数理解析研究所講究録
第 893 巻 1995 年 150-159

150

SOLVING BELTRAMI EQUATIONS BY CIRCLE PACKING

京都教育大学(Hiromi Ohtake)

大竹博巳

はじめに

本稿は Zheng-Xu He 著の上記の表題の論文 [1] の紹介である. この論文では$\mathbb{C}$係数内の有界 Jordan 領域$\lambda$$\Omega,$$\Omega$

内の異なる $=$ 点$z_{0},$$z_{0}^{/}$

および$\Omega$

上の Beltrami, 即ち$\Vert\lambda\Vert_{\infty}:=ess\sup|\lambda(z)|<1$$z\in\Omega$を満たす可測函数$\lambda:\Omegaarrow \mathbb{C}$に対して, circle packing の方法を利用して Beltrami

方程式 :$f_{\overline{z}}(z)=\lambda(z)f_{z}(z)$(1)$f(z_{0})=0$ ,

a .
$e$

$z\in\Omega$$f(z_{0}’)\in(0,1)$の解である擬等角写像 $f:\Omegaarrow D:=\{|z|<1\}$ の近似を構成することを議論している. $f(z_{0})=0,$ $f(z_{0}’)\in(0,1)$ を求めることを議論している. なお, 原論文では$\mathbb{C}$内の有界 Jordan 領域の場合だけでなく, 閉 Riemann 面内の領域でその境界が Jordan 閉曲線の有限和になっているようなものについても議論しているが本稿では省略させて頂く.
本稿についの予備知識として$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$Koebe-Andreev-Thurston の定理

Ring Lerna
Length-Area Lemma
Hexagonal Packing Lemma
および以上を利用して circle packing から Riemann 写像を構成する方法

擬等角写像の一般論
Typeset by$A_{\mathcal{M}}S- T_{E}X$

151を仮定し, ここで改めて主張まで述べることはしないものとする. これらの内の circle packing

までの内容については [3], [5] やこの講究録の他の解説等を,

一

方擬等角写像については Lehto-Virtanen の本 [2] 等を参考にして頂きたい. また原論文にある図を参照して頂きたいので, 手元に原論文があることも仮定して述べて行くこことする.
$\alpha\in \mathbb{C},$$|\alpha|<1$, とする. 複素変形率 (complex dilatation) が(向きを保つ) Affine 写像によって素変形率は$\alpha$$\cong$角形

であるという. また短く$\triangle$$\triangle$

は$\alpha$であるようなが正$=$– 角形にうつるとき,$\alpha-\underline{=}$角形であるともいう.

$\triangle$$\triangle$の複の相似三角形はすべて同じ複素変形率を持っている.
先ず次の簡単な例を考察してみよう.
例. $\epsilon>0$ は十分小とし, 直径がで circle packing を用いて$\Omega$

以下であるような$\epsilon$$\alpha-\underline{=}$角形とこれを $180^{o}$から単位円板 $D$ への等角写像を構成した方法を思い出してもらおう. そしてその際に regular hexagonal packing の脈体 (nerve)–
これは $\alpha=0$ の場合の範である– を用いた代りに範を使って,$\Omega$を内から近似する三角形分割異と, 脈体が異と同型であるような $D$ の Andreev packing
瓦および自然な $P$ み写像$f_{\epsilon}:|T_{\epsilon}|arrow|P_{\epsilon}|$の極限写像 $f:= \lim f_{\epsilon}:\Omegaarrow D$ はぜならば A を複素変形率が$\alpha$$\alpha$$\epsilonarrow 0$を複素変形率とする擬等角写像になる. なであるような Affine 写像としたとき, A(恥) は

regular hexagonal packing の脈体にな$A(\Omega)$を構成し, 同じ議論を行うと,$-\supset$ているので,$f_{\epsilon}oA^{-1}$の極限 $foA^{-1}$ がから $D$ の上への等角写像になるからである.

上記の例において異と A(牲) は同型であるから, 対応する $D$ 内の Andreev

packing も同型である. それにもかかわらず極限写像が擬等角写像になは,$\alpha-\underline{=}$角形が正$=$– 角形と見なせるような計量を付けることができる. 一般に$\Omega$$\Omega$

上の Beltrami 係数$-\supset$

たのに入れたからであると理由$\lambda$が与えられたとき,$\Omega$

上の計量を Euclid 計量から $ds$ $:=|dz+\lambda(z)d\overline{z}|$ に取り替えると, 中への等角写像$(\Omega, ds)arrow(\mathbb{C}, |dz|)$

が $(\Omega, |dz|)$ に関しては$\lambda$を複素変形率とする擬等角写像に

なる.

詰まる所,

$\Omega$

上の Beltrami 係数$\lambda$

に対して, $|T|$ が$\Omega$を近似しているよう152

な三角形分割丁を構成し, $T$ の元である各三角形$\triangle$

上において$\triangle$の複素変形率に等しいとして定めた区分的に定数であるような Beltranu 係数が を近似するようにできたならば, circle packing を利用して Beltrami 方程式が解けたこ$\lambda$とになるであろう, 以降の節で He の原論文に従$\vee\supset$てそのような $T$ を構成し, $T$に対応する PL-写像が実際 Beltrami 方程式の近似解にな$\vee\supset$ていることを確か

めて行こう.

近似解の構成$\Omega$

を有界 Jordan 領域とし,して, $Qo:=$$z_{0},$$z_{0}’\in\Omega$を固定する.

全体により平面$\mathbb{C}$を埋め尽くす.

となるようなすべての $Q$ を含む最小の Jordan 閉領域を
$Q\subset\Omega$となるすべての $Q$ の和集合を(2)$\lim_{\deltaarrow 0}$

は明らかであり,$\Omega$Area$\tilde{\Omega}_{\delta}$$\overline{\Omega}_{\delta}$で表わす. (原論文図 1 参照)$(\Omega\backslash \tilde{\Omega}_{\delta})=0$

が Jordan 領域であることから$\deltaarrow 0$$\delta>0$$0<\epsilon\leq\delta$がわかる.
上の Beltrami 係数$\lambda$に対して$\lambda(Q):=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{Area(Q)}\iint_{Q}\lambda(z)dxdy, Q\subset\overline{\Omega}_{\delta} \text{の場合}0, \text{他の場合}\end{array}$とし,$\lambda$の近似可測函数$\lambda_{\delta}:\Omegaarrow \mathbb{C}$を$\lambda_{\delta}|_{Q\cap\Omega}=\lambda(Q)$で定める. このとき

$Q$

:;

$\overline{\Omega}\cap Q\neq\emptyset$, その内部を$\Omega=ker\overline{\Omega}_{\delta}:=\cup int(\cap\overline{\Omega}_{\epsilon})$$\Omega$

を十分小と

勧十吻: $0\leq x\leq\delta,$ $0\leq y\leq\sqrt{3}\delta/2$ } の平行移動図形$Q_{0}+j\delta+k(1+\sqrt{3}i)\delta/2(j, k\in Z)$

し,$\delta>0$$\Omega_{\delta}$

と

153

補題 1.

$\Vert\lambda_{\delta}\Vert_{\infty}\leq$$||\lambda||\infty$。かつ$\lim_{\deltaarrow 0}\int\int_{\Omega}|\lambda_{\delta}(z)-\lambda(z)|dxdy=0$.

証明 : 前半の主張は定義から明らかである.

一般にん$\in L^{1}(\Omega)$は線型であって,$\Vert\lambda-\omega\Vert_{1}<\epsilon$のも成り立つ.

$\Vert h_{\delta}\Vert_{1}\leq\Vert h\Vert_{1}$となるようとる.

$|z-w|\leq\sqrt{7}\delta/2=$$z\in\overline{\Omega}_{\delta}$に対して, 上記のようにして$\omega$$z$

を作$-\supset$

たとき, 対応ん

さて $\epsilon>0$ とし,$\mapsto h_{\delta}$$\omega\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$をは一様連続だから, $\delta>0$ を十分小さく取ると

diam $(Q)$ ならばにおいて,$h_{\delta}$$|\omega(z)-\omega(w)|\leq\epsilon$となる. ほとんどすべてを含んでいるような $Q$ をとると$|\omega(z)-\omega_{\delta}(z)|=|\omega(z)-\omega(Q)|$$= \frac{1}{Area(Q)}|.\int\int_{Q}\omega(z)-\omega(w)dudv|\leq\epsilon$.

そこで$\Vert\omega-\omega_{\delta}\Vert_{1}\leq\epsilon$

Area$(\tilde{\Omega}_{\delta})+\Vert\omega\Vert_{\infty}$

Area$(\Omega\backslash \overline{\Omega}_{\delta})$.

故に$\Vert\lambda-\lambda_{\delta}\Vert_{1}\leq\Vert\lambda-\omega\Vert_{1}+\Vert\omega-\omega\delta\Vert_{1}+\Vert\omega-\lambda\Vert_{1}-$$\leq 2\Vert\lambda-\omega\Vert_{1}+\Vert\omega-\omega\delta\Vert_{1}$$\leq$( $2+$ Area

(2) と合わせて後半の主張を得る.
各$Q\subset\overline{\Omega}_{\delta}$

および$z_{4}$$(\Omega)$)$\epsilon+\Vert\omega\Vert_{\infty}$

Area$(\Omega\backslash \overline{\Omega}_{\delta})$.

口に対して, その左下, 右下, 右上, 左上の頂点をそれぞれとし, Affine 写像

を$\Psi_{Q}:\mathbb{C}arrow \mathbb{C}$$\psi_{Q}(z):=\frac{1+\overline{\lambda(Q)}}{1-|\lambda(Q)|^{2}}(z-z_{1}+\lambda(Q)(\overline{z}-\overline{z}_{1}))$で定める.

$\psi_{Q}$は$\lambda(Q)$を複素歪曲率とする擬等角写像であり, $Q$ を$z_{1}’:=\psi_{Q}(z_{1})=0$,$z_{2}’:=\psi_{Q}(z_{2})=x_{2}$,$z_{3}’:=\psi_{Q}(z_{3})=x_{1}+x_{2}+(\sqrt{3}\delta/2)i$$z_{4}’:=\psi_{Q}(z_{4})=x_{1}+(\sqrt{3}\delta/2)i$,$z_{1},$$z_{23}z$154を四頂点とする平行四辺形 $Q’$ に写像する. ここに,$x_{1}:= \frac{\sqrt{3}{\rm Im}\lambda(Q)}{1-|\lambda(Q)|^{2}}\delta$$\ovalbox{\tt\small REJECT};=\frac{|1+\lambda(Q)|^{2}}{1-|\lambda(Q)|^{2}}\delta$

である. (原論文図 2 参照)$n=n_{\delta}:=(2[1/\delta])^{2}$$\underline{=}$と定め,$H_{\delta}$

を一辺の長さが$\delta/n$の正$=$– 角形による$\mathbb{C}$

の

角形分割で
$\bullet$$\bullet$

原点
$0$

$0$

は

$H_{\delta}$の頂点のひとっを頂点に持ち, 実軸に含まれているような辺が存在する

ようなものとする. (原論文図 3 参照)
さて$H_{\delta}$の三角形のうち$Q^{/}$

内にあり,できる単体複体を $H(Q’)$ とする.

$\partial Q’$$|H(Q’)|$と $\delta/2n$ 以上離れているものから

は Jordan 閉領域になっている.

(原

論文図 4 参照)以下
$z_{1}’’,$$C_{2},$$C_{1},$$\cdots$。のみによは$||\lambda||\infty$$\vee\supset$て定まる正定数を表わすものとする.

をそれぞれ $|H(Q’)|$ の最下辺の左端, 右端,$z_{2}’’$$z_{3}’’,$$z_{4}’’$

をそれぞれ $|H(Q’)|$ の最上辺の右端, 左端とする. 線分 $z_{j}’z_{j}’’(j=1,2,3,4)$ の長さはすべて$\delta/2n$以上であるがさらに,$|x_{1}/(V3\delta/2)|\leq C_{1}$より,$C_{2}\delta/n$形$\{z\in Q’$:dist $(z,$ $\partial Q’)\geq 3\delta/2n\}\subset|H(Q’)|$

以下となる. $Q’\backslash |H(Q’)|$ を四つの線分に分ける. このうち台形$R_{41}$

かつ$z_{1}’z_{2}’z_{2}’’z_{1}’’$

を$R_{12}$$z_{j^{Z}j}’’’$

で切$\vee\supset$て四つの閉集合とし, ここから反時計回りに$R_{23},$$R_{34}$,と名付ける. (原論文図 5 参照) これらの図形を三角形分割しよう. 先ず台$R_{12}$においては次のように行う. 辺

一方, 辺$z_{2}’’,$$z_{1}’’$

分$vv^{/}$$z_{1}’’z_{2}’’$は長さ以外の各頂点$\delta/n$$v$$z_{1}’z_{2}’$

は

等分して,

$n$

$n$

個の辺に分ける.

の辺の和集合になっている. これらの頂点の内 4,から対辺上にある最も近い位置にある頂点$v^{/}$$z_{2}’$,をとり, 線を三角形分割の辺であるようにする. この操作だけではまだ四角形が残る可能性があり,$R_{12}$の三角形分割ができたとは限らないが, 残った四角形については短い方の対角線を辺に加えることにより$R_{12}$の三角形分割が得られる.

ここでこの$=$– 角形分割によりできた辺の長さが $\delta/2n$ 以上, $C_{3}\delta/n$ 以下であることを注意しておく. ま$\vee\supset$

たく同じ方法によりに $R_{23}$ の三角形分割を行う.

$R_{34}$の三角形分割が得られる. 次

先ず直線 $\{z:{\rm Im} z=\sqrt{3}j\delta/2n\}(j=1, \ldots, n-1)$

155

で $R_{23}$ を切り, 2 個の$=$– 角形と$(n-2)$ 個の台形に分ける. 台形の四頂点を除いた周上に $H(Q’)$ の頂点が存在していない場合には短い方の対角線を三角形分割の辺に加え, 頂点$v$が存在している場合には対辺の端点の内で

$v$

$v$

に近い方と

を結ぶ線分を辺に加えて, $H(Q’)$ の頂点が存在していない場合に帰着させる.

これで$R_{23}$の三角形分割が得られた.

$Q$

の$=$
– 角形分割丁 (Q)を $T(Q):=\Psi_{Q}^{-1}(T(Q’))$ で定める.

三角形分割を張り合わせることにより,$Q\subset\overline{\Omega}_{\delta}\backslash$int$\overline{\Omega}_{\delta}$に対しては, $Q$ 内の行い, 以上を合わせて$\overline{\Omega}_{\delta}$の$=$– 角形分割についても同様に行う.

の三角形分割を合わせて $Q’$ の三角形分割丁 (Q’)

$H(Q’),$ $R_{12},$ $R_{23},$ $R_{34},$ $R_{41}$をつくり,$R_{41}$$H_{\delta}$の三角形分割の三角形分割が得られる.

$\overline{\Omega}_{\delta}$の辺, 頂点と$T_{\delta}$

これらの$\partial Q$

により$\underline{=}$

さらに

角形分割を

を得る. 構成方法から次の補題がわ

かる.

補題 2.

$T_{\delta}$の各辺の長さは$C_{4}\delta/n$以上$C_{5}\delta/n$

以下である. 特に,$T_{\delta}$は$\delta$に依らず一様に有界次数である.
一般に単体複体丁の頂点$v$と非負整数 $m$ に対して, $T$ の部分複体 $G(T, v, m)$を$\bullet G(T, v, 0):=\{v\}$$\bullet$,$G(T, v, m+1)$ は $G(T, v, m)$ の少なくともひとつの頂点を含む $T$ の辺単体の集合
により帰納的に定める.
$T_{\delta}$

は以下の性質も持

補題 3.
は$T_{\delta}$

(i)

境界

$\vee\supset$ている.

上にある頂点$\partial|T_{\delta}|$$v$に対して, $G(T_{\delta}, v, n-1)$ の各頂点の高々六つの辺の端点になっていて, $G(T_{\delta}, v, n-1)$ の各辺の長さは$\delta/n$

以下である.

(ii)$0\leq m\ll n,$$Q\subset\tilde{\Omega}_{\delta}$とする. $H(Q)$ の三角形

して $G(T_{\delta}, v, m)\subset H(Q)$ が成立するような$\triangle$$\triangle$が成立する.

$(Q \backslash |I_{m}(Q)|)\leq C_{6}\frac{m}{n}$

$v$

に対

およびその辺単体の成す $T(Q)$の部分複体を $I_{m}(Q)$ とすると

Area

で, その各頂点

Area $(Q)$156

証明 :(i) : $v\in Q$ となる $Q$ は(ii): $H(Q’)$ に属する– 角形$=$$\triangle$$\tilde{\Omega}_{\delta}$に含まれないので,の直径は$\delta/n$の作り方から従う.

$T_{\delta}$であるので,$\triangle$

の$=$
– 頂点と

$\partial Q’$の距離がすべて $m\delta/n+\delta/2n$ 以上であるならば $\triangle\in I_{m}(Q’):=\Psi_{Q}(I_{m}(Q))$ となる. そこで$\partial Q^{/}$

からの距離が $(m+1)\delta/n+\delta/2n$ 以上であるような点はすべて $|I_{m}(Q’)|$ に含まれる. よ$\vee\supset$.

は Affine 写像であるから面積比を変えないので, 主張が成立する.

Koebe-Andreev-Thurston の定理により, Jordan 領域
対して $D$ 上の circle packing
つ, 脈体が$T_{\delta}$$P_{\delta}$

内のて$\frac{Area(Q’\backslash |I_{m}(Q’)|)}{Area(Q’)}\leq C_{6}\frac{m}{n}$$\Psi_{Q}$$Q^{/}$$\overline{\Omega}_{\delta}$の三角形分割乃にで, 各 border circle が単位円周と同型であるようなものが存在する.

$P_{\delta}$

口$\partial D$に内接しかは $D$ の M\"obius 変換でうつり合うものを同一視すれば一意的である.

乃の頂点を, 対応する 島の circle の中心にうつす写像を, 乃の各単体
上では Affine 変換になっているようにして:$|T_{\delta}|=\overline{\Omega}_{\delta}arrow D$を$9\delta$

で表わすものとする. 但し,を満たすように正規化しておく. そして最後に,$\lim_{\deltaarrow 0}f_{\delta}$$9\delta$

は $9\delta(zo)=0,$ $g\delta(z_{0}’)\in(0,1)$$f_{\delta}:=g\delta|_{\Omega}$を定める. 次節では, 以上のようにして定義した解であること, 即ちに拡張した中への $PL$ -写像$|T_{\delta}|$$f_{\delta}$

により写像$f_{\delta}:\Omegaarrow D$

が Beltrami 方程式の近似が解であることを示そう.

近似解の収束

前節で構成したんについて次の主定理が成り立つ.
定理 1.

$\deltaarrow 0$のとき,$f_{\delta}$

はある擬等角写像 $f:\Omegaarrow D$ に$\Omega$

上で広義一様収束し, 極限写像 $f$ は Beltrami 方程式 (1) の解である.

この主定理は通常の議論により次の定理から導くことができる.
定理 2.
の列

$0$

$\{f_{\delta(k)}\}_{k=0}^{\infty}$に収束している任意の正数列$\{\delta(k)\}_{k=0}^{\infty}$

に対して, 擬等角写像

は Beltrami 方程式 (1) の解であるような擬等角写像 $f:\Omegaarrow D$に広義一様収束する部分列を含む.

157

証明 : 補題 2 より界である. よ$P_{\delta}$の脈体の成すグラフの次数は (て Ring Lemma$arrow\supset$より互いに外接している

下共に一様に有界になるので, PL-写像$9\delta$

方補題 3 (i) と Length-Area Lemma によりのとき一様にさて$\Omega$$0$$\delta$も一様に$P_{\delta}$$C_{7}$に依らず) 一様に有$P_{\delta}$の円の半径比は上-擬等角写像になる.

一の border circle の半径は $\deltaarrow 0$に収束するので, $kerg\delta(\Omega_{\delta})=D$ となる.
は正規族を成す ([2] 定理 II 5.1) から, 部分列を選んだとして$\{f_{\delta(k)}\}_{k=0}^{\infty}$

上で広義一様収束しているとして良い. その極限写像を $f$ とすると, 次の主張が成立する.
補題 4.

$f$

証明 : $f$ がは$\Omega$$C_{7^{-}}$

から $D$ への$C_{7}$

擬等角写像である.

擬等角写像でないとする. [2] 定理 II 53 より $\neq f(\Omega)=1,2$ となるが, $f$ は連続であるから後者は起こり得ない. 一方前者の場合
函数

$0$

結領域

に広義一様収束しているので,$\Omega_{\delta(k)}\backslash \triangle$$\Omega$内の閉円板のモジュラスは有界であるが,$g_{\delta(k)}(\Omega_{\delta(k)})\backslash f_{\delta(k)}(\triangle)$$9\delta(k)$$\Delta$は定数をひとつとると, $=$ 重連による像$g\delta(k)(\Omega_{\delta(k)}\backslash \triangle)=$のモジュラスは非有界になり, 擬等角写像でモジュラスが擬不変であること ([2] 定理 I7.1) に反する. よって, $f$ は

次に, 等角写像$f_{\delta(k)}$$\phi_{k}:Darrow\Omega_{\delta(k)},$$\phi(0)=z0,$ $\phi^{-1}(z_{0}’)\in(0,1)$$\phi_{k}(0)=z0,$$C_{7}$

擬等角写像である.

$\phi_{k}^{-1}(z_{0}’)\in(0,1),$$\phi:Darrow\Omega$

,

をとる.

$\Omega=kker\Omega_{\delta(k)}:=\bigcup_{k=0}^{\infty}$

int$( \bigcap_{j\geq k}\Omega_{\delta(j)})arrow\infty$であるから Carath\’eodory kemel theorem ([4] 定理 1.1.8) により 戦は義一様収束する.

部分列を選ぶことにより, 中への$\phi_{k}:Darrow D,$ $g_{\delta(k)}o\phi_{k}(0)=0$$\lim g_{\delta(k)}o\phi_{k}=fo\phi$$C_{7}$

擬等角写像列$\phi$に広$g_{\delta(k)^{O}}$, も広義一様収束しているとして良い. このときとなるので, 再び Carath\’eodory の定理より $f(\Omega)=fo\phi(D)=$$kerg_{\delta(k)}o\phi_{k}(D)=kerg_{\delta(k)}(\Omega_{\delta(k)})=D$を得る.

$\square$定理 2 の証明を続けよう. 残, ているのは, $f$ の複素変形率 $\mu(f)$ が$\supset$$\lambda$の等しいことを示すことのみである. そのためには, [2] 定理 IV 52 より, 更に部分列を選んだとして$\lim_{karrow\infty}\mu(f_{\delta(k)})(z)=\lambda(z)$

$a.e$

.

$z\in\Omega$

158

を示せば良いが, これには補題 1 より

(3)$\lim_{karrow\infty}\int\int_{\Omega}|\mu(f_{\delta(k)})-\lambda_{\delta(k)}|dxdy=0$を示せば十分である.
先ず, 補題 1 と式 (2) より$\lim_{karrow\infty}\int\int_{\Omega\backslash \overline{\Omega}_{\delta(k)}}|\mu(f_{\delta(k)})-\lambda_{\delta(k)}|dxdy$$(4)$$\leq 2\lim_{karrow\infty}$

次に, $m(k):=2$ [1/ (ん)], n(ん)Area$\delta$$\check\supset$$:=n_{\delta(k)}$$(\Omega\backslash \overline{\Omega}_{\delta(k)})=0$と定めると,$n_{\delta}$.

の定義より, m(ん)$arrow\infty$かm(k)/n(ん) $=l/m(k)arrow 0$ となるので$\lim_{karrow\infty}\sum_{Q\subset\tilde{\Omega}_{\delta(k)}}\int\int_{Q\backslash |I_{m(k)}(Q)|}|\mu(f_{\delta(k)})-\lambda_{\delta(k)}|dxdy$

Area $(Q\backslash |I_{m(k)}(Q)|)$$\leq 2\lim_{karrow\infty}\sum_{Q\subset\tilde{\Omega}_{\delta(k)}}$$(5)$

Area $(Q)$$\sum$$\leq 2C_{6}\lim_{karrow\infty}\frac{m(k)}{n(k)}$$Q\subset\tilde{\Omega}_{\delta(k)}$$\leq 2C_{6}$Area

最後に, $\Psi_{Q}(I_{m(k)}(Q))$ の各頂点$( \Omega)\lim_{karrow\infty}\frac{m(k)}{n(\text{ん})}=0$$v$.

に対して, $G(T(Q’), v,$ 蝋た $))=G(H_{\delta}, v, m(k))$

であるので,$v$

を端点とする任意の $=$ 辺の比は $1+s_{m(k)}$ で評価できる. ここには$0$に収束する正数列であ$\{s_{m}\}_{m=0}^{\infty}$

ある He’xagonal Packing 定数である.

$\vee\supset$て, Hexagonal Packing Lemma の主張に

そこで$f_{\delta}$の定義より, 任意の $\epsilon>0$ に対してんを十分大きくとれば, PL-写像 $f_{\delta(k)}o\Psi_{Q}^{-1}:Q’arrow D$ の複素変形率は$\Psi_{Q}(|I_{m(k)}(Q)|)$において$\epsilon$

で評価できる. よ$\vee\supset$て$|I_{m(k)}(Q)|$上で$|\mu(f_{\delta(k)})-\lambda_{\delta}|=|\mu((f_{\delta(k)}o\Psi_{Q}^{-1})0\Psi_{Q})-\mu(\Psi_{Q})|$$\leq 2|\mu(f_{\delta(k)}o\Psi_{Q}^{-1})|\leq 2\epsilon$となるから,

159

無$\sum_{Q\subset\tilde{\Omega}_{\delta(k)}}.\int\int_{|I_{m(k)}(Q)|}|\mu(f_{\delta(k)})-\lambda_{\delta(k)}|dxdy$(6)

Area $(|I_{m(k)}(Q)|)$$\leq 2\epsilon\lim_{karrow\infty}\sum_{Q\subset\tilde{\Omega}_{\delta(k)}}$$\leq 2\epsilon$

Area$(\Omega)$.

以上 (4), (5), (6) より主張 (3) が導かれる.

ロ

参考文献

[1] Z.-X. He: Solving Beltrami equations by circle packing, Trans. Amer.

Math. Soc. 322 (1990), 657-670-.
[2] O. Lehto and K. I. Virtanen: Quasiconformal Mappings in the Plane,

Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1973.
[3] A. Marden and B. Rodin : On Thurston’s formulation and proof of An-

dreev’s theorem, Springer Lecture Notes 1435 (1990), 103-115.
[4] Ch. Pommerenke: Boundary Be ん aviour of Conformal Maps, Springer-

Verlag, Berlin Heidelberg, 1992.
[5] B. Rodin and D. Sullivan : The convergence of circle packings to the Rie-mann mapping, J. Differential Geom. 26 (1987), 349-360.