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第7章

2023/8/28

二階微分方程式と過渡現象

これまで、交流信号が定常的であるとして、回路を複素インピーダンスで線形方程式にして解く練習をしてきた。しかし、非定常な状態、これを過渡というが、このときの回路の電流や電圧の変化を求めるためには、微分方程式をたてて解く必要がある。やり方としては、数学的に微分方程式を解くか、ラプラス変換を使うかである。ここでは、微分方程式として二階微分方程式を使っての回路問題の解き方に慣れたいと思う。二階微分方程式は様々な物理現象でも見ることができ、回路の勉強を通して、制御や計測などに使う微分方程式問題の知識を得ることになる。

𝐴𝐴𝑚𝑚2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑎𝑎𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0

１．二階微分方程式の解き方
次のような微分方程式の解を解くこととなり、𝑚𝑚2 + 𝑎𝑎𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 = 0を目標にしよう。となる。この方程式を解の公式を使って′′𝑚𝑚の値を求める。これは 2 次方程式であ(1)′𝑦𝑦 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑐𝑐

るので、判別式が正である場合は、実数解をもつ。判別式が 0 である場合は、重解y は時間ｔの関数であり、
𝑦𝑦 ′′ =𝑑𝑑2 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑡𝑡 2𝑦𝑦 ′ =となる。判別式が負であれば複素数の解𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑を２つもつ。とする。a, b, c はそれぞれ定数である。なお、ｃは強制項とも呼ばれ、ここを時間 t

判別式＞0 の場合 𝑎𝑎2 − 4𝑏𝑏 > 0αとβがｍの 2 次方程式の解とすると、の関数とする場合もある。この形の微分

y=𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡

方程式を電気回路では解く機会は極めてが余関数となる。𝐴𝐴1 、𝐴𝐴2 は定数である。こ多い。

れら定数は初期値から推定する。このとこの方程式の一般解は、余関数と特解

きの余関数は基本的に単純な減衰波形あの和となる。この証明は数学の教科書に任せたい。

るいは指数関数波形となる。

余関数の求め方

判別式＝0 の場合 𝑎𝑎2 − 4𝑏𝑏 = 0

問題の式の右項（強制項）ｃを 0 とし、αを二次方程式の重解であるとすると、

y=𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡

余関数の候補として
𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚が余関数となる。𝐴𝐴1 、𝐴𝐴2 は定数である。こを代入して m を決定する。A は、y の初れら定数は初期値から推定する。このと期値 y(0)あるいは、収束値 y(∞)を参考にきの余関数も減衰波形となる。

決定する。
(1) 式の右項を 0 として、𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 を代判別式＜0 の場合 𝑎𝑎2 − 4𝑏𝑏＜0αとβが m の 2 次方程式の解とすると、

入すると、

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両者とも複素数になる。
例題１ 次の二階微分方程式を解きなさ

y = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡

い。

が余関数となる。𝐴𝐴1 、𝐴𝐴2 は定数である。こ(1)ながら減衰する波形になる。

(2)𝑦𝑦 ′′ − 5𝑦𝑦 ′ + 6𝑦𝑦 = 3

れら定数は初期値から推定する。このときの余関数は振動波形、あるいは振動し特解の求め方
c が定数であれ、y の特解は定数になる。

(3)y＝k（定数）とおいて、k を決定すればよい。k の一階微分、二階微分ともに 0 にな(4)るので、(1)式はとなり、特解は𝑐𝑐𝑏𝑏

解答となる。

(1)この場合、まず右辺をゼロとして、以上余関数と特解がもとまったところ

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 とおいて解いてみる。

で、この微分方程式の一般解はy= 余関数＋特解

𝑦𝑦 ′′ − 5𝑦𝑦 ′ + 6𝑦𝑦が答えになる。

= 𝐴𝐴𝑚𝑚2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 5𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 6𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0[特解の候補]𝑦𝑦 ′′ + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ′ + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑐𝑐において、右辺のとして次があげられる。
右辺関数 c(t)特解の候補になる。

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 2𝑡𝑡注）候補ということで必ず当てはまる訳ではない。

定数 𝑙𝑙0
時間ｔの多項式
𝑙𝑙0 + 𝑙𝑙1 𝑡𝑡 + 𝑙𝑙2 𝑡𝑡 2 + ⋯
正弦波、余弦波
𝑙𝑙0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑙𝑙1 )定数 𝑘𝑘0
時間ｔの多項式

指数関数
𝑙𝑙0 𝑒𝑒 𝑙𝑙1𝑡𝑡

指数関数
𝑘𝑘0 𝑒𝑒 𝑙𝑙1𝑡𝑡

𝑙𝑙0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑙𝑙1 )𝑚𝑚2 − 5𝑚𝑚 + 6 = 0𝑚𝑚 = 2, 3となり、余関数はつぎの二関数

ｃが時間の関数である場合、特解の候補

あるいは

𝑦𝑦 ′′ + 5𝑦𝑦 ′ + 6𝑦𝑦 = 𝑡𝑡
𝑦𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ + 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 −𝑡𝑡

bk = cy=𝑦𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ + 3𝑦𝑦 = 0

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 3𝑡𝑡

したがって、この関数の和も余関数になる。

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 2𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 3𝑡𝑡

𝑘𝑘0 + 𝑘𝑘1 𝑡𝑡 + 𝑘𝑘2 𝑡𝑡 2 + ⋯

正弦波、余弦波

𝑘𝑘0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔) + 𝑘𝑘1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔)
この代わりに次を用いてもよい
𝑘𝑘0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑘𝑘1 )特解であるが、右辺が定数であるため、特解を定数ｋとおいてみる。𝑦𝑦 ′′ と𝑦𝑦 ′ は定数の微分となり、0 となる。

60𝑦𝑦 ′′ − 5𝑦𝑦 ′ + 6𝑦𝑦 = 6𝑘𝑘 = 3Internet 版

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𝑘𝑘 =(3)12

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 2𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 3𝑡𝑡 +𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚 + 6 = 0となり、𝑚𝑚 = −2, −3と求められ、余関数は12

次のようになる。

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 −2𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 −3𝑡𝑡となる。なお、𝐴𝐴1 、𝐴𝐴2 は y の初期値があれば決定できる。

特解であるが、右辺がｔなので、特解を
𝑦𝑦 = 𝑘𝑘0 + 𝑘𝑘1 𝑡𝑡(2) この場合、右辺はゼロであり、特解は数を求める。

𝑚𝑚𝑚𝑚としてみる。
𝑦𝑦 ′′ + 5𝑦𝑦 ′ + 6𝑦𝑦 = 5𝑘𝑘1 + 6𝑘𝑘0 + 6𝑘𝑘1 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡

とおいて余関係数比較により、𝑘𝑘1 = 1/6, 𝑘𝑘0 = −5/36となる。

𝑦𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ + 3𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑚𝑚2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 3𝐴𝐴𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚

以上より、特解は𝑦𝑦 = −=0𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 + 3 = 0𝑚𝑚 =−1 ± 𝑗𝑗√112−1+𝑗𝑗√11𝑡𝑡
2+ 𝐴𝐴2 𝑒𝑒𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 −2𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 −3𝑡𝑡 −−1−𝑗𝑗√11𝑡𝑡
2て余関数を求める。

決定できる。これをさらに展開してみよ𝑦𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ + 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑚𝑚2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚

う。
𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒+ 𝐴𝐴2 𝑒𝑒+𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0−1−𝑗𝑗√11𝑡𝑡
2𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 + 1 = 0

この式のイメージを得るために、仮に、
𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 となる場合を考える。オイラーの𝑚𝑚 =式を使って展開すると、−1𝐴𝐴1 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐計算できる。

√11√11𝑡𝑡 − 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡�
22−1= 2𝐴𝐴1 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐−1𝑗𝑗√3−1−𝑗𝑗√3𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡と求められる。

√11𝑡𝑡
2

特解であるが、
𝑦𝑦 = 𝑘𝑘0 𝑒𝑒−𝑡𝑡と求められる。これは、振動しながら減衰していく波形になる。

−1 ± 𝑗𝑗√32となる。したがって余関数は次のように√11√11𝑡𝑡 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑡𝑡
22+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

5 1+ 𝑡𝑡
36 6(4)右辺をゼロとして、𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 とおいとなり、𝐴𝐴1 、𝐴𝐴2 は初期値が与えられれば−1+𝑗𝑗√11𝑡𝑡
251+ 𝑡𝑡ということ
366になる。一般解は次の形になる。となる。余関数は二関数の和となり、
𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 とおいて解いてみる。すると、特性方程式は、一般解は余関数と特解の和となるので、考えなくてよい。𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒

これもが候補となる。
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2023/8/28となる。

𝑦𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ + 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 − 𝑘𝑘0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 + 𝑘𝑘0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡= 𝑒𝑒

一般解は、−𝑡𝑡より、𝑘𝑘0 = 1となる。

𝑅𝑅

𝐸𝐸
𝑅𝑅𝑖𝑖(𝑡𝑡) = + 𝐴𝐴𝑒𝑒 − 𝐿𝐿 𝑡𝑡

一般解は特解と余関数の和で表される。 である。A を決定するのに、初期値を考慮−1𝑗𝑗√3−1

𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 + 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 2 𝑡𝑡 𝑒𝑒する。

−𝑗𝑗√3𝑡𝑡2スイッチが ON された瞬間、コイルに𝐴𝐴1 、𝐴𝐴2 は初期値が与えられれば決定でき急に電圧がかかり、∞の抵抗のように振る。

る舞う。（2 章参照）したがって、𝑖𝑖(0) = 0となるため、次のように答えが求められ

２．過渡現象の計算事例
二階線形微分方程式の解法を使うとかる。

なりの種類の過渡現象を扱うことができる。ここではいくつか事例をもって解い𝐸𝐸
𝑅𝑅𝑖𝑖(𝑡𝑡) = −ていくことにする。

𝐸𝐸 −𝑅𝑅𝑡𝑡𝑒𝑒 𝐿𝐿
𝑅𝑅i(t)の形は次のように書ける。
i(1)L-R 回路

𝐸𝐸𝑅𝑅

図のように L と R の直列回路がある。
ｔ＝0 でスイッチが ON されたときに、流れる電流 i(t)を求めてみる。

(2)C-R 回路

𝑡𝑡

図のように C と R の直列回路がある。
ｔ＝0 のときにスイッチが ON されたときに、流れる電流 i(t)を求めてみる。C にはｔ＝0 のときに全く電荷が蓄えられてこの回路の微分方程式は次が成り立つ。
𝐸𝐸 = 𝐿𝐿いないとする。

𝑑𝑑𝑑𝑑+ 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐿𝐿𝑖𝑖 ′ + 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑑𝑑𝑑𝑑

余関数として、𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 とおいて求める。
𝐿𝐿𝑖𝑖 ′ + 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0
よって、
𝑅𝑅𝑚𝑚 = − 𝐿𝐿となる。余関数は𝑅𝑅

𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 − 𝐿𝐿 𝑡𝑡となる。特解数は
𝑖𝑖 =𝐸𝐸
𝑅𝑅

この回路の微分方程式は次が成り立つ。
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1𝐶𝐶

𝐸𝐸 = 𝑄𝑄(𝑡𝑡) + 𝑅𝑅𝑅𝑅

(1)

形を求める。

𝑄𝑄(𝑡𝑡)はコンデンサ C に蓄えられている電荷である。

𝑑𝑑𝑄𝑄(𝑡𝑡)= 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑である。電流の向きとして、コンデンサから出ていく方向に電流が定義されている
場合は、電流 i にマイナスをつけるので、注意が必要である。(1)式を時間微分する次の方程式がたてられる。
𝑑𝑑𝑑𝑑
1𝑄𝑄(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑𝐶𝐶と、
1𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑖𝑖 ′ = 0𝐶𝐶となる。これの余関数はつぎのようにな両辺を時間微分する。このとき i の方向る。

は、コンデンサから出ていく方向なので、i にマイナスをつける。

1𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝐶𝐶𝐶𝐶𝑡𝑡

1𝐶𝐶− 𝑖𝑖 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 ′′なお、初期値についてだが、コンデンサ急となる。に電圧をかけられると、0Ωの抵抗として𝑖𝑖 ′′ +振る舞うために、初期電流は𝑖𝑖(0) =余関数として、𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 とおいて求める。
𝐴𝐴𝑚𝑚2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐸𝐸𝑅𝑅

したがって、となる。よって、
𝐸𝐸𝑅𝑅

11𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 =0𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚 = ± 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑗𝑗√となる。二つの解において係数 A が異な

1𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝐶𝐶𝐶𝐶𝑡𝑡ることもあり得るので、次のようになる。となる。i(t)の形は次のように書ける。

1𝑗𝑗𝑗𝑗

−

1𝑖𝑖 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 √𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 √𝐿𝐿𝐿𝐿となる。

i(2)

𝑗𝑗𝑗𝑗

初期値であるが、L が∞のインピーダン

𝐸𝐸
𝑅𝑅(3)L-C 共振回路の事例

1𝑖𝑖 = 0
𝐿𝐿𝐿𝐿スとして働く。したがって、𝑖𝑖(0) = 0となる。(2)式に導入すると、
𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 = 0𝑡𝑡(3)

また、t=0 のときに、コンデンサの両端の𝑄𝑄
電圧は、 0�𝐶𝐶 の電圧あるため、
𝑄𝑄0𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝐿𝐿（t=0）
𝐶𝐶

時刻ｔ＝0 でコンデンサにたまってい𝑑𝑑𝑑𝑑がなりたつ。これを導入すると、る電荷が放電されるとする。この電流波
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数学解は、指数関数か、定数か、あるいは

11𝑄𝑄0= 𝐿𝐿 �𝐴𝐴1 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑗𝑗 − 𝐴𝐴2 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑗𝑗�
𝐶𝐶√√
𝑄𝑄0
𝐴𝐴1 − 𝐴𝐴2 = − 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑗𝑗(4)√

振動、または振動減衰に大別されるが、その大別は微分方程式の係数にとる判別式となる。

で分類される。詳しくは、次の節で述べる。

(3)、(4)式より、

３．RLC 直列回路を題材にした電流波形の計算例と臨界制動

𝑄𝑄

0𝐴𝐴1 = − 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑗𝑗

√

𝑄𝑄0𝑗𝑗
2√𝐿𝐿𝐿𝐿𝐴𝐴2 =この回路を事例として、電流波形が指となる。一般解は次のように変形される。
𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒

1𝑗𝑗𝑗𝑗√𝐿𝐿𝐿𝐿= 𝐴𝐴1 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �=−+𝐴𝐴2 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �+ 𝐴𝐴2 𝑒𝑒

1

√𝐿𝐿𝐿𝐿
1

√𝐿𝐿𝐿𝐿

1𝑗𝑗𝑗𝑗
√𝐿𝐿𝐿𝐿−𝑡𝑡� + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑡𝑡� − 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �

𝑄𝑄01𝑗𝑗 × 𝑗𝑗2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑡𝑡�
2√𝐿𝐿𝐿𝐿
√

1

√𝐿𝐿𝐿𝐿
1

√𝐿𝐿𝐿𝐿𝑡𝑡��

1電流の回路方程式は次のように書くこと√√ができる。となる。これは、周期2𝜋𝜋√𝐿𝐿𝐿𝐿、周波数 f

𝐸𝐸 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐿𝐿とすれば、
𝑓𝑓 =みる𝑡𝑡��

0= 𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑡𝑡�

𝑄𝑄

数関数になるか、振動になるかを考えて両辺を時間で微分すると、二階微分方程式が得られる。

12𝜋𝜋√𝐿𝐿𝐿𝐿

1𝐶𝐶

𝐿𝐿𝐿𝐿 ′′ + 𝑅𝑅𝑖𝑖 ′ + 𝑖𝑖 = 0の振動波形になる。となる。

ここで特解は 0 であるので、余関数の𝑄𝑄0i√𝐿𝐿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑄𝑄(𝑡𝑡)+ 𝐶𝐶
𝑑𝑑𝑑𝑑

みを求めに行く。𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 とおくと、ｍに関する二次方程式が得られる。

𝑡𝑡

1𝐶𝐶𝐿𝐿𝑚𝑚2 + 𝑅𝑅𝑅𝑅 + = 0

ここでｍの判別式をといて、ｍの解の性長い計算であったが、慣れれば同じパタ質で分類する。

ーンの繰り返しである。技術者としての勘として、L と C が共存する回路では、

1) 判別式が正の場合振動波形は出やすいと覚えておくべきで𝑅𝑅 2 −ある。強制項が定数の二階微分方程式の644𝐿𝐿> 0の場合であるが、この場合𝐶𝐶

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m は二つの実数解をとり、余関数は次のとなり、ように書ける。二つの解をα、βとすれば

𝐴𝐴1 =となり、𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡
𝛼𝛼 =−𝑅𝑅 + �𝑅𝑅 2 −2𝐿𝐿𝐸𝐸

�𝑅𝑅 2 −4𝐿𝐿𝐶𝐶となる。したがって、電流 i(t)は4𝐿𝐿𝐶𝐶𝑖𝑖 =𝐸𝐸

�𝑅𝑅 2 −4𝐿𝐿𝐶𝐶(𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡 )となる。その概形は次のようになる。

4𝐿𝐿−𝑅𝑅 − �𝑅𝑅 2 −𝐶𝐶𝛽𝛽 =2𝐿𝐿iとなる。ここで、判別式の条件より𝑅𝑅 2 −4𝐿𝐿> 0であるため、
𝐶𝐶−𝑅𝑅 + �𝑅𝑅 2 −2) 判別式が負の場合

4𝐿𝐿＜0𝐶𝐶𝑅𝑅 2 −となる。つまり、αもβも必ず、負の値を4𝐿𝐿＜0の場合であるが、この場合は𝐶𝐶解α、βとも複素数となる。

とる。
ここで電流 i の初期値を考える。コイルは急激に電圧を変えると、∞のインピー

𝛼𝛼 =ダンスになるので、電流 i の初期値はゼロになる。

𝛽𝛽 =𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡に𝑡𝑡＝0 を代入すると、

4𝐿𝐿−𝑅𝑅 − 𝑗𝑗� 𝐶𝐶 − 𝑅𝑅 22𝐿𝐿𝑖𝑖 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡となる。

𝑗𝑗
𝑅𝑅= 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝐴𝐴1 (𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡 )となる。この状態で、元の微分方程式にい4𝐿𝐿
�4𝐿𝐿 −𝑅𝑅2−𝑗𝑗� −𝑅𝑅2𝑅𝑅𝐶𝐶𝐶𝐶𝑡𝑡
2𝐿𝐿+ 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 𝑒𝑒 2𝐿𝐿 𝑡𝑡となる。電流 i の初期値はゼロになることれてみる。コンデンサの電荷𝑄𝑄(0) = 0とすると、となり、

4𝐿𝐿2𝐶𝐶 − 𝑅𝑅2𝐿𝐿−𝑅𝑅 + 𝑗𝑗�

電流の式は、次のようになる。

𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 = 0

𝐸𝐸 = 𝐿𝐿𝑡𝑡

より、
𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 = 0𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑となる。

𝑖𝑖 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝑡𝑡

𝐸𝐸 = 𝐿𝐿𝐴𝐴1 (𝛼𝛼𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑡𝑡 − 𝛽𝛽𝑒𝑒𝛽𝛽𝑡𝑡 )|t=0

𝐸𝐸 = 𝐿𝐿𝐴𝐴1 (𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)

65

𝑗𝑗
𝑅𝑅
= 𝐴𝐴1 (𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 𝑒𝑒4𝐿𝐿
�4𝐿𝐿−𝑅𝑅2−𝑗𝑗� −𝑅𝑅2𝑅𝑅
𝐶𝐶
𝐶𝐶𝑡𝑡
2𝐿𝐿− 𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 𝑒𝑒 2𝐿𝐿 𝑡𝑡 )Internet 版

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𝑗𝑗
𝑅𝑅= 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 (𝑒𝑒4𝐿𝐿
�4𝐿𝐿 −𝑅𝑅2−𝑗𝑗� −𝑅𝑅2𝐶𝐶𝐶𝐶𝑡𝑡
2𝐿𝐿− 𝑒𝑒 2𝐿𝐿 𝑡𝑡 )り、𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜃𝜃 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝜃𝜃sin 𝜃𝜃 =2𝑗𝑗
4𝐿𝐿� − 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐶𝐶𝑖𝑖 = 2𝑗𝑗𝐴𝐴1 𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 sin ⎛2𝐿𝐿の部分は第 2 項と差し引きされることで、振動関数𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑘𝑘1 )の形でここでオイラーの式よりより、

4𝐿𝐿𝑗𝑗� −𝑅𝑅2𝐶𝐶
𝑡𝑡
2𝐿𝐿表される。

判別式が負の場合は、振動が徐々に減衰する波形となる。ただし、R がゼロの場
2合は、振動が永遠に持続する。
𝑡𝑡⎞i⎝⎠となる。もう一つの初期条件として、t=0のときに、100％電圧はコイル L にかかる
ことから、

𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐸𝐸 = 𝐿𝐿 �𝑑𝑑𝑑𝑑 t=03) 判別式がゼロの場合

�4𝐿𝐿 − 𝑅𝑅 2
𝑅𝑅 − 𝑅𝑅 𝑡𝑡𝐶𝐶𝑡𝑡⎞= 𝐿𝐿2𝑗𝑗𝐴𝐴1 ⎛− 𝑒𝑒 2𝐿𝐿 sin ⎛2𝐿𝐿2𝐿𝐿⎝⎠⎝

この場合�𝑅𝑅 2 −のようになる。

�4𝐿𝐿 − 𝑅𝑅 2
�4𝐿𝐿 − 𝑅𝑅 2 𝑅𝑅
𝐶𝐶𝐶𝐶+𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 cos ⎛𝑡𝑡⎞⎞��
2𝐿𝐿2𝐿𝐿⎝⎠⎠ 𝑡𝑡=04𝐿𝐿= 0�は、余関数は次𝐶𝐶

𝑖𝑖 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐴𝐴2 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚

これを代入してみる。ここで電流の初期値がゼロなので、𝐴𝐴1 = 0となる。

4𝐿𝐿= 𝑗𝑗𝐴𝐴1 � − 𝑅𝑅 2𝐶𝐶

𝑖𝑖 = 𝐴𝐴2 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚

以上より、これを最初の微分方程式にいれると、

4𝐿𝐿
𝐴𝐴1 = 𝐸𝐸/𝑗𝑗� − 𝑅𝑅 2𝐶𝐶

1𝐶𝐶

𝐿𝐿𝐿𝐿 ′′ + 𝑅𝑅𝑖𝑖 ′ + 𝑖𝑖= 𝐿𝐿𝐴𝐴2 𝑡𝑡𝑚𝑚2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝐿𝐿𝐴𝐴2 𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑅𝑅𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚となり、次のようになる。

�4𝐿𝐿 − 𝑅𝑅 2𝑅𝑅2𝐸𝐸𝐶𝐶− 𝑡𝑡𝑖𝑖 =𝑒𝑒 2𝐿𝐿 sin ⎛𝑡𝑡⎞
2𝐿𝐿4𝐿𝐿� − 𝑅𝑅 2⎝⎠
𝐶𝐶+ 𝑅𝑅𝐴𝐴2 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 +=0

𝐿𝐿𝑡𝑡𝑚𝑚2 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑅𝑅 + 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 +𝑅𝑅

この式で、𝑒𝑒 −2𝐿𝐿𝑡𝑡 は指数関数的な減衰であ66

1𝐴𝐴 𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐶𝐶 21𝑡𝑡𝐶𝐶

1= �𝐿𝐿𝑚𝑚2 + 𝑅𝑅𝑅𝑅 + � 𝑡𝑡 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑅𝑅 = 0𝐶𝐶

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二階微方程式で示される回路や制御シ

ここで𝑚𝑚 =ステムにおいて、この臨界制動になるよ−𝑅𝑅
2𝐿𝐿

うに素子の定数を選ぶことで、高速に信号を安定させることが可能になる。これとすると、上記等式はなりたつ。

は制御回路の高速応答のための基本的な−𝑅𝑅

𝑖𝑖 = 𝐴𝐴2 𝑡𝑡𝑒𝑒 2𝐿𝐿 𝑡𝑡となる。

概念として理解していただければ幸いである。

𝐴𝐴2 であるが、t＝0 のときに、i=0 であ向学のためにり、また𝐸𝐸 = 𝐿𝐿

二階微分方程式の解説を中心に回路の𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑過渡現象を計算する手法を解説した。以
上示された回路事例より複雑になる場合が成り立ち、これより決定する。
−𝑅𝑅−𝑅𝑅−𝑅𝑅� 𝑒𝑒 2𝐿𝐿 𝑡𝑡
2𝐿𝐿

𝐸𝐸 = 𝐿𝐿𝐴𝐴2 𝑒𝑒 2𝐿𝐿 𝑡𝑡 + 𝐿𝐿𝐴𝐴2 𝑡𝑡 �

𝐴𝐴2 =

以上より、

𝑖𝑖 =と求められる。

は、ラプラス変換を使って解くことにな｜t=0る。ラプラス変換は複雑微分方程式を変数ｓとした代数式に替えて、解を求めて𝐸𝐸𝐿𝐿いく手法である。回路以外の分野でも非常に役に立つ知識である。これについて
は 8 章以降で解説していくことにする。

𝐸𝐸 −𝑅𝑅𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 2𝐿𝐿
𝐿𝐿

7章

練習問題

1. 次の回路でに SW が ON となるとして、i電流 i(t)の波形をもとめなさい。

𝑡𝑡

以上、微分方程式で波形が大きく変わることが分かった。判別式が正の場合は2. 次の回路でｔ＝0 のときに SW が ON と減衰、負の場合は振動減衰、そして判別式なるとして、電流 i(t)の波形をもとめが 0 の場合も減衰となるが、正の場合になさい。

比べて減衰は速い。判別式が 0 のときを臨界制動いう。臨界制動は単純に、振動するかどうかの分岐点であるだけではなく、もっとも速やかに終値に収束する条件であるといえる。
67

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3. 次の回路でｔ＝0 のときに SW が OFF から ON に変わるときに、電流 i(t)の波形をもとめなさい。

4. 次のような回路において、スイッチがオンさせると、電流に振動波形が現れて、周辺に電磁ノイズが現れることが分かった。電磁ノイズを起こさないた
めには R をどのような条件に設定すればよいか。

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17 章 練習問題略解
1.

𝐶𝐶

初期電流を求める。

ON 以前では、L は定常状態で 0Ωとみな𝑖𝑖 + 𝑅𝑅0 𝑖𝑖 ′ = 0

し、i(0)は E/(R0＋R1)である。

＋SW オンの後は、次の微分方程式が成り－立つ。

𝐸𝐸 = 𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑑𝑑+ 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐿𝐿𝑖𝑖 ′ + 𝑅𝑅0 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

この微分方程式の一般解は、

𝑖𝑖(𝑡𝑡) =𝑅𝑅
𝐸𝐸+ 𝐴𝐴𝑒𝑒 − 𝐿𝐿 𝑡𝑡
𝑅𝑅0

この余関数はつぎのようになる。

𝑖𝑖(0) =𝐸𝐸
𝐸𝐸+ 𝐴𝐴 =𝑅𝑅0
𝑅𝑅0 +𝑅𝑅1

𝑖𝑖(0) =となり、である。

𝐴𝐴 =より、となる。

i𝐸𝐸

𝑅𝑅0となる。

𝑅𝑅
𝐸𝐸
𝐸𝐸
𝐸𝐸+ � +𝑅𝑅 − � 𝑒𝑒 − 𝐿𝐿 𝑡𝑡
𝑅𝑅0
𝑅𝑅0 1
𝑅𝑅01𝑡𝑡より、𝑖𝑖(𝑡𝑡) =𝐸𝐸
𝐸𝐸−𝑅𝑅0 +𝑅𝑅1𝑅𝑅0𝑖𝑖(𝑡𝑡) =−𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝐶𝐶𝑅𝑅0𝐸𝐸

𝑅𝑅0−1𝑒𝑒 𝐶𝐶𝑅𝑅0𝑡𝑡

i
𝐸𝐸
𝑅𝑅0

𝐸𝐸
𝑅𝑅0𝑡𝑡

𝐸𝐸
𝐸𝐸−𝑅𝑅0 + 𝑅𝑅1 𝑅𝑅0

２.

𝑡𝑡

3.

ｔ＝0 以前は、コイル L に E/R[A]の電流が流れている。SW がオフになった瞬間コイルがコンデンサにその電流を流そう

t＝0 以前では、C は∞抵抗の状態でとする。したがって、i(0)は E/R である。

あり、E[V]の電圧がかかっている。これがSW が ON になった場合、R0 と C の閉路

1𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑄𝑄(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑になる。ここを流れる初期電流は、E/R0である。なお C の電圧の向きは図の赤字で示す通りである。

両辺を時間微分する。このとき i の方向は、コンデンサから出ていく方向なので、i にマイナスをつける。

微分方程式は次のとおりである。
1𝐶𝐶

1− 𝑖𝑖 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 ′′𝑄𝑄(𝑡𝑡) + 𝑅𝑅0 𝑖𝑖 = 0𝐶𝐶となる。
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Internet 版

𝑖𝑖 ′′ +2023/8/28

1𝑖𝑖 = 0𝐿𝐿𝐿𝐿i余関数として、𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 とおいて求める。
𝐴𝐴𝑚𝑚2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 +0
したがって、

𝑚𝑚 = ±1√𝐿𝐿𝐿𝐿

1𝐿𝐿𝐿𝐿𝑗𝑗−となる。二つの解において係数 A が異なることもあり得るので、次のようになる。
1𝑗𝑗𝑗𝑗−

11𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿 ′′ + 𝑅𝑅𝑖𝑖 ′ + 𝑖𝑖 = 0

ると、電流𝑖𝑖の解は、その余関数になり、。𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚とおくと、m に関する二次方程式が得られる。

(3)

また、t=0 のときに、コンデンサの両端の電圧は、急に電流が入っても０Ωのインピ1𝐶𝐶

𝐿𝐿𝑚𝑚2 + 𝑅𝑅𝑅𝑅 + = 0ーダンスとして振る舞うのでゼロである。
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿 = 0 (𝑡𝑡 = 0)
𝑑𝑑𝑑𝑑がなりたつ。これを導入すると、
0 = 𝐿𝐿 �𝐴𝐴11√𝐿𝐿𝐿𝐿より、
𝐴𝐴1 − 𝐴𝐴2 = 0となる。

𝑗𝑗 − 𝐴𝐴21√𝐿𝐿𝐿𝐿

電流 i の振動する条件は、m の判別式が4𝐿𝐿負になるときであり、すなわち𝑅𝑅2 − 𝐶𝐶 ＜0のときである。つまり、振動を抑える条件は

𝑗𝑗�𝐿𝐿𝐶𝐶となる。一般解は次のように変形される。
1𝑗𝑗𝑗𝑗−1𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 √𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 √𝐿𝐿𝐿𝐿

𝑗𝑗𝑗𝑗

𝐸𝐸
11𝑡𝑡� + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑡𝑡��
�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �2𝑅𝑅
√𝐿𝐿𝐿𝐿
√𝐿𝐿𝐿𝐿

𝐸𝐸
11𝑡𝑡� − 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑡𝑡��
�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �2𝑅𝑅
√𝐿𝐿𝐿𝐿
√𝐿𝐿𝐿𝐿=𝐶𝐶なり、電流 i は最も短時間で、0 に収束する。

𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 2𝑅𝑅+𝐿𝐿

𝑅𝑅 ≥ 2� となる。𝑅𝑅 = 2� のとき臨界制動と𝐸𝐸=𝐸𝐸
𝑅𝑅

後の回路方程式は次のようになる。

𝑖𝑖(0) = E/Rなることより、(5)式に導入す𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 = E/R

𝑡𝑡

4. この回路において、スイッチが ON の(5)𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 √𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 √𝐿𝐿𝐿𝐿となる。

𝐸𝐸
𝑅𝑅

𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 =0𝐸𝐸
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝑡𝑡�𝑅𝑅
√𝐿𝐿𝐿𝐿となり、余弦振動波形となる。

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