2021/1/20

2021/1/20

今回の内容

医療統計学（３年）②2

 記述統計データの記述と統計的推測
北海道大学
横田 勲

 連続量、カテゴリカル、生存時間

 「バラツキ」の分解 ランダム化による誤差への転化

 統計量と標本分布理論
 大数の法則と中心極限定理

医学統計学

 信頼区間の構成

1

2

データを集めました!①

ヒストグラム (histogram)3

 ある健診データでの身⾧(cm)4 データのバラツキ状態を可視化
 外れ値が存在するか

157.0、170.2、164.6、167.6、168.9、167.6、167.6、168.9、170.9、180.3、167.1、160.8、170.2、168.4、165.1、168.4、172.2、182.9、165.9、163.8、
180.3、168.9、173.5、176.5、171.5

8 106
40

2

頻度 (人 )

 データの分布が多峰性を示すか

120

130

140

150160170180190

身長 (cm)34

ヒストグラム (histogram)

ヒストグラム (histogram)5

 166(kg)と入力されている

 外れ値がみられる
 145(cm)を誤って1.45(m)と入力

 外れ値とは限らない

 データの確認に有効 医学データの場合、

0 50050

10015020060

身長 (cm)5Isao Yokota

154

頻度 (人 )

625

8 10

外れ値の統計的基準による判定は不向き

2

頻度 (人 )

680

100120140160

体重 (kg)61

2021/1/20

ヒストグラム (histogram)

ヒストグラム (histogram)7

 15歳以下のグループ(緑色)と

 二峰性を示しているよう・・・

060224頻度 (人)

8 10
648 10

18歳以上のグループ(青色)が混合(mixture) 偶然なのか、理由があるのかを検討頻度 (人)8120

130140150160170180120

190

130140150160170180190

身長 (cm)

身長 (cm)78

ヒストグラム (histogram)

記述統計学

9

 面積が割合となるように図示

10

 標本データを要約し、特性を把握

 横幅は等間隔でなくてもよい 一部の情報を失う

 縦軸は密度(density)

 散布図、ヒストグラム、箱ヒゲ図
 中央値、範囲、四分位範囲、

8 106

中央値:152.4
四分位範囲:145.5-167.6

120

130

140

150160

170

180

024

頻度 (人)

0.02

平均値、標準偏差、歪度、尖度・・・

0.00

密度0.005×(140-120)=10%

190

150

160

身長 (cm)170

180190

身長 (cm)

910

位置の指標

バラツキの指標(中央値とセットで使うもの)

11

中央値 median

平均値 mean データを順に並べ替え、

 全てのデータを足し、

 外れ値に対し頑健 外れ値に対し頑健でない 数学的な性質は

 数学的な性質はよい

真ん中の値

あまりよくない 範囲 range (最大値) － (最小値)

データの個数で除した値

 医学論文では最小値と最大値をそのまま記述

 四分位範囲 inter-quartile range
 上側四分位(75%)点と下側四分位(25%)点を用いた範囲

1, 2, 3, 4, 50
中央値:311Isao Yokota

12

1, 2, 3, 4, 50

平均値:12

範囲:1-50

四分位範囲:2-41222021/1/20

バラツキの指標(平均値とセットで使うもの)

箱ヒゲ図 box-whisker plot

13160

170180190452.5 ≈ 21.3

上側四分位点 医学データでは正規分布に従うことはまれ ほぼ、データを記述する場面では不向き

外れ値

13四分位範囲中央値165

 暗に正規分布を仮定した指標

身長 (cm)平均値

下側四分位点

160



175

身 長 (cm)= 452.5

170150 不偏分散の平方根が標準偏差四分位範囲×1.5のうち、最大のデータまで18002(データの個数)-1 で除したもの

6

 各データと平均値との差（偏差）の2乗和を4

頻度 (人)

 不偏分散8 10

 中央値、平均値、四分位範囲等を図示

 標準偏差 Standard Deviation



1414

変動係数、歪度と尖度

歪度と尖度の関係

1516

 変動係数 coefficient of variation,CV; 𝜎 ⁄𝜇

尖度<0 バラツキが平均を単位にしてどの程度大きいか
 測定精度の表現として%表示することも

正規分布
歪度=0尖度=0歪度<0 歪度 skewness
 尖度 kurtosis

歪度>0 正規分布を基準にして考える 平均まわりでの尖りの強さでなく、尖度>0分布のすそに関する重さを表す

1516

変数変換

2つのデータの関係に注目

17 歪んだ分布である場合

 散布図: 縦軸、横軸にそれぞれ変数を配置した図
 相関係数: 強さと方向を-1から1をとる値で代表 分布の歪みをとりたい 0 : 2つの変数間に相関なし

 正規分布、せめて左右対称な分布に近づけたい 1 : 2つの変数に正の相関 -1 : 2つの変数に負の相関

頻度0400102080

 群間比較を行う際に、群内バラツキを揃えたい
頻度

18010203040

変換前の値

17Isao Yokota

5060-2-1012

相関係数: -0.8

変換後の値

相関係数: 0相関係数: 0.81832021/1/20

相関係数は0.816 (Anscombeの例)

相関 ≠ 回帰1920 相関に注目する場合、回帰直線は描かない

 相関と回帰は別の解析

 相関:2つのデータを対等に扱う
 縦軸と横軸を入れ替えても、同じ相関係数

 回帰:結果(縦軸)を原因(横軸)で予測

 相関係数だけでなく散布図も必ず描く

 縦軸と横軸を入れ替えても、回帰直線は対称に入れ替わるわけではない 直線性があることを確認

1920

カテゴリカル(二値,多値)データ

カプラン・マイヤー曲線

21

 治療(曝露)の有無、

 各時点における生存割合

進行度ステージ(I, II, III, IV)、疾患の有無(1-(疾病発生割合))を階段状にプロット1

 分割表による要約| 打ち切り

合計

II

III

IV

新治療

2 [4%]

5 [10%]

23 [46%]20 [40%]50

標準治療

4 [8%]

4 [8%]

24 [48%]18 [36%]

50

疾病発生

曝露

||

中央生存時間: 12週

|

| |||

| ||

0I|
0.5進行度ステージ

生存割合

 人数と曝露群別に求めた割合を表記
治療22

合計ありなしあり

12 [20%]48 [80%]60

なし

16 [10%]144 [90%]160

05101520253035

投与開始からの時間 (週 )2122

データを集めました!②

バラツキ variation23

 腎摘出術を受ける患者の術前eGFR

 同じようなものを測定したはずなのに、値が異なってしまうこと10（推定糸球体濾過量）

 統計で問題にするのはこの「バラツキ」

8

年齢・性別の違い?

46

前治療の違い?
異なる疾患?

 頻度流統計学では

測定値 ＝ 真値 ＋ バイアス ＋ 誤差

測定の誤差?

2

頻度 (人)

24

true value

bias

error

0

measurement

0204060100

腎摘出術を受ける患者の真のeGFR

120(mL/min/1.73m2)
Isotani S, et al. Clin Exp Nephrol. 201523

Isao Yokota

年齢・性別による影響
前治療による影響

･･･

eGFR

80

244

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測定値の正しさ

バイアスの特定と制御

25

 正確度 accuracy

 研究結果と知りたい真値とのズレ

 真値に一致しているか、ズレていないか 選択バイアス、情報バイアス、交絡、・・・ 精度 precision

 研究者(医師)の主観、測定器の違い、・・・ 真値の周りに集まっているか

真値

26

 研究デザインと解析モデルにおいて、正確度

精度○○

 疫学研究はバイアスとの戦い○× 臨床試験では、ランダム化によって、×○××バイアスを制御することを目指す
交絡バイアスを期待的にゼロに これらを誤差に転化してしまう

25

26

バイアスと誤差の評価バイアス

 バラツキの原因として特定

 医学的に有益な情報?
 測定値から引けば、正確度が向上（バラツキの制御）

 制御を目指す できない分は誤差に誤差の確率変数による定式化

27

誤差

28

変数Xが次の条件を満たすとき、

 確率変数としてこれを確率変数という
1. Xはいろいろな値をとり得るが、とり得る値の範囲は定まっている
2. Xは、ある時点が過ぎると値が確定するがそれまでは値が不確定である
3. Xのとり得る値についての確率分布は定まっている

モデル化

 バラツキの原因が特定できない分 制御ができない or

あえてしない分 原因が分かればバイアスに転化可能トレードオフの関係

吉村功ら,医学・薬学・健康の統計学,サイエンティスト社.20092728(例)治療が成功するか 𝑋

どうやって真値を調べるか?

29

 条件130

 この治療が成功する割合は50%だ ラットでも、イヌでも、サルでも・・・

 𝑋のとり得る値は1(成功),0(失敗)のいずれか

 条件2

 実験で確かめるしかない!
 5人に治療を行って、 𝑋の値は、治療するまで不確定成功した人数を調べてみよう

 条件3
 𝑋がそれぞれの値をとる確率は1⁄2ずつ

Pr 𝑋 = 𝑥 = 1⁄2 , 𝑥 = 0,129

Isao Yokota

3052021/1/20

5人に治療して成功する人数 𝐾

𝐾の平均や分散は?

31

 これも確率変数

32

 平均値
 各対象者が治療成功するかの平均値を足す

𝐾 =𝑋 +𝑋 +𝑋 +𝑋 +𝑋
 1人目について治療が成功するか𝑋 2人目について治療が成功するか

𝑋

𝐸 𝐾

=𝐸 𝑋

+𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑋= 5𝑝+𝐸 𝑋+𝐸 𝑋

 分散

 ・・・

 各対象者が治療成功するか𝑋(= 0,1)は

 各対象者が治療成功するかの分散を足す

確率𝑝のベルヌーイ分布に従う

𝑉 𝐾

Pr 𝑋 = 𝑥 = 𝑝 1 − 𝑝=𝑉 𝑋+𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑋= 5𝑝 1 − 𝑝+𝑉 𝑋+𝑉 𝑋

 分散の加法性

 母平均𝑝 、母分散𝑝(1 − 𝑝)3132

治療実施をさぼった・・

確率変数の線形変換33 1人目の結果を、

 一般化すると、2,3,4,5人目の結果としてコピペした

平均と分散の特徴は以下の通り

 平均値
 1人目が治療成功するかの平均値を5倍
𝐸 𝐾

34

= 5 × 𝐸(𝑋 ) 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌

= 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏𝐸(𝑌) 𝑉 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌

= 𝑎 𝑉 𝑋 + 𝑏 𝑉(𝑌) 𝑎, 𝑏:定数、𝑋, 𝑌:確率変数

 分散
 1人目が治療成功するかの分散を52倍
𝑉 𝐾= 5 ×𝑉 𝑋= 25𝑉(𝑋 )3334

治療成功確率𝑝を実験から確認

統計量35

 5人に治療して成功する確率𝑋 は、

 知りたいパラメータの推定するために、個々のデータを要約したもの

𝐾 1
1𝑋 = = 𝑋 +⋯+ 𝑋
5 55

 治療成功確率を推定するために、

 平均や分散は𝐸 𝑋= 𝐸 𝑋+ ⋯+ 𝐸 𝑋

𝑉 𝑋=+ ⋯+𝑉 𝑋

𝑉 𝑋

36（パラメータ）
5人に治療を行い成功割合（平均）を求める（要約）=𝑝= 𝑝(1 − 𝑝)

 データを集めて計算した平均値は統計量の代表例

35Isao Yokota366

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標本分布𝑛 = 5の場合

37400,000

 統計量自体の分布38

 対象者ごとに治療結果がばらつくように、実験回数結果をまとめた統計量もばらつく 𝑝 = 0.5として、𝑛人に治療した場合の、成功する割合𝑋の分布を確認

 𝑛人に治療して𝑋 を計算する実験を0100万回やってみた

00.5
治療成功割合371𝑋

38𝑛 = 30の場合

40140,000

3900.5
治療成功割合0

実験回数200,0000

実験回数𝑛 = 10の場合

100.5
治療成功割合𝑋391𝑋

40𝑛 = 100の場合

標本分布の導出

414260,000

標本分布は計算可能 極めて限定的な状況でのみ正確に解ける コンピュータシミュレーションによる数値計算

 もとの確率変数が従う分布が不明でも、0

実験回数

 もとの確率変数が従う分布が分かれば、00.5
治療成功割合標本分布は正規分布にて近似（漸近論）

1

 𝑛が十分に大きい場合の特徴
 平均と分散のみ計算

𝑋 大数の法則と中心極限定理で証明

41

Isao Yokota427

2021/1/20

大数の法則

中心極限定理43

 平均値𝜇をもつ確率分布からの独立な44

 独立な確率変数𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 の重み付き和(例えば標本平均)は、正規分布に収束

確率変数𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 の標本平均𝑋は𝜇に収束

 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 が平均𝜇、分散𝜎 の独立同一分布に従う場合、その標本平均𝑋 について𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 を互いに独立に、平均𝜇、分散𝜎 の分布に従う確率変数とするとき、任意に小さい整数𝜀と𝛿に対してある整数𝑚が存在し、𝑛 ≥ 𝑚であれば次式が成り立つ
𝑃𝑟 𝑋 − 𝜇 < 𝜀 > 1 − 𝛿43

標準化統計量という𝑋−𝜇𝜎 /𝑛が標準正規分布に従う標準誤差というStandard Error

44

大数の法則と中心極限定理を認めれば 45標準偏差?標準誤差?

 1回の研究結果(統計量)と仮説が、

 前スライドのどの程度異なるかを定量的に評価できる

46

𝜎 /𝑛は標準誤差とよぶ Standard Error, SE 仮説検定 hypothesis testing 統計量のバラツキをしめす指標

 ある仮説が正しいと仮定した場合に、

 実験・思考の仮想的繰り返しによるバラツキ研究結果が観測されることはどの程度(順位)まれであるかを確率で表現

 統計量の標準偏差といえる 用語としては必ず「標準誤差」を使う

 意思決定に利用 区間推定 interval estimation
 仮説検定で「まれ」と判断されない仮説の範囲

4546

例:脚気論争標準正規分布47480.4

 この罹患割合の信頼度は?
 信頼区間 confidence interval/limit

𝑛-1.9647

Isao Yokota

2.5%

0.1𝑝(1 − 𝑝)

2.5%0.0𝑝−𝜇∼ 𝑁 0,1 , 𝑆𝐸 𝑝 =
𝑆𝐸(𝑝)

𝑓(𝑥)

 大数の法則と中心極限定理より、

0.2

 169/378=44.7%の罹患割合0.3 龍驤艦378名中169名が脚気に罹患

0𝑥

1.96

488

2021/1/20

割合の95%信頼区間

95％Cl:39.7% - 49.7%

49 正規近似による信頼区間

 米食において、真の脚気の罹患割合は

 下式を真値𝜇に関して解く

𝑝̂ − 𝜇𝑝̂ 1 − 𝑝̂𝑛 今の例では、0.447 ± 1.96

50= ±1.96

 45%だ!

そうかもしれない 40%だ!

そうかもしれない 30%だ!

それは違うのではそれは違うのでは 50%だ!

 仮説に対して、信頼区間をみれば、

0.447 × 0.553≈ (0.397,0.497)
37849

間違っている仮説を指摘できる

50

同じ44.7%でも龍驤と筑波で比べてみよう

51

 人数によって信頼区間は異なる

 分割表で要約

 得られる情報量の違い

食事 同じ約44～45%でも・・ 4/9

0.120,0.769

 13/290.267,0.629

 169/378

0.397,0.497

 447/1000

0.416,0.47852

洋食（筑波）
米食（龍驤）

脚気の発生ありなし
14 (4.2%)
319
169 (44.7%) 209

合計333378

 信頼区間をそれぞれ計算

51

 洋食（筑波）:

4.2% (2.0% - 6.4%)

 米食（龍驤）:44.7% (39.7% - 49.7%)52

信頼区間を使えば（軍艦じゃなくて）群間比較

53

 例えば「洋食も米食も脚気罹患割合は 群間差とその信頼区間を計算してみよう20%で同じ」と仮説をおく

 洋食での脚気罹患割合𝑝 、人数を𝑛

 洋食の95%CI:2.0% - 6.4%から、

 米食での脚気罹患割合𝑝 、人数を𝑚

そんなに高くないことがいえる

 全体での脚気罹患割合を𝑝

 米食の95%CI:39.7% - 49.7%から、

 以下の式の𝜇を解く

そんなに低くないことがいえる

 これらをまとめて、

𝑝 −𝑝「洋食は米食より脚気発生割合が低い」

Isao Yokota−𝜇

1 1𝑝(1 − 𝑝) +𝑛 𝑚

結構もったいないことをしている
どれくらい低いか言えていない

5354= ±1.965492021/1/20

脚気論争の例で群間比較
食事
洋食（筑波）
米食（龍驤）
𝑝 −𝑝

脚気の発生ありなし
14 (4.2%)
319
169 (44.7%) 209± 1.96 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ )群間差の95%信頼区間から

55

56

 (-0.341, -0.469)

合計 洋食にすると脚気罹患割合を40%下げる!

333
378

 そうかもしれない 洋食にすると脚気罹患割合を30%下げる!
 それは違うだろう、もっと下げるよ

1 1+𝑛 𝑚 洋食にすると脚気罹患割合を50%下げる!
 それはいいすぎ、そこまで下げない

14 169183 528 1
1−± 1.96⋅+333 378
711 711 333 378
 (-0.341, -0.469)

55

56

まとめ

統計数値表（標準正規分布）57

 データの要約
 連続量データは中央値と範囲、四分位範囲

 バラツキの分解 真値、バイアス、誤差 大数の法則と中心極限定理
 𝑛を増やせば、平均値は正規分布に従う

 信頼区間の計算
 結果を幅をもたせて示し、程度を議論する

57

上側確率

両側確率％点

0.001
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.200

0.002
0.010
0.020
0.050
0.100
0.200
0.400

3.090232
2.575829
2.326348
1.959961
1.644854
1.281552
0.841621

58

58

次の授業のために

59

 実際に計算をして頂きます5人の誕生日（日付だけ）をみつけておいてください

59

Isao Yokota

10