マイクロ波ローレベル制御

2 高周波加速空洞
まずは，制御の対象となる高周波加速空洞について

1 はじめにの基礎的なことついて述べたい．
マイクロ波ローレベル制御とは，低電力高周波制御のことであり，LLRF(Low Level Radio-Frequency) 制御

2.1

Q値

といわれている．
大電力のまま RF のモニターや制御系を構築するの

高周波加速空洞は，LCR 回路と等価な共振器である．

は難しく，また制御対象に大きな影響を加えることにな

共振回路の Q 値 (Quality factor) は，次のように定るので，制御対象に影響を与えない程度のほんの一部の義される．

パワーを取り出してモニターし，RF の制御がおこなわ

Q = 2πれている．また，何か異常があった場合には瞬時に RF

空洞の蓄積エネルギー
１周期あたりの損失電力(2.1)

を停止するなどのインターロック系も重要な制御項目

空洞の蓄積エネルギーを U とする．１周期の時間を T ,の一つである．

平均損失電力を Ploss とすると，１周期あたりの損失

安定なビーム加速を実現するため，加速電場の振幅・位相の安定化が重要である．空洞内の電場は，電力は Ploss T となる．よって Q 値は次のように表される．

• クライストロン印加電圧のリップルなどによる

Q = 2πRF の変動U
Ploss T

=

ωU
Ploss

(2.2)

• 空洞の共振周波数のずれ

ここで，ω は角周波数である．空洞の蓄積エネルギー U• ビームローディングに対する微少時間での減衰量は，dU = −Ploss dt

(2.3)

dU
ωU
= −Ploss = −
dt
Q

(2.4)

などの外乱で変化してしまう．安定化のため，クライス
トロンなどの大電力 RF 源への入力 RF の振幅・位相制御や，空洞の共振周波数をコントロールするためのチューナー制御が行われる．
近年，超伝導加速空洞を用いた加速器が多く建設されであるので，ており，特に X 線自由電子レーザー (XFEL) の施設でと表され，空洞への RF 入力を OFF にした場合は，空は，振幅 0.01%, 位相 0.01deg の安定度が要求されてき洞の蓄積エネルギーは次のように時定数 τ で減衰する．

ている．高い安定度や，フレキシブルな制御を実現する

U (t) ∝ e−ωt/Q = e−t/τ

(2.5)

τ = Q/ω

(2.6)

ため，AD 変換後デジタル演算処理を行い，DA 変換して出力するデジタルフィードバック制御が広く採用されている．本稿では，デジタルフィードバック制御を中心に紹介していきたい．
また，KEK にある超伝導加速空洞を用いた２つの線

ちなみに，時定数とは 1/e の大きさとなる時間である．

Ploss が，空洞の壁面でのジュール損失のみの場合，Q
値は無負荷 Q(Q0 ) と呼ばれ，空洞の材料や形状に依存

形加速器の試験施設

し，空洞の性能を表す．超伝導加速空洞の場合，Q0 は

cERL: compact Energy Recovery Linac

1010 程度である．

STF : Superconducting RF Test Facility

しかし，実際に加速器で使う場合は，加速空洞にマイにおける制御方法について，具体的に例を挙げて説明を

クロ波を注入するための入力カップラーや，空洞電場を行う．これらの施設の RF 周波数は 1.3 GHz で，cERL

測定するためのピックアップポートからのエネルギーのでは CW 運転，STF ではパルス運転が行われている．

漏れ Pt がある．(ただし，ピックアップポートからのエ
ネルギー損失は小さく設計されているため，ここでは，
入力カップラーからの損失のみを考える．) 加速ビームが無い場合 (Ib = 0)，空洞壁面でのジュール損失を P0 ，

空洞外部 (external) への損失を Pext とすると，１周期あたりの全損失エネルギーは，

Ptot = P0 + Pext(2.7)

と表される． Qext を外部 (external)Q 値， QL を負荷(Loaded)Q 値とすると，
U
Pext

(2.8)

U
QL = ω
Ptot

(2.9)

1
1
1
=
+
QL
Q0
Qext

(2.10)

Qext = ω

図 1 STF での超伝導加速空洞の電圧パターンの例(共振周波数=1.3 GHz, QL = 3 × 106 の場合)と定義され，の関係で表される．入力カップラーの結合度 β は

β=

Pext
P0

(2.11)

τv = 2Q/ω

(2.16)

共振周波数が 1.3 GHz，空洞の QL 値が 3 × 106 の場合の空洞電圧は，735 µs の時定数で減衰する．
同様に，空洞の減衰カーブから，QL を求めることもできる．超伝導加速空洞でクエンチ (超伝導状態が破れと定義されるので，て急激な発熱) が起きた際は QL 値が大きく低下する．

QL =

Q0
1+β

(2.12)

STF では，図 1 のようなパルス運転を 5 Hz の繰り返しで行っているが，パルス毎に QL が計算され，クエンチ検出が行われている．クエンチ発生時には速やかに RFとなる．
ここで，ビームがある場合を考える．高周波源からのの供給を停止している．

入力電力を Pg ，反射電力を Pr ，ビームが持ち去る電力

2.2を Pb とすると，

2.2.1

Pg − P r = P0 + Pb
入力カップラーの結合度 β は，ビーム加速時に反射が空洞の等価回路
インピーダンス

空洞は，図 2 のように LCR 等価回路で表される．

無いように選ばれる．そのため，外部から P0 + Pb が供給されるようにするには，β=Pg
P0 + Pb
Pb
=
=1+
P0
P0
P0

(2.13)

超伝導加速空洞の場合，Pb ≫ P0 であるため，β ≫ 1となり，β は，103 − 104 程度の大きい値となる．
図 1 は，STF における超伝導加速空洞の電圧パターンである．RF がオフすると，指数関数的に減衰してい図2

るのが分かる．空洞のピックアップ信号を ADC で取り

空洞の等価回路込む際は電圧信号となるので，信号処理は電圧で取り扱空洞の抵抗を R, 外部の負荷抵抗を Zext とすると，

うことが多い．U ∝ Vc 2 なので，

dVc
dU
=2
U
Vc

合成抵抗 RL は，(2.14)式 (2.4) に代入すると電圧の減衰曲線と時定数 τv は次(2.17)

ここで，Zext は次のように表される．

のようになる．

Vc (t) ∝ e−ωt/2Q = e−t/τv

1
1
1
=
+
RL
R
Zext

(2.15)

β=

R
Pext
=
P0
Zext

(2.18)

Zext =

Rβ

(2.19)

特に，入力 RF 周波数 ω が共振周波数 ω0 に近い場
合，共振周波数からのずれを ∆ω = ω0 − ω とすると，

よって，合成抵抗はtan ψ ≈ 2QL

R
RL =
1+β

(2.20)

∆f
∆ω
= 2QL
ω0
f0

(2.29)と近似することができる．図 3 に空洞の振幅・位相の共となり，負荷インピーダンスと言われる．空洞のイン振曲線を示す．

ピーダンス Zc は，

1
1
1= jωC +
+
Zc
RL
jωL

(2.21)RL
RL
1 + j ωL (ω 2 LC − 1)

(2.22)

Zc =√共振角周波数は ω0 = 1/ LC である。また，空洞電圧の振幅を Vc とすると，空洞の蓄積エネルギーは CVc2 /2，
消費電力は Vc2 /(2RL ) であるので，

CVc2 /2
QL = ω0 2
Vc /(2RL )= ω0 CRL
RL
=
ω0 L

図3

空洞の振幅・位相の共振曲線

空洞の共振周波数と入力 RF の周波数が等しい ∆f =(2.23)

0 のときに振幅が最大となり，位相 ψ は 0◦ となる．

ゆえに，式 (2.22) は，RL , QL と ω0 で表すことがで

入力 RF 周波数が空洞の共振周波数からずれると，空きる．

√
1/ 2 となり，蓄積パワーは半分となる．このときの

Zc =

RL
2
1 + jQL ωω0 ( ω− 1)
ω2

洞電圧が低下する．ψ = ±45◦ のときは，空洞電圧が∆f は-3dB 帯域幅を表すので f1/2 と定義すると，

0RL=
1 + jQL ( ωω0 − ωω0 )空洞電圧 Vc は，入力 RF によって励振されるジェネ
レータ電圧 Vg とビームによって空洞に誘起される電圧

Vb のベクトル和で表される．
Vc = Zc (Ig + Ib ) = Vg + Vb

f1/2 =(2.24)

f0
2QL(2.30)と表され,QL が高いと帯域幅が狭くなる．また，上記の式より，Q 値 (Q0 や QL ) は，共振の幅と共振周波数を測定することによって求めることができる．

Q0,L =(2.25)f0
2f1/2(2.31)

回路に流れる電流を I = I0 cos ωt，空洞電圧を V =空洞の振幅は，電流と負荷インピーダンス RL によっ

Vc cos(ωt + ψ) とすると，V = IZc より，位相 ψ と振て決まる．式 (2.23) は，QL と Q0 に対して，RL と R

幅 Vc は，次のように表される*1 ．

を使うことで同様の関係で表され，インピーダンスと Qω0ωtan ψ = QL (−)ωω0
Vc = √

I0 RL
1 + tan2 ψ値の比をとると次式のように，L と C だけで表される．

(2.26)RL /QL = R/Q0 =(2.27)*1 1/(1 + jX) の位相は，tan−1 (−X)(2.32)

上記 r/Q は，材質によらず空洞の形状だけで決まるパラメータであり，通常，この数値が与えられる．cERLの入射空洞は，r/Q が 205 Ω, 主空洞は 897Ω，STF のゆえに Zc は次のように書き直すことができる．

RL
Zc =1 − j tan ψ√
1
L/C ≡ (r/Q)
2

空洞は 1016Ω である．

(2.28)

QL 値と積をとることで，シャントインピーダンス
Rsh が計算できる．
Rsh = r/Q · QL = 2RL(2.33)

シャントインピーダンスとは，加速電圧を求めるのに便利になるように RL を 2 倍した数値で，加速電圧の2 乗と空洞内部での消費電力 Pc の比をとったものに等
しい．

Rsh = V 2 /Pc(2.34)■I/Q 表記 デジタル制御を行う場合，信号の実部と虚部の直交座標系で扱うことが多い．電圧・電流も I/Q 直
交座標系で表記したいので，I/Q について説明を行う．
振幅 A，位相 θ の波は次のように表される．

Aej(ωt+θ) = A(cos θ + j sin θ)ejωt

2.2.2= (I + jQ)ejωt

電圧の微分形式

ここまでは，直観的に取り扱えるように，インピーダン

ここで，スの導出から行ってきた．過渡的な状態を記述するた

I = A cos θ

めに空洞電圧を微分形式で扱いたいので，キルヒホフのQ = A sin θ

法則から再度表記し直す．

(2.41)(2.42)

である．この関係を図 4 に示す．実部 (I) と虚部 (Q)IC + IR + IL = Ig + I b = I
∫
dVc
Vc
1
C
+
+
Vc dt = Idt
RL
L

(2.35)の直交座標で表され，I は In-phase, Q は Quadrutureの意味である．

(2.36)

ˆ jωt を代入すると，式(上式に，V c = V̂ ejωt , I = Ie
(2.22) のインピーダンスの式が簡単に導出できる．)

1 ˙
1
1
Vc +
Vc = I˙
CRL
LCCω0 R L ˙ω0 ˙
Vc + ω02 Vc =
I
V¨c +
QL
QL
V¨c + 2ω1/2 V˙c + ω 2 Vc = 2ω1/2 RL I˙
V¨c +

0

図 4 振幅 A, 位相 θ と I,Q の関係(2.37)Vc (t) と I(t) を実部 (I) と虚部 (Q) の直交座標系でここに

Vc = Vc (t)ejωt , I = I(t)ejωt

表す．

Vc = (VI (t) + jVQ (t))ejωtV̇c = (V̇c + jωVc )ejωt+ , I˙ = (I˙ + jωI)ejωtV̈c = (V̈c + 2jω V̇c − ω )e2を代入すると，V̈c + 2(ω1/2 + jω)V̇c + (ω02 − ω 2 + 2jω1/2 ω)Vc
= 2ω1/2 RL (I˙ + jωI) (2.38)
2 次の微分項は非常に小さいとして無視し，2ω で両辺
を割ると，

(

I = (II (t) + jIQ (t))ejωt

jωt

ω1/2
(ω0 + ω)(ω0 − ω)+ j)V̇c + (+ jω1/2 )Vc
ω
2ω
ω1/2
RL I˙ + jω1/2 RL I
(2.39)=
ω

ω1/2
ω は非常に小さく，ω0 ≈ ω とすると，次のような 1次の微分方程式で表すことができる．

V̇c (t) + (ω1/2 − j∆ω)Vc (t) = ω1/2 RL I(t) (2.40)(2.43)

これを式 (2.40) に代入すると，V̇I + ω1/2 VI + ∆ωVQ = RL ω1/2 II
V̇Q + ω1/2 VQ − ∆ωVI = RL ω1/2 IQ(2.44)

行列形式で書き直すと，

d
dt

(

VI
VQ

)

(

−ω1/2
∆ω

=
(
RL ω1/2
+
0

)(

)
VI
VQ
)( )
0
II
(2.45)
RL ω1/2
IQ
−∆ω
−ω1/2

空洞のシミュレーションを連続時間系で行う際は，式(2.45) の右辺を計算し，それを積分していく．
■空洞シミュレータ

この微分形式を微少時間 ∆t での偏差で表す．

V̇ =V (n + 1) − V (n)∆t(2.46)

を使って V(n+1) について整理し直すと，次のように離(第 1 式)× cos θ+(第２式)× sin θ とすると散的に表すことができる．

(

VI
VQ

)

(

Ȧ + Aω1/2 = ω1/2 u(cos φ cos θ + sin φ sin θ)

)

VI
V
Q n
n+1
(
)( )
−ω1/2 −∆ω
VI
+ ∆t
∆ω
−ω1/2
VQ n
(
)( )
RL ω1/20II+ ∆t0
RL ω1/2
IQ n= ω1/2 u cos(φ − θ)=

(2.47)
第 1 項目は，直前の状態，2 項目は微少時間における減衰，および離調の効果，第 3 項目は，微少時間の電流(2.51)式 (2.50) より，離調は次のように表される．

∆ω = θ̇ − ω1/2usin(φ − θ)A

(2.52)

離調は，空洞位相の時間微分と，入力 RF との位相差のみならず振幅比にも依存することが分かる．
式 (2.51) については，例えば，t=0 で振幅 A=0 という初期条件をとると入力によって空洞に誘起される電圧である．

A(t) = u cos(φ − θ)(1 − e−jω1/2 t )低電力高周波系の試験のため，実際の空洞ではなく，(2.53)ADC や DAC を持つ FPGA ボードに空洞シミュレーとなる．一方入力をオフした場合，u = 0 であるため，タを構築して利用している．この際，式 (2.47) を使ってȦ + Aω1/2 = 0 となり，e−ω1/2 t で減衰していくことを

FPGA 内部に模擬空洞を構築している．入力電流は，意味している．

RL I で電圧となるので電圧として ADC から取り込むことができ，I/Q 成分のサンプリング周期を ∆t とし

2.3

RF システムの等価回路て，対象としている空洞の ω1/2 や離調周波数 ∆ω をパ
ラメータ入力している．空洞の VI , VQ を DAC から出力させている．

2.2.3

空洞の極座標表記

式 (2.40) の空洞の一次微分方程式に対して極座標をとることにより，振幅と位相に対する微分形式で表すことができる．文献 [10] で述べられているが，後に示すダ

図 5 RF システムの等価回路

イナミックデチューニング (過渡的状態における離調)を求めるときに重要となるので，ここで導出しておく．
式 (2.40) の RL I は Vin に代えて表すと，V̇c (t) + (ω1/2 − j∆ω)Vc (t) = ω1/2 Vin (t)図 5 は，空洞の入力カップラーを 1:n のトランスとして表し，導波管側と空洞がトランスで接続されていると(2.48)

した等価回路である．導波管側の進行波を Vf , If , 反射
波を Vr , Ir , 伝送ラインの特性インピーダンスを Z0 とここにする．トランスの一次側 (導波管側) から見た空洞電圧

Vc (t) = |Vc (t)|ejθ = A(t)ejθ , V̇c = (Ȧ + jAθ̇)ejθ ,Vc1 と空洞電流 Ic1 , 及びビーム電流 Ib1 はVin (t) = |Vin (t)|ejφ = u(t)ejφを代入し，実部と虚部にわける．

(Ȧ + Aω1/2 ) cos θ − (Aθ̇ − A∆ω) sin θ = ω1/2 u cos φ(Ȧ + Aω1/2 ) sin θ + (Aθ̇ − A∆ω) cos θ = ω1/2 u sin φ(2.49)(第２式)× cos θ−(第１式)× sin θ とするとAθ̇ − A∆ω = ω1/2 u(sin φ cos θ − cos φ sin θ)= ω1/2 u sin(φ − θ)

(2.50)

Vc1 = Vc /n(2.54)

Ic1 = nIc ，Ib1 = nIb(2.55)式 (2.18) より

R
R
= 2
Zext
n Z0
R
n2 =
βZ0
β=

(2.56)(2.57)

空洞の無負荷インピーダンス Zc0 は，式 (2.24) と式であるので，入力パワーは次のようになる．

[
β + 1 Vc2
2RL Ib0Pg =(1 +cos ϕb )2
8β RL
Vc
]
2RL Ib02+(tan ψ +sin ϕb )(2.68)
Vc(2.26) を使って表すと，
Zc0 =R
1 + jQ0 ( ωω0 − ωω0 )=R
1 − j(1 + β) tan ψ(2.58)

Zc0 を導波管側から見たインピーダンスを Zc1 とす

超伝導加速空洞の場合 β ≫ 1 であり，また，r/Q と QL
での表記の方が使いやすいため，次式を使って計算さ
れる．

ると，

βZ0
Zc1 = Zc0 /n2 =Zc0
R(2.59)

1 次側から見た空洞電圧 Vc1 と空洞電流 Ic1 ，及びビー
ム電流は，

Vc1 = Vf + Vr

(2.60)

Ic1 = If + Ir + Ib1
Vf
Vr
=
−
+ Ib1
Z0
Z0

[
r
(Q
)QL Ib0
Vc2(1+
cos ϕb )2Pg =r4( Q )QL
Vc]r( Q )QL Ib0
∆f
2
+(
+
sin ϕb ) (2.69)
f1/2
Vc
ビームが Ib0 ̸= 0，ϕb ̸= 0 の場合，tanψopt = −(2.61)

2RL Ib0
sin ϕb
Vc(2.70)となるように ψopt (最適同調角:optimum tuning an-gle) をとることにより，2 つ目の () 内がゼロとなり，

Vr を消去すると，入力電力を最小にすることができる．

Vc1 = Zc1 Ic1
Zc1(Vf − (Vc1 − Vf ) + Z0 Ib1 )=Z0
Zc1(2Vf − Vc1 + Z0 Ib1 )(2.62)=
Z0

ここで，例として cERL の主空洞について考える．

r/Q=897 Ω，QL =1 × 107 ，Vc =15 MV に対し，ビー
ムが無い場合は，][∆f 2
Pg = 6.27kW 1 + (
)
f1/2

よって，

Zc1
(2Vf + Z0 Ib1 )Z0 + Zc1
β1·(2Vf + Z0 Ib1 ) (2.63)=
β + 1 1 − j tan ψ

Vc1 =導波管側の進行波を空洞電圧とビーム電流で表すと，ビーム電流が 10mA で，クレスト位相 (ϕb =0) で加速される場合は，[]∆f 2
2
Pg = 6.27kW 6.98 + (
)
f1/2

]
1 β+1
1
Vf =
(1 − j tan ψ) Vc − nZ0 Ib (2.64)2βnとなり，∆f =0 の場合でも 305 kW の入力電力が必

ここで，ビーム電流 Ib の DC 成分を Ib0 とすると，運転れるため，加速・減速が交互行われる運転状態の場合，周波数の成分は 2Ib0 となり，空洞電圧に対するビーム

ビームローディングを無視することができる．

[

位相を ϕb とすると，ビーム電流は次のように表される．

Ib = 2Ib0 (cos ϕb + j sin ϕb )(2.65)

要となる．しかし，cERL では，加速されたビームが 1
ターン周回後，空洞で減速されてエネルギーが回収さここで，式 (2.63) を再度見直す．

1
1(1 + j tan ψ)=√
1 − j tan ψ
1 + tan2 ψ

ビーム位相との関係から Vc = Vc + j0 とすると

[
]
β 1 2
1β+1 1
Vc (1 − j tan ψ) −n Z0 Ib
Vf =2 β n
β + 1 Vc[]
1β+1 1RL=
Vc (1 − j tan ψ) −Ib
(2.66)
2 β n
Vc
進行波のパワーは，

|Vf |
=
2Z0
2

Pf = Pg =Vf · Vf∗
2Z0= cos ψejψ

(2.71)

α = β/(β + 1)

(2.72)

Vc1 = α cos ψejψ (2Vf + Z0 Ib1 )(2.73)とおくと，1 次側でも，(2.67)

Vc1 = Vg1 + Vb1(2.74)

の関係が成り立ち，次のように表すことができる．

Vg1 = 2α cos ψejψ Vf(2.75)

Vb1 = α cos ψejψ Z0 Ib1(2.76)

2 次側 (空洞側) から見た進行波と反射波を Vf′ , Vr′ とし

3 伝達関数とフィードバック制御
フィードバックシステムの安定性を評価する際，制御システムを理解する必要がある．

て，空洞側での関係式を表す．

Vc = Vf′ + Vr′(2.77)

Vc = Vg + Vb

(2.78)

Vg = 2α cos ψejψ Vf′ = α cos ψejψ Vgr(2.79)

Vb = α cos ψejψ Z0 n2 Ib = α cos ψejψ RL Ib(2.80)
図7

フィードバック制御系の構成要素

Vgr は，離調が 0 の時のジェネレータ電圧で，Vf′ の 2倍に相当する．ここで，√
Vgr = 2RL Pg

図 7 にフィードバック制御系の構成要素を示す．加(2.81)

速空洞の制御を例として考えると，制御対象の P は，空洞電場である．出力 y は，空洞のピックアップ信号を取超伝導空洞の場合，結合定数 β は非常に大きいため，り込んだ値となるため，P にはセンサー部も含むこととα = 1 となる．この結果，図 6 のようなベクトル線図をする．r は，目標とする空洞電場の振幅・位相，または，描くことができる．

それを直交座標系で表される I/Q の値となる (図 4 参照)．デジタル制御系では，取り扱いの容易さから I/Q制御が用いられることが多い．フィードバックとは，出力 y が目標値 r となるように制御することであり，コン
トローラ C には，そのための制御回路はもちろんのこと，簡単表記のためここでは，高周波増幅器，ループ遅延時間など縦続結合されるものを含めて考えることとする．実際のシステムには外乱 d や，観測雑音 n が存在するので，これらの影響をできるだけ小さくする必要
がある．

図6

空洞の Phaser ダイヤグラム

3.1

負帰還と正帰還

偏差 e は，

e=r−y

(3.1)

である．このように，r から y を引いたものにゲイン(利得) をかけてフィードバックする場合を負帰還といって，安定な制御には大切なルールである．一方，

e = r + y となる場合を正帰還といい，ループを回す毎に値がどんどん増加するため発散する．
注意が必要なのは，空洞制御で安定なフィードバック
制御系があったとし，そのシステムの途中にケーブルを追加したり場合，ケーブル分だけ位相が回転し，正帰還となって発散してしまうことがある．そのため，回路に新たなものを追加する場合は，必ず，位相キャリブレー
ションを行い，負帰還となるように位相を補正する必要がある．y に対し，アナログ制御であれば移相器で位相を回し，デジタル制御であれば，出力 y の I/Q 値に対

3.3

開ループ伝達関数による閉ループ安定
判別

し，回転行列演算を行い補正を行う．キャリブレーションの方法は，フィードバック制御をオフにし，例えばコントローラで振幅一定で θ = 0◦ の高周波を生成して，伝達関数を一般化して表すと，観測された y の位相がほぼ 0◦ となるように補正をかけ

bm sm + · · · + b1 s + b0
an sn + · · · + a1 s + a0
B(s)=(s + xn ) · · · (s + x2 )(s + x0 )
An
A2
A1
=
+ ··· ++
(3.6)
s + xns + x2s + x1

H(s) =ている．後述するデジタル制御のブロック図を確認してほしい．
その他，空洞の運転周波数以外の共振周波数が制御周
波数帯域内に入っている場合，運転周波数に対しては安定な系でも，フィードバックループで寄生周波数成分のベクトルが正帰還の向きになっていると，意図せずに発振が起きてしまうので注意が必要である．

3.2のように部分分数展開して表すことができる．(ここで，1m < n)． s+αのラプラス逆変換は，e−αt なので，α > 0で安定，α < 0 では，増大していくため不安定となる．
式 (3.6) に当てはめると，分母=0 の特性方程式の解の伝達関数

実数部が全て負である必要がある．

システムの応答を考える際，時間領域で考えると微分方そのため，式 3.3 で表されるフィードバック制御系が程式で表わされる各要素を組み合わせることとなり，取安定であるための必要十分条件は，分母の 1 + CP に対り扱いが複雑になってしまう．しかし，ラプラス変換をして，特性方程式

おこない，時間領域 (t) から周波数領域 (s = jω) に変

1 + C(s)P (s) = 0

えることで取り扱いが容易となるため，各要素は，s で表された伝達関数として取り扱われる．詳しい説明は，の全ての根が s 平面 (複素平面) の左半分にあること．

制御理論の教科書 [6, 7] や，OHO06 の松本氏, および

つまり，根の実数部が負となる必要がある．

OHO15 Qiu 氏の講義資料を参考にしてほしい．
図 7 の構成要素が周波数パラメータ s で表されるとする．r(s) から y(s) への伝達関数 Gyr (閉ループの伝達関数) は，

3.3.1

ナイキストの安定判別法

安定判別のために極を調べたが，安定の度合いを知る為には，ナイキストの安定判別法が用いられる．

y(s) = e(s)C(s)P (s) = (r(s) − y(s))C(s)P (s) (3.2)

伝達関数を複素平面上にプロットしたものをナイキ
スト線図といい，開ループ C(s)P (s) に対し，ω を 0 かより，

Gyr (s) =y(s)C(s)P (s)=r(s)
1 + C(s)P (s)ら ∞ に変化させた際，複素平面上で (-1, j0) を左手側(3.3)

と表され，CP が大きい程，伝達関数は 1 に近づく．
一方，外乱 d(s) から y(s) への伝達関数 Gyd は，

y(s) = [d(s) − y(s)C(s)]P (s)(3.4)

ボード線図とゲイン余裕・位相余裕

ナイキスト線図で，(-1, j0) を左手にみるというのは，ことを意味する．伝達関数の絶対値はゲインを意味し，(3.5)

C(s) が大きいほど，外乱による影響は小さくなる．
上記より，コントローラのゲインが高い方が望ましい
が，一般にコントローラのゲインが高くなっていくと，
次第にシステムは不安定になってくる．

3.3.2

位相が −180◦ で，ゲイン (利得) が 1 を超えないという

より，

P (s)
Gyd (s) =1 + C(s)P (s)に見れば安定，右手側に見れば不安定となる．

図 8 のように横軸を周波数として，ゲインと位相をプロットしたものをボード線図という．フィードバックの安定度を評価するには，開ループ C(s)P (s) のボード
線図をプロットし，−180◦ となる周波数におけるゲインを調べ，ゲインが１ (0 dB) に要するゲインをゲイン
余裕 (gain margin) という．また，ゲインが１ (0 dB)となる周波数で，位相が −180◦ となるまでの位相の差分を位相余裕 (phase margin) という．実用的に言い換る．例として，cERL と STF の空洞のボード線図を図えると，ゲイン余裕に相当するゲインを加えた時には，9 に示す．一次遅れ要素であるので，位相は 90◦ だけ遅フィードバックが持続振動する安定限界である．

れる．振幅が −3dB となる周波数が空洞の帯域幅を示

ゲイン余裕と位相余裕が大きいほど，フィードバック

す．

は安定であるが，ゲインが小さいと，レスポンスも遅cERL 主空洞 (QL =1 × 107 )：f1/2 = 65 Hz

く，外乱による影響の抑制や目標値までの到達度合が悪STF (QL =3 × 106 )：f1/2 = 217 Hz

い．ゲインの設定値については，コントローラの項で述

cERL 入射空洞 (QL =5 × 105 )：f1/2 = 1.3 kHz

べる．

cERL バンチャー空洞 (QL =1 × 104 )：f1/2 = 65 kHz

図8開ループ伝達関数のボード線図におけるゲイン余裕 (GM:Gain Margin) と位相余裕 (PM:Phase

Margin)

図 9 cERL と STF の空洞のボード線図

空洞の伝達関数3.4

式 (2.45) をラプラス変換する．

3.5

(
)(
)
)
−ω1/2 −∆ωVI (s)VI (s)s=∆ω−ω1/2
VQ (s) out
VQ (s) out
(
)(
)
ω1/2
0
VI (s)
(3.7)
+
0
ω1/2
VQ (s) in(()(

空洞の伝達関数は１次遅れ要素であるため，フィードバックに遅延が無い場合は，フィードバックゲインを無限大∞にすることができる．しかし，実際には空洞のピックアップ信号をケーブルで伝送し信号処理回路を通して出力された RF をアンプで増幅してから空洞へ)

s + ω1/2∆ω
VI (s)−∆ωs + ω1/2
VQ (s) out
(
)(
)
ω1/2
0
VI (s)=0ω1/2
VQ (s) in

入力するので，必ず遅れが存在する．この遅れにより，フィードバックゲインの大きさは大きく制限される．遅(3.8)

延は，むだ時間要素といわれ，遅延時間を τ とすると，伝達関数は次のように表される．

空洞の伝達関数を Gc (s) = Vout /Vin とすると，(
ω1/2
s + ω1/2
Gc (s) =∆ω(s + ω1/2 )2 + ∆ω 2

閉ループ遅延時間 (Loop Delay)−∆ωs + ω1/2)(3.9)

Gdelay (s) = e−τ s(3.11)

比例ゲイン KP を 1 として，帯域幅 1kHz の空洞に遅延を加えた場合の開ループボード線図を図 10 に示す．
ゲインカーブは変わらないが，遅延があると周波数∆ω = 0 のとき，に依存して位相が回る．遅延が 1µs の場合を考えると，

ω1/2
Gc (s) =s + ω1/2(3.10)

空洞は高い周波数で −90◦ まで位相が変わり，さらに，−90◦ まわると，−180◦ となる．1µs で位相が −90◦ 回
ω1/2
2π の

る周波数は，250 kHz である．遅延が大きいほど，空洞

一次のローパスフィルター (LPF) と同じ形式で表されと遅延の足し合わせで位相が −180◦ となる周波数が下空洞の伝達関数は，カットオフ周波数が f1/2 =と表される．

GKly は，クライストロンの伝達関数で，帯域が 3
MHz の１次のローパスフィルタ (LPF) と近似する．
Gkly =

1, fc = 3MHz
1 + s/(2πfc )(3.13)

Gcav は，空洞の伝達関数で，ここでは，例として STFの空洞 (QL =3 × 106 ) を考える．

Gcav =

1, f1/2 = 217Hz
1 + s/(2πf1/2 )(3.14)GLP F は，ローパスフィルタ (LPF) の伝達関数でノイズ除去や空洞の他の寄生モード除去などを除去するために使用される．STF の空洞は 9 セルの空洞で，運転では π モードが使われている．しかし， 98 π モードの周波数は，1.3 GHz の π モードの周波数に対し，800

kHz 程しか離れておらず，このモードを除去する必要が
図 10

f1/2 =1kHz の帯域を持つ空洞に対し，フィードバックループ遅延を 1µs, 10µs, 100µs とした場合の開ループボード線図

ある．I/Q 分離後のベースバンド信号に対して LPF をかけており，制御帯域を広く確保しながら近接するモードを除去したい場合は高次のフィルターが用いられる．
ここでは，簡単のため１次のローパスフィルタの場合をがり，ゲイン余裕が小さくなることが分かる．よって，考える．

フィードバックゲインを高くするためには，できるだけループ遅延時間を 1.5µs，比例ゲイン Kp を１とし，遅延時間を減らす工夫が必要である．中間周波数の選

LPF のカットオフ周波数 fc を 1 kHz, 10 kHz, 100 kHz

択やデジタル制御回路内での演算，特にフィルター部はとした場合の開ループボード線図を図 12 に示す．

多段とならないようにする必要がある．

cERL などでは，フィードバック制御ボードの DAC
からステップ信号を出力させ，ADC で検出するまでの時間差を測り，ボード内部の処理演算部のレイテン
シ (遅れ) を加えることで Loop Delay を決定しており，

cERL のシステムでは，およそ 1.5µs である．

3.6

システム全体の伝達関数

RF フィードバック系のブロック図を，図 11 に示す．

図 12 STF の RF システムの開ループボード線図.

(LPF のカットオフ周波数 fc を 1 kHz, 10 kHz, 100
kHz とした場合)それぞれのフィルターに対するゲイン余裕 (GM) は，

図 11 RF フィードバック系のブロック図

fc = 1 kHz : GM=576 at 11 kHz
フィードバックシステムでのゲイン余裕を考える．シ

fc =100 kHz : GM=537 at 87 kHz

ステムの開ループ伝達関数はGopen = Kp · Gkly · Gcav · GLP F · Gdelay

fc = 10 kHz : GM=491 at 32 kHzとなり，ゲイン余裕はどれも同じ程度になった．空洞の(3.12)

帯域幅が狭いため，クライストロンの帯域幅の影響は全く，空洞と遅延の影響の方が大きいことがわかる．
次に，閉ループについて確認する．閉ループの伝達関
数は，Gopen /(1 + Gopen ) で表され，ゲイン 1 (0 dB)が望ましい．Kp =100 を与えた場合の閉ループボード
線図を図 13 に示す．１次遅れ要素の場合は，ゲインが

1 より大きくなることはないが，２次遅れ要素になると，ゲインが１を超える共振ピークが現れる．LPF のfc を 1 kHz とした場合，ゲインが 4.6 の共振ピークが4.6kHz あたりに見られる．共振ピークとなる周波数を共振周波数という．
図 14 ２次遅れ要素のボード線図

めると，

Gopen
N um
=
1 + Gopen
Den + N um
P · ∆ω1 ∆ω2= 2
s + (∆ω1 + ∆ω2 )s + (1 + P )∆ω1 ∆ω2(3.17)

H(s) =

この式と，標準形の式 (3.15) のパラメータを比較すると√(1 + P )∆ω1 ∆ω2(3.18)√
PK=(3.19)
1+P√
2ζωn = 2ζ (1 + P )∆ω1 ∆ω2 = ∆ω1 + ∆ω2ωn =図 13 STF の RF システムに対する閉ループボード
線図 (Kp =100). (LPF のカットオフ周波数 fc を 1

kHz, 10 kHz, 100 kHz とした場合)ゆえに2 次遅れ要素の標準形は次のように表される．
H(s) =

Kωn2
s2 + 2ζωn s + ωn2∆ω1 + ∆ω2
ζ= √2 (1 + P )∆ω1 ∆ω2(3.15)

ここで，ζ は減衰係数，ωn は固有周波数と呼ばれるものである．２次遅れ要素のボード線図を図 14 に示す．

(3.20)

上記の式に従い，減衰係数の値が決定される．例として，• 空洞の帯域 ∆ω1 に比べ LPF の帯域 ∆ω2 が非常√
0<ζ<1/ 2 で共振ピークが生じ，ζ が小さいほど，共に広い場合 (∆ω1 ≪ ∆ω2 )，

振ピークのゲインが大きくなる．

1 + ∆ω1 /∆ω2
ζ= √(3.21)
2 (1 + P )∆ω1 /∆ω2√となり，共振が生じない ζ > 1/ 2 となるには，

空洞と LPF を共に１次遅れ要素であるとしているた
め，それぞれの帯域を ∆ω1 ,∆ω2 ，比例ゲインを P として，減衰係数 ζ を求めてみる．開ループの伝達関数は次のように表される．

1
1·
1 + s/∆ω1 1 + s/∆ω2
P · ∆ω1 · ∆ω2= 2(3.16)s + (∆ω1 + ∆ω2 )s + ∆ω1 ∆ω2

Gopen = P ·Gopen = N um/Den として，閉ループの伝達関数を求(1 + P )

∆ω1
1
>
∆ω2
2

(3.22)

1
1+P(3.23)となれば良い．

• ∆ω1 ≃ ∆ω2 の場合
ζ=√となり，共振ピークが生じやすい．

上記の結果より，比例ゲイン P に依存するものの，共振ピークを持たないようにするには，制御の帯域は，空3.7

コントローラ洞の帯域よりも広くとることが望ましい．
図 13 でプロットした閉ループ伝達関数に対する減衰係数を求めると，

3.7.1

PID コントローラ

フィードバック制御回路で広く用いられている PID コ

P=100, fc =1 kHz : ζ=0.13

ントローラについて説明する．PID とは，比例 (Propor-

P=100, fc =10 kHz : ζ=0.35

tional)・積分 (Integral)・微分 (Diﬀerential/Derivative)

P=100, fc =100 kHz : ζ=1.07を並列結合した制御系である．

と計算される．
図 13 で示した閉ループ特性に対するステップ応答を
図 15 に示す．共振ピークが大きい場合は，ステップ応
答の安定度が悪く，共振ピークが無い場合は，追従性が良い．
実際の STF の運転では，カットオフ周波数が 250

kHz の 4 次の LPF を使用しており，比例ゲインは 150

図 16 PID コントローラが採用されている．
操作量 u(t) は次のように表される．

∫ tu(t) = Kp e(t) + KIe(τ )dτ + KD0de(t) (3.24)
dt

ここで，KP は比例係数，KI は積分係数，KD は微分係数であり，e(t) は目標値と出力値の偏差である．ラプラス変換すると，u(s) = C(s)e(s)KI= [Kp ++ KD s] · e(s)s(3.25)と表される．
図 15 Kp =100 とした時の STF 閉ループに対するス

比例制御は，偏差に比例した値を出力し，積分制御はテップ応答. (LPF のカットオフ周波数 fc を 1 kHz,

偏差を積分していき最終的に偏差を 0 にすることがで

10 kHz, 100 kHz とした場合)

きる．微分制御は，偏差の微分量に比例した値を出力するが，ノイズによる影響を受けやすいため，通常はフィルターと組み合わせた形式で使用される．ここでは，実際に空洞の高周波制御で使用されている P と I，およびPI 制御について説明する．
■P 制御 P 制御は，最もシンプルなフィードバック制御である．閉ループを図 17 のように表すと，偏差 e は，

e=r−y =r−

1
G
r=
r
1+G
1+G

(3.26)となり，目標値に対し必ず 1/(1+G) の割合で残差が残る．超伝導加速空洞の場合，100 より大きなゲインをセットできるため残差が小さいが，常伝導加速空洞など
ではゲイン余裕が小さく，大きなゲインを採用できない
ため目標到達性能が悪くなる．

ゲインはコントローラだけでなく，外部の増幅器など
システム全体を含むため，P 制御でフィードバックをかけ，出力 y と残差 e の比をとることで，システム全体のゲイン G を求めることができる．

y
G
1+G
=
r·
=G
e
1+G
r

(3.27)

3.7.2

シミュレーションによる応答の比較

次の２種類の空洞(1)

QL = 1 × 104 (f1/2 =65 kHz) の常伝導空洞(2)

QL = 1 × 106 (f1/2 =0.65 kHz) の超伝導空洞に対するフィードバック応答の比較を行う．RF は 1.3

GHz の CW 運転とし， 加速電圧の設定値 (目標値) は1 MV，パルス幅 1 ms の矩形のビームローディングがあるとする．応答を比較したいので，ビームローディン
グは，両空洞とも 0.1 MV となるようにした．フィード
図 17

ゲイン G のフィードバックループ

バックシステムの閉ループ遅延時間を 1.5 µs とすると，P 制御におけるゲインは，一般に，安定限界 (持続振動) となるゲイン Pc の半分の値が推奨されている．
■PI 制御 まず，I 制御を用いると，応答は遅いが残差

e をゼロとすることができる．Q 値が低い空洞では I 制

Kp=1 に対するゲイン余裕 (GM) と位相が −180◦ となる位相交差周波数 (WGM) は，(1)

GM=3.23, WGM=1.25 MHz(2)

GM=307, WGM=1.05 MHz

御だけでも可能だが，Q が高い空洞では，応答が非常にとなり，(1) の常伝導空洞のゲイン余裕が非常に小さい．

ゆっくりしすぎているため安定に動作させることが難図 18 に P 制御の結果を示す．目標値の 1MV に対し，しい．応答を早くするために積分ゲインを上げる必要

式 (3.26) で表される残差が残っていることが見て取れがあるが，残差の大きい状態では，積分が急激に増大する．(1) の空洞ではゲインが低いため，目標値の半分しるため行き過ぎとなり発振してしまう．そのため，P とか電圧が到達しておらず，明かに P ゲインのみでは運組み合わせた PI 制御が通常用いられる．

転が困難なことが分かる．一方，(2) の超伝導空洞の場

ゲインパラメータの決定方法についてであるが，制御合，残差はあるものの非常に小さい．そのため，特にパ理論の教科書などを参照すると限界感度法が紹介されてルス運転などでは，P 制御のみ，または P 制御にフィーいる．ここで伝達関数の係数を次のように定義し直す．

ドフォーワード (FF) を足した運転が行われることがCP ID (s) = Kp (1 +1+ TD s)
TI s

多い．

(3.28)

限界感度法は，Kp を大きくして持続振動状態となる点を探し，その時の比例ゲインを Kc , 持続振動の周期をTc とし，各パラメータを表 3.7.1 に従い決定するものである．
表1

限界感度法のパラメータ設定 [6, 7]

Kp

TI

TD

P 制御

0.5 Kc

–

–

PI 制御

0.45 Kc

0.83 Tc–

PID 制御0.6 Kc

0.5 Tc0.125 Tc

図 18 P 制御時の応答．左図：QL =1 × 104 の常伝
導空洞に対し KP = 1, 右図:QL =1 × 106 の超伝導空洞に対し KP = 100 とした場合. 1ms-2ms はビーム
ローディングによる影響

図 19 に (1) の空洞に対する Kp =1 と Ki =2 × 105 のPI 制御の結果と Kp = 0 とした I 制御のみの結果を示す．I 制御を入れると残差無く目標値に到達しているのが分かる．(1) の空洞の場合，この設定ゲインでは I 制

御のみでも大きな影響はないことがわかる．*2

図 21

図 20 の PI 制御時の比例制御と積分制御部からの出力 (左図) と空洞入力の電力波形 (右図)

QL =1 × 104 の空洞に対する PI 制御と I 制御の比較．左図：PI 制御 (Kp =1, Ki =2 × 105 )，右図：
I 制御のみ (Kp =0, Ki =2 × 105 )
図 19

図 20 は，(2) の空洞に対して Kp =100 と Ki =5 × 105
で PI 制御した場合と Kp = 0 として I 制御のみとした
場合の結果である．同じ KI ゲインでも I 制御のみでは，不安定になるのが分かる．図 21 には，図 20 の PI
制御時の比例制御と積分制御部からの出力と空洞入力の電力波形を示す．電力波形から，ビームローディングの

図 22

QL =1 × 106 の空洞に対して安定限界となる

ゲインをセットしたときの振動の様子

補償がなされていることがわかる．ビームローディン
グの先頭の変動は，P 制御が大きく働き，積分器は徐々に増加しているのがわかる．QL が大きいと応答が遅いる．これを表 3.7.1 に当てはめると，ため，P 制御部をオフにしてしまうと大きな残差がどん

Kp = 0.45 · 307 = 138

どん積分され，積分器の値が行き過ぎとなり振動してしKi = Kp /(0.83 · 6 × 10−6 ) = 2.77 × 107

まう．
となる．この係数をセットした計算結果を図 23 に示
す．I ゲインが大きいため，応答時間が大きく改善されている．

QL =1 × 106 の空洞に対する PI 制御と I 制御の比較．左図：PI 制御 (Kp =100, Ki =5 × 105 )，右図：I 制御のみ (Kp =0, Ki =5 × 105 )図 20

次に，空洞 (2) に対し，限界感度法によるパラメー
タの決定を試してみる．まず，ゲイン余裕の結果から，Kp =307 で比例制御を行うと，図 22 のように不安定となり振動が発生する．周期を調べると Tc = 6µs であ*2 限界感度法で導出されるゲインを用いた場合，Ki が 7 × 105と大きく，Kp = 0 とすると発振してしまう．

QL =1 × 106 の空洞に対して限界感度法で求めたゲインで PI 制御した場合 (Kp =138, Ki =2.77 ×
107 )．左図：比例制御と積分制御部からの出力, 右図：
図 23

空洞電圧．

4 デジタル LLRF システム•

低ジッター MO 及び LO・クロック生成•

短い閉ループ遅延時間•

高分解能・高速サンプリングが可能で S/N 性

デジタルフィードバック制御は，高速演算が可能で能の良い ADC の選定

書き換えが可能な FPGA(Field Programmable Gate•

温度や湿度による位相ドリフトの抑制

Array) の普及により，様々な分野で広く使われている．
アナログ制御は，一般的にデジタルに比べ速いフィードバックが可能といった利点がある．そのため，高速な制御が必要な個所ではアナログ制御を選択する必要がある．しかし，回路のパラメータ変更や新たな機能の追加には，コストや手間がかかる．
一方，デ ジ タル 制 御 は ，回 路が プ ログ ラ マ ブ ル な

4.1

I/Q 制御デジタル制御では，I/Q ベクトル制御が広く使われている．振幅 A・位相 θ と I/Q の関係は，図 4 のように表される．

I/Q 制御の特徴として，

FPGA 上に構築されるので，機能の追加や大幅な回路変更も容易となる．例えば，アナログではフィルタの• 振幅が 0 に近い場合，振幅・位相制御では位相がカットオフ周波数を変更するにはデバイス変更が必要だ

不定となっていまうが，I/Q ベクトル制御では不が，デジタルでは，数値を変更し，演算するだけで実現定とならない．

できる．また，システムの状態に応じて，フィードバッ
ク演算のパラメータが容易に変更できるメリットがあ• 通常，I と Q は共通した回路構成となっており，
シンプルな回路構成となっている．

る．フィードバックループの遅延時間は 1µs 以上かか

• 多空洞を一つの RF 源で励振する場合，最終的るため，デジタルフィードバック制御系が可能となるのなビームの加速エネルギーを一定にしたい．I/Q

は，それよりも十分に長いパルス運転に対してとなる．

制御により，ベクトル和が一定となるようなベク
ター・サム (Vector-sum) フィードバック制御を容易に行うことができる．

図 25 空洞電圧のベクトル和
図 24

デジタル LLRF システムの概略図• 任意の振幅・位相の波形を作る際，I と Q 成分のベースバンドの波形を DAC から生成し，局

図 24 に デ ジ タ ル LLRF シ ス テ ム の 概 略 図 を 示部発振器 (LO:Local Oscillator) を 0◦ (cos 成分)

す．空洞からのピックアップ信号は，周波数が高く，と 90◦ (sin 成分) に分けたものと掛け合わせて合直接 ADC で取得するのが難しいため，中間周波数

成することで，簡単に生成することができる (図(IF:Intermediate Frequancy) に落としてから ADC で

26)．

デジタル化され，FPGA でフィードバック演算が行われる．DAC からアナログ信号を出力し，IQ モジュレー
タでアップコンバージョンされた RF は，半導体アンプやクライストロンなどの大電力高周波源に入力され，空洞に供給される．
必要な性能を満足するには，次のことに気を付ける必要がある．

Iejωt + Qej(ωt+π/2) = (I + jQ)ejωt(4.1)

I/Q 検出4.3

式 (2.41) で表される I/Q 複素平面で定義した信号は，(I + jQ)ejωt= (I + jQ)(cos ωt + j sin ωt)= (I cos ωt − Q sin ωt) + j(Q cos ωt + I sin ωt)

図 26 IQ 変調器(4.3)
であり，実際に観測されるのは実数部分である．上記と4.2

同じことではあるが，RF を次のように振幅 A, 位相 θ

ミキサーモジュールで表し，図 4 の定義で I/Q に変換すると，前述した I/Q からＲＦを作り出す IQ 変調器 (ベクター
モジュレータ) や，ＲＦ信号を I/Q に変換する復調器に

A cos(ωt + θ) = A cos θ cos ωt − A sin θ sin ωt= I cos ωt − Q sin ωt

は，ＲＦミキサーが使われている．ミキサーは，図 27(4.4)と表される．以上より，観測される信号の cos 成分の係数が I, sin 成分の係数が −Q である．

I/Q の測定方法として，ダイレクトコンバージョン方式・中間周波数 (IF:Intermediate Frequency) サンプリ
ング方式・アンダーサンプリング方式 (ダイレクトサン
プリング) などが LLRF システムで使われることが多図 27 RF ミキサー

い．これらの手法について，簡単に説明する．

に示すように，RF 同士の掛け算を行うものである．ミキサーへの入力信号の LO と RF を A1 cos(2πfLO t) と4.3.1

ダイレクトコンバージョン方式

A2 cos(2πfRF t + θ) とすると，ダイレクト・コンバージョン方式を図 28 に示す．

A1 cos(2πfLO t)A2 cos(2πfRF t + θ)A1 A2=(cos[2π(fLO + fRF )t + θ]2
+ cos[2π(fLO − fRF )t − θ])(4.2)となり，周波数の和と差の成分が出力される．フィル
ターで差成分を取り出すことでダウンコンバータとな
り，和成分を取り出すことでアップコンバータとなる．
周波数が変わっても，入力信号の振幅・位相情報が出

図 28

ダイレクト・コンバージョン方式

力側に保存されていることが重要な特徴である．高い
周波数の信号を高分解能のＡＤＣで取得したい場合サRF と 同 じ 周 波 数 の LO 信 号 を 0◦ (cos 成 分) とンプリング速度が限られているため，通常，低い周波数

90◦ (sin 成分) に分けて RF 信号とミキサー (掛け算に変換して信号取得が行われる．

器) を使って掛け合わせることで，ベースバンド (0 Hz)の I/Q 信号にダイレクトに変換される．I/Q ベースバ
ンド信号は，各々ＡＤＣに取り込まれる．この方式のメリットは，高速に I/Q データが取得できることである．
（KEK 電子陽電子入射器のＲＦモニターには，この手法が採用されている．RF 周波数は 2.856GHz で，パルス圧縮器 (SLED) の RF パルス出力は，幅が 1 µs と短く，鋭いピーク構造を持っている。ピーク周りの振幅・

位相安定度が重要となるため，14bit の ADC を用いて

114 MHz のサンプリングで I/Q データの取得を行っている．
）■4 倍 (90◦ ) サンプリング方式 これは，IF の 4 倍の周波数で ADC サンプリングさせ，以下のように I/Q を求めるものである．

図 31 4 倍サンプリング

IF の 4 倍でサンプリングすると，次のように I/Q を
図 29 IQ オフセットと歪一方，この方式のデメリットを挙げると，I/Q が別々のミキサーやＡＤＣで取得されるため求めることができる．

(I0 + δ) − (−I0 + δ)
V1 − V3
=
= I0
(4.5)
2
2
−V2 + V4−(−Q0 + δ) + (Q0 + δ)=
= Q0 (4.6)
2
2• DC オフセット

ここで δ は信号オフセットで，不要なオフセットをキャ• ゲインの違い

ンセルすることができる．

• 0◦ /90◦ からのずれ (skew)などの誤差が発生しやすく，位相を回して円を描くと，円の中心のずれやひずみなどが生じる．そのため，測定データに対し，予めキャリブレーション測定で得られた校正テーブルを用いて，オフセットやひずみなどの補正

I/Q 軸に対し，位相が −ϕ ずれている場合は，次のよ
うに回転行列で補正することができる．

( ) (
I
cos ϕ
=
Q
sin ϕ

− sin ϕ
cos ϕ

)(

I0
Q0

)
(4.7)

I/Q データの実際のサンプリングレートは，サンプリ
ング周波数の 1/2 となる．IF が 10 MHz の場合，40が必要である．

MHz でサンプリングを行い，I/Q のサンプリングレー

4.3.2

IF サンプリング方式

高い周波数のＲＦを低い中間周波数 (IF) に落としてから ADC でサンプリングした後，FPGA 内で演算処理することで I/Q に分離する方式である．cERL や STF
では，1.3 GHz の RF を 1.31 GHz の LO 信号を使って

10 MHz の IF 信号にダウンコンバートしている．IF サ
ンプリングの良い点は，オフセット電圧が I/Q 変換演
算時に打ち消され，また，同一の回路でデータ取得しているためゲインバランスの違いが発生しない点である．

トとしては 20 MHz となる．
■n 倍サンプリング方式

これは，IF のｎ倍 (n≥ 4) の周波数でサンプリングする方法で，I/Q は次式のように求められる．

∑
2∑
k−1
I0 =
Vk cos(2π
)=
Ck Vk
n
n
Q0 = −

2
n

n

n

k=1
n
∑

k=1
n
∑

k=1

Vk sin(2π

k−1
)=
n

Sk Vk (4.8)

k=1

サンプリング周波数によってきまる係数 Ck , Sk をあらかじめ定義しておき，ADC から取り込まれた信号に掛けて和をとることで求めることができる．4 倍サン
プリングもこの形式であらわされる．cERL や STF では，1.3 GHz の RF を 1.31 GHz の LO 信号を使って

10 MHz のＩＦ信号にダウンコンバージョンしている．
図 30 IF サンプリング

現在 cERL や STF では n=8 を選択している．

I/Q の測定精度は，ADC の分解能はもちろんのこと，LO の位相ノイズの影響を受けやすいため，位相ノイズの少ない安定した LO を生成することが重要なポイン
トである．

4.3.3

アンダーサンプリング方式

高い分解能を持つ ADC で測定したい場合，サンプリン
グ周波に限りがあるためダウンコンバートして RF 周
波数を下げていた．しかし，広い帯域を有する高分解能の ADC の出現により，アンダーサンプリングによる測定手法も使われるようになった．
例えば，高速 ADC：ADS5474 は，14bit の分解能で，400MSPS のサンプリング周波数，そして 1.4 GHz の

図 32 1GHz の RF を, サ ン プ リ ン グ 周 波 数 240

MHz (k=4,n=6,m=1) でサンプリングした場合の例

帯域幅を有する．これにより，超伝導加速空洞で広く使用されている 1.3GHz の RF をダイレクトに測定するによる ADC のサンプリング誤差をアパーチャー誤差とことが可能になった．ダイレクトサンプリングとも言いい，それによる ADC の SNR はわれ，文献 [4] に詳しく述べられている．
サンプリング fs と RF 周波数 f0 の関係は，次のように決めることができる．

fs =(4.12)と表される．文献 [4] で具体的に述べられている通り，ク

f0
,
k+ m
n

k = 1, 2, 3, · · ·ロックジッターを ∆t=0.3 ps rms とすると，1GHz に対(4.9)

ここで，分母の m/n の項が 0 の場合，整数で割り切れるため，測定される値は全て同じになってしまう．そのため，アンダーサンプリングでは，m/n(n > m) が重要となる．k は間引かれる波数，m/n は端数を意味しm∆ϕ = 2πnされたままだと，アパーチャーノイズが 0.18% となる．
ただし，I/Q をフーリエ係数から導出する際，6 サンプ
リング分使っているので，∆f = 1/T = fs /n =40MHzのバンドパスフィルターを通したのと等価で，ナイキス

I/Q

導出の際，2 周分足すと 20MHz, 3 周分足すと 10MHz(4.10)だけ進んでみえる．そのため，アンダーサンプリングされた波形は，fs · m/n の周波数として観測される．
図 32 に，RF 周波数を 1 GHz, サンプリング周波数を

240 MHz (k = 4, n = 6, m = 1) とした場合の波形を示
す．アンダーサンプリングの結果，1 GHz の RF は，

240MHz/6 = 40MHzの周波数の RF として観測される．

I/Q は次式に従って計算できる．
2∑I=
Vi cos(i∆ϕ)
n i=0
n−1

2∑
Vi sin(i∆ϕ)
n i=0

しては SNR は 54dB となり，ダイレクトにサンプリング

ト周波数 fs /2 と比べると，帯域が 1/3 になる．

ており，サンプリング毎に位相が

n−1

Q=−

SN Rjitter = −20log10 (2πfRF ∆t)(4.11)

帯域が広いことと，サンプリングクロックに比べ，測定する RF の周波数が高いため，クロックジッター ∆tによる誤差が大きくなってしまう．クロックジッタ−となり，フィルター帯域が狭くなる効果がある．I/Q から求めた振幅・位相の安定度は，計算上，0.055% rms,

0.055◦ rms となる．また，実際には，アパーチャージッ
ター以外の影響もあるので，それらのノイズ成分をカットするためにも，I/Q 分離後に，デジタルローパスフィ
ルターを用いて，高周波成分をカットしている．

4.4

デジタル制御ボード

ここでは，例として KEK の cERL や STF の 1.3GHz
超伝導加速空洞用に使用されているデジタル制御ボードについて紹介する。
制御ボードは図 33 に示すような AMC.0(Advanced

Mezzanine Card) という規格のボードで MicroTCA というシェルフに入れて使用される．ボードは，16bit の

ADC が 4ch，16bit の DAC が 4ch, それに FPGA，デジタル I/O，スロー ADC，トリガー入力を有する．

図 34 RF フィードバックボードのブロック図

同じボードを使い，FPGA のロジック回路を変更することで，RF フィードバック制御と共振制御のためのチューナーフィードバック制御を行っている．(大きなサイズの FPGA を採用すれば，一枚のボードで両方の機能を持たせることもできる．)

FPGA の良い点としては，回路を簡単に書き換えることができる点や高速処理が行えること，また，同期ク
ロックにより ADC からのデータを直接同期して取り込
むことができる点である．
また，デジタル I/O は，1µs 以下の高速応答が可能なものを採用しており，外部インターロックシステムとの高速連動を可能としている．

グ後，式 (4.8) で n=8 として I/Q 変換を行っている．

∑
1∑
k−1
I=
Vk cos(2π
)=
Ck Vk
4
8
1
Q=−
4

8

8

k=1

k=1

8
∑
k=1

∑
k−1
Vk sin(2π)=
Sk Vk (5.1)
8
8

k=1

cos 成分と sin 成分の係数をかけて 8 個のデータを足していくが，もし電源を OFF/ON した場合係数を掛け合わせるタイミングがずれて位相の定義がずれてしまう恐れがある．そのため，中間周波数と同じ 10MHz のク
ロックを入力し，FPGA で 1 ∼ 8 のカウンタを 10MHz
でリセットするようにしており，電源を切っても，位相定義が再現するようにしている．
■I/Q 変換後の振幅・位相の補正 位相の定義は，正帰還となってフィードバックが発散しないように，ボード内での 0◦ の定義と観測される信号の位相を合わせるようにしている．やり方は，フィードフォーワード
で DAC から出力した位相と測定された位相の位相差

図 33

デジタル制御ボードをキャンセルするように，回転行列で補正をかけている．重要なことは，位相キャリブレーションを行う際
は，チューナーを用いて空洞の離調が補償された状態に5 RF フィードバックシステム

してから行うことである．
振幅補正は，ベクターサム運転のために空洞間のゲイ

図 34 に cERL や STF における RF フィードバック

ンバランスを調整するために使用される．外部アッテ

ボードのブロック図を示す．1.3GHz の信号を，16bit

ネータで出来るだけ合わせこみ，係数 A は微調整としの高分解能で直接取り込むのが難しいため，10MHz のている．

中間周波数 (IF) に変換してから ADC に入力している．
以下にブロック図を順序立てて説明していく．

■ベクターサムベクターサムはベクトル和が一定となるようにフィードバック制御を行うものである．そADC では，IF の 8 倍のサンプリングスのため，I/Q それぞれで足し合わせを行う．足し合わせ

ピードでデータを取り込んでいる．ADC でサンプリン

る空洞が多くなると，数値が大きくなってしまうため，■I/Q 変換

平均値とするようにしている．これにより，ベクターサ

ムをする空洞の台数が変わっても，目標値（Set 値）を変える必要がない．
■デジタルローパスフィルター■フィードフォーワード (FF) 制御

フィードバックは行わず，あらかじめ決まった数値を出力するもので運転周波数 (基準信号) の成分は，I/Q 変換時にベースバンド (DC 成分) に変換される．

• ノイズ成分の低減• 空洞の寄生モードの除去• 高いフィードバックゲインの適用
上記のためには，できるだけ帯域の狭いローパスフィル
タ (LPF) が好ましいが，あまり狭くしすぎると本当の空洞電場の変動を検出することができなくなる．高周
波源のリップルなどの外乱を抑えるのに必要な広い帯域が必要であり，しかしながら不安定の原因となる寄生共振モードは十分除去することができる帯域をとる必
要がある．

ある．
ビームローディングなどの外乱により急な変化がある場合，オーバーシュートやアンダーシュートが発生する．パルスビームの電流値など，あらかじめ分かっている外乱に対しては，それを補償するためのフィード
フォーワード制御が行われる．
■DAC 出力 DAC からは，フィードバック演算結果がベースバンドで出力され，IQ モジュレータでアップコ
ンバートされた RF 信号が空洞に供給される．ベース
バンドの欠点として，IQ モジュレータの DC オフセッ
トにより RF 出力を 0 としていても，オフセットのために RF が出力されてしまう点である．そのため，あらか
じめ I/Q 出力にオフセット補正を加えている．

ここで，簡単な IIR ローパスフィルタの例を紹介する．

V (n) = (1−∆t·ω1/2 )V (n−1)+∆t·ω1/2 ·X(n) (5.2)
これは，式 (2.47) と同じ式で，１次のローパスフィルタの離散系である．入力 X(n) に対し ∆t · ω1/2 をかけたものを加え，元値 V (n − 1) から ∆t · ω1/2 をかけたものを差し引いて出力させるものである．

∆t はフィルタのレイテンシ (遅延時間) で，ω1/2 は帯域幅を表し，ω1/2 = 2πfc となる．カットオフ周波数

cERL における RF フィードバックの結果を図 35 に示す*3 ．RF フィードバックが OFF の場合，マイクロフォニクスの影響で 50 Hz のふらつきがみられる．この時の安定度は，振幅安定度が 0.15% rms,

位相安定度が 0.6◦ rms であった．これに対し，RF フィードバッ
クを ON にすると安定化され，振動の成分が消えてい
るのがわかる．振幅安定度は 0.013% rms，位相安定度*4は 0.015◦ となり，安定度が改善されたことがわかる．

が低いと，∆t · ω1/2 は非常に小さい値となるので，丸め誤差に注意が必要である．
デジタルフィルタの帯域は，実際にパラメータスキャンを行い，測定結果から最適となる値で決定されている．
■PI 制御 フィードバックゲインは，パラメータスキャ
ンをして，安定なゲインを決定している．
また，目標値 (set 値) をステップで立ち上げると，立ち上がり直後はエラー (セット値と空洞の測定値の差)が大きいため，RF 源の出力パワーの許容値を超えてし図 35 cERL 主空洞に対する RF フィードバックの
結果 (左：振幅, 右：位相)

まう恐れがある．そのため，パルス運転では，filling 時に RF 源から一定のパワーが供給されるように空洞の応答関数を時系列の配列データにして、フィードバックの目標値として与えることで，過剰なパワーの振り込みを防いでいる．

cERL における CW 運転の場合も，設定値を変更する際は，変更ステップを小さくし，徐々に値が変化する
ようにしている．

*3 振動対策がされておらず，マイクロフォニクスの影響が大き

かったころの結果*4 マイクロフォニクス対策でポンプの防振対策が取られた現在では、安定度が 0.01% rms, 0.01◦ rms を満足している。

6 チューナーによる離調制御
6.1

6.1.1

Lorentz force detuning

空洞内の電磁場が高くなると，空洞壁に生じるローレン

離調

ツ力 (Maxwell 応力) によって径方向には広がり，軸方空洞の共振周波数のずれは離調 (detuning) と言われ，

向には収縮するような力が加わるため空洞の共振周波超伝導加速空洞の場合は，空洞電場の大きさに依存した数が変化する [5]．

変形によるもの (Lorentz force detuning) や床などの外部からの振動で加わるもの (Microphonics) がある．
加速器の運転では，通常，ビームや他の機器と同期をとるために運転周波数が固定されている．そのため，空洞の共振周波数のずれ（離調:detuning）を補正し，マス
ターオシレータの RF 周波数に同調させる必要がある．
入力電流と空洞電場が一定の定常状態時の離調 ∆fに対する振幅・位相は，式 (2.27) と (2.29) で表される．例えば，cERL の主空洞は，QL = 1 × 107 の超

図 37

ローレンツ力による空洞の変形 [5]

伝導加速空洞で，1.3GHz の周波数に対し，共振の幅が±f1/2 = ±65Hz と非常に狭く (図 36)，チューナーによる共振周波数フィードバックが必要となる．

f1/2 =

f0= 65Hz2QL定常状態の Lorentz force detuning の量は，次式で表される．
2∆f0 = −K · Eacc

(6.1)

電場の 2 乗に比例して共振周波数が下がるため，電場が高くなるほど離調量が大きい．変形量は空洞の硬さなどで変わるため，比例係数 K(Lorentz force constant)は，空洞のデザインによって異なる．図 38 と図 39 には，TESLA Test Facility (TTF) における測定結果 [1]を示す．図 38 は，各空洞電場に対し共振点となるよ
うに，離調位相 ∆ψ = 0 で PLL (Phase Lock Loop)
をかけて離調周波数を測定した結果であり，K は，0.9

Hz/(MV/m)2 となっている．

図 36 KEK-cERL の主空洞の共振カーブ
図 38 TTF における Static Lorentz force constantの測定 [1].

図 39 は，Lorentz force detuning によって共振曲線が歪曲することを示している．電場が上がるにつれ，図38 で得られた係数 K に従い離調周波数が下がっていく状態が測定されている．

図 40 TTF における Dynamic Lorentz force de-tuning の測定結果 [8, 9]

図 39 TTF における Static Lorents force detuningを含んだ共振曲線の測定結果．▽は共振より高い周波数側から周波数を下げていって空洞の電場をプロットしたもの．▲は，共振より低い周波数から周波数を上

パルスショートニングは，測定するのに時間がかかり面倒な上，離調補償のためのチューナー調整をする際，この方法では難しい．
そのため，式 (6.2) を使い，入力 RF と空洞のピック

げていき電場をプロットしたもの [1]アップ信号の振幅・位相から離調を導出することを考える．このためには，入力波形と空洞波形のキャリブレー

6.1.2

Dynamic Lorentz force detuning

ションが必要となるが，式 (2.77) の関係から，測定された空洞ピックアップ信号，入力カップラー手前の方向性

図 1 のようなパルス運転の場合，空洞の電圧が変化した結合器からの進行波と反射波の信号を Vc , Vf , Vr とする

直後には，ローレンツ力による力が働いても，空洞は機と，次のように表すことができる．

械的な時定数をもって変形するため，共振周波数も機械

Vc = a · Vf + b · Vr

的時定数で変化する．

(6.3)

図 40 は，TTF における Dynamic Lorentz force de-

それぞれの信号は，I/Q 直交座標で表され，(I + jQ) のtuning の測定結果である．これは，パルスショートニ

複素数で表現されている．そのため，係数 a, b も複素ングという手法で測定された結果である．

数である．

フラットトップ部は，RF フィードバックにより電場が一定に維持されているにも関わらず離調が変化していくことから，式 (6.1) をそのまま式 (2.29) に当てはめ

( ) (
Vc
Vf
=
..
..
.
.

)
V r (a)
..
b
.
( )
a
CC = BBbて考えることができない．
そこで，Dynamic Lorentz force detuning の導出によって係数は，は，式 (2.52) が使われる。

∆ω = θ̇ − ω1/2

BB −1 CCusin(φ − θ)
A

(6.2)

図 40 のグラフは，パルスショートニングという手法で測定されたものである．入力 RF がオフとなると2π∆f = θ̇

で求めることができ，Matlab を使うと BBY=CC コマンドで線形フィットした係数 (a, b) を導出することができる．図 41 より，係数 a,b が適切に導出されていることがわかる．測定データにはノイズが含まれるので，各点毎に前後数点のデータを用いて線形フィット，またはと表され，位相進みの傾きから離調周波数を求めること

平均した数値を用いて式 (6.2) に代入することで離調をができる．徐々に RF を OFF するタイミングを変えな容易に算出することができる．図 42 に式 (6.2) を使っ

がら，オフした直後の空洞位相の時間変化を線形フィッて導出した離調と，パルスショートニングによって測定トして傾きを求め，離調周波数を導出している．

した離調の TTF での測定結果を示す．よく一致してお図 41

Vc , Vf , Vr の測定データを使って Vc = aVf +bVr となる係数 a,b を導出して反映した結果
図 43 式 (6.2) を使って算出した離調と空洞と入力波

り，通常運転時のモニターとしては，式 (6.2) による導の位相差から導出した離調周波数

出方法が採用されている．
文献 [11] で詳しく述べられているので参考にしてほしい．観測される離調は，∆fm の総和である．

∆f =

∑

∆fm

(6.5)

ダンピングの項の係数は，機械時定数 τm を導入し，

τm = 2Qm /ωm(6.6)と定義される．この時定数 τm は，空洞シミュレータでDynamic Lorentz force detuning を模擬するときに導入されている．
図 42 TTF でのパルスショートニングと式 (6.2) をさて，STF の空洞の負荷 Q 値は，QL = 3 × 106 程度であるので，f1/2 は 216 Hz である．空洞の加速勾配使って算出した離調の測定結果 [10]が高くなるにつれ離調が大きくなり，離調補正をしない

CW 運転の加速器では，空洞位相と入力進行波の位相差（ψ:離調角）から離調周波数を導出している．比較と，共振帯域幅から外れてしまい空洞にパワーを蓄積することができなくなる．

してみたのでその結果を示す*5 ．RF ON 直後は位相差そのため，チューナーによる離調補正が必要である．

のみからの演算では，適切に導出できていない。また、Lorentz force detuning は，共振周波数が下がる方向に

RF OFF では入力信号が無くなるため算出できない。

大きく変化するため，メカニカルチューナーで予め離調

フラットトップ部では，絶対値に違いがあるが，傾向はをプラス方向にセットしておく．これを Pre-detuning

一致しているようだ。

という．図 44 のように，ハーフサインの形状の波形で空洞の離調は，機械時定数 τm を導入して表されてピエゾチューナーをドライブすることで離調補正がな

いる．Dynamic Lorentz force detuning のモデル化は，されている．振幅やタイミング等を調整することによ

機械振動の共振周波数を ωm とし，Qm を機械振動

り，離調量を減らすことができている．このため，RFモードの Q 値，km はモード m に対する Lorentz force

フィードバック ON 状態でのフラットトップ部の入力

constant として各モードにおける離調周波数を ∆fm とパワーは，一定となっており，うまく補償できているこ

すると，とがわかる．STF における離調測定や考察など，文献∆f¨m +

ωm
2
2∆f˙m + ωm ∆fm = −km ωm
Eacc
Qm[13] に詳しく述べられているので，そちらを参考にして(6.4)のようになされている [8, 9]．この式の導出については，*5 Preliminary な結果であるので，参考という位置づけである

ほしい．

図 45 cERL 入射空洞に対する機械振動の共振周波数 [14]図 44 STF におけるピエゾチューナーを使った離調制御 [12]6.1.3

マイクロフォニクス

マイクロフォニクスは，外部環境の振動が空洞に伝わり
空洞離調の振動となるものである．例えば，真空ポンプの振動がビームダクトや地面を介して空洞に伝わったり，交通などによる地面の揺れ，液体 He 用の冷凍機の図 46 cERL 主空洞に対する機械振動の共振周波数 [15]コンプレッサーやポンプによる振動などが空洞の離調に影響する．マイクロフォニクスを抑えるためには，では，影響が大きいと考えられる．図 47 の (b) は，スク

きるだけ振動を伝えないようにすることや，機械振動のロールポンプの下に防振用としてゴムシートを敷いて，共振周波数を外部の振動周波数に一致させないように

床からの振動が空洞に伝わらないように対策した後の設計を行う必要がある．

結果である．対策によって，電場の揺らぎが小さくなっ

図 45 と図 46 に cERL の入射空洞と主空洞の機械振た．文献 [16] では，主空洞の機械振動の共振周波数の動測定の結果を示す。入射空洞では、ピエゾチューナー

測定や，床の振動測定を行い，マイクロフォニクスにつで空洞に機械的振動を与え、それによる離調の大きさをいて報告されているため，詳しくはそちらを参考にして測定している。各空洞で、400 Hz - 450Hz あたりに大ほしい．参考までに，図 48 に床の振動測定の結果を示

きなピークが観測された。主空洞では、機械振動を外部

す．50Hz 以外にも強度の大きい振動成分があるが，機から与え、実際にひずみセンサーを用いて、変形量の振械振動の共振周波数と一致した 50Hz が大きく空洞に影幅を測定している。55 Hz 付近に最も大きなピークが見響したものと考えられる．ポンプをオフすると，50Hz

られ、また、さらに低い 40 Hz 付近にも共振が観測さの床の振動が大きく減るため，ポンプの振動対策が重要れた。

であることがわかる．

cERL の主空洞 (9-cell, QL =107 ) では，クライオモ
ジュールの断熱真空真空槽用に使用しているスクロール
ポンプの影響で，マイクロフォニクスによる 50Hz の振動が主空洞で観測された．図 47 は，一定 RF 入力 (RFフィードバック OFF) の場合の加速電場の振幅・位相の測定結果である．振幅に比べ，位相の変動が大きいことがわかる．変動の値自体は，RF フィードバックにより抑え込めるくらいの変動であるが，もし，空洞がやわ
らかく振動しやすい場合や，QL 値が一桁以上高い場合

図 49 cERL の LLRF システム

6.2.1
図 47 cERL の主空洞におけるマイクロフォニクス

チューナーシステムの影響 (RF フィードバック OFF)．(a) 真空ポンプの超伝導空洞の共振周波数制御には，図 50 に示すような振動対策前の加速電場の振幅・位相，(b) は対策後のステッピングモーターで駆動されるスライドジャッキ型

結果のメカニカルチューナーや高速応答可能なピエゾチュー
ナーが用いられている．チューナーのハードウェアについて，詳しくは文献 [18, 17] を参考にしてほしい．

図 48 cERL 主空洞付近の床の振動測定結果 [16](RP:ロータリーポンプ)

図 50 cERL 入射空洞のスライドジャッキ型メカニ
カルチューナーとピエゾチューナー

メカニカルチューナーは，粗調整やパワーが入らない

6.2

cERL のチューナー制御システム

ように大きく離調させたい場合に用いる．チューナー
ボードのデジタル I/O 出力から CW (Clock Wise),

ここでは，cERL のチューナー制御システムについて紹介する．図 49 にチューナ制御を含めた全体システム構
成を示す．空洞の共振周波数フィードバックのためのチューナー制御には，同じデジタルフィードバックボードを使用し，FPGA 内部のロジックをチューナー制御用に書き換えている．デジタルボードの DAC 出力をピ
エゾ制御用に，デジタル I/O 出力をステッピングモー
ターの制御に適用している

CCW (Counter Clock Wise) 用パルスを出力してパル
スモーターの回転を制御し，空洞を伸ばしたり縮めたりする制御をしている．
ピエゾは，圧電素子を積層したもので，電圧をかけることにより変位を生じさせることができるアクチュ
エータである．また，力が加わり素子にひずみが生じることで電圧も発生することができるので微少変位のモニターとしても用いられる．ピエゾアクチュエータは，
微調整用に用いられ，cERL で使用されているものは，

0-500V に対し室温では 40µm, 2K の温度下では 4µm

の変位量をもつ．0-500V の制御範囲で，入射空洞では2 kHz, 主空洞では 1.2kHz 共振周波数を動かすことができる．入射空洞では，ほぼ空洞帯域と同程度であり，主空洞は，空洞の帯域幅が 130 Hz なので十分な駆動幅となっている．cERL の超伝導加速空洞に対し，運転時の離調制御は，ピエゾチューナーだけで行われている．
一方，常伝導のバンチャー空洞では，モーター駆動のメ
カニカルチューナーのみが使用されている．

6.2.2

共振周波数フィードバック制御

図 52 cERL 主空洞で観測したピエゾチューナーのヒステリシスループ

図 51 にはチューナー制御による共振周波数フィード
バック制御のブロック図を示す．
程度キャリブレーションがずれていることがわかる．

図 51 チューナー制御ボードとブロック図
図 53 オフセット位相に対する空洞電圧のスキャン

空洞入力 (Vf) と空洞のピックアップ信号 (Vc) を結果の例．数 deg 位相校正にずれが見られる．

I/Q 変換し，Vf と Vc の位相差 (∆θ:離調角度) が 0 になるようにチューナーを制御する．位相オフセットを付けたい場合は，オフセット分を差し引いたものが 0 になるように制御される．

位相回転補正の後，振幅レベルがチェックされ，閾値以上の時だけフィードバック制御が可能となる．
離調フィードバック制御の帯域は，主空洞は 40 Hz 付

位相補正 (ROT) は，1.3 GHz の共振時に位相が 0 に

近から機械共振が現れるため，機械共振周波数より下になるように校正されている．ここで注意したいのは，ピなるように制御帯域幅を狭めている．(現状では 20 Hz

エゾのドライブ電圧でスキャンする場合，ピエゾアクとなっている．)

チュエータはヒステリシスがあるため同じ電圧をセッ

FPGA 内部では，ピエゾ側は積分演算，モーター側

トしても元の状態に戻らない．図 52 に主空洞で観測しは比例演算を行っているが，実際はモーターの駆動はパたヒステリシスループを示す．空洞の共振帯域が狭い

ルスが積算されていくので共に積分制御となっている．

ため，ヒステリシスによって位相差の結果が大きく異な超伝導空洞は，ピエゾ側のフィードバックのみを ON にることがわかる．１ループ回して元値にするか，振幅がし，バンチャー空洞は，モーター駆動側のフィードバッ

ピーク値を再現するように再度調整してから位相のキャ

クのみを ON にして使用している．

リブレーションを行う．

DAC 出力は ±2.5 V に変換され，+2.5 V のオフセッ

また，位相キャリブレーションが適切に行われたかど

ト電圧を足されて 0 V - 5 V に変換される．これをピエ

うかについては，フィードバックをかけながら位相差のゾ駆動電源に入力して 10 倍に増幅し，0 V - 500 V でオフセット位相を変えていき，空洞電圧の振幅をプロッピエゾが駆動されている．

トすることで確認が可能である．図 53 の場合，数 deg

cERL の離調位相のトレンドグラフを図 54 と図 55に示す．cERL では，約 15 分間隔で液体窒素のバルブ

7 おわりに調整が行われ，それによる離調が図 54 のように観測されていたが，チューナー制御のフィードバックゲイン

超伝導空洞を使った線形加速器に対するデジタルを適切に調整することで，図 55 に示すようにほぼ 0.1◦

LLRF 制御をメインに説明を行ってきた．蓄積リング

rms から 0.15◦ rms の範囲に収まった．離調周波数にに対する RF 制御については，他の講義を参考にしてほ直すと，主空洞に対し，0.2 Hz rms に収まっているこ

しい．

とになる．

本テキストでは，空洞の等価回路，制御理論の基礎，
デジタル I/Q 制御について紹介し，パルス運転の STFと CW 運転の cERL を例に，RF フィードバック制御
やチューナーによる共振周波数フィードバック制御についての説明を行った．
マイクロ波ローレベル制御に対する理解の一助となれば幸いである．

参考文献
図 54 cERL の主空洞に対する離調位相の 5 時間分のトレンドグラフ．液体窒素のバルブ調整により，お[1] T. Schilcher,

Vector Sum Control of Pulsed Ac-

celerating Fields in Lorentz Force Detuned Super-

よそ 15 分間隔で離調が見られた．

conducting Cavities , TESLA 98-20 Aug. 1998.
[2] 絵面栄二,

RF フィードバック高エネルギー加速器

セミナー OHO 94(1994)[3] S.N.Simrock,

Measurements for low level RF

control Systems , Meas. Sci. Technol. Vol.18(2007) 2320-2327.
[4] Z. Geng et al, Evaluation of Fast ADCs for Direct
Sampling RF Field Detection for the European

図 55 cERL の超伝導加速空洞に対する離調位相の5 時間分のトレンドグラフ．0.1◦ rms から 0.15◦ rmsの範囲に収まっており，主空洞に対しては 0.2 Hz rms

XFEL and ILC”, LINAC08, THP102.
[5] 加古永治, RF フィードバック高エネルギー加速器には収まっている．

[6]
制御ボードの運用方法について，最初はフィード
フォーワードで RF を出力させ，チューナーボードのセミナー OHO

94(1994)

樋口龍雄 著

自動制御理論[7] 井上和夫 監修

森北出版

MATLAB/Simulink によるわか

りやすい制御工学森北出版

RF 振幅閾値を超えた後に，離調フィードバック制御を[8] M.Liepe et al., Dynamic Lorentz Force Compen-

ON とする．離調フィードバック制御がなされてから

sation with a Fast Piezoelectric Tuner , PAC2001

RF パワーを上げていくことで，Lorentz force detuning(2001)を補償しながら電場を上げていくことができる．

[9] S.N.Simrock,

Lorentz Force Compensation ofPulsed SRF Cavities , LINAC2002, (2002) p554558[10] A. Brandt,

Development of a Finite State Ma-

chine for the Automated Operation of the LLRF
Control at FLASH , desy-thesis-07-024, 2007[11] N. Ouchi et al,

Pulsed SC Proton Linac ,LINAC2000, (2000) WE205

[12] R. Paparella et al.,Tuner Performance in the

S1-GLOBAL Cryomodule , IPAC2011,[13] Y. Yamamoto et. al.,Observation and Numer-

ical Calculation of Lorentz Detuning for the Cryomodule Test of STF Baseline Cavities at KEKSTF , PAC2009 (2009)[14] E. Kako, private communication[15] 江木昌史 他,

cERL 主空洞の機械的振動測定 ,PASJ2013 (2013) SUP047[16] 江木昌史 他,
クス原因調査cERL9 セル空洞のマイクロフォニ, PASJ2016 (2016) MOP025[17] K. Enami et al., Performance evaluation of ERL
main LINAC Tuner , Proceedings of IPAC2014,
Dresden, Germany, 2014, pp25342536.
[18] 加古永治,

ILC 用超伝導空洞の開発 , 低温工学

48 巻 8 号, 2013, pp.415425.