加速器のためのマイクロ波入門阿部 哲郎
高エネルギー加速器研究機構
加速器研究施設第２版

2018 年 4 月 16 日

11

目次

ワークフロー27

11.1 ソリッドの作成 . . . . . . . . . . . . 28
11.2 ソルバーの選択・実行 . . . . . . . . . 28

第 I 部 マイクロ波理論

1

1

はじめに

1

2

振動問題と複素数表示

1

3

平面波と群速度24マクスウェル方程式

34.1

真空中のマイクロ波 . . . . . . . . . .

3

4.2

導体中のマイクロ波 . . . . . . . . . .

44.3

損失のある絶縁体中のマイクロ波 . . .

6

伝送線路

7

5.1

同軸線 . . . . . . . . . . . . . . . . .

75.2

導波管 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

11.3 ポストプロセス . . . . . . . . . . . . 2912実際の計算例

2912.1 周波数領域計算の例 . . . . . . . . . . 29

5

空洞共振器

6

16

6.1

固有モード . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.2

伝送線路との結合 . . . . . . . . . . . 20

6.3

空洞電圧 . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.4

シャントインピーダンス . . . . . . . . 24

第 II 部 マイクロ波シミュレーション

25

7

はじめに

25

8

計算方法の種類25

8.1

有限要素法 . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.2

境界要素法 . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.3

有限差分法 . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.4

有限積分法 . . . . . . . . . . . . . . . 26
計算領域の種類

9

26

9.1

周波数領域 . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.2

時間領域 . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.3

固有モード解析10

ソフトウエアの例. . . . . . . . . . . . 27
27

10.1 HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10.2 CST STUDIO SUITE . . . . . . . . . . 27
10.3 GdfidL . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

12.2 時間領域計算の例 . . . . . . . . . . . 30
12.3 固有モード計算の例 . . . . . . . . . . 31
13

最後に

31

14

お願い

33

第I部

(a)

マイクロ波理論
1 はじめにマイクロ波は、電子レンジや携帯電話等で使われており、現代人の生活にとって必要不可欠な存在である。物理的には、マイクロ波は電磁波の一種で、周波(b)数（または、波長）が、およそ 300 MHz（波長 1 m）

100 mmくらいから 300 GHz（波長 1 mm）くらいの間の電磁波のことを言う（厳密な定義はないようである）。
マイクロ波を使った荷電粒子の加速は、加速器として最も一般的な方法である。その加速装置（高周波加速空洞）の大きさは、大雑把に言ってその波長くらいのサイズとなる。つまり、300 MHz を使えば 1 m

図 1 実際の加速構造の例。(a) SuperKEKB 陽電
子ダンピングリング加速器用の 509 MHz 常伝導高周波加速空洞。(b) SLAC でビーム試験を行った
200 GHz 常伝導加速構造（参考文献 [1]）。

程度、300 GHz を使えば 1 mm 程度のサイズである。これくらいのサイズであれば、製造上、大きな困難はない。逆に言えば、加速装置 1 台で数十 m もの大きさがあれば巨大過ぎて製作困難である。また、

0.1 mm より小さい加速空洞の製作は野心的過ぎる。
図 1 に、実際に製造された 509 MHz と 200 GHz の味の都合で偏った内容になっていると思われる。マ

加速構造の例を示す。加速構造の周波数は、加速器

イクロ波理論を網羅しているものではないので、その目的、その時代の技術、既存の加速器で使われていの点をご了承いただきたい。

る周波数等により決まる。マイクロ波はまた、加速器

2 振動問題と複素数表示のビーム診断やビーム位置計測にも使われる。いずれも、基礎となるマイクロ波理論には共通点が多い。

マイクロ波は（その名の通り）波（振動）である。そ

本書では、下記を使用・仮定する：

こで、簡単のため、まず 1 次元の振動問題を考える：• 国際単位系m• 虚数単位を i で表記*1• 複素量は太字で表示

d2 x
= −kx
dt2

(1)

これは、質量 m の質点が、1 次元座標 x 上でバネ• ベクトル量は上部に矢印を付けて表示⃗ で表わす• 任意の複素ベクトルを F

定数 k による単振動をする運動方程式である。これに、速度 dx/dt に比例する減衰力（比例定数を α と• フーリエ変換には下線を付けて表示する）、及び、角振動数 ω で振動する外力があるとす• 時間を t で表示

ると、運動方程式は、• 媒質は等方的とし、誘電率や透磁率はテンソルにはならず、スカラー量として扱う
本書の内容は、マイクロ波の基礎、及び、加速器で

d2 x
dx= −kx − α
+ F0 cos ωt2dtdt

よく使う知識に限っている。また、著者の専門や興となる。この方程式は、2 階の定数係数非同次線形常m(2)

微分方程式であり、ここでは、以下のようにして解いてみる。まず、上記外力の位相を ωt → ωt + π/2 と*1 工学系では虚数単位を j と表記するが、形式的に i = −j

して 90◦ ずらした −F0 sin(ωt) に対する 1 次元座標の関係にある。

1

y 上の運動方程式：
m

た、複素数の足し算は複素ベクトルの和、かけ算は振幅の積と偏角の和で表せるので、物理的描像も描き

d2 ydy= −ky − α
− F0 sin ωt
2
dt
dt

(3)

やすい。このような理由から、電場や磁場も複素数で表すことがしばしばある。本書でも、電場と磁場を別途考え、複素数 z = x + iy に対する運動方程式：

は複素数で表す。

2

m

d z
dz
= −kz − α
+ F0 e−iωt
dt2dt

尚、式 (9) の虚数解 y(t) は、(4)y(t) = ℑ{z(t)}を解くことを考える。ここで、z と i 以外は実数であり、オイラーの公式：

eiθ = cos θ + i sin θ

(12)

F0
=
(k − mω 2 )2 + ω 2 α2[{ωα cos ωt(5)− (k − mω 2 ) sin ωtを使った。式 (4) の解として、

z(t) = Ae−iωt

}]

(13)

であり、式 (11) の実数解と比べて位相が 90◦ ずれて(6)いるだけである。従って、虚数解を物理解としてもを考える（A は複素定数）。これは、式 (4) をフーリ

問題ない。定義の問題である。本書では、特記なき

エ変換し、ある特定の周波数成分のみを考えること場合は、実数部を物理解とする。

に相当する。式 (6) を式 (4) に代入すると、−mω 2 z = −kz + iαωz + F0 e−iωt

3 平面波と群速度(7)平面波とは、空間座標 ⃗x における波の振幅を A ととなり、微分が消えてすっきりした。これを A につして、いて解くと、⃗

ϕ(⃗x) = Aei(k·⃗x−ωt)(k − mω ) + iωαA=F0(k − mω 2 )2 + ω 2 α2
2

(8)

(14)

の形で表わされる波のことである。ここで、ω は波を得る。そして、式 (8) を式 (6) に代入すると、複素の角周波数である。式 (14) の位相（指数部）が一定

解 z(t) は、の時：⃗k · ⃗x − ωt = const.

F0z(t) =(k − mω 2 )2 + ω 2 α2[(k − mω 2 ) cos ωt + ωα sin ωt{+ i ωα cos ωt}]− (k − mω 2 ) sin ωt(15)

これは 3 次元空間内の平面を表わす。同位相面が平面になるので、式 (14) で表わされる波を平面波と言う*3 。この同位相面は、速さ ω/|⃗k| でベクトル ⃗k の方向に進む。また、|⃗k| は、距離 2π の間にある波の(9)個数となっており、⃗k を波数ベクトルと言う。実空となる。物理解は、式 (9) の実数部をとって、

x(t)= ℜ{z(t)}F0=(k − mω 2 )2 + ω 2 α2[](k − mω 2 ) cos ωt + ωα sin ωt

間と波数空間の間の関係である 3 次元フーリエ変換
の式：

(10)

∫ ∞
F (⃗x) =((11)

である。このように、振動問題は複素数表示にする⃗
d3⃗k F (⃗k) eik·⃗x−∞

F (⃗x) : 任意の（性質のよい）複素関数(16))

からもわかるように、任意の波は平面波の重ね合わ*2と、比較的簡単な代数計算で解けることが多い 。ませで表現出来る。

*2 但し、通常の電磁気理論のような線形理論にしか適用出来*3 平面波の他、同位相面が球面になる波があり、それを球面

ない。

波という。

2

1/∆k

次に、式 (16) において、積分する波数の領域が ⃗k1

考える。平面波では、角周波数 ω は波数に比例（ω0.75∝ |⃗k|）するが、ここでは、ω(⃗k) として任意の依存性0.5とする。これは、分散性媒質や導波管内を伝わるマ

0.25

振幅

= ⃗k0 の周りのごく小さい領域 ∆k のみである場合をイクロ波を想定しており、その場合、ω と |⃗k| は線形
関係にはならない。ω = ω(⃗k) で表わされる関係を分

0

-0.25

散関係と言う（線形の場合は分散無し）。⃗k を ⃗k0 の-0.5

周りでテーラー展開して 1 次の項まで取ると、

-0.75
-1

∂ω(⃗k)ω(⃗k) ≈ ω(⃗k0 ) +
∂⃗k

· ∆⃗k

0

0.5

1

1.5

図2

波束の例。

(17)

2

位置

2.5

3

3.5

⃗
k=⃗
k0

⃗k = ⃗k0 + ∆⃗k(18)⃗である。これを、時間依存項 e−iω(k)t も含めて式 (16)に代入すると、⃗いずれにせよ、どのような場合でも、群速度は式(20) で定義される。つまり、群速度とは、波動が波⃗F (⃗x) = ei(k0 ·⃗x−ω(k0 )t)
(
)
∫
∂ω(⃗
k)
i∆⃗
k· ⃗
x−
t
⃗
∂k
⃗
k=⃗
k0
× d3⃗k F (⃗k) e

束の形で媒質中を伝搬する時の、波束自体の移動速度のことである。波動には、群速度とは別に、エネル(19)

ギー伝搬速度がある。概念としては、群速度とエネ∆k

ルギー伝搬速度は別物であるが、通常、単色波（単一を得る。|∆⃗k| ≪ |⃗k| と仮定したので、式 (19) の積
分の中の波は、積分の外の波より（空間的に）ずっとの周波数の波動）も含めて、「群速度＝エネルギー伝

ゆっくり変化する。実際、式 (19) は、図 2 にあるよ

搬速度」の関係が成り立つ（例えば、[2] 参照）。

うな波束を表わしており、積分部分が波束の包絡線

4 マクスウェル方程式になる。従って、波束の進む速さ vg はその包絡線のマイクロ波は電磁波であり、電磁波はマクスウェ

進む速さであり、式 (19) より、ル方程式で厳密に記述出来る。本節では、マクスウェ∂ω(⃗k)⃗vg =∂⃗k

ル方程式を基に、マイクロ波理論の基本事項を解説

(20)

する。

である。これを群速度と言う。また、式 (19) の積分

4.1 真空中のマイクロ波の外にある波の進む速さ vp = ω(⃗k0 )/|⃗k0 | を位相速真空中のマクスウェル方程式は、度と言う。波束を構成する波は位相速度 vp で進む⃗⃗ x, t) + ∂ B(⃗x, t) = 0⃗ × E(⃗∇∂t⃗⃗ x, t) − ∂ D(⃗x, t) = 0⃗ × H(⃗∇∂t⃗⃗∇ · D(⃗x, t) = 0⃗ x, t) = 0⃗ · B(⃗∇が、波束自体は群速度 vg で進む。分散性媒質や導波管内を伝わるマイクロ波の波束では、位相速度は光速を超えるが、群速度は光速以下である。つまり、位相速度は見かけの速さで*4 、実際にエネルギーが伝わる速さは群速度となっており、因果律は破れない。
これは、現実の波が完全な単色の平面波ではなく、必ず周波数に幅があり、波束となっている事実と矛盾

(21)
(22)
(23)
(24)

⃗ とH
⃗ はそれぞれ電場と磁場、D⃗である。ここで、Eしない。尚、∆⃗k が大きい場合は、式 (17) の近似は悪⃗ はそれぞれ電束密度と磁束密度である。∇⃗ はナとB

くなり、高次の項まで考慮しなければならない。こブラ記号で、具体的には、の場合、群速度の概念は不正確になる。

(
⃗ =
∇

*4 例えば、サッカー観戦における「ウェーブ」のようなもの。

3

∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z

)
(25)


k

であり、これも数学的なベクトルである。ここで、真空の誘電率と透磁率をそれぞれ、

ϵ0 = 8.85418782 × 10−12 F/mµ0 = 1.256637 × 10

−6

H/m

(26)
(27)

と表わすと、⃗ x, t) = ϵ0 E(⃗⃗ x, t)D(⃗⃗ x, t) = µ0 H(⃗⃗ x, t)
B(⃗


H

(28)
(29)


E

と書けることから、上記マクスウェル方程式 (21)〜⃗ とH⃗ の連立微分方程式：(24) は、E⃗⃗ x, t) + µ0 ∂ H(⃗x, t) = 0⃗ × E(⃗∇∂t⃗⃗ x, t) − ϵ0 ∂ E(⃗x, t) = 0⃗ × H(⃗∇∂t⃗⃗∇ · E(⃗x, t) = 0⃗ x, t) = 0⃗ · H(⃗∇

図3ても同様である。次に、式 (37) を式 (30) に代入し、

(31)

磁場が、

(32)
(33)

⃗ x, t) = A⃗ H (⃗k, ω)ei(⃗k·⃗x−ωt)H(⃗⃗ ）を取り、それに式 (31)となる。式 (30) の回転（∇×⃗ H ∥ ⃗k × E⃗
H∂2∇ − ϵ0 µ 0 2∂t√は、図 3 にある関係で ⃗k の方向に速さ c0 = 1/ ϵ0 µ0で進む横波の重ね合わせとなる。

)

尚、無損失で非分散性の媒質で満たされた領域の⃗ x, t) = 0
E(⃗⃗2場合は、単に ϵ0 → ϵ、µ0 → µ と置き換えるだけで(35)ある。ここで、ϵ と µ は、それぞれ、その媒質の誘電を得る。同様の方法で、

(

(40)

であることがわかる。つまり、真空中の任意の電磁場(34)と式 (32)、(33) を適用すると、

(

(39)

と書けることに注意すると、を代入して、ベクトル解析の公式：

(
)
⃗
⃗ × ∇
⃗ ×F
∇
(
)
⃗ −∇
⃗
⃗ ∇
⃗ ·F
⃗ 2F
=∇

⃗ 、磁場 H⃗ 、平面波の進行方向 ⃗k の関係。
電場 E

(30)

2

⃗ 2 − ϵ0 µ0 ∂∇∂t2率と透磁率である。

)⃗ x, t) = 0
H(⃗

4.2 導体中のマイクロ波(36)

マイクロ波が真空領域から導体に入るとどうなる√も得る。これらは、速さ c0 = 1/ ϵ0 µ0 で進む波かを調べる。導体とは、具体的には銅やステンレスのを表す波動方程式であり、c0 は真空中の光速（≈ような金属である。導体内ではオームの法則に従って伝導電流が流れる。伝導電流の大きさは電場に比299,792,458 m/s）である。

例する。その比例定数は電気伝導率 σ であり、オー

ここで、電場を平面波（式 (14)）で表わすと、

ムの法則は、⃗ x, t) = A⃗ E (⃗k, ω)ei(⃗k·⃗x−ωt)
E(⃗

(37)

⃗ = σE⃗J(41)である。式 (37) を式 (32) に代入すると、⃗ は電流密度ベクトルである*5 。導となる。ここで、J⃗ E · ⃗k = 0
A(38)

体中のマクスウェル方程式は、この伝導電流が変位⃗ の向き A⃗ E は、波動の進行を得る。従って、電場 E*5 電流密度ベクトルを面積分すると、その積分領域を通る電⃗ につい方向 ⃗k に対して直角である。これは、磁場 H

流値になる。

4⃗
電流 ∂ D/∂tに加わり、以下のようになる：⃗⃗ x, t) + µ ∂ H(⃗x, t) = 0⃗ × E(⃗∇∂t⃗ x, t)∂E(⃗⃗ x, t) = 0⃗ x, t) − ϵ⃗ × H(⃗− σ E(⃗∇∂t⃗ x, t) = 0⃗ · E(⃗∇⃗ x, t) = 0⃗ · H(⃗
∇

(42)
(43)
(44)
(45)

ここで、ϵ と µ は、それぞれ、導体中の誘電率と透磁⃗ ）を率である。以前と同様に、式 (42) の回転（∇×
取り、それに式 (43) を代入して、ベクトル解析の公式と式 (44) を適用すると、(∂∂2∇ − µσ − ϵµ 2∂t∂t)⃗ x, t) = 0
E(⃗

⃗2

図4

(46)

半無限導体。

Skin Depth [µm](47)を得る。これは電信方程式であり、時間の 1 階微分の項（左辺第二項）は波に減衰を与える。簡単のため、平面波が z 軸の正の方向へ進み、z = 0 で導体に入るとしよう（図 4 参照）。電場は x 方向成分のみとして、

E x (t) = E 0 ei(kz−ωt)

4
3.5
3
2.5
2

(48)

1.5

とおく。ここで、k は複素数である。これを式 (46)10.5に代入すると、

k2 = ϵµω 2 + iµσω

0

(49)

2

1

10

10

Frequency [GHz]を得る。通常の導体とマイクロ波では σ/(ϵω) ≫ 1

図 5 銅の表皮効果の深さ。

が成り立つので、√µσω2k ≈ ±(1 + i)(50)である。これを、式 (48) に代入して、域における銅の表皮効果の深さを示す。従って、無√ µσω

酸素銅で作られる常伝導高周波加速空洞の電気的な|E x (t)| ≈ |E 0 | e

−

2

z

(51)

性能は、空洞内表面の薄皮一枚（数ミクロン以下）で決まっているのである。

となる。よって、マイクロ波が導体に入ると、その振以下では、導体は完全導体（σ = ∞）として電磁幅は指数関数的に減衰し、深さが√δskin =

2µσω場を求める。殆どの場合、導体に有限の電気伝導率があるとして求めた電磁場と、完全導体を仮定して(52)求めた電磁場とで有意な差は無い。導体表面におけのところで振幅が 1/e ≈ 0.37 倍に減衰する。このよるマイクロ波の壁面損失電力を求める場合は、完全うな現象を表皮効果と言い、この δskin を表皮効果の導体を仮定して求めた電磁場の導体表面における磁深さ（Skin depth）と言う。図 5 に、マイクロ波領場から求める摂動論的方法を使うのが一般的である。

5

4.3 損失のある絶縁体中のマイクロ波を代入すると、次に、損失のある等方的かつ一様な絶縁体で空間が満たされている場合を考える。これは、加速器では、マイクロ波吸収体のモデルとして重要である。

⃗ x, ω) − iω B(⃗⃗ x, ω) = 0⃗ × E(⃗∇⃗ x, ω) + iω D(⃗⃗ x, ω) = 0⃗ × H(⃗∇(65)⃗ x, ω) = 0⃗ · D(⃗∇⃗ x, ω) = 0⃗ · B(⃗∇(67)

絶縁体における損失は、誘電率や透磁率に複素成分を導入することで表現出来る。複素比誘電率、及び、複素比透磁率を、それぞれ、

ϵr (ω) = ϵ′r (ω) + iϵ′′r (ω)µr (ω) = µ′r (ω) + iµ′′r (ω)

(66)
(68)

を得る。時間依存性はフーリエ変換の e−iωt が担い、マクスウェル方程式から時間微分が消えて少し簡単

(53)
(54)

になった。ここで、ベクトル解析の公式：

(
)
⃗ =0
⃗ · ∇
⃗ ×F
∇

(69)

と定義する。複素誘電率、及び、複素透磁率は、それより、上記の式 (67)、(68) は、式 (65)、(66) に含まぞれ、れることがわかるので、式 (67)、(68) は不要となる。

ϵ(ω) = ϵ0 ϵr (ω)µ(ω) = µ0 µr (ω)

次に、式 (55) と (56) を使い、

(55)
(56)

⃗ x, ω) = ϵ(ω)E(⃗⃗ x, ω)D(⃗⃗ x, ω) = µ(ω)H(⃗⃗ x, ω)B(⃗である。ϵ′r と µ′r は 1 以上（真空では 1）、ϵ′′r と µ′′r

(70)
(71)

はゼロ（無損失）または正値（損失あり）である。一と表わす。この式からもわかるように、複素誘電率・般的には、誘電率と透磁率は周波数の関数であるの

複素透磁率は、印加場（E 、H ）と誘導場（D 、B ）で（分散性媒質）、式 (28) や (29) のような関係は真の比であり、電磁場（電場、磁場）と媒質の相互作

空中、または、非分散性媒質でしか成り立たない。な用を表わす（媒質の電磁場に対する応答を含む）。式

ぜなら、式 (28) と (29) は時間領域における式だが、(70) と (71) をマクスウェル方程式 (65)、(66) に代

周波数に依存する誘電率や透磁率は周波数領域にお入すると、ける概念だからである。そこで、真電荷も真電流も⃗ x, ω) − iωµ(ω)H(⃗⃗ x, ω) = 0⃗ × E(⃗∇⃗ x, ω) = 0⃗ x, ω) + iωϵ(ω)E(⃗⃗ × H(⃗∇

無い場合のマクスウェル方程式：⃗⃗ x, t) + ∂ B(⃗x, t) = 0⃗ × E(⃗∇∂t⃗⃗ x, t) − ∂ D(⃗x, t) = 0⃗ × H(⃗∇∂t⃗ x, t) = 0⃗ · D(⃗∇⃗ x, t) = 0⃗ · B(⃗∇⃗ x, t) =D(⃗⃗ x, t) =H(⃗⃗ x, t) =
B(⃗

∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞

(73)

⃗ ）を取るとなる。再び、式 (72)、(73) の回転（∇×(57)と、電場と磁場それぞれが満たすべき以下のような
方程式：

(58)

(

)
⃗ x, ω) = 0⃗ 2 + k(ω)2 E(⃗∇()⃗ x, ω) = 0⃗ 2 + k(ω)2 H(⃗
∇

(59)
(60)

における電磁場にフーリエ逆変換：⃗ x, t) =
E(⃗

(72)

(74)
(75)

が得られる。ここで、k は、⃗ x, ω) e−iωtdω E(⃗(61)⃗ x, ω) e−iωtdω D(⃗(62)⃗ x, ω) e−iωtdω H(⃗(63)⃗ x, ω) e−iωtdω B(⃗(64)√k(ω) = ±ω ϵ(ω)µ(ω)
(76)
ω√
=±
ϵr (ω)µr (ω)(77)
c0ω√ ′ ′=±
ϵr µr − ϵ′′r µ′′r + i(ϵ′r µ′′r + ϵ′′r µ′r ) (78)c0であり、媒質の誘電率と透磁率から決まる複素量である。式 (74)、(75) は、膜や音波等の振動問題でもよく出てくるヘルムホルツ方程式である。結局、周波

−∞

6

ℑ

数領域でマクスウェル方程式を解くことは、式 (74)、(75) の固有方程式を与えられた境界条件で解くことに帰着する。ここで、固有値は固有モード周波数に

εr

ε r’’

対応する。
誘電率や透磁率の虚部の効果を見てみよう。

δε⃗ x, ω) =簡単のため、電場は x 成分のみ持ち（E(⃗(E x (⃗x, ω), 0, 0)）、z 軸の正の方向に進んでいる平面ε r’波を考えると、式 (74) は、

(

)
∂2
2
+ k(ω) E x (⃗x, ω) = 0
∂z 2

図6

ℜ

複素比誘電率 ϵr と誘電正接 δϵ 。

(79)となる。角周波数 ω の時間依存性も含めて、こので定義される量で、誘電正接と言う（実際は、
「ロス・

解は、

タンジェント」または「タンデルタ」と言うことが多E x (⃗x, ω)e−iωt ∝ ei(k(ω)z−ωt)い）。δϵ = 0 は無損失で、誘電損失が大きい程 δϵ は(80)大きくなる。δϵ を使って減衰長を表わすと、= ei(ℜ{k(ω)}z−ωt)−ℑ{k(ω)}z (81)√である。複素誘電率・透磁率の実部と虚部はゼロま

λ
1
√0
=
ℑ{k(ω)}
2π ϵ′r (ω)

たは正値で定義したので、この平面波が z 軸の正の方向に進むことより、式 (76) 右辺で正の符号が選ば

2 cos δϵ (ω)(87)
1 − cos δϵ (ω)

である。ここで、λ0 = 2πc0 /ω はこの周波数におけれる。この時、ℑ{k} > 0 であり、e−ℑ{k(ω)}z は媒質

る真空中の波長である。上式から、誘電正接が大きとの相互作用によるマイクロ波の減衰を表わす。つい程、減衰長は短くなり、単位長さあたりの誘電損

まり、1/ℑ{k} は減衰長である（それだけ進むと振幅失が大きくなることがわかる。また、周波数が高くが 1/e ≈ 0.37 倍に減少）。また、この平面波の進むなる（波長が短くなる）場合も、単位長さあたりの

速さ c は、

誘電損失は大きくなる。誘電体中の光速は、式 (82)、ωc=ℜ{k(ω)}c0)= (√ℜϵr (ω)µr (ω)(85) より、

(82)

√
c0

(83)

c= √
ϵ′r (ω)2 cos δϵ (ω)
1 + cos δϵ (ω)(88)

である。これは、複素誘電率・透磁率の虚部も、絶縁となり、複素比誘電率の実部（ϵ′r ）が同じでも、誘電体内における電磁波の伝搬速度に関係することを示

正接が大きい程、誘電体中の光速は遅くなる。

している。もっと簡単な場合として、非磁性（µ′r =5 伝送線路1、µ′′r = 0）の誘電体（ϵ′r > 1、ϵ′′r > 0）を考える。
これは、マイクロ波吸収体としてよく使われる水や加速器に限らず、マイクロ波を使ったどのような炭化ケイ素セラミックス等のモデルである。この時、システムでも、ある場所で発生させたマイクロ波を別ω√ ′k(ω) =ϵr (ω) + iϵ′′r (ω)
c0√ϵ′r (ω) i δϵ (ω)ω=
e 2c0 cos δϵ (ω)の場所に送る必要がある。マイクロ波の場合は、金(84)

属で境界条件を与えた線路で伝送することが可能である。本節では、内部が真空の場合の伝送線路を伝(85)

わるマイクロ波について考える。

5.1 同軸線となる。ここで、δϵ（∈ [0, π/2)）は、図 6、または、

tan δϵ =ϵ′′rϵ′r

比較的小さい電力のマイクロ波伝送によく用いるのが、同軸線である。同軸線は外導体と内導体から(86)成り、その間を図 7 に示す TEM モード (Transverse7

ElectroMagnetic mode) の形でマイクロ波を伝送⃗ は保存力なので、外導体と内導体のと分解する。Etする。

間に電位差がある場合の静電場と同じであるとして、

外導体と内導体が完全導体（抵抗ゼロ）の場合、同E⃗ θ = 0
1
E⃗ r ∝
r

軸線の TEM モードは完全に横波となる。この場合、⃗横方向電磁場は保存力となることを示そう。まず、∇と電磁場を進行方向（z 軸）と横方向に分解し、角

(106)
(107)

周波数 ω の単色波（または、フーリエ変換）を考え⃗ は、内導体に定常電流がとおける。また、磁場 H
t

ると、

流れている場合と同じであるとして、

⃗ ∝1
H
θ
r
⃗ =0
H
r

⃗ =∇
⃗t+∇
⃗z
∇
)
(
∂
⃗
∇z = 0, 0,∂z⃗⃗⃗
E =E +E

(89)

(91)

⃗ = (0, 0, E )
E
z
z
⃗
⃗
⃗
H =H +Hとおける。よって、式 (101) と (103) をお互いに代(92)入すると、式 (104)〜(109) より、

z

(93)

⃗ = (0, 0, H )
H
z
z

(94)

t

z

t

(90)

(108)
(109)

)2
ω
Er = 0
c0
( )2
∂2H θ
ω
+
Hθ = 0
2
∂z
c0
∂2Er
+
∂z 2

となる。これらを、式 (72)、(73) に代入してまとめ
ると、

(

(110)
(111)

⃗ (⃗x, ω) − iωµ0 H⃗ (⃗x, ω) = 0
⃗t×E
∇
t
z
⃗
⃗
⃗
⃗
∇t × E (⃗x, ω) + ∇z × E (⃗x, ω)(95)⃗ (⃗x, ω) = 0−iωµ0 Ht⃗⃗⃗∇t × H (⃗x, ω) + iωϵ0 E (⃗x, ω) = 0(96)

TEM 波が z 軸の正の方向に進んでいるとすると(97)

e−i c0 z は消える。結局、TEM 波の解は、ziωzを得る。式 (110)、(111) の一般解は e c0 と ez⃗ (⃗x, ω) + ∇⃗ (⃗x, ω)
⃗t×H
⃗z ×H
∇
z
t
⃗
+iωϵ0 E (⃗x, ω) = 0
t

ω

z
1
E r (r, z, t) = aE 0 eiω( c0 −t)
√ r
z
ϵ0
1
H θ (r, z, t) = a
E 0 eiω( c0 −t)
µ0
r

(98)

を得る。完全に横波の時、⃗ (⃗x, ω) = 0
E⃗z (⃗x, ω) = H
z

(99)

(113)

る電場であり、磁場の係数は、式 (101)、または、式(103) から決まる。電場と磁場の位相は同じであり、⃗ (⃗x, ω) = 0
⃗t×E
∇
t
⃗
⃗
⃗
∇z × E (⃗x, ω) − iωµ0 H (⃗x, ω) = 0(100)⃗ (⃗x, ω) = 0
⃗t×H
∇
t
⃗
⃗
⃗
∇z × H (⃗x, ω) + iωϵ0 E (⃗x, ω) = 0

(102)

t

t

(112)

となる。ここで、E 0 は、z = t = 0、r = a におけなので、上式 (95)〜(98) は、

t0の重ね合わせであるが、時間依存を e−iωt と定義し、

tt−i cω zt

ともに光速で進むことがわかる。
伝送路線の特性インピーダンス Z 0 は、

(101)

Z0 =

(103)

V
I

(114)

で定義される。ここで、V と I は、それぞれ、電圧⃗ ）となる。よって、式 (100)、(102) より、電場（Etと電流である。伝送路線の一般的性質として、特性⃗ ）が（横方向に限って）保存力であること磁場（Htとがわかった。ここで、同軸線の対称性より、図 8 にインピーダンスの等しい異なる伝送路線で繋いだり、ある円筒座標系 (r, θ, z) を用い、特性インピーダンスに等しいインピーダンスで伝送線路を終端すれば、信号の反射は起こらない。それ⃗ = E⃗ + E⃗
E
t
r
θ
⃗ =H
⃗ +H
⃗
H
t

r

θ

(104)

では、同軸線の特性インピーダンスを求めてみよう。

(105)

内導体の外半径を a、外導体の内半径を b とすると、

8

電場

磁場
図7

𝑥𝑥

WX77D 同軸線内を伝搬する 500 MHz の TEM モード。

に等しいことより、

I = 2πr0 H θ
√
z
ϵ0
= 2πa
E 0 eiω( c0 −t)
µ0

𝑟𝑟

θ

図8

軸線の特性インピーダンスは、

𝑧𝑧

1
Z0 =
2π

µ0
ln
ϵ0

( )
b
a

(119)

である。また、同軸線の特性インピーダンスは、大きさ（スケール）には依存せず、径の比（b/a）で決まる。
例えば、WX77D 同軸線の場合は、a = 16.7 mm、b

= 38.5 mm なので、式 (119)、(26)、(27) より、

V は電場 E r を積分して、Z 0 ≈ 50 Ω

∫ b
drE r
b
ln( )
a

(120)

である。同軸線の場合、歴史的な事情から、50 Ω と(115)

75 Ω の二通りの特性インピーダンスが世の中で使わaiω( cz −t)0√となる。損失のない場合、特性インピーダンスは実数

円筒座標系 (r, θ, z)。

= aE 0 e(118)と電流が求まる。よって、式 (116) と (118) より、同

𝑦𝑦

V =

(117)

れている。50 Ω のシステムに 75 Ω の同軸線を繋ぐ(116)と反射が起き、内部で定在波が発生してトラブルのとなる。ここで、式 (112) を使った。次に、ストーク

元となることがあるので、注意してもらいたい。

スの定理より、r = r0 における円周上の H θ に対す

尚、TEM 波は原理的にいかなる周波数でも光速でる一周の線積分が、その円内部の領域を通るに電流

伝搬する。

9

5.2 導波管

める式：

金属のダクトの中にマイクロ波を通す伝送方式が[ 2]∂H (t)zω ϵ0 µ0 + γ 2 E (t)x = iωµ0∂yある。そのダクトを導波管という。同軸線に比べて、導波管では単位長さあたりの電力損失が小さので、∂E (t)z∂x[ 2]∂H (t)zω ϵ0 µ0 + γ 2 E (t)
=
−iωµ
0
y
∂x
∂E (t)
z
+γ
∂y
[ 2
]
∂E (t)zω ϵ0 µ0 + γ 2 H (t)
=
−iωϵ
0
x
∂y
+γ

大電力マイクロ波の伝送によく用いられる。
マイクロ波の伝搬方向に z 軸の正の方向をとり、z軸方向と z 軸に直角な方向を分けて考えると便利である。ここで、電磁場の z 依存性を eγz と仮定して、⃗ x, ω) = E⃗ (t) (x, y, ω)eγz
E(⃗⃗ x, ω) = H
⃗
H(⃗

(t)

(x, y, ω)eγz(121)∂H (t)z∂x[ 2]∂E (t)zω ϵ0 µ0 + γ 2 H (t)y = iωϵ0∂x∂H (t)
z
+γ
∂y
+γ

(122)

とおく。γ は複素数とし、それが純虚数の場合、z方向に伝搬する波動となる。上式 (121)、(122) を式

(129)

(130)

(131)

(132)

を得る。従って、導波管モードを求めるには、与えら(74)、(75) に代入すると、電磁場の z 方向成分の方れた境界条件のもとで式 (123)、(124) を解いて z 方

程式：

向成分を計算し、その結果を式 (129)〜(132) に代入
して、直角方向成分を計算すればよい。

[

)2 ]
ω
E (t)
z =0
c0
[
( )2 ]⃗ 2t + γ 2 + ω
∇
H (t)
z =0
c0

便宜上、導波管モードは２種類に分けて考える：(⃗ 2 + γ2 +∇tTM(Transverse Magnetic) モード(123)

全ての位置で H z = 0。この時の境界条件は、全ての導波管内表面上で E z = 0。

(124)

TE(Transverse Electric) モード
全ての位置で E z = 0。この時の境界条件は、全ての導波管内表面上で ∂H z /∂n = 0。ここで、n によが得られる。また、式 (121)、(122) を式 (72)、(73)

る偏微分は、導波管内表面に垂直な方向への微分でに代入すると、ある。

5.2.1 矩形導波管
矩形導波管は、断面が長方形で、大電力マイクロ波−iωϵ0 E (t)x =∂H (t)z− γH (t)y∂y(t)−iωϵ0 E (t)y = γH x −iωµ0 H (t)x =∂E (t)z∂y∂H (t)
z∂xの伝送に最も多く用いられている。矩形導波管内を

(125)

(127)

∂E (t)
z

(128)

∂x

座標系を考え、導波管断面の領域を 0 < x < a 且つ

(126)

− γE (t)y(t)
iωµ0 H (t)y = γE x −伝搬するモードを求めるため、図 9 にあるデカルト

0 < y < b とする。また、マイクロ波が伝搬する方向に z 軸をとる。
通常、矩形導波管でマイクロ波を伝送する場合はTE モード（E z = 0）を使う。そこで、TE モードを求めてみよう。式 (124) より、[(⃗ 2t + γ 2 +∇が得られ、上の４式をまとめると、直角方向成分を求

10

ω
c0

)2 ]
H (t)
z =0

(133)

𝑥𝑥

𝑦𝑦

は、モードのインデックス (m, n) に対して、

𝑏𝑏𝑎𝑎(t) iω nπE (t)x = −H 0ωc2 ϵ0 b( mπx)( nπy )
(139)
cos
sin
a
b
(t) iω mπE (t)y = H0ωc2 ϵ0 a( mπx)( nπy )
sin
cos
(140)
a
b
E (t)
(141)
z = 0
(t) −ik mπH (t)x = H0ωc2 ϵ0 µ0 a
( nπy )
( mπx )
cos
sin
(142)
a
b
(t) −ik nπH (t)y = H0ωc2 ϵ0 µ0 b
( mπx )
( nπy )
cos
sin
(143)
a(
b (
)
)
mπx
nπy
(t)
H (t)
cos
(144)
z (x, y) = H 0 cosab𝑧𝑧

図 9 デカルト座標系 (x, y, z) と矩形導波管の断面
寸法 (a, b)。

であるので、境界条件：∂H (t)z∂x=0となる。ここで、

(134)

x=0,a

∂H (t)
z
∂y

k=
=0

(135)
=

y=0,b

を課すと、H (t)z の解は、
(t)

=

H (t)
z (x, y) = H 0 cos( mπx )
a

γ
i
√
(

cos

( nπy )
b

(136)

ω
c0

(145)

ω
c0
√

)2
−

1−

( mπ )2a−( nπ )2
b

ωc2
ω2

(146)
(147)

とおいた。すぐ後で述べるが、この式 (147) は矩形
導波管内モードの分散関係を表わしている。

(t)となる。ここで、H 0 は、x = y = 0 における値でz 依存性と時間依存性は、ある。また、m と n はゼロ以上の整数だが、m と neγz−iωt = eik(z− k t)
ωの両方が同時にゼロとなる場合は除く。式 (136) を(148)

式 (133) に代入すると、となり、k = γ/i が波数になっていることがわかる。

√
γ=( mπ )2a+( nπ )2
b

(
−

ω
c0

この波が z 方向に進む速さ vp は、

)2
(137)

ω
k
c0
=√
ω2
1 − ωc2vp =を得る。γ が純虚数の場合に波が伝搬するので、伝搬モードの周波数には最低値：

ωc = √π
ϵ0 µ 0√(> com )2 ( n )2
+
a
b

(149)
(150)
(151)

である。ここで、導波管内波長（λwg ）は、λwg =(138)

2π/k となる。すぐにわかるように、vp は光速を超える。そして、λwg は自由空間の波長よりも長く、波が存在する。これを遮断周波数と言う。遮断周波数
より低い波を入れたとしても、指数関数的に減衰する。式 (136) を式 (129)〜(132) に代入して直角方向成分が得られる。よって、矩形導波管の TE モードの周波数が遮断周波数に近づくにつれ発散する。実は、vp は「位相速度」と呼ばれている速さで、エネ
ルギーを伝える速さではなく、見かけ上、電磁場のパ

11

ターンがその速さで移動しているように見えるだけ

間を行き来する最低次の波であるが、それでは z 方である。事実、エネルギーの伝搬速度 vem は、電磁向に進まない。z 方向に進むには、図 11 にあるよう場のエネルギー密度 Uem 、及び、エネルギー密度のに、x 軸に対して θ の角度をもって反射しながら進⃗ を使って、
流れを表わすポインティングベクトル P{ }⃗ = (0, 0, Uem vem )
ℜ P
(152)

むことになる。ところが、どのような角度でもよい
わけではなく、（重ね合わせの結果）式 (159) で表わ
される波になることが必要である。そのための条件
は、図 11 より、⃗ を計算するとなるので*6 、電磁場の解から Uem 、Pλ0= a sin θ
2と（途中計算は省略するが）、√vem = c01−( ω )2cω< c0であることがわかる。この時、

(153)
(154)

vp = c0 / cos θ > c0vg = c0 cos θ < c0√
= c0 1 − sin2 θ
√
)2
(
c0
= c0 1 −2afとなることがわかる。これは、導波管内に波束を入れた時の群速度 vg と同じになる。実際、分散関係の式 (147) と式 (20) より、

dω
1
= dk
dk
√ dω( )
ωc 2
= c0 1 −
ω
< c0

vg =

(155)

π

Ez = 0kasinπHy = 0( πx )(t)

H z = H 0 cosaa( πx )

H x = −H 0 i(t)( πx )

a

(167)
(168)

び、遮断波長 λc は、vg が実数になる条件より、

(156)

c0
2a
λc = 2a
fc =

(157)

ikz−iωteeikz−iωteikz−iωt

(169)
(170)

である。マイクロ波の周波数が遮断周波数の時、平律は破れない。
矩形導波管内を伝搬するマイクロ波の位相速度と群速度、及び、遮断周波数について、マイクロ波の伝送に最もよく使う TE10 モード（図 10）を例に詳しく考えてみる。式 (139)〜(148) に m = 1、n = 0 を代入すると、TE10 モードの電磁場として、(t) ωaµ0
Ey = H 0 i
sin

(165)
(166)

となることも、図 11 よりわかる。遮断周波数 fc 、及となり、光速以上にはならない。いずれにせよ、因果Ex = 0(164)

面波の半波長が導波管の幅 a と等しくなり、θ = 0 となって、z 方向には進まなくなる。
図 10(c) には、導波管内表面上を流れる表面電流を示した。表面電流は、表面磁場によって起こり、向きは磁場ベクトルに垂直である。つまり、表面電流(158)は、Ｅ面では進行方向、Ｈ面では直角方向に流れる。

(159)

従って、導波管の接続部において、Ｅ面では表面電流(160)が（導波管の）接続面を渡るので、Ｅ面（の特に中央）(161)の連結ボルトに緩みの無いよう注意が必要である。

(162)

高次モードについて触れておこう。最低次の TE10
モードのひとつ上に、図 12 に示す TE20 モードが(163)ある。WR-1500 導波管の場合、a = 381.0 mm なので、 式 (138) より、遮断周波数は、を得る。磁場は x-z 平面内にのみ成分を持ち、H xと H z の位相は 90 度ずれているので、図 10(b) にあ

c0≈ 393.4 MHz
2ac0≈ 786.9 MHz
fc (TE20 ) =afc (TE10 ) =るように、渦を巻く。電場は y 方向にのみ成分を持。
ち、x = a/2（中間点）で最大となる（図 10(a) 参照）
ここで、E y の分布を平面波の観点から考えてみる。

x-y 平面内だけを見れば、E y は、x = 0 と x = a の

(171)
(172)

である。従って、786.9 MHz 以上の周波数のマイ
クロ波を WR-1500 導波管に通した場合、TE10 とTE20 の２つのモードが混在してしまう可能性があ*6 電荷密度と電流密度ベクトルの関係と同様である。

12

(a)
電場
𝑥𝑥

(b)
磁場

𝑜𝑜

𝑧𝑧

(c)
表面
電流

図 10 WR-1500 矩形導波管内を伝搬する 500 MHz の TE10 モード。(a)、(b)、(c) は同じ位相で表示している。(c) の電流は、導波管内表面上を流れる。

る。異なる導波管内波長のモードが混在すると不都標系を用いると、式 (123) は、合なので、通常、より高い周波数のマイクロ波を伝[送する場合は、より小さい導波管を使い、a を小さくして遮断周波数を上げ、シングルモードになるようにする。同軸線についても、同様である。図 13 に、509 MHz と 11.4 GHz の RF システムで使用している矩形導波管の例を示す。

∂2
1 ∂
1 ∂2
+
+
∂r2
r ∂r r2 ∂θ2( )2 ]
ω+γ 2 +
E (t)
z =0
c0

(173)

5.2.2 円形導波管となる。境界条件は、

ここでは、荷電粒子の加速に関与しうる TM モード（全ての位置で H z = 0、且つ、全ての導波管内表
面上で E z = 0）を求めてみる。円形導波管の内半径E (t)z (r = R) = 0(174)

を R とする。同軸線と同様に、図 14 にある円筒座である。ここで、変数分離形を仮定して、E (t)z = R(r)Θ(θ)
13

(175)

𝑥𝑥

𝑎𝑎
y

電場
（TE10モード）

θ
𝑎𝑎

𝑎𝑎

𝑥𝑥

𝑜𝑜

𝑧𝑧

θ
θ

λwg = λ0 / cosθ
図 11

矩形導波管内 TE10 モードにおける位相速度 vp と群速度 vg 。

電場

磁場
図 12 WR-1500 矩形導波管内を伝搬する 500 MHz の TE20 モード。

14

𝑣𝑣𝑔𝑔

𝑣𝑣𝑝𝑝

(a)

同じＰＨＳ

(b)

C θ を定数として、[
1∂2∂
r2 2 + r
R(r)
∂r
∂r
{
( )2 }]
ω+r2 γ 2 +R(r) = C r
c0
1 ∂2
Θ(θ) = C θΘ(θ) ∂θ2
Cr + Cθ = 0

図 13 (a) UHF 帯（509 MHz 等）で用いる WR1500 矩形導波管（断面内寸法：381.0×190.5 mm）。
(b) X バンド（11.4 GHz 等）で用いる WR-90 矩形導波管（断面内寸法：22.86×10.1 mm）。(a) と(b) で、同じ PHS をスケールとして一緒に撮影。

(178)
(179)
√

でなければならない。式 (178) の一般解は eiとe√−i −C θ θ

−C θ θ

の線形結合だが、周期境界条件 Θ(θ +2π) = Θ(θ) より、C θ = −m2 （m はゼロ以上の整𝑥𝑥𝑅𝑅数）でなければならず、また、Θ(π/2) が実数となる
ように解の位相を定義すると、定数係数は省略して、

Θ(θ) = cos mθ

θ 𝑟𝑟

図 14

(177)

(180)

と定まる。従って、式 (177) は、

𝑦𝑦

[

∂
∂2
+r
2
∂r
∂r
{
]
( )2 }
ω+r2 γ 2 +− m2 R(r) = 0
c0

𝑧𝑧

r2

(181)

となる。これはベッセルの微分方程式なので、R(r)は m 次のベッセル関数 Jm を使い、定数係数は省略

円筒座標系 (r, θ, z)。

して、R(r) = Jm (αr)
( )2
ω
2
2
α =γ +c0とおき、これを式 (173) に代入して、両辺を R(r)Θ(θ)
で割り、

(182)
(183)

と書ける。Jm の（小さい方から）n 番目の零点をjmn と書くと（n は 1 以上の整数）、境界条件の式[
1∂∂2
r2 2 + r
R(r)
∂r
∂r
{
(
+r2

γ2 +

(174) を満たすために、α のとりうる値が

ω
c0

α=

)2 }]

(184)

と制限される。よって、上式と式 (183) より、

R(r)

1 ∂2
Θ(θ) = 0+
Θ(θ) ∂θ2

jmn
R

(
2

γ =

(176)

jmn
R

)2

(
−

ω
c0

)2
(185)

となる。γ が純虚数の時に波が z 方向に伝搬するので、を得る。上式の左辺で r と θ が分離したので、任意

ω
jmn
>
c0
R

の (r, θ) に対して上式が成り立つためには、C r と

15

(186)

である。つまり、円形導波管における TM モードの具体例として、TM01 モードを考える。式 (193)〜(198) に m = 0、n = 1 を代入すると、遮断周波数は、(

c0 jmn
2π R

fc =

(t)
Er = E0 i(187)となる。これ以上の周波数のマイクロ波のみが伝搬

Eθ = 0

する。ここでも、矩形導波管と同様に、遮断周波数は

E z = E 0 J0導波管のサイズに反比例する。以上より、z 方向成分

Hr = 0

(
(t)

の解は、
(t)

E (t)
z = E 0 Jm

H θ = E 0 iωϵ0)

jmn
r cos mθR

Hz = 0

(188)

)

kJ0′

(

)
j01
r eikz−iωtRj01
r eikz−iωt
R
R
j01

)

(201)
(202)

)

(
(t)

(

R
j01

J0′

(

(203)

(204)
)
j01
r eikz−iωt (205)R(206)となる。これを式 (129)〜(132) に代入すれば、直角となる。0 次のベッセル関数の 1 番目の零点は既に方向成分が得られるのだが、H (t)z = 0 の時に式 (129)

知られており、j01 ≈ 2.4048 である。全ての成分で：〜(132) を円筒座標系に変換した式（途中計算省略）θ 依存性が消え、軸対称となった。E z と E r で位相が 90°ずれているので、同じ位置で時間が経つ、まγ ∂E (t)
z
E (t)
=
r
α2 ∂r
γ 1 ∂E (t)(t)
zEθ = 2α r ∂θ
iωϵ0 1 ∂E (t)
z
H (t)
=
−
r
α2 r ∂θiωϵ0 ∂E (t)(t)
zHθ = 2α∂r

たは、ある時刻で z 座標に沿って移動すると、電場(189)

ベクトルは r − z 平面内で回転する。磁場ベクトルは θ 成分のみを持つ。図 15 に TM01 モードの電磁(190)

場の例を示す。高エネルギーの電子（速さはほぼ光(191)速）をこの電場の波に乗せ、常に電子の周りに加速電場があるようにして連続加速が出来そうだが、電場(192)の波の進む速さは位相速度で光速より速いので、単純な円形導波管では高エネルギー電子の連続加速はを使うと、TM モードの電磁場は、
(
)
(
)
R
jmn
(t)
′
(t)
kJm
r cos mθEr = E0 i
(193)
jmn
R
(
)2
(
)
R
m
jmn
(t)
(t)
k Jm
r sin mθ (194)E θ = −E 0 i
jmn
r
R
(
)
jmn
(t)
E (t)
r cos mθ(195)
z = E 0 Jm
R
(
(
)2
)
R
m
jmn
(t)
(t)
H r = E 0 iωϵ0
Jmr sin mθ (196)
jmn
r
R
)
(
)
(
jmn
R
(t)
(t)
′
H θ = E 0 iωϵ0
Jmr cos mθ
(197)
jmn
R
H (t)
z = 0

出来ない。線形加速器でよく使われているディスク
ロード型にするか、または、内部に誘電体の筒をはめ込んで、位相速度を光速（ビームの速さ）に等しくす
れば、円形導波管でも高エネルギー電子の連続加速が可能となる*7 。

6 空洞共振器
空洞共振器とは、金属製の容器で、内部は空洞である。その空洞内に、その共振周波数に等しいマイク
ロ波を投入すると、空洞内に多くのマイクロ波エネ(198)

ルギーを貯めることが出来る。加速器における加速と求まる。z と時間の依存性は、すべての成分に共通

空洞では、沢山ため込んだマイクロ波による高い電で、eikz−iωt であり、界で荷電粒子を加速する。本節では、多くの加速空

k=
=

γ
i
√(

洞の基本形となっているピルボックス型空洞を例に

(199)
ω
c0

(

)2
−

jmn
R

とり、解説する。

)2(200)*7 単 純 な 構 造 で 高 勾 配 加 速 を 実 現 出 来 る 加 速 構 造 と し て「Dielectric-loaded accelerating strcutre」が研究されている [3]。

である。

16

(a)
電場

(b)
磁場
図 15 内径 150 mm の円形導波管内を伝搬する 500 MHz の TM01 モード。(a) と (b) は同じ位相で表示している。

𝑥𝑥
𝑅𝑅

6.1 固有モード
ピルボックス型空洞とは、図 16 にあるような、円形導波管の一部を切り取った形状である。空洞内部は真空とし、その内半径を R、長さを d とする。円θ

形導波管モードとの違いは、z = 0、及び、z = d において金属表面があるため、E r = E θ = 0 という境

𝑟𝑟

界条件が課されることだけである。実際、+z 方向に進む円形導波管モードと −z 方向に進む円形導波管
モードの重ね合わせでピルボックス型空洞内の固有𝑑𝑑𝑦𝑦

モードを求めることが出来る。
まずは、TM モードを求める。+z 方向に進む円形
導波管モードは、式 (193)〜(198) より、()
jmn
ikz−iωtr cos mθe
(207)
jmn
R
)2
(
)
(
m
jmn
R
(+)
(t)
ikz−iωtk Jm
r sin mθe
E θ = −E 0 i
(208)
jmn
r
R
(
)
jmn
(t)
(+)
ikz−iωt
E z = E 0 Jm
(209)
r cos mθe
R
(
)2
(
)
R
m
jmn
(t)
ikz−iωt(+)
Jm
r sin mθe
H r = E 0 iωϵ0
(210)
jmn
r
R
)
(
)
(
jmn
R
(+)
(t)
′
ikz−iωtH θ = E 0 iωϵ0
Jmr cos mθe
(211)
jmn
R
(+)

Er

(+)

Hz

(t)

= E0 i

=0

R

)

′

図 16

(

である。−z 方向に進む円形導波管モードは、+z 方
向に進む上記モードにおいて k → −k と置き換える

だけで、
(

)
jmn
−ikz−iωtr cos mθe
(213)
jmn
R
(
)2
(
)
R
m
jmn
(−)
(t)
−ikz−iωtEθ = E0 i
(214)
k Jm
r sin mθe
jmn
r
R
(
)
jmn
(t)
−ikz−iωt(−)
r cos mθe
E z = E 0 Jm
(215)
R
)2
(
)
(
m
jmn
R
(t)
(−)
−ikz−iωt
H r = E 0 iωϵ0
Jmr sin mθe
(216)
jmn
r
R
(
)
(
)
R
jmn
(−)
(t)
′
−ikz−iωt
H θ = E 0 iωϵ0(217)
Jmr cos mθe
jmn
R
(t)

(−)

= −E 0 i

(−)

=0

Er

Hz

17

𝑧𝑧

ピルボックスと円筒座標系。

kJm

(212)

f

R

)

′

(

kJm

(218)

となり、+z 方向に進む円形導波管モードと −z 方向となる。新たな境界条件は、
A(+) E r(+) (z = 0) + A(−) E (−)
r (z = 0) = 0(219)(−) (−)
A(+) E (+)
E r (z = d) = 0
r (z = d) + A

(220)

(+)

(−)

A(+) E θ (z = 0) + A(−) E θ (z = 0) = 0

(221)

(+)
(−)
E θ (z = d) + A(−) E q (z = d) = 0

(222)

(+)

A

に進むモードの重ね合わせでピルボックス型空洞内の固有モードを求めることが出来た。
TM モードと同様の方法で、TE モード（全ての位置
で E z = 0、且つ、全ての導波管内表面上で ∂H z /∂n= 0）について解くと（途中計算省略）、)′
jmn
nπz −iωtr sin mθ sin
e
(235)
R
d
( ′
)
′
jmn
nπz −iωt(t) iωµ0 jmn ′E θ = −E 0Jr cos mθ sin
e
(236)
k2
R m
R
d
(t) iωµ0 m
Jm
k2 r

(

E r = −E 0である。式 (219) と (221) より、

A(+) − A(−) = 0(223)

Ez = 0

(237)
)
′
jmn
pπz −iωtr cos mθ cos
e
(238)
R
d
( ′
)
jmn
pπz −iωt(t) 1 pπ m
H θ = −E 0Jmr sin mθ cos
e
(239)
2
k d r
R
d
( ′
)
jmn
pπz −iωt(t)
H z = E 0 Jm
r cos mθ sin
e
(240)
R
d
(t)
H r = E0である。つまり、+z 方向に進む円形導波管モードと−z 方向に進むモードの位相差は 180°である。これは、z = 0 における固定端反射に相当する。この結果と、式 (220)、(222) より、

eikd − e−ikd = 2i sin kd = 0′1 pπ jmn′
J2
k d R m

(

となる。

(224)

TEmnp 、TMmnp モードのインデックス (m, n, p)が課される。これを満たすために、p をゼロ以上の整と固有モード電磁場の形との関係を見てみよう。2m数として、は電磁場の z 軸まわり方向の節の個数であり、m = 0

k=

pπ
d

を単極 (monopole)、m = 1 を双極 (dipole) と言う。

(225)

n は動径（r）方向の節の個数になっている（TE モー

でなければならない。この式と式 (200) より、次式

ドの E θ ,H r 、TM モードの E θ ,E z ,H r に関してのが得られ、モード周波数は整数の組 (m, n, p) によっみ）。p は z 軸方向の腹の個数である。固有モードのて決まる値に離散化される：

例を図 17 に示す。ピルボックス型空洞内の任意の電√(ω = c0

jmn
R

)2
+

( pπ )2= ωmnpd

磁場は、ここで求めた TM、TE モード解（式 (229)〜(234)、及び、(235)〜(240)）の重ね合わせで表現(226)

出来る*8 。
通常粒子加速に使われるのは（TM モードの中で）最も低い固有周波数を持つ TM010 モードである。具
体的な解は、式 (229)〜(234) より、(227)

これは、z = d においても固定端反射するために周
波数や導波管内波長が長さ d に応じて決まるというEr = 0Eθ = 0ことである。最後に、

1
A(+) = A(−) =
2

(

(t)
E z = E 0 J0

(228)

)
j01
r e−iωtR

Hr = 0と全体の係数を選ぶと、ピルボックス型空洞内の TM
モードは、

(t)

H θ = E 0 ωϵ0

(241)
(242)

R ′
J0
j01

(

)

j01
r e−i(
R

(244)
ωt− π
2

)

(245)

)
Hz = 0(246)jmn
nπz −iωtr cos mθ sin
e
(229)
jmn
R
d
c0 j01
(
)2
(
)
ω=
(247)
R
m
jmn
nπz −iωt(t)
REθ = E0(230)
k Jm
r sin mθ sin
e
jmn
r
R
d
(
)
であり、E z と H θ の 2 成分のみを持つ。電磁場は、
j
nπz
mn
(t)
−iωt
E z = E 0 Jm
(231)
r cos mθ coseRd
軸対称（θ 依存性なし）で、z 方向に一定（z 依存性
(
)2
(
)
R
m
jmn
nπz −iωt(t)
H r = E 0 iωϵ0
Jmr sin mθ cose(232) なし）である。|E | と |H | の動径方向の分布を図
z
θ
jmn
r
R
d
(
)
R ′
jmn
nπz −iωt(t)JH θ = E 0 iωϵ0(233)
r cos mθ cose*8 複雑な形状の空洞では、TM、TE モード以外のハイブリッ
jmn m
R
d
(t)

E r = −E 0

Hz = 0

R

′

(

(243)

kJm

(234)

18

ドモードが存在する場合もある。

電場：

磁場：

図 17 ピルボックス型空洞内の固有モードの例。

19

Arbitrary Scale

Q0 値は数万〜数十万程度である。図 19 に、半径 R= 22.56 cm、長さ d = 26.00 cm の場合の銅製ピル
10.8

ボックス型空洞の Q0 理論値を示す。一般的な傾向|Ez |として、粒子加速によく用いる TM010 モードは孤立

|Hθ|

0.6

しており、それより高い周波数のモード（高次モード）は、周波数の高い方に行けば行く程、密集してい0.4る。このことは、TM010 モードを加速モードとして採用することの理由のひとつである。

0.2
0
0

6.2 伝送線路との結合
0.5

1

1.5

2

前節までは単独の空洞を考えたが、空洞内に固有

2.5

j01r/R

モードを励振するためには、伝送線路を空洞に繋ぎ、外部から RF パワーを投入しなければならない。そ図 18 ピルボックス型空洞内の固有モード TM010の電場 E z 、及び、磁場 H θ の強さの動径方向分布。
これらの場は z や θ には依存しない。j01 ≈ 2.4048
は 0 次のベッセル関数の 1 番目のゼロ点。縦軸のスケールは任意である。

のための方法として、図 20 にあるように空洞に直接導波管を付けたり、図 21 あるようなカップラーを空洞に取り付け、RF パワーを投入する（または、RF
パワーを取り出す）。通常、導波管やカップラーを付けたことによる空洞内電磁場（特に加速モード）への

18 に示す。電場は中心軸（z 軸）上で最も強く、円影響は小さくなるようにする。

筒壁面 (r = R) でゼロとなる。一方、磁場は中心軸

ここで、新たな Q 値を定義する。ある固有モード

上でゼロである。電場と磁場で位相が 90°ずれていをある程度励振した状態で、入力波を止めたとする。

るので、電場が最高の瞬間、磁場はゼロである。ま

その瞬間、空洞壁面損失電力 Pwall と空洞から導波管

た、磁場が最高の瞬間、電場はゼロとなり、電場と磁に出て行くマイクロ波の電力 Pext（図 20 参照）の和場がお互いに励振しあっている。固有モード周波数

は、空洞内電磁場エネルギー U の時間変化に等しい

は、空洞半径 R に反比例し、長さ（d）には依存しなので、

い*9 。尚、(Super)KEKB 主リングの RF 周波数であdU= − (Pwall + Pext )dt

る 509MHz に対応するピルボックス型加速空洞の半径は R = 22.56 cm である。

(249)という関係が成り立つ。ここで、外部 Q 値（Qext ）を

ここで、Q 値（Quality factor）のひとつである内部 Q 値（無負荷 Q 値とも言う）を定義する。通常、

Qext = ωQ0 と記述する。これは、加速空洞等の性能を表わす

U
Pext

(250)

重要な無次元量である。Q0 値は、空洞内の電磁場のと定義する。式 (248)、(250) を式 (249) に代入して、エネルギー（U ）と壁面損失電力（Pwall ）の比に共振

(
)
dU
1
1
= −ωU
+
dt
Q0
Qext
ω
=−
U
QL

角周波数*10 を掛けた量である：

Q0 = ω

U
Pwall

(248)

(251)
(252)

を得る。ここで、QL を外部 Q 値、または、負荷 Q

Q0 値が大きいということは、蓄えられる電磁場の値と言い、エネルギーが壁面損失電力に比べて大きいことを意味する。Q0 値は周波数に依存し、固有モードごとに異なる値を持つ。銅製の常伝導加速空洞では、通常、

1
1
1
=
+
QL
Q0
Qext

(253)

で定義する。さらに、結合度 β を*9 z 軸上にビームパイプを付けて穴をあけた場合、TM010

モードの固有周波数は長さ d に（僅かに）依存する。

β=*10 正確には、壁面損失が無いと仮定した時の共振角周波数

20

Q0
Qext

(254)

(1,4,0)(2,3,3)(3,3,2) (1,1,5)(0,3,4)(2,2,4) (0,1,5)(1,4,1)(4,2,3)(3,3,1)(4,1,4)(1,3,3)(3,3,0) (1,2,4)(0,4,2)(2,3,2)(3,2,3)(3,1,4)(4,2,2)(1,2,3)(0,1,4)(0,2,4)(2,1,4) (0,4,1)(2,3,1) (0,3,3)(2,2,3) (0,4,0)(2,3,0)(1,1,4)(1,3,2)(4,2,1)(3,2,2)(4,1,3)(4,2,0)(1,3,1)(3,1,3)(0,3,2)(3,2,1) (1,3,0)(2,2,2)(0,2,3)(3,2,0)(2,1,3)(4,1,2)(0,3,0)(0,1,3)(0,3,1)(1,1,3)(1,2,2)(2,2,1)(2,2,0)(3,1,2)(0,1,5)(3,3,3)(2,1,5)(1,3,4)(4,3,2)(1,1,5)(0,4,1)(3,2,4)(2,4,1)(0,3,3)(4,3,1)(0,2,4)(1,4,2)(2,3,3)(2,2,4)(3,3,2)(4,2,3)(0,2,3)(1,1,4)(1,2,4)(4,1,4)(1,4,1)(1,3,3)(3,1,4)(3,3,1)(0,1,4)(0,3,2)(3,2,3)(2,3,2)(2,1,4)(4,2,2)(1,2,3)(2,2,3) (0,3,1)(2,3,1)(1,3,2)(4,1,3)(3,2,2)(4,2,1)(2,2,1)(1,2,2)(0,2,1)(3,1,3)(0,1,3)(1,3,1)(0,2,2)(2,1,3)(2,2,2)(3,2,1)(1,1,3)(4,1,2)(0,1,2)(0,1,1)(1,1,2)(1,2,1)(2,1,2)(3,1,2)(4,1,1)(3,1,1)(2,1,1)(1,1,1)

21

3

Resonance Frequency [GHz]2.5

3Resonance Frequency [GHz]

2.5

2

1.5

(0,2,2)(1,2,1)(2,1,2)(1,2,0)(1,1,2)(0,2,1)(0,1,2)(0,2,0)TE(4,1,1)(4,1,0)(3,1,1)(2,1,1)(1,1,1)

4(2,1,0)(1,1,0)(0,1,1)

2

1

0.5

0

(p = 1 ~ 6)

14

(3,1,0)

4

2
1.5

1
0.5
0

(0,1,0)2(p = 0 ~ 6)

20 Copper Pillbox with= 22.56 cm
18 R
d = 26.00 cm(m = 0 ~ 4)16(n = 1 ~ 5)

Q0 /10000

14

Modes
20 Copper Pillbox with mnp
22.56 cm
18 R=
d = 26.00 cm(m = 0 ~ 4)16(n = 1 ~ 5)

Q0 /10000

TMmnp Modes

12

10

8

6

12

10

8

6

図 19 銅製ピルボックス型空洞（半径 22.56 cm、長さ 26.00 cm）の Q0 理論値（縦軸）と固有モード周波数（横軸）。銅の電気抵抗率としては IACS100%（1.72 × 10−8 Ω·m）を用いた。また、その透磁率は真空中と同じとした（µ = µ0 = 1.25664 × 10−6 H/m）。

Ch.1: Reflected Wave from the Cavity Ch.2: Input Wave to the Cavity
Ch.4: Pickup Wave from the Cavity
Ch.3: Control Voltage (Modulator)

空洞

2 µs

導波管

𝑈𝑈

𝑃𝑃ext

𝑃𝑃wall

図 20 空洞内電磁場を励振するために空洞側面に導波管を付けた状態の模式図。

図 22 509 MHz の常伝導加速空洞の大電力運転
時に RF スイッチを手動で切った瞬間の各種信号。
赤色破線は、加速モード電磁場のピップアップ検波
信号（Ch. 4）の包絡線。

の平方根に比例するので、|E|, |H| ∝ e

図 21 ループ（左）とアンテナ（右）の写真。ループ、及び、アンテナはそれぞれ空洞内電磁場の磁場、及び、電場に結合する。これらは低パワーでのQ 値測定に使用したセミリジット同軸ケーブルの先端部である。

= e

ω
− 2Q
t
L

− Tt
f

(257)
(258)

に従って指数関数的に減衰する。ここで、Tf =と定義し、内部 Q 値と外部 Q 値の関係は、

2QL
ω

(259)

を Filling Time と言い、入力マイクロ波を止めた瞬Q0 = QL (1 + β)(255)

間から Tf だけ時間が経つと空洞内電磁場の振幅はとなる。β = Pext /Pwall = 1 の場合は、Pwall = Pext

1/e ≈ 0.37 倍にまで減衰する。これは、マイクロ波

なので、この条件で空洞にマイクロ波を投入した場を投入して空洞内固有モードを最高振幅まで励振す

合には、入力電力と空洞壁面損失電力が釣り合い、反るのに要する時間の目安でもある（入射波の電力が射が無くなる。これを整合のとれた状態と言う。β一定の場合）。図 22 は、509 MHz の常伝導加速空が 1 でない場合は、その釣り合いが崩れ、反射電力

洞に大電力マイクロ波を投入して運転していた時にが生じる。β < 1 の場合を疎結合、β > 1 の場合を

RF スイッチを手動で切った瞬間の信号である。そ強結合と言う。結合度 β の調整は、ループの角度やこでは、509 MHz の信号をオシロスコープで直接観アンテナの突き出し量を変えることにより行う。各測した。この空洞の加速モード（TM010 ）の Q0 値は

種 Q 値や結合度は、共振周波数とともに、空洞の最約３万で、結合度は β ≈ 1.3 であったので、Fillingも基本的なパラメータである。実際の空洞でそれら

time は、式 (259) より、の量を測定する方法は様々あり、参考文献 [4] 等で学

Tf ≈

べる。

2π × 509000000≈ 8.1 µs

式 (252) より、入力マイクロ波を止めた瞬間以降の電磁場エネルギー U の時間変化は、

U = U0 e− Qω tL

30000
2 × 1+1.3

(260)
(261)

である。図 22 を見てみると、加速モードのピップ(256)

アップ検波信号（Ch. 4）の減衰時間は約 8 µs であとなることがわかる。電磁場の振幅は、エネルギーり、式 (261) の Filling time に等しい。

22

𝑧𝑧 = 0E (ω )𝜞𝜞 =𝑧𝑧 = 𝑑𝑑

𝝎𝝎𝟎𝟎
𝑸𝑸𝐋𝐋

f

ω0
図 23

𝑑𝑑

共振型スペクトル。

図 24 ピルボックス型空洞に細いビームパイプを取り付けた状態。

これまでは空洞の共振周波数上で考えてきたが、こ
こでは、周波数が共振周波数から少しずれた場合に電の中心軸上に z 軸を置く。そこに、z < 0 から +z

磁場の振幅がどのようになるかを見てみる。共振周の方向に向かって z 軸上を高エネルギーの電子（電波数が ω0 の固有モードを考えると、式 (257) より、

荷：e(> 0)）が光速 c0 で走り抜ける時、その電子が角周波数 ω の固有モードの電場から受ける取るエネωE(t) = E 0 e− 2Q0 t −iω0 t
L

e

(262)

ルギー W は、∫ dとなり、このフーリエ変換は、∫ ∞1E(ω) =
dt E(t) eiωt
(263)
2π −∞
∫
)
(
ω
E0 ∞
− 2Q0 +i(ω0 −ω) t
L
=
(264)
dt e
2π 0
ω0
E 0 2QL − i(ω0 − ω)
=
(265)
(
)
2π ω0 2
2
+
(ω
−
ω)
0
2QL

W =
0

dz e ℜ {E z (0, 0, z, t0 + z/c0 )}
{∫
d

= eℜ

ω0
2QL

)2

1

= e ℜ {V c }= e |V c | cos ϕ

Vc=e

−iωt0

∫ d

dz Ẽ z (0, 0, z) e−iω c0 (272)
z

0

(266)

は空洞電圧と言う複素量である（図 25 参照）。因子+ (ω0 − ω)2

ω0
QL

(270)
(271)

と書ける。ここで、e−iω c0 は、電子が空洞内を通過する途中の電場の変zになる。この時、図 23 のあるように、Γ=dz Ẽ z (0, 0, z) e−iω(t0 +z/c0 ) (269)0となり、電場強度は共振型スペクトル：|E(ω)| ∝ (

(268)
}

化を表わす。また、Ẽ z は E z から時間依存性を除いたもので、時刻 t = t0 に電子が z = 0 を通過したと(267)

した。ϕ = 0 となるタイミングで電子が空洞に入れが半値幅となり、QL が大きければ大きい程、共振型

ば、W は最大となる。空洞電圧の絶対値 |V c | は ϕスペクトルはよりシャープになる。

= 0 に対応し、（タイミング的に）最大加速の電圧で6.3 空洞電圧ある。また、加速空洞が複数台ある場合には、空洞電図 24 にあるように、z 軸上に細いビームパイプを圧のベクトル和をとる。尚、加速や減速に関係する付けたとしよう。そのパイプの太さは空洞の径と比固有モードが複数ある場合は、それぞれのモードか

べて非常に小さいとし、空洞内電磁場としては前にらの寄与の和となる。

求めたピルボックス型空洞と同じ解が使えるとする。

実際のビームパイプ径は加速空洞の径に比べて非空洞が z = 0 ∼ d の間にあるようにビームパイプ

常に小さいということは、まずない。ビームパイプ

23ℑが得られる。式 (275)、(278) より、⃗ 2 V c (r) = e−iωt0 2π
∇
t

Vc

=e

−iωt0

(

∫ ∞
2π

dk
−∞

(

∫ ∞

2

−∞

⃗ Ẽ (r, k) δ
dk ∇
t
z

2

k −

ω2
c20

)

k−
(

Ẽ z (r, k) δ

k−

ω
c0
ω
c0

=0

)
(279)
)
(280)
(281)

つまり、空洞電圧は調和関数である。調和関数の性
質より、軸対称性があれば、任意の位置 r に対して、

φℜ

V c (r) = V c (0)(282)ℜ{Vc }

が成り立ち、空洞電圧が通過位置に依存しないこと= Vc cos φ

れば、どのような形状でも成り立つ（ビームパイプがわかる。これは数学的な帰結であり、軸対称であの太さや空洞の長さ d がどのような値でも）。直観的

図 25 空洞電圧。

に受け入れ難いことだが、第 II 部で具体的なシミュ
レーションの結果を見て、理解してみよう。

径が大きいと、空洞内電磁場がビームパイプに染み

6.4 シャントインピーダンス

出し、電子がビームパイプの中のどこを通ったかで空空洞電圧の 2 乗を壁面損失電力で割った比をシャ

洞電圧が変わりそうである。しかし、ビープパイプ

ントインピーダンス（Rsh ）という：と空洞が軸対称ならば、空洞電圧は通る位置に依存しないことを証明しよう。円筒座標系を使い、Ẽ z (r, z)
は z に関するフーリエ変換で表わす：∫ ∞Ẽ z (r, z) =−∞dk Ẽ z (r, k)eikz

V c (r) = e

∫ ∞

∫ ∞
dz

−∞

−∞

dk Ẽ z(283)

シャントインピーダンスも、各種 Q 値と同じく、空洞の各 TM モードごとに決められる。場合によって(273)

は、Rsh = |V c |2 /2/Pwall と定義することもあるが、加速器では波高値（ピーク値）に重点をおくことが多この式を式 (272) に代入すると、空洞電圧は、−iωt0|V c |2
Pwall

Rsh =

いので、本書でも式 (283) の定義を採用する。整合()
i k− ω zc0(r, k) e(274)

がとれている場合（β ≈ 1）、空洞へ投入するマイク
ロ波の入力電力を Pinp とすると、上式より、となる。ここで、z に関する積分範囲が無限になったことに注意する。z に関する積分を先に行うと、その積分はディラックのデルタ関数 δ となり、
(
)
∫ ∞
ω
V c (r) = e−iωt0 2π
dk Ẽ z (r, k) δ k −
(275)
c0
−∞

|V c | =≈√√Rsh Pwall(284)

Rsh Pinp(285)である。つまり、シャントインピーダンスが高い程、小さい入力電力で高い空洞電圧が得られ、この電圧がである。一方、電場：

加速電圧であれあば、シャントインピーダンスは「加−iωt

E z (r, z, t) = Ẽ z (r, z) e
(276)
∫ ∞
=
dk Ẽ z (r, k)ei(kz−ωt) (277)

速効率」を表わすことになる。ピルボックス型空洞

が真空中のマクスウェル方程式 (35) を満たすこと

面損失電力が空洞内面の金属の電気伝導率 σ と透磁より、率 µ を用いて以下の空洞内面上の面積分：の TM010 モードの場合、z 軸上のシャントインピー

−∞

(

2
⃗ 2t − k 2 + ω∇
c20

ダンスは、式 (243)、(272) を上式に代入し、また、壁)Ẽ z (r, k) = 0

1
Pwall =
2

(278)
24

√

ωµ
2σ

∫
空洞内面

⃗ 2
dS |H|(286)

より求まることを使うと、√
Rsh = 2空洞の形状に関係する電気的性質を特徴づける指標∫d−iω cz 20J0 (0)2 0 dze
2σ
{
(
)}2
∫
ωµ
dS c0 ϵ0 J ′ j01 r
0

空洞内面

√
=2

2σ
(
ωµ ∫

∫

端板

√

8
=

型単セル空洞の典型的な RQshの値は、100〜200 Ω 程
0

(287)

度である。

R

c2
4 ω02 sin2 2cω0 d)+ 側面 dS

Rsh
Q0( 01 ) 2 (288)c0 ϵ0 J1 jR
r

2σ1sin2 2cω0 d
ωµ ω 2 ϵ20( 01 )2
r + 2πRdJ1 (j01 )2
4π 0 dr rJ1 jR∫R

としてしばしば使われる。ちなみに、ピルボックスに関してもうひとつ重要なことがある。式(291) をよく見てみると、「中心軸（ビーム軸）上の電場の全電場に対する割合」という形になっている。
は、そ
これは、（空洞を加速空洞として使う場合）RQsh
0

(289)

の固有モードとビームとの間でやり取りするエネルとなる。ここで、J0 (0) = 1、J0′ (x) = −J1 (x) を使った。上の式 (289) の分子が最大となるのは、 2cω0 d =ギー量を表わしていることを意味する。例えば、加π/2 の時、つまり、空洞長 d が TM010 モードの自由が、ビームからの反作用が大きくなる。

速モードの RQsh
を高くすると、加速自体には有利だ
00π空間における波長の半分に等しい時（d = cω）である。これは、半周期で最大の加速を受けることに相第 II 部

当するが、シャントインピーダンスがこの時に最大マイクロ波シミュレーションとなる訳ではない。なぜなら、式 (289) の分母第 2
項（空洞側面における壁面損失電力）が空洞長 d に比例するからである。実際は、空洞長 d が自由空間における波長の約 4 割強のところでシャントインピー

7 はじめにダンスが最大となる。ピルボックス型空洞の空洞長はこのようにして決まっている*11 。

近年のコンピュータ関連技術の進歩により、マイ

次に、（それぞれの TM モードに関して）シャン

クロ波を含む様々な電磁場関連現象を精密に数値計

トインピーダンスと Q0 値の比 RQsh（「アール・オー
0

算（シミュレーション）出来るようになってきた。こバー・キュー」と言う）を考える。Q0 の定義式 (248)

れは、マクスウェル方程式に従った計算であり、いわと空洞電圧の定義式 (272) より、ゆる第１原理計算である。実際、第 I 部にある内容は

Rsh|V c |2
=
Q0
ωU
∫
z 2
dz Ẽ z (0, 0, z) e−iω c0
=
2
∫
ωϵ0
dV Ẽ z (x, y, z)2
空洞内

全てシミュレーションで数値計算可能である。従っ(290)て、正しいシミュレーションを行えば、昔の人が加速空洞の研究開発等で行っていた低電力モデル（コールドモデルとも言う）の作成や測定は、基本的に不要(291)である。但し、それはシミュレーションが正しければのことである。本節では、マイクロ波シミュレーと書ける。壁面損失電力 Pwall が分母分子でキャンションの基礎について解説する。

セルして消えたことからもわかるように、 RQsh
は空0
洞内表面の抵抗値や物温に依存しない。また、空洞

8 計算方法の種類の代表的なサイズを L とすると、|Ẽ|2 は電磁場のエ
ネルギー密度に比例するので、|Ẽ| ∝ L−3/2 である。

∫∫

また、ω ∝ L−1 、 dV ∝ L3 、 dz ∝ L なので、式

マクスウェル方程式を数値的に解く方法は複数ある。いずれの方法でも、空間や時間を離散化する。実際にシミュレーションを行う上で解法の詳細はそれ(291) は L に依存しない。つまり、空洞の大きさが程重要ではないので、ここでは、代表的な解法の概要

L 倍になっても、空洞の形が相似形ならば、対応するのみ解説する。

は同じである。従って、 RQsh
は空
固有モードの RQsh
00
洞の幾何学的形状のみで決まる空洞固有の量であり、8.1 有限要素法
有限要素法（Finite Element Method）では、計算領域を小さな領域（要素）に分割する。その際、要素*11 一方、空洞の内径は、周波数によって決まる。

25

の形状を自由に選べることが、この方法の大きな特9 計算領域の種類徴である。これにより、複雑な境界条件を正確に表現出来る。但し、要素の作成に時間がかかるのが問

通常よく見かけるマクスウェル方程式：

題である。尚、境界条件に適合させて要素を作成す⃗⃗ x, t) + ∂ B(⃗x, t) = 0⃗ × E(⃗∇∂t⃗ x, t)∂D(⃗⃗ x, t) −⃗ × H(⃗=0∇∂t⃗ x, t) = 0⃗ · D(⃗∇⃗ x, t) = 0⃗ · B(⃗∇

るためか、（加速器でよくある）荷電粒子との相互作
用を有限要素法で計算することは簡単ではないようである。よって、この解法を使ったシミュレーショ
ンソフトでは、ビーム励振を扱えないものが多い（全く無いことはない）
。

(292)
(293)
(294)
(295)

8.2 境界要素法
境界要素法（Boundary Element Method）は、マは、電磁場の時間発展を記述するものであり、「時間クスウェル方程式の積分形（境界積分方程式）に基づ領域」における表現である。一方、第 I 部でマクス

き、その境界内部の電磁場を求める方法である。計

ウェル方程式から導いたヘルムホルツ方程式：(

領域を厳密に扱うことが可能である。このように理)⃗ x, ω) = 0⃗ 2 + k(ω)2 E(⃗∇()⃗ x, ω) = 0⃗ 2 + k(ω)2 H(⃗∇

論的には優れている方法だが、実際の数値計算には

は、フーリエ変換して、ある特定の周波数に関して記

時間が（他の方法と比べて）かかることが多く、加速述した「周波数領域」における表現である。どちらも器業界で使われているシミュレーションソフトでこ

数学的には等価であるが、その描像は正反対である。

の方法を実装したものは少ない。

ここでは、計算領域について簡単に解説する。

8.3 有限差分法

9.1 周波数領域

算格子は境界表面にのみ設定すればよいことが、この方法の特徴である。また、この方法を使うと、無限

(296)
(297)

有限差分法（Finite Diﬀerence Method）は、マク加速器は周波数領域の装置とも言えるので、周波スウェル方程式の微分形を差分で表現する方法であ数領域の計算は必須である。特に、高い Q 値を持っる。コンピュータは差分（引き算）が不得意なので、た空洞では、第 I 部の式 (266) で示したように、空差分を多数回行うと誤差が蓄積されることがある。

洞内電磁場の強度は鋭い共振型スペクトルとなるのしかし、現在では、そのような誤差を抑える方法がで、一点の周波数における計算が重要となる。つまあり、また、コンピュータが単精度（約 7 桁）から倍り、周波数領域の計算は、狭帯域問題に適している。

精度（約 16 桁）へ移行したこともあり、有限差分法

周波数領域では、フーリエ変換により t = −∞ かは広く使われている。特に、ビーム励振の電磁場をら t = +∞ まで積分したため、「時間」は無い。従っシミュレーションする場合は、時間領域有限差分法て、初期条件というものもなく、電磁場を決めるた（Finite-Diﬀerence Time-Domain method: FDTD）

めに、励振源が必要である。励振源として最もよくが有用である。

あるのは、ポートモード（同軸線や導波管のモード）

8.4 有限積分法

である。

有限積分法（Finite Integration Technique: FIT）

9.2 時間領域

は、マクスウェル方程式の積分形を離散化し、グリッ

時間領域では、電磁場の時間発展を追うので、初ド化された空間上の支配方程式を構成、それを数値

期条件が必要である（さらに、励振源が加わる場合

的に解く方法である。直交グリッド上では、FIT ともある）。別途求めた電磁場を t = 0 における初期電FDTD は等価である。FIT は、静的な場から高周波磁場とし、その後の時間発展を計算することもある。

まで、そして、周波数領域と時間領域の両方に適用出励振源としてよくあるは、ポートモードとビームで来る応用性の広い方法である。

ある。
フーリエ変換の関係にある２つの量の間には、必ず不確定性が存在する。周波数領域は時間領域をフー

26

リエ変換したものなので、周波数と時間の間に不確定

10.2 CST STUDIO SUITE性がある。例えば、時間領域で t = 0 から t = tmax

CST STUDIO SUITE [7] は、有限積分法（FIT）にまで計算をしたとすると、その結果をフーリエ変換

基づいた計算を行うシミュレーションソフトである。

して得られるスペクトルの解像度 ∆f は、名前に「Suite」とあることからもわかるように、ビー

∆f ≈

1
tmax

ム励振問題も含めて、電磁場関係の計算の殆どを扱っ(298)ている。最近では、マイクロ波による発熱や、その発熱から生じる応力等も連携して計算出来るようにとなる。例えば、Q0 = 30000 の加速空洞があったとなった。著者の個人的な感想では、使いやすさを優しよう。整合がとれている（β = 1）とすると、負荷先しているようであり、精度の高い計算を行う場合

Q 値は、QL = Q0 /2 = 15000 である。式 (267) よは、注意が必要となることがある。勿論、高精度の計

り、共振型スペクトルの半値幅は、Γ ≈ 200 kHz と算は出来るが、多少、シミュレーション・パラメータ

なる。つまり、tmax ≈ 1/(200 kHz) ≈ 5 ミリ秒よりの調整が必要なこともある。曲面四面体メッシュをも長く計算しなければならない。周波数の解像度を使えば、複雑な形状もよく近似出来る。

N 倍良くするためには、時間領域の計算を N 倍長く

10.3 GdfidLする必要がある。つまり、時間領域の計算は、狭帯域

GdfidL（ジー・ディー・フィドゥルと読む；「Gitter問題には向いておらず、広帯域問題に適している。

drüber, fertig ist die Laube」の略語）[8] は、時間領9.3 固有モード解析

域有限差分法（FDTD）に基づいた計算を行うシミュ

マクスウェル方程式から導いたヘルムホルツ方程

レーションソフトである。メッシュは６面体のみで式 (74)、(75) を固有方程式として、（大規模）固有値

あり、複雑な形状を扱う場合はメッシュサイズを小問題を数値的に解く方法である。理論的には周波数さくする必要がある。GdfidL は PC クラスタを使っ領域であるが、励振源は無く、存在可能な電磁場を求た並列計算を想定して開発されており、大規模な PC

めるという（ある意味）特殊な問題なので、本書ではクラスタを持っていれば、大規模問題をシミュレー

周波数領域と区別する。固有モード解析で必要なのションすることが可能である。GdfidL が最も威力をは、ヘルムホルツ方程式と完全な境界条件（例えば、発揮するのは、ウェーク場計算等のビーム励振問題

金属で囲まれた空洞）のみである。外界とマイクロである。「リスタート機能」があり、ある段階で一旦波の出入りがあるポートがあってはならない。従っ計算を中断し、後日、中断した時点から計算を再開て、あるポートの外部 Q 値を固有モード解析で求め出来る。この機能は、非常に長い距離（例えば、円形る場合には注意が必要である*12 。

加速器１周分以上）までウェーク・ポテンシャルを

10 ソフトウエアの例

計算したい場合に有効である（PC クラスタを使っても数週間かかる計算）。また、GdfidL では、Moving

加速器業界で使われている電磁場シミュレーショMesh 法 [9] によるウェーク・ポテンシャル計算が可

ン用ソフトは多数あり、全てを列挙するのは難しい能である。これは、観測点近傍のみメッシュ生成し、ので、ここでは、代表的な３つについて簡単に解説

そのメッシュ領域をビームの進行に合わせて進めてする。

いく方法で、ビーム・バンチ内の近距離ウェーク・ポ

10.1 HFSS

テンシャル（例えば、バンチ長の 100 分の 1）の計算

HFSS [6] は、有限要素法（FEM）に基づいた計算が少ないメモリで行える。

を行うシミュレーションソフトである。高い精度の

11 ワークフロー計算に向いており、加速器業界では昔から今まで、多くのユーザーがいる。但し、ビーム励振問題は扱え

昨今のシミュレーションソフト（特に商用）は非常ない。

によくできており、計算する対象（3 次元ソリッドモデル）を作成してしまえば、７〜８割方出来たと言っ*12 正しくは Slater の同調曲線法を使う。詳しくは、参考文献てよいであろう。この節では、CST STUDIO SUITE[5] の第 V 章参照。

27

図 26

CST STUDIO SUITE の Modeling 機能。

図 27

CST STUDIO SUITE のマクロ機能。

を例に解説する。
②出力したいステップを選択

11.1 ソリッドの作成
一般的、且つ、簡易な方法は、図 26 の赤色破線枠にある機能を使う方法である。直方体や筒など、基本的な形状のソリッドと、その加工等が行える。2 次元図形から 3 次元ソリッドを作ることも可能である。

①③

行った全ての操作は、図 26 の緑色枠にある「History

List」に残る。この方法は簡単・手軽ではあるが、複雑且つ大規模なソリッドを作る時には問題がある。
条件によって場合分けしたり、複雑な計算結果を反

図 28 CST STUDIO SUITE の History List から、それまでに行った手続きを一括出力する方法。

映させたりしたい場合は、その都度作り直しである。
そこで、マクロ言語を使う方法を紹介しよう。CST

どの数学関数が使える。

STUDIO SUITE では VBA (Visual Basic for Appli-

CST STUDIO SUITE の VBA ではオブジェクト指

cations) がサポートされている。図 27 の赤色矢印に向プログラミングがサポートされている。例としあるマクロエディターを開き、ビジュアルベーシッて、CST STUDIO SUITE のソリッドを GdfidL がイクの文法でソリッド等を記述するのである。例えば、

ンポート可能な形式に変換するためのマクロ [10] が直方体ソリッドを作るのは、参考になる。そこで使っているマクロでは、クラスを使用している。

With Brick

著者のお薦めは、まず、一般的な方法でソリッド.Resetを作り出し、ある段階でマクロ言語使用に移行する.Name "solid1"

方法である。History List にため込まれた手続きは、.Component "component1"

図 28 にある方法を使えば、一括してひとつのマクロ.Material "Vacuum"として出力出来る。

.Xrange "0", "100"11.2 ソルバーの選択・実行.Yrange "0", "100"CST STUDIO SUITE では、図 29 にある画面でソル.Zrange "0", "100"

バーを選択する。ソリッドの作成は、ソルバー選択.Createの前でも後でも構わない。一旦ソルバーを選択すれ

End With

ば、後は、幾つかのオプションを選んで、ソルバー

等と入力すればよい。History List には VBA の言を実行するだけである。どのソルバーを使えばよい

語で履歴が残っているので、その内容が参考になる。

かについては、物理的理解が必要な場合が少なから

この VBA では、ビジュアルベーシックで使える殆ずある。具体例を次節に載せたので、参考にして欲28

WR-90矩形導波管内TE10モード

銅の電気伝導率を持ったソリッド

WC-90円形導波管内
TM01モード∅12.7∅22.86

図 31 シミュレーション用ソリッドモデルの例。
図 29 CST STUDIO SUITE のソルバー選択。

12.1 周波数領域計算の例
図 31 にあるモデルに対して Frequency Domain

Solver を走らせ、矩形導波管上端の赤色領域で TE10
モード（第 I 部の図 10）を励振し、モード変換器を使って、円形導波管内 TM01 モード（第 I 部の図 15）に変換して、3 個のセルからなる試験空洞に RF パ
ワーを投入する。入射波の周波数は 11.4 GHz くら
いなので、内径 22.86 mm の円形導波管内は伝搬出来るが、試験空洞の終端にある内径 12.7 mm の円形
図 30

導波管内は（遮断周波数より低いので）伝搬しない。

CST STUDIO SUITE のポストプロセッサ−。

入射波の周波数が試験空洞の共振周波数と合っている場合、試験空洞内にマイクロ波のエネルギーが貯められる。このソリッドでは、11.424 GHz に π モー
しい。

ド（隣合う空洞でモードの位相が π ずれている）が11.3 ポストプロセスある。図 32 に、11.424 GHz のマイクロ波をポート

あまり時間のかからない計算は、（ソルバー計算後で励振した場合の計算結果を示す。どこに共振周波の）ポストプロセスとして扱われる。固有モード計

数があるかわからないことが多いので、通常は、ある算後の Q0 値計算等である。CST STUDIO SUITE で

周波数領域内をスキャンする。つまり、ある周波数は非常に多くのポストプロセス用マクロが用意されステップで何回も計算するのである。

ている（図 30）
。オンラインマニュアルや実際に使っ上の計算を時間領域で行うことも可能である。単てみて確かめていただきたい。

一の周波数ではなく、ある周波数分布をもった波束を入射して、結果をフーリエ変換する。図 31 にある

12 実際の計算例

試験空洞の π モードの Q0 値は 9000 である。整合はとれているので、負荷 Q 値はその半分である。従っ

この節では、CST STUDIO SUITE を使ったシミュて、π モードのスペクトル強度の半値幅は、第 I 部のレーション例を幾つか紹介しよう。

29

Normalized Amplitude

入力波（赤色）

電場の強さ

電場ベクトル

Maintaining
Step

Amplitude [a.u]式 (267) より、

(299)
(300)

試験空洞内に励振されるモードの振幅
（紫色）

(301)

(b)

である。従って、半値幅の十分の一の分解能が欲しいとすると、式 (298) より、

1
0.16 MHz≈ 6.3 µs

tmax ≈(a)Charging
Step

図 32 周波数領域計算の結果例。

ω0
Γ=
QL
2π × 11.424 GHz≈4500≈ 1.6 MHz

反射波（緑色）Time [ns](302)

図 33 時間領域計算結果の例。11.424 GHz の単
色波ステップパルス（(a) の赤色入力波）を図 31 のモデルに投入した。

(303)

くらいまでの（シミュレーションの世界の中における）計算時間が必要である。もし、一晩計算ジョブを走らせて、数 ns くらいしか計算が進まなかったとしする時間領域計算を行うと、図 33 にある結果が得ら

てら、時間領域での計算は難しいとわかる。

れる。図 33(a) の緑色波形は試験空洞からの反射波

12.2 時間領域計算の例である。パルスの立ち上がりと立ち下がりで大きな時間領域では、電磁場の時間発展を扱うので、過渡反射が出ている。これは、整合の取れた状態でも、パ現象を見ることが出来る。ここでは、直線加速器でルスの立ち上がりと立ち下がりでは共振周波数以外

よくあるパルス運転を例にとる。通常のパルスは矩の成分が発生するためである。図 33(b) の紫色波形形であるが、図 33(a) の赤色波形にあるような二段は、試験空洞の中に励振される固有モード（この場合階ステップパルス（11.424 GHz の単色波）を図 31

は π モード）の振幅である。このシミュレーションのモデルに投入する。CST STUDIO SUITE でこれをの入力波のステップ比（ステップ前半とステップ後励振源とするには、Time Domain Solver 起動後、ナ半の振幅比）は予め調整してあり、ステップ後半でビゲーションツリーの「Excitation Signals」を右ク

試験空洞の中に励振されるモードの振幅が一定になリックし、「New Excitation Signal」を選択。Signal

るようにしてある。これは、定在波型のパルス運転

Type として「User defined」を選んでから、Edit ボ

で、パルス幅が Filling time 程度である場合に使わタンを押すと、ユーザーが定義出来るウインドウが現れるテクニックである。実際、Filing time を求めてれ、その中で VBA 言語を使って励振波を記述する。

みよう。この試験空洞の Q0 値は 9000 で、固有モー

図 31 にあるモデルのポートにステップパルスを入力

ド周波数は 11.424 GHz である。整合がとれている30求めた固有モードに対して、ポストプロセスで Q0∅150 mm∅444 mmである。
値等を計算出来る。ここでは、モード１に対して空
洞電圧の位置非依存性を確認してみる。第 I 部の式(282) によれば、軸対称性がある場合、どのような形√状でも、空洞電圧は積分する位置（r = x2 + y 2 ）1000 mm

255 mmに依らないはずであるが、図 36 にある電場の強さ分

1000 mm

布を見る限りでは、|V c (r = 0)| > |V c (r = 70mm)|

r=70mmr=0

z=-1000z=0zとなりそうである。ここで、z = −1000 mm から z

= ζ までのエネルギー利得 W̃ を、

z=1255∫ ζ

図 34 ピルボックス型加速空洞の例。青色領域は真空。それ以外は導体。

W̃ (ζ, r) =−1000 mmdz Ẽ z (r, z) e−iω c0 (306)zと定義する。W̃ (1000 mm, r) = |V c (r)| である。固ので、QL = 9000/2 = 4500。よって、第 I 部の式有モードソルバーのポストプロセッサーを使って W̃

(259) より、を数値計算した結果を図 37 に示す。確かに、ζ <2 × 4500
2π × 11.424 GHz≈ 125 nsTf =255 mm では、 r = 70 mm より r = 0 を通る方がよ(304)

り多くのエネルギーを得ているが、r = 0 では空洞を(305)過ぎた辺りから減速位相の効果があり、結局、空洞電である。従って、矩形波でパルス幅が数百 ns 以下

圧は位置 r に依存しないことがわかる。では、減速位の場合は、試験空洞内に励振されるモードの振幅は相の効果がないくらい空洞ギャップ長が短い場合は一定にならない（立ち上がり途中）。このシミュレー

どのようになるのであろうか。図 38 に、空洞ギャッションは、ステップパルス運転が実際に問題なく行プ長が 50 mm の場合の固有モード１の電場の強さをえるかをシミュレーション上で確認するために著者示す。どう見ても |V c (r = 0)| < |V c (r = 70mm)|が作ったものである。これにより、実際の高電界試となりそうである。しかし、図 39 に示した計算結果

験時はスムーズにステップパルス運転を行えた。現からわかるように、空洞内領域では r = 0 の方が r代の電磁場シミュレーションの意義のひとつに、加= 70 mm よりエネルギー利得が少ないが、ビームパ

速器等の実際の運転をフルシミュレーションして、イプへの漏れ電場は r = 70 mm より r = 0 の方が多問題・不具合の事前発見や最適な運転パラメータのいので、十分長い領域で積分すれば、結局、この場合発見等を行えることにある。

も空洞電圧は位置に依存しないことがかわる。以上

12.3 固有モード計算の例のことから、マクスウェル方程式から導いた式 (282)を「実感」出来たと思う。

図 34 にあるピルボックス型加速空洞に対してEigenmode Solver を走らせてみる。この時、求めた

13 最後にい固有モードの最低周波数と、固有モードの個数を設定する。そうすると、設定した最低周波数以上の固有

現代の（特に商用の）マイクロ波シミュレーショ

モードを設定した個数まで計算してくれる。この例

ンソフトは完成度が高く、装置開発のためのデザイ

では、最低周波数として 500 MHz、固有モードの個ンのみならず、加速器の運転や装置の試験の状態を数は４個とした。計算結果を図 35 に示す。固有モー

正確に模擬したフルシミュレーションを行うことにド周波数の低い順に解が求まる。ここで、固有モーより、問題、不具合、最適な運転パラメータ等の事

ド１は、通常よく粒子加速に使う TM010 モードであ前発見も可能である。また、マイクロ波理論の物理る。その電場強度分布を図 36 に示す。固有モード４

的理解の補助にもなるという存在意義もある。但し、は、よくビーム不安定性の原因となる TM110 モード

著者の経験から、下記事項には注意が必要であると

31

モード１
（528.0 MHz）

モード２
（680.8 MHz）

モード３
（796.3 MHz）

モード４
（802.0 MHz）

図 35 固有モード計算の結果例。電場ベクトルのみ表示。

32

空洞領域

r=70mmr=0

ζ [mm]
図 36 固有モード１の電場の強さをカーペットの高さで表示（空洞ギャップ長が 255 mm の場合）。

図 39 エネルギー利得計算の結果（空洞ギャップ
長が 50 mm の場合）
。

思われる：

空洞領域

1. シミュレーションは実験ではないので、考慮されている物理は限定されており、それを十分理解しておく。

2. バグのないシミュレーションソフトは存在しないことを頭の片隅に常に置いておく。

3. 計算結果のメッシュサイズ依存性は必ず確認する。

4. 周波数領域と固有モード計算は逐次的方法で物

ζ [mm]

理解を求めるので、（特に複雑な形状では）非物理解に陥ることもある。計算結果が物理的に妥

図 37 エネルギー利得計算の結果（空洞ギャップ
長が 255 mm の場合）。

当かどうかを確認する。

5. 可能ならば、複数のソルバーや、複数のシミュ
レーションソフトを使ってクロスチェックする。

14 お願いr=0 r=70mm

本書は高エネルギー加速器セミナー OHO’17 用に執筆したものですが、今後も随時更新して、完成度を高めたいと思います。本書を読んで、不具合や要望等ありましたら、著者（tetsuo.abe@kek.jp）までご連絡いただけると幸いです。更新版はインター

r=70mmr=0

ネット上で公開予定です。

参考文献
図 38 モード１の電場の強さをカーペットの高さで表示（空洞ギャップ長が 50 mm の場合）。

[1] M. Dal Forno, et al.: “rf breakdown measurements in electron beam driven 200 GHz copper and copper-silver accelerating structures”,
33Phys. Rev. Accel. Beams, 19, 11, p. 111301(2016).
[2] A. Bers: “Note on group velocity and energy
propagation”, American Journal of Physics,
68, p. 482 (2000).
[3] C. Jing, et al.: “Experiment on Multipactor
Suppression in Dielectric-loaded Accelerating
Structures with a Solenoid Field”, Proceedings, 4th International Particle Accelerator
Conference (IPAC 2013): Shanghai, China,
May 12-17, 2013, p. TUPEA087 (2013).
[4] E. L. Ginzton: “Microwave Measurements”,
Ann Arbor, Michigan (1957).
[5] J. C. Slater: “Microwave Electronics”, D. Van
Nostrand (1950).
[6] http://www.cybernet.co.jp/ansys/product/lineup/hfss/.
[7] http://www.aetjapan.com/software/CST Overview.php.
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[9] K. L. Bane and T. Weiland: “Wake Force
Computation in the Time Domain for Long
Structures”, Conf. Proc., C830811, pp. 314–
316 (1983).
[10] http://research.kek.jp/people/tabe/SS2GD Manual.pdf.

34