社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

数学文書データベースの解析
内田

誠一†

野村

明弘††

鈴木

昌和†††

† 九州大学大学院システム情報科学研究院†† 九州大学大学院数理学府††† 九州大学大学院数理学研究院〒 812–8581 福岡市東区箱崎 6–10–1
E-mail: †uchida@is.kyushu-u.ac.jp, † † †suzuki@math.kyushu-u.ac.jp
あらまし

数式を含んだ文書のための実用的な OCR の実現のために，数学文書を幾つかの観点から解析する．具体的には，67 万文字からなる正解付き数学文書データベースを準備し，(i) 文字カテゴリ数，(ii) 接触文字や分離文字などの異常文字数，(iii) 文字サイズの変動量，(iv) 数式の複雑さ，の 4 点を中心として定量的に解析する．解析を通して，数学文書を認識する際の困難性が数値として明らかにするた．また，そうした問題点に対する解決策についても触れる．
キーワード

数学文書, OCR, データベース, 定量的解析

Qualitative Analysis of Mathematical Documents
Seiichi UCHIDA† , Akihiro NOMURA†† , and Masakazu SUZUKI†††† Faculty of Information Science and Electrical Engineering, Kyushu University†† Graduate School of Mathematics, Kyushu University††† Faculty of Mathematics, Kyushu University
Hakozaki 6–10–1, Higashi-ku, Fukuoka-shi, 812–8581 Japan
E-mail: †uchida@is.kyushu-u.ac.jp, † † †suzuki@math.kyushu-u.ac.jp
Abstract Mathematical documents are analyzed from several viewpoints to develop practical OCR for mathematical andother scientific documents. Specifically, the following four viewpoints are qualified using a large-scale database of mathematical documents, which contains manually ground-truthed 670,000 characters: (i) the number of character categories, (ii)abnormal characters (e.g., touching characters), (iii) character size variation, and (iv) the complexity of math expressions. The
result of those analyses clarifies the difficulties on recognizing math documents and then suggests the promising directions to
overcome them.
Key words mathematical documents, OCR, database, qualitative analysis

1. ま え が き
数学や工学の分野における文書画像を対象とした OCR（以下，数式 OCR）[1] とは，それら文書の画像中の文字・記号を認（ 1 ） 各カテゴリの文字数（ 2 ） 接触文字や分離文字などの異常文字（ 3 ） 文字サイズの変動（ 4 ） 数式の複雑さ

識すると同時に数式の構造をも解析・認識し，最終的に XMLの４点を中心として定量的に解析することで，数式 OCR 実現や LaTeX ，MathBraille(数式記述点字) [?] といった数学記述言の際の問題点およびそれに対する解決案を明らかにする．

語に変換するためのシステムである．数式 OCR が実現すれば，以下で使用する用語について説明する．まず「文字」は，“A”

数学文書の蓄積や検索等が容易になる．このため，科学文書のなど通常の文字に加え，“+” などの数学記号も指す．また「カ電子図書館化 [3], [4] の必須技術として検討されている．

テゴリ」は文字種別の最小単位を指し，「タイプ」はフォント

本論文では，実用的な数式 OCR を実現するための基礎的検など共通の性質を持つカテゴリの集合のことを指す．例えば，討として，その処理対象である数学文書を幾つかの視点から解“A”，“B”，“C” は同じ Roman というタイプに属する 3 つのカ

析する．具体的には，全体で 450 ページ以上から構成される正テゴリであり，“A”，“A”，“A” ，“A”，“A”，“ ” は６つの異な解付きの英語数学文書データベースを作成し，それをるタイプ (それぞれ Roman，Italic，calligraph，blackboard bold ，

—1—

表1

データベース中の文字の内訳．

Table 1 Contents of database.
type

category#predefinedexamplescategories #cat.

accentˆ˜¯¨`ˇ

13

arrow

←↔←

big symbol 

text region#char (

math region%) #cat.

2 ( <0.01)

1

total

#char (

7

2,611 (%) #cat.
1.73)#char (

7%)

2,613 ( 0.39)

16

2

6 ( <0.01)

51,083 (

0.72)

5

1,089 ( 0.16)

16

0

0 ( 0.00)

9

1,243 (

0.82)

91,243 ( 0.19)
425 ( 0.06)

ABCDEF

26

0

0 ( 0.00)

9

425 (

0.28)

9

calligraphic

ABCDE F

26

0

0 ( 0.00)

19

591 (

0.39)

19

591 ( 0.09)

GermanABCabc5200 ( 0.00)

24

1,022 (

0.68)

24

1,022 ( 0.15)GreekΓ∆Θαβγ39

424 ( 0.00)

36

12,508 (

8.27)

36

12,532 ( 1.87)

blackboard bold

ItalicABCabc61

56

62,594 ( 12.07)

52

49,938 ( 33.01)

extended Latin

Ä Æ è Ä Æè

106

31

409 ( 0.08)

3

13 (

0.01)

32

422 ( 0.06)

numeric

01201220

20

12,332 ( 2.38)

14

15,152 ( 10.01)

20

27,484 ( 4.10)

operator+ − ×/ < &90

572 ( 0.01)

47

19,944 ( 13.18)

48

20,016 ( 2.99)

others#%∞∀∃†

50

13

3,449 ( 0.67)

20

4,893 (

3.23)

25

8,342 ( 1.24)(){}[]

18

7

7,923 ( 1.53)

11

29,722 ( 19.65)

1137,645 ( 5.62)
27,197 ( 4.06)

parenthesis

57 112,532 ( 16.79)

point

,.‘’

13

7

20,631 ( 3.98)

86,566 (

4.34)

11

Roman

ABCabc61

56 411,311 ( 79.29)

54

5,567 (

3.68)

56 416,878 ( 62.22)

02script



total

26
633

0 ( 0.00)

7 ( <0.01)

7 ( <0.01)

2

202 518,753 (100.00) 320 151,285 (100.00) 371 670,038 (100.00)

注: (1) Roman と Italic の 2 タイプには，それぞれ “fi” のような合字が 9 カテゴリ含まれている．

(2) タイプ extended Latin は 53 種の拡張ラテン文字について，立体と斜体がそれぞれ用意された結果，106 カテゴリとなっている．

German，script) に属するカテゴリである．本論文で仮定するカ
テゴリとタイプの詳細については後述する．それぞれの文字は「テキスト領域」と「数式領域」のいずれかに属する．このうち
数式領域とは，式番号がついたような数式だけでなく，行中の

^

Upper

x

=

数式（インライン数式）も含む．例えば “The variable x equals

Horizontalxt

to y2 + z 2 ” という表現において，“x” と “y 2 + z 2 ” は数式領域

tRightSubScript

であり，それ以外はテキスト領域である．
図1

2. データベースの概要

+

p

-

k

2

Horizontal RightSupScript

数式 “x̂t = xt−k2 + p” の構造を表現するリンク．

Fig. 1 Links for “x̂ t = xt−k2 + p”.

2. 1 データ収集
本論文で用いたデータベースに収録した文書は，純粋数学に（ 1 ） タイプとカテゴリ

関する 29 編の英語論文であり，発行年度は 1970∼ 2000 年で（ 2 ） 数式領域とテキスト領域の別ある．付録 1. に，それら論文のリストを示す．総ページ数は（ 3 ） 正常文字と異常文字の別453，総文字数は約 67 万であった．このデータベースは，数式（ 4 ） サイズ（高さと幅）

OCR に関する従来の検討において使用されているものに比べ，（ 5 ） ページ中の位置

相当大規模であると言える．
（例えば文献 [5] では約 15,000 文（ 6 ） 隣接文字との位置関係を表すリンク

字，文献 [6] では約 10,000 文字からなるデータベースを使用し正解付け作業の際にあらかじめ定義していたタイプとカテゴている．
）なお，行列，表，図の領域については除外した．

リの数はそれぞれ 16 と 633 であった．これら 16 タイプと各タ

すべてのページ画像は，商用スキャナ (RICOH imagio Neo

イプに属するカテゴリの例を表 1 に示す．数学文書以外にもよ450) を用いて，600dpi で撮像され二値化された．その際の二値く見られるタイプに加え，big symbol など数学文書に独特なタ化レベルはスキャナが自動設定したものであるが，紙や印刷のイプも準備した．なお，この作業において太字 (bold) の区別は悪い文書では接触文字や分離文字などの異常文字が散見された．

しなかった．従って，太字というタイプはなく，“A” と “A” は同じカテゴリ “A”(Roman) として扱われる．これは太字とそう

2. 2 正解付け作業

でない文字の違いは微妙なことが多く，またその違いは文書毎

すべての文字について，カテゴリなどの属性情報（いわゆるで異なるためである．太字であるか否かは数式においてしばし

ground truth）を手動で付与した．この正解付け作業は数学を専ば重要な意味を持つので，その取り扱いについて今後改めて検攻する７人の学生を中心として行われた．付与した主な属性情討する予定である．

報は以下の通りである．

リンクとは，数式の構造を表現するために付与された属性で—2—

( ) 1 , = − 2 | 0 n + i k p z f a x r ¯t s j G α S w λ ∈表 2 異常文字数. 上段：文字数．下段：該当領域内における割合 (%)．

Table 2 The number of abnormal characters.

∗C q −  σ/M b → P AgduR∂hX H D
図2normal touched self-

数式領域における頻出カテゴリ 1 位 (“(”) から 50 位 (“D”)．こ
こで “=” の次の “−” はマイナス，“r” の次の “ ¯ ” はオーバーラ

イン，“q” の 次の “−” は分数線．
Fig. 2 The top 50 categories with high frequencies in math region.

text

total

broken510,930

6,083

327

1,401

98.49

1.17

0.06

0.27

math base-112,379

1,212

66

754

line

98.22

1.06

0.06

0.66

0.01

100.00script35,595

291

254

725

0

36,865

96.55

0.79

0.69

1.97

0.00

100.00sub-

147,974

1,503

320

1,479

(a)
total

(b)

broken touch&

touchedtotal(text+math)

12 518,753<0.01

100.009 114,420

9 151,285

97.81

0.99

0.21

0.98

0.01

658,904

7,586

647

2,880

21 670,038

98.34

1.13

0.10

0.43

<0.01

100.00100.00(c)(d)

表 3 異常文字含有率により全 29 文書を分類した結果．

Table 3 Distribution of abnormal character rates of all 29 documents.
abn. rate(%) <0.2 0.2∼0.5 0.5∼1 1∼2 2∼3 3∼4 4∼5 >5

図3(a) 接触文字，(b) 自己接触文字，(c) 分離文字，(d) 分離を伴う接#documents

3

4

5

6

3

5

1

2

触文字．矢印は分離個所を示す．
Fig. 3 (a) Touching characters, (b) self-touching characters, (c) broken

characters, and (d) touching and broken characters. Broken points
are indicated by arrows.

拡張ラテン文字はデータベース中に 422 文字含まれ，主に参考文献の著者名の箇所に存在した．数式領域にも 13 個含まれているが，これらは人物名に由来した特殊な変数名や関数名である．図 1 に例示したように，リンクは隣接する文字の位置関係あった．

を表すものであり，このリンクにより１つの数式全体の構造は木3. 3 カテゴリの頻度として表現される．リンクの種類は，水平 (Horizontal)，右数式領域において高頻度だった上位 50 カテゴリを図 2 に示上付き (RightSupScript)，右下付き (RightSubScript)，

す．イタリック文字だけでなく，括弧類やアクセント類，演算

左上付き (LeftSupScript)，左下付き (LeftSubScript)，子も含まれていることがわかる．

上付き (Upper)，下付き (Under) の 6 種である．水平以外のリンクを含むような数式は，２次元構造を持つといえる．

3. カテゴリ数およびタイプ毎の文字数

数学文書中には非常に良く似たカテゴリの文字が存在する．
例えば，カテゴリ “r”，“r”，“γ”，“Υ” は類似しており，従って互いに誤認識となりうる．こうした状況の下で，全体として認識率を向上するためには，各カテゴリの発生頻度を事前確率と3. 1 カテゴリ数

して識別の際に用いる方針が考えられる．このようにすること

表 1 に，本データベースにおけるタイプ毎のカテゴリ数およで，高頻度カテゴリの文字（上の例では “r” や “r”）が低頻度

び文字数を示す．この表には実用的な数式 OCR を実現するためカテゴリ誤認識される可能性を減らすことができる．ところの示唆が幾つか含まれている．まず，数学文書は通常の文書にで，表 1 からわかるように，低頻度カテゴリの文字（上の例で比べ，非常に多くのカテゴリ (371) から成り立っていることがは “Υ” や “r”）の頻度は，ほぼ 0 と言ってよいほど低い．結果わかる．実際，テキスト部に限定するとカテゴリ数は 202 であ的にそれらが数式を理解するうえで重要なものであっても，正り，これが通常の文書のカテゴリ数とほぼ同じと考えると，数しく認識される可能性は極めて低くなる．より見込みのある他

学文書は 2 倍弱のカテゴリからなっていることがわかる．従っの方針としては，各文書に依存した事後処理の導入が考えられて数学文書を現実的な時間で認識するためには，通常文書の識る．例えば，ある文書においてカテゴリ “r” に認識されたもの

別処理よりも計算量の少ないものが要求されることがわかる．

をすべて集めて相互比較するという事後処理を行う．文書内で

3. 2 タイプ毎の文字数“r” の形状は一定であるので，大多数とは形状の異なるものとイタリック文字の認識の重要性も表 1 からわかる．イタリッ

して “r” に誤認識されている文字（例えば ‘Υ”）を検出するこク文字は傾いており，通常の OCR ではセグメンテーションの失敗などを理由に誤認識となりやすい．従って数式 OCR では，
イタリック文字に特化した処理を準備すべきと考えられる．なお，イタリック文字は数式領域において変数や関数を表す際にとができるものと考えられる．

4. 異 常 文 字4. 1 異常文字の種類と分布多用されるが，表 1 からテキスト部にも多数含まれていること

本節では，誤認識の発生源となる異常文字について，幾つかがわかる．これは数学文書においては，定理や定義を記述したの視点から解析する．図 3 に例示するように，異常文字は，接部分がイタリック体で印字されていることが多いためである．

触文字，自己接触文字，分離文字，接触かつ分離文字，の 4 種—3—

表 4 数式領域における接触文字／分離文字数の上位 15 カテゴリ．各60

frequency (%)(normalized in each region)

表の中段 (#char) はその異常文字数，下段 (#doc) はその異常文字が含まれた文書数．ここで接触文字の 11 位はオーバーライン，

14 位は 分数線．
Table 4 The top 15 categories with high abnormal character rates (mathregion only).
Touching:
cat.

(

p

)

∂

r

2

v

ρ

r V

¯ M

i

− w

#char 251 157 143 62 61 45 43 41 33 32 30 29 26 25 25#doc 8Broken:
cat.
s

9

10

1

3

p

K N Y

6



2

3

2

3

5

1

2

4

3

j

k

n

(

2 ∼
= a x

)

50

ordinary text region
math exp. region

40
30
20
10
0

<45 50
±5

3

4

1

1

2

1

2

6

7 14 12 6

2

7

±5

70
±5

80
±5

90 100 110 120 130 140 150 >155
±5

±5

±5

±5

±5

±5

±5

size variation (%)#char 143 129 78 68 61 56 54 49 48 37 34 28 28 27 23
#doc

60

8

図4

カテゴリ平均サイズからの変動量の分布．

Fig. 4 Frequency of size variation from the average of each category.

に分類される．ここで自己接触文字とは，もともと連結成分が2 個以上存在し，それらのうち幾つかが接触した文字である．

ように，水平方向以外の接触も起こりうるため，正確なセグメ

表 2 に示すように，データベースには 11,134 個の異常文字

ンテーションが困難となるためである．もし数式領域中の接触があり，これは全文字の 1.66%にあたる．このように，異常文

文字 (1,503 文字) がすべて誤認識となったとすると，数式領域

字は数式 OCR を実現する上で無視できない程度含まれていの認識率は最高でも 99%に留まることになり，さらには数式構る． また，全文字の 1.13%が接触文字，0.10%が自己接触文字，造の解析成功率にも大きな悪影響を及ぼすと考えられる．従っ

0.43%が分離文字，0.01%未満が接触かつ分離文字であった．領て，数式部の接触文字の検出ならびにその分離手法の開発は，域ごとで見ると，数式領域には 2.19%の確率，テキスト領域に高精度な数式 OCR を実現する上で非常に重要な課題であるこは 1.51%の確率で異常文字が存在しており，従って数式領域のとがわかる．
上述したように，数式領域においては，水平以外の方向，す方が異常文字の存在確率が高いことがわかる．
異常文字は紙質，印字濃度，フォント，文字間スペースなど，

なわち垂直方向と対角方向に接触した文字が存在した．具体的各文書の印刷環境に依存して発生するので，文書ごとでその含には，数式領域中の全 761 接触文字対のうち，146 対（約 20%)

有率が大きく異なる．表 3 は異常文字含有率で全 29 文書を分はベースライン文字と添字文字による接触であり，従って水平類した結果である．このように文書によって異常文字含有率は以外の方向の接触文字対であった．この結果は，文献 [7], [8] で様々であることがわかる．なお，後述するように，１文書に特検討されているような，こうした数式領域の接触文字を検出し，定の異常文字が多発していることがある．例えばある文書中のセグメンテーションできるような特別な手法の必要性を裏付け“∂” のほとんどが同様の接触文字となる場合がある．これは 1ている．

文書内では印刷環境が一定であるためである．従って異常文字

多重接触もわずかながら存在した．数式領域には 3，4 文字のの検出/正常化処理においても，文書依存処理が重要であると言接触がそれぞれ 14，6 例あった．なおテキスト領域には 3，4，

える．

5，6，7 文字の接触がそれぞれ 155，25，11，1，5 例あった．

表 4 は，数式領域において接触文字および分離文字が多かっ

5. 文字サイズの変動

た上位 20 カテゴリである．数式領域の認識率を向上させるた
めには，これらカテゴリの異常文字を確実に認識するような仕本節では，文字サイズの変動について解析する．サイズ変動組が必要であると言える．同表にはその異常文字が含まれた文が大きい場合，つぶれなどの形状変化も伴うことがある．従っ書数も示している．丸括弧 “()” の接触文字など複数の文書で散て，サイズ変動の程度を観測することで，１カテゴリに必要な見されるものもあるが，“∂” や “M ” の接触文字，および “K”，

標準パターン数の目安にすることができる．

” の分離文字については，1 つの文書のみに集中して

図 4 は，数式領域およびテキスト領域の各文字に生じたサイ

存在するものも多い．上述したように，こうした集中は印刷環

ズ変動のヒストグラムである．ここでは そのカテゴリの標準高境が一定であることに因って発生する．

さとの比をサイズ変動と定義した．なお，異常文字は除いてあ“N”，“

4. 2 数式領域の接触文字の解析

る．この図より，数式領域はテキスト領域よりもサイズ変動が最も頻出する異常文字である接触文字は，通常の文書 OCR

大きいことがわかる．具体的には，数式領域においては文字のでは致命的な問題にはならない．実際，テキスト領域に接触文

約 68%以上が平均サイズよりも ±5%以上変動していることが字があったとしても，セグメンテーションや単語辞書の効果にわかる．こうした大きな変動の主たる要因は，括弧や総和記号

より正しく認識されることが多い．しかしながら，数式領域に(“おいては，接触文字は誤認識となりやすい．これは，数式におお，最大変動は 605%の変動，すなわち平均サイズの 6 倍であいては定まった単語辞書が存在せず，さらに図 3 の例にもある

り，そのカテゴリは “|”(垂直括弧) であった．

”) のようなサイズ可変の記号類や，添字の存在である．な

—4—

N/A

2
1.8
1.6
(a) 1.4
1.2
1
0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

num of math expressions
5000

num of math expressions
with 2D structures

4000
3000
2000
1000

N/A

N/A

N/A

N/A

N/A

2.2
2
1.8
1.6
(b) 1.4
1.2
1
0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

6000

document ID00

図 5 各文書における，平均ベースライン文字サイズと平均添字サイズの比．(a) アセンダもディセンダも含まないイタリック文字を対

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50 >50

図 6 1 数式あたりの文字数の分布．

Fig. 6 The distribution of the number of characters per math expression.

象とした場合．(b) イタリック大文字 (“Q” を除く) を対象とした場合．該当カテゴリがなかった文書は “N/A” と表記．
Fig. 5 Ratio between the intra-document average size of first-level sub/sup-scripts and that of baseline characters.

表5

リンクの内訳．(上段：個数．下段：割合 (%)．)

Table 5 Contents of links.
Hori-

Right Right Leftzontal Sup.

数式 OCR では数式構造を解析・認識する際にベースライン文
字と添字を区別する必要があるが，サイズ変動を解析すること

Sub.

Sup.

102,573 8,706 14,767

10

77.65

Left

Upper Under total

Sub.

2 1,590 4,451 132,099

0.01 <0.01

6.59

11.18

1.20

3.37

図7

2 重添字と 3 重添字を含む数式．

100.00でその困難性を明らかにできる．すなわち，サイズの逆転（添字がベースライン文字よりも大きくなってしまう場合）があれ
ば，サイズに関する単純なしきい値処理では両者の区別ができず，従って他の工夫の必要性がわかる．ベースライン文字としても添字としても存在した 205 カテゴリのうち，101 カテゴリ，
すなわち 49%は，このサイズの逆転が起こっていた．従って，数式構造解析の添字判定処理においては，サイズを用いるだけ
でなく，文書に依存した処理や，各文字の位置関係を用いる必要がある．
関 連 し て ，各 文 書 に つ い て ，添 字 (2 重 や 3 重 添 字 は 除く) とベースライン文字のサイズ比について調査した．具体的には，(a) アセンダもディセンダも含まないイタリック小文字 (a, c, e, m, n, o, . . . , z) ，ならびに (b) イタリック大文 字(A, B, C, . . . , Z ，ただしディセンダを含む Q を除く) について，
それぞれベースライン部と添字部での文書内平均サイズの比について調べた．これら (a) や (b) のようにカテゴリを選んだのは，元々ほぼ同じサイズの文字について平均を求めるためである．図 5 はその結果である．平均としては，(a) と (b) のいずれにおいても，ベースライン文字は添字の 1.5 倍ぐらいのサイズであることがわかる．しかしながら，詳細にみると，文献によってかなり異なっており，添字判定に普遍的なしきい値などを設けるのは難しいことがわかる．具体的には 2 倍以上サイズの違う文書もあれば，文書 27 に関する (a) の結果のようにほとんど違わない (1.06 倍) 場合もある．特に後者は，サイズだけではベースライン文字と添字が区別できない場合があることを明確に表している．

6. 数式の複雑さ
本データベースに含まれる数式の総数は 20,511 であった．これにはテキスト行中の “x”“f (x) + g(y)” のような数式，いわゆ

Fig. 7 High-order sub/sup-scripts.

るインライン数式も含んでいる．図 6 に１数式中の文字数の分布を示す．この結果から，この分布は指数分布で近似できることがわかる．また本図は，数式が時々非常に大規模な (例えば50 文字以上含む) ものにになることも示している．従って，数式 OCR の数式構造解析処理は，そうした大規模な数式も扱えるよう，十分に実用的な計算量である必要がある．
図 6 に，2 次元構造を持つ数式中の文字数の分布を併せて示す．ここで 2 次元構造を持つ数式とは，水平 (Horizontal) 以
外のリンクを少なくとも 1 つは持つ数式である．例えば x2 は2 次元構造を持つが，a = b + c は持たない．この図から，まず数式の多くは 2 次元構造を持つことがわかる．実際，2 文字
以上から成る数式の 72%が 2 次元構造を持っていた．また図より，文字数が増えるほど 2 次元構造を持つ割合が増え，15 文字
以上からなる数式ではそのほとんどが 2 次元構造を持つことがわかる．以上の結果は，文献 [5], [9], [10] で提案されているような，2 次元構造を意識した数式構造解析処理が重要であることを，定量的に示している．
表 5 に，6 種のリンクの内訳を示す．大半は水平リンクであるが，右添字も 20%弱程度存在することがわかる．左添字はほとんど存在しない．なお，Upper の 70.8%，および Under の25.4%は分数線に関するリンクであった．
数式中の添字の総数は 36,901 であった．このうち，34,215 個(92.72%) が通常の添字 (図 7 の “D” ，2,615 個 (7.09%) が 2 重—5—添字 (同図 “w”)，71 個 (0.19%) が 3 重添字 (同図 “i”) であった．

付

4 重以上の添字は存在しなかった．

録

1. データベース中の文献リスト

7. ま と め

本論文で対象とした数学文書データベースに含まれる英語論

全体で 453 ページ，約 67 万文字からなる正解付き英語数学
文書データベースを定量的に解析することで，数式 OCR 開発における問題点を明らかにすると共に，それらに対する解決案を述べた．主たる解析結果は以下の通りである．
（ 1 ） 数式領域，テキスト領域，およびそれらの和である全領域について，それぞれに含まれたカテゴリの数は，それぞれ

320，202，371 であった．また，後者 2 つを比較することで，数学文書には非数学文書の 2 倍近くのカテゴリが存在することがわかった．
（ 2 ） 数式領域，テキスト領域，全領域において，それぞれ
約 33%，12%，17%の文字がイタリック文字であった．
（ 3 ） カテゴリによって発生頻度は大きく異なった．
（ 4 ） 数式部は，テキスト部に比べて，異常文字の含有率な
らびに文字サイズの変動率が高かった．
（ 5 ） 異常文字含有率は各文書で大きく異なった．また 1 文
書内で特定の異常文字が集中して発生する場合があった．
（ 6 ） 数式部の接触文字の約 20%が，水平以外の方向で接触（添字と非添字の接触）であった．
（ 7 ） ベースライン文字のサイズと添字のサイズがほぼ同一となる文書が存在した．
（ 8 ） 2 文字以上からなる数式の約 72%が，2 次元構造を有した．特に 15 文字以上からなる数式では，そのほとんどが 2次元構造を有した．
（ 9 ） 数式は時々非常に大きく（50 文字以上）なり，また 3
重添字を含んでいた．ただし 4 重添字は存在しなかった．
文

献[1] K.-F.Chan and D.-Y.Yeung, “Mathematical expression recognition: asurvey,” Int. J. Doc. Anal. Recog., 3(1):3-15, 2000.
[2] S.Hara, et al., “MathBraille; a system to transform LATEX documents into Braille,” SIGCAPH Newsl, 66:17-20, 2000.
[3] G. O. Michler, “Report on the retrodigitization project “Archiv derMathematik”,” Archiv der Mathematik, 77:116-128, 2001.
[4] K.Dennis, G.O.Michler, G.Schneider, and M.Suzuki, “Automatic reference linking in distributed digital libraries,” Proc. Workshop Doc.
Image Anal. and Retrieval (DIAR-03), 2003.
[5] H.-J. Lee and J.-S. Wang, “Design of a mathematical expression
understanding system,” Pattern Recognition Letters, 18(3):289–298,
1997.
[6] M. Okamoto, H. Imai, and K. Takagi, “Performance evaluation of arobust method for mathematical expression recognition,” Proc. ICDAR, 121-128, 2001.
[7] M. Okamoto, S. Sakaguchi, and T. Suzuki, “Segmentation of touching characters in formulas,” in Doc. Anal. Sys.: Theory and Practice.
Third IAPR Workshop, DAS’98. Selected Papers (Lect. Note in Comput. Sci. vol.1655), Springer-Verlag, 1999.
[8] A. Nomura, K. Michishita, S. Uchida, and M. Suzuki, “Detection andsegmentation of touching characters in mathematical expressions,”
Proc. ICDAR, 1:126-130, 2003.
[9] J. Ha, R. M. Haralick, and I. T. Phillips, “Understanding mathematical expressions from document images,” Proc. ICDAR, 956-959,
1995.
[10] Y. Eto and M. Suzuki, “Mathematical formula recognition using virtual link network,” Proc. ICDAR, 762–767, 2001.

文 29 編のリストを以下に示す．いずれも (純粋) 数学に関するものである．
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proof of Milnor’s conjecture,” ibid., 35(2), 123-143, 1998. • P.J.Grabe and
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