「図形」領域における知識・技能の活用力を高める数学的活動の工夫（第一年次）－生徒が発想や考え方を共有する授業を通して－
長期研究員

Ⅰ

研究の趣旨

中学校新学習指導要領の完全実施を目前にし，

高橋勉

２

研究の内容

⑴

思考活動や表現活動の活性化を図る問題設定や教具の工夫

本県の数学科教育において，身に付けた知識・技能を具体的な問題場面で活用したり，解決までの①

数学的活動の活性化を図る問題設定

道筋を式や言葉を使って適切に説明したりする力

学習指導要領解説数学編には，「数学的活動とは，の育成に課題があるとされた（『平成22年度全国学生徒が目的意識をもって主体的に取り組む数学にか力・学習状況調査結果概要』福島県教育委員会

かわりのある様々な営みを意味している。」とあり，2011.7.30）。また，実際の授業で見える生徒の実態

以下の三つを重要な活動として扱うものとしている。

からも，授業の質的改善を図る上での方向性が見え

ア 数や図形の性質などを見いだす活動てくる。

イ 数学を利用する活動ウ 数学的に説明し伝え合う活動○

数学的な事象に興味や関心が低く，問題をこれらの活動を位置付けた単元構想を計画するた

自己の課題としてとらえていない生徒

めにも，問題設定は授業の核となる。
②○ 既習の知識・技能を活用して問題を解決しているという実感がわかない生徒

教具の工夫と活用○

仮に学習目標を達成すべく有効な問題が設定され発展的な問題に挑戦しようとする意欲が高ても，生徒が「やってみたい」「面白そうだ」「できまらない生徒そうだ」と感じなければ，思考活動や表現活動が活性化されることはない。そこで，工夫された教具をそこで，生徒が主体的に学び，実感を伴う授業を提示していくことが，より効果的に授業を進める重進めていけるようにするため，解決意欲を高め，発要な手立てになると考えた。また，教具の果たすべ想や考えを引き出せる問題や教具の工夫などによき役割について以下のようにとらえ，活用を意図しり，授業改善をしていくものとする。さらには，分た教具の自主開発に取り組む。

からないことやできないこと，分かったことやできア

学習への興味・関心・意欲の向上を図る役割たことを明確にするための練り合げの場を通し，発イ

視覚的な効果や操作により，問題をイメージ想や考え方を共有していくことが数学的活動の活性化する役割化につながり，活用力の向上が図れると考え，本研

ウ

究主題を設定した。

問題解決において，理解や思考の深まりを支Ⅱ

研究の概要

１

研究仮説

援する役割

「図形」領域における指導において，生徒の思考エ

解決策の有効性を検証する役割

オ

問題を関連付けたり，発展させたりする役割⑵

発想や考え方を共有する場を保障した授業①

多様な学習形態を生かした授業

活動や表現活動の活性化を図る問題設定や教具の工

一斉学習・グループ学習・ペア学習・個別学習な

夫を通して，発想や考え方を共有する場を保障した

ど，学習内容や活動場面に応じた学習形態を取り入授業を展開すれば，生徒の数学を活用する力が向上れていくことで，より効果的な学習をねらう。

するであろう。
－53－

②

数学掲示の工夫【２学年】「５章授業における発想や考え方の共有の場として，教室掲示や学年掲示を工夫することは，学習内容の振１ １平行線と角（p.80 〜 81）
０○扉

り返りや本時の学習内容への活用にも期待できる。

【本時の主要問題】①

さらには，生徒の相互評価場面としても有効であり，研究の実際

１

研究の対象

◆本時の学習で押さえたい基礎・基本
学習のまとめ◎「三角形の角（内角）の和は 180 °である」ことを ◆三角形の角の和は利用していろいろな多角形の角の和の求め方を考180 °えることができる。
◆一直線は 180 °◆ 1 点の周りは 360 °① 正六角形の角の和を求めよう。（どんな方法？）② どんな六角形の角の和も 720 °になるのだろうか？

学習意欲の向上にもつながると考える。

Ⅲ平行と合同」＜全 16 時間＞

学習内容（教科書 P）
本時の目標
本時の学習活動を支える主要問題と学習課題

時数②
２ １平行線と角（p.82 〜 83）①多角形の内角と外角【本時の主要問題】◎ 表や図をもとに「ｎ角形の内角の和は 180 °×（ｎ ◆外角−２）である」ことを導くことができる。
◆内角○ 「180 °×（ｎ−２）」を利用して，いろいろな ◆となり合う内外角の問題を解くことができる。
和は 180 °◆多角形の内角の和１つの頂点から出る対角線によって多角形をいくつかの三角形に分ける方法で角の和を求めよう。

図をかかないで角の和を求める方法はないだろうか？

研究協力校：中学校第２学年（５学級・148名）
研究単元：第２学年「平行と合同」（16時間）

検証授業：１学級（29名）で単元すべて及び３ １平行線と角（p.84 〜 85）①多角形の内角と外角【本時の主要問題】

全学級で２時間ずつの提案授業
授業の実際

左の三角形の３つの外角の和を求めよう。

⑴

数学的活動の活性化を図る問題設定

４ １平行線と角（p.86 〜 87）②平行線と角

【本時の主要問題】①40 °②③

単元全体を見通した指導内容を考えるにあたって，生徒に何（ねらい）をできるようにするために，a何（問題）をもって指導するのかを次の五つの視点

本時の目標

②

本時の学習で押さえたい基礎・基本（図形bc

２直線を４０°で交わらせたときにできた残りの角①〜③を求めなさい。

対頂角の大きさはいつでも等しいのだろうか？
（∠ a ＝∠ c，∠ b ＝∠ d の説明）

図１⑵ｎ角形の内角の和は180 °×（ｎ−２）
で求めることができる。

①ｎ角形の内外角の和180 °×ｎ＝ 180 ｎ②ｎ角形の内角の和180 °×（ｎ−２）①−②よりｎ角形の外角の和は 360 °である。
（外角の和は一定である）◎ 対頂角や同位角，錯角の意味について理解する ◆対頂角ことができる。
◆対頂角は等しい○ 対頂角の性質「対頂角は等しい」ことを筋道を ◆同位角立てて説明することができる。
◆錯角

・２直線が交わるとき，向かい合う角を対頂角という。
・対頂角は等しい
・同位角
・錯角＜同位角と錯角については角の位置関係として教師が説明する＞

で具体化した（図１）。
①d180 °×（ｎ−２）◎「ｎ角形の外角の和は 360 °である」ことを文字ｎ ◆多角形の外角の和はを用いて導くことができる。
360 °○「多角形の外角の和は 360 °である」ことを利用して，いろいろな問題を解くことができる。

どんな三角形の外角の和も 360 °になるのだろうか？

２

・どの多角形も様々な方法で三角形に分けることができる。
・多角形の角の和は（１つの頂点から対角線を引いた場合）180 °×（三角形の数）で求めることができる。

※ 図をかいてまとめる。

｢指導計画」の一部

教具の工夫と活用問題が決定した後，生徒に学習のねらいを達成さの性質・用語・記号など）せるために，いかにして魅力的な問題（課題）を提③本時の問題（授業の核となる問題）示していくかが重要である。これには教具の果たす④本時の課題（主要問題から生まれる疑問）べき役割（前述「２⑤本時のまとめかかわってくる。これを踏まえ，教具を生かした授研究の内容」参照）が大きく業の実践を以下に示す。
特に問題の作成にあたっては，基礎的・基本的な①

対頂角の教具内容を踏まえた上で，問題の条件を変えたり，追加「対頂角は等しい」ことは，生徒にとって周知のしたりし，できるだけ連続性のある指導計画になる事実（当たり前とする事柄）であり，この性質を根ようにした。これにより生徒は，既習事項の振り返拠に基づいて筋道を立てて説明する必要感はなかなりをしながら，問題を発展的にとらえる思考の流れか生じてこない。ここでの指導は，単なる図形の性をつかむことができると考えた。また，課題につい質の知識・理解としてでては，問題から生まれる疑問として「～だろうか？」はなく，説明の基礎としという問いの形で表現した。本時の授業における数てとらえたい。対頂角の学的活動が明確となり，指導方法や支援の手立てが教具（図２）を提示した

立てやすく，生徒が主体的に学習するための授業づことで，生徒は二組の対くりをすることができた。

頂角が関連して変化して
－54－

図２

対頂角の教具いる様子が分かり，となり合う角の和が180°である

関心を高めることができた。また，「五角形」から「星ことを用いて対頂角の性質を説明することができた。

形五角形」をつくる活②

動を授業の導入で行っゴムひもを利用した教具（その１）ア「平行にしたら？」イ

左の図３のように，１本ていたことで，生徒にのゴムひもを変形する操作

課題の連続性を意識さを通して，連続的に問題をせながら次のような課提示することができる。初題を設定することがでめに三角形の内角の和の問きた。

題（ ア「 間に角をつく ると？」∠a＋ ∠b＋ ∠c＝180°），次に同側内角の和星形五角形の五つの先端の角の和が180°であるの 性 質（ イことを，星形五角形の内部に点Ｐをとって説明∠a＋ ∠b＝180°）について説明させた

ウ

図４ ゴムの輪から星形五角形をつくるできないだろうか。

後に，平行線にはさまれた角の性質（ウ∠a＋∠b＋

補助線を残して図を変形する教具（図５）を提示「へこみの角（∠ｃ）の向き を変えると ？」∠c＝360 °， エ∠a＋ ∠bすることで，生徒は五角形の内角の和を内部に点を＝∠x）の課題「三つの角とって求める方法を活用しながら，課題解決に向か

エにはどのような関係があるうことができる。すなわち，既習の内容と本時の学のだろうか」につなげてい習との関連を図りながら課題を追究した。

「辺を閉じたら？」オく。さらに条件を変えていくことで，最終的には凹四角形の性質（オ∠a＋∠b➡

＋∠c＝∠x）まで行き着く「さらに発展させると？」図３連続的な問題ことになった。また，一般化された式の比較から，図図５ 補助線を残して五角形を星形五角形に変形する教具

形を関連付けたり，統合的④ICTの活用にとらえたりするなどの数学的な見方や考え方を伸具体物（一般的な教具）を用いた学習のよさはだばすことができた。これらの活動を通し，既習の図れもが認めるところであるが，それだけで問題をイ形の性質を活用しようとする態度や新しい図形の性メージしたり，考察したりするには限界がある。具質を見いだそうとする意欲の向上にもつながった。

体物の大きな欠点として，大きさや丈夫さの問題，③動く・変形するなど複雑なものへの対応が困難，なゴムひもを利用した教具（その２）星形五角形の導入で，各班に１本のゴムの輪をどがある。そこで，次のことを目的とするプレゼン配付して五角形をつくらせた。
（一人で一つの頂点テーションを作成し，授業の要所要所で提示したこを担当し，５人で図形をつくる。）その後，星形五とは，生徒の思考活動の大きな支援となった（図６）。

角形を提示して「この形にすることはできないかな」という発問を投げかけた。
「一筆書きで書けるア図形の一部を強調かな？」では，それほど高まらない問題が，具体物

イ

角の移動を用いた操作活動を通して，１本のゴムの輪が星形

ウ図形の重なり五角形になる（図４）という意外性や，図形の面白

エ 思考過程の振り返りさ・美しさを実感させながら課題「星形五角形の五オ

つの先端の角の和は何度だろうか」に対する興味・－55－

授業のまとめ

図６

電子黒板の利用⑶発想や考え方を共有する場の工夫有させたり，よさを認め合う相互評価の場にもなっ①

付箋紙を利用した表現活動

たりと，学習内容をより一層深めることができ，数図にどんな印や文字を与え，根拠は何か，式でどう表すか，そこから何が見えてくるのかを，順序立学への興味・関心も高めることができた。
④

数学掲示の充実てて表現した結果が説明である。そこで，説明のた教室には「数学コーナー」，学年の廊下には「数めの言葉や式を付箋紙に書かせることで，相手に何学の広場」（図９）を作り，教室や廊下の掲示の充をどの順で説明するのかを明確にさせた（図７）。

実を図った。学年掲示では，重要語句や図形の性質

付箋紙の順序を変えたり，を問題形式にし，難易度別の問題も準備することで，追加したり，組み合わせた見るだけの掲示でなく考える掲示をめざした。また，りすることで思考が整理さ

教室掲示では授業におけるれ，話合いや発表場面では振り返りができるように，それをもとに容易に説明す

図７

前時の授業のまとめに用い付箋紙の利用ることができた。

たカードや生徒の発表を掲②示し，生徒の思考活動を支

学習形態を生かした授業班にこだわらず，共通の問題に取り組んでいた生援した。

図９ 学年掲示板（数学の広場）

徒同士が自由にペアを作って説明し合う活動を取り入れた。その結果，考えのまとまらない生徒は説明

Ⅳ

研究のまとめの上手な生徒の考えを参考にして説明したり，表現⑴

単元構想の段階で，単元で扱う問題を分析・整をより分かりやすくしたりしながら，考えを個から理したことによって，連続性を大切にした指導計集団へと広げることができた。更に，全体の場で発画を作成することができた。同時に，教具作製に表する際には，他の生徒の考えた図や式を読んで根おいても繰り返し授業に活用できるように工夫す

拠となる図形の性質を説明する活動を通して，思考ることもできた。今後は，評価計画を指導計画にや表現を深めながら考えを共有することができた。

組み入れることで，さらに具体的な形にしたい。

③

数学レポートの作成・掲示
章末の発展学習（星形五角形の五つの先端の角の和）では，レポート作成（図８）までを一連の学習活動とした。時間内に自力解決できなかっ業に用いたことで，プレゼンテーションによる効果的な支援や，生徒のノート等の明確な提示が可

次の学習テーマから１つを選択し，レポートにまとめよう。
☆ 星形多角形について
テーマ１（Lv１）「 星形五角形のまとめ」

能となった。機器の準備に時間がかかるため，単テーマ２（Lv２）「 星形六・七・八・・・角形に挑戦」
テーマ３（Lv３）「 星形ｎ角形に挑戦」

元の中で計画的に位置付けるようにしたい。

○ レポートの書き方【Ａ４サイズ１枚（足りない場合は枚数を増やしてもよい）】① テーマを選ぶ。

⑶ 「数学的に説明し伝え合う活動」としての付箋

・ 上のテーマ１〜３から１つを選ぶ。
② 授業で学んだことをもとにして、調べたことを自分なりにまとめる。
・ 図をかく。（定規できちんと線を引こう。）

紙の利用は，説明や話し合う内容が焦点化された・ 式や言葉（記号・文字など）をかく。
・ 色を工夫するとさらによい。
・ できるだけわかりやすくなるようにしよう。
（他の人から見てわかりやすいこと。）

ため，生徒の思考・表現を整理するのに効果があっ③ 感想を書く。
・ レポートを書いて、あらためてわかったことや、納得したり感心したこと。
・ 最低でも３行程度は書くこと。

た。今後は，学習活動のどの場面で付箋紙を利用○ 提出期限・・・授業後１週間以内（提出順に掲示していきます）た生徒は，家庭でじっくり考えたこ② 調べた内容○組△番 氏名 岳陽太郎

すべきか具体化したい。

① テーマ

⑷

※ レポートの具体的な例は教科書に載っています。
図・式・言葉を使って（参考にしながら自分なりにわかりやすく書きましょう。

まとめましょう 。）

更に上位の課題に数学レポートの作成は，生徒にとって初めての取組みであるにもかかわらず，意欲的に作成し，うになり，自力解決できた生徒は，ICTの活用として，電子黒板や書画カメラを授ૠ‫ܖ‬ἾἯὊἚử୿Ắạᾋܼࡊ‫ܖ‬፼ᾍ

日付とで理解できるよ⑵

内容も充実していた。レポート作成は生徒の数学
③ 感想

図８

数学レポート（家庭学習）

挑戦したり，発展させて考えたりすることができた。
また，レポートを掲示することで，互いの考えを共－56－を活用する力の向上に期待できる学習活動でもあるため，単元の中でのレポート作成の位置付けを明確にしながら，継続した実践をしていきたい。