結び目と曲面小沢誠

平成 25 年 4 月 9 日

3

目次
まえがき

第I部

7

多様体と部分多様体

第 1 章 多様体
位相多様体

9
11
11
11

1.1
1.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
区分線形多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3
1.4

微分可能多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5
1.6
1.7

多様体の例

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
12
13

1.8

3 次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 標準的な分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1313

幾何構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14モース関数とハンドル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.2

第 2 章 部分多様体

15

2.1
2.2
2.3

埋め込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4
2.5

一般の位置

2.6

本質的 1 次元多様体

イソトピー. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
結び目の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
モース位置

2.6.1
2.6.2
2.7

2.7.2
2.7.3
2.7.4
2.7.5
2.7.6
2.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本質的 1 次元多様体の交わり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
曲線複体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

本質的 2 次元多様体

2.7.1

11
12

15
16
16
17
17
18
18
18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本質的曲面の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19

曲面の交差のパリティ性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
21

本質的曲面の交わり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 次元球面内の本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ハンドル体と圧縮体内の本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
曲面複体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

正規曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
24

正規曲面理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24
25

2.9 分岐曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 位相的極小曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
28

2.8.1
2.8.2

クネーザー–ハーケンの有限性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

第 II 部

結び目の位置と基本定理

29

第 3 章 結び目の位置

3.1

橋位置とモース位置

3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.2

3.3

幅とトランク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
安定同値定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 橋分解の有限性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
33

3.2.1
3.2.2
3.2.3

ライデマイスター移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
33
34

3.2.4
3.2.5

σ-充足かつ均質結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.6
3.2.7
3.2.8

プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目 . . . . . . . . . . . . . . . .

ヘンペル距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

交代結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
正結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
有理タングルと代数タングル. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

代数的交代結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
正則表示のハッセ図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

トンネル数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

トンネル数 1 の結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

モース–ノヴィコフ数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1

ファイバー結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

第 4 章 結び目の基本定理

4.1
4.2

結び目補空間定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3
4.4

結び目特性分解定理

結び目双曲化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
38
38
38
39
39
39
41
41
41
41
41

4.4.1
4.4.2
4.4.3

本質的曲面の 4 つの種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
42
43

4.4.4
4.4.5

奇数境界成分を持つ平面的曲面の非存在性とケーブル予想 . . . . . . . . . . . . . .

4.4.6
4.4.7
4.4.8

ロンジチュードの一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
分離的本質的曲面の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
44
45

4.4.9

非分離的本質的曲面の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

圧縮不可能かつ境界圧縮可能曲面の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本質的アニュラスの分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
標準的ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
境界スロープ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

結び目と曲面

第 5 章 閉曲面

5.3
5.4

34
36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
結び目外部の本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

第 III 部

5.1
5.2

31
31
31
31
32

3.3.1
3.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

スモール結び目とロペス予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
経線的結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
周辺圧縮可能閉曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
様々な結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
44

47
49
49
50
51
52

5
5.4.1

交代結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.4.2
5.4.3
5.4.4

正結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
代数的交代結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
56
56

5.5

5.4.5 3 橋結び目の閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ウエストとトランク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
58

5.6

位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

モンテシノス結び目の閉曲面

第 6 章 タングル分解球面

6.1

63

様々な結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1
6.1.2

交代結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3
6.1.4

トンネル数 1 の結び目のタングル分解

正結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
自由種数 1 の結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
64

6.2

6.1.5 二重トーラス結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.6 本質的自由タングル分解を持つ結び目のタングル分解の一意性 . . . . . . . . . . . .
タングル分解球面と閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
65
65

6.3

橋位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
65

6.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63
63
63

6.3.1

橋位置における閉曲面のモース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2
6.3.3
6.3.4

橋位置における結び目解消トンネル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66
67
68

6.3.5 ヘンペル距離と本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
モース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68
68

細い位置とタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

6.4.1

極小橋分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
弱可約橋分解球面とタングル分解球面

第 7 章 ザイフェルト曲面

71

7.1
7.2
7.3

自由ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4

ディスク分解可能ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

種数の加法性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
チェッカーボード曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.1
7.5

7.6

交代結び目の標準的ザイフェルト曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

村杉和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.1
7.5.2

ファイバーザイフェルト曲面と最小種数ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . .

7.5.3
7.5.4

垣水複体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ステイト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74
75
75
76
76
76
77
77

結び目解消操作とザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80
80

7.5.5 ハーラー予想の解決 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.6 最小ノルム曲面とスケイン木 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ザイフェルト曲面と閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82
82
84

第 8 章 巻き付き曲面

8.1

h-種数とトンネル数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2
8.3

コイル数と橋数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ニューワース予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89
89
89
90

6
閉偽曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

共存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

8.3.1
8.4

第 IV 部

付録

97

第 9 章 結び目と曲面の表99

第 10 章 結び目理論の未解決問題

101

第 11 章 結び目の構成方法

105
11.1 まえがき〜How to construct all knots and links〜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.2 ファイバー結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

11.3 Thurston Norm Minimizing Surface を用いた全ての結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . 106
11.4 トンネル数１の結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.5 トンネル数 n の結び目の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.6 結び目射影図による半順序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
第 12 章 結び目の表

109

7

まえがき
3 次元空間内の自己交差のない閉曲線を結び目という。二つの結び目が 3 次元空間内で自己交差をせずに移り合うとき、同値であるという。結び目理論とは、結び目の同値類に関する学問であり、位置を対象とした数学であるので位相幾何学の一分野とされる。
与えられた二つの結び目が同値であるかどうかを判定し、もし同値であるならばどのように変形すれば移り合うか記述することは、結び目理論の基本的問題である。結び目が 3 次元空間内で取り得る位置は無限にあるので、この結び目の同値問題が難しいことが感じられるであろう。しかし、これはまた、結び目理論の面白さでもある。
今、3 次元空間が透明な粘土で出来ていると考えて、結び目はその粘土に色が着けられていると想像してみよう。このとき、結び目の変形は次のように考えられる。粘土が決して途切れないように、こねたり、伸ばしたり、捩じったりする。この粘土の変形の過程で、色が着いた結び目も、こねられたり、伸ばされたり、捩じられたりする。その結果、3 次元空間は変形されているが依然として 3 次元空間であり、その変形
後の 3 次元空間内には色の着いた結び目が生き残っている。このように考えてみると、結び目理論とは、色の着いた結び目を含む 3 次元空間の変形であるとも見なせる。しかしながら、透明な 3 次元空間は依然として 3 次元空間なので、変形の痕跡は何も残らない。そこで、結び目以外にも、透明な 3 次元空間に色を着けてみよう…。
本書では、結び目補空間内の曲面を扱う。空間は 3 次元で結び目は 1 次元であるので、その間の 2 次元である曲面は結び目に関する情報を多く含んでいる。今、結び目の補空間に埋め込まれた曲面を考える。3次元空間を変形することで、結び目が変形されていくが、曲面も同時に変形されていく。従って、変形前の結び目に対する変形前の曲面の性質は、変形後の結び目に対する変形後の曲面の性質に引き継がれる。つまり、ある性質を持つ曲面が結び目の補空間に存在するかしないかという結び目の性質は、結び目が取り得
る位置に関して有効な情報を与えている。

3 次元空間が 2 次元の平面と 1 次元の直線との直積であることを利用して、結び目の標準的な位置が大きく分けて二つ与えられる。先ずは、2 次元平面への射影によって得られる正則表示がある。正則表示は、結び目の図を 2 次元の平面である紙に描いたものであり、結び目理論の研究において古くから用いられている。次に、2 次元の平面に垂直な 1 次元の直線への射影によって得られるモース位置がある。モース位置
は、結び目を 縦に 置いたものであり、極大点及び極小点を除けば、1 次元の直線方向に単調となっているものである。一般に、正則表示が比較的単純な結び目を精密に扱うのに適している一方で、モース位置は比較的複雑な結び目を大雑把に扱うのに適している。
結び目補空間に埋め込まれた曲面は、大きく四つに分類される。先ず、結び目を境界として持つ向き付け可能な曲面であるザイフェルト曲面があり、古くから結び目理論の研究で重要な役割を果たしてきている。
次に、結び目と垂直に交わる球面であるタングル分解球面がある。特に、結び目と 2 点で交わるタングル
分解球面は結び目の素因子分解球面であり、4 点で交わるタングル分解球面はコンウェイ球面と呼ばれ、共に結び目の標準的な分解を与える。次に、結び目と交わらない閉曲面がある。特に、種数 1 の閉曲面、即ちトーラスを補空間に持つ結び目はサテライト結び目と呼ばれ、良く研究されている。最後に、結び目を非分離的閉曲線として含むような閉曲面を補間曲面と言う。特に、種数 1 の補間曲面、即ちトーラス上に含まれる結び目はトーラス結び目である。

8
結び目と曲面の関係は、引き離せないものである。結び目の位置が、曲面の存在を制限する。逆に、曲面の存在が、結び目の位置を制限する。例えば、極大点の個数が 2 つであるような結び目を 2 橋結び目というが、2 橋結び目補空間には、本質的な閉曲面が存在しない。これは、結び目補空間に本質的な閉曲面が入るためには、結び目の極大点の個数が 3 つ以上なければならないことを意味する。つまり、結び目補空間に本質的な閉曲面が存在するということは、ある程度結び目は複雑でなければならず、結び目の位置を制限する。本書では、上で述べたような位置と曲面との関係について深く扱う。
本書の構成は大きく３つに分かれる。第 I 部では、低次元多様体の基本的な定義と定理を述べる。ここでは、低次元多様体論で一般的に用いられている基礎的事項を扱う。特に、本書で重要な役割を果たす本質的曲面については、詳しく解説する。第 II 部では、結び目の基本的な定義と定理を述べる。ここでは、結び目理論で一般的に用いられている基礎的事項を扱う。特に、結び目外部の本質的曲面については、詳しく解説する。第 III 部では、結び目の位置と曲面について現在まで知られている結果をなるべく網羅的に述べる。全体を見通せるよう、閉曲面・タングル分解球面・ザイフェルト曲面・巻き付き曲面の４つの部分に分けた。各々は、互いに密接な関係を持っており、不可分であるが、先ずは各曲面について概要を知った後、相互の関連性を考察するのが良いと思う。

第I部

多様体と部分多様体

11

第 1 章 多様体
以下で、3 つの多様体のカテゴリーを定義する。（擬群とアトラスを用いた、より一般的な定義もある（[109]）。）一般に、滑らかな多様体は区分線形多様体であり（[Whitehead, 1940]）、区分線形多様体は位相多様体である。2 次元（[Radó, 1925]）及び 3 次元（[Bing, 1954], [Moise, 1952]）では、これらのカテゴ
リーは一致する。4 次元では、区分線形多様体と位相多様体のカテゴリーは一致しない（[Milnor, 1961]）。

5 次元以上では、これら 3 つのカテゴリーは全て一致しない（[Kirby–Siebenmann, 1969]）。

1.1

位相多様体

定義 1.1.1. 位相空間 M が n 次元位相多様体であるとは、次を満たすときを言う。

1. M は第二可算公理を満たす。即ち、可算な基底を持つ。（ここで、M の位相 O の部分集合 B が基底∪であるとは、任意の開集合 O ∈ O が、O = λ∈Λ Wλ (Wλ ∈ B) と表せるときをいう。）
2. M はハウスドルフ空間である。即ち、任意の相異なる x, y ∈ M に対して、開近傍 x ∈ U, y ∈ V が存在して、U ∩ V = ∅ を満たす。

3. M は局所ユークリッドである。即ち、M の各点が Rn または Rn+ = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |xn ≥ 0} に同相な近傍を持つ。
ここで、Rn に同相な近傍を持つ点からなる集合を M の内部といい、intM と表す。また、Rn+ に同相な近傍を持つ点からなる集合を M の境界といい、∂M と表す。M がコンパクトかつ ∂M = ∅ のとき、M は閉であるという。

1.2

区分線形多様体

定義 1.2.1. K ⊂ Rn を多面体とする。写像 f : K → Rm が線形であるとは、f があるアフィン写像（即ち、平行移動を伴う線形写像）Rn → Rm の K への制限であるときをいう。f が区分線形であるとは、Kの 3 角形分割 {σi ⊂ K} が存在して、各制限 f |σi が線形であるときをいう。
定義 1.2.2. 多面体 M が n 次元区分線形多様体であるとは、M の各点が Rn または Rn+ に区分線形同相な近傍を持つときをいう。

1.3

微分可能多様体

定義 1.3.1. 位相空間 X の開集合 U から、Rn の開集合 U 0 への同相写像 φ : U → U 0 があるとき、U と φの対 (U, φ) を n 次元座標近傍といい、φ を U 上の局所座標系という。
定義 1.3.2. r ≥ 1 に対して、ハウスドルフ位相空間 M が n 次元 C r 級微分可能多様体であるとは、次を満たすときをいう。

第1章

12
1. M の n 次元座標近傍からなる族 {(Uα , φα )}α∈A が存在して、M =多様体∪

α∈A Uα が成り立つ。

2. Uα ∩ Uβ 6= ∅ であるような任意の α, β ∈ A について、座標変換 φβ ◦ φ−1
α : φα (Uα ∩ Uβ ) → φβ (Uα ∩ Uβ )は C r 級写像である。
特に、C ∞ 級微分可能多様体は、滑らかな多様体とも呼ばれる。

1.4

モース関数とハンドル分解

定理 1.4.1 (Morse). M を滑らかな多様体とする。このとき、任意の滑らかな関数 g : M → R に対して、任意に近い関数 f : M → R が存在して、f の各臨界点 pi は非退化である。即ち、
(
)
∂2f
det
(pi ) 6= 0)∂xi ∂xjを満たす。更に、pi について、局所座標系 (X1 , . . . , Xm ) を、
22
f = −X12 − · · · − Xλ2 + Xλ+1
+ · · · + Xm
+ ciを満たすように選ぶことができる。ここで、ci = f (pi ) である。

f を M 上のモース関数という。λ は pi の指数と呼ばれる。
定義 1.4.2. m 次元多様体 M に対する λ-ハンドルとは、λ-ディスクと (m − λ)-ディスクの直積 Dλ × Dm−λであり、M への貼り合わせの指定が埋め込み ∂Dλ × Dm−λ → ∂M によって定まっているものである。

Mt = {p ∈ M |f (p) ≤ t} とおく。
定理 1.4.3 (Morse). Mci + は、Mci − に λ-ハンドルを付着して得られる多様体に微分同相である。

Mci + ∼= Mci − ∪ (Dλ × Dm−λ )定理 1.4.4 (Morse). 向き付け可能閉 3 次元多様体に対して、モース関数 f : M → R が存在して、対応するハンドル分解はM = h0 ∪ (h11 ∪ · · · ∪ h1k ) ∪ (h21 ∪ · · · ∪ h2k ) ∪ h3の順序を持つ。

M の 2 つのハンドル体 H1 = h0 ∪ (h11 ∪ · · · ∪ h1k ) と H2 = (h21 ∪ · · · ∪ h2k ) ∪ h3 への分解をヒーガード分解といい、S = H1 ∩ H2 をヒーガード曲面という。

1.5

多様体の例

例 1.5.1. S n = {(x1 , . . . , xn , xn+1 ) ∈ Rn+1 |x21 + · · · + x2n + x2n+1 = 1} を n 次元球面という。S n は閉 n 次元多様体である。B n = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |x21 + · · · + x2n ≤ 1} を n 次元球体という。B n は n 次元多様体であり、∂B n = S n−1 である。S n は、S n = B n ∪S n−1 B n と分解される。S 1 をループ、B 1 をアークという。

1.6

1 次元多様体

定理 1.6.1 (1 次元多様体の分類). 任意の連結な閉 1 次元多様体は、S 1 に同相である。また、任意の連結なコンパクト 1 次元多様体は、S 1 または B 1 に同相である。

1.7. 2 次元多様体

1.7

13

2 次元多様体

例 1.7.1. 2 次元球面 S 2 内に n 個の点 p1 , . . . , pn を取り、互いに交わらない開近傍 U1 , . . . , Un を取る。このとき、S 2 − (U1 ∪ · · · ∪ Un ) を平面的曲面または n 穴空き球面といい、Pn と表す。P1 をディスク、P2 をアニュラス、P3 をパンツという。
例 1.7.2. 1 次元球面の直積で得られる 2 次元多様体 S 1 × S 1 をトーラスといい、T 2 と表す。2 次元球面

S 2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x21 + x22 + x33 = 1} の対心点 (x1 , x2 , x3 ) と (−x1 , −x2 , −x3 ) を同一視して得られる
2 次元多様体を射影平面といい、RP 2 と表す。
定義 1.7.3 (向き付け可能性). 2 次元多様体 X が向き付け可能であるとは、X 内の任意のループ l に対して、N (l) がアニュラスであるときをいう。また、X が向き付け不可能であるとは、N (l) がメビウスの帯となるようなループ l が存在するときをいう。
定義 1.7.4. トーラス T 2 内に点 p を取り、開近傍 U を取る。T 2 − U を一つ穴あきトーラスという。平面
的曲面 Pg+b (g ≥ 0, b ≥ 0) の g 個の境界成分に対して、g 個の一つ穴あきトーラスの境界を同一視して得られる閉 2 次元多様体を境界成分数 b、種数 g の向き付け可能曲面といい、Fg,b と表す。
射影平面 RP 2 内に点 p を取り、開近傍 U を取る。RP 2 − U をメビウスの帯という。平面的曲面 Ph+b(h ≥ 1, b ≥ 0) の h 個の境界成分に対して、h 個のメビウスの帯の境界を同一視して得られる閉 2 次元多様体を境界成分数 b、種数 h の向き付け不可能曲面といい、Nh,b と表す。
定理 1.7.5 (2 次元多様体の分類). 任意の連結な閉 2 次元多様体は、Fg,0 (g ≥ 0) または Nh,0 (h ≥ 1) のいずれかに同相である。また、任意の連結なコンパクト 2 次元多様体は、Fg,b (g ≥ 0, b ≥ 0) または Nh,b(h ≥ 1, b ≥ 0) のいずれかに同相である。連結なコンパクト 2 次元多様体を曲面という。

1.8

3 次元多様体

サーストンは 1982 年に次の予想をした。
予想 1.8.1 (幾何化予想). 全てのコンパクト 3 次元多様体の内部は、幾何構造を持つ部分へ標準的な分解を持つ。
この予想は、2003 年、ペレルマンによって解かれた。以下、この予想の「標準的な分解」と「幾何構造」
について述べる。

1.8.1

標準的な分解

まず、3 次元多様体 M に埋め込まれた、分離的かつ 3 次元球体の境界とならない 2 次元球面で M を切り開き、境界成分に 3 次元球体を貼り合わせる。クネーザーは、この操作が有限回で終わることを示した（[Kneser, 1929]）。この操作を可能な限り繰り返し、M の素分解を得る。ミルナーによって、素分解は一意的であることが示されている（[Milnor, 62]）。
次に、M に埋め込まれた圧縮不可能なトーラスに沿って切り開き、境界がトーラスからなる 3 次元多様体を得る。境界成分を閉じる標準的な手続きはないので、そのままにしておく。

第1章

14

1.8.2

多様体

幾何構造

定義 1.8.2. M を微分可能多様体とする。各点 p ∈ M において接空間 Tp M 上に定められた内積をリーマ∂∂∂
ン計量という。Tp M の基底を {} とすると、リーマン計量は行列 (gij ) = (h,i) により与えら∂xi∂xi ∂xjれる。
リーマン計量を持つ微分可能多様体をリーマン多様体という。
例 1.8.3. ユークリッド空間 E3 のユークリッド計量は、
1 0
gE3 =  0 1

0

0


0

0 
1

により、与えられる。接ベクトル ~a = (a1 , a2 , a3 ), ~b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ Tp E3 に対して、内積は、~aT gE3~b =

[

]
a1

a2

a3



1 0

 0 1
0 0



b1
0


0   b2  = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
1

b3

となる。
リーマン多様体 M の距離が局所等質であるとは、M の任意の点 x, y に対して、近傍 U, V と等長写像(U, x) → (V, y) が存在するときをいう。M が幾何構造を許容するとは、M が完備な局所等質距離を持つときをいう。M の任意の被覆空間 M̃ は、射影 M̃ → M が局所的に等長写像となるような、自然な距離を受け継ぐ。故に、もし M が幾何構造を許容するならば、M の普遍被覆空間 X は完備な局所等質距離を受け継ぐ。シンガーの定理により、このような単連結多様体上の距離は等質、即ち X の等長変換群が推移的に作用しなければならない。従って、X とその等長変換群を、クラインの意味での幾何と見なすことができ、

M は X 上にモデルを持つ幾何構造を許容すると言える。サーストンは、3 次元の幾何を分類し、8 つの幾何が存在することを示した。

15

第 2 章 部分多様体

2.1

埋め込み

定義 2.1.1 (埋め込み). X を n 次元多様体とし、Y を m (> n) 次元多様体とする。連続写像 f : X → Y
が埋め込みであるとは、f : X → f (X) が同相写像であるときをいう。埋め込み f : X → Y が適切であるとは、f (intX) ⊂ intY かつ f (∂X) ⊂ ∂Y を満たすときをいう。
埋め込まれた多様体 X ⊂ Y が点 p ∈ X において局所平坦であるとは、p の近傍 U が存在し、(U, U ∩ X)n
が (Rm , Rn ) または (Rm+ , R+ ) に同相であるときをいう。本書では、全ての埋め込みは局所平坦であると仮定する。
例 2.1.2. アレキサンダーの角付き球面は、2 次元球面の 3 次元ユークリッド空間への埋め込みで、内側は3 次元球体であるが、外側は単連結でない（[4]）。従って、アレキサンダーの角付き球面は局所平坦ではな
いことが分かる。このような埋め込みは野性的と呼ばれる。
これに対して、微分可能カテゴリーと区分線形カテゴリーでは、2 次元球面の 3 次元球面への埋め込みは両側とも 3 次元球体であることが知られている。よって、このアレキサンダーの角付き球面の例は、位相カテゴリーと、微分可能カテゴリー及び区分線形カテゴリーの違いを示している。

アレキサンダーの角付き球面

第 2 章 部分多様体

16

例 2.1.3. 図のような結び目は、極限点において、局所平坦ではない。一般に、線分の和で表せる結び目を馴れた結び目といい、馴れた結び目でない結び目を野性的な結び目という。図のような結び目は、極限点において局所平坦でないので、野性的な結び目である。一般に、馴れた結び目は、局所平坦である。

野性的結び目の例

2.2

イソトピー

定義 2.2.1 (多様体の変形). f, g : X → Y を埋め込みとし、I = [0, 1] を単位区間とする。

f と g がホモトピックであるとは、連続写像 F : X × I → Y が存在し、F |X×{0} = f かつ F |X×{1} = gを満たすときをいう。このとき、F を f と g の間のホモトピーという。各 t ∈ I に対して、F |X×{t} = Ft
とおく。
f と g がイソトピックであるとは、f と g の間のホモトピー F : X × I → Y が存在し、各 t ∈ I に対して、Ft : X → Y が埋め込みであるときをいう。このとき、F を f と g の間のイソトピーという。

f と g がアンビエントイソトピックであるとは、イソトピー G : Y × I → Y が存在し、G0 = idY かつ
G1 f = g を満たすときをいう。このとき、G を f と g の間のアンビエントイソトピーという。
注 2.2.2. S 3 内の結び目については、イソトピーではなく、アンビエントイソトピーでの同値類を考える。
なぜなら、図のような変形により、全ての結び目は自明な結び目にイソトピックであるからである。

全ての結び目は自明な結び目にイソトピック

2.3

結び目の定義定義 2.3.1. S 1 の S 3 への埋め込みまたはその像を結び目という。本書では、局所平坦性を仮定する。

2.4. 一般の位置17

定義 2.3.2. 二つの結び目 f : S 1 → S 3 と g : S 1 → S 3 が同値であるとは、アンビエントイソトピー

G : S 3 × I → S 3 が存在し、G0 = idS 3 かつ G1 f = g を満たすときをいう。

一般の位置

2.4

定義 2.4.1 (一般の位置). m 次元多様体 Y に埋め込まれた ni 次元多様体 Xi (i = 1, 2) が横断的に交わるとは、任意の点 p ∈ X1 ∩ X2 の近傍 U が存在し、(U, U ∩ X1 , U ∩ X2 ) が (Rm , Rn1 × {0}m−n1 , {0}m−n2 × Rn2 )または (Rm−1 × R+ , Rn1 × {0}m−n1 × R+ , {0}m−n2 × Rn2 × R+ ) に同相であるときをいう。

X1 と X2 が一般の位置にあるとは、X1 と X2 が n1 + n2 − m 次元部分多様体で横断的に交わるときをいう。

(R3 , R2 × {0}, {0} × R2 )(R3 , R2 × {0}, {0}2 × R)

(R3+ , R × {0} × R+ , {0} × R × R+ )定理 2.4.2 (一般の位置の補題). 埋め込まれた多様体 X1 , X2 ⊂ Y に対して、イソトピーが存在して、X1と X2 が一般の位置にあるようにできる。

2.5

モース位置

定義 2.5.1 (モース位置). i : S 3 → R4 を包含写像、f : R4 → {0}3 × R を第 4 座標への射影とし、h = f ◦ i
とおく。h を S 3 の標準的なモース関数（高さ関数）という。t ∈ (−1, 1) ⊂ R に対し、h−1 (t) をレベル t
におけるレベル球面という。S 3 の標準的なモース関数を扱うとき、S 3 に埋め込まれた多様体は、北極点+∞ = (0, 0, 0, 1) 及び南極点 −∞ = (0, 0, 0, −1) と交わらないと仮定する。
S 3 に埋め込まれた 1 次元多様体 X がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面 Sti = h−1 (ti ) (i =1, . . . , n) が存在して、次を満たすときをいう。
1. 各 i について、X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点 pi を含む。
2. X − {p1 , . . . , pn } は各レベル球面と横断的に交わる。
S 3 に埋め込まれた 2 次元多様体 X がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面 Sti = h−1 (ti ) (i =1, . . . , n) が存在して、次を満たすときをいう。
1. 各 i について、X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点または鞍点（サドル）pi を含む。
2. X − {p1 , . . . , pn } は各レベル球面と横断的に交わる。

第 2 章 部分多様体18

極大点 z = −x2 − y 2

鞍点（サドル） z = x2 − y 2
定理 2.5.2 (モースの補題). 3 次元球面 S 3 の標準的なモース関数 h : S 3 → R に関して、S 3 に埋め込まれた 1 次元多様体または 2 次元多様体は、イソトピーにより、モース位置にあるようにできる。

2.6

本質的 1 次元多様体

2.6.1

本質的 1 次元多様体の交わり

定義 2.6.1 (本質的 1 次元多様体). 2 次元多様体 F に適切に埋め込まれたループ α が非本質的であるとは、

F 内のディスク D で、∂D = α となるものが存在するときをいう。α が非本質的でないとき、本質的であるという。
F に適切に埋め込まれたアーク α が非本質的であるとは、F 内のディスク D で、∂D = α ∪ β, α ∩ β =∂α = ∂β （β は ∂F 内のアーク）となるものが存在するときをいう。α が非本質的でないとき、本質的であるという。
曲面上のループの幾何的交点数については、次の定理がある。
定理 2.6.2 ([21]). α と β を曲面 F 上の閉曲線とする。このとき、α と β がイソトピーを法として幾何的に最小の交点数で交わる為の必要十分条件は、局所的に α と β の交わりを解消できないことである。

2.6.2

曲線複体

定義 2.6.3 ([40]). S を閉曲面とする。S から、次のように作られる複体 C(S) を S の曲線複体という。

• S 上の本質的ループのイソトピー類を C(S) の 0-単体とする。

2.7. 本質的 2 次元多様体

19• k + 1 個の 0-単体 l0 , l1 , . . . , lk について、任意の i 6= j に対して、li ∩ lj = ∅ となるよう代表元を取れるとき、k-単体を張る。

S の種数が g のとき、C(S) の次元は 3g − 4 である。
定義 2.6.4. x, y を C(S) の 0-単体とする。x と y の距離 d(x, y) を、x と y を繋ぐ最短道の 0-単体の数と定義する。

C(S) は、局所有限ではなく、直径は無限であり、連結であることが知られている。

2.7

本質的 2 次元多様体

2.7.1

本質的曲面の定義

定義 2.7.1 (圧縮不可能曲面). 3 次元多様体 M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が圧縮可能であるとは、F がディスクのとき、∂M 内のディスク D と M 内の 3 次元球体 B で、∂F = ∂D かつ ∂B = F ∪ Dとなるものが存在するときをいい、F が球面のとき、M 内の 3 次元球体 B で、∂B = F となるものが存在するときをいい、その他の場合、M 内のディスク D で、D ∩ F = ∂D かつ ∂D は F 内で本質的なループとなるものが存在するときをいう。F が圧縮可能でないとき、圧縮不可能であるという。
定義 2.7.2 (境界圧縮不可能曲面). 3 次元多様体 M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が境界圧縮可能であるとは、M 内のディスク D で、D ∩ F = ∂D ∩ F = α が F 内に適切に埋め込まれた本質的なアークであり、かつ D ∩ ∂M = ∂D − intα が ∂M 内のアークとなるものが存在するときをいう。F が境界圧縮可能でないとき、境界圧縮不可能であるという。
定義 2.7.3 (境界平行). 3 次元多様体 M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が境界平行であるとは、埋め込み h : F × [0, 1] → M で、h(F × {0}) = F かつ h(F × [0, 1]) ∩ ∂M = h(∂F × [0, 1] ∪ F × {1})となるものが存在するときをいう。即ち、F は ∂M 内の部分曲面にイソトピックである。
定義 2.7.4 (本質的曲面). 3 次元多様体 M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が本質的であるとは、F が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、境界平行でないときをいう。
注 2.7.5. 向き付け不可能曲面 F ⊂ M に関しては、向き付け可能曲面 ∂N (F ) が M 内で圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、境界平行でないとき本質的であるという。
定義 2.7.6 (既約と境界既約). 3 次元多様体 M が既約であるとは、M 内に圧縮不可能な球面が存在しないときをいう。また、M が境界既約であるとは、M 内に圧縮不可能なディスクが存在しないときをいう。
定義 2.7.7 (経線的圧縮不可能曲面). M を 3 次元多様体とし、T を M 内に適切に埋め込まれた 1 次元多様体とする。F を M 内に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面で、F ∩ T = ∅ であるか、または T と横断的に交わるものとする。

M 内のディスク D で、D ∩ F = ∂D かつ |D ∩ T | = 1 を満たすもののうち、∂D が F 内で本質的である
か、または F 内のディスク D0 で |D0 ∩ T | > 1 を満たすものを ∂D が張るとき、D を経線的圧縮ディスクという。F が経線的圧縮ディスクを持つとき、経線的圧縮可能であるといい、F が経線的圧縮可能でない
とき、経線的圧縮不可能であるという。

F が T と 2 点で交わる球面の場合、3 次元球体 B が存在して、∂B = F かつ T ∩ B が B 内の自明なアー
クのとき、F は経線的圧縮可能であるという。

第 2 章 部分多様体

20

練習問題 2.7.8. F が圧縮不可能曲面であるとき、F を経線的圧縮して得られる曲面は圧縮不可能であることを示せ。
定義 2.7.9 (経線的本質的曲面). 3 次元多様体と 1 次元多様体の組 (M, T ) に適切に埋め込まれた向き付け
可能曲面 F が経線的本質的であるとは、F が圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、境界平行でないときをいう。

2.7.2

曲面の交差のパリティ性

2.7.3

本質的曲面の交わり

次の定理 2.7.10 は、本質的曲面を扱う上で最も基本的な定理であり、本書の至る所で使用される。証明
手順を理解し、切り貼り論法を自由に扱えるようになって欲しい。
定理 2.7.10. M を既約かつ境界既約な 3 次元多様体とし、F1 と F2 を M 内に適切に埋め込まれた圧縮不可能かつ境界圧縮不可能な曲面とする。このとき、F1 と F2 のイソトピーで、F1 ∩ F2 の各成分はループまたはアークであり、F1 内でも F2 内でも本質的であるようにできる。

Proof. 定理 2.4.2 より、F1 と F2 は一般の位置にあるとして良い。よって、F1 ∩ F2 は 1 次元多様体、即ちループ及びアークから成る。F1 と F2 のイソトピーの下で、|F1 ∩ F2 | を最小にとる。
先ず、F1 ∩ F2 のループ成分のうちで、F1 内で非本質的なものが存在したとする。α を F1 内で最も内側のループとし、δ を F1 内のディスクで、∂δ = α を満たすものとする。このディスク δ は、δ ∩ F2 = ∂δ を満たすので、F2 の圧縮不可能性から、∂δ は F2 内で非本質的なループでなければならない。よって、F2 内のディスク δ 0 で、∂δ 0 = α を満たすものが存在する。ここで、δ は最も内側のディスクであるので、intδ は

F2 と交わらないが、δ 0 は F1 と交わる可能性があることに注意する。
これら二枚のディスク δ と δ 0 から 2 次元球面 S = δ ∪ δ 0 が作られる。M の既約性から、M 内の 3 次元球
体 B で、∂B = S を満たすものが存在する。もし、intB ∩ F2 = ∅ の場合、B に沿った δ 0 から δ へのイソト
ピーで、F1 ∩ F2 のループ成分 α を除去することができる。これは、|F1 ∩ F2 | の最小性に矛盾する。他方、B ⊃ F2 の場合、定理 2.7.15 に矛盾する。故に、F1 ∩ F2 の全てのループ成分は、F1 内で本質的である。同様に、F2 内でも本質的であることが証明できる。
次に、F1 ∩ F2 のアーク成分のうちで、F1 内で非本質的なものが存在したとする。α を F1 内で最も外側のアークとし、δ を F1 内のディスクで、∂δ = α ∪ β（β は ∂F1 内のアーク）を満たすものとする。このディ
スク δ は、δ ∩ F2 = ∂δ かつ δ ∩ ∂M = β を満たすので、F2 の境界圧縮不可能性から、α は F2 内で非本質的なアークでなければならない。よって、F2 内のディスク δ 0 で、∂δ 0 = α ∪ β 0 （β 0 は ∂F2 内のアーク）を満たすものが存在する。ここで、δ は最も外側のディスクであるので、intδ は F2 と交わらないが、δ 0 は F1と交わる可能性があることに注意する。
これら二枚のディスク δ と δ 0 からディスク D = δ ∪ δ 0 が作られる。M の境界既約性から、M 内の 3 次
元球体 B で、∂B = D ∪ D0 （D0 は ∂M 内のディスク）を満たすものが存在する。もし、intB ∩ F2 = ∅ の場合、B に沿った δ 0 から δ へのイソトピーで、F1 ∩ F2 のアーク成分 α を除去することができる。これは、|F1 ∩ F2 | の最小性に矛盾する。他方、B ⊃ F2 の場合、定理 2.7.15 に矛盾する。故に、F1 ∩ F2 の全てのアーク成分は、F1 内で本質的である。同様に、F2 内でも本質的であることが証明できる。
注 2.7.11. 定理 2.7.10 の下で、F1 − (F1 ∩ F2 ) または F2 − (F1 ∩ F2 ) の各成分は、M − F2 または M − F1において圧縮不可能である。

2.7. 本質的 2 次元多様体

2.7.4

21

3 次元球面内の本質的曲面

定理 2.7.12 及び 2.7.15 は、3 次元球面及び 3 次元球体には圧縮不可能な曲面が存在しないことを述べている。一般に、圧縮不可能な曲面は簡単な 3 次元多様体には入り難く、複雑な 3 次元多様体には入り易い。
定理 2.7.12. 3 次元球面内に適切に埋め込まれた曲面は圧縮可能である。

Proof. 先ず、3 次元球面 S 3 は ∂S 3 = ∅ であるから、S 3 内に適切に埋め込まれた曲面 F も ∂F = ∅、即ち閉曲面であることに注意する。S 3 の標準的なモース関数を h : S 3 → R とする。定理 2.5.2 より、F は h に関してモース位置にあるとして良い。
もし、F が鞍点を持たなければ、F は極大点と極小点を一つずつ持つ球面である。この場合、ジョルダ
ンの閉曲線定理によって、F の任意の正則点 p に関して h−1 (h(p)) ∩ F はレベル球面上のループであり、二つのディスク領域に分けている。このことから、F は S 3 を二つの 3 次元球体に分けていることが分かり、圧縮可能である。
以下、F が鞍点を持つと仮定する。

F の鞍点において、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループが接するが、それらのいずれも F 上で本質的であるとき、鞍点は本質的であるという。

R

q
p

F
p は非本質的、q は本質的
今、F に非本質的な鞍点が存在したとし、最も内側の非本質的な鞍点を p とする。即ち、p で接する二つのループ l1 と l2 のうち、少なくとも一方のループ（例えば l1 とする）に対して F 上のディスク D が存在して、∂D = l1 かつ intD が他の鞍点を含まないものとする。intD は鞍点を含まないので、唯一の極大点
または極小点を含む。一般性を失うことなく、intD は極大点 q を含むとする。よって、D は h−1 ([h(p), 1))
内で、p を含むレベル球面 h−1 (h(p)) 上のディスク D0 に平行である。
このとき、二つの場合 l2 ∩ intD0 = ∅ または l2 ⊂ D0 が考えられる。先ず、後者の場合 l2 ⊂ D0 の場合を考えよう。D の極大点 p から北極点 +∞ への h に関して単調なアーク α で、α ∩ F は F の極大点のみから成るものをとる。今、α ∩ F の各極大点における F 内の近傍を α に沿って +∞ を超えるようイソトープする。この操作で、F の極大点、極小点および鞍点は変化しないことに注意しよう。極大点 p の F 内における近傍が +∞ を超えたので、D はディスク D00 = h−1 (p) − intD0 へ h−1 ([h(p), 1)) 内で平行となっている。
よって、このディスク D00 に関して、前者の場合 l2 ∩ intD00 = ∅ に帰着される。
次に、前者の場合 l2 ∩ intD0 = ∅ を考えよう。D は h−1 ([h(p), 1)) 内でディスク D0 に平行であるから、D ∪ D0 は h−1 ([h(p), 1)) 内の 3 次元球体 B を張る。B は D0 × I の構造を持つことに注意する。B の直積構

第 2 章 部分多様体

22

造に沿って D から D0 へ F をイソトープする。ここで、intB ∩ F も直積構造に沿ってイソトープしていることに注意する。このとき、D の極大点または極小点と、鞍点 p が解消される。以上の操作により、F の
鞍点は全て本質的であるとして良い。

F の全ての鞍点は本質的であるので、あるレベル球面 S で、S ∩ F の成分のうち本質的なループを含むものが存在する。（例えば、本質的な鞍点の直ぐ近くのレベル球面を取れば良い。）S ∩ F の成分のうち、S
上で最も内側の本質的ループを l とし、l に対応する最も内側のディスクを D とする。このとき、intD ∩ Fの成分は全て F 内で非本質的なループであることに注意する。更に、intD ∩ F の成分のうち、D 上で最も内側のループを l0 とし、l0 に対応する最も内側のディスクを D0 とする。l0 は F 内で非本質的であるから、F 内のディスク D00 で、∂D00 = l0 を満たすものが存在する。D から D0 を取り除き、代わりに D00 を貼り付ける。この操作で、intD ∩ F の成分、少なくとも l0 、が取り除かれた。以下、同様にこの操作を繰り返すことで、|intD ∩ F | = 0 を得る。故に、D ∩ F = ∂F かつ ∂D は F 内で本質的なループであるので、Dは F の圧縮ディスクである。
定理 2.7.12 からアレキサンダーの定理が得られる。
系 2.7.13 ([3]). 3 次元球面内に埋め込まれた 2 次元球面は、3 次元球面を二つの 3 次元球体に分ける。
アレキサンダーの定理は、一般の閉曲面へ拡張される。
系 2.7.14. 3 次元球面内に埋め込まれた曲面は、3 次元球面を二つの部分多様体に分ける。従って、向き付
け可能である。
定理 2.7.15. 3 次元球体内に適切に埋め込まれた曲面は圧縮可能である。

Proof. 3 次元球体 B 3 内に適切に埋め込まれた曲面 F が、∂F = ∅ ならば、B 3 ⊂ S 3 であることから、定理 2.7.12 より、F は圧縮可能である。
以下、∂F 6= ∅ と仮定する。∂F の成分のうち、∂B 3 内で最も内側のループを l とし、l が ∂B 3 内で張る
最も内側のディスクを D とする。このとき、D ∩ F = ∂D である。もし、∂D が F 内で本質的なループならば、F は圧縮可能である。他方、∂D が F 内で非本質的なループならば、F はディスクであり、B 3 内で境界平行であるので、圧縮可能である。

2.7.5

ハンドル体と圧縮体内の本質的曲面

定理 2.7.15 は、次の定理 2.7.16 に拡張される。ハンドル体内の本質的曲面は、ディスクのみであることが分かる。
定理 2.7.16. ハンドル体内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。

Proof. V を種数 g (g ≥ 0) のハンドル体とし、F を V 内の圧縮不可能曲面とする。定理 2.7.15 より、g 6= 0である。{D1 , . . . , Dg } を V のメリディアンディスクシステムとし、D = D1 ∪ · · · ∪ Dg とおく。
定理 2.4.2 より、F と D は一般の位置にあるとして良い。よって、F ∩ D は 1 次元多様体、即ちループ
及びアークから成る。F のイソトピー及び {D1 , . . . , Dg } の取り換えの下で、|F ∩ D| を最小にとる。
ある i (1 ≤ i ≤ g) に対して、F ∩ Di にループ成分が存在したとする。α を Di 内で最も内側のループとし、δ を Di 内のディスクで、∂δ = α を満たすものとする。このディスク δ は、δ ∩ F = ∂δ を満たすので、F の圧縮不可能性から、∂δ は F 内で非本質的なループでなければならない。よって、F 内のディスク

δ 0 で、∂δ 0 = α を満たすものが存在する。ここで、δ は最も内側のディスクであるので、intδ は F と交わらないが、δ 0 は Di と交わる可能性があることに注意する。これら二枚のディスク δ と δ 0 から 2 次元球面
S = δ ∪ δ 0 が作られる。ハンドル体 V は 3 次元球面 S 3 に埋め込めるので、系 2.7.13 より、V は既約であ

2.7. 本質的 2 次元多様体

23

る。V の既約性から、V 内の 3 次元球体 B で、∂B = S を満たすものが存在する。B に沿った δ 0 から δ へのイソトピーで、F ∩ Di のループ成分 α を除去することができる。これは、|F ∩ D| の最小性に矛盾する。
故に、F ∩ D にループ成分は無いことが分かった。
次に、ある i (1 ≤ i ≤ g) に対して、F ∩ Di にアーク成分が存在したとする。

α を Di 内で最も外側のアークとし、δ を Di 内のディスクで、∂δ = α ∪ β （β は ∂Di 内のアーク）を満たすものとする。このディスク δ は、δ ∩ F = ∂δ ∩ F = α かつ δ ∩ ∂M = ∂δ ∩ ∂M = β を満たしている。
もし、α が F 内で本質的なアークならば、F は境界圧縮可能であり、結論の一つを得る。
他方、α が F 内で非本質的なアークだとすると、F 内のディスク δ 0 で、∂δ 0 = α ∪ β 0（β 0 は ∂F 内のアーク）を満たすものが存在する。F ∩ D はループ成分を含まないので、δ 0 ∩ D は（α を含む）アーク成分のみから成る。δ 0 ∩ D のアーク成分のうちで、δ 0 内で最も外側のアークを α0 とする。ここで、α0 はある j(1 ≤ j ≤ g) に対して、α0 ⊂ Dj である。δ 00 を δ 0 内のディスクで、∂δ 00 = α0 ∪ β 00 （β 00 は ∂F 内のアーク）
を満たすものとする（α0 = α のとき、δ 00 = δ 0 かつ β 00 = β 0 となる）。
もし、β 00 が ∂V − ∂D 内で非本質的ならば、δ 00 は Dj 内の部分ディスクへ平行である。この場合、F のイソトピーで、|F ∩ D| を減らすことができ、|F ∩ D| の最小性に矛盾する。従って、β 00 は ∂V − ∂D 内で本質的である。このとき、Dj を α0 で切り開き、δ 00 のコピーを二枚貼り合わせることで、二つのメリディ
アンディスク Dj0 と Dj00 を得る。メリディアンディスクシステム {D1 , . . . , Dg } から Dj を除き、Dj0 または

Dj00 のいずれかを取り入れたものは、再びメリディアンディスクシステムとなる。この新しいメリディアン
ディスクシステムに対し、|F ∩ D| は（少なくとも α0 の分）削減されている。これは、|F ∩ D| の最小性に反する。
最後に、|F ∩ D| = 0、即ち F ∩ D = ∅ の場合を考える。V をメリディアンディスクシステム {D1 , . . . , Dg }で切り開いて得られる 3 次元球体を V 0 とする。F ⊂ V 0 であるので、定理 2.7.15 より、F は V 0 内では圧縮可能である。F がディスクの場合、V 0 内で境界平行であるが、F は V 内では圧縮不可能であるので、V 内
では境界平行でない。即ち、F は本質的なディスクであり、結論の一つを得る。F が球面の場合、V 0 内の 3
次元球体 B で、∂B = F となるものが存在する。B ⊂ V であるので、F は V 内で圧縮可能な球面となり、F の圧縮不可能性に矛盾する。F がディスクでも球面でもない場合、V 0 内のディスク D で、D ∩ F = ∂D
かつ ∂D は F 内で本質的なループとなるものが存在する。D ⊂ V であるので、F は V 内で圧縮可能とな
り、F の圧縮不可能性に矛盾する。
練習問題 2.7.17. 定理 2.7.16 の証明において、“メリディアンディスクシステム {D1 , . . . , Dg } から Dj を除き、Dj0 または Dj00 のいずれかを取り入れたものは、再びメリディアンディスクシステムとなる” ことを示せ。
補題 2.7.18 ([81, Lemma 2.1]). M を 3 次元多様体とし、F を M に適切に埋め込まれた圧縮不可能曲面とする。M 0 = M − intN (F ) とおく。このとき

1. M が既約であるための必要十分条件は、M 0 が既約であることである。
2. M 0 に埋め込まれた任意の圧縮不可能閉曲面は、M で圧縮不可能である。
補題 2.7.19 ([81, Lemma 2.2]). M を連結な境界を持つ既約な 3 次元多様体とする。このとき、次の条件は互いに同値である。

1. π1 (M ) は自由である。
2. M はハンドル体である。
3. M は圧縮不可能閉曲面を含まない。

第 2 章 部分多様体

24

定理 2.7.20. ハンドル体内の圧縮不可能曲面は、ハンドル体をいくつかのハンドル体に切り開く。

Proof. ハンドル体 V 内の圧縮不可能曲面 F は、定理 2.7.16 により、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。これは、境界圧縮の列 F = F0 , F1 , . . . , Fn が存在し、Fn はいくつかの本質的ディスクから成ることを意味する。
先ず、V を Fn で切り開くと、いくつかのハンドル体に分かれることを示す。もし、V − intN (Fn ) のある成分がハンドル体でないとすると、定理 2.7.19 により、圧縮不可能閉曲面 S がそこに存在する。S は、定理

2.7.18 により、M で圧縮不可能である。従って、定理 2.7.19 より、M はハンドル体ではなく、矛盾する。
次に、V − intN (Fi ) の全ての成分がハンドル体であると仮定し、V − intN (Fi−1 ) の全ての成分がハンドル体であることを示す。Fi が、Fi−1 の境界圧縮ディスク D に沿って、境界圧縮をして得られるとする。Dを含むような、V − intN (Fi−1 ) の成分は、V − intN (Fi ) のある成分に 1-ハンドル N (D) を付けて得られるので、ハンドル体である。V − intN (Fi−1 ) のその他の成分については、D に沿った境界圧縮によって、

V − intN (Fi ) の成分へと同相に移るので、ハンドル体である。
以上により、V − intN (F0 ) の各成分はハンドル体である。

2.7.6

曲面複体

曲線複体の一次元高い概念を考える。
定義 2.7.21. M を 3 次元多様体とする。M から、次のように作られる複体 C(M ) を M の曲面複体という。

• M 内の本質的曲面のイソトピー類を C(M ) の 0-単体とする。
• k + 1 個の 0-単体 l0 , l1 , . . . , lk について、任意の i 6= j に対して、li ∩ lj = ∅ となるよう代表元を取れるとき、k-単体を張る。
クネーザー–ハーケンの有限性定理により、C(M ) は有限次元である。

M が結び目外部のとき、M 内の圧縮不可能ザイフェルト曲面から作られる曲面複体は、垣水複体（[49]）と呼ばれる。
定義 2.7.22. x, y を C(M ) の 0-単体とする。x と y の距離 d(x, y) を、x と y を繋ぐ最短道の 0-単体の数と定義する。

2.8

正規曲面

2.8.1

クネーザー–ハーケンの有限性定理

次の定理は、互いに交わらない曲面の枚数の有限性を示している。1929 年にクネーザーが球面の集まりに関して示した後、ハーケンが 1961 年に圧縮不可能曲面の集まりに関して一般化したので、クネーザーハーケンの有限性定理と呼ばれる。
定理 2.8.1 ([52], [33]). M を既約かつ境界既約な 3 次元多様体とする。このとき、整数 c(M ) が存在して、任意の k > c(M ) 枚の互いに交わらない圧縮不可能かつ境界圧縮不可能な曲面の集まり S = {S1 , . . . , Sk }に対して、ある二つの曲面 Si と Sj が平行となる。
しかし、後述するように、曲面同士の交差を許せば、一般に無限に多くの圧縮不可能曲面を含み得る。

2.8. 正規曲面

2.8.2

25

正規曲面理論クネーザー–ハーケンの有限性定理を出発点として、以下で述べるような、正規曲面理論が発展した（[33],[104]）。
定義 2.8.2. 正規三角形とは、3 単体のディスクであり、3 単体の 3 つの辺と 3 つの面に交わるものである。
正規四辺形とは、3 単体のディスクであり、3 単体の 4 つの辺と 4 つの面に交わるものである。基本ディス
クとは、正規三角形または正規四辺形である。3 角形分割された 3 次元多様体の正規曲面とは、埋め込まれた曲面で、各 3 単体に互いに交わらない基本ディスクの和で交わるときをいう。

埋め込まれた曲面は、正規曲面にイソトピックである。
補題 2.8.3. F を 3 次元多様体 M に埋め込まれた曲面とする。このとき、圧縮、イソトピー、及び自明な2 次元球面の除去を繰り返すことで、F は互いに交わらない正規曲面の和にイソトピックである。
各 3 単体には、高々7 つのタイプの正規三角形と四辺形があり得る。3 単体の数を t とすると、3 次元多様体の全ての 3 単体における基本ディスクは、高々7t 個のタイプが存在する。それぞれのディスクのタイ
プにラベル {σi } を付け、xi をそのタイプのディスクの枚数とする（1 ≤ i ≤ 7t）。非負整数 xi から成るベクトルは、任意の埋め込まれた正規曲面を完全に決定するが、実際に正規曲面となる為には、次の 2 つの条件を満たさなければならない。

1. 各四面体は、高々一つのタイプの四辺形を含む。これを四辺形条件という。
2. ディスクは、二つの四面体を分離する面を横切って、貼り合わされなければならない。
各四面体の各面において、高々3 つの互いに平行なアークのクラスがある。その一つのアークのクラスに着目する。それらの互いに平行なアークは、高々一つのタイプの正規三角形と高々一つのタイプの正規四辺形の境界から生じるから、xi1 + xi2 = xi3 + xi4 の形の方程式が得られる。この線形方程式を、調和方程式という。調和方程式に対して、条件 xi ≥ 0 を付加したものを、正規曲面方程式という。

26

第 2 章 部分多様体

二つの正規曲面 A と B は、互いに交わり得る。A と B の和から、規則的交換と呼ばれる操作により、曲
面 C が得られる。規則的交換とは、二重曲線に沿った切り貼りであり、各四面体において全ての正規ディスクが再び正規ディスクを保つような操作である。

補題 2.8.4. もし、A, B, C が A + B = C を満たす正規曲面方程式の解であり、C が埋め込まれた正規曲面ならば、A と B も同様である。その上、χ(C) = χ(A) + χ(B) かつ w(C) = w(A) + w(B) である。
ここで、曲面 F の重み w(F ) とは、M の 1-骨格との交点数である。
正規曲面方程式の解 C が基本的であるとは、それが二つの解の和 C 6= A + B として表せないときをいう。
補題 2.8.5. 正規曲面方程式に対する基本的な解の集合は、有限である。
補題 2.8.6 ([104]). もし、C が既約な 3 次元多様体の連結な正規曲面であり、かつ C が基本的でないならば、C = A + B を満たすような連結な正規曲面 A と B を見付けることができる。もし、A と B が A ∩ Bの曲線の数を最小にするように選ばれたならば、A ∩ B のどの曲線も、A と B の両方で分離的でない。
結び目外部の境界トーラス上の曲線が本質的であるとは、それがトーラス上でディスクを張らないときをいう。次の補題は、結び目解消ディスクの探索を、基本的曲面の有限個の集まりに帰着させる。
補題 2.8.7. C が、結び目外部の正規ディスクであり、全ての本質的境界を持つ正規ディスクの中で最小の重みを持つものとする。このとき、C は基本的である。
定理 2.8.8 ([41]). 結び目が自明かどうか判定するアルゴリズムが存在する。

2.9. 分岐曲面

27

Proof. 結び目外部 MK を三角形分割して、有限個の基本的解を構成する。それらの中で、四辺形条件を満たすものを見付ける。オイラー標数を計算することで、これらのどれもがディスクであるか確認する。
もしそうならば、そのディスクの境界が ∂MK で本質的かどうか、それが ∂MK を分離するかどうか確認することにより、検査する。もし、∂MK 上で本質的な境界を持つディスクが存在するならば、K は自明な結び目である。もし、そのようなディスクが存在しなければ、K は自明ではない。
次に、このアルゴリズムが有効であることを示す。K を自明な結び目と仮定する。このとき、それはディスクを張る。補題 2.8.3 により、正規ディスク D が存在して、∂MK 上本質的な曲線を張る。補題 2.8.7 により、基本的解の中でこのようなディスクを探すことができる。よって、結び目解消ディスクが存在するならば、このアルゴリズムはそれを見付けることが分かる。

2.9

分岐曲面

コンパクト、既約、向き付け可能 3 次元多様体が、両側圧縮不可能曲面を含むとき、ハーケン多様体と呼ばれる。ハーケン多様体はイソトピックでない圧縮不可能曲面を無限に含むことがあるが、ハーケンは、全ての圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面は、ある有限個の曲面から、ある切り貼り操作で得られることを示した（[34], [104]）。
ところが、これれらの操作は圧縮不可能でない曲面も作り出してしまう。ここで、分岐曲面を用いると、両側、圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面のみを作り出すことができる。

3 次元多様体 M 内の分岐曲面 B は局所的に図 (a) のような空間（境界 ∂M の近くでは図 (c)）をモデルとしたものである。M 内に適切に埋め込まれた曲面 S がが B によって支持されるとは、図 (b) のように、B に沿って平行に位置するようにイソトープできるときをいう。もし、S が B によって支持されるならば、B のある点の近くで S のシートの数は、B の分岐集合の補空間の各成分に対する整数重みで決定される。
重みは、図 (a) においては、明らかな条件、w2 + w3 = w4 , w1 + w2 = w5 などを満たす。逆に、これらの加法的条件を満たす与えられた重みの集合から、B の分岐集合の補空間の平行なコピーを分岐集合に沿って貼り合わせることで、B によって支持される対応する曲面を構成することができる。

定理 2.9.1 ([23]). M を圧縮不可能な境界を持つハーケン多様体とする。M に適切に埋め込まれた有限個の分岐曲面 B1 , . . . , Bk が存在して、

1. Bi によって正の重みで支持される曲面は圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、
2. 全ての両側、圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面は、Bi によって正の重みで支持される曲面にイソト
ピックである。
下図は分岐曲面 B の近傍 N (B) の断面を表している。N (B) の補空間に、平行領域 P = W × I があるとする。このとき、B によって支持される二つの曲面 B(w) と B(v) が単純イソトピーで移り合うとは、W × 0
から W × 1 へのイソトピーにより移り合うときをいう。

第 2 章 部分多様体

28

定理 2.9.2 ([74]). B を圧縮不可能分岐曲面とする。このとき、B(w) と B(v) がイソトピックである為の必要十分条件は、B(w) と B(v) が単純イソトピーの系列で移り合うことである。
下図のような分岐曲面を、レーブ成分という。

定理 2.9.3 ([74]). もし、B が圧縮不可能分岐曲面で、レーブ成分を持たず、正の重みを持つある曲面を支持するならば、B によって支持される任意の曲面は、本質的である。
定理 2.9.4 ([74]). 与えられた既約な向き付け可能 3 次元多様体 M に対して、レーブ成分を持たない圧縮
不可能分岐曲面の有限個の集まりが存在して、全ての圧縮不可能かつ境界圧縮不可能両側曲面は、その集
まりの分岐曲面によって、正の重みで支持される。

2.10

位相的極小曲面

執筆予定です。[6]、[7]、[8] を参照のこと。

第 II 部

結び目の位置と基本定理

31

第 3 章 結び目の位置
h : S 3 → R を標準的なモース関数とする。結び目 K は ±∞ = (0, 0, 0, ±1) と交わらないようにする。
S − {±∞} は S 2 × R と同相であるので、射影 p : S 2 × R → S 2 × {0} が存在する。
33.1

橋位置とモース位置

標準的なモース関数 h : S 3 → R に関して、結び目 K がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面

Sti = h−1 (ti ) (i = 1, . . . , n) が存在して、各 i について X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点 pi を含み、X − {p1 , . . . , pn } は各レベル球面と横断的に交わるときをいう。
ri ∈ R (i = 1, . . . , n + 1) を、ri < ti < ri+1 (i = 1, . . . , n) を満たすように選ぶ。
レベル球面 Sri = h−1 (ri ) (2 ≤ i ≤ n) が太い球面であるとは、|Sri−1 ∩ K| < |Sri ∩ K| かつ |Sri ∩ K| >|Sri+1 ∩ K| を満たすときをいう。レベル球面 Sri = h−1 (ri ) が細い球面であるとは、|Sri−1 ∩ K| > |Sri ∩ K|
かつ |Sri ∩ K| < |Sri+1 ∩ K| を満たすときをいう。
定義 3.1.1. 結び目 K が橋位置にあるとは、K が h に関してモース位置にあり、細いレベル球面を持たな
いときをいう。即ち、唯一の太いレベル球面である橋分解球面を持ち、それが K の極大点全てと極小点全てを分離している。

3.1.1

幅とトランク

定義 3.1.2. 結び目 K の幅 w(K) をw(K) = minKn∑|Sri ∩ K|

i=2で定義する。ここで、min は K の全てのモース位置に関してとる。
結び目 K が細い位置であるとは、それが w(K) を実現しているときをいう。

3.1.2

ヘンペル距離k が結び目 K の n-橋位置であるとし、S を k の橋球面とする。B+ , B− ⊂ S 3 を S によって分けられた
3 次元球体とし、各 ε = ± に対して、τε を n 本のアーク k ∩ Bε とする。
Bε に適切に埋め込まれたディスク E を考える。もし、E が τε と交わらず、∂E が 2n-穴開き球面 S \ k
で本質的ならば、E を (Bε , τε ) の本質的ディスクと呼ぶ。ここで、曲面上のループが本質的であるとは、それが曲面上でディスクを張らず、境界平行でないときをいう。

S \ k 上の本質的ループの集合は、S \ k の曲線グラフと呼ばれる 1-複体 C(S \ k) を構成する。C(S \ k)の頂点は、S \ k 上の本質的ループのイソトピー類であり、頂点の組は、もし相当するイソトピー類が交わらないループで実現できるとき、C(S \ k) の辺を張る。

k のヘンペル距離は、

第3章

32

結び目の位置min{d([∂E+ ], [∂E− ]) | 各ε = ±に対して、Eε は (Bε , τε ) の本質的ディスク },と定義される。ここで、d([∂E+ ], [∂E− ]) は、C(S \ k) における、[∂E+ ] と [∂E− ] の間の最小距離である。

3.1.3

安定同値定理標準的モース関数 h : S 3 → R に関して、結び目 K が橋位置にあるとする。即ち、全ての極大点と全ての極小点を分離する唯一の太いレベル球面である橋分解球面 S = h−1 (0) を持つとする。このとき、

B1 = h−1 ([0, +∞)、B2 = h−1 ([0, −∞)、Ti = K ∩ Bi とおくと、K は橋分解 (S 3 , K) = (B1 , T1 )∪S (B2 , T2 )を持つ。

(S 3 , K) の二つの橋分解 (B1 , T1 ) ∪S (B2 , T2 ) と (B10 , T10 ) ∪S 0 (B20 , T20 ) が同値であるとは、一方を他方へ移す S 3 の向きを保つ同相写像が存在するときをいう。
結び目 K と橋分解球面 S の交点において、局所的に極大点と極小点を一つずつ増やす変形を安定化という。このとき、得られた結び目 K 0 を K から安定化されているという。
結び目の二つの橋分解が安定同値であるとは、有限回の安定化の後、同値であるときをいう。

K

S

定理 3.1.3 ([10], [41]). 結び目の任意の二つの橋分解は安定同値である。

3.1.4

橋分解の有限性定理 3.1.4 ([90]). トーラス結び目の n-橋分解は各 n に対し一意的である。
定理 3.1.5 ([15]). 双曲結び目の n-橋分解は各 n に対し有限個である。
絡み目に対しては、外部に本質的トーラスを含む場合、橋分解の有限性が成り立たないことがある。（同様に、無限に多くの最小橋分解を持つサテライト結び目を構成可能だと思われる。）
定理 3.1.6 ([46], [47]). 無限に多くの 3-橋分解を持つ 3-橋絡み目が存在する。

3.2. 正則表示

3.2

33

正則表示

射影 p : S 3 −{±∞} → S 2 に関して、K の多重点が二重点のみであり、各二重点において p(K) が横断的に交わるとき、p(K) を K の正則射影という。p(K) の交点 x において、p−1 (x) = {x+ , x− } (h(x+ ) > h(x− ))とおくとき、p(x− ) の近傍を削除し、p(K) に上下の情報を与えたものを K の正則表示という。

3.2.1

ライデマイスター移動定理 3.2.1 ([95]). 結び目 K の二つの正則表示は、有限回のライデマイスター移動 I, II, III で移り合う。

Type I

Type II

Type IIIn

定理 3.2.2 ([16]). ある結び目または絡み目の連結な正則表示 D1 , D2 に対して、D2 は D1 から高々expc (n)回のライデマイスター移動で得られる。ここで、n は D1 と D2 の交点の和で、c = 101000000 である。

3.2.2

交代結び目

結び目 K の正則表示 K̃ において、K に沿って進んで一周回るとき、上交差点と下交差点が交互に現れるものを交代正則表示という。交代正則表示を持つ結び目を交代結び目という。
練習問題 3.2.3. 任意の正則射影において、交点の上下を適当に付けることで交代正則表示が得られること
を示せ。

第3章

34

3.2.3

結び目の位置正結び目

結び目 K の正則表示 K̃ において、向きを任意に付けたとき、どの交点の符号も正であるものを正正則表示という。正正則表示を持つ結び目を正結び目という。
練習問題 3.2.4. 任意の正則射影において、交点の上下を適当に付けることで正正則表示が得られることを
示せ。

3.2.4

σ-充足かつ均質結び目

ステイトとステイト曲面

K を S 3 内の結び目とし、D を 2 次元球面 S 2 = h−1 (0) 上の K の正則表示とする。S 2 は S 3 を二つの 3 次元球体 B ± = h−1 ([0, ±1]) に分けている。C = {c1 , . . . , cn } を D の交点から成る集合とする。写像

σ : C → {+, −} を D のステイトという。
交点を有理タングルと見たとき、スロープ +1 の交点を、スロープ ∞ の交点に置き換える操作を +-ス
ムージングといい、スロープ 0 の交点に置き換える操作を −-スムージングという。各交点 ci ∈ C に対して、符号が σ(ci ) = + または − に従い、+-スムージングまたは −-スムージングをとる。このとき、S 2 上にループの集まり l1 , . . . , lm を得る。これを、ステイトループという。Lσ = {l1 , . . . , lm } をステイトループ
から成る集合とする。
各ステイトループ li は B− 内で唯一のディスク di を張る。これらのディスクは互いに交わらないと仮定して良い。各交点 cj と、cj から σ(cj )-スムージングで得られたステイトループ li , lk に対して、cj を復元するように半捻りのバンド bj をディスク di , dk に付ける。このようにして、ディスク d1 , . . . , dm とバンド

b1 , . . . , bn から成る曲面を得る。これを σ-ステイト曲面といい、Fσ で表す。

li

B+

cj

bj

lk

S2
B-

di

dk

ディスク di を頂点 vi とみなし、バンド bj を辺 ej とみなすことで、Fσ からグラフ Gσ を得る。ここで、各辺 ej は、σ(cj ) と同じ符号を持つとする。グラフ Gσ を σ-ステイトグラフという。
一般に、グラフはブロックと呼ばれる連結かつ切断頂点を持たない部分グラフに分解される。

σ-充足正則表示と σ-等質正則表示
正則表示 D が σ-充足であるとは、Gσ がループを持たないときをいう。正則表示 D が σ-等質であるとは、Gσ の各ブロックについて全ての辺が同じ符号を持つときをいう。
正ステイト σ+ を、全ての j について σ+ (cj ) = + を満たすステイトと定義する。同様に、負ステイト σ−を全ての j について σ− (cj ) = − を満たすステイトと定義する。

3.2. 正則表示

35

ザイフェルトステイト ~σ を、結び目の向きに従ったスムージングで定まるステイトと定義する。F~σ は、
通常のザイフェルト曲面である。
正則表示 D が等質であるとは、D がザイフェルトステイト ~σ に対して、~σ -等質であるときをいう。D は自動的に ~σ -充足であることに注意する。なぜなら、~σ -ステイト曲面 F~σ は向き付け可能であり、従って G~σはループを持たないからである。
正則表示 D が半充足であるとは、D が正ステイト σ+ または負ステイト σ− に対して、σ-充足であるときをいう。D は自動的に σ± -等質であることに注意する。なぜなら、全ての j について σ± (cj ) = ± を満たすからである。
正則表示 D が充足であるとは、D が正ステイト σ+ 及び負ステイト σ− の両方に対して、σ-充足である
ときをいう。D は自動的に σ± -等質であることに注意する。なぜなら、全ての j について σ± (cj ) = ± を満たすからである。
例 3.2.5. D を 4 交点 c1 , c2 , c3 , c4 を持つ 8 の字結び目の正則表示とする。σ-ステイト曲面を作る為、例
えば σ(c1 ) = σ(c2 ) = − かつ σ(c3 ) = σ(c4 ) = + とする。σ-ステイトグラフ Gσ はループを持たず、各ブ
ロックの全ての辺は同じ符号を持つので、D は σ-充足かつ σ-等質である。ここで、Gσ のブロック分解は、

Fσ の村杉分解に対応していることに注意する。

l
c

d

c

b

b
l

c

b

l

d

c

d

b
σ-state surface

state loops

diagramσ-ステイト曲面作成の例

v

v
e -

- e

e -

- e
v

v

v
e +

+ e

v
σ -state graph

e +

+ e

v
blocksσ-ステイト曲面に対応する σ-ステイトグラフとブロック分解

第3章

36

結び目の位置

d
b

b
d

d

b

b
b

d

d

b

b
σ -state surface

d

d

b
ブロック分解に対応する村杉分解
例 3.2.6. 正正則表示 D に対して、ステイト σ が存在して、σ-充足かつ σ-等質となる。実際、全ての cj に対し、ステイト σ を σ(cj ) = +、即ち正ステイト σ+ とすれば良い。または、σ を標準的ザイフェルト曲面

Fσ が得られるようなステイト、即ちザイフェルトステイト ~σ としても良い。ここで、これらのステイト σ+と ~σ は正正則表示では一致することに注意する。
例 3.2.7. 無駄な交点を持たない交代正則表示 D に対して、二つのステイト σ1 , σ2 が存在し、D は i = 1, 2
に関して σi -充足かつ σi -等質となる。実際、σ1 = σ+ （または σ1 = σ− ）かつ σ2 = ~σ とすれば良い。

3.2.5

有理タングルと代数タングル

先ず、次の四つの基本タングルを用意する。

−1

+1

∞

0

二つのタングル T1 と T2 の和 T1 + T2 および、回転 T1∗ を次のように定義する。

+

T2

=

T1

和 T1 + T2

T1*=
回転 T1∗

T1

T1

T2

3.2. 正則表示

37

有理タングルは、次のように帰納的に定義される。

1. 四つの基本タングルは有理タングルである。
2. 有理タングルと ±1 の基本タングルの和は有理タングルである。
3. 有理タングルの回転は有理タングルである。
有理タングルから有理数への写像 f を次のように定義する。

1. +1, −1, 0, ∞ の基本タングル T に対して、f (T ) はそれぞれ +1/1, −1/1, 0/1, 1/0 である。
2. タングル和に関して、f (T1 + T2 ) = f (T1 ) + f (T2 ) である。
1
3. タングルの回転に関して、f (T ∗ ) = − f (T) である。

f (T ) を、有理タングル T のスロープという。スロープ p/q の有理タングルを R(p/q) で表す。
定理 3.2.8 ([14]). 有理タングルから有理数への写像 f は全単射である。即ち、境界を固定した有理タングルの同値類は、有理数と一対一に対応する。
代数タングルは、次のように帰納的に定義される。

1. 有理タングルは代数タングルである。
2. 代数タングルと代数タングルの和は代数タングルである。
3. 代数タングルの回転は代数タングルである。
タングル T の ‘北側’ の二つの端点同士、‘南側’ の二つの端点同士を繋いで得られる絡み目を T の分子といい、N (T ) で表す。タングル T の ‘東側’ の二つの端点同士、‘西側’ の二つの端点同士を繋いで得られる絡み目を T の分母といい、D(T ) で表す。

T1
分子 N (T )T1
分母 D(T )有理タングル R(p/q) の分子 N (R(p/q)) は、2 橋結び目である。

3.2.6

プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目

結び目 K が K = N (R(±1/q1 ) + · · · + R(±1/qn )) と表されるとき、K をプレッツェル結び目といい、P (±q1 , . . . , ±qn ) で表す。
結び目 K が K = N (R(p1 /q1 ) + · · · + R(pn /qn )) と表されるとき、K をモンテシノス結び目といい、M (p1 /q1 , . . . , pn /qn ) で表す。
結び目 K がある代数タングル T に対して K = N (T ) と表されるとき、K を代数結び目という。
プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目の間には、{ プレッツェル結び目 } ⊂ { モンテシ
ノス結び目 } ⊂ { 代数結び目 } の関係がある。
練習問題 3.2.9. プレッツェル結び目 P (−2, 3, 3) は、トーラス結び目 T (3, 4) と同値であることを示せ。

第3章

38

3.2.7

結び目の位置

代数的交代結び目

2 次元球面 S 2 = h−1 (0) 上に、連結な 4 正則グラフ G をとる。G の頂点を代数タングルに置き換えることで、結び目または絡み目 K の正則表示 K̃ を得る。各代数タングル (B, T ) を、(B, T ) のスロープが正、負、0、∞ に従って、それぞれスロープ 1, −1, 0, ∞ の有理タングルに置き換える。この結果得られる正則表示を基本であるといい、K̃0 と表す。正則表示 K̃ が代数的交代であるとは、基本正則表示 K̃0 が交代であるときをいう。結び目または絡み目 K が代数的交代であるとは、K が代数的交代正則表示を持つときをいう。

代数的交代正則表示 K̃

3.2.8

基本正則表示 K̃0

正則表示のハッセ図

以上で述べた正則表示のクラスに対して、包含関係から導かれるハッセ図を描くと次のようになる。

ˊૠႎʩˊˊૠᲢ೔௑ཞᲣ

ΪឱƔƭሁឋ
ҞΪឱ

ሁឋ

Ϊឱ
/QPVGUKPQUʩˊദȗȬȃȄǧȫ

೛Ȉȸȩǹ

結び目正則表示の包含関係によるハッセ図

3.3

トンネル数

結び目 K に対して、E(K) = N (∂E(K); E(K)) ∪ (1-handles) ∪ (2-handles) ∪ 3-handle

3.4. モース–ノヴィコフ数

39とハンドル分解したとき、1-ハンドルのコアを結び目解消トンネルという。結び目解消トンネルの最小数
を、K のトンネル数という。

3.3.1

トンネル数 1 の結び目

定理 3.3.1 ([13]). 任意のトンネル数１の結び目は、自明な結び目から唯一つのケーブリング構成の系列に
よって得られる。

3.4

モース–ノヴィコフ数

ザイフェルト曲面 F に対して、モース–ノヴィコフ数 M N (F ) が次のように定まる。M = E(K)−int(F ×[0, 1]) とおく。
M = N (F × {0}) ∪ (1-handle) ∪ (2-handle) ∪ N (F × {1})のとき、1-ハンドルの個数を M N (F ) と定める。
結び目 K に対して、全てのザイフェルト曲面 F に関する M N (F ) の最小値を、K のモース–ノヴィコフ
数といい、M N (K) で表す。

3.4.1

ファイバー結び目定理 3.4.1 ([28]). 任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプラ
ンビングの系列により得られる。

41

第 4 章 結び目の基本定理

4.1

結び目補空間定理

定理 4.1.1 ([31]). 二つの結び目が同値である為の必要十分条件は、それらの補空間が同相であることで
ある。

4.2

結び目双曲化定理

定理 4.2.1 ([108]). 任意の結び目は、自明な結び目かトーラス結び目かサテライト結び目かまたは双曲結び目である。

4.3

結び目特性分解定理

結び目 K は、サテライト結び目でないときシューベルト的単純という。3 次元多様体 M と 1 次元多様体 T の組 (M, T ) がコンウェイ的単純であるとは、(M, T ) 内に本質的コンウェイ球面が存在しないときをいう。
定理 4.3.1 ([11]). 任意のシューベルト的単純な結び目 (S 3 , K) に対して、次を満たす一意的な曲面 G ⊂ S 3が存在する:(a) G の成分は互いに平行でない経線的圧縮不可能コンウェイ球面である;(b) S 3 − G の各閉包成分 N について、組 (N, K ∩ N ) はコンウェイ的単純かまたはモンテシノス対である;(c) G からどの成分を取り除いても、性質 (b) は満たされない。
ここで、(M, T ) がモンテシノス対であるとは、下図の球面のいくつかを有理タングルで埋めて得られる多様体対である。

4.4

結び目外部の本質的曲面

結び目 K の補空間に埋め込まれた曲面 F の中で、∂F = K 、F ∩ K = ∅、F t K 、F ⊃ K のいずれかを満たすものが基本的である。これらは、それぞれザイフェルト曲面、閉曲面、タングル分解球面、補間曲面と呼ばれる。下記の定義にあるように、基本的な結び目及び絡み目の性質が曲面によって定められている。

第4章

42

4.4.1

結び目の基本定理

本質的曲面の 4 つの種類

ザイフェルト曲面
向き付け可能曲面 F で、∂F = K を満たすものを K のザイフェルト曲面という。
定義 4.4.1. 結び目が種数 0 のザイフェルト曲面、即ちディスクを張るとき、K は自明であるという。

閉曲面
閉曲面 F で、F ∩ K = ∅ を満たすもの、即ち F ⊂ S 3 − K であるもののうち、S 3 − K 内で圧縮不可能
なものを圧縮不可能閉曲面という。
定義 4.4.2. 絡み目 L が種数 0 の圧縮不可能閉曲面、即ち球面を補空間に含むとき、L は分離的であるという。結び目 K が種数 1 の圧縮不可能閉曲面、即ちトーラスを補空間に含むとき、K はサテライトであるという。

タングル分解球面
閉曲面 F で、F t K を満たすもののうち、F − K が圧縮不可能な球面であり、F ∩ E(K) が境界平行な
アニュラスでなければ、F は K の本質的タングル分解球面であるという。ここで、|F ∩ K|/2 をタングル
分解のストリング数という。
定義 4.4.3. 結び目 K が本質的 1-ストリングタングル分解を持つとき、K は合成であるという。結び目 Kの本質的 2-ストリングタングル分解球面を、本質的コンウェイ球面という。

補間曲面
閉曲面 F で、F ⊃ K を満たすもののうち、F − K が連結かつ圧縮不可能であり、F ∩ E(K) が境界平行なアニュラスでなければ、F は K の補間曲面であるという。
定義 4.4.4. 結び目 K が種数 1 の補間曲面、即ちトーラスに含まれるとき、K はトーラス結び目であるという。
定理 4.4.5 ([108]). 結び目が、自明でもサテライトでもトーラスでもないとき、双曲結び目である。

4.4.2

圧縮不可能かつ境界圧縮可能曲面の分類

定理 4.4.6. 結び目外部内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮不可能であるかまたは境界平行なアニュラスである。

Proof. K を S 3 内の結び目とし、F を K の外部 E(K) = S 3 − intN (K) 内に埋め込まれた圧縮不可能曲面とする。F の圧縮不可能性から、∂F は ∂E(K) 内で本質的なループから成ることに注意する。従って、∂Fは ∂E(K) 上で互いに平行なループ l1 , . . . , ln であり、∂E(K) をいくつかのアニュラス A1 , . . . , An に分けている。
今、F が境界圧縮可能であると仮定して、F が境界平行なアニュラスであることを導こう。D を F の境界圧
縮ディスクとする。即ち、D∩F = ∂D∩F = α は F 内で本質的なアークであり、D∩∂E(K) = ∂D−intα = βは ∂E(K) 内のアークである。このとき、ある i に対し、β ⊂ Ai である。

4.4. 結び目外部の本質的曲面

43

もし、β が Ai 内で非本質的なアークならば、Ai 内のディスク D0 で、∂D0 = β ∪ β 0（β 0 は ∂Ai 内のアーク）を満たすものが存在する。β から β 0 へ D0 に沿った D のイソトピーで、∂D ⊂ F とできる。α は F 内で本質的なアークであったので、∂D は F 内で本質的なループである。D ∩ F = ∂D を満たしているので、

D は F の圧縮ディスクであり、F の圧縮不可能性に矛盾する。
他方、β が Ai 内で本質的なアークであるとする。このとき、Ai − intN (β) = A0i はディスクとなる。Dに平行な二枚のディスクを A0i に貼り付けることで、ディスク D0 を得る。D0 ∩ F = ∂D0 を満たすので、Fの圧縮不可能性から、∂D0 は F 内で非本質的なループでなければならない。従って、F 内のディスク D00
で、∂D00 = ∂D0 を満たすものが存在する。よって、F はアニュラスである。また、E(K) は S 3 内の連結な部分多様体であるので、定理 2.7.13 より、既約である。よって、球面 D0 ∪ D00 は、E(K) 内で 3 次元球体を張る。従って、F は境界平行なアニュラスである。
系 4.4.7. ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、本質的なディスクであるかまたは境界平行なアニュラスである。

Proof. 定理 2.7.16 より、ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。一方、定理 4.4.6 において自明な結び目を取れば、ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面
は、境界圧縮不可能であるかまたは境界平行なアニュラスであることが分かる。従って、ソリッドトーラス
内の圧縮不可能曲面が境界圧縮不可能な場合、本質的なディスクであり、境界圧縮可能な場合、境界平行な
アニュラスである。

4.4.3

本質的アニュラスの分類

定理 4.4.8. K を S 3 内の結び目とする。もし、E(K) が本質的アニュラス A を含むならば、次のいずれか一つが成り立つ。

• K はトーラス結び目またはケーブル結び目であり、A はそのケーブリングアニュラスである。
• K は合成結び目であり、A は K の分解球面に拡張できる。

4.4.4

奇数境界成分を持つ平面的曲面の非存在性とケーブル予想

P を S 3 内の結び目 K の外部に適切に埋め込まれた非経線的、本質的、平面的曲面とする。もし、P がディスクならば、K は自明であり、P はそのザイフェルト曲面である。もし、P がアニュラスならば、K は
トーラス結び目またはケーブル結び目であり、P はそのケーブリングアニュラスである。次の命題は、|∂P |が 3 以上の奇数ではないことを言っている。
命題 4.4.9 (cf. [55]). P を E(K) に適切に埋め込まれた非経線的、平面的曲面で奇数個の境界成分を持つものとする。このとき、P が本質的であるための必要十分条件は、K が自明な結び目であり、P はトーラ
ス体 E(K) のメリディアンディスクである。
予想 4.4.10 (The Cabling Conjecture, [30]). S 3 内の結び目 K に沿ったデーン手術で可約な多様体が得られたならば、K はケーブル結び目であり、手術スロープはケーブリングアニュラスの境界スロープである。
命題 4.4.11 (cf. [55]). S 3 内の結び目外部は、整数境界スロープの 4 つ穴空き圧縮不可能平面的曲面を含
まない。

第4章

44

4.4.5

結び目の基本定理

標準的ザイフェルト曲面

ザイフェルトのアルゴリズムにより、全ての結び目に対してザイフェルト曲面が存在する。ザイフェル
トのアルゴリズムによって得られたザイフェルト曲面を、標準的ザイフェルト曲面という。標準的ザイフェルト曲面は、ザイフェルトステイト ~σ に関するステイト曲面 F~σ と同じである。

4.4.6

ロンジチュードの一意性

定理 4.4.12 (ロンジチュードの一意性). F1 と F2 を結び目 K のザイフェルト曲面とし、i = 1, 2 に対し

Fi0 = Fi ∩ E(K) とおく。このとき、∂F10 と ∂F20 は ∂E(K) 上でイソトピックである。
Proof. F10 と F20 のイソトピーで、|∂F10 ∩ ∂F20 | を最小にとる。もし、|∂F10 ∩ ∂F20 | = 0 ならば、∂F10 と ∂F20
は ∂E(K) 上でイソトピックである。以下、|∂F10 ∩ ∂F20 | > 0 と仮定する。A = ∂E(K) − intN (∂F10 ) とおく。|∂F10 ∩ ∂F20 | の最小性から、∂F20 ∩ A の各成分は A 内で本質的なアークである。従って、F10 及び F20 に向きを付けたとき、∂F10 及び ∂F20 にも誘導された向きが付くが、∂F20 は F10 に対し全ての点で同じ向きに交わっている。F1 ∩ F2 のあるアーク成分を α とし、α の近傍 N (α) 内の F10 及び F20 を考察しよう。

ᶽᵅ

F2
ᶽ
F1
ᶽᵅ

図から、N (α, F10 ) には、F10 から誘導された向きが ∂F10 に一致しているが、N (α, F20 ) には、F20 から誘導された向きが ∂F20 と一致していないことが分かる。これは、F2 が向き付け可能であることに反する。実際、

α が ∂F20 上で張るアークを α0 とするとき、N (α ∪ α0 , F20 ) はメビウスの帯であることからも分かる。

4.4.7

境界スロープ

定義 4.4.13 (境界スロープ). 結び目 K のザイフェルト曲面 F に対して、∂(F ∩ E(K)) の ∂E(K) 上のイ
ソトピー類をロンジチュードという。また、∂E(K) 上の本質的なループで N (K) 内にディスクを張るものの ∂E(K) 上のイソトピー類をメリディアンという。

∂E(K) 上の本質的ループ α は、メリディアン m とロンジチュード l を用いて、α = pm + ql と表せる。
l 6= 0 のとき有理数 p/q に対応させ、l = 0 のとき {1/0} を対応させることで、∂E(K) 上の本質的ループのイソトピー類と、Q ∪ {1/0} が 1 対 1 に対応する。
結び目 K の外部 E(K) に埋め込まれた境界を持つ本質的曲面 F に対して、∂F のループ成分 α に対して、p/q ∈ Q ∪ {1/0} が定まる。この p/q を F の境界スロープという。

B(K) を K の全ての境界スロープからなる集合とする。
定理 4.4.14 ([37]). 任意の結び目 K について、B(K) は有限集合である。
定理 4.4.15 ([19]). 任意の結び目 K について、B(K) は少なくとも二つの要素を含む。
定理 4.4.16 ([38]). 任意の有理数 p/q に対して、モンテシノス結び目 K が存在し、p/q ∈ B(K) を満たす。

4.4. 結び目外部の本質的曲面

4.4.8

45

分離的本質的曲面の存在

定理 4.4.17 ([19]). 非自明な結び目の外部には、境界を持つ分離的な本質的曲面が存在する。

4.4.9

非分離的本質的曲面の存在

全ての結び目は圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つので、結び目外部には常に非分離的本質的曲面は存在する。しかし、境界が非連結な非分離的本質的曲面の存在はごく最近知られたばかりである。
定理 4.4.18 ([22]). 任意の正の奇数 n に対して、沢山の結び目が存在して、その外部は境界成分が n の非分離的本質的曲面を含む。

第 III 部

結び目と曲面49

第 5 章 閉曲面
結び目 K に対して、S 3 − K 内の圧縮不可能閉曲面から成る集合を CS(K) とおく。
命題 5.0.19. K が自明な結び目であるための必要十分条件は、CS(K) = ∅ である。

Proof. K を自明な結び目とすると、E(K) はソリッドトーラスである。定理 2.7.16 により、E(K) は圧縮
不可能閉曲面を含まない。従って、CS(K) = ∅ である。
逆に、CS(K) = ∅ と仮定する。F = ∂N (K) とすると、F は S 3 − K 内の閉曲面である。F がもし圧縮可能ならば、圧縮ディスク D が E(K) 内に存在する。定理 4.4.12 により、D の境界スロープは 0 であり、

D は K のザイフェルト曲面に拡張できる。従って、K は自明な結び目である。
定義 5.0.20. CS(K) の各要素を頂点とし、F0 , . . . , Fn ∈ CS(K) が互いに交わらないとき n-単体を張る。
このとき得られる複体を CX (K) とする。
命題 5.0.21. 任意の結び目 K に対し、CX (K) は連結である。

5.1

スモール結び目とロペス予想

結び目 K の外部 E(K) 内の任意の圧縮不可能閉曲面 F が境界平行のとき、K はスモールであるという。
命題 5.1.1. K がスモール結び目であるための必要十分条件は、CS(K) = {∂N (K)} である。
これまで、極僅かの結び目しかスモールであることが知られていない。
定理 5.1.2 ([113],[39],[73],[70]). トーラス結び目、2-橋結び目、長さ 3 のモンテシノス結び目、2-ツイスト
トーラス結び目はスモールである。
問題 5.1.3. スモール結び目を特徴付けよ。
この問題は難しい。例えば、10 交点までのスモール結び目や、交代スモール結び目に制限して特徴付けをするならば現実味がある。実際、ごく最近、12 交点までのスモール結び目が決定された。
定理 5.1.4 ([12]). 12 交点までの 2977 個の結び目のうち、1019 個がラージで、1958 個がスモールである。
現時点で分かっているスモール結び目は、全て高々トンネル数は 2 である。
問題 5.1.5. トンネル数が 3 以上のスモール結び目は存在するか？
定理 5.1.6. トーラス結び目はスモールである。

Proof. K を非自明なトーラス結び目とし、T を K を含む自明なトーラスとする。T は E(K) を二つのソ
リッドトーラス V1 と V2 に分離している。
先ず、アニュラス A = T ∩ E(K) が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることを示す。もし、A が E(K)内で圧縮可能ならば、A を圧縮して得られる 2 枚のディスクが存在する。これは、K が非自明であること

第5章

50

閉曲面

に反する。また、A が E(K) 内で境界圧縮可能ならば、定理 4.4.6 より、A は境界平行なアニュラスである。一般性を失うことなく、A が V1 側へ境界平行だとすると、K の外部 E(K) は V2 と同相である。V2 はソリッドトーラスであるから、これは K が非自明であることに反する。

F を E(K) 内の圧縮不可能閉曲面とする。定理 2.7.10 より、F と A は本質的なループのみで交わるとして良い。F のイソトピーで、|F ∩ A| を最小にとる。
このとき、Fi = F ∩ Vi は、Vi 内で圧縮不可能である。もし、Fi が Vi 内で圧縮可能だったとし、D を圧
縮ディスクとすると、F の圧縮不可能性から、∂D は F 内でディスク D0 を張る。D は Fi の Vi 内での圧縮ディスクであるから、D0 ∩ A 6= ∅ である。D0 ∩ A の各成分は、D0 内の非本質的なループであるので、F
内でも非本質的である。しかし、これは F と A が本質的なループのみで交わることに反する。
定理 4.4.7 より、Fi の各成分は Vi 内で境界平行なアニュラスである。Fi の成分のうちで、最も外側のアニュラスを Ai とする。もし、Ai が A 内のアニュラスへ平行ならば、|F ∩ A| の最小性に反する。従って、

Ai は ∂E(K) ∩ Vi を含むアニュラスへ平行であり、∂A1 = ∂A2 である。よって、F = A1 ∪ A2 は E(K) 内
で境界平行なトーラスである。
補題 5.1.7 ([84, Lemma 3.4]). (B, T ) を有理タングル、F を B − T 内の経線的本質的曲面とする。このとき、F は T の二つのストリングを B 内で分離するディスクである。
結び目補空間内に、経線的本質的曲面が存在しなければ、スモールである。よって、次の定理から、2-橋
結び目がスモールであることが従う。
定理 5.1.8. 2-橋結び目補空間内には、経線的本質的曲面が存在しない。

Proof. K を 2-橋結び目とし、(S 3 , K) = (B1 , T1 ) ∪S (B2 , T2 ) を自明な 2-ストリングタングル分解とする。
ここで、S は 2-橋分解球面である。
F を (S 3 , K) 内の経線的本質的曲面とする。定理 2.7.10 より、F と S は本質的なループのみで交わるとして良い。F のイソトピーで、|F ∩ S| を最小にとる。

Fi = F ∩ Bi とおくとき、F が経線的本質的であることと |F ∩ S| の最小性より、Fi は (Bi , Ti ) 内で経線的本質的であることが分かる。従って、補題 5.1.7 より、Fi は Ti の二つのストリングを Bi 内で分離する
ディスクから成る。これは、F が K の成分を分離する球面であることを示し、K が結び目であることに反する。
定理 5.1.9 ([73]). モンテシノス結び目 M (p1 , p2 , p3 ) は、スモールである。
スモール結び目は、S 3 以外の 3 次元多様体についても同様に定義される。本質的な閉曲面を含まない 3次元多様体は、スモールと呼ばれる。例えば、S 3 やハンドル体はスモールである。
予想 5.1.10 (ロペス予想, [56], [57]). 全てのスモールな閉 3 次元多様体には、スモール結び目が存在する。
ロペス予想は、次の予想に拡張される。
予想 5.1.11. スモールな 3 次元多様体には、スモール結び目が存在する。
特に、スモール結び目外部には、スモール結び目が存在することが予想される。

5.2

経線的結び目

結び目 K の補空間 S 3 − K 内の圧縮不可能閉曲面 F に対し、ディスク D が存在して、D ∩ F = ∂D かつ

D と K は 1 点で交わるとき、F を経線的圧縮可能であるといい、D を経線的圧縮ディスクという。結び目
K の補空間 S 3 − K 内の任意の圧縮不可能閉曲面 F が経線的圧縮可能のとき、K は経線的であるという。

5.3. 周辺圧縮可能閉曲面

51

スモール結び目 K の補空間 S 3 − K 内の圧縮不可能閉曲面 F は、∂N (K) に平行なもののみであるから、
スモール結び目は経線的である。これまで、スモール結び目以外に、数多くの結び目が経線的であることが示されている。
定理 5.2.1 ([58],[62],[1],[73],[2],[85]). 3-ブレイド結び目、交代結び目、擬交代結び目、モンテシノス結び目、トーラス的交代結び目、代数的交代結び目は経線的である。
ここで、トーラス的交代結び目は、交代結び目、擬交代結び目、モンテシノス結び目を含むクラスであり、代数的交代結び目は、代数結び目、交代結び目を含むクラスである。
経線的結び目は、次の性質を持つ。結び目 K の外部 E(K) に埋め込まれた曲面 F が自由であるとは、E(K) − intN (F ) の各成分がハンドル体からなるときをいう。
定理 5.2.2 ([86]). K を経線的結び目とする。このとき、K の外部に埋め込まれた任意の圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面で、境界スロープが有限のものは自由である。

Proof. 経線的結び目 K の外部 E(K) 内に埋め込まれた圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面 F で、境界スロープが有限であり、自由でないものが存在したとする。このとき、E(K) を F で切って得られる成分のうち少なくとも一つはハンドル体ではない。その成分の境界を可能な限り圧縮することで、E(K) − F 内に圧縮不可能閉曲面 S が得られる（[81, Lemma 2.2]）。K が経線的結び目であるので、S と E(K) のメリ
ディアンを繋ぐアニュラス A が存在する。A は F と横断的に交わるとし、|A ∩ F | が最小であると仮定する。以下のように、初歩的な切り貼り論法で、|A ∩ F | = 0 を示す。

A ∩ F のループ成分が存在したとし、α を A 内の最も内側のループ、δ を対応する A 内の最も内側のディスクとする。. F は圧縮不可能であるから、α は F 内でディスク δ 0 を張る。このとき、δ 0 を δ へ移動させる F のイソトピーにより、|A ∩ F | を減らすことができるので、矛盾である。次に、A ∩ F にアーク成分が存在したとし、α を A 内の最も外側のアーク、δ を対応する A 内の最も外側のディスクとする。F は境界圧縮不可能であるから、α は F 内でディスク δ 0 を張る。このとき、δ 0 を δ へ移動させる F のイソトピーにより、|A ∩ F | を減らすことができるので、矛盾である。
故に、A ∩ F = ∅ を得る。ところが、A ∩ ∂E(K) のループが E(K) のメリディアンであるから、これはF の境界スロープが無限である（即ち経線的である）ことを意味する。

5.3

周辺圧縮可能閉曲面

K を S 3 内の結び目とする。
E(K) 内の圧縮不可能閉曲面 S に対して、S 上の本質的ループと E(K) 上のループを繋ぐアニュラス Aが存在するとき、S を周辺圧縮可能といい、A を周辺圧縮アニュラスという。S が経線的圧縮可能ならば、周辺圧縮可能である。
定理 5.3.1 ([45]). S を周辺圧縮可能な圧縮不可能閉曲面とし、A を周辺圧縮アニュラスとする。このとき、ループ A ∩ ∂E(K) は境界スロープを定めるが、これは A の取り方によらず一意的に定まる。
従って、S から境界スロープが定まる。これをアクシデンタルスロープという。
定理 5.3.2 ([20, Lemma 2.5.3]). アクシデンタルスロープは、メリディアンまたは整数である。
定理 5.3.3 ([45]). n-単体 ∆n ∈ CX (K) の頂点 F0 , . . . , Fn が全て周辺圧縮可能閉曲面ならば、それらのアクシデンタルスロープは一致する。
例 5.3.4. K を 3-橋結び目とし、T ⊂ S 3 − K を圧縮不可能トーラスとする。このとき、[104] により、Kは二つの 2-橋結び目の連結和であり、T は swallow-follow トーラスである。この場合、K の swallow-follow
トーラスは二つ存在し、これらを T1 , T2 とする。CX (K) は図のような一つの 2-単体から成る。

第5章

52

閉曲面

図 5.1: CX (K)5.4

様々な結び目の閉曲面

5.4.1

交代結び目の閉曲面

次のメナスコによる定理の証明を紹介しよう。
定理 5.4.1 ([62]). 交代結び目は、経線的である。

Proof. K を交代結び目とし、S 2 上に交代正則表示を持つとする。K の各交点 ci において、小さい 3 次元∪∪
球体 Bi を挿入し、K が ( i ∂Bi ) ∪ (S 2 − i Bi ) 上に含まれるようにする。このとき、K ∩ Bi = K ∩ ∂Biは、2 本のアーク Ti から成る。
F を S 3 − K 内の圧縮不可能閉曲面とする。定理 2.7.15 と同様の証明で、次の補題を得る。
補題 5.4.2. F ∩ Bi は、Ti の 2 本のアークを分離する互いに平行なディスクから成るとして良い。
∪∪
F のイソトピーの下で、|F ∩ i Bi | が最小であると仮定する。更に、この仮定の下で、|F ∩ (S 2 − i Bi )|が最小であると仮定する。定理 2.7.10 と同様の証明により、次の補題を得る。
∪
補題 5.4.3. F は、S 2 − i Bi の各領域において、異なる Bi を繋ぐアークのみから成る。
∪
S 3 − (S 2 ∪ i Bi ) の各成分の閉包で得られる 3 次元球体を B + , B − とおく。定理 2.7.15 より、次の補題を得る。
補題 5.4.4. F ∩ B ± はディスクのみから成る。
∪
補題 5.4.2、5.4.3、5.4.4 により、F の S 2 ∪ i Bi に関する位置が定まった。これより、S ± = ∂B ± とお
くとき、F ∩ S ± はループから成ることが分かる。次の補題が本質的である。
補題 5.4.5 (交代性補題). F ∩ S ± のループに沿って進むとき、Bi は左右交代に現れる。
今、F ∩ S ± のループの中で、S ± 上最も内側のループを l とする。交代性補題より、l は同じ Bi に戻ってくることが従う。この時、二つの場合がある。

1. l は、Bi の同じ側に戻ってくる。
2. l は、Bi の反対側に戻ってくる。

5.4. 様々な結び目の閉曲面

53

補題 5.4.4 より、l は B ± 内でディスク δ を張ることに注意する。

1 の場合、δ は S ± 上へ平行なので、δ の一部をイソトープして、F ∩ Bi のディスクを 2 枚取り除くこと∪ができる。これは、|F ∩ i Bi | の最小性に反する。
2 の場合、∂δ ∩ ∂Bi の 2 本のアークを含む、F ∩ Bi のディスクを δ 0 とする。δ は S ± 上へ平行なので、アニュラス δ ∪ δ 0 に対して、経線的圧縮ディスクが存在する。故に、F は経線的圧縮可能である。

5.4.2

正結び目の閉曲面

経線的結び目 K の補空間内の圧縮不可能閉曲面 F に対して、経線的圧縮ディスク D が存在するが、∂Dと K の絡み数は ±1 である。即ち、F 上のループで K との絡み数が 0 でないものが存在する。
正結び目で経線的結び目でないものが存在するが、正結び目はこの経線的結び目が持つ性質を継承する。
定理 5.4.6 ([82]). K を正結び目、F を S 3 − K 内の圧縮不可能閉曲面とする。このとき、F 上のループ lで、lk(l, K) 6= 0 となるものが存在する。言い換えると、S の位数 o(S; K) は 0 でない。
例 5.4.7. 二重化結び目 K の補空間内には圧縮不可能トーラス F が存在する。F 上の任意のループと K との絡み数は 0 であるので、二重化結び目は正結び目でないことが分かる。
従って、問題 7.1.1 に関する部分的回答として次が得られる。
系 5.4.8. 正結び目は非自由な圧縮不可能ザイフェルト曲面を張ることができない。
連結な正正則表示を持つ正絡み目は、正絡み数を持つので非分離的であるが、幾何的な別証明を与えることが出来た。
定理 5.4.9 ([82]). 正絡み目が分離的であるための必要十分条件は、連結な正正則表示を持つことである。
次の定理を証明する。
定理 5.4.10. K を正結び目または正絡み目とし、F を K の補空間の圧縮不可能閉曲面とする。このとき、次のいずれかが成り立つ。

1. F 上のループ l が存在して、lk(l, K) 6= 0 を満たす。
2. F は K の分離球面であり、K の任意の正正則表示は非連結である。
Proof. S 2 を S 3 内の 2 次元球面、p : S 3 − {±∞} ∼= S 2 × R → S 2 を射影とする。K を p(K) が正正則表示になるように置く。p(K) を保ちつつ、K を橋表示する。橋表示から、次の情報が得られる。
• S 3 = B + ∪S 2 B −(S 2 は S 3 を二つの 3 次元球体に分ける。)• K = K + ∪S 2 K − 、ここで K ± ⊂ B ±(S 2 は K を上橋と下橋に分ける。)• K ± = K1± ∪ K2± ∪ . . . Kn±(K は n 本の上橋と n 本の下橋で表示される。)• D± = D1± ∪ D2± ∪ . . . Dn±(各 Ki± ∪ p(Ki± ) はディスク Di± を張り、p(Di± ) = p(Ki± ) を満たす。)
S を切り貼りすることで、次の補題が得られる。

第5章

54

+

+

K1
D+1

K2
+

+

B

D2

Dn
Kn

S2

-

D1
K1

閉曲面

-

B

図 5.2: View from level surface
補題 5.4.11. 次のように仮定して良い。

1. S ∩ D− = ∅2. S ∩ B − はディスクから成る。
3. S ∩ D+ はアークから成る。
4. S ∩ B + − D+ の任意の成分はディスクである。
|S ∩B − | と |S ∩D+ | をこの順序で最小にとる。S が S 3 −K 内で圧縮不可能であることから、|S ∩B − | 6= 0が分かる。もし、|S ∩ B − | = 1 かつ |S ∩ D+ | = 0 ならば、結論の 2 を得る。
以後、|S ∩ B − | ≥ 1 かつ |S ∩ D+ | ≥ 1 であると仮定する。
このとき、S ∩ B − を頂点、S ∩ D+ を辺とみなすことにより、S 内に連結グラフ G を得る。α と p(α)
には K から自然に導かれる向きを指定しておく。

+

a

Ki

p(a )

S2

図 5.3: α and p(α) have the orientaions|S ∩ B − | と |S ∩ D+ | の最小性より、次の補題が得られる。
補題 5.4.12. S ∩ D+ の任意の辺 α に対して、p(α) ∩ p(K − ) 6= ∅。
次の補題は K̃ の正性から従う。
補題 5.4.13. 任意の面 f に対して、サイクル ∂f は向き付けられない。

G の各面 f と ∂f 上の各辺に対して、次の性質を持つ f 上のアーク γ を見付けることが出来る。
(*) γ は ∂f 上異なる向きを持つ二つの辺を繋ぐ。

5.4. 様々な結び目の閉曲面

55f

図 5.4: p(∂f ) has non-zero intersection numberfg

図 5.5: γ with the property (*)

第5章

56

閉曲面

S 上のループ l で lk(l, K) 6= 0 のものを探す為、G の任意の辺から出発し、 性質 (*) を満たすアークを辿って行く。G の有限性から、いつか一度通った面に戻ってくる。これらのアークを繋いで、S ∩ B + 上のループ l で、S 上 G との交点数が 0 でないのものが得られる。よって、K と 0 でない絡み数を持つ S 上のループが得られる。分離球面上の任意のループは S 3 − K 内で可縮（1 点とホモトピー同値）なので、結論の 1 を得る。

5.4.3

モンテシノス結び目の閉曲面定理 5.4.14 ([73]). モンテシノス結び目 K の補空間 S 3 − K にある圧縮不可能閉曲面（周辺トーラスを除く）は、いくつかの標準的な本質的コンウェイ球面からチュービングによって得られる圧縮不可能閉曲面にイソトピックである。
長さ 3 のモンテシノス結び目 M (p1 /q1 , p2 /q2 , p3 /q3 ) には、標準的な本質的コンウェイ球面が存在しないので、次の系を得る。
系 5.4.15. 長さ 3 のモンテシノス結び目はスモールである。

5.4.4

代数的交代結び目の閉曲面定理 5.4.16. K を代数的交代絡み目とし、F を S 3 − K の本質的閉曲面とする。このとき、次が成り立つ。

1. F は S 3 内で K の成分を分離する。
2. 基本正則表示 K̃0 は分離的か、または、F はある代数的タングルに含まれる。
3. もし F が球面ならば、カットタングルが存在する。
4. もし F がトーラスであり、カットタングルが存在しないならば、Q2 タングルが存在する。

slope 10

図 5.6: カットタングルm

図 5.7: Qm タングル

5.4. 様々な結び目の閉曲面

5.4.5

57

3 橋結び目の閉曲面

3 橋結び目補空間の種数 2 の圧縮不可能閉曲面を考える。可能な限り経線的圧縮を行うことで、以下の 3
つのタイプの圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面が得られる。
I: K と交わらない種数 2 の閉曲面
II: K と 2 点で交わる種数 1 の閉曲面
III: K と 4 点で交わる種数 0 の閉曲面、即ち、本質的コンウェイ球面
定理 5.4.17. K を 3 橋結び目または絡み目とし、F を種数 2 の圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面とする。このとき、3 つ組 (S 3 , K, F ) は次のいずれかである。

I-a: 2 つの Type T0 の 3 つ組の和I-b: 2 つの Type P0 の 3 つ組の和I-c: 2 つの Type A0 ∪ T0 の 3 つ組の和

I-a

I-b

I-c

図 5.8: genus two closed surfaces of Type I

定理 5.4.18. K を 3 橋結び目または絡み目とし、F を K と 2 点で交わる種数 1 の圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面とする。このとき、3 つ組 (S 3 , K, F ) は次のいずれかである。

II-a: Type T0 の 3 つ組と Type D2 の 3 つ組の和II-b: 2 つの Type A1 の 3 つ組の和II-c: Type P0 の 3 つ組と Type D2 ∪ A0 の 3 つ組の和

第5章

58

II-a

II-b

閉曲面

II-c

図 5.9: genus one closed surfaces of Type II
定理 5.4.19. K を 3 橋結び目または絡み目とし、F を K と 4 点で交わる種数 1 の圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能閉曲面とする。このとき、3 つ組 (S 3 , K, F ) は次のいずれかである。

III-a: 2 つの Type D2 の 3 つ組の和III-b: Type D1 ∪ D2 の 3 つ組と Type A1 の 3 つ組の和

5.5

ウエストとトランク

結び目 K のウエストを次のように定義する。

waist(K) = max min |D ∩ K|
F ∈F D∈DF

ここで、F は S 3 − K 内の全ての圧縮不可能閉曲面からなる集合、DF は F の S 3 内の全ての圧縮ディスクからなる集合とする。自明な結び目 K に対しては、waist(K) = 0 であると定める。
結び目 K が経線的である必要十分条件は、waist(K) = 1 であることである。
結び目 K のトランクを次のように定義する。

trunk(K) = min max |h−1 (t) ∩ K|h∈H t∈R

ここで、H は全ての標準的モース関数 h : S 3 → R からなる集合とする。
定理 5.5.1 ([86]). 結び目 K に対して、waist(K) ≤trunk(K)が成り立つ。
3

Proof. K が自明な結び目の場合、waist(K) = 0 かつ trunk(K) = 2 であるから、定理 5.5.1 の不等式を得る。

5.5. ウエストとトランク

59

III-a

III-b

図 5.10: genus zero closed surfaces of Type III

K を非自明な結び目、F を S 3 − K 内の圧縮不可能閉曲面、h : S 3 → R を K と F に関する標準的なモース関数とする。h が trunk(K) = maxt∈R |h−1 (t) ∩ K| を満たすと仮定する。

F が、臨界値に相当する鞍点 p を持つとする。Xp を、p を含む F ∩ h−1 ([tp − , tp + ]) のパンツ成分とする。ここで、 は十分小さい実数である。C1 、C2 、C3 を Xp の境界成分とする。ここで、C1 と C2 は同じレベル h−1 (tp ± ) に含まれ、C3 はもう一つのレベル h−1 (tp ∓ ) に含まれるとする。図 5.11 を見よ。鞍
点 p を、以下のように分類する。

1. タイプ I C1 、C2 、C3 が全て F 内で非本質的であるとき
2. タイプ II C1 と C2 のうち丁度一つが F 内で本質的であり、C3 が本質的であるとき
3. タイプ III C1 と C2 の両方が F 内で本質的であり、C3 が非本質的であるとき
4. タイプ IV C1 、C2 、C3 の全てが F 内で本質的であるとき
定理 5.5.1 を証明するために、次の二つの場合を考える必要がある。
場合 I F 内にタイプ IV の鞍点が存在する
場合 II F 内にタイプ IV の鞍点が存在しない場合 I：もし、タイプ IV の鞍点 p が存在するならば、各本質的ループ Ci は、D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ Xp がレベ
ル 2 次元球面 h−1 (tp ) にイソトピックであるような、ディスク Di を h−1 (tp ± ) 内で張る。ここで、tp はp に相当する臨界点で、Xp は p を含む F ∩ h−1 ([tp − , tp + ]) のパンツ成分である。図 5.12 を見よ。このとき、次を得る。

|D1 ∩ K| + |D2 ∩ K| + |D3 ∩ K| = |h−1 (tp ) ∩ K|
全ての tp ∈ R に対して、|h−1 (tp ) ∩ K| ≤ trunk(K) であるから、

min |Di ∩ K| ≤itrunk(K)
3

第5章

60

C3

p
Xp

C1

C2

図 5.11: パンツ成分 Xp と三つの境界成分 C1 、C2 、C3

D3

p
Xp
D1

D2

図 5.12: D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ Xp が 2 次元球面を構成する

閉曲面

5.6. 位数61

以下で、waist(K) ≤ |Di ∩ K| を示す。Ci0 を、F 内で本質的であり Di 内で最も内側にある Di ∩ F のループとし、Di0 を、Ci0 によって張られる Di 内の最も内側のディスクとする。Di ∩ F は F 内で本質的なループを少なくとも一つ含むので（例えば、∂Di = Ci ）、このようなループ Ci0 とディスク Di0 をとることができる。このとき、初歩的な切り貼り論法により、Di0 ∩ F = ∂Di0 = Ci0 と仮定して良い。Di0 は F の S 3
内の圧縮ディスクでもあるから、

waist(K) ≤ |Di0 ∩ K| ≤ |Di ∩ K|を得る。
場合 II についての証明は省略する。タイプ IV の鞍点がないことから、F はトーラスであることが分かる。もし、ある t ∈ R に関してレベル 2 次元球面 S = h−1 (t) が存在し、F ∩ S が、F 内で本質的な非平行なループのクラスを少なくとも 3 つ持つならば、場合 I と同様の議論により、定理 5.5.1 の不等式を示すことができる。そうでない場合は、F が 1-橋であること、即ち、唯一つの極大点と極小点、及びタイプ III の
鞍点を二つ持つことが分かり、F の圧縮不可能性に矛盾する。
例 5.5.2. K と F を、図 5.13 にあるような、3 橋結び目と種数 2 の圧縮不可能閉曲面とする。このとき、trunk(K) = 6 かつ waist(F ) = 2 である。よって、定理 5.5.1 の不等式は、この例に関して等号を満たす
ことが分かる。

5.6

位数

ウエストは、閉曲面の圧縮ディスクと結び目の幾何的な交点数として定義されていた。一方、代数的な交点数から定義したものが、次に述べる位数である。

S を S 3 − K 内の閉曲面とする。i : S → S 3 − K を包含写像とし、i∗ : H1 (S) → H1 (S 3 − K) をその誘導された準同型写像とする。Im(i∗ ) は H1 (S 3 − K) = Zhmeridiani の部分群であるから、整数 m が存在して Im(i∗ ) = mZ を満たす。このとき、S の位数 o(S; K) を m で定義する ([81])。
定理 5.6.1 ([81], [62], [82]). これまでに知られている位数は、次のようにまとめられる。

• K がファイバー結び目ならば、任意の圧縮不可能閉曲面 F ⊂ S 3 − K に対して、o(F ) 6= 0 である。
• K が交代結び目ならば、任意の圧縮不可能閉曲面 F ⊂ S 3 − K に対して、o(F ) = ±1 である。
• K が正結び目ならば、任意の圧縮不可能閉曲面 F ⊂ S 3 − K に対して、o(F ) 6= 0 である。

第5章

62

図 5.13: 3 橋結び目と種数 2 の圧縮不可能閉曲面

閉曲面

63

第 6 章 タングル分解球面

6.1

様々な結び目のタングル分解

6.1.1

交代結び目のタングル分解定理 6.1.1 ([62]). 交代結び目の素分解球面は、交代正則表示を含む球面と 1 本のループで交わるようにイ
ソトープできる。
定理 6.1.2 ([62]). 交代結び目の本質的コンウェイ球面は、交代正則表示を含む球面と高々2 本のループで交わるようイソトープできる。特に、2 本のループで交わる場合は、正則表示の変形により、1 本のループで交わるようにできる。

図 6.1:

練習問題 6.1.3. 816 と 817 の本質的タングル分解を図示せよ。

6.1.2

正結び目のタングル分解定理 6.1.4 ([82]). 正結び目の素分解球面は、正正則表示を含む球面と 1 本のループで交わるようにイソトープできる。
この定理は Cromwell の結果 [18, 1.2 Theorem] を拡張している。

Proof. S を正結び目又は絡み目 K 分解球面とする。K と S を 定理 5.4.10 の証明と同様に置く。但し、S ∩ K の２点 p1 と p2 は intB + 又は intB − にあるようにする。タングル (B ± , K ± ) が自明で、S は分解球面であることから、p1 と p2 は S ∩ D± の単一のアークの端点ではないことに注意する。故に、p1 とp2 をそれぞれ含む S ∩ D± の arc e1 と e2 が存在する。
補題 5.4.11 と同様に次が得られる。

第6章

64

タングル分解球面

補題 6.1.5. 次のように仮定して良い。

1. S ∩ D− ⊂ e1 ∪ e2
2. S ∩ B − はディスクから成る。
3. S ∩ D+ はアークから成る。
4. S ∩ B + − D+ の任意の成分はディスクである。
|S ∩ B − | と |(S ∩ D+ ) − (e1 ∪ e2 )| をこの順序で最小にとる。このとき、S ∩ B − と (S ∩ D+ ) − (e1 ∪ e2 )をそれぞれ頂点と辺とみなすことにより、S 上に連結グラフ G を得る。

(B ± , K ± ) が自明なタングルで、S が分解球面であることから、|S ∩ B − | 6= 0 に注意する。
もし、|S ∩ B − | = 1 かつ S ∩ D+ ⊂ e1 ∪ e2 ならば、p(ei ) = p(pi ) (i = 1, 2) より、S ∩ S 2 が望まれる
ループを与える。
補題 6.1.6. (S ∩ D+ ) − (e1 ∪ e2 ) の任意のアーク α に対して、p(α) ∩ p(K − ) 6= ∅ が成り立つ。
以後、K̃ が素であると仮定する。
補題 6.1.7. G に次数 1 の頂点は存在しない。
補題 6.1.8. S 内での G の面 f で、∂f が G のループであるものは存在しない。
故に、G は少なくとも二つの頂点を持ち、全ての頂点の次数は少なくとも 2 以上で、G の全ての面はディスクである。
補題 6.1.9. 任意の面 f に対して、サイクル ∂F は向き付けられない。
閉包がディスクであるような S 上 G の面 f から出発し、|lk(l, K)| ≥ 2 となる S − K 上のループ l を得る。ところが、S − K 上の任意の loop は S 3 − K 内可縮でないか、又は |lk(l, K)| = 1 であるから、これは不可能である。よって、定理 6.1.4 が示された。

6.1.3

トンネル数 1 の結び目のタングル分解定理 6.1.10 ([72], [97]). トンネル数 1 の結び目は、素である。
定理 6.1.11 ([97]). トンネル数 1 の結び目は、本質的コンウェイ球面を持たない。
定理 6.1.12 ([32]). トンネル数 1 の結び目は、任意の n について、本質的 n-ストリングタングル分解を持
たない。

6.1.4

自由種数 1 の結び目のタングル分解定理 6.1.13 ([79]). 自由種数 1 の結び目は、任意の n に関して、本質的 n-ストリングタングル分解を持た
ない。

6.1.5

二重トーラス結び目のタングル分解定理 6.1.14 ([80]). 種数 2 のヒーガード曲面上のダブルトーラス結び目の素分解球面及び本質的コンウェ
イ球面は、ヒーガード曲面と 1 本のループで交わるようにイソトープできる。

6.2. タングル分解球面と閉曲面

6.1.6

65

本質的自由タングル分解を持つ結び目のタングル分解の一意性

タングル (B, T ) が自由であるとは、外部 E(T ) = B − intN (T ) がハンドル体のときをいう。
今、二つの自由 2-ストリングタングル (B1 , T1 ) と (B2 , T2 ) を貼り合わせて得られる結び目 (S 3 , K) =(B1 , T1 ) ∪ (B2 , T2 ) を考えよう。(B1 , T1 ) と (B2 , T2 ) の両方が自明な場合、K は 2 橋結び目であり、少なくとも一方が自明な場合、K はトンネル数 1 の結び目である。(B1 , T1 ) と (B2 , T2 ) の両方が非自明な場合は、
本質的 2-ストリング自由タングル分解を持つ結び目である。
定理 6.1.15 ([77], [78]). 本質的 2-ストリング自由タングル分解を持つ結び目は、n = 2 について、本質的
n-ストリングタングル分解は一意的であり、n 6= 2 について、本質的 n-ストリングタングル分解を持たない。

6.2

タングル分解球面と閉曲面

定理 6.2.1 ([20]). 結び目の外部内に境界スロープが経線的である本質的曲面が存在するならば、本質的閉曲面が存在する。
従って、スモール結び目は本質的タングル分解を持たない。

6.3

橋位置

6.3.1

橋位置における閉曲面のモース位置

次の定理から、結び目の橋数の加法性、サテライト結び目とコンパニオン結び目の橋数の関係、ウエスト
及び代表性と橋数の不等式、自明な結び目の橋位置の一意性が従う。本書でのメインの一つである。

S 3 の標準的なモース関数を h : S 3 → R とする。
F ∩ K = ∅ または F ⊃ K を満たす閉曲面 F が、h に関してモース位置にあるとする。F の鞍点において、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループが接するが、それらのいずれも F 上で本質的であるとき、鞍点は本質的であるという。

F t K を満たす閉曲面 F が、h に関してモース位置にあるとする。F の鞍点において、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループ l1 , l2 が接している。F 上のディスク D で、∂D = li かつ|D ∩ K| ≤ 1 を満たすものが存在するとき、鞍点は非本質的であるといい、非本質的でないとき鞍点は本質的であるという。
定理 6.3.1. K を橋位置にある結び目とし、F を閉曲面で F ∩ K = ∅ または F t K または F ⊃ K を満たすものとする。このとき、F 及び K のイソトピーで、F が本質的モース位置にあるようにできる。

Proof. K = ∅ の場合、定理 2.7.12 の証明で示した通りである。
F ∩ K = ∅ または F ⊃ K の場合も、定理 2.7.12 の証明と同様に F の鞍点が全て本質的であることを示すことができる。
今、F に非本質的な鞍点が存在したとし、最も内側の非本質的な鞍点を p とする。即ち、p で接する二つのループ l1 と l2 のうち、少なくとも一方のループ（例えば l1 とする）に対して F 上のディスク D が存在して、∂D = l1 かつ intD が他の鞍点を含まないものとする。intD は鞍点を含まないので、唯一の極大点
または極小点を含む。一般性を失うことなく、intD は極大点 q を含むとする。よって、D は h−1 ([h(p), 1))
内で、p を含むレベル球面 h−1 (h(p)) 上のディスク D0 に平行である。
このとき、二つの場合 l2 ∩ intD0 = ∅ または l2 ⊂ D0 が考えられる。後者の場合は、定理 2.7.12 の証明と同様に、前者の場合に帰着できる。

第6章

66

タングル分解球面

鞍点 p と F の極大点を繋ぐ F − K 内の単調なアーク α をとる。先ず、B を垂直に縮めることで D を D0の下の領域までイソトープし、D の極大点と鞍点 p をキャンセルさせる。次に、縮めた B を α に沿ってイソトープし、再び橋位置を復元する。
D

D
α

α

B

B
C1

D'

p

D

B
D'

p

D'

F t K の場合を考えよう。F の最も内側の非本質的な鞍点 p において、レベル球面との交わりで生じる
ループのうち、接している二つのループを l1 , l2 とする。一般性を失うことなく、唯一の極大点 q を含み p
以外の鞍点を含まない F 上のディスク D で、∂D = l1 かつ |D ∩ K| = 1 を満たすものが存在するとして良い。よって、D は h−1 ([h(p), 1)) 内で、p を含むレベル球面 h−1 (h(p)) 上のディスク D0 に平行である。このとき、二つの場合 l2 ∩ intD0 = ∅ または l2 ⊂ D0 が考えられるが、定理 2.7.12 の証明と同様に、後者の場
合は前者の場合に帰着できる。

D は h−1 ([h(p), 1)) 内でディスク D0 に平行であるから、D ∪ D0 は h−1 ([h(p), 1)) 内の 3 次元球体 B を張る。点 D ∩ K を含む K 内の単調なアーク α に対して、B の内側から外側へ局所的に向きを付ける。もし、
α が h に関して上昇なアークならば、B の直積構造 D0 × I に沿って D から D0 へ F をイソトープできる。
このとき、D の極大点と鞍点 p が解消される。もし、α が h に関して下降なアークならば、図のような操作により、上昇なアークに変形できる。

6.3.2

橋位置における結び目解消トンネル[32] と [109] により、トンネル数 1 の結び目を細い位置に置くと、それは橋位置である。次の定理は、このような位置においたとき、トンネルはあるレベル球面上に乗るようにできることを示している。
定理 6.3.2 ([29]). K をトンネル数 1 の結び目で最小橋位置にあるとし、γ を K の結び目解消トンネルとする。このとき、γ はスライドとイソトピーで、K のあるレベル球面に乗るようにできる。
この定理 6.3.2 と森元の定理（[68]）により、小林による 2-橋結び目の結び目解消トンネルの分類定理（[54]）が従う。

2-橋結び目の 6 つの結び目解消トンネル

6.3. 橋位置

6.3.3

67

極小橋分解

標準的モース関数 h : S 3 → R に関して、結び目 K が橋位置にあるとする。即ち、全ての極大点と全ての極小点を分離する唯一の太いレベル球面である橋分解球面 S = h−1 (0) を持つとする。このとき、

B1 = h−1 ([0, +∞)、B2 = h−1 ([0, −∞)、Ti = K ∩ Bi とおくと、K は橋分解 (S 3 , K) = (B1 , T1 )∪S (B2 , T2 )を持つ。
(S 3 , K) の二つの橋分解 (B1 , T1 ) ∪S (B2 , T2 ) と (B10 , T10 ) ∪S 0 (B20 , T20 ) が同値であるとは、一方を他方へ移す S 3 の向きを保つ同相写像が存在するときをいう。
結び目 K と橋分解球面 S の交点において、局所的に極大点と極小点を一つずつ増やす変形を安定化という。このとき、得られた結び目 K 0 を K から安定化されているという。
結び目の二つの橋分解が安定同値であるとは、有限回の安定化の後、同値であるときをいう。

K

S

定理 6.3.3 ([10], [41]). 結び目の任意の二つの橋分解は安定同値である。
定理 6.3.4 により、n ≥ 2 に対して、自明な結び目の n-橋分解は安定化の逆操作により局所的に橋数を減らすことができる。また、1-橋分解は一意的であるので、自明な結び目の n-橋分解は任意の n について一意的であることが分かる。
定理 6.3.4 ([75], [42], [88]). 自明な結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。
系 6.3.5. n-橋分解を持つ結び目 K が自明な結び目である為の必要十分条件は、橋分解球面と 1 本のループで交わる球面で K を含むものが存在することである。
定理 6.3.4 は、2-橋結び目及びトーラス結び目に拡張されている。
定理 6.3.6 ([76], [102]). 2-橋結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。
定理 6.3.7 ([90]). トーラス結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。
定理 6.3.7 より、任意の n に対して、トーラス結び目の n-橋分解は一意的であることが分かる。従って、次が成り立つ。
系 6.3.8. n-橋分解を持つ結び目 K がトーラス結び目である為の必要十分条件は、橋分解球面と 2 本のループで交わるトーラスで K を含むものが存在することである。
上記の定理は、鏡像を除いて、橋分解が一意的であることを示しているが、一般には勿論橋分解は一意的でない。実際、バーマン（[10]）とモンテシノス（[65]）はそれぞれ合成結び目と素な結び目で少なくとも二つの同値でない最小橋分解を持つものが存在することを示している。
定理 6.3.9 ([15]). 双曲結び目の n-橋分解は各 n に対し有限個である。
橋分解が最小ならば、安定化されていないことは明らかである。定理 6.3.4、6.3.6、6.3.7 は、それぞれ自明な結び目、2-橋結び目、トーラス結び目について、逆が成り立つことを示している。

第6章

68

タングル分解球面問題 6.3.10. 任意の非最小橋分解は、安定化されているか？
この問題について、最近反例を与えた。
定理 6.3.11 ([91]). 極小 4-橋分解を持つ 3-橋結び目が存在する。

6.3.4

弱可約橋分解球面とタングル分解球面

結び目 K の橋分解 (B + , T + ) ∪F (B − , T − ) が弱可約であるとは、F − K の B ± − T ± における圧縮ディ
スクの組 D± が存在し、D+ ∩ D− = ∅ を満たすときをいう。そうでない場合、強既約であるという。
定理 6.3.12 ([43], [111]). もし結び目の橋位置が弱可約ならば、安定化されているか、または結び目外部に経線的境界スロープを持つ本質的曲面が存在する。

6.3.5

ヘンペル距離と本質的曲面

定理 6.3.13 ([9]). K を橋分解球面 F に関して橋位置にある結び目とし、S を E(K) に適切に埋め込まれた向き付けられた本質的曲面とする。このとき、K の F に関するヘンペル距離について、

d(K, F ) ≤ 2g(S) + |∂S|
が成り立つ。
系 6.3.14. g(K) ≥ (d(K, F ) − 1)/2 が成り立つ。
系 6.3.15. d(K, F ) ≥ 3 ならば、K は双曲結び目である。

6.4

モース位置

6.4.1

細い位置とタングル分解

トンプソンは、細い位置と本質的タングル分解との間に画期的な関係を見出した。これは、3 次元多様体論におけるシャーレマン-トンプソンの一般化されたヒーガード分解の結び目理論版と言えよう。

6.4. モース位置69

定理 6.4.1 ([109]). 細い位置にある結び目が橋位置でなければ、本質的タングル分解球面を持つ。
ウーは最も細いレベル球面が本質的であることを示し、トンプソンの結果を拡張した。
定理 6.4.2 ([115]). 細い位置にある結び目の最も細いレベル球面は、本質的タングル分解球面である。

Proof. 一般性を失うことなく、P = h−1 (0) が最も細いレベル球面であり、h−1 ([0, ∞)) 内に圧縮ディスク
D が存在すると仮定して良い。このとき、D は K ∩ h−1 ([0, ∞)) を二つの部分 α と β に分離する。[115,Lemma 2] または [110, Lemma 3.2] に従って、α または β を縮めて伸ばすことで、D は h に関して唯一つの極大点を持つとして良い。

P は細いレベル球面であるから、一般性を失うことなく β が極小点を持つとして良い。P 0 を β に関する
最も細いレベル球面、即ち、β の極大点 p と極小点 q の間にある細いレベル球面であるかまたは P に平行な球面で、領域 h−1 ([0, h(r)]) において β との交点数が最小であるものとする。ここで、r は β の最も高い極小点である。P 0 を含む領域をそれぞれ R = h−1 ([h(p), h(q)]) または h−1 ([0, h(q 0 )]) とおく。ここで、q 0
は β の最も低い極小点である。
もし、α ∩ R = ∅ ならば、|K ∩ P 0 | < |K ∩ P | であり、これは P が最も細いレベル球面であることに反する。
そうでなければ、R の上に位置する α の部分を R 内へ垂直にイソトープする。この結果、w(K 0 ) < w(K)（かつ trunk(K 0 ) ≤ trunk(K)）となる。ここで、ft はこのイソトピーで、K 0 = f1 (K) である。これは、Kが細い位置にあることに反する。

71

第 7 章 ザイフェルト曲面
まず、次の定理を示す。
定理 7.0.3. 結び目 K の任意の二つのザイフェルト曲面 F と F 0 に対して、ザイフェルト曲面の列 F =F0 , F1 , . . . , Fn = F 0 で、各 i (1 ≤ i ≤ n) に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存在する。
この定理を示すために、次の定義をする。S と T を向き付けられた曲面で、横断的に交わるとする。このとき、S ∩ T の近傍において、図のように変形して得られる曲面を二重曲線和といい、S + T で表す。

T

S

S+T
補題 7.0.4 ([100, Lemma 2 (b)]). 向き付けられた曲面 S と T に対して、もし |S ∩ T | > 0 ならば、S + Tのただ一つの成分を除く全ての成分 C に対して、|S ∩ C| < |S ∩ T | かつ |C ∩ T | < |S ∩ T | が成り立つ。

Proof. S + T を図のようにずらしておく。

T

S

S+T
このとき、|S ∩ (S + T )| = |S ∩ T | かつ |(S + T ) ∩ T | = |S ∩ T | が成り立つ。また、S + T のある成分 Cに対して、|S ∩ C| = |S ∩ T | が成り立つ為の必要十分条件は、|C ∩ T | = |S ∩ T | が成り立つことである。
この二つの観察から、補題の結論を満たさないような S + T の成分はただ一つであり、それを除く成分に対しては補題の結論が成り立つ。

72

第7章

ザイフェルト曲面

補題 7.0.5 ([100, Lemma 3]). S と T をザイフェルト曲面とする。このとき、二重曲線和 S + T は二つのザイフェルト曲面を含む。

Proof. S と T の境界は結び目 K である。S + T の成分は、K を境界に持つものと、いくつかの閉曲面から成る。
もし、K を境界に持つ成分が二つならば、それらはザイフェルト曲面である。
もし、K を境界に持つ成分が一つしかないならば、S と T が向き付けられていることから、その成分とK を合わせると、向き付け不可能な閉曲面が得られる。しかし、系 2.7.14 より、S 3 は向き付け不可能な閉曲面を含まないので、矛盾である。
補題 7.0.4 と補題 7.0.5 を用いて、定理 7.0.3 を示す。

Proof. F と F 0 を結び目 K のザイフェルト曲面とする。
ザイフェルト曲面の内部における交わりについて、|F ∩ F 0 | = 0 ならば、列を F = F0 , F1 = F 0 とすれば良い。
|F ∩ F 0 | > 0 の場合を考える。補題 7.0.5 により、S + T は二つのザイフェルト曲面の成分、C0 , C1を含む。補題 7.0.4 により、C0 , C1 の少なくとも一方、例えば C0 に対して、|F ∩ C0 | < |F ∩ F 0 | かつ
|C0 ∩ F 0 | < |F ∩ F 0 | が成り立つ。このとき、列 F = F0 , C0 = F1 , F 0 = F2 を得るが、隣接するザイフェルト曲面の交わりの数は、|F ∩ F 0 | から |F ∩ C0 | 及び |C0 ∩ F 0 | へ減っている。従って、この操作を繰り返すことで、最終的には、隣接するザイフェルト曲面の交わりの数が 0 であるような列 F = F0 , F1 , . . . , Fn = F 0を得る。
定理 7.0.6 ([49]). 結び目 K の任意の二つの圧縮不可能ザイフェルト曲面 F と F 0 に対して、圧縮不可能ザ
イフェルト曲面の列 F = F0 , F1 , . . . , Fn = F 0 で、各 i (1 ≤ i ≤ n) に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存在する。
定義 7.0.7 (絡み数). K を向き付けられた結び目とし、C を K と交わらない向き付けられたループとする。このとき、K と C との絡み数 lk(K, C) を次のように定義する。F を K のザイフェルト曲面とする。

F は K から誘導される向きを持つとする。C が F と横断的に交わるようにイソトープする。C と F との代数的交点数を lk(K, C) と定義する。
定理 7.0.8. 絡み数は、ザイフェルト曲面の取り方に依らない。

Proof. F と F 0 を K のザイフェルト曲面とする。定理 7.0.3 より、F ∩ F 0 = K と仮定して良い。このとき、F ∪ F 0 は S 3 内の閉曲面であるから、系 2.7.14 より S 3 を二つの部分多様体 V1 と V2 に分ける。従って、F 0の向きを逆にして得られる向き付けられた閉曲面 F ∪ F 0 と C との代数的交点数は 0 である。即ち、F による絡み数 lkF (K, C) と F 0 による絡み数 lkF 0 (K, C) の差は 0 であるから、lkF (K, C) = lkF 0 (K, C) を得る。
注 7.0.9. C が K のザイフェルト曲面 F 上のループのとき、F の + 方向に押し出すことで F ∩ C = ∅ とできるので、lk(K, C) = 0 である。
定義 7.0.10. F と S を結び目 K のザイフェルト曲面で、横断的に交わるとする。x0 を F − (F ∩ S) のある領域成分内の点とし、X0 から F − (F ∩ S) の各領域の点 y へ向けた F 上のアークと S との代数的交点数をポテンシャルといい、p(y) とおく。
この p(y) は、矛盾無く定義される。なぜなら、x0 から y への二つのアーク α と β を取るとき、ループα ∪ β は F 上にあるので、lk(K, α ∪ β) = 0 である。従って、p(y) はアークの選び方によらずに決まる。
F の S に対する可変性とは、全ての領域の点 y, z に対して、|p(y) − p(z)| の最大値である（[98, 3.1
Definition]）。これは、x0 の選び方によらない。

73
補題 7.0.11 ([98, 3.2 Lemma (b)]). F の S に対する可変性を k とするとき、S ＋ kF は F と交わらない
ようにイソトープできる。

Proof. C0 と Ck を、それぞれ最も低いポテンシャルと最も高いポテンシャルを持つ F − (F ∩ S) の領域とする。F の正則近傍 N (F ) を、F × [−1, 1] とみなす。このとき、C0 の S + F における像を F × [−1, 1] の片側へ、Ck の S + F における像を F × [−1, 1] のもう一方の側へイソトープすることで、S + F の S に関する可変性は k − 1 となる。

これを k 回繰り返すと、可変性は 0 となるので、S + kF と F は内部で交わらない。
補題 7.0.12 ([100, Lemma 2 (a), Lemma 3]). S と T が向き付けられた曲面のとき、オイラー標数について、χ(S + T ) = χ(S) + χ(T ) が成り立つ。また、S と T が圧縮不可能ザイフェルト曲面のとき、S + T は二つのザイフェルト曲面 C0 と C1 を含み、χ(C0 ) + χ(C1 ) ≥ χ(S) + χ(T ) が成り立つ。

Proof. まず、二重曲線和 S + T については、S ∩ T のループの近傍との交わりである二つのアニュラスを元と異なるように付け替えただけであるから、オイラー標数は変わらない。
S と T を圧縮不可能ザイフェルト曲面とする。イソトピーの下で |S ∩ T | を最小にすると、定理 2.7.10 より、S ∩ T の各ループは S 及び T で本質的である。

S + T の成分を、C0 , C1 , . . . , Cn とする。ここで、C0 は N (∂S; S) を含む成分であり、C1 は N (∂F ; F )を含む成分とする。補題 7.0.5 より、C0 と C1 は各々ザイフェルト曲面であり、C2 , . . . , Cn は閉曲面である。

S ∩ T の各ループは S 及び T で本質的であるから、C2 , . . . , Cn に 2 次元球面は現れない。従って、
χ(Ci ) ≤ 0 (i = 2, . . . , n) であるから、
χ(C0 ) + χ(C1 ) ≥ χ(C0 ) + χ(C1 ) + · · · + χ(Cn ) = χ(S + T ) = χ(S) + χ(T )が成り立つ。

第7章

74

ザイフェルト曲面

定理 7.0.13 ([100, Proposition 5]). S と T が結び目 K の最小種数ザイフェルト曲面ならば、最小種数ザイ
フェルト曲面の系列 S = S0 , S1 , . . . , Sn = T で、各 i (1 ≤ i ≤ n) に対して、|Si ∩ Si−1 | = 0 が成り立つ。

Proof. 最小種数ザイフェルト曲面の系列 S = S0 , S1 , . . . , Sn = T を考える。ここで、Si ∩ Si−1 6= ∅ であっても良い。例えば、S, T という系列を取れる。ri = |Si ∩ Si−1 | とおく。r = max{ri } とし、ri = r を満たす i (1 ≤ i ≤ n) の数を s とおく。以下で、もし r ≥ 1 ならば、(r, s) に関する辞書式順序でより小さい
系列を作ることができることを示す。最終的に、r = 0 を得る。

r ≥ 1 と仮定し、ri = r を満たす i を選ぶ。このとき、|Si−1 ∩Si | = r である。補題 7.0.12 により、Si−1 +Siの二つのザイフェルト曲面の成分 C0 , C1 が存在して、

g(C0 ) + g(C1 ) ≤ g(Si−1 ) + g(Si )を満たす。Si−1 と Si は最小種数であるから、C0 と C1 も最小種数である。更に、補題 7.0.4 により、C0 とC1 のいずれか一方、例えば C0 、に対して、|C0 ∩ Si−1 | < r, |C0 ∩ Si | < rが成り立つ。このとき、系列 S0 , S1 , . . . , Si−1 , C0 , Si , . . . , Sn は r に関して小さい値を持つか、または、

r に関して同じ値を持つが s に関して低い値を持つ。いずれの場合も、辞書式順序 (r, s) を減らすような系列を得る。
定理 7.0.14 ([100, Proposition 6]). 結び目 K の任意のザイフェルト曲面 S に対して、ザイフェルト曲面の系列 S = S0 , . . . , Sn で、Sn は最小種数であり、g(Si ) < g(Si−1 ) 及び Si−1 ∩ Si = ∅ を満たすものが存在する。

Proof. もし S が最小種数でなければ、より種数の小さいザイフェルト曲面で、S と交わらないものが存在することを示せば十分である。
もし S が圧縮可能ならば、直ちにこれは従う。
もし S が圧縮不可能ならば、T を K の最小種数ザイフェルト曲面とし、S ∩ T を最小にする。k を、T + kS
が S と交わらないように大きく取る（補題 7.0.11）。補題 7.0.5 の証明と同様に、T + kS は少なくとも (k + 1)
個のザイフェルト曲面の成分 C0 , . . . , Ck を持ち、

Σχ(Ci ) ≥ χ(T ) + kχ(S) ≥ (k + 1)χ(S)が成り立つ。故に、少なくとも一つの成分 Ci に対して、χ(Ci ) > χ(S) が成り立つ。

7.1

自由ザイフェルト曲面

K を S 3 内の結び目、F を K のザイフェルト曲面とする。F が自由であるとは、π1 (S 3 − F ) が自由群のときをいう。これは、S 3 − intN (F ) がハンドル体であることと同値である。

Hatcher と Thurston は 2 橋結び目補空間内の圧縮不可能曲面を分類した ([39])。この結果により、2 橋
結び目に関しては任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面が自由であることが得られる。ところが、自由圧縮不可能ザイフェルト曲面と、非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面を共に張る結び目が存在する ([103], [60])。
更に、非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面のみしか張らない結び目が存在することが知られている ([59],[53])。
Giﬀen と Siebenmann は次の問題を提起した。
問題 7.1.1 ([51, Problem 1.20 (B)]). どの結び目が自由圧縮不可能ザイフェルト曲面を張るか？

7.2. 種数の加法性

75

定理 5.2.2 により、次が成り立つ。
系 7.1.2. 経線的結び目の任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面は自由である。
結び目 K の全ての自由ザイフェルト曲面のの中で最小の種数を自由種数といい、gf (K) で表す。一般に

gf (K) ≥ g(K) であるが、上で述べたように、非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面のみしか張らない結び目が存在するので、一般に等号は成立しない。
系 7.1.3. 任意の経線的結び目 K に対して、g(K) = gf (K) が成り立つ。

[66] や [53] などでは等号が成立しない例が挙げられているが、それらの結び目は winding number が 0のサテライト結び目という共通点を持っている。そこで、結び目補空間内の圧縮不可能閉曲面と結び目との絡み具合が関係していると推測して、次の定義を考えた。

S を S 3 − K 内の閉曲面とする。i : S → S 3 − K を包含写像とし、i∗ : H1 (S) → H1 (S 3 − K) をその誘導された準同型写像とする。Im(i∗ ) は H1 (S 3 − K) = Zhmeridiani の部分群であるから、整数 m が存在して Im(i∗ ) = mZ を満たす。このとき、S の位数 o(S; K) を m で定義する ([81])。
定理 7.1.4 ([81]). 次は同値である。

1. K の非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面 F が存在する。
2. 位数 0 の圧縮不可能閉曲面 S が S 3 − K に存在する。
この結果から、S 3 − K 内の全ての圧縮不可能閉曲面の位数が 0 でなければ、K の任意の圧縮不可能ザ
イフェルト曲面は自由であることが分かる。しかしながら、S 3 − K 内の圧縮不可能閉曲面の位数が具体的に分かっている結び目のクラスとしては、前述の経線的結び目のみしか知られておらず、それらの結び目が非自由圧縮不可能ザイフェルト曲面を張り得ないことは、定理 5.2.2 を使えば容易に得られる。そこで、定理 7.1.4 を有効に利用出来る結び目のクラスを探すことにした。

7.2

種数の加法性系 7.2.1. 結び目の種数は連結和に関して加法的である。即ち、g(K1 #K2 ) = g(K1 ) + g(K2 ) が成り立つ。

7.3

チェッカーボード曲面

定理 7.3.1 ([5], [63], [83]). K を交代結び目または分離不可能な絡み目、K̃ を K の既約かつ素な交代正則表示とする。このとき、K̃ から得られるチェッカーボード曲面は本質的である。

Proof. F を K̃ から得られる二つのチェッカーボード曲面のうちの一つとする。F は必ずしも向き付け可能であるとは限らないことに注意する。実際、K が結び目の場合は、K̃ から得られる二つのチェッカーボー
ド曲面のうち少なくとも一つは向き付け不可能である。

F が本質的であることを示す為には、∂N (F ) ∩ E(K) が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることを示せば良い。
先ず、∂N (F ) ∩ E(K) が圧縮可能だと仮定して、D を圧縮ディスクとする。正則表示 K̃ を含む 2 次元球
面 S 2 から、N (F ) を除いたディスク領域を、R = R1 ∪ · · · ∪ Rn とおく。D のイソトピー及び取り換えの下で、|D ∩ R| を最小にとる。α を D ∩ R に関して D 上の最も外側のアークとし、δ を対応する D 上の最も外側のディスクとする。β = ∂δ − intα とおく。このとき、K̃ の交代性より、ループ ∂δ = α ∪ β は、図のようになる。

第7章

76

F

D

À Â

ザイフェルト曲面

¿

Bi

¿

À
Bj

これは、K̃ が素であることに反する。
次に、∂N (F ) ∩ E(K) が境界圧縮可能だと仮定する。∂N (F ) ∩ E(K) は圧縮不可能であるから、定理 4.4.6
より、∂N (F ) ∩ E(K) は境界平行なアニュラスである。従って、∂N (F ) はトーラスであり、N (F ) はソリッ
ドトーラスであるので、F はアニュラスか又はメビウスの帯である。K̃ は既約であるから、F がアニュラ
スか又はメビウスの帯である為には、K̃ は (2, n)-トーラス結び目または絡み目の n 交点の正則表示でなければならない。また、K̃ の既約性より、|n| ≥ 2 である。故に、∂N (F ) ∩ E(K) は本質的であるが、これは仮定に矛盾する。

7.4

ディスク分解可能ザイフェルト曲面

定理 7.4.1 ([100],[49]). 任意の二つの最小種数ザイフェルト曲面 F と S に対して、最小種数ザイフェルト
曲面の列 F = F0 , F1 , . . . , Fn = S で、各 i (1 ≤ i ≤ n) に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存在する。
定理 7.4.2 ([100]). 任意のザイフェルト曲面 F に対して、ザイフェルト曲面の列 F = F0 , F1 , . . . , Fn = S
で、各 i (1 ≤ i ≤ n) に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらず、g(Fi−1 ) > g(Fi ) を満たすものが存在する。
定理 7.4.3 ([25]). ザイフェルト曲面がディスク分解可能ならば、最小種数である。

7.4.1

交代結び目の標準的ザイフェルト曲面

定理 7.4.4 ([26]). 非分離的交代絡み目の標準的ザイフェルト曲面はディスク分解可能である。従って、最小種数である。

7.5

村杉和

F を絡み目 K を境界とする曲面とする。S 3 を二つの 3 次元球体 B1 , B2 に分解する球面 S で、F ∩ S が一枚のディスクであるものが存在したとする。i = 1, 2 について、Fi = F ∩ Bi とおく。このとき、F は F1と F2 に村杉分解されたといい、F = F1 ∗ F2 と表す。逆に、F は F1 と F2 からディスク F ∩ S に沿って村
杉和で得られたという。

7.5. 村杉和

7.5.1

77

ファイバーザイフェルト曲面と最小種数ザイフェルト曲面

結び目 K のザイフェルト曲面 F がファイバーザイフェルト曲面であるとは、E(K) − intN (F ) が F × Iと同相であるときをいう。ファイバーザイフェルト曲面を持つ結び目をファイバー結び目という。
定理 7.5.1. ファイバー結び目は唯一の圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つ。特に、ファイバーザイフェルト曲面は一意的である。

Proof. F をファイバー結び目 K のファイバーザイフェルト曲面とし、F 0 を K の任意の圧縮不可能ザイフェ
ルト曲面とする。F 0 のイソトピーにより、N (K) 内においては、F ∩F 0 = K と仮定して良い。F ∩E(K) 及び

F 0 ∩ E(K) を、それぞれ同じ記号 F 及び F 0 で表す。E(K) − intN (F ) = F × I のモース関数を h : F × I → Iとする。定理 2.5.2 より、F 0 は h に関してモース位置にあるとして良い。F 0 のイソトピーの下で、F 0 の極
大点及び鞍点の個数を最小にとる。
定理 2.7.12 と同様の議論により、F 0 の鞍点は本質的であるとして良い。また、F 0 の圧縮不可能性、及び0

F の極大点及び鞍点の個数の最小性により、F 0 は極大点及び極小点を持たないか、又は、F に平行である
ことが従う（[84, Lemma 3.2]）。
従って、F ∩ F 0 = ∅ の場合、F 0 は F に平行であるから、圧縮不可能ザイフェルト曲面は一意的であり、ファイバー曲面 F にイソトピックである。

F ∩ F 0 6= ∅ の場合、F 0 ∩ (F × I) の各成分（で ∂F 0 を含まないもの）は極大点及び極小点を持たないことから、F × {0} と F × {1} を繋ぐものに限る。よって、F 0 上のループ C で、C と F との代数的交点数が 0 でないものが存在する。一方、C は F 0 上のループであるから、C のイソトピーで C ∩ F 0 = ∅ とできるので、C と F 0 との代数的交点数は 0 である。従って、lkF (K, C) 6= 0 及び lkF 0 (K, C) = 0 となり、定理

7.0.8 に矛盾する。
ガバイは、村杉和が自然な幾何的操作であることを示した。
定理 7.5.2 ([24]). F = F1 ∗ F2 をザイフェルト曲面とする。

1. F1 と F2 が圧縮不可能ならば、F は圧縮不可能である。
2. F1 と F2 が最小種数ならば、F は最小種数である。
3. F1 と F2 がファイバーならば、F はファイバーである。

7.5.2

ステイト曲面

ガバイの定理は向き付け不可能曲面に拡張されている。
定理 7.5.3 ([87]). もし、F1 と F2 が本質的ならば、F = F1 ∗ F2 も本質的である。

f1 及び F
f2 は、それぞ˜ が本質的であることを示す。[83, Claim 9] により、Fe、F
Proof. 補間曲面 Fe = F ×∂I
˜ 、F1 ×I
˜ 及び F2 ×I
˜ 内で圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることに注意する。
れ F ×I˜ の外側での Fe に対する圧縮ディスクとする。E = S − int(F ∩ S) とおく。C と E は一般の位
C を、F ×I
置にあるとして良く、C ∩ E の成分数は全ての圧縮ディスク C の下で最小であるとする。もし、C ∩ E = ∅f1 又は F
f2 の圧縮ディスクである。そうでなければ、C ∩ E はアーク α1 , . . . , αp から成り、
ならば、C は F−
δ1 , . . . , δq を C 上の α1 ∪ · · · ∪ αp によって分離されたディスクとする。各アーク αk に対して、∂αk = a+k ∪ akとおく。部分アーク N (a±k ; ∂C) はディスク F ∩ S 及び F − S 上を走る。このとき、F ∩ S から F − S へ走±るように ak に矢印を付ける。図 7.1 を見よ。

第7章

78

d

C

l

E
a

a

+
k

B1
S

a k-

k

d

F

N(a k+ ;

l

a

Ý

B2

ザイフェルト曲面

a

C)

k

+
k

C

図 7.1: a±k の矢印と、αk によって誘導された向き
主張 7.5.4. 最も外側のアーク αk 及び相当する最も外側のディスク δl に対して、a±k における両方の矢印
は δl の外側へ向かう。（図 7.1 の右側のように。）

Proof. 一般性を失うことなく、δl ⊂ B1 と仮定して良い。
−
先ず、a±（図 7.2 を見よ。）F ∩ S 上で a+k における両方の矢印が δl の内側へ向かうと仮定する。
k と ak を繋ぐアーク αk0 が存在し、ループ αk ∪ αk0 は B2 内でディスク δl0 を張る。このとき、C ∩ E の成分数は最小
f1 の圧縮ディスクである。
であると仮定したので、B2 へ向けて拡張されたディスク δl ∪ δ 0 は F
l

次に、a±k における一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が δl の外側へ向かうと仮定する。

−
00（図 7.3 を見よ。）同様に、F ∩ S 上で a+k と ak を繋ぐアーク αk が存在し、ループ αk ∪ αk は B2 内でディスク δl0 を張る。このとき、C ∩ E の成分数は最小であると仮定したので、B2 へ向けて拡張されたディスク
f1 の境界圧縮ディスクである。
δl ∪ δ 0 は F
l

いずれの場合も、矛盾を得る。

αk'
a k-

a+k
B1

S

αk

B2
図 7.2: a±k における両方の矢印が δl の内側へ向かう

C 上のグラフ G を次のように構成する。各部分ディスク δl を頂点 vl に対応させ、もし二つの相当する部分ディスクが C ∩ E の共通のアーク αk を持つならば、二つの頂点を辺 ek で繋ぐ。任意のアーク αk は δを分離するので、G は木であることに注意する。主張 7.5.4 により、最も外側のアークの端点における両方

7.5. 村杉和

79

αk'
a k-

a+k
B1
αk

S
B2

図 7.3: a±k における一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が δl の外側へ向かうのアークは相当する最も外側のディスクから外側へ向かうので、相当する最も外側の辺に向きを自然に付けることができる。ek のこの向きを、αk によって誘導された向きと呼ぶ。図 7.1 を見よ。

G の頂点が深さ x を持つとは、x より少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、それが次数 1 又は 0になるときをいう。ここで、x は自然数である。最も外側の部分ディスクに相当する頂点は、深さ 1 であると定める。図 7.4 において、各頂点の深さが図示されている。

1
2
3
1
4
3
1
C

2

1

G

図 7.4: C 上の C ∩ E と、相当するグラフ G
主張 7.5.5. G の任意の辺は誘導された向きを持ち、全ての頂点は外側へ向かう向きを持つ辺を持つ。

Proof. vl の深さに関する帰納法で証明する。深さ 1 の場合、主張 7.5.4 で示している。次に、主張 7.5.5 がx より少ない深さを持つ頂点について成り立つと仮定し、vl が深さ x を持つとする。N<x (vl ) を、vl に隣接する頂点で x より少ない深さを持つものから成る集合とする。G はサイクルを持たないので、N<x (vl ) における任意の頂点は、vl へ向かう向きを持つ辺を持つ。一般性を失うことなく、δl ⊂ B1 と仮定する。

vl が、x より少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、次数 0 になる場合、δl の B2 へ向けて拡張さ
f1 の圧縮ディスクである。
れたディスク δ 0 は Flvl が、x より少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、次数 0 になる場合、vl を N<x (vl ) 以外の頂点へ繋ぐ辺を ek とし、αk を相当するアークとする。先ず、a±k における両方の矢印が δl の内側へ向かうと
0
f1 の圧縮ディスクである。次に、a± にお仮定する。このとき、δl の B2 へ向けて拡張されたディスク δ は F
l

k

第7章

80

ザイフェルト曲面

ける一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が外側へ向かうと仮定する。このとき、δl の B2 へ
f1 の境界圧縮ディスクである。
向けて拡張されたディスク δ 0 は F
l

いずれの場合も、矛盾を得る。故に、ek は αk によって誘導された向きを持ち、vl は外側へ向かう向きを持つ辺を持つ。

G は木であるから、主張 7.5.5 は矛盾を導く。故に、Fe は圧縮不可能である。初等的な切り貼り論法により、K は非分離的であることが分かる。もし、Fe が境界圧縮可能ならば、定理 4.4.6 により、それは境界平
行なアニュラスである。従って、F は非本質的なアニュラスまたはメビウスの帯であり、F1 と F2 のいず
れか一方は非本質的なアニュラスまたはメビウスの帯でなければならない。これは、F1 と F2 が本質的であることに反する。
定理 7.4.4 より、交代正則表示から得られる標準的ザイフェルト曲面は最小種数であるから、定理 7.5.2
より、それらの村杉和で得られる標準的ザイフェルト曲面も最小種数であることが分かる。
定理 7.5.6 ([17]). K を等質結び目、D を K の等質正則表示とする。D から得られる標準的ザイフェルト
曲面は最小種数である。
定理 7.5.7 ([87]). D を結び目 K の正則表示とする。もし、あるステイト σ に関して、D が σ-充足かつ σ等質ならば、σ-ステイト曲面 Fσ は本質的である。

Proof. 正則表示 D があるステイト σ に関して、σ-充足かつ σ-等質であると仮定する。このとき、σ-ステイ
トグラフ Gσ は、ループを持たず、各ブロックの全ての辺が同じ符号を持つ、極大なブロック G1 , . . . , Gn に分解される。F1 , . . . , Fn を、G1 , . . . , Gn に対応する σ-ステイト曲面とする。このとき、各 i に関して、Giはループを持たず、ブロック分解は極大であるから、境界 ∂Fi は既約かつ素な交代正則表示を表す。定理

7.3.1 より、各 i に関して Fi は本質的であり、定理 7.5.3 より、F も本質的である。

7.5.3

垣水複体

2.7.6 曲面複体において、最小種数ザイフェルト曲面のみを対象とした部分複体を、垣水複体という。垣水複体は、[49] において導入された。
定理 7.5.8 ([100], [49]). 垣水複体は連結である。
任意のループを連続的に 1 点に収縮できるような弧状連結空間を、単連結という。言い換えると、基本群が自明な空間である。
定理 7.5.9 ([105]). 垣水複体は単連結である。

1 点とホモトピー同値な空間を可縮という。可縮ならば、単連結である。
定理 7.5.10 ([93]). 垣水複体は可縮である。

7.5.4

結び目解消操作とザイフェルト曲面

定義 7.5.11. 非分離的絡み目 K のザイフェルト曲面 F が緊張であるとは、F が圧縮不可能であり、かつ、F にホモロガスな曲面の内で、F が最大のオイラー標数を持つときをいう。
D を交差ディスクで、S 3 − D − K が既約なものとする。L = ∂D、M = S 3 − N (K) ∪ N (L)、T0 = ∂N (L)
とおく。F を K の緊張ザイフェルト曲面で、F ∩ L = ∅ を満たすものとする。K+ を L 上 +1 手術して得られる絡み目とする。このとき、F から得られる S は K+ のザイフェルト曲面になる。

7.5. 村杉和81

定理 7.5.12 ([27]). L 上デーン手術して K から得られる全ての絡み目の中で、高々一つに対して、分離球面が存在するか、または、S より大きいオイラー標数のザイフェルト曲面が存在する。
よって、定理 7.5.13 ([99]). K と K+ の少なくとも一つは、非分離的絡み目で、F (resp. S) はその緊張ザイフェ
ルト曲面である。
系 7.5.14 (（Scharlemann - Thompson）). 自明な結び目を交差交換して、自明な結び目が得られたとする。このとき、その交差は無効である。

Proof. K を自明な結び目、D を K の交差ディスク、F を K の緊張ザイフェルト曲面で、F ∩ L = ∅ を満たすものとする。F ∩ D = α が単一のアークとなるようにとっておく。
もし F がディスクならば、D との交わりがアーク α であるから、交差は無効である。

F がディスクでないならば、F は K の緊張ザイフェルト曲面でない。上の定理より、F は K+ の緊張ザ
イフェルト曲面となる。従って、K+ は自明な結び目である。
プレッツェル結び目 (3, ±1, −3) の例などがあるので、次の問題では有向結び目を考える。
問題 7.5.15 (Problem 1.58（X.-S. Lin）). K から交差交換をして K 0 が得られたとする。もし K ∼= K0 ならば、その交差は無効である。
定理 7.5.16 ([112]). 2 橋結び目については正しい。
定理 7.5.17 ([50]). ファイバー結び目については正しい。

コンウェイ 3 つ組∇+ (z) − ∇− (z) = z∇0 (z) より、deg∇+ (z), deg∇− (z), degz∇0 (z) を大きい順に並べたとき、
d1 = d2 ≥ d3となる。

定理 7.5.18 ([101]). χ(L+ ), χ(L− ), χ(L0 ) − 1 を小さい順に並べたとき、

χ1 = χ2 ≤ χ3
となる。

第7章

82

ザイフェルト曲面

定理 7.5.19 ([101]). χ(L+ ) = χ(L0 ) − 1 < χ(L− ) のとき、L+ と L0 の緊張ザイフェルト曲面 S 0 と S で、

S 0 は S にホップバンドをプランビングして得られるものが存在する。

7.5.5

ハーラー予想の解決

次の定理はハーラー予想（[35]）の解決を与えた。
定理 7.5.20 ([28]). 任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプ
ランビングの系列により得られる。

7.5.6

最小ノルム曲面とスケイン木定義 7.5.21. 絡み目 L のザイフェルト曲面とは、向き付けられた曲面 F で、閉じた成分を持たず、∂F = L
を満たすものである。ここでは、χ(L) を、L の緊張ザイフェルト曲面 F に対して −χ(F ) と定義する。
定義 7.5.22. 三つの向き付けられた絡み目 L+ , L− , L0 がコンウェイ変形（スケイン変形）によって関連するとは、図のような 3 次元球体の外側では、同一であるときをいう。

定義 7.5.23. 任意の絡み目はスケイン変形の系列により、自明な絡み目にできる。この系列に関連した二分木を、スケイン木と呼ぶ。絡み目 L のスケイン木 T に対して、L に対応する一つの根 λ と、自明な絡み目に対応する葉 {i } がある。葉の幅 w(i ) を、その葉に対応する自明な絡み目の成分数として定義し、高さ h(i ) を λ から i への道の長さと定義する。T の高さ h(T ) を max{h(i )} と定義し、L の高さ h(L) を

min{h(T )} と定義する。

7.5. 村杉和83

定義 7.5.24. L = L+(−) をスケイン木 T の頂点とし、L−(+) と L0 を L+(−) からコンウェイ変形で得られる絡み目とする。このとき、L−(+) を L+(−) の左枝、L0 を右枝という。
定義 7.5.25. S を絡み目 L のザイフェルト曲面とし、α を S に適切に埋め込まれたアークとする。L0 が L
から α に沿ったねじりで得られるとは、L と L0 が図 a) のような関係にあるときをいう。また、L0 が L から α に沿ってねじれたバンドを付けて得られるとは、図 b) のような関係にあるときをいう。

定理 7.5.26 ([107]). L を非分離的な絡み目とする。このとき、三つ組の系列 (L0 , S0 , α0 ) → (L1 , S1 , α1 ) →· · · → (Lm−1 , Sm−1 , αm−1 ) → Lm = L が存在して、次を満たす。
1. L0 は自明な結び目である。
2. m ≤ h(L)3. Si は Li の緊張ザイフェルト曲面である（i = 0, . . . , m − 1）。
4. αi は Si に適切に埋め込まれたアークである。
5. Li+1 は Li から α に沿ったねじりか α に沿ってねじれたバンドを付けて得られる。
Proof. T を L の高さ h(L) のスケイン木とする。T において、L から T の葉への道 p を次のように選ぶ。
L+(−) を T の頂点で、左枝 L−(+) と右枝 L0 を持つとする。もし χ(L−(+) ) ≥ χ(L+(−) ) ならば、L+(−) をL−(+) に繋ぐ。そうでなければ、L+(−) を L0 に繋ぐ。L から始めて、この規則に従い、道 p を構成する。p上にある絡み目に、T の葉から L まで、ラベル 0 から m を付ける。m ≤ h(L) に注意する。

第7章

84

ザイフェルト曲面

Li が Li+1 の右枝であると仮定する。このとき、χ(Li+1 の左枝 ) < χ(Li+1 ) である。[101, Proposition
3.1] より、Li の緊張ザイフェルト曲面と Si に適切に埋め込まれたアーク αi が存在して、Li+1 は Li から
αi に沿ってねじれたバンドを付けて得られる。
Li が Li+1 の左枝であると仮定する。このとき、χ(Li ) ≥ χ(Li+1 ) である。[101, Theorem 1.4] の議論より、Li の緊張ザイフェルト曲面と Si に適切に埋め込まれたアーク αi が存在して、Li+1 は Li から αi に沿ったねじりで得られる。
残りは、L0 が、j > 1 成分を持つ自明な絡み目ではなく、自明な結び目であることを示すことである。
主張 7.5.27. L を分離的な絡み目とする。もし、S が L の緊張ザイフェルト曲面ならば、S ∩ F = ∅ を満
たす分離球面 F を見付けることができる。

Proof. S ∩ F の成分数を最小にするように F を選ぶ。もし、S ∩ F 6= ∅ ならば、最も内側のディスクについての議論により、S が圧縮可能となる。しかし、これは S が緊張でないことを意味する。
この主張より、もし Li が分離的ならば、Li+1 も分離的である（i = 0, . . . , m − 1）。L は非分離的な絡み目を選んだから、L0 も非分離であり、よって L0 は自明な結び目である。

7.6

ザイフェルト曲面と閉曲面

定理 7.6.1 ([81]). 結び目 K が非自由な圧縮不可能ザイフェルト曲面 F を持つ為の必要十分条件は、結び目補空間 S 3 − K 内に位数 0 の圧縮不可能閉曲面 S が存在することである。
定理 7.6.2 ([114]). 結び目 K に対して、有限個の圧縮不可能ザイフェルト曲面 {S1 , . . . , Sn } と有限個の閉圧縮不可能閉曲面 {Q1 , . . . , Qn } が存在して、任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面 S はハーケン和S = Si + a1 Q1 + · · · + am Qm (a1 , . . . , am ≥ 0) として表される。
系 7.6.3 ([114]). 結び目が無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つならば、結び目補空間
内に圧縮不可能閉曲面が存在する。
従って、スモール結び目の圧縮不可能ザイフェルト曲面は有限個である。
系 7.6.4. 結び目 K に対して、無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面 F1 , F2 , F3 , . . . で、g(F1 ) =g(F2 ) = g(F3 ) = · · · を満たすものが存在するならば、結び目補空間 S 3 − K 内に圧縮不可能トーラスが存在する。即ち、K はサテライト結び目である。
系 7.6.5. 結び目 K に対して、無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面 F1 , F2 , . . . で、g(F1 ) <g(F2 ) < g(F3 ) < · · · を満たすものが存在するならば、結び目補空間 S 3 − K 内に種数 2 以上の圧縮不可能
曲面が存在する。
定理 7.6.6 ([48]). 非ファイバー結び目の二重化結び目は、無限に多くの圧縮不可能ザイフェルト曲面をもつ。
図のようなトーラス体 V0 と結び目 J の組 (V0 , J) を、ある結び目 K に沿って埋め込んで得られる結び目
を、K の二重化結び目という。即ち、f (l0 ) が N (K) のロンジチュードとなるような埋め込み f : V0 → N (K)に対して、f (J) を K の二重化結び目という。

7.6. ザイフェルト曲面と閉曲面

85

二重化結び目に対して、次のように、分岐曲面を構成する。定理 2.9.1 と定理 2.9.2 により、無限に多くの圧縮不可能ザイフェルト曲面を得る。

86

第7章

ザイフェルト曲面

定理 7.6.7 ([92]). プレッツェル結び目 P (5, 5, 5, 5, 5) は、無限に多くの圧縮不可能ザイフェルト曲面をもつ。

定理 7.6.7 の場合、g(S0 ) < g(S1 ) < · · · なので、結び目補空間 S 3 − K 内に種数 2 以上の圧縮不可能曲面が存在する。実際、タングル分解球面をチュービングして得られる種数 2 の圧縮不可能閉曲面が存在する。

7.6. ザイフェルト曲面と閉曲面

87

実際、これらのザイフェルト曲面は、S0 と種数 2 の圧縮不可能閉曲面のハーケン和によって得られる（[67]）。

89

第 8 章 巻き付き曲面

8.1

h-種数とトンネル数

定義 8.1.1 ([69]). 任意の結び目 K に対して、K を含む S 3 のヒーガード曲面 F が存在する。このようなヒーガード曲面 F のうち最小の種数を K の h-種数といい、h(K) で表す。
定理 8.1.2 ([69]). t(K) ≤ h(K) ≤ t(K) + 1 が成り立つ。

8.2

コイル数と橋数

K を結び目とし、F を K を含む閉曲面とする。組 (F, K) の代表性を
r(F, K) = min |∂D ∩ K|
D∈DFと定義する。ここで、DF は S 3 内における F の全ての圧縮ディスクからなる集合とする。F が球面で、Kが自明な結び目の場合、r(F, K) = 1 と定める。
結び目 K の代表性を

r(K) = max r(F, K)
F ∈Fと定義する。ここで、F は K を含む全ての閉曲面からなる集合とする。
自明な結び目 K に対して、r(K) = 1 である。非自明な結び目 K に対して、圧縮不可能ザイフェルト曲
面 S が存在するので、F = ∂N (S) とおけば、r(F, K) = 2 である。従って、r(K) ≥ 2 が成り立つ。
代表性は、橋数を下から制限する。

第8章

90

巻き付き曲面定理 8.2.1 ([88]). 結び目 K に対して、r(K) ≤ b(K) が成り立つ。
例 8.2.2. (p, q) 型トーラス結び目 K (0 < p < q) と、K を含む自明なトーラス F に対して、r(F, K) = pであるので、p ≤ r(K) が成り立つ。一方、b(K) = p であるから、定理 8.2.1 より、r(K) = p であることが分かる。
例 8.2.3. 2-橋結び目 K に対して、2 ≤ r(K) ≤ b(K) = 2 より、r(K) = 2 であることが分かる。
問題 8.2.4. r(K) = b(K) を満たす結び目を特徴付けよ。
定理 8.2.5 ([89]). 代数結び目 K に対して、r(K) ≤ 3 が成り立つ。
定理 8.2.6 ([89]). (p, q, r) 型プレッツェル結び目 K に対して、r(K) = 3 であるための必要十分条件は、(p, q, r) = ±(−2, 3, 3) または ±(−2, 3, 5) である。
予想 8.2.7. 交代結び目 K に対して、r(K) = 2 が成り立つ。
代表性は、タングル分解と密接に関係する。
定理 8.2.8 ([88]). 結び目 K に対して r(K) = n ならば、k < n に関して本質的 k-ストリングタングル分解を持たない。
系 8.2.9. 任意の合成結び目 K に対して、r(K) = 2 である。また、本質的コンウェイ球面を持つ結び目 Kに対して、r(K) ≤ 4 が成り立つ。
定理 8.2.10 ([88]). F を S 3 に埋め込まれた閉曲面とする。このとき、任意の n に対して、r(F, K) ≥ n を満たす結び目 K が存在する。

8.3

ニューワース予想

予想 8.3.1 ([71]). 任意の非自明な結び目 K に対して、F ∩ E(K) が連結かつ本質的であるような K を含
む閉曲面 F が存在する。
定理 8.3.2 ([87]). もし結び目 K が、ザイフェルトステイト ~σ 以外のステイト σ に関して、σ-充足かつ σ等質ならば、K はニューワース予想を満たす。特に、充足結び目はニューワース予想を満たす。
注 8.3.3 ([87]). ロルフセンの結び目表（[96]）において、819 , 10124 , 10128 , 10134 , 10139 , 10142
を除く全ての 10 交点の結び目は、ザイフェルトステイト ~σ と異なる正または負ステイト σ に関し て 、σ-充 足 か つ σ-等 質 で あ る 。ま た 、ホ ス テ–ティス ル ス ウェイ ト の 結 び 目 表（[44]）に お い て 、K11n 93, K11n 95, K11n 118, K11n 126, K11n 136, K11n 169, K11n 171, K11n 180, K11n 181 を除く全ての 11 交点の結び目は、ザイフェルトステイト ~σ と異なる正または負ステイト σ に関して、σ-充足かつ σ等質である。更に、10134 , 10142 , K11n 93, K11n 95, K11n 136, K11n 169, K11n 171, K11n 180, K11n 181
は本質的向き付け不可能チェッカーボード曲面を張ることが確認できる。（III 型のライデマイスター移動が必要な場合がある。）
定理 8.3.4. K を (p, q, r) 型プレッツェル結び目 (|p|, |q|, |r| ≥ 2) とする。このとき、K が本質的プレッツェ
ル曲面を張るための必要十分条件は、(p, q, r) 6= ±(−2, 3, 3), ±(−2, 3, 5) を満たすことである。
注 8.3.5. (p, q, r) = ±(−2, 3, 3), ±(−2, 3, 5) のとき、K はそれぞれ ±(3, 4) 型及び ±(3, 5) 型トーラス結び目である。

8.3. ニューワース予想

91

定理 8.3.6. 10 交点以下の結び目は、ニューワース予想を満たす。

Proof. 注 8.3.3 より、819 , 10128 , 10134 , 10139 , 10142 を除く 10 交点以下の結び目は、向き付け不可能なσ± -ステイト曲面を張る。故に、ニューワース予想を満たす。
819 は (3, 4) 型トーラス結び目であるので、ニューワース予想を満たす。
10128 , 10134 , 10139 は正結び目であるので、σ+ -ステイト曲面は向き付け可能であり、これらの曲面は使うことができない。ところが、これらの結び目は、それぞれクロスキャップ数 4, 3, 2 の本質的向き付け不可能曲面を張ることが観察できる。

10142 も正結び目である。これは (−4, 3, 3) 型プレッツェル結び目でもあり、向き付け不可能なプレッツェ
ル曲面を張る。定理 8.3.4 より、この曲面は本質的であるので、ニューワース予想を満たす。
以上で述べたニューワース予想を満たす全ての結び目は、トーラス結び目を除き、本質的向き付け不可能曲面を張ることが分かっている。このことから、以下の予想が強く期待される。
予想 8.3.7. 双曲結び目は、本質的向き付け不可能曲面を張る。

8.3.1

閉偽曲面

各点の近傍が次のいずれかに同相な多面体を閉偽曲面という。

Pʼʼ

Pʼ

Pʼ

Pʼ

閉偽曲面 P が向き付け可能であるとは、P − P 0 の各成分が向き付け可能のときとする。
閉偽曲面 P が縦横分解 P = Pv ∪ Ph を持つとは、Ph が P の閉部分曲面で、Pv は S 3 − Ph の各成分の閉包に適切に埋め込まれた曲面のときとする。
縦横分解 P = Pv ∪ Ph を持つ偽曲面の各３重点を平滑化して、結び目又は絡み目 K と、縦曲面 Fv 及び横曲面 Fh を次のように得る。このとき、K は P 0 から +-平滑化によって得られ、Fv 及び Fh は P から +平滑化によって得られたという。−-平滑化についても、同様に定義される。

Pv

Fv

Fh

Ph
Pv

Fv
閉偽曲面 P = Pv ∪ Ph の +-平滑化

S 3 に埋め込まれた縦横分解を持つ閉偽曲面 P = Pv ∪ Ph が本質的であるとは、S 3 − P は既約であり、 P
は圧縮ディスク・1 角形・2 角形を持たず、Ph は 2 次元球面成分を持たないときをいう。

第8章

92

1 角形（monogon）

巻き付き曲面2 角形（bigon）

定理 8.3.8. P = Pv ∪ Ph を S 3 に埋め込まれた縦横分解を持つ向き付け可能な本質的閉偽曲面とする。Fvと Fh をそれぞれ P から +-平滑化によって得られる縦曲面と横曲面とし、K を P 0 から +-平滑化によって得られる結び目又は絡み目とする。このとき、Fv と Fh は E(K) 内で本質的であり、K は非分離的かつ素である。更に、K が結び目の場合、∆(∂Fv , ∂Fh ) = |P 00 | であり、もし Fv が向き付け可能ならば Fh は連結である。
結び目又は絡み目 K が一様にねじれているとは、S 3 内に埋め込まれた縦横分解を持つ向き付け可能な本
質的閉偽曲面 P = Pv ∪ Ph から + 又は −-平滑化によって P 0 から得られるときをいう。定理 8.3.8 において、もし Fv が向き付け不可能ならば、K は ∂N (Fv ) 上非分離的に乗せることができる。従って、次の系を得る。
系 8.3.9. 一様にねじれている結び目は Neuwirth conjecture を満たす。

Proof. Fh または Fv の圧縮ディスク D における、D ∩ (Fv ∪ Fh ) に関する最も外側のディスク δ の境界は、閉偽曲面の P の 2 角形（bigon）を与える。

以降、K を結び目と仮定する。
各 3 重点において +-平滑化をしているので、min |∂Fv ∩ ∂Fh | = 2|P 00 | であり、|∂Fh | = 2 であるから、∆(∂Fv , ∂Fh ) = |P 00 | が成り立つ。

8.3. ニューワース予想

93∂Fv と ∂Fh の交点
Fv が向き付け可能と仮定すると、K は Fv の向きによって向き付けすることができる。これにより、Fhが連結であることが分かる。

Fv によって誘導された K の向き

例 8.3.10. S 3 に埋め込まれた S 2 上に 2-連結グラフ G を用意する。このとき、閉曲面 Ph = ∂N (G) が得られる。

2-連結グラフ G

閉曲面 Ph

閉曲面 Ph の補空間にあるディスクを合わせることで、縦横分解 P = Pv ∪ Ph を持つ閉偽曲面 P を得る。
閉偽曲面 P から +-平滑化により、一様にねじれている結び目 K が得られる。

第8章

94

閉偽曲面 P

巻き付き曲面一様にねじれている結び目 K

一様にねじれている結び目及び絡み目がどれだけ広いクラスか知っておきたい。
問題 8.3.11. 一様にねじれていない素な結び目または絡み目は存在するか？

Neuwirth conjecture を絡み目に拡張する。
予想 8.3.12. 3 次元球面内の任意の非自明かつ非分離的な絡み目 L に対し、L の各成分を非分離的に含む
閉曲面 F で、L の外部において本質的であるものが存在する。

8.4

共存性

定理 8.4.1 ([61]). 任意の結び目 k に対し、あるトーラス結び目 K が存在して、K の最小種数ザイフェルト曲面に k は含まれる。
この定理は、S(K) = {k|k ⊂ F, F は K の最小種数ザイフェルト曲面 }と定義すると、{ 結び目 } =∪S(K), K は全てのトーラス結び目と言い換えることができる。
注 8.4.2. トーラス結び目 T (p, q), T (p0 , q 0 ) に対して、p ≤ p0 , q ≤ q 0 ならば、S(T (p, q)) ⊂ S(T (p0 , q 0 )) が成り立つ。従って、全ての結び目は、トーラス結び目 T (p, q) により階層を持つ。
例 8.4.3. P (−2, 3, 7) ∈ S(31 ) である。

8.4. 共存性

95

三葉結び目 31 のザイフェルト曲面上に、プレッツェル結び目 P (−2, 3, 7) が乗っている図

http://sketchesoftopology.wordpress.com/2010/09/02/that-pretzel-knot-again/ より
命題 8.4.4. S(31 ) = {K(m, n)|m, n > 0, m, n : integer} と表すことができる。g(K(m, n)) = (m2 + n2 +mn − 2m − 2n + 1)/2 が成り立つ。また、S(31 ) に属する結び目は、正ブレイドで表せるので、ファイバー
結び目である。
例えば、K(1, 2) = 31 、K(1, 3) = 819 である。
この命題により、41 , 51 6∈ S(31 ) が分かる。どの自然数 m, n に対しても、g(K(m, n)) = (m2 + n2 + mn −2m − 2n + 1)/2 = 2 とはならないので、51 ∈ S(31 ) とすると、g(51 ) = 2 に矛盾する。
定義 8.4.5. 二つの結び目 K と L が友愛結び目であるとは、L を含む K の最小種数ザイフェルト曲面、及び K を含む L の最小種数ザイフェルト曲面が存在するときをいう。
例えば、31 と 819 は友愛結び目であるが、31 と 41 は友愛結び目でない。
どの結び目にも、友愛結び目となる相手が存在するかどうかは今のところ分かっていない。但し、自明な結び目は孤独であるので除外する。

第 IV 部

付録

99

第 9 章 結び目と曲面の表第 III 部で述べた結び目と曲面の関係をまとめると、次の表になる。

4.4.1 本質的曲面の 4 つの種類で述べたように、結び目と曲面の関係は、∂F = K 、F ⊃ K 、F t K 、F ∩ K = ∅ の 4 つに分類される。それぞれについて、本質的曲面である場合と、ヒーガード曲面である場
合の 2 つに分けられる。

Table of knots and surfaces

101

第 10 章

結び目理論の未解決問題

結び目理論にはまだまだ魅力的な予想が沢山ある。しかし、その殆どが全ての結び目に対する予想である
為、非常に難しい。現時点では我々はまだ全ての結び目を扱える段階に入っていないのだ。
結び目理論の問題は、分類前と後で大きく二つに分かれる。

1. 同値問題： 与えられた二つの結び目が同値かどうかの判定。もし同値ならば、どのような変形で移り合うか。

2. 構造問題： 結び目全体からなる集合にある構造を与え、それを調べる。
結び目理論において、知られている主な予想は以下のものがある。尚、文献 [51] は低次元トポロジーに関する問題集である。以下、Kirby Problem として参照する。

1. Additivity problem (crossing number, unknotting number, e.t.c.)
2. Nakanishi conjecture (unknotting on minimal diagrams)
3. Lin s nugatory crossing conjecture
4. Cabling conjecture
5. Berge conjecture
6. Fox s slice-ribbon conjecture
7. Kashaev s volume conjecture
8. Garoufalidis s Jones Slope conjecture
9. Lopez conjecture
10. Neuwirth conjecture

Additivity problem
一般に、結び目の連結和に関して不変量（交点数や解消数等）がどう振る舞うか（加法性等）。

• 交点数
Crossing number (knot theory) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Crossing number (knot theory)
一部、結び目の交点数の加法性について書かれています。Kirby Problem 1.65 参照。

第 10 章102

結び目理論の未解決問題• 結び目解消数
Unknotting number - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Unknotting number
結び目解消数について。Kirby Problem 1.69 (B) 参照。

• 上昇数[0705.3337] Ascending number of knots and links
http://arxiv.org/abs/0705.3337
Conjecture 2.5. a(K1 #K2 ) = a(K1 ) + a(K2 ) が成り立つか？
• トランク[0905.4340] Waist and trunk of knots
http://arxiv.org/abs/0905.4340
Problem 1.8. trunk(K1 #K2 ) = max{trunk(K1 ), trunk(K2 )} が成り立つか？

Nakanishi conjecture
任意の非自明な結び目に対して、結び目解消数を下げる交点を含む最小交点の正則表示が存在する。

Lin’s nugatory crossing conjecture
結び目 K を交差交換して再び K が得られたならば、その交差は無効なものに限る。Kirby Problem 1.58
を参照。

[math/0610440] Cosmetic crossing changes of fibered knots
http://arxiv.org/abs/math/0610440
fibered knot に関して、Lin’s nugatory crossing conjecture は正しい。

Cabling conjecture
S 3 内の結び目に沿ったデーン手術で、可約な多様体が得られたならば、その結び目はケーブル結び目に限る。Kirby Problem 1.79 を参照。
最近、Hempel distance が 3 以上の結び目について成り立つことが証明された。

[1209.0197] Bridge distance, Heegaard genus, and Exceptional Surgeries
http://arxiv.org/abs/1209.0197

Berge conjecture
S 3 内の結び目に沿ったデーン手術で、レンズ空間が得られたならば、その結び目はバーギ結び目に限る。
Berge conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Berge conjecture

103

Fox’s slice-ribbon conjecture
スライス結び目はリボン結び目である。

Ribbon knot - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Ribbon knot

Kashaev’s volume conjecture
Volume conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Volume conjecture
Kashaev 不変量（Colored Jones 多項式）と結び目補空間の双曲体積の間の関係式に関する予想。

Garoufalidis’s Jones Slope conjecture
任意の結び目に関して、ジョーンズスロープの 2 倍は常に境界スロープである。

[0911.3627] The Jones slopes of a knot
http://arxiv.org/abs/0911.3627

Lopez conjecture
スモールな 3 次元多様体はスモールな結び目を含む。

The Lopez Conjecture
http://www.aimath.org/research/projects/lopez.html
Lopez conjecture は、閉 3 次元多様体についてであるが、これを境界付き 3 次元多様体に拡張すると、次の予想が考えられる。
Small knot conjecture. スモールな結び目外部には、スモールな結び目が存在する。

Neuwirth conjecture
任意の非自明な結び目 K に対して、K を含む閉曲面 F で、F ∩ E(K) が連結かつ本質的であるものが存在する。

[1103.2576] On the Neuwirth conjecture for knots
http://arxiv.org/abs/1103.2576
現在までの Neuwirth conjecture に関する結果が網羅されている。

[1211.5941] Coexistence of coiled surfaces and spanning surfaces for knots and links
http://arxiv.org/abs/1211.5941
uniformly twisted knot に関して、Neuwirth conjecture が正しいことが示されている。
注 10.0.6. これらは、連結和・交差交換など結び目間の変形で状態がどのように変わるか（1, 2, 3）、デーン手術や分岐被覆で結び目と 3 次元多様体がどのように対応するか（4, 5）、ジョーンズ多項式など代数的不変量がどれだけ幾何的な情報を含んでいるか（7, 8）、圧縮不可能曲面や境界スロープなど位相的な性質の存在について（9, 10）、などに分類される。

104

第 10 章

結び目理論の未解決問題

Rank versus Genus Conjecture
3 次元多様体 M の基本群の階数（生成元の最小数）を r(M ) とし、ヒーガード種数（二つのハンドル体に分けたときの最小種数）を g(M ) とする。このとき、r(M ) ≤ g(M ) が明らかに成り立つが、Waldhausen
は、等号が成り立つか？、即ち、r(M ) = g(M ) か？という問題を提起した。この問題は、r(M ) = 0 のとき、ポアンカレ予想である。Boileau–Zieschang は、ザイフェルトファイバー空間 M で、r(M ) = 2 かつg(M ) = 3 を満たすものを見付けた。Schultens–Weidmann は、グラフ多様体 M で、g(M ) − r(M ) が任意に大きく取れるものを見付けた。
Rank and genus of 3-manifolds
http://www.ams.org/journals/jams/2013-26-03/S0894-0347-2013-00767-5/home.html
http://arxiv.org/abs/1106.6302
この論文で、g(M ) − r(M ) が任意に大きい双曲多様体が初めて構成された。
Waldhausen の問題は、結び目外部について未解決である。即ち、結び目 K の外部 E(K) について、
r(E(K)) = g(E(K)) が成り立つか？という問題である。ここで、K のトンネル数を t(K) とすると、t(K)+1 =g(E(K)) である。
この問題に関連して、Cappell–Shaneson は、結び目の橋数と、結び目群のメリディアンによる生成元の最小数は等しいか？という問題を提起している。

105

第 11 章11.1

結び目の構成方法

まえがき〜How to construct all knots and links〜

ピタゴラスの定理を満たすような３つの数を、ピタゴラス数という。ピタゴラス数は、木を用いて構成することができる。

Tree of primitive Pythagorean triples - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Tree of primitive Pythagorean triples

The tree of primitive Pythagorean triples
このように、構成的に全ての結び目を作り出す方法はないだろうか？但し、構成過程において、重複は有限個であり、その間の関係が明らかであるとする。

11.2

ファイバー結び目の構成

How to construct all fibered knots and links
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/004093838290009X
任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプランビング、及び、
ツイスティングの系列により得られる。

第 11 章106

結び目の構成方法

Hopf plumbing
On the stable equivalence of open books in three-manifolds
http://www.msp.warwick.ac.uk/gt/2006/10/p004.xhtml
任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプランビングの系列により得られる。

11.3

Thurston Norm Minimizing Surface を用いた全ての結び目の構成

Thurston norm minimizing surfaces and skein trees for links in S 3
http://www.ams.org/journals/proc/1989-106-04/S0002-9939-1989-0969321-3/
Harer の結果は、Thompson により一般化されている。即ち、任意の非分離的絡み目 L に対し、自明な結び目が張るディスクから始まる、Thurston ノルムが最小であるザイフェルト曲面の系列 {S1 , ..., Sn } が存在し、Si は Si−1 から、ホップアニュラスのプランビングか、または、ツイスティングにより得られる。

Twisting and plumbing

11.4. トンネル数１の結び目の構成

11.4

107

トンネル数１の結び目の構成

The tree of knot tunnels
http://arxiv.org/abs/math/0611921
任意のトンネル数１の結び目は、自明な結び目から唯一つのケーブリング構成の系列によって得られる。

Cabling construction

11.5

トンネル数 n の結び目の構成

Tunnel complexes of 3―manifolds
http://www.msp.warwick.ac.uk/agt/2011/11-01/p010.xhtml
トンネル数 1 の結び目に関する Cho-McCullough の結果は、トンネル数 n の結び目へ一般化されている。
但し、構成は一意的ではない。

Tunnel complex

11.6

結び目射影図による半順序

A Partial Order of Knots

第 11 章108

結び目の構成方法

http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.tjm/1270133558
結び目の構成方法ではないが、全ての結び目からなる集合に対して、半順序が定義されている。

Partial order of knots

109

第 12 章

結び目の表

01

31

41

51

52

61

62

63

71

第 12 章 結び目の表

110

72

73

74

75

76

77

81

82

83

111

84

85

86

87

88

89

810

811

812

第 12 章 結び目の表

112

813

814

815

816

817

818

819

820

821

113

関連図書

[1] C. Adams, J. Brock, J. Bugbee, T. Comar, K. Faigin, A. Huston, A. Joseph and D. Pesikoﬀ, Almost
alternating links, Topology Appl. 46 (1992) 151–165.
[2] C. Adams, Toroidally alternating knots and links, Topology 33 (1994) 353–369.
[3] J. W. Alexander, On the subdivision of a 3-space by a polyhedron, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 10(1924) 6-8.
[4] J. W. Alexander, An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Region which is not Simply
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