ビーム・ビームキックによる衝
突点軌道フィードバックシステ
ム
1. はじめに衝突型加速器では、軌道変動により衝突点で両ビーム間に横方向距離が生じるとルミノシティが低下する。KEKB では、ビーム衝突を維持するためにフィードバックサイクル数秒の軌道フィードバックシステムを運用していた[7]。衝突点でビームの相互位置がずれると相手ビームの電磁場によりビームがキックされる（ビーム・ビーム
キック）。このキックを衝突点近傍のビーム位置検出器(BPM)で検出しキックが最小になるよう
片側ビームの位置をステアリング磁石で調整する。
SuperKEKB では、衝突点での垂直方向ビーム
サイズ(r.m.s.)の設計値が約 50nm と極めて小さ
いため、衝突点でのビーム位置の微小な変位がル
ミノシティの低下につながる。特に衝突点に近い
四極磁石の位置変動の影響が厳しい。四極磁石が変位するとビームはダイポールキックを受け閉軌道が変化し衝突点で閉軌道のずれが生じる。計算によれば、磁石の変動と同程度のビーム位置変位が衝突点で起きる。四極磁石の変位についてはシミュレーションや測定が行われており、今の所数 10Hz の振動が主で大きさは 200nm 程度と推定されている。ただし、後で述べるように LER とHER（LER は低エネルギー陽電子リング、HER
は高エネルギー電子リングの略称。）の四極磁石が同期して変位すれば、それぞれのビームの衝突
点での変位は同方向に同程度となるため衝突点でのビーム間距離は 20nm 程度になる。この変動
はルミノシティの劣化を起こす可能性があるが、フィードバックサイクル数秒の KEKB のフィー
ドバックシステ ムでは対応 できないため 、数10Hz の軌道変動を補正するフィードバックシス
テムを用意することになった（以下このシステム
を”速いフィードバック”と呼び、KEKB で運用

Fig. 1 衝突点での 2 ビーム間の軌道差とルミのシティの減少率（シミュレーション）[2]。
されたシステムを”遅いフィードバック”と呼ぶことにする）。
この講義では、主として垂直方向の速いフィー
ドバックについて述べるが、遅いフィードバックについても簡単に触れる。速いフィードバック
は”速い”と称していても数 10Hz 程度の閉軌道のゆっくりした変動に対処するもので、カップル
ドバンチ不安定性のような閉軌道周りの速いベータトロン振動によるビーム位置変動には無力である（シミュレーションによれば、閉軌道周りのノイズ状の速い振動の方がゆっくりした変動
より変動の許容値が約 10 倍厳しい[2]）。
また、後に述べるように SuperKEKB でのビー
ム衝突方式では水平方向ビーム・ビームキックが弱いため、水平方向衝突点軌道フィードバックにはビーム・ビームキックを使わないディザリング
という方式が採用されたがこの講義では扱わない。

2. ビーム位置変動の推定
衝突点でのビーム間垂直方向軌道差のルミノ
シティに対する影響はコンピュータシミュレーションで見積もられており[1,2]、衝突点垂直方向
ビーム幅(r.m.s.)の 20%(50%)のずれで 2%(10%)のルミノシティロスになる（Fig. 1 を参照。）。

果を Table 1 に示す[3]。この結果
Table 1 QC1, QC2 が垂直方向に 1µm 変位したとき衝突点(IP)に生じる閉軌道(COD)[3]。
K [/m]

Distance
from

bQ
[m]

bIP
[mm]

Dyy/2p

COD@IPが衝突点に生じることがわかる。

Q-offset

QC1 の影響が QC2 よりも大きい。また、L 側の HER 用 QC1LE[µm]と LER 用 QC1LP の結果を見ると両磁石が同じ方向に同じ量変位したとき衝突点での軌道変位

for 1µm

IP [m]か ら QC1(QC2) で は 、 変 位 の70%(20%)程度のビーム位置変位

QC1LP-1.7170.912

2504.30.27

0.24995-0.706

QC1LE-1.142

1.390

5462.40.3

0.24997-0.731QC1RP-1.7120.912

2567.70.27

0.24996-0.713

QC1RE-1.0701.430

5592.60.3

0.24997-0.693QC2LP

0.8416

1.909

962.2

0.27

0.25004

0.2145QC2LE

0.65022.679

1923.30.3

0.25030

0.2470QC2RP

0.8392

1.976

924.6

0.27

0.25005

0.2097も同様である。つまり、LER と

QC2RE

0.55572.944

1806.90.3

0.25004

0.2046

HER の同種の磁石が一緒に動けがほぼ同じになることがわかる。
このことは、R 側の QC1 についても、また両側の QC2 について

ば、衝突点でのビーム間距離は磁石が別々に相関なしに変位した
衝突点に最も近い 4 極磁石 QC1LP, QC1LE,

ときの約 5%(QC1 の場合）に減少する。磁石の振QC1RP, QC1RE と、次に近い QC2LP, QC2LE,

動の振幅だけでなく磁石間の振動位相が重要で

QC2RP, QC2RE の位置が垂直方向に変位したとある。SuperKEKB の QC1,QC2 は L 側、R 側そきの衝突点でのビーム位置変位は、次の閉軌道のれぞれ同じ移動架台に載っているので、床振動に計算式から見積もることができる（四極磁石の名よる磁石の振動については、L 側、R 側の磁石が称：L(R) は衝突点をリング内側から見て左（右）それぞれ同じ位相で振動することが期待できる。

側、P(E)は LER(HER)の意。
）。

Δy IP =

SuperKEKB では、衝突点ベータ関数を変える
とき通常 QC1,QC2 の K 値は変えない。衝突点とβQ β IP2sin πν y()

cos πν y − Δψ y K ΔyQ(2-1)

ここでDyQ,DyIP,bQ,bIP,ny, Dyy,K はそれぞれ四極磁石の変位、衝突点での垂直軌道のずれ、四極磁石および衝突点でのベータ関数、ベータトロンチ
ューン、衝突点-四極磁石間のベータトロン振動の位相差、四極磁石の K 値である。QC1 については、Dyy ~p/2, bQ~L2/ bIP より、おおよそ、

Δy IP ∼1
LK ΔyQ
2(2-2)となる。L は衝突点と四極磁石間の距離である。
QC1LP で の 値 L=0.91m,K=-1.7m-1 を 使 う と
DyIP=-0.77DyQ となり四極磁石の変位と同程度のビーム変位が衝突点に生じることが分かる。
(2-1)式により QC1,2 が 1µm 変位したときの衝
突点でのビーム位置変位について計算された結Fig. 2 QC1RP, QC1RE の振動のパワースペク
トラム密度(P.S.D.)（シミュレーション）[4]。

解析プログラム ANSYS によって行われ、床振動の測定データ（Fig. 2 の"Input"）を入力し磁石の振動を計算する。Fig. 4 には、周波数応答解析から求めた QC1RP と QC1RE の位相を示す。およそ 80 Hz までは互いに同じ位相で振動している。P.S.D.を見ると 20 数 Hz と 70Hz 付近にピークがある。この周波数近傍の振動による振動振幅は、この振動がそれより高い周波数領域で支配的なら、おおよそ積分振幅の段差の大きい側に等しい。20 数 Hz の変動では約 200nm である。この周波数では QC1RP と QC1RE は同位相で振動しているから、衝突点でのビーム間距離は 20nm 程度と見積もられる。このとき、ルミノシティロス
は 6%程度である。70Hz の振動振幅は、20 数 Hz
Fig. 3 QC1RP, QC1RE の振動の積分振幅（シミュレーション）[4]。

の振動より一桁程度小さい。QC1LP,QC1LE についても同様の解析が行われ、R 側よりも振動が小さいという結果が得られている。
以上まとめると、QC1,QC2 の振動に対処するにはフィードバックシステムとしては 50Hz 程度以下の振動をダンプする性能を有すれば良いことになる。

3. ビーム・ビームキック
Table 2 に SuperKEKB のパラメータを示す。
SuperKEKB はナノビーム方式[5]を採用しており 2 ビームは衝突点で水平方向に 83mr の交差角
Fig. 4 周波数応答解析より求めた QC1RP とQC1RE の振動位相[4]。
QC1,QC2 間の転送行列は変わらないので表の閉
軌道値(cod 値）は衝突点ベータ関数の大きさにかかわらず成り立つ。

をもって衝突する。このとき、相手のビームから受けるキック（ビーム軌道の角度変化）は、2 ビーム間の距離Dx*,Dy*が小さい時以下のように書ける。

Δx′* p,e =2π p,e *ξ Δx
β x* p,e x(3-1)

Δy′* p,e =2π p,e *ξ Δy
β *y p,e y(3-2)

磁石の振動評価は、計算機シミュレーションや実機の振動測定により行われている[4]。Fig. 2 に
QC1RP と QC1RE の垂直方向振動のパワースペ
クトラム密度(P.S.D.)のシミュレーション値を、
Fig. 3 に積分振幅のシミュレーション値を示す。
周波数 f での積分振幅とはパワースペクトラム密度を高周波数側から f まで積分した量の平方根であり、積分範囲 の振動成分 による振動振 幅のr.m.s.値である。シミュレーションは有限要素法

ここで、上付き文字 p(e)は、陽電子（電子）側の量を表す。*は衝突点(IP)での量を、x(y)は水平（垂直）ビーム位置を、プライム(')は角度を表す。
xx,yp,e はビーム・ビームパラメータと呼ばれる量で、以下のように与えられる[6]。

の衝突点軌道フィードバックにはビーム・ビー
ムキックを使わず、ビームの水平位置を約 80Hz
でわずかに振動させその時のルミノシティ変化

Table 2 SuperKEKB のパラメータ。
LER
4.000

HER
7.007
41.5

GeV
mrad

Emittance (ex)

3.2

4.6

nm

グという方式を採用している。
次に、フィードバックの目標値に用いている

Emittance ratio(ey/ ex)

0.27
32 /
0.27

0.28
25 /
0.30

%

カノニカルキックとカノニカル角について述べ

mm

3.6

2.6

A

る。Fig. 5 のような座標系を取ると、次の関係式が成り立つ[7]。

Beam Energy(E)Half Crossing Angle (fx)Beta Function at IP(b*x/ b*y)
Beam Current(I)Number of Bunches/ring (nb)

2500
6.0

Bunch Length (sz)

ξ xp,e =ξp,eyre N e, p
β x* p,e
*e, p
*e, p
p
2πγ p,e σ x,eff
σ x,eff+ σ *e,
y

(

5.0

)

(

*
σ x,eff=(σ ) + (σ φ )*xΔye′* = ye′*a − ye′*bΔy′p* = y′p*a − y′p*b
yeA = m33A ye* + m34A ye′*aβ * p,er N e, p= e p,e *e, p *e,y pp2πγ σ y σ x,eff + σ *e,y2

mm

を見て衝突点ビーム位置を調整するディザリン(3-3)

yeB = m33B ye* + m34B ye′*bC *C
y Cp = m33
y p + m34
y′p*a

)

2

z x

(3-4)

(3-5)

N はバンチ内粒子数、gはローレンツ因子、re は古y pD = m33D y *p + m34D y′p*b
Δye′* = −ke Δy * = −Δy′p* = k p Δy * =典電子半径、fx は交差角の半分の角度である。正面衝突の場合は、s*x,eff=s*x である。
表の SuperKEKB の設計パラメータを使うと、

Δy * = ye* − y *p

2π e *
ξ y Δyβ *ey2π p *
ξ Δy
β *y p y(3-6)

σ x* p ∼ 10 µ m, σ x*e ∼ 11µ m

ここで、上付き文字 A,B,C,D は、それぞれ電子用σ

下流側 BPM、電子用上流側 BPM、陽電子用下流*py∼ 48nm, σ*ey∼ 62nm*p*e
σ x,eff∼ 250 µ m, σ x,eff∼ 210 µ m

ξ xp = 0.0027, ξ xe = 0.0012
ξ yp = 0.078, ξ ye = 0.073となる。また、衝突点でのビーム間距離がs*x,yのとき、衝突点から 0.5m 離れたところにある
BPM での軌道変化は、x 方向で約 2µm, y 方向で
約 45µm となる。衝突点での軌道を 1/10 s*y 程度に制御するために BPM に要求される分解能は1µm 程度である。ナノビーム方式では、正面衝突方式と比べてxx が小さいためビーム・ビームキッ
クの測定が難しくなる。SuperKEKB では、x 方向

Fig. 5 カノニカルキックとカノニカル角を求めるための座標系。

側 BPM、陽電子用上流側 BPM を表す。上付き文
字 a(b)は衝突前（後）の量を、下付き文字 e(p)は電子（陽電子）を表す。mA,B,C,D は衝突点 IP から BPM A,B,C,D までの 4x4 転送行列である（転送されるベクトルは(x,x',y,y')）。
以上の式から、BPM での軌道と衝突点での 2ビーム間の距離を関係づける、衝突点でのビーム
軌道の角度を含まない、カノニカルキックDy'*canの式が次のように求まる。

Δycan′* ≡ Δybb,e′* − Δybb,′* p = − K y Δy *(3-7)

yeA yeB−
m34A m34B Δye′**Δybb,e
=
+ ye*
′ ≡
me
me
y Cp
Δy′

*
bb, p

C
m34

≡

−

y pD
m34D

mp

=

Δy′p*
mp

+y

me =

y Cp
y pD
yeA yeB−−Cm A m33B m33
m33D
θ *y,can ≡ 33
+
ne
np

(3-9)
⎛
⎞
⎜
⎟
kp
−ke
⎟ Δy * + y′*b + y′*b
=⎜
+
e
p
A
B
C
⎜
m33 m34
m33
m34D ⎟
1−
1−⎜⎟
C
m34A m33B
m34
m33D ⎠⎝()

角に等しい。Dy＊≠0 の時は右辺第一項が誤差になるが、衝突点から BPM までがドリフト空間の
とき、

B
33
B
34

C
33
C
34

1
(k p − ke )Δy *
2

D
33
D
34

であり、ビーム間距離のフィードバックでDy＊を衝突点から BPM までがドリフト空間で BPM衝突点間距離 L が 4 つの BPM で等しいとき近似
的に、

Δy′ ∼ − Lke, p Δy関係づけるカノニカル角q*y,can についても以下のように求まる。

Dy＊=0 のとき、q*y,can は 2 ビーム間の衝突時交差

*
p

m
m
m
m
−
,mp =
−
m
m
m
m

*
can

2 ビーム間の衝突時交差角と BPM での軌道を

C
m34A m34B
m34
m34D
ne = A − B ,n p = C − D
m33 m33m33 m33kk
Ky = e − p −1
me mp
A
33
A
34

となり、カノニカルキックはビーム・ビームキックによる BPM での軌道ずれにおおよそ等しくな
る。

*

(3-8)

1/10sy*~5nm 以下に抑えているとすれば、誤差は0.6µrad 程度である。

4. フィードバックシステムの構成
Fig. 6 に衝突点周りに設置されたフィードバッ
ク機器の鳥瞰図を示す。
衝突点(IP)から約 0.5m 離Fig. 6 フィードバックシステム機器のトンネル
内配置。
Fig. 7 フィードバックシステム構成要素の配置。

れたところに衝突点を挟んで両側に各リング 2 台ずつ計 4 台の BPM がある。衝突点の垂直軌道は
HER に置かれた計 8 台のステアリング磁石で制御される。BPM の検出回路、フィードバックコン
トローラ、ステアリング電源コントローラ、ステ
アリング磁石電源は筑波実験室地下 4 階の制御室に置かれている。Fig. 7 にシステム構成要素の配置を示す。

v(t) =⎡ t − t'⎤l 1 t dq(t ')exp ⎢ −
⎥ dt '∫
2π a C t0 dt '⎣ CR ⎦(4-1)⎡ ( z − z (t) )2 ⎤⎡ l2 ⎤
dq(t)
2Nec
⎥
=
exp ⎢ − 2 ⎥ exp ⎢ − c 02
dt
2σ z
⎢
⎥
πσ z
⎣ 8σ z ⎦⎣⎦⎡ ( z − z (t) ) l ⎤× sinh ⎢ − c 02
⎥
2σ z
⎢⎣
⎥⎦

4.1. ビーム位置モニタ(BPM)

ここで、C,R,l,a,q(t)は電極とビームパイプ間の静電容量、負荷抵抗、電極長、ビームパイプ半径、

4.1.1. BPM 電極と信号レベル

電極に誘起される電荷量である。また、zc は電極

BPM は 4 つのボタン電極をもつ静電型のモニタで、電極は、チェンバ径 20mm のチェンバに水平面から測って 45,135,225,315 度方向に取り付けてある[8]。
Fig. 8 にボタン電極の断面図を示す。
ボタン電極は電極が受けるビームパワーを減らすために径 1.8mm のロッドにしてある。真空シの中心座標、z0(t)はバンチの中心位置であり、
sz,N,e,c はバンチ長、バンチ内電子数、素電荷、光速である。
(4-1)式を用い、BPM の電極容量を 0.3pF と仮定すると、3.6A、バンチ数 2500 のとき電極端に発生する信号は Fig. 9 の様になる。また、電極部を通過する平均信号パワーは、ールとロッドのサポートのためにはアルミナが用いられている。ボディとロッドはチタン製で、キュプロニッケル(Cu-Ni)のフランジにろう付けされている。ビームチェンバは銅製なので、ボタ
ンブロックはチェンバに電子溶接される。ヘッドとケーブルとの接続には熱膨張による電気的接触の悪化を避けるためリバースタイプの SMA コ
ネクタが用いられている。
BPM の電極で発生する電圧波形は次式で表される[9]。

Fig. 8 BPM 用ボタン電極[8]。

P=

1 T v(t)2dt
T ∫0 R(4-2)

より、バンチ 間隔 4ns の場合、0.81W となる。
検出周波数 509MHz でのパワーは電圧波形をフーリエ解析することで求めることができ-4.3dBmである。電極から信号処理回路までのケーブルロ
スは L 側、R 側でそれぞれ-13.2 および-9.0dB なので信号処理回路入り口での信号レベルは、L 側、

Fig. 9 BPM 電極端での電圧波形。

はそれぞれボルツマン定数、絶対温度、熱雑音のバンド幅である。T＝300K とし B にサンプリング 周 波 数 Fs の ADC へ の 入 力 バ ン ド 幅
Fs/2=49.2MHz を代入すると、Ni =-96.9dBm となる。出力端(IF out)での SN 比は F[dB]=35.7dB
より、( S / N )[dB] = S [dBm] − (F[dB] + N [dBm])
o

o

i

i

= Si [dBm] + 61.2[dBm]となる。

Fig. 10 BPM 検出器のブロック図（1 チャネ
ル分、LPF: l ow-pass filter, ATT: attenuator,
BPF: band-pass filter, Amp: amplifier, LO:local oscillator, DDC: digital down converter,。
NCO: numerically controlled oscillator）

2)ADC 出力の SNR
ADC 入力端での信号および雑音パワー、出力端で の 信 号 お よ び 雑 音 パ ワ ー を そ れ ぞ れ Si,Ni,
So,No とすると、次の関係がある。

⎧⎪ So = Si⎨⎪⎩ N o = N i + N ′R 側でそれぞれ-17.5 および-13.3dBm である（dBについては付録 1 を参照。
）
。

(4-4)

ここで、N'は ADC で発生する雑音で、ADC 固有

4.1.2. 信号処理回路と信号対雑音比(SNR)のダイナミック性能による N(dynamic)とサンプ

Fig. 10 に信号処理回路のブロック図を示す。ビ

リング時間ジッタによる N(jitter)に分けられる。

ーム信号の 509MHz 成分を 16.9MHz の中間周
波数(IF)にアナログダウンコンバートした後 AD

ダイナミック性能による SNR(dynamic)は ADC

変 換 し 、 AD 変 換 さ れ た デ ィ ジ タ ル 信 号 を
Digital Down Converter(DDC) でベースバンドに変換後ディジタルフィルタで帯域制限する。このとき、信号パワーから期待される信号対雑音比(SNR)は以下のように評価される[10]。

のデータシートより、SNR(dynamic)[dB] = Si / N (dynamic)[dB] = 77dBである。サンププリング時間ジッタによるSNR(jitter)は、入力信号 V を V = Asin(2π Fsignal t)とするとき、

1)熱雑音による SNR
アナログ回路出力端(IF out)での熱雑音による

ΔV = A⋅ 2π Fsignal cos(2π Fsignal t)Δt

(4-5)

SNR を求める。アナログ回路入力端での信号およより、び雑音パワー、出力端での信号および雑音パワーをそれぞれ Si,Ni, So,No とすると、次の関係があ

SNR( jitter) = Vr .m.s / ΔVr .m.s. = 1/ (2π Fsignalσ jitter ) (4-6)となる。ここで、sjitter はサンププリング時間ジッ
タの r.m.s.値である。sjitter は IF 回路出力信号のる。

So / N o =1(S / Ni )
F i

(4-3)

ここで、F は雑音指数と呼ばれる量で、アナログ回路中で発生する雑音の指標である。熱雑音のパ
ワーNi は、 N i = k BTB と書ける。ここで、kB,T,B

ジッタsIF とサンプリングクロックジッタsclock の二乗和であり、2
σ jitter = σ IF2 + σ clock(4-7)

で あ る 。 今 の 場 合 、 Fsignal=FIF=16.9MHz, sIF=31.66ps, sclock =1.2ps より、断周波数を Fc とすると、サンプリング周波数 Fs
でサンプルした信号の帯域幅は Fs/2 だから、フSNR( jitter)[dB] = 49.46dB

ィルタ通過前の雑音パワーPN と通過後の雑音パ
ワーP'N の関係は、 PN′ = (2Fc / Fs )PN となる。フィ

となる。
ADC 出力の SNR(ADC)は、(4-4)式より、(S / N )oo ADC

雑音の周波数分布が一様とする。フィルタの遮

ルタ通過後の SNR は、dB 表示で

⎛
⎞
1
1
1
= 1/ ⎜++⎝ SNR( ADC input) SNR(dynamic) SNR( jitter) ⎟⎠SNR[dB] = ( So / N o ) ADC [dB]
− 10log(Fs / (2Fc ))[dB](4-8)と書ける。ここで、SNR( ADC input) = (Si / N i ) ADC = ( So / N o ) IF outとなる。今の場合、Fs=98.4MHz, Fc=2kHz より、
10log(Fs / (2Fc )) = 43.9dB である。
位置分解能σ(resolution)は、チェンバ半径をである。

R とすると、

3)ディジタルフィルタのプロセシングゲイン

σ (resolution) =�����(��)

(4-9)

1 R 1
2 2 SNR(4-10)

で与えられる（付録 2 参照。
）。アナログ回路への信号入力レベルと SNR の関係を Fig. 11 に、信号��

入力レベルと分解能の関係を Fig. 12 に示す。設
計電流値では約 0.2µm の分解能が得られる。Fig.

��

11 で SNR が飽和するのは ADC サンププリング
時間ジッタの SNR が効いてくるためである。

��
-��

-��

-��
-��
������ �����(���)-���Fig. 11 BPM 検出器入力の信号レベルと出力での信号対雑音比。

4.1.3. 信号処理回路の詳細
Fig. 10 に示すように、信号処理回路はアナログ
処理部とディジタル処理部の 2 つの部分で構成されている[11]。アナログ処理部では、ビーム信号����������(μ�)はダウンコンバータによって 16.9MHz の IF 信���

号に変換され ADC に送られる。又、RF 信号を基準入力として PLL によってサンプリングクロッ

��ク、Local 信号が生成される。ディジタル処理部

�はμTCA 規格のボード（BPM 用フィルタボード）に収められている。ADC によるデータ取得、DDC による IF-ベースバンド変換（I/Q 検波）
、

����

����
-��

-��

-��
-��
������ �����(���)-���Fig. 12 BPM 検出器入力の信号レベルと位置分解能。

2 段の CIC(Cascaded Integrator–Comb)フィルタ(CIC1, CIC2) お よ び 低 域 通 過 型 FIR(Finite
Impulse Response) フィルタによる帯域制限、ならびに絶対値計算と位置計算が行なわれ、位置情報は 32kHz のレートでフィードバックコントロY (z) = z −1Y (z) + X (z)ーラに送られる。これら全ての処理は、ボード上の FPGA(Xilinx Vertex 5[12])で実行され、データ通信やデータの読み出しは、SuperKEKB のコ

より、ントロールシステムである EPICS の IOC 経由で行なわれる。EPICS IOC は FPGA に内蔵されたハードコアの PowerPC 上の Linux で動作する。以上のディジタル処理は KEKB で開発さY (z) =となり、伝達関数は、れた低レベル RF システム用の制御基板を基にしている[13]。
ディジタルフィルタは 2 段の CIC フィルタとFIR から構成される。ディジタルフィルタに要求される周波数帯域幅は数百 Hz 以下なので、ADC

1X (z)1− z −1

H I (z) =1
1− z −1(4-12)となる。同様に、櫛形フィルタの差分方程式は、
デシメーション後のレート(Fs/R)で、でサンプリングされたデータについて CIC フィ

y[n] = x[n] − x[n − M ]ルタでデシメーション（データの間引き）を行っ(4-13)てデータ量を落としたあと、FIR でフィルタ特性となる。こで、R はレート変換ファクタ（間引きを決定する方式となっている。

数）である。また、M は differential delay と呼ばれ通常は 1 か 2 に制限される。z 変換すると伝1)CIC フィルタ

達関数は、1− z − M となるが、デシメーション前の

CIC フィルタはカスケード接続された積分器

レート(Fs)に等価変換すると（付録 4 参照。
）、(Integrator)と櫛形(Comb)フィルタから構成さ

H C (z) = 1− z − RM

れ、デシメーションと低域通過型フィルタの機能を同時に実現できる。乗算を使わず加減算のみで構成できるため高速であり、計算に使うリソースも少なくてすむ。Fig. 13 に CIC フィルタ[14]のブロック図を示す。x[n]を入力、y[n]を出力とすると、積分器は次の差分方程式で表される。

y[n] = y[n − 1] + x[n](4-11)

この式を z 変換（付録 3 参照。
）すると、(4-14)となる。CIC フィルタの伝達関数は、サンプリン
グレート Fs のとき、

(1− z ) = ⎡ z ⎤ (4-15)
H (z) = H (z)H (z) =⎢∑⎥⎦(1− z ) ⎣
− RM

N
I

N
C

−1

N

RM −1

N

N

−k

k=0

となる。周波数応答は、(4-15)式に z = ej(2 π Fin / Fs )を代入することで、H (z) = sin π Mf / sin(π f / R)となる。ここで f ≡ Fin / (Fs / R),N(4-16)

f / R = Fin / Fs であり、Fin はフィルタへの入力信号の周波数である。R が大きい時は、

sin π Mf
H (z) ≈ RM
π Mf

Nfor 0 ≤ f < 1/ M

(4-17)と近似される。Table 3 に CIC1,CIC2 のパラメー
Fig. 13 CIC フィルタのブロック図。

タを、Fig. 14 に周波数特性を示す。
2)FIR フィルタで 32kHz）。具体的にはタイプ 1（フィルタ長 N
が奇数、インパルス応答が偶対称）の FIR の場合、Table 3 CIC1,2 のパラメータ。
ステージ数(N)

CIC1
5

CIC2
5

Differential delay(M)11

デシメーション(R)32

96

処理レート(MHz)98.3983.106( )( ) ( ) ( )E e jω = W e jω ⎡⎣ D e jω − P e jω ⎤⎦(4-18)( N −1)/2( ) ∑ a(n)cos nω

P e jω =(4-19)

n=0()

よ り min max ⎣ E ( e )⎦ を 満 た す a(n) を 求 め る
⎡

jω

⎤

[15,16]。交番定理[15]により、誤差特性について
リップルの最大値が等しい等リップル特性になる。解を求めるために Remez のアルゴリズム[15]が用いられるがここでは説明を省略する。Table 4に等リップルフィルタのパラメータ（パラーメー

Magnitude Response (dB)160

Filter #1: Quantized
Filter #1: Reference

140
120

タの意味については Fig. 15 を参照。）を、Fig. 16

Magnitude (dB)100にその周波数特性を示す。Fig. 17 にこのフィルタのインパルス応答（フィルタ係数）を示す。

80
60
40

このフィルタは位相特性が、

20
0
-20
0

10

20
30
Frequency (MHz)θ (ω ) = −[(N − 1) / 2]ω , ω = 2π F / Fs

40

(4-20)

Magnitude Response (dB)200

Filter #1: Quantized
Filter #1: Reference

Table 4 FIR のパラメータ。

Magnitude (dB)

150

100

50

0

0

0.5

1

1.5

Frequency (MHz)、CIC2（下）の周波数
Fig. 14 CIC1（上）特性。

フィルタ長(N)
通過帯域開始位置での周波数(fpass)
阻止帯域終端での周波数(fstop)73
0.01875

通過帯域内で許容されるリップル量(Apass)
阻止帯域での減衰量(Astop)

0.1dB

0.070980dB（f は正規化周波数）

FIR には等リップルフィルタを用いている[15,16]。等リップルフィルタは、例えばカイザー
窓関数法に比べて同じ減衰量を与えるフィルタ長を小さくできるため[16]採用されている。等リ
ップルフィルタでは、フィルタ特性を余弦関数
P(w)で近似し、所望特性 D(w)との誤差 E(w)の最大値が最小になるように P(w)を求める（min-max
近似）。ここで、wは周波数 F のときの正規化角周
波数w =2pF/Fs である（Fs は FIR の処理レート

Fig. 15 FIR パラメータの定義。

ードバックの経路としてカノニカルキックとカ

0

ノニカル角の 2 経路がある。出力レートは 32kHzである。FPGA でのフィードバックの計算（現在-10は PID 制 御 ） は 、 変 更 が 容 易 な よ う に 、Magnitude Response (dB)-40

MATLAB/Simulink[17] に リ ン ク し た Xilinx
System Generator を使ってコーディングでき-50る。コントローラで計算されるカノニカルキック

Magnitude (dB)

-20
-30

とカノニカル角は 4096 データ長のバッファに保存され、後で読み出すことでフィードバック性能

-60
-70
-80

の評価ができる。コントローラはμTCA 規格の

-90
0

5

10
Frequency (kHz)

ボードであり[18]、PowerPC 上の Linux で動作15する EPICS IOC を内蔵している。

Fig. 16 等リップルフィルタの周波数特性。

Fig.19 に PID (Proportional-IntegralDerivative)コントローラのブロック図を示す。
誤差入力 e[n],制御出力 u[n]の z 変換をE(z),U(z)、コントローラの z 変換を C(z)とする

0.08

と、

U (z) = K P (U P (z) + U I (z) + U D (z) ) E(z)0.06

(4-22)

0.04⎧U P (z) = P(z)E(z)⎪⎨U I (z) = I(z)E(z)⎪U (z) = D(z)E(z)
⎩ D

0.02

0
0

20

40
Time n6080と書ける。ここで、P(z),I(z),D(z)は、それぞれ、

Fig. 17 FIR フィルタのインパルス応答。
の線形位相特性を持ち（付録 5 参照。
）、位相遅延比例、積分、微分のコントローラであり、ブロッ
ク図より以下のように書ける（前進オイラー法）。

と群遅延が等しくなる。遅延は生ずるが入力波形は崩れない。群遅延tはタイプ 1 の FIR では、

τ = −(dθ / dω ) / FS = (N − 1) / 2 / FS

(4-21)

である。今使用しているフィルタのパラメータではt＝1.1ms である。
4.2. フィードバックコントローラ

Fig. 18 にフィードバックコントローラのブロ
ッ ク 図 を 示 す 。 BPM 用 フ ィ ル タ ボ ー ド か ら
Aurora 規格の高速シリアルデータ転送で送られる 4 台の BPM の位置情報を入力し、FPGA(Xilinx
Vertex 5[12])によってフィードバックの計算を行いステアリング磁石のキック角を出力する。フィ

Fig. 18 フィードバックコントローラのブロック
図。

uD [n] =KD( e[n + 1] − e[n])TSとなり、前進オイラー法では因果関係を満たさない。
（フィルタ係数の意味：簡単のため連続時間シス
テムで考えると、微分のコントローラはD(s) = K D / (1/ N + 1/ s) のように書ける。例えば

f (t) = t に 対 す る D(s) の効 果 を 計 算す る と 、D(s) / s 2 の逆ラプラス変換より、 1− Exp(− Nt) となり微分がt=1/N 程度なまる。
）
Fig. 19 PID 制御のブロック図。

4.3. ステアリング電源コントローラ

Fig. 20 にステアリング電源コントローラのブP(z) = 1TSz −1KDD(z) =T
1+ S
N z −1
I(z) = K I(4-23)

ロック図を示す。コントローラは、ステアリング
磁石のキック角を入力して磁石電源の制御入力レベルに換算し、16bit DAC によってアナログ信号に変換して磁石電源へ出力する。入力は 2 種類あり、1 つはフィードバックコントローラから光

ここで、N はフィルタ係数である。(4-23)式を、ファイバ経由で 32kHz のレートで送られる速い差分方程式で書くと以下のようになる。

フィードバック用のキック角である。もう一つは
EPICS channel access 経由で送られる更新レー1)比例ト 1Hz 程度の遅いキック角であり、垂直方向遅い

uP [n] = e[n](4-24)

フィードバック、水平方向ディザリングフィード
バック、水平垂直の DC（オフセット）バンプ軌
道の設定に使われる。2 種類のキック角はコント

2)積分ローラ内で足し算され磁石のキック角となる。
コントローラは MTCA.4 に準拠したボードで( K T E(z) + U (z)) z = u [n]
−1

I S

I

I

ある[19]。FPGA には Xilinx Zynq SoC[12]が使わ

より、れ、Linux 上で動く EPICS IOC を内蔵している。

uI [n] = K I TS e[n − 1] + uI [n − 1]

(4-25)3)微分uD [n] = NK D ( e[n] − e[n − 1]) + (1− NTS )uD [n − 1] (4-26)

KD( e[n] − e[n − 1])
TSとなる。N=∞のときは、ステアリング磁石は積層鋼板を鉄心に持つ電磁石である。また、ステアリング磁石電源はアナログ電圧で制御される市販の定電流電源である。
フィードバック系の設計段階で KEKB 用のステ
アリング磁石（積層鋼板の鉄心）にコイルを巻い

特に、NTs=1 のとき、uD [n] =4.4. 磁石、電源、真空チェンバ(4-27)て L=20mH,R=0.6Wの負荷を作り、現在使用している電源と同型の電源へステップ状の制御入力（定格電圧で制限される時間変化の最大値が 38µs

Fig. 20 ステアリング電源コントローラのブロック図（DSP：フィードバック
コントローラ）。
に対応する入力）を加えたときの磁場の立ち上がり時定数を測定すると 0.14ms であった。
磁石が置かれる場所の真空チェンバはうず電流による磁場の追従遅れを小さくするため厚さ5mm のステンレス(SUS)で作られている。磁場計
算によると、厚さ 5mm の SUS チェンバのとき
磁石電流のステップ状変化に対する磁場の立ち上がり時定数が 0.21ms であった。チェンバ内面にはインピーダンスを減らすために厚さ 10µm の銅がコーティングされている。磁場計算によれば、この効果により立ち上がり時定数は 0.23msとなった。

5. 速いフィードバックシステム
Fig. 21 にフィードバックシステムのブロック
図を示す。左からフィードバックの目標値が入力されモニタ値と目標値との誤差が計算される。誤差は PID コントローラに入力され、この出力によりステアリング電源が動き、磁石が励磁される。
電源と磁石の入力に対する応答は次の伝達関数で表される 1 次遅れで表現する。

⎡ 1− e− sTs 1 ⎤ 1− e−Ts /τ m
Gm (z) = Z ⎢⎥=−Ts /τ m⎣ s τ ms + 1 ⎦ z − e(5-1)

ここで、左から 2 番目の式の左の項は 0 次ホール
ド（付録 6 参照。
）を表し、右の項が 1 次遅れを表すラプラス変換の項である。
Z は Z 変換を表す。
tm は時定数である。ビームはうず電流によりなまった磁場を感じて動くが、うず電流の効果も次の時定数te の 1 次遅れで近似する。
−T /τ

1− e s e
Ge (z) =z − e−Ts /τ e

Fig. 21 速いフィードバックシステムのブロッ
ク図。

(5-2)

図の"disturbance U"が四極磁石の振動によるビーム位置に対する外乱である。D(z)はフィードバ
ックプロセッサー内の遅延を表し、
nd ステップの遅延の場合、以下の様に書ける。

ンがあることがわかる。ゲインは周波数が上がる
Table 5 速いフィードバックの解析に用いたパラメータ。
サンプリング時間(Ts)31.25µs

電源と磁石応答の時定数

0.14ms(tm)
チェンバうず電流応答のD(z) = z − n
0.23ms

コントローラ内遅延 nd

3 サンプル

FIR フィルタ長 N

73

M(z)はビーム位置検出器を表す FIR フィルタであり、フィルタのインパルス応答 h(n)を使って以下のように書ける。
N −1

(5-4)

k=0

C(z)は以下の PI コントローラを表す。計算によると、比例制御のみでは 6dB 程度の振幅減衰効果しか得られず、また、微分制御を加えても性能改善が見られなかったため、PI 制御を採用した。

⎛
KT ⎞C(z) = K p ⎜ 1+ i s ⎟z − 1⎠⎝(5-7)

で置き換えた計算結果を Fig. 22 の破線で示す。
実線と破線はほとんど一致しており H(z)の周波数特性は基本的にループ内遅延と PI コントロー
ラで決まっていることがわかる。
この近似で周波数応答の解析を試みる。まず、(5-3)

M (z) = ∑ h(k)z − kD(z),Gm(z),Ge(z),M(z)をまとめて 1 つの遅延要
素

時定数(te)D(z) = z − ndと減少し 100Hz 付近でほとんど 0 になる。また
200Hz 付近にピークが現れる。

H(z)は、1−z −1 + 1=
1+ C(z)D(z) K p ( K iTs − 1) z − n−1 + K p z − n − z −1 + 1

H (z) =

(5-8)
と書ける。
次に、周波数応答を求めるときに、
z = e− j 2π FTs ∼ 1− j2π FTs = 1− jω Ts , ω = 2π F と 近 似
すれば、周波数応答は次のように書ける。
H (ω ) =(T 2ω 4 + ω 2)

T 2ω 4 + 1+ 2K p + K p2 − 2TK i K p ω 2 + K i2 K p2

, T = nTs

(5-9)
(5-5)

外乱 U(z)から出力 Yo(z)までの伝達関数 H(z)は
以下のように書ける。

− j2π fTs
H(z)の周波数応答は、 z = eとおけば得られる。Table 5 に計算に用いたパラメータを示す。

例として Kp=0.29295, Ki=1657.6 のときの計算例
を Fig. 22 の実線で示す。PID パラメータの決定に は 、 MATLAB Control System Design のRobust response time 法を用いた。この方法でのアルゴリズムはブラックボックスだが目標値入力(Yr)のステップ応答を最適化しているようである。図をみると 10Hz で約 20dB の振幅減衰ゲイ���������(��)Y (z)1
H (z) = o=
(5-6)
U (z) 1+ C(z)D(z)Gm (z)Ge (z) M (z)

�
-��
-��
-��
-��

�

��

���
���������(��)����Fig. 22 外乱の振幅減衰特性（実線：Kp=0.29295, Ki=1657.6 のとき、破線：PI 要
素以外を遅延で置き換えたとき）。

のとき、 H → 0 となり、また、指令値 Yr から出
力 Yo への閉ループ伝達関数は 1 に近づく。また、����������(��)システムの安定条件（伝達関数の極の絶対値が 1以下）は 0 < K iTs < 2 である。この条件をみたす限-��り Kp を増やせばシステムの特性は理想値に近づいていく。Fig. 24 より、ループ内遅延を減らし、

-��
-��
-��

PI パラメータを最適化することで振幅減衰量（ゲ
�

��

���
���������(��)����Fig. 23 ループ内遅延を変えた時の外乱の振幅減衰特性（PI パラメータは固定）。二点鎖線、破線、実線、一点鎖線の順に、遅延ステ
ップ n=0,21,51,119 での計算結果）。

イン）が大きくかつピークの小さい特性を得ることができることが分かる。
現在のシステムでのループ内遅延をサンプル数で表すと、コントローラ内遅延が 3、電源・磁石とチェンバうず電流での遅延が 15、FIR での遅延が 36 である。 チェンバなどのハードに変更を加えずループ内遅延を減らすには FIR の次数を減らせば良い。Fig. 25 に現在の FIR（次数 73）と次数を 13 次まで減らした FIR での近似なしの���������(��)�

計算結果を示す。振幅減衰量が約 10dB 増加して-��いる。FIR の次数はカットオフ周波数を 2kHz から 10kHz にあげることで実現する。このとき、フ-��ィルタによるノイズ除去性能が落ちるので注意-��

が必要である。ノイズの周波数分布が一様ならこ-��の変更で SNR の大きな減少はないと見積もられ
�

��

���
���������(��)����Fig. 24 ループ内遅延を変えた時の外乱の振幅減衰特性（PI パラメータを最適化したとき）。
破線、実線、一点鎖線の順に、遅延ステップ。
n=21,51,119 での計算結果）
Kp,Ki を一定にしたままで遅延を変えた結果をるが、ノイズの状況はビーム試験をしてみないとわからない。

6. 遅いフィードバックシステム
遅いフィードバックシステムは KEKB で開発され、SuperKEKB でも使われている[7]。

Fig. 23 に示す。図中で、二点鎖線、破線、実線、一点鎖線の順に、n=0,21,51,119 での計算結果である。遅延を減らすとピークの周波数が低い方にのパラメタで決まっている）。また、周波数が低い
領域で周波数特性が右上がりになる傾向は PI 制
御器の特性によることが分かる。PI パラメータを
各遅延の値で最適化した結果を Fig. 24 に示す。
図中で、破線、実線、一点鎖線の順に、n=21,51,119での計算結果である。
遅延が 0 のときは、K p → ∞���������(��)ずれ、ピークも顕著になる。低い方の応答は遅延0 の場合（二点鎖線）と変わらない（つまり、PI

�
-��
-��
-��
-��
�

��

���
���������(��)����Fig. 25 FIR のフィルタ長が 73（実線）と 13（点線）のときの外乱の振幅減衰特性。

制御量のカノニカルキックとカノニカル角を7.1. ビーム・ビームスキャン

まとめて y と書き n ステップ目の制御量について

軌道フィードバックのバンプの初期値は、衝突

Δyn = yn − ytarget

点での垂直軌道を変えていったときのルミノシとする。ここで yn は n ステップ目のモニタ値、
ytarget は目標値である。過去 N ケのデータから
Dyn+1 を次式の線形予測(linear prediction)[16]で求める。

ティを測定しルミノシティが最大になるような値に設定する。この操作をビーム・ビームスキャンと称している。Fig. 26 にビーム・ビームスキャンの例を示す[20]。上図は衝突点で陽電子ビーム
が電子ビームから受けるキックに比例する量で、下図はルミノシティである。このスキャンによりN

Δyn+1 = ∑ ck Δyn−k+1

(6-1)

k=1

ck は過去 M ケのデータから、次の最小二乗法で
求め、

⎛ Δy
n−1
⎜
⎜ Δyn−2⎜.
⎜⎜.
⎜⎜⎝ Δyn− M

Δyn−2
Δyn−3
.
.
Δyn− M −1

⎛ Δy
⎞
n
⎜
⎟
⎞
⎛
⎞
....
Δyn− Nc1⎜ Δyn−1 ⎟⎟⎜⎟⎟.... Δyn− N −1 ⎟ ⎜ c2 ⎟ ⎜
.
⎜
⎟
⎟⎜
⎟ =⎜
⎟
.
.
.
.
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟⎜ . ⎟ ⎜
.
.
.
⎟
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
.
.... Δyn− M − N +1 ⎟⎠ ⎜⎝ cN ⎟⎠⎜⎟⎜⎝ Δyn− N +1 ⎟⎠両リングのビームサイズで畳み込まれたビーム
サイズを見積もることができる。ビーム・ビーム
キックはビーム間距離が 0 のとき 0 になり、約±
s*y の範囲でビーム間距離に対して線形である。
7.2. 遅いフィードバック

現在は、カノニカルキックのフィードバックのみが運用されている。フィードバックの繰り返し
周期は 2 秒である。Fig. 27 に運転の様子を示す[20]。衝突を維持するようにバンプ軌道の高さを調整してルミノシティを一定に保っていること
がわかる。

(6-2)
IP での軌道がy = G ( yn − Δyn+1 )(6-3)となるようステアリング磁石を励磁する。ここでG は調整用パラメータ（”ゲイン”）である。
SuperKEKB では、KEKB と同様に、経験的に
N=6, M=48 が用いられている。また、ck の決定はフィードバックの各サイクル毎に行われる。フィードバックの繰り返し周期は秒のオーダーである。

7. ビーム運転
現在は、垂直方向衝突点ベータ関数が 2mm なので、垂直方向ビームサイズは約 200nm と大きく、また衝突点のビーム振動もビームサイズに比べて小さいので、遅いフィードバックのみが運用されている。速いフィードバックについてはビー
ム試験を進めている段階である。

Fig. 26 ビーム・ビームスキャンの例[20]。

Table 6 速いフィードバック試験時のビームパラメータ。

Fig. 27 遅いフィードバックの運転例[20]。
7.3. 速いフィードバックのビーム試験

LER

HER

ビーム電流

250

250

バンチ数

789

789

バンチ電流

0.32

0.32

mA

衝突点ベータ関数

80/2

80/2

mm

(H/V)
水平エミッタンス

1.6

4.5

nm

垂直エミッタンス

~10

~10

pm

5

5.5

mm

Table 6 に試験時のビームパラメータを示す。

（非衝突時）

試験ではカノニカルキックに対するフィードバ

バンチ長

ックを PI 制御で行った。Fig. 28, 29 にフィーバックがオフのときとオンのときのカノニカルキ

mA

ックの周波数スペクトルを示す。フィードバック

り、ルミノシティの減少も起きなくなったが、20Hz 以上での振幅減衰量は減少した。

を入れると、約 70Hz 以下で振動が抑制されていることが分かる。減衰量は 10Hz の点で約 20dB

Fig. 30 に試験時の PI パラメータを用いたシミである。
230, 690, 1150Hz にピークが現れており、

ュレーション結果を示す（横軸はリニアスケー
ル）。10Hz での振幅減衰は 20dB であり実測と合230Hz のピークが最も大きい。690, 1150Hz のピっている。また、250Hz に実測の 230Hz ピークークは、230Hz ピークの 3 次および 5 次の高調波になっているので 230Hz ピークの非線形振動でに近いピークが見られる。
230Hz 以上での振動は、6 節での議論からわか生じている可能性がある。フィーバックをオンしたときルミノシティの減少がみられたが、230Hz

るように、PI 制御のパラメータが最適化されていでのビーム励振によるものと考えられる。比例ゲ

は BPM 回路の FIR フィルタの次数を減らして振なかったためと推測される。次回のビーム試験でインを下げると、230Hz 以上のピークは低くな

Fig. 28 速いフィードバックをオフにしたときのカノニカルキックのスペクトル。

Fig. 29 速いフィードバックをオンにしたときのカノニカルキックのスペクトル。

���������(��)���������(��)

��
��
�
-��
-��
-��
-��
-��
�

[4] 山岡広、”技術研修会「シミュレーション技術」
SuperKEKB 最終収束用超伝導電磁石システ
ム（QCS）の設計とシミュレーション手法”、「加速器」Vol. 16, No. 2, 2019, 87-95。

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����
���������(��)

����

����

��

���
���������(��)

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Fig. 30 ビーム試験条件での外乱の振幅減衰特性。
幅減衰量を増やした上で PI 制御パラメータを最適化し、100Hz 以上のピークを抑えることを試みる予定である。

8. 終わりにビーム衝突を維持するための軌道フィードバ[5] P. Raimondi, “Status on SuperB effort”, 2nd LNF
Workshop on SuperB, 16-18 Mar. 2006.
http://www.lnf.infn.it/conference/superb06/talks/raimondi1.ppt[6] D.N. Shatilov and M. Zobov, " Beam-BeamCollisions with an Arbitrary Crossing Angle:
Analytical tune shifts, tracking algorithm without
Lorentz boost, Crab-Crossing", Beam Dynamics
Newsletter No. 37, p.99-109(2005). 大西幸喜、”SuperKEKB フェーズ 2 コミッショニング”、
高エネルギーニュース 37-3 139(2018)。
[7] Y. Funakoshi et al., "Orbit feedback system for
maintaining an optimum beam collision", Phys.
Rev. ST-AB 10, 101001 (2007).
[8] M. Tobiyama et al., "DEVELOPMENT OF
BUTTON ELECTRODES FOR SUPERKEKBRINGS", Proceedings of BIW10, Santa Fe, New
Mexico, US, p.223-227(2010).
[9] 平松成範、”加速器のビームモニタ”、KEK
Internal 2004-1。

ックシステムについて、SuperKEKB で初めて導[10] 石井仁、森健児、私信。

入された速いフィードバックシステムを中心に[11] H. Ishii et al., "DEVELOPMENT OF A BEAM
POSITION DETECTOR FOR AN ORBITFEEDBACK SYSTEM IN SuperKEKB",
Proceedings of the 8th Annual Meeting of Particle
Accelerator Society of Japan (August 1-3, 2011,
Tsukuba, Japan), pp.511-515(2011).
[12] https://japan.xilinx.com[13] M. Ryoshi et al., "LLRF BOARD IN MICROTCA PLATFORM", Proceedings of the 7th
Annual Meeting of Particle Accelerator Society ofJapan (August 4-6, 2010, Himeji, Japan), p.667669(2010).
[14] EUGENE B. HOGENAUER, “An Economical
Class of Digital Filters for Decimation andInterpolation”, IEEE TRANSACTIONS ON
ACOUSTICS, SPEECH, AND SIGNAL
PROCESSING, VOL. ASSP-29, NO. 2, APRIL
1981 155.

解説した。
速いフィードバックシステムの調整はまだ始まったばかりである。リングでは軌道を変える
様々なシステムが稼働している。例えば、閉軌道を基準値に維持するフィードバックが数十秒の周期で働いている。また、ディザリングシステムも運用されるであろう。これらのシステムと共存して速いフィードバックが安定に働くことは自明ではない。運用上のさまざまな調整が必要と思われる。
参 考 文 献[1] T. Oki, "Collision feedback", the 19th KEKB
Accelerator Review Committee (2014).
[2] K. Ohmi and D. Zhou, "Beam Dynamics Issue in
Nano Beam Scheme", the 16th KEKB Accelerator
Review Committee(2011).
[3] Y. Funakoshi, "Orbit control at IP", the 17th
KEKB Accelerator Review Committee (2012).

[15] 高橋進一、池原雅章、”ディジタルフィルタ”、
培風館。
[16] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, "DiscreteTime Signal Processing", Pearson Education Inc..
[17] https://jp.mathworks.com[18] K. Hayashi et al., "MICRO TCAINTERBOARD DATA COMMUNICATIONS APPLIEDTO BPM AND LLRF SYSTEMS", Proceedingsof the 10th Annual Meeting of Particle Accelerator
Society of Japan (August 3-5, 2013, Nagoya,Japan), p.1164-1167(2013).
[19] M. Ryoshi et al., "MTCA.4 FPGA(ZYNQ)
BOARD" 、 Proceedings of the 11th Annual
Meeting of Particle Accelerator Society of Japan,
August 9-11, 2014, Aomori, Japan, pp.13031307(2014).
[20] SuperKEKB 運転ログより。

付録

ここで、 K = R / 2 である。各電極に v1,v2,v3,v4のノイズがあるとすると、

y=K(V1 + v1 ) + (V2 + v2 ) − (V3 + v3 ) − (V4 + v4 )(V1 + v1 ) + (V2 + v2 ) + (V3 + v3 ) + (V4 + v4 )⎛v +v −v −v
v +v +v +v ⎞∼ KU ⎜ 1+ 1 2 3 4 − 1 2 3 4 ⎟⎝ V1 + V2 − V3 − V4 V1 + V2 + V3 + V4 ⎠∼ KU −

K((U − 1)(v1 + v2 ) + (U + 1)(v3 + v4 ))V0と近似できる。ここで、V0 = V1 + V2 + V3 + V4 であり、
v と V の比の一次の項のみをとった。

1.デシベルデシベル(dB)は信号レベルをある基準レベルを基準にして表した量で、信号パワーによって以v1 = v2 = v3 = v4 = 0 より、 y = KU （バーは平均の意。）なので、下のように定義される。

⎛ P⎞
dB = 10log10 ⎜ ⎟⎝ P0 ⎠
ここで、P0 が基準となるパワーレベルである。信号振幅 A はパワーの平方根だから dB を信号振幅で定義すると、⎛ A⎞
dB = 20log10 ⎜ ⎟⎝ A0 ⎠となる。また、1mW のパワーを基準にしたパワーを dBm と表し、

⎛ P[W ] ⎞dBm = 10log10 ⎜⎝ 0.001[W ] ⎟⎠と定義される。

( y − y)2 = 4K 2 (1+ U 2 )v2V02となる。ここで、 v12 = v22 = v32 = v42 = v 2 とおき、

vi v j = 0 for i ≠ j の関係を使った。y の分解能sy
は、U<<1 のとき、以下のようになる。

σ y = ( y − y)2 ∼

1
v2 1
1 。
K
= K
2
2
SNR
V

こ こ で 、 V = (V1 + V2 + V3 + V4 ) / 4 で あ り 、SNR = V / v 2 である。水平方向の分解能も同様にして求まる。
3.z 変換1)定義
離散時間信号 x[n]の z 変換は z を複素数として以下のように定義される[15,16]。

2.BPM の分解能∞

BPM 電極 1,2,3,4 が半径 R のチェンバに水平X (z) = Z[x[n]] = ∑ x[n]z − n

面から測って 45,135,225,315 度についているとする。BPM で測定した垂直方向ビーム位置 y は、
4 つの電極での電圧 V1,V2,V3,V4 から以下のように書ける[9]。

y=K

V1 + V2 − V3 − V4
≡ KU
V1 + V2 + V3 + V4n=−∞逆変換は、 Z −1[ X (z)] = x[n] となり、X(z)を z-1 の多項式で展開した時の係数である。
2)z 変換の性質
a)線型性

Z[ax[n] + by[n]] = aX (z) + bY (z)ω = 2πb)時間シフトZ[x[n − k]] = z − k X (z)FFsである。z 変換の定義と比較すると、z 変換が X(z)の離散信号のフーリエ変換は、

c)時間反転X F (ω ) = X (e jω )Z[x[−n]] = X (z −1 )で与えられる。

d)畳み込み二つの信号 x1[n],x2[n]の畳み込みは次式で定義される。

4.デシメータの等価変換

サンプリング周波数を整数 R で減少させることをデシメーションといい、デシメーションを行∞

x[n] = ∑ x1[k]x2 [n − k]k=−∞

このとき次の関係が成り立つ。

う要素（Fig. A-1 の下矢印の付いたブロック）をデシメータという。まず、デシメータの z 変換を求める。デシメータの入出力関係は次のように書ける、X (z) = X 1 (z) X 2 (z)3)システム関数（伝達関数）
線形時不変システムへの入力を x[n],出力をy[n]とする。インパルスd[n]=[1,0,0,0...]がシステ
ムへ入力したときの出力を h[n]とすると、次の畳み込みの関係がある。
∞

y[n] = ∑ h[k]x[n − k] , h[k] = 0 (k < 0)y(m) = x(Rm) 。
次の xa(n)を考えると（Fig. A-1 参照。
）、⎧ x(n) for n = Rp, p:integerxa (n) = ⎨⎩0 otherwise,
1 R−1 j 2π kn/ R= x(n) ∑ e
R k=0y(n)の z 変換は以下のように書ける。

k=−∞

∞

∞

Y (z) = ∑ x(Rm)z − m = ∑ xa (n)z − n/ R

この z 変換は、m=−∞

Y (z) = H (z) X (z)となり、h[n]の z 変換 H(z)をシステム関数あるいは伝達関数という。
4)フーリエ変換⎡⎤1= ∑ ⎢ x(n) ∑ e j 2π kn/ R ⎥z − n/ RR k=0
n=−∞ ⎣⎦。(A.4-1)
R−1
∞
−n ⎤
1 ⎡
− j 2 π k / R 1/ R
= ∑ ⎢ ∑ x(n) ez⎥
R k=0 ⎣ n=−∞
⎦

される。
∞

X F (ω ) = ∑ x[n]e− jω nn=−∞

ここで、wは正規化角周波数と呼ばれ、F を周波数、Fs をサンプリング周波数とすると、

R−1

(

=

離散時間信号 x[n]のフーリエ変換は、次式で定義

n=−∞

∞

(

1 R−1
∑ X e− j 2π k / R z1/ R
R k=0

)

)

次に、Fig. A-2 の(a)と(b)が等価であることを示す。まず、(b)の左のブロックの入出力関係は、

5.FIR の位相特性

タイプ 1（フィルタ長 N が奇数、インパルス応
答が偶対称）の FIR を考える[15]。周波数応答は、

( )

N−1

()

H e jω n = ∑ h n e − jω nn=0

⎡ ⎛ N −1 ⎞ ( N−1)/2−1⎧⎪ jω ⎛⎜ N−1−n⎞⎟ − jω ⎛⎜ N−1−n⎞⎟ ⎫⎪ ⎤
2
⎝ 2
⎠
⎠
⎢h
+
h
n
+e ⎝
⎨e
⎬⎥
∑
⎢ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n=0
⎪
⎪⎭ ⎥⎦
⎩
⎣
N−1 /2−1
N−1 ⎡− jω⎛ N −1 ⎞ ( )⎪⎧ ⎛ N −1 ⎞ ⎪⎫ ⎤
2 ⎢
= 2e
h⎜
+ ∑ h n ⎨cos ⎜− n⎟ ω ⎬ ⎥⎟⎠ ⎭⎪ ⎥⎦⎢⎣ ⎝ 2 ⎠n=0⎩⎪ ⎝ 2
=e

− jω

N−1
2

()

()

となる。ここで、wは正規化角周波数、h(n)はインパルス応答である。大括弧内は実数なので、位相特性は、Fig. A-1 デシメータの z 変換。

⎛ N −1 ⎞θ ω =⎜
ω。
⎝ 2 ⎟⎠( )6.ホールド要素のラプラス変換

ホールド要素へ振幅 1 のパルス x(t)=d(t)が入力したとき、出力 y(t)は次のパルスが来るまでの時
間 T だけホールドされるから、ステップ関数 u(t)を使って、y(t) = u(t) − u(t − T ) 。
∞

L[δ (t)] = ∫ δ (t)e− st dt = 1 ,0Fig. A-2 デシメータの等価変換[15]。

∞L[u(t − kT )] = ∫ e− st dt = e− skT / s( )X 2 (z) = G z R X (z)

kT

より、

と書ける。(A.4-1)式を使うと、

(

1 R−1
Y2 (z) = ∑ X 2 e− j 2π k / R z1/ R
R k=0
=

(

L[x(t)] = 1

)

) (

1 R−1
∑ G e− j 2π k z X e− j 2π k / R z1/ R
R k=0

(

1 R−1
= G(z) ∑ X e− j 2π k / R z1/ R
R k=0

)

)

= G(z) X 1 (z) = Y1 (z)となり、(a)と(b)の等価関係が証明された[15,16]。

1 e− sT 1− e− sT。
L[ y(t)] = −=sss
よって、ホールド要素のラプラス変換は、(1− e− sT ) / s である。