2022/9/3

Ｒで始めるデータサイエンス③

Ｒを使って区間推定
１．ネジが沢山！長さは？
２．長さは規格に準拠？
３．区間推定の数理
４．Ｒで区間推定～区間推定～標本平均～確率分布～場合分け1

Iwahashi

ネジの長さを調べたい
物凄く沢山のネジ（L 個）

それぞれの長さは（ = 1,2, ⋯ , ）全部の平均＝を知りたい⋯

全部（L 個）を調査したい
けど、多過ぎて無理！
Iwahashi2

2022/9/3

ネジを無作為に抽出する
物凄く沢山数個を抽出（n 個）全部は調査できない！

少数なら調査できる！
1920
17標本

無作為に抽出する

標本

18 mm
21 mm
18 mm
19 mm
19 mmmm20

標本17 16mm
18mmmm標本の平均＝= 17.5
19.5
18.5

Iwahashi3

抽出するたびに 値がバラつく
物凄く沢山数個を抽出（n 個）

全数調査は無理！

調査できるが値がバラバラ※
標本平均1＝19.5
標本平均2＝17.5
標本平均3＝18.5
無作為に抽出⋮⋮※値が確率的に変動する

Iwahashi42022/9/3

全数調査できたら 平均 はどの 範囲？
物凄く沢山数個を抽出（n 個）

全数調査は無理！

１回だけ標本調査する

無作為に抽出

標本の平均
標本の分散

下限＜全数の平均＜上限95%の信頼区間（下限と上限を知りたい）
5

Iwahashi「区間推定」にできること
物凄く沢山数個を抽出（n 個）

全数調査は無理！

１回だけ標本調査する
無作為に抽出区間推定にできること
Iwahashi

標本の平均標本の分散

下限＜全数の平均＜上限95%の信頼区間（下限と上限を知りたい）
6

2022/9/3「区間推定」の例
下限＜全数の平均＜上限全数調査して平均を知りたい（分散95%の信頼区間は既知※ ）区間推定の結果

無作為に抽出標本調査の結果

下限は標本の個数
標本の平均上限は− 2.0 ⁄+ 2.0 ⁄※何故、こうなるかを学習します※分散が未知の場合は後ほど説明

区間推定の例
7Iwahashi「95%の信頼区間」とは？

区間推定を100回繰り返したら...

そのうち 95 回は推定したい値がこの区間内に入る

Iwahashi

推定したい値

下限 ＜ 推定したい値 ＜ 上限↑
下限

面積0.950
確率分布

↑上限
8

2022/9/3

正規分布
0.950

(0 ,± 1.96) の場合

95.0 %の信頼区間

95.4 %の信頼区間

0.954± 2.0068.3 %の信頼区間

0.683± 1.009Iwahashi

Ｒで始めるデータサイエンス③

Ｒを使って区間推定
１．ネジが沢山！長さは？
２．長さは規格に準拠？
３．区間推定の数理
４．Ｒで区間推定

Iwahashi～区間推定～標本平均～確率分布～場合分け102022/9/3

規格に準拠しているか？（1/4）
・規格の下で、長さ 20 のネジを生産している
・これまでは、平均 20、標準偏差は 1 だった※ネジの長さは正規分布すると仮定

・機械を刷新したら、長さが変わったようだ
・無作為に 36 個抽出したら、その平均が 20.5 だった（規格より 0.5 長い）・長さ 20 という 規格に準拠しているか？
標準偏差はこれまでと同じ 1 である
11Iwahashi

規格に準拠しているか？（2/4）
標本の個数
標本の平均= 36= 20.5

全数の標準偏差=1※ネジの長さは正規分布すると仮定・平均が 20.5 なので、規格より 0.5 長い・どの 36 個を抽出するかで、平均はバラつく・バラツキの範囲を求めよう
下限は 20.5 − 2⁄ 36 = 20.2
上限は 20.5 + 2⁄ 36 = 20.8
Iwahashi− 2.0 ⁄+ 2.0 ⁄先ずは使ってみましょう122022/9/3

規格に準拠しているか？（3/4）
20.2 ＜ 全数の平均 ＜ 20.8
下限
上限
95%の信頼区間規格より長くなっている※ 抽出の数を増やせば範囲はもっと狭くなる

確率
95%
20.2
20.0
（規格）

20.8

規格に準拠していない

13

Iwahashi規格に準拠しているか？（4/4）
全数の長さの平均を知りたい= 1）（標準偏差は長さは正規分布すると仮定

無作為に抽出標本の個数 36
標本の平均 20.5
点 として推定Iwahashi

20.2 ＜ 全数の平均 ＜ 20.8
95%の信頼区間
区間 として推定

下限は 20.5－2/ 36 =20.2
上限は 20.5＋2/ 36 =20.8※何故こうなるかは、後ほど説明

14

2022/9/3

区間を絞って精度を上げるには？
ネジを大量生産する機械を刷新したら、ネジが長くなった気がする。
５個を無作為に抽出して区間推定したら、20 ± 1 (mm) だった（区間幅が ±1 ）。

区間幅を ±0.1 未満とするには、 但し、標準偏差は何個を抽出する必要があるか？
= 1.12 とする= 20 ± 1↓±0.1 未満にしたい

全数の平均

Iwahashi

15

区間を絞って精度を上げるには？
個を無作為に抽出して区間推定して、20 ± 0.1 とするには、
20 + 2 ⁄が必要なので、
2 ⁄>Iwahashi< 20 + 0.1< 0.1

2 × 1.120.1= 501.8

但し、標準偏差は= 1.12 とする

502 個以上を調べる必要がある！
16

2022/9/3

効果10倍、努力100倍
下限＜全部の平均＜上限
95%の信頼区間

標本数を n とする区間の幅はルート n に反比例する区間推定の結果

下限は
上限は−2 ⁄+2 ⁄

幅を 1/10 にするには100倍の標本調査が必要

区間推定の例
17Iwahashi

Ｒで始めるデータサイエンス③

Ｒを使って区間推定
１．ネジが沢山！長さは？
２．長さは規格に準拠？
３．区間推定の数理
４．Ｒで区間推定

Iwahashi～区間推定～標本平均～確率分布～場合分け18

2022/9/3

信頼区間、母平均、母分散母集団の全てを調べて母平均を知りたい

下限＜ 母平均母集団は正規分布すると仮定

95%の信頼区間は既知※

母分散

＜上限

無作為に抽出
標本調査の結果
標本の個数
標本の平均下限は
上限は※母分散が未知の場合は後ほど説明

Iwahashi− 1.96+ 1.9619

信頼区間 は 確率分布 で決まる
− 1.96<−1.96<−1.96<−−⁄< 1.96< 1.96< 1.96↑
この値の確率分布+下限＜ 母平均95%の信頼区間

下限は上限は母分散↑-1.96

面積0.95Iwahashi＜上限− 1.96+ 1.96は既知のときは正規分布すると仮定↑ Z→
1.96202022/9/3

データ の 標準化 とは？
平均分散

正規分布に従う
正規分布( ,が正規分布するならばも正規分布する

確率変数⁄ の⁄ )

データの標準化
標準正規分布平均 ０
分散 １ の−標準正規分布2⁄

正規分布に従う
(0,1)

(0,1)

21

Iwahashi

区間幅 がに反比例する理由

ｎ個の平均

⋯

[ ]=ｎ個の平均の分散

⋯

==

[==⋯

⋯

→

Iwahashi

標本平均=] ⋯根拠！

は平均が標準偏差が ⁄の正規分布に従う↑
中心極限定理による（ｎが大きいとき）[]の標準偏差は ⁄はに収束（ → 大）222022/9/3

Ｒで始めるデータサイエンス③

Ｒを使って区間推定
１．ネジが沢山！長さは？
２．長さは規格に準拠？
３．区間推定の数理
４．Ｒで区間推定～区間推定～標本平均～確率分布～場合分け23

Iwahashi

場合分け母集団場合１場合２無作為に抽出した n 個

母平均

母分散

標本平均

標本分散

既知

データから計算

不要

推定する

場合４

未知

データから計算する

母集団×２つ※

標本×２つ全ての個体、正規分布無作為に抽出した m 個と n 個

母平均の差
場合３

標本全ての個体、正規分布推定する

母分散

標本平均

標本分散

既知

データから計算不要

未知データから計算する※ ２標本問題と呼ばれる
Iwahashi242022/9/3

場合１

場合１−

∗≤

母集団全ての個体、正規分布

標本無作為に抽出した n 個

母平均

母分散

標本平均

標本分散

推定する

既知

データから計算不要−⁄↑≤∗

標準正規分布 (0,1) に従う↑− ∗

面積1−Iwahashi↑

は両側 α 点
信頼度 100 1 − %信頼度90% →信頼度95% →信頼度99% →→

∗

∑

=

∗∗
.
∗.
∗
.

= 0.10 →= 0.05 →= 0.01 →

=1.64
=1.96
=2.58

25

数式表現のまとめ（1/2）
− ∗ ≤

↑
両側α点−

⁄
↑
標準化

∗

≤

−
100 1 −%の信頼区間
Iwahashi

∈

∗

−−⁄≤

≤

≤

∗,∗

∗

++

∗
26

2022/9/3

数式表現のまとめ（2/2）−− ∗ ≤∗≤⁄

は 標準正規分布(0,1) に従う
↑
− ∗

面積1−

↑−
⁄

=−
⁄→

∗

両側α点~
≤

(0,1)
∗

=1−27Iwahashi

場合２場合２−∗,母集団全ての個体、正規分布標本無作為に抽出した n 個母平均母分散

標本平均推定する未知−⁄≤∗≤

↑−

↑∗

,

面積1−
Iwahashi↑∗→,

データから計算=,自由度 n-1 のｔ分布 に従う

標本不偏分散∗∑−は両側 α 点
信頼度 100 1 − %
∗
∗,, .

, .

= 2.262 ( = 10)= 2.093 ( = 20)28

2022/9/3

母平均の信頼区間（まとめ）100 1 −%場合１（母分散が既知）
∈−

∗,+∗

場合２（母分散が未知）∈− ∗,,+ ∗,29

Iwahashi

Rで区間推定 pnorm
標準正規分布の青い部分の面積> pnorm(-1, mean=0, sd=1)[1] 0.1586553> pnorm(+1, mean=0, sd=1)[1] 0.8413447> pnorm(+1)-pnorm(-1[1] 0.6826895)

mean=0, sd=1のときは省略可Iwahashi30

2022/9/3

Rで区間推定 qnorm
青い部分の面積が指定した値となるときの横軸の値> qnorm(0.1586553)[1] -0.9999998

↑
片側α 点

> qnorm(pnorm(-1))[1] -1> alp <- 0.05> qnorm(alp/2)[1] -1.959964

↑
片側α 点

両側α 点
Iwahashi∗は qnorm(α/2) で計算
31

場合１ ネジの長さは同じか？
今までは、平均 19 mm でネジを生産していた。
標準偏差は 2 mm だった。
機械を刷新したら、長くなったようなので、調べて欲しい。
機械を刷新した後（無作為に抽出したサンプル）
ネジの長さは、｛20, 21, 21, 19, 24｝

母平均 の信頼区間 95% を示す
ここで、母標準偏差 = 2 とする
Iwahashi322022/9/3

場合１R のプログラム

データを準備標本の数= 5
標本平均= 21
母標準偏差 = 2x<- c(20,21,21,19,24)n<- length(x)xbr <- mean(x)sgm <- 2

両側α点 ∗ = 1.96
（α =0.05 で 95%）∆= ∗= 1.75
95%の信頼区間∈− ∆,+∆= [19.2, 22.8]

alp <- 0.05
z<- -qnorm(alp/2)
dlt <- z*sgm/sqrt(n)c(xbr-dlt,xbr+dlt)[1] 19.24695 22.75305

今までは 19 だったが、刷新後は長くなった
Iwahashi33

場合２ ネジの長さは同じか？
今までは、平均 19 mm でネジを生産していた。
なお、標準偏差は測定していないので不明。
機械を刷新したら、長くなったようなので、調べて欲しい。
機械を刷新した後（無作為に抽出したサンプル）
ネジの長さは、｛20, 21, 21, 19, 24｝

母平均 の信頼区間 95% を示す
この場合、標本標準偏差 を使う
Iwahashi342022/9/3

場合２R のプログラム

データを準備
標本の数
= 5
標本平均
= 19 +
標本標準偏差 = 1.87
両側α点 ∗ , = 2.78
（α =0.05 で 95%）∆=∗

= 2.32,95%の信頼区間∈− ∆,+∆= [18.7, 23.3]x<- c(20,21,21,19,24)n<- length(x)xbr <- mean(x)sgm <- sd(x)alp <- 0.05
z<- -qt(alp/2,n-1)
dlt <- z*sgm/sqrt(n)c(xbr-dlt,xbr+dlt)[1] 18.67706 23.32294

今までは19で、刷新後の ＋２ はバラツキの範囲内
35

Iwahashi

場合２別解R の特長を活かした
超簡単なプログラム

たったこれだけ> x<- c(20,21,21,19,24)> t.test(x,mu=19)
One Sample t-test

data:

x

t = 2.3905, df = 4, p-value = 0.07513 ← ｐ値
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:
18.67706 23.32294
sample estimates:
mean of x21Iwahashi

95%の信頼区間を一瞬で計算∈ [18.7, 23.3]

362022/9/3

まとめ・今までは、長さが平均で 19 となる様に生産していた・機械を刷新したら、長さが変わったようだ
・５個を抽出して測ったら｛20, 21, 21, 19, 24｝だった
・これらの平均は 21 なので、今までとの「差は ＋2」
・これでは、規格を満たさないのでは？
長さの平均は無作為に5個を抽出する度にバラつくが、場合１（母分散が 既知）では、規格の基準19 が、信頼区間である[19.2, 22.8] の範囲外 なので、長さの差が無い とは言えない
場合２（母分散が 未知）では、規格の基準19 が、信頼区間である[18.7, 23.3] の範囲内 なので、長さの差が無い と言える
37

Iwahashi

帰無仮説
場合１では、規格の基準19 が、信頼区間である[19.2, 22.8] の範囲外 なので、

19.0
確率95%

長さには差がありそう（帰無仮説は 棄却される）※ 長さの差は「有意」である。

19.2

22.8

場合２では、規格の基準19 が、信頼区間である[18.7, 23.3] の範囲内 なので、19.0
確率95%

長さには差が無さそう（帰無仮説は 採択される）※ ｎが小さすぎるかも。長さが同じとまでは言えない。
Iwahashi

18.7

23.3
38

2022/9/3

「ｐ値」
基準値

基準値

面積0.95下限

下限

上限

この部分の面積は 両側で1-0.950= 0.050←

上限

この部分の面積が「ｐ値」→ 0.0？？

どちらが大きいかで判断する

39

Iwahashi「片側検定」
基準値

基準値
面積0.95下限

下限
この部分の面積は1-0.950= 0.050

この部分の面積が←「ｐ値」→ 0.0？？

どちらが大きいかで判断する

Iwahashi402022/9/3

2標本問題

41Iwahashi

場合３
母集団×２つ全ての個体、正規分布場合３母平均の差

母分散

標本平均−とと既知データから計算推定する=

母平均の差−∈

標本×２つ無作為抽出した m 個と n 個−
Iwahashi

−−∗

∑

標本分散
不要

= ∑,

,の100(1 − ) %の信頼区間+,−+∗+42

2022/9/3

場合４
母集団×２つ全ての個体、正規分布母平均の差

母分散

標本平均−とと未知データから計算

場合３推定する∑=

母平均の差−∈

標本×２つ無作為抽出した m 個と n 個

−

− ∗−,

+∑−,

合併
標本分散,−の100(1 − ) %の信頼区間+,−+ ∗,+43

Iwahashi

付録１
Ｒをインストールする

Iwahashi442022/9/3

Ｒをダウンロード（1/2）
https://cran.r-project.org/ ☜☜☜45

Iwahashi

Ｒをダウンロード（2/2）☜
R-4.2.1-win.exe（78.7MB）を入手して実行する
このアイコンをクリック
するとＲが動く

Iwahashi46

2022/9/3

Ｒを動かしてみる

赤文字を入力すると紺文字の答えがでた
47

Iwahashi

Ｒで計算してみる> r=2> pi*r^2[1] 12.56637☜ Ｒに入力：赤文字☜ Ｒの出力：紺文字=2

記号「<-」は代入> r <- c(2,3,4)> pi*r^2[1] 12.56637 28.27433 50.26548= 2> pi*r^2 -> a> mean(a)[1] 30.36873=[ ]Iwahashi> sum(a)/3[1] 30.36873

3448

2022/9/3

統計量を計算してみる
データx <- c(1, 2 ,3, 4), i=1,2,3,・・・,n平均

mean(x)
2.5

=

不偏分散

var(x)
1.666667

=

標準偏差

sd(x)
1.290994=1
1−1(1ー１− )(− )49Iwahashi

プロットしてみる（1/3）
データｙをプロットしたい

= 0

1

248

y <- c(0,1,2,4,8)
plot(y)Ｒに入力

Iwahashi50

2022/9/3

プロットしてみる（2/3）
散布図をみたいｘとｙの= 0 1 2 4 8= 0 1 2 4 8x <- c(0,1,2,4,8)
y <- c(0,1,2,4,8)
plot(x,y)
Ｒに入力
Iwahashi51

プロットしてみる（3/3）-5 から 5 までの範囲の標準正規分布

curve(dnorm, -5,5)0 から 2π までの範囲でcos をプロット

plot(cos, 0, 2*pi)
Ｒに入力
Iwahashi52

2022/9/3

付録２
カイ自乗分布とティー分布

53

Iwahashi

各種統計量の確率分布
全データ
母平均
母分散
正規分布

標本のデータ
標本の平均無作為に抽出

=

−
⁄

1

標本の不偏分散=は正規分布（平均 , 分散−−1は

平均 0 , 分散 1 の正規分布−⁄

は自由度( − 1)
自由度

Iwahashi/ ）− 1 のティー分布は− 1 のカイ自乗分布542022/9/3

各種統計量の区間推定は正規分布に従う（平均 , 分散 / ）1－α の確率で以下の区間に入る∗∈−∈− ∗∈,( − 1),,

は平均 0 , 分散 1 の正規分布+ ∗,,−
⁄

∗

+,−
⁄

は自由度
( − 1)( − 1),

自由度− 1 のティー分布は− 1 のカイ自乗分布

55

Iwahashi

正規分布から誘導される分布
,

,⋯ ,

=+~

0,1 ,~ (0,1)+⋯+のときY は自由度 n のカイ自乗分布に従う~のとき

T は自由度 n のティー分布に従う~=

Zi は標準正規分布に従う独立な確率変数⁄

Iwahashi~56

2022/9/3

様々な分布と密度関数
正規分布~

自由度 n のカイ自乗分布

自由度 n のティー分布

,=~
~

=

Iwahashi1( | , )=22
1

=

( , )

=

⁄,

=−−212（ガンマ関数）

12 2

1−−2,1+（ベータ関数）57

様々な分布と密度関数
ティー分布

正規分布

% MATLAB Program
close all; clear all;%--------------------% t 分布%--------------------x =-5:.1:5;
y1 = tpdf(x,5);y2 = tpdf(x,10);y3 = normpdf(x,0,1);
figure('Position',[10 10 400 200]);
plot(x,y1,'B-.'); hold onplot(x,y2,'R--'); hold on;plot(x,y3,'K-')
legend({'t_5','t_{10}','N(0,1)'})
grid on;

カイ二乗分布%--------------------% カイ二乗分布%--------------------x = 0:.1:10;
y1 = chi2pdf(x,1);y2 = chi2pdf(x,2);y3 = chi2pdf(x,3);
figure('Position',[10 210 400 200]);
plot(x,y1,'B-.'); hold onplot(x,y2,'R--'); hold on;plot(x,y3,'K-')
legend({'¥chi^2_1','¥chi^2_2','¥chi^2_3'})
grid on;Iwahashi58

2022/9/3

初版：

2022年8月

制作：
所属：

岩橋政宏
長岡技術科学大学

Iwahashi

59