産業技術大学院大学紀要

No．2, pp．1－3 (2008)〔論文〕

Eye-in-Hand システムに対する安定化予測ビジュアルフィードバック制御
村 尾 俊 幸* ・河

合 宏

之**・藤

田 政 之***

Stabilizing Predictive Visual Feedback Control
for Eye-in-Hand Systems
Toshiyuki Murao*, Hiroyuki Kawai** and Masayuki Fujita***

Abstract

This paper investigates a vision based robot control based on a receding horizon control strategy for
eye-in-hand systems, as a stabilizing predictive visual feedback control．Firstly, the brief summary of
the three dimensional(3D) visual feedback system with an eye-in-hand configuration is given．Next, astabilizing receding horizon control for the 3D visual feedback system, a highly nonlinear andrelatively fast system, is proposed．The stability of the receding horizon control scheme is guaranteedby using the terminal cost derived from an energy function of the visual feedback system．
Keywords: Visual feedback control, Receding horizon control, Passivity, Stability, Control Lyapunov
function

1．はじめに近年，視覚フィードバック制御の研究はますます盛んに行われており，工場だけでなくより複雑なシステムや幅広い分野へも適用されるようになってきている[1][2]．
中でも医療分野における腹腔鏡の制御[3]や超音波探触子の制御[4]など，視覚フィードバック制御は少子高齢化社会を迎える日本において必要不可欠な制御技術になりつつある．
著者らは従来研究[5][6]において，腹腔鏡を把持する手術支援ロボットなどに代表される Eye-in-Hand 構造の視覚フィードバックシステムを幾何学的に表現し，シス

図 1 Eye-in-Hand Visual Feedback System

テムの有する受動性に基づくことで，ロボットマニピュ
レータのダイナミクスを考慮した位置ベース法の 3 次元

ラジェクトリーと変わらない動きを実現させている[8]．

視覚フィードバック制御則を提案している．しかし，提また河合ら[9]はロボットマニピュレータに対して安定案した手法はシステムを安定化させる制御則とはなって化モデル予測制御を適用し，実験的に性能を検証していいるものの，最適性を考慮した制御則とはなっていない．

る．

一方，オンラインで有限時間区間の最適制御問題を繰

視覚フィードバックシステムにおいて，観測対象の位り返し解く，モデル予測制御の研究も盛んに行われてい置を予測し，その予測情報を用いて制御をすることで得る[7]．近年では，ロボットのような非線形でかつ比較的られる有益性については古くから述べられてきた[10]．

早いダイナミクスを持つシステムに対する応用事例も出

視覚フィードバック制御とモデル予測制御を結合させた始めており，Milam らはその制御則を Caltech Ducted研究として，Sauvée らの角度やトルク，カメラ視野に

Fan に適用することで拘束条件を満たしながら最適なト

対する拘束を考慮した手法[11]や Allibert らの反射屈折――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
Received on October 18, 2008
*産業技術研究科，School of Industrial Technology, AIIT**金沢工業大学，工学部，College of Engineering, Kanazawa Institute of Technology***東京工業大学，理工学研究科，Graduate School of Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology

2

村尾俊幸，河合宏之，藤田政之

カメラを用いた手法[12]などが挙げられる．しかし，これらの手法は安定性に対しては何も述べられていない．

の二つの座標系 Σ a から Σb の位置 pab と姿勢を表す回転

また，著者らは文献[13]で視覚フィードバックシステム

ξˆθ abから構成され，4×4 行列として以下のようにに対して安定化モデル予測制御を適用しているが，平面

行列 e

マニピュレータに限定されていた．

定義される．

そこで，本研究では安定化予測ビジュアルフィードバ⎡eξˆθ abg ab = ⎢⎢⎣ 0ック制御として，比較的高速で非線形性の強い
Eye-in-Hand 構造の 3 次元視覚フィードバックシステム

pab ⎤ (1)⎥1 ⎥⎦[6]に対して，安定化モデル予測制御則を提案する．特に，ただし，演算子 ∧ (wedge)は 3 次元ベクトルを 3×3 の歪本研究で提案する制御則は，視覚フィードバックシステ

対称行列へ写像する演算子であり，その逆写像は ∨ (vee)

ムのエネルギー関数を評価関数の終端コストに用いるこで定義される[14]．

とで，安定性を満たしたものとなる．本論文は，文献[9]に対しては視覚情報との融合がされている点と，また文
献[13]に対しては平面マニピュレータに限定せず位置だ
けでなく姿勢も考慮できる視覚フィードバックシステム

この相対位置姿勢 g co と目標値 g d の偏差を，制御偏差g ec としてつぎのように定義する．

に適用可能である点から，両研究を発展させた研究とな

g ec := g d−1 g co (2)っている．
本論文の構成は以下のとおりである．2 節では，従来研究[6]で提案している Eye-in-Hand 構造の 3 次元視覚
フィードバックシステムと，受動性に基づく安定化制御則について述べる．3 節では，制御リアプノフ関数を用いることで前節で構成した Eye-in-Hand 構造の 3 次元視覚フィードバックシステムに対して安定化モデル予測制
御則を提案する．最後に 4 節でまとめを行う．

さらに，この制御偏差に対する制御偏差ベクトルを

ec := [ p ecTe TR (e ξθ ec )]T と 定 義 す る ． た だ しˆeR (eξθ ) := sk (eξθ )∨ ， sk (eξˆθ ) :=
ˆ

ˆ

1 ξˆθ
ˆ
(e − e −ξθ ) である．
2

制御目的を達成するために g co の運動について考える．

g co は図 1 における同次表現の合成則から2．Eye-in-Hand構造の 3 次元視覚フィードバックシステ−1g co = g wc
g wo (3)ム
2．1

視覚フィードバックシステムにおける剛体運動の表現
本論文では，図 1 に示すような，三つの座標系によっで表される．また，カメラ座標系からみた観測対象の相対速度は， g co を時間微分することで，て表される Eye-in-Hand 構造の視覚フィードバックシ

Vcob = − Ad ( g −1 )Vwcb + Vwob (4)ステムについて考える．図中の座標系をマニピュレータの台座に基準座標系 Σ w ，カメラにカメラ座標系 Σ c ，観co−1のように導かれる[5]．ここで，Vabb = ( g ab
g& ab ) ∨ は剛体運

測対象に観測対象座標系 Σ o として定義する．本システム

動のボディ速度を表しており， Ad ( g ) は同次表現 g ab のの制御目的は運動する観測対象にカメラを追従させるこ随伴写像である[14]．

とである．言い換えると，カメラ座標系 Σ c からみた観測
対象座標系 Σ o の相対位置姿勢 g co を目標相対位置姿勢

g d (本稿では一定値であるとする)に常に一致させておくこととなる．ここで， g ab は同次表現と呼ばれ，任意

ab

2．2

非線形オブザーバと推定偏差システム

本節は推定偏差システムについて述べる．上述の相対位置姿勢 g co は観測対象の位置姿勢 g wo が測定不可能であるために未知情報となる．そこで，相対位置姿勢 g co を含んでいる視覚情報 f を利用し，非線形オブザーバを構受動性に基づく可動カメラ構造の視覚フィードバック制御

成することで，相対位置姿勢の推定値 g co を得ることを3

ため， g ec は以下のように表すことができる．

考える．

g ec = g d−1 g co = g d−1 g co g ee (9)(4)式に基づき，推定値 g co の運動モデルをつぎのよう(9)式において，目標値 g d と推定値 g co は既知情報であるに構成する．

Vcob = − Ad ( g −1 )Vwcb + ue (5)coため，推定偏差 g ee が得られれば相対位置姿勢 g co を得な

ue は推定偏差の振舞いを安定にするために加えられる

くとも制御偏差 g ec は求まることがわかる．文献[6]より，

入力であり，後に制御則の一部として提案する．

推定偏差 g ee は − π ≤ θ2

ここで，相対位置姿勢の真値 g co と推定値 g co の偏差を，

ee≤

π の範囲内で推定偏差ベク
2

トル ee から求められることがわかっているため，(9)式よ推定偏差 g ee としてり制御偏差 g ec を導出することが可能となる．
−1
cog ee := g g co (6)と定義する．さらに，推定偏差ベクトルを

ee := [ peeTeRT (eξθ ee )]T と定義する．姿勢推定偏差の回転ˆ(2)式で定義した制御偏差 g ec を時間微分することで，制御偏差システムは以下のように導出される．

Vecb = − Ad( g −1 ) ( Ad( g −1 )Vwcb ) + Vwob (10)ec

量 θ ee を十分に小さいとし，さらにカメラの画像特徴量を
その推定値の周りで 1 次テーラー展開することで，この推定偏差ベクトル ee は，カメラから得られる視覚情報 fと推定モデルにより得られる視覚情報 f ，さらには画像

2．4dEye-in-Hand構造の 3 次元視覚フィードバックシ

ステム
本論文では，さらにつぎのマニピュレータダイナミクスを考慮する．

M (q )q&& + C (q, q& )q& + g (q ) = τ + τ d (11)ヤコビアンの擬似逆行列 J †( g co ) を用いることでつぎのように導かれる[5]．

q ， q& ， q&& はそれぞれの各関節の角度，角速度，角加速度を表し， τ は入力トルク， τ d はトルク外乱， M (q) は

ee = J ( g co )( f − f ) (7)†この推定偏差ベクトル ee が 0 になれば，相対位置姿勢の真値と推定値が一致することとなる．

g ee を時間微分し，(4)，(5)式を用いることで，推定偏差システムは以下のように導出される．

V = − Ad ( g −1 )ue + V
b
ee

2．3

ee

b
wo

(8)

制御偏差システム

つぎに実際に制御目的を達成するための制御偏差シ
ステムについて議論する．(2)式を再考すると，推定偏差g ee を用いることで g co = g co g ee と擬似的に計算できる

正定な慣性行列， C (q, q&)q& は遠心力・コリオリ力 項，

g (q) は重力項を表す．また，カメラの速度はボディマニ
ピ ュ レ ー タ ヤ コ ビ ア ン J b (q) を 用 い る こ と で

Vwcb = J b (q )q& として表される[14]．一方，カメラの速度の目標値を ud とし，マニピュレータの関節角速度の目標値を q&d で表すと， ud = J b ( q)q&d と表すことができる．ここで，関節角速度に関する偏差を ξ := q& − q& d と定義する．この関節角速度偏差 ξ が 0 になるとカメラの速度がその目標値に一致することとなる．
このとき，マニピュレータへの入力トルクとして

4

村尾俊幸，河合宏之，藤田政之τ = M (q)q&&d + C (q, q& )q&d + g (q) + J bT (q) Ad(Tg )ec + uξ
−1
d

(12)
を考える． q&&d は関節角加速度の目標値である． uξ は関
節角速度偏差をなくすための新たな入力であり，後に提案する．このとき，(8)，(10)～(12)式を用いることでEye-in-Hand 構造の 3 次元視覚フィードバックシステム
は
−1
−1 T
T
⎡ ξ ⎤ ⎡− M Cξ + M J b Ad ( g d−1 ) ec ⎤⎥⎢V b ⎥ = ⎢− Ad ( g −1 ) J bξ⎥⎢ ec ⎥ ⎢co⎥⎢⎣Veeb ⎥⎦ ⎢⎣
0
⎦
−
1
⎡M
⎡ M −1
0
0 ⎤
⎢
⎥
⎢
+⎢ 0
− Ad ( g −1 )0 ⎥u + ⎢ 0
ec
⎢ 0
⎢ 0
− Ad ( g −1 ) ⎥
0
⎣
ee ⎦
⎣

図 2
(13)

0⎤
⎥
I ⎥w
I ⎥⎦

で表される．ただし，入力，外乱，状態をそれぞれ
T T] ，x := [ξ T ecT eeT ]Tu := [uξT ( Ad ( g −1 )ud )T ueT ]T ，w := [τ dT Vwodと定義している．Eye-in-Hand 構造の視覚フィードバッ
クシステムにおいて，状態 x を 0 にとどめておくことで制御目的が達成される．
2．5

文献[6]ではさらに，視覚フィードバックシステム(13)のもつ受動性という概念を用いることで安定化制御則を導出している．受動性の証明をおこなうために，次式のエネルギー関数を提案する．

1
V ( x) = ξ T M (q )ξ + E ( g ec ) + E ( g ee ) (14)2

φ (eξˆθ abE ( g ab ) :=Feedback Control
エネルギー関数を解軌道に沿って時間微分し，提案した(15)式の制御則 uk を代入すると，外乱がない( w = 0 )ときには，つぎのように計算できる．

V& = ν T u = − xT N T KNx (17)
したがって，エネルギー関数(14)をリアプノフ関数とみなすことで，外乱がない( w = 0 )とき，視覚フィードバッ
クシステム(13)と(15)式の入力 uk で構成される閉ループ
系の平衡点 x = 0 は漸近安定となり，制御則 uk は安定化

エネルギー関数と安定化制御則

ここでBlock Diagram of the Passivity based Visual1ˆ2
pab + φ (eξθ ab ) で あ り ， 関 数
2) は回転行列に対する誤差関数を表す正定関数である[15]．受動性に基づき，制御則をつぎのように提案

制御則とみなすことができる．受動性に基づく視覚フィードバック制御のブロック線図を図 2 に示す．
しかし，提案されている安定化制御則 uk は陽に最適性を考慮した制御則ではない．したがって，次節では最適理論に基づいた安定化モデル予測制御則を提案する．

3．Eye-in-Handシステムに対する安定化予測ビジュアル
フィードバック制御
本節は，視覚フィードバック制御とモデル予測制御を結びつけることで，最適理論に基づいた安定化予測ビジする．

u = − Kν := uk ， K := diag{Kξ , K c , K e } (15)

ν := Nx ， N := diag{I ,− I ,− I }(16)

ここで，Kξ := diag{kξ 1 , L , kξn } はマニピュレータの各関
節 に 対 す る ゲ イ ン で あ り ， K c := diag{kc1 , L , kc 6 } ，K e := diag{ke1 , L , ke 6 } は x 軸， y 軸， z 軸の並進と回転ュアルフィードバック制御について述べる．視覚情報は現在の瞬間的な情報以外にも多くの情報を含んでいる．
この特性を利用することで観測対象の動きを予測できるなら，より有益な制御手法になると考えられる．本論文
では安定化予測ビジュアルフィードバック制御として，前節で提案した視覚フィードバックシステムに対し，最適制御理論から発展したモデル予測制御則を提案する．
3．1

制御リアプノフ関数

における制御偏差と推定偏差に対するゲインである．た

本節では，はじめに視覚フィードバックシステム(13)だし，ゲインにおける各要素はすべて正とする．

に対するモデル予測制御の問題設定について述べる．視受動性に基づく可動カメラ構造の視覚フィードバック制御

5

覚フィードバックシステム(13)に対し，ある時刻 t のとき，
状態 x(t ) = x0 ，入力 u (τ , x(τ )),τ ∈ [t , t + T ] に関してつぎの評価関数を最小化する有限時間区間の最適制御問題を考える．

J ( x0 , u , T ) = ∫

t +T

t

l ( x(τ ), u (τ ))dτ + F ( x(t + T )) (18)l ( x (τ ), u (τ )) = qξ (t ) ξ (t ) + Eqc ( g ec (t ))2(19)+ Eqe ( g ee (t )) + u T (t ) R (t )u (t )F ( x(t )) = ρV ( x)(20)qξ (t ) ≥ 0, q pi (t ) ≥ 0, qRi (t ) ≥ 0, R (t ) > 0, ρ > 0
た だ し ， R (t ) は 対 角 行 列 と し ， Eqi ( g ei (t )) :=q pi (t ) pei (t ) + qRi (t )φ (eξθ ei (t ) ), i = c, e である．初期状態
ˆ2

x0 に対して，この評価関数を計算することにより求められる最適な入力を u * (τ , x(τ )),τ ∈ [t , t + T ] と表す．モデ
ル予測制御では，初めのサンプリング周期である δ [s]だけシステムに u * (τ , x(τ )) を加える．そして δ [s] 後には，その時刻を改めて t とし直し，再び最適制御問題を解く．すなわち，モデル予測制御は

uRH := u * (δ , x0 ) (21)という入力を，時刻を進めながら繰り返し加えていくことになる[16]．図 3 にモデル予測制御の説明図を示す．

図 3 Receding Horizon Scheme

本論文では，視覚フィードバックシステム(13)との閉ループ系を安定化させるモデル予測制御則を提案する．

たすように設計する．

そこで，安定性に深く関係する制御リアプノフ関数の定ρ 2 I ≥ 4QR (23)義を示す．
定義 1 l ( x, u ) を正定な関数とし，微分可能な正定関数

このとき，Eye-in-Hand 構造の 3 次元視覚フィードバッ

S (x) が以下の条件式を満たすとき， S (x) は制御リアプ

クシステム(13)のエネルギー関数 ρV (x) は制御リアプノ

ノフ関数である[16]．

フ関数となる．

[](証明) エネルギー関数をシステムの解軌道に沿って

inf S& ( x) + l ( x, u ) ≤ 0 (22)u

時間微分した(17)式と，(19)式の正定な関数 l ( x(t ), u (t )) ，

制御リアプノフ関数について，係数 qξ , q pc q Rc , q pe ,q R e と重み行列 Q := diag{qξ I n , q pc I 3 , qRc I 3 , q pe I 3 , qR e I 3}[

2

り，さらに設計パラメータ ρ に関して以下の不等式を満][]= inf [ρx Nu + q ξ + E ( g ) + E ( g ) + u Ru ]u

外乱がなく( w = 0 )， θ ec ≤ π ， θ ee ≤ π であ22ることにより，(22)式の左辺はつぎのように変形される．

inf S& ( x) + l ( x, u )を用いることで，つぎの補題が示される．
補題 1

さらに K = ρ R −1 とした(15)式の安定化制御則 uk を用い

2= inf ρV& + qξ ξ + Eqc ( g ec ) + Eqe ( g ee ) + u T Ru
u

T

u

2

ξ

T

qc

ec

qe

ee

6

村尾俊幸，河合宏之，藤田政之⎧u * (τ )τ ∈ [t + δ , t + T ]⎪(25)
u~ = ⎨
ρ −1⎪⎩uk (τ ) = − 2 R Nx τ ∈ [t + T , t + T + δ ]

T
⎡⎛
ρ
ρ
⎞
⎞ ⎛
= inf ⎢⎜ u + R −1 Nx ⎟ R⎜ u + R −1 Nx ⎟
u
2
2
⎠
⎝
⎠
⎝
⎣⎢

ρ2

−

4

ρ2

=−

4

x T N T R −1 Nx + qξ ξx R x + qξ ξT

+ q pe pee

ρ2

≤−

4

−1

2

2

ξˆθ ee+ q R eφ (ex T R −1 x + qξ ξ

+ q pe pee22⎤+ Eqc ( g ec ) + Eqe ( g ee )⎥⎦+ q pc pec2+ q Rcφ (eξˆθ ec)

ただし，区間 [t + T , t + T + δ ] の入力 uk は K = − ρ R −1 と

2

(24)

)

ξˆθ ee2+ q Rc eRT (eξθec )
ˆ

−∫

2

t +δ

[

)

l ( x* (τ ), u * )dτ + ∫t +T +δt +Ttl ( x* (τ + T ), uk )dτJ ( x * ( t + δ ), u * , T ) ≤ J ( x * ( t + δ ), u~ , T ) より，

こ の 計 算 過 程 に お い て ， θ ≤π の と き22

φ (eξθ ) ≤ eRT (eξθ ) となる関係を用いている．ρ I ≥ 4QR
2の と き に ρ R −1 − Q ≥ 0 と な る こ と か ら ，J ( x * (t + δ ), u * , T ) − J ( x * (t ), u * , T )[≤ ρ V ( x(t + T + δ )) − V ( x * (t + T ))
−∫

t +δ

t

l ( x * (τ ), u * )dτ + ∫t +T +δt +T]l ( x * (τ + T ), u k )dτと計算できる．(19)式のステージコスト l ( x (t ), u (t )) と4(15)式における安定化制御則 uk を用い，さらに両辺を δ[]

ノフ関数の定義式より，エネルギー関数 ρV (x) は制御
リアプノフ関数とみなすことができる．

で割り， δ → 0 の極限をとることで，(27)式はつぎのよ
うに変形される．

□

この補題 1 は，視覚フィードバックシステムが有する受動性の性質を用いたものとなっており，ある条件の下で視覚フィードバックシステム(13)のエネルギー関数

lim

J ( x * (t + δ ), u * , T ) − J ( x * (t ), u * , T )

δ

δ →0

≤−

ρ2
4

x *T (t + T ) N T R −1 Nx * (t + T ) − x *T (t )Qx * (t )ρV (x) を制御リアプノフ関数とみなせることが示され− u *T Ru * + qξ ξ * (t + T ) + Eqc ( g ec* (t + T ))た．

+ Eqc ( g ec* (t + T ))Eye-in-Handシステムに対する安定化モデル予測制

御評価関数の終端コスト ρV (x) が制御リアプノフ関数
であることを利用し，視覚フィードバックシステムに対するモデル予測制御の安定性に関してつぎの定理を示す．
定理 1

(27)

2

inf u S& ( x) + l ( x, u ) ≤ 0 が満たされ，(22)式の制御リアプ

3．2] (26)となる．ここで x* は最適な状態を表している．さらに⎛ ρ 2 −1⎞
R − Q ⎟⎟ x
= − x ⎜⎜
⎝ 4⎠

ˆある．この入力 u~ に対する評価関数は= J ( x* (t ), u * , T ) + ρ V ( x(t + T + δ )) − V ( x* (t + T ))

2

T

ˆ

した視覚フィードバックシステムの安定化制御則(15)でJ ( x* (t + δ ), u~, T )+ q pc pec+ q R e e (eTR2

Eye-in-Hand 構造の 3 次元視覚フィードバック

システム(13)に対して(18)～(20)式の評価関数を考える．

(28)⎛ ρ 2 −1⎞
R − Q ⎟⎟ x * (t + T )≤ − x *T (t + T )⎜⎜
⎝ 4
⎠
*T
*
− x (t )Qx (t ) − u *T Ru *はじめの δ [s] は uRH = u * であり，さらに ρ 2 I ≥ 4QR という条件式により， J ( x* (t ), uRH , T ) の微分値は負定とな

π ，ρ 2 I ≥ 4QR でる．したがって， J ( x* (t ), uRH ,T ) をリアプノフ関数とみあるならば，視覚フィードバックシステム(13)と，評価なすことで，閉ループ系の平衡点 x = 0 の漸近安定性が関数(18)～(20)に対して解かれるモデル予測制御則(21)示される．

外乱がなく( w = 0 )， θ

ec

≤

π，

2

2

θ ee ≤

2で構成される閉ループ系の平衡点 x = 0 は漸近安定である．
(証明) 区間 [t + δ , t + T + δ ] での準最適な入力として次式を考える．

□定理 1 により，終端コストに制御リアプノフ関数を用いることで，比較的高速で高い非線形性を有する
Eye-in-Hand 構造の 3 次元視覚フィードバックシステ
ム(13)に対するモデル予測制御の安定性が証明された．
モデル予測制御が最適制御理論を発展させた理論であるということに注目すると，評価関数のパラメータを適切受動性に基づく可動カメラ構造の視覚フィードバック制御

74，pp．82-90，2006 (12)．
[2]F．Chaumette and S．Hutchinson，“Visual Servo
Control，Part II：Advanced Approaches”，IEEE

Robotics & Automation Magazine，Vol．14，No．
1，pp．109-117，2007 (3)．
[3]

K．Omote et al．，“Self-Guided Robotic Camera
Control for Laparoscopic Surgery Comparedwith Human Camera Control”，The American

Journal of Surgery，Vol．177，No．4，pp．321-324，
1999 (4)．
図 4Block Diagram of the Stabilizing Predictive[4]

A．Krupa and F．Chaumette，“Control of an
Ultrasound Probe by Adaptive Visual Servoing”，

Visual Feedback Control

Proc. of the 2005 IEEE/RSJ Internationalなものに選ぶことで，文献[6]の手法に比べ望まれる制御

Conference on Intelligent Robots and Systems，

性能を陽に得られると考えられる．本手法では，回転行

pp．2007-2012，2005 (4)．

列の誤差関数 φ (eξθ ) をステージコスト(19)に直接用いˆ[5]

M ． Fujita ， H ． Kawai and M ． W ． Spong ，“Passivity-based
Control

たことも特徴となっている．

forDynamic
Three

VisualFeedback

Dimensional

TargetTracking ： Stability and L2-gain Performance

さらに，同じ Eye-in-Hand 構造の視覚フィードバック
システムに対する制御則でも，文献[13]と異なり，平面

Analysis” ，マニピュレータに限定されず，位置に加えて姿勢も考慮

Technology，Vol．15，No．1，pp．40-52，2007 (1)．

できる制御則となっている点から，適用範囲は格段に広[6]IEEE Trans. Control Systems

村尾俊幸，河合宏之，藤田政之，“受動性に基づくがると考えられる．また，扱っている問題が異なるため

視覚フィードバックにおける推定と制御の内部構に一概には比較できないが，文献[9]や文献[13]の安定性造”，第 36 回 SICE 制御理論シンポジウム資料，
pp．183-186，2007 (9)．

の条件式に比べ本手法で課している条件式は非常に単純であり，評価関数の重みや終端コストに対するパラメー[7]

D．Q．Mayne，J．B．Rawlings，C．V．Rao andタが設計しやすくなっている．安定化予測ビジュアルフ

P ． O ． M ． Scokaert ， “Constrained Modelィードバック制御のブロック線図を図 4 に示す．

Predictive Control：Stability and Optimality”，

Automatica，Vol．36，No．6，pp．789-814，2000

本節では，視覚フィードバック制御とモデル予測制御(6)．

を結びつけた予測ビジュアルフィードバック制御の安定性について述べた．

[8]

M．B．Milam，R．Franz，J．E．Hauser and R．
M ． Murray ， “Receding Horizon Control of
Vectored Thrust Flight Experiment”， IEE Proc.

4．おわりにControl Theory & Applications，Vol．152，No．

本論文では安定化予測ビジュアルフィードバック制御として，比較的高速で非線形性の強い Eye-in-Hand

3，pp．340-348，2005 (5)．
[9]河合康典，中曽裕次郎，見本真一郎，藤田政之，安構造の 3 次元視覚フィードバックシステムに対する安定定化モデル予測制御を用いたロボットマニピュレ化モデル予測制御則を提案した．はじめに Eye-in-Handータの制御に関する実験的考察，電気学会論文誌

構造の 3 次元視覚フィードバックシステムについて述べ

C，Vol．127，No．5，pp．748-754，2007 (5)．

た．さらに，システムのエネルギー関数を制御リアプノ[10] A．E．Hunt and A．C．Sanderson，“Vision-based

フ関数とみなせることを示し，終端コストにおくことで，

Predictive Robotic Tracking of a Moving Target”，

モデル予測制御の安定性を示した．

Technical Report，Carnegie Mellon University，
1982 (1)．

参考文献
[1]

[11] M．Sauvée，P．Poignet，E．Dombre and E．

F．Chaumette and S．Hutchinson，“Visual Servo

Courtial，“Image based Visual Servoing throughControl ， Part I ： Basic Approaches” ， IEEE

Nonlinear Model Predictive Control”，Proc. 45th

Robotics & Automation Magazine，Vol．13，No．

IEEE Conference on Decision and Control，pp．

8

村尾俊幸，河合宏之，藤田政之

1776-1781，2006 (12)．
[12] G．Allibert，E．Courtial and Y．Touré，“Visual
Predictive

ControlCatadioptricforCamera” ，Manipulators

Proc.

7th

with

IFAC

Symposium on Nonlinear Control Systems，pp．
1115-1120，2007 (8)．
[13] M．Fujita，T．Murao，Y．Kawai and Y．Nakaso，“An Experimental Study of Stabilizing Receding
Horizon Control of Visual Feedback System with
Planar Manipulators”， In：R．Findeisen，F．
Allgöwer and L．Biegler (Eds．)，Assessment andFuture Directions of Nonlinear Model Predictive
Control，Springer-Verlag，pp．573-580，2007 (8)．
[14] R ． Murray ， Z ． Li and S ． S ． Sastry ， A

Mathematical

Introduction

toRobotic

Manipulation，CRC Press，1994 (3)．
[15] F．Bullo and A．D．Lewis，Geometric Control of

Mechanical Systems，Springer-Verlag，2004 (11)．
[16] A ． Jadbabaie ， J ． Yu and J ． Hauser ，“Unconstrained Receding-Horizon Control of
Nonlinear Systems”，Vol．46，No．5，pp．776-783，
2001 (5)．