Internet 版 2020/8/12

第９章

パルス波のフーリエ変換による解析

これまで回路の信号を定常的である、例えば正弦波や直流として扱ってきた。実際の回路では⾮定常の信号を処理し、繰り返しのないパルス信号の場合もある。フーリエ級数の知識をもってすれば、周期波はその周波数の整数倍の余弦波、正弦波の和で表されるように、パルス波も様々な周波数成分を持つ余弦波、正弦波の集まりとしてあらわされる。パルス波がどのような周波数成分を含むのかを知るには数学的でのフーリエ変換を使う。様々な信号を扱う電気回路では、数学になるがフーリエ変換による周波数分析は重要であり、この章でそれを学ぶことにする。

１． フーリエ変換換した形である。
上記は周期波の話であるが、信号波の時間関数𝑓 𝑡 を信号波とする。信号波が時間関数𝑓 𝑡 がパルスであり、１回しかな周期 T をもち、その⾓周波数ω＝ とすい繰り返し、すなわち∞の周期をもつとると、信号波は次のように正弦波、余弦波考える。そこで、（2）式を次のように書きの和で表されることを、フーリエ級数の換えたのが、フーリエ変換の式である。

概念として我々は既に学んでいる。
∑𝑓 𝑡𝑎 cos 𝑛𝜔𝑡∞

𝐹 𝑗𝜔

𝑏 sin 𝑛𝜔𝑡𝑓 𝑥 𝑒𝑑𝑥

𝐹 𝑗𝜔 𝑒𝑑𝜔∞(1)𝑓 𝑡

この式において、𝑎 、𝑏 は、次のように表12𝜋∞∞される。
この式において、𝐹 𝑗𝜔 を時間関数𝑓 𝑡𝑎𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 n=1,2…

𝑏𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 n=1,2…のフーリエ変換であり、𝐹 𝑗𝜔 から時間関数𝑓 𝑡 に戻すことをフーリエ逆変換という。
時間関数𝑓 𝑡 のフーリエ変換は、ωの関数であることからわかる通り、角周波数における成分、つまり角周波数スペクトルフーリエ級数の表現は、正弦波、余弦波を用いる代わりに、複素数である𝑒を表す。

を用いて、𝑓 𝑡２．様々な関数のフーリエ変換∑∞𝑐 𝑒(2)(1) δ関数（単位インパルス）
デルタ関数は実際にはありえない関数と表すことができる。このときに、フーリエ係数𝑐 は次のように表すことができる。 であるが、その周波数成分はゼロから∞までの様々な周波数の一定の振幅の波の合成
1𝑐𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝑇で表される。
(2)式は、オイラーの式を使って(1)式を変デルタ関数とは、
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𝑡𝑡∞

𝛿 t0

これは、幅 T 秒の間だけ１の振幅をも00つ信号となる。

でその積分は 1 である。
∞
𝛿 t 𝑑𝑡∞11

また𝑔 t を任意の関数とするときに、次の∞𝛿 t 𝑔 𝑡 𝑑𝑡∞0

𝑇⁄2

積分が成り立つことが知られている。
𝑔 0

次のように計算できる。

このフーリエ変換は次のように求められ⁄𝐹 𝑗𝜔る。

𝑒𝛿 t 𝑒𝑒∞𝑒𝑗𝜔

1𝑒𝑑𝑡𝑑𝑡⁄𝑒𝑗𝜔⁄∞𝐹 𝑗𝜔ｔ𝑇⁄2⁄𝑇2𝑠𝑖𝑛 𝜔2𝜔となる。デルタ関数はフーリエ変換すると１となり、周波数軸でみたら 0 から∞この関数は sinc(ジンク)関数という。ジンの範囲で一定の１をとる。時間軸ｔと角ク関数はデジタル信号処理でよく使われ周波数軸ωで次のような関係がある。記る。仮に T＝1 としてプロットしてみた。

号ℱはフーリエ変換されたという意味である。
δ(t)∞0ｔ(3) 正弦波関数ℱ(δ(t))
1ある角周波数𝜔 の正弦波を考えてみよう。
𝑓 t0ω𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡

正弦波はオイラーの式をつかって指数関数に変換する。

(2) ボックス関数

𝑓 t

10∞𝑡

𝑇⁄2𝑡
𝑇⁄2 , 𝑡𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡𝑒𝐹 𝑗𝜔𝑇⁄2𝑇⁄2∞82𝑑𝑡

Internet 版 2020/8/12∞𝑒𝑒2𝑗∞𝑒３．エネルギースペクトル𝑑𝑡

時間関数𝑓 𝑡 を信号波とするとき、𝑓 𝑡∞

12𝑗の 2 乗の積分𝑑𝑡𝑒

𝑓 𝑡∞

12𝑗∞はエネルギーを意味する。これをフーリ

𝑑𝑡𝑒𝑑𝑡エ変換すると、∞|𝐹 𝑗𝜔 | ＝𝐹 𝑗𝜔 𝐹 𝑗𝜔となる。この計算をすすめると、で表される。つまり、フーリエ変換の 2 乗𝜋𝛿 𝜔𝑗𝜔𝜋𝛿 𝜔𝑗は、その周波数成分の信号のエネルギー𝜔密度を表す。つまり、信号波のフーリエ変となる。サイン波をフーリエ変換すると、換の絶対値の 2 乗をとると周波数を変数

角周波数軸上で、 𝜔 と 𝜔 の位置に、面としたエネルギー密度を知ることができ積π/j のデルタ関数が出ることかわかる。

る。

角周波数がマイナスになる世界は置いておいて、正弦波の角周波数成分は𝜔 の４．高速フーリエ変換

みであり、フーリエ変換すると、それは単信号波をフーリエ変換すると、時間軸なる位置のずれたδ関数となる。

から周波数軸に変換される。したがって、フーリエ変換後のプロットを知ることで、ℱ(𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡)

どんな周波数成分が含まれているのかを知ることができ、場合によってはノイズとなるような信号があるとしたら、その𝜔0

ノイズ成分の占める周波数領域をゼロにω𝜔

して、逆変換することで、ノイズ除去をされた信号を得るなどの芸当ができる。つ余弦波、𝑓 t

まり、信号処理の基本となる技術である。

𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡の場合は次のよう信号波を⼀定時間でサンプリングして数になる。

値化し、それを離散的なデータとして扱𝐹 𝑗𝜔𝜋𝛿 𝜔𝜔𝜋𝛿 𝜔い、これをフーリエ変換する。これを Fast

𝜔Fourierとなる。

Transform （ FFT ） あ る い は 、Discrete Fourier Transform (DFT)という。
実際の信号波を周波数軸のスペクトルとℱ(𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡)して表してくれる装置をスペクトラムアナ
面積π面積πライザーという。昔は⾮常に⾼額であったが、最近はデジタルオシロスコープの⾼𝜔0𝜔

性能化、低価格化が進み、⼿軽に使えるよω
83Internet 版 2020/8/12うになった。

1.0信号波を N 個の並んだデータとして取0.5振幅得したとする。l 番⽬のデータを d(l)とすると、その離散的フーリエ変換は次のよ0.0-0.5うに求められる。

-1.0𝐹 𝑘∑𝑔 𝑙 ∙𝑒/0246810

時間 (sec)で計算される。フーリエ変換された𝐹 𝑘のｋは⾓周波数と同じ性質のものだが、そのフーリエ変換のエネルギースペクト

これを取得するのにかかった時間を T とルがこのようになる。

するならば、ｋから⾓周波数にするには60x10

これを2𝜋𝑘/𝑇とすればよい。この式をまと50もに計算してもよいが、データ点数が多40｜F（ｊω)|

2くなると計算が多くなるため、できるだ
け⾼速でできるアルゴリズムが考えられている。その原理は他文献にゆずりたいが、WIKIPEDEA などの電子百科事典においても、そのプログラムが載せられている。
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A
B%98%E9%80%9F%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%
A4%89%E6%8F%9B）
筆者が学生のころ、16 ビットのパソコ

2000.00

0.05

0.100.15

周波数 ×100(Hz)0.200.25

このように、信号波形は 1Hz と 3Hz の成分から成り立っていることが分かる。

するのでも、数十秒の時間を要したが、時代は大きく進歩した。今や 64bitCPU であり、マルチコアが当たり前である。昔の苦労はどこへ行き、一瞬で答えを出してくれる。
例として、信号波形とし、
𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑡

3010ンの黎明期で、1024 点のフーリエ変換を𝑓 𝑡

30.5𝑠𝑖𝑛 6𝜋𝑡の波形、すなわち 1Hz と 3Hz の正弦波のフーリエ変換を求めてみた。フーリエ変換は解析ソフト Igor6.36 を用いた。
元信号が次のグラフとなる。

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