数理解析研究所講究録
1497 巻 2006 年 32-51

32

DAHA の多項式表現の組成因子とcrystallized decomposition numberについて
榎本直也 (Naoya Enomoto)
京都大学数理解析研究所

Research Institute for Mathematical Sciences,
University of Kyoto$\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\otimes \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}$. kyot1

Introduction

1. 1

DAHA の多項式表現と笠谷予想$0-\mathrm{u}.\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}$I.Cherednik によって導入された double affine Hecke 環 (DAHA) は, 2 つのパラメー
タを持つ.
型 DAHA は,型 Iwahori-Hecke 環と 2 つのLaurent 多項式環
を部分環として持っている. また,Dunkl 作用素によって定義される Laurent 多項式環上の忠実な表現を持っており, これは多項式表現と呼ばれている. \mbox{\boldmath$\zeta$}, \tau が generic な場合, 多項式
表現は, non-symmetric Macdonald 多項式と呼ばれる直交多項式を基底に持ち, 既約で$\zeta,$$\tau$$A$$GL_{n}$$\mathbb{C}[X_{1}^{\pm 1}, \cdots, X_{n}^{\pm 1}],$$H_{n}=\langle T_{1}, \cdots, T_{n-1}\rangle$$\mathbb{C}[Y_{1}^{\pm 1}, \cdots, Y_{n}^{\pm 1}]$$\mathbb{C}(\zeta^{1/2}, \tau)[X_{1}^{\pm 1}, \cdots, X_{n}^{\pm 1}]$ある. 笠谷昌弘氏 (京大理) は, [笠谷] において, パラメータがという関係式を持つ場合を考察した. この場合, 多項式表現は–般には既約とはならない. 笠谷
氏は, “multi-wheel condition” と呼ばれる条件を満たす多項式を使って, 多項式表現の$\zeta,$$\tau$$\zeta^{\ell}\tau^{r}=1$

中に部分表現の増大列を構成し, これが組成列になっているであろうと予想した [笠谷,Conjecture 6.4].
ここでは,$\zeta$, \tau は 1 のべ*根ではなく, $(\ell, r)=1$ かっ $P\neq 2$の場合に, この予想を証明することができたので, 報告したい. 証明の方針は, 次に述べる諸結果を通じて,$\mathrm{U}_{\mathrm{q}}(g[_{\ell})\text{の}\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{k}\text{空間の}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\text{大域基底の計算に帰着するものである}\wedge$

.

33
1.2

DAHA の退化と -Schur 環, LLT-有木型定理$v$

DAHA には, degenerate DAHA, rational DAHA と呼ばれている 2 つの退化版があというパラメータを持ち, dgeneraret DAHA は,ることが知られている. これらは,,を部分環とし, rational DAHA は,を部分環として持っている. DAHA とその退化版には, それぞれ”categoryO” と呼ばれる表現の圏が存在し, 標準加群と呼ばれる表現を含んでいる. 多項式表現はその特別な場合にあたる. 特に, rational DAHA には n の分割によって添え門付けら$h$$\mathbb{C}[x_{1}, \cdots, x_{n}],$$\mathbb{C}\mathfrak{S}_{n},$$\mathbb{C}[x_{1}, \cdots, x_{n}]$$\mathbb{C}[Y_{1}^{\pm 1}, \cdots, Y_{n}^{\pm 1}]$$\mathbb{C}\mathfrak{S}_{n},$$\mathbb{C}[y_{1}, \cdots, y_{n}]$れた標準加群が存在する.
他方, -Schur 環は, Iwahori-Hecke 環の permutation module の endmorphism ring とが 1 のべキ
して構成され [DJ],の商となっていることが知られている [BLM].
根でないときには, Weyl 累累と呼ばれる n の分割で添え心付けられた既約表現の完全
代表系を持つ (e.g. [Mat]).
と特殊化し, $h=r/\ell$ と取る このとき, DAHA とDAHA のパラメータを$\Delta(\lambda)$

$v$

$v$

$U_{v}(\mathrm{g}\mathrm{l}_{n})$$\zeta^{\ell}\tau^{r}=1$

その退化版の category$\mathcal{O}$と$v$-Schur 環の表現の圏との間には次のような関係がある.

category$:_{j}:$$O_{(\ell,r)}$

$(1)$

.

category$\mathbb{O}_{r/\ell}^{\deg}$$\mathrm{J}(2)$category$\cong$$\mathbb{O}_{r/\ell}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$(3)category @(n)-mod(1) Varagnolo-Vasserot’s equivalence [VV2]と degenerate DAHA の category
は圏同値
DAHA の categoryではない. しかし, Y に関する weight が \mbox{\boldmath $\chi$} の拡大 affine Weyl 群軌道に属す$O_{(\ell,r)}$$\mathbb{O}_{r/\ell}^{\deg}$, \mbox{\boldmath$\chi$} がある整数性の条件を満たせば圏同値となる. これは GLusztig による affine Hecke 環に関する結果 [Lus] の–般化になっている.
$\text{る表現だけを考えた充満部分圏^{}\chi}\mathcal{O}_{(\ell,r)},$$x\mathbb{O}_{r/\ell}^{\deg}\text{を考えると}$(2) T. Suzuki’s embedding [鈴木]に埋め込むことができ, 誘
は degenerate DAHA
rational DAHA
導函手 Hdeg\otimes l’.t-- は, fully faithhl かっ exact になる. さらに, ’ 骸の標準超群を標準加群に移す.
$\mathbb{H}^{\deg}$$\mathbb{H}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$$\mathbb{O}_{r/\ell}^{\deg}$(3) R. Rouquier’s equivalence [Rou]$\ell\neq 2$のとき,$\mathbb{O}_{r/\ell}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$と$v=\sqrt[\ell]{1}$とは圏同値になる. さらに,れる. ( は の転置を表す. )と特殊化した -Schur 環の表現の圏$v$$\mathrm{S}(n)$-mod$\mathbb{O}_{r/\ell}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}\text{の標準}\lambda \mathrm{I}\text{群}\Delta(\lambda)\text{は}\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{y}1\text{加群}W^{\lambda’}\text{に移さ}$$\lambda’$$\lambda$

34
ここまでのことによって, パラメータの特殊化のもとで DAHA の多項式表現は, v-Schur
環の Weyl 加群に移されることがわかる.
A 型 Hecke 環と対称群の分解係数に関する LLT 予想が, 有木 [有木 1] によって解決さ$W^{(1^{n})}$れたことにより, Hecke 環の modular 表現論は量子群の大域基底と深く結びついている.
この結果は, Varagnolo-Vasserot により, -Schur 環の modular 表現の場合にも拡張さ
れている.
$v$

(4) LLT-有木型定理 [VV1]のとき, v-Schur 環の分解係数 (crystallized decomposition numの}\mathrm{F}\mathrm{o}\text{磁空間における大域基底と結晶基底の変換行}\wedge$ber),, $U_{q}(\epsilon[)\text{
列 (を $q=1$ に特殊化した行列) によって記述される.
$v=\sqrt[\ell]{1}$$[W^{\lambda}, L^{\mu}]\text{は}$

筆者は,$U_{q}(z[\text{}\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{k}\text{空間で}\wedge$, l(n)$\rangle$の upper 大域基底による展開を具体的に計算することで,$\langle$$(n)|= \sum_{i=0}^{N}q^{i}G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\mu_{i}^{(n)})$,(ここで $N=[r/P]$ )となることを証明した. このことから分解定数が$[W^{(1^{n})} :L^{\mu}]=\{$

1if $\mu’=\mu_{1}^{(n)}.(0\leq i\leq N)$
otherwise$0$となることが導かれる. (分割の定義は \S 4 を参照. ) これは, $\ell=2$ でも成り立つ
結果である. しかし, (3) の Rouquier による圏同値が $\ell\neq 2$ でしか示されていないので, この結果からは, DAHA の多項式表現の組成因子については, p\neq 2 の場合にしかわからない. 笠谷氏の結果により, パラメータを特殊化した DAHA の多項式表現には,$\mu_{i}^{(n)}$$N=[r/P]$ 個以上の組成因子が存在することがわかるので, 筆者の結果と合わせると, 組成因子が丁度 N 個であることがわかり, 予想が証明できたことになる.

Remark 1. 実は, すでに宮地兵衛氏 [宮地] によって,は計算されていることがわかった [宮地, Lemma 12.
12.2.6]. 筆者の計算は q-分解係数を計算し$[W^{(1^{n})} :L^{\mu}]$$2.4,\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$と特殊化する方法なので, 宮地氏の結果の別証明となっているが, 笠谷氏の予想を証明するためには, 宮地氏の結果で十分である. この報告の中で本質的に新しい部分は, q-分解係数を計算した部分のみである. これは宮地氏の予想 [宮地, Conjectureて,$qarrow 1$

122.19] の証明になる.
謝辞 本研究に関し, 柏原正樹先生, 有木進先生ならびに鈴木武史氏, 桑原敏郎氏, 笠谷昌弘氏に感謝致します. DAHA やその退化に関する諸結果および分解係数, 大域基底に関する諸結果について御教示頂き, 有益な議論をして頂きました. また, 先行研究について御教示頂いた宮地兵衛氏に感謝致します.
また, 研究集会 「組み合わせ論的表現論の世界」 で講演の機会を与えて頂いた水川裕司氏に感謝致します.

35

2

DAHA の多項式表現と笠谷予想

2.0

affine root system & extended affine$\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{l}\Re$$n+2$ 次元の C-ベクトル空間,$\mathfrak{h}=\bigoplus_{:=1}^{n}\mathbb{C}\epsilon_{i}^{\vee}\oplus \mathbb{C}c\oplus \mathbb{C}d$を考え, その上の非退化対称形式$(\epsilon:|\epsilon_{j})=\delta_{1j}$,$(\epsilon_{i}^{\vee}|\epsilon_{j}^{\vee})=\delta_{ij}$$(|)$$\mathfrak{h}^{*}=\bigoplus_{i=1}^{n}\mathbb{C}\epsilon;\oplus \mathbb{C}\Lambda\oplus \mathbb{C}\delta$

を$(\epsilon_{i}|\delta)=(\epsilon_{i}|\Lambda)=0$,,$(\epsilon_{i}^{\vee}|c)=(\epsilon_{i}^{\vee}|d)=0$$(\delta|\Lambda)=1$,,$(c|d)=1$ ,$(\delta|\delta)=(\Lambda|\Lambda)=0$,$(c|c)=(d|d)=0$

で定める.
$\alpha_{1j}=\epsilon_{i}-\epsilon_{j},$とおくと,$A_{n-1}$$(1\leq i\neq j\leq n)$型ルート系$R=\{\alpha_{ij}|1\leq i\neq j\leq n\}\subset \mathfrak{h}^{*},$が定まる.

$R^{+}=\{\alpha_{ij}\in R|i<j\},$

さらに $\alpha_{0}=-\alpha_{1n}+\delta$ とおくとき,$\hat{R}=$$\hat{R}^{+}$$=$$\hat{\Pi}=$が定まる.

$\alpha_{i}=\alpha_{ii+1}(1\leq i\leq n-1)$$P,$ $P^{\vee}$$A_{n-1}^{(1)}$$\{\alpha+k\delta|\alpha\in R, k\in \mathbb{Z}\}\subset \mathfrak{h}.$$\Pi=\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-1}\}$型謡 ne ルート系,$\{\alpha+k\delta|\alpha\in R^{+}, k\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\}\mathrm{U}\{-\alpha+k\delta|\alpha\in R^{+}, k\in \mathbb{Z}_{\geq 1}\}$,$\{\alpha_{0},\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-1}\}$を$P= \bigoplus_{1=1}^{n}\mathbb{Z}\epsilon_{1}\subset \mathfrak{h}^{*}$,$P^{\vee}= \bigoplus_{i=1}^{n}\mathbb{Z}\epsilon_{i}^{\vee}\subset \mathfrak{h}$で定まる weight 格子,coweight 格子とする.

定義 2.1.

$A_{n-1}^{(1)}$型拡大細 ne Weyl 群

生成元 :
関係式

:

$s_{0},$$s_{1},$. $=1$$S_{1}^{2}$$W_{n}$

は, 次の生成元と基本関係式で定義される ;$\cdots,$ $s_{n-1},$$\pi^{\pm 1}$,$(0\leq i\leq n-1)$$s_{1}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}$$s:s_{j}=s_{j}s_{2}$,$(i\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},n>2)$$(j\not\equiv i, i\pm 1)$$\pi s_{i}=s_{i+1}\pi-1-1(i\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$\pi$$\pi=\pi\pi$

$=1$

.

,

,

,

36
このとき,

$W_{n}$

のり*,$\mathfrak{h}$への作用は$s_{i}(h)=h-(\alpha_{i}|h)\alpha_{i}$$(h\in \mathfrak{h}^{*})$$s_{i}(h^{\vee})=h^{\vee}-\langle\alpha_{i}|h^{\vee}\rangle\alpha_{i}^{\vee}$$(1\leq i\leq n-1)$$\pi(\epsilon_{i})=\epsilon_{i+1}$$(h^{\vee}\in \mathfrak{h})$$(1\leq i\leq n-1)$$\pi(\epsilon_{i}^{\vee})=\epsilon_{i+1}^{\vee}$$\pi(\epsilon_{n})=\epsilon_{n}-\delta$$\pi(\epsilon_{n}^{\vee})=\epsilon_{n}^{\vee}-c$$\pi(\Lambda)=\Lambda$$\pi(c)=c$$\pi(\delta)=\delta$$\pi(d)=d$で与えられる.

2.1

double affine Hecke algebra of type以下,$\mathrm{K}=\mathbb{C}(\zeta, \tau)$$GL_{n}$とおく.

定義 2.2. $GL_{n}$ 型 double affine Hecke algebra$T_{i}(0\leq \mathrm{i}\leq n-1)$,$\mathcal{H}_{n}$とは, 生成元$Y_{\eta}(\eta\in P\oplus \mathbb{Z}\delta)$,$\pi^{\pm 1}$と基本関係式$Y_{\delta}=\tau$,$(T_{i}-\zeta^{1/2})(T_{i}+\zeta^{-1/2})=0$$(0\leq i\leq n-1)$$T_{1}T_{i+1}T_{i}=T_{1+1}T_{i}T_{i+1}$$(i\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$,(otherwise),$T_{2}T_{j}=T_{j}T_{i}$$T_{i} \mathrm{Y}_{\eta:(\eta)}-\mathrm{Y}_{\delta}T_{i}=(\zeta^{1/2}-\zeta^{-1/2})\frac{\mathrm{Y}_{s.\eta}Y_{\eta}}{\mathrm{Y}_{\alpha_{i}}1}=$$(0\leq i\leq n-1)$$\pi T_{i}=T_{i+1}\pi$$(i\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$\pi \mathrm{Y}_{\eta}=\mathrm{Y}_{\pi(\eta\rangle}\pi$$Y_{\eta}\mathrm{Y}_{\xi}=\mathrm{Y}_{\eta+\xi}$で定義されるここで,$\mathrm{K}$

,

,

,

,

.

上の結合代数である.

$\mathrm{Y}_{i}=\mathrm{Y}_{\epsilon_{i}},$$X_{1}=T_{1}\cdots T_{n-1}\pi^{-1}$,$X_{i}=\pi^{i-1}X_{1}\pi^{-i+1}$

とおくことで, 生成元と

37
基本関係式の別の表示
生成元 :基本関係式 :

$T_{i}(1\leq i\leq n-1)$,$Y_{j}^{\pm 1},$

$X_{j}^{\pm 1}(1\leq j\leq n)$,$(T_{i}-\zeta^{1/2})(T_{i}+\zeta^{-1/2})=0$$(1\leq i\leq n-1)$ ,$T_{i}T_{i+1}T_{i}=T_{i+1}T_{i}T_{i+1}$$(1\leq i\leq n-1)$ ,$T_{i}T_{j}=T_{j}T_{i}$$(|i-j|\geq 2)$$T_{i}X_{i+1}T_{i}=X_{i}$$(1\leq i\leq n-1)$ ,$T_{l}X_{j}=X_{j}T_{i}$$(j\neq i, i+1)$ ,$T_{i}\mathrm{Y}_{i}T_{i}=Y_{i+1}$$(1\leq i\leq n-1)$,$(j\neq i, i+1)$$T_{i}\mathrm{Y}_{j}=\mathrm{Y}_{j}T_{i}$

,

,

,

$X_{2}^{-1}\mathrm{Y}_{1}X_{2}Y_{1}^{-1}=T_{1}^{2}$$\prod_{k=1}^{n}\mathrm{Y}_{k})X_{j}$$(1\leq j\leq n)$,$\prod_{k=1}^{n}X_{k})Y_{j}$$(1\leq j\leq n)$,$X_{j}( \prod_{n}^{n}\mathrm{Y}_{k}\mathrm{Y}_{j}(_{k=1}\prod^{k=1}X_{k})=\tau=\tau\{$$(1\leq i,j\leq n)$$X_{i}X_{j}=X_{j}X_{i},$ $X_{1}X_{1}^{-1}=1$$Y_{i}Y_{j}=\mathrm{Y}_{j}Y_{\mathfrak{i}},$$(1\leq i,j\leq n)$$Y_{i}Y_{i}^{-1}=1$,.

が得られる.
なお, $H_{n}=\langle T_{1}, \cdots, T_{n-1}\rangle$ は $A$ 型 Iwahori-Hecke 環,
は $GL_{n}$ 型 affine Hecke 環に同型な部分環である.

$H_{n}^{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}=\langle T_{1}, \cdots, T_{n-1}, \mathrm{Y}_{1}^{\pm 1}, \cdots, Y_{n}^{\pm 1}\rangle$$\langle T_{1}, \cdots, T_{n-1}, X_{1}^{\pm 1}, \cdots, X_{n}^{\pm 1}\rangle$

も $GL_{n}$型 ml 笛 e Hecke 環に同型である.

2.2

多項式表現

命題 2.3.

(1)$\mathcal{H}_{n}$の$\mathrm{K}[x_{1}^{\pm 1}, \cdots, x_{n}^{\pm 1}]$

上の忠実な表現$X_{j}$$-\rangle$$x_{j}$$V_{n}$(multiplication),$T_{i}$$\mapsto\zeta^{1/2}s_{1}+\frac{\zeta^{1/2}-\zeta^{-1/2}}{x_{i+1}x_{i}^{-1}-1}(s_{2}-1)$$\mathrm{Y}_{j}$$-\rangle T_{j}^{-1}\cdots T_{n-1}^{-1}\omega T_{1}\cdots T_{j-1}$で定まる. ここで, は変数 との置換,で作用する.
(2) この表現は, GLn 型謡 ne Hecke 環$s_{i}$

が$x_{i}$$x_{1+1}$$\omega$,,

は $(\omega f)(x_{1}, \cdots,x_{n})=f(\tau^{-1}x_{n}, x_{1}, \cdots, x_{n-\iota})$

Hnaff の l 次元表現

$T_{i^{-\rangle}}\zeta^{1/2}$,$Y_{j}\mapsto\zeta^{\rho_{j}}$.

の誘導表現に同型である. ここで$\rho=(\rho_{1}, \cdots, \rho_{n})=(-\frac{n-1}{2},$ $- \frac{n-3}{2},$ $\cdots,$とする.

$\frac{n-1}{2})$.

38
Remark 2.

$\zeta,$$\tau$

が generic なら,この表現は既約かつ可換な作用素巧 $(1\leq j\leq n)$ が同時対角化可能に作用する. その同時固有ベクトルが non-symmetric Macdonald 多項式である [笠谷].

2.3

笠谷予想

$\mathcal{H}_{n}$のパラメータを$\zeta^{\ell}\tau^{r}=1$$(2\leq\ell\leq n, 1\leq r, (\ell, r)=1)$と特殊化した場合の多項式表現を定義 2.4.

$\mathrm{K}^{n}$

相異なる$s_{j,1},$ $\cdots,$

の部分集合

$z$

の添え字

$Z_{m}^{(\ell,r)}$$i_{j,1},$$V_{n}^{(\ell,r)}$$i_{j,\ell}\in\{1, \cdots, n\}$$(1 \leq j\leq m)$$s_{j,\ell}\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$$z_{i_{j}}$

,。

とかく.

とは, 次の条件を満たす$\cdots,$$(z_{1}, \cdots, z_{n})\in \mathrm{K}^{n}$$(1 \leq j\leq m)$からなる ;と非負整数が存在して,$=\zeta\tau^{s_{j,0}}z_{i_{j,a+1}}$$(1 \leq j\leq m, 1\leq i\leq\ell)$$(1 \leq j\leq m)$$\sum s_{j,a}=r\ell$

.

,

,

$a=1$

$i_{j,a+1}>i_{j,a}$

if $s_{j,a}=0$ .

を満たす.
このとき, イデアル Im(\ell のを$I_{m}^{(\ell,r)}=${$f\in \mathrm{K}[x_{1}^{\pm 1},$$\cdots)x_{n}^{\pm 1}];f(z)=0$

for all$z\in Z_{m}^{(\ell,r)}$}で定義する. この定義式を multi-wheel 条件と呼ぶ.
定理 2.5 ([笠谷, Theorem 6.3]).

$N=[ \frac{n}{\ell}]$

とおく. このとき,$0=I_{0}^{(\ell,r\rangle}\subseteq I_{1}^{(\ell,r)}\subsetneq I_{2}^{(\ell,r)}\subseteq\cdots I_{N}^{(\ell,r)}\subsetneq I_{N+1}^{(\ell,r)}=V_{n}^{(\ell,r)}$は,V(e のの部分表現の増大列である.

この定理 25 から,$V_{n}^{(\ell,r\rangle}$の組戒因子の個数は,予想 2.6 ([笠谷, Conjecture 6.4]).
組成列であろう. すなわち

$I_{a+1}^{(\ell,r)}/I_{a}^{\ell,r)}$2.4.

category$\mathcal{H}_{n}- \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$とする.

$N+1=[ \frac{n}{\ell}]+1$

前定理で構成した$(0\leq a\leq N)$ は既約$V_{n}^{(\ell,r)}$個以上である.

の部分表現の増大列が.

$\mathcal{O}$を有限生成 Hn-加群の圏とし,$\mathbb{C}[\mathrm{Y}]$を $Y_{\eta}(\eta\in P)$ で生成される$\mathcal{H}_{n}$

の部分環

39
定義 2.7.

-mod に対し,が局所有限に作用するとは, 任意の $v\in M$ に対し, C[Y]v が有限次元となることを言う. C[Y] が局所有限に作用する Hn-加群からなる充満部分圏を, categoryO という. Hn のパラメータを特殊化した場合の categoryO
を, 特に
とかく.
は categoryに属す.
$M\in \mathcal{H}_{n}$$V_{n}^{(\ell,r)}$$O_{(\ell,r)}$$\mathcal{O}_{(\ell,r)}$$M\in O$ とするとき,

広義 weight 分解$M_{\chi}= \bigcup_{k\geq 1}$

である.

$\mathbb{C}[Y]${$v\in M|(Y_{\eta}-\zeta^{(\eta 1\chi)})^{k}v=0$$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)=\{\chi\in \mathfrak{h}^{*}|M_{\chi}\neq 0\}$が存在する. ここで$M= \bigoplus_{\chi\in \mathfrak{h}^{*}}M_{\chi}$for any $\eta\in P$ }とおく.

定義 2.8.
となるような $M\in O$ からなる充満部分圏をとかく.
パラメータを特殊化した場合には,は,とかく.
の多項式表現に属す.
$\chi_{O}$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)\subset W_{n}\cdot\chi$$Vn^{(\ell,\mathrm{r})}$$\mathcal{H}_{n}^{(\ell,r)}$$\chi_{O_{(\ell,r)}}$$\chi_{O_{(\ell,r)}}$3

DAHA の退化と -Schur 環

3.1

degenerate DAHA & category

3.1.1

degenerate DAHA$\mathrm{v}$

定義 3.1.

$h\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$とする.
$\pi^{\pm 1},$$s_{0},$$GL_{n}$$s_{1},$$\mathbb{O}^{\deg}$

型 degenerate DAHA$\cdots s_{n-1}$,$\mathbb{H}_{n,h}^{\deg}$とは,$y_{\eta}^{\deg}(\eta\in P\oplus \mathbb{Z}\delta)$を生成元とし, 基本関係式$y_{\delta}^{\deg}=1$,$(\eta, \xi\in P)$$y_{\eta}^{\deg}+y_{\xi}^{\deg}=y_{\eta+\xi}^{\deg}$$\langle\pi^{\pm 1}, s_{0}, s_{1}, \cdots, s_{n-1}\rangle\cong \mathbb{C}W_{n}$$s_{i}y_{\eta}^{\deg}-y_{\epsilon_{*}\eta}^{\mathrm{d}.\mathrm{e}\mathrm{g}}s_{i}=h’ \frac{y_{s_{l}\eta}^{\deg}-y_{\eta}^{\deg}}{y_{\alpha_{1}}}$$\pi y_{\eta}^{\deg}=y_{\pi\eta}^{\deg}\pi$で定義される3.1.2$\mathbb{C}$,,$(0\leq i\leq n-1, \eta\in P)$,,

上の結合代数である.

category$\mathbb{O}^{\deg}$

定義 3.2.
-mod を有限生成判 e,hg-加群の圏とし,
をで生成される部分環とする. C[ydeg] が局所有限に作用するような判 e,hg-mod の元からなる充満部
分圏を categoryという.
$\mathbb{H}_{n,h}^{\deg}$$\mathbb{O}_{h}^{\deg}$$\mathbb{C}[y^{\deg}]$$y_{\eta}^{\deg}(\eta\in P)$

40$M\in \mathbb{O}_{h}^{\deg}$の広義 weight 分解を{$M_{\chi}= \bigcup_{k\geq 1}$

である.

3.1.3
$n$

$\eta\in P$

}

とおく.

$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)=\{\chi\in \mathfrak{h}|M_{\chi}\neq 0\}\subset W_{n}\cdot\chi$$x\mathbb{O}_{h}^{\deg}$

for any$v\in M|(y_{\eta}-(\eta|\chi))^{k}v=0$$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)=\{\chi\in \mathfrak{h}^{*}|M_{\chi}\neq 0\}$

定義 3.3.
満部分圏をとする. ここで$M= \bigoplus_{\chi\in \mathfrak{h}^{*}}M_{\chi}$を満たすような$M\in \mathbb{O}_{h}^{\deg}$

からなる充

とかく.

標準加群

の分割

定義 3.4.

に対応する$\lambda$$n$次対称群の表現を$S^{\lambda}$

とかく.

を

$S^{\lambda}$$y_{i}^{\deg} \mapsto\sum_{j<i}s_{ji}-\frac{n-1}{2}$.

によって CSn\otimes C[y 幻]-加群とみなす. このとき, 標準加群$\Delta_{h}^{\deg}(\lambda)$とは, 誘導表現.

$\Delta_{h}^{\deg}(\lambda)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{C}\mathfrak{S}_{n}\emptyset \mathbb{C}[y^{\mathrm{d}\epsilon \mathrm{g}}]}^{\mathrm{E}_{n}^{\mathrm{d}\epsilon \mathrm{g}}}S^{\lambda}$のことを言う.

特に,$\Delta_{h}^{\deg}(\lambda)$$\triangle_{h}^{\deg}(\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v})$がは category. 属\tau .

$\mathbb{O}_{h}^{\deg}[]\vee$. 属すことに注意する.

$\rho \mathbb{O}_{h}^{\deg}[]$$\rho=\sum_{1=1}^{n}\rho_{i}\epsilon_{i}=$$(\rho_{1},$$\cdot$.. ,ここで$\rho_{n})=(-\frac{n-1}{2},$ $- \frac{n-3}{2},$$\cdot$

.. ,

であった.

3.2

rational DAHA&category

3.2.1

rationa DAHA

定義 3.5.

$h\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$とする.

$GL_{n}$$x_{\eta^{\vee}}(\eta^{\vee}\in P^{\vee})$,$\mathbb{O}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$型 rational DAHA
$s_{1},$$\cdots,$ $s_{n-1}$,$\underline{1}\mathrm{E}_{n,h}^{\mathrm{a}\mathrm{t}}$とは$y_{\eta}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\eta\in P)$を生成元とし, 基本関係式$(\eta,\xi\in P)$$y_{\eta}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}+y_{\xi}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}=y_{\eta+\xi}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$$(\eta^{\vee}, \xi^{\vee}\in P^{\vee})$$x_{\eta}\vee+x_{\xi^{\mathrm{v}}}=x_{\eta^{\mathrm{v}}+\xi^{\vee}}$$\langle s_{1}, \cdots, s_{n-1}\rangle\cong \mathbb{C}\mathfrak{S}_{n}$$wx_{\eta^{\mathrm{v}}}=x_{w\eta^{\vee}}w$$wy_{\eta}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}=y_{w\eta}^{rat}w$,$(w\in \mathfrak{S}_{n})$,,$[x_{i}, y_{j}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}]=$$\frac{n-1}{2})$41で定義される3.2.2

上の結合代数である.

$\mathbb{C}$

category$\mathbb{O}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$と標準加群定義 3.6.
が-加群の圏とする.
-mod を有限生成-mod に対して,
局所幕零に作用するとは, 任意の $v\in M$ に対して, $(y_{j}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}})^{N}v=0(N>>0,1\leq j\leq n)$ が$\mathbb{H}_{n,h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$$y^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$$\mathrm{M}\in \mathbb{H}_{n,h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$$\mathbb{H}_{n,h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$,th-mod の元からなる充満部分圏を成り立つときを言う.
という.
category$y^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}\text{が局所幕零に作用する}\mathbb{H}_{n}^{\mathrm{r}\mathrm{a}}$$\mathbb{O}_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$

$n$

の分割

定義 37.

$\lambda$$S^{\lambda}$

に対応する

$n$

次対称群の表現$S^{\lambda}$

を考える.

を
$y_{j}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}S^{\lambda}=0(1\leq j\leq n)$によって$\mathbb{C}\mathfrak{S}_{\mathrm{n}}\otimes \mathbb{C}[\mathrm{y}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}]$-加群とみなす. このとき標準加群$\Delta_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)$とは, 誘導加群$\Delta_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathbb{C}\mathfrak{S}_{\hslash}\otimes \mathbb{C}[y^{\mathrm{r}}{}^{\mathrm{t}}1}^{W_{n}^{\mathrm{a}\mathrm{t}}}.S^{\lambda}$のことを言う.

3.2.3$\Delta_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)$

は category$\mathbb{O}_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$に属す.

degenerate DAHA への埋め込み

命題 38([鈴木]).

次で定義されるsi$x_{j}^{\vee}$$y_{j}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$ここで,$\mapsto$$s_{i}$$\mathbb{H}_{n,h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$から$\mathbb{H}_{n,h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$への準同型は単射 ;,$rightarrow X_{j}$$\mapsto X_{j}^{-1}(y_{j}^{\deg}-\sum_{1\leq k<j}s_{kj}+\frac{n-1}{2})$$X_{1}=\pi s_{n-1}\cdots s_{1},$ $X_{j}=\pi^{j-1}X_{1}\pi^{-j+1}$

.

である.

特に,
$y_{j}^{\deg}=X_{j}y_{j}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}+ \sum_{1\leq k<j}s_{kj}-\frac{n-1}{2}$

なので,

3.3

$y_{j}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}\text{が}\mathrm{O}\text{で作用しているとき},$$y_{j}^{\deg}\text{は}\rho_{j}\text{で作用していることに注意する}$

v-Schur 環

をパラメータとする $A$ 型 Hecke 環とする.
に対し, Young 部分群を考える.
$H_{n}$

.

を

$v$

$n$

の composition $\mu=(\mu_{1}, \cdots, \mu_{n})$$\mathfrak{S}_{\mu_{1}}\cross\cdots\cross \mathfrak{S}_{\mu_{n}}$$m_{\mu}= \sum_{w\in \mathfrak{S}_{\mu}}T_{w}\in H_{n}$Hn-加群$M= \bigoplus_{\mu}H_{n}m_{\mu}$

とおくとき, 左42を permutation module という.

$v$

-Schur 環$\mathrm{S}(n)$とは,$\mathrm{S}(n)=\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{H_{n}}(M)$で定義される [DJ]. 自然な函手$S:\mathrm{S}(n)$を考えることができる.
を持ち,

-mod

$arrow H_{n}- \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d};N\vdasharrow M\otimes_{\mathrm{S}(n)}N$が 1 のべ*根でないとき,
は既約表現の完全代表系$n\}$が成り立つ.
が 1 のべ*根のときは,が cellular
algebra であること [GL] を使って,が既約表現の完全代表系
を与える.
他方,
のベクトル表現のテンソル積表現に対し,の像がと同型になることが示されている [BLM].
特に, これらの対応で, S(n)-門群 W(ln) は, Uv(佳【n) の determinant 表現, 対称群の$v$$\mathrm{S}(n)$$S^{\lambda}=M\otimes_{8(n)}W^{\lambda}$$\{W^{\lambda}|\lambda\vdash$$v$$\mathrm{S}(n)$$\{L^{\lambda}:=W^{\lambda}/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}W^{\lambda}|\lambda\vdash n\}$$U_{v}(g1_{n})$$\mathbb{C}^{n}$$(\mathbb{C}^{n})^{\otimes n}$$U_{v}(g\mathfrak{l}_{n})arrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}((\mathbb{C}^{n})^{\otimes n})$$\mathrm{S}(n)$符号表現にそれぞれ対応している.

3.4$\mathcal{O},$$\mathbb{O}^{\deg},$$\mathbb{O}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}},$$\mathrm{S}(n)$-mod の関係

ここまでに導入した 4 つの圏の同値性に関する結果をまとめて述べる.
定理 3.9$([\mathrm{V}\mathrm{V}\mathit{2}],[\mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{s}])$.

$\chi\in \mathfrak{h}^{*}$

が条件

任意の\eta \in P に対しを満たすとき, 圏

多項式表現$V_{n}^{(4}r$)$\chi O_{(\ell,r)}$は,定理 3.10 ([鈴木]).
(1) 標準加群
とかく.

$\Delta_{h}^{\deg}(\lambda),$(2)と$x\mathbb{Q}_{r/\ell}^{\deg}$$(\eta|\chi)\in \mathbb{Z}$$\mathbb{H}_{n.r/\ell}^{\deg}$$\Delta_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)$$(\delta|\chi)\in \mathbb{Z}$,

さらにこの圏同値により, DAHA

は圏同値

. の標準加群

かつ$\Delta_{h}^{\deg}(\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}, )$$\mathcal{H}_{n}^{(\ell,r)}$のに対応する.

は unique simple quotient を持つ. それらを$L_{h}^{\deg}(\lambda),$$L_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)$,th\rightarrow 判 le,hg から自然に定義される誘導弓手$\text{埋め込み}\mathbb{H}_{n}^{\mathrm{r}\mathrm{a}}$$\mathbb{O}_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}arrow \mathbb{O}_{h}^{\deg};M\mapsto \mathbb{H}_{n,h}^{\deg}\otimes_{W_{n,h}^{\mathrm{t}}}\cdot M$

は fully faithffil かつ完全.

(3) (2) の誘導弓手は標準加群を標準加群に移し, その unique simple quotient を uniquesimple quotient に移す ;$\Delta^{\deg}(\lambda)=\mathbb{H}_{n,h}^{\deg}\otimes_{\mathrm{I}\mathrm{r}_{n,h}^{\mathrm{r}*\iota\Delta^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)}}$$\text{特}[]_{\mathrm{L}},$$[\Delta^{\deg}(\lambda) :定理 311L^{\deg}(\mu)]=[\Delta^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda) :$([\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{u}])$.

$v=\sqrt[p]{1}$$\lambda$$L^{\deg}(\lambda)=\mathbb{H}_{n}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}|_{h}^{\mathrm{g}}\otimes_{W_{n,h}^{*\mathrm{t}}}L^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)$

L^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)]$のとし,$\mathrm{S}(n)$と圏 S(n)-mod は圏同値で, h>0 のとき,
ここで,は の転置である.
$\lambda’$

,

.

.

-mod を考える.

ならば, 圏, Weyl 加群 W\mbox{\boldmath $\lambda$}’ に移る.

$h \neq\frac{1}{2}+\mathbb{Z}$$\text{標準加群}\Delta_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}(\lambda)\text{は}$$\mathbb{O}_{h}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}$434$\mathrm{v}$-Schur 環における LLT-有木型定理

4.1

量子展開環

41.1

量子展開環

$[n]= \frac{q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}$$U_{q}(g[_{n})$と Fock 空間$U_{q}(\overline{s1_{n}})$とおく.

$A=(a_{ij})_{0\leq:\leq\ell-1}$を$A_{p-1}^{(1)}$型 Cartt 行タリ, すなわち,$\ell\geq 3$とき$a_{1j}=\{$$\ell=2$のとき, $A=($ $-22$

定義 4.1.

量子展開環

$-22$

)

$U_{q}(\overline{\epsilon 1_{n}})$

2

$i=j$

$-1$

$i\equiv j\pm 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$0$otherwise,とする.
とは, 生成元$\ovalbox{\tt\small REJECT},$$F_{1},$$K_{1}$$(0\leq \mathrm{i}\leq\ell-1)$,と基本関係式$K_{i}K_{j}=K_{J[]}K_{\mathrm{t}}$,$K_{i}E_{j}=q^{a_{1j}}E_{j}K_{\mathrm{t}}$,$K_{i}F_{j}=q^{-a_{ij}}F_{j}K_{i}$,$E_{1}F_{j}-F_{j}E_{\mathrm{t}}=\delta_{i,j^{\frac{K_{i}K_{i}^{-1}}{qq^{-1}}}}=$$E_{i}E_{j}=E_{j}E_{i}$$F_{1}F_{j}=F_{j}F_{i}$

および

$q$

,

(if $i\neq j\pm 1$ ),(if $i\neq j\pm 1$ ),-Serre 関係式
if$\ell\geq 3$,$E_{i}^{2}E_{1\pm 1}-(q+q^{-1})E_{i}E_{i\pm 1}E_{i}+E_{i\pm 1}E_{i}^{2}=0$$F_{i}^{2}F_{i\pm 1}-(q+q^{-1})F_{1}F_{i\pm 1}F_{i}+F_{i\pm 1}F_{i}^{2}=0$

if $\ell=2$ ,,,. $-E_{i\pm 1}E_{i}^{2}=0$ ,$E_{1}^{3}.E_{i\pm 1}-[3]E_{i}^{2}E_{1\pm 1}E_{1}+[3]E_{1}E_{i\pm 1}E_{1}^{2}$,$F_{;}^{3}F_{i\pm 1}-[3]F_{i}^{2}F_{i\pm 1}F_{i}+[3]F_{1}.F_{i\pm 1}F_{i}^{2}-F_{i\pm 1}E_{i}^{2}=0$

で定義される$U_{q}(\overline{\epsilon 1_{n}})$$\mathbb{C}(q)$上の結合代数である. (基本関係式の添え字はは, 次の余積で Hopf 代数となる ;$\Delta^{-}(E_{i})$$=$$1\otimes E_{i}+E:\otimes K_{i}^{-1}$$\Delta^{-}(F_{i})$$=$$F_{i}\otimes 1+K_{i}\otimes F_{i}$$\Delta^{-}(K_{i})$$=$$K_{i}\otimes K_{i}$

.

,

,

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \ell$で考える.)

の

44
別の余積
$=$

$E_{i}\otimes 1+K_{i}\otimes E_{i}$$\Delta^{+}(F_{i})$$=$$F_{i}\otimes K_{i}^{-1}+1\otimes F_{i}$$\Delta^{+}(K_{i})$$=$$K_{i}\otimes K_{i}$

,

.

もあり,

こちらは後で upper 大域基底の計算に利用する.

4.1.2

Fock 空間$U_{q}(\overline{\epsilon \mathrm{t}_{n}})$,$\Delta^{+}(E_{i})$の Fock 空間を [KMS] に従って導入する.

の基底をの基底を $u_{j-a\ell}=z^{a}v_{j}$ ととる. このとき,$V(z)=V\otimes \mathbb{C}(q)[z, z^{-1}]$$V=\mathbb{C}^{\ell}$$v_{1},$$U_{q}(\overline{5\mathfrak{l}_{n}})$( $m-1\equiv i$ mod )$E_{i}u_{m}$$=$$F_{i}u_{m}$$=\delta(m\equiv i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \ell)u_{m+1}$$K_{i}u_{m}$$=$$\delta$$P$$u_{m-1}$$\cdots,$$v_{\ell}$

とし,

の作用が

,

,

$q^{\delta(m\equiv i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \ell)-\delta(m\equiv i+1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \ell)u_{m}$.

で定義される. V(z) を evaluation module という.
$I=(\cdots, i_{2}, i_{1}, i_{0})$を$i_{0}>i_{1}>i_{2}>.$.. ,$i_{k}=-k+1(k\gg 0)$を満たす整数の半無限列とし,$u_{I}=\cdots\wedge u_{i_{2}}\wedge u_{i_{1}}\wedge u_{i\mathrm{o}}$.

とおく. ここで wedge 積は$u_{k}\wedge u_{m}=$$-u_{m}\wedge u_{k}$$u_{k}\wedge u_{m}=$$-qu_{m}\wedge u_{k}$( $k\equiv m$ mod ),$\ell$$+(q^{2}-1)\{u_{m-:}\wedge u_{k+i}-qu_{m-\ell}\wedge u_{k+\ell}+q^{2}u_{m-\ell+i^{\wedge u_{k+\ell+i}}} -...\}$( $m-k\equiv i$ modと定義する.

$\ell,$$0<i<p$ ).

さらに,

.

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-k}=\cdots\wedge u_{-(k+2)}\wedge u_{-(k+1)}\wedge u_{-k}$とおき,$E_{1}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-k}$$=0$ ,$F_{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-k}$

$=$

(4.1)
$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-k-1}\wedge u_{-k+1}$$(i\equiv-k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \ell)$$0$

otherwise$\{$$q\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-k}$$K_{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-k}$

$=$

$\{$
$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-k}$によって$U_{q}(\epsilon \mathrm{I}_{n})\wedge$の作用を定義する.

( $i\equiv-k$ mod )otherwise(4.2)$\ell$(4.3)

45
定義 42.

の Fock 空間とは,$U_{q}(\overline{s\mathrm{t}_{n}})$$U_{q}(\overline{\epsilon \mathfrak{l}_{n}})$-加群$\mathcal{F}=\bigoplus_{I}\mathbb{C}(q)u_{I}$のことを言う. ここで

命題 43.

$F$

$I$

は,

$i_{k}=-k+1(k\gg \mathrm{O})$,を満たす半無限列すべてを動く.

は, 対応$|\lambda=(\lambda_{0}\geq\lambda_{1}\geq\cdots)\rangle\mapsto\cdots u_{\lambda_{2}-2}\wedge u_{\lambda_{1}-1}\wedge u_{\lambda_{\text{。}}}$.

Fock 空間の林実現 (e.g. [有木 2]) に–致する. 以下, 適宜この同–視で $F=$
とみなす.

により,

$\bigoplus_{\lambda\in P}\mathbb{C}(q)|\lambda\rangle$

4.2

Fock 空間の結晶基底–Misra-三輪の定理

まず組み合わせ論的な用語を定義する. P を分割全体の集合とする.
定義 4.4.
の content とはのことをいい,(1) 分割 に対し,を の -residue という.
(2) 分割 \mu が, 分割 \mbox{\ ldmath$\lambd$} から x を除去して得られるとき, x は \mbox{\ ldmath$\lambd$} の removable box であるという. 逆に, \mbox{\ ldmath$\lambd$} が \mu l ニ x を付加して得られる場合, x{は \mu の addable box であると Vl$\lambda$$x$$\check{\mathcal{D}}$$x\in\lambda$$c(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}1(x)-\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{w}(x)$$c(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$$P$. -residue$\ell$$l^{*}\mathrm{a}i\text{の}$removable box[resp.addable box]$\text{を}i$-removable box[resp.i-addablebox] という.
の -addable box と -removable box を下から上へ読み出してできる $A,$ $R$ の列か(3)
ら, $AR$ の組を取り除けるだけ取り除いて出来る $R\cdots RA\cdots A$ の形の列を考える. この列の最も右にある $R$ に対応する -removable box を -good box という.
$\lambda$

$i$

$i$

$i$

$i$

$\lambda=(4,3,2,2,1),$

$p=3$

46
$R$

を

$0$

に極を持たない有理関数からなる,$L= \bigoplus_{\lambda\in P}R|\lambda\rangle$の部分環とする.

$\mathbb{C}(q)$

$B=$

{

$|\lambda\rangle$(mod $qL$ )}.

とおく.

定理 4.5 (Misra-三 R [MM],[有木 2]).
$(L, B)$ は, 次で定義される柏原作用素$i\leq P-1)$ により, Fock 空間 $F$ の結晶基底となる ;$=0$ (mod $qL$ ).
(1) \mbox{\ ldmath$\lambd$} が i-good box を持たないとき,$e_{1},\overline{f_{i}}\sim(1\leq$$e_{i}|\sim\lambda\rangle$

(2)

$x$

が

$\lambda$の i-good box のとき,

$e_{1}|\sim\lambda\rangle=|\mu\rangle$(3)$\text{き},$$\mu\cup$(mod $qL$ ),とし,$f_{\mathfrak{i}}|\mu\rangle\sim=|\lambda\rangle$. (mod $qL$ ).

{x} において x が i-g00dboX となるような i-addab1eboxx が \mu に存在しないと$f_{i}|\mu\rangle\sim=0$

4.3$\mu=\lambda\backslash \{x\}$(mod $qL$ ).

Fock 空間の大域基底

定義 4.6.

[KMS] に従って, $F$ 上の作用素$B_{k}u_{I}=$$(. . . \wedge u:_{2}\wedge u_{i_{1}}\wedge u_{1_{\mathrm{O}}-\ell k})+$4.3.1

10wer 大域基底

命題 4.7.
(1)
(2)
(3)
(4)

(

$\cdots\wedge u$$B_{k}(k\in \mathbb{Z}, k\neq 0)$: A$u_{i_{1}-\ell k}\wedge u_{i_{0}}$)を次で定義する ;$+(\cdots\wedge u_{i_{2}\ell k}-\wedge u_{i_{1}}\wedge u_{i_{0}})+\cdots$

次を満たす . 上の bar involution $-:Farrow \mathcal{F}$ が–意的に存在する ;$\mathcal{F}$$(v\in \mathcal{F}, 0\leq i\leq P-1)$$\overline{F_{i}v}=F_{1}\overline{v}$$\overline{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{0}}=\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{0}$$\overline{qv}=q^{-1}\overline{v}$,$(k>0)$ ,$\overline{B_{k}v}=B_{k}\overline{v}$.

.

$F$ 上の基底 $\{G^{1o\mathrm{w}}(\mu)\in F|\mu\in P\}$ であって,定理 48.
次の条件を満たすものが唯つ存在する. この基底を F の lower 大域基底という.

(1) (”(2)$\mu$$\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}$

を

$n$

不変性”)

$\overline{G^{1\mathrm{o}\mathrm{w}}(\mu)}=G^{1\mathrm{o}\mathrm{w}}(\mu)$.

の分割とするとき,$G^{1\mathrm{o}\mathrm{w}}( \mu)=|\mu\rangle+\sum_{\mu\triangleleft\lambda\in \mathcal{P}_{n}}d_{\lambda\mu}(q)|\lambda\rangle$,を満たす d\mbox{\boldmath $\lambda$}\mu (q)\in qZ[q] が存在する. ここで, 順序 は dominance ordering である.

47
4.3.2

upper 大域基底$\{\langle\lambda|\}_{\lambda\in \mathcal{P}}$を$\langle\lambda|\mu\rangle=\delta_{\lambda\mu}$に関する$\{|\lambda\rangle\}_{\lambda\in P}$の双対基底とする. このとき, Uq(\epsilon (\ell )-加筆$\mathcal{F}^{\vee}=\bigoplus_{\lambda\in P}\mathbb{C}(q)\langle\lambda|$

は, 余心

命題 4.9.

(1)
(2)

(3)
(4)

と (4.1),(4.2),(4.3) から定まる$\Delta^{+}$

次の条件を満たす$F^{\vee}$$\overline{B_{k}v}=B_{k}\overline{v}$$\overline{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{0}}=\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{0}$.

-加群上の bar invokution$(v\in F^{\vee}, 0\leq \mathrm{i}\leq\ell-1)$$\overline{F_{i}v}=F_{1}\overline{v}$$U_{q}(\overline{\epsilon 1_{\ell}})$に同型である.

$\bigoplus_{I}\mathbb{C}(q)u_{I}$:$\mathcal{F}^{\vee}arrow F^{\vee}$

が唯–つ存在する ;,$(k<0)$ ,$\overline{qv}=q^{-1}\overline{v}$定理 4.10.
F〉の基底 {Gup(\mu )\in F\vee l\mu \in P} であって, 次の条件を満たすものが唯つ存在する. この基底を Fv の upper 大域基底という.

(1) (”$\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}$(2)を $n$ の分割とするとき,$\lambda$

不変性”)$\overline{G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\mu)}=G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\mu)$.
.

$\langle\lambda|=G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\lambda)+\sum_{\lambda\triangleright\mu\in Pn}d_{\lambda\mu}(q)G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\mu)$4.4が存在する. さらに,の双対基底である.

を満たす$d_{\lambda\mu}’(q)\in q\mathbb{Z}[q]$$\{G^{up}(\mu)\}$は$\{G^{\mathrm{t}\sigma w}(\mu)\}$$d_{\lambda\mu}’(q)$は$d_{\lambda\mu}(q)$に–致する. 特に,LLT-国木型定理

Fock 空間における lower 大域基底と結晶基底の展開式$G^{1\mathrm{o}\mathrm{w}}( \mu)=|\mu\rangle+\sum_{\mu\triangleleft\lambda\in P_{h}}d_{\lambda\mu}(q)|\lambda\rangle$,の係数を, -crystallized decomposition number と呼ぶ. -Schur 環における LLT有木型定理は, q\rightarrow l の特殊化で分解係数が得られることを主張している.
$d_{\lambda\mu}(q)$$q$定理 4.11 (Varagnolo-Vasserot [VV1]).

5
5.1

$v$

$d_{\lambda\mu}(1)=[W^{\lambda’}, L^{\mu’}]$が成り立つ.

$q-\text{分解係数}d_{(n),\mu}$

主定理

Fock 空間における大域基底に関する定理 48, 定理 4.10 と Varagnolo-Vasserot による
LLT-有木型定理により, W(ln) の組成因子を計算するためには, (n)l の upper 大域基底に関する展開を計算すれば良いことが従う.
$\langle$

48
定義 5.1.

$N=[ \frac{n}{\ell}]$

とおき,

$n$

の分割 $\mu_{i}^{(n)}(1\leq i\leq N)$ をの形で定義する.

Remark 3. ここで定義した–連の分割は, rim -hook を下から順に取り除いていくこ$P$とにより得られる.
$\mu_{3}^{(10)}=(2^{5}),$$\mu_{2}^{(10)}=(5,2^{2},1),$$\mu_{3}^{(10)}$$\mu_{1}^{(10)}=(8,2),$$\mu_{2}^{(10)}$定理 5.2 (Enomoto).

$\langle$$(n)|$.

$\mu_{1}^{(10)}$の upper 大域基底による展開は$\langle(n)|=\sum_{i=0}^{N}q^{i}G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\mu_{i}^{(n)})$となる. すなわち$\mu_{0}^{(10)}=(10)$$q^{i}$$d_{(n),\mu}(q)=\{$$0$ifotherwise,$\mu=\mu_{i}^{(n)}$である. 従$’\supset$て,分解係数に 9 いて

1ifotherwise$\mu’=\mu_{i}^{(n)}$$[W^{(1^{n})} :L^{\mu}]=\{$$0$

が成立する.

5.1.1

証明のための補題

補題 5.8 (Kashiwara [柏原]).

$E_{i}\in U_{q}(\overline{\mathrm{s}1_{n}})$の$G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}$への作用は$E_{1}G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}( \mu)=[\epsilon:(\mu)]G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(e_{1}\mu)\sim+\sum_{:e(\nu)<\epsilon_{1}(\mu)-1}b_{\mu\nu}^{i}G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\nu)$で与えられる.

ここで,$E_{i}G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\mu)=G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(e_{1}\mu)\sim$$\epsilon_{1}(\mu)=\max\{k\geq 0|e_{i^{k}}\mu\sim\neq 0\}$が成り立つ.

である

特に,$\epsilon;(\mu)=1$

なら,

49
補題 54.

$\mathcal{F}^{\vee}$$x \in\in\bigcap_{j}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(E_{j})\subset$とすると ’$x$はによって ’$G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}$$x= \sum_{\lambda\in P}b_{x,\lambda}G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\ell\lambda)$と展開される.

補題 5.5 (Kashiwara [柏原]). 次の展開式が成り立つ ;$G^{1\mathrm{o}\mathrm{w}}(\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-m-1}\wedge u_{\ell\lambda_{m}-m}\wedge\cdots\wedge u_{\ell\lambda_{1}-1}\wedge u_{\ell\lambda_{0}})$$=$$\sum a_{j_{m},j_{m-1},\cdots,j\mathrm{o}}(q)\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-m-1}\wedge u_{j_{m}+\ell\lambda_{m}-\ell m}\wedge u_{jm-1+\ell\lambda_{m-1}-\ell(m-1)}\wedge\cdots\wedge u_{j\mathrm{o}+\ell\lambda_{0}}$但し, 和は$(0, \ell-1,2(P-1), \cdots, m(P-1))\leq(j_{m},j_{m-1}, \cdots,j_{0})\leq(m(P-1), (m-1)(\ell-1),$ $\cdots,$ $0)$

および$(-m, -m+1, \cdots, 0)\leq(j_{m}+\ell\lambda_{m}-pm,j_{m-1}+p\lambda_{m-1}-p(m-1),$ $\cdots,j_{0}+\ell\lambda_{0})$を満たす $(j_{m},j_{m-1}, \cdots,j_{0})$ をすべて動く.
系 5.6.

(1)(2)$|(n)\rangle$

は$G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(p\lambda)$

補題 5.7.

(1)$n\not\equiv \mathrm{O}$の展開に現れない.
は $(n)|$ の展開に現れない.

$G^{1\mathrm{o}\mathrm{w}}(l\lambda)(\lambda\in P)$$\langle$

柏原作用素属の(mod ) のとき,への作用は次で与えられる.

$\mu_{i}^{(n)}$

$p$

$0$

彰

$(\mu_{;}^{(n)})=\{$$\mu^{(n-1)}.\cdot$

if $j\not\equiv n-1$
if $j\equiv n-1$$(0\leq i\leq N)$

if $j\not\equiv n-1$
if $j\equiv n-1$$(1 \leq i\leq N)$が成り立つ.

(2)$n\equiv 0$(mod ) のとき,
$p$

$0$

$e_{j}(\sim\mu_{i}^{(n)})=\{$.

$\mu_{\-1}^{(n-1)}$

および $e_{j\mu_{0}^{(n)}}\sim=0(0\leq j\leq\ell-1)$ が成り立つ.

(3) 特に$\epsilon_{j}(\mu_{i}^{(n)})=\{$

1if $j\equiv n-1$
otherwise$(1 \leq i\leq N)$

$0$

および

$\epsilon_{j}(\mu_{0}^{(n)})=\{$

1 if $j\equiv n-1$ andotherwise$0$が成り立つ.

$n\not\equiv \mathrm{O}$

50
例 58.

$n=10,$ $\ell=3$ の場合を考える.
$e_{0}\mu_{2}^{(10)}\sim=(5,2,2)=\mu_{2}^{(9)}$$e_{0}^{\sim}\mu_{2}^{(9)}=(5,2,1)=\mu_{1}^{(8)}$

(10)

.

(9)

$\mu_{2}$

51.2

,

(8)

$\mu_{2}$$\mu_{1}$$\mu_{3}^{(9)}$$\mu_{2}^{(8)}$証明の方針

まず, 補題 53 と補題 57 を使って

$D_{n}:= \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}_{-1}\wedge u_{n}-\sum_{i=0}^{N}q^{i}G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(\mu_{i}^{(n)})\in\overline{\bigcap_{j=0}^{\ell 1}}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(E_{j})$を $n$ に関する帰納法で証明する. すると補題 54 により系 56 により,$D_{n}$

は$G^{\mathrm{u}\mathrm{p}}(p\lambda)$

で展開されるが,$D_{n}=0$ 以外は矛盾である.

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