Level one Weyl modules for toroidal Lie algebras
小寺諒介
神戸大学 大学院理学研究科

概要
トロイダル Lie 代数の 2 種類の表現の構成の関係について，[Ko] で得た結果を述べる．一つはレベル 1 Weyl 加群という，生成元と関係式によって定義される最高ウェイト表現である．もう一つは，頂点作用素を使って構成される表現である．ト
ロイダル Lie 代数の自己同型で捻ることで二つの表現が同一視される．

1 イントロダクション
有限次元複素単純 Lie 代数は Chevalley 生成元による表示を持つ．その表示を一般化して定義される Lie 代数のクラスとして Kac-Moody Lie 代数があり，表現論が詳しく研究されている．アファイン Lie 代数は Kac-Moody Lie 代数の重要な例であるが，単純 Lie代数のアファイン化という別の定義を持つ．トロイダル Lie 代数は，アファイン Lie 代数の後者の定義を元に導入された Lie 代数で，アファイン Lie 代数をさらにアファイン化したものである．

Lie 代数のクラス
単純 Lie 代数 ⇝ アファイン Lie 代数 ⇝ トロイダル Lie 代数{z|}Kac-Moody Lie 代数の例

Kac-Moody Lie 代数ではない（⇝：アファイン化）トロイダル Lie 代数の表現の例としては，頂点作用素を使った構成が知られていた．これは，アファイン Lie 代数の場合の Frenkel-Kac [FK] の結果を Moody-Eswara Rao-横Website: http://www2.kobe-u.ac.jp/˜kryosuke/1

沼 [MEY] がトロイダルの場合に拡張したものである．
他方，Chari-Pressley [CP] がアファイン Lie 代数に対して導入した Weyl 加群という表現の族がある．これは生成元と定義関係式によって定義される表現で，トロイダル Lie代数に対しても同様に定義ができる．トロイダル Lie 代数の Weyl 加群は，アファイン

Lie 代数のドミナント整ウェイト Λ を指定すると決まる．この講演の主結果は，Λ がレベ
ル 1 の基本ウェイト Λ0 の場合に Weyl 加群の構造を決定したことである．具体的には，頂点作用素を使って構成した表現をトロイダル Lie 代数の自己同型で捻ったものと同型であることを証明した．
注意 1

この講演は [Ko] に基づいていますが，都合により元の論文と s, t の役割を逆にしています．[Ko] を参照する場合にはご注意ください．

2 アファイン Lie 代数とトロイダル Lie 代数
この節ではアファイン Lie 代数とトロイダル Lie 代数を定義し，その類似性と違いについて説明する．g を C 上の単純 Lie 代数とし，g 上の非退化な対称不変双線型形式( , ) を固定する．A を単位元を持つ可換 C 代数とする．あとで使うのは A = C[s±1 ] と
A = C[s±1 , t±1 ] の場合である．g と A の C 上のテンソル積 g ⊗ A を[x ⊗ a, y ⊗ b] = [x, y] ⊗ ab(x, y ∈ g, a, b ∈ A)

によって C 上の Lie 代数とみなし，その中心拡大を考える．ΩA を A の微分加群，

d : A → ΩA を微分とする．次の式で，g ⊗ A ⊕ ΩA /dA に Lie 代数の構造を定義する．
()[x ⊗ a, y ⊗ b] = [x, y] ⊗ ab + (x, y) (da)b mod dA (x, y ∈ g, a, b ∈ A),ΩA /dA は中心定理 2（Kassel [Ka]） g ⊗ A ⊕ ΩA /dA は g ⊗ A の普遍中心拡大を与える．
以下では，ΩA /dA において mod dA を省略する．

• A = C[s±1 ] の場合ΩA = C[s±1 ]ds,ΩA /dA = Cs−1 dsである．cs := s−1 ds とする．

g′aﬀ := g ⊗ C[s±1 ] ⊕ Ccs
2とし，次を満たす元 ds を付け加える．

[ds , x ⊗ sk ] = kx ⊗ sk ,この Lie 代数[ds , cs ] = 0

gaﬀ := g ⊗ C[s±1 ] ⊕ Ccs ⊕ Cds

をアファイン Lie 代数と呼ぶ．

• A = C[s±1 , t±1 ] の場合ΩA = C[s±1 , t±1 ]ds ⊕ C[s±1 , t±1 ]dtであり，ΩA /dA においてksk tl (s−1 ds) = −lsk tl (t−1 dt) (k, l ∈ Z)
が成り立つ．ΩA /dA の基底を固定しておく．cs := s−1 ds, ct := t−1 dt とし，(k, l) ∈Z2 \ {(0, 0)} に対して{c(k, l) :=sk tl (s−1 ds) l ̸= 0,sk t−1 dt
l=0とすれば，cs , ct , c(k, l) ((k, l) ∈ Z2 \ {(0, 0)}) は ΩA /dA の C 基底を与える．g ⊗C[s±1 , t±1 ] の普遍中心拡大に，次を満たす元 ds , dt を付け加える．
[ds , x ⊗ sk tl ] = kx ⊗ sk tl ,[dt , x ⊗ sk tl ] = lx ⊗ sk tl ,[ds , c(k, l)] = kc(k, l),[dt , c(k, l)] = lc(k, l),[ds , cs ] = [ds , ct ] = [dt , cs ] = [dt , ct ] = [ds , dt ] = 0
この Lie 代数

gtor := g ⊗ C[s±1 , t±1 ] ⊕⊕Cc(k, l) ⊕ Ccs ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt(k,l)∈Z \{(0,0)}2をトロイダル Lie 代数と呼ぶ．
以上で見たように，g ⊗ C[s±1 ] の普遍中心拡大の中心が 1 次元であるのに対し，g ⊗ C[s±1 , t±1 ] の普遍中心拡大の中心は無限次元である．

3

3 Weyl 加群
3.1 アファインの場合
まず，アファイン Lie 代数の通常の最高ウェイト理論を思い出す．この場合，アファイン Lie 代数を Kac-Moody Lie 代数と思って三角分解を固定する．

g の Chevalley 生成元を ei , fi , hi (i ∈ I) とする．I は単純ルートの添字集合である．gは，その Cartan 行列 (aij )i,j∈I のデータから次の関係式によって復元される．

[hi , hj ] = 0,
[hi , ej ] = aij ej ,(ad ei )1−aij (ej ) = 0,

[ei , fj ] = δij hi ,(1)[hi , fj ] = −aij fj ,(2)(ad fi )1−aij (fj ) = 0 (i ̸= j)(3)

g の最高ルートを θ とし，eθ , fθ をそれぞれ θ および −θ に対応するルートベクトルで(eθ , fθ ) = 1 を満たすものとする．さらに hθ := [eθ , fθ ] とする．hθ は θ に対応するコルートである．gaﬀ = g ⊗ C[s±1 ] ⊕ Ccs ⊕ Cds の元 e0 , f0 , h0 を

e0 := fθ ⊗ s,f0 := eθ ⊗ s−1 ,h0 := [e0 , f0 ] = −hθ + cs

で定義する．

Iaﬀ := I ⊔ {0} とする．g′aﬀ は，ei , fi , hi (i ∈ Iaﬀ ) で生成される．その定義関係式は，g の関係式 (1)–(3) において，aij を対応するアファイン型の Cartan 行列のデータに置き換えたものである．gaﬀ は，ei , fi , hi (i ∈ Iaﬀ ), ds で生成される．g 上の不変双線型形式( , ) は，gaﬀ 上に拡張される．
gaﬀ の部分 Lie 代数 naﬀ , n̄aﬀ , haﬀ をnaﬀ := ⟨ei (i ∈ Iaﬀ )⟩,n̄aﬀ := ⟨fi (i ∈ Iaﬀ )⟩,haﬀ := ⟨hi (i ∈ Iaﬀ ), ds ⟩で定義する．gaﬀ の三角分解

gaﬀ = n̄aﬀ ⊕ haﬀ ⊕ naﬀ
に関する最高ウェイト表現とは，

haﬀ v ∈ Cv

naﬀ v = 0,を満たす v で生成される gaﬀ 加群のことである．Λ ∈ h∗aﬀ に対して，最高ウェイト Λ の既約な最高ウェイト表現 L(Λ) が同型を除いて一意的に定まる．Λ が次の性質を満たすと4

きドミナント整ウェイトであるといい，L(Λ) は可積分表現と呼ばれるクラスに属する．

⟨hi , Λ⟩ ∈ Z≥0 (i ∈ Iaﬀ )このとき L(Λ) の定義関係式は次で与えられる．

hv = ⟨h, Λ⟩v (h ∈ haﬀ ),naﬀ v = 0,

⟨h ,Λ⟩+1fi iv = 0 (i ∈ Iaﬀ )(4)(4) が可積分性（ei , fi が局所冪零に作用する）を保証する関係式である．
以上は，アファイン Lie 代数を Kac-Moody Lie 代数と思ったときの三角分解に関する話だった．次に別の三角分解を考える．

g = n̄ ⊕ h ⊕ n を g の三角分解とする．但し
n := ⟨ei (i ∈ I)⟩,n̄ := ⟨fi (i ∈ I)⟩,h := ⟨hi (i ∈ I)⟩である．この分解を使って() () ()gaﬀ = n̄ ⊗ C[s±1 ] ⊕ h ⊗ C[s±1 ] ⊕ Ccs ⊕ Cds ⊕ n ⊗ C[s±1 ](5)という分解を考える．λ ∈ h∗ を g のドミナント整ウェイトとする．最高ウェイト λ の（大域）Weyl 加群とは，v で生成され次の関係式で定義される gaﬀ 加群である．

()n ⊗ C[s±1 ] v = 0,hv = ⟨h, λ⟩v (h ∈ h),⟨h ,λ⟩+1

fi ics v = ds v = 0,

(6)v = 0 (i ∈ I)

Weyl 加群は，三角分解 (5) に関する最高ウェイト条件 (6) を満たし，可積分性を持つ gaﬀ加群の中で普遍的なものである．
アファイン Lie 代数の Weyl 加群の定義は Chari-Pressley [CP] による（Weyl 加群には大域 Weyl 加群と局所 Weyl 加群があるが，ここでは大域版だけを扱う）．Chari-Pressleyの動機は，アファイン Lie 代数の量子変形である量子アファイン代数の表現論への応用にあった．その後，箙多様体のホモロジー群（中島 [Nak]）や Macdonald 多項式の特殊化（Fourier-Littelmann [FL]，直井 [Nao]，Lenart-内藤-佐垣-Schilling-Shimozono [LNSSS]）と Weyl 加群の関係が明らかになり，それ自身が重要な研究対象として認識されている．

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3.2 トロイダルの場合
gtor は Kac-Moody Lie 代数ではなく，Chevalley 生成元による表示は存在しない．そこで，アファイン Lie 代数のアファイン化とみなすことで三角分解を考える．

⊕gtor = g ⊗ C[s±1 , t±1 ] ⊕Cc(k, l) ⊕ Ccs ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt(k,l)∈Z \{(0,0)}2の元 ei,l , fi,l , hi,l (i ∈ Iaﬀ , l ∈ Z) をei,l := ei ⊗ tl ,fi,l := fi ⊗ tl ,hi,l := hi ⊗ tlで定義する．i = 0 の場合はe0,l = e0 ⊗ tl = fθ ⊗ stl ,f0,l = f0 ⊗ tl = eθ ⊗ s−1 tl ,h0,l = h0 ⊗ tl = (−hθ + cs ) ⊗ tl = −hθ ⊗ tl + tl (s−1 ds){−hθ ⊗ tl + c(0, l) (l ̸= 0),=−hθ + cs
(l = 0)となる．さらに gtor の部分 Lie 代数 ntor , n̄tor , ator を

ntor := ⟨ei,l (i ∈ Iaﬀ , l ∈ Z)⟩,n̄tor := ⟨fi,l (i ∈ Iaﬀ , l ∈ Z)⟩,

ator := ⟨hi,l (i ∈ Iaﬀ , l ∈ Z), ct , ds , dt ⟩で定義する．ベクトル空間として⊕ntor = naﬀ ⊗ C[t±1 ] ⊕Cc(k, l),k>0, l∈Z⊕n̄tor = n̄aﬀ ⊗ C[t±1 ] ⊕Cc(k, l),k<0, l∈Zator = h ⊗ C[t±1 ] ⊕⊕Cc(0, l) ⊕ Ccs ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt ,l̸=0gtor = n̄tor ⊕ ator ⊕ ntor(7)である．(7) を gtor の三角分解と呼ぶ．
アファインの意味でのドミナント整ウェイト Λ ∈ h∗aﬀ に対し，最高ウェイト Λ の（大域）Weyl 加群 Wglob (Λ) とは，vΛ で生成され次の関係式で定義される gtor 加群である．

ntor vΛ = 0,hvΛ = ⟨h, Λ⟩vΛ (h ∈ haﬀ ),⟨h ,Λ⟩+1fi ivΛ = 0 (i ∈ Iaﬀ )6ct vΛ = dt vΛ = 0,Weyl 加群 Wglob (Λ) の h ⊕ Ccs ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt 加群としての指標は，興味深い特殊函数になると期待しており，その性質を調べるのが今後の目標である．以下では Λ がレベル 1 基本ウェイト Λ0 の場合を考える．Λ0 は⟨hi , Λ0 ⟩ = δi,0 ,⟨ds , Λ0 ⟩ = 0によって定義される．このとき⟨cs , Λ0 ⟩ = 1である．Wglob (Λ0 ) の定義関係式を書き下すとntor vΛ0 = 0,hi vΛ0 = 0 (i ∈ I),

h0 vΛ0 = vΛ0 ,ds vΛ0 = ct vΛ0 = dt vΛ0 = 0,fi vΛ0 = 0 (i ∈ I),

f02 vΛ0 = 0となる．特に，cs は 1 で，ct は 0 で作用する．

3.3 トロイダル Lie 代数の自己同型と三角分解
C[s±1 , t±1 ] には，SL2 (Z) が()a b· (sk tl ) = sak+bl tck+dl
c dによって作用する．この作用は自然に gtor の自己同型を誘導する．3.2 節では，gtor を部分 Lie 代数 gaﬀ のアファイン化とみなして三角分解を考えた．gaﬀ を自己同型で動かしたものを基準にすることで，異なる三角分解を考えることができる．
次節で導入する gtor の表現は，3.2 節の三角分解の意味では最高ウェイト表現ではな
いが，(S=01−10)という SL2 (Z) の元で捻った三角分解に関して最高ウェイト表現になる．さらに，この講演の主結果により，捻った三角分解に関する Weyl 加群と同型になることがわかる．

g や gaﬀ に対する圏 O の研究は，三角分解を固定して考えることで大きな成功を収めた．gtor の場合には自己同型群が SL2 (Z) という大きな群を含むため，全く異なる方法で構成した表現が自己同型の下で同一視されるという現象が起きる．こうした理由により，gtor の表現論を研究する上でどのような加群圏を設定するのが適切か，という問題にはよい答えがないのが現状のようである．

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4 頂点作用素
Moody-Eswara Rao-横沼 [MEY] に従い，頂点作用素によって gtor の表現を構成する．
以下では g を ADE 型とする．αi (i ∈ Iaﬀ ) で gaﬀ の単純ルートを表し，h∗aﬀ 上の双線型形式を (αi , αi ) = 2 (i ∈ Iaﬀ ) と正規化する．

gtor の部分 Lie 代数
H :=⊕Chi,l ⊕ Ccti∈Iaff , l̸=0を考える．

[hi,k , hj,l ] = (hi , hj )kδk+l,0 ct
より，H は Heisenberg Lie 代数である．

H+ := ⟨hi,l (i ∈ Iaﬀ , l > 0), ct ⟩とし，H+ の 1 次元表現 C · 1 をhi,l 1 = 0 (i ∈ Iaﬀ , l > 0),ct 1 = 1で定義する．誘導表現

Faﬀ := U (H) ⊗U (H+ ) (C · 1)
を H の Fock 表現と呼ぶ．

Qaﬀ :=⊕i∈Iaff Zαi を gaﬀ のルート格子とし，C[Qaﬀ ] =⊕αα∈Qaff Ce をその群環とする．2 コサイクル ε : Qaﬀ × Qaﬀ → {±1} で次を満たすものが存在する（[MEY,Section 4]）．
ε(α, α) = (−1)(α,α)/2 ,ε(α, β)ε(β, α) = (−1)(α,β)

この ε を使って，C[Qaﬀ ] 上に C[Qaﬀ ] 加群の構造を eα · eβ = ε(α, β)eα+β で定義する．
この加群を Cε [Qaﬀ ] で表す．haﬀ の Cε [Qaﬀ ] への作用を h · eα = ⟨h, α⟩eα (h ∈ haﬀ ) で定める．特に cs ∈ haﬀ は 0 で作用する．
以上によってV := Faﬀ ⊗ Cε [Qaﬀ ]は H ⊕ haﬀ 加群となる．さらに，V の次数付けを deg hi,l = l, deg eα = (α, α)/2 で定め，dt を次数をはかる作用素とすることで，V は ator = H ⊕ haﬀ ⊕ Cdt の加群となる．

8()i ∈ Iaﬀ に対して，頂点作用素 X(αi , u), X(−αi , u) ∈ End V [[u, u−1 ]] を(X(±αi , u) := u exp ±∑ hi,−ll>0l)(exp ∓ul∑ hi,ll>0l)u−l)(⊗ e±αi u±hiで定義する．ここで uhi の作用はuhi · eβ = u(αi ,β) eβで定める．
定理 3（Moody-Eswara Rao-横沼 [MEY]） g が ADE 型のとき∑∑ei,l u−l 7→ X(αi , u),l∈Zfi,l u−l 7→ X(−αi , u)l∈Zによって V = Faﬀ ⊗ Cε [Qaﬀ ] は gtor 加群となる．
この結果は，元々アファイン Lie 代数に対して Frenkel-Kac [FK] が行った構成をトロイダルの場合に拡張したものである．アファイン Lie 代数の表現を得るには，Faﬀ を⊕Chi,l ⊕ Ccti∈I, l̸=0の Fock 表現 F に置き換え，Qaﬀ を g のルート格子 Q に置き換えればよい．このとき

F ⊗ Cε [Q] は，t 変数に関するアファイン Lie 代数
gaﬀ := g ⊗ C[t±1 ] ⊕ Cct ⊕ Cdt(t)(t)の表現になっている．さらに，F ⊗ Cε [Q] は gaﬀ の表現として既約で，L(Λ0 ) と同型であることが知られている．
注意 4

ここで L(Λ0 ) と書いたが，正確には L(Λ0 ) は s 変数に関するアファイン Lie 代(t)(t)

数 gaﬀ の表現として導入したものである．gaﬀ は gaﬀ と同型なので，記号を濫用して gaﬀの既約表現にも同じ記号を使った．

5 主結果
構成から，gtor 加群 V には cs が 0 で，ct が 1 で作用する．予め 3.3 節で述べたよ
うに，V は三角分解 gtor = n̄tor ⊕ ator ⊕ ntor に関する最高ウェイト表現ではないが，9gtor = S(n̄tor ) ⊕ S(ator ) ⊕ S(ntor ) に関する最高ウェイト条件を満たす．別の言い方をすれば，V を自己同型 S で捻った加群 S ∗ V は，3.2 節の意味での最高ウェイト表現である．

S(cs ) = ct , S(ct ) = −cs なので，S ∗ V には cs が 1 で，ct が 0 で作用する．次が主結果である．
定理 5（小寺 [Ko]） g が ADE 型のとき，Wglob (Λ0 ) と S ∗ V は gtor 加群として同型である．
構成から V および S ∗ V の指標は具体的にわかるので，定理の系として，この場合のWeyl 加群の指標もわかる．g が ADE 型でないときは，V として別の加群をとることで，定理 5 と同様の主張を証明できる．その場合にも指標が具体的にわかる．

謝辞
筆者は科研費（課題番号：17H06127, 18K13390）のサポートを受けています．

参考文献
[CP]

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