数理解析研究所講究録 1477 巻 2006 年 64-72

64

金利期間構造モデルとカルマンフィルター\sim

Frank de Jong and Pedro Santa-Clara 論文に対するコメント

電気通信大学大学院

電気通信学研究科\sim

システム工学専攻

山下 晃一郎 (Koichiro Yamasjiita), 宮崎 浩一 (Koichi Miyazaki)
University of Electro-Communications, Department of Systems Engineerings

1. はじめに金利期間構造モデルの体系は, 大きくスポットレートモデルとフォワードレートモデルに二分される. スポットレートモデルの源流は, [17] に遡り, 以降 [6] をはじめとして様々なモデル化 (マルチファクター化を含む) がなされてきた. フォワードレートモデルの発祥は, 比較的新し$\langle$[12],[11] ([11] は以降, HJM と呼ぶ) に見られる. 実務での本格的な利用を可能にした [2] が導入されて以降は, 金利デリバティブの評価においては, 主に, フォワードレートモデルが採用されるようになった. スポットレートモデルもフォワードレートモデルも共に金利のダイナミックスを表現するモデルであるから, 何らかの形で両者のモデルに結びつきがあると考えるのは自然な発想である. このような関係を明らかにした論文に,[3], [14], [13] そして本論文の副題にある [7]が挙げられる. 通常 HJM モデルにおいてフォワードレート過程にマルコフ性を仮定しても, そこから出発して得られるスポットレート過程は一般にマルコフ性を満たさない. どのような制約な
いしは工夫を施せば, HJM モデルにおいてスポットレート過程にマルコフ性を持たせることができるかが,これらの論文の主な関心事であり, それを見事に解決している.

本論文が指摘するのは, [7] (以降, JS モデル, JS 等と略す) が, 上記で指摘した課題を解決したうえで更にカルマンフィルターを用いてパラメータ推定の道筋を提示しておきながら, それを実行するにあたって, 不用意な単純化を行ったために, 推定が妥当なものとはいえない可能性である.

本論文での指摘はパラメータ推定に関するものなので, 金利期間構造モデルのパラメータ推定法を手短に振り返ることにする. スポットレートモデルのパラメータ推定は過去の金利データに基づいて行うケースが多く, フォワードレートモデルのパラメータ推定は, 通常, 市場で観測される金利デリバティブの価格から直接キャリブレートされる. スポットレートモデルでは, 瞬間
的なスポットレートのパラメータを推定することになるが, 瞬間的なスポットレートの代替として$\supset$

一ルレートを取り上げて,コールレートの時系列データを利用してパラメータを一般化モーメント法に基づいて推定する手法 ([4], [15] 等) が提案された. この手法では, 多くの年限に関する利回りデータを利用することが難しいほ力 , 別途リスクの市場価格を推定する必要が生じる.
$\backslash$

85
そこで,

パラメータ推定を多くの年限に関する利回りデータを利用して行なう方法を見つける方向に研究が発展し, 最尤法に基づく推定法 ([5], [16] 等) を経由してカルマンフィルターに基づく推定法へと到達した. カルマンフィルターに基づいて金利期間構造モデルの推定を行った初期の研究として, [1], [8], そして本論文の副題にある [7] が挙げられる. 以降, マルチファクター

金利期間構造モデルの多くが, カルマンフィルターに基づく推定法を採用している.
ら, 著者らの知りうる範囲では,

しかしながカルマンフィルターに基づくパラメータ推定が行なわれているのは, その全てがスポットレートモデルを対象としたもので,

HJM モデルのパラメータ推定をカ

ルマンフィルターに基づいて行なうような試みは JS 意外に見当たらない. そこで, 本研究では,

HJM モデルのパラメータ推定をカルマンフィルターに基づいて行なうことの妥当性を, 日本国債
利回りデータに基づき検証することを目的とする. 検証に際しては, HJM モデルのパラメータ推定を, JS のような単純化する場合と本研究のように単純化しない場合との 2 通りに関して行った
うえで, 妥当性を判断する.

本論文の構成は, 以下の通りである. 次節では,$\mathrm{J}\mathrm{S}$モデルとそのパラメータ推定法に関して振JS のパラメータ推定法へのコメントと本研究推定法に関して述べる. 節 4 でり返る. 節 3 では,

は, 実証分析結果とその考察を報告する. 最終節では, まとめと結語を付す.

2.

モデルと

$\mathrm{J}\mathrm{S}$2. I$\mathrm{J}\mathrm{S}$$\mathrm{J}\mathrm{S}$におけるパラメータ推定法

モデル

HJM モデルは, 初期時点における利回り曲線と瞬間フォワードレートのダイナミックスによって金利期問構造を表現するモデルであり, 瞬間フォワードレートのダイナミックスに関する積分表現と微分表現は, それぞれ,(2.1)$f(t,s)=f(0,s)+ \int_{0}\alpha(v,s)dv+\int_{0}\sigma(v,s)’dW(v)$ ,(2.2)$df(t, s)=\alpha(t,s)dt+\sigma(t,s)’dW(v)$で与えられる. ここで,$\alpha(t,s)$と$\sigma(t,s)\}\mathrm{h}$の割引債の瞬問フォワードレートの次元の標準ブラウン運動を表す,, それぞれ, 満期

時刻 におけるドリフトとボラティリティを,$t$$W(v)$ は$\mathrm{N}$$s$

この瞬間フォワードレート過程から導出されるスポットレート過程は,$dr(t)=\{$$\frac{\partial f(0,t)}{\partial t}+\int_{0}\frac{\partial\sigma(v,t)’}{\partial t}|||\int_{v}\sigma(v,w\mu_{w}|||dv+\mathrm{f}^{\sigma(v,t)’\sigma(v,t\succ v}$(2.3)$+.[_{0} \emptyset(v)’\frac{\partial\sigma(v,t)}{\partial t}dv+\phi(t)’\sigma(t,t)+\int_{0}\frac{\partial\sigma(v,t)’}{\partial t}dW(v)\ovalbox{\tt\small REJECT} dt+\sigma(t,t)’dW(t)$にお}1 る時刻となる. ここで,$f(t,s)$ は時刻

ティリティ,

はリスクの市場価格ベクトル,$\phi(t)$$t$で, 式 (2.3) のドリフト部分に注目すれば,$s$の瞬間フォワードレート,$W(t)$ は$\mathrm{N}$$\sigma(t,s)$

は $f(t,s)$ のボラ

次元の標準ブラウン運動とする.

瞬間フォワードレート過程から導出されるスポットレート過程がマルコフ性を満たさないことは明らかである.
$\mathrm{J}\mathrm{S}$ここモデルでは, 式 (2.2) におけるフォワードレート過程 $f(t,s)$ のボラティリティ$\sigma(t,s)$(ニ,

$\mathrm{G}\mathrm{G}$(2.4)$\frac{\partial\sigma(t,s)}{\partial s}=-a\sigma(t,s)$なる制約を課し, 更に, 式 $(2,3)$ に含まれるボラティリティの履歴部分を状態変数(2.5)$\varphi(t)$によって,$\varphi(t)=\int_{0}\sigma(v,t)’\sigma(v,t\lambda lv$と表現することにより, スポットレート過程 $r(t)$ がマルコフ性を満たすことを示した.
実際, 式 (2.4) , 式 (2.5) を式 (2.3) に代入すると,(2.6)$dr(t)=[f \frac{f(0,t)}{\partial t}-a[r(t)-f(0,t)]+\emptyset(t)’\sigma(t,t)+\varphi(t)]dt+\sigma(t,t)’dW(t)$が得られ, スポットレート過程はマルコフ性を有する.

2. 2$d\mathrm{S}$におけるパラメータ推定法

モデルのパラメータをカルマンフィルターに基づいて推定するため,$\mathrm{J}\mathrm{S}$$\mathrm{J}\mathrm{S}$では, 以下のような状態方程式と観測方程式を与えている,

状態方程式 :
(2.7)

$d(\begin{array}{l}r(t)\varphi(t)\end{array})=\ovalbox{\tt\small REJECT}.(\frac{\partial f(0,t)}{\partial t}+ af(0,t)+\lambda\sigma_{0}^{2}\sigma_{0}^{2})+(_{\sigma_{1}^{2}-2a}^{-[a-\lambda\sigma_{1}^{2}]1})(\begin{array}{l}r(t)\varphi(t)\end{array})\ovalbox{\tt\small REJECT} dt+(_{0}^{\sqrt{\sigma_{0}^{\gamma}+\sigma_{1}^{2}r(t)}dW(t)})$

これは, 式 (2.6) におけるリスクの市場価格(2.8)$\emptyset(t)=\lambda\sqrt{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{1}^{2}r(t)}$(2.9)$\sigma(t,t)=\sqrt{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{1}^{2}r(t)}$の様に特定化したうえで,
数$\varphi(t)$$\phi(t)$とボラティリティ$\sigma(t,t)$を,,$dr(t)$ と,式 (2.5) に示したボラティリティの履歴部分を表現する状態変の微分形(2. 10)$d\varphi(t)=[\sigma(t,t)’\sigma(t,t)-2a\varphi(t)]dt$を行列表記したものに他ならない.

観測方程式 :
$y_{t}( \tau)=\underline{\int_{t}tf(0,v)dv+\tau}+++\epsilon_{t}[r(t)-f(0,t)][\frac{1-e^{-a\mathrm{r}}}{\underline a}]\varphi(t)\frac{1}{2}[\frac{1-e^{-\sigma \mathrm{r}}}{\underline a}]^{2}$(2. 11).
$\tau$

ここで?

$y_{t}(\tau)$$\tau$

は時刻 における残存期問$t$$\tau$$\tau$の割引債利回り,式 (2.11) の右辺で誤差項を除いた部分は, JS モデルの式 (は時刻 における観測誤差を表す.
$t$$\epsilon_{t}$$2.7\rangle$に基づく残存期間$\tau$の割引債に対応する時刻 でのモデル利回りである.
$t$

具体的なカルマンフィルターの利用法は,

3.
3. 1

$\mathrm{J}\mathrm{S}$$\mathrm{J}\mathrm{S}$[10],[9] を参照されたい.

のパラメータ推定法へのコメントと本研究の推定手法のパラメータ推定法へのコメント

節 2 において振り返ったことは, JS の大きな成果なのであるが, 「1. はじめに」 において述べたように, 最終的にカルマンフィルターを適用する際に, 不用意な単純化を行っており, 推定がG7
正しく行われていない可能性である.

$\mathrm{J}\mathrm{S}$

代わりに時間に依存しないパラメータおいて,$f(0,t)$ をパラメータ(3.1)$\theta$$\theta$が行った単純化は, 初期の瞬間フォワードレート $f(0,\iota)$ ので置き換えたことである. 実際に, 式 (2.7) , 式 (2.11) にに置き換えると, それぞれ,$d(\begin{array}{l}r(t)\varphi(t\rangle\end{array})=|](\begin{array}{l}a\theta+\lambda\sigma_{0}^{2}\sigma_{0}^{2}\end{array})+(_{\sigma_{1}^{2}-2a}^{-[a-\lambda\sigma_{1}^{2}]1})(\begin{array}{l}r(t)\varphi(t)\end{array})|||dt+(_{0}^{\sqrt{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{1}^{2}r(t)}dW(t)})$

(3.2)

,

$y_{p}.( \tau)=\theta+\frac{[r(t)-\theta][\frac{1-e^{-a\tau}}{a}]}{\tau}+\frac{\varphi(t)\frac{1}{2}[\frac{1-e^{-\mathit{9}T}}{a}\mathrm{f}}{\tau}+\epsilon_{t}$となる.

上記の制約がモデル利回りに表れる変更点を観測方程式 (2.11)

ここで,

$l$

(3.2) の観測誤差を除いた右辺に基づき確認しておく.
$\frac{\int^{+\mathrm{r}}f(0,v\lambda fv}{\tau}$$\bullet$右?

$\bullet$

右辺第二項が,$\backslash \underline{7\mathrm{J}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

–項が,

から

$\theta$$\frac{[r(t)-f(0,t)][\frac{1-e^{-a\tau}}{a}]}{\tau}$

になる.

から

$\frac{[r(t)-\theta][\frac{1-e^{-a\tau}}{\circ}]}{\tau}$

第一点目は, 時刻 における利回りの水準が残存期間$t$$\tau$

f こな

$\xi$

).

に依存する形から, 満期に依存しな$1\mathrm{v}^{\backslash -}$に変更されることを示している. 第二二目は, 時刻 における瞬間スポットレートが回帰す
る平均が $f(0,t)$ から へと変更されることを示している. 更に, 重要なことは, HJM モデルで金

定値

$t$

$\theta$$\theta$

利デリバティブを評価する際には, 初期の瞬間フォワードレート $f(0,t)$ の値と瞬間フォワードレ
ート過程を用いるのであるが,前者は評価時点における利回り曲線に他ならな$\mathrm{a}$から, 外生的にを推定対象パラメータ与えられるものであり推定するものではない. しかしながら, JS では,に含めたうえで推定を行っている. このような形で得られたフォワードレート過程のパラメータ$\theta$$a$,$\sigma_{0}$,$\sigma_{1}$やリスクの市場価格に含まれているパラメータ$\lambda$の妥当性には, gvE 問が生じる.

3. 2 本研究の推定手法(2.11) を用
本研究では, 節 31 で指摘した単純化を行わずに, 状態方程式 (2.7), 観測方程式$1_{\mathit{1}}\backslash$

たカルマンフィルターに基づくパラメータ推定を行う, 具体的には,
時刻 の利回りを構成するモデル利回りの第一項は, 初期時点の瞬間フォワードレート$\bullet$$t$$\frac{\int^{+\tau}f(0,v\}dv}{\tau}$$f(0,t)$ から導かれるを用いる.

観測データとなる割引債利回りは, HJM モデルの表現により近 ‘形で推定ができるように,観測対象となる割引債自体を固定し, 時刻 の経過に伴い, 残存期間 が減少する形で推定を$1_{\mathit{1}}$$\bullet$$t$

行った. (これに対し, 先行研究では,め, 各時点$t$$\tau$

観測対象となる割引債の残存期間 を固定してにおいて観測対象となる割引債自体は異なる.)$\tau$$1_{\mathit{1}}\mathrm{a}$るた$\epsilon\epsilon$

4.

実証分析

4. 1

データ

パラメータ推定に利用する利回りデータは, 1989 年 1 月から 2004 年 12 月までの日次の日本国
債 (2 年債, 5 年債, 7 年債, 10 年債) のスポットイールドとする, 国債市場の様々な局面において推定パラメータがどのように異なるか等を分析する目的から, パラメータ推定を行う際には, データサンプル期間を 1 年毎に分割して, 各年に対応する合計 16 通りのパラメータを推定する,

4. 2. 実証分析結果とその考察
尤度値 :
. 参照
$<<$

$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}$$\partial$$\mathfrak{g}$

$>>$

$1$

$\mathrm{J}\mathrm{S}$の推定手法よりも本研究の推定手法の方が, 尤度値のばらつきが大きい.

$\mathrm{J}\mathrm{S}$の推定手法よりも本研究の推定手法の方が, 尤度値が高くなる局面が多い.

これは, 本研究の推定手法は, 初期の金利期間構造の形状が反映される推定手法となっているため, 将来のスポットレート $r(t)$ の期待として与えられる初期のフォワードレート $f(0,t)$ の期間構造が,どの程度正確に将来のスポットレート $r(t)$ を予測したものとなっているかに依存して推定の精度が異なるため, 尤度値のばらつきが大きくなったと考えられる. また, 本研究の推定手法
では, 推定に用いるパラメータが一つ少ないにもかかわらず,

年が多くなることから,$\mathrm{J}\mathrm{S}$の推定手法より尤度値が上回る

日本国債市場において初期のフォワードレート $f(0,t)$ の期間構造は概ね

将来のスポットレート $r(t)$ の期待として相応しいものと考えられる.
6000$5600$$\epsilon\lrcorner$$\{\prec\ _{-}^{\mu}5000$

4500
4000
$\underline{\alpha\infty 0’}$$\underline{\circ\mathrm{o}\mathrm{r}}$$\overline{\underline{\alpha 0’}}$’$\circ \mathrm{t}\circarrow \mathrm{o}\mathrm{e}$$\tilde{\underline{\mathrm{o}\varpi,}}$$\underline{\varpi 0\alpha,}$\={o}$\sim \mathrm{o}\mathrm{o}\alpha$Fig. 1 :ML
$\ll$

$a$

平均回帰率 (パラメータ$\mathrm{J}\mathrm{S}$$a$$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}.2$) ;$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}$

. 参照
$2$

: Mean-reversion parameter

$a$

$>>$

の推定手法よりも本研究の推定手法の方が, 現実に即した平均回帰率が得られた.

現実の利回りから平均回帰率が小さいことが読み取れる 1991 年や 1992 年においては (Fig 3,参照), JS による平均回帰率がそれぞれ, 0329, 0457 であるのに対し, 本研究手法による平均回帰率は, 共に 0 であった. これに対して, 現実の利回りから平均回帰率が大きいことが読$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}.4$

み取れる 1994 年や 1999 年 (Fig 5,

Fig 6 参照) では, JS による平均回帰率がそれぞれ, 0091,

0055 と小さいのに対し, 本研究手法による平均回帰率はそれぞれ, 0465, 0405 と大きいものと
なった.

69
7.00%

600%

.

$.—-\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot’$$\ulcorner$

..

5,50%

650%
5,00%

4.50%

600%

400%

5.50%
350%
5,00%

$3.00\mathcal{H}$’’$\frac{\sim}{\backslash }$$\backslash 0\sim$$\backslash \sim\circ u$$\backslash \circ \mathrm{f}" 0$$\underline{.\backslash 0^{*}}$$\underline{‘\backslash \circ\eta}$$\underline{\backslash 0"}$$\underline{‘\backslash \circ\Omega}$$\underline{\backslash \circ\Phi}$$\underline{\backslash 0\triangleright}$$\underline{\backslash 0\infty}$$\backslash \sim\circ\Phi$$\backslash [mathring]_{\sim 0}$$\sim\backslash 0\triangleright$$\backslash \Leftrightarrow \mathrm{J}\circ\infty$$\mathrm{N}\frac{\mathrm{o}}{\backslash }$$\backslash \simeqarrow$$\underline{\frac{\mathrm{o}}{\backslash }}$$\underline{\backslash \circ\Phi}$$\underline{\overline{\backslash }-}$$\Phi\sim\backslash \circ\triangleleft$$\overline{\underline{\backslash 0}}$$\backslash \sim \mathrm{o}\mathrm{e}=$$\overline{\backslash \aleph\circ\circ,}$,““$\underline{\Phi\circ’}$$\underline{\Phi\infty}$$arrow[mathring]_{\varpi}$$\underline{\alpha\infty}$$\underline{\Phi\circ’}$$\underline{[mathring]_{\mathrm{o}},,}$$\underline{\mathrm{o}\alpha’}$$\underline{\Phi\infty}$$\underline{\circ\Phi,}$$\underline{\circ\}a}$$\underline{\infty \mathrm{d}1}$$\underline{\Leftrightarrow 1\Phi}$$\underline{[mathring]_{\Phi}’}$—,-.\sim ’$\cdot-\cdots\cdot\cdot-\cdots\cdot-\cdot$$\alpha\inftyarrow$$\underline{\varpi 0’}$$\underline{\mathrm{o}\varpi’}$$\underline{\mathrm{d}1\Phi}$$\underline{\infty\alpha}$.

.

$\underline{\circ)}$$\underline{q)}$$\underline{\alpha}$- $\cdot$$\underline{\Phi\circ)}$$arrow \mathrm{o}\mathrm{e}\varpi$$\underline{61\Phi}$.-’$\cdot$-$\cdot\sim\cdots-\cdot\cdot-\cdot-$-$\cdot$

-

-

$|$

り

$!_{-\cdot------}..----\cdot--------.2\text{年債利^{}[}\text{回}:.\underline{\iota)}-10\text{年}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\underline{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1\fbox_{0}$:$3$$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}$$\mathrm{Y}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}$$\underline{|\mathrm{i}-2\text{年}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\yen|1\fbox_{\mathrm{n}}\mathrm{t}j-10\text{年}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}*\dagger \mathit{1}\fbox_{\circ}\iota)}$:
Fig.4 :Yield$\mathrm{Y}\mathrm{i}\mathrm{e}1\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{I}\gamma(]992)$$\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}01\gamma(1992)$$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}.4$$\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{y}(1991)$

2.50%

5.00%
4.50%

$2.00\hslash$

$4$

00%

1.50$

$3.50\#$

300%

1.00%

250%
$0.50\#$

2,00%

000%

150%
’

”
$\tilde{\backslash 0}\backslash 0$$\overline{\backslash 0}$$\check{\backslash \mathrm{Q}}\backslash \circ \mathrm{u}$仮仮$\backslash 0\infty$$\backslash 0\sigma’$\={o}$\frac{\Leftrightarrow \mathrm{t}}{\backslash }$$\frac{\mathrm{o}}{\backslash }$$\overline{\backslash }-$へ$\backslash \varpi$$\circ$$\underline{[mathring]_{\Phi}\triangleleft,}$$\underline{.[mathring]_{\mathrm{o}}^{\backslash }\tau,}$,$‘\forall-\circ"$$\triangleleft\sigma\circ)$$\underline{\grave{\mathrm{o}}\alpha^{f},}$$\underline{\Phi a)\backslash \tau}$$\underline{[mathring]_{O}l\vee,}$’)’$0\sim-\circ$,$-\grave{\circ}\alpha^{r}$)’$\underline{.\mathrm{o}^{\hslash}\mathrm{e}^{*},}$$\grave{\varpi}^{r}-\circ$$\circ)\sigmaarrow$$\underline{\mathrm{d}\circ),}$

ボラティリティ (パラメータ。0,$$\mathrm{J}\mathrm{S}$$f$$\mathrm{J}\mathrm{S}$寸$\circ\dot{n}$$\sigma[mathring]_{\circ}$の$\overline{\mathrm{o}}$’$\circ\iota n$

一一$\underline{\circ)\circ)}$$\varpi\backslash$$\varpi\backslash \circ$科’$\underline{\Phi\Phi\infty\backslash }$$\backslash \mathrm{t}\Phi \mathrm{O}’?arrow$$\underline{[mathring]_{\varpi}^{3}\circ\backslash ,}$$\underline{\circ)\alpha 0\backslash }$$\underline{\backslash \varpi\sigma\circ}$$\underline{\backslash \mathrm{d}1\varpi\sigma|}$$\underline{\backslash [mathring]_{\Phi}61,}$$\mathrm{o}\underline{\mathrm{e}}$.

年債-.–#1 回り.. –.. .–.-1-0-..\not\in ..-債利$|$$\fbox_{\mathrm{n}}.\text{り_{}\mathrm{I}}--\backslash$-....‘-2 年債利回り$-.10\text{年}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}*1-..------$

回り.

Fig.6 : Yield history(1999)

Fig.5 :Yield history(1994)$<<$$\backslash \sigma$$\underline{\mathrm{C}\hslash\varpi\triangleleft}$}$-\cdot\cdot-$$!.\cdot---\cdots-..2$$\circ n$$\backslash$$\sigma_{1}$) :$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}$

.

$7,$

$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}$

. 参照
$8$

$\gg$

の推定手法, 本研究の推定手法の双方において,

Vasicek 型のボラティリティを支持した.

の推定手法, 本研究の推定手法の双方において,推定されたパラメータに大きな違いは見られなかった.

の大きさに依存する部分 (まFig 7 と Fig 8 を見ると, 多くの年において, スポットレート
によって構成される, これは, ボラテ
概ね 0 となり, スポットレートのボラティリティは主にィリティ構造にアファイン型の自由度を持たせても, 現実には, Vasicek 型のボラティリティで十$\gamma(f)$$\sigma_{1}$$\sigma_{0}$分であることを意味している. また, 両推定手法で大きな差異は見られなかったのは, 推定手法の相違が,ボラティリティ部分に関するものではなかったためであると考えられる.

70
0, 0100. 025$\mathrm{t}^{-\cdot-----------\cdot---}$—-\={o} 0. 008
化$.\mathrm{r}$|ト

0. 006$-\neg$$\vee 0.004$

1ト「$\varphi_{\backslash }^{\iota}|$$0.002$0. 000

Fig.7 :Volatility parameters$<<$

リスクの市場価格 (パラメータ$\bullet$Fig.8 :Volatility parameters$\sigma_{0}$$\lambda$) :$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}$$\sigma_{1}$

. 参照》
$9$

の推定手法ではリスクの市場価格の符号は負であるが, 本研究の推定手法では正の値とな$\mathrm{J}\mathrm{S}$り,$\mathrm{J}\mathrm{S}$の推定手法の方が適切なパラメータ与えている.

HJM モデルから構成した債券価格のボラティリティはマイナスの値をとるため, リスクの市場
価格の符暑$\lambda$は負となるべきものである. Fig 9 によれば, 1995 年以前は, JS の推定手法も本研究の推定手法によってもパラメータ$\lambda$

は概ね 0 に近い値が推定されている. 1996 年以降では, 本研究の推定手法では HJM モデル上不適切と考えられるプラスの推定値が得られているが, JS の推定手法ではマイナスの推定値が得られる. これは$\mathrm{J}\mathrm{S}$における恣意的な単純化の影響で, 符号が偶然に適切なものとなったと考えられる.
50000$\sim\wedge$撫屡下$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{S}$$\mathrm{f}\backslash$$\mathrm{r}<$$\neg$

40000
30000
20000
10000
0
-10000-20000$\underline{\varpi\infty\circ\}}$$\underline{\varpi \mathrm{o}\mathrm{o},}$$\overline{\underline{\varpi 0)}}$.
$|\mathrm{i}|.$ま’$\infty[mathring]_{\sim G}\rangle$$\leq^{1}a’,’-.\underline{‘ \mathrm{G}\Phi\Omega}--,-$ま– JS の推定手法)$\tilde{\circ\varpi,}$$\underline{\mathrm{o}’}0\circ$$—\underline{\mathrm{o}\circ)\infty,}$十$\mathrm{o}\mathrm{o}_{1}\mathrm{o}----\sim$$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{r}$$\overline{\alpha\circ\circ-}$$\tilde{\circ\circ \mathrm{C}4}$$\tilde{-\sim@}$) 推定手法$\mathrm{X}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}^{\mathrm{r}_{\iota}},\sigma$

Fig.9 : Parameter 2 in market price of risk$\ll$の推移 :Fi .
. 参照の推定手法よりも本研究の推定手法の方が, 現実に即した状態変数 $r(t)$ が得られた.

スポットレート$\bullet$$\mathrm{J}\mathrm{S}$$\mathrm{J}\mathrm{S}$$r$$10_{\uparrow}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}$$\mathrm{g}$

$11$

$\gg$

の推定手法では, 1996 年以降のスポットレート $r(t)$ は概ねマイナスで推移していたのに対し,本研究の推定手法では概ねプラスで推移していた. 勿論, ここでのスポットレー$\text{ト}r(t)$を構成するための一つの状態変数として捉えるなら, 見過ごされてもよいが, 通常は,

を利回り
コールレ

ートなどが意識されるものであり, マイナスの値をとるのはエコノミックに椙応しいものとはい
えない.

71

1.00%

$2.00*$

1.50%

0.50%
$\overline{.\mathrm{u}_{l}\mathrm{a}\mathrm{e}.}$1.00$$\overline{[perp] \mathrm{a}\mathrm{e}_{1}\triangle.}$$0_{\mathrm{f}\grave{\mathrm{e}}}+[perp] s_{\acute{J}}^{\mathrm{I}}\backslash ,0.50k$$\epsilon_{\mathrm{f}\acute{\grave{\mathrm{e}}}}+[perp]’,\backslash 0.00\kappa$-0.50%

o.oo%-0.50%$\dashv 00\%$

96

97

98 99 00 01

02 03 04

96

97

98

99 00

$01$

02 03 04

Figl 1: State variable (spot rate)
Our Estimation

FiglO :State variable (spot rate)
JS Estimation

5. まとめと結語
本論文では, JS が, カルマンフィルターを用いて HJM モデルのパラメータ推定を行うための道筋を提示しておきながら, 実行するに当たって不用意な単純化を行ったために, 推定結果が妥当なものとは言えない可能性を指摘した. また, 日本国債利回りを対象にして, 不用意な単純化を行う$\mathrm{J}\mathrm{S}$の推定法と忠実に HJM モデルの枠組みで推定を行う本研究推定法とで推定される$/\backslash ^{\mathrm{o}}$ラでは, スポットレートのメータ値がどの様に異なるのかを検証した. 実証分析結果によれば,水準や平均回帰係数のパラメータが妥当なものとはならず, 本研究推定手法を用いた場合でもリ$\mathrm{J}\mathrm{S}$スクの市場価格の符号が適切なものとはならず, カルマンフィルターを用いて HJM モデルのパラメータ推定を行うことの妥当性には疑問符が付くことがわかった.
参考文献
[1]

Babbs, S. H. and K. B. Nowman, “Kalman Filtering of Generalized Vasicek Term Structure
and Quantitative Analysis, Vo1.34, No.l, (March, 1999) , 115-130.
Models.”, Journal

ofFirtancial[2]

Brace, A., and M. Musiela, “A Multifactor Gauss Markov Implementation of Heath, Jarrow,

Morton.”, Mathematical Finance, Vo1.2, (1994), 259-283.
[3]

Carverhill, A., “When is the Short Rate”, Mathematical Finance,$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.4,$$(1994\rangle$$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}^{7}$,

305-312.
[4]

Chan, K. C., G. A. Karolyi, F. A. Longstaff, and A. B. Sanders, “An Empirical Comparison of

Altemative Models of the Short-Term Interest Rate.”, Journal of Finance,$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.47,$$(1992)$ ,1209-1227.
[5]

Chen, R.-R. and L. Scott., “ML Estimation for a Multifactor Equilibrium Model of the Term

Structure.”, Journal ofFixed Income, Vo1.3, (1993), 14-31.
[6]

Cox, J.C., J. B. Ingersoll, and S. A. Ross., “A Theory of the Term Structure of Interest Rates.”,
Econometrica, Vbi 53, (1985), 385-407.

[7]

de Jong, Frank and Pedro Santa-Clara, “The Dynamics of the Forward Interest Rate Curve$:\mathrm{A}$72
Formulation with State Variables.”, Journal of Financial and Quantitative Anolysis, Vo1.34, No. ,$\mathrm{I}$(March, 1999), 131-157.
[8]

Geyer, A. L. J., and S. Pichler, “A state-space approach to estimate and test multifactor
Cox-lngersoll-Ross models of the term structure.”, Journal of Financial Research, Vo1.22, (1999),107-130.
[9]Hamilton, James D., “Time Series Analysis.”, Princeton University Press, Princeton, (1994).

[10]

Harvey, Andrew C., “Forecasting, structural time series models and the Kalman filter.”, Cambridge

University Press, Cambridge, (1989).
[11]

Heath, D., R. A. Jarrow and A. Morton, “Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A

New Methodology for Contingent Claim Valuation.”, Econometrica, Vo1.60, (1992) , 77-105,[12]

Ho, T. S. Y., and S. Lee, “Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims.”,

Jaurnal ofFinance, Vo1.41, (1986), 1011-1029.
[13]

Inui, K. and M. Kijima, “A Markovian Framework in Multi-Factor$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}- \mathrm{J}\mathrm{a}\mathfrak{m}\mathrm{o}\mathrm{w}$-Morton Models.”,

Journal ofFinancial and Quantitative Analysis, Vo1.33, No.3, (September, 1998) , 423-440.
[14]

Jeffrey, A., “Single Factor-Morton Term Structure Models Based on Markov Spot$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}- \mathrm{J}\mathrm{a}\pi \mathrm{o}\mathrm{w}$Interest Rate Dynamics.”, Journal ofFinancial and Quantitative Analysis, Vo1.30, (1995), 619-642.
[15]

Miyazaki, K. and H. Tsubaki, “Comparison of JGB and Bank Debenture Credit Spread Models.”,
The Journal of Fixed Income, Vo1.9, (June, 1999) , 63-70.

[16]

Pearson, N. D., and T. S. Sun, “Exploiting the Conditional Density in Estimating the Term

Structure: An Application to the Cox, Ingersoll, and Ross Model.”, Jourrtal of Finance, Vo1.49,(1994), 1279-1304.
[17]

Vasicek, $0$ , “An Equilibrium Characterization of the Term Structure.”, Journal of Financial
Economics, Vo1.50, (1982), 1-25.