2018/5/9

児童が発展的に考えることを支援する
授業モデルの開発と実践
佐藤 学

重松 敬一

赤井 利行

秋田大学

奈良教育大学（名誉教授）

大阪総合保育大学

杜 威

新木 伸次

椎名 美穂子

秋田大学

国士舘大学

秋田県総合教育センター

全国数学教育学会 第46回研究発表会
平成29年6月24日（土）17:05～17:30

滋賀大学教育学部

１．研究の目的と経緯

1

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本研究の経緯 「発展的に考えること」の指導に関する教師の意識調査を実施したところ，発展的に考えることの理解が不十分であること，指導法が確立されてないことが明らかになった。
→中島（1982），清水（2006），Dörfler（1991）らをもとに，「構造的発展」と「発見的発展」から捉えることとした。
＊佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017）「数学教育における教材開発の研究V－発展的に考える授業の展開を視点にした小学校算数第6学年『扇形の面積』の考察－」，秋田大学教育文化学部研究紀要・教育科学，第72巻，ｐｐ．33－59

本発表における研究の目的

 児童が発展的に考えることを支援する授業
モデルの開発 児童が発展的に考えることを支援する授業の実現に向けて，多くの教師が使用するであろう教科書の問題等を使った授業実践の実施と，授業モデルの実現に有効な要素の解明

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平成29年告示学習指導要領との関連1
 具体的目標＜小学校算数＞(2) 日常の事象を数理的に捉え見通しをもち筋道を立てて考察する力，
基礎的・基本的な数量や図形の性質などを見いだし統合的・発展的に考察する力，数学的な表現を用いて事象を簡潔・明瞭・的確に表したり目的に応じて柔軟に表したりする力を養う。
＜中学校数学＞(2) 数学を活用して事象を論理的に考察する力，数量や図形などの性質を見いだし統合的・発展的に考察する力，数学的な表現を用いて事象を簡潔・明瞭・的確に表現する力を養う。
＊文部科学省（2017a）「小学校学習指導要領」＊文部科学省（2017b）「中学校学習指導要領」

平成29年告示学習指導要領との関連2
 数学的活動＜小学校算数の例（第１学年）＞(1) 内容の「Ａ数と計算」，「Ｂ図形」，「Ｃ変化と関係」及び「Ｄデータの活用」に示す学習については，次のような数学的活動に取り組むものとする。
イ 算数の学習場面から算数の問題を見いだして解決し，結果を確かめたり，発展的に考察したりする活動＜中学校数学の例（第１学年）＞(1) 「Ａ数と式」，「Ｂ図形」，「Ｃ関数」及び「Ｄデータの活用」の学習やそれらを相互に関連付けた学習において，次のような数学的活動に取り組むものとする。
イ 数学の事象から問題を見いだし解決したり，解決の過程や結果を振り返って統合的・発展的に考察したりする活動＊文部科学省（2017a）「小学校学習指導要領」＊文部科学省（2017b）「中学校学習指導要領」

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平成29年告示学習指導要領との関連3
 数学的な見方・考え方の説明（小学校解説）
算数科の学習における「数学的な見方・考え方」について
は「事象を数量や図形及びそれらの関係などに着目して捉え，根拠を基に筋道を立てて考え，統合的・発展的に考えること」であると考えられる。

＊文部科学省（2017c）「小学校学習指導要領解説算数編」

２．児童が発展的に考えることを支援する授業モデルの開発

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発展的に考えることを捉える枠組み
構造的発展

発見的発展

構造化に向けて新しく

構造的な発展のきっか

見出した概念や性質をよけを生み出す，当面の問り広い立場にも適用しよう 題（狭義の意味）から次のとすることの「統合」の働き 問題（狭義の意味）へと発と，その構造化に向けた見的な気付きの過程。

「簡潔・明瞭・的確」と「一般化」の働き。
＊佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017）「発展的に考える授業展開の研究―発見的発展の視点―」，東北数学
教育学会年報第48号，ｐｐ．34－44 を一部修正。

発展的に考えることに関連した実践事例の分析1
 授業者が発展的に考えることを意図した授業実践の観察とその分析•

小学校第2学年「箱の形」（第4時／全6時間）（秋田県公立小，2016.2）•

小学校第５学年「小数の除法」（第1時／全14時間）（秋田県公立小，2016.6）•

小学校第６学年「円の面積」（第8時／全9時間）（秋田県国立小，2016.9）•

小学校第2学年「乗法九九の構成(2)」（第７時／全17時間）（広島県公立小，2016.10）

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発展的に考えることに関連した実践事例の分析2
 授業者が発展的に考えることを意図した先行実践
記録の分析•

小学校第１学年「10より大きい数」（第7時／全7時間）（福岡県公立小，2003）•

小学校第３学年「かけ算のきまり」（第6時／全6時間）（埼玉県公立小，2017）•

小学校第５学年「変わり方のきまり」（第2時／全2時間）（埼玉県公立小，2007）

実践事例の分析から抽出された要素1
 多くの実践において，当面の問題（狭義の意味）か
ら次の問題（狭義の意味）へと発見的な気付きをする発見的発展の状況を繰り返しながら，少しずつ構造化が進む。
 「困難」な場面を経験することにより，「統合」や「簡潔・明瞭・的確」，「一般化」が働き，認知的理解を確かにし，構造的発展の状況に達する。

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実践事例の分析から抽出された要素2
 構造的発展の状況から，さらに，発展的に考えを進める展
開の実践は少ない。さらに，発展的に考えを進める展開の実践であっても，そのきっかけは教師による問題の提示によるため，学習者が発展的に考えを進めようとしたものとは認め難い。また，さらに発展的に考えるための時間を保障することも難しい。
 その一方で，学習者の発見的発展の構えや構造的発展の構えを形成したり，発見的発展から構造的発展へと展開する過程における気付きを促すことや顕在化することにおいて，教師の口癖や態度癖の働きに注目する必要がある。

発展的に考えることを支援する授業のイメージ

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iQed法の援用による授業モデルの開発
 「数学の学びの方法の習得の上に，学習対象への教師の『問い』による生徒の『問い』の内面化（自覚的学び）とメタ認知の働きによって問題解決や問題設定のプロセスを持つ（吉岡・重松，2015）」の考えから，教師の関わりと生徒の学力の変容を図式化したiQed法を発展的に考えることを支援する授業モデルに援用。
＊吉岡睦美・重松敬一（2015）「中学校数学の学力変容過程の実践的研究―振り返りシート等の記述の変容の分析を通して―」，奈良教育大学紀要，第64巻，第１号，ｐｐ．103－118。
＊吉岡睦美（2016）「中学校数学の学びの方法の学習指導の実践的研究２」，第４９回秋期研究大会発表集録，日本数学教育学会，p.524

アイケッド

iQed法の援用による授業モデルの開発
児童の行為
の変容

E xp lo r at io n

D e sc r ip t ion

内な る 問 い

自 分 な りの 探 究

記述対話

自 分 の 素 朴 な考 え の客観化
個 人 の パ ブリ ックな まとめ

自 分 の 考 え の 比較
各 自 の ま とめ に よ る 読
み解き

発展の状況
考え

C o m m u n ic a t io n

In n er Q u e stio n

素朴な 気づき児 童 の 解決 の 立 場 の設定
素 朴 な気 づき の 交 流
興 味 ・関 心 の 広 が り

自 分 の 考 え の 表 現 ・説
明と修正的記述
各 自 の ま とめ の 精 錬

各 自の ま とめ の 客 観
化
数 学と して の 考 えの 整
理有 用性 の 自 覚 /新 しい発見

統 合 ・発展
自 分 の 考 えの 確 立
各 自 の 新 たな 気 づ き
自己の変容

新 たな 問 い

関係的理解

説 明的 理 解自 分 での 活 用 的 理 解
深 い 学 び （ 溝 上 2 0 15 ）関 係 づけるなど 構 造 化 できる
活 用 でき る
関 係 的 に説 明 でき る

構造的発展

困難

素 朴 な気 づき の 記 述
メ モ的 な 個人 の 下 書 き

N e w Qu e st io n

振 り返 り発見的発展
場 面 /問 題 と の出 会 い

R efle c tio n
伝え合い

具体的
な様相

知識
児
童
の
変
容

メ
タ
認
知
的
知
識
の
例

教
師
の
関
わ
り

経験的知識

数学の
深まり

自
己
課
題

方
略

モ デル ａ１ ．何 に 目 を つけ
プ レー ト る ？
ａ ２ ． 何 （何 と 何 ） を調
べる？

個人的知識

修 正 さ れ た個 人 的 知 識

自分の知識

個 別 的 理解自 分 での 関 係 的 理 解

新 し い や り 方 ・考 え 方が あ る か 知 りたい です（方 略 ）

自 分 の 考 えを 持 つことは大切だ

書 き 言 葉 で自 分 はは っき りす る

他 の 人 の 考 え を聞 い た ら よ く わ か る

きち ん と 意 味 が 分 か って 良 か っ た （自 己 ）発 展 的 に考 えること は 大 切 だ

今 まで 知 っていることと ど こ が 違 うか な

自 分 の 考 えが 大 切 だ

書 き 言 葉 で課 題 を 整
理 して み よ う

い ろ い ろ な 考 え 方 が あ る こ と が わ か り ま し た （課題）

新 しい 意 味 とな っ た

他 に も知 りた い と 思 い まし た
（課 題 ）

今 まで 知 っていることと ど こ が 違 うか 考 え て
み ようで な け れ ば ど うか な / で
あ れ ば ど うか な と 自 分の 考 えを もと う

ノートに話 し てみ よう

し っ か り聞 い て 、自 分 の 考 えと比 較 し て、検 討 する
わ か っ た こ とを 試 して み る

図 をか い た り 表 を か いたり す る と、規 則 性 が見 えて きま した （方 略 ）発 展 的 に い ろ い ろ と考 え てみる こ とが 大 切

ｂ１ ．何 か気 付 い た？
ｂ３ ．考 えて み たい こ とがある？
ｂ４ ．今 ま で とど こ が 違う？

ｈ１ ． 面 白 い 考 え だ ね 。
ｈ２ ． や っ て み よ う か 。

ｃ １．何 か 分 か っ た ？
ｃ ２．何 か ら 分 か っ た ？
ｃ ３ ． 前 の 学 習 と 似 て い る と こ ろ は あ る？
ｄ１ ．同 じと こ ろ は あ る ？
ｄ ２ ． 他 に あ る？

ｅ１ ． 簡 単 に 分 か り や
すく表 すと ？
ｅ２ ． 算 数 （ ま た は 数学 ）ら し く 表 す と ？
ｆ１ ． い つ で も い え る ？

ｇ １ ． 数 量 を変 え て み る と ？
ｇ ２ ． 条 件 を変 え て み る と ？
ｇ ３ ． 場 面 を変 え て み る と ？

指導の
ポイン ト

＊吉岡睦美・重松敬一（2015）「中学校数学の学力変容過程の実践的研究―振り返りシート等の記述の変容の分析を通して―」，奈良教育大学紀要，
第64巻，第１号，ｐｐ．103－118。
＊吉岡睦美（2016）「中学校数学の学びの方法の学習指導の実践的研究２」，第４９回秋期研究大会発表集録，日本数学教育学会，p.524

8

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３．授業実践と考察

授業実践の概要と授業化に向けた手続き
 授業実践の概要
実施日

2017年5月9日，5月10日，5月11日（全3時間）

対象児童

秋田県公立Ａ小学校第5学年児童36名

授業者

対象児童について算数指導を行うＡ小学校教諭

実施内容

小学校算数第５学年「比例」

記録方法

教室後方より教室の全景をビデオ撮影し，その音声データを分析。
児童が授業の場面，場面で意識したモデルプレートを記録。その記
録の分析。

 授業化に向けた手続き
4月20日

教師の意識調査の実施と分析

4月22日

発展的に考えることを支援する授業イメージの共有，検証授業についての説明

5月 1日

授業者が指導案を作成。作成した指導案とモ
デルプレートの検討。

5月 8日

指導案の確定。第2，3時の指導案については，随時修正を行って実施。

本研究に授業者の理解を踏まえて，指導案（展開）を作成していく。

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授業実践の流れ1
 教科書（藤井・他，2015）の流れを基本にして授業実践を計画（計画の立案は，指導者が作成）
＜第１時＞
発展の状況

具体的な算数的活動の局面（活動内容）
問題を把握する。（問題解決の対象化）
問 直方体の高さが１cm，２cm･･･と変わると体積は○どのように変わるでしょうか。
２ 課題をつかむ。（関係について分析）課 高さと体積の変化にはどのようなきまりがあるだ○
ろうか。
３ 見通しをもつ。（自力解決）表をもとに２つの数量関係を考える。

発見的発展

１

構造的発見

４

考えを全体で発表する。（数学的構造を明らかにする）

５

考えを統合する。

６

気付き・考えを発表する。

７

まとめ（一般化）８

チェック問題，振り返り

新たな発展

学習者の心理（児童の反応）気付き（たて，横，高さ）

モデルプレート（教師の言葉かけ）
ａ１ 何に目を付ける？

指導者の心がけ（指導の手立て）・ 学習内容への関心を高め るために全体で問題把握する。
・着目する観点を明確にする。
気付き
ｂ１ 何か気付いた？
・表に当てはまる数値を確認しながら、「きまり」（きまりがありそうだ）（関係）を考えるときの表の見方を確認する。
【違いを見つける・違いの中の変化】
気付き
ｈ１ おもしろい考えだね。 ・自力解決に困っている児童には，今までの学習①縦に見る，②横に見る(増で表をどのように見ていたか（どことどこを見れ加)，③横に見る（倍）ばよいか）を示す。
気付き
ｃ２ 何から分かった？
・ 表の何から分かったのか 根拠を明らかにして（今までの考えと似ている）
説明するように促す。
困難（③の考えには言えないところがありそうだ。）
気付き（③でも言える。できる）
確信

ｆ１ いつでも言える？

・揺さぶりをかけ，考えの範囲を広げられるよう新たな問いを発する。

（ｅ２算数らしく）・ 気づいた意見を図示させ るなど考えが見えるように板書の表し方を工夫する。
・一般化して言えることを全体で確かめる。

気付き（いろいろな場面でも比例が考えられる）ｇ １ 数量を変えて みると？

・ 違う場面で比例を考える ようとした児童の価
値付けをする。

授業実践の流れ２
＜第2時＞
発展の状況
発見的発展

構造的発見

具体的な算数的活動の局面（活動内容）
問題を把握する。（問題解決の対象化）
問 １ｍのねだんが 80 円のリボンがあります。買う長○さが１ｍ，２ｍ，…と変わると代金はどのように変わるでしょうか。
２ 課題をつかむ。（関係について分析）課 長さと代金の変化が比例しているかどうか，確かめ○るにはそうしたらよいだろうか
３ 見通しをもつ。（自力解決）表をもとに２つの数量関係を 考察する。
１

４
５

新たな発展

考えを全体で発表する。
考えを深める。
（もとにする長さが変わってもいいだろうか。）

６

気付き・考えを発表する。

７

まとめ（一般化）８

振り返り

学習者の心理（児童の反応）気付き（比例になりそう…）

モデルプレート（教師の言葉かけ）
ｃ２ 何から分かった？

指導者の心がけ（指導の手立て）・学習内容への 関心を高めるために全体で問題把握する。
・着目する観点を明確にする。（長さと代金）

気付き（表に表してきまりを見ていく）
気付き（１ｍのときをもとにすると…，他がもとでも…）気付き

ａ２ 何（と何）を調べる？

・既習した学習 から表を使って考えるとよいことに気付かせる。

ｈ２ やってみようか。

・自力解決に困っている児童には，表の変化した数値に着目して考えるように声かけをする。

ｄ２ 他にある？

困難（表を超える範囲でも言えるのだろうか）気付き（具体的な例を示す）

ｆ１ いつでも言える？

・表の具体的な 数値などを根拠に説明するように促す。
・揺さぶりをかけ，考えの範囲を広げられるよう新たな問いを発する。

確信

ｇ１ 数量を変えてみると？

ｈ１ 面白い考えだね。

・「□ｍのときは△円になるから、◯をもとに考えると･･･」など具体的で分かりやすい説明をできるよう支援する。
・１ｍあたりの 代金が違う問題やリボンではな
い具体的なもの をイメージして問題の工夫ができるように声かけをする。
・違う場面で比 例を考えるようとした児童の価
値付けをする。

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授業実践の流れ3
＜第3時＞
発展の状況
発見的発展

構造的発見

新たな発展

具体的な算数的活動の局面（活動内容）
１

問題を把握する。（問題解決の対象化）
問 ①Ｓ君は 5 円貯金をしています。5 円玉の枚数と○たまったお金は比例の関係にあると言えるでしょうか。
②缶ジュースが 24 本あります。飲んだ本数と残りの本数は比例の関係にあると言えるでしょうか。
③Ｋ君は１日の温度の変化を調べました。6 時は９℃で 12 時は 18℃，18 時は 15℃でした。時間と温度は比例の関係にあるでしょうか。
④1 袋に 6 個のチョコが入ったおかしを買いました。袋の数とチョコの数は比例の関係にあると言えますか。
２ 課題をつかむ。
（関係について分析）め○ ともなって変わる２つの量が比例しているかどうかを工夫して調べよう。
３ 見通しをもつ。
（自力解決）ともなって変わる２つの量から比例の関係があるか表などを使って考える。
４
５

考えを全体で発表する。
考えを深める。

６

気付き・考えを発表する。

７

まとめ

８

振り返り

学習者の心理（児童の反応）気付き（①は比例になりそう。②はどうかな…）（全部比例になっているんじゃないかな）（比例にならない物もありそうだ）

モデルプレート（教師の言葉かけ）
a２ 何を調べる？

指導者の心がけ（指導の手立て）気付き（表に表す）（全部書かなくてもできそうだな）
困難（何が分かれば比例といえるのだろうか）気付き
確信

ａ１ 何に目をつける？

・既習した学習から表を使って考えるとよいことや表で全て表さなくても数値を選んでできそうだという考えも評価する。
・前時のまとめを確認し，2 つの数値がともに 2倍，3 倍していることが分かればよいことを確かめる。

ｆ１ いつでも言える？

気付き（具体的な例を示す）

ｄ２ 他にある？

・表の数値などを根拠に説明するように促す。
・揺さぶりをかけ，考えの範囲を広げられるよう新たな問いを発する。
・・児童が比例になりそうだと思う事例について取り上げ，興味・関心を高める。
・比例になる場合の 2 つの数量の関係について確認し，問題解決の見通しをもたせる。

・気付き・違う場面で比例を考えるようとした児童の価
値付けをする。

モデルプレートの提示＜例：第２時＞

 提示方法としては，［常掲］，［必要な場面で掲示］と考えら

常掲れるが，今回は常掲にした。

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考察1－発展的に考えることを支援する授業であったか－
児童の 行為の変容

Inn er Q ue st io n

Expl or at ion

De scr ipt io n

内 な る問 い

自分なりの 探究

記述

対話

自 分 の 素 朴 な 考 えの客観化
個 人 の パ ブ リ ッ クな まとめ

発展の 状況
場面/問題との 出会い
素 朴 な 気 づき

思
進考
む ・
児理
童解
が

具
体
的
な
様
相

遅
思
れ
考
が
・
ち
理
な
解
児
が
童

教 モ デル プ
師 レー トの関
わり

児童の解 決の立 場の設定
素朴な気づ きの 交流
興味・関心の 広がり

Ｃ ：（ 体 積 を求 め るのは ）わ か る， わ か る 。
Ｃ ：（ 高 さ が １ c m の と きは )15 ，（ 高 さ が ２ c m のと き は )30 ，(高 さ が ３
cm の と き は ）4 5， (高 さが ４ c m の と き は ） 60 。
Ｃ ：(高 さ が ５ cm の と きは ）7 0。 (高 さ が ６ c m にな ると ）9 0。 (高 さ が ７
cm に な ると ）1 05 。

Ｃ： 数 が どう 増 え て いくか。

二 つ の 数量 へ
の着目

変化への
気付き

ａ１ ． 何 に 目 をつ ける？
ａ２ ． 何 （何 と 何 ）を 調
べ る？

素 朴な気づ きの記 述
メ モ的な個人の 下書き

自分の 考えの比較
各 自 の ま とめ によ る読
み解き

自 分 の 考 え の 表 現 ・説
明と修正的 記述
各自のま とめ の精錬

各 自のま とめの 客観化
数 学としての考えの 整
理有 用性の 自覚/新しい発見

統 合 ・発 展
自 分の考えの 確立
各 自 の 新 た な 気 づき
自 己の変容Ｃ ：3 0か ら 15 に戻 ると ，
比 べ て み れ ば ÷ ２ されて いま す 。
Ｃ ：（ 60 と3 0を 比 べ ると ）÷ ２ 。
Ｃ ：（ 90 と3 0を 比 べ ると ）÷ ３ 。

Ｃ： か け 算 の ほ うが いい。
Ｃ： （１ と ５ を比 べ て ）×
５ ，（ １ と ２ を比 べ て ）×
２ 。（ 高 さ の 変 化 にも ，体積の変 化と同じ×
２ ，× ５ が あ るこ とを とらえ て ） おお っ。

Ｃ ： （高 さ が １ ， 体 積 が1 5。 高 さ １ か ら２ 倍 する と ）２ ， （体 積 の 1 5を
２ 倍 す ると ）3 0。 （高 さを １ か ら ３ 倍 す うると ）３ ，（ 体 積 の 15 を３ 倍
す ると ） 45 。
Ｃ ： こん な す ごか ったん だ。

Ｃ ： 立 方 体 もあ るん じゃ な い？
Ｃ ： 立 方 体 よさ そ うで す。
Ｃ ： 台 形 。 ああ ， 無 理 か 。

対 応の 具体
的な式化

変 化 の きまりを確信

Ｃ： い つで も 言 え るじ ゃん。
Ｃ： 俺 の 何 と な あく は合 って ん の ？

Ｔ・ Ｃ ：○ （ 高 さ ） を２
倍 ，３ 倍 ，… すると ， □（ 体 積 ）も ２ 倍 ， ３ 倍 ，… にな る 。

変 化 の きま
りを確信

一般化によ
る確信

困難

Ｃ ：（ 高 さ の ３ を２ 倍 して ６ にし ま し た ， 体 積の 45 は 何 倍 し て いる？ ） ２ 倍 。
Ｃ ：（ 高 さ の ３ を３ 倍 した ら９ そ の と き 体 積は ）1 35 。（ 体 積 の 45 の3倍 は ）1 35 。（ き ま りが ）で き て いる。
ｈ１ ．面 白 い考 えだ ね 。
ｈ２ ．や っ て み よう か 。

N ew Que stio n

振り返り

対応の読
み取り

ｂ１ ．何 か 気 付 い た ？
ｂ３ ．考 え て み た いこ とが ある ？
ｂ４ ．今 ま で と ど こ が 違う？

Re fle cti on
伝え合い

発見 的発展

考え

児
童
の
変
容

C om m u ni cat io n

新たな問い
構造 的発展

ｃ１ ． 何 か 分 か った ？
ｃ２ ． 何 か ら 分 か っ た ？
ｃ３ ． 前 の 学 習 と 似 て いる と ころ は ある ？
ｄ １ ．同 じと こ ろ は あ る？
ｄ ２ ．他 にあ る？

ｅ １ ．簡 単 に 分 か り やす く表す と？
ｅ ２ ．算 数 （ま た は 数学 ）ら し く 表 すと ？
ｆ１ ． い つで も いえ る？

新 たな 関心
か らの 発 展

ｇ １ ． 数 量 を 変 え て み ると ？
ｇ ２ ． 条 件 を 変 え て み ると ？
ｇ ３ ． 場 面 を 変 え て み ると ？

 思考・理解が進む児童も，思考・理解が遅れがちな児童も，発見的発展→構造的発展→新たな発展への変容，「統合」や「簡潔・明瞭・的確」，「一般化」の働きといった様相が見られた。思考・理解が遅れがちな児童については，発見的発展の状況を繰り返す傾向が見られた。
 教師の発問が多い場面も見られたが，児童は発展的に考えることを経験できており，
今後，発展的に考えることを範として示すことができたと考えられる。

考察2－Inner Questionは望ましい様相であったか－ iQwd法では，問題場面との出会いからInner Question（内なる問い）を想定していたが，本実践の場合では，直方体の体積を求めることはできていても，１つ分，２つ分，３つ分，…を関連付けてみることに時間を要しており，容易でない場合があることが明らかとなった。
 そこで，今後は，・前時とのつながりを意識させること
・学習者の思い付きを奨励し，教師の計画している発展の方向性と類似するものは取り上げること・見方・考え方や構造を例示すること
・「どうして気がついた？（浅い着目）」→「確かめの取組（深い着目）」のように児童の気付きを支援すること
・調べたいこと，考えたいことの意思表明の場を設けることの点にも考慮して，検証を進めることも必要と考える。

122018/5/9

考察3－Communicationは望ましい様相であったか－ 授業者は，学習者の発見を拾い上げ，集団での検討にすることに努めていた。
 また，数値の焦点化を図ったり，図を提示したりして考察が円滑に進むよう工夫がなされていた。
 児童が見つけたきまりを確かめる場面を何度か設け，構造的な理解を図る意図が見受けられた。
 コミュニケーションは，不完全な思考・理解，表現から始まる
ので，教師のこのような働きかけは，思考・理解，表現を高めていく手立てとして有効である。
 モデルプレートを提示することで，児童が自発的に意識することが可能になると考える。

考察4－児童は発展的に考えることを範として受け止めたか－＜第3時＞
 比例の関係にある問題場面と比例の関係にない問題場
面を同時に扱う導入であったが，第１・２時に時間をかけて捉えた見方が児童から表出されていた。
本当にその数が，2倍や3倍さ袋を基にしたときに，3袋を基にしれたら，もう一つの元にする数

たときに2倍すると，6袋になる。

のほうも2倍や3倍されます。

132018/5/9

授業者への事後インタビュー1
 モデルプレートの使い方→発展的に考えるためにヒントになるものとして使っていました。よりよい考えにしていこうと言っても伝わりにくい部分を補うと言うか伝えるもののイメージです。私は「いつでもいえる」，「算数らしく」をよく使っていたようですが，算数のよさを感じさせるためには簡単に表せる
ようになることやいつでも使えることや今までとの結びついていることがあると思います。それが伝われば算数の楽しさや身近に感じることができると考えています。だから，それらの言葉を意識的に多く使っているかもしれません。
発展的に考えることを自然派生的に期待することは難しく，最初はモデルを意識させ，先生の口癖にする必要がある。「先生また言ってる」→「先生こんなこと言いたいのだろ」→「先生，言わなくてもわかってるよ」という過程を経て内面化すると考える。

授業者への事後インタビュー2
 それまで実施してきた授業との違い→今までとの違いは，教科書の内容を教えるときに教科書の内容をいかに分かりやすく教えるかを意識していますが， 発展的と考えたときそこからプラスαの内容を考えさせたいとか，こんな考えもあるよと伝えたいと思います。発展的にと考えるとすると多少内容がそれたとしても，考えるよい機会になると言うイメージがあるからでしょうか。

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授業者への事後インタビュー3
 授業者が考える発展的に考えることを支援する授業の意味→授業の意味についてですが，習得型の決まった流
れよりもオープンエンドのやり方も面白いのかなと感じています。ただ，子どもの理解には結びついているのかは分かりませんが。

考察5－「さらに，発展的に考えを進める」の難しさは解消できるか－
 第3時では，比例関係を調べる方法として表以外にないかを考える場面がみられた。児童からグラフが示されたが，グラフを想起したことの理由が発話としては表出されなかったことから，「思い付き」であったが，授業者は取り上げることができていた。
 授業者は，「思い付き」を「思い付き」に留めず，実際にグラフを作成することにしていた。比例をグラフ表現することで発展的に考えを進めていると実感するには，そのやりとりの時間は少なかったと考える。しかし，「思い付き」は表出して終わったのでは，表とグ
ラフのつながりを捉えることはできないため，授業者のように，実際に試してみるという活動が必要と考える。さらに，グラフを思い付いた理由を尋ねたり，グラフに表してみて表とのつながりを捉え直してみたりすることも，有効と考える。

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４．成果と課題

成果と課題1－開発した授業モデルの妥当性－
 開発した授業モデルにより，・発展的に考えることを支援する授業の流れを，思考・理解が進む児童の様相，思考・理解が遅れがちな児童の様相の二面から捉えることができた。
・児童の様相に対応して教師の関わりを検討することができた。
→引き続き事例検証を行い，精度を高めるとともに，発達段階による様相の違いを明らかにしていくことが必要である。

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成果と課題2－発展的に考えることの支援－
 子どもは，教師が考える以上に，様々な「思い付き」をする。それらは，数学の構造や系統性から見て方向性を一にするものと，一見そうでないものとがある。しかし，多くの「思い付き」は，学習者が問題場面から数，量，形，それらの関係といったものに着目したものであり，ある価値を持ったものである。教師は，その「思い付き」について，
学習者が発展的に考えることの状況にあると肯定的に捉え，数学の構造や系統性から，その「思い付き」に方向性を与え，学習者「思いつき」の先を考えるよう，働きかけることが必要と考える。

成果と課題3－モデルプレートの有効性－
 発展的に考えることを支援する授業の実施にあたっては，その全般において，教師が発展的に考えることの営みを口癖や態度癖等によって範を示すことが重要であり，学習者をそれを模倣して，発展的に考えることを内面化していくものと考える。そこ
で，発展的に考えることの範として作成したモデル
プレートについて，その有効性を検討する必要がある。

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授業者への事後インタビュー4
 モデルプレートの利便性と改善点→先生のよく使う言葉として私は例示しましたが，よく考えられている言葉なので私としてはイメージがもちやすかったです。ただ，子どもたちと考えると少し似たような言葉があり，違いを捉えるのは難しいと感じた
かもしれません。改善点はモデルプレートの数を少なくすることでしょうか。そうなると，選びやすいかもしれません。

成果と課題4－モデルプレートの整理－
何に目をつける？

5

提示レベル
1 2 3
a1 何に目をつける？

何（何と何）を調べる？
何か気付いた？

123

a2 何（何と何）を調べる？
b1 何か気付いた？

調べてみたいことがある？
考えてみたいことがある？
今までとどこが違う？

27
50

b2 調べてみたいことがある？
b3 考えてみたいことがある？
b4 今までとどこが違う？

ｈ．数量や図形及びそれらの関係 h1について無意図的に着目・分析すh2る。
ｃ．発見的発展の過程を振り返っ c1て数学的構造を明らかにする。

面白い考えだね。
やってみようか。

28
17

h1 面白い考えだね。
h2 やってみようか。

何か分かった？
c2 何から分かった？
c3 前の学習と似ているところはある？

18
56

c1 何か分かった？
c 2 何から分かった？
c 3 前の学習と似ているところはある？

ｄ．既知を振り返って統合す る。

d1d2

同じところはある？
他にある？

10
3

d1 同じところはある？
d2 他にある？

ｅ．簡潔・明瞭・的確に表す 。

ｆ．一般化する。

e1 簡単に分かりやすく表すと？
e2 算数（または数学）らしく表すと？
f1 いつでもいえる？

63
10e 1 簡単に分かりやすく表すと？
e 2 算数（または数学） らしく表すと？
f1 いつでもいえる？

ｇ．明らかにした数学的構造と既知や身の回りの問題を振り返って、さらに発展的に考える。

g1g2

数量を変えてみると？
条件を変えてみると？

93g1 数量を変えてみると？
g2 条件を変えてみると？

g3

場面を変えてみると？

2

g3 場面を変えてみると？

ａ．数量や図形及びそれらの関係 a1に着目す る（問題解決の対象化）

a2ｂ．着目した数量や図形及びそれ b1
らの関係について 分析す る

b2
b3
b4

＊佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017）「発展的に考える授業の視点に基づく身近な問題からの授業化－平成29年全国学力・学習状況調査Ｂ１ の場合－」，東北数学教育学会 第22回初夏研究会，発表資料

 モデルプレートの反応を踏まえ，提示レベルを３段階（１．必ず示
す，２．できたら示す，３．時間があったら示す）に整理し，内面化する手立てを探る。

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成果と課題5－「教材観」と「数学観」－

 発展的に考えることを支援する授業の実施にあたっては，従来からも良い授業を構築するために必要とされる「教材観」の深さと，算数・数学という営みをどのように捉えるかという「数学観」をどのような立場に置くのか，という２つの要素が重要であり，残された課
題である。

謝辞

本研究は，JSPS科研費15K04390の助成を受けたものです。
ありがとうございました。

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参考にした先行実践の記録
福岡市教育センター算数，数学科研究室（2003）．「発展的に考える力を育てる算数，数学科学習指導法の研究－発展的な扱いによる授業を通して－」，『福岡市教育センター研究紀要』，667号，pp.7～11
著者不明（2007）．「発展的に考える（数学的に表現できる）力を育てる算
数指導」，『私の実践・私の工夫（算数）』，新興出版社啓林館ＨＰ
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/tea/sho/jissen/sansu/index.html

宮河俊宏（2017）．「３年 かけ算のきまり」，『新しい算数研究』， 555号，
東洋館出版社，pp.46～48

引用・参考文献1
佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017）．「数学教育における教材開発の研究V－発展的に考える授業の展開を視点にした小学校算数第6学年『扇形の面積』の考察－」，秋田大学教育文化学部研究紀要・教育科学，第72巻，pp．33－59
中島健三（1982）．「算数・数学教育と数学的な考え方－その進展のための考察－」，金子書房，pp．125－172（復刻版，東洋館出版社，2015）
清水静海（2006）．「算数・数学の学びと言語力の育成－『筋道を立てて説明する力』に焦点を当てて－」，言語力育成協力者会議（第１回）配付資料＊http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chousa/shotou/036/shiryo/06061520.html

Dörfler.W.(1991）.Forms and Means of Generalization in Mathematics，
Bishop,A.J.(ed.)，Mathematical Knowledge：Its Growth Through Teaching，
Kluwer Academic，pp.63～85

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引用・参考文献2
文部科学省（2017a）．「小学校学習指導要領」
文部科学省（2017b）．「中学校学習指導要領」
文部科学省（2017c）．「小学校学習指導要領解説算数編」
佐藤学・重松敬一・赤井利行・杜威・新木伸次・椎名美穂子（2017）．「発展的に考える授業展開の研究―発見的発展の視点―」，東北数学教育学会
年報第48号，pp．34－44
吉岡睦美・重松敬一（2015）．「中学校数学の学力変容過程の実践的研究―振り返りシート等の記述の変容の分析を通して―」，奈良教育大学紀要，
第64巻，第１号，pp．103－118
吉岡睦美（2016）．「中学校数学の学びの方法の学習指導の実践的研究２」，第４９回秋期研究大会発表集録，日本数学教育学会，p．524
藤井斉亮・他（2015）．「新編新しい算数５上」，東京書籍，pp．30－33

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