数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 123-138123

3 元生成 4 次元クライン群の極限集合について

On limit set of 4-dimensional Kleinian group with 3-generators
明治大学理工学部

佐久川恵太 (Sakugawa, Keita)

Department of mathematics, Meiji University.
1-1-1 Higashimita, Tama, Kawasaki, Kanagawa, JAPAN 214-8571

1 序
$d$

次元双曲空間$H^{d}$の向きを保っ等長変換群 $Isom^{+}(H^{d})$ の離散部分群を

クライン群 $G$ に対し,
$H^{d}$$H^{d}$$d$次元クライン群という.

の任意の点の $G$ による像の集積集合を $G$ の極限集合といい,に真性不連続に作用するので,$\Lambda(G)$は$\partial H^{d}$の部分集合になる.

$\Lambda(G)$$\Omega(G)=\partial H^{d}-A(G)$

で表す.

$d$

次元
$G$

は

を $G$ の不遮繍領

域という.
2 元生成の 3 次元クライン群についてはよく知られている.

とくに生成元の一つを放物型とした一点穴空き

トーラス群のパラメータ空間は Maskit slice と呼ばれ, その極限集合は無限個の円の和集合になる.
本論文では,

Maskit slice の一種の拡張とも言える 3 元生成の 4 次元クライン群について考察する. 具体的には 4 次元クライン群 $G=\langle f, g, h\rangle$ で,となるものを考える. ただし,
特に $p=i$ の場合には

$G$

$P$

$f=(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})g=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{0}1$$11)h=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}0$$p1)$, $[f,g]^{2}=[f, h]^{2}=id$は実数でない複素数とする.

の基本領域は 4 角柱から 2 つの球をくりぬいた 6 面体となるが, この場合の群の変形について最初に考えたのは荒木と糸である。 荒木, 糸, 小森らによる研究 [13], [14] を参照されたい.
結果は以下の通り.

補題 1.1 $G$ の部分群 $H(p)=\langle g, h, f^{-1}gf, f^{-1}hf\rangle$ で不変な球面$P\subset\partial H^{4}\simeq\hat{\mathbb{R}}^{3}$が存在する. とくに$H(i),$ $H(w)$ は離散群で $\Lambda(H)=P$ となる.

定理 1.2 $H=H(i),$ $H(\omega)$ に対し,$\Lambda(G)=\bigcup_{aH\in G/H}aP$

定瑳 13 $G=(f,g,$$h\rangle$

は$M_{\ddot{\circ}}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$.

による共役を除いて,$G(t_{1},t_{2},t_{3},p)= \langle(t \frac{(1-t^{2})j}{\sqrt{2},t^{*}}I (\begin{array}{ll}1 l0 l\end{array}), (\begin{array}{ll}1 p0 1\end{array})\rangle$と表せる (離散的でないものも含める). ただし,する.

$t= \frac{t_{1}+t_{2}j+l_{3}k}{2},$$(t_{1},t_{2}, t_{3}in\mathbb{R}),p\in \mathbb{C}-\mathbb{R},$$|p|=1$ と124

本論文は以下のように構成されている.
2 節では Cao, Parker, Wang [15] らによる三次元メビウス変換の分類を書き改め, それを上半空間モデルに言い換えたものを紹介する. なお上半空間モデルに言い換える議論は木戸 [2] を参考にした. 3 節では定理

12, 定理 13 の証明を行っている. 4 節ではコンピュータによる実験およびその観察と極限集合の絵を載せた.

謝辞
この論文を書くにあたり, 糸健太郎氏, 大鹿健一氏, 河澄響矢氏 (五十音順) にはご指摘および有益な助言を頂きました.

また, 学部生時代にお世話になった奥村善英先生には, 私の指導教官である阿原一志先生を通じて励ましの言葉を頂きました. そして何よりも指導教官である阿原一志先生にはプログラムの手ほどきから, ゼミでの指導,

ときには青空の下で共に悩んで下さり, 大変お世話になりました.

この場を借りて皆様方に感謝致します.

2 三次元メビウス変換の型の分類
一般に $Isom^{+}(H^{d})$ は $(d-1)$ 次元のメビウス変換で表されることが知られている [18]. まず準備として,

3

次元メビウス変換を四元数を成分に持つ 2 次正方行列で表し, その型を分類する.

2.1

四元数とメビウス変換$\mathbb{H}=\{x_{0}1+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k\in \mathbb{R}(1,i,j, k)|i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\}$で定義される$\mathbb{R}^{4}$

上の結合代数を四元数体という. 四元数$x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k\in \mathbb{H}$$\mathbb{H}$に対し, $\varpi=x_{0}-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k$ を

は複素数
$x$

$\mathbb{C}$を含む非可換体になる.

の共役という. また.

$x$

の

$k$

$x=$

成分の符号を反転させる操作を $x^{*}=-kXk=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j-x_{3}k$ と定義する.

一次元四元数射影空間$P^{1}(\mathbb{H})$における単位球と, 上半空間$B^{4}$$H^{4}$

を,$B^{4}=\{v\in P^{1}(\mathbb{H})|^{t}\overline{v}(\begin{array}{ll}l 00 -1\end{array})v<0\}$$H^{4}=\{v\in P^{1}(\mathbb{H})|^{t}\overline{v}(\begin{array}{ll}0 -kk 0\end{array})v>0\}$と定義すれば,$S^{3}=\partial B^{4}$,企$3_{=\partial H^{4}}$の向きを保つメビウス変換$M\ddot{o}b^{+}(S^{3}),$分群としてそれぞれ次のように表せる.
定義 21

.
.

$M\ddot{o}b^{+}(S^{3})=\{M\in GL(2,\mathbb{H})|t\overline{M}JM=J,$$J=(\begin{array}{l}100-1\end{array})\}/\{\pm I\}$

$M\ddot{\circ}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})=\{M\in GL(2,\mathbb{H})|t\overline{M}KM=K,$$K=(\begin{array}{ll}0 -kk 0\end{array})\}/\{\pm I\}$

$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$は $GL(2, \mathbb{H})$ の部

125

補題 22(

1.

$M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$の元の特徴付け)$g^{-1}=(\begin{array}{ll}\overline{a} -\overline{c}-\overline{b} \overline{d}\end{array})$$g=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$に対し, 以下が成立.

.

2. $|a|^{2}-|b|^{2}=1,$ $|a|=|d|,$ $|b|=|c|$ .
3.
.
$\overline{a}b=\overline{c}d,a\overline{c}=b\overline{d}$

証明 $\{M\in GL(2, \mathbb{H})|t\overline{M}JM=J,$$J=(\begin{array}{l}0l0-l\end{array})\}\ni g$

に対して,

である

$g^{-1}=(\begin{array}{l}100-l\end{array})\overline{{}^{t}g}(\begin{array}{l}100-l\end{array})$

から, $gg^{-1}=g^{-1}g=I$ から, 各成分を比較すればよい.

同様に,

補厘 23(

1.

$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$$\square$についても次が成り立つ.

$M\ddot{\circ}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$の元の特徴付け)$g^{-1}=(\begin{array}{ll}w^{*} -y^{r}-z^{*} x^{*}\end{array})$$g=(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$に対し, 以下が成立.

.

2. $xw^{*}-yz^{*}=w^{*}x-z^{*}y=1$ .
3. $xy^{*}=yx^{*},$ $zw^{*}=wz^{*},$ $z^{*}x=x’z,w^{*}y=y^{*}w$ .

$M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$の元の型の分類

Cao, Parker, Wang [15] にならって, 自明でない $g\in M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$ の型を$B^{4}$

への作用の仕方により以下のように定義する.

1.

定鶴 2.42.

$g$が楕円型 (elhPtic) であるとは$B^{4}$

内に固定点を持つときをいう. とくにに等長的な双曲平面を固定するならば単純楕円型 (simple elliptic) といい,(a)$B^{4}$

内の(b)$B^{4}$

内にただ 1 つの固定点を持つのならば混含楕円型 (compound elliptic) という.

$g$$H^{2}$

が放物型 (parabolic) であるとは中心とする接球への作用を(a)(b)$\rho$$\rho$

がユークリッド空間
がユークリッド空間$\rho$$\mathbb{R}^{3}$$\mathbb{R}^{3}$$\partial B^{4}$にただ 1 つの固定点を持つときをいう.

とくにその固定点をとしたとき,

における平行移動ならば単純放物型 (simple parabolic) といい,における平行移動と回転の合成であるならば$g$

を温合放物盈 $(com\mu und$pambolic) という.

3.

$g$

が斜航裂 (loxodromic) であるとは$\partial B^{4}$にちょうど 2 つの固定点を持つときをいう.

(a) その固定点を端点とする測地線を含む任意の$H^{2}$

とくにに等長的な双曲平面を固定するとき,

$g$

を単純斜

(simple loxodromic) あるいは双幽型 (hyperbolic) といい,(b) それ以外の場合漏脅斜航型 (compound loxodromic) という.
$\hslash r$

定理 2.5 ( $Mob^{+}(S^{3})$ の型の分観 [15, Theorem 1.1]) 自明でない

次のように分類される.

$g=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$

の型は

126

(a) $c=b=0$ のとき(b)(i) ${\rm Re}(a)={\rm Re}(d)$ ならば$g$は単純楕円型.

(ii) $Re(a)\neq{\rm Re}(d)$ ならば$g$は混合楕円型.

$c\neq 0,\overline{c}=b$のとき(i) ${\rm Re}(d)^{2}<1$ ならば$g$は単純楕円型.

(ii) $R\epsilon(d)^{2}=1$ ならば$g$は単純放物型.

(iii) $R\epsilon(d)^{2}>1$ ならば$g$は単純斜航型.

(c) $c\neq 0,Z\neq b$ のとき$\Delta=|{\rm Im}((\overline{c}^{-1}b-1)\overline{d})|^{2}-|\overline{c}^{-1}b-1|^{2}$(i) $\Delta<0$ ならば$g$は混合楕円型.

(ii) $\Delta=0$ ならば$g$は混合放物型.

(tii) $\Delta>0$ ならば$g$

は混合斜航型.

とおく. このとき,

駐 1 元の特徴付けから, $c=0,b\neq 0$ という場合は起こらない.
定理 25 にあらわれる$\Delta$

は $c=0$ のとき定義されていないが,$M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$の元の特徴付けから,$\Delta=|{\rm Im}((\delta^{-1}b-1)\overline{d})|^{2}-|\overline{c}^{-1}b-1|^{2}$$=|(Z^{-1}b-1)\partial|^{2}-|{\rm Re}((\overline{c}1b-1)\partial)|^{2}-|\overline{c}^{-1}b-1|^{2}$$=|E^{-1}b-1|^{2}(|3|^{2}-1)-|{\rm Re}(\overline{c}^{-1}\overline{W}-\partial)|^{2}$$=|l^{-1}(b-\overline{c})|^{2}|c|^{2}-|R\epsilon(\overline{c}^{-1}a\overline{c}-\overline{d})|^{2}$$=|b-Z|^{2}-|{\rm Re}(a-d)|^{2}$

従って
めに,

$\Delta$

このは $c=0$ のときも意味を持つ.
$\Delta$.

そこで, 改めて $\Delta=|b-\overline{c}|^{2}-|{\rm Re}(a-d)|^{2}$ と定義する. 後のたを使って定理 25 を言い換えることを考える.

定理 25 において (a)(i) のとき $\Delta=0,$ $(a)(ii)$ のとき $\Delta<0,$ $(b)$ のとき $\Delta=0$ であるから次の補題が成

り立つ.

補艦 26
$g$

$g$

が混合楕円型 $\Leftrightarrow\Delta<0$が混合斜航型 $\Leftrightarrow\Delta>0$ .

$g\in M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$とにすると,

補$\bullet$.

$g$が単純楕円型,

単純放物型,

単純斜航型のいずれかであるとき 9 は単純である, というこが単純であるための必要十分条件は$\Delta,$$a,$ $d$を用いて表せる.

279 が単純 $\approx\Delta={\rm Re}(a-d)=0$.

匠明定理 25 より,9 が単純であるのは $c=0,$ ${\rm Re}(a)=R\epsilon(d)$ のとき,

る. $c=0,$ ${\rm Re}(a)={\rm Re}(d)$ のときは $\Delta=0$ であることがわかる.
け$a\overline{b}=$

慮から

補題 28

$g$

$a=c\overline{d}c^{-1}$となるので ${\rm Re}(a)={\rm Re}(d)$ である.

が単純楕円型ならば Re(d)2 $<1$.

あるいは $c\neq 0,$ $b=$ 乙のときに限$b=$ 置のときも $\Delta=0$ であり,元の特徴付$\square$127

証明 $c=0,$ ${\rm Re}(a)={\rm Re}(d)$ のときのみ示せばよい. 元の特徴付け $|a|^{2}-|c|^{2}=1$ と $c=0$ から $|a|=|d|=1$なので $|{\rm Re}(d)|\leq 1$. もし$|{\rm Re}(d)|=1$

だとすると

$g$

は恒等変換になるので ${\rm Re}(d)^{2}<1$ となる.

$\square$以上の補題から, 定理 25 を次のように言い換えることができる.

定理 2.0

.

$g$

$g$

.
.

$g$

$g$

$g$

$g$

$g=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(S^{3}),g\neq id$に対し,$\Delta=|b-\overline{c}|^{2}-|{\rm Re}(a-d)|^{2}$

とおく.

このとき,

が単純楕円型 $\Leftrightarrow\Delta={\rm Re}(a-d)=0,$ ${\rm Re}(d)^{2}<1$ .

が単純放物型 \Leftrightarrow \Delta =&(a--d) $=0,$ ${\rm Re}(d)^{2}=1$ .

が単純斜航型 $\Leftrightarrow\Delta={\rm Re}(a-d)=0,$ ${\rm Re}(d)^{2}>1$ .
が混合楕円型 $\Leftrightarrow\Delta<0$ .
が混合放物型 $\approx\Delta=0,$ ${\rm Re}(a-d)\neq 0$ .

が混合斜航型 $\Leftrightarrow\Delta>0$ .

$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$関係式$M\ddot{o}b^{+}(S^{3})$の元の型の分類$(\begin{array}{ll}1 -kl k\end{array})(\begin{array}{ll}0 -kk 0\end{array})(\begin{array}{ll}l 1k -k\end{array})=2(\begin{array}{l}100-l\end{array})$の元を$(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$

により ’$(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$

に対応する

とすると,

$(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})=\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}1 -kl k\end{array}) (\begin{array}{ll}x yz w\end{array})(\begin{array}{ll}1 1k -k\end{array})$$= \frac{1}{2}(_{x}^{x}I_{yk+kz+kwk}^{yk-kz-kwk}$と表すことができる. 従って定理 25 を
定理 210 ($M\text{\"{o}} b^{+}(\hat{R}^{3})$自明でない 9

$=$

$g$

$g$

$g$

証明

での主張として読み替えることができる.

の元の型の分類)$(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})$$|{\rm Im}(x+w^{*})|^{2}+4y_{3}z_{3}$$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$$x-yk+kz-kwkx-yk-kz+kwk)$

とおく.

$\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$に対し,$y_{3},$ $z_{3}$をそれぞれ$y,$ $z$の

このとき,が単純楕円型 $\Leftrightarrow\Delta=y_{3}=z_{3}=0$ かつ ${\rm Re}(x+w^{*})^{2}<4$ .
が単純放物型 $\Leftrightarrow\Delta=y_{3}=z_{3}=0$ かつ ${\rm Re}(x+w^{*})^{2}=4$ .

が単純斜航型 $\Leftrightarrow\Delta=y_{3}=z_{3}=0$ かつ恥 $(x+ w^{*})^{2}>4$ .

9 が混合楕円型$\Leftrightarrow\Delta<0$$g$が混合放物型$\Leftrightarrow\Delta=0$$g$

が混合斜航型 $\Leftrightarrow\Delta>0$$(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})$.
かつ $y_{3}\neq z_{3}$.

\in Mob+(漉 3) に対応する M\"ob.

$+(S^{3})$の元を$(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})=\frac{1}{2}(_{x}^{x}\ddagger_{yk+kz+kwk}^{yk-kz-kwk}$$(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$とすれば$x-yk+kz-kwkx-yk-kz+kwk)$

$k$

成分として

$\Delta=$

128

であるから

$b-\overline{c},$${\rm Re}(a-d)$はそれぞれ$b- \overline{c}=\frac{1}{2}(x-yk-kz+kwk-\overline{(x+yk+kz+kwk)})$$={\rm Im}(x+w^{*})+y_{3}+z_{3}$,${\rm Re}(a-d)= \frac{1}{2}{\rm Re}(x+yk-kz-kwk-(x-yk+kz-kwk))$$=z_{3}-y_{3}$となる. このとき$\Delta=|b-\overline{c}|^{2}-|{\rm Re}(a-d)|^{2}$$=|{\rm Im}(x+w^{*})+y_{3}+z_{3}|^{2}-|z_{3}-y_{3}|^{2}$$=|{\rm Im}(x+w^{*})|^{2}+4y_{3}z_{3}$.

とくに $\Delta=0,$ $y_{3}=z_{3}$ なら $y_{3}=z_{3}=0$ であることがわかる.
${\rm Re}(d)^{2}$にっいては${\rm Re}(d)^{2}= \frac{1}{2}{\rm Re}(x-yk+kz-kwk)^{2}$$= \frac{1}{4}(Re(x+w^{l})+y_{3}-z_{3})^{2}$であるから,

であれば ${\rm Re}(d)^{2}= \frac{1}{4}({\rm Re}(x+w^{*}))^{2}$$y_{3}=z_{3}$.
口

従って定理 29 より主張を得る.

系 211 自明でない$g=(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$に対し,$y_{3}=0$

または $z_{3}=0$ ならば 9 は混合楕円型でない.

証明 $y_{3}=0$ または $z_{3}=0$ ならば$\Delta\geq 0$であることからわかる.

$\square$3 定理 12 および定理 13 の証明$G’=\langle\alpha, \beta, \gamma|[\alpha, \beta]^{2}=[\alpha, \gamma]^{2}=[\beta, \gamma]=1\rangle$

そこで,
$id$

$f,$ $g,$ $h\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$を満たすとしよう.

合を考える.

$G$とし,をねじれなしの元とし, $g,$

を $f,$ $g,$

$h$

が生成する

の

$G’$

$h$

$M\text{\"{o}} b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$上の忠実な表現を考える.

は単純放物型であって, $[f,g]^{2}=[f, h]^{2}=[g, h]=$の部分群とする. これ以降は $G$ が離散群である場

この群は, 直感的には正方形柱を面角が 45 度になるようち球面で切り落としたような図形を$\mathbb{R}^{3}$における基本領域 (の 1 つ) として持つような群を想定している.

補題 3.1 $g,h$ は固定点を共有し,$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$の元で共役をとることにより$g=(\begin{array}{ll}l 10 1\end{array})h=(\begin{array}{ll}1 p0 l\end{array})P\in \mathbb{C}$

とできる.

証明
$g,$ $h$$g$を$M\text{\"{o}} b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$の元で共役をとることにより.

が可換ということから $gf=fg$ を計算すると$g=(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})$としてよい.

$h=(\begin{array}{ll}h_{1} h_{2}h_{3} h_{4}\end{array})$

とおいて,

129

$(\begin{array}{ll}h_{1}+h_{3} h_{2}+h_{4}h_{3} h_{4}\end{array})=$成分を比較することにより $h_{1}=h_{4},$ $h_{3}=0$ を得る.
$h$が単純放物型という仮定から,$h_{1}=h_{4}=\pm 1$

また. 元の特徴付け $h_{1}h_{2}^{*}=h_{2}hi$ によりることにょり$g$を固定したままもし, 上の補題における
$G’$

$P$

が

$\underline{n}\in \mathbb{Q}$$P$, ( $m,$$h_{3}=0$$h_{3}h_{1}\ddagger^{h_{2}}h_{4}$の $k$ 成分は $0$ である.

$n$

).

は伽 (h) $=\infty$ を意味するので丘 x(g) $=fix(h)$ .

. メビウス変換なので$h=(\begin{array}{ll}1 p0 1\end{array})P\in \mathbb{C}$の忠実な表現にならない. またことがわかる. 従って, 以後$h_{2}$($h_{1}=1$としてよい.

従って, 実軸を固定する回転で共役をととできる.

$\square$は互いに素) であるとすると $h^{m}=g^{n}$ となってしまい,$G$がが無理数であるとすると, 連分数近似の議諭により $G$ は離散群ではない$P\in \mathbb{C}-\mathbb{R}$と仮定してよい.

つぎに, 条件 $[f,g]^{2}=[f, h]^{2}=id$ を行列の成分に関する方程式として表すことを考える.

補題 32 自明でないあるならば,$M$$M=(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$に対し, $tr^{*}(M)=x+w^{*}$ と定義する.

もし $M$ が単純での位数が 2 であるのは $tr^{*}(M)=0$ のとき, そのときに限る.

旺明 $M$ が単純で位数が 2 であるとする.
$M^{2}=id$ より $M=M^{-1}$ であるが,1.

$(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})=(\begin{array}{ll}w^{l} -y^{*}-z^{*} x^{*}\end{array})$$M\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$のとき.

成分 を $oeu\cdot t$ ることで $w=x^{*}$ および $y,$$y=y_{3}k,$ $z=z_{3}k$により, 次の 2 通りの場合が有り得る.

$z$が $k$ 成分のみからなることがわかる.

$y_{3},$ $z_{3}$を実数として,とおく. このとき, $xy^{*}=yx^{*},$ $z^{*}x=x^{*}z$ より ${\rm Re}(x)=0$ である力\searrow $y_{3}=z_{3}=0$ でなければならない.
(a)

$x$

の実部が

$0$

のとき, $xw^{*}-yz^{*}=1$ より $x^{2}=1+y_{3}z_{3}<0$ でなければならない.

$y_{3}\neq 0,$ $z_{3}\neq 0$

なので $M$ は単純でない.

(b) $y_{3}=z_{3}=0$ のとき. $y=z=0$ なので, 元の特徴付けから $x^{2}=1$ でなければならない. しかしこれは $M$ が自明でないという仮定に反する.

2.

$(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})=(\begin{array}{ll}-w^{*} y^{l}z^{*} -x^{t}\end{array})$のとき.

成分を比較して $x=-w^{*}$ すなわち $tr^{*}(M)=0$ を得る.
逆に,

$M$

が単純で $tr^{*}(M)=0$ を満たすとすると, 計算により$(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})=$($+y_{Z}$$x(y-y^{*})w+zy2)=(\begin{array}{ll}-1 00 -l\end{array})$を得る.

盤 2 上の補題で,$\square$$M$

型変換である. また,が単純であるという仮定は外せない. 例えば,$(\begin{array}{ll}k k0 k\end{array})$$(\begin{array}{ll}0 e^{k\pi/n}-e^{k\pi/n} 0\end{array})$は実軸を固定する混合放物型変換で位数は有限でない.

は位数 $n$ の混合楕円130$[f,g],$ $[f, h]$は位数有限という仮定から楕円型であるが, 具体的な計算により単純楕円型であることがわかる.

補題 3.3$f=(\begin{array}{ll}x yz w\end{array}),$$g=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{0}1$$tr^{*}(g-1f^{-1}gf)=z^{*}z+2$

,

$11)$

$h=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}0$$p1)\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3}),$$P\in \mathbb{C}-\mathbb{R}$

に対し.

,

$tr^{*}(h^{-1}f^{-1}hf)=pzpz+2$.

とくに $[f,g],$ $[f, h]$ は単純楕円型.

匪明

$g$

については $p$ に 1 を代入して計算すればよいので $h$ の場合のみ示す.

$h^{-1}f^{-1}hf=(\begin{array}{ll}l+w^{l}pz+pz’ pz w^{*}pw-p+pz^{*}pw-z^{*}pz z^{l}1-pw\end{array})$$tr^{r}(h^{-1}f^{-1}hf)=pz^{l}pz+2$$(-z^{*}pz)^{*}=-zpz$ より,.

.

この行列の $(2, 1)$ 成分の

$k$

成分は

$0$

である.

$[f, h]^{2}=id$ より $[f, h]$ は楕円型であるが, 系 211 から $[f, h],$ $[f,g]$ は混合楕円型でないことがわかる.

$\square$

補題 32, 補題 33 より, 条件 $[f, g]^{2}=[f, h]^{2}=id$ は $z^{*}z+2=pz^{*}pz+2=0$ と同値である. この方程式を解くことで次の補題を得る.
補艦 34$z^{*}z+2=0$$\{$$z=\pm\sqrt{2}j$$\simeq\{$$\ovalbox{\tt\small REJECT} pz+2=0$

証明$z_{0},$ $z_{1},$ $z_{2},$$z_{3},p_{0},p_{1}$を実数とし,$|p|=1$$z=z0+z_{1}i+z_{2}j+z_{3}k\in \mathbb{H},p=p0+p_{1}i\in \mathbb{C},p_{1}\neq 0$

とおく. まず$z^{*}z=(z_{0}+z_{1}i+z_{2}j-z_{3}k)(z_{0}+z_{1}i+z_{2}j+z_{3}k)$$=z_{0}^{2}-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+2(-z0z_{1}+z_{2}z_{3})i+2(-z_{0}z_{2}-z_{1}z_{3})j$$=-2$の各成分を比較して連立方程式$z_{0}^{2}-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+2=0$$z_{0}z_{1}-z_{2}z_{3}=0$$z_{0}z_{2}+z_{1}z_{3}=0$

(1)

(2)
(3)

を得る.
式 (2) $xz\iota+$ 式 (3)$xz_{2}$と式 (3) $xz_{2}$-式 (2) $xz_{1}$ より$z_{0}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})=0$$z_{3}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})=0$

を得るが,もし $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0$ とすると, 式 (1) に矛盾.

従って勧 $=z_{3}=0$ であるから, 式 (1) より $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=2$ を得る.

(4)
(5)

131

このとき $z^{*}=z$ であることに注意して, $pz^{*}pz=(pz)^{2}=-2$ を計算すると$(pz)^{2}=(-z_{1}p_{1}+z_{1}p_{0}i+z_{2}p_{0}j+z_{2}p_{1}k)^{2}$$=(z_{1}p_{1})^{2}-(z_{1}p_{0})^{2}-(z_{2}p_{0})^{2}-(z_{2}p_{1})^{2}-2z_{1}p_{1}(z_{1}p_{0}i+z_{2}p_{0}j+z_{2}p_{1}k)$$=-2p_{0}^{2}+(2z_{1}^{2}-2)p_{1}^{2}-2z_{1}p_{1}(z_{1}p_{0}i+z_{2}p_{0}j+z_{2}p_{1}k)$$=-2$$p_{1}\neq 0$.

に注意すれば, 各成分に関する連立方程式は次のようになる.

(6)
(7)
(8)
(9)

$p_{0}^{2}+(1-z_{1}^{2})p_{1}^{2}-1=0$$p_{0}z_{1^{2}}=0$$h^{z_{1}z_{2}=0}$$z_{1}z_{2}=0$

式 (9) より $z_{1}=0$ または $z_{2}=0$.

(i) $z_{1}=0$ のとき$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=2$

より $z=\pm\sqrt{2}j$. また, 式 (6) より

すなわち $|p|=1$$Po^{2}+p_{\iota^{2}}=1$.

(ii) $z_{2}=0$ のとき$z_{1^{2}}+z_{2}^{2}=2$

従って,

より $z_{1}^{2}=2\neq 0$ なので式 (7) から $P0=0$ であるが, 式 (6) より $p_{1}^{2}=-1$ となり矛盾.

この場合は解なし.

口以上より $z=\pm\sqrt{2}j,$ $|p|=1$ がわかる.

駐 3 補題 34 より $z^{*}=z$ であり,ぶかで$\mathbb{C}$$z=\pm\sqrt{2}j$$G=\langle f, g, h\rangle=\langle f^{-1},g, h\rangle$

であるから,$f$と $f^{-1}$ のどちらを生成元に選の符号の違いは吸収できる.

に平行な平面は ( $g,$$h\rangle$

で不変であることは明らかである. ( $g,$$h\rangle$

を含む $G$ の部分群で不変な平面が存在することを次の補題で示す.
補$\blacksquare$

3.5$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})\ni f=(\begin{array}{ll}x yz w\end{array}),g=(\begin{array}{ll}1 10 l\end{array}),$$tr^{*}(g^{-1}f^{-1}gf)=tr^{*}(h^{-1}f^{-1}hf)=0$ を仮定し,$P:=\{f^{-1}(fix(g))+v|v\in \mathbb{C}\}\cup t\infty\}$

証明 9,

$h$

$h=(\begin{array}{ll}l p0 l\end{array}),p\in \mathbb{C}-\mathbb{R}$

$G$

に対して

の部分群 $H$ を $H=\langle g, h, f^{-1}gf, f^{-1}hf\rangle$ とおくとは $H$ で不変である.

が $P$ を保つのは明らかなので,$f^{-1}hf,$ $f^{-1}gf$

11 とすれば $f^{-1}hf$ の場合に帰着できる. fix
注意すると, 任意の $v\in P$ に対してについて醐べる.

$(g)=\infty\in\hat{\mathbb{R}}$であり,$f^{-1}gf$ については $h$ における $p$ を$f^{-1}(fix(h))=-w^{*}(z^{*})^{-1}$$f^{-1}hf(^{-w^{*}(z_{1}^{t})^{-1}+v})=(^{-w^{t}(z^{*})^{-1}}1)+f^{-1}hf(\begin{array}{l}v0\end{array})$$=(\begin{array}{l}-w^{*}(z^{*})^{-1}+(l+w^{*}pz)vz^{l}l-pzv\end{array})$.

であることに132$(-w^{*}z-1+(1+w^{*}pz)v)(1-z^{*}pzv)^{-1}$ を計算すると,$(-wz^{*-1}+(1+w^{t}pz)v)(1-zpzv)^{-1}$$=(-w^{*}z^{n-1}(1-z^{*}pzv)+v)$ (l-z’pzv)“‘1$=-w^{*}z^{r-1}+v(1-z^{r}pzv)^{-1}$

補題 33 より $pz^{*}pz=-2$ .
$P$$P\in \mathbb{C}$に含まれることが示された.
$z=\sqrt{2}j$.

から $z^{*}pz=\in \mathbb{C}$ に津意すると,$v(1-z^{*}pzv)^{-1}\in \mathbb{C}$であり, この点は従って $P$ は $H$ 不変である.

$\square$のときの $v\in P$ への $H$ の作用をみると,$g:v\mapsto v+1$
$h:vrightarrow v+p$$f^{-1}gf:vrightarrow v(1-\sqrt{2}j\sqrt{2}jv)^{-1}=v(1+2v)^{-1}$$f^{-1}hf:v\mapsto v(1-\sqrt{2}jp\sqrt{2}jv)^{-1}=v(1+2\overline{p}v)^{-1}$となるので$H=H(p)=((\begin{array}{ll}1 10 1\end{array}),$こで $f^{-1}(fix(g))+v\in P$ を

$v\in\hat{\mathbb{C}}$$(\begin{array}{ll}1 p0 1\end{array}),$$(\begin{array}{ll}1 02 1\end{array}),$$\mathbb{Z}+p\mathbb{Z}$ただし,$\mathbb{Z}+p\mathbb{Z}$の元であり,

が積について閉じているためにはなので, 円分多項式の性質から$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$$P$と表せる. ただし,

こと同一視して考えている.

$H(p)$ が $PSL(2, \mathbb{C})$ の離散部分群であるための条件を考えよう.

閉じていれば $H(p)$ の成分は全て$\subset PSL(2, \mathbb{C})$$(\begin{array}{l}102\overline{p}1\end{array})\rangle$$P$$P\in \mathbb{C}-\mathbb{R}$に対し,$\mathbb{Z}+p\mathbb{Z}$が積について$H(p)$ は離散的である.

が二次の代数的整数でなければならない. 補題 34 より $|p|=1$

が二次の代数的整数であるのは$P$が $\pm i,$ $\pm w,$ $\pm w^{2}$ のいずれかのときに限る.

とする.

したがって少なくとも次のことはわかる.

補題 3.6 $H(\pm i),$ $H(\pm\omega),$ $H(\pm w^{2})$ は離散群である.
逆に, これ以外の$P$についてはコンピュータによる実験 (4 節) から,$H(p)$ は離散的でないと予想しているが, 証明はできていない.

以後

$P$

が $\pm i,$ $\pm w,$ $\pm w^{2}$ のいずれかの場合について考察する.

$H(p)=H(-p)$ であり, $w+1=-w^{2}$ より $H(w)=H(w^{2})$ であるから $p=i,w$ の場合について考察すればよい. $H(i),$ $H(w)$ については次のことがわかる.

補属 3.7 $H^{3}/H(i)$ および $H^{3}/H(\omega)$ の体積は有限.
証明 $p=i$ のとき.

$(h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4})=((\begin{array}{ll}l 10 1\end{array}), (\begin{array}{ll}1 i0 1\end{array}), (\begin{array}{ll}1 02 1\end{array}), (\begin{array}{ll}l 0-2i 1\end{array}))kk$,$D_{1}= \{(z, t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}|-\frac{1}{2}\leq{\rm Re}(z)\leq\frac{1}{2}\}$,$D_{2}= \{(z, t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}|-\frac{i}{2}\leq{\rm Im}(z)\leq\frac{i}{2}\}$$D_{3}= \{(z, t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}||z-\frac{1}{2}|^{2}+t^{2}\geq 1/4, |z+\frac{1}{2}|^{2}+t^{2}\geq\frac{1}{4}\}$,$\langle$.

133$D_{4}= \{(z, t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}||z-\frac{i}{2}|^{2}+t^{2}\leq 1/4\}\cap\{(z, t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}||z+\frac{i}{2}|^{2}+t^{2}\leq\frac{1}{4}\}$とおけば,$D_{t}(i=1,2,3,4)$ はそれぞれ $\langle h_{t}\rangle(i=1,2,3,4)$ の基本領域であるから,に含まれる $H(i)$ の基本領域が存在する.

$D$$D=D_{1}\cap D_{2}\cap D_{3}\cap D_{4}$は $H^{3}$ の理想多面体であるから, $H(i)$ の基本領域の体積も有限である.
$p=\omega$のときも同様に,$D_{1}=${ $(z,t)\in H^{3},$$z \in \mathbb{C}|-\frac{1}{2}\leq$

Re(z)$\leq\frac{1}{2}$},,$D_{2}=\{(z,t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}|-1\leq z\overline{w}+\overline{z}w\leq 1, -1\leq z\omega+\overline{z}\varpi\leq 1\}$,

$D_{3}= \{(z,t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}||z-\frac{1}{2}|^{2}+t^{2}\geq 1/4, |z+\frac{1}{2}|^{2}+t^{2}\geq\frac{1}{4}\}$$D_{4}= \{(z,t)\in H^{3}, z\in \mathbb{C}||z-\overline{\frac{\omega}{2}}|^{2}+t^{2}\geq 1/4, |z+\overline{\frac{\omega}{2}}|^{2}+t^{2}\geq\frac{1}{4}\}$とおけば.

$H(\omega)$の基本領域を $D_{1}\cap D_{2}\cap D_{3}\cap D_{4}$ の中に含むようにとれるので,$H(\omega)$の基本領域の体積も有限であることがわかる.

$PSL(2,\mathbb{C})$の離散部分群$\square$$\Gamma$が$\Lambda(G)=\hat{\mathbb{C}}$働題 3.8 ([ 5, Proposition 5.1. ])ば$\Gamma$旺明$\Gamma$$\Gamma$は第一種クライン群と呼ばれる.

を $PSL(2, \mathbb{C})$ の離散部分群とする.

$H^{3}/\Gamma$の体積が有限であるならは第一種クライン群である.
$\Omega(\Gamma)\neq\emptyset$

を$\Gamma$の不連続領域とする.

に対し $B\cap g(B)\neq\emptyset$ となる円板

任意の $g\in\Gamma$ に対しである.

$\Omega(\Gamma)=\emptyset$$G=\langle f,g,$ $h$

は$\Omega(\Gamma)$に真性不連続に作用するので. 自明でない任意の $9\in\Gamma$が存在する.
しかし

すなわち補題 37 と命題 38 より, $H(i),$ $H(w)$ はである.

$\Gamma$$B\subset\Omega(\Gamma)$$B\cap g(\hat{B})\neq\emptyset$

であることに矛盾. 従って$P$を満たすとき,$\hat{B}$$\hat{B}$とすると, 自明でないの体積は無限であるから, これは$\Lambda(\Gamma)=\hat{\mathbb{C}}$$P\simeq\hat{\mathbb{C}}$

この $B$ で張られる半球を$H^{3}/\Gamma$の体積が有限を得る.

$\square$に第一種クライン群として作用し, $\Lambda(H(i))=\Lambda(H(\omega))=$) を部分群 $H$ で剰余分解して考えれば, 今までの議論をまとめて次の定理を得る.

定理 3.9 $H=H(i),$ $H(\omega)$ に対し,$\Lambda(G)=\bigcup_{aH\in G/H}aP$

証明任意の $aH\in G/H$ に対して $\Lambda(aHa^{-1})=aP$ であるから $aP\subset\Lambda(G)$ でありある. 逆の包含関係は

3.1

$y$

$\overline{\bigcup_{aH\in G/H}aP}\subset\Lambda(G)$が $G$ で不変な最小の閉集合であることからわかる.

で$\square$のパラメータについて

$G$

最後に,
いる.

$\Lambda(G)$$f=(\begin{array}{ll}x yz w\end{array})$のパラメータについて考える. 補題 3.4 より $z=\sqrt{2}j$ であることはすでにわかつてについては $xw^{*}-yz^{*}=1$ より $x,$ $w$ から定まるので $x,w$ について調べればよい.

元の特徴付け $z^{*}x=x^{*}z,$ $zw=wz^{*}$ に $z=\sqrt{2}j$ を代入して$jx\dot{g}^{-1}=x^{*},jw\dot{g}^{-1}=w^{*}$

134

を得る.

これから $x,$ $w$ の$u_{0},$ $u_{1},$ $u_{2}$

$g,$

$i$

成分が

$0$

であることがわかる.

を実数として $u=u0+u_{1}i+u_{2}j$ とおく.

$U^{-1}hU=h$ は明らかである.

$U^{-1}fU$$U=(\begin{array}{ll}1 u0 l\end{array})\in M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$に対して $U^{-1}gU=$を計算すると$U^{-1}fU=(^{x-\sqrt{2}uj}\sqrt{2}j$$w+\sqrt{2}ju**)$となる. なお, 行列の $(1, 2)$ 成分は他の成分から定まるので略した.

$u$の定義から $uj,ju$ の

$i$

成分は

$0$

であ

$i$

成分が

$0$

であ

ることに注意しよう.
ここで, $x’=x-\sqrt{2}uj,$ $w’=w+\sqrt{2}ju$ とおく. $uj,ju$ のることから,$u= \frac{(w^{*}-x)j}{2\sqrt{2}}$窟理 310 $G=(f,g,$$h\rangle$

はを 満ゞ す $u0,$$M\ddot{o}b^{+}(\hat{\mathbb{R}}^{3})$

$i$

成分が

$0$

であることと,を 選^ ば $x’=(w’)^{*}$ とで $g8$

$u_{1},$ $u_{2}$. し$x,$ $w$$f^{\sim}.l^{f}\cdot\supset$のて次の定理 \epsilon 得 6.

による共役を除いて,$G(t_{1},t_{2},t_{3},p)=((t \frac{(1-t^{2})j}{\sqrt{2},t^{*}}I (\begin{array}{ll}1 10 l\end{array}), (\begin{array}{ll}1 p0 l\end{array}))$と表せる. ただし,

$t= \frac{t_{1}+t_{2}j+t_{3}k}{2},$ $(t_{1},t_{2}, t_{3}\in \mathbb{R}),p\in \mathbb{C}-\mathbb{R},$

補題 311 $p=i,w$ のとき$t\in \mathbb{R}$で,$|t|\geq 1$$|p|=1$ とする.

ならば $G$ は離散的である.

証明 $R^{3}\simeq R(1, i,j)\subset \mathbb{H}$ とする.
$|t|\geq 1$のとき,$\pm\frac{tj}{\sqrt{2}}$を中心とする半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$の二つの球をそれぞれ $C_{1},C_{2}$ とする.

$C_{1},$ $C_{2}$の外部 (無限遠点を含む側) と, 原点を中心とする一辺の長さが 1 の正方形から作られる平面 $R(1,i)$ に垂直な正方形柱の内部との共通部分を $F$ とする.

$F$の面角は $\pi/2,$ $\pi/4$ なので, ボアンカレの多面体定理より $G$ の離散性がわ

かる.
$p=w$ のときは正方形を正 6 角形で考えることにより, 上の議論と同様にして $G$ の離散性がわかる.

4$\square$

コンピュータによる実験および極限集合の描画$p\in \mathbb{C},$$|p|=1,$ $t_{1},t_{2},t_{3}\in \mathbb{R}$ をパラメータとして $\bigcup_{aH\in G/H}aP$ を描画するソフトウェア, Norio [8]

を製作

した.

以下の図は単位球による反転でうつした$\Lambda(G)$のデータを,

POV-Ray (Mac OS 版) [26] を用いて描いたものである. なお, 球の数が多くなるとレンダリングエラーになるため, 球の数はる. 本来は放物型変換の固定点の近くに球が密集するはずであるが,$\bigcup_{aH\epsilon G/H}aP$が任意の異なる $aH,$ $a’H\in G/H$ に対して

$aP$

$1,000,\mathfrak{X}0$

以下に抑えてい

そうなっていないのはこのためである.

と $a’P$ が接するか交わらないとき. 房状(tufled) であると呼ぶことにする. パラメータを動かして実験したところ, 次の観察を得た.

135$p=i,$ $t=2.8$ のとき.

$f$の固定点方向から見た図.

図 2 $p=w,$ $t=2.8$ のとき.

$f$の固定点方向から見た図.

図1

観察 41

1. $P\neq i,p\neq\omega$ のときは
2. $p=i,w$ のときは$\Lambda(G)=\mathbb{R}^{3}$$\Lambda(G)$.

を房状に保ったまま, パラメータ$t$をある程度動かすことができる.

予想 4.2

1.

$G$が離散的であるような$t$のパラメータ空間は,Maskit slice のパラメータ空間と似た三次元の形状になると考えられる.

2. 二元生成三次元クライン群で生成元の 1 つが放物型の場合の極限集合からの類推により,が $G’=(\alpha,\beta,\gamma|[\alpha,\beta]^{2}=[\alpha,\gamma]^{2}=[\beta,\gamma]=1)$ の忠実な表現になっているならば,$G\overline{=}(f,$ $g,$$\Lambda(G)$$h\rangle$

は房状であ

136

図3

$p=w,$ $t=1.95+0.15j+0.15k$ のとき.

ると考えられる.

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$A$

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