数理解析研究所講究録
1497 巻 2006 年 130-139

130

Crystal structure of the set of
Lakshmibai-Seshadri paths ofan arbitrarylevel-zero shape
佐垣大輔 (Daisuke SAGAKI)

内藤聡 (Satoshi NAITO)

筑波大学数学系

筑波大学数学系

Institute of Mathematics,
University of Tsukuba

Institute of Mathematics,
University of Tsukuba

sagakiQmath.tsukuba.ac.jp

naitomath.tsukuba.ac.jp

1

Introduction.

1.1

Notation. 本論説で使用する副 ne Lie algebra に関する記号は以下の通りである (詳しくは [Kac] を参照).
$\mathfrak{g}$: affine Lie algebra over$\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$$I$$\mathbb{Q}$,: Cartan subalgebra,$d\in \mathfrak{h}$: degree operator,: index set of simple root,$\mathrm{O}\in I$: the -vertex ($0$$\mathrm{s}e\mathrm{e}$[Kac, \S 4.8, Table Affl$\Pi^{\vee}=\{h_{j}\}_{j\in I}\subset \mathfrak{h}$: simple coroots,$c= \sum_{j\in I}a_{j}^{\vee}h_{j}\in \mathfrak{h}$: canonical central element,

6 :$\sum_{j\in I}$ $a_{j}a_{j}$$\{\Lambda_{j}\}_{j\in I}$$\in \mathfrak{y}*$Aff3]),$\Pi=\{\alpha_{j}\}_{j\in I}\subset \mathfrak{y}*:$simple roots,: null root,: fundamental weights (i.e.,$P=\oplus_{j\in I}\mathbb{Z}\Lambda_{j}\oplus \mathbb{Z}a_{0}^{-1}\delta\subset \mathfrak{h}^{*}$$r_{j}\in \mathrm{G}\mathrm{L}(\mathfrak{h}^{*})$$\sim$$\Lambda_{j}(d)=0$: integral weight lattice,: simple reflection with respect to$W=\langle r_{j}|i\in I\rangle\subset \mathrm{G}\mathrm{L}(\mathfrak{h}^{*})$

for $k\in I$ , and$\Lambda_{j}(h_{k})=\delta_{jk}$$\alpha_{j}$,: Weyl group of ,$\mathrm{g}$$U_{q}(\emptyset)$$U_{q}’(\mathfrak{g})$: quantum afline: quantum affine$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}/\mathbb{Q}(q)$$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}/\mathrm{Q}(q)$with the degree operator$q^{d}$,

without the degree operator$q^{d}$

.

),

131

1.2

Littelmann’s Path crystal.

Path とは, 区分的に線形で連続な写像

$\pi$

:

で, $\pi(0)=0$ かつ $\pi(1)\in P$ を満たすもののことである. 以$[0,1]arrow \mathfrak{h}_{\mathrm{R}}^{*}:=\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathfrak{h}^{*}$

下で主に扱うのは, Lakshmibai-Seshadri path (LS path と略す) と呼ばれる path
達である;shape
元の列$(\underline{\nu};\underline{\sigma})$$\underline{\nu}$:$\nu_{1},$$\nu_{2},$の LS path$\lambda\in P$$\ldots,$$\nu_{\epsilon}$とは, ある組合せ論的な条件を満たす,と有理数の列$\underline{\sigma}$には, root operators$\mathrm{B}(\lambda)$の: $0=\sigma_{0}<\sigma_{1}<\sigma_{2}<\cdots<\sigma_{\epsilon}=1$ の組で定まる path である (詳細は \S 2.1 を参照).

体の集合とする.

$W\lambda$$e_{j},$$f_{j},$$\mathrm{B}(\lambda)$$j\in I$を shape A の$\mathrm{L}\mathrm{S}$path 全, を用いて, 自然に crystalの構造が入ることが知られている. (root operator の定義は \S 2.2 参照).

1.3

What is the crystal

canonical central element$\mathrm{B}(\lambda)$$c\in \mathfrak{h}$?

Affine Lie algebra (7) integral weight$\#\mathrm{h}$,との pairing の値によって, positive level のもの,

negative level のもの, そして, level-zero のものの 3 種類に分類される :$\lambda$

が positive level (resp., level-zero, negative level) であるなら,integral weight (resp., level-z$e\mathrm{r}\mathrm{o}$$W\lambda$には dominant

dominant integral weight, antidominant in.tegral

weight) が唯–つ含まれていることに注意しよう

ここで, $\lambda\in P$ が level-zerodominant であるとは,$\lambda(c)=0$,$\lambda(h_{j})\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$

for every$j\in I_{0}:=I\backslash \{0\}$であるときにいう.

LS path の定義から, 任意の $w\in W$ に対して$\mathrm{B}(w\lambda)=\mathrm{B}(\lambda)$に分かる (Remark 2.1.6 参照) 上で述べたことと合わせると,しての構造を決定するという問題は,$\lambda\in P$となることが容易$\mathrm{B}(\lambda)$の crystal とが(1) dominant integral weight,(2) level-zero dominant integral weight, または,
(3) antidominant integral weightの場合に考えれば良いことが分かる. このうち, (1) dominant (resp., (3) antidominant) の場合については,$\mathrm{B}(\lambda)$

highest (resp. lowest) weight

は highest (resp.

$U_{q}(\mathfrak{g})$lowest) weight$\lambda$の integrable-module の crystal base と, crystal として, 同132

型になることが知られている ( , Corollary 6.4.27], [Kasl, Theorem 4.1]). そこで$[\mathrm{J}$問題になるのは,$\mathrm{Q}$.

$\lambda\in P$

が level-zero do 而 n8nt のとき, shape

なす crystal$\text{さて}$$\mathrm{B}(\lambda)$$\lambda$の$\mathrm{L}\mathrm{S}$path 全体のはどのような crystal であろうか ?

, level-zero fundamental weight$\varpi:,$$i\in I_{0}=I\backslash \{0\},$$\text{を}$$\varpi_{i}:=\Lambda_{1}-a_{i}^{\vee}\Lambda_{0}$で定義する. 我々は, まず, 論文 [NS1], [NS2] において,の場合に,$\mathrm{B}(\lambda)$の crystal

module の crystal$\mathrm{b}\mathrm{a}s\mathrm{e}$$\lambda=m\varpi_{i},$$m\in \mathbb{Z}_{\geq 0},$としての構造を調べ, それが extremal weight$i\in I_{0}$,$U_{q}(\mathfrak{g})\ovalbox{\tt\small REJECT}$と同型であることを示した (量子アフィン代数の extremal

weight module については [Kas2] を参照されたい) その後, 論文 [NS4] において,$\lambda$

が–般の level-zero dominant の場合に$\mathrm{B}(\lambda)$の crystal structure を決定することに成功した. 本論説は, 論文 [NS4] の解説である.

2

Littelmann’s path crystal.

このセクションでは, Littelmann によって導入された path crystal について復習する. 詳細は, [L1] や [L2] を参照されたい. なお, このセクションでは

2.1$\lambda\in P$とする.

Lakshmibai-Seshadri paths. Path とは, 区分的に線形で連続な写像$[0,1]arrow$膿$:=\mathrm{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathfrak{h}^{*}$

で, $\pi(0)=0$ かつ $\pi(1)\in P$ を満たすもののことである.

$\pi$

:

こ

のサブセクションでは, 以下で扱うことになる Lakshmibai-Seshadri path について説明する.

Definition 2.1.1.
の列$\underline{\sigma}$$\pi=(\underline{\nu};\underline{\sigma})$を integral weight の列: $0=\sigma_{0}<\sigma_{1}<\cdots<\sigma_{s}=1$ の組とする.

形で連続な写像$\pi$$\underline{\nu}$:$\nu_{1},$$\pi=(\underline{\nu};\underline{\sigma})$$\nu_{2},$$\ldots,$$\nu_{\theta}$と有理数に以下の区分的に線: $[0,1]arrow$ 城を対応させる:$\pi(t)=,\sum_{u=1}^{u-1}(\sigma_{u’}-\sigma_{u’-1})\nu_{u’}+(t-\sigma_{u-1})\nu_{u}$(2.1.1)for$\sigma_{u-1}\leq t\leq\sigma_{u},$$1\leq u\leq s$

.

133

Definition 2.1.2.
$\nu_{0},$$\nu_{1},$$\ldots$,と positive real root の列$\nu_{k}=\nu$と定める: $l=1,2,$の dual root を表す.
$k$

に対して,

$k$
$\ldots,$

ここで, positive real root

長のものの長さに対して, 以下の条件をみたす$\nu\in W\lambda$$\mu,$$\xi$$\mu>\nu$$\xi_{1}$に対して,$r_{\xi}$はであるとき, dist

. .

$\sigma$$\mu=\nu_{0}=\nu$(2)$k\geq 1$が成立する.

$(\mu, \nu)$$\xi^{\vee}$

は

$\xi$

で上の条件をみたす列のうち最を表すことにする.
$\mu,$とする.

$\nu\in W\lambda,$ $\mu\geq\nu$$W\lambda$$(\mu, \nu)$にの元の列 $\mu=\nu_{0}>\nu_{1}>$(すなわち, $k=0$ ),であり, $l=1,2,$$\nu_{l-1}>\nu_{l}$$\pi=(\underline{\nu};\underline{\sigma})$$\ldots$,に対して, dist

$k$

&は

ここで,

が成立する

root である (さて,$(\xi_{l}^{\vee})<0$のことである:(1)$\sigma^{-1}\mathbb{Z}_{<0}$が存在するとき, $\mu>\nu$に関する reflection を表し,$\xi$

-chain とは, 以下の (1) または (2) を満たす$>\nu_{k}=\nu$$\xi_{k}$かつ功-1$\nu_{l}=r_{\xi_{l}}(\nu_{\mathrm{t}-1})$

Definition 2.1.3. $0<\sigma<1$ を有理数とし,対する, C2, . . . ,の元の列 $\mu=$$W\lambda$, および, distを, 以下の条件$(\mathrm{L}\mathrm{S})$$\nu_{l})=1$, かつ,$\nu_{l-1}(\xi_{l}^{\vee})\in$を満たす唯–つの positive real$\nu_{l}=r_{\xi_{l}}(\nu_{l-1})$$(\nu_{l-1},$$(\nu_{\mathrm{t}-1}, \nu_{\mathrm{t}})=1$

に注意).

を満たす,

$W\lambda$の元の列$\underline{\nu}$:$\nu_{1},$$\nu_{2},$$\ldots,$$\nu_{s}$と有理数の列 2: $0=\sigma_{0}<\sigma_{1}<\cdots<\sigma_{s}=1$ の組としよう:$(\mathrm{L}\mathrm{S})$すべての $u=1,2,$$s-1$ について$\ldots,$$(\nu_{u}, \nu_{u+1})$に対する$\sigma_{u^{-}}$

chain が存在する.
Lemma 2.1.4 ($[\mathrm{L}2$, Lemma 4.5 )$\mathrm{a}$

$])$

. 条件

(2.1.1) で定まる区分的に線形で連続な写像
かつ $\pi(1)\in P$ となる

すなわち,Definition 2.1.5. 条件
path

$\pi$

:

$[0,1]arrow \mathfrak{h}_{\mathrm{R}}^{*}$す) と呼ぶ.

$\mathrm{B}(\lambda)$$(\mathrm{L}\mathrm{S})$を, shape

で shape$\lambda$

$\pi$

の

$\pi$

を満たす

$\pi=(\underline{\nu};\underline{\sigma})$に対して: $[0,1]arrow$ 城を考えると, $\pi(0)=0$

は path となる.

を満たす組$\lambda$$(\mathrm{L}\mathrm{S})$$\pi=(\underline{\nu};\underline{\sigma})$に対して (2.1.1) で定まるの Lakshmibai-Seshadri path (LS path$\mathrm{L}\mathrm{S}$path 全体の集合を表す.

Remark 2.1.6. LS path の定義から以下のことが容易に分かる: 「任意のと $w\in W$ に対して,$\mathrm{B}(\lambda)=\mathrm{B}(w\lambda)$と略が成立する」$\lambda\in P$

134

2.2

Root operators.

と $j\in I$ に対して,$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$

for $t\in[0,1]$ ,$H_{j}^{\pi}(t):=(\pi(t))(h_{j})$$m_{j}^{\pi}:= \min\{H_{j}^{\pi}(t)|t\in[0,1]\}$

,

とおく.

Remark 2.2.1 (したがって,$[\mathrm{L}2$

は$m_{j}^{\pi}$$0$, Lemma 4.5 )$\mathrm{d}$

$])$

. 関数

以下の整数であり,$H_{j}^{\pi}(t)$の極小値はすべて整数である.
は$H_{j}^{\pi}(1)-m_{j}^{\pi}$

さて, 上の注意を踏まえて, (raising) root operator
う. まず,$m_{j}^{\pi}=0$symbol である.

$e_{j},$のときは, $e_{j}\pi:=0$ と定める. ここで,

$m_{j}^{\pi}\leq-1$

以上の整数である.

$0$$j\in I$
$0$は, の定義を述べよ$\mathrm{B}(\lambda)$に含まれないの場合は,$\pi(t)$$(e_{j}\pi)(t)=\{$ $\pi(i_{0})+r_{j}(\pi(t)-\pi(t_{0}))$,if$0\leq t\leq t_{0}$if$t_{0}\leq t\leq t_{1}$,

if $t_{1}\leq t\leq 1$ ,$\pi(t)+\alpha_{j}$と定める. 但し,$t_{1}:= \min\{t\in[0,1]|H_{j}^{\pi}(t)=m_{j}^{\pi}\}$,$t_{0}:= \max\{t\in[0, i_{1}]|H_{j}^{\pi}(i)=m_{j}^{\pi}+1\}$(Remark 2.2.1 より,$H_{j}^{\pi}(i)[]\mathrm{h}[t_{0},$ $t_{1}]$次に, (lowering) root operator$f_{j}\pi:=0$と定め,$H_{j}^{\pi}(1)-m_{j}^{\pi}\geq 1$

で狭義単調減少していることが分かる).

$f_{j},$$j\in I$ ,だが, $H_{j}^{\pi}(1)-m_{j}^{\pi}=1$ の場合は,の場合は,if $0\leq t\leq t_{0}$ ,$\pi(t)$$(f_{j}\pi)(t)=\{$ $\pi(t_{0})+r_{j}(\pi(t)-\pi(t_{0}))$if$t_{0}\leq t\leq t_{1}$$\pi(t)-\alpha_{j}$if$t_{1}\leq t\leq 1$,,と定める. 但し,
$t_{0}:= \max\{t\in[0,1]|H_{j}^{\pi}(t)=m_{j}^{\pi}\}$,$t_{1}:= \min\{t\in[t_{0},1]|H_{j}^{\pi}(t)=m_{j}^{\pi}+1\}$(Remark 2.2.1 より,$H_{j}^{\pi}$($t\rangle$

は [to,$t_{1}]$

で狭義単調増加していることが分かる).

135

Theorem 2.2.2$\mathrm{B}(\lambda)\cup\{0\}$$([\mathrm{L}2,$\S 2, \S 4] . 任意の$)$$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$

for
for
for

$\epsilon_{j}(\pi):=\max\{n\geq 0|e_{j}^{n}\pi\neq 0\}$$\varphi_{j}(\pi):=\max\{n\geq 0|f_{j}^{n}\pi\neq 0\}$と定めると,

3
3.

$j\in I$に対して

$e_{j}\pi,$$f_{j}\pi\in$となる. さらに,$\mathrm{w}\mathrm{t}(\pi):=\pi(1)$

$\{$

と

$\mathrm{B}(\lambda)$$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$,$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$

and $j\in I$ ,$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$

and $j\in I$ ,は ( $P$ を weight lattice とする) crystal となる.

[NS4] の主結果.
$\mathrm{i}$$\mathrm{B}(\lambda)$$\lambda\in P$の connected component について.

に対して,$\mathrm{B}(\lambda)$

まず, level-zero dominant なの crystal graph に connected component がどのくらいあ

るか, また, その connected component 同士がどのような関係にあるかを述べる.

まず, 以下のことに注意する.

Remark 3.1.1$\sum_{\dot{\iota}\in I_{0}}m_{i}\varpi_{i}+n\delta$

で,ら,$([\mathrm{N}\mathrm{S}4, \S 3.1])$($m_{i}\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$$\lambda’=\sum_{:\in I_{0}}m_{i}w_{1}$$\mathrm{B}(\lambda’)$と$\mathrm{B}(\lambda)$. Level-zero dominant integral weightfor$i\in I_{0}$and$n\in \mathbb{Z}$$\lambda$}$\mathrm{h},$) と書くことが出来る.

$\lambda=$

こことおく. このとき, LS path の定義と root operators の定義かは, crystal として, ほぼ同型であることが分かる

は完全に同型. 違いは weight が–斉に(crystal graph-shift されているだけ) したがって, 我々$n\delta$の目標のためには, $n=0$ の場合を考えれば十分である.
以下, level-zero dominant integral weight$\lambda=\sum_{i\in I_{0}}m_{i}w_{i}$を fix する.

$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}_{\geq 2}(\lambda):=\{i\in I_{0}|m_{i}\geq 2\}$

Turn
とおく.

$( \lambda):=\bigcup_{\geq 2}\{q/m_{i}:\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\lambda)|1\leq q\leq m_{i}-1\}$$s:=\neq \mathrm{T}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{n}(\lambda)+1$とし,Turn $(\lambda)\mathrm{U}\{0,1\}=\{0=:\tau_{0}<\tau_{1}<\tau_{2}<\cdots<\tau_{\epsilon-1}<\tau_{\delta}:=1\}$と並べておく. さらに, $1\leq u\leq s-1$ について, んの既約分数表示を $\tau_{u}=q_{u}/p_{u}$とし,$I_{0}$( ,Pu)$\lambda$$:=\{i\in I_{0}|m_{i}\in p_{u}\mathbb{Z}\}$

とおく.

136

Theorem 3.1.2 ($[\mathrm{N}\mathrm{S}4$, Theorem 3.1.1]). (1)crystal graph$\mathrm{B}(\lambda)\text{の}$$\text{の}\Leftrightarrow$connected

component は以下の形をした pair で定まる LS path を必ず唯–っ含む:$(\lambda-N_{1}\delta, \ldots, \lambda-N_{\epsilon-1}\delta, \lambda ; \tau_{0}, \tau_{1}, \ldots, \tau_{s-1}, \tau_{s})$with$N_{u}-N_{u+1} \in\sum_{j\in I_{0}(\lambda,p_{u})}m_{j}d_{j}\mathbb{Z}_{\geq 0}$

ここで, $N_{s}:=0$ であり,

$d_{j},$$j\in I_{0}$for,$1\leq u\leq s-1$

.

(311)

は, $\{n\in \mathbb{Z}|w_{j}+n\delta\in Ww_{j}\}=\mathbb{Z}d_{j}$ で定まる

正の整数である.

(2) 逆に (3.1.1) の形の pair は shape$\lambda$の LS path を定める.

さて, LS path の定義から, straight line

LS path であることが分かる.

$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$$\pi_{\lambda}(t)=t\lambda,$

を straight line$\pi_{\lambda}$$t\in[0,1]$ ,を含むが shape$\mathrm{B}(\lambda)$$\lambda$のの connectedcomponent とする.
(a) まず, root operators の定義から,$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$と (3.1.1) の形の LS path を含む

connected compoenent は, crystal として, ほぼ同型であることが分かる (crystal
graph は完全に同型 違いは weight が–斉にしたがって, Theorem 3.1.2 (1) より,$\mathrm{B}(\lambda)$の$\delta$の無塩か shift されているだけ)

crystal graph は,$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$の crystalgraph のコピーから成っていることが分かる.
(b) さらに, Theorem 3.1.2 より, それらのコピーは以下の条件を満たす非負整数の
列 $(N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{\epsilon-1})$ 全体で parametrize されることが分かる:$N_{u}-N_{u+1} \in\sum_{j\in I_{0}(\lambda,p_{u})}m_{j}d_{j}\mathbb{Z}_{\geq 0}$

上の (a), (b) から,$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$$(1 \leq u\leq s-1;N_{\iota}:=0)$の様子が分かれば,$\mathrm{B}(\lambda)$

全体の様子も分かるというこ

とになる.

3.2

$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$

componentの crystal strucure について.
$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$の crystal

このサブセクションでは, connectedとしての構造について述べる. そのために, まず, 記号の準備と [NS3] の主結果について復習をする.

cl :$\mathfrak{h}_{\mathrm{R}}^{*}arrow \mathfrak{h}_{\mathrm{R}}^{*}/\mathrm{R}\delta$

対して,$\mathrm{c}1(\pi)$:を canonical projection とする$[0,1]arrow \mathfrak{h}_{\mathrm{R}}^{*}/\mathrm{R}\delta$

path

$\pi$

: $[0,1]arrow$ 城 にを $(\mathrm{c}1(\pi))(t):=\mathrm{c}1(\pi(t)),$ $t\in[0,1]$ , で定義し,

137

とおく. 論文 [NS3] における主結果は以下の定理で$\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}:=\{\mathrm{c}1(\pi)|\pi\in \mathrm{B}(\lambda)\}$ある.

Theorem 3.2.1. (1)$\mathrm{B}(\lambda)_{\text{。}1}$に以下の (3.2.1) によって ($P_{\mathrm{c}1}:=\mathrm{c}1(P)$を$\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}$lattice とする) crystal structure を定義することが出来る:$e_{j}\mathrm{c}1(\pi)=\mathrm{c}1(e_{j}\pi)$,$f_{j}\mathrm{c}1(\pi)=\mathrm{c}1(f_{j}\pi)$,$\{$ $\epsilon_{j}(\mathrm{c}1(\pi))=\epsilon_{j}(\pi)$,$\varphi_{j}(\mathrm{c}1(\pi))=\varphi_{j}(\pi)$,for$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$

and $j\in I$ .

(3.2.1),$\mathrm{w}\mathrm{t}(\mathrm{c}\mathrm{l}(\pi))=\mathrm{c}\mathrm{l}(\mathrm{w}\mathrm{t}(\pi))$

但し, c1(O) $=0$ と定める.
(2)$\lambda=\sum_{i\in I_{0}}m_{i}\varpi_{i}$$\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}[] 2,$$W(\varpi_{i})$次に,$(a_{\overline{\mathit{0}}^{1}}\mathbb{Z})$は$U_{q}’(\mathfrak{g})- \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e}\otimes_{1\in I_{0}}W(w:)^{\otimes m_{i}}$$[\mathrm{K}\mathrm{a}s2]$$\mathrm{B}(\lambda)_{\text{。}1}$

operators$e_{j},$$\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}$と$\delta$の元 $(\eta, n)$ を$f_{j},$$j\in I\text{を}$$\eta\otimes z^{n}$ここで, aff:
すと書くことにする.

$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}arrow P$

は,

を

このとき,

$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}$はに対する Kashiwara$\mathrm{w}\mathrm{t}(\eta\otimes z^{n}):=\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}(\eta(1))+n\delta$

最後に$\epsilon_{j}(\eta\otimes z^{n}):=\epsilon_{j}(\eta)$

Theorem 3.2.2.

$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}$$a\mathit{0}$$f_{j}(\eta\otimes z^{n}):=(f_{j\eta})\otimes z^{n-\delta_{j,0a_{0}^{-1}}}$$\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}(\mathrm{c}1(\alpha_{j}))=\alpha_{j},$の section であるで定める. このとき, [$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}:=\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}\cross$,$\mathfrak{h}^{*}/\mathbb{Q}\deltaarrow \mathfrak{h}^{*}$$\mathrm{c}1:\mathfrak{h}^{*}arrow \mathfrak{h}^{*}/\mathbb{Q}\delta$

まず,-module である.

$=$

$e_{j}(\eta\otimes z^{n}):=(e_{j\eta})\otimes z^{n+\delta_{j},0a_{0}^{-1}}$で定義する. さらに, wt :$U_{q}’(\mathfrak{g})$の直積集合). ここで,

$a_{0}^{-1}\mathbb{Z}$( における。0 の係数)

このとき,と同型である. ここで,において導入された level-zero fundamentalと置く (すなわち,$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}$の crystal baseの affinization を以下のように定義する$a_{0}=$

以下,

を level-zero dominant integral weight とする.

$\mathrm{N}\mathrm{S}4$$j\in I_{0}$$\epsilon_{j},$$\varphi_{j}$:, および,

で定義する.

$\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}(P_{\text{。}1})\subset P$$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}arrow \mathbb{Z}_{\geq 0}$

を満たを$\varphi_{j}(\eta\otimes z^{n}):=\varphi_{j}(\eta)$, Proposition 4.1.2 and Theorem 4.2.2] より,$\lambda=\sum_{:\epsilon I_{0}}$miwi を level-zero dominant integral weight とする.

は ( $P$ を weight latticeとする) crystal になる. さらに, 以下の138

crystal isomorphism が存在する:$\mathrm{O}-:\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}arrow\sim$$\mathrm{B}_{0}(\lambda+M\delta)$$\mathrm{u}$$M\in a_{0}^{-1}\mathrm{Z}$$0\leq M<d_{\lambda}$

ここで,$d_{\lambda}\in \mathbb{Z}_{>0}$は$\{m_{1}d_{1}\}_{i\in I_{0}}$の最大公約数である.

したがって , connected component

いうことになる. それでは,$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$$\Theta^{-1}(\mathrm{B}_{0}(\lambda))$は, affinization$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}$の subcrystal とは何になるだろうか ? 結果を述べる前に,以下の注意をする.

Remark 3.2.3. (1) 任意の[$\mathrm{N}\mathrm{S}4$(2), Lemma 4.2.3]$)$$\eta\in \mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}$,$Q_{+}:= \sum_{j\in I_{0}}\mathbb{Z}_{\geq \mathit{0}}\alpha_{j}\circ$

Theorem 3.2.4 (with$[\mathrm{N}\mathrm{S}4$$\alpha\in a_{0}Q_{+}1^{\mathrm{O}}\bm{\mathrm{t}}\mathrm{d}n’\in a_{\overline{\mathit{0}}^{1}}\mathbb{Z}$$\mathrm{B}(\lambda)${$\eta\otimes z^{n}\in\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}}|$条件$(\mathrm{C})$とし, $\pi(1)=\lambda-\alpha+n’\delta$ とする (Remark 3.2.3 参照) このとき,(1), Lemma 2.6.4]):.

, Corollary 4.2.7]).

$\pi\in \mathrm{c}1^{-1}(\eta)\cap \mathrm{B}_{0}(\lambda)$

まとめ.

$[\mathrm{N}\mathrm{S}4$.

$\Theta^{-1}(\mathrm{B}_{0}(\lambda))=$3.3

である (see.

$\pi(1)=\lambda-\alpha+n’\delta$(C)$\mathrm{c}1^{-1}(\eta)\cap \mathrm{B}_{0}(\lambda)\neq\emptyset$のとき, $\pi(1)$ は以下の形をしている (see$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$

ここで,

に対して

$n’-n\in d_{\lambda}\mathbb{Z}$の crystal graph は,}$a\in a_{0}^{-1}[mathring]_{+}_{Q},$$n’\in a_{0}^{-1}\mathbb{Z}$;.
$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$の crystal graph のコピーから成っており, それらのコピーは以下の条件を満たす非負整数の列 $(N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{s-1})$
全体で parametrize される (Thmrem 3.1.2):$N_{u}-N_{u+1} \in\sum_{j\in I_{0}(\lambda,\mathrm{p}_{u})}m_{j}\mathbb{Z}\geq 0$(2) コピーの元である$(a_{\overline{\mathit{0}}^{1}}\mathbb{Z})$の$\mathrm{B}_{0}(\lambda)$$(1\leq u\leq s-1;N_{s}:=0)$

は, 条件 (C) を満たす元全体のなす

subcrystal に同型である (Theorem 3.2.4).

zero hndamental
orem 3.2.1).

$U_{q}’(\mathfrak{g})$

ここで,

.

$\overline{\mathrm{B}(\lambda)_{\text{。}1}}=\mathrm{B}(\lambda)_{\mathrm{c}1}\mathrm{x}$$\mathrm{B}(\lambda)_{\text{。}1}$

は, level--module のテンソル積の crystal baee に同型である (The-

139

3.4

残っている問題.

crystalころが,$\mathrm{b}\mathrm{a}s\mathrm{e}$$\lambda$が$\lambda=m\varpi_{i}$のとき,$\mathrm{B}(\lambda)$

は extremal weig.ht module のと同型であることが, 論文 [NS1], [NS2] において, 示されている. と$m\varpi_{i}$の形でないときは,$\mathrm{B}(\lambda)$

は extremal weight module の crystal

base と同型には決してならない ([NS4, Appendix]).
同型な crystal base を持つ$U_{q}(\mathfrak{g})$$\lambda$

が–般のときに,$\mathrm{B}(\lambda)$に-module が存在するかどうかは今のところ分かっ

ていない.

最後に.

今回, この研究集会で講演する機会を与えて下さった水川裕司先生に感謝いたします. ありがとうございました.

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$\mathrm{Q}\mathrm{A}/0510017$