2021.4.20 版

廣瀬文彦著

1

大数・小数の接頭語
大数

SI 接頭語

小数

SI 接頭語

103

k

キロ

10-3

ｍ ミリ

106

M メガ

10-6

μ マイクロ

109

G

ギガ

10-9

n

1012

T テラ

10-12

ｐ ピコ

ナノ

よく使用するギリシャ文字
数学ではよくお目見えするギリシャ文字であるがこの際覚えておきたい。
α アルファ β ベータ γ

ガンマ δ デルタ Δ デルタ（δの大文字）εイプシロン η イータ

μx

カイ λ ラムダ τ

ミュー ρ ロー σ

タウ φ ファイ ω

シグマ π パイオメガ

dB デシベル換算表
電圧倍数

dB 値

電力倍数

SI 接頭語√2倍

約 3 dB√2倍

約 1.5 dB

2倍

約 3 dB

10 倍

10 dB

2倍

約 6 dB

10 倍

20 dB

100 倍

40 dB

100 倍

20 dB

1000 倍60 dB1000 倍30 dB10000 倍80 dB10000 倍40 dB

倍数分の一を計算するときは、dB 値をマイナスにすればよい。
例えば 1/1000 であれば、電圧では－60 dB となる。

2

はじめに 本書の狙い
筆者は今から 32 年前に国立大学の工学部電気系の課程を卒業したが、そもそもその課程を志望したのは電気回路を学びたかったからである。中学高校の時代より、オーディオや短波ラジオをいじるのが好きで、まずは回路を自由に読んで、自分で設計したいとおもっていた。その夢は大学時代の電気回路と電子回路の授業を通してかなえられ、卒業するころには自分で引いた回路図でアンプを作り、音出しをするなど、多いに満足することとなった。そのまま卒業研究も回路の研究をしたかったが、大学の研究室で電子回路をテーマとするところを見つけられなかった。回路設計自体は真空管時代でほぼ確立しており、大学の研究の最前線では電気回路は思考ツールととらえられていたからだと思う。もちろん回路の研究をされている方もいらっしゃるので、皆無であるというわけではない。
その後、筆者は半導体薄膜の研究に関わり、それが今の専門につながっているが、回路の知識はずっと役立ってきた。電気回路は計測をするための基礎であり、信号をピックア
ップして処理してレコーディングするのに利用される。そして電気回路はエネルギー輸送の手段でもあり、プラズマの制御においても電子材料の研究者として多いに活用してきた。しかも電気回路は多方面の数学の知識を活用しており、回路問題を解くことは、行
列、複素数、微分、積分、微分方程式、フーリエ級数、ラプラス変換の知識を実践する場
としてこれら知識を生々しく体験する場でもあった。これら数学が、工業分野で大いに役立つことは言うまでもないことである。長々と書いたが、回路を学ぶことは大いに役立つということをいいたいだけである。
この教科書を作成したのは、電気回路を学ぶ学生のため、そして社会人として回路を学びなおしたい方に手軽に役立ててほしいと思ったからである。多くの学生が電気回路を苦手としているが、それは上記数学の習得が不十分であるからである。数学の教科書を見に行かずとも、この一冊で学べるように作ってみた。
私なりの工夫として、教科書を二段組みにしている。これは視線を大きく移さなくても読み取りやすいようにするためである。高校時代に使っていた Z 会の「物理・化学の要点」という本が二段組みで実に読みやすくの、その影響を受けたためでもある。本書のレベルであるが、基礎学習として普段の授業に参考書に、また大学院の入試の勉強にも使っていただければと思う。全国の入試問題についても例題にいれて解説していく予定である。2020 年から抵抗回路から執筆をはじめ、同年夏を目標に完成させたいと考えている。
本書を執筆するにあたり、回路図作成において水魚堂の回路図エディタ Bsch（https://www.suigyodo.com/online/schsoft.htm）を活用している。作者の岡田仁史氏には快く許可をいただき、深く感謝申し上げる次第である。
2020 年 3 月 10 日

3

第1章

抵抗回路

抵抗回路は電気回路の基本であり、それをもとに交流回路へと勉強が進む。多くの電気回路の計算法は抵抗回路で学ぶことができる。私の授業では、単に抵抗の計算だけではなく、電圧と電位の考え方、キルヒホッフ、テブナンの定理を、交流を勉強する前に教えることにしている。そうするのは、計算量がさほど多くない直流を主体とした回路で、これらの概念を効率よく学ぶことができるからである。肩の力を抜いて学んでほしい。

1. 抵抗とはR=電気回路で抵抗(resistor, resistance)とは抵抗器のことを意味し、電流の流れを制試料の長さ（L)
断面積（S)

L

限する働きをもつ。単位はΩ（オーム）であ×ρ

Sり、回路記号は次の通りである。四角のボックスでも、波線でもよい。なお抵抗の波線の山の数は 3 個でも 4 個でもよいとされてい両端の抵抗が Rる。この教科書では、波線で標記する。ボックスは日本では高校の物理の授業で使われ、抵抗の逆数をアドミッタンスといい、大学になると急に波線に代わるため、戸惑アルファベットでは Y の記号を使う。そう学生もいるようである。海外の図面ではの単位は S（ジーメンス）でる。なお抵

ボックスが多用されている。

抗率の逆数はコンダクタンスといい、単位は S/m である。

2. オームの法則
抵抗 R［Ω］に電流 I [A]が流れるときに、その両端には電圧 E [V]が発生する。
このときに、次の比例式が成り立ち、これをオームの法則という。
図 1 抵抗の書き方

𝐸𝐸＝𝑅𝑅 ∙ 𝐼𝐼

そもそも抵抗（抵抗器）は導電性の物質、
例えばカーボンなどを材料に、二対の電極となる。ここで覚えておきたいのは電圧のを付けた構造をしており、その物質の体積向きである。電流が入り込む方が＋、電流抵抗率（単位長さの立方体の対する面間のが出ていく方向が－となる。この関係は当抵抗）をρとしたときに、全体の抵抗 R はたり前であるが、混乱する学生さんがいる

次のように計算される。

ので、あえて書いた。なお電圧の発生の向

2

1
1
1
1
1
=
+
+
+
+⋯
𝑅𝑅 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 𝑅𝑅4きを図のような矢印で表すが、矢印の先が＋の電圧となる。
電流が入る方をプラスと覚える

図２ 電流の向きと発生する電圧の向き

このほか覚えておきたいのが電力 P の

図 4 並列抵抗の計算式である。抵抗に電流を流すとジュール熱が発生し、電力消費がおこる。消費さ

ここで、いくつか簡単に計算を済ませれた電力量は単位が J（ジュール）とな

るテクニックを示す。

るが、単位時間の１秒当たりの電力量が電力であり、単位は W（ワット）であ① 二並列抵抗る。抵抗回路においては、次の関係式がいちいち逆数をとることは面倒であなりたつ。

り、時間の短縮になるので、覚えておこ

𝑃𝑃＝𝑅𝑅 ∙ 𝐼𝐼 2 ＝

う。

𝑉𝑉 2
𝑅𝑅

3. 直列抵抗と並列抵抗の計算
抵抗が直列に接続されときの全抵抗（合成抵抗）は各抵抗の総和となる。

二並列抵抗

𝑅𝑅 =

この式はそのまま
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2

𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2

覚えましょう② 同一抵抗の式

同一の抵抗値 R1 を持つ抵抗が、ｎ個
図 3 直列抵抗の計算

直列の場合、抵抗もそのｎ倍となる。並列の場合は 1/n となる。
ｎ個直列抵抗このような場合、合成抵抗は
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4 + ⋯𝑅𝑅 = n𝑅𝑅1となる。

ｎ個並列抵抗並列抵抗の場合、その逆数を足して、𝑅𝑅

その総和の逆数が合成抵抗になる。
3

𝑅𝑅 = 1
n

この２式は
非常に便利

ここまで読まれて、当たり前と思われでは、１C の電荷を、とある点から目的とた方も多いと思う。そう思うならつぎのする点に運ぶのに必要なエネルギー（要練習問題をやってみてほしい。

した仕事）が、目的とする点と元の点と間の電圧となる。

例題１

電位について説明する。基準となる点

次の合成抵抗を求めなさい。

（場所）としてその部分の電位をゼロとしたときに、これを電気回路ではアース（英語で ground）という。回路では、
次のような記号を使う。

左側と右側の違いであるが、左側が装置
解法）回路において、数値が直接書かれて上のアース、例えば筐体アースであり、いる場合、単位の明記がなくても抵抗で右側が地面に落とすアースとされるが、は単位はΩである。1kΩの場合は 1k と書厳密に使い分けされないことも多い。

くので慣れていただきたい。

電位は、回路におけるアースとその点素直に逆数を足し算する方法で並列抵との間の電圧であり、アースに対してそ抗を計算してもよいが、計算量が多くなの点がプラスの電圧であれば、プラスのり、計算ミスが懸念される。その場合、電電位であるといえる。つまり、テスター

卓がないと暗算になりつらい。

の黒棒がアース、赤棒をその点にさし、考え方としては、5Ωを 10Ωの 2 本の計測される電圧が電位となる。

並列と考える。2.5Ωは 4 本、2Ωは 5 本、電気回路では複雑な回路ほど電位を使

１Ωは 10 本と考える。つまりこれら抵抗う。これは、電位が分かれば、2 点間のは 1（1０Ωの分）＋2＋4＋5＋10 で合わ

電圧や電流の向きを迷わずに判断できる

せて、22 本の抵抗が並列になっているとからである。

みなし、10/22=5/11（0.455）Ωと計算できる。これは、覚えておくと得するテクニ

例題２

ックである。

D 点の電位を求めなさい。また電圧 VCD

次の回路における、A、B、C、を求めなさい。

4. 電圧と電位
複雑な合成抵抗を計算する方法を教授する前に、電圧と電位について説明する。
電圧とは２点間にかかっている電位差のことである。テスターでもって２端子間に針をつけて、電圧計測モードにして表示される電圧値のことである。電磁気学
4解説）この回路において、アースのマーク

図のような回路において、直列回路におが電位の基準となるので、アースでつな

いては、各素子にかかる電圧は、印加電がっている線の全部が電位０V である。A

圧×各素子の抵抗÷全直列抵抗になる。

点では＋100V の電圧がかけられており、数式で書くとこのようになる。

A 点の電位 VA は 100V である。電位 VB

𝑉𝑉𝑖𝑖 ＝𝐸𝐸 ×

は 120V となる。電位 VC であるが、100

𝑅𝑅𝑖𝑖∑𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑖𝑖

Ωの２直列抵抗に 120V の電圧がかけら

つまり、直列回路において各素子の電圧れており、その半分がそれぞれの 60V には、各素子の抵抗の大きさに比例して配かけられている。つまり、アースに対して、 分されるということである。後の章で扱100V の電圧がかけられており、VC＝60V

う、交流回路の計算においては、上記のとなる。Vd＝100V となる。
（詳しくは次「各素子の抵抗」を「各素子のインピー

節で説明）ダンス」と置き換えてもらってもよい。

二点間の電圧は、2 点間の電位の差にな

この計算を覚えることで、いちいち直列る。具体的には、（測定点の電位）―（基抵抗に流れる電流を計算しなくてよいこ

準とみなす点の電位）になる。

とに気付いてほしい。計算ミスを減らす

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶 ＝𝑉𝑉𝐶𝐶 − 𝑉𝑉𝐷𝐷 = −40 𝑉𝑉

有効な方法で、ぜひ使い慣れてほしい。

ここで－の電圧がでているが、D 点に対して C 点は 40 V だけ低い電圧がかかっ
例題 3ているということになる。
少々わかりにくいが、電圧を定義する

次の回路において、A 点、B 点の電位を求めよ。

ときに、○○点に対して、△△点の電圧という言い方をする。これはテスターの黒棒が○○点で、赤棒が△△点として測った電圧のことである。この場合、図では矢印で、元が電圧の基準と矢先が測定点を表す。

5. 直列回路における電圧分割の法則
電気回路は、直列回路と並列回路の組み合わせであり、各素子にかかる電圧を頻繁に計算することになる。

解法） この回路は 20Ωと 10Ωと 70Ωの直列回路である。全直列抵抗は 100Ωである。70Ωの抵抗に 100V×70/100＝70V の電圧がかかり、B 点の電位は 70V となる。
10Ωの抵抗には、100V×10/100＝10V の電圧がかかる。A 点はアース点に対して 70＋10V の電圧がかかり、A 点の電位は 80V
となる。
5

例題 4

次の回路で 10Ωに流れる電流を𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼 ∙

計算せよ。

1
𝑅𝑅2

1
1
+
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2= 𝐼𝐼 ∙𝑅𝑅1
𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2

この式は結果だけ覚えておいてもよい。もしたくさんの並列回路であれば、各並列の素子のアドミッタンスを足し合わせたもので各素子のアドミッタンスを割ることで電流の分配率を計算することができる。
この回路においても、直列回路における電圧分割の法則が使える。20Ω2 個と 10

例題 5

Ωの並列抵抗部分は、5Ωの抵抗とみなせれる電流を求めよ。

次の並列回路において１Ωに流る。そこで暗算で全抵抗が、2＋4＋5 で 11Ωと計算できる。並列抵抗部分にかかる
電圧は 100V の 5/11 であるので、A 点の電
位は 500/11 V となる。10Ωに流れる電流
i は 500/11÷10＝4.55 A となる。ここに示すように、この程度の回路なら、直列回路における電圧分割の法則をつかえば、

この場合、角抵抗のアドミッタンス（抵

暗算で計算が可能ということである。

抗の逆数）を足し合わせると、0.5+0.1+
0.2+1=1.8 S(ジーメンス)になる。I1＝1
×1/1.8＝0.556 A と計算される。

6. 並列回路における電流分配の法則
並列回路に電流が流れるときには、各7. 電圧源と電流源

素子の抵抗（インピーダンス）の逆数に比例して電流は分配される。言い換えれ電気回路における電圧源と電流源につば、各素子のアドミッタンスに比例していて説明しておきたい。電圧源は直流と電流は分配される。次のような 2 素子で交流で記号が異なる。交流の＋表示でああれば、R1 に分配される電流は次のようるが、瞬時の電圧や位相を数式として記に計算される。

載する場合は、上下どちらを基準とするかを明示するためにつけられる。定電流
源は図の矢印の通りに電流を出力する。
＋

𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼 ∙

1
𝑅𝑅1

1
1
+
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2= 𝐼𝐼 ∙𝑅𝑅2
𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2

電圧源(直流) 電圧源（交流） 定電流源

6

電圧源は、電気回路学ではその二端子回路において、電流が分岐したり合流

間に決められた電圧を維持するよう、無したりする接点における電流の流れ込む

限大の電流を供給できる能力があるとし総和は 0 である。

て扱われる。机上の話になるが、電圧源を短絡させた場合、電圧源は∞の電流をI1流すことになる。

I3

電圧源のインピーダンス（直流の場合I4は抵抗）であるが、そこを流れる電流がI2変化しても、両端の電圧は常に一定であるので、⊿V／⊿I はゼロとなり、すな

図のように 2 つの電流が接点（図ではわち電圧源のインピーダンスはゼロとな黒点）に入り、2 つの電流が接点から出る。一方、定電流源のインピーダンスはていく場合、入ってくる電流を＋とし、無限大である。

出ていく電流をマイナスとして足し合わせるとゼロになる。つまり、

8. キルヒホッフの法則
1)電流の連続性

I1 + I2 - I3 - I4 = 0の式が成り立つ。

抵抗を含む回路素子が直列で接続され

2)キルヒホッフの第二法則ていた時に、そこを通る電流はどの素子でも一定である。図に示すように異なる

閉回路（閉ループ）において、起電力

大きさの抵抗を直列でおいたときに、どの総和と電圧降下の総和は等しい。電圧

こを通る電流も一定になる。抵抗の大き

降下は抵抗やコイルなどインピーダンス

さは電流の流れにくさを示す指標であるに電流を流した時に、電流の流れ込む側

が、直列にしたときには、どこも流れるに対して、電流が出ていく側の電位が下電流は一緒である。直列電流は一番流れがるが、その電位の降下分のことを言にくいところで支配される。もし、各素う。

子で電流が違ったら、素子の接点で電荷が溜り、その電荷が強いクーロン力で周囲の電流の流れに影響を与えて、結果的にどこも一定の電流となるように働く。

2)キルヒホッフの第一法則

このような回路の閉ループを考える場
合は、このやじるし方向に電圧を足し合7わせていくと 0 となるということである。

次の行列方程式として、拡大係数行列を

電流の方向が定義されている場合は、抵作成し、機械的に解けばよい。

抗では電流の流れ込む側を+としてくと

2 0
�0 4
1 1

電圧の方向が分かりやすい。つまり、抵抗
R1 のところで R1I1 だけ電圧が+になると考える。R3 と R4 の電圧降下はマイナスなの

3 𝐼𝐼1
10
3 � �𝐼𝐼2 � ＝ �10�
−1 𝐼𝐼30

これを解くと次のようになる。

で、マイナスとする。この閉ループでは次

𝐼𝐼1
20⁄13
�𝐼𝐼2 � ＝ �10⁄13�
𝐼𝐼3
30⁄13

の式が成り立つ。

R1I1＋R2I2+E1-R3I2+E2-R4I4 = 0

つまり、I1＝20/13 A、I2＝10/13 A、I3＝

30/13 A と求められる。
例題 6次の回路で、電流 I1 と I2、I3 をキルヒホッフの法則は万能であるが、求めよ。

計算が面倒である。回路の世界ではこの法則を使わなくても簡単に答えを導く方
法がいくつかあり、机上で計算するのであれば最後の選択肢と考えてほしい。一左方、電圧源や素子の抵抗の値が数値で与右えられるのなら、表計算やプログラムを使って計算することは簡単である。

まず左ループでキルヒホッフの第二法則
向きによる+の部位を各抵抗に振ってい9. 複雑な回路の合成抵抗の計算事例＜発展＞る。この+とは実際に定義した方向と逆に

ここではいくつか事例をもって計算すを適用する。わかりやすいように電流の電流が流れていた場合、－の電位になるる手段を教授したい。

が、これは計算上＋というだけである。
例題 7（左ループ）
10－2I1－3I3 ＝ 0

同電位点は接続したり開放した

りしても合成抵抗に影響しない性質を活（右ループ）

用した事例

次の回路の合成抵抗を求めなさい。ただし一つの抵抗を 10Ωとする。

10－4I2－3I3 ＝ 0
これだけでは 3 つある電流を決定できな
いので、キルヒホッフ第一法則を組み入れる。
I1 + I2 ＝ I3
以上を 3 つの方程式を連立方程式として解けばよい。線形代数の知識のある方は8解法）このように対照的な抵抗網では、「同電位点を接続しても合成抵抗に変化はない」という性質を使う。この回路は左右対称で

101
� × 2 = 18.6 Ω
� ＋
1
1
1
2
+
+ 10
15 15

と求められる。

あり、両側の端子に電圧をかけたときに、中心線を通る接点は電位が等しいと考える。

例題 8

つまり赤い線の接点を結んでしまう。

同じような回路がずっと無限につながっている事例
図の 10Ωの抵抗が無限につながっている
ときに図の 2 端子間の抵抗を求めよ。

また上下の対称性を考えた場合左右の緑の解法）上の図の点線で回路を切った場合、部分も同電位になるのでこのように結ぶ。

そこから右を見ても同じ抵抗になる。つま同電位として結んだ接点を考慮して回路をり求めようとする端子間の抵抗を R とした

書き直すと次のようになる。

場合この回路は次のように書き換えることができる。

この回路の合成抵抗は
10𝑅𝑅

10 + 10+𝑅𝑅 ＝R

こちらの回路が左右対称に接続されているとなり、これを R に等しいとする。これを

と考える。

解くと、
𝑅𝑅 = 5 + 5√5 Ωと求められる。
この部分の抵抗は暗算で 15Ωと求まる。
例題 9

キルヒホッフで合成抵抗を求める

事例 図の抵抗の合成抵抗を求めなさい。
ただし抵抗はすべて同じ値で 1Ωとする。
こちらは 10÷2×2 で 10Ωである。
すると、
全抵抗は

9

7/5 Ωとなる。

（解法）このようによく計算が分からない回路の抵抗は、実際に両端に 1[V]加え10. 内部抵抗と開放電圧定理たとして、各部分の電流を求めること
で、合成抵抗を求めることができる。問題の回路は次のように書き直すことがで

テブナンの非線形性をもたない電気回路において、きる。

二端子が形成されるときに、その二端子間は図のように電圧源一つと内部抵抗（インピーダンス）で表すことができる。
この電圧源の値を開放電圧という。これは抵抗回路だけではなく、L や C を含んだ回路でも成り立つ。

これで接点方程式をたてる。VA 点と VB
点について、電流のキルヒホッフの第一法則を適用する。
I1 = I3 ＋ I5
I2 ＋ I5 = I4

この開放電圧と内部抵抗で表される回路

これらの式は、電位 VA と VB を用いて次は短絡電流源 Iｓと内部抵抗で次のようにのように書き換えることができる。

書き換えることができる。
Rs

1−𝑉𝑉𝐴𝐴
𝑉𝑉 −𝑉𝑉𝑉𝑉= 𝐴𝐴 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴
1
1
2

等価
Voc

1−𝑉𝑉𝐵𝐵𝑉𝑉 −𝑉𝑉𝑉𝑉+ 𝐴𝐴 1 𝐵𝐵 = 1𝐵𝐵
2

Is

Rs

こちらの式はつぎの連立方程式に帰着する。
5𝑉𝑉 − 2𝑉𝑉𝐵𝐵 = 2
� 𝐴𝐴
2𝑉𝑉𝐴𝐴 − 5𝑉𝑉𝐵𝐵 = −1

このときに、

4
7

𝐼𝐼𝑆𝑆 =

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠の関係がある。この関係は二端子間が同37

これを解くと、𝑉𝑉𝐴𝐴 = 、𝑉𝑉𝐵𝐵 = と求めら

じ電圧になるようにと考えれば容易に導れ、各電流はそれぞれ次のようになる。

くことができる。このテブナンの定理は、

I1＝3/7 A、I2=2/7 A、I3=2/7 A I4=3/7

複雑な回路網の計算行うとき、最大電力

A、I5＝1/7 A と求められる。I1 と I2 の総を供給するための計算に非常に威力を発

和は 5/7A である。１V をかけて 5/7A 流揮する。ぜひこの節で理解していただきれるのだから、合成抵抗はその逆数のたい。
10

1) 開放電圧 Voc の決め方
二端子間に何もつながっていない状態（開放状態）での二端子の電圧を開放電圧（Voc）という。Voc は Voltage of open
circuit の略である。もし回路の中に複数の電圧源、電流源がある場合、重ね合わせての原理で解く。例題 11 を参考にしてほしい。

この両端の抵抗が内部インピーダンス Rs2)内部抵抗の求め方となる。

二端子間がつながっている回路網にお𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅3 +いて、①電圧源は短絡させ、②電流源は開𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2

放として計算される二端子間の抵抗（イとなる。この第二項は、R1 と R2 の並列抵

ンピーダンス）が内部抵抗（内部インピー抗である。この結果はつぎのように書くダンス）となる。内部抵抗の標記に Rs がことができる。

しばしば用いられるが、これは直列抵抗(Series Resistance)を意味する。
例題 10次の回路を一つの電圧源と抵抗、また一つの電流源と抵抗を用いて表せ。

𝑅𝑅𝑆𝑆 ＝𝑅𝑅3 +𝐸𝐸0 𝑅𝑅2𝑉𝑉𝑂𝑂𝑂𝑂 =𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2

𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2

この回路はつぎのように書き換えること
ができる。
A
Is

Rs

B

このときに、Is は次のようになる。

解法）まず二端子の Voc を求める。R3 には全く電流が流れていないので、A 点の電位

𝐼𝐼𝑆𝑆 =

は R1 と R2 の接点と同電位になる。この点の電位は、電圧分割の法則から求め、開放
電圧 Voc は次のようになる。
𝑅𝑅

𝐸𝐸 𝑅𝑅

例題 11

2

1

𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2

重ね合わせの原理を使って解く

方法

2
𝑉𝑉𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐸𝐸0 × 𝑅𝑅 +𝑅𝑅= 𝑅𝑅 0+𝑅𝑅2
1

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜
𝐸𝐸0 𝑅𝑅2
=
𝑅𝑅 𝑅𝑅
𝑅𝑅𝑠𝑠
(𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 )�𝑅𝑅3 + 1 2 �～複数の電源と電流源が混在する場合～

2

つぎに内部抵抗 Rs であるが、電圧源 E0 を短絡させて、二端子間のインピーダンス
を求める。
11

題 10 に示した通りになる。
テブナンの定理を使った問題を章末に掲載するので、ぜひ使いなれてほしい。
例題１２
解法）

問題

電池への適用ある乾電池を無負荷で出力電圧を

開放電圧をもとめるには、重ね合わせの見たところ、1.5V であったが、50Ωの負原理を使う。具体的には、一つの電源のみを荷として、出力電圧は１．４５V となっ生かし、他を殺してそのときの開放電圧をた。負荷に１０Ωをつないだら、出力電圧求めることを全部の電源について行い、そはどの程度になると予想されるだろうか。

れぞれの開放電圧の総和をこの回路の開放電圧とする。電源を殺すというのは物騒な解法）電池によっては取り出す電流によ言葉であるが、よく使われる言葉で、電圧源って大きく変動するものがあるのでこのは短絡、電流源は開放するという意味であ

方法は万能ではないが、第一次近似としる。順序通り求めていこう。

て、テブナンで示される電圧源と内部抵抗の等価回路を使って予測してみる。無1) E0 を生かし、J は開放、E１は短絡負荷時の電圧は開放電圧で１．５V である。

𝐸𝐸 𝑅𝑅
この時の開放電圧は、𝑅𝑅 0+𝑅𝑅2 である。
12

内部抵抗 R として、50Ωとしたときに、
1.45V になったので、図の回路図から R は2) J を生かし、E0 と E１は短絡

次のように求められる。

このときは、J は R1 と R2 の並列に流れ
𝑅𝑅 𝑅𝑅るので、開放電圧は𝐽𝐽 𝑅𝑅 1+𝑅𝑅2 となる。
123) E2 を生かし、E0 は短絡、J は開放
この場合 E2 の電圧が二端子間にそのこの直列回路の電流は 1.45/50=0.029A とまま出てくるので、開放電圧は E２とななる。内部抵抗 R には 0.05V かかっている。

るので、R は 1.72Ωと求められる。50Ω

以上の結果より 1)～3)の総和が実際のが 10 Ω に な っ た 場 合 、 1.5 × 10/

𝐸𝐸 𝑅𝑅
𝑅𝑅 𝑅𝑅
開放電圧になる。Voc は𝑅𝑅 0+𝑅𝑅2 + 𝐽𝐽 𝑅𝑅 1+𝑅𝑅2 + 𝐸𝐸2
12
12(1.72+10)=1.28V になると予想される。

11. 電力供給最大の法則となる。

短絡電流は、すべての電源を殺して、二前節で説明したように、電源を含む線

端子のインピーダンスを求めればよい。

形回路網からなる二端子は、たった一つ

すなわち E0 と E１は短絡、J は開放とする

電圧源と内部抵抗で表すことができる。

𝑅𝑅 𝑅𝑅と、𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅 1+𝑅𝑅2 となる。等価回路は例
1

ここで、この二端子に抵抗からなる負荷
抵抗 RL を付けたときに、RL での消費電力

212 電圧源の内部インピーダンスは 0
Ω、電流源は無限大Ω。
 線形回路網の二端子は、電圧源と内部抵抗だけで表すことができる。
 線形回路網から最大電力を取り出すときは、内部抵抗と同じ大きさの負荷抵抗をつなげる。

PL を計算して、二端子回路網からとれる電力が最大となる条件を求めてみよう。

RL にかかる電圧と流れる電流の積にな

1章

るので、
𝐸𝐸 𝑅𝑅

𝐸𝐸

1. 次の二端子の合成抵抗を求めなさい。

𝐸𝐸 2 𝑅𝑅

0
𝑃𝑃𝐿𝐿 = 𝑅𝑅 0+𝑅𝑅𝐿𝐿 × 𝑅𝑅 +𝑅𝑅= (𝑅𝑅 0+𝑅𝑅 𝐿𝐿)2
1

𝐿𝐿

1

𝐿𝐿

1

練習問題

(a)

𝐿𝐿

となる。この式を変形すると、𝑃𝑃𝐿𝐿 =

2

𝐸𝐸0 2

𝑅𝑅1 �
𝑅𝑅𝐿𝐿 + 2𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅𝐿𝐿となる。相加平均≧相乗平均とする性質
22から 𝑅𝑅1 �𝑅𝑅 ＋𝑅𝑅𝐿𝐿 の最小値は 2�𝑅𝑅1 �𝑅𝑅 × 𝑅𝑅𝐿𝐿 ＝
𝐿𝐿

𝐿𝐿

20

2R１となり、それがなりたつのは𝑅𝑅1 ＝𝑅𝑅𝐿𝐿 ということになる。つまり分母が最小とい(b)うことで、PL は最大になる。
つまり、二端子回路網から最大の電力を取り出す最大電力供給条件は、内部抵抗と同じ負荷をつないだ時ということになる。
＊相加平均相乗平均 2 つの実数 x、（
y x>0、 2. 次の回路の A 点、B 点の電位を求めなさ
y>0）がある。(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)⁄2 ≥ �𝑥𝑥𝑥𝑥が成り立ち、等号が成り立つのは x = y のときである。

い。また B 点を基準にした A 点の電位を求めなさい。

1 章のポイント 抵抗回路は直列回路の電圧分割の法則を使ってスマートに計算しよう。
 並列回路において、電流はその抵抗の逆数に応じて配分される。

100V

13

3. 次の抵抗回路の矢印部分の電流を求めなさい。

7. 次の回路の開放電圧、内部抵抗を求めよ。

7．次の回路において、真中の R[Ω]に流れる電流を求めなさい。R[Ω]で消費され4. 次の回路の 2 端子の抵抗が 600Ωにる電力が最大のときの R の値を求めよ。

なるような R を求めよ。

１章練習問題略解

5. 次の抵抗回路の 2 端子間の開放電

１．(a)

10Ω

圧、内部抵抗を求め、たった一つの電(b)30Ωの三並列は 10Ω。この回路は 10Ω

圧源と内部抵抗で表される等価回路をと 20Ω//30Ωの直列とみなせる。//は並描け。一つの抵抗を 10Ωとする。

列という意味。
10 +20・30= 22 Ω
20 + 30

2.VA＝80V、VB＝75V
B に対する A の電位 VAB＝VA-VB＝5 V
3. 並列回路において、電流はその抵抗の逆数に応じて分配する性質で求める。回路の10Ωと 40Ωの直列は 50Ωの抵抗とみなせる。20Ω二並列と 40Ωの直列も 50Ωの抵抗

6. 次の回路における開放電圧、内部抵とみなせる。回路としては 50Ωの二並列回抗を求めよ。またこの端子に負荷抵路である。右側の 20Ω二並列と 40Ωの直列

抗 RL を付けたときに消費電力が最大には、10A の半分の電流の 5A が流れる。そになる RL の値を求めよ。
14

して、右側の 20Ωには、その半分の 2.5A が本並列の直列であると考える。暗算で 15Ω流れる。

がでる。つまり、二端子間の抵抗、すなわ
ち内部抵抗は、15Ω と 10Ω の並列である。

4.この回路の全抵抗は次の式で表される。

15∙10

15+10

300𝑅𝑅
+ 400 = 600
300 + 𝑅𝑅

=6 Ω

結果、テブナンの法則を使い次のような等価回路がかける。

これを解くと、R は 600Ωとなる。
5. この回路の開放電圧であるであるが、並列と直列抵抗を整理して考える。まずは C
点をアースとして、A 点の電位を求める。
6.開放電圧は 5V、内部抵抗は 5Ω。最大電A力を与える内部抵抗と同じ値の RL は 5ΩとOなる。
内部抵抗の求め方であるが、電圧源の 10Vを短絡してみる。下図のようになる。一番左C

10Ωは短絡されて いるので、0Ωとの並列で 0Ωになるので、一番左の 10Ωはなくて点線で囲まれた部分（A-C 間）は10Ω と 20Ω

も同じである。

の並列抵抗である。したがって、
10∙20

10+20

=

20
3

Ω

となる。つまり A 点の電位は、10Ω と20/3Ω の直列と考え、
𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴 =20/3

10+20/3

さらに次のようにかきかえることができる。

= 4 𝑉𝑉つまり 10Ωの二並列になり、内部抵抗は 5となる。求める C-O 間の電圧であるが、Ωとなる。

A-C 間の電圧が 10Ω の二つの抵抗で分割されているので、その半分の 2V となる。
内部抵抗であるが、10V を短絡させる。

7.この回路は重ね合わせの原理と使って解くと、開放電圧は 110/3 V、内部抵抗は 20/3
Ωとなる。
この回路は左側の定電流源と並列の 10Ωを電圧源と直列抵抗に置き換えるとわかり

ここで点線の部分の抵抗は 10Ω と10Ω 二やすい形になる。
15

以上より、題意の回路は次のように書き換えられる。

8．まずは R に流れる電流を求める。例題

VA

９に示されるように、接点の電位を図のよ
うに VA と VB を決めて、そこに流れ込む電流の総和がゼロとして、次の連立方程式を解く。

VB

100 − 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐵𝐵 − 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐵𝐵
=
+
10
𝑅𝑅
10

この回路から、R に流れる電流は

𝑉𝑉𝐵𝐵 − 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐵𝐵 − 50 𝑉𝑉𝐵𝐵
=
+
𝑅𝑅
20
20

25
[A]である。電流の向きは VA から VB
15+𝑅𝑅

これで、それぞれの電位をもとめ、R にの方向である。

かかる電圧𝑉𝑉𝐵𝐵 − 𝑉𝑉𝐴𝐴から電流を求めること

最大電力を得る条件は、内部抵抗と負ができる。しかしこの方法は最後の手段

荷抵抗が等しい、すなわち R=15Ωのとき

としたい。

である。

R を取り出して、2 端子を作り出し、テブナンの定理で 1 個の電圧源と 1 個のアドバイス

内部抵抗で表そう。

読者の皆様は、このテブナンの定理をつかって等価回路に置き換える方法は、極めて有効であると理解しただろう。大学院入試や定期試験でもこの手の問題がよくだされるが、それはエンジニアとしこの場合、直列回路の電圧分割則をつかてもこの事例がとてもよく活用できるかって、たちどころに VA は 50 V、VB は 25らである。試験を控える読者も、常にテV と求められる。つまり開放電圧は 25V

ブナンがつかえないかアンテナをはってである。内部抵抗は図のように 100V と

おくとよい。技術者としては、扱う二端

50V を短絡させた両端間の抵抗なので、子がどの程度の内部抵抗をもっているか

暗算で 15Ωと求められる。

を意識していると、電力の取り出せる上限が簡単に推測できる。

16