数理解析研究所講究録
第 893 巻 1995 年 94-96

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An Estimate for Hexagonal Circle Packings

須川敏幸(TOSHIYUKI SUGAWA)

京都大学理学部

このノートはZheng-Xu He “An estimate for hexagonal circle packing” J.Diff.Geom. Vol.33(1991) pp.395-412 の解説である。
$H_{n}$を$\ovalbox{\tt\small REJECT} n$世代までの regular hexagonal chcle packing, つまり$H_{n}=\{\{z\in \mathbb{C};|z-(2(k_{1}+k_{3})+2e^{\pi i/3}(k_{2}-k_{3}))|=1\};k_{1},$とし、$\mathcal{P}_{n}$を chcle packing で$H_{n}$$k_{2},$$k_{3}\in Z,$ $|k_{1}|+|k_{2}|+|k_{3}|\leq n\}$に組み合わせ同値なもの全体のなす集合、$\mathcal{P}_{n}^{0}$をその部分集合で、中心の円が単位円周であり、 1 を一つの接点に持つようなもの全体とする。

co は単位円周とし、 $Cj+1=\{z;|z-2e^{\pi ij/3}|=1\}$$P\in \mathcal{P}_{n}^{0}$$(j=0,1,2,3,4,5)$ と定める。 $(cj\in H_{1}\subset H_{n})$に対しては単位円周 $c_{0}’=c_{0}\in P$ に 1 で接する阿を$c_{1}$に対応させるごとにより、一意的に組み合わ$-$せ同値を与える写像 : $H_{n}arrow P$ が定まる。以下では (c) $=c’,\rho(H_{m})=H_{m}’(0\leq m\leq n)$ などと略記することが$\rho$$\rho$ある。
次の$n$にのみ依存する普遍定数$s_{n}= \sup_{P\in \mathcal{P}_{n}^{O}}\max_{\leq 1j,k\leq 6}(\frac{radc_{j}’}{radc_{k}}-1)$に関して次を示すのがこの論文での主結果である。
定理$s_{n}=O( \frac{1}{n})$$(narrow\infty)$

注意: $s_{n}\geq 4/n$ なのでこの結果は order としては最良である。 $s_{n}\geq 4/n$ は実際に、 $g(z)= \frac{2(n+1)z-1}{2(n+1)-z}$ とすれば$g(H_{n})\in \mathcal{P}_{n}$で$s_{n} \geq\frac{radg(c_{1})}{radg(c_{4})}-1=\frac{16n+16}{4n^{2}-1}>\frac{4}{n}$となることから分かる。

では、以下でこの定理の証明の概略について解説する。 まず、

lemma に於ける定数とする。つまり、$\delta_{1}=\inf_{P\in \mathcal{P}_{n}^{O}}\min_{1\leq j\leq 6}radc_{j}’$であるとする。すると、次の補題が成り立つことが分かる。

$\delta_{1}>0$

を hexagonal packing に対する rhmg

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恥 $MMA2.1.\hat{c}t)^{\hat{C}_{1},\hat{c}_{2}}$ を互いに他と外接する円で 1$\delta$$g$$g(\hat{c}_{0})=c_{0}$LEMMA.
すると$\hat{c}_{0}=c_{0}$$g$は: $c0arrow c0$ が$f$$\overline{f}^{\text{は}C_{1}}$以下、なら$c_{0}$$C_{1}$$-\vee$の時、次の性質を満たす$M\ddot{o}$bius 変換の元,$g(\hat{c}_{1})=c_{1}$,$g(\hat{c}_{2})=c_{2}$.

上 Cl-bf 伽 schftz である。 (ここに、 $C_{1}\geq 1$ は普遍定数。)-biIipschitz とするとを$f$$\tilde{f}:\overline{D}arrow\overline{D}$$(D=\{|z|<1\})$ に$\overline{f}(re^{i\theta})=rf(e^{i\theta})$により拡張擬等角である。
を固定して$n$とする o:が一意的に存在する

さらに、$\leq\frac{rad_{\hat{C}}}{rad\dot{c}_{k}}$も固定する。上の 2 っの補題からまず $H_{n-1}$ の隙間の和から $H_{n-1}’=p(H_{n-1})$ の$P\in \mathcal{P}_{n}^{0}$

隙間の和への等角写像が自然に定まり、 あとはそれを円の内部に上のように radial に拡張することにより等角写像 が定義される$\varphi$: hull $(UH_{n-2})arrow$ hull $(\cup H_{n-2}’)$

さらにここで、単位円板から複素平面の中への$\overline{f}:\mathbb{C}arrow \mathbb{C}$-擬:$\varphi$

像$C_{1}$$C_{1}$-擬等角写像に拡張できることに注意する。ここに、$\{|z|<n=2\}$ への制限を$C_{2}$

擬等角写像$\psi$:$\hat{\mathbb{C}}arrow\hat{\mathbb{C}}$$C_{2}$

は$C_{1}$$f$:$Darrow \mathbb{C}$に対し$f|_{\{|z|<1/\sqrt{3}\}}$のみに依存する定数である。

$(\psi(\infty)=\infty)$

は$C_{2}$-擬等角写

これにより、$\varphi$のに拡張しておく。 (hull $(\cup H_{n-2})\supset\{|z|<$(n–2) 語} に注意。)
次に $m$ を円$c$$\frac{n-3}{2}$の整数部分とすれば$\cup H_{m}\subset\{$に関する反転を 。と書くことにして$\gamma$$(c’=\rho(c))$$\gamma_{c}\mapsto\gamma_{c^{l}}$$\xi_{i\mathfrak{n}}^{-\mathfrak{F}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{する}}\equiv$。

堀をにより同型写像$\tau$

回 $\leq n-2\}$ となることに注意しておく。

$\{\gamma_{c}\}_{c\in H_{m}},$ $\{\gamma_{C’}\}_{c’\in H_{m}’}$$\tau$:Gm$arrow$で生成される群をそれぞれ $G_{m},G_{m}’$ と書くと、この は自然に同相写像
G 砲 定まるが、$\tau$$\tau*$:$\Lambda(G_{m})arrow$

五 (Gm’)( $\Lambda(G)1hG$ の hmit set)
$H_{m}$の隙間の和集合、$U_{m}$を$\hat{\mathbb{C}}\backslash \bigcup_{C\in H_{m^{C}}}$の非有界成分としたとき、 $I_{m}\cup U_{m}=;W_{m}$ が$G_{m}$の基本領域となる。そこで $m=[ \frac{n-3}{2}]$ として、 $f=fn$ を$f:=\{\begin{array}{ll}\tau(g)0\psi og^{-1} on g(\overline{W}_{m}) (g\in G_{m})\tau_{*} on \Lambda(G_{m}) \end{array}$により定めると次のことが成り立つ。

擬等角写像,(1)$f$(2)$f(0)=0,$ $f(1)=1,$ $f(\infty)=\infty$ ,(3)$fog=\tau(g)of$ for $\forall g\in G_{m}$ ,(4)$f$

ここで$J_{m}$LEMMA2.2.

:$\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow\hat{\mathbb{C}}$は$C_{2}$

は」m $=\cup g\in c_{m}g(I_{m})$ 上等角。

に対して次のような評価が成り立つことが分かる。

$|D\backslash J_{m}|\leq C_{3}/m^{2}$(ここに $C_{3}>0$ }$h_{\grave{B}J^{\backslash }}^{*}\overline{\Phi}^{arrow \text{数})}jE$

実は論文ではこの評価にかなりのページが割かれているが、幾分技術的な評価などが色々必要になるので、ここでは証明は省略する。

$J_{m}$

は$c_{n}$$(m\leq$

勾の不連続領域を含むのでこの系として次の結果が得られる。

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COROLLARY.

$G_{\infty}=\lim_{arrow}G_{m}$の万 mit set$13i2^{\backslash }’\lambda\overline{\pi}\backslash \grave{l}H^{1}I_{X}P0\dot{\text{て}}^{\backslash \backslash }b$る。

さて、以下では次の主張を示すことを考える。
主張. 単位円周$c_{0}$

この主張から上の任意の点 について $|\varphi(z)-z|\leq$ 要が成り立つ$z$$c_{0}’\cap c_{j}’$は$\frac{1}{n}$$\circ$

ただし、ここに $C_{4}>0$ は普遍定数である。の order で co $\cap Cj$ に近いことが分かり、 これから $s_{n}=0(\frac{1}{n})$ が容易に従う。 この主張を示すには Lemma22 と次の補題を組み合わせればよい。

LEMMA (SULLIVAN).
次が成り立つ$f$: 正定数なるならば、任意の:$\hat{\mathbb{C}}arrow\hat{\mathbb{C}}$$\delta>0$$z\in\hat{\mathbb{C}}$を正規化されたに対して$f$$C_{2}$

擬等角写像とすると$C_{2}$のみに依存する正定数の Beltrami 係数 $\mu=f\overline{z}/f_{Z}$ が球面測度について $d(z,f(z))\leq$ c5$\sqrt{}\delta$$\delta$$C_{5}$が存在して以下の可測集合 $E$ の外部で$0$にが成り立つ。ただし、ここに $d(z,w)$ は球面距離とする。

この補題は本質的には長さと面積の方法 (length-area method) を用いて証明される。評価が面の order になってしまうのは、球面を 2 重に被覆するトーラスを考えてそこに写像を持ち上げて考えるからで、その場合、分岐点があるために 1/2 乗の因子がついてしまうのである。
以上が主定理の証明の概略であったが、この結果の系として次のものが得られる。これは Rodin による“Schwarz’s lemma for circle packings II” $J.D$ 董 LGeom.30(1989)pp.639-554 の結果 (志賀氏の稿を参照のこと)$\xi$;

用いれば直ちに従う。
系.

平面内の単連結領域$R$のリーマン写像の drcle $pa$ 面 n9 近似解$f_{\epsilon}$について、その微分はリーマン写像 の微分$f$に広義一様収束する。
特に $R$ が Jorda 領域の場合、 f. は $f$ に一様収束する。 ここで、というのは、次が成り立つことを言う$\forall\eta>0,$ $\exists\delta>0,$$f_{\epsilon}$:$R_{\epsilon}$$arrow$

D. が $f:Rarrow D$ に一様収束する:$\exists\epsilon_{0}>0,\forall\epsilon\in(0,\epsilon_{0})$$z\in R_{\zeta},w\in R,$ $|z-w|<\delta\Rightarrow|f\epsilon(z)-f(w)|<\eta$