論 文

固定カメラシステムに対する安定化予測ビジュアルフィードバック制御
員

村尾

俊幸∗

非会員

藤田

政之∗∗∗

正

非会員

河合

宏之∗∗

Stabilizing Predictive Visual Feedback Control for Fixed Camera Systems
Toshiyuki Murao∗ , Member, Hiroyuki Kawai∗∗, Non-member, Masayuki Fujita∗∗∗ , Non-member
This paper investigates a vision based robot control via a receding horizon control strategy for ﬁxed camera
systems, as a stabilizing predictive visual feedback control. Firstly, a 3D dynamic visual feedback systemwith a ﬁxed camera conﬁguration is reconstructed in order to improve performance of estimation. Next,
a stabilizing receding horizon control for the 3D dynamic visual feedback system, a highly nonlinear andrelatively fast system, is proposed. The stability of the receding horizon control scheme is guaranteed byusing the terminal cost derived from the energy function of the dynamic visual feedback system. Furthermore, simulation and actual nonlinear experimental results are assessed with respect to the stability and theperformance.
キーワード：視覚フィードバック制御，Receding Horizon 制御，受動性，安定性，Control Lyapunov 関数

Keywords: visual feedback control, receding horizon control, passivity, stability, control Lyapunov function

位置ベース法の 3 次元動的視覚フィードバック制御則を提1. はじめに案している。しかし一般的な位置ベース法で扱う，目標値

近年，視覚フィードバック制御の研究はますます盛んにに一致させる制御問題と位置姿勢を推定する推定問題にお行われており，工場だけでなくより複雑なシステムや幅広

いて，従来研究で提案した制御則 (6) では制御タスクが推定い分野へも適用されるようになってきている (1) (2) 。中でもタスクに悪影響を与えることがあった。

少子高齢化社会を迎える日本において必要不可欠とされる

一方，オンラインで有限時間区間の最適制御問題を繰り医療分野では，視覚フィードバック制御による腹腔鏡の制返し解く，モデル予測制御の研究も盛んに行われている (7) 。

御 (3) や超音波探触子の制御 (4) などが，また生命科学の分

近年では，ロボットのような非線形でかつ比較的早いダイ

野では，細胞注入(5)

ナミクスを持つシステムに対する応用事例も出始めており，などの応用研究が行われている。
において，細胞注入システムに代表

Jadbabaie らは評価関数の終端コストに Control Lyapunov

される固定カメラ構造の視覚フィードバックシステムを幾関数を用いることで安定化モデル予測制御則を提案し (8) ，何学的に表現し，システムの有する受動性に基づくことで，Milam らはその制御則を Caltech Ducted Fan に適用す

著者らは従来研究(6)

ることでよりアグレッシブな動きを実現させている (9) 。また河合ら (10) はロボットマニピュレータに対して安定化モ∗ 産業技術大学院大学 産業技術研究科

デル予測制御を適用し，実験的に検証している。

〒 140–0011 東京都品川区東大井 1–10–40
School of Industrial Technology, Advanced Institute of Industrial Technology
1–10–40 Higashi-Ohi Shinagawa-ku, Tokyo 140–0011∗∗ 金沢工業大学 工学部〒 921–8501 石川県石川郡野々市町扇が丘 7–1
College of Engineering, Kanazawa Institute of Technology
7–1 Ohgigaoka Nonoichi, Ishikawa 921–8501∗∗∗ 東京工業大学 大学院理工学研究科〒 152–8550 東京都目黒区大岡山 2–12–1
Graduate School of Science and Engineering, Tokyo Instituteof Technology
2–12–1 Ookayama Meguro-ku, Tokyo 152–8550
電学論 C，125 巻 1 号，2005 年

視覚フィードバックシステムにおいて，観測対象の位置を予測し，その予測情報を用いて制御をすることで得られる
有益性については古くから述べられてきた (11) 。視覚フィー
ドバック制御とモデル予測制御を結合させた研究として，フィルタリングによる雑音除去 (12) やマニピュレータの白線トラッキング (13) などが挙げられる。しかし，これらの手法は安定性に対しては何も述べられておらず，著者らは
文献 (14) で視覚フィードバックシステムに対して安定化モ
デル予測制御を適用しているが，平面マニピュレータに限
1

Camera

gch

5c

5h

に一致させておくこととなる。ここで，gab は同次表現と呼ばれ，任意の二つの座標系 Σa から Σb の位置 pab ∈ R3と姿勢を表す回転行列 eξ̂θab ∈ SO(3) から構成され，4 × 4行列として以下のように定義される。

gwh

gco



gab =

gwc

gho
TargetObjectManipulator

5o

gwo

eξ̂θab0pab
1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1)ただし，演算子 ∧(wedge) は 3 次元ベクトルを 3 × 3 の

5w
World Frame歪対称行列へ写像する演算子であり，その逆写像は ∨(vee)で定義される (15) 。
この相対位置姿勢 gho と目標値 gd の偏差を，制御偏差
gec としてつぎのように定義する。

Fig. 1. Visual feedback system with a ﬁxed
camera conﬁguration

gec := gd−1 gho · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)
定されていた。

さらに，この制御偏差に対する制御偏差ベクトルを ec :=そこで，本研究では安定化予測ビジュアルフィードバッ
造の 3 次元動的視覚フィードバックシステム (6) に対して，[pTec eTR (eξ̂θec )]T ∈ R6 と定義する。ただし eR (eξ̂θ ) :=sk(eξ̂θ )∨ ∈ R3 ，sk(eξ̂θ ) := 12 (eξ̂θ − e−ξ̂θ ) である。
制御目的を達成するためには gho が必要になるが，gho安定化モデル予測制御則を提案する。本論文では，従来研は同次表現の合成則から以下のように導かれる。

ク制御として，比較的高速で非線形性の強い固定カメラ構究のシステム (6) を再構成し，オブザーバが制御タスクに影−1
gho = gchgco · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3)

響されないシステムを構成する。また，視覚フィードバッ
クシステムのエネルギー関数を評価関数の終端コストに用(3) 式において gch は既知情報であるために† ，gco の運動についてまずは考える。gco は同次表現の合成則から同様にいることで，安定性を満たしたモデル予測制御則を提案する。本論文は，文献 (10) に対しては視覚情報との融合がさ−1
gco = gwc
gwo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4)れている点と，また文献 (14) に対しては平面マニピュレー
タに限定せず位置だけでなく姿勢も考慮でき，四つの座標で表される。また，カメラ座標系からみた観測対象の相対系を有する固定カメラ構造の視覚フィードバックシステム

速度は，gco を時間微分することで，に適用可能である点から，両研究を発展させた研究となっ

b
b
b
−1 V
Vco
= −Ad(gco) wc + Vwo · · · · · · · · · · · · · · · · · · (5)ている。
本論文の構成は以下のとおりである。2 節では，我々が−1bのように導かれる (16) 。ここで，Vab= (gabġab )∨ ∈ R6 は従来研究で提案している固定カメラ構造の 3 次元動的視

剛体運動のボディ速度を表しており，Ad(gab ) ∈ R6×6 は覚フィードバックシステムを再構成し，受動性に基づく安

同次表現 gab の随伴写像である (15) 。

定化制御則について述べる。3 節では，Control Lyapunov

本論文では固定カメラ構造の視覚フィードバックシステ関数を用いることで 3 次元動的視覚フィードバックシステbム (カメラのボディ速度が 0，すなわち Vwc= 0) を考える

ムに対する安定化モデル予測制御則を提案する。4 節でシため，(5) 式で表された相対速度は以下のようになる。

ミュレーション結果と実験結果を示し，最後に 5 節でまと
めを行う。

b
b
Vco
= Vwo
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6)2. 固定カメラ構造の 3 次元動的視覚フィードバッ
クシステムと安定化制御則

測定不可能であるために未知情報となる。そこで，相対位〈2・1〉 剛体運動の表現と推定偏差システム

置姿勢 gco を含んでいる視覚情報 f ∈ R2m を利用し，非上述の相対位置姿勢 gco は観測対象の位置姿勢 gwo が本論文

では，Fig. 1 に示すような，四つの座標系によって表され線形オブザーバを構成することで，相対位置姿勢の推定値

る固定カメラ構造の視覚フィードバックシステムについて

ḡco を得ることを考える。(6) 式に基づき，推定値 ḡco の運考える。図中の座標系をマニピュレータの台座に基準座標動モデルをつぎのように構成する。

系 Σw ，手先に手先座標系 Σh ，カメラにカメラ座標系 Σc ，bV̄co= ue · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (7)

観測対象に観測対象座標系 Σo として定義する。

ue ∈ R6 は推定偏差の振舞いを安定にするために加えられ本システムの制御目的は運動する観測対象にマニピュレー

る入力であり，後に制御則の一部として提案する。

タの手先を追従させることである。言い換えると，手先座
標系 Σh からみた観測対象座標系 Σo の相対位置姿勢 gho† 本論文ではカメラキャリブレーションが正確に行われていると仮−1
gwh が正確に計算できるとする。
定し，gch = gwc

を目標位置姿勢 gd (本論文では一定値であるとする) に常2

IEEJ Trans. EIS, Vol.125, No.1, 2005

固定カメラシステムに対する安定化予測ビジュアルフィードバック制御

ここで，相対位置姿勢の真値 gco と推定値 ḡco の偏差を，

ee

推定偏差 gee として−1
gee := ḡcogco · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

(8)

pee
gee
NG
ee
Eq.(13)
Eq.(1)
Eq.(12)
gd , gho

gec

Fig. 2. Relation between ee and gecと定義する。さらに，推定偏差ベクトルを ee :=[pTee eTR (eξ̂θee )]T ∈ R6 と定義する。姿勢推定偏差の回転量
θee を十分に小さいとし，さらにカメラの画像特徴量をその推定値の周りで 1 次テーラー展開することで，この推定偏差ベクトル ee は，カメラから得られる視覚情報 f と推定モデルにより得られる視覚情報 f¯，さらには画像ヤコビ

ル ee よりそのまま得られる。一方，姿勢偏差 eξ̂θee に関しては eR (eξ̂θee ) しか得られないが，− π2 ≤ θee ≤ π2 の範
囲内では，以下の関係式から ξθee を求めることができる。

アンの擬似逆行列 J † (ḡco ) ∈ R6×2m を用いることでつぎのように導かれる(16)ξθee =。

eR (eξ̂θee )

eR (eξ̂θee ) · · · · · · · · · · (13)

したがって，推定偏差ベクトル ee から ξθee を介して，推ee = J † (ḡco )(f − f¯)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (9)定偏差 gee を求めることができる。ここで，仮定 − π2 ≤θee ≤ π2 は，ξθee  = sin−1 eR (eξ̂θee ) を一意に決めるための仮定であるが，既に〈2・1〉節で姿勢推定偏差 θee を

この推定偏差ベクトル ee が 0 になれば，相対位置姿勢の真値と推定値が一致することとなる。

十分に小さいとしているため新たな条件とはならない。

gee を時間微分し，(6)，(7) 式を用いることで，推定偏このように推定偏差 gee が求まるので，さらに gd と ḡho

差システムは以下のように導出される。

を用いて，(12) 式より制御偏差 gec を導出することが可能bb−1 ue + V
Vee
= −Ad(geewo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (10))

〈2・2〉 制御偏差システム

sin−1 eR (eξ̂θee )

となる。Fig. 2 に ee と gec の関係を示す。

つぎに制御目的を達成す(2) 式で定義した制御偏差 gec を時間微分することで，制るための制御偏差システムについて議論する。従来研究 (6)御偏差システムは以下のように導出される。



b
b
b
−1
−1 V
Ad
Vec
= −Ad(gec)(g ) wh + Vwo · · · · · · (14)では，gho の推定値を

d−1ḡho = gchḡco · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (11)〈2・3〉 3 次元動的視覚フィードバックシステムと受動とし，既知情報であるこの ḡho を用いた gec := gd−1 ḡho を性

本節では，前節で構成したシステムに対して，つぎのマニピュレータダイナミクスを考慮する (17) 。

制御偏差として定義し，この偏差に対して制御偏差システ
ムを構成していた。それは，(2) 式で定義した制御偏差 gec

M (q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + g(q) = τ + τd · · · · · · · · · · · (15)は，未知情報 gco が含まれている gho を用いて定義してお御偏差システムに直接影響していた。それに対して本論文

q, q̇, q̈ ∈ Rn はそれぞれの各関節の角度，角速度，角加速度を表し，τ ∈ Rn は入力トルク，τd ∈ Rn はトルク外乱，
M (q) ∈ Rn×n は正定な慣性行列，C(q, q̇)q̇ ∈ Rn は遠心力・コリオリ力項，g(q) ∈ Rn は重力項を表す。

ではその影響を取り除くために，(2) 式で定義した gec にまた，マニピュレータの手先の速度はボディマニピュレー

り，直接得ることができないためであった。しかし，従来法の偏差 gec の定義では推定値 ḡho との偏差をとっている
ために，制御偏差システムを構成したときに推定入力が制よる制御偏差システムを用いて，視覚フィードバックシスb
タヤコビアン Jb (q) ∈ R6×n を用いることで Vwh= Jb (q)q̇

テムを再構成することを試みる。その際に必要となる gecとして表される (15) 。一方，手先の速度の目標値を ud とは，未知情報 gho を直接用いずに，推定偏差ベクトル ee

再考すると，推定偏差 gee を用いることで gec は以下のよ

し，マニピュレータの関節角速度の目標値を q̇d で表すと，
ud = Jb (q)q̇d と表すことができる。ここで，関節角速度に関する偏差を ξ := q̇ − q̇d ∈ Rn と定義する。この関節角
速度偏差 ξ が 0 になると手先の速度がその目標値に一致

うに表すことができる。

することとなる。

と推定値 ḡho を用いて導出する手法を提案する。
はじめに制御偏差 gec の導出過程から述べる。(2) 式をこのとき，マニピュレータへの入力トルクとして−1
gec = gd−1 gho = gd−1 ḡho ḡho
gho = gd−1 ḡho gee · · (12)τ = M (q)q̈d + C(q, q̇)q̇d + g(q)(12) 式において，目標値 gd と推定値 ḡho は既知情報であるため，推定偏差 gee が得られれば制御偏差 gec は求まる
ことがわかる。但し，gee も未知情報 gco を用いて定義さを考える。q̇d ，q̈d はそれぞれ関節角速度と関節角加速度のれているため直接求めることは不可能であるが，推定偏差

目標値である。uξ は関節角速度偏差をなくすための新たな+JbT (q)AdT(g−1 ) ec + uξ · · (16)dベクトル ee は (9) 式から生成可能な情報となる。したがっ入力であり，後に提案する。このとき，(10)，(14)〜(16)て，つぎに ee から gee を導出することを考える。

式を用いることで固定カメラ構造の 3 次元動的視覚フィー

推定偏差 gee において，位置偏差 pee は推定偏差ベクト
電学論 C，125 巻 1 号，2005 年

ドバックシステムは
3

⎡

⎤ ⎡
⎤
−M −1 Cξ + M −1 JbT AdT(g−1 ) ecξ̇d⎢ b ⎥ ⎢⎥
−Ad(g−1 ) Jb ξ
⎣ Vec ⎦ = ⎣
⎦
ho
b
Vee
0
⎤
⎤ ⎡
⎡
−1
0
0
M
M −1 0⎥⎥ ⎢⎢−1
0+⎣ 0 −Ad(gec⎦u+⎣ 0 I ⎦w (17))−100−Ad(gee
0 I
)

N

KN

ec

Kc

Ad(gd)

uN

N

ud

ec

ue

ee

uN

KN

ud

Kc

AdT(g-1d)Ad(e^ )
NGec

ee

Ke

ue

Ke

Fig. 3. Block diagram of the control law (Left:proposed method, Right: previous one (6) )で表される。ただし，入力，外乱，状態をそれぞれ u :=b T T
[uTξ (Ad(g−1 ) ud )T uTe ]T ，w := [τdT (Vwo) ] ，x :=d
T T T T[ξ ec ee ] と定義している。固定カメラ構造の動的視覚
フィードバックシステムにおいて，状態 x を 0 にとどめq
gd
gco Controllereeておくことで制御目的が達成される。

gco

記に示す受動性が成立する。

b
Vwo
q

Manipulator

q
gd
gco

Jd
Controller

J

b
Vwo
q

Manipulatorgdee

この動的視覚フィードバックシステム (17) に対して，下Jd
J

Observerf

gco

CameraObserverf

Camera〔補題 1〕 外乱がない (すなわち w = 0) とする。このとFig. 4. Block diagram of the dynamic visualfeedback control (Left: proposed method,
Right: previous one (6) )き，出力を ν := N x，N := diag{I, −I, −I} とすると
き，動的視覚フィードバックシステム (17) の入出力間にTuT νdτ ≥ −β0 , ∀ T > 0· · · · · · · · · · · · · · · (18)0が成り立つ。ただし β0 はある非負の定数である。

が存在する場合，それが推定入力 ue に影響を与えていた。

この補題 1 はつぎのエネルギー関数を用いることで証明

それに対して本論文で提案した制御則 (20) uξ = −Kξ ξ ，される。

ud = Ad(gd ) Kc ec ，ue = Ke ee は，それぞれの偏差がそれ

1
V = ξ T M ξ + E(gec ) + E(gee )· · · · · · · · · · · · (19)2

ぞれの入力に対してのみフィードバックされている。した

ここで E(gab ) := 12 pab 2 +φ(eξ̂θab ) であり，関数 φ(eξ̂θab )御則は制御偏差が推定入力に干渉するという影響を回避すがって，本論文の受動性に基づく動的視覚フィードバック制
ることができるため，制御偏差がある場合，従来研究 (6) のは回転行列に対する誤差関数を表す正定関数である (18) 。
〈2・4〉 動的視覚フィードバック制御則と安定性

制御則に比べて性能が向上する。このことは動的視覚フィー

動的

ドバックシステムと制御則で構成される閉ループ系のブロッ

視覚フィードバックシステム (17) に対し，補題 1 の受動性

ク図からも読み取れる。Fig. 4 の左図に本論文の閉ループに基づくことで次式の制御則を提案する。

系，右図に従来研究 (6) の閉ループ系のブロック図を示す。

u = −Kν = −KN x := uk , · · · · · · · · · · · · · · · · (20)

従来研究のオブザーバと異なり，本論文のオブザーバには

K := diag{Kξ , Kc , Ke }目標相対位置姿勢 gd が影響せず，推定部分に制御部分が直接影響していないことがわかる。

ただし，ゲインにおける各要素はすべて正とする。このとこのように制御則を提案できるのは，動的視覚フィード

き安定性に関してつぎの定理が導かれる。

バックシステム (17) の入力に対する行列が対角行列になっ〔定理 1〕 w = 0 のとき，動的視覚フィードバックシステているためであり，構成した動的視覚フィードバックシス

ム (17) と (20) 式の入力で構成される閉ループ系の平衡

テムの偏差系において，推定と制御の構造を分離している

点 x = 0 は漸近安定である。

ためと解釈できる。そのために，制御偏差システムや推定

証明 : (19) 式のエネルギー関数を Lyapunov 関数候補と偏差システムで制御則を個別に設計したとしても，全体のし，解軌道に沿って時間微分を行うと，提案した (20) 式のシステムを安定化させる制御則となる。したがって，動的制御則 uk を用いることで，視覚フィードバックシステムを再構築していることも本研究の貢献の一つである。

V̇ = uT ν = −xT N T KN x· · · · · · · · · · · · · · · · · · (21)

次節では本節で構成した動的視覚フィードバックシステ
ムに対して，最適理論に基づいた安定化モデル予測制御則が導かれる。行列 K が正定であり，N が正則であるため，システムの平衡点 x = 0 は漸近安定となる。
ここで従来研究の制御則(6)2を提案する。

との比較を行う。Fig. 3 の

3. 安定化予測ビジュアルフィードバック制御

左図に本論文で提案した制御則，右図に従来研究で提案した制御則のブロック図を示す。文献 (6) の推定偏差に対す

本節は，視覚フィードバック制御とモデル予測制御を結る制御則 ue = Ke (ee − AdTe ) は，ec で定義された(eξ̂θec ) c

びつけることで，最適理論に基づいた安定化予測ビジュア

制御偏差が推定入力に干渉してしまうために，制御偏差 ec

ルフィードバック制御について述べる。視覚情報は現在の4

IEEJ Trans. EIS, Vol.125, No.1, 2005

固定カメラシステムに対する安定化予測ビジュアルフィードバック制御

瞬間的な情報以外にも多くの情報を含んでいる。この特性証明 : エネルギー関数をシステムの解軌道に沿って時間微を利用することで観測対象の動きを予測できるなら，より分した (21) 式と，(23) 式の正定な関数 l(x(t), u(t))，さら

有益な制御手法となると考えられる。本論文では安定化予に K = ρ2 R−1 とした (20) 式の安定化制御則 uk を用いる

測ビジュアルフィードバック制御として，前節で提案したことにより，(26) 式の左辺はつぎのように変形される。

視覚フィードバックシステムに対し，最適制御理論から発inf [Ṡ(x) + l(x, u)]

展したモデル予測制御則を提案する。
〈3・1〉 Control Lyapunov 関数u= inf ρV̇ + qξ ξ2 + Eqc (gec ) + Eqe (gee ) + uT Ru
u = inf ρxT N T u+qξ ξ2 +Eqc (gec )+Eqe (gee )+uT Ru
u 

T 

ρ
ρ
= inf u + R−1 N x R u + R−1 N xu22ρ2 T T −1
2− x N R N x + qξ ξ + Eqc (gec ) + Eqe (gee )4
ρ2 T −1= − x R x + qξ ξ2 + qpc pec 2
4+qRc φ(eξ̂θec ) + qpe pee 2 + qRe φ(eξ̂θee )ρ2≤ − xT R−1 x + qξ ξ2 + qpc pec 2
4+qRceTR (eξ̂θec ) +qpe pee 2 + qRe eTR (eξ̂θee )
ρ2 −1
R − Q x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (28)= −xT
4

本節では，はじめに視覚フィードバックシステム (17) に対するモデル予測
制御の問題設定について述べる。視覚フィードバックシス
テム (17) に対し，ある時刻 t のとき，状態 x(t) = x0 ，入力 u(τ, x(τ )), τ ∈ [t, t + T ] に関してつぎの評価関数を最小化する有限時間区間の最適制御問題を考える。
t+T

J(x0 , u, T )=l(x(τ ), u(τ ))dτ +F (x(t + T )) (22)tl(x(t), u(t))=qξ (t)ξ(t)2 +Eqc (gec (t))+Eqe (gee (t))+uT (t)R(t)u(t) · · · · · · · · · · · · · · · · · · (23)F (x)=ρV (x) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (24)qξ (t)≥0, qpi (t)≥0, qRi (t)≥0, R(t) > 0, ρ > 0ξ̂θ
この計算過程において，θ≤ π2 のとき φ(eξ̂θ )≤eT
R (e )

ただし，R(t) は対角行列とし，Eqi (gei (t)) :=22ξ̂θei (t)となる関係を用いている。ρ2 I≥4QR のときに ρ4 R−1 −qpi (t)pei (t) + qRi (t)φ(e), i = c, e である。初期
状態 x0 に対して，この評価関数を計算することにより求められる最適な入力を u∗ (τ, x(τ )), τ ∈ [t, t + T ] と表す。
モデル予測制御では，初めのサンプリング周期である δ [s]だけシステムに u∗ (τ, x(τ )) を加える。そして δ [s] 後には，その時刻を改めて t とし直し，再び最適制御問題を解く。

Q≥0 となることから，inf u [Ṡ(x) + l(x, u)]≤0 が満たされ，(26) 式の Control Lyapunov 関数の定義式より，エネル
ギー関数 ρV (x) は Control Lyapunov 関数とみなすことができる。
2
この補題 2 は，補題 1 の受動性の性質を用いたものとなっており，ある条件の下で視覚フィードバックシステム (17)のエネルギー関数 ρV (x) を Control Lyapunov 関数とみすなわち，モデル予測制御は

uRH := u∗ (δ, x0 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (25)

なせることが示された。
〈3・2〉 3 次元動的視覚フィードバックシステムに対するという入力を，時刻を進めながら繰り返し加えていくこと
になる

(8)

安定化モデル予測制御。

評価関数の終端コスト ρV (x) が本論文では，視覚フィードバックシステム (17) との閉

Control Lyapunov 関数であることを利用し，視覚フィー

ループ系を安定化させるモデル予測制御則を提案する。そドバックシステムに対するモデル予測制御の安定性に関し

こで，安定性に深く関係する Control Lyapunov 関数の定てつぎの定理を示す。

義を示す。

〔定理 2〕 固定カメラ構造の 3 次元動的視覚フィードバ〔定義 1〕 l(x, u) を正定な関数とし，微分可能な正定関数

ックシステム (17) に対して (22)〜(24) 式の評価関数を考える。外乱がなく (w = 0)，θec ≤ π2 ，θee ≤ π2 ，S(x) が以下の条件式を満たすとき，S(x) は Control
Lyapunov 関数である (8) 。
inf [Ṡ(x) + l(x, u)] ≤ 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (26)

ρ2 I≥4QR であるならば，視覚フィードバックシステム(17) と，評価関数 (22)〜(24) に対して解かれるモデル予
測制御則 (25) で構成される閉ループ系の平衡点 x = 0

uControl Lyapunov 関数について，係数 qξ , qpc , qRc ,qpe , qRe ∈ R と重み行列 Q := diag{qξ In , qpc I3 , qRc I3 ,qpe I3 , qRe I3 } を用いることで，つぎの補題が示される。
〔補題 2〕 外乱がなく (w = 0)，θec ≤ π2 ，θee ≤ π2 であり，さらに設計パラメータ ρ に関して以下の不等式を満は漸近安定である。
証明 : 区間 [t + δ, t + T + δ] での準最適な入力として次式
を考える。


ũ =

たすように設計する。

τ ∈ [t+δ, t+T ]u∗ (τ )(29)ρ −1
uk (τ )=− 2 R N x τ ∈ [t+T, t+T +δ]ρ2 I≥4QR· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (27)
このとき，3 次元動的視覚フィードバックシステム (17)のエネルギー関数 ρV (x) は Control Lyapunov 関数と

ただし，区間 [t + T, t + T + δ] の入力 uk は K = ρ2 R−1なる。

ある。この入力 ũ に対する評価関数は電学論 C，125 巻 1 号，2005 年とした視覚フィードバックシステムの安定化制御則 (20) で

5zc

J(x∗ (t + δ), ũ, T )= J(x(t), u∗ , T ) + ρ[V (x(t + T + δ)) − V (x∗ (t + T ))]t+δ−l(x∗ (τ ), u∗ )dτ +tt+T +δ

Hand
Frame

5c

xh zh
xc
yc 5h
yh
Cameral(x∗ (τ + T ), uk )dτt+T· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (30)となる。ここで x∗ は最適な状態を表している。さらにJ(x∗ (t + δ), u∗ , T ) ≤ J(x∗ (t + δ), ũ, T ) より，−l(x∗ (τ ), u∗ )dτ +tt+T +δ

xw

5w
yw

World Frame

Frame

zo 5

J(x∗ (t + δ), u∗ , T ) − J(x∗ (t), u∗ , T )≤ ρ[V (x(t + T + δ)) − V (x∗ (t + T ))]
t+δ

zw

xo

l(x∗ (τ + T ), uk )dτt+T· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (31)oyo Object Frame

Fig. 5. Coordinated frames for 3D dynamic
visual feedback systems with 2DOF
manipulatorと計算できる。(23) 式のステージコスト l(x(t), u(t)) と(29) 式における安定化制御則 uk を用い，さらに両辺を δ
で割り，δ → 0 の極限をとることで，(31) 式はつぎのように変形される。

J(x∗ (t + δ), u∗ , T ) − J(x∗ (t), u∗ , T )
lim
δ→0
δ
ρ2 ∗T
T −1
≤ − x (t + T )N R N x∗ (t + T ) − x∗T (t)Qx∗ (t)4∗(t + T ))−u∗T Ru∗ + qξ ξ ∗ (t + T )2 + Eqc (gec∗
+Eqe (gee (t + T
))
 2

ρ −1
∗T
R − Q x∗ (t + T )≤ − x (t + T )4−x∗T (t)Qx∗ (t) − u∗T Ru∗ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (32)

すくなっている。さらに，推定偏差を予測しているので，カはじめの δ [s] は uRH = u∗ であり，さらに ρ2 I≥4QR と本論文では 3 次元の動的視覚フィードバック制御則を提メラから観測対象の相対位置姿勢の推定値を間接的に予測していることになり，本システムはオブザーバにもモデル予測制御を適用していると捉えることができる。
本節では，視覚フィードバック制御とモデル予測制御を結びつけた予測ビジュアルフィードバック制御の安定性について述べた。

4. 検証実験∗

いう条件式により，J(x (t), uRH , T ) の微分値は負定とな案したが，簡単のために Fig. 5 で示す水平 2 自由度マニる。したがって，J(x∗ (t), uRH , T ) を Lyapunov 関数とみピュレータを用いて位置姿勢に対する制御則の検証を行っなすことで，閉ループ系の平衡点 x = 0 の漸近安定性が示た。はじめにシミュレーションにて，観測対象が静止して2いる状況で，閉ループ系の安定性の検証と，受動性に基づ

定理 2 により，終端コストに Control Lyapunov 関数をく制御則 uk との性能比較，また予測ホライズン T と終端される。

用いることで，比較的高速で高い非線形性を有する 3 次元

コスト重み ρ を変化させた場合のコストの比較を行う。さ動的視覚フィードバックシステム (17) に対するモデル予測

らに SICE-DD アーム (17) を用いた実システムによる検証

制御の安定性が証明された。モデル予測制御が最適制御理

実験で，観測対象が運動している場合の実験結果を示す。

論を発展させた理論であるということに注目すると，評価〈4・1〉 シミュレーション設定

関数のパラメータを適切なものに選ぶことで，望まれる制象が静止している状況で安定性解析に対するシミュレー

御性能を陽に得られると考えられる。本論文では，2 章にション検証を行う。それぞれの初期設定は q1 (0) = π/4

おいて視覚フィードバックシステムを再構成したことによ

制御則となっている点から，適用範囲は格段に広がると考[rad]，q2 (0) = π/12 [rad]，pwc = [0.4732 0.1 0.1]T [m]，ξθwc = [0 0 0]T [rad]，pwo = [0.3986 0 − 0.9]T [m]，ξθwo = [0 0 − 0.5087]T [rad] とする。また目標位置姿勢
は時不変とし pd = [0 0 − 0.9]T [m]，ξθd = [0 0 0]T [rad]とした。初期状態 x(0) は ξ(0) = [0 0]T [rad/s]，pec (0) =[−0.294 − 0.293 0]T [m]，ξθec (0) = [0 0 − 1.556]T [rad]，pee (0) = [0 − 0.004 0]T [m]，ξθee (0) = [0 0 − 0.015]T[rad] となっている。

えられる。また，扱っている問題が異なるために一概にはさらに，本シミュレーションにおける評価関数の重みは以比較できないが，文献 (10) や文献 (14) の安定性の条件式

下のように設定した。qξ = 0.001，qpc = 0.1，qRc = 0.05，に比べ本手法で課している条件式は非常に単純であり，評

qpe = 0.3，qRe = 0.1，R = diag{0.1, 3.2, 0.7, 2, 2, 1, 1, 2,
0.3, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3}。また，ρ2 I≥4QR という条件式

り，それぞれの重みのチューニングがより容易になっている。また，回転行列の誤差関数 φ(eξ̂θ ) をステージコスト(23) に直接用いたことも特徴となっている。
さらに文献 (14) と異なり，平面マニピュレータに限定されず，位置に加えて姿勢も考慮でき，四つの座標系を有す
る固定カメラ構造の視覚フィードバックシステムに対する価関数の重みや終端コストに対するパラメータが設計しや
6

本論文では，観測対

IEEJ Trans. EIS, Vol.125, No.1, 2005

固定カメラシステムに対する安定化予測ビジュアルフィードバック制御
5perx [m]

0.1
0

-0.3
0
0.1
0

2

pery [m]

3

1

-0.3
0
0.5

0
0

1

time [s]2NGerz [rad]|| x ||

4

3

1

2

3

1

2

3

2

3

0

-1

0

1

time [s]Fig. 6. Norm of the stateFig. 7. Actual control error (Solid: stabilizing
receding control law, Dashed: passivity based
control law)を満たすように ρ = 1 とし，uRH をリアルタイムで求めるための最適化ソフトウェアは C/GMRES (19) を用いた。

Table 1. Values of the integral cost with thesimulation results

制御入力は 1 [ms] 毎に更新され，その間に uRH は計算されなければならない。予測ホライズンの長さは T = 0.02

Control Scheme[s] と設定した。
Fig. 6 に予測ビジュア〈4・2〉 シミュレーション結果
ルフィードバック制御則 uRH を視覚フィードバックシス
テムに適用した場合の，状態 x のユークリッドノルム xを示す。Fig. 6 より，定常状態において平衡点 x = 0 に収

cost

Passivity based Control

3502

Receding Horizon Control (T = 0.02 [s], ρ = 1)

320

Receding Horizon Control (T = 0.02 [s], ρ = 2)

732

Receding Horizon Control (T = 0.02 [s], ρ = 5)3152

Receding Horizon Control (T = 0.2 [s], ρ = 1)

301

Receding Horizon Control (T = 0.5 [s], ρ = 1)

256

束していることが確認される。したがって，予測ビジュア
ルフィードバック制御則 uRH の漸近安定性が示された。

I

つぎに，受動性に基づく制御則 uk との性能比較を行っ

l(x(τ ), u(τ ))dτ · · · · · · · · · · · · · · · · · (33)

Cost =た。ただし，両入力ともモータへの入力電圧が ±3 [V] を超0

えないように設計した。受動性に基づく制御則のゲインは

積分区間は I = 3 とした。評価関数のパラメータを適切な経験的に K = diag{10, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1} とものに選んだモデル予測制御を用いたときのコストが受動した。Fig. 7 に二つの制御手法を比較したシミュレーショ

性に基づく制御則を適用させたときのコストに比べて小さン結果を示す。Fig. 7 で示している偏差は，gho と gd のいことから，コストの面において制御性能が向上しているT ξ̂θer T間の実際の偏差ベクトルである er := [pT)] を
er eR (eことが確認できる。また，終端コストの重み ρ の値を 1 か図示したシミュレーション結果である。上から 3 次元空間

ら 5 に増加させると，コストもそれに伴い大きくなった。

での x，y 軸の位置偏差と z 軸周りの回転偏差を示す。図これは終端コストを大きくすると，より大きな入力を用い中の実線が予測ビジュアルフィードバック制御則 uRH ，破てより厳しく状態を収束させるためである。一方，ホライ

線が受動性に基づく制御則 uk を表している。Fig. 7 におズン T の長さを 0.2 [s] から 0.5 [s] にすると，コストは減

いて，両方の制御手法の定常状態における偏差が，ともに少する。これはより未来の状態を考慮し，コストが最小に0 になっているのがわかる。また，過渡応答に注目すると，
予測ビジュアルフィードバック制御則 uRH のほうが受動性に基づく制御則 uk に比べて立上り時間が短いことがわなるように，入力が計算されているためである。但し，コかる。これは視覚情報によってカメラと観測対象の相対位だけ大きくなるようにホライズン T を短くする方が僅かストの面ではホライズン T を長くする方が良かったが，状態と入力にはトレードオフが発生するので，入力ができる

置姿勢を予測し，結果として偏差がより早く収束するようだが応答は良かった。また，T = 1 [s] 以上にホライズンにマニピュレータを制御した結果であると捉えられる。この長さを設定するとサンプリング時間内に制御入力を計算

れが視覚フィードバックシステムにモデル予測制御を適用することができなくなった。

する上で, 期待される利点の一つである。

〈4・3〉 実験設定

本論文では，観測対象が運動した場

最後に，予測ホライズン T と終端コスト重み ρ を変化さ合の実験結果を示す。実験環境の詳細については文献 (20)せた場合のコストの違いに対して，以下の式で計算し，その検証実験とほぼ同じであるので詳細は省略するが，Fig. 5の結果を Table 1 に示す。

のようにマニピュレータは一台だけ用いて, カメラは固定

電学論 C，125 巻 1 号，2005 年

7

0.25

0.25

0.05

0.05

pwhy [m]yo [m]

yo [m]

0.158

0.156

-0.15

0.2

0.6

0.4
xo [m]-0.15

0.4
xo [m]

0.2( 0 < t < 0.85 [s] )0.6( 2.15 < t < 3.4 [s] )Fig. 8. Trajectory of the target object

0.154
3.5

pwhx [m]

0.49

0.45
pwhy [m]

0.3

0

1

2

3

4

NGwhz [rad]0.4

5Table 2. Values of the integral cost with theexperimental results
Control Scheme

0

1

2

3

4

5

0

-0.4

3.6

Fig. 10. Horizontal rigid body motion pwhy
(Solid: actual value, Dashed: receding horizonreference trajectory)

0.1

-0.1

3.55

time [s]01

2time [s]

3

4

cost

Passivity based Control

128.9

Receding Horizon Control (T = 0.0056 [s], ρ = 1)

88.8

Receding Horizon Control (T = 0.0112 [s], ρ = 1)

80.4

Receding Horizon Control (T = 0.028 [s], ρ = 1)

65.8

Receding Horizon Control (T = 0.056 [s], ρ = 1)

64.7

5

Fig. 9 より，マニピュレータの手先が観測対象に追従しFig. 9. Rigid body motion gwh (Solid: actual
value, Dashed: target object’s value)ていることがわかる。Fig. 9 において，観測対象が静止したときに，シミュレーションと異なり定常偏差が少し残ってしまっているが，それは摩擦の影響によるものだと考えされているものとする。 また，マニピュレータに対するサられる。ただし，微小ではあるがこの定常偏差はホライズ

ンプリング周期は 5.6 [ms] である。観測対象のトラジェ

ンが長い方がより小さくなった。また，Fig. 10 より実際のクトリーを Fig. 8 に示す。観測対象は一定時間動いた後，gwh の値と予測したトラジェクトリーが異なっていること

0.85 [s] から 2.15 [s] まで一度静止し，その後逆方向に再がわかる。ここに示されているグラフは，特に観測対象がび動き出すものとした。マニピュレータの角度の初期設定

静止した直後のグラフの拡大図であり，観測対象がそれまは q1 (0) = π/6 [rad]，q2 (0) = −π/6 [rad] とする。またでの挙動と異なる動きをしたとしても，予測し直すことでカメラ位置と目標位置姿勢はシミュレーションと同じとし，追従できていることが表れている。
最後に，予測ホライズン T を変化させた場合のコスト

初期状態では偏差は 0 とする。
さらに，本実験における評価関数の重み，各パラメータはを Table 2 に示す。コストは (33) 式で計算し，積分区間は

以下のように設定した。qξ = 0.1，qpc = 3，qRc = 1，qpe =I = 5 とした。シミュレーションのときと同様に，ホライズン T の長さを 0.0056 [s] から 0.056 [s] にすると，コストは減少する。しかし，T = 0.056 [s] 以上にホライズンの

30，qRe = 10，R = diag{0.1, 0.5, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05,
0.05, 0.008, 0.008, 0.008, 0.01, 0.01, 0.01}，ρ = 1，T =11.2 [ms]。制御入力のサンプリング時間は 5.6 [ms] とした。
Fig. 9 に実験結果を示す。Fig. 9〈4・4〉 実験結果

長さを設定すると実時間で制御入力を計算することができなくなり，制御則を適用できなかった。

で示しているグラフは，基準座標系からみた手先の位置姿

本節では，シミュレーションと実験結果から予測ビジュ

勢 gwh を表しており，上から 3 次元空間での x，y 軸のアルフィードバック制御則 uRH の有効性が検証できた。今

位置と z 軸周りの姿勢を示す。図中の実線が予測ビジュア

後，計算機の計算能力が向上することにより，さらなる性

ルフィードバック制御則 uRH ，破線が観測対象の位置姿勢能の向上が期待される。

を表している。また，Fig. 10 に手先の位置姿勢 gwh の y

5. おわりに

軸方向の一部分のグラフを示す。図中の実線が実際の状態，
破線が予測トラジェクトリーである。

本論文では安定化予測ビジュアルフィードバック制御と8

IEEJ Trans. EIS, Vol.125, No.1, 2005

固定カメラシステムに対する安定化予測ビジュアルフィードバック制御

して，比較的高速で非線形性の強い固定カメラ構造の 3 次(2005)（13） F. Lange and G. Hirzinger: “Predictive Visual Tracking ofLines by Industrial Robots”, The International Journal of
Robotics Research, Vol. 22, No. 10–11, pp. 889–903 (2003)（14） M. Fujita, T. Murao, Y. Kawai and Y. Nakaso: “An Experimental Study of Stabilizing Receding Horizon Control of
Visual Feedback System with Planar Manipulators,” In:R.
Findeisen, F. Allgöwer and L. Biegler (Eds.), Assessment
and Future Directions of Nonlinear Model Predictive Control, Springer-Verlag, pp. 573–580 (2007)（15） R. Murray, Z. Li and S. S. Sastry: A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press (1994)（16） M. Fujita, H. Kawai and M. W. Spong: “Passivity-based Dynamic Visual Feedback Control for Three Dimensional Target
Tracking:Stability and L2 -gain Performance Analysis”, IEEE
Trans. Control Systems Technology, Vol. 15, No. 1, pp. 40–
52 (2007)（17） H. Kobayashi et al.: Practical Control of Robot Manipulators, Corona Publishing Co., Ltd. (1997) (in Japanese)
小林尚登 ほか：ロボット制御の実際, コロナ社 (1997)（18） F. Bullo and A. D. Lewis: Geometric Control of Mechanical
Systems, Springer-Verlag (2004)（19） T. Ohtsuka: “A Continuation/GMRES Method for Fast
Computation of Nonlinear Receding Horizon Control”, Automatica, Vol. 40, No. 4, pp. 563–574 (2004)（20） T. Murao, H. Kawai and M. Fujita: “Passivity-based Control
of Dynamic Visual Feedback Systems with Movable Camera
Conﬁguration”, IEEJ Trans. Electronics, Information and
Systems, Vol. 128, No. 2, pp. 286–294 (2008) (in Japanese)
村尾俊幸, 河合宏之, 藤田政之: “受動性に基づく可動カメラ構造の3 次元動的視覚フィードバック制御”, 電気学会論文誌 C, Vol. 128,
No. 2, pp. 286–294 (2008) (in Japanese)

元動的視覚フィードバックシステムに対する安定化モデル
予測制御則を提案した。はじめに，オブザーバが制御タスクに影響されないように動的視覚フィードバックシステムを再構成した。そして，システムのエネルギー関数を Control

Lyapunov 関数とみなせることを示し，終端コストにおくことで，モデル予測制御の安定性を示した。最後にシミュレーションと検証実験により，提案した制御則の安定性を検証し，制御則の有効性を示した。本論文の安定化予測ビ
ジュアルフィードバック制御は文献 (20) で示した， 可動
カメラ構造の動的視覚フィードバックシステムへも拡張可能である。
（平成 7 年 7 月 20 日受付，平成 15 年 1 月 14 日再受付）

文献（ 1 ） F. Chaumette and S. Hutchinson: “Visual Servo Control,
Part I: Basic Approaches”, IEEE Robotics & Automation
Magazine, Vol. 13, No. 4, pp. 82–90 (2006)（ 2 ） F. Chaumette and S. Hutchinson: “Visual Servo Control,
Part II: Advanced Approaches”, IEEE Robotics & Automation Magazine, Vol. 14, No. 1, pp. 109–117 (2007)（ 3 ） K. Omote et al.: “Self-Guided Robotic Camera Control for
Laparoscopic Surgery Compared with Human Camera Control”, The American Journal of Surgery, Vol. 177, No. 4,
pp. 321–324 (1999)（ 4 ） A. Krupa and F. Chaumette: “Control of an UltrasoundProbe by Adaptive Visual Servoing”, Proc. of the 2005
IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots
and Systems, pp. 2007–2012 (2005)（ 5 ） S. Yu and B. J. Nelson: “Autonomous injection of biological cells using visual servoing”, In:D. Rus and S. Singh(Eds.), Experimental Robotics VII, Springer-Verlag, pp. 169–
178 (2001)（ 6 ） H. Kawai, T. Azuma and M. Fujita: “Passivity-based 3D
Dynamic Visual Feedback Control with a Fixed Camera”,
Trans. the Institute of Systems, Control and Information
Engineers, Vol. 18, No. 4, pp. 127–135 (2005) (in Japanese)
河合宏之, 村尾俊幸, 東 剛人, 藤田政之: “受動性に基づく 3 次元動的視覚フィードバック制御の固定カメラ構造への展開”, システム制
御情報学会論文誌, Vol. 18, No. 4, pp. 127–135 (2005)（ 7 ） D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, C. V. Rao and P. O. M.
Scokaert: “Constrained Model Predictive Control: Stability
and Optimality”, Automatica, Vol. 36, No. 6, pp. 789–814(2000)（ 8 ） A. Jadbabaie, J. Yu and J. Hauser:“Unconstrained
Receding-Horizon Control of Nonlinear Systems”, IEEE
Trans. Automatic Control, Vol. 46, No. 5, pp. 776–783 (2001)（ 9 ） M. B. Milam, R. Franz, J. E. Hauser and R.M. Murray: “Receding Horizon Control of Vectored Thrust Flight Experiment”, IEE Proc. Control Theory & Applications, Vol. 152,
No. 3, pp. 340–348 (2005)（10） Y. Kawai, Y. Nakaso, S. Mimoto and M. Fujita: “Experiments on Stabilizing Receding Horizon Control of a Direct
Drive Manipulator”, IEEJ Trans. Electronics, Informationand Systems, Vol. 127-C, No. 5, pp. 748–754 (2007) (inJapanese)
河合康典, 中曽裕次郎, 見本真一郎, 藤田政之: “安定化モデル予測制御を用いたロボットマニピュレータの制御に関する実験的考察”,
電気学会論文誌 C, Vol. 127, No. 5, pp. 748–754 (2007)（11） A. E. Hunt and A. C. Sanderson: “Vision-based Predictive
Robotic Tracking of a Moving Target”, Technical Report,
Carnegie Mellon University (1982)（12） R. Ginhoux, J. Gangloﬀ, M. de Mathelin, L. Soler, M. M. A.
Sanchez and J. Marescaux: “Active Filtering of Physiological Motion in Robotized Surgery using Predictive Control”,
IEEE Transactions on Robotics, Vol. 21, No. 1, pp. 67–79

電学論 C，125 巻 1 号，2005 年

村

尾

俊

幸 （正員） 2003 年金沢大学工学部電気・情報工学科卒業。2005 年金沢大学大学院博士前期課程修了，同年金沢大学大学院博士後期課程入学，同年東京工業大学大学院博士後期課程転入学。2006 年産
業技術大学院大学研究員，2007 年同助教。視覚フィードバック制御に関する研究に従事。計測自動制御学会，システム制御情報学会，IEEE など
の会員。

河

合

宏

之 （非会員） 1999 年金沢大学工学部電気・情報工学科卒業。2001 年金沢大学大学院博士前期課程修了，2004 年金沢大学大学院博士後期課程修了，同年法政大学情報技術 (IT) 研究センターポストド
クター，2005 年金沢工業大学講師。視覚フィード
バック制御に関する研究に従事。博士（工学）。計
測自動制御学会，システム制御情報学会， IEEE
の会員。

藤

田

政

之 （非会員） 1984 年早稲田大学大学院理工学研究科博士前期課程修了（電気工学専攻），1985 年同
博士後期課程中退。同年金沢大学工学部助手。同講師，助教授を経て，1992 年北陸先端科学技術
大学院大学情報科学研究科助教授。1999 年金沢大学工学部教授。2005 年東京工業大学大学院理工学研究科教授。ロバスト制御とその応用に関する研究に従事。工学博士。計測自動制御学会，システム制御情報学会，IEEE などの会員。

9