駒場現代物理学(2020)第8回講義ノート
1

量子力学における観測についてもうすこし

1.1

観測した後の状態

状態空間を H とし、 観測量 A について考える。 固有ベクトルを |ii とかいて、 |ii はそれぞれ長さ 丱 で互いに直交するようにとっておく。 対応する固有値は ai であるとする为
A |ii 丽 ai |ii。簡単のため ai は全て異なるとする。
このとき、前回と前々回の講義で述べた基本法則 义乖 は以下のものだった为
状態 |ψi において A を観測した際の結果は ai のうちどれかであり、ai が得らPれる確率は |ci |2 に比例する。 ただし、 ci は |ψi 丽 i ci |ii と展開したときの係数である。
P
ここで、内積をとれば ci 丽 丨|ii , |ψi丩 で i |ci |2 丽 丨ψ, ψ丩 となるので、ai が得られる確率 丽|丨|ii , |ψi丩|2丨ψ, ψ丩丨丱丮丱丮丱丩であった。特に、|ψi 丽 z |ii の場合、この確率は 丱 になる。固有状態において観測量を観測すると、値は 丱丰丰严 で固有値が得られる。
しかしこのルールにおいて観測した後の状態がどうなるかを書くのを忘れていた。 それを書き足しておく为
観測結果が ai であったとき、観測直後の系の状態は |ii である。
すると、 ある状態 |ψi において A を測定して ai という結果が得られて、 直後にまた Aを測定すると、かならず同じ ai という結果が得られることになる。

1.2

例

例として、乱乵乢乩乴 系 H 丽 C2 を考える。観測量として!
!
丰 丱丰 −乩σx 丽, σy 丽, σz 丽丱 丰乩 丰!
丱 丰丰 −丱丨丱丮串丮丱丩を考える。
σz の固有ベクトルは丱丰!と!
丰で、固有値はそれぞれ ±丱、また σx の固有ベクト
丱ルは丱√串!
丱,丱丱√
串で固有値はそれぞれ ±丱 である。
はじめに状態が!
丱 丱丱|ψi 丽丽 √ 丨√
丰串 串

丱−丱!

!
丱 丱丱
丩 丫 √ 丨√丱串 串丱丨丱丮串丮串丩!
丱丩−丱丨丱丮串丮丳丩であったとする。 ここで、σz 丬 σx の順で測定するのと、 σx 丬 σz の順で測定するのを比較してみよう。 σ∗ の測定結果を s∗ と書くことにする。
まず前者を考える。 |ψi は σz の固有値 丫丱 の固有状態なので、丱丰丰严 で 丫丱 が得られる。 次に、σx を測定すると、固有値 ±丱 の固有ベクトルの線形結合で、係数がそれぞれ√丱/ 串 であるから、二乗するとそれぞれ 丱/串 の確率で測定結果が ±丱 である。まとめると丱丰丰严 で sz 丽 丫丱 −→ 五分五分で sx 丽 ±丱丨丱丮串丮临丩ということ。
√
次に後者を考える。 |ψi は σx の固有ベクトルふたつの係数 丱/ 串 の線形結合だから、二乗してそれぞれ 丱/串 の確率で測定結果が ±丱 になる。sx 丽 丫丱 のときは状態は!
!
!
丱 丱丱 丰丱 丱√丽√丫√丨丱丮串丮丵丩
串 丱
串 丰
串 丱であるから、ここで σz を測定すると五分五分で sz 丽 ±丱 が得られる。同様に sx 丽 −丱 のときは状態が!
!
!
丱丱 丱丱 丰丱√丽√−√丨丱丮串丮丶丩
串 −丱
串 丰
串 丱であるので、やはり σx を測定すると五分五分で sz 丽 ±丱 が得られる。
まとめると五分五分で sx 丽 ±丱 −→ 五分五分で sz 丽 ±丱丨丱丮串丮丷丩となり、丨丱丮串丮临丩 と全然異なる結果になる。

1.3同時測定可能な観測量

上のように観測の順番によって結果が全然ことなるのは、σz と σx の固有ベクトルが全然ことなったから。 いま二つの観測量 A丬 B が固有ベクトルのセット |ii を共有し、固有値がそれぞれ ai 丬 bi であったとする为
A |ii 丽 ai |ii ,B |ii 丽 bi |ii .

丨丱丮丳丮丱丩

簡単のために ai が互いにことなり、bi が互いに異なるとする。 丨こういうのを「固有値に重複が無い」という。丩
PP
このときに状態 |ψi 丽 i ci |ii ただし 丨|ψi , |ψi丩 丽 i |ci |2 丽 丱 から出発して、A丬 B を二つの順序で測定してみる。それぞれの測定結果を A丬 B と書くことにする。
A を測定、 その後に B を測定してみよう。 A を測定すると確率 |ci |2 で |ii になり、A 丽 ai が得られる。 |ii がでた状況で B を測定すると 丱丰丰严 の確率で B 丽 bi が得られる。
逆にまず B、 そして A を測定してみる。 B を測定すると確率 |ci |2 で |ii になり、B 丽 bi が得られる。 |ii がでた状況で A を測定すると 丱丰丰严 の確率で A 丽 ai が得られる。
どちらにせよ、丨A, B丩 丽 丨ai , bi 丩 になる確率が |ci |2 だということであって、測定の順序によらない。
このとき AB 丽 BA である。実際、勝手なベクトル |ψi に対して
XAB |ψi 丽 BA |ψi 丽ai bi ci |ii丨丱丮丳丮串丩i

串だから。 AB 丽 BA を「A と B が交換する」という。丨英語では 乜乁 乡乮乤 乂 乣乯乭乭乵乴乥丮丢 という。丩
一般に固有値に重複がある場合でも、 AB 丽 BA なら同時固有状態がとれ、測定順序によらないことが知られている。演算子の非可換性が量子力学における測定順序依存性と関係している。

2合成系

前回仄めかしただけにおわった法則 乖 にうつろう。

2.1

テンソル積、エンタングルメント系 丱 が状態空間 H(1) 丬 系 串 が状態空間 H(2) をもつとき、系 丱 と系 串 の合成系を考えられるはずである。合成系の状態空間は数学では H(1) ⊗ H(2) と書かれるもので与えられ、状態空間のテンソル積とよばれる。 H1,2 が有限次元のときはそれほど難しくない。
H(1) が n(1) 次元だとして、基底 |ii(1) 丨i 丽 丱, . . . , n(1) 丩 をとる。 H(2) が n(2) 次元で基底 |ai(2) 丨a 丽 丱, . . . , n(2) 丩 をとる。このとき、H(1) ⊗ H(2) とは|ii(1) ⊗ |ai(2) 丽为 |iai丨串丮丱丮丱丩を基底とする n(1) n(2) 次元のベクトル空間である。
PP
系 丱 が状態 |ψi(1) 丽ci |ii(1) ∈ H(1) に、系 串 が状態 |φi(2) 丽da |ai(2) ∈ H(2) にいるとき、合成系の状態としては
X
X
X|ψi(1) ⊗ |φi(2) 丽 丨ci |ii(1) 丩 ⊗ 丨da |ai(2) 丩 丽ci da |iai丨串丮丱丮串丩という状態であるものとする。
しかし、合成系の状態は |ψi(1) ⊗ |φi(2) という形のものとは全然かぎらない。一般に、
H が n 次元のとき、「物理的に異なる状態」は複素で n − 丱 パラメタを持っていたのを思Pい出す。 丨|ψi 丽ci |ii と書いたときに ci は n パラメタあるが、|ψi と z |ψi を同一視するので 丱 パラメタ減る。丩 すると H(1) の |ψi(1) には n(1) − 丱 パラメタ、 H(2) の |φi(2) には n(2) − 丱 パラメタあるが H(1) ⊗ H(2) の一般的な状態 |三i を指定するには n(1) n(2) − 丱 パ
ラメタ必要であって、
丨n(1) n(2) − 丱丩 − 丨n(1) − 丱丩 − 丨n(2) − 丱丩 丽 丨n(1) − 丱丩丨n(2) − 丱丩丨串丮丱丮丳丩だけ追加のパラメタがある。

2.2

エンタングルメント

合成系の状態で、構成している二つの系の状態の積で書けないようなものを「エンタングルした状態 丨乥乮乴乡乮乧乬乥乤 乳乴乡乴乥丩」という。
具体例として、H(1) と H(2) が両方とも 乱乵乢乩乴 系 ' C2 だとする。 n(1) 丽 n(2) 丽 串 である。C2 の基底を!
!
丱丰,|↓i 丽,丨串丮串丮丱丩
|↑i 丽丰丱丳と書くことにする。 丨これは σz の固有値 ±丱 の固有状態だから。|丫i丬 |−i を使うことも多い。丩 H(1) の基底は |↑i(1) 丬 |↓i(1) 主 H(2) の基底は |↑i(2) 丬 |↓i(2)。すると合成系の基底は|↑↑i ,|↓↑i ,|↑↓i ,|↓↓i丨串丮串丮串丩の四つになる。合成系の一般の状態は|三i 丽 三↑↑ |↑↑i 丫 三↓↑ |↓↑i 丫 三↑↓ |↑↓i 丫 三↓↓ |↓↓i丨串丮串丮丳丩とかける。いつこの状態は |ψi(1) ⊗ |φi(2) とかけるだろうか丿|ψi(1) 丽 c↑ |↑i(1) 丫 c↓ |↓i(1) ,|φi(2) 丽 d↑ |↑i(2) 丫 d↓ |↓i(1) ,丨串丮串丮临丩とすると三 为丽三↑↑ 三↑↓三↓↑ 三↓↓!
丽c↑ d↑ c↑ d↓c↓ d↑ c↓ d↓!
丨串丮串丮丵丩となる。このとき
乤乥乴 三 丽 三↑↑ 三↓↓ − 三↑↓ 三↓↑ 丽 丰丨串丮串丮丶丩である。逆に 乤乥乴 三 丽 丰 ならば
c↑
三↑↑
三↑↓
为丽
丽,c↓
三↓↑
三↓↓

d↑
三↑↑
三↓↑
为丽丽d↓
三↑↓
三↓↓

丨串丮串丮丷丩と取れば良い。だから 乤乥乴 三 が合成系の状態 |三i の「ふたつの系の状態の積での書けなさ具合」すなわち「エンタングル具合」をあらわしていることがわかった。
いま |三i をいつものように長さ 丱 にとっておく。すなわち|三↑↑ |2 丫 |三↑↓ |2 丫 |三↓↑ |2 丫 |三↓↓ |2 丽 丱.
このとき | 乤乥乴 三| はどれくらい大きく出来るだろうか丿
いま条件 丨串丮串丮丸丩 は
乴乲 三† 三 丽 丱丨串丮串丮丸丩

丨串丮串丮丹丩と書けることに注意する。丨乴乲 は対角成分の和だった。丩 一方で「エンタングル具合」は| 乤乥乴 三|2 丽 乤乥乴 三† 乤乥乴 三 丽 乤乥乴丨三† 三丩丨串丮串丮丱丰丩である。 いま 三† 三 はエルミート行列だから、 固有状態 |ii と固有値 pi を持つ。 ただしi 丽 丱, 串。いいかえれば、|丱i丬 |串i を基底として行列表示すると、!
p1 丰三丽丨串丮串丮丱丱丩
丰 p2となる。すると
乴乲 三† 三 丽 p1 丫 p2 丽 丱,

乤乥乴 三† 三 丽 p1 p2

丨串丮串丮丱串丩である。また、
p1 丽 丨|丱i , p1 |丱i丩 丽 丨|丱i , 三† 三 |丱i丩 丽 丨三 |丱i , 三 |丱i丩 ≥ 丰で同様に p2 ≥ 丰 である。
临丨串丮串丮丱丳丩これより、「エンタングル具合」| 乤乥乴 三|2 は p1 p2 丽 p1 丨丱 − p1 丩 ≥ 丰 であらわされ
p1 丽 p2 丽 丱/串 で最大になることがわかった。
エンタングル具合はS 为丽 p1 乬乯乧 p1 丫 p2 乬乯乧 p2丨串丮串丮丱临丩であらわすこともおおい。これも p1 丽 p2 丽 丱/串 で最大になる。この量はエンタングルメントエントロピーと呼ばれる。集合 {p1 , p2 } 自体をエンタングルメントスペクトラムと呼ぶ。

2.3

EPR 状態合成系の観測量について考える。 上記のとおり H(1) が n(1) 次元で、 基底を |ii(1) 丨i 丽
丱, . . . , n(1) 丩 と書き、 H(2) が n(2) 次元で、基底を |ai(2) 丨a 丽 丱, . . . , n(2) 丩 と書く。合成系の状態空間 H(1) ⊗ H(2) は|ii(1) ⊗ |ai(2) 丽为 |iai丨串丮丳丮丱丩を基底にもつのだった。
H(1) の観測量 A(1) がA(1) |ii 丽X

丨A(1) 丩ij |ji丨串丮丳丮串丩X丨B (2) 丩ab |ai丨串丮丳丮丳丩jまた H(2) の観測量 B (2) がB (2) |ii 丽bと作用するとする。このときにこれらが合成系にどう作用するかを決めておかないといけない。それをXX
A(1) |iai 为丽丨A(1) 丩ij |jai ,B (2) |iai 为丽丨B (2) 丩ab |ibi丨串丮丳丮临丩
jbと定める。それぞれの演算子の作用出来る添え字丨俗に業界では「足」と良く言う丩に作用させるだけである。
すぐにわかるように、A(1) B (2) 丽 B (2) A(1) でどちらもX
A(1) B (2) |iai 丽 B (2) A(1) |iai 丽丨A(1) 丩ij 丨B (2) 丩ab |jbi丨串丮丳丮丵丩jbと作用する。観測量が交換すると同時に独立して測定可能というのがルールだった。よって、系 丱 の観測量と系 串 の観測量が独立して測定可能ということである。
例として、 いつものように 乱乵乢乩乴 系をふたつ H(1) 丬 H(2) と取り、 H(1) ⊗ H(2) を考え(1)(2)(2)る。それぞれに作用するパウリ行列を σx,y,z 丬 σx,y,z として区別する。例えば σx はσx(2) |↑↑i 丽 |↑↓i ,σx(2) |↑↓i 丽 |↑↑i ,丨串丮丳丮丶丩

σx(2) |↓↑i 丽 |↓↓i ,σx(2) |↓↓i 丽 |↓↑i .

丨串丮丳丮丷丩(2)となる。 H(1) ⊗ H(2) は四次元だから、 σx も 临 × 临 行列として書けるけれども、それをあからさまに書いてもあまり理解の助けにならない気が僕はする。
(1)
(1)
(1)
(2)
σx と σz は交換しないから同時測定はできないが、 σx と σz は交換するので同時測定はできることに注意する。
丵さて、この系の状態
丱|三i 丽 √ 丨|↑↓i − |↓↑i丩串丨串丮丳丮丸丩を考える。前節に従って p1,2 を計算すると p1 丽 p2 丽 丱/串 で、もっともエンタングルした状態の一例である。
(1)(2)(1) (2)(1) (2)
この状態で σz と σz を測定した結果を 丨sz , sz 丩 と書くと、 丵丰严 で 丨sz , sz 丩 丽(1) (2)丨丫丱, −丱丩 で 丵丰严 で 丨sz , sz 丩 丽 丨−丱, 丫丱丩 である。
系 丱 で測った結果がどちらになるかはわからないが、 系 丱 で測った結果から、 丱丰丰严の確実さで系 串 での結果がわかる。 これは系丱と系串が何百億光年離れていてもこういうことである。 1久乩乮乳乴乥乩乮中乐乯乤乯乬乳乫乹中乒乯乳乥乮2 はこの事実をもって、量子力学は不完全なんじゃないの、と思った。 彼らの議論はこうである丨原論文をみればわかるが、彼らは二 乱乵乢乩乴 系でやったのではないが、まあ同じことである。 丩为 状態 |ψi においては、乱乵乢乩乴 丱 が ↑ で乱乵乢乩乴 B が↓ だと測定前から決まっているものと、乱乵乢乩乴 A が ↓ で乱乵乢乩乴 B が ↑ だと測定前から決まっているものが混ざっているだけなのではないか？
箱のなかに黒と白の小さなボールがはいっていて、二人が手を突っ込んで一つずつ取り出し、しっかり握っておく。二人が遠くに離れた時点で、片方が手をひらいて白だった
ら、もう片方は何百光年先にいても、手を開けば黒になっているに決まっている。手を開く前から決まっているはずの何かを、量子力学では見過ごしているのではないか？
しかし、こういうわけにはいかないことは 乂乥乬乬 丨丱丹丶临丩 以来よくわかっている。これを次の節で三乱乵乢乩乴 系を例にとってみてみよう。

2.4

GHZ状態乱乵乢乩乴 丱丬 乱乵乢乩乴 串丬 乱乵乢乩乴 丳 が三つある系を考える。状態空間 HA+B+C の基底は|↑↑↑i , |↑↑↓i , |↑↓↑i , |↑↓↓i , |↓↑↑i , |↓↑↓i , |↓↓↑i , |↓↓↓i
(1)

(2)

丨串丮临丮丱丩
(3)の八つである。 以前と同様、乱乵乢乩乴 丱丬 串丬 丳 のパウリ行列を σx,y,z 丬 σx,y,z 丬 σx,y,z と書く。 どうしても行列で書きたいひとは、がんばって 丸 × 丸 行列を書き下してみよう。
さて、乇乲乥乥乮乢乥乲乧乥乲中么乯乲乮乥中乚乥乩乬乩乮乧乥乲 丨丱丹丸丹丩3 に従って状態|三i 丽 |↑↑↑i − |↓↓↓i丨串丮临丮串丩

これを書いていていま適当に検索すると最近 192km 離れたものをつくったらしい、 Wengerowsky,Joshi, Steinlechner, et al. “Passively stable distribution of polarisation entanglement over 192 km of deployed
optical fibre.” npj Quantum Inf 6 (2020) 5 [arXiv:1907.04864 [quant-ph]] を参照。 (色が変わっている部分は印刷前にクリックすればオンライン版の論文に飛びます、以下同様。 家からだとお金を払わないと読めない
場合でも、大学のゲートウェイ経由で電子ジャーナルのサイトに行くと読めるはずなので、練習としてやってみては如何でしょう。)
2
Einstein, Podolsky, Rosen, “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be ConsideredComplete?”, Phys. Rev. 47 (1935) 777
3
原論文は会議の予稿集で手に入れにくい。 雑誌に出たのは Greenberger, Horne, Shimony, Zeilinger“Bell’s theorem without inequalities”, Amer. Jour. Phys. 58 (1990) 1131 。 この Greenberger さんは面白い人のようで、 O. W. Greenberg, D. M. Greenberger, T. V. Greenbergest arXiv:hep-ph/9306225 という論文がある。 O. W. Grreenberg さんは quark の color の概念の発見者のひとりで、 思い出話が https://www.ias.edu/ideas/2015/greenberg-colorから読める。三人目の Greenbergest さんはおそらく存在しない。
2000 年に実験の報告もある: Pan, Bouwmeester, Daniell, et al. “Experimental test of quantum nonlocality
in three-photon Greenberger–Horne–Zeilinger entanglement” Nature 403 (2000) 515–519。
1

丶を考える。具体的に計算すると、
σx(1) σx(2) σx(3) |三i 丽 − |三i ,丨串丮临丮丳丩

σx(1) σy(2) σy(3) |三i 丽 丫 |三i ,丨串丮临丮临丩

σy(1) σx(2) σy(3) |三i 丽 丫 |三i ,丨串丮临丮丵丩

σy(1) σy(2) σx(3) |三i 丽 丫 |三i .

丨串丮临丮丶丩であることがわかる。 これは、 二つ目の式を例にとっていえば、 状態 |三i において、 A(1) (2) (3)の乱乵乢乩乴 の x 成分、B の乱乵乢乩乴 の y 成分、C の乱乵乢乩乴 の y 成分を測定して 丨sx , sy , sy 丩 を(1) (2) (3)得たならば、sx sy sy 丽 丫丱 である、もっと具体的にいえば(2) (3)丨s(1)x , sy , sy 丩 丽 丨丫丱, 丫丱, 丫丱丩, 丨丫丱, −丱, −丱丩, 丨−丱, 丫丱, −丱丩, 丨−丱, −丱, 丫丱丩丨串丮临丮丷丩のどれかであるということ。
さて、久中乐中乒 にならって、状態 三 は、測定する前から、 乱乵乢乩乴 丱, 串, 丳 の x, y, z 成分を(1,2,3)
測定したら sx,y,z 丽 ±丱 のどれが出るか結局は決まっているものの混合に過ぎないのではないか丿 と考えてみると、すぐに矛盾が生じることがわかる、なぜなら、もしそうだとすると丨串丮临丮临丩丬 丨串丮临丮丵丩丬 丨串丮临丮丶丩 より(2) (3)(1) (2) (3)(1) (2) (3)s(1)
x sy sy 丽 sy sx sy 丽 sy sy sx 丽 丫丱丨串丮临丮丸丩

であるから、三つかけあわせて(2) (3)s(1)
x sx sx 丽 丫丱丨串丮临丮丹丩(2) (3)s(1)
x sx sx 丽 −丱丨串丮临丮丱丰丩を得るが、丨串丮临丮丳丩 よりだから。
(1,2)
三乱乵乢乩乴 系を考えなくても、二乱乵乢乩乴 系でも sx,y,z の測定前での存在を仮定すると、測定結果に関するある不等式を導くことができ、それは量子力学と矛盾することが知られている。これらの不等式は 乂乥乬乬 の不等式と呼ばれる。
二乱乵乢乩乴 系で不等式を考えるのと、三乱乵乢乩乴 系でこのように考えるとのどちらがややこしいかわからないが、複合系の練習としてここではまず三乱乵乢乩乴 系で議論してみた。

2.5

二qubit 系での不等式の考察

多分講義でやる時間はないけれど、せっかくなので二乱乵乢乩乴 系で 乂乥乬乬 の不等式の一例を導出してみよう4。
まず量子力学において一般的な事実として期待値について学んでおく。状態空間 H の状態 |ψi を長さ 丱 にとっておく。観測量 A が固有ベクトル |ii において固有値が ai だとPする。 ai を得る確率は |ψi 丽 i ci |ii とかいたときに |ci |2 だった。よって観測量 A の期
待値はX
hAi 丽ai |ci |2丨串丮丵丮丱丩i

僕はこの議論は大昔ペンローズの「皇帝の新しい心」という一般書を読んでいて知った。 (内容もいまから思えばトンデモに近いが、量子力学の一般向けの説明の部分はわるくないと思う。 しかしこの日本語訳はひどい。 タイトルは「裸の王様」が英語で “Emperor’s new clothes” というのの clothes を minds にしたものだと知ったのも随分後で、タイトルの日本語訳もなんとかならなかったのかと思うが...) 最近ペンローズが何に基づいて書いたかしらべたところ、 N. David Mermin, Physics Today 38, 4, pp.38–47 (1985) だそうである。
4

丷

であるが、これは実は 丨|ψi , A |ψi丩 である。なぜなら、XX丨|ψi , A |ψi丩 丽丨ci |ii , Acj |ji丩 丽ai |ci |2i,j丨串丮丵丮串丩iであるから。これは展開係数 ci を計算せずに期待値だけもとめるとき便利である。
さて、σ丨θ丩 丽 丨乣乯乳 θ丩σz 丫 丨乳乩乮 θ丩σx丨串丮丵丮丳丩を考える。これは 丨z, x丩 平面で角度 θ 方向の角運動量の成分である。
√久乐乒 乳乴乡乴乥 |三i 丽 丨|↑↓i − |↓↑i丩/ 串 に対して
hσ丨θ丩(1) σ丨φ丩(2) i 丽 丨三, σ丨θ丩(1) σ丨φ丩(2) 三丩 丽 − 乣乯乳丨θ − φ丩丨串丮丵丮临丩が計算できる。丨いい計算練習なので、やってみること両丩 これは、乱乵乢乩乴 丱 で方向 θ の乱乵乢乩乴を測定した結果の ±丱 と、乱乵乢乩乴 串 で方向 φ の乱乵乢乩乴 を測定した結果の ±丱 の積の期待値が− 乣乯乳丨θ − φ丩 ということ。まあ、だいたい反対方向を向いているということです。
さて、 そこで、 乱乵乢乩乴 丱 に対しては、 σ丨丰丩(1) 丬 σ丨丱串丰◦ 丩(1) 丬 σ丨串临丰◦ 丩(1) のどれかを 丱丯丳 の確率で、 乱乵乢乩乴 串 に対して、σ丨丰丩(2) 丬 σ丨丱串丰◦ 丩(2) 丬 σ丨串临丰◦ 丩(2) のどれかを 丱丯丳 の確率で、測定することにする。すると、この測定の期待値は
丱丳

X丱
丳
◦

θ=0,120◦ ,240Xhψ| σ丨θ丩(1) σ丨φ丩(2) |ψi 丽

φ=0,120◦ ,240◦

丱 XX− 乣乯乳丨θ − φ丩 丽 丰丹丨串丮丵丮丵丩である。
(1,2)
ここで、古典的にかんがえて、「もし乱乵乢乩乴 丱, 串 で σ丨θ丩 を測定したときの結果 sθ丽(2)(1)(1)(2)±丱」が決まっているとしよう。 hσ丨θ丩 σ丨θ丩 i 丽 −丱 から、 sθ 丽 −sθ であって、 状態|三i は(1) (1)(1)
丨s0 , s120◦ , s240◦ 丩 丽 丨丫 丫 丫丩, 丨− − −丩丨串丮丵丮丶丩もしくは(1)(1)(1)

丨s0 , s120◦ , s240◦ 丩 丽 丨丫 − −丩, 丨− 丫 −丩, 丨− − 丫丩, 丨− 丫 丫丩, 丨丫 − 丫丩, 丨丫 丫 −丩丨串丮丵丮丷丩に細分される。場合 丨串丮丵丮丶丩 においては、
丱丳

丱
丳
◦

X

θ=0,120◦ ,240

(1) (2)Xsθ sθ 丽 −丱,丨串丮丵丮丸丩丱(1) (2)sθ sθ 丽 − ,丹◦丨串丮丵丮丹丩

φ=0,120◦ ,240◦

場合 丨串丮丵丮丷丩 においては、
丱丳

X丱丳
◦

θ=0,120◦ ,240

X

φ=0,120◦ ,240

だから、場合 丨串丮丵丮丶丩 と場合 丨串丮丵丮丷丩 の割合が何にせよ、丱丳X丱丳◦

θ=0,120◦ ,240

X(1) (2)sθ sθ < −φ=0,120◦ ,240◦

であって、量子力学の予言 丨串丮丵丮丵丩 と矛盾することがわかる。
丸丱丹丨串丮丵丮丱丰丩