2022/4/16

本当に感染した確率？
１．検査したら「陽性」だった！
２．本当に感染したのか？
３．ベイズの定理の数式
４．関連する数理統計

検査したら「陽性」だった！
感染症の検査をしたら「陽性」だった！
但し、検査キットの「精度は ８０ ％」８０ ％ の確度で感染症に罹った？
でも、検査キットはあまり信頼できない...

2022/4/16

本当に感染したのか？
緊急なので簡易的に検査したけど、検査キットの「精度は ８０ ％」今日のテーマ「ベイズの定理」で調べると...
本当に感染している確率は意外と低い！

実際には３割程度

小林道正「デタラメにひそむ確率法則」岩波科学ライブラリー2012

精度８０％の意味は？
「陽性」と判別されても、２０％ は間違い
→ 本当は感染していない（偽陽性）
病院に通っている人々

本当に感染している人々を検査すると、８割が「陽性」、２割が「陰性」と判別
街中の人々

感染の真偽が不明な人々を検査したら、何割が本当に感染しているのか？

2022/4/16

どちらの場合が深刻？
場合１

場合２

事象の発生回数（100人のデータ）

事象の発生回数（100人のデータ）

本当に感染している

全く感染していない

本当に感染している

全く感染していない検査で陽性と判別80

0

検査で陽性と判別

818

検査で陰性と判別

200

検査で陰性と判別

272↑
検査キットの「精度は ８０ ％」↑検査キットの「精度は ８０ ％」８割の確度で感染している（深刻）！

感染率が１割なので８割よりも低いかも？

今知りたいのは...
場合２
検査で「陽性」と判別された人々のうち事象の発生回数（100人のデータ）

本当に感染している人々の割合
陽性と判別された条件で本当に感染している割合
条件つき確率

本当に感染している

全く感染していない検査で陽性と判別

818

検査で陰性と判別

272

8= 0.308
8 + 1869.2 % は感染していない！

実際には３割程度

2022/4/16

本当に感染した確率？
１．検査したら「陽性」だった！
２．本当に感染したのか？
３．ベイズの定理の数式
４．関連する数理統計① 本当に感染した確率を計算したい

検査精度 と 感染率 で計算するには？
検査の精度は地域の感染率
１０ ％④ ベイズの定理を使う

検査して陽性でも69.2% は感染していない
本当に感染した確率は30.8 %

感染している人々を陽性と判別
８０ ％ （真の陽性）感染していないのに陽性と判別
２０ ％ （偽の陽性）③ 青文字の数字だけで計算する② 人数のデータは使わない
事象の発生回数（??人のデータ）
本当に感染している

全く感染していない検査で陽性と判断??

??

検査で陰性と判断??

??

2022/4/16

問題を 確率で表現 しよう|

感染している人々を陽性と判別
８０ ％
感染していないのに陽性と判別
２０ ％地域で感染している人々の割合１０ ％|ベイズの定理事象の表現|「陽性」と判別された人々の中で真に感染している人々の割合

感染している

感染してない∩∩

陽性と判別
陰性と判別

∩∩

ベイズの定理
|
|
|

=

= 0.8
= 0.2
= 0.1

|
８割がた
感染かと思ったら...

「陽性」と判別されたけど本当は感染していない確率|= 0.602|+
意外と低
くて３割だった|
0.8 × 0.1
0.8 × 0.1 + 0.2 × 0.9|= 0.308「陽性」と判別された人が真に感染している確率2022/4/16

本当に感染した確率？
１．検査したら「陽性」だった！
２．本当に感染したのか？
３．ベイズの定理の数式
４．関連する数理統計【問】 本当に感染している確率は？
簡易な検査キットで「陽性」となったけど、本当は感染していないかも！？
必要な事前情報・ 簡易な検査キットがある。
・ メーカーによる事前の実験によると、感染していないのに陽性であると間違って判別される確率は 20%
正しく判定される確率は 80% とのこと。
・ 今、住んでいる地域では、感染の割合は 10％ である。

2022/4/16【解説】 確率で表現する【知りたいこと】
・ 簡検査キットで「陽性」となったけど、本当は感染していないかも!?
【事前の情報】
・ メーカーによる事前の実験によると感染していないのに陽性であると間違って判別される確率は 20%
正しく判定される確率は 80%

検査キットで「陽性」となった人々の中で、
↓|

=?

↑
実際には「陰性」であった人々の割合

実際には「陰性」であった人々のなかで、
↓|

= 0.2

↑
検査キットで「陽性」となった人々の割合

・ 今、住んでいる地域では、感染の割合が 10％ である。

= 0.1

↑
地域の実際の感染率＝感染者数／地域の人口

ただし、|=1−|とする【解説】 ベイズの定理を適用する
|

==|

|

|
+|

0.8 × 0.1
= 0.31
0.8 × 0.1 + 0.2 × 0.9=1−|= 1 − 0.31
= 0.69【知りたかったこと】
・ 簡検査キットで「陽性」となったけど、本当は 69%の確率で 感染していない！

|
排反|

= 0.2
= 0.1

= 0.8
= 0.9|=?

2022/4/16

本当に感染した確率？
１．検査したら「陽性」だった！
２．本当に感染したのか？
３．ベイズの定理の数式
４．関連する数理統計

ベイズの定理 で 出来ること（既知）
本当に感染している人々の中で正しく「陽性」と判別される割合||

全く感染していない人々の中で誤って「陽性」と判別される割合
これまでに検査した人々の中で本当に感染している人々の割合（未知）「陽性」と判別された人々の中で本当に感染している人々の割合「陽性」と判別された人々の中で本当は感染していない人々の割合

=

=

=

ベイズの定理

=+||

1−

==1−

2022/4/16

簡易な検査キットは有効か？
検査キットの正しさ （既知）
★ 感染者を陽性と判別
= 0.8
場合１

症状があって、感染の疑いがある人を検査した。
１０人に１人が感染していた。
(β=0.1)★ 非感染者を陽性と誤認
= 0.2
場合２

街中の出張検査所で希望者を検査した。
１０００人に１人が感染していた。
(β=0.01)

感染者の割合は？（未知）= 0.308
陽性と判別ならば30.8 %が感染

= 0.0039

陽性と判別されても0.39 %しか感染してない検査キットに必要な精度は？
検査結果を 90％ 確信できる→ 検査キットに必要な精度は？
確率で表現 しよう ↓「陽性と判別された人が感染している割合」
が ０．９ となる場合について、「真の感染者が陽性と正しく判別される確率」
を求める
但し、

「非感染者が誤って陽性と判別される確率」「社会全体での感染者の割合（感染率）」とする

= 0.9

|

===|

== 1−|== 0.012022/4/16

高い精度が必要
ベイズの定理は、=+

この例題では、=1−+ 1−

確信度 90 % の精度を得るには99.89 % の精度が必要！
（感染率 1 % のとき）

1−

α について解くと、

=1−
1−2+

↑
90% 確信度（感染MATLAB= 0.01）

close all; clear all;figure('Position',[10 10 300 150]);
pr=0.9; % 本当に感染している確率（必要な確信度）
bt=0.01; % 感染率
gm=0.0:0.05:1; % 本当に感染している確率
ap1=(1-bt)*gm;
ap2=(1-2*bt)*gm+bt;
ap =ap1./ap2;% ＝検査の精度＝特異度
ap=[0 ap]; gm=[0 gm];plot(gm,ap); hold on;
gm=pr:0.05:1;
ap1=(1-bt)*gm;
ap2=(1-2*bt)*gm+bt;
ap =ap1./ap2;
area(gm,ap); hold on;axis([0.0,1,0.0,1]); grid on;
xlabel('本当に感染している確率');ylabel('検査の精度');fprintf('感染率%4.2f 確信度%4.2f 必要精度%6.4f¥n',bt,pr,ap(1));

2022/4/16

本当に感染した確率？
１．検査したら「陽性」だった！
２．本当に感染したのか？
３．ベイズの定理の数式
４．関連する数理統計

予め分かっていること③①1==①＋②①+②+③+④1

②

=
=|

①①+②

④

=
=

|

③③+④

2022/4/16

知りたいこと分かっていること①＋②==①+②+③+④

①

①
=
①+②

|

=

|

=

③
=
③+④②

|

=

③
④

①を知りたい
① ③
ベイズの定理|=+1−

ベイズの定理に出来ること
ベイズの定理
|

=

+

①

1−

②

③
④

①
①＋②
①+ ②①+ ② +③ + ④
=
①
①＋②
③
①＋②+1−①+ ②①+ ②+ ③ +④ ③+ ④①+②+③+④==①①+②+③+④①③+①+②+③+④ ①+②+③+④
①
①+③

|

=①を計算できた① ③

2022/4/16【事前の準備】
・事象Ａが予め分かっているとする。
・事象Ｂの発生頻度を正確に調べておく。
事象Ａ

事象Ｂ

【事後に推定できること】

・本当に感染した・検査で陽性・陽性と判別された人が本当に感染している確率

・商品を買った・広告を見た・広告を見た人が商品を買う確率

・桶屋が儲かる・風が吹いた・風が吹いたときに桶屋が儲かる確率

・翌日は晴れる

・前日が雨で北風

・前日が雨で北風のとき翌日に晴れる確率

本当に感染した確率？
１．検査したら「陽性」だった！
２．本当に感染したのか？
３．ベイズの定理の数式
４．関連する数理統計2022/4/16

詳細

判別 の 評価指標
真のラベル

判
別の結
果

事象Aが生じる

事象Aが生じない

事象Bが生じる

True
Positive①

False
Positive③

事象Bが生じない

False
Negative②

True
Negative④

精 度=|

特異度 =|

再現率 =①①+③①=①+②④=
③+④=

|

再掲

精度 × 再現率×2
精度 + 再現率①+④
正解率 =①+②+③+④=値①①+②③
偽陽性率 =③+④
真陽性率 =

条件つき確率とは？

事象の発生回数（データ）

事象Bが生じる
事象Bが生じない

事象Aが生じる

事象Aが生じない⋂⋂⋂⋂

事象 B が生じる条件の下で事象 A が生じる
条件付き確率⋂| =⋂ +⋂事象 A が生じる回数=⋂

事象 A が生じない（=⋂+⋂が生じる）回数+⋂

事象 B がどうあっても事象 A が生じる
条件無し確率=分母の違いに注意+2022/4/16

再掲

確率 の 数理
事象の表現
事象Aが生じる

事象Bが生じる事象Bが生じない⋂⋂⋂

独立（ＡとＢが）| =| =∴

事象Aが生じない=⋂余事象の確率=1−=1−==条件付確率
結合確率⋂

ベイズの定理
⋂∴

|

⋂
⋂

|
⋂

===++,=|||⋂⋂|⋂