駒場現代物理学(2020)第12回講義ノート
1

前回の復習

1.1

古典二次元から量子一次元への変換

古典二次元イジング模型を量子一次元イジング模型
XXX
H=Jσy(j) σy(j+1) + Kσz(j)jj(1.1)jに変換した。 但し j = 1, . . . , N . 前回は J, K のことを J, K と書いたが、今回は前回のJ, K は使わないので、下線は省くことにする。

1.2

フェルミオン演算子での書き直し

次にエルミート演算子 ψ1 , ψ2 , . . . ψ2N でψa ψb = −ψb ψa

ψa ψa = 1,(a 6= b)(1.2)

を満たすものを以下のようにつくった:ψ1 = σy(1)ψ2 = σx(1)ψ3 = σz(1) σy(2)ψ4 = σz(1) σx(2)..
.

(1.3)

ψ2k−1 = σz(1) σz(2) · · · σz(k−1) σy(k)ψ2k = σz(1) σz(2) · · · σz(k−1) σx(k)..
.
するとiψ2k−1 ψ2k = σz(k) ,iψ2k ψ2k+1 = σy(k) σy(k+1)(1.4)

なので量子一次元イジング模型はH = +KXiψ2k−1 ψ2k + Jk

Xiψ2k ψ2k+1(1.5)

kと書き直せた。

1.3

フェルミオン演算子で二次なら解ける

一般に実反対称行列 Mst に対してH(M ) =iX
i ~T ~
Mst ψs ψt = ψMψ
2 s,t21(1.6)

というハミルトニアンは解けるのだった。というのは、 2N × 2N の実回転行列 U に対し
ψs0 =X

Usa ψa(1.7)

aと定めると ψs0 たちは ψa たちと同様の交換関係をみたす。すると
i ~T T~ = iψ
~ 0T M ψ~0H(U T M U ) = ψU MUψ
22(1.8)なので、H(U T M U ) と H(M ) は同じ固有値をもつ。そのため、U をうまくとって U T M Uをなるべく簡単にすればよかった。
さて、勝手な実反対称行列 M は適切な回転行列 U をもちいて


0+m1

0−m1

0+m2
−m20T
 =: M̃U MU = (1.9)
0+m

3
.. .−m30..
..
.
.と取れる。ここで、±mk は iM の固有値である。すると、H(M̃ ) = iNX

mk ψ2k−1 ψ2k =k=1X

mk σz(k)(1.10)kであるからこの固有値は±m1 ± m2 ± m3 · · · ± mN

(1.11)の 2N 個で与えられる。

1.4

フェルミオン演算子で二次なので解く

さて (1.5) は M が


..

..

.
 .
.
 ..
0K


−K 0
−JM =



J0−KK
0−JJ0−KK0..
.


.. .
..
.

(1.12)という形になっている場合で、これは固有ベクトルを~v T = (. . . , ae−i` , be−i` , a, b, , aei` , bei` , ae2i` , be2i` , . . .)2(1.13)

という形を仮定してみる。 ただし ` は eiN ` = 1 となるような ` = 2πs
N の s = 1, . . . , N をとる。すると
iM~v = (ã, b̃, ãei` , b̃ei` , . . .)T(1.14)
でãb̃

!
=

0K − Je−i`+i`−K + Je0!

!
ab(1.15)となるので、上の 2 × 2 行列の固有値±ms = ±|K − Je−i` |(1.16)

は iM の固有値になる。これを (1.11) にいれればもとの H がもとまる、という筋道だった。

フェルミオンとボゾンについて

2まずはハミルトニアン (1.6) について標準的な物理での解釈をのべておく。 iM の固有値を ±ms (s = 1, . . . , N )と書くと H(M ) の固有値は (1.11) だった。 量子力学ではハミルトニアンの固有値をエネルギーと同定する。 エネルギーは低いもののほうが実現しやすい。
そこで、 一番エネルギーの低いものを基底状態 (ground state) や真空 (vacuum) とよび、Pそこからのエネルギーを考えることが多い。 今は基底状態のエネルギーは E0 = − msで、H − E0 の固有値は{NX
2m1
2m22mN}+{} + ··· + {}=cs (2ms )000
s=1(2.1)

X} は X か 0 かどちらかを選ぶという意味として、 cs は 0, 10のどちらかである。 それぞれの s について、cs = 0 を選んだ場合を「状態 s のモノが無い」、 cs = 1 を選んだ場合を「状態 s のモノが(1個)有る」、と解釈し、 2(2ms ) という状態が選べないので「状態 s にはモノは二つ以上は入らない」という。こういうモノをフェルミオン1 といい、二つ以上入らないことをパウリの排他律という。
別の量子系で、エネルギー固有値がの 2N 個である。 但し {..
..
..
.
.
.
N
3eN
3e1
3e2
X
cs as
{ 2e1 } + { 2e2 } + · · · + { 2eN } =s=1eN
e1e2000(2.2)というふうに、各 s について状態 s には勝手な整数 cs ≥ 0 を選べるものもある。これは「各状態 s に cs 個モノが入っている」と解釈し、このようなモノをボゾン2 という。 普通の量子力学の講義ではボゾンのほうが先に出てくるが、 N = 1 でも固有値が無限個あるので、状態空間がかならず無限次元になってしまって難しいので今回はフェルミオンしかやらなかった。
12

https://en.wikipedia.org/wiki/Enrico Fermi の寄与を記念した用語。 -on は粒子を意味する接尾辞。
https://en.wikipedia.org/wiki/Satyendra Nath Bose の寄与を記念した名前。

3フェルミオンの交換関係は (1.2) だった。これは{ψa , ψb } := ψa ψb + ψb ψa = 2δab(2.3)と書けた。ただし δab は a = b のとき 1 で a 6= b のとき 0 と定めた Kronecker のデルタ。
ボゾンはこれと良く似ているが、(エルミートでない) φa で
[φa , φ†b ] := φa φ†b − φ†b φa = 2δab(2.4)

から出発して得られる。この式はほとんど正準交換関係そのものである。
特殊相対性理論と量子力学をあわせると、「360◦ まわしてはじめてもとに戻るものはボゾンである。 720◦ まわしてはじめてもとに戻るものはフェルミオンである。」という重要な事実が従う。これをスピン統計性定理という。

3Gapless 系と gapped 系

一次元量子イジング模型の H − E0 の固有値 (2.1) についてもう少し考える。 ms は (2.1)
で与えられた。もうすこしあからさまに書くとr`sms = (J − K)2 + JK(2 sin )2 ≥ |J − K|
(3.1)
2である。ただし `s = 2πs/N。参考の為r`2 + (2 sin )22(3.2)

を  = 0, 0.1, 0.2, . . . , 1 で図示すると
2.0

1.5(3.3)

1.00.5-3-21-123となる。横軸は −π < ` < π.
J = K がイジング模型の転移点だったが、何が起こるか? J 6= K であれば、 H − E0の最低固有値は勿論 0 であるが、H − E0 のその次に小さい固有値は 2|J − K| であってN によらない非ゼロの値である。こういう系をギャップがある系、gapped だという。
J = K であれば、2ms = 2J| sin 2πs/N | であって、サイト数 N がとても多いとするとs を 1 とか 100 に選べば 2ms ∼ 2J2πs/N であって、非常に小さい値である。 これより、
H − E0 にはゼロに非常に近い固有値がとても沢山あることがわかる。こういう系をギャップが無い系、gapless だという。

4

ごく最近の進展へのコメント

4

一次元量子イジング模型をすこし拡張してXXXXH=Jσy(j) σy(j+1) + Kσz(j) + K 0σy(j)jjj(4.1)

jとした模型はごく最近も実験の論文がでていた3。 これはフェルミオンでは簡単には書き直せなくなる。そのため固有値は (2.1) のような簡単な形では書けなくなる。
それでも、いろいろ興味深い理論があって、J = K のときにサイト数 N を大きくする極限で H はギャップのある系で、 H − E0 の固有値の下のほうの比が計算できる。
いま、n 点を一本線で結んだグラフ Γ の各頂点 v に数 c を書き、これを n 次元線形空間と思う。線形写像 MΓ をX
MΓ : (cv ) 7→ (dv ),dv = 2cv −cw(4.2)
w は v とつながっているを考える。例えば n 点が横一列に並んでいるとc1 − c2 − c3 − · · · − cN(4.3)(2c1 − c2 ) − (2c2 − c1 − c3 ) − (2c3 − c2 − c4 ) − · · · − (2cN − cN −1 )(4.4)

に対してとなる。これの最小固有値は 2(1 − cos π/(N + 1)) で固有ベクトルは
sinπ·2π·N
π·1− sin− · · · − sin
N +1
N +1
N +1(4.5)である。固有ベクトルであることの確認は結局の所
sinπ(k − 1)π(k + 1)πkπ+ sin= 2 sin
cos
N +1
N +1
N +1
N +1(4.6)という三角関数の和公式から従う。
いまグラフとして E8 とよばれるものを取る:(4.7)

これに対して線形写像 (4.3) の最小固有値は 2(1 − cos π/30) で、固有ベクトルは

(4.8)

3

arXiv:2005.13302, arXiv:2005.13772, arXiv:2006.12956 が最近の実験の論文。

5

である。下から順に m1 < m2 < m3 < · · · < m8 と書くと、 H − E0 の(波数 0 に制限した上で、 一粒子状態に制限したところの)非ゼロ固有値の下から八つが mi に比例する、 というのが理論的結果である。 4E8 という名前をもうすこしだけ説明しておく。 MΓ は一般のグラフ Γ について考えられる。 (4.4), (4.5) に対応する M の固有値は 2(1 − cos sπ/(N + 1)) , s = 1, . . . , N で全部正である。
MΓ の固有値が全部正であるようなグラフは分類されていて以下で尽きる:(4.9)

下付き添え字は頂点の数で、An と Dn の n はいくらでも大きくとれるが En の添え字はn = 6, 7, 8 で終わりである。 (同様にグラフ E9 , E10 等を定義できるが、E9 でゼロ固有値が出て、E10 以降は負固有値が出る。)
このように An≥1 , Dn≥4 , E6,7,8 で分類される数理的現象は他にも沢山あって、ADE 分類として知られている。正多面体の分類も一例であってE6 ↔ 正四面体
E7 ↔ 正八面体, 立方体(4.10)

E8 ↔ 正二十面体, 正十二面体となる。(A2n−1 は平面内に書けてしまう正 n 角形に、 Dn は正 n − 2 角形を裏表張合わせた正二面体というものに対応する。) 単純リー代数の分類にも出てくる。

最近ようやく E8 からくる八種の励起が全部見えたそうである。 E8 とどう関係があるかという数理的な話についてははじめての実験的測定 arXiv:1103.3694 のあとに数学者向けに書かれた arXiv:1012.5407 が理論
物理屋にもわかりやすくまとまっていると思う。
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