フーリエ変換
Fourier Transformation

フーリエ変換とは工学的に使われるフーリエ変換はひとことで言うと、信号の「時間領域」表現と「周波数領域」表現の変換です。

数式を書くとですが…どうも見た目からして近寄りがたいので今回はフーリエ変換の「気持ち」を理解していきましょう。

Contents
ジョゼフ・フーリエとフーリエ変換の誕生
フーリエ変換を理解するための準備
フーリエ解析
いろいろな音（音波）のフーリエ解析ジョゼフ・フーリエとフーリエ変換の誕生

Jean Baptiste Joseph Fourier（1768 – 1830）

フランスの数学者・物理学者。
固体内での熱伝導に関する研究から熱伝導方程式（フーリエの方程式）を導き、これを解くためにフーリエ解析と呼ばれる理論を展開した。フーリエ解析は複雑な周期関数をより簡単に記述することができるため、音や光といった波動の研究に広く用いられ、現在調和解析という数学の一分野を形成している。
このほか、方程式論や方程式の数値解法の研究があるほか、次元解析の創始者と見なされることもある。また統計局に勤務した経験から、確率論や誤差論の研究も行った。
（出典：Wikipedia）

フーリエの熱伝導の研究ある区間において、真ん中付近の区間における温度が一様に高く，それ以外の温度は一様に低いという状態から時間の経過とともにどのように均されていくのかということを、フーリエ級数展開によって求めた。

フーリエ級数展開

サイン（正弦）波「ほとんどすべての関数は，サイン波の重ね合わせで表現できる」

1807年にパリの科学アカデミーに提出された熱伝導に関する最初の論文は、ラグランジュ、ラプラス、モンジュ、アンペールが論文の審査委員会の委員となった。ラ
プラスとラグランジュはフーリエ級数展開の正当性を疑問視し、ラプラス、ビオ、ポアソンは熱伝導方程式の説明が不十分であると指摘し、アカデミーは内容が不十分だとして掲載は見送った。
しかしその有望さから、パリの科学アカデミーは、1812年のアカデミー賞をかけた問題として、次の課題を発表した。
「熱の伝導の法則の数学的理論を与え、この理論の結果と精密な実験結果とを比較せよ」
フーリエは大幅に加筆訂正した第二論文を提出した。審査員のひとりであったラグランジュは、その数学的厳密性に難があると厳しく指摘した。しかしながら重要性が認められ、この論文はアカデミー大賞を受賞した。
しかし、「ほとんどすべて」の範囲や「表現できる」という根拠をめぐる議論が様々になされ、フーリエ変換の真価が認められるのは20世紀後半になってからのことだった。
（※ある有限区間上の関数を三角関数の級数で表すことをフーリエ級数展開といい、無限区間に拡張されたそれをフーリエ変換という。）

フーリエ変換を理解するための準備１．三角関数の和で波形を作る

１．三角関数の和で波形を作る
まず、同じ周期の cosと sin
簡単にするために1とする。
①1 ,cosについての和を考えてみる。

sin のグラフ

yyy333222111Oπ4π2π xOπ4π2π xO−1−1−1−2−2−2−3−3−3π4π2π x１．三角関数の和で波形を作る②1,1,cossin のグラフ

yyy333222111Oπ4π2π xOπ4π2π xO−1−1−1−2−2−2−3−3−3π4π2π x１．三角関数の和で波形を作る①、②から、位相が変化していることがわかる。自然界に存在する波形は必ずしも０から始まっているとは限らない。
だから位相を変化させるためにはcos と sin を組み合わせる必要がある！

１．三角関数の和で波形を作る
位相を示すにはsin合は無限に が必要。という形で を変化させてあらわす方法があるがこの場そこで個別の関数をそのままの形で扱うのではなく、ある「直交する関数の組み合わせ」として扱う考え方が必要になってくる。
サイン波に関してはcos と sin というたった２つの関数でいろいろな位相のsinを作ることができる。

１．三角関数の和で波形を作る
そして、 cos と sin を合成した波形は振幅も変化する。
ここで、 cos と sin を円周上を回転するベクトルに置き換えてみると、

１．三角関数の和で波形を作る

ベクトルの長さをみると、合成されたベクトルはがわかる。という長さをもっていること

この と を適当に組み合わせることによって、振幅と位相を自由に作り出すことができる！

２．違う周期の三角関数を合成する

２．違う周期の三角関数を合成する
sinsin 2sinsin 2sin 3sinyyy

333222111Oπ4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4Oπ4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4

O−1−1−1−2−2−2−3−3−3π40.5 cos 3π 3π2 40.5 sin 3π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4

このようにsin、 cosの組み合わせからさまざまな形のグラフを作り出すことができる！

３．フーリエ級数

３．フーリエ級数
もっと多くの関数を足し合わせることで、もっと複雑な関数を作り出すことができる。
フーリエ級数展開

∑cos

sin

cos

cos 2

cos 3

⋯cos

⋯

sin

sin 2

sin 3

⋯sin

⋯という関数が、右辺のcosとsinの合成された形によってあら
この式は、左辺のわすことができるという意味。
は、とりあえず、そのあとに続く波形の式を全体に上下させるため式の最初のにあるものと考える。（の みたいなもの）３．フーリエ級数
フーリエ級数展開

∑cos

sin

cos

cos 2

cos 3

⋯

cos

⋯

sin

sin 2

sin 3

⋯sin

⋯

がある周期をもっているとき、つまり「周期関数」のフーリエ級数展開は、関数合成に利用することが前提になっている。周期関数でない場合でも、ある区間で区切り、その区間が繰り返されていると仮定することで、波形を合成することができる。

３．フーリエ級数
フーリエ級数展開∑, , ,⋯
示すだけでcossin

cos

cos 2

cos 3

⋯cos

⋯sin

sin 2sin 3⋯sin⋯⋯ , , , , ⋯ ⋯は「フーリエ係数」と呼ばれ、この係数の値をの波形の形を決めることができる。

３．フーリエ級数例として∑ysin,3のグラフをみてみると2右のようになる。

1

これを「のこぎり波（鋸歯状波）」

Oという。

−1−2−3π4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4

４．時間関数と周波数スペクトル４．時間関数と周波数スペクトル３つの円周上をそれぞれはやさの異なる点を時間の関数としてグラフにすると関数になる。また、ここから を横軸にしてスペクトルが書ける。
23yy44332211O1234 xOy43.53π4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 42.52−1−1−2−21−3−30.5−4−4O1.51234x４．時間関数と周波数スペクトル
さて、先ほどの３つの波、4 sin 2 ,3 sin ,2 sin 3 を合成してみよう。
yy46342合成

1O−1−2−3−4π4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 42O−2−4−6π4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4

４．時間関数と周波数スペクトル
フーリエ変換yy6443.532O−2−4−6π4π 3π2 42.5π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 42フーリエ変換

1.510.5O

1234x「フーリエ変換」というのは、このように合成された関数から合成される前のそれぞれの周波数とその大きさを計算で見つけ出すことである。

４．時間関数と周波数スペクトル
フーリエ変換では、何らかの形で波形がある一定の周期の繰り返しを持つ「周期関数」になっている必要がある。
なぜならさまざまな周期や振幅の三角関数を組み合わせると、いろいろな形の波形を作り出すことができるが、結果としてフーリエ級数で作り出せるのは「周期関数」になっているからである。
例えば、sin 2 とsin 3 と cos を組み合わせると、その基準となるsin （＝一番長い周期の三角関数）を一区切りの周期として繰り返す「周期関数」になる。

４．時間関数と周波数スペクトル「フーリエ級数展開による合成」と「フーリエ変換による解析」は逆の操作だから、フーリエ級数によって作り出された関数が周期関数であれば、フーリエ変換で変換される関数も周期関数であるべきである。フーリエ変換はある関数がどのような三角関数の組み合わせでできているかを調べる方法だから、元の関数を何らかの形で一番長い周期に対応した「１周期」と捉えなければならない。
自然現象の波の多くは必ずしも周期関数ばかりではないので、短い時間に区切って、その区間の範囲を繰り返す周期的な現象と考え、フーリエ変換を行う。

フーリエ解析
フーリエ変換を使った波形の解析

１．周波数成分を調べる手順

１．周波数成分を調べる手順
STEP1 複雑な波形を周期関数として扱うために区間を区切る
元の波形が「音」のような非周期関数の場合、例えば１秒という時間で区切るとする。
この区切った部分を最大周期と考えると、この場合は周波数でいうと１Hzが一番低い周波数になる。

１．周波数成分を調べる手順
STEP2 調べようとする周波数を決める
調べる周波数を一つ決める。ただし、一つやったら終わりではなく、一番低い周波数から計算可能な一番高い周波数までのすべての周波数成分を一つずつ調べる必要がある。

１．周波数成分を調べる手順
STEP3 一つ一つの周波数を抽出する
切り取った区間からある特定の周波数成分を抽出させることのできる「フィルター」を使って、例えば、 用フィルターを使ってcos 成分を抽出するといった感じでやる。１．周波数成分を調べる手順
STEP4 スペクトルを作る抽出した周波数成分の大きさを測り、周波数の大きさ順にグラフを作る。

２．フーリエ係数
フーリエ級数
∑cos

sin

cos

cos 2

cos 3

⋯cos

⋯

sin

sin 2

sin 3

⋯sin⋯

このとき、「cos 」や「sin 」の の前についている が「周波数」に対応し、 sin、cosの大きさを決める係数が , である。この , , を「フーリエ係数」という。
から , ,元の波形定の一つを抽出できる！

を求めることで、いろいろな周波数成分から、ある特２．フーリエ係数
ここで、考えなければならないのは、先ほど少し出てきた「関数の直交」という考え方である。

定義
ある２つの関数の積を積分した結果が０になるとき、この２つの関数は「直交する」という。
フーリエ変換に用いるのはcos と sin という２つの「直交する」関数であり、直交関係のこの特徴を用いることで、周波数成分の抽出が可能になる。

２．フーリエ係数
先ほどのさまざまな違う周期の三角関数を見てみると、積分計算しなくても積分結果が０であることは、感覚的にわかる。
sinsin 2sinsin 2sin 3sinyyy333222111Oπ4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4Oπ4π 3π2 4π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4O−1−1−1−2−2−2−3−3−3

つまり、 と が異なる整数のとき、sinついても同じことがいえる。と sin

π40.5 cos 3π 3π2 40.5 sin 3π 5 π 3 π 7 π 2π x4 2 4は直交している、といえる。また、cosに２．フーリエ係数
まずはcosのフーリエ係数「cos」について考えてみる。

だけ残したい場合は全体に cosをかけて定積分すればよい。

すると、 の値が等しいcosどうしは直交しないので、１つの関数が残り、後は全て直交関係にあるために積分結果は０となる。

２．フーリエ係数
cos

cos つまりcosの積分結果は「 」になる。これを図で見ると、

２．フーリエ係数
ここで知りたいのは「 」で、cos の場合は が1なので1といえた。
つまり、逆に考えると、 を知りたければ、面積を求める積分の式を で割ればよい！
これを式にして示すと、cosの積分式を で割る、つまり をかけるので、cosとなる。
sinについても全く同じことがいえるので、sinも成り立つ。
これが「フーリエ係数」である。

２．フーリエ係数
つぎに、について考えてみる。図を見てみると、先ほどと同じように考えると2 で割る、つまりとなる。

をかければよいので

２．フーリエ係数
ここで、「そもそもとは何か？」ということを考える。にも がついている以上はやはりcosのフーリエ係数である。
つまり、だけを特別扱いしなくても、もいえる。しかし、cosに0のときのcos 0を入れて計算すると、求まるのは の２倍の2つまを合わせるために、フーリエ級数の先頭に をつける。

なので、つじ２．フーリエ係数
フーリエ級数の式も本当は
cos 0

cos

cos 2

cos 3

⋯sin 0sin

sin 2sin 3⋯0123となっていて、cos 0となる。

1, sin 00なので、

cos

cos 2

cos 3

⋯sin

sin 2sin 3⋯２．フーリエ係数
これを元に、cosとしてもよいのだが、と をそろえて、これより、フーリエ係数はcossinである。

0のときはにする。

３．スペクトルを求める
ここまで見てきたように、一つの周波数成分にはsin関数の成分とcos関数の成分があった。
そして、それらに対応したフーリエ係数はとで表される。

しかし、スペクトルとして考える場合は、それぞれの成分の係数ではなく、その周波数成分の大きさに注目する必要がある。

３．スペクトルを求める
周波数成分の大きさを図で考えると、と計算できる。

３．スペクトルを求める
計算した を の小さい方から順番に右に向かってグラフにすることで「スペクトル」が得られる。

このようにして、フーリエ変換を使って波形を解析することができる。

いろいろな音（音波）のフーリエ解析

１．音叉のスペクトル
楽器調律用音叉は４４０Hzの音を出す。

少し上下に揺れているがsin関数そのものである。

１．音叉のスペクトル
スペクトルを見てみると、音叉の波形はほぼ単一の周波数から成り立っていることがわかる。

１．音叉のスペクトル
個人差はあるが一般的にsin関数の単一な周波数の音は、プーとかポーのような非常に単純な音に聞こえる。
７kHz以上になるとキーンというような高い音に聞こえる。

２．ギターのスペクトル
ギターは、６本の太さの違う弦が張ってあり、押さえる位置によってそれぞれの音階を作り出す。１音ずつ弾くことによってメロディーラインを奏でることもでき、また、複数の弦を同時に押さえて弾くことによって和音を作り出し、厚みのある音を奏でることもできる。

２．ギターのスペクトル①ド（C）を単音で鳴らした時の音の波形

２．ギターのスペクトル
これのスペクトルに主なピークの周波数を書き込むと、

２．ギターのスペクトル
ラの音を「４４０Hz」と決めているのは「国際基準周波数」で、「国際基準」でのドの音の周波数は２６１.６３Hzである。
この解析結果で一番大きなスペクトルは２６４Hzになっているので、このギターは少しチューニングが高めになっていることがわかる。
また、その次に大きなスペクトルをもつ周波数を順に見ていくと、５２８HZ・７９７Hz・
１０６１Hz・１３２５Hz・１５９３Hzというように、もとの「ド」の音（基底音）のほぼ２倍、３倍、４倍・・・と周波数のピークがあり（倍音）、その大きさは周波数が高くなるにしたがって小さくなっている。
このようなスペクトルは、先ほど出てきた「のこぎり波」とよく似ている。それは、基準になる音（周波数）「ド」の倍音（高調波）が偶数次も奇数次も含まれているからである。

２．ギターのスペクトル②ド（C）、ミ（E）、ソ（G）を同時に鳴らした時の波形

２．ギターのスペクトル
これもスペクトルに主なピークの周波数を書き込むと、

２．ギターのスペクトル
きちんとド・ミ・ソの基底音が確認できる。
しかしこのとき、ドの音の高調波の比率が単音を弾いた時よりも急激に小さくなっていくことがわかる。
和音を弾くと、一つ一つの基準の音の高調波を生じさせるエネルギーより、和音を合成するエネルギーに使われていると考えられる。

ド（C）・ミ（E）・ソ（G）の和音

ド（C）単音３．和音

ド・ミ・ソを同時に弾いたとき、ミのスペクトルが、ドやソに比べて小さくなっている理由を考えてみる。

３．和音
鍵盤楽器や、ギターのようにフレットのついた楽器は、「平均律」という調律をする。
１オクターブ（周波数比で1 ∶ 2）を１２音に分け、その隣り合う音の周波数の比率を同じにしている。１に１２回同じ値を掛け算して２（１オクターブ）になるという考え方をしているので、その比率は 2である。（ 2 1.059463 ⋯）その一段階毎の隣り合う音の関係を「半音」という。

３．和音
ここから考えると、ドとその上のソの周波数比はほぼ1 ∶ 1.5、つまり2 ∶ 3になっている。このような簡単な整数比で表される周波数の関係にある音は、お互いに強め合う性質がある。
一方、「ドとミ」の周波数比はおよそ 6 ∶ 7 、「ミとソ」の周波数比はおよそ 7 ∶ 9である 。
これらの比は簡単な整数比ではあるが、 2 ∶ 3に比べれば少し複雑である。
周波数比が単純であるかどうかが、音を強めあうかどうかに関わってくる。単純なほどより強めあうことになる。
しかし、比較的小さくなったとはいえ、重要なスペクトル成分であることには変わりはなく、これが和音による音の厚みである。

おわり
ありがとうございました。