ライナックのビーム物理

る。ここでいうビームロスとは、「ビームを構成する粒子が何らかの原因で正常に加速あるいは輸送されず、ビーム軌道を囲む真空チャンバーに

1. はじめに衝突して失われる現象」である。大強度加速器においては、極めてわずかな割合のビームロスでさ本章では、大強度陽子加速器施設である

え加速器本体の放射化を引き起こし、そのメンテ

J-PARC（Japan Proton Accelerator Research

ナンスを著しく困難にする。実際に、大強度陽子

Complex）のライナックを例にとり、大強度陽子加速器では、多くの場合、ビームロスに起因する

ライナックにおけるビーム物理について紹介し加速器本体の放射化が、最終的にその加速器のビていきたい。

ーム出力を制限すると考えられている。プロトン

J-PARC は 181MeV のライナック、3GeV のRCS（Rapid Cycling Synchrotron）、30GeV のドライバーはしばしば全長 1km を超えるような大規模な加速器施設であり、そのような施設全体

MR（Main Ring）からなる大強度加速器施設でに渡って遠隔メンテナンスシステムを構築する

あり、3GeV と 30GeV という異なる２種類のエネ

ことはコスト的に実現が難しい。そのため、加速

ルギーの陽子ビームを実験施設に供給すること器の設計を行うにあたっては、人が直接手を触れによって、バラエティーに富んだ二次粒子を用いてメンテナンスを行う、いわゆる“ハンズオンメ

た実験を可能としているのが、その特色となってンテナンス”を想定することが通例となっていいる[1]。J-PARC では、現在、各実験施設へのビる。このハンズオンメンテナンスを実現するためーム供給を行いながら、設計ビーム出力であるには、ビームロスをおよそ 1W/m 以下に抑える必

3GeV のエネルギーで 1MW、30GeV のエネルギ

要があると考えられている[4]。すなわち、ビーム

ーで 0.75MW の達成を目指して、加速器群のビー

出力が 1MW のプロトンドライバーでは、ビーム

ムコミッショニング（ビーム調整運転）が行われロス率をおよそ 10-6/m 以下に抑える必要があるている[2]。

こととなる。このような非常に小さな割合のビー

J-PARC がその一つの好例であるが、陽子ビー

ムロスを予測しコントロールすることが、大強度

ムは様々な二次粒子ビームを生成する“ドライバ陽子ビームにおけるビーム物理の非常に大きなー”として非常に有用であり、現在、様々な用途課題となっている。大強度陽子加速器施設の前段を目指した陽子加速器あるいは“プロトンドライ部を構成する陽子ライナックもその例外ではな

バー”1 の建設が世界各国で計画されている。最新

い。

のプロトンドライバーであり、すでに建設され稼

J-PARC は MW クラスのビーム出力を目指すプ働が開始されているものとしては、J-PARC の他

ロトンドライバーの先駆けの一つであり、ここでに、米国の SNS（Spallation Neutron Source）

直面する種々のビーム物理学的課題を克服してがあげられる。SNS は二次粒子として生成する中いくことは、今後、より高出力のプロトンドライ

性子の利用に特化した陽子加速器施設であり、バーを実現していく上で、非常に重要であること

2009 年、加速器ベースのパルス中性子源として世を強調しておきたい。

界最高出力である 1MW のビーム加速に成功し、本章では、大強度陽子ビームにおけるビーム物

現在、設計ビーム出力である 1.4MW を目指した

理のうち、入射器であるライナックで重要になる

ビームコミッショニングを継続している[3]。

現象を紹介する。ライナックでは、円形加速器（シ一方、加速器のビーム出力が大きくなってくる

ンクロトロンあるいは蓄積リング）に比べてビーと、ビームロスの低減が本質的な課題となってく

ムのエネルギーが低いため、空間電荷効果がより顕著となる。（高エネルギー部では、空間電荷効

1

本章では、加速された一次ビームである陽子ではなく、
もっぱら二次粒子を利用する目的で建設された陽子加速器のことをプロトンドライバーと呼ぶこととする。

果はビーム自信の誘起する磁場によって打ち消されるため、その効果は小さくなり、逆にビームる2 。しかし、ビームを構成する粒子の数は非常にのもつ電磁場と外界との相互作用によってもた多いので、その粒子が作るペアの数も膨大なもの

らされるビームの集団的な不安定性が重要度をになる。「空間電荷」という言葉の中には、その増してくる。）次の２節では、空間電荷効果によような微視的な描像に立つのではなく、もう少しって引き起こされる主な現象を概観し、3 節では、粗っぽく（coarse grained に）現象を捉えて、「ビその中でもビームロスに直接関連するビームハームを構成する粒子の電荷が連続体としてある

ローの生成について、より詳しく解説する。

空間を満たしており、各粒子は、その空間を満た

本章では、J-PARC ライナックの構成やその設計については繰り返さない。これらについては、す電荷から力を受けながら運動する」という描像が含まれている。

2001 年の OHO のテキスト[5]や参考文献[6]に詳しいのでそちらを参照してほしい。

この描像は、空間電荷効果の数値シミュレーシ
ョンにしばしば用いられる Particle-In-Cell 法[7]J-PARC では、ライナックから 3GeV シンクロを例にとるとイメージしやすいかもしれない。

トロンにビームを入射する際には、先に入射した

Particle-In-Cell 法では、ビームはシミュレーショ

ビームに重畳してビームを入射する多重入射がン粒子の集合としてモデル化され、ビームのもつ行われる。すなわち、シンクロトロン中を周回し電荷は個々のシミュレーション粒子に分配されて入射点に戻ってくるビームに重ねるように次

る3 。次に、シミュレーション粒子が他のシミュレのビームが入射される。この入射の際に、リウビーション粒子のもつ電荷から受ける力を計算す

ウの定理に制限されずに位相空間中でのビームる必要があるが、ここで直接二体間のクーロン力

密度を高めるために、ライナックでは負水素イオを計算するのではなく、ビームが存在する空間にンを加速し、入射の際にカーボンフォイルで電子メッシュを導入し、シミュレーション粒子のもつを剥ぎ取って陽子に変換している。すなわち、電荷を近傍のメッシュの格子点にいったん分配

J-PARC ライナックで加速される粒子は陽子ではする。そうすることによって「電荷の分布関数」

なく負水素イオンであるが、イオン源を除けば、を得ることができる。この「電荷の分布関数」を加速する粒子が陽子でも負水素イオンでも、ライ用いて、Poisson 方程式を解くことにより、「電ナック自体の設計は変わらない。本章では、加速場」を位置の関数として求めることができる 4 。そ器分野での通例に習って加速する粒子が陽子でうすると、今着目している粒子の位置におけるあるか負水素イオンであるかに関わらず、「陽子「電場」から、その粒子の受ける「空間電荷力」

ライナック」と呼ぶことにする。

を知ることができ、ある微小な時間が経った後の2. 空間電荷効果による様々な現象
2.1. 空 間 電 荷 効 果 と は
空間電荷効果とは、ビームを構成する各粒子がもつ電荷が各粒子の運動に及ぼす効果のことである。実際には電荷を担っているのはビームを構成する個々の粒子であり、個々の粒子の作るすべてのペアについて二体間のクーロン力を足しあげていってやれば、この効果を記述することができ粒子の位置が計算できる。そして、このプロセス

2

より正確に言うと、個々の粒子が作る「電流」が磁場を生成し、その磁場を介して粒子間に電磁力が働く。通常、個々の粒子がビームの進行方向に進むことによって生じる電磁力も空間電荷力に含めて考える。
3 計算時間を短縮するため、Particle-In-Cell 法で用いられるシミュレーション粒子の数は、実際にビームを構成する粒子の数よりもずっと少ないのがふつうである。
4 Particle-In-Cell 法においては、電荷分布は格子点上に離散化した関数として与えられる。Poisson 方程式は偏微分方程式であるが、偏微分方程式を離散化して解くのは数値解析の常套手段である。このあたりの具体的なアルゴリズムについては、参考文献[8]を参照してほしい。
離散化した Poisson 方程式を解くことによって、格子点上での空間電場が求められることになる。この格子点上の空間電場から内挿することによって、着目している粒子の位置での空間電荷力を求めることができる。

を繰り返すことによって、粒子の運動を追跡でき低く、そのためこのセクションにおける空間電荷

ることとなる。

効果が際立って強い。空間電荷効果が顕著な系でお気づきのように、Particle-In-Cell 法におけるは、空間電荷に起因する発散力に打ち勝つだけのモデル化の本質的に重要な点は、直接シミュレー

外部収束力を与えてやらないと、ビームはたちま

ション粒子間のクーロン力を計算するのではな

ちにしてこの効果のもつ非線形性によって「エミく、いったん「電荷分布」に焼き直すところであッタンス」が増大してしまう。ここでいう「エミり、このことは「電荷が連続体としてある空間をッタンス」とは位相空間でビームの占める体積を満たしている」という空間電荷の概念と密接に結表し、加速器のビームの質を示す重要な指標となびついている。

っている。リウビウの定理から、いったん増大し2.2. 空 間 電 荷 の 中 和てしまったエミッタンスを小さくすることは、ビーム冷却と呼ばれる特殊なプロセスによらない大強度陽子ライナックにおいては、空間電荷効果限り、行うことができない[11]。したがって、加によって周期的な外部収束力（ビームを限られた速器においては、通常、いかにエミッタンスを増空間に閉じ込めるために外部から加える収束力）

大させないように加速するかが重要な課題となとの間の共鳴現象や、ビーム密度の高いコアの周る。

りに希薄なビームハローが生成される現象等、

この LEBT は長さがふつう 1m 程度のごく短い

様々な現象が引き起こされることが知られていビーム輸送系であるが、空間電荷効果が非常に強る。空間電荷効果は本質的に多体現象であり、そく、いかに空間電荷の影響をコントロールしつつの研究は前述の Particle-In-Cell 法を用いた粒子

このセクションのビーム輸送を実現するかが大シミュレーションに負うところが大きい。近年は

強度陽子ライナックの設計上、ひとつの大きな課

計算機の速度が飛躍的に向上したこともあり、数題となっている。J-PARC の LEBT では、この空百万個、ときには数十億個のシミュレーション粒

間電荷効果を緩和するため、「空間電荷の中和」

子を用いたシミュレーションも行われるようにと呼ばれる現象を積極的に利用している。加速器なってきた[9]。上述のような非常に小さな割合のでは気体分子との散乱によってエミッタンスがビームロスを予見するためには、このような大規増大したりビームが失われたりするのを防ぐた

模シミュレーションの導入によってシミュレー

め、ビーム軌道をチャンバーで囲み、高真空状態

ションの精度を極めて高いものにすることが要に保つのが通例である。しかし、LEBT ではイオ

求されている。しかし、大強度陽子ビームのシミン源から負水素イオンの生成に用いる水素ガスュレーション研究において常に問題となるのが、の流入があるため、真空度が他のセクションに比「十分現実的な初期分布を用いてシミュレーショ

べると良くないことが多い。そのような環境の中ンを行えているか」ということである。上述のよに負水素イオンのビームを入射するとチャンバ

うに、空間電荷力は低エネルギー部ほどその影響

ー中の残留ガスが負水素イオンとの衝突によっが顕著になる。最近の陽子ライナックでは、イオてイオン化される。そして、このとき生じた正イ

ン源から引き出した運動エネルギーが数十 keVオンの一部はビームのもつ空間電場に捕捉され、の陽子（あるいは負水素イオン）を RFQ（Radio

その空間電場を中和する5 。このプロセスは、原理

Frequency Quadruple linac）[10]と呼ばれる加速的にはある時定数をもって空間電荷を完全に中空洞に入射して 3MeV 程度までの初期加速するの和するまで進行する。しかし、現実の加速器ではが定番となっている。このイオン源と RFQ をつなぐビーム輸送系（Low Energy Beam Transport
または LEBT と呼ばれる）で輸送されるビームのエネルギーは陽子ライナックの中でも際立って5空間電荷の中和は陽子ビームの場合も起こりうる。この場合は、チャンバー中に生じる電子も重要な役割を果たす。負水素イオンビームの場合には、残留ガスとの散乱によって自分自身も軌道電子を失って正イオンのソースになり得る。

空間電荷が完全に中和されることは無く、どの程

一方、ラティスに近似的な周期性を導入するこ度の中和が実現されているかは実験的に求めらとによって、共鳴現象に対する考慮が必要となっれることが多い。J-PARC の LEBT では、この空てくる。一般にビームを構成する各粒子は、理想間電荷の中和の助けを借りることによって、空間的な軌道の周りを振動しながら加速されていく。

電荷による発散力および非線形効果を抑制し、比この粒子の振動の周期は、外部から与える収束力

較的弱い収束力で収束しながらビームを RFQ にの強さによって定まる。一方で、外部収束力を与導いている。この空間電荷の中和のプロセスはモえる四重極電磁石はある特定の周期で配置されデル化が容易でなく、そのことに起因する曖昧さているので、その周期とビームの振動の周期が一が下流のビームシミュレーションを行う上で非定の条件を満たすと共鳴現象が引き起こされ、エ

常に大きな課題となっている。実際、実験的に求ミッタンスの増大あるいはビームロスの原因とめられる空間電荷の中和の度合いについても、どなる。この現象を「構造共鳴」と呼ぶ。ライナッ

ういうメカニズムでそれが決まっているのか必クでは円形の加速器と異なり、同じ場所を粒子がずしも明確ではない。この空間電荷の中和の定量

何度も周回することはない。そのためライナック

的な理解を深めることが、今後、大強度陽子ビーで加速される間に粒子が振動する回数は円形加ムのシミュレーションの精度を上げていく上で速器に比べて桁違いに小さく、陽子ライナックの鍵となると考えられる。このあたりは、プラズマ

場合、ふつう数回から数十回程度である。したが物理と加速器物理の境界に位置しており、プラズって、陽子ライナックの設計においては、成長率

マ物理の知見を生かすことによって現象の理解の特に大きい共鳴だけを考慮すれば良いというやモデルの高度化が進められることが今後期待ことになる。ただし、ここで注意しなければならされる。

ないのは、共鳴の影響の評価にあたって、空間電2.3. 構 造 共 鳴

荷効果の果たす役割を考慮に入れる必要があるということである。

空間電荷力に打ち勝ってビームを空間的にごく空間電荷効果が顕著なビームにおける構造共

限られた領域に閉じ込めて加速するために、加速

鳴は、1980 年代に精力的な研究が行われた[12]。

器では外部から収束力を加えならビームを加速

この時期は、重イオンビームを用いた慣性核融合する。この外部収束力は、最上流部である RFQに応用することに強く動機づけられて、大強度イでは高周波電場によって与えられるが、それ以降

オンビームおける空間電荷効果の理解が大きくでは通常、四重極磁場によって与えられる。その前進した時期である。理論的には、線形化されたための四重極電磁石と加速するための加速空洞

ブ ラ ソ フ 方 程 式 6 を 用 い て 、 KV（ Kapchinsky-の配置の設計を、ラティス設計と呼ぶ。ライナッ

Vladimirsky）分布[13]の安定性が解析され、ビクのラティス設計においては、ビームのエネルギームが不安定になる条件が導き出された。しかーが下流に行くにしたがって増加するため、厳密し、現実のビーム分布は一般に KV 分布とは異なな意味での周期的なラティスは実現できないが、ると考えられるため、ここで導き出されたすべて

近似的に周期的な系を構築することが通例となの条件で実際にエミッタンス増大やビームロスっている。そうすることによって、その系に整合が引き起こされるとは限らない。したがって、陽の取れた（すなわち無駄なビームサイズの振動が子ライナックを設計する上では、どの共鳴が実際起こらない）ビーム条件を見つけることが容易にに危険で、どの共鳴が危険でないかを見極めるこなる。無駄なビームサイズの振動は、エミッタンとが肝要となる。この時期、２次元の Particle-In-スの増大や後述するビームハロー生成の原因になることが知られている。

6より正確には、ブラソフ方程式について、その定常分布についての摂動を考え、摂動の一次の項までをとった方程式。周期的な収束系における定常分布は KV 分布しか知られていない。

Cell シミュレーションも大強度ビームにおける空

全区間に渡って避ける」ことができる設計となっ間電荷効果の研究に本格的に取り入れられ、これている。しかし、縦横結合共鳴を避ける運転パラを用いて、より現実的であると思われるビーム分

メータを実現するためには、ビームの縦方向と横布における構造共鳴の研究が行われた。その結方向のエミッタンスの情報が必要であり、特にビ果、「収束系１周期あたりの粒子振動の位相進みームの縦方向のエミッタンスをいかに正確に測が 90 度以下になるように設計すれば、危険な共定するかが現在の課題となっている。

鳴は避けることができる」というのが大強度イオ
ンライナックの設計指針として広く認められてきた。しかし、最近になって位相進み 60 度付近

2.5. ビ ー ム ハ ロ ー の 生 成の共鳴が SNS のライナックでビームロスの原因

空間電荷効果によって引き起こされる現象の中になっている可能性が指摘される等、議論が再燃でも、特にビームロスに直結する現象であると考する兆しもある[3]。

えられているのが、密度の高いビームコアの周り

2.4. 縦 横 結 合 共 鳴
一方、粒子の振動にはビームの進行方向（縦方向）に希薄なビームハローが形成される現象である。
このビームハローの生成過程は 1990 年代半ばか
ら盛んに研究され始めた[16]。

の振動とそれに垂直な面内（横方向）での振動の前述のように構造共鳴や縦横結合共鳴はラテ

２種類がある。大強度のイオンビームにおいて

ィス設計で避けることが可能である 7 と考えられは、粒子の縦方向の運動と横方向の運動が空間電ているが、このビームハローの生成はラティス設

荷効果によって結合しており、この２つの振動の計で避けることができない。言い換えれば、どの間の結合共鳴も起こり得る。この結合共鳴の条件

ようなラティス設計を採用した陽子ライナックが満たされると、縦方向のエミッタンスが横方向であっても、運転パラメータのチューニングが十に、あるいは横方向のエミッタンスが縦方向に移分でなければビームハローが生成し得る。このこ動する。この共鳴については、1990 年代後半からとに関して、J-PARC のライナックも例外ではな2000 年代前半にかけて精力的な研究が行われ、い。特に大強度陽子ライナックにおいてはわずか「加速の過程で結合共鳴条件を一時的に満たすこな割合のビームロスも加速器本体を放射化を引とは危険ではない」というのが現在の一般的な理き起こすのに十分であるため、このビームハロー

解となっている[14]。加速の全区間において結合の生成を抑制することは、大強度フロンティアを

共鳴条件を避けることは陽子ライナックの設計

目指す陽子ライナックにおいて本質的に重要で上非常に強い制約となるため、この知見は実用ある。

上、非常に大きな意味がある。
これら２つの共鳴条件は、現実の陽子ライナッ

このビームハローの生成については、節を改めて次節で詳しく解説する。

クを設計する上で非常に重要な設計指針を与えるものであるが、その実験的な検証が十分に行われているとは言い難い。より大強度のプロトンド

3. ビームハローの生成

ライバーが求められるに従って、より詳細な検証が求められてきており、そのことを背景として、

3.1. エ ン ベ ロ ー プ 方 程 式

共鳴条件の実験的な検証を行う努力が現在でもビームハローの生成について詳細を紹介する前進められている[15]。

に、その準備として、エンベロープ方程式と呼ばちなみに、J-PARC のライナックでは、「収束系
１周期あたりの粒子振動の位相進みが 90 度以下になる」ようにし、かつ「縦横結合共鳴を加速の

7

前述のように、縦横結合共鳴を避けるためにはビームの縦方向と横方向のエミッタンスの情報が必要であるが、あらかじめその情報があれば、ラティス設計によって共鳴を避けることは可能である。

れる方程式を紹介しておきたい。エンベロープ方

xy となる。このようなモーメントは、 x と y の

程式は、ビームハローの生成過程の理解だけでな相関を議論するときに重要となるが、本章では２く、空間電荷効果が無視できない系におけるビー

つの自由度間にまたがる相関がない場合に議論

ム力学設計を行う上で欠かすことのできない基€を限りたい。

礎的な方程式のひとつである。

€ €また、３次以上のモーメントも同様に定義で空間電荷力は、「ビームを構成する他の粒子がき、高次の共鳴現象が見られるときの解析等にしもつ電荷が、着目している粒子の運動に及ぼす

ばしば用いられるが、これも本章では割愛した力」である。したがって、空間電荷効果が無視でい。

きない系においては、ビームを構成する個々の粒したがって、ここではビームのもつ１次のモー子の運動をバラバラに扱うのではなく、その集団

メントと２次のモーメントに限って、議論してい的な効果を取り入れた運動の定式化が必要であく。

る。その方法の一つがビームの「モーメント」を用いる方法である。

ここで、ビームを構成する個々の粒子の運動が次のような運動方程式に従うと仮定しよう。

加速器中のビームはバンチ構造をもつことが多いが、ここでは DC ビーム、すなわちビームの進行方向に無限の長さをもつビームを考える。このビームの進行方向を s とし、これに垂直な平面上の座標を（ x , y ）とする。また、 x の s に対する微分を x' 、 y の s に対する微分を y ′ と書くこと€x'≡ dx ds ,とする。すなわち、€€€y'≡ dy ds であり、x' は€x 方向の運動量に、
y ′€
は y€
方向の運動量に相€€したがって、ビームを構成する€€当する量である。
€€
個々の粒子の位相空間上での座標は（ x , y , x' ,€€y ′ ）で表すことができる。
€€ €ここで、ビームを構成する全粒子について、x の €€平均を取ったものを x と書くこととする。物理€ € €的には、これはビームの重心の x 方向の位置に相x′ も当する。同様に、 x ′ についての平均である€
x と x ′ を、 x についての１次定義できる。この€のモーメントと呼ぶ。€
x2
さらに、€ ビームを構成する全粒子について、€€
x 2 と書くこの平均を取ったものを考え、これを€€2とにしよう。同様に、 x ′ や xx ′ も定義できる。

€

これら３つを x 方向についての２次のモーメント2と呼ぶ。物理的には、 x €は x 方向のビームの広

€

€
xx ′
がりを、 x ′ €は x ′ 方向のビームの広がりを、
2€
は x と x ′ の相関の強さを表している。
€€€
２次のメーメントは、２つの自由度間にまたが€€€ って定義することもできる。例えば、ビームを構€ € 成する全粒子について、xy の平均を取ったものは€

d2x= K x ( s) x + Fx ( x, y,s)
ds2d2y
= K y ( s) y + Fy ( x, y,s)
ds2

(3-2)

ここで、ビームに働く外部収束力としては完全に線形なものを考え、その強さを K x ( s) , K y ( s) と書いた。Fx ( x, y,s) は、その位置における空間電荷力の x 方向の強さを表す関数、 Fy ( x, y,s) は、その位置における空間電荷力の€ y 方向の€ 強さを表す関数である。
ビ ー ム を 構 成 す€る 全 粒 子 に つ い て 、 式 (3-1),(3-2)の平均をとることによって、１次のモーメン€
トが従う方程式を導くことができる。平均を取る

操作と微分を取る操作は可換であることを用いて、

d2
x = K x ( s) x + Fx ( x, y,s)ds2d2
y = K y ( s) y + Fy ( x, y,s)
ds2

(3-3)
(3-4)

ここで、 Fx ( x, y,s) のもつ意味を考えてみよう。

Fx ( x, y,s) は、その定義から、各粒子が受ける空間電荷力の x 方向の分力をすべて足し合わせて、€粒子数で割ることによって得られるものである。
一方、空間電荷力とはクーロン力のことなので、

€

€

(3-1)

微視的な描像に立ち返れば、ビームを構成する各粒子について取りうる可能な全てのペアについて、クーロン力を足し合わせていくことによっ

d2 2
d2x
2
′
x
=
2
x
+
2
x
ds2
ds2

(3-10)て、この項を求めることができることになる。
ここで「作用・反作用の法則」を思い出してほここで、式(3-1)を(3-10)に代入して、しい。作用・反作用の法則から、粒子 A が粒子 B€に及ぼす力と粒子 B が粒子 A に及ぼす力は大きさが同じで向きが逆である。したがって、この２つの力を足し合わせると、互いに打ち消し合って合d2 2
x = 2 x ′2 + 2kx x 2 + 2 xFx
ds2(3-11)

力はゼロになる。「ビームを構成する各粒子につSacherer によって、楕円対称な分布をもつビーム

いて取りうる可能な全てのペアについて、クーロについては、一般に、次の式が成り立つことが導ン力を足し合わせていく」とき、着目しているクき出された[17]。

€ーロン力の反作用が必ずその中に含まれるはずである。このことから、この平均操作において、最終的にすべてのクーロン力が打ち消されるこ

xFx =

K
x rms
2 x rms + y rms(3-12)とがわかる。すなわち、Fx ( x, y,s) = 0(3-5)

ここで、 K は generalized perveance と呼ばれる€

空間電荷力の強さを表すパラメータで、粒子の質
量を m 、電荷を q 、ビーム電流を I 、relativistic

y 方向も同様である。

€

€

€

€
€

€factor を β 、γ 、光速を c 、真空の誘電率を ε0 とす
3 3 3
ると、K = qI 2πε0 mc β γ と表される[18]。また、
Fy ( x, y,s) = 0(3-6)€
x rms ≡ € x 2 、 y rms ≡ €y 2 は、それぞれ x 方向、€€y 方向の€€rms（root-mean-squared）ビームサイ
したがって、式(3-3), (3-4)は次のように書き換え€
ズである。
られる。
€ x の時間発展式(3-9)から(3-12)を用いると、rms€€を表す次のような方程式を導き出すことができ€d2る。
x = K x ( s) x
(3-7)
ds2
€
d2
2
εrms,x 2
d
x
K
y
=
K
s
y
(3-8)
(
)
rms
y
=
K
s
x
+
+
(
)
ds2
x
rms
ds2
2( x rms + y rms ) x rms3
(3-13)

この式から、ビームの重心は空間電荷効果がない
場合の運動方程式に従うこと、言い換えれば、空€間電荷効果はビームの重心の運動に影響を与えないということがわかる。

ここで、εrms,x は x 方向の rms エミッタンスと呼ばれる量で、次式で定義される。

次に、２次のモーメントの従う方程式を考える。平均を取る操作と微分を取る操作は可換であ≡€εrms,x €x 2 x ′2 − xx ′ることを用いて、d 2
x = 2 xx ′ds

y 方向も同様である。
(3-9) €€€

2

(3-14)

2

カニズムは、粒子− 核モデルと呼ばれる次のよう

εd 2 y rms
K
= K y ( s) x rms ++ rms,y32
ds2( x rms + y rms ) y rms

な簡単なモデルで理解できる8 。
まず、ビームコアの運動を考えよう。実際の(3-15)€

εrms,y ≡y 2 y ′2 − yy ′2

J-PARC ライナックのビームはバンチされたビー
ム、すなわちビームの進行方向に有限な長さをも(3-16)

つビームであるが、ここでは再び、DC ビームを考える。さらに簡単のために、KV 分布と呼ばれ€

rms エミッタンスは、位相平面上でのビームの広る特殊な分布をもつビームコアを考える。KV 分

がりを表す量であり、線形な系では保存すること

布をもつビームでは、ビームの 100%エンベロー

も簡単に確かめられる。

プ、すなわちすべての粒子がその内側に存在する

式(3-13), (3-15)は、rms ビームサイズの時間発

境界のサイズが定義され、その内側では空間電荷展を記述する方程式であり、「エンベロープ方程効果によって生じる発散力の大きさがビーム軸式」あるいは「rms エンベロープ方程式」と呼ばからの距離に比例する。また、 x 方向の 100%エンベロープを ±a 、 y 方向の 100%エンベロープをれている。実際のビームでは rms エミッタンスは様々な要因で変動するが、rms エミッタンスが保存すると仮定し、式(3-13)と(3-15)を連立して解く
ことによって、rms ビームサイズの時間発展を近似的に追跡することができる。

€

ここで、通常シミュレーションや解析的な研究で用いられるビーム分布については、ビームのエッジサイズ（100%エンベロープ）と rms ビーム
サイズの間には、比例関係があることが多いということを指摘しておきたい。例えば、KV 分布を€±b とすると、式(3-13), (3-15)より、その時間発展
は、次のようなエンベロープ方程式に従うことが€€ €求められる。
d 2a2K
ε+ K x ( s) a =
+ x3
2
ds
a+b a
ε
d 2b
2K
+ K y ( s)b =
+ y3
2
ds
a+b b

(3-17)(3-18)

保ったまま運動するビームを考えた場合、ビーム

ここで、 εx と εy は 100%エミッタンスと呼ばれるのエッジサイズは常に rms ビームサイズの２倍€である。このような場合には、rms エンベロープ

定数で、それぞれ rms エミッタンスの４倍の値となる。 K x と K y は外部収束力の x 方向と y 方向の方程式からビームエッジサイズの時間発展を記

s に対する周期関数であると€成分であり、ふつう€述する方程式、すなわち 100%エンベロープのエ仮定する。一般に外部収束力は非線形であり得る€
ンベロープ方程式も容易に導ける。次節以降でビ € が、ここでは再び、線形な外部収束力のみを考え€€る。
€
ームのコアの振動の記述に用いるエンベロープ
方程式は、この 100%エンベロープ方程式である
ことに注意してほしい。

ここで、さらに簡単化するために、外部収束力
が x 方向と y 方向で対称でありかつ s 依存性をもバンチされたビームについても同様にエンベたない場合を考える。また、 x 方向と y 方向のエ

ロープ方程式を導くことは可能であるが、ここでミッタンスが等しいものとする。このとき、２つ≡ εx = εy を 用 い て 、 式の 定 数 K0 ≡ Kx = Ky と ε €€は参考文献をあげるに留めておく[16,17]。

€€(3-17)、(3-18)を次のように書き直すことができ€

3.2. 粒 子 − 核 モ デ ルる。

２節で紹介したように、ビームハローとはビーム €d 2a
密度の高いビームコアの周りに形成される希薄€2K
ε+ K 0a =
+ 3
2
ds
a+b a

なビームの分布のことである。大強度陽子ライナ
ックにおいてこのビームハローが生成されるメ€

8(3-19)

ビームハロー生成のメカニズムとして、これ以外のものが存在しないことが示されているわけではない。

d 2b
2K
ε
+ K 0b =
+ 3
2
ds
a+b b

€

€
€

(3-20)

このような簡単な系を考えると、式(3-19)、(3-20)から、２つの条件 da ds = 0 、 db ds = 0 を満たす
ビームサイズ a0 および b0 が存在することがわかる。この場合、 a0 = b0 となることは、式(3-19)、(3-20)からすぐに見てとれる。したがって、 s = 0€が初期条件 a=b=a 、に お い€て 、 ビ ー ム€0€€
da ds = db ds = 0 を満たせば、ビームサイズはa = b€= a0 で一定となる。この状態を整合の取れ€た状態と呼び、 a0 を整合の取れたビームサイズ、€€この状態を実現するための初期条件をビームの整合条件と呼ぶ。
初期状態（ s = 0 ）において、この整合条件が満€たされなかった場合、すなわちビームに不整合がある場合、 a と b は a0 の周りで振動することとな

a と b の時間発展は、式る。不整合のある場合の€(3-19)と(3-20)を積分することによって得ること€ € €a と b の運動には２ができるが、これらの式からつの固有振動モードが存在することが導き出せ€ €る。１つは a と b が同相で振動するモード（脈動a と b が逆相で振動モード）であり、もう１つは€ €するモード（四重極モード）である。一般に a と bは、与えた初期条件に応じて、この２つのモード€ €が混合した振動を行う。
€ €ここで、初期状態に不整合があり、€ €a と b が式
(3-19)、(3-20)に従って振動しているビームコアを考える。さらに、このビームコアの周りを運動す
るテスト粒子を考えよう。ここで「テスト粒子は€ €振動するビームコアの空間電荷力の影響を受けるが、ビームコアの振動はテスト粒子の運動の影
響を受けない」と近似する。このテスト粒子はビームハローを模擬するものであるが、ビームハロ
ーを構成する粒子数はビームコアを構成する粒子数と比較して非常に少ないと考えられるので、上述の近似は良い近似として成り立つと考えられる。
KV 分布をもつコアにおける空間電荷力は、コアの内側では線形な発散力となり、コアの外側ではガウスの法則に従って減衰していく発散力となる。したがって、（ x , x ′ ）位相平面上を運動す
るテスト粒子の運動方程式は次のようになる。

d2x2K+ K 0 x€= €x2dsa( a + b)（ x ≤ a のとき）
(3-21a)2

d x
2K+ K0 x = 2x
2€ds
x + x x 2 + b2 − a2
（ x > a のとき）
(3-21b)
いくつかの異なる初期条件をもつテスト粒子について、式(3-21)を積分することによって振動す€るビームコアの周りにおけるテスト粒子の時間発展を追跡した結果を示したものが図１である[19]。図１ではコアのエンベロープが最大になる
位相におけるテスト粒子の（ x , x ′ ）位相平面上での位置をプロットしている。このような図を「ポワンカレ断面図」[20]と呼ぶ。ポワンカレ断面
図は、ある特定の位相における粒子の位相空間で€ €の座標のみをプロットしたものであり、加速器物理においては、ラティスの周期性の影響を取り除
いて、粒子の運動が本来もつ安定性を明確に表示するためにしばしば用いられる。図１の左の図はコアが純粋な脈動モードの振動を行っているとき、右の図は純粋な四重極モードの振動を行っているとき、中央の図は脈動モードと四重極モードの混合した振動を行っているときの計算結果である。図１の上段は、それぞれのモード混合におけるビームサイズの振動の様子を表したものである。下段のポワンカレ断面図で、粒子がある閉曲線上にある場合は粒子の運動が正則であることを表し、粒子がある領域を塗りつぶすような動きをする場合は粒子の運動がその領域でカオス的であることを表している。
この図から、ある初期状態をもったテスト粒子については、エンベロープの振動とテスト粒子の振動の間に 2:1 のパラメトリック共鳴が起こることがわかる。図の原点付近から出発した粒子は、原点の周りを単純に周回する。これらの粒子は原290

M. Ikegami / Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 435 (1999) 284}296

3. Time evolution of the beam core and PoincareH surface of section plots for isotropic beams with ! "0.60 and M"0.1. Three!
図 Fig.
1．粒子−
核モデルに基づいて計算された単粒子のビームコアの周りでの運動の様子。上段はコアのdi!erent combinations of two normal modes have been considered, namely, the pure high-frequency mode case (!"1), pure
エンベロープの振動の様子を表したもので、実線が水平方向のエンベロープ、破線が鉛直方向のエンベ
low-frequency mode case (!"!1), and the case where these two modes are equally excited (!"0). The top three "gures show the time
evolution of the beam core. The solid line represents the horizontal core half-width scaled by the matched horizontal half-width, and the
ロープを表す。下段はこのコアの周りで運動するテスト粒子の運動の様子を表したもので、コアの水平
broken line represents the vertical one. In the top left "gure, the solid and broken lines completely lie one upon another. The bottom′ )位相平面上での位置をプロットしたもの。左はコアがx , xtime
方向エンベロープが最大になった位相での(three "gures are the PoincareH plots for test particles. The strobe
is taken when the horizontal core width reaches its maximum a .
!"#Thehorizontal
coordinate
scaled
by
a
is
taken
as
the
abscissa.
純粋な脈動モードの振動をしている場合、右は純粋な四重極モードの振動をしている場合、中央は脈動!"#モードと四重極モードが混合した振動をしている場合。

right two "gures show the results
for the pure€€
low-frequency mode case (!"!1). Though 2:1
点の周りで振動しながらビームコアの内部にとresonance islands are also observed in this case, the
どまる粒子であると考えられる。それに対して、
resonance width is narrower than that in the purex ′ 方向にある距離以上はなれた位置か原点から
high-frequency
mode case. The middle two "guresshow
theresults for the mixed case where two
ら出発した粒子は、原点の周りを単純に周回する
normal modes are equally excited (!"0). Inのではなく、 x ′ 軸上にコアから離れた位置に形成
the mixed case, the resonance overlap of two 2:1
される
2:1 共鳴の安定不動点の周りを周回しはじ
resonances occurs, and it results€ particle}coreinglobalchaos
which is clearlyseen in the bottom
9
める 。そのことによって、初期には比較的コアのmiddle "gure of Fig. 3. The strong chaosity is
近傍にいた粒子もコアから離れた位置まで到達€
expected
to enhance the chance for the particles
することができるようになる。この図では2:1 共
initially located just outside the core to be trapped
by
the
2:1
resonanceandbecomehalos.
It is
鳴の安定不動点は x ′ 方向にコアからはなれた位
worth mentioning that the strong chaos is induced
置に形成されるが、エンベロープが最小になる位
in this case with relatively small mismatch of 10%.
相で同様のプロットを作ると、同様の安定不動点

It means that the requirement for precise matching
toこれらの粒子は、エンベロープが最小になる位相
suppress halos in a high-intensity accelerator
can be severer than that estimated assuming
では、コアから実空間方向に離れた位置に現れる
pure breathing or pure quadrupole mode core osこととなる。これがハローとして観測される粒子
cillation.
In fact, we have found that the strongchaosity
is observed evenin the このモデルから、slightly misであると考えられる。
すなわち、
matched case with 4% of mismatch in the case of「単粒子の運動とコアの振動の間の 2:1 共鳴に捕! "0.60.
!
らえられた粒子がコアとの相互作用によってエIn the particle}core analysis, the test particles
lockedinto the 2:1 particle}core resonance
ネルギーをもらい、振幅を増大させてハローを形
are considered to be halo particles. The oscillation
成する」という描像が得られる。
amplitudeof these particles are self-limited due tothe 図１の左右の図では、テスト粒子の軌跡は閉曲
nonlinearity of the space-charge "eld, and the
maximum
extent of these particles can be estimated線上を描く。それに対して、中央の図では、あるby simply making PoincareH plots with an adequate
位相平面内の領域でテスト粒子が任意の位置をstrobetime and examining separatrix locations
取りうるように見える。これはこの領域でテストが x 方向に離れた位置に形成される。
したがって、€粒子の運動がカオス的になっていることを表している。中央の図では、このカオス的な領域が 2:1

9€

この領域（アイランド）に捉えられた粒子が共鳴を起こしていることは、１周期ごとのテスト粒子の動きを詳細に追跡することによって明らかになる。この領域では、
テスト粒子は 2:1 の共鳴を起こしているので、上下のア
イランドに交互に現れる。

共鳴のアイランドの周りに形成され、かつ中央のコアの周りを安定に周回する領域を狭めている
ことがわかる。このことは、コアが脈動モードと

M. Ikegami / Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 454 (2000) 289}298

293

図２． Particle-In-Cell シミュレーションの結果得られたビーム分布を( x , x ′ )位相平面上に射影したもの。左はコアが純粋な脈動モードの振動をしている場合、右は純粋な四重極モードの振動をしている場
合、中央は脈動モードと四重極モードが混合した振動をしている場合。

€€

四重極モードの混合した振動を行っているとき考えにくい。したがって上記のようなメカニズムには、粒子のカオス的な振る舞いによってハロー

によって形成されるハローが、より現実的な分布の形成が助長される可能性があることを示唆しをもつビームコアの周りにも形成されることをている。

確かめる必要がある。図２では、ビームコアの初このモデルからわかるもう一つ重要なことは、期分布として、より現実的であると考えられる

生成されたビームハローは際限なく広がるわけ

Waterbag 分布と呼ばれる分布を仮定している。

ではなく、その大きさにある上限が存在すること

図２から、現実的なコアの分布を仮定した粒子シである。図１に見られる 2:1 共鳴のアイランドにミュレーションにおいても、上述のモデルで予想捕らえられた粒子は、このアイランドの外側の境されたように、「コアの振動モードの混合によっ

界までは達するが、それ以上にコアから離れるこてハローの生成が助長されること」、また「生成とはない。また、2:1 共鳴のアイランドの外側に、したハローの大きさには上限があること」が確か

他の大きな共鳴のアイランドが存在しないことめられる。また、このハローの大きさはモデルかも簡単な数値計算で確かめることができる。したら予想される値とほぼ一致することも確かめらがって、このようなメカニズムによって生成されれた。このようなハローの生成過程についての研るビームハローの半径にはある最大値があるこ究は、1990 年代半ば以降、精力的に行われ、これととなる。このモデルから得られるビームハロー

までに、さらに現実的な分布と考えられる分布をの最大半径は、実際の大強度陽子ライナックの設仮定したシミュレーション研究や実際の加速器

Particle-In-Cell 法を用いた粒子シミュレーショ

ると考えられている。

Fig. 2. Phase-space con"gurations of isotropic beams at !/!( "20. Three di!erent initial distributions, i.e., waterbag, parabolic, and!
計において、ビーム口径を定める際の設計基準とのビームを用いた実験的な研究が行われた[22]。
Gaussian distributions, have been considered. Waterbag distribution is considered in upper three "gures ((a)}(c)), parabolic distribution
in middle three "gures ((d)}(f)), and Gaussian distribution in lower three これらの結果から、現在では、実際の大強度陽子"gures ((g)}(i)). Tune depression is chosen to be " "0.6. Three
して採用されている。
!
di!erent combinations of two normal modes are considered, namely, the pure breathing mode case with M "0.2 and M "0.2,!
"
このような単純なモデルから理解できるメカ
ビームにおいても、主に上述のようなモデルで理a mixed case with M "0.28 and M "0.03, and the pure quadrupole mode case with M "0.2 and M "!0.15. Left three "gures!
"!
"((a),ズ
(d),
theが
pure
((b), (e), and (h)) the mixed case, and right three "gures ((c), (f ),
ニ
ムand
で(g))
ビ correspondー ム ハ ロtoー
形breathing
成 さ れcase,
る こmiddleと をthree、 "gures
解されるメカニズムでビームハローが生成されand (i)) the pure quadrupole case.

ンで確かめた結果が図２である[21]。上記のモデ

このモデルからわかるように、ビームハローのルではビームコアは KV 分布をもつと仮定してい生成のドライブフォースとなるのはビームコア

るが、現実のビームが KV 分布をもっているとはの振動であり、その生成を抑えるためには不整合

スキャナーと呼ばれるタイプのビームモニターを用いて、ビーム中に直径 30µm のタングステン
ワイヤーを走査し、検出される電流値の変化からビームの実空間方向（鉛直方向）の分布関数を測定したものである。図３は約 20MeV まで加速した位置での測定結果、図４は現在の設計エネルギーである 181MeV に到達した直後にあたる位置
での測定結果である。図３からわかるように、ビームは 20MeV 地点ではガウス分布に近い分布をもっている。ところが、図４を見ると、181MeV
地点ではガウス分布に近い分布をもったコアの
図３．J-PARC ライナックの 20MeV 地点で測定した鉛直方向のビーム分布。測定値が実線でつながれたマーカーで、ガウス関数によるフィットが実線で示されている。

周りに、（図では肩のような形にみえる）ビーム
ハローが形成されていることがわかる。この測定
結果は、ビームが 20MeV から 181MeV まで加速
していく間にビームハローが成長していることを示している。詳細な Particle-In-Cell シミュレーションの結果、このハロー生成の主な原因は、さらに上流の 3MeV 地点における縦方向の不整合であると突き止められた[23]。
前述のように、実際のビームはバンチ構造（縦方向に有限の長さをもつ構造）をしており、その長さが外部収束力に整合していないとビームの長さが振動を起こす。ビームの縦方向の運動と横方向（ビームの進行方向に垂直な方向）の運動は
空間電荷力によって結合しているため、縦方向の不整合によって誘起された縦方向の振動がやがて横方向の振動を引き起こす。この横方向の振動がドライブフォースとなって、横方向のハローが形成される。最上流部に近い場所で不整合が存在

図４．J-PARC ライナックの 181MeV 地点で測定した鉛直方向のビーム分布（3MeV 地点での縦方向の整合調整前）。測定値が実線でつながれたマーカーで、ガウス関数によるフィットが実線で示されている。

するにもかかわらず、20MeV 地点でハローの生成が見られないのは、原因となる不整合が横方向の不整合ではなく、縦方向の不整合であるためである。このために、横方向のハローの生成に遅れが生じ、20MeV 地点ではハローが観測されない。

に起因するビームコアの振動を抑えることが肝Particle-In-Cell シミュレーションで得られたこ要である。しかし現実の加速器では、ビームモニのような描像をもとに、3MeV 地点における縦方

ターを設置できる位置やその精度に限界があり、向の整合を取り直した結果が図５である。この図不整合に起因するビームコアの振動を完全に抑からわかるように、181MeV 地点で見られた横方えることは容易いことではない。図３、図４に、向のハローは、3MeV 地点における縦方向の整合

実際に J-PARC のライナックで測定した典型的なを改善することによって、明らかに減少していビームプロファイルの例を示す。これはワイヤーる。

4. まとめ
この章では大強度陽子ライナックにおいて空間電荷効果が引き起こす主だった現象を概観した。
大強度陽子ライナックにおける空間電荷効果の理解が大きく前進した時期として、1980 年代と1990 年代半ば以降の２つの時期があげられる。前者では２次元の Particle-In-Cell シミュレーショ
ンが、後者では３次元の Particle-In-Cell シミュ
レーションが理解を深める上で非常に重要な役割を果たしており、計算機の進歩が大強度陽子ビームにおける空間電荷効果の理解に与えた影響は軽視できない。一方、前者では重イオン慣性核
図５．J-PARC ライナックの 181MeV 地点で測定した鉛直方向のビーム分布（3MeV 地点での縦方向の整合調整後）。測定値が実線でつながれたマーカーで、ガウス関数によるフィットが実線で示されている。
この例では、Particle-In-Cell シミュレーションで得られた結果を用いて、実際の加速器のビーム性能向上が図られているが、計算機の能力の向上によって実際の運転条件における Particle-InCell シミュレーションが短時間で行えるようになり、その結果を実際の大強度加速器の調整に用いることができるようになったのは、筆者の知る限
りそれほど昔のことではない。むしろ、ごく最近になって漸くそのようなことが行える環境が整

融合への応用、後者では大強度のプロトンドライ
バーの実現という強い動機付けによる後押しがあったことも忘れてはならない。現在、プロトン
ドライバーとして陽子加速器に要求されるビー
ムパワーは益々増大する傾向にあり、より小さな割合のビームロスを精密に予見するために、より精密な現象の理解が要求されている。陽子ライナ
ックの粒子シミュレーションにおいては、単純な計算機の能力向上によって得られる知見は飽和してきつつある感がある。今後は、数値モデルの精密化や数値的な研究と実験的な研究を有機的に結びつけることに注力していくことによって、空間電荷効果が引き起こす現象の理解を深めていく必要があると考えられる。

ってきたといった方が現実に近いと思われる。空間電荷効果は本質的に多体現象であり、その現象を解析的に理解することは非常に難しい。したがって、単純なモデルによる物理現象の理解とParticle-In-Cell シミュレーションによる定量的な評価が現象を理解する上で非常に重要となる。
これに実際のビームモニターで得られた実験結果をあわせて、モデルやシミュレーションによる理解を定量的に検証していくことが、さらに大強度の陽子ビームを実現させるために、現在、切実に求められている。

参 考 文 献[1] 例えば、S. Nagamiya, Nuclear Physics A, 827(2009), p.179.
[2] 例えば、T. Koseki, “Challenges and Solutions for
J-PARC Commissioning and Early Operation”, in
Procs. of IPAC01, Kyoto, Japan, (2010), p. 1304.
[3] Y. Zhang, “Experience and Lessons with
the SNS Superconducting Linac”, in Procs.
of IPAC01, Kyoto, Japan, (2010), p. 26.
[4] N.V Mokhov and W.Chou ed., “Beam Halo and
Scraping”, Proc. of 7th ICFA mini-workshop on
high intensity and high brightness hadron beams,
Interlaken, Wisconsin, United States, 1999.

[5] 高エネルギー加速器セミナー OHO’01, “大強度陽子加速器技術”, 2001.

[19] M. Ikegami, Nucl. Instrum. Meths. in Phys. Res.
A , 435 (1999), p. 284.

[6] Y. Yamazaki ed., “Accelerator Technical Design
Report for J-PARC”, KEK Report 2002-13.

[20] 例えば、平田光司, “ビームトラッキング”, 高エネルギー加速器セミナー OHO’85, 1985.

[7] 例 え ば 、 T. Tajima, “Computational Plasma
Physics with Application to Fusion andAstrophysics”, Westview Press, Boulder, 2004.

[21] M. Ikegami, Nucl. Instrum. Meths. in Phys. Res.
A , 454 (2000), p. 289.

[8] 例えば、W. H. Press et. al., “Numerical Recipes
in C”, 2nd Edition, Cambridge University Press,
New York, 1992.
[9] 電子ライナックに応用したものではあるが、50 億個のマクロ粒子を用いた Paricle-In-Cell
シミュレーションの例がある。J. Qiang, R.
D. Ryne, M. Venturini, A. A. Zholents,“Billion Particle Linac Simulation for
Future Light Sources”, in Procs. of
LINAC08, Victoria, Canada, (2008) p. 1110.
[10] 本テキストに含まれる近藤氏の解説“RFQ のビーム力学の基礎”を参照のこと。
[11] 例えば、H. Wiedemann, “Particle Accelerator
Physics”, Springer-Verlag, Berlin, 1993.
[12] 例えば、I. Hoffman, L. J. Laslett, L. Simith, I.
Haber, Particle Accelerators, 13 (1983), p. 145.
[13] L. M. Kapchinsky, V. V. Vladimirsky, Procs. of
the International Conference on High Energy
Conference on High Energy Acceleators, CERN,
Geneva, 1959, p.278.
[14] 例 え ば 、 I. Hofmann, G. Franchetti, O.
Boine-Frankenheim, J. Qiang, R. Ryne, D.
Jeon, J. Wei, “Emittance Coupling in HighIntensity Beams Applied to the SNS
Linac”, in Procs. of PAC01, Chicago, UnitedStates, (2001) p. 2902.
[15] 次の論文で一部の実験についての提案がなされ て い る 。 D. Jeon, L. Groening, G.
Franchetti, “A Fourth Order Resonance ofa High Intensity Linac”, to be published in
Procs. of PAC09.
[16] 例えば、K. M. Lagniel, Nucl. Instrum. Meths. inPhys. Res. A , 345 (1994), p. 46.
[17] Sacherer, IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-18 (1971), p.
1105.
[18] 例 え ば 、 M. Reiser, “Theory and Design ofCharged Particle Beams”, John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1994.

[22] 例えば、C. K. Allen et. al, Phys. Rev. Lett. 89,
214802 (2002).
[23] M.Ikegami, H. Sako, G. Wei. A. Miura,“Recent
Progress
in
the
Beam
Commissioning of J-PARC Linac”, in Procs.
of IPAC10, Kyoto, Japan, (2010), p. 774.