特集

計測自動制御学会 論 文 集
Vol.42, No.3, 1/7（2006）

LATEX 2ε クラスファイル

入力飽和を考慮した動的視覚オブザーバによる位置姿勢制御†―小型自律飛行ロボットへの適用―
河 合
鶴 尾

宏
有

之∗ ・村 尾俊幸∗∗生∗∗∗ ・藤 田

政

之∗∗∗∗

Visual Motion Observer–based Pose Control with Input Saturation–Application to Small Unmanned Aerial Vehicles–
Hiroyuki Kawai∗ , Toshiyuki Murao∗∗ ,Yusei Tsuruo∗∗∗ and Masayuki Fujita∗∗∗∗This paper investigates the visual feedback control by the visual motion observer with input saturation. Firstly,using standard body-attached coordinate frames (the world frame, camera frame and object frame), we present
the visual motion error system which consists of the estimation error system and the pose control error system.
Next, we propose the control law with the input saturation. After that, stability analysis of the closed–loopsystem is discussed in the sense of Lyapunov. Although the proposed control law cannot be designed basedon the passivity of the visual motion error system explicitly, the skew-symmetric property of the visual motion
error system plays an important role in the stability analysis. Finally, experimental results are shown in order
to confirm the proposed method by using AR.Drone as a small unmanned aerial vehicle.
Key Words: Visual Feedback Control, Visual Motion Observer, Input Saturation, Lyapunov Stability, Unmanned Aerial Vehicle
飛行ロボットを視覚フィードバックシステムとして捉えるこ

1. は じ め にとができる．視覚情報をフィードバックループに組み込んだ

近年，ロボットを用いたレスキュー活動や情報収集が様々

制御は視覚フィードバック制御と呼ばれ，画像ベース法と位置な機関で研究されており，災害時に二次災害を防ぐための新ベース法に大別できることが古くからよく知られており 3) 4) ，たな救援活動や情報収集手段として期待されている 1) 2) ．情従来の制御理論を単にロボットに適用するだけでなく，視覚報収集のための小型飛行ロボットの多くはカメラを搭載してフィードバックシステムを含むロボット特有の問題を制御理いるため，得られる視覚情報を自律飛行に用いることで，小型論の枠組みで捉えたロボット制御理論における安定性や制御性能解析にも期待が高まっている 5) ．

†

第 12 回計測自動制御学会システムインテグレーション部
門講演会 (SI2011) で発表（2011・12）∗ 金沢工業大学工学部 野々市市扇が丘 7-1∗∗ 産業技術大学院大学創造技術専攻 東京都品川区東大井1-10-40∗∗∗ 金沢工業大学大学院工学研究科 野々市市扇が丘 7-1∗∗∗∗ 東京工業大学大学院理工学研究科 東京都目黒区大岡山2-12-1∗ College of Engineering, Kanazawa Institute of Technology, 7-1, Nonoichi, Ishikawa∗∗ Master Program of Innovation for Design and Engineering, Advanced Institute of Industrial Technology, 1-1040, Higashiohi, Shinagawa-ku, Tokyo∗∗∗ Graduate Program in Mechanical Engineering, Kanazawa
Institute of Technology, 7-1, Nonoichi, Ishikawa∗∗∗∗ Graduate School of Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology, 2-12-1, Oh-okayama, Meguro-ku,
Tokyo（Received January 21, 2006）（Revised March 1, 2006）

この小型自律飛行ロボットに対する視覚フィードバック制
御は，ますます盛んに研究されており，Bourquardez ら 6) は安定性が保証された画像ベース法を用いてその有効性を実験により比較および検証し，安定性を保証していても制御則によっては 3 次元 (特に光軸方向) の振る舞いが望ましくならない場合があると報告している．これは，もともと画像ベース法では 3 次元での偏差を考慮していないこと 7) が原因のひ
とつとして考えられる．Altug ら 8) は小型自律飛行ロボットに取り付けられたカメラと地面に設置されたカメラの 2 つを用いて位置を推定する位置ベース法を提案し，実験によりその有効性を示している．また，Azrad ら 9) はカルマンフィル
タと提案する画像トラッキングアルゴリズムにより 1 つのカ
メラで位置を推定し，その有効性を屋外での実験により示している．ただし，これら位置ベース法の従来研究において安定性解析は陽にはおこなわれていない．一方，筆者らは従来

c 2006 SICETR 0003/06/4203–0001 ⃝T. SICE Vol.42 No.3 March 2006

2

研究 10) において，動的視覚オブザーバを用いて安定性を保証

Camera Frame

した位置ベース法の制御則を提案しており，小型自律飛行ロ

Sc

ボットに適用することも可能である．しかし，制御偏差を直接フィードバックしていることから，偏差が大きい場合には入力が過大となる状況が考えられ，画像ベース法と同様に望gco

Object FrameSo

ましくない摂動を引き起こすことが問題として挙げられる．

gwc

また，入力に制約を持つシステムに対する研究は活発におこ
なわれており 11) ，最近では入力飽和を考慮した視覚フィード

gwo

バックシステムに対するモデル予測制御も提案されているが，理論的な安定性は議論されていない 12) ．

Sw
World Frame

そこで，本研究では入力飽和を考慮した動的視覚オブザー
バによる視覚フィードバック制御を考える．具体的には飽和Fig. 1 Visual feedback system.

型三角関数を用いたカメラ速度入力の設計法を提案する．そ−1(gabġab )∨

して，提案する制御則と動的視覚オブザーバを含む閉ループbの よ う に 導 か れ る 10) ．こ こ で ，Vab系の平衡点の安定性を議論する．さらに小型自律飛行ロボッ

b T
)
[(vab

トとして AR.Drone を用いた実システムを構成し，位置姿勢

おり，Ad(gab ) ∈ R6×6 は同次表現 gab の随伴写像である 13) ．

制御実験により提案する制御則の有効性を検証する．

b
なお，ボディ速度 Vab
において，下付きの ab が座標系を表

b T T
) ]
(ωab

=

=

∈ R は剛体運動のボディ速度を表して6すのに対し，上付きの b はボディ速度を意味している．

2. 視覚偏差システム

位置ベース法の視覚フィードバック制御の制御目的は，本研究では Fig. 1 に示すような 3 次元の視覚フィードバッ

カメラ座標系からみた観測対象の相対位置姿勢 gco を目

クシステムについて考える．座標系は，基準座標系 Σw ，カメラ

標相対位置姿勢 gd (本研究では時不変とする) に一致させ

座標系 Σc ，および観測対象座標系 Σo の 3 つを考える．このとることとなる．しかし，カメラから得られる視覚情報 f =き，基準座標系からみたカメラの位置姿勢および観測対象の位[fx1 fy1 · · · fxm fym ]T ∈ R2m は画像特徴量として観測対置姿勢をそれぞれ gwc = (pwc , eξ̂θwc) と gwo = (pwo , e

ξ̂θwo

)

象に取り付けられた m 点 (m ≥ 4) の特徴点の画像面上でので表す．ここで，任意の 2 つの座標系を ΣA ，ΣB としたと

x 座標と y 座標である．したがって, カメラから直接計測すき，pab ∈ R3 は ΣA の原点から ΣB の原点への位置ベクト

ることができない連続的に変化する相対位置姿勢 gco を動的ルを表し，eξ̂θab ∈ SO(3) (ただし，ξab ∈ R3 ，θab ∈ R であシステムを通じて推定する必要がある．

り，簡単化のため混乱がない限り添え字は θ のみにつけて表記する) は ΣA を基準とした ΣB の姿勢を意味する 13) ．演

そこで次の運動モデルを用いて動的視覚オブザーバを構築する．

算子 ∧(wedge) は パラメータベクトル表現を行列表現に変換

b
b
V̄co
= −Ad(ḡco−1 Vwc + ue)

する演算子であり, 3 次元の場合は 3 次元ベクトルを 3 × 3 の(4)歪対称行列へ写像し a ∈ R3 と b ∈ R3 に対して âb = a × b

ただし，ḡco は gco の推定値であり，ue は推定値を収束させを満たす．また，その逆写像は ∨(vee) で定義される (詳細

るための入力である．

は付録を参照のこと)．gab は混同しない限り，よく知られた

次に，カメラ座標系からみた観測対象の相対位置姿勢の真値と推定値の偏差 gee = (pee , eξ̂θee ) を

4 × 4 行列の同次表現

[

gab =

eξ̂θab

pab

0

1

]

−1
gee = ḡco
gco

(1)

(5)

と定義する．また，この推定偏差に対する推定偏差ベクトルとして用いる 13) ．基準座標系からみたそれぞれの位置姿

T T
を ee ∈ R6 として，ee := [pTと定義する．ただし
ee ree ]勢と同様に，カメラ座標系からみた観測対象の位置姿勢を

ree := sk(eξ̂θee )∨ ，sk(eξ̂θee ) := 21 (eξ̂θee − e−ξ̂θee ) である．

gco = (pco , eξ̂θco) と表す．

画像ヤコビアン J の擬似逆行列とカメラから得られる視覚情これらの座標系から，視覚フィードバックシステムにおける 3 つの座標系間に成り立つ剛体運動の表現を導出する．まず，カメラ座標系からみた観測対象の相対位置姿勢 gco は−1
gco = gwc
gwo

クトルは

ee = J † (f − f¯)

(6)

(2)
で与えられる 10) . このとき，偏差ベクトル ee を状態としたで表される．また，カメラ座標系からみた観測対象の相対速度は，gco を時間微分することで，
b
b
b
Vco
= −Ad(gco−1 Vwc + Vwo)

報 f ，推定値により構成される視覚情報 f¯ より，推定偏差ベ(3)

推定偏差システムは，(5) 式を時間微分することでbb
Vee= −Ad(gee−1 ue + Vwo)(7)計測自動制御学会論文集 第 42 巻

第 3 号 2006 年 3 月

3と導出される．
次にオブザーバから得られる推定値を用いて制御目的を達成するための制御偏差システムについて考えていく．まず，推定偏差と同様に制御偏差を

gec = gd−1 gco

(8)

T T
と定義し，制御偏差ベクトルを ec := [pT
ec rec ] と定義する．

(8) 式では，目標相対位置姿勢 gd が既知であることを考慮す
ると gco のみが未知情報である．一方，オブザーバから得られる推定相対位置姿勢 ḡco と推定偏差ベクトル ee を用いて，Fig. 2 Saturation function for the position error.

相対位置姿勢 gco は近似的に求めることができる 14) ．gec を
時間微分すると，制御偏差システムは(であり，Sin(peci ) のパラメータ αi > 0 は飽和領域と飽和さ

)

b
b
b
Vec
= −Ad(gecAd(g−1 ) Vwc
+ Vwo
−1
)

(9)

d

となる．推定偏差システム (7) と制御偏差システム (9) をあせる値の両方を設定する役割をもつ（注 2）．この関係を Fig. 2に示す．
ここで，飽和を考慮した制御偏差ベクトルとして[わせ動的視覚オブザーバを用いた視覚偏差システムを次のよ

eφc =うに構成する．

[

b
Vec

]

b
Vee

=

[
−Ad(gec−1)00−Ad(gee
−1
)

]

[
u+

I

b
Vwo
(10)

を考える．この飽和特性を与えた制御偏差ベクトル eφc を用いて，制御入力 u をつぎのように提案する．

[

b T
ただし，入力と状態はそれぞれ u := [(Ad(g−1 ) Vwc) uTe ]T ，u=dx := [eTc eTe ]T で定義される．出力を y := −x と定義する
bと，Vwo= 0 のもとで入力 u と出力 y の間に受動性が成り立つことが示される 10) ．

従来の制御則 10) では，視覚フィードバックシステムが有する受動性に基づき，制御偏差 ec を直接フィードバックすることで x = 0 を達成していた．しかし，制御偏差 ec が非常に大きな値をとった場合は制御入力も大きくなり，結果としてカメラ速度が過大となるため，実システムへ適用すると望ましくない摂動が起こってしまうことがあった（注 1）．そこで
本研究では，飽和特性を有する関数 (以下，飽和関数と呼ぶ)を用いることで，ある値で制御入力の値が飽和するような視:=置制御偏差のみに飽和関数を介したものを用いて制御入力を設計する．はじめに文献 15) に基づき位置制御偏差に対する飽和型三角関数 φ としてつぎのものを考える．

[]T
φ(pec ) = Sin(pecx ) Sin(pecy ) Sin(pecz )(11)

Sin(peci ) =









αi

peci ≥ α2i π

αi sin( pαeci)i|peci | < α2i π

(12)

−αi

peci ≤ − α2i π(i = x, y, z)（注 1） 観測対象がカメラ視野に収まっていることを前提としているため，摂動が起こるのは x，y 軸方向よりも光軸である z 軸
方向における偏差の影響によるところが大きい．

0

0

Ke

][

eφc

]

(14)

ee

:= diag {Kφ , Kcr } ∈ R6×6

diag {Kep ，Ker }

∈

R6×6

はそれぞ

れ 制 御 偏 差 と 推 定 偏 差 に 対 す る ゲ イ ン 行 列 で あ り ，その 要 素 は Kφ

Kcr

:=

:=

diag {kφx , kφy , kφz }diag {kcrx , kcry , kcrz }diag {kepx , kepy , kepz } ∈ R

3×3

∈

R

3×3

∈

R3×3 ，，Kep:=，Ker := diag {kerx , kery , kerz } ∈R3×3 である．
このとき，安定性に関するつぎの定理が導かれる．
b《定理 1》 観測対象が運動していない (Vwo
= 0) 場合，視覚偏差システム (10) と制御入力 (14) で構成される閉ループ系の平衡点 x = 0 は漸近安定である．
（証明） リアプノフ関数候補として覚フィードバック制御則を提案する．
姿勢制御偏差は ||reci || ≤ 1, (i = x, y, z) であるため，位Kφc

た だ し ，正 定 行 列 Kφcと Ke

3. 入力飽和を考慮した視覚フィードバック制御

ただし

(13)

rec

]

I

]

φ(pec )V =11||pec ||2 + ϕ(eξ̂θec ) + ||pee ||2 + ϕ(eξ̂θee ) (15)22を考える．関数 ϕ(eξ̂θei ) は回転行列に対する誤差関数を表す
正定関数である．
エネルギー関数 V の時間微分はT ξ̂θec b
T ξ̂θee bV̇ = pTec ṗec + receωec + pTee ṗee + ree
e
ωee
[
]
T
T
T
T
= pec rec pee ree ×] [ ξ̂θ
e ec 00[ b ]
 Vec
0 eξ̂θec


[
]


ξ̂θee
b
e
0

 Vee
0
0 eξ̂θee（注 2） 飽和させる値の大きさは後に示す制御偏差に対するゲイ
ン Kφ で調整可能であるため，望ましい飽和領域をもとにパラメータ αi を設定することが妥当である．

T. SICE Vol.42 No.3 March 2006

4

gd
g co
Visual Motion
ObserverComputer

Pose
Controllor

Camerawith
Relaive Rigid
Body MotioneceeImage from
Vertical Camera

MultiThread
Feature Coordinateswith OpenCV

Image
Wi-Fi
Communication

AR.Drone

Visual Motion Observer-based Pose Controller
with Input Saturation

Fig. 3 Block diagram of the visual feedback system.
Control Input(16)となる．(10)(14) 式を代入することでV̇ = −

[

eTc

]

eTe

[

][

Ad(−pec )00Ad(−pee )Kφc eφcC++
Control Program

Wi-Fi
Communication]

Fig. 4 Experimental system.

Ke ee
(17)

Goal

Start

0.6[m]∧
Tが導かれる．ここで pT
ec p̂ec Kcr rec = −pec (Kcr rec ) pec = 0
T∧と pT
ee p̂ee Ker ree = −pee (Ker ree ) pee = 0 を用いるとV̇ = −
=−

[
[

eTc

eTe

]

eTφc eTe

[

]

[

Kφc

0

0

Ke

Kφc

0

0

Ke

][

][

eφc
ee
eφc
ee

So

]

0.4[m]
Goal

[rad]

]
− εT Kφ φ(pec )
(18)

Sw

1.5[m]

Start

3.0[m]

Fig. 5 Experimental environment.

となる．ただし ε := [εx εy εz ] ，εi := peci − Sin(peci )，T(i = x, y, z) である．ここで Fig. 2 からも明らかなように

64[deg] の CMOS イメージセンサを用いており，画像取得周εi · Sin(peci ) ≥ 0 であるので，x ̸= 0 において V̇ < 0 が成期の公称値は 60[fps] である．実験した際の実測での画像取り立つため，ラサールの不変性原理より平衡点 x = 0 の漸近

得周期は約 64[fps] のため画像の更新周期が約 16[ms] である

安定性が示される．

のに対し，動的視覚オブザーバを用いた閉ループシステム全定理 1 より，入力飽和を考慮した視覚フィードバック制御

体の処理周期は約 0.6[ms] である．Fig. 4 に本実験の実シス則の安定性が示された．本手法では入力飽和を考慮したため，

テム構成図を示す．垂直カメラで取得した画像は，AR.Drone

視覚偏差システムの有する受動性に陽に基づいているわけでに搭載されたアドホックモードで動作する 802.11b/g 集積モ

はないが，安定性の議論においてシステムの有する歪対称性

ジュールにより PC に送られる．得られた画像から，画像処

10)

理ライブラリ OpenCV を用いて，視覚情報を抽出する．視の制御則と異なり，制御偏差が大きくともシステムに摂動を覚フィードバック制御則は Visual Studio 2008 (Microsoft

与えるような入力を未然に抑えることができる．また，カメCo.) により C++ 言語を用いてプログラミングされ，カメラ速度の上限値をパラメータとしてあらかじめ設定できるこ

ラ速度入力をロール・ピッチ・ヨー角に対する入力に変換しとから，モータなどをその性能の範囲内で駆動させることがた後，AR.Drone に送信する．

が重要な役割を果たしている．本研究の制御則は従来研究可能であるため，実システムへの適用を考えると非常に有効な

位置姿勢制御実験をおこなうため，Fig. 5 に示すような制御則であると考えられる．Fig. 3 にこのシステムのブロッ

2 つの観測対象を用意した．観測対象上の 4 つの円の中

ク図を示す．

心を特徴点とする．1 つはスタート地点上空にホバリング

4. 検 証 実 験
本実験では小型自律飛行ロボットのホバリングを前提とし，して初期値を合せるための基準座標系として，もう 1 つは目標値となる観測対象として使用した．観測対象は基準座標系に対して pwo = [−0.6 0.4 0.0]T [m] だけ離れており，3 次元の位置と z 軸周りの姿勢に対して提案する制御則の有θwoz = π/2[rad] だけ回転して設置してある．ここで，ス

効性を検証する．

タート地点での初期位置姿勢を pco (0) = [−0.6 0.4 3.0]T [m]，4. 1 小型自律飛行ロボットの概要と実験環境

θcoz (0) = π/2[rad] とし，ゴール地点での目標相対位置姿勢

本実験では小型自律飛行ロボットとして，2 台のカメラ

を pd = [0.0 0.0 1.5]T [m]，θdz = 0 と設定する．制御則には(水平カメラと垂直カメラ) が標準搭載された Parrot 社の用いないが，検証のため AR.Drone の位置姿勢は上方向と横AR.Drone を用いる．本実験で使用した垂直カメラは画角方向に設置する観測カメラを用いて計測している．なお，本計測自動制御学会論文集 第 42 巻

第 3 号 2006 年 3 月

実験で用いた AR.Drone は空中で完全に静止させる事が困

0.8

難であるため，予備実験を通して x 軸と y 軸の位置におい

0.6ては目標値から ±0.05[m] の範囲に，z 軸の位置においては

5

Start

0.4

定常値から ±0.05[m] の範囲に，また z 軸の回転においては

Goal

0.2
y[m]

±0.05[rad] の範囲に収まった時点で収束したと判断する．
4. 2 実験結果
本研究で提案する制御則の各ゲインを Kφc = diag[1.25, 1.25,

0-0.2

0.5, 1.0, 1.0, 1.0]，Ke = 12I とした．x 軸方向と y 軸方向の-0.4

偏差よりも z 軸方向の偏差が大きいため，z 軸方向の偏差を|pecz | > 1 で飽和させるために αz2 π = 1 と設定した．また x-0.6-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2α π
軸方向と y 軸方向に関しては，αx2 π = y2 = 3 と設定した．

Fig. 6 に提案する制御則による AR.Drone のトラジェクト

3.2

リーを示す．上図が AR.Drone を上方から観測したトラジェ

3

0
0.2
x[m]

0.4

0.6

0.4

0.6

Start

クトリーであり，下図は横から観測したトラジェクトリーで2.8ある．図中の四角は AR.Drone の 4 つのローター中心を結んだ外形を表しており，* 印が右後方のローター中心を意味

2.6

している．AR.Drone が π/2[rad] だけ回転しながら目標位

2.4

置に近づいていることから，制御目的が達成されていること

2.2

z[m]

がわかる．

Fig. 7 は提案する制御則における z 軸方向の制御入力と位置制御偏差を示している．上図の実線が入力飽和を考21.8慮した制御入力であり，破線が入力飽和を考慮しない場合

Goal

1.6

に与えられる制御入力である．また，下図は z 軸方向の1.4

位置制御偏差 pecz を示している．上図より，制御入力が±0.318(= kφz αz = 0.5 × 0.637) で抑えられていることが確

1.2

認される．また，下図より t = 1.427[s] までは |pecz | > 1 であり，設定した範囲において飽和関数により入力が抑えられていることがわかる．

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0
0.2
x[m]

Fig. 6 Trajectory of AR.Drone by the proposed control law:
top: top view; bottom: side view.

比較のため，入力飽和を考慮していない受動性に基づく視0.5

こなった．ゲインは上記の本研究で提案する制御則と同様に

Kc = diag[1.25, 1.25, 0.5, 1.0, 1.0, 1.0]，Ke = 12I とした．
Fig. 8 の上図が AR.Drone を上方から観測したトラジェク

vcz[m/s]

覚フィードバック制御則 10) を実装して位置姿勢制御実験をおトリーであり，下図は横から観測したトラジェクトリーであ

0
-0.32
-1

る．Fig. 6 と Fig. 8 のトラジェクトリーを，横軸を時間軸

time[s]順に x 軸, y 軸, z 軸における位置偏差と z 軸の姿勢偏差を示しており，z 軸の位置偏差においては 0.09[m] の定常偏差がみられる．位置に関して ±0.05[m] の範囲に，z 軸の回転に関して ±0.05[rad] の範囲に収まるまでの時間は，提案手法においては t = 7.21[s] で従来法 10) においては t = 21.2[s]pecz[m]としてプロットしたものを Fig. 9 に示す．Fig. 9 は上から

0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2

0

1.43

4

6

time[s]81012であった．従来法においても提案手法と同様に制御目的は達成されているものの，z 軸方向に急激に下降し目標値付近でFig. 7 Control input and the pose control error for the translation of z-axis.

は x 軸方向と y 軸方向に AR.Drone が大きく振れ，結果として望ましくない摂動がみられる．Fig. 6 と同様に滑らかに制御を実システムに適用することで，入力が過大になる場合に下降させて摂動を抑えるにはゲインを小さくせざるを得ない引き起こす望ましくない摂動を抑制可能であることを確認しが，偏差が小さくなったときには入力も小さくなるため，整た．なお，実験の様子は Web site 16) の動画で確認されたい．

定時間が長くなるというトレードオフが発生してしまう．
以上より，入力に飽和特性を考慮した視覚フィードバック

T. SICE Vol.42 No.3 March 2006

60.6

pecx[m]

0.8
Start

0.6
0.4
0.2
0
-0.2

0.4
Goal

0
-0.2

0

5

10

0

5

10

time[s]

15

20

25

15

20

25

15

20

25

15

20 21.2

25

0.2
0
-0.2

-0.4

time[s]

0
0.2
x[m]

0.4

0.6

pecz[m]2-0.6-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

1
0
0.5

3.2

time[s]θecz[rad]

3
Start
2.8

1.5
1
0.5
0
0

2.6
2.4

5

7.21

10

time[s]Fig. 9 Pose control error ec (Proposed method: Solid, Previous method 10) : Dashed).

2.2

z[m]

10

0.4

pecy[m]

y[m]

0.2

2
1.8
Goal

1.6
1.4
1.2

5

0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0
0.2
x[m]

0.4

0.6

Fig. 8 Trajectory of AR.Drone by the previous control law10) : top: top view; bottom: side view.

5. お わ り に本研究では実システムへ実装することを考慮し，入力に飽和特性を与えた動的視覚オブザーバによる視覚フィードバッ
ク制御則を提案した．そして，提案した制御則による閉ループ系の平衡点の安定性をリアプノフの安定定理に基づき議論した．小型自律飛行ロボットとして AR.Drone を用いて視覚フィードバックシステムを構築し，位置姿勢制御実験により提案する制御則の有効性を検証した．
参

考

文 献

1）田所諭：レスキューロボットの技術チャレンジ日本ロボット学
会誌，28-2，134/137 (2010)2）鈴木ほか：小型自律飛行ロボットを用いた災害時における情報収集システムの構築, 日本ロボット学会誌，26-6，553/560(2008)
3）F. Chaumette and S. A. Hutchinson: Visual Servoing and
Visual Tracking,” In:B. Siciliano and O. Khatib (Eds),
Springer Handbook of Robotics, Springer–Verlag, 563/583(2008)
4）橋本浩一：ビジュアルサーボ–I –ビジュアルサーボとは，シス
テム/制御/情報 (講座)，53-9，411/416 (2009)5）山北昌毅：ロボット制御理論概論，日本ロボット学会誌，27-4，

370/374 (2009)6）O. Bourquardez, R. Mahony, N. Guenard, F. Chaumette,
T. Hamel and L. Eck: Image-Based Visual Servo Controlof the Translation Kinematics of a Quadrotor Aerial Vehicle, IEEE Trans. on Robotics, 25-3, 743/749 (2009)7）F. Chaumette: Potential Problems of Stability and Convergence in Image-Based and Position-Based Visual Servoing, D. J. Kriegman, G. D. Hager and A. S. Morse (Eds),
The Confluence of Vision and Control, Springer-Verlag,
66/78, (1998)8）E. Altug, J. P. Ostrowski and C. J. Taylor: Control ofa Quadrotor Helicopter Using Dual Camera Visual Feedback, The International Journal of Robotics Research, 245, 329/341 (2005)9）S. Azrad, F. Kendoul and K. Nonami: Visual Servoing of
Quadrotor Micro-Air Vehicle Using Color-Based Tracking
Algorithm, Journal of System Design and Dynamics, 4-2,
255/268 (2010)10）M. Fujita, H. Kawai and M. Spong: Passivity-based Dynamic Visual Feedback Control for Three Dimensional Target Tracking: Stability and L2 -gain Performance Analysis,IEEE Transactions on Control Systems Technology, 15-1,
40/52 (2007)
11）拘束条件を考慮したシステム制御の新展開特集号，システム/
制御/情報，47-11 (2003)
12）G. Allibert, E. Courtial and F. Chaumette: Predictive
Control for Constrained Image-based Visual Servoing,
IEEE Transactions on Robotics, 26-5, 933/939 (2010)13）R. Murray, Z. Li and S. S. Sastry: A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press (1994)
14）T. Murao, H. Kawai and M．Fujita: Stabilizing Predictive
Visual Feedback Control for Fixed Camera Systems, Electronics and Communications in Japan, 94-8, 1/11 (2011)15）S．Arimoto: Fundamental problems of robot control: Part
I，Innovations in the realm of robot servo-loops, Robotica,
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ARDronemovies.html

計測自動制御学会論文集 第 42 巻《付

第 3 号 2006 年 3 月

鶴 尾

録》

有

7

生（学生会員）2011 年金沢工業大学工学部ロボティクス学科卒
業．同年金沢工業大学大学院大学院工学研究科博
士前期課程入学．飛行体の視覚フィードバック制
御に関する研究に従事．計測自動制御学会の会員．

A. 同次表現と随伴写像
演算子 ∧(wedge) は パラメータベクトル表現を行列表現に変換する演算子であり，その逆写像は ∨(vee) で定義され3
る．座標空間{ R と 3 次元回転群 (special orthogonal group)SO(3) = eξ̂θ ∈ R3×3 : eξ̂θ e−ξ̂θ = e−ξ̂θ eξ̂θ = I, det(eξ̂θ ) = +1の積空間である 3 次元特殊ユークリッド群(special euclidean{}group) を SE(3) =(p, eξ̂θ ) : p ∈ R3 , eξ̂θ ∈ SO(3)と表

す．3 × 3 の歪対称行列の集合が SO(3) のリー代数 (Lie{algebra) であり so(3) =S ∈ R3×3 : S T = −S}と表記する．同様に SE(3) のリー代数が se(3) であり，se(3) ={}(v, ω̂) : v ∈ R3 , ω̂ ∈ so(3) である．6 次元ベクトル V =(v, ω) ∈ R6 に対して，V̂ ∈ se(3) を
]
[
ω̂ v
V̂ =
0 0

(A. 1)と表す．また，その逆写像 ∨(vee) を用いると

[

ω̂

v

0

0

]∨

[
=

v

]
(A. 2)

ωとなる．このとき剛体運動における重要な性質として(

g V̂ g −1)∨= Ad(g) V(A. 3)

が成り立つ．ここで，Ad(g) は同次表現 g = (p, eξ̂θ ) ∈ SE(3)に対する随伴写像であり[Ad(g) =eξ̂θp̂eξ̂θ

0eξ̂θ

](A. 4)と表される 13) ．

［著
河 合

者

紹

介］

宏 之（正会員）
2001 年金沢大学大学院自然科学研究科電子情報システム専攻博士前期課程修了，2004 年金沢大学大学院自然科学研究科機能開発科学専攻博士後期課程修了，同年法政大学情報技術 (IT) 研究
センターポストドクター．2005 年金沢工業大学
講師．2010 年同准教授．2008 年 IEEE TCST
Outstanding Paper Award．視覚フィードバッ
ク制御とその応用に関する研究に従事．博士（工学）．IEEE CSS などの会員．

村 尾 俊 幸（正会員）
2005 年金沢大学大学院自然科学研究科電子情報システム専攻博士前期課程修了，2008 年東京工業大学大学院理工学研究科機械制御システム専攻博
士後期課程修了．2006 年産業技術大学院大学研究員，2007 年同助教．視覚フィードバック制御に関する研究に従事．博士（工学）．IEEE CSS など
の会員．

}
藤 田

政

之（正会員）
1984 年早稲田大学大学院理工学研究科博士前期課程修了．1985 年同博士後期課程中退．同年金
沢大学助手，同講師，助教授を経て，1992 年北陸先端科学技術大学院大学助教授．1999 年金沢大学教授．2005 年東京工業大学教授．2011〜2012
年 IEEE CSS Vice President, 2012 年 SICE 制
御部門長，2008〜2011 年 IEEE CSS Board ofGovernor, 2005〜2006 年 SICE 理事，2010 年
IEEE MSC General Chair, IEEE TAC, IEEE
TCST, Automatica, Asian J. Control の Associate Editor, SICE JCMSI の Editor．2008 年
IEEE TCST Outstanding Paper Award, 環境・エネルギーのためのシステム制御，受動性に基づ
く視覚と制御の融合，ロバスト制御とその応用の研究に従事．工学博士．IEEE CSS などの会員．