世界を三角関数で表現する
学習院大学理学部数学科・中村周2019 年 8 月 3 日・オープンキャンパス模擬講義・サマリー

1「すべての関数」と三角関数

関数：「関数」と言っても、いろいろな関数がある。１次関数、二次関数、指数関数、分数関数、対数関数、三角関数、など. . . 。今回は、区間 [0, 1] の上の関数を考える。つまり、関数 f とは、

x ∈ [0, 1] に対して f (x) を対応させる「写像」（対応）と考える。
周期的な関数：実数全体で定義された関数 f (x) が（周期１で）「周期的」であるとは、
f (x + 1) = f (x)がすべての x について成り立つこと。このとき、すべての整数 n、すべての実数 x について、
f (x + n) = f (x)であることは、帰納法を用いて簡単に示せる。区間 [0, 1] 上の関数は、上の公式を用いて、周期的な関数と考えても良い（ただし、f (0) = f (1) とする）。
三角関数： sin(2πx), cos(2πx) は周期的な関数。n を整数とすると、sin(n × 2πx) = sin(2πnx),

cos(n × 2πx) = cos(2πnx)も周期的な関数。
フーリエ (1768–1830) のアイデア：「すべての」周期的な関数 f (x) は、

a0+ a1 cos(2πx) + a2 cos(4πx) + a3 cos(6πx) + · · ·2+ b1 sin(2πx) + b2 sin(4πx) + b3 sin(6πx) + · · ·∞∞∑a0 ∑=+an cos(2πnx) +bn sin(2πnx)
2f (x) =n=1n=1と表せる。ここで、a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . は定数。これを、「フーリエ級数展開」、a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . を「フーリエ係数」と呼ぶ。

1関数のフーリエ級数展開

2関数 f が与えられたとき、フーリエ級数展開：∞∞n=1n=1∑a0 ∑f (x) =+an cos(2πnx) +bn sin(2πnx)2は可能なのか、またフーリエ係数はどうやって計算できるか？フーリエ係数は（比較的）簡単に計算できる。なぜなら、すべての０でない整数 n について、∫ 1∫ 1sin(2πnx)dx =cos(2πnx)dx = 000であることに注意する1 。上の式に代入して、∫ 1∫ 1f (x)dx =00∞a0 ∑an+2n=1∫ 1∞∑cos(2πnx)dx +0n=1∫ 1sin(2πnx) =bn0a0.
2∫1
つまり a0 = 2 0 f (x)dx. 三角関数の積和公式を用いて、同様に、n, m が整数のとき{∫ 10(n ̸= m)cos(2πmx) cos(2πnx)dx =1/2(n = m)
0{
∫ 10(n ̸= m)sin(2πmx) sin(2πnx)dx =1/2(n = m)0
∫ 1cos(2πmx) sin(2πnx)dx = 00が証明できる。これを用いて n = 1, 2, . . . に対して

∫ 1an = 2

∫ 1f (x) cos(2πnx)dx,bn = 20f (x) sin(2πnx)dx0と計算できる。
定理： f (x) が周期関数として「連続よりもう少し強い条件」を満たせば、すべての x で{f (x) = lim

N →∞}
NN
∑
a0 ∑+an cos(2πnx) +bn sin(2πnx)
2n=1n=1が成り立つ。

1

例えば[]1cos(2πnx)
cos(2πn)cos(0)sin(2πnx)dx = −=−+
=02πn2πn2πn00∫ 123ベクトル空間の考え方と関数の作るベクトル空間

線型空間としての関数の集合：「線形代数」では、平面、３次元空間などを一般化した、「線型空間」を学ぶ。
「関数の空間」も、線型空間である。つまり、• f, g が関数なら、f + g も関数。
• f が関数で a が定数なら、af も関数。
• f, g が関数で a, b が定数なら、a(f + g) = af + ag,(a + b)f = af + bf,a(bf ) = (ab)f,

1f = f

内積：さらに、[0, 1] 上の関数 f, g の「内積」を∫ 1(f, g) =f (x)g(x)dx0で定めると、平面、３次元空間の内積のような性質：(f, g + h) = (f, g) + (f, h),(f, g) = (g, f ),(af, g) = a(f, g)を持っている。さらに、関数の「長さ」を√∥f ∥ = (f, f ) =(∫ 1)1/2
2

f (x) dx0で定めることができる。
直交するベクトルの集まりとしての三角関数：フーリエ係数の計算で出てきた三角関数の積分の公式は、この内積を用いると、{()0(n ̸= m)cos(2πmx), cos(2πnx) =1/2(n = m){()0(n ̸= m)sin(2πmx), sin(2πnx) =1/2(n = m)()cos(2πmx), sin(2πnx) = 0と書き換えられる。これは、sin(2πnx), cos(2πnx) が互いに直交していて、長√さが 1/ 2 であることを意味している。つまり、フーリエ級数展開は、関数の線型空間における、基底√√{1, 2 sin(2πnx), 2 cos(2πnx) : n = 1, 2, . . . }による、座標表現であるということが分かる。このように、関数の集合の性質を、線型空間の幾何学として考えて解析する研究分野を、「関数解析」(functional analysis) と呼ぶ。

3

4

関数解析、量子力学、信号処理、・・・4.1

関数解析

ここで述べてきた考え方は、一般に「無限次元空間の幾何学」としての関数解析学に拡張される。
（ヒルベルト空間論、バナッハ空間論、位相線型空間論、超関数の理論・・・）
物理、化学、生物などの自然現象の基礎理論の多くは、偏微分方程式で記述されるが、関数解析学は現代的な偏微分方程式論の基礎である。

4.2

量子力学

関数解析的な考え方の、最も成功した応用例が量子力学の数学的基礎付け (J.
von Neumann)。量子力学は、微視的な世界の物理学の基礎であるが、関数解析を用いないで記述することは難しい。実際、ヒルベルト空間の抽象理論は、von Neumann によって、量子力学の基礎付けのために導入された。現在
でも、数学的な研究が盛んな分野である。

4.3

信号処理

音声信号、画像などのデータは、直線、あるいは平面の（部分集合の）上の関数として表現される。これらの解析、処理において、フーリエ級数展開、関数解析学はとても役に立つ、基礎的な道具となっている。この分野は、工学の分野では、「信号処理」(signal processing) と呼ばれる。

• 音声信号においては、フーリエ解析は「周波数領域での解析」に対応している。
• 画像処理で、２次元のフーリエ級数展開は、ウェブで用いられる画像圧
縮、動画圧縮、つまり、JPEG, MPEG 圧縮、（あるいは MP4, H264）などに用いられる。
• さらにフーリエ解析の延長、精密化として、「超局所解析」(microlocalanalysis)、「時間-周波数解析」(time-frequency analysis)、ウェーブレッ
ト解析などがある。

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