インフレーション宇宙における量子揺らぎのエンタングルメント

名古屋大学大学院理学研究科

南部保貞

大阪市立大 石原・中尾研セミナー ‘08/10/31

Phys. Rev. D 78 (2008)044023

Introduction● 宇宙の構造形成のシナリオ
重力不安定性inflation: 量子ゆらぎの生成

大規模構造scale

Hubble horizon
wavelengthtimeinflation2

● deSitter時空上での量子場の計算
インフラトン場の揺らぎ'.t; x/ DZ"d 3k !
! "i k#xaO'.t/
CaO'.t/ek k!k k
3=2.2!/

曲率揺らぎのpower
O 2i !
hR!

H!P"2" h'Ok 'Ok! i " k 3 !

!

2 "2H!P

k n!1

構造形成の初期値を統計平均で置換える
c 数のrandom Gaussian variable量子力学的変数

古典化の仮定3

● 古典化の仮定の正当性
各modeの波長がhorizon scaleより長くなった時点で量子力学的非可換性がなくなり，古典的揺らぎとして扱える

mode functionの振る舞い
Re!phi"20
15● 波動性がなくなる

105!3!2!1● squeezingが進む

t0!5● 粒子生成!10!15

horizon crossing4• 古典化のmechanism‣ decoherence

量子力学的干渉がなくなる‣ classical correlation

古典力学的運動に従うq;
O pO の非可換性が無視できる● inflationにおけるゆらぎの古典化
加速膨張による引きのばし: 場のsqueezing
Super horizon scaleにおいて “場の相関” が切れる
因果関係がなくなる
古典化の意味を場の相関に基づいて考えてみるA

古典的相関
量子的相関: entanglement
5BEntanglement (two party)
2体間entanglement
pure stateAB.qA ; pA /.qB ; pB /● A, Bはseparable
jA; Bi D jAijBi● A, Bはentangled
jA; Bi D ja1 ijb1 i C ja2 ijb2 i C ! ! !
一般に● A, Bはseparable!OAB DXjjj
wj !OA ˝ !OB ;量子力学固有の相関X
jwj D 1;

● このように表せないとき，A, Bはentangled6

wj ! 0

Bell不等式の破れ

局所実在論

A.Einstein, B.Podolsky and N.Rosen, Phys.Rev.47 (1935)777• 局所性：ある地点での現象が，瞬時に遠方の観測に影響を及ぼすことはない• 実在性：測定するしないにかかわらず，物理量は各瞬間瞬間で定まった値を持つ．

量子力学
局所実在論
古典力学
古典電磁気学7

局所実在論

Bell不等式を満たす方向のspin測定値:: hidden variables

相関関数
このとき

Bell不等式
8Separableである必要十分条件(R.Simon 2000, L.Duan et al. 2000)

１自由度 X １自由度 Gaussian state!

J˝D00J"A!

0J D!110"

covariance matrix● positivity!O D !O!

B

O D TrŒ!OA"
OhAi

i
V C ˝ !02

任意の に対して

V !! VQ● 部分転置 pB !! !pBiQ
V C ˝ !02

A,Bがseparable
一般のM X N 自由度に対してはA,Bがseparable
9i
VQ C ˝ ! 022X22X31XN

Symplectic eigenvalue

symplectic変換

S 2 Sp.4; R/SVS T D diag.!C ; !C ; !! ; !! /S˝S T D ˝!C ! !! > 0● positivity● separability

1!! !
21!Q ! !
2(不確定性関係)

この条件が満たされている場合にはA, Bはentangleしてない（量子相関なし）
Logarithmic negativity

EN D !min Œlog2 .2!Q ! /; 0"
EN > 0EN D 0entangled
separable

10Entanglement of Quantum Field in deSitter Spacetime• 1-dim lattice model (periodic BC)
qmasslessscalar•1!!!

qj !1 qj qj C1 ! ! ! qN!

x!x

EOM00aq 00 ! q ! r 2 q D 0a

空間を離散化00
aqj00 ! qj C 2qj ! ˛.qj C1 C qj !1 / D 0
ascale factor a D !1=.H !/1
˛ D 1 ! .m!x/2
2● 量子化N!1 !
X"1!
i"k j
qOj D pfk aO k C fk" aO Ne!kN kD0!

00 "a00
2fk C !k !
a

fk D 0Bunch-Davis vacuum
112"k!k D
N!k2 D 2.1 ! ˛ cos !k /comoving lattice

block variables

qA

qB!
––nnx

d1 X
qA D pqjn j 2A1 X
qB D pqjn j 2Bcovariance matrix!

AV DCCAa1 D hqOA2 i"!

a1AD
a3
a2 D hpOA2 i

1
c1 D hqOA qOB C qOB qOA i2
1c3 D hqOA pOB C pOB qOA i
2a3a2"!

c1C D
c3

1
a3 D hqOA pOA C pOA qOA i21
c2 D hpOA pOB C pOB pOA i
2• symplectic eigenvalueを計算• Logarithmic negativityを求める
12c3c2"Result

N D 100;

qA!10 " ! " !0:1

d 依存性 .n D 4/qB!
––nndEN
0.4

EN0.4! D !100.3

0.2

0.1

0.1

24! D !10.3

0.2

68

10dd !1

では常にEN D 0
2468! 依存性 .d D 0/nD1
nD2
nD3
nD4
nD5

0.4

nD1

0.3

0.2!6!4!2

d0.4

0.3

0.2

0.1

!810ENEN!10

x

0.1
Η!10

13!8!6!4!2

Η! ! !c .d /で EN D 0

groupのsizeとseparableになる時刻の関係
Ηc0

5

10

15

20!5n

1n!x D !"c Dac H)!10

ac .n!x/ D H !1!15n D !!c!20

ABx

entangledx

separable

H !1H !1group sizeがHubble horizon scaleと等しくなると“量子相関”が切れる
量子的 separate universe
14古典化の条件 （量子論の期待値を再現する確率分布の存在条件）
任意の F に対して次の関係を満たす分布関数P が存在
hF .qOA ; pOA ; qOB ; pOB /i DZ

d 2qd 2p P .qA ; pA ; qB ; pB /F .qA ; pA ; qB ; pB /● １自由度 X １自由度 Gaussian stateに対しては
Z
22!
ODd˛d
ˇ P .˛; ˇ/ j˛; ˇih˛; ˇj系がseparableAB(R.Simon 2000, L.Duan et al. 2000)

P-function

O p/O Wi D
h W F .q;

P !0Zj˛; ˇi D j˛ijˇi A, Bに対する

d 2qd 2p P .q; p/F .q; p/15

coherent statestandard form

separability

P-funcの存在条件

16

Wigner function! D .qA ; pA ; qB ; pB /T

任意の関数に対して

O p/g
O sym i D
hfF .q;O p/
O Wi Dh W F .q;ZZ

d 2qd 2p W .q; p/F .q; p/Wigner func. :d 2qd 2p P .q; p/F .q; p/

P-func. : separableなら存在なら存在

separableの条件下で古典化の条件は
O p/g
O sym i ! h W F .q;
O p/
O W i ! hF .q;
O p/iO
hfF .q;q;
O pO の非可換性が無視できる

O p/i
O !
hF .q;

Z

2

2P .q; p/ ! W .q; p/d qd p W .q; p/F .q; p/17(nambu, 2008)

lattice model! D !20

P-functionは存在しない
W .qA ; pA /W .qA ; qB /W .pA ; pB /W .qA ; pA /W .qA ; qB /W .pA ; pB /P .qA ; pA /P .qA ; qB /P .pA ; pB /W .qA ; pA /W .qA ; qB /W .pA ; pB /P .qA ; pA /P .qA ; qB /P .pA ; pB /! D !0:9! D !0:05! ! "0:3で W ! P(! D !1からHubble time後)18

lattice model
Ν
3.0
2.5
2.0

古典化

1.5
1.0
0.5
!2.0!1.5!1.0!0.5

symplectic eigenvalueの時間発展● 漸近的には古典化条件が成立

19

Η

A

● 古典分布関数の構造でほぼ一定
量子相関の名残り
ならばA, Bの変数は独立な確率変数として扱える

20

BLattice modelにおける古典化のまとめ
2体entanglementに基づく古典化に到る流れ
scale
entangled

separable classicalwavelengthtime● 領域の大きさがhorizon scaleを超すと領域間はseparable
horizonが量子相関の有無を決定● separableになってからone Hubble time程度で‘‘古典化’’
相関関数を再現する古典分布関数の出現21

Stochastic Approach of Inflation

Starobinsky (1986)

インフラトン場のdynamicsを c 数の確率変数を用いて記述する(Heisenberg eq.)

scale
macro

長波長成分に対するdynamicsを導く

22

● 長波長成分に対する方程式● “ノイズ’’項の性質
粗視化のscaleをノイズの非可換性が無視でき “古典的” Langevin方程式とみなせるだろう
23

Classicality in Stochastic Approach
長波長成分の2体間entanglementを評価してみる

粗視化

間のentanglement24

scalesymplectic eigenvalueのparameter依存性.!H /!1!0

kc D !aH!

Ν2

2.0

1.0

0.5

0.5

1.0

2.0

Ε

symplectic eigenvalue の漸近値••

ならA, B間のentangleはない
なら古典化条件は漸近的には満たされる
25

古典場として振舞うような粗視化が存在する

今後の課題• 確率過程に対する発展方程式の導出• 古典化に至るdynamics• 古典化の実験的検証• BECでの観測設定の考察• 理論モデルを用いたsimulationなど• N-party entanglement?

26