結び目理論を通してみるＤＮＡ
6 年 B 組 土佐 悠生
6 年 C 組 山岡 俊弥
指導教官 佐藤 大典
指導教官 川口 慎二

１.要約
サイエンス研究会数学班６年生は、結び目について研究している。今回は、結び目の定義、ライデマイスター移動、不変量など、結び目理論の基礎事項に加え、応用として、DNAとの関連性を考察し、更に今後の研究のためにタングルの考え方について述べてみたい。
キーワード 結び目、絡み目、ライデマイスター移動、不変量、３彩色可能性、ブラケット多項式、絡み数、ねじれ数、ライジング数、DNA、二重螺旋構造、超螺旋、トポイソメラーゼⅡ型(topoⅡ)、タングル

２．研究の背景と目的とを、絡み目(link)と呼ぶ。また、絡み目塾の先生に雑学として多少教えていたを構成する個々を成分(component)と呼だいたのがきっかけで、数学にしては何かぶ。つまり、いくつかの 1 次元球面の(集雰囲気が違う分野だと感じ、結び目理論に合としての)直和 S興味を抱いた。結び目理論とは、紐の絡み

元 球 面 Sや結びつきを数学的に表す学問であり、「結L:S1∪

び目が解けるか否か」や、「2 つの結び目はことを絡み目という。また、絡み目を構同じものか」などを考えるもので、生物学成する個々の連結部分のことを成分とい（分子生物学）、化学（高分子合成物）、物う。

S1∪

31∪

S 1 ∪ ∪ S 1 から 3 次

へ の 単 射 連 続 写 像∪

3 S 1 → S 3 或いは L の像の理学（量子力学・統計力学）への応用も期(3)2 つの絡み目が 3 次元空間内で同位とな待できる理論である。今回は応用として、る(つまり、結び目を切ることなく、一方細胞のＤＮＡとの関連性を考察した。

を縮めたり、伸ばしたり、ひねったりすることによって、もう一方に移ることが３．研究内容できる)とき、2 つの結び目は同値■結び目・絡み目の定義(equivalent)であるという。

(1)3 次元空間内の、1 個の絡まった輪のことを、結び目(knot)という。つまり、1 次元
13球面(即ち円周) S から 3 次元球面 S への単射連続写像 K : S → S あるいは K13の像のことを結び目という。
(2)3 次元空間内の、複数の絡まった輪のこ(4)単位円周（半径が 1 の円）と同値な結び目を自明な結び目(trivial knot)と呼ぶ。

■不変量
不変量(invariant)とは、結び目、絡み目を数値化して表したもので、実に多くの種類がある。それぞれの不変量は、結び目、絡み目をさまざまな方法・観点で分類する。
根気があれば、上述のライデマイスター移動により全ての結び目を解き明かすのは可能に思われるが、実際にするのは困難である。そこで登場するのが不変量であり、結び目・絡み目に対して、何度ライデマイス
図１ 結び目・絡み目の例

ター移動を行っても変わらないように数値化された指標が不変量であるともいえる。
例としては、次の３彩色可能性という簡単な不変量があるものの、あまり有効とはいえない(次節参照)。
■３彩色可能性

図２ 同値な結び目の例

簡単な不変量の一例として、例えば３彩色可能性(tricolorability)というものがある。

■ライデマイスター移動
ある 2 つの結び目が同値であるかを調３彩色可能性は、結び目を図示したときに切れている部分を一本の線と仮定して、そべるために、結び目の一部分を変形するこれぞれに色をつけていくことを考えていく。と を ラ イ デ マ イ ス タ ー 移 動 (Reidemeister

結び目は、２つの条件moves)という。具体的には以下の３つの操(a) 少なくとも２色は使われている作である。同値な２つの結び目は、一方の(b) 2 色以上が現れる交点では、３色が必図から他方の図へ、以下の単純移動を繰り返すことで必ず移すことができる。

ず使われているが満たされているとき、この結び目は「3彩色可能(tricolorable)である」という。

図３ ライデマイスター移動

図４ ３彩色可能な例

図５ ３彩色不可能な例
図４の例では、いずれの条件も満たされ■ブラケット多項式るため、３彩色可能であり、図５の例では、1984 年、新しい不変量としてある多項式条件(a)が満たされていないのでこれは３彩(polynomial)が発見され、結び目理論だけで色可能ではない(図６参照)。

なく、統計力学や量子場の理論、量子不変量、量子群など他の分野との関連した膨大な研究を生むことになった。この多項式(ジョーンズ多項式という)の初等的な定義のた め に 、 1987 年 に ブ ラ ケ ッ ト 多 項 式(bracket polynomial)が考案された。
以下、ブラケット多項式について、図７の三葉結び目 T を使って説明しよう。

図６
３彩色可能性はライデマイスター変形でTも変わらないため不変量ではあるが「可能である」「可能でない」の２種類しか起こり

図７ 三葉結び目 Tえない。つまり３彩色可能性だけで「２つの結び目が同じである」とは判断することはできない。
「２つの結び目が同じものであるとき、この２つはどちらも３彩色可能であるか、あるいはどちらも可能でないかである」ということがいえる程度である。
そこで有効な不変量として考え出されたのが、ブラケット多項式である。

図８ 交叉でのラベルのつけ方

図８において、各交叉の近傍は２本の線分によって４つの領域に分割されている。
そこでこれらの領域に対し、交叉の上側にある線分の反時計周り方向の領域にラベルA を、時計回り方向の領域にラベル B を付

図９ 交叉の解消ける(図８参照)。
ある結び目の図 D に対して、そのすべて例えば、図７の三葉結び目 T は、次の図の交叉を図９のどちらかのやり方で解消し10 にある８種類の「状態」を持つことになて得られる図を、結び目 D の 状態(state)る（後々のために、ラベル A、B を付けてと呼ぶことにする。

おく）。

図 10 三葉結び目 T の「状態」
さて、一つの「状態」を S と書くことにa(S) = 2 ，b(S) = 1 ，|S| = 2 となる。

する。このとき a(S)は「A 領域をつなげる交叉点の数」を、b(S)は「B 領域をつなげる交叉点の数」を、また|S|は図 S の中にS含まれる「輪」の数をそれぞれ表している。

図 11 「状態」S

このとき、 d を変数として、

A a ( S ) B b ( S ) d |S |−1を状態 S のエネルギー(enargy)ということにする。
例えば、図 11 の「状態 S」について、したがって、この「状態」S のエネルギーは、

A 2 Bdとなる。
さらに、ある結び目の図 D について、すべての状態のエネルギーを足し合わせたものを、 D と書くことにすると、図７の三葉結び目 T の状態については、
図 14 ひねり数の計算例

T = A 3 d 2 + 3 A 2 Bd + 3 AB 2 + B 3 dとなる。このような( d を変数とする)多項式

このひねり数 w(D ) を次のように用いて、が結び目の不変量であり、これをブラケッ

不変量 f (D ) を次のように定義することがト多項式と呼ぶ（正確には、結び目のもつできる。

「ひねり」を考慮すべきである）。

f ( D) = (− A) −3w( D ) D

しかし実はこの場合、結び目のひねりを取る操作に関しては正確な不変量とはいえここで、B = A −1 ，d = −( A 2 + A −2 ) というない。そこで、結び目 D に一定方向の向き変数変換を行っている。よって、三葉結びを与える。

目 T の不変量は次のようになる。

図 12 向きのつけ方(例)
このとき、それぞれの交叉に対して、図 13のように数値 ± 1 を与える。結び目 D につf (T ) = (− A) −3w(T ) T= (− A) −3×( −3) ( A 3 d 2 + 3 A 2 Bd + 3 AB 2 + B 3 d )= − A16 + A12 + A 4
実際に、図 15 の 2 つの結び目で考えてみる。

いて、(正交叉の数)－(負交叉の数)を、 D のひねり数(writhe number)と呼び、w(D) で表す。
図 15 ２つの結び目
この２つはどちらも自明な結び目である(つまり同値である)ことは明らかである。
まず、ブラケット多項式を用いて、それぞれの総エネルギーを計算する。
図 13 交叉の正負の定め方

結び目 X については、

X =A B d001−1=1となる。これに対して、結び目 Y は()となる。ここへ B = A −1 , d = − A 2 + A −2 を代入すると、{(f (Y ) = − A −3 A − A −1 A 2 + A − 2)}より、 f (Y ) = 1 であるため、 f ( X ) = f (Y )が成り立つ。
■絡み数・ねじれ数・ライジング数
以下、今回のテーマ（結び目と DNA のと分けられ、総エネルギーは関係の一端を考察すること）に必要となる

Y = A 0 B1d 2−1 + A1 B 0 d 1−1 = A + Bd

不変量を紹介する。となる。つまり、ブラケット多項式は(1) 絡み数
絡み数(linking number)は、絡み目の 2 成X ≠ Y分が、どれくらい絡み合っているかを示すとなり、一致しない。

数値であり、ライデマイスター移動に関しでは、ひねり数を導入してみたらどうなて不変である。以下にその定義を示す。

るだろうか。X はひねりがない(交叉をもたない)ため、w( X ) = 0 であることは直ちにわ①絡み目の個々の成分に向きをつける。

かる。一方、Y に図 16 のように向きを入れ②下図のように、片方の交差点を＋１、もる。

う一方を－1 とし、これを絡み目の各々の交叉点において当てはめる。
※ここでいう交叉点とは、異なる結び目同士の交差点だけを指す。同じ 1 つの結び目の中での交差点は、ここでは含まない。
③各交叉点に付けられた数の総和を求め、2
図 16 Y に入れる向きで割る。これが絡み数となる。
※絡み目の交叉点数は必ず偶数個なので 2

このとき、(向きをどちらに決めても結局同で割っても整数となる。

じになるのだが）ひねり数は w(Y ) = +1 となる。そこで、それをf (Y ) = (− A)−3 w(Y )Yへ代入すると、f (D ) = (− A)−3×1( A + Bd ) = (− A) −3 ( A + Bd )図 17 交差点での数字のつけ方

間内を占める位置に依存し、リボンを動か
上図においては、絡み数はすと変化する。

(−1) + (−1)= −12となる。以下、絡み目 R の絡み数を、Lk (R )差点で定められる＋1 と－1 の総和である。

で表すことにする。

Wr (R ) で表す。

この数は、リボンの中心軸同士が成す交ここでは、リボン R のライジング数を、(2) ねじれ数
ねじれ数(twist number)は、リボンがどれくらい螺旋を描いているかを示す数値である。絡み目の一種であるリボンに対する不変量で、リボンが空間内を占める位置に依存し、リボンを動かすと、それに伴い変化する。
この不変量は、リボンの中心軸と、リボンの境界線の 1 本とが成す交叉点で定められ⇒ライジング数Wr ( R) = +1
図 19 ライジング数の計算例

る＋1 と－1 の、総和の半分である(このとき、境界線は 2 本のうちどちらを選んでも、必ず同じ値になる)。以下、リボン R のねじれ数を、 Tw(R ) で表す。

■3 つの不変量の関係式
まったく独立だったリボンに関する不変量に思われる絡み数、ねじれ数、ライジン
グ数の間に、

Lk ( R ) = Tw( R ) + Wr ( R )という関係が発見された。実際に、図 20 のようなリボン R で考えると、 Lk ( R ) = +7 ,Tw( R) = +8 , Wr ( R) = −1 であるので、上の関係式が成立している。

⇒ ねじれ数Tw( R ) =1+1= +12

図 18 ねじれ数の計算例(3) ライジング数
ライジング数(writhing number)は、リボンがどれくらい重なっているかを計る量である。リボンの不変量であり、リボンが空

図 20 リボン R

■DNA と 3 つの不変量
さて、以上の準備のもとで、結び目とDNA との関係について、考察してみたい。
DNA は二重螺旋構造(double helix)である

ら逆にねじれて、解消しようとする。つまり、 Tw(R ) が減るわけである。ここで、Lk ( R ) = Tw( R ) + Wr ( R )から、これを一つのリボンがねじれているであり、 Lk (R ) はねじれの解消によってものとして考えることができる。よって、変動しないので、上の式が成り立つように前項のリボンに関するするために、 Wr (R ) が増えることになる。

Lk ( R ) = Tw( R ) + Wr ( R )これは、もともと螺旋状だった DNA というリボンが、さらに空間内でよじれることという関係をもとに、DNA の変化を考えるを意味する。このようなよじれのことを超ことができる。

螺旋(supercoiling)という(次頁図 23 参照)。

ここで、トポイソメラーゼ(topoisomerase,

このような超螺旋はわれわれの身近なとこ

略称 topo)という酵素が DNA に及ぼす作用ろでも目にすることができる。例えば、絡について考える。トポイソメラーゼは細菌み合った電話のコード(図 22)やドライヤーからヒトに至るまで、すべての生物に広くのコードなどである。

分布しており、DNA の増殖に必須な、つまり生命維持に不可欠な酵素である。
トポイソメラーゼは、DNA 鎖を切断し、ねじれを作ったり解消したりした後、再結合する働きをもつ。
トポイソメラーゼⅡ型（topoⅡ）の働きを下図に示す。この型は、二重螺旋を描く２本の DNA 鎖を切断し、ねじれを作ったり解消したりしてから再結合する。例えば、DNA の一部分に topoⅡが作用して、そこに+1 のねじれを作る。
図 22 電話のコードにできる超螺旋螺旋状態にあった DNA は超螺旋構造になってしまうが、実際には、酵素 topoⅡが作用して、密になった螺旋構造を解消する。
図 21 トポイソメラーゼⅡ(topoⅡ)の作用

この解消を繰り返しながら、mRNA は DNAを読み進める。これによって、DNA のねじ

これを繰り返すと、その DNA は長さのれの数は増えすぎることなく、安定した状わりにはねじれが多くなりすぎ、これを自態を保って遺伝子情報を伝えることができる。

を形成するという役割を持っている。もし、したがって、この考え方を使って、メットポイソメラーゼなしに、DNA が自らねじセンジャーRNA（以下 mRNA）が DNA かれて超螺旋を解こうとすれば、摩擦で発火ら遺伝子情報をどうやって読み取るのかをしてしまう。これこそ、トポイソメラーゼ説明することができる。

が生物に必須の酵素であるとされる所以で① mRNA が DNA の二重螺旋のどこかにある。

割り込み、そこから螺旋構造を押しやり以上のように、結び目理論の考え方によながら徐々に情報を読み取っていく。って、DNA の変化を表し、考察することが② DNA は押しやられることで二重螺旋構できるのである。

造が密になって（詰まって）いき、ついにこれ以上密になれないほど圧縮されてしまう。

■ 細胞の視点から考える
DNA は自身のねじれを解消しようと③ これをさらに mRNA が読み取ろうとしして、超螺旋状態になるが、細胞の視点て前進すると、螺旋構造がほどけて、代からみると、超螺旋状態が必ずしも悪いわりに超螺旋が作られていく。こうなるというわけでもない。例えば、図 24 におと、この螺旋構造や超螺旋構造を解消すいて、Ｐの部分が、A,B の遺伝子を働かるときに、DNA は大きな被害を受けるせる指示を出しているとするとき、遺伝ことになる。摩擦で発火する可能性すら

子 B は P の部分から離れすぎている。

あるといわれている。

図 24 超螺旋ではない場合
図 23 超螺旋

しかし、DNA が超螺旋状態になると、DNA がねじれて絡まってくるため、図このように、トポイソメラーゼは超螺旋

25 にあるように、P の部分と A,B の部分を作ったり、逆に解消したりするのである。の距離が縮まってくる。したがって、細実は、DNA を複製するには、先にその超螺胞からすると、遺伝子に指示を出しやす旋構造を解く必要がある。トポイソメラー

いという利点がある。したがって、DNAゼは、以上の働きによって DNA を複製でが超螺旋状態になっているほうがよい場きる状態にし、 複製終了後は、再び超螺旋合もある。

■タングルにおける同値２つのタングルがあって、タングルの４端点は止めたままで、タングル内の結び目の部分が円領域の外を出ないようにしながら、ライデマイスター移動により他方に移り変わるとき、２つのタングルは同値(equivalent)であるという。

図 25 超螺旋である場合■タングル
DNA の結び目問題に関して考える際、タングルを理解しておくと都合が良い。

図 27 同値なタングルの例

タングル(tangle)とは結び目や絡み目が射影されている平面において、結び目や絡み目がちょうど４点で交わるような円で囲ま■有理タングルれた領域をいう。尚、結び目や絡み目が円有理タングル(rational tangle)とは、タンと交わる４点はいつも磁石の４方向グルを数字に変えたものであり、以下の法

NW(北西)，NE(北東)，SW(南西)，SE(南東)

則に従って構成されるタングルのことを表にあるとする。

す。図 28,29 を参照されたい。
① 水平方向に 2 本の線を撚り合わせる。
② ＮＷとＳＥの対角線に対して鏡映させる。
③ 右の 2 本の線を撚り合わせる。
④ ②～③の繰り返し。
⑤図 26 タングルの例

図 28 有理タングルの構成(1)として、｢3 -2 3｣なら、3+11−2+3= 3+1
3 12= 3− =5
5 5−3と計算する。このような計算によって、２つのタングル「-232」と「3-23」は同値であることがわかる。

４．考察・感想本研究を通して、結び目理論が DNA の話と密接につながっていることがわかった。
また、酵素の働きや mRNA が遺伝子情報を読み取る仕組みが数学を使ってモデル化できることを知った。

図 29 有理タングルの構成(2)超螺旋状態になっている DNA 程早く移動することが可能となり、電極に置くと長このとき、螺旋の回転方向を数値化する螺旋状態になっている DNA が＋に集まる。のだが、交点の上を通る結び目の部分(上道)超螺旋状態の DNA の割合や、ねじれ数をが正の傾き(左下から右上の傾き)であるな測定する事で酵素がどれだけ DNA に作用ら、それは正になる。例えば、①の図ではしているのかを理解する助けになるだろう。

上道が正の傾きであり、ねじれている回数

また、数学的な側面としては、結び目とは３回なので①は「３」と表す。
③では、最初に作った左の螺旋も上道が正の傾きでねじれている回数は３回なので、いう幾何の対象が、不変量を通して、多項式という代数の対象で語られていることに興味をおぼえた。

「３」である。次に作った右の螺旋は上道が負の傾きでねじれている回数は２回なの５．今後の課題-2」である。

ブラケット多項式以外によく知られてい有理タングルが同値であるかを調べるのる、ジョーンズ多項式やアレキサンダー多に極めて単純な方法がある。２つのタング項式、コンウェイ多項式などの不変量を理ル、「-2 3 2」と「3 -2 3」があるとし解するとともに、ブラケット多項式がライよう。そして、この数列に対応するいわゆデマイスター変形をしても不変である理由

る連分数(continued fraction)を計算する。例の裏づけを行いたい。

で「－２」となり、③は「3えば「-2 3 2」なら、また、結び目理論を DNA と関係付ける

1

ことはできたが、細胞の視点を加えて考察

2+3+1−2= 2+12 12= 2+ =55 52

したい。そして、細胞の他にどのような視点から結び目理論と DNA が関わっていくかを調べたい。
さらに、DNAだけではなく、他の分野にも応用できないか、さらなる研究を行いたい。
６．参考文献[1]「結び目の数学」、C.C.アダムス著、金信泰造訳、培風館(1998)[2] 「結び目と量子群」、村上順著、朝倉書店(2000)[3] 「曲面・結び目・多様体のトポロジー」、
S.C.カールソン著、金信泰造訳、培風館(2002)[4] 「結び目のお話」、小林毅著、講義資料(2006)[5]「DNA の冒険―二重螺旋から超螺旋へ―」、菊池韶彦著、岩波書店 (1993)
７．謝辞
今回の研究にご指導して下さった佐藤先生、川口先生に深く感謝します。また、本研究に際し、助言と激励をいただきました
奈良女子大学の小林毅先生にも深く感謝いたします。さらに、助言を下さいました河合先生、近藤先生にも感謝いたします。