ВведениеCZU 51(073.3)
M 34
Aprobat: la şedinţa Consiliului Naţional pentru Curriculum, proces-verbal nr. 9 din 23 februarie 2010;
prin Ordinul ministrului educaţiei nr. 121 din 26 februarie 2010.
Elaborat în cadrul Proiectului „Modernizarea şi implementarea curriculumului din învăţămîntul secundar general şi dezvoltarea standardelor educaţionale din perspectiva şcolii prietenoase copilului”, finanţat de Reprezentanţa UNICEF în Republica Moldova.
Editat în cadrul Proiectului „Educaţia de calitate în mediul rural din Moldova”, finanţat de Banca Mondială.

Echipele de lucru:
Curriculumul modernizat (2010): Ceapa Valentina, consultant, Agenţia de Evaluare şi Examinare a Ministerului Educaţiei, coordonator; Achiri Ion, doctor, conf. univ., Institutul de Ştiinţe ale
Educaţiei; Copăceanu Roman, profesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic Cărpineni, Hînceşti;Iavorschi Victor, inspector, Direcţia Generală Învăţămînt, Tineret şi Sport, Soroca; Jardan Vasile,
profesor, grad didactic I, Liceul de Limbi Moderne şi Management, Chişinău; Şpuntenco Olga, profesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic „Gaudeamus”, Chişinău.
Ediţia II-a (2006): Achiri Ion, doctor, conf. univ., USM; Ceapa Valentina, consultant, MET; Copăceanu Roman, profesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic Cărpineni, Hînceşti; Şpuntenco
Olga, profesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic „Gaudeamus”, Chişinău.
Ediţia I (1999): Costiuc Lidia, specialist principal, MEŞ, coordonator; Achiri Ion, doctor,
conf. univ., I.N.P.C.D.; Prodan Nicolae, doctor, conf. univ., USM; Efros Petru, doctor, conf. univ.,
USM; Garit Valentin, doctor, conf. univ., USM; Ceapa Valentina, Liceul Teoretic „Gaudeamus”,Chişinău; Şpuntenco Olga, Liceul Teoretic „Gaudeamus”, Chişinău.
Traducere din limba română: Ion Achiri
Redactor: Valentina Rîbalchina
Corector: Tatiana Bolgar
Redactor tehnic: Nina Duduciuc
Machetare computerizată: Anatol Andriţchi
Copertă: Vitalie IchimÎntreprinderea Editorial-Poligrafică Ştiinţa,str. Academiei, nr. 3; MD-2028, Chişinău, Republica Moldova;
tel.: (+373 22) 73-96-16; fax: (+373 22) 73-96-27;
e-mail: prini@stiinta.asm.md
Descrierea CIP a Camerei Naţionale a Cărţii
Математика: Куррикулум для 10–12 кл. / Min. Educaţiei al Rep. Moldova; trad.: I. Achiri. – Ch.:
Î.E.P. Ştiinţa, 2010 (Tipografia „Elena V.I.” SRL). – 60 p. – (Curriculum naţional)
Bibliogr.: p. 60 (15 tit.)
ISBN 978-9975-67-705-951(073.3)
Imprimare la Tipografia „Elena V.I.” SRL, str. Academiei, 3;
MD-2028, Chişinău, Republica Moldova

ISBN 978-9975-67-705-9© Ministerul Educaţiei al Republicii Moldova. 2010
© Traducere: Ion Achiri. 2010© Întreprinderea Editorial-Poligrafică Ştiinţa. 2010Реализация качественного образования в современных условиях и в контексте
социально-экономических перспектив требует, чтобы конечные образовательные
цели были сформулированы не столько в конкретных и прагматичных терминах,сколько с точки зрения будущих реальных потребностей формирования личности
воспитуемого. Речь идет о новой педагогической парадигме, называемой педагогикой компетенций, и о внедрении функциональной дидактики, предусматривающей формирование у учащихся системы компетенций, необходимых им дляпродолжения обучения и в жизни, предназначенных, в итоге, для их успешного
социального интегрирования. Переход от куррикулума, основанного на целеполаганиях, к куррикулуму, основанному на формировании компетенций, требует
проектирования новой педагогической модели для математики – модели, основанной на настоящем куррикулуме.
Школьный куррикулум по математике для X–XII классов является основным дидактическим инструментом и нормативным документом, содержащим
основные требования к изучению математики и результаты, которые должны быть достигнуты учащимися лицея, выраженные соответствующими
компетенциями, содержаниями и видами учебной и оценочной деятельности.
Куррикулум учебной дисциплины является составной частью Национального
куррикулума Республики Молдова и предназначен для учителей, преподающих
математику в лицеях. Он скоординирован с куррикулумом по математике для гимназий и преследует цель формирования и развития компетенций, необходимыхдля продолжения образования в высших учебных заведениях и для подготовки
выпускника к жизни и к самостоятельной деятельности.
Лицейское математическое образование должно способствовать максимальной
реализации творческого потенциала учащихся. Настоящий куррикулум призван
создавать благоприятные условия для каждого ученика с целью усвоения учебного
материала, предусмотренного стадартизированными содержаниями, в собственном, индивидуальном ритме, для формирования и развития запланированных
компетенций и достижения соответствующих стандартов по математике.
Общая, открытая и гибкая модель построения данного куррикулума предоставляет авторам учебников, учителям, а также ученикам выбор по его реализации.
Так, авторы учебников должны логически излагать и развивать темы, указанные вкуррикулуме, операционализируя специфические компетенции, субкомпетенциии математические содержания в учебные задания и ситуации, представляющие собой опорные точки для учащихся в реализации их самостоятельного, активного
учения, а для учителей – исходными точками в реализации качественного математического образования.
Понимаемые как структурированные совокупности знаний, способностей, навыков и отношений, полученных и сформированных в процессе обучения, компетенции позволяют идентифицировать и решать проблемы из данной областив различных контекстах. Такой тип куррикулумного проектирования основан на:фокусировании на конечные достижения в результате обучения, акцентированиина деятельностный аспект процесса формирования личности, корреляции с ожиданиями общества в области образования.
3Организация учебного процесса школьной дисциплины Математика:Количество единиц
Количество
Статус
содержания
часов в учебном годуКуррику­лумное
дисципКласс
направление
Реальный Гуманитар­­­ Реальный Гуманитар­линыпрофиль ный профиль профиль ный профиль
Обяза- Математи­ка и
X
92
61
170
102
тель­ная естественные
дис­ци- дисциплины
XI
81
45
170
102
­пли­на (математика,физика, химия,биология, инXII
49
44
170
102
форматика)Изучение математики в лицее, согласно современной педагогической модели,предусматривает формирование и развитие компетенций, способствующих максимальной реализации творческого потенциала выпускника лицея и необходимых ему для продолжения обучения на следующих ступенях образования и/илидля оптимальной социальной или профессиональной интеграции. Следовательно,математика является школьной учебной дисциплиной, обязательной для изучения во всех классах и для всех профилей, а также фундаментальной для усвоения
остальных школьных дисциплин.
Компетенция – это целостная совокупность/система знаний, способностей,навыков и ценностных отношений, сформированных у учащихся в процессе обучения и используемых при возникновении необходимости их применения, адаптированных к возрастным особенностям и когнитивному уровню учащегося для решения проблем, с которыми он может столкнуться в действительности.
Итоговыми приобретениями учащихся, в контексте формирования компетенций, являются не совокупности информации, которую надо запомнить, а необходимость того, чтобы ученик:– овладел системой фундаментальных знаний в соответствии с проблемой, которую нужно, в итоге, решить;– владел навыками для их осознания и способностями использования/применения в простых/стандартных ситуациях, осуществив, тем самым, функциональность добытых заний;– находил решения различных проблемных ситуаций, осознавая, тем самым,используемые им функциональные знания;– решал возникающие, в различных контекстах, проблемы окружающей действительности, используя, в итоге, необходимые знания, способности, навыки иотношения, т.е. применив соответствующую компетенцию.
В основу построения куррикулума по математике заложены следующие принципы:• преемственность на уровне классов и образовательных ступеней;• актуальность подаваемой информации и учет возрастных особенностей учащихся, центрирование на ученике;• ориентирование на развивающее (формативное) обучение;• межпредметная и внутрипредметная корреляция (оптимальное распределение тем по математике в корреляции с учебными дисциплинами куррикулумной области, обеспечивая, тем самым, взаимосвязь в образовании повертикали и по горизонтали);• определение обязательного уровня математической подготовки по профилям (реальный и гуманитарный) и предоставление учащимся возможностейдля достижения более высоких результатов;• четкое центрирование всех компонентов куррикулума на конечные результаты – специфические компетенции и субкомпетенции учебной дисциплины
математика.
Такого рода построение стратегически ориентирует куррикулум и образовательный процесс на конечные результаты – на формирование компетенций у учащихся в результате прохождения определенных учебных ситуаций и приобретения соответствующего опыта.
Фундаментальными для построения школьного куррикулума и, в целом, образовательного процесса по математике в школе являются следующие принципы:I. Принцип конструктивизма (структурности), предусматривающий систематическое повторение изученного материала и основных понятий, как значимый аспект преподавания-учения. Согласно этому приципу современный образовательный процесс по математике осуществляется концентрически по спирали,основываясь на конкретном математическом понятии и формировании, в итоге,специфических для математики мыслительных структур.
II. Формирующий принцип, предусматривающий непосредственное формирование личности учащегося в образовательном процессе по математике.
В контексте формирования и развития межличностной, социальной, нравственной компетенции и компетенции в плане культуры Школьный Куррикулумпо математике предусматривает формирование у учащихся в образовательном
процессе по математике следующие ценностные отношения:• формирование привычки открытого, гибкого, творческого мышления, чувства объективности и толерантности;• стимулирование любознательности и воображения в выборе стратегий, проблем, планов действий, при их решении или их выполнении;• проявление упорства, настойчивости, уверенности в собственных силах, способности при необходимости сконцентрироваться, стремлении к реализации своего
интеллектуального потенциала, ответственности за собственное развитие;• поощрение инициативы и готовности решать различные здачи;• проявление независимости в мышлении и действиях;• развитие чувства эстетического и критического подходов;• оценивание строгости, порядка и элегантности в построении решения задачи, в применении соответствующего метода, алгоритма или в построении
некоторой теории;• формирование потребности в использовании математических понятий и методов при рассмотрении различных ситуаций или при решении повседневных
проблем или проблем, возникших в реальных и/или смоделированных ситуациях;4

5

I.	Дидактическая концепция школьной учебной дисциплины• формирование и развитие мотивации к изучению математики как значимой
области для социальной и профессиональной жизни;• стимулирование положительного отношения к науке и познанию в целом;• использование научной математческой терминологии при общении;• проявление настойчивости при отстаивании собственных идей и точек зрения путем приведения аргументов и/или путем формулирования вопросов;• кооперирование в рамках групповой учебной деятельности;• включение в критические и конструктивные дискуссии по поводу определенных математических тем; восприятие различных точек зрения и ориентирование на формирование собственной точки зрения.
Лицейское математическое образование предусматривает переориентировкус академической трактовки математики на применение различных проблемных
ситуаций, способствующих раскрытию разнообразных областей математики и ихприменения; снижение значимости применения алгоритмов в пользу использования различных стратегий при решении задач и проблемных ситуаций.
Куррикулум задуман так, чтобы не ограничивать свободу учителя в организации собственной профессиональной деятельности. Следовательно, при формировании специфических компетенций и субкомпетенций и при прохождении обязательных тем в рамках одного и того же класса учитель имеет право:• изменять последовательность изучения учебного материала, если не ущемляется научная и дидактическая логика;• распределять время для изучения учебного материала в зависимости от математической подготовленности учащихся на соответствующем этапе обучения;• группировать учебный материал различными способами, не нарушая логику
развития математических понятий;• выбирать и организовывать виды учебной деятельности, адекватные конкретным условиям класса.
Школьные учебники, разработанные на основе данного куррикулума, должны
соответствовать общей куррикулумной концепции и удовлетворять требованиям
быть доступными для учащихся, функциональными, операциональными, а также
выполнять не столько информативную, сколько формативную функцию, функцию учения посредством самостоятельного изучения, исследования и выполнения
открытий, стимулирования, самообразования, самооценивания и, в итоге, формирования компетенций.
Куррикулум основан на базовых/трансверсальных компетенциях, установленных для образовательной системы Республики Молдова, и на межпредметных
компетенциях для лицейской ступени обучения. Специфические компетенции
выводятся из межпредметных компетенций и представляют собой интегрированную совокупность/систему знаний, способностей, навыков и ценностных отношений, запланированных для достижения и формирования посредством каждой изучебных дисциплин, на протяжении всего периода обучения в лицее.
Ценностные отношения, сформулированные в куррикулуме, ориентируют наформирование личности ученика посредством школьной дисциплины математика. Их формирование взаимосвязано с постоянной дидактической деятельностью учителя, являясь ее важной компонентой.

Субкомпетенции формируются на протяжении соответствующего учебного
года, выводятся из специфических компетенций и представляют собой этапы впроцессе их достижения.
Тематические содержания, включенные в куррикулум, представляют собой
средства для формирования субкомпетенций и, тем самым, запланированных специфических компетенций.
Рекомендуемые учителю виды учебной деятельности и оценивания также будут способствовать достижению запланированных субкомпетенций.
Изучение математики в реальном профиле лицея призвано обеспечивать формирование у учащихся этого профиля компетенций, необходимых для продолжения обучения на факультете в контексте этого профиля и/или в жизни.
Изучение математики в гуманитарном профиле лицея предусматривает обеспечение учащихся этого профиля компетенциями, связанными с применением вразличных контекстах вычислений, алгоритмов и простых математических рассуждений. Также, преследуется цель осознания математики, с одной стороны, какдеятельности по описанию и решению проблем, а с другой стороны – как динамической дисциплины, тесно связанной с повседневной жизнью, играющей важную
роль в естественных науках, в технологиях, технике, общественных науках и т.д.

6

7

II.	Базовые/трансверсальные компетенции
Система базовых/трансверсальных компетенций, установленных для образовательной системы Республики Молдова, основывается на системе ключевых компетенций, разработанных Комиссией Совета Европы, и на профиле выпускника лицея:1. Компетенции учения/научиться учиться.
2. Компетенции общения на родном языке/государственном языке.
3. Компетенции общения на одном из иностранных языков.
4. Базовые компетенции в математике, естествознании и технологиях.
5. Действенно-стратегические компетенции.
6. Компетенции в области информационных и коммуникационных технологий(ИКТ).
7. Межличностные, гражданские компетенции и компетенции в области морали.
8. Компетенции самопознания и самореализации.
9. Культурные, межкультурные компетенции (воспринимать и создавать ценности).
10. Предпринимательские компетенции.
III.	Базовые/трансверсальные компетенции и межпредметные компетенции для лицейского образования
1. Компетенции учения/ научиться учиться:• Компетенции по овладению методологией интегрирования базовых знанийо природе, человеке и обществе с целью удовлетворения потребностей иосуществления действий по улучшению качества личной и общественной
жизни.

2. Компетенции общения на родном языке/государственном языке:• Компетенции аргументированного общения на родном языке/государственном языке в реальных жизненных ситуациях.
• Компетенции общения на аргументированном научном языке.
3. Компетенции общения на одном из иностранных языков:• Компетенции общения на одном из иностранных языков.
• Компетенции аргументированного общения на одном из иностранных языков в реальных жизненных ситуациях.
4. Базовые компетенции в математике, естествознании и технологиях:• Компетенции организации личной деятельности в ситуациях постоянно меняющихся технологий;• Компетенции приобретения и овладевания базовыми знаниями в области
математики, естественных наук и технологий, исходя из собственных потребностей.
• Компетенции выдвижения новых идей в области науки.
5. Действенно-стратегические компетенции:• Компетенции планирования собственной деятельности, предугадывания
конечного результата, выдвижения предложений относительно разрешения
проблемных ситуаций из различных областей.
• Компетенции реализации самостоятельных и творческих действий охраны
окружающей среды в различных жизненных ситуациях.
6. Компетенции в области информационных и коммуникационных технологий (ИКТ):• Компетенции применения электронно-цифровых командных устройств вреальных ситуациях.
• Компетенции создания документов в информационной и коммуникационной областях и использования электронных услуг, в том числе услуг сети Интернет, в реальных ситуациях.
7. Межличностные, гражданские компетенции и компетенции в области морали:• Компетенции сотрудничества в рамках группы/команды, предупреждения
конфликтов и уважения мнений коллег.
• Компетенции проявления активной гражданской позиции, солидарности исоциальной сплоченности в рамках недискриминационного общества.
• Компетенции осуществления действий в различных повседневных ситуациях на основе морально-духовных норм и ценностей.
8. Компетенции самопознания и самореализации:• Компетенции критической самооценки собственной деятельности с целью
непрерывного саморазвития и самореализации.
• Компетенции выбора здорового образа жизни.
• Компетенции адаптации к новым условиям и ситуациям.
9. Культурные, межкультурные компетенции (воспринимать и создавать
ценности):• Компетенции восприятия ценностей своей национальной культуры и культур других национальностей с целью их творческого применения и личной
самореализации.
8• Компетенции толерантного восприятия межкультурных ценностей.
10. Предпринимательские компетенции:• Компетенции овладения знаний и способностей предпринимательской деятельности в условиях рыночной экономики с целью самореализации в области предпринимательства.
• Компетенции осознанного выбора области будущей профессиональной деятельности.
IV.	Специфические компетенции учебной дисциплины Математика
Реальный профиль

1. Приобретение основных математических знаний, необходимых для продолжения обучения и/или социального интегрирования.
2. Применение изученных математических понятий, методов, алгоритмов,свойств, теорем в различных контекстах.
3. Использование математической терминологии и символики в реальных и/или смоделированных ситуациях.
4. Анализирование решения проблем, проблемных ситуаций в контексте коррекности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.
5. Вырабатывание стратегий и проектирование действий для решения теоретических и/или практических задач.
6. Обосновывание полученного или заданного математического вывода илирезультата, прибегая к аргументам.
7. Инициирование и осуществление изысканий/исследований используя приобретенные математические знания, изученные математические модели иадекватные информационные и коммуникационные технологии.
8. Отбор из полученного или заданного множества информаций, необходимых
данных для решения заданной проблемы или для формулирования некоторых
выводов.
9. Интегрирование полученных математических знаний и приобретенных издругих областей знаний, в том числе из физики, химии, биологии, информтики, для решения проблем в реальных и/или смоделированных ситуациях.
10. Разрешение проблем, проблемных ситуаций, возникших в рамках различных
событий, путем консенсуса/сотрудничества.
Гуманитарный профиль

1. Использование математической терминологии и символики в реальных и/или смоделированных ситуациях, в том числе в ситуациях общения.
2. Отбор, из полученного или заданного множества информаций, необходимых данных для решения заданной проблемы или для формулирования некоторых выводов.
3. Применение приобретенных математических знаний в различных контекстах.
9

4. Построение и анализ диаграмм, таблиц, схем, графиков, иллюстрирующих
различные реальные и/или смоделированные ситуации, в том числе ситуации из повседневной жизни.
5. Составление некоторых планов действий, используя усвоенные математические стратегии и/или технологии.
6. Разработка и выполнение некоторых проектов, используя усвоенные математические знания и приобретения.
7. Аргументированная поддержка собственных идей и точек зрения.
8. Анализирование решения проблем, проблемных ситуаций в контексте коррекности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.
9. Интегрирование добытых математических знаний и приобретений с другими
знаниями для решения проблем в реальных и/или смоделированных ситуациях.
10. Разрешение проблем, проблемных ситуаций, возникших в рамках различных
событий, путем консенсуса/сотрудничества.
V.	Распределение тем по классам и часам
Реальный профиль

КлассСодержание

X

I. Действительные числа.
II. Множества.
III. Функции. Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности.
IV. Элементы тригонометрии.
V. Геометрические фигуры на плоскости.
VI. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона.

XI

I. Последовательности действительных чисел.
II. Предел функции. Непрерывные функции.
III. Дифференцируемые функции. Применение производной.
IV. Комплексные числа.
V. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений.
VI. Параллельность прямых и плоскостей.
VII. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
VIII. Геометрические преобразования.

XII I.Первообразная. Неопределенный интеграл.
II. Определенный интеграл. Применения.
III. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
IV. Многогранники.
V. Тела вращения.
VI. Итоговое повторение.
10Количество
часов
12
12
50
26
50
20
Итого: 170
10
21
39
24
28
16
20
12
Итого: 170
24
28
20
30
26
42
Итого: 170

Примечание: 1. Распределение часов будет проводиться из расчета 5 часов внеделю.
2. Распределение часов по темам и предполагаемая последовательность темданы ориентировочно.
3. Последовательность изучаемых тем, в пределах одного и того же класса, можно
изменить, если не ущемляются научно-математическая и дидактическая логики.
Гуманитарный профиль

Количество
часов
X I. Действительные числа.
10
II. Множества.
8
III. Функции. Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности.
32
IV. Элементы тригонометрии.
12
V. Геометрические фигуры на плоскости.
28
VI. Элементы комбинаторики.
12Итого: 102
10
XI I. Последовательности действительных чисел.
II. Дифференцируемые функции. Применение производной.
30
III. Комплексные числа.
14
16
IV. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений.
12
V. Параллельность прямых и плоскостей.
12
VI. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
8
VII. Геометрические преобразования.
Итого: 102
15
XII I. Первообразная. Неопределенный интеграл.
16
II. Определенный интеграл. Применения.
20
III. Элементы теории вероятностей и математической статисти20
ки.
15
IV. Многогранники.
16
V. Тела вращения.
Итого: 102
VI. Итоговое повторение.

КлассСодержание

Примечание: 1. Распределение часов будет проводиться из расчета 3 часов внеделю.
2. Распределение часов по темам и предполагаемая последовательность темданы ориентировочно.
3. Последовательность изучаемых тем, в пределах одного и того же класса, можно изменить, если не ущемляются научно-математическая и дидактическая логики.

11

12
13

Содержание

1
2
3Виды оценочной деятельности:язык, решение полученной задачи и интерпрети­рование полученных результатов.
Первичное оценивание, текущее оценивание,1.7. Обоснование и аргументирование
оценивание с использованием компьютера,полученных результатов при выполнении
тестирование, устные, письменные, графические ивычислений с действительными числами.
практические работы и др.
1.8. Применение вычислений с действительными числами на практике, в том числепри реализации различных проектов.
Упражнения на:
II. Множества
2.1. Распознавание в окружающей дей• Понятие множество. – представление множества и операций с множестствительности и/или в математических
вами аналитическим, синтетическим и графическим
задачах изученных понятий, отношений, Числовые мно­жест­ва.
свойств, специфичных теории множеств. • Операции с множес- (диаграммы, таблицы) способами;2.2. Переписывание и редактирование ус- твами (объединение, пе- – определение элементов множества, заданного разловия, решения задачи используя термино- ресечение, разность, де- личными способами;картово произведение). – применение терминологии и символики, адекватной
логию, адекватную теории множеств.
теории имножеств, в реальных и/или математических
• Основные свойства.
2.3. Представление множества и операконтекстах;ций с множествами (объединение, пересе– определение множества, заданного посредством укачение, разность, декартово произведение)занного свойства;аналити­чес­ким, синтетическим и графичес– применение отношения принадлежности, отношеким (диаграммы, таблицы) способами.
ния включения и равенства множеств;2.4. Применение терминологии и символи– выполнение операций с различными типами множеств;ки, адекватной теории имножеств, в реаль– сортирование и классифицирование объектов поных и/или смоделированных ситуациях.
различным критериям, определение критериев, по ко2.5. Выполнение операций (объединение,торым отбираются соответствующие множества;пересечение, разность, декартово произ­– применение элементов теории множеств при изучеведение) с числовыми множествами N, Z,
нии математики и других школьных дисциплин;Q, R и их подмножествами (в том числе с– составление и решение задач с применением элементов
числовыми промежутками).
теории множеств на практике и/или в других областях.
2.6. Использование элементов теории множеств в реальных ситуациях и/или при изуМетоды и виды учебной деятельности:чении других школьных дисциплин.
Метод упражнений, алгоритмический метод, групповое обучение, исследование конкретного случая сСубкомпетенции

Виды учебной и оценочной деятельности
(рекомендуемые)1
2
3
I. Действительные числа Упражнения на:
1.1. Распознавание в различных ситуациях элементов изученных число- • Действительные числа.
– выявление, какому числовому множествувых множеств (N, Z, Q, R) и написание Mножества N, Z, Q, R.
принадлежит заданное число;действительных чисел, используя раз- • Квантор общности и кван- – упорядочивание, сравнение и изображение на котор существо­вания.
ные формы.
ординатной прямой действительных чисел;1.2. Осуществление перехода от одной • Операции над действи– записывание действительных чисел в различных
формы записи действительных чисел к тельными числами (сложе- формах;ние, вычитание, умножедругой.
– вычисление с числами и применение в вычислени1.3. Изображение действительных чи- ние, деле­ние, возведение в ях соответствующих алгоритмов и свойств;сел на числовой прямой и использова- степень с рациональным и – выполнение приблизительных оценок и аппроксиние терминологии, адекватной поня- действительным показате- маций;лем). Свойства.
тию число, в различных контекстах.
– перенос и экстраполирование решений некоторых
• Корни. Свойства.
1.4. Применение в вычислениях
задач для решения других задач;свойств операций над действительны- • Логарифм положительного – решение проблем и проблемных ситуаций;ми числами: сложение, вычитание, ум- числа. Свойства.
использование терминологии и символики, адекватножение, деление, возведение в степень • Метод математической ин- ной понятию число, в различных контекстах, в томс рациональным и действительным по- дукции. Приложение для до- числе при общении;казателем, корни n-й степени, n∈N, n ≥ казательства неко­торых чис- – обоснование и аргументирование полученных ре≥ 2 логарифм положитель­ного числа. ловых тождеств.
зультатов и использованных технологий;1.5. Использование в различных реаль- • Модуль действительного – формирование привычки проверять: имеет задачаных и/или смоделированных ситуациях числа. Свойства:решение или нет.
приблизительных оценок и аппроксима- |a|≥0; |a|=|–a|; |a2|=|a|2=a;Методы и виды учебной деятельности:ций для проверки истинности результатов
Метод упражнений, проблемное обучение,вычислений с действительными числами, |ab|=|a| · |b|;групповое обучение, алгоритмический метод,применяя степени, корни, логарифмы.
исследование конкретного случая с практическим
, b≠0; |a+b|≤|a|+|b|.
1.6. Перевод некоторых ситуаций изуклоном, дидактические игры, аналогия,повседневной жизни на математический
контрпримеры, матрица ассоциаций, понятий­наякарта, звездный взрыв (starbursting) и др.

X класс

VI. Субкомпетенции, содержание, виды учебной и оценочной деятельности

14
15

1
3.6. Применение графических методовпри решении уравнений, неравенств, систем уравнений.
3.7. Перевод на математический язык конкретных ситуаций из повседневной жизни, которые описываются функциями I, IIстепеней, степенной функцией, функцией
радикал, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, показатель­ной, логарифмической функциями.
3.8. Классифицирование изученных
функций по различным критериям.
3.9. Классифицирование изученных типов уравнений, неравенств, систем поразличным критериям и выявление адекватного метода/методов их решения.
3.10. Решение изученных типов уравнений, неравенств, систем.
3.11. Моделирование ситуаций из повседневной жизни, в том числе из предпринимательской деятельности, посредством изученных типов функций,уравнений, неравенств, систем.
3.12. Анализ решения уравнения, неравенства, системы в контексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.

2

3– исследование свойств функций, имеющих локальныйили глобальный характер, в реальных и/или смоделированных ситуациях;– перевод на математический язык конкретеных ситуацийиз различных областей, которые описываются функциями I, II степеней, степенной функцией, функцией радикал,прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью, показательной, логариф­ми­ческой функциями;– решение уравнений, неравенств, систем уравнений,систем неравенств посредством графического метода ииспользования свойств изученных функций;– распознавание и классифицирование изученных типов
уравнений, неравенств, систем по различным критериям;– выявление метода/методов решения соответствующего
класса уравнений, неравенств, систем;– моделирование ситуаций из повседневной жизни, в томчисле из предпринимательской деятельности, посредством
изученных типов функций, уравнений, неравенств, систем;– анализ решения уравнения, неравенства, системы вконтексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных результатов;– решение указанных в куррикулуме типов уравнений,неравенств, систем адекватными методами;– составление и решение задач на функции, уравнения,неравенства, системы уравнений, системы неравенств изпрактической действительности и/или из других областей.
Методы и виды учебной деятельности:Проблемное обучение, моделирование, исследование, метод упражнений алгоритмический метод, работа с учебником, групповое обучение, анализ конкретного случая спрактическим уклоном, дидактические, ролевые,1
2
3практическим уклоном, дидактические, ролевые, симу2.7. Сортирование и классифицирование
лятивные игры, контрпримеры, матрица ассоциаций,объектов по некоторым критериям, формупонятийная карта, наблюдение, практические работы илирование критерия, по которому отбирадр.
ется множество объектов в реальных ситуациях и/или смоделированных ситуациях.
Виды оценочной деятельности:2.8. Анализ решения проблем, проблем­Текущее оценивание, оценивание с использованием комных ситуаций, связанных с множествами, впьютера, тестирование, устные, письменные, графические
контексте корректности, простоты, четко­и практические работы, метод проектов и др.
сти и значимости полученных результатов.
3.1. Распознавание функциональных за- III. Функции. Урав- Упражнения на:нения. Неравенства. – распознавание функциональных зависимостей в развисимостей в реальных и/или смоделиСистемы и совокуп- личных контекстах;рованных ситуациях.
– представление функциональных зависимостей, в томности
3.2. Представление функциональных зависимостей, в том числе из окружающей III.1. Понятие функ- числе из окружающей действительности, различными
способами (аналитическим, синтетическим и графичесдействительности, различными спосо- цияким, диаграммами, таблицами);бами (аналитическим, синтетическим и • Понятие функция.
– распознавание изученной функции по заданному граграфическим, диаграммами, таблицами). • Способы задания
3.3. Выведение свойств числовых функ- функции. График функ- фику и/или аналитическому способу задания;– чтение графиков функций и/или аналитических форций посредством чтения графиков и/или ции.
• Свойства функций: мул для выведения свойств этих функций;соответствующих формул.
– применение алгоритма исследования функции в размонотонность,3.4. Применение алгоритма исследоличных контекстах;вания функции при решении проблем, четность,– использование свойств функций в различных контекстах;проблемных ситуаций, при изучении не- периодичность,которых физических, химических, био- ограничен­ность, нули, – перенос и экстраполирование решений некоторых задач для решения других задач;логических, социальных, экономических экстремумы.
– решение проблем и проблемных ситуаций;• Инъективные,  процессов, смоделированных посред– применение терминологии символики, адекватной посюръективные, биеством функций.
нятию функция, в том числе в общении;3.5. Исследование свойств, имеющих ло- ктив­ные функции.
кальный или глобальный характер, фун- • Обратимые функции. – обоснование и аргументирование полученных результатов и использованных технологий;кций в реальных и/или смоделирован- Обратная функ­ция.
• Композиция функций. – классифицирование изученных функций и их свойствных ситуациях.
по различным критериям;

16
17

1

1

(знак “<” может быть заменен знаками “>”, “≥”, “≤”) и приводимые к ним.
III.5. Показательная функция. Логарифмическая функция
• Понятие показательная функция.
• График показательной функции.
• Свойства показательной функции.
• Понятие логарифмическая функция.
• График логарифмической функции.
• Свойства логарифмической функции.
• Показательные уравнения типа:1. a f (x) = a g (x) и приводимые к ним.

и приводимые к ним.
• Иррациональные неравенства типа:2• Системы симметрических уравнений, однородных уравнений II степени.
• Уравнения II степени с модулем, с параметром.
• Рациональные уравнения и неравенства с одним неизвестным.
III.4. Степенная функция. Функция радикал
• Понятие степенная функция. График степенной функции.
• Свойства степенной функции.
• Понятие функция радикал. График функции радикал.
• Свойства функции радикал.
• Иррациональные уравнения типа:3

2
3
III.2. Функция I степени
симулятивные игры, контрпримеры,матрица ассоциаций, понятийная карта,• Понятие функция I степени. График функции I степени.
обучение с помощью компьютера, наСвойства функции I степени.
блюдение, практические работы, доказа• Формула расстояния между двумя точками в декартовой
тельство, графические работы, методсистеме координат. Координаты середины отрезка.
• Уравнения I степени с одним неиз­вестным, с двумя неизвест- ВВВ, взаимообучение, звездный взрыви др.
ными и приво­димые к ним.
• Неравенства I степени с одним неизвестным и приводимые Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, итоговое оценивак ним.
• Геометрическая трактовка уравнений I степени с двумя неиз- ние, оценивание с использованием компьютера, тестирование, устные, письвестными. Угловой коэффициент прямой.
• Системы двух уравнений I степени с одним неизвестным, с менные и практические работы, метод
двумя неиз­вестными. Методы решения систем уравнений (ме- проектов, дидактические игры, графические работы, исследование и др.
тод подстановки, метод сложения, графический метод).
• Системы неравенств I степени с одним неизвестным.
• Уравнения I степени с модулем и/или параметром.
III.3. Функция II степени
• Понятие функция II степени. График функции II степени.
• Свойства функции II степени.
• Уравнения II степени и приводимые к ним. Классификация
уравнений II степени.
• Решение уравнений II степени.
• Соотношения Виета.
• Неравенства II степени и приводимые к ним.
• Геометрическая трактовка уравнений второй степени сдвумя неизвестными:x2 + y2 = r2;(x – a)2 + (y – b)2 = r2; x · y = k, k ∈ R*;
y = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
• Системы двух алгебраических уравнений I, II степеней сдвумя неизвестными.

18
19

2
2. Показательные уравнения, приво­димые к изученным алгебраи­ческим
уравнениям.
3. Показательные уравнения типа: n· a2x + m · axbx+ + p· b2x = 0 и приводимые кним.
4. Показательные уравнения типа 1–3 с модулем или параметром.
• Показательные неравенства типа:1. a f (x) < a g (x) (знак “<” может быть заменен знаками “>”, “≥”, “≤”) и приводимые кним.
2. Показательные неравенства, приво­димые к изученным алгебраическим не­ра­венствам.
3. Показательные неравенства типа 1–2 с модулем.
• Логарифмические уравнения типа:1. loga f (x) = b;
2. loga f (x) = loga g (x);3. loga f (x) ± loga g (x) = loga h(x), a > 0, a ≠ 1 и/или a = mx+n, m, n ∈ R;
4. Логарифмические уравнения, приво­димые к изученным алгебраи­чес­ким урав­нениям.
5. Логарифмические уравнения, типа 1–4 с модулем.
• Логарифмические неравенства типа:1. loga f (x) < b;
2. loga f (x) < loga g (x);3. loga f (x) ± loga g (x) < loga h(x),a > 0, a ≠ 1;
4. Логарифмические неравенства, приво­димые к изученным алгебраи­ческим не­ра­венствам.
5. Логарифмические неравенства типа: logmx+n a < b; m, n ∈ R.
6. Логарифмические неравенства типа 1–5 c модулем.
• Системы показательных и лога­рифмических уравнений, содержа­щие изученные типы показательных и/или логарифмических уравнений.

3

1
2
3
4.1. Распознавание элеменIV. Элементы тригонометрии
Упражнения на:тов тригонометрии в раз- • Тригонометрическая окружность. Преоб- – распознавание изученных элементов тригоноличных контекстах.
разование единиц измерения углов из гра- метрии в различных контекстах;4.2. Применение элементов дусов в радианы и обратно.
– преобразование единиц измерения углов из гратригонометрии при реше- • Тригонометрические функции: синус, коси- дусов в радианы и обратно;нии прямоугольного тре- нус, тангенс, котангенс. Графики тригоно- – изображение на тригонометрической окружносугольника.
метрических функций: синуса, косинуса, тан- ти углов различных величин;4.3. Выполнение тригоно- генса, ко­тангенса. Свойства.
– применение элементов тригонометрии при реметрических вычислений в • Основные тригонометрические тож­дества. шении прямоугольного треугольника;различных контекстах, ис- • Формулы приведения.
– выполнение тригонометрических вычислений впользуя таблицы значений, • Формулы суммы.
различных контекстах, используя таблицы значеформулы, калькулятор.
• Формулы двойного угла.
ний, формулы, калькулятор;4.4. Применение добытых • Формулы универсальной подста­новки.
– выявление некоторых свойств тригоно­тригонометри­ческих знаний • Таблица значений синуса, косинуса, тан- метрических функций, посредством чтения градля определения величин генса, котангенса часто используемых углов. фиков и/или соответствующих формул;углов (в градусах, радианах) • Понятия: арксинус, арккосинус, арктан- – охарактеризование геометрических конфи­в реальных и/или смодели- генс, арккотангенс. Свойства:гураций посредством изученных элементов тригорованных ситуациях.
нометрии;arcsin(–a) = –arcsin a;
4.5. Выявление некоторых arccos(–a) = π–arccos a;– оптимизирование тригонометрических вы­чис­свойств тригонометричес- arctg(–a) = –arctg a;лений, используя адекватные тригоно­метрическиеких функций, посредством
формулы и тождества;чтения графиков и/или со- arcctg(–a) = π–arcctg a.
– классифицирование изученных типов триго­но­Таблица значений арксинуса, арккосинуса, метрических уравнений по различным критериям;ответствующих формул.
4.6. Перевод на тригоно- арктангенса, арккотангенса часто исполь- – решение соответствующего класса триго­метрический и геометри- зуемых чисел.
нометрических уравнений;• Простейшие тригонометрические ура­­в­­ – решение простейших тригонометрических неческий язык различных
практи­ческих задач и/или нения.
равенств;задач из других областей и • Тригонометрические уравнения, при­– составление и решение задач с применениводимые к изученным алгебраи­ческим
решение этих задач.
ем тригонометрии из практической действи­4.7. Классифицирование уравнениям.
тельности и/или из других областей.
изученных типов тригоно- • Однородные тригонометрические ура­Методы и виды учебной деятельности:метрических уравнений по внения (I, II степеней) и приво­димые кПроблемное обучение, моделирование, метод отним.
крытий, метод упражнений, алгоритмический метод,

1

20
21

2
• Тригонометрические уравнения вида:a sin x + b cos x = c, a, b, c ∈ R.
• Простейшие тригонометрические неравенства.

3работа с учебником, групповое обучение, исследование конкретного случая с практическим уклоном,дидактические, ролевые, симулятивные игры, контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная карта, обучение с помощью компьютера, наблюдение,практические работы, доказательство, графические
работы, взаимообучение, звездный взрыв и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание с использованием компьютера, тестирование, устные, письменные, и практические
работы, метод проектов, дидактические игры, графические работы и др.

6.1. Распознавание в различVI. Элементы комбинаторики.
ных контекстах и классифициБином Ньютона.
рование по разным критериям • Понятие упорядоченное множество.
Понятие факториал.

Упражнения на:– распознавание в различных контекстах и классифицирование по разным критериям

1
2
3
5.5. Моделирование, в геометри- • Выпуклые четырехугольники. Выпук- – определение истинностного значения матемаческом смысле, ситуаций из ок- лые многоугольники.
тического высказывания, используя аргументы
ружающей действительности и/ • Правильные многоугольники.
и/или доказательства.
или из других областей, исполь- • Окружность. Хорды. Дуги. Круг. Мет- – составление и решение геометрических задач
рические соотношения в окружности. из практической действительности и/или из друзуя, в том числе, компьютер.
• Взаимные расположения прямой и ок- гих областей.
5.6. Анализ решения геометрической задачи, проблемной ружности.
Методы и виды учебной деятельности:ситуации с геометрическим ук- • Центральный угол. Вписанный угол. Проблемное обучение, моделирование, исслелоном в контексте корректнос- • Вписанный треугольник в окруждование, групповое обучение, исследование
ти, простоты, четкости и значи- ность.
конкретного случая с практическим уклоном,мости полученных результатов. • Описанный треугольник окружности. дидактические, ролевые, симулятивные игры,5.7. Разрабатывание алгоритма • Четырехугольники, вписанные
контрпримеры, матрица ассоциаций, обучение
решения геометрической задачи в окруж­ность. Четырехугольники
посредством компьютера, наблюдение, понятийи решение соот­ветствующей за- описан­ные окру­ж­­ности.
ная карта, практические работы, метод ВВВ,дачи в реальных и/или смодели- • Правильные многоугольники, вписан- взаимообучение, звездный взрыв и др.
ные в окружность. Правильные много- Виды оценочной деятельности:рованных ситуациях.
5.8. Вычисление длин отрезков, угольники описанные окружности.
Текущее оценивание, оценивание с использовавеличин углов, периметров, пло- • Площади многоугольных поверхностей нием компьютера, тестирование, устные, письщадей в реальных и/или смоде- для: треугольника (формула менные, графические работы, метод проектов,лированных ситуациях, испольдидактические игры оценочного вида, практичесзуя адекватные инструменты и Герона
кие, лабораторные работы, исследование и др.
единицы из­мерения.
5.9. Определение истинност), квадрата, прямоу­гольника,ного значения математического параллелограма, ромба, трапе­ции, правысказывания, используя аргу- вильного многоугольника.
менты и/или доказательства.
• Длина окружности. Площадь круга.

5.1. Распознавание в разV. Геометрические фигуры
Упражнения на:личных контекстах и класна плоскости
– распознавание в различных контекстах и классифицирование по раз• Понятие математическое высказывание. сифицирование по разным критериям изученныхным критериям изученных Истинностное значение высказывания. По- геометрических фигур и их свойств;геометрических фигур и их нятия: аксиома, теорема, обратная теоре- – опредлеление взаимных расположений изученсвойств.
ма. Необходимые и достаточные условия. ных геометрических фигур в реальных и/или смо5.2. Определение взаим- Метод от противного.
делированных ситуациях;ных расположений изучен- • Основные геометрические понятия (точ- – изображение на плоскости изученных геометриных геометрических фигур ка, прямая, плоскость, расстояние, величи- ческих фигур, в том числе используя адекватныев реальных и/или смодели- на угла).
чертежные инструменты;рованных ситуациях.
• Треугольники. Классификация треуголь- – решение задач, проблемных ситуаций и ана5.3. Изображение на плос- ников.
лиз решения в контексте корректности, простоты,кости изученных геометри- • Конгруэнтные треугольники.
четкости и значимости полученных результатов;ческих фигур, в том числе, • Замечательные линии в треугольнике.
– применение терминологии и изученной гео­мет­используя адекватные чер- • Подобие треугольников. Теорема Фалеса. рической символики, включительно в процессе
тежные инструменты.
• Основная лемма подобия.
общения;5.4. Применение в различ- • Метрические соотношения в треугольни- – анализ и интерпретирование полученных реных контекстах свойств
ке. Теорема синусов, теорема косинусов.
зультатов при решении практических задач с исизученных геометрических
пользованием изученных элементов геометрии;фигур.

1различ­ным критериям ирешение этих уравнений.

22
23Субкомпетенции
Содержание
Виды учебной и оценочной деятельности (рекомендуемые)1
2
3
1.1. Распознавание последо- I. Последовательности Упражнения на:вательностей, под­последо- действите­ль­­ных чисел – распознавание и приведение примеров последовательностей, подпоследовательностей, арифметических и геометрических прогрес• Понятие последовавательностей, арифметисий в различных контекстах;тельность действических и геометрических
– классифицирование и охарактеризование последовательностей,тельных чисел.
прогрессий в различных
• Понятие подпоследо- подпоследовательностей по различным критериям;контекстах.
вательность действи- – построение примеров и контрпримеров;1.2. Классифицирование
– анализирование и интерпретирование ре­зультатов, получентельных чисел.
последовательностей поных при решении задач на применение последовательностей,критериям: конечные, бес- • Конечные и бесподпоследова­тельностей, прогрессий;конечные, монотонные, ог- конечные после­– применение последовательностей, прогрессий в различных обласдовательности.
раниченные, сходящиеся,тях, в том числе, при реализации простых проектов;• Ограниченные
рас­хо­дящиеся последова– применение терминологии, относящейся к понятию последовапоследова­тель­ности.
тельности.
1.3. Охарактеризирование • Монотонные последо- тельность в различных контекстах;– составление и решение задач на последо­вательности, прогрессии
вательности.
последователь­ностей, ис• Арифметическая про- из практической действительности и/или из других областей.
пользуя различные пред­ставления (формулы, графи- грессия. Свой­ства. При- Методы и виды учебной деятельности:Метод упражнений, обучение с помощью компьютера, дидактичесложения.
ки) и/или их свойства.
1.4. Анализ и интерпрети- • Геометрическая про- кие игры, алгоритмический метод, проблемное обучение, групповое
рование резуль­татов, полу- грессия. Свой­ства. При- обучение, исследование конкретного случая с практическим уклоном, контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная карта, пракченных при решении задач ложения.
на применение последова- • Предел последователь- тические работы и др.
Виды оценочной деятельности:ности.
тельностей, подпосле­до­вательностей, прогрессий. • Понятие сходящейся Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание с использованием компьютера, тестирование, устные, письменные и практи1.5. Применение последо- последовательности.
вательностей, прог­рес­сий в • Понятие расходящей- ческие работы, метод проектов, исследование и др.
различных областях, в том ся последовательности.
числе, при реализации простых проектов.

XI класс

1
2
3изученных типов комбинаторных • Основные законы (правила) ком­би­ изученных типов множеств и комбинаторных
задач;
на­торики.
задач.
– решение текстовых и практических задач из• Перестановки.
6.2. Применение перестаноразличных областей, содержащих элементы комвок, размещений, сочетаний и их • Размещения.
бинаторики;свойств при решении уравнений, • Сочетания.
– решение уравнений и неравенств, содержащих
неравенств, практических задач, • Свойства сочетаний.
• Уравнения, неравенства, содержа- элементы комбинаторики;задач из других областей.
– применение бинома Ньютона и /или формулы
6.3. Применение бинома Ньютона щие элементы комбинаторики.
общего члена разложения в различных областях;и /или формулы общего члена раз- • Бином Ньютона.
• Формула общего члена разложения – анализ решения комбинаторных задач, проложения в различных областях.
блемных ситуаций или задач на применение
6.4. Использование свойств бино- бинома.
миальных коэффициентов и разло- • Основные свойства биномиальных бинома Ньютона в контексте коррекности,простоты, четкости и значимости полученных
жения бинома при решении задач. коэффициентов.
результатов;6.5. Анализ решения комбинатор- • Свойства разложения бинома.
– составление и решение комбинаторных заных задач или задач на применедач из практической действительности и/или изние бинома Ньютона в контексте
других областей.
корректности, простоты, четкости
Методы и виды учебной деятельности:и значимости полученных резульМетод упражнений, алгоритмический метод,татов.
проблемное обучение, работа с учебником,групповое обучение, исследование конкретного
случая с практическим уклоном, контрпримеры,матрица ассоциаций, понятийная карта, наблюдение, практические работы и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее (формативное) оценивание, итоговое оценивание, оценивание с использованием
компьютера, тестирование, устные, письменные,графические и практические работы, метод проектов, исследование и др.

123Упражнения на:
II. Пределы функций.
2.1. Охарактеризование фунНепрерывные функции – чтение графиков и/или аналитических формул в контексте
кций и интерпретирование
некоторых свойств функций • Понятие предел функции в охарактеризования функции и интерпретирования ее свойств;– определение точек накопления, изолированных точек различпосредством чтения графи- точке.
ков и/или соответствующих • Понятие предел функции на ∞. ных множеств;– использование терминологии и символики, адекватной поняаналитических формул.
• Точка накопления,тиям предел, непрерывность функции, в различных контекстах;2.2. Применение алгоритма изолированная точка
– решение задач, приводящее к введению понятия предел функвычисления предела функции множества.
ции в точке;в точке и изученных алгорит- • Односторонние пределы.
мов исключения неопреде- • Вычисление пределов функ- – решение задач, приводящее к введению понятий непрерывная
функция в точке, непрерывность слева, непрерывность справа;ленности при решении задач. ций.
– идентифицирование непрерывности, точек непрерывности
2.3. Использование терми- • Операции над пределами
нологии и символики, адек- функций. Неопределенности функции на основании анали­тических формул;ватной понятиям предел,в операциях над пределами – применение свойств непрерывных на промежутке функций вразличных контекстах;непрерывность функции, в функций.
– приведение примеров функций, композиции функций, имеюразличных контекстах.
• Замечательные пределы
щих/не имеющих предела в заданной точке, являющимися/не2.4. Идентифицирование
являющимися непрерывными на заданном промежутке;непрерывности, точек не– определение асимптот графиков функций.
прерывности функции наМетоды и виды учебной деятельности:основании аналитических
• Асимптоты графиков число- Метод упражнений, обучение с помощью компьютера, дидакформул.
тические игры, алгоритмический метод, проблемное обучение,2.5. Применение свойств вых функций.
непрерывных функций на • Понятие непрерывная функ- исследование конкретного случая с практическим уклоном,контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная карта, пракмножестве функций в раз- ция в точке.
• Точка разрыва.
тические, графические работы, моделирование, межпредметличных контекстах.
• Непрерывность слева. Не- ные и внутрипредметные связи и др.
2.6. Приведение примеВиды оценочной деятельности:ров функций, композиции прерывность справа.
функций, которые имеют/ • Критерии непрерывности. Текущее оценивание, итоговое оценивание, оцениваниене имеют предел в заданной • Функция непрерывная на с использованием компьютера, тестирование, устные,письменные и практические работы, метод проектов, графичесточке, являются/не являют- множестве.
ся непрерывными на задан- • Непрерывность элементар- кие работы и др.
ных функций.
ном промежутке.

1
2
3
2.7. Анализ решения задач на • Операции над непрерывными
применение непрерывных фун- функциями.
кций в контексте корректности, • Свойства непрерывных функций.
простоты, четкости и значимости полученных результатов.
III. Дифференцируемые функции. Упражнения на:
3.1. Приведение примеров
– приведение примеров дифференцированных функПрименение производной
дифференцированных функций и/или недифференциро- • Понятие производная, правая, ле- ций и/или недифференцированных функций (слева,ваннх функций (слева. справа) вая производная функции в точке. справа) в точке, на промежутке.
– построение касательной к графику функции и на• Задачи из различных областей,в точке, на промежутке.
3.2. Применение алгоритмов приводящие к понятию производ- хождение ее углового коэффициента, вычисление
мгновенной скорости тела;дифференци­рования при ре- ная.
– применение алгоритмов дифференцирования пришении задач и/или при иссле- • Геометрический и физический  смысл производной. Уравнение ка- решении задач и при исследовании процессов из раздовании действительных исмоделиро­ванных процессов. сательной к графику функции в точ- личных областей;– качественное и количественное изучение функций,3.3. Качественное и количест- ке.
венное изучение функций, ис- • Фунукции, дифференцируемые на используя изученный алгоритм исследования функции;пользуя изученный алгоритм мно­­жестве.
– решение задач на максимум и минимум из разных
• Производная n-го порядка.
исследования функции.
• Производная сложной функции. областей, используя производную, дифференциал;3.4. Использование свойств
дифференци­руемых функций, • Таблица производных элементар- – применение методов, основанных на применении
производной, дифференциала, как качественно ноимеющих локальный и/или гло- ных функций.
бальный характер, при реше- • Вычисление производных. Прави- вых методов исследования функции, решения теоретических и/или практических задач;нии задач на максимум и мини- ла вычисления производных.
• Понятие дифференциал функции. – применение производных при изучении физичесмум из различных областей.
ких, социальных, экономических процессов посредс3.5. Применение методов, ос- Пра­вила вычисления дифферен­твом решения задач на максимум и/или на минимум;нованных на применении про- циалов.
изводной, дифференциала, как • Приложения дифференциалов при – вычисление пределов функций с помощью производной, используя правила Лопиталя;качественно новых методов ис- приближенном вычислении.
– составление и решение задач на производную, дифследования функции, решения • Критические точки.
ференциал из практической действи­тельности и/илитеоретических и/или практи- • Точки экстремума, экстремумыиз других областей.
функ­ции.
ческих задач.

24
25

1
2
3
3.6. Использование механического и • Свойства дифференцируе- Методы и виды учебной деятельности:геометрического смыслов производ- мых функ­ций: теоремы Фер- Метод упражнений, обучение с помощью компьютера, дидактические игры, алгоритмический метод,ной при решении задач из различных ма, Ролля, Лагран­жа.
• Приложения производной проблемное обучение, исследование конкретного
областей.
1 и 2 поряд­ка в исследовании случая с практическим уклоном, контрпримеры,3.7. Анализ решения проблем, проблемных ситуаций на применение про- функции, графи­ческое изоб- матрица ассоциаций, понятийная карта, практические, графические работы, моделирование, межпредизводных, дифференциалов функций ражение функции.
в контексте корректности, простоты, • Вычисление пределов фун- метные и внутрипредметные связи и др.
кции с по­мощью производ- Виды оценочной деятельности:четкости и значимости полученных
Текущее оценивание, итоговое оценивание,ной. Правила Лопи­таля.
результатов.
• Приложения производных оценивание с использованием компьютера,3.8. Применение производных прив физике, геометрии, эконо- тестирование, устные, письменные и практические
изучении физических, социальных,работы, метод проектов, графические работы и др.
мике, социологии.
экономических процессов посредством решения задач на максимум и/ • Задачи на максимум и минимум.
или на минимум.
IV. Комплексные числа Упражнения на:
4.1. Использование терминологии,адекватной понятию комплексное чис- • Понятие комплексное число. – выявление необходимости расшерения понятия
числа;
Мно­жество C.
ло, в различных контекстах.
– использование терминологии, адекватной понятию
4.2. Применение комплексных чисел, • Алгебраическая форма
комплексное число, в различных контекстах.
записанных в алгебраической и три- комплек­сного числа.
гонометрической формах, операций с • Арифметические операции – распознавание действительной и мнимой частейс ком­плексными числами, за- комплексного числа;ними при решении задач.
4.3. Преобразование комплексных чи- писанными в алгебраической – преобразование комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую форму и обсел из алгебраической формы в триго- форме.
• Геометрическое изображе- ратно;нометрическую форму и обратно.
– применение комплексных чисел, записанных в ал4.4. Изображение заданного комплекс- ние ком­плексных чисел.
ного числа и его модуля на координат- • Модуль комплексного числа. гебраической и тригонометрической формах, операной плоскости и использование таких • Тригонометрическая форма ций с ними при решении задач;– выполнение операций с комплексными числами,ком­пле­к­­сного числа.
изображений при решении задач.
4.5. Подбор стратегий для решения за- • Операции с комлексными записанными в разных формах;дач, содержащих выполнение опера- числами, записанными в три- – применение комплексных чисел при решении задач;гонометрической формеций с комплексными числами.

1
2
3
4.6. Отбор адекватных алгоритмов для (умножение, деление, возве­ – подбор адекватной формы записи комплексного
дение в степень с натураль- числа в зависимости от конкретного случая, с цевыполнения вычислений с комплексными числами и решения уравнений на ным показателем, извле­чение лью решения соответствующей задачи;корня n сте­пени, n, 2 ≤ n ≤ 6, – решение уравнений II степени, биквадратных
множестве C.
уравнений, биномных уравнений, симметри­чес­ких
4.7. Подбор адекватной формы записи n∈N*).
уравнений III и IV степеней на множестве C.
комплексного числа в зависимости от • Уравнения II степени,конкретного случая, с целью решения биквад­рат­ные уравнения, би- Методы и виды учебной деятельности:соответствующей задачи.
номные (двучленные) урав­ Метод упражнений, дидактические игры, алгорит4.8. Выявление аналогий между свой- нения, симметрические урав- мический метод, проблемное обучение, группоствами операций с действительными
нения III и IV степеней навое обучение, исследование конкретного случаяс практическим уклоном, контрпримеры, матричислами и с комплексными числами и множестве C.
ца ассоциаций, понятийная карта, моделирование,применение таких аналогий при решемежпредметные и внутрипредметные связи и др.
нии задач.
Виды оценочной деятельности:4.9. Обобщение понятия числа путем
Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценирасширения этого понятия от натуральвание с использованием компьютера, тестирование,ных чисел до комплексных чисел.
устные, письменные работы, исследование и др.
5.1. Распознавание в различных ситуа- V. Матрицы. Определители. Упражнения на:Системы линейных
– распознавание в различных ситуациях изученциях изученных типов матриц, опреденых типов матриц, определителей, систем линейуравнений
лителей, систем линейных уравнений.
5.2. Моделирование практических си- • Понятие матрица. Частные ных уравнений;– моделирование практических ситуаций, реальтуаций, реальных процессов, в том чис- случаи.
ных процессов, в том числе, из техники и экономи• Действия с матрицами.
ле, из техники и экономики, включая
ки, включая данные в таблицы матричного типа;Свойства.
данные в таблицы матричного типа.
5.3. Решение уравнений и систем урав- • Обратимая матрица. Вычис- – вычисление определителей второго, третьего,четвертого порядков;нений, используя алгоритмы, специфич- ление обратной матрицы.
– решение уравнений и систем уравнений, испольные вычислению матриц и/или опреде- • Матричные уравнения:A.X = B; Y.A = B; A.X.B = C. зуя алгоритмы, специфичные вычислению матриц
лителей.
5.4. Определение условий совместности • Понятие определитель вто- и/или определителей;и/ или несовместности систем линей- рого порядка, третьего поряд- – определение условий совместности и/ или несовместности систем линейных уравнений и примененых уравнений и применение адекват- ка, n-го порядка.
ние адекватных методов их решения;ных методов их решения.

26
27

1
2
3
5.5. Применение изученных алгорит- • Основные свойства, необхо- Методы и виды учебной деятельности:мов, свойств и правил вычисления мат- димые для вычисления опре- Метод упражнений, обучение с помощью компьютера, дидактические игры, алгоритмический мериц, определителей и систем линейных делителей.
• Вычисление определителей тод, проблемное обучение, групповое обучение,уравнений при решении задач.
вто­рого, третьего, четвертого доказательство, исследование конкретного случая
5.6. Анализ решения задач на вычисс практическим уклоном, контрпримеры, матрица
ление матриц, определителей и систем по­рядков.
линейных уравнений в контексте кор- • Системы линейных уравне- ассоциаций, понятийная карта, моделирование,ректности, простоты, четкости и значи- ний типа m×n, m, n∈N*, m, n практические работы, межпредметные и внутрипредметные связи, аналогия и др.
мости полученных результатов.
≤ 4..
• Однородные системы линей- Виды оценочной деятельности:ных ура­в­нений типа m×n, m, Текущее оценивание, итоговое оценивание,оценивание с использованием компьютера,n∈N*, m, n ≤ 4.
• Правило Крамера, метод Га- тестирование, устные, письменные работы, метод
проектов, исследование и др.
усса, матричный метод.
VI. Параллельность в про- Упражнения на:
6.1. Описание взаимных расположе– описание взаимных расположений точек, прястранствений точек, прямых, фигур на плоскосмых, фигур на плоскости, плоскостей и тел в проти, плоскостей и тел в пространстве в • Аксиомы планиметрии.
странстве;реальных и/или смоделированных си- • Аксиомы стереометрии.
– моделирование взаимных расположений точек,Свойства плоскости.
туациях.
прямых, фигур на плоскости и в пространстве,• Взаимное расположение
6.2. Построение моделей взаимного
расположения точек, прямых, фигур на прямых в пространстве. Па- плоскостей и тел в пространстве;– изображение на плоскости плоских и/или проплоскости и в пространстве, плоскостей раллельные пря­мые в пространственных геометрических конфигу­раций, иси тел в пространстве, используя адек- странстве.
пользуя адекватные инструменты;• Взаимное расположение
ватные материалы.
– доказательство;6.3. Изображение на плоскости плоских прямой и плоскости. Пряи/или пространственных геометричес- мая, параллельная плоскости, – применение признаков параллельности прямых,прямых и плоскостей, плоскостей при решении заких конфигу­раций, используя адекват- свойства, признак.
дач, в реальных и/или смоделированных ситуаци• Взаимное расположениеные инструменты.
ях;
6.4. Применение признаков параллель- плоскос­тей. Параллельные
ности прямых, прямых и плоскостей, плоскости, свойства, признак. – распознавание плоских фигур в составе пространственных фигур в контексте отношения паплоскостей при решении задач, в реальраллельности;ных и/или смоделированных ситуациях.

1
2
3– применение свойств плоских геометрических
6.5. Распознавание плоских фигур в составе
фигур относительно их взаимного расположения ипространственных фигур в контексте отно­отношения параллельности в пространстве;шения параллельности в реальных и/или смо– составление и решение задач на взаимное рас­делированных ситуациях.
по­ло­жение и отношение параллельности в прост­6.6. Выявление аналогий между свойствами
ранстве из действительности и/или из других об­геометрических фигур на плоскости и в прос­ластей;транстве в контексте отношения параллель­– обоснование заданного или полученного геоности и их использование при решении задач.
метрического результата посредством аргу­мен­
6.7. Применение свойств плоских геометри­ческих фигур относительно их взаимного растирования, доказательства.
Методы и виды учебной деятельности:положения и отношения параллельности вМетод упражнений, доказательство, обучение с попространстве в различных контекстах.
мощью компьютера, дидактические игры, проблем6.8. Обоснование заданного или полученногоное обучение, групповое обучение, исследование
геометрического результата посредством аргуконкретного случая с практическим уклоном, контрментирования, доказательства.
примеры, матрица ассоциаций, понятийная карта,6.9. Применение компьютера в контексте моделирования и распознавания взаимных располопрактические работы на местности, моделирование,межпредметные и внутрипредметные связи, аналожений фигур в пространстве с целью формирогия, лабораторные работы, звездный взрыв и др.
вания и развития пространственного мышления.
Виды оценочной деятельности:6.10. Извлечение значимых элементов и инТекущее оценивание, итоговое оценивание, оцеформаций из пространственных геометнивание с использованием компьютера, тестирорических конфигураций и их плоскостных
вание, устные, письменные, практические работы,изображений для решения реальных и/илисмоделированных задач.
метод проектов, исследование и др.
7.1. Распознавание и описание взаимных рас- VII. Перпендикуляр- Упражнения на:положений точек, прямых, фигур на плоскости ность в пространстве – распознавание и описание взаимных рас­и в пространстве, плоскостей в пространстве • Перпендикулярные положений точек, прямых, фигур на плоскости ив контексте отношения перпендикулярности в прямые в пространс- в пространстве, плоскостей в пространстве в конреальных и/или смоделированных ситуациях. тве, свойства, признак. тексте отношения перпендикулярности в пространстве;7.2. Моделирование, используя адекватные
• Прямая, перпенди– моделирование, используя адекватные материаматериалы, различные взаиморасположения кулярная плос­кости,лы, различные взаиморасположения точек,точек, прямых, фигур на плоскости и всвойства, признак.

28
29

30
31

1
2
3
7.10. Вычисление длин отрезков и великонкретного случая с практическим уклоном,чин углов на плоскости и в пространстве
контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная
(угол между двумя прямыми, угол между
карта, моделирование, практические работы на местности, межпредметные и внутрипредметные связи, анапрямой и плоскостью, угол между двумя
плоскостями, двугранный угол) в реальлогия, лабораторные работы, звездный взрыв и др.
Виды оценочной деятельности:ных и/или смоделированных ситуациях.
7.11. Обоснование заданного или поТекущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание
лученного геометрического результатас использованием компьютера, тестирование, устные,посредством аргументирования, доказа­письменные, практические работы, метод проектов, истельства.
следование и др.
Упражнения на:
8.1. Распознавание и классификация VIII. Геометрическиепо различным критериям изученных ти- преобразования в про- – распознавание и классификации по различным критериям изученных типов геометрических преобразовапов геометрических преобразований в странстве
прост­ранстве в реальных и/или смоде- • Изометрические преоб- ний в пространстве;разования в пространс- – использование терминологии, адекватной гео­лированных ситуациях.
метрическим преобразованиям в пространстве в раз8.2. Использование терминологии, адек- тве.
личных контекстах;ватной геометрическим преобразованиям • Симметрия относи– моделирование геометрических преобразований вв прост­ран­стве в различных контекстах. тельно точки.
• Осевая симметрия.                 пространстве, используя адекватные материалы, в том
8.3. Применение геометрических
числе, компьютер;• Симметрия относипреобразо­ваний в пространстве и их
– обоснование заданного или полученного геометричессвойств в разли­чных областях (на прак- тельно плоскости.
• Параллельный перенос. кого результата, используя аргументы, доказательства;тике, в технике, в искусстве).
– изображение на плоскости геометрических конфигу• Подобие.
8.4. Моделированиегеометрических
• Поворот.
раций, полученных в результате применения геометрипреобразований в пространстве, исческих преобразований в пространстве и их свойств;пользуя адекватные материалы, в том– применение геометрических преобразований в прочисле, моделирование реальных ситуастранстве и их свойств в различных контекстах.
ций из окружающей действительности.
Методы и виды учебной деятельности:8.5. Обоснование заданного или полуМетод упражнений, доказательство,обучение с поченного геометрического результата,мощью компьютера, дидактические игры, проблемсвязанного с геометрическими преобраное обучение, исследование конкретного случая сзованиями в прост­ранстве используя арпрактическим уклоном, контрпримеры, матрица
гументы, доказательства.

1
2
3• Расстояние от точ- прямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоспространстве, плоскостей в пространстве вкостей в пространстве в контексте отношения перки до прямой, отконтексте отношения перпендикулярности вточки до плоскости, пендикулярности в пространстве;пространстве.
7.3. Изображение на плоскости плоских и/или от прямой до плос- – изображение на плоскости плоских и/или пространственных геометрических конфигураций в контексте
пространственных геометрических конфигура- кости.
отношения перпендикулярности в пространстве;ций в контексте отношения перпендикулярнос- • Теорема о трехперпендикулярах. – применение признаков перпендикулярности пряти в пространстве.
7.4. Применение признаков перпендикулярнос- Обратная теорема. мых, прямых и плоскостей, плоскостей;ти прямых, прямых и плоскостей, плоскостей • Перпендикуляр- – распознавание плоских фигур в составе пространственных фигур в контексте отношения перпендикупри решении задач в реальных и/или смодели- ные плоскости,сво­й­ст­ва, признак. лярности впространстве;рованных ситуациях.
• Ортогональные – выявление аналогий между свойствами геометри7.5. Распознавание плоских фигур в составе
проекции точек, от­ ческих фигур на плоскости и в пространстве в конпространственных фигур в контексте отношения перпендикулярности в реальных и/или резков, прямых на тексте отношения перпен­дикулярности и их использование при решении задач;плоскость.
смоделированных ситуациях.
7.6. Выявление аналогий между свойствами гео- • Угол между пря- – применение свойств плоских геометрических фиметрических фигур на плоскости и в пространс- мой и плоскостью. гур в контексте отношения перпен­ди­кулярности втве в контексте отношения перпендикулярности • Двугранный угол. пространстве в различных кон­текстах;– вычисление длин отрезков и величин углов наи их использования при решении задач.
плоскости и в пространстве (угол между двумя пря7.7. Применение свойств плоских геометри­мыми, угол между прямой и плоскостью, угол между
ческих фигур в контексте отношения перпендидвумя плоскостями, двугранный угол);кулярности в пространстве в различных кон– составление и решение задач на отношение перпентекстах.
дикулярности в пространстве из действительности
7.8. Извлечение значимых элементов и информаи/или из других областей;ций из пространственных геометри­ческих конфи– обоснование заданного или полученного геометригураций и их плоскостных изображений для реческого результата посредством аргументирования,шения реальных и/или смоделированных задач.
доказательства.
7.9. Применение компьютера в контексте модеМетоды и виды учебной деятельности:лирования и распознавания взаимных распоМетод упражнений, доказательство, обучение с положений фигур в пространстве с целью формощью компьютера, дидактические игры, проблеммирования и развития пространственногоное обучение, групповое обучение, исследование
мышления.

32
33

2

XII класс

3ассоциаций, понятийная карта, моделирование, практические работы на местности, моделирование, аналогия, межпредметные и внутрипредметные связи, звездный взрыв и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, итоговое оценивание, оце­ни­вание с использованием компьютера, тести­рование,устные, письменные, практические ра­бо­ты, метод проектов, исследования и др.

ние, исследование конкретного случая с практическим уклоном,контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная карта, моделирование, практические работы на местности, межпредметные ивнутрипредметные связи, аналогия, звездный взрыв и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание сиспользованием компьютера, тестирование, устные, письменные,практические работы, метод проектов, исследование и др.
2.1. Распознавание определен- II. Определенный ин- Упражнения на:теграл. Приложения – распознавание определенного интеграла;ного интеграла в различных
• Понятие определен- – вычисление определенных интегралов, используя свойства иконтекстах.
таблицу неопределенных интегралов, методы интегрирования
2.2. Вычисление определенных ный интеграл.
(интегри­рование по частям, замена переменной);интегралов, используя свойства, • Свойства.
• Формула Ньютона- – применение формулы Ньютона-Лейбница при вычислении опформулу Ньютона-Лейбница.
ределенных интегралов;2.3. Геометрическое трактова- Лейбница.
• Вычисление площа- – обоснование полученного результата отно­сительно определенние определен­ного интеграла
неотрицательной непреры­вной дей с помощью интег- ных интегралов посред­ством аргументирования, доказательства;– применение определенных интегралов в различных областях;рала.
функции.
2.4. Распознавание подграфика • Объем тела вращения. – применение геометрической трактовки определенного интеграла неотрицательной непрерывной фун­кции.
функции в различных контекМетоды и виды учебной деятельности:стах.
Метод упражнений, доказательство, обучение с помощью
2.5. Вычисление площади фигукомпьютера, дидактические игры, проблемное обучение,ры и объема тела вращения, исисследование конкретного случая с практическим уклоном,пользуя определенный интеграл.
понятийная карта, моделирование, практические работы на
2.6. Применение первообразместности, межпредметные и внутрипредметные связи, аналоных, неопреде­лен­ных и опредегия, лабораторные работы, звездный взрыв и др.
ленных интегралов в реальных
Виды оценочной деятельности:и/или смоделированных ситуаТекущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание сциях.
использованием компьютера, тестирование, устные, письменные,практические работы, метод проектов, исследование и др.

ределенный интеграл, в различ­ – интегрирование поных контекстах.
частям.
1.5. Анализ решения задач наперво­образные, неопределенные
интегралы в контексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.

Субкомпетенции
Содержание
Виды учебной и оценочной деятельности (рекомендуемые)1
2
3
I. Первообразная. Упражнения на:
1.1. Распознавание и применеНеопределенный – распознавание и определение первообразной функции и/илиние перво­образ­ной функции внеопределенного интеграла;интеграл
различных кон­текстах.
• Понятие первообразная. – вычисление неопределенных интегралов, используя свойства
1.2. Вычисление неопределенных интегралов, используя • Неопределенный ин- и таблицу неопределенных интегралов, методы интегрирования
(интегри­рование по частям, замена переменной);свойства и таблицу неопреде­ теграл.
– определение первообразной заданной функции или функции,ленных интегралов, методы ин- • Свойства.
тегрирования (интегрирование • Таблица неопределен- первообразная которой удовлет­воряет заданным условиям;– обоснование результата, относящегося к первообразным, неоппо частям, замена пере­менной). ных интегра­лов изу1.3. Определение первообраз- ченных элементарных ределенным интегралам, посредством аргументирования, доказательства;ной заданной функции или фун- фун­кций.
кции, первообразная кото­рой •  Методы интегриро- – анализ решения проблем, проблемных ситуаций на определение
первообразных, неопределенных интегралов в контексте корректудовлетворяет заданным усло- вания:– метод замены пере- ности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.
виям.
Методы и виды учебной деятельности:1.4. Использование термино- менной
Метод упражнений, алгоритмический метод, обучение с помологии и символики, адекватнойщью компьютера, дидактические игры, проблемное обучепонятиям первооб­разная, неоп-1
8.6. Изображение на плоскости геомет­ри­ческих конфигураций, полученных врезуль­тате применения геометрических
прео­бра­зований в пространстве.
8.7. Применение геометрических
преобразо­ваний в пространстве и ихсвойств в контексте решения реальных
и/или смоделированных задач.

34
35

1
2
3
используя статистические и вероят- арифметическое, взвешен- Методы и виды учебной деятельности:ное среднее арифметичес- Метод упражнений, обучение с помощью компьютера,ностные понятия.
эксперимент, проблемное обучение, исследование конк3.10. Учет и алгоритмизация данных кое, медиана, мода).
ретного случая с практическим уклоном, контрпримеры,посред­ством информационных и ком- • Элементы финансовомуникационных технологий.
го исчисления: проценты, матрица ассоциаций, понятийная карта, моделирование,3.11. Применение алгоритмов, адек- доходы, НДС, стоимость, практические работы, межпредметные и внутрипредприбыль, типы кредитов, метные связи, аналогия, звездный взрыв и др.
ватных финансовому исчислению,статистике или вероятности при ис- бюджет, семейный бюд- Виды оценочной деятельности:следовании конкретных случаев изжет, личный бюджет.
Текущее оценивание, итоговое оценивание, оцениваниес использованием компьютера, тести­рование, устные,практики и решении задач.
письменные, графические, практические работы, метод
проектов, иссле­дование и др.
Упражнения на:
IV. Многогранники
4.1. Распознавание и классифицирование многогранников по различным • Призма. Элементы. Клас- – распознавание изученных многогранников и/или ихэлементов;критериям в реальных и/или смодели- сификация.
• Сечения, параллельные – изображение на плоскости изученных гео­рованных ситуациях.
основанию. Диагональные метрических тел, используя чертежные инстру­менты,4.2. Идентифицирование элементов плоских геометрических фигур на сечения. Сечения, содер- компьютер и применение получен­ных представленийпри решении задач на вычисление площадей и/илижащие высоту.
пространственных геометрических
объемов;конфигурациях в реальных и/или смо- • Площади.
– вычисление площадей поверхностей и объемов мно• Объем.
делированных ситуациях.
гогранников, при решении задач в реальных и/или смо4.3. Применение свойств многогран- • Пирамида. Элементы.
делированных ситуациях;Классификация.
ников при решении задач.
4.4. Использование алгоритмов, адек- • Сечения, параллельные – составление и решение простых задач на основании
основанию. Диагональные заданной геометрической модели;ватных вычислению площадей поверхностей и объемов многогранни- сечения. Сечения, содер- – анализ и интерпретирование полученных результатовпри решении практических задач с применением изуков, при решении задач в реальных и/ жащие высоту.
ченных многогранников и единиц измерений, адекват• Площади.
или смоделированных ситуациях.
ных площадям и объемам;4.5. Извлечение информаций, содержа- • Объем.
– обоснование полученного или данного математичесщихся в данной геометрической конфи- • Усеченная пирамида.
кого результата относительно много­гранников посредсгурации, для доказательства ее свойств Элементы. Классификатвом аргументирования, доказательства;и вычисления длин, площадей, объемов. ция.

2
1
3
3.1. Распознавание и классификация III. Элементы теории ве- Упражнения на:– распознавание и классификацию событий;роятностей
со­бытий по различным критериям.
3.2. Вычисление вероятности события • Событие. Классифика- – выполнение операций с событиями;– сравнение событий по признаку шансов их реализация событий.
в реальных и/или смоделированных
ситуациях, используя отношение: коли- • Классическое определе- ции;чество благо­прият­ных событию случа- ние вероятности события – вычисление вероятности события в реальных и/илисмоделированных ситуациях, используя отношение: коев/ количество всех возможных случаев. • Случайные события.
3.3. Приведение примеров дискрет- Операции со случайными личество благоприятных событию случаев/ количество
всех возможных случаев.
ных слу­чайных величин, включитель- событиями.
но из окру­жающей действительности. • Независимые случайные – приведение конкретных примеров дискретных слусобытия. Условная веро- чайных величин, включительно из окру­жающей дейс3.4. Определение математического
твительности;ожидания дискретной случайной ве- ятность.
– классифицирование данных по разным критериям;• Случайная величина.
личины.
• Математическое ожида- – приведение примеров дискретных случайных вели3.5. Использование терминологии,адекватной элементам теории вероят- ние случайной величины. чин, включительно из окружающей дей­ствительности;– представление результатов наблюдений, физи­ческих,ностей и мате­матической статистики вЭлементы математичес- экономических, социальных явлений, посредством риразличных кон­текстах.
сунков, таблиц, графиков, диа­грамм и извлечение инкой статистики
3.6. Распознавание и применение осформации из статис­тических таблиц, списков, диановных понятий математической ста- • Основные понятия.
• Учет и группировка дан- грамм.
тистики в различных контекстах.
– истолкование и перенесение на матема­тический языкных.
3.7. Представление результатов наблюдений, физических, экономичес- • Графическое изображе- практических ситуаций посред­ством статистических иких, социальных явлений, посредством ние статистических дан- вероятностных понятий;рисунков, таблиц, графиков, диаграмм ных (гистограмма, поли- – выполнение экспериментов;и извлечение информаций из статис- гон абсолютных частот, – статистические наблюдения (простые);тических таблиц, списков, диаграмм. полигон относительных – улучшение полученных результатов путем увеличения
3.8. Истолкование и перенесение на частот, диаграмма в виде количества проб;вертикальных отрезков, – применение информационных и комму­никативных
математический язык практических
ситуаций посредством статистических диаграммы с решетками, технологий для учета и алго­рит­мизации данных;структурные диаграммы). – применение алгоритмов, адекватных финан­совому иси вероятностных понятий.
3.9. Учет и интерпретирование коли­ • Средние величины ста- числению, статистике или вероятности при исследоватистических рядов (среднее нии конкретных случаев и решении задач.
чественных, качественных данных,

36
37

1
2
3
5.6. . Выполнение приблизительных оценок • Прямой круговой усе- – обоснование полученного или данного мате­длин отрезков, величин углов, периметров, ченный конус. Элемен- матического результата относительно тел вращ­енияпосредством аргументирования, дока­зательства;площадей и объемов в геометрических телах ты.
в реальных и/или смоделированных ситуа- • Сечения, параллель- – построение фрагментов дедуктивных рассуж­ные основанию. Осевые дений, решение задач на доказательство.
циях.
Методы и виды учебной деятельности:5.7. Интерпретирование практических си- сечения.
Метод упражнений, проблемное обучение, алгориттуаций, используя тела вращения и их эле- • Площади.
мический метод, доказа­тельство, групповое обуче• Объем.
менты.
ние, дидактические игры, исследование конкретного
5.8. Анализ решения задач на тела вращения • Сфера. Элементы
случая с практи­ческим уклоном, понятийная карта,в контексте корректности, простоты, четкос- (центр, радиус, диати и значимости полученных результатов.
метр). Сечение сферы модели­рование, практические и лабораторные работы, межпредметные и внутрипредметные связи, ана5.9. Проектирование и реализация простых плоскостью.
логия, практические и лабораторные работы, обучепредпринимательских проектов, используя • Площадь сферы.
ние с помощью компьютера и др.
• Шар. Объем шара.
усвоенные знания о телах вращения.
• Сечение конической Виды оценочной деятельности:поверхности плоскос- Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценитью. Понятия окруж- вание с использованием компьютера, тестирование,ность, эллипс, гипер- устные, письменные, практические работы, метод
проектов, исследование и др.
бола, парабола (какгеометрические места
точек). Примеры изокружающей действительности.

3– построение фрагментов дедуктивных рассуждений, решение задач на доказательство.
Методы и виды учебной деятельности:Метод упражнений, проблемное обучение, алгоритмический метод, дока­зательство, дидактические игры, исследование конкретного случая спрактическим уклоном, понятийная карта, моделирование, практические работы на местности межпредметные и внутрипредметные связи, аналогия,практические и лабораторные работы, обучение спомощью компьютера и др.
Виды оценочной деятельности:– Текущее оценивание, итоговое оценивание, оцени­вание с использованием компьютера, тести­рование,устные, письменные, практические работы, метод
проектов, исследование и др.
V. Тела вращения Упражнения на:
5.1. Распознавание и классифицированиетел вращения по различным критериям в ре- • Прямой круговой ци- – распознавание изученных тел вращения и/или ихэлементов;альных и/или смоделированных ситуациях. линдр. Элементы.
5.2. Идентифицирование элементов плоских • Сечения, параллель- – изображение на плоскости изученных геометричесгеометрических фигур на пространственных ные основанию. Осевые ких тел, используя чертежные инструменты, компьюгеометрических конфигурациях в реальных сечения. Сечения, па- тер и применение полученных представлений при решении задач на вычисление площадей и/или объемов;раллельные оси.
и/или смоделированных ситуациях.
– вычисление площадей поверхностей и объемов
• Площади.
5.3. Применение свойств тел вращения визученных тел вращения при решении задач в ре• Объем.
различных контекстах.
5.4. Использование алгоритмов, адекватных • Прямой круговой ко- альных и/или смоделированных ситуациях;– составление и решение простых задач на осно­вычислению площадей поверхностей и объе- нус. Элементы.
• Сечения, параллель- вании заданной геометрической модели;мов тел вращения, при решении задач.
5.5. Извлечение информации, содержащейся ные основанию. Осевые – анализ и интерпретирование полученных результатов при решении практических задач с применев данной геометрической конфигурации, для сечения.
нием изученных тел вращения и единиц измерений,доказательства некоторых ее свойств и вы- • Площади.
адекватных площадям и объемам;• Объем.
числения длин, площадей, объемов.

1
2
4.6. Выполнение приблизительных оценок • Сечения, параллельдлин отрезков, величин углов, периметров, ные основанию. Диаплощадей и объемов в геометрических телах гональные сечения.
в реальных и/или смоделированных ситуа- Сечения, содержащие
высоту.
циях.
4.7. Интерпретирование практических си- • Площади.
туаций, используя многогранники и их эле- • Объем.
менты.
4.8. Анализ решения задач на многогранники в контексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.
4.9. Проектирование и реализация простых
предпринимательских проектов, используя
усвоенные знания о многогранниках.

1
2
II. Множества
2.1. Распознавание в окружающей действительности и/или в математических • Понятие множесзадачах изученных понятий, отношений, тво. Числовые мносвойств, специфичных теории множеств. жества. Промежут2.2. Переписывание и редактирование ки действительных
условия, решения задачи, используя тер- чисел.
• Операции сминологию, адекватную теории мномножествами
жеств.
2.3. Представление множества и опера- (объединение,ций с множествами (объединение, пере- пересечение,разность, декартово
сечение, разность, декартово произведение) анали­тическим, синтетическим и произведение).
графическим (диаграммы, таблицы) способами.
2.4. Применение терминологи и символики, адекватной теории множеств, в реальных и/или смоделированных ситуациях.
2.5. Выполнение операций (объединение,пересечение, разность, декартово произ­ведение) с числовыми множествами N, Z,
Q, R и их подмножествами (в том числе счисловыми промежутками).
2.6. Использование элементов теории
множеств в реальных ситуациях и/или приизучении других школьных дисциплин.
2.7. Сортирование и классифицирование объектов по некоторым критериям,определение критерия, по которому отбирается множество объектов в реальных ситуациях и/или смоделированных
ситуациях.
39

3Упражнения на:– представление множества и операций с множествами
аналитическим, синтетическим и графическим (диаграммы, таблицы) способами;– определение элементов множества, заданного различными способами;– применение терминологии и символики, адек­ватной теории множеств, в реальных и/или математических контекстах;– определение множества, заданного посредством указанного свойства;– применение отношения принадлежности, отношения
включения и равенства множеств в реальных ситуациях,при решении задач;– выполнение операций с различными типами множеств;– сортирование и классифицирование объектов по различным критериям, определение критериев, по которым
отбираются соответствующие множества;– выявление межпредметных и внутрипред­метных связейв контексте применения элементов теории множеств;– применение элементов теории множеств в реальной
действительности и в других областях.
Методы и виды учебной деятельности:Метод упражнений, алгоритмический метод, групповое
обучение, исследование конкретного случая спрактическим уклоном, дидактические, ролевые, симулятивные игры, контрпримеры, матрица ассоциаций,понятийная карта, наблюдение, практические работы и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, оценивание с использо­ванием
компьютера, тестирование, устные, пись­менные,графические и практические работы и др.

Субкомпетенции
Содержание
Виды учебной и оценочной деятельности (рекомендуемые)1
2
3
1.1. Распознавание в различных си- I. Действительные Упражнения на:числатуациях элементов изученных чис– распознавание натуральных, целых, рацио­нальных, ирра• Действительные чис- циональных, действительных чи­сел;ловых множеств N, Z, Q, R.
1.2. Осуществление перехода от од- ла. Mножества N, Z, Q, – упорядочивание, сравнение и изображение на координатной формы записи действительных R. Квантор общности ной прямой действительных чисел;и квантор существочисел к другой.
– записывание действительных чисел в различных формах;вания.
1.3. Применение терминологии,– определение, какому множеству чисел, объектов принадлеадекватной понятию числа в различ- • Операции над дейс- жит заданное число, заданный объект;твительными числами – операции с числами и применение в вычислениях соотных контекстах.
(сложение, вычитание, ветствующих алгоритмов и свойств;1.4. Применение в вычислениях
свойств операций над действитель- умножение, деление,– вычисление значений выражений, содержащих логарифмы;ными числами: сложения, вычита- возведение в степень с – выполнение приблизительных оценок и аппроксимаций;рациональным и дейс- – применение свойств действий с действитель­ными числами;ния, умножения, деления, возведения в степень с рациональным и твительным показате- – использование терминологии и символики, адекватной подействительным показателем, кор- лем). Свойства.
нятию число в различных контекстах, в том числе, при обней n-й степени, n∈N, n ≥ 2, n лога- • Корни. Свойства.
щении.
• Логарифм положитель- Методы и виды учебной деятельности:рифма положительного числа.
1.5. Агументирование полученных ного числа. Свойства. Метод упражнений, проблемное обучение, групповое обурезультатов при выполнении вычис- • Модуль действитель- чение, алгоритмический метод, исследование конкретного
лений с действительными числами ного числа. Свойства: случая с практическим уклоном, дидактические игры, аналов контексте корректности, просто- |a|≥0;гия, контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная карта,ты, четкости и значимости этих ре- |a| = |–a|;звездный взрыв и др.
|a2| = |a|2 = a2;зультатов.
Виды оценочной деятельности:1.6. Применение алгоритмов вычис- |ab| = |a| . |b|;Первичное оценивание, текущее оценивание, оценивание слений с действительными числами виспользованием компьютера, тестирование, устные, пись.
практических ситуациях.
менные, графические и практические работы и др.

X класс

Гуманитарный профиль

38

40
41

1

III.5. Показательная функция. Логарифмическая функция.
• Понятие показательная функция. График показательной функции.
• Свойства показательной функции.

2
3• Неравенства I степени с одним неизвестным и приводимые к ним. – исследование свойств функций,• Системы двух уравнений I степени с одним неизвестным, с дву- имеющих локальный или глобальмя неизвестными. Методы решения систем уравнений (методный характер, в реальных и/или смоподстановки, метод сложения).
делированных ситуациях;• Системы неравенств I степени с одним неизвестным.
– решение указанных в куррикулуме
• Уравнение I степени с одним неизвестным, содержащие модуль. типов уравнений, неравенств, систем
адекватными методами.
III.3. Функция II степени
Методы и виды учебной деятельнос• Понятие функция II степени. График функции II степени.
ти:• Свойства функции II степени.
Метод упражнений, моделирова• Уравнения II степени и приводимые к ним. Классификация
ние, алгоритми­ческий метод, рабоуравнений II степени.
та с учебником, групповое обучение,• Решение уравнений II степени.
исследование конкретного случая с• Соотношения Виета.
практическим уклоном, дидактичес• Неравенства II степени и приводимые к ним.
• Системы двух алгебраических уравнений I степени с двумя не- кие, ролевые, симулятивные игры,контрпримеры, матрица ассоциаизвестными; системы двух алгебраических уравнений одно изкоторых уравнение I степени с двумя неизвестными, а второе – ций, понятийная карта, обучение спомо­щью компьютера, наблюдение,уравнение II степени с двумя неизвестными.
• Рациональные уравнения и неравенства с одним неизвестным. практические работы, графические
работы, метод ВВВ, взаимо­обучение,III.4. Степенная функция.
звездный взрыв и др.
Функция радикал
Виды оценочной деятельности:• Понятие степенная функция. График степенной функции.
Текущее оценивание, итоговое оце• Свойства степенной функции.
нивание, оценивание с использова• Понятие функция радикал. График функции радикал. Свойства
нием компьютера, тестирование, устфункции радикал.
ные, письменные и практи­ческие ра• Иррациональные уравнения типа:боты, метод проектов, дидактические
.
игры, графические работы и др.

123Упражнения на:
III. Функции.
3.1. Распознавание функциональных заУравнения. Неравен- – распознавание функциональных зависимостей ввисимостей в реальных и/или смоде­ли­различных контекстах;ства. Системы
рованных ситуациях.
3.2. Представление функциональных зави­ III.1. Понятие фун- – представление функциональных зависимостей, втом числе из окружающей действительности, различкция
симостей, в том числе из окружающей дейсными способами (аналитическим, синтети­ческим итвительности, различными способами (ана- • Понятие функция.
литическим, синтетическим и графическим, Способы задания фун- графическим, диаграммами, таблицами);– распознавание изученной функции по задан­номукции.
диаграммами, таблицами).
графику и/или аналитическому способу задания;3.3. Выведение свойств числовых функций • График функции.
посредством чтения графиков и/или соот- • Свойства функции: – чтение графиков функций и/или аналитических
формул для выведения свойств этих функций;монотонность, нули,ветствующих формул.
– применение алгоритма исследования функции в
3.4. Применение алгоритма исследования экстремумы.
различных контекстах;функции при решении проблем, проблем– применение терминологии и символики, адек­ных ситуаций, при изучении некоторых
ватной понятиям: функция, уравнение, неравенство,физических, химических, биологических,система, в том числе в общении;социальных, экономических процессов,– обоснование и аргументирование полученных ресмоделированных посредством функций.
зультатов и использованных технологий;3.5. Изложение на математическом язы– классифицирование изученных функций и ихке конкретных ситуаций из повседневной
свойств по различным критериям;жизни, которые описываются функциями I,
II степеней, степенной функцией, функцией III.2. Функция I сте- – перевод на математический язык конкретных ситуапениций из различных областей, которые описы­ваются
радикал, прямой пропорциональности, обфункциями I, II степеней, степенной функцией, функратной пропорциональности, показатель­ • Понятие функция Iстепени.
цией радикал, прямой пропорцио­нальностью, обратной, логарифмической функциями.
3.6. Классифицирование изученных функ- • График функции I сте- ной пропорциональностью, по­ка­зательной, логарифпени.
мической функциями;ций по различным критериям.
3.7. Решение изученных типов уравнений, • Свойства функции I – распознавание и классифицирование изученных
степени.
типов уравнений, неравенств, систем по различным
неравенств, систем.
3.8. Моделирование ситуаций из повсед­ • Уравнения I степени с критериям;невной жизни посредством изученных ти- одним неизвестным, с – моделирование конкретных простых ситуаций издвумя неизвестными и жизни посредством изученных функций, уравнений,пов уравнений, неравенств, систем.
приводимые к ним.
неравенств, систем;

42
43

2

3
– выполнение тригонометрических вычислений в различных контекстах, используя таблицы значе­ний, формулы, калькулятор;– охарактеризование геометрических конфигу­раций посредством
изученных элементов триго­нометрии;– выполнение тригонометрических вычислений, используя адекватные тригонометрические формулы и тождества;– анализ и интерпретирование результатов, пол­у­ченных при решении задач с применением элементов тригонометрии.
Методы и виды учебной деятельности:Моделирование, метод открытий, метод упраж­нений,алгоритмический метод, работа с учебником, групповое обучение,исследование конкретного случая с практическим уклоном,дидактические, ролевые, симулятивные игры, контрпримеры,матрица ассоциаций, понятийная карта, обучение с помощью компьютера, наблюдение, практические работы, графические работы,метод ВВВ, взаимообучение, звездный взрыв и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание сиспользованием компьютера, тестирование, устные, письменныеи практи­чес­кие работы, метод проектов, дидактические игры,графические работы и др.
V. Геометрические фигуры Упражнения на:
5.1. Распознавание вна плоскости
– распознавание в различных контекстах и классифицирование поразличных контекстах иклассифицирование по • Понятие математическое разным критериям изу­ченных геометрических фигур и их свойств;разным критериям изу- высказывание. Истинностное – определение взаимных расположений изучен­ных геометричесченных геометрических значение высказывания. По- ких фигур в реальных и/или смоделированных ситуациях;нятия: аксиома, теорема, об- – выполнение приблизительных оценок и аппроксимаций, исфигур и их свойств.
пользуя изученные элементы метрической геометрии;5.2. Опредлеление взаим- ратная теорема.
– изображение на плоскости изученных гео­метрических фигур, вных расположений изучен- • Основные геометричесных геометрических фигур кие понятия (точка, прямая, том числе, используя адек­ватные чертежные инструменты;в реальных и/или смодели- плоскость, расстояние, вели- – применение терминологии и изученной гео­метрической симвочина угла).
лики, в том числе, в процессе общения;рованных ситуациях.

1значений, формулы, калькулятор.
4.4. Применение полученных тригонометри­ческих знаний для определения величин углов (вградусах, радианах) в реальных и/или смоделированных ситуациях.
4.5. Перевод на тригонометрический и геометрический язык различных
практи­ческих задач и/илизадач из других областейи решение этих задач.
4.6. Анализ и интерпретирование резуль­татов,полученных при решении
задач с применением элементов тригонометрии.

2
3• Понятие логарифмическая функ­ция. График
логарифмической функции.
• Свойства логарифмической функ­ции.
• Показательные уравнения типа:1) a f (x) = a g (x) и приводимые к ним;2) показательные уравнения, приводи­мые кизученным алгебраи­ческим уравнениям.
• Логарифмические уравнения типа:1. loga f (x) = b;
2. loga f (x) = loga g(x);3. loga f (x) ± loga g(x) = loga h(x), a > 0, a ≠ 1;
4. Логарифмические уравнения, приводимые кизученным алгебраи­ческим уравнениям.
• Системы показательных и логарифмических
уравнений, содержащие изученные типы показательных и/или логарифми­ческих уравнений.
4.1. Распознавание
IV. Элементы тригонометрии
Упражнения на:элементов тригоно- • Тригонометрическая окружность. Преобра- – распознавание изученных элементов триго­метрии в различных зование единиц измерения углов из градусов в нометрии в различных контекстах;контекстах.
радианы и обратно.
– преобразование единиц измерения углов из
4.2. Применение эле- • Основные тригонометрические тождества. градусов в радианы и обратно;ментов тригономет- • Формулы приведения.
– изображение на тригонометрической окруж­ностирии при решении
• Формулы суммы.
углов различных величин;прямоугольного тре- • Формулы двойного угла.
– применение элементов тригонометрии в различных
угольника.
• Таблица значений синуса, коси­нуса, тангенса, контекстах;4.3. Выполнение
котангенса часто ис­поль­зуемых углов.
– применение терминологии и символики, адек­тригонометрических
ватной элементам тригонометрии, в том числе в обвычислений в разщении;личных контекстах,– применение элементов тригонометрии при ре­ше­используя таблицынии прямоугольного треугольника;

1

44
45

XI класс

3– решение простых текстовых и практических задач из различных областей, содержащих элементы комбинаторики;– решение уравнений, содержащих элементы комбинаторики.
Методы и виды учебной деятельности:Метод упражнений, алгоритмический метод, групповое обучение,исследование конкретного случая с практическим уклоном, матрица
ассоциаций, понятийная карта, практические работы и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание с использованием
компьютера, тестирование, устные, письменные, практические работы и др.

Субкомпетенции
Содержание
Виды учебной и оценочной деятельности (рекомендуемые)1
2
3
1.1. Распознавание последова- I. Последова- Упражнения на:тельности
– распознавание и приведение примеров после­довательностей, арифметительностей, арифметических игеометрических прогрессий в действительных ческих и геомет­ри­ческих прогрессий в различных контек­стах;– построение примеров последовательностей, арифме­тических и геометразличных контекстах.
чисел
1.2. Классификация последо- • Понятие после- рических прогрессий;вательностей по критериям: довательность – классифицирование и охарактеризование после­довательностей, подконечные, бесконечные, моно- действительных последовательностей по различным критериям;чисел.
– анализирование и интерпретирование резуль­татов, полученных при ретонные.
1.3. Охарактеризирование
• Конечные и бес- шении задач на применение последовательностей, прогрессий;последо­ва­тель­нос­тей, исполь- конечные после- – применение последовательностей, прогрессий в различных областях;зуя различные представления довательности. – применение терминологии, относящейся к понятию последователь(формулы, графики ) и/или их Монотонные пос- ность в различных контекстах, в том числе, при общении.
свойства.
ледовательности. Методы и виды учебной деятельности:1.4. Анализ и интерпретиро- •  Арифметичес- Метод упражнений, обучение с помощью компьютера, дидактические
вание резуль­татов, получен- кая прогрессия. игры, алгоритми­ческий метод, проблемное обучение, исследо­­вание конкретного случая с практическим укло­ном, контрпримеры, матрица ассоных при решении задач нациаций, поня­тийная карта, практические работы и др.

1
2• Размещения.
6.3. Распознавание в раз• Сочетания.
личных контекстах и классифицирование по разным • Свойства сочекритериям изученных типов таний.
комбинаторных задач.
• Уравнения, со6.4. Применение перестано- держащие элевок, размещений, сочетаний и менты комбинаих свойств при решении урав- торики.
нений, практических задач,задач из других областей.

1
2
3
5.3. Изображение на плоскости • Треугольники. Классификация треугольников. – анализ и интерпретирование полученизученных геометрических фи- • Конгруэнтные треугольники. Признаки. Ме- ных результатов при решении практичесгур, в том числе, используя адек- тод конгруэнтных треугольников. Приложения. ких задач с использованием изученных
элементов геометрии;ватные чертежные инструменты. • Замечательные линии в треугольнике.
• Подобие треугольников. Признаки. Метод – классифицирование изученных геомет5.4. Применение в различных
рических фигур по различным критериконтекстах свойств изученных подобных треугольников. Приложения.
• Метрические соотношения в прямоуголь- ям;геометрических фигур.
– определение истинностного значения
5.5. Моделирование, в геомет- ном треугольнике.
матема­тического высказывания, испольрическом смысле, ситуаций из • Выпуклые четырехугольники.
зуя аргументы и/или доказательства.
• Выпуклые многоугольники.
окружающей действительносМетоды и виды учебной деятельности:ти и/или из других областей, ис­ • Правильные многоугольники.
Моделирование, метод упражнений,пользуя, в том числе, компьютер. • Окружность. Хорды. Дуги. Круг.
5.6. Разрабатывание алгоритма • Взаимные расположения прямой и окруж- групповое обучение, исследование
конкретного случая с практическим
решения геометрической задачи ности.
уклоном, дидактические, ролевые, симуи решение соответ­ствующей за- • Центральный угол. Вписанный угол.
дачи на основании раз­работан­ • Вписанный треугольник в окружность. Опи- лятивные игры, контрпримеры, матрица
ассоциаций, обучение посредством комсанный треугольник окружности.
ного алгоритма.
5.7. Вычисление длин отрезков, • Площади многоугольных поверхностей для: пьютера, понятийная карта, практические
работы на местности, метод ВВВ, взаимовеличин углов, периметров, пло- треугольника
обучение, звездный взрыв и др.
щадей в реальных и/или смодеформула Герона,,Виды оценочной деятельности:лированных ситуациях, исполь- (Текущее оценивание, итоговое оценизуя адекватные инструменты и);вание, оце­ни­вание с использованием
единицы изме­рения.
5.8. Определение истинностного квадрата, прямоугольника, параллелограма, компьютера, тести­рование, устные,письменные, практические рабо­ты, метод
значения математических выска- ромба, трапеции.
проектов, дидактические игры оценочнозываний, используя аргу­менты и/ • Длина окружности. Площадь круга.
го вида, лабораторные работы и др.
или доказательства.
6.1. Распознавание упорядоченVI. Элементы комбинаторики
Упражнения на:ных множеств в различных кон- • Понятие упорядоченное множество. Понятие – распознавание в различных контекстах итекстах.
факториал.
классифицирование по разным критериям
6.2. Применение факториала при • Основные законы (правила) комбинаторики. изученных типов множеств, упорядоченрешении задач.
• Перестановки.
ных множеств и комбинаторных задач;

46
47

1
2
3
2.7. Применение производных при • Приложения производных вмежпредметные и внутрипредметные связи и др.
изучении физических, социальных, физике, геометрии, экономике, Виды оценочной деятельности:экономических процессов посред- социологии (на простых приме- Текущее оценивание, итоговое оценивание, оцени­ством решения задач на максимум рах).
вание с использованием компьютера, тести­рование,и/или на минимум.
• Задачи на максимум и мини- устные, письменные и практи­ческие работы, метод
мум (простые).
проектов (простых), графи­ческие работы и др.
Упражнения на:
III. Комплексные числа
– выявление необходимости расшерения понятия
3.1. Использование терминологии • Понятие комплексное число.
числа;
адек­ват­ной понятию комплексное Множество C.
• Алгебраическая форма
– использование терминологии адекватной поня­тиючисло, в различных контекстах.
комплексное число, в различных кон­текстах.
3.2. Применение комплексных чи- комплексного числа.
– распознавание действительной и мнимой частей
сел, запи­санных в алгебраической • Арифметические операции
комплексного числа;форме, операций с ними при реше- с комплексными числами,записанными в алгебраической – применение комплексных чисел, записанных внии задач.
алгебраической форме, операций с ними при ре­форме.
3.3. Подбор стратегий для решения задач, содержащих выполнение • Модуль комплексного числа. шении задач;операций с комп­лексными числа- • Решение уравнений II степени с – выполнение операций с комплексными чис­лами;действительными коэффициен- – решение уравнений II степени с действительными
ми.
тами на множестве C.
коэффициентами на множестве C.
3.4. Отбор адекватных алгоритМетоды и виды учебной деятельности:мов для выпол­нения вычислений сМетод упражнений, обучение с помощью компьюкомплексными числами и решения
тера, дидактические игры, алгоритми­ческий меуравнений на множестве C.
тод, проблемное обучение, групповое обучение,3.5. Выявление аналогий между
исследование конкретного случая с практическим
свойствами операций с действиуклоном, матрица ассоциаций, понятийная карта,тельными числами и с комплексмоделирование, межпредмет­ные и внутрипредметными числами и применение такихные связи и др.
аналогий при решении задач.
Виды оценочной деятельности:3.6. Обобщение понятия числа пуТекущее оценивание, итоговое оценивание, оце­тем рас­ши­рения этого понятия отнивание с использованием компьютера, тести­натуральных чисел до комплексрование, устные, письменные работы и др.
ных чисел.

1
2
3Виды оценочной деятельности:применение последовательнос- Свойства. Приложения.
• Геометрическая прогрессия.
Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценитей, прогрессий.
1.5. Применение последоваСвойства. Приложения.
вание с использованием компьютера, тести­рование,тельностей, прог­рессий в разустные, письменные и практи­ческие работы и др.
личных областях.
2.1. Распознавание и примене- II. Дифференцируемые функции. Упражнения на:Применение производнойние правил вычисления произ– распознавание и применение правил вычис­ления
водных в различных контекстах. • Понятие предел функции в точке. производных в различных контек­стах.
2.2. Применение алгоритмов • Понятие производная функции в точке. – построение касательной к графику функции и надифференци­рования при реше- • Задачи из различных областей, при- хождение ее углового коэффициента, вычис­лениении задач и/или при исследова- водящие к понятию производная.
мгновенной скорости тела;нии действительных и смодели­ • Геометрический и физический смыс- – применение алгоритмов дифференцирования прированных процессов.
лы производной. Уравнение касатель- решении задач и при исследовании процессов из
2.3. Исследование полиноми- ной к графику функции в точке.
различных областей;альных функ­ций, используя
– интерпретирование качественных и коли­• Функции, дифференцируемые наизученный алгоритм иссле­чественных функций, используя производную;множестве.
дования функции.
• Таблица производных элементар- – качественное и количественное изучение простых
2.4. Интерпретирование свойств ных функций.
полиномиальных функций, используя изученный
функций, имеющих локальный • Вычисление производных. Правила алгоритм исследования функции;и/или глобальный характер пос- вычисления производных.
– решение простых задач на максимум и минимум
редством производной.
из разных областей, используя производную;• Производная сложной функции
2.5. Применение методов, ос- (композиция не более двух элемен- – применение производных при изучении физичеснованных на применении про- тарных функций).
ких, социальных, экономических процессов посизводной, дифференциала, как • Критические точки. Точки экстре- редством решения простых задач на максимум и/качественно новые методы ис- мума, экстремумы функции.
или на минимум.
следования функции, решения • Свойства дифференцируемых функ- Методы и виды учебной деятельности:теоретических и /или практи- ции: теоремы Ферма.
Метод упражнений, обучение с помощью компьюческих задач.
• Приложения производной 1 поряд- тера, дидактические игры, алгоритми­ческий метод,2.6. Использование механичес- ка в исследовании функции-много- проблемное обучение, иссле­дование конкретного
кого и геомет­рического смыс- член (полиномиальной функции),случая с практическим уклоном, контрпримеры,лов производной при решении графическое изображение функции- матрица ассоциаций, понятийная карта, практичеспростых задач из различных
кие, графические работы, моделирование,многочлен.
областей.

1
2
3
IV. Матрицы. Опреде- Упражнения на:
4.1. Распознавание в различных ситуациях изученных типов матриц, оп- лители. Системы ли- – распознавание в различных ситуациях изучен­ных типов
нейных уравнений матриц, определителей, систем линейных уравнений;ределителей, систем линейных урав– моделирование практических ситуаций, реальных про• Понятие матрица.
нений.
цессов, в том числе из техники и экономики, включая дан4.2. Вычисление определителей второ- Частные случаи.
• Действия с матрицами. ные в таблицы матрич­ного типа;го и третьего порядков.
– вычисление определителей второго, третьего порядков;4.3. Моделирование практических си- • Свойства.
туаций, реальных процессов, в том чис- • Понятие определитель – решение уравнений и систем уравнений, используя алгоритвторого порядка, тре- мы, специфичные вычислению матриц и/или определителей;ле из техники и экономики, включая
– определение условий совместности и/или несовместностьего порядка.
данные в таблицы матричного типа.
4.4. Решение уравнений и систем урав- • Вычисление определи- ти систем линейных уравнений и применение адекватных
нений, используя алгоритмы, специ- телей второго, третьего методов их решения;Методы и виды учебной деятельности:фичные вычислению матриц и/или оп- порядков.
Метод упражнений, обучение с помощью компьюте• Системы линейных
ределителей.
уравнений типа m × n, ра, дидактические игры, алгоритми­ческий метод, про4.5. Определение условий совместблемное обучение, исследо­вание конкретного случая сности и/ или несовместности систем m, n ∈ N*, m, n ≤ 3.
линейных уравнений и применение • Однородные системы практическим уклоном, матрица ассоциаций, понятийная
карта, практические работы, моделирование, межпред­линейных уравнений
адекватных методов их решения.
4.6. Применение изученных алгорит- типа m × n, m, n ∈ N*, метные и внутрипредметные связи, аналогия и др.
Виды оценочной деятельности:m, n ≤ 3.
мов, свойств и правил вычисления
матриц, определителей и систем ли- • Правило Крамера, ме- Текущее оценивание, итоговое оценивание, оцениваниес использованием компьютера, тестирование, устные,нейных уравнений в различных кон- тод Гаусса.
письменные работы, метод проектов, исследование и др.
текстах.
V. Параллельность Упражнения на:
5.1. Описание взаимных расположе– описание взаимных расположений точек, прямых, фив пространствений точек, прямых, фигур на плоскости,плоскостей и тел в пространстве в реаль- • Аксиомы плоскости. гур на плоскости, плоскостей и тел в пространстве;– моделирование взаимных расположений точек, прямых,ных и/или смоделированных ситуациях. Свойства пло­с­кости.
фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей и тел в• Взаимное располо5.2. Построение моделей взаимных
пространстве;расположений то­чек, прямых, фигур жение прямых в про– изображение на плоскости плоских и/или пространна плоскости и в прост­ранстве, плос- странстве.
костей и тел в прост­ранстве, исполь- • Параллельные пря­мые ственных геометрических конфигу­раций, используя адекватные инструменты;в пространстве.
зуя адекватные мате­риалы.

1
2
3
5.3. Изображение на плоскости плоских и/или • Взамное расположе- – применение признаков параллельности прямых,пространственных геометрических конфигу- ние прямой и плос- прямых и плоскостей, плоскостей при решении задач,в реальных и/или смоделированных ситуа­циях;раций, используя адекватные инстру­менты. кости.
5.4. Применение признаков параллельности • Прямая, параллель- ­– распознавание плоских фигур в составе пространспрямых, прямых и плоскостей, плоскостей ная плоскости. Кри- твенных фигур в контексте отношения параллельности;– применение свойств плоских геометрических фигурпри решении задач, в реальных и/или смоде- терий, свойства.
• Взаимное распоотносительно их взаимного расположения и отношелированных ситуациях.
5.5. Распознавание плоских фигур в соста- ложение двух плос­ ния параллельности в пространстве;ве пространственных фигур в контексте от- костей. Параллель- – составление и решение задач на взаимное расположение и отношение параллельности в пространстве изношения параллельности в реальных и/или ные плоскости.
Критерий, свойства. действительности и/или из других областей;смоделированных ситуациях.
– обоснование заданного или полученного геометри5.6. Выявление аналогий между свойствами
ческого результата посредством аргу­мен­тирования,геометрических фигур на плоскости и в продоказательства.
странстве в контексте отношения параллельМетоды и виды учебной деятельности:ности и их использование при решении задач.
Метод упражнений, обучение с помощью ком­пьютера,5.7. Применение свойств плоских геометри­дидактические игры, проблемное обу­чение, групповое
ческих фигур относительно их взаимного
обучение, исследование кон­крет­­ного случая с практирасположения и отношения параллельности
ческим уклоном, контр­примеры, матрица ассоциаций,в пространстве в различных контекстах.
понятийная карта, моделирование, практические работы
5.8. Обоснование заданного или полученнона мест­ности, моделирование, межпредметные и внутри­го геометрического результата.
предметные связи, аналогия, лабораторные рабо­ты и др.
5.9. Применение компьютера в контексте
Виды оценочной деятельности:моделирования и распознавания взаимных
Текущее оценивание, итоговое оценивание, оце­расположений фигур в пространстве с целью
нивание с использованием компьютера, тести­рование,формирования и развития пространственноустные, письменные, практические ра­бо­ты и др.
го мышления.
6.1. Распознавание и описание взаимVI. Перпендикуляр- Упражнения на:ных расположений точек, прямых, фигур
ность в простран­стве – распознавание и описание взаимных распо­ложенийна плоскости и в пространстве, плоскос• Перпендикулярные точек, прямых, фигур на плоскости и в пространстве,тей в пространстве в контексте отношепрямые в пространс- плоскостей в пространстве в контексте отношенияния перпен­дикулярности в реальных и/или тве, свойства, при- перпендикулярности в пространстве;смодели­рованных ситуациях.
знак.

48
49

1
2
3
• Прямая, перпен- – моделирование, используя адекватные мате­риалы, различ6.2. Моделирование различных взаимодикулярная плос­ ные взаиморасположения точек, прямых, фигур на плоскосрасположений точек, прямых, фигур наплоскости и в пространстве, плоскостей в кости, свойства, ти и в пространстве, плоскостей в пространстве в контексте
отноше­ния перпендикулярности в пространстве;пространстве в контексте отношения пер- признак.
пендикулярности в пространстве, используя • Расстояние от – изображение на плоскости плоских и/или пространточки до прямой, ственных геометрических конфигураций в контексте отноадекватные материалы.
6.3. Изображение на плоскости плоских и/ от точки до плос- шения перпендикулярности в пространстве;или пространственных геометрических кон- кости, от прямой – применение признаков перпендикулярности прямых,прямых и плоскостей, плоскостей;фигураций в контексте отношения перпен- до плоскости.
• Теорема о трех – распознавание плоских фигур в составе пространствендикулярности в пространстве.
ных фигур в контексте отношения перпендикулярности в
6.4. Применение признаков перпендикуляр- перпендикуляности прямых, прямых и плоскостей, плос- рах. Обратная те- пространстве;– выявление аналогий между свойствами геометрических
костей при решении задач в реальных и/или орема.
• Перпендикуляр- фигур на плоскости и в прост­ранстве в контексте отношесмоделированных ситуациях.
6.5. Распознавание плоских фигур в составе ные плоскости, ния перпенди­ку­лярности и их использование при решении
задач;
пространственных фигур в контексте отно- свойства, при– применение свойств плоских геометрических фигур вшения перпендикулярности в реальных и/ знак.
• Ортогональные контексте отношения перпендику­лярности в пространствеили смоделированных ситуациях
6.6. Выявление аналогий между свойства- проекции точек, в различных контекстах;ми геометрических фигур на плоскости и в отрезков, прямых – вычисление длин отрезков и величин углов на плоскостии в пространстве (угол между двумя прямыми, угол межпространстве в контексте отношения пер- на плоскость.
пендикулярности и их использование при • Угол между дву- ду прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями,двугранный угол);мя прямыми.
решении задач.
• Угол между пря- – обоснование заданного или полученного геометрическо6.7. Извлечение значимых элементов иго результата.
мой и плоскосотличительной информации из прост­Методы и виды учебной деятельности:ранственных геометрических конфигура­ций тью.
Метод упражнений, обучение с помощью компью­тера, дии их плоскостных изображений для решения • Двугранный
дактические игры, проблемное обучение, групповое обуугол.
реальных и/или смоделированных задач.
чение, исследование кон­кретного случая с практическим
6.8. Применение компьютера в контексте
уклоном, контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная
моделирования и распознавания взаимных
карта, моделирование, практические работы на местности,расположений фигур в пространстве с цемоделирование, межпредметные и внутрипредметные свялью формирования и развития пространзи, аналогия, лабораторные работы, звездный взрыв и др.
ственного мышления.

1
2
3Виды оценочной деятельности:6.9. Вычисление длин отрезков и величин углов на плоскости и в пространТекущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание
стве (угол между двумя прямыми, уголс использованием компьютера, тестирование, устные,между прямой и плоскостью, угол между
письменные, практические работы и др.
двумя плоскостями, двугранный угол) вреальных и/или смоделированных ситуациях.
6.10. Обоснование заданного илиполучен­ного геометрического результата.
VII. Геометрические Упражнения на:
7.1. Распознавание и классификацияпо различным критериям изученных ти- преобразования в – распознавание и классификацию по различным критепространстве
риям изученных типов геометрических преобразований впов геометрических преобразований впространстве;прост­ранстве в реальных и/или смодели- • Изометрические
преобразования в– использование терминологии, адекватной гео­рованных ситуациях.
метрическим преобразованиям в пространстве в различ7.2. Использование терминологии, адек- пространстве.
ватной геометрическим преобразовани- • Симметрия относи- ных контекстах;– моделирование геометрических преобразований в проям в прост­ран­стве в различных контек- тельно точки.
• Осевая симметрия. странстве, используя адекватные материалы, в том числе,стах.
• Симметрия относи- компьютер;7.3. Применение геометрических
– обоснование заданного или полученного геометричестельно плоскости.
преобразо­ваний в пространстве и ихкого результата;свойств в разли­чных областях (на прак– изображение на плоскости геометрических конфигуратике, в технике, в искусстве) в контексте
ций, полученных в результате применения геометрических
решения реальных и/или смоделированпреобразований в пространстве и их свойств;ных проблем.
– применение геометрических преобразований в про7.4. Моделирование геометрических
странстве и их свойств.
преобразований в пространстве, в томМетоды и виды учебной деятельности:числе, моделирование реальных ситуМетод упражнений, обучение с помощью компьютера, диаций из окружающей действительносдактические игры, проблемное обучение, групповое обути, используя адекватные материалы.
чение, исследование конкретного случая с практическим
7.5. Обоснование заданного или полууклоном, контрпримеры, матрица ассоциаций, понятийная
ченного геометрического результата,карта, моделирование, практические работы на местности,

50
51

52
53

2

XII класс

3моделирование, межпредметные и внутрипредметные связи,аналогия, лабораторные работы, звездный взрыв и др.
Виды оценочной деятельности:Текущее оценивание, итоговое оценивание, оце­ни­вание с использованием компьютера, тести­рование, устные, письменные,практические ра­бо­ты, исследования (простые) и др.

123
в контексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.
2.1. Распознавание определенного II. Определенный Упражнения на:– распознавание определенного интеграла;интеграл.
интеграла в различных контекстах.
– вычисление определенных интегралов, используя свойства иПриложения
2.2. Вычисление определенных интегралов, используя свойства, фор- • Понятие опреде- таблицу неопределенных интегралов;ленный интеграл. – применение формулы Ньютона-Лейбница при вычислении опмулу Ньютона-Лейбница.
ределенных интегралов;2.3. Геометрическое трактование • Свойства.
опреде­ленного интеграла неотрица- • Формула Ньютона- – обоснование полученного результата отно­сительно определенЛейбница.
ных интегралов посредством аргументирования;тельной непре­рывной функции.
• Вычисление пло- – применение определенных интегралов в различных областях;2.4. Распознавание подграфика
– применение геометрической трактовки определенного ин­функции в различных контекстах. щади подграфика
теграла неотрицательной непрерывной функ­ции.
2.5. Вычисление площади фигуры функции.
Методы и виды учебной деятельности:и объема тела вращения, используя
Метод упражнений, обучение с помощью ком­пью­тера, дидактиопределенный интеграл.
ческие игры, иссле­дование конкретного случая с практи­ческим
2.6. Применение первообразных,уклоном, понятийная карта, моделиро­вание, прак­тические рабонеоп­ре­деленных и определенных
ты, межпредметные и внутри­пред­метные связи, аналогия и др.
интегралов в реальных и/или смодеВиды оценочной деятельности:лированных ситуациях.
Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание с использованием компьютера, тестирование, устные, письменные,практические работы и др.
3.1. Распознавание и классифика- III. Элементы тео- Упражнения на:рии– распознавание и классификацию событий;ция событий по различным крите– выполнение операций с событиями;риям.
вероятностей
3.2. Вычисление вероятности собы- • Событие. Класси- – сравнение событий по признаку шанcов их реализации;тия в реальных и/или смоделиро- фикация событий. – вычисление вероятности события в реальных и/или смоделиванных ситуациях, используя отно- • Классическое оп- рованных ситуациях, используя отношение: количество благошение: количество благопри­ятных ределение вероят­ приятных событию случаев/ количество всех возможных случаев.
событию случаев/количество всех ности события.
• Случайные собывозможных случаев.

Субкомпетенции
Содержание
Виды учебной и оценочной деятельности (рекомендуемые)1
2
3
I. Первообразная Упражнения на:
1.1. Распознавание первообразной
функции. Неопре- – распознавание и определение первообразной функции и/илифункции в различных контекстах.
1.2. Вычисление неопределенных ин- деленный интеграл неопределенного интеграла;тегралов, используя свойства и таб- • Понятие первооб- – вычисление неопределенных интегралов, ис­пользуя свойстваи таблицу неопределенных интегралов;разная.
лицу неопределенных интегралов.
1.3. Определение первообразной за- • Неопределенный – определение первообразной заданной функции или функции,первообразная которой удовлет­воряет заданным условиям;данной функции или функции, пер- интеграл.
– обоснование результата, относящегося к перво­образным, невообразная которой удовлетворяет • Свойства.
• Таблица неопреде- определенным интегралам посред­ством аргументирования;заданным условиям.
1.4. Обоснование заданного или по- ленных интег­ралов – анализ решения проблем, проблемных ситуаций на определученного результата, связанного с изученных элемен- ление первообразных, неопре­деленных интегралов в контексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных
первообразной функцией, с неопре- тарных функций.
результатов.
деленным интегралом.
Методы и виды учебной деятельности:1.5. Использование терминологии
Метод упражнений, алгоритмический метод, обучение с помощьюи символики, адекватной понятиям
компьютера, дидактические игры, проблемное обучение, контрпервообразная, неопределенный инпримеры, мат­рица ассоциаций, понятийная карта, межпред­метные
теграл, в реальных и/или смоделирои внутрипредметные связи, аналогия, звездный взрыв и др.
ванных ситуациях.
Виды оценочной деятельности:1.6. Анализ решения проблем, проТекущее оценивание, итоговое оценивание, оценивание с испольблемных ситуаций на первообраззованием компьютера, тестирование устное, письменное и др.
ные или неопределенные интегралы

1связанного с геометрическими преобразованиями в прост­ранстве.
7.6. Изображение на плоскости геомет­ри­ческих конфигураций, полученных врезуль­тате применения геометрических
прео­бра­зований в пространстве.

54
55

1
2
3
исследовании конкретных случаев изпрактики.
Упражнения на:
IV. Многогранники
4.1. Распознавание и классификация
многогранников по различным крите- • Призма. Элементы. Класси- – распознавание изученных многогранников и/илиих элементов;риям в реальных и/или смоделирован- фикация.
• Прямые призмы (треуголь- – изображение на плоскости изученных геомет­ных ситуациях.
ные, четырехугольные, шести- рических тел, используя чертежные инструмен­ты,
4.2. Идентифицирование элеменкомпьютер и применение полученных представ­тов плоских геометрических фигур на угольные).
лений при решении задач на вычисление пло­щадей
пространственных геометрических
• Площади.
и/или объемов;конфигурациях в реальных и/или смо- • Объем.
делированных ситуациях.
• Сечения, параллельные осно- – вычисление площадей поверхностей и объемов
4.3. Применение свойств многогран- ванию, диагональные сечения, многогранников, при решении задач в реальных и/ников в реальных и/или смоделиро- сечения, содержащие высоту в или смоделированных ситуациях;– анализ и интерпретирование полученных резульванных ситуациях.
прямой призме.
4.4. Использование алгоритмов, адек- • Пирамида. Элементы. Клас- татов при решении практических задач с применением изученных многогранников и единиц измереватных вычислению площадей посификация.
ний, адекватных площадям и объемам;верхностей и объемов многогранни- • Правильные пирамиды
ков, при решении задач.
(треуголь­ные, четырехуголь- – обоснование полученного или данного математического результата относительно много­гран­ников
4.5. Извлечение информации, содер- ные, шестиугольные).
посредством аргументирования.
• Площади.
жащейся в данной геометрической
Методы и виды учебной деятельности:конфигурации, для доказательства ее • Объем.
свойств и вычисления длин, площа- • Сечения, параллельные осно- Метод упражнений, аналогия, алгоритмический
дей, объемов.
ванию. Диагональные сечения. метод, моделирование, исследование конкретного
Сечения содержащие высоту. случая с практическим уклоном, понятийная кар­та,
4.6. Выполнение приблизительных
оценок длин отрезков, величин углов, • Усеченная пирамида. Элемен- практические работы на местности, дидактические
ты. Классификация.
игры, межпредметные и внутри­пред­метные связи,периметров, площадей и объемов вгеометрических телах в реальных и/ • Правильные усеченные пира- практические и лабораторные работы, обучение сили смоделированных ситуациях.
миды (треугольные, четырех- помощью компьютера и др.
Виды оценочной деятельности:4.7. Интерпретирование практичес- угольные, шестиугольные).
Текущее оценивание, итоговое оценивание, оцениких ситуаций, используя многогран- • Площади.
• Объем.
вание с использованием компьютера, тестирование,ники и их элементы.
4.8. Анализ решения проблем на мно- • Сечения, параллельные осно- устные, письменные, практи­ческие работы и др.
гогранники в контексте корректности, ванию. Диагональные сечения.

1
2
3
3.3. Использование терминологии, тия. Операции со слу- – приведение конкретных примеров дискретных случайных
величин, включительно из окружа­ющей действительности;адекват­ной элементам теории вероят- чайными событиями.
ностей и математической статистики Незави­симые случайные – классифицирование данных по разным кри­териям;– представление результатов наблюдений, физических,события.
в различных контекстах.
3.4. Распознавание и применение ос- Элементы математи- экономических, социальных явле­ний посредством рисунков, таблиц, графиков, диаграмм и извлечение информаческой
новных понятий математической стаций из статисти­ческих таблиц, списков, диаграмм.
статистики
тистики в различных контекстах.
– истолкование и перенесение на мате­матический язык• Основные понятия.
3.5. Представление результатов напрактических ситуаций посред­ством статистических и веблюдений, физических, экономичес- Учет и групп­пировка
роятностных понятий;ких, социальных явлений посредством данных.
рисунков, таблиц, графиков, диаграмм • Графическое изображе- – выполнение экспериментов;и извлечение инфор­мации из статис- ние статис­тических дан- – статистические наблюдения (простые);тических таблиц, списков, диаграмм. ных (гистограмма, поли- – улучшение полученных результатов путем увеличения
3.6. Истолкование и перенесение на гон абсолютных частот, количества проб;математический язык практических полигон относительных – применение информационных и коммуника­ционных
ситуаций посредством статистичес- частот, диаграмма в виде технологий для учета и алгоритмизации данных;вертикальных отрезков, – применение алгоритмов, адекватных финансо­вому иских и вероятностных понятий.
диаграммы с решетка- числению, статистике или вероятности при исследовании
3.7. Учет и интерпретирование
количес­твенных, качественных дан- ми, структурные диаг­ конкретных случаев из прак­тики.
Методы и виды учебной деятельности:ных, используя статистические и ве- раммы).
Метод упражнений, обучение с помощью компьютера,• Средние величины
роятностные понятия.
дидактические игры, эксперимент, проблемное обуче3.8. Анализ решения задачи, ситуаци- статистических рядов
онной задачи по математической ста- (среднее арифметичес- ние, исследо­вание конкретного случая с практическим
тистике и/или теории вероятности в кое, взвешенное среднее уклоном, контрпримеры, матрица ассоциаций,контексте правильности, простототы, арифмети­ческое, медиа- понятийная карта, моделирование, практические работы, межпредметные и внутрипредметные связи, аналогия,на, мода).
четкости и значения результатов.
• Элементы финансового звездный взрыв и др.
3.9. Учет и алгоритмизация данных посред­ством информационных и исчис­ления: проценты, Виды оценочной деятельности:доходы, НДС, стоимость, Текущее оценивание, итоговое оценивание, оце­нивание
коммуникационных технологий.
3.10. Применение алгоритмов, адек- прибыль, типы креди­ с использованием компьютера, тести­ро­вание, устные,тов, бюджет, семейный письменные, графические, прак­тические работы, метод
ватных фи­нансовому исчислению,бюджет, личный бюджет. проектов, исследо­вание и др.
статистике или вероятности при

123простоты, четкости и значимости получен- Сечения, содержащиеных результатов.
высоту.
Упражнения на:
5.1. Распознавание и классификация тел V. Тела вращения
вращения по различным критериям в раз- • Прямой круговой ци- – распознавание изученных тел вращения и/или ихэлементов;линдр. Элементы.
личных контекстах.
5.2. Идентифицирование элементов плос- • Сечения, параллель- – изображение на плоскости изученных гео­ные основанию. Осе- метрических тел, используя чертежные ин­стру­менты,ких геометрических фигур на пространскомпьютер и применение полученных представлений
твенных геометрических конфигурациях в вые сечения.
при решении задач на вычисление площадей и/илиреальных и/или смоделированных ситуа- • Площади.
объемов;• Объем.
циях.
5.3. Применение свойств тел вращения в ре- • Прямой круговой ко- – вычисление площадей поверхностей и объемов изученных тел вращения, при решении задач в реальных
альных и/или смоделированных ситуациях. нус. Элементы.
5.4. Использование алгоритмов, адекватных • Сечения, параллель- и/или смоделированных ситуациях;вычислению площадей поверхностей и объе- ные основанию. Осе- – анализ и интерпретирование полученных результатов при решении практических задач с применениемвые сечения.
мов тел вращения, при решении задач.
изученных тел вращения и единиц измерений, адек5.5. Извлечение информации, содержащей- • Площади.
ватных площадям и объемам;ся в данной геометрической конфигурации, • Объем.
– обоснование полученного или данного матема­для доказательства некоторых ее свойств и • Прямой круговой
усеченный конус. Эле- тического результата относительно тел вращения посвычисления длин, площадей, объемов.
редством аргументирования.
5.6. Выполнение приблизительных оценок менты.
длин отрезков, величин углов, периметров, • Сечения, параллель- Методы и виды учебной деятельности:площадей и объемов в геометрических те- ные основанию. Осе- Метод упражнений, алгоритмический метод, моделирование, групповое обучение, исследо­ваниелах в реальных и/или смоделированных си- вые сечения.
конкретного случая с практическим уклоном, ди• Площади.
туациях.
дактические игры, аналогия, матрица ассоциаций,5.7. Интерпретирование практических си- • Объем.
понятийная карта, межпредметные и внутрипредметтуаций, используя тела вращения и их эле- • Сфера. Элементыные связи, практические и лабора­торные работы, обу(центр, радиус, диаменты.
5.8. Анализ решения задач на тела враще- метр). Площадь сферы. чение с помощью компьютера и др.
Виды оценочной деятельности:ния в контексте корректности, простоты, • Шар. Объем шара.
Текущее оценивание, итоговое оценивание, оценивачеткости и значимости полученных резульние с использованием компьютера, тести­рование, усттатов.
ные, письменные, практические ра­бо­ты и др.

ViI. Дидактические стратегии: основные ориентиры
Переоценка конечных результатов и содержания образования, центрирование на формирование компетенций сопровождаются переоценкой и обновлением
стратегий, технологий и методов, примененных в образовательном процессе поматематике. Это касается следующих аспектов:• применение стратегий, технологий, методов, центрированных на ученике, наактивизацию когнитивных и действенных структур учащихся, на реализацию намаксимальном уровне психофизического и ителлектуального потенциала каждогоиз них, на пребразование ученика в сооучастника собственного формирования;• использование методов, способствующих оптимизации процесса познания,прибегая к конкретным моделям;• акцентирование формативного характера стратегий, технологий, методов,примененных в процессе преподавания-учения-оценивания математики,способствующих активному и эффективному формированию индивидуального потенциала ученика, развитию компетенций оперирования усвоенной информацией, применения и оценивания добытых знаний, исследования гипотез инахождения адекватных решений проблем и проблемных ситуаций;• систематическое комбинирование и чередование видов деятельности, основанных на индивидуальном действии ученика (документировании на основе
различных источников информации, собственном наблюдении, самостоятельных упражнениях, программированном обучении, эксперименте и индивидуальной работе, работе с индивидуальными карточками и т. п. ) с видами
деятельности, требующими коллективного участия (в командах, в группах)типа дисскусий, мозгового штурма и т. п.;• усвоение методов самостоятельного информирования и документирования, используя информационные и коммуникационные технологии (ИКТ), в том числе
сеть Интернет, способствующих самообразованию, непрерывному образованию.
Настоящий куррикулум призван создавать благоприятные условия для каждого ученика в процессе формирования и развития компетенций в собственном,индивидуальном ритме, с целью переноса и применения усвоенных знаний в другие области. Для этого полезно, чтобы учитель ориентировал свой дидактический
проект на реализацию следующих видов деятельности:• формулирование заданий на перерабатывание различного рода информации,с целью формирования компетенций, предусмотренных куррикулумом;• чередование изложения содержания с различными способами активизации
мышления;• частое включение в образовательный процесс межпредметных и внутрипредметных отношений;• создание ситуаций, когда ученик самостоятельно формулирует адекватные
задания для работы;• нахождение решений или различных обоснований для одного и того же содержания;• работа ученика с учебником – анализ текста, изложение материала с использованием усвоенных символик, трактовка соответствующих содержаний;5657

• формулирование заданий для работы в группах;• проведение видов учебной деятельности, позволяющих выполнять задания в различных ритмах;• формирование определенных алгоритмов учения, посредством упорядочивания заданий.
Необходимо создавать в процессе преподавания-учения математики благоприятные условия для включения учащихся в процесс поиска, исследования, способствующих процессу учения посредством проблемного обучения и выполнения открытий. Также необходимо создавать благоприятные условия для переноса
приобретенных и осознанных математических знаний в различные области, в томчисле в повседневную жизнь и в области, определенные куррикулумом «Математика и естественные дисциплины». В этом отношении учитель будет использовать
любую возможность для приведения примеров применения математики в физике,химии, биологии, информатике, в повседневной жизни и других куррикулумных
областях. Таким образом, учитель будет:• учитывать возможности, представленные школьными учебниками по математике, для реализации межпредметных связей (интегрирующие задачи,проблемные ситуации, содержащиеся в текстах учебника; интегрирующие
задания (итемы), содержащиеся в проверочных работах учебника и т. п.);• выбирать из сборников упражнений и задач и предлагать учащимся задачи смежпредметным содержанием;• выбирать из дидактических и методических материалов интегрирующие задачи и предлагать учащимся при проведении различных мероприятий по математике (уроков, внеклассных мероприятий, олимпиад и т. п.);• проводить, совместно с учителями физики, химии, биологии, информатики идругих дисциплин, интегрирующие уроки;• создавать, систематически, на уроках или при проведении других образовательных мероприятий, проблемные ситуации с межпредметным содержанием и/или прикладным уклоном;• организовывать и проводить, при обучении математике, практические занятия и лабораторные работы с межпредметным и/или прикладным уклоном.
Оценивание, проведенное по математике, в обязательном порядке будет содержать и итемы, решение которых требует реализации межпредметных связей.
Будут предложены учащимся, как методы оценки, выполнения некоторых интегрирующих проектов.
По возможности, уроки математики будут проводиться с использованием компьютера.
Педагогические кадры могут выбрать методы и техники преподавания имогут адаптировать соответствующие действия в соответствии с темпом усвоения материала учащимися и их особенностями.
Настоящий куррикулум призван формировать у учащихся компетенции, т.е.
целостные системы знаний, способностей, навыков и ценностных отношений, посредством учебных действий, приближающих изучаемое содержание к практике.
В учебной деятельности в центре внимания находится ученик, а не преподавание
собственно математических понятий. Акцент переносится от «что» нужно изучить,на «с какой целью» и «с каким результатом». Оценивается качественная сторона

образовательного процесса, становятся значимыми такие свойства приобретенных
знаний, как: глубина, функциональность, долгосрочность, аксиологическая направленность, стабильность, мобильность, разнообразие, развитие по ступеням.

58

59

ViII. Стратегии оценивания
Самая значимая роль оценивания состоит в предоставлении постоянной исоответствующей обратной связи, необходимой как ученикам и учителям, так иродителям, руководящим органам и широкой общественности. Итак, в интегрированном образовательном процессе преподавание-учение-оценивание составляющая оценивание играет основную роль, имеющую исключительное значение какпсихопедагогическое, профессиональное, так и социальное. В контексте формирования и развития компетенций педагогическая оценка должна основываться наследующих фудаментальных принципах:• оценивание является постоянным процессом и существенной составной частью образовательного процесса;• оценивание выявляет и стимулирует успехи ученика, но не его неудачи, и ненаказывает;• оценивание основывается на необходимости сравнивать подготовку учащихся со специфическими компетенциями, субкомпетенциями и операциональными целями каждого урока;• оценивание основывается на государственных образовательных стандартах –целях, предусматривающих, что будет знать, будет уметь делать и каким
будет ученик в конце его школьного обучения;• оценивание проводится многочисленными и разнообразными методами
(традицион­ными и современными);• оценивание – регламентирующий процесс, определяющий качество школь­нойдеятельности учащихся;• оценивание должно способствовать правильной самооценке учащегося и достижению постоянного улучшения его школьных успехов.
Учитель в процессе математического образования использует, как правило:а) первичное оценивание, реализуя функцию прогноза; б) текущее оценивание, реализуя функцию формирования; в) итоговое (суммативное) оценивание, реализуя
функцию диагноза. Итоговое оценивание в конце учебного года покажет сформированы ли запланированные субкомпетенции для соответствующего класса. Посредством экзамена на степень бакалавра будет проверяться, сформированы лизапланированные специфические компетенции по математике для лицейского образования и достигнуты ли соответствующие образовательные стандарты. Учитель, формулируя цели каждого урока, будет коррелировать эти цели со специфическими компетенциями по математике, соответствующими субкомпетенциями истандартами. Проверочные работы, предложенные учащимся в образовательном
процессе по математике, будут включать задания и итемы, посредством которых
будут оцениваться, приоритетно, не отдельные знания и способности, а уровень
формирования соответствующих компетенций. Примеры таких заданий и итемов
учитель найдет в сборниках тестов, методологических гидах и в экзаменационной
программе для экзамена на степень бакалавра.

В контексте принципов оценки приоритетной и доминирующей в образовательном процессе становится текущее (формативное) оценивание. Успех урока
зависит от достижения соответствующих запланированных целей. В этом контексте этап урока Проверка и оценивание является обязательным для любого типаурока и на этом этапе будет оцениваться уровень достижения целей урока.
Проверка и оценивание будут осуществляться, как правило, применением различных форм, методов и техник. Приоритетными, в контексте оценивания формирования компетенций, становятся метод проектов, исследование, практические,лабораторные и графические работы, тестирование, с использованием интегрированных проверочных тестов [3]. Проверка и оценивание, при возможности,будут проводиться с использованием компьютера.
В целом, осуществленные проверки и оценивания покажут, сформированыли в конце учебного года запланированные куррикулумом субкомпетенции длясоответствующего класса.
В конце лицейского образования, посредством экзамена на степень бакалавра, будет проверяться, сформированы ли запланированные специфические
компетенции по математике для лицейского образования и достигнуты ли соответствующие образовательные стандарты по математике.
Важно, чтобы каждый ученик и учитель осознал, что оценка, при любых условиях, должна быть объективной.
IX. Литература
1. Акири И. Дидактика математики. Кишинэу: CEP USM, 2009.
2. Achiri I., Bolboceanu A., Guţu V., Hadîrcă M. Evaluarea standardelor educaţionale. Ghid
metodologic. Chişinău, 2009.
3. Achiri I., Ceapa V., Şpuntenco O. Mатематика: Ghid de implementare a curriculumului modernizat în învăţămîntul liceal. Ministerul Educaţiei şi Tineretului al Republicii Moldova. Chişinău,Editura Ştiinţa, 2007.
4. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Editura Ştiinţa, 2007.
5. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Editura Ştiinţa, 2007.
6. Guţu V. Cadrul de referinţă al curriculumului naţional. Ghid metodologic. Chişinău, EdituraŞtiinţa, 2007.
7. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Chişinău, Editura Uniunii Scriitorilor, 2004.
8. Закон об образовании (Кодекс образования).
9. Министерство Просвещения и Молодежи Республики Молдова. Математика. Куррикулум для лицейского образования (X–XII классы). / Авторы: И. Акири и др. Кишинэу, 2006.
10. Neagu M., Achiri I. Evaluarea curriculumului şcolar proiectat. Ghid metodologic. Iaşi, Editura PIM, 2008.
11. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Vl. Guţu. Chişinău, USM, 2009.
12. Математика и естественные дисциплины. Методологические гиды. Математика, V–IX
классы. Авторы: А. Райляну, И. Акири, Н. Продан. – Chişinău, Grupul Editorial Litera, 2000.
13. Stoica A. Evaluarea progresului şcolar: de la teorie la practică. Bucureşti, Humanitas
Educaţional, 2003.
14. Stoica A., Musteaţă S. Evaluarea rezultatelor şcolare. Ghid metodologic. Chişinău, 2003.
15. Юнина Е.А. Технологии качественного обучения в школе. Педагогическое обществoРоссии. Москва, 2007.

60