2020.3.1 版

廣瀬文彦著

1大数・小数の接頭語
大数

SI 接頭語

小数

SI 接頭語103k

キロ

10-3ｍミリ

106

M メガ

10-6μマイクロ

109

G ギガ

10-9nナノ

1012

T テラ

10-12ｐピコ

よく使用するギリシャ文字
数学ではよくお目見えするギリシャ文字であるがこの際覚えておきたい。
αアルファβε イプシロン
x

カイ

λ

ベータγ

ガンマ

δデルタ

Δデルタ（δの大文字）

ηイータ

μミュー

ρ

ローラムダ

τφ

ファイ

ωオメガ

タウσシグマπdB デシベル換算表
電圧倍数

dB 値

電力倍数

SI 接頭語√2倍

約 3 dB√2倍

約 1.5 dB2倍

約 6 dB2倍

約 3 dB

10 倍

20 dB

10 倍

10 dB

100 倍

40 dB

100 倍

20 dB

1000 倍60 dB1000 倍30 dB

10000 倍80 dB10000 倍40 dB

倍数分の一を計算するときは、dB 値をマイナスにすればよい。
例えば 1/1000 であれば、電圧では－60 dB となる。

2パイはじめに本書の狙い

筆者は今から 32 年前に国立大学の工学部電気系の課程を卒業したが、そもそもその課程を志望したのは電気回路を学びたかったからである。中学高校の時代より、オーディオや短波ラジオをいじるのが好きで、まずは回路を自由に読んで、自分で設計したいとおもっていた。その夢は大学時代の電気回路と電子回路の授業を通してかなえられ、卒業するころには自分で引いた回路図でアンプを作り、音出しをするなど、多いに満足することとなった。そのまま卒業研究も回路の研究をしたかったが、大学の研究室で電子回路をテーマとするところを見つけられなかった。今となってわかることだが、回路設計自体は真空管時代でほぼ確立しており、理論や LSI としての研究はあるものの、研究の最前線ではそれがどう応用されるか、産物の追求になっていたのが事情だったと思う。もちろん回路の研究をされている方もいらっしゃるので、皆無であるというわけではない。
その後筆者は、半導体薄膜合成の研究に関わり、それが今の専門につながっているが、回路の知識はずっと役立ってきた。電気回路は計測をするための基礎であり、信号をピックアップして処理してレコーディングするのに利用される。そして電気回路はエネルギー輸送の手段でもあり、プラズマの制御においても電子材料の研究者として多いに活用してきた。しかも電気回路は多方面の数学の知識を活用しており、回路問題を解くことは、行列、複素数、微分、積分、微分方程式、フーリエ級数、ラプラス変換の知識を実践する場としてこれら知識を生々しく体験する場でもある。これら数学が、工業分野で大いに役立つことは言うまでもないことである。長々と書いたが、回路を学ぶことは大いに役立つということをいいたいだけである。
この教科書を作成したのは、電気回路を学ぶ学生のため、そして社会人として回路を学びなおしたい方に手軽に役立ててほしいと思ったからである。多くの学生が電気回路を苦手としているが、それは上記数学の習得が不十分であるからである。数学の教科書を見に行かずとも、この一冊で学べるように作ってみた。
私なりの工夫として、教科書を二段組みにしている。これは視線を大きく移さなくてお読み取りやすいようにするためである。高校時代に使っていた Z 会の「物理・化学の要点」という本が二段組みで実に読みやすくの、その影響を受けたためである。本書のレベルであるが、基礎は、普段の授業に参考書に、大学院の入試の勉強にも使っていただければと思う。全国の入試問題についても例題にいれて解説していく予定である。2020 年から最初の抵抗回路から執筆をはじめ、同年夏を目標に完成させたいと考えている。
本書を執筆するにあたり、回路図作成において水魚堂の回路図エディタ Bsch（https://www.suigyodo.com/online/schsoft.htm）を活用している。作者の岡田仁史氏には快く許可をいただき、深く感謝申し上げる次第である。
2020 年 3 月 10 日3

第1章

基礎編

~抵抗回路~

抵抗回路は電気回路の基本であり、それをもとに交流回路へと勉強が進む。多くの電気回路の計算法は抵抗回路で学ぶことができる。私の授業では、単に抵抗の計算だけではなく、電圧と電位の考え方、キルヒホッフ、テブナンの定理を、交流を勉強する前に教えることにしている。そうするのは、計算量がさほど多くない直流を主体とした回路で、これらの概念を効率よく学ぶことができるからである。肩の力を抜いて学んでほしい。

1. 抵抗とはR電気回路で抵抗(resistor, resistance)と直方体の長さ（直方体の断面積（は抵抗器のことを意味し、電流の流れを制L限する機能をもつ。単位はΩ（オーム）であρSり、回路記号は次の通りである。四角のボックス標記でも、波線でもよい。なお抵抗の波線の山の数は 3 個でも 4 個でもよいとされ両端の抵抗が Rている。この教科書では、波線で標記する。
抵抗の逆数をアドミッタンス Y といい、ボックスは日本では高校の物理の授業で使その単位は S（ジーメンス）でる。

われ、大学になると急に波線に代わるため、戸惑う学生もいるようである。海外の図面
ではボックスが多用されている。

2. オームの法則
抵抗 R［Ω］に電流 I[A]が流れるときに、その両端には電圧 E[V]が発生する。
このときに、次の比例式が成り立ち、これをオームの法則という。

𝐸＝𝑅 ∙ 𝐼
図 1 抵抗の書き方となる。ここで覚えておきたいのは電圧のそもそも抵抗（抵抗器）は導電性の物質、向きである。電流が入り込む方が＋、電流例えばカーボンなどの材料に、二対の電極が出ていく方向が－となる。この関係は当を付けた構造をしており、その物質の体積たり前であるが、混乱する学生さんがいる

抵抗率（単位長さの立方体の対する面間のので、あえて書いた。なお電圧の発生の向抵抗）をρとしたときに、全体の抵抗 R は、きを図のような矢印で表すが、矢印の先が直方体を考えた場合、次のように計算され＋の電圧となる。

る。
4

電流が入る方をプラスと覚える

図２

電流の向きと発生する電圧の向き
図 4 並列抵抗の計算

このほか覚えておきたいのが電力 P の式である。抵抗に電流を流すとジュール熱がここで、いくつか簡単に計算を済ませる発生し、電力消費がおこる。消費された電力量は単位が J（ジュール）となるが、単テクニックを示す。

位時間の１秒当たりの電力量が電力であり、単位は W（ワット）である。抵抗回路① 二並列抵抗においては、次の関係式がなりたつ。

いちいち逆数をとることは面倒であり、少しでも時間の短縮になるので、覚えてお𝑉
𝑃＝𝑅 ∙ 𝐼 ＝𝑅

こう。

3. 直列抵抗と並列抵抗の計算
抵抗が直列に接続されときの全抵抗（合成抵抗）は各抵抗の総和となる。
二並列抵抗

この式はそのまま𝑅

覚えましょう② 同一抵抗の式
図 3 直列抵抗の計算

同一の抵抗値 R1 を持つ抵抗が、ｎ個直列の場合、抵抗もそのｎ倍となる。並列の場合は 1/n となる。

このような場合、合成抵抗は
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅⋯

ｎ個直列抵抗となる。

𝑅並列抵抗の場合、その逆数を足して、その総和の逆数が合成抵抗になる。
1𝑅

1𝑅

1𝑅

1𝑅1𝑅n𝑅1ｎ個並列抵抗⋯𝑅5𝑅1nここまで読まれて、当たり前と思われたの電荷を、とある点から目的とする点に運方も多いと思う。そう思うならつぎの練習ぶのに必要なエネルギー（要した仕事）問題をやってみてほしい。

が、目的とする点と元の点と間の電圧となる。

例題１次の合成抵抗を求めなさい。

電位について説明する。基準となる点（場所）としてその部分の電位をゼロとしたときに、これを電気回路ではアース（英語で ground）という。回路では、次のような記号を使う。

左側と右側の違いであるが、左側が装置上解法）回路において、数値が直接書かれてのアース、例えば筐体のアースであり、右いる場合、単位の明記がなくても抵抗では側が地面に落とすアースとされているが、単位はΩである。1kΩの場合は 1k と書く

厳密に使い分けされないことも多い。

ので慣れていただきたい。

電位は、回路におけるアースとその点と素直に逆数を足し算する方法で並列抵抗の間の電圧であり、アースに対してその点を計算してもよいが、計算量が多くなり、がプラスの電圧であれば、プラスの電位で計算ミスが懸念される。その場合、電卓があるといえる。つまり、テスターの黒棒がないと暗算になりつらい。

アース、赤棒をその点にさし、計測される考え方としては、5Ωを 10Ωの 2 本の並電圧が電位となる。

列と考える。2.5Ωは 4 本、2Ωは 5 本、１電気回路では複雑な回路ほど電位を使Ωは 10 本と考える。つまりこれら抵抗はう。これは、電位が分かれば、2 点間の電1（1０Ωの分）＋2＋4＋5＋10 で合わせ圧や電流の向きを迷わずに判断できるからて、22 本の抵抗が並列になっているとみである。

なし、10/22=5/11（0.455）Ωと計算できる。これは、覚えておくと得するテクニッ

例題２次の回路における、A、B、C、Dクである。

点の電位を求めなさい。また電圧 VCD を求めなさい。

4. 電圧と電位複雑な合成抵抗を計算する方法を教授す
る前に、電圧と電位について説明する。電圧とは２点間にかかっている電位差のことである。テスターでもって２端子間に針をつけて、電圧計測モードにして表示される電圧値のことである。電磁気学では、１C6解説）この回路において、アースのマーク

いては、各素子にかかる電圧は、印加電が電位の基準となるので、アースでつなが圧×各素子の抵抗÷全直列抵抗になる。っている線の全部が電位０V である。A 点

数式で書くとこのようになる。

では＋100V の電圧がかけられており、A𝑉 ＝𝐸点の電位 VA は 100V である。電位 VB は𝑅∑ 𝑅

120V となる。電位 VC であるが、100Ωのつまり、直列回路において各素子の電圧２直列抵抗に 120V の電圧がかけられておは、各素子の抵抗の大きさに比例して配り、その半分がそれぞれの 60V にかけら分されるということである。後の章で扱れている。つまり、アースに対して、う、交流回路の計算においては、上記の100V の電圧がかけられており、VC＝60V「各素子の抵抗」を「各素子のインピーとなる。VD＝100V となる。（詳しくは次ダンス」と置き換えてもらってもよい。

節で説明）

この計算を覚えることで、いちいち直列二点間の電圧は、2 点間の電位の差にな抵抗に流れる電流を計算しなくてよいこる。具体的には、（測定点の電位）―（基とに気付いてほしい。計算ミスを減らす

準とみなす点の電位）になる。

有効な方法で、ぜひ使い慣れてほしい。

𝑉 ＝𝑉𝑉

60𝑉

ここで－の電圧がでているが、D 点に対して C 点は 60V だけ低い電圧がかかってい例題 3るということになる。

電位を求めよ。

次の回路において、A 点、B 点の少々わかりにくいが、電圧を定義すると
きに、○○点に対して、△△点の電圧という言い方をする。これはテスターの黒棒が○○点で、赤棒が△△点として測った電圧のことである。この場合、図では矢印で、元が電圧の基準と矢先が測定点を表す。

5. 直列回路における電圧分割の法則
解答）

電気回路は、直列回路と並列回路の組

この回路は 20Ωと 10Ωと 70Ωの直列み合わせであり、各素子にかかる電圧を回路である。全直列抵抗は 100Ωである。

頻繁に計算することになる。

70Ωの抵抗に 100V×70/100＝70V の電圧がかかり、B 点の電位は 70V となる。10Ωの抵抗には、100V×10/100＝10V の電圧がかかる。A 点はアース点に対して 70＋10Vの電圧がかかり、A 点電位は 80V となる。
図のような回路において、直列回路にお7例題 3次の回路で 10Ωに流れる電流を計𝐼算せよ。

𝐼∙

1𝑅
1𝑅

1𝑅

𝐼∙

𝑅𝑅𝑅

この式は結果だけ覚えておいてもよい。もしたくさんの並列回路であれば、各並列の素子のアドミッタンスを足し合わせたもので各素子のアドミッタンスを割ることで電流の分配率を計算することができる。
この回路においても、直列回路における電圧分割の法則が使える。
20Ω2 個と 10

例題 5Ωの並列抵抗部分は、5Ωの抵抗とみなせる電流を求めよ。

次の並列回路において１Ωに流れる。そこで暗算で全抵抗が、2＋4＋5 で 11Ωと計算できる。並列抵抗部分にかかる電圧は 100V の 5/11 であるので、A 点の電位は 500/11 V となる。10Ωに流れる電流
i は 500/11÷10＝4.55 A となる。ここに示すように、この程度の回路なら、直列回路における電圧分割の法則をつかえば、この場合、角抵抗のアドミッタンス（抵抗暗算で計算が可能ということである。の逆数）を足し合わせると、0.5+0.1+0.2+1=1.8 S(ジーメンス)になる。I1＝1×1/1.8＝0.556 A と計算される。

6. 並列回路における電流分配の法則
並列回路に電流が流れるときには、各7. 電圧源と電流源

素子の抵抗（インピーダンス）の逆数に比例して電流は分配される。言い換えれ電気回路における電圧源と電流源についば、各素子のアドミッタンスに比例してて説明しておきたい。電圧源は直流と交流電流は分配される。次のような 2 素子での記号が異なる。交流の＋の明示である

あれば、R1 に分配される電流は次のようが、瞬時の電圧や位相を数式として記載すに計算される。

る場合は、上下どちらを基準とするかを明示するためにつけられる。定電流源は図の矢印の通りに電流を出力する。

＋𝐼𝐼∙

1𝑅
1𝑅

1𝑅

𝐼∙

𝑅𝑅

𝑅

電圧源(直流)8電圧源（交流）

定電流源

回路において、電流が分岐したり合流したりする接点における電流の流れ込む総和は 0 である。

電圧源は、電気回路学ではその二端子間に決められた電圧を維持するよう、無限大の電流を供給できる能力があるとして扱われる。机上の話になるが、電圧源を短絡させた場合、電圧源は∞の電流を流すことにI1なる。

I3電圧源のインピーダンス（直流の場合はI4抵抗）であるが、そこを流れる電流が変化
I2しても、両端の電圧は常に一定であるので、⊿V／⊿I はゼロとなり、すなわち電図のように 2 つの電流が接点（図では圧源のインピーダンスはゼロとなる。一黒点）に入り、2 つの電流が接点から出方、定電流源のインピーダンスは無限大でていく場合、入ってくる電流を＋とし、ある。

出ていく電流をマイナスとして足し合わせるとゼロになる。つまり、

8. キルヒホッフの法則
1)電流の連続性

I1 + I2 - I3 - I4 = 0の式が成り立つ。

抵抗を含む回路素子が直列で接続され2)キルヒホッフの第二法則ていた時に、そこを通る電流はどの素子でも一定である。図のような異なる大き閉回路（閉ループ）において、起電力さの抵抗の直列においたときに、どこをの総和と電圧降下の総和は等しい。電圧通る電流も一定である。抵抗の大きさは降下は抵抗やコイルなどインピーダンス電流の流れにくさを示す指標であるが、に電流を流した時に、電流の流れ込む側直列にしたときには、どこも流れる電流に対して、電流が出ていく側の電位が下は一緒である。ただし直列電流は一番流がるが、その電位の降下分のことを言れにくいところで支配される。もし、各う。

素子で電流が違ったら、素子の接点で電荷が溜り、その電荷が強いクーロン力で周囲の電流の流れに影響を与えて、結果的にどこも一定の電流となるように働く。

このような回路の閉ループを考える場

2)キルヒホッフの第一法則

合は、このやじる方向に電圧を足し合わ9せていくと 0 となるということである。

次の行列方程式として、拡大係数行列を電流の方向が定義されている場合は、抵作成し、機械的に解けばよい。

抗では電流の流れ込む側を+としてくと201電圧の方向が分かりやすい。つまり、抵抗 R1 のとこで R1I1 だけ電圧が+になると考える。R3 と R4 の電圧降下はマイナスな041103 𝐼
3 𝐼 ＝ 101 𝐼0これを解くと次のようになる。

ので、マイナスとする。この閉ループで𝐼20⁄13𝐼 ＝ 10⁄13𝐼30⁄13は次の式が成り立つ。
R1I1＋R2I2+E1-R3I2+E2-R4I4 = 0

つまり、I1＝20/13 A、I2＝10/13 A、I3＝30/13 A と求めらる。
例題 6次の回路で、電流 I1 と I2、I3 を求

キルヒホッフの法則は万能であるが、計算が多少面倒である。回路の世界ではめよ。

この法則を使わなくても簡単な方法がいくつかあり、机上で計算するのであれば最後の選択肢と考えてほしい。一方、電圧源や素子の抵抗の値が数値で与えられ右左るのなら、表計算やプログラムを使って計算することは簡単である。

まず左ループでキルヒホッフの第二法則
向きによる+の部位を各抵抗に振ってい9. 複雑な回路の合成抵抗の計算事例＜発展＞る。この+とは実際に定義した方向と逆

ここではいくつか事例をもって計算すを適用する。わかりやすいように電流のに電流が流れていた場合、実際には－のる手段を教授したい。

電位になるが、これは計算上＋というだけである。

例題 7（左ループ）

しても合成抵抗に影響しない性質を活用し10－2I1－3I3＝ 0

た事例

次の回路の合成抵抗を求めなさい。

ただし一つの抵抗を 10Ωとする。

（右ループ）
10－4I2－3I3

同電位点は接続したり開放したり＝ 0

これだけでは 3 つある電流を決定できないので、キルヒホッフ第一法則を組み入れる。
I1 + I 2 ＝ I3
以上を 3 つの方程式を連立方程式として解けばよい。線形代数の知識のある方は10解法）このように対照的な抵抗網では、「同111510＋1215電位点を接続しても合成抵抗に変化はない」という性質を使う。この回路は左右対称で110218.6 Ωと求められる。

あり、両側の端子に電圧をかけたときに、中心線を通る接点は電位が等しいと考える。

例題 8つまり赤い線の接点を結んでしまう。

同じような回路がずっと無限につながっている事例
図の 10Ωの抵抗が無限につながっている
ときに図の 2 端子間の抵抗を求めよ。

また上下の対称性を考えた場合左右の緑の解法）上の図の点線で回路を切った場合、部分も同電位になるのでこのように結ぶ。

そこから右を見ても同じ抵抗になる。つま同電位として結んだ接点を考慮して回路をり求めようとする端子間の抵抗を R とした書き直すと次のようになる。

場合この回路は次のように書き換えることができる。

この回路の合成抵抗は10＝Rこちらの回路が左右対称に接続されているとなり、これを R に等しいとする。これをと考える。

解くと、
𝑅55√5 Ωと求められる。
この部分の抵抗は暗算で 15Ωと求まる。
例題 9キルヒホッフで合成抵抗を求める

事例

図の抵抗の合成抵抗を求めなさい。

ただし抵抗はすべて同じ値で 1Ωとする。
こちらは 10÷2×2 で 10Ωである。すると、全抵抗は11となる。

（解法）このようによく計算が分からない回路の抵抗は、実際に両端に 1[V]加え10. 内部抵抗と開放電圧定理たとして、各部分の電流を求めることで、合成抵抗を求めることができる。問題の回路は次のように書き直すことがでテブナンの非線形性をもたない電気回路においきる。て、二端子が形成されるときに、その二端子間は図のように電圧源一つと内部抵抗（インピーダンス）で表すことができる。この電圧源の値を開放電圧という。
これは抵抗回路だけではなく、L や C を含んだ回路でも成り立つ。

これで接点方程式をたてる。VA 点と VB点について、電流のキルヒホッフの第一法則を適用する。
I1 = I3 ＋ I5
I2 ＋ I5 = I4

この開放電圧と内部抵抗で表される回路

これらの式は、電位 VA と VB を用いて次は短絡電流源 Iｓと内部抵抗で次のようのように書き換えることができる。に書き換えることができる。
Rs等価VocIs

Rs

こちらの式はつぎの連立方程式に帰着する。
5𝑉2𝑉

このときに、
2𝑉5𝑉21

これを解くと、𝑉𝐼、𝑉の関係がある。この関係は二端子間が同と求めらじ電圧になるようにと考えれば容易に導れ、各電流はそれぞれ次のようになる。

くことができる。このテブナンの定理は、

I1＝3/7A、I2=2/7A、 I3=2/7A I4=3/7A、複雑な回路網の計算行うとき、最大電力

I5＝1/7A と求められる。I1 と I2 の総和はを供給するための計算に非常に威力を発5/7A である。１V をかけて 5/7A 流れる揮する。ぜひこの節で理解していただきのだから、合成抵抗はその逆数の 7/5Ωたい。
121) 開放電圧 Voc の決め方
二端子間に何もつながっていない状態（開放状態）での二端子の電圧を開放電圧（Voc）という。Voc は Voltage of opencircuit の略である。もし回路の中に複数の電圧源、電流源がある場合、重ね合わせての原理で解く。例題 11 を参考にしてほしい。

この両端の抵抗が内部インピーダンス Rs2)内部抵抗の求め方となる。

二端子間がつながっている回路網にお𝑅いて、①電圧源は短絡させ、②電流源は開𝑅

放として計算される二端子間の抵抗（イでとなる。この第二項は、R1 と R2 の並列ンピーダンス）が内部抵抗（内部インピー抵抗である。この結果はつぎのように書ダンス）となる。内部抵抗の標記に Rs がくことができる。

しばしば用いられるが、これは直列抵抗(Series Resistance)を意味する。
𝑉

例題 10

𝑅 ＝𝑅𝐸𝑅𝑅𝑅

次の回路を一つの電圧源と抵抗、𝑅 𝑅𝑅𝑅

また一つの電流源と抵抗を用いて表せ。
この回路はつぎのように書き換えることができる。
AIsRsB

このときに、Is は次のようになる。

解法）まず二端子の Voc を求める。R3 には全く電流が流れていないので、A 点の電位

𝐼は R1 と R2 の接点と同電位になる。この点の電位は、電圧分割の法則から求め、開放電圧 Voc は次のようになる。
𝑉

例題 11

重ね合わせの原理を使って解く

方法

𝐸～複数の電源と電流源が混在する場合～

つぎに内部抵抗 Rs であるが、電圧源 E0 を短絡させて、二端子間のインピーダンスを求める。
13

掲載するので、ぜひ使いなれてほしい。

11. 電力供給最大の法則
前節で説明したように、電源を含む線形回路網からなる二端子は、たった一つ電圧源と内部抵抗で表すことができる。

解法）

ここで、この二端子に抵抗からなる負荷開放電圧をもとめるには、重ね合わせの抵抗 RL を付けたときに、RL での消費電力原理を使う。具体的には、一つの電源のみをPL を計算して、二端子回路網からとれる生かし、他を殺してそのときの開放電圧を電力が最大となる条件を求めてみよう。

求めることを全部の電源について行い、それぞれの開放電圧の総和をこの回路の開放電圧とする。電源を殺すというのは物騒な言葉であるが、よく使われる言葉で、電圧源は短絡、電流源は開放するという意味である。順序通り求めていこう。

RL にかかる電圧と流れる電流の積にな

1) E0 を生かし、J は開放、E１は短絡
この時の開放電圧は、るので、である。

𝑃2) J を生かし、E0 と E１は短絡

このときは、J は R2 のみ流れるので、開となる。この式を変形すると、放電圧は JR２となる。

𝑃

3) E2 を生かし、E0 は短絡、J は開放まま出てくるので、開放電圧は E２となる。
以上の結果より 1)～3)の総和が実際のJR

𝑅2𝑅𝑅となる。相加平均≧相乗平均とする性質

この場合 E2 の電圧が二端子間にその開放電圧になる。Voc は𝐸𝑅から 𝑅𝑅 ＋𝑅 の最小値は 2𝑅𝑅

𝑅 ＝2R１となり、それがなりたつのは𝑅 ＝𝑅 ということになる。つまり分母が最小とい𝐸 とうことで、PL は最大になる。

なる。

つまり、二端子回路網から最大の電力短絡電流は、すべての電源を殺して、二を取り出す最大電力供給条件は、内部抵端子のインピーダンスを求めればよい。

抗と同じ負荷をつないだ時ということにすなわち E0 と E１は短絡、J は開放とするなる。と、𝑅𝑅となる。等価回路は例＊相加平均相乗平均y>0）がある。 𝑥

題 10 に示した通りになる。

2 つの実数 x、（y x>0、𝑦 ⁄2𝑥𝑦が成り立ち、等号が成り立つのは x= y のときである。

テブナンの定理を使った問題を章末に14