エコノミック・ポリシー・レポート 2016-003

柴田悠氏『子育て支援が日本を救う』における労働生産性概念の問題点
朴勝俊

2016/10/12

京都大学の柴田悠氏による近著、『子育て支援が日本を救う』（柴田 2016）を読んだ。保
育所整備などの子育て支援策が、子どもの貧困、出生率向上、女性の労働参加に及ぼすプラス効果が、OECD の国際比較統計データを用いて明らかにされており、示唆するところは大変に豊富である。
ただし、問題点は「労働生産性」という概念の扱い方である。柴田氏は労働生産性を実質GDP の原因となる変数と考え、著書全体を通じて労働生産性を改善する説明変数や政策提言を検討している。しかし、労働生産性は被用者 1 人あたり 1 時間あたりの実質 GDP として定義されているため、労働生産性と実質 GDP はほぼイコールの関係にある。むしろ、彼の分析期間である短期（１年単位）では、実質 GDP が労働生産性の原因であると考えるべきである（井原 2013、p.173）。不況期に労働生産性を高める政策を追求すると、かえって経済成長を損なうおそれがあるほか、福祉・厚生の改善という本来の目的に反することとなりかねない（例えば、労働生産性を高めるためには、失業を増やせばよい、という主張になりかねない）。また、これらの関係を回帰分析で明らかにしようとする試みにも問題がある。
柴田(2016)の p.89 に文字で示された数式を整理しよう。実質 GDP を G、人口を P、被用者人口を W、被用者一人当たり年間労働時間を H とする。これらの指標からさらに、1 人当たり実質 GDP を g、労働生産性（被用者 1 人あたり 1 労働時間あたり実質 GDP）を
λ=G/(WH)、被用者人口比率 π=W/P と定義すれば、
𝐺𝐺 𝑊𝐻
𝑊
==λ 𝐻
𝑃 𝑊𝐻 𝑃𝑃∴ 𝑔 = 𝜆𝜋𝐻− (1)− (2)となる。この式はあくまで恒等式であって、因果関係を表す方程式ではない。右辺の変数を原因、左辺の変数を結果と見なすことはできない。労働生産性(λ)が一人当たり GDP(g)を決定していると解釈することはできず、現実には、少なくとも短期的には、とくに不況時には総供給ではなく総需要によって総生産が決まるので g が λ を決定すると考えたほうがよい。
上記の式の変数は時系列データであるから、各変数は時点 t に依存する。時点 t を添え字として、以下の式で表される。
𝑔𝑡 = 𝜆𝑡 𝜋𝑡 𝐻𝑡− (3)

この式を用いて興味深い要因分解を試みることが可能である。次のように、時間で微分する計算を行う。
𝑑𝑔𝑡 𝑑𝜆𝑡𝑑𝜋𝑡𝑑𝐻𝑡=𝜋𝑡 𝐻𝑡 + 𝜆𝑡
𝐻𝑡 + 𝜆𝑡 𝜋𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡
1− (4)

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すなわち、gt の微少時間における増分（伸び率ではない）は左辺で表されるが、これは右辺の三つの項の和として表現される。右辺第一項は労働生産性の伸びの寄与分、第二項は就業人口比率の伸びの寄与分、第三項は労働時間の伸びの寄与分、である（いずれも伸び率ではない）。微少時間 dt を 1 年として、一年間の伸び（増加分）をΔで表現すれば、∆g 𝑡 ≒ ∆𝜆𝑡 𝜋𝑡 𝐻𝑡 + 𝜆𝑡 ∆𝜋𝑡 𝐻𝑡 + 𝜆𝑡 𝜋𝑡 ∆𝐻𝑡− (5)となる（ただし、Δgt=gt－gt-1、他の変数についても同様）。これにより毎年の g の増分を要因分解することが可能である1。またこの式の両辺を gt で割ることにより、∆𝑔𝑡 ∆𝜆𝑡 𝜋𝑡 𝐻𝑡 𝜆𝑡 ∆𝜋𝑡 𝐻𝑡 𝜆𝑡 𝜋𝑡 ∆𝐻𝑡≒++𝑔𝑡
𝜆𝑡 𝜋𝑡 𝐻𝑡𝜆𝑡 𝜋𝑡 𝐻𝑡𝜆𝑡 𝜋𝑡 𝐻𝑡∆𝑔𝑡 ∆𝜆𝑡 ∆𝜋𝑡 ∆𝐻𝑡≒++𝑔𝑡
𝜆𝑡𝜋𝑡𝐻𝑡− (6)とすれば、これは gt の成長率が、3 つの要素の成長率の和で表されることを意味する。
柴田氏の本の中では、この式(6)と同じようなもの（下の式(7)）を回帰分析にかけるようなことが行われているが、これは正しい処理ではないと思われる。
∆𝑔𝑡
∆𝜆𝑡
∆𝜋𝑡
∆𝐻𝑡= 𝛽0 + 𝛽1+ 𝛽2+ 𝛽3+ 𝜀𝑡𝑔𝑡
𝜆𝑡𝜋𝑡𝐻𝑡− (7)なぜなら、第一に、回帰分析はそもそも左辺の被説明変数を結果、右辺の各説明変数を原因と断言しうるときに用いることができるからであり、第二に式(6)より β0=0、β1=1、β2=1、β3=1 が自明なためである。
また、P.89 には「経済成長率」＝「労働生産性の成長率」×「被用者人口比率の成長率」×「労働時間の成長率」と書かれているが、これは明らかに誤りである。労働生産性の成長率が 0.02、被用者人口比率の成長率が 0.01、労働時間の成長率がマイナス 0.01 であるとき、これらを乗じて成長率 0.02×0.01×(-0.01)=-0.000002 となるわけではない2。
OECD.stat から得られる各種データを用いて、式(5)に従って要因分解したものが図１、式(6)に基づく要因分解をしたものが図 2 である。用いたデータは実質 GDP（G: 2010 年基準購買力平価百万米国ドル）、就業者数（W: 千人）、一人当たり年間労働時間（H: 時間）、人口（P: 千人）である。これらを用いて、式(1)と式(2)に従った計算により、一人当たり GDP(g:PPP 千ドル/人)、労働生産性（λ: PPP 千ドル/時間）、就業者比率（π: 無名数）といった系列
1

これは、若干の誤差が生じる関係式である。誤差を最小化する方法はいくつかある。たとえば、(1)左辺と右辺の差にあたる誤差項を、項の数で割って各項に割り当てる方法、(2)各項に含まれる、変化分ではない（Δの付かない）変数については、変化前後の平均値（0.5×(λt+λt-1)など）を用いる方法、がある。
2 この点は初版の問題点であり、第二版以降は改められている。

2

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を作成し、分析に用いた。図 1 と図 2 を見れば、一人当たり GDP の伸びが大きいときに、労働生産性の伸びが大きいという関係が明瞭に現れていることがわかる。しかし繰り返すが、これは恒等式を展開した分析であって、因果関係を把握することは不可能である。

出典：著者の計算による。
注： ΔλπH は労働生産性の伸びの寄与分、λΔπH は就業人口比率の伸びの寄与分、λπΔH は労働時間の伸びの寄与分を意味する。

出典：著者の計算による。
注： Δλ/λ は労働生産性の伸び率、Δπ/π は就業人口比率の伸び率、ΔH/H は労働時間の伸び率である。

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一人当たり GDP(g)と労働生産性(λ)は、定義式からしてほぼ完全な対応関係にある変数である。この、いずれが原因でいずれが結果かということを明らかにできるのだろうか。計
量経済学の分野では「グレンジャーの因果性」という概念がある3。これは、時間的な前後関係の観点から、結果は原因に遅れて生じるものであり、かつ、ある時点の原因変数の変化は後の時点の結果変数に変化をもたらす、という考え方であり、時系列分析を用いればひとまず「証明」することは可能かもしれない。
∆𝑔𝑡

例えば、一人当たり GDP の成長率(𝑔𝑡∆𝜆𝑡)と、労働生産性の伸び率(𝜆𝑡)の間のグレンジャー

因果性を確認したい場合、以下の式(8)、式(9)を想定する。
22∆𝜆𝑡−𝑗∆𝑔𝑡∆𝑔𝑡−𝑖= α + ∑ 𝛽𝑖+ ∑ 𝛾𝑗𝑔𝑡
𝑔𝑡−𝑖𝜆𝑡−𝑗𝑖=1

𝑗=022𝑘=1𝑙=0∆𝜆𝑡∆𝜆𝑡−𝑘∆𝑔𝑡−𝑙= δ + ∑ 𝜀𝑘+ ∑ 𝜁𝑙𝜆𝑡𝜆𝑡−𝑘𝑔𝑡−𝑙− (8)− (9)式(8)は t 年の一人当たり GDP 成長率を、1 年前および 2 年前の GDP 成長率と、t 年、t-1年、t-2 年の労働生産性の伸び率で回帰したものである。当年(j=0)の λt の伸び率の係数 γ0が有意にプラスであれば、当年の λt の成長率が gt の成長率にプラスの影響を与えている（原因になっている）ことが示される（ただしこれは式(6)より自明なことである）。前年(j=1)の λt-1 の伸び率の係数 γ1 ないしは、前々年(j=2)の λt-2 の伸び率の係数 γ2 が有意にプラスであれば、過去の λt の成長率が当年の gt の成長率の「原因」になっていることが示される。
式(9)は式(8)とは逆に、t 年の労働生産性の伸び率を、1 年前および 2 年前の労働生産性の伸び率と、t 年、t-1 年、t-2 年の一人当たり GDP 成長率で回帰したものである。当年(l=0)の gt の伸び率の係数 ζ0 が有意にプラスであれば、当年の gt の成長率が λt の成長率にプラスの影響を与えている（原因になっている）ことが示される（これも自明なことである）。前年(l=1)の g1 の伸び率の係数 ζ1 ないしは、前々年(j=2)の λt-2 の伸び率の係数 ζ2 が有意にプラスであれば、過去の λt の成長率が当年の gt の成長率の「原因」になっていることが示される。これを、OECD.stat から得られた上記の変数を用いて分析する。
ただし、この種の時系列分析は、gt および λt 変数の定常性が確認されなければ行えない。そこで、単純な単位根検定(Dickey-Fuller Test)を行ったところ、Δgt=ρgt-1+εt および、Δgt=θgt-1+μt の係数はいずれも、帰無仮説が有意水準 5%で棄却され、両変数の定常性が確認された（検定統計量は τρ=-2.92＜-1.95、τθ=-2.32＜-1.95）。
その上で、式(8)、式(9)の分析を行った結果が表 1 および表 2 である。表 1 はバブル景気

3本来の意味での因果性は、予告または予期された将来の変化が、それ以前の時点の変化をもたらしうるといった場合を含む。従って、グレンジャーの因果性は、限定された意味での因果性である

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エコノミック・ポリシー・レポート 2016-003の時期を含む 1983 年～2013 年のデータによる推定結果であり、表 2 は平成不況に入った
1991 年～2013 年のデータによる推定結果である。いずれの場合も、当年の係数が有意である以外は、明瞭な因果性が示されていないことがわかる（負の値をとった係数 ζ1 の解釈は難しく、さほど意味のない結果と考えられる）。少なくともこの結果から、労働生産性と実質 GDP はほぼ同じ変数なのであって、労働生産性の伸びを安易に経済成長の原因と考えるわけにはいかない、ということは言えるだろう。
表 1 1 人あたり経済成長率と労働生産性伸び率とのグレンジャー因果性検定(1983-2013)g←λ

係数α-0.012

β1ｔ値

P値

λ←g

係数tP値

-1.8930.071

δ

0.010

2.5550.017

0.148

0.740

0.466

ε10.071

0.361

0.721

β2-0.115-0.5720.573

ε20.000

0.002

0.998

γ01.213**

7.706

0.000

ζ00.587**

7.706

0.000

γ10.024

0.084

0.934

ζ1-0.105-0.7530.459

γ20.031

0.106

0.917

ζ20.114

0.819

0.421

出典：筆者による計算。記号**は有意水準 5%で、*は有意水準 1%で有意。

表 2 1 人あたり経済成長率と労働生産性伸び率とのグレンジャー因果性検定(1991-2013)g←λ

係数α-0.012

β1

ｔ値

P値

λ←g

係数

tP値

-1.538

0.142

δ

0.007

1.875

0.078

0.211

0.791

0.440

ε10.1630.853

0.406

β2-0.036-0.1370.893

ε20.347

1.663

0.115

γ01.385**

4.242

0.001

ζ00.371**

4.242

0.001

γ1-0.009-0.0250.981

ζ1-0.263*-2.1010.051

γ2-0.198-0.4590.652

ζ2-0.102-0.771

0.451

出典：筆者による計算。記号**は有意水準 5%で、*は有意水準 1%で有意。

財政健全化などの柴田氏の分析目的の観点からすれば、労働生産性を操作可能な変数と考えて、それを向上させる政策を追求するよりも、少なくとも短期的には実質 GDP そのものを押し上げる政策を追求すべきであろう。ただ、そのための政策は、マクロ的な景気回復を重視する政策（金融緩和）の他は、それほど彼が提唱するものとは異ならないと考えられる。保育所の整備、保育士の雇用のために政府支出を増やすことは、景気回復に役立つであろう。そして景気回復こそが、財政健全化への近道とみるべきである。
＜参考文献＞
柴田悠(2016)『子育て支援が日本を救う』勁草書房
井原哲夫(2013)『入門経済学(第 2 版)』東洋経済新報社
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