数理解析研究所講究録
第 713 巻 1990 年 156-163

Rings with Approximation Property(C. Rotthaus の論文の紹介)

京大理 西村純一 (Jun-ichi NISHIMURA)

0. 序。
最近、 C. Rotthaus により、次の定理$\overline{iE}\Phi$A

Approximation Property を $g\circ$ 局所環は Excellent Hensel である。

$o$が得られたので紹介します。既に Y Artin, Popescu, Rotthaus 等により、
定理$B$

Excellent Hensel 局所環は Approximation Property を持つ。

。

ことが証明されていますので、今度の C. Rotthaus の結果より、結局、定理
局所環 が Approximation Property を持つための必要十分条件は、Excellent Hensel であること。
$A$$C_{o}$$A$がが示されたことになります。

Rotthaus の証明のポイントは、局所環 の完備化 の素イデアル での局所環が正則でないことを適当な方程式系で記述し、次の Artin-Rotthaus (cf. Popescu)$\hat{A}$$A$$\hat{p}$$\hat{A}_{\hat{p}}$に依る、定理 を利用することです。 (詳細は次節以下を参照して下さい。) なお、上記の定理 の証明にも定理 は、本質的に重要な役割を果していました。
$D$

$B$

$D$

$Varrow W$ が Y Excellent Cohen 環 (または、体) の準同型で、$V/pVarrow W/pW$
定理が分離的。 $\ =V[X_{1},$ $\ldots,X_{m}|$ $R=W[[X_{1},$ $\ldots,X_{m}||$ であれば、 $R$ は順滑 $(=$smooth)-代数の順極限 ( $=direct$ limit) で表される。即ち、任意の有限型 -代数 ( $=R_{0}$-algebra of finite type) $B$ に対し、次の図式を可換にする順滑 -代数 $D$ が存在する。
$D_{\circ}$、$R_{0}$$R_{0}$$R_{0}$

馬$\downarrow$$B$$arrow$$\nearrow$$arrow$

1$R$$\uparrow$$D$1. 準備。 (定義、記号、事実、等)
定義 1.1 局所環 が Approximation Property (以下、 $(AP)$ と略) を持つとは、 上$f_{N}(Y)\in A[Y]$ が、の多項式環 $A[Y]=A[Y_{1}, \ldots,Y_{n}]\langle n$ は任意) の方程式 F 系 $f1(Y),$$A$$f_{1}(\hat{y})=...$$=f_{N}(\hat{y})=0$ なの完備化 に解を持つ。即ち、$A$ら、に於ても解 $(y)=(y_{1}, \ldots,y_{n})\in A^{n}$ を持つ。即ち、 $f_{1}(y)=\ldots=f_{N}(y)=0$
$A$

$A$

$\ldots,$$\hat{A}$$(\hat{y})=(\hat{y}_{1}, \ldots,\hat{y}_{n})\in\hat{A}^{n}$。

定義 1.2 局所環
自然な準同型$A$が Excellent とは、 $A$ が強鎖状 (=universally catenary)、且つ、$Aarrow\hat{A}$

注意 1.3が正則射。

自然な準同型

任意の有限所環。

$A$-整域$B$$Aarrow\hat{A}$とが正則射であることと、次は同値。

$\hat{P}\in Spec\hat{B}$に於て、 $\hat{P}\cap B=(0)$ であれば、$\hat{B}_{\hat{P}}$は正則局

が $(AP)$ を持てぱ、 は Hensel 環。更に、注意 1.4が被約 (=reduced)、整域 $(=domain )$ 、正規 $(=normal)$ なら、 もそれぞれ、被約、整域、正規。
$A$

$A$

$A$

$\hat{A}$

次の事実は自明ではありませんが、 よく知られています o
命題 1.5が (AP) を持てぱ、 任意の有限 $A$-代数 $B$ も $(AP)$ を持つ。

$A$

命題 1.5 と注意 1.4 (cf注意 1.3) より、次の系を得ます。

系 16$A$が $(AP)$ を持てば、 自然な準同型 $Aarrow\hat{A}$ は被約射。

系 1.7$A$が $(AP)$ を持てぱ、 $A$ は強鎖状。

系 18$A$が $(AP)$ を持てぱ、 自然な準同型 $Aarrow\hat{A}$ は正規射。

2. 方程 X 系。
以下、 二つの n 次元正則局所環 $(R_{0}, m_{0})$ $(R, m)$ で、であるもの、及び、 $(R/q)_{p}$ が正則でない-R の素イデアル、て話を進めます。
まず、次の補題に注意しておきます。
補題 2.0... ,aが$\varphi(l_{n-h}))$.

$R_{0}\subseteq R$$p$の高さ のイデアルであれば Yの元が m-準素イデアルであるものが見つけられる。
$R$$h$$m_{0}$

2$\ell_{1},$、且つ Y $m_{0}R=m$$q(\in SpecR)$ を固定し$\ldots\ell_{n-h}$で、$(a, \varphi(\ell_{1})$,写像 $\delta:R\backslash \{0\}arrow N(a\mapsto\delta(a))$ を$a\in m^{\delta(a)}\backslash m^{\delta\langle a)+1}$

により、 $R\backslash \{0\}arrow gr_{m}R$の次数 $(=degree)$を の leading form と呼びますー。そして、 $R$ のイデアルに対し、 での元の leading forms で生成された $gr_{m}R$ のイデアルを表します。
$m_{0}=(X_{1}, \ldots,X_{n})$ (即ち、が埼の正則パラメーター系) である時、$(a\vdash a^{*})$$a^{*}$

を $a^{*}=a+m^{\delta(a)+1}\in m^{\delta\langle a)}/m^{\delta\langle a)+1}$ で定めーを$\delta(a)$$a$、$a^{*}$$a$$a$$X_{1},$$\ldots,X_{\mathfrak{n}}$$\Gamma_{k}=\{X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n^{\mathfrak{n}}}^{e}|e_{1}+\cdots+e_{n}=k\}=\{m(k,\gamma)|\gamma=1, \ldots,\gamma_{k}\}$と書きます。

21$q$を記述する方程式系。

最初に、$q$の生成系$t= \max\{\delta(q_{\lambda})|\lambda\in\Lambda\}$を、であれば、$\{q_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$$q^{*}$$(q_{\lambda}^{*})_{\lambda\in\Lambda}=$ずであるように選びます。次に、の $k$ 次成分 $q_{k}^{*}(k\leq t)$$q_{k}^{*}=<q_{\lambda}^{*}(\delta(q_{\lambda})=k),$を$q_{\lambda}^{*}\cdot m(\ell, \gamma)(\delta(q_{\lambda})+\ell=k)>$のように、 R/m- ベクトル空間とみなし、$\Pi_{k}=\{q_{\mu}|\delta(q_{\mu})=k\}\cup\{q_{\nu}\cdot m(p_{\nu}\gamma_{\nu})|\delta(q_{\nu})+P_{\nu}=k\}$を‘を、がベクトル空間の基底であるように取り、$m^{k}/m^{k+1}$がの基底であるように取ります。

$\Pi_{k}^{*}=\{q_{\mu}^{*}\}\cup\{q_{\nu}^{*}\cdot m(\ell_{\nu},\gamma_{\nu})\}$$\Pi_{k}^{*}\cup\Theta_{k}$$\Theta_{k}(\subseteq\Gamma_{k})$$q_{k}^{*}$の元約束。 以下の関係式方程式系に於て、下線記号 (例えば、 ) は、馬上の関係式系を表し、同時に、同じ式を上の方程式系と考える場合には、不定元を表していると解釈します。
$R$$\underline{q}_{\lambda}$$R_{0}$$q_{\lambda}$$Q_{\lambda}$$\{q_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda},$$\Pi_{k},$$\Theta_{k}$Equations 1.

Equations 2.

等の選び方から、次の関係式方程式系を得ます。

$=\Sigma_{\gamma=1}^{\gamma_{k}}\underline{a}_{\lambda\gamma}m(k,\gamma)$$\underline{q}_{\lambda}$$m(k, \kappa)$$=$,$k=\delta(q_{\lambda})(\lambda\in\Lambda)$$\Sigma_{q_{\mu}\in \mathbb{I}_{k}}\underline{b}_{(k,\kappa)\mu}\underline{q}_{\mu}+\Sigma_{q_{\nu}m\langle\ell_{\nu},\gamma_{\nu})\in\Pi_{k}}\underline{c}_{(k,\kappa)\nu}\underline{q}_{\nu}m(\ell_{\nu}, \gamma_{\nu})$$+\Sigma_{m\langle k,\gamma)\in\Theta_{k}}\underline{d}_{(k,\kappa)\gamma}m(k, \gamma)$$+\Sigma_{m\{k+1,\epsilon)\in\Gamma_{k+1}}\underline{e}_{(k,\kappa)\epsilon}m(k+1,\epsilon)$$\Gamma_{k}\backslash \Theta_{k}$$\in$

この時、$(k\leq t)$$B_{1}=R_{0}[Q_{\lambda}, A_{\lambda\gamma}, B_{(k,\kappa)\mu}, C_{(k,\kappa)\nu}, D_{\langle k,\kappa)\gamma}, E_{\langle k,\kappa)\epsilon}]/J_{1}$$J_{1}=(Q_{\lambda}-\Sigma_{\gamma=1}^{\gamma_{k}}A_{\lambda\gamma}m(k,\gamma)$と定義します。但し、,$m(k, \kappa)-\{\Sigma_{q_{\mu}\in\Pi_{k}}B_{\{k,\kappa)\mu}Q_{\mu}+\Sigma_{q_{\nu}m(\ell_{\nu},\gamma_{\nu})\in\Pi_{k}}C_{\langle k,\kappa)\nu}Q_{\nu}m(\ell_{\nu}, \gamma_{\nu})$$+\Sigma_{m\langle k,\gamma)\in\Theta_{k}}D_{(k,\kappa)\gamma}m(k,\gamma)+\Sigma_{m(k+1,\epsilon)\in\Gamma}$

海+13$E_{(k,\kappa)\epsilon}m(k+1, \epsilon)$})R0-準同型

命題 2.11証明。
より q\tilde *=q*。故に、$\varphi_{1}$$\tilde{q}=(\varphi_{1}(Q_{\lambda}))$2.2$p$と表せば、仮定より$\tilde{q}\subseteq q_{0}$であれば、$(\varphi_{1}(Q_{\lambda}))=q_{\text{。}}$

更に、関係式方程式系 1$2$、$\tilde{q}=q_{0}$を増し、 p=(q\mbox{\boldmath $\sigma$})\mbox{\boldmath $\sigma$}\in \Sigma 、且つ ‘を含んでいる、 と仮定します。

$q_{\sigma}\in R(\sigma\in\Sigma(\supset\Lambda))$$v_{1},$$\ldots,$$v_{h}$$s\in R\backslash p$

が存在し Y $sp\subset(v_{1}, \ldots,v_{h})$が次の条件を$\{q_{\sigma}\}_{\sigma\in\Sigma}$、

ht $(v_{1}, \ldots,v_{h})=h_{o}$

即ち、

22.3

$\varphi_{1}(Q_{\lambda})\in q(\lambda\in\Lambda)$の高さ $(htp=h)$ を記述する方程式系。

次に、満たす22.1
222: $B_{1}arrow R$ が$\ell_{1}^{(1)},$

及び $k_{1}(\in N)$ が存在し、$\ldots p_{n-h}^{(1)}\in m_{0}$$m^{k_{1}}\subset(v_{1}, \ldots,v_{h},\ell_{1}^{(1)}, \ldots p_{n-h}^{\langle 1)})R$。

以上より、次の関係式方程式系を得ます。

$\underline{v}_{i}$$(i=1, \ldots,h;\sigma_{2}\in\Sigma)$$=\sim:q$$(\sigma\in\Sigma)$$\underline{s}\underline{q}_{\sigma}=\Sigma_{=1}^{h}\underline{f}_{\sigma}:\underline{v}_{i}$Equations 5.
ここで、$m(k_{1},\gamma)$$=\Sigma_{*=1}^{h}\underline{g}_{\gamma}:\underline{v}_{1}+\Sigma_{j=1}^{n-h}\underline{h}_{\gamma j}p_{j}^{(1)}$$B_{2}=B_{1}[Q_{\sigma}, V_{1}, S, F_{\sigma i}, G_{\gamma i}, H_{\gamma j}]/J_{2}$$(\gamma=1, \ldots,\gamma_{k_{1}})$と定義します。但し、$J_{2}=(V_{1}-Q_{\sigma_{*}}., SQ_{\sigma}- \sum_{=1}^{h}F_{\sigma i}V_{1}, m(k_{1},\gamma)-\{\sum_{i=1}^{h}G_{\gamma i}V_{1}+\sum_{j=1}^{n-h}H_{\gamma j}\ell_{j}^{(1)}\})_{0}$: $B_{2}arrow R$ が命題 22.4 馬-準同型
素イデアル
で、高さ のものが存在する。

$\varphi_{2}(S)\not\in(\varphi_{2}(V_{*}\cdot))$$\varphi_{2}$であれば、$(\varphi_{2}(Q_{\sigma}))$の極小$h$$p_{\varphi_{2}}$関係式方程式系 5 より証明。

$m^{k_{1}}\subset(\varphi_{2}(V_{1}), \ldots, \varphi_{2}(V_{h}), \ell_{1}^{(1)}, \ldots,\ell_{n-h}^{(1)})$だから、は高さ の清純 (=unmixed) イデアル。仮定よである $j(1\leq j\leq r)$ が見つかり、一方り、と表せぱ、関係
式方程式系 4 よりj。依って、十分大きな自然数 が見つかり故に\mbox{\boldmath $\tau$}が求める高さの極小素イデアル。
$(\varphi_{2}(V_{1}), \ldots, \varphi_{2}(V_{h}))=q_{1}.\cap\ldots\cap q_{r}$$h$$a=(\varphi_{2}(Q_{\sigma}))$$\varphi_{2}(S)\not\in q_{j}$$\varphi_{2}(S)a\subseteq q$$p_{\varphi_{2}}=\sqrt{q_{j}}$23$(R/q)_{p}$

以下、

$|$

$\nu$

$a^{\nu}\subseteq q_{j}$。

$h$が正則でないことを記述する方程式系。

A|=m 。即ち、$\{q_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}=\{q_{1}, \ldots, q_{m}\}$4。また、 $m$ 次対称群を$\Omega_{m}$で表します。
さて、 $(R/q)_{p}$ が正則でないことを言い替えますと、 任意の置換が見つかり、非負整数 $k(\omega)(<htq)$ と元$\omega\in\Omega_{m}$に対し、$t(\omega)\in R\backslash p$

23.1$t(\omega)q_{\omega(k(\omega)+1)}\in p^{2}+(q_{*(1)}, \ldots,q_{\omega\langle k\langle v))})$

更に、が存在し$t=\Pi_{\omega\in\Omega_{m}}t(\omega)\not\in p$232

を言い替えますと、。

$\ell_{1}^{(2)},$$\ldots p_{n-h-1}^{(2)}\in m_{0}$及び $k_{2}(\in N)$$m^{k_{2}}\subset(p,t,\ell_{1}^{(2)}, \ldots p_{n-h-1}^{(2)})R_{\text{。}}$

以上より、次の関係式方程式系を得ます。
$=\Sigma_{\sigma,\prime}\underline{k}q\underline{q}+\Sigma^{k\langle\omega)}\underline{m}q$$\underline{t}\underline{q}_{\omega\langle k(v)+1)}$$m(k_{2},\gamma)$

次に、$=\Sigma_{\sigma\in\Sigma}\underline{n}_{\gamma\sigma}\underline{q}_{\sigma}+\underline{r}_{\gamma}\underline{t}+\Sigma_{j=1}^{n-h-1}\underline{u}_{\gamma j}\ell_{j}^{(2)}$$B_{3}=B_{2}[T,K_{td\sigma\tau},M_{vi}, N_{\gamma\sigma},R_{\gamma}, U_{\gamma j}]/J_{3}$と定義します。但し、,$J_{3}=(TQ_{\omega(k(\omega)+1)}-\{\Sigma_{\sigma,\tau\in\Sigma}K_{\omega\sigma\tau}Q_{\sigma}Q_{\tau}+\Sigma_{i=^{t}1}^{k\langle v)}M_{\omega i}Q_{\omega(:)}\}$$m(k_{2},\gamma)-$

命題 2.3.3{$\Sigma_{\sigma\in\Sigma}N_{\gamma\sigma}Q_{\Sigma}+$: $B_{3}arrow R$ がRh-準同型の極小素イデアル$\varphi_{3}$

たせぱ、則でない、 ものが存在する。
$(\varphi_{3}(Q_{\sigma}))$$p_{\varphi_{3}}$瑞$T+\Sigma_{j=1}^{n-h-1}U_{\gamma j}\ell_{J}^{(,2)}$$\varphi_{3}(Q_{\lambda})\in q(\lambda\in\Lambda)$

で、、})

。

$\varphi_{3}(S)\not\in(\varphi_{3}(V_{1}))$$q\subset p_{\varphi s^{\text{、}}}htp_{\varphi_{3}}=h$、$(R/q)_{p_{\varphi_{3}}}$を満が正証明略。

2.4

Sing $(R/q)$ に於ける$p$と他の極小素イデアルとの関係を記述する方程式系。

以後、次のことを仮定して話を進めます。

2.4.1
2.4.2

Sing $(R/q)$ は $Spec(R/q)$ の閉集合、は Sing $(R/q)$ の極小素イデアル。

$p$

Case 1.

htp が Sing $(R/q)$ の極小素イデアルの中で、高さが最小の時。

新しい関係式・方程式系は考えません。
Case 2.

$p_{1}$, .. .,$p_{s}$

が $ht_{P:}<htp(=h)$ である

Sing $(R/q)$ の極小素イデアルの全体の時。
を取れば、 ht $(p,c)=h+l$ 。即ち、
$k_{3}(\in N)$ が存在し、$c \in\bigcap_{i=1}^{s}p_{i}\backslash p$

5$\emptyset_{1^{3)}},$$\ldots p_{n-h-1}^{(3)}\in$mo 及び

2.4.3$m^{k_{3}}\subset(p, c,\ell_{1}^{(3)}, \ldots,\ell_{n-h-1}^{(3)})R_{\text{。}}$

これより、次の関係式方程式系を得ます。

$m(k_{3},\gamma)$

ここで、$=\Sigma_{\sigma\in Z}\underline{v}_{\gamma\sigma}\underline{q}_{\sigma}+\underline{w}_{\gamma}\underline{c}+\Sigma_{j=1}^{n-h-1_{\underline{Z}_{\gamma j}}}p_{j}^{(3)}$$B_{4}=B_{3}[C, V_{\gamma\sigma}, W_{\gamma}, Z_{\gamma j}]/J_{4}$と定義します。但し、$J_{4}=(m(k_{3}, \gamma)-\{\sum_{\sigma\in\Sigma}V_{\gamma\sigma}Q_{\sigma}+W_{\gamma}C+\sum_{j=1}^{n-h-1}Z_{\gamma j}l_{j}^{(3)}\})_{\text{。}}$

命題 2.4.4: $B_{4}arrow R$ が、で、の極小素イデアルを満たせぱ、が正則でなく、 $p_{\varphi_{4}}2p_{i}(i : 1, \ldots, s)$ であるものが存在する。

R0-準同型$\varphi_{4}(C)\equiv c(q)$$(R/q)_{p_{\varphi_{4}}}$$\varphi_{4}(Q_{\lambda})\in q(\lambda\in\Lambda)$$\varphi_{4}$$(\varphi_{4}(Q_{\sigma}))$$p_{\varphi_{4}}$、$\varphi_{4}(S)\not\in(\varphi_{4}(V_{*}\cdot))$$q\subset p_{\varphi_{4^{\text{、}}}}htp_{\varphi_{4}}=h$

、

、証明略。

3. 定理 A の証明。
定理を証明するには、次の主張を示せぱ十分です。
主張 3.1。

$(A, m)$ が $(AP)$を持つ局所整域で、$\hat{p}$\in Sing\^A なら、$\hat{p}\cap A\neq(0)$。

主張の証明を始める前に、記号を準備します。 mm $=(x_{1}, \ldots,x_{m})$ であれば、$W[[X_{1}, \ldots,X_{m}]]/q$ (但し、 $W$ は体、或は、 Cohen 環) ですから、 V が素体 (が等$\hat{A}=$$A$標数の場合)、或は、$Z_{(p)}$($A$が不等標数の場合) であるとしますと、次の可換図式を得ます。

Ro$=V[X_{1}, \ldots,X_{m}]_{(p,X)}$$arrow$$R=W[[X_{1}, \ldots,X_{m}]]$$\downarrow$$A$

主張の証明。

3.1.1$\hat{p}$$\downarrow$$\hat{A}=R/q$$arrow$

主張が正しくなかったと仮定します o つまり\in Sing\^A で$\hat{p}$寡 $A=(0)$ である$\hat{A}$の素イデアルかが存在することになります。そのよらな素イデアルで高さが最小のものかを取り、次の各々の場合について考えます。

Case 1.

$ht\hat{p}$が Sing\^A で最小の場合。

$B=B_{3}$6とします。

Case 2.

$\hat{p}_{1},$$\ldots,\hat{p}_{s}$が、 $ht\hat{p}_{i}<ht\hat{p}$ な Sing\^A の極小素イデアルの全体の時。

寡 A\neq (0) 。従ってが取れ、 の $R$ に於ける元像仮定よりを(但し、 はかの $R$ に於ける元像)。 この場合、 $B$ としてc を選べぱ、取ります。
$c\not\in p$定理

$D$$d$$d \in\bigcap_{1}^{s_{=1}}\hat{p}_{:}\cap A\backslash \{0\}$$\hat{p}_{1}$$B_{4}$$p$より次の図式を可換にする順滑 Ro-代数 $D$ が存在します。

馬$R$$arrow$$\nearrow$$\downarrow$$B$$\uparrow$$D$$arrow$

更に、次の図式を可換にする自然な A-準同型が存在します。

$arrow$$E_{0}=A\otimes_{R_{0}}D$$A\otimes_{R_{0}}R$$\downarrow$$\downarrow$$arrow^{\rho\hat}$$E=E_{0}/(Q_{\lambda}, C-d)$$\hat{A}$をさて、任意の自然数 に対し、 の元であるように選びます。 この時、 が $(AP)$ を持つことより、 A-準: $Earrow A$ で\mbox{\boldmath $\rho$}\mbox{\boldmath $\nu$}(S)- s\mbox{\boldmath $\nu$}同型$\rho_{\nu}(C)=d$ であるものが存在します。
一方、 $D$ が順滑馬-代数、 $R$ が完備局所環な: $Darrow Earrow^{\rho_{\nu}}Aarrow\hat{A}=R/q$ は、次の図式を可換にする &-準同型ので、合成射: $Darrow R$ に持ち上がります。
$A$

$\nu$

$s_{\nu},$$q_{\sigma\nu}\in A(\sigma\in\Sigma\backslash \Lambda)$$\hat{\rho}(S)-s_{\nu}\in\hat{m}^{\nu}$、$A$$\hat{\rho}(Q_{\sigma})-q_{\sigma\nu}\in\hat{m}^{\nu}$$\in m^{\nu}$$\rho_{\nu}$$\rho_{\nu}(Q_{\sigma})-q_{\sigma\nu}\in m^{\nu}$、、$\rho_{\nu}(Q_{\lambda})=0(\lambda\in\Lambda)$、$\psi_{\nu}$$\Psi_{\nu}$埼$\nearrow$$\downarrow$

$D$

この時、

312

$\Psi_{\nu}(Q_{\lambda})=q(\lambda\in\Lambda)$、$R$$arrow$$\downarrow$$arrow^{\psi_{\nu}}$$R/q$$\Psi_{\nu}(C)\equiv c(q)$。更に、が十分大きければ、$\nu$$\Psi_{\nu}(S)\not\in(\Psi_{\nu}(V_{1}), \ldots, \Psi_{\nu}(V_{h}))_{0}$3.12 の証明。
$\subseteq(\psi_{\nu}(Q_{\sigma}))$$\Psi_{\nu}(S)\in(\Psi_{\nu}(V_{1}), \ldots, \Psi_{\nu}(V_{h}))$であり、v。従って、$\psi_{\nu}(S)\in\hat{p}+\hat{m}$

命題 2.4.4 より、 $R$ の素イデアル(但し、則でなく、は負の$p_{\Psi_{\nu}}$$p_{\Psi_{\nu}}2p_{i}$$p_{i}$$R$

7

なら、$\psi_{\nu}(S)\in(\psi_{\nu}(V_{1}), \ldots, \psi_{\nu}(V_{h}))$$\hat{\rho}(S)\in\hat{p}+\hat{m}^{\nu}$。

で $q\subset p_{\Psi_{\nu^{\text{ }}}}htp_{\Psi_{\nu}}=h$ 、 $(R/q)_{Pw_{\nu}}$、が正に於ける元像) であるものが存在します。

163

よって、

$\hat{A}$の素イデアル$\hat{p}_{\Psi_{\nu}}=p_{\Psi_{\nu}}/q$$\hat{p}_{\Psi_{\nu}}\in Sing\hat{A}$を取れば、$ht\hat{p}_{\Psi_{\nu}}=ht\hat{p}$、$\hat{p}_{\Psi_{\nu}}\cap A_{\backslash }\neq(0)$ 、、$\hat{p}_{\Psi_{\nu}}.2^{\hat{p}_{i}}(i=1, \ldots, s)_{\text{。}}$

は Sing\^A の極小素イデアルなので、以上より、 が十分大きければ、が無限個の に於て成立する十分大きなが見つけられ、します。
$\nu$

$k$

$\hat{p}_{\Psi_{\nu}}$$\hat{p}_{\Psi_{\nu}}=\hat{p}_{\Psi_{\nu+k}}$$\nu_{0}$8$\hat{p}\subseteq\hat{p}_{\Psi_{\nu_{0}}}+\hat{m}^{\nu_{0}+k}$が成立