Internet 版 2022/6/2

第９章

パルス波のフーリエ変換による解析

これまで回路の信号を定常的である、例えば正弦波や直流として扱ってきた。実際の回路では⾮定常の信号も扱う。繰り返しのないパルス信号の場合もある。フーリエ級数の知識をもってす
れば、周期波はその周波数の整数倍の余弦波、正弦波の和で表されるように、パルス波も様々な周波数成分を持つ余弦波、正弦波の集まりとしてあらわされる。パルス波がどのような周波数成分を含むのかを知るにはフーリエ変換を使う。様々な信号を扱う電気回路では、数学になるがフーリエ変換による周波数分析は重要であり、この章でそれを学ぶことにする。

きる。

１． フーリエ変換
時間関数𝑓 𝑡 を信号波とする。信号波が

𝑐1𝑇

𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0 𝑡 𝑑𝑡

周期 T をもち、その⾓周波数ω0＝ とす

オイラーの式を使って(1)式を変換すると、ると、信号波は次のように正弦波、余弦波（2）式が得られる。
以上は周期波の話であるが、信号波のの和で表されることを、フーリエ級数の時間関数𝑓 𝑡 がパルスであり、１回しかな概念として我々は既に学んでいる。

い、すなわち∞の周期をもつと考える。そこで、（2）式を𝑛𝜔0𝑓 𝑡𝜔として書き換えたのが、フーリエ変換の式である。
∑𝑎 cos 𝑛𝜔 𝑡𝑏 sin 𝑛𝜔 𝑡∞𝐹 𝜔(1)
この式において、フーリエ級数係数の𝑓 𝑡𝑎 、𝑏 は、次のように表される。
𝑎𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 n=1,2…

𝑏𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 n=1,2…

𝑓 𝑥 𝑒𝑑𝑥∞

12𝜋∞

𝐹 𝜔 𝑒𝑑𝜔∞

この式において、𝐹 𝜔 が時間関数𝑓 𝑡のフーリエ変換であり、𝐹 𝜔 から時間関数𝑓 𝑡 に戻すことをフーリエ逆変換という。
時間関数𝑓 𝑡 のフーリエ変換は、ωの関数

フーリエ級数の表現は、正弦波、余弦波であることからわかる通り、角周波数にをおける成分、つまり角周波数スペクトルを用いる代わりに、複素数である𝑒を表す。

用いて、
𝑓 𝑡

∑

∞

𝑐 𝑒(2)２．フーリエ変換の性質と表すことができる。このときに、フーリフーリエ変換には次の基本的な性質が

エ級数係数𝑐 は次のように表すことがである。時間関数𝑓 𝑡 、𝑔 𝑡 のフーリエ変換
81Internet 版 2022/6/2

後の関数を𝐹 𝜔 、𝐺 𝜔 とする。

ラスしたことになる。フーリエ変換後は、周波数軸が𝜔 だけ、プラスにシフトする。

（１） 関数の加減算ℱ

𝑎𝑓 𝑡𝑏𝑔 𝑡 → 𝑎𝐹 𝜔𝑒𝑏𝐺 𝜔

ここで𝑎, 𝑏は比例係数である。元関数の和ℱ→

𝑓 𝑡

𝐹 𝑗 𝜔𝜔

（６） 元関数の時間微分、時間積分差、定数倍は、フーリエ変換後の和差、定一階微分数倍になる。

ℱ→（２） フーリエ変換の対称性

𝑗𝜔𝐹 𝜔

次のフーリエ変換の関係が成り立つな
n 階微分ら、関数形をそのままに逆の関係もなりたつ。
𝑓 𝑡ℱ→𝐹 𝜔𝐹 𝑡ℱ→

2𝜋𝑓ℱ→

𝜔𝑗𝜔 𝐹 𝜔時間積分

これは定義式をみれば容易に成り立つ
𝑓 𝜉 𝑑𝜉 →ことが分かる。
∞（３） 時間の定数倍の扱い

３．様々な関数のフーリエ変換

時間軸が定数倍になった場合、フーリ(1) δ関数（単位インパルス）

エ変換後は角周波数ωが 1/a 倍になり、まデルタ関数は実際にはありえない関数

たフーリエ変換関数も 1/|a|倍になる。
𝑓 𝑎𝑡ℱ→| |であるが、その周波数成分はゼロから∞までの様々な周波数の一定の振幅の波の合成

𝐹で表される。

デルタ関数とは、（４） 時間遅れの扱い

𝛿 t

元の関数が a 秒遅れると、フーリエ変換後には𝑒𝑡𝑡∞000で、その積分は 1 である。

をかけることになる。この関数はフーリエ変換後の関数の位相を∞𝛿 t 𝑑𝑡∞変化させるだけで、振幅に影響はない。
ℱ
𝑓 𝑡 𝑎→ 𝑒𝐹 𝜔1

また𝑔 t を任意の関数とするときに、次の積分が成り立つことが知られている。

（５） 周波数の変更時間遅れの扱い
元の関数に𝑒1𝐹 𝜔𝑗𝜔∞
𝛿 t 𝑔 𝑡 𝑑𝑡∞がかけられた場合、

𝑔 0

このフーリエ変換は次のようになる。

意味としては元関数の周波数を𝜔 だけプ82

Internet 版 2022/6/2

𝑇2𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑒2
𝜔𝑗𝜔
この関数は sinc(ジンク)関数とも呼ばれ∞𝐹 𝜔𝛿 t 𝑒𝑒𝑑𝑡∞

1𝑒となる。デルタ関数はフーリエ変換するる。T＝1 としてプロットすると次のようと１となり、周波数軸でみたら 0 から∞な形になる。の範囲で一定の１をとる。時間軸ｔと角周波数軸ωで次のような関係がある。記号ℱはフーリエ変換されたという意味である。
δ(t)∞ジンク関数はデジタル信号処理でよく0ｔ使われ、
𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥ℱ(δ(t))
1とされている。
(3) 正弦波関数0ω

ある角周波数𝜔 の正弦波を考える。

10𝑓 t𝑡𝑇⁄2𝑡
𝑇⁄2 , 𝑡正弦波はオイラーの式をつかって指数関𝑇⁄2𝑇⁄2数に変換する。

これは、幅 T 秒の間だけ１の振幅をも∞𝑑𝑡∞∞

10𝑇⁄2ｔ𝑇⁄2⁄𝑑𝑡𝑒2𝑗𝑒𝑒𝑑𝑡∞∞𝑒∞となる。この計算をすすめると、
⁄𝑒𝑗𝜔

⁄

83𝑑𝑡

∞

12𝑗

次のように計算できる。
𝑒𝑒∞

12𝑗

⁄

𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡𝑒𝐹 𝑗𝜔

つ信号となる。

𝐹 𝑗𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡𝑓 t(2) ボックス関数

𝑑𝑡Internet 版 2022/6/2𝜋𝛿 𝜔𝑗𝜔𝜋𝛿 𝜔𝑗

数をω0、音声信号の角周波数をω１とす𝜔る。変調率をλとすると、時間関数としてとなる。サイン波をフーリエ変換すると、角周波数軸上で、 𝜔 と 𝜔 の位置に、面積π/j のデルタ関数が出ることかわかる。

次のようになる。
𝑓 t

1𝜆𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡

角周波数がマイナスになる世界は置い参考として、𝜔 と𝜔 をそれぞれ 10 と１ておいて、正弦波の角周波数成分は𝜔 のとして、変調率λを 0.5 とした波形をグみであり、フーリエ変換すると、それは単ラフにするとつぎのようになる。

なる位置のずれたδ関数となる。
ℱ(𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡)

𝜔0

余弦波、𝑓 tω𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡の場合は次のよう先ほどの正弦波の例題の結果を使いながら計算をしていく。元関数は次のようになる。
𝐹 𝑗𝜔𝜋𝛿 𝜔に書き換える。
𝜔𝜋𝛿 𝜔𝜔となる。

𝑓 tℱ(𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡)𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡𝜆𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡

ここからは三角関数の積和公式でもよいが、せっかく覚えたフーリエ変換の性質

面積π面積πを使っていく。

𝜔0𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡ωであることから、(4) AM（振幅変調）波形
ラジオ放送に使われる波形について題

𝑓 t材としてとりあげたい。AM 変調は搬送波

𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡𝜆𝑒2𝑗𝜆𝑒2𝑗と呼ばれる一定の高い周波数の正弦波の振幅をそれより低い周波数の音声信号で変調させる方式である。搬送波の角周波
84𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡Internet 版 2022/6/2

これをフーリエ変換するとつぎのようにで表される。つまり、フーリエ変換の 2 乗なる。

は、その周波数成分の信号のエネルギー𝜋𝛿 𝜔𝑗

𝐹 𝑗𝜔𝜋𝛿 𝜔𝑗𝜔

密度を表す。つまり、信号波のフーリエ変𝜔𝛿 𝜔𝜔𝜔𝛿 𝜔𝜔𝜔 +𝜆𝜋𝛿 𝜔2𝜔𝜔𝜆𝜋𝛿 𝜔2𝜔𝜔

換の絶対値の 2 乗をとると周波数を変数としたエネルギー密度を知ることができる。

５．高速フーリエ変換
信号波をフーリエ変換すると、時間軸これをグラフにすると次のようになる。

から周波数軸に変換される。したがって、グラフにおいて、青の部分が搬送波の成フーリエ変換後のプロットを知ることで、分であり、そこから音声信号のω１だけプどんな周波数成分が含まれているのかをラスマイナスにずれた位置に成分が出る。 知ることができ、場合によってはノイズとなるような信号があるとしたら、そのこの成分を側波帯という。
ノイズ成分の占める周波数領域をゼロにして、逆変換することで、ノイズ除去をさ

搬送波
側波帯

まり、信号処理の基本となる技術である。

側波帯

𝜔

信号波を⼀定時間でサンプリングして数0側波帯れた信号を得るなどの芸当ができる。つ𝜔

値化し、それを離散的なデータとして扱ωい、これをフーリエ変換する。これを Fast

側波帯

Fourier

搬送波

Transform （ FFT ） あ る い は 、Discrete Fourier Transform (DFT)という。
AM 変調した信号では、搬送波の周波数実際の信号波を周波数軸のスペクトルとに対して、変調された音声信号の周波数して表してくれる装置をスペクトラムアナのプラスマイナスした領域を周波数帯とライザーという。昔は⾮常に⾼額であったして使っていることが分かる。

が、最近はデジタルオシロスコープの⾼性能化、低価格化が進み、⼿軽に使えるようになった。

４．エネルギースペクトル信号波を N 個の並んだデータとして取時間関数𝑓 𝑡 を信号波とするとき、𝑓 𝑡得したとする。l 番⽬のデータを d(l)とすの 2 乗の積分
𝑓 𝑡ると、その離散的フーリエ変換は次のよ𝑑𝑡うに求められる。

はエネルギーを意味する。これをフーリエ変換すると、

𝐹 𝑘|𝐹 𝜔 | ＝𝐹 𝜔 𝐹 𝜔∑𝑔 𝑙 ∙𝑒/で計算される。フーリエ変換された𝐹 𝑘85

Internet 版 2022/6/2の k は⾓周波数と同じ性質のものだが、そのフーリエ変換後の|𝐹 𝜔 | のエネルギ

全波形を取得するのにかかった時間（フースペクトルが、このようになる。

ーリエ変換対象の時間）を T とするなら

60x10350ば、k から⾓周波数にするにはこれを40｜F（ｊω)|

22𝜋𝑘/𝑇とすればよい。この式をまともに計算してもよいが、データ点数が多くなる

3020と計算が多くなるため、できるだけ⾼速10でできるアルゴリズムが考えられている。

00.00

その原理は他文献にゆずりたいが、

0.05

0.100.15

周波数 ×100(Hz)0.200.25

WIKIPEDEA などの電子百科事典におい信号波形は 1Hz と 3Hz の成分から成りても、そのプログラムが載せられている。

立っていることが分かる。このグラフは（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A

エネルギー密度スペクトルであり、エネ

B%98%E9%80%9F%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%
A4%89%E6%8F%9B）

ルギー密度は振幅の 2 乗に比例するため、信号波形は 1Hz と 3Hz の成分は４：１になるはずだが、計算されたフーリエ変換

筆者が学生のころ、16 ビットのパソコ

後のピークはそれとは若干ずれがあるよンの黎明期で、1024 点のフーリエ変換をうに思える。これは実際に DFT 計算を行するのでも、数十秒の時間を要したが、時う上で、元関数の始点と終点をゼロにす

代は大きく進歩した。今や 64bitCPU でるため、窓関数をかけて処理を行うが、そあり、マルチコアが当たり前である。昔の苦労はどこへ行き、一瞬で答えを出しての処理の影響でずれが生じる。非常に長くれる。

くサンプリングを行い、データ点数を増やしていくことで、そのずれは小さくな例として、信号波形として、る。
𝑓 𝑡𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑡0.5𝑠𝑖𝑛 6𝜋𝑡６．ホワイトノイズ

すなわち 1Hz と 3Hz の正弦波のフーリエ変換を求めてみた。フーリエ変換は解抵抗器や半導体素子に電流を流すと、実際にナノの世界では電子が無数の散乱元信号が次のグラフとなる。

を繰り返して、移動する過程で熱雑音と振幅

析ソフト Igor6.36 を用いた。
1.0呼ばれるノイズが発生する。この過程は0.5

完全にランダムな世界であり、これをフ0.0ーリエ変換すると角周波数軸方向で常に-0.5一定である信号となる。このようなノイ-1.002468ズをホワイトノイズ（白色雑音）とよばれ10る。回路設計は雑音との闘い、すなわち高時間 (sec)86Internet 版 2022/6/2

い S/N 比の追求の側面があるが、回路開最近数３cm 程度の基板で販売されて発の段階ではホワイトノイズと主信号のいる DSP ラジオというものがある。興味周波数帯の違いを意識して、適切フィルのある方は「DSP ラジオ」でネット検索ターや演算処理をおこなう。数学ではあをしてみるとよい。値段として２千円程るが、フーリエ変換の知識は回路開発に度と見た目は猪口才なのだが、大した性おいて必須の知識である。

能らしい。これはラジオの電波を直接信号処理 LSI でもって A-D 変換で数値化

閑話休題

し、FFT やフィルター演算などを行い、筆者は若いころから短波ラジオが好き目的の放送の音声信号を演算を通して、であり、今はインターネットの普及で、放復調するものである。これが、なかなか性送局は少なくなってしまったが、それで能もよく、また FM 放送の受信においても休息のおりには海外の英語放送を楽しは極めて音質がよいとのことである。

んでいる。ヤフオクを活用して手に入れレトロの受信機の趣味性や苦労は別軸たのだが、昔の通信機型受信機である、であるが、こうして学んだ知識が IC の世

TRIO の 9R-59d は愛機である。これはシ界で具体化し、技術として使われているングルスーパーの高１中２と呼ばれる、のを見ると、改めて興味深い。

真空管機であり、メインテナンスをするのが大変であったが、それが趣味でもある。

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