方体の辺の積である．また，Gauss 則Ĝ[ij]k (x̂i , x̂j , x̂k ) = V̂ jk (x̂i − 1, x̂j , x̂k )−1 V̂ jk (x̂i , x̂j , x̂k )V̂ ki (x̂i , x̂j − 1, x̂k )V̂ ki (x̂i , x̂j , x̂k )−1=1(5.1.10)を満たすとする（図 5.4）
．このとき，以下の保存電荷が存在する：

Ŵk (C1ij ) =

Y

V̂ .

(5.1.11)

C1ij
ij

ij

ここで，C1 は (xi , xj ) 平面の双対格子のリンク上の閉折れ線であり，積は C1 と交わるリンク上の V̂ jk ，V̂ ki の適切な符号の積である．*4 この対称性は部分系対称性であり，ZN dipole
ij

対称性である．Gauss 則 (5.1.10) から，C1 が (xi , xj ) 平面上で自由に変形できることがわかる．また，xk 方向の直線上のゲージ不変な演算子 L̂k (x̂i , x̂j ) =QL kx̂k =1 Û

ijも存在する．この演算子は ZN tensor 対称性を生成するが，Â 格子テンソルゲージ理論にはこの対称性は存在しない．

Gauss 則 (5.1.10) を課す代わりに，以下のように Hamiltonian に項を追加して，基底状態
は Gauss 則を満たすようにすることができる：

1 X
1 X [12]3
1 X
H=− 2
L̂ − 2V̂ − 2(Ĝ+ Ĝ[23]1 + Ĝ[31]2 ) + h.c. .
ĝe
ĝm
ĝ
links

cubes

ij

(5.1.12)

sites

ij

この場合，Ŵk (C1 ) の C1 は自由に変形できない．ĝe → ∞ で，ZN tensor 対称性が現れ，後述する ZN X-cube 模型となる．
+
−
+

−
−

−

𝑥2
𝑥1

図 5.3

+

−
−

+

+
+

+

−
−

− −
+ +

−

+

𝑥3

+

−

𝑥3

+
𝐿෠

𝐺෠ 23 1𝐺෠ 31 2𝐺෠ 12 3𝑥2
𝑥1

L̂ の項．各リンクは Û ij を表し，符図 5.4

号は指数を表す．

Ĝ[ij]k の項．各リンクは V̂ ij を表し，

符号は指数を表す．

*4 適切な符号とは，L̂ と交換するような符号（指数の ±1）である．

51

Soryushiron Kenkyu

5.1.3 ZN X-cube 模型
ZN A 格子テンソルゲージ理論で ge → ∞ を取った
1 X
1 X
H=− 2
(L[12]3 + L[23]1 + L[31]2 ) + h.c. ,
G− 2
g
gm
sites

(5.1.13)

cubes

及び ZN Â 格子テンソルゲージ理論で ĝe → ∞ を取った

1 X
1 X [12]3(Ĝ+ Ĝ[23]1 + Ĝ[31]2 ) + h.c.
H=− 2
L̂ − 2
ĝm
ĝ
cubes

(5.1.14)

sites

は，ZN X-cube 模型である．これらは g = ĝm ，gm = ĝ とし，(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)
に対して，Uij （のゲージ同値類）と Uij のプラケットを貫く双対格子の xk 方向のリンク上の V ij ，及び Vij と Vij のプラケットを貫く双対格子の xk 方向のリンク上の U ij （のゲージ同値類）を同一視することで同じ模型であることがわかる．X-cube 模型は tensor 対称性とdipole 対称性の 2 つの部分系対称性を持つが，これらは格子テンソルゲージ理論と異なり，Li (x̂j , x̂k ) は x̂j の関数と x̂k の関数の積に分解されず，Ŵk (C1ij ) の C1ij は自由に変形できない．そこで，これらの対称性は unconstrained tensor 対称性及び unconstrained dipole 対称性と呼ばれる．この模型は解くことができ，Z2 の場合と同様にすることで，フラクトンとラ
イネオンの励起が存在し，基底状態の縮退度は N 2L +2L +2L −3 であることがわかる．この
123場合，励起は ZN の電荷を持つことに注意されたい．

5.2 Foliated QFT
この節では 3 + 1 次元における foliated BF 理論 [23–25] をレビューする．

5.2.1 Foliated ゲージ場
Foliation は平坦であるとする．3 + 1 次元の foliated BF 理論では，1 + 1 形式の foliated
A ゲージ場 Ãk はほとんど 2 + 1 次元の場合と同じである．一方，foliated B ゲージ場 B k は1 形式であり，xk 方向に 0 形式のステップ関数の不連続性を持つ．ゲージ変換は，
B k → B k + dλk + β̃ k − µ(5.2.1)

である．ここで λk は 0 形式，β̃ k は β̃ k ∧ ek = 0 を満たす 0 + 1 形式のゲージパラメーターである．µ は，バルクの 2 形式ゲージ場 b の 1 形式ゲージパラメーターである．ゲージパラメー
ター λk は，それ自身ゲージ変換 λk → λk + 2πmk + ν を持つ．ここで，mk は xk のみに依存する整数値関数．また，ゲージパラメーター β k もゲージ変換 β̃ k → β̃ k + 2πdmk を持つ．さらに，µ もゲージ変換 µ → µ + dν を持つ．ここで，ν は 0 形式ゲージパラメーター．λk ，mk52

Soryushiron Kenkyu

は xk 方向に 0 形式ステップ関数の不連続性を持つことができる．β̃ k は xk 方向に 1 形式デルタ関数の発散を持つことができるが，このゲージパラメーターによって B k 及び dλk の xk 成
分はゲージ自由度である．*5 表 5.1 に 1 形式の foliated B ゲージ場とそのゲージパラメーターをまとめた．

ゲージ場とパラメーター条件

ゲージ変換

発散と不連続性

1 形式 B k

B k → B k + dλk + β̃ k − µ

0 形式ステップ関数
θ(xk − xk0 )0 形式 λk

λk → λk + 2πmk + ν

0 形式ステップ関数
θ(xk − xk0 )β̃ k → β̃ k − 2πdmk

1 形式デルタ関数
δ(xk − xk0 ) dxkµ → µ + dν

0 形式ステップ関数β̃ k ∧ ek = 0

0 + 1 形式 β̃ k

1 形式 µxk のみに依存する
整数値関数 mk ∈ Z

表 5.1

0 形式ステップ関数
θ(xk − xk0 )1 形式 foliated B ゲージ場とそのゲージパラメーター．

5.2.2 3+1 次元の foliated BF Lagrangian
Foliated Lagrangian は 2 + 1 次元での Lagrangian(4.2.4) とほとんど同じ形であるが，foliation は k = 1, 2, 3 方向となっており，B k は上で見た 1 形式の foliated B ゲージ場，b はバルクの 2 形式のゲージ場である．Foliated BF Lagrangian は，

Lf =

3
X
iN
k=1

2π

(dB k + b) ∧ Ak ∧ dxk +iNb ∧ da2π(5.2.2)である．このとき，foliation は平坦で x1 方向，x2 方向，x3 方向に実行されているので，それぞれと直交する平面で空間が分割されており，各平面上に 2 + 1 次元の BF 理論があると考え*5 したがって，B k は実質的に 3 成分であり，2 + 1 次元での 1 形式と成分の数が一致する．また，4.2.2 節の脚注と同様に，Ak は実質的に 3 成分である．

53

Soryushiron Kenkyu

られる．
運動方程式はN(dB k + b) ∧ dxk = 0 ,2πNdb = 0 ,2π
NdAk ∧ dxk = 0 ,
2π
3
X
N
k=1

2π

Ak ∧ dxk +Nda = 02π(5.2.3a)(5.2.3b)(5.2.3c)(5.2.3d)である．
ゲージ変換は以下のようになる：

Ak ∧ dxk → Ak ∧ dxk + dζ k ∧ dxk ,(5.2.4a)B → B + dλ + β dx − µ ,(5.2.4b)kkka → a + dλ −

k

3
X

k

ζ k dxk ,(5.2.4c)

k=1

b → b + dµ .

(5.2.4d)

ここで，ζ k ，λk ，β k dxk = β̃ k は 4.2.1 節及び 5.2.1 節で説明した foliated ゲージ場のゲージ
パラメーターであり，λ と µ はそれぞれバルクのゲージ場の 0 形式，1 形式のゲージパラメー
ターである．λ はそれ自身のゲージ変換 λ → λ + 2πξ 1 + 2πξ 2 + 2πξ 3 を持つ．ここで，ξ k は

4.2.1 節で説明した ζ k dxk のゲージ変換のパラメーターであり，xk のみに依存する整数値関数である．ξ k はさらに定数モードの自由度があり，それにより λ は U (1) 値の関数とみなすことができる．また，バルクのゲージパラメーター µ もゲージ変換 µ → µ + dν を持つ．ここで，

ν は 0 形式のゲージパラメーターである．これらのゲージパラメーターのゲージ変換のもとでは，1 つ上のゲージ変換は不変になっている．2 + 1 次元の場合と同様に，運動方程式とゲージ変換によってバルクのゲージ場 a，b 及びそのゲージパラメーターも発散と不連続性を持つことができることが示唆される．
特定の場の配位を考え，それを積分することによって以下の量が量子化されることを示すこ

54

Soryushiron Kenkyuとができる：

I
a∈

2π
Z,
N

(5.2.5a)Ak ∧ dxk ∈

2π
Z,
N

(5.2.5b)

b∈

2π
Z,
N

(5.2.5c)

qk B k ∈2π
Z.
N(5.2.5d)

C10

I
S2k

I
S2

I

3
X
C1q k=1

ここで，C10 は時間 x0 方向に伸びた 1 次元の閉曲線（直線）であり，S2 は任意の 2 次元の閉曲面である．また，S2k は xk 方向に決まった幅を持ったそれ以外の方向に伸びる 2 次元の帯である（例えば S21 は閉区間 [x11 , x12 ] と (x0 , x2 , x3 ) 空間上の閉曲線 C1023 の直積で書ける）．電荷 qk はP3q
k=1 qk = 0 を満たす整数であり，C1 は qk が 0 でない foliation k の leaf の交叉上の 1 次元閉曲線である．例えば，(qk )k = (1, −1, 0) の場合は，k = 1 と k = 2 の leaf の交叉は x3 方向の直線であるので，時間方向も含めて (x0 , x3 ) 平面上の曲線となる．

5.2.3 ゲージ不変演算子
ゲージ不変演算子を考える．

1 つ目は
" I
F q [C10 ] = exp iq#a .

(5.2.6)C10

F q [C10 ] は ZN 演算子である．C10 は空間方向に変形できない時間方向の直線であるので，この演算子はフラクトンを表す．

2 つ目は
" I
L[C1q ] = exp
である．ここで q = (qk )k は，成分がi3XC1q k=1#
qk B

k(5.2.7)P3

k=1 qk = 0 を満たす整数である電荷ベクトルであq

る．C1 は前節で説明したように，qk ̸= 0 である foliation k の leaf 1 つずつの交叉上の閉曲線(N q)である．(5.2.5d) から，L[C1] = 1 がわかる．任意の電荷ベクトルは，q 1 = (0, 1, −1) と

q 2 = (−1, 0, 1) によって展開される．q 3 = −q 1 − q 2 = (1, −1, 0) と定義すると，これらに対55

Soryushiron Kenkyu

応する演算子は，

Lq1 [C101 ] = exp" Iiq

Lq2 [C102 ] = exp

" I
iq

" I
Lq3 [C103 ] = exp iq#(B − B ) ,
2

C101

C102

C103

3

(5.2.8a)#(B 3 − B 1 ) ,(5.2.8b)#(B 1 − B 2 ) .

(5.2.8c)

ここで，C10k は (x0 , xk ) 平面上の 1 次元の閉曲線である．これらの曲線上の演算子は，空間のq中の xk 方向のみに動くことができる励起を表すため，Lk [C10k ] は xk -ライネオンを表す．任qq

意の L[C1 ] は，これらのライネオンの演算子の積で表すことができる．また，Lk [C10k ] も ZN
q

演算子である．C10k が空間の中にある場合（C1k と書く），これらの演算子 Lk [C1k ] は，部分系対称性である ZN テンソル大域的対称性を生成する対称性演算子である．また，運動方程式(5.2.3a)，(5.2.3b) を用いることで，
I
I

2
3
1
∂2 ∂3
(B1 − B1 )dx =∂2 (∂1 B32 − b31 ) − ∂3 (∂1 B23 + b12 ) dx1
C11

C1

I 1



=
C11

∂2 ∂1 B32 − ∂3 ∂1 B23 + ∂1 b23 ) dx1

I

=−



C11

(5.2.9)∂1 ∂2 (B31 − B32 ) + ∂3 ∂1 (B23 − B21 ) dx1

=0
q

q

q

*6 L [C 2 ] と L [C 3 ] につとなり，L1 [C11 ] は x2 の関数と x3 の関数の積の演算子に分解できる．
2 1
3 1

いても同様の分解が成り立つ．

3 つ目は
Wkq [S2k ] = exp

" I
iq

#
A ∧ dx
k

S2k

k

,

k = 1, 2, 3

(5.2.10)qである．同様に帯演算子 Wk [S2k ] は ZN 演算子である．これらは， xk 方向に離れたフラクト
ンの双極子を表す．3 次元空間では，xk 方向のフラクトンの双極子はプラノンのように xk 方
向以外の平面上を動くことができる．S2k が空間の中にある場合，これらの演算子は部分系対称性である ZN dipole 大域的対称性を生成する対称性演算子となる．
これらの 2 つのタイプの対称性演算子は互いにもう一方の演算子の charged object になっ*6 厳密には，x1 方向の積分により，−∂2 ∂3 (λ1 − λ2 ) − ∂3 ∂2 (λ3 − λ1 ) = ∂2 ∂3 (λ2 − λ3 ) という形の変換関数

Hが現れる．したがって，演算子の指数部分の積分は変換関数を用いて， C 1 (B12 − B13 )dx1 − (λ2 − λ3 ) と補1

正する必要がある．このような補正が必要な場面は多くあるが，実際には演算子の定義にはこのような補正が常にかかっているとし，上のような満たすべき関係式を満たしているとする．

56

Soryushiron Kenkyu

qている．つまり，Lp [C1k ] と Wk [S2k ] は同時刻において以下の交換関係を満たす：
2

1

Lp2 [C12 ] W1q [S21 ] = e2πipqI(C1 ,S2 )/N W1q [S21 ] Lp2 [C12 ] ,if

x11 < x1 < x12 ,(5.2.11a)2πipqI(C13 ,S21 )/N

if

x11 < x1 < x12 .

(5.2.11b)

Lp3 [C13 ] W1q [S21 ] = e

W1q [S21 ] Lp3 [C13 ] ,*7 同様の関係式が他の方向に
ここで，S21 = [x11 , x12 ] × C123 ，I は 2 つの多様体の交叉数である．

ついても成り立つ．

4 つ目は
q
K12
[C103 × C112 ] = exp

" I
iq

#
(A ∧ dx + A ∧ dx )1

C103 ×C112

1

2

2

(5.2.12)である．ここで，C112 は，(x11 , x21 ) と (x12 , x22 ) をつなぐ (x1 , x2 ) 平面上の 1 次元曲線である．
qもフラクトンの双極子を表すが，(x11 , x21 , x3 ) と (x12 , x22 , x3 ) にあるフラクトンの双極K12子であり，x3 -ライネオンのように x3 方向にのみ動くことができるものである．Stokes の定理と運動方程式 (5.2.3c) を使うことによって，空間に他の演算子がない場合は，C112 はq
は[x11 , x12 ] × {x21 } + {x12 } × [x21 , x22 ] に変形することができ，この場合は K12
" I
#
q
K12
[C103 × C112 ] = exp iq

C103 ×[x11 ,x12 ]×{x21 }" I× exp iqq

A1 ∧ dx1#
A ∧ dx2

C103 ×{x12 }×[x21 ,x22 ]2(5.2.13)

=W1 C103 × [x11 , x12 ] × {x21 } W2q C103 × {x12 } × [x21 , x22 ]qqと書ける．同様に，帯演算子 K23 と K31 も定義される．
これらに加えて，バルクのゲージ場 b のゲージ不変演算子

 I
T [S2 ] = exp iq



q

b .

(5.2.14)S2も存在する．(5.2.5c) から，この b 演算子も ZN 演算子である．この演算子は，フラクトンの演算子 (5.2.6) に対して以下のように作用する：

T p [S2 ] · F q [C10 ] = e−2πipq/N F q [C10 ] .

(5.2.15)

ただし，S2 は C10 を囲んでいるとする．もし S2 の内部に defect 演算子 F q がなければ，b 演
算子 T q [S2 ] は自明となるため，この演算子は，time-like 対称性演算子である [43]．S2 が直方
123,cube

体 [x11 , x12 ] × [x21 , x22 ] × [x31 , x32 ] の表面である S2である場合，運動方程式 (5.2.3a) を用*7 例えば S 1 が [x1 , x1 ] × C 2 のように (x1 , x2 ) 平面上にあり，その上に Lp [C 2 ] がある場合は，これらの交叉
2
1
2
1
1
2

数は I = 0 とする．

57

Soryushiron Kenkyu

いることで，T q の積分の一部を実行でき，

T

q[S2123,cube ] = exp

 I
iq


S2123,cube−(∂1 B23 + ∂2 B13 )dx1 dx2 − (∂2 B31 + ∂3 B21 )dx2 dx3
−(∂3 B12 + ∂1 B32 )dx3 dx1

= exp − iq


Z x12
x11

× exp − iq
∆23 (B12 − B13 )(x21 , x22 , x31 , x32 )

Z x22



x21

× exp − iq

dx

1


∆31 (B23 − B21 )(x31 , x32 , x11 , x12 )

Z x32



x31

dx

2


∆12 (B31 − B32 )(x11 , x12 , x21 , x22 )dx

3(5.2.16)
123,cubeと か け る ．こ の 形 の 演 算 子 を 籠 演 算 子 と 呼 ぶ が ，こ れ は 表 面 が S2であるような 直 方 体 の 各 辺 に 局 在 す る 演 算 子 の 積 で 書 け て い る ．ま た ，S2 が 時 間 方 向 に 伸 び た

S2012,cube (x11 , x12 , x21 , x22 ) = C10 × C112,rect (x11 , x12 , x21 , x22 ) である場合，b 演算子は
 I
T q [S2012,cube (x11 , x12 , x21 , x22 )] = exp iq−(∂0 B12 + ∂1 B02 )dx0 dx1
S2012,cube− (∂2 B01 + ∂0 B21 )dx2 dx0"I= exp −iq12,rectと書ける．この演算子は，長方形 C1(5.2.17)#C10∆12 (B01 − B02 )(x11 , x12 , x21 , x22 )dx0

(x11 , x12 , x21 , x22 ) の各頂点に局在する x3 -ライネオンの四重極子を表し，自明である．同様に x1 -ライネオンや x2 -ライネオンの四重極子の演算子も考えることができる．

2 + 1 次元の場合とは異なり，time-like 対称性演算子 T q は，上のように長方形の頂点にあるライネオンという物理的励起に対応する場合がある．しかしながら，これらは他の演算子で*8 このような事情は，通常の BF 理論とは異なっている．
検出することができず，自明となる．

5.3 Exotic QFT
この節では，3 + 1 次元の exotic BF 理論 [18] をレビューする．

*8 ライネオンは後で説明するベルト演算子という time-like 対称性によって検出することができるが，ベルト演算
012,cube
012,cube
子が S2と交叉することなしに，つまりリモートに四重極子 T q [S2] を検出することはできない．

58

Soryushiron Kenkyu

5.3.1 テンソルゲージ場
3 + 1 次元では，90 度回転は向きを保存する正六面体群を生成する．これは対称群 S4 と同型である．Exotic BF 理論の各テンソルゲージ場は S4 の表現であり，S4 の既約表現は以下のように記述される（ [17, 18] の Appendix を参考にした）：

1 :
′

S,

1 :

T(ijk) ,i ̸= j ̸= k ,2 :B[ij]k ,i ̸= j ̸= k ,B[ij]k + B[jk]i + B[ki]j = 0 ,i ̸= j ̸= k ,Bi(jk) + Bj(ki) + Bk(ij) = 0 ,3 :Bi(jk) ,
Vi ,

3′ :

Eij ,

i ̸= j ,(5.3.1)

Eij = Eji .

ここで，i, j, k は 1 または 2 または 3 であり，添字 [ij] は反対称，(ij) は対称であるとする．
これらの添字は SO(3) の添字であり，自由に上下できる．*9 既約表現 2 の 2 つの基底はBi(jk) = B[ij]k + B[ik]j ,1
B[ij]k = (Bi(jk) + Bj(ik) )3(5.3.2a)(5.3.2b)を満たす．

Exotic BF 理論は Lorentz 対称性を持たず，回転対称性は離散的な S4 の対称性しか持たない．この理論は U (1) テンソルゲージ場である表現 (1, 3′ ) の (A0 , Aij ) と (2, 3′ ) 表現の
i(jk)

(Â0

, Âij ) を持つ．(A0 , Aij ) のゲージ変換は
A0 → A0 + ∂0 α ,(5.3.3a)

Aij → Aij + ∂i ∂j α

(5.3.3b)である．ここで，α は表現 1 のゲージパラメーターである．ゲージパラメーター α は，それ自身ゲージ変換 α → α + 2πñ1 + 2πñ2 + 2πñ3 を持つ．ここで，ñk は xk のみに依存する整数値関数である．Aij は xi 及び xj 方向にデルタ関数の発散を持ち，それ以外の空間方向にステップ関数の不連続性を持つことができる．一方，A0 と α はステップ関数の不連続性を持つことができる．また，ゲージパラメーター ñk は，xk 方向にステップ関数の不連続性を持つことができる．ただし，テンソルゲージ場の配位は，トーラスを一回転したときにゲージ自由度を除いて周期的になるものが許される．(A0 , Aij ) のゲージ不変な電場と磁場は

Eij = ∂0 Aij − ∂i ∂j A0 ,B[ij]k = ∂i Ajk − ∂j Aikor

Bk(ij) = 2∂k Aij − ∂i Akj − ∂j Aki*9 これらは S4 の表現として変換が定まっているが，ここでは深くは言及しない．

59(5.3.4)(5.3.5)

Soryushiron Kenkyui(jk)である．もう一方のテンソルゲージ場 (Â0
i(jk)

Â0

, Âij ) のゲージ変換は

i(jk)

→ Â0

+ ∂0 α̂i(jk) ,Â → Â + ∂k α̂
ij

ij(5.3.6a)k(ij)(5.3.6b)である．ここで α̂i(jk) は表現 2 のゲージパラメーターである．ゲージパラメーター α̂i(jk) は，それ自身ゲージ変換 α̂i(jk) → α̂i(jk) + 2π m̃j − 2π m̃k を持つ．ここで，m̃k は xk のみに依存
i(jk)する整数値関数である．Â0，Âjk ，α̂i(jk) は，xj 及び xk 方向にステップ関数の不連続性を持つことができる．また，ゲージパラメーター m̃k は，xk 方向にステップ関数の不連続性を持i(jk)

つことができる．(Â0, Âij ) のゲージ不変な電場と磁場はk(ij)Ê ij = ∂0 Âij − ∂k Â0
1X
B̂ =∂i ∂j Âij
2 i,j

,

(5.3.7)(5.3.8)k，g̃ k ，
である．テンソルゲージ場の発散と不連続性は表 5.2 にまとめた．ここで，f˜0k ，f˜ij
i(jk),lh̃0，h̃ij,l ，s̃i(jk),l は適切な周期性を持つ連続関数である．*10

5.3.2 3+1 次元の exotic BF Lagrangian
Exotic BF 理論の Lagrangian は
iN  1 X
Aij Ê ij + A0 B̂ Le =2π 2 i,j

分積分し，

P

ij
12
23
31
i,j Aij Ê = 2(A12 Ê + A23 Ê + A31 Ê ) である．部
P
k(ij)
k(ij)
i(jk)
j(ki)
= i,j,k ∂i Ajk (Â0+ Â0+ Â0 ) = 0
i,j,k (∂i Ajk + ∂j Aki + ∂k Aij )Â0

である．ここで，添字の対称性より

P(5.3.9)及び (5.3.2a) を用いることで，Lagrangian は


Le =

1X

iN 
2π 6

k(ij)

Â0

Bk(ij) +

i,j,k

と書ける．

*10 関数 f (x; xˆk ) の引数は xk に依存しないことを表す．

60

1X
2 i,j


Âij Eij (5.3.10)

Soryushiron Kenkyu

ゲージ場とパラメーター

ゲージ変換

A0

A0 → A0 + ∂0 α

Aij

Aij → Aij + ∂i ∂j αα

α → α + 2πñ1 + 2πñ2 + 2πñ3

i(jk)

i(jk)

Â0

Â0

i(jk)

→ Â0

発散と不連続性を持つ項

P3

k
k
ˆk
˜k
k=1 f0 (x; x )θ(x − x0 )

j
i
f˜ij
(x; x̂i )δ(xi − xi0 ) + f˜ij
(x; xˆj )δ(xj − xj0 )k+f˜ij(x; xˆk )θ(xj − xj0 ) (k ̸= 0, i, j)+ ∂0 α̂i(jk)k=1 g̃

k(x; xˆk )θ(xk − xk0 )i(jk),jh̃0(x; xˆj )θ(xj − xj0 )i(jk),k+h̃0(x; xˆk )θ(xk − xk0 )h̃ij,i (x; x̂i )θ(xi − xi0 ) + h̃ij,j (x; xˆj )θ(xj − xj0 )Âij

Âij → Âij + ∂k α̂k(ij)α̂i(jk)α̂i(jk) → α̂i(jk) + 2π m̃j − 2π m̃k

表 5.2

P3

s̃i(jk),j (x; xˆj )θ(xj − xj0 )+s̃i(jk),k (x; xˆk )θ(xk − xk0 )テンソルゲージ場とそのゲージパラメーターの発散と不連続性．

運動方程式はN
Eij = 0 ,2π
NN
Bk(ij) = 0 or
B[ij]k = 0 ,
2π
2π
N ij
Ê = 0 ,2π
NB̂ = 02πである．

61(5.3.11a)(5.3.11b)(5.3.11c)(5.3.11d)

Soryushiron Kenkyu

特定の場の配位を考え，積分することによって以下の量が量子化されることが示せる：

I
C10

I
I
I

S21

S22

S23

dx0 A0 ∈2π
Z,N(5.3.12a)(dx0 dx1 ∂1 A0 + dx2 dx1 A12 + dx3 dx1 A31 ) ∈

2π
Z,
N

(5.3.12b)(dx0 dx2 ∂2 A0 + dx1 dx2 A12 + dx3 dx2 A23 ) ∈

2π
Z,
N

(5.3.12c)(dx0 dx3 ∂3 A0 + dx1 dx3 A31 + dx2 dx3 A23 ) ∈

2π
Z,
N

(5.3.12d)

I
k(ij)

C10k

(dx0 Â0+ dxk Âij ) ∈

2π
Z.
N

(5.3.12e)

ここで，前節と同様に C10 は時間 x0 方向に伸びた 1 次元の閉曲線（直線），S2k は xk 方向に決まった幅を持ち，他の方向に伸びた 2 次元の帯，C101 は (x0 , xk ) 平面上の 1 次元閉曲線である．

5.3.3 ゲージ不変演算子
ゲージ不変演算子を考える．
フラクトンの演算子は" I
F̃ q [C10 ] = exp iq#
dx0 A0(5.3.13)C10である．Foliated BF 理論と同様に，C10 を空間方向に変形するとゲージ不変性が破れることがわかる．ライネオンの演算子はL̃qk [C10k ] = exp

" I
iq

#
C10k

k(ij)
(dx0 Â0+ dxk Âij ),k = 1, 2, 3

(5.3.14)qである．C10k が xk 方向に伸びた閉直線の場合は，L̃k は ZN テンソル大域的対称性を生成する
対称性演算子である．また，運動方程式 (5.3.11d) を用いることで，

I

I

∂2 ∂3
C11

dx1 Â23 = −no∂1 ∂2 Â12 + ∂3 ∂1 Â31 dx1(5.3.15)

C11

=0
q

q

q

となり，L̃1 [C11 ] は x2 の関数と x3 の関数の積の演算子に分解できる．*11 L̃2 [C12 ] と L̃3 [C13 ] に*11 Foliated の場合と同様に，実際には −∂2 ∂3 α̂3(12) − ∂3 ∂2 α̂2(31) = ∂2 ∂3 α̂1(23) という形の変換関数が現れる

H

ため， C 1 dx1 Â23 − α̂1(23) と補正する必要がある．
1

62

Soryushiron Kenkyu

ついても同様の分解が成り立つ．xk 方向に離れたフラクトンの双極子を表す帯演算子は

 W̃1q S21 = exp

" I
#
0
1
2
1
3
1
iq
(dx dx ∂1 A0 + dx dx A12 + dx dx A31 ) , W̃2q S22 = exp

" I
#
iq
(dx0 dx2 ∂2 A0 + dx1 dx2 A12 + dx3 dx2 A23 ) ,(5.3.16a)S21(5.3.16b)

S22

" I
#


W̃3q S23 = exp iq(dx0 dx3 ∂3 A0 + dx1 dx3 A31 + dx2 dx3 A23 )(5.3.16c)S23qである．S2k が (x1 , x2 , x3 ) 空間の中にある場合，W̃k は ZN dipole 対称性を生成する対称性演算子となる．2 つのタイプの対称性演算子は以下の交換関係を満たす：
2

1

L̃p2 [C12 ] W̃1q [S21 ] = e2πipqI(C1 ,S2 )/N W̃1q [S21 ] L̃p2 [C12 ] ,if

x11 < x1 < x12 ,(5.3.17a)2πipqI(C13 ,S21 )/N

if

x11 < x1 < x12 .

(5.3.17b)L̃p3 [C13 ] W̃1q [S21 ] = eW̃1q [S21 ] L̃p3 [C13 ] ,ここで，S21 = [x11 , x12 ] × C123 ，I は 2 つの多様体の交叉数である．同様の関係式が他の方向についても成り立つ．Exotic BF 理論のこれら対称性は，5.2.2 節で見た foliated BF 理論のものと同じ形をしている．

x3 -ライネオンのように x3 方向にのみ動くことができる，(x11 , x21 , x3 ) と (x12 , x22 , x3 ) にある
フラクトンの双極子の演算子は
qK̃12[C103 × C112 ] = exp

" I
iq

#
C103 ×C112(dx0 dx1 ∂1 A0 + dx0 dx2 ∂2 A0 + dx3 dx1 A31 + dx3 dx2 A23 )(5.3.18)である．ここで，C112 は，(x11 , x21 ) と (x12 , x22 ) をつなぐ (x1 , x2 ) 平面上の 1 次元曲線である．

Stokes の定理と運動方程式 (5.3.11a)，(5.3.11b) を用いることで，空間に他の演算子がない場
q

合は，C112 は [x11 , x12 ] × {x21 } + {x12 } × [x21 , x22 ] に変形することができ，この場合は K̃12 は

" I
q
K̃12
[C103 × C112 ] = exp iq#
C103 ×[x11 ,x12 ]×{x21 }" I× exp iqq

(dx0 dx1 ∂1 A0 + dx3 dx1 A31 )#0

C103 ×{x12 }×[x21 ,x22 ]

2

3

2

(dx dx ∂2 A0 + dx dx A23 )(5.3.19)=W̃1 C103 × [x11 , x12 ] × {x21 } W̃2q C103 × {x12 } × [x21 , x22 ]qqと書ける．同様に，K̃23 と K̃31 も定義される．
また，x3 方向に離れた x1 -ライネオンの双極子，及び x2 -ライネオンの双極子に対応する演算子も考えることができる．これらの双極子は，(x1 , x2 ) 平面上をプラノンのように動くこと63

Soryushiron Kenkyu

ができる：
q
P̃3,1
[S23 ] = exp

" I
iq


S23

" I
q
P̃3,2
[S23 ] = exp iq

S23

1(23)
dx dx ∂3 Â0+ dx1 dx3 ∂3 Â23 − dx2 dx3 (∂3 Â31 + ∂2 Â12 )
0

3



#
,

(5.3.20)
#


2(31)
dx0 dx3 ∂3 Â0+ dx2 dx3 ∂3 Â31 − dx1 dx3 (∂3 Â23 + ∂1 Â12 ).
(5.3.21)

ただし，

"
q
−q
P̃3,1
= P̃3,2
exp −iq

#

I
3(12)

S23

(dx0 dx3 ∂3 Â0+ dx2 dx3 ∂2 Â12 + dx1 dx3 ∂1 Â12 )(5.3.22)

−q −q
P̃3,3
= P̃3,2qという関係式を満たす．ここで，P̃3,3 は x3 方向に離れた x3 -ライネオンの双極子を表すが，これは自明な演算子である．Stokes の定理及び運動方程式 (5.3.11c)，(5.3.11d) を用いること
で，S23 は，空間に他の演算子がない場合は，C101 × {x2 } × [x31 , x32 ] と変形することができ，
qP̃3,1[S23 ] はq
P̃3,1[S23 ] = exp

" I
iq

" I
= exp iq#
C101 ×{x2 }×[x31 ,x32 ]1(23)(dx0 dx3 ∂3 Â0+ dx1 dx3 ∂3 Â23 )

#

1(23)

C101 (x2 ,x32 )"(dx0 Â0+ dx1 Â23 )I

× exp −iq(5.3.23)#1(23)C101 (x2 ,x31 )(dx0 Â0+ dx1 Â23 ) 01 2 3 =L̃q1 C101 (x2 , x32 ) L̃−q
C1 (x , x1 )1と書ける．ここで，C101 (x2 , x3 ) は (x2 , x3 ) にある (x0 , x1 ) 平面上の閉曲線である．同様に，
q(k, i) = (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) に対して P̃k,iも定義される．

2 + 1 次元の場合と同様に，フラクトンの演算子を検出する time-like 対称性の演算子
T̃

q

h

S2123,cubei= exp − iq


Z x12
dx
x11

× exp − iq


1

n

23

∆23 Â

Z x22
dx

2

n

× exp − iqdx

31

∆31 Â

x21

Z x32

3

n

x31
123,cubeも存在する [43]．この籠演算子は，表面が S2

64(x21 , x22 , x31 , x32 )o(x31 , x32 , x11 , x12 )12∆12 Âo(x11 , x12 , x21 , x22 )(5.3.24)oである直方体の各辺に局在している．まSoryushiron Kenkyu

た，フラクトンの演算子 F̃ q に対してはihT̃ p S2123,cube · F̃ q [C10 ] = e−2πipq/N F̃ q [C10 ]123,cube(5.3.25)

は C10 を囲む．フラクトンの演算子がなければ自明とのように作用する．ただし，S2なる．

これに加え，この理論はさらにライネオンを検出する time-like 対称性演算子（ベルト演
算子）

h

q
Ũ[12]3
S23,belti" Z 2Z 3#x2x2
= exp iqdx2 dx3 A23 (x12 ) − A23 (x11 )
x21

x31

"

× exp −iq3,beltを 持 つ ．こ こ で ，S2

Z x12 Z x32

1

dx dx
x11

12,rect

は C1

3

x31

A31 (x22 ) − A31 (x21 )

#(5.3.26)hiq× [x31 , x32 ] で あ る ．同 様 に ，Ũ[31]2
S22,belt 及 びihqŨ[23]1
S21,belt も定義される．これらはライネオンの演算子に対して以下のように作用する：
hipŨ[12]3
S23,belt · L̃q3 [C10 ] = L̃q3 [C10 ] ,hipŨ[31]2
S22,belt · L̃q3 [C10 ] = e2πipq/N L̃q3 [C10 ] ,hipŨ[23]1
S21,belt · L̃q3 [C10 ] = e−2πipq/N L̃q3 [C10 ] .
k,belt

ただし，S2123,cubeの和集合である S2(5.3.27a)(5.3.27b)(5.3.27c)qは，C10 を囲んでいるとする．同様の関係式が L̃1 ，

L̃q2 に対しても成り立つ．
これらのゲージ不変演算子はすべて ZN 演算子である．

5.4 3+1 次元における対応
2 + 1 次元の場合と同様に，5.2.2 節で説明した foliated BF 理論と 5.3 節で説明した exotic
BF 理論は，foliated 側で平坦な foliation ek = dxk (k = 1, 2, 3) で等価であると考えられる．
この節では，ゲージ不変演算子を比較することで，ゲージ場とゲージパラメーターの対応を顕わに書き下す．この対応は，発散と不連続性を含めて完全に一致する [1]．
まず，フラクトンの演算子の対応を考える．(5.2.6) で定義された F q [C10 ] と (5.3.13) で定義された F̃ q [C10 ] を同一視する：" I
exp iq#C10" I
a ≃ exp iq

65#
dx0 A0 .
C10(5.4.1)

Soryushiron Kenkyu

この同一視によって，ゲージ場の対応

a0 ≃ A0(5.4.2)a0 → a0 + ∂ 0 λ ,(5.4.3a)A0 → A0 + ∂0 α

(5.4.3b)が得られる．a0 と A0 のゲージ変換はであるので，ここからゲージパラメーターの対応

λ≃α(5.4.4)も得られる．さらに，ゲージパラメーター λ と α のゲージ変換

λ → λ + 2πξ 1 + 2πξ 2 + 2πξ 3 ,(5.4.5a)α → α + 2πñ + 2πñ + 2πñ(5.4.5b)

1

2

3

によって，

ξ k ≃ ñk

(5.4.6)を得る．これらの対応のもとで，発散と不連続性も合致していることは容易に確かめることができる．
ここで，運動方程式 (5.2.3d) を成分で書くと

N k(A + ∂0 ak − ∂k a0 ) = 0 ,2π 0
N k(A − Aik + ∂i ak − ∂k ai ) = 0 ,2π ik = 1, 2, 3 ,(5.4.7a)(k, i) = (1, 2), (2, 3), (3, 1)(5.4.7b)であるが，これらを対応 (5.4.2) と合わせることによって

Ak0 + ∂0 ak ≃ ∂k A0 ,k = 1, 2, 3

(5.4.8)が示唆される．左辺では，ζ k によるゲージ変換が打ち消されていることがわかる．
次に，帯演算子の対応を考える．2 + 1 次元の場合と同様に，修正されたゲージ不変帯演算q

子 Wk,mod [S2k ] をqWk,mod[S2k ] = exp" Iiq

A ∧ dx + d(ak dx )
k

S2k

k

66

k



#
,

k = 1, 2, 3

(5.4.9)

Soryushiron Kenkyuqqと定義し，Wk,mod [S2k ] と (5.3.16a)，(5.3.16b)，(5.3.16c) で定義した W̃k [S2k ] を同一視する：" I
exp iqA ∧ dx + d(ak dx )
k

S2k

k

k



#

" I
≃ exp iq

#
0

k

i

k

j

k

(dx dx ∂k A0 + dx dx Aik + dx dx Ajk ) ,S2k(k, i, j) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) .
(5.4.10)
この同一視によって，ゲージ場の対応

Aki + ∂i ak ≃ Aki ,k ̸= i ,k, i ∈ {1, 2, 3} ,(5.4.11)及び (5.4.8) を得る．項 ∂i ak によって，ゲージパラメーターの対応 (5.4.4) のもとで Aki のゲージ変換と整合していることがわかる．また，ゲージ場の対応 (5.4.8) 及び (5.4.11) を用いqqることによって，(5.2.12) で定義された演算子 K12 と (5.3.18) で定義された K̃12 が対応する
qq

ことがわかる．正確には Wk と同様に，foliated 側の演算子 K12 は" I
qK12,mod[C103 × C112 ] = exp iq
A1 ∧ dx1 + A2 ∧ dx2 + d(a1 dx1 + a2 dx2 )C103 ×C112#(5.4.12)のように修正したものが対応する．
qk
最後に，ライネオンの演算子を考える．(5.2.8a)-(5.2.8c) で定義された Lk [C0k
] と (5.3.14)qで定義された L̃k [C1k 0k] を同一視する：" I
exp iq

#

C10k

" I
(B i − B j ) ≃ exp iq

#
C10k

k(ij)
(dx0 Â0+ dxk Âij ).

(5.4.13)

この同一視によって，ゲージ場の対応
k(ij)B0i − B0j ≃ Â0

Bki − Bkj ≃ Âij ,,(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) ,(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)(5.4.14a)(5.4.14b)を得る．左辺の µ によるゲージ変換は相殺し，β k によるゲージ変換は現れない．両辺の i, j3(21)の対称性は一致していないので，B02 − B01 ≃ −Â01(23)らの対応は場が満たすべき条件 Â0

2(31)

+ Â0

，B32 − B31 ≃ −Â21 となる．また，これ

3(12)

+ Â0

= 0 を満たす．(5.2.4b)，(5.3.6a)，(5.3.6b) から，ゲージ変換は
B0i − B0j → B0i − B0j + ∂0 (λi − λj ) ,(5.4.15a)Bki − Bkj → Bki − Bkj + ∂k (λi − λj ) ,(5.4.15b)

k(ij)
k(ij)
Â0
→ Â0
+ ∂0 α̂k(ij) ,Â → Â + ∂k α̂
ij

ij

k(ij)

(5.4.15c)(5.4.15d)である．ここで，(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)．したがって，ゲージパラメーターの67

Soryushiron Kenkyu

対応λi − λj ≃ α̂k(ij) ,(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)(5.4.16)が得られる．さらに，λk と α̂k(ij) のゲージ変換

λk → λk + 2πmk + ν ,(5.4.17a)α̂k(ij) → α̂k(ij) + 2π m̃i − 2π m̃j(5.4.17b)

によって，

mk ≃ m̃k ,k = 1, 2, 3

(5.4.18a)も得られる．再びこれらの対応のもとで，発散や不連続性は一致していることが容易に確かめられる．また，ゲージ場の対応 (5.4.14a)，(5.4.14b) を用いることで，(5.3.20) で定義された
qは foliated 側で以下の演算子と対応することがexotic 側のライネオンの双極子の演算子 P̃3,1

わかる：
q
P3,1
[S23 ] = exp

 I
iq


S23

dx0 dx3 ∂3 (B02 − B03 ) + dx1 dx3 ∂3 (B12 − B13 )−dx dx2

3∂3 (B23 − B21 ) + ∂2 (B31 − B32 )

(5.4.19).
q

同様に，(k, i) = (3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) に対しても foliated 側の演算子 Pk,i も得られる．
これらに加えて，time-like 対称性の演算子も対応する．ゲージ場の対応 (5.4.14b) のもと
123,cube

で，(5.2.16) で定義された time-like 対称性の籠演算子 T q [S2] は，(5.3.24) で定義され123,cube
た籠演算子 T̃ q [S2] と対応することがわかる．フラクトンの defect 演算子が存在する
Hilbert 空間上では，任意の閉曲面 S2 上の b 演算子 T q [S2 ] は，defect 演算子がない領域では
123,cube
自明になるので，S2 で囲まれた defect 演算子を囲む直方体上での演算子 T q [S2] の積に分解される．また，ゲージ場の対応 (5.4.11) のもとで，(5.3.26) で定義された exotic 側のhiqtime-like 対称性のベルト演算子 Ũ[12]3
S23,belt に対応する以下の foliated 側のベルト演算子を見つけることができる：

hiqU[12]3,mod
S23,belt" Z 2Z
x2

x32

x21

x31

= exp iq"× exp −iqZ x12 Z x32
x11

x31

A32 (x12 ) + ∂2 a3 (x12 ) − A32 (x11 ) − ∂2 a3 (x11 )#dx ∧ dx23#A31 (x22 ) + ∂1 a3 (x22 ) − A31 (x21 ) − ∂1 a3 (x21 ) dx1 ∧ dx3 ,68(5.4.20)

Soryushiron Kenkyu

または，修正されていない演算子である
q
U[12]3hS23,belti" Z 2Z 3
#
x2
x2
 2
3 1
3 1
3
= exp iq
A2 (x2 ) − A2 (x1 ) dx ∧ dx
"

x21

x31

× exp −iqZ x12 Z x32

q

x11

x31

h

#

A31 (x22 ) − A31 (x21 ) dx1 ∧ dx3 .

2,belt同様に，他の方向のベルト演算子 U[31]2 S2

i

q

h

1,belt，U[23]1 S2i(5.4.21)も見つけることができる．

2 + 1 次元の場合と同様に，foliated 側で b を積分した場合，上のゲージ場の対応のもとでは，Lagrangian(5.2.2) と (5.3.9) は一致する．b による運動方程式 (5.4.7a)，(5.4.7b) を用いると，(5.2.2) は単純にバルクの項が消えて

Lf =

3
X
iN
k=1

2π

dB k ∧ Ak ∧ dxk(5.4.22)となるが，部分積分して場の対応 (5.4.8)，(5.4.11) 及び (5.4.14a)，(5.4.14b) を用いることで，

iN  1B0 (∂3 A12 − ∂2 A13 ) + B21 (∂0 A13 − ∂3 A10 ) + B31 (∂2 A10 − ∂0 A12 )2π+ B02 (∂1 A23 − ∂3 A21 ) + B12 (∂3 A20 − ∂0 A23 ) + B32 (∂0 A21 − ∂1 A20 )+B03 (∂2 A31 − ∂1 A32 ) + B13 (∂0 A32 − ∂2 A30 ) + B23 (∂1 A30 − ∂0 A31 ) d4 x
iN  1≃B0 (∂3 A12 − ∂2 A31 ) + B21 (∂0 A31 − ∂3 ∂1 A0 ) + B31 (∂2 ∂1 A0 − ∂0 A12 )2π+ B02 (∂1 A23 − ∂3 A12 ) + B12 (∂3 ∂2 A0 − ∂0 A23 ) + B32 (∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 )

+B03 (∂2 A31 − ∂1 A23 ) + B13 (∂0 A23 − ∂2 ∂3 A0 ) + B23 (∂1 ∂3 A0 − ∂0 A31 ) d4 x
iN  1=(B0 − B02 )∂3 A12 + (B02 − B03 )∂1 A23 + (B03 − B01 )∂2 A31
2π− (B31 − B32 )(∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 ) − (B12 − B13 )(∂0 A23 − ∂2 ∂3 A0 )
−(B23 − B21 )(∂0 A31 − ∂3 ∂1 A0 ) d4 x
iN h 3(12)
1(23)
2(31)
≃
Â0 ∂3 A12 + Â0 ∂1 A23 + Â0 ∂2 A31
2π
i

Lf =

−Â12 (∂0 A12 − ∂1 ∂2 A0 ) − Â23 (∂0 A23 − ∂2 ∂3 A0 ) − Â31 (∂0 A31 − ∂3 ∂1 A0 ) d4 x
(5.4.23)となる．再び部分積分することで，

Lf =

iN h
1(23)
3(12)
A12 (∂0 Â12 − ∂3 Â0 ) + A23 (∂0 Â23 − ∂1 Â0 )
2π

i
2(31)
+ A31 (∂0 Â31 − ∂2 Â0 ) + A0 (∂1 ∂2 Â12 + ∂2 ∂3 Â23 + ∂3 ∂1 Â31 ) d4 xiiN h
A12 Ê 12 + A23 Ê 23 + A31 Ê 31 + A0 B̂ d4 x=2πとなり，(5.3.9) の Le と一致する．
ゲージ場とゲージパラメーターの対応は表 5.3 及び表 5.4 にまとめた．

69(5.4.24)

Soryushiron Kenkyu

Foliated BF 理論

Exotic BF 理論

ゲージ場とパラメーター

ゲージ変換

ゲージ場と
パラメーター

ゲージ変換

a0

∂0 λ

A0

∂0 α

Ak0 + ∂0 ak(k = 1, 2, 3)∂0 ∂k λ(k = 1, 2, 3)∂k A0(k = 1, 2, 3)∂k ∂0 α(k = 1, 2, 3)

Aki + ∂i ak∂i ∂k λAki∂k ∂i αk ̸= i , k, i ∈ {1, 2, 3} k ̸= i , k, i ∈ {1, 2, 3} k ̸= i , k, i ∈ {1, 2, 3} k ̸= i , k, i ∈ {1, 2, 3}
2πξ 1 + 2πξ 2 + 2πξ 3λξk(k = 1, 2, 3)

表 5.3

α

2πñ1 + 2πñ2 + 2πñ3ñk(k = 1, 2, 3)

3 + 1 次元における foliated BF 理論と exotic BF 理論の間のゲージ場とゲージ

パラメーターの対応（A ゲージ場）．

70

Soryushiron Kenkyu

Foliated BF 理論

Exotic BF 理論

ゲージ場とパラメーター

ゲージ変換

ゲージ場と
パラメーター

ゲージ変換

B0i − B0j
(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)∂0 (λi − λj )(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)Â0(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)k(ij)∂0 α̂k(ij)(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)

Bki − Bkj
(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)∂k (λi − λj )(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)Âij(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)∂k α̂k(ij)(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)

λi − λj(i, j) = (1, 2),(2, 3), (3, 1)

2πmi − 2πmj
(i, j) = (1, 2),(2, 3), (3, 1)α̂k(ij)(i, j, k) = (1, 2, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2)

2π m̃i − 2π m̃j(i, j) = (1, 2),(2, 3), (3, 1)

mk(k = 1, 2, 3)

表 5.4

m̃k
(k = 1, 2, 3)

3 + 1 次元における foliated BF 理論と exotic BF 理論の間のゲージ場とゲージ

パラメーターの対応（B ゲージ場）．

5.5 基底状態の縮退度とロバストネス
この節では，基底状態の縮退度とロバストネス [18] を論じる．

2 + 1 次元の場合と同様に，基底状態の縮退度は対称性演算子の表現を調べることでわかる．
空間は格子に正則化されており，格子定数は a，格子の数は xk 方向に Lk 個，x̂k = xk /a とする．以下では exotic BF 理論の場合で考える．対称性演算子は，" I
L̃qk [C1k ] = exp iq#
dxk Âij
C1k

71

,

k = 1, 2, 3

(5.5.1)

Soryushiron Kenkyu及び W̃1q S21 = exp

" I
#
2
1
3
1
iq
(dx dx A12 + dx dx A31 ) , W̃2q S22 = exp

" I
#
iq
(dx1 dx2 A12 + dx3 dx2 A23 ) ,(5.5.2a)S21(5.5.2b)

S22

" I
#


W̃3q S23 = exp iq(dx1 dx3 A31 + dx2 dx3 A23 )(5.5.2c)S23である．ここで，S2k は S21 = [x11 , x12 ] × C123 ，S22 = [x21 , x22 ] × C131 ，S23 = C112 × [x31 , x32 ] であり，C1ik は (xi , xk ) 平面上の閉曲線である．これら 2 つのタイプの対称性演算子は以下の交換
関係
12

L̃p1 [C11 ] W̃2q [S22 ] = e2πipqI(C1 ,S2 )/N W̃2q [S22 ] L̃p1 [C11 ] ,1
3
L̃p1 [C11 ] W̃3q [S23 ] = e2πipqI(C1 ,S2 )/N W̃3q [S23 ] L̃p1 [C11 ] ,if

x21 < x2 < x22 ,(5.5.3a)if

x31 < x3 < x32(5.5.3b)を満たす．ここで，I は 2 つの多様体の交叉数である．同様の関係式が他の方向についても成り立つ．格子による正則化によって，独立な演算子は以下のようになる：

A(x̂2 ) = exp iaLXA(x̂3 ) = exp iaÂ23 (ax̂1 , ax̂2 , a) ,x̂1 =1LX

x̂2 = 1, · · · , L2 ,(5.5.4a)x̂2 = 1, · · · , L2 ,(5.5.4b)

3

B(x̂2 ) = exp ia21

A23 (a, ax̂2 , ax̂3 ) ,x̂3 =1L 
X

1Â23 (ax̂1 , a, ax̂3 ) − Â23 (ax̂1 , a, a)  ,x̂1 =1

B(x̂3 ) = exp ia2LXx̂3 = 2, · · · , L3 , (5.5.4c)

2

A23 (a, ax̂2 , ax̂3 ) ,x̂3 = 2, · · · , L3 .

(5.5.4d)x̂2 =1x2 -ライネオンと x3 -ライネオンの演算子についても同様である．これらは A(x̂k )N = 1，
B(x̂k )N = 1，A(x̂k )B(x̂k ) = e2πi/N B(x̂k )A(x̂k ) を満たし，独立な AB = e2πi/N BA という代数を満たす (L2 + L3 − 1) + (L3 + L1 − 1) + (L1 + L2 − 1) = 2L1 + 2L2 + 2L3 − 3 個の演算子の組である．それぞれの代数に対して最小の表現は N 次元表現であり，よって縮退度は

N 2L +2L +2L −3 となる．
1

2

3

次にロバストネスについて考える．IR の foliated / exotic BF 理論での対称性 GIR は

ZN tensor 対称性及び ZN dipole 対称性である．UV の格子模型が ZN A 格子テンソルゲー
ジ理論の場合は，対称性 GUV は ZN tensor 対称性のみである．一方で，UV の格子模型が

ZN Â 格子テンソルゲージ理論の場合は，対称性 GUV は ZN dipole 対称性のみである．また，ZN X-cube 模型の場合は，対称性 GUV は ZN unconstrained tensor 対称性及び ZN

unconstrained dipole 対称性である．X-cube 模型では，基底状態の縮退度は IR と一致する．
72

Soryushiron Kenkyu

これらは，GUV を保ちながら低エネルギーに RG ﬂow すると，foliated / exotic BF 理論に

ﬂow すると考えられる．このとき，IR の理論には GUV で不変となるような局所演算子は存在しないので，どの格子模型から ﬂow させても GIR は robust である．また，そのような局所演算子が存在しないため，理論は普遍性を持つのに加え，基底状態の縮退度も robust である．

73

Soryushiron Kenkyu

第6章

結論と展望

この論文では，フラクトン系の格子模型と QFT についてレビューした．まず，格子模型である Z2 X-cube 模型を例にとって，フラクトン系の性質を見た．その後に，フラクトン系のQFT である 2 + 1 次元の ϕ 理論を例にとって，部分系対称性，格子模型との関係，場の配位，普遍性などをレビューした．また，2 + 1 次元及び 3 + 1 次元の foliated BF 理論と exotic BF
理論をレビューし，それらのゲージ不変演算子を同一視することでゲージ場とゲージパラメー
ターの顕わな対応を得た．この対応のもとでは，ゲージ場とパラメーターの発散と不連続性は一致する．また，time-like 対称性の演算子も対応することを示した．

Foliated-exotic 双対性の今後の方向性としては，部分系対称性の混合 ’t Hooft アノマ
リー [49] の対応を調べることが挙げられる．部分系対称性の’t Hooft アノマリーとそのアノ
マリー流入 [50] については，[21, 28] で研究されており，対応する 1 つ高い次元の理論は部分系対称性保護トポロジカル相（SSPT 相）と呼ばれている [21, 51, 52]．フラクトン系の BF
理論はこのようなアノマリーを持つため，foliated 側と exotic 側の SSPT の対応を調べることが可能であると考えられる．他の方向性としては，ギャップのない foliated QFT である

foliated スカラー場の理論 [22, 25] と，exotic な ϕ 理論 [16, 19] の対応を調べることが挙げられる．ギャップのない理論では，foliated-exotic 双対性が単純には成立しないと考えられているが [25]，これらは RG ﬂow によって繋がっている可能性があり，その構造を明らかにする研究も考えられる．また，foliated-exotic 双対性を用いて，exotic QFT から等価な foliated

QFT を構成する（またはその逆）などの試みも考えられる．フラクトン系の QFT におけるboson-fermion 対応（格子模型では [53]）などは，foliated QFT を用いた方が考察しやすいと考えられ，foliated-exotic 双対性がそのような研究に繋がることも期待される．
フラクトン系はここ数年で発見された分野であり，純粋に理論的なものであるが，実験系での実現も将来的な課題として存在する．また，ゲージ場として現れるものが発散や不連続性などを許し，通常のゲージ場とは異なるため，その数学的定式化もまだ未解決の課題であり，今後のさらなる発展が期待される．

74

Soryushiron Kenkyu

謝辞
同研究室の大森寛太郎助教には，大学院入学時から本修士論文の執筆に至るまで，膨大な量の指導，議論をしていただいた．深く感謝する．同研究室の松尾泰教授は，未熟な筆者を指導教員として受け入れてくださり，多くのことをご教授いただいた．深く感謝する．IPMU の前田竜成君には，大学入学時から多くの議論に付き合っていただき，本論文に助言もいただいた．
また，IPMU の岡田昌樹君，基礎物理学研究所の津田崇史君は，同分野の同期として勉強会で多くの時間を共にした．深く感謝する．その他，筆者の大学院生活に関わるすべての皆様に感謝する．筆者は修士課程在学中に東京大学大学院数理科学研究科の WINGS-FMSP から援助を受けており，これにも深く感謝する．

75

Soryushiron Kenkyu

付録 A

1+1 次元の BF 理論
この章では，1 + 1 次元の通常の相対論的な BF 理論 [36–39] についてレビューする．パッチによる記述は [54] を参考にした．空間は (x0 , x1 ) を座標とする長さ l0 ，l1 の Euclid な 2 次
元トーラス M とする．

A.1 ゲージ場とゲージ変換
1 + 1 次元では，0 形式の U (1) ゲージ場 b と 1 形式の U (1) ゲージ場 a が現れる．それぞれのゲージ変換はb → b + 2πm ,(A.1.1)a → a + dλ(A.1.2)である．ここで，m は整数値の局所定数関数，λ は 0 形式のゲージパラメーターである．λ はそれ自身ゲージ変換 λ → λ + 2πs（s は整数値の局所定数関数）を持つ．厳密には，空間を開集合のパッチ {Ui }i でわけ，その開集合 Ui 上で考える．パッチの上では，ゲージ場 b はパッチ上の実数値関数 b(i) とb(i) − b(j) = 2πn(ij)(A.1.3)を満たすパッチ間の整数値の変換関数 n(ij) の組 (b(i) , n(ij) ) である．*1 一方で，ゲージ場 a はパッチ上の 1 形式 a(i) ，a(i) − a(j) = dχ(ij)(A.1.4)を満たすパッチ間の実数値変換関数 χ(ij) ，3 つのパッチ間のコサイクル条件

χ(ij) + χ(jk) + χ(ki) = 2πt(ijk)(A.1.5)*1 b や a は大域的な微分形式ではなく，これらを開集合 Ui 上に制限した場合に Ui 上の微分形式となる．例えば，

b の場合はこれを b(i) と表記し，Ui ∪ Uj ̸= ∅ となる i，j 間での変換関数を n(ij) のように書く．

76

Soryushiron Kenkyu

を満たすような整数値関数 t(ijk) の組 (a(i) , χ(ij) , t(ijk) ) である．このように考えると b =(b(i) , n(ij) ) のゲージ変換は，b(i) → b(i) + 2πm(i) ,(A.1.6)n(ij) → n(ij) + m(i) − m(j) ,(A.1.7)a = (a(i) , χ(ij) , t(ijk) ) のゲージ変換は，
a(i) → a(i) + dλ(i) ,(A.1.8)

χ(ij) → χ(ij) + λ(i) − λ(j) + 2πξ(ij) ,(A.1.9)t(ijk) → t(ijk) + ξ(ij) + ξ(jk) + ξ(ki)(A.1.10)である．ここで，ξ(ik) は整数値の局所定数関数であり，変換関数に現れるゲージ変換である．*2
ここで，開集合のパッチ {Ui }i を適切に取り，それに対して M =Si σi ，σi ⊂ Ui であり，以下の条件を満たすような閉集合の組 {σi }i を取ることにする．これらの閉集合は，σi と σj の共通部分は空集合または 1 次元の σij であり，σi ，σj ，σk の共通部分が空集合または点 σijk ，さらに 4 つ以上の σi の共通部分は空集合であるように取る．このような閉集合の組は開集合のパッチを適切に取ればいつでも存在する．このような準備のもとで，ゲージ場の外微分の積分が 2πZ の値を持つことが容易に示せる．b については，閉曲線 C を取ると，*3

I
db =
C

=
=

XZ

db(i)

XZ

i

C∩σi

i<j

C∩σij

X

(b(i) − b(j) )(A.1.11)2πn(ij) C∩σ ∈ 2πZ ,ij

i<ja については，
I
da =
M

=
=
=

XZ

da(i)

XZ

i

σi

i<j

σij

i<j

σij

XZ
X

(a(i) − a(j) )dχ(ij)(A.1.12)(χ(ij) + χ(jk) + χ(ki) ) σ

ijk

i<j<k

=

X

2πt(ijk) σ

ijk

∈ 2πZ

i<j<k

となる．これらの積分が 0 でない場合，場は ﬂux を持つという．

*2 λ 自身のゲージ変換 λ → λ + 2πs は，λ(i) → λ(i) + 2πs(i) ，ξ(ij) → ξ(ij) − s(i) + s(j) となる．
*3 簡単のため C ∩ σij が 1 次元にならないように C を取るが，一般性は失わない．

77

Soryushiron Kenkyu

A.2 BF 理論
1 + 1 次元の BF 理論の作用は
iN
S=
2π

Z
b da

(A.2.1)

Mと書かれる．ここで，N は正の整数である．この表記は厳密には以下のような意味である．
トーラス M を前節のようなパッチで分けると，ナイーブには iN
2πP Ri σi b(i) da(i) となるが，この表記はゲージ変換のもとで不変にならない．したがって，以下のように変換関数の補正項を付け加える必要がある：

S=

iN X
2π i

Z
b(i) da(i) − iN
σi

XZ
i<j

n(ij) a(j) + iN
σij

Xn(ij) χ(jk) σ

ijk.

(A.2.2)i<j<k

この作用のゲージ不変性は以下のように確かめられる．まず第 1 項のゲージ変換による変化
分は，

Z
iN X
2πm(i) da(i)2π i σiZiN X
2π m(i) a(i) − m(j) a(j)=2π i<j σij
XZ 

= iN
m(i) − m(j) a(j) + m(i) dχ(ij)
i<j

= iN

XZ
i<j

+ iN

(A.2.3)σij

m(i) − m(j) a(j)σijXm(i) χ(ij) + m(j) χ(jk) − m(i) χ(ik)


σijk

i<j<k

となる．*4 第 2 項の変化分は，

− iN

XZ
i<j

= −iN

X

m(i) − m(j) a(j) − iN
σij

XZ
i<j

i<j

Z


n(ij) + m(i) − m(j) dλ(j)
σij

X 


m(i) − m(j) a(j) − iNn(ij) + m(i) − m(j) λ(j)σij

(A.2.4)i<j<k
+ n(jk) + m(j) − m(k) λ(k) − n(ik) + m(i) − m(k) λ(k)σijk

*4 σij の向きは適切に決める必要がある．ここでは，i < j に対して，σi を左回りに囲むような向きに σij の向

きを取る．

78

Soryushiron Kenkyuとなる．第 3 項の変化分は，

iN

X


m(i) − m(j) χ(jk) σ

ijk

i<j<k

+ iN

X

n(ij) + m(i) − m(j)

λ(j) − λ(k) + 2πξ(jk)

(A.2.5)
σijk

i<j<k

となる．これらを足し合わせ，n(ij) = −n(ji) ，χ(ij) = −χ(ji) ，n(ij) + n(jk) + n(ki) = 0 などを用い，2πi の整数倍となる項を落とすと，XiNm(i) χ(ij) + χ(jk) + χ(ki))


σijk

i<j<k

= iN

X

(A.2.6)m(i) 2πt(ijk) σ

ijk

i<j<k

となる．この項は 2πi の整数倍となるので，結果的に経路積分内の e−S はゲージ不変となる．
また，部分積分した表式も求めておく．作用の第 1 項は

−

iN X
2π i

Z
db(i) ∧ a(i) +
σi

iN X
2π i

Z
d b(i) a(i)

(A.2.7)σiとなるが，この式の第 2 項は

Z

iN X
d b(i) a(i)2π i σi
Z



iN X
b(i) a(i) − a(j) + b(i) − b(j) a(j)=2π i<j σijZiN Xb(i) dχ(ij) + 2πn(ij) a(j)=2π i<j σijZZ
XZ iN X
iN X=
d b(i) χ(ij) −db(i) χ(ij) + iNn(ij) a(j)2π i<j σij
2π i<j σij
i<j σij(A.2.8)と変形できる．さらにこの式の第 1 項は

iN X
2π

b(i) χ(ij) + b(j) χ(jk) − b(i) χ(ik)


σijk

i<j<k



iN X 
b(i) χ(ij) + χ(jk) + χ(ki) − b(i) − b(j) χ(jk)
2π
i<j<k
X
X
= iN
b(i) t(ijk) σ − iNn(ij) χ(jk) σ
=

ijk

i<j<k

(A.2.9)

σijk

ijk

i<j<k

と変形できる．これらをすべて合わせると，作用の変換関数による補正項が変化し，以下のよ
うになる：

iN X
S=−
2π i

Z

iN X
db(i) ∧ a(i) −2π i<jσiZdb(i) χ(ij) + iN
σij

X
i<j<k

79

b(i) t(ijk) σ

ijk. (A.2.10)

Soryushiron Kenkyu

つまり，部分積分によって追加の項が現れるが，それらは変換関数の補正を変更するだけであ
る．これを

iN
S=−
2π

Z

iN
db ∧ a =2πMZ
a ∧ db

(A.2.11)Mと書く．
運動方程式は，

N db = 0 ,(A.2.12)N da = 0(A.2.13)であるが，パッチに分けた正確な表記では，

N db(i) = 0 ,(A.2.14)

N b(i) ∈ 2πZ ,(A.2.15)

N da(i) = 0 ,X
χ(jk) ∈ 2πZ
a(j) − NZ
Nσij(A.2.16)(A.2.17)k; k>jである．場が量子化されている運動方程式は以下のように得る．例えば，作用 (A.2.10) に対して t(ijk) を経路積分する場合は，t(ijk) を整数全体に渡って和を取るが，その場合には N b(i)が 2π の整数倍となる場合だけ経路積分に寄与することから N b(i) ∈ 2πZ が得られる．

A.3 ゲージ不変演算子
ゲージ不変演算子は

V [x] = exp [ib(x)] , I W [C] = exp ia(A.3.1)(A.3.2)

Cである．ここで，C は 1 次元の閉曲線である．b は局所的なパッチ上では b(i) であり，パッチ
間の差は 2πn(ij) ∈ 2πZ となるため，V [x] は大域的に定義されている．また，W [C] は正確に
は変換関数の補正を加えてW [C] = exp iXZia(i) −C∩σiX

χ(ij) C∩σ ij(A.3.3)i<jである．運動方程式を適用すれば，x の位置や C の形状は自由に変形することができ，トポロ
ジカルであることがわかる．また，これらは ZN 演算子：V N = W N = 1 である．V N = 1
は，まず (A.2.15) から点 σijk の場合に示せ，さらに運動方程式 (A.2.14) を用いて任意の点でも示せる．W N = 1 は，まず (A.2.17) から，経路が σij に沿うような場合で示せ，さらに運動方程式 (A.2.16) を用いて任意の経路 C について示せる．これらの計算は，実際にはパッチ

80

Soryushiron Kenkyu

で分けた運動方程式を使わずに簡略化して行うことが多い．その場合，常に変換関数の補正がかかっているとし，積分によって境界に出る量は適切にキャンセルされるとして計算する．
これらの２つの演算子は，ZN の対称性演算子である．V は余次元 2 の演算子であり，1 形式対称性である．一方，W は余次元 1 の演算子であり，通常の大域的対称性である．これらはそれぞれがもう一方の演算子に以下のように作用する：
H

H

ei C a eib(x) = e2πi/N eib(x) ei C ′ a .

(A.3.4)

ここで，C は閉曲線であり，C ′ は C を x を横切るように微小に変形した閉曲線である．この関係式を示すには以下のように考えればよい．*5 演算子の期待値を考えると

D
e

i

H

a ib(x)
C

e

···

E


I
Z
Z
iN
2
2
= [da db] exp −a+id y δ (x − y)b(y) · · ·b da + i
2π MCM I  ZiN
22
= [da] exp ia δ − da + id y δ (x − y) · · ·2πC(A.3.5)Z

ここで，C を x を含む微小な領域を囲む閉曲線 Cx = ∂Dx とそれ以外の部分の閉曲線 C ′ に分割する．このとき，DE
Hei C a eib(x) · · ·
 I
 

Z
I
2π 2 2iN= [da] exp i
a+id y δ (x − y) δ − da + id2 y δ 2 (x − y) · · ·
2π
C′
Dx N
 I
 

Z
iN
2πi/N
2
2
(A.3.6)=e[da] exp ia δ − da + id y δ (x − y) · · ·
2π
C′


Z
I
Z
iN
2πi/N
=e
[da db] exp −a + ib(x) · · ·b da + i
2π M
C′
D
E
H
= e2πi/N eib(x) ei C ′ a · · ·Hとなるので，(A.3.4) が示せた．場への作用を見ておくと，通常の大域的対称性の ei C a の場
への作用は

b→b+

2π
k,k ∈ ZN

(A.3.7)であり，この対称性は ZN 対称性である．通常の U (1) 対称性のシフトは，(A.2.10) の第 3 項の変換関数による補正の項で不変にならないことはすぐにわかる．一方，1 形式対称性の eibの場への作用はI
a→a+ν,dν = 0 ,

ν=
C

2π
k,
N

k∈Z

(A.3.8)である．この変換は N 回行うとゲージ変換となるため，ZN 対称性である．この変換は，U (1)/ZN 値のパラメーター α を用いて書ける．このパラメーターは，パッチ上では ν(i) =*5 ここの議論は若干ラフなものである．

81

Soryushiron Kenkyu

dα(i) ，α(i) − α(j) = 2πβ(ij) /N （β ∈ Z）となるものであり，変換はa(i) → a(i) + dα(ij)(A.3.9)χ(ij) → χ(ij) + 2πβ(ij) /N(A.3.10)である．この変換のもとで作用 (A.2.2) が不変であることもすぐにわかる．

82

Soryushiron Kenkyu

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