17次に式(19 - 16)の変形であるが，式(19 - 12)すなわちIm(z)ガウシアンのフーリエ変換を与える式∞
q x2 qa∫ exp a - ___2 exp( - ikxx )dx
z w0 z-∞q w20
q2= √◊◊◊
p w0 exp a - ___ kx az 4zz-planeCC'a/(a2＋b2)

Re(z)(19–27)が，w0 を複素数 a ＋ bi に拡張しても成立することを利用した。両辺はそれぞれ，w0 が複素数であるとして見ても-b/(a2＋b2)

w0 の関数として解析的である。したがって，解析接続して w0 を複素数に拡張したと考えれば，複素関数に慣れて

図 19 - 5 z 平面上の積分経路 C, C'

いる人には違和感もないかもしれない。しかし，念のため確認しておこう。式(19- 27)が w0 を複素数に拡張しても成- 5 のように積分路を C から C'に変更したときに，C'の立することを確認できれば，その逆変換を適用することで実数軸上でない部分の積分は，その部分を遠方に移動式(19-16)が導ける。

した極限で 0 となる。したがって，C'に沿った積分は，実数軸上の - ∞ から ∞ の積分と同じ値になる。もちろ

まず，式(19 - 27)に w0 の代わりに複素数 a ＋ bi を入んこうなるためには，図 19 - 5 における積分路 C の傾

れて左辺を変形すると，

きが - 45˚ から 45˚ の間に入っていなければならないが，∞x2∫ exp [ - ________2] exp( - ikxx )dx(a + bi )-∞そのためには a2 ＞ b2 であればよい。式(19 - 16)の場合についてみると，a2 - b2 ＝ Re[(a ＋ bi)2]は w02 なので∞x2=∫ exp [ - ________2 - ikxx] dx(a + bi )-∞この条件は満足されている。したがって積分の値は式(19 - 26)より √◊◊p となり，式(19 - 28)は22q x
a + bi q q a + bi q=∫ exp [ - a ______ + i ______ kxa + ai ______ kx a ] dx
22-∞z a + bi
z z
z
∞

∞

x2
∫ exp [ - ________
2 ] exp(-ikx x )dx(a + bi )-∞2(a + bi ) 2=(a + bi )exp [ - ________ kx ] ∫ exp( - z2)dz4c2(a + bi )2=(a + bi ) √◊◊◊
p exp [ - ________ kx ]4

(19–28)となる。このことから式(19 - 16)の変形が導かれる。

となる。ここで，x
a + biz = ______ + i ______ kx
a + bi2(19–29)Johann Carl Friedrich Gauss（Gauß）
1777 年 4 月 30 日ドイツの Braunschweig 生まれ，1855 年 2 月 23 日
Göttingen に没す。歴史上もっとも偉大な数学者の 1 人であり，物理学，測地学，天文学，光学等に業績を残した科学者でもある。幼少時から数学の才を示し，言葉を話すようになる前から計算をしていたと本人は述べている。1807 年に Göttingen の天文台長に就任して終生務めた。ガウスの名のつく定理や法則は数多いが，光学ではガウス光学，ガウス型レンズなどに名を残している。最愛の妻とは若くして死別，末の子供も間もなく亡くなり，再婚した妻にも先立たれるなど，私生活はあまり恵まれなかった。

として，x に関する積分を，複素数 z 平面における経路
C（図 19 - 5）の積分に変形した。ただし a の符号は一般性を失わずに正とした。
ここで，z ＝ rexp(if)として，被積分関数 exp( - z2)の絶対値を考えると，|exp( -z2)| = |exp[ -r2(cos2f + isin2f)] |= exp( -r2 cos2f )(19–31)(19–30)となる。したがって cos2f ＞ 0 となる領域，すなわち図 19 - 5 のハッチングされた領域では，r → ∞ の極限
で 1/r よりもはやく 0 に収束する。したがって，図 19619でなければならない。すなわち，「D1 と D2 の法線方向と書ける。また，「D1 と D2 の法線方向成分が等しい」

成分が等しい」という条件が必要であることが分かる。

という条件は式(21 - 10)で示した通り

同じことなので「D の法線方向成分が連続」という表現

n・D2 = n・D1

(21–16)もできる。表面電荷のある場合については後述するが，
式(21 - 3)から D と表面電荷 r との関係を規定する条件と書くことができる。同様に，「B1 と B2 の法線方向成が導かれる。

分が等しい」という条件は最後に，式(21 - 4)を図 21 - 3 の領域に適用すると，

n・B2 = n・B1

(21–17)磁束密度 B に関する境界条件が得られる。先の場合と同様に積分領域の上下の面を境界面に近づける極限を考えと書ける。境界条件を式(21 - 14)〜(21 - 17)の形で表す

る。このとき，やはり同様の議論が成り立ち，「B1 と B2と，数式として扱う際に便利なことも多い。
さて，式(21 - 14)の条件を導く際に「電流密度 i が有の法線方向成分が等しい」あるいは「B の法線方向成分

限であれば」という仮定をした。また，式(21 - 16)の条が連続」という条件が必要であることが導かれる。

件を導く際に「電荷密度 r が有限であれば」という条件

次章に説明するが，S= E ≈ Hを用いた。系が誘電体だけで構成されていればこの条(21–11)

件は満たされる。また，導体であっても，高周波の電磁場に対する応答を考えるときのように，誘電率として定義されるポインティングベクトルは，光のエネse* = e + i __w

ルギー流の密度を表す。一般性を失わずに境界面に垂直に z 軸をとると，ポインティングベクトルの z 成分は
Sz =Ex Hy - Ey Hx

再掲(18–6)を持つ誘電体として扱う際にも，式(21 - 14), (21 - 16)(21–12)を用いることができる。しかし，導体表面に真電荷やとなる。右辺は E と H の境界面内方向の成分だけで決真電流が存在する場合，式(21 - 1)の右辺の第 2 項は積まる量である。したがって，E と H の面内方向成分が分領域を狭くしても 0 にならない。また，式(21 - 3)の連続であるという境界条件から Sz が境界面で連続であ

右辺も，積分領域を薄くしても 0 にならない。

ることが分かる。これは，（表面電流がない場合に）光

表面電流がある場合の境界の様子を図 21 - 4 に示す。

のエネルギーが境界面で消費されることがないことを

この場合の磁場 H に関する境界条件を式(21 - 1)から導示している。境界条件がそのための充分条件になってくと，式(21 - 14)の代わりにいることを意識しておきたい。
境界条件を，境界面の法線方向のベクトル n を使っ

H1

媒質1

H2

媒質2

て表現することもあり，便利なこともある。例えば，「H1 と H2 の面内方向成分が等しい」という条件は，「H2 - H1 は面内方向成分を持たない」と言い換えること
n12

ができ，
「H2 - H1 は n と平行である」ということになる。

jS

すなわち，
n ≈ (H2 - H1)=0

図 21 - 4 表面電流のある場合(21–13)D1と表せる。展開して移項すれば，n ≈ H2 =n ≈ H1

(21–14)rsと書くこともできる。同様に，「E1 と E2 の面内方向成

n12

D2

分が等しい」という条件は，n ≈ E2 = n ≈ E1

媒質1

(21–15)

図 21 - 5 表面電荷のある場合

14

媒質2

20

22．光のエネルギーと運動量となる。そこで改めてマクスウェル方程式

光がエネルギーを伴うことは，物体を暖めたり光電池の起電力になるなどの身近な現象でも認識される。
光の反射率や透過率などという素朴な概念も，エネル
ギー流としての定量的な意味が付随することで現実的な意味やその重要性が理解される。
マクスウェル方程式が支配する電磁場の現象は，運動方程式が支配する力学現象とは別の世界の話のように見える。それにもかかわらず，電磁場にもエネルギ∂D
rot H = ___ + i∂t(22–3)∂B
rot E = - ___∂t(22–4)

div D =r

(22–5)

div B = 0

(22–6)

ーや運動量という概念が存在し，力学的なエネルギーを眺めてみよう。ここで，式(22 - 3)の両辺の E との内や運動量との総和が保存するのは興味深いことである。

積をとると，

話の発端に戻って考えるなら，第 9 章で E や B を導入∂D
E· rot H = E· ___ + E·i∂t

する際に使ったローレンツ力の式
F = q(E + v ≈ B)

(22–7)(22–1)となり，E と i の内積が現れる。同様に式(22 - 4)の両辺の H との内積をとってに力学の概念である力 F や速度 v が入っている。ここに力学の概念と電磁気学の概念との接点がある。この式∂B
H· rot E = - H· ___∂t

を基礎において電磁場のエネルギーや運動量が定式化(22–8)されるため，力学系のエネルギーや運動量と整合する
普遍性の高い概念が構成される。この辺りをよく見てという式を導いておく。これは，マクスウェル方程式

おくと，光の強度や力学作用にかかわる現象の意味をを眺めると，式(22 - 3)から式(22 - 7)を導いたのと対に理解しやすいであろう。

なっていて対称性がよく，ベクトル解析の一般的な関まず，式(22 - 1)から力学的な仕事に相当する量を導係式く。電荷 q の粒子が単位体積あたり N 個あって，速度 v

div(E ≈ H ) = H·rot E - E·rot H(22–9)

で動いているとすると，電荷が電磁場から受ける単位を使える形になる。式(22 - 9)は，左辺を成分表示して時間，単位体積あたりの仕事の大きさはNF ·v = Nq(E + v ≈ B)·v = NqE ·v = E · idiv, rot を適用していくと，(22–2)

16

21

23．光による力

光の持つ運動量や光の力学的な作用は，従来は光学適用する場合は，電荷密度や電流密度として，物質のというより電磁気学か電気力学の範疇で扱われる現象

分極や磁化に由来する成分も含める。真空中のマクスだったように思う。しかし，光による力を利用する光

ウェル方程式はピンセットなどの技術が普及し，光学技術者にもなじ

1∂E___ rot B = e0 ___ + im0∂t∂E= e0 ___ + ie + id + im∂t∂P∂E
= e0 ___ + ie + ___ + rot M∂t∂t

み深い現象，あるいは当事者としてかかわる現象になってきている。
前章では，単位体積あたりに働くローレンツ力の式
f = re E + ie ≈ B(23–1)と，マクスウェル方程式∂D
rot H = ___ + ie∂t

(23–2)∂B
rot E = - ___∂t(23–3)

div D =re

(23–4)

div B = 0

(23–5)∂B
rot E = - ___∂t(23–7)(23–8)

e0div E =r
=re + rd=re - div P
div B =0

(23–9)(23–10)から，真電荷密度 re と真電流（伝導電流）密度 ie に及である。電荷密度と電流密度の内訳を r ＝ re + rd，i ＝

ぼされる力

ie + id + im として示した。添え字 e は真電荷や真電流に由来するもの，d は分極電荷に由来するもの，m は磁化

1
1
∂
2
2
f = div T + __ |E | grade + __ |H | gradm- ___ (emS)22∂tに由来するものをそれぞれ表す。真電荷や真電流だけ(23–6)

でなく，分極電荷や磁化電流も含めたすべての電荷密度 r，電流密度 i に働くローレンツ力を f 'と表すと，を導いた（前章では r や i に添え字をつけなかったが，f '= (re + rd) E + (ie + id + im) ≈ B

ここでは e を付した）。

=rE +i ≈ B

本章では，分極電荷に働く力も含めて，物質に働く1∂E= e0 E div E + (___)≈ B
m0 rot B - e0 ___∂t力を考える。そのために，真空中のマクスウェル方程式を用いる。真空中のマクスウェル方程式を物質中に
21

24

rs= -n · D =- e0n · E(x,y, -0,t)
q0w
q 0 w
a s
a
s
= - e0 a 0 s · 2E0 a 0 sexp(ikxsin q -iwt)
z1x
z sin q x
= -2e0E0sinq exp(ikxsinq - iwt)
(26–17)zyx∑となることが分かる。また，導体表面の電流は，境界条件の式(21 - 18)を用いると，
q0w
js= -n ≈ H =- a 0 s ≈ H (x,y, -0,t)
a s
z1x
q0w
q0w
e0 a sa s___
0
1 exp(ikxsinq -iwt)
≈
2E
=a s
0
m0 a sz1x
z0x
q1w
e0 a s(26–18)0 exp(ikxsin q -iwt)=-2E0 ___
m0 a sz0xkrki

図 26 - 2 導体面の周りの光の場となることが分かる。ここで ∂r/∂t ＋ divjs を計算して

1
2
2
Ex - __ | E |
2

ExEy

ExEz

0

EyEx

1
2
2
Ey - __ | E |
2

EyEz

0

EzEx

EzEy

1
2
2
Ez - __ | E |2-1

T '・n = e0

式(26 - 9)を使うと，
∂rs
∂rs
∂
∂
___ + div js= ___ + ___ ( js)x + ___ ( js)y
∂t
∂t
∂x
∂y
=2ie0E0 wsinq exp(ikxsinq -iwt)
-2iE0

1
2
2
Hx - __ |H |2e0___ ksinq exp(ikxsinq -iwt)=0
m0(26–19)+ m0となり，表面電荷の保存則が満足されていることが確

HxHy

HxHz

0

HyHx

1
2
2
Hy - __ |H |
2

HyHz

0

HzHx

HzHy

1
2
2
Hz - __ |H |
2

-1

認できる。

(26–20)導体で光が反射している状況が把握できてきたので，
次に導体が受ける力について考えてみよう。導体と入に対して，式(26 - 15)， (26 - 16)で z → 0 としたもの

射光，反射光のある状況を図 26 - 2 に示す。図の面∑を代入すると，は，導体表面を含む薄い領域を囲む閉曲面であるとす

e0 2 m0 2- __ Ez - __ Hy
2
2

る。この面内の領域に働く力は，再掲式(23 - 21)により，∂F =∫∫T 'n ds - __∫∫∫e0m (E ≈ H)dv
∂t v

T '・n=

再掲(23–21)

000e0 2 m0 2- __ Ez + __ Hy
2
2

0

0

0

e0 2 m0 2__ Ez - __ Hy
2
2

Í

となる。
ここで，第 2 項の積分は，E ≈ H が面∑の近傍で x 軸の方向を向いているため，面に働く力への寄与はない。

0

q0w
a s
2
≈ 0 =2e0E0 cos2q cos2(kxsinq - wt) a 0 sz1x

あるいは第 2 項は場の量の時間微分であるから，周期的な振動場について計算しても時間平均をとれば値は 0 になる。

-1

したがって，面に働く力 F への寄与は第 1 項のみである。第 1 項の積分の被積分関数に応力テンソル T 'の式(26–21)(23 - 18)を使う。すなわち，となる。すなわち前章の場合と同じ大きさの圧力を受
382729．アイコナール

幾何光学において光線の伝搬を記述する基本的な法で置き換えると，微分方程式

則として光線方程式§2f + k2f=0

d q dr w___ a n ___ s = grad nds z ds x(29–1)(29–6)

が得られる（補足 1 参照）。
ここで，式(29 - 6)の解であって，があることを前章で紹介した。波動光学に基づいてこf(x,y,z)=A(x,y,z)exp[ik0 S(x,y,z)]の式を導くことを考える。

(29–7)

真空中のマクスウェル方程式において，時間発展がという形のものを考える。関数 A(x, y, z)は振幅であり，位相因子 exp(-iwt)で記述される解を考えると，電場の指数部にある k0S(x, y, z)が場の位相に相当する。関数x, y, z 成分も磁場の x, y, z 成分も同じ波動方程式

S は実関数であるとする。

q
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f w§ f + k f=0 a §2f = ____
+
____
+
____
s
∂x2
∂y2
∂z2 x
z
2

2
0

関数 S(x, y, z)のイメージや特徴を把握するために，
比較的簡単な場の例として，屈折率 n の媒質中を単位(29–2)

ベクトル n=(nx, ny, nz)の方向に進む平面波

2を満たすことが導かれる（§ はラプラス演算子）。ここf(x,y,z)=Aexp[ik(nxx + nyy + nzz)]

で，k0 は
e0m0
k0=w √◊◊◊◊◊◊=Aexp[ink0(nxx + nyy + nzz)](29–3)

で定義される。光速度 c0 や波長 l0 との関係は，式(29を考えてみよう。この場合の関数 S(x, y, z)は，

- 2)の平面波解を求めると分かるように，
w2pk0= ___ = ____c0l0

(29–8)

S(x,y,z)=n(nxx + nyy + nzz)
(29–4)(29–9)となる。図 29 - 1 に示すように n に垂直な等高面（S(x,y, z)の値が一定となる面）を持つ。光線の方向に単位となる。
次に物質中の場合を考える。真電荷も真電流もなく，距離移動すると値が屈折率の値 n だけ増加する。すな

B=m0H が成り立つ媒質を考え，e0 を物質の誘電率 e にわち，関数 S(x, y, z)の勾配（∂S/∂x など）は屈折率の置き換える。すなわち，式(29 - 2)中の k0 を

オーダーの量である。勾配は無次元量なので，長さのnw 2p
em0 = ___ = ___k=w √◊◊◊◊◊c0l

単位に nm を使っても m を使っても S の傾きの値は変(29–5)

わらない。平面波の場合の勾配は空間の到る場所で一
定だが，一般の場でも勾配の大きさは屈折率のオーダ
55

著者略歴

本宮佳典（ほんぐう・よしのり）, Yoshinori Hongu
1956 年 神奈川県藤沢市生まれ
1975 年 神奈川県立湘南高等学校卒業
1979 年 東京大学理学部物理学科卒業
1984 年 東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了 理学博士
同年，株式会社東芝入社 光応用機器の研究開発に従事
2012 年 東芝リサーチ・コンサルティング株式会社 シニアフェロー
2018 年 株式会社東芝 研究開発センター（2021 . 10 退職）
法政大学理工学部（兼任講師）（2018 . 4〜）
第 20 回（2019 年度）応用物理学会業績賞（教育業績）受賞「波動光学の風景」の情報は以下の URL で公開しています。https://www.adcom-media.co.jp/opluse/wave/

波動光学の風景
著 者
発行者
発行所

伝搬編
2013 年 3 月 26 日初版発行
2023 年 2 月 1 日第 2 版発行

本 宮
佳 典
喜 多
野乃子
アドコム・メディア株式会社〒 169 - 0073 東京都新宿区百人町 2 - 21 - 27
電話 （03）3367 - 0571
（代）

Advanced Communication Media Co. Ltd., Tokyo, Japan, 2013
ISBN 978 - 4 - 910636 - 11 - 5 C 3042 ¥ 4000 E© Yoshinori Hongu 2013
印刷 / 製本 ㈱ブックフロント
Printed in Japan・ 本書に掲載する著作物の複製権・翻訳権・上映権・譲渡権・公衆送信権（送信可能化権を含む）はアドコム・メディア㈱が保有します。
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