2.5 次元PIC シミュレーションにおける鏡像電流のモデル化
栗本佳典

J-PARC Centerもくじ• 2.5 次元PIC（Pixel-in-Cell）シミュレーション＠J-PARC Main Ring
• 陽子バンチが作る電場と磁場のローレンツ力• コヒーレントチューンシフト• 新しい鏡像電流のモデルについて• 多バンチ効果

J-PARC Main Ringで使用している
2.5 次元PICシミュレーション
2.5次元近似

PIC シミュレーションの手順

𝜕2
𝜕2
𝜕2
𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)( 2 + 2 + 2 )𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜀0

マクロ粒子生成105~106
Hamilton Eq.（磁石など）
H=H0+V磁石

電荷分布作成𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧近似

ポテンシャルによるキック𝐹Ԧ = −𝑞𝑨∇𝜑

Poisson Eq.
𝜌∆𝜑 = −𝜀0𝜕2𝜕2𝑔 𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑧)+𝑢(𝑥, 𝑦) = −𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2𝜀0

𝐴=𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 ≪ 𝜎𝑧𝑒
𝑚𝑝 𝛾𝑝 3 𝛽𝑝 2 𝑐 2[1] K. Ohmi et al.,Proc. PAC’07, doi:10.1109/PAC.2007.4440411[2] Y. Kurimoto, IEEE TNS doi: 10.1109/TNS.2021.3084214.

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑔(𝑧)𝑢(𝑥, 𝑦)
二次元の方程式をダクトの電位0の境界条件で解く

係数𝑚 𝛾 3𝛽 2𝑐 2の起源 (1)𝑒𝑝 𝑝𝑝

2D Approximation (𝜎𝑧 ≫ 𝜎𝑥,𝑦 )電場• 𝑑𝑖𝑣𝐸 =𝜌(𝑥,𝑦), 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑𝐸 (𝑥, 𝑦)𝜀0

𝜌 𝑥, 𝑦∆𝜑𝐸 𝑥, 𝑦 = −𝜀0
磁場• 𝑟𝑜𝑡𝐵 =𝑖(𝑥,𝑦), 𝐵 = 𝑟𝑜𝑡 𝐴Ԧ 𝑥, 𝑦 , 𝑖 𝑥, 𝑦𝜀0 𝑐 2= 𝛽0 𝑐𝜌(𝑥, 𝑦)𝜌 𝑥, 𝑦 𝛽0𝜌 𝑥, 𝑦∆𝐴𝑧 𝑥, 𝑦 = −→ ∆𝜑𝐵 𝑥, 𝑦 = −𝜀0 𝑐𝜀0(Using Coulomb Gauge)
自由空間（ダクトなし） 𝜑𝐸 (𝑥, 𝑦) と 𝜑𝐵 𝑥, 𝑦 等しい𝑐(𝜑𝐵 𝑥, 𝑦 = 𝐴𝑧 (𝑥, 𝑦))
𝛽04

係数

𝑒𝑚𝑝 𝛾𝑝 3 𝛽𝑝 2 𝑐 2の起源 (2)粒子が電場および磁場から受けるローレンツ力は𝜕 𝜕𝐹𝐸 𝑥, 𝑦 = −𝑞,𝜑𝐸 (𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕 𝜕 𝜕
𝐹𝐵 𝑥, 𝑦 = 𝑞 0,0, 𝛽0 𝑐 ×, ,× 0,0, 𝐴𝑧 𝑥, 𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

運動方程式 𝐹Ԧ 𝑥, 𝑦 = 𝐹𝐸 𝑥, 𝑦 + 𝐹𝐵 𝑥, 𝑦 =𝑑𝑥 𝑠ሶ , 𝑦 ሶ𝑠𝑑𝑠=−𝜕 𝜕= −𝑞,(−𝛽0 2 𝜑𝐵 𝑥, 𝑦 )𝜕𝑥 𝜕𝑦𝑑𝑑𝑃 = 𝑃0 𝛽0 𝑐𝑑𝑡𝑑𝑠𝑞

𝑚𝛽0 2 𝛾0 3 𝑐 2𝑥 𝑠ሶ , 𝑦 ሶ𝑠

より、

𝜕 𝜕,
𝜑(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 𝜕𝑦

係数は 𝜑𝐸 𝑥, 𝑦 = 𝜑𝐵 𝑥, 𝑦 すなわちダクトなしの時のみ有効
しかし、一般的には電場と磁場で境界条件が違う。したがって、

𝝋𝑬 𝒙, 𝒚 ≠ 𝝋𝑩 𝒙, 𝒚5

ダクトでの境界条件
磁場

電場

Skin depth 𝛿𝑌/2<< ダクト厚み 𝑤

Yes (速い)No (遅い)𝑤

𝑋/2

ダクトでの電位が等しい
𝜑𝐸 ±𝑋/2, 𝑦 = 𝜑𝐸 𝑥, ±𝑌/2 = Const.

𝝋𝑩 𝝋𝑬 は同じポワソン方
程式の解となる。（境界条件が同じ）

B がダクトと平行𝑌𝜕𝑌
𝐵𝑦 𝑥, ±= − 𝜑𝐵 (𝑥, ± ) = 02
𝜕𝑥2𝑋
𝜕𝑋
𝐵𝑥 ± , 𝑦 =𝜑𝐵 (± , 𝑦) = 02
𝜕𝑦2

𝜑𝐵 ±𝑋/2, 𝑦 = 𝜑𝐵 𝑥, ±𝑌/2 = Const.

𝜑𝐵 ±∞ = 0
ダクトがないときと同じふるまい

𝝋𝑩 と𝝋𝑬 で境界条件が違う。別々に計算する必
6
要ありコヒーレントチューンシフト
現行の2.5 次元のPICシミュレーションでは、電場、磁場の二次元ポテンシャルを同じ方程式の解としている（ダクトでのポテンシャルがゼロという境界条件）→ 遅い周波数成分を無視した近似
境界条件（＝鏡像電流）を反映する測定可能な量として、コヒーレントチューンシフトがある。
コヒーレント振動によるチューンの測定とシミュレーションの比較

水平方向
陽子数

チューンのずれ

チューンのずれ

点：シミュレーション
線：測定 A. Kobayashi et al., IPAC’19上手く再現できない。
（Simulation上のダクトの大きさを調整しても）
鉛直方向
陽子数

ダクト断面：
偏向電磁石11.5x10 mm2
その他 r = 62 mm

本研究の動機
磁場・電場の境界条件の違いをPICシミュレーションにうまく含んで、コヒーレントチューンシフトの測定結果を再現したい。

注：コヒーレントチューンシフトが再現しないからと言って、我々のPICシミュレーションが使えないわけではない。PICシミュレーションでは、ビーム損失の原因の解析に有用であればよい。現時点では、本研究は純粋な興味からくるものである。
（+WORKSHOP SAD2019 の宿題）

AC/DC 分離
空間電荷ポテンシャルに乗する線粒子数密度（縦方向分布）をAC成分とDC成分を分離する。

λ𝐴𝐶 (𝑧) = λ 𝑧 − λ(𝑧)λ𝐷𝐶 = λ(𝑧) = 1/C

提案するポテンシャル

境界条件付きで解いたポアソン方程式の解

𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧= (λ𝐷𝐶 + λ𝐴𝐶 (𝑧))(𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 (𝑥, 𝑦) + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐴𝐺𝐸 (𝑥, 𝑦)) 電場+λ𝐷𝐶 (−𝛽0 2 ) 𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 (𝑥, 𝑦) + 𝜑𝑃𝑂𝐿𝐸,𝐼𝑀𝐺𝐴𝐺𝐸 (𝑥, 𝑦)

磁場 (Penetration)+λ𝐴𝐶 (𝑧)(−𝛽0 2 (𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 𝑥, 𝑦 + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐺𝐴𝐺𝐸 (𝑥, 𝑦)))磁場 (non-penetration) 1+λ𝐷𝐶 (−𝛽0 2 (𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 𝑥, 𝑦 + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐴𝐺𝐸 𝑥, 𝑦

磁場 (non-penetration) 2− 𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 𝑥, 𝑦 + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐴𝐺𝐸 𝑥, 𝑦 ))以前のモデルは磁場のpenetrationはない（λ𝐷𝐶 = 0）としている。

磁場（Penetration）+λ𝐷𝐶 (−𝛽0 2 ) 𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 (𝑥, 𝑦) + 𝜑𝑃𝑂𝐿𝐸,𝐼𝑀𝐺𝐴𝐺𝐸 (𝑥, 𝑦)
第１項：直流成分なので磁場はダクトから漏れる。

第２項：磁極（強磁性体）がある場合には、磁場が磁極に垂直だという境界条件が入る。 偏向電磁石のみ考慮に入れた。
強磁性体でのDC磁場の境界条件

𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 + 𝜑𝑃𝑂𝐿𝐸,𝐼𝑀𝐴𝐺𝐸

左の磁場を再現するための鏡像電流平均<>をとっているのは、チューンを測定するのにビーム重心を振動させる。そのDC成分だけをとるため。

磁場（Non-Penetration）1,2+λ𝐴𝐶 (𝑧)(−𝛽0 2 (𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 𝑥, 𝑦 + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐺𝐴𝐺𝐸 (𝑥, 𝑦)))電場と同じ境界条件

ダクト上のポテンシャルが一定

𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐴𝐺𝐸で解けばよい。

+λ𝐷𝐶 (−𝛽0 2 (𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 𝑥, 𝑦 + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐴𝐺𝐸 𝑥, 𝑦 − 𝜑𝐸,𝐹𝑅𝐸𝐸 𝑥, 𝑦 + 𝜑𝐸,𝐼𝑀𝐴𝐺𝐸 𝑥, 𝑦 ))縦方向はDC成分でも、コヒーレント振動させればAC成分が出てくる。
DC成分をカウントしないように平均値で引く。

再びコヒーレントチューンシフト
提案したモデルで再びコヒーレントチューンシフトを計算

コヒーレント振動によるチューンの測定とシミュレーションの比較

水平方向
陽子数

チューンのずれ

チューンのずれ

点：シミュレーション
線：測定 A. Kobayashi et al., IPAC’19

かなり測定に近づけることができた
鉛直方向
陽子数

ダクト断面：
偏向電磁石11.5x10 mm2
その他 r = 62 mm

発展 ～マルチバンチ効果～
新しいモデルでは多バンチ効果も入れることができる。（ことに後で気づいた）

λ𝐷𝐶 = λ(𝑧) = 𝑁𝑏𝑢𝑛𝑐ℎ /C

J-PARC Main Ringでは多バンチ効果によるチューンシフトの違いが無視できず、バンチ蓄積中に一部の四極磁場をModulateさせてチューンシフトを補正している。 （小林他、加速器学会年会 2018)

コヒーレント振動によるチューンの測定とシミュレーションの比較

水平方向

陽子数

チューンのずれ

チューンのずれ

点：シミュレーション
線：測定 A. Kobayashi et al., IPAC’19

複数バンチでもそこそこ一致
鉛直方向
陽子数

ただし複数バンチだと
Resistive Wall Impedance の影響がある可能性があるので、そちらの検討も必要。

まとめと今後• J-PARC MRのPICシミュレーションで使うため、ビームが作る電場と磁場の効果を別々に取り入れた鏡像電流を含むポテンシャルのモデルを提案した。
• 新しいモデルでコヒーレントチューンシフトをうまく再現することができた。
• 今後は、鏡像電流がビーム損失にどの程度またはどのように影響するのか（ほんとうにこのモデルが必要なのか）調べる• 多バンチ効果でも一致がよいのが本当かを調べる。Resistive
Wall Impedanceなどの影響が小さいかFree Space 2D Poisson Equation
1. Find potential at the boundary using
the Green function*

2. Modify the differential equation
𝑢0,𝑗 − 2𝑢1,𝑗 + 𝑢2,𝑗 𝑢1,𝑗−1 − 2𝑢1,𝑗 + 𝑢1,𝑗+1+= 𝑓1,𝑗∆𝑥 2∆𝑦 2
Obtained by the Green function−2𝑢1,𝑗 + 𝑢2,𝑗 𝑢1,𝑗−1 − 2𝑢1,𝑗 + 𝑢1,𝑗+1𝑢0,𝑗+=𝑓−1,𝑗∆𝑥 2
∆𝑦 2
∆𝑥 2
Modifying charge distribution near the boundary11′′
𝜑(𝑥, 𝑦) =න 𝜌(𝑥 , 𝑦 ) ln𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑦 ′2𝜋(𝑥 − 𝑥 ′ )2 +(𝑦 − 𝑦 ′ )2

* Calculating whole region using the Green function
costs a lot since it needs O(n2) operations
16

Boundary with Magnetic Material• 𝐵 at the surface of ferromagnetic materialmust be perpendicular to the surface ( 𝛿 ≪ 𝑤)
• The cores of the BMs touch with all
horizontal surface of the duct. (J-PARCMR)➢ Use image current density so that the tangential
components of 𝐵 can be eliminated𝑖𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒 (𝑥, 𝑦) = ෍[𝑖 𝑥, −1 𝑛 𝑦 + 𝑛𝑌 ]17

Finding Potential with Image Current
1. Find potential including image current at theboundary using the Green function*

𝜑(𝑥, 𝑦) =11
න(𝜌 𝑥 ′ , 𝑦 ′ + 𝜌𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒 𝑥 ′ , 𝑦 ′ )ln𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑦 ′2𝜋(𝑥 − 𝑥 ′ )2 +(𝑦 − 𝑦 ′ )2𝜌𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒 (𝑥, 𝑦) = ෍[𝜌 𝑥, −1 𝑛 𝑦 + 𝑛𝑌 ]2. Modify the differential equation (same as for free space )18

＊プロットはすべて前述のGPU
シミュレーションによる多バンチ効果境界条件の効果＝鏡像電荷→電磁石のように外力としてチューンを動かす効果がある。
1 bunch8 bunches重ねる

現状では、チューンだけを四極電磁石で補正しているが、高次共鳴は他の光学パラメタ
𝜷𝒙,𝒚 𝒔 , 𝜓𝒙,𝒚 𝒔 にも激しく依存しているので、それを含めて補正する可能性があるのではないか？