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圧力を受ける孔のある中空丸棒の応力集中
鶴 秀登＊・小丸 維斗＊＊Stress Concentration in a Hollow Cylinder
With a Pinhole Under Uniform Pressure
Hideto Tsuru＊, Yuito Komaru＊＊
Abstract
This paper deals with the stress concentration in a hollow cylinder with a pinhole submitted to uniform
pressure on the inner and outer surfaces. The analysis is performed by means of a finite element method and thecommercial FEM software MD.Nastran and MSC.Patran are used. Numerical calculations are done for various
combinations of the size of hole, the thickness of hollow cylinder and the external and internal pressure. Various
mesh sizes are used to examine the stability of the results. The results of these calculations are illustrated incharts and they can be used in design.

１．緒言

正しく行ない，メッシュ形状，分割数や境界条件に関して十分な配慮をしなければならない．特に適切なメッシュ形状やメッシュサイズについては経験が必要とされる．本研究では市販の有限要素法解析ソフトを用い，多くの解析を行うことで適切な解析条件を学び，更には論文にまとめる際の強度評価周辺［4］．の工学的知識を習得することも目的とした［3］構造物の強度評価における数値シミュレーションは，実験的強度評価とともに設計上とても重要である．特に近年コンピュータの性能向上により数値解析精度が飛躍的に向上し，実験では得にくいデータの提供や現象の可視化が可能となり，シミュレーシ
ョンによる強度評価は，環境さえ用意できれば実験にかかるコストよりもはるかに安価なコストで評価
２．解析条件できるなどその重要性が増してきている．しかし，実際の現象を推定するためには数値計算とともに，解析には市販の有限要素法解析ソフト（プリ・ポ実験的強度評価も当然必要である．
ストプロセッサMSC.Patran，ソルバーMD.Nastran）
本研究ではコンピュータを使った数値解析の代表を用いる．
的 な 手 法 で あ る 有 限 要 素 法 （ Finite Element
Fig.1に示すような孔（直径d）のある中空丸棒
Method：FEM）を用い，三次元応力集中問題を取 （外径DO，内径DI）の外周および内周表面に一様なり扱った．応力集中現象を知ることは，構造物破壊圧力が作用する問題を取扱った．なお中空丸棒長手［1］［2］の起点を知る上で重要である．具体的には小孔方向の長さは孔に端面の影響が出ない長さとした．
をもつ中空丸棒の内周と外周上に一様な圧力が作用
具体的な数値はDO=100mm，L=200mmとし，孔径する問題を，孔径と中空丸棒の寸法，圧力の比をdと内径DI，内外圧の比PO/PIを種々変化させ応力分種々変化させて解析を行い，孔縁の円周方向応力の布と応力集中係数への影響を検討した．数値計算上
孔深さ方向の応力分布を求めた．応力集中係数は脆必要な材料特性は軟鋼の材料特性である縦弾性係数性破壊の起点を知る上で重要であり，また求めた応E=206×10 3 N/mm 2 ，ポアソン比ν=0.3を用いた．
力分布は構造物にき裂などの欠陥を考慮した損傷許要素はMSC.Patranの四面体要素，10節点を用いた．
容設計における応力拡大係数を簡便に求める際に， なお数値計算は対称性を考慮し1/4の形状を用いて既知の解とともに利用できる．有限要素法解析で精解析をおこなった．
度良い計算結果を得るためには，問題のモデル化を＊電子機械工学科＊＊専攻科生産システム工学専攻

平成20年９月30日受理

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弓削商船高等専門学校 紀要 第31号（平成21年）

1に示す孔深さ方向のメッシュサイズ比を用いて解析し，孔深さ方向の応力分布をFig.2に示す．それぞれの点を比較した結果，解析結果はほぼ同じ値を示した．そこで解析時間との関係で，最も良好であった深さ方向メッシュサイズ比0.05を採用した．
4d/DO=0.1,D I/DO=0.9,P I=03*

圧力を受ける孔のある中空丸棒|(ǻǰ,hole)/ǻǰ |Fig.1

３．数値解析
数値計算を行い得られた応力分布は孔の無い場［5］合の円周方向応力式（2）の絶対値の最大値σθ＊で全て無次元化し，その最大値を応力集中係数式（1）と定義した（rは中空丸棒中心からの距離）．

ǩǻǰhole,max*

ǻǰ2ሹᷓߐࡔ࠶ࠪࡘࠨࠗ࠭Ყ =ࠨࠗ࠭/(DOíDI)1٤‫ޓ‬0.10
ٌ‫ޓ‬0.05‫ޓغ‬0.01ሹ✼ࡔ࠶ࠪࡘࠨࠗ࠭Ყ =ࠨࠗ࠭/d=0.05…（1）00（σθ，hole）max：孔縁の円周方向最大応力σθ＊：孔の無い式（2）の絶対値の最大値
2222§D ·§ DI · § DO ·§ DI ·¨¸ ¨¸ ( P O  PI )¨ ¸ PI  ¨ O ¸ PO
12222 ¹¹ ©
¹
© ¹ 2 ©
ǻǰ㧩㧙 ©
‫…ޓ‬
（2）
2222r
§ DO · § DI ·§ DO · § DI ·¨¸ ¨¸¨¸ ¨¸© 2 ¹ © 2 ¹© 2 ¹ © 2 ¹

３．１ 解析精度およびメッシュサイズ
有限要素法における解の安定性の確認は，あくまで有限要素法の中，つまり数値計算上の限界に対する精度であり，実際の現象に対する精度ではない．
ここでは孔縁と孔縁深さ方向のメッシュサイズを種々変え，解の安定性を調べることで計算結果の精度を確かめた．
具体的には外周表面に一様な圧力（PI=0）が作用する中空丸棒の肉厚が最も薄く，孔の径が最も小さ
い数値計算が最も厳しい場合（内外径比DI/DO=0.9，孔径比d/DO=0.1）について，孔縁のメッシュサイズと深さ方向のメッシュサイズを数値結果が安定するまで小さくして検討した．Table 1に孔縁メッシュサイズ，孔深さ方向メッシュサイズをそれぞれ変え，孔の無い場合の円周方向最大応力 σθ＊で無次元化した円周方向最大応力すなわち式（1）のαの絶対値を示す．孔縁のメッシュサイズについてはTable 1よりメッシュサイズ比0.05を解析に用いた．
なお孔縁メッシュサイズ比が0.01未満の場合については，メッシュサイズを変えても数値結果が変わらないことを確かめた．
次に孔縁のメッシュサイズ比0.05を一定としTableFig.2

0.02

0.04
0.06
(2ríDI)/DO

0.080.1

孔深さ方向応力分布へのメッシュサイズの影響

Table 1 応力集中係数αの絶対値（d/DO=0.1 DI/DO=0.9 PI=0）
最大応力σθmax
孔縁メッシュサイズ/d

孔深さ方向メッシュサイズ/（DO-DI）
0.10.050.01

0.1

3.46066 3.486595 3.46864

0.05

3.47358 3.489635 3.45817

0.01

3.45698 3.448044 3.46145

３．２ 外圧のみが作用する場合の応力分布
孔縁に生じる円周方向応力の最大値の深さ方向の分布をFig.3〜Fig.7に示す．縦軸に式（2）で無次元化した円周方向応力，横軸に中空丸棒内周から外周までの孔縁深さ方向の位置を示す無次元座標を取り，孔径比d/DOをパラメータとして，各中空丸棒の内外径比DI/DO=0.5，0.6，0.7，0.8，0.9ごとの結果を示す．
図からわかるようにどの形状についても内周表面付近に最大圧縮応力が表れており，肉厚が厚い場合で孔が小さくなると最大応力は内周表面より少し内側に出てくることがわかる．肉厚が薄くなるにつれ応力分布の変化は孔径の影響が大きくなるようである．また肉厚が厚い場合は外周表面に近づくにつれ内外径比ごとにある一定の応力に収束しているが，肉厚が薄くなるとそのような現象が内側に移動し，

45

圧力を受ける孔のある中空丸棒の応力集中（鶴・小丸）(2ríDI)/DO

外周表面に近づくにつれ値が逆転するようである．
0(2ríDI)/DO
0.1

0.2

0.3

0.4(ǻǻǰ,hole)/ǻǰǰ

**

í2
í3

‫ޓ‬d/DO=0.05
٠‫ޓ‬d/DO=0.10
㧖‫ޓ‬d/DO=0.15
ٌ‫ޓ‬d/DO=0.20
㧗‫ޓ‬d/DO=0.25‫ޓغ‬d/DO=0.30

í4
í5
í6

í3

0.4

0.5

‫ޓ‬d/DO=0.05
٠‫ޓ‬d/DO=0.10
㧖‫ޓ‬d/DO=0.15
ٌ‫ޓ‬d/DO=0.20
㧗‫ޓ‬d/DO=0.25‫ޓغ‬d/DO=0.30

í4
í5
í6
í7Fig.6

í7Fig.30.3

í2(ǻ(ǻǰ,hole)/ǻǰǰ

í10.2

í10.5
**

00.1

孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（PI=0，DI/DO=0.8）

孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（PI=0，DI/DO=0.5）(2ríDI)/DO
00.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(2ríDI)/DO
00.1

0.2

0.3

0.40.5(ǻ(ǻǰ,hole)/ǻǰǰ

**

í2í3

‫ޓ‬d/DO=0.05
٠‫ޓ‬d/DO=0.10
㧖‫ޓ‬d/DO=0.15
ٌ‫ޓ‬d/DO=0.20
㧗‫ޓ‬d/DO=0.25‫ޓغ‬d/DO=0.30

í4
í5
í6

í4

í6

孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（PI=0，DI/DO=0.6）(2ríDI)/DO

00.10.20.30.40.5

í1í2
í3
í4í5
í6

‫ޓ‬d/DO=0.05
٠‫ޓ‬d/DO=0.10
㧖‫ޓ‬d/DO=0.15
ٌ‫ޓ‬d/DO=0.20
㧗‫ޓ‬d/DO=0.25‫ޓغ‬d/DO=0.30

í7Fig.5‫ޓ‬d/DO=0.05
٠‫ޓ‬d/DO=0.10
㧖‫ޓ‬d/DO=0.15
ٌ‫ޓ‬d/DO=0.20
㧗‫ޓ‬d/DO=0.25‫ޓغ‬d/DO=0.30

í7Fig.7

Fig.4

**

í3

í5

í7(ǻ
(ǻǰ,hole)/ǻǰǰí2(ǻ(ǻǰ,hole)/ǻǰ
ǰ

**

í1

í1

孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（PI=0，DI/DO=0.7）

孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（PI=0，DI/DO=0.9）

３．３ 外圧のみによる応力集中係数
Table 2に式（1）で定義した応力集中係数αを各孔径比と内外径比ごとに示す．なお孔径比を小さくしていった場合の極限である孔径比d/D O=0の値と肉厚を薄くしていった極限である内外径比DI/DO=1の値をそれぞれ外挿して表に示す．Fig.8に縦軸に応力集中係数α，横軸に孔径比d/D O ，パラメータに内外径比DI/DOを取りこの結果を示す．図より孔が大きい場合，応力集中係数αはd/D O に対して直線性を示すようである．またFig.9に横軸とパラメータを入れ替えて結果を示す．図から孔が小さくなるとαはDI/DOに関係なく一定の値に近づく傾向を示すことがわかる．

46

弓削商船高等専門学校 紀要 第31号（平成21年）

Table 2内外径比と孔径比の応力集中係数αへの影響

α876

孔径比d/DO

内外径比DI/DO00.050.10.150.20.250.30.52.769

2.7332.697

2.740

2.907

3.165

3.428

0.6

2.602

2.715

2.828

2.903

3.122

3.425

3.751

0.7

2.871

2.911

2.950

3.102

3.400

3.783

4.175

0.8

2.858

2.978

3.099

3.399

3.871

4.345

4.848

0.9

2.746

3.118

3.490

4.130

4.858

5.601

6.362

1.0

2.633

3.257

3.880

4.861

5.845

6.858

7.876

○＊×△
□
◇8

内外径比DI/DO=1
内外径比DI/DO=0.9
内外径比DI/DO=0.8
内外径比DI/DO=0.7
内外径比DI/DO=0.6
内外径比DI/DO=0.576ǩ544332211Fig.8

0.10.15d/DO0.20.25

00.50.3

３．４ 内外圧が作用する場合の応力分布
Fig.10〜12に中空丸棒内周表面，外周表面にそれぞれ一様な圧力が作用する内外圧問題について，中空丸棒の内外径比，孔径比，内外圧比を種々変えた場合の孔縁の応力分布を示す．内外圧問題で孔が無い場合の円周方向の最大応力は外圧に比べ内圧が大きい場合引張応力となり，内圧に比べ外圧が等しいか，または大きい場合は絶対値の最大は圧縮応力となる．ここでは孔縁の応力分布を孔の無い場合の円周方向応力の絶対値の最大値を用いて無次元化した．無次元化に使用した応力σθをTable 3に示す．
孔縁の深さ方向応力分布において肉厚が薄い場
合，内圧が大きいと引張りとなり，外圧が等しいか大きいと圧縮となる．しかし肉厚が厚くなると内圧が大きくても外周に近い所は圧縮となる．
次にFig.13〜Fig.15とTable 4〜Table 6にFig.10〜Fig.12における孔縁の最大応力をTable 3の絶対値で無次元化した式（1）の応力集中係数を示す．更にFig.13〜Fig.15の横軸とパラメータを入れ替えたものをFig.16〜Fig.18に示す．なお負の値は圧縮応力の結果を示す．

0.6

Fig.9

応力集中係数と孔径の関係

Table 30.70.8DI/DO

0.91

応力集中係数と肉厚の関係

絶対値最大となる円周方向応力σθ
（孔の無い場合）
PO/PI

0.5

12

0.5

0.333

-1.000-3.667

0.7

0.961

-1.000-4.922

0.94.263-1.000-11.53

DI/DO

*0.05

(ǻǰ,hole)/ǻǰ

α500٤‫ޓ‬ሹᓘᲧd/DO=0.3
㧖‫ޓ‬ሹᓘᲧd/DO=0.25
‫ޓ‬ሹᓘᲧd/DO=0.2ٌ‫ޓ‬ሹᓘᲧd/DO=0.15‫ޓغ‬ሹᓘᲧd/DO=0.1٠‫ޓ‬ሹᓘᲧd/DO=0.05
㧗‫ޓ‬ሹᓘᲧd/DO=065
43210í1í2
í3í4
í5
í6
í7
í80

ٌ‫ޓ‬d/D O=0.1 P O/PI=0.5‫ޓغ‬d/D O=0.2 P O/PI=0.5٤‫ޓ‬d/D O=0.3 P O/PI=0.5ٌ‫ޓ‬d/D O=0.1 P O/PI=1.0‫ޓغ‬d/D O=0.2 P O/PI=1.0٤‫ޓ‬d/D O=0.3 P O/PI=1.0ً‫ޓ‬d/D O=0.1 P O/PI=2.0‫ޓع‬d/D O=0.2 P O/PI=2.0٨‫ޓ‬d/D O=0.3 P O/PI=2.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(2ríDI)/DOFig.10

孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（DI/DO=0.5）

476543210−1−2−3−4−5−6−7−8△ d/D O=0.1 P O/PI=0.5□ d/D O=0.2 P O/PI=0.5○ d/D O=0.3 P O/PI=0.5△ d/D O=0.1 P O/PI=1.0□ d/D O=0.2 P O/PI=1.0○ d/D O=0.3 P O/PI=1.0▲ d/D O=0.1 P O/PI=2.0■ d/D O=0.2 P O/PI=2.0● d/D O=0.3 P O/PI=2.04310

í5
í60

0.1

0.2

0.3

0.4

í7

0.5

í800.5孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（DI/DO=0.7）△ d/D O=0.1 P O/PI=0.5□ d/D O=0.2 P O/PI=0.5○ d/D O=0.3 P O/PI=0.5△ d/D O=0.1 P O/PI=1.0□ d/D O=0.2 P O/PI=1.0○ d/D O=0.3 P O/PI=1.0▲ d/D O=0.1 P O/PI=2.0■ d/D O=0.2 P O/PI=2.0● d/D O=0.3 P O/PI=2.01.5

2

応力集中係数と内外圧比の関係（DI/DO=0.5）

43○△□

21d/DO=0.1
d/DO=0.2
d/DO=0.3

0−1α8765432
10−1−2−3−4−5−6−7

1PO/PI−2−3−4−500.10.20.30.40.5I)/DO−7

孔縁の（σθ，hole）の深さ方向分布（DI/DO=0.9）

Table 4 孔径比d/DOと応力集中係数の関係（DI/DO=0.5）
d/DO

0.10.20.30.5

2.221

1.777

0.456

1-2.669-3.288-4.2962-2.587-3.012-3.670

PO/PI

Table 5 孔径比d/DOと応力集中係数の関係（DI/DO=0.7）
d/DO

PO/PI

0.1

0.2

0.30.5

2.739

3.192

3.503

1-2.773-3.597-4.8272-2.759-3.451-4.308

Table 6 孔径比d/DOと応力集中係数の関係（DI/DO=0.9）
d/DO

0.10.20.30.53.529

5.514

7.108

1-3.322-4.943-7.289

2-3.475-4.871-6.437

PO/PI−6−80Fig.14

0.51PO/PI

1.52

応力集中係数と内外圧比の関係（DI/DO=0.7）8765432
10−1−2−3−4−5−6−7−80○△□

d/DO=0.1
d/DO=0.2
d/DO=0.3α*(σθ, hole)/|σθ |í2
í4

Fig.13

Fig.12

í1í3I)/DOFig.11

٤‫ޓ‬d/DO=0.1ٌ‫ޓ‬d/DO=0.2‫ޓغ‬d/DO=0.32

ǩ(σθ, hole)/σθ*

圧力を受ける孔のある中空丸棒の応力集中（鶴・小丸）

Fig.15

0.5

1PO/PI1.52

応力集中係数と内外圧比の関係（DI/DO=0.9）

48

弓削商船高等専門学校 紀要 第31号（平成21年）

４．結言

4321ǩ0í1í2í3í4í5٤‫ޓ‬PO/PI=0.5
ٌ‫ޓ‬PO/PI=1.0‫ޓغ‬PO/PI=2.0í6í7í800.1

0.2

0.3

d/DO

Fig.16

応力集中係数と孔径比の関係（DI/DO=0.5）43210

小孔を有する中空丸棒について，外周表面，および内周表面に一様な圧力が作用する問題を内圧と外圧の比，孔径比，内外径比を種々変え，破壊の起点を知るための一次因子となる応力集中現象と応力分布についてまとめた．概略は以下の通りである．
外圧のみが作用する場合はどの形状についても内周表面付近に最大圧縮応力が表れており，肉厚が厚い場合で孔が小さくなると最大応力は内周表面より少し内側に出てくることがわかる．肉厚が薄くなる
につれ応力分布の変化は孔径の影響が大きくなるようである．さらに肉厚が厚い場合は外周表面に近づくにつれ孔径比ごとにある一定の応力に収束しているが，肉厚が薄くなるとそのような現象が内側に移動し，外周表面に近づくにつれ値が逆転するようである．
内外圧が作用する場合は，孔縁の深さ方向応力分布の結果からより肉厚が薄く，内圧が大きいと引張りとなり，外圧が等しいか大きいと圧縮となる．しかし肉厚が厚くなると内圧が大きくても外周に近い所は圧縮となる．

α−1参−2考文

献−3−4−5○△□−6−7−800.1

PO/PI=0.5
PO/PI=1.0
PO/PI=2.00.20.3

d/DO

Fig.17

α876543210−1−2−3−4−5−6−7−80

応力集中係数と孔径比の関係（DI/DO=0.7）○△□

PO/PI=0.5
PO/PI=1.0
PO/PI=2.0

0.1

0.2

0.3

d/DO

Fig.18

応力集中係数と孔径比の関係（DI/DO=0.9）［1］西谷：日本機械学会論文集（A編），48巻，447
号 PP.1353〜1359，（昭58-11）．
［2］村上敬宜：応力集中の考え方（養賢堂）2005-7.
［3］遠田良喜：有限要素法の基礎（培風館）1984-4.
［4］日本材料学会編：初心者のための有限要素法（日本材料学会），（昭43-10）．
［5］S.P.Timoshenko & J.N.Goodier：Theory ofElasticity 3rd ed. (Mc Graw Hill, N.Y.), 1970.