Bull. Sciences math., 2° série
90, 1966, p. 41 & 64.

SUR

LA

CATEGORIEDESALGEBRESDEVONNEUMANN ;

PAR

Avan

GUICHARDET.

On se propose dans ce travail d’étudier systématiquement un certain
nombre d’opérations relatives aux algébres de von Neumann, du pointde vue de la catégorie des dites algébres ou 1’on prend comme morphismes
les morphismes normaux (voir définition au paragraphe 1) : produits,
sommes, limites projectives et inductives, produits tensoriels; pourcertaines de ces opérations on examine en détails les propriétés du foncteur
obtenu; par exemple on verra au paragraphe 7 que le foncteur lim n’est—
en général pas exact a gauche; d'une facon plus concréte, une algébrede von Neumann A, engendrée par une suite croissante de sous-algébres
de vonNeumann

A,

n’est

en

généralpas

la limiteinductivedesA;

En ce qui concerne les produits tensoriels, on a été amené 4 introduire
une nouvelle notion, comme solution d'un probléme universel, qui différede la notion classique a peu prés comme, dans le cas des espaces de Banach,le produit tensoriel &- differe de &. ou comme, dans le cas des C*-algébres
v.
® différe de ® (sur ce point, voir [7]); cependant la situation présente
est bien différente de celle des C*-algébres, puisqu’ici il est relativementaisé de caractériser les objets « plats » (cf. prop. 8.6), alors que dans lecas des C*-algeébres on ne sait pas encore s'il existe des objets non plats.
On étudie pour terminer le foncteur qui associe a toute C'-algébre son
algébre de von Neumann enveloppante.
Pour tout ce qui concerne la théorie des catégories — terminologie
et résultats — on s’est basé sur le cours récemment paru de G. Poitou
et P. Jarrarp ([9]).
§1.

Rappels

concernant

les algébres

de vonNeumann.

On définit habituellement une algébre de von Neumann comme étant
une algébre d’opérateurs dans un espace hilbertien, autoadjointe etégale a son bicommutant; ou encore autoadjointe, contenant I'opérateur 1

A

A. GUICHARDET.

et fermée pour 1'une quelconque des topologies forte, faible, ultra-forte
et ultra-faible ([2], p. 44). Mais on peut aussi caractériser intrinséquement
les algebres de von Neumann de la fagon suivante : une algébre de von
Neumann

est une algébre de Banach

A, a unité, munie

d'une involution

et vérifiant les axiomes suivants :(i) laa |=] al? pour tout a€A (on dit alors que A est une
C*-algébre a unité);(ii) dans l'ensemble A+ des éléments positifs de A, toute famille
filtrante majorée admet une borne supérieure;(iii) pour tout élément non nul a de A il existe une forme linéaire
positive normale f sur A telle que f(a) o [« normale » signifie qu'ona f(sup z) = supf(z;) pour toute famille filtrante majorée (z;) d’éléments de A+].
(Voir, sur ce point, [14].)
Toute algébre de von Neumann dans un espace hilbertien, définiecomme au début du paragraphe, sera appelée une réalisation de I'algébrede von Neumann abstraite correspondante; et I'expression « algébrede von Neumann » désignera une algébre abstraite vérifiant les axiomes (i),(ii) et (iii). Si A est une algébre de von Neumann, la topologie ultrafaible sur A qu'on peut définir 4 partir d'une réalisation est en fait indépendante de la réalisation choisie ([2], p. 57) et peut étre définie intrinséquement comme étant la topologie la moins fine rendant continues
toutes les formes linéaires positives normales ([2], p. 54); pour cettetopologie, la multiplication est séparément continue et linvolution
est continue ([2], p. 36). (Signalons que la topologie ultra-forte est elleaussi intrinséque et susceptible d'une définition faisant intervenir lesformes linéaires positives normales.) Pour toute famille filtrante
majorée (r;) d’éléments de A+, supz; est limite ultra-faible des x; suivant
le filtre des sections ([2], p- 331). Tout isomorphisme d’algébres involutives d'une algébre de von Neumann sur une autre est isométriqueet en outre bicontinu pour les topologies ultra-faibles.
Si A est une algébre de von Neumann, toute sous-algebre autoadjointe
ultra-faiblement fermée de A est une algébre de von Neumann; une telle
sous-algébre (ne contenant pas nécessairement I'élément unité de A)
sera appelée sous-algébre de von Neumann de Aj; la sous-algébre de von
Neumann engendrée par une partie M de A est donc 'adhérence ultrafaible de la sous-algébre autoadjointe engendrée par M. Tout idéal bilatere ultra-faiblement fermé I de A est autoadjoint et peut s’écrire I = Ap,oui p est un projecteur (i.e. un élément idempotent hermitien) du centre
de A ([2], p- 45); I admet un idéal bilatére ultra-faiblement fermé supplémentaire, a savoir A (1— p); l'algébre normée A/I est une algébre devon Neumann isomorphe a A(1— p); la topologie ultra-faible sur A/In'est autre que la topologie quotient de la topologie ultra-faible sur A.

-

CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

43

Soient A et B deux algébres de von Neumann; un morphisme (sousentendu : d’algébres involutives) u : A — B est dit normal si pour toutefamille filtrante majorée (r;) d’éléments de A+ on a u(supzx;) = sup (u (x);il revient au méme de dire que u est ultra-faiblement continu ([2], p. 56);
son image, que nous noterons Imu, est une sous-algébre de von Neumann
de B [pour le voir posons g = u(x), projecteur de B; ¢ Bq est une sousalgébre de von Neumann de B, ensemble des b eB vérifiant bg = gb = b;
on a ImucgBq et u, considéré comme morphisme de A dans ¢Bgq, estnormal et transforme unité en unité; alors lmu est une sous-algébrede von Neumann de ¢Bq d’aprés [2], p. 57, cor. 2, donc aussi une sousalgébre de von Neumann de BJ]; elle est canoniquement isomorphe
a A/Keru. On appelle facteurs les algebres de von Neumann dont lecentre est réduit aux scalaires; tout morphisme normal non nul d'unfacteur A dans une algébre de von Neumann est donc un isomorphismede A sur son image.
On rappelle que tout morphisme (d’algébres involutives) d'une algébrede Banach dans une C*-algébre diminue les normes; ceci est donc vrai
en particulier pour les morphismes normaux d’algébres de von Neumann.
§2.

Catégorie V* : généralités.

On notera <v* la catégorie dont les objets sont les algébres de von
Neumann et les morphismes — les morphismes normaux, ne transformant
pas nécessairement unité en unité; I'algébre réduite 4 o sera considérée
estcomme un objet de *v* : ¢’est un objet nul au sens de [9], p. 31; 0"deune catégorie avec fleches nulles ([9], p. 105); pour toute algébreI'élément
e,
et
4
de
identiquemorphismele1,
noteraonA
von Neumann
unité de A; on dira morphisme pour morphisme normal sauf mention
expresse du contraire.
Tout couple (u,v) de fleches A XB admet un noyau 91; p- 72)
a savoir I'injection canonique dans A de la sous-algébre de von Neumannd'unede A formée des a vérifiant u(a) = v(a); en particulier le noyau
identifié
souvent)
sera
(et
étre
peut
fleche u, ou noyau du couple (u, o),au noyau au sens habituel, noté Keru;

il est clair que

tout idéal bilatére

parfois,ultra-faiblement fermé est un noyau de couple (ou, comme on dit
soustoute
de
méme
de
est
en
sil
ignore
on
mais
A),
de
»
un « sous-objet
algébre de von Neumann.
p- 72)»
Tout couple (u,v) de fleches A TB admet un conoyau (91,
B par l'idéal
3 savoir la surjection canonique de B sur le quotient deu(a) —v{(a)bilatére ultra-faiblement fermé engendré par les éléments
conoyauouu,fieched’une
Cokeruconoyauleparticulier
en
A);
(ae
l'idéal
est
J
ou
B—B|J
canoniquedu couple (u, 0), est la surjection
facile de voir
est
il
Imu;
par
engendré
fermé
ment
ultra-faible
bilatére

44

A. GUICHARDET.

que, B étant fixée, les conoyaux de couples A XB (parfois appelés«objets quotients» de B) sont exactement les quotients de B au sens ordinaire.
La coimage ([9], p. 110) d'une fléche u: A — B est la surjection canonique A — A/Ker u; I'image au sens des catégories est I'injection canonique dans B de l'idéal bilatére ultra-faiblement fermé engendré parimage au sens habituel, que nous continuerons a noter Imu.
11 est facile de voir que les monomorphisme ([9], p. 2) sont exactement
les morphismes injectifs; par contre les épimorphismes semblent plus
difficiles 4 caractériser; on peut seulement dire a priori queu surjectif = u épimorphisme = Cokeru = o.
§3.
Soient(A;);e1unefamilleProduits.

d’algébres

de vonNeumann

et A =[]4iel

le sous-ensemble de I’ensemble produit formé des familles (a;) telles que

sup [| a | < +-o0;
A est une algebre de von Neumann qu'on peut réaliser dans un espacehilbertien de la fagon suivante ([2], p. 21) : on réalise A; dans un espacehilbertien H;, on pose H = @ H; (somme hilbertienne) et l'on associea chaque a =(a)eA l'opérateur dans H transformant chaque vecteur z= (x;)€H en le vecteur (a;(z;)); les applications canoniques
pi:A—>A; et s;: A->A
sont des morphismes normaux; tout élément (a;) de A est somme de la famille ultra-faiblement sommable > si(a)Soient maintenant B une algébre de von Neumann et, pour tout i,u; un morphisme B-> A;; T'application b +> u(b) = (u;(b)) de B dans A
est un morphisme vérifiant p;ou = u, pour tout i, et c'est évidemment
le

seul;

donc

ProrosrTION
catégorieW*,

3.1. —

114:

est le produit de la famille (4,) dans larel

On obtient ainsi un foncteur II de la catégorie 2w*(I) des familles (A,);e;dans Ww" (cf. [9], p. 67); c’est un foncteur limite gauche, adjoint a droite
du foncteur associant a toute algébre de von Neumann B la famille
constante (B), ce qui signifie entre autres qu'il existe une correspondance
bijective entre Home (B, MA;) et Home; ((B), (4); I est donc
fort a gauche ([9], p. 71); il est d’ailleurs facile de voir directement que si
on a des morphismes injectifs u; : A;— B;, le morphisme produit est
injectif; résultat analogue pour les morphismes surjectif; plus généralement :Remarque 3.1. — II permute aux conoyaux de couples. En effet considérons deux morphismes (i; et (;) de (A,) dans (B;); on vérifie facilement

CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.
que

leur

conoyauest (w;):(B)—(C),ducouple(u;, v;);soientoi

45w;:B,—~ C; est le conoyau

AZIB-Cles morphismes

correspondants;

on doit montrer(i) que Kerw est 'idéal bilatére ultra-faiblement fermé M engendré
par les u(a)—wv(a); or on sait que Kerw contient M; pour montrer
que KerwcM prenons b = (b;)e Kerw; soit s; (resp. £;) le morphisme
canonique de A; dans A (resp. de B; dans B); M nf;(B;) est un idéal
bilatére ultra-faiblement fermé de £;(B;) contenant tous les élémentsu(si{a)) —v(si(@)) = bi(ua) —vi(@))
donc

contenantf;(Kerw;);

comme

b;€

L(b)yeMd’ouf{;(b)eM

et, par passage

Kerw;,

il existe

est la norme

b,eB;

tel

quotienton anN L (By),a la limite ultra-faible,(ii) que w est surjectif; soit donc
jectif,(@€Ay),

quew;(b;)¢ = (¢;)€C;
= ¢;,

et

be

comme

comme

la

M;

w; est

norme

sur-

sur

de celle de B;, on peut choisir b; de facon

C;

que

bli Zell +13
alors

b= (b)eBet w(b)=c.

Remarque 3.2. — IIA; est aussi solution d'un probléme universel
du type « final », ou mieux représentant d'un certain foncteur covariant :é¢tant donnée une famille de morphismes u; : A;,—~B vérifiant(1)u(x). u;(x;) =o,

quels que soienti2j, r,€d, x;€A4A,,

il existe un morphisme unique u:IIA,—B tel que uos;=u; [Desmorphismes u; vérifiant (1) seront dits deux a deux orthogonaux.]
L’unicité de u est évidente, les s;(A;) engendrant ITA;; pour établir
Pexistence,

réalisons

B

dans

un

espacehilbertien

H;

soit

H;

le

sous-

espace essentiel de u;(A;) [ou supplémentaire orthogonal de Iintersection des noyaux des éléments de u;(A;)]; les H; sont deux 4 deux
orthogonaux; comme B contient tout opérateur de la forme
Th—wa). h

pour

heH,

0

pour

heHSH,

B contient 'algébre d’opérateurs Hu;(A;); et le morphismes’obtient en composant IIu; avec injection canonique dedans B.

cherchéIMu;(4,)

46

A. GUICHARDET.
§ 4%. Retour

sur les représentations

des algébres

involutives.

LemME 4.1. — Pour toute algébre involutive A les classes de quasiéquivalence de représentations de A (dans des espaces hilbertiens)
forment un ensemble.
Démonstration. — A tout couple (wm, x) formé d'une représentation =de A et d'un vecteur x totalisateur pour = (s'il en existe), on associeclassiquement la forme linéaire positive sur 4 : a > (n(a).z|z), et l'on
sait que si deux couples (x, z) et (n', 2’) donnent la méme forme linéaire
positive, 7 et ©’ sont équivalentes (cf. [3], 2.4.1); il en résulte que lesclasses d’équivalence de représentations admettant des vecteurs totalisateurs forment

unensemble;

il en est de mémedes sommesde tellesclasses d’équivalence deux a deux distinctes; enfin toute représentation
est quasi équivalente a4 une telle somme ([3], 2.2.7).

C.Q.F.D.

Soit

encoreA

unealgébreinvolutive;

soit

¢,

la

catégorie

ainsi

définie : ses objets sont les morphismes d’algébres involutives u: A — A,ou ¢& est une algeébre de von Neumann et ou Imu est ultra-faiblement
dense

dans

¢(;

si

u: 4

et

v: A>

sont

deux

tels

morphismes,

un morphismeu—»p
est un morphisme(normal)f:a&—>@
telque fou =p. En particulier les objets u et v sont isomorphes si et seulement s’il existe un isomorphisme f de ct sur @ tel que fo u = p. Si maintenant on associe a toute représentation = de A dans un espace hilbertienle morphisme (d’algébres involutives) u correspondant de A dans I'adhérence ultra-faible de n (A), il est facile de voir que deux représentations =et 7’ quasi équivalentes donnent deux objets u et u’ isomorphes au sensprécédent (la réciproque n’est pas tout a fait exacte, parce que dans ladéfinition de la quasi-équivalence (cf. [3], 5.3.1) il est question de 'algébrede von Neumann engendrée par 7 (A), laquelle peut différer de I’adhérence
ultra-faible de =(A) par I'adjonction d’une unité; cette réciproque est
exacte si 'on suppose = et =’ non dégénérées); comme d’autre part tout
objet de ¢, peut évidemment étre obtenu de cette facon, on voit que
LEMME

4.2.

—

Les

classesd’isomorphied’objetsde¢,forment

unensemble.
Supposons maintenant que pour tout a€A il existe k,> 0 tel quelu) | << k. quel que soit ue¢, (c'est le cas si A est une algébre deBanach involutive, avec k,= [la|]); choisissons une famille (u;);¢;
d’objets de ¢ , contenant un objet et un seul de chaque classe d’isomorphie,soit u;: 4 —>@;;
formonsle morphisme(d’algébres
involutives)
u: Ala; défini par u(a) = (u;(a)) (ac A), ce qui a un sens puisque| ui(a) | = k.; enfin notons & I'adhérence ultra-faible de Imu dans Mey;alors le couple (u, @) est solution du probléme universel suivant : trouver
une algébre de von Neumann
et un morphisme (d’algébres involu-CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

47

tives) u: A > A tels que pour toute algébre de von Neumann @& et
tout morphisme (d’algébres involutives) v : A — a, il existe un morphisme(normal) unique w : & — @ tel que wou =p.
Si A est une C'-algébre, @ sera dite algebre de von Neumann enveloppante de A; on notera que ce qu'on appelle ainsi dans [3] est une réalisation de @&; nous utiliserons ici, & plusieurs reprises, des constructions
analogues a celle-ci.
Notation. — Dans la suite on désignera par ¢* la catégorie des(’-algebres avec, comme morphismes, tous les morphismes d’algébres
involutives; on rappelle qu'un tel morphisme diminue automatiquement
les normes.
§5.
Soient A,
admettent

et A,
une

deux

somme

Sommes.

algébresde vonNeumann;danscatégorie¢*,

lad’aprés [10],c’est-a-dire

qu'il

elles
existeune C*-algébre A° et des morphismes (dans ¢*) r;: A;> A° (i =1, 2)
possédant la propriété suivante : pour toute C*-algébre B et tout couple
de morphismes (dans ¢*) v;: A;— B, il existe un morphisme (dans ¢*)unique»:A°>Btelquewvor,=wv,.
Considérons,
parmi
les
objets u: A°>X de la catégorie C,, définie au paragraphe 4, ceux
pour lesquels les morphismes composés uor, et uor, sont normaux;choisissons une famille (u;);¢, de tels objets contenant un objet et unseul de chaque classe d’isomorphie, soit u;: A°~> &;; formons le morphisme (dans ¢*) g : ATI, ce qui a un sens puisque | u;(a) |=| a||;
soient A la sous-algebre de von Neumann de IQ; engendrée par Img
et w; le morphisme (normal) de A; dans A composé de r; et g¢; il est
alors immédiat que pour toute algébre de von Neumann B et tout couple
de morphismes (normaux) £ : A,— B, il existe un morphisme (normal)
unique {: A — B tel que fow;=1{; en d'autres termes A est la somme
de A,

et A,

dans

?v* et 'on

peuténoncer:

ProrosiTioN 4.1. — Dans la catégorie 20* la somme de deux objets
existe toujours et se construit de la fagon indiquée ci-dessus.
Si Ion note A,11A. la somme de A, et A,, on obtient un foncteur II
de la catégorie ® formée des couples d’algébres de von Neumann dans 0%;
c’est un foncteur limite droite, adjoint 4 gauche du foncteur qui associea toute algébre de von Neumann B le couple (B, B), ce qui signifie entre
autres qu'il existe une correspondance bijective entre Homg,.(AI1A,, B)
et Hom, ((4,, A,), (B, B)) (cf. [9], p- 71); I est fort a droite, c’est-a-direpermute aux limites droites (si toutefois elles existent) ('), et en particulier aux conoyaux de couples.
(') Elles existent effectivementd’aprés

des résultats inédits de C. Chevalley.

48

A. GUICHARDET.

§6.

Limites

projectives.

Puisque la catégorie 2v* admet noyaux de couples et produits, elle
admet aussi les limites gauches pour tout foncteur d'une catégoriequelconque dans W* ([9], p. 75), et en particulier les limites projectives
de systémes projectifs : soient I un ensemble préordonné, (A;):e; unefamille d’algébres de von Neumann avec, pour tout couple i=j, unmorphismeu;;:A;,—>A;
de facon que u,;=1,
et, si ijk,
W,joujr= Uy; HmA; est la sous-algébre de von Neumann de IIA;<~—

formée des familles (a) vérifiant a;= u;;(a;) pour tout couple ij.
Comme tout foncteur limite gauche, le foncteur lim (de la catégorie<—des systémes projectifs d’algébres de von Neumann dans 3") est adjoint
a droite, donc permute aux limites gauches et en particulier aux noyauxde couples. On peut montrer qu'il transforme les morphismes surjectifs
en morphismes surjectifs, en utilisant le fait que la boule unité d'une
algébre de von Neumann est ultra-faiblement compacte (tout au moinssi I est ordonné filtrant).
§ 7. Limites

inductives.

Soient I un ensemble ordonné filtrant, (A;);e; un systéme inductifd’algébres de von
Neumannavec
des morphismes
w;;:A;— A;pour i<j; soient A la limite inductive de ce systéme dans la catégorie ¢*(cf- [10]) et r;: A;— A° les morphismes (dans ¢€*) canoniques; parmi
les objets u : A°— @ de la catégorie C . définie au paragraphe 4, appelons
normaux ceux pour lesquels tous les composés uo r; sont des morphismes
normaux; choisissons une famille (u;);c, contenant un objet et un seulde chaque classe d’isomorphie d’objets normaux, soit u;:A°—
Aj;
formons le morphisme (dans €*) ¢g: A°—1Ilc;; soient A la sous-algébrede von Neumann de ME; engendrée par Img et, pour tout i, w; lemorphisme (normal) de A; dans A composé de r; et de g; il est immédiat que(i)wjow;;=w;

pour

tout

coupleij;(ii) pour toute algébre de von Neumann B et toute famille demorphismes v;: A;— B vérifiant v;ow;; =v; pour tout couple ij,
il existe un morphisme unique v:A—>B{tel que vow,=n; pour
tout i;autrement dit, A est la limite inductive du systéme inductif donné dansla catégorie 2v*, et 'on peut énoncer :CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

49

ProposITION 7.1. — Dans la catégorie 2v* la limite inductive d'unsystéme inductif indexé par un ensemble ordonné filtrant existe toujours
et se construit comme indiqué ci-dessus.
Elle sera notée limA; (*).
—>

Remarque 7.1. — 11 existe une correspondance bijective entre lesprojecteurs du centre de limA; et les classes d’isomorphie d’objets—>
normaux de €_. Soit en effet p un tel projecteur; en composant ¢ avec
le morphisme canonique A—>Ap, on obtient un objet normal de
Cp:l,: A> Ap; application qui fait correspondre a p la classe d’isomorphie de cet objet normal est-(i) injective, car si f, et {, sont isomorphes, il existe un isomorphisme de Ap sur Aq tel que f(p.g(a)) = gq.g(a) pour tout ac A’et, par continuité ultra-faible, f(pz)= qx pour tout ze€A, ce qui
entraine p = gq;(ii) surjective, car tout objet normal de €, est isomorphe, pardéfinition, a T'un des u; considérés ci-dessus; le morphisme canoniqueh; : A—@; est surjectif puisque son image contient celle de u;; Kerh;
est de la forme Ap, p projecteur de A, et u; est isomorphe af, _,.
C.Q.F.D.
On obtient ainsi un foncteur lim de la catégorie des systémes inductifs—

d’algébres de von Neumann indexés par I (I ensemble ordonné filtrant
donné) dans 20%; il est adjoint 4 gauche du foncteur qui associe a toutealgébre de von Neumann B le systéme constant (B); il est fort adroite ([9], p. 71) et en particulier permute aux conoyaux de couples;
d’autre part on vérifie immédiatement qu’il transforme les morphismessurjectifs en morphismes surjectifs.
Remarque 7.2. — Le foncteur lim n’est pas exact a gauche; plus préci.

—sément on peut avoir un systéme inductif (4;) avec des morphismes w;,;
et un systéme inductif de morphismes injectifs #;: A;,—A sans que lemorphisme correspondant f:limA,—~A soit injectif.
—

Premier exemple. — Soit A un facteur hyperfini continu engendré
par une suite croissante de facteurs A; de type I; prenons pour w;,;
I'injection canonique de A; dans A; et pour f; injection canonique de 4,
dans A; comme chaque A; est identique a son algébre de von Neumannenveloppante, limA; est isomorphe 4 I'algebre de von Neumann enve—(*) Remarquons

que lim 4, est Ialgébrede vonNeumannengendrée par Imw;. La

notion de limite inductive a été introduite, dans un cas particulier, dans [15].
BULL.

SC.

MATH,

—

2¢

SERIE,

T.

90. —

1966.

4

50

A. GUICHARDET.

loppante de la C*algébre A° limite inductive des A, (cf. § 9), laquelles’identifie naturellement a la sous-C*-algébre de A engendrée parles A; (cf. [10]). Si £ était injectif, comme il est surjectif, ce serait un isomorphisme et lim4; serait un facteur; A° n’aurait qu'une classe de quasi—>équivalence de représentations non dégénérées, donc qu'une classed’équivalence de représentations irréductibles, et par suite (cf. [11])serait isomorphe a l’algébre des opérateurs compacts dans un espacehilbertien — ce qui n’est évidemment pas le cas.
On peut d’ailleurs construire explicitement une représentation nonfactorielle de A°® (i.e. un objet normal A°—>A@ de C, ol @ n'est pas
un facteur) de la facon suivante : d’aprés [2], p. 305, ex. 1, il existe une
algébre de von Neumann &, qui n’est pas un facteur, engendrée par une
suite croissante de facteurs B; de type I; on peut alors construirede proche en proche, comme indiqué dans la démonstration de [2],p. 291, th. 2, des isomorphismes s;: A;—B; qui se prolongent les uns
les autres; en composant chaque s; avec le morphisme canonique B;— &,on obtient un systéme inductif de morphismes (dans €) A,» &, d’olt
un morphisme (dans ¢*) A°—>@ dont l'image engendre évidemment
I’algébre de von Neumann A.
Ajoutons que les C*-algébres du type de A° ont été étudiées dans [6].
Deuzxiéme exemple. — Prenons A;=C”
et wy:
A> Asp, transformant tout élément (cs, ¢s, . . ., ¢s) en élément (ci, 15 €35 C2, +. +, Coy Cai);la C*-algébre commutative A°, limite inductive des A; a un spectre
non dénombrable; I'algébre de von Neumann limA; est, comme dans—>I'exemple précédent, 'algébre de von Neumann enveloppante de A‘; *°elle admet donc une infinité non dénombrable de caractéres normaux.
Soit d’autre part B I'algébre L” construite sur (o,1) avec la mesure deLebesgue;on

définitdesmorphismes

injectifs

#,:

A;—

B

en

associanta tout élément (ci, cs, .. ., ci) la fonction égale a ¢; sur [(j—1)/2!, jl2]
pourtout j =u,

inductif;

2, ..., 2% et il est clair quele morphisme

correspondantles#, forment

f:limA;,—B—

surjectif; s'il était injectif, B serait isomorphe

est

un

systémetrivialement

a lim A;, donc

admettrait—>
des caractéres normaux; mais si x est un caractére normal et p le projecteur défini par Kerx = Bp, es—p est un projecteur minimal de B;
or B n’admet visiblement pas de projecteurs minimaux.
Remarque 7.3. — 11 est clair que si I est dénombrable et si chaque 4;
est ultra-faiblement séparable (*), limA; l'est aussi; par contre les 4;—>
peuvent

étre

de

genre

dénombrable

sans

que lim A;

le soit,

comme

le

—
montre ’exemple 2 ci-dessus : limA; (commutative) admet une infinité—(®) 1. e. contient une suite ultra-faiblement

dense.

51

CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

non dénombrable de caractéres normaux, et il leur correspond une infinité
deux a deux
non dénombrable de projecteurs minimaux de —limA,;>
orthogonaux.
deux
a
deux
distincts, donc

1. Premiére

notion§8.

Produits

tensoriels.

deproduittensoriel.

Soient A, et A, deux algébres de von Neumann; on notera A 1 RAs
leur produit tensoriel algébrique. Rappelons qu'on définit classiquement
une premiére notion de produit tensoriel-algébre de von Neumann de lafacon suivante ([2], p. 26) : on réalise A; dans un espace hilbertien H;
et on prend, dans espace hilbertien H,® H>, I'algébre de von Neumann€ A;); enfin on montre que leengendrée par les opérateurs a, a; (a:résultat obtenu ne dépend pas du choix des réalisations de A, et A,([2], p. 60); le produit tensoriel ainsi obtenu sera noté A, ® As et AQ
sera souvent considérée comme une sous-algébre de A \® As.
LEMME

8.1. —

Soient A, une algébre de von Neumann

et u: A—B

un morphisme; il existe un morphisme unique »: A, ® A—~ A,va ® a) = a: ® ula),A.

® B tel que€ A, et a€A;
quels que soient a,

si u est injectif, il en est de méme de v.
L’unicité est triviale. Pour établir existence décomposons
morphismesu en trois

A5CcSDEB,
ot C=Imu, D=gqBq, ¢=u(e,) (on rappelle que
sous-algébres de von Neumann de B vérifiant CcD;de construire :pourC et D sont desvoir § 1); il suffit(1) un morphisme »': AR A SAR Ctelquev' (a, ®@ a) =a: Qu’ (a)a;€ A, et ag A; ceci est fait dans [2], p. 60;(ii) un morphisme »”; A® C>A,®D tel quer” (a, ®@ )=a.® u"(c)€ A, et c€ C; réalisons A, et D dans des espaces hilbertiens H,
pour a,et K; C se trouve réalisée dans K puisqu’elle contient ep; A,®D étant
réalisée dans H,® K, la sous-algébre de von Neumann engendrée
par

les

opérateurs

est injectif;a;® c est uneréalisation de A®

C. Noter que pv”

52

A. GUICHARDET.

(iii) un morphisme vr”: A, ®D— A, ® Btel que v" (a, Q@ d)=a, Q u” (d)pour a;€A, et deD; réalisons A, et B dans des espaces hilbertiens H, et L, D dans K =q(L); considérons H,® K comme unsous-espace hilbertien de H;® L; l'application
AQD—>A,

w=1,Qu":.

QB

est injective; pour d€D, u”(d) est 'opérateur dans L égal 4 d dans K et
ao dans LO K; donc pour ze A, ® D, w(x) est Popérateur dans HLégal a x dans Hi®@ K et 4 o dans son supplémentaire orthogonal;
d’out il résulte que w est bicontinu pour les topologies ultra-faibles;
le morphisme v” cherché s’obtient en prolongeant w par continuitéa A®D.

Noter qu’il est injectif,

Enfin si u est injectif, u’ est un isomorphisme,
D=10"00"00" est injectif,»’ en est un autre, et
C.Q.F.D.

On peut donc énoncer :Prorosition 8.1. — Pour toute algébre de von Neumann A,, AR
est un foncteur de la catégorie v* dans elle-méme; ce foncteur transforme les morphismes injectifs en morphismes injectifs.
2. Deuxiéme

notion de produit tensoriel. Définition.

Soient A, et A, deux algébres de von Neumann; posons A’ = A,® A.
et notons r; les morphismes (d’algébres involutives) A,—> A° définis parry (a)=a;Qr: (a2)

=

es,

eq,
RQ as;

considérons, parmi les objets u:A°—>@ de la catégorie C, définie
au paragraphe 4, ceux pour lesquels les composés uor, et nor, sont desmorphismes normaux (de tels objets seront dits normauz); choisissons
une famille (1); contenant un objet et un seul de chaque classe d’isomorphie d’objets normaux, soit u;:A°—>¢;; formons le morphisme(d’algebres

involutives)¢: A'—>T@A;

| es

a un

sens

car

pour

ona

a=2a,;,Qa,€A%lu (@ = 3 (1 a0) 2a (0.0)< Dll usa ilar @) | =i(lanl |] a I):itoutCATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

53

soient A la sous-algébre de von Neumann de II¢(; engendrée par Img et,pour i = 1, 2, soit w; le morphisme (normal) de A; dans A composé de r;
et de ¢; on a alors immédiatement le résultat suivant :ProrosiTioN 8.2. — L’algébre de von Neumann A et le couple demorphismes (ws, w.) sont solution du probléme universel suivant : trouver
une algébre de von Neumann A et un couple de morphismes w; = 4; A
tels que :i)wi(a).w. (a) =w.(a).
wi (a),

quels

que

soienta €A;;(ii) pour toute algébre de von Neumannphismes f; : A;— B vérifiant

B et tout couple de mor-

(1)

que

L(a).t(a) = t(a:).
1. (a),

il existe un morphisme

quels

unique

{:
A —B

tel

soientquea;€A,,

fow;={.

J

Cette algébre de von Neumann A sera notée 4, ® A.. Si on

se plagait
iw

dans la catégorie des algébres de von Neumann commutatives, A, Q A,
ne serait autre que la somme de A, et A, au sens des catégories; dans la»catégorie 2¢* on peut seulement dire que A,® A. est un représentant
du foncteur de 2v* dans la catégorie des ensembles, qui associe a toutealgébre de von Neumann B l'ensemble des couples de morphismes
vérifiant (1) (sur ce point, voir [9], p. 38).
Remarque8.1. —

Ondémontreraitcomme& la remarque

7.1

qu’il

y a correspondance bijective entre les projecteurs du centre de AQ
et lesclassesParmi

d’isomorphie

les objets

d’objets

normaux

denormaux

C4.

il y a

de

w

A.

€.

évidemment

l’application

canonique h: A, ® A.,—> 4A ® A; il existe donc un morphisme
n
c
de A,
A; sur A;® A, rendant commutatif le diagrammeunique

jo

AQ

J

«

A,

A, N

®

A,

|
h

il est surjectif et sera dit canonique.

NAR 4,eCommeh est injectif, il en est deméme de g, ce qui permet d’identifier A; A: a une sous-algébre de A,Q A.
.

On notera
par A, @ A,.

que

»

uw

A,®

A,

.

est

bY

l'algébre

de

&

von

Neumannengendrée

LEMME 8.2. — Si A, (ou A,) est un facteur discret, le morphisme
canonique défini ci-dessus est un isomorphisme.

54

A. GUICHARDET,
Il suffit pour le voir de construire un morphisme I: A®

A>

A® A,

In

tel que lo h = g; pour cela réalisons A,
A, dans un espace hilbertien H;
comme w;(A;) est un facteur discret, et comme w,(A,) est contenu dansson commutant, on peut écrire.
H

wa)

==

H,

®

H,,

= v(a)) Q1g,

pour

tout

a;€A,,

ws (a) = 147,Q v:(a.)

pour

tout

a,€ A,

olt v; est un morphismede A; dans £(H;);

d’aprés

la proposition 8.1

il existe un morphisme I de A,® A. dans £(Hy) ® £(H.) = £ (H:® H.)
tel que(h(a® a) = 01 (a) @ 1:(@) = g(a: ® a),c’est-a-dire

loh = g.

3. Produits
Pour

i =1,

tensoriels

de morphismes

2, soient A; et B; desnormaux.

algébresdevonNeumann

et uw; unmorphisme A;— B;; le couple de morphismes
Ww
th:

a€A

>

wa)

es,

€

BR

Bs,

In

fh:

meA:>ep@U(@:)eEBR B;

nos
.
PRN
définit un morphisme noté u,® u, de AQ
parJS
A, dans B;® B,

Ce
caractérisé

(1.8 1) (0: 2) =u (a) ® (a);inWwil est clair que Im (a, KX us) est la sous-algébre de von Neumann engendrée
Bi
par Imu,@ Imu,. Posons A =A,® A et u =u, ® Us.
Lemme 8.3. — Si u, et u, sont surjectifs, u I'est aussi et son noyau
est égal 4 la sous-algébre de von Neumann I de A engendrée par
Keru,®@ A, et AQ Keru..
La premiére assertion est triviale; ensuite il est clair que Ic Keruet que I est un idéal bilatére ultra-faiblement fermé; pour montrer
que I> Keru notons w le morphisme canonique A — A/I; pour a;€ A,,
w(a:@ a.) ne dépend que de u (a) et u.(a;), d’ou une application
bilinéaire v: B, x B,— A/I telle que
v(w,

(as),

Us (a)=

wa,

v définit une application linéaire v’ : Bi®
v' (wa)Raz);

By— AI,@ ux (a) = w(a:® a);telle que55

CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

»' est un morphisme d’algébres involutives (vérification immédiate)
et ses restrictions 2 B; et B, sont normales : en effet la restriction a Bi
(par exemple) s’obtient par passage au quotient a partir du morphisme
normal
GEA

+

wa

Req)

All;
33

donc v’ se prolonge en un morphisme (encore noté v') B® B.—A[I;la mémeles morphismes v' ou et w sont identiques puisqu’ils prennent
KerwcKeru.
=
I
donc
a.;
a;@
valeur pour tout élément
2
4. Etudeudu foncteur A,R"

fixée.)(A, algébre de von Neumann

Il s’agit du foncteur associant & toute algébre de von Neumann
Ww
I'algébre A, A et a tout morphismequi sera aussi noté u'.

Ai
u: A —> RB le morphisme I,&® u,

permute aux conoyaux deProposition 8.3. — Le foncteur A
couples.
leurSoient en effet u; et u, deux morphismes A—>B et v:B—C
conoyau; il s’agit de prouver(i) que v' est surjectif, ce qui résulte du lemme 8.3;
I(ii) que Kerv' est égal a Tl'idéal bilatére ultra-faiblement Ww ferméorde A,®B engendré par les éléments u(x) — u(x) (read);éléments
Kerp est Tidéal bilatére faiblement fermé engendré par lesdeu, (a) —us(a), ol a€A et (lemme 8.3) Kerv' est la sous-algébre.
Jud
facilealors
est
von Neumann de A,® B engendrée par A, Kerv; ilde voir que I=Kerv'.
.

plus
Proposition 8.4. — Le foncteur A," permute aux produits;ilNeumannvonded’algébres
précisément pour toute famille (Asie:
B
uw
tout
existe un isomorphisme de A, IIA; sur (a, A) transformantélément a,® (a;) en l'élément (a,@ a)définit
canonique p; :MA;,—~ A;
Pour tout jeI le morphisme.
BBmorphismeundoip;: AQUA ARQ A);
morphismeunBBw(a) ena,
prAR 4-14, A) qui transforme tout élément
canomorphisme
le
j€1,
tout
pour
part
Pélément (a, a;). D’autre
Ww
uw
.
est
ILA;;ilAQ
nique s; : A;— ILA; définit un morphisme sit Ac@ A>
3.3);
remarque(cf.
orthogonaux
deux
a
deux
facile de voir que les s; sont
Bw
B
AR ITA; tel que
ils définissent donc um morphisme s' 1A, A) >B*
A, A; danss'ol;=¢s; en notant {; le morphisme canonique de

56

A. GUICHARDET,

u(4,& A). Enfin pour montrer que p'os’ (resp. s' o p) est 'identité, il
suffit de vérifier que p'os’of;=1¢; (resp. que
op’ es; =s;) pour tout
Jj — ce qui est facile.
5. Platitude.
C.
hu
On va voir. que, en général,le foncteur 4,®), ne permute pas aux
noyaux et, plus précisément, ne transforme pas les morphismes injectifs
en morphismes injectifs.

ProposiTION 8.5. -— Pour une algébre de von Neumann A, les conditions suivantes sont équivalentes :
(i)
nique
(if)
injectif;pour toute algébre de von Neumann A
B¢
A,®A->A,@A
est un isomorphisme;
Ji

A,®"

transforme

tout

morphismele morphisme

injectif

en

un

cano-

morphisme

Ww(iii) A:®" transforme tout morphisme injectif de la forme
ou B est un facteur discret, en un morphisme injectif.
Démonsiration.
ucA®@A—>A,®A—

Notonsdéfinitjidans le foncteur A,,;und’abordquemorphismeleA —> B,morphismefonctorielducanoniqueBfoncteur AQ’(i) exprime que ce morphisme

fonctoriel est un
isomorphisme, et (i)= (ii) parce que A, Q transforme morphismes
injectifs en morphismes injectifs (prop. 8.1). L’implication (if) = (iit)est évidente; démontrons enfin que (iii)= (i) : toute algébre de von
Neumann A est une sous-algebre de von Neumann d'un facteur discret B,d’ou un diagramme commutatif :Boob

AQA—>AQRB

ARA—>AQB
u tant injectif par hypothése et » en vertu du lemme 8.2, w est injectif.
Définition. — Une algébre de von Neumann A, sera dite plate si ellevérifie les conditions équivalentes de la proposition précédente (terminologie empruntée a [1]); le lemme 8.2 montre donc que tout facteur
discret est plat.
Lemme 8.4. — Pour qu'une algébre de von Neumann
il faut et il suffit que chaque A; le soit.

IIA; soit plate,CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.
Soit en effet u: B—
commutatif

C un morphisme

injectif;

”

i

57

on a undiagramme

B

mA,®B 25MA,® C
w(4.88)

Bmac)

olt v, et v, sont les isomorphismes de la proposition 8.3 et w le morphisme
produitdes»morphismes

w;: A;@ B>A®

C.

Si

les

A;

sont

plates,w

les w; sont injectifs; il en est de méme de w (cf. § 3), et par suite de 1Q u;
réciproquement si ILA; est plate,suite chaque w;.

1

u est injectif, donc aussi w, et par

ProposITION 8.6. — Les algébres de von Neumann plates sont exactement les produits de facteurs discrets.
Tout d’abord une telle algebre est plate d’aprés le lemme 8.4. Inversement soit A une algébre de von Neumann plate et soit C son centre;
on peut décomposer C en un produit C, X GC», C, étant atomique et C.
sans atomes; A est alors décomposée en un produit A, X A,, olt A, est
un produit de facteurs B; et oi A. a un centre sans atomes; on va démontrer la proposition en prouvant successivement(i) que chaque B; est discret ou, ce qui revient au méme, qu'unfacteur continu B n’est pas plat; pour cela réalisons B dans un espacehilbertien H et notons B’ son commutant; B ® B' est un facteur ([2], p. 103)
"continu ([12], cor. de la prop. 3); d’autre part on a un objet normal
de la catégorie Cyzgy : uu: B® B'— £(H) défini par«(2 b® b)=% bbls
.

eed

*

op

\

i.

.

.

.

si B était plat, B® B’ serait isomorphe 4 B® B’ et il existerait un morphisme (normal) de B QB

sur 22(H) —ce qui n’est pas le cas;(ii) que A.=o ou, ce qui revient au méme, qu'une algébre devon Neumann A non nulle, dont le centre est sans atomes, n'est pas
plate. Ce centre C est isomorphe a une algébre L=(Z, v), out Z est un
espace localement compact et v une mesure positive diffuse sur Z; onvérifie aisément que C ® C est isomorphe 4 L=(Z XZ, v ® v); réalisons A
dans un espace hilbertien H, notons A’ son commutant et B I'algébre

58

A. GUICHARDET.

de von Neumann engendrée par A et A’; on a un objet normal
catégorie C gp , uu: AQ A" —B défini paru (2 &® i) =

de la

ad;

i

si A était plate il existerait un morphisme (normal) »: A QA ->Btransformant a ® a’ en aa’ quels que soient a€ A et a’ € A’; identifiant C
et C® C respectivement 4 L~(Z, v) et L*(ZX Z,v®v) on voit que »devrait transformer f@ g en fg quelles que soient fet geL=(Z, v); on
va achever la démonstration en prouvant que le morphisme »v de lasous-algebre L=(Z, v)QL~=(Z, v) de L*(Z XZ, v ® v) dans L*(Z, v) défini
par v(f® g) = fg n’est pas normal.
La diagonale D de Z x Z est v ® v — localement négligeable, puisque »est diffuse;
ZxZ—D
est réuniond'une
familled’ouverts
de laforme U,Xx V;; soient f; et g¢; les fonctions caractéristiques de U,; et v;;

la famille (fi® g:) a pour borne supérieure dans L*(ZxXZ,v®v) lafonction 1; mais v(f;® ¢;) est nul pour tout i; v n’est donc pas normal.
Remarque 8.2. — Une limite inductive d’algébres de von Neumann
plates n’est pas nécessairement plate; car dans le premier exemple dela remarque 7.2, les A; sont plates tandis que leur limite inductive
admet un quotient (4 savoir A) qui est un facteur continu.
6. Produits

tensoriels

ProrosiTiON 8.7, — AQ
le sont.

d'algébres

de

von

Neumanndiscrétes.

As est discréte si et seulement si A, et A,

Supposons d’abord AQ A, discréte; alors A® As, qui en est un
quotient, est discréte et A; et A, sont discrétes d’aprés [12], cor. de la,prop. 3. Supposons maintenant A, et A, discrétes; comme AQ A; est
I'algébre de von Neumann engendrée par les deux algébres de von Neumann discrétes et permutables A, Re, et ee, As, on est ramené adémontrer ceci : si A; et A, sont deux algébres de von Neumann dans
un espace hilbertien H, discrétes et permutables, I'algébre de von Neumann A engendrée par 4, et A, est discréte.
Ecrivons A = Ay,
Xx Ag, oi F, et F, sont des projecteurs du centre
de A, orthogonaux et de somme 1, Af, étant discréte et Ay continue(cf. [2], p. 121); comme F;€
Ain A}, 'algébre A, est engendrée par (A,)p,et (As)r, (cf. [2], p- 18) qui sont des algébres de von Neumann discréteset permutables; la proposition sera démontrée si I’on prouve que F,= o,et finalement si 'on prouve ce qui suit : A, et A, sont deux algébres
de vonNeumanndans un espace hilbertien H,

discrétes et permutables,

CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

59

Palgebre de von Neumann A engendrée par A, et A, n’est pas continue,
i.e. contient un projecteur abélien non nul ([2], p. 123).
Soit donc E; un projecteur abélien de A;, de support central 1; montrons
d’abord que E, FE, o; dans le cas contraire on aurait E, <1—E,€A’;
pour T€A, et x€E,(H) on aurait Tee H —E,(H)= H, ce qui est
absurde puisque les Tx engendrent H. Montrons maintenant que E = E, E;
est un projecteur abélien de A; A est engendrée par les opérateurs S;.S;(S;€A), donc ([2], p. 18) Ag est engendrée par les opérateurs (S,S:)eet 'on est ramené a vérifier que si S; et T;€A,, les opérateurs (S:S:)set (T,T,)x sont permutables — ce qui ne présente pas de difficulté.

7. Remarques

diverses.

Remarque 8.3. — Si A est un facteur continu dans un espace hilbertienet A’ son commutant,

A & A’ n'est ni un facteur, ni continue, ni de typefini; en effet elle admet un quotient isomorphe a A ® A’ qui est un facteurcontinu et, d’aprés la démonstration de la propriété 8.6 (i), un autre
quotient qui est un facteur de type I .
Remarque

8.4. —(Propriétésde dénombrabilité).

Si A,
hg

ultra-faiblement séparables, il en est de méme

et A,

sont
.

de A;® A; car si (a;,n)

est une suite ultra-faiblement dense dans A;, la suite formée des sommes
finies d’éléments a. a., est ultra-faiblement dense dans A: ® A,et celle-ci est ultra-faiblement

dense

dans

Ww

A;& A..
Ww

Par contre, A, et A, peuvent étre de genre dénombrable sans que A; @ A.
le soit; prenons en effet A,= A,=
L~(R); pour tout a réel on a unereprésentation wr, de A,
A. dont les restrictions 4 A, et A,sontnormales,
dans L*(R) : 7,(2f;® g:) est Popérateur de multiplication par la fonction z+ 2 fi(x).g:(x—a); on va montrer que les représentations 7,
sont deux a deux disjointes, ce qui entrainera que les projecteurs
Wwcentraux correspondants de A;® A. sont deux a deux orthogonaux(cf. remarque 8.1).
Soient donc a;%b; un sous-espace stable par Imm, (resp. Imm)
est nécessairement de la forme H = L*(E) [resp. K = L*(F)] avec E
et F c R; supposons (7,) yz équivalente a (m;)x; comme on a 7, ((7r& 1))y=1
on doit avoir (7; (3r®1))x=1, ce qui entraine FC E; de la méme facon
E=F; soit alors U un isomorphisme d’entrelacement
EcF, dotpour (7) et (ms)x; on aU.n.(f®1) =m (f®1).U

pour toute fe

L=(R),

60

A. GUICHARDET.

donc U est I'opérateur de multiplication par une fonction k demodule 1;
alors pour toute ge L=(R) on ah(r).g(x—a) = h(z).g(x—"b)pour toutzekE,
ce qui n’est possible que si E est négligeable, dott H = K =o.
Remarque 8.5. — Dans la catégorie €, le produit tensoriel 4,®
A,
est le plus petit au sens suivant : pour tout morphisme A,®
A,— B
injectif et 4 image dense, il existe un morphisme surjectif B+>AQ® A,
rendant commutatif le diagramme :B

aad NA,y,@ 4,(ceci parce que la norme || ||, sur A,® A. estla plus petite norme
compatible; cf. [13]). Dans la catégorie 2* il n’y a rien de semblable; carreprenons les algebres B et B’ de la démonstration de la proposi
tion 8.6 (i)et les objets normaux u: B® B'— £H) et v: BRB>BRER; lesmorphismes u et » sont injectifs (pour » voir début du paragra
phe 8;
pour u cela résulte de [8], th. III); mais £(H) et BRE n’ont
aucun
quotient commun.
§9.

Algébrede von Neumann enveloppante d'une C*-algébre.
La définition en a été donnée a la fin du paragraphe 4.
Soient A et B deux C’-algébres, u: A ->R un morphisme (dans¢*%,Q et @ les algébres de von Neumann enveloppantes, a et 3 lesmorphismes
canoniques A > @ et B— ®; il existe un morphisme (normal) uniquev:A—>0a tel que voa=PSou; autrement dit on a défini un foncteur« algébre de von Neumann enveloppante », que nous noterons
F, de ¢*
dans 2"; il est facile de voir que F est adjoint 4 gauche dufoncteur G
qui associe 4 toute algébre de von Neumann la C*-algébre sous-ja
cente
et 4 tout morphisme normal le méme morphisme considé
ré comme
morphisme dans ¢*; ceci signifie que pour toute C-*algébre A
et toute
algebre de von Neumann @ il existe une correspondance
bijective
entre Hom. (F(A), 3) et Hom.(4, G(®)), et que cette corres
pondanceest « naturelle » en ce sens que si I’on a un morphisme (dans WW")@—¢,le diagramme ci-dessous est commutatif
Homo(F(A), 3B)

Hom, .(A, G(®))(F(4), €)— Home (4, G(¢))

y
Hom.o«

v

résultat analogue si 'on a un morphisme (dans ¢*) A »B. Le foncteu
r F
est donc fort a droite, et en particulier permute aux sommes, aux
conoyaux de couples et aux limites inductives de systémes
inductifs.

CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

61

Remarque 9.1. — 11 est clair qu’avec les notations du début du paragraphe, Imv est I'algébre de von Neumann engendrée par B(Imu);
on voit en particulier que F transforme les morphismes surjectifs enmorphismes surjectifs.
Remarque 9.2. — Soient u: A — B un morphisme (dans ¢*) surjectif.
i: C—A son noyau; alors F (i) est injectif et on a Im
F (i) = Ker
F (u),
En effet notons &, 3, C les algébres de von Neumann enveloppantes
de A, B, C; «, 3, y les morphismes canoniques; j= F(i), v =F(u).
D’aprés [3], 2.10.4, il existe un morphisme ¢: A —¢C tel que foi =7y;
puis il existe k: &— ¢ tel que koa =1{; alors
kojoy=koaoi=1toi=1r,d’ou
koj=1,et j est injectif. Montrons maintenant que Imj= Kerpv; Imj est la
sous-algébre de von Neumann de @ engendrée par a (Keru); soit s lemorphisme canonique &— @/Imj; comme soa est nul sur Keruy, il
existe r: B— @/Imj tel que rou = soa; puis il existe gq: B— a/Imj
tel que go 3 =r; on a alors
govoa=goBou=rou=soa,
q

ol)

=

S,

Kerv cKers = Imj;d’autreparinclusion

ImjcKeryest évidente.

On ignore si F transforme tous les morphismes injectifs en morphismes
injectifs.
Remarque 9.3. — Le foncteur F ne permute pas aux produits; plus
précisémentsoit(A)).e; unefamilledeC*-algébres
etsoiento;: A7—F(A;) les morphismes
canoniques;les morphismes
canoniques IIA; —~A;, composés avec les a; définissent un morphisme
HA, —~1IF(A)), dou un morphisme (normal) u: FIA)F(A)tel que le diagramme suivant soit commutatif pour tout j :

JR
A;

«

TAS F(A)gd

F(A;))< IIF(4)u est trivialement surjectif, mais non injectif en général : si I'on prend
par exemple A;= Con a F(A;) = G mais « n'est pas un isomorphisme.
ProposiTION 9.1. — Le foncteur F permute aux produits tensoriels ®
et &:plus précisément

si A, et A, sontdeuxC'-algébres il existe un

62

A. GUICHARDET.

isomorphismedeF (a 1 Q 4)

sur F(A) ® F(A.)

sur 4, ® A.. [on rappelle que tout morphisme
C*-algébre B vérifiantl2(@®a)||<|lai]l . |la.||induisantl'identité

u de A,® A. dans une

pour tous a;€ A,

se prolonge en un morphisme de 4, ® A, dans Bj; et par ailleurs quesi B
algébreest uneNeumann,de vons’écrireu peutua:Q a) = u, (a).ux (a2),ou u, et u. sont deux morphismes de A, et A, dans B vérifiantui (a).us (ds) = ua (as). us(a;)

tous aA;pourof. 17).]
Soient

nm: A>FA),n: AQA>A®A,

a: A®A—F4,@A)
bv: F(A)® F(A) FA) F(A)morphismes

canoniques;d’aprés

lail existe a: AQ

A.—> FA)F(A,)

tel quelesexisteun’ Drapesmorphismelanormaldeuxiéme

w; : A—~F(a, ® A)

remarqueci-dessus

ci-dessus

aocu=wvo(a;® 2.); puis il

b: F (a 1 ® 4) F(A)remarquetels

premiére

il existe& F(A.)
destel quemorphismesquea(u(a:Q a:)) = w(a,).w: (a) = ws (a) w, (a1)poura €A;;

d’ol des morphismes normaux ¢; : F(4;) > Fa 1 ® 4) tels que to a; = w;;
il est immédiat que
L(x). fa (x2) = t. (22).4, (20)
d’ol

un

morphismenormalbodove(a;d’oux;€F(A)d: F(A)& F(A.) SF(4,Q A.)d(x Q xs) = 1 (x,) 1a (x)si 'on pose c=dov
On a alors

pour

pour

on a donc cox; ®@ a) = aou.

Qa) =boco(t@) =boaoll =aou =1vo(xQa),

bod = identité;

enfin

doboaou=doaocu=dovo(a;Qx) =cCo(;Qd’outel quex,€ F(A);dob = identité,

az) =

ou,

CATEGORIE DES ALGEBRES DE VON NEUMANN.

63

COROLLAIRE. — L’algébre de von Neumann du produit direct de deuxgroupes localement compacts G; et G, est canoniquement isomorphe.

a\au produit tensoriel ® des algébres de von Neumann de G; et G..
En effet la C*-algébre de G,Xx G, est canoniquement isomorphe auv

produit tensoriel @ des C*-algébres de G, et G- (cf. [7], th. 3).
[Précisons qu'on entend par algébre de von Neumann d’un groupe G
I'algébre de von Neumann enveloppante de la C*-algébre de G; cettealgébre de von Neumann est étudiée dans [4] et [5] sous le nom de « biggroup algebra »; notons a ce propos que I’application qui a tout groupe
localement compact associe son algébre de von Neumann, peut, de faconévidente,étre

considérée

comme

un

foncteur

L

et

que

L

transforme

morphismes surjectifs en morphismes surjectifs; ceci permet de retrouver
la correspondance étudiée dans [5] entre sous-groupes fermés distinguésde G et projecteurs centraux de L(G). On ignore si L est un foncteur
adjoint. ]Remarque 9.4. —
riels

x

Le foncteur F ne permute pas aux produits tenso-c® et @; plus précisément soient A, et A, deux

C*-algebres; sil’oncréalise FF (A;) dans un espace hilbertien H; et F(A.) @ F(A.) dans H, ® H,,
AR

A. se trouve réalisée dans H,® H,; en d’autres termes il existe un

morphisme

AR

A>

F(A)

® F(A.)

induisantl'identitéx

sur A, ® A,;c-d’olt un morphisme normal u: Fla.® A.) > F(A)RF (Ay) induisantI'identité sur A, ® A.; u est surjectif, mais non injectif en général; carsi on prend par exemple A, = A, commutative a spectre connexe on aF(4,®4.) = F(4.@A.) = F(A) § F(4:) 4 F(A) @ F (AL).
x

Vv

®

c

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