高次元臨界ブラックホールの剛性問題
.
.
明浩

.

石橋

Cosmophysics Group

IPNS

KEK

Talk at Osaka City U. 6 June ’08

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKなぜ高次元時空を考えるのか？
基礎理論：力の統一の試み（ストリング理論 など）
現象論モデル：

ブレーン宇宙 / 大きな余剰次元

4 次元時空の理解： 次元をパラメーターとみなす
高次元理論の構築、物理的結論の導出⇒ 高次元ブラックホール研究

e.g., Black hole エントロピーの起源
LHC による高次元 Black hole 生成、Hawking 輻射

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKここでの目的と焦点

高次元一般相対性理論における定常ブラックホールの対称性

.
.
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

Outline
導入
イベントホライズン とキリングホライズン

4 次元ブラックホール：主要定理のおさらい
高次元ブラックホール：概観
高次元 “非臨界” ブラックホールの剛性
高次元 “臨界”（０温度）ブラックホールの剛性
まとめ

.
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

事象の地平面 (Event horizon)vs
キリング地平面 (Killing horizon)

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

宇宙のブラックホール

Black Hole ＝ 重力が強すぎて、光でさえ 逃れられない 領域
どこへ向って逃れることができないのか？

⇒

光にとっての 十分な遠方
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

一般相対性理論での
孤立系

十分遠方
= 漸近平坦性 ＋ 光的無限遠方"Time-like Infinity"

ity
in
nf

in
i
N
ul
lI
nf

lI

"STAR"

ul" Star "An isolated object

Nty

Observer's
world-line

Observer⇒ 計量の共形変換 ⇒因果構造を保ったまま、 無限遠石橋

明浩

を有限なページ上に (Penrose 図)
Cosmophysics Group IPNS KEK

一般相対性理論での孤立系

十分遠方 （弱い重力源のとき)= 漸近平坦性 ＋ 光的無限遠方
time-like infinity

in
fin

ity

nu
ll i

ll

nf
in
ity

nu

観測者の因果的過去は時間とともに大きくなり、 時間的無限遠 では時空全体となる⇒全てが見渡せる

通常の 星 からの光は全て null
infinity へ逃れる

observer's world-line
An isolated object

null infinity は 十分遠方の観測者 の理想化石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

一般相対性理論の 孤立系 （強い重力源のとき）十分遠方の観測者 の理想化
= 漸近平坦性 ＋ 光的無限遠方 ( I + : null infinity )

th
or
iz
ev
en

ity
in
nf

i
ll
nu

black holeonsingularity

observer's
world-line
十分遠方の観測者 I +からも 見渡せない領域 = Black Hole石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

一般相対性理論のブラックホール

定義:Black Hole =（時空全体）−

Event Horizon H

I + の因果的過去= Black Hole 領域の境界

Remarks:
定義より H は 光的超曲面：

H は 大局的な概念

外界と因果的に切り離される

局所的に特別な場所というわけではない石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK面積則:(Hawking 71)

物理的に妥当な条件の下で、Black Hole を考える
事象地平面の断面 Σ の面積 A は減少しない: δA > 0.
Remark:
熱力学第 2 法則との類似:
エントロピー S は減少しない: δS > 0
Question:⇒.
(Bekenstein 73)

平衡 熱力学系との対応は？(熱力学第０、第１法則は？)
定常

ブラックホール: (ダイナミクスの終状態)

時空対称性（を生成する Killing vector）と結びついた
ホライズンの概念（局所的な記述）必要石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

定常時空:
少なくとも無限遠方で 時間的 Killing vector 場 ta があり∇a tb + ∇b ta = 0
その軌道が完備（i.e., ta が時空等長変換群を生成している）

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKBlack Hole の局所的な特徴付けへ向けて例:

静的（定常性の特別の場合）計量

ds2 = −(1 − rH /r)dt2 +dr2+ r2 dΩ2 :1 − rH /r

rH = const

静的観測者 ta = (∂/∂t)a は、加速運動:tc ∇c ta = κ(r)(∂/∂r)a
加速度: κ(r)

特別な光的超曲面 N ：r → rHtc ∇c ta = κ(rH )taon N– Killing vector ta は N に対して、接 かつ 垂直– κ = κ(rH ): N の 表面重力 = （加速度）× （赤方偏移）

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKKilling Horizons
定義::⇔

光的超局面 N がキリング地平 (ホライズン)
時空に軌道が完
備な Killing vector K a が存在し、K a が N に対して 垂直

N の表面重力 κ:⇔ 以下の式に従う N 上の関数
∇a (K b Kb ) = −2κK a · · · · · · (∗)

Remarks:•- Eq. (∗)⇔ K b∇bK a = κK a•- キリング地平 N は事象地平面 H とは独立な概念

石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKMinkowski spacetime with its “top” removed:

ll
nu
ity
fin
in

cut here

Minkowski spacetime

in

n

ity

fin

o
riz
ho
t
en

ll

nu

"black hole"xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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xxx
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xx
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x
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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x
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xx
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xxxxx
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xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xx

ev

Rindler horizon

The Rindler horizon is a Killing horizon, but the ”event horizon” is not石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKMulti extreme charged black holes in de Sitter space(Kastor-Traschen 93)
1
ds = − 2 dt2 + e2Ht U 2 dx2 ,
U
2

Xµ
U :=
1+
i

Mi
e−Ht |x − xi |¶The event horizon of two extremal black holes in de Sitter
space is not a Killing horizon
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

その他の局所的な特徴付け
Apparent Horizon

大雑把には、その面に垂直で外向きの
光的測地線束の膨張率がゼロとなる様な、向き付け可能な２次元閉局面

外向きの光的測地線に沿って、閉曲面の面積が変わらない

C.F., 平坦な時空では、球面の面積は外向きに大きくなる
妥当な条件の下、一般に Event Horizon の内側に隠される石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKStationary Black Holes in D = 4 General Relativity

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKBlack Hole 熱力学
知られている定常 BH 厳密解の事象地平面は Killing ホライズン
定常 Blak Hole 力学 (Bardeen, Carter & Hawking 73)

Killing ホライズンに対して
κ = const. ,δM =1κδA + ΩH δJ
8π

M : 質量, κ: 表面重力, ΩH : ホライズン角速度, J: 角運動量

⇒ 平衡熱力学第 0、第 1 法則 と対応
T = const. ,量子効果

δE = T δS + work term

⇒ 温度の決定 T = κ/2π (Hawking 75)
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKBlack Hole 熱力学と定常 Black Hole の一意性定理
定常ブラックホールが平衡熱力学系と対応するなら、いくつかの少数のパラメーターで完全に特徴付けることが可能なはず．
．
．
一意性（No Hair ）定理:

(Israel-Carter-Robinson-Mazur-Bunting-Chrusciel)

真空または高々電磁場を含む、正則で定常な Black Hole 解は、その質量 M 、電荷 Q、角運動量 J で一意に定められる

真空で回転している Black Hole⇒ Kerr 解.
我々の宇宙の Black Hole は（その材料や形成過程の詳細はともかく）
その最終（定常）状態は Kerr 計量でよく記述される
.

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

定常 Black Hole 一意性定理

一意性定理: （Uniquness /No Hair Theorem ）真空または高々電磁場を含む、正則で定常な Black Hole 解は、その質量 M 、電荷 Q、角運動量 J で一意に定められる

真空回転 Black Hole⇒ Kerr 解.

我々の宇宙の Black Hole 終状態は Kerr 計量でよく記述される.
事象地平面について、断面の 形 に関するトポロジー定理 と対称性 に関する剛性 (Rigidity) 定理 の結果をつかって証明石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKNo hair 定理とトポロジー定理

トポロジー定理:(Hawking 73 Chrusciel & Wald 94)

物理的に妥当な条件の下で事象地平面（連結成分）の空間的断面 Σ は 2 次元球面と同相

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK.

Black Ring ?

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKNo hair 定理と Black Hole 剛性定理
対称性・剛性定理: (Hawking 73)
定常 Black Hole の事象地平面 H は Killing ホライズン N となるもし、その Black Hole が回転していれば、時空は 軸対称性 も持つ

Remarks:.

定常性を保つ事への特別ボーナスとして軸対称性もいただく⇒ 対称性の数だけ Einstein 方程式を予め積分可
剛性

⇒

.

Black Hole 温度一定 ⇒ Black Hole 熱力学の基盤

トポロジー定理の結果を使って証明

石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

Summary: Black holes in 4D general relativity
Asymptotically flat stationary BHs in 4-dimensions
Exact solutions
Stability··················

Stablee.g., Kerr metric⇒ final state of dynamics

Topology·········

Cross-sections

Symmetry·········

Rigid

Uniqueness·········⇒ static or axisymmetric

Vacuum·········

BH Thermodynamics≈ 2-sphere⇒ Kerr-metricquantum aspects

Which properties of 4D BHs are extended to D > 4?
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKBlack Holes in D > 4 General Relativity

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKAsymptotically flat stationary D > 4 BHs

Exact Solutions·········

石橋明浩

much larger variety

Cosmophysics Group IPNS KEKAsymptotically flat stationary D > 4 BHs

Exact Solutions
Stability··················

石橋

much larger variety

not fully studied yet

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKAsymptotically flat stationary D > 4 BHs

Exact Solutions·········

much larger variety

Stability·········

not fully studied yet

Topology·········

more varieties

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKAsymptotically flat stationary D > 4 BHs

Exact Solutions·········

much larger variety

Stability·········

not fully studied yet

Topology·········

more varieties

Uniqueness·········

石橋明浩

not unique!

Cosmophysics Group IPNS KEKAsymptotically flat stationary D > 4 BHs

Exact Solutions·········

much larger variety

Stability·········

not fully studied yet

Topology·········

more varieties

Uniqueness·········

BH Thermodynamics

石橋

not unique!
·········

明浩

generalize to D > 4

Cosmophysics Group IPNS KEKAsymptotically flat stationary D > 4 BHs

Exact Solutions·········

much larger variety

Stability·········

not fully studied yet

Topology·········

more varieties

Symmetry·········

This talk

Uniqueness·········

BH Thermodynamics

石橋

not unique!
·········

明浩

generalize to D > 4

Cosmophysics Group IPNS KEKExact solutions in D > 4

Static spherical holes in ∀D > 4(Tangherlini 63)

Stationary rotating black holes in ∀D > 4•– Topology ≈ S(Myers-Perry 82)

D−2•– [(D − 1)/2] independent spins•– D > 6, No upper-bound on J

∃ horizon ⇔ 0 = g

石橋

rr

明浩

⇒ “ultra-spinning”¶µ
GM(Ji /M )2− D−3= Πi 1 +2rr

Cosmophysics Group IPNS KEKExact solutions in D > 4
Surprise in D > 4 !
Rotating black-rings in D = 5(Emparan-Reall 02)– Topology of the horizon ≈ S 1 × S 2– 3-commuting Killing fields Isom: R × SO(2) × SO(2)– not uniquely specified by global charges (M, J1 , J2 )石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKPhase diagram of 5D Black-Hole and -Rings

1 black-hole and 2 black-rings with the same (M, J1 , J2 = 0)

Uniqueness theorem no longer holds as it stands
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKExact solutions in D > 4•– Solutions akin to Emparan-Reall’s ring (M, J1 6= 0, J2 = 0)
Black-ring w/ two angular momenta (M, J1 6= 0, J2 6= 0)(Pomeransky & Sen’kov 06)(Hollands & Yazadjiev 07, Morisawa-Tomizawa & Yasui 07)•– Concentric multi-black solutions:Black di-rings (“ring” + “ring”) (Iguchi & Mishima 07)
Black-Saturn (“hole” + “ring”) (Elvang & Figueras 07)
Orthogonal-di-/Bicycling-Rings (“ring” + “ring”)(Izumi 07 Elvang & Rodriguez 07)

石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKBlack holes and rings on various manifolds
MP in AdS or dS

e.g., (Gibbons, Lu, Page, Pope 04)– on Gibbons-Hawking e.g. (BMPV 97, Gauntlett-Gutowski-Hull-Pakis-Reall 03)– on 4-Euclid space e.g. (Elvang-Emparan-Mateos-Reall 04)– on Kaluza-Klein– on Eguchi-Hanson– on Taub-NUT– on Göedele.g., (Ishihara, Kimura, Matsuno, Nakagawa, Tomizawa 06-08)

Black-branes

石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

高次元 Black Hole の課題
高次元では 一意性定理 が成り立たず、多様なブラック
ホール厳密解が存在する（今後も見つかっていくだろう）
課題： 厳密解の分類、解の持つべき一般的性質、系統的理解.

どんな “形”（トポロジー）が可能か？

. 高次元ブラックホールは、はたして安定か？
I 対称性の観点から解の多様性を制限できないか？
I 高次元での Black Hole 熱力学対応は？
J 高次元では Black Hole 剛性は成り立つのか？

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

Rigidity of D > 4 black holes

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

Symmetry properties of black holes
Assertion:(1) The event horizon of a stationary, electro-vacuum BH
is a Killing horizon(2) If rotating, the BH spacetime must be axisymmetric.
The event horizon is rigidly rotating with respect to null infinity· · · Black Hole Rigidity
.
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

剛性定理の高次元への拡張の問題点

4 次元の場合 での Hawking の証明はEvent Horizon の断面 Σ が 2 次元球面である事が本質的⇒ 定理の高次元 D > 4 への拡張は、まったく非自明
目標: BH Rigidity Theorem in D > 4
次元や、Event Horizon のトポロジーに依らない証明

石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

Brief sketch of proof of Theorem 1

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKSketch of Proof of Step 1
先ずホライズン上で “候補” となる Killing field K a を見つけようKΣt

候補としての資格

K a Ka = 0 and £t K a = 0 on H

H

£K gab = 0 (Killing eqn.) on H
α = const. (K c ∇c K a = αK a ) on H

S

Try this one ! K a = ta − S a

勝手に選んだ 断面 Σ と候補となる K a石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK.
.
問題： 断面 Σ を勝手に選んできたのでは、α は定数にならない.

α̃ = const. =: κ となる様な “正しい” K̃ a を見つけたい

K
K

Σ

H

Σ

課題: 任意の断面 Σ から “正しい”断面 Σ̃ への変換をみつけるt−S a Da f (x) + α(x)f (x) = κSK̃ a = f (x)K a

S

変換のための方程式を解くときに時空次元、トポロジーが重要な役割を果たす

K a + S a = ta = K̃ a + S̃ a石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

4 次元の場合の証明の要 Hawking 73
4 次元では, ホライズンの断面 Σ は必ず2-球面的なため、S a の軌道は Σ 上で必ず閉じる

fixed point

解きたい微分方程式を S a の閉じた軌道に沿って積分することで有界な解を求めることが出来る
例えば、表面重力（温度）κ

Γ( p )

H1
κ(x) =
P

Σ

P : 周期p ΣZ P
α[φs (x)]ds0κ = const も示せる

..
石橋

明浩

は

Cosmophysics Group IPNS KEK

高次元 D > 4 での問題点⇒

一般に S a の軌道は Σ 上で閉じない方程式の解（すなわち、S a の.
軌道に沿った積分）の存在は保障されない.
.

例, 5D Myers-Perry BH w/ 2-rotations Ω(1) , Ω(2) :Σ ≈ S3 ,ta = K a + S a

S a = Ω(1) ϕa(1) + Ω(2) ϕa(2)それぞれの回転 Killing vector ϕa は閉じた軌道をもつ
しかし、Ω(1) /Ω(2) が無理数なら、線形結合 S a の軌道は閉じない石橋明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

高次元 D > 4 での証明:
S a の軌道が閉じない場合(Hollands, AI & Wald 07)⇒ エルゴード定理を利用しよう！
.

.
– Ergodic theorem guarantees the limit “κ(x)” exists
Z T
0

.

1
κ (x) := lim
T →∞ T∗

α[φs (x)]ds(1)– Einstein’s equations yields κ∗ (x) is a constant, κ so that1
T →∞ T

Z T

lim

0

α[φs (x)]ds = κ =“time-average”

石橋

明浩

1
Area(Σ)Z
α(x)dΣ
Σ“space-average”

Cosmophysics Group IPNS KEKもう少し具体的に

H

λ = const. lines H

U = const. lines
石橋

ホライズン H の近傍 O で便利な座標系
Gaussian-Null-Coordinates (GNCs)xµ = (U, λ, θA ) を導入する

λ: null geodesics affine parameter
Event horizon H: λ = 0

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEK

Gaussian-Null-Coordinates (GNCs)
In GNCs xµ = (U, λ, θA ) the metric takes the form
ds2 = 2dU dλ − 2λαdU 2 − 2λβA dθA dU + γAB dθA dθB.
The event horizon H is at λ = 0
K a := (∂/∂U )a satisfies
Ka K a = O(λ) ,.
K c ∇c K a = α(x)K a + O(λ)

So, if K a is a Killing field and α(x) is constant,⇒ α will be the “surface gravity”
石橋

明浩

Cosmophysics Group IPNS KEKco.
断面 Σ を勝手に選んできたのでは、α は定数にならない

K

Σ

H

Σ

t

.

K

.

任意の断面 Σ から “正しい” 断面 Σ̃ への変換をみつけたいS

GNCs (U, λ, θA ) を使うと、断面 Σ は
U = const.-surface と指定される

S

課題: 任意に選んだ GNCs (U, λ, θA ) から、α̃ = const. = κ となる様な “正しい GNCs (Ũ , λ̃, θ̃A ) への変換を見つける石橋明浩

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解くべき方程式は K̃ a = F (x) · K a ,(1) · · ·(2) · · ·K̃ c ∇c K̃ a = κK̃ a , κ 6= 0 として£S F (x) = α(x)F (x) + κ · · · 正しい K̃ a
F∗
£S Ũ = 1 −· · · 正しい 断面 Σ̃ と座標系 {x̃µ }F (x).

Eq. (1) は、Ergodic theorem と Einstein’s equation
1(3) · · · DA α = − £S βA
2

on H

.

を使って解ける。 以下の形式解が well-definedZ ∞F (x) = κP (x, T )dT ,
0

µ Z T
¶
P (x, T ) = exp −α[φs (x)]ds

十分に大きな T に対して ∀² > 0, P (x, T ) < e(²−κ)T < ∞石橋

明浩

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Solution to Eq. (2):
Eq. (2) は、Eq. (1) と合わせて、£S Ψ = α(x) − κ

ここで Ψ ≡ log F (x) − κŨ1Einsten equation DA α = − £S βA on H
2
µ
¶
1 A
A
£S D DA Ψ + D βA = 0
2
従って Σ 上で

1
D A DA Ψ = − D A β A
2

これは解ける!

.
を使って.

の解をもとめればよい。

よって Ũ 、即ち、新しい GNCs x̃µ = (λ̃, Ũ , x̃A ) が求められた。

石橋

明浩

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臨界 (κ = 0) ブラックホールの場合の問題点(1) · · ·(2) · · ·κ= α(x)F (x)F∗£S Ũ = 1 −F (x)£S log F (x) +臨界 κ = 0 のとき、Eq. (1)、(2) は同じ構造:£S Ψ = J(x)Eq. (1) は Einstein’s equation

1
DA α = − £S βA
2on H を使って解ける

しかし Eq. (2) は、右辺に α(x) を含まないので、Einstein’s equation
をうまく利用して解くことが出来ない

C.f.,for κ 6= 0,

Ψ := log F (x) − κŨ ,石橋

明浩

J := α(x) − κ

Cosmophysics Group IPNS KEKMust a D > 4 Extremal BH be Rigid?

石橋

明浩

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Towards Rigidity Proof of D > 4 Extremal BHs
Facts:
S a —projection of ta on a cross-section Σ—generates Abelian
Lie-group, G, of isometries, φS on a compact space Σ
Closure of G must be in the isometry group of (Σ, γAB ) andisomorphic to a N -torus ≈ U (1)N with N = dim(Ḡ)
aHence there exist Killing vector fields ψ1a , . . . , ψNon (Σ, γab )aa
S a = Ω(1) ψ(1)+ · · · + Ω(j) ψ(j)for some numbers Ω := (Ω1 , . . . , ΩN ) ∈ RN
When the orbits of S a are not closed, N > 2 and Ωi /Ωj 6= Q for
all i 6= j石橋

明浩

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LemmaLet J be a real analytic function on Σ with the property that1
T →∞ TZ T

0 = limJ ◦ φτ (x) dτ .
0Let Ω = (Ω1 , . . . , ΩN ) ∈ RN satisfy the following condition:
There exists a q > 0 such that|Ω · m| > |Ω| · |m|−qholds for all but finitely many m ∈ ZN . Then
£S Ψ = J
has a real analytic solution Ψ on Σ.

石橋明浩

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Key point of the proof
Let J(x, m) be the Fourier coefficients of J:£S J(x, m) = −im · ΩJ(x, m)
Then,

X

Ψ(x) = im∈ZN \0J(x, m)m·Ω

formally solves£S Ψ = J(x)The condition |Ω · m| > |Ω| · |m|−q gurantees uniform bound|Ψ(x)| 6

X
m∈ZN \0const.e−c|m|const.
6
m·Ω
|Ω|

X

|m|q e−c|m| < ∞m∈ZN \0Therefore the formal solution Ψ constructed above makes sense
石橋

明浩

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Rigidity of D > 4 Extremal BHs:

(Hollands & AI in progress)

Theorem:
Consider an analytic solution to the vacuum Einstein equations
containing a stationary black hole of with extremal horizon κ = 0.
Let Ω = (Ω1 , . . . , ΩN ) be the angular velocities associated withprojection S a of ta onto Σ.
If these satisfy the condition, called Diophantine condition|Ω · m| > |Ω| · |m|−qfor some q > 0 and for all but finitely many m ∈ ZN , then there exists
a Killing field K a whose orbits are tangent to the null-generators of H.
Thus, H is a Killing horizon
Using this result, we can also obtain Axi-symmetry Killing fields, φai
石橋

明浩

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Remarks:
We need to impose two technical assumptions:
Analyticity
Diophantine condition: ∃q > 0 such that |m · Ω| > |Ω| · |m|−qe.g.,∃q > 0

s.t.,

¯
¯
¯ Ωi
mj ¯¯
1
¯
¯ Ωj − mi ¯ > mqi

In mathematics, it is well-known that
The diophantine condition holds for all Ω = (Ω1 , . . . , ΩN ),except for a set of Lebesgue measure zero(i.e., when Ωi /Ωj for i 6= j are Liouville numbers)
石橋

明浩

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ブラックホール剛性定理：まとめ
Staticity Theorems と組み合わせると高々電磁場を含む D > 4 定常、非臨界（有限温度）ブラック
ホールは静的 であるか、又は 軸対称 である

臨界(温度ゼロ κ = 0 ) ブラックホールの剛性：
ほぼ間違いなく成立.
.

定理が証明できない場合が存在するが、その様な特別な状況は
回転ブラックホール解のパラメータ空間の中で測度ゼロ

石橋明浩

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Summary

石橋

明浩

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Summary: Stationary BHs in D > 4 General Relativity···

Exact Solutions

much larger variety

Rotating Holes (Myers & Perry 86) Rotating Rings (Emparan & Reall 02) & many

Stability···

not fully studied yet

Static vacuum ⇒ stable (AI & Kodama 03)
Rotating holes ⇒ only partial results:
Special case (e.g., Kunduri-Lucietti-Reall 06, Murata-Soda 08)

Topology···

more varieties

Symmetry

···

rigid

Uniqueness···non-uniqueSome restrictions, (Galloway & Schoen 05)(Hollands, AI & Wald 07 Hollands & AI)

Hole and Rings w/ the same (J, M )Static holes: e.g., (Gibbons, Ida & Shiromizu 02)
Uniqueness in 5D rotating holes/rings (Morisawa-Ida 04, Hollands & Yazadjiev 07)(Morisawa, Tomizawa & Yasui 07)

BH Thermodynamics · · ·石橋

明浩

generalize to D > 4 e.g. (Rogatko 07)
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