フジタ技術研究報告第 45 号 2009 年

超高層 RC 構造物の 3 次元柱クリープ解析
クリープ係数を用いた FEM 解析と簡易モデル評価比較

中 山 昌 尚概要

超高層 RC 住宅の建設に際して、高強度コンクリートが使用されることが多い。 低層階の柱に作用する長期応力度が大きくなるため、建物の長期にわたる健全性を確保するためには、柱のクリープ変形の検討が必要になっている。 本報では、クリープ係数法と、3 次元 FEM 解析手法の組み合わせでこの問題を数値的に扱い、５９階建コンクリート構造物のクリープ性状を示した。更に、FEM 数値解の見通しをよくするために、バイリニア型の荷重歴をうける簡易な１本柱モデルによる定式化も行ない、FEM 解とほぼ同等な結果が得られることを示した。簡易法により、問題に含まれるパラメーターの影響を検討した。今後、ここで示した解析手法による結果の妥当性を検討するためには、実測データの収集が必要である。

A Three-Dimensional Column Creep Analysis of Super High-rise Reinforced ConcreteStructures--- Comparison of FEM Analysis Using Creep Coefficient Method and Simple
Estimation based on a Single column ---Abstract

In high-rise Reinforced concrete structures, axial forces on lower storey columns tend to behigh, creep phenomena in columns may present problems in securing long term structural health.
In this paper, this column creep phenomena is numerically analyzed by a combination of the creep
coefficient method and FEM (Finite Element Method) using ordinary beam elements and plateelements. A numerical example of 59-storey reinforced concrete structure is presented. In order toget a good perspective on the above-mentioned numerical solution, we also present a simple
estimation method based on single column model with a bi-linear-type loading time history. The
accuracy of this simple estimation method is also presented, and compared with the FEM solution.
Through this simple method, effects of parameters involved in this problem are discussed.
Verification based through field measurements of column creep phenomena is needed for the purposeof verifying validity of prediction by numerical analysis presented here.

キーワード：

クリープ 柱 高強度コンクリート
超高層 クリープ係数 数値解析－43－フジタ技術研究報告 第 45 号

§１．はじめにプ係数増分により剛性が低下した系、低下しない系を想定して、時間区間内での塑性変形増分(塑性は回復しな

超高層 RC 住宅の建設に際して、高強度コンクリートがいという意味)、弾性変形増分を確定する。それらに応じ使用され、下層階の柱に作用する長期応力度が大きくなて、歪、部材力等の区間増分(塑性、弾性)が定まる。実現

るため、建物の長期にわたる健全性を確保するためには、ないし観測されるのは、総量(塑性増分、弾性増分の累積

柱のクリープ変形の検討が必要になって来ている。高強の和)である。
より具体的には、考えている時間区間で存在する部

度コンクリートのクリープ性状の表現については、実験、実測により調査研究が行われて来ている 1)2)｡ 現象として材の集合体について次の釣り合い方程式を解く。

は、柱にクリープ現象が発生することにより、柱軸力の再配分、それに伴い、大梁のせん断力変化が考えられてい[K (Δφ )]Δu = bる。構造的な問題としての扱いとしては、1 本の柱を取りｂ：荷重ベクトル Δu：増分変位出し時間変化する荷重に対する効果を漸化式的に解くこ[K(Δφ)](1)

全体剛性マトリックス Δφは各部材のとが通常行われている。しかし荷重の再配分機構は複雑考えている時間区間でのクリープ係数増分の関数であるであり、骨組全体を扱い、施工過程をある程度反映させことを意味する。Δφ=0 時は弾性剛性を意味する。各区た解析手段が必要である。骨組のクリープ問題の FEM間で次表の 3 ケースの変位増分解を求める。

手法による扱いについては、クリープ係数法を平面骨組

表 1 各時間区間で求める変位増分解に適用した例 3)4)がある。本報ではその手法を立体問題ケースに拡張して 59 階建ての超 RC 構造物に適用し、既報 5)

軸剛性への方程式の荷変位増分解

Δφ重項 bの名称よりも詳しく解析結果の数値例を示す。§4 では、FEMaΔφ=０ΔfΔua

解に比べて比較的見通しの良い方法として、荷重増加過bΔφ≠0f0+Δf (=f1)Δub

程を単純化したモデルに基づいた簡易モデルによる評価

c

Δφ=０f0+Δf (=f1)Δuc

方法を示す。この簡易評価で概ね FEM 解と整合的な結f1：今の区間での荷重 f0：前の区間での荷重果が得られることを示し、問題に含まれるパラメーター影

Δf： 前の Step からの荷重増分=f1- f0

響が把握できることを示す。

この変位増分解を用いて次のようにこの区間までの総（累積）変位を算定する。

§２． 解析方法

弾性変位u e1 = u e 0 + Δu a2.1 概要

塑性変位u p 1 = u p 0 + Δ u b − Δ u c (3)(.2)

通常の 2 節点 Beam 要素、4 節点板要素(壁が対象)
総変位を用いた立体骨組として扱う。クリープ効果は、クリープ係数として現象論的に扱い、Δφをクリープ係数増分として、見かけのヤング率が 1/(1+Δφ)倍になるものと考える。こu t1 = u e1 + u p1 = u t 0 + Δu a + Δu b − Δu c (4)全く同様に、増分変位解 Δu a 、 Δu b 、 Δu c に対して

こでは、クリープ歪が柱部材にのみに生じるとする。文献

各々定まる増分部材力から、部材力（弾性変形、塑性変3)4)では軸剛性のみに剛性低下が起きるとしたが、本報では、曲げ剛性にも影響するとしている。梁は弾性とし、梁形による部材力の和）が定められる。最初の区間では、に取り付くスラブの影響については、その有効幅に応じて、

ue 0 u p 0 ut 0

梁の曲剛性増大効果：φb を持つものとして考慮する。

は 0 である。

§３． 解析対象と解析結果部材が組みあがってゆく施工過程の表現については、柱梁、壁部材の架構への導入日、スラブ打設日を指定し、3.1 解析対象モデル

ある時間区間で存在している架構を区間ごとに確定させ平面 54mx36m(X,Y 方向スパン 6m) 59 階(階高る。考慮する荷重は、自重+積載 のみとし、等価節点荷3.3m)の超高層 RC 建物(図 1、図 2)を想定する。柱断面重として扱う。

は 90cmx90cm、梁は 70cmx70cm とし、ならしの重量は2378.Tonf/階を想定した。梁の曲げ剛性増大係数φb は2.2 各時間区間での釣合い式と変形の累積外周で 1.5、その他で 2.0 とした。骨組の構築速度は 7 日

ある時間区間で、架構および荷重が確定する。考えて/階を想定した。時間原点は 1 階梁、スラブが設置されたいる時間区間で存在する部材の集合体について、クリー－44－超高層 RC 構造物の 3 次元柱クリープ解析

クリープ係数を用いた FEM 解析と簡易モデル評価比較日とした。このスケジュールでは、上棟は、413 日目となる。
上棟までは 1 日単位、それ以降は 30 日間隔で約 10 年

表１ 部材の諸定数間分を計算した。
階1～1011～2021～3031～40４1～5051～59なお、柱のクリープ係数φ(t)の時間変化は代表的関数形として文献 6)より修正 CEB 式を採用している。

φ (t ) = φ ∞ (t − ts)αc
β H + t − ts(5)2FC N/mm

969816663
459367367

柱
φ∞0.91
1.05
1.25
1.70
2.05
2.05

梁
E Tonf/cm

391369344304283283

2

階
1～1011～2021～3031～40
４1～5051～RFFC Kgf/cm22E Tonf/cm612561510459367367344325315304283283

断面は全層で柱 90cmx90cm 梁 70cmx70cm

φ∞は収束クリープ係数値、t は時間、ts はクリープの開1.2

H=1500 日とした。 表１でφ∞の値は、コンクリート強1度：Fc の他に、相対湿度影響：φRH、クリープ開始時の材0.8φ(t)/φ∞始日(部材設置日とみなす)である。なお、α=0.3、β

齢影響β(t0)が関係することになっているが、ここではφRH(h)=1.504、β(t0)=β(28 日)=0.4884 と固定して Fcのみの関数として設定している。この条件は、相対湿度0.6

φ(t)/φ∞βH=15000.4

α=0.30.250%、プレキャスト部材想定に対応するものである。表１0に諸定数をまとめて示す。

01000

2000

30004000t日5000Y7図 3 想定したクリープ係数の時間変化((5)式)Y6Y5Y4313.2 解析結果

35

図 4 から 10 に解析結果例を示す。図 4 は 1 階柱軸力Y3の時間変化を示したもので上棟以降軸力が頭打ちになっY2Y1ている状況を示している。 図 5 は、1 階柱軸歪の時間変１x1x2x3x45x5x6x7x8X9化を示している。図 4 で軸力が一定になってからも、柱軸X10歪が漸増する典型的な傾向を示している。ここでの解析

図 1 平面図

結果では、1 階柱の最大軸歪で約 900μ程度(内弾性歪番号は後で引用する層内柱 No を意味する。

は 650μ程度)になっている。
図 6 は、クリープを考慮した約 10 年後の 1 階柱軸力を弾性解析結果（完成骨組に荷重が一気に作用）、名目上の柱荷重から算定される軸力と比較したものを示す。ここで、名目上の柱荷重とは、骨組の再配分効果を考慮することなく、各階の柱の鉛直荷重分担分を下から上まで単純に加算したものを言う。この図から明らかに、名目上の柱荷重に対してはズレが大きいこと、存在軸力のクリープ解析結果は弾性解析結果と概ね近いことがわかる。
図 7 は、柱軸歪について、図 6 と同様の比較を行なったものである。クリープを考慮した歪は弾性歪よりも大きく、クリープ現象により、柱部材内の鉄筋、コンクリートの応力再配分が発生することになる。
図 8 は、約 10 年後の柱軸歪の高さ方向の分布を示した。コンクリートのヤング係数 Fc が高さ方向に変わるため、稲妻状の分布を示している。図９、図 10 は 2 階梁の曲げ図２ 対象建物骨組図

モーメント、せん断力分布例を示した。弾性解による結果－45－

フジタ技術研究報告 第 45 号も示している。クリープ現象の発生により、弾性解に比べ柱No1柱No5柱No31柱No3570て、側柱側で増大している。量的には、地震荷重時のそ60れに比べると、曲げモーメント、せん断力の大きさは小さ50階いと言える。

4030202500

10

1階柱軸力 tonf

2000001500
1000500200400600800

1000

柱軸歪 μ1階柱No11階柱No51階柱No311階柱No35

図 8 約 10 年後の柱軸歪の高さ方向分布

040001000

2000

3000

4000

5000

300

日

弾性解2階梁 X5通り
クリープ解析2階梁 X5通り

200100Myy Tonf･cm

図４ 1 階柱軸力の時間変化
900

0-100800-200700-300

εμ600-400

500

1柱Ｎｏ１2345400

67

通り番号 Y1-Y7

柱Ｎｏ5300

図９ 約 10 年後の 2 階梁曲げモーメント

20010000500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1

弾性解2階X5通りCreep解析2階X5通り

日0.5Tonf

図 5 1 階柱軸歪の典型的な時間変化例
2500-0.5

柱軸力 Tonf

2000-111500
100050001234

クリープ解析Y1通り
クリープ解析Y3通り
柱名目軸力Y1通り
柱名目軸力Y3通り
弾性解析Y1通り
弾性解析Y3通り
567234567

通り番号 Y1-Y7

図 1089
通り番号

約 10 年後の 2 階梁せん断力§４．簡易モデル10

図 6 1 階柱の軸力分布例(約 10 年後)

柱歪μ0

1 本柱に作用する軸力が段階的に増加し一定になる

1200

状況を考える。荷重変化は連続関数とみなせば、クリー1000

プ係数法の前提では、柱の任意時点での総歪(弾性+クリ800ープ歪)が、EA を弾性軸剛性として次の(6)式の様に書け

600
40020001234

クリープ解析Y1通りクリープ解析Y3通り
名目弾性歪Y1通り
名目弾性歪Y5通り
弾性解析Y1通り
567
弾性解析Y3通りる。φ(t)は時刻 t でのクリープ係数、Δt は時間間隔である。

89ε (t ) =

10

通り番号

P(t ) t Pj
(φ (t j ) − φ (t j −1 ))
+∑EA
EA ∞
jP(t ) t Pj (φ (t j ) − φ (t j −1 ))=+∑ΔtEA
EAΔtj

図 7 1 階柱の軸歪分布例(約 10 年後)(6)

ここでΔt を小さくすると上式は積分形で書ける。

－46－

超高層 RC 構造物の 3 次元柱クリープ解析

P (t )P (t ) dφ (τ )ε (t ) =+∫dτ
EA 0 EA dτ

クリープ係数を用いた FEM 解析と簡易モデル評価比較

図 17、18 では本例題建物(59 階)の 1 階柱について、立ち上がり速さ(日/層)、βH､柱コンクリート強度：
Fc の、約 10 年後の ε t ( t ) / ε e に与える影響を簡易解で調べて図示した。各々の影響度合いが簡単に検討できる。

t(7)荷重増加パターンを図 11 右のようにモデル化して、上式に部分積分を施せば、 結局、総歪として次式を得る。

ε e は全荷重がかかった時の弾性歪である。

P(t)ただし t<T0

一定

P(t)
Pall

Palltt~ε t (t ) / ε e = + φ ∞ (φ (t ) − ψ (t ))T0 T0ｔｔ(8)

図 11T00T0

荷重過程の理想化 左：現実 右：理想化~ε t (t ) / ε e = 1 + φ∞ (φ (t ) − ψ (T0 ))Ψ(t)：Φ(τ)/φ∞ の［0、t］での平均値 CEBモデル
1

ただし ψ (t ) ≡t~∫ φ (τ )dτ / t(9)Ψ(t)

ただし t>T0(10)βH=100βH=250βH=500βH=1000
βH=15000~

φ (t ) = φ (t ) / ϕ ∞0.1(11)

1

10

100

1000

10000tである。

日

図 12 ψ(t)（(10)式）の様子

φ(t)の表現として、(1)式のような修正 CEB モデル式を想定すれば、 ε t (t ) / ε e は具体的に計算できる。Ψ(t)はCEBモデル

Φ(t)/φ∞1“荷重が漸増する際の有効ないしは平均的なクリープ係
Φ(t)/Φ∞数増分に相当する“という意味がある。Ψ(t)は陽的には表現しづらいのでβH をパラメーターとしてグラフ化すると図~12 のようになる。 φ (t ) は t が大きくなれば１に収束する量

βH=100βH=250
βH=500βH=1000
βH=1500であり､βH をパラメーターとしてグラフ化すると図 13 のようになる。今回の解析対象について、約 1０年後の 1 階柱0.1歪について総歪/弾性歪を計算 FEM 解と比較してみた。

1101001000

FEM 解が平均 1.39(範囲 1.32～1.42)に対し、簡易解が10000
t1.37 とほぼ一致した。ここで示した簡易的な評価でも概図 13

ね FEM 解と近い結果が得られることがわかる。

日~φ (t ) = φ (t ) / ϕ ∞ ((11)式)の様子

図 1４では 1 階柱歪の時間変化を FEM 解、簡易解で比較した。両者の一致は良い。なお、簡易解では ε e とし1200て弾性 FEM 解を用いている。

1000
1階柱歪 μ

前述の説明では 1 階柱を想定して説明したが途中階の柱でも時間原点をずらすことで全く同様に扱える。図
15 では、約 10 年後の各階柱軸歪の FEM 解、簡易解を比較した。両者の対応は概ね良い。

800
クリープ解析1階柱No31
簡易解 1階柱No31
クリープ解析1階柱No35
簡易解 1階柱No35600
400200

図 16 には、簡易解による約 10 年後の ε t (t ) / ε e の高さ方向の分布を示した。ε t (t ) / ε e の値は 1 と1 + φ ∞ の中間にある。最上階でも ε t (t ) / ε e の値が1 + φ ∞ に一致しないのは(1 式)の表現でクリープ係数が収束するのに時間がかかるからである。

－47－00

1000

2000

3000

4000

日5000

図 14 1 階柱軸歪の時間変化 FEM 解と簡易解比較

フジタ技術研究報告 第 45 号

階階§５．まとめ70

FEM 柱No170簡易解 柱No1

FEM 柱No5
簡易解 柱No５6060クリープ係数法を用いた立体骨組の柱クリープ問題の50FEM 解析手法を示した。 59 階建 RC 構造について数値4040例を示し、柱軸力が均等化し特に隅柱で名目上軸力を303050%程度上回ること、最終的に柱に生じる軸力は、弾性解2020析結果とほとんど変わらないことなど問題のオーダーが把1010握できた。また、柱に生じる歪評価の簡易的な定式化を500示し、FEM 解とほぼ一致することを示した。これにより、問00500

10000500

柱歪 μ1000

題に含まれる多くのパラメーターの影響を容易に調べら

柱歪 μれることを示した。解析結果の妥当性今後、実測で確認
図 15 約 10 年後の柱歪分布 FEM 解と簡易解比較

参考文献

約10年後
ε(t)/εe1+φ∞1.060

階してゆく必要がある。

501)小室 努,今井和正,是永健好,渡邊史夫,超高強度コンクリートを用いた鉄筋コンクリート柱の施工過程を考慮し40たクリープ予測法,建築学会構造系論文集,No.616,Jun.,

302007 年202) 今本啓一,山本俊彦,大岡督尚,約 5 年間の実測デー

10タに基づくコンクリートのクリープ・収縮寸法効果の評価とクリープ予測方法の提案,建築学会構造系論文集

00.5

11.5

2

2.5

33.5ε(t)/εe

図 16 約 10 年後柱軸歪 ε t (t ) / ε e3)中山昌尚, 長大免震プレストレスト構造物のクリープ解

簡易解析,AIJ 大会梗概（中国）,2008 年
4)中山昌尚,平面構造物のクリープ解析,解析法と長大免NFL=59 α=0.3 Fc=95 φ∞=0.909

1.5

βH=1500
βH=1000
βH=750βH=5001.4ε(4040)/εeNo.593,Jul. , 2005 年

震プレストレストプレキャストコンクリート構造物についての解析・計測結果比較,フジタ技術研究報告 44 号,2008 年5) 中山昌尚, 超高層 RC 構造物の柱クリープ解析 FEM

1.3解積および簡易評価,日本建築学会大会梗概(東北)1.2No23379,2008 年6)Committee

1.1051015日/層MODEL

図 17 構築速さとβH の約 10 年後の 1 階柱軸歪 ε t (t ) / ε eCODE

1990(DESIGN

duBeton:CEB-FIPCODE),

ThomasTelford,1998に与える影響 簡易解

ひ と こ と昨年の Ps 梁のクリープ問題（平面NFL=59 βH=1500日 α=0.3
Fc60 Φ∞=1.34
Fc80 Φ∞=1.05
Fc95 Φ∞=0.91
Fc120 Φ∞=0.75

1.8
1.7ε(4040)/εeEuro-International1.6骨組）に続いて、柱のクリープ問題（立体骨組）を扱ってみました。単純1.5化した例題とはいえ、マクロな扱いで1.4
1.3

中山 昌尚

1.2もそこそこの結果が得られて新鮮な印象を持ちました。

1.110510日/層15

図 18 立構築速さ、Fc の約 10 年後の 1 階柱軸歪 ε t (t ) / ε eに与える影響 簡易解－48－