発展的思考・態度を促す授業モデルの開発的研究―中3生を対象とした数学的活動の授業実践の分析を通して―

黒田 大樹

重松 敬一

佐藤 学

新木 伸次

椎名 美穂子

皇學館中学・高等学校

奈良教育大学名誉教授

秋田大学

国士舘大学

秋田県総合教育センター

全国数学教育学会 第49回研究発表会
平成31年2月9日（土）広島大学大学院教育学研究科L205

研究の背景・生徒が，目的意識をもって事象を数学化し，自ら問題を設定し，その解決のために新しい概念や原理・法則を見いだすことで，概念や原理・法則に支えられた知識及び技能を習得したり，思考力，判断力，表現力等を身に付けたり，統合的・発展的に考えて深い学びを実現したりすることが可能である
・今回の改訂では，統合的・発展的に考えることを重視（平成29年 中学校学習指導要領解説数学編）

発展的思考・態度を育成する数学的活動を実現することは重要な課題

研究の目的

中3生を対象とした数学的活動の授業実践の分析を通し，生徒自身が主体的に数学的活動過程を遂行するための発展的思考・態度を促す授業モデルの開発を行うこと

本発表の概要
１．先行研究の整理
２．授業実践の分析
３．発展的思考・態度を促す授業モデルの開発
４．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業の再構成１．数学的活動の先行研究
数学的活動の定義
事象を数理的に捉え，数学の問題を見いだし，問題を自立的，協働的に解決する過程を遂行すること

数学的活動として捉える問題発見・解決の過程①日常生活や社会の事象を数理的に捉え，数学的に表現・処理し，問題を解決し，解決過程を振り返り得られた結果の意味を考察する
過程（日常生活や社会の事象の数学化）②数学の事象から問題を見いだし，数学的な推論などによって問題を解決し，解決の過程や結果を振り返って統合的・発展的に考察する過程（数学の事象の数学化）（平成29年7月 中学校学習指導要領解説数学編）

１．発展的思考・態度の先行研究（１）中島（1982）「統合的発展的な考察」は，（中略）数学的な創造にかかわる重要な観点であって，「数学的な考え方」の育成という立場できわめて重要な意義をもつものである

長崎ら（2007）
算数・数学の力①算数・数学を生み出す力

5項目の中の1つとして算数・数学で発展的に考える力②算数・数学を使う力③算数・数学で表す力④算数・数学で考え合う力を位置付け１．発展的思考・態度の先行研究（２）佐藤ら（2017）
学習者が発展的に考えることの内面化を支援するモデルプレートの開発

２．授業実践の分析（１）河合・黒田（2006）の実践①振り子の周期は何と関係があるか考える②振り子の周期とひもの長さとの関係を実験で調べる③周期とひもの長さの関係を考察する④データをグラフ電卓に入力させ近似関数を求める

２．授業実践の分析（２）
授業展開

数学的活動に関する考察
日常社会や社会の事象を数学的に表①振り子の周期は何と関係 現した問題へと「数学化」する上で重要があるか考えるな活動である

発展的思考・態度の育成に関する考察
生徒の発想を活かす取り組みであると考えられるが，着目した数量との関係を1つ1つ考察する場面がないため，発見的な気付きをする状況が十分に与えられていない「振り子の周期」と「ひもの長さ」という2 ①の活動過程を振り返って数学的構造②振り子の周期とひもの長 変数を取り出し，焦点化した問題へと を明らかにする上でも，生徒の知的興奮を促す上でも重要な局面である
さとの関係を実験で調べ 移行する上で重要な活動であるる
比例や1次関数の関係でないと多くの③周期とひもの長さの関係 生徒が気付いたが，深い考察がなされを考察する
ず，解決のために新しい概念や原理・法則を見いだす活動となっていない

周期とひもの長さの関係を生徒が考察したり，生徒自身が根拠を表などをもとに明確に述べたりする場面がなく，一般化や統合などへとつなげたり，知的興奮を促したりする展開となっていない

2次関数で近似させるとうまくいくことか④データをグラフ電卓に入 ら，この関数ではないかという結論で終力させ，近似関数を求め わっており，さらなる活用・意味づけやる
統合・発展／体系化の活動へとつながっていない

2次関数であるといえる根拠を明確に述べる場面がなく，また，活動を振り返ってさらに発展的に考え，生徒自身が主体的に取り組むための工夫が十分でない３．発展的思考・態度を促す
授業モデルの開発（１）
長崎ら（2004）
変数を取り出す場面や一般化する場面，表・式・グラフ・図等で表現したりする場面で，生徒が困難を示し，教師算数・数学と社会をつなげる力の構造化とその実態主導で授業を展開する場面が見受けられた中3生が集団として身についていない力

結果的に学習者が発展的に考えることを阻害する要因となる仮定をおく，変数を制御する，仮説を立てる，表・式・グラフ・図等で表現する，予測・推測をする，修正する，数学的表現から現象を読み取る・
生徒自身が主体的に数学的活動過程を遂行するための発展的な思考・態度を促す授業モデルの開発が必要
伝える，数学を使った日常文を読み取る，近似的に読み取る

３．発展的思考・態度を促す
授業モデルの開発（２）

数学的活動過程において，佐藤らが開発したモデルプレートに示されているような教師の言葉がけや教材の工夫が，学習者の知的興奮を促し，主体性を育てるにあたり，効果的に働くことも期待できる

数学的活動過程において，佐藤らのモデルプレートを援用して，教師の言葉がけなどに着目し，発展的思考・態度を促す授業モデルを開発

３．発展的思考・態度を促す
授業モデルの開発（３）【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？

【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

発展的思考・態度を促す授業モデル
発展的思考・態度を促す教師の働きかけ

教師の“発展”への意識
発見的発展のきっかけをつくる

数学・社会の事象
数学化

子どもは何を思い浮かべるかな？
どういったことを考えさせたらよいかな？

【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

発見的発展の定着を図る
思い浮かべたことをどうすれば実行できるようになるかな？

数学的に表現した問題【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

構造的発展のきっかけをつくる
前の学習と関連付けさせるためには？
数学的構造を明らかにするためには？
構造的発展の定着を図る

焦点化した問題【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

簡潔・明瞭・的確に表すためには？
一般化させるためには？
新たな発展のきっかけや定着を図る
結果統合・発展／体系化

活用・意味づけ他の場面を考えさせるためには？
さらに発展させるためには？

数学・社会の事象【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？

【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

４．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業の再構成（１）河合・黒田（2006）の実践

再構成した授業案

発展的思考・態度を促す教師の働きかけ
課題[問題1]【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
振り子の周期（1往復にかかる時間）につい 5円硬貨にひもを結びつけ，ひもの適当なと ・何に目をつける？て考えてみよう．
ころを支点として5円硬貨を揺らしてみる．こ ・何か気が付いた？
(1) 振り子の周期は何と関係があるだろう のとき，5円硬貨の周期（1往復にかかる時か．
間）を2倍にするにはどうすればよいか予想(2) 振り子の周期と，ひもの長さとの関係を してみよう．
[実験1]【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
調べてみよう．
問題1で考えたことを実験して確かめてみよ ・おもしろい考えだね．
う．実験を通して気付いたことをまとめよう． ・やってみようか．
[実験2]【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
以下の手順で実験してみよう．
・何かわかった？
① 5円硬貨にひもを結びつける
・前の学習と似ているところはある？
② ひもの適当なところを振り子の支点とし、支点から5円硬貨の中心までの距離を測る③ 5円硬貨を揺らし、揺れが安定してきたらストップウォッチで10周期を測り、その値から周期を計算する④ 3回周期を測り、平均を求める⑤ 支点から5円硬貨の中心までの距離を変えて、①～④の実験を行う＜実験にあたっての注意＞※5円硬貨に力を加えない（初速度を与えない）※ひもが常にピンと張った状態で実験する【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
実験結果から，振り子の周期とひもの長さと [問題2]の関係を考察する
実験結果から，気付いたことやわかったこと ・他にある？
をまとめてみよう．
[問題3]【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
支点から5円硬貨の中心までの距離が20m ・数学らしく表すと？のとき、周期はどうなるだろうか．
[課題]【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
今回の学習を通して、学んだことや感じたこ ・条件を変えてみると？とをまとめてみよう．
・場面を変えてみると？

４．発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業の再構成（２）【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

支点から5円硬貨の中心までの距離が20mのとき、周期はどうなるだろうか。

以下の手順で実験してみよう。

実験結果から、気付いたことやわかったことをまとめてみよう。
【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
他にある？

5円硬貨にひもを結びつけ、ひもの適当なところを支点として5円硬貨を揺らしてみる。
このとき、5円硬貨の周期（1往復にかかる問題1で考えたことを実験して確かめてみ時間）を2倍にするにはどうすればよいか予よう。
想してみよう。
実験を通して気付いたことをまとめよう。 【発展的思考・態度（新たな発展）【発展的思考・態度（新たな発展）
今回の学習を通して、学んだことや感じたを促す】
を促す】 ことをまとめてみよう。
条件を変えてみると？
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？
場面を変えてみると？

発展的思考・態度を促す授業モデルに基づいた授業案
本実践における問いや活動

発展的思考・態度を促す
教師の問い

振り子の周期を考察する[問題1]5円硬貨にひもを結びつけ、ひもの適当なところを支点として5円硬貨を揺らしてみる。
このとき、5円硬貨の周期（1往復にかかる時間）を2倍にするにはどうすればよいか予想してみよう。

【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
何か気が付いた？
何に目をつける？

数学化

本実践の流れ

振り子のひもの長さと周期の関係について考察する[実験1]
問題1で考えたことを実験して確かめてみよう。
実験を通して気付いたことをまとめよう。
[実験2]
以下の手順で実験してみよう。

振り子のひもの長さと周期の関係について、表・式・グラフで考察する

振り子のひもの長さと周期の関係は2次関数で表される[問題2]
実験結果から、気付いたことやわかったことをまとめてみよう。
[問題3]
支点から5円硬貨の中心までの距離が20mのとき、周期はどうなるだろうか。

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
何かわかった？
前の学習と似ているところはある？

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
他にある？

統合・発展／体系化

活用・
意味づけ

【発展的思考・態度（構造的発展）を促す】
算数（または数学）らしく表すと？
[課題]
今回の学習を通して、学んだことや感じたことをまとめてみよう。

新たな数学・社会の事象【発展的思考・態度（発見的発展）を促す】
おもしろい考えだね。
やってみようか。

【発展的思考・態度（新たな発展）を促す】
条件を変えてみると？
場面を変えてみると？

今後の課題

今後，再構成した授業案に基づいて実践を行う予定である．
「発展の状況」や「具体的な数学的活動の局面」，「学習者の心理」の様相を詳細に分析する必要があり，授業ビデオ記録やプロトコル分
析，および生徒の活動レポートを通して，発展的思考・態度を促す教師の働きかけなどが学習者にどのように作用しているかについて分析・検討し，発展的思考・態度を促す授業モデルの精緻化を図ることが課題である．

謝辞
本研究は，JSPS科研費18K02518の助成を受けて行われたものである

引用・参考文献(1) 河合士郎・黒田大樹（2006）．グラフ電卓を活用した実験型関数学習の実践―数学的リテラシーの育成を目指して．奈良女子大学
附属中等教育学校研究紀要，49-58．
(2) 佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017）．学習者が発展的に考えることを支援するモデルプレートの開発とその検証．日本数学教育学会誌，99，数学教育学論究，臨時増刊，9-16．
(3) 中島健三（1982）．算数・数学教育と数学的な考え方―その進展のための考察―．金子書房．（東洋館出版社からの復刻版使用）(4) 長崎榮三・西村圭一・島田功・牧野宏・島崎晃（2004）．算数と社会をつなげる力に関する研究．日本数学教育学会誌，86(8)，3-13．
(5) 長崎榮三・西村圭一・五十嵐一博・牛場正則・久保良宏・久永靖史・柗元新一郎（2004）．数学と社会をつなげる力に関する研究―中学校・高等学校を中心に―．日本数学教育学会誌，86(11)，2-11．
(6) 長崎榮三・滝井章（2007）．算数の力―数学的な考え方を乗り越えて―．東洋館出版社．
(7) 文部科学省（2017）．中学校学習指導要領解説数学編．
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2018/05/07/1387018_4_2.pdf