100SINNET について
―不変量𝑎𝑘 (𝑋)―雙知 延行*

Notes on SINNET－invariant 𝑎𝑘 (X)－
Nobuyuki Sochi*
Abstract
1𝑘

We studied the metric invariant 𝑎𝑘 (X) = min max ∑𝑙=1 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑥, 𝑥𝑙 ). In this paper, we play the game𝑘“SINNET “ by applying this invariant to Sphere.

１．ゲーム「SINNET」についてｋ人対ｋ人で対戦ゲームをする。
最初に、偶数人対偶数人、つまり、２ｐ人対２ｐ人（ｐは自然数）で対戦ゲームをする場合を考える。
まず、一方のチームの１人（先攻）が玉を投げ落とし、落ちた瞬間に落ちて動かない玉の位置まで相手の２ｐ人が同時に同じ速さで最短距離で拾いに行き（あるいは、２ｐ人のうち何人かは玉の方向に向かわなくても良いし、別の方向に向かっても良いものとする）、玉を拾い、最初に拾った人が拾った玉を投げて、同様に相手チームの２ｐ人（あるいは、そのうちの数人）が拾いに行き、以下同様にゲームを続ける。なるべく遠くに投げて、２ｐ人のうち１人が拾ったら拾ったプレイヤーの移動した距離数量だけ玉を落とした相手チームが得点する。得点がある得点（例えば、大円１０周分）に先に達した方を１ゲーム勝ちとして、先攻後攻を入れ替えてゲームを続ける。４ｎ人は全員同じ速さとする。
手始めに、球面上でこのゲームを行う。便宜上、球面は半径が１のｎ次元単位球面 Sn とし、無色透明のスケルトンで、玉が落ちたら玉までの距離がπ/２より近いか遠いかがプレイヤーに区別がつくものとする。ｎ次元単位球面はｎ－１次元単位球面のspherical suspension である。ここで、sphericalsuspension とは、ｎ－１次元単位球面からの距離がπ/２となる２点を極として、その２点と球面上の点を測地線で結び、球面の距離を入れてｎ次元単位球*総合教育科面とすることである。各プレイヤーから玉の落下点までの最短測地線によって張られたネットの中の球面（Sphere）における TENNIS のダブルス（？）のようなこのゲームを SINNET（S in net）と名付ける。
まずは、２人対２人で２次元球面 S2 上で対戦する。
次に、２人対２人でｎ次元球面 Sn（ｎ≧２）上で対戦する。その次に、２ｐ人対２ｐ人（ｐは自然数）で２次元球面 S2 上で対戦し、次に、２ｐ人対２ｐ人でｎ次元球面 Sn（ｎ≧２）上で対戦する。
奇数人対奇数人の場合も２ｐ人対２ｐ人の場合と同様の条件で考える。つまり、一方のチームの１人が玉を投げ落とし、落ちた瞬間に落ちて動かない玉の位置まで相手の２ｐ－１人が同時に同じ速さで最短距離で拾いに行き（あるいは、２ｐ－１人のうち何人かは玉の方向に向かわなくても良いし、別の方向に向かっても良いものとする）、玉を拾い、最初に拾った人が拾った玉を投げて、同様に相手チームの２ｐ－１人（あるいは、そのうちの数人）が拾いに行き、以下同様にゲームを続ける。なるべく遠くに投げて、２ｐ－１人のうち１人が拾ったら拾ったプ
レイヤーの移動した距離数量だけ玉を落とした相手チームが得点する。得点がある得点に先に達した方を１ゲーム勝ちとする。合計４ｎ－２人は全員同じ速さとする。この様に、２ｐ－１人対２ｐ－１人（ｐは自然数）で２次元球面 S2 上で対戦し、２ｐ－１人対２ｐ－１人でｎ次元球面 Sn（ｎ≧２）上でも対戦する。
平成 26 年 11 月 30 日受理

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SINNET について（雙知）最後に他の空間（例えば、射影空間やアレクサンドロフ空間）において考える。
２．不変量 a k(Ｘ)について
空間 X においてｋ個の点から任意の点ｘまでの距離の平均の最大値が最小となるようなｋ個の点の配置での値を𝑎𝑘 (X) と定義する。つまり、𝑎𝑘 (X) =1𝑘min max ∑𝑙=1 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑥, 𝑥𝑙 )と定義する。まずは、X𝑘がｎ次元単位球面 Sn の場合を考える。
２．１
k＝２ｐのときｎ次元単位球面 Sｎにおいては、ｋが偶数（ｋ＝２

図２ 𝑎 3 (𝑆 2 )が実現された配置1ｐ）のとき、𝑎𝑘 (𝑆 𝑛 ) = 𝜋になることが分かってい2

る[(2)(3)]。ｋが偶数のとき、𝑎𝑘 (𝑆 𝑛 )が実現されるｋ個の点の配置はｐ組の２個の点がそれぞれ対蹠点（距離πの点）のペアとなるときと分かっている[(2)(3)]。このとき、ｘは任意の点である。
例として図１を挙げる。

３．

球面上の２人対２人の対戦

３．１
𝑺𝟐 上の対戦S2 上で A チームのメンバーA１と A２が B チームのメンバーB１と B２と２人対２人で対戦する。まず、A１が玉を投げたとする。B１と B２からなるべく遠くに投げるために、２人からの距離の平均の最大値を考える。B１と B２はその最大値が最小となる配置を考えて、その配置に移動しておく。つまり、𝑎2 (𝑆 2 )を考えることになる。上の結果より、その値はπ/２でB１と B２の２人は球面上の対蹠点の位置にいれば良いことになる。
図３で A1 がどこに投げても、B チームのメンバーからの最短距離はπ/２以下となるので、B１と B２の２人からの距離が同じπ/２となる点（お見合い点と呼ぶ）を狙うと良い。B チームは、B１と B２のうちｘにより近い方（お見合い点の場合は任意）が玉を取りに行き、他方は相方の対蹠点に移動して次に備えておけば良い。

図１ 𝑎2 (𝑆 2 )が実現された配置

２．２
k＝２ｐ－１のときｋが奇数（ｋ＝２ｐ－１）のとき、𝑎𝑘 (𝑆 𝑛 ) =2𝑝2 −2𝑝+1(2𝑝−1)2𝜋となり、ｋが奇数のとき、𝑎𝑘 (𝑆 𝑛 )が実現されるｋ個の点の配置は大円上にｋ個の点が等間隔に並んだときで、ｘはｋ個の点のうちの任意の１点の対蹠点のときと分かっている[(2)(3)]。
例として図２を挙げる。
図３ 𝑆 2 上の対戦

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弓削商船高等専門学校

紀要

３．２
𝑺𝒏 上の対戦n
S 上で A チームのメンバーA１と A２が B チームのメンバーB１と B２と２人対２人で対戦する。まず、A１が玉を投げたとする。B１と B２からなるべく遠くに投げるために、２人からの距離の平均の最大値を考える。B１と B２はその最大値が最小となる配置を考えて、その配置に移動しておく。つまり、𝑎2 (𝑆 𝑛 )を考えることになる。上の結果より、その値はπ/２でB１と B２の２人は球面上の対蹠点の位置にいれば良いことになる。
図４で A1 がどこに投げても、B チームのメンバーからの最短距離はπ/２以下となるので、B１と B２の２人からの距離が同じπ/２となる点（お見合い点）を狙うと良い。B チームは、B１と B２のうちｘにより近い方（お見合い点の場合は任意）が玉を取りに行き、他方は相方の対蹠点に移動して次に備えておけば良い。

第 37 号（平成 27 年）

チームは、B１～B2p のうちｘにより近い人（お見合い点の場合は任意）が玉を取りに行き、その相方は対蹠点の位置に移動して次に備えておけば良い。
２つの対蹠点から始めて spherical suspension を２回とった時に、初めの２点も含めて、それぞれの極の２点に順に配置をしていけば、π/２よりもさらに小さくすることができる。

図５ 𝑆 2 上の対戦

図４ 𝑆 𝑛 上の対戦

４． 球面上の２ｐ人対２ｐ人の対戦
４．１
𝑺𝟐 上の対戦S2 上で A チームのメンバーA１～A2p が B チームのメンバーB１～B2p と２ｐ人対２ｐ人で対戦するとする。まず、A１が玉を投げたとする。B１～B2p からなるべく遠くの距離に投げるために、２ｐ人からの距離の平均の最大値を考える。B１～B2p はその最大値が最小となる配置を考えて、その配置に移動しておく。つまり、𝑎2𝑝 (𝑆 2 )を考えることになる。上の結果
より、その値はπ/２で B チームのｐペアの２人は球面上の対蹠点にそれぞれいれば良いことになる。B４．２
𝑺𝒏 上の対戦Sn 上で A チームのメンバーA１～A2p が B チームのメンバーB１～B2p と２ｐ人対２ｐ人で対戦するとする。まず、A１が玉を投げたとする。B１～B2p からなるべく遠くの距離に投げるために、２ｐ人からの距離の平均の最大値を考える。B１～B２p はその最大値が最小となる配置を考えて、その配置に移動しておく。つまり、𝑎2𝑝 (𝑆 𝑛 )を考えることになる。上の結果
より、その値はπ/２で B チームのｐペアの２人は球面上の対蹠点にそれぞれいれば良いことになる。Bチームは、B１～B2p のうちｘにより近い人（お見合い点の場合は任意）が玉を取りに行き、その相方は対蹠点の位置に移動して次に備えておけば良い。
２つの対蹠点から始めて spherical suspension をとることを繰り返した時に、初めの２点も含めて、それぞれの極の２点に順に配置をしていけば、π/２よりもさらに小さくすることができる。

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SINNET について（雙知）相手の対蹠点に玉を落とせば良い。

図６ 𝑆 𝑛 上の対戦
図８ 𝑆 𝑛 上の対戦

５． 球面上の１人対１人の対戦
５．１
𝑺𝟐 上の対戦S2 上で A チームのメンバーA１～A2p-1 が B チームのメンバーB１～B2p-1 と２ｐ－１人対２ｐ－１人で対戦する場合も考えてみる。ｐ＝１の場合、つまり、１人対１人の場合は、上の結果より、𝑎1 (𝑆 2 ) = 𝜋となるので、相手の対蹠点に玉を落とせば良い。

６． 球面上の２ｐ－１人対２ｐ－１人の対戦
６．１
𝑺𝟐 上の対戦S2 上で A チームのメンバーA１～A2p-1 が B チームのメンバーB１～B2p-1 と２ｐ－１人対２ｐ－１人で対戦するときのｐ≧２の場合を考える。まず、A１が玉を投げたとする。B１～B2p-1 からなるべく遠くの距離に投げるために、２ｐ－１人からの距離の平均の最大値を考える。B１～B2p-1 はその最大値が最小となる配置を考えて、その配置に移動しておく。つまり、
𝑎2𝑝−1 (𝑆 2 )を考えることになる。上の結果より、その2𝑝2 −2𝑝+1値の (2𝑝−1)2 𝜋はπ/２を超えていて、B チームのｐ

図７ 𝑆 2 上の対戦

５．２
𝑺𝒏 上の対戦Sn 上で A チームのメンバーA１～A2p-1 が B チームのメンバーB１～B2p-1 と２ｐ－１人対２ｐ－１人で対戦するときのｐ＝１の場合、つまり、１人対１人の場合は、上の結果より、𝑎1 (𝑆 𝑛 ) = 𝜋となるので、－１ペアの２人が球面上の対蹠点にそれぞれいれば、２ｐ人対２ｐ人の対戦とほぼ同様にしてより近い人（お見合いの場合は関係する任意の人）がπ/２以下の距離で玉を拾いに行けば良いことになる。
あるいは、奇数の場合の𝑎2𝑝−1 (𝑆 2 )の結果通りに、大円上に等間隔の配置にいたとしても、誰かがπ/２以下の距離で玉を拾いに行けば良いことになる。
２つの対蹠点から始めて spherical suspension を２回とった時に、初めの２点も含めて、それぞれの極の２点に順に配置をしていけば、π/２よりもさらに小さくすることができる。

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弓削商船高等専門学校

紀要

第 37 号（平成 27 年）

図９ 𝑆 2 上の対戦

図１０ 𝑆 𝑛 上の対戦

６．２
𝑺𝒏 上の対戦Sn 上で A チームのメンバーA１～A2p-1 が B チームのメンバーB１～B2p-1 と２ｐ－１人対２ｐ－１人で対戦するときのｐ≧２の場合を考える。 A１が玉を投げたとする。B１～B2p-1 からなるべく遠くの距離に投げるために、２ｐ－１人からの距離の平均の最大値を考える。B１～B2p-1 はその最大値が最小となる配置を考えて、その配置に移動しておく。つまり、
𝑎2𝑝−1 (𝑆 𝑛 )を考えることになる。上の結果より、その７． 終わりに射影空間 RPｎでの対戦も同様に考えることができ𝜋る。例えばｎ≧２のときに、𝑎2 (𝑅𝑃𝑛 ) = となる。
2

また、特異点を含むような、多様体ではない空間でゲームをしたらどうなるだろうか。例えば、曲率が１以上のｎ次元アレクサンドロフ空間 X においては、擬測地線を用いたトポノゴフの比較定理より、
𝑎𝑘 (𝑋) ≦ 𝑎𝑘 (𝑆 𝑛 )になることが分かっている[(2)(3)]。
2𝑝2 −2𝑝+1値の (2𝑝−1)2 𝜋はπ/２を超えていて、B チームのｐ
ここで、アレクサンドロフ空間とは、測地三角形に－１ペアの２人が球面上の対蹠点にそれぞれいれば、 おいて比較定理が成り立つという意味で曲率が定義
２ｐ人対２ｐ人の対戦とほぼ同様にしてより近い人 された空間である。ｋが奇数のとき、上式の等号が（お見合いの場合は関係する任意の人）がπ/２以下 成立するときに、アレクサンドロフ空間 X は球面 Snの距離で玉を拾いに行けば良いことになる。と等長的になることが分かっている[(2)(3)]。ｋが偶𝑛あるいは、奇数の場合の𝑎2𝑝−1 (𝑆 )の結果通りに、 数の場合の等号成立時はいくつかに分かれる。
大円上に等間隔の配置にいたとしても、より近い人がπ/２以下の距離で玉を拾いに行けば良いことに
８． 参考文献なる。
２つの対蹠点から始めて spherical suspension を （１）K.Grove-P.Petersen, On the excess of metric
とることを繰り返した時に、初めの２点も含めて、 spaces and manifolds. preprint
それぞれの極の２点に順に配置をしていけば、π/２ （２）N.Sochi, Some metric invariants of spheres
よりもさらに小さくすることができる。
and Alexandrov spaces Ⅰ . Math.J.Okayama
Univ.46,163-182(2004)（３）N.Sochi, Some metric invariants of spheres
and Alexandrov spaces Ⅱ . Math.J.Okayama
Univ.47,193-202(2005)