数理解析研究所講究録 1477 巻 2006 年 102-111102

最適距離選択について

金正 道 (Masamichi KON)

弘前大学理工学部

Faculty of Science and Technology, Erosaki University

概要 本稿では、 主成分分析を行った分析結果の事例および数量化 III 類を行った分析結果の事例それぞれについて、

人聞の感覚に合った距離をよい距離として、 いくつかの距離のなかで最適な距離を与える。

類などが知られている。 その分析結果
1. はじめに 構造記述モデル分析法として主成分分析や数量化に対して、 2 点耳の距離を定義し、 クラスター分析や最適施設配置問題などを用いてさらに分析を進めるこ$\mathrm{m}$とがある。 そのようなときに、 距離をどのように定義するかによって分析結果が異なる場合があり距離の選択が重要になる。 問題の種類によって、 さまざまな距離が考えられているが、 意思決定者の意図に合った解釈ができる距離を選択したり、 分析の進め易さ (計算の容易さ) や分析結果の解釈のし易さによって距離選択がなされることが多いようである。 どのような距離を用いるのがよいかという基準としてはさまざま考えられるが、 ここでは人間の感覚に合ったものをよい距離と考えることにする。 ある 2 つの対象 (人やもの) があった場合、 入の判断によってその 2 つの対象間の距離を定めることは困難であったり、 判断する人によってばらつきが大きいことが予想されるが、 ある 2 つの対象間の距離は他の 2 つの対象間の距離に比べてどのぐらいかという比\mbox{\boldmath $\xi$}i. 判断することは比較的容易であり、 距離を直接定める場合よりは判断する人によってのばらつきも小さいと予想される。 ここでは、 後者の考え方に従って、 対象間の距離を一対比較することによって、 一対比較行列を作成し、 AHP を適用して得られたウェイトを用いて対象聞の距離の比を構成し、 その比と距離関数によって測られた対象間の距離の比を比較して、 誤差が小さくなるような距離(関数) を人間の感覚に合ったものとし、 よい距離とする。 対象間の距離を一対比較ではなく、 直接対象間の距離を判断した場合、 判断ミスによって、 人問の感覚に合った距離と異なる誤った選択をしてしまう可能性が大きいと予想されるが、 対象間の距離を一対比較して AHP 適用することによってある程度の判断ミスの発見や修正が期待できる。
本稿では、 主成分分析を行った分析結果の事例および数量化 III 類を行った分析結果の事例それぞれについて、 人間の感覚に合った距離をよい距離として、 いくつかの距離のなかで最適な距離を与える。

2. 最適距離選択の事例 1: 主成分分析 本節では、 主成分分析を行った分析結果の事例について、 人間の感覚に合った距離をよい距離として、 いくつかの距離のなかで最適な距離を与える。
あるクラスの生徒 10 人$(x_{i},i=1,2, \cdots, 10)$

1 すき焼きに、 給食の代表的な 4 種類のおかず

2 トンカツ

3 八方菜

4 野菜妙めに対する嗜好をアンケートにより表 1 のような尺度で測定し、 アンケートの結果は表 2 のようであった (人エデータ)。 表 2 のアンケート結果に対して (分散・共分散行列からの) 主成分分析を行ったところ表 3 お
よび 4 のような結果が得られ、 第二主成分までの累積寄与率は 0837 であり、 第一主成分はおかずが植物性$\langle$野菜) か動物性 (肉) かを表す (動物性が強ければ主成分得点が高い) と判断し、 第二主成分は脂っこいかさっぱりしているかを表す$\langle$

さっぱりしている方が主成分得点が高い) と判断した。

103

表 1: アンケートに用いた尺度

表 2: アンケート結果

表 3: 主成分得点

表 4: 固有値・固有ベクトルの聞の感覚的な距離 (i-j と表す) を—対比較するアンケートによって表 5 のような一対に対して実施したが、 表 5-7 はそのうちの 1 人 A に対比較行列が得られた。 アンケートは 3 人する結果のみを示している。 表 5 の一対比較行列に対して AHP を適用して表 6 のようなウェイトが得られた。 ただし、 一対比較行列の 2-3 と 2-4 は所謂コピ一代替案なので 2-4 を除いた一対比較行列に対して
AHP を適用し (整合度は 0.028) その結果に 2-4 を追加しても順位逆転が起こらな ように修正計算しがあるのでそれら o) 比を感覚的\acute ‘\mbox{\boldmath $\zeta$}\not\in \Xi 離 o) 真の比は比にのみ ,, 照) 得られたウェ(例えば $[5]\neq//$
次に、$y_{i}$と$y_{j}$$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$$l^{\mathrm{a}}$$\backslash$

た$T’\text{ト}$(理想的な比)$\overline{w}_{j}w_{\mathrm{r}}$$\propto\Re\underline{\mathrm{a}}_{\backslash }$。

と見なして距離関数の選択基準に利用する。 表 7 によって与えられる行列のの値である。

$i\sqrt\overline{7}j/$

列の値は

104

表 5: 一対比較行列

表 6:

AHP によって得られたウェイト

表 7: 感覚的な距離の真の比 (理想的な比)

ここで、 $y_{i}=(y_{i}^{1}, y_{i}^{2})$ とう$y_{j}=(y_{j}^{1},y_{j}^{2})$の間の距離を測る距離関数として次のようなものを考えてみよ$1\text{。}$(1)$d_{p}(y_{i},y_{j})=(|y_{i}^{1}-y_{j}^{1}|^{\mathrm{p}}+|y_{i}^{2}-y_{j}^{2}|^{p})^{\frac{1}{p}}$,$1\leq p<\infty$(2)$d_{\varpi}(y_{;},y_{j})= \max\{|y_{i}^{1}-y_{\mathrm{j}}^{1}|, |y_{i}^{2}-y_{j}^{2}|\}$(3)$d_{B}(y_{\ovalbox{\tt\small REJECT}} y_{j})= \inf\{\lambda>0 :$d_{B}$

y_{i}-y_{j}\in\lambda B\}$は [8] において提案されているもので、 主成分分析において元のデータを主成分に集約したときに損失した情報を補うように$B\subset \mathbb{R}^{2}$は次のように定義される。 $ri\text{戸}=1,2,$$\cdots$, $10,j=1,2$ を

$Zj$

の

$x_{i}$への回帰係数とし、 $a_{i}=(r_{i1}, r_{i2})$ とする。 いまの場合は$( 1 141, 1 039)$ ,$a_{2}=(-1.198, 1.394)$ ,$a_{3}=(-2.106, -0.666)$ ,( 0.648, -2.544),$a_{6}=(-2.057, 0.799)$ ,1.600, 0.303),$a_{8}=$ (0.145, 1.613)$a_{10}=$ ($a_{1}=$$a_{5}=$$a_{4}=$(-1.545, 0.631),$a_{7}=(0.647, -3.510)$ ,.

$a_{\circ}$$=$(1.265, 0147),となる。 これらを用いて $\{\pm a_{1}, \pm a_{2}, \cdots, \pm a_{10}\}$ の凸包を $B$ と定義する。
いま、

$d$

を

$d_{p},$$1\leq p<\infty$

または d。または$d_{B}$$\overline{w}_{1}=d(y_{1},y_{2})=d(y_{2},y_{1})$のうちの 1 つとする。 このとき,,$\overline{w}_{5}=d(y_{2}, y_{4})=d(y_{4}, y_{2})$ ,$\overline{w}_{3}=d(y_{1},y_{4})=d(y_{4},y_{1})$$1||\cdot||_{p}=d_{p}(\mathrm{O}, \cdot)$

シェフノルム,$||\cdot||_{B}$, $1\leq P<\infty$ および$||\cdot||_{\infty}=d_{\varpi}(0, \cdot)$,$\overline{w}_{2}=d(y_{1},y_{3})=d(y_{3}, y_{1})$$\overline{w}_{4}=d(y_{2},y_{3})=d(y_{3}, y_{2})$$\overline{w}_{6}=d(y_{3}, y_{4})=d(y_{4}, y_{3})$$||\cdot||_{B}=d_{B}(0, \cdot)$としたとき、

は $B$ を単位円としてもつブロックノルムとして知られている。 特に、

ドノルムとしてよく知られている。

,,$||\cdot||_{\mathrm{p}}$$||\cdot||_{1}$

は乏

$p$

ノルム,

は直角ノルム, }はチェビ
はユークリッ$||\cdot||_{\infty}$$|\cdot||_{2}$

105

とし、

$d$

の感覚的な距離からの誤差として次のようなものを考える。

(4)$B_{1}(d)= \sum_{i,j}(\frac{\tilde{w}_{i}}{\overline{w}_{j}}-\frac{w_{i}}{w_{j}})^{2}=\sum_{\mathrm{i}\neq j}(\frac{\overline{w}_{i}}{\overline{w}_{j}}-\frac{w_{i}}{w_{j}})^{2}$(5)$E_{2}(d)= \sum_{i,j}(1o\mathrm{g}\frac{\frac{\overline{w}}{\overline{w}_{\mathrm{j}}}}{\vec{w_{\mathrm{j}}}w})^{2}=2\sum_{i<j}(\log\frac{\frac{\overline{w}}{\overline{w}_{\mathrm{j}}}}{\frac{w}{wj}})^{2}$

E3

(6)

$(d)= \sum_{\mathrm{i},j}(\frac{\frac{\overline{w}}{\overline{w}}\mathrm{j}-\frac{w_{i}}{w_{j}}}{\frac{w_{\mathrm{t}}}{w_{j}}})^{2}=\sum_{\dot{0}\neq j}(\frac{\frac{\overline{w}_{\mathrm{i}}}{\overline{w}_{j}}}{\frac{w_{1}}{w_{\mathrm{j}}}}-1)^{2}$の誤差を考えるとき、

として

または

ただし、 以下で

$d$

定義される

$d_{B,\theta},d_{p,a,b},$ $d_{\infty,a,b},$ $d_{B,a,b},$ $d_{p,a,b,\theta},$ $d_{\infty,a,b,\theta},$ $d_{B,a,b,\theta}$$d_{p,\theta},$$d$$d_{p},$$1\leq p<\infty$

人に対する最適な距離を表している。 表 8 において、 ABC は、の値をそれぞれ$a_{ij},$$b_{ij}$および$c_{ij}$または$d_{B}$

だけでなく、 後にも同様に考える。 次の表 8 は、$\mathrm{A},\mathrm{B}$としたとき、 それらの幾何平均$d_{\varpi}$

および$\mathrm{C}$$\sqrt[3]{a_{i\mathrm{j}}b_{ij}c_{ij}}$の一対比較行列の
を

$i$

行

$j$

$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}3$

$i$

行

$j$

列

列の値とする (平均された) –対比較行列に対して AHP を適用して得られたウェイトを用いた場合を表していて、 後述の表

9-11,18-21 も同様である。
表 8: 最適な距離$\mathit{4}^{\backslash }Rf’\mathrm{L}_{\text{、}}$(7)$d_{*},$$*\in\{p\in \mathbb{R} :距離関数として次のようなものを考え、 同様の考察を行う。
$d_{p,\theta}(y_{i},y_{j})=d_{p}((y_{i}^{1}(\theta),y_{i}^{2}(\theta)),$(8)

1\leq p<\infty\}\cup\{\infty, B\}$$(y_{j}^{1}(\theta),y_{j}^{2}(\theta)))$$d_{B,\theta}(y_{i},y_{j})=d_{B}((y_{i}^{1}(\theta),y_{i}^{2}(\theta)),$,$1\leq p<\infty,$$(y_{j}^{1}(\theta),y_{j}^{2}(\theta)))$,$0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$$0\leq\theta\leq\pi$

ここで$(\begin{array}{ll}y_{i}^{\mathrm{l}}(\theta) y_{i}^{2}(\theta)y_{j}^{1}(\theta) y_{\mathrm{j}}^{2}(\theta)\end{array})=(\begin{array}{ll}y_{i}^{\mathrm{l}} y_{i}^{2}y_{j}^{1} y_{j}^{2}\end{array})(\begin{array}{ll}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta\end{array})$を探索するときのステップ幅は 001 とした。 以下、 本稿
人に対する最適な距離を表してに対しても同様にした。 次の表 9 は、である。 誤差を最小にするようなパラメータにおいて用いられている$\theta$$\theta$$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}3$いる。

表 9: 最適な距離$\ ^{\text{、}}\iota_{arrow\text{、}^{}\tau}$(9)$d_{*,\theta},$$*\in\{p\in \mathbb{R} :1\leq p<\infty\}\cup\{B\}$

距離関数として次のようなものを考え、 同様の考察を行う。
$d_{\mathrm{p},a,b}(y_{i},y_{j})=d_{p}$((ay 諦 i2),$(ay_{j}^{\mathrm{I}}$, 吻 ),$j2)$$1\leq p<\infty,$

$a,$

$b>0$

106

((

, 勾 ),(10)$d_{\infty,a,b}(y_{i},y_{j})=d_{\infty}$(11)$d_{B,a,b}(y_{i},y_{\mathrm{j}})=d_{B}((ay_{\mathrm{i}}^{1}, by_{i}^{2}),$

このとき、 $a,$ $a’,$$b,$$b’,$ $\mu>0$$ay_{i}^{1}$$i2$$(ay_{j}^{1},$$by_{\mathrm{j}}^{2})$

),

$a,$

$b>0$

,

$a,$

$b>0$

$(ay_{\mathrm{j}}^{1}, by_{j}^{2}))$に対して$a’=\mu a$,$b’=\mu b$ならば$d_{p,a’,b’}(y_{\dot{\mathrm{t}}},y_{j})=\mu h,a,b(y_{i},y_{j})$となるので、 誤差$E_{k},$,,$d_{B,a’,b’}(y_{i},y_{j})=\mu d_{B,a,b}(y_{\iota^{-}},y_{j})$$d_{\infty,a’,b’}(y_{\mathrm{i}},y_{j})=\mu d_{\infty,a,b}(y_{i},y_{j})$$k=1,2,3$ の定義より各 $k=1,2,3$ に対して

$E_{k}(d_{\rho_{\}}a’,b’})=E_{k}(d_{p,a,b})$,$E_{k}(d_{\infty,a’,b’})=E_{k}(d_{\infty,a,b})$となることに注意。 これは、後に定義される$d_{p,\alpha,b,\theta},$ $d_{\infty,a,b,\theta},$,$E_{k}(d_{B,a’,b’})=E_{k}(d_{B,a,b})$に対しても成り立つ。 よって、 $a,$ $b>0$$d_{B,a,b,\theta}$

は,$(a, b)=(\cos\eta,\mathrm{s}i\mathrm{n}\eta)$$0< \eta<\frac{\pi}{2}$を探索するとき、 のステップ幅の範囲を考えれば十分である。 誤差を最小にするようなパラメータは 001 とした。 以下、 本稿において用いられている $a,$ に対しても同様にした。 次の表 10 は、
$a,$

$b$

$\eta$$b$$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}3$

人に対する最適な距離を表している。
表 10: 最適な距離 $d_{*,a,b},$ $*\in\{p\in \mathbb{R} : 1\leq p<\infty\}\cup\{\infty, B\}$

さらに、 距離関数として次のようなものを考え、 同様の考察を行う。

(12)

(13)
(14)

$d_{p,a,b,\theta}(y_{i},y_{j})=d_{p}((ay_{i}^{1}(\theta),by_{\overline{l}}^{2}(\theta)),$$d_{\infty,a,b,\theta}$($y_{\dot{\mathrm{t}}}$,yj)=d へ($ay_{j}^{1}(\theta)$$((ay_{i}^{1}(\theta), by_{i}^{2}(\theta)),$,耐$j2(\theta)$$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}3$$1\leq p<\infty,$ $a,b>0,0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$$)$$(ay_{j}^{1}(\theta),by_{j}^{2}(\theta)))$$d_{B,a,b,\theta}(y_{i},y_{j})=d_{B}((ay_{i}^{1}(\theta), by_{i}^{2}\langle\theta)),$ $(ay_{j}^{1}\langle\theta),$

次の表 11 は、) ,$by_{j}^{2}(\theta)))$人に対する最適な距離を表している。

,$a,$ $b>0,0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$

,

$a,$

$b>0,0\leq\theta\leq\pi$107

表 11: 最適な距離$d_{*,a,b,\theta},$$*\in\{p\in \mathbb{R}:1\leq p<\infty\}\cup\{\infty, B\}$

3. 最適距離選択の事例 2: 数量化 III 類本節では、 数量化 III 類を行った分析結果の事例につ て、 人間の感覚に合った距離をよい距離として、 いくつかの距離のなかで最適な距離を与える。
生涯学習・社会教育に関する調査研究として、 青森県在住の成人を対象にアンケートによる家庭教育に関$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$する意識調査が青森県総合社会教育センターによって行われた。 この調査は, 家庭の教育力を充実するために、 県民が家庭教育に関する学習内容や学習活動等に対して、 どのような要求課題を持っているかを明らかにし、 市町村教育委員会などの各学習提供機関の基礎資料として提出する目的で行われ、 調査結果が報告さここでは、 次の質問項目に対するアンケート結果を用いて、「乳幼児の時期の子どもにとって必要な教育項目」 を考える。 [7] において、 このアンケート結果に数量化 III 類を適用して分析が行われて る。

れた$[1]_{0}$$\mathrm{t}\backslash$

アンケートの質問項目
問家庭において, お子さんが乳幼児・小学生・中学生・高校生の時期に, もっとも重要だと思われる教育
項目は何ですか. 次の中から最大 3 つまで選び番号を記入してくださ . (同じ項目を何回選んでも力 ‘ま$1_{J}^{\mathrm{a}}$$\phi\backslash$ません)

1 基本的生活習慣 (例えば, 洗顔,

自分で起床,

世話, ナイフの使い方など)

あいさつなど)3 自然体験 (例えば, 海や川で遊ぶ,

2 生活体験 (例えば, タオルをしぼる, 小さな子の

自然観察,

4 自主性 (自分の判断で行動する態度)

登山など)

5 自制心 (感情・欲望などを自分で抑えること)

6 自立心 (人に頼らず, 独り立ちして自力でやっていこうとする心構え)

8 他人への思 ‘やり
7 豊かな情操 (美しいものを美しいと感じる心)13 職業観
人間関係づくり1211 正義感10 社会的なマナー
16 わからない
15 その他 (具体的にお書きください)9 道徳感$|_{\mathit{1}}$14 性教育得られたアンケート結果から、 反応数が少なかったカテゴリ (回答項目) を除き

1 基本的生活習慣

2 生活体験

3 自然体験

7 豊かな情操のみを分析対象とした。欠損がある個体を除き、表 12 のようなカテゴリ・データが得られた。 表 13 \mbox{\boldmath $\zeta$}ま、表

12 のアンケート結果に数量化 III 類を適用した結果の固有値を示している。 ここでは、 第 2
カテ
値を取り上げる。 表 14 は、 カテゴリスコアを示している。 カテゴリスコアは次のように解釈できる。

位までの固有108の値が小さいほど身心的 (情操的) な事に関する学習内容を表し、 大きいほど身体的
ゴリ第 1 スコア
(行動的) な事に関する学習内容を表す。 カテゴリ第 2 スコアの値が小さいほど (場所が) 非日常的な$z_{1}$$z_{2}$

事に関する学習内容を表し、 大きいほど (場所が) 日常的な事に関する学習内容を表す。
表 12: アンケート結果

表 13: 固有値

表 14: カテゴリスコア$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\overline{7}}- 3^{1})$.

$\mathrm{g}_{\tau}^{\circ}$.
1
2 fi@ff\Re )$z_{1}$$7$

次に、 翫と$y_{j}$

ae 1$\wedge\supset 7$,$z_{2}$:

2$i\mathrm{z}\supset 7$$( 1.368_{\mathrm{J}} 1.128)=y_{2}$$\langle$

3:$( 0.071, 0.315)=y_{1}$$\mathrm{g}$$\mathrm{i}8^{\cdot}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\langle \mathrm{g}.\#_{\backslash }.\cdot ff\ovalbox{\tt\small REJECT})$$( 0.343_{\mathrm{J}}-1.721)=y_{3}$$(^{\mathrm{g}}=p_{1}rx\cdot\ovalbox{\tt\small REJECT}\not\in)$$(-1.790_{\mathrm{J}} 0.414)=y_{4}$の間の感覚的な距離 仮$j$対比較行列が得られた。 アンケートは 3 人と表す) を一対比較するアンケートによって表 15 のような–$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$に対して実施したが、 表 15-17 はそのうちの 1 人 A に対する結果のみを示している。 表 15 の一対比較行列に対して AHP を適用して (整合度は 0093) 表 16 のようなウェイトが得られた。 表 17 によって与えられる行列の

$i$

行

$j$

列の値は表 7 と同様に

表 15: 一対比較行列

表 16: AHP によって得られたウェイト

表 17: 感覚的な距離の真の比 (理想的な比)$\frac{w_{i}}{w_{\mathrm{j}}}$の値である。

109の聞の距離を測る距離関数として (1) および (2) によって定義された人に対する最適な距離を表している。
を考えてみよう。 次の表 18 は、
ここで、$y_{i}$と$y_{j}$$d_{p}$

および$\omega d\infty$$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}3$

表 18: 最適な距離$d_{*},$$*\in\{p\in \mathbb{R}:1\leq p<\infty\}\mathrm{U}\{\infty\}$

次に、 距離関数として (7) によって定義された$d_{\mathrm{p},\theta}$

を考え、 同様の考察を行う。 次の表 19 は、$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}3$

人に対する最適な距離を表している。
表 19: 最適な距離$d_{*,\theta},$$*\in\{p\in \mathbb{R} :1\leq p<\infty\}$

次に、 先に考えた距離関数として (9) および (10) によって定義された $d_{p,a,b}$ および様の考察を行う。 次の表 20 は、$\mathrm{A},\mathrm{B}_{7}\mathrm{C}3$$d_{\infty,a,b}$を考え、 同人に対する最適な距離を表している。

表 20: 最適な距離 $d_{*,a,b},$ $*\in\{p\in \mathbb{R}:1\leq p<\infty\}\cup\{\infty\}$

さらに、 距離として (12) および (13) によって定義された行う。 次の表 21 は、$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}3$$d_{p,a,b,\theta}$

および$d_{\infty.a,b,\theta}$

人に対する最適な距離を表している。

表 21: 最適な距離$d_{*,a,b,\theta},$$*\in\{p\in \mathbb{R}:1\leq p<\infty\}\cup\{\infty\}$を考え、 同様の考察を

110

4. 結論 主成分分析を行った分析結果の事例および数量化 III 類を行った分析結果の事例それぞれについて、 人間の感覚に合った距離をよい距離として、 いくつかの距離のなかで最適な距離を与えた。 人間の感覚の基準として、 対象間の距離を一対比較することによって一対比較行列を作成して AHP を適用した結果得られたウェイトを用いて構成した対象間の距離の比を用いた。 AHP を適用するとき、 整合度がよいとしても対象間の距離を一対比較するときに多少の判断ミスは含まれていると考えられる。 そのため、 いくつかの距離関数に対する感覚的な距離からの誤差の多少の違いはあまり意味を持たないと考えられる。 しかしより感ながら、 本稿で扱った 2 っの事例どちらに関しても、 通常よく用いられているユークリッド距離$d_{2}$

覚的な距離に近い他の距離を与えることができたと言えるだろう。 また、 距離の回転や拡大・縮小を考慮することによってより感覚的に近い距離を与えることができた。 これは、 人問の感覚に合った距離を問題にするときに、 このような距離選択の必要性および重要性を示唆している。 また、 今後の課題として次のようなものが考えられる。

・他の多くの事例に関して同様な考察すること。
・多くの人の感覚的な距離に合った距離選択はどのようになるか、 多くの人の感覚的な距離の一対比較

データを集めることによってさらに実験を進めること。
・他の距離関数も考慮すること。

参考文献[1] 青森県総合社会教育センター, 家庭の教育力に関する調査報告書, 2002.
(http://alis.net.pref.aomori.jp/)[2] J. Brinberg and R. F. Love, Directional bias of the
Research, 67, 1993, 287-294,$l_{p}$-norm, European Journal of Operational[3] J. J. Fernidez, P. Fernidez and B. Pelegrin, Estirnating actual distances by norm functions:and the-norm and a study about the selection of the datacomparison between theset, Computers & Operations Resear(h, 29, 2002, $609\sim 623$ .
$a$$l_{k,\mathrm{p},\theta}- nom$$l_{b_{1},b_{2},\theta}$[4] H. Juel and R. F. Love, The facility location problem for hyper-rectilinear distances,17, 1985, 94-98.

$\mathrm{I}\mathrm{E}$bansactions,[5] 木下栄蔵, 入門 AHP 一決断と合意形成のテクニック, 日科技連, 2000.
[6] 木下栄蔵, AHP の理論と実際, 日科技連, 2000.

[7] M. Kon, Public opinion survey on home education: application of location problems unth rectilinear
norm, Scientiae Mathematicae Japonicae, 58, 2003, 99-111.
[8] M. Kon and S. Kushimoto, Efficient solutions for rnulticriteria location problems under the block
norrn
application to the development of new products, Scientiae Mathematicae, 1, 1998, 133-140.
$II.\cdot$[9] R. F. Love and P. D. Dowling, Optimd ueighted $l_{p}nom$ parameters for focilities layout distancecharacterizations, Management Science, 31, 1985, 200206.

[10] R. F. Love and J. G. Morris, Modelling inter-city road distances by mathematical functions, Operational Research Quarterly, 23, 1972, 61-71.

111[11]. 奥野忠一他, 続多変量解析法, 日科技連, 1976.
[12] 杉原敏夫, 藤田渉, 多変量解析, 牧野書店, 1998.
[13] 刀根薫, ゲーム感覚意思決定法一 AHP 入門, 日科技連, 1995.