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生徒に問題を創らせる取り組み− 場合の数・確率の問題を創る −い とう伊藤のぶ お

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特集 いろいろな着想
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この自由課題に関する手順は，以下の通りである。

長年に亘り，数学の問題作成の経験を積み上げてきた。その経験から，問題を創る( 作るではな①

休業前に教員が，ある問題集の解答ページの中い)ことは，難問を解くこと以上により多くの時から，場合の数や確率の問題の解法と思われる計間と高い思考力を要するものであることを認識する。

算式をいくつか取り上げ，それぞれに適合するよ

そこで，生徒にも問題を創らせる取り組みを実践

うな問題を創ってみる。例えば数研出版のクリアー問題集は，後ろのページに計算式 (略解) のみがしたいと考えた。

あるので (詳細な解答冊子とは別に)，取り上げや§2．生徒に問題を創らせる取り組み

すい。問題集によっては，詳細な解法の記載が計算式の周囲にあり，目に入ってしまうものもある。

生徒に問題を創らせる取り組みとしてのテーマに，
場合の数と確率を選んだ。解法としての計そのときは，誰かに計算式のみをピックアップし算式を見ることによって，実に様々な問題の想像がてもらう。

可能になるからである。まず，教員が解法としての②計算式を生徒に示し，生徒がそれに適合するような③

その問題集の実際の問題を確認する。
10 種ほどの計算式と解答を記載した課題プリントを作成し，休業直前に生徒に配布する。ただ元の問題を考えていくというものである。

し，その約 10 種の選び方としては，以下のバラン

例えば，ある確率の問題の解法としての計算式とスが適していると思われる。教員が①の段階で，解答がある。
(解法)

4+4×56

短時間で考え出せたものを 70 %，数時間かかった

(答え)

23

局諦めたものを 10 %。

この解法の計算式を見て，元の問題がどのようなもものを 20 %，一日では考え出せなかったものや結④

休業中，生徒達は問題を考える。教員は，自分自身が①の段階で考えた問題と実際の問題を記載のであったか想像できるだろうか。たとえ解くことは簡単であったとしても，逆に元の問題を考えるというのはなかなか難しいものである。
この取り組みは 4 年前から始めた。授業中に問題を考えさせたり，定期試験に，問題を創れという問題を出題することも時にはあるが，主には休業中の自由課題として実践している。もちろん休業中の課題としてこれとは別に，プリントや問題集からの指定などの必須課題もある。したがって，この自由課題は優先順位として，必須の課題を完了させた上での次なるものであるので，基本的には優秀生徒対象であるといえる。また，対象学年は主に高校 1 年4したプリントを作成する。
⑤

休業後にレポート提出した生徒に④のプリントを配布し，提出した生徒のレポートを添削する。

⑥

教員は，生徒が提出した問題の中から，計算式に適合していると判定できるものをすべて選び出し，それらの問題を記載したプリントを作成して，提出した生徒全員に配布する。また，格別おもしろい問題や優れた発想による問題などは，全生徒に見せる。

§3．実践の中からの具体例
解法としての計算式として，これまでに与えてきた中から，ここでは 8 種を具体的に取りあげる。

⑴

a，b，c，d，e，f，g の 7 文字をすべて用いて⑴P×5 !=2400 (通り)

作る順列の中で，両端が子音である順列は何通り⑵

C×C=210 (通り)

か。





⑶

2+2 +2 +2 =30 (通り)⑵

(伊藤作成問題とほぼ同じ)⑷

C−C=19 (通り)⑶2 種類の記号○，×を 1 個以上 4 個以内の記号⑸

1−311=(確率)2 32⑹4+4×5 2= (確率)
6
3⑷

⑺

3+C×3×2 13=(確率)327⑻320(確率) 23   13  × 23 = 2184

C

を使って並べる方法は何通りあるか。
1，2，3，4，5，6 の 6 枚のカードの中から 3 枚を取り出すとき，その中に少なくとも 1 枚は奇数のカードが入っている場合は何通りあるか。
⑸

5 枚の硬貨を同時に投げるとき，少なくとも 1枚は裏が出る確率を求めよ。

⑹大小 2 つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の積が和より大きい確率を求めよ。

以上の 8 種について，教員(伊藤)は①の段階で，次のように問題を創った。

⑺(伊藤作成問題とほぼ同じ)⑻

白玉 2 個，黒玉 1 個が入った袋から玉を 1 個取り出し，色を確認してからもとに戻す試行を繰り⑴

男子 5 人，女子 5 人がいる。この中から，女子返し，白玉が 4 回出た時点でこの試行を終了する

2 人を選び，両端に女子，間に男子が並ぶ方法はとき，白玉が 4 回，黒玉が 3 回出て終了する確率

何通りあるか。

を求めよ。

⑵

平行な 5 本の直線があり，さらにそれらすべてに交わる 7 本の平行な直線がある。この合わせて生徒が創った問題の中から，計算式に適合してい12 本の直線の中から，4 本を使ってできる平行四ると判定できるもので，教員が創った問題や問題集

辺形は何通りあるか。の実際の問題とは異なり，独創性の高いものや興味⑶

1 と 2 のみを使ってできる 1 万未満の自然数は深いものの例をあげる。

全部でいくつあるか。
⑷

1，2，3，4，5，6 の 6 個の数字の中から異なる⑴

数字を 3 個選ぶとき，それらの積が偶数になる選

1 ∼ 5 のカードとA∼ E のカードがある。 1 ∼5 のカードから 2 枚を選び，両端に数字，間にロび方は何通りあるか。
⑸

1 枚の硬貨を 5 回投げるとき，少なくとも 1 回ーマ字を 1 列に並べる方法は何通りか。
⑵

は表が出る確率を求めよ。
⑹<例 1 >マンガ 5 冊と小説 7 冊がある。この中から 2 冊ずつ選ぶ方法は何通りか。

サイコロを 2 回投げ， 1 回目の目の数をm， 2<例 2 >ある地図上に，A 地点と B 地点を結回目の目の数をnとする。m の値が 7 以上になぶ道が 5 本，B 地点と C 地点を結ぶ道が 7 本ある。

る確率を求めよ。

B  A  B  C  B の順に道を歩くイメージ⑺

4 人が 1 回ジャンケンをするとき，勝負がつかで，通る道すべてに線を描くと模様ができる。模ない確率を求めよ。
⑻

様は何通り作れるか。ただし， 1 度通った道は 22
打率の打者が， 7 回打席に立つとき， 7 打
3席目で，その試合 4 本目の安打を打つ確率を求めよ。ただし，その試合ではどの打席でも常に打率2であるとする。
3以下は，問題集の実際の問題である。

度通れない。また，一つの模様に対し，描く順序は関係ない。
⑶<例 1 >16 人でトーナメント式のジャンケン大会をした。試合出場者総数を求めよ。
<例 2 >ある新婚夫婦に，今後 1 人以上 4 人以下の子供が生まれるとする。性別と生まれる順番を込めて，将来何通りの家族構成の可能性があるか。ただし，双子や三つ子などはあり得ないものと5する。
⑷



男子 3 人，女子 3 人の中から 3 人の係を選ぶ。
男子が必ず含まれる選び方は何通りあるか。

⑸<例 1 >32 チームのトーナメント戦で，優勝できない確率を求めよ。ただし，すべての試合は互⑹サイコロを 2 回投げて， 1 回目の結果を A， 2回目の結果を B として，縦 A，横 B の長方形を作る。対角線の長さが 3 より大きい確率を求めよ。
<例 2 > 3 と 7 のみを使って 5 桁の整数を任意

6 つの面に，−1，1，3，5，7，9 が記されたサ

以上の場合などを見落としている。
⑺

1 回しか出ない色がない確率を求めよ。

なる確率を求めよ。



野球の試合前の練習で，コーチが 3 人の外野手の誰かに任意に 4 本の飛球を飛ばすとき， 4 回中1 回も玉を飛ばされない外野手が 1 人だけにはならない確率を求めよ。

⑻<例 1 >当たり 2 本，はずれ 1 本のくじがある。
1 度引いたら元に戻し，当たりが 4 回出るまで繰り返すとき， 7 回目で終わる確率を求めよ。
<例 2 >赤玉 2 個，白玉 1 個入った袋から，玉を 1 個取り出し，色を確認してから元に戻すという動作を 7 回繰り返すとき， 7 回目に赤が出て，それが 4 度目の赤である確率を求めよ。
次に，生徒が創った問題の中から，計算式に完全に適合しているとは判定できないが，興味深いものの例をあげる。
⑵

ある一人の男性が寿司を食べに行った。玉子 5個，ウニ 7 個の中から，玉子 2 個，ウニ 2 個を選ぶ方法は何通りか。
⑶

玉子 5 個，ウニ 7 個各々に何かの区別が必要。
レーンが 2 つのボーリング場がある。初日に 1回，二日目に 2 回，三日目に 3 回，四日目に 4 回
そのボーリング場を利用する場合，レーンの選び方の順序は何通りあるか。


和の法則と積の法則の使い分けの点での間違

赤，白，黒の入った袋から 1 個の玉を取り出し，色を確認したら袋に戻すことを 4 回繰り返すとき，イコロを 2 つ投げるとき，出た目の積が 3 以上に⑺

A，B とも 2 以上で，A=B=2 のときを除外するという着眼は見事だが，A=1 で，B が 3に作るとき， 3 3 3 3 3 にはならない確率を求め⑹

2 色が 2 回ずつ出る場合の数と， 3 色とも 1回以上出る場合の数は異なる。
⑻

A さん，B さんの 2 人がジャンケンを 7 回する
とき，A さんが 7 回目で負け，それが 4 回目の負けである確率を求めよ。
最後の ×うことならば適合する。
⑸

トランプを 5 回投げて，胡瓜を 1 回でも斬る確率を求めよ。

621が ×だったならば，または，
33

負けにせず，負けない，勝たない，勝負がつくなどにすれば適合する。

§4．成果についてこの取り組みの成果や，課題を与える頻度，提出状況などについては年度によって区々であるが，概して以下のようなことがいえる。
期待通り，優秀生徒は優れた問題を多く提出するが，意外にも，さして数学を得意科目とはしていない生徒が予想以上に多くの問題を創ってくる。しかも，見慣れた問題ではなく，独創性に富んだ問題を創ってくるのである。
この取り組みは，生徒の潜在能力を引き出す効果が大いにあると思われる。問題を創る能力は，問題を解く能力とは異なる部分が多い。
したがって，この取り組みそのものが，普通レベルの生徒を優秀生徒へと変化させる効力を持っている可能性がある。

い。計算式が 2×2×2×2 だったならば，または，四日間の中から一日のパターンだけ選ぶとい1であ2るという設定が必要。

角とする。

よ。

1 回につき，胡瓜を斬る確率が常に《参考文献》〔1〕

数研出版

クリアー数学 A

〔2〕

数研出版

4step 数学 A

(栃木県那須高原海城中学校高等学校)