SSE-DP-2023-5

2 種類の陽性に対するグループテストのためのBP と MCMC の hybrid アルゴリズム

松島 裕康 1， 田島 友祐 1， 盧 暁南 2， 神保 雅一 1,31

滋賀大学，データサイエンス・AI イノベーション研究推進センター
2

3

岐阜大学，工学部 電気電子・情報工学科

統計数理研究所，大学統計教員育成センター

SSE-DP(ディスカッションペーパー・シリーズ)は以下のサイトから無料で入手可能です．
https://stat-expert.ism.ac.jp/training/discussionpaper/
このディスカッションペーパーは，関係者の討論に資するための未定稿の段階にある草稿である．著者の承諾なしに引用・複写することは差し控えられたい．

SSE-DP-2023-5

Belief propagation and MCMC hybrid algorithms
for group testing with two kinds of defectives
Hiroyasu Matsushima1, Yusuke Tajima1, Xiao-Nan Lu2, Masakazu Jimbo1,3
1

Data Science and AI Innovation Research Promotion Center, Shiga University

2

Department of Electrical, Electronic and Computer Engineering, Gifu University
3

Center for Training Professors in Statistics, The Institute of Mathematics

Abstract
Testing 𝑛 objectives one by one requires 𝑛 tests, but the number of defective
objective is often small. When multiple objectives can be tested of a pool, if the test result
is negative, it can be determined that all objectives in its pool are negative at one time.
Or, if the test result for that pool is positive, at least one or more of the objectives in thatpool is positive. Thus, testing each pool that made by combining multiple objectives iscalled group testing. Using a group test, the posterior probability that each specimen is
defective can be calculated from the test results of a much smaller number of pools than
the total number of objectives. However, when making a positive/negative determination,
the probability of false positives/false negatives in each test must be considered.
Therefore, for this purpose, algorithms such as Belief Propagation (BP) and Markov
Chain Monte Carlo (MCMC) are employed.
In this report, we develop and evaluate BP and MCMC algorithms for a combinatorialgroup test design that reduces the number of tests when there are two types of defectives.

2 種類の陽性に対するグループテストのためのBP と MCMC の hybrid アルゴリズム
松島 裕康 1

田島 友祐 1

盧 暁南 2

神保 雅一 1,3

1 滋賀大学, データサイエンス・AI イノベーション研究推進センター
2 岐阜大学, 工学部 電気電子・情報工学科
3 統計数理研究所, 大学統計教員育成センター

1.

グループテスト2.

2 種類の陽性を含むグループテスト

そうでないとき，XjA = 0 とする．B についても同様に定義する．また，XjAB = XjA ∨ XjB とする．
n 個の検体を一つ一つテストすると n 回のテスA，B，AB に対するテストを行うプールの集合をトが必要になるが，グループテストは n 回より少それぞれ，G A ，G B ，G AB とし，A に対するテストないテスト回数で陽性検体を識別するために用い∨を行うプール Gi ∈ G A に対して，ZiA = j∈Gi XjAられる．具体的には，複数の検体を 1 つにまとめたとする．また，Z A = (ZiA |Gi ∈ GA ) とする．B，プールに対してテストを行ない，結果が陰性であAB についても同様に定義する．また，Gi ∈ G A のれば，そのプールに含まれる全ての検体が陰性であAることを 1 回で判定できる．また，陽性であれば， 観測値 si の値は 0, 1 の 2 値とし，各テストにおける FP，FN の確率 p(1|0), p(0|1) は既知とする．
その中のいずれかの検体が陽性である．様々な プール の集合をプーリングデザインと呼び，その組合せ構造により，グループテストの効率が左右される．グループテストは多数の製品の不良品の検出やDNA ライブラリのスクリーニングのような陽性検体の割合が小さい（0.0001〜0.01 程度）場合に有効である．グループテストの結果から各検体が陽性である事後確率を計算することができるが，各テストにおける false positive(FP)/negative(FN)の確率を加味して陽性／陰性の判定を行う必要が
図 1: 2 種類の陽性に対するグループテストある．グループテストには adaptive，nonadaptiveの 2 通りがあるが 1 回のテストに時間がかかる場
A, B に対する陽性率を pA , pB とし，観測値 sA ，B合には，大量のプールを一度にテストして陽性検
s ，sAB が得られたもとで各検体 cj が A, B に対体を識別する nonadaptive な手法が用いられる [2]． して陽性である周辺事後確率

本研究では，A，B の 2 種類の陽性が存在する場合を考える．A，B のそれぞれに対して個別にグループテストを実施するとテスト回数が 1 種類の場合に比べて 2 倍になることが想定される．これに対し，図 1 のように，A，B のそれぞれに対するテストを行うプールと，AB に対するテスト（すなわち，A と B のいずれかに陽性であればテスト結果が陽性となるテスト）を行うプールを混在させることにより，テスト回数を削減する．
検体 cj が A に対して陽性であるとき，XjA = 1，1Pr(XjA = a, XjB = b|sA ，sB ，sAB )(1)を, a, b = 0, 1 の各場合について求めて陽性/陰性を識別したい．
本研究では，そのために Belief Propagation および MCMC を用いたアルゴリズムを開発し，その効率を評価する．

3.

Belief Propagation による推定の評価

Belieif Propagation (BP) を用いた事後確率の推定を評価するため，FP, FN の確率と陽性確率に従った擬似的なグループテストの結果を生成し，それに対する BP の性能を評価する．陽性の検体については，A，B それぞれ 10 個ずつに固定し，陽性の検体は個数に従ってランダムに割り振った．FP, FNの確率をそれぞれ，p(1|0) = 0.01, p(0|1) = 0.03とし，pA = pB = 0.002 として，A，B，AB についてそれぞれ，98 回，98 回, 147 回検査する poolingdesign を用いて，シミュレーションを 1000 回繰り返した．各シミュレーションにおいて，上記の設定に従いグループテストの観測値が決定される．用いた pooling design は FP，FN が存在しない場合に A，B それぞれ 4 個体程度までは正しく判定されることが保証されているが，本シミュレーションの陽性数はそれぞれ 10 個体と多く，BP のアルゴリズムでの識別限界に近い．
これらの各グループテストの結果に対して BPを用いて，事後確率を推定した結果を表 1 に示す．
表 1 は，各検体が陽性である事後確率を大きい順に並べたとき，すべての真の陽性検体が 95%，99%の確率で何位までに入るかを示した表である．
陽性検体を含む確率
順位

99%
A:105
B: 97

95%
A:26
B:23

表 1: すべての真の陽性検体が含まれる順位

4.

MCMC との hybrid アルゴリズム

(0)

(0)

じて，ランダムに陽性検体の集合 PA ，PB を定め，各ステップ t で検体番号 j = 1, . . . , n につい(t)(t)て順に，cj を PA ，PB に含めるか否かに関する推移確率を求め，それに応じて乱数を発生させて，(t)(t)
PA ，PB の要素を変化させる．これを一定回数繰(·)(·)
り返して，各検体が PA ，PB に属した比率で事後確率を推定する．
BP によるスクリーニングを用いて陽性の確率が非常に小さい検体を除き，MCMC により事後確率を計算することにより，陽性検体が想定以上に多く，BP での収束値お呼び収束性に問題がある場合にも，計算時間を短縮して MCMC で真の事後確率の良い近似値を求めることができる．実際，あるシミュレーションでは，A, B それぞれ 10 個ずつの陽性を含む 2401 個の検体に対して BP によりスクリーニングを行った結果，アルゴリズムは収束しなかったが，常に事後確率が小さい検体を除くと 187 個の検体が残った．これらの検体に対して，事前確率を pA = pB = 0.1 として，MCMC を実行した．事前確率を 0.1 とした場合も，0.05 の場合も事後確率の順位にはほとんど影響せず，A では 19 位まで，B では 15 位までにすべての陽性検体が収まった．この結果と表 1 を比較すると，BPのみの場合に比べて，MCMC を併用する方が，より識別力（スクリーニング力）が高くなっていることがわかる．

参考文献

BP アルゴリズムは高速だが，陽性検体の数が多くなると，プーリングデザインの 2 部グラフのサイクルが原因で，BP で求められる周辺事後確率と真の値との乖離が大きくなったり，BP が収束しないことが生じる [4]．これに対し，MCMC(MarkovChain Monte Carlo) 法を用いて周辺事後確率を求めることが考えられる [3]．しかし，MCMC 法はBP に比べて計算時間がかかる欠点がある．
本研究では，BP アルゴリズムをスクリーニングアルゴリズムとして用い，BP の計算によって陽性である周辺事後確率が一定以下の検体を削除して，残った検体とそれに対する pooling design お
よび観測結果を用いて，MCMC アルゴリズムにより各検体の周辺事後確率を求める hybrid アルゴリズムを提案する．
ここでは MCMC アルゴリズムとして，Gibbssampler を採用する．まず，事前確率 pA , pB に応[1] Aldridge, M., Johnson, O., Scarlett, J.,“Group testing: An Information Theory Perspective”, Trends Commu. Infor. Theory, Vol.
15, pp.196-392, 2019.
[2] Du D.-Z., Hwang F., Combinatorial Group
Testing and its Applications, pp.336, World
Scientiﬁc, 1999.
[3] Knill E. et al., “Interpretation of pooling experiments using the Markov Chain Monte
Carlo method”, J. Comp. Biol., 33, pp.395406, 1996.
[4] Uehara, H., Jimbo, M., “A Positive Detecting Code and Its Decoding Algorithm
for DNA Library Screening”, IEEE/ACM
Trans. Comp. Biol. Bioinfo., Vol.6, No.4,pp.652–666, 2009.

2

概要
本研究の目的
2種類の陽性検体が含まれたグループテストにおいて，各陽性検体を確率伝搬法(BP)とMCMCで効率的に識別(あるいはスクリーニング)

アプローチ
BPを用いて検体の陽性確率の推定から絞り込み→ 絞り込んだ陽性検体の候補についてMCMCによる推定結果- BPによるスクリーニングが難しい場合に，プーリングデザインの識別能力を大きく超えなければBPとMCMCによるハイブリッドアルゴリズムが有効

3

グループテスト- 対象検体を混ぜ合わせて (組み合わせて) プールを作って検査することで検査数を削減する- 混ぜ合わせたプールを複数用意して検査することで，陽性の検体を識別(スクリーニング)したい

推定検体の集合:𝐶 = {𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , … , 𝑐𝑛 }poolsの集合:
𝒢 = {𝐺1 , 𝐺2 , 𝐺3 , … , 𝐺𝑚 }検査は２段階を想定
4

Pooling Design
𝐶と𝒢の包含関係は 2 部グラフあるいは結合行列で書ける．
この組合せ構造を pooling design という検体の集合:

𝐶 = {𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , … , 𝑐𝑛 }poolsの集合:

𝒢 = {𝐺1 , 𝐺2 , 𝐺3 , … , 𝐺𝑚 }c1c2c3c4c5c6c7G11001101G20101011G30010110c1c2c3c4c5c6c7G1G2G35

Pooling Design
少なくとも1個，陽性の検体が含まれていればプールは陽性

pooling design
1000
10001110101

検体の状態
(未知)
negative0

negative10111∨10000

観測値

プールの状態 検査結果
(2値, 多値)(未知)
1

1= 100001

検体が含まれていれば，1検体を含んでいなければ，0FP, FN
テストの結果は，FP, FNが起こり得るなか，2値の観測値が得られる(あるいは多値)6

グループテストの目的
1𝑋𝑗 = ቊ0

検体 𝑐𝑗 が陽性
検体 𝑐𝑗 が陰性

プール 𝐺𝑖 の状態: 𝑍𝑖 = ‫ 𝑗𝑋 𝑖𝐺∈𝑗ڀ‬,
事前確率: 𝑃 𝑋𝑗 = 1 = 𝜃0 negative
観測値: 𝑆𝑖 = ቊ
1 positive(有病率)(あるいは多値)

周辺事後確率: 𝑃 𝑋𝑗 = 1|𝑆1 = 𝑠1 , 𝑆2 = 𝑠2 , … , 𝑆𝑚 = 𝑠𝑚
を求めたい
𝑃 𝑋𝑗 = 1|𝑆1 = 𝑠1 , 𝑆2 = 𝑠2 , … , 𝑆𝑚 = 𝑠𝑚𝑛1= ෍ 𝑃 𝑿 = 𝒙 𝑃 𝑺 = 𝒔|𝑿 = 𝒙
𝐶𝑗′=1𝑗′≠𝑗

𝑺 = (𝑆1 , … , 𝑆𝑚 )𝑿 = (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 )2𝑛−1 個の和 (計算量が膨大)→ 確率伝搬法(BP)を用いて周辺事後確率の近似値を求める
7

グループテストにおける確率伝搬法を用いた推定関連研究- H. Uhehara, M. Jimbo(2009), A Positive Detecting Code and its Decoding
Algorithm for DNA Library Screening, IEEE/ACM Transactions on
Computational Biology and Bioinformatics 5(4), 652-666.
- H. Uehara, M. Jimbo(2009) A positive detecting algorithm for DNA library
screening based on CCCP, J. Japan Statist. Soc. 39, 89-109.
- T. Kanamori, H. Uehara, M. Jimbo(2012), Pooling design and bias correction
in DNA library screening. J. Stat. Theory Practice 6(1), 220-238.
- D. Sejdinovic and O. T. Johnson(2010), Note on noisy group testing:
Asymptotic bounds and belief propagation reconstruction. In 48th Annual
Allenton Conference on Communication, Control, and Computing. 998-1003.
- A. Sakata(2021). Active pooling design in group testing based on Bayesianposterior prediction. Physical Review E, 103, p. 022110- A. Sakata and Y. Kabashima(2021). Decision theoretic cutoff and ROC
analysis for Bayesian optimal group testing. arXiv: 2110.10877- L. Ciampiconi, B. Ghosh, J. Scarlett, and K. S. Meel, “A MaxSAT-BasedFramework for Group Testing”, AAAI, vol.34, no.06, pp.10144-10152, 2020.
8陽性が2種類の場合
特定したい陽性の種類が2種類の場合において，検査数を抑えつつ，それぞれの陽性の検体を特定したい例)コロナとインフルエンザ，オミクロン株とデルタ株， etc

単純に考えると，検査数が倍になる

AB

Aの検査

Bの検査

プーリングデザイン

プーリングデザイン{1, 0}𝑚×𝑛{1, 0}𝑚×𝑛9

陽性が2種類の場合
プーリングデザインのプールを，種類ごとの固有の検査(𝑚𝐴 , 𝑚𝐵 回)と共通の検査(𝑚𝐴𝐵 回)に分けて使用

共通の検査は種類の区別はできないが，いずれかに陽性であれば陽性反応が現れる

Aについて{1, 0}𝑘×𝑛40回

A

Bについて
{1, 0}𝑘×𝑛B

両方について{1, 0}(𝑚−𝑘)×𝑛60回例) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 40， 𝑚𝐴𝐵 = 60としたとき，Aについて40回，Bについて40回，共通部分について60回の合計140回
10共通プーリングデザイン
有限アフィン幾何を用いたプーリングデザインの作成
2, 𝑠ҧ − separableなプーリングデザインを構成→ 検体は1つのクラス(図中の▢で囲まれた表)の中で，必ず2回はどれかのグループ (g) に含まれる
プール12

7 = 49

𝑔𝑙𝐴

プール49
プール50

𝑐2

𝑐3

𝑐4

100

10

101…

𝑐𝑛0…

1

異なるプーリングデザイン

プール98

プール50

𝑐1︙

プール49

プール1

𝑔1𝐴

プール99
𝑔1𝐴𝐵

𝑐1

𝑐2

𝑐3

𝑐4

0

1

1

10

100…

種類ごとの検査用
𝑚𝐴 = 𝑚𝐵

𝑐𝑛
1︙

7𝑔𝑙𝐴𝐵

…

異なるプーリングデザイン
異なるプーリングデザイン
異なるプーリングデザイン
検体𝑐1 が属する
プール番号異なるプーリングデザイン
110

共通検査用
𝑚𝐴𝐵

確率伝搬法 (Belief propagation: BP)グラフィカルモデル上の推論アルゴリズム
2部グラフの上でメッセージをやり取りして，周辺事後確率の近似値を求める手法
c1

c2

c3

c4

c5c6

c7: Qメッセージ: Rメッセージ

G1G2G3- 2部グラフにloopがなければ正しい値に収束する- 検査結果を満たす陽性検体の組の候補が複数存在し，2部グラフに短いloopがたくさんあるとBPが収束しない
あるいは，収束値の真の周辺事後確率からの偏りが大きくなる
12

BPによる絞り込みとMCMC
グループテストの結果

BPによる推定周辺事後確率が高い順に並び替え，
𝜃𝑟𝑎𝑛𝑘 位以内の検体を抽出*直接MCMCにかけると膨大な計算時間を要する

MCMC
による推定
13

陽性の検体をさらに絞り込み

MCMC
ギブスサンプリング法によるMCMCアルゴリズムで陽性の確率を推定する
1. 陽性A,Bについて事前確率に従い, 𝑥𝑗𝐴 0 = 0,1，𝑥𝑗𝐵 0 = 0,1 をランダムに発生させる (あるいはBPによる推定値に基づいて発生)
𝑃 𝑥𝑗𝐴 𝑡 = 1 = 𝜃𝐴 , 𝑃 𝑥𝑗𝐵 𝑡 = 1 = 𝜃𝐵

各検体の初期状態(𝑡 = 0)𝑥1𝐴 0𝒙(0) = 𝐵𝑥1 0…
…

𝑥𝑛𝐴 0
𝑥𝑛𝐵 0

2. 各検体 𝑐𝑗 について，現在の状態 𝑥𝑗𝐴 , 𝑥𝑗𝐵 = 1,1 , 0,1 , 1,0 , 0,0 に遷移する確率の比を求め，その比に従い乱数を発生させ遷移先を決定
3. 2.を 𝑡 回繰り返す
1
ෝ = σ 𝒙 𝑡 が安定するまで捨て，(バーンイン)
𝒙𝑇01
ෝ = σ𝑇𝑡=1 𝒙 𝑡 を各検体の周辺事後確率ベクトルとする
𝒙𝑇
14

シミュレーション実験
2種類の陽性が存在する集団の中から，陽性の確率が高いすべての検体をスクリーニングする (実用上はその後個別検査でFP削減)
実験のパラメータ- 検体の数: 𝑛 = 2401
(プールの大きさ)- poolの数:(1). 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 49, 𝑚𝐴𝐵 = 245(2). 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 98, 𝑚𝐴𝐵 = 147(3). 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 49, 𝑚𝐴𝐵 = 294(4). 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 98, 𝑚𝐴𝐵 = 245(5). 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 147, 𝑚𝐴𝐵 = 196(𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 343)
(𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 343)
(𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 392)
(𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 441)
(𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 490)

*各ケースで1000回実験- 有病率: 𝜃𝐴 = 𝜃𝐵 = 0.002 (BP), 𝜃𝐴 = 𝜃𝐵 = 0.1 (MCMC),- 絞り込む順位: 𝜃𝑟𝑎𝑛𝑘 = 50,- 検査結果のFN, FPの確率†
𝑃 𝑆𝑔 = 0 𝑍𝑔 = 1 = 0.03
𝑃(𝑆𝑔 = 1|𝑍𝑔 = 1) = 0.97

𝑃 𝑆𝑔 = 0 𝑍𝑔 = 0 = 0.99
𝑃(𝑆𝑔 = 1|𝑍𝑔 = 0) = 0.01

†引用: https://www.cap.org/member-resources/articles/how-good-are-covid-19-sars-cov-2-

diagnostic-pcr-tests#:%7E:text=Summary,and%2098%2D99%25%20specificity
15

BPの結果: 確率順による累積確率
横軸は順位 (すべての陽性検体が 𝑟 位以内に含まれる確率)(1) A=B=49, AB=245(2) A=B=98, AB=147(4) A=B=98, AB=245(5) A=B=147, AB=196(3) A=B=49, AB=294

陽性数による差を見るため，
陽性検体数は2, 4, 6, 8, 10, 12とした(有病率 𝜃𝐴 , 𝜃𝐵 に応じて決めてない)16

BPの結果: 高確率で陽性を検出できる閾値(順位)すべての陽性の検体が含まれている順位→ 確率の高い順に下表の順位までを閾値とすると，95% or 99%の確率で陽性の検体が全て含まれる用いたプーリングデザインでFP, FNがない場合の識別限界各陽性の数
検出確率

299%

468101295% 99% 95% 99%95%

99%

95%

99%

95%

99%95%(1) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 49𝑚𝐴𝐵 = 245

A:2
B:2

A:2
B:2

A:4
B:4

A:4
B:4

A:7
B:7

A:7
B:7

A:13
B:15

A:10
B:10

A:95
B:85

A:27
B:29

A:599
B:661

A:240
B:257

(2) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 98𝑚𝐴𝐵 = 147

A:2
B:2

A:2
B:2

A:5
B:4

A:4
B:4

A:8
B:11

A:6
B:6

A:20
B:19

A:10
B:10

A:97
B:80

A:50
B:44

A:404
B:394

A:156
B:181

(3) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 49𝑚𝐴𝐵 = 294

A:3
B:3

A:2
B:3

A:6
B:6

A:5
B:5

A:9
B:9

A:8
B:8

A:12
B:14

A:11
B:11

A:21
B:19

A:14
B:15

A:453
B:307

A:112
B:100(4) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 98𝑚𝐴𝐵 = 245

A:2
B:2

A:2
B:2

A:4
B:4

A:4
B:4

A:6
B:6

A:6
B:6

A:9
B:9

A:8
B:8

A:12
B:12

A:11
B:11

A:100
B:104

A:24
B:18(5) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 147
𝑚𝐴𝐵 = 196

A:2
B:2

A:2
B:2

A:4
B:4

A:4
B:4

A:6
B:6

A:6
B:6

A:9
B:9

A:8
B:8

A:14
B:13A:10
B:10

A:21
B:18

A:13
B:13

■ : 概ね識別ができている(FPを少し含む)■ : 真の陽性の数の2倍程度の順位までに真の陽性が高い確率で含まれる(スクリーニング良好)
17

BPの結果: 高確率で陽性を検出できる閾値(順位)すべての陽性の検体が含まれている順位→ 確率の高い順に下表の順位までを閾値とすると，95% or 99%の確率で陽性の検体が全て含まれる
各陽性の数
検出確率

299%

468

10

1295% 99% 95% 99%95%

99%95%99%

95%99%

95%(1) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 49𝑚𝐴𝐵 = 245

A:2
B:2

A:2
B:2

A:4
B:4

A:4
B:4

A:7
B:7

A:7
B:7

A:13
B:15

A:10
B:10

A:95
B:85

A:27
B:29

A:599
B:661

A:240B:257(2) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 98𝑚𝐴𝐵 = 147

A:2
B:2

A:2
B:2

A:5
B:4

A:4
B:4

A:8
B:11

A:6
B:6

A:20
B:19

A:10
B:10

A:97
B:80

A:50
B:44

A:404
B:394

A:156
B:181

(3) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 49𝑚𝐴𝐵 = 294

A:3
B:3

A:2
B:3

A:6
B:6

A:5
B:5

A:9
B:9

A:8
B:8

A:12
B:14

A:11
B:11

A:21
B:19

A:14
B:15

A:453
B:307

A:112
B:100

(4) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 98𝑚𝐴𝐵 = 245

A:2
B:2

A:2
B:2

A:4
B:4

A:4
B:4

A:6
B:6

A:6
B:6A:9
B:9

A:8
B:8

A:12
B:12

A:11
B:11

A:100
B:104

A:24
B:18

(5) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 147
𝑚𝐴𝐵 = 196

A:2
B:2

A:2
B:2

A:4
B:4

A:4
B:4

A:6
B:6

A:6
B:6

A:9
B:9

A:8
B:8

A:14
B:13

A:10
B:10

A:21
B:18

A:13
B:13

ケースをピックアップしてMCMCによる推定を検討→ A, Bについてそれぞれ50位までをスクリーニングし，それらについてMCMCによる周辺事後確率を求める
18

MCMCによる真の陽性検体の確率と順位BPの結果，A, Bについてそれぞれ50位までの検体を取り出し，計約100検体についてMCMCで確率を推定
真の陽性検体の中でワースト順位が20位を超えるケースをピックアップ→ 123ケース中79ケースにおいて，MCMCによる推定による真の陽性検体のワースト順位が改善した
良くなった一例(3) A,Bのテスト: 98, ABのテスト: 147, 陽性の検体数: 10

陽性A
id233
310
399
1290
1481
1542
1629
1641
1688
1895

陽性BBP
rank
56
8
7
5
1
63255
4Prob
0.242999
0.996883
0.997173
0.999803
0.999908
0.997443
0.999856
0.999904
0.332162
0.999812

MCMC
rank
prob
11 0.6560
3 0.9975
5 0.9905
4 0.9915
1 0.9995
1 0.9995
7 0.9885
8 0.9120
6 0.9890
13 0.3600

id19

265
475
502
1201
1243
1285
1510
1869
1910
2270

BP
rank

prob
2 0.999906
3 0.999904
46 0.335500
16 0.931539
1 0.999919
38 0.496782
6 0.998726
7 0.997314
8 0.996783
4 0.999896

MCMC
rankprob
2 0.9990
1 0.9995
7 0.9750
2 0.9990
5 0.9985
8 0.9515
10 0.9310
6 0.9760
9 0.9465
2 0.9990

真の陽性検体の確率と順位
前頁のシミュレーションについて，BPを用いて，A, Bについて50位までの検体を取り出し，MCMCで確率を推定

MCMCでBPの順位が改善できなかったケースが，123ケース中25ケースあった- プーリングデザインの識別境界を大きく超えている- FP, FN による影響
より識別力の高いプーリングデザインを用いる必要がある
例えば(1) のデザインでは，陽性数がA,Bそれぞれで8個以内(2) のデザインでは，陽性数がA,Bそれぞれで10個以内

20

まとめ
本研究の目的
2種類の陽性検体が含まれたグループテストにおいて，各陽性検体をBPとMCMCで効率的に識別(あるいはスクリーニング)
アプローチ
BPを用いて検体の陽性確率の推定から絞り込み→ 絞り込んだ陽性検体の候補についてMCMCによる推定結果- 陽性検体数が8以下の場合，どのプーリングデザインでも，BPのみで陽性検体数の2倍以内の順位の検体までみれば，99%以上の確率で全ての陽性検体をスクリーニングできる- BPによる絞り込みから，MCMCで更に識別が向上するケースがある- BPおよびMCMCでも困難なケースも存在→ 必要に応じて識別力の高いプーリングデザインの利用，FP・FNの確率の影響など，今後，検証する必要がある
21

今後の課題・検体数とプール数の関係-

𝜃𝐴 , 𝜃𝐵 とFN, FPの確率が与えられたとき，プール数𝑚𝐴 , 𝑚𝐵 , 𝑚𝐴𝐵 をどの程度にする必要があるか (m<n)

・プーリングデザインについて- 𝜃𝐴 , 𝜃𝐵 に応じたプーリングデザインの組み合わせ的構成法- 2種類の場合，種類ごとの部分と共通部分のプーリングデザインの分割の仕方の検討

・第２段階のテストを行う検体の順位のしきい値の決定法- 与えられたFNの確率に対するしきい値を求めたい- FNだけでなくAをB，BをAと誤判別する確率の評価

・FN,FPの設定
例えばPCR検査の場合- Specificity(特異度,TN) は総じて98％-99.9%と高い．
- Sensitivity(感度, TP) 検査方法や環境によって違う．85-86%, 97%など[参考サイト]https://www.uptodate.com/contents/covid-19-diagnosis
https://www.cap.org/member-resources/articles/how-good-are-covid-19-sars-cov-2diagnostic-pcr-tests#:%7E:text=Summary,and%2098%2D99%25%20specificity
22