Stringy Origin of Minimal Flavor Violation

Hajime Otsuka (KEK)
Reference :T. Kobayashi and Hajime Otsuka, arXiv: 2108.02700

Flavor Physics Workshop, September 30th, 2021 (Online)

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研究背景
・ Flavor/CP対称性とその破れの起源？
・ Standard Model Effective Field Theory (SMEFT)－ 新物理の兆候を探る重要なBottom-up approach

𝑐 (5)
𝑐 (6)
ℒSMEFT = ℒSM +𝒪5 +𝒪6 + ⋯
Λ NP
Λ NP
非くり込み項ーLorentz，SM global/gauge対称性で制限－ ２４９９個の次元６の演算子（Flavor/CPの破れに重要）：
e.g., Δ𝐹 = 1 semi-leptonic operators :ത 𝜇𝑄 , …
𝐿ത 𝛾 𝜇 𝐿 𝑄𝛾Grzadkowski-Iskrzynski-Misiak-Rosiek, 1008.4884

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研究背景ത 𝜇 𝐷𝜇 𝜓)・ SMのFlavor対称性 (𝜓𝑖𝛾－ 𝐺𝐹 = 𝑆𝑈 3 𝑄𝐿 × 𝑆𝑈 3 𝑢𝑅 × 𝑆𝑈 3 𝑑𝑅 × 𝑆𝑈 3 𝐿𝐿 × 𝑆𝑈 3 𝑒𝑅
ഥ, …
Quarks/Leptonsの湯川結合の存在で破れる: 𝑄ത𝐿 𝑌𝑈𝑖𝑗 𝑢𝑅𝑗 𝐻・ Minimal Flavor Violation (MFV) hypothesis :D’ Ambrosio-Giudice-Isidori-Strumia,
hep-ph/0207036

i) 湯川結合 = Flavor対称性の下で非自明な表現（spurions）
E.g.,

𝑄𝐿 : 3, 1,1,1,1
𝑢𝑅 : 1, 3,1,1,1

𝑌𝑈 : (3, 3ത , 1,1,1)ii) 全ての高次演算子は湯川結合により決定
E.g.,

𝑄ത𝐿 𝑌𝑈 𝑌𝑈† 𝑄𝐿

𝑌𝑈 𝑌𝑈† : (8,1,1,1,1)＃次元６の演算子： ２４９９－＞１１１

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研究動機

UV物理（弦理論）でのMinimal Flavor Violation (MFV) hypothesis ？

𝟏𝟎𝟏𝟕 [GeV]String スケール SM粒子
SM粒子

SM粒子
NP

SM粒子
重い自由度を積分後，高次演算子が得られる

𝚲NP [GeV]

Cutoff スケール

𝟏𝟎𝟐 [GeV]

電弱 スケール

𝑐 (5)
𝑐 (6)
ℒSMEFT = ℒSM +𝒪5 +𝒪6 + ⋯ΛNPΛNP弦理論（高次元理論）に基づく４次元湯川結合
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4次元湯川結合= ３個のゼロモード波動関数の重なり積分

𝜙𝐼

𝜙𝐽

𝜙𝐾

𝑌𝐼𝐽𝐾 = න
余剰次元空間湯川結合のもつ重要な性質：
・ モジュライ依存 𝜏 (余剰次元空間の変形自由度)－ 𝑌(𝜏) は余剰次元空間の幾何学的対称性の下で非自明に変換(spurions)→ Quarks/Leptonsのフレーバー構造5/14

Short Summary・

4次元n-点結合= n個のゼロモード波動関数の重なり積分
𝜙𝐼

𝑌𝐼𝐽…𝐿 = න𝜙𝐽𝜙𝐿…

余剰次元空間・ 様々な弦理論のEFTsでは，n-点結合＝ (湯川結合)𝑛−2e.g., 4点 = (湯川結合)2

1. 高次演算子に伴うFlavor/CP破れは湯川結合で決定
2. 湯川結合は幾何学的対称性の下で非自明に変換 (spurions)

弦理論のEFTsにおけるMFV hypothesis!

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6次元 Calabi-Yau (CY) threefolds
・ 弦理論の真空解・ 𝑆𝑝(2ℎ + 2, ℤ) symplectic modular symmetry
A. Strominger (‘90),
P. Candelas, X. de la Ossa (‘91)ℎ = モジュライ場の数

𝜙𝐼

𝑌𝐼𝐽…𝐿 = න𝜙𝐽𝜙𝐿…

6D CY

n-点結合のフレーバー対称性～ CYのsymplectic modular symmetry ？

4D SUSY 𝐸6 GUT from Heterotic string on 6D CY

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Candelas-Horowitz-Strominger-Witten (‘85)

・ 4D ゲージ対称性 :(hidden)
𝐸6 × 𝐸8

・ 物質場 (𝐸6 ∶ 27 or 27) ≈ モジュライ27𝑖 ≈ Kähler モジュライ𝑇 𝑖(余剰次元空間の体積を決定)

・ 湯川結合 (273 )𝑊 = 𝐹𝑖𝑗𝑘 27𝑖 27𝑗 27𝑘
𝐹𝑖𝑗𝑘 = 𝜕 𝑇 𝑖 𝜕 𝑇 𝑗 𝜕 𝑇 𝑘 𝐹 （𝐹(𝑇) : prepotential）－湯川結合はmodular symmetryの下でテンソル表現

Symplectic modular symmetry in CY moduli space∼ フレーバー対称性

8/14・ Symplectic 変換 ：෨𝑖
𝜕𝑋−1𝑗𝑋෨ 0𝑇𝜕𝑋𝑗

モジュライ：

෪𝑖 =𝑇𝑖 → 𝑇

物質場：

෨𝑖
1/3 𝜕 𝑋0𝑗
෪27 → 27𝑖 = 𝑋෨
27
𝜕𝑋𝑗

湯川結合：

𝜕𝑋 𝑙 𝜕𝑋 𝑚 𝜕𝑋 𝑛𝐹𝑖𝑗𝑘 → 𝐹෨𝑖𝑗𝑘 =𝐹𝑙𝑚𝑛𝑖𝑗𝑘෨෨෨𝜕𝑋 𝜕 𝑋 𝜕 𝑋𝑖

(𝑋 0 , 𝑋 𝑖 ): projective coordinateswith the gauge 𝑋 0 = 1( 𝑖 = 1,2, … , ℎ)ー 𝑆𝑝(2ℎ + 2, ℤ)の非自明な表現

ー フレーバー対称性 : Gflavor ⊂ 𝑆𝑝(2ℎ + 2, ℤ)
Ishiguro-Kobayashi-Otsuka, 2107.00487

ー CP対称性 (27 → 27) : 𝑆𝑝 2ℎ + 2, ℤ ⋊ 𝐶𝑃 ≃ 𝐺𝑆𝑝 2ℎ + 2, ℤ
Ishiguro-Kobayashi-Otsuka, 2010.10782

n-点結合in SUSY 𝐸6 GUT
・ Dimension-5

𝐹𝑖𝑗𝑘𝑙
27𝑖 27𝑗 27𝑘 27𝑙Λ

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Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (‘93)

Massive mode

・ Dimension-6
𝐹𝑖𝑗𝑘𝑙𝑠27𝑖 27𝑗 27𝑘 27𝑙 27𝑠2
ΛMassive mode
From hep-th/9309140

・ n-点結合 : 𝐹𝑖𝑗…𝑛 = 𝜕𝑖 𝜕𝑗 … 𝜕𝑛 𝐹
― 𝑆𝑝(2ℎ + 2, ℤ)の非自明な表現

𝐹 : prepotential

n-点結合in SUSY 𝐸6 GUT
・ Dimension-5

𝐹𝑖𝑗𝑘𝑙
27𝑖 27𝑗 27𝑘 27𝑙
Λ

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Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (‘93)

Massive mode

・ Dimension-6𝐹𝑖𝑗𝑘𝑙𝑠
27𝑖 27𝑗 27𝑘 27𝑙 27𝑠2ΛMassive mode
From hep-th/9309140

・ Prepotential : 𝐹 = 𝐹cubic polynomial + 𝐹instanton
E.g., 𝐹𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜕𝑖 𝜕𝑗 𝜕𝑘 𝜕𝑙 𝐹instanton は，exp(2𝜋𝑖𝜏)の関数(𝜏=モジュライ)-> Flavorの破れはIm𝜏 ≫ 1で抑えられる

𝜙𝐼

𝑌𝐼𝐽…𝐿 = න𝜙𝐽𝜙𝐿

11/14…

余剰次元空間(＊) n-点結合＝ (湯川結合)𝑛−2 の実現例：
・ トーラス：(i) Type IIA intersecting D6-brane models: Cvetic-Papadimitriou (‘03),..
(ii) Type IIB D7-brane models:Cremades-Ibanez-Marchesano (‘04),Abe-Choi-Kobayashi-Ohki (‘09),..

― 物質場とｎ-点結合は，𝑆𝐿(2, ℤ) （の部分群の）非自明な表現Kobayashi-Nagamoto-Takada-Tamba-Tatsuishi (‘18),..

・ 他の曲がった時空：

Honda-Kobayashi-Otsuka, 1812.03357

(＊) n-点結合＝ (湯川結合)𝑛−212/14

・ Δ𝐹 = 2 演算子 :・ Δ𝐹 = 1 semileptonic 演算子 :高次演算子の係数はモジュライ依存の湯川結合で決定 :෍ 𝑦𝑖𝑗𝑚 𝑦𝑚𝑘𝑙
𝑚𝜙𝑚 : heavy superpartners or stringy modes

・ 弦理論のEFTsにおける典型的な湯川結合 : Rank 1 (leading order)－ U(2) flavor symmetryに対応－ 最近のB-anomaliesに有用
Barbieri-Isidori-JonesPerez-Lodone-Straub (‘11),…

(＊) n-点結合＝ (湯川結合)𝑛−213/14

・ 湯川結合及び高次演算子のCPの破れは（共通の）string axions vevで決定される・ String EFTs は，MFV hypothesisを「コンパクト化スケール Λ」で満たす
・ E < Λ以下の物理では，(i) 特定のmodesがmassive-> 𝜙massive をintegrate out後， (＊)を満たす高次演算子が生成(ii)特定のmodesが期待値を持つ－ E.g., 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜙𝑖 𝜙𝑗 𝜙𝑘 𝜙𝑙新しい結合 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜙𝑖 : spurion as a function of 𝜙𝑖 and moduli

14/14Conclusion・ （広いクラスの）弦理論のEFTsは， MFV hypothesisを満たす
𝜙𝐼𝜙𝐽

𝑌𝐼𝐽…𝐿 = න𝜙𝐿…

余剰次元空間― n-点結合＝ (湯川結合)𝑛−2(2D CFTのOPEに由来)
1. 湯川結合は幾何学的対称性の下で非自明に変換 (spurions)
2. 高次演算子に伴うFlavor/CP破れは湯川結合で決定

・ MFV機構は，コンパクト化スケール以下の低エネルギー有効理論で機能

Appendix

Ishiguro-Kobayashi-Otsuka, 2107.00487

・ 𝑆4 フレーバー対称性
𝑊 = 271 272 273
𝐹123 = 1, otherwise 0

ー Invariant under two generators
P : 1 → 3, 2 → 1, 3 → 2
Q : 1 → −1, 2 → −3, 3 → 2
ー 𝑆4 triplet : {271 , 272 , 273 }ー 𝑆4 ⊂ 𝑆𝑝 2 × 3 + 2, ℤ = 𝑆𝑝(8, ℤ)
・ 特定の6D Calabi-YausとToroidal orbifoldで実現