Internet 版 2020/7/22第7章

二階微分方程式と過渡現象

これまで、交流信号が定常的であるとして、回路を複素インピーダンスで線形方程式にして解く練習をしてきた。しかし、非定常な状態、これを過渡というが、このときの回路の電流や電圧の変化を求めるためには、微分方程式をたてて解く必要がある。やり方としては、数学的に微分方程式を解くか、ラプラス変換を使うかである。ここでは、微分方程式として二階微分方程式を使っての回路問題の解き方に慣れたいと思う。二階微分方程式は様々な物理現象でも見ることができ、回路の勉強を通して、制御や計測などに使う微分方程式問題の知識を得ることになる。

𝐴𝑚 𝑒１．二階微分方程式の解き方
次のような微分方程式の解を解くこと

𝑎𝐴𝑚𝑒𝑏𝐴𝑒0となり、𝑚を目標にしよう。

𝑎𝑚𝑏0となる。この方程式を解の公式を使って𝑦𝑎𝑦𝑏𝑦𝑚の値を求める。これは 2 次方程式であ(1)𝑐るので、判別式が正である場合は、実数解をもつ。判別式が 0 である場合は、重解y は時間ｔの関数であり、𝑦𝑑 𝑦𝑑𝑡𝑦となる。判別式が負であれば複素数の解

𝑑𝑦𝑑𝑡を２つもつ。とする。a, b, c はそれぞれ定数である。なお、ｃは強制項とも呼ばれ、ここを時間 t

判別式＞0 の場合の関数とする場合もある。この形の微分

αとβがｍの 2 次方程式の解とすると、
y=𝐴 𝑒

方程式を電気回路では解く機会は極めて

𝑎4𝑏0𝐴 𝑒が余関数となる。𝐴 、𝐴 は定数である。こ多い。
この方程式の一般解は、余関数と特解

れら定数は初期値から推定する。このとの和となる。この証明は数学の教科書に

きの余関数は基本的に単純な減衰波形あ任せたい。

るいは指数関数波形となる。

余関数の求め方

判別式＝0 の場合問題の式の右項（強制項）ｃを 0 とし、4𝑏0αを二次方程式の重解であるとすると、
y=𝐴 𝑒

余関数の候補として
𝑦𝑎𝐴 𝑡𝑒が余関数となる。𝐴 、𝐴 は定数である。こ

𝐴𝑒を代入して m を決定する。A は、y の初れら定数は初期値から推定する。このと期値 y(0)あるいは、収束値 y(∞)を参考にきの余関数も減衰波形となる。

決定する。
(1) 式の右項を 0 として、𝑦𝐴𝑒を代判別式＜0 の場合

𝑎4𝑏＜0αとβが m の 2 次方程式の解とすると、入すると、
62

Internet 版 2020/7/22

両者とも複素数になる。
y𝐴 𝑒

例題１ 次の二階微分方程式を解きなさ𝐴 𝑒い。
(1)が余関数となる。𝐴 、𝐴 は定数である。こ𝑦5𝑦6𝑦3𝑦𝑦3𝑦0𝑦5𝑦6𝑦𝑡𝑦𝑦

れら定数は初期値から推定する。このときの余関数は振動波形、あるいは振動し(2)ながら減衰する波形になる。
特解の求め方c が定数であれ、y の特解は定数になる。

(3)y＝k（定数）とおいて、k を決定すればよい。k の一階微分、二階微分ともに 0 にな(4)るので、(1)式は
bkc𝑦𝑒となり、特解はy解答となる。

(1)この場合、まず右辺をゼロとして、以上余関数と特解がもとまったところ𝑦で、この微分方程式の一般解は𝐴𝑒とおいて解いてみる。

y= 余関数＋特解
5𝑦𝑦が答えになる。

6𝑦𝐴𝑚 𝑒5𝐴𝑚𝑒

6𝐴𝑒0[特解の候補]𝑦𝑎𝑦𝑏𝑦𝑐𝑚において、右辺のｃが時間の関数である場合、特解の候補𝑚として次があげられる。
右辺関数 c(t)特解の候補になる。

注）候補ということで必ず当てはまる訳ではない。

定数 𝑙
時間ｔの多項式
𝑙𝑙 𝑡 𝑙 𝑡⋯正弦波、余弦波
𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑙あるいは𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑙
指数関数
𝑙 𝑒5𝑚602, 3となり、余関数はつぎの二関数𝑦𝐴 𝑒𝑦𝐴 𝑒

したがって、この関数の和も余関数にな

定数 𝑘時間ｔの多項式
𝑘𝑘 𝑡 𝑘 𝑡⋯正弦波、余弦波る。
𝑦𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
この代わりに次を用いてもよい𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑘𝐴 𝑒𝐴 𝑒

特解であるが、右辺が定数であるため、特解を定数ｋとおいてみる。𝑦 と𝑦 は定数の微分となり、0 となる。

指数関数𝑘 𝑒𝑦60

5𝑦6𝑦6𝑘3

Internet 版 2020/7/22(3)12𝑘𝐴 𝑒𝑚

考えなくてよい。𝑦𝐴 𝑒𝐴𝑒

3𝑦𝐴𝑚 𝑒𝐴𝑚𝑒3𝐴𝑒031

𝑗√112

𝑦3𝑦𝑘𝑘

係数比較により、𝑘1, 𝑘以上より、特解は𝑦1𝑘 𝑡𝑡1となる。
𝑡ということになる。一般解は次の形になる。
𝑦0𝐴 𝑒𝐴 𝑒𝑡1(4)右辺をゼロとして、𝑦𝐴𝑒とおいて余関数を求める。となる。余関数は二関数の和となり、√𝑘 𝑡𝑦とおいて余関𝑚𝑚𝑘としてみる。

数を求める。

𝐴 𝑒𝐴 𝑒特解であるが、右辺がｔなので、特解を(2) この場合、右辺はゼロであり、特解は

𝑦02, 3と求められ、余関数は𝑦𝑦𝑚とおいて解いて次のようになる。

れば決定できる。

𝑦6となり、𝑚12𝐴 𝑒5𝑚となる。なお、𝐴 、𝐴 は y の初期値があ𝑦𝐴𝑒みる。すると、特性方程式は、一般解は余関数と特解の和となるので、
𝑦𝑦

これも√𝐴 𝑒𝑦𝑦𝑦

𝐴𝑚 𝑒𝐴𝑚𝑒0𝐴𝑒となり、𝐴 、𝐴 は初期値が与えられれば𝑚決定できる。これをさらに展開してみよ𝑚10う。
𝑦𝐴 𝑒√𝐴 𝑒√

1𝑚𝑗√32

この式のイメージを得るために、仮に、となる。したがって余関数は次のように𝐴計算できる。

𝐴 となる場合を考える。オイラーの式を使って展開すると、
𝐴 𝑒𝑐𝑜𝑠√11𝑡2𝑐𝑜𝑠𝑗𝑠𝑖𝑛√11𝑡2√11𝑡22𝐴 𝑒𝑦𝑐𝑜𝑠𝑗𝑠𝑖𝑛

𝐴 𝑒𝑒√

𝐴 𝑒𝑒√と求められる。
特解であるが、√11𝑡2𝑦𝑘0 𝑒 𝑡が候補となる。

√11𝑡2𝑦𝑦𝑦𝑘 𝑒𝑒と求められる。これは、振動しながら減衰していく波形になる。

より、𝑘611となる。

𝑘 𝑒𝑘 𝑒Internet 版 2020/7/22

一般解は特解と余関数の和で表される。 である。A を決定するのに、初期値を考慮𝑦𝐴 𝑒𝑒√𝑒𝐴 𝑒𝑒する。

√スイッチが ON された瞬間、コイルに𝐴 、𝐴 は初期値が与えられれば決定でき急に電圧がかかり、∞の抵抗のように振る。

る舞う。
（2 章参照）したがって、𝑖 00となるため、次のように答えが求められ２．過渡現象の計算事例
⼆階線形微分⽅程式の解法を使うとかる。

なりの種類の過渡現象を扱うことができ
𝑒𝑖 𝑡る。ここではいくつか事例をもって解いていくことにする。

i(t)の形は次のように書ける。
i(1)L-R 回路

𝐸𝑅

図のように L と R の直列回路がある。
ｔ＝0 でスイッチが ON されたときに、流れる電流 i(t)を求めてみる。

𝑡(2)C-R 回路
図のように C と R の直列回路がある。
ｔ＝0 のときにスイッチが ON されたときに、流れる電流 i(t)を求めてみる。C にはｔ＝0 のときに全く電荷が蓄えられていないとする。

この回路の微分⽅程式は次が成り⽴つ。
𝐸𝐿

𝑅𝑖𝐿𝑖

𝑅𝑖とおいて求める。
余関数として、𝑖 𝐴𝑒𝐿𝑖
𝑅𝑖 𝐿𝐴𝑚𝑒𝑅𝐴𝑒0よって、𝑚となる。余関数は𝑖 𝐴𝑒となる。特解数はこの回路の微分⽅程式は次が成り⽴つ。

𝑖𝐸となる。

𝑅𝑖(1)𝑄 𝑡 はコンデンサ C に蓄えられている電⼀般解は、𝑖 𝑡

𝑄 𝑡荷である。

𝐴𝑒62

Internet 版 2020/7/22𝑖である。電流の向きとして、コンデンサから出ていく⽅向に電流が定義されている
場合は、電流 i にマイナスをつけるので、注意が必要である。(1)式を時間微分すると、
𝑖𝑅𝑖

次の⽅程式がたてられる。
𝑑𝑖1
𝑄 𝑡𝐿𝑑𝑡𝐶0となる。これの余関数はつぎのようになる。

両辺を時間微分する。このとき i の⽅向
𝑖𝐴𝑒は、コンデンサから出ていく⽅向なので、i にマイナスをつける。

なお、初期値についてだが、コンデンサ急𝑖に電圧をかけられると、0Ωの抵抗として𝐿𝑖となる。

振る舞うために、初期電流は𝑖𝑖 0𝑖0𝐴𝑒

余関数として、𝑖𝐴𝑚 𝑒となる。よって、𝐴𝑒とおいて求める。
=0

したがって、𝑖 𝑡𝑒𝑚√𝑗となる。⼆つの解において係数 A が異なとなる。i(t)の形は次のように書ける。

ることもあり得るので、次のようになる。
i𝑖𝐸𝑅となる。

𝐴 𝑒√

𝐴 𝑒 √(2)

初期値であるが、L が∞のインピーダンスとして働く。したがって、𝑖 00となる。(2)式に導⼊すると、

𝑡𝐴𝐴0(3)

る電荷が放電されるとする。この電流波

また、t=0 のときに、コンデンサの両端の𝑄電圧は、𝐶 の電圧あるため、
𝐿（t=0）

形を求める。

がなりたつ。これを導⼊すると、(3)L-C 共振回路の事例
時刻ｔ＝0 でコンデンサにたまってい𝐿 𝐴𝐴63𝐴

√𝑗√

𝐴𝑗√

𝑗(4)

Internet 版 2020/7/22となる。の⼤別は微分⽅程式の係数にとる判別式(3)、(4)式より、で分類される。詳しくは、次の節で述べる。

𝐴√𝐴√

３．RLC 直列回路を題材にした電流波形の計算例と臨界制動𝑗𝑗

この回路を事例として、電流波形が指となる。⼀般解は次のように変形される。

数関数になるか、振動になるかを考えてみる

𝑖 𝑡

𝐴 𝑒√𝐴 𝑒 √𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴√=√𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠

𝑗1√𝐿𝐶1√𝐿𝐶𝑗2𝑠𝑖𝑛√𝑡

𝑗𝑠𝑖𝑛𝑡𝑗𝑠𝑖𝑛√1√𝐿𝐶1√𝐿𝐶𝑡𝑡𝑡𝑡

電流の回路⽅程式は次のように書くことができる。となる。これは、周期2𝜋√𝐿𝐶、周波数 f𝐸とすれば、𝑓𝑅𝑖𝐿両辺を時間で微分すると、⼆階微分⽅程式が得られる。

√

𝑅𝑖𝐿𝑖の振動波形になる。

𝑖0となる。
𝑄i

ここで特解は 0 であるので、余関数の√𝐿𝐶みを求めに⾏く。𝑖 𝐴𝑒とおくと、ｍに関する二次方程式が得られる。
𝑡𝐿𝑚

𝑅𝑚0

ここでｍの判別式をといて、ｍの解の性
⻑い計算であったが、慣れれば同じパタ質で分類する。

ーンの繰り返しである。技術者としての勘として、L と C が共存する回路では、

1) 判別式が正の場合振動波形は出やすいと覚えておくべきで𝑅ある。強制項が定数の⼆階微分⽅程式の0の場合であるが、この場合数学解は、指数関数か、定数か、あるいはm は二つの実数解をとり、余関数は次の振動、または振動減衰に⼤別されるが、そように書ける。二つの解をα、βとすれば64Internet 版 2020/7/22

𝑖 𝑡

𝐴 𝑒𝐴 𝑒𝐴となり、𝑅𝛼となる。したがって、電流 i(t)は

4𝐿𝐶𝑅𝑅

𝛽4𝐿
𝐶

𝑅𝑒𝑖

2𝐿𝑒となる。その概形は次のようになる。

2𝐿iとなる。ここで、判別式の条件より𝑅0であるため、
𝑡𝑅𝑅＜02) 判別式が負の場合となる。つまり、αもβも必ず、負の値を𝑅とる。
ここで電流 i の初期値を考える。コイル＜0の場合であるが、この場合は解α、βとも複素数となる。

は急激に電圧を変えると、∞のインピーダンスになるので、電流 i の初期値はゼロ𝛼になる。
𝑖 𝑡𝐴 𝑒𝐴 𝑒𝛽に𝑡＝0 を代入すると、
𝐴𝐴0𝐴 𝑒𝐴 𝑒4𝐿𝐶2𝐿𝑅𝑅𝐴 𝑒𝑒

𝐴 𝑒𝑒0ととなる。電流 i の初期値はゼロになること

すると、
𝑅𝑖より、

𝐿𝐴𝐴0となる。となり、𝐴 𝑒𝑗4𝐿
𝐶2𝐿𝑒

れてみる。コンデンサの電荷𝑄 0𝐸𝑅

𝐴 𝑒𝑖となる。この状態で、元の微分方程式にい𝐸𝑗

電流の式は、次のようになる。となる。
𝑖𝑅𝑒𝑖

𝐿𝐴 𝛼𝑒𝐸𝐴 𝑒|t=0𝛽𝑒

𝐿𝐴 𝛼𝐴 𝑒𝐴 𝑒𝛽𝑒𝑒𝑒となり、
この式で、𝑒65は指数関数的な減衰であInternet 版 2020/7/22とすると、上記等式はなりたつ。の部分は第 2 項と差し引きさり、𝑒れることで、振動関数𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝑖𝑘 の形で表される。

𝐴 𝑡𝑒となる。
𝐴 であるが、ｔ＝0 のときに、i=0 であ判別式が負の場合は、振動が徐々に減衰する波形となる。ただし、R がゼロの場り、合は、振動が永遠に持続する。

𝐸i

𝑅𝑖𝐿が成り立ち、これにいれて決定する。
𝐿𝐴 𝑡𝑒

𝐸𝐿𝐴 𝑒𝐸𝐿𝐴3) 判別式がゼロの場合以上より、0 は、余関数は次𝑖のようになる。
𝑖𝐴 𝑒i

これを代入してみる。ここで電流の初期𝑖0となる。

𝐴 𝑡𝑒𝑡以上、微分方程式で波形が大きく変わ

これを最初の微分方程式にいれると、
𝐿𝑖

𝑅𝑖

𝐿𝐴 𝑡𝑚 𝑒ることが分かった。判別式が正の場合は𝑖減衰、負の場合は振動減衰、そして判別式

2𝐿𝐴 𝑚𝑒𝑅𝐴 𝑒が 0 の場合も減衰となるが、正の場合に𝑅𝐴 𝑡𝑚𝑒

1𝐴 𝑡𝑒𝐶比べて減衰は速い。判別式が 0 のときを臨界制動いう。臨界制動は単純に、振動す

0𝐿𝑡𝑚

𝐸𝑡𝑒𝐿と求められる。

𝐴 𝑡𝑒

値がゼロなので、𝐴𝑒｜t=0𝑡

この場合 𝑅𝐿𝐴 𝑡2𝐿𝑚

𝑅るかどうかの分岐点であるだけではなく、
𝑅𝑡𝑚

1𝑡
𝐶

もっとも速やかに終値に収束する条件で0あるといえる。
二階微方程式で示される回路や制御シ

ここでステムにおいて、この臨界制動になるよ𝑚66

Internet 版 2020/7/22

うに素子の定数を選ぶことで、高速に信3. 次の回路でｔ＝0 のときに SW が OFF か号を安定させることが可能になる。これら ON に変わるときに、電流 i(t)の波は制御回路の高速応答のための基本的な形をもとめなさい。

概念として理解していただければ幸いである。
向学のために二階微分方程式の解説を中心に回路の過渡現象を計算する手法を解説した。以
上示された回路事例より複雑になる場合は、ラプラス変換を使って解くことになる。ラプラス変換は複雑微分方程式を変4. 次のような回路において、スイッチが数ｓとした代数式に替えて、解を求めてオンさせると、電流に振動波形が現れいく手法である。回路以外の分野でも非て、周辺に電磁ノイズが現れることが常に役に立つ知識である。これについて分かった。電磁ノイズを起こさないたは 8 章以降で解説していくことにする。

7章

めには R をどのような条件に設定すればよいか。

練習問題

1. 次の回路でに SW が ON となるとして、電流 i(t)の波形をもとめなさい。

2. 次の回路でｔ＝0 のときに SW が ON となるとして、電流 i(t)の波形をもとめなさい。

67

Internet 版 2020/7/22𝑖

7 章 練習問題略解
1.

𝑅 𝑖0

初期電流を求める。

ON 以前では、L は定常状態で 0Ωとみなし、i(0)は E/(R0＋R1)である。

＋SW オンの後は、次の微分⽅程式が成り－⽴つ。

𝐸𝐿

𝑅𝑖𝐿𝑖𝑅 𝑖この微分方程式の一般解は、𝑖 𝑡

この余関数はつぎのようになる。

𝐴𝑒𝑖 𝑡となり、𝑖 0𝑖 0𝐴𝐴𝑒より、である。

𝑖 𝑡𝑒𝐴となる。
より、𝑖 𝑡𝑒iとなる。

𝐸𝑅i𝐸
𝑅𝐸𝑅

𝑅𝑡

𝐸
𝑅𝑡

3.

ｔ＝0 以前は、コイル L に E/R[A]の電流が流れている。SW がオフになった瞬２.

間コイルがコンデンサにその電流を流そう

t＝0 以前では、C は∞抵抗の状態でとする。したがって、i(0)は E/R である。

あり、E[V]の電圧がかかっている。これがSW が ON になった場合、R0 と C の閉路

1𝑄 𝑡𝐶になる。ここを流れる初期電流は、E/R0𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡である。なお C の電圧の向きは図の⾚字で⽰す通りである。

両辺を時間微分する。このとき i の⽅向は、コンデンサから出ていく⽅向なので、i にマイナスをつける。

微分方程式は次のとおりである。

𝑄 𝑡𝑅 𝑖𝑖0となる。
68𝐿𝑖

Internet 版 2020/7/22

𝑖𝑖0𝐴𝑒

余関数として、𝑖𝐴𝑚 𝑒𝐴𝑒iとおいて求める。

𝐸𝑅=0𝑡

したがって、
0𝑚√𝑗𝐸𝑅となる。⼆つの解において係数 A が異なることもあり得るので、次のようになる。
𝑖𝐴 𝑒√

𝐴 𝑒 √4.

(5)後の回路⽅程式は次のようになる。となる。

𝑖 0E/Rなることより、(5)式に導⼊す

𝐿𝑖

ると、
𝐴𝐴

E/R

電圧は、急に電流が⼊っても０Ωのインピ𝐿𝑚ーダンスとして振る舞うのでゼロである。
𝑑𝑖𝐿
0 𝑡 0𝑑𝑡がなりたつ。これを導⼊すると、𝐿 𝐴より、𝐴𝐴となる。
𝐴𝑗√𝐴√𝑖0𝑅𝑚0

電流 i の振動する条件は、m の判別式が負になるときであり、すなわち𝑅＜0のときである。つまり、振動を抑える条件は

𝑗𝑅02となる。𝑅2のとき臨界制動となり、電流 i は最も短時間で、0 に収束する。

𝐴となる。⼀般解は次のように変形される。
𝑖 𝑡

𝑅𝑖

電流𝑖の解は、その余関数になり、。𝑖 𝐴𝑒とおくと、m に関する二次方程式が得られる。

(3)

また、t=0 のときに、コンデンサの両端の0この回路において、スイッチが ON の𝐴 𝑒√

𝐴 𝑒 √𝐸
1𝑐𝑜𝑠𝑡2𝑅
√𝐿𝐶

𝑗𝑠𝑖𝑛

𝐸1
𝑐𝑜𝑠𝑡2𝑅√𝐿𝐶𝑗𝑠𝑖𝑛

1√𝐿𝐶1
√𝐿𝐶𝑡𝑡

𝐸1𝑐𝑜𝑠𝑡𝑅√𝐿𝐶となり、余弦振動波形となる。

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