統計的グリーン関数法を用いた広帯域強震動計算における中間周波数帯の振幅の落ち込みの原因と改善法
ー日本地震工学会論文集、20 巻、7号、2020 ー
日本地震工学会・第11回社員総会
論文賞受賞記念講演
2023年5月23日(火)
建築会館ホール

久田嘉章 (工学院大学)
謝辞：本研究は工学院大学・総合研究所・都市減災研究センター（UDM）の助成で行われました．また３名の査読者によるコメントにより，本論文は大いに改善されましたことを記して感謝します．

はじめに
広帯域強震動シミュレーションにおける振幅スペクトルの中間周波数（周期）帯の振幅の落ち込み
50① 短周期地震動
統計的グリーン関数法→ ランダム位相

Vel. (cm/s)

Y(EW) 短周期 ケース１a0①と②にフィルターをかけて重ね合わせる

Vel. (cm/s)

1020+

503040Y(EW) 長周期 ケース１a0-500

1020=80

Vel. (cm/s)③ 広帯域地震動

落ち込み!?
-50② 長周期地震動
理論的手法→ コヒーレント位相（震源近傍パルス、表面波）

03040Y(EW) ﾊｲﾌﾞﾘｯﾄ ケース１a0-80010203040

警固断層を対象としたサイト波の作成例「免震建築物のための設計用入力地震動作成ガイドライン（第3版）（免震構造協会、2022年）」

概要:古くて新しいテーマ
・経験的・統計的グリーン関数法（半経験的手法）により小地震波から大地震波を合成する際、目標とする震源スペクトル（ω−2モデル）と比較すると中間周波数帯において様々な要因により振幅の落ち込みが生じる。
・本報告ではモデルが単純明快な統計的グリーン関数法を用い、震源スペクトルに関する様々な落ち込みの成因を４つに分類し、その原因と改善法をする。

ｆｃ：コーナー振動数dyne・cm

ω-2モデルN3 =125

スケーリング則M0 (大)= 5× 5× 5 = N 3
m0 (小)
N: 相似比 N=5dyne・cm

ｆｃ：コーナー振動数M0= 80 × 80 × 80
m0

落ち込み
N3 =51.2万
ｆｃ (小)
N=80

小地震と大地震の震源スペクト
ルと中間周波数帯の振幅落込み「地震動予測・地震ハザード評価手法の高度化に関する研究（防災科技研、2003） (Irikura and Kamae, 1994）
小地震波⇒大地震の要素地震波⇒大地震波の合成

本報告で使用する統計的グリーン関数法
小地震(S)と大地震(L)の震源スペクトル（ω-2モデル：Brune 1070）
小地震：

Mɺ 0S (ω ) =M 0S
1 + ( f / f CS ) 2

大地震： Mɺ 0L (ω ) =M 0L
1 + ( f / f CL ) 2

震源パラメータ・スペクトルの相似則（Irikura 1986, 横井ほか, 1991）

 M 0LM 0L
33
 S = CN , ( f → 0)L
地震モーメント M S = CNɺ
M 0 (ω )M00→震源スペクトルMɺ 0S (ω )
fC S
M 0L

=N= CN , ( f → ∞ )コーナー周波数 N 2 M 0S
fC L

小地震から要素地震・大地震の震源スペクトル合成（Irikura 1986他）
ES
要素地震 Mɺ 0 (ω ) = F (ω ) ⋅ CMɺ 0 (ω )N大地震

N

 N , ( f → 0)
 1, ( f → ∞ )F関数の条件 F (ω ) = NNiω {ξ / V + ε }iω {ξ / V + ε }Mɺ 0L (ω ) =   Mɺ 0Eij (ω ) e ij r ij = Mɺ 0E (ω )   e ij r iji =1 j =1i =1 j =1

ここで、 Mɺ (ω ), Mɺ (ω ), Mɺ (ω ) : 小地震、要素地震、大地震のmoment rate関数
S0E0L0f C : コーナー周波数 C (=1): 応力降下量比
N : 相似比 M 0 : 地震モーメント
ξ ij : 震源からij要素地震までの距離 ε ij ij要素地震の破壊開始時間のランダム数

統計的グリーン関数法で合成する大地震の震源スペクトルの振幅落ち込みに関する４種の要因(a)F関数による中間周波数帯での振幅の落ち込み(b)低周波数と高周波数で異なる位相スペクトルを用いた波形を重ねることによる接続周波数帯での振幅の落ち込み（広周波数帯域のハイブリッド合成法を用いた場合）(c)相似比Nの増大により大地震の震源スペクトルがω−2モデルからω−3モデルに漸近することによる中間周波数帯での振幅の落ち込み(d)大地震の断層面上の要素地震を重ね合わせる際，低周波数でのNの2乗倍から，高周波数でのN倍の振幅に移行する遷移周波数帯での落ち込み

検証用モデル（M8クラスの巨大地震）
中小地震でも全く同じ結論を得ることを確認済み
dyne・cm・文献（※1,2）とほぼ同じ例題として，1946年南海地震を想定したM8級の巨大地震である大地震の震源パラメータは，
M0L= 1.0×1021 Nm（MW8.1）
fc L= 0.03 Hz（T = 33.3 s）
L = W = 100 km、Vr = 2.8 km/s
N(相似比)=2, 5, 25, 80（4ケース）とする．破壊開始点は，分割した要素断層のうちで最も断層面の角点に近い要素中心点とし，Vr = 2.8 km/sで断層面上を円筒状に破壊伝播させる

fc = 0.03 Hz
M0 = 1.0×1021 Nm

M0= 25× 25× 25
m0

小地震から大地震の震源スペ
クトル合成と振幅落ち込み(Irikura and Kamae, 1994）※1 入倉孝次郎：震源のモデル化と強震動予測, 地震，第2輯, 第46巻, pp. 495-512, 1994.
※2 Irikura, K., Kamae, K.: Estimation of strong ground motion in broad-frequency band based on aseismic source scaling model and an empirical Green’s function technique, Annali Di Geofisica, Vol.
XXXVII, No. 6, pp. 1721–1743, 1994.

(a)F関数による中間周波数帯での振幅の落ち込みF関数（小地震から大地震の要素地震のmoment rate関数への変換関数）① Irikura（1986）によるF関数（δ関数+Box-car関数）

BT (t )T

F (t ) = δ (t ) + ( N − 1)

F (ω ) = 1 + ( N − 1)sin(ωT / 2)
 iωT exp ωT / 2 2 ② 入倉ほか（1997）によるF関数（δ関数+修正Box-car関数）

iωT( N − 1) ( e − e )F (ω ) = 1 +(1 − iωT ) (e − 1)

( N − 1) e−t /TF (t ) = δ (t ) +BT (t )T (1 − 1/ e)③ Dan et al. (1989)によるF関数（δ関数+指数関数）→ 以下の本報告で使用

F (t ) = δ (t ) + ( N − 1)αTe−tα TF (ω ) = 1 + ( N − 1)1
1 − iω T α（α = 3を使用）

落ち込み

３種のF関数F関数のフーリエ振幅（fc=0.03 Hz, T=33.3 s, N=25の場合）(b) 低・高周波数で異なる位相を持つフーリエ振幅の和に起因する接続周波数帯における震源スペクトル振幅の落ち込みと改善法
Moment Rate Func.(Far Dis)
200
MomentSFunc.

M0 =1にできない！

0-100

001235 -200

4time (s)ランダム位相-1

1500

N=25, fc =1.25 Hz
TS=0.8 s, (M0S=1)

10

1-1

23time (s)

0位相

43

450位相

21

ランダム位相0-1 1

10-2-4frequency (Hz)

収束計算

00-1

1

2time (s)3Filter(High&Low Cut)01frequency (Hz)10-0.5300

Moment Rate Func.(Far Dis)
Moment Func.

1-310

落ち込み

震源スペクトル

振幅スペクトル(0位相)Moment-Rate & Moment関数

2frequency (Hz)

2.0 (Hz)-1m-rateの2回微分
310.5-0.5

理論
計算(実部)
計算(虚部)
計算(絶対)

ω-2モデルtime (s)Low-Cut00.1

0.5

High-Cut

10-0.5

10.1

-1000

moment-rate & moment

Phase4

改良法 30.1

2freqency (Hz)

-1

010.5
ハイブリッド振幅スペクトル(0位相)5moment rate & moment1

遠方場加速度波形相当
遠方の加速度波相当

01

震源スペクトル

-500

00.1

5time (s)Moment Rate Func.(Far Dis)
MomentSFunc.

24m-rateの2回微分

doubel diff. of mo-rate
diff. of moment-rate

moment-rate & moment

Moment-Rate & Moment関数
低振動数3フィルター 接続周波数 ランダム0位相0Boore型包絡関数-300moment rate & moment
32Moment-Rate

0Moment-Rate

10.5

10045diff. of moment-rate

21.5

理論
計算(実部)
計算(虚部)
計算(絶対)

1

遠方の加速度波相当
遠方場加速度波形相当

Filter

高振動数

300

Moment-Rate & Moment関数

位相スペクトル(初期値) moment rate & moment

doubel diff. of mo-rate

3diff. of moment-rate

moment-rate & moment-Hisada （J. Seimology 2008）によるHybrid統計的グリーン関数の例-

単純和⇒位相差で落込み

遠方の加速度波相当
遠方場加速度波形相当

200
1000-100 012345-200-300-400

Boore型包絡関数
time (s)m-rateの2回微分

ω−2モデルで振幅補正

(c)小地震と大地震の相似比Nの増大によるω−3モデルへの漸近化による中間周波数帯における震源スペクトル振幅の落ち込み要素地震の破壊間隔時間に相当

大地震の破壊伝播
フロントが不規則（ω-2モデル）

大地震の破壊伝播
フロントが滑らか（ω-3モデル）

・要素地震の破壊開始時間間隔に相当する卓越周波数（= NVr/L = NVr/W Hz）を表示→ Nが大きいと、中間周波数帯でω-3モデルに漸近し、振幅が大きく落ち込む
改善法は提案：フラクタル震源（Irikura and Kamae 1994）、クラックモデル（野津 2004）→ Nが小さくても、この卓越周波数より低い周波数帯で振幅が落ち込む(d)低周波数でコヒーレント位相、高周波数でランダム位相の要素地震から大地震に合成する際の遷移周波数帯における震源スペクトル振幅の落込み
N

要素地震から大地震の合成

i =1 j =1

破壊開始時間関数（FRT）とその実効値
NN

FRT (ω) = (iω ξij /Vr +εije) 1 （時間項が全要素で共通, 低周波数）≈F(ω){ RT }rms  （時間項が各要素でランダム, 高周波数）
1/ N

N2j =1 j =1Niω(ξ /V +ε )Mɺ 0L (ω) = Mɺ 0E (ω)e ij r ij = Mɺ 0E (ω) N 2 FRT (ω)

黒線

3300

Moment-Rate & Moment関数
Moment Rate Func.(Far Dis)
Moment Func.

2
100-1

12time (s)345doubel diff. of mo-rate

moment-rate & moment0.006 Hz

遠方場加速度波形相当

2001000.006 Hz

0-100 012345-200-300-400

time (s)コヒーレント（低振動数）とランダム位相（高振動数）

遷移周波数帯域の振幅の落ち込み

改善法：大地震の震源スペクトルの落ち込みのω-2モデルによる振幅補正（N=25の例）
1E+22
1E+211E+20
1E+19
ω2-model

1E+18

補正なし

1E+17

完全補正

1E+16

振幅補正係数

Source Spectra

震源スペクトル100

10

1E+150.001

0.01

0.1
frequency (Hz)1100.001

大地震の震源スペクトル（補正なしと補正あり）
1E+22
1E+21
1E+20
1E+190.001

ω2-model

1E+18

補正なし

1E+17

補正あり

1E+160.01

1E+150.1
1frequency (Hz)

0.01

10.1
1Frequency (Hz)10

振幅補正係数（ 1 Hz以下）

振幅補正係数

Source Spectra

震源スペクトル

1000

1000

100

10100.001

0.01

10.1
1
Frequency (Hz)10

大地震の震源スペクトル（補正なしと修正補正あり） 修正した振幅補正係数（上限値10倍）

大地震の震源スペクトルの落ち込みの振幅補正による改善法と強震動の計算

地盤：Vs = 3.2 km/s
ρ = 2.8 t/m3

統計的グリーン関数法による大地震の地震動の合成（遠方近似S波）
N N
Fs Rk ɺ E
1 iω{ξ /V +ε + r /Vs} −ωr /2QsVs
U (ω ) =M 0 (ω ) e ij r ij ij e ij
34πρVsi =1 j =1 rij
L

ここで、FS=2, Rk=0.63/√2, Qsの項は無視、N=25を使用
NNiω r /Vs

1 iω{ξij /Vr +ε ij + rij /Vs} N N iω{ξij /Vr +ε ij } e ije= eriji =1 j =1 riji =1 j =1→ FRTにdirectivity効果が加わる

大地震の震源スペクトルの落ち込みの振幅補正による改善法と強震動の計算
変位0.9
Middle0.60.3204060-0.3

Displacement

80 100 120 140 160
time (s)6Velocity (m/s)

Middle1.500204060

Backward

Forward0204060-0.1

80 100 120 140 160
time (s)1Middle0.5

Backward

080 100 120 140 160
time (s)-0.5

Backward

3204060

80 100 120 140 160
time (s)0.1

100.01

MiddleForward
1.5

Middle020

40-1.5

Forward0.001

Backward 0.0001
Theory0.00001

Backward
60 80 100 120 140 160
time (s)変位フーリエ振幅
frequency (Hz)1010.001

0.1

4.5

100.1

Middle30.01

1.50.001
Backward

0010.001

0.1

6Forward

10
変位フーリエ振幅
frequency (Hz)

4.5

01.5

Forward-1.5Middle

0.1

加速度

振幅補正を行わない場合の震源時間関数
27.5
Acceleration
速度
加速度
Velocity

4.5
3Forward

0

変位

7.5

Acceleration
60.2

Backward
07.50.3

Forward0

Displacement (m)Velocity

Acceleration (m/s2)

1.2

速度

0.4

Velocity (m/s)

Displacement (m)Displacement

Acceleration (m/s2)

1.5

020

40

60

-1.5

0.000180 100 120 140 160
time (s)0.00001ω−2モデルで振幅を完全に補正した震源時間関数
6Middle31.5
00-1.5Velocity

204060Forward

1Middle0.5

Backward

080 100 120 140 160
time (s)

-0.5

加速度

7.5

Acceleration
61.5

Forward4.5

速度2Velocity (m/s)

Displacement (m)Displacement

Backward
0204060

80 100 120 140 160
time (s)Acceleration (m/s2)

変位

7.5

Forward10
変位フーリエ振幅
frequency (Hz)10.001
4.5

100.1

3Middle0.01

Backward

0.00011.50.001

00-1.50.1

20406080 100 120 140 160
time (s)0.00001

上限値を10とした補正係数を用いた震源時間関数

まとめ：統計的グリーン関数法による大地震の震源スペクトルの振幅落ち込みに関する４つの要因と改善法(a)F関数による中間周波数帯での振幅の落ち込み→ 指数関数型F関数（Dan他 1989）等により大きく改善(b)低周波数（コヒーレント性）と高周波数（ランダム性）で異なる位相スペクトルを用いた波形を重ねることによる接続周波数帯での振幅の落ち込み（ハイブリッド手法を用いた場合）→ 震源スペクトルの振幅補正により補正可能（Hisada 2008）(c)相似比Nの増大により大地震の震源スペクトルがω−2からω−3モデルに漸近することによる中間周波数帯での振幅の落ち込み→ 相似比Nが小さくても落ち込みが生じる → (d)で対応(d)大地震の断層面上の要素地震を重ね合わせる際，低周波数でのコヒーレントな重ね合わせのNの2乗倍から，高周波数でのランダムな重ね合わせのN倍の振幅に移行する遷移周波数帯での落ち込み→ 破壊伝播時間関数により小さなNから落ち込む
ω-2モデルによる大地震の強震動を過小評価する可能性あり→ 震源スペクトルの振幅補正が有効（さらなる検討が必要）