SUR CERTAINS ESPACES CONSIDERES

oo"PAR M. H. STONE ®

~Par

J. Dixmier

So—

Dans un mémoire récent [11] (Y), M. H. Stone a étudié les espaces compacts (*) dans lesquels ensemble des fonctions continues numériques est completement réticulé. Ces espaces, que nous appellerons espaces stoniens, s'introduisentdans diverses applications. On aalors 4 mélanger des propriétés purement topologiques et des propriétés relevant de la théorie de la mesure. Nous nous proposonsd’éclaireir les relations entre ces deux groupes de propriétés. Ceci
nous aménera 3 étudier des mesures particulieres sur les espaces
stoniens (n.° 2), et 4 distinguer parmi les espaces stoniens des espaces

plus particuliers, que nous appellerons espaces hyperstoniens (n.° 3).
Cesespacestravaux.

sontdéja, enfait,

intervenus

dans denombreux

Ce sont en effet, comme on le verra aux mn.°s 5 et 6, lesgpectres des algdbres du type L*= et des algtbres

autoadjointes

commutatives

unbertien.

faiblement fermées d’opérateurs

dansespace hil-

Plusieurs des propriétés qui suivent sont déja établies, au‘moins dans des eas particuliers ou implicitement, dans divers mémoires.

Ce

travail doit donc étre considéré

mise an point.
|
Noussurtout

EE
Notationsuneooutilisons en général les notations de N. Boursaki.

cisons les points suivants.
~

comme

|

|

Pré-

Co

Dans un ensemble ordonné par une relation d’ordre notée <,une famille § d’éléments est dite filtrante croissante si, quels que

solent z € § et y € §, il existe un 2 € § avec 2<z, y<2.
®

Manusorito

recebido a 10 de Janeiro de 1951.

|

N

:

|

Les chiffres entre crochets renvoient & la bibliographie.

{2)

En réalité, M. H. Stone a considéré le eas plus général des espaces complétement

1 (Sum, Bras. Mara. IT— Fage. 11, 161 - 1951)

=~

| |

(1)

|

oo
réguliers.

|

RE

J. DIXMIERN|Dans un espace topologique, un ensemble est dit rare si son adhérence a un intérieur vide et maigre s'il est réunion dénombrable
d’ensemble rares (notations plus classiques: ensembles partout non‘denses, de premisre catégorie).

oo

So

|

Pour la théorie de la mesure, le livre de N. BourBaki n'est pas
encore para. On pourra se reporter en partie 4 [2]. Sur un espace

localement compact R, on appelle mesure positive p une forme linéaire sur espacenulles horsvectorielC(R)des fonctions

d’un compact, 4 valeurs complexes,

lorsque f appartient 4 'ensemble

continuesursR,telle que u(f)=0

C+(R) des fonctions = 0 de C(R).

On prolonge ensuite u (ef. [2]). Le support de y est le complémentaire du plus grand ouvert de mesure nulle. Un ensemble est né-

gligeable
si son§'il est de mesure nulle pour u, localement

intersection

avec tout compact

négligeable

est négligeable. Une fone-tion f & valeurs complexes est mesurablesi, pour tout compact K et

tout €>0, existe un compact Ky; C K tel que w(K Nx) <e et telque la restriction de fa K, soit continue; un ensemble est mesurable
si sa fonction caractéristique est mesurable.
On désignera par

L'(R,u) Vensemble des fonctions 4 valeurs complexes p-sommables, oil on identifie deux fonctions fi, f, telles que [|fi—~fo | du=désignera

On

=0.

par

L®(R, u) ensemble

des fonctions mesti-

rables bornées a valeurs complexes, oll'on identifie deux fonetions‘qui ne different que sur un ensemble localement négligeable, Si pu
et » sont” deux mesures positives, et si tout ensemble localement-négligeable pcur u est localement négligeable pour », il existe
une fonetion positive g, sommable pour u sur tout compact (on dira:
localement sommable) telle que ffdv=[fgdupour toute f qui

est p-sommable.

linéaire

On appelle mesure complexe yu une combinsisona coefficientscomplexesdemesures

positives.

Si westréelle, il existe une décomposition unique u=pu*—pu—, avec ut etpu positives, telle qu’aucune mesure positive £0 ne minore u™ etput
et um s’appellent les parties positive et négative de um. Si

p=" — py (ue~ uz), on appelle support de u la réunion des‘supports de wt, ume,ue”. On désignera par M (R) VPensemble

des mesures complexes sur BR
B

oo

2

A
(Sum. Bras. Mars,IT —.
Fase. 11, 152 - 1951)

SUR

CERTAINSESPACESCONSIDERES

PAR

M.

H. STONE-, Les fonctions que nous considérerons seront le plus souvent soit
& valeurs complexes, soit 4 valeurs réelles finies (et qualifies alorsde numériques) soit 4 valeurs réelles finies ou infinies, ¢’est-a-dire
8 valeursdans

et un point.

Enfin,

la droite— cenumériquenous désignerons

toujours

Sout J

complexe,unpar x4 la fonction

unité

caractéris-=So

commutative

e.

.

sur

le corps

Supposons qu'il

une application z—2* de 9 sur 9 telle quer

asx

+ «

|

préliminaires

une algébre normée. complétepossédant un élément

point

par R).

So

1. Résultats

a.

par

(ensemble qu'on désigneratique d'un ensemble 4.
:complétée

(Nu)= Net uy (ey) =y

existelz ot] = |z]) let]~~ Une telle application sera appelée une involution. Alors, d’apres16], il existe un espace compact E tel que 9 soit isomorphe, en tantqu'algébre normée,z* correspond

Nous& C(E);de plus, si z.€& la fonction

complexe% correspondA f € C(B),conjuguée de f.

appellerons hermitiens les éléments z € I tels que z=z*.

lls correspondent

aux fonctions réelles de CE).
S L’espace K est déterminé, 4 un homéomorphisme
seule donnée de 9%. On Pappelle le spectre de 9%,

LLprés, par la
Co“Sur ensemble des éléments hermitiens de 9, on peut définir une

relation d’ordre, en considérant comme positifs les éléments qui eorrespondent aux fonctions positivesde C(E), c’est-a-dire, les éléments

qui peuvent se mettre sourla forme #*z.
~~.

b. Nous appellerons espaces stoniens les espaces. compacts E pos-sédant la propriété suivante: dans Pensemble des fonctions continues‘numériques, toute famille majorée (fi)ser admet une borne supérieure f(ou, ce qui revientau méme, toute famille minorée admet une borne
inférieure)(®). La fonction f est en général distinete de Venveloppe3) | Soit donnée

une famille majoréede fonctions numériques” continues sur KH.

Cousiderons

On peutdesla famille dont les éléments sont les enveloppes supérieuresdes sous-familles finies de la premiére.
Une de ces familles admet une borne supérieure si et seulement si Fautre admet
une borne supérieure. et ces bornes supérieures sont les mémes.

~filtrantes croissantes.
3(Sum.-Bras. Marn,:SE
II — Fase. 11,153 - 1951)

done se limiter 4 la considération

:

EE
|

famillesapixMmR

coy

Ce

Ce-

supérieure (ou borne supérieure en chaque point) f' des fi.

En effet, il

pendant, f ne différe de §/ que sur un ensemble maigre.

est évident que f=’; et Pensemble 4, des z € E tels que flz)—— f(z)

est fermé (car f’ est semi-continue infé-(n entier>0)-

et sans point intérieur

rieurement)(car,sinon on aurait f,<f -sur un certain ensemble ouvert non vide indépendant de 4, de sorte
qu'il

existerait

une f; continue

majorant

les f et majorée

stricte-ooment par f).

bornée semi-continue inférieurement f
Toute fonction numérique
sur un espace stonien E coincide, sauf sur un ensemble maigre, avec

une fonction continue (évidemment unique) qui n'est autre que la régularisée semi-continue supérieurement de f. En effet, comme BE est
compact, f est Penveloppe supérieure de la famille (f));.r des fone-tions continues

majorées

parf.

D’aprés

la remarque précédente,f est majorée par une fonction continue f' qui coincide avec f sauf

sur un ensemble maigre 4.

oo

On a:

|

lim sup f(z) = lim sup f'(z) = f(x)|TT

Z—>ZTooo:

20part, si €>0, il existe un voisinage V de Zo dans lequel
est non vide, il existe des z € V(2) f (zo) —¢, et, comme vA
D’autretels que f(z) f'(zo)—eDoneclim | sup f(z) 2 f'(zg)—e,Zolement lim sup f(z) =f"(z0).
oo

T—zo

Les

propriétés:oprécédentesoooos'appliquent

et

fina-

:

So

|

aussi

aux

fonctions

2avaleurs dans R. II suffit de remarquer que, si f est une fonctionoo
A valeurs dans R, Are tg f est une fonction numérique.
Considérant le cas des fonctions caractéristiques d’ensemble,
on voit que, dans un espace stonien, I'adhérence dun ensemble ouvert
est ouverte ef fermée (done un espace stonien est totalement discon-tiny).

fermé.

Par dualité, U'intérieur d'un ensemble ferméI

est ouvertaetSoit @ un ensemble ouvert partout dense dans E. Toute fonction
continue f & valeurs dans R définie sur G se prolonge (évidemment
4 (Sum. Bras. Mara, II — Faso. 11, 154 - 1951)
|
|
|

|

SUR CERTAINSESPACES CONSIDERES

PAR M. H. STONE

d'une maniére unique) en une fonction continue I & valeurs donsdéfinie sur E. Car soit f; la fonction définie de la maniére suivante:

1 Size,filx)=fz).

2. 8 z¢c{6,filx)=— wo. La fonction

fi est semi-continue inférieurement, donc sa régularisée semi-continue supérieurement f’ est continue. Et il est évident que f'(z)==filz})=f(z)pour z € G.

oo

|

|

~ Toutes ces remarques sont tirées de [11]. Cf. aussi [10] et [8].
~Soit ¥ une algébre du type considéré

en a.

Son

spectre est un

espace stonien si et seulement si toute famille majoréede ¥ admet|

Soc. Soient EB), E; deux espaces de Banach,et soit~ <1, £2une borne supérieure,

une forme bilinéaire continue sur EB; XH;d’éléments|{zy 22}
Pour

tout

x9 € Ey, Papplication 3— <x, 22> est une forme linéaire continue
sur Ei, c’est-d-dire un élément 2, du dual E;* de E,. Si 'application

To —Ty est un isomorphisme de espace normé E, sur 'espace normé
Ey*, nous dirons, par abus de langage, que Ej est le dual de ¥; pourla forme bilinéaire <zy, 23>.
En

|

oo

particulier, soient EF un espace de Banach, E* son dual, BE,

un sous-espace vectcriel<z, 21>

fermé de E*.

Si x €¢ BE et x € Ey, soit

la valeur en z de la forme linéaire z;.

On a 13 une forme“bilinéaire continue sur EXE;.
Si EF est le dual de E; pour cetteforme bilinéaire, nous dirons que EF est le dual du sous-espace FE,
de son dual.
Dans ce cas, on peut identifier de maniére évidente
le bidual de E; & E*, et application canonique de F; dans son bidual
devient

application

identique.

|

|

oo

|

- Soient E,, BE; deux sous-espaces vectoriels fermés de E* tels que
ECE,
Si E est le dual de E; et de Eo, on a E1=FE,;. En effet, si
Eis Ey, il existe une forme linéaire continue non nulle sur Ey qui

g’annule sur Ey, donc un élément non nul de E orthogonal & Fy,
ce quid.

est absurde.

ooCo

Soient H un espace hilbertien, 8 l'ensemble desCo

opérateurslinéaires bornés sur H.
Avec des conventions classiques, B est un
espace de Banach.
Soit $* son dual. Soit € "ensemble des formes
5

(Sum.

Bras,

Mara.

II —

Fasc.

11, 155

1951).

J.
linéaires 4 —DIXMIER|<Aw,, y,> sur B ol x1,

y1,..,%,, ¥, sont des vecteurs
oo
=
RE
one
|
fixes de H. € est un sous-espace vectoriel de B*, soit & son adhérence(pourrespecterles notations

de

[5]).

Avec

les ecnventionsde ¢, B est le dual de §'. Une sous-algdbre autoadjointe de PB est
faiblement fermée dans $B (au sens classique de la topologie faible
des opérateurs)si et seulement

si elle est fermée

pour la topologie“faible” de B considéré comme le dual de JF (sur tout ceei, cf. [5])
Soit

alors

%

une sous-algdbre

auto-adjointede B et soit A° ensemble des éléments deD’aprés

ce qui précéde,gonaux a Uc.

I est ensemble

faiblement

ferméeorthogonaux a 9.

des élémentsde&ortho-

Considérons I'espace de Banach 19.5 La forme bili-

néaire qui établit la dualité entre B et &' fournit, par passage
auquotient, une forme bilinéaire qui établit une dualité entre NAetA
et il est classique que 9 est ainsi le dual de FA.
Sout Ay
Pimage cancnique de §/9° dans le dual %* de 91. IA est le dual de
Ai. Comme € est partout dense dans &, l'image § de & par Pappli“cation canonique de & dans &//%° est partout dense dans [Uedonc l'image de § par application canonique de §'/9(° dans A*
est partout

dense

dans

9.

Autrement

dit:

|

o

|

Considérons, dans le dual 9* de A, ensemble des formes linéaires
du type4 —fixes de. H.

i=1

<A,

Soit

|

yi,

|

9;

Padhérencede2.

normalesMesures- Dans tout ce paragraphe,
DEriNTITION1 —Ol Z1, Yi, +. ., Zn, Yn SON

Une

cet

ensemble.

desvecteurs

A est

le dual||E désigne un espace stonien.

mesure positive

yu surE seradite normale

st elle posséde la propriété suivante: pour toute famille filtrante croissante (f,);.r de fonctions numériques continues sur E, de borne supéreeure continue f, u(f) est la borne supérieure des Wulf). Une mesureréelle sera

les.

dite normale

st ses parties positiveet négative sont norma-

Une mesure complexe sera dite normale si ses parties réelle etsmaginaire sont normales,
|

|
|
EE
6 (Sum. Bras. Mam. TT — Faso. 11, 156 - 1951)|

|SUR CERTAINSESPACESCONSIDARAS

Proposition 1 — Pour qu'unefoul ef il suffit que tout ensemble

PAR M. H. STONE

positive pm sur BH soit normale,rare soit u-négligeable.

ilDémonstration -— Solent wu une mesure positive normale, 4 unensemble rare, et montrons que u(4)=0.
Les fonctions caractéristiques des ensembles ouverts et fermés contenant 4 forment une
famille filtrante décroissante (f);er de fonctions continues, minorées par la fonction 0.
Soit f la borne inférieure continue des f;.

Ona f(z)= 0 pour tout z € E, et f(x) <0 pour tout zx extérieur 3 A;

donc f(z)=0

sur

un

ensemble

partout

dense,

La borne inférieure des u(f) est done
Réciproquement,

semble

rare

soit

soit

yu unemesureu-négligeable.

et finalement

w(0)=0.

D’on

positivetelle que

Soit (f,),.; une

f=0.

ud) =0.
tout

en-famille filtrantecroissante majorée de fonctions numériques continues sur E,et soit
J sa borne supérieure continue.
Soit f Penveloppe supérieure des

fi.

On

sait queu(f’) est la borne

supérieure

des

u(f).

D’autrepart, f’ différe de f seulement sur un ensemble maigre (n.° 1, b), done

pu-négligeable.

Done

Prorositionuf)= u(f’).

2 —- Soit|

yu unemesurepositive

normalesur E.
Sot J une fonction u~mesurable & valeurs dans R, Jilresp. fa) sa régularisée semi-continue inférieurement (resp. supérieurement), fi’ (resp. fy’)la régularisée semi-continue supérieurement (resp. inférieurement) deJi (resp. fo).
Les fonctions fi’ et fy’ sont continues.
Les fonctions
I fu foo i's fo coincident sauf sur un ensemble u-négligeable.
~

Démonstration — On a vu au n°

1, b, que fi’ (resp. fo’) est con

tinue et coincide avec fy(resp. fo) sauf sur un ensemble maigre, donc

p-négligeable (prop. 1).
Prouvons que f coincide avec fy et fo sauf
sur un ensemble u-négligeable.
Ii existe une suite d’ensemble coms
pacts Kq, Ks... tels que le complémentaire K de {J,K, soit u-négli-geable,soit

et tels que la restriction de f & chaque K,, soit continue.

K,/

Comme

lintérieur
K,NGK.

de

K,,

et

K’

est rare, K'(Sum.

Bras. Mare

11 ~~

Fase.

11, 157

complémentaire

est encore

D’autre part, on a évidemment
achévela démonstration.
7

leu-négligeablede U.K.
(prop.

f=f, =f, sur chaque K,’,|

- 1951)|1).

ce qui_J.
CoROLLAIRE — Soi

un ensemble
pres,

DIXMIERi une mesure

u-mesurable.

A|

positive normale sur E.

coincide, & un ensemble

avec son adhérence A , avec Dintérieur A,

et avec Uadhérence de A. o
Proposition

3 —

Une

|

avec

mesureSoit Au-négligeable

l'intérieur de A,|oonormale aunsupport|ouvert

of

oo

|

|

|

|

fermé.

oo~ Démonstration — Solent yu une mesure positive normale, F son
support.
F est fermé, l'intérieur
F Ke
est rare, donc u-négligeable.

de F est ouvert et fermé.
Done Ke est u-négligeable,

de sorte que FC @, et finalement F=@.
plexe est alors immédiat.
|
Proposition
complexes

4— Dans

Pespacesur E, ensemble M'(E)Le cas d'une mesure com|
EE|

de Banach

M(E)

des

des mesures normales-espace vectoriel fermé.

|

mesuresesl un sous-So

Démonstration— Si u et » sont des mesures normales, uv
est normale. En effet, il suffit évidemment de prouver ceci pourp et v réelles.

Alors

ut,u— pty

de p et ») sont normales, done(parties positives et négatives
tout

ensemblerare est négligeable

pour ces mesures, et & fortiori pour (u+»)T <ut+rT

<u.
Si

|

et (utr)<-|p est normale, qu est normale pour tout nombre complexea, comme on le voit aussitét a aide de ce qui précéde.
Soit maintenantyu, une suite de mesures normales tendant forte-ment dans M(E) vers une mesure uy. Prouvons que pu est normale. On sait que wu," tend fortement vers ut et uw,” vers g—. On
peut done

se limiter au cas oll u, et i sont positives.

Soit 4

unensemble rare, et soit €>0. Pour n assez grand, ||p—u.|l<e IIexiste un ensemble ouvert et fermé G DA

w@) <2.

Donec u(Ad)=0:

tel que u,(G)<e.

pu est normale.

|Alors,|Les notions suivantes, et les résultats correspondants du n.° 3,
nous serviront dans un article sur les anneaux d’opérateurs. Lesnotations sont adaptées 4 cet article.
tions

continues

sur

KE a valeursSoit Z l'ensemble
des fonedans[0,4 «].

fois pour toutes que 0.4 w =0. Sife€Z,f-

8(Sum. Bras.

Convenons€Zetsi\
Mats,

II _

une

est un nom-

Fase,11, 158 - 1051)

SUR CERTAINS ESPACES CONSIDARESPAR M. H. STONE|

bre 20, on sait définir f+" € Z et \f € Z. On peut aussi définir leproduit ff’.

Carz—f(x)f’(z)est une fonction

semi-continue infé-

rieurement, done elle coincide, sauf sur un ensemble maigre, avec
une fonction continue unique qu'on notera ff’.
Les opérations

ainsi définies possddent les propriétés usuelles (cf. article annoncé
plus

haut)

et redonnent

les opérations

habituelles

quand

les fone-tions considérées sont dans CT(E).
DeriNITION

2 -— On|appellera pseudo-mesure

cation Y de Z dans [0,4 |surE

loute appli-

telle que, st f € Z, f' € Z et si \ est un

nombre 20, on a YH
=LHFU)
et LO)= LT).
Une
pseudo-mesuresera dite normale, si, (fr étant une fomille filtranle croissantede fonctions dede borne supérieure f € Z, (Ff)est la borne supérieure
des Y(f,).
Une pseudo-mesuresera ditefidéle st Y(f)=0 eniraine f=0. Une pseudo-mesure +sera diteessentielle si, pour toute f € Z, f5£0, il existe une g € Z, g<f, g##0,
LEMME

1 — a) Sott u une mesurenormalesur BE.

I’applicationf—ulf) de Z dans [0,4 =] est une pseudo-mesure
tielle, fidéle

si et seulement si

|

|

|

Y(g) <A oo,

avec

le supportde mu

normale essenest E,

et telle que

felle queY(1)<--o,J) <+ oo pour f € CT(E).
by

Si

est

une

pseudo-mesurenormaletl existe une mesure normale yu et une seule telle que

Y(f)= uf) pourfeyest une

oo

|

Z.

On

dire

normale.
ey

par

abus

de

langage, que|

Si (Yercation f—

alors,er

est une famille de pseudo-mesuresAf),

normales,ou ff € Z, est une pseudo-mesure

Démonstration — Soit

yu unemesurenormalesur

mesure|Iappli-normale.
KH.

L’appli-cation f—u(f) dedans [0,4 ©] est évidemment
une pseudo-mesure.
Soit (f;);.r une famille filirante croissante de fonctions
de Z, de borne supérieure f € Z. Soit J’ Penveloppe supérieure desf.
On sait que u(f’) est la borne supérieure des u(f,). D’autre part,f" coincide avec f sauf sur un ensemble maigre done p-négligeable.

Done u(f)=u(f’), de sorte que la pseudo-mesure
autres affirmations de ¢ sont immédiates.
9(Sum. Bras. Mars.

II —Fase. 11 - 159 - 1951),

est normale.
|

Les

So

J. DIXMIER

SoSi
est une pseudo-mesure normale telle que J) <+ =,Papplication f— Y(f) de CT(E) dans [0,+ o] est & valeurs finies
etestgvidemmentune

mesurenormale

yu.

Comme

toute fei

est borne supérieure de la famille des fonctions de C+H(%) majoréespar f, on a, d’aprés le résultat précédent, (= uf).
Dou b.
Enfin,¢ résulte

|

d'un

3.

raisonnement

Espacesélémentaire.

||

hyperstoniens

DErmvition 3 — Un espace stonzen FE sera dit hyperstonien si lesmesures positives normales sur BH oni des supports dont la réunion est
parioul dense. Il sera dit de genre dénombrable si toute famille d’en~sembles ouverts ef fermés non vides deux & deux disjoints est au plus
dénombrable.
oo|~ Provosition
une familleréunion

5 — Soit E un espacede mesures

purtouf dense.

positives

Pour

qu'un

suffit qu'il soil négligeable pourhyperstonien, et soit(U)serdont les supports

ont unenormalesensemblesoit rare, il faut et 7l

toute u,.

oDémonstration — La condition est néeessaire (prop. 1) .Suppesons maintenant qu’un ensemble 4 soit négligeable pour toute u,.

il en est de méme de A (cor. de la prop. 2). Si A contenait un ensemble ouvert non vide @, il existerait une yu, dont le support rencontrerait

(7,

done

telle

que

COROLLAIRE — Dans un
gre est rare.
|uA)
espace|uAG)>0;dol

hyperstonien,|oocontradiction.

tout ensemblemai-

Aux n°s 5, 6, 7 nous construirons: 1. des exemples d’espaces hyperstoniens;
2. des exemples
d’espaces stoniens dans lesquels
existent des ensembles maigres non raves; 3.
des exemples d’espaces
stoniens non
hyperstoniens
dans lesquels tout ensemble

maigre est rare.
ProrosiTioN|
6 — Soit FB un

espaceune famille de mesures positives

hyperstonien,~-

et soit()sernormales, dont les supports ont une

réunton parioul dense. Soient f une fonction d valeurs dons R, nigsurable pour toute uw, fi (resp.fs) sa régularisée semi-continue inférieurement (resp. supérieurement).
La régularisée semi-continue su|

10

(Sun.

Bras.

MarH.

I

—

Fase.

11, 160 - 1951

SUR

CERTAINS ESPACES CONSIDERES

PAR M. H. §TONE

périeurement fi’ de fi est continue et coincide avec la régularisée semicontinue inférieurement fs’ de fo. Les fonctions f, fi, fo, fi’ coincident

sauf sur un ensemble rare.

:

Démonstration — D’aprds la prop. 2, les fonctions f, fi, fa, fi’,J" coincident sauf sur un ensemble négligeable pour toute u,, doncrare (prop. 5): et fy, fo’ sont continues,done, coincidant sauf sur unensemble

rare,

sont

identiques.

COROLLAIRE — Avec

mesurable
ensemble
0

Ade

A.

pour toute wu,

oo|les notations de la prop. 6, soit A un ensemble

L’intérieur de UadhérenceAde A est un

A’ ouvert ef fermé qui coincide avec Uadhérencede UintérieurE

BE

A, A’, A, A coincident & unensemble rare pres.

|

Lemme 2 — Soit E un espace hyperstonien. Il existe une famille(Ger densembles ouverts et fermés deux & deux disjoints telle que:
L La réunion des GI, est partout dense dans E. 2. Pour tout i ¢ I,
existe une mesure normale u, de support G..
Démonstration — Dans Pensemble des mesures positives normales non nulles sur FE, considérons les parties dont les éléments
ont des supports disjoints deux & deux. Ordonnant ensemble deces parties par inclusion, on obtient évidemment un ensemble inductif. Soit done (u,);er une telle partie maximale, et soit G, lesupport de wu; ouvert et fermé (prop. 3). La réunion des G, estpartout dense.
Car, sinon, il existerait un ensemble G ouvert etfermé non vide disjoint’ des ,dont

le support

et une mesure positive normale u

rencontreraitG; la mesure

uyge0

seraitnormale(prop. 1) et son support serait disjoint des @, ee qui est impossible
puisque la famille (4); est maximale.
.
Propositiona)

7 — Soit E

unespacestonien.

.

Pour que EB soit hyperstonien, il faut et il suffit qu'tl existe sur

E des pseudo-mesures normales fidéles et essentielles.
b) Pour que E soit hyperstonien de genre dénombrable, il faut ettl suffit qu'il existe sur E des mesures normales de support E.
|~

Démonstration — Soit EF un espace hyperstonien.

Soient (GQ)eret (4i);er deux familles ayant les propriétés du lemme 2.

Pour toutett(Sum. Bras. Mara,IT —Fase. 11, 161- 1951)

oo
fe

4,

posonsVf) =2[0,+ » |] est une

j. DIXMIER
ier wf).

L’applicaticn f—y(f)pseudo-mesurenormaled’aprés

de Z

le lemme

dans

1, a etce. Si Y(f)=0 pour unef€ Z, ona 1{f)=0 pour tout ¢ € I, doneflx)=0 pour x € @,, done f(z)=0 sur un ensemble partout dense et
finalement f=0: ¢ est fiddle.
Soit f€ Z, f#0. Il existe unt € I
et un x € G, tel que f(x) >0; on a f(y)= a pour un certain a> 0 dans
un voisinage ouvert et fermé convenable V de z, et on peut supposer

VC Gy; alors, f= ayxy#0, et Ylaxy)=ap (xv) <4 =: ¢ est essentielle.

|

Si EF est hyperstonien de genre dénombrable,

la famille des G,

est au plus dénombrable.

On peut alers choir les pu, de fagon que

2unellpll<+o.

Alors,

Y)=2allpll<+e(lemme 1, a et b)

est une mesure normale de support &.

Réciproquement, soit
tielle sur espace stoniende sorte que}

une pseudo-mesure normale fiddle essenIB, et prouvons que F est hyperstonien.

Soit (u,.);er la famille des mesures normales sur £, et soit G; lesupport de pw, Si la réunion des &; n'est pas partout dense, il
existe un ensemble ouvert et fermé non vide
disjoint des G,.
Comme i est essentielle, il existe une fonction ¢g € Z, avec g<x¢,g#=0, Y(g)<-+ o. IL’application f—y(fg) de Z dans [0,4 =] est
une

pseudo-mesurenormalei(cf. démonstrationde la prep. 8), |telle que ¥/(1)=1y(g)<+ =: c'est donc une mesure normale (lemme 1, b). Enfin, i est fidele done ¥/ (xe) = ¥ixey) = (7) > 0, done
le support de i/ rencontre (: contradiction.
o
St de plus ¥ est une mesure normale, F est de genre dénombrable. Car, si (Grest une famille d’ensembles cuverts et fermés
non

vides

deux

(xe) > 0 pour3 deuxdigjoints,

tout 7, donc

ReEMARQUE— Dans

I est aule casexiste une mesure positiveon a 2

SY(1)

<+ ©,

plus dénombrable.

.

oll, suriene)

un espacenormale yu de supportethyperstonien
FH,
E, les prop. 5 et 6

se simplifient: pour qu'un ensemble soit rare, il faut et il suffit qu'ilsoit p-négligeable; une fonction mesurable coincide, sauf sur un ensemble rare,

avec

une fonction

continue

unique(facile 3 préciser);un ensemble p-mesurable coincide, & un ensemble rare prés, avee
unensemblecuvert|||et fermé

unique.
12

(Sua.

|
Bras,

Mar,

II —

Fasc.

11,

162

- 1951)SUR CERTAINS ESPACES CONSIDARES PAR M. H. STONE
Proposition 8 — Soient E un espace hyperstonien, Yo une pseudo-mesure normale fidéle et essentielle sur HE. Il existe une correspon~

dance biunivogue enire les pseudo-mesures normales
sur E et lesg € Z. Ceite correspondance est définie par la formule (Ff) = Yo(fg)ow f € Z. De plus,
est fidéle (resp. essentielle) si ef seulement sv
g(z)>0 (resp. <-+ =) sur un ensemble ouvert partout dense. Enfin,
est une mesure (normale) si et seulement st Yolg)< + o.
Si E est de genre dénombroble, on peut supposer que yo est
une mesure normale. Alors, la formule précédente §écrit Y(f)== [qo f(x)g(x)do(z).
Lopseudo-mesure Y/
est une mesure (nor-male)

si el seulement si g est yg -sommable.

||

Démonstration — Soit g € Z. L’application y définie par Y(f)==Yo(fg) est évidemment une pseudo-mesure sur EH. Soit (fies
une famille filtrante croissante d’éléments de Z, de borne supérieuref€Z
Les fg forment une famille filtrante eroissante majorée parfg, et, comme f est 'enveloppe supérieure des f; sauf sur un ensem-

ble rare, f(x)g(z)semblerare,

est V'enveloppe supérieure des f,g sauf sur un en-

donc fg est la borne supérieureolf) est la borne

supérieure des off; g):

respondance g—i

est biunivoque.

g(z)>¢'(x)

dans

un

est normale.

La cor-

Car, si gg’, on a par exemple
certain ensemble ouvert et fermé non vide A.

La fonction

continue ¢’ est finie,

part,

comme

iy

“h#0,

Yoh) <+ =; commeest

des f, g, de sorte que

essentielle,dome

bornée,il existeunek € Z,

avec A<Xa,

hmajoreun nombre

strictement

hz#0,

sur

A.

D’autrepositif sur un certain ensemble A’ ouvert et fermé non vide contenu

dans 4, et on a aussitdt Polya) <+ «; d’oli, comme g' est bornée
sur A, Yo(xa’¢)<+oo. Enfin, on a g(@)>g¢'(z) sur A’, donc il
existeunefonctionk € Z,

kk20,

telle

Yolx a9) = Yolx arg") + ok); commeYo(xag’) <+ =, on en déduit:queo(k)#=0yarg=xu¢ +k;d’ott(car fo est fidele) etYolxag)> Polxa'g).

Si g(x)>0 sur un ensemble ouvert partout dense, y est fiddle:car, si f € Z, f#0, on a fg70, done, Y(fg)0.
Réeciproquement,si g(x) =0 sur un ensemble ouvert et fermé non vide 4, on a Pixs) == (0) =0, et yf est non fidele.
Si g(x) <4

sur un ensemble|
ouvertoo
partout

dense,

i est

essentielle; ear, si f € Z, f50, il existe un ensemble ouvert et fermé
13(Sua. Bras. Mara. II — Fasc, 11, 163 - 1951)

|

oo

Co

J. DIXMIER|

non vide A tel que fy40 et glo) <M <+ wo pour 2 ¢ A. Soit
Ff <fxa, 50,
telle que ¥o(f') <+ « (on utilise le fait que Yp est

essentielle); on a: YI") =Yo(f'g) Yo’
M) < + =; done

est essen-tielle.
Réciproquement, si g(x)= +»sur un ensemble ouvert etfermé non vide 4, pour toute fonction f5%0 de Z majorée par x.

on a fay,avec

un certain a>0

et un

certain ensemble ouvert‘et fermé non vide BCA, done Y(f)=yu(fg) = ado(xsg) =0.(+ =).
exp)
pas

=-+o

car

Polyps >0

essentielle.
Enfin,(puisque|partonsd'uneYo

est fidele): ¥ n'est||

pseude-mesurenormalequelconqueJ.

Considérons les familles (@;);cr d’ensembles ouverts et fermés nonvides, deux a deux disjoints, tels que Y(xe)<+ = et Yolxe) << +epour tout / € I. Soit une telle famille maximale que nous
notons encore (G,);cy

ouvertet fermé,.

Soient ( la réunion des G&G, et Go Pintérieur,

de Ke2

Soit

f€ Z. 8f(z)>0pour un z € Gy,

on a Y(f)=4 o: en effet, on a f(x)= ¢>0 sur un ensemble 4 ouvert
et fermé non vide contenu dans Gy; supposons (ya) <- «; soitf" une fonction non nulle de Z telle que f/<xa et Yo(f)<+ » (onutilise le fait que Yq est essentielle); on a f(z) a >0 sur un ensemble<a'7Y,

B

alors,

xp<

done Yy(xp) <+ oo; et Wixp)<+ o puisque BCA;

ouvertet fermé

ceci

est absurde puisque

non

vide

la famille (G));.;=-4 ooet par

suite

Ceci

établi,poscns,contenudans

4:

est maximale; done (x4) =Y(f) = ao Ply) = +o.

pour

f€ Z:

.

uly) =yylfxe)||

et pf) == (fxg). D’aprés le début du raisonnement et le lemme 1,5,
ply et u' sont des mesures normales; le support de pi, est @,. Soit

A un ensemble u'-négligeable; 4 MG; est rare, done wi-négligeable,
done 4 est p'-négligeable. D’aprésle théoréme de Lebesgue-Nikodym,

il existe une fonction positive uiy-sommable

Yifxe) =u (f)=pwolg/) =vo9/fxe;).

g; telle que

La fonction g/ est u'e-me-surable, et peut étre supposée nulle hors de 7, donc elle coincide,sauf sur un ensemble rare, avec une fonction g, € Z, nulle hors de
G,, et on a encore:Y(fxe)=vo(fg;).
Soit g la fonction de Zégale & g, sur Get & + © sur Gy (n.° 1,b). On va voir que Y(f)==yo(fg) pour f € Z.
|

|
|

3
14

(Sum.

Bras,

Mare,

IT —

Fase,

11,

164

- 1951)SUR CERTAINS ESPACES CONSIDERES PAR M. H. STONE
Si f(x)>0

pour unz € Go,

on

a

vu

que

Y(f)=-+ oo;

d'autrepart, fg(z) = + «© sur un ensemble ouvert non vide, done Y,(fg) = + =parce que iY, est fiddle. On peut done supposer désormais f(z)=0
pour z £ Gp. Les fonctions Dien Xa (resp. > eda) ot J parcourt
Vensemble des parties finies de 7, forment un ensemble filtrant

croissant dont la borne supérieure continue est f (resp. fg).

Deonc

Wf) (resp.

Yo(fg))(resp,

Yo(Dorerf9.).

On

|

4.

est la borne supérieure
a done:YQ

ierfxa)P(f)= oly).

Décompositions

ProrositioNndedes espaces stoniens

9 -— Soit BH un

espacestonten.

Il exisle

une par-tition de E et une seule en trois ensembles ouverts ef fermés Ey, Ea, Es,
gut sont des espaces stoniens possédant les propriélés suivanies:

a)

Dans

mesuren'est normale,by

Ey, il existe un ensemble maigre partoul dense;
sauf la mesure

Hy est hyperstonien.

aucune||0.

|¢) Dans Hs, tout ensemble maigre est rare; loule mesure
support rare (done non normale, seuf si elle est nulle).

Démonstration — Considérons

ensembledesparties

est de:ouvertesde EF dans lesquelles existent des ensembles maigres partout denses.
Dans cet ensemble, considérons
les sous-ensembles dont les éléments
sont deux a deux disjoints.
Soit, gréee au thécréme de Zorn,(G,);e; un tel sous ensemble maximal.

une

suite

d’ensembles rares dont la réunion est partout dense dans G;.

Soit

Ar={J, ; A®

Il est classique que

est un ensemble

maigredone

Vadhérence F;

aussi danspartout

A"

Soit 4}, 4%, ...
est rare; la réuniondense

de G guidans

ensembledes A"G des G,
ouvet

et

|

|

fermé.

la réunion

est unA

Dans le complémentaire Fy" de Ei, oti tout ensemble maigre est rare.
Car ¢'il existait un ouvert non vide contenu dans #;’ dans lequel
un ensemble maigre soit partout dense, la famille (Gr ne serait

pas maximale.
15

(Sum.

Bras,

Mara,

IT —

oo
Fase.

11,

165

.
~ 1951)IJ.

DIXMIER

oo

|

Ey.

Soit u une mesure positive normale de support contenu dansA, qui est maigre, est y-nésligeable, donc aussi son adhérenceEy(prop.

Boit

2).

Donec

p=0.

oo

(Uz).exlafamilledes mesures|positivesnormalessur

EK.

Soient F,C EB,’ le support de y,,F la réunion des F,, B,C Hy’ I'adhérence de F, qui est ouverte et fermée.
Il est évident que Fy est

hyperstonien.
Soit

est rare.

enfin

|
By=E/

NBs.

|
Dans

oo
E3C Ey’,|tout

ensemble

D’autre part, par construction de FE, il n’existe aucune

mesure normale sur EF; (sauf la mesure 0). Soit alors » une
positive sur Fs.
Soit a la borne supérieure des y-mesures

sembles rares.

Il existe une suite Bi, Bs,...

#3 tels que y(B,)—a.
mais»(B)= v(B,),

fermémesuredes en-d’ensembles rares deLa réunion B des B, est rare, donc v(B) <a;done »B)=a.

de » est contenu dans B.
etmaigreOnvamontrerque

le support

Soit en effet GC Es un ensemble cuvert

disjoint de B, et montronsque »(G)=0.

Si C est un en-

semble rare contenu dans G, BUC est rare, done BUC) <a, d’ot»(C)=0; la restriction de » & G définit done une mesure normale,ce qui,on I'a vu plus haut, entraine que cette restriction
est nulle.

Heste 4 prouver 'unicité de la décomposition de la prop. 9. Soient
Ey*, E.*, Es* une partition de F en ensembles ouverts et fermés ayant

les propriétés indiquées pour E;, Fo, Ez dans la proposition. Dans
Fy*\(E\UEy), il existe un ensemble maigre partout dense, donc
EC Ey.
Bo* est hyperstonien, done, par définition des espaces
hyperstoniens et par construction de H,, E.*C E,.
Enfin, on voit

aisément que E3*ME, et E3*(MEy sont vides, d’olt E5*C E;. Par conséquent, BF; =F, pour ¢=1, 2, 3.
||~~

Prorosition

10 — Soit E un espace hyperstonien. Il existe une

famille (E,;);.; de parties ouveries et fermées de E, deux & deux disJoinies, dont la réunion est partout dense, et telles que chaque E; est un
espace hyperstonien de genre dénombrable.
|
Démonstration

et de la prop. 7.
|— (estune conséquence|

immédiate

du lemmeoo2|

16 (Sum. Bras. Mars. II — Fasc. 11, 166 - 1951)

SUR CERTAINS ESPACES CONSIDERES PAR M. H. STONEREMARQUE — La prop. 10 fournit une nouvelle condition nécessaire, purement topologique, pour qu'un espace stonien soit hyper-

stonien.

oo

|

5.

Premier

exemple||d’espaces

hyperstoniens

Soit BR un espace localement compact, wu une mesure positive sur fi.

~

Soit L*(R,u) ensemble des fonctions u~mesurables et bornées a valeurs complexes, dans lequel on identifie deux fonctions égales, saul

sur unensemble

localement négligeable.

Si f € L™(R,u),désignons

par ||f|| 1a borne supérieure essentielle de f, c¢’est-a-dire le plus petit
nombre a tel que ensemble
des z € E pourlesquels lf(z)|>asoit loealement mnégligeable.
Définissons d’autre part une 7nvo-

lution dans L™(R,u) en

faisant correspondre

a toutef¢& Le (Bu)la fonction complexe conjuguée.
On obtient alors une algdbre
normée commutative avec unité, munie d’une involution, du typeconsidéré au n.° 1,a.
Les éléments positifs de V'algébre ne sontautres que les fonctions positives en chaque point sauf sur un en-

semble localement négligeable.
Le lemme

qui

Lo(R,u).

Toute famille majorée
borne supérieure.

Pour que f € L°(R,p)

L®(R, uw), i faut et il suffit que,mable,

filirante

une famille(f).,er

Beit
(fg)

|

suit est essentiellement connu.

LevMe 3 —— a)
LZ(R,u) admel une

Cb)|de fonctions

croissanieréellesdansmagorée

danssoit la borne supérieure des f; danspourtoute fonction

g positive u-som-soit lo borne supérieure des u(fg).

oe¢)
Soit f une fonction semi-conlinue
inférieurement el bornée,et (fer la famille des fonctions continues nulles hors d'un compact
et majorées en tout point par f. La fonction f est la borne supérieuredes f, au sens de L*(R,u).
d)

Soit

f€ L¥(R,u)|

et soit (f;),er la famille des fonctions

continues inférieurement bornées qui magjorent f en tout point.
fonction f est la borne inférieure des f; au sens de LT(R,u).

semiLaDémonstration — Soit (f,);e; une famille filtrante croissante majorée

dans

les nombres
17

(Sum.

Bras.

L®(R,u).

uffg)
Mars.

Pour toute

ont

II —

fonctionune borne

Fase.

11, 167~ 1951)g positive

supérieureoofinie,

u-sommable,

soit lg).
RE

Si

|

:

J. DIXMIER||

g € LYR,u) est queleconque, de la forme gi —gs, avec gi et gs positives et u-sommables, posons ¢(g) = @(g1)— (gs). II est immédiat qu’on~définit sans ambiguité une forme linéaire continue sur LY(R,u), done

une f € L7(R,u) telle que og) = u(fg).

On a w((f—f)g)=0 pour touti € IT et toute ¢ positive u-sommable,

done =f,sauf surun en-

semble localement négligeable.
D’autre part, si f=, pour tout
1 € { au sens de L°(R,u), on a ul 9) w(g) pour toute g positive

u-sommable,

done u((f'—1)g)=0;

donc f'=F

au sens de L(R,u).

Ainsi on a démontré & la fois le a et le b du lemme.

|

Maintenant, soit f une fonction semi-continue inférieurement.
bornée et (f,);cr la famille des fonctions continues nulles hors d'uncompact majorées en tout point par f.
Soit fC L”(R,u), et sup-| posons que f(x) <f(z) pour tous les x d’un ensemble non localement~négligeable.

On a alors (2) < fl) — +tous les x d'un ensemble compact

pour un entier n, et pourK non négligeable; en diminuant

au besoin K, on peut supposer de plus que f et f’ sont continues
sur K; alors, pour tout y € K existe un voisinage V, de y et une
fonction continue g,, majorée par f, telle que g,(x)> f(z) sur V,MNK;
recouvrant K par un nombre fini de V, et prenant enveloppe supérieure des g, correspondante, on a une fonction continue majorée
par f et majorant strictement f' sur K.
Done f/ nc majore pas lesf, au sens de LZ(R,u),~

Enfin,et on a prouvé le ¢ du lemme.

soit f € L™(R,u)

aet soit (f;);r la famille des fonctions se~

mi-continues bornées qui majorent f en tout point. Soit Fel” (Ruet supposons f'(z)>f(z) pour tous les zx d'un ensemble nonlocalement négligeable: Raisonnant comme précédemment, on dé-

termine un compact K non négligeable sur lequel f et f/ sont continues tel que f'(x)>f(x) pour x € K.
La fonction f égale & f sur
K et 4 uneconstante suffisamment

grande sur GK,

est semi-conti-

nue inférieurement,

majore f en tout point, et ne majore

sens de L,"(R,u).

|~ Nous allons étudier le spectre de LZ(R,u).
[3] est donc ici particulidrement étroite.
oo|pas f’ au.

|oo
La connexion

avec

oo

|

|

18 (Sus. Bras. Mare. TI — Fase. 11, 168 ~ 1951)

SUR

CERTAINSESPACESCONSIDERESPAR- Tutorimu

1. -— Sott # un espace hyperstonien.

pacecompact

localement

spectrede LT(R,u)

R,

une

M.

H

Il existe un es-

mesure positive uy sur

soit H.

STONE

RK, tels que le|Réciproquement, sovent £ un espace localement compact, wp une
mesure positive sur R.
Le spectre E de LR, 1) est hyperstonien.

Les mesuresnormalessur BH définissentdesL7(R,u) qui ne sont autres que les formes f—
Démonstration — Soit

(lemmeF unespaceformeslinéaires

sur[fodu, ov g € LYR,u).
hyperstonien.

2) une famille (E)),.; de parties ouvertes

Il

existeet fermées deux

a4 deux disjointes de FE, dont la réunion R est partouf dense dans#, et telles que ,pour tout 2 € I, existe une mesure positive normaleu; de support £,RK est localement compact.
Toute partie compacte de R, étant recouverte par la réunion des Z,, est contenue

dans la réunion d’un nombre fini de #..

Soit f une fonction numé-

rigue continue définie sur RE, nulle en dehors d’une partie compacte de R; f se prolonge & EF d'une maniére unique en une fonetion

continue f; on a f(x)=0 pour zx € Wi

La somme 2 ..; uf) n'a

qu'un nombre fini de termes non nuls, done a un sens, et Papplication f—2s.r u,(f") définit évidemment une mesure positive sur R.
Considérons algébre L®(R,u). Nous allons voir qu'elle est isomorphe (en tant gqu’algébre normée a involution) & Ualgdbre C(E)des fonctions continues 4 valeurs complexes sur £.
A toute fonction© © O(F), faisons correspondre sa restriction ¢ 4 R, qui est dansL¥(R,u).
deC(E)L’application ¢—¢dans

L®(R,u),estévidemment

compatible

avec

les

un homomorphisme
involutions.

D’autrepart lloll=|l¢|l. En effet, |p| <|l¢|l est évident; en outre,si a<<llgll,on a le@)|>a sur un ouvert non vide G; pour un ¢ € I,GE,

est non vide done w(GNE)=u(GMNE,)#0;

finalement
applique|p| =p].
C(B)Reste 4 montrer que

sur L*(R,u).

i 4 E en une fonction

Or,

soit

done a< |p| etI’application ¢-—¢

VY € L%(R,u).

Prolongeons¢/ en posant/(z)=0 pour z € LE.

La

fonction y/ est mesurable pour touteu,(en effet, la restriction

deY, done de¢/, a EK, est évidemment

mesurable pour wu, et lecomplémentaire de E, dans E est u-négligeable), donc (prop. 6)
J’ coincide, sauf sur un ensemble rare, avec une fonction continue
19(Sua. Bras. Marti. IT -- Fase. 11, 160 - 1951)

|

|

oo

J. DIXMIER|

0; ¢ coincide avee yy sauf sur un ensemble|

4 rare dans RB; Uinter-

section de A avec tout EB, done avec tout compact de ER, est négligeable pour toute u; donc pour u, de serte que 4 est localement

négligeable pour u; on a donc ¥=¢au sens de L™(R,u).

Maintenant, considérons un espace localement compact R et
une mesure positive u sur BE. D’apres le lemme 3, a, le spectre E
de L7(R,u) est stonien. De plus, d’aprés le lemme 3, b, pour toute
gc LYR,u), lapplication f—u(fg) définit une forme linéaire sur
L7(R,u)a laquelle correspond sur F une mesure normale.
Si Fn’était pas hyperstonien, il existerait une fonetion non nulle de C(%),
d’intégrale nulle pour toute mesure normale.
Autrement dit, il

existerait

une f € LY(R,u), f#0, telleg € LYR,u).

Or

que u(fg)=0

ceci est impossible.

Il reste & prouver

ceci: soit

pour toute|i une forme linéaire

L*(R,u), telle que, si f est la borne supérieure dansfamille filtrante croissante (f.);er , ¥(f) est la borne

positive surL”(R,u) d'une
supérieure desY(f); alers, il existe une fonction ¢ € LY(R,u) telle que (3)= ulfy).
Or, la restriction de ¢ a l'ensemble des fonctions continues nulles
hors d'un compact définit une mesure positive » sur ER. Si f est
positive semi-continue inférieurement et bornée etsi (f);er est la
famille des fonctions positives continues nulles hors d’un compact
majorées en tout point par f, on sait que »{f) est Ia borne supé-rieure des »(f,). D’autre part, Y(f) est la borne supérieure desY(f,), d’apres le lemme 3, ¢ et d’aprés 'hypothése faite sur ; done
Y()=v{f).
Si enfin f est une fonction positive quelconque deL2(R,u), et si (f);er est la famille des fonctions semi-continues
infériearement bornées majorant f en tout point, on sait que l'intégrale supérieure »*(f) de f pour » est la borne inférieure des »(f);d’auntre part, Y(f) est la borne inférieure des Y(f,), d’aprés le lemme
3, d et d’aprés hypothése faite sur ; done (f)=r*(f).
En particulier, si f positive est localement négligeable pourdone »*(f)=0: f est y-négligeable.

yu, on a W()=0,

D’aprés le théorémede Lebes-

gue-Nikedym, il existe une fonction g positive
localement semmable pour u, telle que y=gu.
Comme de plus gu(l)=p(1)==y(1)<+ o, g est|

u-sommable.
|

20

Finalement, toutef¢& L°(R,u)(St. Bras. Mars. IT — Fase. 11, 170 - 1951)

SUR CERTAINSESPACESCONSIDERES

PAR M. H. STONE

est p-mesurable et méme y-sommable, de sorte=p*(f)= Y(f): le théordme est démontré.

quegulf) =v»()=
EE

COROLLAIRE — Soit BE un espace hyperstonien. I. espace de Banach
C(E) est le dual de Vespace de Banach M'(E) des mesures normales

sur E (ef. no1, ¢ et prop. 4).

Co

Démonstration — I1 existe un isomorphisme & de espace deBanach C(F) sur un espace de Banach L°(R,u), ou R est un espace
localement compact et yu une mesure positive sur B.
Le transposé‘G de & est un isomorphisme du dual de L*(R,u) sur le dual M(E)de C(E); 'S applique le sous-espace M'(H) des mesures normales
sur EF sur un sous-espace du dual de L”(R,u), qui, d’aprés le th. 1,
s’identifie canoniguement a LY(R,u).
Or L2(R, 1) est le dual de

LYR,u), ce qui achdve la démonstration.
~~

oo

:

Provrostrion 11 — Soient EB un espace localement compact,u une

mesure positive sur R.
Pour que le spectre BE de L7(R,u)
soit degenre dénombrable, il faut et il suffit que R soit, a un ensemble localement négligeable prés, réunion d'une infinité dénombrable d’ensem-

bles de mesure finie.
Démonstration — Si F

mesurepositive normaleoo:

est de genre

de support

dénombrable,%.

il existe

Il lui correspond

une

(th.

1)

une fonction positive y~-sommable g, qui possede la propriété suivante: si une fonction positive f € L7(R,u) est telle que u(fg) =0,

f est nulle, sauf sur un ensemble localement négligeable.
Pensemble des « € RB tels que g(x) 2 L
A, est de y~-mesure finie.
plémentaire

B de UJ.4,.

Comme ¢ est u-sommable,

Soit f la fonctionOna g(z)=0

Seit A,

caractéristique

du com-sur B, donc u(fg)=0,

doneBest localement négligeable. Réciproquement, supposons qu'il existe
une suite d’ensembles 41, 4, ... de y-mesure finie, telle que le comOn peut supplémentaire B de 1,4, soit localement négligeable.
poser les A, disjoints. Posant g(z)=a,>0 pour xz € 4, et glx)=0
pour z € B, on peut choisir les a, de telle sorte que g soit u-sommable. La fonction ¢ définit une mesure positive normale sur F dont
le support est H: en effet, si une fonction positive f € L2(R,u) est
telle que u(fg)=0, on a f(z)=0 pour x € 4,, sauf sur un ensemble
91(Sv. Bras. Maru, IT — Fasc. 11, 171 - 1951)

||J]. DIXMIER

wu~négligeable,

doncf(z)=0

sauf

|

sur

gligeable.

un|ensemble|

6.

Deuxiéme

exemplelocalement|d’espacesné-|

hyperstoniens|

Tutorime 2 — Soit EE un espace hyperstonien.
Il existe un espace hilbertien H ef une algébre autoadjointe commutative forblement
Jermée A d’opérateurs sur H telle que le spectre de HN soit E.
|
Réciproguement, si IU est une algébre autoadjointe commutaiive faiblement fermée d’opérateurs sur un espace hilbertien H, son spectre E est
hyperstonien.
Les mesures normales sur BE définissent des formes.

.

7

lindarres sur A qui ne sont autres que

les formes(00 1, Yi, ..., Tn, Yn sont des vecteurs

fives de H) ef

ces formes

suivant

la norme

AJOUTE EN EPREUVES:

de la Barridre

dansespaceA —:<Az; yi>i=1|
les limites dedual de 9.

par un raisonnement plus simple, R. Pallu

a obtenu un résultat

toute mesure normale correspondplus préeis,4 savoirqued une forme linéaire A—<Ax,y>.

Démonstration — Soit £ un espace hyperstonien, et supposonsle d’abord de genre dénombrable.
Soit u une mesure positive normale de support EF.
carré sommable pour

Soit H Pespace hilbertien despu. A toute f € C(E), faisonsVopérateur borné A; sur H défini par A;(h)=fh.

fonctions decorrespondre

On définit ainsi

une application f—A4; de C(E) sur une algdbre autoadjointe commu-

tative 9 d'opérateurs bornés de H. Il est immédiat que cette application est un

homomorphisme d’algébres compatible

tions, et on vérifie aussitét que ||All=]fl.

avee les involu-

Nous allons prouverque I est identique a ensemble I’ (faiblement fermé) des opérateurs qui permutent avec ceux de 3.
Comme 9 est commutative,

AC AW.

Soit maintenant 4’ € IU’, et soit o=A'(1).

Toute f€ CF)

est dans H, et on a A'()=A"4;(1)=A;A'(1)=A;¢0=¢f.
On en‘déduit d’abord que ¢ € L*(E,u).
En effet, supposons |¢(x)|Za
sur un ensemble B non u-négligeable.
B contient desfermés non u-négligeables, donc des ensembles ouverts

nonvides;

soit B’untelensemble.

14 (xz) =lle xz Zallxwpl.
||

D’aprds

ce quiensembles
et fermés

préedde,On voit done que ¢& L7(R,u),22(Sum. Bras. Mars. IT — Fase. 11, 172 - 1951

SUR CERTAINSESPACESCONSIDERES

PAR M. H. STONEet par suite (prop. 6) ¢ coincide, sauf sur un ensemble u-négligeable,
avec

une

fonctioncontinue

¢’.

On

a:

4’ =A

€U

|

Soit maintenant FE un espace hyperstonien quelconque, et soit(E;);er une famille de parties ouvertes et fermées, deux a4 deux disjointes, dont chacune est de genre dénombrable, et dont la réunion
est partout dense (prop. 10) .Pour tout 2 € I, soient H; un espacehilbertien, A; une algébre autoadjointe commutative d’opérateurs

dans H,, telle que 9, =, et telle que le spectre de ¥, soit BE, Soit
H Vespace hilbertien somme directe orthogonale des H, et identifions les H, 4 des sous-espaces de H. Pour toute f € C(E), soientf; la restriction de f & E,, et 47; ’8lément correspondant de ,.
existe un opérateur linéaire borné A’ et un

triction ‘a H, soit A’, pour tout +.
voit aussitét, un isomorphisme

les involutions.

Montrons

seul dans H dont la res-IL’application f—A4’ est, on led’algébres normées

enfin

TI

que imagecompatible

9 de C(E)avec

par cetisomorphisme est faiblement fermée, et pour cela que ¥ coincideavec l'ensemble A’ des opérateurs de H qui permutent avec ceux

de A.

ACH

est immédiat.

Soit 4’ €¢ A’.

Parmi les opérateursde 9 se trouvent les projecteurs sur les H;, qui correspondent aux
fonetions caractéristiques des FE.
Done A’ est réduit par les fH,

Soit A’; la partie induite par A’ dans H,
opérateurs de ¥,, done est dans 9,

continue f, sur KF,
aux

FH, soient4’; permute avec lesdone correspond & une fonction

Kt i] existe une f € C(K)les f; (n.°dont1, b), telle par suite que

les restrictions

Al =A

Réeiproquement, soit I une algdbre autoadjeinte commutative
faiblement fermée d’opérateurs
sur un espacehilbertien H.
II‘est bien connu que toute famille (4); majorée filtrante ecrois-sante d’opérateurs hermitiens de 9 admet une borne

supérieure 4

dans ¥.
De plus, 81 z € H,<Az, z> estla borne supérieure des<A, z>.
II en résulte d’abord que le spectre E de 4 est stonien.

De

plus,

les formes

nissent des mesures
Fest hyperstonien.

fermée,de FE.

unprojecteur

23

(Sum.

Bra.

linéaires

positives

4 — <Ax, x>

Sa fonction caractéristique, continue,
E20

Mare,

II —

sur 9 défi-

positives normales sur F.
Ceci entraine gue
Car soit G une partie non vide, cuverte et
de 9.
Faso.

Soit zo € H,
11,

173

- 1951)telcorrespondque <Eaxgze> #0.

&
La

|

J. DIXMIER

oo
forme

A=

< Azg,xe>définit une

mesurepositive normale

yu surE

telle que u(@) #0; done le support de u n’est pas disjoint deG.
Il reste a acheverla détermination

des mesuresnormales sur #,ou plutét des formes linéaires correspondantes sur I.
qui précede,

les formes4 — “<Az, y;>D’aprés

ce(ott x1, | Yi, ..., Ty, Yn sontdes vecteurs fixes de H) sont de telles formes, ainsi par conséquent

que les limites de ces formes suivant la norme dans espace* dualde 2%.
Dans I nous obtenons ainsi un sous-espace vectoriel fermé V, contenu dans le sous-espace VV’ de toutes les formes qui correspondent aux mesures normales.
II §’agit de prouver que V=V".

Or A est le dual de V/ d’apres le corollaire du th. 1, et le dual de
V daprés le no 1, d.

Dodle résultat annoncé, d’aprés~ Prorosition

12 — Soit

I une

fatblement ferméedans

espaceunalgébreautoadjointe

hilbertien H.

Pour

lene

1, ¢.

commutativequele spectre

E de YN soit de genre dénombrable, il faut et ¢l suffit que toute famullede projecteurs non nuls deux & deux orthogonaux de A sort au plus
dénombrable. Cette condition est en particulier toujours remplie quand
H est séparable.
:.
|
Ia démonstration est immédiate puisque les projecteurs de ¥,~opérateurs idempotents, correspondent aux fonctions
caractéristigues des parties ouvertes et fermées de FE.
Proposition

13 — SoitA

une

algébreauloadjoiniec

faiblement fermée dans un espace hilbertien H.

commulative

Soit C un ensemblede vecteurs de H tel que, pour tout projecteur non nul XE de UA existe
un x € C avec BExs£0.
Les formes linéaires A — <Ax,x2>
sur A,
on x € C, définissent des mesures normales sur le spectre EE de A dont
les supports ont une réunion partout dense.
Si E est de genre dénombrable, on peut supposer C réduit & un seul vecteur.(*)|
Démonstration — Lapremierepartiedelaproposition

résultede la démonstration du th. 2. Soit maintenant y un vecteur non
nul de HH. Considérons les projecteurs HK de IU tels que EHy=0,(4)
Des résultats voisins sont signalés dans [9] quand H est séparable. Il est aussi fait allusion & des relations entre les algdbres de fonctions bornées et les algébres d’operateurs qui sontcertainement en rapport étroit avec le present travail. AJOUTE EN EPREUVES: cf I. E. Segal,
Equivalence of measure spaces, American Journal of Mathematics vol. 73 (1951), pp. 275-313; Decompositions of operator algebras, II, Memoirs of the American Mathematical Sceciety no. 9 (1951).
24

(Sum.

Bras.

Mara.

IT —

Tgsc.

11, 174- 1851)SUR

CERTAINS ESPACES CONSIDERES

PAR M. H. STONE

soient IE, leur borne supérieure et B,=1-—F',. Ona E,#0, et, pour
tout projecteur non nul E € YU tel que E<E, on a <Hy, y> #0.
Considérons les familles de vecteurs ¥ non nuls de H tels que lesprojecteurs EK, correspondants soient deux & deux orthogonaux, etsoit (x;);cr une telle famille maximale.
Pour tout projecteur Ec
non nul, on a Ez;0 pour un 7 au moins: sinen, soit y €H, y#=0,

tel que Ey=y.
E, pourrait étre ajouté aux FE, qui ne formeraientpas une famille maximale.
Si EF est de genre dénombrable, I est
au

plus

dénombrable.

Soit

alors

(a@;);; unefamilledenombres> 0 tels que Dieta < Fw , et soit z =D. 0:2; Pour tout projecteur

E € 9, ona EE;s0 pour un { € I, done <Ez,2>= <Eagz,0z,> ==a <BEEz,r,> #0.
On peut donc prendre l'ensemble C réduit
aut vecteur z.
|
|
oo
oo
7.

Exemplesd’espaces

stoniens non

hyperstoniens|

LEMME 4 — Soit BE un espace de Hausdorff. Soil f une fonction‘numérique bornée (°) semi-continue inférieurement sur E. Soit f larégularisée
sursemi-conlinue

un ensemble

supérieurement de f.

maigre.

On a f(z)=f"(z) sauf||

Démonstration — Soit A (resp. A,) ensemble des z € EF tels queJ@)~f@)>0 (resp. f'&)—f) = —). On a: A=U4, , et onva voir que chaque 4, est rare.
f'=f

est

D’abord 4, est fermé parce quesemi-continue supérieurement.

D’autrepart,

supposonsque A, contienne un ensemble ouvert non vide G.

Soit

M la borne

supérieure de f sur G.
on

|

p__e

Soit zy un point de @ tel que flzg)>M — pr

i

-

1

a évidemment f(xy) — f(xy) <—

co

7

|

|

e

|

, d’olt absurdité.

ooDerinitioN 4 — Considérons les familles § de fonctionsriques bornées sur FE, possédant les propriétés suivantes:a) § contient les fonctions
supérieurement) bornées.
(5)semi-continuesoo|(inférieurement
Ce

(Sum.

)

ow

Si f n’est pas bornée, le lemme est encore exact, car il suffit de considérer la fonction.

Arc tg f, mais nous nous limiterons, ici eb dans la suite, au cas des fonctions
95

numé-

Bras.

Mare.

II —

Fasc. 11,175

- 1951)bornées.

EE

|

bY

|

J. DIXMIER

Sifu, fayoooo

est une suile de fonctions de §§ convergeant en tout

point vers une fonction

bornéef, on a f€F.

La plus petite de ces familles & sera appelée la famileboréliennes bornées sur E, el sera moté BE) (9).

des fonctions|

Lemur 5 — Toute fonction borélienne bornée sur E coincide, sauf
sur un ensemble maigre, avec une fonction semi-continue inférieu~

rement (7).

|Démonstration — Soit
coincident,

|
§

|

oo

la famille

des fonctions

sauf sur un ensemble maigre,

continue inférieurement.

§

avec

une

bornées qui

fonction

semi-

contient les fonctions semi-continues,

inférieurement ou supérieurement (lemme 4).
Soit maintenant fig
J2,... une suite de fonctions de {’ convergeant en tout point vers une
fonetion bornée J.
On va prouver que f& § (ce qui entrainera
5 DO B(E)).

Soient gn =58Up(FasFat1sen),

et Gnsp =8SUP(fs Jut1yeeey J+):

La fonction g, est la limite de la suite croissante des Jp © la fonetion f est la limite de la suite déeroissante ‘des gn.

Soit g’,,, une fone-tion semi-continue inférieurement qui coincide avec n,n sauf sur unensemble maigre.

Pour n fixe, on peut évidemment

supposer que lasuite g',,, est croissante; elle a alors une limite semi-continue inférieurement

qui coincide

avec

g, sauf

sur unensemblemaigre.

Ilen résulte (lemme 4) que g, coincide sauf sur un ensemble maigre
avec une fonction semi-continue supérieurement gn, et on peutévidemment supposer que la suite g’, est décroissante. Donec fcoincidesauf sur unensemblemaigre,avec

une fonction semi-con-tinue supérieurement.
~ Désormais,

cidentsauf

surencore noté B(E)
d'une

|

nous identifions dansstructureunensembleB(E)maigre.

deux

L’ensemble

par abus de langage.
évidente

d’algébre

fonctionsqui eoin-norméequotientsera

Cet ensemble est muni
complete

commutative{6)
Cette définition différe légérement de la définition usuelle. Hn effet, les fonctions semicontinues, prises ici pour point de départ, ne sont pas toujours boréliennes au sens usuel.
Ceci
n’a d'ailleurs aucune importance pour la suite.
Mais il nous a paru préférable de donner une
définition des fonctions boréliennes qui soit telle gue les fonctions caractéristiques des ensembles
ouverts ou fermés soient boréliennes.
A(7)
11 résulte du lemamae 4 que, pour toute fonction borélienne f, il existe un ensemble maipre
tel que la restriction de f au complémentaire de A soit continue.

-

26(Sum. Bras. Mars, IJ — Fase. 11, 176 - 1051)

SUR CERTAINS ESPACES CONSIDERES& involution, du type considéré au n.° 1.

pondante

est la relation d’ordre

LEMME
supérieure.

6 — DansB(E),usuelletoute famille

PAR M. H. STONE
La relation d’ordre Corres.

entre fonctions.
magjorée

admet

|
une

borne

~ Démonstration— Soit (f,);.; une famille majorée de fonetions
boréliennes.
Soit (f/),.r une famille de fonctions semi-continues

inférieurement telles que f,’ =f; sauf sur un ensemble maigre.

Soit

J Venveloppe supérieure, semi-continue inférieurement, desf/.
Ona fZf, sauf sur un ensemble maigre, pour tout 7.
D’autre part,soit g une fonction borélienne bornée telle que gf; sauf sur un en-

semble maigre, pour tout 7. On va prouver, ce qui établira le lemme,que g= f sauf sur un ensemble maigre.
On peut supposer que g est

semi-continue supérieurement, et on a g= Ji" sauf sur un ensemble
maigre pour tout 7. Soit § 'ensemble des x tels que g(x) <f(z). Considérons une famille maximale (G,),..
d’ensembles ouverts nonvides de # deux & deux disjoints tels que SMG, soit maigre pourtout

« € A.

Prouvons

que

G=1J,esG,

estpartout dense.

Si Gn’était pas partout dense, il existerait un ensemble ouvert non vide
G' CE disjoint de tous les G,.
On a: NS ® (sinon, on pour‘rait ajouter& la famille (Gy). Boit done x€G'MNS.
On ag(x) <[flxo), done glxe) <f/ (xy) pour un certain ¢. Comme g est
semi-continue supérieurement et f; semi-continue inférieurement, on
a encore g(x) <f,/(x) pour z € G"', ou G" est un voisinage ouvertdezo contenu dans &’.
Donec @" est maigre, et on peut ajouter G/ 3
la famille (G,), ce qui est absurde.
Ceci posé, Ke est rare, et, afortiori, Na

We est rare.

maigres SMG,

contenus

disjoints,

SMG

done

Enfin, SMG

est la réunion des ensembles

dans des ensembles ouverts

est maigre

TrEOREME. 3 — Soit EB un(cf. démonstration

espace stonven. Il

Hausdorff R tel que le spectre de B(R) soit E.

Réciproquement, si R est un espace de H ausdorff,
est un espace stonien.
~

Démonstration—

27(Sum. Bras. Mara. II — Fase. 11, 177 - 1951)

Soit

E un espacestonien.

deux a deuxde la prop.

existeun espacedele spectre de B(R)|Le lemme

|

9).

5 et

le

|

oo

J.

DIXMIERn.° 1, b, prouvent aussitét que B(H) est isomorphe, en tant qu’alDonec le spectre de B(E) est
gtbre normée & involution, 4 C(E).
La deuxiéme
du théoréme.
partieE. Ceci prouve la premidre
Lemme
il existe

7 — Soit RB un espaceunensemblemaigreDémonstration— Par

complétement

partout

specire E de B(R) un ensemble

|

oo

|

partie résulte aussitét du lemme 6.
dense.

régulier dans lequel

Il existe alorsdansmaigre parfout dense.

hypothese,ilexiste une

le

o
suite

Ai, Ag,...

d’ensembles fermés rares dans R tels que A= L,.4,, soit partout den-se dans KB.

Pour tout

n fixé, soit(4,');cs, la famille des ensembles

ouverts non vides de KE contenant 4,.
A la fonction caractéristique de A,’ correspond une fonction continue sur EF qui est égale ason carréd, done qui est la fonction caractéristique d'un ensemble
B.
Soit B=;
ouvert et fermé B,'a) B, est fermé et rare.
Sinon B, contiendrait un ensemble
ouvert et fermé non vide H. A la fonction caractéristique de H
correspond une fonction semi-continue inférieurement f sur R, qui
est égale 4 son carré sauf sur un ensemble maigre; on a f(z)> 0 sur
un ensemble ouvert G, et f est égale 4 la fonction caractéristiquede G sauf sur un ensemble maigre.
& un ensemble maigre pres.
done GNA,

On a, pour tout ¢ € I,,, GC A,°

Et G est non maigre.

est non maigre,GA,

est rare,donc il existe un z € anf4,

ou @n'est pas maigre.
Comme A, est fermé, il existe un voisinage V
de = et un voisinage W de A, disjoints (car R est complétement
régulier). Alors, W est un ensemble 4,°, et V/\G est non maigre,
done W ne contient pas @ 4 un ensemble maigre pres: contradiction.
b)Laréunion

des

B,

est

partout

dense

dans

E.

Sincn,

il

existerait un ensemble ouvert et fermé non vide H dans E disjoint
des B,. Comme précédemment, & cet ensemble H correspondrait
“dans

BE un

ensembleouvert¢nonmaigre.

Pourchaquen, GHcontient B,, done un B,’, done [;G contient A," 4 un ensemble
maigre pres; par suite, (¢ contient, 4 un ensemble maigre pres, LJ.4 wn
|

28

(Sum.

Bras.

Mars.

IT ~

Fase,

11,

178 - 1981)|SUR CERTAINS ESPACES CONSIDERS PAR M. H. STONE

qui est un ensemble ouvert partout demse.
tradietion.

Done

oo

|

G est rare: con-|BE

Du lemme 7, on déduit aussitét des exemples d’espaces stoniens
dans lesquels existent des ensembles maigres partout denses.
On
peut prendre par exemple B=[0,1].
Il est d’ailleurs bien connu
qu'il n’existe aucune mesure dénombrablement additive sur lal
gtbre de Boole des ensembles boréliens de [0,1] modulo les ensem-~bles maigres (pour références, cf. [1]).
Tous
Lemme

les résultats

qui suivent

8 — Supposons

sont

.
dus

qu'il eviste uneoo& J. Dieudonné.
baseB des ensembles

ou-verts de RB possédant la propriété suivante: si Gy, (o,... est une suiledécroissanie d’ensembles non vides de B,

N.a,contient

un ensemble

non vide de B.
Alors, dans le specire E de B(R) tout ensemble maigre
est rare.
De plus, si RB n'a pas de points isolés, toute mesure sur

a un support rare.

I|~ Démonstration — Pour prouver que, dans un espace topologique, tout ensemble maigre est rare, il suffit de prouver que, étant

donnés une suite Dj, Ds, ... d’ensembles ouverts partout denses et
un ensemble ouvert non vide D, N.p, posséde dans D un point
intérieur (ceci entraine en effet que Vintérieur de N.p,
dense, done que N.p,

est partout

contient un ensemble ouvert partout dense,

done que J, (M2est rare). Soient donc, dans E, une suite Dj,

D,,... d’ensembles

ouverts partout denses, et un ensemble ouvert nonvide D.

IL’ensemble DMN D est non vide, done contient un élément

non vide Dy’ de B; puis DoD,’ est non vide, donc contient un élément non vide Dy’ de B; ete.
On obtient une suite décroisssanteDy, Dy... d’8léments deB, avec

non vide decontenudans

dans D.

dans R, tout ensemble maigre est rare.

Done,

D/C D,MND.

NX

est

‘contenu

Alors un élément
dans

N.p,

et

Passons & espace E.
Soient une suite Hy, H,,... d’ensembles
ouverts partout denses dans E, et
H;’ un ensemble ouvert non videde BE.
H;MH;' est non vide, done contient un ensemble ouvertet

fermé non vide; ce dernier correspond 3 un ensemble ouvert nonvide Gy de RB; G1 contient un élément
non vide A; de B; A; est non
29(Sum. Bras. Maza.

II — Fase: 11, 179 - 1951)

|

|

“i

©

JU DIXMIER

maigre d’aprés ce qu'on a vu de R, done correspond dans E 4 unensemble ouvert et fermé non vide Hy’. On recommence: HoH’
On détermine deux suites décroissantes Ai,
est non vide, ete....
Ag... et Hy, Hy... oli les A, sont des éléments non vides de B et oti

les H;

sont des ensembles ouverts et fermés de E, avee

A;et Hyse correspondant.

contenu dans

M.4,,

et soit A

un ensemble ouvert et fermé corres-

pondant dans E, non vide car 4et

HC Hy.

H/CH, 4,

Soit 4 un élément non vide de B
est non maigre.

Ona H CNz wr

Done, dans E, tout ensemble maigre est rare.

© 8i R n'a pas de points

isolés,

F n’a pas de points isolés. ~~ Soit

alors yu une mesure sur E, de support S.

et fermé non vide de BE.

Soit L; un ensemble ouvert

On va montrer que 0s posséde dans I

des points intérieurs (done [8 ‘sera un ensemble ouvert partout denDans E, tout ensemble réduit & un point est rare,se, et S sera rare).

done tout

ensemble dénombrable

est maigre(et par suiterare).

Comme ensemble des pointsde y-mesure >0 est dénombrable,
on voit qu’il existe dans L; un point z de y-mesure nulle.
II existedone un voisinage ouvert et fermé L;" de x contenu dans L; et telque u(Li) <1.
En raisonnant comme plus haut, on détermine unAs€Bdont le correspondant

recommence.

On

Ls dans

contenu

E estdétermine ainsi deux

suitesdans L;’.

On

décroissantes Aj,

Ag... et Li, Ly,... oles A; sont des éléments non vides de B, et
ou les L; sont des ensembles ouverts et fermés deE, L, et 4; se‘correspondant,
Bcontenu

vide

dans

avec

u(L,) soN.4,,

correspondant

Soit Aunélément non vide deet soit I l'ensemble

dans

E.

On

i, done u(L)=0, done LC 0s.

a

.

LCL;

ouvert et ferméetu(L)<-—

nonpour toutooo

Pour obtenir un exemple d’espace stonien non hyperstonien danslequel tout ensemble maigre est rare, il suffit done de construire

jun espace de Hausdorff B sans points isolés dans lequel existe une“base des ensembles ouverts possédant la propriété du lemme 8.
Les remarques qui suiventa ce sujet se trouvent
‘3G

(Sum.

Bras.

Mapu,

dans

[4] ou sontIT ~— Fase. 11,

180 - 1951)

|SUR CERTAINS ESPACES CONSIDERES PAR M. H. STONEdes conséquences immédiates de [4].

Soit

¥ l'ensemble

bres ordinaux de premidre et de seconde classes,‘des fonctions numériques

définies sur¥, totalement

Pordre lexicographique.

En

pour

prenant

des nom-

B le groupe additif

voisinages

ordonné par
d'un

point

les intervalles contenant ce point (sans Padmettre pour extrémité),
on définit sur RB une structure de groupe topologique sans points
isolés. Soient a € Y, et z,y des nombres réels (z<y); soit Az,
I’ensemble des f € R tels que f(8)=0 pour B<aet

2< fla) <y.

Les

Agzy constituent une base des ensembles ouverts qui posséde Ia
propriété du lemme 8.
EE
|
So

Co

|

0

"31

~

DE

(Sum. Bras. Mar TI —- Faso.11, 181 © 1051)

UniversitE pe Dion~

Duon, France

y

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