【寄稿】

地価関数の推定と空間的自己相関の検出

富山大学経済学部准教授
１．はじめに

唐渡

広志

鑑定価格は同じ情報を共有していることが多いため、より強い形で空間的な相関を持つ。

土地は貿易等によってその場所から動かすことのでき

本稿では、地価公示データを利用したクロスセクショ

ない財・サービスである。したがって、同じような性質

ン地価関数に関するモデル選択を行う。ヘドニック・アを持った土地でも、利便性の高い地域の需要は高くなる

プローチで地価公示を利用する際の問題点について、計ので、それらの便益は不動産価格に帰着する。こうした量経済学的な視点から検討する。モデル選択では様々な傾向は日本の不動産データを利用した実証分析において観点からの検定を行うことができるが、特に地価公示がも数多く確認されている。例えば、多数の企業が集まる

もつ空間的な相関に焦点を絞って論じる（さまざまな検

都心部では、集積の利益がオフィスビルの価格やオフィ定のパフォーマンスについての詳細は清水・唐渡２００７

ス賃料に反映される（唐渡２００２、八田・唐渡・上田を参照）。

２００６など）。逆に、騒音や大気汚染が深刻な地域では、

以下では、第２節において地価公示データおよび調査

住宅立地が避けられるため地価や家賃が下がることも知

地点の空間的特徴を述べ、第３節において空間的自己相られている（山崎１９９１、岩田・浅田１９８５など）。

関検出のための方法論と結果を概説する。第４節では選自由で競争的な市場経済における財やサービスの市場択されたモデルの推定結果を示し、地価関数に地価公示

価格は、消費者（および生産者）の価値評価に等しくな

データを利用する際の問題点を示す。なお、推定にはＴっている。しかしながら、集積の利益、公害、社会的規

ＳＰ ５．０（ＴＳＰ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ）を用いた。

制などは実体経済に対して強い影響力をもっているにも関わらず、そもそも市場での経済取引が行われないため、それらの金銭的価値が価格に反映されているにも関わら２．データず、知ることは困難である。このような非市場財におけるさまざなな属性の価値を計測するのに有用な手法の一つとしてヘドニック・アプローチがある。

２．１ 地価公示データ
不動産鑑定評価においては、大きく取引事例比較法・

不動産価格の決定においては、供給者・需要者ともに、収益還元法・積算法と呼ばれる手法が利用される。なか周辺の取引価格情報を参考としながら価格決定が行われでも、内外を問わず取引事例比較法と呼ばれる手法がもる。参考とする情報は空間的な隣接の度合いに応じて強っとも重要な手法として根付いている。これは、不動産

く影響を受けることから、ヘドニック・アプローチを適価格の決定においては、供給者・需要者ともに、周辺の用する際に、モデルにおいて内生変数や撹乱項の空間的取引価格情報を参考としながら価格決定が行われているな相関が懸念される。
特に、地価公示などの鑑定価格は、ためである。不動産は、先に指摘したように同質の財が周辺の取引価格情報を参考としつつ決定され、隣接する存在しないという特殊性を有しているものの、隣接する

1

不動産において、財の品質が似ているため、その性質を利用する。距離帯の閾値 b を設定し、 Dij < b のとき利用して価格決定が行われている。

C ij = 1 （隣接）、それ以外のとき０（非隣接）となる行

そうした場合、空間的に隣接する不動産の価格におい列を利用して次の標準化された重み行列を定義する。

ては、相互に影響を及ぼしていることが予想される。ま⎧ Cij⎪W [b] = ⎨ ∑ j Cij⎪⎩0

た、このように価格決定された鑑定価格においては、取引事例比較法によって価格決定される場合においては、

i≠ j

(1)

i= j

同一の不動産取引価格情報を共有していることが多いた

W [b] の非対角要素は隣接した地区にだけ共通の重み

め、空間的な相関構造は強い形で出現することが予想さが設定される。本稿では閾値を［０．５０、０．７５、１．００、れる。

１．２５、１．５０］（単位：ｋｍ）と設定した。図２は１８６３（千代田区、中央区、港区）以外では南西部において高い値が観察できる。地価は空間的に一様に分布しておらず、値の高い調査地点の周辺は高く、値の低い調査地点の周辺では低いという傾向が観察できる。
本節では、地価データを利用したヘドニック回帰モデ
ルに関する空間的自己相関の検定を行う。利用するデー
タは２００２年から２００６年までの調査の地価公示（国土交通省）であり、東京都区部における１，８６３地点を対象とする。調査地点は年次によって若干変化しているので、
２００６年時点を基準に調査地点を整理した。
この期間における都区部平均の単位面積あたり地価公示は、２００３年、２００４年には下落傾向にあったが、２００５年で下げ止まり、地点が互いに直線距離でどれぐらい離れているかを計測
して平均値をとったときのヒストグラムである。東京都区部を対象にした場合、平均で各地点は７ｋｍから１８ｋｍの間で分布しており、９ｋｍ前後の頻度が高い。図３－１、
図３－２は、計測した距離を利用して隣接性を定義し、その数を観測地点ごとに合計した値 ∑ j Cij が示されている。

ｂ＝０．５０［ｋｍ］のとき、極めて近い範囲で隣接している必要があるため、そのような観測地点の数は全体的にみて少ない。この場合、隣接する観測地点の数は平均で２．７箇所（１８６３箇所中）になる（表１）。閾値をｂ＝［１．５］ｋｍと大きくとることで、隣接数も２６．１箇所（１８６３箇所中）に増える。
250

図１は２００６年調査の地価分布を示している。
都心３区

150
100
0

50

Frequency200

２００６年は対前年で２．７％だけ上昇している。

5

10

15

20

各観測地点と の平均距離[km]

300

400

図２． 各観測地点との平均距離

空間的自己相関の検出を行うために、隣接状態を示す

200

b = 0.50
b = 0.75
b = 1.00

100

２．２ 隣接性の定義

frequency

図１． 地価公示（国土交通省、２００６年、東京特別区部）

所より座標（緯度・経度）が得られるので、座標点 i と
座標点 j との直線距離 Dij をベースにした空間重み行列を作成する。ここでは、距離帯に閾値を設定した行列を0

空間重み行列を定義しなければならない。調査地点の住
0

10

20

30

40

50

60

numbers of contig uity

図３－１： 距離帯閾値と隣接地点の数（１）

2

400

検定すべき帰無仮説は「空間的自己相関がない」であ
なく、単に帰無仮説を棄却することで、空間的自己相関200

b = 1.25
b = 1.50の存在の可能性を示唆するだけにとどまる。(2)の I は明らかに、e を We に回帰させたモデルではなく、We を

e に回帰させたモデルの係数推定量になっていること

100

frequency

300

る。しかしながら、対立仮説が明確に存在するわけでは

がわかる。

0

Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉは標準化することで、漸近的に標準正規
分布 N (0,1) にしたがう。
0

10

20

30

40

50

60

ZI =

numbers of contig uity

図３－２： 距離帯閾値と隣接地点の数（２）I − E (I )~ N (0,1)
12
V (I )(3)

ここで、 E (I ) は期待値、 V (I ) は分散である。
Ａｎｓｅｌｉｎ（１９８８ａ）で指摘されているように、Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉ

表１． 観測された隣接地点の数
［ｋｍ］

０．５０

０．７５

１．００

１．２５

１．５０

検定は対立仮説が明瞭ではないため、帰無仮説を棄却す

平均

２．７

６．７

１１．７

１８．３

２６．１

るとき、どのようなモデルを選択すれば良いのかは不明

メディアン

２

５

１０

１６

２３

である。次節で説明するラグランジュ乗数検定は空間計
量経済学のモデル選択の基準として広く利用されている。
３．２ ラグランジュ乗数検定統計量

３．空間的自己相関の検出

ワルド検定や尤度比検定は検定統計量を計算するため
はじめに、単位面積あたりの地価を地積（土地面積）、に対立仮説である制約なしのモデル（空間的自己相関が

前面道路幅員、最寄り駅までの距離、指定容積率、東京あるモデル）を推定しておく必要がある。
これに対して、駅までの直線距離、２３区別ダミー（千代田区基準）、用

ラグランジュ乗数（ラオ・スコア）検定は対立仮説を推途別ダミーなどの独立変数に回帰させた線型回帰モデル

定することなく実行できる。すなわち、帰無仮説にしたを最小２乗（ｏｒｄｉｎａｒｙ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ； ＯＬＳ）推定す

がって、空間的自己相関のない通常の線型回帰モデルをる。
数値変数はすべて対数化して分析を行う。
以下では、推定するだけで検定を実行することができる。

このような空間的に独立であるという想定のモデルにお空間エラーモデルが次のように与えられているとしよう。

いて、空間的自己相関を検出する方法を述べる。

y = Xβ + u, u = λWu + ε
３．１ Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉ 統計量(4)

ここで、 λ は撹乱項の自己回帰パラメータ、 ε は同時独

空間的自己相関を検定するための古典的な統計量はＭｏｒａｎ’ｓ Ｉである（Ｍｏｒａｎ １９４８、１９５０）。これを線型 回 帰 モ デ ル に 適 応 さ せ た 検 定 は Ｃｌｉｆｆ ａｎｄ Ｏｒｄ（１９７２、１９７３、１９８１）によって一般化された。

立な確率分布にしたがう撹乱項ベクトルである。撹乱項の自己回帰過程を無視して、最小２乗推定を行なうと、最小２乗推定量 βˆ = ( X ′X )−1 X ′y が得られる。このとき、Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉは回帰の残差を利用して定義する。上記

残差ベクトルが e = y − Xβˆ で定義できる。もし、(4)にの線型回帰モデルを y = Xβ + u と記述する。ここで、 y

おいて λ = 0 が主張できるのであれば、 β̂ は望ましい推は単位面積あたり地価（対数）のベクトル、 X は上述の定量である。

独立変数の行列、 β は対応する推定すべきパラメータ・撹乱項に空間的自己相関があるかどうかを検定するたベクトル、 u は撹乱項ベクトルである。最小２乗残差ベ

めの帰無仮説および対立仮説をクトルを e とおく。 W を（行和が１となるように）標H 0 : λ = 0, H 1 : λ ≠ 0(5)

準化された空間重み行列と定義するとき、Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉ

とおく。Ｂｕｒｒｉｄｇｅ（１９８０）によると H 0 のラグランジュ

は次の式で定義できる。

乗数検定統計量はI = e ′We e ′e

(2)
3

2

⎛ e ′We ⎞⎜⎟e ′e / n ⎠LM λ = ⎝ 2~ χ 2 (1)tr (W + W ′W ) aym

(6)

(

)

⎡ e′Wee′Wy ⎤− tr W 2 + W ′W D −1
⎢ ′⎥n
e′e n ⎦ee
LM * = ⎣λとなる。ここで、 tr ( • ) は行列のトレース（対角和）で

(

)[

(

) ]

tr W 2 + W ′W 1 − tr W 2 + W ′W Dある。(6)は(3)のＭｏｒａｎ’ｓ Ｉ統計量を２乗したものに~ χ 2 (1)

2

−1

(10)

asy

比例した統計量であることが知られており、漸近的に自となる。逆に、 λ ≠ 0 のもとで撹乱項に自己回帰過程が由度１のカイ２乗分布にしたがう。Ａｎｓｅｌｉｎ ａｎｄ Ｒｅｙ

ある場合の仮説検定 H 0 : ρ = 0, H1 :ρ ≠ 0 に対するロバ（１９９１）やＡｎｓｅｌｉｎ ａｎｄ Ｆｌｏｒａｘ（１９９５）によるシミストな検定統計量はュレーション実験によると、中規模ないし大規模標本で2⎡ e′Wy e′We ⎤⎢ e′e n − e′e n ⎥⎦ ~ χ 2 (1)LM ρ* = ⎣D − tr (W 2 + W ′W ) asy

は検出力に関してＭｏｒａｎ’ｓ Ｉとほぼ同程度のパフォーマンスが得られることが示されている。
ラグ付き内生変数を含む空間ラグモデルのためのラグランジュ乗数検定はＡｎｓｅｌｉｎ（１９８８ｂ）で示された。空

(11)

となる。

間ラグモデルを以下のように定義しよう。

y = ρWy + Xβ + u(7)

ここで、 Z = (Wy, X ) および θ = (ρ, β ′) ′ とおくと、(7)は y = Zθ + u と書き換えることができる。θ の最小２乗推定量は θˆ = θ + ( Z ′Z ) Z ′u である。 u が同時独立な−1

３．３ モデル選択
Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉによる検定は特定の対立仮説を持っているわけではなく、空間的自己相関の可能性を示唆するだけに留まるが、ラグランジュ乗数検定は対立仮説が明確である。すなわち、ラグランジュ乗数検定を通じてモデ

確率分布にしたがう撹乱項ベクトルである場合でも、説ル選択を行うことができる。シミュレーション実験を利明変数に内生変数 Wy を含んでいるので、最小２乗推定

用したモデル特定化の戦略が、いくつかの文献で試みら

量にはバイアスがあり一致性もない。

れている（Ｆｌｏｒａｘ ａｎｄ Ｆｏｌｍｅｒ １９９２、Ｆｌｏｒａｘ ｅｔ．ａｌ．

被説明変数の空間ラグによる自己回帰の有無を調べる

２００３など）。
ここでは、４つの検定統計量 LM λ , LM ρ , LM λ* , LM ρ* をために帰無仮説および対立仮説を

H 0 : ρ = 0, H1 :ρ ≠ 0(8)

とおく。Ａｎｓｅｌｉｎ（１９８８ｂ）は、上記の H 0 のもとでのラグランジュ乗数検定統計量を次のように示した。
2⎛ e ′Wy ⎞2LM ρ = ⎜⎟ D ~ χ (1)aym⎝ e ′e / n ⎠利用したモデル選択の方法について述べる。これらの検定統計量は線型回帰モデルの最小２乗残差だけを利用して計算できる点で簡便であり、すべて自由度１のカイ２乗分布に従うことから比較も容易である。 LM λ , LM λ* は

(9)対立仮説として空間エラーモデル(4)を、LM ρ , LM ρ* は対立仮説として空間ラグモデル(7)を持つ。

ここで、

[

(

)

n
(WXβ )′ I − X ( X ′X )−1 X ′ (WXβ )e ′e+ tr W 2 + W ′W

D=

(

]

)

である。

モデル選択の基本的な方針は次のようになる。
例えば、
線型回帰モデルを推定し、残差より LM λ , LM ρ を計算する。このとき、[1] LM λ が有意で、 LM ρ が有意でない
場合や、[2] LM ρ が有意で、LM λ が有意でない場合は、

ρ ≠ 0 という仮定のもとで λ = 0 を、あるいは λ ≠ 0

対立仮説を推定モデルとして選択すれば良い。 LM λ とという仮定のもとで ρ = 0 を検定する必要がある場合もLM ρ がどちらも有意で、帰無仮説 λ = 0 および ρ = 0 がある。このような状況での自己回帰パラメータに関する両方とも棄却される場合には、互いに ρ ≠ 0 あるいは頑健な検定（ｒｏｂｕｓｔ ｔｅｓｔ）も最小２乗推定をベースに

λ ≠ 0 であることを考慮して、ロバストな LM λ* , LM ρ* をしたラグランジュ乗数検定として提案されて計算し検定を行う。通常の検定統計量 LM λ , LM ρ とロバ。ρ ≠ 0 のもとでラグ付きいる（Ａｎｓｅｌｉｎ ｅｔ ａｌ．１９９６）

ストな LM λ* , LM ρ* はこのように使い分けることができ

内生変数を含む仮説検定 H 0 : λ = 0, H 1 : λ ≠ 0 に対す

る。

るロバストな検定統計量は

4

通常の線型回帰モデルをOLS推定

ラグランジュ乗数検定
LM , LM
空間エラーモデルを推定

有意性を検定～ 2(1)LM , LM
どちらも有意でない

LM が有意LM , LM
どちらか片方が有意LM , LM
どちらも有意LM が有意

通常の線型回帰モデルを採択
空間ラグモデルを推定
ロバスト・ラグランジュ乗数検定
LM , LMLM * が有意有意性を検定～ 2(1)

空間エラーモデルを推定

LM * が有意

空間ラグモデルを推定

注：Ａｎｓｅｌｉｎ（２００５）ｐ．１９９より作成．

図４．モデル選択のフローチャート

図４はラグランジュ乗数検定をベースにしたモデル選

ａｌ．２００３）、より高次の自己回帰が期待される場合には内択のフローチャートを示している。LM λ と LM ρ がどち

生変数と撹乱項の自己回帰パラメータを両方とも推定す

らも有意でなく、双方の帰無仮説が棄却された場合には、る必要がある。

空間自己回帰過程を考慮せず、線型回帰モデルを最終的

これらのラグランジュ乗数テストは、空間重み行列をな推定モデルとする。どちらか片方が有意である場合に定義し、線型回帰モデルのＯＬＳ推定を実行するだけで検は、有意である方の帰無仮説を棄却して、対立仮説のモ定できる点で、きわめて簡便である。ＯＬＳ残差ベースのデルを推定する。すなわち、 λ = 0 が棄却されるときは検定以外では、Ｓａａｖｅｄｒａ（２００３）が一般化積率法をベ空間エラーモデルを、 ρ = 0 が棄却されるときは空間ラースにしたワルド検定、尤度比検定、ラグランジュ乗数

グモデルを選択する。どちらも有意である場合には、ロ検定の統計量を定式化して、検定のパフォーマンスをシ

バストな LM , LM*
この場合も有意でρ より検定を行う。

ミュレーション実験している。実験結果によると、小標ある方の帰無仮説を棄却して空間モデルを推定する。も本でのこれらの検定は、空間的自己相関に関してロバス

し、どちらの統計量も有意であるとき、検定統計量の大トな LM ρ* と同程度以上の検出力をもつことが示されてきさを選択基準にすることがあるが（例えばＦｌｏｒａｘ ｅｔ．

いる。

*
λ

5

たがって、何らかの空間的自己相関が存在していること

３．４ 検定結果
単位面積あたり地価を被説明変数としたヘドニック関が示唆される。

数をＯＬＳで推定し、この推定から得られる最小２乗残差

ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 に よ る 検 定 統 計 量ｅを利用して、空間的自己相関を検出する。表２は最小LM λ , LM ρ , LM λ* , LM ρ* は自由度１のカイ２乗分布に従２乗残差と空間重み行列を利用して計算できる標準化さう。 H 0 : λ = 0 および H 0 : ρ = 0 に対する検定は統計量れたＭｏｒａｎ’ｓ Ｉおよびラグランジュ乗数統計量を示し

LM λ と LM ρ を利用する。すべての年次において、カイている。Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉは標準正規分布に従い、いずれの２乗統計量の値は大きいが、閾値がｂ ＝０．５０ の場合

空間重み行列、年次においてもｐ値は十分に小さい。しは LM ρ の値が小さくなる傾向がある。その他の閾値では LM λ と LM ρ はどちらも有意である。

表２．Ｍｏｒａｎ’ｓ Ｉ 検定とラグランジュ乗数検定
閾値 b
2002
Moran's I
LMλ
LMρ
LMλ *
LMρ *

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

16.27
[0.000]245.95[0.000]6.90[0.009]240.04[0.000]0.99[0.320]20.25[0.000]366.43[0.000]41.99[0.000]329.44[0.000]5.00[0.025]24.06[0.000]489.03[0.000]91.28[0.000]408.40[0.000]10.65[0.001]25.49[0.000]510.85[0.000]118.09[0.000]398.35[0.000]5.59[0.018]23.74[0.000]404.28[0.000]86.92[0.000]323.26[0.000]5.90[0.015]2003
Moran's I
LMλ
LMρ
LMλ *
LMρ

*

16.27
[0.000]245.92[0.000]6.45[0.011]240.26[0.000]0.79[0.375]20.11[0.000]361.18[0.000]41.17[0.000]324.56[0.000]4.55[0.033]23.92[0.000]483.34[0.000]90.17[0.000]403.08[0.000]9.91[0.002]25.49[0.000]511.08[0.000]117.06[0.000]398.79[0.000]4.78[0.029]23.61[0.000]399.84[0.000]85.32[0.000]319.77[0.000]5.24[0.022]16.45[0.000]251.68[0.000]7.42[0.006]245.33[0.000]1.07[0.302]20.17[0.000]363.59[0.000]44.37[0.000]324.62[0.000]5.40[0.020]24.06[0.000]489.25[0.000]92.35[0.000]406.77[0.000]9.87[0.002]25.85[0.000]526.16[0.000]120.58[0.000]409.96[0.000]4.38[0.036]23.97[0.000]412.90[0.000]84.93[0.000]332.16[0.000]4.19[0.041]

16.41[0.000]250.29[0.000]7.70[0.006]243.74[0.000]1.15[0.283]20.10[0.000]360.94[0.000]44.30[0.000]321.89[0.000]5.25[0.022]23.94[0.000]484.37[0.000]96.36[0.000]399.14[0.000]11.12[0.001]25.93[0.000]529.54[0.000]126.04[0.000]408.67[0.000]5.17[0.023]23.98[0.000]413.05[0.000]88.41[0.000]329.52[0.000]4.88[0.027]16.72[0.000]260.13[0.000]8.43[0.004]252.98[0.000]1.28[0.258]20.38[0.000]371.45[0.000]46.48[0.000]330.23[0.000]5.25[0.022]24.31[0.000]499.91[0.000]102.55[0.000]408.91[0.000]11.55[0.001]26.27[0.000]544.40[0.000]135.23[0.000]414.83[0.000]5.67[0.017]24.33[0.000]426.20[0.000]96.12[0.000]335.70[0.000]5.63[0.018]

図４のフローチャートに従い、ロバストな検定を行った結果も示した。どの年次、距離帯閾値においてもLM λ* > LM ρ* であることが確認できる。特に LM ρ* は５％水準では有意だが、１％水準になると有意でないケースが多い。これらのことから、地価公示データを利用した回帰モデルでは、撹乱項における空間的自己相関が存在する可能性がある。
説明変数の抜け落ちや関数型の定式化を見直すことで改善できるケースも考えられるが、実際には、分析者によってすべての変数が観察されることは稀である。観察できない変数の空間的相関が撹乱項に反映され、推定値に悪影響を及ぼしている可能性は十分にある。このような場合には、(4)に推定モデルを特定化して推定することがラグランジュ乗数検定によっても推奨できる。

2004
Moran's I
LMλ
LMρ
LMλ *
LMρ *
2005
Moran's I
LMλ
LMρ
LMλ *
LMρ *

(4)は y = Xβ + ( I n − λW )−1 ε と書くこともできる。ここで、 I n は n × n の単位行列である。両辺の左側から( I − λW ) を乗じて整理すると、次の空間ダービンモデル（spatial Durbin model）が得られる。

y = λWy + Xβ − λWXβ + ε(12)すなわち、空間エラーモデルの誘導型は空間ラグモデルに、独立変数の空間ラグが加わったデータ発生プロセスを示している。ただし、空間共通因子制約（ｓｐａｔｉａｌ ｃｏｍｍｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ）

λ × β = −λ β(13)が課されており、(13)を帰無仮説とする尤度比検定が棄却された場合、2006
Moran's I
LMλ
LMρ
LMλ

３．５ 空間共通因子制約

*

LMρ *

注:下段に記された[ ]内の値は p-value を示している。

y = λWy + Xβ + WXγ + ε(14)が推定モデルになる。ここで、 γ はラグ変数WX に対応
する係数ベクトルである。
(13)の制約が付いた推定モデルは(4)と同一のデータ
発生プロセスをもつ。空間共通因子制約を検定するためには、制約付きモデル(4)と制約なしモデル(14)をそれぞれ最尤法で推定し、得られた尤度比から検定を行う。
(4)、
6

(14)の最大対数尤度をそれぞれ LL0 、 LL1 とするとき、差が大きく有意性がない。

−2 ( LL0 − LL1 ) より計算できる検定統計量は自由度が説

ＧＭ推定は撹乱項における自己回帰パラメータを積率

明変数の数に等しい自由度のカイ２乗分布にしたがう。

法により推定する方法である。表２では撹乱項における

表３は空間共通因子制約の尤度比検定による結果を示

自己相関の可能性が強いことが示唆された。表４－１からしている。すべての年次においてｐ－ｖａｌｕｅは高く、帰無

表４－５までの通年で、λ は有意に推定されている。撹乱

仮説を棄却できない。すなわち、推定モデルは(14)の空

項に空間自己相関があるとき、ＯＬＳ推定は推定量の分散

間ダービンモデルよりも、(4)の空間エラーモデルの方がを大きくするが、ＧＭ推定はより有効な推定量を実現す

望ましいことがわかる。

る。
ＧＳ２ＳＬＳ推定は内生変数である地価の空間自己回帰

表３．空間共通因子制約の検定

パラメータ ρ を２段階最小２乗法で推定しておき、得ら

尤度比

p-value

れた残差からＧＭ推定を行ない、 λ を推定する。最後に

2002

32.16

0.409

ＧＭ推定値を所与として、コクラン＝オーカット型に変

2003
2004

31.67
24.79

0.433
0.777

換したモデルに一般化最小２乗法を適用して全パラメー

2005
2006

14.85
16.41

0.994
0.985

れる。

タを推定する。これにより、一致性のある推定量が得ら

注：空間重み行列は距離帯閾値を b = 1.00 に設定した。帰無仮(15)における ρ の推定値は有意であるが、値が極めて説は(13)が成立することである。説明変数の数は 31 であるから、 小さい。相関が小さい場合、ラグランジュ乗数検定の検自由度も 31 である。
出力は低下する。このことがラグランジュ乗数検定での確率値が大きくなった原因と考えられる。ＧＭ推定とＧＳ
２ＳＬＳ推定との結果の違いは定数項、地積、ＪＲ東京駅ま４．地価関数の推定結果

での直線距離などに反映されている。(15)が真のモデルであれば、ＧＭ推定は推定値にバイアスをもたらす。た

地価関数は次の独立変数からなるものとする：単位面積あたりの地価を地積（土地面積）、前面道路幅員、最寄り駅までの距離、指定容積率、ＪＲ東京駅までの直線距離、
２３区別ダミー（千代田区基準）、用途別ダミー。

だし、空間ラグ係数が有意な場合、一般的な変数のイン
パクトは係数推定値だけで測ることができないことが知られている（ Ｉｗａｔａ ａｎｄ Ｋａｒａｔｏ
２００７、Ｋｉｍ ｅｔ ． ａｌ ． ２００３、Ｐａｃｅ ａｎｄ ＬｅＳａｇｅ

また、空間重み行列の距離帯閾値を ｂ ＝１．０に統一
して分析を行う。

２００７など）。サンプル平均における係数の強さ（空間限界効果）を正確に測る場合には空間乗数 1 1 − ρ を乗じる

３．５節の結果より(12)は棄却できないので、空間エラーモデル(4)を推定する。
またロバストなラグランジュ乗必要がある。ＧＭ推定の結果と比較するには、ＧＳ２ＳＬＳ
推定の結果を約１．０７倍すればよい。

数検定において LM ρ* は５％水準で有意なケースもある

図５は、ＪＲ東京駅までの直線距離について各推定手法

ことから、次の撹乱項に空間エラーのある空間モデルをにおける限界効果を比較したものである。すなわち、地推定する。
y = ρWy + Xβ + u, u = λWu + ε

価関数の都心距離に関する平均的な傾きを調べている。
(15)

ヘドニック・アプローチの文脈では、土地の需要者は距

本稿では、(4)において積率法を応用したＧＭ推定離が１％だけ都心から遠ざかったとき、空間限界効果と（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｏｍｅｎｔｓ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ； Ｋｅｌｅｊｉａｎ

ちょうど等しい地価の値下がり率であれば需要される。

ａｎｄ Ｐｒｕｃｈａ １９９９）を利用し、(15)において操作変空間ラグを無視する場合、ＯＬＳやＧＭ推定は、ＧＳ２ＳＬＳ

数 と ＧＭ推 定 を 組 合 せ た ＧＳ２ＳＬＳ（ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄに比べて係数を過大に評価する可能性がある。例えば、

ｓｐａｔｉａｌ ｔｗｏ ｓｔａｇｅ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ； Ｋｅｌｅｊｉａｎ ａｎｄ

都心から５ｋｍの地点より遠い１０ｋｍの地点では、ＧＳ２ＳＬ

Ｐｒｕｃｈａ １９９８）を利用する。また、比較のためＯＬＳ推Ｓ推定なら少なくとも地価は約４７％下落していなければ、定の結果も示す（表４－１から４－５まで）。

需要者はその土地を購入したいとは思わない。ＧＭ推定

ＯＬＳ推定の結果をみると、地価公示を利用した先行研では少なくとも５１％の下落が必要である。したがって、究での分析とほぼ同じ符号がみたされている（例え

内生変数の空間自己相関を無視すると、４％ほど過大なば、西村・清水評価をしてしまうことになる。

２００２、Ｓｈｉｍｉｚｕ ａｎｄ Ｎｉｓｈｉｍｕｒａ

２００６など）。土地の形状についてのダミー変数は標準誤

7

-0.45
GS2SLS

-0.47
-0.49

OLS

-0.51

GM

-0.53
2002

2003

2004

2005

2006

図５．空間限界効果の比較（ＪＲ東京駅までの直線距離）

５．まとめ
本稿では、地価公示データを利用したクロスセクショ
ン地価関数に関するモデル選択を行った。ヘドニック・アプローチで地価公示を利用する際の問題点について、
空間的自己相関の問題が懸念される。本稿ではモデル選
択のための戦略を示し、地価公示データにおける空間的な相関の検出を行った。
分析により、撹乱項における自己相関は極めてはっき
りしており、利用していない、または観察できない変数の影響が強くでることが確認された。また、内生変数についての自己回帰過程は検出力が小さいため、ラグラン
ジュ乗数検定では明快ではなかったが、ＧＳ２ＳＬＳの推定
結果は地価データ自体にも弱い空間的自己相関があることが示された。さらに、内生変数の空間ラグを考慮しないモデルは、空間限界効果が過大に評価されることが示
された。
一般に、
属性価値は限界効果から計測するため、
地価公示データを利用する際には、空間ラグの有無に注意すべきである。

8

表 4-1. 地価関数の推定結果（2002 年地価公示）
2002

OLS

GM

GS2SLS

変数

推定値

標準誤差

推定値

標準誤差

推定値

標準誤差

定数項

12.0130.237

12.4950.230

11.416

0.227

地積

0.167

0.020

0.124

0.017

0.141

0.010

前面道路幅員

0.141

0.027

0.168

0.025

0.167

0.013

－0.0850.009－0.0870.008－0.087

0.005

0.300

0.029

0.248

0.028

0.247

0.024

JR 東京駅までの直線距離－0.4880.044－0.5060.063－0.4350.041

土地形状ダミ－－0.006

0.031

0.008

0.026

0.007

0.020

最寄駅までの距離
容積率

区ダミ－

Yes

用途ダミ－

Yes

ρ

―

―

―

―

0.064

0.009

λ

―

―

0.626

0.028

0.575

0.025

回帰の標準誤差

0.306

0.268

0.267

Adj. R2

0.834

0.817

0.811

表 4-2. 地価関数の推定結果（2003 年地価公示）
2003
変数

OLS
推定値

GM

標準誤差

推定値

GS2SLS
標準誤差

推定値

標準誤差

定数項

12.051

0.237

12.5410.231

11.450

0.229

地積

0.171

0.021

0.126

0.018

0.144

0.011

前面道路幅員最寄駅までの距離

0.136

0.027

0.163

0.025

0.162

0.013

－0.0870.009－0.0890.008－0.089

0.005

0.291

0.028

0.240

0.027

0.239

0.024

JR 東京駅までの直線距離－0.5020.045－0.5130.064－0.4420.041

土地形状ダミ－－0.002

0.031

0.010

0.026

0.008

0.020

0.065

0.009

0.574

0.027

容積率

Yes

区ダミ－

Yes

用途ダミ－
ρ
λ

―

―

―

―

―

―

0.625

0.029

回帰の標準誤差

0.310

0.271

0.270

Adj. R2

0.831

0.813

0.806

表 4-3. 地価関数の推定結果（2004 年地価公示）
2004
変数

OLS
推定値

GM

標準誤差

推定値

GS2SLS
標準誤差

推定値

標準誤差

定数項

12.0430.240

12.5420.233

11.417

0.232

地積

0.173

0.021

0.126

0.018

0.145

0.011

前面道路幅員

0.135

0.027

0.165

0.026

0.163

0.013

－0.0870.009－0.0890.008－0.088

0.005

0.291

0.029

0.239

0.028

0.238

0.024

最寄駅までの距離
容積率
JR 東京駅までの直線距離－0.5080.046－0.5160.065－0.4430.042

土地形状ダミ－－0.002

0.031

0.010

0.026

0.008

0.021

Yes

区ダミ－

Yes

用途ダミ－
ρ

―

―

―

―

0.067

0.009

λ

―

―

0.628

0.030

0.574

0.028

9

回帰の標準誤差
2

Adj. R

0.313

0.274

0.272

0.829

0.810

0.803

表 4-4. 地価関数の推定結果（2005 年地価公示）
2005

OLS

変数

推定値

GM

標準誤差

推定値

GS2SLS
標準誤差

推定値

標準誤差

定数項

11.8450.248

12.4050.239

11.229

0.236

地積

0.178

0.021

0.130

0.018

0.150

0.011

前面道路幅員最寄駅までの距離
容積率

0.131

0.027

0.162

0.026

0.160

0.014

－0.0860.009－0.0890.008－0.088

0.005

0.321

0.030

0.260

0.029

0.261

0.025

JR 東京駅までの直線距離－0.5010.046－0.5100.065－0.4330.042

土地形状ダミ－－0.002

0.031

0.011

0.026

0.009

0.021

0.069

0.009

0.568

0.024

Yes

区ダミ－

Yes

用途ダミ－
ρ

―

―

―

―

λ

―

―

0.625

0.026

回帰の標準誤差

0.316

0.277

0.275

Adj. R2

0.828

0.807

0.800

表 4-5. 地価関数の推定結果（2006 年地価公示）
2006

OLS

変数

推定値

GM

標準誤差

推定値

GS2SLS
標準誤差

推定値

標準誤差

定数項

11.8290.255

12.4190.245

11.183

0.242

地積

0.185

0.022

0.135

0.019

0.156

0.011

前面道路幅員

0.132

0.028

0.162

0.026

0.161

0.014

－0.0870.009－0.0900.009－0.089

0.005

0.326

0.031

0.264

0.030

0.264

0.025

JR 東京駅までの直線距離－0.5090.047－0.5170.067－0.4340.043

土地形状ダミ－－0.003

0.032

0.011

0.027

0.009

0.021

最寄駅までの距離
容積率

区ダミ－

Yes

用途ダミ－

Yes

ρ

―

―

―

―

0.073

0.009

λ

―

―

0.633

0.027

0.573

0.026

回帰の標準誤差

0.324

0.282

0.280

Adj. R2

0.830

0.805

0.798

Integrated Social Science. [ a vai la bl e at

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