数理解析研究所講究録 1250 巻 2002 年 56-71

56
ヒルベルト空間の中の 4 個の部分空間の配置問題
九州大学数理綿谷安男 (Yasuo Watatani)

Graduate School of Mathenlatics, Kyushu University
甲子園大学経営情報

榎本雅俊 (Masatoshi Enomoto)College of Business Administration and lnformation Science.
Koshien University

1

動機と我々の枠組み
動機

この論説では、 ヒルベルト空間の中の閉部分空間の配置問題を扱う。
ヒルベルト空間 の中の 1 個の部分空間 の配置は、 (codimE)により、 決定される。 ヒルベルト空間 の中の 2 個の部分空間のと配置は を、 と の 2-subspaces で分解すると、$\mathrm{H}$$\mathrm{E}$$\dim \mathrm{E},$$\mathrm{H}$$\mathrm{H}$$\mathrm{E}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{F}$

H=(E\cap F)\oplus (E\cap Fl)\oplus (El\cap F)\oplus (El\cap F\perp )\oplus (残り)より、
$E=(E\cap F)\oplus(E\cap F^{[perp]})\oplus 0\oplus 0\oplus Im(\begin{array}{ll}\mathrm{l} 00 0\end{array})$$F=(E\cap F)\oplus 0\oplus(E^{[perp]}\cap F)\oplus 0\oplus Im(\begin{array}{ll}c^{2} cscs s^{2}\end{array})$の形から、 unitary の枠内で完全に決定される。
\leftar ow \leftar ow の 2 個の場合を、群の表現で見ると、 $e=Proj(E),$ $f=Proj(F)$ と

して、
り、 2

$(\mathrm{E}, \mathrm{F})$$’\supset$の組と、 symmetry $(2e-1,2f-1)$ を対応させることにょの部分空間の組の集合と、合とが一対一に対応する。

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}*\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=G_{2}$の unitary 表現集

57
3 個以上\emptyset 場合に、群$G_{n}--\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}*\cdots*\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$は、 type I でない、 non-amenable 群である。 従って、 その unitary 表現の分類は困難である。 そまり、 分類を位相ベクトル空
こで、 unitary 性を弱めることを考える。
$’\supset$間として ($D$ 同値性から考えようという$\text{の}$が、 そもそも \emptyset 動機である。

枠組
に対しまず、 無限次元ヒルベルト空間 の中の部分空間て、 順序付けられた組 $S=(H;E_{1},$ , E\mapsto を考え、これを、 n-subspace
問 同値関係として、 unitary 性
system ということにする。 こ もよりも弱く次をおく。
定義 Ll$E_{1},$$\mathrm{H}$$E_{2},$$\cdots,$$E_{n}$$\cdots$$\text{の}$$\text{のの}$$\text{の}$-subspace system $S=(H;E_{1}, \cdots, E_{n})$ と $S’=(H’;E_{1}’, \cdots, E_{n}’)$と $S’$ が (同配置) 同値である $(S\cong S’)$ とは、 ある有界可逆に対して、
作用素 $T:Harrow H’$ が存在して、 $T(E_{i})=E_{i}’(\forall i=1, \cdots, n)$ をみたすとき$2^{\vee}\supset \text{の}\mathrm{n}$

$S$

をいう。
注意 L2
を、 ヒルベルト空間、とするとき、 A には、標準的に、
4-subspace system $S_{A}=(H;E_{1}, \cdots, E_{4})$ が、 次のように、 対応する。
$\mathrm{K}$$\mathrm{A}\in \mathrm{B}(\mathrm{K})$$H=K\oplus K,$ $E_{1}=K\oplus 0,$ $E_{2}=0\oplus K,$ $E_{3}=\{(x\oplus Ax)|x\in K\}$
$E_{4}=\{(x\oplus x|x)\in K\}$,.

このとき、 $A,$ $B\in B(K)$ に対して、 $A\cong B$ (similar), つまり、 ある$V\in B(K)$ (有界可逆作用素) が存在して、 $VAV^{-1}=B$ であることと、であることとは同{直である。 (何故なら, $S_{A}\cong S_{B}$ とすると、ある$T\in B(K\oplus K)$ が存在して、 $T(E_{i})=E_{i}(i=1, \cdots, 4)$ である。 $T(E_{1})=E_{1}$$S_{A}\cong S_{B}$より、 $T(K\oplus 0)=K\oplus 0$ から、$(\begin{array}{ll}T_{1} T_{3}T_{4} T_{2}\end{array})$として、る。 $T(E_{2})=E_{2}$ より、 $T(0\oplus K)=0\oplus K$ から、$(\begin{array}{ll}T_{1} T_{3}0 T_{2}\end{array})$$(\begin{array}{ll}T_{1} 00 T_{2}\end{array})$の形となの形となる。

また、 $T(E_{4})=E_{4}$ より、 $T(x\oplus x)--y\oplus y$ より、 $T_{1}x\oplus T_{2}x=y\oplus y$ から、$T_{1}x=T_{2}x$ を得て、 $T_{1}=T_{2}$ を持つ。 これを $V$ とおくと、 $(V\oplus V)(E_{3})=E_{3}$から、 $(V\oplus V)(x\oplus Ax)=Vx\oplus VAx=(y\oplus By)$ より、 $BVx=VAx$
より、 $B=VAV^{-1}$ となる。 このように、 4-subspace systems の同 (直性は、 operators の similarity の概念を、 一般化したものとなっている。
注意 L3$\mathrm{n}$$S$-subspace systems$S$と $S’$ が、 similar (同配置同{直) であることと、と、 $S’$ から、 決まる表現$\pi_{\mathrm{S}}$と$\pi_{\mathrm{S}’}$が、 similar であることとは、 同じ

58
ではない。

-subspace systems の分類を考える上で、基本となる building block として、 indecomposable なものを、 以下のように定義する。
定義 1.4
2 つの -subspace systems $S=(H;E_{1},$ , E\mapsto と $S’=(H’;E_{1}’, \cdots, E_{n}’)$$\mathrm{n}$$\cdots$$\mathrm{n}$の直和を、 $S\oplus S’=(H\oplus H’;E_{1}\oplus E_{1}’, \cdots, E_{n}\oplus E_{n}’)$ で定義する。
定義 L5-subspace system $S$ が、 decomposable system であることを、 あるゼと S2 が存在して、 $S\cong S_{1}\oplus S_{2}$ロでない 2 つの -subspace systemsとなることとする。
$S$ が、
decomposable であることは、 次の形でも述 ることができる。
命題 L6$S=(H;E_{1},$, E\mapsto が、 decomposable であるということ [ま、 ある閉部
分空間 $H_{1}\neq(0),$ $H_{2}\neq(0)$ が、 存在して、$\mathrm{n}$$S_{1}$$\mathrm{n}$$\wedge^{\backslash }\backslash$$\cdots$$H_{1}+H_{2}=H,$ $H_{1}\cap H_{2}=(0),$ $E_{i}=E_{i}\cap H_{1}+E_{i}\cap H_{2}(\forall i=1, \ldots, n)$

を、 満たすことである。

定義 1.7-subspace system $S$ が、 indecomposable system であると [ま、 $S$ が、
decomposable でないときをいう。
同配置同値を projections の言葉を使って書くと、 次になる。
命題 L8$S=(H;E_{1},$, E\mapsto と $S’=(H’;E_{1}’, \cdots, E_{n}’)$ を、 2同配置同値な nsubspace systems とする。 $P_{i}=Proj(E_{i}),$ $P_{i}’=Proj(E_{i}’)$ ( $\forall i=1,$ , n)、とおく。 このとき、 ある可逆作用素 $a\in B(H, H’)$ が、存在して、$\mathrm{n}$$\cdots$$’\supset \text{の}$$\ldots$$P_{i}=(a^{-1}P_{\acute{i}}a)P_{i}$かつ、 $P_{i}’=(aP_{i}a^{-1})P_{i}’(\forall i=1, \ldots, n)$が成立する。
作用素論におけるように、 similar 性よりも弱い同値性として、 quasi 同配置同値を、 次により、 -subspace systems に導入できる。
定義 L9
2 つの -subspace system $S=(H;E_{1},$ , E\mapsto と $S’=(H’;E_{1}’, \cdots, E_{n}’)$に対して、 $S$ と $S’$ が quasi 同配置同値である $(S\sim S’)$ とは、 ある $T\in$$B(H, H’),$ $S\in B(H’, H)$ が存在して、 $KerT=KerS=0$ かっ、$\mathrm{n}$$\cdots$$\mathrm{n}$$\overline{R(T)}=$$H’,$ $\overline{R(S)}=H$, かつ、$T(E_{i})\subset E_{i}’(\forall i=1, \ldots, n),$ $S(E_{i}’)\subset E_{i}(\forall i=1, \ldots, n)$を、満たすことである。

,

59
命題 1.10-subspace systems に対して、 同配置同{直により、 indecomposability
は、 移り合うが、 quasi 同配置同値では、 一般に、 indecomposability は、$\mathrm{n}$移り合わない。
以上の枠組で、 無限次元ヒルベルト空間における、 indecomposable nsubspace systems を、 考察の対象とするのが我々の目的である。

2Gelfand と Ponomarev の結果
次に、 我々のモデルとなる有限次元ベクトル空間における Gelfand とPonomarev による有名な仕事を要約しておこう。
Gelfand と Ponomarev は、 1970 年に、 有限次元ゝクトル空間におけるのときまで、
indecomposable -subspace systems を考え、 それを、$\mathrm{n}=4$$\mathrm{n}$完全決定した。 彼らの結果は次の通りである。
のとき、(1)$\mathrm{n}=1$$S\cong(H;E_{1}),$ $dimH=1$ で、 $dimE_{1}=0$ が 1。

(2)$\mathrm{n}=2$$S\cong$(3)( $H;E_{1}$ , E2), $dimH=1$ で、 $dimE_{i}=0$ が 1 $(i=1,2)$$\mathrm{n}=3$$S\cong$

のとき、
。

のとき、

( $H;E_{1},$$E_{2}$, E3), $dimH=1$ で、 $dimE_{i}=0$ が 1 $(i=1,2,3)$ であるか、$S\cong(\mathbb{C}\oplus \mathbb{C};\mathbb{C}(1\oplus 0), \mathbb{C}(0\oplus 1),$$\mathrm{n}=4$$\mathbb{C}(1\oplus 1))$である。

のとき Gelfand と Ponomarev I ま、 4-subspace systems $S$ (こ対して、次の defect と呼ばれる量 $\rho(S)$ を定義した。

$\rho(S)=\sum_{i=1}^{4}dimE_{i}-2dimH$.

を示して、 そ
このとき、 彼らは、 この不変量の値域が、 $\{0, \pm 1, \pm 2\}$の値に従って、 indecomposable 4-subspace systems を以下のように、 分類した。
である場合、 及び、(a) 全体空間が、 偶数次元(b) 全体空間が、 奇数次元 $(2\mathrm{k}+1)(\mathrm{k}=0,1,2,\cdots)$ の場合は、 次の通りで$(2\mathrm{k})(\mathrm{k}=1,2,\cdots)$ある。

(添え字の置き換えで、 同じものは同一視している。 )(a) 全体空間$\mathrm{H}$が、偶数次元の場合の分類

60
以下で、

を、 $H$ の CO $NS$ とする。
defect が (-1) のとき、 次の形のものと同値である。

$\{e_{i}, f_{i}\},$(a の 1)$i=1,$$\cdots,$$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, f_{1}, \cdots, f_{k}]$$E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}],$$k$,$E_{4}=[e_{1}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k}]$,$E_{3}=[e_{2}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k-1}]$$E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}],$,defect が $(+1)$ のとき、 次の形のものと同値である。

(a の 2)$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$$E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}],$$E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}],$$[e_{1}, (e_{2}+f_{1}), \cdots, (e_{k}+f_{k-1}), f_{k}],$$E_{4}=[e_{1}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k}]$$E_{3}=$.

defect が 0 のとき、 (パラメータなし)、 次の形のものと同(a の 3)値である。

$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$$E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}],$$E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}],$$[e_{1}, (e_{2}+f_{1}), \cdots, (e_{k}+f_{k-1})],$ $E_{4}=[e_{1}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k}]$defect が 0 のとき、 (パラメータ(a の 4)$\lambda$$E_{3}=$.

つき)、 次の形のものと同値である。

(ここで、$[e_{1}, \cdots, e_{k}],$$\lambda\in \mathbb{C},$$\lambda\neq 0,1$である。 ).

$E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}],$$E_{3}=[(e_{1}+\lambda f_{1}),$ $(e_{2}+f_{1}+\lambda f_{2}),$$f_{k-1}+\lambda f_{k})],$ $E_{4}=[e_{1}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k}]$(b) 全体空間$\mathrm{H}$$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$ $E_{1}=$$\cdots,$$(e_{k}+$.

が、奇数次元の堝合の分類

以下で、 $\{e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}, f_{1}, \cdots, f_{k}\}$ , を、
( の 1)
defect が (-1) のとき、$\mathrm{H}$のCONS とする。

$\mathrm{b}$$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$ $E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}],$$,$$E_{3}=[(e_{2}+f_{1}), \cdots, (e_{k+1}+f_{k})],$($\mathrm{b}$の 2)$E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}]$$E_{4}=[e_{1}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k}]$.

defect が $(+1)$ のとき、

$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$ $E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}],$$E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}]$, $E_{3}=[e_{1}, (e_{2}+f_{1}), \cdots, (e_{k+1}+f_{k})],$ $E_{4}=[e_{1}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k}, e_{k+1}]$ .
( の 3) defect が 0 のとき.
$\mathrm{b}$$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$ $E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}],$,$=[e_{1}, (e_{2}+f_{1}), \cdots, (e_{k+1}+f_{k})],$ $E_{4}=[e_{1}+f_{1}, \cdots, e_{k}+f_{k}]$$E_{3}$($E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}]$$\mathrm{b}$

の 4)

.

defect が (-2) のとき、,
$E_{3}=[(e_{2}+f_{1}), \cdots, (e_{k+1}+f_{k})],$ $E_{4}=[e_{1}+f_{2}, \cdots, (e_{k-1}+f_{k}), (e_{k}+e_{k+1})]$ .
( の 5)
defect が $(+2)$ のとき、
$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$$E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}],$$E_{2}=[f_{1}, \cdots, f_{k}]$$\mathrm{b}$$H=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}, f_{1}, \cdots, f_{k}],$$f_{k},$$,$$e_{k+1}],$$E_{3}=[e_{1}, (e_{2}+f_{1}), \cdots, (e_{k+1}+f_{k})],$, $(e_{k-1}+f_{k}),$ $(e_{k}+e_{k+1})]$ .

$E_{2}=[f_{1},$$\cdots$$E_{4}=[f_{1},$ $(e_{1}+f_{2}),$$\cdots$$E_{1}=[e_{1}, \cdots, e_{k}, e_{k+1}],$

61(Gelfand と Ponomarev のアイディア)
Gelfand と Ponomarev は、 この証明のために、 -subspace systems $S=$とを導入
( $H;E_{1},$ , E\mapsto の全体を考える。道具として、 2 個の変換する。それは、 -subspace systems を、 -subspace systems $S^{+}=\Phi^{+}(S)$とは、 次の性質を持つ。
, $S^{-}=\Phi^{-}(S)$ に動かす。
(1) -subspace systems が、 indecomposable とする。このとき、と(ま、 indecomposable である。
(2) $S$ が、 indecomposable で、 $S\neq 0,$ $\Phi^{+}(S)\neq 0(resp.\Phi^{-}(S)\neq 0)$ な
らば、である。
(resp.
)な(3) が、 indecomposable で、 $S\neq 0,$$\mathrm{n}$$\Phi^{+}$$\cdots$$S$$\mathrm{n}$$\Phi^{+}$$\mathrm{n}$$\Phi^{-}$$S$$\mathrm{n}$$\Phi^{-}$$\Phi^{+}(S)$$\Phi^{-}(S)$$\Phi^{-}\Phi^{+}(S)$$\Phi^{+}\Phi^{-}(S)$$S$$\cong S$$\Phi^{+}(S)\neq 0(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}.\Phi^{-}(S)\neq 0)$

らば、 $\rho(S)=\rho(\Phi^{+}(S))(resp.\rho(S)=\rho(\Phi^{-}(S))$ である。
が(4) $S$ が、 indecomposable で、 $\rho(S)<0$ とする。 このとき、存在して、 $(\Phi^{+})^{l-1}(S)\neq 0,$ $(\Phi^{+})^{l}(S)=0$ かつ、 $S\cong(\Phi^{-})^{l-1}(\Phi^{+})^{\ell-1}(S)$が成立する。
が存(5) $S$ が、 indecomposable で、 $\rho(S)>0$ とする. このとき、在して、 $(\Phi^{-})^{l-1}(S)\neq 0$ , (\Phi -)l(S)=0、 かつ、 $S\cong(\Phi^{+})^{l-1}(\Phi^{-})^{l-1}(S)$が成立する。
これ (こより、 このを使って、 $\rho(S)\neq 0$ のときの、 indecomposable
4subspace system の分類がなされる。
注意 2.1
これより、 $\rho(S)\neq 0$ の状況は、 $\Phi^{\pm}(S)=0$ となる indecomposable 4のときは、は、
subspace systems の決定になる。 一方、働かない。
有限次元ヒルベルト空間での、のときは、次の形である。
命題 2.2$S$ を
indecomposable 4-subspace system で、 $\rho(S)=0$ とする。 このとき、 $S$ は、 次の形と添え字の置き換えを除いて, 同値である。 $E$ と $F$ を、有限次元ヒノレベノレト空間、 $A$ : $Earrow F,$ $B$ : $Farrow E$ を、 bounded linear
map とする。 $H=E\oplus F,$ $E_{1}=E\oplus 0,$ $E_{2}=0\oplus F$ ,$\exists\ell\geq 1$$\exists\ell\geq 1$$\Phi^{+},$$\Phi^{-}$$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\rho(S)=0$$\Phi^{\pm}$$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\rho(S)=0$$E_{3}=\{(x\oplus Sx)|x\in E\},$ $E_{4}=\{(Ty\oplus y)|y\in F\}$$(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$とおく。

として、 $S=$62
無限次元 Indecomposable

3

tems
以下、

$\mathrm{H}$$(\mathrm{n}_{-}^{-}1,2_{2}3,4)$$\mathrm{n}$-subspace sys-についてを、 ヒルベルト空間として、 結果を述べる。

のとき、
(1)
$S=(H;E)$ (こついて、 $S$ が、 indecomposable であるため [こ [ま、$=1$ でなければならない。 よって、 $S\cong(H;E),$ $dimH=1$ かつ、$=0$ が 1.
のとき、(2)$S=(H;E, F)$ について、 $S$ が、 indecomposable であるための条件を調べる。 と に、 2-subspaces method を行う。
$\mathrm{n}=1$$\dim \mathrm{H}$$\dim \mathrm{E}$$\mathrm{n}=2$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$E=(E\cap F)\oplus Im(\begin{array}{ll}\mathrm{l} 00 0\end{array})$\oplus (E\cap Fl)\oplus 0E\perp oF\oplus 0E\perp oF$F=(E\cap F)\oplus Im(\begin{array}{ll}c^{2} cscs s^{2}\end{array})$

indecomposable より、 直和\oplus 0E\cap F\perp \oplus (El\cap F)\oplus 0E\perp \cap F$ffi^{/}\star$が 1 個に落ちる。 generic position の部は可換である。 よって、 generic position の部分では、作用する空間 (ま、でなければならない。 このとき、は、decomposable となる。 よって、 2-subspace system $S$ で、 indecomposable
なもの (ま、 $S\cong$ ( $H;E_{1}$ , E2) に対して、 $dimH=1$ かつ、 $dimE_{i}=0$ が 1のものである。
のとき、(3)分では、 と$\mathrm{c}$$\mathrm{s}$$S\cong(\mathbb{C}\oplus \mathbb{C};E, F)$$\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}$$(\mathrm{i}=1,2)$$\mathrm{n}=3$) について、 indecomposable で$dimH<\infty$ となるもの [ま、 $S\cong(H;E_{1}, E_{2}, E_{3})$ ,かつ、 $dimE_{i}$$=0$ が 1
か又 (ま、である。 $dimH=\infty$ に対しては、 現在の所、 indecomposable のものは構成できていない。 (Rosenthal の open question がある :5 個の要素を持つ
transitive lattice は存在するのか ? これが肯定的ならば、 我々は無限次元の indecomposable なものを得ることが出来る。 )例 3.1
次のものは、 decomposable である。
(1) $S=$ ( $H;E_{1},$ , E3) で、 次を取る。 $K$ を、 ヒルベルト空間 , を、
$K$ 上の (un)bounded linear operator とし、 $dimK\geq 2$ とする。
$H=K\oplus K,$ $E_{1}=K\oplus 0$ , $E2=0\oplus K,$ $E_{3}=\{(x\oplus Ax)|x\in D(A)\}$ .
(2) (C. Davis の例) $S=$ ( $H;E_{1}$ , E2, ) で、 次を取る。 を、 無限次

3-subspace system $S=$ ( $H;E_{1}$ , E2,$E_{3}$$\dim \mathrm{H}=1$$(\mathrm{i}=1,2,3)$$S\cong(\mathbb{C}\oplus \mathbb{C};\mathbb{C}(1\oplus 0), \mathbb{C}(1\oplus 0),$$\mathbb{C}(1\oplus 1))$

$A$

$E_{2}$$E_{3}$$\mathrm{H}$63
元ヒルベルト空間, は、の$\mathrm{H}$,$H=[e_{1}, f_{1}, e_{2}, .f_{2}, \cdots]$, (ここで、$\{e_{i}, f_{i}\},$$i=1,2,$$\cdots$

CONS である。 ).

$g_{n}=(cos\theta_{n})e_{n}+(sin\theta_{n})f_{n},$$E_{1}=[e_{1}, e_{2)}e_{3}, \cdots],E_{2}=[g_{1},g_{2}, \cdots]$$n=1,2,$$\cdots,$$\theta_{n}=\frac{\pi}{2n+1}$.

,$E_{3}=[e_{1}+e_{2}, f_{2}+f_{3}, \cdots, e_{2n-1}+e_{2n}, f_{2n}+f_{2n+1}, \cdots]$.

このとき、 $(Proj(E_{1}), Proj(E_{2}),$ $Proj(E_{3}))’=\mathbb{C}$ である。

一般的に、 3-subspace systems については、 次のことがわかる。
命題 3.2( $H;E_{1},$ , E3) を indecomposable 3-subspace systems とする。
$\ell=$(0), $H(\forall i=1,2,3)$ とする。 このとき、 $E_{k}\cap E\ell=0,$
1,2,3,).
命題 3.3$S=$ (, E3) を indecomposable 3-subspace systems とする。 更$S=$$E_{2}$$E_{i}\neq$$(\forall k,$$k\neq\ell$$H,\cdot E_{1},$ $E_{2}$に、 次を、 満たすとする。
$H=E_{1}+E_{2},$ $E_{1}\cap E_{2}=(0)$.

このとき、 $S$ は、 有限次元の indecomposable systems である。

命題 3.4$S=$ ( $H;E_{1},$$E_{2}$, E3) を indecomposable 3-subspace systems とする。 もし、 $dimH=+\infty$ とすると、 このとき、 $dimE_{i}=+\infty(\forall i=1,2,3)$ が成立する。
以下に、 4-subspace systems の考察を、 行う。

命題 3.5を、 無限次元ヒルベルト空間, $S$ を、 un 垣 ateral shift とする。 このとき、 次の system は、 indecomposable である。
$K$

$H=K\oplus K,$ $E_{1}=K\oplus 0$ , $E2=0\oplus K,$ $E_{3}=\{(x\oplus Sx)|x\in K\}$ ,$E_{4}=\{(x\oplus x)|x\in K\}$.

(証明のスケッチ)
補題 1’
$H$

を、 ヒルベルト空間とする。

$S=(H;E_{1},$$\ldots$$E_{4}$$E_{1},$$\ldots,$

を、 $H$ の閉部分空間とする。

, E\mapsto は、次を、 満たすと仮定する。

$H=E_{i}+E_{j},$ $E_{i}\cap Ej=(0),$ $\forall(i,j)\in\{(1,2), (2,3), (1,4)\}$.

このとき、 ある $A\in B(H)$ が存在して、 $AE_{1}\subset E_{2},$ $AE_{2}\subset E_{1}$ かつ、$\{(x_{1}+Ax_{1})|x_{1}\in E_{1}\}=E_{3},$ $\{(Ax_{2}+x_{2})|x_{2}\in E_{2}\}$ $=E_{4}$が、 成立する。

64
補題 2.

は、補題 1 の仮定の条件を満たすとする。 作用素 $A\in B(H)$ を、補題
1 のものとする。 $S$ が、 decomposable であると仮定する。 このとき、 次のいずれかが起きる。
$(I)T_{1}=A^{2}|_{E_{1}}$ ’ ま、 decomposable である、
$S$又は,$(II)T_{2}=A^{2}|_{E_{2}}$i ま、 decomposable である、

又は,$(III)E_{3}\subset E_{1}$

かつ、$E_{4}\subset E_{2}$

である。

補題 3.

unilateral shift から作られる 4-subspace system は、 補題 1 の仮定を満たす。 この system では、 (Ill) が、 成立しない。
補題 4.
unilateral shift から作られる 4-subspace system を取る。
$S$

$S$

このとき、 導来される作用素 $A\in B(H)$ について、
indecomposable である。

$A^{2}|_{E_{1}}$と$A^{2}|_{E_{2}}$は、(補題 4 の証明)
Beurling の定理により、 unilateral shift の invariant subspace $M$ は、
inner function (こより、 $M=\theta H^{2}$ と書けることから、 decomposable の$\theta$仮定と矛盾することを示す。

4defects の概念の無限次元化と分数値 defectsの出現
Gelfand と Ponomarev により、有限次元ベクトル空間の 4-subspace systems $S=(H;E_{1}, \cdots, E_{4})$ の不変量として defect$\rho(S)=\sum_{i=1}^{4}dimE_{i}-2dimH$が考えられている。 この量は、 このままの形では、 無限次元の場合に意味をもたない。 そこで、 この量を無限次元の場合に定義するために、 次の -subspace systems を考える。 まず、 次を定義する。
定義 4.1$T\in B(H)$ が、 weak Fredholm operator であることを、 dimKerT $<$かつ $dimKerT^{*}<\infty$ で定義する。
$\mathrm{n}$$+\infty$

65
定義 42
$S=(H;E_{1}, \cdots, E_{n})$$H(i,j=1, \cdots, n)$を$\mathrm{n}$-subspace systems とする。

$T_{ij}$:$E_{i}\oplus E_{j}arrow$を、$T_{ij}(x_{i}\oplus x_{j})=x_{i}+x_{j}$により、 定義する。
$S$

$1,$

$\ldots,$

が、 Fredholm system (resp. weak Fredholm system) を、 $T_{ij}(\forall i,j=$$n)$ が Fredholm operator (resp. weak Fredholm operator) であると

定義する。
このとき、
$IndT_{ij}=dimKerT_{ij}-dimKerT_{ij}^{*}$とおき、 defect $\rho(S)$ を、$\rho(S)=1/3\sum_{i<j}IndT_{ij}$で、 定義する。

命題 43$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$を、 有限次元ベクトル空間上の 4-subspace systemとする。 このとき、Gelfand-Ponomarev defect$\rho(S)=\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}$defect$\rho(S)$である。
命題 4.4を、 -subspace system とする。 このとき、 $KerT_{ij}\cong$$(E_{i}\cap E_{j})$ , $KerT_{ij}^{*}\cong((E_{i})^{[perp]}\cap(E_{j})^{[perp]})(\forall i,j=1, \ldots, n)$ が成立する。
$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$$\mathrm{n}$有限次元ヒルベルト空間上の、 indecomposable 4-subspace systems のdefects の値域は、 $\{0, \pm 1, \pm 2\}$ である。 しかし、 無限次元ヒルベルト空間
上では、 特異な現象が起きる。
定理 45

無限次元ヒルベルト空間上の、 indecomposable 4-subspace systems のである。
defects の値域は、
例 4.6とする。 $\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}||z|=1\}$
を、 無限次元 ヒルベルト空間
上の unilateral
を、
とおく。
とおく。
かつ、
$\mathbb{Z}/3$$\mathrm{K}$$\ell^{2}(\mathrm{N})$$\alpha\in \mathbb{C}$shift とする$\text{。}$$\alpha\not\in \mathrm{T}\mathrm{U}(\mathrm{T}+1)$$S$$\mathrm{K}$

このとき、 次の 4-subspace system $S_{\alpha}=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$ を

66$H=K\oplus K$ ,,$E_{1}=K\oplus(0)$$E_{2}=(0)\oplus K$,$E_{3}=\{(x\oplus(S+\alpha)x)|x\in K\},$ $E_{4}=\{(x\oplus x)|x\in K\}$とおく。 このとき、 {S\mbox{\boldmath $\alpha$}}。は、お互いに、 (同配置) 同値でない indecomposable Fredholm 4-subspace system である。
このとき.

$\rho(S_{\alpha})=\{\begin{array}{l}-2/3\mathrm{i}\mathrm{f}(|\alpha|<\mathrm{l},|\alpha-\mathrm{l}|<\mathrm{l})-\mathrm{l}/3\mathrm{i}\mathrm{f}(|\alpha|<\mathrm{l},|\alpha-\mathrm{l}|>\mathrm{l})-\mathrm{l}/3\mathrm{i}\mathrm{f}(|\alpha|>\mathrm{l},|\alpha-\mathrm{l}|<\mathrm{l})0\mathrm{i}\mathrm{f}(|\alpha|>\mathrm{l},|\alpha-\mathrm{l}|>\mathrm{l})\end{array}$

例 4.7(defects(-n/3) の indecomposable 4-subspace systems の例)
を、その CONS とする。 こ$K$ を無限次元ヒルベルト空間とし、のとき、次の 4-subspace systems $S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$ [ま、 indecomposableであり、 その defects I ま、 $(-n/3)$ である。
$H=K^{n}\oplus K^{n}$ とおく。 $E_{1}=K^{n}\oplus 0,$ $E_{2}=0\oplus K^{n}$ ,$E_{3}=[(u_{i}, 0, \cdots, 0)\oplus(u_{i+1},u_{i}, 0, \cdots, 0)$ ,$(0, u_{i}, 0, \cdots, 0)\oplus(0, u_{i+1}, u_{i}, 0, \cdots,0),$,$(0, 0, \cdots, 0, u_{i})\oplus(0,0, \cdots, 0, u_{i+1})|i\in \mathrm{N}]$ ,$\{u_{i}\}_{i\geq 1}$$\cdots$$E_{4}=[x\oplus x|x\in K^{n}]$.

5bounded operator systems から来ない indecomposable systems
4-subspace system として、 標準的に、 bounded operatorsから来るものが考えられる。 そこで、 我々は、 次のクラスをおく。

定義 5.1をヒノレ
次の 4-subspace system $S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$ を考える。
ベノレト空間とし、 $S\in B(K_{1}, K_{2}),$ $T\in B(K_{2}, K_{1})$ とする。 次をおく。
$K_{1},$ $K_{2}$$H=K_{1}\oplus K_{2}$,$E_{1}=K_{1}\oplus 0,$ $E_{2}=0\oplus K_{2},$$E_{3}=\{(x\oplus Sx)|x\in K_{1}\}$,$E_{4}=\{(Ty\oplus y)|y\in K_{2}\}$この形の system $S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$ と、 添え字を入れ替えて同値となるものを, bounded operator system という。
このとき、 次が成り立つ。

67
定理 5.2bounded operator systems とは、 (同配置) 同値とはならな$\mathrm{A}\mathrm{a}$、連続無限個の indecomposable 4-subspace system が存在する。
これは、 次のようにして、 示せる :例 5.3(bounded operator systems と同値にならない例)
次の 4-subspace system をおく。 $K$ を、 ヒルベルト空間として、を、その CONS とする。 $\alpha>1$ に対して、重み列 (w 法\sim を、次でおく。
$\{e_{i}\}_{i=-\infty}^{\infty}$

if $i\geq 0$ ,$w_{i}=\{\begin{array}{l}\mathrm{l}e^{(-\alpha)^{i}}\mathrm{i}\mathrm{f}i\geq \mathrm{l}\end{array}$

このみ列を使って、 重み shift$V_{\alpha}$

を、 次でおく。

$V_{\alpha}e_{i}=w_{i}e_{i+1}(i\in \mathbb{Z})$これらを使って、 4-subspace systems$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$を次で作る。

$H=K\oplus K$ ,,$E_{1}=K\oplus 0$$E_{2}=0\oplus K$,$E_{3}=\{(x\oplus V_{\alpha}x)|x\in D(V_{\alpha})\}$,$E_{4}=\{(x\oplus x)|x\in K\}$は、 お互いに (同配置) 同値と (まならない、 indecomposable 4-subspace systems である。 しかも、 こ

このとき、 これらの 4-subspace systems

れらの 4-subspace systems

I ま、 bounded operator systems と (同西己置)

同{直ではない。

indecomposable 4-subspace systems が、 bounded operator systems を、変形して、 得られるかについてであるが、 次のものは、 1 つの手術をおこなうと、 decomposable なものが出来てしまう例になっている。
例 5.4とする。 $K$ の CONS を、.
次の system を考える。 $K$ を、を、 $K$ 上の bilateral shift とする。 このとき、 次をおく :と書く。
$H=K\oplus K$ ,$E_{1}=K\oplus 0$ ,$E_{2}=0\oplus K$ ,$E_{3}=\{(x\oplus Vx)|x\in K\}$ ,$\ell^{2}(\mathbb{Z})$$(e_{i})_{i_{arrow-\infty}^{-}}^{\infty}$$V$$E_{4}=[(e_{i}\oplus e_{i})|i\neq 0]$

このとき、 この 4-subspace system $S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$ (ま、 decompos-

able となる。

68
また、 Gelfand と Ponomarev の defect(-2) の有限次元 indecomposable

system を、 自然に、無限次元化した 4-subspace system を、考えると、それは、 decomposable になってしまう。 その例は次である。
例 5.5$\{e_{i}, f_{i}|i\geq 1\}$を、 ヒルベルト空間 $H$ 空間の CONS とする。

$H=[e_{i}, f_{i}|i\geq 1],$ $E_{1}=[e:|i\geq 2]$, $E2=[f_{i}|i\geq 1]$ ,$E_{3}=[e_{i}+f_{i}|i\geq 1],$ $E_{4}=[e_{1}+e_{2}, e_{i+2}+f_{i}|i\geq 1]$, とする。 このとき、

この system $S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$ は、 decomposable である。 しかし、 これは、 bounded operator system ではない。

6Gelfand と Ponomarev の変換$\Phi^{+}$と$\Phi^{-}$

の

無限次元化
Gelfand と Ponomarev の分類理論に現れる変換$\Phi^{+}$

と

の無限次元

$\Phi^{-}$

化をここでは考えよう。
$S=$ $(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$ を、 -subspace system とする。 $R=\oplus_{i=1}^{n}E_{i}$ と$\mathrm{n}$おく。
$\tau$: $Rarrow H$ を、$\tau(x_{1}, \cdots, x_{n})=\sum_{=1}^{n}\dot{.}x_{i}$とおく。 又、 $H^{+}=Ker\tau$ とおく。
$E_{k}^{+}=\{x=(x_{1}, \cdots, x_{k-1},0_{k}, x_{k+1}, \cdots, x_{n})|\tau(x)=0\}$

とおく。
これより、
定義 6.1$\Phi^{+}$の定義として、$\Phi^{+}(S)=(H^{+} ; E_{1}^{+}, \ldots, E_{n}^{+})$と定義する。 このとき、 $\Phi^{+}(S)$ を、

も書く。
例 6.2
のとき、 $S^{+}\cong(0;0,0,0)$ である。
(1)(2)
のとき、 $S^{+}\cong(0;0,0)$ である。
のとき、
(3)
である。
(4) $S=(H;E_{1}, \cdots, E_{4})\cong(\mathbb{C}^{3};\mathbb{C}(1\oplus 0\oplus 0), \mathbb{C}(0\oplus 1\oplus 0)$,$S\cong(\mathbb{C};\mathbb{C}, 0,0)$$S\cong(\mathbb{C}^{2};\mathbb{C}\oplus 0,0\oplus \mathbb{C})$$S\cong(\mathbb{C};\mathbb{C}, \mathbb{C}, 0)$$\mathbb{C}(0\oplus 1\oplus 1),$ $\mathbb{C}(1\oplus 0\oplus 1))$$\Phi^{-}$$S^{+}\cong(\mathbb{C};0,0, \mathbb{C})$

のとき、

である。
の定義を与えよう。 まず、$S^{+}\cong(\mathbb{C};0,0,0,0)$

次に、.

$S^{+}$

と

69
定義 63
を、 -subspace system とする。
$S^{[perp]}--\Phi^{[perp]}(S)=(H;E_{1}^{[perp]},$, E\leftrightar ow で定義する。
$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$$\mathrm{n}$$S^{[perp]}=\Phi^{[perp]}(S)$を、$\ldots$

これを使って、
定義 6.4$S=(H;E_{1},$$\Phi^{-}$の定義を、 次のようにする。

, E\mapsto を、 -subspace system とする。 $S^{-}=\Phi^{-}(S)$ を、$\mathrm{n}$$\ldots$$S^{-}=\Phi^{-}(S)=\Phi^{[perp]}\Phi^{+}\Phi^{[perp]}(S)$で定義する。

例 6.5(1) $S=(\mathbb{C};0,0,0)$ のとき、$S^{-}\cong(\mathbb{C}^{2};\mathbb{C}(1\oplus 0), \mathbb{C}(0\oplus 1),$ $\mathbb{C}(1\oplus 1))$

である。

(2) $S=(\mathbb{C};0,0,0,0)$ のとき、$\mathbb{C}(0\oplus 1\oplus 1),$ $\mathbb{C}(1\oplus 0\oplus 1))$$\Phi^{+}$と$\Phi^{-}$$S^{-}\cong(\mathbb{C}^{3};\mathbb{C}(1\oplus 0\oplus 0), \mathbb{C}(0\oplus 1\oplus 0)$

,

である。

は、 以下の性質をもつ。

命題 6.6を、 -subspace system とする。 このとき、$S_{1},$ $S_{2}$$\mathrm{n}$$\Phi^{\pm}(S_{1}\oplus S_{2})\cong\Phi^{\pm}(S_{1})\oplus\Phi^{\pm}(S_{2})$が、 成立する。
$\Phi^{+}$と$\Phi^{-}$の双対性を見るために、 次の条件を設定する。

定義 6.7を、 -subspace system とする。 $S$ が、 strongly
reduced above (SRA) という性質を満たすということを、 $\sum_{i=1,i\neq k}^{n}E_{i}=$$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{n})$$H(\forall k=1, \cdots, n)$$\mathrm{n}$であることと、 定義する。

定義 68$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{n})$を、 -subspace system とする。 $S$ が、 closed image$\mathrm{n}$property(CIP) という性質を満たすとは、 次が成立するときをいう。
:(projection),$r:R=\oplus_{i=1}^{n}E_{i}arrow H^{+}$ (projection),: H\rightarrow Ei(projectio\rightarrow とおくとき、 次が、 成立している。
(1) $Im(rp_{k})$ が、 closed である。
(2) $\{(e_{1}x, \cdots, e_{n}x)\in R|x\in H\}$ が、 closed である。
定義 6.9$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{n})$ を、-subspace system とする。 が、 (CIP) を満
たすある -subspace system と同値であるとき、 は、性質 (WCIP) を、$p_{k}$$R=\oplus_{i=1}^{n}E_{i}arrow 0\oplus E_{k}.\oplus 0$$e_{i}$$S$$\mathrm{n}$$\mathrm{n}$満たすという。

$S$70$\sim-\emptyset\mu \mathrm{g}_{\backslash }\Phi^{+}\ \Phi^{-}\emptyset\Re \mathrm{X}\backslash :\uparrow\not\subset\hslash\grave{\grave{1}}_{\backslash }$$\mathit{1}\backslash R\emptyset\ddagger\check{\prime J}[] \mathrm{z}ffi^{\backslash }\mathfrak{h}\underline{\backslash }" L^{\vee\supset_{\mathrm{o}}}$定理 6.10(1) $S$ を、 -subspace system とする。 もし、 $S$ が、性質 (SRA) 及び性質 (WCIP) を満たすとする。 このとき、 $\Phi^{-}\Phi^{+}(S)\cong S$ となる。
が、性質 (SRA) 及び性(2) $S$ を、 -subspace system とする。 もし、質 (WCIP) を満たすとする。 このとき、 $\Phi^{+}\Phi^{-}(S)\cong S$ となる。
$\mathrm{n}$$S^{[perp]}$$\mathrm{n}$次に、定理 6.11$S^{+},$ $S^{-}$$S(\neq 0)$の indecomposability の条件を見ることにする。

は、 indecomposable$\mathrm{n}$-subspace system とする。 このとき、 次の仮定をおく。

(仮定), (S+)(SRA) 及ひ性質 (WCIP) を満たすとする。
，蓮 Δ法∪ 質
は、 indecomposable である。
このとき、定理 6.12$S(\neq 0)$ [ま、 indecomposable-subspace system とする。 このとき、 次$S$$S^{+}$$\mathrm{n}$の仮定をおく。

(仮定)
及ひ性質 (WCIP) を満たすとする。
が、共に、性質
このとき、 S-[ま、 indecomposable である。

S，

$S^{-}$$(\mathrm{S}\mathrm{R}\mathrm{A})$

以下に、 注意として、 定理の仮定である性質は、 無条件には、 成立しないことを指摘しておく。 ここで、 性質 (CIP) の成立しない例をあげておくことにする。

命題 6.13$\{e_{n}, f_{n}\}_{n=1,2},\cdots$

を、 ヒルベルト空間 $H$ の CONS とする。
$g_{n}=(cos \frac{1}{n})e_{n}+(sin\frac{1}{n})f_{n}$とおく。又、 $M=[e_{n}|n\in \mathrm{N}],$ $N=[g_{n}|n\in \mathrm{N}],$ $H=[e_{n}, f_{n}|n\in \mathrm{N}]$ とおく。
又、 $p=Proj(M)$ , $q=Proj(N)$ とおく。 このとき、$L=${ $((p(x),$ $q\{x))|x\in H\}$ [ま、 closed で}まな 4‘。

以下に、$\Phi^{\pm}(S)$が、 indecomposable となる無限次元の例を与える。

例 6.14を、 無限次元ヒルベルト空間とする。 $S$ を、 $K$ 上の tinilateal[ま、とする。 このとき、 次の 4-subspace systems
shift とする。
同配置同値でない indecomposable systems である。
$\mathrm{K}$$\alpha\in \mathbb{C}$$H=K\oplus K,$ $E_{1}=K\oplus 0$ ,$\ell^{2}(\mathrm{N})$$S_{\alpha}$71,$E_{2}=0\oplus K$$E_{3}=\{(x\oplus(S+\alpha)x)|x\in K\}$,

$E_{4}=\{(x\oplus x)|x\in I\acute{i}\}\}$

このとき、$S_{\alpha}$,$(S_{\alpha}^{+})^{[perp]},$$S_{\alpha}^{[perp]},$$(S_{\alpha}^{-})$は、 すべて性質 (SRA) 及び性質(WCIP) をみたす。
これより、$S_{\alpha}^{+},$

は、 indecomposable である。

$S_{\alpha}^{-}$

以下では、 我々の定義した defects と$\Phi^{+}$の関係を見る。

定理 6.15$S=(H_{7}.

E_{1}, \ldots, E_{4})$を、次の 4-subspace system とする。 $K$ を、 ヒノレベ

ルト空間 , $T,$ $S\in B(K)$ とする。 $H=K\oplus K$ ,,$E_{1}=K\oplus 0$$E_{2}=0\oplus K$,$E_{3}=\{(x\oplus Tx)|x\in K\},$ $E_{4}=\{(Sy\oplus y)|y\in K\}\}$

とおく。 このとき、 $S$ が、 Fredholm system であることと、 $S,$ $T$ , (ST-l)
が、 Fredholm operators であることは同] 直である。 更に、 $S$ の defect $\rho(S)$は、 次で与えられる。

$\rho(S)=1/3(IndT+IndS+Ind(ST-1))$
次に、$\Phi^{+}$

による defect の保存状況を見る。

命題 6.16$S=(H;E_{1}, \ldots, E_{4})$を次でおく。 $K$ をヒルベルト空間, $T\in B(K)$ とする。
$H=K\oplus K,$ $E_{1}=K\oplus 0,$ $E_{2}=0\oplus K,$ $E_{3}=\{(x\oplus Tx)|x\in K\}$ ,$E_{4}=\{(y\oplus y)|y\in K\}$とする。

このとき、 $\rho(S^{+})=\rho(S)$ が成立する。

参考文献[1] Y.Watatani: Relative positions of four subspaces in aHilbert spaceand subfactors, (to appear in aconference report).

.Ponomarev: Problems of linear algebra and clas[2] I .Gelfand andsification of quadruples of subspaces in afinite dimensional vector
space, Coll Math.Soc.Ianos Bolyai 5, Hilbert space operators, Tihany(Hungary) 1970,163-237 (in English).
$.\mathrm{M}$$\mathrm{V}.\mathrm{A}$