MINISTERUL EDUCAŢIEI, CULTURII ŞI CERCETĂRII
AL REPUBLICII MOLDOVACURRICULUM NAȚIONAL

MAТЕМАТИКА
Clasele X-XII			• Curriculum disciplinar			• Ghid de implementareChişinău, 2020
1

CURRICULUM DISCIPLINAR
Aprobat:- Consiliul Național pentru Curriculum, proces-verbal nr. 22 din 05.07.2019- Ordinul Ministerului Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019
COORDONATORI:
 Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECC
 Valentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator
al managementului curricular Valentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului delucru  EXPERȚI-COORDONATORI:
 Vladimir GUȚU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator general Anatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,
expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și
Tehnologii
GRUPUL DE LUCRU:
 Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, Chișinău   Ludmila BAȘ, grad did. superior, IPLT „Constantin Stere”, Soroca   Andrei BRAICOV, dr., conf. univ., US Tiraspol   Roman COPĂCEANU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Hâncești
 Aliona LAȘCU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Chișinău
Traducere: Ion ACHIRI, dr., conf. univ., IȘE, Chișinău
Математика : Curriculum naţional : Clasele 10-12 : Curriculum disciplinar : Ghidde implementare / Ministerul Educaţiei, Culturii şi Cercetării al Republicii Moldova ;coordonatori: Angela Cutasevici, Valentin Crudu, Valentina Ceapa ; grupul de lucru: Ion
Achiri (coordonator) [et al.] ; traducere: Ion Achiri. – Chişinău : Lyceum, 2020 (F.E.-P.
"Tipografia Centrală"). – 212 p. : fig., tab.
Referinţe bibliogr.: p. 209-211 (60 tit.). – 300 ex.
ISBN 978-9975-3439-1-6.
373.5.091:51(073)
М 340

2

GHID DE IMPLEMENTARE
Elaborat în conformitate cu prevederile Curriculumului disciplinar, aprobatla ședința Consiliului Național pentru Curriculum, prin ordinul Ministerului
Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019
COORDONATORI:
 Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECC
 Valentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator
al managementului curricular Valentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului delucru
EXPERȚI-COORDONATORI:
 Vladimir GUȚU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator general Anatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,
expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și
Tehnologii
GRUPUL DE LUCRU:
 Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, Chișinău
 Aliona LAȘCU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Chișinău
Traducere: Ion ACHIRI, dr., conf. univ., IȘE, Chișinău

3Введение
Куррикулум для школьной дисциплины Математика, наряду со школьным
учебником, методологическим гидом, образовательными софтами и т. д., является составной частью совокупности продуктов/куррикулумных документов и представляет собой существенную составляющую Национального куррикулума.
Разработанный на основе требований Кодекса об образовании Республики Молдова (2014), Основ Национального Куррикулума (Cadrul de referință al
Curriculumului Național) (2018), Базового куррикулума: система компетенцийдля общего образования (2018) и в соответствии с Рекомендациями Европейского парламента и Совета Европы относительно ключевых компетенций, которые должны быть сформированы на протяжени всей жизни (Брюссель, 2018),
Куррикулум для школьной дисциплины Математика является регламентирующим документом, включающим концептуальные, телеологические, содержательные и методологические основы, с акцентом на формирование системы компетенций как новой системы отсчёта конечных образовательных результатов.
Школьный куррикулум по математике для X-XII классов является основным дидактическим инструментом и нормативным документом, содержащим основные требования к изучению математики и результаты, которые
должны быть достигнуты учащимися лицея, выраженные соответствующими компетенциями, единицами компетенций, содержаниями и видами
учебной и оценочной деятельности.
Куррикулум для школьной дисциплины Математика обосновывает и направляет деятельность учителя, способствует реализации творческого подхода кдолгосрочному и краткосрочному планированию, а также к реализации процесса преподавания – учения – оценивания.
Школьная дисциплина Математика, представленная данным куррикулумом,играет важную роль в формировании/развитии личности учащихся, в формировании компетенций, необходимых для учения на протяжении всей жизни, а такжедля интегрирования в общество, основанное на познании.
В процессе разработки Куррикулума для школьной дисциплины Математика
были учтены: современные трактовки и тенденции развития куррикулума на национальном и международном уровнях; необходимость адаптации школьного куррикулума к ожиданиям общества,к потребностям учеников, а также к традициям национальной школы;4 значимость школьной дисциплины в формировании трансверсальных испецифических компетенций;   необходимость обеспечения преемственности и взаимосвязи между ступенями общего образования: дошкольное образование, начальное образование, гимназическое образование и лицейское образование.
Куррикулум для школьной дисциплины Математика имеет следующую
структуру: Введение, Концептуальные основы, Администрирование школьной
дисциплины Математика, Специфические компетенции школьной дисциплины
Математика, Единицы содержания, Методологические основы преподавания –учения – оценивания, Библиография. (Куррикулум содержит и конечные результаты, которые должны быть получены в конце каждого учебного года, представляющие собой определённый уровень формирования компетенций и имеющие
функцию определения целей финального оценивания).
Куррикулум для школьной дисциплины Математика имеет следующие
функции:• концептуализации куррикулумных предпосылок, специфических дисциплине Математика;• регламентации и обеспечения взаимосвязи данной школьной дисциплиныс другими дисциплинами из куррикулумной области, между преподаванием – учением – оцениванием, между куррикулумными продуктами, специфическими дисциплине Математика, между структурными компонентами
школьного куррикулума, между стандартами и конечными результатами,предусмотренными куррикулумом.
• проектирования образовательного процесса (на уровне конкретного класса);• оценки учебных результатов и др.
Основной бенефициар этого документа является ученик, имеющий в этомсмысле особый статус.
Куррикулум для школьной дисциплины Математика адресован педагогическим кадрам, авторам учебников, проверяющим, методистам, другим заинтересованным лицам.
Одновременно Куррикулум для школьной дисциплины Математика ориентирует учителя к организации образовательного процесса на основе единиц обучения (единицы компетенций – единицы содержания – виды учебной деятельности).

5

I. Концептуальные основы
Кодекс об образовании Республики Молдова посредством статьи 11 определяет: "Главной образовательной целью является формирование гармоничной
личности и развитие системы компетенций, включающей знания, навыки иценностные отношения, обеспечивающие возможность активного участия
индивидуума в социальной и экономической жизни". [1]Основными целями математического образования на уровне лицейского образования являются как формирование и развитие логического мышления учащихся, так и формирование и развитие компетенций, способствующих максимальной
реализации творческого потенциала выпускника лицея и необходимых для продолжения им учения на следующей ступени образования и/или для оптимальной
социальной или профессиональной интеграции.
Школьная компетенция – это целостная система знаний, навыков и ценностных отношений, добытых, сформированных у учащихся и развитых впроцессе обучения, мобилизация которых позволит идентифицировать и решить различные проблемы, в различных контекстах и ситуациях. [2]Итоговые приобретения учащихся в контексте формирования компетенций –это не совокупность информации, которую надо запомнить. Для формирования
соответствующей компетенции необходимо, чтобы ученик:  - овладел системой фундаментальных знаний в соответствии с проблемой,которую необходимо в итоге решить;- владел навыками для их осознания и способностями использования/применения в простых/стандартных условиях, осуществив тем самым функциональность добытых знаний;- находил решения различных проблемных ситуаций, осознавая тем самым
используемые им функциональные знания;- решал возникающие в различных контекстах проблемы окружающей действительности, используя в итоге необходимые знания, способности, навыки и отношения, т. е. применяя соответствующую компетенцию.
В основу проектирования Куррикулума по математике заложены следующие
принципы: Принцип преемственности на уровне классов и образовательных cтупеней; Принцип личностно-ориентированного обучения, учитывающего личные
особенности ученика; Принцип ориентирования на развивающее (формирующее) обучение;6 Принцип реализации межпредметной и внутрипредметной корреляции (оптимальное распределение тем по математике в корреляции с учебными
дисциплинами куррикулумной области, обеспечивая тем самым взаимосвязьв образовании по вертикали и по горизонтали); Принцип систематичности и поэтапного подхода в формировании и развитии компетенций; Принцип создания благоприятных условий для реализации качественного образования; Принцип четкого центрирования всех компонентов куррикулума на конечные результаты – специфические компетенции и единицы компетенций
учебной дисциплины Математика.
Такого рода проектирование стратегически ориентирует куррикулум и образовательный процесс на конечные результаты – на формирование компетенций уучащихся в результате прохождения определенных учебных ситуаций и приобретения соответствующего опыта.  
Фундаментальными в построении куррикулума по математике для лицея и вцелом образовательного процесса по математике в школе являются следующие
принципы:I. Принцип конструктивизма (структурности), предусматривающий систематическое повторение изученного материала и основных понятий, как значимый аспект преподавания – учения. Согласно этому принципу, современный
образовательный процесс по математике осуществляется концентрическипо спирали, основываясь на конкретном математическом понятии и формировании в итоге специфических для математики мыслительных структур.
II. Формирующий принцип, предусматривающий непосредственное формирование личности учащегося в образовательном процессе по математике.
В контексте формирования и развития межличностной, социальной, нравственной компетенции и компетенции в плане культуры куррикулум по математике предусматривает формирование у учащихся в образовательном процессе поматематике следующие ценностные отношения: формирование привычки открытого, гибкого, творческого мышления, чувства объективности и толерантности; стимулирование любознательности и воображения в выборе стратегий,проблем, планов действий, при их решении или выполнении; проявление упорства, настойчивости, уверенности в собственных силах,способности при необходимости сконцентрироваться, стремлении к реализации собственного интеллектуального потенциала, ответственности засобственное формирование;7 поощрение инициативы и готовности решать различные задачи; проявление независимости в мышлении и действиях; развитие чувства эстетического и критического подходов; оценивание строгости, порядка и элегантности в построении решения задачи, в применении соответствующего метода, алгоритма или в построении некоторой теории; формирование потребности в использовании математических понятий иметодов при рассмотрении различных ситуаций или при решении повседневных проблем или проблем, возникших в реальных и/или смоделированных
ситуациях; формирование и развитие мотивации к изучению математики как значимой области для социальной и профессиональной жизни; стимулирование положительного отношения к науке и познанию в целом; использование научной математической терминологии при общении; проявление настойчивости при поддерживании собственных идей и точек
зрения путём приведения аргументов и/или путём формулирования вопросов; кооперирование в рамках групповой учебной деятельности; включение в критические и конструктивные дискуссии по поводу определённых математических тем; восприятие различных точек зрения и ориентирование на формирование
собственной точки зрения.
 Единицы компетенций представляют собой приобретения, которые должны
быть добыты учениками в конце изучения главы или в конце учебного года.  
Они служат в качестве элементов/шагов в формировании специфических
компетенций. Единицы компетенций будут оценены посредством формирующего и/или суммативного  оценивания в конце главы и/или учебного года.
Тематические содержания, включенные в куррикулум, представляют собой
средства для  добывания приобретений, предусмотренных запланированными единицами компетенций, для формирования специфических  и ключевых/трансверсальных компетенций.
 Виды учебной деятельности и её результаты/продукты — это открытый список значимых контекстов, способствующих добыванию приобретений, запланированных   единицами компетенций. Учитель может выбрать те илииные виды учебной деятельности и рекомендуемые результаты/продуктыдля применения на уроках, а также может дополнить этот список в зависимости от специфики класса и от наличия необходимых средств и т. п.

8Центрирование образования на формирование компетенций не исключает
значимость понятия образовательная цель. Наоборот, при составлении дидактического проекта урока наиболее важным и значимым является система целей
урока, коррелированных с единицами компетенций, выбранных для соответствующего урока.
Куррикулум задуман так, чтобы не ограничивать свободу учителя в организации собственной профессиональной деятельности. Следовательно, при формировании специфических компетенций и для добывания приобретений, предусмотренных запланированными единицами компетенций, и при прохождении обязательных тем в рамках одного и того же класса учитель имеет право:- изменить последовательность прохождения учебного материала, еслине нарушается научная и дидактическая логика;- распределять время для изучения учебного материала в зависимостиот математической подготовленности учащихся на соответствующем этапе обучения;- группировать учебный материал различными способами, не нарушая
логику развития математических понятий;- выбрать и организовать виды учебной деятельности, адекватные конкретным условиям класса.  
Школьные учебники, разработанные на основе данного куррикулума, должны
соответствовать общей куррикулумной концепции и удовлетворять следующим
требованиям: быть доступными для учащихся, функциональными, операциональными, а также выполнять не столько информативную, сколько формирующую
функцию, функцию учения посредством самостоятельного изучения, исследования и выполнения открытий, стимулирования, самообразования, самооценивания и в итоге формирования компетенций.

9

II. Администирование школьной
дисциплины Математика

Статус

Куррикулумная
область

Обязательная Математика идисциплина естествознание
(Математика,Физика, Химия,Биология,Информатика)Кол-во
Кол-во
часов вчасов вучебном
неделю
годуКлассX класс
- реальный
профиль
- гуманитарный профиль
XI класс
- реальный
профиль
- гуманитарный профиль
XII класс
- реальный
профиль
- гуманитарный профиль

5

170

3

102

5

Углубление/Расширение
Кол-во
Кол-во
часов вчасов вучебном
неделю
году
-

-

170

1

34

3

102

-

-

5

165

2

66

3

99

-

-

III. Специфические компетенции
школьной дисциплины Математика
РЕАЛЬНЫЙ ПРОФИЛЬ
1. Использование действительных и комплексных  чисел для выполнения вычислений в различных контекстах, проявляя интерес к строгости  и точности в вычислениях.
2. Применение изученных математических понятий, методов, алгоритмов, свойств,теорем в различных контекстах, прибегая к математическим понятиям и методам при решении повседневных задач и/или задач из различных областей.
3. Применение математических рассуждений для идентифицирования  и решения проблем в различных контекстах, проявляя  ясность, правильность и краткость в рассуждениях.

10

4. Анализирование решения задачи, проблемной ситуации в контексте  корректности, простоты, чёткости и значимости полученных результатов, развивая духобъективности и беспристрастности.
5. Экстраполирование математических приобретений для выявления и описания
процессов, явлений в различных областях, прибегая к математическим понятиям и методам при анализе и решении различных ситуаций.
6. Разрабатывание стратегий и проектирование деятельности для решения теоретических и/или практических задач, развивая способность  оценивать строгость, порядок и элегантность в архитектуре решения проблемы.
7. Обоснование математического высказывания или результата, ис-пользуя аргументы, поддерживая  собственные идеи и мнения.
ГУМАНИТАРНЫЙ ПРОФИЛЬ
1. Использование действительных чисел для выполнения вычислений в различных контекстах, проявляя интерес к строгости  и точности в вычислениях.
2. Изложение на математическом языке высказывания, ситуации, решения, формулируя ясно и кратко высказывание.
3. Применение математических рассуждений для идентифицирования  и решения проблем, проявляя  ясность, правильность и краткость в рассуждениях.
4. Исследование совокупности данных, используя адекватные инструменты, втом числе   цифровые, и математические модели для изучения/описания отношений  и процессов, демонстрируя  настойчивость и аналитический дух.
5. Применение геометрических понятий, отношений и инструментов для решения проблем, проявляя последовательность и дедуктивный подход.
6. Экстраполирование математических приобретений для выявления и описания
процессов, явлений в различных областях, прибегая к математическим понятиям и методам при анализе и решении различных ситуаций.
7. Обоснование математического высказывания или результата, ис-пользуя аргументы, поддерживая  собственные идеи и мнения.

11

12

Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности иеё результаты/продукты
1.1. Распознавание и использование
I. Элементы теории множеств
Решение упражнений и задач на:терминологии и обозначений,и математической логики
- представление множества и операций с множествами
соответствующих элементам
аналитическим, синтетическим и графическим (диатеории множеств и• Понятие множества. Числовые
граммы, таблицы) способами;математической логики
множества. Числовые множества - определение элементов множества, заданного различв реальных и/или
N, Z, Q, R. Подмножества. Булеан
ными способами;смоделированных ситуациях.
множества
- применение терминологии и символики, адекватной
1.2. Распознавание в различных
• Операции с множествами:теории множеств и математической логики в реальных
ситуациях изученных
объединение, пересечение,и математических контекстах;понятий, отношений, свойств,разность, декартово
- нахождение булеана множества;специфичных теории множеств.
произведение.
- определение  множества  заданного посредством  ука1.3. Перевод проблемных ситуаций
Основные свойства       занного  свойства;на математический язык,• Понятие высказывания.
- применение отношения принадлежности, отношения
используя терминологию иИстинностное значение
включения и равенства множеств;обозначения, специфичные
высказывания
- выполнение операций с различными типами мнотеории множеств.
• Понятие аксиома, теорема,жеств;
1.4. Представление множества
обратная теорема, необходимые - сортирование и классифицирование объектов по рази операций с множествамии достаточные условия
личным критериям, определение критериев по кото(объединение, пересечение,• Квантор общности и кванторрым отбираются соответствующие множества;разность, декартово
существования
- внутрипредметную и межпредметную корреляцию отпроизведение) аналитическим,• Метод от противного
носительно применения элементов теории множеств исинтетическим и графическим
• Метод математической индукции.
математической логики;способами.
Применения при доказательстве
- составление и решение задач с применением элеменнекоторых числовых тождествтов теории множеств на практике и/или в других областях;РЕАЛЬНЫЙ ПРОФИЛЬ
X класс

IV. Единицы содержания

13

1.5. Сортирование иклассифицирование объектовпо заданным или выявленным
критериям.
1.6. Анализирование и обоснование
корректности решения задачина теорию множеств и/илиматематическую логику.
1.7. Применение метода
математической индукциии метода от противногопри доказательстве теорем,тождеств.
1.8. Нахождение истинностного
значения высказывания путем
приведения аргументов,примеров, контрпримеров и/илидоказательств.

Новые элементы математической
- применение метода от противного, метода математитерминологии:ческой индукции при обосновании заданных матемабулеан множества, квантор
тических  высказываний;общности, квантор существования, - нахождение истинностного значения  заданного выиндукция, дедукция, неполная
сказывания.
индукция, полная индукция, метод Исследование конкретных случаев из реальных и/или   математической индукции,смоделированных ситуаций и математической логики
необходимые и достаточныеи решение полученных задач.
условия.
 Выполнение практических работ, в том числе на местности, по применению элементов теории множеств иматематической логики в практической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения элементов теории множеств и математической логики в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения элементов теории множеств иматематической логики в реальных и/или смоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания – учения – оценивания элементов теории множеств и математической логики.  
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Разработанная схема; Решённые математические софизмы; Применённый алгоритм; Приведённый контрпример; Проект "Множества в моей жизни"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

14

2.1. Распознавание и использование
II. Степени. Корни. Логарифмы
терминологии и обозначений,соответствующих понятиям
• Степени. Свойства
степень, корень, логарифм,• Корни. Свойствав реальных и/или• Логарифм положительного числа.
смоделированных ситуациях.
Свойства
2.2. Классифицирование
действительных чисел поНовые элементы математической
различным критериям.
терминологии:2.3. Применение приближений
корень нечетной степени, кореньи округлений для проверки
четной степени, избавление отистинности результатов
иррациональности в знаменателе
вычислений с действительными алгебраического отношения,числами, применяя степени,степень с рациональным
корни, логарифмы.
показателем, степень с
2.4. Применение действительных
действительным показателем,чисел при выполнении
понятие логарифма, десятичный
вычислений в реальных и/илилогарифм, натуральный логарифм,смоделированных ситуациях.
свойства логарифмов, действие
2.5. Применение в вычислениях
логарифмирования, действие
свойств операций надпотенцирования.
действительными числами:сложение, вычитание,умножение, деление, возведениев степень с рациональным идействительным показателем,корни n-ой степени, n, n ∈ {2, 3} ,логарифм положительного числа.
2.6. Обобщение понятия
действительного числа.

Решение упражнений и задач на:- применение терминологии и обозначений,соответствующих понятиям степень, корень, логарифм,в том числе при общении;- вычисления со степенями, корнями степени
n, n ∈ {2, 3} , логарифмами и применение
соответствующих свойств;- выполнение приближений и округлений ввычислениях с действительными числами;- перенос и экстраполяцию решений задач для решения
других задач;- решение задач с использованием степеней, корней
степени n, n ∈ {2, 3} , логарифмов;- обоснование и аргументирование полученных
результатов  и применённых вычислительных
технологий;- формирование привычки проверять, если задача
полностью решена или нет.
 Исследование конкретных случаев из реальных
и/или смоделированных ситуаций, относящихсяк применению действительных чисел, и решение
полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе наместности, по применению действительных чисел впрактической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения действительных чисел в различных
областях.
 Применение дидактических игр в процессе
преподавания – учения – оценивания действительных
чисел.

15Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Разработанная схема; Решённые математические софизмы; Применённый алгоритм; Дидактическая игра "Домино с логарифмами/степенями"; Приведенный контрпример; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
3.1. Распознавание и использование
III. Одночлены. Многочлены.
Решение упражнений и задач на:терминологии и обозначений,Алгебраические дроби
- распознавание одночленов, многочленов и алгебраисоответствующих понятиям
ческих дробей в различных контекстах;одночлен, многочлен,• Понятие одночлен от одной или- выполнение действий с одночленами, многочленами иалгебраическая дробь.
нескольких переменных. Операции
алгебраическими дробями,  применение свойств дей3.2. Распознавание ис одночленами
ствий;
классифицирование
• Понятие многочлен от одной или - перевод проблемных ситуаций на математический
одночленов, многочленов инескольких переменных
язык, заменяя неизвестные данные буквами;алгебраических дробей по• Операции с многочленами:- применение терминологии и обозначений, соответразличным критериям.
сложение, вычитание, умножение,ствующих одночленам, многочленам и алгебраиче3.3. Применение действий свозведение в степень сским дробям;одночленами, многочленами
натуральным показателем
- применение основного свойства дроби, сокращениеи алгебраическими дробями и• Канонический вид многочлена
алгебраических дробей;свойств действий при решенииот одной переменной. Степень
- нахождение ОДЗ алгебраических дробей;задач.
многочлена от одной переменной - применение теоремы деления с остатком теоремы
3.4. Применение соответствующих
• Деление многочленов от одной
Безу в различных контекстах;алгоритмов для оптимизации
переменной. Теорема деления с- нахождение корней многочлена от одной переменной
вычислений с одночленами,остатком для многочленови их кратность;многочленами и• Деление на бином X − aалгебраическими дробями.
• Теорема Безу2.7. Обоснование иаргументирование полученных
результатов при выполнении
вычислений со степенями,корнями порядка n, n ∈ {2, 3} ,логарифмами.

16

3.5. Нахождение истинностного
значения утверждения,высказывания относительно
одночленов, многочленов иалгебраических дробей, в томчисле с помощью примеров,контрпримеров.
3.6. Анализирование корректности
решения задачи об одночленах,многочленах, алгебраических
дробях.
3.7. Составление плана для решения
задачи, используя теоремы,алгоритмы, понятия в контексте
многочленов и решение задачи
согласно составленному плану.
3.8. Обоснование полученногоили заданного результата иливывода в контексте одночленов,многочленов и алгебраических
дробей путём приведения
аргументов, доказательств.
- обоснование полученного или заданного  результатаили вывода  путём приведения аргументов, доказательств;- нахождение истинностного значения утверждения,высказывания, в том числе с помощью доказательств,примеров, контрпримеров.
 Исследование конкретных случаев из реальных
и/или смоделированных ситуаций, относящихсяк применению одночленов, многочленов иалгебраических дробей, и решение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения одночленов, многочленов иалгебраических дробей в различных областях.

Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном;Новые элементы математической Разработанная схема;терминологии: Решённые математические софизмы;одночлен, каноническая форма Применённый алгоритм;одночлена, операции с одночленами,  Приведённый контрпример;многочлен, каноническая форма, Составленная Матрица ассоциаций;степень многочлена, числовое зна-  Понятийная карта, составленная к модулю;чение многочлена, сложение, вы Решённый суммативный тест.
читание, умножение многочленов,деление с остатком, разложение
многочлена на множители, деление
многочлена на бином X-a, корень
многочлена, простой корень, кратный корень, уравнение, ассоциированное многочлену; алгебраическая
дробь, сокращение дроби, основное
свойство дроби, несократимая
алгебраическая дробь, операции салгебраическими дробями.

• Разложение многочленов на неприводимые множители (метод
общего множителя, метод группировки, использование формул
сокращенного умножения, разложение квадратного трехчлена,комбинированные методы)• Понятие корень многочлена содной переменной
• Кратные корни
• Понятие алгебраическая дробь
• Основное свойство дроби.
Сокращение дробей
• Операции с алгебраическими
дробями: сложение, вычитание,умножение, деление, возведениев степень с целым показателем

17

4.1. Распознавание и использование
терминологии и обозначений,соответствующих понятию
функция.
4.2. Распознавание Функциональных
зависимостей в реальных и/илисмоделированных ситуациях ипредставление их различными
способами (аналитическим,синтетическим и графическим,диаграммами, таблицами).
4.3. Выведение свойств числовых
функций (монотонность, чётность, периодичность, ограниченность, нули, экстремумы) посредством чтения графиков
и/или соответствующих формул.
4.4. Применение функций приизучении некоторых физических,химических, биологических,социальных, экономических
процессов.
4.5. Использование свойств функцийи операции с функциями прирешении задач из различных
областей.
4.6. Обоснование полученного/заданного результата иливывода в контексте функций
путём приведения аргументов,доказательств.

Решение упражнений и задач на:- распознавание функциональных зависимостей в раз• Понятие функция. Способы
личных контекстах;задания функции. График функции - представление функциональных зависимостей, в том• Свойства функций: монотонность,числе из окружающей действительности, различными
чётность, периодичность,способами (аналитическим, синтетическим и графичеограниченность, нули, экстремумы
ским, диаграммами, таблицами);• Операции с функциями (сумма,- чтение графиков функций и/или аналитических форпроизведение, деление,мул для выведения свойств этих функций;композиция двух функций).
- применение алгоритма исследования функции в разСложные функции
личных контекстах;• Обратимые функции. Обратная
- использование свойств функций в различных контекфункциястах;- применение терминологии и символики, адекватной
Новые элементы математической
понятию функция, в том числе при общении;терминологии:- перевод проблемы, проблемных ситуаций из различсужение функции, расширениеных областей на язык функций;  функции, композиция функции,- применение функций для идентифицирования и опиидентичные функции, чётная
сания  физических, химических, биологических, социфункция, нечётная функция,альных, экономических явлений и процессов;периодическая функция, обратимая - обоснование и аргументирование полученных резульфункция, ограниченная функция.
татов и использованных технологий.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся кприменению изученных функций, и решение
полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения изученных функций в различных областях.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Разработанная схема;IV. Функции

18

 Решённые математические софизмы; Применённый алгоритм; Приведённый контрпример; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
5.1. Распознавание и использование V. Числовые функции. Уравнения. Решение упражнений и задач на:терминологии и обозначений,Неравенства. Системы и- распознавание изученной функции по заданному
соответствующих понятиям
совокупности
графику и/или аналитическому способу задания;числовая функция, уравнение,V.1. Функция I степени
- классифицирование изученных функций и их свойств
неравенство, система,по различным критериям;совокупность в различных
• Понятие функция I степени. График - исследование свойств функций, имеющих локальный
контекстах.
функции I степени. Свойстваили глобальный характер, в реальных и/или
5.2. Распознавание в различных
функции I степени. Угловой
смоделированных ситуациях;ситуациях функциональных
коэффициент прямой
- перевод на математический язык конкретных ситуаций
зависимостей вида функций I, II • Уравнения I степени с одним неизиз различных областей, которые описываются функцистепеней, степенной функции,вестным
ями I, II степеней, степенной функцией, функцией рафункции радикал, показательной • Понятие совокупность. Совокупнодикал, прямой пропорциональностью, обратной простепени, логарифмическойсти уравнений, неравенств, систем
порциональностью, показательной, логарифмической
функции, функции модуль,• Системы двух уравнений I степени
функциями;прямая пропорциональность,с одним неизвестным, с двумя
- распознавание и классифицирование изученных
обратная пропорциональность.
неизвестными. Методы решения
типов уравнений, неравенств, систем по различным
5.3. Перевод на математический
систем уравнений (метод подстакритериям;язык конкретных ситуаций
новки, метод сложения, графиче- - выявление метода/методов решения соответствующеиз реальных и/илиский метод)го класса уравнений, неравенств, систем;смоделированных ситуаций,• Уравнения I степени с одним
- моделирование ситуаций из повседневной жизни, вкоторые описываются функциями
неизвестным и с модулем и/илитом числе из предпринимательской деятельности поI, II степеней, степенной  параметром
средством изученных типов функций, уравнений, нефункцией, функцией радикал,• Неравенства I степени с одним неравенств, систем;прямой пропорциональности,известным
- анализ решения уравнения, неравенства, системы вобратной пропорциональности,  контексте корректности, простоты, чёткости и значимопоказательной, логарифмическойсти полученных результатов;функциями.

19

5.4. Классифицирование изученных • Неравенства I степени с одним
- решение указанных в куррикулуме типов уравнений,числовых функций, уравнений,неизвестным с модулем:неравенств, систем адекватными методами;неравенств, систем посоставление и решение   задач на функции, уравнения,f ( x) < g ( x); f ( x) < g ( x)различным критериям.
(знакнеравенства, системы уравнений, системы неравенств
5.5. Применение графических
"<" может быть заменен на  ">",  из практической действительности и/или из   других
методов при решении
"≥", "≤")
областей.
уравнений, неравенств, систем   • Системы неравенств I степени с Исследование конкретных случаев из реальных и/илиуравнений.
одним неизвестным
смоделированных ситуаций, относящихся к
5.6. Решение изученных типов
применению изученных типов функций, уравнений,V.2. Функция II степени
уравнений, неравенств, систем
неравенств, систем, и решение полученных задач.
• Понятие функция II степени. Граиз двух уравнений, системфик функции II степени. Свойства  Выполнение практических работ, в том числе нанеравенств.
местности по применению изученных типов функций,функции II степени
5.7. Перевод некоторых реальных и/ • Уравнения II степени. Классификауравнений, неравенств, систем  в практическойили смоделированных ситуаций
деятельности.
ция уравнений II степенина язык уравнений, неравенств, • Решение уравнений II степени. Со-  Реализация исследований/изысканий относительно
систем уравнений/неравенств,применения изученных типов функций, уравнений,отношения Виета
решение полученной задачи инеравенств, систем в различных областях.
• Неравенства II степени
интерпретированиерезультатов. • Геометрическая трактовка уравне-  Применение дидактических игр в процессе
5.8. Анализирование решения
преподавания – учения – оценивания изученных типовний второй степени с двумя неизуравнения, неравенства, системы
функций, уравнений, неравенств, систем.
вестными: x 2 + y 2 = r 2
в контексте корректности,Рекомендуемые результаты/продукты:222( x − a) + ( y − b) = r
простоты, чёткости и значимости Решённый пример;полученных результатов.
 Решённая задача;x ⋅ y = k , k ∈ R∗ ;2
 Исследуемый случай с практическим уклоном;y = ax + bx + c, a ≠ 0.
 Разработанная схема;• Системы двух алгебраических Применённый алгоритм;уравнений I, II степеней Дидактическая игра «Домино»;• Системы симметрических урав Проект «Функции вокруг нас»;нений, однородных уравнений II
 Проект «Уравнения, неравенства, используемые пристепени
изучении других школьных дисциплин»;• Уравнения II степени с модулем, с  Проект «Показательные и логарифмические функции впараметром
различных областях»;• Рациональные уравнения и Составленная Матрица ассоциаций;неравенства с одним неизвестным  Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

20

f ( x ) ± n g ( x ) = ax + b;nf ( x ) ± n g ( x ) = n h ( x ),где f и g – функции изученных типов
(знак "<" может быть заменен на">",  "≥", "≤"), n ∈ N ∗g ( x ) ⋅ 2 n f ( x ) < 0,где f и g –  функции изученныхтипов• Иррациональные неравенстватипа:f ( x) < g ( x);g ( x ) ⋅ 2 n f ( x ) = 0, n ∈ N ∗ ,n ∈ {2, 3} ;na, b ∈ R, n ∈ {2, 3} ;f ( x ) = ax + b; a, b ∈ R, n ∈ {2, 3} ;nV.3. Степенная функция.
Функция радикал
• Понятие степенная функция. График степенной функции.
Свойства степенной функции
• Понятие функция радикал. График
функции радикал.
Свойства функции радикал
• Иррациональные уравнения типа:21• Понятие показательная функция
• График показательной функции.
Свойства показательной функции
• Понятие логарифмическая функция
• График логарифмической функции.
Свойства логарифмической функции
• Показательные уравнения типа:1. a f ( x ) = a g ( x ) , где f и g – функции
изученных типов;2. показательные уравнения,приводимые к изученным
алгебраическим уравнениям;3. уравнения типов 1-2 спараметром;4. показательные уравнения типа:n ⋅ a 2 x + m ⋅ a x b x + p ⋅ b2 x = 0
5. уравнения типа 1-3 с модулем
• Показательные неравенства типа:1. a f ( x ) < a g ( x ) , где f и g – функции
изученных типов (знак "<" может
быть заменен знаками ">", "≥","≤");
2. показательные неравенства, приводимые к изученным алгебраическим неравенствам

V.4. Показательная функция.
Логарифмическая функция

22
3. log a f ( x ) ± log a g ( x ) < log a h ( x ) ,где f и g – функции изученных типов, a > 0, a ≠ 1;
4. логарифмические неравенства,приводимые к изученным алгебраическим неравенствам;5. логарифмические неравенства
типа:
log mx + n a < b; a > 0, b ∈ {1, 2} ;m, n ∈ R

2. log a f ( x ) < log a g ( x ) ;• Логарифмические уравнения типа:1. log a f ( x ) = b
2. log a f ( x ) = log a g ( x )3. log a f ( x ) ± log a g ( x ) = log a h ( x ) ,a > 0, a ≠ 1 и/или a = mx + n, m,
n ∈ R , где f и g – функции изученных типов;4. логарифмические уравнения, приводимые к изученным алгебраическим уравнениям;5. логарифмические уравнения типа1-4 с модулем
• Логарифмические неравенства
типа:
1. log a f ( x ) < b;

23

6.1. Распознавание и применение
терминологии и обозначений,относящихся к элементам триго- • Тригонометрическая окружность.
нометрии, в реальных и/или смоПреобразование единиц измеределированных ситуациях.
ния углов из градусов в радианы и
6.2. Распознавание элементов
обратно
тригонометрии в различных
• Тригонометрические функции сиконтекстах.
нус, косинус, тангенс, котангенс,6.3. Применение элементов тригосеканс, косеканс
нометрии при распознавании и • Графики тригонометрических
описании явлений/процессов изфункций синус, косинус, тангенс,различных областей.
котангенс. Свойства
6.4. Выявление некоторых свойств
• Основные тригонометрические
тригонометрических функций
тождества
посредством чтения графиков
• Формулы приведения
и/или соответствующих формул. • Формулы суммы
6.5. Выполнение тригонометриче• Формулы двойного угласких вычислений в различных
• Формулы универсальной подстаконтекстах, используя таблицы
новкизначений, формулы, инструмен- • Вычисление  значений синуса, коты ИКТ.
синуса, тангенса, котангенса часто
используемых углов

Новые элементы математической
терминологии:показательная функция,логарифмическая функция,иррациональное уравнение,показательное уравнение,логарифмическое уравнение,иррациональное неравенство,показательное неравенство,логарифмическое неравенство,совокупность уравнений/неравенств.
VI. Элементы тригонометрии Решение упражнений и задач на:- распознавание изученных элементов тригонометрии вразличных контекстах;- преобразование единиц измерения углов из градусовв радианы и обратно;- изображение на тригонометрической окружности
углов различных величин;- применение элементов тригонометрии при решении
прямоугольного треугольника;- выполнение тригонометрических  вычислений вразличных контекстах;- описание геометрических конфигураций посредством
изученных элементов тригонометрии;- выявление некоторых свойств тригонометрических
функций посредством чтения графиков и/или соответствующих формул;- оптимизирование тригонометрических вычислений,используя адекватные тригонометрические формулы итождества;24

6.6. Перевод на тригонометрический • Понятия арксинус, арккосинус,- классифицирование изученных типови геометрический языки реальарктангенс, арккотангенс.
тригонометрических уравнений по различнымной и/или смоделированной
Свойства: arcsin(-a) = - arcsin a;критериям;ситуации, решение полученной
arccos a =  - arccos a; arctg a =- решение соответствующего класса
задачи и интерпретирование
-arctg a; arcctga =  - arcctga.
тригонометрических уравнений;результатов.
Вычисление  значений арксинус,- решение простейших тригонометрических неравенств;6.7. Классифицирование изученных
арккосинус, арктангенс,- составление и решение   задач с применением триготипов тригонометрических
арккотангенс часто используемых
нометрии из практической действительности и/или из   уравнений по различным
чиселдругих областей.
критериям и решение этих• Простейшие тригонометрические  Исследование конкретных случаев из реальных и/уравнений.
уравненияили смоделированных ситуаций, относящихся к
6.8. Обоснование и аргументирова- • Тригонометрические уравнения,применению изученных элементов тригонометрии, иние полученных или заданных
приводимые к изученным алгерешение полученных задач.
результатов с элементами тригобраическим уравнениям I, II степе-  Выполнение практических работ, в том числе нанометрии.
нейместности по применению изученных элементов
• Однородные тригонометрические
тригонометрии в практической деятельности.
уравнения I, II степеней Реализация исследований/изысканий относительно
• Тригонометрические уравнения
применения изученных элементов тригонометрии ввида: asinx + bcosx = c, a, b, c  Rразличных областях.
• Простейшие тригонометрические  Применение дидактических игр в процессе
неравенства
преподавания – учения – оценивания изученных
элементов тригонометрии.
Новые элементы математической
Рекомендуемые результаты/продукты:терминологии: Решённый пример;радианная мера, ориентированные  Решённая задача;углы и дуги, тригонометрическая Исследуемый случай с практическим уклоном;окружность, тригонометриче Разработанная схема;ские функции, прямая тангенсов, Решённые математические софизмы;прямая котангенсов, тригономе Применённый алгоритм;трическое тождество, формулы Проект "Тригонометрия в строительстве";приведения, арксинус, арккосинус, Проект "Элементы тригонометрии в физике";арктангенс, арккотангенс, триго-  Составленная Матрица ассоциаций;нометрическое уравнение, основное  Понятийная карта, составленная к модулю;тригонометрическое уравнение, Решённый суммативный тест.
однородное тригонометрическое
уравнение, тригонометрическое
неравенство.

25

7.1. Распознавание и применение
VII. Геометрические фигуры наРешение упражнений и задач на:в различных контекстах
плоскости.
- распознавание в различных контекстах и классифицитерминологии и обозначений,Повторение и дополнения
рование по разным критериям изученных геометричеотносящихся к изученным
ских фигур и их свойств;геометрическим фигурам.
• Основные геометрические поня- определение взаимных расположений изученных гео7.2. Распознавание в различных
тия (точка, прямая, плоскость, расметрических фигур в реальных  и/или смоделированконтекстах и классифицирование
стояние, величина угла)ных ситуациях;по разным критериям изученных • Окружность. Хорды. Дуги. Круг.
- изображение на плоскости изученных геометрических
геометрических фигур.
Метрические соотношения вфигур, в том числе  используя адекватные чертежные
7.3. Определение взаимных
окружности
инструменты и инструменты ИКТ;  расположений изученных
• Взаимные расположения прямой и - решение задач, проблемных ситуаций и анализ решегеометрических фигур
окружности
ния   в контексте корректности, простоты, четкости ив реальных и/или• Центральный угол. Вписанный
значимости полученных  результатов;смоделированных ситуациях.
угол- применение терминологии и  изученной геометриче7.4. Изображение на плоскости
• Треугольники. Классификация треской символики, в том числе  в процессе общения;изученных геометрических
угольников
- анализ и интерпретирование полученных результатов
фигур, в том числе используя
• Конгруэнтные треугольникипри решении практических задач с использованием
адекватные чертежные
• Замечательные линии в треугольизученных элементов геометрии;инструменты и инструменты ИКТ.
нике. Свойства
- определение истинностного значения математическо7.5. Применение в различных
• Подобие треугольников. Признаки.
го высказывания, используя аргументы и/или доказаконтекстах свойств изученных
Теорема Фалеса. Основная теоретельства;геометрических фигур.
ма подобия        - составление и решение геометрических задач из прак7.6. Применение изученных
• Теорема о биссектрисе
тической действительности и/или из других областей.
геометрических фигур привнутреннего угла треугольника Исследование конкретных случаев из реальных
распознавании и описании
• Метрические соотношения в треуи/или смоделированных ситуаций, относящихся кявлений/процессов из различных
гольнике. Теорема синусов, теореприменению изученных геометрических фигур, иобластей.
ма косинусов
решение полученных задач.
7.7. Перевод на геометрический
• Вписанный треугольник в окруж Выполнение практических работ, в том числе наязык реальной и/илиность. Описанный треугольник
местности по применению изученных геометрических
смоделированной ситуации,окружности
фигур  в практической деятельности.
решение полученной задачи и• Выпуклые четырехугольники: Реализация исследований/изысканий относительно
интерпретирование  результатов.
параллелограмм, частные
применения изученных геометрических фигур  впараллелограммы, трапеция.
различных областях.
Свойства. Признаки

26
В конце X класса УЧЕНИК МОЖЕТ:Новые элементы математической
терминологии:теорема о биссектрисе
внутреннего угла треугольника,теорема синусов, теорема косинуса.

• Четырехугольники, вписанные в Реализация индивидуальных/групповых проектов,окружность. Четырехугольники,в том числе проектов STEM/STEAM в контексте
описанные окружности
применения изученных геометрических фигур в• Выпуклые многоугольники.
реальных и/или смоделированных ситуациях.
Понятие правильный
многоугольник
Рекомендуемые результаты/продукты:• Правильные многоугольники (рав-  Решённый пример;носторонний треугольник, квадрат,  Решённая задача;правильный шестиугольник), впи-  Исследуемый случай с практическим уклоном;санные в окружность. Правильные  Проект STEM "Правильные шестиугольники в мобильмногоугольники (равностороннийной телефонии";треугольник, квадрат, правиль Разработанная схема;ный шестиугольник), описанные    Практическая работа на местности "Измерение длинокружности
отрезков, величин углов, периметров, площадей во• Площади многоугольных
дворе школы";поверхностей для: треугольника Проект "Ремонт в своей комнате";1 Проект "Уравнения, неравенства, используемые при A = aha , формула Герона,изучении других школьных дисциплин";2Применённый
алгоритм;
1
abc
=
A =
ab sin α , A, Проект "Модели узоров тротуаров";2
4R
 Проект STEАM "Молдавский ковёр";a+b+c
A = pr , p =, Составленная Матрица ассоциаций;2 Понятийная карта, составленная к главе;квадрата, прямоугольника, Решённый суммативный тест.
параллелограмма, ромба,трапеции, правильного
многоугольника
• Длина окружности. Площадь круга

7.8. Составление плана для решения
задачи по геометрии и решение
задачи согласно составленному
плану.
7.9. Вычисление длин отрезков,величин углов, периметров,площадей в реальных и/илисмоделированных ситуациях,используя адекватные
инструменты и единицы
измерения.
7.10. Определение истинностного
значения высказывания, выводаоб изученных геометрических
фигурах, используя аргументы
и/или доказательства.

27• использовать действительные числа при выполнении вычислений в различных контекстах;• применить действительные числа, в том числе пропорции и проценты, степени, корни и логарифмы в различных областях:в практической деятельности, физике, химии, биологии, литературе, искусстве, финансах, экономике, истории, географии,предпринимательстве;• применять множества для распознавания и описания ситуаций, процессов, явлений из различных областей;• рапознавать функциональные зависимости в различных контекстах;• распознавать и применять терминологию и обозначения, относящиеся к  понятию функция в различных ситуациях, включительно при общении;  • распознавать и применять терминологию и обозначения, относящиеся к тригонометрии в различных ситуациях, включительно при общении;  • изобразить график функции и интерпретировать полученные и/или заданные графики;• применить изученные функции и их свойства при решении задач, при изучении и описании различных ситуаций, явлений,процессов из физики, химии, биологии, экономики, социологии и т. п.;• выбрать адекватный метод и сможет его применить при решении изученных уравнений, неравенств и систем уравнений/неравенств;• применить метод математической индукции и/или метод от противного при доказательстве теорем, тождеств;  • использовать действия с одночленами, многочленами, алгебраическими дробями при упрощении математических выражений, доказательстве тождеств;• применить элементы тригонометрии при решении прямоугольного треугольника и при нахождении величин углов (в градусах, в радианах);• распознавать и изображать на плоскости изученные геометрические фигуры, используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ;  • перевести на геометрический язык реальную и/или смоделированную ситуацию, относящуюся к изученным геометрическим фигурам, решить полученную задачу и интерпретировать полученные результаты;• применить метод подобия треугольников и метод конгруэнтных треугольников при решении задач из различных обла-

28

•

•
•
•

•

•

•

•

•

стей;
распознать в различных высказываниях и применить при решении задач из различных областей (физики, географии, химии, биологии, истории, искусства, технологии, строительства и т. п.) формулы для вычисления площадей изученных планиметрических фигур;  изобразить адекватно на плоскости изученные геометрические фигуры в контексте вычисления длин отрезков, величин
углов и площадей;распознать и применить в различных ситуациях терминологию и обозначения, относящиеся к изученным геометрическим
фигурам;применить изученные геометрические фигуры и их свойства при решении задач, при изучении и описании ситуаций, явлений, процессов из физики, химии, биологии, экономики, социологии и т. п.;выполнить прикидку и вычислить длины отрезков, величины углов, периметров и площадей  в реальных и/или смоделированных ситуациях;разработать план решения задачи и решить задачу согласно составленному плану;обосновать полученный заданный результат или вывод путём приведения аргументов, доказательств;анализировать решения уравнения, неравенства, системы в контексте корректности, простоты, чёткости и значимости
полученных результатов;определить истинностное значение полученного и/или заданного высказывания, вывода.
XI класс

29Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельностии её результаты/продукты
1.1. Распознавание
I. Последовательности
Решение упражнений и задач на:последовательностей,действительных чисел
- распознавание и приведение примеров последовательноарифметических истей, арифметических и геометрических прогрессий в разгеометрических прогрессий • Понятие последовательность
личных контекстах;в различных контекстах.
действительных чисел. Конечные - применение терминологии  и обозначений, относящихся к
1.2. Распознавание ии бесконечные последовательности
понятиям последовательность, арифметическая прогрессия  применение в различных • Ограниченные последовательностии арифметическая прогрессия в различных контекстах;контекстах терминологии и • Монотонные последовательности                  - определение элементов последовательности, заданной
обозначений, относящихся • Арифметическая прогрессия. Свойформулой, рекуррентно;к последовательностям и
ства. Приложения
- определение монотонности, ограниченности, сходимости
прогрессиям.
• Геометрическая прогрессия. Свойпоследовательностей;1.3. Классифицирование
ства. Приложения
- классифицирование и описание последовательностей попоследовательностей по• Предел последовательности.  
различным критериям;критериям: конечные,Определения на языке окрестно- построение примеров конечных, бесконечных, ограниченбесконечные, монотонные,стей, на языке  − ных, монотонных последовательностей;  ограниченные,• Понятие сходящейся последова- анализирование и интерпретирование результатов,сходящиеся, расходящиеся
тельности. Понятие расходящейся
полученных при решении задач на применение  последовательности.
последовательности
последовательностей, прогрессий;1.4. Охарактеризирование
- применение последовательностей, прогрессий в различных
последовательностей,областях, в том числе при реализации простых проектов;используя различные
- составление и решение задач на последовательности,представления (формулы,прогрессии из практической действительности и/или из   графики) и/или ихдругих областей.
свойства.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к применению
изученных последовательностей и прогрессий, и решение
полученных задач.

Единицы компетенций

30

1.5. Анализирование иНовые элементы математической Реализация исследований/изысканий относительно
интерпретирование
терминологии:применения последовательностей и прогрессий врезультатов, полученных
ограниченная/неограниченная
различных областях.
при решении задач
последовательность, нижняя/ Реализация индивидуальных/групповых проектов вна применение
верхняя грань, монотонная
контексте применения последовательностей и прогрессий впоследовательностей,последовательность,реальных и/или смоделированных ситуациях.
прогрессий.
возрастающая/убывающая/Рекомендуемые результаты/продукты:1.6. Применение
строго возрастающая/строго Исследуемый случай с практическим уклоном;последовательностей,убывающая последовательность, Устный ответ;прогрессий в различных
постоянная последовательность, Решённый пример;областях.
арифметическая прогрессия, Письменный ответ;1.7. Обоснование  полученного геометрическая прогрессия, Решённая задача;и/или заданного результата n-ый член прогрессии, разность Решённый итем;или вывода в контексте
прогрессии, знаменатель Устная/письменная аргументация;последовательностей
прогрессии, формула общего члена Разработанный план идей;и прогрессий путём
последовательности, окрестность  Проект "Прогрессии в различных областях";приведения аргументов,точки, предел последовательности,  Составленная Матрица ассоциаций;доказательств.
сходящаяся/расходящаяся Понятийная карта, составленная к модулю;последовательность.
 Решённый суммативный тест.
2.1. Описание функций и
II. Пределы функций.
Решение упражнений и задач на:интерпретирование
Непрерывные функции
- определение точек накопления, изолированных точек разсвойств функций
личных множеств;посредством чтения
• Точка накопления, изолированная - чтение графиков и/или аналитических формул в контекграфиков и/илиточка множествасте охарактеризования функции и интерпретирования еесоответствующих
• Понятие предел функции в точке.
свойств;аналитических формул.
Определения на языке окрестно- вычисление пределов функций, используя пределы эле2.2. Применение алгоритма
стей, на языке
ментарных функций и операции с пределами функций;вычисления предела функ- • Понятие предел функции на ±∞ .
- вычисление пределов функций в точке, применяя специфиции в точке и изученных
• Односторонние пределы
ческие алгоритмы для исключения неопределенностей при  алгоритмов исключения  • Пределы Элементарных функций
решении задач;неопределенностей при• Операции над пределами функций. - определение асимптот графиков функций;решении задач.
Вычисление пределов функций

31

2.3. Распознавание и исполь- • Неопределенности в операциях
зование терминологии инад пределами функций
символики, адекватной по- • Замечательные пределы
xxнятиям предел, непрерывsinsinxx
 11
lim
lim==11; ; limlim11++  ==ee; ;ность функции в различных
x→x→
0 0 xxx→x→00
 xx
контекстах.
11
2.4. Распознавание
lim
lim(1(1++xx))x x ==ee. .
x→x→00непрерывности, точек
непрерывности функции на • Асимптоты графиков числовых
основании аналитических
функций
формул.
• Понятие непрерывная функция в
2.5. Применение свойств
точке. Точка разрыва            непрерывных на• Функция непрерывная на множемножестве функций в
стве. Непрерывность слева. Непреразличных контекстах.
рывность справа         2.6. Приведение примеров
• Критерии непрерывности
функций, композиции
• Непрерывность элементарных
функций, которые
функций
имеют/не имеют предел
• Свойства непрерывных функций.  
в заданной точке,Теорема Дарбу, теорема Больцаноявляются/не являются
Коши об аннулировании функции
непрерывными назаданном промежутке.
2.7. Анализирование решения
задач на применение
непрерывных функций вконтексте корректности,простоты, чёткости изначимости полученных
результатов.
- рапознавание непрерывности, точек непрерывности функции на основании аналитических формул и/или чтения графиков;- выполнение операций с непрерывными функциями;- применение свойств непрерывных на промежутке функцийв различных контекстах;- приведение примеров функций, композиции функций,имеющих/не имеющих предела в заданной точке, являющихся/не являющихся непрерывными на заданном промежутке;- использование терминологии и символики, адекватной
понятиям предел, непрерывность функции, в различных
контекстах;- обоснование и аргументирование примененных математических рассуждений и полученных результатов при решении задач.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к применению
пределов функций, и решение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения пределов функций в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектовв контексте пределов функций в реальных и/илисмоделированных ситуациях.

32

2.8. Обоснование полученного Новые элементы математической
Рекомендуемые результаты/продукты:и/или заданного результата терминологии: Исследуемый случай;или вывода на пределы
точка накопления, изолированная Решённый пример;и непрерывность путём
точка, замкнутое множество, Решённая задача;приведения аргументов,компактное множество, предел Разработанная схема;доказательств.
функции в точке, предел функции на  Устная/письменная аргументация;±∞, односторонние пределы, предел  Составленный план идей;слева/предел справа, неопределенно-  Проект "Применение непрерывности функций при решести, замечательные пределы, асимнии уравнений и неравенств";птоты, вертикальная асимптота/  Составленная Матрица ассоциаций;наклонная асимптота, функция не-  Понятийная карта, составленная к модулю;прерывная в точке, функция непре Решённый суммативный тест.
рывная на множестве, точка разрыва, точка разрыва первого порядка/второго порядка, односторонняя
непрерывность, непрерывность слева/справа, теорема Дарбу, теорема
Больцано-Коши об аннулировании
функции.
3.1. Распознавание в
III. Дифференцируемые функции. Решение упражнений и задач на:различных контекстах
Применение производной
- приведение примеров дифференцированных функций и/дифференцированныхили недифференцированных функций в точке, на промефункций и/или• Задачи из различных областей,жутке;
недифференцированных
приводящие к понятию произво- вычисление производных функций, используя таблицу профункций в точке.
днаяизводных;3.2. Применение алгоритмов
• Понятие производная, правая, ле- - вычисление значений производных функций в специфичедифференцированиявая производная функции в точке.
ских точках;при решении задач и   Функции, дифференцируемые на- построение касательной к графику функции и нахождение
исследовании реальных
множествеее углового коэффициента;и/или смоделированных
• Таблица производных элементар- - нахождение мгновенной скорости, ускорения тела;процессов.
ных функций
- написание уравнения касательной к графику функции в различных контекстах;33

3.3. Изучение функции,используя алгоритм
исследования функции.
3.4. Использование свойств
дифференцируемых
функций, имеющих
локальный и/илиглобальный характер,при решении задач намаксимум и минимум изразличных областей.
3.5. Применение методов,основанных наприменении производной,дифференциала каккачественно новые методы
исследования функции,решения теоретических
и/или практических задач.
3.6. Использование
механического игеометрического смыслов
производной при решении
задач из различных
областей.
3.7. Анализирование
решения проблем,проблемных ситуаций наприменение производных,дифференциалов функцийв контексте корректности,простоты, четкости изначимости полученных
результатов.
• Вычисление производных. Правила - нахождение дифференциала заданной функции;вычисления производных
- нахождение дифференциала функции в заданной точке;• Производная сложной функции (не - применение производных при изучении физических, соболее трех функций)циальных, экономических процессов посредством решения
• Производная n-го порядка
задач на максимум и/или на минимум;- применение теорем Ферма, Ролля, Лагранжа при решенииn ( n ∈ {2, 3})задач;• Физический смысл производной.
Приложения производной в физи- - нахождение интервалов монотонности, критических точек,точек локального экстремума и локальных экстремумов
кефункции;• Геометрический смысл произво- нахождение интервалов выпуклости и/или вогнутости, тодной. Уравнение касательной кчек перегиба графика функции;графику функции в точке
• Понятие дифференциал функции. - определение глобальных экстремумов функции;Правила вычисления  дифференци- - качественное и количественное изучение функций, используя алгоритм исследования функции и её представление;алов- применение методов, основанных на применении произво• Свойства дифференцируемых
дной, дифференциала как качественно новые методы исфункций: теоремы Ферма, Ролля,следования функции, решения теоретических и/или пракЛагранжа
тических задач;• Критические точки. Точки экстрему- вычисление пределов функций с помощью производной,ма, экстремумы функции
используя правила Лопиталя;• Приложения производной 1 и 2- решение задач на максимум и минимум из разных облапорядка в исследовании элеменстей, в том числе из геометрии, физики, экономики и т. п.,тарной функции и/или сложной
используя производную;функции, состоящей из не более
- обоснование и аргументирование применённых математи2-х элементарных функций
ческих рассуждений и полученных результатов при реше• Графическое изображение функциинии задач.
• Вычисление пределов функции с Исследование конкретных случаев из реальных и/или смопомощью производной. Правила
делированных ситуаций, относящихся к применению дифЛопиталя
ференциального исчисления, и решение полученных задач.
• Задачи на максимум и минимум Реализация исследований/изысканий относительно
применения дифференциального исчисления в различных
областях.

34

3.8. Применение производныхпри изучении
физических, социальных,экономических процессов
посредством решения
задач на максимум и/илина минимум.
3.9. Обоснование полученного
и/или заданного
результата или выводана дифференциальное
исчисление путём
приведения аргументов,доказательств.

Новые элементы математической
терминологии:приращение аргумента, приращение функции в точке, касательнаяк графику функции в заданной точке, производная функции в точке,функция, дифференцируемая в точке, область дифференцируемости
функции, функция, дифференцируемая на множестве, правила вычисления производных, производная
сложной функции, производная n-гопорядка, физический смысл производной, смысл производной, уравнение
касательной, дифференциал функции, критические точки локального
экстремума, локальные/глобальные
экстремумы, интервалы выпуклости/вогнутости, точка перегиба,правила Лопиталя, задачи на максимум и минимум.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённая задача; Решённый пример; Разработанная схема; Устная/письменная аргументация; Составленный план идей; Проект STEM "Применение производной в экономике"; Проект "Задачи на максимум и минимум в практической
деятельности"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

 Реализация индивидуальных/групповых проектов,в том числе проекты STEM в контексте применения
дифференциального исчисления в реальных и/илисмоделированных ситуациях.

35

4.1. Распознавание
IV. Комплексные числа
Решение упражнений и задач на:и использование
- выявление необходимости расширения понятия числа;терминологии и• Понятие комплексное число. Мно- - использование терминологии, адекватной понятию комобозначений, адекватных
жество C. Алгебраическая форма
плексное число, в различных контекстах.
понятию комплексное
комплексного числа
- распознавание действительной и мнимой частей комплексчисло, в различных
• Арифметические операции с комного числа;контекстах.
плексными числами, записанными - выполнение операций с комплексными числами, записан4.2. Применение комплексных   в алгебраической форме
ными в разных формах;чисел, записанных
• Геометрическое изображение ком- - применение комплексных чисел, записанных в алгебраичев алгебраической иплексных чисел
ской и тригонометрической формах, операций с ними притригонометрической
• Модуль комплексного числа
решении задач;формах, операций с ними • Тригонометрическая форма ком- геометрическое изображение комплексных чисел, модуляпри решении задач.
плексного числа
комплексного числа;4.3. Изображение заданного
• Операции с комлексными числами, - применение геометрических изображений комплексных
комплексного числа и егозаписанными в тригонометричечисел при решении задач;модуля на координатной
ской форме (умножение, деление, - преобразование комплексных чисел из алгебраической
плоскости, использование
возведение в степень с натуральформы в тригонометрическую форму и обратно;таких изображений приным показателем, извлечение кор- - подбирание адекватной формы записи комплексного числа
решении задач.
ня n степени, n, 2 ≤ n ≤ 4, n ∈ N ∗ )в зависимости от конкретного случая с целью решения со4.4. Преобразование
• Уравнения  II степени, биквадратответствующей задачи;комплексных чисел изные уравнения, биномные уравне- - решение уравнений II степени, биквадратных уравнений,алгебраической формы
ния ( n ∈ {2, 3, 4}) , симметрические
биномных уравнений, симметрических уравнений III и IVв тригонометрическую
уравнения III и IV степеней на мностепеней на множестве C;форму и обратно.
жестве C- обоснование и аргументирование применённых математи4.5. Применение комплексных
ческих рассуждений и полученных результатов при решечисел и подбираниении задач.
формы представления Исследование конкретных случаев из реальных и/или смокомплексного числа
делированных ситуаций, относящихся к применению комв зависимости отплексных чисел, и решение полученных задач.
выполнения вычислений и Реализация исследований/изысканий относительно
решения задач.
применения комплексных чисел в различных областях.

36

4.6. Отбор и применение
Новые элементы математической
адекватных алгоритмов для терминологии:выполнения вычислений с число i, комплексное число, дейкомплексными числами.
ствительная/мнимая часть, ал4.7. Решение на множестве
гебраическая форма комплексногоC уравнений II степени,числа, тригонометрическая форма
биквадратных уравнений, комплексного числа, чисто мнимое
биномных уравнений,число, сопряжённое число, модуль
симметричных уравнений комплексного числа, изображение
III и IV степеней.
комплексного числа, комплексная
4.8. Обоснование полученного координатная плоскость, действии/или заданного результата тельная ось, мнимая ось, аргументили вывода, относящихся
комплексного числа, главный аргук комплексным числам,  мент комплексного числа, корень
путём приведения
n-ого порядка комплексного числа,аргументов, доказательств. биномное уравнение, симметрическое уравнение.
5.1. Распознавание
V. Матрицы. Определители.
и использование
Системы линейных уравнений
терминологии иобозначений, адекватных • Понятие матрица. Частные слупонятиям матрица,чаиопределитель, в• Действия с матрицами. Свойства
различных контекстах.
• Понятие определитель второго
5.2. Распознавание впорядка, третьего порядка, n-го поразличных ситуациях  рядкаизученных типов матриц,• Основные свойства, необходимые
определителей, системдля вычисления определителей
линейных уравнений.
• Вычисление определителей второго, третьего, четвертого порядков
• Обратимая матрица. Вычисление
обратной матрицы
Решение упражнений и задач на:- распознавание в различных ситуациях изученных типов
матриц, определителей, систем линейных уравнений;- применение в различных контекстах терминологии, адекватной понятию матрица;- выполнение операций с матрицами;- вычисление определителей второго, третьего, четвертого
порядков;- нахождение обратной матрицы для заданной матрицы;- решение уравнений и систем уравнений, используя алгоритмы, специфичные вычислению матриц и/или определителей;- определение  условий совместности и/или несовместности
систем линейных уравнений и применение адекватных
методов их решения;Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай; Решённая задача; Решённый пример; Разработанная схема; Устная/письменная аргументация; Составленный план идей; Проект "Приложения комплексных чисел в науке и технике"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения комплексных чисел в реальных
и/или смоделированных ситуациях.

37

5.3. Применение правил
матричного исчисления,правил вычисления  определителей прирешении задач.
5.4. Решение уравненийи систем уравнений,используя алгоритмы,специфичные вычислению
матриц и/илиопределителей.
5.5. Определение условий
совместности и/илинесовместности систем
линейных уравнений иприменение адекватных
методов их решения.
5.6. Моделирование
практических ситуаций,реальных процессов, втом числе из техникии экономики, включая  данные в таблицы  матричного типа.
5.7. Анализирование решения
задач на вычисление
матриц, определителейи систем линейных
уравнений  в контексте
корректности, простоты,чёткости и значимости
полученных результатов.

• Матричные уравнения
- моделирование практических ситуаций, реальных процесAX = B; YA = B
сов, в том числе из техники и экономики, включая данные в• Системы линейных уравнений типатаблицы матричного типа;∗mmxn- обоснование и аргументирование применённых математи×n,, m, n ∈ N , m ≤ 4, n ≤ 4• Правило Крамера, метод Гаусса,ческих рассуждений и полученных результатов при решематричный метод     нии задач.
• Однородные системы линейных Исследование конкретных случаев из реальных и/или смоуравнений типаделированных ситуаций, относящихся к применению ма∗mmxnтричного исчисления, и решение полученных задач.
×n,, m, n ∈ N , m ≤ 4, n ≤ 4 Реализация исследований/изысканий относительно
Новые элементы математической
применения матричного исчисления в различных областях.
терминологии: Реализация индивидуальных/групповых проектов вматрица, строка i, столбец j, кваконтексте применения матричного исчисления в реальных
дратная матрица n-го порядка,и/или смоделированных ситуациях.
главная диагональ, второстепенная
диагональ, нижнетреугольная маРекомендуемые результаты/продукты:трица, верхнетреугольная матрица,  Исследуемый случай;матрица строка, матрица стол Решенный пример;бец, единичная матрица, нулевая Решенная задача;матрица, ступенчатая матрица, Разработанная схема;равные матрицы, транспонирован-  Устная/письменная аргументация;ная матрица, обратимая матрица,  Проект "Приложения матриц и определителей в экономике";обратная матрица, определитель Составленный план идей;матрицы, главный определитель, Составленная Матрица ассоциаций;второстепенный определитель, Понятийная карта, составленная к модулю;правило Крамера, правило треу Решённый суммативный тест.
гольников, правило Саррюса, разложение определителя по строке/по столбцу, дополнительный минор,алгебраическое дополнение, матрица системы, расширенная матрица,матричный метод, метод Гаусса,треугольная система, трапециевидная система, однородная система.

38

5.8. Обоснование полученного
и/или заданного результатаили вывода, относящихся кматрицам, определителям,системам уравнений, путём
приведения аргументов,доказательств.
6.1. Распознавание и описание VI. Параллельность в пространстве
взаимных расположений
точек, прямых, фигур на• Аксиомы планиметрии
плоскости, плоскостей и тел • Аксиомы стереометрии. Свойствав пространстве в реальных
плоскости
и/или смоделированных
• Взаимное расположение прямых
ситуациях.
в пространстве. Угол между двумя
6.2. Распознавание и испольнекомпланарными прямыми
зование в различных кон- • Параллельные прямые в пространтекстах терминологии иствеобозначений, адекватных • Взаимное расположение прямой иотношению параллельноплоскости. Прямая, параллельнаясти в пространстве.
плоскости, свойства, признак
6.3. Построение, используя
• Взаимное расположение двух плоадекватные материалы,скостей. Параллельные плоскости,моделей взаимных рассвойства, признак
положений точек, прямых,фигур на плоскости и в про- Новые элементы математической
странстве, плоскостей и тел терминологии:в пространстве.
компланарные/некомпланарные
6.4. Изображение на плоскости точки, компланарные/некомплаплоских и/или пространнарные прямые, угол между двумя
ственных геометрических прямыми, прямая, параллельная плоконфигураций, используя
скости, пересекающиеся плоскости,адекватные инструменты. параллельные плоскости.
Решение упражнений и задач на:- описание взаимных расположений точек, прямых, фигур наплоскости, плоскостей и тел в пространстве;- моделирование, используя адекватные инструменты, в томчисле инструменты ИКТ, взаимных расположений точек,прямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей ител в пространстве;- изображение на плоскости плоских и/или пространственных геометрических конфигураций, используя адекватные
инструменты;  - доказательство параллельности прямых, прямой и плоскости, плоскостей;- применение признаков параллельности прямых, прямых иплоскостей, плоскостей при решении задач в реальных и/или смоделированных ситуациях;- распознавание плоских фигур в составе пространственных
фигур в контексте отношения параллельности;- применение свойств плоских геометрических фигур относительно их взаимного расположения и отношения параллельности в пространстве;- составление и решение задач на взаимное расположение иотношение параллельности в пространстве из действительности и/или из других областей;39

6.5. Применение признаков
параллельности прямых,прямых и плоскостей,плоскостей при решении
задач в реальных и/илисмоделированных
ситуациях.
6.6. Распознавание плоских
фигур в составе пространственных фигур в контексте
отношения параллельностив реальных и/или смоделированных ситуациях.
6.7. Применение свойств плоских геометрических фигур
относительно взаимного
расположения и отношения параллельности впространстве в различных
контекстах.
6.8. Извлечение значимых элементов и информаций изпространственных геометрических конфигураций иих плоскостных изображений для решения реальных
и/или смоделированных
задач.  
6.9. Обоснование заданногоили полученного геометрического результата посредством аргументирования,доказательства.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённая задача; Решённый итем; Разработанная схема; Практическая работа на местности "Выявление отношений
параллельности между фигурами во дворе школы"; Составленный план идей; Доказательства; Проект "Приложения элементов параллельности встроениях родного села/города"; Составленная Матрица ассоциаций;- извлечение значимых элементов и информаций из пространственных геометрических конфигураций и их плоскостных изображений для решения реальных и/или смоделированных задач;- обоснование заданного или полученного геометрического
результата посредством аргументирования, доказательства.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных/ситуаций, относящихся к применению
параллельности в пространстве, и решение полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо формированию способностей применения параллельности в пространстве в практической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно применения параллельности в пространстве в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов в контексте применения параллельности в пространстве в реальных
и/или смоделированных ситуациях.

40

6.10. Определение истинност Понятийная карта, составленная к модулю;ного значения высказыва Решённый суммативный тест.
ния, вывода о параллельности в пространстве.
7.1. Распознавание и описание
VII. Перпендикулярность
Решение упражнений и задач на:взаимных Расположений вв пространстве
- распознавание и описание взаимных расположений точек,контексте отношения пер- • Перпендикулярные прямые в пропрямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей впендикулярности, точек,странстве, свойства, признак
пространстве в контексте отношения перпендикулярности впрямых, фигур на плоско- • Прямая, перпендикулярная плоскопространстве;сти, плоскостей и тел всти, свойства, признак
- моделирование, используя адекватные материалы, инпространстве в реальных
• Ортогональные проекции точек,струменты ИКТ, различных взаиморасположений точек,и/или смоделированных
отрезков, прямых на плоскость
прямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей вситуациях.
• Расстояние от точки до прямой, отпространстве в контексте отношения перпендикулярности в
7.2. Распознавание и испольточки до плоскости, от прямой допространстве;зование в различных конплоскости
- изображение на плоскости плоских и/или пространствентекстах терминологии и• Угол между прямой и плоскостьюных геометрических конфигураций в контексте отношения
обозначений, адекватных • Теорема о трех перпендикулярах.
перпендикулярности в пространстве;отношению перпендикуОбратная теорема
- доказательство перпендикулярности прямых, прямой илярности в пространстве.
• Двугранный уголплоскости, плоскостей;7.3. Построение, используя
• Перпендикулярные плоскости,- применение признаков перпендикулярности прямых, пряадекватные материалы,свойства, признакмых и плоскостей, плоскостей;моделей взаимных рас• Длина ортогональной проекции
- распознавание плоских фигур в составе пространственных
положений точек, прямых,отрезка на плоскость. Площадь
фигур в контексте отношения перпендикулярности в профигур на плоскости и в проортогональной проекции фигуры
странстве;  странстве, плоскостей и телна плоскость
- выявление аналогий между свойствами геометрическихв пространстве в контексте
фигур на плоскости и в пространстве в контексте отношения
отношения перпендикулярперпендикулярности и их использование при решении заности.
дач;
7.4. Изображение на плоскости
- применение свойств плоских геометрических фигур в конплоских и/или пространтексте отношения перпендикулярности в пространстве вственных геометрических
различных контекстах;конфигураций, используя
- вычисление длин отрезков и величин углов на плоскости
адекватные инструменты ви в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между
контексте отношения перпрямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, двупендикулярности.
гранный угол);41

7.5. Применение признаков
Новые элементы математической
- решение задач на отношение перпендикулярности в проперпендикулярности пря- терминологии:странстве из действительности и/или из других областей;мых, прямых и плоскостей, прямая, перпендикулярная пло- обоснование заданного или полученного геометрического
плоскостей при решении
скости, ортогональная проекция
результата посредством аргументирования, доказательства;задач в реальных и/илиточки на плоскость, ортогональ- определение истинностного значения высказывания, вывосмоделированных ситуаная проекция прямой на плоскость,да о перпендикулярности в пространстве.
циях.
ортогональная проекция фигуры на  Исследование конкретных случаев из реальных и/или
7.6. Распознавание плоских
плоскость, расстояние от точки
смоделированных ситуаций, относящихся к применению
фигур в составе простран- до плоскости, теорема о трёх перперпендикулярности в пространстве, и решение
ственных фигур в контексте пендикулярах, угол между прямой иполученных задач.
отношения перпендикуляр- плоскости, двугранный угол, ребро Выполнение практических работ, в том числе наности в реальных и/илидвугранного угла, внутренняя часть
местности по формированию способностей применения
смоделированных ситуадвугранного угла, грани двугранноперпендикулярности в пространстве в практической
циях.
го угла, линейный угол двугранного
деятельности.
7.7. Извлечение значимых эле- угла, величина двугранного угла, пер-  Реализация исследований/изысканий относительно
ментов и информаций изпендикулярные плоскости.
применения перпендикулярности в пространстве впространственных геомеразличных областях.
трических конфигураций и Реализация индивидуальных/групповых проектов вих плоскостных изображеконтексте применения перпендикулярности в пространствений для решения реальныхв реальных и/или смоделированных ситуациях.
и/или смоделированных
задач.
Рекомендуемые результаты/продукты:7.8. Вычисление длин отрезков Исследуемый случай с практическим уклоном;и величин углов на плоско Решённый пример;сти и в пространстве (угол Решённая задача;между двумя прямыми, Разработанная схема;угол между прямой и пло Практическая работа на местности "Выявление отношений
скостью, угол между двумя
перпендикулярности между фигурами во дворе школы";плоскостями, двугранный Составленный план идей;угол) в реальных и/или Доказательства;смоделированных ситуа Проект "Приложения элементов перпендикулярности вциях.
строениях родного села/города";42

7.9. Обоснование заданногоили полученного геометрического результата посредством аргументирования,доказательства.
7.10. Определение истинностного значения высказывания, вывода о перпендикулярности в пространстве.
8.1. Распознавание и классифицирование по различным критериям изученных
типов Геометрических преобразований в пространстве в реальных и/или смоделированных ситуациях.
8.2. Распознавание и использование терминологии,адекватной геометрическим преобразованиям впространстве, в различных
контекстах.
8.3. Применение геометрических преобразований впространстве и их свойствв различных областях (напрактике, в технике, в искусстве).
VIII. Геометрические преобразования Решение упражнений и задач на:в пространстве
- распознавание и классификации по различным критериям
изученных типов геометрических преобразований в про• Изометрические преобразования встранстве;пространстве. Свойства
- использование терминологии, адекватной геометрическим
• Симметрия относительно точки впреобразованиям  в пространстве,   в различных контекпространстве. Свойствастах;• Осевая симметрия в пространстве. - моделирование геометрических преобразований в проСвойства
странстве, используя адекватные материалы, в том числе
• Симметрия относительно плоскоинструменты ИКТ;сти. Свойства
- изображение на плоскости геометрических конфигураций,• Параллельный перенос в пространполученных в результате применения геометрических престве. Свойства
образований;• Подобие в пространстве. Свойства - применение геометрических преобразований в простран• Поворот в пространстве. Свойства
стве и их свойств в различных контекстах;- обоснование заданного или полученного геометрического
результата посредством аргументирования, доказательства.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к применению
изученных геометрических преобразований впространстве, и решение полученных задач.

 Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

43

8.4. Моделирование, исполь- Новые элементы математической Реализация исследований/изысканий относительнозуя адекватные материалы, терминологии:применения геометрических преобразований в различных
геометрических преобраизометрическое преобразование,областях.
зований в пространстве, в осевая симметрия в пространстве,  Реализация индивидуальных/групповых проектов втом числе моделирование симметрия относительно точки вконтексте применения геометрических преобразований вреальных ситуаций изпространстве, симметрия относиреальных и/или смоделированных ситуациях.
окружающей действитель- тельно плоскости в пространстве,ности.
параллельный перенос в пространРекомендуемые результаты/продукты:8.5. Изображение на плоскости стве, подобие в пространстве, пово-  Исследуемый случай с практическим уклоном;геометрических конфигура- рот в пространстве.
 Решённый пример;ций, полученных в резуль Решённая задача;тате применения геометри Разработанная схема;ческих преобразований в Устная/письменная аргументация;пространстве.  
 Составленный план идей;8.6. Применение геометри Доказательства;ческих преобразований и Исследование "Осевая симметрия в биологии";их свойств при решении Проект "Геометрические преобразования в искусстве";задач.
 Составленная Матрица ассоциаций;8.7. Обоснование заданного Понятийная карта, составленная к модулю;или полученного геометри Решённый суммативный тест.
ческого результата, связанного с геометрическими
преобразованиями в пространстве.

44

9.1. Распознавание вЭлементы аналитической
Различных контекстах
геометрии*и классифицирование
IX. Прямая на плоскость*прямых по различным
признакам.
• Угловой коэффициент прямой
9.2. Определение Взаимного
• Угол между двумя прямыми
расположения двух прямых • Уравнения прямой (заданнаяв реальных и/или
2 точками, точкой и угловым
смоделированных
коэффициентом, "в отрезках").
ситуациях.
Общее уравнение прямой
9.3. Распознавание
• Взаимные расположения двухи использование
прямых
терминологии, адекватной • Угол между двумя прямыми
элементам аналитической • Пучок прямых.
геометрии, в разных
• Параллельность иситуациях.
перпендикулярность прямых
9.4. Применение уравнений
• Расстояние от точки до прямой
прямой при решении
• Площадь треугольника, у которого
задач.
известны координаты точек
9.5. Моделирование
вершин
Повседневных ситуаций
и/или ситуаций из других
Новые элементы математической
областей, используя
терминологии:прямые, уравнения
уравнение прямой, общее уравнение
прямых.
прямой, пучок прямых.

Решение упражнений и задач на:- распознавание прямой в различных контекстах иопределение ее углового коэффициента;- нахождение угла между двумя прямыми на плоскости;- определение отношения параллельности прямых;- определение отношения перпендикулярности прямых;- написание уравнения прямой, проходящей через дверазличные точки;- написание уравнения прямой, проходящей через заданную
точку, с заданным угловым коэффициентом;- написание уравнения прямой в "отрезках";- написание общего уравнения прямой;- применение уравнений прямых  при решении задач;- вычисление расстояния от точки до прямой, заданной
уравнением;- вычисление площади треугольника с заданными
координатами вершин;- определение взаимных расположений двух  прямых наплоскости в реальных  и/или смоделированных ситуациях;- изображение на плоскости прямых, используя чертежные
инструменты и инструменты ИКТ;- использование терминологии и обозначений, адекватных
изученным элементам аналитической геометрии,включительно при общении;- нахождение истинностного значения высказываний
посредством аргументирования, доказательств;Углубление/Расширение

XI класс

45

9.6. Перевод на аналитический
язык реальной и/илисмоделированной
ситуации, решение
полученной задачи иинтерпретирование
результатов.
9.7. Составление алгоритмапо решению задачи поаналитической геометриии решение задачи вреальных и/илисмоделированных
ситуациях.
9.8. Определение уравнения
прямой/пучка прямыхпри некоторых заданных
условиях.
9.9. Нахождение
истинностного значения
высказываний обизученных элементах
аналитической
геометрии посредством
аргументирования и/илидоказательств.
- составление и решение задач, относящихся каналитической геометрии, соответствующих жизненным
ситуациям и/или другим областям.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к изученным
элементам аналитической геометрии, и решение
полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения прямых и их уравнений в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения прямых и их уравнений в реальных
и/или смоделированных ситуациях.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Разработанная схема; Проект "Приложения прямых и их уравнений в различных
областях"; Разработанный алгоритм; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

46

10.1. Распознавание в
X. Кривые второго порядка*Решение упражнений и задач на:различных контекстах
- написание уравнений окружностей с заданными центром ии классифицирование
• Окружность. Определение.
радиусом;кривых второго порядка
Каноническое уравнение. Общее
- распознавание взаимного расположения окружности ипо различным признакам.
уравнение окружности
прямой;10.2. Определение Взаимного • Взаимное расположение прямой
- распознавание кривых второго порядка;расположения прямой ии окружности. Касательная к- нахождение фокусов кривых второго порядка;кривой второго порядка вокружности
- написание канонического уравнения кривой второго
различных ситуациях.
• Окружность, вписанная ипорядка;10.3. Изображение наописанная треугольнику,  с- определение взаимного расположения кривой второго
плоскости изученных
заданными координатами точек
порядка и прямой;кривых второго порядка,вершин
- написание уравнения касательной к эллипсу, в заданнойв том числе используя
• Парабола. Определение.
точке эллипса;адекватные чертежные
Каноническое уравнение.
- построение кривых второго порядка по их заданным
инструменты иКасательная к параболе
каноническим уравнениям;инструменты ИКТ.
• Эллипс. Определение.
- написание уравнения касательной к гиперболе, в заданной
10.4. Применение изученных
Каноническое уравнение.
точке гиперболы;свойств кривых второго
Касательная к эллипсу
- изображение на плоскости изученных геометрических
порядка в различных
• Гипербола. Определение.
фигур,  используя адекватные чертежные инструменты;контекстах.
Каноническое уравнение.
- анализирование и интерпретирование полученных
10.5. Распознавание иАсимптоты гиперболы. Касательная
результатов при решении практических  задач наиспользованиек гиперболе
применение изученных элементов геометрии;терминологии,• Задачи на построение кривых
- нахождение истинностного значения высказываний
адекватной кривым
второго порядка
посредством аргументирования, доказательств;второго порядка, в разных
- составление и решение задач по геометрии,ситуациях.
Новые элементы математической
соответствующих жизненным ситуациям и/или другим
10.6. Перевод на геометриче- терминологии:областям.
ский язык реальной и/или кривая II порядка, уравнение кривой,  Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированной ситуа- фокус/фокусы кривых второго
смоделированных ситуаций, относящихся к изученным
ции, решение полученной порядка, эллипс, касательная ккривым второго порядка, и решение полученных задач.
задачи и интерпретирокривой второго порядка.
 Реализация исследований/изысканий относительно
вание результатов.
применения кривых второго порядка в различных областях.

47

10.7. Составление планадля решения задачи поаналитической геометриии решение задачи вреальных
и/или смоделированных
ситуациях.
10.8. Нахождение
истинностного
значения высказываний
посредством
аргументирования и/илидоказательств.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Исследуемый случай с практическим уклоном; Разработанная схема; Исследование "Кривые второго порядка в повседневной
жизни";
 Разработанный алгоритм; Проект "Приложения конических сечений в строительстве"; Проект "Приложения конических сечений в космонавтике"; Составленная Матрица
ассоциаций; Понятийная карта,составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения кривых второго порядка в реальных
и/или смоделированных ситуациях.

48• распознавать, классифицировать и охарактеризовать последовательности, арифметические прогрессии, геометрические
прогрессии в различных контекстах;• применить последовательности, прогрессии в различных областях, в том числе при реализации простых проектов;• охарактеризовать функции и распознавать их свойства посредством чтения графиков и/или формул;• вычислить пределы последовательностей, пределы функций  в точке;• применить специфические алгоритмы для исключения неопределенностей в рамках решения задач;• исследовать функцию на непрерывность и определить точки разрыва функции;• применить алгоритмы, специфические дифференциальному исчислению, при исследовании функций, решении задач, втом числе задач на максимум и минимум, и исследовании реальных и/или смоделированных процессов;  • определить свойства локального и/или глобального характера некоторых функций относительно их дифференцированности и применить их при решении задач на максимум и минимум из различных областей;• применить свойства дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа в различных контекстах;• решить задачи на применение производной и дифференциала, значимых для практической деятельности и/или из других
областей;• использовать комплексные числа, заданные в алгебраической или тригонометрической формах, при решении задач, прирешении уравнений на множестве C.
• моделировать практические ситуации, реальные процессы, включительно технические и экономические  процессы, используя таблицы матричного типа;• выполнить операции с матрицами;• применить изученные алгоритмы и свойства при вычислении определителей 2, 3 и 4 порядка;• решить уравнения и системы уравнений, используя специфические алгоритмы для вычисления матриц и/или определителей;В конце XI класса УЧЕНИК МОЖЕТ:49• определить условия совместности и/или несовместности систем линейных уравнений и применить адекватные методы ихрешения;• распознать и описать относительные расположения точек, прямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей впространстве в реальных и/или смоделированных ситуациях;• изобразить на плоскости планиметрических и/или пространственных геометрических конфигураций, применяя адекватные инструменты;• применить признаки параллельности и перпендикулярности прямых, прямых и плоскостей, плоскостей при решении задач в реальных и/или смоделированных ситуациях;• использовать инструменты ИКТ в контексте моделирования и распознавания относительных позиций фигур в пространстве с целью формирования и развития пространственного видения/мышления;• вычислить длины отрезков и величин углов на плоскости и в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, двугранный угол) в реальных и/или смоделированных ситуациях;• применить геометрические преобразования и их свойства в различных областях (в практической деятельности, в технике,в искусстве и т. п.);• использовать в различных контекстах терминологию и обозначения, адекватные изученным понятиям;  • составить план/алгоритм для решения проблемы и решить проблему согласно составленному плану/алгоритму;• обосновать заданный или полученный результат посредством аргументирования, доказательства.

50Единицы содержания

1.1. Распознавание и
I. Первообразная.
использование
Неопределенный интеграл
терминологии исимволики, адекватной
• Понятие первообразная
понятиям первообразная, • Неопределенный интеграл.
неопределенный
Свойства
интеграл, в различных
• Таблица неопределенных
контекстах.
интегралов изученных
1.2. Распознавание
элементарных функцийи применение
• Методы интегрирования:первообразной функции в- метод замены переменной
различных контекстах.
∫ f (ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) dx;
1.3. Обобщение понятия
- интегрирование по частям
первообразная функция.
1.4. Вычисление неопределен- Новые элементы математическойных интегралов, используя терминологии:свойства и таблицу непервообразная функции, график
определенных интегралов, первообразной, неопределенный
методы интегрирования
интеграл, интегрирование,(интегрирование по частям, знак интеграла, переменная
замена переменной).
интегрирования, подинтегральная
1.5. Нахождение
функция, постоянная
первообразной заданной
интегрирования, замена
функции или функции,переменной, интегрирование попервообразная которой
частям, рекуррентная формула.
удовлетворяет заданным
условиям.

Единицы компетенций

XII класс
Рекомендуемые виды учебной деятельности и еёрезультаты/ продукты
Решение упражнений и задач на:- распознавание и определение первообразной функции
и/или неопределенного интеграла;- распознавание и использование терминологии исимволики, адекватной понятиям первообразная,неопределенный интеграл, в различных контекстах.
- вычисление неопределенных интегралов, используя
свойства и таблицу неопределенных интегралов, методы
интегрирования (интегрирование по частям, замена
переменной);- определение первообразной заданной функции илифункции, первообразная которой удовлетворяет заданным
условиям;- анализирование решения проблем, проблемных ситуацийна определение первообразных, неопределенных
интегралов в контексте корректности, простоты, четкости изначимости полученных результатов;- обоснование результата, относящегося к первообразным,неопределенным интегралам посредством аргументирования, доказательства.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к первообразнойи неопределенному интегралу, и решение полученных
задач.
 Реализация исследований/Изысканий относительно
применения  неопределенного интеграла  в различных
областях.

51

1.6. Анализирование решения
задач на первообразные,неопределенные
интегралы в контексте
корректности, простоты,чёткости и значимости
полученных результатов.
1.7. Обоснование вывода,результата, относящегосяк первообразным, неопределенным интегралам,посредством аргументирования, доказательства.
2.1. Распознавание
II. Определённый интеграл.
и использование
Приложения.
терминологии исимволики, адекватной
• Понятие определённый интеграл.
понятию определенный
Свойства
интеграл, в различных
• Формула Ньютона-Лейбница
контекстах.
• Вычисление площадей фигур,2.2. Обобщение понятия
ограниченных не более двумя подинтеграл.
графиками изученных функций,2.3. Вычисление определённых
используя определённый интеграл
интегралов, используя
• Объём тела вращения
свойства, формулу
Ньютона-Лейбница.
Новые элементы математической
2.4. Распознавание втерминологии:различных контекстах иопределённый интеграл, пределы
применение подграфика
интегрирования, нижний предел,функции при решении
верхний предел, промежуток
задач.
интегрирования, интегрируемые
функции, формула НьютонаЛейбница, подграфик функции,среднее значение функции.
Решение упражнений и задач на:- распознавание и использование терминологии исимволики, адекватной понятию определённый интеграл,в различных контекстах;- распознавание определённого интеграла;- вычисление определённых интегралов, используя
свойства и таблицу неопределённых интегралов, методы
интегрирования (интегрирование по частям, замена
переменной);- применение формулы Ньютона-Лейбница при вычислении
определённых интегралов;- обоснование полученного результата относительно
определённых интегралов посредством аргументирования,доказательства;- применение определённых интегралов в различных
областях;- анализирование решения задач на определённые
интегралы в контексте корректности, простоты, чёткости изначимости полученных результатов;Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

52

2.5. Вычисление площади
фигуры и объёма телавращения, используя
определённый интеграл.
2.6. Применение
определённых
интегралов при решении
повседневных ситуаций
и/или при решении задачиз различных областей.
2.7. Анализирование решения
задач на определённые
интегралы в контексте
корректности, простоты,чёткости и значимости
полученных результатов.
2.8. Обоснование вывода,результата, относящегосяк определенным
интегралам, посредством
аргументирования,доказательства.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Исследуемый случай с практическим уклоном; Проект "Приложения подграфика функции в дизайне/строительстве"; Проект "Применение определенного интеграла в физике/геометрии"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

- геометрическую трактовку определённого интеграла
неотрицательной непрерывной функции.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к первообразнойи неопределённому интегралу, и решение полученных
задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения неопределённого интеграла  в различных
областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения определённых интегралов вреальных и/или смоделированных ситуациях.

53

3.1. Распознавание в различIII. Элементы комбинаторики.
Решение упражнений и задач на:ных контекстах и классифиБином Ньютона
- распознавание в различных контекстах и классифицироцирование по разным кривание по разным критериям изученных типов множеств и  териям изученных типов
• Понятие упорядоченное
комбинаторных задач;комбинаторных задач.
множество. Понятие факториал - распознавание и использование терминологии и
3.2. Распознавание и исполь- • Основные законы (правила)символики, адекватных элементам комбинаторики изование терминологии икомбинаторики
биному Ньютона, в различных контекстах;символики, адекватных
• Перестановки (без повторений)- решение текстовых и практических задач из различных обэлементам комбинаторики • Размещения (без повторений)ластей, содержащих элементы комбинаторики;и биному Ньютона в раз• Сочетания (без повторений)- решение уравнений и неравенств, содержащих элементы
личных контекстах.
• Свойства сочетаний
комбинаторики;3.3. Применение переста• Уравнения, неравенства,- применение бинома Ньютона и/или формулы общего членовок, размещений, сосодержащие элементына разложения в различных областях;четаний и их свойств прикомбинаторики
- анализирование решения комбинаторных задач, проблемвыявлении и описании
• Бином Ньютонаных ситуаций или задач на применение бинома Ньютона вфеноменов, процессов из • Формула общего члена разложения
контексте корректности, простоты, чёткости и значимости
различных областей.
бинома
полученных результатов;3.4. Применение бинома
• Основные свойства биномиальных - обоснование результата, относящегося к элементам
Ньютона и/или формулы
коэффициентов
комбинаторики и биному Ньютона, посредством
общего члена разложения • Свойства разложения бинома
аргументирования, доказательства;при решении задач.
- составление и решение комбинаторных задач из практиче3.5. Использование свойств би- Новые элементы математической
ской действительности и/или из других областей.
номиальных коэффициен- терминологии: Исследование конкретных случаев из реальных и/илитов и разложения бинома упорядоченное множество,смоделированных ситуаций, относящихся к элементампри решении задач.        факториал, комбинаторика,комбинаторики, и решение полученных задач.
3.6. Анализ решения
перестановки, перемещения, Реализация исследований/изысканий относительно
комбинаторных задач
сочетания, бином Ньютона,применения элементов комбинаторики в различныхили задач на применение формула общего члена, разложение
областях.
бинома Ньютона вбинома, биномиальные Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте корректности,коэффициенты.
контексте применения элементов комбинаторики впростоты, чёткости иреальных и/или смоделированных ситуациях.
значимости полученных
результатов.

54

4.1. Распознавание и испольIV. Элементы
зование терминологии иматематической статистики,символики, адекватных
элементы теории вероятностей иэлементам теории вероятфинансового исчисления
ностей, математической
IV.1. Элементы математической
статистики и финансового
статистики и финансового
исчисления, в различных
исчисления
контекстах.
4.2. Распознавание и примене- • Основные понятияние изученных элементов • Отбор, учёт и группировка данных
математической статистики • Графическое изображениеи финансового исчисления
статистических Данныхдля выявления и описания
(гистограмма, полигон
процессов, феноменов изабсолютных частот, полигон
различных областей.
относительных частот, диаграмма
4.3. Представление резульв виде вертикальных отрезков,татов наблюдений, физидиаграммы с решётками,  ческих, экономических,структурные диаграммы)социальных явлений по• Средние величины статистических
средством рисунков, тарядов (среднее арифметическое,блиц, графиков, диаграмм
взвешенное среднееи извлечение информаций
арифметическое, медиана, мода)из статистических таблиц,списков, диаграмм.

3.7. Обоснование вывода,результата, относящегосяк элементам
комбинаторики и биному
Ньютона посредством
аргументирования,доказательства.

Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Исследуемый случай с практическим уклоном; Проект "Комбинаторика в повседневной жизни"; Проект "Составление комбинаторных задач"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
Решение упражнений и задач на:- классификацию данных по различным критериям;  - представление результатов наблюдений, физических,экономических, социальных явлений посредством
рисунков, таблиц, графиков, диаграмм и извлечение
информаций из статистических таблиц, списков, диаграмм;- статистические наблюдения (простые);- улучшение полученных результатов путём увеличения
количества проб;- применение инструментов ИКТ для учёта и алгоритмизации
данных;- распознавание и классификации событий;- выполнение операций с событиями;- сравнение событий по признаку шанcов их реализации;- вычисление вероятности события в реальных и/или смоделированных ситуациях, используя отношение: количество
благоприятных событию случаев/количество всех возможных случаев;- приведение конкретных примеров дискретных случайных
величин, включительно из окружающей действительности;- истолкование и транспонирование на математический языкпрактических ситуаций посредством статистических и вероятностных понятий;55

4.4. Интерпретирование
• Элементы финансового
- выполнение экспериментов;и транспонирование
исчисления: проценты, доходы,- обоснование вывода, результата, относящегося кна математический
НДС, стоимость, прибыль, типыэлементам теории вероятностей, математической
язык практических
кредитов, бюджет, семейный
статистики и финансового исчисления, посредством
ситуаций посредством
бюджет, личный бюджет
аргументирования, доказательства;статистических и- применение алгоритмов, адекватных финансовому исчисвероятностных понятий.
IV.2. Элементы теории
лению, статистике или вероятности, при исследовании кон4.5. Отбирание, учет ивероятностей
кретных случаев и решении задач.
интерпретирование Исследование конкретных случаев из реальных и/иликоличественных,• Событие. Классификация событий
смоделированных ситуаций, относящихся к элементам
качественных данных,• Классическое определение
теории вероятностей, математической статистики ииспользуя инструменты
вероятности события
финансового исчисления, и решение полученных задач.
ИКТ и статистические
• Случайные события. Операции со  Реализация исследований/изысканий относительно
инструменты.
случайными событиями    применения элементов теории вероятностей,4.6. Распознавание и• Независимые случайные события
математической статистики и финансового исчисления вклассифицирование
• Случайная величина
различных областях.
событий по различным
• Математическое ожидание Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томкритериям.                                                                   случайной величины                                                                                                                                        числе проектов STEM/STEAM в контексте применения
4.7. Вычисление вероятности
элементов теории вероятностей, математической
события в реальных и/или Новые элементы математической
статистики и финансового исчисления в реальных и/илисмоделированных
терминологии:смоделированных ситуациях.
ситуациях.
совместимые события,4.8. Приведение примеров
несовместимые события,Рекомендуемые результаты/продукты:дискретных случайных
равновозможные события, правило  Решённый пример;величин, включительно
умножения, противоположное Решённая задача;из окружающей
событие, независимые события, Применённый алгоритм;действительности.
случайная величина, распределение  Доказательства;4.9. Определение среднего
случайной величины, среднее Исследуемый случай с применением вероятности;значения дискретной
значение случайной величины, Исследуемый случай с применением статистики;случайной величины.
таблица статистических данных, Исследование "Банковские кредиты: преимущества истатистический ряд, группировка
риски";
данных, статистическая серия,56

5.1. Распознавание и классифицирование многогранников по различным
критериям в реальных и/или смоделированных ситуациях.
5.2. Распознавание и использование терминологии исимволики, адекватных
многогранникам в различных контекстах.
5.3. Обобщение понятия
многогранник.
5.4. Применение свойств
многогранников прирешении задач.
5.5. Вычисление площадей   поверхностей и объёмов
многогранников в реальных и/или смоделированных ситуациях.

4.10. Обоснование вывода,результата, относящегося кэлементам теории вероятностей, математической
статистики и финансового
исчисления, посредством
аргументирования, доказательства.
 Проект "Финансовая безопасность государства"; Проект "Статистика в профессиях родителей"; Проект "Финансовые инвестиции в предпринимательстве:преимущества и риски"; Проект STEАM "Кредиты для моего дома"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

Решение упражнений и задач на:- распознавание в различных контекстах изученных много• Понятие многогранник. Элементы.
гранников и/или их элементов;   Классификация
- классификации многогранников по разным критериям;• Правильные многогранники
- распознавание и использование в различных контекстах
• Призма. Элементы.
терминологии и символики, адекватных многогранникам;Классификация
- изображение на плоскости изученных геометрических тел,• Сечения, параллельные
используя чертежные инструменты, инструменты ИКТ, иоснованию. Диагональные
применение полученных представлений при решении засечения. Сечения, содержащиедач на вычисление площадей и/или объёмов;высоту
- вычисление площадей поверхностей и объёмов изученных
• Площади поверхностей призмы
многогранников в реальных и/или смоделированных ситуа• Объем призмыциях;• Пирамида. Элементы. Классифика- - составление и решение простых задач на основании заданцияной геометрической модели;• Сечения, параллельные основа- вычисление площадей сечений многогранников;нию. Сечения, содержащие высоту - анализ и интерпретирование полученных результатов при• Площади поверхностей пирамиды
решении практических задач с применением изученных
• Объем пирамиды
многогранников и единиц измерений, адекватных площа• Усеченная пирамида. Элементы.
дям и объемам;Классификация
- обоснование полученного или данного математического
результата относительно многогранников посредством аргументирования, доказательства;абсолютная частота, относительная частота, накопленная частота,гистограмма, полигон частот, медиана, мода, прибыль, процент, процентная ставка, простые проценты, сложные проценты, стоимость
прибыль, НДС (налог на добавленную
стоимость), коммерческое добавление, кредит, кредитор, должник,долг.
V. Многогранники

57

5.6. Извлечение информаций,содержащихся вданной геометрической
конфигурации, длядоказательства её свойстви вычисления длин,площадей, объёмов.
5.7. Анализирование решения
задач на многогранникив контексте корректности,простоты, чёткости изначимости полученных
результатов.
5.8. Применение
многогранников и ихсвойств для выявленияи описания ситуаций,феноменов, процессов изразличных областей.
5.9. Обоснование вывода,результата, относящегосяк многогранникам,посредством
аргументирования,доказательства.
- построение фрагментов дедуктивных рассуждений, решение задач на доказательство;- анализирование решения задач на многогранники вконтексте корректности, простоты, чёткости и значимости
полученных результатов;- применение многогранников и их свойств для выявленияи описания ситуаций, феноменов, процессов из различных
областей.
Новые элементы математической Исследование конкретных случаев из реальных и/илитерминологии:смоделированных ситуаций, относящихся квнутренняя точка фигуры, внешняя
многогранникам, и решение полученных задач.
точка фигуры, граничная точка фи-  Реализация исследований/изысканий относительно
гуры, граница фигуры, ограниченная
применения многогранников в различных областях.
фигура, геометрическое тело, вы Реализация индивидуальных/групповых проектов впуклый многогранник, правильный
контексте применения многогранников в реальных и/илимногогранник, сечение многограннисмоделированных ситуациях.
ка, секущая плоскость, диагональное  Реализация практических и лабораторных работ посечение, сечение, параллельная осноизмерению площадей и объёмов многогранников.
ванию, сечение, содержащее высоту,функция объём.
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Доказательства; Исследуемый случай с применением вероятности; Лабораторная работа "Измерение объемов предметов,имеющих формы многогранников"; Практическая работа "Измерение площади поверхности
комнаты класса"; Проект "Многогранники в архитектуре села/города"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

• Сечения, параллельные
основанию. Диагональные
сечения. Сечения, содержащие
высоту
• Площади поверхностей усеченной
пирамиды
• Объем усеченной пирамиды

58

6.1. Распознавание и
VI. Тела вращения
классифицирование телвращения по различным
• Прямой круговой  цилиндр.
критериям в реальных
Элементы
и/или смоделированных
• Сечения, параллельные
ситуациях.
основанию. Осевые сечения.
6.2. Распознавание
Сечения, параллельные осии использование
• Площади поверхностей прямого
терминологии икругового цилиндра
символики, адекватных
• Объём прямого кругового
телам вращения вцилиндра
различных контекстах.
• Прямой круговой конус. Элементы
6.3. Обобщение понятия тело • Сечения, параллельные
вращения.
основанию. Осевые сечения
6.4. Применение свойств тел• Площади поверхностей прямого
вращения при решении
кругового конуса
задач.
• Объём прямого кругового конуса
6.5. Вычисление площадей
• Усечённый прямой круговой конус.
поверхностей и объемов
Элементытел вращения в реальных
• Сечения, параллельные
и/или смоделированных
основанию. Осевые сечения
ситуациях.
• Площади поверхностей усечённого
6.6. Анализирование решения
прямого кругового конуса
задач на тела вращения в• Объём усечённого прямого
контексте корректности,кругового конуса
простоты, чёткости и• Сфера. Элементы (центр, радиус,значимости полученных
диаметр). Сечение сферы
результатов.
плоскостью
6.7. Применение тел вращения • Площадь сферыи их свойств для выявления • Шар. Объём шараи описания ситуаций,феноменов, процессов изразличных областей.

Решение упражнений и задач на:- распознавание  изученных тел вращения и/или их элементов;- распознавание и использование в разных контекстах терминологии и символики, адекватных телам вращения;- изображение на плоскости изученных геометрических тел,используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ иприменение полученных представлений при решении задач на вычисление площадей и/или объёмов;- вычисление площадей поверхностей и объёмов изученныхтел вращения при решении задач в реальных и/или смоделированных ситуациях;- анализ и интерпретирование полученных результатов прирешении практических задач с применением изученных телвращения и единиц измерений, адекватных площадям иобъёмам;- обоснование  полученного или данного  математического
результата  относительно тел вращения посредством аргументирования, доказательства;- построение фрагментов дедуктивных рассуждений, решение задач на доказательство;- анализирование решения задач на тела вращения вконтексте корректности, простоты, чёткости и значимости
полученных результатов;- применение тел вращения и их свойств для выявления иописания ситуаций, феноменов, процессов из различных
областей.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к телам
вращения, и решение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения тел вращения в различных областях.

59

6.8. Обоснование
вывода, результата,относящегося к телам
вращения, посредством
аргументирования,доказательства.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томчисле проектов STEM/STEAM в контексте применения телвращения в реальных и/или смоделированных ситуациях.
 Реализация практических и лабораторных работ поизмерению площадей и объёмов тел вращения.

Рекомендуемые результаты/продукты:Новые элементы математической Решённый пример;терминологии: Решённая задача;объём усечённого прямого кругового  Применённый алгоритм;конуса, площадь поверхности Доказательства;усечённого прямого кругового конуса,  Исследуемый случай с применением тел вращения;прямая, внешняя к сфере, прямая, Лабораторная работа "Измерение объёмов предметов,касательная к сфере, внешняя
имеющих формы изученных тел вращения";плоскость к сфере, касательная Проект "Тела вращения в архитектуре села/города";плоскость к сфере, секущая Проект STEАM "Мой будущий дом";плоскость, сечения конической Составленная Матрица ассоциаций;поверхности: окружность, эллипс, Понятийная карта, составленная к модулю;гипербола, парабола.
 Решённый суммативный тест.

• Сечение конической поверхности
плоскостью. Понятия окружность,эллипс, гипербола, парабола
(как геометрические места
точек). Примеры из окружающей
действительности

60

7.1. Распознавание и использование терминологии исимволики, адекватных
многочленам с комплексными коэффициентами, вразных контекстах.
7.2. Обобщение понятия
многочлен.
7.3. Применение изученных
операций с многочленамипри решении задач.
7.4. Составление плана порешению уравнения
высших степеней,используя многочленыс комплексными
коэффициентами,и решение задачив соответствии с  разработанным планом.
7.5. Анализирование решения
задачи на многочлены, наалгебраические уравненияв контексте корректности,простоты, чёткости изначимости полученных
результатов.
• Понятие многочлен скомплексными коэффициентами
• Операции над многочленами:сложение многочленов,вычитание многочленов,умножение многочленов, деление
многочленов
• Алгебраическая форма
многочленов
• Полиномиальная функция
(функция-многочлен)• Теорема деления с остатком
• Деление на X-a. Схема Горнера
• Отношение делимости. Свойства
• Наибольший общий делитель
многочленов. Алгоритм Эвклида
• Наименьшее общее кратное двухмногочленов
• Понятие корня многочлена.
Кратные корни
• Теорема Безу• Понятие алгебраическое
уравнение. Основная теорема
алгебры. Tеорема ДаламбераГаусса

VII. Многочлены с комплексными
коэффициентами*Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Доказательства; Исследуемый случай;Решение упражнений и задач на:- распознавание многочленов в разных контекстах;- распознавание алгебраических уравнений в различных
контекстах;- распознавание и использование терминологии исимволики, адекватных многочленам в разных контекстах;- анализирование решения задачи на многочлены, наалгебраические уравнения в контексте корректности,простоты, чёткости и значимости полученных результатов;- применение многочленов на множестве комплексных
чисел для решения алгебраических уравнений высших
степеней;- обоснование вывода, результата, относящегося кмногочленам с комплексными коэффициентами
посредством аргументирования, доказательства.
 Исследование конкретных случаев из различных областей,относящихся к многочленам, алгебраическим уравнениям,и решение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно применения многочленов, алгебраических уравнений в различных областях.

XII класс
Углубление/Расширение

61

8.1. Распознавание комбинаций геометрических тел вреальных и/или смоделированных ситуациях.
8.2. Распознавание и использование терминологии,адекватной комбинациям
геометрических тел, в различных контекстах.

7.6. Решение алгебраических
уравнений, используя
свойства многочленовс действительными,  рациональными, целыми
коэффициентами.
7.7. Использование отношения
делимости многочленов иего свойства при решении
задач.
7.8. Разложение Многочленовс действительными,рациональными, целыми
коэффициентами нанесократимые множители.
7.9. Обоснование вывода,результата, относящегосяк телам, многочленам,алгебраическим
уравнениям посредством
аргументирования,доказательства.
Новые элементы математической
терминологии:комплексные коэффициенты, схема
Горнера, делимость многочленов,собственные делители, несобственные делители, кратный корень, наибольший общий делитель многочленов, наименьшее общее кратное
двух многочленов, разложение многочленов на несократимые множители, симметрические уравнения.
VIII. Комбинации
Решение упражнений и задач на:геометрических тел*- распознавание в различных контекстах комбинаций
геометрических тел и/или их элементов;• Понятие комбинация геометриче- - распознавание и использование Терминологии, адекватной
ских тел
комбинациям геометрических тел, в различных контекстах;• Вписанная и описанная сфера:  - изображение на плоскости комбинаций геометрических
- Сфера, вписанная в конус.
тел, используя адекватные чертёжные инструменты,Сфера, описанная конусу.
инструменты ИКТ, и применение полученных изображений
Площади. Объёмы.
при решении задач;Соотношения;• Соотношение между корнями Разработанный план идей;многочлена  и его коэффициентами  Составленная Матрица ассоциаций;(формулы Виета). Приложения Понятийная карта, составленная к модулю;• Разложение многочленов на Решённый суммативный тест.
несократимые множители
• Симметрические уравнения III, IV иV степеней
• Корни многочленас действительными,рациональными, целыми
коэффициентами

62

8.3. Применение комбинаций
- Сфера, вписанная в цилиндр.
геометрических тел при выСфера, описанная цилиндру.
явлении и описании ситуаПлощади. Объёмы.
ций, процессов, феноменов
Соотношения;из различных областей.
- Сфера, вписанная в усечённый
8.4. Изображение на плоскости
конус. Сфера, описанная
комбинаций геометричеусечённому конусу. Площади.
ских тел, используя адекОбъёмы. Соотношения
ватные чертежные инстру- • Сфера, вписанная в многогранник;менты, инструменты ИКТ,- Сфера, вписанная в правильнуюи применение полученных
пирамиду. Площади. Объёмы.
изображений при  решеСоотношения;нии задач.
- Сфера, вписанная в правильную
8.5. Составление плана дляпризму. Площади. Объёмы.
решения задач на комбиСоотношения;нации геометрических тел   - Сфера, вписанная ви решение задачи в соотусечённую правильную
ветствии с разработанным
пирамиду. Площади. Объёмы.
планом.
Соотношения
8.6. Вычисление величин
• Сфера, описанная многограннику;углов, длин, площадей по- Сфера, описанная около
верхностей и объёмов в заправильной пирамиде.
данных и/или полученных
Площади. Объёмы.
комбинациях геометричеСоотношения;ских тел.
- Сфера, описанная около
8.7. Анализирование решения
правильной призме. Площади.
задачи на комбинации геоОбъёмы. Соотношения;метрических тел в контек- Сфера, описанная правильнойсте корректности, простоусеченной пирамиде. Площади.
ты, чёткости и значимости
Объёмы. Соотношения
полученных результатов.
• Сфера, описанная пирамиде
Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм;- вычисление площадей поверхностей и/или объёмов взаданных и/или полученных комбинациях геометрическихтел;- анализирование и интерпретирование полученных
результатов при решении практических задач на изученные
комбинации геометрических тел;- построение фрагментов дедуктивных рассуждений, решение задач на доказательство;- анализирование решения задачи на комбинации
геометрических тел  в контексте корректности, простоты,чёткости и значимости полученных результатов;- применение комбинаций геометрических тел привыявлении и описании ситуаций, процессов, феноменов изразличных областей;- обоснование вывода, результата, относящегося ккомбинациям геометрических тел, посредством
аргументирования, доказательства.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к комбинациям
геометрических тел, и решение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения комбинаций геометрических тел в различных
областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения комбинаций геометрических тел вреальных и/или смоделированных ситуациях.

63Новые элементы математической
терминологии:комбинации геометрических тел,вписанные геометрические тела,описанные геометрические тела.

8.8. Обоснование вывода,• Комбинация: Конус и правильная
результата, относящегося
пирамида. Площади. Объёмы.
к комбинациям геометриСоотношения
ческих тел, посредством
• Комбинация: Усечённый конус иаргументирования, доказаусечённая пирамида. Площади.
тельства.
Объёмы. Соотношения
• Комбинация: Цилиндр и прямая
призма. Площади. Объёмы.
Соотношения Доказательства; Исследуемый случай с применением тел вращения; Проект "Комбинации геометрических тел в архитектуре
села/города"; Проект "Комбинации геометрических тел в искусстве"; Исследование "Комбинации геометрических тел в технике"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

64

В конце XII класса УЧЕНИК МОЖЕТ:• применить действительные и комплексные числа для выполнения вычислений в различных контекстах;  • решить изученные типы уравнений, неравенств, систем и совокупностей, используя рациональные методы;• применить изученные элементы высшей алгебры (одночлены, многочлены, матрицы, определители) при решении проблем из различных областей и для выявления и описания ситуаций, процессов, феноменов;  • применить дифференциальное и интегральное исчисление при решении задач и при идентифицировании и описании
ситуаций, процессов и явлений из разных областей;• идентифицировать функции, производные функций, первообразные функций, неопределённые интегралы, определённые интегралы в различных контекстах;• найти производные, первообразные заданных и/или полученных функций;• распознавать и применять терминологию и обозначения, адекватные понятиям функция, производная, первообразная,неопределённый интеграл, определённый интеграл в разных ситуациях, в том числе в общении;• построить график функции, производной функции, первообразной функции и интерпретировать полученные и/или заданные графики;  • применить свойства изученных функций, производных, первообразных и интегралов при решении задач, при исследовании и описании ситуаций, феноменов, физических, химических, биологических, экономических, социальных и др. процессов, моделированных посредством функций;• транспонировать реальную и/или смоделированную ситуацию из разных областей на язык определенных интегралов,решить полученную задачу и интерпретировать результаты;• выбрать адекатный метод и использовать его при вычислении интегралов;• распознавать и применять терминологию и обозначения, адекватные элементам сомбинаторики и биному Ньютона, вразных ситуациях, в том числе при общении;• решить проблемы, в том числе проблемы повседневной жизни  и из других областей, содержащих элементы комбинаторики;• определить шанс и вычислить вероятность события в реальных и/или смоделированных ситуациях;• идентифицировать в разных контекстах изученные элементы вероятности, математической статистики и финансового исчисления;• применить элементы вероятности, математической статистики и финансового исчисления  для распознания и описания
ситуаций, процессов, феноменов  из разных областей;65• представить результаты наблюдений, явлений, физических, экономических, социальных процессов и т. д. посредством
рисунков, таблиц, графиков, статистических диаграмм и извлечь соответствующие информации из таблиц, списков, графиков, статистических диаграмм;• определить личный и семейный бюджет;• интерпретировать и переводить на математический язык практические ситуации, используя изученные элементы статистики и вероятности;• идентифицировать и изобразить на плоскость, используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ, изученные геометрические фигуры, включая многогранники, тела вращения и их элементы;• классифицировать по различным критериям изученные геометрические фигуры, в том числе многогранники и тела вращения;• перевести реальную и/или смоделированную ситуацию относительно типов изученных геометрических фигур, включая
многогранники и тела вращения на геометрический язык, решить полученную задачу, обосновать  и интерпретировать
результат;• применить метод подобных треугольников и метод конгруэнтных треугольников при решении задач из различных областей;• применить изученные геометрические преобразования на плоскости и пространстве в различных контекстах;• распознать в различных высказываниях и использовать при решении задач из разных областей (физики, географии, химии, биологии, истории и т. д.) формулы вычисления площадей плоских геометрических фигур, площадей поверхностей иобъёмов изученных многогранников, тел вращения;  • адекватно изобразить на плоскости изученные геометрические фигуры и тела для вычисления длин отрезков, величин
углов, площадей и объёмов;• идентифицировать и применить терминологию и обозначения, относящиеся к изученным геометрическим фигурам,включая изученные многогранники и тела вращения, в различных ситуациях;• прикинуть и вычислить длины отрезков, величины углов, периметры, площади и объёмы в реальных и/или смоделированных ситуациях;• разработать план идей по решению проблемы и решить проблему в соответствии с разработанным планом;• обосновать вывод или результат, полученный и/или указанный, используя аргументы, доказательства;   • анализировать решение проблемы, проблемной ситуации в контексте правильности, простоты, чёткости и значимости
полученных  результатов;• определить истинностное значение полученного и/или заданного высказывания, предложения.  

66Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности иеё результаты/продукты
1.1. Распознавание и
I. Действительные числа.
Решение упражнений и задач на:использование
Повторение и дополнения
- распознавание и использование терминологии, адекватной
терминологии, адекватной
понятию действительное число, в различных контекстах,понятию действительное • Действительные числа. История
включительно при общении;число, в различных
развития понятия числа: арабские - распознавание натуральных, целых, рациональных, ирраконтекстах.
цифры, римские цифры и числа
циональных, действительных чисел;1.2. Распознавание в• Mножества N, Z, Q, R
- упорядочивание, сравнение и изображение на координатразличных  высказываниях • Операции над действительными  ной прямой действительных чисел;изученных числовых
числами: сложение, вычитание,- записывание действительных чисел в различных формах;множеств N, Z, Q, R и ихумножение, деление, возведение - выявление, какому  множеству чисел, объектов  принадлеэлементов.
в степень с целым показателем.
жит заданное число, заданный объект;1.3. Осуществление перехода
Свойства
- вычисление с числами и применение в вычислениях соотот одной формы записи
• Степень с рациональным
ветствующих алгоритмов и свойств;действительных чисел кпоказателем. Корни 2 и 3 степеней. - выполнение приблизительных оценок и аппроксимаций;другой.
Свойства
- применение свойств действий с действительными числами;1.4. Применение в вычислени- • Логарифм положительного числа. - аргументирование полученных результатов при выполнеях Свойств операций надСвойствании вычислений с действительными числами в контексте
действительными числа• Пропорции. Проценты
корректности, простоты, чёткости и значимости этих резульми: сложение, вычитание, • Приложения действительных
татов;
умножение, деление, возчисел, включая пропорции и про- использование чисел в реальных и/или смоделированных
ведение в степень с рациценты, корни и логарифмы в разситуациях;ональным и действительличных областях: в повседневной - нахождение истинностного значения утверждения, высканым показателем, корни
жизни, физике, химии, биологии,зывания о числах.
2 и 3 степеней, логарифм
литературе, искусстве, финансах, Исследование конкретных случаев из реальных и/илиположительного числа.
экономике, истории, предпринимасмоделированных ситуаций, относящихся к применению
тельстве (примеры и задачи)действительных чисел, и решение полученных задач.

ГУМАНИТАРНЫЙ ПРОФИЛЬ
X класс

67

 Реализация практических работ по применению
действительных чисел.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения действительных чисел в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томчисле проектов STEM/STEAM в контексте применения
действительных чисел в реальных и/или смоделированных
ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания действительных чисел.

Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Устный ответ; Применённый алгоритм; Дидактическая игра "Домино с логарифмами/степенями"; Исследуемый случай, с применением действительных чисел в различных областях; Проект STEAM "Математика в кулинарии"; Проект "Проценты в предпринимательстве"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
2.1. Распознавание и
II. Множества
Решение упражнений и задач на:применение терминологии
- распознавание и применение терминологии и символики,и символики, адекватной
• Понятие множество. Числовые
адекватной теории множеств, в различных контекстах;теории множеств, вмножества
- представление множества и операций с множествами анаразличных контекстах.
• Операции с множествами:литическим, синтетическим и графическим (диаграммы,объединение, пересечение,таблицы) способами;разность, декартово произведение - определение элементов множества, заданного различными
двух конечных множеств
способами;1.5. Аргументирование полуНовые элементы математической
ченных результатов притерминологии:выполнении вычислений с степень с рациональным
действительными числами показателем, логарифмв контексте корректности, положительного числа, свойства
простоты, чёткости и значи- логарифмов.
мости этих результатов.
1.6. Применение
действительных чиселв разных контекстах иобластях для изучения/описания отношений ипроцессов.
1.7. Использование чиселв реальных и/илисмоделированных
ситуациях.
1.8. Нахождение истинностного значения утверждения,высказывания о числах.

68

2.2. Выполнение операций
• Приложения множеств и операцийнад множествами: объс множествами в различных
единение, пересечение,областях: в повседневной жизни,разность, декартово профизике, химии, биологии, спорте,изведение в различных
искусстве, финансах, экономике,контекстах.
истории, технике (примеры и
2.3. Представление множества
задачи)и операций с множествами
аналитическим, синтеНовые элементы математической
тическим и графическим
терминологии:(диаграммы, таблицы) спо- нет новых терминов.
собами.
2.4. Использование элементов
теории множеств для идентифицирования и описания
процессов, феноменов изразличных областей.
2.5. Сортирование и классифицирование объектовпо некоторым критериям,определение критерия, покоторому отбирается множество объектов, в различных ситуациях.
2.6. Обоснование вывода илирезультата, относящегося кмножествам, посредством
аргументирования.
- определение множества, заданного посредством  указанного свойства;- применение отношения принадлежности, отношения включения и равенства множеств в реальных ситуациях, прирешении задач;- выполнение операций с различными типами множеств;- сортирование и классифицирование объектов по различным критериям, определение критериев, по которым отбираются соответствующие множества;- выявление межпредметных и внутрипредметных связей   вконтексте применения элементов теории множеств;- применение множеств и операций над множествами дляидентифицирования и описания процессов, феноменов изразличных областей;- обоснование полученного/заданного вывода илирезультата, относящегося к множествам, посредством
аргументирования.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к множествам, ирешение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения множеств в различных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения множеств в реальных и/илисмоделированных ситуациях.
 Применение дидактических игр в процессе преподавания –учения – оценивания элементов теории множеств.

69Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Разработанная схема; Составленный план идей; Исследуемый случай с применением множеств в различных областях; Проект «Множества в повседневной жизни»; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
3.1. Распознавание и испольIII. Функции. Уравнения.
Решение упражнений и задач на:зование терминологии
Неравенства. Системы
- распознавание и использование терминологии ии обозначений, соотобозначений, соответствующих понятиям функция,ветствующих изученным
III.1. Функция I степени.
уравнение, неравенство, система в различных контекстах;функциям, уравнениям,Уравнения, неравенства, системы - распознавание функциональных зависимостей в различных
неравенствам, системам, вситуациях;различных контекстах.
• Понятие функция
- представление функциональных зависимостей, в том
3.2. Распознавание
• Понятие функция I степени.
числе из повседневной жизни различными способами
функциональных
График функции I степени
(аналитическим, графическим, диаграммами, таблицами);зависимостей в реальных • Свойства функции I степени
- распознавание изученной функции по заданному графику
и/или смоделированных
• Прямая пропорциональность
и/или аналитическому способу задания;ситуациях.
• Приложения функции I степени и- чтение графиков и/или формул с целью выведения
3.3. Представление функциопрямой пропорциональности в разнекоторых свойств функций;нальных зависимостей, вличных областях: в повседневной - классифицирование изученных функций и их свойств потом числе из повседневной
жизни, физике, химии, биологии,различным критериям;жизни различными спосолитературе, технике, географии,- перевод на математический язык конкретных ситуаций избами (аналитическим, граистории, искусстве и в технологиях
различных областей, которые описываются функциями I, IIфическим, диаграммами,(примеры и задачи)степеней, степенной функцией, функцией радикал, прямой
таблицами).
• Уравнения I степени с одним неизпропорциональностью, обратной пропорциональностью,вестным
показательной, логарифмической функциями;70

3.4. Выведение свойств числовых функций посредством
чтения графиков и/или соответствующих формул.
3.5. Применение изученных
функций при решении
проблем, проблемных
ситуаций, при изучении иописании некоторых физических, химических, биологических, социальных,экономических процессов,представленных функциями.
3.6. Перевод на математический язык некоторых реальных и/или смоделированных ситуаций, которые
описываются функциями
I, II степеней, степенной
функцией, функцией радикал, показательной, логарифмической функциями,прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью и решение
полученной задачи.
3.7. Классифицирование
изученных функций поразличным критериям.
- распознавание и классифицирование по различным
критериям изученных типов уравнений, неравенств,систем;- моделирование простых ситуаций из повседневной жизни
посредством изученных типов функций, уравнений, неравенств, систем;- исследование свойств функций, имеющих локальный илиглобальный характер, в реальных и/или смоделированных
ситуациях;- решение указанных в куррикулуме типов уравнений, неравенств, систем адекватными методами;- применение функций, изученных типов уравнений, неравенств, систем при изучении и описании некоторых физичеIII.2. Функция II степени. Уравнения.
ских, химических, биологических, социальных, экономичеНеравенства. Системы
ских и др. процессов;- обоснование полученного/заданного результата или• Понятие функция II степени. Гравывода в контексте функций, уравнений, неравенств,фик функции II степени
систем путём приведения аргументов;• Свойства функции II степени (нули, - нахождение истинностного значения утверждения,монотонность. Знак, экстремумы)высказывания о функциях, уравнениях, неравенствах,• Уравнения II степени. Классификасистемах.
ция уравнений II степени Исследование конкретных Случаев из реальных и/или• Решение уравнений II степени
смоделированных ситуаций, относящихся к применению
• Соотношения Виета
изученных типов функций, уравнений, неравенств, систем,• Неравенства II степени с одним неи решение полученных задач.
известным Выполнение практических работ, в том числе на местности
• Системы двух алгебраических уравпо применению изученных типов функций, уравнений,нений с одним уравнением I степенеравенств, систем в практической деятельности.
ни и одним уравнением II степени с  Реализация исследований/изысканий относительно
двумя неизвестными
применения изученных типов функций, уравнений,неравенств, систем в различных областях.

• Неравенства I степени с одним неизвестным
• Системы двух уравнений I степенис двумя неизвестными. Методы
решения систем уравнений (метод
подстановки, метод сложения, графический метод)• Системы двух Неравенств I степенис одним неизвестным
• Приложения уравнений, неравенств, систем в разных областях
(примеры и задачи)71

3.8. Решение изученных типов
уравнений, неравенств,систем.
3.9. Применение функций, изученных типов уравнений,неравенств, систем приизучении и описании некоторых физических, химических, биологических, социальных, экономических и
др. процессов.
3.10. Моделирование некоторых простых повседневных
ситуаций посредством
функций, уравнений, неравенств, систем и решение
полученных уравнений,неравенств, систем.
3.11. Обоснование полученного или заданного результата или вывода в контексте
функций, уравнений, неравенств, систем путём приведения аргументов.
3.12. Нахождение истинностного значения утверждения, высказывания офункциях, уравнениях, неравенствах, системах.
• Понятие показательная функция.
График показательной функции
• Свойства показательной функции

III.4. Показательная функция.
Логарифмическая функция

• Приложения функции II степени в  Реализация индивидуальных/групповых проектов
различных областях: в повседневв контексте применения изученных типов функций,ной жизни, физике, технике, строуравнений, неравенств, систем в реальных и/илиительстве, искусстве, технологиях,смоделированных ситуациях.
литературе (примеры и задачи)                                  Применение дидактических игр в процессе/преподавания –учения – оценивания изученных типов функций, уравнений,III.3. Степенная функция.
неравенств, систем.
Функция радикал
Рекомендуемые результаты/продукты:• Понятие степенная функция.
 Решённый пример;График степенной функции Решённая задача;• Свойства степенной функции Применённый алгоритм;• Обратная пропорциональность.
 Разработанная схема;Свойства Составленный план идей;• Понятие функция радикал Исследуемый случай с применением множеств в различных
• График функции радикал. Свойства
областях;функции радикал Исследование "График изменений температуры воздуха за• Приложения степенной функции,неделю в родном селе/городе";функции радикал и обратной про-  Проект "Функции в искусстве";порциональности в различных Составленная Матрица ассоциаций;областях: в повседневной жизни, Понятийная карта, составленная к модулю;физике, технике, химии, биологии,    Решённый суммативный тест.
искусстве, в технологиях, в строительстве (примеры и задачи)                                

724.1. Распознавание и использование терминологии иобозначений, соответствующих изученным геометрическим фигурам, в различных контекстах.
4.2. Распознавание вразличных контекстахи классифицированиепо разным критериям
изученных геометрических
фигур и их свойств.

Решение упражнений и задач на:- распознавание и использование терминологии иобозначений, соответствующих изученным геометрическим
• Основные геометрические понятия
фигурам, в различных контекстах.
(точка, прямая, плоскость, расстоя- - распознавание в различных контекстах и классифицирование между двумя точками, величиние по разным критериям изученных геометрических фигурна угла)и их свойств;• Прямая. Полупрямая. Коллинеар- - определение взаимных расположений изученных геоменые точки. Отрезок
трических фигур в реальных  и/или смоделированных ситу• Треугольники. Классификация треуациях;гольников
- выполнение приблизительных оценок и аппроксимаций,• Конгруэнтные треугольники. Прииспользуя изученные элементы метрической геометрии;знаки. Метод конгруэнтных тре- изображение на плоскости изученных геометрических фиугольников. Приложения, в томгур, в том числе  используя адекватные чертёжные инстручисле в повседневной жизни
менты и инструменты ИКТ;Новые элементы математической
терминологии:степенная функция, показательная
функция, логарифмическая
функция, потенцирование,логарифмирование.
IV. Геометрические фигурына плоскости

• Понятие логарифмическая
функция. График логарифмической
функции
• Свойства логарифмической
функции
• Приложения показательной функции, логарифмической функции вповседневной жизни, физике, технике, в строительстве, искусстве, втехнологиях, биологии, медицине,социологии (примеры и задачи).                                

734.3. Определение взаимных
• Замечательные линии в треуголь- - анализирование и интерпретирование полученных резульрасположений изученных
никетатов при решении практических задач с использованием
геометрических фигур в• Подобные треугольники. Признаки.
изученных элементов геометрии;реальных и/или смоделиМетод подобных треугольников.
- классифицирование изученных геометрических фигур порованных ситуациях.
Приложения, в том числе в повседразличным критериям;4.4. Изображение на плоскости
невной жизни
- определение истинностного значения утверждений, выскаизученных геометрических • Метрические соотношения в прязываний, используя аргументы.
фигур, в том числе испольмоугольном треугольнике. Прило-  Исследование конкретных случаев из реальных и/илизуя чертёжные инструменжения, в том числе в повседневной
смоделированных ситуаций, относящихся к изученнымты и инструменты ИКТ.
жизнигеометрическим фигурам, и решение полученных задач.
4.5. Применение в различных • Выпуклые четырехугольники: ква-  Выполнение практических работ, в том числе на местности
контекстах изученных
драт, прямоугольник, параллелопо применению изученных геометрических фигур вгеометрических фигур играмм, ромб,  трапеция. Свойства.
практической деятельности.
их свойств для изучения иПриложения четырехугольников Реализация исследований/изысканий относительно
описания реальных фенов повседневной жизни, химии,применения изученных геометрических фигур в различных
менов и процессов.  
физике, искусстве, в технологиях, вобластях.
4.6. Моделирование, в геостроительстве (примеры и задачи).    Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томметрическом смысле, сиОбразцы моделей тротуаров
числе проектов STEM/STEAM в контексте применения
туаций из окружающей
• Правильные многоугольники: равизученных геометрических фигур в реальных и/илидействительности и/или износторонний треугольник, квадрат,смоделированных ситуациях.
других областей, испольправильный шестиугольник. Призуя, в том числе инструменложения в повседневной жизни,Рекомендуемые результаты/продукты:ты ИКТ.
химии, физике, искусстве, в техно-  Решённый пример;4.7. Составление плана пологиях, в строительстве (примеры и  Решённая задача;решению геометрической
задачи). Образцы тротуаров Применённый алгоритм;задачи и решение
• Окружность. Хорды. Дуги. Круг.
 Разработанная схема;задачи в соответствии сПриложения в повседневной жиз-  Составленный план идей;разработанным планом.
ни, химии, физике, искусстве, в Исследуемый случай с применением изученных геометри4.8. Анализирование и интертехнологиях, в строительстве (прических фигур в различных областях;претирование полученных
меры и задачи). Образцы тротуа Практическая работа "Применение подобия треугольников
результатов при решении
ровв повседневной жизни";некоторых практических за- • Взаимные расположения прямой и  Практическая работа "Измерение периметров и площадей
дач, используя изученные
окружностиво дворе школы".
геометрические элементы. • Центральный угол. Вписанный угол  Проект "Золотое сечение в искусстве";74Новые элементы математической
терминологии:золотое сечение.

4.9. Вычисление длин от• Вписанный треугольникв окруж Проект "Образцы тротуаров";резков, величин углов,ность. Описанный треугольник Проект STEAM "Молдавский ковер";периметров, площадей
окружности. Приложения в повсед-  Составленная Матрица ассоциаций;в реальных и/или смоденевной жизни, искусстве, в техно-  Понятийная карта, составленная к модулю;лированных ситуациях,логиях, в строительстве (примеры и  Решённый суммативный тест.
используя адекватные
задачи)                                инструменты и единицы
• Площади многоугольных поверхноизмерения.
стей для: треугольника
4.10. Обоснование вывода или   1 1
abc abc
Aa=; A = ; A =; Apr=, pr ,результата, относящегося к    A = A2 =ah2a ;ah
4R 4R
 
геометрическим фигурам и, отношениям, посредством p = pa =+ ba ++ cb;+ cformulaHeron; формула
formulaluilui Герона
Heron
 
2
2
 
аргументирования.
4.11. Нахождение истинностквадрата, прямоугольника, паралного значения утвержлелограмма, ромба, трапеции.
дения, высказывания обПриложения в повседневной жизизученных геометрических
ни, химии, физике, искусстве, в техфигурах и отношениях.
нологиях, в строительстве (примеры и задачи). Образцы тротуаров
• Длина окружности. Площадь круга.
Приложения в повседневной жизни, физике, биологии, медицине,искусстве, в технологиях, в Строительстве (примеры и задачи)• Золотое сечение. Приложенияв повседневной жизни, физике,биологии, медицине, искусстве, втехнологиях, в строительстве (примеры и задачи)75

В конце X класса УЧЕНИК МОЖЕТ:• использовать действительные числа при выполнении вычислений в различных контекстах;• применить действительные числа, в том числе пропорции и проценты, степени, корни и логарифмы в различных областях:в практической деятельности, физике, химии, биологии, литературе, искусстве, финансах, экономике, истории, географии,предпринимательстве;• применять множества для распознавания и описания ситуаций, процессов, явлений из различных областей;• распознавать функции в различных контекстах;• распознавать и применять терминологию и обозначения, относящиеся к понятию функция, в различных ситуациях, включительно при общении;   • изобразить график функции и интерпретировать полученные и/или заданные графики;• применить изученные функции и их свойства при решении задач, при изучении и описании различных ситуаций, явлений,процессов из физики, химии, биологии, экономики, социологии и т. п.;• выбрать адекватный метод и сможет его применить при решении изученных уравнений, неравенств и систем уравнений/неравенств;• распознавать и изображать на плоскости изученные геометрические фигуры, используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ;  • перевести на геометрический язык реальную и/или смоделированную ситуацию, относящуюся к изученным геометрическим фигурам, решить полученную задачу и интерпретировать полученные результаты;• применить метод подобия треугольников и метод конгруэнтных треугольников при решении задач из различных областей;• распознать в различных высказываниях и применить при решении задач из различных областей (физики, географии, химии, биологии, истории, искусства, технологии, строительства и т. п.) формулы для вычисления площадей изученных планиметрических фигур;• изобразить адекватно на плоскости изученные геометрические фигуры в контексте вычисления длин отрезков, величин
углов и площадей;76• распознать и применить в различных ситуациях терминологию и обозначения, относящиеся к изученным геометрическим
фигурам;• применить изученные геометрические фигуры и их свойства при решении задач, при изучении и описании ситуаций, явлений, процессов из физики, химии, биологии, экономики, социологии и т. п.;• выполнить прикидку и вычислить длины отрезков, величины углов, периметров и площадей в реальных и/или смоделированных ситуациях;• распознавать и применять золотое сечение в различных реальных и/или смоделированных ситуациях;• разработать план решения задачи и решить задачу согласно составленному плану;• обосновать полученный/заданный результат или вывод путём приведения аргументов, доказательств;• анализировать решения уравнения, неравенства, системы в контексте корректности, простоты, чёткости и значимости
полученных результатов;• определить истинностное значение полученного и/или заданного высказывания, вывода.

77Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности и еёрезультаты/продукты
1.1. Распознавание и испольI. Последовательности
Решение упражнений и задач на:зование терминологии идействительных чисел
- применение терминологии и обозначений, относящихся кобозначений соответствуюпонятиям последовательность, арифметическая прогресщих изученных последова- • Понятие последовательностьсия и арифметическая прогрессия, в различных контекстах;тельностей и прогрессий вдействительных чисел
- распознавание и приведение примеров последовательноразличных контекстах.
• Конечные, бесконечные
стей, арифметических и геометрических прогрессий в раз1.2. Распознавание
последовательности. Монотонные
личных контекстах;последовательностей,последовательности
- классифицирование и охаракте-ризование последовательарифметических и• Арифметическая прогрессия. Свойностей по различным критериям;геометрических прогрессий
ства. Приложения в повседневной - построение примеров последовательностей, арифметичев различных контекстах.
жизни, биологии, экономике, фиских прогрессий, геометрических прогрессий;1.3. Классифицирование
нансах, искусстве, технике, в техно- - анализирование и интерпрети-рование результатов,последовательностей пологиях (примеры и задачи)полученных при решении задач на применение
критериям: конечные,• Геометрическая прогрессия. Свойпоследовательностей, прогрессий;бесконечные, монотонные.
ства. Приложения в повседневной - применение последовательностей, прогрессий в различных
1.4. Описание последовательжизни, биологии, экономике, фиобластях для изучения и описания физических, химических,ностей, используя различнансах, искусстве, технике, в технобиологических, социальных, экономических, и др.
ные представления (форлогиях (примеры и задачи)процессов;мулы, графики) и/или их- разрабатывание плана для решения задачи насвойства.
Новые элементы математической
последовательности и прогрессии и решение задачи в
1.5. Анализирование и интер- терминологии:соответствии с разработанным планом;претирование результатов, арифметическая прогрессия, гео- обоснование вывода или результата, относящегося кполученных при решении метрическая прогрессия, разность
геометрическим фигурам и отношениям, посредством
задач на применение попрогрессии, знаменатель прогрессии,аргументирования.
следовательностей, прообщий член прогрессии, сумма ариф-  Исследование конкретных случаев из реальных и/илигрессий.
метической прогрессии, сумма геосмоделированных ситуаций, относящихся к применению
метрической прогрессии.
изученных последовательностей и прогрессий, и решение
полученных задач.

XI класс

78

 Реализация исследований/изысканий относительно
применения последовательностей и прогрессий вразличных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения последовательностей и прогрессий вреальных и/или смоделированных ситуациях.

Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Устный ответ; Решённый пример; Письменный ответ; Решённая задача; Решённый итем; Разработанная схема; Устная/письменная аргументация; Разработанный план идей.
 Проект "Прогрессии в моей будущей профессии"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
2.1. Распознавание и испольII. Комплексные числа
Решение упражнений и задач на:зование терминологии и- выявление необходимости расширения понятия числа;обозначений, адекватных • Понятие комплексное число. Мно- - использование терминологии, адекватной понятию компонятию комплексное чисжество Cплексное число, в различных контекстах.
ло, в различных контекстах. • Алгебраическая форма комплекс- - распознавание действительной и мнимой частей комплекс2.2. Применение комплексных
ного числа
ного числа;чисел, записанных в алге- • Арифметические операции с ком- - применение комплексных чисел, записанных в алгебраичебраической форме, операплексными числами, записанными
ской форме, операций с ними при решении задач;ций с ними при решениив алгебраической форме
- выполнение вычислений с комплексными числами;задач, в том числе при• Модуль комплексного числа
- решение уравнений II степени с действительными коэффирешении уравнений II сте- • Решение уравнений II степени сциентами на множестве C;пени с действительными
действительными коэффициентами - обоснование вывода или результата, относящегося ккоэффициентами.
на множестве Cкомплексным числам, посредством аргументирования.

1.6. Применение последовательностей, прогрессий приизучении и описании физических, химических, биологических, социальных,экономических, предпринимательских процессов.
1.7. Составление плана для решения задачи на последовательности и прогрессиии решение задачи в соответствии с разработанным
планом.
1.8. Обоснование вывода илирезультата, относящегося кгеометрическим фигурам иотношениям, посредством
аргументирования.

79Новые элементы математической
терминологии:число i, комплексное число,действительная/мнимая
часть, алгебраическая форма
комплексного числа, чисто мнимое
число, сопряжённое число, модуль
комплексного числа.

 Исследование конкретных случаев из реальных и/или смоделированных ситуаций, относящихся к применению комплексных чисел, и решение полученных задач.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения комплексных чисел в различных областях.

Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай; Решённый пример; Решённая задача; Решённый итем; Разработанная схема; Устная/письменная аргументация; Исследование "Приложения комплексных чисел в науке итехнике"; Составленный план идей; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
3.1. Распознавание в различIII. Матрицы. Определители.
Решение упражнений и задач на:ных ситуациях изученных
Системы линейных уравнений
- распознавание в различных ситуациях изученных типов
типов матриц, определиматриц, определителей, систем линейных уравнений;телей, систем линейных
• Понятие матрица. Частные
- моделирование практических ситуаций, реальных процесуравнений.
случаи
сов, в том числе из техники и экономики, для которых необ3.2. Вычисление определите- • Действия с матрицами. Свойства
ходимо ассоциировать таблицы матричного типа;лей второго и третьего по- • Понятие определитель второго
- вычисление определителей второго и третьего порядков;рядков.
порядка, третьего порядка
- решение уравнений и систем уравнений, используя алго3.3. Моделирование практи• Основные свойства, необходимые
ритмы, специфичные вычислению матриц и/или определических ситуаций, реальныхдля вычисления определителей
телей;
процессов, в том числе
• Вычисление определителей второ- - определение условий совместности и/или несовместностииз экономики, предприго, третьего порядков
систем линейных уравнений и применение адекватных
нимательства, техники,• Системы линейных уравнений типаметодов их решения;для которых необходимо
nxn
n×n,, n ∈ N ∗ , n ∈ {2, 3} .
ассоциировать таблицы
• Правило Крамера  матричного типа.

2.3. Применение действительных и/или комплексных
чисел при выполнении
вычислений в Различных
ситуациях.
2.4. Выполнение арифметических действий с комплексными числами в алгебраической форме.
2.5. Нахождение модуля
комплексного  числа.
2.6. Обоснование вывода илирезультата, относящегосяк комплексным
числам, посредством
аргументирования.

80

3.4. Решение уравнений и си- • Приложения матриц, определите- - обоснование вывода или результата, относящегося
стем уравнений, используялей и систем уравнений в разныхк матрицам определителям, системам уравнений,алгоритмы, специфичные
областях: экономике, предпринипосредством аргументирования.
вычислению матриц и/илимательстве, транспорте (примеры и  Исследование конкретных случаев из реальных и/или смоопределителей.
задачи)делированных ситуаций, относящихся к применению ма3.5. Определение условий
тричного исчисления, и решение полученных задач.
совместности и/или несо- Новые элементы математической Реализация исследований/изысканий относительно
вместности систем линей- терминологии:применения матричного исчисления в различных областях.
ных уравнений и примене- матрица, строка i, столбец j, Реализация индивидуальных/групповых проектов вние адекватных методов их квадратная матрица, главная
контексте применения матричного исчисления в реальных
решения.
диагональ, второстепенная
и/или смоделированных ситуациях.
3.6. Применение матриц,диагональ, матрица строка,определителей и систем
матрица столбец, единичная
Рекомендуемые результаты/продукты:линейных уравнений дляматрица, нулевая матрица, Исследуемый случай с практическим уклоном;изучения и описания соравные матрицы, определитель Решённый пример;циальных, экономических матрицы, правило треугольников, Решённая задача;и предпринимательских
правило Саррюса, матрица Разработанная схема;процессов.
системы, главный определитель, Устная/письменная аргументация;3.7. Обоснование вывода или второстепенный определитель, Проект "Приложения матриц и определителей врезультата, относящегося к правило Крамера.
экономике";матрицам определителям, Составленный план идей;системам уравнений, по Составленная Матрица ассоциаций;средством аргументирова Понятийная карта, составленная к модулю;ния.
 Решённый суммативный тест.
4.1. Описание взаимных расIV. Параллельность в пространстве Решение упражнений и задач на:положений точек, прямых,- распознавание и описание взаимных расположений точек,фигур на плоскости, пло• Взаимное расположение прямых
прямых, фигур на плоскости, плоскостей и тел в пространскостей и тел в пространв пространстве. Параллельные
стве;стве в реальных и/или смопрямые в пространстве.
- моделирование, используя адекватные материалы, инструделированных ситуациях.
Приложения
менты ИКТ, взаимных расположений точек, прямых, фигурна плоскости и в пространстве, плоскостей и тел в пространстве;81

4.2. Распознавание и исполь- • Взаимное расположение прямой изование терминологии
плоскости. Прямая параллельнаяи обозначений, адекватплоскости. Критерии, свойства.
ных понятию отношение
Приложения
параллельности в про• Взаимное расположение двухстранстве, в различных
плоскостей. Приложения
контекстах.
• Параллельные плоскости.
4.3. Изображение на плоскости
Критерии, свойства. Приложения
плоских и/или простран• Приложения отношения
ственных конфигураций,параллельности в пространстве
используя адекватные инв реальных ситуациях, в технике,струменты.  
строительстве, искусстве, в
4.4. Применение признаков
технологиях (примеры и задачи)параллельности прямых,прямых и плоскостей, пло- Новые элементы математической
скостей при решении затерминологии:дач, в реальных и/или смо- компланарные/некомпланарные
делированных ситуациях. точки, компланарные/некомпланар4.5. Распознавание плоскихные прямые, прямая, пересекающая
фигур в составе простран- плоскость, прямая, принадлежащая
ственных фигур в контексте плоскости, пересекающиеся плоскоотношения параллельности сти, параллельные плоскости.
в реальных и/или смоделированных ситуациях.
4.6. Применение отношения
параллельности в пространстве для изучения иописания социальных, физических, экономических,химических, предпринимательских процессов.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённая задача; Разработанная схема; Устная/письменная аргументация;- изображение на плоскости плоских и/или пространственных геометрических конфигураций, используя адекватные
инструменты;  - применение признаков параллельности прямых, прямых иплоскостей, плоскостей при решении задач, в реальных и/или смоделированных ситуациях;- распознавание плоских фигур в составе пространственных
фигур в контексте отношения параллельности;- применение в различных ситуациях свойств плоских геометрических фигур относительно их взаимного расположенияи отношения параллельности в пространстве;- обоснование заданного или полученного геометрического
результата посредством аргументирования, доказательства.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к применению
параллельности в пространстве, и решение полученных
задач.
 Выполнение практических работ, в том числе на местностипо формированию способностей применения параллельности в пространстве в практической деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения параллельности в пространстве в различных
областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения параллельности в пространстве вреальных и/или смоделированных ситуациях.

82

 Практическая работа на местности "Выявление отношений
параллельности между фигурами во дворе школы"; Составленный план идей; Проект "Приложения элементов параллельности в строениях родного села/города"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
5.1. Распознавание и описание
V. Перпендикулярность
Решение упражнений и задач на:взаимных расположенийв пространстве
- распознавание и описание взаимных расположений точек,точек, прямых, фигур напрямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей вплоскости и в простран• Перпендикулярные прямые впространстве в контексте отношения перпендикулярности встве, плоскостей в пропространстве: свойства, признак.
пространстве;странстве в контексте
Приложения
- моделирование, используя адекватные материалы, различотношения перпендикуляр- • Прямая, перпендикулярнаяные взаиморасположения точек, прямых, фигур на плосконости в реальных и/илиплоскости: свойства, признак.
сти и в пространстве, плоскостей в пространстве в контексте
смоделированных ситуаПриложения
отношения перпендикулярности в пространстве;циях.
• Расстояние от точки до прямой, от - изображение на плоскости плоских и/или пространствен5.2. Распознавание и испольточки до плоскости. Приложения
ных  геометрических конфигураций в контексте отношения
зование терминологии и• Ортогональные проекции точек,перпендикулярности в пространстве;обозначений, адекватных
отрезков, прямых на плоскость.
- применение признаков перпендикулярности прямых, пряпонятию отношение перПриложениямых и плоскостей, плоскостей;пендикулярности в про• Угол между прямой и плоскостью
- распознавание плоских фигур в составе пространственных
странстве, в различных
• Двугранный угол. Приложения
фигур в контексте отношения перпендикулярности в проконтекстах.
• Перпендикулярные плоскости,странстве;  
5.3. Изображение на плоскости
свойства, признак. Приложения
- выявление аналогий между свойствами геометрических
плоских и/или простран• Приложения отношения перпендифигур на плоскости и в пространстве в контексте отношественных конфигураций
кулярности в пространстве в реальния перпендикулярности и их использование при решев контексте отношенияных ситуациях, в технике, строинии задач;перпендикулярности в протельстве, искусстве, в технологиях - применение свойств плоских геометрических фигур в констранстве.
(примеры и задачи)тексте отношения перпендикулярности в пространстве вразличных контекстах;4.7. Обоснование вывода илирезультата, относящегосяк параллельности в пространстве, посредством
аргументирования.

83

5.4. Применение свойств иНовые элементы математической
признаков перпендикуляр- терминологии:ности прямых, прямых ипрямая, перпендикулярная плоскоплоскостей, плоскостей при сти, ортогональная проекция точки
решении задач в реальных на плоскость, ортогональная прои/или смоделированных
екция прямой на плоскость, расситуациях.
стояние от точки до плоскости,5.5. Вычисление длин отрезков угол между прямой и плоскостью,и величин углов на плоско- двугранный угол, ребро двугранногости и в пространстве (угол угла, грани двугранного угла, линеймежду двумя прямыми,ный угол двугранного угла, величина
угол между прямой и пло- двугранного угла, перпендикулярные
скостью, угол между двумя плоскости.
плоскостями, двугранныйугол) в реальных и/илисмоделированных ситуациях.
5.6. Применение отношения
перпендикулярности в пространстве для изучения иописания социальных, физических, экономических,химических, предпринимательских процессов.
5.7. Обоснование вывода илирезультата, относящегося кперпендикулярности впространстве, посредством
аргументирования.
Рекомендуемые результаты/продукты: Исследуемый случай с практическим уклоном; Решённый пример; Решённая задача; Разработанная схема; Практическая работа на местности "Выявление отношений
перпендикулярности между фигурами во дворе школы"; Устная/письменная аргументация; Составленный план идей.
 Проект "Приложения элементов перпендикулярности встроениях родного села/города"; Составленная Матрица  ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

- вычисление длин отрезков и величин углов на плоскостии в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между
прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, двугранный угол);- аргументирование вывода или результата, относящегося кперпендикулярности в пространстве.
 Исследование конкретных случаев из реальных и/илисмоделированных ситуаций, относящихся к применению
перпендикулярности в пространстве, и решение
полученных задач.
 Выполнение практических работ, в том числе наместности по формированию способностей применения
перпендикулярности в пространстве в практической
деятельности.
 Реализация исследований/изысканий относительно
применения перпендикулярности в пространстве вразличных областях.
 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения перпендикулярности в пространствев реальных и/или смоделированных ситуациях.

84

В конце XI класса УЧЕНИК МОЖЕТ:• распознавать, классифицировать и охарактеризовать последовательности, арифметические прогрессии, геометрические
прогрессии в различных контекстах;• применить последовательности, прогрессии в различных областях, в том числе при реализации простых проектов;• использовать комплексные числа, заданные в алгебраической или тригонометрической формах, при решении задач, прирешении уравнений на множестве C.
• моделировать практические ситуации, реальные процессы, включительно технические и экономические процессы, используя таблицы матричного типа;• выполнить операции с матрицами;• применить изученные алгоритмы и свойства при вычислении определителей 2 и 3 порядка;  • решить уравнения и системы уравнений, используя специфические алгоритмы для вычисления матриц и/или определителей;• определить условия совместности и/или несовместности систем линейных уравнений и применить адекватные методы ихрешения;• распознать и описать относительные расположения точек, прямых, фигур на плоскости и в пространстве, плоскостей впространстве в реальных и/или смоделированных ситуациях;• изобразить на плоскости планиметрические и/или пространственные геометрические конфигурации, применяя адекватные инструменты;• применить признаки параллельности и перпендикулярности прямых, прямых и плоскостей, плоскостей при решении задач в реальных и/или смоделированных ситуациях;• использовать инструменты ИКТ в контексте моделирования и распознавания относительных позиций фигур в пространстве с целью формирования и развития пространственного видения/мышления;• вычислить длины отрезков и величин углов на плоскости и в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, двугранный угол) в реальных и/или смоделированных ситуациях;• применить геометрические преобразования и их свойства в различных областях (в практической деятельности, в технике,в искусстве и т. п.);• использовать в различных контекстах терминологию и обозначения, адекватные изученным понятиям;• обосновать заданный или полученный результат посредством аргументирования.

85Единицы компетенций

Единицы содержания

Рекомендуемые виды учебной деятельности и еерезультаты/ продукты
1.1. Распознавание в различI. Элементы комбинаторики
Решение упражнений и задач на:ных контекстах и классифи- распознавание в различных контекстах и классифицироцирование по разным кри- • Понятие упорядоченное множевание по разным критериям изученных типов множеств итериям изученных типов
ство. Понятие факториал
комбинаторных задач;комбинаторных задач.
• Основные законы  (правила) ком- - распознавание и использование терминологии и
1.2. Распознавание и испольбинаторики
символики, адекватных элементам комбинаторики, взование терминологии и• Перестановки (без повторений)различных контекстах;символики, адекватных
• Размещения (без повторений)- решение текстовых и практических задач из различных обэлементам комбинаторики • Сочетания (без повторений)ластей, содержащих элементы комбинаторики;в различных контекстах
• Свойства сочетаний
- решение задач, содержащих элементы комбинаторики;1.3. Применение переста• Приложения комбинаторики в по- - анализирование решения комбинаторных задач, проблемновок, размещений, совседневной жизни, в экономике,ных ситуаций в контексте корректности, простоты, чёткости
четаний и их свойств прифинансах, социологии, искусстве, ви значимости полученных результатов;выявлении и описании
технологиях, предпринимательстве   - применение элементов комбинаторики при выявлении ифеноменов, процессов из(примеры и задачи)описании феноменов, процессов из различных областей;различных областей.
- применение разработанного плана решения
1.4. Составление плана дляНовые элементы математической
комбинаторной задачи и её решение согласно
решения комбинаторной
терминологии:составленному плану;задачи и решение
упорядоченное множество,- обоснование результата, относящегося к элементам
задачи в соответствии сфакториал, комбинаторика,комбинаторики, посредством аргументирования.
разработанным планом.
размещения, перестановки, Исследование конкретных случаев из реальных и/или
1.5. Анализирование  решения сочетания.
смоделированных ситуаций, относящихся к элементам
комбинаторных задач вкомбинаторики, и решение полученных задач.
контексте корректности, Реализация исследований/изысканий относительно
простоты, чёткости иприменения элементов комбинаторики в различных
значимости полученных  областях.
результатов.

XII класс

86

 Реализация индивидуальных/групповых проектов вконтексте применения элементов комбинаторики вреальных и/или смоделированных ситуациях.

Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Составленный план идей; Исследуемый случай с практическим уклоном; Проект "Комбинаторика помогает в повседневной жизни"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
2.1. Распознавание и испольII. Элементы математической
Решение упражнений и задач на:зование терминологии истатистики и финансового
- классификацию данных по различным критериям;символики, адекватных
исчисления
- представление результатов наблюдений, физических,элементам математической
экономических, социальных явлений посредством
статистики и финансового • Основные понятия. Отбор, учёт ирисунков, таблиц, графиков, диаграмм и извлечение
исчисления, в различных
группировка данных
информаций из статистических таблиц, списков, диаграмм;контекстах.
• Графическое изображение стати- интерпретирование и транспонирование на
2.2. Применение изученных
стических данных (гистограмма,математический язык практических ситуаций посредством
элементов математической
полигон частот, диаграмма в видестатистических понятий;статистики и финансового
вертикальных отрезков, диаграм- - статистические наблюдения (простые);исчисления для выявлениямы с решётками, структурные диа- - улучшение полученных результатов путём увеличения кои описания процессов,граммы). Приложения
личества проб;феноменов из различных
• Средние величины статистических - применение инструментов ИКТ для учёта и алгоритмизации
областей.
рядов (среднее арифметическое,данных;взвешенное среднее арифметиче- - обоснование вывода, результата, относящегося кское, медиана, мода). Приложения
элементам математической статистики и финансового
исчисления, посредством аргументирования;1.6. Обоснование вывода, результата, относящегося кэлементам комбинаторики,посредством аргументирования.

87

2.3. Представление резуль• Приложения элементов математи- - идентифицирование и применение изученных элементов
татов наблюдений, физической статистики в повседневной
математической статистики и финансового исчисления дляческих, экономических,жизни, экономике, финансах, предвыявления и описания процессов, феноменов из различных
социальных явлений попринимательстве, истории, социообластей;средством рисунков, талогии, искусстве, в технологиях и- составление плана для решения задачи и решение задачи вблиц, графиков, диаграмм
т. п. (примеры и задачи)соответствии с разработанным планом;и извлечение информаций • Элементы финансового исчисле- применение алгоритмов, адекватных финансовому исчисиз статистических таблиц,ния: проценты, доходы, НДС, столению, статистике или вероятности, при исследовании консписков, диаграмм.
имость, прибыль, типы кредитов,кретных случаев и решении задач.
2.4. Интерпретирование
бюджет, семейный бюджет, лич Исследование конкретных случаев из реальных и/илии транспонированиеный бюджет.
смоделированных ситуаций, относящихся к элементамна математический
• Приложения элементов финансоматематической статистики и финансового исчисления, иязык практических
вого исчисления в повседневной
решение полученных задач.
ситуаций посредством
жизни, экономике, финансах, пред-  Реализация исследований/изысканий относительно
статистических понятий
принимательстве, истории, социоприменения элементов математической статистики ии понятий финансового
логии, искусстве, в технологиях ифинансового исчисления в различных областях.
исчисления.
т. п. (примеры и задачи) Реализация индивидуальных/групповых проектов, в том
2.5. Отбор, учёт ичисле проектов STEM/STEAM в контексте применения
интерпретирование
Новые элементы математической
элементов математической статистики и финансового
количественных,терминологии:исчисления в реальных и/или смоделированных ситуациях.
качественных данных,таблица статистических данных,используя инструменты
группировка данных, статистичеРекомендуемые результаты/продукты:ИКТ и статистические
ская серия, абсолютная частота, Решённый пример;инструменты.
относительная частота, накоплен-  Решённая задача;2.6. Составление плана дляная частота, гистограмма, полигон  Применённый алгоритм;решения задачи и решение частот, медиана, мода, прибыль, Составленный план идей;задачи в соответствии спроцент, процентная ставка, Исследуемый случай с применением статистики;разработанным планом.
простые проценты, сложные про Исследование "Банковские кредиты:преимущества и риски";2.7. Обоснование вывода,центы, стоимость, прибыль, НДС Проект "Финансовая безопасность государства";результата, относящегося к (налог на добавленную стоимость),  Проект "Статистика в профессиях родителей";элементам математической коммерческое добавление, кредит, Проект "Финансовые инвестиции в предпринимательстве:статистики и финансового кредитор, должник, долг.
преимущества и риски";исчисления, посредством Проект STEАM «Кредиты для моего дома»;аргументирования.
 Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

88

3.1. Распознавание и классиII. Элементы теории вероятностей Решение упражнений и задач на:фикация событий по раз- распознавание и классификация событий;личным критериям.
• Событие. Классификация событий - выполнение операций с событиями;3.2. Распознавание и исполь- • Классическое определение вероят- - сравнение событий по признаку шанcов их реализации;зование терминологии иности события
- вычисление вероятности события в реальных и/илисимволики, адекватных
• Случайные события. Операции сосмоделированных ситуациях, используя отношение:элементам теории вероятслучайными событиями    количество благоприятных событию случаев/количество
ностей, в различных кон• Независимые случайные события   всех возможных случаев;текстах.
• Приложения вероятности в различ- - интерпретирование и транспонирование на
3.3. Вычисление вероятностиных областях (примеры и задачи)математический язык практических ситуаций посредством
события в реальных и/илиэлементов вероятностей;смоделированных
Новые элементы математической
- выполнение экспериментов в контексте теории
ситуациях.
терминологии:вероятностей;3.4. Применение изученных
совместимые события, несовмести- - улучшение полученных результатов путём увеличения
элементов теориимые события, равновозможные соколичества проб;вероятностей длябытия, правило умножения, проти- - разрабатывание плана для решения задачи и решение
выявления и описания
воположное событие, независимые
задачи в соответствии с разработанным планом;процессов, феноменов из события.
- применение алгоритмов, специфических теории вероятразличных областей.
ностей, при исследовании конкретных случаев и решении
3.5. Интерпретирование изадач.
транспонирование на Исследование конкретных случаев из реальных и/илиматематический языксмоделированных ситуаций, относящихся к элементам
практических ситуаций
теории вероятностей, и решение полученных задач.
посредством элементов Реализация исследований/изысканий относительно
вероятностей.
применения элементов теории вероятностей в различных
3.6. Составление плана дляобластях.
решения задачи и решение Реализация индивидуальных/групповых проектов взадачи в соответствии сконтексте применения элементов теории вероятностей вразработанным планом.
реальных и/или смоделированных ситуациях.

89Рекомендуемые результаты/продукты: Решённый пример; Решённая задача; Применённый алгоритм; Составленный план идей; Исследуемый случай с применением вероятности; Исследование "События в повседневной жизни"; Проект "Элементы вероятности в профессиях родителей"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.
4.1. Распознавание и класIV. Многогранники
Решение упражнений и задач на:сифицирование много- распознавание изученных многогранников и/или ихгранников по различным
• Призма. Элементы. Классификация
элементов;   критериям в реальных и/• Прямые призмы: сечения
- распознавание и использование терминологии иили смоделированных сипараллельные основанию,символики, адекватных многогранникам, в различных
туациях.
диагональные сечения, сечения,контекстах;4.2. Распознавание и испольсодержащие высоту
- изображение на плоскости изученных геометрических
зование терминологии и• Площади поверхности прямой
тел, используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ,символики, адекватных
призмыи применение полученных представлений при решении
многогранникам, в различ- • Объём прямой призмы
задач на вычисление площадей и/или объёмов;ных контекстах.
• Пирамида. Элементы.
- вычисление площадей поверхностей и объёмов
4.3. Применение свойств мноКлассификация
многогранников при решении задач в реальных и/илигогранников при решении • Правильная пирамида
смоделированных ситуациях;задач.
(треугольная, четырехугольная,- вычисление площадей сечений многогранников;4.4. Вычисление площадей
шестиугольная)- анализирование и интерпретирование полученных
поверхностей и объёмов
• Площади поверхностей
результатов при решении практических задач смногогранников в реальправильной пирамиды
применением изученных многогранников и единицных и/или смоделирован(треугольная, четырехугольная,измерений, адекватных площадям и объёмам;ных ситуациях.
шестиугольная)- обоснование  полученного или заданного результата
• Объём правильной пирамиды
относительно многогранников посредством
(треугольная, четырехугольная,аргументирования;шестиугольная)3.7. Обоснование вывода,результата, относящегосяк элементам теории
вероятности, посредством
аргументирования.

90

4.5. Составление плана для• Усечённая пирамида. Элементы.
- разрабатывание плана для решения задачи и решение
решения задачи и решение
Классификация
задачи в соответствии с разработанным планом;задачи в соответствии с• Правильная усечённая пирамида
- анализирование решения задач на многогранники вразработанным планом.
(треугольная, четырехугольная,контексте корректности, простоты, чёткости и значимости
4.6. Анализирование решения
шестиугольная)полученных результатов;задач на многогранники
• Площади поверхностей
- применение многогранников и их свойств для выявленияв контексте корректности,правильной усечённой пирамидыи описания ситуаций, феноменов, процессов из различных
простоты, чёткости и значи(треугольная, четырехугольная
областей.
мости полученных резульшестиугольная) Исследование конкретных случаев из реальных и/илитатов.
• Объём правильной усечённой
смоделированных ситуаций, относящихся к
4.7. Применение многогранпирамиды (треугольная, четырехумногогранникам, и решение полученных задач.
ников и их свойств для выгольная, шестиугольная) Реализация исследований/изысканий относительно
явления и описания ситуа- • Приложения многогранников вприменения многогранников в различных областях.
ций, феноменов, процессов
повседневной жизни, физике, Реализация индивидуальных/групповых проектов виз различных областей.
химии, искусстве, в технологиях, вконтексте применения многогранников в реальных и/или
4.8. Обоснование вывода,строительстве (примеры и задачи)смоделированных ситуациях.
результата, относящегося Реализация практических и лабораторных работ пок многогранникам,Новые элементы математической
измерению площадей и объемов многогранников.
посредством
терминологии:аргументирования.
внутренняя точка фигуры, внешняя Рекомендуемые результаты/продукты:точка фигуры, граничная точка фи-  Решённая задача;гуры, граница фигуры, ограниченная  Применённый алгоритм;фигура, геометрическое тело, вы Составленный план идей;пуклый многогранник, правильный Исследуемый случай с применением многогранников;многогранник, сечение многогранни-  Лабораторная работа "Измерение объёмов предметов,ка, секущая плоскость, диагональное
имеющих формы многогранников";сечение, сечение, параллельная осно-  Практическая работа "Измерение площади поверхности
ванию, сечение, содержащее высоту,комнаты класса";функция объём.
 Проект "Многогранники в архитектуре села/города"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

91

5.1. Распознавание и классиV. Тела вращения
Решение упражнений и задач на:фицирование тел враще- распознавание изученных тел вращения и/или ихния по различным критери- • Прямой круговой цилиндр.
элементов;  ям в реальных и/или смоЭлементы
- распознавание и использование терминологии иделированных ситуациях. • Сечения, параллельные
символики, адекватных телам вращения, в различных
5.2. Распознавание и испольоснованию. Осевые сечения.
контекстах;зование терминологии иСечения, параллельные оси- изображение на плоскости изученных геометрических
символики, адекватных
• Площади поверхностей прямого
тел, используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ,телам вращения, в различкругового цилиндраи применение полученных представлений при решенииных контекстах.
• Объём прямого кругового
задач на вычисление площадей и/или объёмов;5.3. Применение свойств телцилиндра
- вычисление площадей поверхностей и/или объёмов
вращения при решении
• Прямой круговой конус. Элементы
изученных тел вращения при решении задач в реальных  и/задач.
• Сечения, параллельныеили смоделированных ситуациях;5.4. Вычисление площадей
основанию. Осевые сечения
- анализирование и интерпретирование полученных
поверхностей и объёмов
• Площади поверхностей прямого
результатов при решении практических задач стел вращения в реальных
кругового конуса
применением изученных тел вращения и единиц
и/или смоделированных
• Объём прямого кругового конуса
измерений, адекватных площадям и объёмам;ситуациях.
• Прямой круговой усечённый конус. - обоснование полученного или данного   результата  
5.5. Составление плана дляЭлементы
относительно тел вращения посредством
решения задачи и решение • Сечения, параллельные
аргументирования;задачи в соответствии соснованию. Осевые сечения
- анализирование решения задач на тела вращения вразработанным планом.
• Площади поверхностей усечённого
контексте корректности, простоты, чёткости и значимости
5.6. Анализирование решения
прямого кругового конуса
полученных результатов;задач на тела вращения в• Объём усечённого прямого
- применение тел вращения и их свойств для выявления иконтексте корректности,кругового конуса      описания ситуаций, феноменов, процессов из различных
простоты, чёткости и• Сфера. Элементы (центр, радиус,областей.
значимости полученных
диаметр). Площадь сферы                          Исследование конкретных случаев из реальных и/илирезультатов.
• Шар. Объём шарасмоделированных ситуаций, относящихся к телам
5.7. Применение тел вращения
вращения, и решение полученных задач.
и их свойств для выявления Реализация исследований/изысканий относительнои описания ситуаций,применения тел вращения в различных областях.
феноменов, процессов изразличных областей.

92Новые элементы математической
терминологии:объём усечённого конуса, площади
поверхностей усечённого конуса.

5.8. Обоснование вывода,• Приложения тел вращения врезультата, относящегося
повседневной жизни, физике,к телам вращения, посредхимии, искусстве, в технологиях,ством аргументирования.
в строительстве и т. п. (примеры изадачи)Рекомендуемые результаты/продукты: Решённая задача; Применённый алгоритм; Составленный план идей; Исследуемый случай с применением тел вращения; Лабораторная работа "Измерение объёмов предметов,имеющих формы изученных тел вращения"; Проект "Тела вращения в архитектуре села/города"; Проект STEАM "Мой будущий дом"; Составленная Матрица ассоциаций; Понятийная карта, составленная к модулю; Решённый суммативный тест.

 Реализация индивидуальных/групповых проектов, в томчисле проектов STEM/STEAM в контексте применения телвращения в реальных и/или смоделированных ситуациях.
 Реализация практических и лабораторных работ поизмерению площадей и объёмов тел вращения.

93

•

•

•

•
•

•

•

•
•

•

•

В конце XII класса УЧЕНИК МОЖЕТ:распознавать и применять терминологию и обозначения, адекватные элементам комбинаторики, в разных ситуациях, втом числе при общении;решить проблемы, в том числе проблемы повседневной жизни и из других областей, содержащих элементы комбинаторики;определить шанс и вычислить вероятность события в реальных и/или смоделированных ситуациях;идентифицировать в разных контекстах изученные элементы вероятности, математической статистики и финансового исчисления;применить элементы вероятности, математической статистики и финансового исчисления для распознания и описания
ситуаций, процессов, феноменов из разных областей;представить результаты наблюдений, явлений, физических, экономических, социальных процессов и т. д. посредством
рисунков, таблиц, графиков, статистических диаграмм и извлечь соответствующие информации из таблиц, списков, графиков, статистических диаграмм;определить личный и семейный бюджет;интерпретировать и переводить на математический язык практические ситуации, используя изученные элементы статистики и вероятности;идентифицировать и изобразить на плоскости, используя чертёжные инструменты, инструменты ИКТ, изученные геометрические фигуры, включая многогранники, тела вращения и их элементы;классифицировать по различным критериям изученные геометрические фигуры, в том числе многогранники и тела вращения;перевести реальную и/или смоделированную ситуацию относительно типов изученных геометрических фигур, включая
многогранники и тела вращения на геометрический язык, решить полученную задачу, обосновать и интерпретировать
результат;94• применить многогранники, тела вращения и их свойства для выявления и описания ситуаций, процессов, феноменов изразличных областей;• распознать в различных высказываниях и использовать при решении задач из разных областей (физики, географии, химии, биологии, истории и т. д.) формулы вычисления площадей плоских геометрических фигур, площадей поверхностей иобъёмов изученных многогранников, тел вращения;  • адекватно изобразить на плоскости изученные геометрические фигуры и тела для вычисления длин отрезков, величин
углов, площадей и объёмов;   • идентифицировать и применить терминологию и обозначения, относящиеся к изученным геометрическим фигурам,включая изученные многогранники и тела вращения, в различных ситуациях;• прикинуть и вычислить длины отрезков, величины углов, периметры, площади и объёмы в реальных и/или смоделированных ситуациях;• разработать план идей по решению проблемы и решить проблему в соответствии с разработанным планом;• обосновать вывод или результат, полученный и/или указанный, используя аргументы, доказательства;   • анализировать решение проблемы, проблемной ситуации в контексте правильности, простоты, чёткости и значимости
полученных результатов;  • определить истинностное значение полученного и/или заданного высказывания, предложения.

V. Методологические основы
преподавания – учения – оценивания
Педагогические кадры могут выбрать методы и техники преподавания и могут
адаптировать соответствующие действия в соответствии с темпом усвоения материала учащимися и их особенностями. Центрирование на формирование компетенций сопровождается переоценкой и обновлением стратегий, технологий иметодов, применённых в образовательном процессе по математике. Это касается
следующих аспектов:• применение стратегий, технологий, методов в контексте личностноориентированного обучения, направленных на активизацию когнитивныхи действенных структур учащихся, на реализацию на максимальном уровне
психофизического и интеллектуального потенциала каждого из них, на преобразование ученика в соучастника собственного формирования;• использование методов, способствующих оптимизации процесса познания,прибегая к конкретным моделям;• акцентирование формирующего характера стратегий, технологий, методов, применённых в процессе преподавания – учения – оценивания математики, способствующих активному и эффективному формированию индивидуального потенциала ученика, развитию способностей оперировать сусвоенной информацией, применять и оценивать добытые знания, исследовать гипотезы и находить адекватные решения проблем и проблемных
ситуаций;• систематическое комбинирование и чередование видов деятельности, основанных на индивидуальном действии ученика (документирование на основе различных источников информации, собственное наблюдение, личное
упражнение, программированное обучение, эксперимент и индивидуальная работа, работа с индивидуальными карточками и т. п.), с видами деятельности, требующими коллективного участия (в командах, в группах),типа дискуссий, мозгового штурма, исследование конкретного случая и т. п.;• усвоение методов самостоятельного информирования и документирования, используя информационные и коммуникационные технологии (ИКТ), втом числе сеть Интернет, способствующих самообразованию, непрерывному образованию.  
Настоящий куррикулум призван создавать благоприятные условия для каждого
ученика в процессе формирования и развития компетенций в собственном, индивидуальном ритме для переноса и применения усвоенных знаний в другие области.

95Для этого полезно, чтобы учитель ориентировал свой дидактический проект нареализацию следующих видов деятельности: формулирование различных заданий на прорабатывание информаций с целью формирования компетенций, предусмотренных куррикулумом; чередование изложения содержания с различными способами активизации
мышления; частое включение в образовательный процесс межпредметных и внутрипредметных отношений; создание ситуаций, когда ученик самостоятельно формулирует адекватные
задания для работы; нахождение решений или различных обоснований для одного и того же содержания; работа ученика с учебником – анализ текста, изложение материала с использованием усвоенных символик, трактовка соответствующих содержаний; формулирование заданий для работы в группах; проведение видов учебной деятельности, позволяющих выполнять заданияв различных ритмах; формирование определённых алгоритмов учения посредством упорядочивания заданий.   
В процессе преподавания – учения математики необходимо создавать благоприятные условия для включения учащихся в процесс поиска, исследования,способствующий процессу учения посредством проблемного обучения и открытий. Также необходимо создавать благоприятные условия для переноса добытых и осознанных математических знаний в различные области, в том числев повседневную жизнь и в области, определённые куррикулумной областью.   Вэтом отношении учитель будет использовать любую возможность для приведения
примеров приложения математики в физике, химии, биологии, информатике, вповседневной жизни и других областях. Таким образом, учитель: будет учитывать возможности, представленные школьными учебниками по математике, по реализации межпредметных связей (интегрирующие задачи, проблемные ситуации, содержащиеся в текстах учебника;интегрирующие тестовые задания (итемы), содержащиеся в проверочных работах учебника и т. п.); выберет из сборников упражнений и задач и предложит учащимся задачис межпредметным содержанием; выберет из дидактических и методических материалов интегрирующие
задачи и предложит учащимся при проведении различных мероприятийпо математике (уроки, внеклассные мероприятия, олимпиады и т. п.); проведёт, совместно с учителями физики, химии, биологии, информатики и других дисциплин, интегрирующие уроки;96 создаст, систематически, на уроках или при проведении других образовательных мероприятий, проблемные ситуации с межпредметным содержанием и/или прикладным уклоном; организует и проведёт при обучении математике практические занятияи лабораторные работы с межпредметным и/или прикладным уклоном; реализует, совместно с учителями других предметов, проекты типаSTEM/STEAM.
При возможности уроки математики будут проведены с использованием компьютера.
Настоящий куррикулум призван формировать у учащихся компетенции, т. е.
целостную систему знаний, способностей, навыков и ценностных отношений посредством учебных действий, приближающих изучаемые содержания к практике.
В учебной деятельности в центре внимания находится ученик, а не собственно
преподавание математических понятий. Акцент переносится от "что" нужно изучить на "с какой целью" и "с каким результатом".  
Учитель математики осуществит образовательный процесс по математике, используя типы уроков, предусмотренных классификацией типов уроков по признаку компетенций. [5]Самая значимая роль оценивания состоит в предоставлении постоянной исоответствующей обратной связи, необходимой как ученикам и учителям, так иродителям, руководящим органам и широкой общественности. Итак, в интегрированном образовательном процессе преподавание – учение – оценивание составляющая оценивание играет основную роль, имеющую исключительное значение как с психопедагогической, профессиональной, так и социальной точки
зрения. В контексте формирования и развития компетенций педагогическая оценка должна основываться, согласно требованиям, содержащимся в документе Основы национального куррикулума (Cadrul de referință al curriculumului național) [2],на следующих фундаментальных принципах:• оценивание является постоянным процессом и существенной составной
частью образовательного процесса;• оценивание стимулирует учение, формирование и развитие компетенций;• оценивание основывается на необходимости сравнивать подготовку
учащихся со специфическими компетенциями, единицами компетенций иоперациональными целями каждого урока;• оценивание основывается на государственных образовательных стандартах, предусматривающих, что будет знать, будет уметь делать икаким будет ученик в конце его школьного обучения;• оценивание проводится многими и разнообразными методами (традиционными и современными);• оценивание – регламентирующий процесс, определяющий качество
школьной деятельности учащихся;97• оценивание должно способствовать правильной самооценке учащегося идостижению постоянного улучшения его школьных успехов.
В процессе математического образования учитель, как правило, применяет:а) первичное оценивание, реализуя функцию прогноза; б) текущее (формирующее) оценивание, реализуя функцию формирования; в) итоговое (суммативное) оценивание, реализуя функцию суммирования (или диагноза). Итоговое
оценивание в конце изученного модуля/учебного года покажет, достигнуты ли запланированные результаты единицами компетенций для соответствующего класса.
Посредством экзамена на степень бакалавра по математике для будет проверяться, сформированы ли запланированные специфические компетенции поматематике для лицейского образования и достигнуты ли соответствующие стандарты эффективности по математике.
Формулируя цели каждого урока, учитель будет коррелировать эти цели соспецифическими компетенциями по математике, соответствующими единицами
компетенций и стандартами. Проверочные работы, предложенные учащимся впроцессе обучения математике, будут включать задания и итемы, посредством
которых будут оцениваться, приоритетно, не отдельные знания и способности, ауровень формирования соответствующих компетенций. Примеры таких заданийи итемов учитель найдет в методологических гидах, в сборниках тестов по математике и в экзаменационной программе для экзамента на степень бакалавра поматематике.
В контексте принципов оценки приоритетным и доминирующим в образовательном процессе становится текущее-формирующее оценивание. Успех урока
зависит от достижения соответствующих запланированных целей. В этом контексте этап урока Проверка и оценивание является обязательным для любого типаурока, и на этом этапе будет оцениваться уровень достижения целей урока.
Проверка и оценивание будут осуществляться, как правило, посредством применения различных форм, методов и техник. Приоритетными в контексте оценивания, формирования компетенций становятся метод проектов, исследование,практические, лабораторные и графические работы, тестирование с использованием интегрированных проверочных тестов. Проверка и оценивание, по возможности, будут проводиться с использованием инструментов ИКТ.
Оценка, проведенная при обучении математике, будет обязательно включать
задания, требующие реализации межпредметных, транспредметных связей. Врамках оценивания учащимся будут предложены для реализации и интегрирующие проекты, в том числе проекты типа STEM и STEAM.
Важно, чтобы каждый ученик, учитель и родитель/опекун осознал, что оценкапри любых условиях должна быть объективной.

98

GHID
DE IMPLEMENTAREA CURRICULUMULUIDISCIPLINAR

99

Введение
Изменение – это закон жизни. Те, кто смотрят только впрошлое или в настоящее время они наверняка потеряют будущее.
Джон Реннеди (John Rennedy)Необходимость развития школьного Куррикулума по Математике для лицея
следует из следующих критериев:–– приведение требований Куррикулума в соответствие с требованиями Кодекса об образовании Республики Молдова (2014) и Рекомендациями Европейского парламента и Совета Европы относительно ключевых компетенций, рекомендованных для формирования на протяжении всейжизни (Брюссель, 2018);–– корреляция системы специфических компетенций по Математике с требованиями, которые исходят из модернизации определения школьной
компетенции, сформулированной в документе Основы Национального
куррикулума (Cadrul de Referință al Curriculumului Național) [2];–– разгрузка содержательных линий школьного курса Математики;–– повышение мотивации и интереса учащихся к изучению Математики.
Основной целью математического образования в лицее является как формирование и развитие логического мышления учащихся, так и формирование, и развитие компетенций, способствующих максимальной реализации творческого потенциала выпускника гимназии и необходимых для продолжения им учения наследующей ступени образования и/или для оптимальной социальной интеграции.
В Республике Молдова внедряется четвертое поколение Куррикулума по Математике для лицея. Развитие школьного Куррикулума по Математике порождает определенные вопросы.
Этот Гид содержит ответы на многие вопросы, возникающие относительно реализации образовательного процесса по Математике на современном этапе ивнедрения Куррикулума в лицее. В работе предложены ответы, относящиеся какк инновационным, стратегическим, теоретическим, так и к практическим аспектам преподавания – учения – оценивания Математики в лицее в контексте внедрения нового Куррикулума. Рассмотрены аспекты внедрения Куррикулума поМатематике для реального и гуманитарного профилей.

100Учитель имеет право творчески относиться к предложенному и рекомендованному в этом гиде содержанию. Конечно, в итоге, учитель сам отбирает и определяет соответствующие стратегии и технологии, способствующие успешному достижению запланированных целей, реализации единиц компетенций и формированию компетенций. Посредством реализации Куррикулума по Математике необходимо создавать благоприятные условия каждому ученику для формирования иразвития компетенций в собственном, индивидуальном ритме, для переноса добытых знаний в различных областях, в том числе в практическую деятельность и вобластях, определенных соответствующей куррикулумной областью.
Образовательная ответственность учителя Математики и значимость Математики как школьной дисциплины огромны. От того, как ученики осваивают
Математику, во многом зависят их успехи при изучении остальных школьных
дисциплин. Тем самым учитель Математики постоянно должен учитывать какспецифику Математики как «царицы всех наук», так и тот факт, что Математика – это дисциплина, которая обеспечивает и осознанное усвоение учащимися
большинства из школьных дисциплин.
Внедрение требований нового Куррикулума эффективно способствует повышению качества математического образования в лицее.

101

I. Концептуальные основы
школьного Куррикулума поМатематике для лицея
1.1. Понятие Школьный куррикулум по Математике для лицея
Куррикулум школьной дисциплины Математика – составная часть Национального куррикулума, разработан в контексте требований Основ Национального куррикулума (Cadrul de referinţă al Curriculumului Naţional, 2017) [2] и предназначен, в первую очередь, учителям, преподающим школьную дисциплину Математика в лицее.
Школьный куррикулум по Математике для X-XII классов является основным дидактическим инструментом и нормативном документом, содержащим основные требования к изучению Математики и результаты, которые
должны быть достигнуты учащимися лицея, выраженные соответствующими компетенциями, единицами компетенций, содержаниями и видами
учебной и оценочной деятельности [7].
Он разработан в соответствии с Куррикулумом по Математике для гимназии,представляющим собой продолжение, его естественное развитие.
Основной целью лицейского математического образования является формирование и развитие специфических компетенций по Математике, необходимыхдля продолжения образования в высших учебных заведениях и для подготовки
личности к жизни и к самостоятельной деятельности.
Учитель Математики обязан реализовать требования этого нормативного
документа. Важно, чтобы и остальные участники образовательного процесса родители, ученики и общество в целом, осознали важность и значимость внедрения школьного Куррикулума по Математике для лицея.
1.2. Инновационные аспекты Куррикулума по Математике
1.2.1. Концептуальные основы
Разработанный на основе требований Кодекса об образовании Республики Молдова (2014), Основ Национального куррикулума (Cadrul de referință al
Curriculumului Național, 2018), Базового куррикулума: система компетенцийдля общего образования (2018) и в соответствии с Рекомендациями Европейского парламента и Совета Европы, относительно ключевых компетенций,102

которые должны быть сформированы на протяжении всей жизни (Брюссель,2018), Куррикулум для школьной дисциплины Математика является регламентирующим документом, включающим концептуальные, телеологические, содержательные и методологические основы, с акцентом на формирование системы компетенций, как новой системы отсчета конечных образовательных результатов.
Основной целью школьного Куррикулума по Математике является внедрение образовательной политики, определенной Кодексом об образовании Республики Молдова (2014), который посредством статьи 11 определяет: «Главной
образовательной целью является формирование гармоничной личности иразвитие системы компетенций, включающей знания, навыки и ценностные
отношения, обеспечивающие возможность активного участия индивидуумав социальной и экономической жизни»[1].
В этом контексте было модернизировано определение понятия школьная
компетенция:Школьная компетенция – это целостная система знаний, навыков и ценностных отношений, добытых, сформированных у учащихся и развитых впроцессе обучения, мобилизация которых позволит идентифицировать и решить различные проблемы, в различных контекстах и ситуациях [7].
Важно, чтобы педагогические кадры, ученики и их родители осознали сущность понятия школьная компетенция как целостную систему знаний, навыкови ценностных отношений, но не как их совокупность.
Акцентирование на формирование навыков требует от учителей, учеников иих родителей осознание понятия навык:НАВЫК – способность деятельности, сформированная путём повторения и доведения до автоматизма.
Выработка навыка – это процесс, который достигается путём выполнения
упражнений (целенаправленных, специально организованных повторяющихся
действий). Благодаря упражнениям способ действия совершенствуется и закрепляется. Показателями наличия навыка является то, что человек, начиная выполнять действие, не обдумывает заранее, как он будет его осуществлять, не выделяет из него отдельных частных операций. Благодаря формированию навыков
действие выполняется быстро и точно, и можно сконцентрироваться на развитиеи получение новых знаний, умений и навыков.
На формирование навыка влияют:–– мотивация, обучаемость, прогресс в усвоении, упражнения, подкрепление,формирование в целом или по частям.

103

–– для уяснения содержания операции – уровень личного развития, наличие знаний, умений, способ объяснения содержания операции, обратная
связь.
–– для овладения операцией – полнота уяснения её содержания, постепенность перехода от одного уровня овладения к другому по определённым
показателям (автоматизированность, интериоризованность, скорость
и пр.).
Различные сочетания этих факторов создают различные картины процесса
формирования навыка: быстрый прогресс в начале и замедленный в конце, илинаоборот; возможны и смешанные варианты [54].
В процессе разработки Куррикулума для школьной дисциплины Математика
были учтены:•• современные трактовки и тенденции развития Куррикулума на национальном и международном уровнях;•• необходимость адаптации школьного Куррикулума к ожиданиям общества, к потребностям учеников, а также к традициям национальной школы;•• значимость школьной дисциплины в формировании трансверсальных,транспредметных и специфических компетенций;•• необходимость реализации преемственности и взаимосвязи между этапами общего образования: дошкольное образование, начальное образование, гимназическое образование и лицейское образование.
Фундаментальными в построении школьного Куррикулума по Математикедля лицея и, в целом, образовательного процесса по Математике в школе являются следующие принципы:I. Принцип конструктивизма (структурности), предусматривающий систематическое повторение изученного материала и основных понятий, как значимый аспект преподавания – учения. Согласно этому принципу современный образовательный процесс по Математике осуществляется по спирали, основываясь на конкретном математическом понятии и формировании,в итоге, специфических для Математики мыслительных структур.
II. Формирующий принцип, предусматривающий непосредственное формирование личности учащегося в образовательном процессе по Математике.
Система ценностных отношений, которые должны быть сформированы в образовательном процессе по Математике, представлена в Куррикулуме на стр.
5. Учитель Математики обязан сформулировать для каждого урока, в том числе
включить в дидактический проект, хотя бы одну цель на формирование ценностных отношений.

104

Единицы компетенций из Куррикулума представляют собой приобретения,которые должны быть добыты учениками в конце изучения главы или в конце
учебного года. Они служат в качестве элементов/шагов в формировании специфических компетенций. Единицы компетенций будут оценены посредством
формирующего и/или суммативного оценивания в конце единицы обучения (главы, модуля) и/или учебного года.
Единицы содержания представляют собой средства для добывания приобретений, предусмотренных запланированными единицами компетенций, для формирования специфических и трансверсальных/транспредметных компетенций.
Виды учебной деятельности и ее результаты/продукты – это открытый
список значимых контекстов, способствующих добыванию приобретений, запланированных единицами компетенций для формирования/развития и оценивания в рамках единицы обучения. Учитель может выбрать те или иные виды учебной деятельности и рекомендуемые результаты/продукты для применения науроках, а также может дополнить этот список в зависимости от специфики классаи от наличия необходимых средств и т.п. [7].
Куррикулум школьной дисциплины Математика обосновывает и ориентирует деятельность учителя, оказывает помощь в реализации долгосрочного икраткосрочного дидактического планирования, а также в реализации процесса
преподавания – учения –оценивания.
1.2.2. Система компетенций
Компетенции представляют собой многофункциональный пакет знаний, способностей, навыков и отношений, способствующий оптимальной социальнойили профессиональной интеграции в соответствующую область. Компетенция
рождается и оценивается, исходя из слияния значений, определенных глаголами знать, уметь делать, уметь быть, уметь жить вместе, уметь стать,значит не является результатом лишь когнитивной деятельности, но и психомоторной и аффективной деятельностей. Таким образом компетенция имеет четкую внутреннюю структуру, включающую: знания, познавательные способности,праксиологические способности, отношения, эмоции, этические и моральные
ценности, мотивации.
Учитель должен осознать, что итоговые приобретения учащимися, в контексте
формирования компетенций – это не совокупность информации, которую надозапомнить. Для формирования соответствующей компетенции необходимо, чтобы ученик:–– овладел системой фундаментальных знаний в соответствии с проблемой, которую необходимо в итоге решить;105

–– владел навыками для их осознания и способностями использования/применения в простых/стандартных условиях, осуществив тем самым функциональность добытых знаний;–– находил решения различных проблемных ситуаций, осознавая тем самым
используемые им функциональные знания;–– решал возникающие, в различных контекстах, проблемы окружающей
действительности, используя в итоге необходимые знания, способности,навыки и отношения, т.е. применив соответствующую компетенцию.
Куррикулум основан на ключевых/трансверсальных компетенциях, определенных Кодексом об образовании Республики Молдова:а) компетенции общения на румынском языке;б) компетенции общения на родном языке;в) компетенции общения на иностранных языках;г) компетенции в Математике, естествознании и технологии;д) цифровые компетенции;е) компетенция научиться учиться;ё) социальные и гражданские компетенции;ж) компетенции предпринимательства и инициативности;з) компетенции культурного выражения и осознанности культурных ценностей [1].
Приоритетными для математического образования являются ключевые компетенции г), a), б), д), е) и ж).
Специфические компетенции вытекают из ключевых/трансверсальных компетенций и представляют собой целостную систему знаний, навыков и ценностных отношений, запланированных для формирования каждой школьной дисциплиной на протяжении всего периода обучения в лицее.
Для школьной дисциплины Математика запланированы следующие специфические компетенции:Реальный профиль
1. Использование действительных и комплексных чисел для выполнения вычислений в различных контекстах, проявляя интерес к строгости и точности в вычислениях.
2. Применение изученных математических понятий, методов, алгоритмов,свойств, теорем в различных контекстах, прибегая к математическим
понятиям и методам при решении повседневных задач и/или задач из различных областей.

106

1. Применение математических рассуждений для идентифицирования и решения проблем в различных контекстах, проявляя ясность, правильностьи краткость в рассуждениях.
2. Анализирование решения задачи, проблемной ситуации в контексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных результатов, развивая дух объективности и беспристрастности.
3. Экстраполирование математических приобретений для выявления и описания процессов, явлений в различных областях, прибегая к математическим понятиям и методам при анализе и решении различных ситуаций.
4. Разрабатывание стратегий и проектирование деятельности для решения теоретических и/или практических задач, развивая способность оценивать строгость, порядок и элегантность в архитектуре решения проблемы.
5. Обоснование математического высказывания или результата, используя
аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения.
Эти компетенции коррелируют с 7 специфическими компетенциями, запланированными для гимназического образования, развивая их. Для гуманитарного
профиля предлагается развивать те же 7 специфические компетенции, которые
сформированы в гимназии.
Гуманитарный профиль
1. Использование действительных чисел для выполнения вычислений в различных контекстах, проявляя интерес к строгости и точности в вычислениях.
2. Изложение на математический язык высказывания, ситуации, решения,формулируя ясно и кратко высказывание.
3. Применение математических рассуждений для идентифицирования и решения проблем, проявляя ясность, правильность и краткость в рассуждениях.
4. Исследование совокупности данных, используя адекватные инструменты, в том числе цифровые, и математические модели, для изучения/описания отношений и процессов, демонстрируя настойчивость и аналитический дух.
5. Применение геометрических понятий, отношений и инструментов длярешения проблем, проявляя последовательность и дедуктивный подход.
6. Экстраполирование математических приобретений для выявления и описания процессов, явлений в различных областях, прибегая к математическим понятиям и методам при анализе и решении различных ситуаций.
107

7. Обоснование математического высказывания или результата, используя
аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения.
Рекомендации Европейского парламента и Совета Европы относительно
ключевых компетенций, рекомендованных для формирования на протяжении
всей жизни (Брюссель, 2018), включают 8 ключевых компетенций:1. Компетенция грамотности;2. Лингвистические компетенции;3. Компетенции в Математике, естествознании, технике и инженерии;4. Цифровые компетенции;5. Личные, социальные и учебные компетенции, чтобы учиться;6. Гражданские компетенции;7. Предпринимательские компетенции;8. Компетенции восприятия культуры и культурно выражаться.
1.2.3. Система содержаний
Относительно системы содержаний, предложенных для изучения Куррикулумом по Математике для лицея, сделаны следующие основные изменения:

108

109

X.

Класс

|a| = |-a|; |a2| = |a|2=a2; |ab| = |a||b|,aa=b ≠ 0; |a+b|≤|a|+|b|bbIII. Функции. Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности
• Инъективные, сюръективные, биективные функции.
• Уточнены типы уравнений, неравенств и систем, запланированных для изучения. Этим упрощено изучение уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств.
VI. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
• Понятие упорядоченное множество. Понятие факториал.
• Основные законы (правила) комбинаторики.
• Перестановки.
• Размещения.
• Сочетания.
• Свойства сочетаний.
• Уравнения, неравенства, содержащие элементы комбинаторики.
• Бином Ньютона.
• Формула общего члена разложения бинома.
• Основные свойства биномиальных коэффициентов.
• Свойства разложения бинома.

• Модуль действительного числа. Свойства:• Операции над действительными числами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с рациональным и действительным показателем). Свойства.

• Квантор общности и квантор существования.

I. Действительные числа
• Действительные числа. Множества N, Z, Q, R.

Исключенное содержание

Реальный профиль

III. Одночлены. Многочлены.
Алгебраические дроби
•• Понятие одночлен от одной или нескольких
переменных. Операции с одночленами.
•• Понятие многочлен от одной или нескольких
переменных.
•• Операции с многочленами: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень с натуральным показателем.
•• Канонический вид многочлена от одной переменной. Степень многочлена от одной переменной.
•• Деление многочленов от одной переменной.
Теорема деления с остатком для многочленов.
•• Деление на бином X – a.
•• Теорема Безу.
•• Разложение многочленов на неприводимые
множители (метод общего множителя, метод
группировки, использование формул сокращенного умножения, разложение квадратного трехчлена, комбинированные методы).
•• Понятие корень многочлена с одной переменной.
•• Кратные корни.
•• Понятие алгебраическая дробь.
•• Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
•• Операции с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем.

Включенное содержание

110III. Теория вероятности
• Условная вероятность.

XII.

III. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
• Понятие упорядоченное множество. Понятие
факториал.
• Основные законы (правила) комбинаторики.
• Перестановки.
• Размещения (без повторений).
• Сочетания (без повторений).
• Свойства сочетаний (без повторений).
• Уравнения, неравенства, содержащие элементы
комбинаторики.
• Бином Ньютона.
• Формула общего члена разложения бинома.
• Основные свойства биномиальных коэффициентов.
• Свойства разложения бинома.

.

Примечание. В разделе Углубление/Расширение:–– для XI класса предложены к изучению модули: a) Прямая на плоскость; б) Кривые второго порядка;–– для XII класса предложены к изучению модули: a) Многочлены с комплексными коэффициентами; б) Комбинации
геометрических тел.

I. Последовательности действительных чисел
• Понятие подпоследовательность действительных чисел.
II. Пределы функций. Непрерывные функции
• Операции над пределами функций.
III. Дифференцируемые функции. Применение производной
• Приложения дифференциалов при приближенном вычислении.
V. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
Матричное уравнение AXB = C

XI.

111

X

Класс

log a f  x   log a g  x   log a h  x  a>0, a≠13.                                                             ,4. логарифмические уравнения, приводимые к изученным алгебраическим уравнениям.

2. log a f  x   log a g  x  ;1 log a f  x   b;1. af(x)=ag(x) и приводимые к ним;2. показательные уравнения, приводимые к изученным алгебраическим уравнениям;• Логарифмические уравнения типа:III. 5. Показательная функция. Логарифмическая функция
• Показательные уравнения типа:g  x  f  x  0f  x   ax  b; a, b ∈ R

III. Функции. Уравнения. Неравенств. Систем
III.1. Понятие функция
• Понятие функция. Способы задания функции.
• График функции.
• Свойства функции: монотонность, нули, экстремумы.
III. 4. Степенная функция. Функция радикал
• Иррациональные уравнения типа:• Промежутки действительных чисел.

II. Множества

I. Действительные числа
• Квантор общности и квантор существования.

Исключенное содержание

Гуманитарный профиль
Включенное содержание

112

XI

II. Дифференцируемые функции. Применение производной
• Понятие предел функции в точке.
• Понятие производная функции в точке.
• Задачи из различных областей, приводящие к понятию производная.
• Геометрический и физический смыслы производной. Уравнение
касательной к графику функции в точке.
• Функции, дифференцируемые на множестве.
• Таблица производных элементарных функций.
• Вычисление производных. Правила вычисления производных.
• Производная сложной функции (композиция не более двух элементарных функций).

IV. Элементы тригонометрии
• Тригонометрическая окружность. Преобразование единиц измерения углов из градусов в радианы и обратно.
• Основные тригонометрические тождества.
• Формулы приведения.
• Формулы суммы.
• Формулы двойного угла.
V. Геометрические фигуры на плоскости
• Понятие математическое высказывание. Истинностное значение высказывания. Понятия: аксиома, теорема, обратная
теорема.
VI. Элементы комбинаторики
• Понятие упорядоченное множество. Понятие факториал.
• Основные законы (правила) комбинаторики.
• Перестановки.
• Размещения.
• Сочетания.
• Свойства сочетаний.
• Уравнения, содержащие элементы комбинаторики.

113

XII

II. Определенный интеграл. Приложения
• Понятие Определенный интеграл.
• Свойства.
• Формула Ньютона-Лейбница.
• Вычисление площади подграфика функции.

I. Первообразная.
Неопределенный интеграл
• Понятие первообразная.
• Неопределенный интеграл.
• Свойства.
• Таблица неопределенных интегралов изученных элементарных
функций.

• Критические точки.
• Точки экстремума, экстремумы функции.
• Свойства дифференцируемых функций: теоремы Ферма.
• Приложения производной 1 порядка в исследовании функциимногочлен (полиномиальной функции), графическое изображение функции-многочлен.
• Приложения производных в физике, геометрии, экономике, социологии (на простых примерах).
• Задачи на максимум и минимум (простые).
VI. Элементы комбинаторики
• Понятие упорядоченное множество. Понятие
факториал.
• Основные законы (правила) комбинаторики.
• Перестановки (без повторений).
• Размещения (без повторений).
• Сочетания (без повторений).
• Свойства сочетаний.
• Приложения комбинаторики в повседневной
жизни, в экономике, финансах, социологии, искусстве, в технологиях, предпринимательстве
(примеры и задачи). (Модуль перенесен из X-гокласса).

1.2.4. Система видов учебной деятельности и оценивания
Система видов учебной деятельности и ее результатов/продуктов рекомендована для учителя. Однако их реализация способствует добыванию приобретений,запланированных единицами компетенций для каждого раздела. Учитель может
дополнить этот список другими видами учебной деятельности в зависимости отсобственных предпочтений и подготовленности учащихся.
Список учебных результатов/продуктов, которые должны быть получены учащимися, также рекомендован. Учитель, используя Референциал оценивания [4],может использовать в образовательном процессе по Математике и другие видыучебных продуктов. Значимыми для формирования ключевых/трансверсальных
компетенций и для реализации межпредметных/транспредметных связей являются проекты STEM и STEAM. Учитель Математики, совместно с учителями других дисциплин, будет реализовывать такие проекты. Проекты такого типа описаны в разделе 6.3 этого Гида.
Учитель Математики должен осознать, что школьная компетенция проявляется в действии и материализуется в учебных продуктах. Посредством предложенных видов учебной деятельности и их результатов/продуктов Куррикулум направляет учителя на формирование специфических компетенций по Математике.
1.2.5. Другие элементы новизны
Куррикулум по Математике содержит и другие элементы новизны:1. Для каждого класса и каждого раздела содержания предложен список новых терминов, которые должны быть усвоены учащимися при изучении соответствующих тем. Учитель должен быть внимателен, чтобы не загружать
большим количеством новых понятий при изучении темы на уроке. И припроведении внутренних и/или внешних оцениваний запрещается использовать другие термины, отличные от указанных в Куррикулуме и используемых в учебниках Математики.
2. Куррикулум содержит и конечные результаты (умения и навыки), которые
должны быть получены учащимися в конце учебного года (обозначенныев разделе В конце X класса ученик сможет). Эти результаты представляют
собой определенные аспекты достижения на данном этапе формирования
специфических компетенций по Математике и имеют функцию определения целей для итогового оценивания. Эти результаты должны быть доведены до сведения родителей/опекунов учащихся. Учитель в процессе обучения и в процессе оценивания будет следить за тем, чтобы эти результаты
были получены и оценены.

114

3. Уточнены права учителя Математики.
В рамках одного и того же класса учитель имеет право:–– изменить последовательность прохождения учебного материала,если не нарушается научная и дидактическая логика;–– распределять время для изучения учебного материала в зависимостиот математической подготовленности учащихся на соответствующем этапе обучения;–– группировать учебный материал различными способами, не нарушая
логику развития математических понятий;–– выбирать и организовывать виды учебной деятельности, адекватные
конкретным условиям класса.

115

2. Роль целей в формировании
компетенций у учащихсяпо Математике
2.1. Модели по операционализации целей по МатематикеДля проектирования и реализации урока важно правильно сформулировать
операциональные цели урока, либо цели урока. С целью правильной формулировки операциональных целей предлагаем две модели по их операционализации (формулировке):•• Модель американского педагога R. F. Mager уточняет три параметра:1. описание ожидаемого результата (глагол);2. указание условий, при которых будет достигнут ожидаемый результат (условия);3. уточнение критерия приемлемого достижения (критерий успеха).
Пример. Ученик будет способен письменно решить графическим методом
заданную систему уравнений.
Следовательно, теми тремя параметрами являются:1. решить – ожидаемый результат;2. письменно, графическим методом – условия;3. заданную систему уравнений – критерий успеха.
•• Модель бельгийского педагога G. de Landsheere уточняет пять параметров:1. кто реализует запланированное действие (субъект);2. какое действие покажет, что цель достигнута (глагол);3. каким должен быть результат этого действия (достижение);4. в каких условиях будет производиться действие (условия);5. на основании каких критериев делаем вывод, что полученный результат удовлетворительный (критерий успеха).
Пример. Ученик будет способен упорядочить, в убывающем или возрастающем порядке, 2 из 5 заданных последовательностей действительных чисел, поодной последовательности для каждого способа.
Итак, выделяем следующие пять параметров:1) ученик – субъект;2) упорядочить – действие (глагол);3) заданные последовательности действительных чисел-достижение;4) в убывающем или возрастающем порядке, по одной последовательностидля каждого способа – условия;5) 2 из 5 заданных последовательностей – критерий успеха.
116

Примечание. Учитель вправе использовать в своей практической деятельности любую из этих моделей.
Выбор глагола для формулировки цели имеет очень большое значение. Следовательно, учитель должен осознавать, что глаголы знать, учить, узнавать,уметь, понимать, владеть, выявлять, воспринять, усвоить не применяютсяпри формулировке целей урока или другого образовательного мероприятия.
Ниже приведены основные требования, которые должны быть учтены приформулировке операциональных целей дидактического мероприятия (урока):•• операциональная цель должна завизировать только одно действие, чтобы было возможно измерить и оценить уровень ее достижения;•• операциональная цель должна быть выражена небольшим количеством
слов, чтобы можно было лучше понять ее сущность;•• операциональные цели должны быть логически интегрированными идифференцированными, представляя тем самым четкую логику относительно учебного содержания и соответствующих учебных ситуаций;•• операциональные цели должны быть четкими, ясными и понятными какдля учащихся, так и для учителя;•• операциональные цели должны быть доступны большинством учащихсяи достигнуты за определенный конкретный период времени;•• операциональные цели не должны быть многочисленными для запланированного дидактического мероприятия.
Система целей запланированных для урока должна включать:–– по крайней мере одну цель, относящуюся к добыванию знаний (Чтобудет знать ученик?);–– хотя бы две цели, относящиеся к применению изученного, формированию способностей, умений, навыков (Что будет уметь делать
ученик?);–– по крайней мере одну цель, относящуюся к формированию ценностных отношений (Каким будет ученик?).
В общем, как правило, для урока в 45 минут приемлемы 4-6 целей (операциональных), а единиц компетенций – приемлемы 1-5 единицы.
•• операциональные цели должны соответствовать возрасту учеников, ихподготовленности и приобретенному ранее опыту.
2.2. Методология конвертирования единиц компетенций в целиЦели (операциональные) урока должны исходить из единиц компетенций,предусмотренных для соответствующего раздела (модуля, главы). Каждый раз,составляя дидактический проект урока, учитель, в соответствии с календарнотематическим планированием, будет определять, какие единицы компетенций

117

являются приоритетными для соответствующего урока и будет конвертироватьэти единицы компетенций в цели урока.
Предлагаем несколько примеров конвертирования единиц компетенций вцели.
1. X класс, реальный профиль. Moдуль I. Элементы теории множеств и математической логики
Единица компетенции 1.6. Сортирование и классифицирование объектов поданным или выявленным критериям.
Она может быть конвертирована (по модели Mager) в следующие операциональные цели:В конце урока ученики будут способны:–– сортировать заданные объекты по заданным критериям;–– сортировать выбранные объекты по заданным критериям;–– сортировать заданные объекты по выявленным критериям;–– сортировать выбранные объекты по выявленным критериям;–– классифицировать заданные объекты по заданным критериям;–– классифицировать выбранные объекты по заданным критериям;–– классифицировать заданные объекты по выявленным критериям;–– классифицировать выбранные объекты по выявленным критериям.
Примечание. Учитель, при необходимости, может формулировать и комплексные цели. Например: В конце урока ученики будут способны сортироватьи классифицировать заданные объекты по заданным критериям или в конце
урока ученики будут способны сортировать и классифицировать выбранные
объекты по выявленным критериями т.д.
2. XII класс, реальный профиль. Moдуль III. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Единица компетенции 3.1. Распознавание в различных контекстах и классифицирование по разным критериям изученных типов комбинаторных задач.
Она может быть конвертирована (по модели Mager) в следующие операциональные цели:В конце урока ученики будут способны:–– распознавать комбинаторные задачи в заданных задачах;–– идентифицировать в реальных или смоделированных ситуациях типы изученных комбинаторных задач;–– классифицировать комбинаторные задачи по критериям: а) задачи наперестановки; б) задачи на размещения; в) задачи на сочетания; г) смешанные комбинаторные задачи;–– классифицировать комбинаторные задачи по критериям: а) комбинаторные задачи, решаемые по правилу умножения; б) задачи по комбинаторике, решаемые по правилу сложения.
118

Примечание. Учитель, при необходимости, может формулировать и комплексные цели. Например: В конце урока ученики будут способны идентифицировать, в заданных смоделированных ситуациях, типы комбинаторных задачи классифицировать их по критериям: а) задачи на перестановки; б) задачи наразмещения; в) задачи на сочетания; г) смешанные комбинаторные задачи.
3. XI класс, гуманитарный профиль. Модуль III. Комплексные числа
Единица компетенции 2.2. Применение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, операций с ними при решении задач, в том числе при решении уравнений II степени с действительными коэффициентами.
Может быть конвертируема в следующие операциональные цели:В конце урока ученики будут способны:–– применять комплексные числа, записанных в алгебраической форме, прирешении задач;–– применять сложения, вычитания, умножения, возведение в степень с натуральным показателем, деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме;–– использовать свойства действий над комплексными числами записанныхв алгебраической форме в вычислениях с комплексными числами;–– применять комплексные числа записанных в алгебраической форме прирешении уравнений II степени с действительными коэффициентами.
Существенную помощь при подборе глаголов и формулировке целей, при конвертировании единиц компетенций в цели, учителю Математики окажет таксономия Блума (Bloom).
В современной педагогике признаны три основных уровня целеполагания:•• когнитивный уровень – усвоение знаний, формирование навыков и умственных способностей;•• аффективный уровень – формирование убеждений, чувств, отношений;•• психомоторный уровень – разработка двигательных навыков, мануальных действий и т. п.
Глаголы, посредством которых операционализируются учебные действия накогнитивном уровне, представлены ниже; классификация глаголов соответствует
таксономии Блума (Bloom).
Когнитивный уровень(A) Знание (познание) – идентифицировать, различать, распознавать, добывать, определять;(Б) Понимание – переносить, трансформировать, объяснять своими словами,иллюстрировать, читать, представлять, пересказывать, переформулировать, написать заново (Транспонирование); интерпретировать, реорганизовать, переставлять, дифференцировать, различать, выполнять, определять, доказы­вать119

(Интерпретация): оценивать, внедрять, делать выводы, предусматривать, дифференцировать, определять, расширять, экстраполировать, интерполи­ровать,дополнять (Экстраполирование);(B) Применение – применять, обобщать, устанавливать связи, отбирать, развивать, организовывать, использовать, употреблять, переносить, классифицировать, реструктурировать;(Г) Анализ – различать, распознавать, идентифицировать, расчленять, узнавать, категоризировать, выводить (Поиск элементов); контрастировать, анализировать, сравнивать, различать, выводить (Поиск связей); анализировать, различать, обнаруживать, выводить (Поиск принципов организации);(Д) Синтез – писать, рассказывать, излагать, производить, создавать, творить,передавать, модифицировать, документироваться (Создание собственного произведения): предлагать, планировать, создавать, проекти­ровать, модифицировать, отмечать (Разработка плана действий); создавать, дифференцировать,развивать, комбинировать, организовывать, синтези­ровать, классифицировать,выводить, формулировать, модифицировать (Дифференцирование некоторых
абстрактных отношений из некоторой совокупности);(Е) Оценка – рассуждать, аргументировать, утверждать, оценивать, призна­вать, принимать решение, сравнивать, стандартизировать.
Аффективный уровень(А) Восприятие – отбирать, выбирать, переносить;(Б) Реакция – проявлять себя, интерпретировать, реализовывать, отбирать,мотивировать;(В) Осуществление – проявлять умение, отношение, понимание, способность;(Г) Организация системы ценностей – теоретизировать, определять систему
собственных критериев, интегрироваться в систему более высокого мышления иповедения;(Д) Усвоение этико-эстетических ценностей – радоваться успеху своему идругих, избегать злоупотреблений и осуждать злоупотребления.
Примечание. Указанные глаголы помогут учителю Математики правильно
конвертировать единицы компетенций в цели.

120

3. Долгосрочное планирование
по Mатематике в контексте
школьного Куррикулума
3.1. Куррикулум, как источник для долгосрочного планирования
Разработка долгосрочного планирования базируется на:•• Куррикулуме по Математике;•• учебнике Математики соответствующего класса;•• методическиом гиде к учебнику Математики (если существует);•• методологическом гиде по внедрению Куррикулума по Математике в лицее;•• методологических ориентирах по организации образовательного процессапо Математике в соответствующем учебном году.
Примечание. Учитель Математики, как правило, составляет долгосрочное планирование согласно учебника, по которому учатся ученики.
В контексте формирования компетенций, при разработке долгосрочного
планирования (независимо от способа) учитель должен учитывать следующие
требования:1. Для каждой главы, в первой колонке плана, будут указаны индикаторы всехспецифических компетенций согласно Куррикулума, приоритетных дляэтой главы.
2. Для каждой темы урока соответствующей главы учитель определит, какие
единицы компетенций, запланированные в Куррикулуме, будут реализовываться посредством этого содержания и укажет соответствующие индикаторы во второй колонке плана.
3. Для содержаний (тем), которые повторяются согласно образовательной
спирали, в плане будут запланированы по 1-2 часа, а для каждого нового
содержания (темы) не менее 2-3 часов.
4. Для каждой главы в обязательном порядке в плане будет запланировано
хотя бы по 1 часу для итогового повторения и 1 часу для реализации интегрирующего синтеза предыдущего изученного материала с материалом
данной главы.
5. В плане указываются также и часы, предусмотренные для проведения первичного и итогового оценивания к главе, полугодию, учебному году.
6. Учитель, по возможности, будет планировать часы для анализа итогового
оценивания.
121

Примечание. После утверждения администрацией составленного планирования учитель имеет право на протяжении учебного года вносить в нем корректировки (занесенные в колонку Примечание) в зависимости от конкретной ситуации сложившейся в процессе обучения Математике.
Рекомендуется следующее распределение тем по классам и часам:Реальный профиль
Класс

X

XI

XII

Темы

Кол-во часов

I. Элементы теории множеств и математической логики
II. Степени. Корни. Логарифмы
III. Одночлены. Многочлены. Алгебраические дроби
IV. Геометрические фигуры на плоскости. Повторение идополнения (окружность, треугольники)V. Функции
VI. Функция I степени
VII. Функция II степени
VIII. Степенная функция. Функция квадратный корень
IX. Показательная функция. Логарифмическая функция
X. Элементы тригонометрии
XI. Геометрические фигуры на плоскости. Повторение идополнения (четырехугольники, многоугольники)По выбору учителя

10
9
16
17
8
10
15
12
22
26
15
10
Итого: 170 часов

I. Последовательности действительных чисел
II. Пределы функций. Непрерывные функции
III. Дифференцируемые функции. Применение производной
IV. Комплексные числа
V. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
VI. Параллельность в пространстве
VII. Перпендикулярность в пространстве
VIII. Геометрические преобразования в пространстве.
По выбору учителя

12
24
35
19
21
16
18
15
10
Итого: 170 часов

I. Первообразная. Неопределенный интеграл
II. Определенный интеграл. Приложения
III. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
IV. Элементы математической статистики, элементы теории вероятностей и финансового исчисления
V. Многогранники
VI. Тела вращения
VII. Итоговое повторениеПо выбору учителя

18
21
18

122

25
21
22
30
10
Итого: 165 часов

Примечание:1. Распределение часов будет проводиться из расчета 5 часов в неделю.
2. Распределение часов по темам и предполагаемая последовательностьтем ориентировочны.
3. Последовательность изучаемых тем, в пределах одного и того же класса,можно изменить, если не ущемляются научно-математическая и дидактическая логика.
Гуманитарный профиль
Класс

X

XI

Темы

Кол-во часов

I. Действительные числа. Повторение и дополнения
II. Множества
III. Функции. Уравнения. Неравенства. Системы
IV. Геометрические фигуры на плоскостиПо выбору учителя

15
8
42
27
10
Итого: 102 часов

I. Последовательности действительных чисел
II. Комплексные числа
III. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
IV. Параллельность в пространстве
V. Перпендикулярность в пространстве

11
16
20
21
24
10
Итого: 102 часовПо выбору учителя

XII

I. Элементы комбинаторики
II. Элементы математической статистики и финансового
исчисления
III. Элементы теории вероятностей
IV. Многогранники
V. Тела вращенияПо выбору учителя

14
17
12
23
23
10
Итого: 99 часов

Примечани:1. Распределение часов будет проводиться из расчета 3 часа в неделю.
2. Распределение часов по темам и предполагаемая последовательностьтем ориентировочны.
3. Последовательность изучаемых тем, в пределах одного и того же класса,можно изменить, если не ущемляются научно-математическая и дидактическая логика.

123

124

2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7, 1.8
2.1 – 2.7

III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

ЕК

1.1, 1.4, 1.6, 1.7
1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6,
1.7
1.1, 1.7, 1.9
1.1, 1.7, 1.8, 1.9
1.1,1.2,1.6,1.7,1.8,1.9
1.1 – 1.9
1.1 – 1.9
СК гимназии: I-VII

I.
II.

СК

Индикаторы специфических
компетенций (СК) и единиц
компетенций (ЕК) согласно
Куррикулума

Понятие высказывание.
Метод от противного.
Метод математической индукции.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Первичное оценивание.
Степени. Корни. Логарифмы
Степени. Свойства.
Корни. Свойства.
Логарифм положительного числа. Свойства.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

II.
11-12
13-14
15-16
17
18
19

Элементы теории множеств и математической логики
Понятие множество. Числовые множества. Подмножество
Операции с множествами. Основные свойства.

Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоСодержание

3-4
5
6-7
8
9
10

I.
1
2

№ п/п

3.2. Дидактическое планирование по Математике
3.2.1. Календарно-тематическое планирование
Реальный профиль
X класс

9
2
2
2
1
1
1

2
1
2
1
1
1

10
1
1

23
135
12
170

Кол-во
часовДатаI сем.

I сем.

Примечание

125

I
II
III
IV
V
VI
VII

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII

7.1 - 7.10
7.1 – 7.10
7.1 – 7.10

7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
7.3, 7.4, 7.10
7.1 – 7.5
7.2 – 7.7
7.3, 7.6, 7.8, 7.9
7.4, 7.5, 7.6, 7.7
7.5, 7.8, 7.9, 7.10
7.5, 7.8, 7.9, 7.10
7.5, 7.8, 7.9, 7.10
7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6
7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6

3.1, 3.2
3.1, 3.2, 3.5
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5
3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5
3.2 - 3.8
3.1 - 3.8
3.1 - 3.8, 1.8, 2.5
3.1 - 3.8

52
53
54

38
39
40
41
42
43
44
45-46
47-48
49
50-51

IV.

III.
20
21
22-23
24-25
26
27-28
29-30
31-32
33-34
35
36
37

Геометрические фигуры на плоскости. Повторение и дополнения (окружность, треугольники)Основные геометрические понятия
Окружность. Метрические соотношения в окружности.
Взаимные расположения прямой и окружности.
Центральный угол. Вписанный угол.
Треугольники. Конгруэнтные треугольники.
Замечательные линии в треугольнике. Свойства.
Подобие треугольников. Признаки.
Теорема Фалеса. Основная лемма подобия.
Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника.
Метрические соотношения в треугольнике.
Треугольник, вписанный в окружность. Треугольник, описанный около окружности.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Операции с алгебраическими дробями.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Понятие алгебраическая дробь. ОДЗ. Основное свойство
дроби. Сокращение дробей.

Понятие многочлен. Канони-ческий вид многочлена.
Операции с многочленами. Деление многочленов. Деление на бином X – a.
Разложение многочленов на неприводимые множители.
Понятие корень многочлена. Кратные корни.

Одночлены. Многочлены. Алгебраические дроби
Понятие одночлен. Операции с одночленами.

1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2

17

18
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
I сем.

126
VII.
74
75
76-77
78-79
80
81-82
83-84
85-86
87
88
89

5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.7
5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6
5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6
5.1, 5.2, 5.3, 5.7, 5.8

5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8

5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII

68
69
70
71
72
73

Функция II степени
Понятие функция II степени
Уравнения II степени. Соотношения Виета.
Неравенства II степени.
Геометрическая трактовка уравнений второй степени сдвумя неизвестными.
Системы двух алгебраических уравнений I, II степеней.
Системы симметрических уравнений, однородных уравнений II степени.
Уравнения II степени с модулем, с параметром.
Рациональные уравнения и неравенства с одним неизвестным.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Неравенства I степени с одним неизвестным.
Неравенства I степени с одним неизвестным с модулем
Системы неравенств I степени с одним неизвестным.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Функция I степени
Понятие функция I степени. Угловой коэффициент прямой.
Уравнения I степени с одним неизвестным.
Системы уравнений. Понятие совокупность.
Уравнения I степени с модулем и/или параметром.

VI.
63
64
65
66-67

5.1, 5.2, 5.3
5.1, 5.2, 5.3, 5.4
5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6
5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7,
5.8
5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8
5.1 - 5.8

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII

Функции
Понятие функция.
Способы задания функции. Свойства функций.
Операции с функциями. Сложные функции.
Обратимые функции. Обратная функция.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

V.
55
56
57
58-59
60
61
62

4.1, 4.2
4.1, 4.2, 4.3, 4.4 4.5
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6
4.1 – 4.6
4.1 – 4.6,
4.1 – 4.6

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII

2
2
1
1
1

1
2

16
1
1
2
2

1
1
1
1
1
1

11
1
1
1
2

8
1
2
1
2
1
1
1

I сем.,II сем.

I сем.

I сем.

127

5.1 – 5.4
5.1 – 5.4
5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8

5.1 – 5.4
5.1 – 5.4
5.2, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.2, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.2, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.2, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.2, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.2, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.1 – 5.8
5.1 - 5.8, 3,5, 2.5
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8

6.1, 6.2, 6.3
6.3, 6.4, 6.6
6.2, 6.3, 6.5, 6.6
6.2, 6.3, 6.5, 6.6
6.2, 6.3, 6.5, 6.6
6.2, 6.3, 6.5, 6.6
6.1 – 6.6
6.1, 6.3, 6.4, 6.5
6.3, 6.4, 6.5

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII

Степенная функция. Функция радикал
Понятие степенная функция.
Понятие функция радикал.
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Показательная функция. Логарифмическая функция
Показательная функция.
Логарифмическая функция.
Показательные уравнения
Показательные уравнения с модулем.
Показательные неравенства.
Логарифмические уравнения.
Логарифмические уравнения с модулем.
Логарифмические неравенства.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Элементы тригонометрии
Тригонометрическая окружность.
Тригонометрические функции.
Основные тригонометрические тождества.
Формулы приведения.
Формулы суммы.
Формулы двойного угла.
Формулы универсальной подстановки.
Вычисление значений тригонометрических функций.
Итоговое оценивание. Понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

VIII.
90-91
92-93
94-96
97-99
100
101
102
IX.
103-104
105-107108-109110-111
112-114115-117118-119120-122
123
124
125
126
X.
127-128
129-130
131
132
133
134
135
136
137-138

27
2
2
1
1
1
1
1
1
2

24
2
3
2
2
3
3
2
3
1
1
1
1

13
2
2
3
3
1
1
1

II сем.

II сем.

II
сем.

128

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII

154-155
156-157
158-159160
161-162
163-164
165
166
167
168
169-170

7.1, 7.2, 7.4, 7.5

7.1, – 7.7
7.4, 7.5, 7.6, 7.7
7.7, 7.8, 7.9, 7.10

7.2, 7.3, 7.4, 7.7
7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10
7.1 – 7.10
7.1 – 7.10
7.1 – 7.10
7.1 – 7.10

1.1 – 7.10

Повторение.

Геометрические фигуры на плоскости. Повторение и дополнения (четырехугольники, многоугольники, площади)Выпуклые четырехугольники: параллелограмм, частные
параллелограммы, трапеция.
Четырехугольники, вписанные в окружность.
Четырехугольники, описанные около окружности.
Выпуклые многоугольники. Понятие правильный многоугольник.
Правильные многоугольники, вписанные в окружность.
Правильные многоугольники, описанные около окружности.
Площади многоугольных поверхностей.
Длина окружности. Площадь круга.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

XI.

147-148
149-150

6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8
6.3, 6.5, 6.7, 6.8
151
152
153

143-144
145-146

6.3, 6.4, 6.5, 6.7
6.3, 6.4, 6.5, 6.7

6.1 – 6.8
6.1 – 6.8, 1.8
6.1 – 6.8

141-142Вычисление значений арксинус, арккосинус, арктангенс,арккотангенс часто используемых чисел.
Метрические соотношения в треугольнике. Теорема синусов, теорема косинусов.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям.
Однородные тригонометрические уравнения I, II степеней.
Тригонометрические уравнения видаa sin x  b cos x  c, a, b, c  RПростейшие тригонометри-ческие неравенства.
Итоговый урок. Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

139-140

7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 6.3,
6.5
6.3, 6.4, 6.5, 6.7

2

2
1
1
1
1

2
2
2
1
2

15

1
1
1

2
2

2
2

2

2

II сем.

129

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

CК

Геометрическая прогрессия. Свойства. Приложения.
Предел последовательности. Определения на языке
окрестностей, на языке ε – δ.
Понятие сходящейся последовательности.
Понятие расходящейся последовательности.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Пределы функций. Непрерывные функции
Точка накопления, изолированная точка множества.
Понятие предел функции в точке Понятие предел функции
на ± ∞.
Односторонние пределы.
Пределы элементарных функций. Операции над пределами функций.

7-8
9
10
11
12
13
II.
14
15-16
17
18-19

1.1, 1.2, 1.3, 1.4
1.1, 1.2, 1.3, 1.4
1.1 – 1.7
1.1 – 1.7
1.1 – 1.7

2.1, 2.2
2.1, 2.2, 2.3, 2.6

2.1, 2.2, 2.3, 2.6
2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 2.8Последовательности действительных чисел
Понятие последовательность действительных чисел.
Классификация.
Арифметическая прогрессия. Свойства. Приложения.

Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоСодержание (Модули)

5-6

3-4

I.
1-2

№ п/п

1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6,
1.7
1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6,
1.7
1.1, 1.2, 1.4, 1.5

1.1, 1.2, 1.3, 1.4

ЕКИндикаторы специфических
компетенций (СК) и единиц
компетенций (ЕК) согласно
Куррикулума

XI класс

1
2

26
1
2

1
1
1
1
1

2

2

2

13
2

21
139
10
170

Кол-во
часовДатаI сем.

I сем.

Примечание

130

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
54
55
56

52-53

6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10

6.1 – 6.10
6.1 – 6.10, 1.5, 2.6
6.1 – 6.10

III.
40-41
42-43
44-45
46-47
48-49
50-51

30-31
32-33
34-36
37
38
39

2.1, 2.4, 2.5, 2.6
2.1, 2.4, 2.5, 2.6
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6
2.1 – 2.8
2.1 – 2.8, 1.5
2.1 – 2.8

6.1, 6.2, 6.3, 6.4
6.1, 6.2, 6.3, 6.4
6.1, 6.4, 6.5, 6.6
6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8
6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.5, 6.6,
6.7, 6.8, 6.9, 6.10

20
21-22
23-24
25
26-27
28-29

2.2, 2.3, 2.6, 2.7
2.3, 2.6, 2.7, 2.8
2.3, 2.6, 2.7, 2.8
2.1-2.3, 2.6-2.8
2.3, 2.6, 2.7, 2.8
2.1, 2.4, 2.5, 2.6

Параллельность в пространстве
Аксиомы планиметрии.
Аксиомы стереометрии. Свойства плоскости.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Угол между двумя прямыми.
Параллельные прямые в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая,параллельная плоскости, свойства, признак.
Взаимное расположение плоскостей. Параллельные плоскости, свойства, признак.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Вычисление пределов функций.
Неопределенности в операциях над пределами функций.
Замечательные пределы.
Итоговое оценивание.
Понятие непрерывная функция в точке. Точка разрыва.
Функция непрерывная на множестве. Непрерывность слева. Непрерывность справа.
Критерии непрерывности.
Непрерывность элементарных функций.
Свойства непрерывных функций.
Асимптоты графиков числовых функций.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

1
1
1

2
2

17
2
2
2
2
2

2
2
3
1
1
1

1
2
2
1
2
2

131

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.
58-60
61-62
63-64
65-67
68-69
70-71
72-73
74
75-76
77-78
79-80
81-82
83-84
85-86
87-89
90
91
92
93

3.1 – 3.5

3.3, 3.4, 3.5, 3.6
3.3, 3.4, 3.5, 3.6

3.3, 3.4, 3.5, 3.6
3.1, 3.2, 3.3, 3.6

3.1, 3.2, 3.3, 3.6
3.1 – 3.6, 3.8, 3.9

3.1. 3.2, 3.7, 3.8

3.3, 3.4, 3.7, 3.9
3.6, 3.7, 3.8, 3.9

3.6, 3.7, 3.8, 3.9
3.3, 3.5, 3.6, 3.7
3.6, 3.8, 3.9
3.6, .37, 3.8, 3.9
3.1 – 3.9
3.1 – 3.9, 2.3, 2.6
3.1 – 3.9
3.1 – 3.9

IV.
57

3.1, 3.2, 3.3, 3.4

3.1, 3.2, 3.3Дифференцируемые функции. Применение производной
Задачи из различных областей, приводящие к понятию
производная.
Понятие производная, правая, левая производная функциив точке. Функции, дифферен-цируемые на множестве.
Таблица производных элементарных функций.
Вычисление производных. Правила вычисления производных.
Производная сложной функции.
Производная n-го порядка
(n  {2,3}).
Физический смысл производной.
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке.
Итоговое оценивание.
Понятие дифференциал функции. Правила вычисления
дифференциалов.
Свойства дифференцируемых функций: теоремы Ферма,Ролля. Лагранжа.
Критические точки. Точки экстремума, экстремумы функции.
Приложения производной 1 и 2 порядка в исследовании
элементарной функции.
Графическое изображение функции.
Вычисление пределов функции с помощью производной.
Правила Лопиталя.
Задачи на максимум и минимум.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
1
1
1
1

2
2
3

2
2

2

1
2

2
2

3
2

2
2

3

37
1
I, II
сем.

132

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

V.
94
95-96
97
98
99-100101-102103-105
106-108
109
110
111
112
VI.
113
114-115
116-117118-120121-122123-124125-127128-129
130
131
132
133

4.1, 4.2, 4.3
4.1, 4.2, 4.3, 4.5
4.1, 4.2, 4.3

4.1, 4.2, 4.3, 4.5
4.1, 4.2, 4.3, 4.4
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6
4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8

4.5, 4.6, 4.7, 4.8
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8

5.1, 5.2
5.1, 5.2, 5.3
5.1, 5.2, 5.3

5.1, 5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.8

5.1, 5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.8

5.3, 5.4, 5.5
5.3, 5.4, 5.5
5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8, 4.2, 4.5
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8

Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
Понятие матрица. Частные случаи.
Действия с матрицами. Свойства.
Понятие определитель второго порядка, третьего порядка, n-го порядка. Основные свойства.
Вычисление определителей второго, третьего, четвертого
порядков.
Обратимая матрица. Вычисление обратной матрицы.
Матричные уравнения.
Системы линейных уравнений Правило Крамера, метод
Гаусса, матричный метод.
Однородные системы линейных уравнений.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

Комплексные числа
Понятие комплексное число. Множество C.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Арифметические операции с комплексными числами, записанных в алгебраической форме.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Модуль комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Операции с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме Уравнения II степени, биквадратные уравнения, биномные уравнения.
Симметрические уравнения III и IV степеней на множестве C.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

2
3
2
1
1
1
1

2

3

21
1
2
2

3
1
1
1
1

1
2
2
3

19
1
2
1

II сем.

II сем.

133

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
141
142-143
144-145
146-147
148-149

VIII.
153.

7.1 – 7.5
7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10
7.1 – 7.5
7.1 – 7.5
7.5 – 7.10

154-155
156-157
158-159
160-161
162-163
164-165
166
167
168
169-170

8.1 – 8.7
8.1 – 6.7
8.1 – 8.7
8.1 – 8.7
8.1 – 8.7
8.1 – 8.7
8.1 – 8.7
8.1 – 8.7
8.1 – 8.7

1.1 – 8.7

8.1, 8.2, 8.4, 8.5

Повторение.

Геометрические преобразования в пространстве
Изометрические преобразо-вания в пространстве. Свойства.
Симметрия относительно точки в пространстве. Свойства.
Осевая симметрия в пространстве. Свойства.
Симметрия относительно плоскости. Свойства.
Параллельный перенос в пространстве. Свойства.
Подобие в пространстве. Свойства.
Поворот в пространстве. Свойства.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

139-140

7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10

150
151
152

136-137
138

7.1 – 7.5
7.1 – 7.5, 7.6, 7.7

7.1 – 7.10
7.1 – 7.10, 6.2, 6.7
7.1 – 7.10

Перпендикулярность в пространстве
Перпендикулярные прямые в пространстве, свойства, признак.
Прямая, перпендикулярная плоскости, свойства, признак.
Ортогональные проекции точек, отрезков, прямых на плоскость.
Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, отпрямой до плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема.
Двугранный угол.
Перпендикулярные плоскости, свойства, признак.
Длина ортогональной проекции отрезка на плоскость.
Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

VII.
134-135

7.1 – 7.5

2

2
2
2
2
2
2
1
1
1

16
1

1
1
1

1
2
2
2
2

2

2
1

19
2

II сем.

II cем.

134

1.1, 1.2, 1.3
1.1, 1.2, 1.3, 1.4
1.1, 1.2, 1.3, 1.4
1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6
1.3,1.4, 1.5, 1.6,1.7
1.3,1.4, 1.5, 1.6,1.7
1.1 - 1.7
1.1 – 1.7
1.1 – 1.7

2.1, 2.2
2.1, 2.2, 2.3
2.1, 2.3, 2.3
2.1, 2.2, 2.3, 2.4
2.2,2.3, 2.4, 2.5, 2.6
2.4,2.5, 2.6, 2.7, 2.8
2.2,2.3, 2.4, 2.5, 2.6
2.2,2.3, 2.4, 2.5, 2.6
2.1-2.8
2.1-2.8, 1.4
2.1-2.8
2.1-2.8

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

ЕК

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

CК

Индикаторы специфических
компетенций (СК) и единиц
компетенций (ЕК) согласно
Куррикулума

Первообразная. Неопределенный интеграл
Понятие первообразная.
Неопределенный интеграл. Свойства.
Таблица неопределенных интегралов.
Вычисление неопределенных интегралов.
Метод замены переменной.
Интегрирование по частям.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Определенный интеграл. Приложения
Понятие определенный интеграл. Свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Площадь подграфика функции.
Вычисление площади ограниченной фигуры.
Объем тела вращения.
Решение задач.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

II.
19-20
21-23
24-26
27
28-29
30-31
32-34
35-37
38
39
40
41

Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоСодержание (Модули)

I.
1-2
3-4
5-6
7-9
10-12
13-15
16
17
18

№ п/п

XII класс

23
2
3
3
1
2
2
3
3
1
1
1
1

18
2
2
2
3
3
3
1
1
1

47
109
9
165

Кол-во
часовДатаI сем.

I сем.

Примечание

135

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

Многогранники
Понятие многогранник. Элементы. Классификация.
Правильные многогранники.
Призма. Элементы. Класси-фикация. Сечения.
Площади поверхностей призмы. Объем призмы.
Пирамида. Элементы. Класси-фикация. Сечения.
Площади поверхностей пирамиды. Объем пирамиды.
Усеченная пирамида. Элементы. Классификация. Сечения.
Площади поверхностей усеченной пирамиды.
Объем усеченной пирамиды.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.
Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Понятие упорядоченное множество. Понятие факториал.
Основные законы (правила) комбинаторики
Перестановки (без повторений).
Размещения (без повторений).
Сочетания (без повторений).
Свойства сочетаний.
Уравнения, неравенства, содержащие элементы комбинаторики.
Бином Ньютона. Формула общего члена разложения бинома.
Основные свойства биноми-альных коэффициентов.
Свойства разложения бинома.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

III.
42
43-44
45-46
47-49
50
51-53
54-55
56-57
58-60
61
62
63
64
IV.
65
66
67-68
69-70
71-72
73
74-75
76
77-78
79-80
81
82
83

5.1, 5.2, 5.3, 5.4
5.1, 5.2, 5.3, 5.4
5.1, 5.2, 5.3, 5.4
5.5,5.6, 5.7, 5.8,5.9
5.1, 5.2, 5.3, 5.4
5.5,5.6, 5.7, 5.8,5.9
5.5,5.6, 5.7, 5.8,5.9
5.1, 5.2, 5.3, 5.4
5.5,5.6, 5.7, 5.8,5.9
5.1 – 5.9
5.1 – 5.9, 2.5, 2.6
5.1 – 5.9
5.1 – 5.9

3.1, 3.2, 3.3
3.1, 3.2, 3.3
3.1,3.2, 3.3, 3.6,3.7
3.1,3.2, 3.3, 3.6,3.7
3.1,3.2, 3.3, 3.6,3.7
3.1, 3.2, 3.3
3.1,3.2, 3.3, 3.6,3.7

3.1,3.2, 3.3, 3.4,3.5
3.1,3.2, 3.3, 3.4,3.5
3.1 – 3.7
3.1 – 3.7
3.1 – 3.7, 2.4, 2.6
3.1 – 3.7

1
2
2
1
1
1

19
1
1
2
2
2
1
2

23
1
2
2
3
1
3
2
2
3
1
1
1
1
I,
II сем.

I сем.

136

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

108
109
110
111
VI.
112

4.1 -4.10
4.1 -4.10, 3.1 – 3.5
4.1 -4.10
4.1 -4.10

6.1, 6.2, 6.3, 6.4
113-115
116
117-119120
121-123
124-125Тела вращения
Прямой круговой цилиндр. Элементы. Сечения. Площади
поверхностей прямого кругового цилиндра.
Объем прямого кругового цилиндра.
Прямой круговой конус. Элементы. Сечения.
Площади поверхностей прямого кругового конуса.
Объем прямого кругового конуса.
Усеченный прямой круговой конус. Элементы. Сечения.
Площади поверхностей усеченного прямого кругового
конуса. Объем усеченного прямого кругового конуса.

V.2
96-97
98-100101-102103-104
105-1074.1, 4.6
4.1, 4.6, 4.7, 4.8, 4.10
4.1, 4.6, 4.8
4.1, 4.6, 4.8, 4.10
4.1, 4.6, 4.8, 4.9

6.4, 6.5, 6.6,6.7,6.8
6.1, 6.2, 6.3, 6.4
6.4, 6.5, 6.6,6.7,6.8
6.1, 6.2, 6.3, 6.4
6.4, 6.5, 6.6,6.7,6.8
6.1, 6.2, 6.3, 6.4

Элементы теории вероятностей
Событие. Классификация событий.
Классическое определение вероятности события
Случайные события. Операции со случайными событиями.
Независимые случайные события.
Случайная величина. Математическое ожидание случайной величины.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

84-85
86-87
88-89
90-92
93
94
95

Элементы математической статистики и финансового исчисления
Основные понятия. Отбор, учет и группировка данных.
Графическое изображение статистических данных.
Средние величины статистических рядов.
Элементы финансового исчисления.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

V.I

4.1, 4.2
4.2, 4.3, 4.4, 4.5
4.2, 4.3, 4.4, 4.5
4.1 - 4.5, 4.10
4.1 - 4.5, 4.10
4.1-4.5,4.10,3.5,3.6
4.1 - 4.5, 4.10

Элементы математической статистики, элементы теории
вероятностей и финансового исчисления

V.

3
1
3
1
3
2

24
1

1
1
1

16
2
3
2
2
1

2
2
2
3
1
1
1

12

28

II сем.

II сем.

II сем.

137

X-ый класс:1.1 – 7.10
XI-ый класс:1.1 – 8.7
XII-ый класс:1.1– 6.8

I.
II.
III.

CК

1.1, 1.6, 1.8
1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.8
1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.7

ЕКИндикаторы специфических
компетенций (СК) и единиц
компетенций (ЕК) согласно
Куррикулума

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

6.4, 6.5, 6.6,6.7,6.8
6.1 – 6.8
6.1 – 6.4
6.1 – 6.8
6.1 – 6.8, 2.5, 2.6
6.1 – 6.8

I.
1
2-3
4

№ п/п

136-165

126-127128-129130-132
133
134
135

Действительные числа. Повторение и дополнения
Действительные числа. Множества N, Z, Q, R.
Операции над действительными числами. Свойства.
Степень с целым показателем. Корень 2 степени.

Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
ИтогоСодержание (Модули)Гуманитарный профиль
X класс

Итоговое повторение (включает не менее 2 часов для итогового оценивания)Сфера. Элементы. Сечение сферы плоскостью.
Площадь сферы. Шар. Объем шара.
Сечение конической поверхности плоскостью.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

16
1
2
1

24
69
9
102

Кол-во
часов

30

2
2
3
1
1
1

Дата

I cем.

Примечание

II сем.

138

2.1, 2.3, 2.4, 2.5

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

31-32
33-34

4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.10, 4.11
4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 4.11

4.1-4.5, 4.8, 4.10,4.11
4.1-4.5, 4.8, 4.10,4.11
4.1-4.5, 4.8, 4.10,4.11

Метод конгруэнтных треугольников. Приложения.
Замечательные линии в треугольнике.
Подобные треугольники.
Признаки.
Метод подобных треугольников.
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Приложения.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

27
28
29-30

4.1, 4.2, 4.3,4.4 ,4.5, 4.6,
4.7
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.10

35
36
37

26

Геометрические фигуры на плоскости
Основные геометрические понятия. Прямая. Полупрямая.
Коллинеарные точки. Отрезок.
Треугольники. Классификация треугольников.

III.
25

4.1, 4.2, 4.4, 4.5

Множества
Понятие множество.
Числовые множества.
Операции с множествами.
Приложения множеств и операций со множествами.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Пропорции. Проценты.
Первичное оценивание
Степень с рациональным показателем. Корни 2 и 3 степени.
Логарифм положительные числа. Свойства.
Приложения действительных чисел.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

22
23
24

18-19
20-21

II.
17

5
6
7-8
9-11
12-13
14
15
16

2.1 - 2.6
2.1 – 2.6, 1.5, 1.6
2.1 – 2.6

2.2, 2.3, 2.5, 2.6
2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6

1.2, 1.3, 1.6, 1.7
СК гимназии: I-VII
1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.7
1.2, 1.3, 1.4, 1.5
1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8

IV.
VI.
VII.

1
1
1

2
2

1
1
2

1

13
1

1
1
1

2
2

8
1

1
1
2
3
2
1
1
1

I сем.

I сем.

139

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

56
57
58
59

51
52-53
54-55

3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12
3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12
3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12

3.10, 3.11, 3.12
3.1 - 3.12
3.1 – 3.12
3.1 – 3.12

IV.2.
48
49
50

42
43
44
45
46
47

41

40

39

IV.
IV.1.
38

3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.5, 3.6, 3.7, 3.10, 3.11
3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12

3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12
3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12
3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12
3.1 – 3.12
3.1 – 3.12
3.1 – 3.12

3.6, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12

3.5, 3.6, 3.7, 3.10, 3.11

3.1, 3.2, 3.3, 3.4

3.1, 3.2, 3.3, 3.4

Функция II степени. Уравнения. Неравенства. Системы
Понятие функция II степени. График функции I степени.
Свойства функции II степени.
Уравнения II степени. Класси-фикация уравнений II степени.
Решение уравнений II степени.
Соотношения Виета.
Неравенства II степенитс одним неизвестным.
Системы двух алгебраических уравнений с одним уравнением I степени и одним уравнением II степеней с двумя
неизвестными.
Приложения функции II степени.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Системы двух неравенств I степени с одним неизвестным.
Приложения уравнений, неравенств, систем.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание

Функции. Уравнения. Неравенства. Системы.
Функция I степени. Уравнения, неравенства, системы
Понятие функция. Понятие функция I степени. График
функции I степени.
Свойства функции I степени.
Прямая пропорциональность.
Приложения функции I степени и прямой пропорциональности.
Уравнения I степени с одним неизвестным. Неравенства Iстепени с одним неизвестным.
Системы двух уравнений I степени с двумя неизвестными.

1
1
1
1

1
2
2

12
1
1
1

1
1
1
1
1
1

1

1

1

45
10
1

II сем.

I сем.

140

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

Геометрические фигуры на плоскости
Выпуклые четырехугольники: квадрат, прямоугольник параллелограмм, ромб, трапеция. Свойства.
Приложения четырехугольников.
Правильные многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник. Приложения.
Окружность. Хорды. Дуги. Круг. Приложения.

73-75
76-78

V.
83

3.5, 3.6, 3.7, 3.10, 3.

3.5, 3.6, 3.7, 3.10, 3.11

89-90
91-92

4.8, 4.9, 4.10, 4.11

88

84-85
86-87

79
80
81
82

4.4, 4.6, 4.8,4.10, 4.11
4.4, 4.6, 4.8, 4.9, 4.10,
4.11
4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10,
4.11
4.6, 4.7, 4.8, 4.9

4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.11

3.1 – 3.12
1.4, 1.5, 2.5, 3.1 – 3.11
3.1 – 3.12
3.1 – 3.12

Взаимные расположения прямой и окружности. Центральный угол. Вписанный угол.
Треугольник, вписанный в окружность. Треугольник, описанный около окружности. Приложения.

Показательная функция. Логарифмическая функция
Понятие показательная функция. Свойства показательной
функции.
Понятие логарифмическая функция. Свойства логарифмической функции.
Приложения показательной функции, логарифмической
функции.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

IV.4.
70-72

3.1, 3.2, 3.3, 3.4

3.1 – 3.12
3.1 – 3.12
3.1 – 3.12

67
68
69

Степенная функция. Функция радикал
Понятие степенная функция. Свойства степенной функции.
Обратная пропорциональность. Свойства.
Понятие функция радикал. Свойства функции радикал.
Приложения степенной функции, функции радикал и обратной пропорциональности.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

IV.3.
60-61
62
63-64
65-66

3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4
3.7, 3.10, 3.11, 3.12

2

2

1

2
2

18
1

1
1
1
1

3

3

13
3

1
1
1

10
2
1
2
2

II сем.

II сем.

II сем.

141

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

CК

I.
1
2-3
4-5
6-8
9
10
11
12

1.1, 1.2, 1.3, 1.6, 1.7, 1.8
1.1, 1.2, 1.3, 1.6, 1.7, 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8
1.1 – 1.8

№ п/пСодержание (Модули)XI класс

Последовательности действительных чисел
Понятие последовательность действительных чисел.
Конечные, бесконечные последовательности. Монотонные последовательности.
Арифметическая прогрессия. Свойства. Приложения.
Геометрическая прогрессия. Свойства. Приложения.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
Итого:

Повторение.

2
3
1
1
1
1

12
1
2

20
77
5
102

Кол-во
часов21Итоговое оценивание.

100
101-102212
11Площади многоугольных поверхностей. Приложения.
Длина окружности. Площадь круга. Приложения.
Золотое сечение. Приложения.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.

93-94
95
96-97
98
99

1.1, 1.2, 1.3, 1.4
1.1, 1.2, 1.3, 1.4

ЕКИндикаторы специфических
компетенций (СК) и единиц
компетенций (ЕК) согласно
Куррикулума

1.1 – 4.11

4.8, 4.9, 4.10, 4.11
4.8, 4.9, 4.10, 4.11
4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9
4.1 – 4.11
4.1 – 4.11, 1.1 – 1.8, 2.1– 2.6
4.1 – 4.11

ДатаI сем.

Примечание

II сем.

142

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6,
4.7
4.1 – 4.7
4.1 – 4.7, 1.1 – 1.6
4.1 – 4.7
4.1 – 4.7
48
49
50
51

Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

III.
30-31
32-33
34-36
37-39
40-41
42-44
45-47

Параллельность в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Параллельные прямые в пространстве. Приложения.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Прямая, параллельная плоскости; признаки, свойства.
Приложения.
Взаимное расположение двух плоскостей. Приложения.
Параллельные плоскости. Критерии, свойства. Приложения.
Приложения отношения параллельности в пространстве.

26
27
28
29

2.1 – 2.6
2.1 – 2.6, 1.4 – 1.7
2.1 – 2.6
2.1 – 2.6

4.1, 4.2, 4.3
4.1, 4.2, 4.3, 4.6
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5

Комплексные числа
Понятие комплексное число. Множество C.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Арифметические операции с комплексными числами.
Сопряженное число. Обратное число.
Модуль комплексного числа.
Решение уравнений II степени с действительными коэффициентами на множестве C.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

II.
13-14
15-16
17-19
20-21
22-23
24-25

2.1, 2.3, 2.6
2.1, 2.2, 2.6
2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6
2.2, 2.3, 2.4, 2.6
2.1, 2.5, 2.6
2.1 – 2.6, 1.5, 1.6

1
1
1
1

2
3
3

22
2
2
3
3

1
1
1
1

2
2

17
2
2
3
2

I, II
сем.

I сем.

143

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

76-78
79-80
81-83
84-85
86-87
88-90
91-93

5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5

5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7

5.1 – 5.7
5.1 – 5.7
5.1 – 5.7

5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7

69
70
71
72

3.1 – 3.7
3.1 – 3.7, 2.1 – 2.5
3.1 – 3.7
3.1 – 3.7

5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5

63-64
65-66
67-68

3.1, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7
3.1, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7
3.1 – 3.7

V.
73-75

60-62

3.1, 3.2, 3.4,3.5, 3.6

5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5

IV.
52-53
54-55
56-57
58-59

3.1, 3.3, 3.6
3.1, 3.3, 3.6, 3.7
3.1, 3.2, 3.4,3.5, 3.6
3.1, 3.2, 3.4,3.5, 3.6

Перпендикулярность в пространстве
Перпендикулярные прямые в пространстве, свойства,признак. Приложения.
Прямая перпендикулярная плоскости, свойства, признак.
Приложения.
Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, отпрямой до плоскости. Приложения.
Ортогональные проекции точек, отрезков, прямых на плоскость. Приложения.
Угол между прямой и плоскостью.
Двугранный угол. Приложения.
Перпендикулярные плоскости, свойства, признак. Приложения.
Приложения отношения перпендикулярности в пространстве.

Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
Понятие матрица.
Частные случаи.
Действия с матрицами. Свойства.
Понятие определитель второго порядка, третьего порядка.
Основные свойства, необходимые для вычисления определителей.
Вычисление определителей второго, третьего порядков.
Системы линейных уравнений.
Правило Крамера.
Приложения матриц, определителей и систем уравнений.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

3

2
2
3

3

2

3

25
3

1
1
1
1

2
2
2

3

21
2
2
2
2

II сем.

II сем.

144

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

CК

1.1, 1.2
1.1, 1.2, 1.6
1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6
1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6
1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6
1.2, 1.3, 1.5, 1.6
1.1 – 1.6
1.1 – 1.6
1.1 – 1.6
1.1 – 1.6ЕКИндикаторы специфических
компетенций (СК) и единиц
компетенций (ЕК) согласно
Куррикулума

1.1 – 5.7

5.1 – 5.7
5.1 – 5.7, 4.1 – 4.7
5.1 – 5.7
5.1 – 5.7

I.
1-2
3
4-5
6-7
8-9
10-11
12-13
14
15
16

№ п/п

98-102

94
95
96
97

16
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1

Элементы комбинаторики
Понятие упорядоченное множество. Понятие факториал.
Основные законы комбинаторики.
Перестановки (без повторений).
Размещения (без повторений).
Сочетания (без повторений).
Свойства сочетаний.
Приложения комбинаторики.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.

Кол-во
часов

17
77
5
99

Содержание (Модули)XII класс

5

1
1
1
1

Общее распределение часов:Повторение
Преподавание – учение
Оценивание
Итого:

Повторение.

Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

ДатаI сем.

Примечание

II сем.

145

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

III.
36
37-38
39-40
41
42
43-44
45-46
47
48
49-50
51-52
53
54-55
56
57
58
59

4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8
4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8
4.1, 4.2, 4.7
4.1, 4.2, 4.3, 4.7
4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8
4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8
4.1, 4.2, 4.7
4.1, 4.2, 4.3, 4.7
4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8
4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8, 1.3, 2.4,3.4
4.1 – 4.8
4.1 – 4.8

22-23
24-25
26-28
29-31
32
33
34
35

2.1, 2.2, 2.5, 2.6, 2.7
2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7
2.1, 2.2, 2.4, 2.6, 2.7
2.1, 2.2, 2.4, 2.6, 2.7
2.1 – 2.7
2.1 –2.7, 1.3
2.1 – 2.7
2.1 – 2.7

4.1, 4.2, 4.7
4.1, 4.2, 4.3, 4.7

17
18-19
20-21

2.1, 2.2
2.1, 2.2, 2.3
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5II.

Многогранники
Призма. Элементы. Классфикация.
Прямые призмы: сечения параллельные основанию, диагональные сечения, сечения, содержащие высоту.
Площади поверхности прямой призмы.
Объем прямой призмы.
Пирамида. Элементы. Классификация.
Правильная пирамида. Сечения.
Площади поверхностей правильной пирамиды.
Объем правильной пирамиды.
Усеченная пирамида. Элементы. Классификация.
Правильная усеченная пирамида. Сечения.
Площади поверхностей правильной усеченной пирамиды.
Объем правильной усеченной пирамиды.
Приложения многогранников.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

Элементы математической статистики и финансового
исчисления
Основные понятия.
Отбор, учет и группировка данных.
Графическое изображение статистических данных. Приложения.
Средние величины статистических рядов. Приложения.
Приложения элементов математической статистики.
Элементы финансового исчисления.
Приложения элементов финансового исчисления.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1

24
1
2

2
2
3
3
1
1
1
1

1
2
2

19

I, II
сем.

I сем.

146

76
77
78
79-80
81
82-83
84-85
86
87-88
89-90
91-92
93
94
95
96
97-99

5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8
5.1, 5.2, 5.3
5.1, 5.2, 5.3, 5.7
5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6
5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8
5.1, 5.2, 5.3, 5.7
5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6
5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8
5.1, 5.2, 5.3, 5.4
5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8, 4.1 – 4.8
5.1 – 5.8
5.1 – 5.8

1.1 – 5.8

Повторение.

Тела вращения
Прямой круговой цилиндр. Элементы.
Сечения параллельные основанию. Осевые сечения. Сечения, параллельные оси.
Площади поверхностей. Объем.
Прямой круговой конус. Элементы.
Сечения параллельные основанию. Осевые сечения.
Площади поверхностей. Объем.
Прямой круговой усеченный конус. Элементы.
Сечения параллельные основанию. Осевые сечения.
Площади поверхностей. Объем.
Сфера. Элементы. Площадь сферы.
Шар. Объем шара.
Сечение конической поверхности плоскостью.
Приложения тел вращения.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

V.
73
74-75

5.1, 5.2, 5.3
5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

Элементы теории вероятностей
Событие. Классификация событий.
Классическое определение вероятности события.
Случайные события. Операции с случайными событиями.
Независимые случайные события.
Приложения вероятности.
Итоговый урок.
Обобщающий урок.
Итоговое оценивание.
Анализ итогового оценивания.

IV.
60
61-62
63-64
65-66
67-68
69
70
71
72

3.1, 3.2, 3.4
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6
3.1, 3.3, 3.4, 3.5
3.1, 3.3, 3.4, 3.5
3.1 – 3.7
3.1 – 3.7
3.1 – 3.7, 2.1 – 2.5
3.1 – 3.7
3.1 – 3.7

I.
II.
III.
IV.
VI.
VII.

3

2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1

24
1

13
1
2
2
2
2
1
1
1
1

II сем.

II сем.

II сем.

147

I
II
III
IV
VI
VII

CS

1

2

3

4

5

1.1, 1.2, 1.3,
1.4

1.1, 1.2, 1.3,
1.4

1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6, 1.7

1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6, 1.7

1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6, 1.7

13 часов

UC

№
п/п

Геометрическаяпрогрессия.
Свойства. Приложения.

Арифметическая прогрессия.
Свойства.
Приложения

Арифметическаяпрогрессия.
Свойства.
Приложения

Классификация последователь ностей.

Понятие последовательность действительных
чисел.

Последователь-ности действительных чисел

Тема урока

Tип урока
I

II

I

II

I

В классе

Средства

Mетод

Формы

Виды учебной
деятельности
ДомаДидактические технологии

Интегрированные

Указатели

Повторение

3.2.2. Планирование по единицам обучения
Глава/модуль учебника может быть рассмотрена/рассмотрен как единица обучения. Планирование по единицам обучения может быть реализовано по модели, представленной ниже. В таблице должен быть расписан каждый урок главы/модуля в отдельности. Пример: XI класс, реальный профиль. Единица обучения I. Последовательности действительных
чисел (13 часов)Оценивание

148
IV
V

Итоговое оценивание

IVКомбинированный урокКомбинированный урок

II

I

III

Обобщающий урокИтоговый урокПонятие расходящейся последовательности.

Понятие сходящейся последовательности.

Предел последовательности. Определения на языке
окрестностей, на языке е – д.

Предел последовательности. Определения на языке
окрестностей, на языке е – д.

Геометрическаяпрогрессия.
Свойства. Приложения.

Примечания:1) Учитель имеет право разработать календарно-тематическое планирование либо планирование по единицам обучения.
2) Планирование по единицам обучения разрабатывается на основе стабильного учебника по Математике и может
быть действующим на протяжении периода функционирования этого учебника. Планирование по единицам обучения, в целом, представляет собой минипроекты уроков.
3) Планирование по единицам обучения не заменяет дидактические проекты уроков, так как оно не содержит цели уроков.

13

1.1 - 1.7

10

1.1, 1.2, 1.3,
1.4

12

9

1.1, 1.2, 1.3,
1.4

1.1 - 1.7

8

1.1, 1.2, 1.4,
1.5

11

7

1.1, 1.2, 1.4,
1.5

1.1 - 1.7

6

1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6, 1.7

4. Специфика урока Математикив контексте формирования
компетенций
4.1. Требования к современному уроку Математики
Независимо от типа, урок Математики, чтобы соответствовать современным
требованиям и развивающему обучению, должен обладать следующими характеристиками:–– опора на целеполагания и, в итоге, на формирование компетенций;–– личностно-ориентированость: как правило, деятельность учителя науроке составляет 30% времени, а деятельность учащихся - 70%;–– рациональный подбор учителем учебного материала;–– оптимальный подбор методов преподавания – учения – оценивания вовзаимосвязи с эффективными средствами обучения;–– реализация партнерства вида учитель – ученик, ученик – ученик, ученик
– учитель;–– обеспечение реализации триединства:а) знание – навыки – ценностные отношения;б) преподавание – учение – оценивание;–– использование на уроке различных форм, методов и техник оценивания;–– урок должен быть интересным и положительно мотивированным дляучащихся!
4.2. Классификация типов уроков МатематикиВ контексте формирования компетенций считаем наиболее целесообразнымдля лицейского образования классификацию типов уроков Математики:А. По признаку компетенции, признак, определяющий методологические
приоритеты на уровне когнитивных ценностей, добытых в рамках урока.
Классификация типов уроков по признаку компетенции:I. «урок формирования способностей добывания знаний» (приоритетно визирует формирование способностей добывания знаний);II. «урок формирования способностей понимания знаний» (приоритетно
визирует формирование способностей понимания приобретенных ранее
знаний);149

III. «урок формирования способностей применения знаний» (приоритетно
визирует формирование способностей применения приобретенных и истолкованных ранее знаний),IV. «урок формирования способностей анализировать-синтезировать знания» (приоритетно визирует формирование способностей анализировать-синтезировать приобретенные, истолкованные и примененные ранее знания),V. «урок формирования способностей оценивать знания» (приоритетно
визирует формирование способностей критически оценивать приобретенные, истолкованные, примененные, анализированные и синтезированные
ранее знания).
Эта классификация приемлема при реализации более объемных дидактических этапов, например, в рамках модуля или главы.
Учебная практика подтверждает необходимость и значимость еще одного
типа урока – комбинированный урок, основанный на реализацию взаимодействий типа цели-содержание – методология – оценивание и педагогического
партнерства вида учитель-ученик, ученик-ученик, ученик – учитель. Однако, вконтексте формирования компетенций комбинированный урок должен исчезнуть из практической деятельности.
Каждый из пяти вышеуказанных типов уроков, а также комбинированный
урок, содержит определенную совокупность этапов – структурных составляющих урока. Уроки Математики структурированы на основе Модели поэтапного
структурирования урока.
I. Урок формирования способностей добывания знаний
Этапы урока:1. Организационный момент (организация класса).
2. Проверка домашней работы; актуализация опорных знаний и способностей.
3. Преподавание – учение нового материала.
4. Закрепление материала и формирование способностей (на уровне
воспроизведения).
5. Оценивание (текущее, обучающего вида, без выставления отметок).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
II. Урок формирования способностей понимания знаний
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Проверка домашней работы.

150

3. Актуализация опорных знаний и способностей.
4. Закрепление материала и формирование способностей:а) на уровне воспроизведения;б) на продуктивном уровне.
5. Оценивание (текущее, обучающего вида, без выставления отметок).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
III. Урок формирования способностей применения знаний
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Проверка домашней работы.
3. Актуализация опорных знаний и способностей.
4. Закрепление материала и формирование способностей:а) на продуктивном уровне;б) на уровне переноса в другие области.
5. Оценивание (итогового типа, с выставлением отметок).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
IV. Урок формирования способностей анализировать-синтезировать знания
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Проверка домашней работы.
3. Анализирование-синтезирование изученного теоретического материала
(систематизация, классификация, обобщение).
4. Анализирование-синтезирование изученных методов решения:а) на продуктивном уровне, с переносами в другие области;б) на творческом уровне.
5. Оценивание (итогового типа, с выставлением отметок).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
V. Урок формирования способностей оценивать знания
Этапы урока:1. Организация класса (организационный момент).
2. Инструктаж по проведению проверочной работы.
3. Выполнение проверочной работы (тест, лабораторная работа, защита проектов, самооценивание и др.).
4. Итоги урока.

151

5. Домашнее задание.
*Комбинированный урокЭтапы урока:1. Организационный момент (организация класса).
2. Проверка домашней работы. Актуализация опорных знаний и способностей.
3. Преподавание – учение нового материала.
4. Закрепление материала и формирование способностейа) на репродуктивном уровне;б) на продуктивном уровне, с переносом в другие области.
5. Оценивание:а) текущее, обучающего вида, без отметок для нового материала;б) итогового типа, с выставлением отметок для материала, изученного напредыдущих уроках.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Примечания:1. В структуре урока можно поменять местами этапы «Итоги урока» и «Домашнее задание».
2. В зависимости от необходимости проверка домашней работы может а) качественной и б) количественной.
Возможны следующие приемы при проверке домашних заданий:•• Выполнение самостоятельной работы на 5-7 минут по аналогичным задачам заданных для решения дома;•• Выполнение самостоятельной работы на 5-7 минут по тем же задачам,что были заданы для решения дома;•• Обсуждение лишь ответов, полученных при решении домашней работы;•• Обсуждение ответов на вопрос Есть ли вопросы по домашнему заданию?
•• Фронтальный анализ решения значимых задач из домашней работы;•• Замена тетрадей;•• Анализ методов, примененных при решении упражнений и задач при выполнении домашнего задания;•• Взаимопроверка и т.п.

152

3. В рамках этапа урока Актуализация опорных знаний и способностей ученики, ответив на систему вопросов, плавно прейдут к изучению новой темыили к закреплению изученного на предыдущих уроках.
4. Преподавание – учение новой темы будет осуществляться посредством
оптимальных, для данного класса, методами и, как правило, посредством
создания проблемной ситуации, переходя логично от предыдущего этапа кследующему.
5. Закрепление материала и формирование способностей осуществляется
последовательно, при реализации этой системы уроков, на следующих
уровнях (см. выше представленные структуры уроков):а) на репродуктивном уровне;б) на продуктивном уровне;в) переноса в другие области;г) творческом уровне.
6. Отметки, при оценивании школьных результатов, ученики получат, какправило, на уроках III-IV-V типов и на комбинированном уроке (см. вышепредставленные структуры уроков).
7. Итоги урока будут содержать а) качественные итоги и б) количественные
итоги.
В рамках качественных итогов проводится синтез изученного математического материала на уроке (проводится, как правило в виде беседы, содержащая 3-4
итоговых вопросов). В рамках качественных итогов делается вывод относительно
достижения целей урока и оценивается деятельность, в общем, учащихся на уроке и некоторых учеников, в частности.
8. При задании домашней работы учитель проследит за тем, чтобы в дневнике или тетради ученика были ответы на следующие вопросы:а) Что нужно выучить?
б) Что нужно повторить?
в) Что нужно решить?
Примечание: При задании домашний работы учитель даст краткие, конкретные указания к решению предложенных задач.
Важно! При задании домашней работы учитель должен следить за тем, чтобы объём заданий не превысил 30%от количества решенных заданий на уроке.
Учитель Математики может использовать и другие модели для структурирования уроков. Например, можно использовать Модель, относящаяся к развитию критического мышления:153

I. Вызов
II. Осмысление
III. Рефлексия
IV. Экстенсия/Расширение.
Модель, относящаяся к развитию критического мышления, и Модель поэтапного структурирования урока коррелируется следующим образом:I. Стадия Вызов
–– Приветствие. Организационный момент. Привлечение пер­вичного внимания учащихся.
–– Формулирование целей урока (во взаимосвязи с типом урока).
–– Проверка домашнего задания.
–– Актуализация опорных знаний и способностей.
II. Стадия Осмысление
– Преподавание – учение нового материала (в случаях изуче­ния нового материала).
III. Стадия Рефлексия
–– Закрепление материала и формирование способностей.
–– Применения.
–– Оценивание уровня достижения целей.
–– Итоги урока.
–– *Задание домашней работы (в случае отсутствия стадии Экстенсия).
IV. Стадия Экстенсия
–– Расширение областей приложения изученного. Внутри- и межпредметные
связи. Реализация проектов, исследований и т.п.
–– Задание домашней работы.
Внимание! В зависимости типа урока некоторые из стадий присутствуют, анекоторые отсутствуют. Важно правильно использовать соответствующие стадии Модели развития критического мышления [25].
Функциональной и эффективной моделью структурирования урока является
Модель 5Е.
Модель 5Е включает этапы:1. Вовлечение (Engage)
2. Исследование (Exploration)
3. Объяснение (Explain)
4. Разрабатывание (Elaborate)
5. Оценивание (Evaluate) [25]154Внимание! В зависимости от типа урока некоторые из этих этапов отсутствуют. Детали относительно выше рассмотренных моделей и других моделей структурирования уроков учитель найдет в работе [25].
Б. Классификация типов уроков по способу (форме) организации урока
Современный образовательный процесс базируется на новой модели (парадигме), названной структурно-когнитивной, основанной на применении способов отбора и организации целеполаганий и содержаний по принципу «не много,а хорошо», важно не только что, но насколько хорошо, когда и зачем изучается,чему послужит позже то, что изучалось в школе. Основной смысл современных
требований преподавания – учения Математики состоит в переносе акцентас преподавания информации на формирование способностей и отношений посредством функциональных знаний, т. е. на формирование компетенций.
Тем самым, акцент переносится с передачи учителем информаций на добывание учащимися знаний, формирование навыков и отношений и, в итоге, на формирование компетенций, будучи руководимыми учителем в этой деятельности.
В этом контексте целесообразнее организовать преподавание – учение –оцени­вание Математики по модулям в лицейском образовании. Один модуль
может состоять из одной или нескольких глав соответствующего учебника по Математике, но точнее модуль – это определенный раздел Математики (модуль
Алгебра, модуль Геометрия, модуль Математический анализ, модуль Комбинаторика, модуль Элементы математической статистики и т. д.), определенный школьным Куррикулумом по Математике.
В призме дидактического проектирования Матема­тики по модулям предлагаем следующую систему уроков, классифицированных по способу (форме) организации деятельности на уроке:I. Урок – лекция (добывание новых знаний)II. Урок – прикладной семинар (решение простых упражнений и задач)III. Урок – теоретический семинар
IV. Урок – практикум (решение более сложных упражнений и задач, проведение лабораторных, практических или графических работ, дидактические экскурсии, комбинированные (интегрированные) уроки (например, совместный урок Мате­матики и Химии, Математики и Географии, Математики и Информатики и т. п.) и др.)V. Урок – синтез (итоговый и обобщающий уроки)VI. Урок – оценивание (тестирование, коллоквиум, проверочная работа, защита проектов и т. д.).

155

4.3. Методология составления дидактического проекта урока Математики
Дидактический проект урока Математики составляется по следующей структуре (алгоритму):Учитель _____________________________________________________________
Учебная  ____________________________________________________________
Класс _______________________________________________________________
Дата _______________________________________________________________№ урока в системе уроков (согласно календарно-тематичес­кому планированию, например 3/28, т. е. 3-й урок в системе уроков главы/модуля/единицы компетенции и 28-й урок в общей системе всех уроков в соответствующем классе)____________________________________________________________________№ урока по расписанию_______________________________________________
Продолжительность урока_____________________________________________
Глава/Модуль/Единица обучения_______________________________________
Тема урока__________________________________________________________
Единицы компетенций ________________________________________________
Цели урока: В конце урока ученики будут способны:Ц1 __________________________________________________________________
Ц2 __________________________________________________________________
Ц3 __________________________________________________________________
Ц4 __________________________________________________________________
и т. д.
Тип урока ___________________________________________________________
Дидактические технологииа) Формы ___________________________________________________________б) Методы __________________________________________________________в) Средства обучения ________________________________________________
Оценивание: а) Тип оценивания______________________________________г) Формы, методы, техники оценивания; учебные продукты ___________________________________________________________________________________
Ход/Сценарий урока
Примечание. Ход урока (сценарий урока) может быть представлен как в табличной форме, так и в виде текста.
Табличная форма может иметь различные структуры:

156

a)
№
п/п

Этапы
урока

Время

Цели
урока

Деятельность
учителя

Деятельность
ученика

Оценивание
(процесса)

Этапы
урока

Время

Цели
урока

Дидактические стратегии

Методы,приёмы

Оценивание
(процесса)1.
2.
и т. д.

б)
№
п/п
1.
2.
и т. д.

Примечание. При представлении хода (сценария) урока в виде текста указываются структурные части урока и описываются все действия, запланированныедля соответствующего этапа урока. Будут указаны – какие цели урока достигаются на соответствующих этапах и сколько времени выделяется для этого этапа.
4.4. Примеры дидактических проектов по Математике
Ниже приведены примеры дидактических проектов различных типов уроков.
а) Дидактический проект урока Математики, XI класс, реальный профиль
Учитель: Лашку Алена
Учебная дисциплина: Maтематика
Класс: XI
Дата: 12.09
Номер урока в системе уроков (согласно дидактического планирования): 10/16
Время: 45 минЕдиница обучения/Глава: Последовательности действительных чисел.
Тема урока: Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Приложения
Единицы компетенций:1.1. Распознавание последовательностей, арифметических и геометрических
прогрессий в различных контекстах.
1.2. Распознавание и применение в различных контекстах терминологии иобозначений, относящихся к последовательностям и прогрессиям.
1.6. Применение последовательностей, прогрессий в различных областях.

157

Цели урока:В конце урока ученики будут способны:Ц1: распознавать и применять терминологию и обозначения, специфические
последовательностям и прогрессиям, в различных ситуациях;Ц2: распознавать арифметическую и геометрическую прогрессию в предложенных заданиях;Ц3: определить разность заданной или полученной арифметической прогрессии, знаменатель заданной или полученной геометрической прогрессии;Ц4: применить арифметические и геометрические прогрессии в предложенных контекстах, в том числе, при решении задач из различных областей;Ц5: формировать привычку прибегать к математическим понятиям и методампри решении повседневных ситуаций и межпредметных задач.
Тип урока: Урок формирования способностей применения знаний.
Дидактические технологии:1. Формы:–– фронтально;–– в парах;–– в группах;–– индивидуально.
2. Методы:–– беседа;–– мeтод упражнений;–– aргументирование;–– aлгоритмизация.
Средства обучения:–– И. Акири, В. Неагу, В. Чобану, П. Ефрос, В. Гарит, Н. Продан, Д. Тараган,А. Топалэ. Математика. Учебник для XI класса. Изд-во Prut Internațional.
Кишинэу, 2014;–– Презентация Power Point (содержит: Тема урока, цели урока, задания длярешения, домашнее задание);–– Компьютер;–– Проектор или интерактивная доска;–– Карточки.
Оценивание: формирующее, устное и письменное задание, взаимооценивание; учебные продукты – устные и письменные ответы, решенные задачи, примененные алгоритмы, составленные постеры, аргументация (оценивание с отметками).
158

159

Актуализация опорных
знаний испособ ностей

Проверка
домашнего
задания

2.

3.

Организационный
момент

2

11.

Этапы урока

№
п/п

12
мин

2 мин

1
мин

3

Время

Ц1
Ц2
Ц3
Ц4
Ц5

4

Цели

Ученики открывают тетради изаписывают число, «Классная
работа» и тему урока Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Приложения.
Ученики получают карточки счастями формул общих терминов и суммой первых членов
арифметической, геометрических прогрессий.

Работа в группах по 4 ученика
(группируются ученики двух соседних столов).
Распознайте формулы для арифметической и геометрической прогрессий.

Устные и письменные ответы.
Постеры.

Если есть, ученики формулируют вопросы.

- Есть ли вопросы по домашнему
заданию?

Объявляется тема и цели урока –проектируются на экране, презентация Power Point (слайд 1).

На инфор
мационном табло один ученик
вывешивает
решенную
Домашнюю
работу иостальные сверяют со своими
решениями.

Выучить: с. 17 -19 , Moдуль I ,§2, п. 2.2.
Решить: с. 21, пр. 15(b) , 19(b), 20- Что было задано на дом?

7Оценивание

Визуально.

6Деятельность учеников

Приветствуют учителя.

Приветствие.
Проверка подготовленности учеников к уроку.

5Деятельность учителя

Сценарий/Ход урока

160
Ц1
Ц2
Ц3
Ц4

Фронтальная работа (Проецируется Слайд 2)Определите, является ли арифметической или геометрической прогрессией последовательность. Аргументируйте ответ.
1. 1; 3; 5; 7; ...; 99
2. 4; 8; 12; ..........; 240
3. 1; 2; 4; 8; ...; 1024
444
4. -4; − ; − ; − ; ...
3
927Ученики отвечают и аргументируют устно.

.
1 q
Все ответы будут вывешены навидном месте, на магнитной доске с их аргументацией. Ответы
будут применяться на протяжении урока.

6) VI группа: S n b1  1  q n На постере, используя полученные карточки, ученики составят
формулы для арифметическойи геометрической прогрессий,применяя знаки =, + ,- ,Ч, ч дляих получения:1) I группа: bn = b1 · qn-1;
2) II группа: an = a1 + r (n-1);2a   n  1 r3) III группа: S n  1
n;
2
a a
4) IV группа: S n  1 n n ;2b1  bn q5) V группа: S n ;
1 qУстные ответы.
Аргументация.

161Закрепление
материала иформирование способностей

13
мин

Ц2
Ц4
Ц5

Ц1
Ц2
Ц3

Фронтальная работа
(Проецируется на экран Слайд 3)Предлагается для анализа ситуацияиз повседневной жизни с ее переводом на язык последовательностей ирешение полученной задачи:Фронтальная работаДля вышеприведенных последовательностей найдите сумму всех ихчленов.

Работа в парахДля вышеприведенных последовательностей найдите формулу дляобщего члена и их восьмой член.

n 1, b8  42187По одному представителю изкаждого ряда решают на доске,остальные решают в тетрадях:I ряд – I последователь ность:Sn= 2500.
II ряд – II последовательность:Sn= 7320
III ряд – III последовательность:Sn= 2047

1
4. bn  4   3

3. bn  2n1 , b8  128

2. an  4  4  n  1  4n, b8  321. an  1  2  n  1  2n  1, a8  15Ученики обсуждают в парах ивыполняют задания.
Каждая пара формулируетпо ответу, а один ученик ихзаписывает на доске (рядом скаждой последовательностью
записывается формула иискомый член):Устные и письменные ответы

Решённые задачи.

Устные ответы.

162Формулирует вспомогательные вопросы:1) Запишите члены последовательностей, представляющих зарплатыза первые четыре года, по обеим
формулам.

Петр, студент столичного университета, хочет наняться на работув некоторой компании. Компания
предлагает две формулы оплаты
труда:
Формула 1:За первый год работы
Петр получит 23000 лей, а в начале
каждого следующего года (начинаясо второго года) годовая зарплата
повышается на 500 лей.
Формула 2: Первичная годовая зарплата составляет 21000 лей, а вначале каждого следующего года(начиная со второго года) годовая
зарплата увеличивается на 4%.
Какую зарплату будет иметь Петрв конце 8-го года, если он останется работать в этой компании и после окончания университета? Какая
формула выгоднее для Петра?
Ученики обсуждают, анализируют, отвечают на вопросы. Одиниз учеников записывает ответына доске, остальные – в тетрадях.
Формула 1: Членами последовательности являются:a1 = 23000;
a2 = 23000 + 500 = 23500;
a3 = 23500 + 500 = 24000;
a4 = 24000 + 500 = 24500.

163Формула 1: последовательность
является арифметической последовательностью с a1= 23000
и r = 500 .
Формула 2: последовательность
является геометрической последовательностью с b1= 23000
и q =1,04 .
Формула 1: an = 23000 + 500(n-1)Формула 2 : bn = 23000 · 1,04n-1
Восьмой член.
Формула 1: a8 = 23000 + 500 · 7 =26500Формула 2: b8 = 23000 · 1,048-1=
30266,43.
Выгоднее является формула 2.

1. Что можете сказать о полученных
последовательностях? Ответ аргументируйте.

2. Найдите формулы для каждой изпрогрессий.
3. Что нужно найти, чтобы ответитьна вопрос задачи?

4. Какая из формул выгоднее дляПетра?

Формула 2: Членами последовательности являются:a1 = 23000;
a2 = 23000 + 0,04 23000 = 1,04
23000;
a3 = 1,04 · 23000 + 0,04 · 1,04 ·
23000 =
= 1,0423000(1 + 0,04) = 1,042 · 23000;
a4 = 1,042 · 23000 + 0,04 · 1,042 ·
23000 =
= 1,042 · 23000 (1+0,04) = 1,043 ·
23000.

164
20 мин

20 мин

20 мин

  ……?
Последователь ность является
геометрической прогрессией с
b1= 1 и q = 2.
bn= b1· qn-1= 1 · 2n-1
1 час = 60 мин ….. 3 удвоений
24 часа ……………...72 удвоений
Значит, n = 73 .
b73 = b1 · q73-1 = 1 · 273-1= 272 клеток.

8

4

20 мин

Обсуждают в парах, отвечают навопросы, спроецированных наэкран, и решают предложенные
задачи.
1Предлагает для решения задачуиз биологии, для решения которой
требуется применение прогрессий:Escherichiacoli, известная как кишечная палочка или как E. coli, является кишечной бактерией, обычно
встречающейся у животных, а также у людей.
Начиная с 1 клетки, это бактерия
родит 2 дочерние клетки, которые, в свою очередь, родят 2 другие
клетки. Время, необходимое дляудвоения числа клеток, для E. coliсоставляет 20 минут. Начиная содной клетки, сколько клеток будет через 24 часа?
2Дискутируют в парах.

Работа в парах
(Пары формируются из двух коллегпо парте. Проецируется Слайд 4).
Задачу будем решать по плану:1) Запишите первые 4 члены последовательности, полученной согласно условиям задачи.
2) Какую прогрессию представляет
каждая их полученных последовательностей?
3) Определите формулу общего члена/суммы первых n членов прогрессии (взависимости от вопроса задачи).
4) Решите и ответьте на вопрос задачи.

Решенные задачи.

165

6 мин

Обсуждают и записывают решения на постерах.

Работа в группах по 4 ученика
(группируются ученики из двух соседних столов).
Ученики получают по большому
листу бумаги (постер), на котором
записана задача, предложенная длярешения.

Взаимооценивание между
группами
(обмен постерами и проверка)Группы 1 и 5:
1
1

 xg
xg 8дней
 xg 8дней
Iod131 (131I) является радиоактив8 zile
8 zile24ным атомом, период радиоактив1ного распада (период полураспада) xg  xg 8дней ... 8дней

11г
g
8дней
8 zile8 zile8 zile8которого составляет T = 8 дней.
Какое количество йода 131 было1000 : 8 = 125 раз произошло
1000 дней назад, если сейчас остаразделение.
лось 1 г йода 131?
Значит, n = 126 .
Последователь
ность является геометрической
1251прогрессией
и qx = .  1gb126 с b1126
 q=12611г 
125
2
1
b126  b1  q1261  x     1g
2b1= x= 2125 gг.

Членами последователь
ности являются: 500 г ; 470 г;
440 г; 410 г; …..
Последовательность является
арифметической прогрессией
с a1= 500, r = -30 иan = 500 – 30(n- 1).
a16 = 500 – 450 = 50 г.
S16 = 4000 гр = 4 кг.

(Проецируется на экран Слайд 5)У торговца в коллекции 16 серебряных кувшинов. Вес каждого следующего кувшина увеличивается на
30 г по сравнению с предыдущим
кувшином. Сколько весит самый
легкий кувшин из коллекции торговца? Сколько весят все серебряные
кувшины из коллекции, если последний кувшин (самый тяжелый) весит
500 г.

166Членами последователь
ности являются: 2019 год:a1 = 110000;
2020 год: a2 = 110000 + 0,01
110000 = 1,01 110000;
2021год: a3 = 1,01 110000 +0,011,01 110000 = 1,01110000 (1+ 0,01 ) = 1,012110000;
2022 год: a4 = 1,012110000 +0,011,012110000 = 1,012110000(1+ 0,01) = 1,013 110000.
Последователь
ность является геометрической прогрессией
с b1= 110000, q = 1,01 иbn  b1  q n1  110000 1, 01n12032год:b14  110000 1, 0113  125190
жителей.
Членами последовательности
являются:Первый день: a1 =30;Второй день: a2 = 30 + 5 = 35;
Третий день: a3 = 30 + 5 + 5 = 30
+ 2·5 = 40;
Четвертый день: a4 =30 + 5 + 5 +
5 = 30 + 3·5 = 45.

Группы 2 и 6:Население города ежегодно увеличивается на 1 %. Если в 2019 году вгороде проживают 110000 жителей, сколько их будет в 2032 году(11000x1,113)?

Группы 3 и 7:Тракторист должен прорыть
траншею для установки газовых
труб. В первый день он прорыл 30 мтраншеи, а в каждый из последующих дней - на 5м длиннее предыдущего дня. Какую длину будет иметь
трасса, если тракторист проработал 14 дней?

167Группы 4 и 8:Мост держится на 25 тросах, пронумерированных от 1 до 25, от самого короткого до самого длинного. Длина
первого троса равна 10,58 м, второго-17,64 м, третьего - 24,70 м ит.д., согласно того же правила увеличения длины. Каков номер троса,имеющего длину равной 151,78 м?
Сколько всего метров троса былонеобходимо для поддержки этого
моста?

2Членами последовательности
являются: 10,58 м ; 17,64 м;
24,70 м;…..
Последовательность является
арифметической прогрессией с
a1= 10,58, r = a2 - a1 = 17,64 – 10,58= 7,06 и an = 10,58 + 7,06(n - 1) =151,78, n = 21.
2a   n  1 r
Sn  12
2 10, 58   25  1  7, 06
S 25 
 25  2382, 5
2= 2382,5 м троса.

Последовательность является арифметической прогрессией с a1= 30, r = 5 иan  a1  r  n  1  30  5  n  1Для ответа на вопрос задачи применим формулу:2a   n  1 r
Sn  1n
2.
2  30  14  1  5Значит,·  875S
14
14
2  30  14  1  5
2
S14 14  875 (м труб).

168Оценива
ние

7 мин

1 1
5730


xg
5730

xg xgxг
1. xg
ani ani
лет
2 2
1 1
5730


5730

xg xgxг
ani ani
лет
4 4
1 1
5730


5730

xg xgxглетani ani
8 8
5730



 2gг 2 g
xg xg


...

...5730
5730

лет aniлет ani
ani
ani
5730

Ученики получают карточки сзаданиями. Решают самостоятельно.
Двое учеников решают своизадачи на постере (каждый поодной задачи).
По истечении времени постеры вывешиваются на видном
месте, для сверки полученных
результатов.

Письменная
самостоя
тельная работа.

28650 : 5730 = 5 раз произошло
разделение.
Значит, n = 6 .
Последовательность является
геометрической последователь125ностью
и qx = 1 ,  1gb126  сb1b 6q=12621г 
5
1 2
b6  b1  q 61  x     2 gb1  x  64 g
5
2
1
b6  b1  q 61  x     2 gb1  x  64 g .
2Членами
последовательности являются:4; 8; 12; …..

2) Для украшения одного
Рукава молдавской женской национальной рубашки были использованы
шесть концентрических квадрата,изготовленных из бусинок бисера
(один квадрат в другой). Для меньшего квадрата были использованы
4 бусинки, а для каждого последующего квадрата использовались на
4 бусинок больше. Сколько коробокс бусинками бисера необходимо длядвух молдавских женских национальных рубашек, если в одной коробке
содержатся 50 бусинок?

1) Углерод 14 является радиоактивным атомом, период полураспада
которого (период радиоактивного
распада) составляет Т = 5730 лет.
Какое количество углерода 14 было28 650 лет назад, если сейчас осталось 2 г углерода 14.

Самостоятельная работа

169Итоги урока

3 минКачественные итоги:- Определяется - какие цели былиреализованы сегодня на уроке.
- Подводятся итоги относи­тельно
деятельности класса, в целом, и некоторых учащихся, в частности.

Количественные итоги:- Что мы реализовали сегодня науроке?
- Из каких областей были решены
задачи с применением прогрессий?
- По какому алгоритму были решены
задачи?

Ученики отвечают устно.

бусенок для одного рукава,84 · 4 = 336 бусинк для 2 женских национальных рубашек ,336 : 50 = 6,72. Значит, необходимо 7 пачек с бусинками.

Последовательность является
арифметической прогрессией с
a1= 4, r = 4 и an = 4 + 4(n - 1) .
2a   n  1 r
Sn  1n
2  4  26  1  4
 6  84
S6 
2Устные ответы.

170Домашняя
работа

1 минПроецируется на экран Слайд 5 с домашним заданием:1) Повторить: с.14-19, Moдуль I, §2.
2) Решить: с. 21, Пр.5,6,73) Дополнительно (по желанию
учащихся): Подкова имеет толщину
равной 1 см. Кузнец хочет уменьшить толщину до 0,5 см. Для этогоон молотком бьёт по подкове, неостанавливаясь в каждую секунду. Скаждым ударом толщина уменьшается на 1%.
Какое минимальное количество
времени необходимо кузнецу для достижения цели? (69 секунд)Спасибо за урок!
До свидания!
До свидания!

Отмечают в дневниках.

4.5. Методология оценивания (самооценивания) посещённого (проведённого) урока
Посещённый (проведённый) урок может быть проанали­зирован и оценен
(само­оценен) по следующей схеме.
Схема анализа (самоанализа) урока (САУ)
I. Определение базовых аспектов урока:1.1. Место урока в системе уроков по соответствующей главе, модулю, единицы обучения.
1.2. Каковы цели, конвертируемые из единиц компетенций, запланированные для достижения на данном уроке.
1.3. Тип и структура урока.
II. Анализ каждого этапа урока:2.1. Выявление дидактической задачи, которая решается на данном этапе
урока.
2.2. Определение целей урока, над которыми работают на данном этапе урока.
2.3. Подбор учебного материала и его распределение по этапам урока.
2.4. Определение форм, методов и приемов, применен­ных учителем на каждом этапе урока:а) формы организации учебной деятельности учащихся (фронтальная,групповая, индивидуальная);б) методы и приемы преподавания – учения;в) тип, формы и методы проверки и оценивания школь­ных результатов
учащихся.
2.5. Осуществление feed-back-a (обратной связи – про­верка и оценивание реализации процесса) на каждом этапе урока.
III. Анализ дидактических и психологических особенностей урока (оценка
деятельности учителя):3.1. Правильно ли подобраны и сформулированы цели урока?
3.2. Соответствует ли тип урока запланированным целям?
3.3. Правильно ли определены дидактические задачи, ко­торые решаются насоответствующих этапах урока?
3.4. Аргументирован ли подбор учебного материала для данного урока (соответствует ли содержание урока его целям; достаточен ли объем учебного
материала для данного урока)?
3.5. Допущены ли научные ошибки в процессе урока?

171

3.6. Соответствуют ли формы организации учебной дея­тельности учащихся, методы и приемы преподавания – учения – оценивания целям и содержанию
урока? Оригинальность форм, метод и приемов, использованных на уроке.
3.7. Как осуществлено преподавание – учение – оценивание нового мате­риала (новых понятий, формул, теорем, свойств и т. д.) (в случае, когда науроке изучается новый материал)?
3.8. Какие специфические особенности отношений типа учитель – ученик,ученик – ученик, ученик – учитель были выявлены в процессе урока (учитывание учителем возрастных особенностей учащихся; необоснованные
отклонения от субъекта урока; положительные и отри­цательные эмоции учащихся; поддержание внимания учащихся на протяжении урока;особенности речи учителя в процессе урока; стимулирование учебной
деятельности учащихся; учитывание идей и предло­жений учащихся относительно содержания урока и его проведения; мотивация учения; поддержание интереса учащихся к уроку)?
3.9. Рационально ли применены и во взаимосвязи с целя­ми урока средства
обучения (учебник, наглядные по­собия, ТСО, компьютер и др.)?
3.10. Каков был темп урока (были ли необоснованные задержки в темпе напротяжении урока)?
3.11. Объём домашнего задания, его конкретизация и диф­ференциация?
3.12. Каким образом подводились итоги урока (количес­твенные и качественные)?
IV. Общие итоги по уроку:4.1. Итоги относительно организации и проведения урока.
4.2. Итоги относительно достижения целей урока.
V. Предложения по устранению замеченных недостатков и усовершенствованию профессиональной деятельности учителя.
VI. Общая оценка урока и деятельности учителя.
Замечание. Общее оценивание урока и деятельности учителя осуществляетсяв зависимости от общего количества баллов, выставленных при реализации пункта III данной схемы. Максимальное количество баллов для каждой из позиций
3.1-3.12 – 10 баллов, а минимальное – 1 балл. Сложив все выставленные баллы,урок оценивается следующим образом:120-95 баллов – очень хороший урок – отметка 9 или 10;
94-70 баллов – хороший урок – отметка 7 или 8;
69-45 баллов – посредственный урок – отметка 5 или 6;
44-1 баллов – неудовлетворительный урок – отметка 4.

172Внимание! Для объективной оценки посещённого урока (включительно врамках аттестации учителя) рекомендуется, чтобы соответствующий урок былоценен, по крайней мере, тремя специалистами в данной области, присутствующими на уроке (учитель, инспектор, методист, менеджер). Итоговое оценивание
осуществляется, исходя из суммы средних ариф­метических баллов, выставленных каждым из присутствующих на уроке специалистов для каждой из позиций
3.1-3.12 выше­указанной схемы и в соответствии с выше предложенной шка­лойоценивания.

173

5. Дидактические стратегии итехнологии, которые могут бытьприменены в образовательном
процессе по Математике вконтексте формирования
компетенций
5.1. Дидактические стратегии и технологии для формирования компетенцийВ контексте формирования компетенций деятельность учителя Математики
основывается на:Кредо активного учения (согласно Kees Both):Что только слышу – забываю!
Что слышу и вижу – вспоминаю!
Что слышу, вижу и спрашиваю – начинаю понимать!
Что слышу, вижу, спрашиваю и упражняюсь – усваиваю и формирую навыки!
Что применяю на практике – учу по-настоящему!
В своей профессиональной деятельности учитель Математики применяет иАЛГОРИТМ ПРЕПОДАВАНИЯ ОСНОВАННОГО НА МОТИВАЦИИ:•• Начинайте преподавание с приведения примера смешной ситуации, исследования конкретного случая, маленькой истории, относящейся к изученной теории или с предложенной для решения задачи;•• Опросите учеников по предыдущим изученным темам во взаимосвязи сновым явлением или теорией, которые будут изучаться;•• Излагайте план урока в виде вопросов (такой способ представления плана заставляет учеников сфокусировать внимание на значимых аспектахи на поиск ответов на заданные вопросы);•• Представьте знания/информацию в виде схем, которые дают возможность выделять взаимосвязи между понятиями;•• Приведите интересные примеры для учащихся;•• Используйте аналогии (тем самым заставим учеников находить связи
между знакомой и новой областью).

174

Рекомендации по применению стратегий и технологии в преподавании Математики в гимназии сформулированы и в Куррикулуме в разделе IV. Методологические основы преподавания – учения – оценивания [7]. Учитель Математики обязан учитывать их в своей практической деятельности.
В источнике [20] детально представлены следующие активные методы преподавания – учения Математики:1. Мозговой штурм (Вrainstorming);
2. Дидактическая игра „Senecteca” (Вrainstorming в командах);3. Интеллектуальная игра „Математический брэйн ринг”.
Эти методы могут быть успешно применены в V-IX классах.
В работе [15] раскрыты техники Teambuilders (создание команды), SINELG,
Трехступенчатое интервью, RAI («Отвечай, Бросай, Спрашивай»), «Лестница
гипотез», «Командные турниры», «Одна голова – хорошо, а больше – лучше»,Решение в цепочке и дидактические игры ДОМИНО, ТОЧКИ ОПОРЫ, ЦЕЛЕВАЯ
ФИГУРА, СОСТЯЗАНИЕ ХУДОЖНИКОВ, УГАДАЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ФИГУРУ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ БАШНИ.
Эти методы и техники могут быть применены при изучении различных тем влицейском курсе Математики, в зависимости от изучаемых тем.
Ниже предложены и другие примеры использования активных методов преподавания – учения – оценивания Математики в гимназии в контексте формирования компетенций.
1. Создание благоприятных условий для поиска, исследований, открытий
возможнопри применении метода Исследование конкретного случая. Этот метод позволяет ученику свободно высказывать свое мнение, а также находить оптимальное решение в результате проведенного обсуждения. Для реализации метода
предусмотрены следующие этапы:1. Выбор конкретного случая (в том числе из практической деятельности).
Учитель выбирает случай и формулирует проблему, соответствующую возрастным особенностям учащихся класса и их уровню математической подготовленности.
2. Представление учителем подобранного случая.
Учитель доступно разъясняет учащимся сущность соответствующего случая.
3. Обсуждение учащимися данного случая.
Проводится беседа учителя с учащимися, посредством которой детально
анализируется, аргументируется случай для нахождения причин, приводящих кнему и всех соответствующих факторов.

175

4. Поиск вариантов решения проблемы.
Системой вопросов учитель стимулирует учеников к поиску решений.
5. Сравнение различных вариантов решения проблемы.
В зависимости от способов организации деятельности сравниваются поступившие варианты решений.
6. Выбор решений.
Отбираются самые лучшие решения.
7. Оценка.
Учитель оценивает каким образом была разрешена соответствующая ситуация.
2. Техника Матрица ассоциаций
Матрица ассоциаций представляет собой таблицу с двумя входами, дающая
возможность представлять различные ассоциации между математическими понятиями и их свойствами. Посредством таких матриц можно реализовать синтез
изученного материала в рамках единицы обучения или единицы содержания.
Матрица может быть составлена индивидуально либо в результате групповой деятельности. Составление таких матриц может быть предложено и в виде домашнего задания. Эта техника рекомендована для применения на итоговых уроках.
Например, при изучении модуля Многогранники (XII-ый класс) ученикам может быть пропущена для заполнения следующая Матрица ассоциаций:Многогранник

Элементы

Площади

ОбъемИзображение на плоскость

Параллелепипед
Призма
Пирамида
Усеченная
пирамида
Правильные
многогранники

3. METOД „BBB” (Batelle – Bilmappen – Brainwriting)Этот метод еще называется: Brainwriting – портфель с рисунками. Он реализуется по следующему алгоритму:1. Задание поставлено перед всем классом.
2. Устный мозговой штурм (brainstorming) со всем классом. Формулируются
идеи для решения задания.

176

3. Классу последовательно предлагаются рисунки в контексте решения обсуждаемого задания.
4. Индивидуальный мозговой штурм (brainstorming) в тишине. Ученики записывают свои идеи, относительно каждого из рисунков.
5. Несколько учеников читают свои идеи к соответствующему рисунку.
6. Класс обсуждает эти идеи, чтобы найти и другие варианты.
РисунокЧто подсказывает данный рисунок?

Какие идеи возникли?

Преимущества:•• исследуются идеи, выдвинутые каждым из учеников;•• рассматриваются идеи и других учеников;•• стимулируется умственная деятельность учащихся посредством рисунков;•• устраняются некоторые проблемы, возникающие при работе учащимися
лицом к лицу.
4. Техника Понятийная карта
Начиная с первого урока и на протяжении всего периода изучения соответствующей главы, ученики постепенно заполняют на отдельном листе бумаги А4таблицу, содержащую все математические аспекты изученных понятий в данной
главе. Примеры таких карт учитель найдет в учебниках по Математике для лицея. Заполнив такие карты для каждой главы, ученики активно будут участвоватьв добывании знаний и могут получить понятийные карты, отличные от тех, которые представлены в учебниках. В конце учебного года создадут Математический
атлас для соответствующего класса. Понятийные карты могут быть использованы на итоговых уроках, при итоговом повторении, при изучении других глав и т.п.
5. Театральный фестиваль по Геометрии
Ученики разделены на группы по 5 «артистов». Каждая группа вытягивает билет с указанием темы. Группа должна составить сценарий по соответствующей
теме таким образом, чтобы каждый член имел хотя бы 5-8 реплик в будущем мини-спектакле. Каждая группа готовит реквизиты, костюмы и играет подготовленный спектакль. После всех просмотров ученики могут задать вопросы, оценивают деятельность коллег и выявляют победителя фестиваля [В работе Optimizareaînvățământului în contextual societății bazate pe cunoaștere. Материалы международной научной конференции, 2-3 ноября 2012г. IȘE, Chișinău, 2012, стр.10].

177

6. Игра Мимика на уроке Математики
Класс делится на две команды. Поочередно каждая команда с помощью мимики представляет одно математическое понятие: фигуру, график, функцию,уравнение и т. п. Вторая команда постарается угадать представленное мимикой
понятие.
7. Техника 3-2-1Перед окончанием урока просят учащихся записать на листочке 3 термина
(понятия) из изученных на уроке, 2 идеи о том, что хотелось бы изучить больше вбудущем и 1 навык (одно умение), который(ое) сформирован(о) по мнению ученика на уроке. Изучив ответы учеников, учитель получит быструю обратную связь
относительно эффективности урока.
5.2. Задачи по Математике и их роль в формировании компетенций
5.2.1. Математические задачи каскадного типа и их роль в контексте формирования компетенций
Математические задачи каскадного типа эффективно способствуют формированию и развитию компетенций. И жизнь, день за днем, ставит перед намиразличные задачи, решение которых требует прохождение нескольких каскад. Вэтом контексте предлагается применять в образовательном процессе по Математике, и не только, задачи каскадного типа.
Определение. Математическая задача каскадного типа – это задача, в которой ответ на следующий вопрос (задание) зависим от результата, полученного напредыдущем шаге (каскаде).
Например:Дано уравнение 2x2 – x – 3 = 0.
1. Решите уравнение на множестве R.
2. Запишите квадратный трехчлен, корни которого являются обратными
решениям данного уравнения.
3. Постройте график функции f, ассоциированную квадратному трехчлен,полученному в п.2.
4. Используя полученный в п.3 график, найдите промежутки монотонности
функции f.
5. Запишите неравенство первой степени, множеством решений которого
является интервал, на котором функция f строго убывает.
Данный пример является примером задачи по Математике каскадного типа,состоящей из 5 каскадов, и которая может быть предложена в 10 классе или в 12классе, при итоговом повторении.

178

Задачи по Математике каскадного типа могут быть структурированы в линейном виде либо в разветвленном виде.
В вышеприведенном примере предложенная задача структурирована линейно.
Далее предлагаем пример задачи, структурированной разветвленно:Дан ΔABC, m  A   30, m  B   45 , AB= 8 cм.
1. Найдите длины сторон треугольника.
2. Вычислите периметр ΔABC.
3. Вычислите площадь ΔABC.
4. Найдите радиус окружности, вписанной в ΔABC.
5. Вычислите длину окружности, вписанной в ΔABC.
6. Найдите радиус окружности, описанной ΔABC.
7. Найдите площадь круга с радиусом, полученным в п.6.
8. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружности
ΔABC.
Примечания.
1. Разветвленность относится к вписанной и описанной окружностям.
2. Задача может быть предложена в 10-м классе или в 12-м классе, при итоговом повторении.
С точки зрения дидактики задачи по Математике каскадного типа эффективны для:а. изучения материала и формирования компетенций, предусмотренных
Куррикулумом по Математике;б. реализации внутри- и межпредметных взаимосвязей в рамках изучения
Математики;в. организации и реализации повторения изученного материала;г. формирования и развития логического мышления;д. развития интереса к Математике;е. развития творческих способностей учеников;ё. подготовки к экзаменам по Математике;ж. оценивания школьных результатов по Математике (с особым вниманием).
Задания, включенные в задачи каскадного типа, могут быть коррелированы сразличными темами Математики, что увеличивает шансы учеников по осознанию сущности изученного материала по Математике.
Например:Дана функция f : R  R, f  x   x 2  x  1  x  2 

179

1. Найдите точки экстремума функции f.
2. Запишите уравнение, решения которого являются противоположными
значениям х, полученным в пункте 1.
3. Найдите первообразную функции f, соответствующей уравнению, полученному в п.2.
2
4. Вычислите интеграл  g  x  dx .
0
5. Найдите длину ребра куба, площадь поверхности которого равна числовому значению (в кв. единицах), полученному в п.4.
6. Вычислите объем правильного тетраэдра, ребро которого конгруэнтно
ребру куба из п.5.
Замечаем, что задача каскадного типа, предложенная для 12 класса, объединяет знания, навыки и способности, полученные и сформированные в рамках
изучения модулей Дифференцируемые функции, Уравнения. Неравенства. Совокупности; Первообразная и неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Многогранники.
Считаем, что такие задачи эффективно способствуют формированию специфических и трансверсальных компетенций, предусмотренных лицейским
Куррикулумом по Математике.
Решение задач каскадного типа требует от учеников особого внимания в процессе их решения, так как ошибка, допущенная на одном из предыдущих этапов,приводит к неверным результатам всех последующих каскадов. Этот аспект будет учитываться в рамках применения задач каскадного при оценивании школьных результатов по Математике.
Деятельность по составлению учениками математических задач каскадного
типа также является эффективной.
Учитель будет предлагать систематически такие задачи в процессе изучения
Математики. Проверочные работы, предложенные в классе и тесты, предложенные на выпускных экзаменах или на экзаменах на бакалавре могли бы включать и задания, структурированные каскадом.
5.2.2. Интегративные задачи, которые могут быть применены в процессе
формирования компетенций в лицее
Компетенции формируются и, соответственно, оцениваются в процессе деятельности, в том числе и повседневной. В этом контексте важна деятельность,связанная с решением задач с практическим уклоном. При помощи таких задач
ученики научатся извлекать, из заданных условий, важные элементы и информацию, необходимые для решения реальных и/или смоделированных задач.

180В контексте формирования компетенций учитель предложит лицеистам различные типы задач, решение которых требует интегрировать знания из разных
разделов Математики и не только.
Реализация внутрипредметных и межпредметных связей в образовательном
процессе по Математике возможна посредством интегрирующих задач. Нижепредложена совокупность интегрирующих задач, задач типа PISA, которых суспехом учитель может использовать на уроке или при задании домашней работы. Возможно, такие задачи будут предложены и в рамках выпускного экзаменапо Математике в лицее.
В дидактическом плане значимо, чтобы учитель предложил ученикам самим
составить (в рамках проекта по Математике) такие задачи.
Задача 1. Сползание снега (Метрические отношения в треугольнике)На основе выполненных исследований и анализовбыл сделан вывод, что снег начинает сползать с крыши дома, если эта крыша наклонена более чем на 200.
Размеры дома на фотографии: основание большего треугольника равна 16м, а боковые стороны – 12 м.
Определите, если есть риск сползания снега с крыши.
Задача 2. Бермудский треугольник (Метрические отношения в треугольнике)Вершины Бермудского треугольника расположеныв Майами, Пуерто-Рико и острова Бермуды. Майами
находится на расстоянии 1600 км от острова Бермуды.
Острова Бермуды находятся на расстоянии 1500 км отПуэрто-Рико. Величина угла с вершиной в Бермудах
равна 45,4o .
• Найдите расстояние от Майами до Пуэрто-Рико.
• Найдите площадь Бермудского треугольника.
Задача 3. Оптимальная зона (Операции с действительными числами, степени)Ветровая установка позволяет преобразовать энергию
ветра в механическую энергию. Прежде чем проектировать и устанавливать ветровую установку следует найти
ответы на несколько фундаментальных вопросов, однимиз которых является вопрос о средней скорости ветра.

181

Две ветровые установки расположены в двух различных зонах:Зона A: ветер дует 2400 часов в год со скоростью 10 м/с.
Зона B: ветер дует 1200 часов в год со скоростью 20 м/с.
Сравните полученные количества электроэнергии этими двумя установкамив зависимости от средней скорости ветра. Определите область, где ветряная
турбина будет производить больше электроэнергии: область с большим количеством часов действия ветра, но с меньшей скоростью, или область, где скорость
ветра выше?
Полезная информация:Количество энергии (в кВтч) рассчитывается по формуле: E = P x t, где: P кинетическая мощность движущейся жидкости через сечение S со скоростью v, t продолжительность в часах.
Кинетическая мощность пропорциональна кубу скорости этой жидкости: P = ½ x ρ x S x
v3, где ρ- плотность жидкости в кг/м3, S - площадь поверхности в м2, v - скорость в м/с.
Так что E = (½ ρ S) x t x v3.

Задача 4. Безопасность дорожного движения и тормозной путь (Операции сдействительными числами)Очень многие дорожно-транспортные
происшествия происходят из-за столкновений автомобилей, которые произошли после превышения скорости инеправильной оценки оптимального
тормозного пути.
Секунда невнимания или задержки нажатия на тормоз приводит к тому, что автомобиль преодолевает дополнительное
расстояние, что часто может стать фатальным для участника дорожного движения.
Таким образом, в момент невнимательности или короткого сна, при переключении радиоканалов, при общении потелефону, при  обращении к пассажирам на заднем сидении автомобиля,при движении со скоростью 50 км/чпроизойдет задержка реакции торможения на одну секунду и автомобиль
проедет еще 15 м, а при движении соскоростью 60 км/ч.....
(Ziarul de Gardă)Тормозной путь показан на следующем рисунке:Я вижу препятствие

Торможу

Время реакции, дистанция реакции

Машина останавливается
Тормозной путьДистанция торможения

182

I. Дистанция реакции – это расстояние (в м) автомобиля за 1 секунду – время реакции бдительного водителя. Покажите, что зависимость между скоростью
vавтомобиля и пройденной дистанции реакции задается формулой D =, где:
3, 6
V – скорость в км/ч, D – дистанция реакции в м.
а)  Вычислите дистанцию реакции (округленное до единиц) пройденное бдительным водителем, движущемся со скоростью 100 км/ч.
б) Заполните таблицу с дистанциями реакции:Скорость (в км/ч)20Дистанция реакции
(в m)

6

30

50

60

80

100

II. Тормозной путь – это расстояние, необходимое для остановки автомобиляс помощью тормоза. Тормозной путь – это расстояние, пройденное автомобилемот нажатия педали тормоза до обездвиживания автомобиля. Это зависит от скорости транспортного средства и состояния дороги (мокрой или сухой). Это расстояние можно рассчитать по формуле: d = k × v2, где:• d – расстояние в метрах (м),• v – скорость в км/ч,• k – коэффициент.
На сухой дороге коэффициент k = 4,8 × 10–3, а на мокрой дороге k = 9,8 × 10–3.
а) Вычислите тормозной путь (округленно до единиц) машины, которая движется со скоростью 90 км/ч по сухой дороге.
б) Зная, что водитель тормозил 12 м по сухой дороге, найдите скорость машины.
в) А если машина будет двигаться по мокрой дороге, при той же скорости чтов пункте, каков будет тормозной путь?
г) Водитель держит расстояние в 20 м от впереди едущей машины. Насколько быстро должен ехать водитель, не создавая опасности аварии в случае
внезапного торможения на сухой дороге?
д) Но если он едет с той же скоростью по мокрой дороге, какое минимальное
расстояние между его автомобилем и передним автомобилем должно соблюдаться водителем, чтобы не разбиться?
Обсудите полученные результаты.
е) Дополните таблицу записывая тормозные пути (округленно до единиц), взависимости от скорости:183

Скорость (в км/ч)20Дистанция реакции (в м)6Тормозной путь (в м) на сухой дороге

2Тормозной путь (в м) на мокрой дороге

4

30

50

60

80

100

v2

Тормозной путь рассчитывается и по формуле: d , где:
254  A• d – растояние в метрах (м),• v – скорость в км/ч,• A – коэффициент сцепления. На сухой дороге он равен A = 0,8, а на мокрой
A = 0,4.
а) Найдите тормозной путь (округленно до единиц) машины, движущейся соскоростью 100 км/ч по сухой дороге.
б) Как быстро автомобиль должен двигаться по мокрой дороге, чтобы тормозной путь оставался неизменным?
в) Человек является жертвой дорожно-транспортного происшествия, егосбила машина, которая двигалась с большой скоростью. Сотрудники инспекции определили, что тормозной путь составляет 29 м, дорога сухая. Какова
была скорость машины? (в м/с, затем в км/ч)III. Дистанция торможения означает расстояние, пройденное автомобилем от момента наблюдения препятствия, до полной остановки автомобиля.
а) Найдите дистанцию торможения машины, движущейся со скоростью 100
км/ч при оптимальных условиях (сухая дорога, без ям, хорошие тормоза ибдительный водитель с реакцией приблизительно в 1 секунду).
б) Заполните таблицу, указывая дистанции торможения в зависимости от скорости состояния времени:Скорость (в км/ч)20Дистанция реакции (в м)6Дистанция торможения (в м) на сухой дороге

2Дистанция торможения (в м) на мокрой дороге

4Тормозной путь (в м) на сухой дороге

8Тормозной путь (в м) на мокрой дороге

10

184

30

50

60

80

100

Задача 5. Радар (Элементы тригонометрии)Правовая процедура установки стационарного радара на краю дороги указывает, что для того, чтобы скорость считалась действительной, необходимо, чтобы направление распространения электромагнитной волны инаправление движения транспортного средства образовали угол 250. Радар непосредственно не измеряет фактическую скорость транспортного средства, а скорость,с которой транспортное средство приближается к нему (или отходит, если радар находится позади автомобиля).
Используя строгие математические вычисления, рассчитывается фактическая
расчетная скорость, в соответствии с которой применяется штраф или нет.
Треугольник ABC – прямоугольный в C. Длина стороны AB представляет фактическую скорость транспортного средства, а длина стороны BC представляет скорость, с которой транспортное средство приближается к радару.
oСогласно схеме, из-за наклона под углом 25 измеренная радаром скорость
ниже, чем фактическая скорость транспортного средства. В этом случае применяется поправочный коэффициент: умножается измеренная радаром скорость наэтот коэффициент и получается приблизительное значение фактической скорости транспортного средства. Говорят расчетное значение реальной скорости, таккак радар имеет определенный предел погрешности…
Для стационарных радаров, согласно метрологическим стандартам, допустимые погрешности измерения скорости равны:- ± 5 км/ч к расчетной реальной скорости, если она равна100 км/ч;- ± 5% от расчетной реальной скорости, если она больше100 км/ч.

1. Радар, установленный на краю национальной дороги, где максимально допустимая скорость составляет 90 км/ч, обнаружил, что автомобиль, управляемый Сергеем, приближается к нему со скоростью 86 км/ч.

185а) Какова расчетная скорость машины (округлите до десятых)?
б) Какой поправочный коэффициент был применен (округлите до тысячных)?
в) Будет ли оштрафован Сергей?
2. Через 5 минут по той же дороге проехал Дмитрий, который не заметил радар. Он продвигался с реальной скоростью в 105 км/ч. В момент прохождения
мимо радара обгоняет впередиидущую машину и угол между его направлениoем движения и радаром составляет 35 . Будет ли оштрафован Дмитрий?
3. Чуть позже по той же трассе с разрешенной скоростью 90 км/ч Сергей проходит вдоль другого радара с той же скоростью – 86 км/ч. Но радар слегка
неверно ориентирован, направление наклона формирует с направлением доoроги угол 30 . Теперь оштрафуют Сергея или нет?
4. Сергей был оштрафован на автомагистрали (ограничение скорости 130 км/ч),поскольку скорость, установленная радаром, была на 3 км/ч выше допустимой скорости. Какова фактическая расчетная скорость Сергея?
5. Дмитрий любит скорость и думает, что может обмануть радар. А именно, онговорит, что если радар установлен на правой стороне дороги, то лучше двигаться по правой полосе. Его аргумент таков: «Если я двигаюсь по левой илисредней полосе, то моя машина находится дальше от радара, и поэтому моенаправление движения образует больший угол с радаром, чем если бы я ехалпо правой полосе. В результате, меня могут легче обнаружить, поэтому рискуплаты штрафа выше». Что вы думаете об оправдании Дмитрия?
Задача 6. (Минимальное расстояние) Две автомобильные дороги АА1и ВВ1перпендикулярны и пересекаются в точке С. Известно что АС = 150 км. Из точек Аи В в направлении точки С одновременно выехали два автомобиля со скоростями
V1 = 80 км/ч и V2 = 60 км/ч, соответственно. Через какое время расстояние между
автомобилями будет минимальным?

A

B1

V1

V2

C
A1

186

B

Задача 7. Прибыль. Средний предприниматель приобрел у производителядва типа товара на общую сумму 2250 лей, после чего продал его и получил прибыль в 40 %. Сколько заплатил предприниматель изначально за каждый тип товара, если в результате продаж первого типа товара он получил прибыль в 25 %,а второго – 50 %?
Задача 8. Ускорение. Два автомобиля двигаются по законам S1  t   2t 3  5t 2  3tи S2  t   2t 3  3t 2  11t  7 , где S1 , S2 расстояние, измеренное в метрах, а время – всекундах. Определите ускорения данных автомобилей, в момент когда их скорости равны.

187

6. Оценивание школьных
результатов по Математикев контексте куррикулумных
требований
6.1. Оценивание школьных результатов в контексте формирования компетенций
Структура действия педагогической оценки включает три иерархические
функциональные операции на уровне системы и процесса измерение – оценивание – принятие решения:–– измерение – операция оценки, обеспечивающая выявление «опреде­ленных наблюдаемых характеристик», выраженных в количественных
терминах (счет, цифры, статистики и т. д.) и/или посредством описаний,сконцентри­рованных на определенных узких зонах проявления ([19]);–– оценивание – операция оценки, которая истолковывает выявленные факты в зависимости от определенных педагогических качественных и незави­симых критериев во взаимосвязи с измерительными инструментами,примени­мыми в рамках определенного метода или дидактической стратегии;–– принятие решения – операция оценки, которая обеспечивает продление
операции оценивания до определенной школьной отметки, характеристики, рекомендации и т. п., имеющей значение для педагогического прогноза. Эта операция входит в категорию конечных оценочных суждений большой психологической сложности и социальной ответственности.
Значит, оценка должна быть воспринята как способ облегчения преподаванияи учения, исключения неудач и реализации постоянного прогресса в подготовке
каждого ученика.
Самая значимая роль оценивания состоит в предоставлении обратной связи,постоянной и соответствующей, необходимой как ученикам, так и родителям,руководящим органам и широкой публике. Итак, в интегрированном процессе
преподавание – учение – оценивание составляющая оценивание занимает основное звено высшей значимости, как с точки зрения психопедагогики, так и с социальной точки зрения. Этот факт подтверждается и алгоритмом современного
образовательного процесса:188

Цели →
Компетенции

Инструменты
Содержание

УспехТехнологии

Оценка

Неудача

Новые
цели

и т.д.

Причины неудачи

Оценка определяет каждый раз – достигнуты ли запланированные цели и чтополучено в результате соответствующего действия: успех или неудача. В случае
неудачи будут выявлены её причины, и действие будет повторено пока в итогене будет достигнут запланированный успех. Следующий шаг будет заключатьсяв формулировании новых целей и, таким образом, процесс будет продолжаться
составляя, тем самым, следующую спираль в образовании.
Современный процесс оценивания школьных результатов, основанный наприципах оценивания ([7]), призван:•• выявлять успехи каждого ученика, а не его неудачи;•• информировать представителей образовательной сферы, указывая, чтонужно изучать и как нужно преподавать;•• быть многогранным, концентрируясь как на социальном и эмоциональном развитии, так и на когнитивном развитии ученика;•• содержать отношения сотрудничества между учителем и учениками,между учениками;•• обосновать значимость обучения, продвигать успехи и оптимальное
обуче­ние для всех учащихся;•• быть легко понятым как всеми учащимися, так и их родителями, представителями сферы образования и т. д.
Выделяют следующие типы оценивания, применяемые в образовательном
процессе по Математике на современном этапе:а) первичное оценивание (прогностическое);б) текущее (формирующее) оценивание;в) итоговое (суммативное) оценивание.
И в контексте формирования компетенций приоритетным является текущее/формирующее оценивание.
В целом, любая оценочная деятельность в области образования, как правило,должна осуществляться на основе, четкой определенной изначально технологической карте, которая уточняла бы:189

–– контингент, который будет оцениваться;–– тип оценивания (первичная, текущая/формирующая, итоговая/суммативная);–– цели оценивания (в корелляции с единицами компетенций, специфическими компетенциями по Математике и ключевыми компетенциями);–– технологии оценивания (формы, методы, техники, средства и т.д.);–– продолжительность каждого действия в рамках оценивания;–– место, где будет проведено оценивание;–– как будет осуществляться мониторизация деятельности оценивания;–– базу данных (тесты, проверочные работы, практические работы и т.п.);–– как будет проведена рефлексия (сравнение полученных результатов с запланированными целями);–– как будут сделаны выводы (диагноз и прогноз);–– как будут приниматься решения.
Важно, чтобы каждый учитель Математики осознал, что любое оцениваниепо Математике, в том числе суммативное на государственном уровне, направлено на определение уровня реализации единиц компетенций и формирование
компетенций, предусмотренных школьным Куррикулумом по Математике ([7]).
В процессе оценки учитель будет основываться на Принципах оценивания
школьных результатов, Стандартах эффективности обучения Математикеи на современных требованиях по организации и проведении оценочных действий, указанных также в Куррикулуме в разделе IV. Методологические ориентиры преподавания – учения – оценивания. Необходимо, чтобы и ученик, иучитель, и родитель\опекун, и руководитель осознавали, что оценка при любых
условиях, должна быть объективной.
Акцент на каждом уроке будет ставиться на формирующее/текущее оценивание. Успех урока определяется в зависимости от уровня достижения запланированных целей.
Учителя могут выбрать те формы, методы и инструменты оценки, которые
являются, с их точки зрения, оптимальными для соответствующего класса, соответствующей темы (главы, модуля) и т.п. Выбранные стратегии оценивания будут
коррелироваться со стратегиями, предлагаемыми в модернизированном Куррикулуме в рубрике Рекомендуемые виды учебной деятельности и ее результаты/продукты, для каждого из классов.
Итоговое оценивание, проведенное в конце изучения единицы обучения/главы/модуля/, на семестровых сессиях будет выявлять – на каком уровне реализованы единицы компетенций, предусмотренные Куррикулумом.

190

Посредством выпускного экзамена по Математике в лицее будет проверяться – какие компетенции, в том числе специфические компетенции по Математике, сформированы и на каком уровне.
При реализации итогового оценивания школьных результатов по Математике в конце ступени обучения будут учтены и Стандарты эффективности обучения Математике для лицея.
В образовательном процессе по Математике учитель может использоватькак традиционные методы оценивания (письменные, устные, практические работы), так и современные (альтернативные) методы оценивания. Напоминаем
сущности некоторых из современных (альтернативных) методов оценивания:1. Систематическое наблюдение ученика в процессе учебной деятельности
– метод оценивания, способствующий получению нужной информации, которую
сложно получить другим путем. Для учета полученной информации учитель может использовать:•• оценочный лист;•• шкалу классификации;•• листок контроля.
Детали об этом методе можно найти в методологическом гиде [17].
2. Исследование представляет собой деятельность, протекающую на протяжении не более одного урока по следующему алгоритму: в начале урока ученик
получает конкретное задание для исследования и инструкции, согласно которыми решает это задание. Исследование позволяет ученику творчески применять
знания, усваивать новые ситуации и добывать новый опыт [17].
3. Проект (исследовательский) позволяет осуществлять перенос знаний вразличные области и интегрировать знания из различных школьных дисциплин,по крайней мере из куррикулумной области. Проект может реализовываться индивидуально учеником или группой учащихся. Алгоритм реализации проекта:деятельность начинается на уроке с уточнением темы и задания; деятельность
продолжается затем на протяжении нескольких дней, недель или месяцев, в зависимости от сложности заданий; в этот период ученик (группа учеников) получает консультации от учителя или соответствующих специалистов. Деятельность
заканчивается публичной защитой проекта перед коллегами.
Этапы реализации проекта:1. Выбор темы.
2. Составление плана деятельности:•• формулировка целей проекта;•• составление групп;191•• выбор задания в рамках темы для каждого ученика/каждой группы;•• разделение ответственностей в рамках группы;•• уточнение источников добывания информаций (учебники, другие проекты, отраслевые журналы, специалисты и учреждения, специализирующиеся по данной тематике).
3. Собственно исследовательская деятельность.
4. Разработка материалов.
5. Представление и публичная защита полученных результатов и/или разработанных материалов.
6. Оценивание:a) исследования в целом;б) способов деятельности;в) полученного результата.
Метод проектов представляет эффективный метод оценивания уровня формирования компетенций учащихся.
Примерные темы для проектов по Математике:I) Теоретические проекты:а) Решение задач несколькими методами.
б) Составление задач по заданной математической теме, в том числе, интегрирующие задачи, задачи каскадного типа.
в) Задачи на минимум и максимум в практической деятельности.
г) Приложения комплексных чисел в технике.
д) Банковские кредиты в Республике Молдова и их эффективность.
II) Прикладные проекты:а) Приложения функций в технике.
б) Комбинации геометрических тел в строениях села (города).
в) Применение математической статистики в повседневной жизни.
г) Составление (формирование) личного и семейного бюджетов.
д) Элементы геометрии в окружающих строениях.
е) золотое сечение и его приложения.
ё) симметрия вокруг нас.
ж) обустройство территории школы, детского садика, фирмы, села и т.п.
III) Симулятивные проекты:а) Суд геометрических фигур;б) Заседание Академии Наук;в) Математический брифинг;г) Урок в школе Пифагора и др.

192Примечание. Реализованные проекты, включительно проекты STEM/STEAM,
индивидуальные либо групповые, будут защищены на специальных уроках – уроки защиты проектов. В контексте формирования компетенций проект является
одним из самых эффективных методов оценивания.
4. Оценочный портфель – современный инструмент оценивания школьных
результатов. На практике портфель представляет собой папку, где сохраняютсявсе результаты ученика, полученные при всех видах оценивания: письменные,практические работы, проекты, эссе, рефераты, тесты, самооценивание и т.п.
Портфель является «визитной карточкой» каждого ученика, позволяя следить заразвитием ученика от четверти к четверти, от года к году, от ступени к ступени.
Ученик имеет свободный доступ к своему портфелю и может систематически дополнить его различными результатами. Раз в полугодие учитель глобально оценивает портфель, в соответствии с критериями, знакомым ученикам изначально.
Полученная отметка может стать итоговой за соответствующее полугодие или заучебный год.
5. Дидактические игры, посредством соответствующих сценариев, дают возможность оценивать школьные результаты по Математике как отдельного ученика, так и группы учащихся. Например, такие сценарии ролевых игр по Математике «Next» и «Brainring» предложены в[20].
6. Самооценивание дает возможность ученикам поверить в собственные
силы и мотивирует их к улучшению собственных школьных результатов. Учитель
должен способствовать формированию способностей самопроверки и самооценивания, научить сравнивать личный уровень развития ученика с образовательными целями и стандартами и подсказать оптимальную личную программу дляучения. Необходимо научить учеников адекватно оценивать себя, для того, чтобы принимать правильные решения.
7. Взаимопроверка дает возможность учащимся активно участвовать в процессе оценивания школьных результатов коллег, способствуя, в целом, формированию соответствующих компетенций.
6.2. Тестирование – эффективный метод оценивания в контексте формирования компетенций
Тестирование остается одним из эффективных методов оценивания уровня
формирования запланированных компетенций. Предложенные тесты должны
содержать меньше заданий для проверки отдельных знаний или способностейи больше заданий интегрирующего типа, для оценивания уровня формирования
компетенций, предусмотренных Куррикулумом.

193

Тест, включая экзаменационный тест, является эффективным инструментом
оценивания по Математике. Разработка теста требует соблюдение определенных алгоритмов. Каждый тест включает и темы/задания коррелированные соследующими когнитивными областями:1. Знание и понимание (распознавание, представление и объединение символов, терминов, понятий из соответствующего содержания).
Для оценивания этой области тест включает:I. Объективные итемы:а) итемы с выборочным ответом;б) итемы на выявление соответствующих пар;в) итемы с двойным выбором (истинно, ложно; да, нет);г) итемы с кратким ответом (на заполнение) на уровне знания и понимания.
2. Применение (использование вычислительных приемов, применение методов, алгоритмов, свойств, теорем и т.п.).
Для оценивания этой области тест включает:II. Полуобъективные итемы:а) структурированные стандартного типа вопросы, упражнения, задачи(с соответствующим решением, обоснованием);б) структурированные математические эссе;в) итемы с кратким ответом на уровне применения, с последующим обоснованием полученного ответа.
Как правило, эти типы итемов содержат определенные указания по их решению. Ученик обязан полностью выполнить эти указания.
3. Интегрирование (решение нестандартных задач, проблемных ситуаций).
Для оценивания этой области, тесты содержат итемы вида:III. Субъективные итемы:–– неструктуриро­ванные вопросы, задания, задачи, проблемные ситуации, проверяющие более высокие когнитивные уровни;–– неструктуриро­ванное эссе.
Эти итемы могут быть решены теми методами, которые выберут ученики.
Важно! При формулировке итемов следует придерживаться следующих правил:а) Формулировка итема (задания) корректна, если она отвечает на следующие вопросы: Что? Сколько? Как?
То есть:– Что должен сделать ученик?
– Сколько он должен сделать?
– Как нужно это сделать?
194б) Количество итемов (заданий) определяется, следуя пропорции 1:3, то естьученик решает в три раза медленнее чем взрослый.
Для разработки теста учитель будет следовать следующей Технологической
карте:
1) выбирает темы, содержание согласно календарно-тематическому планированию и Куррикулуму, которые будут тестироваться;2) формулирует (определяет) цели оценивания, соответствующие единицам
компетенций/компетенциям выбранных для оценивания;3) составляет матрицу спецификаций теста;4) составляет итемы (тестовые задания) различных типов в соответствии с матрицей спецификаций и сформулированными целями оценивания;5) решает составленный тест для уточнения, успеют ли ученики решить их зауказанный период времени: в результате этого действия учитель вносит соответствующие коррективы в тест;6) разрабатывает барем проверки решений соответствующих тестовых заданий:7) разрабатывает барем оценивания/схему конвертирования для составленного теста;8) выполняет действия по администрированию теста, включающие:а) утверждение теста и соответствующих баремов на заседании методкомиссии/кафедры;б) утверждение теста и соответствующих баремов администрацией гимназии/лицея;в) издание теста для каждого ученика, подвергающегося тестированию.
Важно! Педагогические кадры и менеджеры должны осознать, что компетенции не оцениваются. Компетенция проявляется в действии и материализуетсяв продукты. Оценивается полученный продукт (решенный тест, реализованный
проект, решенная задача и т.д.). В Куррикулуме предложены учебные продуктыдля каждого класса для каждого раздела.
Суммативное оценивание по Математике значимо в трех контекстах:a) на этапе оценивания единиц компетенций в конце изучения единицы учения, главы, модуля (V-IX классы)Суммативные тесты, для этого этапа оценивания, будут разрабатываться последующему алгоритму:195

Единицы компетенций
(подлежащие оцениванию)Цели оценивания
(кореллированные с выбранными
единицами компетенций)Итемы/Задания (коррелированныес целями оценивания)Mатрица
спецификаций

Тест/Проверочная работа
Схема/Барем проверки

Барем оценивания/Схема конвертирования

87-94%

76-86%

61-75%

5

4

3

2

1

0-4%

95-100%

6

5-10%

7

11-19%

8

20-30%

931-44%

1045-60%

Отметка
Кол-во
баллов в %Матрица спецификаций должна обеспечивать, чтобы составленный тест измерял уровень достижения именно запланированных целей и имел адекватную
содержательную базу. Она коррелирует когнитивные области (как правило, Знание и понимание, Применение и Интег­рирование), содержание, которое тестируется, и количество итемов, необходимых для составления теста. На основе
мат­рицы спецификаций составляется тест.
После составления теста будут составлены Барем проверки и Барем оценивания/Схема конвертирования.
Рекомендуется применение следующего Барема оценивания, определенный
Референциалом оценивания [4]:196Для примера, ниже изложена реализация этого алгоритма при составлении
суммативного теста для XII класса, реальный профиль, Зимняя сессия:Единицы компетенций, подлежащие оцениванию:1.4. Вычисление неопределенных интегралов, используя свойства и таблицу
неопределенных интегралов, методы интегрирования (интегрированиепо частям, замена переменной).
1.5. Нахождение первообразной заданной функции или функции, первообразная которой удовлетворяет заданным условиям.
2.3. Вычисление определенных интегралов, используя свойства, формулу
Ньютона-Лейбница.
2.4. Распознавание в различных контекстах и применение подграфика функции при решении задач.
2.5. Вычисление площади фигуры и объема тела вращения, используя определенный интеграл.
2.6. Применение определенных интегралов при решении повседневных ситуаций и/или при решении задач из различных областей.
5.4. Применение свойств многогранников при решении задач.
5.5. Вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников в реальных и/или смоделированных ситуациях.
5.8. Применение многогранников и их свойств для выявления и описания ситуаций, феноменов, процессов из различных областей.
Цели оценивания: Ученики докажут, что способны:ЦO1: Вычислить неопределенные интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов.
ЦО2: Вычислить определенные интегралы, используя свойства, формулу
Ньютона-Лейбница.
ЦO3: Находить первообразную функции по заданным условиям.
ЦO4: Изобразить геометрически определенный интеграл от непрерывной
функции с неотрицательными значениями.
ЦO5: Применить неопределенный интеграл, определенный интеграл в реальных и/или смоделированных ситуациях.
ЦO6: Применить алгоритм вычисления площадей фигур при решении задач.
ЦO7: Применить свойства многогранников при решении задач.
ЦO8: Описывать практические ситуации, используя многогранники и ихсвойства.

197

Maтрица спецификаций
Когнитивные
области

Знание ипонимание

Применение

Интегрирование

ВсегоПервообразные и неопределенные интегралы

1 итем

1 итем

1 итем

3 итема
30%Определенные интегралы иих приложения

1 итем

1 итем

2 итема

4 итема
40%Многогранники (призма,пирамида)1 итем

1 итем

1 итем

3 итема
30%

30%
3 итема

30%
3 итема

40%
4 итема

100%
10 итема

Изученные
темы

Итого

198

СУММАТИВНЫЙ ТЕСТВремя выполнения: 90 мин
1. Дана интегрируемая функция f : R  R, f  x   x  1 .
12
4
10Известно, что  f  x dx  и.  f  x dx 
0
1
3
3
2
a) Заполните рамку, чтобы полученное равенство было истинным  f  x  dx 
.
0
6 2
2
b)Решите на множестве R уравнение: 0 f  x dx  f  x   2 x .
7c) Вычислите площадь земельного участка, имеющего форму фигуры, ограниченной графиками функций f , g : R  R, f  x   2 x  2 и g  x   2  x  x 2 .
2

2. Тело движется прямолинейно со скоростью v  t   3 1  t .
a. Обведите букву И, если высказывание истинно или букву Л, если оно ложно:s  t   v ''  t И/Лb. Найдите расстояние (в метрах), пройденное телом в промежутке времени [3. Крыша бассейна имеет форму правильной шестиугольной пирамиды высотой 2м и со стороной основания 6 м.
a) Заполните, чтобы полученное высказывание было истинным:„Основание высоты пирамиды находится в ____________________ _________”.
b) Вычислите площадь крыши бассейна.
c) Определите – какое количество листов жести необходимо для крыши, еслилист прямоугольной формы имеет размеры 0,7 м и 1,4 м и для стыков необходимо еще 10% жести из необходимой площади.
4. Найдите такое действительное число a, a > 0, чтобы площадь подграфика функции f :  0, a   R, f  x   x  3 была бы равной 4.

2б
5б
8б

2б
7б
5б

2б
6б
5б

7б

- нахождение производной f˘1б
1бЭтапы решения

1 a.

14
3

Баллы выставляются лишь за правильное заполнение рамки.

S={-1; 2}
1 b.

2б
1б

199

5б

Примечания

Максимальное
кол-во баллов
2бПравильный
ответ

2б

Итем

Кол-во
баллов

Схема/Барем проверки

63,5кв.ед.

1 c.

- построение графика Gf;- построение графика Gg;- выделение площади;- нахождение пределов интегрирования (по 1баллу за каждый предел);- запись формулы для вычисления площади:bA    g  x   f  x  dxa- вычисление площади
1
A    4  3 x  x 2 dx ;4- правильный ответ.
2 a.

1б
1б
1б
2б

8б

1б
1б
1б

Ложно

Баллы выставляются лишь за правильное обведение буквы.

2б

2б

11,25 m–– запись формулы s'(t)=v(t);–– получение формулы s  t    v  t  dt ;–– вычисление интеграла методом замены переменной;–– нахождение постоянной c = − 3 4 ;–– вычисление пройденного расстояния
(t)=11,25м

1б
1б
2б

7б

–– Запись формулы a(t)=v'(t);–– Нахождение производной:11
a t   3 3 1  t 2

1б
2б
1б
1б

2 b.

1
m s2
12
2 c.

1б
1б
1б
5б

–– вычисление ускорения в конце движения;–– правильный ответ.

3 a.

Центр
вписанный восновании
окружности.

Баллы выставляются лишь за правильное заполнение.

18 31m 2 –– выделение равностороннего треугольника восновании;–– нахождение высоты треугольника в основании: 3 3m ;–– нахождение длины апофемы боковой грани
пирамиды: 31m ;3 b.
–– вычисление площади поверхности одной боковой грани: 3 31m 2 ;–– вычисление площади боковой поверхности
крыши: 18 31m 2 ;–– правильный ответ.

200

2б

2б

1б

6б

1б
1б
1б
1б
1б

113
листов

a  17  3

3 c.

4

–– вычисление площади одного листа жести:0,98 м2;–– вычисление площади, необходимой для стыков: 10,02 м2;–– нахождение общей площади;–– нахождение количества листов жести, необходимого для крыши;–– правильный ответ.

1б

5б

1б
1б
1б
1б

a

1б

a

1б

–– составление равенства 0 f  x dx  4 ;–– вычисление интеграла  f  x dx ;02–– получение уравнения a  6a  8  0 ;–– нахождение решений уравнения;–– a1  3  17 ; a2  3  17 ,–– (по 1 б за каждое решение);–– отбор решения;–– правильный ответ.

7б

1б
2б
1б
1б

Итого

49 б

44-46

39-43

32-38

5

4

3

2

1
1-2

47- 49

6

3-5

7

6-9

8

10 -15

9

16-30

10

24-31

Отметка
Кол-во
баллов

Схема конвертирования/Барем оцениванияб) Суммативное оценивание на этапе внутреннего первичного оценивания
уровня формирования специфических компетенций по Математике
Оценивание школьных результатов по математике на основе компетенций осуществляется посредством первичного оценивания на этапах перехода от одной
ступени образования к другой. В этом контексте значимыми являются первичные
оценивания по математике в начале V класса (оценивание уровня формирования
специфических компетенций, запланированных для начального образования) и вначале X класса (оценивание уровня формирования специфических компетенций,запланированных для гимназического образования).
в) Суммативное оценивание на этапе внутреннего итогового оценивания
уровня формирования специфических компетенций по Математике
Такими являются итоговые оценивания в конце IX класса и в конце XII класса.
Инструмент оценивания/Экзаменационный тест для оцениваний б) и в)должен быть разработан согласно следующего алгоритма:201

Стандарты эффективности
обучения Математике
Специфические компетенции
(ключевые/трансверсальные)Индикаторы компетенций изстандартов/Цели оценивания
Итемы (комплексные)Матрица
спецификаций

Суммативный тест (экзаменационный)Барем проверки
Барем оценивания/Схема конвертированияВ контексте оценивания на основе компетенций модернизируется Матрица
спецификаций, составленная по областям школьной дисциплины Математика,определенных Стандартами эффективности обучения не по содержаниям, изученным в соответствующий учебный год:Когнитивные
области

Знаниеи понимание

Приме­
нениеИнтегрирование

ИтогоОбласть 1X

X

X

1 итем c 3-6 заданиями

Область 2

X

X

X

1итем c 3-6 заданиями

Область 3X

X

X

1 итем c 3-6 заданиями

Область 4 и т.д.

X

X

X

1 итем c 3-6 заданиями

Итого

30%

40%

30%

100%, 4 итема
с 12-24 заданиями

Области
учебного предмета

Важно! Для реализации оценивания на основании компетенций каждый итем,включенный в экзаменационный тест, должен быть структурирован таким образом,чтобы он содержал, согласно определения школьной компетенции, задания на знания, задания на навыки и задания на ценностные отношения (интегрирование).
Примеры экзаменационных тестов для выпускного экзамена БАК учитель
найдет в учебнике Математики для XII класса [14].
2026.3. Проекты STEM и STEAMНаука и технологии являются частью нашей жизни, и их использование таким
образом, чтобы это приносило пользу, очень важно. Вместо того, чтобы иметь
детей, которые являются просто потребителями технологий, мы могли бы иметь
детей, которые понимают и используют их сознательно или даже создают технологии. Поэтому сегодня система образования в Республике Молдова нуждаетсяв новых вызовах и подходах STEM, которые могут возродить интерес к изучению
таких предметов, как Естествознание, Технологии, Инженерия и Математика.
Необходимо, чтобы эти дисциплины стали более провокационными, чтобы пробудить воображение и вдохновение у сегодняшних учеников, граждан завтрашнего мира.  Таким образом, образование STEM (Естествознание, Технологии, Инженерия и Математика) становится приоритетом для современного международного и национального образования. STEM – это образовательная концепция,основанная на идее обучения учеников в четырех областях: Естествознание, Технологии, Инженерия и Математика. Дисциплины STEM преподаются интегрировано, межпредметно, основываясь на связи с реальностью, непосредственное
наблюдение, эксперименте, логике, опыте детей. Именно поэтому одной из приоритетных целей обучения STEM является реализация интегрированного обучения, путем обучения на основе нестандартных проблем и разработки проектов.
В результате ученики участвуют в аутентичных, значимых ситуациях обучения,включая проектирование, реализацию, тестирование, анализ и документирование. Таким образом:•• развивается критическое и самокритичное мышление ученика;•• поощряются инновации;•• развивается способность сотрудничать и эффективно общаться с другимипри решении проблемы и формулировании решений;•• понимание происходит посредством экспериментов;•• повышается мотивация учеников к учению.
Целью обучения STEM является понимание концепций, понятий, процедури формирование навыков, необходимых для решения личных, социальных иглобальных проблем, которые включают в себя интеграцию Науки, Техники,Инженерии и Математики. Примеры действий, которые могут быть выполнены в контексте обучения STEM:•• Практические применения;•• Эксперименты;•• Образовательные межпредметные проекты: Биология, Химия, География, Физика, Математика, Информатика, Технологии, Архитектура, Метрология и др.;203•• Творческие работы, связанные с ремеслами и искусством;•• Исследовательские образовательные проекты учеников в областях STEM;•• Экскурсии учеников в институты, музеи, исследовательские лаборатории;•• Мероприятия по продвижению научно-технического образования (ярмарки, выставки, лагеря, конкурсы для учеников).
Проекты STEM соотносятся с куррикулумными стандартами каждой относящейся к STEM области (национальные стандарты), которые включают содержания, соответствующие уровню школьной дисциплины, не изолируясь от дисциплины, а повышая интегративную полезность познания.
STEAM (Естествознание, Технологии, Инженерия, Искусство и Математика)– это новый подход к концепции STEM, который включает в себя использование
принципов STEM наряду с интеграцией всех гуманитарных дисциплин.
Проекты STEM/STEAM осуществляются совместно с учителями, которые преподают дисциплины, участвующие в реализации соответствующего проекта.
Каждый из этих преподавателей окажет необходимую помощь ученикам по соответствующей дисциплине в процессе выполнения проекта. Время, отведенноедля реализации проекта, отличается от проекта к проекту: от одной недели додвух или трех месяцев. Защита реализованных проектов может быть публичной,в том числе, с участием родителей.
Оценка проекта производится по следующим критериям:–– Обоснованность проекта – направлена на то, насколько он охватывает
целостно и связано, логично и аргументированно исследуемую тему;–– Завершенность проекта проявляется в том, как были подчеркнуты межпредметные связи и перспективы темы, компетенции и навыки теоретического и практического характера и то, как они служат научному содержанию;–– Разработка и структурирование проекта касаются точности, строгости и согласованности научного подхода, логики и аргументации идей,правильности выводов;–– Креативность – относится к степени новизны, которую проект привносит в подходе к реализации темы или решению проблемы;–– Качество получаемого продукта и его эффективность;–– Публичная презентация и защита проекта.
Реализация проектов STEM/STEAM эффективно способствует осуществлению
межпредметных и транспредметных связей.
Ниже приводим примеры проектов STEM/STEAM, рекомендуемых Куррикулумом по Математике для лицея, по классам и профилям:

204

205

X

Класс

I. Молдавский ковер (STEAM)Цели:
1.Определение геометрических фигур, используемых в дизайне молдавских ковров.
2. Определение значимости орнаментов молдавских ковров.
3. Отбор и классификация молдавских ковров в зависимости от типов
использованных орнаментов.
4. Составление собственной модели ковра, используя геометрические фигуры.
5. Применение инструментов ИКТ для создания моделей ковров.
6. Экскурсии в музей молдавских ковров, на фабрику по изготовлению молдавских ковров.
7. Встречи с молдавскими народными умельцами – создателями
молдавских ковров.
Области: Математика, История, География, Информатика, Физика,Химия, Биология, Инженерия, Искусство.
Конечные продукты:1) Изображения/рисунки/фотографии коллекций молдавских ковровс объяснениями значимости орнаментов.
2) Презентация, используя инструменты ИКТ, орнаментов для молдавских ковров.
3) Выставка созданных моделей ковров.

I. Правильные шестиугольники в сотовой связи
(STEM)
Цели:
1. Определение роли правильных шестиугольников в сотовой связи/в пчеловодстве/в других областях.
2. Отбор и классификация продуктов из различных
областях, связанных с правильными шестиугольниками.
3. Выделение свойств правильных шестиугольников и обоснование эффективности применения
правильных шестиугольников в соответствующих
областях.
Области: Maтематика, Искусство, Биология, Физика, Информатика, Инженерия.
Конечные продукты:1) Фотографии/Рисунки/Изображения других продуктов, классифицированных по роли использованных правильных шестиугольников.
2) Презентации Power Point с аргументацией преимуществ применения правильных шестиугольников.
Фракталы в искусстве и природе (STEAM)Цели:
1. Определение понятия фрактал и его характеристик.
2. Изучение замечательных фрактальных фигур
(треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Множество Мандельборта и др.) и фракталов в природе.

Молдавская национальная рубашка (STEAM)Цели:
1. Определение геометрических фигур, используемых в орнаментах
молдавских национальных рубашек.
2. Определение значения орнаментов молдавских рубашек.
3.Отбор и классификация орнаментов молдавских национальных
рубашек.

2 семестр

I семестр

Реальный профиль

206

XI

Приложения производной в экономике. (STEM)Цели:
1. Определениеролипроизводнойвизученииэкономическихфеноменов/процессов.
2. Встречи с экономическими агентами занимающихся анализом и предсказаниями в экономикеиз различных фирм.
Области: Математика, Экономика, Информатика,Инженерия.
Конечные продукты:1. Презентации результатов осуществленной
исследовательской деятельности на примере
конкретного экономического процесса, используя производные, обосновывая их применение ипредставляя соответствующие выводы.
2. Презентации Power Point.

3. Создание собственных фракталов, собственной
фрактальной музыки и др.
4. Использование приложения Geogebra (или других приложений и инструментов ИКТ) для моделирования продуктов с применением фракталов.
Области: Математика, Искусство, Музыка, Биология, Информатика.
Конечные продукты:1. Галерея
изображений/рисунки/фото-альбомы с замечательными фрактальными фигурами и фракталов вприроде.
2. Презентации Power Point/фильмы, в которых
представлены составленные фракталы.
3. Выставка созданных фрактальных фигур, фрактальной музыки.

4. Экскурсия в этнографический музей.
5. Встречи с молдавскими народными умельцами – создателями
молдавских национальных рубашек.
6. Создание собственной модели молдавской национальной женской/мужской рубашки.
Области: Математика, История, География, Информатика, Инженерия, Искусство.
Конечные продукты:1. Изображения/рисунки/фотографии коллекций молдавских женских и мужских рубашек с объяснениями значимости орнаментов.
2. Презентация, используя инструменты ИКТ, орнаментов для молдавских женских и мужских рубашек.

207

Дом моей мечты
Цели:
1. Определение роли Математики, Физики, Химии и Биологии в строительстве будущего дома.
2. Изготовление макета (реального или электронного) будущего
дома.
Области: Математика, Физика, Химия, Биология, Информатика, Инженерия.
Конечные продукты:1) Макет Дом моей мечты.
2) Выставка изготовленных макетов и других продуктов.
3) Презентации Power Point/Видео ролики.

II Семестр
Молдавский ковер (STEAM)Цели:
1. Определение геометрических фигур, используемых в дизайне
молдавских ковров.
2. Определение значимости орнаментов молдавских ковров.
3. Отбор и классификация молдавских ковров в зависимости от типов
использованных орнаментов.
4. Составление собственной модели ковра, используя геометрические фигуры.
5. Применение инструментов ИКТ для создания моделей ковров.
6. Экскурсии в музей молдавских ковров, на фабрику по изготовлению молдавских ковров.
7. Встречи с молдавскими народными умельцами – создателями
молдавских ковров.

I Семестр

Maтематика в кулинарии (STEAM)Цели:
1. Определение роли Математики в кулинарии.
2. Расчет количества ингредиентов для праздничного меню.
3. Определение роли геометрических фигур приизготовлении десертов.
Области: Математика, Кулинария, История, Инженерия, Биология, Химия, Физика, Искусство.
Конечные продукты:1. Праздничное меню, с указанием количества
ингредиентов.
2. Создание дизайна десерта, используя элементы
геометрии.

XГуманитарный профиль

Кредит для моего дома( STEM)Цель:Определение выгодности разных типов кредитов,предложенных банками в Республике Молдова.
Области: Математика, Экономика, Информатика.
Конечные продукты:1. Презентации результатов исследования кредитных систем на примере 3 банков, интерпретирование результатов и представление конечного
вывода о кредитовании.
2. Приведение примеров неудачного кредитования из практики, с анализом причин, и предложения для решения ситуации.

Класс

XII

208

XII

Кредит для моего дома (STEM)Цель:Определение выгодности разных типов кредитов,предложенных банками в Республике Молдова.
Области: Математика, Экономика, Информатика.
Конечные продукты:1. Презентации результатов исследования кредитных систем на примере 3 банков, интерпретирование результатов и представление конечного вывода о кредитовании.
2. Приведение примеров из практики о неудачном
кредитовании, с анализом причин, и предложениядля решения ситуации.

Дом моей мечты
Цели:
1. Определение роли Математики, Физики, Химии и Биологии в строительстве будущего дома.
2. Изготовление макета (реального или электронного) будущего
дома.
Области: Математика, Физика, Химия, Биология, Информатика, Инженерия.
Конечные продукты:1. Макет Дом моей мечты.
2. Выставка изготовленных макетов и других продуктов.
3. Презентации Power Point/Видео ролики.

Области: Математика, История, География, Информатика, Физика,Химия, Биология, Инженерия, Искусство.
Конечные продукты:1. Изображения/рисунки/фотографии коллекций молдавских ковровс объяснениями значимости орнаментов.
2. Презентация, используя инструменты ИКТ, орнаментов для молдавских ковров.
3. Выставка созданных моделей ковров.

БИБЛИОГРАФИЯ
1. Cadrul de referință al curriculumului național. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării Chișinău, Lyceum, 2017.
2. Cu privire la aprobarea Instrucțiunii privind managementul temelor pentru acasă,în învățământul primar, gimnazial și liceal, Ordinul Ministrului Educației, Culturii și
Cercetării, nr. 1249 din 22.08.18.
3. Educaţia centrată pe cel ce învaţă. Ghid metodologic. Coordonator Guţu Vl. Chişinău: CEP USM, 2009.
4. Educația centrată pe copil. Ghid metodologic. Coordonatori Callo T., Paniș A. Chişinău, “Print-Caro” , 2010.
5. Evaluarea criterială prin descriptori în învățământul primar. Clasa a 3-a. Ghid metodologic. Institutul de Științe ale Educației, 2017. 64 p.
6. Evaluarea în învăţămînt: orientări conceptuale. Ghid metodologic. Coordonatori:
Pâslaru V., Cabac V. Chişinău: I.Ş.E., 2002.
7. Metodologia privind implementarea evaluării criteriale prin descriptori. Clasa a 3-a.
Institutul de Științe ale Educației, 2017.
8. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Guţu Vl. Chişinău: CEP USM, 2009.
9. Referențialul de evaluare a competențelor specifice formate elevilor. Ministerul Educaţiei  al Republicii Moldova, Chișinău, 2014.
10. Repere metodologice privind asigurarea continuității la nivelul clasei a IV-a și aV-a din perspectiva implementării Evaluării Criteriale prin Descriptori. Ministerul
Educației, Culturii și Cercetării. IȘE, Chișinău, 2018.
11. Strategia Moldova Digitală 2020, publicată: 08.11.2013 în Monitorul Oficial Nr. 252257, art Nr : 963.
12. Achiri I., Anastasiei M., Solomon N. ş. a. Metodica predării geometriei în învăţămîntul preuniversitar. Chişinău: Lumina, 1997.
13. Achiri I., Bîrnaz N., Ciuvaga V. ș. a. Evaluarea curriculumului educațional. Aria curriculară: Matematică și științe. Chișinău: CEP USM , 2018.
14. Achiri I., Cibotarenco E., Solomon A. ş. a. Metodica predării matematicii. Vol. I., Chişinău: Lumina, 1992.
15. Achiri I., Gaidargi Gh., Turlacov Z. ş. a. Metodica predării matematicii în învăţămîntul preuniversitar, metodica predării algebrei şi elementelor de analiză matematică.
Vol. II. Chişinău: Lumina, 1995.
16. Achiri I. Jocuri didactice la matematică. Chişinău: Lumina,1990.
17. Achiri I. Sofisme matematice. Chişinău: Ştiinţa, 1992.
18. Cabac V. Evaluarea prin teste în învăţământ. Bălţi: Universitatea de Stat „Alecu
Russo”, 1999.

20919. Cartaleanu T., Cosovan O., Goraş-Postică V. ş. a. Formare de competenţe prin strategii didactice interactive. Chişinău: C.E. Pro Didactica, 2008.
20. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic
pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Ştiinţa, 2007.
21. Cartaleanu T., Lîsenco S., Sclifos L. ș. a. Formarea competențelor prin strategii didactice interactive. Chișinău: Centrul Educaţional PRO DIDACTICA, 2008.
22. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Ştiinţa, 2007.
23. Cristea S. Dicționar de pedagogie. Chișinău, Litera, 2000.
24. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Editura Uniunii Scriitorilor, Chişinău, 2004.
24. Guţu V., Pâslaru V. ş. a. Tehnologii educaţionale. Ghid metodologic. Ch.: Editura Cartier, 1998.
25. Minder M. Didactica funcțională. Obiective, strategii, evaluare (traducere). Chișinău,Editura “Cartier educațional”, 2003.
26. Кодекс об образовании Республики Молдова, Кишинэу, 2014 г.
27. Стандарты эффективности обучения. Mинистерство просвещения Республики Молдова. Кишинэу, Lyceum, 2012.
28. Таблицы по математике для лицея. Авторы: И. Акири, В. Чапа, Р. Копачеану,O. Шпунтенко, Chişinău, Cartdidactic, 2005, 2007.
29. Школьная дисциплина Математика. X-XII классы. Министерство образования, культуры и исследований Республики Молдова. Национальный куррикулум. Chişinău, 2019.
30. Сборники тестов для подготовки к:– выпускному экзамену по математике БАК. Акири И., Чапа В., Шпунтенко
О., Chişinău: Editura Prut, 2018;– выпускому экзамену по математике БАК. Акири И., Чапа В., Шпунтенко О.,Chişinău: Editura Lyceum, 2018.
31. Акири И., Брайков А., Шпунтенко О., Урсу Л. Математика. Пособие для учителя. V класс. Chişinău: Editura Prut Internaţional, 2010.
32. Акири И. Дидактика математики. Кишинэу: CEP USM, 2012.
33. Акири И. и др. Математика. Учебник для X класса. Chişinău: Editura Prut
Internaţional, 2013.
34. Акири И. и др. Математика. Учебник для XI класса. Chişinău: Editura Prut
Internaţional, 2014.
35. Акири И. и др. Математика. Учебник для XII класса. Chişinău: Editura Prut
Internaţional, 2016.
36. Акири И., Чапа В., Шпунтенко О. Математика. Гид по внедрению модернизированного куррикулума в лицейском образовании. X-XII классы. Chişinău:Cartier, 2010.
210

37. Райляну А., Акири И., Продан Н., Математика. В книге Математика и Естественные Дисциплины. Методологические гиды. V – IX классы, Chişinău, Grupul
editorial Litera, 2000.
38. Стойка А., Мустяцэ С. Проверка школьных результатов. Методологический
гид. Кишинэу, 2003.
39. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики:кн. для учителя. -М.: Просвещение, 2005.
40. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași: Polirom, 2013.
41. Cerghit I. Metode de învățământ, ediția a IV-a. Iași, Editura “Polirom”, 2006.
42. Neagu M., Achiri I. Evaluarea curriculumului școlar proiectat. Ghid metodologic.
Iași: Editura PIM, 2008.
43. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași, Polirom, 2013.
44. Cerghit I. Metode de învățământ, ediția a IV-a. Iași, Editura „Polirom”, 2006.
45. Ciolan L. Învățarea integrată. Iași: Polirom, 2008.
46. Potolea D., Neacş  I., Manolescu M. Metodologia evaluării realizărilor şcolare aleelevilor. Ghid metodologic general. București, 2011.
47. Radu I. T. Evaluarea în procesul didactic. Ed. a III-a Bucureşti: Editura Didactică şi
Pedagogică, 2007.
48. Vogler J. Evaluarea în învăţământul preuniversitar. Iaşi: Polirom, 2000, 204 p.
49. Ерешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: кн.
для учителя. М. Просвещение, 2005.
50. https://centruldeparenting.ro/copilul-tau-are-competente-stem-afla-care-suntacestea-si-cum-le-poti-dezvolta-prin-48-de-idei-distractive/
51. http://www.tribunainvatamantului.ro/stem-o-necesitate-in-stransa-conexiune-curealitatea/
52. https://creeracord.com/2018/10/26/rezolvarea-unei-probleme-stem-planul-delectie-nr-1-in-pbl/
53. https://www.schooleducationgateway.eu/ro/pub/latest/practices/steam-learningscience-art.htm
54. https://utm.md/blog/2016/10/12/prezentarea-conceptului-privind-educatia-stem/
55. www.didactic.ro56. https://www.didactic.ro/materialedidactice/probleme-de-tip-cascada.
57. https://ru.scribd.com/document/325217413/Probleme -de-Tip-Cascadă.
58. https://www.mathovore.fr/asie-2019-brevet-de-maths-avec-sujet-et-corrige
59. www.dexonline.ro
60. https://ru.wikipedia.org/wiki/Навык

211

212