日本ソフトウェア科学会第 34 回大会 (2017 年度) 講演論文集

抽象議論理論的な同盟形成意味論
蟻坂 竜大

佐藤 健

抽象議論理論 (abstract argumentation theory) 的な同盟形成の意味論を提案する。例えば政党連合では、連合の形成には利点があるはずだが、同時に連合形成によって個々の政党の行動が制限されることが多い。こういった性質を表現するにあたり、典型的な抽象議論理論においての、容認されうる議論の集合は内部対立を起こさない(conflict-freeness)、という制約はふさわしくない。そのため、容認されうる議論の集合は内部対立を起こしていてもよいが、完全批判される議論を含まない (conflict-eliminability) という弱い制約が適切である。本論文では、
conflict-eliminability を満たす集合間の同盟利益形成の意味論を抽象議論的に形成する。

We contemplate on abstract-argumentation-theoretic coalition formation semantics. Such semantics areinteresting in several respects. They require a weaker notion than the typical conflict-freeness among setsof arguments, and they are semantics relativised to a certain set of arguments.

する。以下はそのような同盟のもつ興味深い特徴で

1 はじめにある。

エージェントの同盟形成の研究は様々な分野で行わ• 個人的というより組織的：党内外を問わず気の合れているが、同盟を、その同盟に関わるエージェント

うエージェント同士で自由に協力しあうことはでの主張の集合と捉えることもできる。そのため、AIきない。

の知識表現分野の抽象議論理論を用いて議論主体の• 内部対立： 政党員は政党の政策を支持すべき

同盟形成意味論を考察することに意義はある。関連研で、それに関して他の政党員と争うことはない、

究 [1] [6] [17] では、Dung の容認意味論 (acceptabilityと考えられる。しかし、政策の詳細に関しては政semantics) を応用して容認できるエージェントの同

党の派閥同士で対立することは起こる。その結盟を考察しており、焦点は利己的な同盟構成員の利益

果、政党所属員が対外的に党員として発言する場が最大となる集合を導くことにある。これらの研究で合には自己の主張をある程度抑えなくてはなら

は主に協力的な同盟が考察されており、同盟内には内ないことがなる。

部対立はなく、エージェントが同盟に属することで何かを失う必要も無い。

• 政党間での非対称的な対立： 政党としての主張は対外的には矛盾を含むものであってはならない

しかし、全ての同盟が協力的なものであるというので、内部対立が派閥間で起こる点は政党としてわけではなく、政治の同盟では、例えば自民党に見らの主張に含むべきでない。しかし、他政党はそうれるように、派閥間で政策の食い違いがおこること

いった政党の事情に束縛されないので、その政党は起こりうる。ここでは我々は政党の類の同盟を考察

内の派閥の主張を批判することをもってその政党に対する批判とすることはしばしば見られる。

On Argumentation-Theoretic Coalition Formation
Semantics
Ryuta Arisaka and Ken Satoh, 国立情報学研究所, National Institute of Informatics.

本論文では、我々は抽象議論的にこのような特徴を持
つ同盟を扱い、同盟利益また同盟形成の意味論を考える。具体的には、（１）議論集合が利益を得る判断基

準が与えられた際、内部対立を含みうる議論集合 A

益を、（１）集合の大きさ、（２）ある議論集合 A がはどの他の内部対立を含み得る議論集合と同盟を形

議論集合 B と同盟を形成するとした際、A を批判し成することで利益を得るか、（２）また、そのようなていた議論の数は同盟形成後に減少するか、（３）議利益意味論、さらに同盟のユーティリティー公準が与論集合がどのくらい弁護されているか、によって判断えられた際、A はいずれの他の議論集合と実際に同することにする。

盟を組得るか、という２つの問いを考察する。

1. 1. 1 対立許容抽象議論

テクニカルな部分でこれらの意味論が面白い点は、

内部無対立の公準を見直す研究はなされてきていまず第一にこれらは従来の議論容認意味論のような、る。２価意味論 [16] は reductio ad absurdum を用い与えられた議論集合のうちのどの集合が容認されるて矛盾を解決する。Arieli は容認、排斥、無関心、容か、というグローバルな意味論ではなく、意味論自体

認か排斥か判断しかねる、という４つのラベルを使うがある議論集合に相対化されていることである。第ことによって内部無対立を緩和している [4]。しかし、

二に、上述の内部対立また非対称性に対応するため、

これらのアプローチでは数値を直接取り扱わないた(1) Dung の容認される議論集合は内部対立を含まなめ、批判の強度を表すことが難しい。重み付き抽象議

い、という制約より弱い、議論集合の構成議論が完全論 (Weighted Argumentation) [12] では数値が批判関に批判されない限り内部対立は許容される、という係に付与される。また、グローバルな inconsistency

制約を設定すること、（２）また内部対立を含む議論

budget という数値も与えられる。この理論では、議集合（政党構成員の視点）から内部対立を仮に除いた論集合内で起こる批判の数値を足しあわせたものが際に得られる内部対立を含まない議論集合（政党の矛盾の度合いで、それが inconsistency budget より視点）をともに考えること、（３）そして、それらを小さければその集合の矛盾は許容できる、としてい用いて、ある議論集合がどの集合外の議論から批判る。しかし、我々のセッティングでは内部対立を含むを受けるか、またその議論集合はそれらの議論を批

議論集合から内部対立を除いた集合を得ることが必判できるか、を考察すること、が必要となる。第一の要であるため、このアプローチは十分でない。また、

点と同様、ここでも単に議論集合が前述の弱い制約

実質的には、というのも、対外的には、我々の扱う議を満たしているかが問題となっているわけではなく、論集合は矛盾を含んでいてはいけないので、矛盾許議論集合内で議論が完全に批判されないが部分的な

容は内部対立許容とはやや趣旨の異なるものである。

批判を受ける場合、その議論集合が内部対立を含まな

これらと比較すると [14] [13] は我々のアプローチに近いためにはどの程度その議論を弱めるのか、を知らない。そのため、これらを応用することは可能であるとければならない。対処として、我々は全ての議論に数考えるが、抽象議論理論の批判を論理的に考察するこ的な容量を与え、また全ての批判にも批判数を与えるとも重要である [2] [3] [7] ことも踏まえて、ここではよこととする。

り axiomatic なアプローチをとることにする。

1. 1. 2 動的抽象議論
1. 1 関連研究

我々のフレームワークはある種動的である。これまDung の容認意味論をもって同盟形成を考察する研での研究では構造的議論理論から反論不能な議論を変究はすでにあげた [1] [6] [17]。これらの研究では利己的更したり [18]、新たな議論を足したり [8]、批判を修正なエージェントによる内部対立を含まない種類の同盟

したり [10]、命題論理を通して議論フレームワークをを扱っている。 [1] では、同盟に目標というメタな情修正したり [9]、議論フレームワークを議論フレーム

報を与え、また、エージェントがどの目標を遂行できワークで修正したり [5] することが行われてきた。こるか、ということも設定している。これに比較して、れらは主にインプットがどのように議論フレームワー

我々はより抽象議論的に同盟形成を考え、数値以上にクを変更すべきか、に焦点をあてている。我々のセッ

メタな情報は取り入れない。代わりに、我々は同盟利

ティングでは、対立の非対称性を表現するにあたって

内部対立解消前と解消後の両方が必要となるため、あていることが多い。２つめの制約の説明として、我々る意味異なる視点のコーディネーションを行うことには議論は容量を持たせるとしたことを思い返してもらなる。我々の知りうる限りではそのような研究は上記いたい。容量が具体的に何であるかは解釈によるが、の関連文献ではなされていない。

大きいほど議論としての情報量が多いとする。容量０というのはその議論に議論としての情報がないとみな2 抽象議論理論すため、議論を扱う上で n が０以下となる (a, n) はDung が提唱する抽象議論理論 [11] は様々な方法で考慮しない。３つめの制約に関して、議論 (a, n) の a

拡張されているが、本論文では Nielsen-Parsons のよは (a, n) の ID と仮定している。これはその議論の発り一般的な議論フレームワーク [15] を用いる。定義を言者のユニークな ID と捉えていただいてよい。一貫

以下に挙げる。

性のある議論集合では同じ ID は２度使われない。こ議論（主張）は抽象的な存在とし、A を全ての議論のAクラスとする。A ⊆fin A また G : (2 \∅×A) とした場

れ以降、特に断らない限り、我々は一貫性のある議論
集合を考察しているものとする。

合、(A, G) を議論フレームワークと呼ぶ。A1 ⊆ A またA′ ⊆ A かつ a ∈ A とした場合、(A′ , a) ∈ G の場合に′限り A1 は a を批判するとみなす。(A , a) ∈ G である
′′

′

′′

′′

が、A ⊂ A となる全ての A に関して (A , a) ̸∈ G′となる場合に限り (A , a) を最小とみなす。A1 に批判される a ∈ A1 が無い場合に限り A1 を無対立議論
集合 (conflict-free arguments set) とする。a ∈ A の例 1 以下の４つの議論を考えてみる。

a1 中国韓国との国際的な協力を支持する。高速道路の建設を支持する。小農家の保護を支持する。ガ
ソリン税の導入を支持する。

a2 中国韓国との国際的な協力を支持する。自由貿易を支持する。消費税の増税を支持する。

時、全ての最小の (Ax , a) ∈ G に対して A が少なく

a3 靖国神社参拝を支持する。高速道路の建設に反対ともひとつの ax ∈ Ax を批判する場合に限り、A はする。アメリカとの軍事関係の強化を支持する。

a を弁護するとみなす。A1 が無対立議論集合かつ全車に関しては自由貿易を支持する。小農家の保護ての a ∈ A1 を弁護する場合に限り、A1 は容認されに反対する。

るとみなす。容認される議論集合のうち、自身以外に

a4 靖国神社参拝に反対する。

上位集合を持たないものを、特に理想的な議論集合

簡単な容量としては、各議論を構成する詳細な議論の(preferred extension もしくは preferred set) とする。

数を考えることもできる。その場合、上記の議論は我々のフレームワークでは (a1 , 4), (a2 , 3), (a3 , 5), (a4 , 1)

3 対立許容議論フレームワークとなる。

我々のフレームワークの定義は以下のとおりである。N を０を含む自然数とする。また S を A × N とさて、批判関係に移る。R を 2S × S ⇀ とし、以する。以下、A ではなく S を全ての議論のクラスと下の制約を満たすものとする。R(S, s) は S の s に対し、s（サブスクリプトありまたはなし）は S の構成

する批判の強度を表す。また、(S, s) が R で定義され員を指すものとする。

ている、と書くこともあるし、R(S, s) が定義されてS1 ⊆ S のうち、以下の３つの制約を満たすものを
一貫性のある議論集合と呼ぶ。

• S1 は有限集合。

いる、と書くこともある。両者に区別はない。

1. R(∅, s) は定義されない。[Consistency]
2. 全ての S1 ⊆ S また、全ての s ∈ S において、• S1 の全ての構成員 (a, n) について n > 0。

(S1 , s) が R で定義される時、∅ ⊂ S2 ⊆ S1 なら• (a, n) ∈ S1 ならば S は n = m でない (a, m) をば (S2 , s) は R で定義される。[Quasi-closure

含まない。
１つめの制約は通常の議論フレームワークで仮定されby subset relation]
3. 全ての S1 , S2 ⊆ S ⊆fin S また全ての s ∈ S において、(S1 , s) また (S2 , s) が R で定義されるなら,できるので、そのような関係は考慮する必要がない。

(S1 ∪ S2 , s) もまた R でていぎされる。[Closure[Attack monotonicity 1] は以下のような性質をby set union]表す。R は S1 ⊆ S ⊆fin S から s ∈ S に定義されて4. 全 て の S1 ⊆ S ⊆fin S ま た 全 て の s ∈ S

いるとした場合、他は変えずにある s1 ∈ S1 に関しに お い て 、(S1 , s) が R で 定 義 さ れ る な ら,て R({s1 }, s) を増加させたとする。その場合、そのR(S1 , s) > 0 が成り立つ。 [Attack with a

変更後の S1 、 S1′ 、からの s への批判は依然として

positive strength]

起こるべきである。[Attack monotonicity 2] は、

5. n ≤ m となる全ての (a, n), (a, m) ∈ S において仮に集合がある議論を批判する場合、その集合の上位以下が成り立つ。s ∈ S また (a, n) ∈ S1 となる集合はその批判の強度を減少させない、ということをS1 ⊆fin S において R(S1 , s) が定義されるなら表す。[Attack monotonicity 3] の説明として, とば、S2 = (S1 \(a, n)) ∪ (a, m) において R(S2 , s)ある集合がとある強度である議論を批判しているとは定義され、また R(S1 , s) ≤ R(S2 , s) が成り立する。ここで、その批判を受ける議論の容量を増加さつ。[Attack monotonicity 1 (source)]

せた場合、我々が示した議論容量の理解によれば、容6. 全ての S1 , S2 ⊆ S ⊆fin S また全ての s ∈ S に量が増加した議論は増加前の情報を含み、さらにそれおいて, (S1 , s)、(S2 , s) また (S1 ∩ S2 , s), が R

以上の情報を含み得るわけであるから、その集合は当で定義されるなら, i = 1 また i = 2 において

然変更後の議論を変更前と同程度またはさらに強くR(S1 ∩ S2 , s) ≤ R(Si , s) が成り立つ。[Attack批判する。[No self attacks] は矛盾的な議論が現れ

monotonicity 2 (source)]

ることを許さない。

7. n ≤ m と な る 全 て の (a, n), (a, m) ∈ S∪に お い て 、 S1 ∩ l∈N {(a, l)} = ∅ と な る
S1 ⊆fin S があり、(S1 , (a, n)) が R で定義さ[Attack monotonicity 1]の一般化も成り立つ。

π を自然数と何かしらの順序対をとる関数とし、π(n, Γ) = {n 番目の Γ の構成員 } とする。

れるなら, (S1 , (a, m)) も R で定義され, またR(S1 , (a, n)) ≤ R(S1 , (a, m)) が成り立つ。[At-公理 1 S1 ⊆fin S ま た s ∈ S に お い て R(S1 , s)tack monotonicity 3 (target)]
8. 全ての S1 ⊆fin S また全ての s ∈ S において、が 定 義 さ れ る も の と す る 。S2 ⊆fin S が (1)∪∪sx ∈S2 π(1, sx ) また (2) (a, n) ∈sx ∈S1 π(1, sx ) =s ∈ S1 ならば R(S1 , s) は定義されない。[NoS1 ならば n ≤ m において (a, m) ∈ S2 、 を満たす

self attacks]

ならば、R(S2 , s) は定義される。

[Coherence] に よ り、批判 は 無 か ら 起 こ ら な い 。
[Quasi-closure by subset relation] により、集我々の議論フレームワークは S を一貫性のある議論合からある議論に対して R が定義される場合、空集集合として、(S, R) と定める。

合を除いたその集合の全ての下位集合からその議論に対してい R が定義される。これは Nielsen-Parson の議論フレームワークと比較すると違う点ではあるが、3. 1 批判R を用いて批判と完全批判を以下に定義する。

我々は批判と完全批判を区別するので本質的な差とはならない。[Closure by set union] は [Quasi-

定義 1 R(S2 , s) が定義される S2 ⊆ S1 が存在する

closure by subset relation] の逆の制約である。

場合に限り、S1 ⊆ S は s ∈ S を批判する、とする。

[Attack with a positive strength] の目的は以下

S1 が s を批判し、なおかつ（１）R(S2 , s) が定義さの通りである。前述のように、R(S1 , s) は S1 から s

れ、（２）Sx ⊆ S1 となる Sx において R(Sx , s) が定への批判の強度を表す。仮にその値が０だとすると、

義されるならば π(2, s) ⊆ R(S2 , s)、となる S2 ⊆ S1

要するに S1 は s を批判していない、と考えることがが存在する場合に限り、S1 ⊆ S は s ∈ S を完全批判

する、とする。

は存在しない。

よって批判が完全批判となるのは批判を行う集合のあ実質議論は無対立である。

る下位集合から対象の議論への批判強度が、その議論
定義 5 (実質議論の視点) DelR (S, Sx ) を {(Sy , s) |の容量より少なくない場合である。

s ∈ Sx ⊆ S and Sy ⊆ Sx and R(Sy , s) が定義される。}
定義 2 (最大批判強度) Vmax(S1 , s) を以下のようにと お く。ま た 、S1 を S の 下 位 集 合 と す る 。α定義する。S1 が s を批判しない時０である。さもなけが S1 に お い て 定 義 さ れ る な ら ば 、((S\S1 ) ∪れ ば 、（ １ ）R(S2 , s) が 定 義 さ れ 、（ ２ ）Sx ⊆ S1

α(S1 ), R\Del(S, S1 )) を S1 が S に関してもつ視点と な る (Sx , s) に お い て R が 定 義 さ れ る な ら ばとする。また、それを ViewR (S, S1 ) と表す。

R(Sx , s) ≤ R(S2 , s)、を満たす S2 ⊆ S1 による批公理 3 α(S1 ) が 定 義 さ れ る な ら ば α(S1 ) は

判強度 R(S2 , s) である。

ViewR (S, S1 ) で無対立である。
例 2 例１に戻ろう。(a1 , 4) は (a3 , 5) と３つの点（靖国神社参拝が中国韓国との国際協力に支障をきたす

例 3

もの、とする）において対立する。このため、批判強度を対立する主張の数、と単純に解釈した場合、(a1, 4)(a2, 3)(a1, 1)(a2, 3)(a1, 1)(a2, 1)(a3, 5)(a4, 1)(a3, 2)(a4, 1)(a3, 1)(a4, 1)R({(a1 , 4)}, {(a3 , 5)}) = R({(a3 , 5)}, (a1 , 4)) = 3,となる。

左の図は例１の議論を、議論間の批判を踏まえて図式

3. 2 対立許容議論集合
定義 3 (対立許容議論集合) S1 を構成する議論が S1化したものである。真ん中の図、また右の図はそれぞにより完全批判されることのない場合に限り、S1 をれ {(a1 , 4), (a3 , 5)} と {(a1 , 4), (a2 , 3), (a3 , 5)} の左図に対する視点である。†1 中図の (a , 4) は a のガ

対立許容議論集合とする。

11

ソリン税支持を表す。また、(a3 , 2) はアメリカとの軍対立許容は無対立よりも弱い制約である。対立許容を事関係の強化、車の自由貿易を表す。実質議論の視点の定義、また R の定義により、(a1 , 1) と (a3 , 2) の間定める動機はすでに述べた。

には批判関係はない。（右図の (a1 , 1), (a2 , 1), (a3 , 1)
定義 4 (実質議論) S1 が対立許容議論集合である場S

Sの間でも同様である。）一方で車の自由貿易と (a2 , 3)

は S1 において定義されの自由貿易は詳細な点については対立するため、批判るものとする。α(S1 ) が定義される場合、α(S1 ) =関係がある。(a1 , 1), (a2 , 3), (a3 , 2) と (a4 , 1) の間で{(π(1, s), n) | s ∈ S1 and n = π(2, s) − V

は対立は起こらない。右図の中図と同様に考える。

合に限り、α : 2

⇀ 2

max

(S1 , s)}と定める。また、 α(S1 ) を S1 の実質議論と呼ぶ。
例 ２ に お い て 、{(a1 , 4), (a3 , 5)} の 実 質 議 論 は

3. 3 同盟批判、同盟容認議論集合また同盟理想議{(a1 , 1), (a3 , 2)} となる。
公理 2 全ての S1 ⊆ S において, α が S1 で定義されているならば, 全ての α(S1 ) の構成員は S の構成員である。特に、(a, −n) ∈ α(S1 ) となる a ∈ A n ∈ N†1 一言のことわりとして、これらは左図から唯一に決定されるものではない。これらは例１の具体的な議論またその批判関係より得ている。

論集合
対立許容議論集合は外部の議論を実質議論によってのみ批判可能である。

ずしも無対立とならないからである。仮に S2 ⊆ S としてしまうと S1 内での対立が批判とされてしまう。
しかし、同盟容認性はそれが考察される対立許容議論
集合 S の視点からみた S の容認性であるので、S 内

定義 6 (同盟批判また同盟完全批判) α(S1 ) が定義さの対立は考慮されるべきでない。対して、 s ∈ α(S1 )れ、(S2 , s) において π(2, ViewR (S, S1 )) が定義されではなく s ∈ S1 となっている理由は、外部からの対るような S2 ⊆ α(S1 ) が存在する場合に限り、S1 は立許容議論集合への批判はその構成員を批判するのs を同盟批判する、と定める。S1 が s を同盟批判し、みで十分であるからである。そのため、例３においてπ(2, ViewR (S, S1 )))(α(S1 ), s) ≥ π(2, s) が成り立つ{(a1 , 4), (a3 , 5)} (また {(a1 , 4), (a2 , 3), (a3 , 5)}) は同場合に限り、S1 は s を同盟完全批判する、と定める。

盟容認議論集合ではない。

我々の例では、{(a3 , 5)} から (a4 , 1) が同盟完全批判

4 同盟利益意味論また同盟形成意味論となる。{(a1 , 4), (a3 , 5)} から (a2 , 3) は同盟批判とな

本章では前章で定義した対立許容議論集合を同盟る。明らかではあるが、対立許容議論集合は自身の構の抽象議論理論的なモデルと捉え、同盟形成意味論を

成員を同盟批判しない。

考察する。まず、同盟を組むというからには少なくと

公理 4 以下は同義である。

も２つ以上の議論集合があるはずであるためどの議1. S1 ⊆ S は s ∈ S を同盟批判する。

論集合が容認されるかやどの容認される議論集合が

2. S1 ⊆ S は s ∈ π(1, ViewR (S, S1 )) を同盟批判

他の容認される議論集合よりも理想であるのか、がする。

問題とされているとは思わない。与えられた対立許以下も同義である。

容議論集合が他の独立の対立許容議論集合と同盟を

1. S1 ⊆ S は s ∈ S を同盟完全批判する。

組みうるか、がより的を得た問いであろうと考える。

2. S1 ⊆ S は s ∈ π(1, ViewR (S, S1 )) を同盟完全批

そのため、我々の意味論は対立許容議論集合に相対化判する。

されたもの、つまり対立許容議論集合をパラメーターとしてとるもの、とする。我々は初めに同盟利益意味

同盟容認議論集合、また同盟理想議論集合も２章で取論を考え、それから同盟利益意味論を基にする同盟形り上げた容認議論集合、理想議論集合を対立許容議論

成意味論を考察する。以下の定義を仮定する。

集合にアレンジしたものとなる。
定義 8 (一方批判) S1 を対立許容議論集合とする。
定義 7 (同盟容認（理想）議論集合)

Sx が s ∈ S1 を批判し、なおかつ S1 がどの sx ∈ Sx

S1 が 対 立 許 容 議 論 集 合 で あ り、な お か つ S2 ⊆も同盟批判しないような Sx ⊆ π(1, ViewR (S, S1 )) がπ(1, ViewR (S, S1 )) が s ∈ S1 を 批 判 す る 場 合 に存在する場合に限り、S1 は一方批判を受ける、とす

R(Sx , s) が 定 義 さ れ る 全 て の Sx ⊆ S2 に お い てる。

sx ∈ Sx を同盟完全批判する集合が α(S1 ) の下位集合としてある場合に限り、S1 を同盟容認議論集合

例３において、{(a1 , 4), (a2 , 3), (a3 , 5)} は (a4 , 1) よとする。S1 が同盟容認議論集合であり同盟容認集合

り一方批判を受ける。

となる S1 ⊂ Sy ⊆ S を満たす Sy がない場合に限り、S1 を同盟理想議論集合とする。

定義 9 (対立許容議論集合の状態) ⪯: 2S × 2S という二項関係を定め、S1 、S2 が共に対立許容議論集合であ上 記 の 定 義 に お い て S2 ⊆ S で は な く S2 ⊆り、また次のいずれかを満たす場合に限り (S1 , S2 ) ∈⪯π(1, ViewR (S, S1 )) となっているが、これは S1 が必が満たされるとする。なお、S1 ⪯ S2 とも書く。

1. S2 は同盟容認議論集合。

1. S1 ⊆ S2 （より大きい集合)。

2. S1 は一方批判を受ける。

2. S1 ⪯ S2 (より良い状態)。

3. S1 、S2 のどちらも同盟容認議論集合でないし、

3. |{s ∈ Attacker(S1 ) | S1 は s を同盟完全批判しない

一方批判も受けない。

かつ s ̸∈ S1 }| ≥ |{s ∈ Attacker(S1 ) | S2 は s を(S1 , S2 ) ∈⪯ であるとき、S2 は少なくとも S1 ほどに同盟完全批判しないかつ s ̸∈ S2 }| (より少数の批は良い状態である、とする。

判者)。

S1 ⊴ S2 である場合に限り、S2 は S1 にとって利益の大まかには、Sx ⊆ S が同盟容認議論集合であれば外ある同盟であるとする。

部からの批判から完全に弁護されているわけであるから良い状態にある。Sx が一方批判を受けるのであ

2 番目の制約により、S1 ⊴ S2 ならば S1 と S2 のどち

れば、外部批判に対する答えがないわけであるから悪らも対立許容議論集合となる。3 番目の制約では不等い状態にある。そのどちらでもない場合は前者よりは号の右側の項においても s ∈ Attacker(S1 ) となって悪い状態であるが後者よりは良い状態となる。

いるが、これは誤りではなく、この同盟利益が、S1に対しての利益を図っているためである。例３では定義 10 (同盟許可) S1 ∩ S2 = ∅ また S1 ∪ S2 が対{(a1 , 4), (a3 , 5)} ⊴ {(a1 , 4), (a2 , 3), (a3 , 5)} が成り立

立許容議論集合である場合に限り S1 と S2 の同盟がつ。

許可される、とする。
公理 6 上記の制約の一つのみを満たすように (S, R)
以下の結果により、この定義は十分である。

を選ぶことができる。

補題 1 S1 ⊆ S また s ∈ S1 とする。S1 が s を完全

4. 1 同盟利益に関する結果

批判するならば, S1 ⊆ S2 ⊆ S を満たす全ての S2 にS1 ⊴ S1 ∪ S2 となるような (S, R), S1 , S2 ⊆ S が存

おいて S2 は s を完全批判する.

在することは容易にわかるので、他の結果を示す。

公理 5 S1 と S2 の同盟が許可されるならば, S1 と定理 1 S1 を対立許容議論集合とし、Sx を同盟容認

S2 は必然的に同盟容認議論集合である。

議論集合とする。S1 ⊂ Sx ならば、以下が満たされる。

証明 1 仮にそうでないとすると、対立容認性の定義

1. S2 = Sx \S1 は対立許容議論集合である。

により、Si （i は１か２）が s ∈ Si を完全批判する

2. S1 と S2 の同盟は許可される。

ような Si が存在する。補題 1 を適用。

3. S1 ⊴ Sx 。

次の定義を便宜的に定め、その上で同盟利益を定義す

定理 2 (存在定理) 各 S1 ⊆ S に関して、S1 と同盟る。

が許可され、S1 ⊴ S1 ∪ S2 であり、なおかつ S1 ∪ S2が同盟容認議論集合となる S2 が存在するならば、S1

定義 11 Attacker : 2S → 2S を、Attacker(S1 ) = {s ∈と同盟が許可され、S1 ⊴ S1 ∪ S3 であり、S1 ∪ S3 がS | s に批判される s1 が存在する }. を満たすものと

同盟理想議論集合であり、S2 ⊆ S3 となる S3 が存在する。Attacker(S1 ) を S1 の批判者とする。

する。

定義 12 (同盟利益) ⊴ : 2S × 2S を、S1 ⊴ S2 (また定理 3 (相互最大同盟) S1 を対立許容議論集合とし、は (S1 , S2 ) ∈ ⊴) ならば次の３つの制約を全て満たす

Pref(S1 ) を S1 を下位集合として含む全ての同盟理想ものとする。

議論集合の集合とする。Pref(S1 ) ̸= ∅ ならば以下が成り立つ。全ての Sx ∈ Pref(S1 ) において、S1 ⊴ Sx 、ような Sz ∈ Max(S1 ) が存在する場合に限り、⊴ は

また (Sx \S1 ) ⊴ Sx 、また S1 ⊴ Sy や (Sx \S1 ) ⊴ Sy と弱い連続性を持つものとする。全ての Sz ∈ Max(S1 )なる Sx ⊂ Sy ⊆ S は存在しない。

において ⊴ が弱い連続性を持つとき、⊴ は連続性を持つものとする。

しかし、一般的にはそのような相互利益は確約されな定理 5 (利益の非連続性) (1) S1 , S2 また Sx が対立

い。

許容議論集合であり、(2) Sx ∈ Max(S1 ) であり、ま定理 4 (同盟利益の非対称性) S1 ⊴ S1 ∪ S2 が満たさた (3) S2 ⊆ Sx であるが、S1 ⊴ S2 でないようなれるが S2 ⊴ S1 ∪ S2 が満たされないような S1 と S2

S1 , S2 , Sx を含む議論フレームワークが存在する。こを有する (S, R) が存在する。

の結果は Max(S1 ) = Pref(S1 ) としても変わらない。

証明 2

証明 3 Max(S1 ) = Pref(S1 ) を考えるのみでよい。

s3

s1

s3

s3

s3

s1

s5
s4

s4

(a2, 2)s5(a2, 1)(a1, 2)s4

s5s4(a1, 1)(a2, 2)(a2, 1)s5

議 論 フ レ ー ム ワ ー ク (S, R) に お い て 、 S を{(a1 , 2), (a2 , 2), s3 , s4 , s5 } とし, R を上図の批判関S を {s1 , (a2 , 2), s3 , s4 , s5 } とし、R は上図批判関係係を反映するものとしまた以下の条件を満たすものに対応するものとし、以下を満たすとする。

とする。

R({s1 }, (a2 , 2)) = 1;
R({s1 , (a2 , 1)}, s3 ) ≥ π(2, s3 ); R({s1 }, s3 ) < π(2, s3 );R({(a1 , 2)}, s4 ) ≥ π(2, s4 ); R({(a2 , 2)}, s5 ) ≥ π(2, s5 );R({(a1 , 2)}, (a2 , 2)) = 1;

R({(a2 , 2)}, s3 ) < π(2, s3 ); R({(a2 , 1)}, s4 ) < π(2, s4 ); R({(a , 2)}, (a , 2)) = 1; R({s }, s ) ≥ π(2, s );
2
1
3
4
4
R({(a2 , 1)}, s5 ) < π(2, s5 ); R({(a2 , 2)}, s4 ) ≥ π(2, s4 ); R({(a , 1), s }, s ) ≥ π(2, s ); R({s }, (a , 1)) ≥ 2;
2

R({(a2 , 2)}, s5 ) ≥ π(2, s5 ); R({s3 }, s1 ) ≥ 2;

R({s4 }, (a2 , 1)) ≥ 2; and R({s5 }, (a2 , 1)) ≥ 2。
ここで、S1 を {s1 } とし、また S2 を {(a2 , 2)} とすると、S1 と S1 ∪ S2 のどちらも中間の状態にあるので S1 ⊴ S1 ∪ S2 である。(より少数の批判者) も満たされる。しかし、S2 ⊴ S1 ∪ S2 は、（より少数の批判者）を満たさず、成立しない。
更に、⊴ は次のような一見成立しそうな特性も満た

3

5

5

4

1

R({s5 }, (a2 , 1)) ≥ 2。こ こ で 、明 ら か に α is S1 ={(a1 , 2)}, Sa = {(a2 , 2)} S2 = S1 ∪ Sa , Sx ={(a1 , 2), (a2 , 2), s3 } は対立許容議論集合である。また、Sx は同盟理想議論集合である。しかし、S1 ⊴ S2は満たされない。また、S2 は、右図のように一方批判を受け、対して S1 と Sa は中間の状態にあるため、

Sa ⊴ S2 でもない。
ではあるが、特別な条件下では連続性は成り立つ。

さない。
定義 13 ( ⊴ の連続性) S1 を対立許容議論集合とし、Max(S1 ) を（１）S1 ⊴ Sx また（２）Sx ⊂ Sy ⊆ S
ならば S1 ⊴ Sy ではない、という条件を満たす全てのSx の集合とする。ここで、各 Sw ⊆ Sz において、S1と Sw \S1 の同盟が許可されるならば S1 ⊴ Sw となる定理 6 (利益の連続性) Sx ⊆ S を同盟理想議論集合とする。全ての独立の Sx の下位集合 Sy , Sz について Sy ⊴ Sy ∪ Sz ならば ⊴ は全ての S1 ⊂ Sx において弱い連続性を持つ。

4. 2 同盟形成意味論

満たされる。全ての Sy ∈ Max(S1 ) について,

同盟利益の関係を用いて同盟形成意味論を定める。

Sx <β Sy となる β ∈ {l, b, f } が存在するならば
Sy <γ Sx となる γ ∈ ({l, b, f }\β) が存在する。

以下のユーティリティーを仮定する。

I 同盟が少なくとも一方の議論集合にとって利益とS1 ⊴m S2 ならば集合の大きさ、状態、もしくは批なるならばその同盟は形成されるべきである。

判者の数という判断基準において最大の利益を持つ

II 同盟が両方の議論集合にとって利益となるならばMax(S1 ) の集合のうち、少なくとも一つが Max(S2 )その同盟は形成されるべきである。

に含まれることとなる。

III 同盟から将来的に潜在的に最大限の利益が期待

以下、I を満たす W、II を満たす M、I また III をされるならばその同盟は形成されるべきである。

満たす WS、また II また III を満たす S という４つ

これらのうち初めの２つは ⊴ から即座に理解できる。

の意味論を示す。

３つ目の公準に関しての我々の解釈は以下の通りで定義 15 (同盟形成意味論)ある。政党、つまり我々のセッティングではある対立

W(S1 ) = {S2 ⊆ S | S1 ⊴ S1 ∪ S2 or S2 ⊴ S1 ∪ S2 }.

許容議論集合 S1 、が他の対立許容議論集合 S2 とのM(S1 ) = {S2 ⊆ S | S1 ⊴ S1 ∪ S2 and S2 ⊴ S1 ∪ S2 }.

同盟を考察する場合、S1 が S2 と同盟を形成する前WS(S1 ) = {S2 ⊆ S | S1 ⊴m S1 ∪ S2 or S2 ⊴m S1 ∪ S2 }.

の状態では Max(S1 ) が S1 にとって最大利益をもたS(S1 ) = {S2 ⊆ S | S1 ⊴m S1 ∪ S2 and S2 ⊴m S1 ∪ S2 }.

らす同盟の集合である。であるわけだが、一旦同盟が形成されると Max(S1 ∪ S2 ) がその同盟にとって最直感的には、各 ρ ∈ {W, M, WSS} について ρ(S1 ) な

大利益をもたらす同盟の集合となり、ここで明らかに

らば、S1 は S2 ∈ ρ(S1 ) と同盟を組むことを I、II、Max(S1 ∪ S2 ) ⊆ Max(S1 ) である。これが意味するこIII の条件にそって承諾することとなる。

とは、S2 の選択が Max(S1 )\Max(S1 ∪ S2 ) の全てを

S1 ∪ S2 から到達不可能にすることで、そのため S1

定理 7 S1 を対立許容議論集合とすると、以下が満たは、Max(S1 ∪ S2 ) の全ての構成員が Max(S1 ) のあるされる。(1) M(S1 ) ⊆ W(S1 ). (2) WS(S1 ) ⊆ W(S1 ).

構成員よりも厳密に少利益となる場合にはそのよう(3) S(S1 ) ⊆ M(S1 ). (4) S(S1 ) ⊆ WS(S1 ). 一方でな S2 と同盟を形成しないというインセンティブを持

WS(S1 ) ⊆ M(S1 ) また M(S1 ) ⊆ WS(S1 ) は必然でつ。３つ目の公準はこのような直感を反映している。

はない。

5 終わりに

定義 14 (最大利益関係)≤l , ≤b , ≤f : 2S × 2S が以下を満たすとする。

本論文では抽象議論理論的な同盟利益形成意味論

1. S1 ≤l S2 の場合に限り |S1 | ≤ |S2 |.
2. S1 ≤b S2 の場合に限り S2 は少なくともを提案した。この研究成果は多くの抽象議論理論の研S1 と究分野にまたがっており、一層の研究が期待される。

同程度に良い状態にある。

3. S1 ≤f S2 の場合に限り S2 は少なくとも S1 と同じく少数の批判者、もしくはそれ以下の批判者を持つ。
各 β ∈ {l, b, f } に つ い て 、S1 ≤β S2 で あ る がS2 ≤β S1 でない場合に限り、S1 <β S2 と書くことにする。この時、⊴m : 2S × 2S を、S1 ⊴m S2 ならば以下の制約を満たすとする。

1. S1 ⊴ S2 。
2. 少なくともある Sx ∈ Max(S2 ) において以下が参 考 文 献[ 1 ] Amgoud, L.: An argumentation-based model forreasoning about coalition structures, Argumentation in Multi-Agent Systems, 2005, pp. 217–228.
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