岐阜大学教育学部研究報告

教育実践研究第７巻（２００５）４次方程式の初等的解法
An elementary method to solve the general equation of degree４

畑 田 一 幸＊
HATADA Kazuyuki
３次方程式の解法を既知とするならば，高等学校で学ぶ多項式の性質（未定係数法と因数分解）だけで，フェラリ（Ferrari）の技巧的方法を用いずに４次方程式が困難なしに解けることを示す。
１．
学生に次の順序で問題を与え，４次方程式の解の公式に到達させる。
#!を因数分解せよ。
&'*$!#*#"#*""
問題１． *%!#
*"#
*!$
*"%
*!&%
$%
$%
$%
解答。$．高等学校の数学の範囲で解答可能である。
"を因数分解せよ。
*$!*"#
問題２． *%!$*"$*"(*#"#*#!&%$%．実数体上でも同じ。高等学校の数学の範囲で解答可能である。
解答。有理数体上で $!
*$"#*#!"*""を因数分解せよ。
問題３． *%!#
解答。有理数体上で既約である。実数体上で*"&$"#*#!!
*"#!&$
*#"!
!
""
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"&$!"
&$""
$$
$ "
$ "
$$
#!
*"&$"#*#"!
""*# ! & !"!& ! $#*" & !"!& ! $&$!"
# #
# #
% #
% #と因数分解される。
これらの例題を解くことによって，４次多項式の根の公式が得られそうだという予測を持たせたい。即ち，これらを解かせてからつぎの問題を考えさせる。
#!が実数解を持つとき %*$%$%は実数係数の２次式の積で表せる。実数係数の４次導入。実数係数の４次方程式 %*#!が虚数解を持つときも %*$%$%は実数係数の２次式の積で表せる。これらは易しい練習問題である。定数
方程式 %*
でない複素数係数の多項式は複素数の根を持つ。よって実数係数の４次多項式を実数係数の２次式の積で表すことは可能である。それらの係数を代数的に求めることは可能かが問題になる。それが可能ならば，複素数係数の任意の４次多項式を２次式の積に表すことも可能になる。
よって次の問題を考察する。簡単にする為，多項式の係数体の標数は０または（５以上）とする。
*#"&*"'%*#"(*")$%の &，'，(，)を !，"，#，
主問題． !，"，#，$ を文字とし， *%"!*$""*#"#*"$#$$ を用いて表せ。
これが解ければ，右辺の２次式の根を求めることにより，４次方程式の解の公式が得られる。
"'&"(%*$"$&("'")*#"$&)(%*"')となる。
%
解答。右辺を展開すると， *%"$＊

岐阜大学教育学部数学教室―６５―岐阜大学教育学部研究報告

教育実践研究第７巻（２００５）-を得る。ゆえに"+!#*",，"#*,"+",，$#+，##*-#$．よって,#!!*，+
+"#*$
!!*%
+"+#"$，+##*$"+#$
!!*%
．
"!+!#
*+が得られて，""*#!!*%
ここで $ を消去すると ##*$##!*$""*#!!*%を得る。これと +
"#*$
!!*%
+"+#"$ より +を消去する。
+$
!!#
*%
###$
!$
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*%
"!*$
!!*%
!!#
*%
#!*$
""*#!!*%#!*$""*#!!*%%$$%%を得る。これを *についてまとめると
$*'!$
!*&"$
!#"#"%
*%!!$
!#"%
"%
*$
"$
#!#""!#""#!%$%*#!!$!#""#!%$%*!!#$"!"#!###!
を得る。 *はこの６次方程式の解として決定する。
この *によって，+##!*$""*#!!*%$，,#!!*，-# は決定する。
+!!#*

特に，上記の６次方程式で !#!のときを考える。それは"*%"$"#!%$%*#!###!
*'"#となり，*# に関する３次方程式になる。係数体の標数が２でも３でもなければ，よく知られた３次方程式の解の公式（最初の発見者はタルタリア（Tartaglia）であり，それはカルダノ（Cardano）が著者の本 “Ars Magna” に書かれていると聞いている）を用いて， *を"，#，$ と巾根と四則演算で表すことができる。
!
以下では，係数体の標数は２でもないし３でもないとする。0#1! とおく。次の等式を得る。
%1#"'1"( with0%"!0$""0#"#0"$#1%"&$&#! !#"" ，(""'# !$! !""# and#(!$ %" " #"!
! "! !#"$．
(#"'%#&'&.%"$&#!%(%.#!'##!の解を .で表す。/#
方程式 .'"#'!.$
&".#%
とおく。
!#
.

.&#!.，/&# ( とおく。方程式 1#".1"/#!の解を !，"とし，方程式/1"/&#!の解を $，#とする。上述の結果より，
1#".&
"
"
"
"
0%"!0$""0#"#0"$#!0!!!! !""!0!!"! !""!0!!$! !""!0!!#! !""%%%%と因数分解されて主問題は解決する。
２．
上記の結果を用いて４次方程式の解の公式を導こう。上記と同じ記法を用いる。
#1%"&
1#"'
1"( の根を !，"，$，# と書く。 %$"#&%#"$&#!%(%%!'# の根を %"，%#，%$ とすると，)1
$%

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４次方程式の初等的解法

畑田一幸

##
#
##
#"$%
'"!'#!'$'
!$
#"&%
!$
#"%%
$%の根と係数の関係により，#"$"&"%#!が成立する。
$$を得る。 (+&#!&を得る。よって!##(#&&(!###!##より，$#"$%
#"&%
#"%%
$
$
$%
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#"$#('" ，&"%#!('"&"#"&#('# ，$"%#!('#$!&&，$"&#!('$#&#"%#('$#'''"#"( (( ('#%を得る。これらより##('""('#"('$!#&$#('"!('#!('$"#$#&#!('""('#!('$&%#!('"!('#"('$%#を得る。ゆえに， *%"!*$""*#"#*"$ の根は!!
#!!"%"('""('#"('$"&&!
#!!"%"('"!('#!('$"
#!
"!
!!"
#%
'''"
&! ( " ( # ( $"& ! '! '" ' "#!!"%%! ( " ( # ( $"で与えられることが分かった。もちろんこの表示はよく知られている（例えば［２］を参照）。
３．
多くの本に引用されているフェラーリ（Ferrari）の解法を復習してみよう。
#+%"%+#"&+"'の根を求める。
(+$%
#+%"%
(++#"&+"'$%###+%"#"$)+#")%!#)+#"&+"'!)%#& +"'!)##$"$+#")
%!#)
% #"
&%
%+%!#
) %!#)

が有理式として成立する。
##'!)&次に )を %&!%%&#!が成り立つように特殊化する。すなわち )を３次方程式
%!#
)
%!#
)
##!の解とする。そうすると
%!#)
&#!%'
$!)
%
$%
##!)
&
#%+"
+#" & +"'
& となり%!#) %!#)
#%
)
$!#
%

&&"(!%"#!(!%"##%+#"))%+")%+"(+&&%+#")
&&
$%
#%
#%))
$!#%$!#%が得られ，２次方程式の解を求めることに帰着させることができる。
第１節に述べた解法とこのフェラーリの解法は異なることがわかる。第１節に述べた解法は未定係数法を用いているが，フェラーリの解法は未定係数法を使わない。
（このフェラーリの解法もカルダノの本 “Ars Magna” に最初に書かれたと聞いています。
）

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岐阜大学教育学部研究報告

注意．

教育実践研究第７巻（２００５）

私は第１節に書いた方法を，独自に得た。フェラーリのものとは異なっているので新しい解法を得たのかと思った。その後文献をいくつか調べたところ，矢ヶ部巌「数Ⅲ方式ガロアの理論」，現代数学社，１９７
９年６月出版の第９２ページに，+"*#!を解くのに，因数分解「デカルトは +$"(+"")#+$"$"'!%"%+""%+"&+"!%+"'%&'!&+"&'+""%$$%$%を利用した。
」と書いてあるのを見つけた。しかし，その本には，デカルト（R. Descartes）の解法は，それ以上は，全く紹介されていない。
それで，第１節に書いた解法の優先権はデカルト（R. Descartes）にあるのだろうと思う。
しかし，私は一般の方程式 +$"!+#""+""#+"$#!を扱った点と，最終的に４次方程式の解の公式まで導いた点で，（デカルトの原論文は見ていないけれども，）デカルトの原論文の内容が，上記の第１節と第２節の内容をすっかりカバーしているとも思えないのです。
私は，本論文で４次方程式の解法が特殊な技巧に頼らずに，未定係数法の考え方で自然に得られることを示した。
なお，文献［２］ではガロワ理論による方程式の扱いが書かれている。
一般４次方程式のガロワ群を用いて，第１節の内容に説明を与えることも可能である。
参考文献（References）［１］ G. Birkhoff and S. Maclane, A Survey of Modern Algebra, The３rd edition, Macmillan, USA,１９６５.
［２］ B. van der Waerden, Moderne Algebra, Zweite Verbesserte Auflage, Springer, Berlin,１９３７.

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