医学統計セミナー ベーシックコース 第1回⽬

医学統計セミナー ベーシックコース 第1回⽬

2016年度 医学統計セミナー

医学統計セミナー ベーシックコース

基礎統計学

下川 敏雄

和歌⼭県⽴医科⼤学 臨床研究センター■ ベーシック・コース
 基礎統計学 (6⽉15⽇・住⾦棟5F ⼤研修室)
 量的データの解析 (7⽉27⽇・住⾦棟5F ⼤研修室)
 質的データの解析 (8⽉24⽇・住⾦棟5F ⼤研修室)
 共変量調整を伴う解析 (11⽉2⽇・病院棟4F 臨床講堂1)
 ⽣存時間・臨床検査データの解析(11⽉16⽇・住⾦棟5F ⼤研修室)■ アドバンス・コース
 多群・経時データの解析と多重⽐較(11⽉30⽇・病院棟4F 臨床講堂1)

 臨床試験における症例数設定とガイドライン(12⽉28⽇・住⾦棟5F ⼤研修室)
 アンケート調査データの解析 (2⽉1⽇・病院棟4F 臨床講堂1)
 統計的因果推論と傾向スコア (2⽉22⽇・住⾦棟5F ⼤研修室)
 メタアナリシス (3⽉22⽇・病院棟4F 臨床講堂1)

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医学研究においてとり扱われるデータ(1/3)■ 量的データ (numerical data)

⾎圧，腫瘍径といった数値に単位があるようなデータ を指す．⾔い⽅を変えれば，平均値(中央値)が意味をもつデータを指す．

位置を表す指標：平均値，中央値
バラツキを表す指標：標準偏差(分散)，四分位範囲(最⼩‐最⼤)■ カウント・データ (count data)

ポリープの個数のように「個数」を意味するデータを指す．

位置を表す指標：中央値
バラツキを表す指標：四分位範囲(最⼩‐最⼤)
ただし，患者背景を表す場合には級分けを⾏うことも多い

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医学研究においてとり扱われるデータ(2/3)■ 2値データ (binary data)

結果が(0,1), (成功, 失敗), (罹患,⾮罹患)のように2パターンであらわされるデータをさす．例えば，奏効の有無，疾患の有無などがある．

要約指標：クロス集計表，関⼼がある事象の⽐率，オッズ⽐
ただし，患者背景を表す場合には個々のカテゴリ数を記述■ カテゴリカル・データ (ordered categorical data)
順位がある(順序データ)：疾患のグレード(軽度，中程度，⾼度)など
順位がない(名義データ)：⾎液型や疾患の種類など

要約指標：クロス集計表，それぞれのカテゴリの⽐率
ただし，患者背景を表す場合には個々のカテゴリ数を記述

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医学研究においてとり扱われるデータ(3/3)

JMP Proにおけるデータの形式との対応■ ⽣存時間データ (survival data)■ 量的データ

連続尺度

がんの第III相試験などで主としてとり扱われるデータである．⽣存期間と中途打ち切り(censoring)指標がペアでとり扱われる．Kaplan‐Meierプロットを利⽤することが多い(詳しくは5回⽬のセミナーで説明)．

■ カウント・データ
順序尺度■ 順序カテゴリカル・データ

名義尺度■ 2値データ■ 名義カテゴリカル・データ

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データの形式

データの形式

ホジキンリンパ腫データ(Pintilie, 2006)

ステータ
ス

64

F

RT

N

Y

13.1

2

量的2値

2値

順序
ｶﾃｺﾞﾘｶﾙ

2値

順序ｶﾃｺﾞﾘｶﾙ

・・・

⽣存期間・・・

Pintilie M., (2006) Competing Risks: A Practical Perspective. John Wiley and Sons.

ステイジ
・・・

0：中途打ち切り
1：再発
2：死亡

結節外疾患
・・・

Y：あり
N：なし

縦隔腫瘍
・・・

RT：放射線治療
CMR：放射線＋抗癌剤

22
1
201

治療
・・・

L：⼤きい
S：⼩さい
N：なし

3.1
15.9
0.9
13.1
35.9
1.1

性別・・・

F：⼥性
M：男性

11
2
221

年齢・・・

Y
NN
N
N
N・・・

N
SNNL
N

⽣存期間・・・

RT
RT
RT
CMTRT
RTステイジ

ステータ
ス・・・

F
M
M
M
MM・・・

646317632137・・・

縦隔腫瘍

・・・

治療・・・

性別・・・

年齢

結節外疾患

生存時間

ここで出てくる統計⽤語
・標本サイズ：データ(例えば患者)の数を表す．
・変数の数(変量数)：試験などで得られた項⽬数を表す．変数と変量は，厳密には異なるが，ほぼ同じ．

尺度により，要約およびグラフ表⽰の⽅法が異なる

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カテゴリカルデータの要約：度数分布表
縦隔腫瘍

カテゴリカルデータの要約

JMP Proの出力

縦隔腫瘍

度数

相対度数

Large

113

0.131

Small

2880.333

No
計

464

0.536

865

1.000

度数：質的変数の項⽬に該当する個体(被験者)数
相対度数：項⽬に該当する個体(被験者数)の⽐率(度数/合計数)，割合とも呼ばれる．
分布：項⽬とその相対度数(⽐率)の関係をいう．それを表にしたものが度数分布表である．
JMPメモ：「順序尺度」「名義尺度」に対して，「分析」→「⼀変量の分布」で表⽰可能

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度数分布表の例⽰：名義カテゴリカル・データ

カテゴリカルデータの2変数の関係を評価する：クロス集計表

組織型

度数

相対度数0.016

管状腺癌(tub)

70

0.565

0.565

低分化腺癌(por)460.371460.371

印環細胞癌(sig)

40.03240.032

乳頭腺癌(pap)

20.016

粘液癌(muc)

10.008

粘液癌(muc)

10.008その他

10.008その他

10.008

計

124

1.000

計

124

1.000

組織型

度数

相対度数

乳頭腺癌(pap)2

管状腺癌(tub)70

低分化腺癌(por)印環細胞癌(sig)

各項⽬に順序関係がない(名義カテゴリカル・データ)での度数分布表の順番を替えることはできる．
並べ替えを⾏うことで，省察することが平易になる．

結節外疾患

治療法

治療法

度数

相対度数

結節外疾患

度数

相対度数

RT6160.712

Yes

790.091CMT
計2490.288

7860.909

865

1.000

No
計

865

1.000

治療法と結節外疾患には関係がある(例えば，治療法によって結節外疾患に違いがある？)

2つないしそれ以上の質的変数を組み合わせて，同時に集計することで2変数の関連性を調べるための表をクロス集計表(分割表)という
結節外疾患

治療法

これは，胃癌患者に対する臨床試験の患者背景のうち，組織型のみを摘出したものである．

YN

計

RT

29587

616

CMT

50199

249

計

79786865

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２変数でのクロス集計表の要約について：⾏パーセント

JMP Proの出⼒
事例とは逆列毎でパーセントをとった場合をいう(RT：放射線，CMT：放射線+抗癌剤)事例とは逆度数
総パーセント(全体に占める割合)
⾏パーセント列パーセント
度数
総パーセント(全体に占める割合)
⾏パーセント列パーセント

治療法

結節外疾患
YesNo

計

RT

29(4.7%)587(95.3%)616(100.0%)CMT50(20.1%)

199(79.9%)249(100.0%)

計

79(9.1%)786(90.9%)865(100.0%)

治療法毎の結節外疾患の有無がわかる．
 治療法がRTの患者で結節外疾患の確率は4.7%
 治療法がRTの患者で結節外疾患でない確率は95.3%
 治療法がCMTの患者で結節外疾患の確率は20.1%
 治療法がCMTの患者で結節外疾患でない確率は79.9%
治療法の群間で結節外疾患の罹患割合に約15%の違いが認められる

JMPメモ：「順序尺度」「名義尺度」に対して，「分析」→「⼆変量の関係」で表⽰可能

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２変数でのクロス集計表の要約について：列パーセント

⾏パーセントと列パーセントの違い
行パーセント

結節外疾患
計

29(36.7%)

587(74.7%)

616(71.2%)

CMT50(63.3%)

199(25.3%)249(28.8%)

計79(100.0%)786(100.0%)865(100.0%)

治療法

RT

結節外疾患
計

RT

29587

616

CMT

50199249

計

79786

865

治療法
RT

 結節外疾患でない患者の治療法がRTである確率は63.3%

あり

 結節外疾患でない患者の治療法がCMTである確率は25.3%

結節外疾患

結節外患者において，治療法に37.7%の違いがあった

結節外疾患

治療法
CMT時間

 結節外疾患患者の治療法がCMTである確率は74.4%

NYN

計

RT

29587

616

CMT

50199

249計79786865

パーセントをとる方向

結節外疾患の治療⽅法の有無がわかる．
 結節外疾患患者の治療法がRTである確率は36.7%

Y

結節外疾患
あり

結節外疾患
なし

RTRT

時間

No

治療法

Yes

列パーセントパーセントをとる方向

⾏毎でパーセントをとった場合をいう(RT：放射線，CMT：放射線+抗癌剤)

治療法

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なし

ありなし

結節外疾患

CMT

治療法

CMT

治療法

因果関係とクロス集計表(1)
肺がん

左表は，肺がんと遺伝⼦Aの関係をコントロール研究の結果を表したクロス集計表である (新⾕,2016)．

有遺伝⼦A調査するために実施されたケース

肺がん 有遺伝子A 有無計

8063143

調査するために実施されたコホー無90

107197

ト研究の結果を表したクロス集計

計

170170340

表である (新⾕,2016)．

遺伝子A 有肺がん

左表は，肺がんと遺伝⼦Aの関係を

有肺がん 無遺伝子A 無因果関係とクロス集計表(2)

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遺伝⼦A

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遺伝子A 無肺がん 有

計

80 (0.471)

63 (0.371)

143

無90 (0.529)

107 (0.629)

197

計170 (1.000)

170 (1.000)

340

遺伝⼦A

遺伝⼦A

無有

■ 対応がない場合(先ほどまでの例⽰)

NBI■ 対応がある場合
⽩⾊光
⾏う

NBI

所⾒あり

3,000

無90

4,910

5,000

計

170

7,830

8,000

遺伝子A 無肺がん 無肺がん 有肺がん 無有無計

有80 (0.027)

2,920 (0.973)

3,000 (1.000)

無90 (0.018)

4,910 (0.982)

5,000 (1.000)

計

170

7,830

8,000

所⾒なし
所⾒あり
所⾒なし

あり

なし

⽩⾊光ab

NBIcd

クロス集計表

所⾒あり

所⾒なし

B法

A法

陽性

陰性

陽性

ab

陰性

c

d

合計＋－＋

85

1095－

18

61

79

10371

174

合計

NBI

所⾒なし
所⾒あり

ある抗体の定量検査で，A法とB法との⽐較を⾏うために患者166例について⼆つの検査法を実施した対応のあるクロス集計表である．

所⾒

⽩⾊光

全被験者 両⽅にクロス集計表

群

R

2,920

対応があるデータにおけるクロス集計表

いま，ある消化器癌に対する内視鏡検査において，NBIと⽩⾊光の⽐較を⾏ったときの所⾒の有無の⽐較を⾏う仮想的な試験があったとする．

対象

80

有

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対応があるデータにおけるクロス集計表

⽩⾊光計

肺がん

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検査前

無遺伝子A 有肺がん
有有どのようにA法とB法を⽐較すればよいか評価すればよいか？

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対応があるデータにおけるクロス集計表■のセルは，両⽅の検査法も陽性(+)，陰性(‐)と診断されているので違いはない

B法

A法＋－＋

85

10－1861

リスク⽐とオッズ⽐
喫煙と肺がんの関係を調査するために，前向きコホート研究が実施され，喫煙習慣がある5,000⼈と喫煙習慣がない5,000⼈について20年にわたって追跡調査が⾏われた．その結果，喫煙習慣がある被験者では5⼈，喫煙習慣がない被験者では2⼈が肺がんに罹患していた．
■ 喫煙習慣がない被験者での罹患率(リスク)■ 喫煙習慣がある被験者での罹患率(リスク)

A法では陽性(+)であるにも関わらず，B法では陰性(‐)である割合．
100.057174

喫煙習慣によるリスク⽐(相対リスク)

A法では陰性(‐)であるにも関わらず，B法では陽性(+)である割合．
180.103
174
A法よりもB法のほうが，検出⼒が優れている．

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喫煙者は，⾮喫煙者よりも肺がんのリスクは，150%増加する．

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オッズ⽐ケースコントロール研究ではリスク⽐は使ってはいけない

⽩⾊光とNBIとの診断能を⽐較するために患者100例を50例ずつランダムに割つけ，⼆つの検査法のいずれかを実施した．感度に差があるといえるか
所⾒あり

所⾒なし

合計

陽性率

⽩⾊光

16 (a)

34 (b)

50p1=0.32

NBI

7 (c)

43 (d)

50p2=0.14

合計

2377

100

1.00

オッズとは，ある結果が⽣じる⽐率とある結果が⽣じない⽐率との⽐である．

このデータは，サリドマイドによる薬害を調査したLentz博⼠が実施したケースコントロール研究の結果である．
奇形児が生まれた母親
112人
服用90人(80.4%)

奇形児が生まれなかった母親
188人

非服用
22人(19.6%)

服用
2人 (1.1%)

サリドマイドの服⽤の有無

非服用186人 (98.9%)

サリドマイドの服⽤の有無,オッズ⽐は，結果(所⾒の有無)に対してどれぐらい要因（検査法）が寄与しているかを表す．

つまり，⽩⾊光はNBIに⽐べて2.891倍の所⾒の上昇を与えることができる．

服⽤⾮服⽤
計

奇形⾮奇形9022112

計
218618892208300

杉山 博：いわゆるサリドマイド問題に関する統計的考察．日本医事新報 2351号，1969医学統計セミナー ベーシックコース 第1回⽬

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サリドマイドの服用
92人

サリドマイドの非服用
208人

オッズ⽐が⽤いられる利⽤(1)■ リスク⽐には天井効果がある．

出生90人 (97.8%)

非出生2人(2.2%)

出生22人 (10.5%)

奇形児の出⽣の有無

非出生186人 (89.4%)

標準治療による疾患に対する有効率が50%だった．このときの新薬の有効率pでのリスク⽐及びオッズ⽐を考える．

奇形児の出⽣の有無

サリドマイドを服⽤していなくても，10.5%の⺟親が奇形児を出⽣しているというのは多すぎないか？
リスク及びリスク⽐では，データがとられた順番を変更すると，数値が変わる．そのため，ケースコントロール研究には向かない．
オッズ⽐では，原因と結果を逆転させて計算させても数値は変わらない．
このことがリスク⽐がケースコントロール研究に使えない理由である．

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リスク⽐
オッズ⽐
リスク⽐の場合には，2.0を上回ることがない(リスクが100%を超えることはない)．⼀⽅でリスクが3.0倍，4.0倍ということも考えられる．オッズ⽐は，∞倍までとることができる．

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オッズ⽐が⽤いられる利⽤(2)オッズ⽐をグラフ表⽰するときの留意点■ オッズ⽐では，逆数をとることで逆の解釈ができる
NBI
50人

白色光50人

いま，薬剤Ａと薬剤Ｂがあったとする．このとき，疾患の快復率に対するオッズ⽐が0.5と2.0があったとき，AとBは同じ

所見 有16人

所見 無34人

⽩⾊光 / NBIのオッズ⽐所見 有7人

所見 無43人

NBI / ⽩⾊光のオッズ⽐

NBI / ⽩⾊光のリスク⽐リスク⽐では原因を逆転した場合に逆数をとっても同じにならない

BはAの2倍BはAの2倍AはBの2倍AはBの2倍0.5 1

⽩⾊光 / NBIのリスク⽐

AとBは同じオッズ⽐

2.0‐0.301

00.301log10(オッズ⽐)となる．上記でもわかるように，グラフにしたときに，対数をとったほうが解釈がしやすい．ただし，オッズ⽐をグラフで表すときは，常⽤対数のグラフ(対数グラフ)を⽤いることも多い．

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量的データの要約の仕⽅：平均値と中央値(1/3)
⾎清ナトリウム値のデータ(丹後, 2013)

ある男性健常者９名の⾎清ナトリウム値(mEg/l)のデータ
1

番号

量的データの要約

23456789

測定値 151.4 149.8 152.7 150.5 151.8 148.2 153.1 150.1 151.6

⽣化学検査値のデータ(丹後, 2013)
患者９名のある⽣化学検査値のデータ
番号123456789

測定値

2120141613233302528

丹後俊郎：医学への統計学，朝倉書店, 2013.

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量的データの要約の仕⽅：平均値と中央値(2/3)■ ⾎清ナトリウム値のデータ (平均値は全体を代表している)量的データの要約の仕⽅：平均値と中央値(3/3)■ ⾎清ナトリウム値のデータ
平均値

平均値(151.02)

中央値は全体を代表している

148

149

150

151

152153154■⽣化学検査値のデータ(平均値が全体を代表しているとはいえない)
平均値(35.44)

5
症例5の影響を強く受けている．
020406080100120140148

平均値で位置を表すた
めの前提条件・ 外れ値が存在しない．
・分布形状が歪んでいない．
・「平均＞2×標準偏差」
が⽬安(丹後, 2013)
・(データの正規性が暗黙裡に仮定されている)

149

150

中央値とはデータを⼩さい順に並べたときに，中央にくる個体の値を表す．

中央値(151.04)

151152153154■⽣化学検査値のデータ
平均値

中央値(25)5
中央値は全体を代表している

020406080

100120140

医学研究では，患者背景の記述には中央値を⽤いることが多い(分野によって違う場合もある)．また，評価項⽬の検定にt検定を⽤いる場合には平均値，Wilcoxon検定を⽤いる場合には中央値が本来の利⽤法である．

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歪んだ分布に対する要約：中央値

データの歪みと位置を表す測度

病院職員を対象として飲酒習慣のある男性66名について，γ‐GTPについて調査した(丹後, 2013)．

左に歪んでいる分布(非対称分布)右に歪んでいる分布(非対称分布)対称分布■ 平均値 = 52.95
約20の差
相対度数

■ 中央値 = 32.50「平均＞2×標準偏差」が平均値を⽤いる
⽬安(丹後, 2013)
標準偏差(後ほど説明) = 65.29
52.95 ＜ 65.29×2
なので，中央値を用いることが適切

γ-GTP

平均値
中央値
最頻値

平均値
中央値

最頻値

最頻値

代表値：中央値(最頻値)

JMPメモ：「連続尺度」に対して，「分析」→「⼀変量の分布」で表⽰可能

平均値
中央値

最も⼀般的な状況
代表値：平均値

代表値：中央値(最頻値)

丹後俊郎：医学への統計学，朝倉書店, 2013.

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バラツキを表す指標(1)：範囲バラツキを表す指標(2)：四分位範囲バラツキを表す指標として，「最⼤値 – 最⼩値」のことを範囲という．

データ

番号12345

平均Ａ病院

100135120155190140Ｂ病院

140135125

155

145

140

範囲：190-100 = 90

最⼩値と中央値の中央データ

190

100(⼩さい順)

100

110

120

130

155
平均値
140150

160

170

180

A病院の⼿術時間は個⼈差が⼤きい

190

25%

最⼩値と最⼤値の中央50%

中央値と最⼤値の中央75%

中央値
第1四分位点
第3四分位点
第2四分位点
25%点
75%点
50%点

範囲：155-125 = 30
125

100%

中央値以下の値をとるデータの数は50%となることから，中央値は50パーセント点と呼ばれる．

A病院とB病院の平均⼿術時間は同じである．しかしながらデータをプロットすると，

B病院

中央値(⼩さい順) 0%

いま，2箇所の病院である疾患の⼿術時間を調査した．

A病院

50%

200

手術時間

第3四分位点－第1四分位点
四分位範囲

100%

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⽣化学検査のデータバラツキを表す指標(3)：分散

番号123456789

測定値

1416202125283033132

四分位範囲，範囲は中央値まわりのバラツキの測度だが，平均値に対応するにはどうすればよい？
平均値からのバラツキ(平均値まわりの散らばり具合)を利⽤すればよい．

第3四分位点

第1四分位点

B病院の例⽰A病院の例⽰Q1=20Q3=30

四分位範囲：IQR = Q3 - Q1=30-20=10
平均値

中央値(25)-60-40-20020

四分位範囲：データの50%が含まれる領域
範囲：すべてのデータが含まれる領域
020

406080100120140

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4060-60-40-200204060

・A病院のほうがB病院よりもバラツキが⼤きいことがわかる．
・平均からの差=(観測値―平均値)は偏差とよばれる．

医学統計セミナー ベーシックコース 第1回⽬分散の公式

正規分布と標準偏差の関係

偏差の平均値を平均値まわりのバラツキとしたいけど，偏差の合計値は0になるのでそのままでは使えない!!
偏差を2乗(偏差平⽅)すればすべて正値になるから，その平均値をとればよい．これは分散という．
平均値(の⻑さ)2 の平均値 ＝ 分散

68.27%

 分散ではもとの単位が2乗されている．
 範囲，四分位範囲は中央値と単位が同じだった．

：観測値：平均値からの距離

分散の平⽅根 ＝ 標準偏差99.73%

95.45%

医学論文で平均±SDでグラフを書くということは，データが，正規分布に従っているとすれば，データの約70%が含まれる範囲を示していることを表していることを意味する．

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バラツキ具合を相対的に表す：変動係数
例えば，鼠と象の体重の標準偏差をそのまま比較しても無意味である．このような場合に対して，分布のバラツキを比較するための量である．
公式

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変動係数の例⽰
⾎清ナトリウム値

⽣化学検査

平均値

1.445135.444

標準偏差151.022

36.758■ ⾎清ナトリウム値のデータ
平均±SDで要約しても良さそうである．

また，変動係数は，測定機器の精度の評価に用いることができる．
変動係数のもう一つの見方(一つの目安)■ ⽣化学検査のデータ

平均±SDによる要約の目安：
このとき，平均±SDでの要約に意味がある(歪みが少ない)．

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要約統計量とグラフ表⽰
正規分布から⼤きく乖離しない場合(胆⽯症患者と健常者の⾎清クレアチニン・デー
タ：丹後, 2013)

平均±SDで要約しないようが良さそうである．

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要約測度のまとめ位置を表す指標
平均値(mean)
データの重⼼をあら表す．

バラツキを表す指標
分散(variance)
平均値まわりのバラツキを表す
標準偏差(standard deviation)
分散の尺度を原尺度に戻したもの

中央値(median)
データの真ん中(中央)を表す
正規分布から⼤きく乖離した場合(健常者と⾮飲酒者のγ‐GTPデータ：丹後, 2013)

範囲(range)
データの全てを覆う範囲
四分位範囲(interquartile range)
中央値まわりでデータの50%を覆う範囲

バラツキ具合を相対的に評価

変動係数 (coefficient of variation)
標準偏差と平均値の⽐

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推測統計学準備：お話の前にコイン投げを考える．コイン投げでは，表と裏の出る確率pが0.5 (1/2)である ．

推測統計学事始では，10回コイン投げをしたときに，表が出る回数は理論的には5回だが...
trial. 1

trial. 2trial. 3

trial. 4trial. 546285となり，理論値(5回)となったのは，trial.5のみ．

推測統計学では，実際に起きたこと(10回のコイン投げで○回表が出た)という出来事がどれぐらいの確率で起こり得るかを考える．

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推測統計学導⼊：実際の状況
実際の問題：胃癌患者50名に対して，新しい抗癌剤を使⽤したところ，癌の縮⼩効果があった患者は30名だった．
50名中30名で有効(癌の縮⼩効果があった)ということは，50名のうちで60%の患者に有効といえる．だからといって，別の胃癌患者50名に新しい抗癌剤を投与しても，30名に有効であるとは限らない(さきほどのコイン投げの理屈と同じ)．
⼀⽅で，コイン投げのときのように，縮⼩効果のある患者の真の確率pはわからない．

縮⼩効果のある患者の真の確率(有効確率)pを知るには，胃癌患者全員に新しい抗癌剤を使⽤しなければならない．

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⺟集団と標本要素(個体)母集団を構成する個体⺟集団(population)

研究対象としての個体の全体集合無作為抽出(random sampling)
独立に同一の母集団から抽出すること．

今回の事例の場合には疾患患者すべてに新しい抗癌剤を⾏ったときの奏効・⾮奏効(実際には計測不可能：無限⺟集団という)標本の⼤きさ(標本サイズ)：n標本(sample)(無作為標本)抽出される要素の個数

今回治療を⾏った50⼈の患者

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⺟集団分布とパラメータ

区間推定の動機⺟集団(population)

標本(sample)(無作為標本)研究対象としての個体の全体集合

⺟集団

無作為抽出
n=50

標本2：奏効例 = 28

無作為抽出

標本3：奏効例 = 36

実現値

母集団から無作為に抽出した標本がとり得る値とその確率の対応関係を表すもの(例：正規分布，2項分布)50人の胃癌患者から得られた標本の値(30人に縮小効果)を実現値という．

パラメータ(⺟⽐率p)

推定量[値](標本⽐率p)

母集団分布は関数で表される．その関数を決定付けるものがパラメータである．統計的推測(推定・検定)では，パラメータが評価対象になる．

真の有効確率pは不明なので，実現値(50名の患者)から計算された0.6で代⽤する．これをパラメータの点推定値という．

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胃癌患者に新しい抗癌剤を投与したときの奏効・非奏効

標本4：奏効例 = 32

標本K：奏効例 = 24

母集団から50人の患者(標本)を無作為抽出して，同じ新薬を投与しても，個々の標本の奏効割合がいつも0.60になるとは限らない．これは，無作為抽出のたびに奏効例が変わるはずである．

そのため，⺟集団のパラメータが含まれると考えられる範囲として推定する⽅法が区間推定(信頼区間)である．

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区間推定の諸型

区間推定の動機とその意味
下側信頼限界(下限値)

母比率：p・・・

パラメータ・・・(random sampling)

⺟集団分布(2項分布)

標本1：奏効例 = 30

⺟⽐率

(神のみぞ知る)
標本⽐率(点推定値)

上側信頼限界(上限値)

⽐率

無作為抽出の影響でズレる母集団からある確率で個体が抽出されるわけだから，そこから計算される標本比率(推定値)もまた，ある確率によって値が変わる．推定値とそれが得られる確率を表す関係のことを標本分布という■ 2値データ (binary data)
⺟集団分布：2項分布 Bin(p)区間推定値(信頼区間)
区間推定値では，⺟集団でのパラメータが含まれるであろうという区間として定義される．区間には，⺟集団でのパラメータが95%, 90%,80%…の確率で含まれる区間として定義される．
信頼区間は，信頼係数(真のパラメータを含む確率)を⾼くするほど，信頼幅が広くなる．信頼度を0.95 (すなわち95%信頼区間)を⽤いることが多い．

例：奏効率，罹患率，有効率
パラメータ：⺟⽐率p
奏効率の場合にはある抗癌剤治療をすべての対象患者に投与したときの真の奏効率

標本分布：正規分布■ 量的データ (numerical data)

例：臨床検査値など

⺟集団分布：正規分布 N(μ,σ)

パラメータ：⺟平均μ, ⺟標準偏差σ
降圧剤の場合にはある降圧剤をすべての⾼⾎圧患者に投与したときの収縮期⾎圧の真の平均標本分布：⺟平均ではt分布
⺟標準偏差ではカイ2乗分布(実際には⺟分散を利⽤)

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注意：推定の⽅法の利⽤に注意

連続尺度の要約

新しい抗癌剤の有効性を評価するために，53 名の患者に当該の抗癌剤を投与した．その結果，32 名で奏効例が認められた．真の奏効率(⺟⽐率)に対する点推定値および95%信頼区間を求める．

雄雌のラットの腸内から採取した標本からある測定値を測定したデータ(Raisman & Field, 1971)
P<0.001***

P<0.001***

P<0.001***

標準偏差(SD)

標準誤差(SE)

信頼区間(CI)

先ほどの奏効率の例⽰において，奏効例を1，⾮奏効例を0としたもとで，平均値をとると，標本⽐率(奏効率)と同様に，0.604になる．つまり，点推定値は標本⽐率と標本平均は同じになる．
しかしながら，⺟⽐率に対する95%信頼区間が[0.472，0.736]であるのに対して，⺟平均に対する95%信頼区間はである．

[0.468，0.740]

これは，⺟⽐率と⺟平均で標本分布が異なる(⺟⽐率：正規分布，⺟平均：t分布)ためである．したがって，データの形式にあわせて信頼区間の形式を選択することは重要である．

どの測定値を利⽤してバラツキを要約するべきか？

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標準偏差の意味

標準誤差の意味
標準偏差(SD)は，データのバラツキを意味する．

M：平均値， SD：標準偏差
Range：範囲(最大値-最小値の区間)

また，標本サイズが増加したからと⾔って，標準偏差が減少することはない．

G. Cumming et al.: Error bars in experimental biology, The Journal of Cell Biology, 177(1), 7–11, 2007.

公式：測定値<バラツキの⽬安>
・1SD：データが正規分布に従うとき，平均値±1SDのなかに68%が含まれる．
・2SD：データが正規分布に従うと
き，平均値±2SDのなかに95%が含まれる．

標準誤差(SE)は平均値の信頼性(平均値のバラツキ)を表している：

標本サイズ(n)が増加すれば，SEは減少する．

標本サイズが増えれば，平均値の信頼性が増加する．そのため，標準誤差は減少する．

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信頼区間の意味

標準偏差(SD)・標準誤差(SE)・信頼区間(CI)の意味

95パーセント信頼区間

標準正規母集団から無作為に30個の個体を抽出して，95パーセント信頼区間を構成するという作業を200回繰り返す．
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0

標準偏差(SD)の利⽤

・観測値のばらつきを表すのに⽤いる．
・例えば，薬剤の有効性を⽰すとき，その⼀般可能性が重要になることがある．SDを⽤いることは，個体間でその効果に⼤きな違いがないことをしめすことができる．

標準誤差(SE)の利⽤

20406080100120140160180200

標本の番号(実験番号)200回のうち，188回が母平均(真の平均値)である0を含んでいる．95%信頼区間とは，何度も繰り返して信頼区間をつくったとき，その95パーセントが真のパラメータを含む区間である．

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・平均値の信頼性を表すのに⽤いる．
・例えば，ラットに対する毒性試験などにおいて，平均的な毒性の⼤きさを知ることを考えるとする．SEを⽤いることは，平均毒性の信頼性を⽰すのに⽤いる．

信頼区間の利⽤・真のパラメータに対する区間として構成される．
・⽤途は標準誤差に類似しているが，エンドポイントの要約に⽤いることが多い．

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区間推定の公式
母比率の100(1-α)%信頼区間 (母集団分布：2項分布)

ご清聴ありがとうございましたz(α/2)：標準正規分布の上側α/2パーセント点

母平均の100(1-α)%信頼区間 (母集団分布：正規分布)：標本平均：標本分散(不偏分散)：自由度n-1のt分布の上側α/2パーセント点