素粒子論研究 ･ 電子版 Vol. 20 (2015) No. 3

Soryushiron Kenkyu

場の理論の位相的ソリトンとその役割
2014 年度原子核三者若手夏の学校 素粒子パート（場の理論）講義録

衛藤 稔 （山形大学）
2014 年 8 月 8 日 8:45-12:00, 18:45-22:15

概要

この講義録は、2014 年度原子核三者若手夏の学校において行われた講義のうち、衛藤稔
氏による位相的ソリトンに関する講義（素粒子パート/場の理論）をまとめたものです。こ
の講義では、位相的ソリトンに関する基礎的な内容から始めて、古典解やモジュライ空間、
量子効果および応用についてキンク（ドメインウォール）とボーテックスを題材に解説されています。

講義録作成*1 ：松野寛樹、阿部田将史、束紅非、谷口太基（東京工業大学素粒子論研究室）*1

この講義録では、話し言葉をそのまま文書に起こしています。読みにくい部分もあるかもしれませんがご了承ください。

Soryushiron Kenkyu

目次
Introduction

3

0.1

場の古典論と場の量子論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2

古典的ソリトン. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3

ソリトンの一般的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.4

安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.5

代表的なソリトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.6

具体例 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

0.7

具体例 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.8

具体例 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.9

具体例 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

00.10 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.11 場の量子論におけるソリトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1

Kinks

17

1.1

1 + 1 次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2Classical kinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 キンクと反キンク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2 モジュライ空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.3 Sine-Gordon 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.4 非線形シグマ模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3

Quantum kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.3.1 ゼロモードの取り扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.3.2 Couple with fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.3 脱線：ポリアセチレン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.3.4 Quantum sine-Gordon kink and duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.4

ドメインウォール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.4.1 ブレーンワールドシナリオへの応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.4.2 格子ゲージ理論への応用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.4.3 ドメインウォールと重力. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.5

Supersymmetry and domain wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.5.1 Extended SUSY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.5.2 量子効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.5.3 Nambu-Goldstone fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.5.4 SUSY breaking via domain wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.5.5 Domain wall in supergravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2

Vortices102

2.1

Global vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.2

Derrick の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1

Soryushiron Kenkyu

2.3

Local vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.4

モジュライ空間

2.5

ボーテックスの散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.6

渦紐のダイナミクス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.7

Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.8

Superconducting string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.9

Semi-local vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.10 Lump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.11 電弱 vortex string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.12 Non-Abelian vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3

Monopoles

132

3.1

Monopoles in electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2’t Hooft-Polyakov monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.3

BPS monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.4

Montonen-Olive duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4Kink, vortex and monopole

134

参考文献

134

おはようございます。みなさんもう完全に疲れきっているけど*2 、僕は 1 日目であれなんですけど、
まあ、よろしくお願いします。で、私事で恐縮なんですけどなんか昨日からお腹の調子が悪くて、トイレの回数が半端ないので、ちょっと途中でトイレ休憩なんてあるかもしれないですけど許してください。
昨日から水だけで生きてるので、最初元気がないかもしんないんですけど、最初座りながらやらせてください。最後まで体力がもつかどうか…。だんだんエンジンがかかってくると思うんですけど、それまでゆっくりやらしていただきます。なんか質問があったらお願いします。
で、まあタイトルはこんな感じで、位相的ソリトンって聞いたことがあると思いますけども、そんなにちゃんと勉強したことがある人はいないんじゃないかってことで、なるべく基礎から、意義といいま
すか、そういうことに関して、僕が知ってることを皆さんにお伝えできたらなと思います。で、徐々に徐々にということでまずは簡単なところからなんですけども、イントロダクションですね。

*2 本講義は夏の学校の最終日に行われた。

2

Soryushiron Kenkyu

0 Introduction
0.1 場の古典論と場の量子論
古典論：光＝波E

B

量子論：光＝粒子kµ

我々素粒子やると必ず場の理論っていうのを勉強すると思いますけども、場の理論には場の古典論と場の量子論があります。古典論って例えば光、電磁場ですね。電磁場だと、光は波としてこう伝わっていくと。まあこれはこれで意味が完全にあるわけですね。同様にこれを量子化すると、光が粒子となって、光子として現れるということです。まあどっちも意味があると。
で、古典場っていうのは色々あるわけですね。スカラー場とかスピノル場とかベクトル場とか。量子化すると、スカラー粒子とか、フェルミオン粒子とか、ベクトル粒子、それぞれ出てくるわけです。で、場の量子論、我々が大学院生になって習う、まあその前からやる人もいると思いますけども、この場の量子論ってのはまずは素粒子の性質とその相互作用の基本理論として、確立されてるわけです。
場の量子論でも、例えば QED（量子電磁力学）とか、摂動論が適用できるようなものは具体的な計算が比較的容易にできます。だけども摂動論が適用できないような、低エネルギーで強結合になってしま
う QCD（量子色力学）とかは、具体的な計算をしようとすると手計算は難しいと。なのでコンピュータを使って計算するとかそういうことがやられてると思います。まあ、こっちは難しいんですけども、こっち（摂動論が適用できるようなもの）で普通、何やるかっていうと、通常の摂動論では真空からの励起として素粒子を考えるわけですね。真空っていうのは例えば ϕ っていう場があったとしたら、時空の点によらず一定であると。

ϕ(xµ ) = const.
だから真空っていうのはなんか平ったいのっぺりした場があると。

量子揺らぎ = 素粒子

真空

古典 粒子的 配位 = ソリトン

3(0.1.1)

Soryushiron Kenkyu

ここにそよそよっと、ゆらぎを考えるとまあイメージとして、これは素粒子であると。で量子化すると粒子が出てくるわけですけども、実は、場の理論にはその量子化する前に粒子的なものが存在します。
それはもう既に古典的な場の理論に存在する場の配位で、ソリトンと呼ばれているわけですね。ソリト
ンって数学の用語でいうと 1 + 1 次元のものを考えますけども、ここで僕が言ってるソリトンっていうのは場の量子論でもうちょっと拡張された、何次元においても、なんか点粒子的なものを一般にはソリトンという。で、もうちょっとこう、ドメインウォールみたいな壁みたいなやつも、もう拡張してそういうのも含めてもソリトンと言ってしまいます。特に今日はこのソリトンの中でも、位相的って呼ばれるその形容詞がついてるソリトンについてお話をしたい。

0.2 古典的ソリトン
まずは古典的なソリトンっていうのを考えて、しばらく古典的ソリトンについて解説していきます。

1. 場の方程式の非自明な解：∂µ ϕ ̸= 0
2. 有限の質量 M
3. 有限なサイズ ℓ
4. 安定な状態
まずは、真空とは違うんですね。場の方程式の、非自明な解。

∂µ ϕ ̸= 0(0.2.1)

どこでものっぺりというわけではないと。なんかこう、ポコっとある。ポコっとある粒子的なものなんで、質量と大きさがあるわけですね。で、なにか有限の質量をもっている。それから有限のサイズをもっている。で、これが、何もなければこんなポコっと飛び出た山は、すっとなくなってしまう方が安定に思えるんだけども、そうできない何かがあるわけですね。だからこの状態で安定なんです。真空よりはエネルギーが高い。けど、真空には落ちていけないというなんか、隠されたメカニズムがあると。

0.3 ソリトンの一般的性質
ソリトンの一般的な性質ですけども、まず、場を ϕ としますと、場の真空周りの質量ってのは、ポテ
ンシャルの 2 階微分が起因するんですね。

∂2V
∼ m2ϕ
∂ϕ2 ϕ=⟨ϕ⟩vac(0.3.1)

で、実は、まあなんかどんな場の理論を考えても、そこにソリトンがあると、だいたい典型的なサイズ
さっき言った ℓ というのは、この基本粒子の質量の逆数で大体出てきます。

ℓ∼

1
mϕ

(0.3.2)

あとで具体例で見ますけども、大体こんな感じ。一方で、この場の理論に入ってるスカラー場 ϕ の結合定数を g としますと、ソリトンの典型的質量は大体

M∼

mϕ
g

と。結合定数の逆数で効いてくるというわけですね。大体こんな性質をもっています。

4(0.3.3)

Soryushiron Kenkyu

0.4 安定性
安定性、さっき真空には消えていかないと言うのはそれは実は、位相的安定性というふうに守られているんですね。トポロジカルソリトン、今日出てくるものには大雑把に分けて 2 種類あって、1 つは位相欠陥型、もう 1 つはテクスチャー型というのがあります。それぞれ、位相的な電荷というのをもっていて、真空の電荷は 0 で、ソリトンの電荷は 0 じゃないんですね。なので、壊れられないという、まあ基本的なものです。トポロジカルソリトンってのはよく知られてるけども、トポロジカルでないソリト
ンっていうのも世の中にはあります。ノントポロジカルソリトン。そういうのも、安定なものがあるんですけども、そういうのは例えば Noether 電荷とかで守られているというのもあります。今日はあんま
りこっちは出てきませんが、例えば、Q ボールとか呼ばれる、Coleman [1] が見つけたそういう配位、バリオン生成とかに関係してくるようなものがあります。今日は主にトポロジカルソリトン、っていうか
こっちしかやりません。

0.5 代表的なソリトン
代表的なソリトン
4+1 次元

インスタントン3+1 次元

磁気単極子（モノポール）
スカーミオン（バリオン）

2+1 次元
ボーテックス（量子渦）Σ模型 lump （塊）1+1 次元キンク（折れ曲がり）

代表的なソリトン、まあみなさんも名前ぐらいはもちろん聞いたことがあると思いますけども、インスタントンですね。普通は 4 次元 Euclidean で考えますけども、ソリトンって言いたいときは 5 次元時
空で、4 次元空間の部分に局在化した粒子的な、そういうソリトンです。4 次元 Euclid でももちろんソリトンと、広く言うこともあります。それから 3 + 1 次元には、いわゆる磁気単極子（モノポール）ですね。それから、スカーミオンとかいうのもあります。これは、バリオンですね。パイオンとかの有効理論で、ソリトンを作ると。パイオン場でソリトンを作るとバリオンが出るという恐ろしい理論で、非常に有名です。こういうのは 3 次元空間の中で、こう、点状のものです。それから、次元を下げて 2 + 1
次元にすると、ボーテックス（量子渦）って呼ばれますけども、こういうのがある。それから、非線形
シグマモデルみたいのを考えると、lump と呼ばれる、英語で lump って塊って意味らしいんですけども、こういうものがあります。これは 2 次元、平面の中にポコっとあるものですね。1 + 1 次元になるとキンクと呼ばれるソリトンがあります。キンクっていうのは折れ曲がりって意味ですね。で、何かの場が折れ曲がったところにエネルギーがたまってるという、空間 1 次元に局在化したソリトンになってる。で、今日やるのは、緑に色が変わってるものについてお話をしたいと思います。インスタントンまではちょっと準備が追いつかなかったので、これ（緑色の部分）についてお話をしたいと思います。た5

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ぶん、上から順にポピュラー度が高いということで、どんな人でもたぶんインスタントンは勉強すると思うので、まあここで敢えてやる必要も無いかなっていうのがあります。で、逆に言うとこの下から、まあどうかな、一番下と一番上がたぶん簡単で真ん中が複雑になってくるという感じかもしれませんけ
ども、今日は順番としてはまず低次元からこうやっていく、という感じでやっていきたいと思います。
低次元の良さは、あとでちょっと言いますけども、簡単ですね。で、ほとんどすべてのアイデアがここに詰まってるので、教育的には非常にここでやるのがいいかなっていう感じがします。

0.6 具体例 1

スプーン

スープ

具体例ですけども、1 次元ソリトン、つまりキンクですね。で、ちょっと場の理論の前に、感覚を掴んでもらいたいので、ちょっと、おもちゃの話をします。ソリトンっていうのは、対称性に非常に強く関係してると。そこで、一番簡単な対称性、Z2 対称性、例えば左手と右手、鏡で映して一緒だというようなそういう模型を考えましょう。こんな状況があったとします。すごく大きなパーティーがあったとする。で、テーブルがこう、あって、ものすごい長いテーブルがあったと。そこに、スープとスプーンが各自の前に置かれていると。こういう状況をちょっと想像してみましょう。
この系の Z2 対称性は何かというと、恣意的なんですけども、この各人の左側と右側に対称にスプーンが置かれてるわけですね。つまり、左右に違いがないですね。左手のスプーンと右手のスプーン、どちらが自分用かわからないっていうのがこの系の対称性です。で、通常のパーティーのように長い挨拶があったので、皆さん空腹状態でイライラしてるというわけですね。対称性が高い状態でエネルギーが高くなっている。で、まあ「いただきます」と。「皆さんどうぞ」って言ったら、いっせいにスプーンを取ります。どうなるでしょうか？で、2 つの解があると思います。
全員が右手でスプーンを取った場合

1 つは、全員が右手で、まあ右利きの人が多かったと。こう取ると、このように皆さんスプーンを取れて、スープを飲めると。
全員が左手でスプーンを取った場合

もしかしたら、左利きが多い国だったら、左手でこういう状態になったかもしれません。いずれにしろ
皆さん満足で嬉しいというわけですね。とにかくスープが飲めて嬉しいというわけです。ここで重要なのは、怒ってた状態から皆さん喜んだ状態になって、対称性が右か左かに破れたんですね。これが対称性の自発的破れ。

6

Soryushiron Kenkyu

このスープの話は有名な話なんですけども、もう 1 度重要なところを抽出すると、系にはもともと対称性があった。もともとの人や食器の配置がそれにあたる。で、初期状態は対称的だが不安定ですね。
みんなスープを飲みたいけど飲めない状態である。こう、おあずけされてるわけです。で、やっと、なんかのきっかけに、より安定な状態に遷移するんですね。すると、対称性が破れると。つまりスープが飲める状態になったというわけです。これを対称性の自発的破れというわけです。
しかし、こういつもうまくいくとは限らないですね。例えば、テーブルが非常に長かったとします。
もう無限に長いようなテーブルがあったとします。そうすると、右端の人は、左端の人がどっちを取る
かなんて見えないわけですね。逆も然り。左の人は右の人がまったく見えないじゃないかと。そうすると、相関がないですね、見えないから。ずっと向こうにいる人が右手のスプーンを取ろうが左手のスプーンを取ろうがこっちにいる人は知らない、どうでもいいわけですね。

!

嬉 嬉 嬉 嬉嬉嬉 怒 嬉 嬉嬉 嬉 嬉

そうすると、まあご想像の通り、こっち側にいる人は左手でスプーンを取ったと。こっち側にいる人は右手でスプーンを取ったと。みんな嬉しいわけですね。ところが 1 人だけ、スプーンがなくなっちゃって、おーい、俺スプーンがねえよと。怒ったままの人がいるわけですねここに。これが、ソリトンです。つまり、この人たちの怒りのエネルギーを縦軸にとって、横軸にこの人たちの座標をとると。
エネルギー
ソリトン

孤立した安定なエネルギー塊

落ちることが出来ない

そうするとこの人たち（スプーンを取れた人たち）は、嬉しいから、エネルギー低いわけですね。でこの人（スプーンを取れなかった人）だけもう怒り心頭、ですね。このようにここだけエネルギーが高いわけですね。これソリトン。これ落ちることできないんです。スプーンがないから。だから、安定なんですね。

7

Soryushiron Kenkyu

隣の人からスプーンを奪っても（借りても）平行移動するだけでなくならない

じゃあ、おいお前よこせよと。隣の人からこうスプーンを奪ったとしても、隣の人が今度スプーンがなくなるだけでその人が怒るだけなんですね。だから、なくなんない。奪うとか借りても、なくならな
いというわけです。
ここにエッセンスが、いくつかある、詰まっていたわけなんですけども、結局真空かソリトンかってのは、何が状態を決めているのかというと、重要だったのは境界条件ですね。左の端の人がどっちのス
プーンを取ったかっていうことでその隣の人がどう取るかっていうのが決まってくると。右も同じ。ということで、トポロジーが重要になってくる。境界のトポロジーですね。いま 1 次元空間を考えてるので、境界は左端と右端の 2 点ですね。離散的な 2 点がある。境界条件は、人が左手のスプーンを取るか
右手のスプーンを取るかというこの 2 つです。境界 2 点と状態 2 つの対応があると。
で、左手系の真空っていうのは、境界のトポロジーとして、左端の人も右端の人も左手で取ったというのが、みんな左手で持てると。まあ局所的にもしかしたらごちゃごちゃっとあるかもしんないけども、そういうのは時間が経つにつれて、「ああ俺ちょっとこっちだから」って言って、渡してけば最終的には真空に落ちる。右も同じですね。全員右手で持ってればいいと。
キンクっていうのは、ソリトンっていうのは、左端の人が左手で取って、右端の人が右手で取ったと。
こういう条件だとすると、必ずどっかで足りなくなってしまう。これがさっき言ったソリトンなんです
けども、反ソリトンは逆ですね。右端の人が左手で取って左端の人が右手で取る。こうするとどっかで

1 人 2 つになるので、より嬉しいという、あの、ネガティブな怒り度が生まれるので、反ソリトン、という解釈をしましょう。

8

Soryushiron Kenkyu

１次元スピン系（強磁性）Z2 対称性

up

down

真空

or

ほとんど同じなんですけども、もうちょっと物理っぽく言うと、1 次元スピン系で、上向きか下向きかっていうのがあって強磁性だとすると、隣り合うスピンは揃った方がいいというんで、真空としては上向きでずらっと並んだ場合か、下向きでずらっと並んだ場合があると。
キンク（励起状態）

キンク＝折れ曲がり反キンク（励起状態）でもこれも境界で、例えば左端で下向きになりなさい、右端で上向きになりなさいなんていうことをす
ると、どっかでこう、エネルギーが高い場所が生まれてしまうんですね。反キンクはその逆です。こっちが上向きでこっちが下向き。そうすると、この矢印をこうなぞってみると、下向きから上向きに変わると。もしくは上向きから下向きに変わるということでここに折れ曲がりが見えてきますね。なのでキンクと呼ばれてるわけですね。大体今日の話はこれを理解してもらえば終わったと思って、帰って俺ソ
リトンわかったよって言って結構だと思います。あとはもうどうでもいい話だと思って聞いてください。

9

Soryushiron Kenkyu

0.7 具体例 2２次元ソリトン：量子渦
かなり強引な簡単化だが…

剣を上段に振りかざした人

回転対称

いま 1 次元の話をしましたけど、2 次元に上げてどういう具体例が考えられるかなというのを、ちょっと考えてみました。かなり強引かもしれませんけれども、剣を持ってる人がいたとします。で、この人、上段構えが大好きで、上に構えてるわけですね。こう、ものすごい振りかぶってると。この人は上に振りかぶってるので、こうくるくるくるっていう回転対称性があるというわけですね。まあ顔の裏表とかあるんだけど、そういう細かいことは気にしないでとにかく上に上がってるということは変わらないという U (1) 対称性です。

疲れるだけど、上段は疲れるので、中段ぐらいにこう、したいと。これでもまあ敵からは身を守れるだろうというわけですね。だから、上段は不安定で、中段構えは安定であると。で上段構えは回転対称性があるけども、こっちは中段にしたことによって、もう回転対称性はなくなっちゃってるんですね。これはすごくさっきの話に似てると。ということで何が破れたかっていうと、回転対称性が、すなわち U (1)対称性が自発的に破れたというわけです。あの、これ僕が考えた話なんで、どっかに理論的な穴があるかもしれないですけどもまあ、感覚で受け取ってください。
横から見た図上から見た図これ上から見た図をこう模式的に表すことにして、この人をこう表すことにしましょう。じゃあ、こんな人がたくさんいたらどうなるかというわけですね。

10

Soryushiron Kenkyu

この人を 2 次元空間にたくさん並べると。こういう、剣を振りかぶった人、マスゲームみたいのがあるというわけですね。だけど、皆さん疲れるので、中段構えにしたいと。じゃあどうすっかって話ですね。あの、この人たち剣は持ってるけど平和主義で戦いたくないとします。

そうすると、みんなこうやったらいいんじゃないかと。なるべくこう剣と剣がぶつかり合わないと。
まあちょっと信頼関係が重要ですけども、あの、こうなってると。剣と剣が当たると喧嘩になるので、みんな同じ方向を向きたいと。でも向き方は自由ですよね。

例えばこういうこともあってもいいと。まったく逆に左に向くと。いま右と左やりましたけど、360◦
どこでもいいじゃないですかと。何も状況は変わらないですね。そうすると真空っていうのは、さっき
は 2 点しかなかったんだけども、今は 360◦ 、すなわち円ですね。真空の空間っていうのをもし考えたとしたらそれは円であると。さっきは 2 点だったというわけですけどもそれが円になったと。じゃあ、こ
うなればいいわけですけども、世の中そうそうはうまくいかないというのがさっきの話でした。

11

Soryushiron Kenkyu

励起状態として、例えばこういうことがあってもいいじゃないかと。周囲の人とはなるべく当たりた
くないので、隣り合う人どうしはなるべく平行でなってると。隣り合う人はどこを見てもなるべく平行になってるんですけども、よく見ると、左下の人と例えば右上の人は反対向きになっているんですね。
まあでも、なるべく当たらないように調整した結果こうなると。ここで注目するべきは、ここ（中心）
です。

つ、つらい

この人は、どっちに剣を下ろしても、剣があるんですね。だから振りかざしたまま、上げた拳を下げられないという状態になってると。こう、つらいわけですね。これが、2 次元ソリトンです。ここでも重要だったのは、何がこの状態を作ってしまったのかというと、境界条件ですね。
位相的
安定性

22

23

2

3

4

5

1

2

3

4

21

5

20

6

19

7

18

8

17

9

16

1

24

6

7

8

9

15

14

10

11

12

13

12

13

14

11

15

16 17

境界を１周

10

18

19 20

21 22

23

24

剣の向きも１周

ここでの境界っていうのは、この端っこの人たちです。で、この人たちを時計回りに番号をつけてい12

Soryushiron Kenkyu

く。こうしてみましょう。これを、ここだけ切り取って、1 次元に並べてみると、まあこうなってますね。1 番目の人は一番下を向いてるわけですね。隣の人はちょっと傾いてだんだん 9 時の方向に、7 番目の人が 9 時の方向を向いて、13 番目の人が 12 時の方向を向いて、こうなってますね。で、1 周するともちろんもとに戻ってるというわけで、こうなってるんだけども、よく見ると剣の向きが 1 周してるんですね。つまり、境界を 1 周すると、真空の中で 1 周したというわけです。

2 次元平面の境界は S 1 ですね。真空の空間、さっき言った剣を振りかざす方向は、360◦ あるということで S 1 。これはまさに破れた対称性の空間そのものです。重要なのは、この境界と真空の空間がおん
なじだというわけですね。さっきも、キンクの場合は、境界の空間が 2 点で、真空の空間が右手か左手かという 2 点だったんですね。ということで、座標 (x, y) にいる人の振りかざした剣の角度を θ(x, y)とすると、この (x, y) を決めると、振りかざしてる角度が決まるわけですね。じゃあこの写像は何を与えてるかっていうと、(x, y) を境界にとれば、この θ を決めることで、境界の S∂1 から真空の Sv1 への写像を与えてるわけですね。

θ : S∂1 −→ Sv1(0.7.1)

結局、S 1 を S 1 に巻きつけるわけですから、なんでしょうね例えば、サランラップの芯か何かに輪ゴムを巻きつけるのと同じで、写像は巻きつき数で分類されるわけですね。それが、位相的不変量といわれて、まあトポロジカル電荷。これは保存します。時間がたっても、なくならないと。っていうことはあとで具体的に示しますけども。ということで、真空と、巻き付いてる状態っていうのは全然違うんだと。
エネルギーが高くなってるんだけども、巻きつき数のおかげで、壊れられないというふうになってるということです。
位相欠陥
キンク

量子渦

対称性が回復（エネルギーが高い）

いまやった例をもう 1 度思い出すと、キンクの場合はこうでした。2 次元の場合はなんかぐるっと回
ると空間の中でぐるっと回るので、ボーテックスと呼ばれています。で、巻きつき数ってのは結局整数になってしまうんですね。何回巻くかということですから必ず 1 とか、2 とか、−1 とか −2 です。で、通常の古典渦っていうのがありますけども、例えば排水口とかにできる渦っていうのは渦度っていうのがある。なんでもいい実数でいいんですけども、ここにできたのは対称性の破れっていうか巻きつき数に関係してるので、渦度、渦の強さが離散的な値なんですね。なんで量子渦と呼ばれます。で、注目すべき点は、ソリトンの場所ですね。キンクにしろボーテックスにしろ、そこで対称性が回復してるんですね。対称性が回復してる時はエネルギーが高い。だからそこにエネルギーが集まってるというわけです。だからソリトンの中心では対称性が回復してるということで、ここに欠陥があるというわけで、こういうのが位相欠陥タイプのソリトンと呼ばれています。

13

Soryushiron Kenkyu

0.8 具体例 3
境界

真空多様体
キンク

1 次元ソリトン：

2点

−−−→

2点

2 次元ソリトン：

S

1

ボーテックス−−−−−−−→

S1

3 次元ソリトン：

S2−−−−−−→

モノポール

S2

具体例として例えば 3 次元の場合、例えばモノポールというのがあると言いましたけども、これは、順々にいくと、1 次元ソリトンは境界が 2 点で真空多様体が 2 点、これを結ぶ写像がキンク。で、2 次
元ソリトンは S 1 を S 1 に巻きつける。それがボーテックス。では 3 次元ソリトンなんで、3 次元空間の境界は S 2 ですね。真空多様体が S 2 であるようなものをもってくれば、モノポールっていうのができるというわけで、ある種のこういう写像を与えるものがモノポールです。

よくヘッジホッグって言われますけども、S 2 上の点は、原点からの単位長さのベクトルを、それを針とみなすと表すことができますから、境界の S 2 のまわりをぐるっと回ったときにその針が、例えば、放射状になっているとその写像は非自明で、ハリネズミのようになっているということで、こういうのをモノポールといいます。まあいい例はあまり思い浮かばなかったので、3 次元はこれだけです。

0.9 具体例 4
さっきテクスチャー型っていうのがあると言いましたけども、こっちの方がもしかしたらマイナーかもしれませんが、いま見てきたように位相欠陥型のソリトンっていうのは、対称性の自発的破れと密接に関係してたわけです。だけども対称性の自発的破れとは直接関係のない位相的ソリトンもあると。それはテクスチャー型と呼ばれています。テクスチャーって辞書で調べたら織物って書いてありましたけ
ども、まあ我々日本人は風呂敷と言った方がたぶんイメージしやすいと思います。
というのは、こう風呂敷の包み方ってのはいろいろあるらしいんですね。いずれにしろ風呂敷の目的はものを包んで持ってくというわけですね。で、ものを包んで持ってくんで、落っこちたらしょうがないわけですね。だから落っこちないように包むということが求められているわけです。誰かに贈り物があって、風呂敷で包むということをするんですね。

14

Soryushiron Kenkyu

２次元平面
風呂敷

１点コンパクト化

包む

１重に包み込まれたので落ちずに安定

贈り物

場の配位空間(target space)で、この贈り物は、我々の言葉では場の標的空間ですね。例えば、S 2 だったりとか。まあなんでもいいですけども、今は球状のものを贈りたいとします。で、風呂敷は 2 次元平面ですね。これを包むと。
ふっとこうやるわけですね。こうやって 1 重に例えば普通は包むわけですけども、こうすると落とさずに安定にできると。ということで、ものを包むということは、平面のこの端っこを結んで 1 点コンパク
ト化すると。平面を 1 点コンパクト化すると S 2 になるので、ちょうど S 2 をこの S 2 に移すという写像が得られるわけですね。そこにもやっぱり何重に包んだかという巻きつき数が現れるというわけです。

dim

1 点コンパクト化

1

S

1

2
3

配位空間

−−−−−−−−−−−→

S1

S2

−−−→

S 2 ≃ CP 1

S3−−−−−−−→

sine-Gordon キンク
lump

スカーミオン

S3 ≃SU (2)L × SU (2)RSU (2)L+R

で、1 次元でもあります。例えば、1 次元空間をコンパクト化すると S 1 になりますね。それを S 1 の空間に巻きつけるようなソリトンが、あとでちょっと見ますけども、sine-Gordon キンクっていうのがこれに対応しています。で、S 2 を S 2 に移す、まあ S 2 ってのはトポロジー的に複素射影空間 CP 1 と等しいですけども、複素次元 1 の多様体に巻きつけるものをこれを実は lump といいます。これもあとでちょっと紹介します。3 次元では実はスカーミオンに対応してると。3 次元空間を、カイラル対称性の破れ、まあメソン（パイオン）ですね、これ S 3 の空間に位相的に等しいですけども、ここに移すというのがスカーミオン。まあこれは今日はちょっとやらないんですけども。

0.10 まとめこういうのを、位相的ソリトンといって、いま 2 つ出てきたのは位相欠陥型、重要だったのは空間の境界のトポロジーですね。テクスチャー型ってのは、1 点コンパクト化された空間のトポロジーが重要だと。これをどっかに持っていきたい贈り物とか、破れた対称性の真空の空間にどう巻きつけるかということでソリトンが現れるというわけです。

15

Soryushiron Kenkyu

0.11 場の量子論におけるソリトン

真空

量子揺らぎ＝素粒子

ソリトン

ソリトン＋量子揺らぎ＝？

じゃあ場の量子論におけるソリトンっていうのは大体どんなものかというと、普通我々が場の理論で勉強するのは、のっぺりしたこの真空の周りのゆらぎを考えます。でも、いま見てきたように、ソリトンっていうのが、場の古典論の段階であると。そうすると、その周りのゆらぎっていうのも考えられるじゃないかと。それが、場の量子論におけるソリトンです。で、ソリトンと量子ゆらぎなんで、量子化されたソリトンと、量子化された、つまり粒子の相互作用を与えるような理論になっているだろうと予想がつくわけです。
で、普通真空周りで場を量子化すると素粒子のダイナミクスが記述できるわけですけども、ソリトン
周りで場を量子化するということを考えると、繰り返しになりますけども、素粒子とソリトンの相互作用、およびソリトンバックグラウンドでの素粒子のダイナミクスが記述できることになるんだろうねというのがナイーブな予想です。まあでも、そもそも、場の量子論におけるソリトンっていう定義に本当に意味があるのかっていうのはこれは非自明なクエスチョンで、というのは、量子論的ゆらぎがソリトンの典型的サイズよりももう大きくなっちゃったら、場の古典論的な配位っていうのはもう意味がないじゃないかと。当然ですね。こういう時は、どういう意味がでてくるんだろうなあっていうのは不思議です。
だから、さっき言った、ソリトンの基本的性質を思い出したいと思うんですけども、典型的サイズは、
基本粒子の質量の逆数。

ℓ∼

1
mϕ

(0.11.1)

質量スケールがこれしか入ってないので、大体こんなもんだろうと。で、ソリトンの典型的質量っていうのは、さっき言ったように、基本粒子の質量を結合定数で割ったものだということでした。

M∼

mϕ
g

(0.11.2)

そうすると、弱結合だと、ソリトンの Compton 波長を考えたら、これの逆数ですからλCompton ∼

1
∼ gℓ
M

(0.11.3)

だということで、この結合定数が非常に弱ければ、量子効果は非常に弱いだろうと。

λCompton ≪ ℓ

16(0.11.4)

Soryushiron Kenkyu

すなわち、量子効果は無視できるので、たぶんソリトンが生き残るだろうというふうに予想できるわけですね。
じゃあ、強結合のときは。繰り返しますが、古典場の方程式の解ではあるんだけども、強結合になっ
ちゃうともはや摂動論が適用できないっていうので、量子論におけるソリトンの存在自身がよくわからなくなるというわけですけども、もう 1 度これを思い出すと、ソリトンの典型的質量は (0.11.2) でした。
強結合になると、このナイーブな表式をもって言うと、どんどん軽くなってくんですね。で、ついには

mϕ よりも軽くなっちゃったら、どうすんだと。量子化したときに出てくる、まあ強結合なんでそんな量子化っていうことはできてないんですけども、でも可能性として、ソリトンの方が軽くなっちゃうん
じゃないかと。そしたらソリトンを基本粒子と思うべきじゃないかというふうに思えてくるわけですね。
強結合になると、なんかソリトンと素粒子の役割が変わってくるんじゃないかということになるわけですね。面白いことができる。ということで、弱結合だったらその量子効果は古典的なソリトンに対して量子補正を与えるだけだと。生き残るんだと。だけど強結合になってくるともうぐちゃぐちゃになって、どうなるかわからないけれどもこの式が示唆することは、劇的に見方が変わって、ソリトンをより基本的なものだと思いましょうというふうになってくるだろうという感じです。ということで、こういうことをお話ししたいと思っていますが、イントロダクションは大体こんなところです。次に行きます。

1 Kinks
いま言ったアイデアを、具体的に場の理論で確かめたいと思います。それには、やっぱり高次元になればなるほど難しいので、これを具体的に確かめるために、1 + 1 次元は非常によいテスト場所です。
で、キンクっていうものについて考えていきたいと思います。これまでは非常に適当な話だったんです
けど、ここからは場の理論にのっとった話をしていきたいと思います。

1.1 1 + 1 次元
はい、では、1 + 1 次元ですね。そういうことなんで以下ではしばらく 1 + 1 次元に限った話をします。理由は、

1. シンプルだから、モデルが簡単だからですね。単純だと。
2. まあ意外と重要なこととして計算できると。
3. それから、基本的なアイデアを知るには十分なんですね。
4. そうだけじゃなくて物性などでは実際に 1 + 1 次元系は存在しますから、そこにはほんとにキンクっていうのが現れる。実在してます。

5. これも講義の最後の方に出てくると思いますけども、ある状況においてはこの 1 + 1 次元がダイレクトに 3 + 1 次元に直結してます。
こんな理由からここをしっかり見とくのは悪くないだろうと。

6. まあ隠れた理由としては、キンクの話は普通の大学院生は特別に興味がない限りは聞かない話だと思うので、これを機会に聞いておくのはいいんじゃないかなっていう。教養としていいかなという、そういうことですね。
こういう理由が思いついたので、これを具体的にやっていこうと思います。

17

Soryushiron Kenkyu

1.2 Classical kinks
まずは、古典的なキンクですね。最も単純な理論は、実スカラー場 1 つ。ϕ(xµ ) というのを考えます。

µ = 0, 1 ですね。Lorentz 不変な理論っていうのは、こういう Klein-Gordon みたいな理論で、キンクが欲しいので、ϕ4 理論を考えます。

1∂µ ϕ∂ µ ϕ − V (ϕ)
2m2 2 λ 4 λv 4
V (ϕ) = −ϕ + ϕ +
2
4
4
)
λ( 2
2
ϕ − v2=4
L=(1.2.1)(1.2.2)(1.2.3)

ポテンシャル (1.2.2) の第 1 項がこっそり −m2 ってなって、普通質量項 + なんですけども、ここわざと − にしてます。そのかわり、ϕ4 のところを正にして、ポテンシャルが底なしにならないようにしてあるというんですね。第 3 項は調整項で、真空のエネルギーを 0 にするために勝手につけ加えています。
この v っていうのは 2 つの結合定数の比で、

√
v=

m2
λ

(1.2.4)と書けます。こういうふうにうまくやっとくと、(1.2.3) のようになって、いわゆる Higgs ポテンシャルの 1 + 1 次元版が出る。
V

v

−v

φ

期待してるポテンシャルがこんな感じで、2 つの真空 v と −v というのがあるんですね。Z2 対称性
は、もともと理論には、このポテンシャルの形から分かるように、ϕ を −ϕ に変えても何も変わらないという対称性が系がもってる Z2 対称性。

Z2 : ϕ → −ϕ

(1.2.5)これが真空にいくとどうかと。
真空（ローレンツ不変な配位）
φ(x, t) = −v18orφ(x, t) = v

Soryushiron Kenkyu

Z2 対称性があるためには、場の配位が ϕ = 0 にいればいいんじゃないかと。ここならば Z2 対称なんですけども、さっきのスープの話からわかるように、対称性が高いところはエネルギーが高いわけですね。そうすると、どっちかに落ちるしかないということで、ϕ = −v か ϕ = +v かということで対称性が破れると。自発的に破れるというわけです。いずれにしろどちらの真空でも Z2 対称性が自発的に破れて、Z2 対称性を尊重してるのは ϕ = 0 っていう不安定な場所のみなんですね。
よくやるように、ϕ という場を真空のまわりで、ゆらぎを η としますと、

ϕ = ±v + η(1.2.6)

(
)
1
λ 4
µ
2
2
3
Lη = ∂µ η∂ η − v λη ± vλη + η
2
4(1.2.7)と展開すると、η に関してと書けます。そうすると真空のまわりでは、この η 2 の係数が括弧の中のポテンシャルでちゃんと + で出てきて、質量項として現れてますね。

m2ϕ = 2v 2 λ = 2m2(1.2.8)

ポテンシャルの底なんで、2 次の微分が正で出てるというわけです。ちょっとだけ見ておくと、1 + 1 次
元ですから、場の質量次元は 0 ですね。m は 1。λ は 2 になって、真空期待値 v は場と一緒なんで、0になっています。
それで、真空で Z2 対称性が自発的に破れてるということで、トポロジカルソリトンがあるだろうと。
それがキンクというのはすぐわかるんですけども、これは真空とは違って、非自明な配位なわけですね。
ということは、いま古典的な理論を考えるので、古典場の場の方程式の解で非自明なものを探すということになります。

∂t2 ϕ − ∂x2 ϕ + λ(ϕ2 − v 2 )ϕ = 0(1.2.9)時間によらない静的な解を得ようと思えば、ϕ は空間のみの関数だとすれば、単なる常微分方程式になって、この常微分方程式を解けばいいんですね。ただし、どう解くかというと境界条件を指定する。

x = +∞ で ϕ = +v にいって、x = −∞ で ϕ = −v にいくか、その逆かということで、ねじれを作るわけですね。そういう境界条件をおいて解くわけです。


静的で非特異な解を求めたい。



簡単な常微分方程式
境界条件

d2 ϕ
= λ(ϕ2 − v 2 )ϕ
dx2
ϕ(+∞) = ±v ∧ ϕ(−ϕ) = ∓v

そういう解が本当に存在するかどうかというのを簡単に理解することができます。ちょっと変数を読みかえて、ϕ を X として、なんかの位置だと思います。この x を T として、時間だと思いましょうと。
そうするとこれをこの変数で書き直すと

d2 X
dU (X)=−
2dT
dX(1.2.10)

λU (X) = − (X 2 − v 2 )24

(1.2.11)になってると。ここでです。そうするとこれは、普通の Newton の運動方程式と同じで、ポテンシャル U の中を動く粒子 Xの位置座標を支配する方程式がこれだというわけですね。

19

Soryushiron Kenkyu

U (X)
X
v

−v

U っていうのは、もともとあったポテンシャルを −1 倍したものですから、こんな形になってるんですね。ポテンシャルがあるのでエネルギーは保存してる系なんですけども、例えば時刻 T = −∞ でX = −v にいたとします。で、これをこっそり、ゆっくりずらすと、X = −v から出発したものはまあ
左側に転がっちゃうこともあるかもしれませんけども、右側に転がるわけですね。右側に転がったとしたら、エネルギーは保存してるので、無限大の時間をかけて X = +v に到達すると。ということはまあ
当然ありますよね。こういってこういくと。だから、こういう解を見つけるのは我々得意なわけですから、この描像だけでもあるってわかるし、実際解けます。
余計な見た目の自由度を減らしたいために、もう 1 回変数変換して無次元座標を作っておきましょう。

ρ = mx,φ = vϕ(1.2.12)

そうすると、場の方程式、時間によらない場の方程式はパラメータ 1 個も入ってない、こんな感じになってしまうんですね。

d2 φ= φ(φ2 − 1)dρ2

(1.2.13)だから、解の変化のスケールは O(1) だと。この変数で見て O(1)。すなわち、

ℓ∼

1
1
∼
m
mϕ

(1.2.14)だから非自明な解があったとしたら、そのスケールは、さっき基本粒子の質量分の 1 だと言いましたけ
ども、それはこっから見て取れるわけですね。エネルギーはどうかというと、この変数で書いてやると、

m3
M=
λ

∫

[

]
m3ϕ
1 ′ 2 1 2
2dρ (φ ) + (φ − 1) ≃2
4
λ(1.2.15)

まったくパラメータに依存しないものに全体に m3ϕ /λ というのが掛かっています。これは積分してO(1) になってるわけですけども、大体この基本粒子の質量で決まるスケールを結合定数 λ で割ったと。
これがさっき言った一般的な性質です。
厳密解が存在して、場の方程式はd2 ϕ= λ(ϕ2 − v 2 )ϕdx2

(1.2.16)

もう 1 回スケールしてない変数で書きましたけれども、これを解くテクニックとしては 1 つは、エネル
ギー積分してやればいいわけですね。ϕ の x 微分を掛けてやると、こういうものになります。

[ ( )
]
2
λ 2
d 1 dϕ− (ϕ − v 2 ) = 0
dx 2 dx4

20(1.2.17)

Soryushiron Kenkyu

そうすると、この [· · · ] は x に依存しない定数だということなんで、こうなりますね。

1
2

(

dϕ
dx

)2
−

λ 2
(ϕ − v 2 ) = const.
4(1.2.18)

定数なんで、x によらず何かある値ですけども、じゃあ x → ∞ で見たら ϕ → +v ですから、第 2 項は

0 だし、v っていう一定値になりますから第 1 項も 0 になると。ということでこの定数は 0 だというわけですね。ということで、これを書き直すと

dϕ
=±
dx

√

λ 2
(ϕ − v 2 )2(1.2.19)になると。± 2 つ出てきますけども、2 階微分方程式だったのが 1 階微分方程式になるという 1 次元ならではの特殊なことがあります。
で、これ解けます。普通に積分してやればよくて、積分すると、厳密解はこの ± の符号に対して + の方が tanh の関数で書けると。

[

m
キンク : ϕ(x) = v tanh √ (x − x0 )2]
(1.2.20)

ここに x0 っていうのは定数で、1 回積分してやったことによって入ってくる積分定数ですね。
1.0

φ/v

0.5
0.0
0.5
1.0

20

10

0

10

20

mx

解は x0 = 0 とおいたら tanh なんで図のようになると。これ座標は mx で書いてて縦軸は ϕ/v なんで、H/(m3 /λ)x = −∞ で ϕ = −v にきて、x = +∞ は ϕ = +v にいってると。
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
20

10

0

10

20

λ/m3 っていうので無次元化したエネルギーを見ますと、こういうふうになって、x = 0 に局在した粒子的な配位があるというわけですね。
反キンクの場合は、− がつきます。それだけです。あと全部一緒。

[

m
反キンク : ϕ(x) = −v tanh √ (x − x0 )2]
(1.2.21)

ここ − がつくんで、上下が反転します。
1.0

φ/v

0.5
0.0
0.5
1.0

20

10

0

10

20

mx

H/(m3 /λ)反転して、逆に x = −∞ で ϕ = +v で x = +∞ で ϕ = −v になると。
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
20

10

0

21

10

20

Soryushiron Kenkyu

でもエネルギーで見ちゃうと同じですね。キンクと反キンクはエネルギーでは同じになっています。質量は、キンクも反キンクも厳密解があるので厳密に計算できて、√
2 2 m3
Mkink = Manti-kink =3 λ(1.2.22)となります。
トポロジカル電荷、トポロジカル電荷って言ってますけども、そのほんとになんなんだと。電荷っていうのは、なんか保存量に関係してるんですね。ここでは、トポロジカルカレントっていうのを考える。
それはですね、こんなもんです。ϕ の微分を反対称テンソルでつぶしたようなものですね。

1 µνϵ ∂ν ϕ2v
ϵµν = −ϵνµjµ ≡(1.2.23)(1.2.24)

そうすると、これの発散をとると、あきらかにここは反対称なんで、0 になりますね。

∂µ j µ = 0(1.2.25)ということで、勝手にこんなもんとってきたんだけども、これは保存カレントになってるというわけですね。じゃあその 0 成分の空間積分がこの保存カレントの電荷で、具体的には、1/2v っていうのは規格化ですけども、ϕ/2v の x = +∞ と x = −∞ での値の差になってくるんですね。

[

]x=+∞
ϕ
dxj =
2v x=−∞∫

0Q=(1.2.26)

境界での値、トポロジーが重要になってくるというわけです。
キンクの場合は、ϕ(+∞) = v で、ϕ(−∞) = −v ですから、トポロジカル電荷はQ=

v − (−v)= +12v(1.2.27)Q=−v − (v)= −12v(1.2.28)

反キンクの場合はこの逆で、というふうに出て、これは保存カレントなんで、キンクとか反キンクは安定に存在しているということを意味している。
もうちょっと安定性について議論したいんですけども、いま言ったように、この場の配位、解はトポ
ロジカル電荷、保存量で分類されます。

Q=0：真空、キンク-反キンク

Q = +1：キンク

Q = −1：反キンク

いま見た ϕ4 理論では 3 つの異なる状態があって、それぞれトポロジカル電荷で分類して、トポロジカ
ルセクターというふうに呼ばれてますけども、Q = 0 っていうセクターは、真空もしくはキンク-反キン
クが同じ個数だけあるような状態です。それから Q = +1 ってのはキンクが 1 個ある状態もしくはキン
クと反キンクのペアがついててもいいですよと。Q = −1 ってのは反キンクの状態ですね。ちなみに、

Q = N (|N | > 1) っていう状態は ϕ4 理論ではありません。N > 1 っていうような、キンク 2 個っていう状態っていうのは実は作れません。

22

Soryushiron Kenkyu

v

キンク

−v

その理由は簡単で、キンク 1 個っていうのは、このポテンシャルをちょっと 90 度横にして書いたものとキンクを書いたものですね。x = −∞ で ϕ = −v で、x = +∞ で ϕ = v にいくと、下から上へ橋渡ししてるのがキンクですけども、もしもキンクを 2 個置こうと思ったら、1 回上がってるので、もう 1
回つなごうと思ったら、どうしても反キンクを置かなきゃいけないんですね。

キンク

反キンク

キンク

だから ϕ4 理論には、キンク 2 個置くには反キンクを真ん中に挟まなきゃいけなくて、結局このトポロ
ジカルセクターは +1、トポロジカル電荷は +1 になってしまって、ϕ4 理論っていうかキンクにはよくあることなんですけども、有限個しか置けないということがあります。
もちろん Q は保存電荷なので、1 を 0 にするような遷移はないわけですね。で、もうちょっと別の見方でいまの安定性を考えてみたいと思います。今日の講義のキーワードの 1 つとして Bogomol’nyi 平
方完成っていうのがあるんですけども、これをちょっと見ていこうと思います。Hamiltonian を、時間依存性はもう無視したもんですけども、書いてみました。

1
H=
2

(

dϕ
dx

)2
+

λ 2
(ϕ − v 2 )24

(1.2.29)

これが与えられた Hamiltonian ですね。これよく見ると、ここ 2 乗でここも 2 乗になってるので、平方完成できるわけですね。

[
]2 √
√
λ 2
λ dϕ 21 dϕ
2
H=±(ϕ − v ) ∓(ϕ − v 2 )
2 dx
2
2 dx

(1.2.30)

平方完成なんでここ + にしても − にしてもいいんですけども、そうするとお釣りの項、cross term が出てきます。質量はこれを積分したもんですから、空間積分してやりますと、結局いま平方完成した部
分とお釣りの部分を一緒に積分してやると。

∫
E=

dx

 [
 1 dϕ
2

dx

√
±

]2

λ 2
(ϕ − v 2 )
2

√
∓



λ dϕ 22(ϕ − v )
2 dx(1.2.31)

そうすると、2 乗の積分してるので正定値なので、残りの積分よりもエネルギーが絶対大きいというふ
うに言えますね。

√ ∫dϕ
λdx (ϕ2 − v 2 )
E≥∓
2
dx

23

(1.2.32)

Soryushiron Kenkyu

2
2
これ dϕ
dx (ϕ − v ) というふうになってるので、実際積分ができて、√ []ϕ(+∞)=±v
λ ϕ3
E≥∓− v2 ϕ2 3
ϕ(−∞)=∓v(1.2.33)

こういうふうにできるというわけです。このように、エネルギーっていうか質量が下からバウンドされてるわけですね。ですから、無限遠での境界条件を決めると、これで決まる量を計算すると、さっきちょっと出てきた√
2 2 m33 λ(1.2.34)になりますけども、これよりも絶対大きいということになるわけですね。だから、この境界条件をもつ場の配位の中で最低のエネルギーをもつものはこのエネルギーをもつもので、それより小さいものはな
いということなんで、このエネルギーをもったものは安定であるということがわかります。ちなみに等式が成り立つのは [· · · ]2 = 0 になるときですから、

dϕ
±
dx

√

λ 2
(ϕ − v 2 ) = 02(1.2.35)

ですね。これはさっき見た、エネルギー積分して出てきた 1 階の微分方程式そのものですね。これはBogomol’nyi-Prasad-Sommerfield っていう人の頭文字をとって BPS 方程式というふうに呼ばれてて、
いまこの理論からわかるように BPS 状態っていうのはエネルギーの下限をヒットしてるということで安定であるということがわかります。
いま ϕ4 理論でやりましたけども実は 1 次元は非常に特殊で、ポテンシャルによらず同じ議論ができます。空間にしか依存しない配位のエネルギーの表式は

∫
E=

[

1
dx ϕ′2 + V
2](1.2.36)で与えられますけども、これを無理やり平方完成してやると。

∫
E=

]
[ (
√
1 ′ √ )2′dx
ϕ ± 2V ∓ ϕ 2V2

(1.2.37)

そうすると、この部分は 2 乗なんで、結局∫ ϕ(+∞)
E≥∓

√
dϕ 2V

(1.2.38)ϕ(−∞)になるということで、このバウンドがサチるのは (· · · )2 が 0 になるときですから、BPS 方程式は

ϕ′ ±√2V = 0(1.2.39)

質量は∫ ϕ(+∞)
M=

√
dϕ 2V

(1.2.40)ϕ(−∞)

x = ±∞ での ϕ の値だけで決まるというようなものになっています。ここからわかることとして、あと√で重要になってくるんですけども、ϕ′ = ∓ 2V なので、2 乗すると
1 ′2
ϕ =V
2
24

(1.2.41)

Soryushiron Kenkyuというわけですね。ということは、運動項からくるエネルギーと、ポテンシャルからくるエネルギーが同じだということで、いわゆるビリアル定理みたいになってるということです。

∫

1dx ϕ′2 =2∫
dxV(1.2.42)

で、ちょっと安定性の確認を、簡単な数値計算で見てみましょう。
1.0

少しずれた配位（初期状態）
40

0.5

20

静的な解
20

40

0.5

1.0

点線のほうが厳密な tanh の解です。勝手に手でそこから少しずらした状態を用意して、それを時間に依存した運動方程式 (1.2.9) の初期状態としてこの青い線を入れて、解いてみます。

これどうなるかっていうと、エネルギーを勝手に与えてるので揺らぐわけですね。で、x = 0 あたりに不自然に溜まってたエネルギーは radiation として逃げてくと。だけども、大ざっぱな構造はなくなんないんですね。だからキンクそのものはなくならないというわけです。

25

Soryushiron Kenkyu

キンクのエネルギー密度、Hamiltonian を

1
Ekink =
2

(

dϕ
dx

)2
+ V (ϕ)(1.2.43)

として、radiation のエネルギー密度を

1
Erad =
2

(

dϕ
dt

)2
(1.2.44)というふうに定義するならば、全エネルギーは、このキンクのエネルギーと radiation のエネルギーに分割できますね。

Etot = Ekink + Erad

(1.2.45)

それをいまのシミュレーションに対してやってみると、こんなふうになります。

青いのがキンクのエネルギーで、下にひょこひょこっと出る紫みたいのが radiation のエネルギーです。
キンクのエネルギーはふらふら振動してます。それに合わせて radiation が出て、この radiation は基本粒子と同じ質量を持っていて、mϕ が小さければだいたい光速で伝わるということなんですけども、ここにある局在してるエネルギーはやっぱりなくなっていないというわけですね。

26

Soryushiron Kenkyu

いままで radiation は除いて静的なキンクを考えましたけども、動いてるキンクを作りたければ、ブーストすればいいということで Lorentz ブーストすると、単純に

x − utx −→ √
1 − u2(1.2.46)と変わるだけですね。

[

m x − ut
ϕ(x, t) = v tanh √ √2 1 − u20≤u≤1]
(1.2.47)(1.2.48)u はブーストした速度です。こっからわかることは、まずキンクの大きさってのは、x にかかってる部√分ですね。x にかかってる係数が 1/ 1 − u2 倍されてるので、この逆数が大体キンクの典型的長さです
から、

ℓu =

√
1 − u2 ℓ0 < ℓ0(1.2.49)√

1 − u2 倍されてるのでこれはまさに Lorentz 収縮が起きてると。質量の方も計算してみると、[]∫
1 2 1 ′2
M0
Mu = dx ϕ̇ + ϕ + V = √> M0(1.2.50)2
2
1 − u2√
今度は止まってるソリトンの 1/ 1 − u2 ということで、動いてる普通の粒子とまさにおんなじように
Lorentz 収縮するし、エネルギーも大きくなるというふうになって、まさに粒子的になってますというわけです。
これってずーっと続けてくんですかね…一旦休憩とってもいいんだっけ。半分って何時？…いま半分？そっか、少し休憩入れますか。えー、普通何分入れるんですか？ 10 分。じゃあ 10 分休憩入れましょう。

〜〜休憩〜〜

はい、それじゃあ続けます。後ろ見ながらだと、首が痛いんで。皆さんに背中を向けることになって申し訳ないんですけども。テンションはだんだん上がってきたんですけど体力はだんだんなくなってき
てるんで、いま平衡状態…。

1.2.1

キンクと反キンク

今までキンク 1 個の話をしてきたんですけれども、じゃあ相互作用はどうなのか、ということでもう少し話をしたいと思います。あんまり近づいているとそもそもキンクと反キンクは潰れちゃうので、意味がないので、キンクと反キンクが自我を保てるぐらい離れているとします。キンクの典型的なスケー
ルは m−1 なので m−1 よりもキンクが十分離れている状況を考えてみましょう。

a ≫ m−1(1.2.51)

そうすると、十分離れていればお互いの影響は少ないので、キンクと反キンクを足してやり、ちょっと帳尻を合わせておくために −1 をつけてやると、十分、すごくいい解になります。

]
] }
{
[
[
a)
a)
m (
m (
ϕkk̄ (x; a) = v tanh √ x +− tanh √ x −
−1
2
2
2
2
|
{z
} |
{z
}
ϕk

ϕk̄

27

(1.2.52)

Soryushiron Kenkyuというのは、tanh というのは中心から離れると指数関数的に定数になってしまうので、a っていうのは互いの距離ですね、これが十分大きければ影響ないということです。
キンク

1.0
0.5

反キンク

L

0.0

m−1

0.5
1.0

20

10

0

10

20

a

こんな感じになっております。キンクと反キンクがあって、キンクの典型的なサイズが m−1 で、それよりも十分大きく離しておこうと。じゃあキンクが反キンクから受ける力を計算したい。そこでエネル
ギー運動量テンソルを見ます。で、キンクの運動量…キンクというのはここですね。大体 x = −a/2 のとこにある。キンクの運動量っていうのは、エネルギー運動量テンソル

1Tµν = ∂µ ϕ∂ν ϕ − ηµν L
2(1.2.53)の空間部分、−T01 の、キンクを中心に大体 L の幅だけ積分してやると。

∫ (−a+L)/2
Pk =−T01 dx (L ≫ m−1 )(1.2.54)(−a−L)/2

この L はやっぱり m−1 よりも十分大きくなきゃいけないですね。だけどあんまり大きいと今度は反キンクのほうが入ってきてしまうと困るので a よりは小さい、けども m−1 よりは大きい領域でとってやると、こいつの運動量とみなしていいだろうと。
これは簡単な式なので T01 を実際やってみると、時間微分と空間微分を掛け算したものになる。

∫ (−a+L)/2∫ (−a+L)/2−T01 dx = −Pk =(−a−L)/2

ϕ̇ϕ′ dx(1.2.55)(−a−L)/2

運動量がわかれば、その時間微分を計算してやれば力がわかるというわけですね。ということで、この式をもう 1 回時間で微分すると、ここで運動方程式を 1 回使いますとこんな感じに書き換えることがで
きます。

dPk
dt
∫ (−a+L)/2=−(ϕ̈ϕ′ + ϕ̇ϕ̇′ )dx

Fk =

[

(−a−L)/2

1 2
1= − ϕ̇2 − ϕ′ + V22](−a+L)/2(1.2.56)(−a−L)/2

これは積分できます。これやってみてもらえれば分かるんですけども、これを計算するのに、キンクが十分離れてて、手で止めておくとします。キンクを固定したまま a を変化させたときに、どう力が変わっていくかというのを見たいと思います。したがって運動項は 0。そうすると後ろの 2 項だけになる
んですけども、この −ϕ′ /2 と V は一緒なんですね。さっきのビリアル定理です。キンクと反キンクの
2

個々に対してはビリアル定理を使ってもいいので、これを使います。
さっきの重ね合わせの解を代入しますと、こんなものが得られます。

[](−a+L)/2
Fk = −ϕ′k ϕ′k̄ + V (ϕkk̄ ) − V (ϕk ) − V (ϕk̄ ) (−a−L)/228(1.2.57)

Soryushiron Kenkyu

Fk はバックグラウンド解で決まっているわけですね。ϕk というのは (1.2.20) で、ϕk̄ というのは(1.2.21) で、これは全部わかっているわけですね。それを左側にあるキンクの左手側と右手側の値をとってきて、引き算すればいいわけです。いま x = −(−a + L)/2（キンクの右手側）のとこで考えてみましょう。そうすると、キンクっていうのは −v から v へいくのでキンクの右手側は v ですね。v からのちょっとしたずれを δk+ として、

(
ϕ+
k =ϕ

−a + L2)= v + δk+(1.2.58)

同じように ϕk̄ のほうは v から −v へいくので、反キンクはキンクの右手側にあったので、この場所は反キンクの左手側になるわけですね。ちょっとわかりづらいですね。

(
ϕ+
=ϕ
k̄

−a + L2)= v + δk̄+

(1.2.59)

キンクの右手側は反キンクの左手側、お互いに v なんですね。v からのずれをそれぞれ δ としています。
どちらも中心はほとんど v なんですけれども、そこから δ だけずれているとします。それぞれのずれを

δk+ 、δk̄+ として、ポテンシャルに代入してやります。そうすると ϕk + ϕk̄ − v というのは v + δk+ + δk̄+となって、この δ は小さいので展開してやるとこうなります。

V (ϕkk̄ ) = V (ϕk + ϕk̄ − v)
= V (v + δk+ + δk̄+ )1= V (v) + V ′ (v)(δk+ + δk+ ) + V ′′ (v)(δk+ + δk̄+ )2 + · · ·2(1.2.60)

同様に V (ϕk ) も計算してやると、こうなりますね。

V (ϕk ) = V (v + δk+ )1= V (v) + V ′ (v)δk+ + V ′′ (v)(δk+ )2 + · · ·2(1.2.61)V (ϕk̄ ) についても同様です。δ の 0 次と 1 次と 2 次をそれぞれ足しあわせてやると。
結局計算するとこんな感じになります。
− −
+′
−′ −′
2 + +
Fk = −(ϕ+′k ϕk̄ − ϕk ϕk̄ ) + mϕ (δk δk̄ − δk δk̄ ),m2ϕ = V ′′ (±v)(1.2.62)

ここに知っている解

[

]
m (
a)
ϕk = v tanh √ x +
2
2
[
]
(
m
a)
ϕk̄ = −v tanh √ x −2
2(1.2.63)(1.2.64)

をポンと代入してやってリーディングを拾ってくるんですね。ちょっとこの計算は面倒くさくてここには書いてませんけれども、だいたいリーディングではこんな指数関数になった力が計算できます。

Fk =

4m4ϕ
exp(−mϕ a)λ(1.2.65)だから、キンクと反キンクは十分離れていると、ほとんど相互作用ってないんですね。予想通り a がでかければでかいほど、力はなくなって、これは引力です。というのは、これはキンクにかかる力なので、左側にあるキンクが右側にある反キンクから受ける力なので、反キンク側に引っ張られている。ですから、引力になっています。

29

Soryushiron Kenkyu

kink

anti-kinkaということで、反キンクの方にも同じ力が作用して、キンクは反キンクの方に、反キンクはキンクの方に引っ張られて同じ力がリーディングで (1.2.65) となるというわけです。これをよく見てみると、指数関数型なんで質量 mϕ のスカラー粒子が伝える湯川型のポテンシャルと同じ形をしているわけですね。
感覚としてはキンクと反キンクの間に質量 mϕ のスカラー粒子が飛んで、粒子を交換して力が働いているというようなイメージです。
じゃあ、動的だったらどうかと。今のは静的な解だったんですけれども。キンクと反キンクはトポロ
ジカル電荷が正味でゼロなので潰れるだろうと思いますね。お互い速度を光速の 1/10 ぐらいでぶつけてみる、というのを数値計算してみると、だいたい、こうゆっくりと近づいてきて、なくなるんですね。

図：光速の 1/10 の初速度でぶつけた場合。
ここでなんかバウンスしながら radiation を吐いて、こうずっと振動があって、かなりこれ長いこと振動して消えていくと。Radiation はだいたい光速で飛んでいくので、境界の影響をなくすためには、数値計算はやりたい秒数と同じくらい長い空間を用意しなきゃならなくて大変なんですけども。そうじゃないと反射してきてしまうので。これが速度が遅い時です。速度をちょっと速くするとどうなるのかと
いうと、

30

Soryushiron Kenkyu

図：光速の 1/5 の初速度でぶつけた場合。
バウンスするんですけれども、さっきと同じかと思うと、跳ね返ると。ということで、キンクと反キン
クはトポロジカル電荷が 0 なんで衝突したらなくなっちゃうかなと思いきや、いつもそうとは限らないんですね。もっと速くすると、光速の半分くらいですけども、

図：光速の 1/2 の初速度でぶつけた場合。

31

Soryushiron Kenkyu

1 回もバウンスなく反射されると。こういう性質を持っています。
あとよくやるのは、ソリトンが与えられたら、その周りのモード展開というのを考えます。そして、
例えばモード展開して解のまわりのスペクトラムを見た時にタキオニックモードが出たら、その中心
はやばいと、不安定であったということなんですけども、まあ今はトポロジカル電荷で守られているので、確実にタキオニックが出ないことは確信しているんだけれども、やったらどうなるのか、やってみましょう。

ϕ(x, t) をバックグラウンドのキンク解とゆらぎに分けます。
ϕ(x, t) = ϕk (x) + φ(x, t)(|φ| ≪ v)(1.2.66)

バックグラウンドは x にしかよらない。ゆらぎは x と t によっています。で、これは十分小さいゆらぎ
だと思って、運動方程式にこれをぶち込んで、φ の 1 次まで取ってくると、このように線形化された方程式が得られます。

∂µ ∂ µ φ + λ(3ϕ2k − v 2 )φ = 0(1.2.67)

これのゆらぎ、φ の固有モードを見つけたいので、e−iwt という振動数と fω (x) に分けて、この ω というものはどういうものが許されるのか、ということを調べます。

φ(x, t) = e−iωt fω (x)(1.2.68)

これをポンと代入しますと、fω というのはこんな形の Schrödinger 型の方程式を満たすことがわかり
ます。

[
]
d2
− 2 + U (x) fω = ω 2 fωdx

(1.2.69)

Schrödinger ポテンシャルは何かというと、U (x) はいま、元の方程式に入っていたU (x) = λ(3ϕ2k − v 2 )(1.2.70)です。
U/λv 2

2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
10

5

0

5

10

mx

この ϕk っていうのはバックグラウンドのキンクのことなので、これは x に依存したこんな形をしています。そうすると、高さは有限なので上の方は散乱モードになって、だけども凹んでいるので、束縛状態がありそうですね。それを求めてみましょう。
基底状態ですけども、これは実は ω = 0 になるということがわかります。その波動関数は厳密にわ
かって、このようになります。

mx
f0 (x) = A0 sech2 √2(1.2.71)

2.0
1.5
1.0
0.5
0.0

0.5
1.0
10

5

0

32

5

10

Soryushiron Kenkyu

波動関数を書いてみると、ポテンシャルに対して、中心に局在する基底状態があると。これはゼロモードです。これは何かっていうと、平行移動と関係しています。キンク解 (1.2.20) っていうのは、さっきちらっと見せましたけれども、積分定数 x0 がありますね。この積分定数は並進対称性が破れたことによるゼロモードです。南部-Goldstone モードです。こういうのを解のモジュライパラメータっていうんですね。つまりこの x0 はなんでもいいんで、これは解のパラメータですけれども、その x0 をちょっとずらしたときにどれだけ解が変形するかっていうと、tanh を微分すると sech が出てきます。つまりこの

f0 (x) はこの ϕk を x0 で微分したものになっていますね。
f0 (x) ∝dϕk
dx0(1.2.72)

もちろん平行移動にはエネルギーは必要ないので、これが massless モードですね。
実は第一励起状態もわかっていて、振動数と波動関数が

√

√
3
3
ω=
m = √ mϕ22 2
mm
f1 (x) = A1 sinh √ xsech2 √ x
2
2(1.2.73)(1.2.74)

2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
10

5

0

5

10

10

5

0

5

10

1.0
0.5
0.0
0.5
1.0

となっています。これはノードが一個あるこういうやつですね。これは何かというと、この点線っていうのがバックグラウンドでこの f1 を付け加えると解が少し変形します。これは解の変形モード、解の形
をぐにっと変える shape モードとかですけども、解を変形するのに必要なエネルギーが ω です。これも中心に局在した波動関数になっている。
もっと上だともはや束縛状態がなくて散乱状態で、エネルギーは

ω 2 = p2 + 2m2 = p2 + m2ϕで、この 2m2 は何かっていうと基本粒子の質量の 2 乗ですね。基本粒子の質量は(1.2.75)√2m なので。つまり基本粒子の散乱ですね。ということで波動関数はこのようになります。

(
ipx

fp = e

)
√
m
3 2p
m
2p2
3 tanh √ x − 1 − 2 − itanh √ xmm
2
22

厳密解で全部解けています。

散乱
スカラー場の質量

mφ
√
3
√ mφ
2 2

0

33

変形
平行移動

(1.2.76)

Soryushiron Kenkyuということでスペクトラムがどうなっているかというと、一番底にゼロモードがあってその上に変形モードがあって、さらにその上にスカラー場の質量 mϕ のところから上に散乱モードがあるというふうになっていますね。この√√3/(2 2) というのは 1 より小さいので mϕ より低いところに変形モードがあるというふうになっています。この計算は後でキンクを量子化するときに必要になってきます。ということでタキオニックモードがないということで、予想されたようにキンクは安定であると。微小揺らぎに対しても安定であるというわけです。

1.2.2

モジュライ空間

トポロジカルソリトンをやるとよくモジュライ空間っていうのが出てくるんですけれども、それもこ
こで簡単に説明しておきます。バックグラウンド解はこれで与えられています。

mϕk = v tanh √ (x − x0 )2

(1.2.77)

この x0 というのは積分定数だったんですけれども、これをモジュライパラメータといって、x0 というのは実数ならなんでもいい。これを 1 個決めると解が 1 個決まる、ということで解の空間というものを考えることができます。解の空間の中の座標が x0 というもので、解の空間のことをモジュライ空間といいます。運動方程式の解は無限個あって、いま言ったように抽象的な解の集合を考える。今の場合は、
キンク 1 個のモジュライ空間は

Mk = R(1.2.78)となる。まあ、−∞ と +∞ を含めてもいいんですけど。
モジュライ近似 [2] というのがテクニックとしてあるので、ここで紹介しておきます。モジュライパ
ラメータ x0 というのはさっき言ったように translational ゼロモードですね。キンクに閉じ込められている。キンクに局在したモードで、キンクから出られないのでこの x0 をパラメータから場に格上げしま
す。場なんだけどもキンクに局在しているので空間方向の依存性はないとして、x0 を t の関数として拡張することにします。

x0 → x0 (t)(1.2.79)

そうするとこのキンク上の場だと思ったら、この x0 (t) はどんな理論に従うだろうか。その有効理論を求めてみましょう。元々の作用がこうありました。

∫
S=

[

]
1
1 ′
2
2
dtdx ϕ̇k (x; x0 (t)) − ϕk (x; x0 (t)) − V (ϕk (x; x0 (t)))
22(1.2.80)

バックグラウンド解をこう代入してあげるわけですね。ただしバックグラウンドが元々はパラメータ x0という定数によってたんだけれども、この x0 をいま時間の関数と思っています。そうすると、この運動項の時間微分が x0 (t) を叩くわけですね。
ちょっと見てみると、ϕk の時間微分は結局 x0 (t) の時間微分になります。x0 (t) の時間微分になるんですけども必ず x − x0 (t) のコンビネーションになるので、解を 1 回微分する形になります。

∫
S=

[

ϕ′2
ϕ′2
dtdx k ẋ20 − k − V (ϕk (x; x0 (t)))
22](1.2.81)

ここでキンクの質量は何かっていうと、

∫
M=

[

]
ϕ′2
k
dx
+ V (ϕk (x; x0 (t)))
234(1.2.82)

Soryushiron Kenkyu

でこれは定数です。x0 を x0 (t) に格上げしようがしまいがキンクの質量は M なので。運動項の空間積分をすると ϕ′ k /2 と V は一緒なので、運動項部分は半分に分けてポテンシャル部分を出したとしたらこ
2

こは M/2 っていうわけですね。ここでビリアル定理を使った。そうすると作用はこんな感じになる。

∫
S=

(

M 2
dt −M +ẋ
2 0)
(1.2.83)

Free ですね、当然。M っていうのはキンクの質量なので落としたとすると、ちょうど有効作用は単なる微分の 2 次が来てるだけ。

Leﬀ =

M 2
ẋ
2 0

(1.2.84)

ここに質量がちょうど来てるのが当然ですね。キンクの質量は M なので −M/2 という係数になっているわけです。
それでこれは、点粒子だと思ったら、相対論的粒子の作用を時間微分が小さいと思って展開すると∫S = −Mdt= −M −√
1 − ẋ20

M 2
ẋ + · · ·2 0(1.2.85)

高次の微分項を無視すると、有効理論が得られます。有効理論は free なので当然解は t の 1 次関数っていうのが答えですね。

ẍ0 = 0⇒x0 = ut + X0

(1.2.86)

等速直線運動ですね。それを元の解にもう 1 回戻してやると、mϕk ≃ v tanh √ (x − ut)2(1.2.87)という解が出てくるわけですけれども、我々は既にブーストした厳密解を知っているわけですね。
それとどういう関係にあるかっていうと、いま、得られた近似解は (1.2.87) で、真の解のブーストした解は[

m x − ut
ϕ(x, t) = v tanh √ √2 1 − u2]
(1.2.88)で、この u が光速より十分遅いという近似で展開すると、リーディングに近似解が出てきます。

mϕ(x, t) ≃ v tanh √ (x − ut) (u ≪ 1)2

(1.2.89)

つまりソリトンの動きが十分遅くて、Lorentz 収縮しないよと、Lorentz 収縮の変形を忘れた近似で出てくるのが、モジュライパラメータを場に格上げしてその運動方程式を解いて、それを代入して得られた運動する解と、そういうわけですね。この模型では、どんな速度でもいいような解がわかっているので、有効理論を求めてからそれを代入してと、すごく遠回りをしてますが、もっと次元が上がったりだとか、
いまソリトン 1 個ですけどソリトンが複数個現れたら、モジュライ空間は複雑になります。その時にソリトンがどういう運動をするのかっていうのは解くのが難しくって。で、ちょっと続きを言っておくと、モジュライ近似は結局何がわかったかっていうと、十分ゆっくり動くソリトンの運動を記述することができるわけですね。面白いのは、場の理論っていうのは無限自由度なんだけれども、有効理論っていうのは時間のみの関数になっちゃったんで、モジュライパラメータの量子力学なんですね。それは有限自35

Soryushiron Kenkyu

由度です。無限自由度の理論のソリトンの運動を有限自由度の量に置き換えた。ということで、すごく簡単化してます。こういうのは次元が上がって例えばモノポールとかインスタントンとかやっても同じで、マルチモノポール解だとかマルチインスタントン解だとかがどう散乱するのかとかを見るときに場の理論そのもので解くのは難しい。だけども自由度を有限に限定してしまって解いてやることによって、解の変形などはしない程度にゆっくりなときはこれで十分いい近似解が得られると、いうふうにやります。そうすると解の空間、モジュライ空間の量子力学となって、そうすると解の空間がどういう多様体
なのか、というのが必要になってきて、多様体がどんな多様体なのか、その多様体がわかったら、運動を記述したいと思えば、計量を求めなければならないですね。計量がわかれば測地線がわかる。測地線がわかればソリトンの運動がわかる、っていうわけでそういうプログラムが走っていくわけです。

1.2.3

Sine-Gordon 模型

いままで ϕ4 模型だったんですけれども、特別な模型として、sine-Gordon 模型というのを考えます。
これは色んな意味で特別です。

1. まず ϕ4 理論とよく似ているっていう特徴があります。
2. それから、ちょっと違うと言ったんですけれども、これは位相欠陥型と言うよりはテクスチャー
型ソリトンとみなすことができます。

3. ϕ4 と違うのはキンクと反キンクを好きな数だけ置けます。
4. 一番重要なのは厳密に解ける。可積分系なんですね。
Sine-Gordon 模型のスカラーポテンシャルというのはこういうふうに書けます。
[
(√ )
]
m4
λ
V (ϕ) = −
cos
ϕ −1
λ
m
=

λ2 6
m2 2 λ 4
ϕ − ϕ +
ϕ ···
2
4!
6!m2

(1.2.90)

4 次まで見れば ϕ4 理論と同じ。ただ、6 次 8 次…とあると。基本粒子の質量は m、結合定数は λ です。

√
√

−4π

−2π

2π

O

λ
φ
m

4π

cos は周期的なんで、 mλ ϕ でスケールすると、2π の周期をもちます。
これだけたくさん真空があるので、あるところからあるところに移るキンクっていうのがいっぱいあるわけですね。無限個あります。一般解はこうやって書けます。

2v
(N )
ϕk =
tan−1 exp m(x − x0 ) + N v
π

N = −2N = −1

36

N =0

(
)
2πm
v= √
λ

N =1

(1.2.91)

Soryushiron Kenkyu

N =1
N =0
N = −1
N = −2

N は整数なら何でもよくて、N = 0 に対応するのは 0 から 2π に行くやつです。当然反キンクもこれと同じ数だけ、同じ種類だけあります。

√

キンクの質量は先ほど一般の BPS 質量公式というのをやったんで、 2V の −∞ と +∞ での積分をしてやればいいと。これを計算すると∫ ϕ(+∞)
Mk =√8m3
dϕ 2V =
λϕ(−∞)(1.2.92)となって、やはり結合定数分の 1 になります。トポロジカル電荷なんですけども、この場合は位相欠陥√と思うよりは、スケールされた mλ ϕ というのを新しい場の変数だと思うと、

√
λ
ϕ,
Θ=
m

V =−

m4
(cos Θ − 1)
λ(1.2.93)ということなんで、2π の周期性があるので、Θ と Θ + 2N π を同一視すると、結局この場の範囲は、−∞から +∞ ではなくて、0 から 2π でいいだろうと。つまり S 1 だと思えるわけですね。
そうすると、この Θ っていう関数が何を与えるかっていうと、x = −∞ から x = +∞ を 0 から 2πに移しているわけですね。
Θ0x = −∞

2πx=∞

0 と 2π を同一視しているので結局、x = −∞ と x = ∞ を一点コンパクト化したと思うと 1 次元空間は
S 1 と同型になります。Θ(x) という関数は S 1 を S 1 に移していると考えられるわけですね。
テクスチャー型関数 Θ(x) : S 1 → S 1

ラッピング
回数

何回巻くかということが何個キンクを出すかということになります。ラッピング回数は何回でもいいので、sine-Gordon では、何個もキンクを置くことができます。

37

Soryushiron Kenkyu

φ4 理論

Q = −1, 0, +1 しかなかった
キンク 反キンク

キンク

反キンク

キンク

sine-Gordon 理論
Q∈Z
キンク

キンク

キンク

キンク 反キンク

キンク

ϕ4 理論との対比で言うと、ϕ4 理論の場合は −1, 0, +1 というトポロジカルセクターしかなくってキンクの隣には必ず反キンクがいなければならなかったんですね。Sine-Gordon ではトポロジカル電荷はラッピング回数なので、キンクの隣にキンクを置いてもいいんです。ということでソリトンの理論としてはよりバラエティーがあると。
φ

非常に素晴らしいのは、例えばキンクとキンクの散乱というのが厳密解で解けます。横軸に x、縦軸に時間をとったんですけども、プロットしてるのは ϕ の 1 階微分ですね。キンクのあるところがポコっとでるように。これは時間が進むにつれて、最初は直線的に進んできて、散乱されていく様子が描かれています。こ
れは厳密解

t

2v
u sinh mγxtan−1πcosh muγt
1γ=√
1 − u2ϕkk =(1.2.94)(1.2.95)

で、パラメータ u はキンクと反キンクの速度ですね。こんなふう

xに書けてしまうと。この状態の全体の質量も計算することができましてE = 2γMk > 2Mk(1.2.96)となります。よって、ただ単に静的に 2 個キンクがあるときよりもエネルギーが高くなっているというわけです。ちょっと見てもらうとわかりますけども、もし相互作用がなかったとしたら、ポコっとした山の頂点は斜め上にまっすぐになるはずですね。だけど、ちょっとずれてますね。それは相互作用があって、これ説明してないですけれども、この場合キンクと反キンクは引力で、キンクとキンクは斥力になっています。ですからキンクとキンクが衝突後ちょっと前に進んでますね。これは少し速くなったから。それは斥力が働いているということを意味しています。この時間のずれというのが計算できて、

δt = −

2
log |u|muγ(1.2.97)になる。重要なこととして、キンクとキンクがぶつかっているんですけども、全く波が立っていないんですね。小さな波が。キンクは形を保ったまま。Radiation がない、ということは驚くべきことだと思
います。

38

Soryushiron Kenkyu

φ

キンクと反キンクもそうですね。これも厳密解がわかっています。こんな感じ。

2v
sinh muγttan−1πu cosh mγx
E = 2γMk > 2Mk

ϕkk̄ =(1.2.98)(1.2.99)t

これも ϕ の微分をプロットしているんですけども、反キンクは凹んでいるところで、キンクは膨らんでいるところです。反キンクとキンクが進んでいるけれども、衝突して透過しているんですね。反キンクの軌跡を追ってみると、散乱後反キンクがちょっと前に出ているのでこれは引力のせいで加速された分少しずれがあxる。そのずれがδt = −

2
log |u|muγ(1.2.100)

で、キンクとキンクの場合は radiation がなくても、そういうことがあってもいいかなという気がしないでもないんですけども、キンクと反キンクの場合は、潰れるどころか単に透過する。しかも no radiationということで、さっきの ϕ4 の場合は、キンクと反キンクをぶつけると radiation を出しましたけれど
も、sine-Gordon の場合はキンクと反キンクをぶつけると、単に入れ替わって、反キンクとキンクになるということです。
これはキンクと反キンクなんですけれども、さらに驚くべきこφとにキンクと反キンクの束縛状態っていうのも見つかっています。それは、ブリーザーモードっていうんですけれども。ちょっと図がわかりにくいんですけれど。これは ϕ の微分ではなくて ϕそのものをプロットしているんですけれども、こんな感じです。

2v
sin msγ̃ttan−1πs cosh mγ̃x1γ̃ =1 + s2ϕkk̄ =(1.2.101)t(1.2.102)s っていうパラメータはなんでもいいパラメータです。キンクと反キンクが近づいていって、透過して反キンクとキンクになって、またキンクと反キンクになってと振動するだけですね。振動数はこの s というパラメータで決まっていて、この s を決めると振動数

ω = msγ̃

x(1.2.103)が決まって、どのぐらいのピッチで振動するかと。それからエネルギーを計算できて、

E = 2γ̃Mk < 2Mk(1.2.104)となって、結合状態というからにはキンクと反キンクの個々の質量の足し算よりも小さくなっていて欲しいんですけれども、実際小さくなっています。s が大きくなると軽くなるというふうになっていると。
どんな軽いものもできてしまうというわけです。これもずっと永遠に潰れない束縛状態ですね。これに限らず、もっとキンクとか反キンクを追加していっても厳密解を求めることができます。求める方法はいろいろあるわけですけれども、可積分系でよく知られている Bäcklund 変換とか、そういう方法を使うと好きなだけキンクとかを入れることができます。いま sine-Gordon 模型をやったんですけれども…

39

Soryushiron Kenkyu（質問）すみません、ϕ4 のときにキンクと反キンクの衝突をやったときはどうやって数値計算したんですか。それはその相対的な位置を時間に依存させて、初期条件を与えて衝突させたんですか。
（回答）最初に、いろんな方法があると思いますけれども、ただ単に静的な解、重ね合わせの解を初期条件として入れておいて、（質問）それは十分に離れた時の解を用意しておいて？
（回答）はい。もう 1 個は重ねあわせたやつを、それぞれブーストしておく。それを、重ね合わせで初期条件としておく。
（質問）さっき書いた a というその相対距離を、内側に行ってどんどん小さくなるように初期条件を与えて数値計算して出るということでいいんですか？
（回答）初期条件しか与えられないんですけれども、初期条件を与えるときは a というのを時間に依存していると思って、その微分みたいなのがノンゼロになって、速度があるよって与えてやると。
（質問）その時、数値計算して radiation があったと思うんですけども、ただ単に十分離れたときの解を使ったからとかそういうことではないんですか？近似解を使ったから radiation が起きたという可能性はないんですか？
（回答）ああそういう。例えば、sine-Gordon の場合も同じことができて、厳密解は知っているけれども重ね合わせとしてやることもできる。この場合も sine-Gordon では radiation は出さない。答えになっているかわからないですけども、ϕ4 のときと同じレベルのことを sine-Gordon でやると波は立たないっていう例があって、近似解…まあそれをもって近似解が悪いからっていうような具体例になっているかわからないけれども、ただ、時間を含めた偏微分方程式だったら、初期条件ってなんでもいいわけですね。つまり、時間に依存しない解から始めなくてもいいわけですね。なんでもいいから好きな配位を与えて、そこからやりなさいと言っているので。近似解が悪かったっていう概念というか、何から始めてもいいので、そういう状態から始めたら radiation が起きたっていう感覚なんですけれども。
（質問）自分的には十分離れたところで正しいものを使って、その衝突っていうのはどこまで妥当かっていうのはわからないんですけども。それは今の論理だと…
（回答）えーとつまり、どこまで妥当かというのは運動方程式の解としては妥当かと思うんですけれども
その解釈という意味ですかね。解釈が、キンクと反キンクを本当にちゃんと記述しているかと思っていいかという質問ですよね、多分ね？それはいいんじゃないですか。だってキンクと反キンクって、例えば、じゃあどれぐらいの誤差が、ずれがあるかっていうのがあると思うんですけれども、指数関数的に小さいので、要は重ねあわせした時の重なり部分がどれくらい悪さをしているか、その重なりは指数関
数的に小さいので a が十分大きければほんとうに小さい。それが、数値計算の求める精度よりも小さけ
れば問題ないと。
（質問）もう 1 つ質問があるんですけれども、sine-Gordon のときのキンクと反キンクが束縛する解で、言ったかもしれないんですけど s というのは何に対応しているんですか。
（回答）s ですか。s は msγ̃ で周波数。もしくは広さって言っても。
（質問）その図で s がどこに対応するのかは…
（回答）あーこれは、s を何にとったかな。忘れましたけど、s を決めるとこのブリーザーの幅が決まってくるわけです。s を大きくすると多分小さくなるんじゃないかな。s を 0 にすると…すごく離れてる、
確かそうだったと思います。逆かもしれませんけど。すごく広くて周波数がすごく…あっ。s、周波数…
あっ、えーと、すみません。よく考えないと。あとで、また。まあそのブリーザーの大きさに関連して
います。

40

Soryushiron Kenkyu

1.2.4

非線形シグマ模型

あと重要な例として、シグマ模型ですね。それを今回ここでやってくんですけれども。実 3 成分の場を考える。

⃗n(xµ ) = (n1 (xµ ), n2 (xµ ), n3 (xµ ))(1.2.105)

ただし大きさは 1 に制限しておく。

|⃗n| = 1(⃗n ∈ S 2 )(1.2.106)d2 x∂µ ni ∂ µ ni

(1.2.107)

つまり、非線形シグマ模型ですね。

L=

2
g2

∫

この S 2 上にしか ⃗n の値は取れないと。
これは O(3) シグマ模型と呼ばれてますけれども、CP 1 シグマ模型とも呼ばれています。というのは、
いま 3 つの座標から複素座標を作っておく。

n1 + in2
1 + n3ϕ=(1.2.108)

ちょうど n3 → 1 つまり北極で、n3 → 1 ってことは n1 = n2 = 0 じゃないといけないので、ϕ = 0 です。n3 → −1 だと、ϕ = ∞ になります。だから球を立体射影した座標が ϕ です。ϕ と ⃗n の関係はこういう関係にある。

n1 =

2Reϕ
,
1 + |ϕ|2

n2 =

2Imϕ
,
1 + |ϕ|2n3 =1 − |ϕ|2
1 + |ϕ|2(1.2.109)なので先ほどの ⃗n で書いた Lagrangian を ϕ で書くとこんな形になって、

2
L= 2
g

∫
d2 x

∂µ ϕ∂ µ ϕ∗
(1 + |ϕ|2 )2(1.2.110)いわゆる Fubini-Study 計量という形をしていると。ちなみに S 2 というのはコンパクトな多様体なのでパッチが 2 つ必要ですね。上から覆うものと下から覆うものなんですけど、下から覆う座標は

ϕ′ =

1
ϕ

(1.2.111)

で座標変換してやると、ϕ′ で全く同じ Lagrangian になります。

L=

2
g2

∫

∗

d2 x

∂µ ϕ ′ ∂ µ ϕ ′(1 + |ϕ′ |2 )2(1.2.112)

ϕ で書くと北極はカバーできて南極はカバーできてないんだけども、ϕ′ でやると南極はカバーできて北極はカバーできない、そういう座標です。
これにですね、余談なんですけども、CP 1 は Kähler 多様体なので Kähler ポテンシャルというのを書くことができますが、K(ϕ, ϕ∗ ) =2
log(1 + |ϕ|2 )g2

41(1.2.113)

Soryushiron Kenkyu

なので Kähler 計量は K を ϕ と ϕ∗ で微分してやって書くことができます。

Kϕϕ∗ = ∂ϕ ∂ϕ∗ K(ϕ, ϕ∗ )
2
ϕ
∂ϕ
2
g
1 + |ϕ|22
1= 2
g (1 + |ϕ|2 )2=(1.2.114)

Lagrangian はL = Kϕϕ∗ ∂µ ϕ∂ µ ϕ∗(1.2.115)となると。まあ余談です。
これに超対称的なポテンシャルを入れて massive CP 1 シグマ模型というのを考えると、[]∂µ ϕ∂ µ ϕ∗2m2 |ϕ|2
L= 2−
g (1 + |ϕ|2 )2(1 + |ϕ|2 )22
2
2 m |ϕ|V = 2
g (1 + |ϕ|2 )2(1.2.116)(1.2.117)

超対称的な質量項としてはこの V が入るということが知られています。Mass-

less の場合は第 1 項のみの場合で、S 2 上の全ての点が真空なんですけども、こ

φ=0のポテンシャルを入れると、これよく見ると、正定値なのでこの V = 0、超対称性を考えると超対称真空になってるわけですけれども、V = 0 を与える点だ
けが真空として残って、残りはリフトされているわけですね。これが 0 になる
ところはどこだろうというと、ϕ = 0 になるところ、つまり北極点。あと分子が ϕ2 で分母が ϕ4 なので ϕ = ∞、すなわち南極も 0 になる。ということで離φ=∞

散的な真空が 2 つある。するとキンクがつくれます。
実際にキンクを作ってみたいんですけれども、これは Bogomol’nyi 平方完成
することで簡単にできます。分母はもうほとんどないものと思ってよくて、分子について平方完成して
いきます。

∫
2
|ϕ′ |2 + m2 |ϕ|2
E= 2
dx
g
(1 + |ϕ|2 )2
]
[ ′
∫
2
m(ϕ′ ϕ∗ + ϕϕ′∗ )|ϕ ± mϕ|2
= 2
∓
dx
g
(1 + |ϕ|2 )2(1 + |ϕ|2 )2
∫
′ ∗
′∗
2
m(ϕ ϕ + ϕϕ )
≥∓ 2
dx
g
(1 + |ϕ|2 )2
]∞
[
2
2m
m
=± 2
= 2
2
g 1 + |ϕ| −∞g(1.2.118)

Cross term が出て、正定値の部分があるので、エネルギーは cross term よりは大きくて、そして積分ができてしまいます。実際積分すると、表面項のみで求められて 2m/g 2 となります。BPS バウンドは等号が成り立つときです。

ϕ′ = ∓mϕ⇒

ϕ = exp(∓m(x − x0 ) + iα)ϕ というのは複素変数なので虚部がありますね。x0 と α はなんでもいい積分定数です。

42(1.2.119)

Soryushiron Kenkyu

なんでこんなものが現れたかというと、x0 のほうはさっきと同じ平行移動。

α の方は何かというと、これは位相ですね。これ位相なんで 0 ≤ α < 2π 、S 1ですから R × S 1 というのがモジュライ空間になっています。そもそも ϕϕ∗ や|ϕ| しか出てきていないので、球面であることからもわかるように、ちょうど
massive CP 1 シグマ模型というのは、北極と南極を結ぶ軸に関する剛体回転の対称性があるんですね。

U (1) : ϕ → eiθ ϕ(1.2.120)

その剛体回転の固定点が真空になっているんですけれども、真空は固定点なので対称性を破りません。

α

ところが、キンクっていうのは、写像としては北極から南極への S 2 上のフローを与えるんですね。フローを与えると S 2 上のどこを通ってきたフローかということで、U (1) 対称性がキンクによって破られるんです。だから、x0 が translation ゼロモードなのと同じように、この U (1) 対称性が破れたことによって、位相 α というのが現れてきたわけです。つまりどの角度から流れたかということで、系の対称性は真空でも破れていないんですけれども、それがキンクによって破られたことによって、キンクに局在するゼロモードが現れたというのが x0 と α です。
さっきやったモジュライ近似というのを、同じように x0 と α を複素に組んで ψ という場として、

ψ ≡ mx0 + iα(1.2.121)

ψ を時間の関数と思ってさっきやったことと全く同じことをしますと解けます。
ϕ = emx+ψ
2
g2∫(1.2.122)∫|ϕ|22e2(mx+ψ)
2
2
dx
|
ψ̇|
=
|
ψ̇|
dx
(1 + |ϕ|2 )2
g2(1 + e2(mx+ψ) )2∫
1
1= 2 |ψ̇|2 dx
22g
cosh (mx + ψ)[]∞
1
2 tanh(mx + ψ)
= 2 |ψ̇|2gm−∞=

Mk m2 ẋ20 + α̇22m2(1.2.123)

積分は解けて、どうなるかというと、やっぱりキンク質量の 1/2 に ẋ20 っていうのが出たのと、位相部
分の α̇2 というのが出てこういう感じになります。どちらも free なんですね。ゼロモードなので。
有効作用がこうなってると。

Leﬀ =Mk m2 ẋ20 + α̇22m2(1.2.124)

運動方程式を解くと当然 x0 と言うのは平行移動ですから時間の 1 次関数になります。α も free なので
時間の 1 次関数としてこう出てくると。α は平行移動なので、S 2 のなかをグルグル回っている解になっていますね。

43

Soryushiron Kenkyu

そういうものがあるだろうというのがここからわかるわけですけれども、実はそういうのは Q キンク[3] と呼ばれていて、トポロジカル電荷、つまりキンクの電荷と Noether 電荷があるんですね。

static（静的）stationary（定常）

kink

kink

ぐるぐるまわっているので、左は静的なキンクなんですけども、右は定常なキンクとして、トポロジカ
ル電荷だけでなくて、Noether 電荷も持ったソリトンというのがあります。これを Q キンクと呼んでいる。
実際、U (1) 対称性を

ϕ → eiα ϕ(1.2.125)と書くと、Noether カレントっていうのはこのように計算できますね。

∂L
δϕ + c.c.
∂(∂µ ϕ)2i ϕ∂ µ ϕ∗ − ∂ µ ϕϕ∗= 2g(1 + |ϕ|2 )2Jµ =(1.2.126)

Noether 電荷はこのようになるわけです。
2
Q= 2
g

∫
dxi

ϕϕ̇∗ − ϕ̇ϕ∗
(1 + |ϕ|2 )2(1.2.127)

この ϕ̇ はさっきのやつを入れると、α が時間の 1 次関数になれば時間微分が α の部分を拾ってきて、この Noether 電荷を出すというわけで、さっきのモジュライ近似で α を時間に依存させた解は Q キンクとなります。

Q キンクの質量はモジュライ近似を使わなくてもちゃんと計算できます。Bogomol’nyi 平方完成をまたします。

∫|ϕ̇|2 + |ϕ′ |2 + m2 |ϕ|22dx
g2
(1 + |ϕ|2 )2
∫
[
2
1
= 2
|ϕ̇ ± im sin αϕ|2 + |ϕ′ − m cos αϕ|2dx
g
(1 + |ϕ|2 )2E=]±im sin α(ϕ̇ϕ∗ − ϕ̇∗ ϕ) + m cos α(ϕ′ ϕ∗ + ϕ′∗ ϕ)∫∫2m
ϕ′ ϕ∗ + ϕϕ′∗2mϕ̇ϕ∗ − ϕϕ̇∗sin
αdx
≥ 2 cos α dx∓
g
(1 + |ϕ|2 )2g2
i(1 + |ϕ|2 )2(1.2.128)

平方完成のときにちょっと工夫して、時間微分の方も今度は平方完成します。そのときに、大きさ 1 のパラメータ sin α と cos α を α を任意として入れることができて、あとはいつもどおり計算できます。
で、最後の部分がトポロジカル電荷と Noether 電荷になってます。

∫
T =

dx

ϕ′ ϕ∗ + ϕϕ′∗
(1 + |ϕ|2 )2

Q=

44

2
g2

∫
dx

ϕ̇ϕ∗ − ϕϕ̇∗i(1 + |ϕ|2 )2(1.2.129)

Soryushiron Kenkyu（質問）第 2 項に i がついているのは…不等号の意味がわからないんですが。
（回答）ϕ̇ϕ∗ − ϕϕ̇∗ が純虚なので全体で実数です。
バウンドはこうなります。

E≥

2m
T cos α ∓ mQ sin α
g2(1.2.130)

α は手で入れたものなのでなんでもいいんですね。このバウンドが最も厳しくなるのは、α を適当に選ぶと、この量が一番大きくなるのは

tan α = ∓g2 Q
2T

(1.2.131)のときで、最もきついバウンドはトポロジカル電荷と Noether 電荷で

√
E≥

4m2 2
T + m2 Q2
g4(1.2.132)と与えられる。で、どういう意味かは置いといて、根号の中の第 1 項を磁気的として第 2 項を電気的と呼べば、これはモノポールとダイオンのときの Bogomol’nyi 平方完成に非常にパラレルで、Q キンクってのは 1 + 1 次元のダイオンでダイオニックキンクと言ってもいいでしょう。
等号が成立するのは

ϕ′ = m cos αϕ,ϕ̇ = ∓im sin αϕ(1.2.133)ϕ = exp(m cos αx ∓ im sin αt)(1.2.134)

ですね。これを解いてただし、α というのは

cos α = √

2m
g2 T
4m2 2
2 2
g4 T + m Q

sin α = ∓ √

mQ
4m2
g4

(1.2.135)(1.2.136)

T 2 + m2 Q2で決まっている。これは簡単に解ける。だいたいこれで…
（質問）非線形シグマ模型の話で、始めに超対称非線形シグマ模型の話がありましたけれど、ボソニック
なものしか見てないんですけどスーパーパートナーはなんか面白いことがあったりするんですか。
（回答）基本的にはフェルミオンは 0 としてしまうので何もないけども、フェルミオンと結合していると後でちょっと出てくるんですけども、フェルミオンのゼロモードがキンクに局在してキンクがフェルミ
オニックなチャージをもつというのがあります。それは、並進対称性が破れると超対称性も破れるので、超対称性の破れに起因する南部-Goldstone フェルミオンになっていると。
すみませんだいぶ時間使いましたけれども、だいたいまあ、僕が知っている古典的な場の理論におけるキンクっていうのはこんなもんです。あとはこれを量子化してどうなるかということを見たいと思います。

45

Soryushiron Kenkyu

1.3 Quantum kink
これまでは古典的な配位としてのキンク、いま ϕ4 理論とか sine-Gordon モデルとか色々やってきましたけれども、ここで見たように結合定数分の 1 の質量の依存性をしていました。

Mk ∼

m3
λ

(1.3.1)1Mk(1.3.2)

最初に言ったように、Compton 波長が大体

λcomp ∼

なので、弱結合だったらこれはすごく小さいわけですね。小さいということは量子補正が小さい、ということで古典的な場の理論における配位は量子論においても意味があるだろうと。だから、期待として
は弱結合ではソリトンの存在そのものをかき消してしまうような劇的な効果はない。以下ではまずは弱結合領域において量子効果を摂動的に扱って、古典的キンクが量子論に入れるとどうなるか、つまり量子補正を見ようということです [4, 5]。
ちょっとその前に軽い復習ですけども、1 粒子の量子力学を考えます。点線が調和振動子ですけども、そこからわずかにずれているとします。
V (x)ω2(x − a)22xa

調和振動子からのずれを展開してやって、このずれが小さければ摂動として扱えます。

V (x) = V (a) +V ′′ (a)V ′′′ (a)(x − a)2 + λ(x − a)3 + · · ·26(1.3.3)

そうすると、真空というのは x = a にポコっとあるわけですけれども、量子力学ではゆらゆら揺らいでしまうというわけなんで、まあそれでも λ、調和振動子からのずれが小さければ、リーディングとしては古典的なエネルギーに量子補正プラス摂動的な相互作用の補正が来るだけですね。ω というのは底でのポテンシャルの 2 階微分です。

(

1
En = V (a) + ℏω n +2)+ O(λ)

ω 2 = V ′′ (a)(1.3.4)(1.3.5)ということで、量子論における真空のエネルギーというのは古典的な真空のエネルギーに、ℏω/2、これが量子補正になるわけですね。

1
E0 = V (a) + ℏω + O(λ)
2(1.3.6)以下では V (a) の部分をキンクに変えます。キンクに変えてどういう補正が出るかというのを、準古典的な扱いで見てみようというわけです。

46

Soryushiron Kenkyu

それに続くために、いま 1 粒子を考えてきたんですけども N 粒子の場合を考えますと、N 個の粒子があって、ポテンシャルが N 個の粒子の座標で書かれているとします。

⃗x = (x1 , x2 , ..., xN ),V (⃗x)(1.3.7)

これの極小が ⃗x = ⃗a で与えられたとしますと、このポテンシャルをやっぱり展開して、調和振動子とそこからの小さなずれというふうにやります。

V (⃗x) = V (⃗a) +1 ∂2(xi − ai )(xj − aj ) + O(λ)
2 ∂xi ∂xj ⃗x=⃗a(1.3.8)

2V
どういうモードがあるかっていうのは ∂x∂i ∂xを対角化して、固有値を見ればいいわけですね。その対角j化する基底を {ξi } として、その固有値を ωi2 とすれば、この系のエネルギーは古典的なエネルギーにこういうものが補正としてくっつくわけですね。

E{ni } = V (⃗a) + ℏ

∑
i

(
)
1
ωi ni ++ O(λ)
2(1.3.9)ni というのは i 番目の調和振動子の励起数ですね。
ということでこの場合はほとんど何も変わらずに、単に調和振動子を N 個くっつけただけと。これが、零点振動がくっついたのが量子補正です。

E0 = V (⃗a) +

∑ ℏωi
i

2

+ O(λ)(1.3.10)

このように量子的配位は古典的配位に量子補正を加えたものとして理解できるわけです。
場の理論にいきましょう。以下では量子効果を追っていきたいので、光速は c = 1 としますが ℏ は残
しておきましょう。1 + 1 次元です、相変わらず。こういう Lagrangian がありますね。

(

∫
L=

dx

)
1 2 1 ′2ϕ̇ − ϕ − V (ϕ) ,22

ϕ̇ = ∂0 ϕ,

ϕ′ = ∂x ϕ(1.3.11)

これからは、第 1 項を運動項と言って、第 2 項と第 3 項のマイナス、空間微分を含めたものをポテン
シャルと呼ぶことにします。

∫

1dx ϕ̇22()∫
1 ′2
U = dxϕ + V (ϕ)
2T =(1.3.12)(1.3.13)

実際そうすると Lagrangian は

L=T −U(1.3.14)となって、運動方程式はこのようになります。

ϕ̈ = −dU,
dϕ(Newton′ s EOM)

(1.3.15)

これを量子化するわけですけれども、静的な解はポテンシャルの極小値ですね。これです。

dU
=0
dϕ

(
)
dV
′′
=0
−ϕ +
dϕ

47

(1.3.16)

Soryushiron Kenkyu

この解を

ϕ = ϕ0 (x)(1.3.17)として、このまわりで展開することを考えましょう。ですからこうなります。

1
U [ϕ] = U [ϕ0 ] +
2

∫

(

d2 U
dxφ(x) −∇2 +dϕ2 ϕ=ϕ0)
φ(x) + ...

(1.3.18)

ここで φ はφ = ϕ − ϕ0(1.3.19)2で、ϕ の ϕ0 からのずれ、ゆらぎですね。−∇2 + ddϕU2がさっき言ったポテンシャルみたいなもの
ϕ=ϕ0

で、ここを対角化して、固有値を読み出せばどういうものがあるかわかりますね。
だからモード展開して、φi を固有値 ωi2 をもつ状態として

(

d2 U
−∇ +
dϕ2 ϕ(x)=ϕ0)2

φi (x) = ωi2 φi (x)φ というのを φi で展開したものを、係数を ci としますと
∑
ci φi
φ=

(1.3.20)(1.3.21)i

Lagrangian を ci っていうので書いてやると、調和振動子の部分と補正となりますね。
(
)
∑1
∑ ω2
i 2
L=
ċ2i − U [ϕ0 ] +ci + · · ·22ii(1.3.22)

これ和で書いてますけれども、実際には無限個の、無限自由度です。象徴的に書いてます。これを量子化するとどうなるかっていうと、調和振動子だと思うわけですね。調和振動子分の補正が来るだろうと。
ですから、古典的な配位に量子補正としてはこういうのがくっついてくるだろうと。

E{ni } = U [ϕ0 ] + ℏ

∑ (1
2

i

もちろん、ℏ∑)+ ni ωi + · · ·(1.3.23)1i ( 2 + ni )ωi は場の理論では発散するような量を含んでる。そこは適当にあとで考えるとして、表式としてはE{0} = U [ϕ0 ] +

∑ ℏωi
i

ということで、∑

2+ O(λ)(1.3.24)i ℏωi /2 を計算すればいいというわけですね。

強調したいのは ϕ = ϕ0 (x) は

dU
=0
dϕ

(1.3.25)の解でした。これはスカラーポテンシャルで書けば、こういう運動方程式でした。

−ϕ′′ +

dV
=0
dϕ

48

(1.3.26)

Soryushiron Kenkyu

ですから当然 ϕ0 = const. っていう真空でやってもいいわけですけれど、そうすると通常の摂動論が得られますね。ここでやりたいのは ϕ0 としてキンクを選んで、そのまわりで展開してやろうということです。そうすると、それが量子化されたキンク、quantum kink（量子キンク）と呼ばれるものです。
じゃあいまやったプログラムを ϕ4 を例にやってみましょう。というのは具体的に計算できるものなので。ϕ4 なんでこうなりますね。

[]
1 2 1 ′ 2 m2
λ 4 m4
L = dx ϕ̇ − ϕ +
− ϕ −
2
2
2
4
4λ
√
[
]
∫
1 ′2 λ 2
m2
2 2
U [ϕ] = dx ϕ + (ϕ − v ) , v =24
λ∫(1.3.27)(1.3.28)

この U の ϕ での変分が 0 ということですから、古典的な場の方程式が出てくるということです。

dU= −ϕ′′ − m2 ϕ + λϕ3 = 0
dϕ(1.3.29)ϕ = ±v(1.3.30)

真空はということです。
あまりにも簡単すぎるかもしれませんけど、まず練習として ϕ0 = +v と選んでいまやったことをやりましょう。この v のまわりで展開したものを

φ=ϕ−v(1.3.31)

としてやりますと、U [ϕ] というのはこうなりますね。

∫
√ ∫
λ
1
2
3
2
U [ϕ] = 0 + dxφ (−∇ + 2m )φ + m λ dxφ +dxφ4(1.3.32)
2
4
√
√ ∫
∫
補正が λ とか λ がついてますね。λ が十分小さければ m λ dxφ3 + λ4 dxφ4 は十分小さくなって∫摂動的に扱うことができると期待できます。だから dx 12 φ(−∇2 + 2m2 )φ を対角化すればいいわけで∫すね。つまり(−∇2 + 2m2 )φn = ωn2 φn(1.3.33)を解けばいいだけなんで、簡単に解けるわけです。
固有状態は

φn = eikn x(1.3.34)と、n 番目の固有状態はこういうふうに書けて、分散関係はこういう形で、

ωn2 = kn2 + 2m2(1.3.35)

で、kn として許されるものはもちろん無限系ではなんでもいいわけですけど、とりあえず長さ L とい
うふうにしておいて、それに周期境界条件を入れておいて、最後に L → ∞ とするようにしましょう。
そうすれば許される kn はこういうふうになっています。

kn L = 2nπ49(1.3.36)

Soryushiron Kenkyu

結局、いま調和振動子のばね定数が決まったので、{E{Nn } } への補正が決まったというわけですね。

)
∑(
1 √ 2
E{Nn } = 0 + ℏNn +kn + 2m2 + O(λ)
2n(1.3.37)

励起を全部 0 にしたのが真空に対する量子補正ということで、これはよく知られた ϕ4 理論での発散を含んでいるものです。

Evac = E{0} = 0 +∑ ℏ√
kn2 + 2m2 + O(λ)
2n(1.3.38)

これは発散するんですけれども、とりあえずこの発散は無視します。というのは、以下では真空ではな
くてキンクに興味があるわけですね。キンクっていうのは真空からどうずれたかってことなので、キンクにも発散があって真空にも発散があってその発散が打ち消しあうものであれば、まあいいだろうと。
ということなんで、そういうものを計算していきましょう。
ここからやりたいのは ϕ0 = v じゃなくてm
ϕk = v tanh √ (x − x0 )2

(1.3.39)にして、キンクにしようというわけですね。停留点でのポテンシャルの値は先ほどの U っていうポテン
シャルにバックグラウンドの解 ϕk を入れたものですから、これはただ単にキンクの質量が出てくるだ
けです。

∫
U [ϕk ] =√]2 2 m3
1 ′2 λ 2
2 2= Mk
dx ϕk + (ϕk − v ) =
2
4
3 λ
[

(1.3.40)

パラメータ x0 がありますけれど、簡単のためここでは x0 = 0 とします。まあ平行移動しただけなんで一緒だと。

ϕk からのゆらぎを φ として、ポテンシャルを展開しますね。
φ = ϕ − ϕk
(
)
∫
∫
1 4
1
2
2
2
3
U [ϕ] = Uk + dx φ(−∇ − m + 3λϕk )φ + λ dx ϕk φ + φ2
4(1.3.41)(1.3.42)

そうすると 2 次の項と λ に比例した項が出てきます。先ほどの場の定数を決めるのは 2 次の項の部分ですから、ここを対角化すればいいんですね。

(−∇2 − m2 + 3λϕ2k )φn = ωn2 φn(1.3.43)

これは、さっき出てきた、ϕ4 まわりでモード展開したときの Schrödinger 方程式そのものです。ですからもう知っていて、固有値はゼロモードと変形モードと散乱モードというふうになっていますね。表記√を簡単にするために z = mx 2 としたり、運動量 p を規格化した q =√2p/m と書いておくとこんなふうになると。

ω02 = 0 :
3m2
:
ω12 =
2
( 2
)
q
2
2
ωq = m+2 :2

1
cosh2 zsinh zφ1 =cosh2 zφ0 =φq = eiqz (3 tanh2 z − 1 − q 2 − 3iq tanh z)

50(1.3.44)(1.3.45)(1.3.46)

Soryushiron Kenkyu

厳密にわかっているというのが強みです。
ちなみに連続スペクトルのところは、z = −∞ と z = +∞ のところでこんなんなってます。

{
eiqz (2 − q 2 + 3iq),
φq →eiqz (2 − q 2 − 3iq),(z → −∞)(z → +∞)(1.3.47)

位相のずれがあるんですね。先ほど Schrödinger ポテンシャルで粒子が飛んできて散乱された時の位相のずれですね。同じですけどもこれを δ(q) としてやって、

δ(q) = −2 tan−1

3q
2 − q2(1.3.48)となります。q にどんな値が許されるかというと周期境界条件 (周期 L) をおいて、位相のずれを含めて

mL
qn √ + δ(qn ) = 2nπ2(1.3.49)となるように選べば良いと。最後に L → ∞ とするということをします。
ということで、キンクのまわりでの量子補正っていうのは ℏ の 0 次が古典的キンクで、そこに ℏ の 1
次として量子ゆらぎが来るわけですね。

√
Ekink;{Nn } = Mk + ℏ

(
)
)√
∑(
1
1
3
1 2
m N1 ++ mℏ
Nqn +q + 2 + O(λ)
2
2
2
2 n
q

(1.3.50)nω0 = 0 ですからゼロモードはなくて最初に来るのは変形モードのゆらぎ。と、散乱状態の補正が入ってきているというわけです。
ということで、各モードの励起を 0 にしたものが量子キンクそのもののエネルギーということでしたから ℏ の 1 次の補正は

1
Ekink;{0} = Mk +
2

√

3
mℏ ∑
mℏ +
2
2 q

√

qn2
+ 2 + O(λ)
2(1.3.51)n

ですね。 12√mℏ
32 mℏ は変形モードの部分ですから有限ですけども、 2

√

∑
qn

2
qn
2 + 2 は無限大を含んでます。けども、さっき言ったように真空からのずれをキンクだと思うことにすれば、差をとってやれば、有限が出ればなんかいいなと。
q

量子キンクの質量 : Mk = Ekink:{0} − Evac

(1.3.52)

ただし ∞ − ∞ なので注意が必要になります。注意深く計算していきたいと思います。
計算をするために、有限系 L にしたんですけれどもさらにそれを離散的に分割して 2N 点にします。
最後に N 、L を無限大にもっていくことにします。これは計算テクニックです。
真空とキンク両方やらなきゃいけないんですけども、真空の方はいま自由度が 2N 点になったので

2N 個のスペクトラムがあると。
22(ωn(v) )2 = (p(v)
n ) + 2mp(v)n L = 2nπ;n = ±1, ±2, · · · , ±N

(1.3.53)(1.3.54)(v)

これを満たすようにスペクトラムが決まります。pn というのは真空まわりの展開の運動量ですね。キンク周りの場合も同じようにやると、ゼロモードと変形モードとそれ以外に先ほど、これは散乱モード

51

Soryushiron Kenkyu(k)を離散的に書いたものなんですけども、この pn というのはキンクまわりという意味なんですけれども、この条件(k)(ω0 )2 = 0
3(k)(ω1 )2 = m2222
(ωn(k) )2 = (p(k)
n ) + 2m(k)p(k)
n L + δ(pn ) = 2nπ;n = ±2, · · · , ±N

(1.3.55)(1.3.56)(1.3.57)(1.3.58)を満たすように選べばいいと。離散化したので有限個の自由度でやってます。真空は n が ±1 から ±N
なんですけれども、キンクの散乱モードは ±2 から ±N になっています。というのはゼロモードと変形
モードを合わせて 2 個と数えてやって、全体で合わせて確かに 2N 個になっているからです。
零点振動の差を計算をしたいんですけれども、キンクのゼロモードから真空の n = −1 のものを引いたものと、キンクの変形モードから真空の n = +1 のモードを引いて、残り n = ±2, ±3, · · · のところを集めました。

∆E0 =

) ℏ(
)
ℏ ( (k)(v)(k)(v)
ω0 − ω−1 +ω1 − ω1
2
2 )
∑(
(k)
+ℏ
ωn − ωn(v)(1.3.59)n≥2± があるのでおんなじなので n ≥ 2 だけにして ℏ/2 の 1/2 はなくなっています。まず順々に計算していきましょう。まず右辺 1 行目ですけども、ここは有限ですね。有限項なので計算していきますと、L−1のオーダーで補正がついていますけれども一番大きな部分、主要部はゼロモードと変形モードと粒子の質量ですね。

)
(√
√ ) ℏ
√
ℏ(
3
(1.3.59) 右辺 1 行目 =0 − 2m +m − 2m + O(L−1 )
2
2
2
(√
)
6 √
= mℏ
− 2 + O(L−1 )4(1.3.60)

基本粒子の質量を引いて、ℏ/2 が頭につきます。
次に (1.3.59) 右辺 2 行目ですね。こっちに ∞ − ∞ が入っている。真空の方はこういう量子化条件でp(v)n L = 2nπ(1.3.61)(k)p(k)
n L + δ(pn ) = 2nπ(1.3.62)

キンクまわりの方はこういう量子化条件

(k)

(v)

がついてますね。ここで pn から pn を引いてやると、その差はもちろん位相のずれになりますね。

−∞ から +∞ でキンクによって散乱された粒子の位相がどう変わっていくかっていう量です。これを
(k)

(v)

pn − pn で展開していきますと
(v)
(k)
(p(k)
n − pn )L = −δ(pn )
′ (v)
(k)
(v)
= −δ(p(v)n ) − δ (pn )(pn − pn ) + · · ·−1= −δ(p(v))
n ) + O(L52

(1.3.63)

Soryushiron Kenkyu

真空での位相のずれに L−1 の補正がつきますというふうになります。δ(pn ) を pn のまわりで展開し
(k)

(v)

たんですね。L が無限大に広ければ O(L−1 ) はなくなって、−δ(pn ) が残るわけです。
(v)

(k)

(v)

ωn と ωn の差ですから、ちゃんと書いてやるとこうなって、これを展開してやって、文字が似てい
(k)

(v)

るのでごちゃごちゃしてますが違いは k になっているか v になっているかですね。pn − pn で展開していきますと、√
ωn(k) − ωn(v) =(k)(pn )2 + 2m2 −√(v)(pn )2 + 2m2

(v)

pn
(v)
=√
(p(k)
n − pn ) + · · ·(k) 2(pn ) + 2m2
(v)

pn

(v)

= −√
(v)
(pn )2 + 2m

δ(pn )+ O(L−2 )L
2(1.3.64)pn − pn はさっき計算した −δ(pn )/L になりますから、第 1 項が第 1 主要項で L−2 の補正がついて
(k)

(v)

(v)

います。ということで、ここまで来てやっと L, N → ∞ にすることで和の 1/L が積分になると。

∑

1 ∑pn δ(pn )√+ O(L−2 )
L
(v) 2
n≥2
(pn ) + 2m2(v)(ωn(k) − ωn(v) ) = −

n≥2

(v)

(1.3.65)

積分を計算するとこんなんなって

∫ ∞
1
pδ(p)
→−
dp √
2π 0
p2 + 2m2
∫ ∞
]∞
√
1
dδ(p)
1
1 [
=
dp √
−
δ(p) p2 + 2m2
2π 0
2π
0
p2 + 2m2 dp(1.3.66)

部分積分しただけですね。ここで位相のずれの関数はわかっているので、δ(p) とかその微分とかは計算できます。

δ(p) = −2 tan

−1

( √
)
3 2 mp2 m2 − p2√−3 2m(p2 + m2 )δ (p) = 2
(p + 2m2 )(p2 + m2 /2)
√
√
−3 2m
−3 2m3= 2+
p + 2m22(p2 + 2m2 )(p2 + m2 /2)(1.3.67)′(1.3.68)

δ(0+) とか δ(+∞) もここからわかるんですけども、このことを使って計算していきます。
δ(0+) = 2π,

δ(+∞) = 0

(1.3.69)

1
dδ(p)
dp √
p2 + 2m2 dp(1.3.70)(1.3.66) の第 1 項と言ってるのは
1
2π

∫ ∞
0

ですね。(1.3.68) 式を代入して計算していきます。そうすると、こうなって積分できます。

√
√
∫ ∞
∫
3 2 3 ∞
3 2
dp
dp
√
√
−
(1.3.66) 右辺第 1 項 = −
m
m
2π
4π
p2 + 2m2
p2 + 2m2 (p2 + m2 /2)
0
0
√
∫ ∞
3 2
dp
m
√
=−
m
−√
(1.3.71)22
2π
6p + 2m053

Soryushiron Kenkyu

ここで、以下の式を使いました。

∫ ∞
0

[

]∞
√
2
2π
3p
−1
√
= √
= √
tan √
3m2
3 3m2
p2 + 2m2 (p2 + m2 /2)
p2 + 2m2 0
dp(1.3.72)

1 つめの積分は置いておいて (1.3.66) 第 2 項にいきます。(1.3.66) 第 2 項と言ってるのは
−

]∞
√
1 [
δ(p) p2 + 2m2
2π
0(1.3.73)ですね。これは δ(p) の式 (1.3.67) を使って計算しますと、√
δ(p) p2 + 2m2p→∞√− δ(p) p2 + 2m2

p→0+

√
√
= 3 2m − 2 2πm(1.3.74)と出ますね。これは p → ∞ にしなきゃいけないので、展開

δ(p) = −2 tan

−1

( √
)
√ 1
3 2 mp2m + O(p−3 )→3
3 m2 − p 2pを使うんですけれども δ(p) からだいたい 1/p が出てきて√(1.3.75)

p2 + 2m2 からだいたい O(p) がかかってくるので有限になると。こうやって第 2 項も求められたと。

√√
3 2(1.3.66) 右辺第 2 項 = −m + 2m2π(1.3.76)ということで、全部合わせると

)
)
(√
( √
√
∫ ∞
mℏ
3 2
dp
6 √
3 2 √
√
− 2 − √ + mℏ −+ 2 −mℏ
∆E0 = mℏ
2
4
2π
2π
6
p + 2m2
0
(√
)
√
√
∫ ∞
6 3 2
3 2
dp
√
=
(1.3.77)
−
mℏ −
mℏ
12
2π
2π
p2 + 2m2
0となります。有限の部分とまだ実行していない積分がありますね。この積分は一般に発散します。1 + 1
次元なので、だいたい 1/p の積分ですから対数発散を含むんですね。
じゃあ、キンクのエネルギーから真空のエネルギーを引いて、対数発散が残っているから良くないじゃないかと、ってことなんですけれども実はこれを消すことができます。というのは、願いとしては量子論にいてもキンクは残っていて欲しいんですけれども、なので発散を処理するわけですけれども、処理するときにそもそも理論をいじって発散を処理するときに真空セクターももちろん一緒に動くので、キンクセクターだけを変なことするっていうのはやってはいけないですね。真空セクターも一緒に何かする、ということですね。だから真空セクターを変更することでキンクセクターの発散を処理しなければならない。
実はこれまでループ補正を考えていなかったんですね。

λϕ4 理論には λ の 1 次にループがありますね。これはもちろん真空セクターにあったんですけれども、これを考えていなかったと。これ計算できます。4 次元なら 2 次発散ですけども 2 次元なんで対数発散になります。ということはこの対数発散でさっきの対数発散を何とかできそうだと。

54

Soryushiron Kenkyuということでこれ実際に計算してみますと、k0 のところを先に積分して

∫
1
d2 k
= −3iλ(2π)2 k µ kµ − 2m2 + iϵ
∫
dk
3λ ∞
√
=
2
4π −∞ k + 2m2
∫
3λ ∞
dk
√
=
2
2π 0
k + 2m2(1.3.78)となって対数発散します。ということで、この部分を相殺するために counter term を入れればいいじゃないかと、っていうか普通入れますね。

1
Lct = δm2 ϕ2 ,
2

3λ
δm =
2π
2

∫ ∞
0

dk
√
2
k + 2m2(1.3.79)

その効果は真空セクターにも出るけども、もちろんキンクセクターにも出る。
ということで、真空セクターのずれは、counter term を入れたことによる積分のエネルギーが出てくると。

Evac = 0 +

∑ ℏ√
n

2

kn2 + 2m2 −

δm2
2

∫
dxϕ2vac + O(λ)(1.3.80)

ただし ϕvac という真空の情報を入れています。キンクの方は ϕk を counter term に入れたものの積分が入ってくる。

∫
∑ ℏ√
δm2
2
2
Ekink = Mk +kn + 2m −dxϕ2k + O(λ)
22n(1.3.81)

欲しいものはこのずれです。キンクから真空を引いたものと。

δm2
Ekink − Evac = Mk + ∆E0 −2∫
dx(ϕ2k − ϕ2vac ) + O(λ)(1.3.82)

Mk + ∆E0 がさっきループ補正なしでやったもので対数発散があった部分です。余計に項がついていると。
この項は v 2 tanh2 から v 2 というのを引いた形ですから、1/ cosh2 の積分はできちゃって、実際に計
算すると

∫ ∞

√ m
dx(ϕ2k − ϕ2vac ) = −2 2
λ−∞(1.3.83)となって、Ekink − Evac は古典的な質量にループ補正を考えていない時の表式とループ補正がちょうど
相殺して

(√
√ )
√
∫ ∞
6 3 2
3 2
dp
√
−
mℏ −
mℏ
Ekink − Evac = Mvac +
2
12
2π
2π
p + 2m20()∫( √ m)
1 3λℏ ∞dp√−
−2 2
+ O(λ)
2 2π 0λp2 + 2m2
(√
√ )
6 3 2
= Mvac +−mℏ + O(λ)
122π有限の部分と O(λ) のものがくっつくと。

55(1.3.84)

Soryushiron Kenkyuということで、これで量子キンクの計算ができました。結局古典的な質量に量子補正として ℏ の 1 次のところだけがくっつくことがわかりました。これだいたい

√

√
6 3 2
−
≃ −0.47122π(1.3.85)なので量子論の範囲、まあ摂動論が適用できるという範囲のもとで小さな量子補正を、ℏ に比例したのを受けるだけで、ちょっと軽くなって生き残ると。以上の計算はすごく古い 1974 年の非常に有名な

Dashen-Hasslacher-Neveu [6] っていうやつが最初で、僕のボスは坂井典佑さんって人だったんですけ
れども、その人に聞いたら坂井さんがポスドクの頃には必須の、必読の論文だったと聞いてました。古
典的名著だそうです。はい。ということで期待通り、λ が小さければ量子補正がちょこっと入ってくるだけで量子キンクは生き残るということがわかったわけですね。

1.3.1

ゼロモードの取り扱い
U [φ]ﬂat direction（キンクの平行移動）

ω0ω|n|≥1調和振動子的扱いは破綻
φk (x)

ちょっとだけ、実はナイーブな扱いをしてたのはゼロモードです。ゼロモードっていうのはポテン
シャルが持ち上がってないんですね。Flat direction があると。U [ϕ] というのが図のような形になっていて、赤い矢印方向がゼロモード、青い矢印方向を massive 方向と思うと、もちろん flat direction な
んで U [ϕ] は持ち上がってないんですね。持ち上がってないっていうことは、ゼロモードに関しては調和振動子的な扱いは破綻しているわけですね。なのでほんとは、ちゃんと扱わなければならなかったのをやっていなかったと。ただ ω0 = 0 なので、キンク質量への補正という意味ではさっきの計算で結果的に良かったということなんですけど、モードの取り扱いとしては本当はちょっと注意しなければならない。
やっぱりずれを φ としてキンクまわりで展開すると。

ϕ = ϕk + φ∑
φ(t, x) =ci (t)φi (t)
(
)
2
d
U
−∇2 +
φi = ωi2 φi
dϕ2 ϕ=ϕk(1.3.86)(1.3.87)(1.3.88)

同じように、モードの方程式が出てくるわけですけれども、ここで先ほどまでは massless と massive を区別してなかったんですけども、massless のとこは特別にっていうか、そもそも調和振動子的な扱いができないんで、ϕ(t, x) というのは ϕk (x − x0 (t)) プラス massive モードで展開したものというふうに、

ϕ(t, x) = ϕk (x − x0 (t)) +∑ci (t)φi (x − x0 (t))

i

こう扱ったほうがいいと。これを量子化することになります。

56(1.3.89)

Soryushiron Kenkyuということで、ϕ̇ は、時間微分が平行移動の部分、x0 (t) をヒットする部分があって、あと massive
モードの中にも平行移動の部分があるのでこうなる。

[]
dϕk (x − x0 (t)) ∑dφi (x − x0 (t))
ċi (t)φi (x − x0 (t)) + ci (t)ẋ0 (t)ϕ̇(t, x) = ẋ0 (t)
+
dx0
dx0
i

(1.3.90)

ここで注意してほしいのは dϕk /dx0 というのがゼロモードの波動関数なので massive モードとは直交しているわけですね。そこで∫dx 21 ϕ̇2 を計算してみると、ちょうど massive モードの固有関数 φi とゼ

ロモードの固有関数は直交しているので、ゼロモードと massive モードが分離します。

∫

1dx ϕ̇22[∫]
1 ′ 2 2 ∑1 2=
dx (ϕk ) ẋ0 +
ċi
2
2
i

L⊃

(∫

)
dϕk
dxφi
=0
dx0

(1.3.91)ということでまずは第 2 項について今やった量子化の手続きをやって、第 1 項は何かっていうと、Mkcl /2が出るだけです。
ビリアル定理を使えば

∫

1
M cl
dx (ϕ′k )2 = k2
2(1.3.92)が出るので結局 L はこういうふうに展開されることになります。

∑
M cl
L = −Mkcl + k ẋ20 +2i(

1 2 ωi2 2
ċ −
c
2 i
2 i

)
+ O(λ)(1.3.93)ẋ0 というのは 2 乗しか無いので free だと。で、x0 を場として扱うと、共役運動量
P = Mkcl ẋ0(1.3.94)

が出て、これはもちろん Hamiltonian と交換して運動量は保存しています。
ということなんで、量子状態としては運動量 P の状態に massive モードがいくつか励起している状態っていうのをかけたもの、作用させたものを |P, {ni }⟩ と表すことにします。1 個も massive モードが励起していないのが ni = 0 になるんで、|P, {0}⟩(1.3.95)と書けて、普通は量子キンクって呼ぶんですかね。変形モードだけ励起したのが excited quantum kink|P, {1, 0, · · · , 0}⟩(1.3.96)

これだけキンクのまわりに局在しているんですね。だから、原子の中にトラップされた電子を励起しているみたいな、同じ原子なんだけども内部状態が励起されているというようなイメージでしょうか。あとはまわりの φ っていう素粒子の散乱状態が 2 番目、3 番目、…っていうところを励起していく。

|P, {0, n2 , n3 , · · · }⟩ということでゼロモードまで含めて量子化するとこのようになると。

57(1.3.97)

Soryushiron Kenkyu

1.3.2

Couple with fermions

次はフェルミオンがあるとどうなるかと。あと 20 分ですか、ちょっと、立っていられるかどうか不安ですけど…頑張りましょう。フェルミオンを入れた理論、さっきちょっと質問がありましたけど、まあ超対称性入れなくても、適当に調整すれば超対称性になりますけども、いまは超対称性とは関係なしに

1 + 1 次元のフェルミオンと湯川結合した理論を考えます。
1
λL = − ∂µ ϕ∂ µ ϕ − (ϕ2 − v 2 )2 + iψ̄∂µ γ µ ψ − gϕψ̄ψ
2
4(1.3.98)

古典的にはフェルミオンは 0 とおくので、ϕ の古典的な運動方程式には影響しません。ということでキ
ンク解はキンク解として残ります。
真空セクターは ϕ = v で、当たり前のことを言うんですけれども、Dirac 方程式は湯川結合から来てる gϕψ̄ψ っていうのがありますけども、ϕ = v とおくと M = gv がフェルミオンの質量項に来て、

iγ µ ∂µ ψ − M ψ = 0(1.3.99)

これを解けばいいんですね。モード展開しますと、

ψ(t, x) = χk e−iω(k)t(1.3.100)χk の k っていうのはモードっていうか、運動量を指定する数ですね。これ、下付きの文字なんですけども χ っていうのが小さいので下付きの文字に見えませんが。これをボーンとぶちこんで、(−iγ 0 γ 1 ∂x + M γ 0 )χk = ω(k)χk(1.3.101)

こんなふうにしますね。いま 1 + 1 次元なんで、注意っていうかあまり馴染みがないかもしれませんけ
どガンマ行列と荷電共役は

γ 0 = σ1 ,γ 1 = iσ3

(1.3.102)

χC = −iγ 1 χ(1.3.103)と書けるんですけども。荷電共役に対してもやってみると
C(−iγ 0 γ 1 ∂x + M γ 0 )χC
k = −ω(k)χk(1.3.104)

ω(k) のところが −ω(k) になっています。
平面波解は

χk = ueikx ,ω 2 (k) = k 2 + M 2(1.3.105)となって、普通に量子化するんですね。

ψ=∑[bk (t)χk (x) + d†k (t)χCk (x)](1.3.106)

k

ψ̄ =

]
∑[ †
bk (t)χ̄k (x) + dk (t)χ̄C(x)k(1.3.107)kと書けて、生成消滅演算子{bk , b†p } = δk,p(1.3.108){dk , d†p } = δk,p(1.3.109)

58

Soryushiron Kenkyu

で書けるわけです。反交換関係で量子化していく、これが普通の真空まわりの量子化ですね。
これをやっぱりキンクまわり ϕ = ϕk (x) でやると。そうするとさっき M = gv と書いたものがM = gϕk になりますね。
(−iγ 0 γ 1 ∂x + gϕk γ 0 )χk = ω(k)χk
0 1(−iγ γ ∂x + gϕk γ

0

C
)χC
k = −ω(k)χk(1.3.110)(1.3.111)

ϕk は x の関数になっていますから、キンク解で与えられるんでこれを解いてやる必要があると。さっき言ったように χ と χC っていうのは、χ が ω の固有状態であれば χC っていうのは −ω(k) の固有状態なので、フェルミオンと反フェルミオンは ω(k) ̸= 0 のものに対しては常にペアで現れます。ところが、
もしもゼロモードがあったとしたら、二つの運動方程式は全く同じ方程式ですね。そうすると振動数も、負の振動数、正の振動数っていうわけじゃなくてゼロなんで、そもそも χ、χC を区別する本質的な理由はないということに注意してください。
massivemassless

ギャップ

Massive モードはただ、粒子と反粒子のギャップが開いているわけですけれども、massless になると中心部分が励起してますね。そもそも違いがないと。

1 + 1 次元のフェルミオンっていうのはさっき言ったみたいに 2 成分です。その上成分を uk と書いて、下成分を vk と書く。

χk =

( )
uk
vk

(1.3.112)

そして Dirac 方程式にポーンと代入しますとこうなりますね。

()
d+ gϕk vk = ω(k)uk
−
dx
(
)
d
+ gϕk uk = ω(k)vkdx(1.3.113)(1.3.114)

方程式 (1.3.114) に、(1.3.113) の微分演算子をもう 1 回掛けます。そうすると、uk に対しては

(
)(
)
d
d
−
+ gϕk
+ gϕk uk = ω(k)2 uk
dx
dx(1.3.115)

vk に対しては同様に
(

d
+ gϕk
dx

)(
)
d
−
+ gϕk vk = ω(k)2 vk
dxになります。

59(1.3.116)

Soryushiron Kenkyu

ω = 0 の場合は右辺は 0 になりますね。そうすると u と v は (1.3.113)、(1.3.114) からもわかります
けれども独立になる。

(
)(
)
d
d
+ gϕk
+ gϕk u0 = 0
−
dx
dx
(
)(
)
d
d
−
+ gϕk
+ gϕk v0 = 0dx
dx(1.3.117)(1.3.118)dd方程式として couple してない。そうすると、これ解くの簡単ですね。− dx+ gϕk は微分演算子 dx
+ gϕk
d
d
の adjoint なので、 dx+ gϕk の adjoint の adjoint が dx
+ gϕk ということですけども、だから()
d+ gϕk u0 = 0
dx
(
)
d
−
+ gϕk v0 = 0dx(1.3.119)(1.3.120)ならこれが満たされるわけですね。ということでゼロモードの波動関数が解けました。

( ∫ x)
u0 = exp −g
ϕk (y)dy( ∫ x)v0 = exp g
ϕk (y)dy(1.3.121)(1.3.122)

2 つあるんですね。独立なんで。
vk (non-normalizable)φkuk (normalizable)

なんですけれどもこれ見てみると、実はキンク ϕk を与えたときに u0 というのは ϕk を適当な、例えば原点から x まで積分したものが u0 (x) で、v0 は符号が逆になっているので、片方は規格化可能なんです
けど、もう片方は規格化不可能なんですね。もちろん物理的なモードではないということですね。
ということでキンクには u0 だけが、こういうゼロモードが存在します。

( −g ∫ x ϕ (y)dy )
k
e
χ0 =
0

(1.3.123)

これの荷電共役とってみると、
1
χC
0 = −iγ χ0 = σ3 χ0 = χ0(1.3.124)

Cですから χC
0 と χ0 は完全に一致していて、さっき言ったゼロモードに関しては χ0 と χ0 は区別する理由ははないっていうのがここに現れていますね。ということでキンクにはフェルミオンゼロモードが局在するということがわかりました。
ボソン的な massless モードもあったわけですけども、そちらは対称性の破れという理由があったんですね。ただフェルミオン的な massless モードは特に対称性には直接的には関係していない。むしろトポ

60

Soryushiron Kenkyu

ロジー、キンクが x = ∞ で ϕ = +v だとか x = −∞ で ϕ = −v だとかで、真ん中に 0 を通りますよね
絶対。ϕ = −v から ϕ = +v に行くので。ϕ = 0 ってことは湯川結合がそこで質量 0 ってことを意味していますから、なんかゼロモードがありそうだよね、っていうのがあって、なんとなくそんなイメージがあって、実際あったと。ただし、さっきコメントしましたけども、超対称性がある場合は、超対称性を 2 回やると平行移動になりますから並進対称性が破れたときには超対称性も破れます。そういう意味
では平行移動のボソン的なゼロモードとここで現れたフェルミオン的なゼロモードは実は超対称性の多重項を組むんですね。というのは、後でやるんですけども、超対称性は全部は破れないんですね。BPS
状態っていうのはいくつか超対称性を残すのでそういう意味では残った超対称性の多重項です。反キンクの場合は逆ですね。u0 のほうが発散します。下成分だけになります。

(
χ0 =

eg

∫x

0

)
(1.3.125)ϕk̄ (y)dyということでキンクと反キンクにそれぞれゼロモードが一個ずつ局在すると。
ということで、キンクの時にやったように量子化します。ゼロモードの生成消滅演算子を a って書いて、粒子と反粒子を b と d† で書くとこんな感じになります。

ψ = aχ0 +∑[bk χk + d†k χC
k](1.3.126)

k

]
∑[ †
ψ̄ = a χ̄0 +bk χ̄k + dk χ̄C
k†(1.3.127)k

量子化条件は{a, a† } = 1,

{bk , b†p } = δk,p ,{dk , d†p } = δk,p(1.3.128)ということで、結局ボソン的なモードの励起とフェルミオン的な励起を掛けてやることができて、そういうことでキンク周りの状態が決まってくると。

|P ; {nbi }, {nfj }⟩(1.3.129)

そういうわけです。
量子キンクと呼ばれているものは励起が全部ゼロ。ボソンもフェルミオンもゼロ。

|P ; {0}b , {0}f ⟩(1.3.130)

エネルギーは、今日はもう計算しないんですけれども、さっきやったボソン的なものとフェルミオン場からの量子補正もありますね。

Mkq = Mkcl + ∆Eb − ∆Ef + · · ·(1.3.131)

超対称性を入れてやれば ∆Eb −∆Ef が消えたりします。これはあとでちょっと見ます。|P ; {0}b , {0}f ⟩という状態はすべての消滅演算子で消して 0 になる状態として定義されているわけですね。
ボソン

ck |P ; {0}b , {0}f ⟩ = 0(1.3.132)

フェルミオンa |P ; {0}b , {0}f ⟩ = 0(1.3.133)

bk |P ; {0}b , {0}f ⟩ = 0,

dk |P ; {0}b , {0}f ⟩ = 0

通常のフェルミオンとかボソンの量子化と一緒、基底状態と一緒です。

61(1.3.134)

Soryushiron Kenkyu

ちょっともう massive なところは忘れて、フェルミオンのゼロモードについて少し話をしますと、|P, 0⟩ というのを記号を変えて |P, −⟩ とします。すなわち、
a |P, −⟩ = 0(1.3.135)a† |P, −⟩ = |P, +⟩(1.3.136)

で、と定義しますと、もちろん

a |P, +⟩ = |P, −⟩ ,a† |P, +⟩ = 0(1.3.137)

当然フェルミオンは 1 個しか励起できないので。ところで |P, −⟩ と |P, +⟩ はゼロモードの励起なので、励起してもエネルギーは変わらない。しかもさっき、粒子と反粒子は、χ0 と χC
0 は区別できないって言ってたんで |P, −⟩ と |P, +⟩ は区別できるかっていうと区別できないんですね。で、ちょっと面白いことがあって、フェルミオン数を見てみようと。

1
Qf =
2

∫

dx(ψ † ψ − ψψ † )(1.3.138)

フェルミオン数を計算してみますとこうなりますね。

[
]
[
]
)
)
∑( †
∑( †
1 †
1
†
†
†
a a+
bk bk + dk dk −aa +bk bk + dk dk
Qf =
2
2
k
k
)
1 ∑( †††=a a− +
bk bk − dk dk2(1.3.139)k† のついてないやつを右に持っていきますと飛び越すごとに 1 が出ますけども、b、d に関しては 1/2 と−1/2 が出てキャンセルするんですね。普通そうです。ところが、a に関しては −1/2 が残っちゃうんですね。ということでこのフェルミオン数 Qf を |P, −⟩ に掛けるとなんと −1/2 が出てくる。|P, +⟩ に掛けると +1/2 が出てくる。

1
Qf |P, −⟩ = − |P, −⟩2
1
Qf |P, +⟩ = + |P, +⟩2(1.3.140)(1.3.141)ということで、これ有名なフラクショナルフェルミオン数 [7] で、量子キンクはフェルミオン数 ±1/2 をもつという変なことになってます。
ただこれはそう言ってもいいんだけれども、結局 |P, −⟩ と |P, +⟩ を区別できないので、フェルミオン
が入ると量子キンクはフェルミオンの局在化のおかげで、2 重に縮退すると。量子キンクは 2 個あるというふうに解釈されます。
（質問）フラクショナルフェルミオン数は 2 次元だから出るということではない？
（回答）いや、そうじゃないと思います。何次元でも、ええ。
いま 1 個のフェルミオンを考えましたけども、フェルミオンが何個もあるような結合をさせれば 2Nに縮退した量子キンクが出るというわけですね。

62

Soryushiron Kenkyu

1.3.3

脱線：ポリアセチレン

ちょっと脱線、僕も耳学問程度にしか知らないのでこれは、間違ってたらすみませんが、こういうフラクショナルフェルミオンっていうのは現実で見つかってるんだか見つかってないんだか、そんな感じらしいです。ポリアセチレンっていうのがあって、まあ、C と H ですね。
H
A相

C
H

B相

C
H

C

H
C

σ

C
H

C

H

H

H

C

C

C

σ, π

H
C

C
H

C

H

H

H
C

C
H

C
H

H
C

C
H

C
H

A 相と B 相があるらしくて、1 重線のところに σ 結合があって、2 重線のところに σ と π の 2 重結合があると。で、2 重結合がどっちに付いているかというので対称性が破れます。ということはこれをくっつけると、キンクが生まれると。

π bond© wikipedia *3

で、Wikipedia 見たら σ とか π ってのはこんなもんだから（笑）Wikipedia 見てなんとなく大学 1 年
生の頃の話を思い出したんですけれども、まあこんなもん。こういう縦方向に波動関数がつながってるか (図上部)、こうなってるのをくっつけるか (図左下 → 図右下) の違いらしいんですけれども。

*3

σ bonds: by CCoil (own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via
Wikimedia Commons
π bond:by Vladsinger (retouched picture:
the original is by JoJan) [CC BY-SA 3.0(https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons

63

Soryushiron Kenkyu

B型

A型
π電子を共有∼ φ4 キンク

この B 型と A 型をくっつけると、ここ（図ギザギザの真ん中辺り）、π 電子がどっかで共有されてると。ということでちょうど、キンクになっていますね。で、2 重結合のほうがもちろん 1 重結合よりは距離が近くなって、何もないときからのずれっていうのを場とみなして、無限系にもっていくと ϕ4 理論みたいになって、本当に tanh のキンクみたいなのが出せるみたいなんです。これは中性なんですけ
ども、電子を与えたりだとか、ホールをドープすることによって電荷を与えることができて、こういうものに電流が流れると。キンクが電流を流すと。で、ノーベル賞、白川さんでしたっけ。これ 1 次元系
なのでフェルミオンのゼロモードが局在して、ただ、3 次元中にある 1 次元なのでスピンの数とかいろ
いろ違いますけれどもフラクショナルフェルミオンも、まあ、見つかっているみたいです。
きりがいいからこれでおしまいにしましょうか。最後は強結合に行ったらどうなるのかっていうのをちょっと見るために、sine-Gordon 模型っていうので量子化するというのをざっと紹介して、キンクの話を終えて、次元を徐々に上げていこうかなと思います。じゃあちょっともう限界なんでここで午前中は終わりにします。

〜〜休憩〜〜

では、午前中の続きをさせてもらいたいと思いますけども、あとどれぐらい残ってるのかなぁと思ったらですね、全然終わってなかったというか、用意したトラペは結構あって、

1. Introduction (44 pages)
2. Kinks (222 pages) ← now is in page 126
3. Vortices (158 pages)
4. Monopoles (33 pages)
5. Kinks, vortices and monopoles (17 pages)
あまり気づいてなかったんですけど、ちょっと終わりそうもないんで、いけるとこまでいって、いけな
かったところはすいませんっていう感じになると思いますけども。だんだん少なくなってくるのは、準備がどんどん終わってって、1. と 2. あたりで基本的なことは全部やっちゃうので、パッパッと行けるというつもりなんですけども、ほんとにモノポールまで行けるのかどうかあまり自信がないんですけど、
まあ、できるだけやって行きたいと思います。

1.3.4

Quantum sine-Gordon kink and duality

それで、午前中最後終わったのは量子キンクについての話をして、フェルミオンと結合したらどうなるかということを言いましたけども、sine-Gordon キンクを量子化したらどういうことが起きるかというのを話したいと思います。もう詳しい計算は全部すっ飛ばしますけども、ϕ4 と同じようにやると、古典的な質量に量子補正と摂動項が加わるということです（ℏ = 1 としている）。

m
8m3
−
+O
Mk =
λ
π
64

(

λ
m

)

(1.3.142)

Soryushiron Kenkyu

この −π/λ が量子補正ですね。今この量を

λ
γ ≡ 2
m
′

(
1−

λ
8πm2

)−1
(1.3.143)

っていうのでうまく書くことができて、これの逆数をとると−1(γ ′ )

=

m2
1
−
λ
8π

(1.3.144)になるので、

8m
Mk = ′ + O
γ

(

λ
m

)
(1.3.145)となります。
それで、sine-Gordon で特徴的だったのはブリーザーモードがあるということですね。キンクと反キ
ンクの束縛状態。これは古典的には

ϕkk̄ =

2v
sin msγ̃t,tan−1πs cosh mγ̃xγ̃ =1
1 + s2(1.3.146)

で書けて、0 ≤ s < ∞ というパラメータで、うようよしてたやつですね。その古典的なキンク質量っていうのは 2 キンク質量の和を 1 + s2 で割ったものだと。

MB =

2Mk
1 + s2(1.3.147)

つまり 2 キンク質量より小さい束縛状態を作っている。この状態に対しても、同じように量子効果が計算されていて、その結果だけ言うと、s は 0 から ∞ まで走れるので、連続的に無限個あるんですけども、量子効果を入れると量子化されると。それは(n)MB = 2Mk sin

nγ ′
,
16

n = 1, 2, · · · <8π
γ′(1.3.148)

で書けると。sin の中が上がると、0 から１まで上がってくんですけども、そこまで許される。この n は自然数ですね。8π/γ ′ を超えると π/2 を超えるので、これより小さいところまで許されるということになります。

λ/m2 ≪ 1 と思って展開してみますと、sin 関数なんで簡単に展開できて、
[
]
(
)2
(
)3
3
3
n
λ
16n
λ
(n)
MB = m n −−+ ···3! 16m2
4!π
16m2(1.3.149)となります。一番軽いモードっていうのは n = 1 のときですね。n = 1 のときに λ → 0 とすると、(1)

MB → m

(1.3.150)になります。高次の項が全部落ちるので。そうすると、このブリーザー解の質量が λ → 0 の極限では

sine-Gordon の場 ϕ を量子化したときの粒子そのものに一致するということになります。これが一番小
さいやつですね。これを偶然と思わないで、必然と思いましょう。つまり、λ をずっと弱くしてったときには、ブリーザーモードの一番軽いモードは基本粒子そのものであるというふうに解釈する。ブリー
ザー解は場の揺らぎでしたけれども、フラフラしているので、何となく場の揺らぎみたいなもんだから、そう見てもいいかなぁという気はするんですけども。

65

Soryushiron Kenkyu

じゃ、そんなことが本当にいいのかということで、この Dashen-Hasslacher-Neveu という人達の古い論文 [8] では、本当の粒子、sine-Gordon 場を量子化した 2 つの粒子の結合状態の質量を計算して、M1
は sine-Gordon 粒子の質量ですけれども、M2 は結合状態のエネルギー、質量で、2M1 から M2 を引いて、M1 で割ったという計算をすると、

2M1 − M2
4
= ϵ2 + ϵ3 +
M1
π

(

12
1
−
π
12

)
ϵ4 + · · · ,

ϵ=

λ
16m2

(1.3.151)のように書けるということが計算されました。ところで、さっきブリーザーモードの一般の公式(1.3.149) は与えられているわけですね。ここから n = 1、n = 2 を入れて、同じことをしてみると、全く同じ式になります。
(1)

(2)

2MB − MB
(1)
MB

4
= ϵ + ϵ3 +
π

(

2

12
1
−
π
12

)
ϵ4 + · · ·(1.3.152)ということで、ブリーザー解を基本粒子と同一視する、ということが良さそうだと。
ところで、n っていうのは

n<

8π
8πm2
=
−1
γ′
λ

(1.3.153)ということだったので、λ がどんどん大きくなって、

λ ≥ 4πm2(1.3.154)になっちゃったら、もう (1.3.153) を満たすのは n = 0 しかなくなっちゃう。ということは、強結合に行ったらブリーザー解がいなくなるということを意味してると。今はブリーザー解を基本粒子と同一視したので、それもいなくなってしまうんじゃないかと。実際に、4πm2 よりもうちょっと低い λ = 2πm2で、キンクの質量が

Mk =

8m
3m
=
<m
′
γ
π

(1.3.155)です。ということは、この時にもはやキンクが基本粒子より軽くなってるんですね。だから、λ ≥ 4πm2でブリーザーがなくなるのは辻褄が合っていますね。
ということで、強結合ではキンクの方がより軽くなって、基本的自由度になるんじゃないかということが強く示唆されているわけですね。もちろん強結合というのは摂動論が使えないので、一般的には解析が難しいので、何かアイデアがないかというのがいわゆる duality（双対性）です。この双対性とは何なのかっていうのはこれから説明していきますけども、ここで本当に双対なのかを計算するのは大変なのでしないんですけど、傍証みたいなのを見ることにします。λ = 4πm2 の付近でものごとを見てみましょう。そこで

λ
1
=
2
4πm
1 + δ/π(1.3.156)

δ が小さい数と思って書くこととします。それで、ブリーザー解の質量を δ で書いてやるとこういうふ
うになります。

((1)
MB = Mk

4δ 3
2−δ +
+ ···
π

)

2

(1)

(1.3.157)

δ = 0 なら、ちょうど MB = 2Mk になって、ブリーザーはキンク 2 個の束縛状態になってるということがここから何となくわかるんですけども。こういう公式があったと覚えといてください。

66

Soryushiron Kenkyu

いきなりなんですけどもここで一旦 sine-Gordon を忘れて、まったく関係ない massive Thirring 模型

g
LMT = ψ̄(iγ µ ∂µ − M )ψ − (ψ̄γ µ ψ)22(1.3.158)というフェルミオンの理論を考えたい。g というのは 4 フェルミ結合ですけども、g > 0 であれば、粒子と反粒子の相互作用は引力ですから、粒子-反粒子の束縛状態があります。そこでこの理論において、束縛状態の質量っていうのを g が十分小さいと思って計算してやると、(M̃B = M

4g 3
2−g +
+ ···
π

)

2

(1.3.159)となります。M というのは基本粒子の質量です。
これを (1.3.157) と見比べてみると、ブリーザーモードの δ で展開した表式と massive Thirring 模型の束縛状態の表式が全く同じ形をしてるんですね。もしも、δ = g と思ったら、本当に同じものだと。
そうすると、ブリーザーモード解の質量と massive Thirring 模型の束縛状態の質量が一致するわけですね。

δ=gsine Gordon ボソン（ブリーザー）= massive Thirring 束縛状態

(1.3.160)(1.3.161)

ブリーザーモードが先程のボソンだと同定したので、sine-Gordon 模型の素粒子が massive Thirring 模型の束縛状態となっています。さらに sine-Gordon キンクが massive Thirring 理論の基本粒子に対応しているというのは自然です。こう同定しようというわけですね。

sine Gordon キンク = massive Thirring フェルミオン

(1.3.162)

こう同定としたとすると、massive Thirring で結合定数を g = 0 に切ると、さっきブリーザーがなくなっちゃったよというのは massive Thirring の方では引力がなくなっちゃうので、束縛状態がなくなるというので非常に納得がいくというわけですね。ということで、強結合に行くと、どんどん軽くなってく。で、キンクがより基本的な役割を果たすようになってくる。Sine-Gordon の枠組みでやると、それは強結合になっちゃうんだけども、massive Thirring 模型に行くと、同じ物理を表すような別の理論があって、そっちでは基本粒子になってると [9, 10]。
しかも、δ = g にしましたから、sine-Gordon の結合定数 λ と massive Thirring 模型の結合定数 g は

λ
1
=
4πm2
1 + g/πの関係にあります。

λm2gstrong-weak duality !

67(1.3.163)

Soryushiron Kenkyu

横軸を g で、縦軸を λ/m2 にしてみると、こうなるんですね。ということで、g が小さいときは λ が大きい、g が大きいときは λ が小さいということなので、これは強弱双対性になってる。ということで、強結合に行くと、劇的に見方が変わって、摂動論が使えないんだけども弱結合の違う理論があって、そっ
ちでものごとを考えていいんじゃないかというふうになってる。これが面白い、ソリトンの重要な役割の 1 つだと思います。大体これで、弱結合のときの量子キンクの性質と強結合に行ったときにどうなるかということを大体説明しました。

1.4 ドメインウォール
次に、キンクっていうのは 1 + 1 次元で粒子的なソリトンですけども、高次元に行っても、そういうものがあるわけですね。全く同じ性質を持ったものがいます。ただし、1 + 1 次元で粒子的だと、そのま
ま 2 次元に持っていくと広がりを持った物体になりますね。例えば 2 + 1 次元の ϕ4 理論を考えます。

)2
1
λ( 2
L = − ∂µ ϕ∂ µ ϕ −ϕ − v2 ,24µ = 0, 1, 2

(1.4.1)

ただ単にさっきやってたのを µ = 0, 1 だったのを 2 も付け加えたというだけですね。だけど、この理論
で x だけに依存した解というのを考えると、その運動方程式はこうなります。

−

( 2
)
d2 ϕ(x)
2
+
λ
ϕ
(x)
−
v
=0
dx2

(1.4.2)運動方程式自身は 1 + 1 次元の運動方程式と全く同じなので、1 + 1 次元の方程式の解がわかってれば、
この方程式の解にもなってると。
というわけで、1 + 1 次元ではこういう tanh 型のドメインウォール解mϕ(x) = v tanh √ (x − x0 )2

(1.4.3)があったわけですけども、これは 2 番目の座標 y によってないので、2 番目の座標の方向には自明に伸びているんですね。

yxドメイン ライン
1+1 dim. world-volume

y = 一定 の線で見ると、どっかにポコッと局在しているけれども、y 方向に沿ってはまっすぐ伸びてる。
ひも状になっているので、1 + 2 次元のドメインラインというふうに呼ばれています。
これは空間次元をどんどん上げてくことは自明にできて、1 + 3 次元ではドメインウォール、1 + 4 次
元になるとなんと呼ばれるのかちょっとわかんないですけど、通常（メン）ブレーンと言ったりします。
高次元でこういうものを考えるご利益みたいのがあるのかというと、1 つは

1. ドメインウォールによるブレーンワールドの実現っていうのがある。もう 1 つは68

Soryushiron Kenkyu

2. ドメインウォールフェルミオン（格子計算）というのが、全く別のところ、格子 QCD とか計算する時に出てくるドメインウォールフェルミオンとかいうのも関係しています。ちょっとそれを説明したいと思います。

1.4.1

ブレーンワールドシナリオへの応用

まずは、ブレーンワールドシナリオへの応用ですけども、ブレーンワールドシナリオって何だったかっていうと、時空の次元は 3 + 1 より大きいと。なぜそんなことを考えるかですけども、いろいろ理由はあると思うんですけども、例えば総合作用の統一。例えば Kaluza-Klein 理論で電磁気と重力を統一しようというときに、5 次元方向を使います。それから重力を量子化しようと思って超弦理論だって言ったら、必然的に時空の次元は 3 + 1 より大きくなきゃいけない。それから、ヒエラルキー問題、いわゆるゲー
ジヒエラルキー問題ですけれども、これを解決する 1 つの理由としてブレーンワールドを理由にすることができます。もともとヒエラルキー問題を解決するために、ブレーンワールドが考えられたんですね。
ヒエラルキー問題というのは、Planck スケール (MPl = 1018 GeV) と電弱スケール (MEW = 103 GeV)がものすごい違うと。こういうものを解消するために、超対称性とか、Randall-Sundrum 模型 [11] とかそういうのがいろいろあったわけです。
ここではこの Randall-Sundrum について、ちょっとだけ解説します。

3-branehiddenΛ<0AdS53-brane

SM

πR5

0

x5
S /Z2
1

5 次元の理論を考えますね。Minkowski 空間と 5 次元方向が S 1 /Z2 という orbifold になってて、
orbifold の固定点、端っこに 3-ブレーンがあると。その間は負の宇宙項が入っているので、反 de Sitter(AdS) 空間になっているというようなセッティングです。で、我々はブレーンのどっちかに住んでいます。例えば、今 SM 側に住んでいるとして、そうすると計量はこんな感じになりますね。

ds2 = e−2kx ηµν dxµ dxν − (dx5 )2
5

(k =

√
−Λ/6)

(1.4.4)k は bulk の宇宙定数 Λ で決まってくるような量です。
ざっと言うと Randall-Sundrum 模型っていうのは bulk と hidden sector（Standard Model ではな
いブレーン）と Standard Model brane の 3 つからなっていて、

SRS = Sbulk + Shid + SSM
)
(
∫
∫ πR5
1
√
Sbulk = M53 d4 x
dx5 g5R5 − Λ
2
0
∫
∫ πR5
√
(4)
dx5 g5 Lhid δ(x5 )Shid = d4 x

(1.4.6)(1.4.7)

0

∫
SSM =

(1.4.5)

∫ πR5
d4 x
0

√
(4)
dx5 g5 LSM δ(x5 − πR5 )69(1.4.8)

Soryushiron Kenkyu

bulk は 5 次元の Planck 質量 M5 が掛かってて普通の Einstein 作用があって負の宇宙定数が入ってると。Hidden sector っていうのは原点に局在してるので、デルタ関数的に 4 次元的な作用があると。

Standard Model brane の方はある離れたところ、S 1 の半径を R5 としていますけども、x5 = πR5 のところに局在した 4 次元作用です。これらのデルタ関数的なものを手で入れてブレーンを表現しているというわけです。

5 次元方向を積分して、4 次元の有効理論にしてやろうというわけですね。
[
]∫
∫ πR5
√
3
5 −2kx5
Seﬀ ⊃ M5dx e
d4 x −g4 R4(1.4.9)0

Bulk の [· · · ] のところは 5 次元方向に依存したワープファクター e−2kx を積分してやると 4 次元の
52
Planck 質量の 2 乗 MPlが出てきます。5 次元の Planck 質量と 4 次元の Planck 質量は
2
MPl
=

M53
(1 − e−2kπR5 )k(1.4.10)2というふうに関係してて、R5 が十分大きければ、MPl= M53 /k になります。Standard Model のセク

ターは、例えば Higgs 場みたいなものを見てみると、

∫
SSM ⊃

[
]
)
√
λ( 2
−4kπR52kπR5 µν†2 2eg Dµ HDν H −|H| − vd x −ge
44(1.4.11)e−4kπR5 は 5 次元の determinant の部分から来てるんですけども、e2kπR5 がワープファクターですね。
これを 4 次元の理論だと思いたければ、通常は運動項を普通の形にするためにどうしたらいいかというと、場をリスケールするんですね。

H → ekπR5 H(1.4.12)

場をリスケールすると、運動項は通常の形になります。

∫
SSM ⊃

]
[
)
√
λ( 2
−2kπR5 2 2†µν|H| − ed x −g g Dµ HDν H −v
4
4(1.4.13)

そのおつりがどこに現れるかというと、リスケールしたことによって最後の項 e−2kπR5 v 2 に現れるんですね。今はスカラーでやりましたけれども、とにかく同じようなことを全部やると、質量スケールをもった結合は全部 e−kπR5 倍されます。
ということで、元々の理論が v だったのが、4 次元に行くと、

v → e−kπR5 v(1.4.14)という因子が出てくるということで、何がうれしいかというと、5 次元の理論に 5 次元の Planck スケー
ル M5 しかなかったとしても、e−kπR5 のような因子のおかげで、4 次元の理論にそれよりもずっと小さい質量スケールが出てこれるというのが元々の Randall-Sundrum 模型だったわけですね。
ただし、今みたいに Randall-Sundrum に関する研究の多くでは、いま見たようにデルタ関数としてある意味人工的にブレーンの種を入れるわけですね。この点を改善しようと思えば、何か場の理論の枠組
みでやろうとしたら、ドメインウォールを考えるのが自然じゃないかと。ということで、パッとブレーンでやるというアイデアが出てくるわけです。ブレーンの起源をデルタ関数として手で入れるということからもう 1 歩進もうと思って、高次元時空中のドメインウォール膜と同定することで、場の理論の枠組みでブレーンワールドシナリオを自然に扱おうという、そういう方向性です。良い点をいくつか挙げ
とくと、

70

Soryushiron Kenkyu

1. ブレーンの起源は運動方程式の解なんですね。ダイナミカルに場の理論を解いて出てきます。
2. さらに、今まで見てきたようにドメインウォールには massless のボソンやフェルミオンが自然に局在するんですね。物質場が勝手に局在してくれると。

3. さらに、後でちょっと言いますけども、超対称性を自然に破ることができるので、超対称性とも組み合わせれば、ブレーンがあるということ自体で、超対称性を破れるということになります。
これがドメインウォールのブレーンワールドシナリオへの応用だったんですけども、もう 1 つは格子ゲージ理論への応用です。

1.4.2

格子ゲージ理論への応用

僕は格子ゲージ理論全く知らないのでまた耳学問で申し訳ないんですけれども、格子ゲージ理論でフェルミオンを格子に乗っけようと思うと、カイラルフェルミオンをどうやって格子に乗っけるかというのが難しいらしいです。何でできないかっていうのは僕詳しく知らないですけれども、そうらしいと。
このことにドメインウォールが一役買っているらしいです。って、青木さんの教科書 [12] に書いてありました。このことを理解するために、1 + 1 次元、午前中にやった話を思い出すと、1 + 1 次元では、

γ 0 = σ1 ,γ 1 = iσ 3(1.4.15)m
ϕk (x1 ) = v tanh √ x1
2

(1.4.16)で、キンクっていうのはで与えられて、キンク上には( − ∫ x ϕ (y)dy )
k
e
χ0 =
,
0

(1.4.17)という massless フェルミオンが乗っかっていました。反キンクの場合はmϕk̄ (x1 ) = −v tanh √ x1 :
2

(
χ0 =

e

∫x

0
ϕk̄ (y)dy)(1.4.18)という massless フェルミオンが乗っかっている、という話をしましたね。これは 1 + 1 次元です。
このキンクに局在したゼロモードは、やってみればわかりますけども −iγ 1 = σ 3 の ±1 の固有値をもった固有状態ですね。

−iγ 1 χ0 = ±χ0(1.4.19)

当然、(1.4.17) のように下成分が 0 なら +1 で、(1.4.18) のように上成分が 0 なら −1 ということだったんですけれども、全く同じことが 1 + D 次元でも言えます。例えば、ドメインウォールフェルミオン
を作りたいときは、5 次元時空を考えるので D = 4 としますと、1 + 4 次元ガンマ行列っていうのは

Γ0 , Γ1 , Γ2 , Γ3 , Γ4

(1.4.20)で、第 4 方向に垂直なドメインウォール ϕDW (x4 ) を考えるとしましょう。そうすると、ドメインウォー
ルに局在する massless フェルミオンというのは (1.4.19) とのアナロジーで理解してもらえると思うんですけども、−iΓ4 の ±1 の固有状態になっています。

−iΓ4 χ0 = ±χ071(1.4.21)

Soryushiron Kenkyuというゼロモードがどっかにあります。
ところで 5 次元と 4 次元のガンマ行列の関係は

Γµ = γ µ(µ = 0, 1, 2, 3)(1.4.22)

Γ4 = iγ5 = i(iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 )(1.4.23)ということで、5 次元時空で (1.4.21) という固有状態にあったフェルミオンゼロモードは、4 次元の言
葉でいうとこれはまさに γ 5 の ±1 の固有状態

γ5 χ0 = ±χ0(1.4.24)だったので、まさにカイラルフェルミオンになってる。ということで、5 次元ドメインウォールを考えると、ドメインウォール上にはカイラルなフェルミオンが乗っかって、反ドメインウォールには −1 の固有値をもつフェルミオンが乗っかる、ということが 1 + 1 次元の話からすぐわかる。5 次元にしただけです。こういうことを考えることで、格子 QCD とかやるときに一役買ってるみたいです。原理は 1 + 1
次元でやったときと同じですね。それをどこに応用してるかっていうのの違いだけだと思います。

1.4.3

ドメインウォールと重力

あとはドメインウォールに関係する物理として面白いのはドメインウォールと重力の関係 [13] だと思
うんですけども、これからは 4 次元の話をしましょう。4 次元中に本当にドメインウォールがあったとします。x = 0 にこうあったと。

yDW(x = 0)xz

エネルギーの塊

そうすると、このドメインウォールの近くにある粒子が受けるドメインウォールからの重力はなんと斥力だということが知られています。これが非常に驚きというか、そんなことがあるのかということなんですけれども、パッと理解しようと思うとだいたいこんな感じで、ϕ4 で考えてみましょう。

4 次元の ϕ4 理論で考えて、
Tµν = ∂µ ϕ∂ν ϕ − ηµν L(1.4.25)

がエネルギー運動量テンソルで、T00 成分はビリアル定理を使うと

T00 =

1 ′ 2
(ϕ ) + V (ϕk ) = (ϕ′k )22 k(1.4.26)となります。11 成分を計算すると、ビリアル定理を使うと打ち消し合って 0 になると。

T11 = (ϕ′k )2 +T22 と T33 も計算すると、(

1− (ϕ′k )2 − V (ϕk )
2

)

=0

)
1 ′ 2
T22 = − (ϕk ) − V (ϕk ) = −(ϕ′k )2
2
)
(
1 ′ 2
T33 = − (ϕk ) − V (ϕk ) = −(ϕ′k )22(1.4.27)(72(1.4.28)(1.4.29)

Soryushiron Kenkyu

他のところは全部 0 というわけですね。

Tµν = 0(µ ̸= ν)(1.4.30)

T22 と T33 が − になっているというのがポイントで、
Tµν = σdiag(+1, 0, −1, −1),

σ(x) = (ϕ′k )2(1.4.31)となっていて、もちろん (1.4.31) の形になったのは、ドメインウォールが平坦だと仮定してるので、

2 + 1 次元の Lorentz 対称性が保たれているからなんですけども、T22 = T33 < 0 ということは負の圧力になってると。そこでこの非相対論的極限を考えると、g00 の部分ですけれども、∇2 Φ = 4πG(T00 − Tii ) = −4πGσ(1.4.32)が負になってるということですね。σ = (ϕ′k )2 はドメインウォールの張力です。ということで、普通の重力と逆になってので、斥力になってるというのはだいたい理解できるんですけれども。
ただ、これは重力とは全く結合させてない理論でドメインウォールを解いてそうじゃないかと言っているだけで、非常にナイーブな議論ですね。だから、重力が斥力になるんだと言われて、ちょっと疑わしいわけです。もうちょっと正確な議論も知られていて、以下簡単のため、ドメインウォールの厚みが非常に薄かったとします（thin wall 極限）。そうすると、デルタ関数的なドメインウォールになってる
わけですけども、Tµν (x) = σ(1, 0, −1, −1)δ(x)(1.4.33)

こういう解を考えると、x = 0 の周りで重力の方程式を解くと、計量がds2 = (1 − κ|x|2 )dt2 − dx2 − (1 − κ|x|)2 e2κt (dy 2 + dz 2 ),

κ = 2πGσ(1.4.34)というふうに書けることが知られています [14]。ドメインウォールの周りで、(1.4.34) のような空間となっています。
もうちょっと見てみると、ドメインウォールに平行なスライスを見てみましょう。つまり、x が一定のところですね。そうすると、適当にパラメータをリスケーリング

κ1 − κ|x|(1.4.35)ds2∥ = dt̃2 − e2κ̃t̃ (dỹ 2 + dz̃ 2 )(1.4.36)t̃ = (1 − κ|x|)t,κ̃ =して書くと、計量がという感じになります。ワープファクター e2κ̃t̃ が掛かってるので、ドメインウォールの中なんで 2 + 1
次元なんですけれども、これは 2 + 1 次元の de Sitter 時空にあるような計量になってる。ドメイン
ウォールの中というのはポテンシャルが高くなってるところにあるので、エネルギーが高いから、正のエネルギーで埋め尽くされているので、インフレーション計量が出てきているというのは当然です。
一方で、ドメインウォールに垂直なスライス、y, z が一定のところで見てみると、先ほどの計量の t, xだけで見たら、

ds2⊥ = (1 − κ|x|)2 dt2 − dx2(1.4.37)になります。これは 1 + 1 次元の Rindler 空間の計量というふうに知られていて、これはどういうときに出てくるかってというと、Minkowski 時空を原点 x = 0 から一定加速度

a = 1/κ
73(1.4.38)

Soryushiron Kenkyu

で遠ざかっている系に乗っている人の計量です。実際に、座標変換

τ=1 − κ|x|sinh κt,κξ=1 − κ|x|cosh κtκ(1.4.39)

してみると、平坦な Minkowski に戻るというわけです。
この Minkowski になる座標 τ 、ξ は cosh と sinh で書かれているので、(
ξ −τ =
2

2

1
− |x|
κ

)2
(1.4.40)の関係式になって、これは x = 0 にある試験粒子が一定の加速度 1/κ で加速されているという関係式になっています。ということは、(1.4.40) の人から見れば、ドメインウォールは x = 0 のところにあるわけですけれども、一定の加速度で遠ざかっているというふうに見えて、逆にドメインウォールから見れ
ば、すべての粒子は一定の加速度で遠ざかっているように見えるということで、重力が斥力になっているというのが、先ほどのナイーブな議論と同じ結論となるというわけです。
この計量 (1.4.34) は一部分だけではなくて、全体的に

ds2 = dt2∗ − dx2∗ − dy∗2 − dz∗2

(1.4.41)のようにフラットに移すことができます [15]。ある座標変換をするとこんなふうになると。そうすると、
この座標でのドメインウォールの位置というのは

x2∗ + y∗2 + z∗2 =

1
+ t2∗
κ2

(1.4.42)というふうになっていて、(1.4.40) と非常によく似ているんですけれども、4 次元まで含めればこうい
うふうになっていて、これは 3 次元球面ですね。半径の 2 乗が 1/κ2 + t2∗ で決まる球面になってると。
ということで、粒子からみると、ドメインウォールは球形に見えると。

1
+ t2∗
κ2

R(t∗ )2 =(1.4.43)

R(t∗ )

1/κt∗

その球の半径は t∗ に依存してて、無限の過去で無限に大きかった球面がだんだん小さくなって、t∗ = 0
で 1/κ になって、また大きくなってくと。だから、ちょうどものを上に投げて落ちてくるように、広がるように加速度がある。だから、どっかに止まって、もう 1 回広がってくと。こういうふうにドメインウォールが粒子からは見えるということが知られています。非常に奇妙なんですけれども、重力まで含
めてドメインウォールを考えると、こんなことになります。この話はそれでおしまいです。

74

Soryushiron Kenkyu

1.5 Supersymmetry and domain wall
BPS っていうのをいろいろやってきたんですけれども、BPS っていうのは超対称性 (supersymmetry,
SUSY) と非常に関係があるということをここでちょっと説明しようと思います。今まで、キンクやドメ
インウォールの性質やその応用をいろいろ見てきたわけなんですけども、一番重要なのはやっぱり BPSということですね。これは 2 階の微分方程式というのが 1 階の微分方程式に落ちたんだと。

−ϕ′′ +√dV= 0 ←− ϕ′ = ± 2V
dϕ(1.5.1)

この 1 階微分方程式の解はすべてが 2 階微分方程式の解になっています。さらに、∫ ϕ(∞)
M ≥±

√
dϕ 2V

(1.5.2)ϕ(−∞)

はエネルギーバウンドの下限になっていて、ビリアル定理

1 ′ 2(ϕ ) = V2(1.5.3)を満たすようになっていると。こういう特別なことがあって、いろんなとこにビリアル定理を使っているんですけれども、重要な BPS の性質から来ていますね。それが超対称性のある理論に行くと、もっと自然に BPS という概念が出てくるということをちょっと説明しようと思います。

4 次元の話をしてきたんで、引き続き 4 次元で、一番簡単な Wess-Zumino 模型っていうのを簡単に話します。しばらくちょっと超対称性の簡単なイントロダクションをさせてもらいますけども、超対称性っていうのはボソンとフェルミオンの間の対称性なので、ボソンとフェルミオンがいる理論を考えます。
複素スカラー場 : ϕWeyl フェルミオン場 : ψα ,(α = 1, 2)

4 次元の Weyl フェルミオンですね。一番簡単な、まずは free な理論を見てみましょう。複素スカラー
場と Weyl フェルミオンがいるんですね。

L = ∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ + iψ † σ̄ µ ∂µ ψ

(1.5.4)

記法は Wess-Bagger [16] とかに書いている記法とほとんど一緒です。計量の符号が違ったりしますけ
ども、いま almost-negative でやってます。例えば

ψ † σ̄ µ ∂µ ψ = ψα̇† (σ̄ µ )α̇α ∂µ ψα(1.5.5)と、こういうふうに足し上げるというルールですね。多分スタンダードな記法でしょう。σ と反対称テ
ンソルを(σ µ )α,α̇ = (1, σ i )αα̇ ,(σ̄ µ )α̇α = (1, −σ i )α̇α(1.5.6)ψ α = ϵαβ ψβ ,ψα̇† = ϵα̇β̇ ψ †β̇ ,ϵαβ = −ϵαβ = −iσ2(1.5.7)ψα = ϵαβ ψ β ,ψ †α̇ = ϵα̇β̇ ψβ̇† ,ϵα̇β̇ = −ϵα̇β̇ = −iσ2(1.5.8)こういうルールで話をしたいと思います。詳しくは Wess-Bagger とか見てください。

75

Soryushiron Kenkyu

超対称性はさっきも言ったようにボソン的なものとフェルミオン的なものを入れ替える|B⟩ ⇔ |F ⟩(1.5.9)ので、変換するとスピン（統計性）が変わるということですから、変換パラメータ ϵα は Grassmann になってなきゃいけない。そこで、δϕ ってのを一番簡単な ϵψ という、超対称変換のパラメータを ϵα として、全体的にはボソンになってなきゃいけないので、ϵψ という変換です。∗ というのは、それの † とったものですね。

δϕ = ϵα ψα = ϵψδϕ∗(1.5.10)= ψα̇† ϵ†α̇ = ϵ†α̇ ψ †α̇ = ϵ† ψ †(1.5.11)

そこで、スカラー場の Lagrangian は運動項しかないんですけれども、そこの超対称変換をしてみると、

δ(∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ ) = ∂µ ϕϵ† ∂ µ ψ † + ϵ∂µ ψ∂ µ ϕ∗(1.5.12)となりますね。これがフェルミオン場の Lagrangian の微小変換と相殺しなければならないので、これを打ち消すように、フェルミオンの変換を決めます。そうすると、

δψα̇† = i(ϵσ µ )α̇ ∂µ ϕ∗δψα = −i(σ µ ϵ† )α ∂µ ϕ,(1.5.13)で良いと。
微分が入ってくるわけです。っていうのはフェルミオンの運動項は微分 1 個しか入っていないので、
微分 2 個出すためには絶対微分が入ってなきゃいけないんですけれども、こういうふうにしておけば、実際フェルミオンの運動項を超対称変換してやると、

δ(iψ † σ̄ µ ∂µ ψ) = −ϵσ ν σ̄ µ ∂µ ψ∂ν ϕ∗ + ψ † σ̄ µ σ ν ϵ† ∂µ ∂ν ϕ

(1.5.14)となりますね。ガンマ行列の Cliﬀord 代数{σ µ , σ̄ ν }βα = 2η µν δαβ ,{σ̄ µ , σ ν }β̇α̇ = 2η µν δα̇β̇(1.5.15)を使ってやると、† µ ν †ψ σ̄ σ ϵ ∂µ ∂ν ϕ = ψ†()σ̄ µ σ ν − σ̄ µ σ νµν+ηϵ † ∂µ ∂ν ϕ2= ϵ† ψ † ∂ µ ∂µ ϕ()
= −ϵ† ∂µ ψ † ∂ µ ϕ + ∂µ ϵ† ψ † ∂ µ ϕ(1.5.16)になって、同様に
ν

∗

µ

µ ∗

ϵσ σ̄ ∂µ ψ∂ν ϕ = ϵ∂µ ψ∂ ϕ + ∂µ(σ ν σ̄ µ − σ µ σ̄ ν µ ∗
ψ∂ ϕ
2

)
(1.5.17)ですから、ボソニックな部分と足し合わせてみますと、すべての変換が全微分になると。

)(
σ ν σ̄ µ − σ µ σ̄ ν µ ∗† µ †δL = ∂µ ϵ ∂ ψ −ψ∂ ϕ
2(1.5.18)ということで、作用がこの変換の下で不変になってるということなんで、結局こうやって超対称変換を決めることができます。まとめると

δϕ = ϵψ(1.5.19)δψα = −i(σ µ ϵ† )α ∂µ ϕ

(1.5.20)76

Soryushiron Kenkyuとなるというわけですね。
この変換が閉じた代数になっているかどうかってのをちゃんと確かめなきゃいけないので、2 回順番を変えてやって引き算すると、(δ2 δ1 − δ1 δ2 )ϕ = δ2 (ϵ1 ψ) − δ1 (ϵ2 ψ)= −i(ϵ1 σ µ ϵ†2 − ϵ2 σ µ ϵ†1 )∂µ ϕ(1.5.21)というものが出てきます。微分というのは平行移動の生成子ですから、平行移動が出てくるというわけですね。これは ϕ に関するもので、ψ についても同様にやると、(δ2 δ1 − δ1 δ2 )ψα = −iδ2 ((σ µ ϵ†1 )α ∂µ ϕ) + iδ1 (σ µ ϵ†2 )α ∂µ ϕ
= −i(σ µ ϵ†1 )α ϵ2 ∂µ ψ + i(σ µ ϵ†2 )α ϵ2 ∂µ ψ

(1.5.22)となりますが、細かい計算はいいかな。
これもやっぱり平行移動になっててほしいので、こういう Fierz 恒等式

χα ξη = −ξα χη − ξχηα(1.5.23)を使って変形していきますと、(1.5.22) の第 1 項を 2 つに分解してやると、こんな感じになる。

(σ µ ϵ†1 )α ϵ2 ∂µ ψ = −ϵ2α ∂µ ψσ µ ϵ†1 − ϵ2 σ µ ϵ†1 ∂µ ψα(1.5.24)

ξσ µ η † = −η † σ̄ µ ξ(1.5.25)(σ µ ϵ†1 )α ϵ2 ∂µ ψ = ϵ2α ϵ†1 σ̄ µ ∂µ ψ − ϵ2 σ µ ϵ†1 ∂µ ψα(1.5.26)

さらに簡単な関係式

を使ってやるとということで、この計算を戻すとこんなふうになりますね。

))(((δ2 δ1 − δ1 δ2 )ψ = − ϵ2 σ µ ϵ†1 − ϵ1 σ µ ϵ†2 ∂µ ψ + ϵ2α ϵ†1 − ϵ1α ϵ†2 σ̄ µ ∂µ ψ

(1.5.27)

第 1 項の方は平行移動になってて、もう 1 個の方は σ̄ µ ∂µ ψ なので、これは運動方程式を使うと 0 になる。On-shell で消えると。On-shell じゃないと閉じてないというわけですね。

On-shell じゃないと閉じてないのはそもそもなんでかというと、最初に用意したこの ϕ というのは複素スカラーなんで自由度が 2 個、ψ α というのは自由度 4 つあるんですね。

d.o.f.
ϕ2ψα4ということで、ここにもう 2 個加えて oﬀ-shell でやった方が超対称性が綺麗に書けるということで、普通に ϕ, ψ の他に補助場 F （自由度 2）っていうのを入れておくといいというわけです。

L = ∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ + iψ † σ̄ µ ∂µ ψ + |F |2(1.5.28)

これで自由度が合ったので、もう 1 回作り直すと、oﬀ-shell の超対称変換が

δϕ = ϵψ(1.5.29)δψα = −i(σ µ ϵ† )α ∂µ ϕ + ϵα F

(1.5.30)

δF = −iϵ† σ̄ µ ∂µ ψ

(1.5.31)

77

Soryushiron Kenkyuとなります。そうすると、Lagrangian の変分はやっぱり全微分になって、

δL = ∂ µ Vµ
V

µ

∗

µ ∗

(1.5.32)
†

† µ

† µ

= ϵσ σ̄ ψ∂ν ϕ − ϵψ∂ ϕ + ϵ ψ ∂ ϕ + iψ σ̄ ϵFµ ν(1.5.33)と書けますから、作用はもちろん超対称変換の下で不変のままですけども。
なぜ F を入れたかっていう元々の理由は閉じていることですけれども、実際に今の超対称変換をやってみると、(δ2 δ1 − δ1 δ2 )ϕ = −i(ϵ1 σ µ ϵ†2 − ϵ2 σ µ ϵ†1 )∂µ ϕ(δ2 δ1 − δ1 δ2 )ψα = −i(ϵ1 σ µ ϵ†2 − ϵ2 σ µ ϵ†1 )∂µ ψα(1.5.34)(δ2 δ1 − δ1 δ2 )F = −i(ϵ1 σ µ ϵ†2 − ϵ2 σ µ ϵ†1 )∂µ F
ϕ の場合はさっきと同じで、ψ の場合は運動方程式で消えるっていうところはそもそも現れない。その代わりに F の超対称変換をやってみるとこうなって、全部同じようになってる。ということで、oﬀ-shell
でカイラル多重項っていうのを普通作って、X = {ϕ, ψα , F }(1.5.35)

でやりますね。これをカイラル多重項といいます。
こんな基本的なことをここで話していいのかちょっと迷ったんですけれども訳があって、スーパーカ
レント、超対称変換のカレントっていうのを計算しましょう。そのときに、Jαµ っていうスピノル的なカ
レントですけれども、Noether カレントを計算するときに、場の変化の部分に加えて、作用がどれだけ全微分で消えるかという情報が必要なわけですね。

ϵα Jαµ + ϵα̇ J µα̇ =∂LδX − V µ∂(∂µ X)(1.5.36)

で、∂LδX = δϕ∂ µ ϕ∗ + δϕ† ∂ µ ϕ + iψ † σ̄δψ∂(∂µ X)= ϵψ∂ µ ϕ∗ + ϵ† ψ † ∂ µ ϕ + iψ † σ̄ µ (−iσ ν ∂ν ϕ + ϵF )(1.5.37)は作用の変分ですね。計算してみるとこんな感じになって、一方で Vµ っていうのは

V µ = ϵσ µ σ̄ ν ψ∂ν ϕ∗ − ϵψ∂ µ ϕ∗ + ϵ† ψ † ∂ µ ϕ + iψ † σ̄ µ ϵF

(1.5.38)

でしたから、これ計算して Jαµ を見出すとJαµ = (σ ν σ̄ µ ψ)α ∂ν ϕ∗となります。

(1.5.39)√

それで、カレントがわかれば保存電荷がわかるので、保存電荷を定義するんですね。 2 っていうのは記法の問題ですけども、時間成分のカレントを積分して超対称電荷を作ることができます。

√ ∫ 3 0 √ ∫ 3
Qα = 2 d xJα = 2 d x(σ ν σ̄ 0 ψ)α ∂ν ϕ∗

78(1.5.40)

Soryushiron Kenkyu

もちろん、確かめとして、超対称変換を電荷で計算してみると、√ ∫ 3[Qα , ϕ] = 2 d y(σ ν σ 0 ψ)α [∂ν ϕ∗ (t, y), ϕ(t, x)]√ ∫ 3= 2 d y(σ 0 σ 0 ψ)α [∂0 ϕ∗ (t, y), ϕ(t, x)]√= −i 2ψα (t, x)(1.5.41)

量 子 化 条 件 に よ っ て 、[∂ν ϕ∗ (t, y), ϕ(t, x)] の 0 微 分 だ け 拾 っ て き て 、σ 0 σ̄ 0 = 1 で す か ら 、[∂0 ϕ∗ (t, y), ϕ(t, x)] がデルタ関数を出して、このようになります。実際に、超対称変換は√[ϵQ + ϵ† Q† , ϕ] = −i 2δϕ

(1.5.42)となって、当たり前ですけれどもさっき定義した超対称変換のルールが出てくると。
すべての場 X に対して超対称変換すると、ちゃんと√[ϵQ + ϵ† Q† , X} = −i 2δX(1.5.43)

これ交換子とると、超対称変換になっていると。超対称電荷がわかったら、代数をもう一回計算し直すと、X っていうのはカイラル多重項に入っている ϕ とか ψ とか F ですけれども、すべてに対して計算してみると、

[[
[

]
]
(
)
ϵ2 Q + ϵ†2 Q† , ϵ1 Q + ϵ†1 Q† , X = 2 ϵ2 σ µ ϵ†1 , ϵ1 σ µ ϵ†2 [Pµ , X]

(1.5.44)]ϵ2 Q + ϵ†2 Q† , ϵ1 Q + ϵ†1 Q† はちょうど δ1 δ2 − δ2 δ1 みたいなもんですから、(1.5.34) で計算したものになってるんですね。全部微分になってると。ということでここから超対称変換の代数を読み取ることができて{}
Qα , Q†α̇ = 2σαµα̇ Pµ{Qα , Qβ } = 0{}Q†α̇ , Q†β̇ = 0{(1.5.45)(1.5.46)(1.5.47)}}{Qα , Q†α̇ が Pµ つまり平行移動に比例している、他の {Qα , Qβ } と Q†α̇ , Q†β̇ は全部 0 という交換関

係です。

1.5.1

Extended SUSY

ちょっと脇道にそれますけれども、後で使うと思うので、いま Q というのはスピノルの脚しか持っていなかったんですけれども、何個もあるよっていう場合でもいいですね。それは extended SUSY といって、その足を a とか b で表すと、N まで一般には考えてもいいと。N = 1 の場合は N = 1 超対称性と呼ばれてて、N = 2 のときは N = 2 超対称性っていいますね。

}{
Qaα , Q†α̇b = 2σαµα̇ Pµ δba{ a b}Q α , Qβ = 0{}Q†α̇a , Q†β̇b = 0

79(a, b = 1, 2, · · · , N )(1.5.48)

Soryushiron Kenkyu

φ1
Q1

Q2

ψ1

ψ2
Q2

Q1
φ2

N = 1 のときは、ϕ というスカラー場と ψ というフェルミオンがある超対称変換で入れ替わるわけですね。そういうのが 2 個、カイラル多重項が 2 個あったとします。そうするとそれぞれ、ϕ1 と ψ1 が多重項を組んでて、ϕ2 と ψ2 が多重項を組むと。2 番目の超対称性が何を変えるかというと、ϕ1 と ψ2 を入れ替えるんですね。だから、N = 2 にすると、スカラー場 2 個とフェルミオン 2 個だと。こういうのをハイパー多重項といったりします。代数は例えば (1.5.48) のような形になっています。
ところが、N = 2 以上になると中心電荷 (central charge) っていうのを代数に入れることができます。中心拡大と呼ばれてて、単純に N = 1 を N = 2 代数に拡張したのが (1.5.48) なんですけども、{Qα , Qβ } と {Q†α , Q†β } のところに 0 じゃない中心電荷を入れることができます。
{}
Qaα , Q†α̇b = 2σαµα̇ Pµ δba√{ a b}Qα , Qβ = 2 2ϵαβ ϵab Z{}√Q†α̇a , Q†β̇b = 2 2ϵα̇β̇ ϵab Z(1.5.49)(1.5.50)

この Z のことを中心電荷というんですけども。例えば、今は N = 2 の場合を書いてますけども、そこでこういうふうに中心拡大したら、Q1 と Q2† を

1 1(Q + ϵαβ (Q2β )† )2 α
1Bα = (Q1α − ϵαβ (Q2β )† )2
Aα =(1.5.51)(1.5.52)というふうに線形結合します。
†

そうすると、{A1 , A1 } を計算することが簡単にできて、これちょこっと計算すると{} 1 {() ()}
2
A1 , A†1 =Q1α + ϵαβ (Q2β )† , Q†1
α + ϵαβ (Qβ )
4
)
√
1( µ
=
σ11 + σ2µ2̇ Pµ + 2Z2√
= M + 2Z

(1.5.53)というふうになります。同様に全部やると、}{√
Aα , A†β = (M + 2Z)δαβ}{√
Bα , Bβ† = (M − 2Z)δαβ(1.5.54)(1.5.55)†

上の A1 , A1 というのは α = β = 1 ということで書いてますけども、他の成分に対しても全部やって、

B, B † に関しても計算できます。ちょっと基底を変えて書くとこうなると。
特に、質量 M で中心電荷 Z をもった規格された状態っていうのを |M, Z⟩ と書くことにしましょう。

|M, Z⟩ と書いて、{Bα , Bβ† } の内積をとってみると。これは正定値なので必ず 0 より大きいわけですけども。そうすると (1.5.55) のような代数だったので{}√
0 ≤ ⟨M, Z| Bα , Bβ† |M, Z⟩ = (M − 2Z)δαβ80(1.5.56)

Soryushiron Kenkyuというふうになります。ということは、この M というのはM≥ということが言えます。ちなみに、この M =√2Z(1.5.57)√
2Z を満たす状態は

Bα |M, Z⟩ = 0(1.5.58)

ですから、Bα で変換しても何も動かない、不変な状態になってるので、Aα をすると動くんだけど Bα
をすると動かない。ですから、多重項の長さとしては半分になってるんですね。Bα に対しては動かないんだから。ということで、そういうのを short multiplet と呼ばれて、M >√2Z のところは short に対して long multiplet というふうに呼ばれています。で、(1.5.57) のように質量に制限がつくっていうのは、非常に BPS っぽいじゃないかと。そこで、(1.5.57) に着目していこうというわけです。超対称代数を考えることによって質量にバウンドがつくので、それと先程の Bogomol’nyi 平方完成というのが関係してるというのが予想がつくんですけれども。
ちょっと話をまた元に戻して、先ほど free な Wess-Zumino 模型をやったんですけれども、free な模型じゃドメインウォールを作れないので、相互作用が必要ですね。相互作用をどうやって入れるかというと、よく知られているように、スーパーポテンシャル

W = W (ϕ)(1.5.59)

っていうのは ϕ の正則関数ですね。ϕ̄ にはよらない ϕ だけの関数で、何でもいいからこういうものを持ってきて、W の ϕ による 1 階微分と、2 階微分*4 で補助場 F やフェルミオンとこう結合している。

1
VWZ = −Wϕ F + Wϕϕ ψψ + h.c.
2

(1.5.61)

あと Hermite 共役を考えれば、これで超対称変換に対して free になっています。実際、δ(Wϕ F ) ていうのを計算してみますと、

δ(Wϕ F ) = Wϕϕ F δϕ + Wϕ δF= Wϕϕ F ϵψ − iWϕ ϵ† σ̄ µ ∂µ ψ

(1.5.62)となります。
同じことを δ(Wϕ ψψ) でやってみると、

δ(Wϕ ψψ) = Wϕϕϕ ψψδϕ + 2Wϕϕ ψδψ= Wϕϕϕ ψψ(ϵψ) + 2Wϕϕ (−iψσ µ ϵ† ∂µ ϕ + ϵψF )= 2Wϕϕ (iϵ† σ̄ µ ψ∂µ ϕ + ϵψF )(1.5.63)

ここで、δϕ の項は δϕ = ϵψ だったので、ψ が 3 つ入ってきちゃうのでこれはもう 0 ですね。それ以外の項だけが残ります。結局、δVWZ を見ますと、−δVWZ = Wϕϕ F ϵψ − iWϕ ϵ† σ̄ µ ∂µ ψ − Wϕϕ (iϵ† σ̄ µ ψ∂µ ϕ + ϵψF + h.c.)= ∂µ (−iWϕ ϵ† ϵ† σ̄ µ ψ + h.c.)*4(1.5.64)

編注：下付き添字 ϕ は ϕ による微分を表す。

Wϕ =

∂W
,
∂ϕ

Wϕϕ =

∂2W
,
∂ϕ2

81

Wϕϕϕ =∂3W∂ϕ3(1.5.60)

Soryushiron Kenkyu

やっぱり全微分となっていると。ということで、作用は不変であるというふうになります。
こうすると、ポテンシャル項からもカレントに寄与が出てきます。結局、Wess-Zumino の Lagrangianは補助場入りでこう書けます。

1
L = −∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ + iψ ∗ σ̄ µ ∂µ ψ + |F 2 | + Wϕ F − Wϕϕ ψψ + h.c.
2

(1.5.65)

補助場は運動項がないので、運動方程式がF = −W̄ϕ̄(1.5.66)

1
1
L = −∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ + iψ ∗ σ̄ µ ∂µ ψ − |Wϕ |2 − Wϕϕ ψψ − W̄ϕ̄ϕ̄ ψ † ψ †2
2(1.5.67)となるので、これを (1.5.65) に戻すと、になって、ポテンシャルはスーパーポテンシャルの微分の絶対値の 2 乗が出るわけです。よく知られている N = 1 の模型ですね。
スカラーポテンシャル

VWZ = |Wϕ |2(1.5.68)

っていうのは正定値ですから、V が 0 になるところというのは、スーパーポテンシャルの微分が 0 になると。

VWZ = |Wϕ |2 ≥ 0→

Wϕ = 0(1.5.69)W
W (φ1 )W (φ2 )

そこで、スーパーポテンシャルの平面を考えたら、その中である点 W (ϕ1 ) が超対称な真空になってるけ
れども、それは W の停留点になってると。
じゃあ、ドメインウォール解をこの超対称な理論で考えてみましょう。x だけによった解を考えます。
フェルミオンは全部 0 にすると。

ϕ = ϕ(x),ψ=0(1.5.70)

そうすると、ドメインウォールは無限に伸びているオブジェクトなので、エネルギーが発散してしまうから、全部積分すると意味がないんですけれども、単位面積あたりの Hamiltonian を考えます。だから、x 方向の積分だけですね。

∫
H=
∫

(
)
dx |ϕ′ |2 + |Wϕ |2[()]
dx |ϕ′ ± eiα W̄ϕ̄ |2 ∓ e−iα ϕ′ Wϕ + eiα ϕ̄′ W̄ϕ̄[]∞≥ ∓ e−iα W + eiα W̄ x=−∞=

≥ 2|Re[eiα0 ∆W ]|(1.5.71)

結局、超対称な理論では (|ϕ′ |2 + |Wϕ |2 ) だけになっちゃうんですね。これ Bogomol’nyi 平方完成簡単にできますから、複素なんで任意定数 α っていうのが入ってきて、こんな感じでバウンドがつきます。

82

Soryushiron Kenkyu

結局バウンドは何で決まってるかっていうと、適切な位相を選ぶ必要はあるんですけれども、スーパー
ポテンシャルの x = +∞ の値と x = −∞ での値の差よりも絶対大きいと。このバウンドを最もきつくなるように α を選べば、それが一番正しいバウンドを与えるんですね。模型を決めると決まるものなので、模型依存なんですけども、まあ模型を決めれば決まるということです。

BPS 方程式は ϕ′ ± eiα W̄ϕ̄ = 0 になりなさいということですから
ϕ′ = ∓eiα0 W̄ϕ̄

(1.5.72)

M = 2|Re[eiα0 ∆W ]|(1.5.73)となって、質量はですね。これが超対称な理論のドメインウォール解です。ところで、スーパーポテンシャルを x で微分してみると、dW= ϕ′ Wϕdx(1.5.74)になりますね。ϕ′ というのは、(1.5.72) から言うと、なんか位相因子に W̄ϕ̄ が掛かります。

dW= ∓eiα0 W̄ϕ̄ Wϕdx(1.5.75)

そうすると、W̄ϕ̄ Wϕ は実なんですね。eiα0 は定数ですから、W 空間の中で、ドメインウォールを

x = −∞ から x = ∞ までもっていくと、スーパーポテンシャルの偏角が一定だというわけですね。
W
W (φ1 )W (φ2 )ですから例えば、W (ϕ1 ) と W (ϕ2 ) に真空があったとしたら、直線的に、∓eiα0 W̄ϕ̄ Wϕ の偏角が変わらないので、ぐにゃーっと行くのではなくて、直線が一番エネルギー低そうですけれども、W 平面で直線に行くというのが (1.5.75) からわかります。
具体例は ϕ4 理論ですけれども、スーパーポテンシャルとして、例えば

W = −m2 ϕ +

λ 3
ϕ
3

(1.5.76)という、スーパーポテンシャルの微分の 2 乗が ϕ4 になるので、3 次のものを選んでくればいいと。

m2
V =λ ϕ −λ2

2

2(1.5.77)となりますね。こうなると、ϕ の真空値はちょうど

√

m2
λ

(1.5.78)2m3
W (±v) = ∓ √3 λ(1.5.79)

ϕ = ±v = ±になりますね。スーパーポテンシャルの ±v での値はで決まります。これが真空での値なんで、83Soryushiron Kenkyu

W

W (−v)W (v)

これの W (v) と W (−v) の差がドメインウォールの質量を与えるわけですね。
ということで、BPS 方程式がϕ′ = ±(λϕ̄2 − m2 )(1.5.80)

これ ϕ4 とほとんど一緒なので、複素ですけれども、虚部は全部 0、ϕ が実部だけ変化してこうなると。

√
BPS 解 :

ϕ=±√m2tanh m λ(x − x0 )λ(1.5.81)

張力は、いまスーパーポテンシャルの係数、λ とか m とか全部実数だと思ってやってるんですけれども、BPS 張力 :8m3
M = 2∆W = √3 λ(1.5.82)というのが出てくるんですね。
これが超対称性とほんとにどう関係しているのかということをこれから見ていきたいんですけども、そのためにカレントを計算して、そこから超対称電荷を計算しましょう。カレントを計算するためには、

Lagrangian がどう変化したのが必要ですね。
µµ)
δL = ∂µ (Vfree+ Vint(1.5.83)µVfree、free というのはポテンシャルがない部分を先に計算して、ポテンシャル項からくる変化の部分を見ますね。それぞれこうなってる。
µ
Vfree= ϵσ µ σ̄ ν ψ∂ν ϕ∗ − ϵψ∂ µ ϕ∗ + ϵ† ψ † ∂ µ ϕ + iψ † σ̄ µ ϵF

(1.5.84)µ= iWϕ ϵ† σ̄ µ ψ + iW̄ϕ̄ ϵσ µ ψ †Vint(1.5.85)ということで、合わせてスーパーカレントを読み取ると、

Jαµ = (σ ν σ̄ µ ψ)α ∂ν ϕ∗ − iW̄ϕ̄ (σ µ ψ † )α(1.5.86)

Free の場合は第 1 項だけだったんですけれども、スーパーポテンシャルが入ったことによって、第 2 項が付け加わっています。ということで、超対称電荷はこれの第 0 成分の空間積分ですから、

Qα =

√ ∫ 3
2 d x[(σ ν σ̄ 0 ψ)α − iW̄ϕ̄ (σ 0 ψ † )α ](1.5.87)となるんですね。
それで、代数を計算してみます。{Qα , Qβ } を計算してみますと、細かい計算もう覚えてないんですけ
れども、定義によりいま計算したものをそれぞれ入れるだけですね。

∫{Qα , Qβ } = 2∫{}
d3 xd3 y (σ ν σ̄ 0 ψx )α ∂ν ϕ∗x − iW̄ϕ̄ (σ 0 ψx† )α , (σ ρ σ̄ 0 ψy )β ∂ρ ϕ∗y − iW̄ϕ̄ (σ 0 ψy† )β[{}d3 xd3 y −i∂ν ϕ∗ (x)W̄ϕ̄(y) σαν α̇ σ̄ 0α̇γ σβ0 β̇ ψγ (x), ψ †β̇ (y){}]−i∂ρ ϕ∗ (y)W̄ϕ̄(x) σβν β̇ σ̄ 0β̇γ σα0 γ̇ ψγ (y), ψ †γ̇ (x)∫[]= 2i d3 x ∂ν ϕ∗ W̄ϕ̄ σαν α̇ δ̄ α̇γ δβ β̇ ϵβ̇ γ̇ δγ γ̇ + ∂ρ ϕ∗ W̄ϕ̄ σβρ β̇ δ β̇γ δαγ̇ ϵγ̇ α̇ δγ α̇=284(1.5.88)

Soryushiron Kenkyu

ψ と ψ † の組だけが反交換関係に引っかかってきますから、これを素直にやってけばいいですね。普通の ψ と ψ † の反交換関係、量子化条件を計算してやると、こうなるんですね。こうなりました。これを見てもらうとわかる通り、W = 0 だったら、もうないですね。Q と Q の反交換関係は 0 になります。
だけど、ポテンシャルを入れたら、何か出てきてるんですね。
これを整理しますと、∫{Qα , Qβ } = 2i()
d3 x∂ν W̄ σαν α̇ ϵβ α̇ + σβν β̇ ϵαβ̇

(1.5.89)となります。(· · · ) を具体的に計算してみますと、σαν α̇ ϵβ α̇ + σβν β̇ ϵαβ̇ = −(σαν α̇ + σβν γ̇ ϵγ̇α )α= −i((σ ν σ̄ 2 )α + σ ν σ¯2 β )

0
ν=0



2(σ 3 ) β ν = 1
α
=
β

−2iδ
ν=2
α



1 β
−2(σ )α ν = 3β

ν = 0 のときは 0 で、ν = 1, 2, 3 の場合はノンゼロになるということで、結局まとめますと∫⃗ αβ · d3 x∇⃗ W̄ , Σ⃗ αβ = (σ 3 , i1, −σ 1 )αβ{Qα , Qβ } = 4iΣ

(1.5.90)(1.5.91)この Σ ベクトルは (1.5.90) の空間部分ですね。まあ 2 倍とかそういうのを除いて。スーパーポテンシャ
ルの空間微分を積分していると。
これは、xy 方向はちょっと一旦置いておいて、x3 方向だけ、ドメインウォールっていうのは x3 方
向にしかよっていないので、この微分は x3 方向しか効いていないとすると、x3 方向について積分できてしまいますね。何が出てくるかというと、スーパーポテンシャルの差が出てきます。スーパーポテン
シャルの差は何かっていうとドメインウォールの質量でしたから、結局 {Qα , Qβ } を計算すると、ここにドメインウォールの質量が出てくる。それは何かっていうと、{Qα , Qβ } って普通何もなければドメ
インウォールとかそんなの何も考えなければ 0 です。それが超対称代数ですね。だけどドメインウォー
ルを考えたことによって、ここに中心電荷が現れると。その中心電荷はドメインウォールの質量そのものになってるということで、普通 N = 1 の超対称代数に中心拡大ができないんだけれども、ドメイン
ウォールとかそういう拡張されたオブジェクトを考えると、中心拡大できるんですね。中心電荷っていうのは下からバウンドされてましたから、そのバウンドがまさに BPS バウンドに一致してると。

{Qα , Qβ } = 2iσ 3 M S∫
S = dydz = 面積∫dW̄
M = 2 dxdx

(1.5.92)(1.5.93)(1.5.94)ということで、これはまさに N = 1 超対称代数の中心拡大で、tensorial central charge と呼ばれています [17, 18, 19]。
もうちょっと突っ込んで、超対称性変換とそもそもどう関係しているのかといいますと、超対称変換は

δϕ = ϵψ(1.5.95)δψα = −i(σ µ ϵ† )α ∂µ ϕ + ϵα F

(1.5.96)δF = −iϵ† σ̄ µ ∂µ ψ

(1.5.97)

85

Soryushiron Kenkyu

でした。運動方程式の解としてはフェルミオンは 0 とするので、(1.5.95) とか (1.5.97) は自明に 0 ですね。だけども、(1.5.96) はボソンによっているので、この δψ というのが役割を果たすわけです。そこで、この超対称変換に対して、フェルミオンがある条件を課した変換に対して不変でありなさいという条件を課します。それをどういう条件にするかというと、こういうふうに選びます。

Killing スピノル条件 :±ie−iα0 (σ 1 ϵ† )α = ϵα(1.5.98)ϵ† に σ 1 をかけて、位相倍したものが ϵ になりなさいと。だから、射影をかけているんですね。半分に落としている。4 個あるうちの 2 個に対しては、(1.5.96) の変換が 0 になりなさいという条件をおきます。場は x 方向にしかよらないとします。そうすると、(1.5.98) の条件を上の式の (1.5.96) に入れて、

δψ = 0 とやると、
δψ = 0 ⇒ ∂1 ϕ = ∓eiα0 F = ±eiα0 W̄ϕ̄

(1.5.99)になります。F = −W̄ϕ̄ でしたから、こうなります。BPS 方程式が出てきてると。半分超対称性を保ちなさいという条件から、BPS 方程式が出てくるんだというわけですね。
まとめますと、
BPS バウンドをさちる

BPS 状態
central charge= DW 質量SUSY を半分保つ

BPS 状態というのは BPS バウンドをサチるというのが、始めからそういうことを言ってました。なんでサチるんだろうといったら、それはドメインウォールの質量が中心電荷そのもので、中心電荷は下か
らバウンドされてるんで、まさにそのバウンドをヒットしてると。さらに超対称性を半分ということになった。これは今ドメインウォールでやりましたけれども、他のソリトンもこういうことができます。
ボーテックスとかモノポールとか。理論はいろいろ、N = 2 とか N = 4 とかそういう理論になったりしますけども、基本的には次元が変わっても、やることはここでやったのと同じようなことをすれば同じことがわかります。

1.5.2

量子効果

それで、量子効果がどうなってるかっていいますと、この場合量子効果が入りません。超対称性があるので、質量は量子効果を受けないということを示すことができます。それはさっきみたいな計算をするよりは、超対称性の力を使ったほうがいいので、ちょっと見ていきましょう。その前に、超対称性の代数をもう一回。

{}
Qα , Q†α̇ = 2σαµα̇ Pµ{Qα , Qβ } = 0{}Q†α̇ , Q†β̇ = 086(1.5.100)(1.5.101)(1.5.102)

Soryushiron Kenkyu

もともと理論はこういう超対称性をもってるわけですね。N = 1 の超対称性をもってると。超対称電荷

Q の位相を自由に変えられるので、位相変換を U (1)R ということにしたら、例えば Q をチャージ −1として、Q† は反対のチャージをもってるというふうに、こういうのがありますね。

{[R, Q] = −Q[]
R, Q† = Q

U (1)R(1.5.103)

こういうのを U (1)R 対称性といいます。
超対称電荷の R チャージは

R[Q] = 1(1.5.104)

で、[Q, ϕ] ∼ ψ 、ϕ を変換すると ψ になるので、

R[ψ] = R[ϕ] − 1(1.5.105)は上の関係式からこうなっているのはわかります。スカラーポテンシャル

1
VWZ = −Wϕ F + Wϕϕ ψψ + h.c.
2

(1.5.106)の中に Wϕϕ ψψ があったんですけれども、その R チャージが 0 と要請すると、

0 = R[Wϕϕ ψψ] = R[W ] + 2(R[ψ] − R[ϕ]) = R[W ] − 2=⇒

R[W ] = 2

(1.5.107)(1.5.108)というのは一般的に超空間とか使うともっとスッキリできるかもしれませんけれども、今はこういう説
明をしてますけども。
今、我々が扱っている模型っていうのは ϕ4 模型なので、W (ϕ; m, λ) = −m2 ϕ +

λ 3
ϕ
3

(1.5.109)のようなスーパーポテンシャルでしたね。この m とか λ っていうのは結合定数なんですけども、スーパーポテンシャルは m とか λ とかに関しても正則に入っているので、m とか λ も場だと思ってしまえと。スプリオン場と言いますけども。そう思うと、この系の対称性を見ると 2 つ U (1) 変換があって、R[W ] = 2
Q[W ] = 0

U (1)RU (1)Q

ϕ

2

2

m

0

−1

λ

−4

−6

スーパーポテンシャルの R チャージが 2 でありなさいということから、ϕ の R チャージを 2 として、
それからこっちの U (1)Q 変換に対してはスーパーポテンシャルのチャージは 0 であるということを要請しますと、ϕ が 2 で、(1.5.109) 右辺第 1 項を見ますと、スーパーポテンシャルのチャージが 2 じゃな
きゃいけないので ϕ が 2 だったら m はもう 0 じゃなきゃいけないですね。ϕ3 がチャージ 6 をもってるので、λ はチャージは −4 じゃなきゃいけない。こう決まるわけです。U (1)Q に対しては、ϕ を 2 とア
サインしますと、m は −1 を持ってれば (1.5.109) 右辺第 1 項のチャージが 0 になりますね。(1.5.109)
右辺第 2 項でチャージを消すためには λ は −6 のチャージを持ってなきゃいけないと。もちろん、これは期待値をとってしまったら、そこで対称性は破れるわけなんですけれども、量子効果をみるにはこの対称性を使うのがいいと。

87

Soryushiron Kenkyu

で、非くりこみ定理っていうのがあって、あるカットオフスケール Λ からあるスケール µ まで積分して、有効理論が得られたとしましょう。スーパーポテンシャルはどっちにしろ正則じゃなきゃいけないということと R チャージが 2 じゃなきゃいけないとか、さっきの U (1)Q で書いたチャージが 0 じゃな
きゃいけないとしますと、mϕ2 という塊と λϕ2 /m2 という塊しか出てこれない。それぞれの R チャー
ジと Q チャージはさっきの表から計算できて、[

2

R[mϕ ] = 2,2

Q[mϕ ] = 0,

]
λϕ2
R
= 0,
m2

[

]
λϕ2
Q
=0
m2

(1.5.110)

λϕ2 /m2 っていうのはどっちのチャージも 0 になってますから、任意の関数としてこの塊はあってい
いと。

(
2

Weﬀ = mϕ f

λϕ2
m2

)
(1.5.111)ということで、多項式に展開しますと、
2

(

∑

λϕ2
m2

)n

Weﬀ = mϕan∑=
an m2(1−n) λn ϕ1+2n(1.5.112)となってると。
こんな一般な形に書けていますけども、これで何をするかというと、この結合定数 m とか λ を非常に小さいと思うわけですね。

m → 0, λ → 0(1.5.113)

an m2(1−n) λn ϕ1+2n(1.5.114)

λ 3
ϕ
3(1.5.115)

弱結合極限
そうすると、tree ということを使うわけです。

Weﬀ =

∑

→ −m2 ϕ +m → 0 で発散してはいけないので、1 − n ≥ 0 でないといけない。同様に、λ → 0 のときに発散してはいけないので、n ≥ 0 でなきゃいけない。これを満たす n って何かっていったら、0 か 1 しかないですね。0 か 1 しかないってことは、有効スーパーポテンシャルはWeﬀ = −m2 ϕ +λ 3
ϕ = Wtree3(1.5.116)

で元の形と同じだったと。Tree と一緒だと。ということで、スーパーポテンシャルはくりこみを受けないというわけです。
一方で、運動項の方は正則ではないので、くりこみは一般には受けると。ということで、波動関数くりこみLkin = Z∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ + Ziψ † σ̄ µ ∂µ ψ

(1.5.117)を受けるんですけれども、運動項を、Z を吸収して、こういう形

1
ϕ → √ ϕ,
Z

1
ψ→√ ψ
Z

88

(1.5.118)

Soryushiron Kenkyu

でやっておくと、結合定数の方には、(1.5.109) という模型だからですけれども、ϕ をリスケールすると

m → Z 1/4 m,

λ → Z 3/2 λ(1.5.119)のように効いてきます。
だけども、ドメインウォールの質量っていうのは

8m3
M = 2∆W = √3 λ(1.5.120)だったんですね。そこで、Z 因子でくりこんだやつはどうなってるかっていうと、ちょうど分母と分子で打ち消し合って消えてしまうと。

m3
m3(Z 1/4 m)3
√ → √
=√
λ
λ
Z 3/2 λ(1.5.121)ということで、4 次元の超対称な理論でのドメインウォールっていうのは、質量は量子補正を受けないと。これは超対称性のおかげだったわけですね。超対称性があっても、2 次元とかで超対称性がもっと少ないような場合には、量子補正を受けることがあります。

1.5.3

Nambu-Goldstone fermion

チラッと午前中に出てきましたけれども、南部-Goldstone フェルミオンというのが局在しています。
ドメインウォールっていうのは、さっき言ったように超対称性を半分保つ、もしくは半分破ってるんですね。ですから、そこに南部-Goldstone フェルミオンが、ゴールドスティーノが現われるんだと。それはドメインウォールに局在している。で、こんな理論

1
1
L = ∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ + iψ † σ̄ µ ∂µ ϕ − |Wϕ |2 − Wϕϕ ψψ − W̄ϕ̄ϕ̄ ψ † ψ †2
2(1.5.122)で、これはさっきの Wess-Zumino 模型。運動方程式は∂ 2 ϕ + Wϕ W̄ϕ̄ϕ̄ = 0(1.5.123)だったんですけれども、x 方向にしかよらないと仮定すると、こうなると。

ϕ′′ + Wϕ W̄ϕ̄ϕ̄ = 0(1.5.124)

この解を解くと、tanh とかいう解が出てきますね。

√
ϕk =

√
m2
tanh m λ(x − a)λ(1.5.125)という解があったので、この解の周りに場を展開しますね。

ϕ = ϕk + φ1 + iφ2(1.5.126)

ψ =0+χ

(1.5.127)

複素のスカラー場なので実部 φ1 と虚部 φ2 。フェルミオン ψ のバックグラウンドは 0 ですね。ドメイン
ウォールの存在は x 方向の Lorentz 対称性を破っているので、(1.5.125) のパラメータ a で、ϕk を変分したものが 0 になるというるのは午前中にやった話です。ϕ′k はゼロモードの波動関数です。

φ1 = ϕ′k(0)89(1.5.128)

Soryushiron Kenkyu

フェルミオンについても、前やったように、結局湯川結合の項がありましたね。湯川結合の部分っていうのは、(1.5.122) の Wϕϕ ψψ で、W はいま ϕ の 3 次なんで、ϕψψ となります。ですから、同じなんですね。そこから、ゼロモードが現れると。

}

iσ̄ µ ∂µ χ − W̄ ′′ χ† = 0
iσ µ ∂µ χ† − W ′′ χ = 0iγ µ ∂µ Φ − M Ψ = 0(1.5.129)

左の式が Dirac 方程式とその共役ですね。いま 2 成分 Weyl スピノルで書いているんですけれども、4成分で書き直すと右の式になって、γ 行列と Ψ, M は

(
γµ =

)
σµ
,
0

0
σ̄ µ

(
Ψ=

)
χ
,
χ†

M=

( ′′
W
0

0
W̄ ′′

)
(1.5.130)

で表せます。M はスーパーポテンシャルの 2 階微分で出てくるんですね。Ψ を x 方向とそれ以外の方
向 Ψ = f (t, y, x)ξ(z) と変数分離して書き直しますと、{

iγ 1 ∂x ξ − M ξ = −γ a ka ξ
iγ a ∂a f = γ a ka f

(a = t, y, z)(1.5.131)

ξ に対しては、1 番目の方程式、f に対しては 2 番目の式になります。f に関する部分は普通に解けて、
f = eika xa(1.5.132)というふうになるだけですね。あとは、ξ に関する式から k がどういうものが許されるかというのを決めます。いま興味あるのはゼロモードなんで、−γ a ka ξ = 0 があるかないかということなんですけども。
ゼロモードについては、結局

iγ 1 ∂x ξ − M ξ = 0(1.5.133)

を解けばいいんですね。これを解くために、4 成分の上半分と下半分を u と v で書き直して、

(
ξ=

u(x)η
v(x)η ∗)
(1.5.134)η, η ∗ としてやると。
( )
1
η=
i

(1.5.135)というふうに選んでおくと、ちょうどiσ 1 η ∗ = η,iσ̄ 1 η = η ∗(1.5.136)になるということなんで、(1.5.133) に ξ に iγ 1 が掛かってるのでこれをなんとかしたかったんですけども、これを掛けてやると(
1iγ ξ =

0
iσ̄ 1

iσ 1
0

)(

uη
vη ∗

)

( ∗)
vη
=
uη

(1.5.137)v と u が入れ替わるというふうになってます。
ということで、Dirac 方程式から、v と u の関係式

v ′ − Wϕϕ u = 0,90u′ − W̄ϕ̄ϕ̄ v = 0(1.5.138)

Soryushiron Kenkyu

が出て、これは解けます。解は実は

u = ϕ′ = W̄ϕ̄ ,v = ϕ̄′ = Wϕ

(1.5.139)ということになって、u は ϕ の 1 階微分です。ϕ の 1 階微分は BPS 方程式から W̄ϕ̄ となって、v の方はこれの複素共役ですね。これを成分にしたときに、χ, χ† というのは上と下を作るから当然こうなってるんですけども。これが本当にそうなるかっていうのをチェックしてみると、u′ っていうのは W̄ϕ̄ の 1
階微分ですから、ϕ̄′ は v ですから、

u′ = W̄ϕ̄ϕ̄ ϕ̄′ = W̄ϕ̄ϕ̄ v(1.5.140)v ′ = Wϕϕ ϕ′ = Wϕϕ u(1.5.141)

で、(1.5.138) の v の式になりますね。

ということで、フェルミオンのゼロモードは

( )
( )
1
1
′
χ0 = W̄ϕ̄= ϕkii(1.5.142)

ここで、W̄ϕ̄ = ϕ′k ですね。BPS 方程式 (1.5.139) からこうだったと。ここで気付いてほしいのは、波動関数が ϕ′k だと。この ϕ′k は何かっていうと、並進対称性の破れのボソンのゼロモードの波動関数と一緒だと。
ということなので、同じように局在しています。つまり、フェルミオンとボソンの部分が全く同じ波動関数でゼロモードをもってるんですね。

φ1 = ϕ′k
(0)

( )
( )
1
1
′
χ0 = W̄ϕ̄= ϕkii(1.5.143)(1.5.144)

これは超対称性が効いています。というのはドメインウォールは超対称性を半分破るので、まだ半分残ってるんですね。その半分がこのゼロモードを多重項に組んでるということで、ドメインウォールによって破れた並進対称性の南部-Goldstone ボソンと、超対称性の破れからくる南部-Goldstone フェル
ミオンというのが全く同じように局在しているということがわかります。
ちょっと一旦休憩しますか。

∼∼ 休憩 ∼∼

91

Soryushiron Kenkyu

1.5.4

SUSY breaking via domain wall

はい、あとちょっとですけども、ソリトンを通していろんなことを話してきて、M1 とかで習うことは大体網羅したんじゃないかという気がしますけども、ちょっと途中でブレーンワールドの話をしたんですけども、そのときに、ちらっと超対称性をブレーンで破るというような話を少ししたので、そのことについてお話ししたいと思います。超対称性っていうのは余剰次元と同じように標準理論を超える理論の候補の 1 つと言われてますけども、もちろん超対称性が要求する粒子は今のところ見つかってないので、どっかで破れてるだろうと。じゃあ、どうやって破れてるのかっていうのが気になるわけですけ
ど、その破れの起源を、我々がブレーンに住んでいるというそのことに求めようということですね。具
体的にどういう感じになるのかというのをトイモデルでお話ししたいと思います。

x4

例えば、1 + 4 次元時空で、我々がその中の 3-ブレーンに局在しているというわけですね。
cond.\d

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Weyl

yes

-

yes

-

yes

-

yes

-

yes

-

Majorana

yes

yes

-

-

-

-

yes

yes

yes

yes

Majorana
Weyl

yes

-

-

-

-

-

-

-

yes

-

1

2

4

8

8

16

16

16

16

32

minimaldof

1+3 dim
N =1

N =2

N =4

そうすると、これ、各次元のフェルミオンどんなものが許されるかという表ですけども、1 次元ではミニマルなフェルミオンの数は 1 個で、2 次元で 2 個で、まあ大体 2 の何とか乗っていう感じで、4 次
元で 4 ですね。だから 4 次元の N = 1 超対称性って言ったら、超対称電荷が 4 ついると。これは空間次元ですね。だから 5 次元にいくと、8 個なきゃいけないと。ということで、4 次元のミニマルの 2 倍、だから 4 次元の言葉では、5 次元の N = 1 は N = 2 になってるわけですね。で、N = 2、N = 4 とこ
ういうふうになっていくわけですけども、11 次元にいくと 32 になると。
それで、1 + 4 次元の最小の超対称性は、いま言ったように 1 + 3 次元の N = 2 なんですね。で、これを 5 次元のブレーンがいることで半分に破ったとしたら、ブレーンの上には 4 次元の N = 1 が理論になってるだろうと。

92

Soryushiron Kenkyu

これも破りたいQ1
Q2x4

ブレーンがあることで、例えば 1 個目の超対称電荷と 2 個目の超対称電荷があって、ドメインウォール
が Q2 だけ破ったとしたら、この上の理論は Q1 はリスペクトしてると。だけどもちろん Q1 も破りたいんですね、最終的には。
Q1

Q1

Q2

Q2

x4

それをどうするかっていうと、どっかに反ブレーンを置けばいいんじゃないかと。我々は左側のブレーンに住んでるんだけども、右側のブレーンでもう 1 個の超対称電荷 Q1 を破っとくと。で、右側のブレーンの存在が、左側のブレーンの中に伝わってきて、結局超対称性は全部破れていると。こう考えましょう。ただ、ドメインウォールで、こっちが反ドメインウォールとすると、一般的には不安定なんですね。引力が働いたりして、つぶれていってしまうので、その安定性とかが問題になる。こう、決まったところにカチっと置いて、radion mode といいますけども、radion mode がタキオニックだと、壊れ
ちゃう。

ra d

ext

反2 ブレーン

ion

ns
ime

反発

M1,2 × S 1

2 ブレーン

どうするかっていうと、そういうのをクリアする簡単な模型が知られています。1 + 3 次元のおもちゃの模型なんですけども、1 + 3 次元の上に 1 + 2 次元の D ブレーンと反 D ブレーンを置いて、ここに 3次元の有効理論が乗っかります。で、余剰次元の方向を S 1 にコンパクト化しておいて、実はこいつとこいつは引力ではなくて斥力になるというモデルがあります。そうすると、斥力になっているとお互い反発しあうので、anti-polar なところで安定化する。

93

Soryushiron Kenkyu

じゃあそういう模型があるかというと、知られていて、超対称な sine-Gordon 模型でそういうことができると。これも確か 2000 年ぐらいの仕事だったんですけど、丸さんとか坂井さん阪村さん杉坂さんの論文 [20] からとってきたんですけども、スーパーポテンシャルとして

W =

Λ3
g
sin ϕ
g2
Λ

(1.5.145)

っていうのをもってくると、これの微分の絶対値の 2 乗がポテンシャルの値ですね。
2

Λ4g
V = 2 cos ϕgΛ

(1.5.146)

これの零点

ϕ=

Λπ
(2n + 1)g 2

(1.5.147)が超対称な真空なんで、まあいっぱいあると。

DW2

Re[φ]

DW2

DW1

そうすると、キンクのところでやりましたけども、ドメインウォール 1 の左から右に行くやつとドメ
インウォール 2 の左から右に行くやつの解はこれですね。

Λ[π]
2 tan−1 eΛ(y−y1 ) −
g
2
[
]
Λ
3π
−1 Λ(y−y2 )−2 tan e+
DW2 : ϕ2 =g
2

DW1 : ϕ1 =(1.5.148)(1.5.149)

これはどちらもドメインウォールなんですね。ただし、どっからどこに行くかというのが違う。なので、

sine-Gordon 模型でキンクとキンクをぶつけたら反発したっていうのは見せましたけども、それはキンクとキンクの間が斥力だったんですね。それと同じように (1.5.148) のキンクと (1.5.149) のキンクは反発します。しかも、どっちもキンクなんだけども実は保存する超対称電荷が違うんですね。4 次元の超対称電荷を 3 次元の Majorana で実部と虚部に分けてやったとすると、
(3)

(3)

Q(4) = Q1 + iQ2(3)(1.5.150)(3)(1.5.148) のドメインウォールが Q1 の超対称電荷を保存して、(1.5.149) のドメインウォールが Q2の超対称電荷を保存するということがわかります。
実際にキンクが多重個ある解というのが知られています。

Λ
ϕ12 = am
g

(

Λ
y, k
k

)
(1.5.151)

厳密解というか解析解。この am と書いてあるのは Jacobi の振幅関数っていって、まあ楕円函数で出てくるやつですね。これはパラメータ k というものによっていて、k は自由にとれます。k は自由にとれ94

Soryushiron Kenkyuて、k を決めると、1 個目のドメインウォールから 2 個目のドメインウォールまでの距離が決まります。
それは

2πR =

4
kK(k),
ΛR : コンパクト化半径(1.5.152)

こんな関係式で決まってくるんですけども、大文字の K って書いてあるのは第 1 種完全楕円積分とかいうやつで、公式集を見ると出ています。
DW2

DW1
−

πR
2
3πR
2

そうするとここが −πR/2 で、ここが 3πR/2 なので、この点とここの点を同一視することによって、余剰次元をコンパクト化しようと。そうするとある点にドメインウォール 1 があって、その反対側にドメ(3)

インウォール 2 があると。ドメインウォール 1 で Q1

(3)が保存されて、ドメインウォール 2 で Q2が保存されてるということですね。2 つのドメインウォールは反発しあうので、安定になってるというわけです。
軽い順から 2 つだけモード展開やってみると、sine-Gordon なのでやっぱり厳密に解けてしまって、(1.5.151) の振幅関数の周りで展開すると、ボソンの方のゼロモードは、やっぱり Jacobi 楕円函数 dn とか cn とか、cos と sin の拡張版みたいなやつですけども、それで書けます。

)
Λ
y, k
φ0 = dnk()Λ
φ1 = cny, kk((1.5.153)(1.5.154)dn 関数の方は massless です。
m20 = 0(1.5.155)

これは南部-Gorldstone ボソンですね。2 個ドメインウォールがあるんですけども、それが全体の並進対称性を破るゼロモードがこちらです。φ1 の方は、これは第 1 励起状態で massive ですね。

m21 =1 − k2 2Λ
k2(1.5.156)

これ massive なのは 2 枚のドメインウォールが近づいたり遠ざかったりするときの方です。2 枚のドメ
インウォールの間は相互作用が働いているので、massive になっているわけですね。フェルミオンの方は 2 個 massless モード

)
(
)
Λ
Λ
y, k + kcn
y, k
k
k
(
)
(
)
Λ
Λ
(2)
ξ0 = dny, k − kcn
y, k
k
k
(

(1)
ξ0 = dnm20 = 0(1.5.157)(1.5.158)(1.5.159)

95

Soryushiron Kenkyu

があって、dn と cn を足したものと引いたもの。これはどちらもゼロモードです。というのは、ドメイ
ンウォールがあることによって、フェルミオンは必ずゼロモードをそれぞれに持つわけですね。だから、2 枚ドメインウォールがあったならそれぞれにフェルミオンゼロモードが局在するので、2 個出てくるわけです。k = 1 にすると、(1.5.156) はゼロモードですね。k = 1 にする意味というのは、ドメインウォールを無限に離すという意味なんですけども、無限に離すと相互作用がそれぞれが free になるので、ボソンの方でゼロモード、平行移動のゼロモードが 2 つ、超対称性の破れが 2 つというふうになる
わけです。

ϕ0

ϕ1

(1)

ξ0

(2)

ξ0

波動関数としては平行移動の方は 2 個あるドメインウォールに局在していますけど、近づいたり離れ(1)たりする変形モードみたいなものがこういう波動関数をしてて、ξ0(2)の方は左側だけに局在してて、ξ0の方は右側だけに局在してるというふうに知られていますね。

masslessmassive

ボソン

1

1

フェルミオン20ということで、ボソンのゼロモードが 1 個、フェルミオンのゼロモードが 2 個で 1 個は massive になってると。数が合わないんですね。数が合わないのは何度も言っているように、フェルミオンの方はドメインウォールがあることでゼロモードがあると保証されているわけです。ボソンの方は全体の並進対称性しか破れていない、対称性の破れがないので、ボソンのもう 1 つのモードはリフトされちゃってるわけですね。じゃあ、このリフトされてる massive な質量っていうのは超対称性の破れのスケール

m21 =1 − k2 2Λ
k2(1.5.160)を与えていることになります。このスケールが 5 次元方向とか余剰次元方向を積分することでブレーン上の有効作用に入ってくるというわけですね。
m21

指数関数的減衰96

RSoryushiron Kenkyu

今の超対称性の破れのスケールをドメインウォールの距離で横軸に書いてみますと、指数関数的に落ちる。小さくなってると。ということで、ブレーン間の距離が決まると超対称性の破れのスケールが決まるということですね。今のはリジッドな超対称性で、重力入れてない話なんですけども、重力も入れればワープファクターとか出てくるので、ゲージヒエラルキーも同時に解消できる可能性があります。
ただそれを同時にやるような答えは見つかってはいないですけども、同時に解消できる可能性があると。
超対称性の破れとドメインウォールっていうのはこうやって関係しているというわけです。
（質問）すみません。この手の模型はゲージ場も局在するんですか？
（解答）いい質問ですね。ゲージ場の局在は難しいです。通常 massive なものしか局在しないので、

massless ゲージ場を作りたいと思ったら、まあ massless じゃないとゲージ場は駄目なんですけども、局在化できなくて、そこは色々議論があって、うまくいく方法もありますし、うまくいかない方法が多いですけども、あります。僕もそういう関連の仕事をやっているんですけど興味があったら一昨年ぐらいにゲージ場と物質場を局在化してっていうのがありますけど [21, 22, 23]、究極的には標準模型を乗っけたいというのがあるんですけども、ちょっと色々難しい。できていません。
ドメインウォールによるブレーンワールドシナリオの良い点は、

1. ブレーンの起源を運動方程式の解に帰着できるということで、なんか手でやる訳じゃないということですね。

2. それからスカラー場とかフェルミオンを局在できると。
3. 超対称性を自然に破ることができると。
4. ここでフェルミオンって言いましたけども、5 次元からやればさっき言ったように 4 次元にカイ
ラルフェルミオンが乗っかっている。
いま質問にあったゲージ場についてはいろんなからくりが、Dvali-Shifman のメカニズム [24] とかいうのがあって、ゲージ場を局在させる方法とか知られてますけども、なんかもう一工夫いりますね。

1.5.5

Domain wall in supergravity

これがドメインウォールの最後ですけども、あと超重力理論をまだやってないので、ちょっと超重力理論の話もして、ドメインウォールを終えようかなと思います。これは僕が修士の時の仕事 [25, 26, 27]です。なので、ほとんど忘れてるんですけども、やったのは 4 次元の N = 1 超重力理論でドメインウォールを作ってやろうじゃないかと、そういうことですね。念頭にはやっぱり 5 次元で余剰次元模型をやりたいというのがあったんですけども、5 次元に拡張することも結局はできたんですけど [28]、そっちは難しいので、4 次元 N = 1 でどうやるかと。で、カイラル多重項がある。
カイラル多重項 : ϕ,χα(1.5.161)

重力多重項 : ema ,ψmα(1.5.162)

重力入れると、重力多重項ですね。

多脚場とそれのスーパーパートナーですね。で、最小超重力理論の Lagrangian でボソニック部分、まあフェルミオンは長いので点々にしましたけども、こんな感じになってますね。

L=−

2
2
1
R + ∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ − eκ |ϕ| ((Dϕ W Dϕ̄ )W̄ − 3κ2 |P |2 ) + · · ·
2
2κ

97

(1.5.163)

Soryushiron Kenkyu

これにほんとは detg がかからなくてはいけないかもしれないんですけど、そうすると、κ っていうのは

κ=

1
MPl

(1.5.164)です。だから、κ を 0 にもってくと、普通のリジッドな超対称性にいきます。このスーパーポテンシャ
ルみたいな W というのが現れてますけども、超重力理論にすると、ちょっと複雑にこんな共変微分みたいなのが入ってきて、さらに重力の補正が付いていると。

Dϕ W = Wϕ + κ2 W ϕ̄

(1.5.165)

で、やっぱりフェルミオンですね。カイラル多重項のフェルミオンと重力多重項のフェルミオンの超重力変換というのを書いたのがこれですけども、√ 2 2√δχ = i 2σ m ϵ† ∂µ ϕ − 2eκ |ϕ| /2 Dϕ̄ W̄ ϵ + · · ·
))
2
2
2(
κ2 (
δψµ =
∂m +
ϕ̄∂µ ϕ − ϕ∂µ ϕ̄ ϵ + iκeκ |ϕ| /2 P σµ ϵ† + · · ·κ
4(1.5.166)(1.5.167)

これに、ϕ はある 1 空間方向、y としましょうか、y 方向だけにしかよっていない

ϕ = ϕ(y)(1.5.168)ということと、計量にこういうワープ計量だという ansatz

ds2 = e2A ηmn dxm dxn + dy 2

(1.5.169)

プラス、Killing スピノル条件を重力も入ってるので、座標に依存してますけども、それを半分に落としなさいという条件ですね。

ϵ(y) = eiθ(y) σ 2 ϵ† (y)(1.5.170)

これをおいて、(1.5.166)、(1.5.167) が 0 になりなさい、というのをやってやると、だから、半分の超対称性を保ちなさいといいますと、こんなものが得られます。

A′ (y) = −ie−θ κ2 eκ |ϕ| /2 W
1|ϵα |′ = A′ |ϵα |2[ ]θ′ = −κ2 Im ϕ̄ϕ′(1.5.172)ϕ′ = −ieiθ eκ |ϕ| /2 Dϕ̄ W̄

(1.5.174)

2

2

2

2

(1.5.171)(1.5.173)

バー付きとかは局所 Lorentz の脚という意味ですけども、これが BPS 方程式 (1.5.168)∼(1.5.170) から出るんですね。あとはこれを解けるか、という話になってきます。
解ける模型を見つけまして、それはスーパーポテンシャル

W = e−κ ϕ /2
2

2

Λ3
g
sin ϕ
2
g
Λ

(1.5.175)

で、この部分

g
Λ3
sin ϕ
g2
Λ

98

(1.5.176)

Soryushiron Kenkyu

が大域的超対称性の場合のスーパーポテンシャル、sine-Gordon の場合のスーパーポテンシャルだった
んですけど、それに、e−κ ϕ /2
2

2

(1.5.177)という κ = 0 で 1 になるようなそんなものを勝手に加えておきます。なんでこんなものを加えたかっていうと、こうしてやるとスカラーポテンシャルがこんなふうになります。
22
Λ4
V = 2 e−κ (ϕ−ϕ̄) /2
g

[

g
g
Λ
cos ϕ − κ2 (ϕ − ϕ̄) sin ϕ
Λ
g
Λ

2

3Λ2
− κ2 2
g

g
sin ϕ
Λ

]
(1.5.178)

ϕ っていうのは複素変数なんですけど、虚部を 0 としてやると、gΛκ2 (ϕ − ϕ̄) sin ϕgΛ

(1.5.179)が消えるので、そうすると、実軸上がちょうど超重力真空になってるんですけど、こんなふうになり
ます。

Λ4
V
= 2
g
ϕ=ϕ̄
そうすると、なんか変な因子

[(
)
]
2
2
2Λ
2 g
2Λ
1 + 3κ 2 cos
ϕ − 3κ 2gΛg(1.5.180)()
Λ2
1 + 3κ2 2gに cos2 引く定数となって、超重力理論にいくと、真空は一般には負の宇宙定数をもつので、AdS になるわけですけども、もし

−3κ2

Λ2
g2

(1.5.181)

Λ2
g2(1.5.182)

を忘れたら、で、この定数

1 + 3κ2を繰り込んじゃって、普通の大域的超対称性だと思うと、結局超重力理論にしたことによってポテン
シャルが、係数倍はされてますけども、下にすっと下がっただけというわけですね。
global SUSY (Minkowski)

Re[φ]
−3κ2

Λ6
g4

SUGRA (AdS)だから、大域的超対称性のときは点線にあったのが、赤い線にすっとこう。で、どれだけ下がったかっ
ていうと、

−3κ2
99

Λ6
g4

(1.5.183)

Soryushiron Kenkyu

だけ下がったというわけで、一般には、もしもこういう補正e−κ ϕ /2
2

2

(1.5.184)を入れないで、超重力理論にいっても大域的超対称性の場合と同じスーパーポテンシャルを使ったまま
やってしまうと、真空が、0 が負になるだけではなくて、一般に変形するわけですね。横にも動きます。
横に動いちゃうと、もはや sine-Gordon 模型と違くなっちゃうんで、解が作れないんですね。だけどこれ下にするだけだと、ただ単にぐっと下がっただけなので、sine-Gordon の解が使えます。
ということで、実はスカラー場の解に関しては、大域的超対称性と全く同じ解になると。

Λ(π)
2 tan−1 eΛ(y−y0 ) −g2(1.5.185)

その周りに重力が発生して、ワープファクターは実際にこんなふうに解けるというわけですね。

e2A = [cosh Λ(y − y0 )]−κ Λ/g2

2(1.5.186)

Killing スピノルのところに入った位相は、定数でθ=π2(1.5.187)

一定であってよいと。こいつの保存する Killing スピノルは( )( )i A/2 1
ϵ1
= e
ϵ2
1
2

(1.5.188)

で、A っていうのはワープファクターですけど、そのぶんが掛かっていると。

e2A

yasymptoticallyasymptotically

AdS

AdS

ということで、このワープファクターを y 軸を横軸にとって、こう見てみると、真ん中にこうなってて、漸近的に AdS になってるというものがでます。
DW

positive energy density

AdS

AdS

negative energy density

negative energy density

static and ﬂat space-time100Soryushiron Kenkyuということで、こんな感じになるんですね。ドメインウォールっていうのは、真ん中にこう正のエネ
ルギーをもってます。超対称なんで、必然的に bulk が負の宇宙定数をもつんですね。それがちょうどこ
こにある正のエネルギーと bulk にある負のエネルギーがちょうどバランスとってるんです。で、ドメイ
ンウォール上が平坦でいられるというわけですね。さっき途中でドメインウォールが球形になっちゃう
よって言ったときは、bulk は AdS ということにしなかったので、静的で平坦っていうのはできなかったんですけども、今は負にしてちょうどバランスをとることで静的で平坦なドメインウォールが実現されているというわけです。
ブレーンワールドでやるには、ドメインウォールに、ここの次元のグラビトンが局在しててほしいので、グラビトンが局在することも示すことができます。計量の微小揺らぎ

ds2 = e2A (ηµν + hµν )dxµ dxν

(1.5.189)を考えて、これは

hµν → hab(a, b = 0, 1, 2)

ですか、これがグラビトンですね。グラビトンに対してドメインウォールがあることで、モード展開してやると、Schrödinger 方程式を出すことができます。

[
−

]
d2
+
V
hab = ω 2 hab
dz 2(1.5.190)

いきなり z とか書いてあるんですけど、これは計量を共形平坦にするような座標ですね。

dy = eA dz(1.5.191)

V = 2A′2 + A′′(1.5.192)

この Schrödinger 方程式のポテンシャルはというふうにワープファクターで書けます。
massless graviton

hab ∝ e2A

Schrodinger potential(volcano type)

この Schrödinger ポテンシャルが解けていわゆる volcano type、火山の火口型っていうのになってて、そこに massless なグラビトンがこう局在して 2 + 1 次元の重力を運ぶと。まあこんな感じ。これドメインウォールの厚みをビューっと、パラメータを変えて縮めていくと、デルタ関数みたいなのになって、手でデルタ関数的にブレーンを入れるのとその極限で同じになりますね。だからブレーンを smear
して fat にしたときに、こうグラビトンが局在するということになります。これで、もうドメインウォー
ルについても話せることは大体終わりました。
（質問）余剰次元は無限に長いんですか？
（回答）はいそうです。大きな余剰次元です。

101

Soryushiron Kenkyu（質問）そうすると KK-グラビトンの質量ってどれくらいになるんですかね？
（回答）多分ドメインウォールの幅の逆数くらいだったと思います。それしかスケールがないので。たしか、幾つか厳密に解けたような気がしますね。ちょっと今 massless モードしかやらなかったんですけど。

2 Vortices
うーんと、そしたらどうしよっかなぁ…、あんまり中途半端に終わるのも良くないんですけど…。今9 時か、10 時まででしたっけ？ 10 時 15 分。じゃあ、まあ、途中で終わったらすみませんね。まあいっか、順番通りやっていきましょうかね。変なところで終わったら、またいつかの機会に聞いてください。
いまキンクをやったんですけども、ボーテックスっていうのは 2 + 1 次元のソリトンで、今までの話で出てこなかったのは、ゲージ場ですね。ゲージ場と全く関係してなかったんですけども、ボーテックスを考えるには、ゲージ場が重要な役割を果たします。だから、ゲージ理論におけるソリトンっていうのをここで学んでもらおうかなと思います。
いま言ったように、ボーテックスの多くの性質がキンクの性質から理解できます。けども、キンクと異なるのは、ゲージ相互作用ですね。ゲージ相互作用が大きな役割を果たしているということです。ということで、ボーテックスはゲージ理論の最も単純なソリトンです。ただ、ゲージ理論にいく前に、じゃあゲージ理論がないところでやったらどうなるかというので、それはグローバルボーテックスと呼ばれてるんですけども、ちょっとそれを見てみましょう。

2.1 Global vortex
相変わらず ϕ4 模型を考えますね。

L = ∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ −λ(|ϕ|2 − v 2 )24

(2.1.1)

ただし、複素ですね。

そうすると、いわゆるまさに Higgs ポテンシャルですけども、こういうワインボトル型のポテンシャルになってますね。これは、大局的 U (1) 変換

ϕ → eiα ϕ(2.1.2)ϕ の位相を回す変換の下で不変になっていると。で、真空は
ϕ = veiα0(2.1.3)ですね。つまり、このでっぱっているところが、最初に言った剣を上段に構えてるとこで、その周りの低いところに行くと、中段に構えると。だけど、中段に構えるのは、どこでもいいわけです。真空は S 1のどこでもいいんですね。だから、真空の多様体は S 1 になってるというわけです。

102

Soryushiron Kenkyu

成分で表せば、

ϕ = ϕ1 + iϕ2(2.1.4)λ 2(ϕ + ϕ22 − v 2 )2
4 1

(2.1.5)で、V =こうなってますから、例えば真空は、1 番目が v で 2 番目が 0 だと。

(ϕ1 , ϕ2 ) = (v, 0)(2.1.6)

そうしたら、質量行列は

∂2V
=
M=
∂ϕi ∂ϕj ϕ1 =v,ϕ2 =0

( 2
2v λ
0

)
0
0

(2.1.7)

こうなって、(1, 1) 成分は massive ですね。(2, 2) 成分は 0 だというふうになります。当然、実軸上に真空期待値をとったので、実軸方向には持ち上がってて、虚軸方向には flat direction になってるということですね。真空を 1 つ決めると複素スカラー場の位相が決まるので、U (1) 対称性が破れてるから、その対称性の自発的破れが保証する南部-Goldstone ボソンが (2, 2) 成分にあるというわけです。
仮にスカラー場の位相をはかるコンパスがあったとします。
φ2

φ1

横軸を ϕ1 として、縦軸を虚部の ϕ2 と。
真空でこのコンパスを測りますと、どこでもある一定の方向を指してるということですね。

どこでも一緒だと。
で、そういう場合もあるけど、そうじゃない場合もあって、ある 1 点の周りをコンパスを持ってこう動いてったら、こんなふうに針が回転したとします。

103

Soryushiron Kenkyu|φ| = v

位相欠陥|φ| = 0

1 周したら針が 1 周した。だからこれは巻きつきを与えてくれてるんですね。ただし、1 周したら針が1 周したということは、中に何か、|ϕ| = 0 となるところがないとエネルギーが発散してしまうので、どこかに位相欠陥があるということが予想されます。何でもいいからループをもってきて、そのループに沿ってコンパスを持って歩いたら 1 周しちゃったとしたら、その中のどっかに位相欠陥があるということが結論づけられるわけですね。
これ留数定理に似てますよね。よくわかんないけどとにかくループにそって積分したら∫C

dz f (z) = 2πi=(2.1.8)Cだと。だから、この中に特異点が 1 個あるというわけですね。まさにこういう計算をします。
|φ| = 0|φ| = v

前に説明したように、位相欠陥の中心では対称性は回復していて、エネルギーが高くなっている。そこからエネルギーが逃げ出せないので、トポロジーで守られてるので、そういうのがボーテックスなんですね。じゃあ、ボーテックスってどんな解かっていうと、この運動方程式

∂2ϕ +

∂V
=0
∂ϕ∗

(2.1.9)の静的な解。

−∇2 ϕ +

λ(|ϕ|2 − v 2 )ϕ = 0,2(∇2 = ∂12 + ∂22 )(2.1.10)

これはこの模型の運動方程式ですけども、それの、1 方向と 2 方向に依存した運動方程式を解きましょうというわけですね。

104

Soryushiron Kenkyu

残念ながらこれの厳密解は知られていなくて、ボーテックス 1 個置いたとしたら、軸対称な解ができるだろうということで、ansatz をおきます。

ϕ = vf (r)eikθ ,x + iy = reiθ(2.1.11)ϕ としては、期待値掛ける、なんか極座標の r だけによったものに eikθ という位相。k っていうのは、なんか整数ですね。r と eiθ は x + iy を複素に組んだものです。これで書いてやると、∇2 ϕ っていうのは(∇ ϕ = ve
2

ikθ

f′
k2
f +
− 2f
r
r
′′

)
(2.1.12)

こんなふうになりますから、運動方程式は eikθ っていうのは全体として取り去ってしまって、f だけの式でみると、

f ′′ +f′
k2
m2 2− 2f −(f − 1)f = 0r
r
2(2.1.13)

こんなふうになってるんですね。(2.1.13) にスケールが 1 個だけ現れてるのは、m2 ですけども、m2 というのはm2 = λv 2(2.1.14)だから、massive な Higgs の質量ですね。これしか入ってないので、場の変化とかは m2 の逆数で決まる。で、これを、無限遠では f は 1 にいきなさい。つまり、対称性が破れてる真空にいきなさい。だけども、1 周したら絶対中に対称性が回復してる点がないといけないので、原点では 0 になりなさい。そうでないと (2.1.13) が発散してる。r が 0 にいったときに f が 0 にいかないとこの方程式 (2.1.13) 自身も発散してしまうと。
そこで、こういう境界条件

f (0) = 0,

f (∞) = 1

(2.1.15)の元で解いてやると、これはもう厳密解がないので、数値的に解くしかないんですけども、こういう境界条件をおいて数値解を解いたのがこれですね。
1.0
0.8

k=3

0.6

f (r)

k=2

0.4

k=1

0.2
0.0

0

5

10

15

20

25

30

mr

この赤いのが 1 巻きのやつです。緑が 2 巻きのやつ、青が 3 巻きのやつというふうにこうやって解が一応解けると。
ただし、これはエネルギーが有限の値に収束していないソリトンです。というのは、漸近形をみますと、

f (r) ≃ 1 −k2+ O((mr)−4 )
(mr)2
105

(2.1.16)

Soryushiron Kenkyu

f っていうのは無限遠で 1 に行くわけですね。そこの補正っていうのは 1/r2 で 1 に近づくというのが運動方程式からわかります。べきで減少していると。そうすると質量を見てみると、∫
d2 x(|∇ϕ|2 + V )
[
]
∫ ∞
2
λv 2 2
2
′ 2
2f
2
= 2πv
dr r (f ) + k 2 +(f − 1)r
4
0M=(2.1.17)(2.1.18)

この f 2 /r2 というのが、|∇ϕ|2 のところから出てきます。f は無限遠で 1 に近づくので、この項は 1/r2
なんですね。それを 2 次元積分してるので、

M ≃ 2πv 2 k 2 lim log L + · · ·L→∞(2.1.19)対数で発散するというふうになって、グローバルボーテックスっていうのは有限な質量をもたないソリ
トンになっています。

ただ、左側にグローバルボーテックスがあって、右側に反グローバルボーテックスを置いとくと、これは有限になります。有限っていうか対数発散はしません。ただ、これは引力が働いて、消えちゃうというようなものになってます。もしくは実験室系などの有限系では、対数発散っていっても、スケールが対数で効いてくるだけなのでそういう意味では系の大きさで決まってくると。例えば、中性子星とかで中性子超流体があったとすると、中性子星は激しくスピンしてるので、その中で超流動ボーテックスっ
ていうのができてますけども、その超流動ボーテックスがこのグローバルボーテックスですね。対数発散するんだけども、コンパクトな、半径 10km 程度の星ですから、エネルギーは有限になってます。そういう特殊な状況は除いて、普通に考えると対数発散してしまうということですね。実はこのことは一般論があって、スカラー理論のソリトンの質量っていうのは一般に空間次元が 2 以上で発散してしまうということを示すことができます。

2.2 Derrick の定理
それを Derrick の定理っていうんですけども、ある種の no-go theorem です。1 + d 次元のスカラー理論を考えましょう。

L=

1
Gab ∂µ ϕa ∂ µ ϕb − V2(2.2.1)

非線形シグマ模型でもいいので、ターゲット空間の計量 Gab をこう入れておきます。仮定として、ϕ っ
ていうのは運動方程式の静的な解で、有限な質量をもつとしましょう。質量っていうのは運動項からくる部分とポテンシャル項からくる部分に分けられて、

M =K +V(2.2.2)

運動項の部分は、静的なので空間微分だけですね。

∫
K=1
dd x Gab ∂µ ϕa ∂ µ ϕb2106(2.2.3)

Soryushiron Kenkyu

で、ポテンシャル。

∫
dd xV

V =

(2.2.4)

これが足し算で有限になりなさいということなんですけども、ここでスケーリングの議論をします。

fλ (x) = ϕ(λx)(2.2.5)座標を λ 倍すると。そうしたものを fλ (x) と書くことにして、それをこの中に入れてやります。

∫
K(λ) =()
1
dd x Gab ϕ(λx) ∂i ϕa (λx)∂i ϕb (λx)
2(2.2.6)

運動項のところに入れてやりますと、単に座標変換してやると、2 発微分があって d 回積分があるので、

λ2−d というのが出てきますね。
∫()
1
dd (λx) Gab ϕ(λx) ∂i′ ϕa (λx)∂i′ ϕb (λx)
22−d= λ K(λ = 1)2−dK(λ) = λ(2.2.7)

λ = 1 の場合が解なんですけども、そのときの λ2−d 倍。ポテンシャル項は微分がないので、λ−d っていう λ 依存性があるわけですね。

V (λ) = λ−d V (λ = 1)

(2.2.8)

そうすると、スケールすると E の λ 依存性っていうのはこうですね。

E(λ) = λ2−d K(λ = 1) + λ−d V (λ = 1)

(2.2.9)λ を変えるということは、配位をずらすということですから、運動方程式の解なので λ で変分すると
λ = 1 がこの式の停留点になっていなければいけない。ということで、これを λ で微分すると、左辺はλ = 1 で 0 になってなきゃいけないんですね。
0 = (2 − d)K(λ = 1) − dV (λ = 1)

(2.2.10)

そうすると、微分すると右辺第 1 項は (2 − d) っていうのが出て、第 2 項からは −d っていうのが出ますね。これどちらも成分 K っていうのと V っていうのは、わかると思うんですけど、K っていうのは(2.2.3) ですから正がでるわけですね。V も正です。そうすると、(2.2.10) が 0 にならなきゃいけないってことは、d = 1 のときは、

d=1:

K=V

(2.2.11)ということで、これは何度も出てきたビリアル定理そのものですね。d = 2 ではどうなるかっていうと
第 1 項がなくなるので

d=2:

V =0

(2.2.12)ということで、ポテンシャルからの寄与は 0 じゃなきゃいけないということになります。そういうものはもう真空しかないか、ポテンシャルを全然必要としないソリトンかどっちかしかないということですね。d ≥ 3 になると第 1 項が負になりますから、−(d − 2)K − dV = 0 になるためには、

d≥3:

K=V =0107(2.2.13)

Soryushiron Kenkyu

しかないということで、真空のみが許される。ということで、スカラー理論においては d ≥ 2 だと、ある特殊なソリトン、これ実はちょっと最初に言った lump ってやつなんですけども、lump 以外は存在できないっていうことがこの議論からわかるわけですね。これはただし、エネルギーが有限でありなさ
いっていう条件をおいています。なので、有限じゃないドメインウォールのような拡張されたオブジェ
クトを考える場合は、この定理の適用外になっていますけども。
じゃあ、この no-go theorem、ちょっと超えたいと思ったらどうするかっていうと、結局 (2.2.10) の2 − d があるからこそ d = 1 のときは OK だったんですね。積分のところから −d っていうのが出てくるので、(2.2.10) の第 1 項のような正の寄与がどっかから必要になる。この 2 はどっからきたかっていうと微分項からきてるので、もっと増やしたければ、高次の微分とかそういうのを入れればいいというわけですね。だから、高次の微分項やゲージ場を入れればいいということですね。ゲージ場を入れると、微分は共変微分になりますね。

∂µ ϕ → Dµ ϕ = (∂µ + ieA)ϕ(2.2.14)共変微分は微分とゲージ場が同じように入ってるので、ゲージ場は微分と同じようにスケーリングさせるのが自然です。

Aµ (x) → λAµ (λx)(2.2.15)ゲージ場の運動項っていうのは、そういう意味では 4 階微分ですね。

1
1− Fµν F µν = − (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )44(2.2.16)2 階微分なんですけども、微分 2 個とゲージ場 2 個もあるので、そうすると Fµν F µν っていうのは λ4 でスケールすると。

1(λ)4Fµν F µν
− Fµν F µν → −4
4(2.2.17)ということなんで、ゲージ場があると、運動項とポテンシャルのところは同じなんですけど、今度は

λ4−d というものが出てきます。
E(λ) = λ4−d F + λ2−d K + λ−d V(2.2.18)

やっぱり λ = 1 が停留点になりなさいっていう条件をおくと、こういう条件が出てきます。

(4 − d)F + (2 − d)K − dV = 0(2.2.19)

じゃあ、ここに d = 2 の場合を入れてみようと。すると d = 2 になると、(2.2.18) の第 2 項が 0 になりますね。2F − 2V = 0 ですから、これ F っていうのはゲージ場の運動項の寄与です。だから、ゲージ場の運動項があると、ポテンシャルとエネルギーが等しくなるという、ビリアル定理みたいなのが出ます。

d=2:

F =V

(2.2.20)

じゃあ今度 d = 3 も許されますね。d = 3 だと、(2.2.18) の第 1 項がまだ +1 なんで、

d=3:

F = K + 3V

(2.2.21)

これはモノポールですね。もしくはスカーミオン。スカーミオン作る場合には、微分の 4 次の項、スカーミ項が必要ですけども、それです。d = 4 になると、もう

d=4:

K=V =0108(2.2.22)

Soryushiron Kenkyu

ですね。(2.2.18) 第 1 項がなくなるので。ただ、F のところは 0 が掛かってるので、実はゲージ場のみで作る寄与があってもいいんですね。それはまさにインスタントンです。5 次元以降になると、もうゲージ場入れても真空しか許されないということになります。

d≥5:

F =K=V =0(2.2.23)

2.3 Local vortex
そこで、こういうことがわかったので、じゃあゲージ場を入れればいいじゃないかというわけです。それで、最も簡単な U (1) ゲージ理論を考えましょう。Abelian-Higgs 模型ですね。もしくはGinzburg-Landau 模型ですね。
1
λL = − Fµν F µν + Dµ ϕ(Dµ ϕ)∗ − (|ϕ|2 − v)24
4(2.3.1)

超伝導の有効理論、まあ相対論的か非相対論的かっていう違いはありますけども、これあります。共変
微分がDµ ϕ = ∂µ ϕ + ieAµ ϕ(2.3.2)Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ(2.3.3)で、Fµν は U (1) なんでですね。U (1) ゲージ変換っていうのは}

ϕ → eieα(x) ϕ
Aµ → Aµ − ∂µ α(x)Dµ ϕ → eieα(x) Dµ ϕ

(2.3.4)ϕ を空間に依存した U (1) 変換してやると、ゲージ場はゲージ変換を受けている。共変微分は共変的に変化するという、こういうおなじみのものが出てきます。
真空っていうのは変わらないですね。ですけども位相はゲージ自由度なんで、v と一緒ですね。

ϕ = veiα ∼ v(2.3.5)真空周りの揺らぎは massive なものとゼロモードがあったんですけども、ゼロモードは Higgsing っていうかゲージ場に食べられてゲージ場の質量になるというわけですね。

m2ϕ = λv 2 x Higgsing m2ϕ = λv 2−−−−−→ 2
m2NG = 0
mg = 2e2 v 2(2.3.6)だから、南部-Goldstone モードはもういない。で、運動方程式はスカラー場の部分とゲージ場の部分ですね。

λ(|ϕ|2 − v 2 )ϕ = 0
2∂µ F µν = J ν

Dµ Dµ ϕ +(2.3.7)(2.3.8)

これは Maxwell 方程式で、ソースがこうなっていると。

J ν = −ie(ϕ(Dν ϕ)∗ − ϕ∗ Dν ϕ)
109(2.3.9)

Soryushiron Kenkyu

スカラー場からくるソースがこうなってる。これを解けばいいということですね。
軸対称で静的な渦解っていうのはやっぱり ansatz をおくしかないんですね。

ϕ = vf (r)eikθ ,Ai = ϵij xj

ka(r)
er2

(2.3.10)

厳密解が知られていないので。特殊な双曲空間とかに置くと厳密解が解けることが Witten とかが探してるんですけども [29]、いま平坦な空間でやってるので、こういう ansatz をおくしかありません。こういう ansatz をおきますと、で、共変微分をちょっと見てみますと、ゲージ場の項は (2.3.10) 第 2 式のようになってるので、普通に座標変換して r とか θ で書いたらこうなりますね。

Di ϕ = (∂i + ieAi )f eikθ
( i
)
x
xj
j ka
=
∂r − ϵij 2 ∂θ + iϵij x 2 f eikθ
r
r
er
[ i
]
j
x ′
x
=
f − ikϵij 2 (1 − a)f eikθrr

(2.3.11)

一方で F12 というのは (2.3.10) 第 2 式を入れてやると

F12 = ∂1 A2 − ∂2 A1 =ka′er

(2.3.12)ですから、この a(r) っていうゲージ場の配位によって決まるというふうになってます。
これが決まったら、まず、さっきの対数発散がどうやって消えてるかっていうのを見たいんですけ
ども、

]
λ
1
2
∗
2
2 2
M = d x (F12 ) + Di ϕ(Di ϕ) + (|ϕ| − v )
2
4
[ ′2
(
)
]
∫
2
a
k (1 − a)2 2
λv 4 22′22= 2π drr+v f +
f+(f − 1)2e2 r2
r2
4
[

∫

2

(2.3.13)(2.3.14)(2.3.13) 第 2 項が単なる微分だったら対数発散が来たんですけども、この項が 1/r2 のところになるんだけども、さっきここが 1/r2 だったんですけども、それがゲージ場と結合したことによってここが(1 − a)2 と、こうなるんですね。だから、a が無限遠で 1 にいけば、対数発散が消えるということです。
ちなみにこの無限遠で 1 になるということは

lim Ai = ϵij

r→∞

kxj
er2

(2.3.15)

こうなるということですけども、これはピュアゲージで、ピュアゲージってことは Fµν = 0 になりなさ
いってことですから、無限遠でエネルギーが有限でありなさいっていう条件と同値です。うまくいってるというわけですね。
運動方程式は結局 f っていう関数、スカラー場の振幅 f と、ゲージ場の振幅 a で

f ′′ +m2ϕ
k 2 (1 − a)2f′−f+(1 − f 2 )f = 0
r
r2
2
a′
a′′ − + k 2 m2g (1 − a)f 2 = 0r(2.3.16)(2.3.17)

こう結合した常微分方程式を解きなさいというんですね。解くときに、エネルギーが発散しないようにということで、原点では f も a も 0 になりなさいという条件をおいて、無限遠でいま言ったように a を1、で f も真空に行きなさいってことですから 1 に。
境界条件 :

f (0) = a(0) = 0,110

f (∞) = a(∞) = 1(2.3.18)

Soryushiron Kenkyu

こういう条件をおいてやると。ちなみに、さっきグローバルボーテックスのときは真空に 1/r2 で近づ
くと言いましたけど、今はどうなってるかっていうと、そうじゃないですね。グローバルボーテックスのときはまだ南部-Goldstone モードが、ゼロモードがいたので、1/r2 というのが出てきてたんですね。
だけど今 Higgsing されてゼロモードがもういないので、全部 massive になってるので、指数関数的になるはずです。そこで、真空からのずれを δf, δa と呼んで、

f = 1 − δf,a = 1 − δa(2.3.19)

この方程式 (2.3.16)、(2.3.17) に入れて線型化してやるとこんな形に書けます。

δf− m2ϕ δf = 0r
δa+ k 2 m2g δa = 0
δa′′ −rδf ′′ +

(2.3.20)(2.3.21)

これは実は厳密に解が知られていて、第 1 種変形 Bessel 関数ってやつで書けることが知られてい
ます。

√

π
e−mϕ r
2mϕ r√
πmg r −mg rδa = Bmg rK1 (mg r) ≃ Be2

δf = AK0 (mϕ r) ≃ A(2.3.22)(2.3.23)

これの漸近形は大体 e−mϕ r 。ということで、スカラー場のプロファイル関数の漸近的な振る舞いは

e−mϕ r ということですから、スカラー場の質量と座標で無次元化されたものが指数関数の肩に乗っかっています。ゲージ場の方は、ゲージ場の質量で無次元数を作って 0 に近づいていくと。ということで、

1
スカラー場は r ∼mϕ  で指数的に 0 になる
1 
ゲージ場は r ∼mg

(2.3.24)ということで、さっきは 1/r2 だったので発散があったけれども、指数関数的に 0 になってるので発散がないと言ってもいいでしょう。
1.0
0.8
0.6

f (r)

0.4

a(r)

0.2
0.0

0

2

4

6

8

10

mφ r

やっぱり解析解は知られてないので、数値的に解くと、こんな感じに 0 から 1 にいくと。比べてみると分かるんですけども、さっきグラフの横軸は 30 ぐらいまで書いたんですけども、いま、10 までしか書いてないけど十分速く 1 に近づいてるってことで大体わかると思うんですけど、グローバルボーテッ
クスに比べて非常に速く真空期待値に到達するというふうになっています。
磁束密度を計算してやると、こういうふうになってるんですね。

111

Soryushiron Kenkyu

磁束密度 F12
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0

0

2

4

6

8

10

mφ r

原点に局在しているということで、ボーテックスっていうのは、F12 ですね、磁束を内部に溜め込んでいるというそういうソリトンです。スカラー場だけだと、潰れちゃうんですね。だからその中に磁束を入れることで、潰れないように反発して大きさを保っているという感じです。逆かもしれないけど、たぶんそれであってると思います。
フラックスは実は量子化されていて、F12 の空間積分ですね。F12 っていうのはさっき a′ /r で書けた
ので、積分すると結局 a の原点と無限遠の差になります。それで、a は無限遠で 1、原点で 0 ですから
結局∫
d2 xF12
( ′)
∫ ∞
ka
= 2π
drr
er
0
2πk [ ]∞
=
a 0
e
2πk
=
e

Φ=

(2.3.25)ということで、ボーテックスの磁束は 2π/e を単位に量子化されているということで、量子渦 (quantum

vortex) と。これは場の古典的な配位なんだけれども、量子渦と呼ばれています。最小のものが 2π/eということですね。
これは Meissner 効果そのものです。

超伝導体

磁場は排斥

磁場は量子渦として進入
Φ = 2π /2e(クーパー対なので電荷が２倍)超伝導体に磁場をかけると、超伝導の中には磁場が入っていけないんですね。こう、入っていけないん

112

Soryushiron Kenkyuだと。排斥されるわけです。だけども、強く、もっと強い磁場をかけるともう逃げられないので、入っていくしかないと。だから超伝導体の中に入っていく。ですけども、そのときに自由に入ってけるわけではなくて、実は

2πℏ2e(2.3.26)を単位として 1 本ずつ入ってくんですね。これは、(2.3.25) は ℏ = 1 としてるんですけど、2πℏ/e を単位として入ってたんですけど、これはスカラー場の電荷が e だったので 2π/e ですけども、超伝導ではCooper 対なので、電荷 2 個ですね。だから 2πℏ/2e というふうになってるんですね。

© Wikipedia *5

こうやって、超伝導体が磁石の上で浮いてるというのがこれです。この中に磁束が貫いて、不純物のところにピン留めされてるので、落ちていかないと。安定にこの中にいられると。
第１種超伝導体
常伝導
超伝導

小

印可磁場

大

第２種超伝導体

で、超伝導体には、第 1 種超伝導体と第 2 種超伝導体っていうのがあります。それはどう違うかっていうと、外部からかける磁場を大きくしてしまうと、第 1 種超伝導体っていうのはすぐに壊れて、常伝導体になってしまう。第 2 種超伝導体っていうのはボーテックスが入ってくと。あまりにも強くすると壊れてしまって、やっぱり常伝導になってしまうってわけなんですけども、こっちが第 1 種、第 2 種と。

*5

By Mai-Linh Doan (own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons

113

Soryushiron Kenkyu

I型

II型

引力

斥力

不安定

安定
big vortex

Abrikosovʼs lattice

これをボーテックスの立場から理解しようと思うと、I 型と II 型の違いは、ボーテックスの相互作用が引力だというのが一番大事ですね。というのはボーテックスが引力だと、結局集中して集まってきますね。するとものすごいビッグボーテックスができてしまって、ここにすごい強い磁場が入ってしまう。
ということで、すぐ常伝導体に壊してしまう。一方で II 型っていうのは斥力が働いてるので、ぱらぱらと入ってきたものはお互い反発しあうので、最密的に入るのにこう、格子を作るわけですね。こういうのを Abrikosov 格子で確か Nobel 賞をとったはずですけども、安定に入るねというわけです。
じゃあこの引力か斥力かっていうのは何が決めてるかっていうと、実は理論に入っている質量が決めてます。ボーテックスっていうのは、スカラー場が作るエネルギーの塊とゲージ場（磁束）が作るエネ
ルギーの塊の 2 種類がありますね。さっき漸近的な振る舞いを見たときに、スカラー場の核（赤色）っていうのは大体 1/mϕ の大きさ。で、磁場核（青色）っていうのはゲージ場の質量の逆数。

mφ < mg

mφ > mg

I型

II 型

それをそれぞれ赤色と青色で描くと、スカラー場の質量がゲージ場の質量に比べて小さければ、外から
ボーテックスを見れば、外側がスカラー場の核で内部にゲージ場の核が埋まっているように見えるわけですね。一方 II 型の方は逆です。磁束が外側に見えてるというようなイメージですね。
I型

mφ < mgφ

引力
II 型

mφ > mgAµ斥力

こういうのを複数個置いたときに、I 型だとスカラー場が覆ってるので、スカラー場が相互作用を運114

Soryushiron Kenkyu

ぶと。なので引力だと。II 型の場合は、ゲージ場の方が軽いので、ゲージ場の方が遠くまで飛ぶと。ということで、ゲージ場が運ぶのが斥力だと。磁束密度っていうのはなるべく反発しあおうと思うから、ゲージ場が外に出てきたら斥力になりそうですよね。引力の場合はその逆です。スカラー場の方が、ということになってます。
じゃあ、I 型と II 型の境界はなんなんだというと、BPS ですね。そこでは、

1. スカラー場とゲージ場の質量が等しい。
mϕ = mg(2.3.27)

2. 引力と斥力が同じと。だから、力が働かない。
3. で、Bogomol’nyi 平方完成できるんじゃないかと。
4. だから 1 階の微分方程式ができる。
5. しかも超対称性と関係してるんじゃないかと。
ちなみに mϕ = mg だったんですけど、

m2ϕ = λv 2

(2.3.28)m2g = 2e2 v 2(2.3.29)

で、なんで、(2.3.28) = (2.3.29) ってことは、スカラーカップリングとゲージカップリングの間に特別な関係がありなさいということを意味してるんですね。

λ = 2e2(2.3.30)

そこで、そういう特別なスカラーカップリングとゲージカップリングの関係を持った理論を考えてみましょう。
以下、表記を簡単化させるために複素座標を使いましょう。

z = x + iy,z̄ = x − iy(2.3.31)∂x − i∂y,2∂x + i∂y∂¯ =2(2.3.32)

微分を∂=

まあ、よくやるやつですね。ゲージ場も同じように、第 1 成分と第 2 成分を微分と同じように複素に組
んでおきます。

A=

A1 − iA2,2Ā =A1 + iA22(2.3.33)

D1 − iD2,2D̄ =D1 + iD22(2.3.34)

1
Di ϕ(Di ϕ)∗2(2.3.35)

共変微分も同様に複素に組めますね。

D=
便利な公式として、

Dϕ(Dϕ)∗ + D̄ϕ(D̄ϕ)∗ =115

Soryushiron Kenkyuということと、それの差が、磁束の部分となんか全微分になるっていうふうになります。

ei
Dϕ(Dϕ)∗ − D̄ϕ(D̄ϕ)∗ = − F12 |ϕ|2 + [∂1 (ϕ(D2 ϕ)∗ ) − ∂2 (ϕ(D1 ϕ)∗ )]2
2(2.3.36)

これ公式です。共変微分の交換子がフラックスを与えるのは普通ですけども、それを複素座標で書いたらこうなると。

[D1 , D2 ] = −2i[D, D̄] = ieF12(2.3.37)

こういうことを使ってボーテックスの系の質量を平方完成します。

∫

[

1 2
e2
d x F12+ Di ϕ(Di ϕ)∗ − (|ϕ|2 − v 2 )2
2
2

]

2

M=

(2.3.38)

そうすると、さっき Derrick の定理を思い出してほしいんですけども、ゲージ場を入れるとビリアル定
理としては、ゲージ場のエネルギーとポテンシャルが等しくなるということだったんですね。ですから、
第 1 項と第 3 項を組んでやるというのが自然です。実際、F12 とポテンシャルを 2 乗で組んで、そのお
釣りの項が

)2
1 2
e2
1(
F12 − (|ϕ|2 − v 2 )2 =F12 − e(|ϕ|2 − v 2 ) + eF12 (|ϕ|2 − v 2 )2
2
2(2.3.39)ですよね。一方で、Di ϕ(Di ϕ)∗ っていうのはさっきの公式でいうと (2.3.35) の右辺ですね。(2.3.35) から (2.3.36) を引いてやると、それぞれの左辺第 1 項は等しいので、こう打ち消しあって、残りの項で書けますね。そうしたのがここです。

Di ϕ(Di ϕ)∗ = 4|D̄ϕ|2 − eF12 |ϕ|2 + i[∂1 (ϕ(D2 ϕ)∗ ) − ∂2 (ϕ(D1 ϕ)∗ )](2.3.40)

よく見てみると、このゲージ場の運動項とスカラーポテンシャルの cross term に入ってるこの F12 |ϕ|2 っていうところと、Di ϕ(Di ϕ)∗ を複素に組んだことによって出てきたお釣り、(2.3.40) 右辺第 2 項というのが、ちょうど打ち消しあいます。それから残りの (2.3.40) 右辺第 3 項、第 4 項なんですけども、この項は反対称テンソルを使ってやると、全微分になるんですね。

i[∂1 (ϕ(D2 ϕ)∗ ) − ∂2 (ϕ(D1 ϕ)∗ )] = i∂i [ϵij (ϕ(Dj ϕ)∗ )](2.3.41)

全微分なので、表面積分になりますけれども、無限遠では共変微分は 0 にいかないと当然エネルギーは発散してしまうので、これは表面項では 0 ですね。ですから積分したらここなくなってしまう。という
ことで、

[

∫
M=

2

d x

)2
1(
F12 − e(|ϕ|2 − v 2 ) + eF12 (|ϕ|2 − v 2 )2]+ 4|D̄ϕ| − eF12 |ϕ| + i[∂1 (ϕ(D2 ϕ) ) − ∂2 (ϕ(D1 ϕ) )]
]
[
∫
)2
1(
F12 − e(|ϕ|2 − v 2 ) − eF12 v 2 + 4|D̄ϕ|2= d2 x
2
2

∗

2

∗

(2.3.42)

残るのは、2 乗と 2 乗と残り −eF12 v 2 ですね。これよりも絶対大きくなりなさいと。

∫
M ≥ −v 2d2 x eF12

これは何かっていうと、F12 の積分なので、さっき量子化されたフラックスそのものですね。

116(2.3.43)

Soryushiron Kenkyuということで、バウンドがサチるのは、BPS 方程式が成り立つとき。2 乗の項が 0 になるときで、こ
れですね。

{

F12 = e(|ϕ|2 − v 2 )D̄ϕ = 0(2.3.44)

この第 2 式っていうのは簡単に解けて、Ā っていうのをある任意関数 ψ の ∂¯ 微分のこういう因子がついたものĀ = −i ¯∂ψ(z, z̄)2e(2.3.45)というふうにして書いておくと、スカラー場っていうのが(

ψ(z, z̄)
ϕ(z, z̄) = exp −2)
ϕ0 (z, z̄)(2.3.46)と書いておいて、これはいつでもこう書けますね。こう書いておいて、(2.3.44) 第 1 式に代入しますと、

(
)
ψ
ψ
1¯
¯
¯ 0
0 = D̄ϕ = ∂ + ∂ψ e− 2 ϕ0 = e− 2 ∂ϕ
2(2.3.47)¯ 0 が 0 になりなさいっていうことになって、ϕ0 は正
これが 0 になりなさいっていうことですから、∂ϕ
則関数であればなんでもよろしいということですね。

¯ 0
∂ϕ

⇒

ϕ0 = ϕ0 (z)(2.3.48)

これを、まだ解いていないこの (2.3.44) 第 2 式っていうのに入れますと、F12 っていうのは複素座標で書くと¯
F12 = −2i(∂ Ā − ∂A)(2.3.49)なので、Ā というのを (2.3.45) とおきましたから、ψ で書くと

2 ¯
F12 = − ∂ ∂ψe(2.3.50)

みたいなのになります。ということで、BPS 方程式の第 1 番目のやつに入れると、( ψ+ψ∗)2 ¯= ev 2 e− 2 |ϕ0 (z)|2 − 1− ∂ ∂ψ
e(2.3.51)

こんな形になって、適当なゲージ変換して ψ を実

ψ = ψ∗(2.3.52)というふうにおいてしまえば、これは

¯ =
∂ ∂ψ

)
e2 v 2 (1 − e−ψ |ϕ0 (z)|22(2.3.53)と、こうなるんですね。これ名前がついてて、Taubes 方程式と [30]。正確にはちょっとこれを変形したものを Taubes 方程式というんですけど、まあ一緒でしょう。これに相当するものを Taubes 方程式といいます。
そうすると、結局何をすればいいかっていうと、BPS 方程式 (2.3.44) の 2 番目はとにかく好きな正則関数を 1 個、ϕ0 (z) を選んできなさいと。これはもう我々に許されたチョイスです。好きなものを選

117

Soryushiron Kenkyu

んでよい。それに対して Taubes 方程式を解けばいいということですね。Taubes 方程式っていうのは(2.3.53) でした。だから、選んだ正則関数の絶対値の 2 乗がこの方程式のソースになってるわけですね。
ソースを適当に選んでこいつを解きなさいと。そうしたら解になりますよということですね。ところで、さっきやったおもむろに変数変換したのは

ϕ = e−ψ/2 ,

Ā =

i ¯
∂ψ
2e

(2.3.54)としたんですけども、これは、ϕ0 を複素数倍すると同時に ψ を 2 log c だけずらしてやる

ϕ0 → cϕ0 ,ψ → ψ + 2 log c(2.3.55)と、これなんにも変わらないんですね。ですから、ϕ0 は何でもいいって言ったけども、ϕ0 の全体の係数は意味がない。ということで、例えば k 次の多項式とってきなさいっていったら、一般には

ϕ0 = ak∏(z − zi )(2.3.56)

i=1

ですけども、この a っていうのは意味がないので、あってもなくてもいいので、取り去ってしまう。で、ϕ0 好きなものを与えなさいっていったら、
ϕ0 =

k
∏

(z − zi )(2.3.57)

i=1を与えなさいと。つまり、好きな k 個の複素数を選んできなさいよということです。そうすると、ϕ0 が決まると。
そうしたらこの Taubes 方程式
2 2¯ =e v∂ ∂ψ2(1 − e−ψk∏)|z − zi |2(2.3.58)i=1に入れて、これを解けばいいということになりますね。境界条件はこの右辺が無限遠で 0 になりなさいということから決まります。ということは、k∏

1 − e−ψ|z − zi |2(2.3.59)i=1が無限遠で 0 になりなさいということですから、ψ は無限遠で

ψ → logkk∏∏(z − zi ) + log (z̄ − z̄i )i(|z| → ∞)(2.3.60)i=1になりなさいということになります。
で、解いたのはいいんですけども、解いたって言ってもまだ中途半端にしか解けてなくて、(2.3.58) は解けてないんですけども、とにかくこういうソースを勝手に手でおいて、無限遠で (2.3.60) となるような ψ を見つけてきなさいっていうプログラムになってるわけですね。それで、じゃあここで自分でとってきた k 次の多項式の k っていうのはなんなのか、それから zi っていう k 個の複素数は何なのかっていうその意味が知りたいわけです。
パラメータの意味ですけども、すぐわかりまして、ϕ0 っていうのは今こうですね。

ϕ0 (z) =

k
∏
i=1

118

(z − zi )(2.3.61)

Soryushiron Kenkyu

実際の ϕ っていうのは

ϕ = ve−ψ/2 ϕ0(2.3.62)だったので、ϕ0 の零点は ϕ の零点そのものですね。ϕ の零点っていうのは何かっていうと、対称性が回復している点。対称性が回復してるってことは、エネルギーが高いんですね。超伝導のアナロジーでい
えば、常伝導になってるからそこに磁束が入るわけですね。だからこの zi っていうのは、ボーテックスの位置に対応するパラメータ。だから、k っていうのはボーテックスの数。何個ボーテックスを入れたいですかっていうそういう量になってます。それで結局、k 個のボーテックスを自由に入れられるということがわかったわけです。
じゃあ、エネルギー計算してみようと。そうするとエネルギーの表式は Bogomol’nyi 平方完成から

F12 の積分の定数倍。

∫
M = −v

2¯ だと。
F12 っていうのはさっき ∂ ∂ψd2 xeF12(2.3.63)¯
d2 x∂ ∂ψ

(2.3.64)∫
M = 2v2¯ っていうのの 2 次元積分なんで、これ表面積分に直しますと、(2.3.64) の dx2 を dzdz̄ にして、dz̄∂ ∂ψ
の方を全部潰すと、dz の周回積分をしなさいと。∂ψ の周回積分をしなさいと。

()
Ii
M = 2v −dz∂ψ
22(2.3.65)

無限遠方で ψ っていうのは (2.3.60) になりなさいということでしたから、それの z 微分なんで、(2.3.60)の第 2 項は 0 ですね。(2.3.60) の第 1 項が 1/z を出す。ということでこういう式ですね。

(
M = 2v

2

i
−
2

I

1
dz ∏
(z − zi ))(2.3.66)

留数定理を使えば、

M = 2πv 2 k(2.3.67)と、こうなりまして、周回して極を拾ってくるというのがまさにボーテックスなわけです。で、k 個のボーテックスを自由に入れることができると。このエネルギーの表式は zi に依存してないんですね。k個のボーテックスをどこに置いてもエネルギーはこうだと。しかも、1 個のボーテックスの k 倍になってるから、つまり、ボーテックスの間に全く相互作用が働いてないってことですね。だから、モジュライ空間、解の空間はものすごい膨大で、まあものすごいってことはないですけど、zi っていうのがモジュライパラメータですから、k 個そういうのがあるから、Ck みたいになってるというわけですね。
単純な和Mk = 2πv 2 k = k × Mk=1

(2.3.68)になってるということと、場所に依存してないということで、さっきスカラー場の相互作用とゲージ場の相互作用が大きさ同じでキャンセルしてると言ったので、それがちょうど BPS ということですね。
で、ボーテックス k 個のモジュライ空間は、k 個のボーテックスの位置。ボーテックスっていうのは区別がつかないので、区別ができない分割り算してると。

Mk ≃ Ck /Sk
119(2.3.69)

Soryushiron Kenkyu

そんな空間になってるというわけですね。
実際に計算してみると、厳密解はやっぱり得られないので数値解するしかないんですけどもこれは数値解で、k=2 BPS 解（磁束密度のプロット）
R = 10R=2

R=0

2 個のボーテックスが質量の逆数を単位として R = 10 だけ離れてる場合。R = 2 ぐらいになったとき。
それから完全に一致している場合と。これは全部同じエネルギーで静的な解です。動かないですね。

2.4 モジュライ空間ということで、モジュライ空間ということで、静的な BPS ソリトン間の相互作用は正味で 0 と。しかし、いったん動きだすと、もはや BPS ではなくなりますね。速度に依存した相互作用が働いて、ボーテックスとボーテックスが散乱したりします。で、どんどんディープな話にいくんだっけな…。どこで幕を引くか考えないといけないです。ちょっと待ってください。よし…。
じゃあ細かい計算はどんどん飛ばすことにして、大筋を話していくことにしますけども、モジュライ空間の計量がわかると、何がわかるかっていうと、十分ゆっくり、Lorentz 収縮とかしないくらいゆっ
くりなボーテックスの散乱とか運動の様子がわかるんですね。なので、計量を計算したいんですけども、
実はその計量を計算するということ自身もなかなか難しい。普通なかなかわからない。例えばモノポー
ルのモジュライ空間の計量なんていうのは非常に特殊なものしか、Atiyah-Hitchin [31] とかそういう本
当に特別なものしかわかっていないわけですね。だけども、数値的にはもちろん求めることができる。
まあ、難しいんですね。難しいんですけども、難しいのでモジュライ空間の計量を求めること自体がソリトン物理の 1 つのテーマにもなっているくらいだと言えます。BPS ボーテックスに関してもモジュライ空間の計量の厳密解というのは、ボーテックス 1 個の場合を除いては知られていません。だけど、計量をボーテックスの局所的なデータで表すナイスな方法が知られてはいます [30]。*6
まず、ボーテックスが動きだすと、状態は時間に依存してくるので、ゲージ理論においては各時刻において Gauss の法則も一緒に満たす必要が出てきます。つまり Gauss の法則って言ってるのは A0 に関する場の方程式ですね。A0 = 0 というゲージをとれば、これです。

−∂i ∂ 0 Ai = J 0(2.4.1)

これをモジュライダイナミクスにしたいのでバックグラウンドのボーテックス解のモジュライを時間に*6 以下の計算は [30] を参考にしている。

120

Soryushiron Kenkyu

依存させて

[
]
Ai (z, z̄; zi (t), z̄j (t))ϕ(z, z̄; zi (t), z̄j (t))(2.4.2)時間微分のところが入ってるところに入れてやると、この z とか z̄ に関するモジュライ空間の計量、][
1d2 x Ȧ2i + |ϕ̇|2∑[]=
gij żi żj + gij̄ żi z̄˙j̄ + gīj̄ z̄˙i z̄˙j∫T =(2.4.3)i,j

これが gij とか gij̄ とか gīj̄ っていうのが計量ですね。これを決めたいと。
以下計算を楽にするため、ちょっとスケールしときます。たとえば

√

Aµ →

ϕ → vϕ,2vAµ ,

z→

√

2evz

(2.4.4)

そうすると質量公式はこんな簡単な、簡単っていうかスケールが全然なくなっちゃいます。

M
=
2v 2

∫

[
]
1
2
d2 x F12+ |Di ϕ|2 + (|ϕ|2 − 1)24(2.4.5)

さっき解いた方法とちょっと似てるんですけども、D̄ϕ = 0(2.4.6)

っていうのをh

ϕ = e 2 +iχ(2.4.7)()
h¯Ā = −i∂+ iχ = −∂¯ log ϕ2(2.4.8)というふうに書いて、Ā っていうのをってやると (2.4.6) になるので、それを

F12 =

1
(1 − |ϕ|2 )2(2.4.9)の中に入れて書き直すと、こんな方程式ができます。

∇2 h + 1 − eh = 4πk∑

δ 2 (⃗x − ⃗xi )(2.4.10)i=1

本来、これを Taubes 方程式っていうんですけども、これさっき ϕ0 と ψ で書いたやつと全く同じものです。
このデルタ関数が出てるのは、2 次元の Laplacian の対数微分っていうのはデルタ関数を出すので、その部分を h に入れているか入れてないかっていう差だけで見た目がちょっと違うんですけども、まあこれですね。

∇2 log |z|2 = 4πδ 2 (z)(2.4.11)

とにかく計算したいのは以下の量ですね。

1
T =
2

∫

[
]
˙ 2 + |ϕ̇|2d2 x 4|Ā|
121(2.4.12)

Soryushiron Kenkyu

この量を計算してやろうと。そこで、log ϕ の時間微分を η とします。

η = ∂0 (log ϕ)(2.4.13)

ḣ
+ iχ̇
2

(2.4.14)=ϕ を指数関数で書いたときのものですね。それの時間微分を η と書くことにします。そうすると、ϕ̇ っていうのはϕ̇ = ϕη(2.4.15)¯Ā˙ = −i∂η

(2.4.16)になって、Ā˙ っていうのはっていうふうになるってことがすぐわかります。つまりこの ϕ̇ と、(2.4.12) に ϕ̇ っていうのと Ā˙ っていうのが現れるので、これを η で書いてやると、

T =

1
2

∫

[
]
d2 x 4|∂ η̄|2 + eh |η|2

(2.4.17)というふうになります。で、次にこの Taubes 方程式の時間微分を考えます。まず渦がないところで時間微分を考えますと、(2.4.10) の右辺が 0 なので、時間微分すると左辺第 2 項が 0 になりますから(∇2 − eh )ḣ = 0(2.4.18)とこういうことがわかりますね。
さらに Gauss の法則を満たさなきゃいけないってさっき言ったんですけども、Gauss の法則を今の hとか χ で書くと、こういう形になります。

(∇2 − eh )χ̇ = 0(2.4.19)

これを今のやつ、(2.4.18) と (2.4.19) を合わせますと、η っていうのは

η=

h
+ iχ
2

(2.4.20)ってやつでしたから、こういう形になりますね。

(∇2 − eh )η = 0(2.4.21)

次に、これボーテックスの全くないところでこういう方程式だったんですけど、ボーテックスがあるところっていうのは ϕ っていうのは

ϕ = (z − zi )ek ,(z ≃ zi )(2.4.22)

っていう、k は有限ななんかの関数だと思ってください。こういう ϕ はボーテックスの近くで 0 にいく
ので、こういう依存性をしていると。だから、log ϕ っていうのをとると、log ϕ = log(z − zi ) + k(2.4.23)となりまして、η っていうのは log ϕ の微分、さっき η っていうのがなんだったかっていうと、(2.4.13)
ですね。log ϕ の時間微分だったので、log ϕ の時間微分を出すと、η っていうのは

η=−

żi
+ ···
z − zi122(2.4.24)

Soryushiron Kenkyuと、極が入ってくるというわけです。
ということで、(2.4.24) となってるので、本当は η の ∇2 っていうのをしたいんですけども、さっきはこの極から離れたところをやってたんですけど、極のところをヒットすると、デルタ関数が出ますね。

d 2∇ log(z − zi ) + · · ·dzi= −4π żi ∂δ 2 (z − zi ) + · · ·∇2 ηS = żi(2.4.25)

対数の Laplacian っていうのはデルタ関数ですからこうなると。ということで、全部加味してやると、

η っていうのがこんな方程式になると。
(∇2 − eh )η = −4π∑żi ∂δ 2 (z − zi )(2.4.26)i

この解 η がわかれば、その η をさっきの積分の表式に入れて計量を計算できるというわけですね。解を知りたいので、この Taubes 方程式 (2.4.10) っていうのを微分します。微分しますとこんな形が出ますね。

(∇2 − eh )∂h
= −4π∂δ 2 (z − zi )∂zi

(2.4.27)(2.4.27) を (2.4.26) と比較すると、非常によく似た形をしてるので、η っていうのが、全部の極を考
えると

η=

∑

żi

i

∂h
∂zi

(2.4.28)となり、結局この量を、h のモジュライ微分っていうのがわかれば、(2.4.28) を (2.4.17) に入れて計算すると。この量を計算するにはもう少し手間が必要で、2 次元平面をボーテックスの場所付近の半径 ϵ ぐ
らいの小さい円とそれ以外に分けます。
C
zi

Di

（半径

）

その円盤のことを Di と呼ぶことにしましょう。
それで積分を、零点を除いた部分と零点を含む円盤の部分に分けます。

∫

∫
2

d x=
C

+

∑∫

C−∪Di

i

(2.4.29)
Di

ただこっちの円盤の部分は、半径 ϵ を 0 にしてくと、0 になるので無視すると。こっち側の積分だけが寄与があって、こっち側の積分で

(

∫
T =
C−∪Di

1
2∂ η̄∂ η̄ + eh |η|2
2)
(2.4.30)を計算するんですけども、第 1 項を部分積分してやると。

∫
T =
C−∪Di

(

¯ + 1 eh |η|22∂(η̄∂ η̄) − 2η̄ ∂∂η
2

123

)
(2.4.31)

Soryushiron Kenkyu

お釣りの項と第 3 項を合わせると、ちょうどボーテックスを含んでないところになって、デルタ関数がない、最初に見つけた η の方程式 (2.4.21) なんですけど、それを使ってやることができて、それを使
うと結局

∫
¯
d2 x∂(η̄ ∂η)T =2(2.4.32)

C−∪Di

みたいなふうになりまして、結局、無限遠では η っていうのは指数関数的に小さくなっていく関数なので、無限遠では 0 になっていくので、結局この円盤の淵の部分だけの積分になると。

T = −i∑∫i¯η̄ ∂ηdz̄

(2.4.33)∂Di¯ の中にどれだけ極があるかっていうのをということで、この積分をしてやればいいと。あとは、η̄ ∂η
拾ってくるだけと。で、ちょっと、関数 h の性質を言っておきましょう。そうすると、∂h/∂zi っていうのは、こういう方程式を満たしてました。

(∇2 − eh )∂h
= −4π∂δ 2 (z − zi )∂zi

(2.4.34)

これは 2 次元空間の Green 関数に見えてると。

(∇2 − eh )G(z, zi ) = −4π∂δ 2 (z − zi )(2.4.35)

こう書けばまさに Green 関数ですけど。
そこで、Green 関数を使ってこういう量∫
d2 xG(z, zi )(∇2 − eh )G(z, zi )(2.4.36)を積分してやると、(∇2 − eh )G(z, zi ) の部分っていうのは、デルタ関数の微分になってきますね。

∫∫

d xG(z, zi )(∇ − e )G(z, zi ) = −4π22hd2 xG(z, zi )∂δ 2 (z − zi )(2.4.37)

これを出すので、結局、部分積分してデルタ関数を拾ってくると∫
d2 xG(z, zi )(∇2 − eh )G(z, zi ) = 4π∂G(zi , zj )
= 4π∂

∂h
∂zi z=zj(2.4.38)というふうになります。ところで、∇2 を部分積分して G(z, zj ) に掛けてやると、i と j が入れ替わるだ
けなんですね。ですから、(2.4.38) っていうのは i と j を入れ替えたら等しくなるということで、こういう対称性がある。

∂

∂h
∂h
=∂
∂zi z=zj∂zi z=zi(2.4.39)

同様なことを z̄i の微分の方(∇2 − eh )∂h
¯ 2 (z − zi )= −4π ∂δ∂ z̄i

(2.4.40)

でやっても同じようなことが見つかって、

∂

∂h
∂h
= ∂¯
∂ z¯j z=zi
∂zi z=zj
124(2.4.41)

Soryushiron Kenkyu

で、こういうのを計算するときに、h っていう関数を z = zi 付近で展開するということをします。

h(z, z̄) = log |z − zi |2 + ar +b̄ibi(z − zi ) + (z̄ − z̄i ) + O(|z − zi |2 ) .
22(2.4.42)デルタ関数があるので、対数の依存性があって、その他に普通の ar とか z とか z̄ っていうのがこうあります。実関数なんで、こういうふうに展開されてますね。これを見てこの量を計算してやると、

∂

[
]
∂h
∂ai
1 ∂ b̄i1 ∂bi=∂+(z − zi ) +(z̄ − z̄i ) + · · ·∂zj z=zi
∂zj
2 ∂zj
2 ∂zj
z=zi
=

1 ∂ b̄i2 ∂zj(i ̸= j)(2.4.43)

この z の 1 次のところの量 b̄ だけで書けてしまいます。
それで、いろんな計算をすると、この b っていうのが重要で、b っていうのはもう 1 度言うと h っていう実関数の展開した z の係数が b̄i で、z̄ の係数が bi です。この量だけが重要で、さらにこの量の間にはモジュライ依存性のこういう対称性があるんですね。

∂ b̄i
∂ b̄j
=
,
∂zi
∂zi

∂bi
∂bj
=
,
∂ z̄j
∂ z̄i

∂ b̄i
∂bj
=
∂ z̄j
∂zi

(2.4.44)

このことが後でちょっと効いてくるんですけども、結局、

T = −i∑∫i¯η̄ ∂ηdz̄

(2.4.45)∂Diで、η っていうのは (2.4.28) だったので、h を z = zj の周りでこう展開して

h = log |z − zj |2 + log |z̄ − z̄j |2 + ajbjb̄j(z − zj ) + (z̄ − z̄j )22+ c̄j (z − zj )2 + d|z − zj |2 + cj (z̄ − z̄j )2 + · · ·+(2.4.46)(2.4.45) にぽんっと代入しますと、細かいことはもう置いて、全部ちょっと飛ばしましたけども、こんな感じで書けます。

(
)
π∑
∂bj
2
T =
− 4dj δij żi z̄˙j
2 i,j
∂zi

(2.4.47)

これが計量ですね。ここに b っていうのが出てきて、これは h っていう関数を zj の周りで展開した
ときの 1 次の係数です。それからこの dj っていうのは実はちょっと言わなかったんですけど、dj っ
ていうのは z z̄ の係数ですね。(2.4.46) の |z|2 の係数が d なんですけども。実はこの d っていうのは

d = −1/4 っていうのは知られていて、それを入れますと、結局モジュライ空間の計量は局所的なデー
タだけで決まって、こういうふうになると。

)(∂bj
gij̄ = π δij + 2∂zi
gij = 0, gīj̄ = 0(2.4.48)(2.4.49)だから bj さえわかれば、計量がわかる。しかも gij とか gīj̄ は 0 だと。gij̄ しかないっていうことがわ
かります。

125

Soryushiron Kenkyu

計量の漸近形なんですけども、ここからわかるように、この b の部分はさっきちらっと言ったように無限遠で 0 になりますから、無限遠で平坦になるということですね。

bj (zi , z̄i ) → 0,gij̄ → πδij̄

(|z| → ∞)(2.4.50)

当然相互作用がなくなる。無限遠に遠くなれば、平坦になるということから k 個のボーテックスが自由に動けると。あと、もう 1 つ重要な性質として、ボーテックスの計量は Kähler 計量になってます。

Kähler 計量っていうのは、Kähler 形式が閉形式
ω=i
g dzi ∧ dz̄j ,2 ij̄

dω = 0(2.4.51)になってるということなんですけども、これを計算するときにさっき言った b っていう局所的なデータの間にある対称性

∂ b̄i
∂bj
=
∂ z̄j
∂zi

(2.4.52)

が重要だよということで、計量が Kähler になってる。ボーテックスのモジュライ空間は Kähler 多様体なんですね。モノポールにいくと、モノポールっていうのはモジュライ空間が hyperKähler になってる。モノポールっていうのは実は N = 4 の超対称性をもった理論に自然に出てくる量なんですね。で、モノポールがあることによって半分に破れるから、モノポールは N = 2 の超対称性をリスペクトする。

N = 2 超対称性に出てくる非線形シグマ模型のターゲット空間っていうのは hyperKähler じゃなきゃいけないので、モノポールのモジュライ空間は hyperKähler。ここで出てきたボーテックスは、モジュライ空間が Kähler ですね。Kähler っていうのは N = 1 のターゲット空間に出てくるわけですね。なので、実はボーテックスっていうのは N = 2 の超対称性をもったゲージ理論に自然に現れてきて、そこで半分の超対称性を壊すからモジュライ空間が Kähler になってるというわけです。今、ボソニックな理論だけでやったんですけども、もう超対称性でやりなさいよって言われてるようなもんですよね。

2.5 ボーテックスの散乱
せっかく計量やったんで、ボーテックスの散乱を考えたいんですけども、残念ながら計量っていうのは (2.4.48) まで書けたんですけども、この b っていうののモジュライ依存性、どういうモジュライの関
数なのかっていうのは解けないんですね。これは数値的に解くしかない。だけど、数値的に解けたら、計量がわかると。数値的には解かれています。
それで、解けなくてもいくつかのことはわかって、運動を重心と相対座標に分けておく。

zc =z1 + z2,2w=

z1 − z22(2.5.1)重心は興味がないので、今は相対座標に興味があるんですね。重心系に移って zc = 0 にしてしまって、そうすると、相対座標を w と書くことにしますと、モジュライ空間の線素は

ds2 = f 2 (w, w̄)dwdw̄

(2.5.2)

こう書けますね。で、回転対称性、つまり 2 個あるボーテックスは、どの向きをどういうふうに座標張ってもいいので、これはもう回転対称性から w の大きさにしかよらないf (w, w̄) = f (|w|)

126(2.5.3)

Soryushiron Kenkyuということなんで、

w = ρeiθ(2.5.4)ds2 = f (ρ)2 (dρ2 + ρ2 dθ2 )(2.5.5)とすると、こんなふうに書けると。

で、先ほどの公式に入れてやると、f 2 っていうのは局所的なデータ b っていう未知関数を用いて書けてこういうふうに求められるんですね。

()
1 df (ρ) = 2π 1 +
(ρb)
ρ dρ
2

(2.5.6)

さっきも言ったようにこの b っていうのは数値的に解かないと求められない。
ところで、w = ρeiθ としましたけれども、180◦ 回転するともちろん180◦ 回転w = ρeiθ −−−−−→ w = ρei(θ+π)(2.5.7)となりますね。だけどこれはボーテックスが入れ替わるだけです。でも入れ替わったら、物理変わらないんですね。おんなじ粒子だから。ということで、θ と θ + π は、こう同一視しなきゃいけないと。

θ ∼θ+π .

(2.5.8)
O

w

同一視

O

小

cone

距離
大

だから w っていうのは原点を中心にこことここを同一視したようなこういう円錐になってるわけですね。w = 0 のところが相対座標が 0 ですからぶつかってるところで、こっちにいくと離れてるということですね。もちろんこんな conical singularity はなくて、ちゃんと解くと滑らかになってます。

正面衝突の測地線

out
in
θ=0

→

θ=

π
2

滑らかになってるんですけども、こういう、遠くから見りゃとんがってますけども、近くから見ると
ちゃんと均されてると。この中で、じゃあ正面衝突する測地線はどこかっていったら、原点を通る測地線ですね。位相はどこでもいいですけども、こっから来て、反対側に抜けてくというのが測地線ですね。

127

Soryushiron Kenkyu

そうすると、ここを例えば θ = 0 としますと、反対側は θ = π ではなくて、θ = π/2 です。θ と θ + πを同一視したから。
つまり、θ = 0 から来たのは θ = π/2 になるってことは、90◦ 散乱されてるってことですね。

だから、こっちから来たものとこっちから来たものはこう 90◦ 散乱する。ということで、正面衝突すると 90◦ 散乱します。この 90◦ 散乱っていうのは多くのソリトンで知られていて、例えばソリトンの場合
もこうぶつけると、90◦ 散乱することがよく知られています。

実際に、グローバルボーテックスの、今のゲージドボーテックスではないんですけども、グローバ
ルボーテックスの散乱の様子を数値的に描いてみました。光速の 90% でぶつけてみます。なんで、Lorentz 収縮してこんな形になってますけども、こうやると、こうなって 90◦ 方向に散乱していく。これは数値計算なので光速の 90% くらいまでやっても全然問題ないんですけども、こうなってますね。

2.6 渦紐のダイナミクス
最後の話題にしたいんですけども、いま 2 次元の渦をやりましたけども、これを 3 次元にもってくと、紐になりますね。渦糸。

128

Soryushiron Kenkyu

宇宙紐とか、普通に実験室系で作れるボーテックスも渦糸になったりとかしてますけども、2 次元系で見たいまの 90◦ 散乱っていうのが、実は渦糸の衝突にも大きく影響しています。

ちょっと分かりづらいですけども、2 本の直線、渦糸、青いのが手前にあって、赤いのが後ろ側にあると。で、青いのが奥側に進んでて、赤いのが手前側に帰ってくる。それをこうスライスで見てみましょうと。各スライスは、まあ 3 枚のスライスで見てますけども、一番下のスライスには一番下の青いボー
テックスと赤いボーテックスがあって、真ん中のスライスには真ん中の青と赤がある。で、上は上の青と赤がある。というわけで、真ん中のところは正面衝突してる。上と下は衝突パラメータが 0 じゃない
散乱をするわけですね。

90

必ず組替えがおこる！

これはどうなるかっていうと、2 次元系で見れば、真ん中が 90◦ 散乱して、上側と下側はまあ適当にこうなる。この 90◦ 散乱したっていうことは何が起きてるかっていうと、これは相手が組み変わったっていうふうに読み取れますね。左側の 3 つを繋ぐのと、右側の 3 つをつなぐっていうのがソリトンになってるんですね。ということで、90◦ 散乱が起こるということは結局、まあものすごく速くぶつけた
らちょっと話が変わってくるんですけども、ほとんどの、光速の 90% とかいかなければ、必ず組み替えが起こるということですね。
この組み替えが起こるか起きないかっていうのは例えばこれが宇宙紐なんかだったとしたら、宇宙の歴史に大きな影響を与えることですね。例えば、高温の宇宙が冷えるにしたがって、何らかの相転移が129

Soryushiron Kenkyu

起こって U (1) 対称性が自発的に破れたとしましょう。そのときに、このスケールをもつ渦紐がわらーっとできると。こういうのを Kibble メカニズムっていうんですけども [32]。そういうものが現在までたくさん生き残ってたら、もう見つかってないないわけですからまずいわけですね。そうすると、渦紐が勝手に死んでくれるメカニズムがなきゃいけない。
それは、宇宙紐が、例えば他人同士がぶつかったら、こうループができて、ループができると自分の張力で縮まっていなくなっていく。だからどんどん短くなっていなくなっていく。

例えば、自分自身でもどんどん小さくなっていけると。だから、こういうことが確率ほとんど 1 で起こるというわけですね。だから、いなくなれるというわけです。
で、宇宙紐っていうのは観測からたくさんあっちゃだめなんですけども、1 本 2 本あったって別にいいということなんで、宇宙の端から端までぐらいの長さの宇宙紐がちょっとぐらいはあってもいいかもねと。そういうものがあったとすると、宇宙紐の質量スケールっていうのは対称性の破れのスケールを拾ってますから、そういう意味では宇宙の化石。それを見つければ宇宙の過去がわかる。それから、重力と結合させると欠損角が発生するので、重力レンズ効果も起きるわけですね。それから重力波源として色々面白いことが分かるだろうと。
数値計算でやってみると、実際にこう組み変わる様子が見てとれると思います。

他にも、こうぶつかったやつが輪っかになって、輪っかが消えてくっていうようなのも、グローバル
ボーテックスなんですけどね、まあ見ることはできる。

130

Soryushiron Kenkyu

で、あの、もうやめようかなと思います。まあ道半ばですけども、ちょっと、かなり時間も来てますので。ということでゲージドボーテックスとグローバルボーテックスについて見てきましたけれども、ソリトンで重要な、例えば計量をどう求めるだとか、それが実際に例えば宇宙紐のリコネクションにどう関わってくるかと。で、1 つ言い忘れましたけど、このトポロジカルソリトンで宇宙紐を作ると、宇宙紐がぶつかると、ほとんど確率 1 でリコネクションするんですね。だけど宇宙紐がもし D ストリング
とか F ストリングとすると、それは弦の結合定数で決まってくるんですね。だからそこで全然違いが出ると。というので、まあかなり前ですけれども、cosmic D ストリングとか、Polchinski [33, 34] とかでしたっけ？そういう人とかが言って、そういうのが実際に宇宙に漂う D ブレーンってのはあるんじゃな
いかということを言った時期がありました。その後どうなったかちょっとフォローしてないですけども、D ブレーンが宇宙紐だって言うときと、ソリトンが宇宙紐って言うときは大分違うんですね。それは今reconnection の確率が違うということです。

2.7 Fermions
はい。で、えーと、今日できなかったのは実はあの、何があるかっていうのを見てみると、あとはフェルミオンがどう局在するかっていう話をしようかなーと思ってました。

2.8 Superconducting string
フェルミオンがやっぱり局在するんですけども、フェルミオンがボーテックスの上に局在すると、昔Witten が言った superconducting cosmic string [35] っていうのが出てきて、ボーテックス上にフェル
ミオンのゼロモードがいつまでも流れてると。チャージを持った massless フェルミオンが光速で動いているという話があって、そういうのがあると、そういうのを superconducting string っていうんですけ
ども、そういう話をしようと思っていました。そういうのがあると、安定なループが作れます。絶対なくならないカレントが流れてるので、そういうのでボーテックスのループを作ると、カレントがなくな
れないのでループが小さくなればなるほどカレントから反発力を受けて、ループが安定になると。

131

Soryushiron Kenkyu

2.9 Semi-local vortex
それからボーテックスの仲間に semi-local ボーテックスっていうのがあって、これは、実際標準模型
とかいくと Higgs 場っていうのは 1 個じゃなくて 2 個になったりしますよね。2 成分の Higgs 場になったら、ボーテックスはどうなるのかっていうと、そのときに semi-local ボーテックスと呼んで、これもBPS で、なんか色々あります。まあ、マニアックっちゃマニアックかもしれん。

2.10 Lump
実はその semi-local ボーテックスっていうのは、ある特別な極限でシグマ模型 lump、CP1 lump っ
ていうのにいくと。それは厳密に解けるような模型で、面白いので、話をしようかなと思いました。例
えばインスタントンには small instanton singularity とかありますけども、small lump singularity とかいうのがあって、それをどう解消するかという話とか。

2.11 電弱 vortex string
あとは、電弱ストリングっていうのがあって、電弱理論にも一応ストリングが得られるって候補が、昔、話がありました。ただ、それは不安定なんですね。実は電弱ストリングっていうのは、Higgs 場の質量と W ボソンとか Z ボソンの質量に依存してて、もしも Higgs 場の質量が軽かったらそういうソリトンが安定でいられたんですけども、ご存知の通り、質量が重かったんで、mH = 126GeV ってわかる
前から、Higgs の方が重いっていうのは知られてましたけども、そういう意味でボーテックスは不安定。
電弱理論のボーテックスは不安定ということが知られています。

2.12 Non-Abelian vortex
それから非可換ボーテックスっていうのがあって、それが僕がここ最近ずーっとやってるやつなので、それもお話したかったんですけど、まあ、全く触れられず、ですね。そこでは非可換ボーテックスのモ
ジュライ空間をどうやって探してくかと。例えばモノポールとかインスタントンだったら Nahm 構成法[36, 37] とか ADHM 構成法 [38] っていうのがあるんですけども、ボーテックスに対してはそういうのがないんですね。それをやる方法としてモジュライ行列法 [39, 40, 41] というのがあって、そういうのをかなり昔から僕と僕の共同研究者がやってたんで、それについてお話しようとは思っていました。

3 Monopoles
3.1 Monopoles in electromagnetism
あとは、モノポールの話ができてなくて、まあ、こんなの見せたところで何の意味もないんですけども、まずは電磁気理論で Dirac モノポールっていうのがあると、何が起きるんだと。一番重要なこととして、電荷と磁荷を掛けると、2 分の整数になりなさいということで、

qg =

n
2

(3.1.1)

こう量子化されますね。磁荷と電荷を掛けると半整数になりなさい、ということはもしもこの世に 1 個
でもモノポールがあると、電荷が離散化されるということで、なぜ電荷が一番小さい電荷が e で、その132

Soryushiron Kenkyu

次が 2e でっていうふうになってるかっていうのは、例えばモノポールがあればその答えを与えると。

3.2 ’t Hooft-Polyakov monopole
それを実際にソリトンとして作ることが知られてきて、そいつが’t Hooft-Polyakov モノポールと呼ばれていて、Georgi-Glashow 模型なんかで作ることができます。

3.3 BPS monopole
で、BPS にいくことによって、もっと面白いことがあって。

3.4 Montonen-Olive duality
あ、一番重要かな。Montonen-Olive 双対性 [42] っていうのがあって、BPS 極限すなわち超対称性が入るような極限にいくと、光子と中性スカラーと W ボソンとモノポールっていうのがあるんですけども、それの質量と電荷と磁荷とスピンを書いたのがこの表なんですね。

λ=0

質量

電荷

磁荷

スピン

aµ

0

0

0

1

ϕ3

0

0

0

0

Wµ±

gv

±g

0

1

モノポール

4π
g v

0

± 4π
g

0

BPS 極限だけです。BPS じゃないと、ϕ3 らへんに質量が現れたりするんですけども、これを見ると、電荷と磁荷を入れ替えて、g っていうのはこれは電荷のことですけども、それと、モノポールの 4π/g っていうのを、これ磁荷ですね、1/g 、電荷分の 1 になってます。これをちょうど入れ替えると、W ボソ
ンとモノポールの質量がちょうど入れ替わる。ということで、この理論の中で電荷と磁荷を入れ替えて

W ボソンとモノポールを入れ替えると同じ理論になってるんじゃないかと。さっきは sine-Gordon とmassive Thirring っていう違う理論の間の双対性だったんですけども、これは同じ理論の中にこういう双対性があるんじゃないかということで、しかも電荷と磁荷は掛け算すると定数になるんですから電荷が小さいところは、磁荷はでかい。だから強弱双対性になってる。ということで、しかも自分自身の中に双対があるので自己双対な理論。ただし、ゲージボソンってのはスピン 1 だしモノポールは sphericalなものだからスピンなんてもってないんですね。全然自由度が違うじゃないかと言ったときに、この自由度を補ってるものは何かっていうと、フェルミオンです。モノポールがあると、フェルミオンが局在するって言いましたね。フェルミオンがあると、ソリトンが縮退すると。なかなか難しいんですけども、N = 4 とかいくと、4 つの massless フェルミオンが局在するので、24 = 16 個のモードができます。そうすると、そこら辺でスピン 1 とかスピン 0 とかスピン 1/2 とかっていうモノポールの状態でうまく帳尻あわせることができて、N = 4 の中ではこういう双対性はあるだろうと。N = 2 とか下がってくると難しい、よくわからないということになっている。これは massive Thirring と sine-Gordon の双対性とよく似ているので、1 次元の理論を勉強すれば、他のところでよくわかるよねーって言ったのはこ
ういう意味でした。

133

Soryushiron Kenkyu

4 Kink, vortex and monopole
あとはもう終わりますけど、フィナーレとして話したかったこととして、最後にここまで学んできたことを全部一緒くたにしてやろうということで、キンクとボーテックスとモノポールっていうのの夢のコラボレーションについてお話をしようと思っていました。これは、超対称な理論の中に、今まで個々、単体を考えてきましたね。ドメインウォール、キンクとかボーテックスとかモノポールとかね。それぞ
れ BPS だと半分の超対称性を保つんですけども、こういうのが同時に存在すると、例えば 1/4 の超対称性とか 1/8 の超対称性とかを保つ状態にできます。で、これは 1/4 なんですけども、実際には、こんなようなことができます。モノポールを超伝導の中に入れたら、フラックスが紐状になるしかないということで、モノポールを Higgs 相に置くと、ボーテックスとモノポールの複合体ができるわけですね。
自然と出てくる。そういうのを BPS 状態として作ることができて 1/4 BPS 状態になるということが知られています。実はこの配位をこのボーテックスの上の有効理論から見ると、もう詳細は全然言えない
んですけども、実は、ボーテックスっていうのは 3 + 1 次元の中の 2 次元のオブジェクトですから、その世界体積は 1 + 1 次元、だから 1 + 1 次元の理論ということですね。で、その理論は何かっていうと、

massive CP1 非線形シグマ模型ですね。だから、4 次元の中にボーテックスを置くと、その中に有効理論として 1 + 1 次元が出てくるというわけです。だから 1 + 1 次元はトイモデルじゃない。ボーテック
スの中にあるんですね。その中でキンクを作ることができて、ボーテックスの中にキンクができます。
ボーテックスの中に何か局在した粒子がいる。それは 4 次元から見るとモノポールだと。ということ
で、キンクとボーテックスとモノポールというのはボーテックスを架け橋として繋がってますね。だからキンクとモノポールは Higgs 相でほとんど一緒ですね。
で、昔から、4 次元と 2 次元の間にはなんか妙な類似性があると、BPS スペクトラムとかそういうのに、ほとんど一緒じゃないかと言ったんですけども、それを物理的に解釈すると、このボーテックスがあると、ボーテックス上の例えば 4 次元のモノポールはボーテックス上のキンク。だからそういう対応っていうのはボーテックスを通じて現れるということで、妙な 4 次元と 2 次元の間に知られた漸近自由性とかそういうやつは、ボーテックスから見ることで理解できるって言ったのが、David Tong という人で、そういうことにもこういうことは使われているわけですね [43]。
まあ、全然話せませんでしたけども、そういうことを話そうと思っていました。ということで、ソリトンを通じていろんな必要なことを皆さんに伝えたつもりです。ソリトンの面白さだとか重要さとか、
そういう、まあなんか難しそうだなっとか、そんな必要ねーよとか、そういうふうな boundary が少し下がって、これから研究したいなと思ってくれる人がいたら、大変ありがたいです。じゃあ、時間も過ぎてますので、終わります。どうもありがとうございました。
〜〜拍手〜〜

講義録作成校からの謝辞
衛藤稔先生は講義依頼を快く引き受けてくださり、スライドによるわかりやすい講義をしてください
ました。また、講義録のチェックや、講義に使用したスライド、およびアニメーションによる説明を行った部分に関する差し替え用の画像の提供をしてくださいました。ここに感謝の意を表します。最後に、夏の学校の企画・運営に携わった皆様に感謝いたします。

134

Soryushiron Kenkyu

参考文献
衛藤氏からのコメント：「本講義の多くの部分は [4, 5, 13, 30] を参考に作成しました。より詳しい内容を勉強したい方はそちらを参照してください。」[1] S. R. Coleman, “Q Balls,” Nucl. Phys. B 262 (1985) 263 [Erratum-ibid. B 269 (1986) 744].
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