代数曲線暗号
松尾 和人 有田 正剛 趙 晋輝 

 中央大学研究開発機構  日本電気
   中央大学理工学部電気電子情報通信工学科

                                             
                                        Æ                                                                                                   
緒言







有限体 上の 平面 代数曲線 の   多様体の 有理点のなす集合   は有限 群を成し，その上で離散対数問題を定義可能である．以降では   を 上の  群と呼ぶ． 注意深く選択された 上の離散対数問題はこれまで知られていた素因数分解や有限体上の離散対数問題と比較しより解読が困難であり，この離散対数問題を安全性の根拠におくことで，より安全性の高い公開鍵暗号系を構成可能である．それ故， として楕円曲線を採った楕円曲線暗号は，最近では公開鍵暗号の主流となり多くの実用化がなされてきた．
一方，楕円曲線と比較しより一般的な代数曲線を用いた暗号系についても多くの研究が行なわれてきたがごく最近まで実用には供されてこなかった．
代数曲線上の離散対数問題に基づく暗号系の構成には，大別して  種類のアルゴ リズム，
即ち







  群における高速加算アルゴ リズム
安全な曲線の構成アルゴ リズムが必要である．楕円曲線に対しては，これらに関し多くの実用的なアルゴ リズムが得られている．しかし，超楕円曲線や  曲線等，より一般的な代数曲線に対しては有効なアルゴ リ
ズムが知られていなかった．しかし，最近のめざ ましい研究の結果，高速加算，安全な曲線の構成共に幾つかの効率的なアルゴ リズムが提案され，これらにより超楕円曲線や  曲線を用いた暗号系が実用に供されつつある．そこで本論文では，超楕円曲線や  曲線等の暗号応用に必要なアルゴ リズムの最近の研究成果，研究動向を紹介する．



本研究の一部は，通信・放送機構「情報セキュリティ高度化のための第ジェクトの一環として行われた．

世代暗号技術の研究開発」プロ

本論文では，まず  章で代数曲線上の離散対数を定義すると共にその攻撃法をまとめる．
そして ! 章で超楕円曲線，" 章でより一般的な代数曲線に対する，高速加算アルゴ リズム，安全な曲線の構成アルゴ リズムのこれまでの研究成果と研究動向を紹介する．

 代数曲線上の離散対数問題とその攻撃法
本章では，代数曲線上の離散対数問題を与え，その攻撃方法をまとめる．
#  を標数 ，位数 の有限体とする． を 上の代数曲線で，  群
数 の元 および ， が生成する巡回群の要素 が与えられているとする．













   の位


代数曲線上の離散対数問題 与えられた     および  に対して， #  となる整数
 $%   &' を求めよ．
   における効率的な加算アルゴ リズムが与えられているとき，代数曲線上の離散対数問題を用いて離散対数型暗号を構成可能である．
代数曲線上の離散対数問題に対しても，( ) 法，      法，( 
 法等の一般的な攻撃法が成立することはいうまでもない．したがって， はほぼ素数であること 大きな素数と小さな整数 &" 等 の積 が必要であり，また代数曲線上の離散対数問題は高々    の計算量で解かれる．
代数曲線上の離散対数問題固有の攻撃方法としては，楕円曲線暗号に対する *+, 攻撃の一般化である     法，楕円曲線暗号に対する --- 法の一般化である ./ 法および
 0*)  法とその 1  が知られている．

  法に対し，  群の    のなす群 $ '  は，  2     を用いて， に & の 乗恨を添加した体の乗法群に埋め込まれ，有限体の乗法群における離散対数問題に帰着する．したがって，代数曲線上の離散対数問題が安全であるには，楕円曲線暗号の場合と同様に，体 の小さな拡大体 拡大次数が数十程度 に
は & の 乗根が含まれないことが必要である．
標数 と素な整数 法 








因子 と線形同値な   群の   
# $ ' に対して， は主因子   となり，は 上の正則微分形式となる．この対応 によって， $ '  は 上の正則微分形式の空間 3   に埋め込まれる．正則微分形式
はその局所パラメータによる展開   の最初の   & 個の項       で決まるので  は種数，結局，
 $ '  はに埋め込まれ，    に関する離散対数問題は，有限体の加法群における離散対数問題に帰着し，   となる．

 

 









  






 


 法







 
 

上の，種数 の超楕円曲線  #   に対して，   4   という形の関数の主因子に表れる因子を    として指数計算法を用いれば，    4 & という制約のもとで， を無限大にとばすと，その離散対数問題が 5   なアルゴ リズムで解かれる $&'．同様な結果は   曲線に対しても予想されている $&6'．

 
1  $&7' は，指数計算法における    の発想を  法に取り入れたもの
で，種数  の超楕円曲線上の離散対数問題を    8    4         の計算量で解く．これにより，種数が " 以上の超楕円曲線を暗号に用いることは原則としてできない ただし，もちろん，有限体のサイズを十分な大きさにとれば用いることはできる．
1  では，   として曲線上の有理点の集合 要素数は  が用いられる． 法では群上の     が過去の軌跡に衝突するのをまつが，1 では，過去の軌跡との「ニアミス」をまつ．ニアミスとは差が   な元であることである．このようなニアミスが    の要素数以上発生すると，離散対数問題は   元のスパースな連立一次方程式を解く問題に帰着される．
1  を，  曲線など ，  群   における効率的な加算アルゴ リズムが与えれている曲線に一般化することは容易である $"'．
また，1  は 9 $&"' によって提唱された :    を実現可能にした．すなわち，与えられた代数曲線 に対して，:  を用いて，定義体のサイズを落し，種数を大きくした代数曲線  を構成し， 上の離散対数問題を  上のそれに帰着させ，1  を適用するものである．:    は楕円曲線のみならず $&'，
超楕円曲線に対しても適用されている $&;'．















ここで紹介した攻撃法に対し耐性があり且つ が &;% 以上の素数を因子としてもつ代
数曲線上の離散対数問題に基づく暗号系は現在のところ安全であると考えられている．

 超楕円曲線を用いた離散対数型暗号
本章では，超楕円曲線を用いた離散対数型暗号に関するアルゴ リズムについて紹介する．
議論の簡略化のため，本章では有限体 #  の標数 #  とする．
上の種数 の超楕円曲線 は， #  4 &    # % である  $ ' により



















!&    #   と定義される．  #   を満足する #   <  と，唯一の無限遠点 を併せて上の点と呼ぶ．点 #  に対して < #   ，また < # と定義する． の因子
を 上の点  の有限形式和





!



#


           









 
 











で定義する．! で与えられた因子 の次数を  #     で定義する．次数 % の因子の集合を  と書く．また，主因子の集合をと書く． の   多様体は

!!  #

と定義される．
の点の間の写像       の への延長  は の自己準同型になる．  をの 乗 9   写像と呼ぶ．  上の   群    は  で固定される
の元全
体である．
の元を以下の形式の因子 で表現可能である．





 





 






 

#

   #    

!"



 







 









%

但し ， # に対し  # < とする．式 !" の形式の因子を     といい，   を の  と呼ぶ．: が種数以下の     を特に    と呼ぶ．.    により の元は一意的に表現される．
式 !" で与えられた     を多項式
  $ ' を用いて # 
と
表現可能である．ここで， #     であり， は %   を満足する唯一の多項式である．-    の，この表現を *  表現と呼ぶ．
#   に対し ，  $ ' と     は同値である．超楕円曲線の暗号応用で
は，  群の元の表現に殆どの場合     の *  表現が利用される．









 

  

  

 



 





 
 



 群における加算

超楕円曲線を用いて効率的な暗号系を構成するために，   上の高速加算アルゴ リズム
が必要不可欠である．幸い が超楕円曲線のときは，1 の整係数虚  次形式に対する
    と   アルゴ リズムを，*  表現を利用した多項式の  次形式に自然に拡張し，加算アルゴ リズムが得られる $;'．通常この種の加算アルゴ リズムを =  アル
ゴ リズムと呼ぶ．   & に =  アルゴ リズムの概略を示す．

 ! =  アルゴ リズム
入力" .   #      #       
出力" .     #     #4 

     4  #  4  4   4           4   4    4       
 #!   !          

 #!

   上の加算に =  アルゴ リズムを用いることで，実用的な速度の暗号系を構成可能である．また，=

 アルゴ リズムに対し多くの改良 $"7 "; 7' が行なわれ，より高速

な暗号系が構成可能になった．しかし，=  アルゴ リズムを用いた超楕円曲線暗号は安全性が同一の楕円曲線暗号と比較し数倍以上低速であり，より高速な加算アルゴ リズムが望まれていた．
最近， #  の超楕円曲線に対し ，) によって =  アルゴ リズムとは計算方針の異なるアルゴ リズム ) アルゴ リズム が与えられた $&> !'．) アルゴ リズムでは
種数を固定し，また入力因子を詳細に分類し各々に対して最適化された計算手順を用いることで，高速化が図られている．更に，これらの制限により多項式に対する中国人剰余定理，? 反復，@  乗算をアルゴ リズム中に陽に記述可能となり，定義体上の演算を用いた記述による高速アルゴ リズムが得られた。    ! に最も良く起こる入力ケースに対する ) アルゴ リズムの概略を示す．

 ! $ ) 加算アルゴ リズム
入力" .   #      #          #     # &出力" .     #     #4            
 
 4
 
          ! )  倍算アルゴ リズム
入力" .   #           #      # &出力" .     #     #             
 
 4
 
         ) アルゴ リズムを用いた超楕円曲線暗号は，安全性が同一の楕円曲線暗号と同程度の速度であることが知られている $!>'．更に，幾つかの改良 $!> "" 6"' の結果，現在では加算
を 上の逆元計算 & 回と乗算 6 回で， 倍算を逆元計算 & 回と乗算 ; 回で実現可能である$6!'．
上記アルゴ リズムはいずれも  #  の場合には対応していないが，この場合に対する = アルゴ リズムが $!&' に，) アルゴ リズムが $6!' に示された．また，$!"' は ) アル
ゴ リズムの  # ! への拡張を示した．


安全な超楕円曲線の構成 章で紹介した攻撃に対し耐性があり， が &;% 以上の素数を因子としてもつ超楕円曲線を「安全な超楕円曲線」と呼ぶ．安全な超楕円曲線を構成する上で最も重要且つ困難な課
題は， が &;% 以上の素数を因子としてもつ曲線の構成である．超楕円曲線は楕円曲線と比較しより複雑な構造を持ち，得られている数学的知見が少ないこともあり，安全な超楕円曲線の実用的な構成アルゴ リズムは知られてこなかった．しかし，ここ数年多くの研究が行なわれ実用的なアルゴ リズムが幾つか提案されるようになった．
安全な超楕円曲線の構成アルゴ リズムは，楕円曲線に対するアルゴ リズムの拡張として大きく分けて ! 通りの方法が考えられる．即ち，ランダム曲線を用いる方法=* 曲線を用いる方法@  A の方法



 

である．これらはいずれも与えられた超楕円曲線に対し， 上の   群の位数 B
または の拡大  上の   群の位数 B    を計算するアルゴ リズムである．
の 乗 9   写像の特性多項式は  次の整係数多項式

















!6 "   #  4 & #  4 &#     4  


















    は "   を用いてとして与えられるが，B

!; B    # " &"   またはその根 をと計算される．これまでに提案されたアルゴ リズムは，いずれも  
計算するものである．

ランダム曲線を用いる方法



与えられた超楕円曲線
に対し ，B   を計算するアルゴ リズムが在れば，これをランダムに与えられた超楕円曲線に対し繰り返し用いることで安全な曲線を得ることが可能である．
与えられた曲線の   群の位数を計算するアルゴリズムは，初めに楕円曲線に対し - 
によって与えられ，その後，これの超楕円曲線に対する拡張が行なわれた $"> >  6'．これらの拡張アルゴ リズムはいずれも   の多項式オーダーのアルゴ リズムではあるものの，実用的なアルゴ リズムとはいいがたく，その実装は行なわれて来なかった．
最近，1 と ) により種数  の超楕円曲線の   群の位数計算アルゴ リズム
1 ) アルゴ リズム が実装された $&>'．
1 ) アルゴ リズムでは の     は と異なる素数 を得るために =  の     $7' を用いる．=  の      は  が &の因子に対するものだが，1 ) アルゴ リズムでは   計算による変数消去を用いて，これから一般の   に関する      を計算する．そして，多項式の因数分解アルゴ リズムにより の拡大体上の    の * 
表現を実際に計算する．従って，    の存在する拡大次数によってアルゴ リズ
ムの動作速度は大きく変動する．また，    の次数は   であり，現状の計算機環境では # &! 程度の計算が限界である． $ ' が求まった後には，!6 から$    4     4 ' # % を満足する %   を実際の群演算によって発見し，





$

$ 

$

$

$



# #

$

#  

 $
# $

$

#



$

$

得られた  を !; に代入することで B     を得る．この操作を十分な数の に対して行なえば中国人剰余定理により B   が得られる．
しかし ，現状では十分な が得られないため，更に = *    $!;' を用いてB     を計算し，中国人剰余定理により得られた B      は 達と の積 を用いて，最終的に (   法を用いて B   を得る．1 ) アルゴ
リズムにおける  法の計算量は   である．1 と ) は，このアルゴ リズムにより &> の位数計算を実現した．しかし，実際の計算は  法によるところが大きかった．
その後，計算量が   の       法が提案され， 法の代りにこのアルゴ リズムを用いることで &;% の位数計算が実現された $"&'．しかし，これらは拡大体上の曲線に対する位数計算の結果であり，素体上の曲線に対しては今のところ暗号に利用可能なサイズの位数計算は実現されていない．また，種数 ! 以上の超楕円曲線に対する実装も知られていない．特に，1 ) アルゴ リズムで用いられた一般の   
を得る手法の，種数 ! 以上の曲線への拡張は困難な課題である．
以上では定義体 の標数 に係わらず有効なアルゴ リズムを紹介した．これらとは別に，が十分に小さいとき有効な位数計算アルゴ リズムが知られている．この種のアルゴ リズムは初めに楕円曲線に対し佐藤によって与えられた．超楕円曲線に対しては，    を用いる 1* 法 $" &C' と 進コホモロジーを用いる @  アルゴ リズム等 $!% % !6 &&'が知られており，いずれも暗号利用に十分なサイズの位数を高速に計算可能である．





$



 





$



 

$







% 曲線を用いる方法
  多様体が虚数乗法を持つ代数体上の超楕円曲線（ 以降 =* 超楕円曲線と呼ぶ．）を用いて安全な位数の有限体上の超楕円曲線を得る方法が知られている．この方法は  多様体の虚数乗法理論 $6%' を基礎とする方法であり，代数体上の =* 超楕円曲線の構成=* 超楕円曲線の有限体上での位数計算を必要とする．
代数体上の =* 超楕円曲線の構成は，テータ定数 $!!' を近似計算により求め，これから曲線の不変量を求めることで行なわれる．種数  の超楕円曲線に対しては井草不変量 $;' が知られており，これを用いることで代数体上の =* 超楕円曲線を効率的に計算可能である$6 6; "6 6> 66'．特に $6> 66' では類数が &% を超える曲線を効率的に計算可能な計算アルゴ リズムを与えている．また，これらとは別に有限体上の超楕円曲線から =* 超楕円曲線を得る試みがなされている $C "%'．しかし，現状ではいずれのアルゴ リズムも，楕円曲線に対するアルゴ リズムと比較すると計算可能な類数は小さい．上記は全て曲線の井草不変量を求めるアルゴ リズムであり，実際の =* 超楕円曲線を求めるには井草不変量から曲線の定義式を導くアルゴ リズムが必要となる．これに対する効率的なアルゴ リズムは幾つか知られている $" 6> !C'．
種数 ! の超楕円曲線に対しては，塩田不変量 $6&' を用いた構成の試み $6C' がなされているが，=* 体 の  に対応する  多様体が一般には超楕円曲線の   多様体にならない等，多くの課題が残されている．

上記アルゴ リズムによって得られた =* 超楕円曲線の有限体上への   の   群の位数計算は高速アルゴ リズム $> &% 6>' が知られており，=* 超楕円曲線から効率的に安全な超楕円曲線を得ることが可能である．しかし，これらはいずれも素体上の曲線に対する
アルゴ リズムであり，また有限体のサイズを指定するものであって，与えられた有限体に対し位数計算を行なうものではない等，解決すべき課題は多い．

& '( の方法とその改良@  A $!&' は，" から " ひいては B    が簡単に計算可能なことを利用し，   上で暗号系を構成した．$!&' に示されたアルゴ リズムは " を求めるために， の  有理点
数を数え挙げる必要が有り，この計算量は    であった．従って，小さな  に対してのみ有効であり，利用可能な曲線のクラスは小さかった．しかし，最近，" を求めるために D
$&' の方法を利用した高速アルゴ リズム $C' が提案され十分な数の曲線を利用可能になった．








 より一般的な代数曲線を用いた離散対数型暗号
ここでは，楕円，超楕円曲線以外のより一般的な代数曲線を用いた離散対数型暗号の試み
について紹介する．
! 章で述べたように，代数曲線の   群を用いて離散対数型暗号を構成するには， 
群における加算を効率的に実行すること，および   群の位数を効率的に計算することが必要である．楕円，超楕円曲線以外で，これらの問題に対して幾らかの結果が知られている曲線として，  曲線 $&6' および  曲線 $"! !7' がある．
-  曲線とは以下の定義式をもつ非特異アフィン曲線である．



 # Æ  Æ 4 Æ  Æ 4    4  %Æ

ここで， と は互いに素な自然数であり， は定義体の標数とは素であるとする．  曲線とは以下の定義式をもつ非特異アフィン曲線である．

    #

"&





    &   # %

ここで， と は互いに素な自然数である．明らかに，  曲線は  曲線のサブセッ
トである．



 群における加算-  曲線や 曲線においては，無限遠点が一点しかないことから，  群と座標環のイデアル類群が自然に同型となる．そのため，  群における加算をイデアル類
群における乗算として実行できる．イデアル類の代表系としては，同じ イデアル類に属するイデアルのうち，次数が最小のイデアルを取ることができ，  群の加算は以下のようにして実行される $!'．

 !  イデアル表現による   群加算アルゴ リズム
入力" 座標環 ' のイデアル ( と (出力" イデアル積 (  ( に同値なイデアルで次数が最小のイデアル (( (  ( 
極位数が最小の  # %  (   (
 
極位数が最小の  # %   (  


 (

) '

ここで，極位数とは唯一の無限遠点における極位数を指す．また， #     はイデアル商である．
上記のアルゴ リズム 或はそのバリエーション  を実現するには，イデアルを何らかの方法で表現しなければならない．-  曲線に対して，$&6' では，数体におけるイデアル類群の演算方法を流用し，イデアルを $ '加群としての )  標準形によって表現している．  曲線に対しては，$!' では，極位数から定まる位数つき単項式順序に関するグレブ
ナ基底を用いている．また，$' では，$&6' の手法を  曲線に拡張している．
いずれの場合も効率上重要なのは，与えられたイデアルに対して，極位数が最小の多項式を求めることである．そのために，$&6 ' では 222 アルゴ リズムを，$!' では E
アルゴ リズムを用いているが，これらはいずれも「万能」アルゴ リズムに頼ったものであり，より効率的な手法が待たれるところである．

)(











 群の位数計算



任意の   曲線や  曲線に対して，その   群の位数計算を効率的に実行するアルゴ リズムは知られていない．いくつかの特殊なケースについて効率的な計算方法があるという状態である．

) ' 和を用いる方法
超楕円曲線の場合と同様に $!'，異なる素数  に対して&  4 *  4 & # %

という形の式で定義される    曲線はその合同ゼータ関数 の分子 が  
和によって表示される $67' ため，容易に   群の位数を計算することができる $"'．
モジュラー曲線を用いる方法



モジュラー曲線の商曲線として表れる  曲線に対しては，D-  
いて，一般のケースよりは，効率的に   群の位数を計算することができる $6'．

を用& の方法の拡張$!%' は，標数  が小さいとき，& 次の  . コホモロジー群への 9   準同型の作用を計算することで，超楕円曲線にたいして   群の位数計算が可能であることを示したが，この方法は $%' によって，  曲線に，直接的な形で，拡張されている．
参考文献$&' 2 *    0*   * 0 )   5                                    ? -F - , 2?=- >77 &CC" >G"%
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$!' 有田正剛  曲線のヤコビアン群加算アルゴ リズムとその離散対数型暗号への応用 電
子情報通信学会論文誌  > &CCC&C&G&CC$"' -   1 H       FDF=D .?- 9+I?0 D>! %%%
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$"&' @ *    =    - J                               ? -, - , 2?=- !;C
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松尾 和人 非会員 〒 &&>>6& 東京都文京区春日 &&!7&C>> 年中大大学院博士前期課程了．同年東洋通信機（株）入社．%%& 年中大大学院博士後期課程了．工博．%% 年中大・研究開発機構助教授．電子情報通信学会会員．
有田 正剛 非会員 〒 &;>666 川崎市宮前区宮崎四丁目１ー１&CC% 年 ?D= 入社．現在，インターネットシステム研究所主任．%%% 年中大大学院博士後期課程了．工博．電子情報通信学会，日本数学会会員．
趙 晋輝 非会員 〒 &&>>6& 東京都文京区春日 &&!7&C> 年中国西安電子科技大・電子卒．&C>> 年東工大大学院博士課程了．工博．&C>C 年東工大助手．&CC 年中大助教授．&CC; 年同大教授．電子情報通信学会論文賞受賞（ 昭 ;!，平 ）．電子情報通信学会会員．